Campo eléctrico generado por una distribución discreta de cargas Electricidad/Campo eléctrico/Campo eléctrico generado por una distribución discreta de cargas
El concepto de campo electrostático facilita electrostático facilita la descripción, en términos físicos, de la influencia que una o más cargas eléctricas ejercen eléctricas ejercen sobre el espacio que les rodea. Para un grupo de cargas
puntuales puede ser calculado cómo se indica. Véase también: Campo electrostático
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1 Caso general gener al
2 Campo eléctrico creado por un dipolo eléctrico
o
2.1 A. Campo eléctrico en los punto s de la bisectriz del eje del dipolo
o
2.2 B. Campo eléctrico en los puntos de l eje del dipolo
2.2.1 Puntos Punt os fuera de la línea de unin de las cargas
2.2.2 Puntos Punt os sobre la línea de unin de las cargas
2.! C. "tros puntos
o
! Campo generado por un cuadrup olo eléctrico lineal en su bisectriz
# $éas $éasee tamb también ién
[editar Caso
general
Para determinar el campo eléctrico producido por un conjunto de cargas puntuales se calcula el campo debido a cada carga en el punto dado como si fuera la !nica carga que e"istiera # se suman $ectorialmente los mismos para encontrar el campo resultante en el punto. En forma de ecuación%
[editar Campo
eléctrico creado por un dipolo eléctrico
& continuación se anali'a anali'a el campo eléctrico creado por una distribución de dos cargas de igual magnitud # de signo opuesto conocida como (ipolo eléctrico
[editar A.
Campo eléctrico en los puntos de la bisectriz del eje del dipolo
)eg!n el principio de superposición, superposición, el campo eléctrico en el punto punto
es la suma $ectorial $ectorial de los dos dos
campos creados por ambas cargas%
Por el teorema de Pitágoras se cumple que la la distancia entre cualquiera cualquiera de las cargas cargas # el punto
* como ambas cargas son de igual magnitud se cumple%
es%
+as componentes
#
poseen la misma magnitud pero apuntan en sentidos opuestos, por lo
tanto%
En consecuencia, para efectuar la suma $ectorial, sólo se deberán tener en cuenta a las componentes siendo
, es decir, la suma $ectorial de
#
apuntan $erticalmente acia abajo, #
, se cumplirá que%
-eniendo -eniendo en cuenta que%
# sustitu#endo esta e"presión # la de
)i
se puede omitir a
El producto ecuación de
en la e"presión de
se obtiene%
en el denominador # la ecuación se reduce a%
se denomina momento
del dipolo eléctrico. Entonces, se puede $ol$er a escribir la
como%
* si ra, es decir, para puntos distantes a distantes a lo largo de la bisectri' del eje del dipolo como%
[editar B.
Campo eléctrico en los puntos del eje del dipolo
[editar Puntos
fuera de la línea de unión de las cargas
Como en en el caso anterior, anterior, seg!n el principio principio de superposición, el campo eléctrico eléctrico en el punto
es la la
suma $ectorial de los campos creados por ambas cargas.
)e obser$a que, al estar ambos ambos $ectores sobre el eje
, se cumple%
Por tanto, a efectos de calcular la suma $ectorial, solo deben tenerse en cuenta las componentes #
.
En consecuencia las magnitudes del campo debidas a
Como ambas componentes,
#
#
serán respecti$amente%
, apuntan en sentidos contrarios%
sea%
)iendo
* si
el momento del dipolo eléctrico%
%
[editar Puntos +a magnitud de
sobre la línea de unión de las cargas para puntos ubicados entre las cargas, tales como el punto
, puede deducirse
mediante un ra'onamiento similar al anterior. +a diferencia estriba en que las componentes, , apuntan en el mismo sentido # por ello se suman en lugar de restarse%
)iendo%
#
Por tanto%
)iendo
[editar C.
el momento del dipolo eléctrico%
Otros puntos
Considérese un dipolo eléctrico # un punto
de coordenadas
figura.
)e cumple que%
En base a lo anterior, los campos generados por cada carga serán%
tal como el representado en la
Para determinar el campo en
se aplica el principio de superposición por lo cual se debe efectuar la
suma $ectorial de los campos creados por ambas cargas. )e calculan, entonces, las componentes
+as componentes
%
serán%
)umando se obtiene para la componente
* para la componente
total%
total%
+os denominadores de las e"presiones anteriores pueden ser escritos en forma compacta como%
)i se consideran puntos alejados del dipolo, entonces, puede despreciar el término
con lo cual se
# en consecuencia se obtiene%
&plicando el -eorema del binomio # tomando los dos primeros términos del desarrollo%
En consecuencia%
)i se sustitu#e este resultado en las e"presiones de las componentes, se obtiene%
perando apropiadamente # teniendo en cuenta que
, se obtiene para puntos alejados del
diplo%
[editar Campo
bisectri'
generado por un cuadrupolo eléctrico lineal en su
0n cuadrupolo eléctrico lineal es una distribución de cargas formada por dos dipolos alineados de forma opuesta de manera tal que sus cargas positi$as se encuentran superpuestas # cu#as cargas producen una fuer'a 1 entre ellas debido a su posicion. 23er figura4. Para determinar el campo eléctrico producido por el cuadrupolo sobre los puntos pertenecientes a su bisectri', de acuerdo al principio de s uperposición, se deben sumar las contribuciones debidas a las cargas positi$as # las producidas por las negati$as.
El campo producido por cada carga positi$a será% bsér$ese que las componentes paralelas al cuadrupolo serán nulas, por lo tanto el campo total
producido por ambas cargas positi$as será%
El campo producido por cada carga negati$a será% Por simetría, las componentes paralelas al cuadrupolo, se cancelan, por lo tanto, sólo deben ser tenidas en cuanta las componentes colineales con la bisectri'.
-eniendo en cuenta que
, el $alor de cada componente colineal con la bisectri'
será%
# el aporte total correspondiente a ambas cargas negati$as
será% Por lo tanto, el campo total
será%
sea%
)i se saca
de factor com!n, la e"presión anterior se puede e"presar como%
)i se consideran puntos alejados del cuadrupolo, se cumple
que
# por lo tanto aplicando el -eorema del binomio se
$erifica que %
Con lo cual. la e"presión de c ampo eléctrico para los puntos alejados del cuadrupolo se reduce a%
(onde
se conoce como momento de cuadrupolo.
Campo eléctrico generado por una distribución continua superficial de carga Electricidad/Campo eléctrico/Campo eléctrico generado por una distribución continua superficial de carga
El concepto de campo electrostático facilita la descripción, en términos físicos, de la influencia que una o más cargas eléctricas ejercen sobre el espacio que les rodea. Para una distribución superficial
continua de carga puede ser calculado cómo se indica. Véase también: Campo electrostático
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1 Caso general 2 Campo eléctrico generado por un plano infnito de densidad de carga uniorme 3 Campo eléctrico generado por dos placas infnitas y paralelas
o
3.1 Campo eléctrico en el exterior de las placas
o
3.2 Campo eléctrico entre las dos placas 4 Campo eléctrico generado por un disco cargado de grosor despreciable 5 Campo eléctrico generado por una esera ueca y de espesor despreciable
o
5.1 Campo eléctrico en el exterior de la corte!a eséri ca
o
5.2 Campo eléctrico en el interior de la esera " #éase también
[editar Caso
general
Campo eléctrico producido por un elemento d) de una distribución superficial continua de carga.
)i se dispone de una distribución superficial continua de carga, el campo producido en un punto cualquiera puede calcularse di$idiendo la carga en elementos infinitesimales dq. Entonces, se calcula el campo dE que produce cada elemento en el punto en cuestión, tratándolos como si fueran cargas.
+a magnitud de dE está dada por%
El campo resultante en el punto se encuentra, entonces, sumando5 esto es, integrando5 las contribuciones debidas a todos los elementos de carga, o sea,
)i la distribución continua de carga que se considera tiene una densidad superficial de carga , entonces
.
Por lo tanto,
[editar Campo
eléctrico generado por un plano infinito de densidad de carga uniforme
+a figura muestra una porción de un plano infinito cu#a densidad superficial de carga 2esto es, la
carga por unidad de superficie4 tiene $alor constante superficie. +a carga contenida en este elemento será debida al elemento de carga
siendo
#
. )ea d) un elemento diferencial de # la magnitud del campo
será%
las pro#ecciones del radio $ector 6 sobre el plano XY # el eje respecti$amente.
&ora bien, al estar utili'ando coordenadas cilíndricas para el cálculo, se puede obser$ar que cada elemento diferencial de superficie d), por simetría, posee una contraparte diametralmente opuesta. Esto ace que las componentes radiales de dE se anulen. &sí, las componentes sobre son las !nicas que contribu#en al resultado final.
)iendo
#
se obtiene%
Con lo cual%
En consecuencia%
El anterior, es un resultado físico mu# notable, #a que, como se $e, la magnitud del campo es independiente de la distancia. bteniendo así un campo uniforme # continuo paralelo al eje '
[editar Campo
eléctrico generado por dos placas infinitas #
paralelas
!editar "Campo eléctrico en el e"terior de las placas El campo eléctrico generado en el e"ter ior de las placas es nulo en cualquier punto. Como las placas son infinitas, los campos eléctricos que crean no dependen de la distancia que a# entre la placa # el punto en el cual se mide el $alor del campo eléctrico5 además, como las placas están cargadas de forma contraria 2una es positi$a # otra negati$a4, los campos se restan anulándose entre sí.
[editar Campo
eléctrico entre las dos placas
#n el interior de las placas, se suman los campos eléctricos siendo E 7 8/9Eo : 8/9Eo 7 98/9Eo78/Eo
[editar Campo
eléctrico generado por un disco cargado de grosor despreciable
+a figura muestra un disco cargado cu#a densidad superficial de carga 2esto es, la carga por unidad de superficie4 tiene un $alor constante
.
)ea d) un elemento diferencial de superficie en forma de anillo. +a carga contenida en este elemento será
#, sabiendo que el campo eléctrico generado por un anillo
cargado sobre puntos de su eje está dado por
siendo
el radio del anillo #
magnitud del campo
&ora bien,
la distancia entre el centro del anillo # el punto considerado, la
debida al elemento de carga
será%
#, en consecuencia se cumplirá%
Con lo cual%
sea%
Esta e"presión también puede ser deducida, utili'ando c oordenadas cilíndricas, mediante un ra'onamiento similar al utili'ado en la sección Campo eléctrico generado por un plano
infinito de densidad de carga uniforme . +a !nica diferencia es que en lugar de integrar entre
#
, se integra entre
#
, con lo cual se llega a la misma e"presión.
[editar Campo
eléctrico generado por una esfera ueca # de espesor despreciable Véase también: Ley de Gauss
[editar Campo
eléctrico en el e"terior de la corte'a esférica
Para calcular el campo en el e"terior a la esfera se considera que toda la carga
distribuida
en la superficie 2que coincide, en este caso, con la carga total4 se encuentra comprimida en el centro de la esfera, conclusión a la que se llega tras aplicar la le# de ;auss, de modo que el campo creado es equi$alente al generado por una !nica carga puntual ubicada en el centro de la esfera%
donde r es la distancia desde el centro de la esfera asta el punto donde se está calculando el campo eléctrico.
[editar Campo
eléctrico en el interior de la esfera
El campo eléctrico en el interior de una esfera ueca es s iempre nulo, conclusión a la que se llega tras aplicar la le# de ;auss%
En electromagnetismo el flujo eléctrico, o flujo electrost$tico,< es una cantidad escalar que e"presa una medida del campo eléctrico que atra$iesa una determinada superficie,9 o e"presado de otra forma, es la medida del n!mero de líneas de campo eléctrico que penetran una superficie. )u cálculo para superficies cerradas se reali'a aplicando la le# de ;auss. Por definición el flujo eléctrico parte de las cargas positi$as # termina en las negati$as, # en ausencia de las !ltimas termina en el infinito.9
%ndice [ocultar
< =istoria
9 Cálculo
> 0nidades
? 3éase también
@ Aotas # referencias
o
@.< Bibliografía
Enlaces e"ternos
[editar =istoria Dicael arada# en un simple e"perimento para estudiar el campo eléctrico, llegó a la conclusión errónea de que e"iste alg!n tipo de flujo eléctrico que parte de las cargas. El e"perimento consistió en dos esferas metálicas concéntricas, separadas por un dieléctrico5 la más grande consistente en dos emisferios que se podían unir fuertemente. Primero se cargó la esfera pequeFa con una carga eléctrica conocida. Con el cuidado adecuado se colocó el
dieléctrico, # luego se armó la esfera grande. &l descargar la e"terior # después medir las cargas restantes en ambas esferas, resultó que ambas eran iguales en magnitudes. Esto es cierto para cualquier aislante. arada# supuso que e"istía un flujo eléctrico, # conclu#ó que era proporcional a la carga. ue Carl riedric ;auss quién e"presó matemáticamente esta relación, dando lugar a la le# que lle$a su nombre. [editar Cálculo El flujo eléctrico
a tra$és de un área infinitesimal
$iene dado por% 2Ecuación <4
2el campo eléctrico,
, multiplicado por la componente del área perpendicular al campo4.
El flujo eléctrico a tra$és de una superficie S es, por tanto, e"presado por la integral de superficie%
2Ecuación 94
donde
es el campo eléctrico #
es el $ector diferencial de superficie que
corresponde a cada elemento infinitesimal de la superficie completa S. Para una superficie gaussiana cerrada, el flujo eléctrico $iene dado por%
2Ecuación >4
donde G) es la carga encerrada por la superficie 2inclu#endo ambas cargas, la libre # la carga superficial4, # H1 es la permiti$idad eléctrica. Esta relación es conocida como le# de ;auss para el campo eléctrico en su forma integral # es una de las cuatro ecuaciones de Da"Iell. En estos casos se toma sistemáticamente la dirección de los $ectores # recordar que dico $ector tiene como módulo el área diferencial de ese elemento # dirección perpendicular al mismo. +a dirección del $ector es arbitraria, siempre que en todos los puntos salga de la superficie por la misma cara de ésta5 si de la ecuación > resulta un flujo positi$o, significa que atra$iesa S en la misma dirección adoptado para los # si es negati$o, en dirección contraria. & cada lado, asignamos un signo, arbitrariamente. )e está ablando de Jflujo netoK, del total, puesto que abrá partes de la superficie S en que el flujo tendrá direcciones diferentes, # por tanto se compensarán. [editar 0nidades El flujo eléctrico en unidades del )istema Lnternacional 2)L4 se e"presa en% $oltios por metro 23 m4, o, de forma equi$alente, neIton por metro al cuadrado por culombio 2A m9 CM<4.9 Por lo tanto, las unidades básicas del )L del flujo eléctrico son% NgOm>OsM>O&M<.
,
(e la definición de flujo eléctrico se puede concluir que una carga de un culombio genera un flujo total de un culombio.9 En física la le& de 'auss establece que el flujo de ciertos campos a tra$és de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dico campo que a# en el interior de dica superficie. (icos campos son aquellos cu#a intensidad decrece como la distancia a la fuente al cuadrado. +a constante de proporcionalidad depende del sistema de unidades empleado. )e aplica al campo electrostático # al gra$itatorio. )us fuentes son la carga eléctrica # la masa, respecti$amente. -ambién puede aplicarse al campo magnetostático, aunque dica aplicación no es de tanto interés como las dos anteriores.
%ndice [ocultar
< lujo del campo eléctrico
o
<.< lujo para una superficie cilíndr ica en presencia de un campo uniforme
o
<.9 lujo para una superficie esféri ca con una carga puntual en su interior
9 (educciones
o
9.< (educción de la le# de ;auss a partir de la le# de Coulomb
> orma diferencial e integral de la +e# de ;auss
o
>.< orma diferencial de la le# de ;auss
o
>.9 orma integral de la le# de ;auss
? Lnterpretación
@ &plicaciones
o
@.< (istribución lineal de carga
o
@.9 (istribución esférica de carga
+e# de ;auss para el campo magnetostático
Caso gra$itacional
Q 3éase también
R 6eferencias
<1 Enlaces e"ternos
[editar lujo
del campo eléctrico
Artículo principal: lujo eléctrico.
lujo eléctrico a tra$és de una superficie elipsoidal.
El flujo 2denotado como
4 es una propiedad de cualquier campo $ectorial referida a una superficie
ipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo 2
4 se mide por el
n!mero de líneas de fuer'a que atra$iesan la superficie. Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria ubicada dentro de un campo eléctrico. +a superficie se encuentra di$idida en cuadrados elementales
, cada uno de los cuales es lo
suficientemente pequeFo como para que pueda ser considerado como un plano. Estos elementos de área pueden ser representados como $ectores
, cu#a magnitud es la propia área, la
dirección es perpendicular a la superficie # acia afuera. En cada cuadrado elemental también es posible tra'ar un $ector de campo eléctrico cuadrados son tan pequeFos como se quiera, puntos de un cuadrado dado.
. *a que los
puede considerarse constante en todos los
#
caracteri'an a cada cuadrado # forman un ángulo
entre sí # la figura muestra una $ista
amplificada de dos cuadrados. El flujo, entonces, se define como sigue% 2<4 sea%
294 [editar (lujo
para una superficie cilíndrica en presencia de un campo
uniforme
lujo eléctrico a tra$és de una superficie cilíndrica.
)upóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme
tal como muestra la
figura% El flujo
puede escribirse como la suma de tres términos, 2a4 una integral en la tapa i'quierda
del cilindro, 2b4 una integral en la superficie cilíndrica # 2c4 una integral en la tapa dereca%
2>4 Para la tapa i'quierda, el ángulo , para todos los puntos, es de los $ectores
,
tiene un $alor constante #
son todos paralelos.
Entonces%
2?4 siendo
el área de la tapa. &nálogamente, para la tapa dereca%
2@4 inalmente, para la superficie cilíndrica%
24 Por consiguiente% da cero #a que las mismas líneas de fuer'a que entran, después salen del cilindro. 24 [editar (lujo
para una superficie esférica con una carga puntual en su
interior
lujo eléctrico de una carga puntual en el interior de una esfera.
Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual ) en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico
es paralelo al $ector superficie
, # el campo es
constante en todos los puntos de la superficie esférica. En consecuencia%
2Q4 [editar (educciones [editar *educción
de la le& de 'auss a partir de la le& de Coulomb
Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es equi$alente a la le# de Coulomb de la interacción electrostática.
+a le# de ;auss puede deducirse matemáticamente a tra$és del uso del concepto de ángulo sólido, que es un concepto mu# similar a los factores de $ista conocidos en la transferencia de calor por radiación. El ángulo sólido como%
que es subtendido por
sobre una superficie esférica, se define
siendo
el radio de la esfera.
como el área total de la esfera es
el ángulo sólido para STtoda la esferaTT es%
la unidad de este ángulo es el estereorradián 2sr4 )i el área
no es perpendicular a las líneas que salen del origen que subtiende a
,
se busca la pro#ección normal, que es%
)i se tiene una carga UqU rodeada por una superficie cualquiera, para calcular el flujo que atra$iesa esta superficie es necesario encontrar
para cada elemento de área de la
superficie, para luego sumarlos. Como la superficie que puede estar rodeando a la carga puede ser tan compleja como quiera, es mejor encontrar una relación sencilla para esta operación%
(e esta manera
es el mismo ángulo sólido subentendido por una superficie esférica.
como se mostró un poco más arriba
para cualquier esfera, de cualquier radio. de
esta forma al sumar todos los flujos que atra$iesan a la superficie queda%
que es la forma integral de la le# de ;auss. +a le# de Coulomb también puede deducirse a tra$és de +e# de ;auss. [editar orma
diferencial e integral de la +e# de ;auss
[editar (orma
diferencial de la le& de 'auss
-omando la le# de ;auss en forma integral.
&plicando al primer termino el teorema de ;auss de la di$ergencia queda
Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales $olumétricas, # esta e"presión debe ser cierta para cualquier $olumen, solo puede ser que%
Gue es la forma diferencial de la +e# de ;auss 2en el $acío4. Esta le# se puede generali'ar cuando a# un dieléctrico presente, introduciendo el campo de despla'amiento eléctrico
. de esta manera la +e# de ;auss se
puede escribir en su forma más general como
inalmente es de esta forma en que la le# de gauss es realmente !til para resol$er problemas complejos de maneras relati$amente sencillas. [editar (orma
integral de la le& de 'auss
)u forma integral utili'ada en el caso de una distribución e"tensa de carga puede escribirse de la manera siguiente%
donde
es el flujo eléctrico,
es el campo eléctrico,
es un
elemento diferencial del área A sobre la cual se reali'a la integral, es la carga total encerrada dentro del área &, en un punto de
#
es la densidad de carga
es la permiti$idad eléctrica del $acío.
[editar Lnterpretación
+a le# de ;auss puede ser utili'ada para demostrar que no e"iste campo eléctrico dentro de una jaula de arada#. +a le# de ;auss es la equi$alente electrostática a la le# de &mpVre, que es una le# de magnetismo. &mbas ecuaciones fueron posteriormente integradas en las ecuaciones de Da"Iell. Esta le# puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una medida del n!mero de líneas de campo que atra$iesan la superficie en cuestión. Para una carga puntual este n!mero es constante si la carga está contenida por la superficie # es nulo si está fuera 2#a que a# el mismo n!mero de líneas que entran como que salen4. &demás, al ser la densidad de líneas proporcionales a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está. Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de superposición, sólo tendremos que considerar las cargas interiores, resultando la le# de ;auss. )in embargo, aunque esta le# se deduce de la le# de Coulomb, es más general que ella, #a que se trata de una le# uni$ersal, $álida en situaciones no electrostáticas en las que la le# de Coulomb no es aplicable. [editar &plicaciones [editar *istribución
lineal de carga
)ea una recta cargada a lo largo del eje '. -omemos como superficie cerrada un cilindro de radio r # altura con su eje coincidente al eje '. E"presando el campo en coordenadas cilindricas tenemos que debido a la simetría de refle"ión respecto a un plano '7cte el campo no tiene componente en el eje ' # la integración a las bases del cilindro no contribu#e, de modo que aplicando la le# de ;auss%
(ebido a la simetría del problema el campo tendrá dirección radial # podemos sustituir el producto escalar por el producto de módulos 2#a que la dirección de la superficie lateral también es radial4.
(espejando el campo # aFadiendo su condición radial obtenemos%
[editar *istribución
esférica de carga
Considérese una esfera uniformemente cargada de radio 6. +a carga e"istente en el interior de una superficie esférica de radio r es una parte de la carga total, que se calcula multiplicando la densidad de carga por el $olumen de la esfera de radio r%
)i G es la carga de la esfera de radio 6, entonces, se tiene%
(i$idiendo miembro a miembro ambas e"presiones # operando apropiadamente%
Como se demostró en una sección anterior
la le# de ;auss
# teniendo en cuenta que seg!n
, se obtiene%
Por lo tanto, para puntos interiores de la esfera%
* para puntos e"teriores%
En el caso de que la carga se distribu#era en la superficie de la esfera, es decir, en el caso de que fuera conductora, para puntos e"teriores a la misma la intensidad del campo estaría dada por la segunda e"presión, pero para puntos interiores a la esfera, el $alor del campo sería nulo #a que la superficie gaussiana que se considerara no encerraría carga alguna. [editar +e#
de ;auss para el campo magnetostático
&l igual que para el campo eléctrico, e"iste una le& de
'auss para el magnetismo, que se e"presa en sus formas integral # diferencial como
Esta le# e"presa la ine"istencia de cargas magnéticas o, como se conocen abitualmente, monopolos magnéticos. +as distribuciones de fuentes magnéticas son siempre neutras en el sentido de que posee un polo norte # un polo sur, por lo que su flujo a tra$és de cualquier superficie cerrada es nulo. En el ipotético caso de que se descubriera e"perimentalmente la e"istencia de monopolos, esta le# debería ser modificada para acomodar las correspondientes densidades de carga, resultando una le# en todo análoga a la le# de ;auss para el campo eléctrico. +a +e# de ;auss para el campo magnético quedaría como
donde
densidad de corriente
, la cual
obliga a modificar la le# de arada# [editar Caso
gra$itacional
(ada la similitud entre la le# de AeIton de la gra$itación uni$ersal # la le# de Coulomb, puede deducirse una le# análoga para el campo gra$itatorio, la cual se escribe
siendo ; la constante de gra$itación uni$ersal. El signo menos en esta le# # el eco de que la masa siempre sea positi$a significa que el campo gra$itatorio siempre es atracti$o # se dirige acia las masas que lo crean. )in embargo, a diferencia de la le# de ;auss para el campo eléctrico, el caso gra$itatorio es
sólo apro"imado # se aplica e"clusi$amente a masas pequeFas en reposo, para las cuales es $álida la le# de AeIton. &l modificarse la teoría de AeIton mediante la -eoría de la 6elati$idad general, la le# de ;auss deja de ser cierta, #a que deben incluirse la gra$itación causada por la energía # el efecto del campo gra$itatorio en el propio espaciotiempo 2lo que modifica la e"presión de los operadores diferenciales e integrales4.
Campo electrostático +as cargas eléctricas no precisan de ning!n medio material para influir entre ellas # por ello las fuer'as eléctricas son consideradas fueras de acci!n a distancia. En $irtud de ello se recurre al concepto de campo electrost$tico para facilitar la descripción, en términos físicos, de la influencia que una o más cargas ejercen sobre el espacio que las rodea. Índice [ocultar ]
1 %nteracciones entre dos cargas & ' (
2 Campo eléctrico creado por una carga puntual
! Principio de superposicin
# )epresentacin gr*fica del campo eléctrico
+ ,cuacin de las líneas de campo eléctrico
- Comportamiento de una carga punto en un campo eléctrico uniform e
o
-.1 Partícula moiéndose paralelamente al campo
o
-.2 Partícula moiéndose perpend icularmente al campo
/ $éase también
0 ,nlaces eter nos
[editar Lnteracciones
entre dos cargas G # q
Lnteracciones entre G # q.
Considérese una carga + fija en una determinada posición 2$er figura4. )i se coloca otra carga ) en un punto
a cierta distancia de +, aparecerá una fuer'a eléctrica actuando sobre ).
)i la carga ) se ubica en otros puntos cualesquiera, tales como
,
, etc., en cada uno de ellos
también estaría actuando sobre ) una fuer'a eléctrica producida por +. Para describir este eco, se dice que en cualquier punto del espacio en torno a + e"iste un campo eléctrico originado por esta carga. bsér$ese en la figura que el campo eléctrico en los puntos
,
,
, etc., está originado por +, la
cual podrá ser tanto positi$a 2la de la figura4 como negati$a. +a carga ) que es trasladada de un punto a otro para $erificar si en ellos e"iste o no un campo eléctrico, se denomina carga de prueba. El campo eléctrico puede representarse, en cada punto del espacio, por un $ector, usualmente simboli'ado por
# que se denomina $ector campo eléctrico.
El módulo del $ector en un punto dado se denomina intensidad del campo eléctrico en ese punto. Para definir este módulo, considérese la carga + de la figura, generando un campo eléctrico en el espacio que la rodea. Colocando una carga de prueba ) en un punto fuer'a eléctrica. +a intensidad del campo eléctrico en
, se $erá que sobre ella act!a una
estará dada, por definición, por la e"presión%
[cita requerida
+a e"presión anterior permite determinar la intensidad del campo eléctrico en cualquier otro punto, tales como
,
, etc. El $alor de # será diferente para cada uno de ellos.
(e
obtemos
, lo cual significa que si se conoce la intensidad del campo eléctrico
en un punto, es posible calcular, usando la e"presión anterior, el módulo de la fuer'a que act!a sobre una carga cualquiera ubicada en aquél punto.
[editar Campo
eléctrico creado por una carga puntual
El campo que crea una carga puntual Consideremos una carga de prueba
se deduce a partir de la le# de Coulomb. , colocada a una distancia r de una carga punto
entre ambas cargas, medida por un obser$ador en reposo respecto a la carga
. +a fuer'a
estará dada por%
+a intensidad del campo eléctrico en el sitio en que se coloca la carga de prueba está dada por%
# por lo tanto resulta%
7 donde
es un $ector unitario en la dirección radial,
la llamada permiti$idad del $acío #
es
#
7
es
es la constante de Coulomb cu#o $alor
. (onde se tienen las equi$alencias
respecti$amente. +a unidad de intensidad de campo eléctrico es
2AeIton por Culombio4 o
[editar Principio
23oltio por Detro4.
de superposición
+a influencia del campo producido por una car ga aislada se puede generali'ar al caso de un sistema formado por más de una carga # luego e"tenderse al estudio de un cuerpo cargado. E"perimentalmente se $erifica que las influencias de las cargas aisladas que constitu#en un sistema son aditi$as, o en otr as palabras, se suman o superponen $ectorialmente. &sí, la intensidad de campo E en un punto cualquiera del espacio que rodea a $arias cargas será la suma $ectorial de las intensidades de los c ampos debidos a cada una de las cargas indi$idualmente consideradas. Datemáticamente se puede considerar la siguiente ecuación%
(onde
es la constante arbitraria5 n es la cantidad de cargas tenidas en cuenta5
es la
magnitud del $ector distancia entre el punto donde se quiere allar el campo eléctrico total # la cargai 5 #
es el $ector unitario formado de la misma manera. Dás adelante se trabajará mejor
esta ecuación.
[editar 6epresentación
gráfica del campo eléctrico
0na forma mu# !til de esquemati'ar gráficamente un campo es tra'ar líneas que $a#an en la misma dirección que dico campo en $arios puntos. Esto se reali'a a tra$és de las líneas de campo eléctrico, que son unas líneas imaginarias que describen, si los ubiere, los c ambios en dirección del campo eléctrico al pasar de un punto a otro, de tal modo que dicas linas son tangentes, en cada punto del espacio done está definido el campo eléctrico, a la dirección del campo eléctrico en ese punto. )eg!n la primera le# de AeIton, la fuer'a que act!a sobre una partícula produce un cambio en su $elocidad5 por lo tanto, el mo$imiento de una partícula cargada en una región dependerá de las fuer'as que act!en sobre ella en cada punto de dica región. &ora considérese una carga ), situada en un punto sobre la que act!a una fuer'a
que es
tangente a la línea de campo eléctrico en dico punto. En $ista de que las líneas del campo eléctrico $arían en su densidad 2 están más o menos juntas4 # dirección, podemos concluir que la fuer'a que e"perimenta una carga tiende a apartarla de la línea de campo eléctrico sobre la que se encuentra en cada instante. En otras palabras, una carga bajo los efectos de un campo eléctrico no seguirá el camino de la línea de fuer'a sobre la que se encontraba originalmente. +a relación entre las líneas de campo eléctrico2imaginarias4 # el $ector intensidad de campo, es la siguiente%
<.
+a tangente a una línea de fuer'a en un punto cualquiera da la dirección de # en ese punto.
9.
El n!mero de líneas de campo eléctrico por unidad de área de sección trans$ersal es proporcional a la magnitud de #. Cuanto más cercanas estén las líneas, ma#or será la magnitud de#.
Ao es ob$io que sea posible dibujar un conjunto continuo de líneas que cumplan estos requisitos. (e eco, se encuentra que si la le# de Coulomb no fuera cierta, no sería posible acerlo. )i un elemento de superficie de área
es atra$esado por
líneas # si la intensidad
del campo eléctrico en el centro del elemento de superficie es E, se tiene que%
El subíndice n indica que ecuación se elige
es normal a E. Para con$ertir esta proporcionalidad en
como constante de proporcionalidad. &sí, se espacian arbitrariamente las
líneas de campo eléctrico de modo que, en cualquier punto, el n!mero de líneas por unidad de superficie # la intensidad del campo eléctrico esté ligado por la relación%
Considérense, aora, las líneas de campo eléctrico que salen de una carga puntual positi$a q # una esfera de radio r arbitrario rodeando la carga # de modo que ésta se encuentre en el centro. +a intensidad del campo eléctrico en todos los puntos de la superficie de esta esfera es%
En consecuencia, el n!mero de líneas por unidad de superficie es el mismo en todos los puntos de la superficie # está dado por%
+as líneas de campo eléctrico atra$iesan la superficie perpendicularmente puesto que E tiene una dirección radial. El área de la esfera es
,lo que implica que el n!mero de líneas que
atra$iesan la superficie es%
Esto demuestra que si el $alor del e"ponente de r, en la le# de Coulomb, no fuera 9, el n!mero de líneas de campo eléctrico no solo no estaría dado por el $alor de q, también sería in$ersamente proporcional a alguna potencia de r # por ello seria imposible dibujar un conjunto continuo de líneas que cumplan los requisitos indicados más arriba. Para la construcción de líneas de campo eléctrico se debe tener en cuenta lo siguiente%
•
&.W Por con$ención, las líneas deben partir de cargas positi$as # terminar en cargas negati$as # en ausencia de unas u otras deben partir o terminar en el infinito.
6epresentación de campos eléctricos creados por cargas puntuales negati$a # positi$a.
0na carga puntual positi$a dará lugar a un mapa de líneas de campo eléctrico radiales, pues las fuer'as eléctricas act!an siempre en la dirección de la línea que une a las cargas interactuantes, # dirigidas acia fuera porque una carga de prueba positi$a se despla'aría en esa dirección. En el caso del campo debido a una carga puntual negati$a el mapa de líneas de campo eléctrico sería análogo, pero dirigidas acia ella #a que ése sería la dirección en que se despla'aría la carga positi$a de prueba. Como consecuencia de lo anterior, en el caso de los campos debidos a $arias cargas, las líneas de campo eléctrico nacen siempre de las cargas positi$as # por ello son denominadas manantiales # mueren en las negati$as por lo que se les llama sumideros.
•
B.W +as líneas de campo eléctrico jamás pueden cru'arse.
+as líneas de campo eléctrico o de campo salen de una carga positi$a o entran a una negati$a. (e lo anterior se desprende que de cada punto de la superficie de una esfera, suponiendo forma esférica para una carga, puede salir o entrar solo una línea de fuer'a, en consecuencia entre dos cargas que interact!an solo puede relacionarse un punto de su superficie con solo un punto de la otra superficie, # ello es a tra$és de una línea, # esa línea es la línea de fuer'a. )i se admitiera que dos líneas de campo eléctrico se intersequen, entonces se podría e"tender la superficie de la otra carga acia el lugar donde se intersecan ambas líneas # se podría concluir que dos líneas entran o salen de una superficie de una carga eléctrica. Con esto se
está contradiciendo lo postulado inicialmente. En consecuencia, es imposible que dos líneas de campo eléctrico se intersequen. Por otra parte, si las líneas de campo eléctrico se cortaran, significaría que en dico punto # poseería dos direcciones distintas, lo que contradice la definición de que a cada punto sólo le corresponde un $alor !nico de intensidad de campo.
•
C.W El n!mero de líneas de campo eléctrico que parten de una carga positi$a o llegan a una carga negati$a es proporcional a la cantidad de carga respecti$a.
•
(.W +as líneas de campo eléctrico deben ser perpendiculares a las superficies de los objetos en los lugares donde conectan c on ellas.
Esto se debe a que en las superficies de cualquier objeto, sin importar la forma, nunca se encuentran componentes de la fuer'a eléctr ica que sean paralelas a la superficie del mismo. )i fuera de otra manera, cualquier e"ceso de carga residente en la superficie comen'aría a acelerar. Esto conduciría a la aparición de un flujo de carga en el objeto, lo cual nunca se obser$a en la electricidad estática.
6epresentación del campo eléctrico creado por dos cargas positi$as de igual magnitud # por un dipolo eléctrico.
6epresentación del campo eléctrico creado por dos cargas de diferente magnitud # signos opuestos.
+as representaciones anteriores reflejan el principio de superposición. *a sea que las cargas ostenten el mismo signo o signo opuesto, las líneas de campo eléctrico se $erán distorsionadas respecto de la forma radial que tendrían si las cargas estu$ieran aisladas, de forma tal, que la distorsión es má"ima en la 'ona central, o sea, en la región más cercana a ambas. )i las cargas tienen la misma magnitud, la representación r esulta simétrica respecto de la línea media que las separa. En el caso opuesto, predominará la influencia de una de ellas dando lugar a una distribución asimétrica de líneas de campo eléctrico .
[editar Ecuación
de las líneas de campo eléctrico
)iendo el campo tangente a las líneas de campo eléctrico, se cumple%
Ejemplo. )i tenemos una sola carga puntual, todas las líneas de campo son rectas que parten radialmente de la carga en las t res direcciones del espacio. )i nos limitamos a las líneas de
campo contenidas en el plano cartesiano X*, el problema se simplifica # nos queda la ra'ón
entre
es
, de modo que%
siendo C la constante de integración. Este resultado se puede escribir como%
que es la ecuación de una recta que pasa por el origen, como era de esperar.
[editar Comportamiento
de una carga punto en un campo
eléctrico uniforme 0n campo eléctrico ejerce sobre una partícula cargada una fuer'a
Esta fuer'a produce una aceleración
[editar Partícula
siendo m la masa de la partícula.
mo,iéndose paralelamente al campo
Considérese una partícula de masa m # carga q que se suelta a partir del reposo en un campo entre dos placas paralelas cargadas tal como se muestra en la figura.
El mo$imiento es similar al de un cuerpo que cae en el campo gra$itacional terrestre.
+a aceleración está dada por
Como
, se cumple que
&plicando las ecuaciones del mo$imiento uniformemente acelerado, como que%
+a energía cinética adquirida luego de recorrer una distancia y será5
[editar Partícula
mo,iéndose perpendicularmente al campo
, se tiene
+a figura muestra un electrón de masa m # carga e que es disparado con una $elocidad perpendicularmente a un campo uniforme
.
El mo$imiento es similar al de un pro#ectil disparado ori'ontalmente en el campo gra$itacional terrestre. En consecuencia el mo$imiento ori'ontal " # el $ertical y están dados por las e"presiones%
)ustitu#endo a t se obtiene%
que es la ecuación de la tra#ectoria. Cuando el electrón sale de entre las placas, lo ace en una tra#ectoria recta tangente a la parábola en el punto de salida # puede acerse llegar a una pantalla fluorescente
colocada
a cierta distancia más allá de las placas.
Has estudiado en el tema anterior que una fuerza es conservativa si tiene la propiedad de que el trabajo que realiza a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo: Si consideras un campo de fuerzas, caracterizado por la intensidad de campo E, podrás escribir:
Es decir, . Esta integral recibe el nombre de circulación del vector E a lo largo de una trayectoria cerrada.
Eisten algunos campos vectoriales en los que la circulación del vector intensidad de campo a lo largo de una curva cerrada es siempre nula:
!os campos que cumplen esta condición se llaman campos conservativos.
%magen 0.Hubble. ominio p3blico
En el caso de un campo de fuerzas conservativo, el trabajo que realiza la fuerza no dependerá de la trayectoria y sólo dependerá de la posición inicial y final. "or tanto, puedes asignar a cada punto un escalar, , función de sus coordenadas que se llama energ#a potencial. !a asignación de este escalar depende de la elección del punto de referencia en el que la energ#a potencial es cero. El vector intensidad de campo se $a introducido para independizar el campo de la magnitud activa, . !o mismo puedes $acer con la energ#a potencial y definir otra nueva magnitud, el potencial .
El potencial, , en un punto de un campo de fuerzas es la energ#a potencial que posee la unidad de magnitud activa colocada en ese punto:
El potencial se mide en el S% en julios partido por la unidad de la magnitud activa.
%magen 4. NASA. ominio p3blico
El trabajo que realiza la fuerza del campo el trasladar una part#cula con magnitud activa desde un punto & y otro ' es:
( el trabajo por unidad de magnitud activa:
)omo ves, la diferencia de potencial entre dos puntos representa el trabajo que $ay que realizar contra la fuerza del campo para trasladar una part#cula, con magnitud activa unidad, desde el punto origen $asta el punto final en el campo.
&l ser el campo conservativo, puede considerarse derivado de un potencial escalar , tal que:
o bien, &l asignar a cada punto del campo un potencial , que es un escalar, $as definido un campo escalar. "or eso, un campo conservativo puede ser descrito como un campo vectorial de intensidad , o como un campo escalar de potencial .
%magen 15. ,laboracin propia
!os campos escalares se pueden representar mediante las superficies equiescalares. En el caso del potencial, mediante lassuperficies equipotenciales. *stas son los lugares geom+tricos de los puntos del campo en los que el potencial tiene el mismo valor. na propiedad importante de las l#neas de campo y las superficies equipotenciales es que las l#neas de campo -l#neas de fuerza son perpendiculares a las superficies equipotenciales. En efecto: En un desplazamiento sobre la superficie equipotencial el vector es tangente a la superficie y toma un valor determinado, mientras que el trabajo es nulo. "or lo que .
