FAE – FACULDADE DAS ÁGUAS EMENDADAS PLANALTINA - DF
I Lista de Exercícios de Cálculo II – 4.o Semestre Prof. Ismael Lins
Quando necessário, utilizar as regras de derivação ′= Regra da constante Regra da soma: f + g ′ = f ′ + . ′= ′ + Regra do Produto:
′ g′ ′ ′ ′ = − ′ ( ≠ 0) Regra do quociente 2
1. Definição de derivada: a. Demonstrar pela definição que b. Demonstrar pela definição que
′ =cos x cos′ x = −
2. Aplique a regra do quociente às relações
= = 1
para provar as fórmulas de derivação: ′ = sec 2 , a) ′ = sec x b) ′ = c) 2 ′ = d)
sec x =
1
1 =
− −
3. Calcule f’(x) sendo f(x) igual a:
b) () + c o s ( ) c) + d) 2 cos e) ()cos(s) f) 3sec g)
a) 3
h) i)
2 cos
+1 j) 2 − k) 1+ l) 2 m) sec
′ () para cada cada valor de dado = cos para = 0
4. Encontre a)
2 + 2
′ = para = c) = para =
b)
2
2
5. Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no ponto dado a) = sec , no ponto ( , 2)
b) = + , c) = 2,
3
no ponto (0,1) no ponto
, 2
Lembre-se que a equação da reta tangente ao gráfico de ( ) no ponto ( , ( )) tem equação reduzida ( ) = ′ =
−− = ′ − + ()
Ou simplesmente
′ () é seu coeficiente angular.
onde a derivada
6. Que valores de fazem com que o gráfico de uma reta tangente horizontal?
= + 2 tenha
7. Movimento Harmônico Simples. Um bloco preso a uma mola desliza horizontalmente sobre uma superfície plana sem atrito. A equação do movimento é =8 ( ) sendo dado em segundos e em centímetros. a) Encontre a velocidade e a aceleração no tempo . b) Encontre a posição , velocidade e a aceleração do bloco no tempo
=
2
. Em que sentido ele está se movendo em cada instante?
3
8. Repita o problema 11, usando
= 2sen ().
Lembre-se que a velocidade ( ) é dada pela derivada em relação a da função espaço ( ) (também chamada de função posição), enquanto que a aceleração ( ) é a derivada da velocidade em relação ao tempo: = ′( ) = ′ = ′′ ( )
Desafios.
9. Uma faixa elástica é pendurada em um gancho e um corpo está preso na extremidade inferior da faixa. Quando o corpo é puxado para baixo e então solto, ele vibra verticalmente. A equação do movimento é =2 +3 , 0 onde é medido em centímetros e , em segundos. (Consideramos o sentido positivo como sendo para baixo). a) Encontre a velocidade e a aceleração no instante . b) Quando o corpo passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez? c) A que distância da posição de equilíbrio o corpo chega? d) Quando a velocidade é máxima?
≥
10. Derivadas de ordem superior. a) Determine as derivadas , , ′′′ , , para um que você descubra um padrão para as derivadas de = cos de acordo com o valor de .
′ ′′ … e ? ?
b) c)
55 Quem é 55 35 Quem é 35
pequeno até = e
1000
1000
11. Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Seja o ângulo entre a ponta superior da escada e a parede e seja a distância entre a ponta inferior da escada e a parede. Se a ponta inferior da escada começar a escorregar em sentido oposto à parede, qual é a taxa de variação de x em relação a quando = ?
3
12. Tente demonstrar pela definição todas as derivadas indicadas na Questão 2.
Sugestões e soluções. 1. Teórica. 2. Teórica. 3. a. 3
b. − c. sec − d. 2− 2 e. cos − f. 32 + 1 g. h. 2⋅ + sec + 2 + 2 2
2
2
2
2
2
2
2 +1 +2 − i. +1 2
− + 2 j. 2− 2 k. 1+ 2 2 − l. 3 2
m. 4. a) 1
– 2
b)
−2/
c) = 2 2
c)
= 2 3 + 3 + 2 b) = + 1 6. 2 + 1 ± para inteiro. (Lembre-se que a reta tangente ao ponto (, ()) é horizontal quando ′ = 0 ) 7. a) = 8 , = −8 b) 4 3, −4, −4 3; à esquerda 2
5. a)
3
1 3
9. a) Basta derivar. b) A posição de equilíbrio ocorre quando = 0 o que implica em 2cos = 3 Então, descubra qual o primeiro positivo que satisfaz a equação acima. c) A distância máxima é simplesmente o valor máximo da função ( ). Use o teste da derivada primeira e encontre os pontos críticos. A distância máxima ou mínima ocorre quando é um ponto crítico. d) Mesmo argumento que acima, só que agora usando a função ( ).
−
10. Teórica.
. Dica: Calcule /, lembrando que = .
11. 3 /
12. Teórica.
6
