CAPÍTULO 2 ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 2.1
CONCEPTO DE ELECTROSTÁTICA ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
La electrostática en el vacío estudia los fenómenos o efectos producidos por las cargas eléctricas en reposo y por los campos eléctricos que no cambian con el tiempo.
Para el estudio de la Electrostática en el vacío es suficiente la cantidad fundamental de campo E (intensidad de campo eléctrico).
2.2
POSTULADOS FUNDAMENTALES DE LA ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
Los dos postulados fundamentales de la electrostática en el vacío o en el espacio libre, que forman la base para construir la estructura de la electrostática, son:
FORMA DIFERENCIAL
1)
E
FORMA INTEGRAL
0
E d S
S
2)
Q 0
E d 0
x E 0
C
* La forma diferencial de ambas ecuaciones son dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell.
* Se sabe que en el vacío o espacio libre, la densidad de flujo eléctrico D y la intensidad de campo
eléctrico E están relacionadas con la ecuación:
D
o E .
Entonces, la forma diferencial diferencial y la forma
integral del primer postulado de la electrostática en el vacío queda:
D
;
D d S Q
S
Donde: “ Q ” es la carga neta libre encerrada por la superficie gaussiana. Los dos postulados de la Electrostática en el vacío son concisos, sencillos e independientes del sistema de coordenadas, además pueden usarse para derivar otras relaciones, leyes y teoremas de la electrostática. Por ejemplo, ejemplo, se puede obtener la ley de Gauss, la ley de voltajes de Kirchhoff, etc.
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DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE GAUSS Tomando integral de volumen a la ecuación (1), queda lo siguiente:
V
( E ) dV
V
( E ) dV
dV V 0
1
dV
0
V
Por teorema de la divergencia tenemos que el primer miembro de la ecuación anterior es igual al flujo eléctrico a través de la superficie cerrada S, es decir:
( E ) dV E d S V
S
El segundo miembro de esta última ecuación equivale a Q / 0 , por lo tanto hemos demostrado la ley de Gauss. Es decir:
E d S
S
Q 0
(Ley de Gauss)
DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF
( E ) d S 0
Tomando integral de superficie a la ecuación (2), tenemos:
S
Aplicando el teorema de Stokes a la ecuación anterior, queda:
S
( E ) d S E d C
El segundo miembro de esta última ecuación equivale a 0 , por lo tanto hemos demostrado la ley de Voltajes de Kirchhoff. Es decir:
E d 0 (Ley de Voltajes de Kirchhoff) C
OBTENCIÓN DE LA LEY DE COULOMB A PARTIR DE LA LEY DE GAUSS Como se señaló anteriormente, para estudiar la Electrostática en el vacío es suficiente conocer los dos Postulados Fundamentales que los rigen, porque a partir de ellos se pueden obtener otras relaciones, leyes y teoremas de la Electrostática. A continuación se muestra el procedimiento a seguir para la obtención de la Ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss.
Para ello vamos a considerar que tenemos una carga puntual “ q ”, ubicada en la posición r , respecto ´
al punto de referencia O , tal como se muestra en la figura. Para obtener la ley de Coulomb, a partir de la ley de Gauss, primero vamos a calcular la intensidad de
campo eléctrico E (debido a la carga q ) en el punto P , que se halla en la posición r , respecto a la referencia O . A continuación, calcularemos la fuerza eléctrica que experimenta una segunda carga Q , ubicada en el punto P , debido a la carga q .
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Por ley de Gauss:
E d S
S
Q 0
Como la superficie Gaussiana considerada
es una esfera de radio r r , al evaluar la
z
´
q
integral
Superficie Gaussiana
r r '
cerrada
r ' E
r
2
( E ) 4 r r ´
( E ) 4 r r ´ .
resulta
Luego, la expresión anterior es igual a:
P
2
y
O
q
q
E
0
2
4 0 r r ´
Vectorialmente sería:
q ( r r ')
E
3
4 0 r r ´
x
Si colocamos una carga puntual Q en el punto P del campo creado por la carga puntual q , la carga
Q experimenta una fuerza eléctrica F debido al campo eléctrico creado por q . Esta fuerza F está dada por:
F
F Q E
qQ ( r r ')
3
4 0 r r ' Esta última expresión dada es la que se conoce como ley de Coulomb.
2.3
POTENCIAL ELÉCTRICO
El potencial eléctrico es una cantidad escalar que se utiliza para expresar cuantitativamente la medición de los efectos del campo eléctrico en un punto de dicho campo. Dado que el potencial eléctrico es una cantidad escalar, entonces lleva el mismo signo de la carga que genera el campo eléctrico. Para dar la ecuación o ecuaciones correspondientes que nos permitan calcular el Potencial eléctrico, vamos a recordar las siguientes relaciones:
1) “El rotacional del gradiente de cualquier campo escalar es idénticamente cero (nulo)” Es decir, si suponemos que el campo escalar es el potencial eléctrico , entonces:
( ) 0 2) “Si un campo vectorial tiene rotacional nulo, entonces este campo vectorial puede expresarse como el gradiente de un campo escalar”
Es decir, si suponemos que el campo vectorial es la intensidad de campo eléctrico E , entonces:
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E 0 Luego, se cumple que:
E Donde el campo escalar es el potencial eléctrico.
Nota: el signo menos del gradiente del potencial eléctrico es porque el trabajo que se realiza para trasladar una carga de prueba es en contra de la dirección del campo eléctrico.
Se cumple asimismo que: 1) La diferencia de potencial entre los puntos B y A ( B P B
A ), viene dado por:
V V A d r d r B B A E d ; donde : dd P A
Donde:
BV : Potencial eléctrico en el punto B ( P ) B B AV A : Potencial eléctrico en el punto A ( P A ) 2) El potencial eléctrico en un punto B viene dado por : P B
V B B
Re f .
E d ; donde : dd drd r
Por convención se asume que en la referencia el potencial eléctrico es cero ( Re ferencia
0 ).
Se consideran como puntos de referencia el infinito y tierra, por lo tanto:
(Tierra ) 0
;
0
3) El potencial eléctrico en la posición r indicada en la figura, debido a una carga puntual “ q ”, viene dado por:
z
q
V
r r '
4 0 r r ´
P
q
r '
r O
y
x
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4) El potencial eléctrico en la posición r (ver figura), debido a una distribución continua de carga, viene dado por: z
Q
r r '
ddQ Q
P V
1 4 0
r 2
dQ
r r ´
r
r '
Donde:
dQ d : Para una distribución lineal.
dQ dV : Para una distribución volumétrica.
Sistema de referencia “fijo”
x
2.4
dQ dA : Para una distribución superficial.
y
O
ENERGÍA ELECTROSTÁTICA ( W E )
Es la energía que se almacena en un punto cualesquiera de un campo electrostático, debido a la presencia de este campo. En el caso de una distribución continua de carga, esta energía se puede calcular con la siguiente ecuación:
W E
1
2 V
0 E 2 dV
Donde: E = módulo o magnitud de la intensidad de campo eléctrico. * Se denomina densidad de energía electrostática ( w E ) a la cantidad de energía que almacena un campo electrostático por cada unidad de volumen. Por lo tanto, la energía electrostática W E , en función de w E , se puede expresar de la siguiente forma:
W E wE dV ;
Donde:
w E
V
1 2
0 E 2
Nota.- La intensidad de campo eléctrico E debido a una distribución continua de carga en el vacío, se halla con la siguiente ecuación: z
Q
r r '
ddQ Q
P
E
d E
1 4 0
dQ ( r r ´)
3
r r ´
r 2
r
r '
Donde:
dQ d : Para una distribución lineal. O x
Sistema de referencia
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y
dQ dA : Para una distribución superficial.
dQ dV : Para una distribución volumétrica.
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