MATERIAL MA TERIAL DE APOYO APOY O PARA PARA EL MODULO 2 DE CÁLCULO II: 220041 RPI ——, ISBN ————
Profesores participantes: Oscar Villarroel Carvallo, Fernando Flores Bazán.
Concepción, 2013.
Departamento de Matemática–Universidad del Bío-Bío
i
INTRODUCCIÓN
Estos apuntes tienen como objetivo presentar de manera resumida los contenidos de la asignatura de Cálculo II, así como también una cantidad necesaria de ejercicios propuestos de tal manera que estos sean una herramienta importante para el estudio de los alumnos que cursan el módulo 2 de la asignatura de Cálculo II (220041).
i
INTRODUCCIÓN
Estos apuntes tienen como objetivo presentar de manera resumida los contenidos de la asignatura de Cálculo II, así como también una cantidad necesaria de ejercicios propuestos de tal manera que estos sean una herramienta importante para el estudio de los alumnos que cursan el módulo 2 de la asignatura de Cálculo II (220041).
ÍNDICE DE CONTENIDOS
I Cur Curvas vas Par Paramét amétric ricas as
1
I.1 Ecuac Ecuaciones iones paramét paramétricas ricas y Coord Coordenadas enadas polar polares es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
I.1.1 I. 1.1
Sime Si metr tría íass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
I.1.2
Gráficaa en coord Gráfic coordenadas enadas polar polares es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
I.1.3
Relación Relaci ón entre coord coordenadas enadas cartes cartesianas ianas y polar polares es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
I.1.4 I.1 .4
Ejerci Eje rcicio cioss Pr Propu opuest estos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
I.2 Int Integr egrales ales Imp Improp ropias ias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 I.2.1 I.2 .1
Ejerci Eje rcicio cioss Pr Propu opuest estos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II Sucesiones y series series de números reales
17
II.0.2 Suces Sucesiones iones monó monótonas tonas y acotad acotadas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 II.0.3 Criteri Criterioo de conv convergen ergencia cia de Cauchy Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 II.0.4 Ejerc Ejercicios icios Prop Propuestos uestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 II.1 Series infini infinitas tas de núme números ros reales reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 II.1.1 Intr Introducc oducción ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
27
iii II.1.2 Criteri Criterioo de diver divergencia gencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
II.1.3 Series telesc telescópicas ópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.1.4 Serie geomét geométrica rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 II.1.5 Ejerc Ejercicios icios propu propuestos estos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 II.2 Criterios de convergencia para serie de términos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 II.2.1 Criteri Criterioo de la integ integral ral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
II.2.2 Ejerc Ejercicios icios Prop Propuestos uestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 II.2.3 Criteri Criterioo de la serie p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 II.2.4 Ejerc Ejercicios icios Prop Propuestos uestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 II.2.5 Criteri Criterioo de compa comparación ración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 II.2.6 Ejerc Ejercicios icios Prop Propuestos uestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 II.2.7 Criteri Criterioo de compa comparación ración en el límite límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 II.2.8 Ejerc Ejercicios icios Prop Propuestos uestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 II.3 Series alterna alternadas das . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 II.3.1 Criteri Criterioo de conv convergen ergencia cia de de series series alternadas alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 II.3.2 Ejerc Ejercicios icios Prop Propuestos uestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 II.4 Conve Convergenc rgencia ia absol absoluta uta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 II.4.1 Criteri Criterioo de la Razón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 II.4.2 Ejerc Ejercicios icios Prop Propuestos uestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 II.5 Series de Func Funciones iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 II.5.1 Serie de Maclaur Maclaurin in y de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 II.5.2 Ejerc Ejercicios icios Prop Propuestos uestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
CAPÍTULO
I CURVAS PARAMÉTRICAS
I.1
Ecuaciones paramétricas y Coordenadas polares
Definición I.1
Sea el punto ( x, y) de una curva C en el plano, si tal punto es de la forma
x = g(t ) t y = h(t ),
∈ ∈ domg ∩ domh
(I.1)
se dice que C está representada paramétricamente, donde t es el parámetro y a las ecuaciones ecuaciones (I.1 ( I.1)) se les llama ecuaciones paramétricas de la curva C .
Observación I.1
1. (I.1 I.1)) definen una función y = f ( x), si g tiene inversa. dy
2. La derivada representa la pendiente de la recta tangente a la curva C en el punto ( x0 , y0), donde dx x0 = g(t 0 ), y 0 = h(t 0 ) para algún t 0 . En efecto dy dy/dt · ⇒ dx = dx/dt
dy dy dx = dt dx dt
1
Capítulo I. Curvas Paramétricas Observación I.2
Se demuestra que dx d2 y dy d2 x d2 y d dt dt2 dt dt2 = = 2 3 (dx/dt) dx dx
· − ·
dy = y′ dx
dy′ = dt dx dt
(I.2)
I.1.1 Simetrías
Definición I.2
1. La gráfica de una curva paramétrica ( x(t ), y(t )) es simétrica respecto al eje x si para cada t 1 ∈ dom( x) ∩ dom( y) existe t 2 ∈ dom( x) ∩ dom( y) tal que ( x(t 2 ), y(t 2 )) = ( x(t 1 ), y(t 1 )).
−
2. La gráfica de una curva paramétrica ( x(t ), y(t )) es simétrica respecto al eje y si para cada t 1 ∈ dom( x) ∩ dom( y) existe t 2 ∈ dom( x) ∩ dom( y) tal que ( x(t 2 ), y(t 2 )) = ( x(t 1 ), y(t 1 )).
−
Observación I.3
1. Si x(t ) es una función par e y(t ) es una función impar, la gráfica es simétrica respecto al eje x , es decir ( x( t ), y( t )) = ( x(t ), y(t )).
−
−
−
2. Si x(t ) es una función impar e y (t ) es una función par, la gráfica es simétrica respecto al eje y , es decir ( x( t ), y( t )) = ( x(t ), y(t )).
−
Depto Matemática
−
2
−
Facultad de Ciencias
Capítulo I. Curvas Paramétricas Teorema I.1 Longitud de Arco en coordenadas cartesianas
1. Si la función f y f ′ son continuas en [a, b] entonces la longitud de arco de la curva y = f ( x) a partir del punto (a, f (a)) hasta el punto (b, f (b)) está dado por L =
b
a
1 + ( f ′ ( x))2 dx
2. Si la función g y su derivada g′ son continuas en [c, d ], entonces la longitud de arco de la curva g( y) = x a partir del punto (g(c), c) hasta el punto (g(d ), d ) está dado por L =
d
c
1 + (g′ ( y))2 dy
Teorema I.2 Longitud de arco de curvas paramétricas
Sea C :
x = x(t ) t y = y(t )
∈ [a, b] una curva paramétrica suave, entonces su longitud de arco es: L =
a
b
( x′ (t ))2 + ( y′ (t ))2 dx
Ejemplo I.1
Considere el arco de curva de ecuaciones paramétricas a)
d2 y
x y
= t cos(t ) , t [0, π]. Obtenga = t cos(t )
∈
b) Longitud de arco en [0, π]
2
dx
Solución: ◮
a) Para calcular
d2 y dx2
debemos utilizar la expresión d2 y dx2
Depto Matemática
3
=
dy′ dx
dy′
= dt
dx dt
(I.3)
Facultad de Ciencias
Capítulo I. Curvas Paramétricas Ejemplo I.1 (Continuación).
donde
dy dy = y′ = dt dx dx dt
(I.4)
Siendo dy = cos(t ) t sen(t ) dt dx = sen(t ) + t cos(t ) dt
−
(I.5)
(I.6)
Reemplazando (I.5) y (I.6) en (I.4), se obtiene dy dy cos (t ) t sen(t ) = y′ = dt = dx dx sen(t ) + t cos(t ) dt
−
Así
dy′ dt
=
=
=
cos(t ) − t sen(t ) ′ sen(t ) + t cos(t )
(cos(t )
− t sen(t ))′ · (sen(t ) + t cos(t )) − (cos(t ) − t sen(t )) · (sen(t ) + t cos(t ))′ (sen(t ) + t cos(t ))2
(I.7)
( 2sen(t )
−
− t cos(t )) · (sen(t ) + t cos(t )) − (cos(t ) − t sen(t )) · (2cos(t ) − t sen(t )) (sen(t ) + t cos(t )) −2 − t 2
2
=
(sen(t ) + t cos(t ))2
Luego reemplazando (I.7) y (I.6) en (I.3), obtenemos lo deseado. d2 y dx2
2
−2 − t
=
(sen(t ) + t cos(t ))3
b) Para calcular la longitud de arco se utiliza
− L =
π
dx dt
0
En efecto
π
L
=
0
π
=
0
π
=
dx dt
2
+
(cos(t )
dy dt
2
+
dy dt
2
dt
2
dt
t sen(t ))2 + (sen(t ) + t cos(t ))2 dt
1 + t 2dt
0
Depto Matemática
4
Facultad de Ciencias
Capítulo I. Curvas Paramétricas Ejemplo I.1 (Continuación).
Haciendo un cambio de variable t = tan(θ) Entonces dt = sec2 (θ)dθ y se tiene:
0
π
1 + t 2 dt
=
=
=
=
a
b
sec3 (θ)dθ
√ √
tan(θ)sec(θ) ln tan(θ) + sec(θ) + 2 2
|
t 1 + t 2
2
+
π 1 + π2 2
|
| √ 1 + t | 2
ln t +
+
2
| π
b a
0
| √ 1 + π
2
ln π +
2
◭
π
0
I.1.2 Gráfica en coordenadas polares
Hasta ahora hemos representado puntos en el plano mediante un sistema de coordenadas rectangulares. Veremos otra forma de representar puntos en el plano según un sistema de coordenadas polares .
Definición I.3
−→
1. Para representar un punto en coordenadas polares se necesita de un plano, un rayo OX con origen en O. 2. Un punto en coordenadas polares se representa por P = (r , θ), donde r es la distancia del origen O −→ al punto dado, θ es el ángulo de inclinación del radio vector OX con respecto al semieje positivo X , medido en sentido antihorario.
−→
3. Se define al origen O por el polo y al vector OX el eje polar.
Depto Matemática
5
Facultad de Ciencias
Capítulo I. Curvas Paramétricas Observación I.4
1. Un punto P = ( r , θ) en el plano polar se encuentra en la intersección de una circunferencia de radio r con una recta cuyo ángulo de inclinación es θ. 2. El ángulo debe estar dado en radianes y en sentido antihorario. 3. Las coordenadas polares (r , θ) representan un punto P que se encuentra a una distancia |r | del origen por lo tanto: se encontrará sobre el rayo θ si r > 0 y sobre el rayo θ + π si r < 0. 4. Por lo anterior un punto en coordenadas polares no es único. 5. Para todo n ∈ Z se tiene (r , θ) = (r , θ + 2nπ) de esto se desprende que (r , θ) = (−r , θ + π) y (r , θ) = (−r , θ + (2n + 1)π).
Ejercicio I.1
1. Localizar el punto Q = (−2, − π4 ) y luego hallar otras coordenadas polares (r , θ) de Q tales que r > 0, 0 < θ < 2π,
r < 0, 0 < θ < 2π,
r > 0, 2π < θ < 0
−
2. Hallar todas las coordenadas polares (r , θ) tales que 0 < θ < 2π, del punto (5, − π4 ).
I.1.3 Relación entre coordenadas cartesianas y polares
Es sumamente útil transformar coordenadas y ecuaciones que están dadas en ecuaciones rectangulares a la forma polar y recíprocamente. Es decir, representamos el origen de coordenadas cartesianas como el polo en coordenadas polares y el semieje positivo OX dada en coordenadas rectangulares como el eje polar en coordenadas polares. El π semieje positivo Y en coordenadas rectangulares como el rayo θ = . Así tenemos que un punto ( r , θ) se 2
puede representar en coordenadas rectangulares y viceversa si se cumple: x = r cosθ, y = r senθ, x 2 + y2 = r 2 , y tan θ = , x = 0 x
Depto Matemática
6
Facultad de Ciencias
Capítulo I. Curvas Paramétricas Teorema I.3 Longitud de arco en coordenadas polares
Sea r (θ) = f (θ) y sea la curva paramétrica C : r = r (θ). La longitud de arco de la curva desde θ = α hasta θ = β está dada por:
β
L =
α
(r (θ))2 + (r ′ (θ))2 dθ
Teorema I.4 Área en coordenadas polares
1. Sea r = f (θ) ≥ 0 continua definida en [ α, β] el área de la región encerrada por la gráfica r = f (θ) y los rayos θ = α y θ = β está dada por A =
β
α
1 ( f (θ))2 dθ, 2
α, β
∈ [0, 2π[
2. Si queremos calcular el área encerrada por dos gráficas en coordenadas polares r = f (θ) y r = g (θ) definidas en [α, β] tal que f (θ) ≥ g(θ) ≥ 0 se tiene: A =
1 2
β
α
[( f (θ))2
2
− (g(θ)) ]dθ
Definición I.4
1. Sea f una función real definida sobre A ⊂ R2 definida por r = f (θ), donde ( r , θ) son las coordenadas polares de los puntos en R2 que se encuentra en R . 2. El conjunto R se define por R := (r cost , r sent ), r = f (θ), θ
{
∀ ∈ dom f }
llamado gráfica polar de f , y a la ecuación que la origina r = f (θ) se llama ecuación polar de R
Depto Matemática
7
Facultad de Ciencias
Capítulo I. Curvas Paramétricas Ejercicio I.2
La relación r = a . Corresponde a la ecuación polar de una circunferencia C con centro en el origen y radio
| a|
R := (r cosθ, r senθ) : r = a, θ
{
∈ R}
Propiedad I.1
1. Extensión está determinada por la relación siguiente: |r | ≤ M , ∀r , θ para algún M > 0. 2. Simetrías • Simetría respecto al eje polar. Se presenta cuando la ecuación polar no varía al reemplazar (1) θ por −θ ó (2) r por −r y θ por π − θ.
Basta que se cumpla una de las dos condiciones. • Simetría respecto al eje normal. Se presenta cuando la ecuación polar o varía al reemplazar (1) θ por π − θ ó (2) r por −r y θ por −θ.
Basta que se cumpla una de las dos condiciones. • Simetría respecto al origen. Esto sucede cuando la ecuación polar no varía al reemplazar (1) θ por π + θ ó (2) r por −r . 3. Rectas tangentes en el polo. Son rectas que pasan por el origen y es de la forma θ = θk que se hallan haciendo r = 0 en la ecuación polar. 4. Interceptos con los ejes principales. • Con el eje polar (X). Se hacen θ = k π, k ∈ N ∪{0} y se resuelve la ecuación polar r = f (θ). • Con el eje normal (Y). Se hacen θ = (2k − 1) π2 y se resuelve la ecuación polar r = f (θ).
Depto Matemática
8
Facultad de Ciencias
Capítulo I. Curvas Paramétricas Ejemplo I.2
Determinar el área común de la región acotada por las curvas de ecuaciones polares r = 1 + cos(θ) Solución: ◮ Hallando los puntos de intersección de las curvas
⇒ − − −
√
√
3sen(θ) = 1 + cos(θ)
√
Entonces 2 3sen
θ 2
θ
cos
2
θ
2cos2
2
π concluye que θ = , θ = π. Luego 3
1 A1 = 2
θ
2 3sen
2
π
3π Finalmente el área total es A 1 + A2 = 4
4
−
2
1 A2 = 2
2
0
cos2
= 0 . Resultando que cos
√ √ π 3 3 ( 3sen(θ)) dθ = − , 3
θ
cos
√
12 3 . 4
16
π
π 3
θ 2
θ 2
sen2
θ
= 1
2
θ
= 0 ó tan
2
(1 + cos(θ)) dθ =
2
π 2
√ 3sen(θ) y r =
−
=
√ 13 .
De esto se
√
9 3 16
◭
I.1.4 Ejercicios Propuestos
1. Localizar en el plano la coordenada polar Q = Q que cumpla (a) r > 0 y 0 < θ < 2π
− − π
2,
4
(b) r < 0 y 0 < θ < 2π
, luego halle otra coordenada polar (r , θ) de
(c) r > 0 y −2π < θ < 0
2. Para cada una de las coordenadas polares (r , θ) dadas, halle sus respectivas coordenadasrectangulares ( x, y)
(a) (r , θ) =
8,
π
3
(e) (r , θ) =
(b) (r , θ) = ( 3, π)
(f) (r , θ) =
(c) (r , θ) = (d) (r , θ) =
− 4, 4,
π
3
π 3
(g) (r , θ) = (h) (r , θ) =
− − − √ 3π 4, 4
π
5,
4
4,
2,
π 3
π 4
(i) (r , θ) = (j) (r , θ) = (k) (r , θ) = (l) (r , θ) =
− − − − − 5π 3
2, 4,
7π 6
4,
6,
π 3
7 π 4
3. Para cada una de las coordenadas rectangulares ( x, y) dadas, halle sus respectivas coordenadas polares (r , θ),θ ]0, 2π[
∈
Depto Matemática
9
Facultad de Ciencias
Capítulo I. Curvas Paramétricas
√ 3, −2)
(a) ( x, y) = ( 5, −5)
(e) ( x, y) = (2, 2)
(i) ( x, y) = ( −2
(b) ( x, y) = (
(f) ( x, y) = (−1, 1)
(j) ( x, y) = ( 0, −2)
√ 3, −3)
(c) ( x, y) = ( 4, −4)
(g) ( x, y) = (−3, 3)
(d) ( x, y) = ( 0, −3)
(h) ( x, y) = (−6, 0)
√ 3, 1) √ (l) ( x, y) = ( −2, −2 3)
(k) ( x, y) = ( −
4. Dada la ecuación r = 4 sen(θ) en coordenadas polares transformarla a la coordenadas cartesianas e identificar su gráfica. 5. Probar que las ecuaciones polares r = 3 y r = −3, representan ambas a la misma circunferencia de centro el origen y de radio 3 .
6. Transformar la ecuación r 2cos(2θ) = 4 a coordenadas cartesianas e identificar su gráfica en el plano. 7. Dada la ecuación cartesiana gráfica.
x2 + y2
− 2 x = 0 , transformarla a coordenadas polares e identificar su
8. Escribir cada una de las siguientes ecuaciones cartesianas rectangulares en términos de las coordenas polares (r , θ). (a) (b)
x2
+
y 2
= 1
4 9 x 2 y + 3 = 0
−
(c)
x2 + y2
(e)
− 6 x = 0
x2 = 1
− 4 y (f) x + y − 4 x + 2 y = 0
(d) y = −4
2
2
(g)
y2 = 1
(h)
xy = 1
− 4 x
9. Expresar cada una de las siguientes ecuaciones, dadas en coordenadas polares, en términos de las coordenadas rectangulares: (a) r = sen(θ) (b) r =
(d) r = 3 + 2cos(θ)
3
(e) r =
− cos(θ) (c) r = −4 1
(f) θ =
4 4
(g)
r 2 = 1
− cos(θ)
(h) r = 2
− cos(θ)
π
(i) θ = −
6
π 4
10. Grafique las siguientes ecuaciones polares (a) r = c,
∈R
(i) r = |4sen(θ)|
(m) r = 1 + cos(θ)
(b) r = 2sen(3θ)
(f) r = acos(nθ)
(j) r = asen(nθ)
(n) r = 1 + 2cos(θ)
(c) r = eθ
(g)
(k) r cos(θ) = a
(o) r sen(θ) = a
(d) r = 2acos(θ)
(h) r = 2asen(θ)
(l) r = a(1 + ±cos(θ))
(p) r = a(1 + ±sen(θ))
c
∈R
Depto Matemática
(e) θ = c,
c
r 2 = cos(2θ)
10
Facultad de Ciencias
Capítulo I. Curvas Paramétricas 11. Graficar las ecuaciones polares siguientes: (a) r cos(θ) = 2
(j) r = 4 − 3cos(θ)
(b) r = −2cos(θ)
(k) r = e 2
(c) r = 4 − 3sen(θ)
(l)
(s)
− sen(θ) (t) r = 2sec(θ) − 1, 0 ≤ θ ≤ π pi = 0 (u) r cos θ − 4
θ
(d) r = θ
−4sen(2θ) (m) r = cosec(θ) − 2, 0 < θ < π
(e)
(n) r = sen(θ) + cos(θ)
r = 16cos(2θ) 2
r 2 = 1
r 2 =
(v) r = 4cos(θ)
(w) r = 2(1 + cos(θ))
(f) r = sec(θ) − cos(θ)
(o) r = 2sen(θ)
(g) r = |cos(2θ)|
(p) r = 2 − 2sen(θ)
(x) r = 2cos(4θ)
(q) r = 2sen(3θ)
(y) r = e−θ
(h) r sen(θ) = −2
(r) r =
(i) r = −4sen(θ)
2
(z) r = 1 + sen(2θ)
θ
12. Bosquejar las gráficas de (a) r =
(b) r =
2 1
3
(c) r = sec
− cos(θ)
(d) r =
2 1
(e)
− 2sen(θ)
θ
(f) r =
3 2
1 2cos(θ) r = 4sen(θ)cos2 (θ)
−
2
(h) r =
2 + cos(θ)
2
(g) r = sec
θ
(i) r =
2
2 1
− sen(θ) 1
sen3
θ
3
13. Hallar los puntos de intersección de las gráficas siguientes (a) r = 2sen(θ) y r = 2cos(θ), θ ∈ [0, 2π]
(g)
(b) r = cos(2θ) y r = cos(θ), θ ∈ [0, 2π]
(h) r = 2cos(2θ) y r = −2cos
(c)
r
=
4
− cos2
θ 2
sen2
θ 2
y
r 2 = 9cos(2θ) y r = 2
(i) r = sen
r (1 + 3sen (θ)) = 4cos(θ) 2
θ 2
− cos(θ)
θ 2
,θ
∈ [ 0, 2π ]
y r = 1
(j) r = 1 + cos(θ) y r = 1 + sen(θ)
(d) r = 2 + cos(θ) y r = 5cos(θ)
(k) r = 2cos(3θ) y r = 1
(e) r = 4sen(θ)cos2 (θ) y r = sen(θ)
(l) r = 2(1 − cos(θ)) y r (1 + cos(θ)) = 1
(f) r =
2sen(θ) y r = (3cos2 (θ)+1)
8 sen(θ) 7
(m) r = 4(1 − sen(θ)) y r (1 + sen(θ)) = 3
14. Hallar el área de las curvas encerradas por las gráficas polares siguientes (a) r = 4sen(2θ)
Depto Matemática
(b) r = 1 + cos(θ)
11
(c)
r 2 = 4sen(2θ)
Facultad de Ciencias
Capítulo I. Curvas Paramétricas 15. Hallar el área de la región que se encuentra fuera de la cardioide r = 2 (1 + cos(θ)) y dentro de la circunferencia r = 6cos(θ). 16. Calcule el área de la parte sombreada de las gráficas siguientes
17. Hallar el área común a las circunferencias r = 2sen(θ) y r = 2cos(θ) 18. Dadas las curvas r = 2cos(3θ)
(I.8)
r = 1
(I.9)
(a) Hallar el área que se encuentra interior a (I.8) y exterior a (I.9). (b) Hallar el área que se encuentra exterior a ( I.8) e interior a (I.9). (c) Hallar el área que se encuentra interior a (I.8) y a (I.9).
Depto Matemática
12
Facultad de Ciencias
Capítulo I. Curvas Paramétricas
I.2
Integrales Impropias
Teorema I.5 (Integrales impropias de primera especie)
∞
b
Son de la forma f ( x)dx y f ( x)dx donde f ( x) es integrable en [ a, b], ∀b < ∞ y f es integrable en [ a, b], −∞ 1 ∀a > −∞ respectivamente. 1. Si
lim
→∞
b
lim 2. Si a→− ∞
b
f ( x)dx existe entonces
a
a
b
∞
f ( x)dx = lim
→∞
b
a
f ( x)dx existe entonces
b
f ( x)dx
a
b
−∞
f ( x)dx = lim
→−∞
a
b
f ( x)dx
a
Definición I.5
Si f es integrable sobre cada intervalo finito, entonces la integral impropia
∞
−∞
∞
f ( x)dx =
∞
−∞
f ( x)dx se define por
∞
a
−∞
f ( x)dx +
f ( x)dx, a
a
∈R
Se dice que la integral f ( x)dx es convergente si ambas integrales del segundo miembro son conver−∞ gentes, y es divergente si al menos una o ambas integrales del segundo miembro de la igualdad es divergente.
Teorema I.6 (Integrales de segunda especie)
Son integrales de la forma [ a, b
a
b
f ( x)dx para los cuales f ( x) no está acotada sobre [a, b[, pero es integrable sobre
− ε] para cada ε > 0. Estas integrales son convergentes si εlim →
a
−
−
b ε
0+ a
f ( x)dx existe y en tal caso se tiene
b ε
b
f ( x)dx = lim ε
→0+
f ( x)dx.
a
Si tal límite no existe se dice que la integral es divergente.
Depto Matemática
13
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Capítulo I. Curvas Paramétricas Teorema I.7
De manera similar, si f ( x) es integrable sobre [a + ε, b] para cada ε > 0 y no está acotada sobre ]a, b] entonces se define
b
f ( x)dx = lim ε
a
→0+
b
a+ε
f ( x)dx.
Ejemplo I.3
Calcule 1.
x5
∞
1
2.
dx 5/2
(1 + x3 )
∞
dx x2 + 1
0
Solución: ◮ 1. Utilizaremos el criterio de las integrales impropias (primera especie), por lo tanto
x5
∞
1
(1 + x3)5/2
dx = lim
→∞
b
x5
b
(1 + x3 )5/2
1
dx
B
3
Para el cálculo de B utilizamos el cambio de variable 1 + x = u B
=
1
x5
b
(1 + x3 )5/2
2 −3/2 ( u 3
=
dx =
1 3
b
0
∞
dx x2 + 1
= lim b
→∞
0
b
(u
2
2
− 1) du = 1
u5/2
2
3
1 √ + →∞ 3 2 3(b
lim
b 3 +1
− u−1/2) b +1 =
Luego
2.
3
1 √ + 3 2 3( b
− 3(b
3 + 1)3/2
2
3
⇒ du = 3 x dx, x = 1 ⇒ u = 2. x = b ⇒ u = b + 1 b3 +1
2
2
− 3(b
3 + 1)3/2
2 3 + 1)1/2
1 dx = lim (arctan(b) b→∞ 1 + x2
(u−3/2
=
− u− / )du 5 2
2 3 + 1)1/2
1 √ 3 2
− arctan(0)) = π2
◭
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14
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Capítulo I. Curvas Paramétricas I.2.1 Ejercicios Propuestos
1. Explique por qué cada una de las integrales siguientes es impropia (a)
+∞
x
4
1
4 e− x dx
(b)
π 2
(c)
sec( x)dx
0
0
1
−∞ x2 + 5
(d)
2
(d)
2
dx 2
+∞
dx 3
(d)
dx
x
x2
0
− 5 x + 6 dx
2. ¿Cuál de las siguientes integrales son impropias? ¿Por qué? (a)
2
1 2 x
1
−1
(b)
dx
1
1 2 x
0
−1
dx
(c)
+∞
(a)
+∞
1
dx 1 + x2
0
(b)
+∞
1
dx 2
(c)
1
(1 + x)
0
1 + x
−∞
3. Calcule el valor de las siguientes integrales
sen( x)
1
−∞ (2 − x)
4. Analice la convergencia o divergencia de las siguientes integrales
dx (a) x (b) xe dx − 1 + e− +∞
1
0
(c)
+∞
0
x
x
1
+∞
1
x
∞ +∞
(d) (e)
dx
(f)
dx , p x p
(g) (h)
∈R
+∞
0
e− x dx
1
(i)
dx 2
−∞ (2 x − 3)
1 x2
2
− 1)dx
dx
ln( x) dx (j) x dx √ dx (k) x x − 1 x +∞
cos( x)dx
1
+∞
+∞
5 2 x + 3
0
1
ln( x
1
1
dx
2
1
xe2 x dx
(l)
−∞
+∞
x4 + 1
1
dx
5. Analice la convergencia o divergencia de las siguientes integrales, en caso que converja calcule el valor de la integral.
x √ 1 + x dx (a) − x +∞
(b)
2
∞ +∞
dx 2
(1 + x2)
−∞
(c) −
+∞
(d)
−∞
(e) −
+∞
x dx 2 ∞ 1 + x +∞ dx
∞
(a2 + x2 )3/2
−∞
+∞
x dx
+∞
(f)
(g) −
3
∞
2
xe− x dx
(h)
+∞
−∞
(2 x2 x + 3)dx
−
dx x2 + 2 x + 2
6. Demuestre que (a)
+∞
−∞
xdx es divergente.
lim (b) t → +∞
Entonces podemos concluir que NO ES VERDAD
Depto Matemática
15
+∞
−∞
t
= 0
xdx
−t
t
xdx = lim
t +∞
→
xdx
−t
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Capítulo I. Curvas Paramétricas 7. Calcule las integrales siguientes: (a)
9
dx x
√
0
(b)
π 2
cos( x) dx sen( x)
(c)
0
2
dx
√ 4 − x
2
0
(d)
1
(d)
1
−4
√ xdx+ 2 3
8. Analice la convergencia o divergencia de las integrales siguientes: (a)
0
2
dx ( x 1)2
−
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(b)
0
1
(c)
x ln( x)dx
16
0
4
xdx
√ 16 − x
2
dx −1 x2
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CAPÍTULO
II SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES
El propósito de esta sección es desarrollar la unidad de series de números reales. Esta unidad está estrechamente ligada al concepto de sucesiones de números reales y para lograr rigurosidad en el tratamiento de ellas es necesario referirse previamente a sucesiones infinitas de números reales.
Definición II.1
Una sucesión de números reales es una aplicación f : N → R tal que f (n) → an. Notación: Escribiremos la sucesión en la forma {an}n∈N, entendiendo {an}n∈N = {a1, a2, a3 , a4, ··· , an, ···} con a i ∈ R, i = {1, 2, 3, ···}. En algunos casos, es conveniente iniciar la sucesión desde i = 0 como veremos más adelante.
Ejemplo II.1
a) c)
{a } ∈ n n
N
{a } ∈ d) {a } ∈ e)
n n
N
n n
N
{a } ∈ n n
N
= 3 + ( 1)n = 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4,
{
− } {
···}
b)
{a } ∈ n n
N
=
n
2n
=
−1
n
∈N
2 3 5 5 1, , , , , 3 7 15 24
{ } ∈ = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ···} sucesión de los números pares. = {2n − 1} ∈ = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ···} sucesión de los números impares. = 2n
N
n
n
=
N
1 n
=
∈N
n
1 1 1 1, , , , 2 3 4
···
f)
17
{a } ∈ n n
N
=
n
n+1
=
n
∈N
1 2 3 , , , 2 3 4
···
···
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Observación II.1
Entre la gran variedad de sucesiones de números reales que podemos estudiar nos interesará sobremanera aquellas que están relacionadas con sumas infinitas. En la unidad siguiente introduciremos estas ideas.
Nos interesa definir ahora un concepto fundamental. El concepto de límite de una sucesión. Si observamos los ejemplos anteriores podemos notar que algunas de las sucesiones propuestas tienen la particularidad de que a medida que avanzamos en la sucesión, los términos presentan una tendencia a aproximarse a un valor real determinado. Por ejemplo, en la sucesión
{a } ∈ n n
N
=
1 n
=
∈N
n
1 1 1 1, , , , 2 3 4
···
los términos, a partir de un cierto n en adelante comienzan a aproximarse a 0 tanto como queramos. Lo mismo ocurre con la sucesión del ejemplo f): En este caso, los elementos de la sucesión se aproximarán al valor 1 tanto como queramos a partir de un cierto n en adelante.
{a } ∈ n n
N
=
n
n+1
=
1 2 3 , , , 2 3 4
···
En ambos casos decimos que la sucesión tiene un límite. En el primer caso el límite es 0 y en el segundo es 1. Más formalmente, daremos la siguiente definición:
Definición II.2
Sea {an}n∈N sucesión de números reales y sea L ∈ R. Diremos que el límite de {an}n∈N es el número L si dado ε > 0 existe N ∈ N tal que |an − L| < ε siempre que n > N . En tal caso diremos que la sucesión es convergente y converge al número L. En cualquier otro caso diremos que la sucesión es divergente.
Ejemplo II.2
Usando la definición demostremos que lim n→∞
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− 5
1 n2
18
= 5
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Solución: ◮
Debemos probar que dado ε > 0 existe N
∈ N tal que para todo n > N se cumple |a − L| < ε. En efecto,
−
n
−
−
1 1 1 1 5 = an L = 5 an L < 2 = 2 = 2 2 n n n N 1 1 de esta forma, para hacer que an L < ε basta exigir que 2 ε o bien N para completar la demostración. N ε 1 22.36 y de esta manera podemos seleccionar N = 23 o cualquier otro entero Por ejemplo, si ε = 0 .002, entonces
| − |
| − |
positivo mayor.
ε
1 n2
≤
⇒ | − | ≥ √
≈
◭
1
√ n = 0 Se deja al estudiante demostrar, siguiendo el procedimiento anterior, que lim n→∞ Observación II.2
Si el límite de una sucesión existe, es único.
Resultado Importante Sea A ⊂ R y sea f : A → R función tal que lim f ( x) = L. Sea {an }n∈N una sucesión de números reales tal que x→∞ an = f (n) para cada n ∈ N. Entonces lim an = L
n
→∞
Observación II.3
El ejemplo siguiente muestra que el recíproco de la propiedad anterior no es cierto. 1 En efecto, si consideramos la función f : R −{0} → R tal que f ( x) = + sen(π x) y la sucesión (an)n∈N tal que an =
1
n
x
+ sen(nπ) entonces lim f ( x) no existe, pues sen(π x) oscila entre
→∞
x
lim
→∞
n
1 n
+ sen(nπ) = lim n
→∞
1 n
−1 y 1 cuando x → ∞. En cambio
+ 0 = lim n
1
→∞ n
que es igual a 0 como demostraremos enseguida.
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19
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Observación II.3 (Continuación).
En efecto, deberemos probar que dado ε > 0 existe N ∈ N tal que se cumple que
1 n
− 0 = n1 < N 1 = ε para todo n ≥ N y por lo tanto
1 1 < n N
para todo n > N . Tomando ε =
1 = 0 n→∞ n lim
Teorema II.1 Teoremas sobre límite de sucesiones
Si nlim →∞ an = A y nlim →∞ bn = B entonces 1. nlim →∞(an + bn) = A + B
3. nlim →∞(an · bn) = A · B
2. nlim →∞(an − bn) = A − B
4. nlim →∞
an bn
=
A B
= 0 si limn→∞ bn = B
Observación II.4
(i) Si lim an = A y lim bn = B y B = 0, A = 0 entonces lim n→∞ n→∞ n→∞ (ii) Si B = 0 y A = 0 entonces nlim →∞
an bn
=
A B
an bn
=
A B
no existe.
puede no existir.
a pn = A p si A p existe, con p ∈ R. (iii) nlim ∞ → an A A (iv) nlim →∞ p = p si p existe, con p ∈ R. (v) Sean (an)n∈ N , (bn )n∈ N sucesiones convergentes tales que lim an = lim bn = L. n→∞ n→∞ Sea (cn )n∈N tal que a n ≤ cn ≤ bn para todo n ∈ N o para todo n > N , N algún entero positivo. Entonces la sucesión (cn )n∈N es también convergente y converge a L .
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20
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1 N
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Definición II.3 Límites infinitos
Se escribirá lim an = ∞ si para todo número positivo M existe un número positivo N (que depende de M) tal n→∞ que a n > M para todo n > N . En forma análoga se escribe nlim →∞ an = −∞ si para todo número positivo M existe un número positivo N tal que a n < − M para todo n > M . Notar que ∞, −∞ no son números reales y por lo tanto las sucesiones de alguna manera divergen.
Ejemplo II.3
La sucesión {2 } ∈ n
n
N
es divergente. En cambio,
1 3
n
n
es convergente.
∈N
Más generalmente, la sucesión {r n}n∈N converge si |r | ≤ 1 y diverge si |r | > 1.
Ejemplo II.4
Escribir los 5 primeros términos de la sucesiones: 1. 2.
−− 2n + 1 3n + 1 1
n
( 1)n
n3
Solución: ◮ 1. 2.
3.
∈N
4.
∈N
n
−
( 1)n−1 x2n−1 (2n 1)!
−
1 1 1 + + + 2 4 8
···
∈N
n
1 + n 2
∈N
n
3 5 7 9 11 , , , , 5 8 11 14 17 x
3
5
7
9
x x x x − , ,− , 1! 3! 5! 7! 9!
,
◭
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21
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Ejemplo II.5
Sea la sucesión
6n + 1 8n + 5
∈N
n
1. Conjeture el límite cuando n → ∞. 2. Usando la definición compruebe la validez de su conjetura. Solución: ◮ 7
13
61
601
1. Si n = 1 da el valor ; n = 2 da el valor ; n = 10 da el valor ; n = 100 da el valor ; n = 10 .000 da el 13 21 85 805 60.001 600.001 valor ; n = 100.000 da el valor 80.005 800.005 3 Conjeturamos que el limite es 0 , 75 = 4
2. Probemos ahora que nuestra conjetura es correcta usando la definición de límite de una sucesión. Deberemos 6n + 1 3 probar que dado ε > 0 existe número N tal que < ε para todo n > N . Resolviendo para n la desigual8n + 5 4 6n + 1 3 24n + 4 24n 15 11 11 4(8n + 5) 1 dad < ε se tiene = = < ε o bien > de ε 8n + 5 4 4( 8n + 5) 4(8n + 5) 4(8n + 5) 11 11 1 11 1 11 6n + 1 3 5 . Bastará tomar N = 5 y se cumplirá que donde 8 n + 5 > y n > < ε ε ε 8 8 ε 8n + 5 4
−
para todo n > N =
1 8
− 11
ε
− − − − − −
5 .
1 Notemos que si, por ejemplo, ε = 0 .001 entonces N = 8
11 0.001
−
−
5 , o bien, N = 1374, 375 lo que significa
que todos los términos siguientes al de orden 1 .375 difieren en valor absoluto de
3 en menos de 0 , 001 4
◭
Observación II.5
(i) Es claro que usando las propiedades de límites se llega al mismo resultado. (ii) Es importante señalar que el comportamiento de una sucesión puede analizarse asignando a n "valores suficientemente grandes" tal como en la parte 1) del ejemplo precedente.
Depto Matemática
22
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Ejemplo II.6
Demostrar que lim xn = 0 si | x| < 1. n→∞ Solución: ◮ (i) Si x = 0 el resultado es obvio. (ii) Si x = 0 deberemos probar que dado ε > 0 existe un número N tal que xn < ε para todo n > N . En efecto, como xn = x n < ε entonces, tomando logaritmo en base 10 (u otra cualquiera) se tiene
| |
| | ||
log x n < ε
||
⇒ n log | x| < ε,
de donde, dado que log x < 0, (¿Por qué?) se tiene n >
||
log ε = N , con lo que se completa la demostración. log x
||
◭
Ejemplo II.7
Demostrar las propiedades o teoremas de límites de sucesiones. Solución: ◮ A manera de ejemplo demostraremos que si ( an)n∈N , ( bn )n∈N son sucesiones de números reales tales que lim an = A y lim bn = B entonces n
→∞
n
→∞
lim (an + bn ) = lim an + lim bn = A + B
→∞
→∞
n
n
→∞
n
Deberemos probar que dado ε > 0 existe N > 0 tal que (an + bn )
| − ( A + B)| < ε para todo n > N . Se tiene, |(a + b ) − ( A + B)| = |(a − A) + (b − B)| ≤ |a − A| + |b − B| n
n
n
n
n
(II.1)
n
Como por hipótesis (an ) y (bn ) son convergentes entonces dado ε > 0 existen N 1 y N 2 tales que
|a − A| < 2ε para todo n > N |b − A| < 2ε para todo n > N n
1
(II.2)
n
2
(II.3)
De (II.1), (II.2) y (II.3) se concluye (an + bn ) cual se completa la demostración. ◭
|
Depto Matemática
− ( A + B)| < 2ε + ε2 = ε, para todo n > N , con N = max{ N , N }, con lo 1
23
2
Facultad de Ciencias
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Observación II.6
No es propósito de estos apuntes demostrar todas las propiedades de límite de sucesiones. Quedan para el estudiante las restantes demostraciones. Es un sano y provechoso ejercicio recurrir a textos y a biblioteca para complementar estos contenidos.
II.0.2 Sucesiones monótonas y acotadas
Completamos este estudio elemental de límite de sucesiones con dos conceptos de gran utilidad para establecer si una sucesión de números reales es convergente.
Definición II.4
Sea (an)n∈N sucesión de números reales. Diremos que: 1. (an)n∈N es monótonamente creciente si an+1 ≥ an ∀n ∈ N. Si an+1 > an, ∀n ∈ N se dirá que la sucesión es estrictamente creciente. 2. (an)n∈N es monótonamente decreciente si a n+1 ≤ an ∀n ∈ N. Si an+1 < an, ∀n ∈ N se dirá que la sucesión es estrictamente decreciente. 3. Diremos que (an)n∈N es acotada si existen M , m números reales tales que m ≤ an ≤ M para todo n ∈ N. Más generalmente, si (an)n∈N es acotada entonces podemos encontrar un número P > 0 tal que −P ≤ an ≤ P para todo n ∈ N.
Resultado importante Toda sucesión monótona y acotada posee límite.
Notemos que el resultado anterior garantiza la existencia del límite, no su valor. El eje mplo siguiente es aclaratorio.
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24
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Ejemplo II.8
1
n
La sucesión (1 + ) n
posee límite pues es creciente y acotada superiormente. En efecto, por el teorema
∈N
n
del binomio, si n ∈ N podemos escribir (1 + x)n = 1 + nx +
haciendo x =
1 n
1 1+ n
n
1 1+ n
n
n(n
− 1) x
2
2!
+
n (n
− 1)(n − 2) x + ··· + n(n − 1)(n − 2) ··· (n − n + 1) x n! 3! 3
n
se tiene 1 n
= 1+n +
=
n (n
1 1+1+ 2!
− 1) 1 + ··· + n(n − 1)(n − 2) + ··· + n(n − 1)(n − 2) ··· (n − n + 1) 1 n2
2!
nn
n!
3!
− − − − − ··· − − 1
1 n
+
1 3!
1 n
1
2 n
1
+
1 n!
1
1 n
1
2 n
1
1
n
n
dado que cada término a partir del tercero en la expresión anterior es función creciente de n, se sigue que la sucesión es monótona creciente. Por otra parte,
1+
1
1
1
1 n
n
< 1 + 1 +
1 1 + + 2! 3!
··· + n1! < 1 + 1 + 12 + 14 + 18 + ··· + 2 1−
n 1
1
y como 1 + 1 + + + + ··· + n−1 ≤ 2 para todo n ∈ N (Explique), entonces 2 4 8 2 Así, hemos probado que la sucesión
1+
n
1
n
1+
1 n
n
< 3, para todo n
∈ N.
es creciente y acotada superiormente por el número 3 n
∈N
y por lo tanto es convergente y converge a un número real menor o igual a 3 . Este número es el número irracional e base de los logaritmos naturales. lim
n
→∞
1+
1 n
n
= e
Daremos ahora un último criterio de convergencia para sucesiones de números reales.
II.0.3 Criterio de convergencia de Cauchy
Una sucesión (an )n∈N de números reales es convergente si y sólo si para cada ε > 0 existe número real N tal que |a p − aq| < ε para todo p, q mayores que N .
Depto Matemática
25
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales II.0.4 Ejercicios Propuestos
1. Demuestre que toda sucesión convergente es acotada 2. Mediante la definición de límite, demuestre que la sucesión (a)
− 4 2n 3n + 2
∈N
n
converge a −
2 3
(b)
1 + 2 10n 5 + 3 10n
· ·
converge a
∈N
n
2 3
3. Explique con precisión el significado de 2n−3 = ∞ (a) nlim →∞ 3
(b) nlim →∞(1 − 2n) = −∞
4. Calcule, usando los teoremas sobre límites (a) (b)
3n2 + 7n 19 lim n→∞ 7n2 2n + 31 n(n + 2) n3 lim n→∞ n+1 n2 + 1
−
−
−
(c) lim n→∞ (d) nlim →∞
√ − √ − n+4
5n 4 3n + 8
n
3
(e) nlim →∞
1 + 2 10n
· 5 + 3 · 10
n
5. Obtenga, en cada caso, una sucesión que tenga las propiedades que se indican: (a) Sea convergente pero no monótona.
(d) Sea monótona decreciente y no acotada.
(b) Sea acotada pero no convergente.
(e) Sea monótona decreciente y convergente.
(c) Sea monótona pero no acotada.
(f) Que no sea monótona ni acotada.
2n n !
6. Demuestre que lim = 0. (Dicho de una manera muy simple, crece más rápidamente el denomin→∞ nn nador que el númerador cuando n crece indefinidamente). 7. La sucesión de Fibonacci es la sucesión (un)n∈N con u n+2 = un+1 + un donde u 1 = u2 = 1. (a) Obtenga los 6 primeros términos. (b) Muestre que el enésimo término está dado por la fórmula u n = b =
1 2
(1
− √ 5) Respuesta: (a) 1, 1, 2, 3, 5, 8
− b ) donde a = 1 (1 + √ 5), √ 2 5
(an
n
8. (a) Pruebe que si la sucesión (an)n∈N converge a un número L entonces la sucesión (|an |)n∈N converge también a L. (b) Mediante un contraejemplo muestre que si (|an|)n∈N converge no necesariamente converge (an )n∈N . Depto Matemática
26
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales
II.1
Series infinitas de números reales
II.1.1 Introducción n
Recordemos que el símbolo ∑ ak = a1 + a2 + a3 + ··· + an representa una suma finita de n términos. Sabemos, k =1
por propiedades de los números reales, que n
n
n
k =1
k =1
k =1
(i) ∑ (ak + bk ) = ∑ ak + ∑ bk n
n
k =1
k =1
n
n
k =1
k =1
(ii) ∑ [(ak + bk ) + ck ] = ∑ ak + ∑ bk + ∑ ck n
n
k =1
k =1
(iii) ∑ cak = c ∑ ak n
(iv) ∑ (bk − bk +1) = b1 − bn+1 (Propiedad telescópica) k =1
Demostremos esta última propiedad que será de tran utilidad más adelante como ya veremos. En efecto, n
∑ (bk − bk +1) = (b1 − b2) + (b2 − b3) + (b3 − b4) + ··· (bn−2 − bn−1) + (bn−1 − bn) + (bn − bn+1)
k =1
de donde, asociando convenientemente se observa que se cancelan todos los términos salvo el primero y el último. Así n
∑ (bk − bk +1) = b1 − bn+1
k =1
Nos preguntamos si en el caso de sumas de infinitos términos las propiedades anteriores siguen siendo válidas. Para ello consideramos la expresión de infinitos términos n
∑ an = a1 + a2 + a3 + ··· + ak + ···
k =1
Llamaremos serie de números reales a tal representación. La suma de una serie puede o no existir. Desarrollaremos una teoría de series a partir del concepto de sucesión de números reales que vimos en la unidad anterior. Para ello consideremos la sucesión. (an )n∈N = a1, a2 , a3 , a4 , , ak ,
{
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· ···}
27
Facultad de Ciencias
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Construyamos a partir de esta sucesión otra sucesión derivada de (an )n∈N de la manera siguiente, Denotamos por s1 s2 s3
= a1 = a1 + a2 = a1 + a2 + a3
y así sucesivamente escribiendo para sn sn
= a1 + a2 + a3 +
sn
=
n
··· + a
n
∑ ak
k =1
Los números sn constituyen una sucesión (sn )n∈N que llamaremos sucesión de sumas parciales de la serie ∞
∑ an = a1 + a2 + a3 + ··· + ak + ···
n=1
Escribimos
n
(sn )n∈N =
n
∞
k =1
n=1
∑ ak
k =1
∈N
n
Si nlim →∞ ∑ ak = s número real entonces ∑ an = s. Diremos en este caso que la serie es convergente y converge a s. Recíprocamente, si la serie converge a s la sucesión de sumas parciales es convergente y converge a s. Si la sucesión de sumas parciales diverge entonces la serie se dirá divergente. La propiedad siguiente es una extensión natural de las propiedades (i) y (iii) dadas más arriba para sumas de un número finito de términos:
Proposición II.1 ∞
∞
n=1
n=1
Sean las series de números reales ∑ an, ∑ bn convergentes. Sean α , β números reales. Entonces la serie ∞
∑ (αan + βbn es también convergente y su suma está dada por
n=1
∞
∞
∞
∑ (αan + βbn) = α ∑ an + β ∑ bn
n=1
Depto Matemática
n=1
28
(II.4)
n=1
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Demostración: n ◮
Sabemos que
n
∞
n
∑ (αan + βbn) = α ∑ an + beta ∑ bn , además, dado que, por hipótesis,
n=1
n=1
convergentes, entonces cuando n
n
α ∑ (αak + βbk ) cuando n k =1
∞
∞
n=1
∞
∑ bn son ambas
n=1
→ ∞, α ∑ a y β ∑ b tienden a α ∑ a y β ∑ b respectivamente y por lo tanto, k
k =1
n
n=1 n
∑ an ,
n
k
n
n=1
k =1
n=1
→ ∞ tiende a su suma, con lo que se completa la prueba.
◭
∞
∞
n=1
n=1
Como consecuencia del resultado anterior se tiene que si α ∑ an converge y si α ∑ bn diverge, entonces ∞
α ∑ (an + bn ) diverge. n=1
∞
En efecto, supongamos por el contrario que α ∑ (an + bn) converge. Escribiendo b n = (an + bn) − an se n=1
∞
∞
sigue, dado que α ∑ an converge y hemos supuesto que α ∑ (an + bn) converge, entonces, por proposición n=1
n=1
∞
∞
recién demostrada se concluye que α ∑ bn converge, lo que contradice la hipótesis de ser α ∑ bn divern=1 n=1 gente. ∞
Así, necesariamente α ∑ (an + bn) diverge, como queríamos demostrar. n=1
∞
∞
k =1
n=1
Otro resultado importante se obtiene haciendo β = 0 en (II.4). Se tiene ∑ (αak ) = α ∑ an , siempre que ∞
∑ an sea convergente.
n=1
Este último resultado dice simplemente que si se multiplica cada término de una serie convergente por una constante entonces la suma queda multiplicada por la constante.
Observación II.7 ∞
∞
∞
n=1
n=1
n=1
Notemos que si ∑ an y ∑ bn son ambas divergentes entonces la serie ∑ (an + bn) puede o no converger. Por ∞
ejemplo, si consideramos las series con an = bn = 1, ∀n ∈ N (ambas divergentes)entonces la serie ∑ (an + bn) ∞
n=1
diverge. Pero si a n = 1 y b n = −1, ∀n ∈ N (ambas divergentes) la serie ∑ (an + bn) converge. n=1
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29
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Observación II.8 ∞
Sea la serie ∑ an. Entonces, si se suprimen los N primeros términos las series n=1
∞
∑ an
= a1 + a2 + a3 +
n=1
∞
∑ an
···
= a N + a N +1 + a N +2 +
n= N
···
son ambas convergentes o ambas divergentes. Esto es, la supresión de un número finito de términos no altera la convergencia o divergencia de una serie. Notar que si ambas series convergen, sus sumas sólo difieren en la suma parcial S n .
En lo que sigue, intentaremos responder a dos preguntas que, visto lo anterior, ya debemos formularnos ∞
respecto de una serie ∑ an: n=1
1. ¿Converge?
2. Y si converge ¿Cuál es su suma?
Veremos a continuación que tales preguntas no siempre son fáciles de responder. De hecho, para demostrar que una serie es convergente deberemos recurrir a procedimientos que no siempre son sencillos. Dispondremos de una serie de criterios que desarrollaremos en seguida y, en el caso que la serie estudiada sea convergente, intentaremos obtener la suma, lo que presenta aún mayor dificultad y sólo en casos muy especiales estaremos en condiciones de lograr. El primer criterio que veremos nos permite una discriminación esencial:
II.1.2 Criterio de divergencia ∞
∞
n=1
n=1
= 0 entonces la serie ∑ an es divergente. Sea la serie de números reales ∑ an. Si nlim →∞ an
Ejemplo II.9 ∞
3 n2 + 1 3n 2 + 1 1 = ∑ 6n2 2 es divergente pues nlim →∞ 6n2 2 2 = 0 n=1
−
Depto Matemática
−
30
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Observación II.9 ∞
Notemos que el criterio nada dice respecto de la convergencia o divergencia de la serie ∑ an si lim an = 0. n→∞ n=1 En tal caso se dice que el criterio falla.
Veremos más adelante que se requiere información adicional para dar una respuesta precisa. Recordemos, por lógica proposicional que p ⇒ q ⇔ (¬q) ⇒ (¬ p). ∞
∞
an Luego, decir que lim = 0 implica que la serie ∑ an es divergente es equivalente a decir que ∑ an convern→∞ n=1 n=1 ∞
gente implica que nlim →∞ an = 0. Demostraremos entonces que ∑ an convergente implica que nlim →∞ an = 0. En ∞
∞
n=1
efecto, supongamos que ∑ an es convergente. Entonces ∑ an = lim S n = L cuando n → ∞. Entonces, como n=1 n=1 S n = S n−1 + an y lim S n = lim S n−1 = L se sigue que L = lim S n = lim S n−1 + lim an = L + lim an
→∞
n
n
→∞
n
→∞
n
→∞
∞
lo que exige que la sucesión {an} converja a 0 . Así, hemos probado que si ∑ an es convergente entonces n=1 lim an = 0 cuando n → ∞. ∞ an = 0 la serie ∑ an es divergente, tal Y por lo que ya dijimos, el recíproco es también válido; esto es, si lim →∞ n
n=1
como lo habíamos afirmado anteriormente.
Ejemplo II.10
Determinemos, de acuerdo al criterio anterior, cuál o cuáles de las series siguientes son divergentes: ∞
(a) ∑ 3
(b)
n
n=0
∞
1 ∑ 3n n=0
(c)
∑ ∞
1+n
n=0
n
n
∞
1 n n=0
(d) ∑
∞
1 n2 n=0
(e) ∑
Solución: ◮ (a) Divergente. Pues lim 3n = ∞
→∞
n
1 = 0 n→∞ 3n
(b) El criterio no discrimina, pues lim
se deja al estudiante el análisis de los restantes ejemplos.
Depto Matemática
◭
31
Facultad de Ciencias
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Veremos ahora, algunos casos especiales de series que son convergentes.
II.1.3 Series telescópicas
Recordemos la propiedad telescópica para sumas finitas: n
∑ (bk − bk +1) = b1 − bn+1
k =1
Cuando queremos extender esta propiedad a las series de infinitos términos debemos considerar aquellas series en que cada término se puede escribir como una diferencia an = bn − bn + 1 ∞
∑ an =
n=1
∞
∑ (bn − bn+1)
n=1
Estas series se llaman series telescópicas. Su comportamiento está determinado por la propiedad siguiente:
Proposición II.2
Sean {an} y {bn} dos sucesiones de números reales tales que a n = bn − bn+1 para n = 1, 2, 3, 4, ··· Entonces la ∞
serie ∑ an converge si y sólo si la sucesión {bn} converge en cuyo caso se tiene n=1
∞
∑ an = b1 − L, donde L = nlim →∞ bn
n=1
Demostración ∞
n ◮
Sea s n =
n
n
∑ ak enésima suma parcial de ∑ an . Se tiene entonces s n = ∑ ak = ∑ (bk − bk +1) = b1 − bn+1, luego n=1
k =1
{ } { }
k =1
las sucesiones sn y bn son ambas convergentes o ambas divergentes. Por otra parte, si lim bn = ∞ entonces s n b1 L lo que completa la prueba.
→∞
n
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→ −
32
k =1
◭
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Ejemplo II.11 ∞
La serie ∑
n=1
1 n2 + n
1
es una serie telescópica con a n =
1 = 0 se concluye que n→∞ n
n ( n + 1)
=
1 n
− n +1 1 y b = 1, b = n1 y como lim →∞ b = 1
n
n
n
lim
∞
1
∑ n2 + n = 1
n=1
Ejemplo II.12 ∞
Examinemos la serie ∑ log ∞
serie ∑ log n=1
n
n+1
n=1
n
n+1
. Dado que
log
n
n+1
= log n
− log(n + 1) y
lim log n = ∞ entonces
n
→∞
la
diverge.
II.1.4 Serie geométrica
Un ejemplo muy importante de series donde la propiedad telescópica de las sumas finitas puede utilizarse ∞ para estudiar su convergencia es la llamada serie geométrica. Esta serie es de la forma ∑ xn , donde el térn=0
mino xn es la potencia enésima de un número real fijo x .
Por razones de buena representación indiciamos los términos de la serie a partir de n = 0 , de manera que el primer término de la serie es x0 = 1.
Proposición II.3 ∞
Si x ∈ R, con | x| < 1, la serie geométrica ∑ xn converge y tiene como suma n=0 diverge.
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33
1
− si | x| < 1. Si x ≥ 1, la serie
1 x
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Demostración: ◮
La suma sn de la serie está dada por sn = 1 + x + x2 + x3 +
··· + x −
n 1
(II.5)
n
(II.6)
∞
Si x = 1, sn = n y la serie
∑ xn diverge. ¿Por qué?.
n=0
Si x = 1, multiplicando por x la expresión (II.5), se tiene:
xsn = x + x2 + x3 + x4 +
··· + x
Restando (II.6) de (II.5) obtenemos n 1
−
n 1
k =0
k =0
(1 x)sn = ( 1 x) ∑ xk =
−
−
−
−
∑ ( xk − xk +1)
n 1
y como
∑ ( xk xk +1) = 1 xn (pues es una suma telescópica). Así, se tiene s n =
−
k =0
claramente, lim sn = n
→∞
−
1
−
1 x
1 xn 1 = 1 x 1 x
− −
n
x − − 1 − x si x = 1 y
, cuando x < 1.
Si x > 1 el término x n crece indefinidamente. Notar que no existe el límite cuando x = 1, con lo cual se completa la demostración. ◭
Ejemplo II.13
La serie geométrica S = 3.
∞
∞ 2 = ∑ 3n ∑ 2 n=0 n=0
1 3
n
= 2 (1) + 2
1 3
+2
1 3
2
+
··· tiene razón 31 con suma S = 1 −2
1 3
Ejemplo II.14
Expresar el número 0 , 070707 periódico, como un número racional. Solución: ◮ Escribimos 0, 070707...
0, 070707...
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=
=
7 7 7 7 + 4 + 6 + 8 + 2 10 10 10 10
∑ 7 102
∞
n=0
1 102
34
∑ ∞
··· =
n=0
7 102
1 102
n
n
,
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y
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Ejemplo II.14 (Continuación).
donde
∑ ∞
n=0
1 102
n
1 102
es una serie geométrica de razón r =
con a =
7 . 102
De donde, reemplazando en la
fórmula deducida para la suma de una serie geométrica, se tiene 0, 070707...
=
0, 070707...
=
7 102
1
1
− r = 1 −
1 102
7 99
◭
Ejemplo II.15 4
Se deja caer libremente una pequeña esfera desde una altura 12 metros alcanzado en cada bote de la 5 altura alcanzada en el bote anterior. Obtenga la distancia total que habrá recorrido la bola. Solución: ◮ Al llegar al suelo la primera vez, la esfera ha alcanzado una distancia d 1 = 12 metros. La distancia d 2 estará dada por la expresión d 2
=
12
d 3
=
12
4 5
+ 12
4 5
= 24
4 5
4 5
4 5
+ 12
4 5
4 5
4 5
= 24
2
Podemos inferior con estos cálculos que la suma total de la distancia recorrida por la esfera está dada por la serie d = 12 + 24
4 5
4 5
+ 24
2
+ 2424
4 5
3
+
···
− − ··· − ∑
Escribiendo el primer término de la serie en la forma 12 = 12 + 24 = 12 + 24
d =
−12 + 24
d =
−12 +
4 5
∞
d =
24
n=0
0
+ 24
4 5
4 5
+ 24
n
= 12 +
4 5
2
+ 24
0
4 5
4 5
se tiene
3
+
24
1
−
4 5
−12 + 120 = 60metros. 5
◭
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35
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales La serie geométrica es uno de los raros ejemplos de series cuya suma se puede hallar a través de una fórmula sencilla. Tiene una gran importancia, pues a partir de ella se puede obtener la suma de un gran número de series. Por ejemplo, si se sustituye x por x 2 en la fórmula:
··· + x + ··· = 1 −1 x
1 + x + x2 + x3 + x4 +
siempre que | x| < 1 se tiene
1 + x2 + x4 + x6 +
O bien,
··· + x
∞
(II.7)
n
2n
+
··· = 1 −1 x
2
(II.8)
1
∑ x2n = 1 − x2 , si | x| < 1
n=0
Si multiplicamos por x la ecuación (II.8) se tiene x + x3 + x5 + x7 +
O bien
2n+1
··· + x
∞
+
··· = 1 −x x , si | x| < 1 2
x
∑ x2n+1 = 1 − x2 , si | x| < 1
n=0
1 2
Por ejemplo, si x = entonces
∑ ∞
1 2
n=0
2n+1
1 2
= 1
Si se sustituye x por − x en la ecuación (II.7) se tiene 1 x + x2 x3 + x4 +
−
−
−
1 2 2
=
1 2 3 4
=
2 3
··· + (−1) x + ··· = 1 +1 x si | x| < 1 n n
Si en la fórmula anterior sustituimos x por x2 se tiene: 1 x2 + x4
−
6
n 2n
− x + ··· + (−1) x
+
··· = 1 +1 x si | x| < 1 2
Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación anterior por x, se tiene x x3 + x5
−
n 2n+1
7
− x + ··· + (−1) x
+
··· = 1 +x x si | x| < 1 2
∞
Notemos que todas estas series son de la forma ∑ an xn . Tales series se llaman series de potencias, donde n=0 los números a 0 , a1, a2 , ··· , se llaman coeficientes de la serie de potencias. La serie geométrica es el ejemplo
más simple de series de potencias con todos sus coeficientes iguales a 1. Veremos más adelante que las series de potencias pueden ser derivadas e integradas de acuerdo a ciertas condiciones y reglas todo lo cual conduce a resultados de gran importancia y aplicación. Depto Matemática
36
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales II.1.5 Ejercicios propuestos
1. En los ejercicios siguientes, demuestre que la serie converge y su suma es la indicada: ∞
1
(a) ∑ = (2n − 1)(2n + 1) n=1 ∞
(b) ∑
n=1
2
−
(c) ∑
n=1
1 n2
−
2n + 3n 3 = 6n 2 n=1
(d) ∑ ∞
1
(e) ∑ = (n + 1)(n + 2)(n + 3) n=1
= 3
3n 1
∞
∞
1 2
∞
1 4
( 1)n−1 (2n + 1) (f) ∑ = 1 n(n + 1) n=1
3 = 1 4
−
2. Obtenga la suma de las series siguientes 1 4
(a) 4 + 1 + +
1 + 16
···
(b) 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + ···
∞
(c) ∑ [(0.7)n + (0.9)n] n=1
3. Usando serie geométrica expres como número racional los decimales: (a) 0.6666 ···
(b) 0.07575 ···
(c) 0.21515 ···
Se deja caer una bola desde 16 metros de altura. Cada vez que cae desde h metros rebota hasta 0 .81h metros. Determine (a) La distancia vertical total que recorrerá. (b) Tiempo que tarda la bola en detenerse. 4. Se depositan durante 5 años 100 dólares al mes en una cuenta que paga un interés de 10% convertible mensualmente. Obtenga el monto acumulado al final de los 5 años. 5. En los ejemplos siguientes, determinar si la serie dada es o no convergente. En el caso que converja, obtener su suma: (a)
∞
3 ∑ 2n n=1 ∞
n
(b) ∑ 2 2 n=1
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∞
(c) ∑
n=1
∞
(d) ∑
n=1
2 3n−1
(e)
∑ ∞
n=1
3 n( n + 1 )
−
1 2n
1 n 2 + 3n
37
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales En lo que sigue, nos proponemos entregar algunos criterios para determinar si una serie dada es o no convergente. El estudiante ya habrá comprendido que sólo para series convergentes tiene sentido preguntarnos por su suma o una aproximación de ella. Cada vez que probemos que una serie es divergente perdemos el interés por ella. Sólo cuando sea convergente nos preguntaremos por su suma y veremos que en tal caso siempre podremos obtener una buena o la mejor aproximación de ella en el contexto en que estamos trabajando.
II.2
Criterios de convergencia para serie de términos positivos
II.2.1 Criterio de la integral
Sea
∞
∞
→ R tal que f ( x) > 0 ∀ x ≥ 1 y a = f (n) ∀n ∈ N, entonces ∑ a y
f : [1, +∞[
n
n
1
n=1
f ( x)dx son
ambas con-
vergentes o ambas divergentes. Si la serie converge a un número S , el resto R N = S − S N está acotado por 0
≤ R ≤ N
∞
N
f ( x)dx
Demostración En efecto, recordemos que el área de los rectángulos inscritos en la región determinada por la gráfica de f , el eje X , x = 1 y x = n considerando una partición del intervalo [ 1, n] en n − 1 intervalos iguales de longitud unitaria está dada por n
∑ f (i) = f (2) + f (3) + f (4) + ··· + f (n)
i=2
Similarmente, el área de los rectángulos circunscritos viene dada por n
∑ f (i) = f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + ··· + f (n − 1)
i=1
El área exacta bajo la gráfica de f entre x = 1 y x = n está dada por la fórmula n
∑ f (i) ≤
i=1
1
n
f ( x)dx y claramente,
n
n
f ( x)dx
1
≤ ∑ f (i) i=2
notemos que la enésima suma parcial está dada por S n = f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + ··· + f (n) y por lo tanto S − f (1) ≤ n
Depto Matemática
1
38
n
f ( x)dx
≤ S −
n 1
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Continuación Demostración Si suponemos que
1
∞
f ( x)dx es convergente y converge a L > 0, entonces, para n
≥ 1, S − f (1) ≤ L ⇒ S ≤ n
n
∞
L + f (1) y
por lo tanto, {S n } es acotado y monótona y por lo tanto, convergente de maner que ∑ an es n=1 convergente. ∞ n Supongamos ahora, que f ( x)dx es divergente. Entonces lim f ( x)dx = ∞ cuando n → ∞ y se tiene que
1
≥
S n−1
1
n
f ( x)dx
1
n
implica que {S n} diverge. Así, f ( x)dx es divergente, con lo cual se completa la demostración. Esto es, la 1 convergencia o divergencia de una implica la convergencia o divergencia de la otra. Falta demostrar que ∞ f ( x)dx. para n > N , 0 ≤ R N ≤ N En efecto, para n > N , se tiene
S − f (1) ≤ f ( x)dx n
n
S N
1 N
− f (1) ≤
restando (II.10) de (II.9) se tiene S n
− S ≤ N
f ( x)dx
1
(II.9) (II.10)
n
N
f ( x)dx
En el supuesto que tanto la integral como la serie convergen y tomando límite cuando n → ∞ se concluye finalmente que R N = S
− S ≤ N
∞
f ( x)dx
N
Ejemplo II.16 ∞
n
Probemos que la serie ∑ n es convergente y determinemos el error cometido en la obtención de su suma e n=1 s. x Solución: ◮ Puesto que la función f : [1, ∞[→ R tal que f ( x) = x es positiva y continua para todo x ≥ 1 y además, f (n) =
n
en
e
haciendo u = x; du = dx; dv = e− x dx; v = −e− x se tiene
Depto Matemática
x
entonces, aplicando el criterio de la integral al resolver por partes la integral
39
e x
dx =
x
e x
−e− ( x + 1) y por lo tanto x
Facultad de Ciencias
dx
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Ejemplo II.16 (Continuación).
∞ x
1 e x dx
= lim[ e− x( x + 1)]b1 cuando b
−
=
de donde,
1
∞ x
1 e x dx
∞
2 x dx = x e e
=
−
− b
x + 1 lim e x
− lim
→∞
1
cuando b → ∞
b+1
2
ea
e
b
1
cuando b → ∞
y la serie converge y su suma es un valor S . Por otra parte, dado que
∞
x
≈ 0.04 y S = 1e + e2 + e3 + e4 + e5 ≈ 0.89 Como todos los términos son positivos, sabemos que S < S ≤ S + 0.04 de donde 0.89 < S ≤ 0.93. El estudiante podrá comprobar que si toma un número mayor de términos se acotará con una mayor aproximación la suma de la serie. Por ejemplo, si consideramos 10 términos, 0 .92037 < S ≤ 0.92087. ≤
R5
5
e x
dx =
6 e5
5
2
5
3
4
5
5
◭
Veremos ahora otro criterio para establecer la convergencia o divergencia de una serie. Para ello daremos algunas definiciones previas.
Definición II.5
La serie de la forma
∞
1
1
1
1
1
∑ n p = 1 p + 2 p + 3 p + ··· + n p + ···
n=1
se llama serie- p. La convergencia o divergencia de ella se establece en la siguiente proposición.
Proposición II.4 ∞
1 . Entonces la serie converge para p > 1 y su suma tiene un resto R N = S S N acotada por n p n=1
Sea la serie- p ∑
−
0 < R N <
Depto Matemática
40
N 1− p p
−1
Facultad de Ciencias
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Ejemplo II.17
Analizar la convergencia (divergencia) de las series siguientes, usando criterio de la integral: ∞
1
a) ∑ n ln(n) n=2 Solución: ◮ Sea
f : [2, +∞[
→ R tal que
1 x ln( x)
f ( x) =
La hipótesis, del criterio de la integral se cumple para f ( x) en [2, +∞[. Se tiene
∞
2
t
1 dx x ln( x)
= =
lim
t ∞ 1
→
1 ln( x)
1 dx x
lim [ln( x)]t 2
t ∞
→
= +∞ ∞
Así,
1
∑ n ln(n) diverge. ◭
n=2
∞
n
b) ∑ 2 n +1 n=1 Solución: ◮ Aplicamos criterio de la integral. Sea
f : [1, +∞[
f ( x) =
→ R tal que
x x2 + 1
f satisface las condiciones del criterio de la integral, pues
i) f es continua en [1, +∞[.
∀ ∈ [1, +∞[.
ii) f ( x) > 0, x
iii) f es decreciente en [1, +∞[, pues f ′ ( x) =
x 2 + 1
− 2 x
2
( x2 + 1)2
=
1 x2 , ( x2 + 1)2
−
como 1 x2 < 0, x ]1, +∞[ entonces f ′ ( x) < 0, x ]1, +∞[ y f es decreciente en [1, +∞[. Además
−
∀ ∈
∞
1
x x2 + 1
dx
= =
1 2 1
∞
1
∀ ∈
2 x
1 dx = lim 2 2 b→∞ x + 1
lim [ln( x2 + 1)]b1 =
2 b→∞
1
1
b
2 x x2 + 1
dx
lim [ln(b2 + 1) 2 b→∞
− ln(2)]
= +∞ ∞
Así,
n
∑ n2 + 1 diverge.
n=1 ◭
Depto Matemática
41
Facultad de Ciencias
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Ejemplo II.17 (Continuación). ∞
1
c) ∑ 2 n +1 n=1 Solución: ◮ Sea
f : [1, +∞[
→ R tal que
f ( x) =
1 x2 + 1
,
que claramente es continua, no negativa y decreciente en [ 1, +∞[. Así, f cumple las condiciones del criterio de la integral. Se tiene
∞
1
1 x2 + 1
dx
= = =
∞
Así,
lim
→∞
b
1
b
1 x2 + 1
dx
lim [arctan( x)]b1 = lim [arctan(b)
→∞
→∞
b
b
− arctan(1)]
π
π − 0 = 4 4
1
∑ n2 + 1 es convergente. ◭
n=1
II.2.2 Ejercicios Propuestos
Analizar la convergencia (divergencia) de las series siguientes, utilizando criterio de la integral. ∞
a) ∑
n=1
∞
∞
n
∞
3
c) ∑ (n + 2)2 n=1
en
∞
1
b) ∑ n+3 n=1
d) ∑
n=1
1000
e) ∑ n(ln( x))2 n=5
∞
g) ∑ ne−n n=1
∞
n2
f) ∑ e−n
en
n=1
II.2.3 Criterio de la serie p
Definición II.6 ∞
La serie ∑
1
n p n=1
con p ∈ R, se llama serie p.
Depto Matemática
42
Facultad de Ciencias
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Proposición II.5 ∞
1 ∑ n p n=1
converge si diverge si
p > 1 p 1
≤
Demostración:
Sabemos que
∞
1
y por criterio de la integral, para
1 dx = x p
f : [1, +∞[
, si p > 1 diverge , si p 1 1 p 1
−
→ R tal que f ( x) =
concluimos que
∞
≤
1 ∑ n p n=1
1 x p
,
converge si diverge si
p > 1 p 1
≤
Además, por criterio de la integral concluimos que 0 < Rn <
∞
N
N 1− p dx = x p p 1
1
−
Observación II.10 ∞
La serie p con p = 1, ∑
n=1
Depto Matemática
1 n
se llama serie armónica.
43
Facultad de Ciencias
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Ejemplo II.18
Determinar la convergencia (divergencia) de las series: ∞
a) ∑
n=1
1 n3 ∞
Solución: ◮ Serie p con p = 3 > 1. Entonces ∑
n=1
∞
b) ∑
n=1
1 n3
es convergente.
◭
√ 1n 5
∞
Solución: ◮ ∑
n=1
∞
√ 1n = ∑ n 1/ 5
n=1
1
. Serie p con p = 15 < 1. Luego 5
∞
1
∑ √ n es divergente. ◭
n=1
5
II.2.4 Ejercicios Propuestos
Examinar la convergencia (divergencia) de las series: ∞
a) ∑
n=1
∞
1
c) ∑
n4/3
n=1
d)
nn
1 1 1 1 1 + + + + + 4 9 16 25
∞
1 nπ n=1
b) ∑
e)
1 √ + ··· 5 5
1
1+
1
1
1
··· 1
√ + 3√ 3 + 4√ 4 + 2 2
1
1
f) 1 + √ + √ + √ + ··· 2
3
4
∞
3 2n n=1
g) ∑
II.2.5 Criterio de comparación ∞
∞
n=1
n=1
Sean las series ∑ an, ∑ bn tales que 0 ≤ an ≤ bn , ∀n ∈ N. Entonces, se tiene: I.- Si ∑∞n=1 bn converge, la serie ∑∞n=1 an converge. II.- Si ∑∞n=1 an diverge, la serie ∑∞n=1 bn diverge.
Depto Matemática
44
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Ejemplo II.19
Usando criterio de comparación, examinar la convergencia (divergencia) de las series siguientes: ∞
1
a) ∑ 1 + 3n n=1
∞
1 , que es convergente. Se tiene 3n n=1
Solución: ◮ Podemos comparar con la serie geométrica ∑ 1 1 + 3n
∀ ∈ N, de donde 1 +1 3
(pues 3n < 1 + 3n, n
<
n
∞
<
1 3n
1 , n 3n
∀ ∈ N). Luego, por criterio de comparación concluimos que
1
∑ 1 + 3n
es convergente
n=1 ◭
∞
n
b) ∑ n 2 (n + 1) n=1 Solución: ◮ Notemos que n
=
2n (n + 1)
=
∑ ∞
y como
n=1
1 2
n
1 2n 1 2
n
n+1
n
n
n+1
<
1 2
n
es convergente (¿Por qué?). Concluimos que ∞
n
∑ 2n (n + 1)
es convergente
n=1 ◭
∞
ln(n) n n=1
c) ∑
Solución: ◮ Notemos que
ln(n) 1 > , n n
∞
∀n ≥ 3 y como ∑ 1n diverge. Entonces n=1
∞
ln(n) n n=1
∑
es divergente
◭
Depto Matemática
45
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales II.2.6 Ejercicios Propuestos
Usando criterio de comparación examinar la convergencia (divergencia) de las series siguientes: ∞
a) ∑
n=1
n=0
∞
ln(n)
n=0
∞
1
∞
1 n! n=0
d) ∑
3n + 1
2
e) ∑ e−n
c) ∑ n+1 n=2
n2 + 1
∞
b) ∑
∞
1
f) ∑
n=1
4n 3n
−1
II.2.7 Criterio de comparación en el límite a
n = c, número real positivo. Entonces las series Sean las series de términos positivos ∑ an y ∑ bn . Si lim ∞ n → bn
∞
∞
n=1
n=1
∑ an y ∑ bn
convergen o divergen simultáneamente.
Ejemplo II.20
Usando criterio de comparación en el límite, analizar la convergencia (divergencia) de las series: ∞
1
a) ∑ n+5 n=1
∞
1
1
Solución: ◮ Comparamos, en el límite, con ∑ . Como , n n+5 n=1 1 n+5 lim n ∞ 1 n
∀ ∈ N y
n
→∞ n + 5 = 1,
→
∞
entonces
= lim
1 son positivas n n
n
1
∑ n + 5 es convergente. ◭
n=1
∞
b) ∑
n=1
1 n2 + n + 1 ∞
Solución: ◮ Comparamos con ∑
n=1
el límite
∞
Así,
1 n2
que es convergente. (serie p con p = 2). Por criterio de comparación en
1 n2 +n+1 lim 1 n ∞ n2
→
= lim n
n2
→∞ n2 + n + 1 = 1,
1
∑ n2 + n + 1 es convergente. ◭
n=1
Depto Matemática
46
Facultad de Ciencias
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Ejemplo II.20 (Continuación). ∞
4 + 3n 2n n=1
c) ∑
Solución:
∞
3n 3 , serie geométrica de razón r ◮ Comparamos con la serie ∑ = > 1 divergente. Además n 2 2 n=1 4+3n n lim 2n n ∞ 3n 2
→
=
4 + 3n n→∞ 3n lim
4 + 1 = +∞ n→∞ 3n ∞ 4 + 3n Entonces, por criterio de comparación en el límite, ∑ es divergente. ◭ 2n n=1
=
lim
II.2.8 Ejercicios Propuestos
Examinar la convergencia (divergencia) de las series siguientes, utilizando criterio de comparación en el límite. ∞
a) ∑
n=1
∞
n+1 n2
∞
c) ∑
n=1
n
b) ∑ (n + 1)2n n=2
Depto Matemática
∞
d) ∑
n=2
1 an + b
∞
e) ∑
, a > 0
n=1
∞
1
f) ∑
√ n − 1 2
n=1
47
2n 2
−1
3n 5 + 2n + 1 1
√ n n
2+1
∞
g) ∑
n=1
∞
1 2n
−5 n
h) ∑ (n + 1)2n−1 n=1
Facultad de Ciencias
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales
II.3
Series alternadas
Definición II.7 ∞
∞
n=1
n=1
Las series ∑ (−1)nan y ∑ (−1)n−1an donde an > 0, ∀n ∈ N, se llaman series alternadas.
II.3.1 Criterio de convergencia de series alternadas ∞
∞
n=1
n=1
Las series ∑ (−1)n an y ∑ (−1)n−1an con a n > 0 convergen si se cumple: 1. 0 < an+1 ≤ an, ∀n ∈ N
2.
lim an = 0
n∞∞
Además, el error cometido al usar la sumas S n de los n primeros términos para aproximar la suma S de la serie no excede el valor de an+1.
Ejemplo II.21
Examinar la convergencia (divergencia) de las series: ∞
a) ∑
( 1)n−1
−
n=1
n
Solución: lim
n
1
→∞ n ∞
b) ∑
n=1
En una serie alternada, decreciente, pues
◮
∞
= 0. Entonces
∑
n=1
( 1)n−1
−
n
es convergente.
1 > n+1 1 , dado que n + 1 > n , n
∀ n ∈ N y, además,
◭
( 1) n
−
n!
Solución: ◮ Serie alternada, decreciente (pues ∞
1 1 > (n+11)! ) y lim = 0. Por lo tanto, convergente. n→∞ n! n!
◭
n2
c) ∑ (−1)n−1 n 2 n=1
Solución: n
◮
Es una serie alternada, con lim
≥ 3. En efecto, sea f : [1, +∞[→ R
Depto Matemática
n2
→∞ 2n
n
◭
48
= 0 (Por regla de L’Hôpital). Además, es decreciente para
Facultad de Ciencias
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales II.3.2 Ejercicios Propuestos
Examinar la convergencia o divergencia de las series siguientes: a) b)
∞
− 13 + 24 − 35 + 46 − 57 + ··· 1 ln(2) ∞
c) ∑
n=1
∞
1 1 + ln(3) ln(4)
− (−1) +
−
1 1 + ln(5) ln(6)
n=1
−···
∞
f) ∑ (−1)
n 1
nn
n=1
4n 2 + 1
∞
n
n!
( 1)n−1 g) ∑ 3 ln(n) n=2
n
d) ∑ ln(n) n=2
II.4
n
e) ∑ (−1)n+1 n 2
−
Convergencia absoluta
Definición II.8 ∞
La serie ∑ an es absolutamente convergente si la serie de los valores absolutos ∑ |an| es convergente. n=1
Observación II.11
Notar que si ∑ an es una serie de términos positivos, entonces |an| = an y, en tal caso, la convergencia absoluta coincide con la convergencia. Si ∑ an es absolutamente convergente entonces ∑ an es convergente
Depto Matemática
49
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Ejemplo II.22
La serie
∞
∑
( 1)n−1
−
n=1
n3
= 1
− 21 + 31 − 41 + ··· 3
3
3
es absolutamente convergente, dado que
− ∑ ∞
( 1)n−1
n=1
es convergente (serie p con p = 3).
n3
∞
=
1
∑ n3
n=1
Definición II.9
Diremos que la serie ∑ an es condicionalmente convergente si es convergente pero la serie de los valores absolutos, ∑ |an |, es divergente.
Ejemplo II.23
La serie
∞
∑
n=1
es convergente, según vimos, pero
( 1)n−1
−
n
= 1
− ∑ ∞
( 1)n−1
n=1
∞
es divergente. Luego ∑
n=1
(−1) −
n 1
n
− 12 + 13 − 14 + ···
n
∞
=
1
∑n
n=1
es condicionalmente convergente.
Ejemplo II.24
La serie
∞
∑
cos(n)
n=1
n2
es una serie de términos positivos y negativos, no es una serie alternada, pues los signos cambian de manera irregular. Sin embargo, aplicando criterio de series alternadas, se tiene:
Depto Matemática
50
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Ejemplo II.24 (Continuación).
∑ ∞
n=1
y como |cos(n) ≤ 1|, ∀ n ∈ N entonces ∞
qué?), entonces la serie ∑
cos(n) n2
n=1
cos(n) n2
|cos(n)| ≤ n2
1 . n2
∞
=
∑
|cos(n)| n2
n=1
∞
1 es n2 n=1
Y como, según sabemos, ∑
convergente (¿Por
es absolutamente convergente y, por lo tanto, convergente.
II.4.1 Criterio de la Razón ∞
Sea la serie ∑ an . Si n=1
i) lim n→∞ ii) nlim →∞
an+1 an an+1 an
= L < 1 entonces la serie
∞
∑ an es absolutamente convergente.
n=1
= L > 1 o lim
→∞
n
an+1 an
= ∞, entonces la serie
∞
∑ an es divergente.
n=1
Observación II.12
Si lim n→∞
an+1 an
= 1, el criterio falla.
II.4.2 Ejercicios Propuestos
Para cada una de las series siguientes, determine si es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente: ∞
a) ∑
n=1
b)
∞
∞
( 1)n−1
− √
d) ∑
n n
n=1
∞
( 1) n
− ∑ √ n = ∞
n=1
n!
5
n=1
∞
( 3) n
−
n
f) ∑ (−1)n−1 2 n +1
n3
Depto Matemática
−
e) ∑ (−1)n n+5
n 1
c) ∑
( 3)n
n=1
51
Facultad de Ciencias
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales ∞
g) ∑
n=1
∞
h) ∑
n=1
∞
i) ∑
n!
k)
en
∞
n=1
n2 + 1
n
2n 2 + 1
n=1
sen(2n) n2
( 1)
−
∞
n 2
3!
·
1 4 7
4!
n=1
n!
∞
nn
1
1 4
· ·
m) ∑ + + + 3 3·5 3·5·7
31+3n
II.5
2!
− + + ··· l) ∑ 1 − 1·3 1·3·5 1·3·5·7
n+1 2 n
n=1
j) ∑
∑ ∞
n=1
· · · · · ·
1 4 7 10 + 3 5 7 9
···
Series de Funciones
Definición II.10
1. Una serie de potencia es de la forma ∞
∑ cn ( x − a)n = c0 + c1( x − a) + c2( x − a)2 + ···
n=0
llamada serie de potencia centrada en a . 2. Sea | x − a| < R a la letra R se llama radio de convergencia . 3. El conjunto de todos los valores de x para los cuales la serie converge, se llama intervalo de convergencia.
∞
∞
¿Para que valores de x la serie converge ∑ n! xn , ∑ n=1
( x
n
− 3) n
n=0
?
Teorema II.2 ∞
Para una serie de potencias ∑ cn ( x − a)n solo sucede una de las tres posibilidades: n=0
1. La serie solo converge cuando x = a. 2. La serie converge para toda x. 3. Hay un número positivo R , tal que la serie converge si | x − a| < R y diverge si | x − a| > R.
Depto Matemática
52
Facultad de Ciencias
Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Ejemplo II.25
Determine el radio e intervalo de convergencia de la serie ∞
∞
( 3)n xn n+1 n=0
1. ∑
− √
2. ∑
n( x + 2)n
n=0
3n+1
Existen funciones que se pueden representar como series de potencia, por ejemplo etc. Para ello necesitamos criterios para representarla
1
,
1
1 x 1 + x
−
, 2
x3 x + 2
,
Teorema II.3 ∞
Si la serie de potencias ∑ cn ( x − a)n tiene radio de convergencia R > 0, entonces la función f definida por n=0
f ( x) = c 0 + c1 ( x
∞
2
n
− a) + c ( x − a) + ··· = ∑ c ( x − a) = 2
n
n 0
es diferenciable en el intervalo ]a − R, a + R[ y se cumple ∞
1. f ′ ( x) = ca + 2c2( x − a) + 3c3( x − a)2 + ··· = ∑ ncn( x − a)n−1 2.
n=1
2
f ( x)dx
= C + c0 ( x
− a) + c ( x −2 a) 1
+ c2
( x
− a) + ··· = C + ∞ c ( x − a) + ∑ n+1 3 3
n 1
n
n=0
II.5.1 Serie de Maclaurin y de Taylor
Teorema II.4
Si f tiene una representación en forma de serie de potencias de centro a, es decir ∞
f ( x) =
∑ cn( x − a)n,
n=0
| x − a| < R,
entonces los coeficientes están expresados por la fórmula cn = centrada en a y si a = 0 se llama serie de Maclaurin.
Depto Matemática
53
f (n) (a) n!
. A esta serie se llama serie de Taylor
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Capítulo II. Sucesiones y series de números reales Teorema II.5
1. Si f ( x) = T n ( x) + Rn ( x) donde T n es el polinomio de Taylor de n -ésimo grado de f centrada en a , y si lim Rn ( x) = 0 para | x − a| < R , entonces f es igual a la suma de su serie de Taylor en el intervalo de n→+∞ | x − a| < R. 2. Si | f (n+1) ( x)| ≤ M para | x − a| < R, entonces el residuo Rn( x) de la serie de Taylor satisfacela desigualdad
| R ( x)| ≤ (n +M 1)! | x − a| + , | x − a| < R n 1
n
Ejemplo II.26
Exprese
1 (1 x)2
Solución:
−
◮
en forma de una serie de potencias, y calcule el radio de convergencia. Idem para ln (1 − x)
Se sabe que
1
−
1 x
= 1 + x + x2 +
∞
··· + = ∑ x , | x| < 1. Ahora, si queremos expresar 1 +1 x como la n
2
n=0
suma de serie de potencias y luego determinar el intervalo de convergencia se preocede como: 1 1 + x2
Lo mismo para 1 2 + x
1
−
1 x
′
=
=
=
∞
1 1
2
− (− x )
∑ (− x2)n , |− x2| < 1
=
n=0
− − ∑ 1
2 1
− x 2
1 = 1 + 2 x + 3 x2 + (1 x)2
=
1
∞
2 n=0 ∞
n
x
2
··· = ∑ nx −
n 1
=
, ∞
− x2
2
< 1
1
∑ (n + 1) xn(ln(1 − x))′ = − (1 − x)
− 1 = x = ∞ + ⇒ − ln(1 − x) = 1 − x dx = c + x + 2 + ··· = C + ∑ xn + 1 n 1
n 0
2
n 1
n=0
◭
Depto Matemática
54
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