C álc ulo el elástic o y cá c álc ulo plást plástic o de vi viga gas s de ac er ero o soli solic c itada das sa flexión.
Apellidos, nombre Departamento Centro
Arianna Guardiola Víllora (
[email protected]) Mec Me c áni ánic c a de dell Medio C ont ontiinu nuo o y Teor eoríía de Estruc Es tructura turas s Esc uela Téc Téc ni nic c a Supe uperrior de A rquit quitec ec tur tura a de Valencia
1 Resumen de las ideas clave En este do cumento se muestra el proceso d e d imensionad o d e una viga de ac ero solicitada a flexión, considerando un comportamiento de la sección, primero elástico y luego plástico pa ra comparar los resultados obtenidos en a mbos casos. Seguidamente se realiza el análisis global de la misma viga mediante el método plástico con el objeto de mostrar dicho proceso y comparar los resultados obtenidos con el análisis global en régimen elástico. Por último se hace referencia a la clasificación de las clases de secciones transversales de ac ero establecida en el Doc umento Básico, Seguridad Estructural, Acero del Código Técnico de la Edificación, de ahora en adelante DB-SE-A del CTE, directamente relacionada con la utilización de uno u otro método de análisis global de la estructura y cá lculo de la resistencia de las sec ciones.
2 Introducción El dimensionado de las sec ciones de ac ero se ha llevad o a cab o trad icionalmente en régimen elástico, de modo que, una vez obtenidos los esfuerzos que solicitan a cada barra, se calculaba la máxima tensión que dichos esfuerzos generaban sob re la sec ción más solicitada y se c omparaba n con la tensión máxima a dmisible. Si las máximas tensiones en la sección más solicitada de la barra no superaban las tensiones admisibles, el dimensionado se daba por válido. En caso contrario, se redimensionaba el perfil (disminuían las tensiones en la sección) o se mejoraba la calida d del ac ero (aumentab a la tensión máxima a dmisible) Este es el método recomend ado po r la Norma Básica de Edificación, Estructuras de Acero, conocida como NBE-EA 95, norma de obligado cumplimiento hasta marzo de 2006, fecha en que se p ublica el Código Téc nico d e la Edificac ión y se derogan las Normas Básicas de Edificación. Para poder comparar los resultados obtenidos con el método elástico y plástico de cálculo de secciones de acero y de Análisis Global de la Estructura, se considera una viga empotrad a ap oyada, d e longitud L con c arga uniformemente d istribuida de valor q d, tal y como indica la figura 1. Los diagramas de solicitaciones – momentos flectores y esfuerzos cortantes- correspondientes a dicho esquema de carga s, se obtienen c on a yuda de un prontuario, y se representan en la figura 2.
qd
figura 1. A
B
L
Geometría y esquema de cargas
V Ed,B
figura 2. Diagramas de solicitaciones Esfuerzos cortantes
V Ed,A
VEd,A
=
3 ⋅q ⋅L ; 8
=
5 ⋅q ⋅L 8
MEd,B
q ⋅ L2 8
VEd,B
M Ed,B Momentos flectores
MEd,C
=
9 ⋅ q ⋅ L2 ; 128
=
M Ed,C
Si se pretende dimensionar la viga, es necesario conocer el valor de la carga que gravita sobre ella y la longitud de la misma, de modo que, conocido el máximo momento que la solicita, se busca un perfil de acero que sea capaz de soportarlo. Otra forma de plantear el problema consiste en, conocido el perfil de acero y su longitud, obtener la máxima c arga que ad mite la viga . Es lo q ue se c onoc e c omo peritac ión de una estructura construida . En los epígrafes siguientes se va calcular la máxima capacidad de carga de la viga de la figura 1, suponiendo que es un perfil IPE 300 de acero S 275 y 8 metros de longitud, considerando en primer lugar un comportamiento elástico de la sección, a continuación un comportamiento plástico para finalmente realizar el análisis global de la estructura siguiendo el método plástico.
3 Objetivos Una vez que el alumno finalice la lec tura de este do cumento será cap az de:
Dimensionar una viga de acero considerando un comportamiento elástico de la sec ción. Dimensionar una viga de acero considerando un comportamiento plástico de la sec ción. Entender y aplicar el método p lástico d e a nálisis global de la estructura. Entender la necesidad de clasificar las secciones transversales de acero en clases y su aplicación directa en el cálculo de la estructura y el dimensionado d e las sec ciones.
4 Obtención de la máxima capacidad de carga de la viga objeto de estudio para los distintos casos. Dada la viga de la figura 3, se va a calcular la máxima carga de agotamiento considerando un comportamiento elástico y un comportamiento plástico de la sección. qd
A
B
IPE 300 8m
figura 3
4.1 Dimensionado de la sección en régimen elástico. Se ob tiene la d istribución de tensiones normales de la figura 4, obtenida pa ra el IPE 300 a partir de la ley de Navier-Bernoulli (ecuacion 1) En dicha figura se puede observar que la tensión máxima (ecuación 2) corresponde a la fibra más alejad a (zmax) z
σ
max
F.N.
MEd,y
⋅
Iy zmax
y
=
σ max
=
z (ecuac ión 1)
MEd,y
⋅
Iy
zmax (ecuación 2)
Si se define el módulo resistente elástico respecto al eje y como:
Wel,y
=
Iy
⋅
zmax
La ecuación 2 será igual a: figura 4 σ max
=
MEd,y Wel,y
(ecuac ión 3)
El valor del módulo resistente elástic o de los distintos perfiles laminad os se encuentra en cualquier prontuario de perfiles de acero. Para el perfil del ejemplo, el IPE 300, su valor es de 557 · 10 3 mm3 En el límite, cuando la tensión máxima en la fibra más alejada es igual al límite elástico minorado del acero del perfil, tendremos la siguiente expresión (resultado de sustituir σmax po r f yd)
f yd
=
MEd,y Wel,y
(ecuac ión 4)
Se define el momento resistente elástico de un perfil, como aquel que genera una tensión máxima en la fibra más alejada de la sección igual a f yd. Se representa por M Rd, el, y y su valor se obtiene despejando el momento solicitac ión en la ec uación 4.
MRd ,el ,y
f
= yd ⋅
Wel ,y
para el perfil objeto de estudio, un IPE 300 de acero S 275, el Momento resistente elástic o respecto el eje y será igual a:
MRd,el,y
=
275 3 ⋅ 557 ⋅ 10 1,05
=
145.880.952 N·mm
Es decir, el máximo momento que aguanta el IPE 300 de acero S 275, en régimen elástico es de aproximadamente 14 5 kN ·m C onsiderando el diag rama de flec tores de la figura 1, y teniendo en c uenta que la longitud de la viga son 8 metros, el máximo momento en la viga se produce en el empotramiento, y su valor es igual a:
MEd,y
=
qd ⋅ L2
=
qd ⋅ 8 2
8
8
Igualando el máximo momento solicitación con el momento resistente elástico del perfil, se obtiene la máxima carga que es capaz de soportar la viga considerando un comportamiento elástico de la sec ción.
qd ⋅ 8 2 8
=
145,8 kN·m → qd
=
18,225 kN / m
Es decir, la máxima carga que aguanta el IPE 300 de acero S 275 considerando un comportamiento elástico es de 18,225 kN/m lo que equivale a 1882 kg/ m.
4.2 Dimensionado de la sección en régimen plástico. La distribución de tensiones normales en régimen plástico supone que todas las fibras de la sección (no sólo la más alejada) alcanzan el limite elástico de cálculo, de modo que el diagrama de tensiones es birrectangular, tal y como muestra la figura 5 z
f yd
Se define el momento resistente plástico de un perfil de acero como aquel que es capaz de plastificar todas y cada una de las fibras de la sección. Su valor es igual a MRd ,pl ,y
y
f
= yd ⋅
Wpl ,y
Siendo Wpl,y el módulo resistente plástico de la sec ción.
f yd
figura 5
El módulo resistente plástico se calcula considerando que la sección solicitada a flexión ha plastificado, estando una parte de la misma comprimida y otra trac cionada, de modo q ue para que la
sección esté en equilibrio, es necesario que la fuerza resultante de la parte comprimida sea igual a la fuerza resultante de la trac cionad a, (véa se figura 6) De modo que A1 ⋅ fyd
=
A2 ⋅ fyd
→
A1
=
A2
=
A/ 2
Dicho par de fuerzas, equilibra a l momento d e plastificación, por tanto
A1 ⋅ fyd ⋅ z1
+
A2 ⋅ fyd ⋅ z2
=
MRd ,pl
o lo que es lo mismo fyd
⋅
A
z
2
⋅
( z1
+
z2 ) = MRd ,pl
f yd A2
z2
z2
F.N. y z1
z1 A1
f yd
figura 6 Se d efine el módulo resistente p lástic o a l término Wpl
=
A ⋅ ( z1 2
+
z2 ) por similitud
con e l módulo resistente elástico definido en el ep ígrafe 4.1 Los módulos resistentes plásticos de los perfiles laminados se encuentran tabulados en los prontuarios ada ptado s al C TE o al Euroc ódigo 3. Para el IPE 300 , el valor de Wpl, Rd es igual a 628 · 103 mm3, siendo el Momento resistente plástico respecto al eje y del IPE 300 de acero S 275, igual a:
MRd,pl,y
=
275 3 ⋅ 628 ⋅10 1,05
=
164.476.190 N·mm
Lo que significa que el máximo momento que aguanta el IPE 300 de acero S 275, en régimen plástico es de aproximadamente 16 4 kN ·m C onsiderando el diag rama de flec tores de la figura 1, y teniendo en c uenta que la longitud de la viga son 8 metros, el máximo momento en la viga se produce en el empotramiento, y su valor es igual a:
MEd,y
=
qd ⋅ L2 8
=
qd ⋅ 8 2 8
Igualando el máximo momento solicitación con el momento resistente plástico del perfil, se obtiene la máxima carga que es capaz de soportar la viga considerando un comportamiento plástico de la sec ción.
qd ⋅ 8 2 8
=
164,4 kN·m → qd
=
20,55 kN / m
Es decir, la máxima carga que aguanta el IPE 300 de acero S 275 considerando un comportamiento plástico es de 20,55 kN/ m , lo que equivale lo que equivale a 2055 kg/m, unos 170 kg/ m más que en e l caso anterior.
4.3 Análisis de la estructura en régimen plástico. En el epígrafe anterior se ha obtenido el valor de la carga uniformemente repartida que plastifica la sección del empotramiento, es decir, que genera en el empotramiento (nudo B) un momento solicitación igual al momento resistente plástico del IPE 300. En la figura 7 se representa dicho esquema de carga y los diagramas de momentos flec tores de la viga. Momentos flectores
20,55 kN/m
A
B
MEd,B
=
MEd ,B
=
IPE 300 8m
q ⋅ L2 ; 8 20,55 ⋅ 8 2 8
=
164,4 kN·m = MRd ,pl ,y
164,4 kN·m
C
B
92,47 kN·m
MEd ,C
=
MEd ,C
=
9 ⋅ q ⋅ L2
; 128 9 ⋅20,55 ⋅ 8 2 128
=
92,47 kN ⋅ m
figura 7 En la figura anterior se observa que en la sec ción B el momento solicitac ión es igua l a 164,4 kN·m (momento resistente p lástico) y en la sec ción C , es igua l a 92,47 kN·m. C uand o se rea liza un análisis global de la estructura en régimen p lástico, se supone que las sec ciones que han plastificad o se comportan1 como rótulas, de modo que la viga de la figura 7, sometida a una carga uniformemente repartida de 20,55 kN/m se mod eliza como b iarticulad a, tal y como se muestra e n la figura 8, qd
A
IPE 300
B
8m
figura 8
1
Dicha sección debería ser clase 1 para que poder considerar que realmente tiene la capacidad de giro nec esaria pa ra supone r que es una rótula. Vé ase el punto 5
Esta viga biarticulada es capaz de soportar nuevas cargas, aumentando el momento en el centro de vano y permaneciendo constante y con valor igual a M pl,y,Rd el momento en la sec ción B. Para obtener la c antidad d e c arga adicional que puede a guantar hay que tener en cuenta que la sección más solicitada a flexión positiva es la C, con un momento solicitación igual 92 ,4 7 k N ·m de mod o que el máximo momento que podrá solic itar a dicha sección, consecuencia del incremento de carga, será igual al momento resistente del perfil menos el momento que ya lo está solicitando. Es dec ir, MEd,max,admisible
=
MRd,pl,y
−
92,47 kN·m = 71,93 kN ⋅ m
Con el valor del máximo momento admisible calculado, se obtiene el incremento de carga que resiste la viga modelizada como biapoyada, siendo el diagrama de flec tores correspo ndiente el de la figura 9 qd
figura 9
A B
IPE 300 8m
siendo MEd ,max
=
∆qd
⋅
L2
8
M Ed,max
Para el caso que nos ocupa, MEd ,max
=
∆qd
⋅
82
8
, valor del momento que debemos
igualar con el máximo admisible para obtener el incremento de carga admisible por el IPE modelizad o c omo una viga b iap oyad a.
MEd ,max,admisible
=
71,93 kN ⋅ m =
∆qd
⋅
8
82
→
∆qd
=
8,99 kN / m
De modo que si se añaden 8,99 kN/m a los 20,55 kN/m de la figura 7 se produce la plastificación de la sección del centro de vano de la viga, convirtiéndola en un mecanismo (figura 10) 29,54 kN/ m
A
IPE 300
B
figura 10
8m
Por tanto, la carga de agotamiento de la viga de la figura 3 obtenida con un análisis plástico de la estruc tura es de 20,55 + 8,99 = 29,54 kN/m
4.4 Conclusiones Los valores obtenidos para la carga de agotamiento de la viga objeto del problema (figura 3) en función del tipo de análisis global de la estructura y tipo de cálculo de la sección, se muestran en la tabla 1. En ella se puede observar que los métodos plásticos de dimensionado de la sección y análisis de la estructura permiten considerar una capacidad de carga mayor.
Carga de agotamiento q d de la viga de la figura considerando un régimen elástico o plástico para la sección y para la estructura qd
A
B
IPE 300 8m
Análisis global de la estructura 2 Cálculo de la régimen elástico
en régimen elástico
en régimen plástico
sección
en
1 8, 22 5 k N / m
N o t ie n e se n t i d o
Cálculo de la sección régimen plástico
en
2 2, 55 k N / m
2 9 ,5 4 k N / m
tabla 1 El análisis global de la estructura mediante el método elástico, es el que se realiza habitualmente en las estructuras de edificación. Corresponde a la obtención de solicitaciones con ayuda de un prontuario, con el método matricial, con el de cross o con la mayoría de los programas de cálculo de estructuras. El análisis global de la estructura mediante el método plástico, sólo es posible rea lizarlo en estructuras hiperestáticas, y c onsiste en ir planteando suc esivos análisis elásticos tras la formación de cada rótulas hasta que la estructura se convierte en isostática. La generación de una rótula más daría lugar a un mecanismo y por tanto al colapso de la estructura.
5 Información complementaria: Clases de secciones En los epígrafes 4.1 y 4.2 se ha dimensionado la viga de la figura 3 suponiendo un comportamiento elástico o plástic o de la sec ción sin c omprobar previamente q ue era posible alcanzar el límite elástico en la fibra más alejada (epígrafe 4.1) o que era p osible plastificar la sec ción (epígrafe 4.2)
2 Se
entiende e n ambos casos que es un análisis de primer orden, es de cir,que se plantean las ecua ciones de equilibrio en la g eometría no d eformada.
Del mismo modo se ha realizado un análisis global de la estructura con el método plástico (epígrafe 4.3) sin comprobar previamente que la sección del empotramiento podía comportarse como una rótula. Considerando la capacidad de deformación y de desarrollo de la resistencia plástica de los elementos planos comprimidos de una sección, el artículo 5.2.4 del DB SE Ac ero del C TE clasifica las sec ciones transversales en c uatro c lases: C lase 1: Plástic a: Permiten la formac ión de la rótula p lástica c on la cap ac ida d d e rotación suficiente para la redistribución de momentos. Clase 2: Compacta: Permiten el desarrollo del momento plástico con una capac ida d d e rotac ión limitada. Clase 3: Semicompacta o Elástica: En la fibra más comprimida se puede alcanzar el límite elástico del acero pero la abolladura impide el desarrollo del momento plástico. C lase 4: Esbe lta. Los elementos total o pa rcialmente c omprimidos de las sec c iones esbeltas se a bollan entes de alc anzar el límite elástico en la fibra más comprimida. Siendo necesario emplear uno de los métodos de cálculo definidos en la tabla siguiente para la verificación de la seguridad estructural teniendo en cuenta la clase de las sec ciones transversales.
MÉTODOS DE CÁLCULO Clase de sec ción
Método para la determinación de las solicitaciones
Método para la determinación de la resistencia de las secciones
C lase 1
Plástico o Elástico
Plástico o Elástico
C lase 2
Elástico
Plástico o Elástico
C lase 3
Elástico
Elástic o
C lase 4
Elástico con po sible reducc ión de rigidez
Elástico con resistencia reducida
De modo que, habría que haber verificado que la sección3 IPE 300 de acero S 275 solicitado a flexión era al menos clase 3, para cálculo de la sección en régimen elástico (epígrafe 4.1) era clase 1 ó 2 para el cálculo de la sección en régimen plástico (epígrafe 4.2) y que era clase 1 para el Análisis plástico de la estructura (epígrafe 4.3)
6 Bibliografía [1] Normativa Básica d e la Edifica ción NBE EA-95. Consejo Superior de los C oleg ios de Arquitectos de España. [2] MINISTERIO de la VIVIENDA: “Documento Básico Seguridad Estructural, Acero”, C ódigo Téc nico de Edificac ión Disponible en: http://www.codigotecnico.org
3 EL
IPE 300 de acero S 275 solicitado a flexión es clase 1, de modo que todos los cálculos realizados son correctos.
