Sobre la elucidación (Explication)
Rudolf Carnap
Logical foundations of Probability
Chicago University of Chicago Press, 1950
Este material se utiliza con fines exclusivamente didácticos
RESUMEN. Después de una breve indicación de los problemas que le tratarán en este libro -relativos al grado de confirmación, a la inducción y a la probabilidad (1.)- el resto de este capítulo contiene una discusión de algunas cuestiones metodológicas generales. Por elucidación [explication] entendemos la transformación de un concepto inexacto precientífico, el explicandum, en otro exacto, el explicatum (2.). El explicatum, debe satisfacer, los requisitos de semejanza con el explicandum, exactitud, fertilidad y simplicidad (3.). Se distinguen tres clases de conceptos: clasificatorios (por ejemplo, Caliente), comparativos (por ejemplo, más Caliente) y cuantitativos (por ejemplo, Temperatura) (4.). Se examina la función de los conceptos comparativos y cuantitativo: como explicata (5.). Se caracteriza brevemente el método axiomático y se acentúa especialmente la distinción entre sus dos fases, la formalización y la interpretación (6.). En este capítulo nos ocupamos de las cuestiones metodológicas, de una manera general sin hacer referencia a los problemas específicos del libro. Sólo en capítulos posteriores se aplicarán los resultados de estas explicaciones preliminares a las discusiones sobre confirmación y probabilidad.
1. Introducción: nuestros problemas RESUMEN. Se da una breve y preliminar indicación de las cuestiones que tratará de resolver este libro: un esclarecimiento de (1) grado de confirmación, (2) inducción, (3) probabilidad, Las principales tareas de esta obra serán: 1) Un esclarecimiento y, si es posible, una definición del concepto de grado de confirmación; 2) Un esclarecimiento de la naturaleza lógica de la inducción y, si es posible, la construcción de un sistema de lógica inductiva; 3) Un esclarecimiento del concepto de probabilidad. Por ahora sólo se darán unas pocas explicaciones preliminares de estos problemas. I. Cuando los hombres de ciencia hablan, por un lado, de una ley o teoría científica, o incluso de un enunciado singular, por ejemplo, una predicción, y, por otro, de ciertos datos observacionales o resultados experimentales, establecen a menudo una relación entre esos ítems de maneras tales como estas: a. ‘Este experimento confirma otra vez la teoría T’ (o: ‘... suministra un nuevo elemento de prueba para...’) b. ‘La teoría cuántica es confirmada en un grado considerablemente más alto por los datos experimentales conocidos ahora que por aquellos disponibles hace veinte años’ (o: ‘... es apoyada más fuertemente por...’) Los conceptos de elemento de prueba confirmatorio o de grado de confirmación empleados en enunciados de este tipo son, en general, lo suficientemente bien comprendidos cuando se trata de objetivos simples y prácticos, pero casi nunca se los elucida con precisión. Una de las principales tareas de este libro será hacer precisos los conceptos de esta clase, y ofrecer una teoría de las relaciones lógicas entre cualquier hipótesis y cualquier trozo de conocimiento que pueda ser considerado como elemento de prueba confirmatorio de la hipótesis. II. El problema de la inducción en el sentido más amplio –relativa a hipótesis de cualquier forma, no necesariamente universal- es esencialmente el mismo que el de la relación lógica entre una hipótesis y un elemento de prueba que la confirma. De este modo, estableciendo una definición del concepto de grado de confirmación y construyendo una teoría lógica basada en este concepto, suministraremos un sistema de lógica inductiva. Así como la lógica deductiva puede ser considerada como la teoría basada en el concepto de consecuencia lógica o deducibilidad, la lógica inductiva es la teoría que se apoya sobre lo que podría ser llamado el grado de inducibilidad, esto es, el grado de confirmación. III. El problema de la probabilidad está también íntimamente relacionada con el de la inducción. Esto se ha observado a menudo, al menos con respecto a una de las varias concepciones de la probabilidad (llamada a veces probabilidad inductiva) que encontramos en su desarrollo histórico. Trataremos de mostrar 2
que hay que distinguir principalmente dos conceptos de probabilidad; uno se define en términos de frecuencia y se aplica empíricamente, el otro es un concepto lógico y es lo mismo que grado de confirmación. Se mostrará que ambos son importantes para el método de la ciencia, y así se disolverá la controversia entre las dos "concepciones" de la probabilidad. De esta manera vemos que uno o varios de los problemas que nos proponemos abordar tienen la siguiente característica. Hay ciertos términos (‘elemento de prueba confirmatorio’, ‘grado de confirmación’, ‘probabilidad’) empleados en el lenguaje diario y por los hombres de ciencia sin estar exactamente definidos, cuyo uso tratamos de hacer más preciso o, como diremos, dar una elucidación de ellos. La elucidación es una tarea de importancia muy general para la construcción de conceptos. Por lo tanto dedicaremos el resto de este capítulo ( 2.-6.) a un examen de la naturaleza general del método de la elucidación y sólo en el próximo capítulo (8.) volveremos a nuestros problemas específicos de la confirmación y la probabilidad.
2. Sobre el esclarecimiento de un explicandum. [RESUMEN.] Por procedimientos de elucidación entendemos la transformación de un concepto inexacto, precientífico, el explicandum en otro nuevo exacto, el explicatum. Aunque el explicandum no pueda darse en términos exactos se lo hará tan claro como sea posible por medio de explicaciones informales y ejemplos. La elucidación consiste en transformar un concepto dado más o menos inexacto en otro exacto o, más bien, en reemplazar el primero por el segundo. Llamaremos explicandum al concepto dado (o al término usado para designarlo) y explicatum al concepto (o al término propuesto para designarlo) que se elige para ocupar su lugar. El explicandum puede pertenecer al lenguaje diario o a una etapa previa en la evolución del lenguaje científico. El explicatum debe estar dado por reglas explícitas sobre su empleo, por ejemplo, por una definición que lo incorpora a un sistema científico bien construido de conceptos, sean éstos lógicomatemáticos o empíricos. El término ‘explicatum’ ha sido sugerido por los dos usos siguientes. Kant llama explicativo a un juicio si el predicado se obtiene por análisis del sujeto. Husserl, al hablar sobre la síntesis de identificación entre un sentido confuso, no articulado y un sentido claro, articulado, llama al último el ‘Explicat’ del primero. (Para ambos usos véase el Dictionary y Philosolhy (1942), editado por D. Runes, p. 105.) Lo que entiendo por ‘explicandum’ y ‘explicatum’ es en cierta medida similar a lo que C.H. Langford, llama ‘analysandum’ y ‘analysans’: "el análisis por lo tanto muestra una apropiada relación de equivalencia entre el analysandum y el analysans". (“The notion of analysis in Moore’s philosophy", en The philosophy y G.E. Moore (1943), editado por P. A Schilpp, pp. 321-42; véase p. 323); dice que el motivo de análisis "es casi siempre el de suplantar una idea relativamente vaga por otra más precisa" (ibid., p. 329) (Quizás pudiera emplearse la forma ‘explicans’ en lugar de ‘explicatum’; sin embargo, creo que la analogía con los términos ‘definiendum’ y ‘definiens’ no sería útil porque, si la elucidación consiste en dar una definición explícita, entonces en esta definición ambos, el definiens y el definiendum representarían al explicatum, mientras que el explicandum no aparecería). El procedimiento de la elucidación se entiende aquí en un sentido más amplio que los procedimientos de análisis y esclarecimiento en los que pensaban Kant, Husserl y Langford. El explicatum (en mi sentido) es en muchos casos el resultado de un análisis del explicandum (y esto motivó mi elección de los términos); en otros casos, sin embargo, se aparta deliberadamente del explicandum, pero todavía lo reemplaza de alguna manera; esto se hará más claro en los ejemplos siguientes. Un problema de elucidación es característicamente distinto de los problemas científicos (lógicos o empíricos) comunes, en los que ambos, el dato y la solución en condiciones favorables, se formulan en términos exactos (por ejemplo, '¿cuál es el producto de 3 por 5?’, '¿qué ocurre cuando una corriente eléctrica pasa por agua?') En un problema de elucidación el dato, a saber, el explicandum, no está dado en términos exactos; si lo estuviera, no sería necesario explicación alguna. Puesto que el dato es inexacto, el problema mismo no se formula en términos exactos, sin embargo, se nos pido una solución exacta. Esta es una de las extrañas peculiaridades de la elucidación. Se sigue que, si se propone una solución del problema de la elucidación, no podemos decidir de una manera exacta si es correcta o errónea. En rigor, la cuestión de si la 3
solución es correcta o errónea no tiene mucho sentido porque no existe una respuesta neta. La cuestión debiera ser, más bien, si la solución propuesta es satisfactoria, si es más satisfactoria que otra, etc. El significado de estas cuestiones se aclarará bien pronto. Antes de abordar la cuestión principal a saber, cuáles son los requisitos de una solución satisfactoria de un problema de elucidación (esto es, los requisitos de un explicatum satisfactorio) examinemos un poco más de cerca la manera en que debe enunciarse el problema, es decir, en qué hay que dar el explicandum. Uno se siente tentado de pensar que, puesto que de todas maneras el explicandum no puede darse en términos exactos, no interesa mucho la manera en que formulamos el problema. Para esto sería equivocado. Por el contrario, puesto que ni siquiera en el mejor de los casos podemos alcanzar una exactitud completa, a fin de evitar que la discusión del problema se vuelva enteramente estéril, debemos hacer cuanto podamos para tornar al menos prácticamente claro lo que se entiende por el explicandum. Lo que X significa por determinado término en contextos da cierta clase es al menos prácticamente claro para Y, es capaz de predecir correctamente la interpretación de X en la mayoría de los casos simples y ordinarios del uso del término en cuestión en esos contextos. Me parece que, al plantear problemas de análisis o de elucidación, los filósofos violan este requisito con frecuencia. Formulan preguntas tales como ‘¿Qué es la causalidad?', ‘¿Qué es la vida?' ‘¿Qué es la mente?’ '¿Qué es la justicia?’, etc. Luego, a menudo proceden de inmediato a buscar una respuesta sin antes examinar la suposición tácita de que los términos de la cuestión son por lo menos lo suficientemente claros en la práctica para que sirvan de base a una investigación, a un análisis o a una elucidación. Aún cuando los términos en cuestión sean no sistemáticos, inexactos, hay medios para alcanzar un entendimiento mutuo relativamente bueno en lo que se refiere al significado intencional de esos términos. Una indicación del significado con ayuda de algunos ejemplos del uso que se propone y otros ejemplos de usos que ahora no se proponen puede ayudar la comprensión. Puede añadirse una explicación informal en términos generales. Todas las explicaciones de esta clase sólo sirven para aclarar el significado del explicandum; todavía no suministran una elucidación, por ejemplo, una definición del explicatum; todavía pertenecen a la formulación del problema, aún no a la construcción de una respuesta. Ejemplos. 1. Se podría decir, por ejemplo "Por el explicandum 'sal' no quiero referirme a su sentido más general que tiene en la química, sino al sentido estrecho con que se lo usa en el lenguaje doméstico". Esta explicación no es todavía una elucidación. Esta última puede darse, por ejemplo, mediante la expresión compuesta ‘cloruro de sodio’ o el símbolo sinónimo ‘ClNa’ del lenguaje de la química. 2. "Busco una elucidación del término 'verdadero', no tal como se usa en frases del tipo de 'Una verdadera democracia', 'Un amigo verdadero', etc. sino tal como se usa en la vida diaria, en procedimientos legales, en lógica y en ciencia, con el sentido aproximado de 'correcto', 'exacto', ‘verídico’, 'no falso', 'ni error ni mentira', aplicados a enunciados, afirmaciones, informes, narraciones, etc.” Esta explicación aun no es una elucidación; puede darse una elucidación por medio de una definición dentro de la estructura de los conceptos semánticos, por ejemplo, mediante la definición de 'verdadero' dada por Tarski en Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen (1933; Studia Philosophica, I, 261-405, 1936) o la que se da más adelante (D 17-1). Mediante explicaciones de esta clase el lector podrá tener, paso a paso, una imagen más clara de lo que se pretende incluir y de lo que se desea incluir; de esta manera puede alcanzar una comprensión del significado que se desea dar y que, si bien está lejos de ser teóricamente perfecta, puede bastar para los fines prácticos de una discusión de elucidaciones posibles.
3. Requisitos de un explicatum [RESUMEN.] Un concepto debe satisfacer los requisitos siguientes a fin de que sea un explicatum adecuado de un explicandum dado: (1) semejanza con el explicandum, (2) exactitud, (3) fertilidad, (4) simplicidad. Supongamos que deseamos elucidar cierto concepto precientífico que ha sido eficientemente esclarecido mediante ejemplos y explicaciones, tal como se acaba de ver. ¿Qué pretende alcanzar la elucidación de este concepto? Decir que el concepto precientífico dado debe transformarse en un concepto exacto significa, desde luego, que debe introducirse un concepto exacto que corresponde al dado. ¿Qué clase de correspondencia se requiere entre el primer concepto, el explicandum y el segundo, el explicatum?
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Puesto que el explicandum es más o menos vago y ciertamente más que el explicatum, es obvio que no podemos exigir que la correspondencia entre los dos conceptos sea una coincidencia completa. Pero acaso se podría pensar que el explicatum debiera ser tan próximo al explicandum o tan similar a él como lo permita la vaguedad del explicandum. Sin embargo, se ve fácilmente que este requisito sería demasiado, que el procedimiento real de los científicos a menudo no concuerda con él, y ello por buenas razones. Consideremos por ejemplo, el término precientífico ‘pez’. En la construcción de un lenguaje sistemático de la zoología el concepto de Pez designado por este término ha sido reemplazado por un concepto científico designado por el mismo término ‘pez’. Usemos, para designar a este último concepto, el término ‘piscis’ a fin de evitar confusiones. Cuando comparamos el explicandum Pez con el explicatum Piscis vemos que no coinciden ni aproximadamente. El segundo es mucho más estrecho que el primero; del concepto Piscis están excluidas muchas clases de animales que estaban subsumidas bajo el concepto Pez, por ejemplo; ballenas y focas. La situación no es descrita adecuadamente por la oración ‘La creencia anterior de que las ballenas (que en alemán hasta se llaman ‘Walfische’) también son peces, es refutada por la zoología'. El término precientífico 'pez' significaba más o manos lo mismo que 'animal que vive en agua’; por consiguiente, su aplicación a ballenas, etc. era enteramente correcta. El cambio introducido en este punto por los zoólogos no fue una corrección en el campo del conocimiento fáctico sino un cambio de las reglas del lenguaje; es verdad que este cambio fue motivado por descubrimientos fácticos. El que el explicandum Pez haya sido reemplazado por el explicatum Piscis no significa que el primer término siempre pueda reemplazarse por el segundo: debido a la diferencia de significado que se acaba de mencionar, es obvio que ello no es posible. El concepto anterior fue sucedido por el posterior en este sentido: el primero ya no es necesario en la lengua científica; la mayor parte de lo que anteriormente se decía con ayuda del primero ahora puede decirse con ayuda del segundo (aunque a menudo en una forma diferente y no por simple sustitución.) Es importante advertir tanto el componente convencional como el fáctico en el procedimiento de los zoólogos. El componente convencional consiste en el hecho de que podrían haber procedido de una manera diferente. En lugar del concepto Piscis podrían haber elegido otro concepto -usemos para designarlo el término ‘piscis*’que igualmente se habría definido con exactitud pero que habría sido mucho más similar al concepto precientífico Pez al no excluir ballenas, focas, etc. ¿Cuál fue el motivo que tuvieron para no considerar siquiera un concepto más amplio tal como Piscis' y construir en cambio, artificialmente, el nuevo concepto Piscis, que es mucho más remoto que cualquier concepto del lenguaje precientífico? La razón fue que se dieron cuenta del hecho, de que el concepto Piscis prometía ser mucho más fértil que cualquier concepto más similar a Pez. Un concepto científico es tanto más fértil cuanto más puede ponerse en relación con otros conceptos sobre la base de hechos observados; en otras palabras, cuanto más puede usarse para formular leyes. Los zoólogos encontraron que los animales a que se aplica el concepto Pez, esto es, los que viven en el agua, no con parten ni de lejos tantas otras propiedades como los animales que viven en el agua, son vertebrados de sangre fría y tienen agallas toda su vida. Por consiguiente el concepto Piscis definido por estas últimas propiedades permite formular enunciados más generales que cualquier otro concepto que se defina de manera tal que sea más similar a Pez; y esto es lo que hace más fértil al concepto Piscis. Además de la fertilidad, los científicos estiman en los conceptos la simplicidad. Esta puede ser medida, en primer lugar, por la simplicidad de la forma de su definición y, en segundo lugar, por la simplicidad de las formas de las leyes que conectan al concepto con otros. Sin embargo, esta propiedad sólo tiene importancia secundaria. Los científicos introducen muchos conceptos complicados y éstos resultan útiles. En general, la simplicidad se considera sólo en el caso de que se presente una cuestión de elección entre varios conceptos que logran más o menos lo mismo y que parecen igualmente fértiles, si estos conceptos muestran una marcada diferencia en el grado de simplicidad, el científico generalmente preferirá el más simple. De acuerdo con estas consideraciones, la tarea de la elucidación puede caracterizarse como sigue: sí se da un concepto como explicandum, se trata de encontrar otro que sea su explicatum, que llene los siguientes requisitos en un grado suficiente. 1. El explicatum debe ser similar al explicandum de tal modo que, en la mayoría de los casos en los que el explicandum se haya empleado hasta entonces, pueda emplearse el explicatum; sin embargo, no se requiere una similaridad muy grande, y pueden admitirse diferencias considerables.
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2. La caracterización del explicatum, esto es, las reglas de su use (por ejemplo, en la forma de una definición) debe darse en una forma exacta, de manera de introducir al explicatum en un sistema bien conectado de conceptos científicos. 3. El explicatum debe ser un concepto fértil, esto es, útil para la formulación de muchos enunciados universales (leyes empíricas en el caso de un concepto no lógico, teoremas lógicos si se trata de un concepto lógico). 4. El explicatum deberá ser tan simple como sea posible esto significa tan simple como lo permitan los requisitos (1), (2) y (3), que son más importantes. Los filósofos, los científicos y los matemáticos hacen elucidaciones muy frecuentemente. Pero no discuten a menudo de una manera explícita las reglas generales que siguen implícitamente. Una buena formulación explícita fue dada por Karl Menger en relación con su elucidación del concepto de dimensión ("What is dimension?", Amer. Math. Monthly, 50 [1943], 2 - 7; véase p.5, 3. "Criteria for a Satisfactory definition" elucidación en nuestra terminología) Establece los siguientes requisitos. El explicatum "debe incluir todas las entidades que siempre son denotadas y debe excluir todas las entidades que nunca son denotadas" por el explicandum. La elucidación "deberá ampliar el uso de la palabra haciendo que ésta se refiera a objetos no conocidos o a los que no nos referimos en el lenguaje ordinario. En lo que concierne a esas entidades, una definición (elucidación) no puede dejar de ser arbitraria". La elucidación "debe tener muchas consecuencias", teoremas que posean generalidad y simplicidad y que conecten al explicatum con conceptos de otras teorías. Véase también el examen de C.H. Langford, citado en 2. Observaciones terminológicas. 1) La palabra 'concepto' se usa en este libro como una designación común conveniente de propiedades, relaciones y funciones. Obsérvese que: (a) no se refiere a términos, esto es, a palabras o frases, sino a sus significados, y (b) no se refiere a los hechos mentales de concebir conceptos sino a algo objetivo. Para explicaciones más detalladas véase [Introduction to semantics], p. 230; Meaning an necessity], p. 21. (2) Si hablo de una expresión (por ejemplo una palabra, una frase, una oración, etc.) haciendo la distinción entre ella y lo que significa o a lo que se refiere, la pongo entre comillas. En el reciente desarrollo de la lógica y del análisis del lenguaje se ha hecho cada vez más evidente que esta distinción es necesaria para evitar confusiones. (3) Si quiero hablar de un concepto (propiedad, relación o función, designado por una palabra, a veces me valgo del recurso de escribirla con mayúsculas, especialmente si ella no es un nombre (cf., Meaning and necessity, p. 17 n). Por ejemplo, podría escribir ‘la relación’ Más Caliente’; escribir en cambio ‘la relación más caliente’ parecería extraño y sería contrarío a la gramática; escribir ‘la relación de que x es más caliente que y’ sería inconveniente debido a su longitud; el modo corriente de escribir 'la relación ‘más caliente’' no sería del todo correcto porque 'más caliente, no es una relación sino una palabra que designa una relación. De la misma manera, a veces escribiré: 'la propiedad (o el concepto) Pez' (en lugar de 'la propiedad de ser un pez'); ‘la propiedad (o el concepto) Rojo' (en lugar de 'la propiedad de ser rojo' o 'la propiedad de la rojez’), etc. Arne Naess define y usa un concepto que parece estar relacionado con nuestro concepto Explicatum ("Interpretation and preciseness. I. Survey of basic concepts" Oslo Universitetets Studentkontor, 1947. (mimeografiado); este es el primer capítulo de un libro próximo a aparecer). Naess define 'la formulación U es más precisa que T (en el sentido de que T podrá ser sustituida con ventaja por U)’ por ‘hay interpretaciones de T que no son interpretaciones de U, pero no hay ninguna interpretación de U que no sea también una interpretación de T’ (ibid., p. 38). Este concepto comparativo le permite a Naess ocuparse de una serie de "precisiones" consecutivas de un concepto dado. Naess anuncia que un capítulo posterior del libro estará "dedicado al problema de cómo medir grados de ambigüedad, vaguedad y otras propiedades similares". El concepto comparativo mencionado y estos conceptos cuantitativos pueden llegar a resultar instrumentos eficaces para un análisis más penetrante de la elucidación.
4. Conceptos clasificatorios, comparativos y cuantitativos. [RESUMEN.] Un concepto clasificatorio (por ejemplo, Caliente) sirve para clasificar cosas en dos clases. Un concepto comparativo, es una relación basada en una comparación, en el sentido de ‘más (en
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cierto respecto)’ (por ejemplo, más Caliente) o ‘más o igual’. Un concepto cuantitativo se emplea para describir algo con la, ayuda de valores numéricos (por ejemplo, la temperatura). Entre las clases de conceptos empleados en ciencia, tres son de especial importancia. Los llamamos conceptos clasificatorios, comparativos y cuantitativos Utilizaremos esta distinción en nuestro examen final de la confirmación y la probabilidad. En el pensamiento precientífico los conceptos clasificatorios son los empleados más frecuentemente. En el curso del desarrollo de la ciencia se los reemplazo cada vez más en las formulaciones científicas por conceptos de las otras dos clases, aunque siempre son útiles para formular resultados observacionales. Los conceptos clasificatorios son los que sirven para la clasificación de cosas y casos en dos o más clases mutuamente excluyentes. Se emplean, por ejemplo, cuando se divide a las substancias en metales y no metales, a los metales en hierro, cobre, plata, etc.; igualmente, cuando se divide a los animales y las plantas en clases y después en órdenes, familias, géneros, y, finalmente, especies; cuando describimos las cosas que nos rodean como calientes o frías, grandes o pequeñas, duras o blandas, o cuando las clasificamos en casas, piedras, mesas, hombres, etc. En estos ejemplos los conceptos clasificatorios son propiedades. En otros casos son relaciones, por ejemplo, las que designan frases como ‘x está cerca de y’ y ‘la persona x conoce el campo científico y’. (Una relación puede ser considerada como una propiedad de pares ordenados). Los conceptos cuantitativos (llamados también conceptos métricos o numéricos o funciones numéricas) son los que sirven para caracterizar cosas o sucesos o algunos de sus rasgos adscribiéndoles valores numéricos; estos valores se encuentran directamente por medición o indirectamente por cálculo a partir de otros valores de los mismos a distintos conceptos. Son ejemplos de conceptos cuantitativos la longitud, el intervalo de tiempo, la velocidad, el volumen, la masa, la fuerza, la temperatura, la carga eléctrica, el precio, el cociente intelectual, la mortalidad infantil, etc. En muchos casos un concepto cuantitativo corresponde a un concepto clasificatorio. Por ejemplo, la t emperatura corresponde a la propiedad Caliente; y el concepto de una distancia de menos de cinco millas corresponde a la relación de proximidad. El método de los conceptos cuantitativos, y por lo tanto, de la medición, se usó primeramente sólo para hechos físicos, pero más adelante, se empleó cada vez más también en otros campos, especialmente en economía y en sicología. Sin duda, los conceptos cuantitativos son los instrumentos más eficaces del arsenal científico. A veces los científicos, especialmente en el terreno de la ciencia social y la sicología, sostienen que en los casos en que no se encuentra la manera de introducir un concepto cuantitativo, sólo resta emplear conceptos de la clase más simple, esto es, clasificatorios. Aquí, sin embargo, pasan por alto la posibilidad y utilidad de los conceptos comparativos que, en cierto sentido, se ubican entre las otras dos clases. Los conceptos comparativos (a veces llamados topológicos o conceptos de orden) sirven para formular el resultado de una comparación en la forma de un enunciado de más o menos, sin el empleo de valores numéricos. Antes de que el concepto científico cuantitativo de temperatura, se introdujera, el lenguaje cotidiano contenía conceptos comparativos. En lugar de limitarse a clasificar cosas en unas pocas clases con la ayuda de términos tales como ´muy caliente’, ‘caliente’, ‘tibio’, ‘frío’, fue posible una caracterización más eficaz diciendo que x es más caliente que y (o más frío, o igualmente caliente, según el caso). Un concepto comparativo es siempre una relación. Si el concepto clasificatorio subyacente es una propiedad (por ejemplo, Caliente), el concepto comparativo es una relación diádica, es decir, de dos argumentos (por ejemplo, más Caliente). Si el concepto clasificatorio es una relación diádica (por ejemplo, la relación de que x conoce, (el campo) y), el concepto comparativo tiene, generalmente, cuatro argumentos (por ejemplo, la relación de que x conoce mejor y que lo que u conoce y. A veces es útil considerar a la relación tetrádica como una relación diádica entre dos pares. (Podemos decir, por ejemplo: 'la relación de conocer vale para el par x, y en un grado más alto que para el par u, v’). Otras veces, se prefiere la introducción de una relación triádica a la de una tetrádica. Si no sabemos como comparar el grado de conocimiento de física de Pedro con el de historia de Juan, podremos tal vez conformarnos con emplear una o las dos relaciones triádicas expresadas por las siguientes frases: ‘x conoce mejor (el campo) y que (el campo) v’, ‘x conoce mejor y que u’. La primera de estas dos relaciones requiere que podamos comparar el grado de conocimiento de física de Pedro con el de historia, lo que parecería problemático. La segunda relación involucra la comparación del conocimiento de física de Pedro con el conocimiento de Juan; aquí parece más fácil inventar tests adecuados. Cada uno de los conceptos comparativos dados más arriba como ejemplos tiene el significado de 'más' o ‘en un más alto grado’ con respecto a un concepto clasificatorio dado. Para cualquiera de esos conceptos clasificatorios (por ejemplo, Caliente, pode mas igualmente construir un concepto comparativo que signifique 'menos' o 'en un grado más bajo' (por ejemplo, Menos Caliente, en otras palabras ‘Más frío’); 7
éste es el recíproco del primer concepto comparativo. En cualquier caso el concepto comparativo, considerado como una relación diádica (de entidades simples, pares, etc.) tiene obviamente las siguientes propiedades relacionales: es irreflexivo, transitivo, y (por lo tanto) asimétrico. Además de la forma de conceptos comparativos recién mencionada, hay otra forma menos corriente pero a menudo más útil. Un concepto de esta segunda clase no significa 'más' sino 'más o igual: con respecto al concepto clasificatorio subyacente, en otras palabras 'al menos en el mismo grado', esto es, 'en el mismo, o en un más alto grado' (por ejemplo la relación de que x está al menos tan caliente como y.) O puede también significar 'menos o igual' (por ejemplo, la relación de que x está menos caliente que y o tan caliente como él, en otras palabras, x está al menos tan caliente como y). Se ve fácilmente que un concepto comparativo de esta segunda clase, considerado como una relación diádica, es reflexivo y transitivo pero no es simétrico ni asimétrico. Una relación comparativa es a veces de tal clase que, para x e y cualesquiera, vale entre x e y o entre y y x (o entre ambos). En este caso la relación (por ejemplo, Más caliente o igualmente Caliente) ordena sus miembros en una especie de orden lineal. Si, sin embargo, no se cumple la condición, entonces hay casos incomparables. Por ejemplo, puede tal vez ocurrir que encontremos que es posible comparar los resultados científicos de dos personas si ambas trabajan en el mismo terreno, aunque no conozcamos un modo de comparar un físico con un historiador. En el lenguaje cotidiano la primera forma de concepto comparativo es mucho mis corriente que la segunda. Hay muchas palabras para designar los de la primera forma, por ejemplo, ‘arriba’, ‘más allá’, ‘después’, etc. y especialmente para los comparativas, por ejemplo, 'más', 'más caliente', etc. mientras que hay apenas algunas palabras para los de la segunda forma. En cambio, hay una tendencia general en el desarrollo del lenguaje de la ciencia hacia conceptos más amplios que los correspondientes del lenguaje precientífico, porque incluyen casas extremos, especialmente los casos de valor cero o identidad o igualdad; por ejemplo, se considera ahora que el término ‘número’ incluye también al cero, que 'clase' incluye a la clase nula, que ‘velocidad’ incluye al caso del reposo considerado como velocidad 0, etc. Con respecto a los conceptos comparativos, esta tendencia se manifiesta como un desarrollo a partir de los de la primera clases a los de la segunda, porque la última incluye el caso limite de la igualdad. Una ventaja de los de la segunda clase consiste en el hecho de que sobre la base de ‘más o igual’ podemos definir tanto a ‘igual’ como a ‘más’. (‘x = y’ puede ser definido por ‘x ! y e y ! x’; ‘x > y’, por ‘x ! y y no y ! x’), mientras que a partir de ‘mas’ no podemos definir ni ‘igual’ ni ‘más o igual’. Por estas razones, cuando lleguemos a un examen de un concepto comparativo de confirmación (8.), emplearemos uno de la segunda forma, como el expresado por: ‘h es confirmado por e en el mismo o en un más alto grado que h’ lo es por e’. Para un análisis de los conceptos comparativos y cuantitativos y una explicación de los pasos que se deben dar para la construcción de conceptos de esta clase, véase Carnap, Physikalische Begriffsbildung (Karlsruhe, 1926). C.G. Hempel y P. Oppenheim han desarrollado y mejorado las caracterizaciones de las dos clases de conceptos y aclarado sus funciones en varios campos científicos en su libro Der Typus begriff im Lichte der neuen Logik: Wissenschaftstheoretische Untersuchungen zur Konstitutionsfors -chung und Psychologie (Leiden, 1936).
5. Los conceptos comparativos y cuantitativos como explicata. [RESUMEN.] Se examina la función de los conceptos comparativos y cuantitativos como explicata como preparación para un examen ulterior de los conceptos de confirmación y cuantitativos. Los conceptos clasificatorios son la clase de conceptos más simples y menos eficaces. Los conceptos comparativos son más poderosos, y los cuantitativos lo son aún más; es decir, nos permiten dar una descripción más precisa de una situación concreta y, lo que es más importante, formular leyes minerales más amplias Por lo tanto, el desarrollo histórico del lenguaje es a menudo el siguiente: un cierto aspecto de hechos observados en la naturaleza se describe primeramente con la ayuda de un concepto clasificatorio; más adelante se emplea un concepto comparativo en lugar o además de un concepto clasificatorio; y más adelante aun, se introduce un concepto cuantitativo. (Por supuesto, estas tres etapas de desarrollo se producen siempre en este orden temporal).
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La situación puede ser aclarada con la ayuda del ejemplo de aquellos conceptos que llevaron al concepto cuantitativo de temperatura. El estado de los cuerpos con respecto al calor puede describirse de la manera más simple y tosca por medio de conceptos clasificatorios como Muy Caliente, Caliente y Frío (y quizás unos pocos más). Podemos imaginar un estado temprano no registrado, del desarrollo de nuestro lenguaje en el que sólo se disponía de conceptos clasificatorios. Más adelante, se produjo un gran refinamiento en el lenguaje con la introducción de un término comparativo como ‘más caliente’. En el caso de este ejemplo, como en muchos otros, este segundo paso ya se daba en el lenguaje precientífico. Finalmente, se introdujo en la construcción del lenguaje científico el concepto cuantitativo correspondiente, el de temperatura. El concepto Temperatura puede ser considerado como un explicatum del concepto comparativo Más Caliente. El primero de los requisitos para los explicata examinados en (3.), el de similaridad o correspondencia pon el explicandum, significa en este caso lo siguiente: El concepto Temperatura debe ser tal que, en la mayoría de los casos, si x está más caliente que y (en el sentido precientífico basado en las sensaciones de calor de la piel), entonces la temperatura de x es más alta que la de y. Aquí pueden hacerse unas pocas observaciones. I) El requisito se refiere a la mayoría de los casos, no a todos. Se ve fácilmente que se cumple sólo en este sentido estricto. Supongamos que entre dos veces en una habitación de temperatura moderada, la primera vez vengo de una habitación muy caliente, la segunda, de un ambiente frío. Entonces puede suceder que diga, apoyándome en mis sensaciones, que la habitación estaba la segunda vez más caliente que la primera, mientras el termómetro indica la segunda vez la misma temperatura que la primera (o aún una ligeramente más alta). Las experiencias de este tipo no nos llevan de ninguna manera a la conclusión de que el concepto Temperatura definido con referencia al termómetro es inadecuado como explicatum del concepto Más Caliente. Por el contrario, nos hemos acostumbrado a dejar que el concepto científico decida en contra del precientífico en todos los casos de desacuerdo. En otras palabras, el término 'más caliente' ha sufrido un cambio de significado. Originariamente, su significado estaba basado de una manera directa en una comparación de sensaciones de calor, pero después de la aceptación del concepto científico Temperatura en nuestro lenguaje cotidiano, la palabra ‘más caliente’ se usa en el sentido de 'que tiene una temperatura más alta'. Por lo tanto, la experiencia descripta anteriormente se formula ahora como sigue: "Creí que la habitación estaba la segunda vez más caliente que la primera pero ese fue un error; realmente no estaba más caliente, me di cuenta de ello con la ayuda de un termómetro". Para este segundo significado científico de ‘más caliente’ emplearemos en el examen siguiente al término ‘más caliente’. II) El recíproco del requisito mencionado antes sería este: el concepto Temperatura debe ser tal que, si x no está más caliente que y en el sentido precientífico, entonces la temperatura de x no es más alta que la de y. Es importante darse cuenta que esto no se requiere ni siquiera “en la mayoría de los casos”. Cuando la diferencia entre las temperaturas de x e y es pequeña, entonces generalmente, no notamos ninguna diferencia en nuestras sensaciones de calor. De nuevo, esto no se toma como una razón para rechazar el concepto Temperatura. Por el contrario, aquí otra vez nos hemos acostumbrado al nuevo concepto científico ‘Más Caliente’, y por lo tanto decimos: "x es realmente más caliente que y, aunque no podemos sentir la diferencia”. III) De este modo, tenemos dos conceptos científicos que corresponden al concepto precientífico Más Caliente. Uno es el concepto comparativo Más Caliente: el otro, el concepto cuantitativo de Temperatura. Cualquiera de los dos puede ser considerado como un explicatum de Más Caliente. Ambos se definen con referencia al termómetro. Como el termómetro tiene un poder de discriminación mayor que nuestras sensaciones de calor, los dos conceptos científicos son superiores al precientífico en permitirnos descripciones más precisas. El procedimiento que nos lleva del explicandum a cualquiera de los dos explicata es como sigue. Primero el concepto precientífico nos guía en nuestra elección de un explicatum (con posibles excepciones, como se examinó antes). Una vez que se define un explicatum de un modo relativamente simple, nos dejamos guiar por él en los casos en los que el concepto precientífico no es bastante discriminativo. Sería posible pero muy poco recomendable definir un concepto Temperatura de tal modo que se diga que x e y tienen la misma temperatura cuando nuestras sensaciones no indican una diferencia. Este concepto estaría en una relación más estrecha con el explicandum que el concepto Temperatura que se emplea de hecho. Pero el último tiene la ventaja de una simplicidad mucho mayor en su definición -en otras palabras, el método de su medición- y en las leyes que se formulan con su ayuda. 9
IV) De los dos términos científicos ‘más caliente’ y ‘temperatura’ el último es el importante para la ciencia, el primero sirve sólo como una abreviación conveniente de 'que tiene una temperatura más alta'. El concepto cuantitativo Temperatura ha probado su gran fertilidad por el hecho de que se encuentra en muchas leyes importantes. Esto no ocurre siempre en ciencia con los conceptos cuantitativos, aún cuando estén bien definidos por reglas exactas de medición. Por ejemplo, ha ocurrido algunas veces en sicología de un concepto cuantitativo se haya definido por una descripción exacta de pruebas, pero que la esperanza de encontrar leyes que relacionen los valores así medidos no se haya colmado; entonces el concepto se abandona finalmente por considerárselo no fructífero. Si se trata de la elucidación de un concepto precientífico, entonces una situación del tipo de la que describimos, donde no logramos encontrar un explicatum cuantitativo adecuado, no deberá desanimarnos del todo de encontrar una elucidación. Puede ser posible encontrar un explicatum comparativo adecuado. Mostremos esto por medio de un ejemplo ficticio. La experiencia que nos llevó al concepto comparativo Temperatura fue primero comparativa; se encontró que, si x está más caliente que y (en el sentido precientífico) y ponemos un cuerpo de mercurio primero en contacto con x y luego con y, entonces tiene la primera vez un volumen mayor que la segunda. Por medio de ciertos recursos fue posible medir las pequeñas diferencias en el volumen del mercurio, y eso se tomó como base para el concepto cuantitativo Temperatura. Ahora supongamos de un modo ficticio que no encontramos medios técnicos para medir las diferencias en el volumen del mercurio, aunque fuésemos capaces de observar si el mercurio se dilata o se contrae. En este caso no tendríamos base alguna para un concepto cuantitativo de Temperatura, pero además sería posible definir el concepto comparativo Más Caliente con referencia a la dilatación del mercurio. Este concepto científico Más Caliente podría entonces ser considerado como explicatum del concepto precientífico Más Caliente. Aquí, en este caso supuesto, el concepto Más Caliente tendría una importancia mayor que la que tiene en la física real, porque sería el único explicatum. Obsérvese que Más Caliente* es aquí esencialmente el mismo concepto que Más Caliente* en el examen anterior, pero que hay una diferencia en la forma de las dos definiciones. En el primer caso definimos Más Caliente* en términos de temperatura más alta, y por lo tanto con la ayuda de un concepto cuantitativo: aquí, en el caso ficticio se define con referencia al concepto comparativo de la dilatación del mercurio sin el uso de conceptos cuantitativos. La distinción entre estos dos modos de definir un concepto comparativo, el cuantitativo y el puramente comparativo, esto es, el no cuantitativo, será de importancia más adelante cuando examinemos el concepto comparativo de confirmación. Para hacer una hipótesis ficticia más débil, supongamos que las diferencias de volumen pudieran medirse y que por lo tanto el concepto cuantitativo Temperatura pudiera ser definido pero que -este es el carácter ficticio- no se hubieran encontrado, leyes importantes que contengan este concepto. En este caso el concepto sería abandonado por no fructífero. Y por la tanto en este caso el concepto comparativo Más Caliente* sería tomado como el único explicatum de Más Caliente. Más adelante, cuando examinemos el problema de la elucidación, del concepto de confirmación, distinguiremos tres conceptos, el concepto de confirmación clasificatorio, el comparativo y el cuantitativo. Son análogos a los conceptos Caliente, Más Caliente y Temperatura; por lo tanto se utilizarán entonces los resultados del presente examen.
6. Formalización e interpretación [RESUMEN.] El método axiomático se compone de dos fases formalización e interpretación. La formalización de una teoría consiste en la construcción de un sistema axiomático. Este es un sistema semiformal; los términos axiomáticos quedan sin interpretar, mientras que a algunos términos lógicos se los toma con sus significados corrientes. La interpretación de un sistema de axiomas se da por reglas que determinan los significados de los términos axiomáticos. Como ilustración de la distinción entre las dos fases, se explica la diferencia entre el sistema axiomático de aritmética de Peano y el sistema de aritmética de Frege-Russell, que da una interpretación. La introducción de nuevos conceptos en el lenguaje de la ciencia -sea como explicata de conceptos precientíficos o independientemente- se hace a veces en dos pasos separados, formalización e interpretación. El procedimiento de separar estos pasos ha crecido firmemente en importancia durante la última mitad de siglo. 10
Los dos pasos son las dos fases de lo que se renoce como el método axiomático (o de postulados) en su forma moderna (distinta de su forma tradicional que data de Euclides). Frecuentemente, ya el primer paso solo es muy útil, y a veces para un tiempo considerable hasta que lo siga el segundo. La formalización (o axiomatización) de una teoría o de los conceptos de una teoría se entiende aquí en el sentido de la construcción de un sistema formal, un sistema axiomático (o sistema de postulados) de esa teoría. No hablamos aquí de un sistema formal en el sentido estricto, a veces llamado cálculo (en el sentido estricto) o sistema sintáctico; en un sistema de esta clase todas las reglas son puramente sintácticas y todos los signos que se encuentran quedan completamente ininterpretados (véase Introduction to semantics, 24.). En cambio, no hablamos tampoco de sistemas axiomáticos del tipo tradicional, qué están completamente interpretados. En los exámenes de este libro pensamos más bien en aquellos sistemas semiformales, semiinterpretados construidos por autores contemporáneos, especialmente matemáticos, bajo el título de sistemas axiomáticos (o sistemas de postulados). En un sistema de esta clase los términos axiomáticos (por ejemplo, en el sistema axiomático de geometría de Hilbert, los términos 'punto', 'línea; ‘incidencia’, 'entre' y otros) quedan sin interpretar, mientras que para todos o algunos de los términos lógicos que aparecen (por ejemplo, 'no', ‘o’, 'todos') y a veces para ciertos términos aritméticos (por ejemplo, 'uno', 'dos') se presupone en muchos casos tácitamente- la interpretación corriente. (Para una explicación del carácter semiformal de los sistemas axiomáticos, véase Foundations of Logic and Mathematics, 16.). La interpretación de un sistema axiomático consiste en la interpretación de sus términos axiomáticos primitivos. Esta interpretación se da por reglas que especifican los significados que nos proponemos dar a estos términos; por lo tanto las reglas son de naturaleza semántica. (Se las llama a veces definiciones correlativas (las "Zuordnangsdefinitionen" de Reichenbach) o correlaciones epistémicas (Northorp).) A veces la interpretación de un término puede darse en la forma simple de una definición explícita; esta definición puede considerarse 'como' una regla semántica que dice que el término en cuestión debe tener el mismo significado que una cierta expresión compuesta formada por términos cuyos significados se presupone conocidos. Para nuestras discusiones ulteriores sobre la probabilidad será de gran importancia comprender claramente el carácter del método axiomático y en especial la distinción entre formalización e interpretación. Algunos autores creen haber encontrado una solución para el problema de la probabilidad, en nuestra terminología, una elucidación de la probabilidad, por la mera construcción de un sistema axiomático de probabilidad sin darle interpretación; sin embargo, para una elucidación genuina es esencial una interpretación. Ejemplificaremos ahora el método axiomático y la distinción entre sus dos fases por medio de la aritmética de los números naturales. Los términos precientíficos en este terreno son los símbolos numéricos ‘uno’, 'dos', etc. (o las figuras correspondientes) y los términos de las operaciones aritméticas como 'más' (anteriormente 'y'), 'por', etc., como se usan en el lenguaje cotidiano para contar cosas y para calcular con números que se aplican a cosas. Los pasos preliminares hacia una sistematización de la teoría y una elucidación de los términos se han estado dando durante miles de años en la forma de reglas de cálculo. El primer sistema axiomático de la aritmética que satisface los requisitos modernos en lo que respecta a exactitud de formulación es el famoso sistema axiomático de G. Peano. Toma como términos axiomáticos primitivos a ‘0’, ‘número’ y ‘sucesor’. Consiste en cinco axiomas, entre ellos: ‘0 es un número’ y 'el sucesor de un número es un número’. Sobre la base de los términos primitivos mencionados pueden introducirse otros para las operaciones aritméticas comunes por medio de definiciones por recurrencia. Sobre la base de los axiomas y las definiciones por recurrencia pueden demostrarse los teoremas corrientes de la aritmética elemental. En este procedimiento, los términos primitivos mencionados y los términos introducidos con su ayuda quedan sin interpretar. Es sólo por motivos didácticos y sicológicos que no se toman símbolos elegidos arbitrariamente como primitivos, sino los signos o las palabras corrientes. Sus significados bien conocidos facilitan la manipulación de los signos en las deducciones, pero estas deducciones son formales en el sentido de que no emplean para nada los significados de los términos axiomáticos. El sistema axiomático de Peano, al proporcionar las fórmulas corrientes de la aritmética, hace en este campo todo lo que debe requerirse desde el punto de vista de la matemática formal. Sin embargo, todavía no suministra una elucidación de los términos aritméticos 'uno', 'dos", ‘más’, etc. Para que pueda hacer esto, 11
debe darse una interpretación del sistema axiomático semiformal. Hay un número infinito de interpretaciones verdaderas de este sistema, esto es, de conjuntos de entidades que satisfacen los axiomas, o, como se dice usualmente, de modelos del sistema. Uno de ellos es el conjunto de los números naturales, como los empleamos en la vida cotidiana. Pero puede mostrarse que todos los conjuntos de cualesquiera entidades que exhiban la misma estructura que el conjunto de los números naturales en su orden de magnitud -todas las progresiones en la terminología de Russell- son también modelos del sistema de Peano. Ded el punto de vista del sistema formal, no se hace ninguna distinción entre estos infinitos modelos. Sin embargo, para establecer la interpretación que buscamos, tenemos que dar una elucidación de los términos ‘uno’, ‘dos’, etc., tales como se entienden cuando los aplicamos en la vida cotidiana. Las primeras elucidaciones exactas de los términos aritméticos ordinarios fueron dadas por G. Frege y más tarde de una manera similar por Bertrand Russell. Ambos, frege y Russell dan explicata para los conceptos aritméticos por medio de definiciones explícitas sobre la base de un sistema puramente lógico cuyos términos primitivos se dan por interpretados. Apoyándonos en esta interpretación de los términos aritméticos, los axiomas de Peano se vuelven teoremas que pueden ser probados en lógica. Es un hecho histórica y sicológicamente sorprendente que esta elucidación fuera una tarea tan difícil y tan tardíamente lograda aunque los explicanda, los conceptos elementales de la aritmética, son comprendidos y correctamente aplicados por cualquier niño y han sido aplicados con éxito y también en alguna medida sistematizados, por miles de años. Es importante ver claramente la diferencia entre los sistemas de aritmética de Peano y de Frege. El sistema de Peano, tal como se mencionó, no va más allá de los límites de la matemática formal. Sólo el sistema de Frege nos permite aplicar los conceptos aritméticos a la descripción de hechos; nos permite transformar una oración como 'el número de dedos de mi mano derecha es 5’ en una forma que no contiene ningún término aritmético. El sistema de Peano contiene también el término ‘5’, pero sólo como un símbolo sin interpretar. Nos permite derivar fórmulas como ‘3 + 2 = 5’, pero no nos dice como entender el término ‘5’ cuando éste aparece en una oración fáctica como aquélla sobre los de dos. Sólo el sistema de Frege nos permite entender oraciones di esa clase, es decir, darnos cuenta de qué tenemos que hacer para averiguar si la oración es verdadera o no. El resultado de este examen es, en términos generales, el siguiente. Tan pronto como pasamos del campo de la matemática formal al del conocimiento de los hechos de la naturaleza, en otras palabras, a la ciencia empírica, que incluye la matemática aplicada, necesitamos más que un mero cálculo o sistema axiomático; al sistema debe agregársele una interpretación. Sobre los sistemas aritméticos de Peano, Frege y Russell véase: G. Peano, Arithmetices Principia (1889); G. Frege, Grundlagen der Arithmetik (1884); Grundgesetze der Arithmetik (2 vols.; 1893, 1903); Bertand Russell, The principles of mathematics (1903);. con A. N. Whitehead, Principia Mathematica. Para un examen de la distinción entre la aritmética de Peano y la de Frege y Russell, véase Russell, Introduction to mathematical Philosophy (1918), capítulos 1 y 2; y Carnap, Foundations of Logic and mathematic, 17. y siguientes.
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