INTRODUCCION A LA MINERIA
Calculo del perímetro y área de túneles Introduccin! "i el pro#lema del cálculo de la recta tan$ente lle%o a los matemáticos del si$lo &'II al desarrollo de las t(cnicas de la deri%acin) otro pro#lema) el del cálcul cálculo o del área área encerr encerrada ada por una cur%a) propicio propicio el desarr desarroll ollo o de las t(cnicas de inte$racin* "e trata#a) por e+emplo) de ,allar el área encerrada #a+o la cur%a -./0 entre los puntos a y #!
"e conocían -rmulas para recintos de -orma i$ual a 1$uras $eom(tricas .rectan$ulares) trian$ulares) e incluso al$unas de cur%as especi1cas0) pero si la cur%a no tenía -orma re$ular) no se conocía) en $eneral) su área e/acta* El cálculo inte$ral da respuesta a esta e sta y otras cuestiones*
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Area de #a+o de una cur%a! "i la ecuacin es y23.&0 ) siendo a 42 / 42 # el área de calculara con!
Lon$itud de arco!
Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante en el intervalo
, toma la forma:
, la longitud del arco comprendido
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Calcular el área y perímetro de un túnel
5 678 5
A El túnel está -ormado por una elipse y un rectán$ulo como se muestra en la 1$ura anterior
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9rea del túnel "ea la -uncin de la elipse /67a6 : y67#6 2 ; π
El A 2
∬ dxdy 0
2 #rsen= Entonces el área de la sami elipse se de1ne como π
A2 a#
∫ dФ 0
76
A2 a#?76
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La lon$itud apro/imada para nuestro caso L 2 ?.8.A76 :578 0@
√
(
3 A 2
B A
+ )( + B ) 076 3 2
El perímetro del túnel seria 6578 : A : ?.8.A76 :578 0@
√
(
3 A 2
B
A
+ )( + B ) 076 3 2
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E+emplos aplicados a la túneles en minería su#terránea
5 A 678 5
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