Chap7. Méthode des rotations

Chapitre 7 MÉTHODE DES ROTATIONS

7.1 INTRODUCTION Bien qu’ayant un caractère général, comme la méthode des forces, la méthode des rotations (des déplacements ou des déformations) est cependant surtout utilisée pour le calcul des structures constituées de barres, généralement droites. Des barres droites assemblées en leurs extrémités (nœuds) forment des structures appelées portiques (Figure 7.1).

(a)

Figure 7.1

(b)

Les portiques ont un comportement essentiellement flexionnel, c'est-à-dire que la flexion est prépondérante. On peut de ce fait négliger les déformations provoquées par l'effort normal et l'effort tranchant. Les structures auxquelles on s'intéresse ici sont planes et chargées dans leur plan. D'une façon générale, la méthode des déplacements est utilisée lorsque le degré d'hyperstaticité est élevé. Notons aussi qu'elle s'applique parfaitement aux poutres continues ; dans ce cas, les appuis intermédiaires constituent les nœuds de la structure.

144

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

7.2 CLASSIFICATION DES STRUCTURES La méthode étant basée sur les déplacements des nœuds, les structures considérées sont classées en fonction des possibilités de déplacement de leurs nœuds. On distingue deux catégories : a) Les structures à nœuds fixes ou à nœuds invariables (Figure 7.2) Dans de telles structures, les nœuds ne peuvent subir que des rotations.

(a)

Figure 7.2

(b)

Notons que la dérive (c’est-à-dire la translation) des nœuds d'un système peut être empêchée soit par la nature même du système (notamment le type d'appuis) soit par une symétrie de la géométrie et du chargement du système. b) Les structures à nœuds déplaçables (Figure 7.3) Ce sont des structures dont les nœuds ou certains nœuds subissent des translations en plus des rotations.

(a)

(b)

Figure 7.3 Une structure est à nœuds déplaçables si le système articulé, obtenu par remplacement de tous les nœuds et de tous les encastrements d'appui par des articulations, constitue un système instable (mécanisme). Le nombre de translations possibles pour les nœuds représente le nombre de degrés de liberté (ddl) du système articulé. Le nombre de ddl correspond au nombre de liaisons supplémentaires qu'il faut ajouter à la structure articulée instable pour qu'elle devienne immobile (stable), du point de vue translation. Le nombre de translations indépendantes possibles d'un système vaut :

Méthode des rotations

145

Kt = 2n – (b+l) Avec : n = nombre de nœuds et d'appuis. b = nombre de barres (une console n'est pas comptée comme une barre). l = nombre de liaisons aux appuis du système articulé.

Kt=1

Kt=2

Kt=3

(a)

(b)

(c)

Kt=2

Kt=1

(d)

(e)

Figure 7.4 : Exemples de calcul de Kt 7.3 PRINCIPE DE LA MÉTHODE La méthode consiste à déterminer les déplacements (rotations et translations) des nœuds de la structure ; puis, en raison de l'interdépendance qui existe entre les déformations et les efforts, on détermine les efforts (moment, effort tranchant et effort normal). Le principe de la méthode est décrit par les trois étapes suivantes. 1) On ajoute des liaisons aux nœuds de la structure initiale pour obtenir un système dont les nœuds n'ont aucune possibilité de déplacement (rotation ou

(a) Système initial

(b) Système de base

Figure 7.5

146


translation). Le système ainsi obtenu est appelé système statique de base (Figure 7.5b). 2) Afin d'obtenir un système équivalent à la structure initiale, on applique des déplacements (inconnus) correspondant aux liaisons ajoutées (Figure 7.6). w1 (3)

w2

(3)

δ

(2)

Figure 7.6

Les inconnues du problème dans le cas considéré sont : X1 = w1 (rotation du nœud 1) X2 = w2 (rotation du nœud 2) X3 = δ (translation horizontale des nœuds 1 et 2, la variation de longueur de la barre 1-2 étant négligée). 3) Pour obtenir les déplacements inconnus (X1, X2, X3) on écrit qu'il y a équilibre des réactions (moments ou forces) apparaissant dans chaque liaison ajoutée sous l’effet des forces extérieures et des déplacements imposés. Soit : R1 = Σ des moments réactifs dans l'encastrement (1) = 0 R2 = Σ des moments réactifs dans l'encastrement (2) = 0

(7.1)

R3 = Σ des réactions dans la liaison (3) = 0 Il importe de noter que le système de base obtenu selon l'étape 1 est toujours constitué de barres dont chacune a soit ses deux extrémités encastrées soit une extrémité encastrée et l'autre appuyée simplement ou doublement (Figures 7.7 et 7.8).

(a)

(b)

Figure 7.7


147

(b)

(a)

Figure 7.8

Pour terminer, on retient que la méthode des déplacements est caractérisée par : 1) Le blocage des nœuds. 2) Un seul système de base possible, donc une façon unique de mettre le problème en équations (de ce fait, la méthode est particulièrement indiquée pour le calcul automatique). 3) Des liaisons ajoutées spéciales ; en effet, • Les encastrements ajoutés supportent uniquement des moments et peuvent par conséquent subir des translations. • Les liaisons de translation supportent seulement des forces suivant la liaison ajoutée. 7.4 SOLLICITATION DES BARRES DROITES HYPERSTATIQUES Comme nous venons de le voir, le système de base est constitué de barres qui peuvent être : - encastrées aux deux extrémités - encastrées d'un côté et appuyées de l'autre -

Ces barres sont sollicitées par : les déplacements appliqués les charges extérieures

Le calcul de ces poutres peut être effectué par l’une des méthodes exposées précédemment comme la méthode des paramètres initiaux, la méthode des forces ou encore la formule des 3 moments ou toute autre méthode. 7.4.1 Barres soumises à des déplacements d'appuis Examinons à titre d’exemple le cas de la poutre encastrée à ses deux extrémités soumise à une rotation de l’un de ses appuis (Figure 7.9). a) Méthode des paramètres initiaux

148


On veut calculer les réactions. Soient RA, MA, RB et MB les composantes des réactions aux appuis A et B qui apparaissent sous l'action de wA. MA

On a : Mx = MA + RAx

wA(wA>0) A

EIy" = -MA - RAx

RA

EIy' = -MAx - RA x2/2 + C EIy = -MAx2/2 - RAx3/6 + Cx + D

y

avec : C = EIθ0 = EIwA

et

D = EIf0 = EI.0 = 0

donc : EIy' = -MAx - RAx2/2 + EIwA EIy = -MAx2/2 - RAx3/6 + EIwAx Conditions à l'extrémité B En B (x = l), on a : θB = 0 et yB = 0 D'où : 0 = -MAl - RA l2/2 + EIwA 0 = -MAl2/2 - RAl3/6 + EIwAl ou encore :

 l2   M A  EIwA   4EIwA  l       M A =  2 23    =   ⇒  l  l l       R −= 6EIwA (↓ ) A 2      2 6   RA  EIlw  l  A On peut maintenant calculer RB et MB.

x

B l

Figure 7.9


M B = M A + R Al =

RA

149

4 EIw A 6 EIw A 2 EIw A − =− l l l

+ RB = 0 ⇒ RB =

6 EIw A l2

(↑)

Application : Rotation unitaire (wA = 1)

MA =

4 EI 2 EI 6 EI 6 EI ;M B =− ; R A = − 2 ( ↓) ; RB = 2 ( ↑) l l l l

b) Méthode des forces (Figure 7.10)

 δ 11u M A + δ 12u M B + δ 1F = 1  u  δ 21 M A + δ 22u M B + δ 2 F = 0 δ1F = δ2F = 0 (pas de charges extérieures). Les coefficients du système ci-dessus sont calculés à partir des figures 7.10c et 7.10d. u δ11 =

1 1 2 l l u . .l .1. = ; δ 22 = EI 2 3 3 EI 3 EI

u u δ 12 = δ 21 =

1 1 1 l . .l .1. = EI 2 3 6 EI

d'où :

1  M    l l  A    4EI  3EI 6EI       M A = l  l l    =   ⇒  2EI        M B −=  6EI 3EI   M B   0  l

150


wA=1 B

A

(a)

l

MA

wA=1

MB (b)

Figure 7.10

MA=1 (c)

1 MB=1 (d)

1

Le tableau 7.1 donne les réactions, les moments et les déformées des différents cas de figure. 7.4.2 Barres soumises à des charges Les calculs peuvent être menés par les méthodes exposées dans les chapitres précédents. Les diagrammes des moments et les réactions des cas de charge les plus courants sont regroupés dans le tableau 7.2.


151

Tableau 7.1 w=1

w=1

l

l 6EI/l²

2EI/l

4EI/l

4EI/l

6EI/l²

6EI/l²

2EI/l

6EI/l²

δ=1 δ=1

l

l 12EI/l3

6EI/l²

12EI/l3

6EI/l²

12EI/l3

12EI/l3

6EI/l²

6EI/l²

δ=1

l

δ=1

3EI/l2 l

3EI/l3 3EI/l3

3EI/l3

3EI/l3

w=1 3EI/l²

w=1

l

l 3EI/l 3EI/l²

3EI/l2 3EI/l²

3EI/l²

3EI/l

δ=1 l

δ=1

2

3EI/l

l 3EI/l

3

3EI/l3 3

3EI/l

3EI/l3

3EI/l2

152


Tableau 7.2 q

q

l ql²/12

ql²/12

ql²/8 5ql/8

ql/2

9ql²/8 l

ql/2

ql²/24

5l/8

a

b

a

b

P

P

Pab²/l²

Pa²b²/l² 2Pa²b²/l

P(3a+b)b²/l3

Pab(a+2b)/2l² Pa²b(2a+3b)/2l3

3

P(a+3b)a²/l3

Pb(a²+2ab+2l²)/2l3

P

P(2a+3b)a²/2l3 P

l/2

l/2

Pl/8

l/2 Pl/8

P/2

P/2

l/2

6Pl/32

5P/16

11P/16

Pl/8

5Pl/32

a

b

a

b

C

C Ca(3a-2l)/l²

6abC/l3

6abC/l3

Cb(2l-3b)/l² l/2

3C(l²-b²)/2l3

l/2

C

C/4

C/2

C/2

3C(l²-b²)/2l3

C(l²-3b²)/2l²

l/2

3C/2l

3ql/8 3l/8

l/2 C

C/4

3C/2l

9C/8l

C/8

7C/16

9C/16

9C/8l


153

7.5 NOMBRE D’INCONNUES – ÉQUATIONS D’ÉQUILIBRE 7.5.1 Nombre d’inconnues (K) Le nombre d’inconnues de la méthode est égal au nombre de déplacements possibles (rotations Kr et translations Kt) des nœuds de la structure considérée. K = Kr+Kt -

Kr = nombre de rotations - égal au nombre de nœuds de la structure (les appuis n’étant pas comptés comme nœuds). Kt = nombre de déplacements linéaires indépendants (voir § 7.2). K représente le nombre de liaisons (encastrements ou butées de translation) ajoutées pour immobiliser les nœuds de la structure initiale.

7.5.2 Equations d’équilibre Chaque équation exprime l’équilibre des réactions apparaissant dans une liaison ajoutée. Dans chaque liaison (i) introduite, la résultante des réactions, engendrées par les forces extérieures (RiF) et par les déplacements appliqués (Rij), doit être nulle. Ainsi, dans l’exemple de la figure 7.11 ci-dessous les équations à partir desquelles seront tirés les déplacements inconnus (X1, X2 et X3) s’écrivent : R1 = R11 + R12 + R13 + R1F = 0 R2 = R21 + R22 + R23 + R2F = 0

(7.2)

R3 = R31 + R32 + R33 + R3F = 0 X1

Avec : R11 = réaction (moment réactif) apparaissant dans la liaison ajoutée 1 (encastrement) sous l’action du déplacement appliqué X1 (rotation).

(1)

X2

(3)

X3

(2)

Figure 7.11

R12 = réaction (moment) apparaissant dans la liaison 1 sous l’action du déplacement X2. R31 = réaction (force horizontale) apparaissant dans la liaison 3 (liaison de translation) sous l’action du déplacement X1. Et de manière générale : RiF = réaction qui apparaît dans la liaison ajoutée i sous l’action de la sollicitation globale F (c’est-à-dire les charges appliquées). Rij = réaction dans la liaison i, dont la nature est déterminée par celle de la liaison, sous l’action du déplacement Xj. En vertu du principe de superposition des effets nous pouvons écrire : Rij = riju X

(7.3)

j

154


où : • Xj est le déplacement inconnu appliqué. u

• rij est la réaction dans la liaison i sous l’action d’un déplacement unitaire, rotation ou translation selon la nature de la liaison j, appliqué à la liaison j. Ainsi, pour une structure à n inconnues (n déplacements inconnus des nœuds), le système d’équations s’écrit : u u r11 X 1 +r12 X

2

+... +r1un X

+R1 F =0

n

.................... ........................................ u riu 1 X 1 +ri 2 X

2

u +... +rin X

+R iF =0

n

.................... ........................................ rnu1 X 1 +rnu2 X

2

u +... +rnn X

n

+R nF =0

(7.4) Ou encore sous forme condensée : n

∑r

u ij

X

j

+ RiF + 0

i = 1, …, n

j =1

(7.5) Sous forme matricielle le système d’équations canoniques s’écrit :

[ r u ] [ X ] = [ − RF ]

[ r u ] est appelée matrice de rigidité. 7.6 EXEMPLES D’APPLICATION Exemple 1 Soit à calculer le portique ci-contre.

P

(EI) = Cte = 2 1010 kgcm² l/2=2m

l/2

P = 100 kg Degré d’hyperstaticité : K = 1 + 0 = 0

h=3m

X1

P

Système de base

X1

X2

P


155

L’équation canonique du système s’écrit : u r11 X 1 + R1 F = 0 u Calcul du coefficient de réaction r11 (moment de

u r11

réaction unitaire) : u

On indique r11 dans le sens de la rotation X1 appliquée à l’encastrement élastique ajouté (figure cicontre). Diagramme unitaire : X1=1

3EI/l²

X1=1 4EI/h

6EI/h² 3EI/l

3EI/l²

m1 6EI/h² 2EI/h

Le coefficient

u r11

est calculé de façon à réaliser l’équilibre au nœud du

diagramme m1. Equation d’équilibre :

u r11

3EI/l

3 EI 4 EI u + − r11 =0 l h 3 4 u ⇒ r11 = ( + )EI l h

4EI/h

Le coefficient R1F (réaction de charge) est u calculé de la même manière que r11 .

156


Diagramme de la charge appliquée : L’action de la charge est limitée à la travée sur laquelle elle est appliquée. P

6Pl/32

R1F

11P/16

6Pl/32

5Pl/32 MF

5P/16

Le sens de R1F est donné par celui choisi pour X1. L’équation d’équilibre du nœud déterminera le signe correct. Équation d’équilibre :

R1 F +

6 Pl 6 = 0 ⇒ R1 F = − Pl 32 32

L’inconnue X1, peut être calculée maintenant :

3 Pl 3 4 6 18 X 1 ( + )EI − Pl = 0 ⇒ X 1 = 3 4 l h 32 ( + )EI l h A.N : h = 300 cm et l = 400 cm

X1 =

9 10 −5 = rotation (en radian) du nœud rigide du système donné. 5

Pour passer du diagramme unitaire m1 au diagramme réel M1, on multiplie le premier par X1. 6.75kg 48kgm

24kg 27kgm

6.75kg

M1

24kg 24kgm

*) Si X1 était négative on aurait inversé le diagramme et le sens des réactions.


157

Le diagramme des charges ne change pas.

75kgm

68.75kg

62.5kgm

31.25kg

MF 48kgm

Le diagramme final des moments (M) s’obtient par superposition des diagrammes M1 et MF. On note que l’équilibre de rotation du nœud est satisfait.

76kgm M

Les réactions aux appuis de système donné peuvent s’obtenir en reportant les réactions des diagrammes M1 et MF aux appuis réels qui les supportent. P

P

B 24kg 31.25kg m

24kg A

24kgm

RHB=24kg

6.75kg RVB=38kg

RHA=24kg 68.75kg

6.75kg RVA=62kg

A partir des réactions et des charges extérieures, on trace les diagrammes de N et de T. 24kg

62kg 38kg

N

62kg

T

24kg

158


Exemple 2 q=2t/ml 2EI

2EI

K=2+0=2 l=4m

EI

EI

S.D. l=4m

l

X1

X2

Equations canoniques :

S.F.

 r11u X 1 + r12u X 2 + R1F = 0  u  r22 X 1 + r22u X 2 + R2 F = 0


159

Diagrammes unitaires (a et b) et diagramme des charges (c) :

1 4EI/l

8EI/l 1

4EI/l 4EI/l

4EI/l

4EI/l

8EI/l

a) m1 2EI/l

b) m2

ql²/12=56/21 ru11

8EI/l

2EI/l

8EI/l

ru12

4EI/l

ql²/24=28/21 ru11 = 12EI/l

ru12 = ru21 = 4EI/l

4EI/l c) MF

8EI/l

ru22

R2F

R1F

ql²/12

8EI/l u 22

r

= 20EI/l

R1F = 0

4EI/l

La résolution du système donne :

X1 =−

4 4 12 , X2 = = , ( EI ) en tm² 21EI 7 EI 21EI

Diagrammes réels :

R2F = -ql²/12

160


Les diagrammes m1 et m2 sont multipliés par X1 et X2, respectivement. 8/21

24/21 12/21 4/21

4/21

12/21

12/21 24/21

M1

M2

2/21

6/21

Le diagramme final du moment fléchissant s’obtient par superposition des 32

68

20

4 12

34 M(1/21)

2

6

diagrammes M1, M2 et MF. Effort tranchant et effort normal ; on détermine d’abord les réactions d’appuis. Diagrammes unitaires : 3/4EI

3/4EI

3/8EI

3/8EI

3/4EI

(1)

3/4EI

3/4EI

3/8EI

3/8EI

3/4EI

(2)


161

Sous les charges extérieures : Pour passer des réactions unitaires aux réactions réelles on multiplie les réactions (1) et (2) par X1 et X2, respectivement. Il faut maintenant superposer les réactions (I), (II) et (F). 2/7

3/14

1/14

31/7

27/7

1/7 (efforts en t) 2/14

1/14 1/14 1/7

1/14

3/7

3/7

3/14 31/7

1/143/14

2/7

ql/2=4

ql/2=4

(réactions en t) (I) (F) 27/7

3/7

3/14

3/14

3/7

(II)

La dernière phase consiste à transmettre les réactions des encastrements élastiques (nœuds rigides) aux appuis réels, c’est-à-dire aux encastrements. Pour pouvoir calculer l’effort normal en un point quelconque du système, il suffit d’ajouter au schéma ci-contre les charges extérieures. On peut vérifier sur la figure cicontre que les équilibres de translations sont satisfaits :

q=2t/ml 2/14

∑ Fv = 0

31/7

∑ Fh = 0

(réactions en t) 1/14 2/7

Exemple 3

(2EI)

q

(EI)

(EI)

l (a)

l

3/14 27/7

(i)

Le système a trois inconnues, K = 2 + 1, les deux déplacements angulaires des nœuds rigides (X1 et X2) et un déplacement linéaire (X3).

162


Les trois équations canoniques du système s’écrivent :

 r11u X 1 + r12u X 2 + r13u X 3 + R1F = 0  u u u  r21 X 1 + r22 X 2 + r23 X 3 + R2 F = 0  u u u  r31 X 1 + r32 X 2 + r33 X 3 + R3 F = 0 X2

X1

X3

S.F.

N.B. : En raison de la nature de X3 qui est un déplacement linéaire, les coefficients ru13, ru23, ru31, ru32 et R3F sont des forces et ru33 une force/unité de longueur. Quant aux autres coefficients (ru11, ru12, ru21, ru22, R1F et R2F) ce sont des moments.


163

Diagrammes unitaires et des charges extérieures 1 4EI/l

1

12EI/l² 6EI/l²

4EI/l

12EI/l² 6EI/l² 4EI/l

4EI/l 12EI/l²

8EI/l

8EI/l

12EI/l²

m1

m2

2EI/l

2EI/l

4EI/l²

6EI/l² 12EI/l3

12EI/l3

6EI/l²

ql²/12 ql/2

6EI/l² ql²/24 m3

6EI/l²

MF 6EI/l²

12EI/l3

12EI/l3

ql/2

ql²/12

Calcul des coefficients de réaction ru11 8EI/l ru11 = 12EI/l

ru12

4EI/l

ru12 = 4EI/l

4EI/l

4EI/l ru21 = 4EI/l

ru21

8EI/l

ru22 = 12EI/l

ru22 4EI/l

164

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES ru13 ru23 ru13 = -6EI/l² ru23 = -6EI/l² 6EI/l²

6EI/l²

R1F R2F R1F = ql²/12 R2F =0

ql²/12

ru31

ru32

∑Fh = 0 ⇒

∑Fh = 0 ⇒

ru31 = -6EI/l²

ru32 = -6EI/l²

6EI/l²

6EI/l² ru33

q

ru33 =24EI/l3

12EI/l²

R3F

12EI/l²

R3F=ql/2-ql=-ql/2

ql/2

La résolution du système d’équations, donne : X1 =

3 ql 3 29 ql 3 60 ql 4 , X2 = , X3 = 2496 EI 2496 EI 2496 EI


165

Diagrammes réels 116 6

6

58

58

12 M2(ql²/1248)

M1(ql²/1248)

3

29 87ql/1248

9ql/1248

180

ql²/12

180

ql²/24

q

M3(ql²/1248)

MF ql²/12

180 360ql/1248

180

624ql/1248

360ql/1248

Diagramme (final) des moments et réactions aux encastrements. 122 70

M(ql²/1248)

281

H R A = 975ql / 1248

151

H R B = 273ql / 1248

166


Diagrammes N et T On commence par calculer les réactions transversales de chaque barre supposée isostatique est chargée par des moments aux appuis (lus directement sur le diagramme final de M) et les charges extérieures qui lui sont directement appliquées. 192ql/1248 192ql/1248 70ql²/1248 122ql²/1248

273ql/1248

q

⇒

273ql/1248

q

975ql/1248 281ql²/1248

273ql/1248

151ql²/1248 (a)

(b)

On trace ensuite le diagramme de T (en considérant chaque barre séparément puis celui de N en vérifiant l’équilibre de translation aux nœuds. 273

273

C

192 273

T

T(ql/1248)

975

A

B

N(ql/1248)

192

C

192

Vérification : On vérifie l’équilibre de rotation et de translation de chaque nœud. a) Equilibre de rotation

70ql²/1248

70ql²/124

∑M=0

122ql²/1248

122ql²/1248

∑M=0


167

b) Equilibre de translation 192 273

273 192 ql/1248 273

273 192

∑Fh=0, ∑Fv=0

∑Fh=0, ∑Fv=0

192

7.7 CALCUL DES EFFORTS INTERNES Comme on vient de le voir, le diagramme final des moments fléchissants est obtenu par superposition des diagrammes dus aux charges extérieures et aux déplacements appliqués. Les diagrammes unitaires sont multipliés par les valeurs algébriques des déplacements correspondants puis superposés au diagramme sous les charges extérieures. Les efforts tranchants et normaux peuvent être calculés en considérant chaque barre comme une poutre isostatique (bi-articulée) soumise aux charges extérieures qui lui sont appliquées et à des moments d’appuis donnés par le diagramme final des moments fléchissants. 7.8 VERIFICATION DES RÉSULTATS La vérification consiste essentiellement à s’assurer de l’équilibre, de translation et de rotation, de chaque nœud et de parties entières de la structure. 7.9 LES ÉTAPES DE LA MÉTHODE L’application de la méthode des rotations peut se résumer aux étapes élémentaires suivantes : 1- déterminer le nombre d’inconnues 2- représenter le système statique de base 3- porter les charges extérieures et les déplacements (inconnus) appliquées 4- écrire le système d’équations 5- tracer les diagrammes unitaires et celui (ou ceux) des charges extérieures 6- calculer les coefficients de réaction (ruij, RiF) 7- résoudre le système d’équations pour obtenir les déplacements des nœuds 8- passer des diagrammes unitaires aux diagrammes réels en multipliant chaque diagramme par le déplacement (avec son signe) qui lui correspond 9- tracer le diagramme final des moments par superposition des diagrammes obtenus à l’étape 8 et du diagramme sous les charges extérieures 10- calculer les efforts N et T comme indiqué au paragraphe (7.7) puis tracer leurs diagrammes.

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Pour l’étape 6, on tiendra compte des trois observations suivantes : -

Les coefficients rujj sont toujours strictement supérieurs à zéro. Les coefficients ruij sont différents de zéro seulement quand i et j sont des nœuds voisins (liés par la barre ij). ruij = ruji

Les efforts normaux sont obtenus à partir des conditions d’équilibre de translation de chaque barre isolée par des coupes.

Chap7. Méthode des rotations

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