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Centralidad en redes sociales

Centralidad en redes sociales Matem´ Matemáticas aticas Aplica Apl icadas das a las Tecnolo ecn ologg´ıas de la Informac Informaci´ i´ on on

Centralidad en redes sociales

Índice

1 Centralidad 2 Cen Centra tralid lidad ad de d e cerca ce rcan n´ıa 3 Centra Centralidad lidad de grado grado

Centralidad de transmisi´ on on

4 Centralidad de

intermediación on (betweenness) 5 Central Centralidad idad de autovecto autovectorr 6 Otras medidas medidas de central centralidad idad 7 Comparando

Centralidad en redes sociales Centralidad

Índice

1 Centralidad 2 Cen Centra tralid lidad ad de d e cerca ce rcan n´ıa 3 Centra Centralidad lidad de grado grado

Centralidad de transmisi´ on on

4 Centralidad de

intermediación on (betweenness) 5 Central Centralidad idad de autovecto autovectorr 6 Otras medidas medidas de central centralidad idad 7 Comparando


Centralidad

La centralidad de un v´ ertice marca su importancia relativa dentro del grafo, respecto a alg´ un criterio.


Criterios

Ejemplos Impacto de una persona en una red social.


Criterios

Ejemplos Impacto de una persona en una red social. Relevancia de una habitaci´ on en un edificio (sintaxis del espacio).


Criterios

Ejemplos Impacto de una persona en una red social. Relevancia de una habitaci´ on en un edificio (sintaxis del espacio). Importancia de una calle en una red urbana.


Criterios

Ejemplos Impacto de una persona en una red social. Relevancia de una habitaci´ on en un edificio (sintaxis del espacio). Importancia de una calle en una red urbana. Componentes esenciales de una red de computadores.


Centralidad

no es un atributo intr´ınseco del vértice. Depende (de la ubicaci´ on del vértice en la misma) de la red.


Centralidad

no es un atributo intr´ınseco del vértice. Depende (de la ubicaci´ on del vértice en la misma) de la red. Se interpreta a posteriori como impacto, relevancia, importancia, prominencia, etc.


Centralidad

no es un atributo intr´ınseco del vértice. Depende (de la ubicaci´ on del vértice en la misma) de la red. Se interpreta a posteriori como impacto, relevancia, importancia, prominencia, etc. Algunos par´ ametros miden la centralidad de forma conjunta (redes centralizadas vs. redes distribuidas).


Centralidad


Centralidad


Tipos de medida de centralidad

RADIALES.

MEDIALES.



RADIALES. de volumen de longitud

MEDIALES.



RADIALES. de volumen: de grado (degree), de autovalor (eigenvector) de longitud: de cercan´ıa (closeness)

MEDIALES de intermediaci´ on (betweenness)



Absolutas. Relativas.

Centralidad en redes sociales Centralidad de cercan´ıa

Índice

1 Centralidad 2 Centralidad de cercan´ıa 3 Centralidad de grado

Centralidad de transmisi´ on

4 Centralidad de

intermediación (betweenness) 5 Centralidad de autovector 6 Otras medidas de centralidad 7 Comparando


Centralidad de cercan´ıa Centralidad de cada actor referida a su posici´ on en el grafo. Definición Distancia entre v´ ertices: n´ umero de aristas del camino más corto que los une. Excentricidad de un v´ ertice: es el máximo de las distancias de ese vértice a los demás vértices.


Centralidad de cercan´ıa Centralidad de cada actor referida a su posici´ on en el grafo. Definición Distancia entre v´ ertices: n´ umero de aristas del camino más corto que los une. Excentricidad de un v´ ertice: es el máximo de las distancias de ese vértice a los demás vértices. Centro de un grafo: son los vértices con menor excentricidad.

La excentricidad es una medida absoluta de centralidad (de los vértices)


Centralidad de cercan´ıa Centralidad de cada actor referida a su posici´ on en el grafo. Definición ´ metro (D ): mayor excentricidad. Dia Radio (r ): menor excentricidad. r ≤ D ≤ 2r .


Centralidad de cercan´ıa Centralidad de cada actor referida a su posici´ on en el grafo. Definición ´ metro (D ): mayor excentricidad. Dia Radio (r ): menor excentricidad. r ≤ D ≤ 2r .

Diámetro, radio y la relaci´ on entre ellos son medidas de centralidad (del grafo) Diámetro y radio son absolutas. r /D es relativa.


Centralidad de cercan´ıa Centralidad de cada actor referida a su posici´ on en el grafo. Definición ´rtices: inverso de la distancia. Cercan´ıa entre ve Centralidad de cercan´ıa (closeness centrality): inverso de la suma de las distancias al resto de la red. Es medida RADIAL absoluta. 1 1 = T cc i =  e i S 1 j d (i , j ) Grafos no conexos (R i es la componente conexa de i): cc i = 

1

|V (R i )| − 1 d (i j ) |V (G )| 1


Centralidad de cercan´ıa. Interpretaciones.

Red de flujo: tiempo de llegada a destino. Propagación de informaci´ on: rapidez de rumores.


Centralidad de cercan´ıa. Variantes. Promedio: p cc i

|V (G )|  =

j d (i , j )

Lejan´ıa: cc i l

=



=

|V (G )| e i T S 1

d (i , j ) = e i T S 1

j

´ nica (harmonic Suma de cercan´ıas centralidad armo centrality) cc i h

=

 j

1 d (i , j )

Centralidad en redes sociales Centralidad Central idad de cerca cercan n´ıa

Central Cent ralidad idad de cer cercan can´´ıa. Va Varia riantes ntes.. La propagaci´ on on de información on no siempre se da en la red a trav´ través es del de l cami ca mino no más as corto cor to.. Cercan Cerca n´ıa por camino camin o aleatorio (random-walk closeness centrality )


Central Cent ralidad idad de cer cercan can´´ıa. Va Varia riantes ntes.. La propagaci´ on on de información on no siempre se da en la red a trav´ través es del de l cami ca mino no más as corto cor to.. Cercan Cerca n´ıa por camino camin o aleatorio (random-walk closeness centrality )

Cercan´ıa por residuos (residual residuos (residual closeness): Modifica la definición on de cercan´ cercan´ıa para medir vulnerabilidad en las redes. Permite analizar grafos desconectados cc i r

=

n

−(S )ij 2 =1 j =1


Central Cent ralidad idad cerc cercan an´´ıa ver versus sus armónica onica


Centralidad cercan´ıa versus armónica


Centralidad cercan´ıa versus armónica

Centralidad en redes sociales Centralidad de grado

Índice



4 Centralidad de



Centralidad de grado

La centralidad de cada actor es su n´ umero de v´ınculos Definición Centralidad de grado es la valencia del vértice dc i =

d (v )

1

= e i T A1







La centralidad de cada actor es su n´ umero de v´ınculos ´ n: dividir entre Normalizacio el máximo grado (∆) o el máximo grado posible (|V (G )| − 1))



La centralidad de cada actor es su n´ umero de v´ınculos ´ n: dividir entre Normalizacio el máximo grado (∆) o el máximo grado posible (|V (G )| − 1)) En grafos dirigidos, dos medidas, entrada y salida Entrada: popularidad. Salida: sociabilidad. Relación entre ambas.



Paradoja de la amistad Tus amigos tienen de media m´ as amigos que t´ u


Paradoja de la amistad







Facebook En el 93 % de los casos, los amigos de un usuario tienen más amigos que él. Más sorprendente: el n´ umero de amigos medio es 190, pero la media de amigos de sus amigos es de ¡635!


Paradoja de la amistad Método de inmunizaci´ on Estrategia efectiva: 1

escoger poblaci´ on inicial aleatoriamente

2

los individuos de dicha población designan amigos

3

vacunamos a estos amigos

S´ olo necesitamos vacunar a un 20 %-40 % de la poblaci´ on para evitar la difusi´ on de la enfermedad.


Paradoja de la amistad Método de inmunizaci´ on Estrategia efectiva: 1

escoger poblaci´ on inicial aleatoriamente

2

los individuos de dicha población designan amigos

3

vacunamos a estos amigos

S´ olo necesitamos vacunar a un 20 %-40 % de la poblaci´ on para evitar la difusi´ on de la enfermedad.

Si no seguimos esta estrategia, necesitar´ıamos vacunar a un 80 %-90 % para alcanzar la misma efectividad.


Jefferson High School


Jefferson High School


Centralidad de transmisión

Valencia: n´ umero de caminos de longitud 1. Definición Centralidad de k -caminos (k -path centrality ) es el número de caminos de longitud máxima k . Notaci´ on vectorial: k

pc =

 1≤i ≤k

Ak · 1

Centralidad en redes sociales Centralidad de grado Centralidad de transmisi´ on

Índice



4 Centralidad de



Centralidad de Bonacich

La centralidad de una red es su capacidad de transmitir. Definición Centralidad c (β ) de Bonacich es el n´ umero de caminos que salen de un nodo, atenuado por la longitud de dichos caminos (tasa de descuento β ). Bc (β ) =

 k ≥1

β k Ak · 1 = β A(I − β A)−1 · 1



Propiedades −1 ≤ β ≤ 1. Factores negativos son interpretables en redes de intercambio. Relacionada con la centralidad de vector propio.

Bc (β ) =

 k ≥1

β k Ak · 1 = β A(I − β A)−1 · 1





Centralidad en redes sociales Centralidad de intermediaci´ on (betweenness)

Índice



4 Centralidad de



Centralidad de intermediación (betweenness) Definición Centralidad medida por capacidad de interrumpir flujo en la red: proporci´ on del n´ umero de caminos más cortos de la red en los que un vértice participa.


Centralidad de intermediación (betweenness) Definición Centralidad medida por capacidad de interrumpir flujo en la red: proporci´ on del n´ umero de caminos más cortos de la red en los que un vértice participa. Cuantifica la frecuencia de un nodo actuando como puente en el camino más corto entre otros dos nodos. bc i =

 b jik j k

b jk

,

donde b jk es el número de caminos más cortos desde j hasta k y umero de caminos más cortos desde j hasta k que pasan a b jik el n´ través de i .


Centralidad de intermediación (betweenness)







Nodos con alta intermediaci´ on Su falta produce agujeros estructurales. Controladores o reguladores del flujo de información: corredores (brokers), guardianes.


Intermediación de Newman.

Newman Caminos aleatorios, no los más cortos.

bc i =



(i )

R jk

=i  =k j  (i )

R jk es la probabilidad de ocurrencia de un camino al azar desde j hasta k que contenga a i como nodo intermediario.

Centralidad en redes sociales Centralidad de autovector

Índice



4 Centralidad de



Centralidad de vector propio

La centralidad de un actor depende de la centralidad de sus vecinos λc i =



aij c j

j

λc = Ac



¿Qué vector propio? ¡El m´ as grande! (el que tiene mayor autovalor) ck +1

Ack = k ||c ||

Ak · 1 c≈ ||Ak · 1||



¿Qué vector propio? ¡El m´ as grande! (el que tiene mayor autovalor) ck +1

Ack = k ||c ||

Ak · 1 c≈ ||Ak · 1|| Page Rank





Centralidad en redes sociales Otras medidas de centralidad

Índice



4 Centralidad de



Otras medidas de centralidad

Disimilitud: retroalimentaci´ on de medidas existentes Alfa: importancia relativa de factores endógenos vs. exógenos ´ n: (percolation): contagios, rumores... Filtracio cross–clique

Freeman: mide las medidas de centralidad

















Centralidad en redes sociales Comparando

Índice



4 Centralidad de


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