Sommaire ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... .................... ........ Chapitre 1 – Généralités sur les capteurs.............
11
........................ ......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ................... ....... 11 1.1. Généralités et définitions. ............ ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .......................... ............. 14 1.2. Capteurs actifs et capteurs passifs. ............ ......................... ......................... ......................... ......................... ................... ....... 14 1.2.1. Principaux domaines des capteurs. ............ ......................... ......................... ......................... .......................... ............... .. 15 1.2.2. Capteurs actifs (ou capteurs directs). ............ 1.2.3. Capteurs passifs (ou capteurs indirects). ........... ........................ .......................... ......................... ..................... ......... 16 ........................ ......................... ......................... .......................... ......................... ................... ....... 17 1.3. Problèmes généraux liés à la mesure.. ........... 1.3.1. Qualités intrinsèques d’un capteur. ............. .......................... ......................... ......................... .......................... ................. .... 18 ........................ ......................... .......................... ......................... ..................... ......... 18 1.3.1.1. Sensibilité et linéarité. ............ ........................ .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ........................ ........... 19 1.3.1.2. Rapidité. ........... ........................ ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ............. 23 1.3.1.3. Finesse. ........... ......................... ......................... .......................... ............... .. 24 1.3.2. Incertitudes et erreurs liées à l’acquisition.............. ........................ ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ............. 24 1.3.2.1. Fidélité. ........... ......................... .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ........................ ........... 25 1.3.2.2. Justesse. ............ ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ........................ ........... 27 1.4. Conditionneurs usuels. ............. ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ............. 27 1.4.1. Montages en pont. ............ ......................... ......................... ......................... ......................... ................... ....... 27 1.4.1.1. Mesure des résistances............. ........................ ......................... ..................... ......... 30 1.4.1.2. Mesure des impédances complexes. ........... ......................... ......................... ......................... ......................... ................... ....... 31 1.4.1.3. Mesures différentielles. ............ ........................ ......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ..................... ......... 32 1.4.2. Amplification. ............ ........................ .......................... ......................... ......................... ......................... ................. ..... 32 1.4.3. Boucles de courant 4-20 mA. ........... ......................... .......................... ......................... ..................... ......... 33 1.4.4. Problèmes liés à l’isolation galvanique. ............ ......................... ......................... ......................... ......................... .......................... ............. 34 1.4.4.1. Par transformateur. ............. ........................ .......................... ......................... ......................... .......................... ............... .. 35 1.4.4.2. Par condensateurs. ........... ........................ .......................... ......................... ......................... .......................... ............... .. 35 1.4.4.3. Par photocoupleur. ........... ........................ ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ................... ....... 35 1.5. Généralités sur les conversions. ............ ......................... ......................... ......................... .......................... ............. 35 1.5.1. Convertisseur analogique numérique. ............ ......................... ......................... ......................... .......................... ............. 37 1.5.2. Convertisseur numérique analogique. ............ ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ............. 38 1.6. Exercices. ............ ........................ ......................... .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ........................ ........... 48 1.7. Solutions des exercices. ............ ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ............... Chapitre 2 – Température et humidité. .............
51
........................ .......................... ......................... ......................... .......................... ............... .. 51 2.1. Capteurs de température : les principes. ........... 2.1.1. Capteurs directs : effet thermoélectrique. ............ ........................ ......................... ......................... ................... ....... 51 ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ............... .. 52 2.1.1.1. Effet Peltier. ............. ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ....................... ........... 53 2.1.1.2. Effet Thomson. ............ ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ............. 55 2.1.2. Capteurs indirects............. ......................... .......................... ......................... ......................... ......................... ................. ..... 55 2.1.2.1. Capteurs résistifs. ............ .......................... ......................... ..................... ......... 56 2.1.2.1.1. Linéarisation parallèle. ............. ........................ ......................... ......................... ................... ....... 57 2.1.2.1.2. Linéarisation série............. ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ....................... ........... 57 2.1.2.2. Thermistances. ............ ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ............. 60 2.1.3. Semi-conducteurs. ............ ........................ ......................... ......................... .......................... ............... .. 61 2.1.3.1. Variation de la résistivité. ........... ......................... ......................... .......................... ................. .... 62 2.1.3.2. Utilisation de la jonction P-N. ............. 2.1.3.3. Utilisation de θ comme grandeurs d'influence. ....................... 64 2.1.4. Capteurs à rayonnement infrarouge. ............. .......................... ......................... ......................... .......................... ............... .. 64 2.1.5. Echelle internationale pratique de température [E.I.P.T.]. ....................... 64 ........................ ......................... ................... ....... 65 2.1.6. Temps de réponse des capteurs de température. ........... ......................... ......................... ......................... ............. 68 2.1.7. Mise en œuvre des capteurs de température.............
5
Sommaire 2.1.7.1. Conditionneurs associés aux thermocouples. ........................... 68 2.1.7.2. Conditionneurs associés aux montages à résistances 2.1.7.2. variables. ................................................................................................. 72 2.1.7.2.1. Premier cas. ..................................................................... 73 e 2.1.7.2.2. 2 cas : In fluence de R s................................................ 73 2.1.7.2.3. Montage trois fils, premier cas................................. 75 2.1.7.2.4. Montage trois fils : second cas. ................................ 76 2.1.7.2.5. Remarques technologiques générales sur les 2.1.7.2.5. sondes à résistances Pt et résistances métal. ...... 77 2.1.8. Caractéristiques de composants industriels. ................................................... 81 2.2. Capteurs d’humidité. .................................................................................................................... 84 2.2.1. Rappels de thermodynamique. ............................................................................. 84 2.2.1.1. Equilibres d’un corps pur. ............................................................... 84 2.2.1.2. Relations empiriques et semi-empiriques relatives à la 2.1.7.2. courbe ps(t). ............................................................................................ 85 2.2.1.3. Résultats et données numériques relatifs à l’eau.................... 87 2.2.1.4. Mélanges de gaz et de vapeur d’eau. ........................................... 88 2.2.1.4.1. Définitions : vapeur sèche, vapeur saturante. .... 88 2.2.1.4.2. Mélanges de gaz (air par exemple) et de vapeur 2.1.7.2.5. sèche. ................................................................................... 88 2.2.1.4.3. Air et vapeur saturante. ............................................... 88 2.2.2. Définitions relatives à l’hygrométrie. ................................................................ 89 2.2.2.1. Humidité relative. ................................................................................ 89 2.2.2.2. Humidité absolue. ................................................................................ 90 2.2.2.3. Rapport de mélange. ........................................................................... 90 2.2.2.4. Point de rosée. ...................................................................................... 91 2.2.3. Hygromètres, différents types. ............................................................................. 91 2.2.3.1. Hygromètres à variation de résistance. ...................................... 91 2.2.3.2. Hygromètres à capacité variable (mesure de HR). ................ 92 2.2.3.3. Mesure du point de rosée. ................................................................ 93 2.2.3.4. Hygromètres électrolytiques. .......................................................... 93 2.2.3.5. Hygromètres mécaniques. ................................................................ 93 2.2.3.6. Psychromètres....................................................................................... 93 2.2.3.7. Autres types. ........................................................................................... 95 2.2.4. Caractéristiques de composants industriels. ................................................... 95 2.3. Exercices. ........................................................................................................................................... 99 2.4. Solutions des exercices. ............................................................................................................. 120
Chapitre 3 – Longueurs et déplacements..................................................................................
126
3.1. Capteurs résistifs. ......................................................................................................................... 126 3.1.1. Principe physique. ................................................................................................... 126 3.1.2. Aspects technologiques. ....................................................................................... 128 3.1.3. Utilisations industrielles. ...................................................................................... 131 3.1.4. Caractéristiques de composants industriels. ................................................. 134 3.2. Capteurs capacitifs. ..................................................................................................................... 137 3.2.1. Principe physique. ................................................................................................... 137 3.2.2. Utilisations industrielles. ...................................................................................... 140 3.2.3. Caractéristiques de composants industriels. ................................................. 142 3.3. Capteurs inductifs. ....................................................................................................................... 144 3.3.1. Principe de la variation d’entrefer. ................................................................... 144 3.3.2. Principe du noyau plongeur. ............................................................................... 147
6
Sommaire
3.3.3. Principe du transformateur différentiel. ......................................................... 148 3.3.4. Utilisations industrielles. ...................................................................................... 150 3.3.5. Caractéristiques de composants industriels. ................................................. 152 3.4. Exercices. ......................................................................................................................................... 154 3.5. Solutions des exercices. ............................................................................................................. 162
Chapitre 4 – Forces et accélérations. ...........................................................................................
164
4.1. Généralités sur la résistance des matériaux. ................................................................... 164 4.1.1. Grandeurs physiques. ............................................................................................. 164 4.1.1.1. Contrainte............................................................................................. 164 4.1.1.2. Déformations longitudinale et transversale. ..........................164 4.1.1.3. Elasticité. .............................................................................................. 165 4.1.1.4. Loi de HOOKE. .................................................................................. 166 4.1.2. Corps d’épreuve. ...................................................................................................... 167 4.1.2.1. Comportement en traction (rappels). ........................................ 167 4.1.2.2. Limites d’utilisation du capteur................................................... 167 4.1.2.3. Forme du corps d’épreuve. ............................................................ 169 4.2. Effet piézorésistif.......................................................................................................................... 170 4.2.1. Principe physique. ................................................................................................... 170 4.2.2. Jauges de déformations. ........................................................................................ 171 4.2.3. Mise en œuvre des jauges. ................................................................................... 174 4.2.3.1. Jauge à fil. ............................................................................................ 174 4.2.3.2. Jauge à trame pelliculaire. ............................................................ 174 4.2.3.3. Jauge gravée à semi-conducteur. ................................................ 178 4.2.4. Positionnement des jauges. .................................................................................. 179 4.2.5. Conditionneurs de jauges. .................................................................................... 184 4.2.6. Caractéristiques de composants industriels. ................................................. 186 4.3. Effet piézoélectrique. .................................................................................................................. 189 4.3.1. Principe physique. ................................................................................................... 189 4.3.2. Modèle équivalent. ................................................................................................. 195 4.3.3. Conditionneurs et limites. .................................................................................... 196 4.3.4. Caractéristiques de composants industriels. ................................................. 202 4.4. Capteur d’accélération. ............................................................................................................. 204 4.4.1. Principe physique. ................................................................................................... 204 4.4.2. Quelques technologies. ......................................................................................... 205 4.4.2.1. Accéléromètre linéaire piézorésistif. ......................................... 206 4.4.2.2. Accéléromètre linéaire à capacité variable. ...........................207 4.4.2.3. Accéléromètre linéaire piézoélectrique. ................................... 208 4.4.2.4. Accéléromètre linéaire asservi en position. ............................210 4.4.2.5. Accéléromètre angulaire capacitif. ............................................ 213 4.4.3. Caractéristiques de composants industriels. ................................................. 218 4.5. Exercices. ......................................................................................................................................... 220 4.6. Solutions des exercices. ............................................................................................................. 227
Chapitre 5 – Capteurs magnétiques. .............................................................................................
229
5.1. Principes généraux relatifs à l’effet Hall.......................................................................... 229 5.2. Les différentes applications de l'effet Hall. ...................................................................... 234 5.2.1. Capteurs d'angles mécaniques............................................................................ 235 5.2.2. Mesure de champ B, capteurs de champ magnétique...............................236
7
Sommaire
5.2.3. Principe de la mesure de courant (ou de tension) : 5.2.3. sondes de courant. ................................................................................................... 238 5.2.4. Utilisation de l'effet Hall pour réaliser un multiplicateur 5.2.4. (ou multiplieur) analogique. ................................................................................ 240 5.2.5. Caractéristiques de composants industriels. ................................................. 242 5.3. Effet magnétorésistif et applications. .................................................................................. 245 5.3.1. Effet magnétorésistif simple (cas d'un matériau homogène). ................245 5.3.2. Cas de matériaux anisotropes (magnétorésistance anisotropique). .....249 5.3.3. Caractéristiques de composants industriels. ................................................. 254 5.4. Exercices. ......................................................................................................................................... 258 5.5. Solutions des exercices. ............................................................................................................. 278
Chapitre 6 – Vitesses et positions.....................................................................................................
282
6.1. Génératrice tachymétrique. ..................................................................................................... 282 6.1.1. Dynamo tachymétrique. ........................................................................................ 282 6.1.2. Machine synchrone tachymétrique. ................................................................. 287 6.1.3. Caractéristiques de composants industriels. ................................................. 291 6.2. Tachymètre à impulsions.......................................................................................................... 293 6.2.1. Mesure de vitesse par procédé optique et sans contact. ...........................293 6.2.2. Variante du principe précédent : capteurs inductifs de rotation. ..........294 6.2.3. Utilisation d’un tachymètre mécanique ou optique. .................................. 295 6.3. Capteurs numériques de position et de déplacement (codeurs). .............................296 6.3.1. Principe du codeur incrémental (relatif). ....................................................... 297 6.3.2. Codeur optique absolu. .......................................................................................... 300 6.3.3. Caractéristiques de composants industriels. ................................................. 307 6.4. Téléindications, synchromachines et résolvers. ............................................................. 311 6.4.1. Rappels sur les systèmes polyphasés............................................................... 311 6.4.1.1. Définitions et terminologie. ........................................................... 311 6.4.1.2. Représentations associées. ............................................................. 311 6.4.2. Rappels sur les champs tournants. .................................................................... 314 6.4.2.1. Théorème d’Ampère. ........................................................................ 314 6.4.2.2. Armature monophasée à répartition radiale 6.4.2.2. et sinusoïdale. ...................................................................................... 317 6.4.2.3. Armature monophasée et f.m.m. continue. ..............................317 6.4.2.4. Armature monophasée et f.m.m. alternative, fixe. ................318 6.4.2.5. Armature triphasée et f.m.m. alternative. ................................319 6.4.2.6. Armature diphasée et f.m.m. alternative. .................................320 6.4.3. Relation fondamentale des synchros et résolvers. ...................................... 321 6.4.3.1. Conventions de représentation. .................................................... 321 6.4.3.2. Relations des fém induites. ............................................................. 321 6.4.4. Synchromachines et résolvers. ........................................................................... 322 6.4.4.1. Structure des synchromachines.................................................... 322 6.4.4.1.1. Premier montage : torque-synchro.......................323 6.4.4.1.2. Deuxième montage : control-synchro. .................324 6.4.4.2. Résolvers. .............................................................................................. 326 6.4.4.2.1. Montage A : résolver seul......................................... 327 6.4.4.2.2. Montage B : résolver unique alimenté 6.4.4.2.2. par deux tensions en phase. ..................................... 331 6.4.5. Caractéristiques de composants industriels. ................................................. 333 6.5. Exercice. ........................................................................................................................................... 336 6.6. Solutions de l’exercice. .............................................................................................................. 342
8
Sommaire
Chapitre 7 – Débits et niveaux. ..........................................................................................................
345
7.1. Généralités sur les fluides. ....................................................................................................... 345 7.1.1. Principe fondamental de l’hydrostatique. ...................................................... 345 7.1.1.1. Pression en un point d’un fluide au repos. ..............................345 7.1.1.2. Equation générale de la statique des fluides. .........................345 7.1.1.3. Principe ou théorème d’Archimède. .......................................... 346 7.1.1.4. Pression hydrostatique au fond d’un réservoir. ....................347 7.1.2. Principe fondamental de l’hydrodynamique. ............................................... 348 7.1.2.1. Vitesse. ................................................................................................... 348 7.1.2.2. Débit volumique. ................................................................................ 350 7.1.2.3. Fluides incompressible et compressible...................................350 7.1.2.4. Débit massique. .................................................................................. 351 7.1.2.5. Viscosités. ............................................................................................. 351 7.1.2.6. Régimes d’écoulement. .................................................................... 352 7.1.2.7. Pertes en charge. ............................................................................... 353 7.1.3. Fluides conducteurs et fluides isolants. .......................................................... 355 7.1.4. Fluides corrosifs, pollués… ................................................................................ 355 7.1.5. Mélange liquide gaz. .............................................................................................. 355 7.1.6. Solide pulvérulent. .................................................................................................. 356 7.2. Mesure du débit : les principes. ............................................................................................. 356 7.2.1. Thermique. ................................................................................................................. 356 7.2.1.1. A capillaire........................................................................................... 356 7.2.1.2. Anémomètre. ........................................................................................ 358 7.2.2. Différence de pressions. ....................................................................................... 359 7.2.3. Vortex. ......................................................................................................................... 363 7.2.4. Turbine. ....................................................................................................................... 366 7.2.5. Electromagnétique. ................................................................................................. 367 7.2.6. A effet Coriolis. ....................................................................................................... 371 7.2.7. A ultrasons. ................................................................................................................ 374 7.2.8. A auget basculant. ................................................................................................... 378 7.2.9. Caractéristiques de composants industriels. ................................................. 379 7.3. Mesure et détection de niveau. ............................................................................................... 389 7.3.1. Hydrostatique............................................................................................................ 389 7.3.2. Résistif ou à conductivité. .................................................................................... 389 7.3.3. A flotteur. ................................................................................................................... 390 7.3.4. Capacitif. ..................................................................................................................... 391 7.3.5. Optique. ....................................................................................................................... 392 7.3.6. Magnétique. ............................................................................................................... 393 7.3.7. Par ultrasons. ............................................................................................................. 394 7.3.8. Caractéristiques de composants industriels. ................................................. 396 7.4. Exercices. ......................................................................................................................................... 402 7.5. Solutions des exercices. ............................................................................................................. 404
Chapitre 8 – Capteurs optiques. ........................................................................................................
405
8.1. Rappels de photométrie et de radiométrie......................................................................... 405 8.1.1. Définitions. ................................................................................................................ 405 8.1.2. Les grandeurs et leurs unités. ............................................................................. 406 8.2. Les sources. ..................................................................................................................................... 412 8.3. Les capteurs.................................................................................................................................... 412
9
Sommaire
8.3.1. Photorésistances....................................................................................................... 413 8.3.2. Photodiodes. .............................................................................................................. 416 8.3.2.1. Structure. ............................................................................................... 416 8.3.2.2. Principe de fonctionnement. .......................................................... 417 8.3.2.3. Caractéristiques externes. .............................................................. 419 8.3.2.4. Grandeurs caractéristiques des photodiodes et données 8.3.2.4. constructeurs. ...................................................................................... 420 8.3.2.5. Schéma équivalent. ............................................................................ 422 8.3.2.6. Influence de la température sur les caractéristiques. .........422 8.3.2.7. Temps de réponse, rapidité de la photodiode. .......................423 8.3.3. Phototransistors. ....................................................................................................... 424 8.3.4. Optocoupleurs, photocoupleur, opto-isolateur. ........................................... 426 8.3.5. Capteur à fourche. ................................................................................................... 428 8.3.6. Photomultiplicateurs. ............................................................................................. 429 8.3.7. Capteurs DTC. .......................................................................................................... 430 8.4. Caractéristiques de composants industriels. .................................................................... 433 8.5. Exercice. ........................................................................................................................................... 445 8.6. Solutions de l’exercice. .............................................................................................................. 448
Annexes. ................................................................................................................................................................
450
A.1. Constantes usuelles et constantes physiques. ................................................................................... 450 A.2. Conversion d’unités. .................................................................................................................................... 451 A.3. Constantes électriques de quelques semi-conducteurs................................................................. 453 A.4. Conductivités thermique et électrique de quelques métaux. ...................................................... 453 A.5. Résistivité électrique et coefficients de température de quelques métaux et alliages. ....453 A.6. Multiples et sous-multiples. ...................................................................................................................... 454 A.7. Notion d'angle solide. .................................................................................................................................. 455
10
Chapitre 1 : Généralités sur les capteurs 1.1. Généralités et définitions : Situation générale d’un capteur dans une chaîne de mesure ou de traitement du signal. Le cas le plus fréquent que l’on rencontre actuellement dans le champ d’application des capteurs, de l’acquisition, du traitement des signaux, relatif à la position d’un capteur dans une chaîne de mesure est conforme au synoptique suivant : E S
E
E
S
Commande Système
en logique programmée ou en logique câblée
E : Energie S : Signaux
S
S
I : Courant T : Température
I,T
I,T, Ω physique Ω,Θ,
S
S
T complexe
: Vitesse Θ : Position Ω
Figure 1.1. Situation générale des capteurs dans une chaîne d’acquisition et de gestion d’un système.
Lorsqu’on veut contrôler un système ou un processus physique on doit, à un certain stade des opérations, mesurer et surveiller certaines grandeurs physiques dépendantes directement du process. Il est alors nécessaire de procéder à la vérification des résultats obtenus : il faut que les grandeurs mesurées restent dans une fourchette acceptable de valeurs dans le but d’assurer la bonne marche ou la qualité de l’ensemble des opérations. Dans l’organigramme de la figure 1 par exemple, on procède à la mesure des grandeurs vitesse ( Ω), position (θ), température (Τ) etc. Ces grandeurs sont mesurées , éventuellement acquises et mémorisées, mais pour ce faire, il est nécessaire de les transformer en des grandeurs électriques directement proportionnelles s1, s2, s3... pour qu’elles puissent être traitées par les interfaces d’entrées du micro-contrôleur par exemple. La transformation de ces grandeurs physiques en grandeurs électriques gérées par les interfaces est assurée par les capteurs, leur traitement immédiat en grandeurs compatibles avec la chaîne d’acquisitions et de traitement est dévolu au conditionneur de signal. Cependant, il faut penser que certaines grandeurs externes au process peuvent intervenir à ce niveau via le capteur lui-même : certaines grandeurs physiques peuvent plus ou moins parasiter la mesure, on dit alors que ces grandeurs sont des grandeurs d’influence (figure 1.2.). La grandeur de sortie du capteur est donc fonction de plusieurs variables : s = f (m, pi, pj) Parmi les grandeurs d’influence usuelles on peut répertorier : − la température du milieu dans lequel évolue le capteur, − des grandeurs mécaniques auxquelles est associé le capteur (position, vitesse, accélération, etc.), − des grandeurs chimiques associées au milieu (pH, pS, concentrations en certains ions...), − les champs électromagnétiques et les grandeurs électromagnétiques associées (champ E, B, etc.), − les rayonnements parasites de type nucléaire, X, gamma… − la pression de vapeur saturante, etc.
11
Chapitre 2 : Température et humidité
Sonde PT100 avec gaine de protection et transmetteur PROSENSOR :
Extraits du site prosensor.com
82
Chapitre 5 : Capteurs magnétiques
5.3. Effet magnétorésistif et applications : 5.3.1. Effet magnétorésistif simple (cas d'un matériau homogène) : z r
B y u r
y r
z o
x
r
x u r
c
V
r
E 0
-
u r
b
J
a
Dans la présentation faite au premier paragraphe on a supposé de façon implicite que les dimensions de l’échantillon se prêtaient à l’apparition de l’effet Hall en supposant que les lignes de courant recouvraient leur allure générale qui était celle que l’on avait avant application du champ magnétique (lignes de courant parallèle à Ox).
Figure 5.15. Principe de la magnétorésistance.
Ceci suppose que l’on ait : c << a ou b (figure 5.15.). Une étude plus fine de la situation doit être faite si on se place dans le cas général : en l'absence de champ magnétique extérieur et en →
appliquant un champ électromoteur externe à l’échantillon E 0 parallèle à Ox et de même sens, l’application de la relation fondamentale de la dynamique appliquée à une charge en →
déplacement (ce qui, on le sait, constitue une approximation) donne : m
dv
→
=
→
q E0 − f v . Ainsi
dt dans cette relation m est la masse de la charge et f l’équivalent de l’action du réseau cristallin sur la charge en mouvement, ce qui statistiquement est assimilable à une force « de frottement » proportionnelle à la vitesse. Dans le modèle dit de Drude, ce coefficient se met m sous la forme : f = où τ est homogène à un temps. En régime permanent (acquis en un τ
temps correspondant à deux ou trois fois τ et qui est de l’ordre de grandeur de la nano à la pico seconde : un temps indécelable à l’échelle macroscopique humaine) on peut écrire : →
q E0
=
m
→
→
v . Or j
→
=
→
nq v . Ceci conduit naturellement à : j
=
nτ q
2
m
τ
→
E 0 .
On reconnaît là la loi d’Ohm locale qui donne l’expression de la conductivité
nτ q
2
. m En présence de champ magnétique extérieur et en se plaçant dans le cas général, le champ dû à l’accumulation des charges sur les faces ABCD et A’B’C’D’ et qui est le champ transverse →
(dit de Hall) la loi d’Ohm va être modifiée et on doit écrire : j
γ
=
⎡ 1 ⎛ ⎞⎤ ⎢ E0 + nq ⎜ j ∧ B ⎟ ⎥ (5.10.). ⎝ ⎠⎦ ⎣ →
=
γ
→
→
Cette équation vectorielle ne peut se résoudre de façon simple que dans des cas particuliers : c et b << a ; la géométrie reste de « type cylindrique ou filiforme » et les lignes de courant ne sont pas modifiées : →
j
→
=
j. x
u r
→
→
→
→
→
, E = Ex x + E y y + E z z ; B = B z .
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Chapitre 5 : Capteurs magnétiques, exercices
5.4. Exercices : Exercice n° 5.1. Etude d’un capteur de position à Effet Hall
On se propose de déterminer la position et la fréquence de rotation d’un arbre de machine tournante (arbre de machine synchrone autopilotée). Pour cela, on utilise un capteur particulier constitué par un échantillon de semi-conducteur de forme parallélépipédique et conforme à la figure 5.1.1. ci-après. Cet échantillon est soumis à un champ d’induction r
magnétique B que l’on supposera uniforme sur tout le parallélépipède. La section de ce parallélépipède est un carré (section ABCD) de côté a et la longueur du parallélépipède est b. Le semi-conducteur est dopé N et le nombre de porteurs libres par unité de volume est n = 4,5.10 21 électrons par mètre cube. L’échantillon est parcouru par un courant constant I = 100 mA dont les lignes de courant sont parallèles et de même sens que Oy. 1°) Dans un premier temps on suppose que le vecteur B est parallèle à Oz et de sens correspondant au sens positif Oz, entre quelles faces apparaît la d.d.p. v1H de Hall ? Quel est le sens du champ E H associé ? On aura soin de la préciser clairement sur un schéma en conservant les références de la figure 5.1.1. ci-après. 2°) Montrer que l’expression de la d.d.p. est donnée par : BI v1H RH . (1) a où R H est une constante qui dépend de n et de q valeur absolue de la charge de l’électron. =
z r
B
θ
C
C’ r
B’
z
B
o
D
r
x
A
y
u r
y
D’ A’
x
Figure 5.1.1. Schéma du capteur de Hall. O est au centre du parallélépipède rectangle et l’axe Oy est orthogonal aux faces ABCD et A’B’C’D’ en leur milieu.
3°) Application numérique : Déterminer la valeur du champ correspondant à a = 0,5 mm ; I = 100 mA ; v1H = 56 mV. 4°) La valeur du champ est parasitée par des éléments HF et on cherche à filtrer la tension v1H obtenue : pour cela on utilise le montage de la figure 5.1.2. On obtient la tension de sortie vs1. En sortie de ce montage la tension v S1 est ensuite amplifiée avec un gain constant K. Quelle relation peut-on écrire entre Vs1 et V1H ? Quelle est la fréquence de coupure ? Tracer l’allure du diagramme de Bode (amplitude et phase).
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