MODELACIÓN DE UN SERVOMOTOR Las siguientes ecuaciones describen el comportamiento de motor DC, estas son relativas al par en el eje (T) y a la fuerza contra electromotriz (e (e).
Figura 1 Esquema de un servomotor LKV
= = ∅() = ∅()
Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3
En la figura 1 se muestra el circuito de un servomotor donde R es la resistencia eléctrica, L es la inductancia eléctrica, e es la fuerza contra electromotriz, v es el voltaje de alimentación, T es el torque del motor, θ es el ángulo de rotación, b es la contante de fricción, θ θ es la velocidad angular y J es el momento de inercia.
MODELACIÓN DEL MOMENTO ROTACIONAL Momento de inercia En la figura 3 se muestra la aplicación de un cuerpo que posee un memento de inercia J, a través de una barra que representa el eje de un servomotor.
Figura 2 Momento de inercia
,,)
El resultado muestra un desequilibrio velocidad y la aceleración, Angulares (
el cual representa un cambio en la posición, la .
La sumatoria de torques determina que el único estímulo existente (T) es directamente proporcional a la aceleración angular del eje:
Resistencia por rigidez
=
Ecuación 4
La figura 4 muestra el caso de una barra a la que se aplica un torque externo. Por las propiedades de la barra esta recuperar su posición angular original, luego de que se le aplica un torque de restitución, este torque es directamente proporcional al ángulo girado.
Figura 3 Torque por rigidez
Si K r es la constante de restitución del sistema, se tiene que,
=
Ecuación 5
Resistencia por amortiguamiento En la figura 5 se nota la colocación de un elemento acoplado al eje del motor, que desliza sobre un líquido viscoso, lo que determina la existencia de un torque resistivo que es proporcional a la velocidad angular con la cual se efectúa el movimiento del eje.
Figura 4 Torque resistivo por amortiguamiento
=
Ecuación 6
Modelado de servomotor controlado por armadura en variables de estado En la figura 5 se muestra el sistema de un servomotor controlado por armadura.
Figura 5 Servomotor controlado por armadura
El control por armadura se lleva cabo manteniendo una excitación constante de la armadura y manipulando la tensión que se encuentra en el circuito.
∅() =() = = =
Ecuación 7
Ecuación 8
Del circuito mostrado en la Figura 1 se obtiene la siguiente ecuación:
= =
Ecuación 9
Sustituyendo la ecuación 7 en la 8
Ecuación 10
La ecuación del sistema rotacional que existe sobre el eje del motor, toando en cuenta el peso y ángulo de la plataforma, es la siguiente:
Figura 6 Plataforma
()=
Ecuación 11
En la figura 6 se muestra un diagrama de la plataforma, donde m es la masa de la plataforma, l es la longitud del servo a la plataforma y θ es el ángulo de inclinación y al ser este muy pequeño se aproxima a cero. Sustituyendo la ecuación 6 en la 10
=
Ecuación 12
Aplicando la transformada de la place de la ecuación 1 y 12
() =( )()
Ecuación 13
()()=()()
Ecuación 14
Despejando I(s) de la ecuación 13 y sustituyéndola en la ecuación 14:
()= (++)() ()()=() (++)()
Ecuación 14
Ecuación 15
Multiplicando la ecuación 15 por Kt:
()()=()( )()
Ecuación 16
La función de transferencia del sistema quedaría de la siguiente manera:
() = () (+)( ++)+
Ecuación 17
Calculo de parámetros de motor de DC Medición de resistencia armadura (Ra) La resistencia de armadura se obtiene midiendo di rectamente en la armadura del motor con un multímetro y esta medida da un valor de: Ra = 0.75ꭥ
Inductancia de armadura (La) La inductancia de armadura del motor, se obtiene de la siguiente formula:
VIin −(R) La= πf
Ecuación 18
Ia es la corriente consumida por el motor
(.35)77 (.75) √ = 2(60) La = 0.035H
Constante de fuerza contra electromotriz (Ke) Para determinar el valor de la constante Ke se usa el hecho de que en estado permanente:
= −
Ecuación 19
Velocidad angular
∗ = = . =10470 /
Ecuación 20
75)(.098) = 5(.10470 ]=[ ] [/
Ke = .471E-3
Coeficiente de viscosidad (B) Para calcular el coeficiente de fricción viscosa se parte de la ecuación:
=
Ecuación 21
Recordando que en estado estable:
=0
Ecuación 22
Despejando B de la ecuación principal, el resultante es:
= − (. 4 71 = 10470)(0.098)
Ecuación 23
B = 4.404 E-9
Parámetros de servomotor Ra L J Kt Ke B T w
0.75 0.035 963.75E-9 .471E-3 .471E-3 4.404 E-9 0.81 10470
Ohm H Kg-m2 Nm/A V/Rad/s Nms/Rad Nm Rad/s
Parámetros en Matlab >> R=.75; >> L=0.035; >> J=963.75e-9; >> Ke=.471e-3; >> Kt=.471e-3; >> b=4.40e-9; >> m=.0677; >> g=9.81; >> l=.085; >> num =[Kt/(L*J)]; >> den = [1 ((L*b+R*J)/(L*J)) ((L*m*g*l+R*b+Kt*Ke)/(L*J)) ((R*m*g)/J)]; Función de transferencia >> q=tf(num,den) q= 0.001628 --------------------------------------s^3 + 21.43 s^2 + 1.038e06 s + 7.782e05 Continuous-time transfer function.
Espacio de estados
>> [A,B,C,D] = tf2ss(num,den) A= 1.0e+06 * -0.0000 -1.0376 -0.7782 0.0000 0 0 0 0.0000 0 B= 1 0 0 C= 0 0 0.0016 D= 0 Polos >> polos=eig(A) polos = 1.0e+03 * -0.0103 + 1.0186i -0.0103 - 1.0186i -0.0008 + 0.0000i
Respuesta de los servomotores no realimentados
>> t=[0.0:0.01:30]; >> u=ones(1,length(t)); >> x0=[0;0;0]; >> y=lsim(A,B,C,D,u,t,x0);%simula la respuesta del tiempo en un sistema dinamico >> plot(t,y)
Respuesta al escalón
>> sys=ss(A,B,C,D); >> step(sys)
Estudio de la Controlabilidad y la Observabilidad La Controlabilidad de un sistema puede entenderse como la propiedad de obtener cambios deseados en sus variables de estado a través de la manipulación de sus entradas. >> M=ctrb(A,B) M= 1.0e+06 * 0.0000 -0.0000 -1.0372 0 0.0000 -0.0000 0 0 0.0000 >> rank(M) ans = 3 >> %El sistema es de estado controlable
La Observabilidad puede identificarse como la propiedad que tiene un sistema para lograr la influencia directa o indirecta de sus salidas mediante la manipulación de sus variables de estado. >> N=obsv(A,C) N = 0 0 0.0016 0 0.0016 0 0.0016 0 0 >> rank(N) ans = 3 >> %El sistema es de estado observable
>> sce=poly(A) sce = 1.0e+06 * 0.0000
0.0000
1.0376
0.7782
>> a1=sce(2);a2=sce(3);a3=sce(4); >> w=[a2 a1 1; a1 1 0; 1 0 0]; >> T=M*w
T= -0.0000 0.0000 1.0000
0.0000 1.0000 0
Lugar de las raíces >> rltool(q)
1.0000 0 0
