Cap 1 Teorías de Falla

Cap. 1 Teorías de falla

CAPÍTULO 1:

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TEORÍAS DE FALLA

1.1 Introducción Todas las piezas de construcción, ya sean elementos de máquinas o elementos de estructuras, se deforman bajo la acción de fuerzas externas. A estas fuerzas externas se les oponen fuerzas que se originan al interior de la estructura del material y son tales que oponen resistencia a la deformación. Ellas son las denominadas fuerzas internas. En caso normal las fuerzas externas e internas se encuentran en equilibrio. Para la determinación de las fuerzas internas se emplea el método de las secciones. Por ejemplo, la pieza cilíndrica de la figura Fig. 1.1a se divide en dos partes mediante una sección imaginaria. Para recomponer el equilibrio se debe colocar a cada una de las partes la fuerza Fi. Esta es la fuerza interna o también denominada fuerza de sección. En la figura Fig. 1.1b se muestra otro ejemplo en el que además aparece un momento flector como momento interno o de sección. Estas fuerzas y momentos internos actúan como fuerzas de cohesión en la sección respectiva y son las que mantienen unidas entre sí a las partículas que componen el material. Si crecen las fuerzas externas, es decir, si crece la carga, entonces también crecen las fuerzas internas en el material.

Area transversal

(a)

(b)

Fig. 1.1

Fuerzas y/o momentos de sección: a) En un elemento sometido a tracción, b) en un elemento sometido a flexión.

Como medida de la solicitación de una pieza se utiliza el esfuerzo mecánico, simplemente denominado esfuerzo. Diremos entonces que el esfuerzo es la fuerza interna referida a una unidad de superficie, o dicho de otra manera: es la fracción de fuerza interna que puede soportar una unidad de superficie de la sección analizada.

Pontificia Universidad Católica del Perú

Sección Ingeniería Mecánica – Área de Diseño


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Solicitación de una pieza de construcción

Cargas

Vigas con eje recto o ligeramente curvado. Vigas, soportes, ...

y Fuerzas, momentos y Reacciones en apoyos y fuerzas de sección

Parámetros del área transversal

Estática (a = 0)

Área Condiciones cinemáticas (a ≠ 0)

cinética Configuración del área y Momento de inercia y Momento polar de inercia Parámetros (medidas) de la solicitación mecánica y Esfuerzos y Deformaciones y Trabajo de cambio de forma

y Criterios de falla y Solicitación permisible y Cargabilidad y Factores de seguridad y Tipo de carga (variable, continua)

Valores de resistencia obtenidos en ensayos de materiales y Resistencia estática y Resistencia en función del tiempo y Resistencia a la fatiga

Aspectos económicos, funciones y exigencias

Confiabilidad de los procesos de cálculo

y Formas constructivas recomendadas y Economía en el uso del material y Sustitución del material y Definicioones en el marco técnicoeconómico

y Causas, condicionamientos en el sistema técnico y Modelación (idealización) y Transmisión del modelo y Requerimientos técnicos especiales

Fig. 1.2

Factores que intervienen en el cálculo de una pieza por resistencia.




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La fuerza interna por unidad de área resistente se denomina resistencia. Los elementos de máquinas o de estructuras pueden ser solicitados de tal manera que no deben llegar a ser destruidos o que no alcancen deformaciones tales que el desempeño de sus funciones se vea afectado. En otras palabras: sus límites de resistencia no deben ser sobrepasados. Estos límites de resistencia de los diferentes materiales utilizados en ingeniería se determinan en el marco de los ensayos de materiales a través de pruebas de laboratorio y se denominan esfuerzos límite. En el presente Texto utilizaremos para los esfuerzos, casi exclusivamente, la unidad N/mm2, también conocida como Mega-Pascal, en honor al gran Pascal 1).

1.2 Tarea de la Resistencia de Materiales En la Resistencia de Materiales han sido desarrollados procedimientos de cálculo mediante los cuales se pueden determinar los esfuerzos y deformaciones que corresponden a determinados tipos de solicitación. Ello posibilita predecir si los esfuerzos en una pieza, como consecuencia de una cierta solicitación, están dentro de límites admisibles. O dicho en otras palabras: si la pieza es capaz de soportar la solicitación a que es sometida. Es decir, se puede predecir si la pieza fallará o no, o si ella se deformará excesivamente o no. La Fig. 1.2 muestra los factores que intervienen en un cálculo de esta naturaleza. Por otro lado es posible calcular las dimensiones necesarias de una pieza si es que se conocen las características del material y la magnitud de la solicitación. En otro caso, si se conocieran las dimensiones y características mecánicas del material, entonces se pueden calcular las máximas cargas externas que la pieza estaría en condiciones de soportar para ciertos márgenes de seguridad. En todos los cálculos de resistencia es necesario hacer simplificaciones o idealizaciones, pues en la realidad la verdadera distribución de esfuerzos en una pieza es muy complicada y es muy difícil de determinar a partir de procedimientos analíticos. La teoría de elasticidad proporciona algunos métodos analíticos muy complicados y con muchos condicionamientos y restricciones en su aplicación. Felizmente en los últimos años se han desarrollado métodos que permiten evaluar con muy buena aproximación los verdaderos esfuerzos. Entre ellos se pueden mencionar el método fotoelástico, el método de los elementos finitos y el método de los elementos de borde.

1.3 El ensayo de tracción Las propiedades de los materiales determinadas por la ciencia de los materiales mediante ensayos de laboratorio son condicionamientos muy importantes para la resistencia de los materiales. Para la determinación de las fuerzas internas bastan los métodos desarrollados en la estática de los cuerpos rígidos. Ellos pueden ser aplicados directamente también para los cuerpos deformables o elásticos, pues las deformaciones que éstos presentan son normalmente muy pequeñas.

1)

Blaise Pascal (1623 - 1662), filósofo y matemático francés.




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En la construcción de máquinas y de estructuras metálicas se utilizan muy a menudo los resultados que provee el ensayo de tracción según DIN 50145. En la Fig 1.3a se puede observar la probeta respectiva antes del ensayo. Ésta tiene sección circular de diámetro d0 y longitud de prueba sin deformar L0. Si se carga la probeta con una fuerza F (Fig. 1.3b) la probeta se estira en ∆L. Si la longitud en ese instante es L entonces diremos que el estiramiento es ∆L = L - L0. Se define:

ε=

Deformación unitaria:

∆L L − L0 = L0 L0

(1.1)

la cual es una relación cuyo valor es un número muy pequeño y por ello se acostumbra a expresarla en porcentaje: Def. unitaria en porcentaje:

ε=

∆L 100 % L0

(1.2)

estricción

(a) Fig. 1.3

(b)

(c)

Probeta para el ensayo de tracción según DIN 50145. a) Probeta sin carga, b) Probeta deformada en ∆L debido a la acción de la carga F (esfuerzo nominal σ<σP), c) Probeta al momento de la rotura.

Aparte de haberse estirado, la probeta ha disminuido en su diámetro transversal. Se define: Deformación transversal:

εq =

∆d d 0 − d = d0 d0

(1.3)

La relación entre la deformación transversal y la deformación unitaria se denomina módulo de Poisson1). Su valor depende del material y como dato referencial se puede mencionar que dicho módulo es 0,3 para los aceros. Módulo de Poisson:

1)

ν=

εq ε

(1.4)

Siméon-Dénis Poisson (1781, Phitiviers – 1840, París), físico francés.




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Si se hace crecer la fuerza F y se grafican los diversos valores de esfuerzo en función de la deformación unitaria obtendremos el denominado gráfico esfuerzo-deformación. En la figura 1.4 se muestra el mencionado gráfico para un acero de bajo contenido de carbono. La línea más gruesa indica el esfuerzo referido al área transversal inicial de la probeta A0 y se denomina esfuerzo nominal (σ = F/A0) mientras que la línea más delgada representa al esfuerzo referido al área transversal Ae y que se denomina esfuerzo efectivo (σe = F/Ae). Ambas gráficas están representadas en función de la deformación unitaria ε = ∆L/L0. La gráfica del esfuerzo efectivo está por encima de la otra puesto que éste está referido al área efectiva Ae. σ

σe σB

σ

σF σE σP σZ

σZ

ε Fig. 1.4

Diagrama esfuerzo-deformación para un acero de bajo contenido de carbono.

El esfuerzo aumenta en forma lineal hasta el límite de proporcionalidad σP. Esta región está representada por una recta denominada recta de Hooke1) en honor al descubridor de esta característica. La ley de Hooke establece que en la región de proporcionalidad, el esfuerzo es proporcional a la deformación. El factor de proporcionalidad se denomina módulo de elasticidad E. E=

Módulo de elasticidad:

σ ε

(1.5)

Análogamente existe en el rango de proporcionalidad el factor G (módulo de elasticidad transversal) que relaciona el esfuerzo de corte con el ángulo de distorsión:

τ (1.6) γ La relación entre el módulo de elasticidad E y el módulo de elasticidad transversal G es: Módulo de elasticidad transversal:

G=

1)

G=

E 2 (1 + ν )

(1.7)

Robert Hooke (1635, Freshwater/Insel Wright – 1703, London), físico inglés.




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En la tabla 1.1 se muestran algunas propiedades de materiales comúnmente utilizados en ingeniería.

Tabla 1.1

Densidad ρ, módulo de elasticidad E, módulo transversal de elasticidad G y coeficiente de dilatación lineal α para algunos materiales.

Material

ρ

E 3

N/mm

N/mm

7,2 7,4 7,85 2,7 11,35 8,96 8,4 2,4

100 000 170 000 210 000 70 000 16 000 120 000 80 000 60 000

40 000 68 000 80 000 27 000 6 000 47 000 31 000 24 000

0,7 0,7

11 000 8 000

5 500 -

kg/dm

Fundición gris Fundición templable Acero, acero fundido Aluminio Plomo Cobre Bronce Vidrio Madera: • en dirección de las fibras • perpendicular a las fibras

α

G 2

2

-6

10 /°K

10 10 12 24 29 17 18 8 0,4 5

Para esfuerzos mayores que σP la deformación aumenta más rápido que el esfuerzo nominal. Entonces la recta se convierte en una curva de muy pequeña curvatura. Hasta el límite de elasticidad σE el material se comporta en forma completamente elástica. Es decir, si se descarga la probeta, ésta recupera su forma y tamaño original. Apenas se sobrepasa este valor de σE se entra en el rango plástico del material. Ante una eventual descarga la probeta ya no recupera su tamaño original. En otras palabras, se producen deformaciones permanentes (plásticas). Como se puede ver en el gráfico analizado, los valores de σP y σE no son claros en el diagrama. Es más, sus valores están muy cercanos uno de otro y no son fácilmente medibles. El esfuerzo de fluencia σF sí es fácil de reconocer pues a ese nivel se produce una caída brusca del esfuerzo. Durante la fluencia se produce gran deformación del material sin que se eleve el esfuerzo. Una vez que ella termina es necesario aumentar la carga F para seguir deformando el material hasta llegar al límite de rotura σB. A partir de este valor ya no es posible elevar el valor del esfuerzo. Bajo una estricción (contracción) muy fuerte disminuye el esfuerzo nominal hasta el límite de desprendimiento σZ. En la técnica este valor no tiene significado práctico alguno. El esfuerzo de fluencia σF se denomina también límite de proporcionalidad Re y el límite de rotura σB se denomina también Resistencia a la tracción Rm. En el caso de materiales para los cuales no se presenta el fenómeno de fluencia (Fig. 1.5) y que por consiguiente no presentan un claro límite de fluencia, es usual utilizar el límite de deformación del 0,2% (σ0,2) en reemplazo del límite de proporcionalidad.




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σ σB σ0,2

ε ε = 0,2% Fig. 1.5

Diagrama esfuerzo-deformación para un acero de alto contenido de carbono (no presenta fluencia).

1.4 Materiales dúctiles y materiales frágiles

En función del comportamiento de los materiales en ensayos de tracción, podemos clasificar a éstos en dos grupos: • •

Materiales dúctiles Materiales frágiles

Los materiales dúctiles sufren relativamente mayor deformación que los frágiles para los mismos niveles de solicitación. Ello se nota en las gráficas de las figuras 1.6 y 1.7. ε

material frágil

material dúctil

σF

σ Fig. 1.6

Gráficos σ-ε para material dúctil y material frágil




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En general diremos que un material dúctil sufre una deformación mayor que el 5% al momento de la rotura, mientras que en el frágil la deformación está muy por debajo de este nivel. Por otro lado, en los materiales dúctiles se presenta la estricción antes de la rotura final (ver Fig. 1.3c), mientras que en los frágiles la rotura se produce con deformación transversal muy pequeña. El fenómeno de la fluencia es característica de algunos materiales dúctiles, como por ejemplo los aceros de bajo contenido de carbono.

Tabla 1.2

Resistencia a la tracción (σB) y esfuerzo de fluencia (σF) de algunas aleaciones ferrosas.

σB

Material

σF (σ0,2) 2

N/mm

N/mm2

Hierros fundidos grises (DIN 1691)

GG-15 GG-20 GG-25 GG-30 GG-35

150 ... 250 200 ... 300 250 ... 350 300 ... 400 350 ... 450

-

Fundiciones maleables (DIN 1692)

GTS-35-10 GTS-45-06 GTS-55-04 GTS-65-02 GTS-70-02 GTW-40-05 GTW-45-07

350 450 550 650 700 360 .. 420 400 ... 480

200 270 340 430 530 200 ... 230 230 ... 280

Hierros fundidos (DIN 1693)

GGG-40 GGG-50 GGG-60 GGG-70

370 ... 400 420 ... 500 550 ... 600 650 ... 700

240 ... 250 290 ... 320 340 ... 380 380 ... 440

Aceros fundidos (DIN 1681)

GS-38 GS-45 GS-52 GS-60

380 450 520 600

200 230 260 300

Aceros de construcción (DIN 17 100)

St 37-2 St 44-2 St 50-2 St 60-2 St 70-2

340 ... 470 410 ... 540 470 ... 610 570 ... 710 670 ... 830

195 ... 235 235 ... 275 255 ... 295 295 ... 335 325 ... 365

Aceros bonificables (DIN 17 200)

C 35, Ck 35 C 45, Ck 45 C 60, Ck 60 34 Cr 4 34 CrMo 4 42 CrMo 4 50 CrV 4 30 CrNiMo 8

550 ... 780 630 ... 850 750 ... 1000 700 ... 1100 700 ... 1200 750 ... 1300 800 ... 1300 900 ... 1450

320 ... 430 370 ... 500 450 ... 580 460 ... 700 450 ... 800 500 ... 900 600 ... 900 700 ... 1050




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acero de alta resistencia

acero de mediana resistencia

metal no ferroso fundición gris

Gráficos σ-ε para diferentes materiales.

Fig. 1.7

En las siguiente tablas se presentan algunas relaciones interesantes entre los parámetros de resistencia de las aleaciones ferrosas. Tabla 1.3

Parámetros de resistencia de aceros y hierros fundidos sometidos a carga estática o cuasi-estática (σB y σF ó σ0,2 según la tabla 1.2, fq según la tabla 1.4) Material

Tipo de carga Acero

σB

σF (ó σ0,2)

σB

σcB ≈ σB

σcF ≈ σF

σcB ≈ 4 σB

σfB ≈ fq σB

σf F ≈ fq σF

σfB ≈ fq σB

Corte

τcB ≈ 0,8 σB

-

τcB ≈ σB

Torsión

τtB ≈ 0,7 σB

τtF ≈ 0,6 σF

τtB ≈ σB

Tracción Compresión Flexión

Tabla 1.4 Sección

1)

Fundición gris

Factor de forma de sección fq 1) para flexión estática fq

Sección

fq

Sección

fq

≈ 1,05

≈ 1,2

≈ 1,4

≈ 1,15

≈ 1,2

≈ 1,5

El factor de forma de sección para flexión estática es la relación σfF/σF (o también σfB/σB).




1.5

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Criterios de falla

Hasta ahora se han visto algunos aspectos del proceso del cálculo de piezas de máquinas o de estructuras por resistencia. Temas importantes como la evaluación de las cargas sobre una pieza así como las fuerzas de reacción que originan y la determinación de fuerzas y momentos de sección han sido tratados al detalle en el curso de Estática. Además, en un curso introductorio de Resistencia de Materiales se analizaron los esfuerzos ocasionados por un determinado tipo de carga individual (carga axial o torsión o flexión pura, por ejemplo). En esos casos los esfuerzos ocasionados podían ser relacionados directamente con experimentos análogos para el mismo material. Tomando como base tal evidencia experimental se aprendió a preveer, ciertamente con un cierto margen razonable de exactitud, el comportamiento de las piezas con respecto al inicio de la fluencia o rotura de una cierta pieza. La respuesta de un material al esfuerzo uniaxial o al esfuerzo cortante puro se puede representar en un diagrama σ-ε. Sin embargo ello no será posible para el caso en que debido a una solicitación compleja del elemento se origine un estado combinado de esfuerzos, lo cual se presenta a menudo en los elementos de máquinas o de estructuras. Habrá que establecer entonces criterios de comportamiento para esos casos para poder así predecir la falla o no del elemento.

1.6 Definición de falla

Un elemento de máquinas o estructural falla, cuando deja de cumplir las funciones para las cuales fue diseñado. A partir de esta definición se pueden establecer los siguientes tipos de falla: • • •

falla por resistencia falla por deformación falla por estabilidad

En la falla por resistencia se producen esfuerzos de tal magnitud que superan los límites de resistencia del material. Estos límites están dados por la fluencia en materiales dúctiles y por la rotura en materiales frágiles. Cuando se diseña un elemento de tal manera que en ningún punto de él se alcance la resistencia límite del material se dice que el elemento se calcula por resistencia.

& para materiales ductiles ⎧σ σ Lim = ⎨ F & ⎩σ R (σ B ) para materiales fragiles En la falla por deformación el elemento alcanza deformaciones que sobrepasan valores de deformación permisibles aún sin haber alcanzado los límites de resistencia del material. Cuando se diseña un elemento de tal manera que ésto no ocurra se dice que el cálculo es por rigidez. En la falla por estabilidad el estado de equilibrio del elemento alcanza un nivel de inestabilidad tal que se produce un cambio brusco a un nivel de equilibrio más estable. Este cambio va acompañado generalmente de grandes deformaciones que hacen que el




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elemento colapse. Ejemplos de ello son el pandeo de elementos esbeltos sometidos a compresión o la abolladura de cilindros de paredes delgadas. Este tipo de falla será especialmente analizado en el capítulo de pandeo.

1.7 Teorías de falla y esfuerzo equivalente

Hemos visto que las propiedades de resistencia (como σB y σF) se determinan a partir de ensayos de tracción según DIN 50145 y por consiguiente están referidas a estados de esfuerzo uniaxial. La Fig. 1.8 muestra una pieza solicitada por una fuerza axial F. Se trata de analizar un punto cualquiera del elemento para preveer si falla o no. El esfuerzo de tracción representado en el elemento diferencial mostrado se puede comparar directamente con un elemento diferencial de una probeta del mismo material sometida a tracción al momento de la falla.

σt

F

Fig. 1.8

σt

F

Elemento sometido a carga axial.

La comparación en este caso es directa y se puede afirmar, independientemente del mecanismo real que causa la falla en el material, que mientras σt sea menor que σLim no se producirá la falla del elemento. Como conclusión se puede afirmar que un elemento sometido sólo a tracción no falla si se cumple que el esfuerzo originado por la solicitación axial no iguala al esfuerzo límite del material (el cual se determina a través de un ensayo de tracción). Es decir, se debe cumplir que σ t ≤ σ Lim . Ahora bien, el mismo razonamiento nos llevaría a afirmar que un elemento sometido sólo a torsión (Fig. 1.9) no fallaría si el esfuerzo de corte producido en el punto más solicitado de la sección no iguala al esfuerzo de corte límite del material (el cual se determina en un ensayo de torsión para una probeta del mismo material del elemento). Es decir, τ t ≤ τ Lim .

τmax

Fig. 1.9

Elemento sometido a torsión. El elemento diferencial representa a un punto cualquiera de la superficie del elemento, el cual está sometido al máximo esfuerzo de corte que aparece en el elemento.




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Sin embargo en la mayoría de los casos prácticos de la técnica se presentan mas bien solicitaciones combinadas que originan estados de esfuerzos complejos en los que se tienen, en general, esfuerzos normales debidos a carga axial, esfuerzos debidos a flexión, esfuerzos de corte debidos a torsión y esfuerzos de corte longitudinal. Ahora bien, la pregunta es: cómo podríamos prever si un tal elemento falla o no?. En otras palabras: cómo podríamos relacionar un estado general de esfuerzos con los resultados de un ensayo de tracción para predecir la falla o no del elemento?. Para ilustrar esta última cuestión analizaremos la pieza de la Fig. 1.10. En ella el elemento está solicitado por una carga F. En un punto cualquiera del elemento, como el mostrado, se produce un estado plano de esfuerzos. F

σx

τxy

F

σx

σ1 σ2 (b)

(a)

Fig. 1.10 Pieza bajo la acción de carga flexionante, a) un punto cualquiera como el mostrado está sometido a estado de esfuerzo plano, b) el mismo estado de esfuerzos representado por los esfuerzos principales.

Está claro que este estado de esfuerzos (Fig. 1.10a) es diferente al estado uniaxial de esfuerzos que se produciría en una probeta del mismo material, por lo tanto, una comparación directa ya no es posible. Sabemos que para el punto analizado es posible hallar los esfuerzos principales que representan un estado equivalente de esfuerzos (ver Fig. 1.10b). Sin embargo, y a pesar de la simplificación efectuada, tampoco es posible una comparación directa con el estado uniaxial de esfuerzos de la probeta a tracción. Entonces se hace necesario establecer criterios referentes al mecanismo real de falla del material, para a través de ellos, comparar un estado general de esfuerzos con el estado de esfuerzos en la probeta. En la Fig. 1.11 se muestra en forma esquemática el camino de solución para resolver el problema planteado y que permite hacer la comparación de ambos estados de esfuerzos en el material. σy τyz τzy

σ2

σ1

τyx

τxy

τzx τxz

σz

σ3

σx

⇒

⇒ σ1

(a)

σeq

σeq

σ2 (b)

σ3

(c)

Fig. 1.11 Obtención del esfuerzo equivalente a partir del estado general de esfuerzos: a) Estado general de esfuerzos, b) esfuerzos principales y c) esfuerzo equivalente.




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El paso del estado general de esfuerzos (Fig. 1.11a) al estado triaxial representado por los esfuerzos principales (Fig. 1.11b) ha sido ya estudiado en el primer curso de Resistencia de Materiales y a manera de repaso se resumirá el procedimiento para hallar dichos esfuerzos principales. Sea S la matriz que representa al tensor estado general de esfuerzos: ⎡σ x ⎢ S = ⎢τ yx ⎢τ zx ⎣

τ xy σy τ zy

τ xz ⎤ ⎥ τ yz ⎥ σ z ⎥⎦

(1.1)

Entonces, los valores propios de esta matriz S son los esfuerzos principales, mientras que los vectores propios son las direcciones principales. En general se debe cumplir que:

(S − σ E ) n = 0

(1.2)

donde E es la matriz unidad, σ es uno cualquiera de los esfuerzos principales y n es la matriz columna que representa al vector dirección principal correspondiente. Para que no haya solución trivial:

es decir:

S −σ E =0

σx −σ τ xy τ xz ! τ yx σy −σ τ yz = 0 τ zx τ zy σz −σ

(1.3)

El desarrollo de este determinante da lugar a una ecuación polinómica de tercer grado denominada ecuación característica:

σ 3 − I1 σ 2 + I2 σ − I3 = 0 donde:

(1.4)

I1 = σ x + σ y + σ z I 2 = σ x σ y + σ y σ z + σ x σ z − τ 2xy − τ 2yz − τ 2xz

I3

σx = τ yx τ zx

τ xy σy τ zy

τ xz τ yz σz

Los coeficientes I1, I 2 e I 3 son las denominadas invariantes del tensor esfuerzo. Las raíces de la ecuación característica son reales (pues la matriz S es simétrica) y constituyen los esfuerzos principales σ1 , σ2 y σ3 , los cuales aplicados uno a uno a la ecuación (1.2) r r r determinan las correspondientes direcciones principales n1 , n2 y n3 .




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El paso del estado triaxial (Fig. 1.11b) al de un estado “equivalente” uniaxial (Fig. 1.11c) no es posible en forma analítica. La única manera de hacerlo es a través de suposiciones sobre el mecanismo real de falla. Estas suposiciones han sido presentadas por diferentes grupos de científicos y se conocen como teorías o hipótesis de falla. Debe estar claro que el esfuerzo equivalente σeq, sea cual fuere la teoría de falla utilizada, estará en función de todas las componentes del estado general de esfuerzos:

o lo que es lo mismo:

σeq = σeq (σx, σy, σz, τxy, τyz , τxz,)

(1.5)

σeq = σeq (σ1, σ2, σ3)

(1.6)

Ahora sí es posible una comparación directa entre el estado de esfuerzo “equivalente” uniaxial y el de la probeta al momento de producirse la falla. Entonces podemos decir que no se producirá la falla del elemento si garantizamos que

σeq (σ1, σ2, σ3) < σLim

(1.7)

Como cualquier hipótesis en la ciencia de la mecánica de los materiales, ninguna de las hipótesis de falla es de aplicación universal y mas bien encuentran sus propios campos de aplicación en función del tipo de material. Algunas darán mejores resultados, es decir, resultados más cercanos a la realidad, cuando sean aplicadas a materiales dúctiles y otras serán más convenientes de usar para preveer la falla de materiales frágiles. No es objetivo de este capítulo mostrar todas las hipótesis de falla existentes, si no mas bien las más utilizadas en la mecánica aplicada: •

Para materiales dúctiles: - Teoría del máximo esfuerzo cortante (Tresca) - Teoría de la máxima energía de distorsión (von Mises)

•

Para materiales frágiles: - Teoría del máximo esfuerzo normal (Rankine) - Teoría de Mohr

1.7.1 Teoría del máximo esfuerzo cortante (Tresca , Guest & Mohr)

Esta teoría fue aparentemente propuesta por C.A. Coulomb 1) en 1773. Sin embargo fue H. Tresca 2) quien la mencionó formalmente en 1868 de la siguiente manera. “Un material falla cuando el esfuerzo cortante máximo resistente iguala el valor del esfuerzo cortante de una probeta sometida a tracción en el momento de la fluencia”. Este criterio se basa en la observación de que la fluencia en los materiales dúctiles es causada por el deslizamiento a lo largo de superficies oblicuas y se debe primordialmente a esfuerzos cortantes.

1) 2)

Charles Augustin Coulomb (1736 – 1806), científico francés. Henry Tresca presenta en 1868 su trabajo acerca del flujo de metales a grandes presiones ante la Academia Francesa y allí menciona por primera vez su famosa teoría.




•

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Caso de estado uniaxial de esfuerzos La Fig. 1.12a muestra una pieza sometida a carga uniaxial, el cual sería el caso de una probeta sometida a ensayo de tracción. Si analizamos una sección cualquiera del elemento que forme el ángulo ϕ con una sección transversal (Fig. 1.12b) obtendremos las siguientes fuerzas de sección: FN = F cos ϕ Ft = F sen ϕ

FN F F Ft

A Area oblícua A(ϕ ) = cos ϕ

Area transversal A

(a)

(b)

Fig. 1.12 a) Elemento sometido a tracción, b) Fuerzas internas en una sección oblicua.

A esas fuerzas internas corresponden los siguientes esfuerzos: FN F = cos 2 ϕ A(ϕ ) A Ft F τ (ϕ ) = = sen ϕ cosϕ A(ϕ ) A

σ (ϕ ) =

(1.8) (1.9)

Si llamamos σ0 al esfuerzo normal en una sección transversal (ϕ =0) entonces: F σ0 = A 1 + cos 2ϕ Utilizando las relaciones trigonométricas cos 2 ϕ = 2 1 y sen ϕ cosϕ = sen 2ϕ 2 obtenemos de (1.8) y (1.9):

σ (ϕ ) =

σ0

τ (ϕ ) =

σ0

2

2

(1 + cos 2ϕ )

(1.10)

sen 2ϕ

(1.11)

La Fig. 1.13 muestra las gráficas de σ (ϕ ) y τ (ϕ ) en función del ángulo ϕ . Los valores extremos de esfuerzo cortante se presentan correspondientemente en planos que forman 45° con el eje longitudinal del elemento. De la expresión (1.10) se observa que dichos σ valores son: τ max = ± 0 . 2




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Esfuerzo normal σ(ϕ) Esfuerzo de corte τ(ϕ)

ϕ

Fig. 1.13 Gráficas de σ(ϕ) y τ(ϕ) en función del ángulo ϕ.

En el caso de un elemento sometido a carga axial de compresión se presenta la misma característica respecto de la influencia del esfuerzo cortante en planos oblicuos a 45° del eje longitudinal de la pieza (ver Fig. 1.14).

Fig. 1.14 Falla de un elemento sometido a carga axial de compresión.

Esto se puede ver de otra manera si usamos el círculo de Mohr para representar los esfuerzos en el punto analizado del elemento sometido a tracción (Fig. 1.15). τ τmax = σ0 90° 0 -

90°

σ0

σ

σ0 2

Fig. 1.15 Círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos en un punto cualquiera de un elemento sometido sólo a tracción.

En dicha figura se puede notar que si rotamos 90° en sentido horario o antihorario en el círculo de Mohr respecto del eje que representa al eje longitudinal de la pieza (eje de las abscisas), o lo que es lo mismo, si giramos 45° en uno u otro sentido respecto del eje longitudinal de la pieza analizada, estaremos ante un estado de esfuerzos equivalente en




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el que el esfuerzo cortante es justamente el máximo que se podría alcanzar, es decir, ±σ0/2. Ello coincide con el análisis realizado anteriormente. Ahora bien, a partir de las observaciones realizadas, podríamos expresar con cierta justeza que en los materiales dúctiles los esfuerzos cortantes juegan un papel importante en el mecanismo que ocasiona la fluencia. Entonces, sea cual fuere el estado de esfuerzos a que está sometido un elemento de material dúctil, la teoría del máximo esfuerzo cortante dice que para que no falle el elemento, el máximo esfuerzo cortante no debe igualarse con el máximo esfuerzo cortante que actúa en una probeta del mismo material al momento mismo de ocurrir la falla, es decir, al momento de iniciarse la fluencia. El siguiente paso será la determinación de este esfuerzo. La Fig. 1.16 muestra el círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos en la probeta de tracción al momento de iniciarse la fluencia. τ τmax = τF =

σF 2

0 -

σF

σ

σF 2

Fig. 1.16 Círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos en un punto cualquiera de una probeta de tracción al momento de alcanzar la fluencia.

De dicho círculo se ve claramente que el esfuerzo de corte máximo al momento de la fluencia es: σ (1.12) τF = F 2 •

Caso de estado general de esfuerzos Ya hemos visto que independientemente de cualquier hipótesis de falla y gracias a una simple transformación de coordenadas, un sistema general de esfuerzos puede ser representado por un estado triaxial de esfuerzos en el que solamente actúan los tres esfuerzos principales según las direcciones principales correspondientes. La tarea que nos podemos plantear a continuación sería la de evaluar el esfuerzo cortante máximo que se originaría en el caso del estado triaxial de esfuerzos. Para ello tendremos que distinguir los diferentes casos que se derivan del signo de los esfuerzos principales.




Pág. 1-18

- Si σ1 > σ2 > σ3 ≥ 0

(ver Fig.1.17) τ

τ max =

τmax

0

σ3

σ2

σ1

σ1 −σ3 2

σ

Fig. 1.17 Círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos triaxial para el caso en que σ1 > σ2 > σ3 ≥ 0.

τ max =

Para que no ocurra la falla, según la TMEC:

σ1 −σ3 2

σ1 −σ3 < σF

Es decir: - Si σ3 < σ2 < σ1 ≤ 0

σF

< τF =

2

(i)

(ver Fig.1.18) τ τmax

σ3

Fig. 1.18

σ2

σ1

τ max =

σ1 −σ 3 2

σ

0

Círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos triaxial para el caso en que σ3 < σ2 < σ1 ≤ 0.

τ max =

Para que no ocurra la falla, según la TMEC: Es decir:

2

σ1 −σ 3 < σ F

- Si σ1 > σ2 > σ3 donde σ1 ≥ 0 y σ3 ≤ 0 según la TMEC, para que no ocurra la falla:


σ1 −σ 3

< τF =

σF 2

(ii)

(ver Fig.1.19)

τ max =

σ1 −σ3 2

< τF =

σF 2



Pág. 1-19

τ τmax

σ3

σ2

0

τ max =

σ1

σ1 −σ3 2

σ

Fig. 1.19 Círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos triaxial para el caso en que σ1 > σ2 > σ3 y σ1 y σ3 tienen diferentes signos.

σ1 −σ3 < σF

Es decir:

(iii)

Las expresiones (i), (ii) y (iii) se pueden generalizar en una sola:

σ1 −σ 3 < σ F

(1.13)

Si es que ahora observamos nuevamente la Fig. 1.11c y recordamos las consideraciones que nos llevaron a la expresión 1.7, podemos concluir que para el caso del estado general de esfuerzos y según la TMEC:

σ eq = σ 1 − σ 3

(1.14)

donde σ1 > σ2 > σ3 para cualesquiera signos de σ1, σ2 y σ3.

•

Estado plano de esfuerzos

(σ3 = 0)

Aquí consideraremos dos casos para el análisis, de acuerdo a los signos de los esfuerzos σ1 y σ2 . - Si σ1 y σ2 tienen el mismo signo En la Fig. 1.20 se ve claramente que el esfuerzo cortante máximo es:

τ max =

σ1 2

Según la TMEC la falla no se produce Fig. 1.20 Círculo de Mohr para estado plano de esfuerzos: σ1 y σ2 tienen el mismo signo.

si:

τ max =

Es decir:


σ1 2

< τF =

σF 2

σ 1 < σ F.



Pág. 1-20

Si consideramos que σ2 podría ser mayor que σ1, entonces se tendría que cumplir que:

τ max =

σ2 2

< τF =

σF

σ 2 < σ F.

⇒

2

La condición de no-falla para ambas posibilidades será: σ1 < σF ∧ σ2 < σF

(1.15)

Ahora viene la posibilidad adicional de que ambos esfuerzos principales σ1 y σ2 sean negativos, por lo cual tendremos que reescribir la expresión 1.15 para que quede en ella la consideración de esta última posibilidad:

σ 1 < σF

∧

σ 2 < σF

(1.16)

- Si σ1 y σ2 tienen diferente signo τ max =

En la Fig. 1.21 se ve que el esfuerzo cortante máximo es:

σ1 + σ2 2

τ max = σ2

σ1

σ1 + σ2 2

Según la TMEC, la falla no se produce si: σ + σ2 σ < τF = F τ max = 1 2 2

Fig. 1.21 Círculo de Mohr para estado plano de esfuerzos: σ1 y σ2 tienen diferente signo.

σ 1 + σ 2 < σ F.

Es decir:

(1.17)

Si graficamos las relaciones (1.16) y (1.17) en un plano σ1 vs. σ2 (Fig.1.22) obtendremos el denominado hexágono de Tresca. σ2 σF

σF

- σF

σ1

- σF Fig. 1.22 Criterio de fluencia basado en la teoría del máximo esfuerzo cortante o de Tresca.

Si el punto que representa un estado cualquiera de esfuerzo plano (σ1, σ2) está dentro del hexágono de Tresca, se interpreta como que el elemento no fallará.




Pág. 1-21

Ejemplo 1.1: Aplicación para el caso de estado plano de esfuerzos en que actúan σx y τxy. ⎛σ ⎞ 2 = ⎜ x ⎟ + τ xy ⎝ 2 ⎠ 2

En este caso

τ max

No hay falla si

σ 1 σ x 2 + 4 τ xy 2 < F 2 2 σ eq =

Por consiguiente:

τ max =

⇒

1 σ x 2 + 4 τ xy 2 . 2

σ x 2 + 4 τ xy 2 < σ F .

⇒

σ x 2 + 4 τ xy 2

(1.18)

1.7.2 Teoría de la máxima energía de distorsión (von Mises1), Hencky y Huber)

Esta teoría se basa en conceptos de energía de deformación. La energía elástica total de deformación se puede dividir en dos partes: una relacionada con los cambios volumétricos del material, y otra que causa distorsiones por corte. A partir de ello se hace el siguiente enunciado, que constituye el criterio de falla de von Mises: “La falla se produce si el valor de la energía de distorsión por unidad de volumen del material es igual a la energía de distorsión por unidad de volumen requerida para causar fluencia en una probeta de prueba a tracción del mismo material”. El siguiente paso será, por consiguiente, evaluar la energía de distorsión para el estado general de esfuerzos. El tensor esfuerzo correspondiente a los tres esfuerzos principales se puede descomponer en dos tensores:

⎛σ 1 0 ⎜ ⎜ 0 σ2 ⎜ 0 ⎝ 0 donde

σ =

0 ⎞ ⎛σ 0 0⎞ ⎛σ 1 − σ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0 σ 0⎟ + ⎜ 0 σ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 σ ⎟⎠ ⎜⎝ 0

σ1 +σ2 +σ3 3

0

σ 2 −σ 0

⎞ ⎟ 0 ⎟ σ 3 − σ ⎟⎠ 0

(1.19)

es el denominado tensor hidrostático medio.

El primer tensor está relacionado directamente a la dilatación del cubo elemental en estudio y por ello se le llama tensor esfuerzo dilatacional. El segundo tensor está relacionado a la distorsión del elemento y recibe el nombre de esfuerzo distorsional o desviatorio. De acuerdo a lo dicho podemos dividir la energía total de deformación elástica en dos partes: la relativa a la actuación del esfuerzo dilatacional y la relativa al esfuerzo distorsional.

Utotal = Udilat + Udist 1)

(1.20)

En realidad fue el italiano E. Beltrami, quien en 1885 intentó utilizar la energía total de deformación como criterio de fluencia. En 1904, el polaco M.T. Huber propuso la teoría en su forma actual y posteriormente fueron el alemán R. von Mises (1913) y el americano H. Hencky (1925) quienes la desarrollaron y explicaron más a fondo.




Pág. 1-22

Evaluación de la energía total: U total =

1 (σ 1 ε 1 + σ 2 ε 2 + σ 3 ε 3 ) 2

ε1 =

La ley de Hooke generalizada establece que:

ε2 = ε3 =

σ1 E

σ2 E

σ3 E

− − −

ν E

ν E

ν

E

(1.21)

(σ 2 + σ 3 ) (σ 1 + σ 3 ) (σ 1 + σ 2 )

Reemplazando estas tres expresiones en la de energía total (1.21) y ordenando se obtiene:

Utotal =

1 ν σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 − (σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 1σ 3 ) E 2E

(

)

(1.22)

La energía por cambio de volumen se puede evaluar reemplazando en la ecuación 1.22 los términos σ1, σ2 y σ3 por el valor del esfuerzo hidrostático medio σ :

U dilat =

3 (1 − 2ν ) 2 1 − 2ν σ = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 2 2E 6E

(1.23)

La energía de distorsión la podemos evaluar simplemente restando la expresión (1.23) de la (1.22) y recordando de (1.7) que G = E / 2(1+ν):

U dist =

1 [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] 12 G

Para el caso de tracción pura (σ2 = σ3 = 0) la energía de distorsión será:

(1.24)

Ud =

1 σ 12 6G

Por consiguiente, en el instante de la fluencia la energía de distorsión será:

Ud F =

1 σ F2 6G

(1.25)

Según la TMED o de von Mises, no se produce falla si:

U dist =

1 1 [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] < U d F = σ F2 12 G 6G

o lo que es lo mismo, si se cumple que:

(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 2


< σF.

(1.26)



Pág. 1-23

Si es que observamos nuevamente la Fig. 1.11c y la expresión (1.7), podemos concluir que para el caso del estado general de esfuerzos y según la TMED:

σ eq =

•

(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 2

(1.27)

(σ3 = 0)

Estado plano de esfuerzos

La energía de distorsión será según (1.24) es:

U dist =

1 (σ 1 2 − σ 1 σ 2 + σ 2 2 ) 6G

Según von Mises, la condición de “no falla” es: U dist =

1 1 (σ 1 2 − σ 1 σ 2 + σ 2 2 ) < U d F = σ F2 6G 6G

σ 12 + σ 2 2 − σ 1 σ 2 < σ F

Es decir: y por consiguiente:

σ eq =

(1.28)

σ 12 + σ 2 2 − σ 1 σ 2

(1.29)

Si graficamos la relación (1.28) en un plano σ1 vs. σ2 (Fig.1.23) obtendremos la denominada elipse de von Mises. Si un punto que representa un estado cualquiera de esfuerzo plano (σ1, σ2) está dentro de la elipse, diremos que el elemento, según von Mises, no fallará. σ2 σF

- σF

σF

σ1

- σF Fig. 1.23 Criterio de fluencia basado en la teoría de la máxima energía de distorsión o de von Mises.

A continuación se presenta un ejemplo de aplicación de está teoría, muy común en elementos de máquinas como ejes de transmisión de potencia, en que se presentan esfuerzos normales debidos a flexión y esfuerzos de corte debidos a torsión.




Pág. 1-24

Ejemplo 1.2: Aplicación para el caso de estado plano de esfuerzos en que actúan σx y τxy. En este caso σ3=0 y según (1.28) la condición de “no falla” será:

σ 12 + σ 2 2 − σ 1 σ 2 < σ F Recordando la teoría del círculo de Mohr (Fig, 1.24) para la determinación de los esfuerzos principales: σ 1 σ1 = x + σ x 2 + 4 τ xy 2 τ 2 2 σx 1 σ2 = − σ x 2 + 4 τ xy 2 . τxy 2 2 σ2

σ

σx σ1

Reemplazando σ1 y σ2 en la condición de no falla se obtiene:

-τxy

σ x 2 + 3 τ xy 2 < σ F Fig. 1.24 Círculo de Mohr para estado plano de esfuerzos en que actúan σx y τxy.

Es decir: σ eq =

1.7.3 Teoría del máximo esfuerzo normal

σ x 2 + 3 τ xy 2

(1.30)

(Rankine 1) )

Según esta teoría “la falla se produce cuando el esfuerzo normal máximo alcanza el esfuerzo límite del material obtenido en un ensayo de tracción”. Por consiguiente, para aplicar este criterio sólo se debe determinar el mayor de los esfuerzos principales. Los resultados experimentales indican que esta teoría arroja buenos resultados para materiales frágiles. En dicho caso el esfuerzo límite corresponde al esfuerzo de rotura.

•

Estado triaxial de esfuerzos - Si σ1 > σ2 > σ3 ≥ 0

⇒

no falla si σ1 < σRt

⇒

σeq = σ1

(1.31)

- Si σ3 < σ2 < σ1 ≤ 0

⇒

no falla si σ 3 < σRc ⇒

σeq = σ 3

(1.32)

- Si σ1 > σ2 > σ3 , σ1 ≥ 0, σ3 ≤ 0 ⇒ no falla si σ1 < σRt ∧ σ 3 < σRc ⇒ σeq = σ1 ∨

1)

σeq = σ 3

(1.33)

W.J.M. Rankine (1820 - 1872), científico británico.




•

Pág. 1-25

(σ3 = 0)

Estado plano de esfuerzos - Si σ1 y σ2 positivos

⇒

- Si σ1 y σ2 negativos

⇒

- Si σ1 y σ2 de diferente signo

σ1 < σRt ∧ σ2 < σRt

no hay falla si no hay falla si ⇒

σ 2 < σRc ∧ σ 1 < σRc

no hay falla si:

σ1 < σRt

∧

σ2

<

σRc o si:

σ2 < σRt

∧

σ 1 < σRc

De manera análoga a las otras teorías descritas, si graficamos estas relaciones en un plano σ1 vs. σ2 obtendremos el polígono mostrado en la Fig. 1.25. Si un punto que representa un estado cualquiera de esfuerzo plano (σ1, σ2) está dentro del polígono, diremos que el elemento, según esta teoría, no fallará. σ2 σRt -σRc

0

σRt

σ1

-σRc Fig. 1.25 Criterio de falla para materiales frágiles basado en la teoría del máximo esfuerzo normal.

1.7.4 Teoría de Mohr 1)

Primero se realizan diferentes experimentos con probetas de material frágil: una prueba de tracción, una de compresión y una de corte puro. Si graficamos los círculos de Mohr que representan cada uno de los experimentos mencionados al momento de la rotura, obtendremos la figura 1.26. Es lógico pensar que cualquier círculo de Mohr que está dentro de alguno de los tres círculos dibujados representará un estado de esfuerzos que no causa falla (en este caso rotura) en el material. Mohr establece que una evolvente a dichos círculos definirá una evolvente de falla. Es decir, los círculos tangentes a dicha evolvente definen a su vez los valores de σ1 y σ2 para los cuales se produce la condición de falla.

1)

Otto Mohr (1835, Wesselburen / Holstein – 1918, Dresden), ingeniero alemán.




Pág. 1-26

τ

Evolvente de falla (Mohr) Círculo para compresión al momento de la rotura

Círculo para corte puro al momento de la rotura

τR

Círculo para tracción al momento de la rotura

σRc

σRt

0

σ

Fig. 1.26 Evolvente de Mohr.

Si graficamos los puntos (σ1, σ2) que representan a estos círculos entonces obtendremos el polígono de falla para la teoría de Mohr (Fig. 1.27) σ2 σRt -σRc

0

σRt

σ1

-σRc

Fig. 1.27

Criterio de falla para materiales frágiles basado en la teoría de Mohr.

En la práctica se suele reemplazar las partes curvas referentes a la evolvente de Mohr con rectas. Al gráfico resultante se le denomina polígono simplificado de la teoría de Mohr. σ2 σRt -σRc

0

σRt

σ1

-σRc Fig. 1.28

Criterio de falla para materiales frágiles basado en la teoría de Mohr modificada.




Pág. 1-27

1.8 Incertidumbre y factor de seguridad

Siempre que se hace el cálculo de algún elemento se tiene la incertidumbre de si va a cumplir su función tal como se espera que lo haga. Entre otras preguntas que uno se puede hacer están las de: ¿resistirá?, ¿se deformará excesivamente?. El motivo de estas preguntas radica en algunas dudas, tales como: • • • • • •

¿tendrá el material la resistencia que se especifica en el catálogo o la norma? ¿se hará el tratamiento térmico en forma adecuada? ¿será correcta la teoría aplicada? ¿se presentará alguna sobrecarga? ¿habrán vibraciones? ¿se está asumiendo lo correcto al no poder evaluar exactamente alguna carga?

1.8.1 Incertidumbre en el diseño

• Debido a los métodos de análisis: Todos los métodos de diseño están basados en ciertas hipótesis simplificatorias. Los esfuerzos calculados son sólo aproximaciones a las reales. •

Variaciones en las propiedades del material: La composición, resistencia y dimensiones de los materiales están sujetas a pequeñas variaciones en su manufactura.

•

Tipo de carga: No se conoce con exactitud tipo de carga (son aproximaciones). Se requiere tener en cuenta efectos dinámicos (entre impacto y aplicación progresiva o estática de la carga).

•

Tipo de falla: Los materiales dúctiles sufren deformaciones considerables que dan aviso antes de la falla, mientras que los materiales frágiles fallan súbitamente, sin advertencia. La falla por inestabilidad o pandeo es repentina. Cuando existe posibilidad de falla súbita debe usarse mayor factor de seguridad.

•

Mantenimiento y condiciones ambientales: Desgaste y corrosión son difíciles de controlar. Operación en temperaturas distintas a las normales (dilataciones, esfuerzos, enfriamientos, frágilidad).

•

Efecto de maquinado y proceso de conformación: Pueden introducir efectos de concentración de tensiones; tratamientos térmicos mal efectuados.

•

Efecto del tamaño en la determinación de propiedades: Las tablas de propiedades (a menos que se indique otras condiciones) listan valores para especímenes de tamaño normalizado; componentes más grandes pueden fallar a esfuerzos menores, como en la solicitación cíclica (fatiga).

•

Riesgo para la vida y propiedad.




Pág. 1-28

Para tomar en cuenta estas fuentes de incertidumbre se introduce el factor de seguridad (FS). Basándose en la práctica, en cada rama de las diversas disciplinas de ingeniería, se sientan métodos y exigencias de acuerdo a las cuales se señalan factores de seguridad recomendados o directamente esfuerzos admisibles. 1.8.2 Factor de seguridad:

Con el Factor de Seguridad (FS) se tratan de cubrir las dudas o incertidumbre que se presenten durante el cálculo. Se define como una relación numérica de la siguiente manera: el factor de seguridad existente es la relación entre el esfuerzo límite del material y el esfuerzo de trabajo a actuante. Este último corresponde, en general, al esfuerzo equivalente calculado a través de alguna teoría de falla adecuada. Es decir: FS =

σ Lim σ eq

(> 1)

(1.34)

σR

σF

Seguridad

Seguridad

σt Adm

σt Adm

(a)

(b)

Fig. 1.29 Margen de seguridad para los casos de: a) material dúctil y b) material frágil.

Esto último significa que si estamos dimensionando un cierto elemento, dado un cierto factor de seguridad mínimo que debe tener la construcción, el esfuerzo equivalente en el punto más crítico será tal que a lo más:

σeq =

σ Lim

(1.35)

FS

En la práctica bastará realizar el dimensionamiento de tal manera que:

σeq ≤

σ Lim

(1.36)

FS

Si definimos esfuerzo admisible (σAdm) como:

σ Adm =

σ Lim FS

donde


⎧σ σ Lim = ⎨ F ⎩σ Rt , σ Rc

si material dúctil si material frágil

(1.37)



Pág. 1-29

Entonces, al diseñar un elemento por resistencia se debe cumplir que:

σ eq ≤ σ Adm =

σ Lim

(1.38)

FS

Relación fundamental para el diseño por resistencia

Como se dijo anteriormente, el Factor de Seguridad de esta expresión se da por recomendación o por experiencia y en algunos casos (elevadores de personal, estructuras, calderas, recipientes de fluidos a alta presión) son determinados por las normas de diseño y construcción correspondientes. Mayormente se conocen, para diversos materiales, resultados de ensayos de tracción, por lo que para solicitaciones diferentes a tracción, se pueden utilizar las relaciones aproximadas mostradas en la tabla 1.5. En todo caso, si se tienen datos más exactos, se deben preferir éstos (ver tablas anexas A y B al final del texto). Tabla 1.5

Relaciones aproximadas con respecto al esfuerzo admisible para tracción (σt Adm) para esfuerzos admisibles para diferentes tipos de solicitación estática. [Ref.: Roloff/Matek, Maschinenelemente, Ed. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, 1994]

Material dúctil

Tipo de solicitación

Aceros, aceros fundidos, aleaciones de cobre

σt Adm =

Tracción

frágil

Aluminio, aleaciones de aluminio

Fundición maleable Hierros fundidos

σ F (σ 0, 2 )

blanca

σt Adm =

FS

negra

σB FS

Compresión

σc Adm ≈

σt Adm

1,2σt Adm

2,5σt Adm

1,5σt Adm

2σt Adm

Flexión

σf Adm ≈

σt Adm

σt Adm

σt Adm

σt Adm

σt Adm

Corte

τc Adm ≈

0,8 σt Adm

0,8σt Adm

1,2σt Adm

1,2σt Adm

1,2σt Adm

Torsión

τc Adm ≈

0,65σt Adm

0,7σt Adm

-

-

-

Combinada

σ Adm ≈

σt Adm

σt Adm

σt Adm

σt Adm

σt Adm

En cuanto a los valores de FS recomendados para la tabla anterior se tiene lo siguiente: FS = 1,2 ... 1,8 FS = 1,5 ... 3

Seguridad a la fluencia Seguridad a la rotura

Notar que para el caso de esfuerzos combinados, el esfuerzo equivalente se debe comparar con el esfuerzo admisible para tracción (σt Adm).




Pág. 1-30

Lógicamente en la literatura especializada se pueden encontrar muchas más recomendaciones, como por ejemplo la que hace Joseph Vidosic “Machine Design Projects”, The Ronald Press, New York, 1957, y que se muestra en la tabla 1.6.

Tabla 1.6 Factores de Seguridad recomendados para la construcción de maquinaria. Caso

Factor de Seguridad

Observaciones

FS

1

1,25 ... 1,5

Para materiales excepcionalmente confiables usados bajo condiciones controladas y sujetos a carga y esfuerzos que pueden determinarse con exactitud. Una consideración muy importante es que casi siempre se usan para pesos pequeños.

2

1,5 ... 2

Para materiales bien conocidos, para condiciones de medio ambiente razonablemente constantes y sujetos a carga y esfuerzos que puedan calcularse con facilidad.

3

2 ... 2,5

Para materiales promedio que trabajen en condiciones de medio ambiente ordinarias y sujetos a cargas y esfuerzos que puedan calcularse.

4

2,5 ... 3

Para materiales poco experimentados o para materiales frágiles en condiciones promedio de medio ambiente, carga y esfuerzo.

5

3 ... 4

Para materiales no experimentados usados para condiciones promedio de medio ambiente, carga y esfuerzo.

6

3 ... 4

Deberá también usarse con materiales mejor conocidos que vayan a usarse en condiciones ambientales inciertas o sujetos a cargas y esfuerzo inciertos.

7

Cargas repetidas: son aceptables los factores indicados en los puntos 1 al 6 pero debe aplicarse el límite de rotura por carga cíclica o esfuerzo de fatiga en lugar del esfuerzo de fluencia del material

8

Fuerza de impacto: son aceptables los factores dados en los puntos 3 al 6, pero deberá incluirse un factor de impacto.

9

Materiales frágiles: si se considera a la resistencia máxima (σR) como la máxima teórica, los factores indicados en los puntos 1 al 6 deberán multiplicarse por 2.

10

Para el caso deseable de tener factores elevados, deberá efectuarse un análisis muy completo del problema antes de decidir sobre su uso.




Pág. 1-31

Ejemplo 1.3: La figura muestra el árbol de una máquina que se encuentra apoyado sobre los cojinetes A y B y lleva un engranaje cónico de dientes rectos y una rueda cilíndrica de dientes rectos. La rueda cilíndrica es accionada por la fuerza tangencial Ft, la cual le es transmitida por su respectivo piñón (no mostrado). La potencia transmitida es 12 kW a una velocidad de 1450 RPM. • • • • •

El árbol es de acero 42 CrMo 4. Diámetro primitivo de la rueda cilíndrica: 90 mm. Semiángulo del vértice del cono: δ = 20° Ángulo de presión de todas las ruedas: α = 20°. El apoyo B soporta toda la carga axial ejercida por el piñón cónico sobre el árbol.

a) Dibujar diagramas acotados de fuerzas cortantes, momentos flectores y momentos torsores para el árbol. b) Calcular el diámetro d necesario en la sección 1 para un FS = 2. Utilizar el criterio de von Mises. c) Calcular el factor de seguridad en la sección 3 sabiendo que su diámetro es también d.

Solución: Diagrama de fuerzas y momentos sobre el árbol: Fr m M = 9,83 N-m y

RA z

RB z

z y x

Fa m

RB x A

Ft m

B

RA y

RB y

80

•

Mt

Fr

100

Ft

70

Fuerzas en los engranajes cilíndricos (entrada de la potencia al árbol):

El torque transmitido por el árbol será: Además, en el engranaje mayor: donde:

despejando: La fuerza radial será:

Mt =

M t = Ft ⋅

P

ω

=

12000 ⋅ 60 = 79 N-m = 79000 N-mm 2 π ⋅ 1450

D 2

Ft es la fuerza tangencial en la rueda D es el diámetro primitivo de la rueda 2 M t 2 ⋅ 79 000 = D 90 Fr = Ft tan 20° Ft =


→

Ft = 1756,2 N

→

Fr = 639,2 N



•

Pág. 1-32

Fuerzas en los engranajes cónicos: M t = Ftm ⋅

En el piñón cónico:

Dm 2

donde: Ft m es la fuerza tangencial, Dm es el diámetro medio del piñón.

Ftm =

Entonces:

•

2 ⋅ M t 2 ⋅ 79 000 = Dm 80

→

Ftm = 1975 N

Frm = Ftm tan 20° cos 20°

→

Frm = 675,5 N

Fam = Ftm tan 20° sen 20°

→

Fam = 245,8 N

Cálculo de las reacciones en los apoyos A y B:

Σ Fx = 0 : Σ MyA = 0 : Σ Fz = 0 : Σ MzA = 0 : Σ Fy = 0 :

→

RBx = 245,8 N

→

9,83 − 675,5 ⋅ 0,08 + RB z ⋅ 0,1 − 1756,2 ⋅ 0,17 = 0 →

RB z = 3427,6 N

→

− 675,5 − R A z − RB z + 1756,2 = 0

→

R A z = −2346,9 N

→

1975 ⋅ 0,08 + RB y ⋅ 0,1 + 639,2 ⋅ 0,17 = 0

→

RB y = −2666,6 N

→

− 1975 + R A x + RB y + 639,2 = 0

→

R A y = 4002,4 N

Fr m z y x

RA z

My

RB z

Fa m Ft m

Mt

RB x A

B

RA y

RB y

80

Fr

100

Ft

70

1671,4

DFC (plano xz) -675,5 N -1756,2 122,9

DMF (plano xz) 9,8 N-m

44,2

2027,4

DFC (plano xy) -639,2 -1975 N 44,7

DMF (plano xy)

158 N-m

79 N-m

DMT




Pág. 1-33

a) Análisis de la sección 1: Las fuerzas internas en esta sección son: Fuerza normal:

F = 312,97 N

momento flector:

Mf =

momento torsor:

Mt = 79 N-m = 79⋅103 N-mm

fuerza cortante:

V = 167,4 2 + 2027,4 2 = 26275 N

(158 ⋅10 3 ) 2 + (44,2 ⋅10 3 ) 2

→

M f = 164 ⋅103 N-mm

(se puede despreciar!)

Los esfuerzos correspondientes serán (d en mm): →

σn =

312,97 N/mm2 d2

→

σf =

1670,54 ⋅103 N/mm2 3 d

16 M t π d3

→

τt =

402,35 ⋅ 103 N/mm2 d3

V A

→

τc =

3345,6 N/mm2 d2

Esfuerzo normal:

σn =

F A

esfuerzo de flexión:

σf =

M f ( d / 2)

esfuerzo de torsión:

τt =

esfuerzo de corte:

τc =

π d 4 / 64

=

32 M f

π d3

El esfuerzo equivalente según von Mises será: σ eq = (σ f + σ n ) 2 + 3 (τ t2 + τ c2 ) →

σ eq =

2 ⎡⎛ 402,35 ⋅ 103 ⎞ 2 ⎛ 3345,6 ⎞ 2 ⎤ ⎛ 1670,54 ⋅ 103 312,9 ⎞ ⎥ ⎟ +⎜ ⎜ ⎟ + 3 ⎢⎜ + ⎟ ⎝ d 2 ⎟⎠ ⎥ ⎜ d3 d 2 ⎟⎠ d3 ⎢⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎣ ⎦

Se debe cumplir que:

σ eq ≤

σF FS

Resolviendo se obtiene d = 17,3 mm Nota:

=

700 = 350 N/mm2 2

→

d = 20 mm (para asiento de rodamiento)

Se obtiene el mismo resultado despreciando el efecto de la fuerza normal y la cortante.

c) Para el análisis de la sección 3 despreciaremos el efecto de la fuerza cortante. Fuerza normal:

F = 312,97 N

Momento flector:

Mf =

Momento torsor:

Mt = 79 N-m = 79⋅103 N-mm

(122,9 ⋅10 3 ) 2 + (44,7 ⋅10 3 ) 2


→ M f = 130,77 ⋅103 N-mm



Pág. 1-34

Los esfuerzos correspondientes serán (para d = 20 mm): Esfuerzo normal:

σn =

esfuerzo de flexión:

σf =

esfuerzo de torsión:

τt =

F A 32 M f

σ eq =

16 M t π d3

Por consiguiente: Nota:

(166,5 + 0,78)2 + 3 (50,29) 2 FS =

σn =

→

π d3

→

τt =

402,35 ⋅ 103 = 50,29 N/mm2 3 d

σ eq = (σ f + σ n ) 2 + 3τ t2

El esfuerzo equivalente según von Mises será: es decir:

312,97 = 0,78 N/mm2 d2 1332,01 ⋅103 σf = = 166,5 N/mm2 d3

→

= 188,6 N/mm2

σ Lim σ F 700 = = σ eq σ eq 188,6

→

FS = 3,7

En la realidad los árboles de transmisión no se calculan bajo carga estática, como lo acabamos de hacer, si no mas bien se tienen que hacer consideraciones de falla por fatiga, puesto que los esfuerzos ocasionados por la flexión en un eje giratorio son variables en el tiempo. Ello será tratado en el tercer capítulo.

Ejemplo 1.4: En la figura se muestra un elevador de capacidad T. El aparejo o winche de arrastre no se muestra. El material de la viga horizontal es un acero estructural St 37 (según DIN 17100). Despreciando los cambios de velocidad en el cable, se pide: a) Dibujar los diagramas de fuerzas normales, fuerzas cortantes y momentos flectores para la viga empotrada. b) Para la sección más crítica se pide mostrar la distribución de esfuerzos normales y de flexión y de cortante longitudinal. c) Calcular el máximo valor de T que se puede aplicar al aparejo para tener un factor de seguridad FS=2 para la viga. Utilizar el criterio de Tresca.

700

1200

T

T


x

G

x 60,4

89

28,6

152

Area: A = 30,36 cm2 Inercia: Ix = 215,4 cm4



Pág. 1-35

a) Cálculo de reacciones: 1200

1200

A

Ax

T

MA

M = 700 T Ay

700

T

DFN -T

T T DFC

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣMA = 0

T

→

Ax = T

→

Ay = T

→

MA = M + 1200 T = 700 T+ 1200 T MA = 1900 T

→

700 T

DMF 1900 T

b) Sección crítica: del DMF se ve que el máximo momento flector actúa en el empotramiento.

σn x

σf t

τc (promedio)

x

G

σf c F T = → σ n = −3,29 ⋅ 10 −4 T N/mm2 (C) A 3036 V T τc = = → τ c = 3,29 ⋅ 10 −4 T N/mm2 A 3036 M f ⋅ cmax σf = Ix

Esfuerzo normal (compresión): σ n = Esfuerzo cortante: Esfuerzo de flexión: ⁄

para el lado a tracción:

⁄

para el lado a compresión: σ f c

1900 T ⋅ 28,6 2,154 ⋅ 10 6 1900 T ⋅ 60,4 = 2,154 ⋅ 10 6

σft =

→

σ f t = 2,52 ⋅ 10 −2 T N/mm2 (T)

→

σ f c = −5,33 ⋅ 10 −2 T N/mm2 (C)

Se ve claramente que la fibra crítica es la que está a compresión.

c) En el punto crítico (en el lado de compresión para cmax = 60,4 mm): σ c = σ f c + σ n = − 5,33 ⋅ 10 −2 T - 3,29 ⋅ 10 −4 T N/ mm2 = − 5,36 ⋅ 10 −2 T (C) τ c = 3,29 ⋅ 10 −4 T N/mm2




Pág. 1-36

Los esfuerzos principales serán:

σ 1, 2 =

σx 2

⎛σ x ⎞ 2 ⎜ ⎟ + τ xy 2 ⎝ ⎠ 2

±

σx = σc = − 5,36 ⋅ 10 −2 T N/mm2

donde y

τxy = τ c = 0,329 ⋅ 10 −3 T N/ mm2 σ1 = 2,024 ⋅ 10 −6 T N/mm2

Reemplazando:

σ2 = − 5,36 ⋅ 10 −2 T N/ mm2

Graficamos el punto P de coordenadas (σ1, σ2) dentro del hexágono de Tresca: σ1

El factor de seguridad para el esfuerzo representado por P estará dado por:

σF

FS =

L2

L1

−σF

.. Q

P(σ1 ,σ2)

σ1

0

OQ OP

OQ x

=

OP x

, es decir: FS =

σ1 P

Recta límite: L2: σ 2 = σ 1 + σ F (recta límite en segundo cuadrante) Recta de carga: L1:

−σF

OQ x

(i)

⎛σ ⎞ σ 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ σ 1 ⎝ σ1 ⎠P

(ii)

(nota: aquí σ2P y σ1P con sus signos !) La falla se produciría, según Tresca, si el esfuerzo estuviera representado por el punto Q (intersección de la recta límite con la línea de carga). Para hallar sus coordenadas: igualando (i) y (ii):

⎛σ2 ⎜⎜ ⎝ σ1

⎞ ⎟⎟ σ 1 = σ 1 + σ F ⎠P

→

(σ 1 ) Q =

El factor de seguridad estará dado por: σF 240 ⎛ − 5,36 ⋅ 10 −2 T ⎞ ⎛σ ⎞ ⎟ 1 − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ OQ x (σ 1 ) Q 2,024 ⋅ 10 −6 T ⎟⎠ ⎝ σ1 ⎠P ⎝ = FS = = = (σ 1 )P OP x (σ 1 ) P 2,024 ⋅ 10 −6 T

σF ⎛σ ⎞ 1 − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ σ1 ⎠P

!

= 2

→

T = 2 238,7 N

Comprobemos el resultado utilizando la expresión para el esfuerzo equivalente σeq deducida en el ejemplo 1.1: σ eq = σ x 2 + 4 τ xy 2 =

Se debe cumplir que:

(−5,36 ⋅ 10 −2 T ) 2 +4 (2,024 ⋅ 10 −6 T ) 2 = 5,36 ⋅ 10 −2 T

σ eq = 5,36 ⋅ 10 − 2 T ≤ σ Adm =

de donde:

σF FS

=

240 N/mm2 2

Tmax = 2 238,3 N

Notar que el esfuerzo cortante es muy pequeño (despreciable) al lado del esfuerzo de flexión.




Ejemplo 1.5

Pág. 1-37

Teorías de falla para materiales frágiles.

En la figura se muestra una consola de hierro fundido sometida a la acción de una carga F. El material de la consola es un hierro fundido gris con las siguientes características:

σRt = 120 N/mm2 σRc = 360 N/mm2 Se pide: a) Calcular el valor máximo de la fuerza F que se puede aplicar a la consola para que la sección A tenga un factor de seguridad de 1,8. Considerar en los cálculos el esfuerzo cortante promedio (τc = V/A). Utilizar la teoría del máximo esfuerzo normal. b) Lo mismo que en a), pero utilizando la teoría de Mohr simplificada.

M

N

Solución: a) Ubicación del centro de gravedad de la sección A: z=

(850)(5) + (100)(15) + (200)(90) = 20,65 mm 850 + 100 + 200

Cálculo del momento de inercia respecto al eje x: Ix =

10(20) 3 1 1 (85)(10) 3 + (850)(15,65) 2 + (10)(10) 3 + (100)(5,65) 2 + + (200)(69,35) 2 12 12 12

→

Ix = 1 187 844,21 mm4

Los puntos M y N son los puntos más críticos de la sección A (mayor esfuerzo normal debido a la flexión). Por consiguiente calcularemos en cada uno de ellos los máximos esfuerzos normales. •

Punto M:

Flexión:

σf =

Corte:

τc =

M f ⋅ cM Ix

=

80 F (20,65) = 1,39.10 −3 F [N/mm2] (tracción) 1187 844,21

V F = = 8,7 ⋅ 10 − 4 F A 1150


[N/mm2]



Pág. 1-38

Determinación de los esfuerzos principales: σ 1, 2

σf

⎛σ f = ± ⎜⎜ 2 ⎝ 2

2

⎞ ⎟ + τ c2 = 6,95 ⋅ 10 − 4 F ± ⎟ ⎠

σ 1 = 1,81 ⋅ 10 −3 F

De donde:

(6,95 ⋅ 10

−4

F

) + (8,7 ⋅ 10 2

−4

F

)

2

(tracción) (compresión)

σ 2 = − 4,18 ⋅ 10 −4 F

Como se ve, hemos obtenido esfuerzos principales de diferente signo, por consiguiente hay que comparar cada uno de ellos con el correspondiente esfuerzo límite, es decir σRt ó σRc, según sea el caso. Queda claro que en este caso bastará trabajar con σ1, pues σ2 es bastante menor en módulo mientras que el esfuerzo admisible correspondiente es mayor. Se debe cumplir que:

σ 1 = 1,81 ⋅ 10 −3 F ≤ σAdm =

→ •

Punto N:

FS

=

[N/mm2]

M f cN

=

(i)

80 F (79,35) = 5,34 ⋅ 10 −3 F [N/mm2] (C) 1187 844,21

Ix V F τc = = = 8,7 ⋅ 10 − 4 F A 1150

Corte:

120 1,8

F ≤ 36 832,41 N

σf =

Flexión:

σ Rt

[N/mm2]

Determinación de los esfuerzos principales: σ 1, 2 =

De donde:

σf 2

±

⎛σ f ⎜ ⎜ 2 ⎝

2

⎞ ⎟ + τ c2 = −5,34 ⋅ 10 −3 F ± ⎟ ⎠

σ 1 = 1,38 ⋅ 10 −4 F −3

σ 2 = − 5,48 ⋅ 10 F

(− 5,34 ⋅10 F ) + (8,7 ⋅10 F ) −3

2

−4

2


En este caso queda claro que bastará trabajar con σ2, pues σ1 es bastante menor en módulo y además el esfuerzo límite correspondiente es mayor. Se debe cumplir que:

σ 2 = 5,48 ⋅ 10 −3 F ≤ σAdm =

→

σ Rc FS

F ≤ 36 496,35 N

=

360 1,8

[N/mm2]

(ii)

Se ve pues de las expresiones (i) y (ii), que el punto N es ligeramente más crítico que M, por lo que la respuesta será:

Fmax = 36 496,35 N




Pág. 1-39

b) Ya tenemos calculados tanto σ1 como σ2 para los puntos críticos M y N. Sólo falta ubicar, para cada uno de éstos, el punto (σ1, σ2) en el polígono simplificado de la Teoría de Mohr.

•

σ2

Punto M: σRt −σRc

σRt

0

σ1

A

σ1

B

σ2

L2 L1 −σRc

σ 1 = 1,81 ⋅ 10 −3 F

Sabemos que:

σ 2 = − 4,18 ⋅ 10 −4 F σ2 =

Recta límite: →

σ Rc (σ 1 − σ R t ) σ Rt

(tracción) (compresión) (recta L1: recta límite en cuarto cuadrante)

σ 2 = 3 (σ 1 − 120)

Línea de carga:

⎛σ ⎞ σ 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ σ 1 ⎝ σ1 ⎠ A

(recta L 2) (nota: aquí σ2A y σ1A con sus signos

!) La máxima carga posible según Mohr, asumiendo un incremento lineal, ocasionaría un esfuerzo que estaría representado por la intersección de la recta límite con la línea de carga (punto B). Intersección:

⎛σ2 ⎜⎜ ⎝ σ1

⎞ ⎟⎟ σ 1 = 3 (σ 1 − 120) ⎠A

→

(σ 1 ) B =

360 ⎛σ 3 − ⎜⎜ 2 ⎝ σ1

⎞ ⎟⎟ ⎠A

Determinando la fuerza F máxima que podrá soportar la consola para un factor de seguridad de 1,8: como

360 OB OB x (σ 1 ) B 3 − − 2,31 ⋅ 10 −1 FS = = = = OA OA x (σ 1 ) A 1,81 ⋅ 10 −3 F


(

)

!

= 1,8



Pág. 1-40

→ •

Fmax = 34 199 N

(iii)

Punto N:

Tenemos ya calculados los esfuerzos principales correspondientes: σ 1 = 1,38 ⋅ 10 −4 F


−3

σ 2 = − 5,48 ⋅ 10 F ⎛σ2 ⎜⎜ ⎝ σ1

Pendiente de la línea de carga:

⎞ ⎟⎟ = − 39,71 ⎠A

El factor de seguridad está dado de manera análoga a la deducida para el punto M: Intersección:

⎛σ2 ⎜⎜ ⎝ σ1

⎞ ⎟⎟ σ 1 = 3 (σ 1 − 120) ⎠A

FS =

(σ 1 ) B (σ 1 ) A

→

→

(σ 1 ) B =

360 ⎛σ 3 − ⎜⎜ 2 ⎝ σ1

⎞ ⎟⎟ ⎠A

360 ⎛σ ⎞ 360 3 − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ σ 3 − (− 39,71) ! ⎝ 1 ⎠A = = 1,8 = (σ 1 ) A 1,38 ⋅ 10 − 4

F = 33 932,93 N

(iv)

Por lo tanto, de (iii) y (iv) concluimos que la máxima fuerza F será: →

Fmax = 33 932,93 N

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Cap 1 Teorías de Falla

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