Échantillonnage par Pierre GY Ingénieur de l’École supérieure de physique et de chimie industrielles de la ville de Paris (ESPCI) Docteur-ingénieur, Docteur ès sciences Ingénieur-conseil
1.
Questi Questions ons à propos propos de l’écha l’échanti ntillo llonna nnage ge .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..
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2.
Échant Échantill illonna onnage ge et hétérog hétérogéné énéité ité.. Approche Approche qualit qualitati ative ve.............
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3.
Qualifi Qualificat cation ion d’un d’un échant échantill illonna onnage ge ou d’un d’un échant échantill illon on ..............
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4.
Exempl Exemples es de méthode méthodess non probabi probabilis listes tes d’éch d’échant antill illonn onnage age......
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5.
Écha Échant ntil illo lonna nnage ge prob probab abil ilis iste te.... ...... .... ........ ...... ........ ...... ........ ...... ........ ...... ........ ...... ........ ...... ........ ...... .... .... ....... ...
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Échant Échantill illonna onnage ge par prélèv prélèveme ement. nt. Réali Réalisat sation ion pratiq pratique ue ...............
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Échant Échantill illonna onnage ge par prélèv prélèveme ement. nt. Condit Condition ionss de correcti correction on ......
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Échant Échantill illonna onnage ge des des lots lots manipu manipulab lables les par par parta partage ge.......................
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Calc Calcul ul des des err erreu eurs rs comm commis ises es.. Caractérisation de l’hétérogénéité .... ....... ...... .... .... ........ ...... ........ ...... ........ ...... ........ ...... ........ ...... ........ ....
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10. Caractéris Caractérisation ation de l’hétérogén l’hétérogénéité éité globale globale d’un ensemble ensemble .........
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11. Caractéris Caractérisation ation de l’hétérogén l’hétérogénéité éité séquentie séquentielle lle d’une suite suite .......
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12. Moments Moments de l’erreur l’erreur d’échant d’échantillonn illonnage. age. Lots à zéro zéro dimension dimension.
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13. Moments Moments de l’erreur l’erreur d’échant d’échantillonn illonnage. age. Lots à une une dimension dimension
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14. Stratégie Stratégie à adopter adopter pour résoudre résoudre un problème d’échantillonnage .... ...... ........ ...... ........ ...... .... .... ........ ...... ........ ...... ........ ...... ........ ...... ........ ...... ....
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Pour en savoir plus .......... ............... .......... .......... ......... ......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... ......... ....
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ans bien des cas, l’objet dont on cherche à évaluer la composition
— est trop étendu pour pouvoir, pouvoir, dans son ensemble, être D moyenne — le lot —
soumis à l’analyse. En effet, les analyses sont à la fois coûteuses et destructrices. On doit alors avoir recours à un échantillon, souvent de masse infime, sur lequel l’analyse est effectuée par procuration. Bien souvent, l’utilisateur ne prend conscience de l’existence des problèmes posés par l’échantillonnage que lorsqu’il est confronté à une flagrante erreur d’échantillonnage. La plus commune est de considérer comme échantillon une partie quelconque de l’objet à évaluer et, par exemple, la fraction la plus acces- sible. Pour un analyste, cette erreur consisterait à opérer le prélèvement de sa prise d’essai à la surface du flacon. C’est dans le but de rendre l’échantillon représentatif du du lot dont il est issu que le théoricien est amené à définir et l’utilisateur à suivre un certain nom- bre de règles qui résultent du développement de la théorie de l’échantillon- nage .
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1. Ques Questi tion onss à pro propo poss de l’échantillonnage 1.1 À qui devrait devrait incomb incomber er la responsabilité de l’échantillonnage ? En analyse chimique, l’échantillonnage est une incontournable nécessité car les techniques de dosage mettent en œuvre des prises d’essai de masse infime en comparaison de celle du lot qu’elles sont supposées représenter. représenter. Les analystes ont souvent tendance à considérer que leur rôle se borne à analyser le contenu du flacon ou du sachet qui leur a été remis, ignorant presque toujours l’historique, parfois inquiétant, de ce dernier. C’est oublier qu’un résultat d’analyse ne vaut que ce que valent d’une part l’échantillon remis au laboratoire, d’autre part la prise d’essai prélevée sur ce dernier. Les erreurs d’échantillonnage d’échantillonnage et d’analyse étant additives, il est profondément choquant pour l’esprit de voir exprimer des résultats d’analyse avec trois ou quatre chiffres significatifs quand on ignore tout des conditions dans lesquelles a été prélevé l’échantillon. Exem Exempl plee : l’auteur a rencontré des erreurs systématiques d’échantillonnage, des biais, compris entre 100 et 1000 %. Il faut être un spécialiste expérimenté pour détecter l’origine d’un biais inférieur à 5 %. L’auteur a été cité comme expert dans un procès mettant en cause la cession de parts d’une mine d’or. L’une des parties soutient que l’échantillonnage a été biaisé par non-respect de la théorie et que la teneur en or a, de ce fait, été sous-estimée de moitié. L’échantillonnage est donc une chose des plus sérieuses . Nous pensons en outre [3] que, de toutes les disciplines concernées (calcul des probabilités, physique, chimie, mécanique, etc.) c’est la chimie analytique analytique qui devrait prendre en charge l’échantillonnage, depuis son enseignement théorique et pratique jusqu’à sa mise en œuvre dans les usines, les ateliers pilotes et les laboratoires. L’expérience L’expérience montre qu’il n’est pas souhaitable que l’échantillonnage soit, dans une usine, confié au département Production.
1.2 L’échantillonnage n’est pas une simple technique de manutention Nous verrons que toute matière est par essence hétérogène. C’est cette hétérogénéité qui engendre des erreurs d’échantillonnage. Ces erreurs, il est nécessaire de les détecter et de les maîtriser , c’est-àdire de les annuler chaque chaque fois que c’est possible, de les minimiser et de les estimer dans dans le cas contraire. Deux ouvrages en français de 1988 [2] et 1996 [10] présentent un ensemble cohérent de théories de l’hétérogénéité, de l’échantillonnage et de l’homogénéisation. l’homogénéisation.
1.3 À quels objets objets cette cette théorie théorie s’applique-t-elle ? La théorie que nous présentons ici s’applique avant tout aux solides morcelés, aux liquides et aux mélanges multiphases, surtout lorsqu’ils sont en cours de transfert continu ou discontinu, mais aussi lorsqu’ils forment un lot de masse manipulable. Le cas des pièces manufacturées, présumées identiques à une certaine tolérance près, est du ressort de la simple statistique. Encore faut-il, si l’on analyse une pièce pour sa composition chimique, analyser soit la totalité de la pièce, s oit un échantillon représentatif de celle-ci.
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Avertissement aux lecteurs Le présent article, dû à une autorité internationale en matière d’échantillonnage, et à un pionnier du développement de sa théorie, traite de l’un des plus importants problèmes auxquels soient confrontés les utilisateurs de résultats d’analyse : la représentativité des valeurs fournies. Par conséquence, à tous les niveaux concernés niveaux concernés par les résultats d’analyse, de la direction générale d’une entreprise ou d’un laboratoire au technicien responsable d’un analyseur quelconque, on doit être conscient qu’un effort aussi important doit avoir été fait pour s’assurer de la façon dont l’échantillonnage a été réalisé ainsi que de celle dont les résultats de son analyse ont été obtenus. Les conséquences de cette prise de conscience devraient être multiples : — ceux qui enseignent enseignent l’analyse, et et maintenant le contrôle contrôle de qualité, doivent consacrer le temps suffisant à ce problème ; ce n’est pas encore toujours le cas ; — ceux qui investissent investissent dans des moyens moyens analytiques doivent doivent consentir aussi les efforts nécessaires en matériel performant et personnel qualifié pour alimenter en échantillons représentatifs les laboratoires perfectionnés mis en place. Les analystes enfin doivent être les premiers à refuser de donner des résultats censés être représentatifs d’un lot, s’ils n’ont pas les garanties nécessaires sur les échantillons qu’ils examinent. Le problème abordé ici mériterait des développements plus amples qu’il n’est possible de lui donner dans le cadre de ce traité. Néanmoins le lecteur trouvera ici non seulement une description des méthodes les meilleures, mais une introduction à une théorie plus générale qui pourra lui servir de guide dans sa lecture des livres dont il trouvera les références dans la bibliographie in fine. L’échantillonnage des gaz et des fumées pose des problèmes thermodynamiques qui dominent ceux qui sont du ressort de la théorie de l’échantillonnage qui leur est néanmoins appliquable. Le cas des solides compacts de grande étendue tels que les gisements miniers a été étudié par G. Matheron [4]. Cet article ne constitue qu’un court résumé de [10], lui-même condensé du traité de 607 pages [2]. Des versions anglaises de cette théorie ont été publiées en 1979/1982 [1] et en 1992 [9]. Une traduction en anglais [10] est en cours d’impression [11]. Il n’a d’autre ambition que de sensibiliser le lecteur à un sujet dont il ne soupçonne peut-être pas même l’existence.
2. Échan Échanti till llon onnag nage e et hétérogénéité. Approche qualitative C’est l’hétérogénéité de toute matière qui génère toutes les erreurs d’échantillonnage d’échantillonnage et interdit d’assimiler celui-ci à une simple technique de manutention. Une théorie de l’échantillonnage passe donc par une étude théorique du concept d’ hétérogénéité, hétérogénéité, étude qui recense les diverses formes que celle-ci peut revêtir et les quantifie.
2.1 Homogénéi Homogénéité té et hétérogénéité hétérogénéité La dualité homogénéité/hétérogénéité n’est pas d’essence qualitative mais quantitative : l’homogénéité est le zéro de l’hétérogé-
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néité, un zéro qui constitue d’ailleurs une limite inaccessible en pratique. L’hypothèse d’homogénéité est une façon commode mais parfaitement illégitime de résoudre un problème d’échantillonnage en l’escamotant. Elle est malheureusement très répandue.
2.2 Hétérogénéité de constitution et hétérogénéité de distribution Dans une première analyse nous devons distinguer : — l’hétérogénéité de constitution : c’est une propriété intrinsèque de l’ensemble des éléments constitutifs du lot considéré ( frag- ments quand il s’agit d’un solide morcelé, ions et molécules quand il s’agit d’un liquide, etc.) qui ne sont jamais tous rigoureusement identiques entre eux ; ni l’homogénéisation ni la ségrégation ne l’affectent ; l’homogénéité rigoureuse de constitution (hétérogénéité nulle résultant de l’identité parfaite des éléments constitutifs) est un cas limite sans existence réelle ; — l’hétérogénéité de distribution : c’est une propriété de la distribution (spatiale ou temporelle, nous y reviendrons) des éléments constitutifs du lot. Des forces extérieures peuvent : • soit l’accroîtr e (ségrégation spontanée due à la pesanteur, classement provoqué des éléments constitutifs), • soit la réduire (homogénéisation qui permet d’atteindre une hétérogénéité minimale, faible mais non strictement nulle).
2.3 Formes hybrides de l’hétérogénéité de distribution Il existe également des états hybrides entre l’homogénéité et l’hétérogénéité tridimensionnelles et en particulier : — la quasi-homogénéité bidimensionnelle : elle résulte de la dégradation, sous l’effet de la pesanteur, d’une distribution qui aurait été tridimensionnellement homogénéisée (attention : homo- généisé ne signifie pas homogène ) : c’est un état que l’on subit, dans le champ de pesanteur, faute de savoir l’éviter ; c’est pour éliminer cette dégradation que sont entreprises ou programmées dans l’espace, en état d’apesanteur, certaines expériences ou fabrications, métallurgiques, pharmaceutiques, biologiques, etc. ; — la quasi-homogénéité monodimensionnelle : elle n’est jamais spontanée mais résulte de la mise en œuvre de la technique industrielle improprement nommée « préhomogénéisation » [2]. Cette dernière fonctionne en deux temps alternés : 1 la mise en tas allongé : on constitue un tas de section constante par dépôt de plusieurs centaines à quelques milliers de cordons de matière superposés ou juxtaposés à l’aide d’un transporteur à décharge mobile se déplaçant d’un mouvement de va-et-vient continu ; 2 la reprise du tas ainsi constitué par tranches transversales d’épaisseur constante : sous réserve du respect de certaines conditions [2], le tas allongé, ainsi que le cordon de matière déposé sur le transporteur de reprise, jouissent d’une hétérogénéité monodimen- sionnelle de distribution minimale dans la dimension de l’allongement, tout en restant très hétérogènes dans les deux dimensions de la section transversale. Cette technique permet d’alimenter une unité de transformation avec une matière de composition pratiquement uniforme dans le temps et d’optimiser ainsi son fonctionnement. Méconnue, elle n’est guère utilisée qu’en cimenterie où elle a permis de réaliser des progrès spectaculaires.
2.4 Populations d’unités non ordonnées et suites d’unités ordonnées Les unités constitutives d’un lot peuvent être des molécules ou des ions (liquides, etc.), des fragments solides (grains minéraux, graines végétales, etc.), des groupes de telles unités, le contenu de capacités de transport (camions, wagons, etc.) ou de conditionnement (sacs, fûts, etc.). Au cours de l’analyse quantitative de la notion d’hétérogénéité, que nous présenterons plus loin (§ 9, 10, 11), nous serons amenés à distinguer : — les populations d’unités non ordonnées : leur prototype est la population statistique d’objets ou de grandeurs dont l’ordre d’obtention, s’il est connu, n’est pas pris en considération ; la statis- tique classique étudie les propriétés de ces populations ; une population est assimilable à un objet à zéro dimension , concept sur lequel nous reviendrons ; — les suites d’unités ordonnées : elles se distinguent des populations par l’ordre des unités qui a été soigneusement repéré et qui appartient au descriptif de l’unité ; cet ordre peut être soit géométri- que , soit chronologique ; sa prise en compte permet d’introduire le concept de corrélation entre une unité et celles qui lui sont voisines, appelé autocorrélation de la suite ; cette dernière est assimilable à un objet à une dimension ; la production d’une usine, conditionnée dans des unités dont l’ordre chronologique a été repéré, est un bon exemple de suites d’unités ordonnées ; la dimension retenue est alors le temps ; le même modèle s’applique aux courants s’écoulant de façon continue, les unités constitutives n’étant pas alors séparées l’une de l’autre. Dans l’étude de ces suites, les unités sont représentées par des prélèvements. On commet une erreur mathématique grave en assimilant une suite à une population.
3. Qualification d’un échantillonnage ou d’un échantillon L’unique objet de l’échantillonnage au sens large est de réduire la masse du lot. Suivant les cas, il peut être destructif (réduction par comminution de la taille des fragments alternant avec des réductions de masse) ou non. L’objet de l’ échantillonnage au sens strict est la réduction non destructive de la masse. Cette réduction ne peut résulter que de la sélection d’un sous-ensemble d’éléments constitutifs (fragments, molécules, ions) destiné à représenter l’ensemble formé par le lot. On peut qualifier une sélection, un échantillonnage et, par extension l’échantillon obtenu, selon deux optiques complémentaires : — en fonction des conditions de la sélection : optique a priori ; — en fonction des résultats de la sélection : optique a posteriori .
3.1 Qualification en fonction des conditions de la sélection Définitions : une sélection (ou l’échantillon obtenu) est dit(e) : — non probabiliste, quand elle résulte d’un choix déterministe des éléments retenus ou quand elle donne aux éléments constitutifs d’un certain sous-ensemble du lot une probabilité nulle d’être
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sélectionnés . Il ne peut exister d’approche théorique d’un tel échantillonnage ; — probabiliste, quand elle donne à tous les éléments constitutifs du lot une probabilité non nulle d’être sélectionnés . Une sélection probabiliste (ou l’échantillon auquel elle donne naissance) peut être : — correct(e), quand elle donne à tous les éléments constitutifs du lot une égale probabilité d’être sélectionnés et quand elle respecte l’intégrité des prélèvements et de l’échantillon formé par leur réunion ; — incorrect(e), quand l’une de ces deux conditions n’est pas respectée ; — non correct(e), quand elle est non probabiliste ou incorrecte. C’est une théorie de l’échantillonnage probabiliste que nous allons développer.
3.2 Qualification en fonction des résultats de la sélection Définitions : on peut juger un échantillonnage aux erreurs qu’il engendre. Désignons par : a L la composition réelle inconnue (à évaluer) d’un certain lot L, a E la composition réelle de l’échantillon E extrait de L, e l’erreur relative d’échantillonnage ainsi définie : e = (a E – a L) / a L
— représentatif (suffisamment représentatif) quand : 2
r ( e ) r 20
expression dans laquelle r 20 est le carré moyen maximal tolérable . Un échantillonnage est structurellement représentatif quand il est à la fois juste et reproductible car : r 20
(2)
— strictement juste (cas limite sans existence réelle), si l’on observait : m (e ) ≡ 0 (3) seule une irréaliste hypothèse d’homogénéité assurerait ces identités ; — suffisamment juste ou simplement « juste » quand :
m0
(5)
seule l’hypothèse (irréaliste) d’homogénéité assurerait cette identité ; — reproductible (suffisamment reproductible) quand : 2 s 2 ( e ) s 0 (6) expression dans laquelle s 20 est la variance maximale tolérable ; — strictement représentatif (cas limite sans existence réelle) si : r 2 (e ) ≡ 0
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Lot L : teneur a L = 50,897 % Fe
L = L1
calculée d'après les chiffres ci-après : 1% er
S1 = L2
E1
1 échantillon analysé : teneur a E1 = 51,450 % Fe
E2
2 échantillon analysé : teneur a E2 = 51,435 % Fe
E3
3 échantillon analysé : teneur a E3 = 51,485 % Fe
E4
4 échantillon analysé : teneur a E4 = 51,470 % Fe
E5
5 échantillon analysé : teneur a E5 = 51,485 % Fe
E6
6 échantillon analysé : teneur a E6 = 51,550 % Fe
E7
7 échantillon analysé : teneur a E7 = 51,460 % Fe
e
S2 = L3 1%
e
S3 = L4 1%
e
S4 = L5 1%
(4)
expression dans laquelle m (e ) représente le biais ou erreur systé- matique d’échantillonnage, m ( e ) la valeur absolue du biais m (e ) et m0 une quantité positive considérée comme le biais maximal tolérable ; — strictement reproductible (cas limite sans existence réelle) si : s 2 (e ) ≡ 0
(9)
1%
La moyenne caractérise le degré de justesse, la variance le degré de reproductibilité et le carré moyen, fonction de la moyenne et de la variance, le degré de représentativité de l’échantillon obtenu. Ainsi dirons-nous qu’un échantillonnage est (ou serait à la limite) : — exact (cas limite sans existence réelle), si l’on observait :
m ( e )
m 20 + s 20
Vers 1960, le constructeur d’un échantillonneur et un client potentiel nous remettent sept échantillons obtenus dans les conditions de la figure 1. Un lot L de quelque 500 kg de minerai de fer avait été soumis (indépendamment de nous) à sept échantillonnages consécutifs, la souche S d’un étage servant de lot L à l’étage suivant. Le taux de prélèvement était de 1 %. Les teneurs des échantillons E1 à E7 montraient un très faible écart-type de 0,037 % Fe. L’échantillonnage était donc apparemment très reproductible. L’analyse par nos soins de la souche S7 qui avait été « oubliée » nous permit de reconstituer le bilan global de l’expérience et de mettre en évidence un biais moyen de + 0,6 % Fe. L’échantillonnage était pe ut-être reproductible mais les échantillons étaient biaisés. Ils n’étaient donc en aucun cas représentatifs .
r 2 (e ) ≡ m2 (e ) + s 2 (e )
e ≡ 0
=
Exemple : confusion entre reproductibilité et représentativité .
(1)
C’est une variable le plus souvent aléatoire (exceptions cf. § 7.3) de moyenne m (e ), de variance s 2 (e ), de carré moyen :
(8)
(7)
e
S5 = L6 1%
e
S6 = L 7 1%
e
S7 finale
e
7 et dernière souche analysée : teneur a S7 = 50,855 % Fe Figure 1 – Reproductibilité, justesse et représentativité
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3.3 Relations entre conditions et résultats de l’échantillonnage C’est le résultat qui intéresse l’utilisateur d’un appareil ou d’une méthode : il veut un échantillonnage juste, reproductible ou représentatif suivant le cas. Un constructeur de matériel ne peut agir directement sur les résultats et concevoir, par exemple, un appareil qui fournirait un échantillon juste . Il ne peut agir que sur les conditions, c’est-à-dire sur la correction ou l’incorrection de l’échantillonnage. Mais, bien souvent, ce fait est méconnu, ce qui explique les malentendus auxquels on peut assister entre les concepteurs et les utilisateurs de matériel.
3.4 Propriétés structurelles et propriétés conjoncturelles L’objet de ce paragraphe est tout particulièrement de faire ressortir l’une des conclusions les plus importantes et les plus méconnues de la théorie de l’échantillonnage : La correction est la condition suffisante et pratiquement nécessaire de la justesse, donc de la représentativité d’un échantillonnage. Sa poursuite doit être l’objectif prioritaire de tout échantillonnage. Telle propriété d’une installation d’échantillonnage est dite struc- turelle quand elle est indépendante de la composition de la matière échantillonnée. La correction et l’incorrection sont, par définition, des propriétés structurelles. À l’inverse, une propriété est dite conjoncturelle quand elle dépend de la composition de la matière échantillonnée. Comme la composition de la matière est une donnée du problème essentiellement variable et sur laquelle nous n’avons aucun moyen d’agir, nous devons, bien évidemment, nous fixer comme objectif la réalisation d’une propriété structurelle telle que la correction et non celle d’une propriété conjoncturelle comme la justesse. La théorie montre en effet que : — un échantillonnage structurellement correct est structurelle- ment juste ; — un échantillonnage structurellement incorrect peut fort bien être conjoncturellement juste aujourd’hui, positivement biaisé demain et négativement biaisé la semaine prochaine. La seule façon sûre d’atteindre la justesse est donc de mettre en œuvre un échantillonnage correct. C’est ce que n’ont pas compris certains normalisateurs qui ignorent jusqu’à l’existence du concept de correction et qui recommandent des tests de justesse (bias tests ) dont les résultats, acquis à un moment donné, ne sont en aucun cas généralisables.
4. Exemples de méthodes non probabilistes d’échantillonnage Deux modes non probabilistes d’échantillonnage retiendront principalement notre attention : — l’échantillonnage par choix délibéré ; — l’échantillonnage par grapillage.
4.1 Échantillonnage par choix délibéré Nous ne le mentionnons que pour mémoire car il tend à disparaître. Il était naguère très répandu dans l’échantillonnage commercial des matières premières en vrac. Dans la référence [5] nous présentons des exemples d’erreurs systématiques mises en évidence expérimentalement. Pour un certain minerai de fer, ce biais atteignait 3,43 % Fe soit 7 % en valeur relative, ce qui n’empêchait pas la teneur d’être exprimée avec quatre chiffres significatifs !
4.2 Échantillonnage par grapillage Il consiste à prélever la fraction du lot la plus accessible : une pelletée à la surface d’un fût ou d’un wagonnet, quelques pelletées à la surface d’un camion, d’un wagon ou d’une courroie, un seau à la surface d’une cuve, une spatule à la surface d’un flacon, un piquage sur le côté d’une tuyauterie, etc. L’échantillonnage par grapillage est implicitement fondé sur l’hypothèse d’une distribution homogène dans l’unité échantillonnée, hypothèse grâce à laquelle n’importe quelle fraction — et, par exemple, la plus accessible — constitue un échantillon représentatif du tout. La réalité est malheureusement bien différente et des exemples cités dans [5] présentent des biais compris entre 5 et 10 %.
4.3 Risques liés à l’utilisation des méthodes non probabilistes Aucune méthode non probabiliste ne permet d’obtenir des échantillons représentatifs. C’est pourquoi nous déconseillons vivement au lecteur de les utiliser. Elles sont bon marché à court terme, ruineuses à long terme.
4.4 Exemples typiques Deux exemples de biais, introduits par des méthodes non probabilistes ou incorrectes, empruntés à l’expérience de l’auteur sont présentés sur les figures 2 et 3.
Exemple 1 : il concerne l’échantillonnage de camions de betteraves à sucre (figure 2). Exemple 2 : il concerne une solution de cyanure aurifère (figure 3). La Direction d’une mine d’or observait un désaccord du simple au double entre les résultats d’analyse et la production réelle de métal. Elle soupçonnait, à juste titre, une erreur d’échantillonnage. Dans les conditions de routine, la fiole reste une dizaine d’heures au repos. Il se produit alors une ségrégation verticale des ions aurifères plus denses que les molécules d’eau, due à l’action différentielle de la pesanteur. Cette ségrégation ne laisse aucune trace visible telle que l’irisation. L’opératrice en déduisait — à tort — l’ homogénéité de la solution et n’agitait pas. Nous avons alors procédé aux essais suivants : — première lecture avant agitation : 387 ; — deuxième lecture après agitation modérée : 550 ; — troisième lecture après agitation énergique : 850. Les lectures suivantes varient de ± 3 points. Cela signifie que nous avons atteint l’état d’hétérogénéité minimale incompressible de distribution : les ions et molécules sont distribués au hasard au sein de la fiole . L’analyse est alors juste car l’échantillonnage final est correct. Nota : les mesures sont faites en unités électriques arbitraires qu’un graphique d’étalonnage permet ensuite de transformer en g/L.
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ÉCHANTILLONNAGE ____________________________________________________________________________________________________________________
Caisse du camion
Sonde de section carrée de 25 cm
Microtube d'alimentation de l'analyseur
Analyseur par absorption atomique
Fiole à échantillon primaire Solution de cyanure aurifère
Échantillon primaire
Lit de silex récupérés dans les champs de betteraves et déposés dans le fond du camion a
première phase : pénétration de la sonde et délimitation du prélèvement
Point de prélèvement
En l'absence d'agitation, l'échantillonnage reste probabiliste mais il est incorrect, en raison du gradient vertical de concentration des ions aurifères. Figure 3 – Échantillonnage probabiliste incorrect : échantillonnage pour analyse d’une solution de cyanure aurifère
— l’échantillonnage par prélèvement : il est habituellement réservé aux lots en cours d’écoulement, qu’il s’agisse d’un liquide, d’un mélange multiphase ayant les propriétés rhéologiques d’un liquide (s’écoulant dans un système de goulottes ou de tuyauteries) ou d’un solide morcelé en cours de transfert ou de manutention à l’aide d’un transporteur approprié (le plus souvent à courroie) ; ce type d’échantillonnage réalise de faibles taux d’échantillonnage (entre 1/20 et 1/1000, parfois moins). Le taux d’échantillonnage est, rappelons-le, défini comme le rapport de la masse de l’échantillon à celle du lot ; — l’échantillonnage par partage : il est habituellement réservé aux lots de masse manipulable (notion sur laquelle nous reviendrons). Il réalise des taux d’échantillonnage élevés (entre 1/2 et 1/20).
Lit de silex b
seconde phase : remontée de la sonde et relèvement du prélèvement
Réalisant le défaut de l'appareil, les producteurs avaient astucieusement déposé une couche de silex au fond du camion car ces derniers n'ont qu'une probabilité très faible d'être prélevés (forme du casque). L'échantillonnage est pratiquement non probabiliste. Figure 2 – Échantillonnage non probabiliste : échantillonnage à la sonde d’un camion de betteraves à sucre
5. Échantillonnage probabiliste Tous les appareils, toutes les méthodes d’échantillonnage probabiliste peuvent être ramenés à l’un des deux modèles suivants :
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5.1 Possibilités d’échantillonnage d’un lot en cours d’écoulement L’échantillonnage des lots en écoulement est d’importance industrielle considérable. Comme tout échantillonnage, il a pour unique objet une réduction de masse sans altération significative des autres caractéristiques de la matière. La figure 4 présente les trois options possibles : — prélever la totalité du courant pendant une fraction du temps ; — prélever une fraction du courant pendant la totalité du temps ; — prélever une fraction du courant pendant une fraction du temps. La première peut toujours être rendue probabiliste et facilement rendue correcte. C’est pourquoi nous la recommandons. La deuxième et la troisième ne sont pas probabilistes car une fraction importante du courant de matière, toujours la même, échappe à l’échantillonnage. Ces deux dernières méthodes sont cependant très répandues dans l’échantillonnage des flux liquides, en raison de leur coût peu élevé. Pour qu’elles puissent être considérées d’abord comme probabilistes puis comme correctes, il faudrait que chaque particule constitutive (ion ou molécule) ait une égale probabilité de se trouver à portée de l’organe de prélèvement. On cherche parfois
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____________________________________________________________________________________________________________________ ÉCHANTILLONNAGE
I 1
Sens du courant
I 2
Prélèvements 1. Modèle du prélèvement de la totalité du courant pendant une fraction du temps Prélèvement continu
2. Modèle du prélèvement d'une fraction du courant pendant la totalité du temps I 1
I 1
Prélèvements 3. Modèle du prélèvement d'une fraction du courant pendant une fraction du temps Figure 4 – Les trois possibilités de réduction de masse d’un courant de matière
à y parvenir par création d’une turbulence. On suppose ensuite que celle-ci a détruit toute corrélation entre la position de chaque particule dans la section du courant et sa personnalité physico-chimique, définition de l’homogénéité transversale. L’existence d’une hétérogénéité minimale peut être réelle, elle est souvent hypothétique et toujours conjoncturelle. Les appareils prélevant une fraction du courant pendant la totalité ou une fraction du temps sont donc à déconseiller.
Nous leur préférons ceux qui prélèvent la totalité du courant pendant une fraction du temps. Ajoutons que c’est sous cette forme que l’échantillonnage est à la fois le plus souple, le moins coûteux, le plus facile à mettre en œuvre et le plus aisément rendu correct, juste et représentatif.
5.2 Échantillonnage d’un courant de matière par prélèvement Cela concerne la totalité du courant pendant une fraction du temps. Le courant de matière s’étend principalement dans un espace à une dimension (celle de son allongement). Si l’on considère la charge d’une courroie transporteuse à l’arrêt, cette dimension est géométrique : c’est la distance x du point observé à un repère fixe. Si l’on considère cette même courroie en marche, en l’observant au point où elle se décharge, cette dimension est le temps t : temps passé depuis le début de l’écoulement. On peut alors représenter le lot en écoulement par un modèle à une dimension, ce qui revient strictement à considérer la matière en projection sur un axe : celui des distances x ou des temps t (les deux approches sont équivalentes). Dans cette optique, le lot de matière L, qui s’écoule entre l’instant t = 0 et l’instant t = T L, est représenté dans notre modèle par le segment (0, T L) de l’axe des temps. L’échantillonnage par prélèvement
de la totalité du courant pendant une fraction du temps va pouvoir être décomposé en une séquence de cinq étapes logiques : — la sélection des prélèvements ponctuels ; — la délimitation des prélèvements étendus autour des prélèvements ponctuels ; — l’extraction des prélèvements discrets à partir des prélèvements étendus ; — la réunion des prélèvements discrets pour former l’échantillon brut ; — la préparation de ce dernier pour former l’échantillon préparé.
5.2.1 Définition des prélèvements ponctuels ou intégration Dans un premier temps, le segment (0, T L) est remplacé par un certain nombre de points : une suite de Q instants t q sans durée que nous appelons les prélèvements (on dit aussi incréments) ponctuels. Cette opération est l’ intégration. Il existe une infinité de façons de sélectionner ces Q points. Pour que cette sélection, donc l’échantillonnage, soit probabiliste, il faut que tous les points du segment (0, T L) aient une densité de probabilité non nulle d’être sélectionnés (densité car la probabilité de sélection d’un point sans étendue est nulle). Pour qu’en outre elle soit correcte, il faut que cette densité de probabilité soit uniforme en tous points du segment (0, T L) et nulle à l’extérieur de celui-là. Elle l’est le plus souvent. L’erreur commise au cours de cette opération est dite erreur d’intégration EI . C’est — dans la mesure où la sélection des points est probabiliste — une variable aléatoire. L’un des objectifs de la théorie de l’échantillonnage est d’estimer les moments (moyenne, variance, carré moyen) de EI en fonction d’une part des propriétés de la matière échantillonnée (son hétérogénéité quantifiée) et d’autre part de celles de l’opération d’échantillonnage (la densité de probabilité de sélection). Cette erreur EI ne s’annule qu’au prix de l’hypothèse — toujours irréaliste — d’uniformité rigoureuse de la composition dans le temps.
5.2.2 Délimitation des prélèvements étendus ou découpe Dans un deuxième temps, on définit, autour des points t q , des petits segments Ι q d’égale longueur T qui forment les prélèvements étendus (par opposition aux prélèvements ponctuels sans étendue ). Cette opération purement géométrique est la découpe . Les prélèvements Ι q sont probabilistes et corrects dans les mêmes conditions que les points t q . Pour nous replacer dans le cadre de la modélisation, ils contiennent par définition la matière projetée sur l’axe d’allongement du lot, matière initialement contenue à l’intérieur d’une tranche de matière d’ épaisseur constante dont les faces sont parallèles au plan de protection. Tout appareil qui délimite dans le courant à échantillonner une telle tranche à faces parallèles opère une découpe correcte. Les hypothèses du modèle sont respectées et aucune erreur ne vient s’ajouter à EI . Tout appareil qui délimite dans le courant un volume différent d’une tranche à faces parallèles opère une découpe incorrecte. Une erreur vient alors s’ajouter à EI que nous appellerons l’erreur de découpe ED . L’opération de découpe, géométrique dans son essence, ne respecte pas la structure discrète de la matière (surtout avec les solides morcelés). Cette dernière est prise en compte par la prise (§ 5.2.3).
5.2.3 Extraction des prélèvements discrets ou prise Dans un troisième temps, on sépare physiquement la matière contenue dans la découpe. C’est l’opération désignée sous le nom
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ÉCHANTILLONNAGE ____________________________________________________________________________________________________________________
d’extraction ou de prise. Elle engendre le prélèvement discret. Une étude approfondie portant sur les solides morcelés qui seuls posent problème [2] montre que l’extraction est correcte quand le prélèvement discret contient les fragments dont le centre de gravité tombe à l’intérieur de la découpe et seulement ceux-là. C’est la règle du centre de gravité ou règle de rebond, ainsi nommée par analogie avec le rebond d’un fragment sur une arête. En effet, quand certaines conditions sont satisfaites, il rebondit du côté de l’arête qui contient son centre de gravité. Quand cette règle est respectée, aucune erreur ne vient alors s’ajouter aux erreurs EI et ED déjà recensées. L’extraction est incorrecte dans le cas contraire. Cette incorrection entraîne une nouvelle erreur : l’erreur de prise EP .
5.2.4 Réunion des prélèvements discrets. Échantillon brut Dans un quatrième temps, on réunit les Q prélèvements discrets pour former l’échantillon brut. Dans son essence, cette réunion n’est pas génératrice d’erreur, comme d’ailleurs toutes les opérations qui seront passées en revue dans le paragraphe 5.2.5, mais, en pratique, elle peut engendrer des erreurs de différents types susceptibles d’altérer la composition de l’échantillon. Ces erreurs prennent naissance quand l’intégrité des prélèvements n’est pas respectée. Elles sont assimilables aux erreurs de préparation EZ que nous examinons maintenant (§ 5.2.5).
5.2.6 Décomposition de l’erreur totale d’échantillonnage Si l’on désigne par ET l’erreur totale d’échantillonnage (précédemment erreur totale d’échantillonnage au sens large), les erreurs qui la composent appartiennent à deux grandes classes et l’on peut symboliquement écrire : ET = EI + EM
(10)
EI est l’erreur liée au modèle mathématique d’intégration par points, EM est l’erreur de matérialisation de ce modèle, avec : EM = ED + EP + EZ
(11)
soit la décomposition générale : ET = EI + ED + EP + EZ
(12)
Toutes les composantes de ET ne jouissent pas des mêmes propriétés : quand la sélection des prélèvements ponctuels est probabiliste (elle l’est presque toujours), EI est une erreur aléatoire ; quand, en outre, elle est correcte, sa moyenne est toujours pratiquement, quoique non strictement, nulle. L’intégration est alors structurellement juste. L’erreur EI n’est jamais structurellement nulle même si l’on ne saurait exclure une nullité conjoncturelle inexploitable car imprévisible. Nous passerons en revue les propriétés de l’erreur EI au paragraphe 13. On sait définir les conditions de correction de découpe, de prise et de préparation qui entraînent la justesse . Quand elles sont satisfaites, mais alors seulement, les erreurs de découpe, de prise et de préparation sont identiquement et structurellement nulles. Le respect des conditions de correction concerne le théoricien qui définit les règles à respecter ; le constructeur et l’installateur qui les respectent (ou non !) ; l’utilisateur qui choisit un matériel correctement conçu et mis en place (ou non !), qui l’emploie et l’entretient correctement (ou non !). Les conditions de correction de découpe, de prise et de préparation sont respectivement passées en revue dans les paragraphes 7.1, 7.2 et 7.3. Les conclusions communes à ces trois sections font l’objet du paragraphe 7.4.
5.2.5 Préparation des échantillons bruts L’échantillonnage, qui est une réduction de masse, doit se faire progressivement, par étages successifs. En effet, on conçoit mal le prélèvement direct, sur un fût de 200 kg ou un minéralier de 200 000 t, de l’échantillon de 100 g qui va être adressé au laboratoire d’analyse. Quand il s’agit de solides morcelés, il est fréquent d’observer cinq ou six étages d’échantillonnage. Après chacun de ces derniers, il est souvent nécessaire, pour des raisons statistiques (chaque échantillon doit être constitué par un grand nombre de fragments) de procéder à un concassage ou à un broyage. Mais les appareils de cette catégorie sont sensibles à un excès d’humidité qui risque de les obstruer. On doit alors procéder à un séchage partiel ou total. En outre, pour des raisons de convenance industrielle, on doit transférer les échantillons jusqu’au point de leur étage suivant d’échantillonnage. Ainsi, les échantillons intermédiaires ou finaux doivent-ils subir un certain nombre d’opérations auxiliaires, non sélectives dans leur essence, mais susceptibles néanmoins d’altérer la composition de l’échantillon considéré. Il s’agit de transferts, concassages ou broyages de solides morcelés, de séchages, d’homogénéisations, de manutentions, etc. Toutes ces opérations sont potentiellement génératrices d’erreurs que nous appellerons les erreurs de préparation EZ . Ces erreurs résultent : — de pertes ; — de contaminations ; — d’altérations de la composition chimique (séchage excessif par exemple) ; — d’altérations de la composition physique (bris de fragments grossiers, etc.) ; — de fautes opératoires accidentelles involontaires ; — ou enfin d’altérations volontaires de la composition de l’échantillon. Quand toutes les précautions sont prises pour que l’intégrité des prélèvements et de l’échantillon soit respectée, la préparation est dite correcte et aucune erreur supplémentaire ne vient s’ajouter aux erreurs précédentes EI , ED , EP . Quand, au contraire, l’intégrité des prélèvements et/ou de l’échantillon est altérée, d’une façon ou de l’autre, une erreur de préparation EZ prend naissance.
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Quand la découpe et la prise sont correctes , les erreurs ED et EP sont identiquement nulles. Quand ces opérations sont incorrectes, ED et EP sont des erreurs aléatoires de moyenne structurellement non nulle et habituellement non négligeable. Leur variance est très souvent élevée. Nous décrirons au paragraphe 7.1 les règles qui permettent de les annuler.
Quand la collection des prélèvements et la préparation de l’échantillon sont correctes, l’erreur EZ est identiquement nulle. Quand les opérations qu’elles couvrent sont incorrectes , les quatre premières composantes de EZ sont des erreurs aléatoires de moyenne et de variance non nulles, non négligeables. Les deux dernières ne sont pas des variables aléatoires, les erreurs involontaires de manipulation sont accidentelles et assimilables, à long terme, à des variables aléatoires. Elles n’ont qu’une incidence statistique très faible quand le personnel est convenablement formé. Les altérations volontaires de la composition des échantillons n’ont rien à voir avec la théorie de l’échantillonnage. C’est néanmoins au théoricien de l’échantillonnage qu’on demande le plus souvent de les détecter. Elles peuvent être colossales.
5.3 Échantillonnage des lots manipulables par partage Dans l’échantillonnage par partage, suivant une technique opératoire très variable d’une méthode, d’un instrument ou d’un appareil à l’autre, le lot est dans un premier temps divisé en un certain nom-
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bre N 2 d’échantillons potentiels jumeaux de masses voisines et de propriétés similaires. Ces derniers sont habituellement formés par la réunion de fractions élémentaires obtenues par les voies les plus diverses. La division peut être probabiliste ou non, correcte ou non. Dans un second temps, on sélectionne, parmi les échantillons potentiels, celui qui deviendra l’échantillon réel. Cette sélection peut être probabiliste ou déterministe (choix délibéré de l’échantillon potentiel). Quand elle est probabiliste, elle est facilement rendue correcte par un tirage au sort (pile ou face quand N = 2, dé cubique quand N = 6, tirage de type loto quand N est différent de 2 ou 6). Nous passerons en revue les méthodes d’échantillonnage par partage au paragraphe 8.
6. Échantillonnage par prélèvement. Réalisation pratique Les paragraphes qui suivent sont purement descriptifs. Nous énumérerons ensuite dans les paragraphes 7.1, 7.2 et 7.3 les conditions nécessaires et conjointement suffisantes pour que l’échantillonnage réalisé soit correct.
6.1 Échantillonneurs traversiers probabilistes
Lot L à échantillonner
Point de transfert : la matière est en chute libre Transporteur à courroie Raclette Matière extraite du courant et formant le prélèvement I Préleveur traversier à déplacement rectiligne
Matière non extraite et formant la souche S
E = Σ I
Transporteur de reprise des souches. En fait, courant principal du lot L. Transporteur de reprise des prélèvements I dont l'ensemble forme l'échantillon E ou récipient approprié Ce préleveur peut fonctionner de façon continue (taux élevé) ou discontinue à l'aide d'une minuterie (taux faible). a
Pour prélever la totalité du courant pendant une fraction du temps, on utilise habituellement des appareils dits traversiers parce qu’ils traversent le courant de matière de part en part en un point de transfert lorsque la matière qui forme le courant se trouve en chute libre. Ce procédé s’applique aussi bien aux liquides qu’aux mélanges multiphases ou aux solides morcelés, à la décharge d’une tuyauterie, d’une goulotte, d’un transporteur ou d’un alimentateur. Les appareils traversiers appartiennent à deux grandes catégories : — les appareils à déplacement rectiligne : ces appareils sont probabilistes dans leur principe. Leur correction (qui est alors structurelle) dépend de la satisfaction des conditions de découpe, de prise et de préparation correctes décrites dans les paragraphes précédents ; — les appareils rotatifs. En ce qui concerne les seuls solides morcelés transportés sur une courroie, nous mentionnerons également : l’ échantillonnage au cadre sur une courroie arrêtée , considéré par certaines normes comme méthode de référence supposée intrinsèquement juste (nous dirions structurellement correcte donc juste ).
6.2 Échantillonneurs à déplacement rectiligne Ces appareils se composent essentiellement d’un préleveur mobile qui peut être ouvert (goulotte inclinée opérant une diversion du courant) ou fermé vers le bas (godet basculant ou à fond ouvrant). Le préleveur traverse le courant de matière lorsqu’il est en chute libre. Il est conçu de façon à extraire à cette occasion une petite quantité de matière que nous nommerons un prélèvement ou incrément et qui est évacuée vers l’aval du circuit d’échantillonnage. La réunion des prélèvements effectués sur un lot donné constitue l’échantillon. Le préleveur est habituellement solidaire d’un chariot se déplaçant horizontalement, lui-même entraîné par un motoréduc-
Échantillon
coupe verticale
Largeur W
Courant à échantillonner Préleveur en position de repos à gauche
Préleveur en position de repos à droite b
coupe horizontale
Figure 5 – Échantillonneur traversier à déplacement rectiligne
teur électrique ou par un dispositif hydraulique, pneumatique, magnétique ou manuel. Nous aurons l’occasion de discuter le degré de correction de ces différents dispositifs au paragraphe 7.1. Les préleveurs peuvent fonctionner de façon continue (échantillonneurs à chaîne sans fin) ou discontinue (tous types). Dans ce dernier cas, l’appareil est mis en marche par une minuterie, il effectue un ou deux passages au travers du courant et s’arrête automatiquement en fin de course grâce à un dispositif mécanique ou magnétique. Lorsque le compte à rebours de la minuterie réarmée arrive à zéro, le cycle recommence (figure 5).
6.3 Échantillonneurs rotatifs Il existe de nombreux appareils de ce type. Ils tournent autour d’un axe, le plus souvent vertical, rarement oblique. La partie rotative comporte une ou plusieurs ouverture(s) qui recoupe(nt) le cou-
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rant de matière à chaque cycle de rotation en prélevant un incrément. Le plus souvent, ces derniers sont évacués vers l’aval du circuit au travers de l’arbre creux de rotation. L’entraînement est presque toujours assuré par un moteur électrique. Ces appareils peuvent fonctionner soit en continu, soit en discontinu. Dans ce dernier cas, on utilise une minuterie et des arrêts de fin de course (figure 6).
Motoréducteur
Préleveur ouvert vers le haut
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Cheminement du prélèvement
Préleveur en cours de rotation
Ouverture d'évacuation des souches (circuit principal)
Ouverture radiale du préleveur (angle au centre α ) °
Arbre creux d'entraînement du préleveur et d'évacuation des prélèvements
b
coupe horizontale
Conteneur à échantillon ou circuit d'évacuation des prélèvements Système d'évacuation des souches (circuit principal) a
coupe verticale
Figure 6 – Échantillonneur traversier rotatif
6.5 Modes non probabilistes d’échantillonnage des lots en écoulement Une mention toute particulière doit être faite ici de deux modes non probabilistes d’échantillonnage de lots en écoulement, ne serait-ce que pour mettre le lecteur en garde contre les dangers qu’ils présentent : — l’échantillonnage manuel des liquides, des mélanges multiphases et des solides morcelés, trop souvent pratiqué car il ne requiert aucun investissement ; outre ses défauts fonctionnels sur lesquels nous reviendrons, ce mode d’échantillonnage contrevient gravement aux règles de sécurité du personnel dès que le débit dépasse quelques dizaines de tonnes par heure ; l’échantillonnage préalable à certaines méthodes d’analyse par des voies physiques (exemple, la fluorescence X) lorsqu’il porte sur des pulpes de solides finement broyés et fait appel à un bac à niveau constant nécessaire pour assurer le débit uniforme requis par l’appareillage d’analyse ; cet échantillonnage est habituellement non probabiliste et, en tout état de cause, incorrect. En effet, dans ce second cas, le bac à niveau constant favorise la ségrégation différentielle des fragments présents en fonction de leur taille, de leur masse volumique et de leur forme. Pour illustrer cette affirmation, la fluorescence X est largement utilisée dans les usines de flottation de sulfures métalliques (Pb, Zn, Cu, Fe) qui manipulent des solides dont la taille varie entre 0,2 mm (parfois plus) et quelques micromètres, dont la masse volumique peut s’étager entre 7,5 g/cm 3 (galène) et 2,6 g/cm 3 (gangues usuelles), et qui peuvent contenir des minéraux en paillettes. La probabilité pour un fragment cuboïde de galène de 0,2 mm d’être retenu dans le bac à niveau constant qui sert d’échantillonneur est infiniment plus grande que celle d’une paillette de mica de 50 µm et cette dernière a toutes chances d’être élutriée vers le débordement. L’appareil est lourdement incorrect. Il en résulte, dans notre exemple, que la teneur de l’échantillon a toutes chances d’être positivement biaisée en plomb.
Courant échantillonné
Corps de l'échantillonneur
6.4 Échantillonnage au cadre sur une courroie arrêtée Ce mode d’échantillonnage est celui qui se rapproche le plus du modèle qui a été décrit au paragraphe 5.2.2 et qui consiste à découper dans le lot allongé une tranche à faces parallèles. Cette découpe est réalisée à l’aide d’un cadre formé de deux joues épousant la forme en auge de la courroie, maintenues à un écartement constant à l’aide de deux entretoises de même longueur. On fait pénétrer les joues du cadre dans la matière au repos jusqu’à ce qu’elles viennent au contact de la courroie. On recueille ensuite la matière contenue entre les joues. Si l’opérateur n’est pas maladroit, le prélèvement est correct (figure 7). Les plus graves inconvénients de cette séduisante méthode, si proche du modèle mathématique de l’échantillonnage, sont d’une part de requérir de la main-d’œuvre et d’autre part d’exiger l’arrêt d’une courroie en charge, courroie qu’il faudra bien faire redémarrer, opération qui fatigue anormalement les moteurs électriques quand elle est répétée à court intervalle. C’est ce qui limite son emploi à des cas exceptionnels.
Préleveur en position de prélèvement
Alimentation
Joues du préleveur : elles délimitent le prélèvement
Entretoises
Rouleaux Figure 7 – Échantillonnage au cadre sur courroie arrêtée
Il est malheureusement cautionné par certains constructeurs de matériel d’analyse et par certains auteurs, inconscients de la nature incorrecte des échantillons ainsi analysés ou choisissant de l’ignorer.
6.6 Le modèle mathématique d’intégration par points Le lot L de teneur réelle inconnue a L que l’on se propose d’évaluer s’écoule entre les instants t = 0 et t = T L. Nous supposerons le débit constant. Soit a (t ) la teneur de la tranche de matière qui s’écoule entre les instants t et t + dt . Par définition (figure 8) : a L
1 T L
= ------
T L
0
a ( t ) dt = Surface S = ABCD
d’où : T L
0
a ( t ) dt
=
a LT L
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Intervalle T 0 = t 4 – t 3 = t 3 – t 2 = t 2 – t 1 = T L /4
a (t ) 1 a (t 1)
I
2 a (t 2)
I
A Zone d'influence de I 1 T 0
B 0
Zone d'influence de I 2
Zone d'influence de I 3
t 2
t 3
4 a (t 4)
I
D
Zone d'influence de I 4
C
t 1 a
3 a (t 3)
I
courbe réelle inconnue de la fonction teneur
t 4
T L
faire à un certain nombre de conditions individuellement nécessaires et conjointement suffisantes. Ces conditions concernent la conception du préleveur dont est responsable le constructeur (géométrie et vitesse), sa mise en place dont est chargé l’installateur, son exploitation et enfin son entretien qui sont du ressort de l’utilisateur. Généralement parlant, pour qu’un échantillonneur délivre des échantillons corrects, donc justes, donc équitables s’il s’agit d’une opération commerciale, les conditions que nous allons résumer exigent une parfaite connaissance du sujet par le constructeur du matériel, par son installateur et par son exploitant. Nous en sommes très loin !
Temps
a (t )
7.1.1 Conditions géométriques Appareils à trajectoire rectiligne : l’ouverture doit être délimitée par des arêtes parallèles. On veillera à la déformation et à l’usure.
A' 1 a (t 1)
I
B' 0
2 a (t 2)
I
3 a (t 3)
I
4 a (t 4)
I
R1
R2
R3
R4
t 1
t 2
t 3
t 4
D' C' T L
Temps
La surface S '= A' B' C' D' est un estimateur de la surface S = A B C D Chaque zone d'influence est remplacée par un rectangle R 1, R2, R3, R4 S '
= a (t 1) T 0 + a (t 2) T 0 + a (t 3) T 0 + a (t 4) T 0 = 4 a ET 0 = a ET L
[a (t 1) + a (t 2) + a (t 3) + a (t 4)] = 1 Σa (t q ) Q 4 a E = estimateur de a L. C'est la teneur de l'échantillon E et Q est le nombre de prélèvements. a E =
Appareils à trajectoire circulaire : l’ouverture du préleveur doit être délimitée par des arêtes radiales. Certains constructeurs ne l’ont pas encore compris et proposent des ouvertures rectangulaires incorrectes.
Préleveurs à trajectoire ni rectiligne ni circulaire : comme la géométrie correcte est fonction de la trajectoire, il n’y a pas de préleveur correct possible quand cette dernière n’est pas définie (c’est surtout le cas des préleveurs manuels).
7.1.2 Conditions cinématiques La vitesse du préleveur doit être constante pendant toute la durée de la traversée du courant. Cette condition n’est réalisée qu’avec les entraînements électriques (on évitera les entraînements pneumatiques, hydrauliques, magnétiques et manuels). Le moteur doit être assez puissant pour ne pas ralentir lorsqu’il reçoit la charge de courant .
b
ligne brisée servant d'approximation à la fonction teneur
a (t )
Figure 8 – Modèle mathématique de l’intégration par points : illustration
Tous les préleveurs traversiers s’appuient sur le modèle mathématique d’intégration par points explicité à la figure 8. C’est une approximation qui consiste à remplacer l’aire S = ABCD par l’aire S ’ = A’B’C’D’.
7. Échantillonnage par prélèvement. Conditions de correction 7.1 Conditions de découpe correcte Dans le modèle mathématique à une dimension temporelle qui nous permettra, au paragraphe 13, d’évaluer les moments de l’erreur d’échantillonnage commise, nous prenons comme prélèvement la tranche de matière qui franchit l’ouverture du préleveur entre les instants t 1 et t 2 . Pour que la découpe soit correcte, il faut et il suffit que la durée de prélèvement (t 2 – t 1) soit uniforme pour tous les filets du courant de matière. Cette tranche est alors délimitée dans l’espace par des faces parallèles qui définissent la découpe correcte. Pour que les appareils traversiers décrits (§ 6) opèrent une découpe correcte, l’ouverture du préleveur doit donc découper dans le courant une tranche à faces parallèles. À cette fin, ils doivent satis-
Exemple : pour illustrer l’importance de ce problème, mentionnons le fait que nous avons eu l’occasion de concevoir un ensemble échantillonnant un courant de 16 000 t/h de solides (pointes à 20 000 t/h soit 5,5 t/s) se déplaçant à 4 m/s, ainsi qu’un courant de pulpe de 10 000 m3 /h se déplaçant en surface à 10 m/s. La vitesse du préleveur doit être constante d’un prélèvement à l’autre. Cette condition secondaire est habituellement satisfaite.
7.1.3 Conditions impliquant la mise en place La surface balayée par l’ouverture du préleveur doit très largement encadrer la trace du courant. Quand cette dernière est trop proche de l’une des positions de repos ou d’inversion de marche du préleveur, on encourt deux risques : a ) le préleveur accélère encore en attaquant le courant ; b ) le préleveur reçoit des poussières ou des éclaboussures en position de repos. Quand l’ouverture du préleveur ne recoupe pas complètement la trace du courant, une fraction de ce dernier échappe systématiquement à l’échantillonnage qui cesse d’être probabiliste.
Problème posé par les poussières : quand on échantillonne des solides fins et secs, on veillera tout particulièrement à contrôler le sort des poussières qui doivent être échantillonnées dans la même proportion que le reste de la matière. On évitera d’utiliser les puis- santes installations de dépoussiérage qui, si elles assurent une pro- tection efficace de l’environnement, peuvent biaiser un échantillon de façon importante et irrémédiable. On mettra le circuit d’échantillon en très légère dépression.
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ÉCHANTILLONNAGE ____________________________________________________________________________________________________________________
7.1.4 Utilisation et entretien Il existe une façon incorrecte d’utiliser des appareils corrects. L’utilisateur devra connaître et respecter les conditions d’utilisation correcte, conditions qui ne sont pas toujours précisées par le constructeur. Par ailleurs, la correction n’est pas une propriété définitivement acquise. La déformation et l’usure des appareils devront être surveillées.
7.2 Conditions de prise correcte 7.2.1 Rappel de la règle de rebond ou règle du centre de gravité Comme nous avons eu l’occasion de le dire (§ 5.2.3), l’extraction, ou prise, est correcte quand le prélèvement opéré est composé par les unités (fragments, molécules, ions, etc.) dont le centre de gravité tombe à l’intérieur de la découpe (correcte ou non) et seulement celles-là. Cette règle du centre de gravité résulte de l’observation d’un courant de solides morcelés tombant sur une arête horizontale immobile : les fragments rebondissent du côté de l’arête où se projette leur centre de gravité. Pour les liquides, on peut admettre que cette règle est toujours respectée à la condition, toutefois, que la fonction évacuatrice du préleveur soit convenablement assurée. Seuls posent un réel problème les solides morcelés et les pulpes qu’ils forment lorsqu’ils sont finement broyés dans l’eau ou tout autre liquide. La règle du centre de gravité est respectée sans problème pour tous les fragments qui tombent directement dans le préleveur ou à l’extérieur de celui-ci sans toucher les arêtes, à la condition qu’il n’existe aucune obstruction à la fonction évacuatrice du préleveur. Ce point concerne la conception, la construction et l’entretien de l’appareillage. Les fragments qui rebondissent sur l’arête avant d’un préleveur mobile (celle qui aborde le courant la première) le font d’une certaine façon. Au niveau de l’arête arrière , le problème est différent car elle reçoit deux catégories de fragments : ceux qui tombent directement sur elle et ceux qui la heurtent après avoir d’abord rebondi vers l’arrière sur l’arête avant. En ce qui concerne les premiers, ils rebondissent de la même façon que ceux qui heurtent l’arête avant : par raison de symétrie, il y a compensation statistique entre les rebonds primaires incorrects qui interviennent au niveau des deux arêtes. Seuls posent un problème les rebonds secondaires. En effet, un fragment qui a rebondi sur l’arête avant et vers l’arrière appartient de droit au prélèvement et il faut impérativement qu’il retombe dans le prélèveur. Si cette condition est satisfaite, l’extraction est correcte. Il existe deux catégories de fragments pour lesquels elle ne l’est pas : ceux qui, après avoir rebondi sur l’arête avant, survolent l’arête arrière et ceux qui retombent à l’extérieur après avoir rebondi sur cette dernière. Dans les deux cas, l’extraction est incorrecte et génératrice d’erreurs. Quand on cherche à analyser le phénomène, on se rend bien compte intuitivement que les facteurs en cause sont au nombre de trois : — la taille des plus gros fragments du lot (une donnée du problème) ; — la largeur de l’ouverture du préleveur, c’est-à-dire la distance entre les arêtes ; — la vitesse du préleveur ; quand l’arête arrière se rapproche trop vite pendant le rebond d’un fragment sur l’arête avant, tout se passe comme si l’ouverture était cinématiquement réduite. On en arrive à la conclusion qu’il doit exister une relation entre la taille des plus gros fragments d’une part, l’ouverture et la vitesse du
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préleveur d’autre part. C’est cette relation que nous allons chercher à préciser dans les paragraphes qui suivent.
7.2.2 Condition géométrique de prise correcte La relation entre la largeur W de l’ouverture du préleveur et la taille d des plus gros fragments du lot échantillonné est un sujet controversé. Désignons par W 0 la largeur minimale acceptable. Suivant les auteurs, les constructeurs et les normalisateurs, on admet pour le rapport W 0 / d des valeurs comprises entre 2 et 4, avec une tendance assez générale à accepter la valeur 3, au moins pour les solides de plus de 3 mm. Ce sujet a fait l’objet d’une étude expérimentale [2] qui confirme, pour les fragments grossiers, la validité de l’expression : pour d > 3 mm
W W 0 = 3d
(13)
Cette règle ne vaut évidemment pas pour les faibles valeurs de d et il ne viendrait à l’idée de personne (au moins l’espérons-nous) d’échantillonner, par exemple, un sable de 0,2 mm à l’aide d’un préleveur de 0,6 mm d’ouverture. On conçoit bien intuitivement qu’il existe un minimum absolu au-dessous duquel il est dangereux de descendre. Là encore, la valeur à retenir est controversée. Certains constructeurs proposent des ouvertures de 2 à 3 mm, mais des études expérimentales ont été effectuées en diverses occasions et il a été montré qu’il était raisonnable d’admettre un minimum absolu de 9 ou mieux 10 mm [2]. Nous retiendrons donc : pour d 3 mm
W W 0 = 9 ou mieux 10 mm
(14)
Pour les débits de solides ou de pulpe dépassant une centaine de tonnes ou de mètres cubes par heure ou pour des courants très rapides, on prendra un coefficient de sécurité plus ou moins important. Quand les expressions (13) et (14) sont satisfaites (et sous réserve que l’expression (15) (§ 7.2.3) le soit aussi), la prise est correcte et aucune erreur d’extraction n’est enregistrée. Quand, par contre, elles ne le sont pas, l’extraction est incorrecte et une erreur d’extraction prend naissance, qui affecte sélectivement les fractions les plus grossières. Cette dernière peut être très importante (plus de 10 %).
7.2.3 Condition cinématique de prise correcte Si nous désignons par V la vitesse du préleveur et par V 0 le maximum qu’il convient de ne pas dépasser, les expériences relatées dans notre référence [2] montrent qu’il est raisonnable d’admettre : quel que soit d :
V V 0
=
0,6 m/s
(15)
On rencontre encore, malheureusement, des appareils qui développent des vitesses allant jusqu’à 3 m/s dont la commercialisation est encouragée, pas toujours tacitement, par certaines normes. Quand l’expression (15) est satisfaite en même temps que les expressions (13) et (14), la prise est correcte et aucune erreur d’extraction n’est enregistrée. Quand, par contre, elle ne l’est pas, l’extraction est incorrecte et une erreur d’extraction prend naissance qui affecte sélectivement les fractions les plus grossières . Cette erreur peut être très importante (plus de 10 %).
7.2.4 Pourquoi contrevient-on aux règles d’extraction correcte ? En grande partie par ignorance mais, bien souvent, par calcul. Si l’on désigne par W l’ouverture du préleveur et par V sa vitesse uniforme, on montre facilement que la durée pendant laquelle chaque filet du courant est prélevé est uniforme et égale à W / V. Si l’on désigne par M 0 (t ) le débit moyen du courant échantillonné et par Q le
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____________________________________________________________________________________________________________________ ÉCHANTILLONNAGE
nombre de prélèvements formant un échantillon horaire, la masse M I0 du prélèvement moyen et la masse M E de l’échantillon horaire s’écrivent : M I0 = M 0 (t ) W / V et M E = Q M I0
(16)
Les investissements à prévoir pour réduire en continu un tel échantillon, le coût de cette réduction, sont une fonction croissante de sa masse M E, ce qui explique que certains utilisateurs, certains constructeurs soient tentés de réduire W au-dessous du seuil W 0 et d’accroître V au-delà de sa limite admissible V 0.
7.3 Conditions de préparation correcte
d’autre part la composition granulométrique, quand cette dernière est critique et ne doit faire l’objet d’aucune réduction. Il peut y avoir altération de la teneur en humidité par addition d’eau (exposition aux intempéries ou aux embruns, absorption d’humidité atmosphérique par les produits secs, en zone équatoriale tout particulièrement) ou soustraction d’eau (exposition au soleil ou à toute autre source de chaleur). On peut observer une altération de la granularité d’un solide grossier lorsque ce dernier tombe en chute libre ou roule sur une pente : il y a alors destruction de fragments grossiers et création de fragments plus fins (pénalisés dans certains contrats) par éclatement au choc, écrasement ou cisaillement entre fragments voisins (extraction des trémies, roulement sur pentes inclinées, etc.).
Fautes opératoires involontaires L’accent est mis ici sur le qualificatif involontaire . Il s’agit de maladresse, de manque de rigueur, d’inexpérience, de négligence, etc. L’opérateur est de bonne foi mais, par exemple, il renverse un échantillon et le ramasse tant bien que mal ; mélange des fractions appartenant à des échantillons différents ; se trompe d’étiquette ou de flacon. La fréquence de telles erreurs tend vers zéro quand on emploie un personnel qualifié, ce que nous recommandons vivement.
Respect de l’intégrité des prélèvements et de l’échantillon La préparation englobe toutes les opérations — non sélectives dans leur essence — que subissent les prélèvements et les échantillons entre l’instant où ils pénètrent dans le préleveur et celui où ils parviennent à l’étage suivant d’échantillonnage ou à l’analyse. Non sélectives dans leur essence, il importe que ces opérations le restent dans leur réalisation. Si l’on excepte les réductions granulométriques (concassages, broyages, etc.) et les séchages (partiels ou complets) qui font souvent partie de ces préparations, l’intégrité physique et chimique de la matière qui fait l’objet de la préparation ne doit subir aucune atteinte. Nous avons dénombré six classes d’erreurs de préparation : — erreur par contamination ; — erreur par perte ; — erreur par altération de la composition chimique ; — erreur par altération de la composition physique ; — erreur résultant de fautes opératoires involontaires ; — erreur résultant d’une intention délibérée de fausser l’échantillon. Il suffit d’énoncer les causes possibles d’erreur pour fournir en même temps au lecteur la liste des fautes à ne pas commettre. Erreurs par contamination Les principales sources de contamination sont : les poussières extérieures, les matières présentes dans le circuit d’échantillonnage avant l’opération, la rouille résultant d’une corrosion du matériel, la poudre, métallique ou non, qui prend naissance par l’abrasion du matériel (en particulier lors du concassage ou du broyage de minerais siliceux). Erreurs par perte de matière Les principales sources de pertes sont : les débordements intempestifs de l’appareillage, l’émission de poussières (se méfier des systèmes de dépoussiérage trop puissants), le nettoyage incomplet de l’installation après usage, le rejet de certaines fractions granulométriques (refus de crible notamment) lors des pulvérisations contrôlées. Altération de la composition chimique La composition chimique d’une matière est une liste de proportions, généralement massiques et ramenées (pour les solides) à la matière sèche. Toute altération de la masse de solides secs ou de composant critique altère donc la composition chimique. On observe, par exemple, au niveau du réseau, des fixations d’oxygène, de gaz carbonique ou d’eau. On peut également observer une élimination d’eau de constitution, plus rarement de gaz carbonique. Dans tous les cas, l’opération critique est le séchage. Sauf cas très particuliers, au moins pour les matières minérales, le séchage devra être conduit en étuve ventilée réglée à 105-110 °C. Les plaques chauffantes, bains de sable et autres tubes à infrarouges devront être évités ou utilisés avec les plus grandes précautions, car ces modes de chauffage risquent de créer des surchauffes locales. Altération de la composition physique Par convention, au moins dans les industries minérales, on nomme composition physique : d’une part la teneur en humidité,
Altération volontaire de l’échantillon L’opérateur est ici de mauvaise foi et c’est de propos délibéré qu’il fausse l’échantillon. L’échantillonnage commercial ne s’est pas encore totalement affranchi de cette pratique qui empoisonne bien souvent les relations entre acheteur et vendeur. Nous avons plus récemment rencontré une autre motivation à une altération intentionnelle des échantillons : la volonté de faire condamner à tort telle industrie qu’on accuse de polluer l’environnement.
7.4 Conclusions concernant la correction de l’échantillonnage Les conditions de correction de l’échantillonnage sont connues et elles ne sont pas utopiques . Il ne dépend que des intéressés (concepteurs et constructeurs de matériels, utilisateurs) qu’elles soient respectées. Il est impératif qu’elles le soient.
8. Échantillonnage des lots manipulables par partage 8.1 Définition et introduction Dans l’échantillonnage par partage, suivant une technique opératoire très variable d’une méthode, d’un instrument ou d’un appareil à l’autre, le lot est, dans un premier temps, subdivisé en un certain nombre N 2 d’échantillons potentiels jumeaux de masses voisines et de propriétés similaires. Cette division peut être probabiliste ou non, correcte ou incorrecte. Dans un second temps, on sélectionne parmi ces derniers un ou plusieurs échantillons réels. Cette sélection peut être probabiliste ou non, correcte ou incorrecte. Les échantillons potentiels sont eux-mêmes formés par la réunion de fractions élémentaires obtenues par les voies les plus diverses. L’échantillonnage par partage s’applique essentiellement aux lots de masse manipulable.
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Un lot à échantillonner est dit manipulable quand il est économiquement possible de le manipuler dans son intégralité, à seule fin de l’échantillonner. La limitation étant d’ordre économique, il faut que la masse du lot soit assez faible ou sa valeur assez grande pour justifier le coût de la manipulation. Jusqu’à ces vingt dernières années, cette dernière se faisait toujours conformément à l’étymologie, c’est-à-dire à la main , et c’est dans cet esprit qu’ont été conçues toutes les méthodes d’échantillonnage par partage, actuellement limitées à quelques tonnes. La généralisation des pelles mécaniques de toutes tailles ouvre depuis lors des possibilités d’échantillonnage par partage qui n’ont pas encore été convenablement exploitées par les utilisateurs (§ 8.4). Nous distinguerons les appareils (qui demandent une source d’énergie extérieure, habituellement électrique), les instruments (qui ne demandent pas d’énergie autre que manuelle) et les méthodes de partage (qui mettent en œuvre des outils manuels simples tels que des pelles ou des seaux). Si différents que puissent être ces appareils, ces instruments ou ces méthodes, ils sont tous réductibles au même modèle général défini précédemment : partage proprement dit suivi de sélection. Le partage proprement dit peut être techniquement correct : chaque unité constitutive du lot a alors une égale probabilité de se retrouver dans l’un quelconque des échantillons jumeaux. Mais il peut aussi ne pas l’être, auquel cas les jumeaux peuvent être très dissemblables.
La sélection peut être probabiliste , mais il est fréquent qu’elle soit déterministe (c’est alors, dans une manipulation de routine, toujours le même échantillon potentiel qui est sélectionné). Si elle est correcte et si l’échantillon réel est tiré au sort parmi les échantillons potentiels, l’opération globale est structurellement correcte, même si le partage est incorrect puisque, grâce à cet ultime tirage au sort (qui aura tout intérêt à être confié à une main innocente), chaque unité constitutive retrouve une égale probabilité de figurer dans l’échantillon réel.
C’est grâce à cet ultime recours que le partage présente un avantage que ne possède pas l’échantillonnage par prélèvement : il peut toujours — à peu de frais — être rendu correct, donc juste, donc commercialement équitable. C’est dans les opérations commerciales que le partage trouve un champ d’applications particulièrement large. Nous passerons en revue tour à tour : — les méthodes manuelles ne faisant appel qu’à des outils (pelle…) : • quartage, • pelletage ou soutirage fractionné, • pelletage ou soutirage alterné ; — les instruments ne nécessitant pas d’énergie électrique : • diviseur à riffles (ou à couloirs) ; — les appareils nécessitant de l’énergie électrique : • diviseurs rotatifs à alimentation tournante, • diviseurs rotatifs à alimentation fixe.
l’échantillonnage a vu le jour et a, pour la première fois, été considéré comme autre chose qu’une simple manutention. C’est aussi dans l’industrie minière que s’est développée la théorie de l’échantillonnage des matières morcelées. La méthode de quartage est, fort justement, en voie de disparition. Il en existe de nombreuses variantes, mais aucune, à notre connaissance, ne prévoit la sélection au hasard (pile ou face s’impose) de celle des deux diagonales dont les quartiers seront sélectionnés. Elle consiste, après une homogénéisation des plus sommaires par pelletage du lot sur lui-même de façon à former un cône, à étaler ce dernier en forme de galette arrondie que l’on partage en quatre quartiers. Deux quartiers opposés sont retenus pour former un échantillon. Le quartage est toujours plus coûteux, plus compliqué, moins sûr que le pelletage alterné, cas particulier du pelletage fractionné que nous allons examiner maintenant. Échantillonnage par pelletage au soutirage fractionné Pelletage fractionné vrai Pour le pelletage, se reporter à la figure 9. C’est à la fois la plus simple, la moins coûteuse et la plus fiable des méthodes manuelles de partage. On commence par se fixer le taux d’échantillonnage B que l’on écrit : B = 1/ N (N entier)
Avec les solides, on reprend à la pelle le lot L et on déverse les pelletées une par une et successivement, de façon à former, pelletée par pelletée, N tas bien séparés les uns des autres qui, en fin de partage, constituent autant d’échantillons potentiels. Dans un second temps, on sélectionne au hasard par un tirage de type loto celui des N échantillons potentiels qui sera retenu comme échantillon réel [2] (figure 22.4, page 389). Soutirage fractionné vrai C’est l’application de la même méthode aux liquides et aux mélanges multiphases ayant les propriétés rhéologiques des liquides (que nous appellerons génériquement les liquides ). La pelle est remplacée par un seau, ou tout autre récipient, et les tas par des cuves réceptrices : les deux procédés fonctionnent suivant le même principe.
Lot L
1+6+11+16+etc. 2+7+12+17+etc. 3+8+13+18+etc. 4+9+14+19+etc. 5+10+15+20 etc.
E5
Échantillonnage par quartage L’intérêt de cette méthode manuelle, qui se trouve être la plus ancienne méthode d’échantillonnage des solides morcelés, est principalement historique. Rappelons pour mémoire que c’est à l’interface commerciale des industries minières et métallurgiques que
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E2 E3
8.2 Méthodes manuelles
E1
E4
Ce pelletage produit cinq échantillons potentiels de taux 1/5
Figure 9 – Pelletage fractionné vrai de taux 1/ N = 1/5
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____________________________________________________________________________________________________________________ ÉCHANTILLONNAGE
Pelletage ou soutirage fractionné dégénéré Le pelletage fractionné dégénéré (figure 10) se distingue du pelletage vrai par le fait qu’au lieu de constituer N tas jumeaux que l’on soumet ensuite à une sélection probabiliste, on ne constitue que deux tas formés dans les proportions de 1 et N – 1. Avec N = 5, le tas n° 1 est formé par une pelletée sur 5 alors que le tas n ° 2 est formé par les quatre autres pelletées. La rigueur voudrait que l’on tire au sort entre 1 et 5 le rang de la première pelletée qui sera déposée sur le tas n° 1 [2] (figure 22.5, page 389). La dégénérescence du procédé réside dans la suppression de la sélection probabiliste : le tas n ° 1 est un échantillon prédéterminé car on n’échantillonne pas pour prélever les 4/5 d’un lot. Le pelletage dégénéré s’apparente en cela à un échantillonnage par prélèvement plutôt qu’à un partage. Le soutirage dégénéré est la transposition aux liquides du pelletage dégénéré. L’un comme l’autre peuvent être avantageusement utilisés dans les échantillonnages techniques, mais — en raison des risques de biais volontairement induit par l’opérateur — on tâchera de les éviter dans l’échantillonnage commercial.
Exemple : c’est par pelletage mécanique fractionné dégénéré qu’a pu être réalisé (au taux de 1/20) le premier étage de l’échantillonnage commercial (contradictoire) d’un lot de plus de 15 000 t de minerai entreposé sur un quai portuaire.
Lot L
Taux 1/ N = 1/5 E
E est un échantillon prédéterminé
Pelletées n 3 + 8 + 13 + 18 + etc. °
Taux (N –1)/ N = 4/5 S est une souche prédéterminée
S
Ce pelletage produit un échantillon E et une souche S Figure 10 – Pelletage fractionné dégénéré de taux 1/ N =1/5
Cela constitue à notre connaissance un record, au moins provisoire, car les possibilités de ce mode d’échantillonnage sont loin d’avoir été exploitées par les utilisateurs. Ce mode opératoire pourrait offrir une solution probabiliste au plus difficilement soluble de tous les problèmes d’échantillonnage, celui qui concerne les lots statiques de fort tonnage. Ce n’est qu’une question de coût.
Échantillonnage par pelletage ou soutirage alterné C’est le cas particulier d’un pelletage ou soutirage fractionné dans lequel N = 2 (figure 11). Les deux échantillons potentiels ont des masses voisines, ce qui a pour conséquence que cette technique n’est jamais dégénérée : un tirage à pile ou face permet toujours de rendre la sélection finale correcte. Cette technique, souvent répétitive pour atteindre de faibles taux, est très utilisée en échantillonnage commercial.
Lot L
EA
EB
EA = pelletées (1+3+5+etc.)
EB = pelletées (2+4+6+etc.)
8.3 Instruments ne nécessitant pas d’énergie électrique
Division en deux à l’aide d’un diviseur à riffles
Le diviseur à riffles (ou à couloirs) est un petit instrument formé par la juxtaposition d’un certain nombre pair (habituellement entre 12 et 20) de couloirs inclinés au moins à 45 °, se déversant alternativement vers la gauche et la droite dans deux récipients de capacité adéquate [2] (figures 22.9 et 22.10, page 395). Le lot à partager est, en premier lieu, déposé sur une pelle rectangulaire et régulièrement étalé pour former une galette d’épaisseur à peu près uniforme. Cet instrument ne doit être utilisé que sur des solides morcelés (figure 12). L’utilisation que nous en avons vu faire sur des pulpes de solides finement broyés dans l’eau est sujette à caution, ainsi que l’utilisation de plusieurs appareils en cascade, en raison de ségrégations latérales difficiles à éviter. On sélectionne au hasard (pile ou face s’impose) celle des deux moitiés qui sera retenue comme échantillon. Comme toutes les divi- sions en deux, l’opération est le plus souvent répétitive jusqu’à obtention (à un facteur K près : 1 K < 2) de la masse requise. Ce petit instrument manuel, qui existe en différentes tailles suivant la granularité et la masse de matière à partager, est très répandu sur le terrain, dans les ateliers et les laboratoires d’échantillonnage pour diviser en deux des masses allant de quelques centaines de kilogrammes à quelques dizaines de grammes. On ne sait malheureusement pas le miniaturiser en raison des difficultés de nettoyage quantitatif (collage statique).
EA et EB sont deux échantillons potentiels
Figure 11 – Partage en deux par pelletage alterné de taux 1/ N = 1/2
A1
B1
A2
B2
A3
B3
A4
B4
A1
+
A2
+
A3
+
A4
= EA
EB =
B1
+
B2
+
B3
+
B4
EA et EB sont deux échantillons potentiels Figure 12 – Division en deux à l’aide d’un diviseur à riffles (ou à couloirs)
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On évitera l’utilisation incorrecte qui consiste à déverser la totalité du lot, préalablement déposée sur la pelle rectangulaire, de façon brutale près de l’une des deux extrémités. Des essais précis [2] ont montré que les deux pseudomoitiés avaient alors des masses et des compositions systématiquement différentes (plusieurs pour-cent en valeur relative). À ce défaut près, qui est facile à éviter quand on le connaît, c’est un instrument très commode. On se méfiera des émissions de poussières. Certains utilisateurs ont cru ingénieux de disposer plusieurs (trois ou quatre) diviseurs à riffles en cascade, chacun d’eux recevant l’une (toujours la même) des deux moitiés obtenues à l’étage précédent. Sur le plan pratique, en raison du manque de régulation entre les étages, de l’alimentation dissymétrique des appareils et du fait qu’aucune sélection n’était possible de la moitié retenue, les échantillons recueillis se sont toujours révélés biaisés. L’appareil de construction artisanale à sept couloirs que nous avons rencontré quelque part au Nouveau Monde doit être considéré comme un accident regrettable.
8.4 Appareils nécessitant de l’énergie électrique Partage à l’aide d’un diviseur rotatif à alimentateur tournant Cet appareil est utilisable avec les liquides, les pulpes de solides finement broyés dans un liquide ainsi qu’avec les sables secs. Bien que rien, dans son principe, ne s’oppose à son utilisation pour des débits industriels, cet appareil est actuellement réservé au laboratoire où il peut partager des masses comprises entre quelques centaines de kilogrammes et quelques kilogrammes. Un récipient cylindroconique prolongé par un tube et une pince de Mohr (servant à régler le débit d’écoulement) se vide dans un organe distributeur qui tourne autour d’un axe vertical à une vitesse constante de l’ordre de 10 tr/min. La matière se déverse au-dessus d’une couronne faite de N entonnoirs adjacents en forme de secteur ayant même angle au centre. N est un nombre habituellement pair et compris entre 6 et 12, mais rien ne s’opposerait à ce qu’il soit impair et égal à 5, comme tel appareil parfaitement correct que nous avons eu l’occasion de rencontrer. En fin d’opération, après un éventuel rinçage lorsqu’on échantillonne des pulpes, chaque récipient contient un N -ième de la masse mise en jeu. Un tirage au sort permet de sélectionner celui des échantillons potentiels qui sera retenu comme échantillon réel. Cet appareil peut également être utilisé : — soit en recherche pour constituer des échantillons jumeaux aussi peu dissemblables que possible sur lesquels on effectue des essais comparatifs ; on réduit ainsi le bruit de fond (variance résiduelle en analyse de la variance) lié à la composition des échantillons effectivement traités ; — soit en échantillonnage commercial pour constituer les échantillons jumeaux destinés aux différentes parties d’un contrat, acheteurs, vendeurs, auxiliaires, aux arbitres éventuels et à la réserve [2] (figure 22.1, page 399). Mais la tentation est grande d’en faire un appareil de partage dégénéré en supprimant par exemple ( N – 1) secteurs et en n’en conservant qu’un seul. Lorsque l’entonnoir est bien délimité par des arêtes radiales, le danger est mineur, mais on rencontre parfois des entonnoirs rectangulaires de forme incorrecte. On peut utiliser les diviseurs rotatifs à alimentateur tournant quelle que soit la masse du lot (qui peut être alimenté en continu). Il suffit alors de prévoir des récipients assez grands pour recevoir les fractions, ce qui est possible puisqu’ils sont fixes.
Partage à l’aide d’un diviseur rotatif à sole tournante Le principe général est le même, seule la réalisation change. Il y a toujours déplacement relatif entre une source d’alimentation et une
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couronne distributrice séparant les fractions du partage mais, cette fois, l’alimentateur est fixe et la couronne répartitrice mobile. De ce fait, au moins dans les appareils existant sur le marché, les récipients d’accueil ont une capacité nécessairement limitée à quelques kilogrammes ou quelques litres. Ces appareils sont particulièrement bien adaptés aux deux phases finales de tout échantillonnage commercial. Le principal constructeur français de matériel d’échantillonnage propose divers appareils à enflaconnage direct, ce qui réduit les manipulations et les risques qui leur sont associés. Un exemple typique concernant des concentrés uranifères met en œuvre un premier appareil équipé de quatre flacons de 2 l. Deux d’entre eux sont utilisés pour l’estimation directe de l’humidité, les deux autres sont, après séchage, introduits dans un second appareil de même type mais de taille plus petite, alimentant 12 flacons de 0,2 l recevant 12 échantillons jumeaux d’une centaine de grammes destinés respectivement aux laboratoires du vendeur, de l’acheteur, de l’arbitre, ou conservés en réserve. Ces appareils peuvent être enclos dans des boîtes à gants à atmosphère contrôlée, ce qui permet tout à la fois d’éviter les échanges d’humidité avec l’atmosphère en pays tropical ou équatorial et la contamination de l’environnement par d’éventuelles poussières.
9. Calcul des erreurs commises. Caractérisation de l’hétérogénéité Nous avons, au paragraphe 4, indiqué que les méthodes et appareils non probabilistes d’échantillonnage n’étaient pas accessibles à l’approche théorique, avec la conséquence inévitable qu’il est impossible d’estimer même le simple ordre de grandeur des erreurs commises, dont la composante systématique — le biais — est souvent très importante. Il est alors prudent de ne pas parler d’échantillon mais de spécimen. Nous avons conseillé à nos lecteurs de les éviter à tout prix car un spécimen obtenu par des voies non probabilistes apporte une information trompeuse, plus dangereuse que l’absence d’information. Nous avons donc concentré notre attention sur la caractérisation de l’hétérogénéité en vue de l’échantillonnage probabiliste : par partage des lots manipulables, par prélèvement des lots en écoulement à l’aide d’échantillonneurs traversiers, tous deux accessibles à l’analyse théorique.
9.1 Introduction Notre approche va consister : — dans un premier temps, à caractériser l’hétérogénéité à l’aide de paramètres et de fonctions ; — dans un second temps, à estimer les moments des erreurs d’échantillonnage à l’aide des paramètres et fonctions retenus pour caractériser l’hétérogénéité. La caractérisation de l’hétérogénéité sera développée en trois étapes : — caractérisation de l’apport d’hétérogénéité d’une unité au sein d’un lot (§ 9.2) ; — caractérisation de l’hétérogénéité globale d’une population ou d’une suite d’unités, suivant le modèle à zéro dimension (§ 10) ; — caractérisation de l’hétérogénéité séquentielle d’une suite d’unités et, par exemple, celle que constituent les lots en écoulement, suivant le modèle à une dimension (§ 11). Nous nous contenterons, dans les paragraphes suivants, de présenter au lecteur les résultats de nos développements théoriques, le renvoyant à la référence [2] pour plus de détails.
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9.2 Définition de l’apport d’hétérogénéité d’une unité au sein d’un lot donné Considérons : L un certain lot de matière formé d’unités discrètes, N u le nombre de ces unités, U m l’unité courante de L avec m = 1,2, …, N u . Ces unités peuvent être formées : — soit par des objets dotés d’individualité (fragments d’un solide morcelé, molécules, ions, etc.) ; — soit par des groupes non isolés d’objets voisins d’un de ces types ; — soit par des capacités de conditionnement ou de transport contenant un certain nombre de ces objets (sacs, fûts, camions, wagons, etc.). Dans tous les cas, nous posons, en principe, que l’intégrité de ces unités n’est pas remise en cause pendant la durée de l’échantillonnage. Les prélèvements opérés sont toujours composés d’une ou plusieurs unités entières. Vis-à-vis de son hétérogénéité, comme de son échantillonnage, l’unité U m est complètement définie par les trois descripteurs suivants : M m masse totale de composants actifs dans U m , Am masse de composant critique (celui dont on cherche à estimer la teneur) dans U m , a m teneur critique de U m , c’est-à-dire la grandeur à laquelle on s’intéresse, définie comme le quotient :
(17)
a m ≡ Am / M m
En raison de la définition (17), la teneur a m , et avec elle toutes les teneurs dont il sera question dans les paragraphes qui suivent, sont des grandeurs comprises entre 0 et 1 . L’usage commun veut qu’on les exprime le plus souvent en points pour cent ou %. Dans les calculs, on retiendra que 10 % doit s’écrire 10/100 = 0,10 (et non pas 10 comme on le voit faire souvent). Nous dirons que les teneurs doivent être exprimées en valeur décimale. Quand trois grandeurs sont reliées par une identité telle que (17), la connaissance de deux d’entre elles permet de calculer la troisième, avec la conséquence que deux suffisent à définir complètement l’unité considérée. On retient habituellement la masse M m et la teneur a m . Désignons de même par M L , AL et a L les descripteurs correspondants du lot L. Ils sont définis par les identités suivantes : M L ≡ ∑ M m
AL ≡ ∑ Am
a L ≡ AL / M L
Cet apport d’hétérogénéité jouit de propriétés extrêmement importantes et peut être considéré comme le vecteur de toutes les erreurs d’échantillonnage, quel que soit le modèle auquel on se réfère, qu’il s’agisse de la population (modèle à zéro dimension) ou de la suite des valeurs de hm (modèle à une dimension). Des développements théoriques qui ne trouvent pas leur place ici ont pu montrer que, vis-à-vis de l’hétérogénéité comme de l’échantillonnage du lot L, l’unité U m pouvait être caractérisée à l’aide du paramètre unique hm .
10.Caractérisation de l’hétérogénéité globale d’un ensemble Un ensemble peut être soit une population, soit une suite. Cette caractérisation fait intervenir deux paramètres distincts : — l’hétérogénéité de constitution HC L du lot L : elle est définie comme la variance s 2(hm) — identique au carré moyen car la moyenne m(hm) est structurellement nulle — de la population des valeurs de hm ; ce paramètre présente un intérêt principalement théorique ; — l’invariant d’hétérogénéité IH L du lot L ; cet invariant intervient directement dans les calculs pratiques ; il est dérivé de HC L mais, à la différence de ce dernier, on peut toujours l’estimer pratiquement, soit par suite d’observations simples, comme nous le verrons au paragraphe 10.2, soit expérimentalement ; c’est ce paramètre que nous nous contenterons de présenter ici.
10.1Définition de l’invariant d’hétérogénéité IH L du lot L La théorie fait intervenir HC L qui possède le grave défaut pratique de ne pas pouvoir être déterminé, même dans son ordre de grandeur, dans les populations indénombrables que constituent les lots de solides finement morcelés. Fort heureusement, c’est le produit HC L M L / N u , défini comme l’invariant d’hétérogénéité IH L , qui intervient dans les calculs pratiques et que nous présentons ici. Par définition : M L 1 M 2 IH L ≡ -------L- s ( h m ) ≡ -------- ⋅ ------N u N u N u
(18)
quels que soient m et m ?prime?
(19)
Il est donc naturel de considérer que l’hétérogénéité attachée à la présence de l’unité U m au sein du lot L est proportionnelle à (a m – a L) qui s’annule en cas d’homogénéité. Par ailleurs, la perturbation associée à cette hétérogénéité est proportionnelle à la masse M m . Pour ces raisons, nous avons été amenés à définir la grandeur sans dimension hm , apport d’hétérogénéité de l’unité U m au sein du lot L : ( a m Ð a L ) M m (20) h m ≡ N u ------------------------ ⋅ ---------a L M L La moyenne de hm est nulle comme on le vérifie aisément.
m
2
M m
--------------------------- ⋅ --------------------------2 2
( M L ⁄ N u )
a L
m
2
2
M ⋅ -------m----------------------------2 M L a ( a m Ð a L ) L
(21)
Cet invariant a la dimension d’une masse. On montre qu’il constitue bien cependant une propriété intrinsèque de la matière, indépendamment de la masse ou de l’effectif de la population considérée.
10.2Cas des matières morcelées. Transformation de IH L Ce n’est que dans le cas des populations d’effectif faible et dénombrable qu’il est possible de calculer IH L d’après son expression (21). Dans le cas des lots de matière morcelée dont les unités
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2
≡∑
L’homogénéité d’un lot L ne saurait être définie autrement que par l’identité structurelle : a m ≡ am ?prime? ≡ a L
∑
( a m Ð a L )
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sont indénombrables (grains minéraux, graines végétales, etc.), nous avons montré en [2] qu’il était possible — au prix d’approximations qui n’altèrent pas son ordre de grandeur — de transformer l’expression (21) en : IH L = c β f g d 3 (22) c est un paramètre de constitution, mathématiquement défini, qui prend, pour les matières à deux composants : l’un (A), critique, de masse volumique δ A , en proportion a L (c’est la précision de l’estimation de a L qu’on cherche à évaluer), l’autre (B), de masse volumique δ B , en proportion b L = 1 – a L , la forme simple :
11.Caractérisation de l’hétérogénéité séquentielle d’une suite
c =
b L ------ ( b L δ A + a L δ B ) a L
(23)
Dans cette expression, les teneurs seront impérativement exprimées en valeur décimale (10 % s’écrira 0,10) et les masses volumiques en grammes par centimètre cube (g/cm 3). Le paramètre de constitution a la dimension (mais non la signification physique) d’une masse volumique. Il est susceptible de prendre des valeurs s’échelonnant de 10 –2 pour les matières très pures (valeurs élevées de a L), à 108 et plus pour les très faibles valeurs de a L (exemple : minerais alluvionnaires d’or ou de diamant, mais aussi certaines toxines présentes dans les produits agricoles ou alimentaires). Il est donc capital, dans un calcul d’erreurs d’échantillonnage, de savoir estimer au moins son ordre de grandeur. β β est un paramètre de libération des constituants , dont la valeur peut s’échelonner théoriquement entre 0 et 1 (sans dimension), et pratiquement entre 0,1 et 1. Il prend cette dernière valeur quand les constituants (A) et (B) sont totalement séparés l’un de l’autre et une valeur inférieure lorsqu’ils sont partiellement ou complètement associés sous la forme d’unités mixtes telles que les fragments d’un minerai contenant à la fois le minéral de valeur et la gangue. Cette notion est généralisable avec les graines végétales, les produits alimentaires, mais aussi avec la plupart des matières morcelées. Lorsque l’on ne possède aucune information sur la libération des constituants, il est toujours prudent de retenir β = 1.
f est un paramètre de forme des fragments. Sauf dans des cas exceptionnels, sa valeur est toujours voisine de 0,5 (sans dimension).
g est un paramètre de resserrement granulométrique. Il est pratiquement compris entre 0,2 et 1 (sans dimension). Il prend cette dernière valeur pour des unités parfaitement calibrées (modèle : les billes de roulement). Pour un lot de céréales, par exemple, il vaut environ 0,75. Pour des solides calibrés entre deux tamis dont les ouvertures sont dans un rapport compris entre 2 et 4, il vaut environ 0,50. Pour les solides concassés ou broyés, mais non calibrés, il vaut environ 0,25. Il est rare qu’il prenne une valeur inférieure.
d est la taille des plus grosses unités constituantes . De façon plus
précise, le développement de la théorie prévoit que c’est l’ouverture du tamis à maille carrée qui retient (ou retiendrait) 5 % de la masse totale du lot. L’estimation de d ne doit être faite avec grande précision que pour ses valeurs élevées. Si l’on ne dispose d’aucun moyen de calibrage ou d’aucune analyse granulométrique, il suffit de choisir sur le lot de matière une dizaine d’unités que l’on considère visuellement comme les plus grossières. Leur calibre moyen est un bon estimateur de d . Pour des raisons d’homogénéité dimensionnelle, d doit impérativement être exprimée en centimètres (cm).
10.3Utilité pratique de l’invariant IH L Nous nous contenterons, dans ce paragraphe, de dire que, dans certaines conditions qui seront précisées au cours des paragraphes 12 et 13, la variance de l’erreur d’échantillonnage est proportionnelle à l’invariant d’hétérogénéité IH L.
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Nous avons souligné, au paragraphe 2.4, la différence d’essence qui existe entre les populations, dont nous venons de caractériser l’hétérogénéité à l’aide du scalaire IH L , et les suites ordonnées assimilables à des objets à une dimension, que l’on doit caractériser, non plus à l’aide d’un scalaire mais de diverses fonctions que nous nous proposons de présenter maintenant. Ce qui, mathématiquement, distingue une suite d’une population, c’est l’ordre qui caractérise la première, ordre générateur d’une autocorrélation au moins potentielle, sachant que dans la seconde, les notions mêmes d’ordre et d’autocorrélation sont vides de sens. Pour fixer les idées du lecteur, nous nous placerons dans le cadre d’une suite chronologique telle que, par exemple : — la suite formée par les unités de conditionnement d’une industrie productrice, ces unités étant numérotées dans l’ordre de leur production ; — la suite formée par l’ensemble ordonné de tous les prélèvements potentiels, disjoints et complémentaires, dont la réunion constitue un certain lot L en écoulement ; — la suite formée par les prélèvements successifs opérés à intervalles réguliers sur ce même courant de matière, et dont la réunion constitue l’échantillon E représentant le lot L. Dans chacun de ces exemples, nous sommes en présence d’unités U m rangées par ordre croissant de l’indice m avec m = 1, 2, …, N u et l’autocorrélation de la suite n’est pas autre chose que la corrélation entre telle propriété de l’unité U m , sa teneur a m par exemple, et son rang m.
11.1Fonction caractéristique. Définition du variogramme C’est à Georges Matheron [4] que revient le mérite d’avoir développé la théorie du variogramme. Reprenons le même lot L qu’au paragraphe 10, composé des mêmes unités U m représentées par leur descripteur unique, l’apport d’hétérogénéité hm mais, cette fois, au lieu d’avoir été attribué de façon inconnue, aléatoire ou arbitraire, l’indice m est attribué suivant l’ordre chronologique. Nous désignerons par : j un certain intervalle discret ( j = 1, 2, …, J ) séparant deux unités de rangs m et m’ avec m’ = m + j ; dh (m, j ) l’accroissement de hm aux bornes de l’intervalle j : dh (m, j ) = hm’ – hm
(24)
v ( j ) le variogramme de hm défini comme le demi-carré moyen de l’accroissement dh (m, j ) quand m prend toutes les valeurs possibles m = 1, 2, …, (N u – j ). Nous définissons ainsi : 2 1 v ( j ) = ------------------------(25) [ d h ( m , j ) ] 2 ( N u Ð j ) ∑ dh (m, j ) a une moyenne structurellement non nulle car l’effectif N u – j varie avec j . C’est pourquoi le variogramme est défini comme un demi-carré moyen et non comme une demi-variance comme on le voit écrit trop souvent, y compris chez les spécialistes. Le calcul du variogramme peut aisément être informatisé quand on dispose de la suite de N u valeurs de hm . Pour illustrer cette définition qui peut paraître abstraite, nous présentons ci-après le calcul du variogramme pour j = 1 et j = 2 tel qu’on le pratiquait encore au début des années soixante pour N u = 60 : on calcule l’écart qui existe entre les valeurs situées l’une au-dessous de l’autre, c’est-à-dire les accroissements dh (m, j ), puis leur demi-carré moyen.
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Calcul de v ( j ) pour j = 1 Suite ordonnée des N u valeurs de hm h1 o
h2 o
h3 o
h4 o
h1 o
h2 o
h3 o
h57 o h4 o
h58 o
h59 o
h60 o
h57 o
h58 o
h59 o
h60 o
12.2Échantillonnage équiprobable. Définition et propriétés de l’erreur fondamentale EF
Suite ordonnée des N u valeurs de hm décalée de j = 1
Calcul de v ( j ) pour j = 2 Suite ordonnée des N u valeurs de hm h1 o
h2 o
h3 o
h4 o
h1 o
h2 o
h57 o h3 o
h58 o
h4 o
h59 o
h60 o
h57 o
h58 o
h59 o
h60 o
Suite ordonnée des N u valeurs de hm décalée de j = 2 Le manque de place nous empêche de donner des exemples d’un tel calcul. Le lecteur trouvera dans la référence [2] une multitude d’exemples pratiques. Disons cependant que l’ analyse variographique est une technique délicate qui ne s’improvise pas.
11.2Fonctions auxiliaires du variogramme La fonction variogramme v ( j ) et, en particulier, la suite des points v (1), v (2), etc., dont nous venons d’illustrer le calcul, ne sont pas directement utilisables pour exprimer les variances d’échantillonnage. Il nous faut encore définir les fonctions auxiliaires suivantes : — la moyenne intégrale simple w ( j ) ainsi définie : 1 j w ( j ) ≡ --- v ( j ′) d j ′ j 0 — la moyenne intégrale double w’ ( j ) ainsi définie :
1 j 2 w ′ ( j ) ≡ --- w ( j ′ ) d j ′ ≡ ---2 j 0 j
j
j
0 d j ′ 0 v ( j ″) d j ″
(26)
(27)
Nous définirons au paragraphe 13 les fonctions génératrices d’erreurs d’échantillonnage à partir des fonctions auxiliaires. Elles constituent le pont entre les théories de l’hétérogénéité et de l’échantillonnage.
11.3Palier du variogramme C’est la variance de la population des valeurs de hm : v P = s 2 (hm)
tillonner en soumettant chaque unité du lot à une sélection probabiliste, l’unité U m bénéficiant d’une probabilité P m d’être sélectionnée au profit de l’échantillon. Lorsque les valeurs de P m sont identiques à une constante P , l’échantillonnage est correct. Nous retiendrons désormais cette hypothèse.
(28)
12.Moments de l’erreur d’échantillonnage. Lots à zéro dimension 12.1Échantillonnage correct et échantillonnage incorrect Le lot L est une population de N u unités et est caractérisé par un invariant d’hétérogénéité IH L. Nous nous proposons de l’échan-
L’erreur fondamentale EF est l’erreur commise lorsque toutes les unités constitutives du lot L sont soumises à l’épreuve de sélection avec une égale probabilité P d’être sélectionnées (l’échantillonnage est donc correct), mais, en outre, elles le sont individuellement et indépendamment . Ces conditions définissent le modèle équiprobable d’échantillonnage, pratiquement tel que nous l’avons présenté dès 1953. On montre que, pour tous les besoins de la pratique : m (EF ) = 0
L’échantillonnage équiprobable est donc structurellement juste. 2 1 Ð P 1 1 s (EF ) = ------------- IH L = -------- Ð -------- IH L M M P M L L E
(30)
expression dans laquelle M L est la masse du lot L et M E celle de l’échantillon E (assimilée ici, pour les besoins de la pratique, à la moyenne PM L de sa distribution). C’est à partir de l’égalité (30) qu’on peut résoudre un bon nombre des problèmes pratiques d’échantillonnage. Ces égalités ne sont qu’approximatives, mais les termes correctifs sont toujours négligeables dans la pratique, ce qui n’est pas vrai avec l’échantillonnage incorrect. Nous avons vu (§ 10) comment on pouvait estimer IH L d’après les propriétés de la matière. Il existe également une méthode expérimentale d’estimation, décrite dans la référence [2], et des logiciels permettant de résoudre ce problème (ECHANT, SAMP, cf. [6]). La propriété essentielle de l’erreur fondamentale EF , celle qui justifie son appellation, est que, de toutes les erreurs d’échantillonnage, c’est la seule qu’on ne sache jamais annuler, même sur le papier. C’est aussi la seule que l’on sache facilement estimer a priori. L’erreur totale d’échantillonnage équiprobable se réduit à (cf. § 5.2.6) : (31) ET ≡ EI ≡ EF
12.3Échantillonnage simplement correct. Définition de l’erreur de ségrégation et de groupement ESG Quand les unités sont sélectionnées correctement (probabilité uniforme P ), non plus individuellement et indépendamment mais par groupes d’unités voisines (les prélèvements ou incréments) une erreur supplémentaire vient s’ajouter à l’erreur fondamentale EF , l’erreur de ségrégation et de groupement ESG . Sa moyenne est toujours négligeable quoique non nulle. L’échantillonnage simplement correct est donc structurellement juste. Cette erreur tire son nom du fait que sa variance est proportionnelle à deux paramètres : — le paramètre de groupement Y qui s’annule uniquement quand les incréments sont formés d’une seule unité (on est alors ramené au problème précédent de l’échantillonnage équiprobable) ;
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— le paramètre de ségrégation Z qui s’annule quand la distribution spatiale des unités est caractérisée par l’absence de corrélation entre la position d’une unité et sa composition ; cela définit l’ homo- généité naturelle de distribution (hétérogénéité minimale). C’est une telle distribution que s’efforcent d’atteindre, pas toujours avec le succès que l’on souhaiterait, les appareils d’homogénéisation par agitation ou brassage (silos d’homogénéisation des farines de cimenterie, capacités rotatives de mélange, secoueurs de flacons, agitateurs à hélices fonctionnant dans les cuves, etc.). On ne sait pas estimer directement la variance de ESG , pas plus que les paramètres Y et Z . Par contre, on sait estimer expérimentalement la somme des variances de EF et ESG . C’est la variance de l’erreur EI que nous avons définie au § 5.2.6. En revanche, on sait définir les conditions de minimisation de s 2 (ESG ) : on prélève les incréments les plus petits possible et on homogénéise la matière avant son échantillonnage. L’erreur totale d’échantillonnage correct se réduit alors à : ET ≡ EI ≡ EF + ES
(32)
(33)
13.Moments de l’erreur d’échantillonnage. Lots à une dimension 13.1Modes probabilistes usuels de sélection des incréments Qu’il s’agisse d’une distance ou d’un temps, on peut imaginer une infinité de modes de sélection des points de prélèvement. Pour fixer les idées sur un cas concret, nous nous fixerons comme objectif la sélection de Q instants t q compris entre l’instant t = 0 de début de l’écoulement du lot L et l’instant t = T L où cet écoulement s’achève. Nous ne retiendrons que trois modes probabilistes de sélection des prélèvements ponctuels : — la sélection à intervalles égaux et positionnement initial au hasard (plus simplement échantillonnage systématique) ; — la sélection à strates égales et positionnement au hasard dans chaque strate (plus simplement échantillonnage stratifié au hasard) ; — la sélection directe au hasard dans l’intervalle (0, T L).
13.2Fonctions génératrices d’erreurs. Variance s 2 (EI ) Les fonctions génératrices d’erreurs (sous-entendu d’échantillonnage) sont des fonctions dérivées des fonctions auxiliaires et du
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W sy ( j ) : la génératrice d’erreurs de l’échantillonnage systéma-
tique :
W sy ( j ) = 2w ( /2) j – w ’ ( j )
(34)
s 2 (EI )sy = W sy ( j ) / Q
(35)
W st ( j ) : la génératrice d’erreurs de l’échantillonnage stratifié au hasard : W st ( j ) = w ’ ( j ) (36)
s 2 (EI )st = W st ( j ) / Q
(37)
W ha ( j ) : la génératrice d’erreurs de l’échantillonnage direct au hasard : W ha ( j ) = s 2 (hq ) = Cte (38)
(39)
13.3Moments de l’erreur d’intégration EI
L’ensemble des valeurs de P m ne se réduit pas à une constante P . Comme nous l’avons vu au paragraphe 5.2.6, l’incorrection se traduit par une erreur de matérialisation EM qui est la somme de trois composantes, les erreurs de découpe ED , de prise EP et de préparation EZ . Les propriétés de ces erreurs ont été décrites dans les paragraphes 7.1, 7.2 et 7.3. L’erreur d’échantillonnage probabiliste incorrect s’écrit :
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s 2 (EI )ha = W ha ( j ) / Q
12.4Échantillonnage incorrect. Erreurs de matérialisation EM
ET ≡ EI ≡ EF + ESG + EM ≡ EF + ESG + ED + EP + EZ
palier du variogramme qu’il suffit de diviser par le nombre Q de prélèvements composant l’échantillon E pour exprimer la variance de l’erreur d’intégration EI . Il existe une fonction génératrice d’erreurs pour chaque mode de sélection. C’est ainsi que nous définirons [2] :
Par définition, l’erreur d’intégration est l’erreur que l’on commet lorsque l’on substitue au segment [0, T L] de l’axe des temps, modèle à une dimension du lot L, l’échantillon ponctuel formé par la réunion des Q instants t q . Cette opération s’apparente à l’estimation par points de l’intégrale d’une courbe, ce qui justifie le nom donné à l’erreur. Dans la pratique, les trois modes probabilistes de sélection sont toujours corrects, avec la conséquence que, quel que soit le mode de sélection retenu, la moyenne de l’erreur d’intégration est nulle : m (EI )sy = m (EI )st = m (EI )ha = 0
(40)
Quant aux variances de EI , elles nous sont fournies par les expressions (35), (37) et (39). Dans les deux premières, il y a lieu de prendre pour valeur de l’intervalle j : — échantillonnage systématique : l’intervalle constant T sy entre les prélèvements consécutifs ; Q = T L / T sy (nombre entier arrondi, cf. [2]) ; — échantillonnage stratifié au hasard : la longueur constante T st des strates (qui est également l’intervalle moyen entre deux prélèvements consécutifs) ; Q = T L / T st (nombre entier arrondi, cf. [2]).
13.4Calcul de la variance de l’erreur d’intégration EI par modélisation du variogramme La théorie montre qu’il y a une filiation directe, par opérateurs mathématiques interposés, entre l’apport d’hétérogénéité h, le variogramme v ( j ), les fonctions auxiliaires w ( j ) et w ’( j ), les génératrices d’erreur W ( j ) et la variance d’intégration s 2 (EI ). Or, l’étude d’un très grand nombre de cas nous a montré que, très généralement, l’apport d’hétérogénéité hq d’un prélèvement Ι q pouvait être décomposé en une somme de quatre termes : hq = h1q + h2q + h3q + h4q avec
h1q h2q h3q h4q
composante de discontinuité de hq , composante de continuité de hq , composante périodique de hq , composante aléatoire de hq
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On retrouve la même décomposition pour v ( j ) ; w ( j ) ; w ’( j ) et W ( j ). L’expérience variographique [2] et l’analyse de ses résultats nous permettent de déceler la forme du variogramme et de ses composantes. Dans le cas le plus général, le variogramme v ( j ) s’écrit : v ( j ) = v 1( j ) + v 2( j ) + v 3( j ) + v 4( j ) avec
v 1( j )
v 1( j ) = v (0) = v 0 = v 2( j )
v 3( j )
1q )
= Cte > 0
(43)
composante de continuité . On peut souvent l’écrire (à l’intérieur d’un domaine limité) : (44) v 2( j ) = v 1 + v 2 j où v 1 est une constante positive ou nulle et v 2 une constante quelconque, composante périodique . Dans les cas simples : v 3( j ) = v 3 (1 – cos 2 π j /
)
s 2 (EI 1) = s 2 (EF ) + s 2 (ES )
(45)
s 2 (EI 1) = v 0 / Q
avec
EI 1 EI 2 EI 3 EI 4
(46)
composante de discontinuité de EI , composante de continuité de EI , composante périodique de EI , composante aléatoire de EI
EI 1
Cette composante exprime tout ce que la matière recèle de discontinuité essentielle. La continuité n’est en effet qu’un concept mathématique qui ne s’applique à la matière que de façon approximative. Toute matière est réductible à un ensemble d’éléments discrets : fragments, molécules, ions, atomes, et autres particules élémentaires. Quand il s’agit de liquides, les fluctuations de h1 sont faibles et la composante EI 1 tend à devenir imperceptible. Sa variance n’en est pas moins toujours positive. Avec les solides morcelés, au contraire, les fluctuations de h1 sont importantes et la composante EI 1 peut devenir prépondérante. Dans tous les cas, la suite des valeurs de h1 présente toutes les apparences d’une suite de valeurs aléatoires et se comporte comme telle. On la caractérise par la variance s 2 (h1q ), jamais nulle. Cela est déjà vrai quand on utilise, pour exprimer l’apport h, les valeurs réelles, toujours inconnues, des teneurs et des masses qui entrent dans sa définition (20). Ce l’est plus encore quand on travaille sur des données expérimentales (teneurs, masses) qui ne constituent que des estimations approximatives des grandeurs réelles inconnues. La variance de EI 1 contient alors un terme qui traduit toutes les erreurs de mesures. Quand ces dernières sont faites dans les conditions dites de répé- tabilité (unité de méthode, d’appareillage, d’opérateur, de temps et 2 de lieu) — mais seulement alors — la variance résultante s m des erreurs de mesures peut être considérée comme une constante. Elle peut alors être estimée ou mesurée et éventuellement soustraite de la valeur expérimentale de s 2 (EI 1). Corrigée ou non, cette variance
EI 2
T v 1T 2s 1 2 s ( EI 2 ) sy = ---- W sy ( T s ) = -----s- W sy ( T s ) = --------------Q T L 6T L
(49)
3 T s v 1T 2s v 2T s 1 s ( EI 2 ) st = ---- W st ( T s ) = ------ W st ( T s ) = --------------- + --------------Q T L 3T L 6T L
(50)
T 2 1 s ( EI 2 ) ha = ---- W ha ( T s ) = -----s- v P Q T L
(51)
2
v P étant défini au paragraphe 11.3. Dans ces expressions interviennent les paramètres variographiques v 1 , v 2 , v P , que l’on sait exprimer expérimentalement, T L qui est une donnée du problème et enfin T s = T L / Q l’intervalle constant ou moyen entre prélèvements consécutifs qui constitue, avec le choix du mode de sélection, le paramètre sur lequel nous pouvons jouer pour contrôler s 2 (EI 2). En ce qui concerne le choix du mode de sélection, nous retiendrons que, dans le cas le plus général, c’est la sélection systématique à intervalle constant T sy qui est à la fois la plus reproductible et la plus simple à mettre en œuvre (une simple minuterie suffit). Elle ne présente un risque — mais un risque susceptible d’être très grave — que lorsque le terme périodique est important (voir ciaprès) et quand T sy est un multiple de la période . Alors, mais alors seulement, l’échantillonnage stratifié au hasard s’impose à l’utilisateur comme étant l’équivalent d’une assurance tous risques : on perd un peu sur la reproductibilité moyenne mais on élimine le risque d’erreur grave.
EI 3
C’est l’erreur qui résulte des fluctuations périodiques de l’hétérogénéité. D’après notre expérience, ces fluctuations, que l’on observe aussi bien sur les teneurs a que sur les masses M , sont toujours introduites par le fonctionnement des matériels de manutention ou de traitement. Mentionnons les pompes centrifuges fonctionnant sur des mélanges multiphases susceptibles de se ségréger, les circuits de concassage ou de broyage des solides morcelés, la reprise de stocks à l’aide d’une roue-pelle, etc. La période de ces fluctuations est habituellement de l’ordre de 5 à 20 min qui est aussi le domaine dans lequel on est habituellement tenté de choisir l’intervalle constant entre prélèvements d’un échantillonnage systématique primaire. L’erreur maximale est atteinte quand T sy = n (n entier) : l’échantillonnage est opéré en phase avec le phénomène périodique. La variance de EI 3 est alors indépendante du nombre Q de prélèvements : (52) s 2 (EI 3)sy = v 3
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(48)
À la différence de la matière, le temps, l’espace géométrique dans lesquels se situent nos observations possèdent une continuité qui tient à leur essence immatérielle. C’est pourquoi, à côté de la composante h1, nous trouvons une composante de continuité h2, parfois nulle, qui reflète la tendance de l’évolution du processus générateur de la matière considérée, tendance généralement imperceptible entre une unité et ses voisines mais parfaitement appréciable à long terme. Dans certains cas, on parle de dérive . On peut ainsi passer de h2 à v 2 ( j ), w 2 ( j ), w 2′ ( j ), W 2 ( j ) et enfin à s 2 (EI 2). Contrairement à s 2 (EI 1), s 2 (EI 2) est une fonction du mode de sélection. Cette dernière variance s’écrit ( T s désignant, suivant le mode, l’intervalle constant ou moyen entre incréments consécutifs) :
où v 3 est une constante positive ou nulle et la période du phénomène, v 4( j ) composante aléatoire , positive, jamais nulle Les paramètres v 0 , v 1 , v 2 , v 3 , v 4 et sont les paramètres variographiques. On les détermine à l’issue d’une expérience variographique à partir de laquelle on peut soit modéliser le variogramme suivant (42), soit, technique plus efficace décrite dans [2] et [10], calculer point par point les fonctions auxiliaires, les génératrices d’erreurs et les variances d’erreurs. On montre que EI est une somme de quatre composantes : EI = EI 1 +EI 2 + EI 3 + EI 4
(47)
En termes variographiques, elle s’exprime par :
(42)
composante de discontinuité , ordonnée du variogramme à l’origine v (0). C’est une constante positive v 0 jamais nulle : s 2(h
ne s’annule jamais. Avec les données réelles, nous avons montré (32) qu’elle était égale à la somme :
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Pour l’échantillonnage stratifié au hasard, dans les mêmes conditions : s 2 (EI 3)st = v 3 / Q (53) ce qui montre l’intérêt de ce dernier dont la variance est divisée par Q . En l’absence de fluctuations périodiques, v 3 s’annule ainsi que s 2 (EI 3). Observons que l’échantillonnage direct au hasard est toujours moins reproductible que les deux autres modes.
EI 4
C’est l’erreur aléatoire résiduelle. C’est la résultante de toutes les fluctuations qui n’ont pas été recensées ci-dessus. Sa variance est : s 2 (EI 4) = v 4 / Q
13.5Calcul point par point de la variance de l’erreur EI Ce calcul commence par le calcul, point par point, des fonctions auxiliaires et des génératrices d’erreurs. Lors de la modélisation du variogramme, on réduit ce dernier à une somme de termes algébriques que l’on intègre pour en déduire dans un premier temps les fonctions auxiliaires, puis les génératrices d’erreurs et enfin les variances d’intégration. Cette technique, qui est largement répandue chez les géostatisticiens, principaux utilisateurs du variogramme, ne nous avait jamais vraiment satisfait en chronostatistique. L’expérience nous a montré, en effet, qu’à l’exception des variogrammes linéaires qui constituent une minorité, cette technique était peu fiable. Elle possède à nos yeux, cependant, l’intérêt didactique indiscutable de décomposer un phénomène complexe en une somme de composantes simples, démarche cartésienne s’il en est. Nous avons donc mis au point et expérimenté une méthode économe en hypothèses qui suit la réalité d’aussi près que possible et qui présente l’avantage de pouvoir être informatisée sans difficulté à l’issue du calcul des points du variogramme. Elle est fondée sur le calcul des intégrales point par point. Il serait trop long de la décrire ici en détail, aussi invitons-nous le lecteur intéressé, à se référer aux sections 12.10 et 12.11 de [10]. C’est la méthode que nous utilisons et recommandons désormais, à l’exclusion de la première.
14.Stratégie à adopter pour résoudre un problème d’échantillonnage Il ne peut s’agir ici que de recommandations générales. Le lecteur devra, pour le détail, se reporter aux références [2] et [10]. Il faut : 1) se convaincre qu’un spécimen prélevé de façon non probabiliste est une bombe à retardement : nous avons vécu des exemples dans lesquels des millions (plus récemment des centaines de millions) de dollars étaient en jeu, qui résultaient de la méconnaissance de ce fait ; 2) s’assurer que le problème peut être résolu de façon probabiliste : il existe des problèmes économiquement insolubles et le stock immobile d’un million de tonnes (ou même beaucoup moins) de matière à bon marché en est le prototype. Seuls sont solubles de façon probabiliste les problèmes où le lot se trouve naturellement ou peut être artificiellement réduit à un modèle à zéro dimension (ensemble d’unités non ordonnées) ou à une dimension (ensemble d’unités ordonnées ou matière en écoulement) ;
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3) lorsque le lot a été réduit à zéro ou une dimension : suivre les recommandations des paragraphes 7.1, 7.2, 7.3 et 7.4 pour assurer la correction. Seul un échantillonnage correct est structurellement juste, donc équitable dans les opérations commerciales. Quand l’échantillonnage est correct, mais seulement alors, l’erreur totale ET se réduit à l’erreur de modèle ou d’intégration E Ι , seule calculable expérimentalement. Son minimum est l’erreur fondamentale EF , seule erreur que l’on sache estimer a priori ; 4) alors, mais seulement alors, se préoccuper de la v ariance : il est vain de le faire tant qu’on ne s’est pas assuré d’une moyenne nulle. Se fixer une variance maximale à ne pas dépasser (parfois appelée crédit d’erreur ) et la répartir entre les différents étages d’échantillonnage (additivité des variances). À chaque étage, soupeser les risques de fluctuations périodiques et opter en conséquence pour une sélection systématique ou stratifiée au hasard. Calculer ensuite l’intervalle constant T sy ou moyen T st maximal, en résolvant en T sy ou T st les équations (49) et (50). Pour différentes raisons, les unes économiques, les autres techniques, lorsque des sélections systématiques interviennent en cascade, il est recommandé d’adopter une suite d’intervalles décroissants (exemple : 10 min, 2 min, 25 s, 5 s). On interposera des capacités tampons pour régulariser l’alimentation des étages secondaire et suivants ; 5) ne jamais oublier ce point fort important : le système d’échantillonnage doit assumer deux fonctions complémentaires et indissociables : — une fonction de sélection : l’échantillonnage doit être correct ; nombreux sont les constructeurs qui l’oublient au profit de la seconde ; — une fonction de manutention : les prélèvements opérés doivent s’écouler librement vers l’aval du circuit ; avec les matières morcelées, l’humidité est le caractère le plus critique ; on devra souvent sécher, au moins partiellement, pour permettre l’écoulement sans collage ; cela vaut pour les échantillonneurs, mais aussi pour tous les appareils de préparation qui les accompagnent ; toute station intégrée d’échantillonnage fonctionne comme un tube digestif qui ne tolère aucune obstruction ; Toute station d’échantillonnage qui manque à satisfaire à ces conditions constitue un danger pour son utilisateur. Elle délivre des spécimens et non des échantillons représentatifs. 6) s’assurer de l’échantillonnage correct des lots de masse manipulable : la condition à remplir pour qu’un échantillonnage soit correct est que tous les éléments constitutifs du lot L (fragments, molécules, ions) reçoivent une égale probabilité d’être sélectionnés au profit de l’échantillon. Pour un lot de masse manipulable occupant un certain domaine D, cette condition peut être satisfaite de deux façons : a) tous les éléments de volume du domaine D reçoivent une égale probabilité d’être sélectionnés . La distribution des éléments constitutifs au sein de D peut alors être quelconque ; b) tous les éléments constitutifs sont distribués au hasard au sein du domaine D. Cela peut être réalisé par une homogénéisation efficace qui donne à tous les éléments constitutifs du lot une égale probabilité de tomber dans n’importe quel élément de volume du lot. La sélection des éléments de volume retenus comme prélèvements peut alors être quelconque.
15.Conclusions C’est l’un des mérites des Techniques de l’Ingénieur que d’entrouvrir les pages du traité Analyse et Caractérisation à un spécialiste de l’échantillonnage et nous en sommes reconnaissants à ses responsables. Mais, ces quelques pages ne représentent guère que
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l’essence d’un résumé [10] d’ouvrages encore incomplets de 607 et 653 pages [2] et [9]. Elles n’ont pas d’autre prétention que de sensibiliser le lecteur à une science dont il ne soupçonne peut-être pas même l’existence. Or, pratiquement, toutes les analyses sont effectuées sur des échantillons, et les erreurs d’échantillonnage qui les précèdent s’ajoutent aux erreurs d’analyse. À l’heure actuelle, pour améliorer la précision des estimations, ce n’est pas dans l’analyse qu’il faut investir, financièrement mais surtout intellectuellement, c’est dans l’échantillonnage. Il a été écrit : « On vise maintenant des traces dont les teneurs sont des fractions de milliardième… ». L’auteur de ces deux lignes réalise-t-il les contraintes scientifiques extraordinaires auxquelles l’échantillonnage préalable doit être soumis si l’on veut seulement atteindre un intervalle de confiance de ± 100 % ? Est-il prêt à soumettre à l’analyse des dizaines de grammes pulvérisés à quelques micromètres ? Doit-on considérer l’analyse comme une fin en soi ? Comme un art non figuratif sans rapport direct avec la réalité ? Ce débat entraîne de notre part les considérations désabusées suivantes que nous prions le lecteur de bien vouloir pardonner : pour l’Université, l’échantillonnage est doté d’une mystérieuse non-existence. L’absence quasi générale d’enseignement de sa théorie et de sensibilisation des ingénieurs et techniciens est responsable du manque de conscience de l’existence même des problèmes. Pour une majorité des utilisateurs, cette science se ramène à une simple technique de manutention.
On observe ce manque de conscience à tous les niveaux de la hiérarchie, depuis celui du Directeur général qui doit arbitrer des investissements (entre un spectrographe et un échantillonneur le choix est dérisoire !) jusqu’à celui de l’opérateur non qualifié chargé à l’improviste de l’échantillonnage, en passant par le corps enseignant. Tant que subsisteront cette non-reconnaissance de l’échantillonnage en tant que science, ce manque d’enseignement, de diffusion et de prise de conscience, on continuera, dans les plus grandes de nos sociétés comme dans nos laboratoires, dans nos centres de recherche si justement réputés, à rencontrer des analystes, dotés de la formation la plus brillante, concevoir avec des prodiges d’ingéniosité et utiliser avec un soin inouï les méthodes et les matériels les plus sophistiqués pour analyser avec trois ou quatre chiffres signifi- catifs des échantillons prélevés à la sauvette par un personnel non qualifié et parfois entachés d’erreurs de 10 % et plus (1 000 % seraient plus réalistes avec des teneurs de 10 –9 ) . Sachez cependant que la théorie de l’échantillonnage existe, qu’elle est dans le domaine public depuis 45 ans pour sa part la plus ancienne et … qu’elle est française. Puisse cette dernière qualité ne pas la déprécier aux yeux de ses utilisateurs potentiels et puissent ces derniers savoir qu’elle est mieux connue, mieux diffusée, plus utilisée dans les pays de langue anglaise (États-Unis, Canada, Australie, Afrique du Sud, etc.) qu’en France. Ainsi en témoignent la référence [7], les cours postuniversitaires organisés en Amérique du Nord ou en Australie, etc., par nousmêmes et diverses personnes, mais aussi dans des pays considérés en Europe — par dérision, sans doute, ou par antiphrase – comme pays en voie de développement tels que le Chili et le Brésil. Entre autres… !
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Échantillonnage
E N
par Pierre GY Ingénieur de l’École supérieure de physique et de chimie industrielles de la ville de Paris (ESPCI) Docteur-ingénieur, Docteur ès sciences Ingénieur-conseil
Bibliographie Références [1]
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[6]
[7]
[8]
vier 1967), 188 p. Tome 2 : Théorie générale (fin ) et Erreurs opératoires , Numéro spécial, Revue de l’Industrie Minérale,15 septembre 1971, 280 p. BROUSSAUD (A.) et CLIN (F.). – Logiciels ECHANT (français) et SAMP (anglais). Réso- lution de problèmes d’échantillonnage selon la théorie de Pierre Gy . Bureau de Recherches Géologiques et Minières, Orléans, France. PITARD (F.F.). – Pierre Gy’s sampling theory, sampling practice. CRC Press, Boca Raton, Florida. Ouvrage en deux volumes 1989. Statistique appliquée à l’exploitation des mesures. Publié par la CETAMA chez Masson, 1986.
[9]
[10]
[11]
GY (P.). – Sampling of heterogeneous and dynamic material systems. Elsevier, Amsterdam,1992, 653 p. GY (P.). – L’échantillonnage des lots de matière en vue de leur analyse. Masson, Paris, 1996, 148 p. GY (P.). – Sampling materials for analytical purposes. Traduction de [10] par A.G. Royle. À paraître chez John Wiley, Londres, en 1998.
Dans les Techniques de l’Ingénieur ALLEN (T.). – Granulométrie. Traité Analyse et Caractérisation P 1040 (1988) vol. P2.
Logiciels ECHANT (français), se reporter à la référence [6].
SAMP (anglais), se reporter à la référence [6].
Adresses électroniques e-mail de l’auteur : gy @pierregy.com
site Internet « échantillonnage » : http://www.imcn.mc/pierregy.com/ échantillonnage.
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Doc. P 220 − 1
S A V O I R P L U S
P O U R
Échantillonnage par Pierre GY Ingénieur de l’École supérieure de physique et de chimie industrielles de la ville de Paris (ESPCI) Docteur-ingénieur, Docteur ès sciences Ingénieur-conseil
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BROUSSAUD (A.) et CLIN (F.). – Logiciels ECHANT (français) et SAMP (anglais). Réso- lution de problèmes d'échantillonnage selon la théorie de Pierre Gy . Bureau de Recherche Géologiques et Minières, Orléans, France. PITARD (F.F.). – Pierre Gy’s sampling theory, sampling practice . CRC Press, Boca Raton, Florida. Ouvrage en deux volumes 1989. Statistique appliquée à l'exploitation des mesures . Publié par la CETAMA chez Masson, 1986.
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Logiciels ECHANT 2 (français), se reporter à la référence [6], brgm.
SAMP (anglais), se reporter à la référence [6].
Adresses électroniques e-mail de l'auteur :
[email protected] brgm www.brgm.fr
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