UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA ÁREA DE MATERIAIS E PROCESSOS
Segunda Prova de da Qualidade Controle Estatístico Maio de 2008
Professor: Dr. Daniel Yvan Martin Delforge Alunos: Alan Corrêa ............................................................ R.A. 200411552 Bruno Rodrigues de Sunti ...................................... R.A. 200524251 Fabrício Fanton ....................................................... R.A. 200525511 Rafael Rodrigues dos Santos .................................. R.A. 200525481 Vinícius Oliveira da Silva ………………………... R.A. 200525541
Questão 01: Os dados exibidos aqui são valores de x e R para 24 amostras de tamanho n=5 tiradas de um processo que produz mancais. As medidas são feitas no diâmetro interno dos mancais, registrando-se apenas as três últimas decimais (isto é, 34,5 representam 0,50345).
x
R
x
Amostra 1 2
34,5 34,2
Amostra 3 13 4 14
35,4 34
R 8 6
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
31,6 31,5 35 34,1 32,6 33,8 34,8 33,6 31,9 38,6
4 4 5 6 4 3 7 8 3 9
37,1 34,9 33,5 31,7 34 35,1 33,7 32,8 33,5 34,2
5 7 4 3 8 4 3 1 3 2
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
(a) Construa gráficos de média e da amplitude para esse processo. O processo parece estar sob controle estatístico? Se necessário, revise os limites de controle; (b) Se as especificações para o diâmetro são 0,5030 ± 0,0010, encontre a percentagem de mancais não conformes produzidos por esse processo. Suponha que o diâmetro siga a distribuição de Gauss (distribuição normal).
Resolução: Encontramos: , Por não conhecermos os valores de Faremos: x 34 e
e do
, onde
iremos estimá-los.
é um fator de correção, tabelado em
função do tamanho da amostra. A estimativa do foi feita pelos valores de R, por se tratar de amostras com n=5. Assim, da tábua 2, temos A2=0,577 e d2=2,326.
Gráfico da média:
Calculamos o valor de LSC e LIC por:
Obs:
- Seu valor também é tabelado em função da amostra.
Obtivemos o gráfico da fig.1
Figura 1: Gráfico da média Por encontrarmos dois pontos alem da linha de controle teremos de refazer as contas, excluído as amostras que estão fora da região I. A seguir os valores encontrados foram: 33,65 e R 4,54 LSC= 36,27
LIC= 31,03
Figura 2: Gráfico da média Como os valores das médias estão todos na região I, a carta é aceita. Nossa carta de controle é assim a seguinte:
Gráfico da amplitude: Utilizaremos primeiro os valores de tabua 2 temos que D3=0 e D4=2,115.
, que é da amostra srcinal. Da
LM R 4,75
Assim o gráfico fica:
Fig.3 – Gráfico da amplitude Refazendo os cálculos para a nova média teremos,excluindo as amostras 12 e 15:
Fig.4 – Gráfico da amplitude
Questão 02: Um fornecedor de energia de alta voltagem deve ter uma voltagem nominal de saída de 350 volts. Uma amostra de quatro unidades é selecionada todos os dias e testada, com o propósito de se controlar o processo. Os dados mostram a diferença, multiplicada por 10, entre a leitura observada em cada unidade e a voltagem nominal; isto é: Xi = (voltagem observada na unidade i – 350)10 Amostra
X1
X2
X3
X4
Amostra
X1
X2
X3
X4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6 10 7 8 9 12 16 7 9 15
9 4 8 9 10 11 10 5 7 16
10 6 10 6 7 10 8 10 8 10
15 11 5 13 13 9 4 12 13 16
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
8 6 16 7 11 15 9 15 8 14
12 13 9 13 7 10 8 7 6 15
14 9 13 10 10 11 12 10 9 12
16 11 15 12 16 14 10 11 12 16
(a) Construa gráficos da média e da amplitude para esse processo. O processo está sob controle estatístico?
Resolução:
x 10,45 e R 2,65 . Da tábua 2, para n=4, temos: A2=0,729. Gráfico da Média LM x 10,45 LSC x A2 R 12,38 LIC x A2 R 8,52
Gráfico da amplitude: Temos que R 2,65 . Da tabua 2 temos que D3=0 e D4=2,282, para n=4.
LM R 2,65 LIC D3 .R 0
LSC D4 .R 6,05
Como pode ser observado os pontos não estão todos dentro da região I, o que nos indica que o processo não se manteve sob controle. (b) Se as especificações são 350V ± 5V, o que você pode dizer sobre a capacidade do processo? Resposta: Para esta especificação o processo esta sob controle, uma vez que ao observarmos o gráfico da média notamos que a “distancia” dos 350 V gira em torno de 350±1,6 V. (c) Há alguma evidência que suporte a afirmação de que a voltagem é normalmente distribuída?
Resposta: O próprio comportamento do gráfico da média nos garante isso. Questão 03: Gráficos de controle de X e de S devem ser mantidos para as leituras de torque de rolamentos utilizados na montagem do atuador de flap das asas de aeronaves. Amostras de tamanho n = 10 devem ser inspecionadas e sabe-se que quando o processo está sob controle, o torque do rolamento tem distribuição normal com média μ = 80 polegadas.libra e desvio padrão σ = 10 polegadas.libra. Encontre a linha média (LM) e os limites superior (LSC) e inferior (LIC) de controle para esses gráficos de controle.
Resolução: e Da tábua 2 temos que d2=3,078 e A2=0,308, para n=10. Assim,
R 30,78
- Seu valor também é tabelado em função da amostra.
Questão 04: Amostras de n = 6 itens são retiradas da linha de fabricação de bicos de injeção de combustível de motores da Honda do Brasil. Uma característica da qualidade, normalmente distribuída, é medida, e, valores de X e de S são calculados para cada amostra. Depois de 50 subgrupos serem analisados, obtém-se: 50
x 100 i 1
50
e
Si 75 i 1
(a) Calcule os limites de controle para os gráficos de controle de X e S;
Resolução: Dos dados temos que:
x 2 e s 1,5 Por não conhecermos os valores de Faremos:
x 2e
, onde
e do
iremos estimá-los.
é um fator de correção, tabelado em
função do tamanho da amostra, no caso n=6 e c2=0,8686, da tabua 2, assim 1,723 .
Gráfico da média: Da tábua 2, temos que A1=1,410 para n=6, calculamos o valor de LSC e LIC por:
LSC x A1 .s 4,115 LIC x A1 .s (negativo) 0 Obs:
- Seu valor também é tabelado em função da amostra.
Gráfico de : Da tábua 2, para n=6, temos B1=0,026 e B2=1,711, assim:
LM c 2 0,8686.1,723 1,495 LIC B1 0,026.1,723 0,045 LSC B2 1,711.1,723 2,948 (b) Suponha que todos os pontos em ambos os gráficos caiam entre os limites de controle. Quais são os limites naturais de controle do processo? Resposta: Neste caso os limites seriam os mesmos calculados acima. (c) Se os limites de especificação são 19 ± 4,0, quais são as conclusões com relação à habilitação do processo em produzir itens de acordo com essas especificações?
(d) Supondo que, se um item excede o limite superior de especificação ele pode ser retrabalhado e se ele está abaixo do limite inferior de especificação ele tem que ser sucatado. Qual a percentagem de sucata e de retrabalho que o processo está produzindo? (e) Se o processo estivesse centrado em μ = 19,0 qual seria o efeito sobre as percentagens de sucata e de retrabalho?
Questão 05: Considere os gráficos X e R construídos no exercício 01, usando n = 5. (a) Suponha que você queria continuar plotando essa característica da qualidade, usando gráficos de X e R baseado em um tamanho de amostra n = 3. Quais limites deveriam ser usados nesses gráficos? ,
Gráfico da média: Temos, da tábua 2, que para n=3, A2=1,023, assim calculamos o valor de LSC e LIC por:
LM x 34
Gráfico da amplitude: Da tábua 2, para n=3, temos D3=0 e D4=2,575, assim:
(b) Qual seria o impacto da decisão tomada em (a) sobre a habilidade do gráfico X em detectar um deslocamento de 2σ na média? Resposta: Um deslocamento de 2σ na média representa um valor de 2,35, valor este que é identificado como normal em ambos os casos, assim não surtiria efeito para esta diferença. (c) Suponha que você queira continuar plotando essa característica da qualidade, usando gráficos de X e R baseado em um tamanho de amostra n= 8. Quais limites deveriam ser usados nesses gráficos? ,
Gráfico da média: Temos, da tábua 2, que para n=8, A2=0,373, assim calculamos o valor de LSC e LIC por:
LM x 34
Gráfico da amplitude: Da tábua 2, para n=8, temos D3=0,136 e D4=1,864, assim:
LIC D3 .R 0,136.4,75 0,646
LSC
D4 .R 1,864.4,75 8,854
(d) Qual seria o impacto da decisão tomada em (c) sobre a habilidade do gráfico X em detectar um deslocamento de 2σ na média? Resposta: Neste caso seu impacto seria visível, uma vez que para estes valores que antes estavam na região I, não mais estarão para este gráfico.
Questão 06: Duas peças, do sistema eixo/furo, são montadas conforme a figura abaixo. Suponha que as dimensões x e y sejam normalmente distribuídas com médias μx e μy e desvios padrão σx e σy, respectivamente. As peças são produzidas em máquinas diferentes e são montadas aleatoriamente. Gráficos de controle devem ser mantidos sobre cada dimensão para a amplitude de cada amostra com n = 5. Ambos os gráficos da amplitude estão sob controle. (a) Para 20 amostras no gráfico da amplitude controlando x e 10 amostras no gráfico da amplitude controlando y, tem-se que: 20
Rxi
10
18,608
i 1
e
R yi
6,978
i 1
Faça uma estimativa de σx e σy.
Resolução:Uma boa estimativa é fazer
, sendo d2=2,326, para n=5, na tabua
2, assim:
x
y
0,9304 2,326 0,6978 2,326
0,4 0,3
(b) Se a probabilidade de uma folga (isto é x - y) menor do que 0,09 deve ser 0,006, que distância entre as dimensões médias (isto é μx – μy) deve ser especificada?
Questão 07: Numa fábrica que produz correias de transmissão de borracha em lotes de 2500 unidades, os registros de inspeção dos últimos 20 lotes, mostram os seguintes dados:
Lote 1
Número de correias nãoconformes 230
Lote 11
Número de correias nãoconformes 456
2 3 4 5 6 7 8 9 10
435 221 346 230 327 285 311 342 308
12 13 14 15 16 17 18 19 20
394 285 331 198 414 131 269 221 407
(a) Calcule limites de controle tentativos para um gráfico de controle para a fração não conforme; Resolução: Com os dados da tabela encontramos os valores de:
p
230 435 221 ... 2500.20
0,12282
LSC p 3
p(1 p) 0,123(1 0,123) 0,123 3 0,1425 n 2500
LIC p 3
p(1 p) 0,123(1 0,123) 0,123 3 0,1225 n 2500
(b) Se você desejasse estabelecer um gráfico de controle para controlar a produção futura, como usaria esses dados para obter a linha central e os limites de controle para o gráfico? Resolução: Utilizaria os limites encontrados para traçar o gráfico.
Questão 08: Uma fábrica de tecidos deseja estabelecer um procedimento de controle para falhas na produção dos tecidos de linho que fabrica. Com uma unidade de inspeção de 50 unidades, inspeções passadas evidenciaram que 100 unidades de inspeção anteriores tiveram um total de 850 falhas. Supondo que você seja um consultor em controle estatístico de processos, pergunta-se: que tipo de gráfico de controle você recomendaria? Planeje o gráfico de controle com limites de controle bilateral de α = 0,06, aproximadamente. Dê a linha média e os limites de controle.
Solução: Como temos amostras de igual tamanho, podemos traçar o gráfico do número de defeitos na amostra. Linha central:
c
número total de defeitos em todas as amostras c número de amostras k
onde,
c = 850 k = 100. Limites de controle:
LSC c 3 c LIC c 3 c Assim, a linha média será:
c
850 100
8,50
E os limites de controle:
LSC 8,50 3 8,50 17,25 LIC 8,50 3 8,50 ( negativo ) 0
Questão 09: Numa fábrica de engrenagens fabricadas pela metalurgia do pó, foram separadas 31 amostras contendo 20 itens cada. Na inspeção foi adotado o critério perfeito-defeituoso. Os resultados estão listados na seguinte tabela: AMOSTRA 1 2 3
d 2 3 2
AMOSTRA 12 13 14
d 0 2 3
AMOSTRA 23 24 25
d 0 1 1
4 5 6 7 8 9 10 11
5 7 2 0 1 0 1 0
15 16 17 18 19 20 21 22
0 2 0 1 0 0 0 1
26 27 28 29 30 31
0 0 1 5 2 0
Construir o gráfico da fração defeituosa. Solução: Número total de defeitos: 42; n = 20. Fração defeituosa média: p
LSC p 3 LIC p 3
p (1 p ) n
42 0,0677 31 20
0,0677 0,1685 0,2362
p (1 p ) 0,0677 0,1685 (negativo ) 0 n
Os valores das amostras 4, 5 e 29 estão fora dos limites de controle. Assim esses pontos deverão ser descartados, e os valores recalculados: Número total de defeitos: 25; n = 20. 25 p 0,044643 28 20
LSC = 0,18318 LIC = (negativo) =0 Assim, o gráfico da fração defeituosa é:
Questão 10: Um carregamento de 6500 cabeças de leitura óptica a laser foi dividido em lotes de 130 peças cada um, e inspecionados, contra defeitos. Construir a Curva Característica de Operação (CCO) correspondente, para a = 2 e valores de P desde 1 até 15% em intervalos de 1,5%.
Resolução: Temos 50 amostras com n=130 peças cada uma, uma fração defeituosa (P) de 1% até 15%, em intervalos de 1,5% e um número de aceitação (a) igual a 2. x a
Para resolvermos o exercício, sabemos que L(P) = F(x) e F (a ) = 1- P, substituindo temos: F ( x )
xa
n
x P
x
.(1 P) n x .
a 0
Para n = 130, P = 0.015 e x variando de 0 até 2, temos:
130 0,0150 (1 0,015)130 0 = 0,14019 0
F (0)
130 0,0151 (1 0,015)1301 = 0,27753 1
F (1)
130 0,015 2 (1 0,015)130 2 = 0,2726 2
F (2)
Somando todos os resultados: F(2) = 0,69032 para um P=0,015
Para n = 130, P = 0.03 e x variando de 0 até 2, temos:
130 0,030 (1 0,03)1300 = 0,01907 0
F (0)
130 0,031 (1 0,03)1301 = 0,07667 1
F (1)
130 0,032 (1 0,03)130 2 = 0,15294 2
F (2)
Somando todos os resultados: F(2) = 0,24868 para um P=0,03
nx P a 0
x
Q n x , onde Q
Realizando o mesmo procedimento para P variando de 0,015 até 0,15 com intervalos de 0,015, obtemos a seguinte tabela: P
F(2)
0,015
0,69032
0,030
0,24868
0,045
0,06472
0,060
0,01395
0,075
0,002644
0,090
0,000454
0,105
0,0000718
0,120
0,0000106
0,135
0,00000146
0,150
0,0000001903
Logo obtemos a seguinte curva característica de operação:
GRÁFICO
Questão 11: Refazer o exercício da questão 10, para a = 3. Resolução: Temos 50 amostras com n = 130 peças cada uma, uma fração defeituosa (P) de 1% até 15%, em intervalos de 1,5% e um número de aceitação (a) igual a 3. Para resolvermos o exercício, sabemos que L(P) = F(x) e F (a )
x a
a 0
xa
= 1- P, substituindo temos: F ( x )
nx P
x
.(1 P) n x .
a 0
Para n = 130, P = 0.015 e x variando de 0 até , temos:
130 0,0150 (1 0,015)130 0 = 0,14019 0
F (0)
130 0,0151 (1 0,015)1301 = 0,27753 1
F (1)
130 0,015 2 (1 0,015)130 2 = 0,2726 2
F (2)
130 0,0153 (1 0,015)1303 = 0,17712 3
F (3)
Somando todos os resultados: F(3) =0,86744 para um P=0,015
Para n = 130, P = 0.03 e x variando de 0 até 2, temos:
130 0,030 (1 0,03)1300 = 0,01907 0
F (0)
130 0,031 (1 0,03)1301 = 0,07667 1
F (1)
130 0,032 (1 0,03)130 2 = 0,15294 2
F (2)
130 0,033 (1 0,03)1303 = 0,20182 3
F (3)
Somando todos os resultados: F(3) = 0,4505 para um P=0,03
n
x P
x
Q n x , onde Q
Realizando o mesmo procedimento para P variando de 0,015 até 0,15 com intervalos de 0,015, obtemos a seguinte tabela: P
F(3)
0,015
0,86744
0,030
0,45050
0,045
0,15883
0,060
0,04382
0,075
0,01021
0,090
0,002093
0,105
0,000387
0,120
0,00006561
0,135
0,00001028
0,150
0,000001503
Logo obtemos a seguinte curva característica de operação:
GRÁFICO
Questão 12: Construir a CCO correspondente à inspeção de defeituosos (proporção); amostragem simples, sem reposição, com n = 100. Para aceitação, admite-se que o número de defeituosos seja no máximo igual a 4. Qual a probabilidade de aceitação para p = 4% e para p = 10%?
Resolução: Temos inspeção de defeituosos (proporção), amostragem simples, sem reposição, n = 100, x variando de 0 até 4, assim temos: xa
F ( x)
nx P
x
a 0
.(1 P ) n x
Calculando os valores, montamos a tabela a seguir: P 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
F(4) 0,996568 0,94917 0,817855 0,628864 0,435981 0,276775 0,163164 0,090337
0,09 0,1
0,047387 0,023711
O gráfico CCO correspondente à inspeção de defeituosos, com amostragem simples, sem reposição e com n=100 é:
GRÁFICO L(P) 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
P (%)
Para p=4% a probabilidade de aceitação é de 62,88% e para p=10% a probabilidade de aceitação é de 2,37%.
Questão 13: Construir a CCO para a inspeção da proporção de defeituosos, amostragem simples sem reposição, com n = 200, nas condições da questão 12. Compare a CCO obtida com a desse exercício.
Resolução: Temos inspeção de defeituosos (proporção), amostragem simples, sem reposição, n = 200, x variando de 0 até 4, assim temos:
n f ( x) p x .(1 p) n x x Calculando os valores, montamos a tabela a seguir: P 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
F(4) 0,948254 0,628844 0,28098 0,095018 0,026447 0,006377 0,001375 0,000271
0,09 0,1
4,94E-05 8,42E-06
O gráfico CCO correspondente à inspeção de defeituosos, com amostragem simples, sem reposição e com n=200 é:
GRÁFICO 0,12 0,1 0,08 ) P ( 0,06 L
0,04 0,02 0 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
P(%)
Para p=4% a probabilidade de aceitação é de 9,5% e para p=10% a probabilidade de aceitação é de 8,42E-04%.
Questão 14: 20 amostras de cabo elétrico isolado, utilizado para a fiação industrial, de 325 pés cada uma, foram inspecionadas e a quantidade de defeitos de isolamento em cada amostra foi: 1,8. (a) Determinar os limites de controle de 3σ; (b) Calcular os limites de controle de modo que a probabilidade de um ponto se localizar acima do LSC seja igual a 0,04.
Resolução: u
(a) Sendo
c n
j
= 1,8
j
onde:
c
n
é o n° total de unidades em todas as amostras
j
j
é o n° total de defeito em todas as amostras
LSC u 3 u
LSC
LIC u 3 u LIC 0 .
5,825
LIC 2,225 , mas não podemos adotar LIC negativo. Logo,
(b) P( X>LSC) = 0,04 Pela Tábua I na tabela de áreas simétricas nas caudas, z 2,054 . 2
Z
x u
2,054
x 1,8
1,8
x
4,556
Questão 15: Estabeleça um plano de amostragem simples (pela distribuição de Poisson), cuja CCO passe pelos pontos P1 = 0,04, com α = 0,06; e P2= 0,02 com β = 0,04.
Resolução: O plano de amostragem simples pela distribuição de Poisson, também conhecido como “Lei dos eventos raros”, mostra a ocorrência de pequeno número de vezes sem periodicidade em grande número de repetições. Esse é o caso de amostragem (com ou sem reposição) em que f = n/N seja menor que 0,10, de partidas com baixa fração de defeituosos, isto é, com P menor que 10%. Sendo o nível de qualidade aceitável P 1 = 4%, o de qualidade inaceitável P 2 = 2%, o risco de consumidor β = 4% é necessário utilizar amostras de mais de 90 peças para assegurar uma proteção dada pela probabilidade L(P 2) = 0,06 de aceitar partidas de qualidade inaceitável. Logo, o tamanho da amostra (n) é igual a 90 e o número de Aceitação a é igual a 5.
Questão 16: Numa fábrica de circuitos integrados a qualidade média resultante limite (QMRL) é 4,5%. Estabeleça um plano de amostragem simples (Dodge & Roming), com FTD = 6,0%, para partidas de 15000 peças. Se for realizada inspeção retificadora, qual a QMRL correspondente ao plano escolhido?
Resolução: Na tábua 6 do apêndice para a inspeção retificadora, só temos uma média do processo até 3,5%, logo temos de achar um valor aproximado para 4,5%. Com os dados fornecidos no exercício: média do processo = 3,5%, tamanho da partida = 15000 peças, não temos a QMRL obtemos um plano de amostragem simples com n = 470, a = 25 e QMRL = 3,7. Assim para uma média do processo
Questão 17: Pela norma ABC-STD-105, qual seria plano de inspeção comum, para partidas de N = 25000 peças, com NQA = 8,5%, amostragem simples, nível II?
Resolução: Pela Tabela I (Tábua 5, Apêndice), para n = 10001 a 35000, obtém-se a letra M, para um nível geral de inspeção II. Como um NQA = 8,5% não existe na tabela II-A, temos de tirar uma média entre 6,5% e 10% existentes na mesma tabela: - Tabela II-A, com NQA = 6,5%, para cada uma dessas letras, encontram-se os demais parâmetros dos planos: N = 25000 Letra M n = 315 a = 21 r = 22 - Tabela II-A, com NQA = 10%, para cada uma dessas letras, encontram-se os demais parâmetros dos planos: N = 25000 Letra M n = 315 a = 21 r = 22 Portanto, como os parâmetros a e r são iguais em ambos os casos, temos o seguinte plano de inspeção comum, para NQA = 8,5% : N = 25000 Letra M n = 315 a = 21 r = 22
Questão 18: Qual é o plano de inspeção, nas condições do exercício da questão 17, se o NQA for de 4,0%?
Resolução: Pela Tabela I (Tábua 5, Apêndice), para n = 3201 à 10000, obtém-se a letra M, para um nível geral de inspeção II.
Entrando-se na Tabela II-A, com NQA = 4,0%, para cada uma dessas letras, encontramse os demais parâmetros dos planos: N = 25000 Letra M n = 315 a = 21 r = 22 Onde a = número de aceitação e r = número de rejeição.
