Cara mengerjakan soal-soal tentang modulo
Saran dan komentar dipersilakan. Silakan share tanpa perlu minta ijin. --------------------------------------------------------------------------------------- Tentuk T entukan an angka angka terakhir terakhir dari 2013^2013. 2013^2013. Tentuk T entukan an sisa pembagian pembagian 2013^2012^2 2013^2012^2011 011 dibagi dibagi 123. Dua soal di atas adalah contoh soal yang cocok menggunakan modulo. pa itu modulo! "perasi modulo# beserta aritmatika modulus# adalah dua konsep dasar dari teori bilangan. Konsep 1: Operasi modulo dalam matematika
$ika a adalah bilangan bulat dan b adalah bilangan asli %bulat positi&'# maka a mod b adalah sebuah bilangan bulat c dimana 0 ≤ c ≤ b-1# sehingga ac adalah kelipatan b. (ontohnya# ) mod 3 * 1# karena )-1 adalah kelipatan 3. +erhatikan bah,a ) mod 3 * # karena /* 3# dan ) mod 3 * 2# karena )2 bukan kelipatan 3. isa dibayangkan bah,a a mod b itu sisa pembagian dari a dibagi b. Tapi hati-hati untuk nilai a negati& -) mod 3 * 2. Teorema 1: Kumpulan sifat distributif mengenai modulo
$ika a, b adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli# maka 1. (a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n 2. (ab) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n 3. (a^b) mod n = ((a mod n)^b) mod n # untuk b bilangan bulat nonnegati& Latihan 1
1. Tentukan nilai dari )453210 mod 12. 2. Tentukan nilai dari %)531642 - 135)624' mod 20. 3. Tentukan angka terakhir dari 1 7 2 7 3 7 ... 7 2013. %sumsi 8mumnya# 9angka terakhir9 itu dalam basis 10. :alau diperbolehkan bertanya tentang soal# coba tanyakan; kalau tidak# bekerja dengan basis 10. Dalam soal ini# angka terakhir adalah dalam basis 10.
Konsep 3: n!ers modulo
$ika a adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli# dan a, n saling relati& prima# maka terdapat sebuah nilai b sehingga ab = 1 mod n. =ilai bdisebut in>ers dari a modulo n. ---------------------------------------------------------------------------------------8mumnya# soal modulo tidak semudah ?atihan 1. da beberapa tambahan konsep yang dipakai. Konsep ": #uler$s totient fun%tion &'(
$ika n adalah bilangan asli# maka φ(n) adalah banyak bilangan asli @ nyang relati& prima dengan n. Aisalnya# B%12' * # karena di antara bilanganbilangan asli @ 12 %yaitu 1#2#3##5#4#)###10#11#12'# hanya ada empat buah %1#5#)#11' yang saling relati& prima dengan 12. +erhatikan bah,a B%1' * 1# bukan 0. 8ntuk selanjutnya# B akan disebut 9phi9. Teorema 2: )enghitung phi& n( dari faktorisasi prima
n
$ika p1, p2, ..., pk adalah seluruh &aktor prima dari n# maka phi(n) = n * (p1 1)/p1 * (p2 - 1)/p2 * ... * (pk - 1)/pk . Aisalnya# karena &aktor-&aktor prima dari 12 adalah 2 dan 3# maka phi%12' * 12 6 %2-1'C2 6 %3-1'C3 * 12 6 1C2 6 2C3 * yang sesuai dengan contoh pada :onsep 3. Latihan 2
1. Tentukan nilai dari phi%4'. 2. Tentukan nilai dari phi%2013'.
3. Tentukan nilai dari phi%200'. . uktikan bah,a jika p adalah bilangan prima maka phi(p) = p-1. $ika ini bisa dibuktikan tanpa menggunakan Teorema 2# berarti bagus# ini langkah pertama membuktikan Teorema 2. Sisanya cari sendiri '
Teorema 3: #uler$s theorem
$ika a adalah bilangan bulat# n adalah bilangan asli# dan a dan n saling relati& prima# maka a^phi(n) = 1 (mod n). Digunakan bersama dengan a^(m+n) = a^m * a^n untuk bilangan bulata,m,n apapun# kita dapat menggunakan ulerEs theorem untuk menyelesaikan beberapa soal. (ontoh Tentukan angka terakhir dari 2013^2013. *olusi
2013^2013 mod 10 * %2013 mod 10'^2013 mod 10 %dari Teorema 1.3' * 3^2013 mod 10 +erhatikan bah,a phi%10' * 10 6 1C2 6 C5 * . Aaka# 2013^2013 mod 10 * 3^%2013 mod phi%10'' mod 10 %dari ulerEs theorem' * 3^%2013 mod ' mod 10 * 3^1 mod 10 * 3 mod 10 *3 Latihan 3
1. Tentukan angka terakhir dari 54)^0. 2. Tentukan nilai dari 2010^2010 mod 2011. %
$ika a1, a2, ..., ak adalah bilangan asli yang saling relati& prima# dan b1, b2, ..., bk adalah bilangan bulat# maka ada bilangan bulat x yang memenuhi
x = b1 mod a1 x = b2 mod a2 ... x = bk mod ak
Selanjutnya# nilai x mod (a1*a2*...*ak) adalah unik. (hinese Femainder Theorem %disingkat (FT' umumnya dipakai dimana ulerEs theorem tidak dapat berjalan; saat a dan n tidak relati& prima. (ontoh Tentukan angka terakhir dari 2012^2012. :ita tidak boleh langsung memasukkan ke ulerEs theorem. *olusi salah
2012^2012 mod 10 * 2^2012 mod 10 :arena phi%10' * # maka 2012^2012 mod 10 * 2^%2012 mod ' mod 10 * 2^0 mod 10 *1 :ita harus menggunakan cara lain. iasanya# kita pakai (FT dengan cara ini. *olusi benar
erdasarkan (FT# kita dapat menentukan nilai dari x mod 10 diberikan x mod 2 dan x mod 5. 8ntuk x * 2012^2012# kita dapat 2012^2012 mod 2 * %2012 mod 2'^2012 mod 2 %Teorema 1.3' * 0^2012 mod 2 *0 :arena phi%5' * # maka 2012^2012 mod 5
* %2012 mod 5'^%2012 mod phi%5'' mod 5 %Teorema 1.3 dan ulerEs theorem' * 2^0 mod 5 *1 Aaka kita cari sebuah nilai x sehingga x * 0 %mod 2' dan x * 1 %mod 5'. Didapat bah,a nilainya adalah x * 4 %mod 10'# sehingga 2012^2012 mod 10 * 4. Latihan "
1. Tentukan angka terakhir dari 201^201. 2. Tentukan nilai dari 1000^1000 mod 2013. 3. Tentukan nilai dari 2013^2012^2011 mod 123. %sumsi a^b^c berartia^(b^c)# bukan (a^b)^c = a^(bc).' . Tentukan angka terakhir dari 1^1 7 2^2 7 3^3 7 ... 7 2013^2013. Selamat# sekarang nda sudah dapat mengerjakan soal-soal modulo yang cukup umum Teorema ,: Teorema ilson
$ika p bilangan prima# maka (p-1)! = -1 mod p. Tentukan sisa pembagian %10'^%10' oleh 11. *olusi
erdasarkan Teorema Gilson# karena 11 adalah bilangan prima# maka 10 * -1 mod 11. Aaka kita mencari %-1'^%10' mod 11. +erhatikan bah,a 10 genap; dia mengandung &aktor 2. erarti hasilnya adalah %-1'^%genap' mod 11 * 1 mod 11. Teorema .: )enentukan nilai /ang memenuhi C+T
da algoritma konstrukti& untuk menentukan nilai x dalam (FT selain mencoba satu per satu# namun algoritmanya cukup sulit. :alau tertarik# di ba,ah ini adalah algoritmanya. Diberikan a1, a2 bilangan yang saling relati& prima dan b1, b2 bilangan bulat# kita akan menentukan x sehingga x = b1 mod a1 dan x = b2 mod a2. +ertama# kita gunakan Htended uclidean lgorithm untuk menghitung in>ers dari a1 mod a2 dan in>ers dari a2 mod a1. nggap a1 > a2; kalau tidak# ubah posisinya. isa dilihat di GikipediahttpsCCen.,ikipedia.orgC,ikiCHtendedIuclideanIalgorithmJTable Imethod Siapkan sebuah tabel berisi kolom :# D# K# L. +ertama# tuliskan 0# a1# 1# 0 pada baris pertama. Selanjutnya# tuliskan 0# a2# 0# 1 pada baris selanjutnya. Sekarang# mulai dari baris ketiga. Aisalkan bilangan pada kolom D# K# L di baris sebelumnya adalah d2, x2, y2# dan pada baris sebelumnya lagi adalah d1, x1, y1. Aaka isi pada kolom : bilangan k = oo(d1/d2). Selanjutnya# isi pada kolom D# K# L bilangan-bilangan d1 - k*d2# x1 - k*x2# y1 - k*y2. ?anjutkan terus sampai kolom D berisi angka 0.
ers a1 moduloa2# dan d2 adalah in>ers a2 modulo a1. (ontoh# untuk 1 dan 11 +ermulaan :DKL 0 1 1 0 0 11 0 1 aris ketiga k * Moor%1C11' * 1. erarti kita tulis 1.
:DKL 0 1 1 0 0 11 0 1 1 Selanjutnya# kita tulis 1 - 1611 * 3 pada D# 1 - 160 * 1 pada K# 0 - 161 * -1 pada L. :DKL 0 1 1 0 0 11 0 1 1 3 1 -1 Selanjutnya lagi# k * Moor%11C3' * 3. :DKL 0 1 1 0 0 11 0 1 1 3 1 -1 3 D * 11 - 363 * 2# K * 0 - 361 * -3# L * 1 - 36%-1' * :DKL 0 1 1 0 0 11 0 1 1 3 1 -1 3 2 -3 :ita lanjutkan terus :DKL 0 1 1 0 0 11 0 1 1 3 1 -1 3 2 -3 1 1 -5 20
:arena kita dapat D * 0# kita hapus baris yang terakhir ini. :DKL 0 1 1 0 0 11 0 1 1 3 1 -1 3 2 -3 1 1 " -, Aaka in>ers dari 1 mod 11 adalah %mod 11' dan in>ers dari 11 mod 1 adalah -5 %mod 1'. :ita cek ulang# memang 16 * 1 %mod 11' dan 116%-5' * 1 %mod 1'. Selanjutnya# setelah dapat nilai-nilai d1 dan d2# kita langsung dapat nilai x = b1*a2*d2 + b2*a1*d1 (mod (a1*a2)) . Aisalnya# dari lanjutan contoh di Teorema x * 1 mod 5 x * 0 mod 2
%Selalu susun supaya modulo lebih besar di atas.' :ita mulai dengan Htended uclidean lgorithm :DKL 0510 0201 2 1 1 -2 20 erarti x * 1626%-2' 7 06561 * - * 4 %mod 10'.
&a0b( b ab shall e4ual a
"xamp#$ %. &/(-') i -1
*/ %-1' 6 %-3' 7 5N%-3' * 5 56 ,&-3( should be 2
