UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL INSTITUTO DE MECÁNICA APLICADA Y ESTRUCTURAS (IMAE)
Dr. Ing. OSCAR MÖLLER
Año 2011
II
III
ÍNDICE 1 INTRODUCCIÓN
…………................................................................................
2 MATERIAL ELASTOPLÁSTICO IDEAL - ACERO ACERO
……………………….
3 ANÁLISIS DE UN HIPERESTÁTICO HIPERESTÁTICO SENCILLO SENCILLO BAJO ESFUERZOS AXIALES ……....................................................................................................... 3.1 Periodo elástico ………………………………………………………………. 3.2 Periodo elasto - plástico ………………………………………......................... 3.3 Periodo plástico ……………………………………….................................... 3.4 Conclusiones ……………………………………….........................................
1 3
4 4 5 6 6
4 FLEXIÓN PLÁSTICA ............................................................................................. 4.1 Momento plástico. Factor de forma ………………………………………… 4.2 Concepto de rótula plástica ……………………………………….................
8
5 RESUMEN DE HIPÓTESIS
……………………………………………………….
12
6 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS SOLICITADAS A FLEXIÓN FLEXIÓN ........................... 6.1 Viga simplemente apoyada …………………………………………………. 6.2 Viga empotrada – empotrada con carga uniforme …………........................ 6.3 Viga empotrada – empotrada con carga concentrada ………….................. 6.4 Caso general de una estructura hiperestática …………................................
14
7 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS LÍMITE APLICACIONES ……............................................................................................. 7.1 Teorema del límite inferior o teorema estático …………………………… 7.2 Teorema del límite superior o teorema cinemático ……………………… 7.3 Teorema de la unicidad ………………………………………......................... 7.4 Métodos para determinar la carga límite ………………………………… 8 COMPLEMENTOS ……………………………………………………………… 8.1 Colapso parcial ……………………………………………………………… 8.2 Sobrecolapso …………................................................................................ 8.3 Cargas repartidas …………............................................................................ 8.4 Verificación y diseño …………........................................................................ 9 FACTORES QUE QUE INFLUYEN EN EL VALOR VALOR DE LA CARGA LÍMITE …… 9.1 Factores que influyen en el valor de M P ……………………………………. 9.2 Fenómenos de inestabilidad ………………………………………………….
8 5
14 16 18 20
23 23 24 24 24 30 30 31 31 32 33 33 35
IV
9.3 Efecto del tipo de puesta puesta en carga sobre el colapso colapso de la estructura estructura Inestabilidad de la deformación ……………………………......................... 10 ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO ………………………………. 10.1 Relación momento curvatura …………………………………………….. 10.2 Mecanismos de colapso – Resistencia nominal …………………………… 10.3 Capacidad de rotación de las rótulas rótulas plásticas …………………………… REFERENCIAS
..............................................................................................................
36 37 37 38 40
42
1
CÁLCULO PLÁSTICO
CÁLCULO PLÁSTICO DE ESTRUCTURAS
1.
INTRODUCCIÓN
El análisis elástico de estructuras acepta el cumplimiento de la ley de Hooke para los materiales, la cual tiene como consecuencia la validez del “principio de superposición de efectos”. A partir de la relación lineal homogénea σ = E ε , se verifica que si Para σ 1 es ε 1 = para σ 1 + σ 2
1 E
σ 1
y para σ 2 es
resulta ε =
1 E
ε 2 =
( σ 1 + σ 2 ) =
1
σ 2 E σ 1 σ 2 E
+
E
⇒
(1) = ε 1 + ε 2
Esta propiedad no se verifica para relaciones de tipo ε = c σ 2 o ε = c σ + d La validez del principio de superposición de efectos permite desarrollar los dos métodos clásicos de análisis de estructuras: el método de las fuerzas y el método de los desplazamientos. Para el método de las fuerzas se puede partir del teorema de Castigliano y obviar superposición de efectos, pero de todos modos dicho teorema se basa en la validez de la ley de Hooke. Además, el principio de superposición de efectos permite considerar los distintos estados de carga por separado, y determinar las combinaciones más desfavorables mediante la teoría de las líneas de influencia. Debido a estas ventajas significativas, se acepta la validez de Hooke aún para materiales que en rigor no la satisfacen, como el hormigón, debido a que resulta aceptable suponer que bajo cargas de servicio la verdadera ley constitutiva tensión-deformación se aparte poco de la linealidad como se observa en la figura 1. σ
aproximación lineal real
ε
Figura 1: Ley constitutiva real y aproximación lineal
2
Oscar Möller
El campo de aplicación de los métodos de análisis basados en la ley de Hooke, o métodos de análisis elásticos, termina cuando en la fibra más exigida de la sección más solicitada se alcanza la tensión del límite de proporcionalidad o límite elástico. Se recuerda que el límite de proporcionalidad y el límite elástico corresponden a conceptos diferentes, sin embargo se puede considerar que coincide a los fines prácticos, σe ≈ σp. En la teoría elástica o clásica, se define la tensión admisible afectando con un coeficiente de seguridad a la tensión del límite elástico, y se exige que bajo las cargas de servicio no se supere dicha tensión en ningún punto de la estructura. Este planteo no permite determinar el valor de las cargas que producen el estado último o estado de ruina de la estructura, y por lo tanto no permite determinar el “verdadero coeficiente de seguridad” de la estructura, que será la relación entre dichas cargas y las cargas de servicio. Resulta un planteo conservador al exigir que no se supere la tensión admisible en ningún punto de la estructura. Por estas razones resulta de interés el enfoque que aporta el llamado “ cálculo plástico” cuyo principal objetivo es determinar la “ carga límite de la estructura”, es decir la carga asociada con el límite real de la estructura como sistema capaz de transmitir cargas. Para determinar la carga límite es necesario superar el límite elástico del material, que significa que deja de tener validez el principio de superposición de efectos. Cuando existen diferentes estados de cargas, se deberán considerar por separado las diferentes combinaciones posibles, y se deberá calcular una carga límite para cada combinación, eligiendo finalmente la menor de ellas. Para el desarrollo de los métodos de búsqueda de la carga límite es necesario suponer que para cada combinación de cargas, éstas crecen uniformemente o proporcionalmente entre si. Esta limitación no lleva a resultados alejados del caso en que cada carga pueda variar libremente dentro de su rango. Con referencia a los formatos determinísticos de verificación de la seguridad de los códigos actuales, que incluyen factores parciales de mayoración de cargas y de minoración de resistencia, la expresión general de estado límite es φ Rn ≥ U
(2)
donde la resistencia nominal Rn será la carga límite P L nominal de la estructura , φ el factor de minoración de resistencia, y U la carga mayorada con la siguiente expresión U =
∑ γ
i
Pi
(3)
i
con γ i los factores parciales de mayoración de las cargas nominales Pi prescriptas por los códigos.
CÁLCULO PLÁSTICO
2.
3
MATERIAL ELASTOPLÁSTICO IDEAL - ACERO
La figura 2 muestra la curva tensión – deformación del acero dúctil de bajo contenido de carbono. Tensiones reales
σ
σ r nominal
Ensayo con máquina con circuito de aceite
σ f σ e σ p
-
I: periodo elástico II: periodo plástico III: periodo de reendurecimiento IV: periodo estricción
ε
0.1% 2% 20% I II III IV Figura 2: Ley constitutiva tensión – deformación del acero En la figura 2 se observa que una vez alcanzada la tensión de fluencia se inicia un periodo de grandes deformaciones, del orden de 20 veces la deformación elástica, a tensión constante. En consecuencia, cuando en las fibras de una tajada de una barra de la estructura se alcanza la fluencia, estas fibras comienzan a deformarse a tensión constante, en una magnitud lo suficientemente grande como para que mientras las cargas siguen aumentando se producen fenómenos análogos en otras tajadas de la estructura, sin que la tajada que primero entró en fluencia alcance el periodo de reendurecimiento. Cuando en un número suficiente de secciones las fibras han entrado en fluencia, la estructura se comporta como un mecanismo que no puede resistir cargas mayores, alcanzando deformaciones inadmisibles para los fines proyectados, o llegando al colapso de la estructura. Por estas razones, y teniendo en cuenta que σe ≈ σp ≈ σ f , se supone para el acero la relación constitutiva simplificada o ideal que se muestra en la figura 3
σ σ f
ε I
I: periodo elástico II: periodo plástico con fluencia ilimitada
II
Figura 3: Ley constitutiva tensión – deformación ideal
4
3.
Oscar Möller
ANÁLISIS DE UN HIPERESTÁTICO SENCILLO BAJO ESFUERZOS AXIALES
Se analiza el comportamiento del hiperestático de grado 1 mostrado en la figura 4 para cargas crecientes.
E , A E , A
La Lb
E , A
barra rígida P
Figura 4: Hiperestático bajo cargas axiales
3.1
Periodo elástico
Ecuaciones de equilibrio Las tres barras se encuentran en el periodo elástico. La ecuación de equilibrio es
P = 2 S a + Sb
(4)
Ecuaciones de compatibilidad La barra rígida se conserva horizontal por simetría, luego la ecuación de compatibilidad resulta:
u a = ub
(5)
Ecuaciones constitutivas Se aplica la ley de Hooke porque todas las barras están en el periodo elástico.
σ = E ε →
S A
= E
u
L
→ u=
S L E A
(6)
Reemplazando en la ecuación de compatibilidad, y teniendo en cuenta que La > Lb, resulta: S a La E A
=
S b Lb E A
→ Sb = Sa
La Lb
→ Sa > Sb
Entonces, de la ecuación de equilibrio se obtiene
→ σ a > σ b
(7)
CÁLCULO PLÁSTICO
P = Sb
( 1+ 2
Lb La
5
(8)
)
La primera barra cuyas fibras alcancen la tensión de fluencia será la barra más cargada, es decir la barra b. Desde el punto de vista del criterio clásico del cálculo elástico, dicha carga sería la resistencia nominal de la estructura P E = σ f A ( 1 + 2
Lb La
) = Rn E
(9)
El desplazamiento, o la flecha, en función de la carga es u=
P
Lb
1 + 2 Lb / La E A
P
=
La
2 + La / Lb E A
(10)
La máxima flecha de este periodo será para P = P E . Reemplazando (9) en (10), resulta u E =
3.2
σ f Lb
(11)
E
Periodo elasto - plástico
Las dos barras a se encuentran en periodo elástico y la barra b en periodo plástico, es decir la estructura está en fluencia limitada. El análisis se vuelve estáticamente determinado como se muestra en la figura 5.
σ f A
P
Figura 5: Estructura en periodo elasto-plástico El esfuerzo en las barras se determina con la siguiente ecuación de equilibrio P = σ f A + 2 S a
(12)
La flecha para este periodo se puede escribir como u = u E + ∆u
siendo ∆u =
∆P La
2 E A
con ∆P = P − P E
(13)
6
Oscar Möller
Para un mismo incremento de carga ∆P, las barras a están más solicitadas en este periodo que en el anterior porque la barra b ha dejado de tomar carga. Se dice que ha habido una “redistribución de esfuerzos” si se compara con la situación en que las barras permanezcan indefinidamente elásticas.
3.3
Periodo plástico
La capacidad de carga del sistema, es decir la resistencia nominal, se alcanza cuando las dos barras a llegan a fluencia. En ese momento es S a = S b = σ f A
(14)
Debido a que el equilibrio se conserva, la carga límite resulta P L = 3σ f A = Rn P
(15)
Esta resistencia se denomina “carga límite” porque una vez alcanzada puede aumentar la flecha sin aumentar la carga. La estructura entra en fluencia ilimitada, se comporta como un mecanismo de un grado de libertad, y sobreviene la falla por deformaciones excesivas o inadmisibles. Utilizando los factores parciales de mayoración de cargas y minoración de resistencia, se debe cumplir que φ P L ≥ Pu =
∑ γ
i
Pi
(16)
i
3.4
Conclusiones
Comparando la ec(9) con ec(15) resulta RnP ≥ RnE , siendo igual para La = Lb. Si La = 2 Lb entonces RnP = 1.5 RnE .
El cálculo plástico muestra la capacidad de carga real de la estructura, que es mayor que la calculada al aplicar el criterio elástico. Desde el punto de vista del dimensionamiento se obtiene una economía de material ya que a partir de (15) AP =
Pu
φ 3σ f
(17)
Mientras que con el criterio elástico resulta A E =
Pu
φ (1 + 2 Lb / La ) σ f
(18)
Es decir que AP ≤ A E , siendo igual para La = Lb Se hace notar que la mayor capacidad de carga con respecto al criterio elástico se debe al carácter hiperestático de la estructura considerada. Si la estructura es isostática, al entrar en fluencia una de las barras se aumenta en uno los grados de libertad, y se forma un mecanismo con fluencia ilimitada. En ese caso resulta P E = P L
CÁLCULO PLÁSTICO
7
En la fase elasto-plástica del ejemplo se observa que para un incremento de carga ∆P, las barras a incrementan su esfuerzo interno en una cantidad mayor que el incremento que para un mismo ∆P se producía en la fase elástica, debido a que la barra b ya no colabora. Es consecuencia que en la fase elasto-plástica se produce una redistribución de esfuerzos internos en la estructura. Las zonas menos solicitadas inicialmente comienzan a tomar carga en mayor proporción porque se ha agotado la capacidad de absorber carga en las zonas más solicitadas en la fase elástica. El término “redistribución de esfuerzos” se refiere a que en la fase elastoplástica existe una distribución de esfuerzos internos diferente a la que se produce si el material fuera elástico.
El cálculo de la carga límite de un hiperestático es un problema estáticamente determinado porque las incógnitas superabundantes con respecto a las ecuaciones de equilibrio son G+1, siendo G las incógnitas hiperestáticas y una carga externa de referencia P, si se supone que las cargas van creciendo proporcionalmente entre si de modo que Pi = λ P
Para las G+1 incógnitas se establecen G+1 relajaciones de vínculos internos por plastificación de G+1 secciones para llegar al mecanismo de colapso, que transforman al problema en estáticamente determinado. Resulta finalmente una cadena cinemática de un grado de libertad con una carga exterior incógnita que es la carga de referencia P. Se puede calcular la carga límite directamente si se conocen las secciones de las barras y el límite de fluencia del material, sin necesidad de analizar previamente el comportamiento elasto-plástico del sistema. Por tratarse de un problema isostático, la carga límite es independiente de los estados de coacción, por ejemplo temperatura, descensos de apoyo, etc., que si afectan a la carga límite elástica. Diagrama carga – flecha: de acuerdo con las ecuaciones (10) y (13) se representa el gráfico mostrado en la figura 6
P P L
P E
u u E
uP
Figura 6: Relación carga - flecha En general, bajo cargas de servicio, es decir cargas sin mayorar, los desplazamientos se encuentran en el periodo elástico, luego no existe el peligro de deformaciones importantes.
8
4. 4.1
Oscar Möller
FLEXIÓN PLÁSTICA Momento plástico. Factor de forma
Se considera el caso frecuente de una sección con eje de simetría sometida a flexión recta. Se comprueba que con cargas crecientes, las fibras más exigidas entran en fluencia, sigue valiendo la ley del plano mientras el eje neutro se mantiene perpendicular al eje de solicitación por razones de simetría. El estado de la sección en la etapa elasto-plástica se muestra en la figura 7. σ f zona plástica
ρ
h0 zona elástica
y 0 n
n
dx y
yu
hu
zona plástica
ε dx σ f
Figura 7: Sección solicitada a flexión recta
Ecuación de compatibilidad ε dx r
=
dx
→ ε =
ρ
y
ρ
= y φ
(19)
siendo φ la curvatura, y vale la ley del plano
Ecuaciones de equilibrio
∑ N = 0
→
∫ σ d ω = N = 0 A
∑
M = 0
→
∫
σ y d ω = M
(20)
A
Ecuación constitutiva
Se utiliza la relación bilineal mostrada en la figura 3. σ = E ε σ = σ f
para ε ≤ ε y para ε > ε y
Reemplazando las ecuaciones (19) y (21) en las ecuaciones de equilibrio (20), resulta
(21)
CÁLCULO PLÁSTICO
σ f 0
σ f
yu
y0
u
0
y0
hu
∫ σ d ω = 0 = − y0 ∫ y b( y) dy + y ∫ y b( y ) dy − σ ∫ b( y) dy + σ ∫ b( y) dy f
A
f
h0
yu
y0 σ f 0 2 σ f yu 2 y b( y ) dy + y b( y ) dy − σ f y b( y ) dy + σ f σ y d ω = M = − y y 0 y0 u 0 A h0
∫
∫
9
∫
∫
hu
(22)
∫ y b( y) dy
yu
El máximo momento que puede absorber la sección ocurre cuando todas las fibras están en fluencia, es decir para y0 = yu = 0. Este momento se denomina momento plástico de la sección, y a partir de la segunda de las ecuaciones (22) resulta hu ⎡ 0 ⎤ M P = σ f ⎢− ∫ y b( y ) dy + ∫ y b( y ) dy ⎥ = σ f Z ⎢⎣ h0 ⎥⎦ 0
(23)
donde Z es el módulo plástico que es una característica geométrica de la sección En la ec(23) la primera integral es el valor absoluto del momento estático del área superior con respecto al eje neutro. El término resulta positivo porque la distancia y es negativa. La segunda integral es el momento estático del área inferior con respecto al eje neutro. De la primera de las ecuaciones (22) se deduce la ubicación del eje neutro en correspondencia con el momento plástico, resulta
∫ σ d ω = 0
0
→ − σ f
A
hu
∫ b( y) dy + σ ∫ b( y) dy = 0 f
0
h0
0
→
hu
∫ b( y) dy = ∫ b( y) dy h0
(24)
0
Es decir que el área superior es igual al área inferior, o dicho de otro modo el eje neutro divide a la sección en dos áreas iguales, y en general deja de ser baricéntrico. Se llama momento elástico M E al momento en el que la fibra más exigida de la sección alcanza la tensión de fluencia, y siendo W el módulo resistente, se obtiene M E = σ f W
(25)
Se define el factor de forma f que representa a la reserva plástica que tiene una sección solicitada a flexión f =
M P M E
=
Z
(26)
W
Ejemplos
Rectángulo: Círculo: f =
2 b h 2 / 8 3 f = = = = 1.50 W 2 b h 2 / 6 Z
16 = 1.70 3 π
Rombo: f = 2.00
Perfil doble T: f ≅ 1.13
En los ejemplos se observa que cuanto más material se distribuye en las proximidades del eje neutro, mayor es el coeficiente de forma. En consecuencia, un coeficiente de forma elevado indica una sección poco apta para resistir flexión.
10
Oscar Möller
En flexión se manifiesta otra reserva plástica que es la reserva plástica de la sección. En una estructura isostática, cuando la fibra más exigida de la sección más solicitada entra en fluencia, todavía queda la reserva plástica de la sección para que se forme un mecanismo. Hay que observar que el caso y0 = yu = 0 , para el cual se deduce el momento plástico, no es alcanzable en la práctica porque siempre existirá una zona en régimen elástico en las proximidades del eje neutro. Sin embargo, debido a que las fibras vecinas al eje neutro colaboran poco en el momento resistente por su pequeño brazo de palanca, se considera aceptable la aproximación y0 = yu = 0.
4.2
Concepto de rótula plástica
Se analiza la relación momento-curvatura de una tajada genérica
Periodo elástico
Se utilizan las expresiones para flexión recta de cualquier sección en régimen elástico, es decir que es válida la ley de Hooke. A partir de la ley de conservación de las secciones planas resulta ε =
σ
ε M y , φ = = E E I y E I
=
M
(27)
Se define una curvatura ideal φ P que sería la curvatura de la tajada si la sección se conservara en régimen elástico hasta alcanzar el momento plástico M P φ P =
M P
(28)
E I
Entonces resulta M M P
=
φ
para M ≤ M E
φ P
(29)
Periodo elasto - plástico
Se considera el caso particular de una sección rectangular donde hu = ho = h, y a partir de la segunda de las ecuaciones (22) se obtiene M = 2
σ f
yu
∫ y
y u 0
M = b σ f
2
h
b dy + 2 σ f
( h2 −
∫ y b dy = 2 b σ
f
(
yu
y u2
3
+
h 2 − yu2
2
) (30)
2
y u
3
)
Teniendo en cuenta que para yu es
h y u b
CÁLCULO PLÁSTICO
2⎤ ⎡ σ ⎛ ⎞ 1 = , M = b σ f ⎢h 2 − ⎜⎜ f ⎟⎟ ⎥ y u = 3 ⎝ E φ ⎠ ⎥ φ E φ ⎢ ⎣ ⎦
ε E
11
σ f
M P = σ f b h 2
→
M M P
= 1−
σ ⎞ 1 ⎛ ⎜ f ⎟
(31)
2
3 h 2 ⎜⎝ E φ ⎠⎟
Además 2
2 3σ f ⎛ σ f ⎞ 2 h φ P ⎞ ⎛ ⎟ =⎜ φ P = = = → ⎜⎜ ⎟ ⎟ 2 3 2 E h 3 E I E ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ E b h 3
M E
σ f b h 2
(32)
Reemplazando en (31) resulta 4 ⎛ φ P ⎞ ⎜ ⎟ = 1− 27 ⎜⎝ φ ⎠⎟ M P M
2
(33)
La representación gráfica de las ecuaciones (29) y (33) se presenta en la figura 8. Se observa que a los fines prácticos se justifica utilizar el diagrama bilineal idealizado. M M P
1
1−
2 3
4 1 27 (φ / φ P ) 2 φ φ P
2 3
1
Figura 8: Relación momento curvatura Si en lugar de la sección rectangular se hubiese analizado el perfil doble T, se observaría que la verdadera relación momento curvatura se acerca aún más a la función bilineal.
Conclusiones
Aceptar el diagrama bilineal significa admitir que la tajada se comporta con ley momento curvatura elástica hasta alcanzar el momento plástico M P, y luego curvatura ilimitada con momento constante. Es como si existiera una rótula de fricción que mantiene la continuidad de la elástica con una tangente única mientras M < M P, y luego permite el giro relativo entre las dos caras de la tajada manteniendo el momento MP. Esta rótula ideal se denomina rótula plástica .
12
5.
Oscar Möller
RESUMEN DE HIPÓTESIS
A continuación se indican las hipótesis bajo las cuales se calculará la carga límite de las estructuras de barras.
a) Material elasto - plástico ideal : Esta hipótesis, representada en la figura 9, permite suponer que la primera rótula plástica que se forma en la estructura, seguirá funcionando mientras se desarrollan las siguientes, sin que aparezca el fenómeno de reendurecimiento. σ σ f
ε
Figura 9: Material elasto - plástico ideal b) Para el cálculo del momento plástico se acepta el diagrama de tensiones idealizado mostrado en la figura 10, que no es alcanzable, pero predice resultados suficientemente aproximados a los experimentales. σ f
σ f
Figura 10: Diagrama de tensiones c) Diagrama momento curvatura idealizado : Esta hipótesis representada en la figura 11 permite introducir el concepto de rótula plástica, y además permite idealizar el mecanismo de colapso de estructuras solicitadas a flexión, por medio de la formación de sucesivas rótulas plásticas.
CÁLCULO PLÁSTICO
13
M M P
1
φ φ P
1 Figura 11: Diagrama momento curvatura ideal
d) Los nudos de los pórticos deben ser capaces de transmitir el momento plástico de una viga o columna adyacente. Significa que no debe formarse una articulación en el nudo, si no que el momento plástico se alcance en la sección adyacente de la viga o columna, la que tenga menor resistencia. Esta hipótesis se ilustra en la figura 12.
M P
M P
Figura 12: Nudo de pórtico e) La carga límite está definida por la transformación de la estructura en un mecanismo por la formación de suficientes vínculos plásticos internos. No se tienen en cuenta otro tipo de fallas como inestabilidad elástica prematura, fallas en medios de unión, etc. Se debe proyectar la estructura con una mayor resistencia para estos tipos de falla. f) Las condiciones de equilibrio se plantean sobre la configuración inicial, es decir que se supone que los desplazamientos alcanzados en el instante de formarse el mecanismo de colapso son pequeños como para que el análisis de primer orden sea suficientemente aproximado. g) Las cargas aplicadas a la estructura aumentan proporcionalmente. Esto permite reducir las cargas exteriores a un solo parámetro incógnita que se denomina carga de referencia.
14
Oscar Möller
6.
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS SOLICITADAS A FLEXIÓN
6.1
Viga simplemente apoyada
Se considera el caso mostrado en la figura 13. P
L
M max =
P L
4
Figura 13: Viga simple con carga concentrada
Análisis elástico : la carga máxima asociada al límite elástico es P E =
4 M E L
(34)
a partir de la carga del límite elástico comienza la plastificación de la sección central hasta que se alcance el momento plástico. Se forma en la sección central una rótula plástica y se produce el mecanismo de colapso. La carga límite es
Análisis plástico :
P L =
4 M P L
(35)
Resulta P L P E
=
M P M E
= f
(36)
Además, como se supone que la ley momento curvatura sigue la ley elástica hasta que se alcanza el momento plástico, luego el diagrama carga flecha será la mostrada en la figura 14. Se observa la falta del periodo elasto – plástico o de fluencia controlada. Esta característica, así como la expresada por la ec.(36), es propia de los sistemas isostáticos debido a que es suficiente la formación de una sola rótula plástica para que se forme el mecanismo de colapso. La carga límite se puede calcular aplicando el principio de los trabajos virtuales poniendo de manifiesto el mecanismo de colapso, introduciendo una rótula en la sección plastificada y restableciendo el equilibrio mediante la aplicación de momentos plásticos como cuplas externas como se indica en la figura 15.
CÁLCULO PLÁSTICO
15
P P L P E
u Periodo elástico
Periodo plástico 3
u=
PL L
48 EI
Figura 14 : Diagrama carga - flecha
P L
M P
θ L / 2
2θ
θ
Figura 15 : Carga límite con el PTV Como se trata de una cadena cinemática con un grado de libertad, se aplica el PTV para el rígido parcialmente vinculado. El equilibrio exige que el trabajo virtual de las cargas externas sea nulo para todo desplazamiento virtual compatible con los vínculos. P L
θ L
2
− M P 2 θ = 0 → P L =
4 M P L
(37)
Se observa como regla general que cuando el desplazamiento virtual tiene el sentido del colapso, el trabajo virtual del momento plástico será negativo.
16
Oscar Möller
6.2
Viga empotrada – empotrada con carga uniforme
Se considera el caso de carga uniformemente distribuida representada en la figura 16 q
L
Figura 16: Viga empotrada - empotrada con carga uniforme el diagrama de momentos que resulta de aceptar la ley de Hooke es el mostrado en la figura 17.
Análisis elástico:
2
q L
12 2
q L
24
Figura 17 : Diagrama de momentos en el periodo elástico La carga límite del análisis elástico se produce cuando en el empotramiento se alcance el momento elástico M E =
q E L2
12
→ q E =
12 M E 2
L
(38)
De acuerdo al concepto de rótula plástica, el diagrama de momentos es válido hasta que en la sección más solicitada se alcanza el momento plástico, es decir hasta una carga q1 tal que q1 =
12 M P 2
L
, resulta q1 = f q E
(39)
donde, en general, f es el factor de forma de la sección más solicitada. A partir de esta carga se han establecido dos rótulas plásticas en los apoyos y comienza el periodo elasto-plástico. La viga se comporta en fluencia limitada o controlada, como simplemente apoyada con dos momentos M P en los extremos, como se observa en la figura 18.
Análisis elasto-plástico:
Con carga creciente, el momento en la sección central se incrementa mientras permanecen constantes en los apoyos porque ya no pueden aumentar más allá del M P. Cuando se alcanza el M P en la sección central finaliza el periodo elasto-plástico.
CÁLCULO PLÁSTICO
17
q > q1 M P
M P 2
q L
M P
M P
8
Figura 18: Diagrama de momentos en el periodo elasto-plástico Con la formación de la rótula plástica en el centro del tramo se ha formado el mecanismo de colapso con un grado de libertad, y la estructura se encuentra en fluencia ilimitada.
Análisis plástico:
Para la carga límite vale aún considerar equilibrio y en consecuencia el diagrama de momentos es el mostrado en la figura 19. Resulta 2
q L L
8
= 2 M P
→ q L =
16 M P
(40)
2
L
La relación con la carga que produce el final del periodo elástico es q L q E
=
4 f 3
(41)
2
M P
q L L
M P
8 M P
Figura 19: Diagrama de momentos en el periodo plástico
El diagrama carga – flecha se presenta en la figura 20 Para el periodo elástico: u=
q L4
384 EI
Para el periodo elasto-plástico:
2
para q = q1 → u1 =
M P L
32 EI
(42)
18
Oscar Möller
5 q L4 M P L2 − u= 384 EI 8 EI
2
para q = q L → u P =
M P L
12 EI
(43)
En (43) el primer término corresponde a la viga simplemente apoyada con carga q, mientras que el segundo término es el desplazamiento producido por los momentos M P en los extremos. Es una relación lineal con pendiente 5 veces menor que el periodo elástico. q q L q1 q E
u elástico
u1
elasto plástico
u L
plástico
Figura 20 : Diagrama carga - flecha Resulta uP = 2.7 u1, y se considera aceptable para plantear las condiciones de equilibrio sobre la posición inicial no deformada de la estructura, es decir se considera válido el análisis de primer orden.
6.3
Viga empotrada – empotrada con carga concentrada
Se considera el caso de carga concentrada aplicada en el centro de la luz representada en la figura 21 P
L
Figura 21 : Viga empotrada - empotrada con carga concentrada el diagrama de momentos que resulta de aceptar la ley de Hooke es el mostrado en la figura 22.
Análisis elástico:
La carga límite del análisis elástico se produce cuando en el empotramiento, y simultáneamente en el centro del tramo, se alcance el momento elástico M E =
P E L
8
→ P E =
8 M E L
(44)
CÁLCULO PLÁSTICO
19
P L
8 P L
8
Figura 22 : Diagrama de momentos en el periodo elástico con la formación de las tres rótulas plásticas simultáneamente se forma el mecanismo de colapso, y en consecuencia falta el periodo elasto-plástico.
Análisis plástico:
Para la carga límite vale aún considerar equilibrio y en consecuencia el diagrama de momentos es el mostrado en la figura 23. Resulta P L L
4
= 2 M P
→ P L =
8 M P
(45)
L
P L L
4
M P
M P
Figura 23: Diagrama de momentos en el periodo plástico La relación con la carga que produce el final del periodo elástico es P L P E
=
M P M E
= f
(46)
La relación carga flecha, con las hipótesis realizadas, se muestra en la figura 24. P P L P E
u elástico
u L
plástico
Figura 24 : Diagrama carga - flecha
20
6.4
Oscar Möller
Caso general de una estructura hiperestática
En general en un hiperestático de grado G, solicitado por un estado de cargas que crece uniformemente, se puede reconocer un periodo elástico hasta la formación de la primera rótula plástica en la sección más solicitada. A partir de ese valor de las cargas en dicha sección se mantiene M P constante, y este hecho se puede poner de manifiesto introduciendo una rótula y un par de cuplas M P como acción externa. El grado de hiperestaticidad habrá disminuido en una unidad. Comienza así el periodo elasto-plástico de la estructura, que se caracteriza por la formación de sucesivas rótulas plásticas. Al generarse la rótula plástica NºG la estructura comienza a comportarse como isostática. Con la formación de la rótula plástica G+1 la estructura se transforma en una cadena cinemática con fluencia ilimitada, es decir se produce el periodo plástico y el colapso. De acuerdo con la hipótesis simplificada admitida para la ley momento-curvatura, la estructura se comportará elásticamente con un determinado grado de hiperestaticidad entre la formación de una cierta rótula plástica y la siguiente, como se muestra en el diagrama cargaflecha de la figura 25. Cada vértice de la poligonal del periodo elasto-plástico corresponde a la formación de una rótula plástica q
q L
q1
u elástico
u1
elásto – plástico
u L
plástico
Figura 25: Diagrama carga – flecha genérico En el ejemplo de la viga empotrada-empotrada es G = 2 para cargas transversales, y es necesario la formación de tres rótulas plásticas para llegar a la carga límite. El proceso descripto permite indicar un método paso a paso que determina las cargas asociadas a la formación de las sucesivas rótulas plásticas mediante sucesivos análisis elásticos de hiperestáticos de orden decreciente. Puede resultar de interés su implementación numérica en programas computacionales. Sin embargo, el cálculo de la carga límite es un problema estáticamente determinado, pero es necesario conocer el mecanismo de colapso.
CÁLCULO PLÁSTICO
21
Se puede entonces calcular la carga límite en forma directa por consideraciones de equilibrio sin necesidad de analizar los periodos elástico y elasto-plástico. Por ejemplo, en el caso de la viga empotrada empotrada con carga uniformemente repartida para la que se conoce el mecanismo de colapso, resulta
Aplicando las ecuaciones de la estática , figura 26 q L A
B
L 2
q L L
M P
M P
8 M P
Figura 26: Ecuaciones de la estática, viga empotrada-empotrada R A =
q L L
2
2
→ M P =
q L L
4
2
−
q L L
8
− M P
→ q L =
16 M P L2
(47)
Aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales : se pone en evidencia el mecanismo de colapso introduciendo rótulas en las secciones plastificadas y restableciendo el equilibrio con los momentos flectores plásticos actuando como cuplas externas, como se muestra en la figura 27.
Resulta una cadena cinemática con un grado de libertad sobre la que se aplica el PTV para cuerpos parcialmente vinculados, es decir el trabajo virtual de las fuerzas externas debe ser nulo. q L M P
M P x
θ
M P
L
M P
∆
θ
2θ
Figura 27 : Principio de los Trabajos Virtuales, viga empotrada-empotrada q x
M L − x + x 4 M P 1 1 1 = L ∆ − M P 2 ∆ ( + ) = 0 → q x = 4 P x L − x L x ( L − x ) x ( L − x ) 2
El valor mínimo de esta expresión se obtiene para x = L / 2 y resulta
(48)
22
Oscar Möller
q L =
16 M P
(49)
L2
Cuando se adopta un mecanismo de colapso errado, la carga calculada resulta mayor que la carga límite y en una o más secciones de la estructura se viola la condición de plasticidad, es decir resulta M > M P. Por ejemplo si se ubica la rótula plástica en x = L / 4, a partir de la ec.(48) resulta q( x = L / 4) =
4 16 M P 3 L2
(50)
El diagrama de momentos correspondiente se muestra en la figura 28 q x M P
M P M P
θ 1
x
M P
∆
θ 2 θ 2 θ 1
q x L2
M P
8
M P
M P
Figura 28: Violación de la condición plástica por mecanismo errado
CÁLCULO PLÁSTICO
7.
23
TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS LÍMITE APLICACIONES
7.1
Teorema del límite inferior o teorema estático
Se demuestra que: “Una carga calculada a partir de un diagrama de momentos en equilibrio, en el que no se viola la condición de plasticidad: M ≤ M P, es inferior o igual a la carga límite”. Para la estructura de la figura 29(a), todo diagrama de momentos que satisfaga equilibrio se obtiene a partir del estado mostrado en la figura 29(b). Se pueden conseguir diferentes diagramas de momentos estáticamente compatibles asignando valores arbitrarios al M ap, como se observa en la Figura 29(c), (d) y (e). Por equilibrio se debe cumplir la ec.(51) en todos los casos P
(a) L / 2
L / 2
P M ap
M ap
P L
(b) M ap
4
M ap
M tr
(c)
M P
(e)
M P
4
(51)
= M ap + M tr
M ap = 0 , M tr = M P P L
M P
0.5 M P (d)
P L
4
= M P
→ P=
4 M P L
0.5 M P M ap = 0.5 M P , M tr = M P 6 M P P L = 1.5 M P → P = 4 L M P
M ap = M P P L
4
, M tr = M P 8 M P
= 2 M P
(52)
→ P=
(53)
(54)
L
M P
Figura 29 : Ejemplo de aplicación del teorema del límite inferior Para este caso la carga límite es P L = 8 M P / L como se dedujo en la sección 6.3, ec(45). Se observa el cumplimiento de P ≤ P L como lo establece el teorema. Además, el signo igual ocurre cuando el diagrama de momentos se corresponde con un mecanismo. Más adelante se mostrará que este resultado tiene carácter general.
24
7.2
Oscar Möller
Teorema del límite superior o teorema cinemático
Se demuestra que: “La carga calculada a partir de un mecanismo de colapso arbitrario es mayor o igual a la carga límite, y será a dicha igual cuando el mecanismo de colapso propuesto coincida con el verdadero mecanismo de colapso”.
7.3
Teorema de la unicidad
Combinando ambos teoremas se puede enunciar: “La carga calculada a partir de un mecanismo de colapso arbitrario es mayor o igual a la carga límite, y será igual a dicha carga cuando en el correspondiente diagrama de momentos flectores en equilibrio no se viole la condición de plasticidad”. El enunciado de este teorema indica un procedimiento de cálculo que consiste en proponer un mecanismo de colapso, y calcular la carga y el diagrama de momentos por condiciones de equilibrio. Si en el diagrama de momentos no se viola la condición de plasticidad, | M | ≤ M P, se habrá obtenido la carga límite, y en caso contrario un límite superior.
7.4
Métodos para determinar la carga límite
Aplicando el procedimiento de cálculo enunciado se describen a continuación dos métodos para determinar la carga límite. Difieren entre si en la forma de aplicar las condiciones de equilibrio para calcular la carga correspondiente al mecanismo propuesto; (a) Método estático: se aplican ecuaciones de la estática; (b) Método cinemático: se aplica el Principio de los Trabajos Virtuales. Se muestran a través del ejemplo de la figura 30
2P 3P 3
2
4
M P = cte
2 L
1 L
L
Figura 30: Ejemplo de aplicación para los métodos de cálculo de la carga límite Posibilidades de mecanismos con rótulas plásticas en (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4) El primer caso (1, 2, 3) no puede ocurrir porque, de acuerdo a los diagramas de momentos bajo la acción de la carga horizontal solamente, y por otro lado la acción de la carga vertical,
CÁLCULO PLÁSTICO
25
en ambos casos el momento en la sección 4 es de tracción arriba y se suman. Luego en la sección 4 se formará una rótula plástica. a) Aplicación del método estático
A partir de un sistema fundamental isostático, figura 31, y aplicando las ecuaciones de la estática, se expresan los momentos en las secciones donde existe posibilidad de formación de rótulas plásticas.
2P 3P 2
3
4
X B
1 Y B
Figura 31 : Fundamental isostático para aplicar las ecuaciones de la estática Convenio de signos: M > 0 de tracción en las fibras internas del pórtico (a) (b) ( c) (d )
M 4 = − X B 2 L M 3 = − X B 2 L + Y B L M 2 = − X B 2 L + Y B L − 2 P L
(55)
M 1 = Y B 2 L − 2 P L − 3 P 2 L
Se recuerda el concepto de esfuerzos internos: para calcular los momentos a partir de las fuerzas que quedan hacia un lado de la sección considerada es necesario que exista equilibrio. Luego, las ecuaciones (55) expresan condiciones necesarias de equilibrio. A partir de las ecuaciones (55) se eliminan las incógnitas hiperestáticas y se obtiene un sistema de ecuaciones que vincula la carga P con los momentos. Esto será siempre posible porque por lo menos se tendrá G+1 posibles rótulas plásticas y existen G incógnitas hiperestáticas. En este ejemplo de ( a) y (b) se despejan las incógnitas X B, Y B, y se reemplazan en (c) y (d ), resultando (e) 2 P L = − M 2 + 2 M 3 − M 4 ( f ) 8 P L = − M 1 + 2 M 3 − 2 M 4 Ahora se proponen mecanismos de colapso
(56)
26
Oscar Möller
Mecanismo Nº 1 : mecanismo de viga, figura 32 (57)
− M 2 = M 3 = − M 4 = M P
2
4 En la forma del mecanismo se observa que M 2 , M 4 < 0 y M 3 > 0
3
Figura 32 : Mecanismo de viga Reemplazando en el sistema (e), ( f ) se obtiene de (e) 2 P1 L = 4 M P → P1 = de ( f )
2 M P
L 16 M P = − M 1 + 2 M P + 2 M P
(58) → M 1 = −12 M P
Se viola condición plástica, | M 1| > M P, luego, se ha encontrado un límite superior de la carga límite y bastante malo.
Mecanismo Nº 2 : mecanismo lateral o de panel, figura 33 (59)
− M 1 = M 2 = − M 4 = M P
4 2 En la forma del mecanismo se observa que M 1 , M 4 < 0 y M 2 > 0
1
Figura 33 : Mecanismo de panel Reemplazando en el sistema (e), ( f ) se elimina M 3 que es incógnita, y resulta 6 P2 L = − M 1 + M 2 − M 4 → P2 =
M P
2 L
de (e) M P = − M P + 2 M 3 + M P → M 3 =
M P
2
(60)
CÁLCULO PLÁSTICO
27
Luego, es el mecanismo correcto porque no se viola la condición de plasticidad | M 3| < M P. Resulta: P L =
M P
(61)
2 L
Mecanismo Nº 3 : mecanismo general, figura 34. Se analiza a título de ejemplo − M 1 = M 3 = − M 4 = M P
(62)
4 3
En la forma del mecanismo se observa que M 1 , M 4 < 0 y M 3 > 0
1
Figura 34 : Mecanismo general Reemplazando en el sistema ( e), ( f ) se obtiene de ( f ) 8 P3 L = 5 M P → P3 =
5 M P 8 L
5 M P 7 M P de (e) = − M 2 + 2 M P + M P → M 2 = 4 4
(63)
Se viola condición plástica, | M 2| > M P, luego, se ha encontrado un límite superior de la carga límite. Si se multiplica por el factor 4 / 7, debido a la linealidad de las ecuaciones de equilibrio, se obtiene: 4 7
− M 1 = M 3 = − M 4 = M P
(63)
Reemplazando en el sistema (e), ( f ) se obtiene 5 M P 20 M P → P3′ = < P L 7 14 L 5 M P 8 M P 4 M P de (e) = − M 2 + + → M 2′ = M P 7 7 7 de ( f ) 8 P3′ L =
(64)
No se viola la condición de plasticidad, y por el teorema del límite inferior se obtiene un valor inferior a la carga buscada.
28
Oscar Möller
b) Aplicación del método cinemático
Se propone un mecanismo de colapso que se pone en evidencia introduciendo rótulas plásticas en correspondencia con las secciones plastificadas y restableciendo el equilibrio mediante la aplicación de momentos plásticos como cuplas externas. Se define así una cadena cinemática de un grado de libertad sobre la cual se aplica el Principio de los Trabajos Virtuales para el rígido parcialmente vinculado, y se obtiene el valor de la carga externa de referencia. Aplicando ecuaciones de la estática se verifica si se viola o no la condición de plasticidad. De cumplirse que en todas las secciones | M | ≤ M P, se ha encontrado la carga límite buscada. Se analiza como ejemplo el Mecanismo Nº 2, que es el mecanismo de panel. La cadena cinemática en equilibrio se muestra en la figura 35 C 2 → ∞
2P C 1−2
M P
M P
Diagrama de elaciones de la chapa 2
C 2−3
3P 2
M P
θ
M P
3
1
Diagrama de elaciones de las chapas 1 y 3 θ
M P
C 3
C 1
Figura 35: Cadena cinemática para el mecanismo de panel Aplicando el PTV resulta T = 3 P θ 2 L − 3 M P θ = 0
→
P=
M P
2 L
(65)
Se debe verificar si M3 viola la condición de plasticidad de
4
∑ M = 0
s
→ H B =
M P
2 L
2 P L + 3 P 2 L − M P 3 M P = 2 L 2 L M M P 3 M P luego M 3 = V B L − H B 2 L = L − P 2 L = < M P 2 L 2 L 2 Resulta entonces: de
∑ M 1 = 0
→ V B =
(66)
CÁLCULO PLÁSTICO
P L =
M P
29
(67)
2 L
El diagrama de momentos flectores en el instante del colapso se muestra en la figura 36 M P M P
M P M P
2
M P
Figura 36: Diagrama de momentos flectores en el colapso Observación: Los métodos descriptos, que consisten en analizar sucesivamente diferentes mecanismos de colapso, resultan inaplicables cuando la estructura tiene un elevado grado de hiperestaticidad. Para esos casos existen métodos más generales de análisis no lineal implementados en programas computacionales.
30
8. 8.1
Oscar Möller
COMPLEMENTOS Colapso parcial
Puede ocurrir que en una estructura se produzca el colapso solo de un sector de la misma. En ese caso el mecanismo de colapso se forma con menos de G+1 rótulas plásticas, recordando que G es el grado de hiperestaticidad. Cuando se propone un mecanismo de colapso parcial, la carga correspondiente se podrá calcular aplicando condiciones de equilibrio, pero para verificar si no se viola la condición de plasticidad será necesario analizar el resto de la estructura que aún es hiperestática. Como ejemplo se muestra en la figura 37 el pórtico empotrado – empotrado, donde el mecanismo de colapso parcial tiene rótulas en las secciones 2, 3, 4. 3P P
3
2
4 L
M P = cte
5
1 1.5 L
1.5 L
Figura 37 : Mecanismo de colapso parcial de viga Para verificar que el mecanismo parcial de viga no se viole la condición de plasticidad se debe analizar el hiperestático mostrado en la figura 38. Resulta: P=
M 4 M P = 0.89 P L 4.5 L
(68)
La incógnita V se puede calcular tomando momentos con respecto a 2 y 4. Para calcular X es necesario plantear la condición de compatibilidad δ x = 0. M P
M P
M P
P
M P
3P M P
X V
V
Figura 38 : Hiperestático a resolver para el colapso parcial de viga
M P
CÁLCULO PLÁSTICO
8.2
31
Sobrecolapso
Se produce sobrecolapso cuando el mecanismo de colapso presenta la formación de más de G+1 rótulas plásticas, como ocurre por ejemplo en los casos de estructuras simétricas. Como ejemplo se muestra en la figura 39 una viga continua simétrica de dos tramos, con dos cargas concentradas también simétricas. Con cargas crecientes, se forma primero la rótula en C y luego simultáneamente en B y D. La viga tiene grado de hiperestaticidad G = 1, luego es necesario que se formen G+1 = 2 rótulas plásticas para constituir un mecanismo. Se forman 3 rótulas plásticas mayor que G+1. P
B
A
P
D
C
E
Figura 39 : Viga continua con sobrecolapso
8.3
Cargas repartidas
Cuando existen cargas repartidas es difícil prever la ubicación de la rótula plástica en el tramo de la barra. El problema se puede resolver en forma exacta planteando analíticamente la condición que el momento máximo de tramo coincida con el momento plástico. En la práctica se utilizan cargas concentradas estáticamente equivalentes que producen un diagrama de momentos circunscripto al del sistema original, obteniéndose resultados suficientemente aproximados y del lado de la seguridad. En la figura 40(a) se presenta como ejemplo una viga empotrada – apoyada con carga uniforme. El diagrama de momentos en el periodo elástico es el de la figura 40(b), luego la primera rótula plástica se formará en el apoyo. q
(a)
L 2
q L
8 2
(b)
q L
14.2 q
M P
(c) A
x
B
Figura 40 : Viga empotrada – apoyada con carga repartida La situación en el periodo elasto-plástico se muestra en la figura 40(c). Para encontrar la carga límite se plantean las siguientes ecuaciones
32
Oscar Möller
R B =
q L L M P
−
2
L Qr = R B − q L xr = 0
→ incógnitas R B , q L , x r
(69)
2
M P = R B xr −
q L xr
2
La solución del sistema de ecuaciones (69) conduce a una ecuación de segundo grado en xr , y se obtiene xr = 0.414 L
→ q L = 11.67
M P
(70)
2
L
Utilizando cargas concentradas estáticamente equivalentes, como se muestra en la figura 41, se obtienen los siguientes resultados: q L
q L
2
2
L / 4
L / 6
L / 2
L / 4
q L
q L
q L
3
3
3 L / 6
L / 3
L / 3
q L = 10.0
M P
q L = 10.8
M P
2
L
2
L
, ε r = 14%
, ε r = 7.5%
Figura 41 : Carga límite con diferentes aproximaciones
8.4
Verificación y diseño
En resumen en el cálculo plástico de estructuras se obtiene la relación entre la carga límite y el momento plástico de referencia P L = f ( M P )
(71)
Problema de verificación: el momento plástico será dato y luego de calculada la carga límite que debe verificar la condición dada por la ec.(16):
φ P L ≥ Pu =
∑ γ
i
Pi
(16)
i
Problema de dimensionamiento: de la ec.(16) se obtiene la carga límite P L necesaria, y con la inversa de la ec.(71) se calcula el momento plástico de referencia que deben tener las secciones críticas.
Se observa que en el problema de dimensionamiento, la solución obtenida depende de la relación elegida para los momentos plásticos de cada barra. Se han desarrollado métodos que permiten obtener, para un estado de carga dado, la estructura de peso mínimo.
33
CÁLCULO PLÁSTICO
9. 9.1
FACTORES QUE INFLUYEN EN EL VALOR DE LA CARGA LÍMITE Factores que influyen en el valor de M P
a) Esfuerzo normal
Se considera el caso de un perfil doble T. Para solicitación de flexión pura el diagrama de tensiones es el presentado en la figura 42(a), y para el caso de flexión compuesta, en la figura 42(b). F F = b t
σ f
F S = d h h
M P
(a)
d t
σ f
b
σ f
σ f σ f
M PN
λ h
N
σ f
(b)
σ f Resultante M PN
Resultante N
Figura 42: Perfil doble T. (a) Flexión pura; (b) Flexión compuesta
El momento plástico para flexión pura es M P = σ f Z = σ f F F h (1 +
ρ
4
) donde ρ =
F S F F
(72)
Para flexión compuesta se consideran dos casos 1) λ h ≤ h – t (λ h) 2 M PN = M P − σ f d 4 M PN M P
Además se tiene
λ 2 h 2 d λ 2 ρ = 1− = 1− ρ 4 + ρ 4 F F h (1 + )
4
(73)
34
Oscar Möller
N = σ f d λ h , N f = σ f N N f
λ F S
=
F F
( 2 + ρ )
=
( 2 F F + F S )
(74)
λ ρ
2 + ρ
Donde N f es el máximo esfuerzo normal que puede absorber la sección. Se despeja λ de la ec.(74) y se reemplaza en la última de (73), resultando 2
⎛ N ⎞ M PN ⎟ = 1 , donde k S = 2 + ρ + k S ⎜ ⎜ N f ⎟ ρ (4 + ρ ) M P ⎝ ⎠
(75)
2) λ h > h – t N ≅ σ f (F S + 2 (1 − ξ ) F F ) = σ f F F (2 − 2 ξ + ρ ) N N f
=
(76)
2 − 2 ξ + ρ 2 + ρ N (1 − ) → ξ = 2 + ρ 2 N f
Además se obtiene M PN ≅ σ f ξ F F h M PN M P
ξ = ρ
=
1+
4
2 + ρ 2+
ρ
(1 −
2
N N f
(77)
)
A partir de (77) resulta k F
M PN M P
+
N N f
2+ = 1 , donde k F =
ρ
2
(78)
2 + ρ
Las ecuaciones (75) y (78) definen la denominada curva de interacción que se muestra en la figura 43. El empalme entre (75) y (78) ocurre para ξ = 1 en donde N / N f = ρ / (2+ ρ ), es decir para valores elevados de N / N f . M PN
1
M P
N N f
2
1
2 + ρ Figura 43: Curva de interacción
CÁLCULO PLÁSTICO
35
En una situación de verificación, la estructura es dato y se requiere calcular la carga límite P L. Se inicia con M P sin considerar flexión compuesta y se calcula P L y N con los métodos ya conocidos. Luego, con N / N f se obtiene M PN / M P de la curva de interacción. Con el momento plástico reducido por el esfuerzo normal M PN se calculan nuevos valores de P L y N . Este proceso iterativo se continúa hasta la convergencia en el valor de P L. En una situación de dimensionamiento se tiene como dato P L y se requiere elegir los perfiles que conforman la estructura, para una determinada relación prefijada entre los M PN de las barras. En forma directa se obtiene el momento plástico necesario M PN = f (P L) y el esfuerzo normal actuante N . Se elige un perfil, para el cual se tiene M P y N f . Para la relación N / N f , de la curva de interacción se determina M PN / M P que corresponde al perfil elegido, de donde se despeja M PN del perfil elegido. Si M PN del perfil elegido es mayor o igual que el M PN necesario, se está en buenas condiciones de resistencia. En caso contrario se debe elegir otro perfil y repetir el proceso descrito. b) Esfuerzo de corte
En forma similar al esfuerzo normal, el esfuerzo de corte produce una disminución del momento plástico que puede absorber la sección. Los detalles de las expresiones que permiten evaluar el momento plástico reducido por el esfuerzo de corte se pueden consultar en la bibliografía.
9.2
Fenómeno de inestabilidad
En el cálculo plástico de estructuras metálicas se deben tener en cuenta distintos fenómenos de inestabilidad para poder asegurar que la carga límite calculada pueda alcanzarse. Pandeo local de alas o almas solicitadas a compresión: se establecen relaciones mínimas entre espesor y ancho de ala, o entre espesor y altura del alma.
Pandeo lateral de vigas: se establecen longitudes máximas posibles no arriostradas.
Pandeo de columnas: se establecen curvas de interacción, como la mostrada en la figura 42, para el efecto directo del esfuerzo normal. Estas curvas se construyen para diferentes grados de esbeltez de la columna λ = l / i , y la curva que considera el efecto directo del esfuerzo normal, sin el efecto de la flexión adicional por efectos de segundo orden, es un caso particular que puede utilizarse solo para valores de carga y esbeltez por debajo de ciertos límites.
Pandeo global de la estructura: su consideración impone condiciones de arriostramiento a la estructura o limitación del número de pisos.
36
Oscar Möller
9.3 Efecto del tipo de puesta en carga sobre el colapso de la estructura. Inestabilidad de la deformación Con la hipótesis de “puesta en carga proporcional”, la estructura alcanza el colapso total por formación de un número suficiente de rótulas plásticas que la transforman en un mecanismo, y se calcula el denominado “estado de carga límite”. Si ahora se considera que las cargas actúan en forma independiente, variando cada una dentro de un intervalo y en forma cíclica o repetitiva, puede producirse la falla de la estructura por acumulación indefinida de deformaciones plásticas, sin que se haya alcanzado en los límites del intervalo el valor correspondiente al “estado de carga límite” de la “puesta en carga proporcional”.
CÁLCULO PLÁSTICO
37
10. ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO El cálculo plástico de estructuras de hormigón armado presenta diferencias importantes con respecto a las estructuras metálicas, las cuales se señalan brevemente a continuación
10.1
Relación momento curvatura
El estado límite de una sección de hormigón armado se alcanza cuando la deformación a compresión del hormigón es ε cu = 0.003, que es muy inferior a la deformación del acero en un perfil metálico. Se entiende por sección subarmada aquella en la que, al crecer las cargas, se alcanza primero la fluencia en la armadura antes que el hormigón llegue a su deformación de rotura por compresión. En este tipo de secciones, una vez alcanzada la fluencia de la armadura, el momento flector resistente prácticamente se mantiene constante hasta que la sección falla por aplastamiento del hormigón. Se trata de una sección “controlada por tracción” según la terminología actual. En la figura 44 se ilustran las tensiones en una sección con armadura en fluencia y la evolución del diagrama momento curvatura. El momento resistente M = T z irá aumentando debido al mayor brazo de palanca por disminución de la profundidad del eje neutro, pero contrarrestado porque la forma del diagrama de tensiones en el hormigón tiende a un rectángulo. ε cu = 0.003
f c′
β c C = α f c′ b c
c h
d
z = d − β c As
f s
ε s
T = As f s
b
M M n
A′
M y
B : ε c = ε cu A : ε s = ε y
M cr
φ
O
φ y
φ u
Figura 44 : Tensiones en una sección y diagrama momento curvatura
38
Oscar Möller
Se admite que M y ≈ M n = M P, luego se aproxima el diagrama OAB por el idealizado OA’B. Este diagrama da lugar al concepto de rótula plástica. Para una sección “balanceada”, es decir en la que la armadura alcanza la deformación de fluencia cuando simultáneamente el hormigón llega a su deformación de rotura, ocurre que φ y = φ u, entonces no hay capacidad de rotación plástica. Resulta entonces que la capacidad de rotación es función de la cuantía de armadura, decreciendo a medida que aumenta la cuantía. Se introduce el concepto de rótula de rotura, que es una rótula plástica en la que se ha alcanzado la curvatura de rotura φ u. En consecuencia, la falla de una estructura de hormigón armado se puede alcanzar por la formación de un mecanismo general con el número necesario de rótulas plásticas, o en forma localizada por la aparición de la primera rótula de rotura.
10.2
Mecanismos de colapso – Resistencia nominal
En una estructura de hormigón armado se puede elegir arbitrariamente la posición de las rótulas plásticas, o su orden de formación, debido a que siempre se puede calcular la armadura para que el colapso se produzca en la forma deseada. Se considera la viga continua de la figura 45 bajo las cargas mayoradas qu. En las secciones de máximo momento de tramo y las secciones de apoyo se calcula la armadura a partir de los momentos obtenidos del análisis elástico qu A
B
Le
C
L
D
Le
M B 2
qu Le
qu L
2
qu Le
8
8
2
8
M tr
Figura 45: Viga continua y diagrama de momentos en régimen elástico Por equilibrio en el tramo central se cumple 2
M B + M tr =
qu L
(79)
8
Las armaduras en cada sección se calculan con qu =
∑ γ
i
Pi
→ M u
i
en cada sección j : M n j =
M u j
φ
→ As j =
M n j z j f y
(80)
39
CÁLCULO PLÁSTICO
Luego, la ec.(79) se escribe 2
φ M n ap + φ M n tr =
qu L
(81)
8
En la nomenclatura de hormigón armado γ i son los factores de mayoración de las cargas nominales Pi, φ es el factor de minoración de resistencia, M nj el momento nominal necesario para la sección j, z j su brazo de palanca interno y f y la tensión de fluencia del acero. Con la nomenclatura del cálculo plástico es M P = M n =
M u
(82)
φ
Se supone ahora que las cargas aumentan desde cero, y aceptando que el diagrama momento curvatura en cada sección es OA’B como en la figura 44, cuando se llega al valor de qu, se alcanza simultáneamente el momento plástico en los apoyos y en las secciones de momento máximo de tramo, es decir se produce la formación simultánea de las rótulas necesarias para constituir el mecanismo de colapso que se muestra en la figura 46, luego la carga límite es q L =
A
qu
(83)
φ
B
C
D
Figura 46: Mecanismo de colapso en la viga continua Variante Si en lugar del diagrama de momentos calculado en régimen elástico, se propone arbitrariamente otro que consiste en disminuir los momentos de apoyo y aumentar los de tramo, pero de modo tal que se verifique equilibrio como se muestra en la figura 47. Se demuestra que la carga que produce la formación del mecanismo, es decir la carga límite, sigue siendo la carga mayorada de cálculo. M B′ qu Le
2
qu L
2
8
8
qu Le
2
8
′ M tr
Figura 47 : Diagrama de momentos en equilibrio Para el tramo central se cumple ′ = M B′ + M tr
2
qu L
8
(84)
40
Oscar Möller
A partir de los momentos redistribuidos M’ se calculan las armaduras en cada sección utilizando las mismas expresiones (80). Sin embargo, cuando se aplican las cargas en forma creciente, el diagrama de momentos que se produce es el correspondiente al régimen elástico hasta que para una fracción de la carga de cálculo k qu, con k < 1, se alcanza el momento nominal resistente (momento plástico) en los apoyos B y C: M n ap. M P ap = M n ap =
M B′
(85)
φ
Para este valor de la carga se han formado rótulas plásticas en los apoyos. Luego, para cargas crecientes, los momentos de apoyo permanecen constantes igual al momento plástico y solo puede incrementarse los momentos de tramo, debiéndose cumplir equilibrio que para el tramo central es φ M n ap + M tr =
2
q L
, donde k qu < q < qu
8
(86)
Cuando en las secciones de los tramos se alcance el correspondiente momento nominal resistente (momento plástico), se habrá producido el mecanismo de colapso con el diagrama de momentos mostrado en la figura 48 φ M n ap qu Le
2
qu L
2
8
8 φ M n tr ext
φ M n ap qu Le
2
8 φ M n tr ext
φ M n tr
Figura 48: Diagrama de momentos en el colapso Para el tramo central, por equilibrio resulta 2
φ M n ap + φ M n tr =
qu L
8
(87)
Similarmente para los tramos extremos. La ec.(87) es formalmente igual a la ec.(81), siendo diferentes los valores de los sumandos del miembro izquierdo, pero resultando en la misma carga qu debido a que las armaduras de cada sección se calcularon a partir de la condición de equilibrio (84).
Conclusión La carga límite vale en ambos casos q L = qu / φ (83) con la diferencia que en el segundo caso (variante) primero se forman las rótulas en los apoyos y luego en los tramos. 10.3
Capacidad de rotación de las rótulas plásticas
En el periodo elasto plástico, es decir desde que se forman las rótulas plásticas en los apoyos y hasta que se alcanza el mecanismo de colapso por formación de las rótulas plásticas en los
CÁLCULO PLÁSTICO
41
tramos, las rótulas de los apoyos experimentan giros plásticos. Se debe verificar que no se agote la capacidad de rotación y se produzca una rótula de rotura como se describió en 10.1. Se pueden utilizar las ecuaciones propuestas por Baker que son las conocidas ecuaciones de superposición utilizadas en el método de las fuerzas δ i = δ i 0 +
n
∑ δ
ij
X j ≤ δ i rotura
(88)
j =1
siendo X j los momentos plásticos de los apoyos, la ecuación ya no expresa una condición de compatibilidad sino que permite calcular la rotación relativa δ i. La rotación de rotura se calcula con δ i rotura = φ u l p
(89)
Donde φ u es la curvatura última y l p la longitud plastificada o longitud de rótula plástica, cuyo valor se puede encontrar en la bibliografía específica de hormigón armado. Sino se cumple la condición (88) se deberá disminuir δ i modificando el valor de los momentos X j. Los reglamentos actuales de dimensionamiento de elementos de hormigón armado permiten no verificar la capacidad de rotación de las rótulas plásticas si la reducción del momento de apoyo no es mayor a ∆ M = 1000 ε s (%) ≤ 20 %
(90)
siendo ε s la deformación de la armadura traccionada en el plano límite. Para poder utilizar la redistribución debe ser ε s ≥ 0.0075, para garantizar una ductilidad mínima, y el límite del 20% se debe a la ductilidad máxima que puede desarrollar sin la disposición de armaduras especiales de confinamiento del hormigón.
