Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Chapitre XXXX Les options exotiques

Ce chapitre est consacré aux options exotiques dont nous étudions les caractéristiques essentielles, l’utilisation, et l’évaluation. Nous ne pouvons prétendre à l’exhaustivité et nous limitons à la présentation des options les plus importantes. En effet, la palette de ces instruments est extrêmement riche et concerne tous les types de supports (actions, indices boursiers, taux d’intérêt et de change, marchandises, et même « actifs » non négociables comme un indice des prix à la consommation, ou un niveau de catastrophe naturelle ou de température) tant les besoins spécifiques des investisseurs et des opérateurs de marché se sont développés. La contrepartie de cette diversité est la faiblesse de la liquidité qui caractérise souvent ces options, ce qui rend plus ardu le problème de leur évaluation en pratique et, parfois, de leur couverture. Par ailleurs, des caractéristiques exotiques sont fréquemment présentes dans les différents titres émis par les entreprises pour financer leurs investissements (par exemple, obligations convertibles « callables » et/ou « putables » sous certaines conditions). Il n’y a pas de nomenclature qui s’impose en matière d’options exotiques et plusieurs classifications sont donc envisageables. Celle que nous adoptons consiste à distinguer les options dites « path independent » dont le payoff ne dépend que de la valeur terminale du titre sous-jacent, et les options « path-dependent » dont le payoff dépend de la trajectoire du sousjacent. Parmi les premières, nous décrivons brièvement, en section 1, les options « forward start », les options binaires ou digitales et double digitales, les options multi-sous-jacents, dont l’option d’échange représente le cas le plus simple, les options sur options ou composées, et les options quantos et compos (ou cross). Parmi les secondes, nous analysons, en section 2, les options barrières (dont les double barrières et les parisiennes) et digitales à barrière, les options « lookback », les options sur moyenne ou asiatiques et les options chooser.

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La plupart des démonstrations, sauf les plus simples, sont reléguées dans l’Annexe mathématique du chapitre et peuvent être sautées en première lecture.

Section 1 Options « path independent » §1. - L’option « forward start » (à départ différé) Cette option est une vanille européenne, à l’exception du fait que son strike n’est pas connu au moment où elle est évaluée et payée par l’acheteur, mais à un instant ultérieur spécifié dans le contrat. Notons T2 l’échéance de l’option, t l’instant courant d’évaluation et T1 (t < T1 < T2) la date d’établissement du strike. Typiquement, ce dernier sera égal au cours du titre sous-jacent (TSJ) relevé en T1. Une telle option présente un intérêt dans plusieurs situations. La première est celle dans laquelle l’acheteur veut fixer le niveau de volatilité (qu’il paie) à son niveau actuel, par exemple parce qu’il craint ou anticipe une hausse de cette dernière, tout en se laissant le temps d’établir le strike, par exemple parce qu’il parie à court terme sur la baisse momentanée du TSJ (dans le cas d’un call) ou sur sa hausse (dans le cas d’un put). Plus fréquemment, ces options sont (massivement) utilisées par les fonds à capital garanti. Rappelons que le principe d’un tel fonds est simple : dans son expression la plus élémentaire, le fonds est constitué d’un titre zéro coupon sans risque de signature garantissant le capital apporté par le client et d’un call écrit sur un TSJ quelconque permettant, s’il expire dans la monnaie, de servir une rémunération proportionnelle à la hausse relative dudit TSJ. Or ces fonds garantis, pour être effectivement commercialisés, doivent proposer à leurs clients potentiels, pour un contrat donné, une période de souscription relativement longue, couramment de plusieurs mois. Par exemple, la période de souscription s’étend du 01/09/n au 31/12/n et la performance du TSJ est évaluée entre le 31/12/n et le 31/12/n+5. Le gestionnaire de ce fonds garanti va acheter, juste avant la période de souscription, un call « forward start » de date de fixation du strike le 31/12/n, et d’échéance le 31/12/n+5 (ainsi qu’un zéro coupon de même maturité). La multiplication et la diversité des fonds garantis a ainsi nécessité la

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© Roland Portait et Patrice Poncet création de nombreux produits à départ différé, pour lesquels la performance peut être calculée comme une moyenne, peut être « cappée » ou « floorée », peut présenter des effets de cliquet, etc. Dans le cadre classique du modèle de BSM, l’évaluation de ces options est facile du fait de la propriété d’homogénéité de la valeur d’une option en prix du TSJ et en strike. Soit St la valeur en t du TSJ et Ct (= C(St, K, T2 - t)) la valeur en t du call d’échéance T2. A la date de fixation du strike, T1, le call vaut : C(ST1, ST1, τ ≡ T2 - T1) = ST1 C(1, 1, τ) En date T1, l’option est donc « équivalente » à C(1, 1, τ) unités de TSJ, où C(1, 1, τ) est une constante donnée par la formule de BSM. Dès lors, à la date t et dans l’hypothèse où le TSJ ne distribue pas de rémunération entre t et T1, la valeur de l’option forward start est celle de C(1, 1, τ) unités de TSJ, c'est-à-dire St C(1, 1, τ) ; soit en vertu de la même propriété d’homogénéité prise en sens inverse : (1)

St C(1, 1, τ) = C(St, St, τ)

Ainsi, la valeur en t (0 < t < T1 < T2) d’une option « forward start » est celle donnée par la formule de BSM en prenant comme strike le prix courant du TSJ et comme durée de vie de l’option, non pas la variable T2 - t, mais la constante τ ≡ T2 - T1.

§2.- Les option digitales et double digitales

Ces options, parfois également appelées binaires, doivent leur nom au mot anglais "digit" (chiffre). Elles promettent à leur détenteur, à l'échéance T, soit un montant fixe (typiquement 1 €), soit rien, selon que la valeur S(T) du TSJ est supérieure au strike (pour un call) ou inférieure (pour un put). Formellement, le payoff s'écrit : 1

si S(T) > K pour le call,

0

sinon

1

si S(T) < K

0

sinon

pour le "put".

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La formule d'évaluation d'une option digitale découle directement de celle de BSM. En effet, rappelons que la probabilité risque-neutre que le call expire dans-la-monnaie est N (d 2 ), où : d2 ≡

Ln(S0 / K ) (r − δ − σ ² / 2 )T , avec δ le taux de dividende continu (noté souvent c dans + σ T σ T

les chapitres précédents). Le call digital vaut donc 1 € actualisé multiplié par cette probabilité, soit : Cd = e-rT N(d2).

(2)

De même, le put digital vaut : Pd = e-rT [1 – N(d2) ] = e-rT N(-d2).

(3)

Remarques : - Les options "clic", qui connaissent un succès certain auprès des investisseurs particuliers, sont des options digitales dont le payoff est soit X (euros) soit 0. Ce produit n’est en fait qu’un panier composé de X options digitales identiques. - La somme du call et du put binaires vaut 1€ actualisé car l’acheteur de ce panier est sûr d’obtenir 1€ à l’échéance : Cd + Pd = e-rT. Certains professionnels, par analogie avec le fait que les options digitales donnent une somme d’argent ou rien (« cash-or-nothing »), font entrer dans cette catégorie les options "titre ou rien" ("asset-or-nothing"). Le payoff de ces dernières s'écrit : S(T)

si S(T)> K pour le call,

0

sinon

S(T)

si S(T)< K pour le "put".

0

sinon

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© Roland Portait et Patrice Poncet On remarque qu'un portefeuille long du call et du "put" a une valeur égale à celle du TSJ (éventuellement actualisé au taux δ du dividende continu). On remarque également qu’il s'agit d'options qui, contrairement aux vraies digitales (et au put classique), ont un payoff de pente +1 (par rapport au TSJ) conformément à la Figure 1 cidessous.

K

0

S(T)

a) call

0

K b) put

S(T)

Figure 1. Option "Titre ou Rien" La formule d'évaluation de ces options « titre ou rien » est également tirée directement de la formule de BSM. Pour le call, le strike payé en cas d'exercice est 0. D'où l'on obtient : Ctor = S0 e-δT N(d1)

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avec d1 ≡

Ln(S0 / K ) (r − δ + σ ² / 2 )T + σ T σ T

Pour le put, l'on a : Ptor = S0 e-δT N(-d1) (du fait que S0 e-δT = Ctor + Ptor).

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L'on notera qu'en AOA la somme des deux options ne vaut pas S0 si le TSJ verse un dividende mais S0 e-δT, du fait que la possession des deux options, contrairement à celle du TSJ, ne donne pas droit au dividende. Si ce dernier est nul, il vient : S0 = Ctor + Ptor. Une option "gap" est une option dont le strike K (dont dépend l'exercice ou non de l’option à maturité) est différent du montant L utilisé pour calculer son payoff. Ce dernier s'écrit : S(T) – L

si S(T) > K

0

sinon

pour le call,

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© Roland Portait et Patrice Poncet L – S(T)

si S(T) < K pour le put.

0

sinon

Typiquement, l'on a L < K pour le call et L > K pour le put, de façon à rendre ces options attrayantes, mais le contraire peut se rencontrer, ce qui diminue la valeur initiale de la prime payée par l’acheteur. La valorisation d'une telle option "gap" est aisée si l'on remarque qu'elle peut-être synthétisée à partir de digitales et d'une option "titre ou rien". Le call, en effet, est constitué de L calls binaires vendus et d’un call "titre ou rien" acheté. Dès lors : Cg = S0 e-δT N(d1) – L e-rT N(d2)

(6)

où K, et non L, figure dans d1 et d2. On retrouve évidement la formule de BSM si K = L. Le put "gap" est constitué de L puts binaires achetés et d'un put "Titre ou Rien" vendu. Par conséquent : Pg = L e-rT N(-d2) – S0 e-δT N(-d1)

(7)

avec les mêmes remarques que pour Cg. L'on retrouve, par ailleurs, la relation de parité call-put, qui s'écrit ici : Cg – Pg = S0 e-δT – L e-rT. Enfin, les options "doubles digitales" (ODD) constituent des composants élémentaires à partir desquels on peut structurer de nombreux produits. Une ODD est composée d'une position longue sur une digitale de strike K1 et d'une position courte sur une digitale de strike K2 (> K1), les deux digitales ayant le même TSJ et la même maturité T. Le payoff de cette ODD s'écrit ainsi : 1

si K1 < S(T) < K2

0

sinon

Ce payoff est représenté par une "brique" de hauteur 1 et de longueur (K2 – K1), conformément à la Figure 2 ci-dessous.

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ODD +1 0

Digitale achetée K1

K2

S(T)

-1

Digitale vendue

Figure 2. Une Double Digitale Exemple A titre d'illustration, nous décrivons un produit fictif s'inspirant très fortement de produits commercialisés par les grandes banques, de type "Corridor" ou "Boost", et qui constituent des paris sur la stabilité du TSJ autour de son trend, plutôt que sur sa volatilité. Supposons que le taux d'intérêt proportionnel sans risque à un an soit de 3,30% et que l'Euribor 3 mois soit de 3,20%. Le nominal du produit structuré, appelons-le "couloir", est de

(

)

1 €, et son payoff en euros dans exactement un an est donné par la formule : 1+ 4%× x , 360 où x est le nombre de jours calendaires entre le 01-01-n et le 31-12-n (bornes comprises) où l'Euribor 3 mois r3(t) est resté dans l'intervalle [2,90% - 3,50%]. Si r3(t) n'est resté qu'un seul jour, par exemple, dans cet intervalle, la rentabilité pour l'investisseur sera de 0,011%, mais s'il y est resté constamment, elle sera de 4,056%. Autrement dit, l'investisseur abandonne une rentabilité certaine de 3,30% sur un an contre l'espoir d'obtenir, au mieux, 4,056% et ne sera intéressé par ce produit que s’il anticipe une stabilité des taux). L'analyse financière d'un tel produit est simple : il s'agit d'un portefeuille de 365 ODD, de durée 1 jour chacune, donnant chacune 0,04/360 euro si l'Euribor 3 mois du jour correspondant est compris dans l'intervalle [2,90% - 3,50%] et rien sinon. La première ODD expire à la fin du premier jour, la seconde (forward) naît au début, et meurt à la fin, du second jour, etc. L'évaluation de ce produit est donc aisée, connaissant la formule pour les options digitales (calls).

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© Roland Portait et Patrice Poncet Il est en général d'usage, parce que les anticipations à la stabilité du TSJ sont assez rares, de faire évoluer les bornes de l'intervalle [K1, K2] selon une fonction déterministe du temps spécifiée dans le contrat. Dans l'exemple précédent, si les anticipations du marché sont à la légère hausse des taux, on pourrait spécifier les fonctions suivantes : D ⎤ ⎡ Borne inférieure : 2,90% + ⎢(3,30% − 2,90% ) × 365 ⎥⎦ ⎣

D ⎤ ⎡ , Borne supérieure : 3,50% + ⎢(3,90% − 3,50% ) × 365 ⎥⎦ ⎣ où D est le nombre de jours calendaires écoulés depuis le 1-1-n. Le "couloir" évolue dans le temps, linéairement, entre les bornes [2,90% - 3,50%] et les bornes [3,30% - 3,90%]. On prendrait en compte, de façon analogue, une anticipation de baisse tendancielle des taux.

§3.- Les options « multi-sous-jacents » Ces options, parfois appelées « rainbows » (arc-en-ciel), dépendent de deux ou plusieurs TSJ risqués.

3.1- L’option d’échange.

Nous avons déjà rencontré l’option d’échange d’un actif risqué contre un autre, payant à l’échéance Max (0, ST – XT), étudiée par Margrabe (en 1978) et valorisée par un changement approprié de mesure et de numéraire, comme expliqué à la fin du chapitre 12 consacré au modèle de BSM. Pour le confort du lecteur, nous rappelons la formule dans le cas de variances et covariance constantes : (8)

Ct = St N(d1) – Xt N(d2)

ln avec d1 =

St 1 2 + ν (T − t ) Xt 2

ν (T − t )

, d2 = d1 – ν

2

(T − t ) et ν = σS2 + σX2 – 2 σSX.

Nous raisonnerons dans ce qui suit sur deux TSJ essentiellement, la généralisation à n sousjacents ne posant pas de difficultés de compréhension. Il n’en va toutefois pas de même en

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© Roland Portait et Patrice Poncet matière d’évaluation et de couverture et nous consacrerons à celles-ci quelques brefs développements en fin de cette section.

3.2- Options « best of » ou « worst of ».

Outre l’option d’échange, les options de type « best of » ou « worst of » sont très utilisées, notamment en matière de gestion déléguée de portefeuille. Le payoff de l’option de recevoir le meilleur de deux actifs risqués (« best of ») s’écrit : Max (ST, XT) Une telle option, dont l’intérêt pour l’acheteur est évident, est naturellement assez chère. Le payoff de l’option de recevoir le pire de deux actifs risqués (« worst of ») s’écrit : Min (ST, XT) L’acheteur d’un « worst of » anticipe que chacun des deux TSJ affichera une bonne performance et est attiré par le caractère relativement bon marché de cette option. Connaissant la formule de Margrabe, il est facile d’évaluer ces deux options. En effet, nous avons : Max (ST, XT) = XT + Max (0, ST – XT) et Min (ST, XT) = XT – Max (0, XT – ST), où l’on voit que dupliquer un « best of » ou un « worst of » à partir d’un des deux TSJ et de l’option d’échange appropriée est extrêmement simple. Dès lors, dans le cas où le TSJ ne distribue pas de rémunération entre t et T, leur valeur en date t s’écrit en fonction de Ct donnée par (8) : Xt + Ct pour l’option « best of » ; Xt – Ct pour l’option « worst of ». A titre d’illustration, prenons l’exemple d’un gérant obligataire (X est la valeur de son portefeuille d’obligations) qui estime que, d’ici à son horizon de gestion, le marché actions (S est la valeur du panier représentatif de ce marché) va probablement sur-performer le marché des obligations. Il achète l’option d’échange payant Max (0, ST – XT) et est ainsi assuré, sans aucune compétence particulière, de faire bénéficier ses clients de la meilleure des deux performances (actions ou obligations) réalisées, au paiement de la prime initiale de l’option près.

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© Roland Portait et Patrice Poncet Un aspect intéressant de ces options est que leur prix [(8) par exemple] reflète à la fois la volatilité de chacun des deux TSJ et leur corrélation. Connaissant la volatilité de chaque TSJ, évaluée à partir d’options vanilles liquides par exemple, on peut alors inférer leur corrélation implicite. C’est pourquoi les professionnels appellent souvent ces instruments des « produits de corrélation ». Muni de ces volatilités et corrélation, on peut alors évaluer d’autres produits, plus complexes, faisant intervenir ces deux TSJ.

3.3- Les options sur minimum ou sur maximum.

Les calls et les puts sur le minimum ou sur le maximum de deux actifs risqués constituent également des produits de corrélation qui bénéficient d’une relativement bonne liquidité. Les payoffs des options sur minimum s’écrivent, respectivement : Max (0, Min (ST, XT) – K) pour le call, et Max (0, K – Min (ST, XT)) pour le put, tandis que les payoffs des options sur maximum s’écrivent, respectivement : Max (0, Max (ST, XT) – K) pour le call, et Max (0, K – Max (ST, XT)) pour le put. Remarques : - Les « best of » et « worst of » sont des cas particuliers des options sur maximum et sur minimum, respectivement, obtenus pour K = 0. - Pour éviter de multiplier les logiciels d’évaluation et gagner du temps de calcul, on peut utiliser les relations de parité call-put entre ces différentes options. En effet, l’on a : Max (0, K – Min (ST, XT)) = Max (0, Min (ST, XT) – K) – Min (ST, XT) + K Max (0, K – Max (ST, XT)) = Max (0, Max (ST, XT) – K) – Max (ST, XT) + K - Il existe également des relations de parité Min-Max : Max (0, Min (ST, XT) – K) = Max (0, ST – K) + Max (0, XT – K) – Max (0, Max (ST, XT) – K) Max (0, K – Min (ST, XT)) = Max (0, K – ST ) + Max (0, K – XT) – Max (0, K – Max (ST, XT))

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© Roland Portait et Patrice Poncet Des formules analytiques existent pour toutes ces options qui font intervenir la fonction de répartition normale bi-variée N2 où N2[x; y; ρ] est la probabilité que la première variable normale soit inférieure à x et que la seconde soit inférieure à y ; ρ désigne le coefficient de corrélation entre ces deux composantes. A titre d’exemple, le call sur minimum a pour payoff en T : CMinT = ST 1S(T)K + XT 1S(T)>X(T)1X(T)>K – K 1S(T)>K1X(T)>K et par conséquent une valeur en t = 0 égale à : CMin0 = EQ[e-rT [ST 1S(T)K + XT 1X(T)K – K 1S(T)>K1X(T)>K]] Dans le dernier terme, en K, l’espérance du produit des deux indicatrices correspond à la probabilité jointe que les calls écrits sur S et sur X soient tous deux dans la monnaie, ce qui donne : – K e-rT N2[d2(σS); d2(σX); ρ] où les d2 sont ceux de BSM et ρ est la corrélation entre ST et XT . Les deux premiers termes sont symétriques en S et X. Il suffit donc d’évaluer le premier. Comme la première indicatrice fait intervenir deux variables aléatoires, on divise, comme pour l’option d’échange, S(T) et X(T) par S(T) pour n’avoir plus qu’une variable aléatoire. Il vient alors : EQ[e-rT ST 1S(T)>K 1X(T) / S(T)>1] La première indicatrice donne la probabilité habituelle N(d2(σS)). La seconde indicatrice donne la probabilité N(d2(ν)), où ν est défini dans l’équation (8), et d2(ν) = [[Ln (X0/S0) – 0.5ν2T] /ν √T]. La probabilité jointe de ces deux événements est donc égale à : N2[d2(σS); d2(ν); ρ’] où ρ’, le coefficient de corrélation entre ST et XT/ST, est donné par ρ’ = (ρ σX – σS) / ν. 1 Comme l’espérance fait intervenir e-rTST, on retrouve, en utilisant la valeur de ST et le changement de variable habituel, S0 et d1(σS). On a donc : EQ[e-rTST 1S(T)>K 1X(T) / S(T)>1] = S0 N2[d1(σS); d2(ν); ρ’] La variance du produit des variables aléatoires ST et XT/ST est σ2X. Elle s’écrit aussi σ2S + ν2 + 2σSνρ’. D’où le résultat, en utilisant ν2 = σS2 + σX2 – 2 ρσXσS. 1

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© Roland Portait et Patrice Poncet Finalement, en appliquant le même raisonnement au terme impliquant XT, on obtient : (9) CMin0 = S0 N2[d1(σS); d2(ν); ρ’] + X0 N2[d1(σX); d’2(ν); ρ’’] – K e-rT N2[d2(σS); d2(σX); ρ] où, outre les termes déjà définis, d’2(ν) = [[Ln (S0/X0) – 0.5ν2T] /ν √T] et ρ’’ = (ρ σS – σX)/ ν.

Remarques : - La fonction N2[x; y; ρ] se calcule par intégration numérique en notant que :

exp(−0,5u 2 ) ⎛⎜ y − ρu N2[x; y; ρ] = ∫ N −∞ ⎜ 1− ρ 2 2π ⎝ x

⎞ ⎟du . ⎟ ⎠

- Dans le cas où les supports versent un dividende, les formules précédentes sont amendées comme lorsque l’on passe du modèle de BS à celui de Merton. - Il est facile, à partir de relations telles que (9), d’évaluer des options sur le meilleur ou sur le pire de deux actifs risqués et de l’actif sans risque. En effet, on a par exemple : Max (ST, XT, K) = K + Max (0, Max (ST, XT) – K). - La généralisation des relations précédentes à trois actifs risqués ou plus (n de façon générale) pose de sérieux problèmes d’évaluation (et donc de couverture) car il faudrait alors obtenir la valeur des intégrales triples (trois actifs risqués), quadruples (quatre actifs risqués) etc., par intégration numérique, ce qui n’est pas efficace. Il est donc préférable de procéder par simulation de Monte Carlo (cf le chapitre XXXXX). Par ailleurs, quelle que soit la méthode adoptée, il est nécessaire d’estimer n variances et n(n–1)/2 covariances, qui croît comme le carré de n, avec de sérieux risques d’erreur d’estimation. Les prix de ces produits font en conséquence l’objet d’écarts cours acheteur – cours vendeur assez importants en pratique.

§4.- Les options sur options ou « composées »

Une option sur option (dite « mère ») est le droit, mais pas l’obligation, d’acheter ou de vendre, à une date future T1 et à un strike K1, un call ou un put (option « fille ») d’échéance T2

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© Roland Portait et Patrice Poncet (> T1) et de strike K2 (en général > K1), écrit sur un TSJ quelconque. Il y a par conséquent quatre types d’options composées, call sur call, call sur put, put sur call et put sur put. L’option sur option est moins chère (en euros) que l’option vanille, puisque son support est une option, mais sa cherté relative dépend évidemment des prix d’exercice des deux options la composant (c’est-à-dire essentiellement de leur « moneyness » relative). Comme exemples d’utilisation pratique de ces instruments, nous pouvons mentionner : - la prise de position, à la hausse (call mère) ou à la baisse (put mère), sur la future volatilité implicite du TSJ, puisque la variation de cette volatilité se traduit par une variation de même signe du prix de l’option fille ; - la prise de position sur le sens de variation du cours du TSJ à un coût faible ou très faible, le (double) effet de levier d’une composée pouvant être considérable ; - l’anticipation d’une amplification sensible des fluctuations du prix du TSJ sans parier sur leur direction, par le double achat d’un call sur call et d’un call sur put, à un coût faible ou très faible par rapport à un « straddle » ou à un « strangle » vanille. - La couverture, très utilisée en pratique, d’une position conditionnelle. Supposons par exemple qu’une entreprise industrielle européenne participe à un appel d’offre international portant sur une commande libellée en US dollars. Si elle emporte l’adjudication, elle sera longue en cette devise et subira dès lors le risque de dépréciation du dollar par rapport à l’euro. Sinon, elle n’aura aucune position. Une solution envisageable serait d’acheter un put $/€ pour couvrir la position en cas de gain de l’appel d’offre. Le risque est alors de ne pas emporter le contrat et de revendre le put inutile avec une perte due au passage du temps (thêta) et/ou une appréciation du dollar. Une meilleure solution en général consiste à acheter un call sur put $/€, qui coûte moins cher que le put évoqué plus haut. Si l’appel d’offre n’est pas gagné, la perte potentielle est moins élevée, et s’il l’est, et que le dollar se déprécie, le call sur put est revendu avec profit et l’entreprise couvre sa position par une vente à terme ferme des dollars.

L’évaluation des options sur options est due à Geske (1977, 1979). Dans la mesure où, à l’échéance de l’option mère, son TSJ est lui-même une option (fille), la solution fait intervenir, comme pour les options à deux sous-jacents ci-dessus, la loi normale bi-variée N2. La solution n’est toutefois que pseudo-analytique, à l’instar de la solution de Barone-Adesi et

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© Roland Portait et Patrice Poncet Whaley pour les options américaines (cf le chapitre précédent), dans la mesure où il faut déterminer un seuil S* pour le niveau du TSJ par procédure numérique. En notant δ le taux de dividende, les formules sont les suivantes : - Pour le call sur call : (10) CC0 = S0 e-δT2 N2[a1; b1; ρ] – K2 e-rT2 N2[a2; b2; ρ] – K1 e-rT1 N(a2) avec : a1 =

b1 =

Ln(S0 / S*)+(r −δ +0.5σ 2)T1 , a2 = a1 – σ T1 σ T1 Ln(S0 / K2)+(r −δ +0.5σ 2)T2 , b2 = b1 – σ T2 , ρ = T1/T2 , et σ T2

S* le niveau du TSJ tel que : valeur du call(S*, K2, T2 – T1) = K1. - Pour le call sur put : (11) CP0 = – S0 e-δT2 N2[– a1; – b1; ρ] + K2 e-rT2 N2[– a2; – b2; ρ] – K1 e-rT1 N(– a2) avec S* le niveau du TSJ tel que : valeur du put(S*, K2, T2 – T1) = K1. - Pour le put sur call : (12) PC0 = – S0 e-δT2 N2[– a1; b1; – ρ] + K2 e-rT2 N2[– a2; b2; – ρ] + K1 e-rT1 N(– a2) avec S* le niveau du TSJ tel que : valeur du call(S*, K2, T2 – T1) = K1. - Pour le put sur put : (13) PP0 = S0 e-δT2 N2[a1; – b1; – ρ] – K2 e-rT2 N2[a2; – b2; – ρ] + K1 e-rT1 N(a2) avec S* le niveau du TSJ tel que : valeur du put(S*, K2, T2 – T1) = K1.

§5.- Les options Quantos et Compos L'une des sources de risque majeures pour les investisseurs est la volatilité des taux de change. Même entre les grandes monnaies internationales (US dollar, euro, livre sterling et yen), les fluctuations des taux de change peuvent être très importantes et rendre, par exemple, un investissement très rentable en monnaie étrangère désastreux quand son payoff est traduit en monnaie domestique. 14

© Roland Portait et Patrice Poncet La motivation première de produits "quantos", que ce soit les swaps de taux d'intérêt2 ou les options, est d'éviter le risque de change tout en pariant sur un TSJ libellé en devise étrangère. L'appellation "quanto" viendrait de la création de ces produits en réaction aux désillusions d'investisseurs américains suite à l'effondrement du peso mexicain face, notamment, au dollar US à la fin des années 1980. Exemple Un investisseur européen peut vouloir parier sur la hausse des indices boursiers US mais craindre la dévaluation du dollar face à l'euro. La solution consiste à acheter un call "quanto" écrit sur le Dow Jones Industrial Average. Le TSJ et le strike sont libellés en US $, mais le payoff du call (s'il est positif) est multiplié par un taux de change €/$ fixé à l'avance, et est donc exprimé en euros. Supposons que le taux de change négocié entre l'acheteur et le vendeur soit le taux de change spot en vigueur, soit 0,78 (€/$). Supposons que le strike du call écrit sur le DJIA soit 11 400 ($), et que, à l'échéance du call, le DJIA vaille 11 800 ($). L'acheteur recevra (11 800 – 11 400) $ × 0,78 €/$ = 312 €, que le dollar se soit apprécié ou déprécié par rapport à l'euro. Définition : de façon générale, un produit est dit "quanto" quand son payoff est libellé dans une devise autre que la monnaie d'origine des composantes fondamentales du produit. Le plus souvent, la monnaie retenue est celle de l'acheteur, qui évite ainsi tout risque de change. On peut, toutefois, envisager le cas d'un produit "quanto" destiné à prendre pari à la fois sur le TSJ étranger et sur une autre devise étrangère. Dans l'exemple précédent, le payoff aurait pu être libellé en yens, avec un taux de change ¥/$ fixé à l'avance. L'investisseur européen aurait donc reçu des yens, ce qui lui aurait fait courir, outre le risque d’une baisse de la bourse de New York, un risque de change €/¥, gagnant (perdant) en cas d'appréciation (dépréciation) de la monnaie japonaise par rapport à l'euro. Par ailleurs, si le taux de change fixe déterminé à l'avance est habituellement le taux de change spot en vigueur à l'initiation du contrat, rien n'interdit aux deux parties de s'accorder sur un taux différent, comme le taux de change forward en vigueur ou tout autre taux qu’elles jugent convenable. Enfin, dans un autre type d'options appelées « compo », seul le prix du TSJ est libellé en monnaie étrangère, le prix d’exercice étant fixé en monnaie nationale. 2

Sur le marché des swaps de taux d'intérêt, un swap « quanto » est appelé « diff-swap » (swap différentiel). Par exemple, on échange un taux d'intérêt japonais contre un taux d’intérêt US, les paiements reçus et donnés étant tous effectués en dollars, sur la base d'un nominal libellé en dollar.

15

© Roland Portait et Patrice Poncet Dans ce qui suit, nous nous limitons au cas des calls, les puts étant valorisés et couverts selon les mêmes principes. Nous valorisons d’abord le call « quanto », puis le call « compo ».

5.1- Le call "quanto"

Le payoff de ce call, parfois appelé "Option à Garantie de Change", s'écrit :

(

CQ(T) = Xˆ S f (T ) − K f

)

+

où l'exposant "f" indique le caractère étranger ("foreign") de la devise d'origine dans laquelle sont libellés le TSJ et le strike, et où Xˆ désigne le taux de change monnaie domestique / monnaie étrangère (cotation dite "à l'incertain"), fixé à l'avance. Évaluons ce call à l'instant courant t = 0. Il vient :

[(

⎡ − r ( s ) ds f +⎤ CQ (0) = Xˆ EQ ⎢e ∫0 s (T ) − K f ⎥ = Xˆ A(T ) EQ S f (T ) − K f ⎣ ⎦ T

(

)

)] +

où r(t) est le taux d'intérêt domestique, supposé déterministe, donc le facteur d'actualisation T domestique A(T ) ≡ exp⎛⎜ − ∫ r (s ) ds ⎞⎟ est connu ; l'on raisonne, comme d'habitude, sous la ⎝ 0 ⎠

probabilité RN. A première vue, ce problème peut paraître trivial : Xˆ et A(T) étant connus, il suffirait d'appliquer BSM à l'espérance sous Q du payoff libellé en monnaie étrangère, puis, en multipliant le résultat BSM par Xˆ A(T) obtenir le prix en monnaie domestique. L'intuition suggère cependant que cette solution est fausse, car elle ne fait intervenir ni la volatilité du taux de change X(t), ni sa corrélation avec le TSJ Sf(t). Cette intuition est confortée quand l’on considère la position du vendeur du call, qui, lui, supporte un risque de change en plus du risque affectant le TSJ, En fait, la solution triviale est erronée parce que Q, la probabilité RN utilisée par l'investisseur domestique, diffère de Qf, la probabilité RN utilisée par l'investisseur étranger. Sous Q, les espérances de rentabilité instantanée sont toutes égales au taux sans risque domestique r, alors que sous Qf elles sont égales au taux sans risque étranger, r f. De façon générale, EQ [.], calculée du point de vue domestique n'est pas égale à EQf [• ] qui aboutirait, elle, à la formule de BSM. Or il s'agit d'exprimer la dynamique du TSJ Sf(t) et celle du taux de change X(t) sous la probabilité RN domestique. Supposons que, sous la probabilité historique, le taux de change obéisse à : 16


dX (t ) = µ X (t ) dt + σ X (t ) dWˆ x (t ) X (t ) où σ x (t ) est une fonction déterministe, et Wˆ x (t ) est un brownien uni-dimensionnel. Tous les browniens utilisés ici sont de dimension un mais sont corrélés (la généralisation à un brownien multi-dimensionnel ne pose aucun problème particulier). Par ailleurs, toutes les variances et covariances sont supposées déterministes. Par ailleurs, sous cette même probabilité historique, la valeur Sf(t) du TSJ est sensée obéir à3 :

dS f (t ) = µ Sf (t ) dt + σ Sf (t ) dWˆ Sf (t ) . S f (t ) Nous allons d'abord démontrer deux résultats intermédiaires. Lemme 1. Sous la probabilité RN domestique, les dynamiques du taux de change X(t) et du TSJ étranger Sf(t) s'écrivent, respectivement : (14)

dX (t ) = r (t ) − r f (t ) dt + σ X (t ) dW X (t ) X (t )

(15)

dS f (t ) = r f (t ) − ρ (t )σ X (t )σ Sf (t ) dt + σ Sf (t ) dW Sf (t ) f S (t )

(

)

(

)

où rf(t), supposé déterministe comme le taux domestique, est le taux d'intérêt étranger, ρ(t) désigne la corrélation entre les variations relatives du taux de change et du TSJ, et les deux browniens sont sous la probabilité Q-domestique (dite Q pour simplifier). Démonstration. Définissons Z(t) ≡ Sf(t) X(t) A(t) et Y(t) ≡ [X(t)/Af(t)] A(t), où A(t ) ≡ exp− ∫ r (s ) ds et A f (t ) ≡ exp − ∫ r f (s ) ds . t

t

0

0

On reconnaît que Z(t) est le prix Sf(t)X(t) du TSJ libellé en monnaie domestique actualisé au taux sans risque domestique A(t), et donc est une martingale sous Q.

3

Pour simplifier, on suppose que le TSJ ne verse pas de dividende. S’il en distribue, au taux déterministe continu δf(t), il suffit de remplacer dans toutes les formules Sf(0) par Sf(0) D(0,T) où D(0,T) ≡ exp -

∫ δ (s)ds. T

f

0

17

© Roland Portait et Patrice Poncet De manière analogue, Y(t) est le prix d'un zéro-coupon étranger changé en monnaie

⎡ 1 ⎤ domestique ⎢ f X (t )⎥ actualisé au taux d’intérêt domestique, et est donc également une Q⎣ A (t ) ⎦ martingale. Les termes de tendance de ces deux processus sont donc nuls sous Q. D'où, l'on a, par le lemme d'Itô :

µY = r f + µ X − r = 0 ⇒ µ X = r − r f

et

µ Z = µ Sf + µ X + ρσ X σ Sf − r = 0 ⇒ µ Sf = r − µ X − ρσ X σ Sf = r f − ρσ X σ Sf . Par ailleurs, les paramètres de volatilité ne sont pas affectés par le changement de probabilité de P (historique) à Q. □ La valeur du call « quanto », Xˆ A(T) EQ[(Sf(T) - Kf)+], se calcule à partir de la dynamique (15) du TSJ et est donnée par la relation suivante : (16)

⎡ S f (0 ) ⎤ γ (T )N (d1 ) − K f N (d 2 )⎥ CQ (0) = Xˆ A(T ) ⎢ f ⎣ A (T ) ⎦

[

]

1 Ln S f (0) γ (T ) / A f (T )K f + Vol 2 (S f , T ) T 2 où d1 = Vol (S f , T ) T d 2 = d1 − Vol (S f , T ) T

(

)

Vol 2 S f , T =

1 T 2 σ Sf (s ) ds = moyenne, entre 0 et T, du carré de la volatilité du TSJ. T ∫0

Démonstration. En intégrant (15), il vient : T ⎡ T⎛ ⎤ 1 ⎞ S f (T ) = S f (0 ) exp ⎢ ∫ ⎜ r f (s ) − ρ(s )σ Sf (s ) − σ Sf2 (s )⎟ ds + ∫ σ Sf (s ) dW Sf (s )⎥ 0 0 2 ⎠ ⎣ ⎝ ⎦ f T ⎡ S (0 ) ⎤ ⎡ 1 2 ⎤ γ (T )⎥ exp ⎢− ∫ σ Sf2 (s ) ds + ∫ σ Sf (s ) dW Sf (s )⎥ =⎢ f 0 Sf ⎣ 2 ⎦ ⎣ A (T ) ⎦ T où γ (T ) ≡ exp⎛⎜ − ∫ ρ (s ) σ X (s ) σ Sf (s ) ds ⎞⎟ . 0 ⎝ ⎠

Les conditions du modèle de BSM (avec volatilité et taux déterministes non constants) sont alors réunies, si l'on prend comme valeur courante du TSJ, non pas Sf(0), comme

18


S f (0) γ (T ). En multipliant EQ [•] par Xˆ A(T), l'on l’investisseur étranger le ferait, mais A f (T ) obtient finalement la valeur du call quanto donnée par (16) □ Remarques - Si Xˆ =1 et, pour tout t, r(t) = rf(t) = r, ρ(t) = 0 et σSf(t) = σSf, on obtient la formule de BSM. - La volatilité σX du taux de change ne joue aucun rôle, la volatilité de ce produit "quanto" restant celle du TSJ. - Le caractère aléatoire du taux de change ne rentre en ligne de compte que par le biais de sa corrélation ρ avec le TSJ. Si celle-ci est nulle et que les taux d'intérêt domestique et étranger sont égaux, la formule de BSM s'applique telle quelle (il suffit de la multiplier par la constante Xˆ ). - Du point de vue du vendeur du call "quanto", il est utile de réécrire la solution (16) comme suit : (17)

CQ (0 ) =

Xˆ X (0 ) f S (0 )γ (T )N (d1 ) − K f A f (T )N (d 2 ) FX (0, T )

[

]

où FX(0,T) = X(0)Af(T)/A(T) est, en AOA (relation de cash-and-carry), le taux de change à terme (pour la maturité T) prévalant en t = 0. L'on comprend alors que la couverture par le vendeur du produit fait intervenir le TSJ étranger payé en monnaie domestique et un contrat à terme sur l'inverse du taux de change,4 ces positions étant gérées en continu. Ce sont les interventions sur le contrat à terme qui permettent au vendeur de gérer dynamiquement le risque de change qu'il subit à la place de l'acheteur du call « quanto ». Par exemple, si la devise étrangère se déprécie par rapport à la monnaie domestique, le vendeur perd de l'argent sur le call. Il compense cette perte de change par un gain sur la vente à terme de la devise, équivalente à l'achat à terme de la monnaie domestique.

4

⎛

⎞ ⎟ = 1 , l'on a, sur le marché à terme : ⎝ X (T ) ⎠

Comme sur le marché du spot, où X (T ) x ⎜

f F1

1

( )

( )

f FX t , T x F 1 t , T = 1 , X

où

(t , T ) est le cours à terme du taux de change monnaie étrangère/monnaie domestique, pour 0 ≤ t ≤ T.

X

19

© Roland Portait et Patrice Poncet Exemple numérique Soit un TSJ américain valant Sf(0) = 100 $, et un call standard de strike 100 $. Pour T = 0,5 an, rf = 4 % et σSf = 40 %, la formule de BSM donne une valeur du call de 12,15 $, soit 9,72 € pour X(0) = 0,8 (€/$). Si ce call est « quanto », avec Xˆ = 0,8, r = 2,5 %, et ρ.σX.σSf = - 0,02, l'application de la formule (3) donne CQ(0) = 10,27 €, à contraster avec 9,72 €, soit une augmentation relative de 5,66 %.

5.2- Le call "compo"

Un deuxième type d'option, appelé « compo » ou « cross », est intermédiaire entre une vanille et une « quanto », en ce que le risque de change ne porte que sur le TSJ, pas sur le strike. Ainsi le payoff du call s'écrit :

CC(T) = (X(T) Sf(T) – K)+ où K est exprimé en monnaie domestique. L'investisseur parie alors tant sur la hausse du TSJ que sur l'appréciation de la devise étrangère par rapport à la monnaie domestique, tout en maîtrisant le strike, exempt du risque de change. Nous illustrons par un exemple la différence entre le payoff d'un call « compo » et celui d'un call « quanto ». Exemple. Soient les données : Sf(0) = 100 $, X(0) = 0,8 = Xˆ , Kf = 100 $ et K = 80 €. Envisageons, à l'échéance des options, les 4 états du monde suivants : Sf(T) = 120 avec X(T) = 0,64 ou X(T) = 0,96, et Sf(T) = 95 avec X(T) = 0,64 ou X(T) = 0,96. Les payoffs du call « quanto » sont respectivement : [16; 16; 0; 0], reflétant une immunisation complète contre le risque de change. Les payoffs du call « compo » sont, respectivement : [0; 35,2; 0; 11,2], reflétant une grande sensibilité au risque de change. On note de plus que les valeurs terminales de ces options diffèrent beaucoup selon les états de nature réalisés. L’évaluation de l’option « compo » est légèrement plus difficile que la précédente car son sous-jacent est le produit X(T)Sf(T) dont il faut écrire la dynamique sous Q-domestique. Nous donnons ici directement le résultat dont la démonstration figure en Annexe mathématique (§I) de ce chapitre.

20

© Roland Portait et Patrice Poncet La valeur du call « compo » est égale à : (18)

CC (0) = X (0) S f (0)N (d1 ) − K . A(T )N (d 2 ) où d1, d2 et Vol2 (XSf,T) sont définis, respectivement, par :

d1 = d 2 + Vol ( XS f ,T ) T Ln(X (0 ) S f (0) / K . A(T )) − 0,5Vol 2 (XS f , T )T d2 = et Vol (XS f , T ) T

(

)

Vol 2 XS f , T ≡

(

)

1 T σ X2 (s ) + σ Sf2 (s ) + 2 ρ (s )σ X (s )σ Sf (s ) ds ∫ T 0

ce dernier terme dénotant la variance de X(T)Sf(T).

Remarques : - Contrairement au cas des options « quanto », c'est dans la volatilité du TSJ X(t)Sf(t) qu'interviennent la volatilité du taux de change X(t) (qui ne joue aucun rôle pour les « quantos ») et sa corrélation (ρ(t)) avec le support étranger Sf(t) ; - La valeur initiale du TSJ, X(0)Sf(0), n'est pas modifiée par un facteur prenant en compte la corrélation (ρ(t)), contrairement encore au cas des « quantos » ; - La couverture dynamique de ce call par le vendeur fait intervenir l'achat du support Sf changé en monnaie domestique et la vente du titre zéro-coupon (taux sans risque) domestique. Le taux sans risque étranger ne joue aucun rôle, ce qui explique le fait qu'il n'est nul besoin de recourir, contrairement au cas des « quantos », à des contrats à terme sur la devise étrangère.

Section 2 Options « path dependent » Nous présentons successivement les options barrières (dont les double barrières et les

parisiennes) et digitales à barrière, les options à strike maximum ou minimum dites « lookback », les options sur moyenne ou asiatiques et les options chooser.

21


§1.- Les options barrières

Comme une option vanille, la valeur à l’échéance d’une option «barrière», parfois appelée « limite », dépend de la différence entre le cours du TSJ à maturité et le strike fixé à l’avance. Cependant, le contrat définissant ce type d’option stipule une condition qui assujettit l’exercice de l’option au franchissement, ou au contraire à l’absence de franchissement, par le TSJ d’un seuil (la barrière) déterminé. Il existe par conséquent deux sortes d’options à barrière. Une option à barrière activante (« knock-in », ou plus sobrement « in ») n’existe pas tant que le cours de l’actif sous-jacent n’a pas atteint la barrière, et l’acheteur n’a par conséquent droit à aucun flux. Si le cours du TSJ ne touche jamais la barrière, l’option expire à maturité sans valeur. Dès que la limite est atteinte, en revanche, l’option devient vanille et peut expirer à maturité dans la monnaie, ou pas. Ainsi, la probabilité non nulle que la barrière ne soit jamais touchée réduit la valeur initiale de l’option par rapport à son homologue vanille, et cela d’autant plus que la barrière est éloignée du cours initial du TSJ. Une option à barrière désactivante (« knock-out », ou plus simplement « out ») présente la caractéristique inverse de la précédente : l’option est au départ standard, et le reste tant que le cours du TSJ ne touche pas la barrière. En revanche, dès que cette dernière est atteinte, l’option disparaît définitivement et l’acheteur n’a plus droit à aucun flux, quelle que soit l’évolution subséquente du cours du TSJ. Ainsi, la probabilité non nulle que la barrière soit atteinte rend la valeur initiale de l’option inférieure à celle de son homologue vanille, et cela d’autant plus que la barrière est proche du cours initial du sous-jacent. C’est précisément leur caractère relativement bon marché qui rend ces options si populaires : l’acheteur tente de profiter d’une anticipation assez fine concernant l’évolution du support pour diminuer le coût de son investissement, mais, ce faisant, il prend plus de risque encore qu’avec une option vanille car son option « In » peut ne pas être activée, ou son option « Out » peut être désactivée. A priori, il y a lieu de distinguer 8 (= 2 × 2 × 2) types d’options à barrière : il y a en effet des

22

© Roland Portait et Patrice Poncet calls et des puts, des barrières « In » et « Out », et celles-ci peuvent être atteintes soit par la hausse du cours du TSJ, d’où l’appellation « Up », soit par sa baisse, d’où le vocable « Down ». La barrière est supérieure au cours initial du TSJ pour les options « Up » et lui est inférieure pour les options « Down ». On désignera dans la suite ces 8 options par les trois lettres CUI (call up-and-in), CDI (call down-and-in), CUO (call up-and-out), CDO (call down-and-out), PUI (put up-and-in), PDI (put down-and-in), PUO (put up-and-out), et PDO (put down-and-out). La valeur d’une de ces options sera désignée par le nom de cette option écrit en italiques (par exemple CUI représente le prix d’un CUI). En fait, la position de la barrière, notée L (limite) par la suite, par rapport au strike K joue un rôle important dans l’intérêt économique et la valeur de ces options, ce qui aboutirait à distinguer 16 (= 8×2) options selon que L est supérieur à K ou lui est inférieur. Cependant, il est facile de voir que 2 options « In » et 2 options « Out » n’existent pas sur le marché, les premières parce qu’elles sont classiques, la barrière ne jouant de fait aucun rôle, et les secondes parce qu’elles ont une valeur toujours nulle, la barrière les désactivant dès qu’elles deviennent in-the-money. Le lecteur pourra se convaincre, à titre d’entraînement au maniement de ces options, qu’il s’agit, respectivement, du CUI avec L < K, du PDI avec L >

K, du CUO avec L < K et du PDO avec L > K. Ne sont donc effectivement négociées que 12 options barrières, 6 « In » et 6 « Out ». Par ailleurs, il arrive souvent que le contrat prévoie une clause selon laquelle, en cas de nonactivation d’une option « In » ou de désactivation d’une option « Out », l’acheteur ait droit à un « rebate » (remise, lot de consolation) en cash fixé d’avance, que l’on notera R. Naturellement, les options avec « rebate » sont plus chères à l’achat que leurs homologues qui en sont dépourvues. Dans le cas d’une barrière désactivante, R peut être payé par le vendeur, selon le contrat, soit dès que la limite est touchée (« rebate at hit ») soit en fin de vie de l’option (« rebate at expiry »). La première solution semble en général prévaloir sur le marché. Dans le cas d’une barrière activante, R ne peut être payé qu’à maturité (« rebate at

expiry ») car ce n’est qu’alors que l’on est sûr que l’activation ne s’est pas produite. L’on examinera d’abord l’évaluation des options barrière démunies de « rebate » puis on calculera la valeur des « rebates » « at expiry » et « at hit ».

1.1- Valeur des options à barrière

23

© Roland Portait et Patrice Poncet Il n'est pas nécessaire de dériver de façon analytique la valeur des 12 options barrière. Il suffit en fait de connaître, en plus de la formule de BSM, le prix de deux d'entre elles et certaines relations de parité pour obtenir les dix autres. Les premières relations de parité utiles ici sont les suivantes, où C et P désignent le call et le put standard, respectivement : (i)

C = CDO + CDI = CUO + CUI

(ii)

P = PDO + PDI = PUO + PDI

Ces relations découlent directement de la définition d'une barrière. Par exemple, l'achat d'un CDO et d'un CDI, de mêmes date d'échéance, strike et barrière, équivaut à un call standard car soit la barrière est atteinte (baisse suffisante du cours du TSJ) et le CDO expire sans valeur mais le CDI est activé, soit elle ne l'est pas, et le CDO reste en vie mais le CDI n'est pas activé. Les secondes relations de parité sont dites « des inverses ». On montre, dans l'Annexe mathématique (§III) de ce chapitre, que les calls et les puts « désactivants » sont liés deux à deux, ainsi que les calls et les puts « activants » : ⎛1 1 1 ⎞ PUO (S, K, L, T, r, δ) = S K CDO ⎜ , , , T , δ , r ⎟ ⎝S K L ⎠

(iii)

⎛1 1 1 ⎞ PDO (S, K, L, T, r, δ) = S. K. CUO ⎜ , , , T , δ , r ⎟ ⎝S K L ⎠

⎛1 1 1 ⎞ PUI (S, K, L, T, r, δ) = S. K. CDI ⎜ , , , T , δ , r ⎟ ⎝S K L ⎠ ⎛1 1 1 ⎞ PDI (S, K, L, T, r, δ) = S. K. CUI ⎜ , , , T , δ , r ⎟ ⎝S K L ⎠

où l'on remarque en particulier l'inversion des rôles du taux sans risque r et du taux de dividende δ. Supposons que l'on connaisse, par exemple, le prix d'un CDO (L < K) et celui d'un CUO (L >

K). On trouvera, dans l'annexe mathématique de ce chapitre (§IV), une démonstration du second résultat. On peut alors obtenir tous les prix d'options par la double chaîne :

24

© Roland Portait et Patrice Poncet CDO Æ PUO (par son « inverse » (iii)) Æ PUI (du fait de (ii))

(iv)

Æ CDI (du fait de (iii), ou de (i) connaissant CDO).

CUO Æ CUI (du fait de (i)) Æ PDI (du fait de (iii))

(v)

Æ PDO (du fait de (ii), ou de (iii) connaissant CUO).

Le Tableau 1 présente de façon synoptique la valeur des diverses options barrière, en absence de tout « rebate ». Les hypothèses concernant l'évolution dynamique du cours du TSJ sont celles de BSM. Nous utilisons les notations et résultats suivants5 : ⎛ σ2 ⎞ µ ≡ ⎜⎜ r − δ − ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝

ε=

µ +1 σ2

x=

Ln(S / K ) +εσ T σ T

y=

Ln(L2 / S .K ) +εσ T σ T

[1]

= φSe −δT N (φx ) − φKe − rT N φx − φσ T

[2]

= φSe −δT N (φx1 ) − φKe − rT N φx1 − φ σ T

[3]

⎛L⎞ ⎛L⎞ = φSe −δT ⎜ ⎟ N (ηy ) − φKe − rT ⎜ ⎟ ⎝S⎠ ⎝S⎠

[4]

⎛L⎞ ⎛L⎞ = φSe −δT ⎜ ⎟ N (ηy1 ) − φKe − rT ⎜ ⎟ ⎝S⎠ ⎝S⎠

x1 =

Ln(S / L ) +εσ T σ T

y1 =

(

2ε

Ln(L / S ) +εσ T σ T

)

(

2ε

φ ,η = +1 ou − 1

)

2 (ε −1)

(

N ηy − ησ T

2 (ε −1)

(

)

N ηy1 − ησ T

)

Tableau 1 : Valeur des Options à Barrière

5

Les résultats sont dus à Rubinstein et Reiner (1991).

25

© Roland Portait et Patrice Poncet K>L

K
Φ

η

CDI

[3]

[1]-[2]+[4]

1

1

PDI

[2]-[3]+[4]

[1]

-1

1

CUI

[1]

[2]-[3]+[4]

1

-1

PUI

[1]-[2]+[4]

[3]

-1

-1

CDO

[1]-[3]

[2]-[4]

1

1

PDO

[1]-[2]+[3]-[4]

0

-1

1

CUO

0

[1]-[2]+[3]-[4]

1

-1

PUO

[2]-[4]

[1]-[3]

-1

-1

Remarque On retrouve, à partir de ce tableau, les deux types de relation de parité {(i) + (ii)} et (iii) mentionnés plus haut, et le fait que 2 options "In" sont vanilles et 2 autres "Out" ont une valeur toujours nulle (en absence de « rebate »).

1.2-Valeur des « Rebates »

Comme indiqué plus haut, il faut distinguer le « rebate at expiry », facile à évaluer, du « rebate at hit », plus délicat à calculer. Le premier concerne les options "In" (et, très rarement, les "Out", donc on ne considère pas ce cas) et le second ne concerne que les options "Out". La valeur initiale d'un « rebate at expiry », qui vient s'ajouter à celle obtenue à partir du Tableau 1, est facile à déduire de ce dernier. En effet, cette valeur est le « rebate » R actualisé (R e–rT) multiplié par la probabilité que l'option n'ait pas été activée. Le calcul, qui suit de très près celui qui aboutit aux résultats du Tableau 1 (voir l'annexe du chapitre, §V), donne le résultat suivant :

[5]

2 (ε −1) ⎡ ⎤ ⎛L⎞ = Re − rT ⎢ N ηx1 − ησ T − ⎜ ⎟ N ηy1 − ησ T ⎥ ⎝S⎠ ⎢⎣ ⎥⎦

(

)

(

)

26

© Roland Portait et Patrice Poncet On remarque que la valeur du « rebate » ne dépend pas de la position de la barrière par rapport au strike, ce dernier ne jouant aucun rôle ici. Par ailleurs, seul le sens d'activation de la barrière est important (η = 1 ou -1 selon que l'option est "down" ou "up"), la nature de l'option (call ou put) étant indifférente (φ n'intervient pas). Les résultats sont synthétisés dans le Tableau 2 ci-dessous. La valeur initiale d'un « rebate at hit » est plus difficile à obtenir car l'éventuel lot de consolation est reçu à un instant futur inconnu, noté τ (d’un point de vue mathématique, il s’agit d’un temps d'arrêt). Dès lors, R e-rτ est aléatoire et il faut calculer R.EQ[e-rτ 1{τ≤Τ]. On montre dans l'annexe mathématique (§V) que l'on aboutit, en utilisant la densité du premier instant (τ) où S(t) atteint la barrière L, à :

[6]

ε −1− b ⎡⎛ L ⎞ε −1+ b ⎤ ⎛L⎞ R = ⎢⎜ ⎟ N (ηy2 ) + ⎜ ⎟ N ηy2 − 2ηbσ T ⎥ ⎝S⎠ ⎢⎣⎝ S ⎠ ⎥⎦

(

où y2 =

Ln(L / S ) +bσ T σ T

et b =

µ2 + 2rσ 2 σ2

)

Les remarques ci-dessus concernant l'absence de rôle du strike et la nature (call ou put) de l'option s'appliquent également ici. Le Tableau 2 récapitule tous les résultats concernant la valeur des « rebates ». Tableau 2 : Valeur des « Rebates »

formule

η

CDI et PDI

[5]

1

CUI et PUI

[5]

-1

CDO et PDO "at hit"

[6]

1

CUO et PUO "at hit"

[6]

-1

Pour obtenir la valeur d'une option barrière avec « rebate », on additionne les résultats des Tableaux 1 et 2. 27


Remarques : - Les valeurs des différents "paramètres" grecs s'obtiennent facilement (bien que certaines formules soient lourdes) à partir des résultats analytiques précédents. Le comportement de certains d'entre eux, notamment quand le cours du TSJ est proche de la barrière, est particulièrement intéressant, mais cette analyse sortirait du cadre de cet ouvrage et nous renvoyons le lecteur intéressé à des publications plus spécialisées. - On peut toutefois remarquer de façon générale qu’une option « In » est plus sensible à une augmentation de la volatilité qu’une option standard de mêmes caractéristiques (son véga est plus grand), tant qu’elle n’a pas été activée et n’est pas ainsi devenue vanille. En effet, la hausse de la volatilité implique une plus forte probabilité que l’option atteigne la barrière activante (par le haut ou par le bas) et donc existe réellement. - Symétriquement, une option « Out » non désactivée est moins sensible à une hausse de la volatilité qu’une option standard de mêmes caractéristiques (son véga est plus petit). En effet, une augmentation de la volatilité accroît certes la probabilité que l’option expire dans la monnaie, comme pour une vanille, mais accroît également la probabilité de sa désactivation. Le véga devient même négatif quand le cours du TSJ s’approche de la barrière. - Par ailleurs, le problème de la couverture de telles options par le vendeur se pose de façon aiguë. Dans certains cas seulement, une duplication statique de l'option barrière est possible par des options vanilles. Dans les autres cas, une couverture dynamique s'impose, qui ne peut pas être parfaite en pratique.

1.3- Autres barrières

Parmi les très nombreuses options, autres que celles analysées ci-dessous, composant la famille des barrières, nous citerons les principales. - « Barrière Partielle ». Une telle option propose un intervalle de temps prédéterminé [T1, T2], avec T1 ≥ 0 et T2 ≤ T, pendant lequel joue la condition d'activation ou de désactivation. Les autres caractéristiques sont communes aux barrières simples. L'évaluation de telles options fait intervenir la loi normale bi-variée N2 (x ; y ; ρ) comme pour les options « chooser » ou les options sur options.

28

© Roland Portait et Patrice Poncet - « Double barrière ». Le contrat spécifie deux barrières LH (haute) et LB (basse) situées de part et d'autre de la valeur initiale du TSJ. Une option de type "In" est activée si le cours du TSJ franchit LH à la hausse ou LB à la baisse. Une option de type "Out" est désactivée si l'une des limites est atteinte ou franchie. Il existe de nombreuses variantes. Par exemple, une double barrière "In" pourrait exiger que LB puis LH soient franchies dans cet ordre (ou l'ordre inverse) pour être activée. Une double barrière "Out" pourrait être désactivée si les deux limites sont franchies, dans n'importe quel ordre, ou dans un ordre spécifié au départ. Un autre cas rencontré est la « successive touch » : l'option est à la fois "Up-and-In" pour la barrière haute puis "Down-and-Out" pour la barrière basse. L'évaluation de ces options est complexe et nécessite en général le recours à des méthodes numériques à un stade ou un autre du processus d'évaluation. - « Barrière contingente ». Ici, l'activation de l'option, ou sa désactivation, dépend du franchissement de la barrière (ou d'une double barrière) par un autre TSJ. Le TSJ est par exemple un indice boursier étranger et l'autre TSJ, que conditionne l'option, est un taux de change, un taux d'intérêt ou un autre indice boursier. - « Barrière douce » (« soft barrier »). Dans ce cas, le payoff est amputé partiellement de ce qu'il serait par une option vanille, en proportion de la distance aux deux bornes de la barrière douce atteinte par le TSJ. Soit par exemple un CDO, de strike 100, et de barrière douce [60; 80]. Si le minimum atteint par le TSJ est compris entre 60 et 80, le payoff sera ⎡ 80 − min ⎤ égal à ⎢1 − % de la valeur terminale du call. Pour un minimum de 70, par 80 − 60 ⎥⎦ ⎣

exemple, le payoff sera 50 % de celui du call vanille de strike 100. - « Barrière à effet opposé ». Souvent appelée "roll option", cette option est une double barrière, les deux limites LH et LB étant situées du même côté de la valeur initiale du TSJ. Elles sont donc toutes les deux de type "Up" ou de type "Down". La barrière la plus proche est activante, la plus éloignée désactivante. Soit par exemple un call « roll down » : l'acheteur anticipe une baisse (limitée) du cours du TSJ suivie d'une hausse (ou d'une stagnation). S’il a raison, son option sera activée sans désactivation ultérieure.

29

© Roland Portait et Patrice Poncet - « Barrière à reset de strike ». Il s'agit d'une barrière à effet opposé pour laquelle le strike change quand la limite activante est atteinte. - « Option cliquet ». Cette option a une durée de vie divisée en sous-périodes de longueur généralement égales (typiquement 5 à 10 ans divisés en autant d'années). Le premier strike est connu. Si, au terme de la première sous-période, le TSJ est inférieur au strike (pour un call), ce dernier ne change pas et le gain engrangé par l'acheteur est nul. Si en revanche, le TSJ vaut plus que le strike, le gain de l'acheteur lui est définitivement acquis quoi qu'il arrive par la suite, mais le strike est augmenté et devient égal à la première barrière LH1 spécifiée dans le contrat. On procède de même à la fin de chaque souspériode, les éventuels gains intermédiaires se cumulant. Cette option assure l'investisseur, pariant sur la hausse du TSJ (pour un call, une baisse pour un put) et ayant raison temporairement, contre un retournement de tendance qui lui ferait tout perdre avec une option longue classique. - « Options parisiennes ». Un inconvénient qui peut être majeur pour l'acheteur d'une barrière simple désactivante et pour le vendeur d'une barrière simple activante est que l'option est perdue (respectivement, née) même si le cours du TSJ ne touche la barrière L qu'une seule fois et s'en ré-éloigne définitivement par la suite. Pour pallier cet inconvénient, l'option parisienne stipule que l'option n'est activée ("In") ou désactivée ("Out") que si le cours du TSJ reste du même côté de L, après franchissement, pendant un laps de temps consécutif appelé "fenêtre" et noté D (durée). Prenons le cas d'un CUI d'échéance un an, avec D = 2 mois. Si, pendant l'année considérée, le cours du TSJ reste pendant 2 mois consécutivement au-dessus de L, le call naît; en revanche, si ce n'est pas le cas, le call n'est pas activé, même si le temps total passé par le cours du TSJ au-dessus de L durant l'année est, par exemple, de 8 mois (il y a eu trop d'oscillations de part et d'autre de L). Ce type d'option peut-être utile si l'acheteur veut éviter des manipulations de cours (visant à atteindre la barrière L pour désactiver l'option, par exemple) lors des toutes dernières séances de cotation du TSJ, ou une hausse brutale mais temporaire du cours du TSJ en cas de rumeur d'OPA non fondée, ou une hausse ou baisse importante mais passagère du cours d'une devise trop (ou pas assez) soutenue par la banque centrale du pays concerné, etc. 30


Des formules d'évaluation quasi-explicites existent pour ces options (voir par exemple Chesney et al., 1997) mais nécessitent le recours à des méthodes numériques pour le calcul d'une intégrale complexe. Par ailleurs, deux types de parité existent, à l'instar des barrières simples : D'une part, la somme d'une parisienne DI et d'une parisienne DO est une option standard. D'autre part, la parité des "inverses" reste vraie : PDOpar (S, K, L, D, T, r, δ) = S.K. CUOpar (1/S, 1/K, 1/L, D, T, δ, r). - « Options cumulatives ». Ces options constituent une variante des précédentes. La différence est que la durée D passée au-delà ou en-deçà de la barrière L n'est pas comptée de manière consécutive, mais de façon cumulative : le compteur de durée n'est pas remis à zéro lorsque le cours du TSJ sort de la zone concernée. Une cumulative de type "In" est donc plus chère que son homologue parisienne, et une cumulative de type "Out" est moins chère que sa contrepartie parisienne. Hugonnier (1999) propose une méthode générale d'évaluation des options définies en fonction du temps passé sous ou au-dessus d'une barrière L donnée, dont les parisiennes et les cumulatives.

§2.- Les digitales à barrière

Comme les options digitales, les digitales (ou binaires) à barrière (ci-après DAB) peuvent être de type « Asset-or-nothing » ou « Cash-or-nothing ». Pour éviter des répétitions fastidieuses ou des énumérations trop longues, et parce que ce sont, de loin, les plus négociées sur le marché, nous n'analyserons que les "vraies" digitales à payoff binaire (1 ou 0), sachant que tout ce qui sera dit à leur propos s'applique, mutatis mutandis, aux « Asset-or-nothing »6. Comme une option à barrière, une digitale à barrière est "path-dependent" car lui est associée une clause d'activation ("In") ou de désactivation ("Out"). Nous identifierons une digitale par l’indice d.

6

Consulter pour plus de détails, Rubinstein et Reiner (1991), qui dénombrent 28 types de digitales à barrière faisant l'objet de 44 formules d'évaluation (dans certains cas, il faut distinguer selon que L est supérieur ou inférieur à K).

31

© Roland Portait et Patrice Poncet Une première classification distingue les DAB dont le payoff éventuel est reçu « at hit » (il s'agit donc de DAB "In") de celles dont le payoff éventuel est reçu « at expiry » (DAB "In" ou "Out"). Les premières sont soit de type "Down-and-In" soit de type "Up-and-In"; nous écrivons leur payoff comme suit : DId "at hit" : 1 (en τ) si ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≤ L 0 sinon UId "at hit" : 1 (en τ) si ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≥ L 0 sinon Les autres DAB, dont le payoff éventuel est reçu en T, sont de type DI, UI, DO ou UO. Une deuxième classification s'impose alors, qui distingue les DAB qui ne font intervenir que la barrière L de celles qui dépendent à la fois de L et d'un strike K (il faut alors différencier les calls des puts). Les payoffs respectifs des quatre DAB ne faisant intervenir que la barrière L s'écrivent (nous omettons ici la mention « at expiry » pour alléger la notation) : DId :

1 (en T) si ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≤ L 0 sinon

UId :

1 (en T) si ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≥ L 0 sinon

DOd :

1 (en T) si, ∀ τ ≤ T, S(τ) > L 0 sinon

UOd :

1 (en T) si, ∀ τ ≤ T, S(τ) < L 0 sinon

Ce sont ces quatre DAB qui constituent les DAB les plus fréquemment rencontrés.

32

© Roland Portait et Patrice Poncet Les payoffs respectifs des quatre DAB de type "In" (2 calls et 2 puts) faisant intervenir un strike en plus de la barrière s'écrivent : 1 (en T) si S(T) > K et ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≤ L

CDId :

0 sinon 1 (en T) si S(T) < K et ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≤ L

PDId :

0 sinon 1 (en T) si S(T) > K et ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≥ L

CUId :

0 sinon 1 (en T) si S(T) < K et ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≥ L

PUId :

0 sinon Les payoffs respectifs des quatre DAB de type "Out" faisant intervenir un strike sont : CDOd :

1 (en T) si S(T) > K et, ∀ τ ≤ T, S(τ) > L 0 sinon

PDOd :

1 (en T) si S(T) < K et, ∀ τ ≤ T, S(τ) > L 0 sinon

CUOd :

1 (en T) si S(T) > K et, ∀ τ ≤ T, S(τ) < L 0 sinon

PUOd :

1 (en T) si S(T) < K et, ∀ τ ≤ T, S(τ) < L 0 sinon

Il existe des relations de parité entre ces DAB de même barrière, date de maturité et, éventuellement, strike. Par exemple, il est facile de montrer que : (19)

DId + DOd = UId + UOd = e-rT

33

© Roland Portait et Patrice Poncet car la somme des deux premières options rapporte sûrement 1€ à l'échéance, tout comme la somme des deux secondes. De plus, on a les relations :

(20)

CDId + CUId = Cd = CDOd + CUOd PDId + PUId = Pd = PDOd + PUOd

où l'on rappelle que Cd et Pd dénotent, respectivement, le call et le put binaires. Enfin, l'on a : UOd = PUO (K = L+1; L) – PUO (K = L; L) (21)

DOd = CDO (K = L - 1; L) – CDO (K = L; L) DId = PDI (K = L + 1; L) – PDI ( K = L; L) UId = CUI (K = L - 1; L) – CUI (K = L; L)

Nous ne démontrons que la première de ces relations, les autres procédant de la même analyse. Le DAB UOd vaut 0 à l'échéance si la valeur du TSJ a atteint ou dépassé la barrière L. Les deux PUO concernés, de même barrière L, sont désactivés dans ce cas et valent donc également 0. Si la valeur du TSJ est restée au-dessous de L, le DAB UOd vaut 1 à l'échéance. Dans ce cas, les deux puts sont exercés à l'échéance (parce que S(T) < L, nécessairement) et l'acheteur du panier gagne {L + 1 – S(T)} – {L – S(T)} = 1. Finalement, nous donnons les formules d’évaluation des quatre DAB ne faisant pas intervenir de strike : 2 (ε −1) ⎡ ⎤ ⎛L⎞ DI d = e ⎢ N − x1 + σ T + ⎜ ⎟ N y1 − σ T ⎥ ⎝S⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ 2 (ε −1) ⎡ ⎤ ⎛L⎞ − rT UI d = e ⎢ N x1 − σ T + ⎜ ⎟ N − y1 + σ T ⎥ ⎝S⎠ ⎥⎦ ⎣⎢ − rT

(

(

(22)

DOd = e UOd = e

− rT

− rT

)

)

(

)

(

)

2 (ε −1) ⎡ ⎤ ⎛L⎞ N y1 − σ T ⎥ ⎢ N x1 − σ T − ⎜ ⎟ ⎝S⎠ ⎢⎣ ⎥⎦

(

)

(

)

2 (ε −1) ⎡ ⎤ ⎛L⎞ N − y1 + σ T ⎥ ⎢ N − x1 + σ T − ⎜ ⎟ ⎝S⎠ ⎥⎦ ⎣⎢

(

)

(

)

où x1, y1 et ε sont définis comme dans la sous-section (1.1). La démonstration de ces formules est analogue à celle donnée dans l’Annexe mathématique (§ IV) de ce chapitre. 34

© Roland Portait et Patrice Poncet Les DAB, et principalement les quatre dernières évaluées par (iv), sont importantes en pratique car elles servent de « briques élémentaires » dans l'élaboration de nombreux instruments plus complexes ou produits structurés.

§3.- Les options « lookback » Les options lookback constituent l’un des archétypes d'options "path-dependent". En effet, un call lookback (CLB) est une option européenne dont le strike, inconnu au départ, est le minimum mTT0 des cours du TSJ observés entre les deux dates T0 (typiquement la date de création de l'option) et T, T étant l'échéance du call. Le payoff en T s'écrit par conséquent Max ⎡⎣ 0, ST − mTT0 ⎤⎦ , ou plus simplement

(S

T

− mTT0

)

puisque le call expire in-the-money

presque sûrement. Le détenteur du call est donc assuré de payer le TSJ au cours minimum observé pendant la période contractuelle, d'où l'expression de "call no regret". L'inconvénient est qu'évidemment cette option est chère. De façon similaire, un put lookback promet le payoff

(M

T T0

− ST

)

en T, où M TT0 est le

maximum observé du cours du TSJ entre T0 et T. On ne donnera que la démonstration relative au call, celle du put étant similaire. Par convention, l'instant courant étant t = 0, on a en général T0 < 0, sauf le jour de création de l'option. On utilise par ailleurs les notations suivantes :

µ ≡ r − c − σ ² / 2;

µ ' ≡ r − c + σ ² / 2;

λ≡

σ²

2(r −δ )

;

(

)

b ≡ Ln S0 / mT00 ,

où mT00 est le minimum des cours du TSJ (déjà) observés entre T0 et 0. On a donc b ≥ 0.

(

Soit donc, à évaluer, dans le monde de BSM, le payoff ST − mTT0

) reçu en T. En t = 0, et sous

la probabilité risque-neutre, l'on a : CLB0 = e − rT ⎡ E ( ST ) − E ⎡⎢ mT00 1mT > m0 ⎤⎥ − E ⎡⎢ m0T 1mT < m0 ⎤⎥ ⎤ T0 ⎦ T0 ⎦ ⎦ 0 0 ⎥ ⎣ ⎣ ⎣⎢

35

© Roland Portait et Patrice Poncet (23) CLB0 = e − cT S0 − e − rT mT00 E ⎡⎢1mT > m0 ⎤⎥ − e − rT E ⎡⎢ m0T 1mT < m0 ⎤⎥ T0 ⎦ 0 ⎣ 0 T0 ⎦ ⎣ car il faut prendre en compte l'éventualité que le minimum actuel mT00 reste en T le minimum et la possibilité qu'un nouveau minimum apparaisse entre 0 et T ( m0T ) . La première espérance de (23) est facile à calculer à partir du Lemme (L4) (cf. l’annexe mathématique du chapitre, §II) en remarquant que y = - b = Ln (mT00 / S 0 ) ≤ 0 :

[

]

⎡ b + µT ⎤ − 2 µbσ −2 ⎡ − b + µT ⎤ (24) E 1mT > m 0 = N ⎢ N⎢ ⎥−e ⎥ T0 0 ⎣σ T ⎦ ⎣ σ T ⎦

La seconde espérance est plus longue à calculer, et requiert notamment la connaissance de la T

densité de m . Le calcul, développé dans l’annexe mathématique (§VI), conduit à 0

l’expression suivante de la valeur du call lookback : 1/ λ

0 ⎡ ⎤ (25) CLB0 = e −cT S 0 N ⎛⎜ b + µ ' T ⎞⎟ − e −rT mT0 ⎢ N ⎛⎜ b + µT ⎞⎟ − λS 0 ⎛⎜ mT ⎞⎟ N ⎛⎜ − b + µT ⎞⎟⎥ − e −cT S 0 λN ⎛⎜ − b + µ ' T ⎞⎟ 0 ⎜ ⎟ 0

⎝ σ T ⎠

0

⎢ ⎝ σ T ⎠ ⎣

⎝ σ T

mT0 ⎝ S 0 ⎠

⎠⎥ ⎦

⎝

σ T ⎠

On démontre de la même manière (en utilisant la densité du maximum M 0T au lieu de celle du minimum) que la valeur du put lookback est égale à : 1/ λ

0 ⎡ ⎤ (26) PLB0 = e −cT S 0 N ⎛⎜ − d + µ ' T ⎞⎟ + e −rT M T0 ⎢ N ⎛⎜ − d + µT ⎞⎟ − λS 0 ⎛⎜ M T ⎞⎟ N ⎛⎜ d − µT ⎞⎟⎥ + e −cT S 0 λN ⎛⎜ d + µ ' T ⎞⎟ 0 ⎜ ⎟ 0

⎝

σ T ⎠

0

⎢ ⎝ ⎣

σ T ⎠ M T ⎝ S0 ⎠ 0

⎝ σ T ⎠⎥ ⎦

⎝ σ T ⎠

où d ≡ Ln (S0 / M T00 ) et M T00 est le maximum des cours du TSJ observé entre T0 et 0. Remarques : - La valeur initiale des options lookback est obtenue en remplaçant dans la formule (25) ou (26) mT00 ou M T00 par S0 , et donc b ou d par 0.

- Sont négociées également sur le marché des options lookback "partielles" pour lesquelles les strikes sont α mT00

(avec α > 1) pour le call et β M T00 (avec β < 1) pour le put, ce qui

les rend moins onéreuses que les looback classiques que l’on vient d’évaluer. En

36

© Roland Portait et Patrice Poncet contrepartie, elles ne sont plus "no regret" car elles peuvent expirer sans valeur, avec une probabilité d'autant plus élevée que α est grand et que β est petit. - Le tableau 3 donne une idée de l'ordre de grandeur relatif de la valeur des lookback. On a supposé S0 = K = 100, σ = 20%, r = 10%, δ = 0%, T0 = 0 et α = β = 1. Tableau 3 : valeur comparative des options lookback

Echéance 3 mois

6 mois

Call européen standard

5,30

8,28

Call lookback

8,95

13,19

Put européen standard

2,83

3,40

Put lookback

6,98

9,29

- Les valeurs des lookback figurant sur le tableau ont été calculées à partir des solutions analytiques (25) et (26) obtenues en temps continu. En réalité, les prix de marché seront, à données identiques, strictement inférieurs à ces valeurs théoriques. En effet, la fréquence d'observation du cours du TSJ n'est ni infinie, bien sûr, ni même très élevée : dans la plupart des contrats, la fréquence n'est même pas quotidienne, mais hebdomadaire voire mensuelle pour les options les plus longues. Dans tous les cas, c’est en général les cours de clôture des jours concernés qui sont utilisés. Le minimum (maximum) des cours du TSJ effectivement observés est donc strictement supérieur (inférieur) à sa valeur théorique obtenue en temps continu. Par exemple, un lookback valant 17,4 pour des observations "continues", ne vaut plus que 16,5 pour des observations quotidiennes et 15,4 pour des observations toutes les deux semaines. L'évaluation en temps discret est réalisée à l'aide d'une version améliorée du modèle binominal de Cox-Ross-Rubinstein dans lequel le pas de temps est pris égal au pas de temps d'observation des cours du TSJ (c’est donc n, le nombre de périodes, qui s’ajuste). L'amélioration vient du fait qu'explorer tous les chemins possibles dans l'arbre de CRR pour déterminer, pour chaque trajectoire, le minimum (ou maximum) rencontré est beaucoup trop coûteux en temps de calcul. L'astuce consiste à raisonner en prenant comme numéraire le TSJ lui-même (qui vaut donc 1 en t = 0) et de construire l'arbre

37

© Roland Portait et Patrice Poncet pour la variable Y(t) ≡ Max(t)/S(t) pour le put ou Y(t) ≡ Min(t)/S(t) pour le call7. Ce changement de numéraire en temps discret est l’analogue du changement de numéraire rencontré précédemment en temps continu.

§4.- Les options sur moyennes (asiatiques)

Nées sur le marché des changes de Tokyo, d'où leur nom d'« asiatiques », les options sur moyennes sont de deux types : soit c'est le sous-jacent qui est une moyenne, le strike étant fixe, soit c'est le strike qui est une moyenne. Les payoffs respectifs s'écrivent alors : Max[0, M(T1,T2) − K] (call) ou Max[0,K − M(T1,T2)] (put) Max[0, S(T) − M(T1,T2)] (call) ou Max[0, M(T1,T2) − S(T)] (put) où M(T1,T2) représente la moyenne des cours du TSJ entre les instants T1 et T2 (T2 ≤ T, l'échéance des options). L'intérêt de telles options est que, la moyenne étant par construction moins volatile que le cours du TSJ, elles sont moins chères que leurs homologues "vanille". Par ailleurs, pour un opérateur qui fait de nombreuses transactions sur le TSJ (par exemple une devise pour un importateur ou un exportateur, ou un taux d'intérêt pour une institution financière), le cours moyen du TSJ est plus pertinent que le cours ponctuel à une date donnée. Ces deux raisons contribuent à expliquer le succès de ces options asiatiques. Sur le plan de l'évaluation, on rencontre en pratique deux problèmes. Le premier a trait au caractère discret, et non continu, des cours observés du TSJ. Le second concerne le calcul de la moyenne. On n'obtient de solution analytique à la BSM que dans le cas, très rare en pratique (mais qui sert d'étalon), d'une moyenne géométrique, continue ou discrète. Ceci vient de ce que la moyenne géométrique d'un mouvement brownien géométrique suit un mouvement brownien géométrique, ce qui est faux d'une moyenne arithmétique. Cependant, dans pratiquement tous les cas, la moyenne utilisée est arithmétique. Il faut donc avoir recours à une approximation, qui sera discutée plus avant. Comme dans la plupart des

7

On voit bien en effet que la valeur relative du payoff en T du PLB par exemple est : PLB (T) / S (T) = (Max(T) – S (T))/S (T) = Y (T) -1 (≥ 0), ce qui permet de se ramener à un seul processus, ici Y(t), comme dans le modèle de CRR.

38

© Roland Portait et Patrice Poncet cas on utilise tout ou partie de la solution analytique relative aux moyennes géométriques, nous donnons la solution pour certaines de ces dernières, dans le cas continu, puis discret.8

4.1- Options sur prix moyen géométrique

Nous étudions d’abord le cas où la moyenne est calculée en supposant le temps et les observations du TSJ continus, puis celui où les observations sont discrètes. 4.1.1- Moyenne continue Soit un TSJ dont la dynamique risque-neutre est donnée par l'EDS :

dS = b dt + σ dWt S où b ≡ (r - δ) et δ est le taux de dividende supposé continu. L'instant courant est t = 0. La moyenne géométrique est calculée entre T1 (≥ 0) et T2 = T. Comme on la suppose calculée continûment, l'on a : ⎡ 1 T ⎤ ( ) M (T1 , T ) = exp ⎢ LnS t dt ⎥. ∫ ⎣ T − T1 T1 ⎦ Les calculs qui figurent en Annexe (§VII) permettent d’aboutir aux résultats suivants : - La valeur en date 0 du call sur prix moyen de payoff [M(T1,T) − K]+ s’écrit : (27)

CPM (0) = e − cT Z (0) N (d1 )-Ke− rT N (d 2 ) où d1 = ∑=σ

Ln(Z (0 ) / K ) + (b + ∑2 / 2)T W T

T + 2T1 3T

, d 2 = d1 − ∑ T

T − T1 ⎤ ⎡ T − T1 −σ 2 et Z (0 ) = S (0 )exp ⎢− b . 2 12 ⎥⎦ ⎣

- La valeur en date 0 du put sur prix moyen de payoff [K− M(T1,T)]+ s’écrit :

8

Il existe de nombreux cas possibles, du fait que la moyenne peut-être calculée entre deux dates quelconques T1 et T2, la première pouvant ne pas coïncider avec la date de création de l'option et la seconde pouvant être antérieure à T, la date d'échéance de l'option. De plus, on peut évaluer l'option avant, ou après, la date T1 de démarrage du calcul de la moyenne. Ainsi, à la création de l'option, on a T1 ≥ 0 mais, en cours de route, on a T1 < 0. Dans le second cas, la solution fait intervenir la moyenne déjà constatée. Nous nous contenterons d'analyser le cas T2 = T, de loin le plus rencontré en pratique. Par ailleurs, nous dériverons explicitement le cas T1 ≥ 0 et donnerons directement la solution pour le cas T1 < 0.

39

© Roland Portait et Patrice Poncet (28)

PPM(0) = Ke-rTN(-d2) – e-cTZ(0)N(-d1).

Remarques : - La procédure revient à modifier le drift et la volatilité du TSJ et à appliquer BSM. - La parité call-put classique s'applique : CPM(0) – PPM(0) = e-cT Z(0) – Ke-rT. - Si le calcul de la moyenne démarre dès la création de l'option (T1 = 0), la formule est plus simple, car, notamment, ∑ se réduit à σ / 3 . - Si T1 < 0, le calcul de la moyenne ayant déjà commencé à l'instant de l'évaluation (t = 0), on peut montrer que la solution pour le call (le put s'obtient encore par parité call-put) s'écrit : (29)

où

CPM (0, T1 < 0) = e − cT Zˆ (0)N (d1 ) − Ke − rT N (d 2 )

(

)

∧ Ln Zˆ (0 ) / K + ⎛⎜ b + ∑ 2 / 2 ⎞⎟T ∧ ⎝ ⎠ , d =d −∑ d1 = T 2 1 ∧ ∑ T ∧ ∑≡

σ

T 3 T − T1

∧

Z (0) ≡ M T−1T,10 / (T −T1 )S (0 )

T / (T − T1 )

⎡ ⎛ T2 ⎞ σ 2T 2 3T1 − T ⎤ exp ⎢b ⎜⎜ − T ⎟⎟ + ⎥ 2 ⎠ (T − T1 ) 12 ⎦ ⎣ ⎝ 2(T − T1 )

et M T1, 0 est la moyenne constatée entre T1 (< 0) et 0 (9). - Cette formule est évidemment identique à la précédente quand on pose T1 = 0 dans chaque formule. - Nous avons adopté le cas standard T2 = T. Dans le cas T2 < T, indépendamment du fait que T1 soit égal ou inférieur à 0, il suffit de remarquer que le payoff de l’option [M(T1, T2) – K]+ est connu en T2, bien que payé en T. La valeur de l'option (call) est alors obtenue en remplaçant T par T2 dans les formules (27) à (29) et en multipliant le résultat par e-r(T-T2). 9

⎡ 1 La moyenne M(T1,T) s'écrit : exp ⎢ ⎣ T − T1

{∫

0

T1

}

T T ⎤ ⎡ 1 ⎤ LnS (t ) dt + ∫ LnS (t )dt ⎥ = Mˆ T1, 0 exp ⎢ LnS (t ) dt ⎥ ∫ 0 0 ⎦ ⎣ T − T1 ⎦

0 ⎡ 1 ⎤ où Mˆ T1, 0 ≡ exp ⎢ LnS (t ) dt ⎥ est connue en t = 0. De plus, on a : ∫ T 1 ⎣ T − T1 ⎦ ⎡⎛ 1 0 ⎡ 1 0 ⎤ ⎞ − T1 ⎤ −T / (T −T ) LnS (t )dt ⎥. Mˆ T1, 0 = exp⎢⎜⎜ LnS (t ) dt ⎟⎟ ⎥ = M T1 ,10 1 où M T1, 0 ≡ exp⎢ ∫ ∫ T T 1 1 ⎣ − T0 ⎦ ⎠ T − T1 ⎦ ⎣⎝ − T0

40


4.1.2- Moyenne discrète En pratique, la moyenne est calculée à partir d'observations discrètes. Le contrat prévoit n dates d'observations pour le TSJ : {iT/n}i=1,…,n. Sous la probabilité risque-neutre, la valeur du TSJ en date iT/n est égale à :

⎡⎛ ⎤ σ 2 ⎞ iT ⎛ iT ⎞ ⎟⎟ + σWiT ⎥ S ⎜ ⎟ = S (0 )exp ⎢⎜⎜ b − 2 ⎠ n ⎝ n⎠ n ⎦ ⎣⎝ La moyenne géométrique discrète, calculée entre 0 (la date de création de l'option) et T (son échéance), est égale à : 1/ n

⎛ n ⎛ iT ⎞ ⎞ M (0, T , n ) = ⎜⎜ ∏ S ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ i =1 ⎝ n ⎠ ⎠

⎡⎛ ⎤ σ 2 ⎞ (n + 1) σ n ⎟⎟ + ∑ WiT ⎥ . = S (0)exp ⎢⎜⎜ b − 2 ⎠ 2n n i =1 ⎢⎣⎝ n ⎥⎦

n

En remarquant que ∑ WiT = i =1

n ∑ Wi i =1

n

T n ∑ W (propriété d'échelle du brownien) et que n i =1 i

n

= ∑ Wi (n + 1 − i )(Wi − Wi −1 ), donc que la variance de i =1

n n σ n 2 ∑ Wi = ∑ (n + 1 − i ) = n(n + 1)(2 n + 1) / 6 , on obtient que ∑W i =1 i =1 n i =1 iT

[

]

est une gaussienne

n

centrée de variance σ2T(n+1) (2n+1)/6n2. La suite des calculs s'inspire directement de BSM et l'on aboutit à la valeur du call sur prix moyen géométrique discret (CPMD) suivante, à la date de création de l'option : (30)

CPMD (0) = ZD(0) N(d1) – Ke-rT N(d2) avec

⎡⎛ ⎡ ∑ 2T ⎤ σ 2 ⎞ (n + 1)T ⎤ ⎟⎟ − rT ⎥ ZD(0) ≡ S (0)exp ⎢⎜⎜ b − exp ⎥ ⎢ 2 ⎠ 2n ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣⎝ 2

∑ ≡

d1 ≡

σ 2 (n + 1)(2n + 1) 6n 2

⎛ ⎡⎛ σ 2 ⎞ (n + 1) ⎤ ⎞⎟ ⎟ Ln⎜ S (0 )exp ⎢⎜⎜ b − T⎥/K + ∑ T ⎜ ⎟ 2 ⎟⎠ 2n ∑ T ⎣⎝ ⎦ ⎠ ⎝ 1

d 2 ≡ d1 − ∑ T

Le put sur prix moyen géométrique discret (PPMD)est obtenu par parité call-put : 41

© Roland Portait et Patrice Poncet (31)

CPMD(0) – PPMD(0) = ZD(0) – Ke-rT.

Si le calcul de moyenne a déjà commencé au moment de l'évaluation, et que τ observations ont déjà été effectuées, la moyenne géométrique discrète se décompose en deux termes dont le premier (noté Mˆ (0,τ,n) est connu : 1/ n

⎛ τ ⎛ iT ⎞ ⎞ M (0, T , n ) = ⎜⎜ ∏ S ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ i =1 ⎝ n ⎠ ⎠

1/ n

n ⎛ n ⎛ iT ⎞1 / n ⎞ ⎜ ∏ S ⎜ ⎟ ≡ Mˆ (0,τ , n )⎛⎜ ∏ S ⎛⎜ iT ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ ⎜ i =τ +1 n ⎟ ⎟ ⎜ i =τ +1 ⎝ n ⎠ ⎝ ⎠⎠⎠ ⎝ ⎝

En suivant les mêmes voies que précédemment, l'on obtient la valeur suivante pour le call en date t correspondant à la τième observation (t = τT/n) : (32)

∧

CPMD (τ ) = ZD (τ )N (d1 ) − Ke − rT N (d 2 )

avec

∧

∧

ZD(τ ) ≡ M (0,τ , n )S (t )

n −τ n

⎡ ∧2 ⎤ ⎡⎛ σ 2 ⎞ (n − τ )(n + τ + 1)T ⎤ Σ T ⎢ ⎟⎟ exp ⎢⎜⎜ b − − rT ⎥ ⎥ exp ⎢ 2 ⎥ n 2 2 2 ⎠ ⎦ ⎣⎝ ⎢⎣ ⎥⎦

∧ 2 σ 2 (n − τ )(n − τ + 1)(2n − 2τ + 1) σ 2 (n − τ )2τ + ∑ ≡ 3 3

6n

n

n −τ ⎛ ∧ ⎡⎛ σ 2 ⎞ (n − τ )(n + τ + 1)T ⎤ ⎞⎟ ⎟ Ln⎜ M (0,τ , n )S (t ) n exp ⎢⎜⎜ b − ⎥/K⎟ ⎜ 2 ⎟⎠ 2n 2 ∑ T ⎦ ⎠ ⎣⎝ ⎝

d1 ≡ ∧

1

∧

d 2 ≡ d1 − ∑ T . Le put s’obtient par parité call-put.

4.2- Options sur strike moyen géométrique

Pour ces options, c'est le strike qui est une moyenne des cours observés du support. L'évaluation est plus complexe que précédemment car le payoff terminal fait intervenir deux variables aléatoires, S(T) et M(T1, T). On ne peut donc pas appliquer BSM directement, il faut utiliser la technique du changement de numéraire. On présentera les résultats et quelques commentaires dans le corps du texte, la démonstration principale étant reléguée en Annexe (§VIII). 4.2.1- Moyenne continue La valeur des options sur strike moyen géométrique est donnée par les formules suivantes :

42

© Roland Portait et Patrice Poncet - La valeur du call sur strike moyen géométrique de payoff [S(T) – M(T1, T)]+ est égale à :

[ ( )

( )]

(33)

CSM (0) = e − cT . S (0) N d1' − Z ' (0)N d 2'

où

1 Ln(1 / Z ' (0)) + Σ' ²T 2 d1' = et d 2' = d1' − Σ' T Σ' T

Σ' ≡ σ

T − T1 ⎡1 ⎛ ⎤ σ²⎞ 1 et Z ' (0) ≡ exp ⎢ ⎜ b + ⎟(T1 − T ) + Σ'²T ⎥. 3T 2 ⎠ 2 ⎣2 ⎝ ⎦

- La valeur du put sur strike moyen géométrique M(T1, T) est, de même, égale à : (34)

[

(

)

( )]

PSM (0) = e− cT . S (0) Z ' (0)N − d 2' − N − d1'

La démonstration repose sur le changement de probabilité associé au choix du TSJ lui-même comme numéraire, ce qui permet d’obtenir des prix (relatifs à ce numéraire) martingales. Remarques : - Si T1 = 0, le calcul de la moyenne démarrant à la date de valorisation de l'option (par exemple, à sa date de création), la formule est plus simple car alors Σ' = σ 3

et

⎡ bT σ ²T ⎤ . On notera de plus qu'alors ∑ ' = ∑ et S(0).Z'(0) = Z(0), ce Z ' (0 ) = exp ⎢− − 12 ⎥⎦ ⎣ 2

qui conduit à des formules très proches pour les options sur prix moyen et sur strike moyen. - Si T1 < 0, le calcul de la moyenne ayant déjà commencé à l'instant de l'évaluation, on peut montrer que la solution pour le call (le put s'obtenant encore par parité) s'écrit : (35)

( )

( )

∧ ⎤ ⎡ CSM (0, T1 < 0 ) = e − cT . S (0 )⎢ N d1' − Z ' (0 )N d 2' ⎥ ⎦ ⎣

où

∧

Z ' (0) ≡ M ∧

Σ' ≡

σ 3T

−T1 / (T − T1 ) T1 , 0

S (0)

T1 / (T −T1 )

⎡1 ⎛ ⎞ 1 ∧ /2 ⎤ σ ² ⎞⎛ T ² exp ⎢ ⎜ b + ⎟⎜⎜ − 2T ⎟⎟ + Σ T ⎥, 2 ⎠⎝ T − T1 ⎠ 2 ⎦ ⎣2 ⎝

T13 + T − T1 , (T − T1 )2

43

© Roland Portait et Patrice Poncet MT1,0 est la moyenne constatée entre T1 et 0, et d1' et d 2' sont définis comme ∧

∧

dans (33) avec Z ' (0) et Σ' au lieu de Z ' (0) et Σ' . 4.2.2- Moyenne discrète En utilisant les mêmes conventions que pour les options sur prix moyen, on aboutit à la formule d'évaluation pour le call, dans le cas où T1 ≥ 0 : (36)

CSMD(0) = e − cT S0 [N (d1 ) − ZD(0)N (d 2 )]

où

σ ² (n − 1)(n + 1) ⎤ ⎡ b (n − 1) T⎥ T− ZD (0 ) = exp ⎢− n² 12 ⎣ 2 n ⎦ Σ² = σ ² d1 =

(n − 1)(2n − 1) 3n²

Ln[1 / ZD (0 )] 1 + Σ T 2 Σ T

d 2 = d1 − Σ T . La valeur du put s'obtient par parité call-put.

4.3- Options sur moyennes arithmétiques

En pratique, des contrats prévoient que la moyenne utilisée pour le calcul du payoff de l'option est arithmétique. Selon que l'on se place dans un cadre de temps continu ou discret, cette moyenne s'écrit, pour T1 quelconque (< T) : M (T1 − T ) = M (T1 − T ) =

T 1 S (t ) dt ou ∫ T − T1 T1

i (T − T1 ) ⎞ 1 n ⎛ Σ S ⎜ T1 + ⎟ n n i =1 ⎝ ⎠

Comme indiqué dans l'introduction de cette sous-section §4, une moyenne arithmétique d'un mouvement brownien géométrique n'est pas un processus brownien géométrique. C'est la raison pour laquelle il n'existe pas de solution analytique pour le prix des options asiatiques effectivement négociées sur le marché. Dès lors, deux principaux types d'approche sont

44

© Roland Portait et Patrice Poncet adoptés par les traders10. Selon la première, on accepte une approximation pour retrouver des formules analytiques proches de celles rencontrées dans le cas des moyennes géométriques. Par exemple, on suppose que la moyenne arithmétique, dont on calcule facilement l'espérance exacte, a la même variance que la moyenne géométrique, ce qui bien sûr est erroné. Une autre hypothèse consiste à poser que la somme de lois log-normales est log-normale, caractérisée par une espérance et une variance calculées de façon « ad hoc », bien qu'en fait la loi d'une somme quelconque de lois log-normales ne soit pas connue analytiquement. La seconde approche procède par simulation de Monte Carlo améliorée par l'utilisation d'une variable de contrôle ("control variate"), technique qui a fait l'objet d'un développement au chapitre ZZZ. L'idée est la suivante : Puisque l'on connaît la solution exacte pour l'option sur moyenne géométrique, au lieu de simuler directement la valeur de l'option sur moyenne arithmétique, on simule l'écart de valeur entre les deux options. On additionne alors cet écart à la valeur (analytique) de l'option "géométrique" (OG) pour obtenir celle de l'option "arithmétique" recherchée (OA). Formellement, on estime par simulation : h(0) = e-rT E[OA(T) – OG(T)], puis on calcule : OA(0) = OG(0) + h(0), au lieu d’estimer par simulation : OA(0) = e-rT E[OA(T)]. L'avantage de cette technique de Monte Carlo, par rapport à l'approche précédente par approximation est qu'elle est très bien adaptée au problème qui se pose concrètement puisque, on l'a vu, les moyennes sont discrètes en pratique. On adopte naturellement dans la procédure Monte Carlo un pas de temps qui correspond à l'intervalle entre deux observations prévu dans le contrat définissant l'option.

10

Une troisième solution, exacte celle-là mais dépassant le niveau technique de cet ouvrage, est celle de Geman et Yor (1993), qui n’est toutefois pas analytique et nécessite l’utilisation de procédures numériques (il faut notamment inverser une transformée de Laplace) pour mener les calculs jusqu’à leur terme. La procédure consiste à transformer le mouvement brownien géométrique en un processus de Bessel carré changé de temps.

45


§5.- Les options « chooser » Une option « chooser » permet à son détenteur de choisir, d'ici une échéance t, entre un call de strike Kc et de maturité Tc (> t) et un put de strike Kp et de maturité Tp (> t). Cette option est appropriée quand l'acheteur parie sur une forte variation du cours du TSJ d'ici la date t sans avoir à en connaître le sens. On l'appelle parfois, de ce fait, « as you like it » (comme il vous plaira). Son payoff en t s'écrit par conséquent : CHt = Max[Ct (Kc, Tc), Pt (Kp, Tp)] Comme on le verra, l'évaluation de cette option exotique implique la loi normale bi-variée N2(.) car il faut utiliser la loi jointe de la valeur du support en t et en Tc (ou Tp). Toutefois, il existe un cas de « chooser » dégénéré, mais intéressant, qui ne nécessite que la connaissance de la formule de BSM. En effet, dans le cas où Kc = Kp = K et Tc = Tp = T, nous avons, à la date t : CHt (t, K, T) = Max [Ct (K, T), Pt (K, T)] = Max [Ct (.), Ct (.) - St + Ke-r(T-t)], du fait de la parité call-put, = Ct (.) + Max [0, - St + Ke-r(T-t)] = Ct (K, T) + Pt (Ke-r(T-t),t) c’est-à-dire la somme des valeurs en date t du call d'échéance T et strike K et du put d’échéance t et strike Ke-r(T-t). Donc en t = 0, ce « chooser simplifié » vaut : (37)

CH0 (t, K, T) = C0(S0, K, T) + P0(S0, Ke-r(T-t), t)

Remarques : - Si l'on a t = T, alors l'acheteur ne se décidera qu'au dernier moment, en T, et le « chooser » a exactement la même valeur qu'un stellage (ou « straddle »), composé du call et du put de mêmes échéance et strike, et dont seule une jambe expirera dans-la-monnaie. - On note d'ailleurs, à partir de la formule (37), que si t tend vers T, la valeur du « chooser » tend vers celle du stellage. La valeur de ce dernier, C0(S0, K, T) + P0(S0, Ke-r(T-t), t), constitue ainsi un majorant de la valeur du « chooser ». Celle-ci est moindre puisque le put inclus

46

© Roland Portait et Patrice Poncet dans (37) est de maturité plus courte (t < T) et de strike plus faible (Ke-r(T-t) < K) que le put inclus dans le stellage, donc est (doublement) moins cher que ce dernier. - On aurait pu utiliser la parité call-put dans l'autre sens pour substituer la valeur du put d’échéance T à celle du call (plutôt que l’inverse) et obtenir : CH0 (t, K, T) = P0(S0, Ke-r(T-t), T) + C0(S0, Ke-r(T-t), t). Dans le cas général, c’est-à-dire Kc ≠ Kp et/ou Tc ≠ Tp, on se place encore dans le cadre BSM et on entreprend de résoudre l'équation :

[

]

CH 0 = EQ e − rt Max(Ct (• ), Pt (• ))

⎤ ⎡ e−u / 2 e−u / 2 Ct (• ) du + ∫ Pt (• ) du ⎥ = e ⎢∫ C t ≤ Pt 2π 2π ⎥⎦ ⎢⎣ C t ≥ Pt 2

2

− rt

Pour poursuivre le calcul il faut, préalablement, déterminer la valeur particulière A du TSJ en date t telle que Ct = Pt, c'est-à-dire telle que : (38)

Ae−δ (Tc − t ) N ( z1 ) − K c e − r (Tc − t ) N ( z2 ) + Ae

(

−δ T p − t

)

N (− z '1 ) − K p e

(

− r T p −t

)

N (− z '2 ) = 0

Ln( A / K c ) + µ ' (Tc − t ) Ln( A / K c ) + µ (Tc − t ) , z2 = σ Tc − t σ Tc − t

où

z1 =

avec

µ = r − δ − σ ² / 2, µ ' = r − δ + σ ² / 2 ,

et où z'1 et z'2 sont définis comme z1 et z2, respectivement, mais avec Kp et Tp. On démontre alors que la valeur du « chooser » est égale à :

(39)

( ) ( ) N2(− x ,− w , t / T ) + K e N2(− x ,− w ,

CH 0 = S0e −δTc N2 x1 , y1 , t / Tc − K c e − rTc N2 x2 , y2 , t / Tc − S0e −δTP

−rTp

1

1

x1 =

avec A défini par (38), y1 =

Ln(S 0 / K c ) + µ 'Tc

σ Tc

p

,

p

2

Ln(S 0 / A) + µ ' t

y2 =

σ t

,

Ln(S 0 / K c ) + µTc

σ Tc

2

x2 =

t / Tp

)

Ln(S 0 / A) + µt

, w1 =

σ t

,

Ln (S 0 / K p ) + µ 'T p

σ Tp

47

© Roland Portait et Patrice Poncet et w2 =

Ln(S0 / K p ) + µTp

σ Tp

,

et où les différents N2(.) sont calculés par intégration numérique.

48


Annexe Mathématique I. Valeur du Call « Combo » En appliquant le lemme d'Itô au produit X(t)Sf(t), on obtient, compte tenu des équations (14) et (15) du corps du texte : d (X (t )S f (t )) =[(r(t )−r f (t ))+(r f (t )−ρ (t )σ X (t )σ Sf (t ))+ ρ (t )σ X (t )σ Sf (t )]dt X (t )S f (t )

+ σ X (t ) dW X (t ) + σ Sf (t ) dW Sf (t ) = r (t ) dt + σ X (t ) dW X (t ) + σ Sf (t ) dW Sf (t )

et l'on vérifie que le prix (libellé en monnaie domestique) de ce sous-jacent, actualisé au taux domestique, est une Q-martingale. Il s'agit de calculer :

[(

(A-1) CC (0) = A(T ) EQ X (T ) S f (T ) − K

[

)] +

]

= EQ X (T ) S f (T )A(T )1A − K . A(T )Q ( A )

où A ≡ {ω ∈ Ω : X(T)Sf(T) > K} est l'évènement « l'option expire dans la monnaie ». Notons :

(

)

(A-2) Vol 2 XS f , T ≡

(

)

1 T σ X2 (s ) + σ Sf2 (s ) + 2 ρ (s )σ X (s )σ Sf (s ) ds T ∫0

la variance de X(T)Sf(T). Puisque X(t)Sf(t) est le TSJ de cette option et que X(t)Sf(t) A(t) est une Q-martingale, le terme K.A(T).Q( A ) de l'expression (A-1) s'obtient directement par application de la formule de BSM; ce qui donne : K.A(T).N(d2) où (A-3) d 2 =

Ln(X (0 ) S f (0) / K . A(T )) − 0,5Vol 2 (XS f , T )T Vol (XS f , T ) T

Du modèle BSM, on infère que le terme EQ[.] de l'équation (A-1) est égal à X(0) Sf(0) N(d1), où (A-4) d1 = d 2 + Vol ( XS f ,T ) T . Pour prouver ce résultat, on peut soit calculer EQ[.] « à la main », soit changer de probabilité (et de numéraire) en définissant : 49

© Roland Portait et Patrice Poncet dQ XSf X (T ) S f (T )A(T ) = dQ X (0) S f (0)

Cela donne EQ[.] = X (0 ) S f (0 )EQ XSf [1A ] = X (0 )S f (0 )N (d1 ), la dernière égalité provenant du théorème de Girsanov. Nous obtenons donc finalement la valeur du call « compo » : (A-5) CC (0) = X (0) S f (0)N (d1 ) − K . A(T )N (d 2 ) où d1, d2 et Vol2 (XSf,T) sont définis par (A-4), (A-3) et (A-2), respectivement. □

II. Lemmes concernant les probabilités d'atteinte d'un brownien drifté On veut calculer des probabilités faisant intervenir le passage d'un brownien drifté par une valeur particulière donnée à priori (la barrière). Comme les lemmes font intervenir un brownien arithmétique et que, dans le cadre de BSM, on travaille sur un brownien géométrique, il faut au préalable montrer comment passer du second au premier. Soit, sous la probabilité risque-neutre Q, le processus d’évolution du TSJ suivant : dSt = (r − δ ) dt + σdWt , dont la solution intégrale est : St

⎤ ⎡⎛ σ2 ⎞ ⎟⎟t + σWt ⎥ St = S0 exp ⎢⎜⎜ r − δ − 2 ⎠ ⎦ ⎣⎝ Définissons

⎛ σ2 ⎞ ⎟t + σWt , et notons X t ≡ Ln(St / S0 ) = ⎜⎜ r − δ − 2 ⎟⎠ ⎝

⎛ σ2 ⎞ µ ≡ ⎜⎜ r − δ − ⎟⎟ . Nous 2 ⎠ ⎝

obtenons alors le brownien arithmétique drifté sous Q : dXt = µdt + σdWt, et nous appliquerons tous les lemmes à un TSJ dont la valeur s'écrit : X t ≡ Ln(St / S0 ) . Soient maintenant : Mt ≡ Sup (Xs, s ≤ t) et mt ≡ Inf (Xs, s ≤ t) Nous démontrons le lemme suivant : Lemme 1: soient (x, y) tels que y ≥ 0 et x ≤ y. Alors :

(L1) : P( X t ≤ x; M t ≤ y ) = N ⎛⎜ x − µt ⎞⎟ − e2 µy / σ ⎝ σ t ⎠

2

⎛ x − 2 y − µt ⎞ N⎜ ⎟. ⎠ ⎝ σ t

Démonstration :

50

© Roland Portait et Patrice Poncet Par la propriété de complémentarité, l'on a :

P( X t ≤ x; M t ≤ y ) = P( X t ≤ x ) − P( X t ≤ x; M t ≥ y ) ⎛ x − µt ⎞ = N⎜ ⎟ − P( X t ≤ x; M t ≥ y ) ⎝σ t ⎠ Dénotons par ∆ la probabilité restant à calculer et réécrivons-la :

∆ = P (γt + Wt ≤ x / σ ; Sup (γs + Ws ≥ y / σ )) où γ ≡ µ/σ. ˆ par : Définissons la nouvelle probabilité Q

⎡ γ2 ⎤ dQˆ ≡ Lt = exp ⎢− γWt − t ⎥ 2 ⎦ dQ ⎣ ˆ

On notera que la dynamique du titre sous-jacent devient Xt = σWˆt ou St = So eσWt . Par le théorème de Girsanov, l'on a : Wt = Wˆt − γt

Il vient alors, en utilisant l'indicatrice de l'évènement recherché : γ ⎡ ⎤ ⎡ γWt + t ⎤ Qˆ 2 ∆ = E ⎢1⎡ = E ⎢1⎡ x .e ⎥ x y⎤⎥ y⎤ γt +Wt ≤ ; Sup (γs +W s )≥ ⎥ Wˆ t ≤ ; SupWˆ s ≥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ σ σ ⎦⎦ σ⎦ ⎣⎢ ⎣ ⎣⎢ ⎣ σ ⎦⎥ 2

Q

(

)

(du fait que E Q (Y ) = E Q L−t 1Y pour Y Ft − mesurable ) ˆ

γ2 ⎡ γWˆ t − t ⎤ 2 .e = E ⎢1⎡ x ⎥. y⎤ Wˆ t ≤ ; Sup Wˆ s ≥ ⎥ ⎢ σ⎦ ⎣⎢ ⎣ σ ⎦⎥ Qˆ

Soient maintenant le temps d'arrêt défini par :

{

}

τ ( y ) = inf s : Wˆ s ≥ y / σ ,+ ∞ sinon, ⎧Wˆ = Wˆ s ⎪ s et le nouveau brownien Wˆ s tel que ⎨ y ⎪Wˆ s = 2 − Wˆ s σ ⎩

si s ∈ [0,τ ( y ) ∧ t ] si s ∈ [τ ( y ) ∧ t , t ]

où le symbole ∧ indique le plus petit. Alors : 2 yγ γ γ2 ⎡ ⎡ − γWˆ t − t ⎤ γWˆ t − t ⎤ Qˆ σ 2 2 ∆ = E ⎢1⎡ x = e E 1 e ⎢ ⎥ ⎥ ⎡2y ˆ x ⎤ ˆ ≤ ;τ ( y ) ≤ t ⎤ τ W y t ; ( ) W − ≤ ≤ t ⎢σ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎢⎣ t σ ⎥ σ ⎦ ⎦ ⎦ ⎣⎣ 2

Qˆ

2 yγ

=e

σ

γ2 ⎡ − γWˆ t − t ⎤ 2 E ⎢1⎡ 2 y − x ⎤ e ⎥ ˆ ≥ W ⎢⎣ ⎢⎣ t σ ⎥⎦ ⎥⎦ Qˆ

51

© Roland Portait et Patrice Poncet où la simplification de l'indicatrice vient de ce que

2y − x

≥

σ

y

puisque y ≥ x.

σ

C'est dans cette simplification que réside tout l'intérêt d'utiliser la propriété de symétrie du brownien (dite « lemme du miroir » ou « théorème de réflexion ») via la définition de Wˆ s .

En utilisant Wˆt = z t , où z est distribué selon N(0, 1), et γ = µ / σ, l'on a : 2 µy

∆ = eσ

2

2 µy

=e

σ2

⎡ ⎢∫ ⎣⎢

∞

2y−x

σ t

e

−γ t z −

γ2 2

z 1 −2 ⎤ e dz ⎥ 2π ⎦⎥

2 µy

2

t

= eσ

2

⎡ ⎢∫ ⎢⎣

∞

2 y−x

σ t

1 e 2π

(

− z +γ t 2

)2

⎤ dz ⎥ ⎥⎦

2 µy

⎡ ⎛ 2y − x ⎞⎤ ⎛ x − 2 y − µt ⎞ 2 N ⎢− ⎜ + γ t ⎟⎥ = e σ N ⎜ ⎟ ⎠⎦ ⎝ σ t ⎠ ⎣ ⎝ σ t

□.

Le lemme (L2) suivant est symétrique du précédent et se démontre de la même façon. Les lemmes (L3) et (L4) sont des cas particuliers, respectivement, de (L1) et (L2) : Lemme 2 : soient (x, y) tels que y ≤ 0 et y ≤ x. Alors : 2 µy

⎛ − x + 2 y + µt ⎞ ⎛ − x + µt ⎞ 2 (L2) : P( X t ≥ x; mt ≥ y ) = N ⎜ ⎟ ⎟ − e σ N⎜ σ t ⎠ ⎝ ⎝ σ t ⎠ Lemme 3 : soient y ≥ 0 et x = y. Alors : 2 µy

⎛ − y − µt ⎞ ⎛ y − µt ⎞ 2 (L3) : P(M t ≤ y ) = N ⎜ ⎟ et ⎟ − e σ N⎜ ⎝ σ t ⎠ ⎝ σ t ⎠ 2 µy

⎛ − y − µt ⎞ ⎛ − y + µt ⎞ 2 (L3') : P(M t ≥ y ) = N ⎜ ⎟ ⎟ + e σ N⎜ ⎝ σ t ⎠ ⎝ σ t ⎠ Lemme 4 : soient y ≤ 0 et x = y. Alors : 2 µy

(L4) :

⎛ − y + µt ⎞ P(mt ≥ y ) = N ⎜ ⎟ − eσ ⎝ σ t

⎠

2

⎛ y + µt ⎞ N⎜ ⎟ ⎝ σ t ⎠

2 µy

⎛ y + µt ⎞ ⎛ y − µt ⎞ 2 (L4') : P(mt ≤ y ) = N ⎜ ⎟ ⎟ + e σ N⎜ ⎝ σ t ⎠ ⎝ σ t ⎠

52

© Roland Portait et Patrice Poncet On obtient facilement, à partir de ces lemmes et de la propriété de complémentarité, les autres lemmes correspondant aux autres évènements à considérer, par exemple :

P( X t ≥ x; M t ≥ y ) = P(M t ≥ y ) − P( X t ≤ x; M t ≥ y ) = (L3') plus le second terme du (L1). □

III. Démonstration de la relation des "inverses" pour les options barrières Nous allons démontrer la première des quatre relations (iii) données dans le texte (§ 1.1 de la section 2), les trois autres pouvant être obtenues de façon similaire : ⎞ ⎛1 1 1 PUO (S, K, L, r, δ ) = S .K . CDO⎜ , , , T , δ , r ⎟ ⎠ ⎝S K L

où S = S0 pour simplifier la notation.

(

)

En date t = 0, en se rappelant que µ = r − δ − σ 2 / 2 et γ = µ / σ , la valeur du PUO est égale à:

[

[

]

PUO(• ) = E Q e − rT K − Se µT +σ WT 1Sup ( S t )≤ L +

[

]

]

⎡ − rT γ WˆT − γ T ⎤ ˆ + 2 = E ⎢e e K − SeσWT 1Sup ( S t )≤ L ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ 2

Qˆ

=e

⎛ γ2 − ⎜⎜ r + 2 ⎝

⎞ ⎟T ⎟ ⎠

+ ⎡ ⎤ ⎡ −σWˆT ⎤ 1 ( γ + σ )Wˆ T e E ⎢ S .K .e 1 − ⎢ ⎥ Mˆ T ≤ l ⎥ S K ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎣ ⎦ Qˆ

où la seconde égalité est justifiée dans le § I ci-dessus, et où l ≡

(

)

1

σ

Ln(L / S ) (> 0 car c'est un

PUO) et Mˆ T = Sup Wˆ s , s ≤ T . Posons WˆT = − ZT . Il vient :

PUO(• ) = S .K .e

⎛ γ2 − ⎜⎜ r + 2 ⎝

⎞ ⎟T ⎟ ⎠

+ σZ T ⎡ ⎤ 1⎤ λZ T ⎡ e − ⎥ 1mˆ T ≥ −l ⎥ E ⎢e ⎢ K⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ S

Qˆ

1⎛ σ2 ⎞ ⎜⎜ δ − r − ⎟; σ 2 ⎟⎠ σ⎝ on remarquera l'inversion du rôle des deux paramètres r et δ. Or, on peut écrire :

où − l ≡

1

Ln(S / L ) (<0), mˆ T = Inf (Z s , s ≤ T ) et λ ≡ -(γ + σ) =

PUO(• ) = S .K .e

⎛ γ2 − ⎜⎜ r + 2 ⎝

⎞ ⎟T ⎟ ⎠

e

2 ⎛ ⎜δ + λ ⎜ 2 ⎝

⎞ ⎟T ⎟ ⎠

e

⎛ λ2 − ⎜⎜ δ + 2 ⎝

⎞ ⎟T ⎟ ⎠

E Q [•] ˆ

53

© Roland Portait et Patrice Poncet ⎛ γ2⎞ ⎛ λ2 ⎞ Du fait des définitions de γ et λ, il est facile de vérifier que − ⎜⎜ r + ⎟⎟ + ⎜⎜ δ + ⎟⎟ = 0 . D'où 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ l'on obtient : ⎤ ⎡ − ⎛⎜⎜ δ + λ2 ⎞⎟⎟T ˆ 2 ⎠ PUO(• ) = S .K ⎢e ⎝ E Q [• ]⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎡ ⎤⎤ ⎡ − λ2 T + λZ T ⎡ eσZ T 1 ⎤ + −δT Qˆ 2 ⎢ = S .K e E ⎢e ⎢ S − K ⎥ 1mˆ T ≥ −l ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎡1 1 1 ⎤ = S .K CDO ⎢ , , , T , δ , r ⎥ ⎣S K L ⎦ La dernière égalité vient de ce que r et δ ont des rôles inversés et que − l =

1

σ

Ln(S / L ) .

□

IV. Évaluation du CUO (Call Up-and-Out) avec L (barrière) > K (strike) Nous avons choisi cette option car c'est l'une de celles dont la formule d’évaluation comprend le plus de termes (huit, sans « rebate » ; cf le Tableau 1 du texte). Rappelons par ailleurs que le CUO pour lequel L serait inférieur à K aurait une valeur nulle. Nous avons, en date 0 (on note encore S0 = S) :

[[

]

CUO(S , K , L, T , r , δ ) = e − rT E Q Se µT +σWT − K 1{ST > K }∩{Sup ( S t )≤ L}

[

= − Ke − rT E Q 1{µT +σWT ≥ Ln ( K / S )}∩{Sup ( µt +σWt )≤ Ln ( L / S )}

]

]

⎡ − σ T +σWT ⎤ E ⎢e 2 1{µT +σWT ≥ Ln ( K / S )}∩{Sup ( µt +σWt )≤ Ln ( L / S )} ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 2

+ Se

− δT

Q

A partir des lemmes donnés dans le §II ci-dessus, il est facile d'obtenir le résultat suivant, pour y ≥ 0 et x ≤ y (on prend t = T) : 2 µy

2 ⎛ − x + µT ⎞ ⎛ − y + µT ⎞ ⎛ − y − µT ⎞ E [1{ }∩{ } ] = P( X t ≥ x; M t ≤ y ) = N ⎜ ⎟ − N⎜ ⎟ − e σ N⎜ ⎟ ⎝ σ T ⎠ ⎝ σ T ⎠ ⎝ σ T ⎠

Q

•

•

2 µy

2 ⎛ x − 2 y − µT ⎞ + e σ N⎜ ⎟ ⎝ σ T ⎠

qui implique 4 termes. Nous calculons d'abord les 4 termes qui sont multipliés par –Ke-rT, puis les 4 termes multipliés par Se-δT. On remarque que x = Ln (K/S) et y = Ln(L/S).

54


•

⎛ − x + µT ⎞ ⎡ Ln(S / K ) + µT ⎤ N⎜ ⎟ = N⎢ ⎥ ≡ N (d 2 ) σ T ⎝ σ T ⎠ ⎣ ⎦

•

⎡ Ln(S / L ) + µT ⎤ ⎛ − y + µT ⎞ − N⎜ ⎟ = −N ⎢ ⎥ ≡ − N (d 2 L ) σ T ⎣ ⎦ ⎝ σ T ⎠

où L, dans d2L, indique que l'on prend Ln(S/L) au lieu de l'usuel Ln(S/K). 2 µy

2 ⎛ − y − µT ⎞ ⎛L⎞ − e σ N⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎝S⎠ ⎝ σ T ⎠

•

où (ε − 1) ≡ µ / σ 2 = 2 µy

e

•

σ2

r −δ

σ

2

2 (ε −1)

⎛ Ln(S / S ) − µT ⎞ N⎜ ⎟ σ T ⎝ ⎠

1 − , 2

⎛ x − 2 y − µT ⎞ ⎛ L ⎞ N⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ σ T ⎠ ⎝S⎠

2 (ε −1)

(

)

⎛ Ln KS / L2 − µT N ⎜⎜ σ T ⎝

⎞ ⎟⎟ . ⎠

Pour obtenir les termes qui font intervenir Se-δT, on remarque que, comme c'est le cas pour les options vanilles dans le cadre BSM, l'indicatrice est multipliée par e

−

σ2 2

T +σWT

. On change donc

de mesure de probabilité, en adoptant celle qui est couplée au nouveau numéraire qu'est le TSJ, notée Q* et définie par : ⎡ σ2 ⎤ dQ * = exp ⎢σWT − T . 2 ⎥⎦ dQ ⎣

Par le théorème de Girsanov, l'on a : WT* = WT − σT ou σWT = σWT* + σ 2T . Dès lors : ⎤ ⎡ −σ T +σWT * ⎤ E ⎢e 2 1 = E Q ⎡1 ⎥ ⎢⎣ {µT +σWT ≥ Ln (K / S )}∩{Sup (µt +σWt )≤Ln (L / S )} ⎥⎦ {µT +σWT ≥ Ln (K / S )}∩{Sup (µt +σWt )≤ Ln (L / S )} ⎥⎦ ⎢⎣ 2

Q

*

[

= E Q 1{µ 'T +σW * ≥ Ln ( K / S )}∩{Sup (µ 't +σW * )≤ Ln ( L / S )} T

t

]

⎛ σ2 ⎞ ⎟T . avec µ ' ≡ µ + σ 2 ⇒ µ 'T = ⎜⎜ r − δ + 2 ⎟⎠ ⎝ Comme dans la formule de BSM, nous obtenons donc les 4 mêmes formules que précédemment, en remplaçant µ par µ'. Ceci implique en particulier que d1 remplace d2, d1L remplace d2L et ε remplace (ε-1). Nous obtenons ainsi finalement :

55

© Roland Portait et Patrice Poncet CUO (S , K , L, T , r , δ ) = Se

− δT

(

)

2ε 2 ⎡ ⎛ Ln(S / L ) − µ 'T ⎞⎫ ⎤ ⎛ L ⎞ ⎧ ⎛ Ln KS / L − µ 'T ⎞ ⎟⎟ − N ⎜ ⎟⎬ ⎥ ⎢ N (d1 ) − N (d1L ) + ⎜ ⎟ ⎨ N ⎜⎜ σ T σ T ⎝S⎠ ⎩ ⎝ ⎝ ⎠⎭ ⎦⎥ ⎠ ⎣⎢

(

)

2 (ε −1) ⎡ ⎧ ⎛ Ln KS / L2 − µT ⎞ ⎛ Ln(S / L ) − µT ⎞⎫⎤ ⎛L⎞ ⎟⎟ − N ⎜ − Ke − rT ⎢ N (d 2 ) − N (d 2 L ) + ⎜ ⎟ ⎟⎬⎥. ⎨ N ⎜⎜ T σ σ T ⎝S⎠ ⎠⎭⎥⎦ ⎝ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎩

L'on vérifie que cette solution est bien celle donnée dans le Tableau 1 (ligne 7) du corps du chapitre. □

V. Évaluation des « rebates » Nous évaluons d'abord les « rebates at expiry » caractéristiques des options activantes ("In"). Nous ne démontrons ici encore qu'un seul cas, les autres s'obtenant de la même façon à partir des lemmes (§ II de cette annexe) appropriés. Soit le CDI (S, K, L, T, r, δ) ou le PDI (S, K, L, T, r, δ) promettant un "rebate" R en T en cas de non-activation. La valeur de ce "rebate" en t = 0 est donc :

[

]

[

Re − rT EQ 1{Inf ( S t )≥ L} = Re − rT EQ 1{mT ≥ l }

]

où l ≡ Ln(L/S) est négatif puis l'option est un CDI ou un PDI. D'après le lemme (L4), nous avons (en posant y = l, l < 0) : 2 µy

⎛ − l + µT ⎞ ⎛ l + µT ⎞ P[mT ≥ l ] = N ⎜ ⎟ − e σ ² N⎜ ⎟ ⎝ σ T ⎠ ⎝σ T ⎠ ⎛ Ln(S / L ) + µT ⎞ Le premier terme, déjà rencontré au § IV de cette annexe, vaut N ⎜ ⎟ ≡ N (d 2L ). σ T ⎝ ⎠ ⎛L⎞ Le second terme vaut − ⎜ ⎟ ⎝S⎠

2 (ε −1)

⎛ Ln(L / S ) + µT ⎞ N⎜ ⎟ , où (ε-1) ≡ µ/σ². σ T ⎝ ⎠

La valeur du « rebate at expiry » est donc égale à : Re

− rT

2 (ε −1) ⎡ ⎛ Ln(L / S ) + µT ⎞⎤ ⎛ L⎞ N⎜ ⎟⎥. ⎢ N (d 2 L ) − ⎜ ⎟ σ T ⎝S⎠ ⎝ ⎠⎥⎦ ⎢⎣

On vérifie que cette solution est bien celle donnée dans le Tableau 2 (ligne 1) du corps du chapitre. □

56

© Roland Portait et Patrice Poncet Nous évaluons maintenant les « rebates at hit » caractéristiques des options désactivantes ("Out"). Le problème est ici plus compliqué car il faut utiliser la densité du premier temps d'atteinte (t), par un brownien drifté, d'une valeur l déterminée. Il s'agit de calculer : R ∫ e −rt h1 (t ) dt. On sait faire ce calcul, car on connaît la densité hl (t)11. T 0

Cependant, il exige de nombreux changements de variables dont certains sont difficiles à trouver. Une façon plus directe est d'utiliser le résultat probabiliste suivant : ⎡ µl E Q e −rτ l = exp ⎢ 2 − l ⎢⎣σ

µ 2 + 2rσ 2 ⎤ ⎤ ⎡ µl ⎥ ≡ exp ⎢ 2 − l b⎥ 2 σ ⎦ ⎣σ ⎥⎦

[ ]

(i)

où τl est le premier temps d'atteinte de (la barrière) l pour le brownien arithmétique drifté dXt = µdt + σ dWt, et b ≡ µ 2 + 2rσ 2 / σ 2 . Prenons le cas du CDO ou du PDO. La barrière l ≡ Ln(L/S) est donc négative. La valeur en t = 0 du « rebate at hit » est égale à :

[

]

[

R.E Q e − rτ l 1{τ l ≤T } = R.E Q e − rτ l 1{mT ≤ l }

(ii)

]

En utilisant la technique du changement de probabilité (et de numéraire), on obtient :

[

]

[ ]

E Q e − rτ l 1{mT ≤ l } = E Q e − rτ l E Q [1{mˆ ≤ l } ]

(iii)

ˆ

ˆ n'est plus µ où l'on montre (dans la démonstration de (i)) que le drift de dXt sous la mesure Q mais µˆ = − µ 2 + 2rσ 2 ≡ −bσ 2 . Par ailleurs, d'après (L4') du § II de cette annexe avec t = T et y = l (< 0), l'on a :

[

P[mˆ T ≤ l ] = E 1{mˆ T ≤ l } Qˆ

(iv)

]

2 µˆl

2 ⎛ l − µˆT ⎞ ⎛ l + µˆT ⎞ = N⎜ ⎟ + eσ N⎜ ⎟ ⎝σ T ⎠ ⎝σ T ⎠

En utilisant (i), (iii) et (iv), (ii) devient alors (avec l < 0) :

[

]

µl

RE Q e − rτ l 1{mT ≤ l } = R.e σ

11

2

+ lb

⎡ ⎛ l − µˆT ⎞ 2 µˆ2l ⎛ l + µˆT ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟ + eσ N⎜ ⎢N ⎜ ⎝ σ T ⎠⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ σ T ⎠

Par exemple, de par la propriété de symétrie du brownien non drifté, on a P[Mt ≥ l] =2N(-l/ t ). En dérivant

cette expression par rapport à t, on obtient : h1 (t ) =

l 2πt

3

e

−a

2

2t

(pour l > 0, sinon, il faut prendre l ).

57

© Roland Portait et Patrice Poncet ce qui, compte tenu de µˆ ≡ −b σ 2 , l = Ln(L/S) et (ε - 1) ≡ µ/σ2, donne : ⎡⎛ L ⎞ε −1+ b ⎛ Ln(L / S ) + b σ 2T ⎞ ⎛ L ⎞ε −1− b ⎛ Ln(L / S ) − b σ 2T ⎞⎤ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ ⎟⎟⎥ R ⎢⎜ ⎟ N ⎜⎜ N ⎜⎜ σ T σ T ⎝ ⎠ ⎝S⎠ ⎝ ⎠⎦⎥ ⎣⎢⎝ S ⎠ conformément à la ligne 3 du Tableau 2 du corps du texte. □

VI. Démonstration du prix du call « lookback » Il reste à calculer la seconde espérance présente dans l’équation (23) du texte, E ⎡⎢ m0T 1mT < m0 ⎤⎥ . 0 T0 ⎦ ⎣ T

Ce calcul requiert notamment la connaissance de la densité de m . A partir du Lemme (L4) 0

(cf. §II ci-dessus), nous avons : ⎛ y − µT ⎞ 2 µyσ −2 ⎛ y + µT ⎞ P m0T < y = 1 − P m0T ≥ y = N ⎜ N⎜ ⎟ ⎟+e ⎝ σ T ⎠ ⎝ σ T ⎠

(

)

(

)

La densité de m0T = y est donc égale à : 1

σ T

1⎛

y − µT ⎞ 2

1 − 2 ⎜⎜⎝ σ e 2π

Or, nous avons :

⎟⎟ T ⎠

+ 2 µσ − 2e 2 µyσ

e 2 µyσ

−2

e

σ T 2π

−

−2

1 ⎛ y + µT ⎜ 2 ⎜⎝ σ T

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ y + µT ⎞ 2 µyσ −2 1 N⎜ ⎟+e σ T ⎝ σ T ⎠ 2

1⎛

y + µT ⎞ 2

1 − 2 ⎜⎜⎝ σ e 2π

⎟⎟ T ⎠

y − µT ⎞ 2

1⎛

− ⎜⎜ 1 = e 2⎝ σ σ T 2π

⎟⎟ T ⎠

Donc cette densité, notée nmin(y), est égale à : 1 ⎛ y − µT ⎞ ⎟⎟ T ⎠

− ⎜⎜ 2 nmin ( y ) = e 2⎝ σ σ T 2π

[

] [

2

−2 ⎛ y + µT ⎞ + 2µσ − 2e 2 µyσ N ⎜ ⎟. ⎝ σ T ⎠

Or, on a : E m0T 1mT < m 0 = E S 0 e min Ln ( St / S 0 )1minT ( Ln ( S 0

T0

0

t

/ S 0 ))< − b

].

Nous obtenons ainsi : (i)

[

]

E m0T 1m T < m 0 = ∫ 0

T0

−b −∞

S0e y nmin ( y )dy 1 ⎛ y − µT ⎞ ⎤ ⎡ − ⎜⎜ ⎟⎟ −2 2 ⎛ y + µT ⎞⎥ y⎢ S0e e 2 ⎝ σ T ⎠ + 2µσ − 2e 2 µyσ N ⎜ ⎟ dy. ⎢σ T 2π ⎝ σ T ⎠⎥ ⎦ ⎣ 2

=∫

−b −∞

58

© Roland Portait et Patrice Poncet Pour calculer la première intégrale, posons Z ≡ 2S e

µT

0

∫

− b − µT

e

σ T −∞

y − µT . Il vient : σ T

Z2

1 −2 e dZ . 2π

Zσ T

Cette intégrale se simplifie, en utilisant un résultat général très utile 12, en : σ 2T

µT

2S0e e

2

⎞ ⎛ − b − µ 'T ⎞ ⎛ − b − µT N⎜ − σ T ⎟ = 2 S0 e(r − c )T N ⎜ ⎟. ⎠ ⎝ σ T ⎠ ⎝ σ T

Calculons la deuxième intégrale par intégration par parties :

∫

−b

2S0e µσ e

−∞

−∫

−2 − 2 2 µyσ

y

−b −∞

−b

⎡ S 2µσ −2 (2 µσ −2 +1)y ⎛ y + µT ⎞⎤ ⎛ y + µT ⎞ N⎜ e N⎜ ⎟ dy = ⎢ 0 − 2 ⎟⎥ ⎝ σ T ⎠ ⎝ σ T ⎠⎦ − ∞ ⎣ 2µσ + 1 1⎛

y + µT ⎞ 2

− ⎜⎜ 1 S0 2 µσ − 2 (2 µσ −2 +1)y 2⎝ σ e e 2 µσ − 2 + 1 2π σ T

⎟⎟ T ⎠

dy

Or on a :

[

]

σ2 2 µσ −2 2(r − δ ) − σ 2 / σ 2 = = 1− = 1− λ 2(r − δ ) 2 µσ − 2 + 1 2(r − δ ) / σ 2 2 µσ − 2 + 1 =

[

2(r − δ ) − σ 2

σ

2

et

]

+1=

2(r − δ )

σ

2

=

1

.

λ

Donc l'intégrale est égale à : 1 ⎛ − b + µT ⎞ y/λ S0 (1 − λ )e − b / λ N ⎜ e ⎟ − 0 − S0 (1 − λ )∫− ∞ e σ T 2π ⎝ σ T ⎠ −b

⎛ mT00 S0 (1 − λ )⎜ ⎜ S ⎝ 0

1/ λ

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−

1 ⎛ y + µT ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎜⎝ σ T ⎟⎠

2

dy =

⎛ − b + µT ⎞ ( r − c )T ⎛ − b − µ 'T ⎞ N⎜ N⎜ ⎟ − S0 (1 − λ )e ⎟ ⎝ σ T ⎠ ⎝ σ T ⎠

où le calcul du second terme est analogue à celui de la première intégrale de (i). Cette équation (i) s'écrit par conséquent :

(12)

∫

x

−∞

e

hu

e −u

2

/2

2π

du = ∫

x −∞

e

−

[

1 (u − h )2 − h 2 2

] du 2π

=e

h2 2

∫

x −∞

e

−

1 (u − h )2 2

du 2π

= (en posant t = u − h ) e

h2 2

∫

x −h −∞

e

−

t2 2

dt 2π

h2 2

= e N (x − h ).

59


(ii) 2 S 0 e

(r −c )T

⎛ m T00 − b − µ' T ⎞ ⎛ N⎜ ⎟ + S 0 (1 − λ )⎜⎜ ⎝ σ T ⎠ ⎝ S0

1/ λ

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

− b + µT ⎞ (r −c )T ⎛ − b − µ' T ⎞ N ⎛⎜ N⎜ ⎟ − S 0 (1 − λ )e ⎟ ⎝ σ T ⎠ ⎝ σ T ⎠

En utilisant la relation (24) du texte, multipliée par − e − rT m T0 0 , et la relation (ii), multipliée par − e −rT , en éliminant certains termes et en réarrangeant, l'équation (23) du texte donnant la

valeur du call « lookback » devient la relation (25) : CLB0 = e

−cT

⎡ ⎛ b + µ ' T ⎞ −rT 0 ⎢ ⎛ b + µT ⎞ λS 0 S0 N ⎜ ⎟− ⎟ − e mT0 N ⎜ ⎢ ⎝ σ T ⎠ mT00 ⎝ σ T ⎠ ⎣

⎛ mT00 ⎜ ⎜ S0 ⎝

1/ λ

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎤ ⎛ − b + µT ⎞⎥ −cT ⎛ b + µ 'T ⎞ . □ N⎜ ⎟ − e S 0 λN ⎜ − ⎟ ⎥ σ T ⎠ ⎝ ⎝ σ T ⎠ ⎦

VII. Options sur Prix moyen La solution de l'EDS régissant la valeur du support S(t) de l’option sur prix moyen s'écrit, pour t ≥ T1 : ⎡⎛ ⎤ σ2 ⎞ ⎟⎟(t − T1 ) + σ (W (t ) − W (T1 ))⎥ . S (t ) = S (T1 )exp ⎢⎜⎜ b − 2 ⎠ ⎣⎝ ⎦ L'on obtient alors, en utilisant Ln S(t) : T ⎡1 ⎛ ⎤ σ2 ⎞ σ ⎟⎟(T − T1 ) + ( ( ) ( ) ) − M (T1 , T ) = S (T1 )exp ⎢ ⎜⎜ b − W t W T dt ⎥ 1 T − T1 ∫T1 2 ⎠ ⎣2 ⎝ ⎦

Or, la variable aléatoire

∫ (W (t ) − W (T ))dt T

1

T1

a une distribution conditionnelle en T1 normale

⎛ 1 2⎞ N ⎜ 0; (T − T1 ) ⎟ . ⎝ 3 ⎠

En effet, − ∫ W (T1 ) dt = −W (T1 )(T − T1 ) et T

T1

∫

T

T1

W (t ) dt = − ∫ tdW (t ) + [tW (t )] TT1 (intégration T

T1

par parties) = − ∫ td W (t ) + TW (T ) − T1W (T1 ). T

T1

D'où

∫ (W (t ) − W (T ))dt = − ∫ T

1

T1

T

T1

tdW (t ) + TW (T ) − TW (T1 ) = ∫

T

T1

(T − t )dW (t ).

Cette intégrale de Wiener a une distribution normale d'espérance nulle. De plus, sa variance est égale à

1 ∫ (T − t ) dt = 3 (T − T ) . T

T1

2

3

1

⎡⎛ ⎤ σ2 ⎞ ⎟⎟T1 + σW (T1 )⎥, M (T1 , T ) se réécrit : Comme S (T1 ) = S (0)exp ⎢⎜⎜ b − 2 ⎠ ⎣⎝ ⎦

60

© Roland Portait et Patrice Poncet T ⎡1 ⎛ ⎤ σ2 ⎞ σ ⎟⎟(T + T1 ) + σW (T1 ) + ( M (T1 , T ) = S (0)exp ⎢ ⎜⎜ b − W (t ) − W (T1 )) dt ⎥ . ∫ T − T1 T1 2 ⎠ ⎣2 ⎝ ⎦

Du fait de l'indépendance des accroissements du brownien, les deux derniers termes dans l'exponentielle sont indépendants. Leur somme est donc une gaussienne d'espérance nulle et ⎡ σ 2 (T − T1 )3 ⎤ 2 ⎛ T + 2T1 ⎞ de variance ⎢σ 2T1 + ⎟. ⎥ =σ ⎜ 2 3 ⎦ (T − T1 ) ⎝ 3 ⎠ ⎣ Nous pouvons donc écrire, avec z distribué comme N(0,1) : ⎡1 ⎛ σ2 ⎞ T + 2T1 ⎤ ⎟⎟(T + T1 ) + σ z⎥ (i) M (T1 , T ) = S (0)exp ⎢ ⎜⎜ b − 2 ⎠ 3 ⎣2 ⎝ ⎦ Par ailleurs, pour se ramener à BSM, il faut avoir la forme suivante pour M(T1,T) : ⎡⎛ ∑2 ⎜ (ii) M (T1 , T ) = Z (0)exp ⎢⎜ b − 2 ⎣⎢⎝

⎤ ⎞ ⎟T + ∑ T z⎥ ⎟ ⎥⎦ ⎠

En identifiant les paramètres de diffusion, puis les drifts, des équations (i) et (ii), l'on obtient :

∑= σ

T + 2T1 3T

T − T1 ⎤ ⎡ T − T1 −σ 2 et Z (0 ) = S (0 )exp ⎢− b . 2 12 ⎥⎦ ⎣

Le payoff en T du call sur prix moyen étant [M(T1,T)−K]+, sa valeur en t = 0 est par conséquent, par application directe de BSM, on obtient la relation (27) du texte. Une démonstration analogue conduit à la valeur du put sur prix moyen (relation (28)). □

VIII. Options sur Strike moyen Soit à évaluer, pour T1 ≥ 0, le call d'échéance T payant : Max [0, S(T) – M(T1, T)]. Sous la probabilité risque-neutre Q, on a par conséquent, en t = 0 :

[

]

[

[

]]

CSM (0) = e− rT EQ [S (T ) − M (T1 − T )] = e− rT EQ S (T ) 1 − M (T1 − T )S −1 (T ) +

+

On transforme, comme d'habitude, l'espérance du produit en produit d'espérance par un changement de probabilité. Soit QS la mesure définie par :

61

© Roland Portait et Patrice Poncet ⎡ σ2 ⎤ dQS S (T ) 1 ≡ T + σWT ⎥ . bT = exp ⎢− dQ S (0) e ⎣ 2 ⎦ La valeur de CSM (0) devient alors :

[[

]]

CSM (0 ) = e − cT .S (0 )EQ S 1 − M (T1 , T )S −1 (T )

+

On remarque que la mesure QS est associée au nouveau numéraire que constitue le prix du TSJ lui-même. Le problème revient donc à calculer, sous QS, l'espérance de M (T1,T) S-1(T). Or l'on a : T ⎡1 ⎛ ⎤ σ2 ⎞ σ ⎟⎟(T + T1 ) + σW (T1 ) + ( M (T1 , T ) = S (0)exp ⎢ ⎜⎜ b − W (t ) − W (T1 )) dt ⎥ ∫ T − T1 T1 2 ⎠ ⎣2 ⎝ ⎦

⎡1 ⎛ ⎤ T σ2 ⎞ σ ⎟⎟(T + T1 ) + σW S (T1 ) + = S (0)exp ⎢ ⎜⎜ b + W S (t ) − W S (T1 ) dt ⎥ du fait que, de par ∫ T − T1 T1 2 ⎠ ⎣2 ⎝ ⎦

(

)

le théorème de Girsanov, on a : W (t ) = W S (t ) + σt. Puisque ⎡⎛ ⎤ ⎡⎛ ⎤ σ2 ⎞ σ2 ⎞ ⎟⎟T + σW (T )⎥ = S (0)exp ⎢⎜⎜ b + ⎟⎟ T + σW S (T )⎥ , on obtient : S (T ) = S (0 )exp ⎢⎜⎜ b − 2 ⎠ 2 ⎠ ⎣⎝ ⎦ ⎣⎝ ⎦ T ⎡1 ⎛ ⎤ σ2 ⎞ σ S S ⎟⎟(T1 − T ) + σW S (T1 ) − σW S (T ) + ( ) ( ) − M (T1 , T )S −1 (T ) = exp ⎢ ⎜⎜ b + W t W T dt ⎥ 1 T − T1 ∫T1 2 ⎠ ⎣2 ⎝ ⎦

(

)

⎡1 ⎛ ⎤ T σ2 ⎞ σ S ⎟⎟(T1 − T ) − σW S (T ) + ( ) W t dt = exp ⎢ ⎜⎜ b + ⎥. T − T1 ∫T1 2 ⎠ ⎣2 ⎝ ⎦ T ⎫ ⎧ σ Or, conditionnellement à ℱT1, la variable aléatoire ⎨− σW S (T ) + W S (t ) dt ⎬ est, ∫ T (T − T1 ) 1 ⎭ ⎩

⎞ ⎛ σ2 sous la probabilité QS, une gaussienne N ⎜⎜ 0, (T − T1 )⎟⎟. ⎠ ⎝ 3

En effet, en définissant f (t ) ≡ −σ +

σ (T − t ) T − T1

, on montre facilement que cette variable

aléatoire s’écrit : ∫ f (t ) d W S (t ) . L'espérance de cette intégrale de Wiener, qui est une T

T1

gaussienne, est nulle. Sa variance est égale à :

62


∫

T T1

2 T ⎛ 2(T − t ) (T − t ) ⎞ T − T1 ⎞ ⎟ dt = σ 2 ⎛⎜ + f 2 (t ) dt = σ 2 ∫ ⎜⎜1 − ⎟. 2 ⎟ T1 T − T1 (T − T1 ) ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝

Nous obtenons ainsi : ⎤ ⎡1 ⎛ T σ2 ⎞ ⎟⎟ (T1 − T ) + ∫ f (t ) dW S (t )⎥ . M (T1 , T ) S −1 (T ) = exp ⎢ ⎜⎜ b + T1 2 ⎠ ⎦ ⎣2 ⎝

Définissons :

Σ' ≡ σ

T − T1 ⎡1 ⎛ ⎤ σ²⎞ 1 et Z ' (0) ≡ exp ⎢ ⎜ b + ⎟(T1 − T ) + Σ'²T ⎥. 2 ⎠ 2 3T ⎣2 ⎝ ⎦

L'on a alors : ⎛ 1 ⎞ M (T1 , T ) S −1 (T ) = Z ' (0 )exp⎜ − Σ'²T + Σ' T z ⎟. ⎝ 2 ⎠

La valeur du call sur strike moyen géométrique est donc égale à :

[ ( )

( )]

(A-6) CSM (0) = e − cT . S (0) N d1' − Z ' (0)N d 2' où

1 Ln(1 / Z ' (0)) + Σ' ²T 2 d1' = et d 2' = d1' − Σ' T Σ' T

et

Z'(0) et ∑ ' sont définis comme plus haut.

De la même façon, par application de la parité call-put, la valeur du put sur strike moyen géométrique est égale à :

[

(

)

( )]

(A-7) PSM (0) = e− cT . S (0) Z ' (0)N − d 2' − N − d1' .

63

Ch 20 Exotiques (1)

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