Capítulo 4

UNIVERSIDAD SAN PEDRO FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Profesional de Ingeniería Civil

ANALISIS SISMORRESISTENTE Gumercindo Flores Reyes

Capítulo 4

VIBRACIÓN LIBRE

4.1 TEORÍA

GENERAL DE VIBRACIONES

El análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introducción expone de forma resumida algunos aspectos teóricos de las vibraciones de los sistemas elásticos, que ayudarán a comprender los métodos de cálculo de la acción de los sismos sobre las estructuras basados en sus efectos dinámicos. El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos Todos los cuerpos cuerpos que poseen poseen masa masa y elasti elasticid cidad, ad, son capac capaces es de vibrar vibrar.. Una vibrac vibración ión mecáni mecánica ca es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las máquin máquinas as y estruc estructur turas as experi experimen mentan tan vibrac vibracion iones es hasta hasta cierto cierto grado grado por lo que su diseño diseño requie requiere re la consideración de este efecto dinámico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones. Una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una posición de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibración, vibración, el número de ciclos por frecuencia unidad de tiempo define la frecuencia la y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración. vibración . Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de superposición y las técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son más complicadas y no muy conocidas. Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema elástico puede tener una vibración consecuencia ia de un impulso inicial, inicial, donde el movimient movimiento o es mantenido mantenido únicament únicamentee por las fuerzas fuerzas de libre a consecuenc restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución de su masa y rigidez. forzada. Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es una vibración forzada. Cuando la excitación es oscilatoria, ya sea periódica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecue frecuenci nciaa de excita excitació ción, n, si ésta ésta coinci coincide de con una de las frecue frecuenci ncias as natura naturales les del sistem sistemaa se produc producee resonancia, resonancia, en este estado estado tienen tienen lugar lugar oscilacio oscilaciones nes peligrosament peligrosamentee grandes; grandes; así la falla por resonancia resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramática posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este



motivo el cálculo de las frecuencias naturales de vibración es de gran importancia en el diseño sísmico de estructuras.

4.2 DEFINICIÓN Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna ( p(t) = 0).

4.3 VIBRACIÓN

LIBRE NO AMORTIGUADA

u

T n = 2π/ωn

u· (0) b

u(0)

Amplitud u0 a

(a)

c

e t

φ ω

n

d

u0

u0

(b) a

c

b 1.

d

e

Sistema SDF: vibración libre sin amortiguamiento [ref. 12]

La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es:  + k ⋅ u = 0 (4.1) m ⋅u

 +ω n2 ⋅ u u

=0

(4.2)

donde ω n es la frecuencia natural en vibración libre del sistema y es igual a:

ω n =

k m

(4.3)

El desarrollo de la ecuación diferencial 4.1 se expone en el Apéndice A-1, y su solución es: u (t )

A ⋅ cos ω n t + B ⋅ sen ω n t

=

(4.4)



Las constantes A y B se hallan a partir de las condiciones iniciales: velocidad iniciales respectivamente. Obteniéndose por lo tanto:

u (t )

= u (0) ⋅ cos ω n t +

u (0)

ω n

y , el desplazamiento y la

sen ω n t

(4.5)

Las Figuras 4.1(a) y 4.1(b) ilustran el movimiento de la masa durante un ciclo de vibración libre del sistema para la ecuación 4.5. A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración, T n, y es:

=

T n

2π

(4.6)

ω n

La frecuencia cíclica natural de vibración, f n, es definida como el número de ciclos que se repiten en 1 [s] de tiempo y su valor es: 1 f n = (4.7) T n Las propiedades de vibración natural, ω n , T n y f n, dependen de la masa y rigidez de la estructura, y el término “natural” es utilizado para enfatizar el hecho de que éstas son propiedades naturales del sistema cuando éste esta en estado de vibración libre. El movimiento representado por la ecuación 4.5 puede también ser expresado en la forma:

u (t )

= u 0 cos (ω n t − φ )

(4.8)

Imaginario u0 cos( ωnt-φ ) u· (0) u(0) cosωnt ωn senωnt

ω

n

u ( 0 )

ω t n

φ

Real u0

ω t n

u· (0)

ω

n

2.

Vibración libre, representación vectorial [ref. 13]

Donde u0 es la magnitud del desplazamiento máximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual esta dada por:



u0

=

u ( 0)

2

 u (0)  +   ω n 

2

(4.9)

Y el ángulo de fase φ esta dado por:

φ = artg

u (0 )

(4.10)

ω n u ( 0)

En la Figura 4.2 esta representada vectorialmente la ecuación de movimiento, donde la respuesta esta dada por la parte real o proyección horizontal de los dos vectores de rotación; y el ángulo de fase representa la distancia angular de retraso en la respuesta del término del coseno.

4.4 VIBRACIÓN

LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

La ecuación de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibración libre es:

 + c ⋅ u + k ⋅ u m ⋅u

=0

(4.11)

=0

(4.12)

dividiendo la ecuación 4.11 por la masa se obtiene: 2

 + 2ξ ω n u + ω n u u

ξ =

donde:

c c cr

(4.13) c cr = 2mω n

=2

km

=

2k

(4.14)

ω n

El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr , y la razón o relación de amortiguamiento crítico, ξ , son parámetros que determinan el tipo de movimiento del sistema.

4.4.1

Tipos de Movimiento

1

criticamente amortiguado, ξ=1 sobreamortiguado, ξ=2

) 0 (

u / ) t (

0

u

subamortiguado, ξ=0.1 -1

1

2 1 /T n

3



3.

Vibración libre de un sistema críticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado [ref. 12]

La Figura 4.3 ilustra el desarrollo de este punto; ésta es una gráfica del movimiento u(t) debido a un desplazamiento inicial u(0) para tres valores distintos de ξ : 





Si c=ccr ó ξ =1 El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar, por tal razón es llamado sistema críticamente amortiguado o sistema con amortiguamiento crítico. Si c>ccr ó ξ >1 El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente, por tal motivo es denominado sistema sobreamortiguado. Si c
El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr , llamado así debido a que es un valor pequeño de c que inhibe completamente la oscilación y representa la línea de división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio. Las estructuras civiles (puentes, edificios, embalses, etc.) poseen una relación de amortiguamiento ξ <1 la cual las cataloga como sistemas subamortiguados, es por esta razón que dichos sistemas se estudian con mayor preferencia.

4.4.2

Sistema subamortiguado

Para un sistema subamortiguado ( ξ <1) el desarrollo de la ecuación 4.12 se encuentra en el Apéndice A-2, y su solución es:

u (t )

  u (0) + ξ ω n u (0) = e −ξ ω t u (0) cos ω D t +  ω D   n

   sen ω D t    

(4.15)

Donde ω D es la frecuencia natural de vibración amortiguada y su valor es: ω D

u

u·(0)

ρe−ξω t n

=

ω n 1 −ξ 2

(4.16)

estructura no amortiguada

u(0)

estructura amortiguada

t

−ρe−ξωnt

T n T D



4.

Efecto del amortiguamiento en Vibración libre

Nótese que la ecuación 4.15 aplicada a un sistema no amortiguado ( ξ =0) se reduce a la ecuación 4.5. La Figura 4.4 ilustra una comparación entre un sistema subamortiguado y uno sin amortiguamiento; se observa que la amplitud del sistema no amortiguado es la misma en todos los ciclos de vibración, en cambio para el sistema amortiguado la amplitud decrece y lo hace en forma exponencial.

El valor del periodo natural de vibración amortiguado es:

T D

=

2π

(4.17)

ω D

y está relacionado con el periodo natural sin amortiguamiento de la siguiente forma: T D

T n

=

(4.18)

2

1 −ξ

La relación entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo T D es constante, y el decremento logarítmico está definido como el logaritmo natural de esta cantidad y está dado por:

δ = ln

ui u i +1

=

ξ ω n T D

=

2π ξ 2

1 −ξ

≈

2π ξ

(4.19)

y la relación entre dos desplazamientos cuales quiera es:

δ =

1 j

ln

u1 u j +1

≈ 2π ξ

(4.20)

El amortiguamiento tiene el efecto de reducir la frecuencia natural de ω n a ω D y aumentar el periodo natural de T n a T D; este efecto es despreciable para una relación de amortiguamiento ξ debajo del 20%, un rango en el cual están incluidas la mayoría de las estructuras; y, valga la redundancia, para la mayoría de las estructuras ω D y T D son aproximadamente iguales a ω n y T n



4.5 EJEMPLOS Determinación de las propiedades dinámicas

Ejemplo 4.1

En la Figura 4.5 se muestra una cubierta metálica, considerar el entramado infinitamente rígido y con una carga muerta total de 120 [ kg/m2]. Todas las columnas son perfiles metálicos W10x30, considerarlas axialmente indeformables. Determinar las propiedades de la estructura considerando que no existe amortiguamiento.

1.2 m

4m

elevación

N

m 0 2

planta

20 m

20 m

5.

Solución

El peso del sistema es:

Estructura para el ejemplo 4.1


ANALISIS SISMORRESISTENTE Gumercindo Flores Reyes w =120

×

w = 96

[T ]

20 ×40

La rigidez total de las dos columnas del Este es:

12 EI

k E = ∑ k E =

3

l 2 × 12 × 2100000 × 7075.93 400

k E = 5572.29

3

[kg cm]

La rigidez total de las columnas centrales es:

k C

=0

La rigidez total de las dos columnas del Oeste es:

3 EI

k O

=∑

k O

=

k O

= 1393.07

3

l 2 × 3 × 2100000 × 7075.93 400

3

[kg cm]

La rigidez total en la dirección Este-Oeste es:

k = k E + k C + k O k = 6965.36

[kg cm]

La frecuencia circular natural es:

ω n

=

ω n

=

ω n

=

ω n

=

f n

=

f n

=

k m k ⋅ g w 6965.36 × 980 96000 8.43

[ rad s ]

1

ω n 2π

La frecuencia cíclica natural es:

T n

=

1.34 [ hertz

]



El periodo natural esta dado por:

T n

=

T n

=

1 f n 0.74

[s]

Sistema en vibración libre no amortiguado

Ejemplo 4.2

Una plancha es soportada por barras de acero (Figura 4.6), su periodo natural en vibración lateral es 0.5 [s]. Cuando una placa de 22 [kg] es sujeta a su superficie el periodo natural en vibración lateral es prolongado a 0.75 [s]. ¿Cual es la rigidez lateral efectiva y cual es el peso de la plancha?

T n=0.5 s.

T n=0.75 s. 6.

Solución

En la primera fase de vibración el periodo natural del sistema es:

Gráfica para el ejemplo 4.2



T n

2π

=

2π

=

k

ω n

m

2π

0.5 =

k m

m=

k

( 4π ) 2

(a) En la segunda fase de vibración el periodo natural del sistema es: 2π T n = k

m + m p

2π

0.75 =

k m + 22 g

(b) Reemplazando (a) en (b) y resolviendo para la rigidez k:

2π

0.75 =

k k

( 4π ) 2

k = 2.8 4

+ 22980

[ k gc m]

El peso de la plancha es:

w = m ⋅ g = w = 17.62 Ejemplo 4.3

k

( 4π ) 2 [ kg ]

g

Determinación de las características de amortiguamiento

Un tanque de agua elevado está sujeto a un cable en la parte superior, el cual le aplica una fuerza horizontal de 7 [T] y desplaza al tanque 5 [cm] de su posición de equilibrio, el cable es cortado repentinamente y el tanque entra en vibración libre, al final de 4 ciclos el tiempo es de 2 [s] y la amplitud es de 2.5 [cm]. Calcular la relación de amortiguamiento, el periodo natural de vibración no amortiguado, la rigidez efectiva, el peso efectivo, el coeficiente de amortiguamiento y el número de ciclos requeridos para que la amplitud de desplazamiento decrezca a 0.5 [cm].



Solución

La relación de amortiguamiento es:

δ =

1

u1

ln

j

u j +1

≈ 2π ξ

1 5 ln = 2πξ 4 2 .5 ξ 2.75 % =

El periodo natural de vibración no amortiguada es:

2

T D =

4=

0.5 [ s]

T n

T D

=

T n

=

≈

1 −ξ 2

T n

0 . 5 [s ]

La rigidez efectiva es calculada a partir de:

= k ⋅ u

f s

7000

=

k ×5

k = 1 4 0 0 k gc m Para el peso efectivo se tiene:

ω n

=

2π T n

ω n

=

k m

ω n

=

k ⋅ g

=

2π 0.5

=

12 .57

[ rad s ]

w

Sustituyendo los valores de k y ω n en la última ecuación se obtiene el peso efectivo: w

=

8.68

El coeficiente de amortiguamiento se obtiene de:

ξ = ξ =

c c cr c 2 k

ω n

[T ]



c

0.0275

=

2 k 12.57

k g ⋅ s

c = 6.1 3

cm

El número de ciclos que se requiere para que la amplitud decrezca al valor de 0.5 [cm] se obtiene de:

1 j 1 j j

ln ln

u1 u j +1 5 0 .5

=

13 .33

=

=

2πξ

2π * 0.0275 13 ciclos

≈

Capítulo 4

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