Variables y constantes
→ → ℎ → ℎ → =3.1415926…
Volumen de un cono truncado:
Generatriz de un cono truncado
ℎ
ℎ
= 13 ℎ [1.1]
= ℎ [1.2] = [1.3]
Área lateral de un cono truncado
Variables y constantes
→ é é → Á ó = [2.1]
Ley de Fourier (Flujo de calor a través de una superficie)
Partiendo de ley de Fourier, se procederá a determinar el flujo de calor a través t ravés de un cono truncado, que va desde la base menor a la base mayor, haciendo que la ecuación 2.1 dependa de la geometría de este.
Para determinar el balance de energía se analiza una recta en el plano, la cual a poner en revolución genera un cono truncado.
+∆
ℎ ∆
Se tiene que el calor que ingresa es igual al que sale
=+∆ [2.2]
Pasando todos los términos a la derecha y dividiendo para la variación de x:
+∆∆ =0 [2.3]
Sacando el límite se tiene:
l∆→im +∆∆ = =0 [2.4]
Por lo tanto se concluye que el calor conducido es constante.
=
Luego analizando el gráfico, tenemos una recta cuya ecuación ésta dada por , pero en este caso se tiene que a medida que aumenta la altura (en el eje x), el radio (en el eje y) aumenta, de este modo se crea una dependencia de radio:
= [2.5] = ℎ = = = [2.6]
Al hacer girar la recta en torno a eje de las x, se tiene varias secciones circulares de área , reemplazando r por la ecuación 2.5:
Reemplazando la ecuación 2.6 en la ecuación 2.1, y reemplazando – q por C 1, recordando que el flujo de calor es constante:
=
Arreglando la ecuación e integrando ambos lados:
∫ = ∫ + [2.7] = Resolviendo al integral:
Evaluando en x = 0 y x = h:
0= ℎ=
Se obtienen el valor de las constantes C 1 y C 2:
= ∆ −
= ∆1
Reemplazando las constantes en la ecuación 2.7:
1 [2.8] = 1 ∆ 1 1 = ∆1 1 [2.9] ó = ∆ 1 1
Derivando la ecuación 2.8 con respecto a x:
Por último reemplazando la ecuación 2.9 y la ecuación 2.6, en la ecuación 2.1:
Reemplazando el valor de m y simplificando, se tiene una expresión para calcular la conducción de calor por unidad de área a través de un cono truncado:
ó = ℎ∆ [2.10]
Variables y constantes:
→Á , ó 1.3 ℎ → ó → →
Ley de enfriamiento de Newton
ó =ℎ( )[3.1]
Variables y constantes:
→Á , ó 1.3 =5.6710− → → Constante de Stefan Boltzman
Ecuación de Stefan Boltzman
ó =( ) [4.1]
Calor necesario para cambiar la temperatura de la masa m:
=∆ [5.1] → [ ] → → í Donde:
Para el caso particular del proyecto, se considerará el calor necesario para elevar la temperatura del sistema olla – agua desde la temperatura ambiente (T a ) a la temperatura de ebullición del agua (T e ).
= [6.1] Donde: a,
a,
→ Masa
→ Calor
de la olla y del líquido (agua), respectivamente
específico de la olla y del líquido, respectivamente
Para la realización de los cálculos se va a considerar el agua como sustancia de cocción, por lo tanto la temperatura que la olla debe alcanzan será de 373 K, además se tomará la temperatura ambiental anual promedio de la ciudad de Guayaquil 299 K. -
Datos iniciales:
=0.125 =0.08 ℎ=0.20
Mediante la ecuación 1.1:
= 13 0.200.125 0.08 0.125 0.08 =6.710− -
Datos iniciales: Se considerara que la olla ésta totalmente llena, es decir el agua ocupa todo el volumen posible ( :
6.710− =1000 / =4186 =0.636 =897
Primero se calcula la masa de agua a calentar:
=1000 6.710− =6.7 =6.7 4186 0.636 897 373 299 =2117658.74 Reemplazando en la ecuación 6.1:
Al estar la olla en contacto permanente con una fuente de calor, solo se produce transmisión de calor por conducción, sin embargo, al estar expuesto al medio y por la naturaleza de los materiales existen perdidas de potencia calorífica, el objetico de la geometría de la olla es evitar la menor perdida de esta, lo cual se demostrará a continuación. -
Datos iniciales:
=205
La transmisión de calor por conducción a través de la olla viene dado por la ecuación 2.10:
0.125 0.08 373 299 205 ó = 0.20 ó =2382.9 -
La potencia perdida por conducción es despreciable, debido a que el área de contacto de la olla con la fuente de calor es mínimo. Por lo tanto solo existen pérdidas de potencia por convección y radiación, pero para calcularlas primero se analizará la geometría y propiedades físicas de la olla:
0.125 m
0.18
0.20 0.085 m x 0.08 m
Al analizar la porción del recipiente de cocción contenido dentro del cilindro aislante y reflector, se tiene que la distancia x máxima a la cual la temperatura puede variar al desprenderse del cono truncado, ya sea por convección (debido a la acción del aire) o radiación (emitida por el aluminio que conforma el cono truncado), es de 0.125 m – 0.08 m = 0.045 m, y si se considera el material del cilindro como un aislante ideal; se tiene que la diferencia de temperatura entre la superficie exterior del cono truncado (T c ) f y la superficie interior del cilindro (T c ) es aproximadamente constante y tiende a cero, esto es: . Y como tanto la ecuación 3.1 como la 4.1 dependen de esta diferencia de temperatura, se tiene que las pérdidas por convección y radiación dentro de la superficie del cilindro son despreciables.
0
≈
De esta forma las únicas pérdidas de potencias considerables que se tienen se producen en la porción del cono truncado que no ésta cubierto por el cilindro. -
Datos iniciales:
ℎ =10
Primero se calcula el área lateral de la superficie que interactúa con el fluido (aire): Usando las ecuaciones 1.2 y 1.3 se tiene:
=0.0850.08 √ 0.02 0.085 0.08 =0.0107 ó =0.0107 10 373 299 ó =7.9 Luego mediante la ecuación 3.1:
-
Datos iniciales:
373 =0.03
Utilizando la ecuación 4.1
ó =0.0107 5.6710− 0.03373 299 ó =0.207 De esta forma la potencia total de cocción de la olla es:
=2382.9 7.9 0.207 =2374.8 ≥2117658.74
Luego si se tiene un calor constante lo suficientemente alto para elevar la temperatura del sistema olla – agua ( ). Se tiene:
=
, Despejando el tiempo:
7 4 = 2117658. 2374.8 =891.72 =14.86
Mínimo tiempo en que hervirá agua que ocupa todo el volumen de la olla.
