C h ap i t r e V
E t u d e d y n am i q u e
CHAPITRE 5
Etude dynamique.
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INTRODUCTION : L’étude dynamique ; étape importante de l’étude de la structure ; à pour but la détermination des MODES PROPRES de vibrations ainsi que les pulsations propres de la structures. Cela permettant la détermination des efforts appliqués à la structure lorsque cette dernière est sollicitée par un chargement dynamique (séisme ou vent).
I- MODELISATION DE LA STRUCTURE : Rappe Rappelon lons s que le nombr nombre e de degré degrés s de liberté libertés s dynam dynamiqu iques es est égal au nombr nombre e de compo composan santes tes du dépla déplacem cemen entt des des masse masses s exprim exprimée ées s par par les force forces s d’inerties se développant dans celle-ci. Ces Ces dépl déplac acem emen ents ts sont sont éval évalué ués s en un nomb nombre re de poin pointt de la stru struct ctur ure, e, appelées NŒUDS où sont concentrées les masses. Dans le cas le plus générale un nœud possède six (6) mouvements possibles (trois translations et trois rotations) et le nombre de degrés de libertés d’une système donné est égal à : n = 6p (avec p : nombre de nœuds). Dans le cas de structures de bâtiments, les degrés de libertés sont constitués par par les les dépl déplace aceme ments nts des des n œuds uds situé situés s à chaq chaque ue nivea niveau, u, dans dans l’hypo l’hypothè thèse se de planchers infiniment rigide et dans le cas ou effectivement une grande partie de la masse masse est concentr concentrée ée aux niveaux niveaux des planchers planchers.. Ainsi, Ainsi, on peut peut affecter affecter à chaque chaque nœud la mass masse e du nive niveau au.. Si la rigi rigidi dité té axia axiale le des des pote poteau aux x et des des voil voiles es est est supposées infinie, on aboutis au « MODELE BROCHETTE » :
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II- FORMULATION DE LA PROBLEMATIQUE : Les caractéristiques physiques entrant en jeux, dans le cas d’une structure soumise à des charges de nature dynamique sont : - masses ; - souplesse ou rigidité ; - capacité de dissipation d’énergie (amortissement). II-A- SYSTEME A UN DEGRE DE LIBERTE (1DDL) : qui est le problème le plus simple ; soit : Fk t k x( t )
: Force de rappel élastique.
Fc t c x( t )
: Force d’amortissement.
FΙ t m x ( t ) Ft
: Force d’inertie. : Force d’excitation.
L’équilibre dynamique est donnée par : F t F t F t Ft
(1)
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L’écriture sous cette forme fait intervenir les deux grandeurs fondamentales caractérisant l’oscillateur simple : 1- PULSATION PROPRE : ω
k m
Où, de façon équivalente : la FREQUENCE PROPRE : f Où : la PERIODE PROPRE : T
ω
2π
1 2π
k . m
1 m . 2π f k
2- POURCENTAGE D’AMORTISSEMENT CRITIQUE : ξ
c 2 k m
c cc
Où : cc amortissement critique. La résolution de l’équation (3) donnant la réponse de l’oscillateur simple est obtenue de façon classique en cherchant une solution de l’équation homogène, sans second membre [en posant : F(t)=0], et une solution particulière. Remarques : 1- la résolution de l’équation homogène conduit à l’étude des vibrations libre. 2- la recherche de la solution particulière conduit à l’étude des vibrations forcées. II-B- SYSTEME A (n) DEGRES DE LIBERTES (n DDL) : Dans ce qui a précédé, nous avons vue qu’il étais possible réduire l’étude dynamique d’une structure à celle d’une système à 1ddl, dont l’équilibre dynamique
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L’équation dynamique d’équilibre est :
K x(t ) C x(t ) M x(t ) Ft................................................................... (4)
III- METHODES DE CALCULS : De l’équation (4), on a le système d’équations différentielles :
K x(t ) C x( t) M x(t ) Ft
Pour résoudre ce système on calcul se doit de calculer les pulsations et les vecteurs propres. Deux méthodes s’offre à nous : 1- Méthode exacte ; 2- Méthode approchées.
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La nature de la réponse dépend des valeurs des racines de l’équation caractéristique : Δ=0 : système critique : k m Ainsi : l’amortissement critique : c c 2mω Δ>0 : système sur-critique : c ² 4km 0 c c c c ² 4km 0 c 2mω ω
Δ=0 : système sous-critique : c ² 4km 0 c c c On a définie plus haut : ξ
c 2 k m
c cc
Et on définie : « la pseudo-pulsation » : ωD ω 1 ξ² En génie civil ; on est dans le cas des système sous-critiques avec : ξ 0.05;0.1 ωD ω
Ainsi, nous pouvons simplifier le système en un système « non amortie » : L’équilibre s’écrit :
M x (t ) K x(t) 0 ......................................................................................... (5)
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Détermination des pulsations propres :
K ω² M 0
detK ω² M 0 ................................................... ................ (7)
L’équation (7) est un polynôme de degré n ; les racines de ce polynôme représentent les pulsations propres (ωi) du système. Avec : ω1 < ω2 < ω3 .......< ωn Détermination des vecteurs propres : A chaque pulsation propre (ω i) correspond un vecteur propre { φ}i déterminer à partir de l’équation : φi K ω² M 0, en fixant l’une des composantes de { φ }i. Les vecteurs propres ainsi obtenues, sont assemblés au sein d’une matrice dite : MATRICE MODALE [ φ].
2- Résolution de l’équation (calcul de la réponse) : Pour obtenir les vecteurs de réponse {x(t)}, on découple système par un passage en COORDONEES MODALES (ou principales). 1 1 T T T (5) M x( t ) K x( t ) F( t ) φ Mφφ x (t ) φ K φφ x( t ) φ F( t )
On pose :
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(8) est l’équation d’équilibre du système exprimé en coordonnée principales.
mP1 x P1( t ) k P x P1(t ) FP1( t ) mPn x Pn ( t ) k Pn x Pn ( t ) FPn ( t )
n équations
Après la détermination des vecteurs {x pi(t)}, on repasse en coordonnées réelles avec : {xi(t)} = [φ] {xpi(t)} III-B- METHODES ITERATIVE : Elles permettent de déterminer les caractéristiques dynamiques d’une
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Soit le système (5) : M x( t ) K x( t ) 0
nous recherchons des solutions de la forme : x( t ) φ sinωt
x(t ) ωφ cosωt x( t ) ω² φ sinωt en substituant dans (5), on obtient : φK ω² M 0........................................ (9) Soit : [S] : la matrice souplesse (flexibilité) ; avec [S]=[K] -1
9 S K ωi2 M φ i 0 S S K ω i2 S Mφ i 0 Ι ω i2 S Mφ i 0 S M φ i φ i
avec : Ι : matrice idendité
1 ω i2
S M φ i φ i λ i ................................................... ................................. (10) avec : λ i
1 ωi2
Sur la base du système (10), le reste des calcul sera fait : 2- Etape de calcul : - Détermination de la matrice masse [M].
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2ème itération : On peut maintenant déterminer une approximation plus exacte du vecteur propre : 1 φ12 y k 11 λ 1 On procède de la même manière que pour la première itération mais en 2
prennent comme approximation : φ1
On continue avec le même processus jusqu'à convergence : i.e. :
φ j11 φ j1 Suite a cela pulsation propre du 1 èr mode « ωi » et la période propre « T i » : ωi
1 λ j
Ti
2π ω
2ème MODE : On détermine la nouvelle matrice dynamique : [D’] ; tel que : [D’] = [D] [T]
1 a12 a1n 0 1 0 0 T
a1n
φ n1 mn φ11 mn
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III-C- COEFFICIENT DE PARTICIPATION MODAL : Ce coefficient correspond à un mode de vibration propre, il définit le pourcentage d’énergie absorbée durant ce mode. Il est donné par :
αi
mk φki 2 1 2 m φ k ki mk
D’après le RPA (art. 4.3.4), le nombre de modes à prendre en compte est tel que : ∑αi > 90%
IV- CALCUL DE LA STRUCTURE : VI-A- CARACTERISTIQUES DYNAMIQUES : 1- Matrice masse : (MN) 6.072 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.019 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.961 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.855 0 0 0 0 0 0 [M] = 0 0 0 0 5.855 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.855 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.855 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.757 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.686 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.218
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m MN
2- Matrice souplesse : sens x-x :
[S] =
5.57 8.26 10.38 12.83 15.28 17.73 20.18 22.62 25.07 27.52
8.26 18.05 27.52 37.31 47.10 56.90 66.69 76.48 86.27 96.06
10.38 27.52 44.66 68.48 89.31 110.13 130.96 151.78 172.61 193.43
12.83 37.31 68.48 103.77 139.74 175.71 211.68 247.66 283.63 319.60
15.28 47.10 89.31 139.74 194.29 249.52 304.75 359.98 415.22 470.18
17.73 56.90 110.13 175.71 249.52 327.44 406.05 484.66 563.26 641.87
20.18 22.62 25.07 27.52 66.69 76.48 86.27 96.06 130.96 151.78 172.61 193.43 211.68 247.66 283.63 319.60 304.75 359.98 415.22 470.18 406.05 484.66 563.26 641.87 511.46 617.55 723.65 829.74 617.55 754.50 892.26 1029.96 723.65 892.26 1064.99 1238.41 829.74 1029.96 1238.41 1450.97
-5
x 10
m MN
3- Matrice souplesse : sens y-y :
[S] =
9.67 18.5 3 32.3 0 34.4 0 42.5 8 50.5 9
18.53
32.30
34.40
42.58
50.59
55.69
66.78
74.88
82.98
50.91
82.98 149.5 9 218.4 6 287.3 4 356.2 1
115.36
147.75
180.13
212.52
244.63
277.29
309.68
218.46
287.34
356.21
425.09
493.96
563.03
335.17
454.14
573.11
692.08
454.14
634.60
573.11
817.22
817.22 1074.6 3
999.90 1334.9 2
811.05 1182.5 7 1594.6 3
930.03 1365.2 5 1854.8 9
631.72 1049.0 0 1547.9 x 10 5 2 2114.8 8
82.98 115.3 6 147.7 5 180.1 3
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7.79 [D1] = [S].[M] =
1
re
9.28 10.7 7 12.2 5 13.7 4 15.2 2 16.7 1
22.4 6 28.3 5 34.2 5 40.1 4 46.0 4 51.9 3 57.8 2
60.76
53.24
81.81 102.8 7 123.9 3 145.0 0 166.0 6 187.1 2
65.65 78.07 90.49 102.9 0 115.3 1
itération :
Φ1=
me
81.8 1 113.7 5 146.0 9 178.4 2 210.7 6 243.1 0 275.2 8
102.8 7 146.0 9 191.7 1 237.7 3 283.7 5 329.7 7 375.7 9
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0.000 0.001 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.008 0.009
Y=
λ= 3
40.83
142.5 9 207.2 5 279.0 4 355.5 5 434.3 9 513.7 1 592.9 8
161.2 7 236.1 0 320.2 7 411.4 7 507.3 4 605.5 5 704.1 6
Φ1=
0.019 0.066 0.133 0.220 0.324 0.442 0.572 0.710 0.854 1.000
0.001 0.002
me
0.001 0.002 0.004 0.006 0.009 0.012 0.015 0.018 0.022 0.025
Y=
λ= 4
198.7 2 292.3 x 10 5 4 399.0 9 515.9 0 640.3 9 769.9 9 902.1 6
itération :
0.009
itération : 0.022 0.074
me
123.9 3 178.4 2 237.7 3 299.4 4 361.5 6 423.6 8 485.7 9
0.025
itération : 0.022 0.074
0.001 0.002
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[T1] =
Etu d e d y n am iq u e 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1
Matrice dynamique : 0 0 0 0 [D2] = [D1].[T] = 0 0 0 0 0 0
-6.27 -15.80 -27.64 -42.02 -58.14 -75.47 -92.04 -108.91 -138.96 -5.78 -16.16 -30.22 -47.90 -68.17 -90.23 -111.57 -133.36 -171.42 -4.36 -14.31 -25.35 -42.60 -63.09 -85.85 -108.23 -131.17 -170.31 -3.41 -9.79 -20.16 -35.50 -54.86 -77.00 -99.27 -122.25 -160.55 -5 -2.46 -7.03 -14.55 -25.96 -41.76 -60.88 -80.78 -101.56 -135.52 x 10 -1.50 -4.29 -8.94 -16.02 -26.25 -39.93 -55.17 -71.52 -97.37 -0.55 -1.53 -3.33 -6.09 -10.34 -16.58 -24.84 -34.45 -49.15 0.42 1.25 2.34 3.93 5.67 7.30 8.00 7.48 6.99 1.38 4.00 7.95 13.87 21.58 31.05 41.13 51.56 68.00 2.33 6.76 13.58 23.67 37.51 54.84 74.28 96.09 131.64
1ére itération :
2ème itération : 0 0
-0.00139 -0.00171
-1.05566 -1.30224
-0.00023 -0.00048
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Φ2=
Etu d e d y n am iq u e -0.21654 -0.47901 -0.71029 -0.90311 -0.94185 Y = -0.80826 -0.51224 -0.08103 0.43856 1.00000 λ=
-0.00015 -0.00033 -0.00049 -0.00062 -0.00065 -0.00056 -0.00035 -0.00006 0.00030 0.00069
Conclusion : ω² = 1452.098 ω= 38.106 rad/s T= 0.165 s
0.00069
3- Le troisième mode : Matrice de balayage :
[T2] =
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matrice dynamique :
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -2.905 1 0 0 0 0 0 0 0
0 -5.644 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -9.633 -14.761 -20.848 -27.214 -33.954 -45.087 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
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Etu d e d y n am iq u e λ=
3ème itération : 1.57866 1.81251 1.20364 0.56467 -0.30210 Y = Φ3= -0.89004 -1.02781 -0.66958 0.06779 1.00000 λ=
0.00023
λ=
0.00012 0.00016 0.00012 0.00008 -0.00001 -0.00009 -0.00011 -0.00008 0.00000 0.00011
1.011 1.356 1.035 0.704 -0.080 Y = -0.743 -1.019 -0.745 0.001 1.000 λ=
Φ3=
0.00011 0.00010 0.00013 0.00010 0.00007 -0.00001 -0.00007 -0.00010 -0.00007 0.00000 0.00010
0.00010
4- Coefficients de participations : ér
1 mode :
0.00014
4ème itération : 1.12307 1.45952 1.06976 0.68437 -0.12846 -0.78077 -1.02470 -0.72779 0.01707 1.00000
0.00010 0.00014 0.00011 0.00007 -0.00001 -0.00008 -0.00010 -0.00008 0.00000 0.00010
Y=
λ=
5ème itération :
Φ3=
Conclusion : ω² = 10088.040 ω= 100.439 rad/s T= 0.063 s
0.00010
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Etu d e d y n am iq u e -0.808 -0.512 -0.081 0.439 1.000
5.855 5.855 5.757 5.686 6.218
-4.732 -2.999 -0.467 2.494 6.218 (∑m Φ) ² = 350.449
∑ m = 59.132
α2
èmer
3
(%) =
3.825 1.536 0.038 1.094 6.218 ∑m Φ² = 27.352
21.668
mode :
Φ3=
1.011 1.356 1.035 0.704 -0.080 -0.743 -1.019 -0.745 0.001 1.000
m=
6.072 6.019 5.961 5.855 5.855 5.855 5.855 5.757 5.686 6.218
mΦ =
(∑m Φ)² = 234.572
∑ m = 59.132
α3
Conclusion :
∑ αi = 96.083
5.875 7.911 6.081 4.164 -0.352 -4.254 -5.953 -4.333 -0.040 6.218
%
(%) = 9.038
m Φ² =
5.685 10.397 6.202 2.961 0.021 3.091 6.053 3.261 0.000 6.218
∑m Φ² = 43.890
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Etu d e d y n am iq u e 45.4 7 50.3 8
166.9 335.6 544.5 1 5 0 186.4 376.6 614.1 0 0 6
799.3 1085.9 1396.1 1694.4 1998.2 2541.6 1 8 5 1 3 7 906.2 1238.1 1601.7 1956.6 2324.3 2978.7 6 9 0 1 6 8
1ére itération :
Φ1=
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Y=
0.00052 0.00193 0.00393 0.00652 0.00962 0.01315 0.01701 0.02113 0.02542 0.02979
2ème itération : 0.01732 0.06464 0.13186 0.21896 Φ1= 0.32310 0.44144 0.57103 0.70936 0.85326 1.00000
λ = 0.02979 3ème itération :
Φ1=
0.020 0.072 0.145 0.237 0.345 0.464 0.592 0.726 0.862 1.000
Y=
0.002 0.006 0.012 0.020 0.029 0.039 0.050 0.061 0.073 0.085
Y=
0.00163 0.00596 0.01200 0.01965 0.02860 0.03854 0.04917 0.06026 0.07159 0.08301
λ = 0.08301 4ème itération : 0.020 0.072 0.145 0.237 Φ1= 0.345 0.465 0.593 0.726 0.863 1.000
Y=
0.002 0.006 0.012 0.020 0.029 0.039 0.050 0.061 0.073 0.085
Ch ap itr e V
Etu d e d y n am iq u e
Matrice dynamique :
[D2] = [D1].[T] =
0 10.16 23.20 -48.14 -74.41 104.17 138.02 167.11 0 10.17 31.84 -63.21 103.72 150.73 202.31 252.79 0 21.20 52.57 100.05 163.42 238.10 320.76 401.89 0 -6.34 20.75 -46.56 -87.36 140.20 201.54 264.02 0 -4.87 15.58 -34.64 -65.70 110.40 165.59 223.93 0 -3.02 -9.68 -21.51 -41.03 -70.46 110.71 156.89 0 5.24 9.00 12.15 13.55 11.41 3.46 -12.03 0 0.14 1.38 3.52 6.62 10.08 13.29 13.20 0 1.95 7.01 16.02 30.40 50.44 75.47 103.30 0 3.61 12.4 2 28.52 54.20 90.68 138.21 193.44
1ére itération :
Φ2=
0 0 0 0 0
Y=
-0.003 -0.004 -0.006 -0.004 -0.004
2ème itération : -0.712 -1.100 -1.758 -1.217 Φ2= -1.072
198.53 304.04 484.81 328.56 284.95 206.17 -32.04 9.03 131.98 256.30
Y=
254.07 392.77 627.68 434.69 - x 10 5 382.92 283.47 -58.57 3.05 175.78 357.06
-0.001 -0.001 -0.002 -0.003 -0.003
Ch ap itr e V
Φ2=
Etu d e d y n am iq u e -0.699 -0.887 -0.937 -0.815 -0.524 -0.090 0.434 1.000
Y=
-0.002 -0.002 -0.002 -0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002
Φ2=
-0.697 -0.886 -0.937 -0.815 -0.525 -0.090 0.434 1.000
λ = 0.00218
-0.002 -0.002 -0.002 -0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002
Y=
λ=
0.00218
Conclusion : ω² = 458.395 ω = 21.410 rad/s T = 0.293 s
3- Le troisième mode : Matrice de balayage : 1 0
0 0
0 -3 00
0 -6 37
0 -11 41
0 -18 07
0 -26 16
0 -34 79
0 -43 99
0 -58 95
Ch ap itr e V
Φ3=
Etu d e d y n am iq u e 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 1
Y=
0.00265 0.00174 0.00477 -0.00035 -0.00074 -0.00090 -0.00284 -0.00013 0.00045 0.00119
2.23498 1.46199 4.01754 -0.29614 Φ 3 = -0.61961 -0.75385 -2.39318 -0.10653 0.38296 1.00000
λ = 0.00119 3ème itération : 1.12735 1.27399 1.57549 0.71332 -0.11414 Φ3= -0.80395 -1.20598 -0.71625 0.06997 1.00000
Y=
0.00029 0.00039 0.00048 0.00025 -0.00001 -0.00024 -0.00039 -0.00026 0.00000 0.00034
λ = 0.00047 4ème itération : 0.86074 1.13093 1.40034 0.73024 Φ 3 = -0.01802 -0.71050 -1.14171 -0.75571 0.01186 1.00000
λ = 0.00034 5ème itération : 0.81825 1.08946 1.35156 0.73608 0.00718 Φ3= -0.68749
Y=
0.00026 0.00034 0.00042 0.00023 0.00000 -0.00022
0.00053 0.00060 0.00074 0.00034 Y = -0.00005 -0.00038 -0.00057 -0.00034 0.00003 0.00047
0.00026 0.00035 0.00043 0.00024 Y = 0.00000 -0.00022 -0.00036 -0.00025 0.00000 0.00032 λ = 0.00032
Conclusion : ω² = ω= T=
3165.086 56.259 rad /s 0.112 s
Ch ap itr e V
Etu d e d y n am iq u e ∑ m = 59.132
(∑m Φ)² = 692.848 α1
èmer
2
-0.160 -0.427 -0.697 -0.886 -0.937 -0.815 -0.525 -0.090 0.434 1.000
6.072 6.019 5.961 5.855 5.855 5.855 5.855 5.757 5.686 6.218
m=
∑m=
59.132
mΦ=
(∑m Φ)² = α2
ème
(%) = 65.12
mode :
Φ2=
3
∑m Φ² = 17.993
(%) =
-0.978 -2.579 -4.164 -5.192 -5.488 -4.770 -3.069 -0.518 2.469 6.218 326.635
m Φ² =
∑m Φ² =
0.158 1.105 2.909 4.605 5.145 3.887 1.609 0.047 1.072 6.218 26.753
20.65
mode :
Φ3=
0.818 1.089 1.352 0.736 0.007 -0.687
m=
6.072 6.019 5.961 5.855 5.855 5.855
mΦ=
4.881 6.470 7.968 4.315 0.092 -3.976
m Φ² =
3.924 6.954 10.650 3.180 0.001 2.700
Ch ap itr e V
Etu d e d y n am iq u e
Modes propres (sens x-x)
mode I mode II mode III
90
Ch ap itr e V
Etu d e d y n am iq u e
Modes propres (sens y-y)
mode I mode II mode III
91
