UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI CALCULO III GUIA Práctica 02 Carrer Carrera a profes profesion ional al : Ingeni Ingenierí ería a Civil Civil Semestre : 2013-I Fecha : Mayo 2013 —————————————————————————————————— 1. Calcule Calcule las primeras primeras derivadas derivadas parciales parciales de cada función (a) f ( f (x; y) = x + 2y 2y 3
(b) f ( f (x;y;z) x;y;z ) = x4
1 3
16 16yz yz
2
(c) f ( f (x; y) = (2x (2x2 + 3y 3y2 )e(x y (d) f ( f (x; y) = xy
p x
2
2
)
+ y2
(e) f ( f (x;y;z) x;y;z ) = x2 ey ln z (f) (f ) f ( f (x; y) = exy (cos xy + sen xy) xy ) 3 5
2 5
(g) P ( P (L; K ) = 450L 450L K 2
2
2
xyz
x y z e
(h) f ( f (x;y;z) x;y;z ) = 1
(i) f ( f (x; y) = cos3 (ey (j)
ex) 002A t f ( f (t; A) = 200(5 e0:002A )e
(k) f ( f (x:y) x:y ) =
x2 y2 x2 +y 2
(l) f ( f (x;y;z) x;y;z ) =
xyz x2 +y2 +z 2
2. Encuentre las derivadas derivadas parciales indicadas 2
2
2
@ f @ f @ f 4xy2 + 3y 3y ; @x ; @y ; @y@x f @ f @ f (b) f ( f (x; y) = x2 y 4x + 3 sen sen y ; @ @x ; @y ; @y@x (c) f ( f (x; y) = x4 3x2 y 3 + 5y 5y; f xx xx ; f xy xy ; f xyy xyy p 4x 2 (d) f ( f (x; y) = e sen y xy; xy ; f xx xx ; f xy xy ; f yyx yyx (e) f ( f (x;y;z) x;y;z) = x3 y 2 sen yz; yz ; f xx xx ; f yz yz ; f xyz xyz (f) (f ) f ( f (x;y;z) x;y;z) = e2xy zy + xz sen y ; f xx xx ; f yy yy ; f yyzz y yzz (g) f ( f (w;x;y;z) w;x;y;z ) = w2 xy ewz ; f ww ww ; f wxy wxy ; f wwxyz wwxyz
(a) f ( f (x; y) = x3
2
2
2
2
2
2
2
2
3. Para Para cada función función halle el vector vector gradiente gradiente y evalué evalué en el punto punto indicado (a) f ( f (x; y) = 2x2 + 3xy 3xy + 4y 4y 2 ; P = (4; (4 ; 1) (b) f ( f (x; y) =
1+x 1+x2 1+y 1+y2 ;
(c) f ( f (x;y;z) x;y;z ) = (2x (2x
P = (1; (1 ; 0) 5z )5 ; P = (5; 1; 3) 3y + 5z
4. Utilice Utilice diferenciales diferenciales para aproximar aproximar el número número indicado (a)
p 26 p 28 p 17 3
4
1
(b)
p 15 + p 99
2
p (c) p 25 30 3 5
2
2
(d) e0:4 = e1:1 0:9
5. El radio r de la base y la altura h de un cono circular recto miden 5 y 10 pulgadas, 1 respectivamente. Existe un máximo error posible de 16 de pulgada en cada medición. Utilice diferenciales para estimar el máximo error posible que podría cometerse al calcular el volumen del cono. 6. Una topógrafa desea determinar el área (en acres) de cierto campo (1 acre mide 43560 pies cuadrados). Ella mide dos lados adyacentes, obteniendo a = 500 pies y b = 700 pies, con un error máximo posible de 1 pie en cada medición. Ella determina que el ángulo entre estos dos lados es 30 ; con un error máximo posible de 0.25 . El campo es triangular,de modo que su área está dada por A = 12 ab sen . Utilice diferenciales para estimar el máximo error posible, en acres, en el cálculo del área del campo con esta fórmula. 7. El periodo de oscilación de un péndulo de longitud L está dado (aproximadamente) por
q
la fórmula T = 2 Lg . Estime el cambio en el periodo de un péndulo si su longitud aumenta de 2 pies a 2 pies 1 pulgada y simultáneamente se mueve de un lugar donde g es exactamente 32 pies=s2 a uno donde g = 32:2 pies=s2 : 8. Determine en cada caso la derivada direccional de la función f en el punto P en la dirección indicada
! !u = (2; 3) f (x; y) = x3 x2 y + xy 2 + y3 ; P = (1; 1); p !u = (3; 2) f (x; y) = 7ln x + 3y; P = (1; 1); !u = (1; 1) f (x; y) = ex sen y; P = (0; 4 ); f (x; y) = sen x cos y; P = 3 ; 32 ; u = (4; 3)
(a) f (x; y) = x2 + 2xy + 3y 2 ; P = (2; 1); u = (1; 1) (b) (c) (d) (e)
9. Encuentre la ecuación del plano tangente a la función dada en el punto indicado (a) f (x; y) = x3
y3; P = (3; 2; 19)
(b) f (x; y) = 3x + 4y; P = (1; 1; 7) (c) f (x; y) =
p x
2
+ y 2 ; P = (3; 4; 5) 2
(d) f (x; y) = exp( x
2
y ); P = (0; 0; 1)
10. Calcule la derivada direccional de la función f (x; y) = 5x2 y3 en el punto P = (1; 1) (a) En la dirección del vector que va de P al punto (3; 2) (b) En la dirección del vector que va de P al origen
(c) En la dirección del vector gradiente (d) En la dirección de un vector perpendicular al vector gradiente 11. Sea f (x; y) = x2 + y 2 ¿En que dirección es igual a cero la derivada de esta función en el punto (1; 1)? 2
p
12. Considere las funciones f (x; y) = 3x2 +2y 2 ; g(x; y) = 7ln x+ 3y demuestre que la derivada de la función f en el punto P = (1; 1) en la dirección del gradiente de la función g en P , es igual a la derivada de la función g en P en la dirección del gradiente de la función f en P ¿ Ocurre lo mismo con las funciones f (x; y) = x2 + y 2 , g(x; y) = 2x + y , en el punto P = (2; 1): 13. Sea f (x; y) =
x2 +y2 x+y
veri…car si x
@f @f +y =0 @x @y
14. Sea f (x; y) = xy + xey=x veri…car si x 15. Sea f (x;y;z) =
y x
+
z x
+
x y
@f @f +y = xy + z @x @y
veri…car si x
@f @f +y = @x @y
z @f @z
16. Determine la ecuación del plano tangente a la super…cie z = 3x2 en que la recta normal tenga por vector paralelo a v = ( 1; 0; 2)
8xy + 5y2 en el punto
17. Determine la ecuación del plano tangente a la super…cie z = x2 +6xy que sea perpendicular a los planos x + y z = 3 y 2x y + z = 4:
18. Determine las ecuaciones de los planos tangente al elipsoide x2 + y2 + 2z 2 = 2 en los puntos de intersección de este con la recta x = 3t; y = 2t; z = t; t R.
2
19. Los puntos A = (2; 5; 3) y B = ( 1; 2; 3) son los extremos de un diámetro de una esfera. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a esta esfera en los puntos A y B.
20. Hallar la ecuación del plano tangente a la super…cie a la super…cie x2 + y2 + 7z 2 = 126 2 que es ortogonal a la recta tangente en (2; 1; 6)a la curva de intersección de las super…cies z = x2 + 2y2 , z = 2x2 3y 2 + 1:
21. Hallar la derivada direccional de f (x;y;z) = x2 yz 3 en el punto (1; 1 1) y en la dirección de la tangente a la curva de intersección de la super…cie: z = 3x2 + y 2 + 1 con el plano x = 2 en el punto (2; 1; 14):
22. Hallar la derivada direccional de la función f (x;y;z) = x2 + xy + y + z 2 en el punto (1; 2; 1) y en la dirección de un vector ortogonal a la super…cie z = 2x2 3y 2 + 1 en (2; 1; 6):
23. Calcule las segundas derivadas parciales en cada caso (a) f (x; y) =
xy x+y
(b) f (x; y) = e
y x
(c) f (x; y) = ln(x2 + y 2 )
3
24. Encuentre la ecuación del plano tangente a la función dada en el punto indicado (a) x2 + y 2 + z 2 = 17; P = (2; 2; 3) (b) x = y2 + z 2 ; P = (0; 0; 0) (c) zx 2
xy2 yz 2 = 18; P = (0; 2; 3)
(d) y = ex cosz; P = (1; e; 0)
25. La temperatura distribuida en el espacio está dada por la función f (x; y) = 10+6 cos x cos y+ 3cos2x +4cos3y. En el punto (=3; =3). Encontrar la dirección de mayor crecimiento de la temperatura, y la dirección de mayor decrecimiento en la temperatura 26. Si f (x; y) = x3 y
xy3 ;veri…car que @ 2 f @ 2 f + 2 =0 @x 2 @y
27. Si f (x; y) = x ln( yx );veri…car que 2 2 @ f x @x 2
28. Si z =
2 @ 2 f 2 @ f + 2xy +y =0 @x@y @y 2
p x ay veri…car que
a2
@ 2 z @ 2 z = @x 2 @y 2
a constante. 29. Suponga que w = f (x; y) ; x = r cos y y = r sen : Muestre que: @w 2 @x
2
@w 2 @r
(a) + = @w @y
+
1 r2
@w 2 @
30. Sea w = f (x; y) ; donde x y y están dados en coordenadas polares mediante las ecuaciones @w @ w @ w x = r cos y y = r sen . Calcular @w @r ; @ ; @r ; @ en términos de r y y las derivadas parciales de w con respecto de x y y: 2
2
2
2
31. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera x2 +y 2 +z 2 10x+2y+26z 113 = 0 que sean paralelos a las rectas x = 2t y = 3t `1 : z = 2t
`2
8< : 8< x = 1 + 3t : : y =z=1 t 2t
32. Una esfera tiene su centro en el punto (3; 4; 5) y pasa por el origen de coordenadas. Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera en el origen
!
33. En cada caso determine los puntos si los hay para los que N es un vector normal a la super…cie dada 4
!
(a) x2 + y 2 + z 2 = 4; N = (2; 2; 2) N = (5; 4; 3) 5z2 + 2xy 2x 4y 4z = 11; ! ! x2 + 4y2 z 2 = 1; N = (0; 3; 4) ! x2 + 2y2 + 3z 2 = 1; N = (1; 0; 3)
(b) 2x2 + 2y 2 (c) (d)
34. Halle la ecuación de los planos tangentes a la super…cie 3x2 + 5y2 + 3z 2 12x = 0 que sean paralelos al plano z = 0.
2xy + 2xz 2yz
35. La super…cie de un lago se representa mediante una región D en el plano xy de manera que la profundidad en (x; y) esta dada por f (x; y) = 300 2x2 3y 2 ; donde x;y;f (x; y) se miden en metros. Un joven esta en el agua en el punto (4; 9). Calcule la tasa o intensidad con la que cambia la profundidad bajo este joven en la dirección
(a) del eje x ; (b) del eje y 36. Encuentre tres números positivos x; y y z cuya suma es 100 y tal que xa y b z c es máxima. 37. Encuentre el volumen de la mayor caja rectangular con ejes paralelos a los ejes coordenados que puede ser inscrito en el elipsoide 9x2 + 36y 2 + 4z 2 = 36: 38. Encuentre el volumen de la mayor caja rectangular con ejes paralelos a los ejes coordenados que puede ser inscrito en el elipsoide xa + yb + zc = 1: 2
2
2
2
2
2
39. Encuentre el volumen de la mayor caja rectangular en el primer octante con tres lados paralelos a los ejes coordenados y uno de sus vértices se encuentra en el plano x+2y+3z = 6: 40. Encuentre las dimensiones de la caja rectangular con mayor volumen si el área es tomada …ja y cuya area super…cial es 64cm2 : 41. Encuentre las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo tal que la suma de las longitudes de sus 12 esquinas es una constante c: 42. La base de un acuario de volumen V es hecha de pizarra y los lados se hacen de vidrio. Si la pizarra cuesta cinco veces (por área unitaria) más que el vidrio, encuentre las dimensiones del acuario que minimiza el costo de los materiales. 43. Una caja de carton sin una de sus tapas tiene un volumen de 32000cm3 . Encuentre las dimensiones que minimizan el carton usado. 44. Determine los valores máximos y minimos que alcanza la función dada f (x; y) en la región dada R: (a) f (x; y) = x + 2y; R es el cuadrado con vértices en ( 1; 1) : (b) (c) (d) (e) (f)
f (x; y) = x2 + y 2 x; R es el cuadrado con vértices en (1; 1) : f (x; y) = x2 + y 2 2x; R es la región triangular con vértices en (0; 0) ; (2; 0) ; (0; 2) : f (x; y) = x2 + y 2 x y; R es la región triangular con vértices en (0; 0) ; (2; 0) ; (0; 2) : f (x; y) = 2xy; R es el disco circular x2 + y 2 1: f (x; y) = xy 2 ; R es el disco circular x2 + y 2 3: 5
45. Determine las dimensiones x;y;z de una caja rectangular con volumen …jjo V = 1000 y área mínima total A: 46. Determine los puntos sobre la super…cie xyz = 1 más cercanos al origen. 47. Determine las dimensiones de la caja rectangular con volumen máximo que tiene un área total de su super…cie igual a 600 centímetros cuadrados. 48. Una caja rectangular sin tapa debe tener un volumen …jo de 4000 centímetros cúbicos. ¿Cuáles dimensiones minimizan el área total de su super…cie? 49. Una caja rectangular se coloca en el primer octante, con una de las esquinas en el origen y tres de sus lados sobre los tres planos de coordenadas. El vértice opuesto al origen está en el plano con ecuación x + 2y + 3z = 6: ¿Cuál es el volumen máximo posible de dicha caja?¿Cuáles son las dimensiones de esa caja? 50. Un edi…cio rectangular debe tener un volumen de 8000 pies cúbicos. Los costos anuales del aire acondicionado y la calefacción son de $2 el pie cuadrado para la parte superior, el frente y la parte posterior y $4 el pie cuadrado para las paredes de los extremos. ¿Cuáles dimensiones del edi…cio minimizan estos costos anuales? 51. Usted debe construir una caja rectangular sin tapa con materiales que cuestan $3 el pie cuadrado para el fondo y $2 el pie cuadrado para los cuatro lados. La caja debe tener un volumen de 48 pies cúbicos. ¿Cuáles dimensiones minimizarían su costo? 52. Un embalaje rectangular debe tener un volumen de 12 metros cúbicos. Su fondo cuesta el doble (por metro cuadrado) que su tapa y los cuatro lados. ¿Qué dimensiones minimizarían el costo total del embalaje?. 53. Utilice los métodos de máximos y mínimos para determinar el punto del plano 2x 3y+z = 1 más cercano al punto (3; 2; 1) origen.
54. Un cable de 120 cm de largo se corta en tres o menos piezas y cada pieza se dobla para formar un cuadrado. ¿Cómo debe hacerse esto para minimizar el área total de estos cuadrados?¿Para maximizarla? 55. Debe dividir un monton de masa con un volumen …jo V en tres o menos piezas para formar cubos. ¿Cómo debe hacer esto de modo que se minimice el área total de la super…cie de los cubos?¿Para maximizarla? 2
2
x y 3x :
56. Considere la función f (x; y) = y
(a) Muestre que f x (0; 0) = 0 = f y (0; 0) : (b) Muestre que para cada linea recta y = mx que pasa por (0; 0) ; la función f (x;mx) tiene un mínimo local en x = 0: (c) Analice los valores de f en los puntos de la parábola y = 2x2 para mostrar que f no tiene un mínimo local en (0; 0) : 57. Un rectángulo muy largo de una hoja de metal tiene ancho L y debe doblarse para formar un canal de desague(ver …gura). Maximice su volumen, maximizando el área de la sección
6
transversal que se muestra en la …gura. [Sugerencia: utilice las dos variables independientes x y que se indica en la …gura].
58. Una caja rectangular sin tapa debe tener un fondo hecho con material que cuesta $3 el pie cuadrado, mientras que los lados son de un material que cuesta $1 el pie cuadrado. Si la caja debe tener un volumen total de 12 pies cúbicos, ¿Cuál es su mínimo costo posible? 59. Localice e identi…que los extremos (máximos o mínimos) de f (x; y) = x2 y sobre el cuadrado en el plano con vértices ( 1; 1) :
60. Localice e identi…que los extremos (máximos o mínimos) de g (x; y) = x4 + 4xy + y 4 : 61. ¿Cuál es el máximo volumen posible de una ca ja rectangular si la suma de las longitudes de sus 12 aristas es 12 metros? 62. Una caja rectangular está inscrita en el primer octante, con tres de sus lados sobre los planos de coordenadas, su vértice común en el origen y el vértice opuesto en el plano con ecuación x + 3y + 7z = 11: ¿Cuál es el máximo volumen posible de tal caja? 63. Tres lados de una caja rectangular están sobre los planos de coordenadas, y su vértice común está en el origen, el vértice opuesto está en el plano con ecuación x y z + + =1 a b c (a; b y c son constantes positivas). En términos de a; b y c; ¿Cuál es el máximo volumen posible de dicha caja? 64. Una boya debe tener la forma de un cilindro circular recto, con conos circulares rectos en uno de sus extremos, con el mismo radio que el cilindro. Determine la mínima área super…cial posible, dado que tiene un volumen …jo V: 65. Usted desea construir un acuario rectangular con un fondo de pizarra que cuesta 28 centavos la pulgada cuadrada. Sus lados serán de vidrio, que cuesta 5 centavos la pulgada cuadrada y su tapa será de acero inoxidable, que cuesta 2 centavos la pulgada cuadrada. El volumen de este acuario debe ser de 24000 pulgadas cúbicas. ¿Cuáles son las dimensiones del acuario menos caro? 66. Una ventana pentagonal, con perímetro de 24 pies, tiene la forma de un rectángulo que tiene arriba un triángulo isósceles (con base horizontal). ¿Cuáles son las dimensiones de dicha ventana que admiten más luz (debido a que su área es la mayor)?. 67. Determine el punto (x; y) del plano, para que la suma de los cuadrados de su distancia a cada uno de los puntos (0; 1) ; (0; 0) y (2; 0) es mínima. 68. Calcular la derivada parcial usando diferenciación implicita (a)
@U @T
y
@T @U ;
(T U
V )2 ln (W U V ) =71 en (T ; U ; V ; W ) = (1; 1; 2; 4)
(b)
@w 1 @y ; w2 +x2
(c)
@r @t 2 s=r @t y @r ; r = te @z 2 2 2 @x ; x y + y z + xz = 10 @w 2 3 2 @z ; x w + w + wz + 3yz @z xy + sen (xz) + y = 0 @y ; e
(d) (e) (f)
+
1 w2 +y 2
= 1 en (x;y;w) = (1; 1; 1)
=0
8
