Ch07

formule de Joukowsky (sur- & dépression) : h =

au ∆p a⋅Q =± 0 =± ρg g g⋅S

Chapitre 7

ETUDE DU COUP DE BELIER [ Marteau d’Eau ] [ Ondes élastiques ] Si l’un quelconque des appareils en service subit une variation dans le temps : ouverture ou fermeture de vannes, ralentissement ou accélération de la vitesse angulaire d’une pompe, changement d’ouverture d’une turbine, détente d’un gaz comprimé, variation du plan l’eau amont ou aval d’un réservoir, etc.…, la pression p et le débit Q varient aussi dans le temps en tous points du système [on dit : régime hydraulique varié ] : exemple du réservoir á niveau constant Ps = pression á la sortie h0 A R Caractéristique

OA = h 0 te

Ps = h 0 − C Q 2 O

Q

La caractéristique est obtenue en retranchant les pertes de charge de la dénivelée h 0 . HISTORIQUE : Historiquement au moyen âge pour enfoncer les portails des forteresses, les romains et les vikings utilisaient des troncs d’arbre dont l’avant avait la forme de tête de bélier, par ce moyen les envahisseurs parvenaient á ouvrir en enfonçant et en détruisant celles – ci par des coups répétés : disons qu’ils donnaient des coups de bélier aux portails. Par analogie les surpressions – dépressions qui se produisent dans un écoulement en charge par une variation quelconque du débit et la propagation de l’onde qui en résulte est bâtit : COUP DE BELIER … (Pour plus d’information sur la formulation mathématique < par la méthode des caractéristiques > de ce phénomène ainsi que les différents cas pratiques consultez l’ouvrage de Louis. BERGERON : DU COUP DE BÉLIER EN HYDRAULIQUE AU COUP DE FOUDRE EN ENECTRICITE Méthode graphique générale DUNOD Paris 1950 – pp 336). Dans la suite on présente une formulation simplifiée pour comprendre ce phénomène et ses mécanismes. E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-1 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

1) Généralité : Considérons une conduite, en charge, alimentée par un réservoir d’eau, le régime permanent étant établi : voir figure suivante

v〉0 Réservoirr

B

D

A

x〉0

L Si a un instant t, choisi égal á zéro comme origine des temps, on diminue la section de passage de la vanne A une surpression prend immédiatement naissance á proximité de la vanne A car le fluide avant l’arrêt total continu á couler en s’accumulant proche de A. Cette surpression de A va se propager vers B, où elle a beaucoup de chance de se réfléchir en une dépression se propageant vers A, et ainsi de suite : trains d’ondes qui s’amortissent á la longue. L’importance de la surpression sera fonction de la manœuvre de la vanne A, et du régime précédemment établi dans la conduite. 2) Mise en équation : On définit le coefficient de compressibilité par 1 ⎛ ∂V ⎞ 1 ⎛∂ρ ⎞ 1 ⎛ ∂V ⎞ 1 ⎛∂ρ ⎞ -1 -1 ⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ et χ S ↔ enthropie ≡ − ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ χ T ↔ température ≡ − ⎜⎜ V ⎝ ∂ p ⎠ T ρ ⎝ ∂ p ⎠T V ⎝ ∂ p ⎠S ρ ⎝ ∂ p ⎟⎠S 2 – 1 ) Hypothèses : A) La conduite est rectiligne uniforme, et de plus, mince et parfaitement élastique, ceci mous permettra de relier variation de section et variation de pression. B) Le fluide, bien que peu compressible, a un coefficient de ⎛ dp ⎞ compression χ constant [ χ T = ρ ⎜⎜ ⎟⎟ ]. Ce module, pour les ⎝ dρ ⎠ T

liquides, est sensiblement égal au coefficient de compressibilité adiabatique χ S = χ T = χ et sa valeur peu fonction de la température. C) Le fluide est supposé non visqueux. Les vitesses u , les pressions ∧

motrices p = p + ρ g z sont constantes dans une section droite [débitante]. E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-2 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

D) Nous ne tiendrons pas compte des efforts longitudinaux sur la conduite qui seront ‘’ absorbés’’ par les dispositifs d’ancrage. D E) Pour calculer les dérivées particulaires nous admettrons que Dt l’aspect ondulatoire du phénomène nous permettra d’écrire : D ∂ = : c – á – d l’advection négligeable (théorie linéaire) Dt ∂t Cette dernière hypothèse devra être vérifier á la fin du calcul et sur des exemples. 2 – 2 ) Mise en équation : Nous allons immédiatement traduire ces hypothèses sous forme d’équation a) Elasticité de la conduite : d’après les relations modifiées de la résistance des matériaux : La contrainte n e vaut : [ Voir : Notes sur Influence …ETC. p42 pour la justification ] formule des chaudières D D p ⋅ D = 2 e n e ⇒ n e = contrainte = p ⋅ ⇒ dn e ≈ ⋅ dp 2e 2e D • En introduisant le module d’YOUNG E de la conduite : dD ≡ dn e ⋅ E [ Caractérise l’élasticité des parois de la conduite ] dD dS π D2 D car S = alors Sachant que : =2 D S 4 dS 1 D = dp (1) e D S E e ne 10 2 E acier ≈ 2 ⋅ 10 Kg/m dD b) Equation d’état du fluide : 1 1 ⎛∂ρ ⎞ dρ 1 ⎟⎟ ≡ ⎜⎜ ⇒ = dp (2 ) : χ eau ≈ 2,07 ⋅ 108 Kg/m 2 χ ρ ⎝ ∂ p ⎠ T ou S ρ χ c) Equation de continuité :

S

x + dx

x

u (x )

u (x + dx )

La quantité de matière qui entre en x au temps t est ( ρSu )x et celle qui sort en x + dx au temps t est ( ρSu )x + dx . Pendant le temps dt la quantité de matière qui s’accumule vaut : d 2 m = [( ρSu )x − ( ρSu )x + dx ] ⋅ dt

E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-3 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

D’autre part, á l’instant t, la masse contenue entre x et x + dx vaut (dm )t = (ρSdx )t . A l’instant t + dt cette masse vaut (dm )t + dt = (ρSdx )t + dt la différence d 2 m s’écrit alors

d 2 m = [( ρSdx )t + dt − ( ρSdx )t ] ∂ (ρ S u ) = ∂ (ρ S) (3) Soit − ∂x ∂t d) Equation du mouvement : dynamique 1 ∂p Du (4 ) Euler =− ρ ∂x Dt D ∂ c – á – d on = Dt ∂t néglige l’advection (linéarisation) alors les équations [(1) á (4)] deviennent : dS 1 ⎛ D ⎞ (1) = ⎜ ⎟dp S E⎝ e ⎠ dρ 1 (2 ) = dp

En confondant la dérivée particulaire avec celle local

ρ

χ

∂ ( ρ S) = − ρ S ∂ u ∂t ∂x

(3)

1 ∂p ∂u (4 ) =− ∂t ρ ∂x D’autre part, on admet que : • S / variation de S, faible devant S0 S = S0 + S / oú • S0 section de passage en régime normal De même pour linéariser les équations on pose : ⎧ρ = ρ0 + ρ / ⎪⎪ ρ / , p / , u / ↔ Les effets du coup de bélier / = + avec p p p ⎨ 0 {ρ 0 , p 0 , u 0 } ↔ Les valeurs en régime normal ⎪ / = + u u u ⎪⎩ 0 La prime ‘ / ’ signifie les variations par rapport aux valeurs normales. Ces 4 relations deviennent :

{

}


• •

dS / 1 D 0 / = dp S0 E e

(1)

dρ /

(2 )

ρ0

=

1

χ

dp /

(

)

•

∂ / ∂ u/ / / / ρ S 0 + ρ 0S + ρ S = − ρ 0S0 ∂t ∂x

(3)

•

1 ∂ p/ ∂u/ =− ρ0 ∂ x ∂t

(4 )

En éliminant S/ et ρ / de ces 4 équations, nous obtenons : ⎛ D0 ∂ u/ 1 ⎞ ∂ p/ ♦ ⎜⎜ + ⎟⎟ =− ∂x ⎝E⋅e χ ⎠ ∂t

(a1)

1 ∂ p/ ∂u/ (b1) ♦ =− ρ0 ∂ x ∂t En prenant pour origine des x, le distributeur (point A) (voir figure), ces 2 équations deviennent : ⎛ D0 1 ⎞ ∂ p/ ∂ u / ⎜⎜ (a2) + ⎟⎟ ⋅ = ∂x ⎝E⋅e χ ⎠ ∂t 1 ∂ p/ ∂ u / = ρ0 ∂ x ∂t

(b2 )

En éliminant u / ou p / de l’une de ces 2 équations, et en reportant dans l’autre, et en posant : • p / = ρ 0 gh

χ ⋅ ρ0

⎧désigne la célérité des ondes planes (Allievi 1904) 1 ↔ a:⎨ Dχ ⎩se propageant dans le milieu fini 1+ e E c = χ ρ0 : désigne la célérité des ondes planes se propageant dans le c tend vers même milieu mais infini : D ⎯⎯ ⎯⎯→ +∞ ainsi : a = ⎛D⎞χ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ e ⎠E Ces 2 relations deviennent : • a=

(

)


Postulat → 1 ∂ h ∂ 2h (A ) ⋅ = a2 ∂ t2 ∂ x2 2

1 ∂ 2u / ∂ 2u / (Β ) ⋅ = a2 ∂ t2 ∂ x2

une variation d' état ou de régime provoquée en un lieu d' une conduite , se propage de part et d' autre sous forme d' onde plane

↔Equations d’ONDES de pression (prorogatives)

x⎞ ⎛ x⎞ te ⎛ • F⎜ t − ⎟ + f ⎜ t + ⎟ = h + C a⎠ ⎝ a⎠ ⎝ L’intégration de ces 2 relations donne : x⎞ ⎛ x⎞ te ⎛ • G ⎜ t − ⎟ + g⎜ t + ⎟ = u / + C a⎠ ⎝ a⎠ ⎝ Compte tenu des relations différentielles existantes entre p / (ou h ) et u / on x⎞ x⎞ ⎛ ⎛ Aval onde d' amont • h = F⎜ t − ⎟ + f ⎜ t + ⎟ f a⎠ a⎠ ⎝ ⎝ peut écrire: g ⎡ ⎛ x⎞ ⎛ x ⎞⎤ x • u = u 0 − ⋅ ⎢F⎜ t − ⎟ − f ⎜ t + ⎟⎥ F onde d' aval a ⎣ ⎝ a⎠ ⎝ a ⎠⎦ ⎧ variation de pression = h = F + f on a ⎪ c - á - d : En x et á l' instant t donnés ⎯⎯⎯→⎨ a a ( ) variation de vitesse ⋅ = u −u =F−f ⎪ g g 0 ⎩ Ces 2 relations sont dites d’Allievi : équations fondamentales du régime varié dans les conduites. [L. Allievi (1895 – 1942) : Téoria generale del

(

)

moto pertubado dell’acqua nei tubi in pressione , Milan 1903 , Teoria del colpo d’ariete, Milan 1913 { traduit en français par Allievi – Gaden : Théorie du coup de bélier, Dunod, Paris 1921} …].

Remarque : l’eau á 150 C : a = 1425m / s [ χ ≈ 2,07 ⋅ 10 4 Κg.cm -2 ≈ 2,15 × 10 9 Ν ⋅ m -2 ] ♣ Pour une conduite mince en acier : ⎡ D • = 100 E ≈ 2,15 10 6 Kgf/cm 2 Et ⎢ e On obtient pour a une valeur : a = 1017m/s ⎢ 3 3 ⎣⎢• ρ = 10 Kg/m Remarque : Il faut maintenant vérifier hypothèse de linéarisation : ∂u g / ⎫ = 2 F +f/ ⎪ ∂x a ∂u ∂u g ⎪ 〈〈 u et comme u est de la forme [F − f ] alors ⎬⇒ g / ∂u ∂x ∂t a / ⎪ =− F −f ⎪⎭ a ∂t

(

)

(

)


u

g ⎡⎛ u ⎞ ∂u ∂u ⎛ u⎞ ⎤ + = − ⎢⎜1 − ⎟F / − ⎜1 + ⎟f / ⎥ a ⎣⎝ a ⎠ a⎠ ⎦ ∂x ∂t ⎝

u sont très petits [u étant de l’ordre de quelque m/s au a u ∂u ∂u g ∂u ≈ − F/ − f / = + maximum] : 〈〈1 . Dans ce cas : u a a ∂t ∂x ∂t L’hypothèse (e) est bien vérifiée. dS Remarque : Si la conduite n’est pas mince, paroi épaisse, la loi = f (dp ) S n’est plus celle énoncée. Dans ce cas, on obtient pour a, l’expression : ⎧ D : diamétre intérieur ⎫ c a= avec ⎨ 1 ⎬ de la conduite D : diamétre extérieur ⎩ 2 ⎭ D 22 + D12 χ 1+ 2 ⋅ Ε D 22 − D12 Les termes en

[

( (

]

) )

x⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 2 – 3 ) Relation entre les fonctions d’onde F⎜ t − ⎟ et f ⎜ t + ⎟ : a⎠ a⎠ ⎝ ⎝ Nous admettrons – ce qui paraît intuitif, mais que nous justifierons dans la suite – qu’á l’extrémité amont B de la conduite, de longueur L la surpression h est nulle á tout instant. Soit : L⎞ ⎛ L⎞ ⎛ h (L, t ) = F⎜ t − ⎟ + f ⎜ t + ⎟ = 0 a⎠ ⎝ a⎠ ⎝ L m = t + En posant : alors D a u〉0 Réservoirr B 2L ⎞ ⎛ A f (m ) = − F⎜ m − ⎟ a ⎠ ⎝ x〉0

amont

L

aval

Cette identité est valable, quel que soit m, en particulier lorsque m = t +

L . a

L⎞ 2L − x ⎞ ⎛ ⎛ Soit : f ⎜ t + ⎟ = − F⎜ t − ⎟ . Ceci a pour conséquence, en remplaçant a⎠ a ⎠ ⎝ ⎝


L⎞ L⎞ ⎛ ⎛ f ⎜ t + ⎟ par son expression en fonction de F⎜ t − ⎟ dans les 2 équations a⎠ a⎠ ⎝ ⎝ p/ x⎞ 2L − x ⎞ ⎛ ⎛ • h= = F⎜ t − ⎟ − F⎜ t − ⎟ ρg a⎠ a ⎠ ⎝ ⎝ d’Allievi : g ⎡ ⎛ x⎞ 2L − x ⎞⎤ ⎛ • u / = u 0 − ⋅ ⎢F⎜ t − ⎟ + F⎜ t − ⎟ a ⎣ ⎝ a⎠ a ⎠⎥⎦ ⎝ En posant θ = 2L a : c’est le temps mis par une onde pour effectuer un aller et retour dans la conduite et [en x = 0 {distributeur (vanne)} ] on a alors : (5) • h = F(t ) − F(t − θ ) g • u / = u 0 − ⋅ [F(t ) + F(t − θ )] (6 ) a On constate que dans ces 2 groupes d’équations une seule fonction F est inconnue. 2 – 4) Etude d’une fermeture totale instantanée : N. B. : Le mode opératoire, qui est décrit est général : il est valable lors d’une fermeture, ou d’une ouverture, lente ou rapide, d’un distributeur : On étudie ce qui se passe au distributeur pendant le temps t compris entre 0 et θ , puis θ et 2θ LL La conduite étant initialement parcourue par Q courant uniforme : u 0 = 0 , on ferme complètement le distributeur au s0 temps : t = 0 . Nous nous proposons tout d’abord d’étudier comment varie la surpression h á l’extrémité aval de la conduite. D’après les équations 5 et 6 d’Allievi, on a pour des instants t ≥ 0 : ⎧h = F(t ) − F(t − θ ) ⎪ ⎨ au 0 ⎪ g = [F(t ) + F(t − θ )] ⎩ Remarquons tout d’abord que l’onde de retour [F(t − θ )] n’apparaît au 2L . distributeur qu’au bout du temps θ : θ = a Si t1 désigne un temps quelconque de l’intervalle 0 á θ, d’après la seconde des équations ci – dessus : F(t1 ) = au0 g Connaissant ainsi F(t ) dans le premier intervalle de temps [0,θ ] , celle – ci est déduite á n’importe quel instant. On a en effet, successivement : E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-8 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

au 0 : t 2 = t1 + θ − F(t1 ) g au F(t 3 ) = 0 − F(t 2 ) : t 3 = t 2 + θ = t1 + 2θ g → LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL → au F(t n +1 ) = 0 − F(t n ) : t n +1 = t n + θ = t1 + nθ L → L g F(t1 + θ ) = 0 F(t 2 ) =

F(t1 + 2θ ) =

Soit :

au 0 g

1 + (− 1)n au 0 ⋅ L ⎯ETC. ⎯⎯→L F(t1 + nθ ) = 2 g D’où le graphe de la fonction F(t ) , et par suite celui de la fonction F(t - θ ) :

F(t )

au 0 t F(t - θ )

g

au 0 g Αu distributeur : x = 0

h x = 0 = h (x = 0, t ) T0 = 2θ

2L θ= a

t

θ

Fig1 : Fermeture instantanée d’un distributeur (vanne)


⎛ x⎞ F⎜ t - ⎟ ⎝ a⎠

x a

2L - x a

au 0 g

t ⎛ 2L - x ⎞ F⎜ t ⎟ a ⎠ ⎝

θ−

x a

x a au 0 g

t

h (x , t )

Α la distance : x ≠ 0

t x a u/

θ

x a + u0 t − u0

Fig2 : Fermeture instantanée d’un distributeur (vanne) [suite : Fig1] On a déduit immédiatement, la courbe représentant les variations de surpression : h x = 0 = F(t ) − F(t − θ ) . On observe ainsi une série d’intervalles successifs θ, pendant lesquels h a ⋅ u0 a ⋅ u0 passe alternativement de la valeur á la valeur − ; la période g g 4L d’oscillation du phénomène est : T0 = 2θ = a


Exprimée en hauteur d’eau, la pression au distributeur varie donc entre les a ⋅ u0 a ⋅ u0 limites : p 0 − et p 0 + ( les variations de pression s’ajoutent g g algébriquement á la pression régnante normalement en chaque point M considéré ) a ⋅ u0 Le terme a habituellement une valeur très grande, pour g a = 1000 m/s⎫ a ⋅ u 0 = 500m d' eau ≈ 50 Atmosphère ⎬⇒ u 0 = 5 m/s ⎭ g Il est donc á craindre, d’une part, que la conduite et son équipement ne résiste pas á l’effet de telles surpressions et, d’autre part, que le phénomène de cavitation apparaisse du fait des dépressions. Cherchons maintenant á déterminer comment évoluent en fonction du temps, la vitesse u et la surpression h, en un point quelconque M, d’abscisse x. On a vu que : x⎞ 2L − x ⎞ ⎛ ⎛ • h (x, t ) = F⎜ t − ⎟ − F⎜ t − ⎟ a⎠ a ⎠ ⎝ ⎝ g ⎡ ⎛ x⎞ 2L − x ⎞⎤ ⎛ • u / (x, t ) = u 0 − ⋅ ⎢F⎜ t − ⎟ + F⎜ t − ⎟ a ⎣ ⎝ a⎠ a ⎠⎥⎦ ⎝ La fonction F(m ) est connue. x 2L − x , on obtient alors les En posant successivement m = t − et m = t − a a x⎞ 2L − x ⎞ ⎛ ⎛ variations de F⎜ t − ⎟ et de F⎜ t − ⎟ . On en déduit après les a⎠ a ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ x⎞ ⎛ 2L − x ⎞ translations respectives ⎜ − ⎟ et ⎜ − ⎟ de l’axe des abscisses, les a ⎠ ⎝ a⎠ ⎝ x⎞ 2L − x ⎞ ⎛ ⎛ courbes donnant les variations de F⎜ t − ⎟ et F⎜ t − ⎟ , en fonction de a⎠ a ⎠ ⎝ ⎝ t , en un point M d’abscisse x(voir figure 2) : d’où le graphe de h (t ) et u (t ) au point M. On constate que la période du phénomène est toujours 2θ et a ⋅ u0 a ⋅ u0 que la surpression h varie toujours entre − et + . Par contre, le g g temps pendant lequel la conduite est en surpression, ou en dépression, 2(L − x ) 2x n’est pas θ , comme au distributeur , il se réduit á =θ − . a a E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-11 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

Ainsi toutes les sections de la conduite, l’extrémité amont exceptée, sont ⎛ a ⋅ u0 ⎞ ⎟⎟ . donc soumise au coup de bélier maximum, d’amplitude ⎜⎜ + g ⎝ ⎠ Nous avons admis jusqu’ici que la fermeture du distributeur (vanne) était instantanée. Ce qui est physiquement inacceptable. Les résultats que nous avons obtenus sont d’ailleurs entachés d’une incertitude puisque nous observons une onde de choc et que, dans ces conditions, l’hypothèse de continuité, admis pour établir les équations d’Allievi, n’est plus valable. Il convient donc de reprendre l’étude précédente en considérant que la fermeture du distributeur s’effectue pendant un temps τ fini. Deux cas 2L seront á considérer suivant que τ est inférieur ou supérieur á θ = . a En effet : • Dans le premier cas [ τ 〈θ ], l’onde F atteint sa valeur maxima au distributeur avant que l’onde réfléchie f , de signe contraire, n’atteigne celui – ci : des lors, on peut prévoir que le coup de bélier sera particulièrement brutal, du moins au distributeur. • Dans le deuxième cas [ τ 〉 θ ], l’onde F n’aura pas atteint sa valeur maxima au moment où l’onde réfléchie f se manifeste au distributeur : le coup de bélier sera certainement moins violent que précédemment.

(

)

Q m 3 / s = S.v = Se .v e

section : S

section de sortie Se (vitesse v e ) Pour turbine Pelton

pointeau réglable DISTRIBUTEUR : injecteur

2 – 5 ) Etude d’une fermeture brusque et complète : On dit qu’une manœuvre de fermeture est brusque lorsqu’elle se produit en un temps τ, inférieur á θ. La fermeture est complète si elle correspond á un arrêt total du débit, dans le cas contraire on dit qu’elle est partielle. Supposons connue la loi donnant, durant le temps τ, la vitesse u au distributeur ; d’après les hypothèses faites on a donc : E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-12 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

u = u 0 1 − φ (t )

pour 0 〈 t 〈 τ

φ (t ) étant une fonction connue , variant de 0 á 1 lorsque t varie de 0 á τ ; u = 0 pour t 〉 τ . Si t1 désigne un temps inférieur á θ, l’onde F(t − θ ) n’est pas encore au distributeur, de sorte que l’on a, d’après l’équation (6) : au • F(t1 ) = 0 φ (t1 ) pour t1 〈 τ g au • F(t1 ) = 0 pour τ 〈 t1 〈θ g Soit maintenant, un instant t 2 = t1 + θ de l’intervalle θ, 2θ . Comme u est nul au • F(t 2 ) = 0 [1 − φ (t 2 )] pour t 2 〈θ + τ g au distributeur, on a simplement : • F(t 2 ) = 0 pour θ + τ 〈 t 2 〈 2θ D’où le graphe suivant de la fonction F(t ) dans l’intervalle 0 á 2θ : F(t ) τ

t

τ

θ

F(t - θ ) t

h x = 0 = h (x = 0, t )

θ +τ τ

2L θ= a

au 0 g

2θ t

Fig3a Fermeture brusque et compléte du distributeur : x 〈 x c

Pour t 〉 2θ la courbe représentative de la fonction F(t ) s’obtient immédiatement en remarquant que cette fonction est périodique, de période 2θ ; on a en effet, pour t 〉 τ : a u0 a u0 = F(t ) + F(t − θ ) , = F(t + θ ) + F(t ) g g et par suite :


F(t + θ ) = F(t − θ ) La fonction F(t ) étant ainsi connue, quel que soit t, on en déduit immédiatement les fonctions F(t − θ ) et h x = 0 = F(t ) − F(t − θ ) . au au On constate que la surpression au distributeur varie entre − 0 et + 0 g g comme dans le cas d’une fermeture instantanée. Par contre, le temps pendant lequel la contrainte est maxima se trouve réduite de θ á θ − τ . Pour déterminer la surpression h dans une section d’abscisse x, la méthode est identique á celle que nous avons utilisée dans le paragraphe précédent, nous tracerons, au préalable, les courbes représentant les te 2L − x ⎞ x⎞ ⎛ ⎛ variations de F⎜ t − ⎟ et F⎜ t − ⎟ en fonction de t á x = C . a ⎠ a⎠ ⎝ ⎝ ⎛ 2[L − x] ⎞ Deux cas sont á considérer selon la valeur du déphasage ⎜ ⎟ de a ⎠ ⎝ ces courbes. 2[L − x] a 1. Supposons que l’on ait : 〉 τ soit : x 〈 L − τ a 2 • Les courbes représentées sur les figures (3a) au – dessus, montrent que l’amplitude maximum h max du coup de bélier est a u0 ; le temps pendant lequel s’exerce cette encore égale á g 2x contrainte maxima est égal á : θ − τ − . a a 2. Supposons maintenant que l’on ait : x 〉 L − τ 2 • Dans ce cas, l’amplitude maximum du coup de bélier est a u0 inférieure á ; h max diminue progressivement depuis la valeur g a u0 a , jusqu’à zéro , lorsque x augmente de x c = L − τ á L g 2 (voir figure 3b au – dessous ) . La loi de variation h max (x ) , liée á la loi de fermeture du distributeur (vanne), pourra être établie dans chaque cas particulier.


⎛ x⎞ F⎜ t - ⎟ ⎝ a⎠

x a

τ

x⎞ ⎛ F⎜ t - θ - ⎟ a⎠ ⎝

t

θ

h (x )

au 0 g t

τ τ

x a

τ

2θ t

2L θ= a

x a Fig3b Fermeture brusque et compléte du Distributeur : x 〉 x c Nous avons donc mis en évidence l’existence d’une section particulière (S c ) d’abscisse : x c = L − a τ 2 Pour x〈 x c , le coup de bélier est aussi important , bien que plus faible durée , que dans le cas d’une fermeture instantanée. Par contre pour x〉 x c on observe une réduction de l’amplitude de ce coup de bélier. Ces résultats auraient pu être rétablie immédiatement. En effet, dans une section d’abscisse x, la première onde de surpression atteint sa valeur x tandis que l’onde de dépression correspondante maxima á l’instant τ + a 2L − x . se manifeste, dans cette même section, á l’instant a Dans ces conditions, le coup de bélier ne pourra être induit que si l’on a : 2L − x x a ⋅τ ⎞ ⎛ 〈τ + ⇒ x 〉 x c avec x c = ⎜ L − ⎟ a a 2 ⎠ ⎝ Sur les figures (4a – 4b ) nous dessinons les courbes correspondant au cas où la loi de fermeture du distributeur (vanne) serait de la forme : E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-15 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

u t⎞ ⎛ t u = u 0 ⎜1 − ⎟ pour t 〈 τ ↔ linéaire → ⎝ τ⎠ Les premières courbes correspondant aux sections pour lesquelles x〈 x c et les secondes aux sections pour lesquelles x〉 x c . ⎛ x⎞ τ τ x F⎜ t - ⎟ ⎝ a⎠ a

x⎞ ⎛ F⎜ t - θ - ⎟ a⎠ ⎝ h (x )

τ

x a ⎛ x⎞ F⎜ t - ⎟ ⎝ a⎠

t

2θ

θ

τ

θ=

t

t

2L a

x a

Fig4a Fermeture linéaire d' un Distributeur : x 〈 x c

t

x⎞ ⎛ F⎜ t - θ a⎠ ⎝

θ

2θ

h(x )

t

L - x au 0 L - xc

g

t x a

x a

Fig4b Fermeture linéaire d' un Distributeur : x 〉 x c E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-16 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

hmax au0 g

Fig4c

xc

L

x

Dans une section d’abscisse x supérieure á x c l’amplitude h max (x ) du coup de bélier a pour expression : 2 (L − x ) ⎛ a u 0 ⎞ ⎡1 ⎤ ⎟⎟ varie en ⎢ ⎥ h max = ⋅ ⎜⎜ a ⋅τ ⎣τ ⎦ ⎝ g ⎠ Soit : L − x ⎛ a u0 ⎞ a ⋅τ ⎞ ⎛ ⎟⎟ où x c = ⎜ L − h max = ⋅ ⎜⎜ ⎟ L − xc ⎝ g ⎠ 2 ⎠ ⎝ Depuis la section (Sc ) jusqu’à l’extrémité amont de la conduite, la répartition du coup de bélier est donc linéaire (voir Figure 4c). 2 – 6 ) Etude d’une fermeture lente et complète : Nous venons de monter que si τ 〈 θ , toutes les sections d’abscisse x 〈 x c a u0 sont le siège de surpression et de dépression dont l’amplitude a g généralement une valeur inadmissible. En pratique, on est donc amené á n’envisager que des fermetures ‘’lentes’’ c’est – á – dire dont la durée τ est supérieure á θ. Bornons-nous, ici, á étudier le cas particulièrement simple pour lequel la loi de fermeture du distributeur (vanne) est donnée par les relations : t⎞ ⎧ ⎛ ⎪ u = u 0 ⎜1 − ⎟ pour t 〈 τ ⎝ τ⎠ ⎨ ⎪ u=0 pour t 〉 τ ⎩ τ étant un multiple de θ , que nous écrirons : τ = k ⋅ θ ↔ k étant un entier 〉 1 Nous cherchons, tout d’abord, á déterminer la fonction F(t ) pour t 〈 τ . E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-17 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

En désignons par t1 un instant quelconque de l’intervalle [0 , θ ] on a successivement : t au F(t1 ) = 1 ⋅ 0 τ g

⎛ t + θ t1 ⎞ au 0 θ au 0 F(t1 + θ ) = ⎜ 1 − ⎟⋅ = ⋅ τ⎠ g τ g ⎝ τ ⎛ t + 2θ θ ⎞ au 0 ⎛ t1 θ ⎞ au 0 F(t1 + 2θ ) = ⎜ 1 − ⎟⋅ =⎜ + ⎟⋅ τ ⎠ g ⎝τ τ ⎠ g ⎝ τ ⎛ t + 3θ t1 θ ⎞ au 0 2θ au 0 F(t1 + 3θ ) = ⎜ 1 − − ⎟⋅ = ⋅ g τ τ⎠ g τ ⎝ τ

→ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL → ⎛ nθ ⎞ au 0 F[ t1 + (2n − 1)θ ] = LLLLLLLL = ⎜ ⎟⋅ ⎝ τ ⎠ g nθ ⎞ au 0 ⎛t F[ t1 + 2n θ ] = LLLLLLLLL = ⎜ 1 + ⎟⋅ τ ⎠ g ⎝τ

→ LLLLLLLLLLLLLLLLLLETC. → Cette suite doit être arrêtée á l’une des relations suivantes selon la parité de k =

τ : θ

⎛ pθ ⎞ au 0 1 au 0 F[ t1 + (2n - 1) θ ] = ⎜ pour k = 2p = ⋅ ⎟⋅ 2 g ⎝ τ ⎠ g ⎛ t pθ ⎞ au 0 ⎛ 1 θ t1 ⎞ au 0 F[ t1 + 2n θ ] = ⎜ 1 + = ⎜ − + ⎟⋅ pour k = 2p + 1 ⎟⋅ τ ⎠ g ⎝ 2 2τ τ ⎠ g ⎝τ Pour t 〉 τ on a : au F(t ) + F(t − θ ) = 0 g Et par suite selon la parité de k :


♣(a ) → F[ t1 ] =

1 au 0 ⋅ 2 g

pour k =

τ = 2p θ

ou 1 au 0 ⎛ t1 θ ⎞ au 0 ⋅ −⎜ − ⎟⋅ 2 g ⎝ τ 2τ ⎠ g θ ⎞ au 1 au ⎛t F[τ + t1 + θ ] = ⋅ 0 + ⎜ 1 − ⎟ ⋅ 0 2 g ⎝ τ 2τ ⎠ g LLLLLLLLLLLLLLL

♣(b ) → F[τ + t1 ] =

θ ⎞ au τ 1 au 0 ⎛t ⋅ − (− 1) p ⎜ 1 − ⎟ ⋅ 0 pour k = = 2p + 1 θ 2 g ⎝ τ 2τ ⎠ g Nous somme maintenant en mesure de tracer la courbe représentant F(t ) et d’en déduire comment varie la surpression h x = 0 au distributeur, et la surpression h x dans toute section d’abscisse x. Les deux courbes représentées sur les figures (5a) et (5b) correspondant respectivement aux 2 cas : τ = 2pθ et τ = (2p + 1)θ F[τ + t1 + pθ ] =


1 au 0

τ = 2k ⋅ θ

F(t )

k ∈ ΙN

2 g

θ au 0

t

τ g θ

1 au 0 2 g

2θ

F(t - θ )

3θ

4θ

τ − 2θ τ − θ

τ

θ au 0

t

τ g 2θ

θ

τ −θ

τ

h x = 0 (t ) θ au 0

t

τ g θ 1 au 0 2 g

2θ

⎛ x⎞ F⎜ t - ⎟ ⎝ a⎠

τ −θ

τ

x a

θ au 0

t

τ g

⎛ F⎜ t ⎝

θ -x 2L

a

⎞ ⎟ ⎠

2θ

τ −θ

τ

(2L - x) a

h (x )

τ −θ

θ

ττ

t

t Figure (5a) : τ = 2 k θ E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-20 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

au 0 τ + θ g 2τ

τ = (2k + 1) ⋅ θ

F(t )

k ∈ ΙN

θ au 0

t

τ g θ

2θ

F(t - θ )

3θ

4θ τ − θ

τ

τ +θ

θ au 0

t

τ g 2θ

θ

τ −θ

τ

τ +θ

h x = 0 (t ) +

−

θ au 0 τ

g

θ au 0 τ g θ

θ − τ au 0 2τ g

⎛ ⎝

F⎜ t -

2θ

x⎞

⎟ a⎠

3θ

τ −θ

x a

τ

t

τ +θ

τ

θ au 0

t

τ g

⎛ ⎝

F⎜ t -

2Lθ - x ⎞ a

⎟ ⎠

(2L - x) a

h (x )

τ

τ

t

t Figure (5b) : τ = (2 k + 1)θ


On constate que, quelle que soit la parité de k, l’amplitude du coup de bélier est donnée par les relations suivantes : • Au distributeur : x = 0

a ⋅ u 0 1 au 0 θ 2L ⋅ u 0 ⋅ = ⋅ = g k g τ g ⋅τ • Dans une section d' abxcisse ' ' x' ' : h max =

avec : u 0 =

Q0

S

p max (x ) ⎛ x ⎞ 2L ⋅ u 0 = ⎜1 − ⎟ ⋅ ρg ⎝ L ⎠ g ⋅τ Ce sont les formules de Michaud, qui demeurent d’ailleurs valables h max (x ) =

même si k =

τ n’est pas un nombre entier. Elles présentent l’avantage de θ

ne pas faire intervenir la célérité a sur laquelle règne une certaine incertitude du fait des hypothèses admises. En particulier, celles qui sont relatives á la déformation de la conduite. [ J. Michaud : coup de bélier dans les conduites, Bull. de la Soc. Vaudoise des Ing. et Arch. , 1878]. Ainsi ces formules sont – elles très utilisées en pratique, dans tous les cas où la fermeture du distributeur (vanne) est progressive, bien qu’en toute rigueur, elles ne doivent être appliquées que si la loi de fermeture est de la ⎡ ⎛ t ⎞⎤ forme linéaire : u = u 0 ⎢1 − ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ τ ⎠⎦ 2 – 7 ) Détermination expérimentale de la célérité a par la méthode de la dépression brusque : Les hypothèses admises pour calculer a ne sont généralement pas valables dans le cas d’une installation industrielle. Il est dont prudent de déterminer expérimentalement la valeur de a. Monsieur Camichel a proposé la méthode suivante : Le distributeur étant initialement fermé, et si le fluide état au repos, on crée une petite dépression en ouvrant et en refermant un robinet de purge R disposé á l’extrémité aval de la conduite ; la manœuvre dure un temps très court τ (voir figure 6). R Robonet

Figure(6 )

capteur enregistreur


Le passage des ondes successives est enregistré grâce á un capteur de pression disposé, á l’extrémité aval de la conduite. On obtient ainsi un enregistrement dont les caractéristiques sont indiquées sur la figure (7) :

h x =0 2a 95

Q max a 95

−

a 95

−

2a 95

Q max

θ θ t

Q max

θ

Q max

Figure (7 ) : Enregistrement

( Q max désigne la valeur maxima du débit évacué durant la manœuvre du robinet R . La mesure se déduit immédiatement de celle de celle de θ , ou mieux, de l’un de ses multiples). 2 – 8 ) Phénomène de résonance dans les conduites : Il est possible de faire entrer en résonance une conduite, dont (la vanne) le distributeur est fermé, on disposant á l’extrémité aval de celui – ci un robinet que l’on fait tourner á vitesse variable. La résonance s’établit lorsque la période T des ouvertures et des 4L fermetures du robinet devient égale á la période propre 2θ = de la a conduite. On démontre sans difficulté qu’á la fin du régime transitoire, la pression au distributeur varie de 0 á 2p 0 où p 0 est la pression statique, et que le débit du robinet est constamment nul. L’expérience confirme ces résultats ; cependant le débit n’est pas rigoureusement nul á cause des frottements. La courbe représentée sur la figure (8a) en dessous donne les variations de l’amplitude de la surpression le long de la conduite ; celle – ci vibre en ‘quart – d’onde’. A fin qu’il ait résonance la conduite il faut que l’organe d’obturation ouvre et se ferme de manière rythmique.


h max

λ1 = 4L fondamental

h max

Fig(8a)

Fig(8b) L

h max

λ2 = 2L

x

L h max

4 3

λ3 = L

harmoniques

x

λ4 = L Fig(8d)

Fig(8c)

L

L

x

x

Les figures(8) : Modes de mises en résonance En augmentant la vitesse de rotation du robinet, de manière á atteindre des valeurs multiples de la précédente, on peut mettre également en résonance les harmoniques du fondamental. Pour l’harmonique 2, la conduite vibre en ‘demi – onde’ ; pour l’harmonique 3, elle vibre en ‘trois quart d’onde’ (figures 8a á 8d). 2 – 9 ) Clapet automatique, moteur hydraulique synchrone : Remplaçons le robinet tournant, dispositif á l’aval de la conduite, par un clapet taré de telle sorte qu’il soit appliqué sur son siège sous l’action de la pression statique p 0 (voir figure 9) :

Figure (9): Clapet Appuyons sur l’extrémité de la tige du clapet de manière á décoller de son siège et laissons s’établir un régime permanent pour lequel la vitesse dans la conduite est u 0 . Au moment où on lâche le clapet, celui – ci est brusquement rabattu sur son siège. L’onde de surpression qui en résulte E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-24 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

au 0 ) , maintient le clapet fermé pendant le temps θ . Dans g au l’intervalle de temps θ á 2θ l’onde de dépression (− 0 ) se manifeste au g distributeur. Si le clapet est convenablement taré, c’est – á – dire si, pour la au pression : p 0 − γ ⋅ 0 [ ici (γ ≡ ρ ⋅ g) est le poids spécifique du fluide qui g remplit la conduite ] il n’est plus appliqué sur son siège, il se produit, dans cet intervalle de temps un écoulement qui amplifie d’ailleurs la dépression ; le clapet se referme alors brusquement, et ainsi de suite. Cette propriété a été mise á profit, par Monsieur Camichel, pour réaliser un moteur hydraulique synchrone dont le principe est le suivant : Au voisinage du clapet, que vient de décrire, on monte, sur la conduite un cylindre á l’intérieur duquel coulisse un piston relié á une roue par un système de bielle – manivelle (voir figure 10 au – dessous). d’intensité (

roue piston ressort

clapet

Figure(10): Moteur Hydraulique Synchrone Le piston est mis en mouvement du fait des surpressions et des dépressions provoquées par le mouvement du clapet. 2 – 10 ) Méthode graphique de Bergeron : Les caractéristiques 2 – 10 – 1 ) Principe de la méthode : Les équations de départ étant : E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-25 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

x⎞ ⎛ x⎞ ⎛ • h = F⎜ t − ⎟ + f ⎜ t + ⎟ a⎠ ⎝ a⎠ ⎝ x ⎞⎤ g ⎡ ⎛ x⎞ ⎛ • u = u 0 − ⋅ ⎢F⎜ t − ⎟ − f ⎜ t + ⎟⎥ a ⎣ ⎝ a⎠ ⎝ a ⎠⎦ En y introduisant les débits volumiques que l’on a á différents temps. Soit : Q = S ⋅ u et Q 0 = S0 ⋅ u 0 , La deuxième équation devient : a (Q − Q 0 ) = F − f − g ⋅S La première équation devient a (Q − Q 0 ) + 2F ou h = − a (Q − Q 0 ) + 2f h= g ⋅S g ⋅S Ces 2 équations sont susceptibles d’une interprétation graphique. En effet, soit h et Q la surpression et le débit á l’instant t á l’abscisse x, h est l’intersection des 2 droites en fonction de Q. caractéristique ΙΙ

h

h (x, t )

α ΙΙ

M

αΙ

F=C

Les droites caractéristiques : te

f =C

a ⎧ (Q − Q 0 ) + 2F h = ⎪⎪ g ⋅S ↔ ⎨ ⎪ h = − a (Q − Q ) + 2f 0 ⎪⎩ g ⋅S

te

caractéristique Ι

Q Q(x, t ) On remarque que le lieu des points correspondant á F = Cte est une droite a de pente tgα Ι = , le lieu des points correspondant á f = Cte est g ⋅S a également une droite de pente tgα ΙΙ = − , et dans les deux cas , pour g ⋅S différentes valeurs de F et f , on a affaire á des faisceaux de droites de a pentes ± [ dite épure de Bergeron ]. g ⋅S Remarquons ensuite que si la chambre de mise en charge (réservoir) est de grande dimension, le lieu des points représentant l’état de la section amont de la conduite est l’axe des abscisses (h = 0 ) . E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-26 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

En outre, le lieu des points représentatifs de l’extrémité lorsque du distributeur (vanne) est fermé, est Q = 0 (l’axe des ordonnées). La méthode consiste donc á suivre pas á pas l’évolution des fonctions F et f dans le temps et dans l’espace. Pour cela, il faut se rappeler que : • Si une onde d’aval prend la valeur F á l’instant t, á l’abscisse x, cette même onde garde la même valeur á l’instant (t + ∆t) á ∆x l’abscisse (x + ∆x) avec ∆t = . a • Si une onde d’amont prend une valeur f á l’instant t , á l’abscisse ∆x x , cette même onde garde la même valeur au temps t = t − á a l’abscisse (x − ∆x) . 3- COMPLEMENT SUR Réflexion et transmission d’ondes Quand il se produit un changement de section d’une conduite ou une variation de ses caractéristiques physiques (épaisseur, matériau → responsable du changement de la célérité des ondes dans le réseau industriel) : il en résulte une réflexion partielle des ondes principalement au niveau de ces discontinuités [une méthode consiste á décomposer la conduite en plusieurs tronçons ayant des caractéristiques constantes (application pratique de la méthode de Bergeron)]. A titre d’exemples on va présenter les cas de changement de section et celui d’un très grand réservoir de mise en charge : 3 –1 Cas d’un changement de caractéristique de la conduite :

S1

S2

S0

On peut écrire les équations d’Allievi de la manière suivante : ♣ h1 = F1 + f1 ♣ h 2 = F2 + f 2 et ♣ u1 = u 01 −

Or : u =

g (F1 − f1 ) a1

et

♣ u 2 = u 02 −

g (F2 − f 2 ) a2

Q et par conséquent : S


g ⋅ S1 (F1 − f1 ) a1

g ⋅ S2 (F2 − f 2 ) a2 ⎧Q = Q 2 ← conservation de la masse Comme dans la section S0 on a : ⎨ 1 ⎩h1 = h 2 ← continuité de la pression On en déduit alors que : • F2 + f 2 = F1 + f1 Q1 = Q 0 −

•

et

Q2 = Q0 −

S2 (F2 − f 2 ) = S1 (F1 − f1 ) a2 a1

♣ Exemple d’application : Soit le temps compris entre 0 et t 2 pour lequel l’onde de retour f 2 ne s’est pas encore manifestée alors : F2 = F1 + f1 S2 S F2 = 1 (F1 − f1 ) a2 a1 On en déduit, en éliminant F2 ou f1 des 2 équations : a S 1− 1 ⋅ 2 S1 a 2 2 F2 = F1 et f1 = F a1 a 2 a1 S2 1 1+ − 1+ ⋅ S1 S2 S1 a 2 b a a En posant : b1 = 1 , b 2 = 2 et m = 2 alors S1 S2 b1 2m m −1 F2 = F1 et f1 = F1 m +1 m +1 Considérons maintenant le temps t 〉 t 2 : l’onde de retour F2 est connue. Il suffit de respecter les conditions aux limites et de procéder de proche en proche.


3 – 2 Réservoir de grande dimension :

ρ

∂v ∂v ∂p =0 ⇒ + ρv + ∂t ∂x ∂x

L∂ v 1 ρ v 2x = 0 = (p 0 − p) − ρ ∫ dx 2 0 ∂t

Réservoir

F1

f1

B

f 1

D A

x

amont : p L

F1

aval: p 0 , v x = 0

x=0

On peut assimiler le réservoir comme une conduite dans la section est très S2 grande, c’est – á – dire que le rapport →∞. a2 Dans ce cas : F2 = 0 , f1 = −F1 Le coup de bélier ne se transmet pratiquement pas dans un réservoir. Il est donc légitime d’admettre que la surpression dans la section B est nulle. D’autre part, dans le cas où la section S2 n’est pas infinie, ce qui est généralement le cas, le résultat acquis reste valable, si toutefois les manœuvres sont effectuées lentement. Soit F2 , dans ce cas , une onde d’amplitude très faible , issus au temps t de la section B et qui se réfléchit á la surface libre du réservoir pour donner ∆t f 2 = − F2 au temps t + . 2 Apparaît alors une onde f 2 (t + ∆t ) = −F2 (t ) en B. La surpression en B devient : h B (t + ∆t ) = F2 (t + ∆t ) = − F2 (t ) h La cote h étant faible, ∆t = très faible est que l’influence en B des c dimensions finies du réservoir est nulle. Remarque : Dans le cas d’une cheminée d’équilibre une étude détaillée devient indispensable. C’est ce qu’on va étudier maintenant {$4}.


4.Cheminée d’équilibre [ Oscillations en masse (en bloc) ]

Une cheminée d’équilibre est un réservoir de section S finie. Un système hydraulique fondamental est schématisé par :

la retenue

cheminée d' équilibre

La galerie en charge S

organe d' obturation la conduite forcée

Sytéme Hydraulique fondamental

La galerie en charge est sensible aux oscillations de pression. Le rôle de la cheminée d’équilibre est de la protéger, en interceptant les ondes de pression provenant de la conduite forcée. Grâce á l’installation de cette cheminée on verra dans la suite qu’elle réduit les oscillations de pression dans la galerie en charge, on signale que la conduite forcée doit, dans la plupart des cas, être construite de manière qu’elle puisse supporter des coups de bélier considérables. 4 – 1 ) Généralités de mise en équation :

Un réservoir, généralement appelé chambre d’équilibre ou cheminé d’équilibre, judicieusement placé dans la conduite permettra d’éviter ou au moins d’amortir les coups de bélier. L’étude des cheminées d’équilibre repose sur les phénomènes d’oscillation en masse qui prennent naissance par suite de la présence d’une surface déformable : la surface libre. La figure suivante présente les éléments d’une cheminée d’équilibre simple. E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-30 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

z

pa

pa

B

origine des cotes S cheminée conduite

Réservoir A

V=

dz dt

V 〉 0 si ↑ haut bas

v 〉 0 de A vers C C s

Q L • Mise en équation : Egalité des débits au nœud : équation de continuité dz s ⋅ v =S⋅V + Q =S⋅ + Q dt Théorème de Bernoulli entre A et B : équation dynamique r ⎡ → ⎛ p ⎞ ⎛ → v2 1 ∂ v 1 → r r ⎞ ν r⎤ r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ∧ + + − ⋅ rot v v lap v z grad grad ⎢ ⎥ • dl = 0 ⇒ ⎜ ρg ⎟ ⎜ ⎟ g ∂ 2g g t g ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ r v2 1 ∂v → • d l + PCH 0=z+ + ∫ 2g g (A ⋅ B ) ∂ t Formule dans laquelle PCH représente les pertes de charge régulières et singulières entre A et B [exprimée en mètre du fluide]. → r • v et d l : sont toujours colinéaires. • La vitesse V (de C á B ) étant faible (S : cheminée de grande section ) . Les oscillations en masse, devant avoir une période grande, telle que la vitesse v soit, á chaque instant, la même dans toute la conduite (ceci devra être vérifié par la suite). L’équation s’écrit alors L dv + z + PCH = 0 g dt Il est d’usage courant d’écrire que PCH , les pertes de charge sont de la

forme quadratique : PCH = K ⋅ v 2 Lorsque v 〉 0 , l’eau allant vers l’utilisateur [ c-á-d l’eau coule de la retenue (réservoir) vers la cheminée] , l’équation de Bernoulli est alors E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-31 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

L dv + z + Kv 2 = 0 g dt Lorsque v 〈 0 , l’eau refoulant dans la conduite[ c-á-d l’eau coule de la cheminée vers la retenue (réservoir)], l’équation de Bernoulli est alors L dv + z − Kv 2 = 0 g dt Souvent on pose Q = S ⋅ U afin de donner á l’équation de Bernoulli une forme plus homogène. En résumé : les 2 équations á notre disposition sont ⎧ s ⋅ v = S ⋅ (V + U) ⎪ ⎨ L dv avec ⎡ε = 1 si v 〉 0 + z + ⋅ P = 0 ⎯ ⎯ ⎯→ ⎢ ε CH ⎪ g dt ⎣ε = −1 si v 〈 0 ⎩ 4 – 2 ) Répartition des surpressions le long de la conduite L : Ecrivons Bernoulli entre la surface libre du réservoir et une section s d’abscisse l , en utilisant les mêmes hypothèses que précédemment et avec v 〉 0 et Pl_CH étant les pertes de charge entre la cote A et le point l .

⎛ p ⎞ v2 l d v ⎜⎜ + z ⎟⎟ + + + Pl_CH = 0 ⎝ ρg ⎠l 2 g g d t La surpression est ⎡⎛ p ⎤ ⎛ p ⎞ ⎞ ⎛ p ⎞ ⎢⎜⎜ ⎥ , soit : ⎜⎜ + z ⎟⎟ + z ⎟⎟ − ⎜⎜ + z ⎟⎟ ⎢⎝ ρ g ⎝ ρg ⎠ l, v = 0 ⎠l ⎝ ρ g ⎠ l _ lorsque v est nul ⎥⎦ ⎣ ainsi ⎛ l d v v2 ⎞ ∆p = p l − p l_v = 0 = − ρ g⎜⎜ + + PCH ⎟⎟ ⎝ g d t 2g ⎠ En tirant

L dv dv de l’équation générale + z + PCH = 0 on obtient : g dt dt ⎛ l ⎞ dv g v2 l + PCH ⎟⎟ = − (z + PCH ) ∆p = − ρ g ⎜⎜ − z − PCH + dt L 2g L ⎝ L ⎠

∆p devient :

⎡l ⎤ v2 ⎛ l⎞ ∆p = ρ g ⎢ ⋅ z − − ⎜1 − ⎟ ⋅ PCH ⎥ 2g ⎝ L ⎠ ⎣L ⎦ E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-32 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

La figure suivante nous renseigne sur PCH qui comprend : • ∆H A : perte de charge á l’entrée de la conduite. • ∆H RAC : perte de charge linéaire (régulière) proportionnelle á l . • ∆H C : perte de charge singulière á la dérivation en C, pied de la conduite. Perte de charge (á débit constant ) avec : v 〉 0

∆H C

∆H RAC

Pl_CH

∆H A

PCH

A = ∆H A + ∆H RAC + ∆H C

Pl_CH = ∆H A +

l

C

l ∆H RAC L

⎡l ⎤ v2 ⎛ l⎞ ∆p = ρ g ⎢ ⋅ (z + ∆H C ) − − ⎜1 − ⎟ ⋅ ∆H A ⎥ 2g ⎝ L ⎠ ⎣L ⎦ La loi ∆p(l ) est une loi linéaire, la surpression la plus dangereuse se situe en C, pour l = L :

⎡

(∆p )l = L = ρ g ⎢z + ∆H C − v

2⎤

⎥ 2g ⎦ ⎣ Remarque : Habituellement le canal d’amenée débouche directement dans r r v2 v • v la cheminée d’équilibre, de sorte que : ∆H C = = . Dans ce cas on 2g 2g peut écrire : (∆p )l = L = ρ g z . 4 – 3 ) Emploi de variables adimensionnelles : Il s’agit d’exposer la méthode de Calame et Gaden, qui consiste á donner aux équations générales un caractère universel, et dont la justification sera conduite, lors des exemples étudiés ultérieurement. • Soit U 0 vitesse correspondant au débit nominal Q 0 dans la section S. • Soit v 0 vitesse correspondant au débit nominal Q 0 dans la section s. ♦ T0 = 2π ⋅

L S 2π ⋅ correspondant á ω 0 = = g s T0

g s ⋅ L S


♦ z∗ = v 0 ⋅

L s ⋅ = U0 ⋅ g S

L S ⋅ , Q 0 = SU 0 = sv 0 ( régime permanent ) g s

• z ∗ est la dénivellation maximum á la fermeture brusque de la vanne. 2

T0 z ∗ L S T02 z ∗ Entre U 0 , Τ0 et z existent les relations suivantes : ⋅ = 2 = 2 = ⋅ g s 4π U 0 2π U 0 Les 2 équations rappelées ici, deviennent : ⎧ s ⋅ v = S ⋅ (V + U) ⎪ ⎨ L dv avec ⎡ε = 1 si v 〉 0 + z + ⋅ P = 0 ⎯ ⎯ ⎯→⎢ ε CH ⎪ g dt ⎣ε = −1 si v 〈 0 ⎩ dv S dV S dU S dV S dU En dérivant la première équation : = + = V+ dt s dt s dt s dz s dt L S dV L S dU Et en reportant dans la seconde : V + + z + ε ⋅ PCH = 0 g s dz g s dt ∗

⎧ ⎪• ⎪ En remplaçant ⎨ ⎪ ⎪• ⎩

2

z∗ LS par 2 dans le premier terme. g s U0 T0 z ∗ LS ⋅ par dans le deuxième terme. g s 2π U 0

⎛ V ⎞ ⎛ U ⎞ ⎟⎟ ⎟ d ⎜⎜ d ⎜⎜ V ⎝ U 0 ⎠ ∗ 1 ⎝ U 0 ⎟⎠ ∗ L’équation devient : z + z + ε ⋅ PCH = 0 z + 2π ⎛ t ⎞ U0 ⎛ z ⎞ ⎟⎟ d ⎜⎜ d ⎜⎜ ∗ ⎟⎟ T ⎝ 0⎠ ⎝z ⎠ En divisant par z ∗ , il apparaît les termes { sans dimension } : PCH t ⎧ / z / / ⎪ z = z ∗ , PCH = z ∗ , Τ = T ⎪ 0 ⎨ ⎪ V/ = V , U/ = U , v/ = v ⎪⎩ U0 U0 v0 La prime ' / ' signifie sans dimension (adimensionnel). Les 2 relations s’écrivent :


• V/

d V/ d z/

+

1 d U/ avec ⎡ε = 1 si v 〉 0 / / ε + z + ⋅ P = 0 ⎯ ⎯⎯→ ⎢ CH 2π d T / ⎣ε = −1 si v 〈 0

• v/ = U/ + V/ Sous cette forme réduite, les équations ne renferment plus qu’un seul / paramètre PCH , on conçoit alors que c’est á celle – ci que l’on a recours pour dresser des tables et abaques pouvant être utilisées pour n’importe quelle installation. Remarque : dz 1 d z/ / Sachant que : V = et par suite V = on trouve que : 2π d T / dt d V/ 1 d2 z/ V = d z / 4π 2 d T / 2 /

Enfin les pertes de charge de la forme quadratique Kv 2 imposant que les 0 pertes de charge en régime permanent sont de la forme : PCH = Kv 02 et par suite : PCH = Kv = 2

⎛ Kv 02 ⎜⎜

2

v ⎞ 0 ⎟⎟ = PCH v / 2 . En divisant par z ∗ , il vient alors : ⎝ v0 ⎠

/0 /2 / PCH = PCH v

/0 avec PCH =

0 PCH

z∗ Ainsi les équations générales peuvent aussi avoir la forme : 1 d 2z / 1 d U/ /0 /2 v =0 • + + z / + ε ⋅ PCH 2 /2 / 2π d T 4π d t • v/ = U/ + V/ Ces 2 équations, sous cette forme, permettront la résolution d’une fermeture totale instantanée en tenant compte des pertes de charge(voir l’étude analytique dans la suite). 4 – 4 ) Etude d’une fermeture instantanée : Hypothèse de travail : pertes de charge négligées Le régime permanent correspond au débit Q a établi pour t 〈 0 . A l’instant initial t = 0 , on modifie le débit Q en lui donnant la valeur Q b . Les équations du mouvement et les conditions initiales sont : ⎧ L dv + z = 0 avec ⎡ t 〈 0 : Q = Q a ⎪ g d t ←⎯⎯→⎢ ⎨ ⎣t = 0 : Q = Q b ⎪ sv = SV + Q ⎩ E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-35 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

⎧⎪sv (t = 0 ) = Q a ⎨ ⎪⎩sv (t = 0 ) = SV(t = 0 ) + Q b En éliminant v entre les 2 équations du mouvement nous obtenons : ⎧ dv dV d 2z =S =S 2 ⎪s dt dt ⎪ dt ⎨ 2 ⎪ ⎛⎜ L ⋅ S ⎞⎟ ⋅ d z + z = 0 ⎪ ⎜ g s ⎟ d t2 ⎠ ⎩⎝ La résolution générale donne : z = A sin (ω 0 t + φ ) avec ⎧á t = 0 : z = 0 ⇒ φ = 0 2π g s ⎪ ω0 = = comme : ⎨ 1 T0 LS ( ) (Q a − Q b ) = = = ω ω á t 0 : v A sin t 0 0 0 ⎪⎩ s Q Q Ls En désignant par : v b = b , v a = a ; A = (v a − v b ) ⇒ s s gS Nous tirons :

z = 0 pour t ≤ 0 et

z = (v a − v b )

⎡ Ls sin ⎢ gS ⎣

Ls ⎤ Ls 2π t ⎥ = (v a − v b ) ⋅ sin t gS ⎦ gS T0

Remarque : L’amplitude des oscillations, non amorties, car les pertes de charge ont été négligées, autour du niveau statique, est uniquement fonction de (Q a − Q b ) z z

Q b 〈Q a T0 = 2π

t Qb 〉Qa t

LS g s

Αvec pertes de charge négligées

manœuvre brutale d' un distributeur : oscillations du niveau de la cheminée d' équilibre


♣ Calcul de la section minimale d’une cheminée simple : Soit ∆p max la surpression maximale tolérable lors de la fermeture complète et instantanée du distributeur (la vanne). Ls soit : gS

∆p max = ρ g z max = ρ g v a

L v a2 S=s g z 2max

S z max

On constate que la section de la cheminée (chambre) d’équilibre est inversement proportionnel au carré de la surpression. L v a2 Quant au volume : τ = 2 ⋅ z maxS = 2 s , il n’est inversement g z max ∆p max proportionnel qu’á la surpression : z max = . ρg 4 – 5 ) Etude d’une fermeture linéaire d’un distributeur : Hypothèses de travail : Q ⎡Q = Q 0 pour t = 0 Q0 ⎢ t ⎛ ⎞ ⎢Q = Q 0 ⎜1 − ⎟ pour 0 〈 t 〈 τ ⎢ ⎝ τ⎠ t ⎢ ⎣Q = 0 pour t 〉τ Posons

:

θ=

τ

avec T0 = 2π

T0 4 – 5 – 1 ) Etude pour 0 〈 t 〈 τ :

LS gs

τ

t⎞ ⎛ L’équation de continuité est : s ⋅ v = S ⋅ V + Q 0 ⎜1 − ⎟ ⎝ τ⎠ Q t ⎞⎤ ⎡ ⎛ s ⋅ v = S ⎢V + U 0 ⎜1 − ⎟⎥ avec U 0 = 0 ou S ⎝ τ ⎠⎦ ⎣ dv S ⎡ d 2 z U 0 ⎤ = ⎢ − Dérivons par rapport au temps t : ⎥ dt s ⎣ dt 2 τ ⎦ L S ⎡ d 2z U0 ⎤ Reportons dans l’équation de Bernoulli alors : − ⎢ ⎥+z=0 g s ⎣ dt 2 τ ⎦ E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-37 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

LS d 2z L S U0 + z = g s dt 2 g s τ LS d 2z La solution générale de + z = 0 est : z = A sin (ω 0 t + φ ) á laquelle il g s dt 2 L S U0 faut ajouter la solution particulière : z p = . g s τ Soit

U T t En posant z = 0 0 et θ = l’équation devient : 2π T0 ∗

2 z∗ ⎛ T0 ⎞ d z + = z ⎜ ⎟ 2πθ ⎝ 2π ⎠ dt 2 2

⎞ ⎛ t z∗ Dont la solution est : z = A sin ⎜⎜ 2π + φ ⎟⎟ + T 0 ⎠ 2πθ ⎝ Les conditions initiales nous donnent : ⎧t = 0 : z = 0 (pas de perte de charge ) ⎪ ce qui entraîne dz ⎨ t = 0 : V = 0 soit = 0 0 ⎪ dt ⎩

π ⎧ = φ ⎪ 2 ⎪ ⎨ ∗ ⎪A = z ⎪⎩ 2πθ

Ainsi

⎧ z∗ ⎛ 2π t ⎞⎫ ⎟⎟⎪ ⎜ • = − z 1 cos ⎪ ⎜ π θ 2 T valable pour ⎪ 0 ⎠⎪ ⎝ ←⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ 0 〈 t 〈 τ ⎨ ⎬ ∗ π z 2 t ⎪ ⎪ ⎪• V = T θ ⋅ sin T ⎪ 0 0 ⎩ ⎭ ⎡ z∗ z∗ (1 − cos 2π θ ) = sin 2π θ ⎢ zτ = πθ 2πθ Donc, á l’instant t = τ on a : ⎢ ⎢ 2z z∗ ⎢ Vτ = ⋅ sin 2π θ = τ sinπ θ cosπ θ T0 θ T0 θ ⎣⎢

4 – 5 – 2 ) Etude pour t 〉 τ : ⎧♦ s ⋅ v = S ⋅ V ⎪ Les équations sont : ⎨ L dv ⎪♦ g dt + z = 0 ⎩ Avec comme conditions initiales les valeurs particulières de zτ et vτ pour z et v respectivement au temps τ .


2

2 ⎛ T0 ⎞ d z Il en résulte l’équation différentielle : ⎜ ⎟ + z = 0 dont la solution est : ⎝ 2π ⎠ dt 2 ⎞ ⎛ t z = A / sin ⎜⎜ 2π + φ / ⎟⎟ ⎠ ⎝ T0 / / Les 2 constantes d’intégration A et φ sont déterminées par les conditions initiales : il en résulte alors : ⎧ / z∗ / sin 2π θ ⎪A sin 2πθ + φ = πθ ⎪ ⎨ / ∗ ⎪ 2π A cos 2πθ + φ / = 2 z sinπ θ cosπ θ ⎪ T T0 ⎩ 0

(

)

(

)

(

)

En divisant membre á membre les 2 égalités, il vient : tg 2πθ + φ / = tgπ θ sinπ θ D’où : φ / = π θ et Α / = z ∗

πθ

Alors

z = z∗

sinπ θ

⎛ τ ⎞ valable pour sin 2π ⎜ t − ⎟ ←⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ t 〉 τ 2 πθ ⎝ ⎠

Les 2 formules donnant z(t ) pour t 〈 τ et t 〉 τ vont permettre de tirer z max cote maximale atteinte par le plan d’eau dans la cheminée : T z∗ • Pour 0 〈 t 〈 τ : z max = et aura lieu pour t1 = 0 cette valeur ne πθ 2 T sera effectivement atteinte que si τ ≥ 0 . 2 T τ sinπ θ • Pour t 〉 τ : z max = z ∗ et aura lieu pour t 2 = 0 + , cette πθ 2 2 T valeur ne sera atteinte que si τ ≤ 0 . 2 Ainsi le maximum z max atteint par le plan d’eau dans la cheminée aura pour expression : ⎧ z∗ T si τ ≥ 0 ⎪ 2 τ L s LS ⎪π θ z max = ⎨ ⋅ &θ = oú z ∗ = v 0 ⋅ avec T0 = 2π g S T0 gs ⎪z ∗ sinπ θ si τ ≤ T0 ⎪⎩ πθ 2 E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-39 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

Remarque : Le tableau ci – dessous permet de se rendre compte de l’influence du temps relatif θ de la fermeture linéaire selon Calame et Gaden

θ=

τ

0,05

0,1

0,2

0,3

0,996

0,984

0,935

0,858

0,4

0,5

0,6

0,8

1

Τ0

z max

0,757 0,637 0,531 0,398

0,318

z∗ D’autre part, le temps τ habituellement est de l’ordre de quelques secondes, alors que T0 est très grand de l’ordre de quelques minutes. D’où θ , très petit, ce qui implique généralement surélévation voisine de z ∗ . z max

θ 〈〈1 et alors une τ

z∗

Q0 ⎤ ⎡ ∗ U 0 T0 • = = z avec : U 0 ⎢ 2π S ⎥ ⎢ ⎥ L S ⎢ ⎥ ⎢• T0 = 2π g s ⎥ ⎣ ⎦

1.00

0.80

0.60

0.40

θ=

0.20 0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

τ Τ0

Influence du temps de fermeture τ sur z max

NOTES SUR Influence du choix du matériau d’une conduite de refoulement sur le coup de bélier - • Déterminer : le choix d’une conduite [diamètre, épaisseur, matériau…] - • Connaître : la pression de service {donnée par le constructeur} - • Connaître : la nature et température du liquide - • Calculer : la surpression pour le dimensionnement … etc. E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-40 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

♣ Matériaux comparés : µ Ε(Mpa ) Matériau 200000 0,3 Acier 0,38 2758 PVC 90000 0,25 Fonte 170000 0,28 F.D. 1035 0,45 PE ♣ Tendance dans le monde municipal : Pour une conduite de refoulement, est-il préférable de spécifier un matériau plastique plutôt que métallique ? a⋅V ∆H = = surpression en m g • a : célérité de l’onde (en m/s) ; dépend du matériau et de son épaisseur • V : vitesse de l’écoulement (en m/s) en régime permanent qui dépend du diamètre. ♣ La Célérité de l’onde est donnée par : K

a=

ρ ⎡⎛ K ⎞⎛ D ⎞⎤ 1 + ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟⎥ c1 ⎣⎝ E ⎠⎝ e ⎠⎦

Paramètres en jeu : ♦ K = χ : module de compressibilité du fluide transporté ♦ ρ : masse spécifique de du fluide transporté ♦ E : module de Young du matériau de la conduite ♦ D : diamètre de la conduite ♦ e : épaisseur de la paroi de la conduite ♦ c1 : coefficient d’encastrement [ancrage] (1 – µ2) ♦ µ : coefficient de Poisson du matériau (voir tableau au-dessus) ♣ Coefficient d’encastrement : Ancrage -Î Conduite rigide : c1 = 0 -ÎConduite élastique à paroi mince : ♦ Ancrée contre tout mouvement longitudinal sur toute sa c1 = 1– µ2 longueur : ♦ Encastrée à l ’amont seulement : c1 = 1.25 – µ ♦ Avec de nombreux joints d ’expansion : c1 = 1 E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-41 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

Exemples Pratiques : Surpression → Remarque : il s ’agit ici d’une des conduites forcées d ’une centrale Hydro-électrique.

Sous-pression ! → Remarque: il s ’agit ici d ’une section de la même conduite forcée, située en amont de la section rupturée par éclatement. DR : « dimension ratio » DR : = D0 e

F = force

D0

D

e p

D

pD

F ne

e On travaille par mètre linéaire

p⋅D ⎧ ⎪⎪F = 2 = n e ⋅ e ⎨ ⎪n = p ⋅ D ⎪⎩ e 2e

or ⇒ Ainsi F p ⋅ D = 2F ∑ Fx = 0 n e ≡ = contrainte e Contrainte circonférencielle : p n e = (DR − 1) Equation ISO 2


4 – 6 ) Etude de la fermeture instantanée en tenant compte des pertes de charge : Immédiatement après la manœuvre de fermeture, le débit appelé Q est nul U / = 0 le niveau d’eau s’élève dans la cheminée v / = V / . Tant que dure cette élévation la vitesse v dans le canal reste positive, ε , indiquant le signe des pertes de charge est égal á + 1 . Inversement lorsque le niveau dans la cheminée décroît : ε = −1 . 4 – 6 – 1 ) Examinons ce qui se passe durant la 1ére montée du plan d’eau : On a établit au paragraphe (4 – 3 : pp.34) que d V/ 1 d U/ avec ⎡ε = 1 si v 〉 0 / / z P 0 • V/ + + + ⋅ = ⎯ ⎯⎯→ ⎢ ε CH / / 2 π dz dT ⎣ε = −1 si v 〈 0

(

)

(

)

• v/ = U/ + V/ Pour la montée d’eau dans la cheminée on a alors / 1 d U/ /0 /2 / dV V v =0 + + z / + PCH / / 2π d T dz

U/ = 0 , v/ = V/ L’équation devient

d V/ /0 /2 V + z / + PCH V =0 / dz /

En posant : V / 2 = λ

dλ dz

/

/0 + 2 PCH λ = −2z /

−2 P

/0

z/

CH L’intégrale générale de l’équation est : λ = C e Il reste á trouver une solution particulière que nous cherchons sous la forme : λ = a ⋅ z / + b . 1 1 Par identification, on obtient : a = − / 0 et b = /0 2 PCH 2 PCH L’intégrale a donc pour solution finale : /0 1 − 2 PCH z / /0 / /2 λ =V =Ce + 1 − 2 PCH z 2 /0 2 PCH

( )

( )

(

)


Pour trouver la constante d’intégration C, nous ferons appel aux conditions initiales d’abord avant d’effectuer la manœuvre, le régime était établit, et dv l’on avait : =0 dt 0 L’équation de Bernoulli nous donne : z = − PCH Immédiatement après la fermeture, la cote du plan d’eau n’a pas changé /0 /0 d’où z / (t = 0 ) = − PCH v 0 / 2 = − PCH . D’autre part, immédiatement après la fermeture, le débit dans le canal d’amené n’a pas changé, d’où : Q 0 = sv (t = 0 ) = SU 0

V / (t = 0 ) =

V =1 U0

/0 En tenant compte de z / (t = 0 ) = − PCH et que V / (t = 0 ) = 1 l’équation prend la forme : /0 /0 ⎡ − 2 PCH ⎛⎜ PCH + z / ⎞⎟ ⋅ ⎤ 1 / 0 /2 / ⎠ ⎥ ⎝ ⎢ 1 − 2 PCH z − e V = 2 /0 ⎥ ⎢ 2 PCH ⎦ ⎣ / Cette équation nous permet de déterminer la cote z max = z max z ∗ c – á – d la

( )

/ plus grande dénivellation ; la valeur de z max sera obtenue en écrivons que V = 0 . Soit il faut résoudre l’équation : /0 /0 ⎞⋅ / + z max − 2 PCH ⎛⎜ PCH ⎟ /0 / ⎠ =0 ⎝ 1 − 2 PCH z max − e Résolution de l’équation du maximum : On peut la résoudre numériquement par approximation successive. On peut également faire appel á une formule approchée, dont voici la justification : /0 / /0 /0 Log 1 − 2 PCH z = −2 PCH PCH + z/

(

)

(

)

/0 / Si l’on a : 2 PCH z max 〈〈 1 on peut développer le Log :

(

)

2

2

3

3

4

4

/0 /0 /0 / / / 4 PCH z max 8 PCH z max 16 PCH z max /0 / /0 / Log 1 − 2 PCH z = −2 PCH z max − − − L 2 3 4 Notre équation se simplifie ainsi 2 4 4 /0 / 3 /0 2 / / 1 − z max − PCH z max − 2PCH z max LL = 0 3


2

/0 / Pour PCH = 0 , on retrouve la solution z max =1 . Ainsi, il apparaît naturel de rechercher une solution de la forme :

2

/0 /0 / z max = 1 + a PCH + b PCH + LL 2 1 En se limitant au 2éme ordre, on obtient : a = − et b = 3 9 /

D’où la formule approchée due á D. E ydoux : z 2 /0 1 /0 2 SI /0 / / ≡ max ≈ − ←⎯→ 2 PCH z max 〈〈 1 PCH + PCH z max 1 ∗ 9 3 z

( )

/0 Constatation : si PCH ≤ 0,7 cette formule s’écarte peu de la solution précise (tableau) , qui est obtenue numériquement, soit : /0 0 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 1 PCH = / 1 0,933 0,875 0,76 0,65 0,555 0,512 0,475 z max = D. Eydoux Directeur des Etudes á l’école Polytechnique de Paris vers les années 20 du siècle dernier [Ouvrages : Les mouvements de l’eau et les coups de bélier dans les cheminées d’équilibre {Toulouse : 1119} , Hydraulique générale et appliquée {Paris 1921}, Hydraulique industrielle : Paris : 1921, Turbines Hydrauliques 1225 en collaboration avec A. Rateau et M. Gabriel … Etc.]. 4 – 6 – 2 ) Examinons ce qui se passe durant la 1ére descente du plan d’eau : L’équation de Bernoulli est d V/ /0 /2 V/ + z / − PCH V =0 / dz /0 /0 Cette équation est identique á la précédente si l’on change PCH en − PCH , d’où /0 1 2 PCH z / /0 / /2 V =Ke + 1 + 2 P z CH /0 2 2 PCH

( )

(

)

/ Les nouvelles conditions initiales sont : V / = 0 pour z / = z max valeur trouvée dans la première partie de l’étude. Par un calcul identique á celui du $4 – 6 – 1, on trouvera : /0 / − 2 PCH z max 1 /0 / 1 + 2 PCH z max e K= /0 2 2 PCH

( )

(

)


V

/2

=

1

( )

/0 2 PCH

2

)

(

/0 / ⎡ − 2 PCH zmax − z/ ⎤ /0 / /0 / 1 2 P z 1 2 P z e + − + ⎢ ⎥ CH CH max ⎥⎦ ⎣⎢

(

) (

)

La cote minimale atteinte par le plan d’eau sera obtenue pour V / = 0 ainsi l’équation annulant V / est : /0 / / − zmin1 − 2 PCH zmax1 /0 / /0 / 1 + 2 PCH z min1 − 1 + 2 PCH z max1 e =0 Là encore on peut résoudre cette équation numériquement par /0 / / approximation successive pour déterminer : z min1 = f PCH , z max1 .

(

) (

)

(

)

(

)

z max1

z

z max2

t /0 / z min1 ≈ 1 + 0,13 ⋅ PCH

selon CALAME et GADEN

⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→

z min1

variation du niveau du plan d' eau dans la cheminée d' équilibre 4 – 6 – 3 ) Etude des oscillations suivantes : Lors de la remontée du niveau de l’eau dans la cheminée, l’équation générale donnant V / 2 reste valable, á savoir : /0 1 − 2 PCH z / /0 / /2 V =Ke + 1 − 2 PCH z 2 /0 2 PCH La détermination de la constante d’intégration s’obtient en écrivant que / pour z / = z min1 on a : V / 2 = 0 ce qui donne : /0 / ⎤ ⎡ − 2 PCH z / − zmin1 1 /0 / /0 / /2 V = 1 2 P z 1 2 P z e − − − ⎥ ⎢ CH CH min1 /0 2 ⎢ 2 PCH ⎦⎥ ⎣

( )

( )

(

) (

(1−

/ z max2

)− ( 1 −

/0 2 PCH

)

)

L’équation du 2éme maximum est : /0 2 PCH

(

/ z min1

)

(

)

(

)

/0 / / − zmin1 − 2 PCH zmax2 e =0

A partir de cette formule, l’équation de ce maximum et de l’équation du 1ér minimum on peut généraliser ainsi : E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-46 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

/ • Pour le Ι iéme minimum : z min ⋅I

(1+

/0 2 PCH

/ z min ⋅I

)− ( 1 +

/0 2 PCH

/ z max ⋅I

)

/ • Pour le (Ι + 1)iéme maximum : z max ⋅ I +1

(1−

/0 2 PCH

/ z max ⋅ I +1

)− ( 1 −

/0 2 PCH

/ z min ⋅I

)

(

/0 / / − zmin − 2 PCH zmax ⋅I ⋅I =0 e

)e

(

/0 / / − zmin − 2 PCH zmax ⋅I +1 ⋅I

)=0

A titre d’exemple pour PCH = 0,7 : Ι = n de l’oscillation /0

/ / z max z min ⋅Ι ⋅Ι 0,60 1 – 0,38 0,28 – 0,22 2 0,18 – 0,15 3 4 – 6 – 4 ) Manœuvre d’ouverture instantanée en tenant compte des pertes de charge : Avant toute manœuvre, on suppose que le régime est bien statique. A l’ouverture instantanée, le débit Q 0 prend immédiatement naissance, et

⎛ / U ⎞ d U/ ⎜ ⎟⎟ . est fourni par la cheminée, le terme est = = 1 nul U ⎜ U d T/ 0 ⎝ ⎠ ♦♣♦ Rappel : on a établit en variables adimensionnelles que PCH t ⎧ / z / = = , Τ/ = , P z CH ⎪ ∗ ∗ T0 z z ⎪ ♦ ⎯variables ⎯ ⎯ ⎯adimension ⎯ ⎯ ⎯nelles ⎯ ⎯→ ⎨ ⎪ V/ = V , U/ = U , v/ = v ⎪⎩ v0 U0 U0 / 1 d U/ avec ⎡ε = 1 si v 〉 0 / dV / / ε •V + + z + ⋅ P = 0 ⎯ ⎯⎯→ ⎢ CH d z / 2π d T / ⎣ε = −1 si v 〈 0 • v/ = U/ + V/ V Ainsi nos équations se réduisent á :

/

d V/ d z/

2

/0 + z / + PCH v/ = 0 2

(

v/ = U/ + V/ ⇒ v/ = 1 + V/ d V/

(

)

2

2

=0 d z/ Par voie analytique, on ne sait pas résoudre cette équation. Soit :

V/

/0 + z / + PCH 1 + V/

)


Les méthodes sont soit numériques ou graphique. / Néanmoins le tableau le tableau ci – dessous, consigne la cote z min1 , cote z /0 / / du premier minimum en fonction de PCH : z min1 = min1 ≈ 1 + 0,13 ⋅ PCH ∗ z /0 PCH

0

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

0,9

1

/ z min1

1

1,0125

1.025

1,05

1,075

1,103

1,12

1,15

1.16

/ z min1 =

z min1 z∗

z∗ = v 0 ⋅

L s ⋅ g S

1.12

1.08

1.04

/0 PCH 1.00 0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

/ / Cote du premier z min1 minimum en fonction de PCH

On constate plus les pertes de charge sont importantes, plus la dénivellation est importante, ce qui était tout á fait prévisible. En résumé : Pour dimensionner une cheminée d’équilibre, il faut considérer 2 /0 valeurs de PCH : /0 • Soit PCH : valeur sous – estimée, utilisée pour calculer z max1 , lors d’une fermeture. /0 • Soit PCH : valeur sur – estimée, utilisée pour calculer z min1 , lors d’une ouverture.


4 – 7 ) Cheminée d’équilibre á étranglement [ rétrécissement ] :

V

v

C

Etranglement d' une cheminée

Q

Les surpressions les plus importantes ont lieu á l’extrémité aval de la conduite et ont pour valeur : ∆p = ρ g z . L’effort de freinage, fonction de ∆p n’atteint une valeur maximale qu’á la fin de la montée du plan d’eau dans la cheminée. Le freinage serait plus efficace si, dés le début de la manœuvre de fermeture ∆p pouvait avoir une valeur notable. C’est la raison pour laquelle á la base de la cheminée, on dispose un étranglement C. Soit R V la perte de charge provoquée par l’étranglement, lorsque la vitesse dans la cheminée est V . La surpression a pour expression : ∆p = ρ g (z + R V ) . Ainsi, comme R V est fonction de V 2 , on peut prévoir le fonctionnement de la cheminée sur les graphiques suivant :

∆p ρg

∆p = z (t ) + R V (t ) ρg

0 PCH

z (t )

R V (t ) effet optimal

∆p

ρg

=C

te

Effet de freinage

Lors d’une fermeture progressive, R V est importante au départ, puis devient faible lorsque la cote z est grande.


t

Remarquons enfin, que l’étranglement n’introduit pratiquement pas de perte ∂ de charge en régime permanent ≡ 0 : Lim R V (t ) ≈ 0 . t →∞ ∂t 4 – 7 – 1 ) Equations générales : ⎧ ⎡ ⎧ε P = 1 si v 〉 0 ⎪ ⎢• ⎨ L d v avec ⎪ ⎢ ⎩ε P = −1 si v 〈 0 + z + ⋅ P + ⋅ R = 0 ⎯ ⎯ ⎯ → ε ε ⎪ P CH R V ⎢ ⎧ε = 1 si v 〉 0 ⎨ g dt ⎢• ⎨ R ⎪ ⎢⎣ ⎩ε R = −1 si v 〈 0 ⎪ ⎪⎩ s ⋅ v = S ⋅ (V + U) De même que nous avons posé [$(4 – 3)] : P /0 ∗ /2 / / PCH = CH ⇒ PCH = PCH ⋅ z ∗ = PCH z V ∗ z R /0 ∗ /2 / / Par analogie nous posons : R V = V∗ ⇒ R V = R V ⋅ z∗ = R V z V z Les équations dans dimension deviennent : / 1 d U/ /0 /0 / /2 / dV •V + + z + ⋅ P ⋅ V + ⋅ R ⋅ V/ 2 = 0 ε ε P R V CH / / 2π d T dz

• v/ = U/ + V/ 4 – 7 – 2 ) Répartition des surpressions le long de la conduite L : Le calcul est identique á celui du $ 4 – 2. En écrivant le théorème de Bernoulli entre le point A et un point B á la cote l de la conduite (voir figure au – dessous), la perte de charge en C valant ⎡l ⎤ l⎞ v2 ⎛ − ⎜1 − ⎟ ⋅ ∆H A ⎥ R V , nous obtenons : ∆p = ρ g ⎢ ⋅ (z + R V ) − 2g ⎝ L ⎠ ⎣L ⎦ S

origine de z air

z

B V C

Réservoir

s

A Q E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-50 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

⎡l ⎤ l⎞ v2 ⎛ − ⎜1 − ⎟ ⋅ ∆H A ⎥ Car on a établit que : ∆p = ρ g ⎢ ⋅ (z + ∆H C ) − 2g ⎝ L ⎠ ⎣L ⎦ l C’est donc pour = 1(c’est – á – dire en C) que la surpression est la plus L v2 importante. á savoir : au terme de : ∆p = ρ g (z + R V ) 2g 4 – 7 – 2 ) Etude d’une fermeture instantanée : Proposons-nous simplement de rechercher s’il est possible d’obtenir te

∆p = C pendant la période de montée d’eau. L’équation simplifiée (U = 0 ) est donc : d V/

V/

/

(

)

/0 /0 + z / + PCH + RV ⋅ V/ 2 = 0

dz Cette équation est identique á celle obtenue lors de la fermeture instantanée avec une cheminée d’équilibre sans rétrécissement á la base, á savoir : / /0 / / dV V + z + P ⋅ V/ 2 = 0 CH / dz Soit : /0 /0 ⎞ +R V ⎟ z/ − 2 ⎛⎜ PCH 1 /0 /0 ⎠ V/ 2 = K e ⎝ + 1 − 2 PCH + RV z/ 2 /0 /0 2 PCH + RV

( )

(

[

)

) ]

(

/0 A l’instant initial, z / = − PCH et V / = 1 ; ce qui impose :

K=−

(

/0 /0 2 PCH + RV

et par suite 2

V/ = 2

(

/0 PCH

1

(

/0 /0 /0 1 − 2RV PCH + RV

)

/0 2 + RV

(

)

2

) e − 2P

/0 ⎛ /0 /0 ⎞ P +R V ⎟ CH ⎜⎝ CH ⎠

) [

)]

(

⎧ /0 /0 /0 /0 /0 / ⎨ 1 − 2 PCH + R V z − 1 − 2R V PCH + R V ⋅ ⎩

e

⎞ /0 / 0⎞⎛ / 0 −2⎛⎜ PCH + R V ⎟ ⎜⎜ PCH + z / ⎟⎟ ⎝

⎠⎝

⎠

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭


/ 0 /2 ⎞ La surpression : ∆p = ρ g (z + R V ) = ρ g z ∗ ⎛⎜ z / + R V V ⎟ d’où : ⎝ ⎠ ∗ ⎧ ρ gz /0 /0 /0 /0 / ∆p = ⎨ R V + 2 PCH PCH + R V z − 2 /0 /0 ⎩ + RV 2 PCH

(

(

)

[

)

)]

(

/0 /0 /0 /0 ⋅e RV 1 − 2R V PCH + R V

⎞ /0 / 0⎞⎛ / 0 −2⎛⎜ PCH + R V ⎟ ⎜⎜ PCH + z / ⎟⎟ ⎝

⎠⎝

⎠

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

♣ Cas idéal : il est obtenu que si le freinage est constant. Cette expression ne peut être constante quel que soit z / que si /0 ⎧PCH =0 /0 /0 /0 2 PCH PCH + R V = 0 ⎫⎪ ⎪ 1 ⎬⇒ ⎨ /0 /0 /0 /0 1 − 2R V PCH + R V = 0⎪⎭ ⎪R V = 2 ⎩ 1 Ainsi dans le cas idéal on a : ∆p idéal = ρ g z∗ 2 Ce cas idéal ne sera donc obtenu que si les pertes de charge dans la conduite sont négligeables, et que si l’étranglement a été correctement 1 /0 construit afin que R V = . 2 ♣ Comparaisons des cheminées avec et sans étranglement : Supposons ces conditions réalisées et comparons les sections S1 et S2 des 2 cheminées d’équilibre, le premier étant une cheminée ordinaire alors que 1 /0 le second est à étranglement [rétrécissement] avec R V = et qui, toutes 2 les deux, donnent la même surpression p M dans le canal d’amené. ♦ Pour le premier : cheminé sans rétrécissement

(

∆p M =

ρ g z1∗

avec

z1∗

(

= v0

)

)

L s L ⎛ ρg ⎞ ⎟ on en déduit S1 = v 02 s⎜⎜ g S1 g ⎝ ∆p M ⎟⎠

2

♦ Pour le second : cheminé avec rétrécissement 2

v 02 L ⎛ ρ g ⎞ S L s 1 ∗ ∗ ⎟⎟ = 1 on en déduit S2 = s⎜⎜ ∆p M = ρ g z 2 avec z 2 = v 0 g S2 2 g ⎝ ∆p M ⎠ 2 2 D’où l’intérêt indéniable (économie de 50% sur le volume) des cheminées munies d’un rétrécissement [étranglement]. E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-52 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

Méthodes de Protection (5) Réservoir á air N.B. : Dimensionnement d’une conduite & d’une cheminée Le coup de bélier en dehors de rupture spectaculaire de conduites et de destructions d’appareils de pompage peut avoir pour conséquence des destructions de joints, des déboîtements de conduites, causes des pertes d’eau importantes, et des détériorations de robinetterie ou d’appareils de comptage. On a établi que la surpression [une conduite] est donnée par : Q ⎧ 0 ⎪u 0 = s le courant uniforme dans la conduite [régime permanent normal] ⎪ ⎡K = [χ ] module de compressibilité d' eau ⎪ ⎢E module d' élasticitéde' la matíére' paroi a u 0 ⎪⎪ 1420(m/s ) h= la célérité ' onde': ⎢ : ⎨a ≈ ⎢D diamétre de la conduite g ⎪ ⎛K⎞ D 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ × ⎢ ⎪ ⎝E⎠ e ⎣e épaisseur de la conduite ⎪ ⎪g = 9,81m/s 2 champ de pesanteur ⎪⎩ : 100 ⎤ ⎡acier ⎢fonte : 37 − 50⎥ ⎢ ⎥ K ⎢fonte centrifuge : 41 ⎥ ρ E⎞ ⎢ ⎥ ⎛ On donne : ⎜ ⎟ = pour tube en ⎢amiate − ciment : 12 a= ⎥ ⎝K⎠ ⎛K⎞ D ⎢plomb ⎥ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ × :9 ⎝E⎠ e ⎢ ⎥ béton : 10 ⎢ ⎥ ⎢⎣bois ⎥⎦ :5 DATA : calcul des célérités d’onde de pression • Pour une galerie creuse dans une roche seine on calcule la célérité des ondes de pression par :

2b

g a=

γ 1

2 + χ E2

tel que ρ =

γ

roche

g Galerie dans roche saine


Où E 2 est le module d’élasticité du Rocher, χ et γ = 0,001Κg/cm 3 sont respectivement le module d’élasticité et le poids spécifique de l’eau. Alors que pour une galerie blindée on utilise la formule :

b2 E⋅e

g a=

γ 2b (1 − λ3 ) + χ Ee 1

avec λ3 =

b2 + Ε.e

(c

− b2 2cE1 2

)

+

(m 2 + 1)b m 2Ε 2

où

rocher c b ♦ E1 : le module d’élasticité du béton ♦ E 2 : le module d’élasticité de la roche béton ♦ E : le module d’élasticité de la tôle d’acier tôle ♦ e : l’épaisseur de la tôle d’acier Galerie blindée ♦ c : le rayon extérieur du revêtement en béton ♦ b : le rayon intérieur du revêtement en béton entre la tôle et le rocher a u0 permet en première approximation g de choisir (le matériau) et de dimensionner une conduite contre le coup de bélier á défaut de calcul (graphique ou numérique) précis. On signale que si H est la pression existante dans la conduite en un point de celle – ci avant le coup de bélier, la pression au même point prend la valeur : H ± h . Pour la protection d’une conduite d’amenée on a présenté l’étude d’une cheminée d’équilibre et son dimensionnement contre le coup de bélier. [ C’est Joukowsky qui a le premier publié les équations fondamentales du coup de bélier en 1898 (en russe) {Néanmoins La théorie du coup de bélier reste attaché au nom d’Allievi depuis 1913}, ce travail a été traduit en anglais en 1904 par O. Simin dans Proc. Ann. Water Works Assoc. ].

♣ La formule de Joukowsky : h =

Etude du Réservoir d’Air : Dans le cas où il s’agit d’entraînement par un moteur électrique, où l’arrêt de fourniture de courant peut être inopiné et où les parties en rotation n’ont qu’une inertie faible, il est indispensable de prévoir des dispositifs de protection. Le dispositif le plus courant est celui du réservoir d’air (voir figures) . Lors de l’arrêt des groupes électriques, l’air du réservoir se détend et refoule un E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-54 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

débit d’eau dans la conduite, le dédit qui se substitue á celui des pompes. Au retour de l’onde de pression (phase de surpression), l’air du réservoir se comprime et l’eau pénètre dans le réservoir au lieu de s’écraser sur l’extrémité de la conduite avec tous les effets néfastes qu’il s’agit d’éviter.

eau

air réservoir d' air eau By - passe

clapet

pompe L’amortissement du processus est amélioré en interposant entre le réservoir d’air anti – bélier et la conduite un clapet troué qui laisse passer librement l’eau dans le sens anti – bélier – conduite (phase de dépression) et qui ralentit, en le l’aliment, le courant d’eau en sens inverse (phase de compression). Il est utile également de munir le dispositif d’un by – passe permettant d’apporter á l’usage quelques corrections de finition par manœuvre de la vanne. Il existe une formule permettant le calcul du volume du réservoir d’air :

Hd Hd Hd v 02 Vc 1− − = log H0 H0 H 0 2gH 0 Vr Où

♦ ♦ ♦ ♦ ♦

H0 Hd Vc Vr v0

: pression initiale (en mètre d’eau) de l’air du réservoir. : pression en fin de détente. : volume de la conduite. : volume du réservoir. : vitesse de l’eau dans la conduite en régime normal.


Quand les hauteurs de refoulement sont relativement faibles, le réservoir d’air peut être avantageusement remplacé par une cheminée d’équilibre ; cette disposition est représentée á la figure en dessous :

cheminée

pompe

N.B. : mode de fonctionnement thermodynamique d’un réservoir d’air Soit un réservoir á air branché en un lieu M d’une conduite (voir figure suivante) dont le volume d’air est V0 á la pression P0 du régime permanent initial ; si H 0 est la hauteur d’eau correspondante á cette pression, celle – ci est donnée par : P0 = ρ g H 0 + H a où H a est, en hauteur d’eau, la pression

(

)

atmosphérique. air

a / ρ / S/

• Q moyen =

Qt

A Q /t

• Q /t = Q t + Q //t

•M

Q //t

Q t + Q t + dt 2

B

a // ρ // S //

En régime varié ce volume V0 se détendra et se comprimera selon respectivement la descente [ Q t 〈 0 ] ou la montée du plan d’eau dans la cheminée [ Q t 〉 0 ], et l’on aura entre la pression absolue P = ρ g H + H a et

(

)

le volume V la relation : P0 ⋅ V0 = P ⋅ V si le phénomène (compression – détente ) est isotherme

Ou P0 ⋅ V0γ = P ⋅ Vγ s’il est adiabatique. L’exposant γ , qui est le rapport des chaleurs spécifiques á volume et á pression constants est égal á 1,4 pour l’air. Si le régime est lent c’est la relation isotherme qui est valable. Si elle est très rapide c’est l’équation adiabatique qui est valable. Dans la pratique c’est une loi intermédiaire entre les 2 qui est acceptable. Par exemple choisissons l’équation isotherme, et si le volume du réservoir d’air est Vt á l’instant t on aura : Vt (H t + Η a ) = V0 (H 0 + Η a ) E.H.T.P. Zorkani Mohammed 7-56 Département d’Hydraulique CHAPITRE 7 : ETUDE DU COUP DE BELIER ↔ écoulements en charge non permanent

Alors qu’á l’instant (t + dt) on aura : Vt + dt (H t + dt + Η a ) = V0 (H 0 + Η a ) D’où l’on tire : Vt + dt (H t + dt + Η a ) = Vt (H t + Η a ) où Vt + dt = Vt − Q t dt V (H + Η a ) − Vt + dt Η a V H t + dt = t t = (H t + Η a ) t − Η a ⇒ Vt + dt Vt + dt Vt (H t + Η a ) − Η a = ( (H 0 + )Η a ) − Η a H t + dt = H0 + Ηa Vt − Q t ⋅ dt − Q dt (H t + Η a ) t Or H t est connu (étude du régime transitoire), on trouve ainsi H t + dt et on V (H + H a ) en déduit alors Vt + dt = t t . D’où l’on calcule un débit moyen sur H t + dt + H a V − Vt Q t + Q t + dt l’intervalle [t , t + dt ] soit Q moyen = t + dt ≈ d’où l’on déduit dt 2 alors Q t + dt connaissant Q t & ainsi de proche en proche… H + Ha dV 2V (H + H a ) d H t N.B. : Vt = V0 0 ⇒ Qt = t = 0 0 H t + Ha dt (H t + H a )2 d t

♣ Une autre approche : Le réservoir á air est une capacité qui se remplit ou se vide. La fonction qui lie le volume d’air V á la pression H est : Vt (H t + Η a ) = V0 (H 0 + Η a ) alors H + Ha V = Vt = V0 0 = ϕ (H ) H + Ha On pose souvent : z ≡ H + H a → z 0 ≡ H 0 + H a . Quand la pression H en M augmente le volume d’air dans le réservoir diminu, et vis – versa, car la dérivée de ϕ / (H ) est toujours négative : H0 + Ha dϕ d V ϕ / (H ) = = = − V0 〈0 dH dH (H + H a )2 On peut écrire :

V(H + dH ) ≈ V(H ) +

H0 + Ha dϕ dH = V(H ) − V0 dH dH (H + H a )2

Ainsi en remplaçant V(H ) par son expression on obtient :

⎛ H + Ha V(H + dH ) ≈ V0 ⎜⎜ 0 ⎝ H + Ha

⎞ ⎛ dH ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜1 − ⎠ ⎝ H + Ha

⎞ ⎟⎟ ⎠


remarque : Dans le cas adiabatique, on aurait : 1

1

ϕ (H ) = V0

(H 0 + H a )γ 1

(H + H a )γ

et ϕ / (H ) = −

(H + H a )γ ⋅ 0

V0

γ

1

(H + H a )γ

+1

avec γ (air ) ≈ 1,41

FONDEMENT DE LA THEORIE DES CONDUITES SOUS PRESSION AVEC RESERVOIR D’AIR Nous devons á Rateau et á Camichel les premiers travaux dans ce domaine. Une étude détaillée de A. Foch [contribution á l’étude des coups de bélier dans les conduites munies d’un réservoir d’air, Toulouse 1920] et un mémoire d’Allievi doivent être notés tout particulièrement.

r v 〉 0 si v ↑ r r v 〈 0 si v//g ↓

air

r g

S v S2

S1

v2

v1

Soit v la vitesse débitante de l’eau qui entre dans le réservoir d’air, v1 et v 2 les vitesses de l’eau respectivement dans les conduites d’arrivée et de départ. On a conservation du débit volumique (incompressible) : S ⋅ v = S1 ⋅ v1 − S2 ⋅ v 2 [ Le plus souvent on a S = S1 = S2 de sorte qu’on a : v = v1 − v 2 ]. Soient : P V Le volume et P La pression de l’air dans le réservoir [ = z = H + Ha ] ρg r ⎧v 〉 0 si v ↑ Où H a est la pression atmosphérique, on a : dV = −S ⋅ vdt : ⎨ r ⎩v 〈 0 si v ↓ De plus on a :

z ⋅ V = [H + H a ] ⋅ V = C

Soit z ⋅ Vγ = [H + H a ] ⋅ Vγ = C

te

te

(compression isotherme)

(compression adiabatique avec γ = 1,41 ). 1

Foch écrit d’une manière générale :

z

γ

⋅ V =α avec 1 ≤ γ ≤ 1,41 .


Il en résulte : 1 ⎧ − ⎫ ⎧ −1 ⎫ V d ⎪⎛ z ⎞ γ ⎪ α d⎪ ⎪ v1 − v 2 = − ⋅ ⎨z γ ⎬ = − 0 ⎨⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ S dt ⎪ S d t ⎪⎝ z 0 ⎠ ⎪ ⎪⎭ ⎩ ⎭ ⎩ Ou pour petites surpressions : V0 d z V0 d H v1 − v 2 = = S ⋅ γ ⋅ z0 d t S ⋅ γ ⋅ z0 d t

[A] Théorie de Foch pour grands réservoirs d’air (sans tenir compte de l’élasticité de l’eau) Foch considère des conduites courtes avec des réservoirs d’air relativement grands. Supposons que le réservoir d’air se trouve á l’extrémité inférieure de la conduite et crée une pression z á cet endroit. A l’extrémité supérieure de la conduite règne la pression z 0 . On peut écrire pour cette conduite : ( z 0 = H 0 + Η a ) dv L + g(z − z 0 ) = 0 dt z D’où en utilisant [ dV = −S ⋅ vdt ] et en posant = η −γ , après intégration par z0

rapport au temps [ ∫0t dV = Vt − V0 = ∫0t − Svdt ⇒ Vt = V0 − S∫0t vdt ] { si γ ≠ 1 } on obtient (il ne faut pas oublier de tenir compte du signe de v) : 2

LV0 ⎛ dη ⎞ 1 1−γ te ⎜⎜ ⎟⎟ + η −η = C − 2z 0Sg ⎝ d t ⎠ 1−γ Cette équation différentielle convient á la discussion et la compréhension théorique du phénomène physique malgré quelle présente des difficultés mathématique (une étude numérique est nécessaire).


[B] Théorie d’Allievi pour réservoirs d’air élastiques {petits} [ L. Allievi, Comere d’aria nelle turbazionni prementi, Elettrotecnica, vol. 23, n0 20, 25 octobre 1936 ] Par contre, si le réservoir d’air n’est pas assez grand pour que la compressibilité de l’eau puisse être négligée. Il faut de nouveau faire appel aux équations fondamentales du problème du coup de bélier : a H t - ∆t + Η t − 2H 0 = (± v t - ∆t m v t ) g [le signe supérieur s’applique aux turbines et le signe inférieur aux pompes] Allievi considère le cas d’une pompe située au pied d’une conduite avec réservoir d’air. Au lieu de l’équation [ dV = −Svdt ] il écrit son intégrale au temps t : r le réservoir d' air t ⎧v 〉 0 si v ↑ ←⎯ ⎯⎯⎯⎯ ⎯→ • se remplie Vt = V0 − S ⋅ ∫ v dt avec : ⎨ r le réservoir d' air ⎯→ • se vide 0 ⎩v 〈 0 si v ↓ ←⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ L’équation isotherme : z 0 ⋅ V0 = (H + H a ) ⋅ Vt = z t ⋅ Vt apparaît ici comme auxiliaire. Si on pose de plus : av 0 av 0 ρ∗ = = 2g ⋅ (H 0 + Η a ) 2g ⋅ z 0 Allievi écrit pour les pompes : v0 (z t + 2z t + ∆t + z t + 2∆t − 4z 0 ) − v t + v t + 2 ∆t = 2 ρ ∗z 0 Nous poserons ensuite avec Allievi : v t - ∆t + v t -1 t → [µ] = T s -1 ∫t - ∆t vdt ≈ µ 2 Pour une fermeture brusque on a pendant la première phase : ⎞ ⎞ 2V0 ⎛ z 0 2V ⎛ z ⎜⎜ − 1⎟⎟ v 0 = 0 ⎜⎜ 0 − 1⎟⎟ v 0 + v ∆t = µ ⋅ Sv 0 ⎝ z ∆t µ S ⎝ z ∆t ⎠ ⎠ Pour les phases ultérieures nous écrivons : ⎛ 1 2V0 2 1 ⎞ ⎟⎟ − v t - ∆t + v t + ∆t = ⋅ z 0 ⋅ ⎜⎜ − + µ ⋅S z z z t t + ∆t ⎠ ⎝ t - ∆t Cette équation résout le problème.

( )


Ch07

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