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Características de un sistema de colas Definición 1 (Teoría 1 (Teoría de Colas) Se entiende por Teoría de Colas el estudio de las líneas de espera que se producen cuando llegan clientes demandando un servicio, esperando si no se les puede atender inmediatamente y partiendo cuando ya han sido servidos.El creador de la Teoría de Colas fue el matemático dans !. ". Erlang por el a#o $%&%. 'a tenido un fuerte auge por su utilidad en el modelado del comportamiento estocástico de gran nmero de fenmenos, tanto naturales como creados por el hom*re. Se puede aplicar en pro*lemas relacionados con redes de telfonos, aeropuertos, puertos, centros de cálculo, supermercados, venta mediante máquinas, hospitales, gasolineras... Características ! lo largo del tiempo tiempo se producen producen llegadas de de clientes a la cola de un sistema desde una determinada fuente demandando un servicio. +os servidores del sistema seleccionan miem*ros de la cola segn una regla predefinida denominada disciplina de la cola. Cuando un cliente seleccionado termina de reci*ir su servicio (tras un tiempo de servicio ) a*andona el sistema, pudiendo o no unirse de nuevo a la fuente de llegadas. Fuente eci*e el nom*re de fuente el dispositivo del que emanan las unidades que piden un servicio. Si el nmero de unidades potenciales es finito, se dice que la fuente es finita- en caso contrario se dice que es infinita. Proceso de llegada
!unque a veces se sa*e eactamente cuándo se van a producir las llegadas al sistema, en general el tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas se modela mediante una varia*le aleatoria. En particular, cuando la fuente es infinita se supone que las unidades que van llegando al sistema dan lugar a un proceso estocástico llamado de conteo- si todos los tiempos entre llegadas son varia*les aleatorias independientes idnticamente distri*uidas (vv.aa.ii.ii.dd.), se dice que es un proceso de renovacin. /sualmente, por ra0ones que se verán posteriormente, el proceso que se utili0a es un proceso de 1oisson. Cuando la fuente es finita se suele asumir que la pro*a*ilidad de que se produ0ca una llegada en un intervalo de tiempo es proporcional al tama#o de la fuente en ese instante. En general, nos restringiremos al estudio de sistemas de colas con fuentes infinitas. Mecanismos de servicio Se llama capacidad del servicio al nmero de clientes que pueden ser servidos simultáneamente. Si la capacidad es uno, se dice que hay un solo servidor (o que el sistema es monocanal) y si hay más de un servidor, multicanal. El tiempo que el servidor necesita para atender la demanda de un cliente (tiempo de servicio) puede ser constante o aleatorio- en este ltimo caso supondremos, por lo general, que los tiempos de servicio son vv.aa.ii.ii.dd. !demás, supondremos que son independientes de los tiempos entre llegadas. ! veces el servidor slo está disponi*le durante una parte del tiempo de funcionamiento del sistema. Disciplina de la cola En sistemas monocanal, el servidor suele seleccionar al cliente de acuerdo con uno de los siguientes criterios (prioridades)2
• el que lleg antes (disciplina 3435), • el que lleg el ltimo (+435), • el que menos tiempo de servicio requiere, • el que más requiere...
4ncluso puede interrumpirse un servicio para empe0ar otro que corresponda a un cliente recin llegado con mayor prioridad (fenmeno de anticipacin)- de no ser así, la prioridad se llama de ca*e0a de línea. En sistemas multicanal puede ha*er asignacin a un servidor (eleccin de cola) y cam*ios de servidor for0osos o aleatorios (cam*io de cola). 5tros fenmenos frecuentes son el recha0o (si la cola tiene una capacidad máima, el cliente no es admitido en ella), el a*andono (por e6emplo, si se ecede un tiempo de espera), etctera. Colas en tándem Este proceso se produce cuando a la salida de un servicio hay una o más colas (porque se necesitan varios servicios en un determinado orden). Notación (Kendall, 1!"# 1ara especificar un tipo de cola se escri*e2 proceso de llegada 7 proceso de servicio 7 n8 de canales 7 capacidad 7 disciplina 7 ... En el proceso de llegada puede aparecer2
92 los tiempos entre llegadas siguen una distri*ucin eponencial. :42 los tiempos entre llegadas son vv.aa.ii.ii.dd. ;2 corresponde a un tiempo entre llegadas determinístico. ;e forma análoga se identifican los procesos de servicio con 9, : y ;. Cuando la capacidad es infinita y la disciplina 3435, se suelen omitir estos campos. $%emplo& Si se escri*e
significa que el tiempo entre llegadas es eponencial, el tiempo de servicio es determinístico (normalmente vendrá dado por una lista o vector), el nmero de canales es <, la capacidad es infinita y la disciplina es 3435.
INTRODUCCIÓN Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En el contador de un supermercado, accediendo al Metro, en los Bancos, etc., el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes. El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes. !ebido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo mu útil el desarrollo de una herramienta que sea capa# de dar una respuesta sobre las caracter$sticas que tiene un determinado modelo de colas. Definiciones iniciales La teoría de colas es el estudio matem%tico del comportamiento de l$neas de espera. Esta se presenta, cuando los "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un " servidor", el cual tiene una cierta capacidad de atención. &i el servidor no est% disponible inmediatamente el clientedecide esperar, entonces se forma la l$nea de espera. 'na cola es una l$nea de espera la teor$a de colas es una colección de modelos matem%ticos que describen sistemas de l$nea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema los tiempos promedio de la l$nea de espera para un sistema dado. Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. (omo modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo salen despu)s de que dicho servicio haa sido atendido. *odemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas. En la siguiente figura podemos ver un ejemplo de modelo de colas sencillo. Este modelo puede usarse para representar una situación t$pica en la cual los clientes llegan, esperan si los servidores est%n ocupados, son servidos por un servidor disponible se marchan cuando se obtiene el servicio requerido. El problema es determinar qu) capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, a que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con e+actitud en que momento llegar%n los clientes. ambi)n el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Los problemas de "colas" se presentan permanentemente en la vida diaria- un estudio en EE'' concluó que, por t)rmino medio, un ciudadano medio pasa c inco aos de su vida esperando en distintas colas, de ellos casi seis meses parado en los sem%foros. Introducción a la Teoría de Colas En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno mu común es la formación de colas o l$neas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que e+iste para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son- los cruces de dos v$as de circulación, los sem%foros, el peaje de una autopista, los cajeros autom%ticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la aver$a de electrodom)sticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio t)cnico, etc. odav$a m%s frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el conte+to de la inform%tica, las telecomunicaciones , en general, las nuevas tecnolog$as. s$, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la informaciónsolicitada, a trav)s de /nternet, a un servidor 0eb puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos recibir la
seal de l$neas ocupadas si la central de la que depende nuestro tel)fono móvil est% colapsada en ese momento, etc. Origen: El origen de la eor$a de (olas est% en el esfuer#o de gner 1raup Erlang 2!inamarca, 3454 6 37879 en 37:7 para anali#ar la congestión de tr%fico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de (openhague. &us investigaciones acabaron en una nueva teor$a denominada teor$a de colas o de l$neas de espera. Esta teor$a es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracteri#arse, como problemas de congestión llegada6salida. Modelo de formación de colas. En los problemas de formación de cola, a menudo se habla de clientes, tales como personas que esperan la desocupación de l$neas telefónicas, la espera de m%quinas para ser reparadas los aviones que esperan aterri#ar estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, una velocidad variable de prestación del servicio en la estación de servicio. (uando se habla de l$neas de espera, se refieren a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola simplemente por que los medios e+istentes son inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en este caso, la cola tiende a ser e+plosiva, es decir, a ser cada ve# mas larga a medida que transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que los medios e+istentes son e+cesivos en relación con la demanda de los clientes; en este caso, las estaciones de servicio podr$an permanecer ociosas la maor parte del tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, por que los clientes llegados anteriormente est%n siendo atendidos. Las estaciones de servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean adecuadas a largo pla#o, haa una escase#ocasional de demanda debido a un hecho temporal. Estos dos últimos casos tipifican una situación equilibrada que tiende constantemente hacia el equilibrio, o una situación estable. En la teor$a de la formación de colas, generalmente se llama sistema a un grupo de unidades f$sicas, integradas de tal modo que pueden operar al un$sono con una serie de operaciones organi#adas. La teor$a de la formación de colas busca una solución al problema de la espera prediciendo primero el comportamiento del sistema. *ero una solución al problema de la espera consiste en no solo en minimi#ar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino tambi)n en minimi#ar los costos totales de aquellos que solicitan el servicio de quienes lo prestan. La teor$a de colas inclue el estudio matem%tico de las colas o l$neas de espera provee un gran número de modelos matem%ticos para describirlas. *ara ver el gr%fico seleccione la opción "!escargar" del menú superior &e debe lograr un balance económico entre el costo del servicio el costo asociado a la espera por ese servicio La teor$a de colas en s$ no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de decisiones Obeti!os de la Teoría de Colas Los objetivos de la teor$a de colas consisten en•
/dentificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimi#a el coste global del mismo.
•
Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendr$an en el coste total del mismo.
•
Establecer un balance equilibrado 2"óptimo"9 entre las consideraciones cuantitativas de costes las cualitativas de servicio.
•
$uente de entrada o %oblación %otencial: Es un conjunto de individuos 2no necesariamente seres vivos9 que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. *odemos considerarla finita o infinita. unque el caso de infinitud no es realista, s$ permite 2por e+trao que pare#ca9 resolver de forma m%s sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero mu grande. !icha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que a est%n solicitando el citado servicio pr%cticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio. Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. &uponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son := t 3=t 8=..., ser% importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo m%s habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos- consecutivosclientes consecutivos- T >k? @ tk 6 tk-1, fijando su distribución de probabilidad. Aormalmente, cuando la población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad de los Tk 2que ser% la llamada distribución de los tiempos entre llegadas9 no depende del número de clientes que est)n en espera de completar su servicio, mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea finita, la distribución de los Tk variar% según el número de clientes en proceso de ser atendidos. Ca%acidad de la cola: Es el m%+imo número de clientes que pueden estar haciendo cola 2antes de comen#ar a ser servidos9. !e nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo m%s sencillo, a efectos de simplicidad en los c%lculos, es suponerla infinita. unque es obvio que en la maor parte de los casos reales la capacidad de la c ola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es e+tremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la c ola por haberse llegado a ese número l$mite en la misma. Disci%lina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas m%s habituales sonLa disciplina /C 2first in first out9, tambi)n llamada (& 2first come first served9- según la cual se atiende primero al cliente que antes haa llegado. La disciplina L/C 2last in first out9, tambi)n conocida como L(& 2last come first served9 o pila- que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último. La D&& 2random selection of service9, o &/DC 2service in random order9, que selecciona a los clientes de forma aleatoria. Mecanismo de ser!icio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. *ara determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo 2si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo9 la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada
servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destre#a para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno. *ara ver el gr%fico seleccione la opción "!escargar" del menú superior &a cola, propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que a han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio. "l sistema de la cola- es el conjunto formado por la cola el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qu) cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse m%s claramente en la siguiente figura *ara ver el gr%fico seleccione la opción "!escargar" del menú superior 'n modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución m%s usada para los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es común encontrar la distribución degenerada o determinística 2tiempos de servicio constantes9 o la distribución Erlang 2amma9. Notación de 'endall *or convención los modelos que se trabajan en teor$a de colas se etiquetan *ara ver el gr%fico seleccione la opción "!escargar" del menú superior Las distribuciones que se utili#an sonF M- !istribución e+ponencial 2marGoviana9 F ! - !istribución degenerada 2tiempos constantes9 F E G - !istribución Erlang F - !istribución general M ( M ( s : Modelo donde tanto los tiempos entre llegada como los tiempo de servicio son e+ponenciales se tienen s servidores. M ( ) ( *: iempos entre llegada e+ponenciales, tiempos de servicio general 3 sólo servidor Terminología 'sualmente siempre es común utili#ar la siguiente terminolog$a est%ndar+ "stado del sistema : Aúmero de clientes en el sistema. + &ongitud de la cola: Aúmero de clientes que esperan servicio. + N,t- : Aúmero de clientes en el sistema de colas en el tiempo t 2t ≥:9. + n ,t-: *robabilidad de que e+actamente n clientes est)n en el sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo cero. + s : Aúmero de servidores en el sistema de colas. + n : asa media de llegadas 2número esperado de llegadas por unidad de tiempo9 de nuevos clientes cuando ha n clientes en el sistema. + n : asa media de servicio para todo el sistema 2número esperado clientes que completan su servicio por unidad de tiempo9 cuando ha n clientes en el sistema.
Nota: µn representa la tasa combinada a la que todos los servidores ocupados logran terminar sus servicios n: (uando λ n es constante para toda n n : (uando µn es constante para toda n ≥ 3
*
iempo entre llegadas esperado
*
iempo entre llegadas esperado
Ejemplo&ea @ H personas I hora
*
3 hora H
@ 8: minutos
factor de utili#ación para la instalación se servicio 2fracción esperada de tiempo fue los servidores individuales est%n ocupados9.
s
ambi)n puede interpretarse como número promedio de personas siendo atendidas Nota: *ara los sistemas de colas que anali#aremos haremos la suposición de que el sistema se encuentra en la condición de estado estable.
Demostración *ara s @ 3 - fracción esperada de tiempo que los servidores individuales est%n ocupados9. *( *(
/ 38I hora → 1/
J minutos
/ 3JI hora → 1/
K minutos
El servidor est% trabajando K de cada J minutos, es decir est% trabajando el 4: del tiempo : Aúmero promedio de personas siendo atendidas Aúmero promedio @ : *: N 3 *3 Aúmero promedio @ *3 Aúmero promedio @ 3I
/ 3I
Aúmero promedio @ La siguiente notación supone la condición de estado estable+ n : *robabilidad de que haa e+actamente n clientes en el sistema + &: Aúmero esperado de clientes en el sistema. + &0 : Longitud esperada de la cola 2e+clue los clientes que est%n en servicio9. + W : iempo de espera en el sistema para cada cliente + 1 : E(W 9 + W 0: iempo de espera en la cola para cada cliente. + 10: E (W q 9 Delaciones entre L , 0 , Lq 0q &upongamos que n es una constante para toda nL @ λ 0 Lq @ λ 0q &upongamos que el tiempo medio de servicio es una constante 3I µ para toda n ≥ 3 0 @ 0q N 3Iµ L @ LqNρ Estas relaciones son fundamentales pues permiten determinar las cuatro cantidades fundamentales L, 0, Lq, 0q, en cuanto se encuentra anal$ticamente el valor de una de ellas. Características cla!es. E+isten dos clases b%sicas de tiempo entre llegadas!etermin$stico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo conocido. 'n ejemplo cl%sico es el de una l$nea de ensamble, en donde los art$culos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo 2conocido como ciclos de tiempo9
*robabil$stico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto variable. Los tiempos entre llegadas probabil$sticos se describen mediante una distribución de probabilidad. En el caso probabil$stico, la determinación de la distribución real, a menudo, resulta dif$cil. &in embargo, una distribución , la distribución e+ponencial, ha probado ser confiable en muchos de los problemas pr%cticos. La función de densidad, para una distribución e+ponencial depende de un par%metro, digamos λ 2letra griega lambda9, est% dada porf2t9@23I λ 9e− λ t en donde λ 2lambda9 es el número promedio de llegadas en una unidad de tiempo. (on una cantidad, , de tiempo se puede hacer uso de la función de densidad para calcular la probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de las siguientes unidades a partir de la llegada anterior, de la manera siguiente*2tiempo entre llegadas =@9@36e − λ t "l %roceso de ser!icio. El proceso de servicio define cómo son atendidos los clientes. En algunos casos, puede e+istir m%s de una estación en el sistema en el cual se proporcione el servicio requerido. Los bancos los supermercados, de nuevo, son buenos ejemplos de lo anterior. (ada ventanilla cada registradora son estaciones que proporcionan el mismo servicio. tales estructuras se les conoce como sistemas de colas de canal múltiple. En dichos sistemas, los servidores pueden ser id)nticos, en el sentido en que proporcionan la misma clase de servicio con igual rapide#, o pueden no ser id)nticos. *or ejemplo, si todos los cajeros de un banco tienen la misma e+periencia, pueden considerarse como id)nticos. l contrario de un sistema de canal múltiple, considere un proceso de producción con una estación de trabajo que proporciona el servicio requerido. odos los productos deben pasar por esa estación de trabajo; en este caso se trata de un sistema de colas de canal sencillo. Es importante hacer notar que incluso en un sistema de canal sencillo pueden e+istir muchos servidores que, juntos, llevan a cabo la tarea necesaria. *or ejemplo, un negocio de lavado a mano de automóviles, que es una sola estación, puede tener dos empleados que trabajan en un auto de manera simult%nea Ctra caracter$stica del proceso de servicio es el número de clientes atendidos al mismo tiempo en una estación. En los bancos en los supermercados 2sistema de canal sencillo9, solamente un cliente es atendido a la ve#. *or el contrario, los pasajeros que esperan en una parada de autobús son atendidos en grupo, según la capacidad del autobús que llegue. Ctra caracter$stica m%s de un proceso de servicio es si se permite o no la prioridad, esto es Opuede un servidor detener el proceso con el cliente que est% atendiendo para dar lugar a un cliente que acaba de llegarP. *or ejemplo, en una sala de urgencia, la prioridad se presenta cuando un m)dico, que est% atendiendo un caso que no es cr$tico es llamado a atender un caso m%s cr$tico. (ualquiera que sea el proceso de servicio, es necesario tener una idea de cu%nto tiempo se requiere para llevar a cabo el servicio. Esta cantidad es importante debido a que cuanto m%s dure el servicio, m%s tendr%n que esperar los clientes que llegan. (omo en el caso del proceso de llegada, este tiempo pude ser determin$stico o probabil$stico . (on un tiempo de servicio determin$stico, cada cliente requiere precisamente de la misma cantidad conocida de tiempo para ser atendido. (on un tiempo de servicio probabil$stico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo de servicio. Los tiempos de servicio probabil$sticos se describen matem%ticamente mediante una distribución de probabilidad. En la pr%ctica resulta dif$cil determinar cu%l es la distribución real, sin embargo, una distribución que ha resultado confiable en muchas aplicaciones , es la distribución e+ponencial .En este caso, su función de densidad depende de un par%metro, digamos 2la letra griega m9 esta dada por
s2t9@23I µ 9e6µ t en la que / número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo, de modo que*( / tiempo promedio invertido en atender a un cliente En general, el tiempo de servicio puede seguir cualquier distribución, pero, antes de que pueda anali#ar el sistema, se necesita identificar dicha distribución. Medidas de rendimiento %ara e!aluar un sistema de colas El objetivo último de la teor$a de colas consiste en responder cuestiones administrativas pertenecientes al diseo a la operación de un sistema de colas. El gerente de un banco puede querer decidir si programa tres o cuatro cajeros durante la hora de almuer#o. En una estructura de producción, el administrador puede desear evaluar el impacto de la compra de una nueva m%quina que pueda procesar los productos con m%s rapide#. (ualquier sistema de colas pasa por dos fases b%sicas. *or ejemplo, cuando el banco abre en la maana, no ha nadie en el sistema, de modo que el primer cliente es atendido de forma inmediata. (onforme van llegando m%s clientes, lentamente se va formando la cola la cantidad de tiempo que tienen que esperar se empie#a a aumentar. medida que avan#a el d$a, el sistema llega a una condición en la que el efecto de la falta inicial de clientes ha sido eliminado el tiempo de espera de cada cliente ha alcan#ado niveles bastante estables. 2lgunas medidas de rendimiento comunes E+isten muchas medidas de rendimiento diferentes que se utili#an para evaluar un sistema de colas en estado estable. *ara disear poner en operación un sistema de colas, por lo general, los administradores se preocupan por el nivel de servicio que recibe un cliente, as$ como el uso apropiado de las instalaciones de servicio de la empresa. lgunas de las medidas que se utili#an para evaluar el rendimiento surgen de hacerse las siguientes preguntasreguntas relacionadas con el tiem%o3 centradas en el cliente3 como a.
O(u%l es el tiempo promedio que un cliente reci)n llegado tiene que esperar en la fila antes de ser atendidoP. La medida de rendimiento asociada es el tiempo promedio de espera, representado con 0q
b. c.
d.
O(u%l es el tiempo que un cliente invierte en el sistema entero, incluendo el tiempo de espera el de servicioP. La medida de rendimiento asociada es el tiempo promedio en el sistema, denotado con 0 reguntas cuantitati!as relacionadas al n4mero de cliente3 como -
e.
En promedio Ocu%ntos clientes est%n esperando en la cola para ser atendidosP. La medida de rendimiento asociada es la longitud media de la cola, representada con Lq
f.
O(u%l es el número promedio de clientes en el sistemaP. La medida de rendimiento asociada es el número medio en el sistema, representado con L
reguntas %robabilísticas 0ue im%lican tanto a los clientes como a los ser!idores3 %or eem%lo:
a. b.
O(u%l es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar a ser atendidoP. La medida de rendimiento asociada es la probabilidad de bloqueo, que se representa por, pQ
c.
En cualquier tiempo particular, Ocu%l es la probabilidad de que un servidor est) ocupadoP. La medida de rendimiento asociada es la utili#ación, denotada con '. Esta medida indica tambi)n la fracción de tiempo que un servidor esta ocupado.
d.
O(u%l es la probabilidad de que e+istan n clientes en el sistemaP. La medida de rendimiento asociada se obtiene calculando la probabilidad *o de que no haa clientes en el sistema , la probabilidad *i de que haa un cliente en el sistema, as$ sucesivamente. Esto tiene como resultado la distribución de probabilidad de estado, representada por *n, n@:,3......
e.
&i el espacio de espera es finito, O(u%l es la probabilidad de que la cola est) llena que un cliente que llega no sea atendidoP. La medida de rendimiento asociada es la probabilidad de negación del servicio, representada por *d
reguntas relacionadas con los costos3 como: a. b. c.
O(u%l es el costo por unidad de tiempo por operar el sistemaP O(u%ntas estaciones de trabajo se necesitan para lograr maor efectividad en los costosP
El c%lculo espec$fico de estas medidas de rendimiento depende de la clase de sistema de colas. lgunas de estas medidas est%n relacionadas entre s$. (onocer el valor de una medida le permita encontrar el valor de una medida relacionada. Relaciones entre medidas de rendimiento El c%lculo de muchas de las medidas de rendimiento depende de los procesos de llegadas de servicio del sistema de colas en espec$fico. Estos procesos son descritos matem%ticamente mediante distribuciones de llegada de servicio. /ncluso sin conocer la distribución especifica, las relaciones entre algunas de las medidas de rendimiento pueden obtenerse para ciertos sistemas de colas, únicamente mediante el uso de los siguientes par%metros de los procesos de llegada de servicio. / número promedio de llegadas por unidad de tiempo / número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en una sección &upongamos que una población de clientes infinita una cantidad limitada de espacio de espera en la fila. El tiempo total que un cliente invierte en el sistema es la cantidad de tiempo invertido en la fila m%s el tiempo durante el cual es atendidoTiem%o %romedio en el sistema / Tiem%o de es%era 5 Tiem%o de ser!icio El tiempo promedio en el sistema el tiempo promedio de espera est%n representados por las cantidades 0 0q, respectivamente. El tiempo promedio de servicio puede e+presarse en t)rminos de par%metros de R. *or ejemplo, si R es K clientes por hora, entonces , en promedio, cada cliente requiere 3 IK para ser atendido. En general, el tiempo de servicio es 3IR, lo cual nos conduce a la siguiente relación -
0 @ 0q N 3Iµ (onsideremos ahora la relación entre el número promedio de clientes en el sistema el tiempo promedio que cada cliente pasa en el sistema. /maginemos que un cliente acaba de llegar se espera que permane#ca en el sistema un promedio de media de hora. !urante esta media hora, otros clientes siguen llegando a una tasa OOdigamos doce por horaPP. (uando el cliente en cuestión abandona el sistema, despu)s de media hora, deja tras de s$ un promedio de 23I8938 @ S clientes nuevos. Es decir, en promedio, e+isten seis clientes en el sistema en cualquier tiempo dado. EntoncesTiem%o %romedio de clientes / N4mero de llegadas 6 7Tiem%o %romedio en el sistema. de modo queL @λ 0 'tili#ando una lógica parecida se obtiene la relación entre el número promedio de clientes que esperan en la cola el tiempo promedio de espera en la filaTiem%o %romedio de clientes / N4mero de llegadas 6 Unidad de tiem%o en la cola de manera queLq @λ 0q CONC&U8IÓN La teor$a de las colas es el estudio matem%tico de las colas o l$neas de espera. La formación de colas es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio e+cede a la oferta efectiva. (on frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. &in embargo, muchas veces es imposible predecir con e+actitud cu%ndo llegar%n los clientes que demandan el servicio Io cuanto tiempo ser% necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que ha que resolver con información escasa. Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento puede implicar mantener recursos ociosos costos e+cesivos. *ero, por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas e+cesivamente largas en ciertos momentos. (uando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir nuestros servicios, est%n pagando un coste, en tiempo, m%s alto del que esperaban. Las l$neas de espera largas tambi)n son costosas por tanto para la empresa a que producen p)rdida de prestigio p)rdida de clientes. La teor$a de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribue con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas caracter$sticas sobre la l$nea de espera- probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio. *ero si utili#amos el concepto de "clientes internos" en la organi#ación de la empresa, asoci%ndolo a la teor$a de las colas, nos estaremos apro+imando al modelo de organi#ación empresarial " just in time" en el que se trata de minimi#ar el costo asociado a la ociosidad de recursos en la cadena productiva. 9I9&IO)R2$2 rbonas, M.E. Cptimi#ación /ndustrial 2/9- !istribución de los recursos. (olección *roductica Ao. 8S. Marcombo &., 3747.
rbonas, M.E. Cptimi#ación /ndustrial 2//9- *rogramación de recursos. (olección *roductica Ao. 87. Marcombo &., 3747. MosGoQit#,<. 0right .*. /nvestigación de Cperaciones. *renticeT
utorMatías Martíne; 'A/UED&/!! LEVA!DC !E <'MBCL! /AUE&/(/WA !E C*ED(/CAE& (aracas, 3: de Aoviembre de 8::K
