CARGAS POR VIBRACIÓN En los sistemas cargados dinámicamente, por lo general hay cargas por vibración sobrepuestas a las cargas teóricas pronosticadas con las ecuaciones dinámicas. Tales cargas vibratorias suelen tener diferentes causas. Si los elementos del sistema fueran infinitamente rígidos, se eliminarían las vibraciones, pero los elementos reales, de cualquier material, son elásticos y, por ende, actúan como resortes cuando están suetos a fuer!as. "on frecuencia, el único modo para obtener una medida precisa de los efectos de la vibración sobre un sistema es hacer pruebas en prototipos o sistemas de producción bao condiciones de servicio severas. #as t$cnicas modernas de análisis de los elementos finitos %&E'( y los elementos límite %)E'( tambi$n permiten modelar y calcular los efectos de la vibración en un sistema o una estructura. *ncluso, resulta difícil lograr un modelo por computadora de un sistema compleo que sea tan preciso y real como un prototipo. #o anterior es especialmente cierto cuando los claros %espacios( entre las pie!as móviles permiten que haya impactos en las uniones, cuando se invierten las las carg cargas as.. #os #os impa impact ctos os origi rigin nan fenó fenóme meno noss no line lineal ales es muy muy difí difíci cile less de mode modela lar r matemáticamente.
"ualquier "ualquier sistema real puede tener un número infinito infinito de frecuencia frecuenciass naturales naturales donde vibrará vibrará fácilmente. El número de frecuencias naturales necesarias o deseables para el cálculo varía según la situación. +ara dicha tarea, el enfoque más completo es utili!ar el análisis de los elementos fi nitos %&E'( al descomponer el montae en un gran número de elementos discretos. #a frecuencia natural esencial sin amortiguamiento unidades de !, se calcula a partir de las e-presiones
k m
ω n=
f n=
1
ω n
2 π
ωn
en unidades de
rad / s , o
fn , en
donde
ωn
es la frecuencia natural fundamental,
m es la masa móvil del sistema en unidades
de masa reales %por eemplo, g, g, blob o slug, no lbm( y
k es la constante efectiva del resorte
del sistema. %El periodo de la f recuencia natural es su recíproco en segundos,
T n=
1
f n (
CONSTANTE DEL RESORTE #a constante k de un resorte se supone como una relación lineal entre la fuer!a,
F , que se aplica a un elemento y su defle-ión resultante
δ .
F k = δ Si es posible calcular o deducir la e-presión de la defle-ión de un elemento, se proporcionará esta relación resorte/constante, la defle-ión
δ
del resorte es igual al despla!amiento
y
de la
masa.
F k = y
AMORTIGUAMIENTO Todas las p$rdidas por amortiguamiento, o ro!amiento, se agrupan en el coeficiente de amortiguamiento d . +ara este modelo sencillo se supone que el amortiguamiento es inversamente proporcional a la velocidad
d=
F y´
y punto
de la masa.
Si se incluye el amortiguamiento, las e-presiones de la frecuencia fundamental natural amortiguada
ωd
en unidades de
radián / seg , o f d , en unidades de !, se convierte en
√ ( )
k d ω d= − 2m m
f d=
1 2 π
2
ωd
Tal frecuencia de amortiguamiento
ωn
ωd
será ligeramente menor que la frecuencia no amortiguada
.
VALORES EFECTIVOS #a determinación de la masa efectiva de un modelo agrupado es sencilla, sólo requiere sumar todos los valores de las masas móviles conectadas en las unidades de masa adecuadas.
RESONANCIA Se puede e-perimentar una condición, llamada resonancia, si la operación o la frecuencia de for!amiento aplicada al sistema son las mismas que cualquiera de sus frecuencias naturales. Es decir, si la velocidad angular de entrada aplicada a un sistema giratorio es la misma que
ωn
, o está cercana a $sta, la respuesta vibratoria será muy grande.
Fuerzas dinámias F y =ma=m y ´ F leva − F resorte − F amortiguador =m y´ F leva =m y´ + d ´ y + ky Si se conocen los parámetros cinemáticos de despla!amiento, velocidad y aceleración del sistema, esta ecuación se resuelve directamente para la fuer!a sobre la leva como una función del tiempo. Si se conoce la fuer!a de la leva y se desean los parámetros cinemáticos, entonces se puede aplicar la solución bien conocida de la ecuación diferencial lineal con coeficiente constante.
CARGAS DE IMPACTO #o que distingue las cargas de impacto de las cargas estáticas es el tiempo de duración de la aplicación de la carga. Si la carga se aplica lentamente, se considera estática0 si se aplica con rapide!, entonces es de impacto. 1n criterio que sirve para distinguir entre ambas es comparar el tiempo de aplicación de la carga
t l
%definido como el tiempo que le toma a la carga para elevarse
de cero a su valor pico( con el periodo de la frecuencia natural que la mitad de
T n
, se considera que es de impacto. Si
t l
T n
del sistema. Si
t l
es mayor que tres veces
es menor
T n
, se
considera estática. Se considera que hay dos casos generales de impacto0 sin embargo, se verá que uno es el límite del otro. )urr llama a estos dos casos impacto por golpe e impacto por fuerza. El im!a"# !#r $#%!e se refiere a una colisión real de dos cuerpos, tal como en el martilleo o el estrechamiento del espacio entre las uniones de las pie!as. #a &uerza de im!a"# tiene que ver con una carga aplicada repentinamente sin la velocidad de colisión, como en un peso que súbitamente se levanta con un soporte. Si la masa del obeto que golpea
mb
m
es grande, en comparación con la masa del obeto golpeado
, y si el obeto que golpea se considera rígido, entonces la energía cin$tica poseída por el
obeto que golpea se puede igualar con la energía almacenada elásticamente en el obeto golpeado en su defle-ión má-ima. Este enfoque de energía proporciona un 'a%#r a!r#(imad# de la carga de impacto.
M)"#d# de %a ener$*a
Suponiendo que no hay p$rdida de energía por el calor, la energía cin$tica del cuerpo que golpea se convierte en energía potencial almacenada en el cuerpo golpeado. Si se supone que todas las partículas de los cuerpos combinados llegan al reposo en el mismo instante, entonces, usto antes de rebotar, serán má-imos la fuer!a, el esfuer!o y la defle-ión en el cuerpo golpeado. #a energía elástica almacenada en el cuerpo golpeado será igual al área bao la curva de fuer!a/defle-ión, que se define por la constante particular del resorte. +or la relación lineal, $sta es el área de un triángulo, 1
A = bh 2
δ i
. 2e tal manera, la energía almacenada en el punto de defle-ión pico por impacto
es 1
E= F i δ i 2
2
E=
F i
2k
IMPACTO +ORI,ONTAL #a fi gura 3/34a muestra una masa a punto de impactar el e-tremo de una varilla hori!ontal. Tal dispositivo, que se conoce algunas veces como martillo deslizante , sirve para eliminar abolladuras de la carrocería de metal de un automóvil, entre otros usos. En el punto de impacto, la porción de energía cin$tica de la masa móvil que se transfiere a la masa golpeada es
E= η
(
1 2
2
m vi
)
Si a la masa se le permitiera cargar estáticamente el elemento golpeado, la defle-ión estática
δ st =
resultante sería
w k , donde
w =mg , 'l sustituir esto, da como resultado una ra!ón entre
fuer!a dinámica y fuer!a estática, o bien, entre defle-ión dinámica y defle-ión estática5
F i
δ i
w
δ st
=
=vi
√
η g δ st
El t$rmino del segundo miembro de la ecuación se conoce como factor de impacto, que proporciona la ra!ón entre el impacto y la fuer!a o defle-ión estática. Entonces, si la defle-ión estática se calcula
al aplicar una fuer!a igual al peso de la masa, se obtendría un estimado de la fuer!a dinámica y la defle-ión dinámica.
IMPACTO VERTICAL +ara el caso de una masa que cae una distancia h sobre una varilla como 2
la de la figura 3/34b, tambi$n se aplica la ecuación con una velocidad de impacto
V i =2 gh . #a
energía potencial de un descenso a lo largo de la distancia h es5 2
E= η
m vi 2
=
ηmgh=wηh
Si la defle-ión en el impacto es peque6a, comparada con la distancia de caída h, la ecuación es suficiente. +ero si la defle-ión es significativa, comparada con h, la energía de impacto necesita incluir una cantidad debida a la defle-ión, a trav$s de la cual el peso cae más allá de h. #a energía potencial total deada por la masa en el impacto es, entonces,
E= wηh+ w δ i=w ( ηh+ δ i ) 'l igualar la energía potencial con la energía elástica, almacenada en el elemento golpeado, además de sustituir la ecuación y la e-presión
w =k δ st
2
F i
=
2 k
w ( ηh + δ i )
F i =2 k w ( ηh + δ i )=2 2
w w ( ηh+ δ i ) δ st
( )
( )
2
F i δ i 2 ηh F i 2 ηh = + = +2 w δ st δ st δ st w
( ) ( ) F i w
2
−2
F i w
−
2 ηh
δ st
=0
que da una ecuación cuadrática en
F i
δ i
w
δ st
=
√
= 1+ 1 +
F i /
, cuya solución es5
2 ηh
δ st
El segundo miembro de la e-presión es la ra!ón de impacto, para el caso del peso que cae. #a ecuación se puede utili!ar para cualquier caso de impacto que implique la caída de un peso. +or
eemplo, si el peso se dea caer sobre una viga, se usa la defle-ión estática de la viga en el punto de impacto.
