Calculo de Varias Variables - Ron Larson y Bruce Edwards - Novena Edicion

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Cálculo 2

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REVISORES TÉCNICOS MÉXICO José de Jesús Ángel Ángel Universidad Anáhuac Norte Miguel Ángel Arredondo Morales Universidad Iberoamericana León Víctor Armando Bustos Peter Instituto Tecnológico y de Estudio Superiores de Monterrey, Campus Toluca Aureliano Castro Castro Universidad Autónoma de Sinaloa Javier Franco Chacón Tecnológico de Monterrey, Campus Chihuahua Sergio Fuentes Martínez Universidad Anáhuac México Norte Enrique González Acosta Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Sonora Norte Miguel Ángel López Mariño Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Central de Veracruz Eleazar Luna Barraza Universidad Autónoma de Sinaloa Tomás Narciso Ocampo Paz Instituto Tecnológico de Toluca Velia Pérez González Universidad Autónoma de Chihuahua Ignacio Ramírez Vargas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Hidalgo Héctor Selley Universidad Anáhuac Norte Jorge Alberto Torres Guillén Universidad de Guadalajara Enrique Zamora Gallardo Universidad Anáhuac Norte

COLOMBIA Petr Zhevandrov Universidad de La Sabana Jorge Augusto Pérez Alcázar Universidad EAN Liliana Barreto Arciniegas Pontificia Universidad Javeriana Gustavo de J. Castañeda Ramírez Universidad EAFIT Jairo Villegas G. Universidad EAFIT

PERÚ Carlos Enrique Peralta Santa Cruz Universidad Continental de Ciencias e Ingeniería

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Cálculo 2 de varias variables Novena edición

Ron Larson The Pennsylvania State University The Behrend College

Bruce H. Edwards University of Florida

Revisión técnica Marlene Aguilar Abalo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México José Job Flores Godoy Universidad Iberoamericana Joel Ibarra Escutia Instituto Tecnológico de Toluca Linda M. Medina Herrera Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • SÃO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO

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Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martínez Editora de desarrollo: Ana L. Delgado Rodríguez Supervisor de producción: Zeferino García García Traducción: Joel Ibarra Escutia, Ángel Hernández Fernández, Gabriel Nagore Cázares, Sergio Antonio Durán Reyes

CÁLCULO 2 DE VARIAS VARIABLES Novena edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2010, respecto a la novena edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma Núm. 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN 978-970-10-7134-2 Traducido de la novena edición de: Calculus. Copyright © 2010 by Brooks/Cole, a Cengage Learning Company. All rights reserved. ISBN-13: 978-1-4390-3033-2 TI es una marca registrada de Texas Instruments, Inc. Mathematica es una marca registrada de Wolfram Research, Inc. Maple es una marca registrada de Waterloo Maple, Inc. 1234567890

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Impreso en China

Printed in China

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C ontenido Unas palabras de los autores Agradecimientos Características CAPÍTULO 10

Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 10.1 Cónicas y cálculo 10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas PROYECTO DE TRABAJO: Cicloides 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo 10.4 Coordenadas polares y gráficas polares PROYECTO DE TRABAJO: Arte anamórfico 10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares 10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler Ejercicios de repaso SP Solución de problemas

CAPÍTULO 11

Vectores y la geometría del espacio 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5

Vectores en el plano Coordenadas y vectores en el espacio El producto escalar de dos vectores El producto vectorial de dos vectores en el espacio Rectas y planos en el espacio PROYECTO DE TRABAJO: Distancias en el espacio 11.6 Superficies en el espacio 11.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 12

Funciones vectoriales 12.1 Funciones vectoriales PROYECTO DE TRABAJO: Bruja de Agnesi 12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales 12.3 Velocidad y aceleración 12.4 Vectores tangentes y vectores normales 12.5 Longitud de arco y curvatura Ejercicios de repaso SP Solución de problemas

ix x xii

695 696 711 720 721 731 740 741 750 758 761

763 764 775 783 792 800 811 812 822 829 831

833 834 841 842 850 859 869 881 883 v

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vi

Contenido

CAPÍTULO 13

Funciones de varias variables 13.1 13.2 13.3

Introducción a las funciones de varias variables Límites y continuidad Derivadas parciales PROYECTO DE TRABAJO: Franjas de Moiré 13.4 Diferenciales 13.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables 13.6 Derivadas direccionales y gradientes 13.7 Planos tangentes y rectas normales PROYECTO DE TRABAJO: Flora silvestre 13.8 Extremos de funciones de dos variables 13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables PROYECTO DE TRABAJO: Construcción de un oleoducto 13.10 Multiplicadores de Lagrange Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 14

962 969 970 978 981

983

14.1 14.2 14.3 14.4

984 992 1004 1012 1019 1020 1026 1027 1038 1044 1045 1052 1055

Análisis vectorial 15.1 15.2 15.3

Campos vectoriales Integrales de línea Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 15.4 Teorema de Green PROYECTO DE TRABAJO: Funciones hiperbólicas y trigonométricas 15.5 Superficies paramétricas 15.6 Integrales de superficie PROYECTO DE TRABAJO: Hiperboloide de una hoja 15.7 Teorema de la divergencia

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886 898 908 917 918 925 933 945 953 954

Integración múltiple Integrales iteradas y área en el plano Integrales dobles y volumen Cambio de variables: coordenadas polares Centro de masa y momentos de inercia PROYECTO DE TRABAJO: Centro de presión sobre una vela 14.5 Área de una superficie PROYECTO DE TRABAJO: Capilaridad 14.6 Integrales triples y aplicaciones 14.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas PROYECTO DE TRABAJO: Esferas deformadas 14.8 Cambio de variables: jacobianos Ejercicios de repaso SP Solución de problemas

CAPÍTULO 15

885

1057 1058 1069 1083 1093 1101 1102 1112 1123 1124

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Contenido

15.8 Teorema de Stokes Ejercicios de repaso PROYECTO DE TRABAJO: El planímetro SP Solución de problemas

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vii

1132 1138 1140 1141

Apéndice A

Demostración de teoremas seleccionados

A-2

Apéndice B

Tablas de integración

A-4

Soluciones de los ejercicios impares Índice analítico

A-9 I-57

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U nas palabras de los autores ¡Bienvenido a la novena edición de Cálculo! Nos enorgullece ofrecerle una nueva versión revisada de nuestro libro de texto. Mucho ha cambiado desde que escribimos la primera edición hace más de 35 años. En cada edición los hemos escuchado a ustedes, esto es, nuestros usuarios, y hemos incorporado muchas de sus sugerencias para mejorar el libro. A lo largo de los años, nuestro objetivo ha sido siempre escribir con precisión y de manera legible conceptos fundamentales del cálculo, claramente definidos y demostrados. Al escribir para estudiantes, nos hemos esforzado en ofrecer características y materiales que desarrollen las habilidades de todos los tipos de estudiantes. En cuanto a los profesores, nos enfocamos en proporcionar un instrumento de enseñanza amplio que emplea técnicas pedagógicas probadas, y les damos libertad para que usen en forma más eficiente el tiempo en el salón de clase. También hemos agregado en esta edición una nueva característica denominada ejercicios Para discusión. Estos problemas conceptuales sintetizan los aspectos clave y proporcionan a los estudiantes mejor comprensión de cada uno de los conceptos de sección. Los ejercicios Para discusión son excelentes para esa actividad en el salón de clase o en la preparación de exámenes, y a los profesores puede resultarles valioso integrar estos problemas dentro de su repaso de la sección. Éstas y otras nuevas características se unen a nuestra pedagogía probada en el tiempo, con la meta de permitir a los estudiantes y profesores hacer el mejor uso del libro. Esperamos que disfrute la novena edición de Cálculo. Como siempre, serán bienvenidos los comentarios y sugerencias para continuar mejorando la obra.

Ron Larson

Bruce H. Edwards

ix

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A gradecimientos Nos gustaría dar las gracias a muchas personas que nos ayudaron en varias etapas de este proyecto a lo largo de los últimos 35 años. Su estímulo, críticas y sugerencias han sido invaluables.

Revisores de la novena edición Ray Cannon, Baylor University Sadeq Elbaneh, Buffalo State College J. Fasteen, Portland State University Audrey Gillant, Binghamton University Sudhir Goel, Valdosta State University Marcia Kemen, Wentworth Institute of Technology Ibrahima Khalil Kaba, Embry Riddle Aeronautical University Jean-Baptiste Meilhan, University of California Riverside Catherine Moushon, Elgin Community College Charles Odion, Houston Community College Greg Oman, The Ohio State University Dennis Pence, Western Michigan University Jonathan Prewett, University of Wyoming Lori Dunlop Pyle, University of Central Florida Aaron Robertson, Colgate University Matthew D. Sosa, The Pennsylvania State University William T. Trotter, Georgia Institute of Technology Dr. Draga Vidakovic, Georgia State University Jay Wiestling, Palomar College Jianping Zhu, University of Texas at Arlington

Miembros del Comité de Asesores de la novena edición Jim Braselton, Georgia Southern University; Sien Deng, Northern Illinois University; Dimitar Grantcharov, University of Texas, Arlington; Dale Hughes, Johnson County Community College; Dr. Philippe B. Laval, Kennesaw State University; Kouok Law, Georgia Perimeter College, Clarkson Campus; Mara D. Neusel, Texas Tech University; Charlotte Newsom, Tidewater Community College, Virginia Beach Campus; Donald W. Orr, Miami Dade College, Kendall Campus; Jude Socrates, Pasadena City College; Betty Travis, University of Texas at San Antonio; Kuppalapalle Vajravelu, University of Central Florida

Revisores de ediciones anteriores Stan Adamski, Owens Community College; Alexander Arhangelskii, Ohio University; Seth G. Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; Marcelle Bessman, Jacksonville University; Linda A. Bolte, Eastern Washington University; James Braselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College; Tim Chappell, Penn Valley Community College; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg Area Community College; Julie M. Clark, Hollins University; P.S. Crooke, Vanderbilt University; x

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Agradecimientos

xi

Jim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusetts at Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of La Verne; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University; Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia; Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Ashok Kumar, Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Douglas B. Meade, University of South Carolina; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Narayan, Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; Terence H. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Leland E. Rogers, Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A. Silver, Mercer County Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College; Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas at Arlington; Patrick Ward, Illinois Central College; Diane Zych, Erie Community College

Muchas gracias a Robert Hostetler, de The Behrend College, en The Pennsylvania State University, y a David Heyd, de la misma institución, por sus importantes contribuciones a las ediciones previas de este texto. Una nota especial de agradecimiento a los profesores que respondieron nuestra encuesta y a los más de dos millones de estudiantes que han usado las ediciones anteriores de la obra. También quisiéramos agradecer al personal de Larson Texts, Inc., que apoyó en la preparación del manuscrito, realizó el diseño editorial, levantó la tipografía y leyó las pruebas de las páginas y suplementos en la edición en inglés. En el ámbito personal, estamos agradecidos con nuestras esposas, Deanna Gilbert Larson y Consuelo Edwards, por su amor, paciencia y apoyo. Además, una nota especial de gratitud para R. Scott O’Neil. Si usted tiene sugerencias para mejorar este texto, por favor siéntanse con la libertad de escribirnos. A lo largo de los años hemos recibido muchos comentarios útiles tanto de los profesores como de los estudiantes, y los valoramos sobremanera. Ron Larson Bruce H. Edwards

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C aracterísticas Herramientas pedagógicas PARA DISCUSIÓN

Para discusión 72.

¡NUEVO! Los ejercicios para discusión que aparecen ahora en cada sección sintetizan los conceptos principales de cada una y muestran a los estudiantes cómo se relacionan los temas. A menudo constituyen problemas de varias partes que contienen aspectos conceptuales y no computacionales, y que pueden utilizarse en discusiones de clase o en la preparación de exámenes.

y

f

B C A

D

E x

a) ¿Entre qué par de puntos consecutivos es mayor la razón de cambio promedio de la función? b) ¿La razón de cambio promedio de ƒ entre A y B es mayor o menor que el la razón de cambio instantáneo en B? c) Trazar una recta tangente a la gráfica entre los puntos C y D cuya pendiente sea igual a la razón de cambio promedio de la función entre C y D.

Desarrollo de conceptos 11.

Utilizar la gráfica para responder a las siguientes preguntas.

Considerar la longitud de la gráfica de f(x) 5/x, desde (1, 5) hasta (5, 1): y

y

(1, 5)

(1, 5) 5

5

4

4

DESARROLLO DE CONCEPTOS

3

3 2

(5, 1)

2

(5, 1)

1

1

x

x 1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

a)

Estimar la longitud de la curva mediante el cálculo de la distancia entre sus extremos, como se muestra en la primera figura. b) Estimar la longitud de la curva mediante el cálculo de las longitudes de los cuatro segmentos de recta, como se muestra en la segunda figura. c) Describir cómo se podría continuar con este proceso a fin de obtener una aproximación más exacta de la longitud de la curva.

Los ejercicios de desarrollo de conceptos son preguntas diseñadas para evaluar la comprensión de los estudiantes en torno a los conceptos básicos de cada sección. Estos ejercicios animan a los estudiantes a verbalizar y escribir respuestas, lo que promueve habilidades de comunicación técnica que serán invaluables en sus futuras carreras.

AYUDAS DE ESTUDIO

Las ayudas de estudio distinguen errores comunes, indican casos especiales que pueden provocar confusión, y amplían a conceptos importantes. Estas ayudas proporcionan a los estudiantes información puntual, similar a los comentarios del profesor en clase.

EJEMPLO 1

Levantamiento de un objeto

Determinar el trabajo realizado al levantar un objeto de 50 libras a 4 pies. Solución La magnitud de la fuerza requerida F es el peso del objeto, como se muestra en la figura 7.48. Así, el trabajo realizado al levantar el objeto 4 pies es

W FD Trabajo (fuerza)(distancia). 50S4D Fuerza 50 libras, distancia 4 pies. 200 libras-pies.

AYUDA DE ESTUDIO Cuando se use la definición para encontrar la derivada de una función, la clave consiste en volver a expresar el cociente incremental (o cociente de diferencias), de manera que $x no aparezca como factor del denominador. AYUDA DE ESTUDIO El ejemplo 3 también se puede resolver sin hacer uso de la regla de la cadena, si se observa que

y x6 3x4 3x2 1 AYUDA DE ESTUDIO Tener en cuenta que se puede comprobar la respuesta de un problema de integración al derivar la C l j l 7

EJEMPLOS

A lo largo del texto, se trabajan ejemplos paso a paso, que muestran los procedimientos y técnicas para resolver problemas, y dan a los estudiantes una comprensión amplia de los conceptos del cálculo.

xii

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Características

xiii

EJERCICIOS

La práctica hace al maestro. Los ejercicios son con frecuencia el primer lugar que consultan los estudiantes en un libro de texto. Los autores han dedicado mucho tiempo analizándolos y revisándolos; el resultado es un completo y sólido conjunto de ejercicios de diferentes tipos y niveles de dificultad al final de cada sección para considerar todos los estilos de aprendizaje de los estudiantes.

4.3

Ejercicios

En los ejercicios 1 y 2, utilizar el ejemplo 1 como modelo para evaluar el límite n

lím

O

nm@ i1

En los ejercicios 13 a 22, formular una integral definida que produce el área de la región. (No evaluar la integral.) 13.

f Xci C $xi

f x 5

14.

f x 6 3x

y

y

5

sobre la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones.

6 5 4 3 2 1

4

1.

f SxD x,

y 0,

x 0,

x3

3

63.2

(Sugerencia: Sea ci 3i 2Yn 2.) 2.

3 f SxD x,

y 0,

x 0, 3

3

(Sugerencia: Sea ci i n .) En los ejercicios 3 a 8, evaluar la integral definida mediante la definición de límite. 15.

6

3.

4.

4

x3 dx

6.

1

7.

4x2 dx

1

2

1

x2

1 dx

8.

1

\\

64. Promedio de ventas Unay compañía ajusta un modelo a los datos y de ventas mensuales de un producto de temporada. El modelo es 8 4 Pt t 3 0 b t b 24 , SSt6D 1.8 0.5 sen 4 6 4 2 donde S son las ventas (en miles) y t es el tiempo en meses. 2 1

x dx

2

1

5.

3

8 dx

2

Ciclo respiratorio El volumen V en litros de aire en los pulmones durante un ciclo respiratorio de cinco segundos se aproxima x x 2 3 2 1 1 2 3 4 5 mediante 1 2 3 4 el5 modelo V 0.1729t 0.1522t 0.0374t donde t es el tiempo en segundos. Aproximar el volumen medio de aire en los pulmones16. durante un ciclo. f SxD 4 x f SxD x 2 1

x1

2x2 3 dx 2

a)

Utilizar una herramienta de graficación para representar ƒ(t) 0.5 sen(PtY6) para 0 b t b 24. Emplear la gráfica para explicar por qué el valor medio de ƒ(t) es cero sobre el intervalo. b) Recurrir a una herramienta de graficación para representar S(t) y la recta g(t) tY4 1.8 en la misma ventana de observación. Utilizar la gráfica y el resultado del apartado a) para explicar por qué g recibe el nombre recta de tendencia.

APLICACIONES

“¿Cuándo usaré esto?”, los autores tratan de responder esta pregunta de los estudiantes con ejercicios y ejemplos que se seleccionaron con todo cuidado. Las aplicaciones se toman de diversas fuentes: eventos actuales, datos de trabajo, tendencias industriales, y se relacionan con una amplia gama de intereses. Entender dónde se usa (o puede usarse) el cálculo fomenta una comprensión más completa del material.

318

CAPÍTULO 4

4

Ejercicios de repaso

2.

y

15. Velocidad y aceleración Se lanza una pelota hacia arriba verticalmente desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 96 pies por segundo.

fa

a)

¿Cuánto tardará la pelota en alcanzar su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuándo la velocidad de la pelota es la mitad de la velocidad inicial? c) ¿A qué altura está la pelota cuando su velocidad es la mitad de la velocidad inicial?

x

x

b)

En los ejercicios 3 a 8, encontrar la integral indefinida.

5. 7.

4x2 x 3 dx x4

4.

8 dx x3

6.

2x 9 sen x dx

8.

16. 2 3 3x

x4

dx

4x2 x2

1

dx

5 cos x 2 sec2 x dx

Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial ƒa(x) 6x cuya gráfica pasa por el punto (1, 2).

10.

Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial ƒaa(x) 6(x 1) cuya gráfica pasa por el punto (2, 1) y es tangente a la recta 3x y 5 0 en ese punto.

Campos de pendientes En los ejercicios 11 y 12 se da una ecuación diferencial, un punto y un campo de pendientes. a) Dibujar dos soluciones aproximadas de la ecuación diferencial en el campo de pendiente, una de las cuales pase a través del punto indicado. b) Utilizar la integración para encontrar la solución particular de la ecuación diferencial y utilizar una herramienta de graficación para representar la solución. dy 2x 4, dx

S4, 2D

1 dy x2 2x, S6, 2D dx 2

12.

y

−1

t

0

5

10

15

20

25

30

v1

0

2.5

7

16

29

45

65

0

21

38

51

60

65

18.

d)

30

40

50

60

21

40

62

78

83

a)

Emplear una herramienta de graficación para determinar un modelo de la forma v at3 bt2 ct d para los datos.

3n1 n 1 3n2 n 1

2

SeaFSxD

19.

5

n n 1

2i

20.

x

1

f SxD dx f

1

f 13.

%

1

a)

Utilizar esta fórmula para aproximar el error de la aproximación.

cos x dx. Encontrar

1

%

1

b) Utilizar esta fórmula para aproximar

1

sen t 2 dt.

Utilizar una herramienta de graficación para completar la tabla. 0

1.0

1.5

1.9

2.0

2.1

2.5

3.0

4.0

5.0

1 dx. 1 x2

c) Probar que la aproximación gaussiana de dos puntos es exacta para todos los polinomios de grado 3 o menor.

2

a)

1 3

7.

Arquímedes demostró que el área de un arco parabólico es igual a 2< del producto de la base y la altura (ver la figura).

2

4i 1

i1

20

i 1

2

i1

12

22.

FXxC x

h

FXxC

ii

2

Escribir en notación sigma a) la suma de los primeros diez enteros impares positivos, b) la suma de los cubos de los primeros n enteros positivos y c) 6 10 14 18 · · · 42.

24.

Calcular cada suma para x1 2, x2 1, x3 5, x4 3 y 7

%

x

b)

1

i1

23.

7

La aproximación gaussiana de dos puntos para f es

%

20

i1

−2

%

x

3 . . . n

6.

1 dt, x > 0. t

Encontrar L(1). Encontrar La(x) y La(1). Utilizar una herramienta de graficación para aproximar el valor de x (hasta tres lugares decimales) para el cual L(x) 1. Demostrar que L(x1 x2) L(x1) L(x2) para todos los valores positivos de x1 y x2. x

2.

1 1 1 1 . . . 31 32 33 310 2

%

1

En los ejercicios 17 y 18, utilizar la notación sigma para escribir la suma. 17.

Sea SxD a) b) c)

Reescribir las velocidades en pies por segundo. Usar las capacidades de regresión de una herramienta de graficación para encontrar los modelos cuadráticos para los datos en el apartado a). c) Aproximar la distancia recorrida por cada carro durante los 30 segundos. Explicar la diferencia en las distancias.

20

6

−1

20

5

Solución de problemas x

1.

a) b)

21.

−6

64

SP

En los ejercicios 19 a 22, utilizar las propiedades de las sumas y el teorema 4.2 para calcular las sumas.

y

x

10

0

Modelado matemático La tabla muestra las velocidades (en millas por hora) de dos carros sobre una rampa de acceso a una carretera interestatal. El tiempo t está en segundos.

v2

9.

11.

0

v

Los ejercicios de repaso ubicados al final de cada capítulo proporcionan a los estudiantes más oportunidades para practicar. Estos conjuntos de ejercicios constituyen una revisión completa de los conceptos del capítulo y son un medio excelente para que los estudiantes preparen un examen.

una distancia de 264 pies. Encontrar la distancia en la cual el automóvil puede llegar al reposo a partir de una velocidad de 30 millas por hora, suponiendo la misma desaceleración constante.

y

fa

3.

t

EJERCICIOS DE REPASO

Integración

En los ejercicios 1 y 2, utilizar la gráfica de f para dibujar una gráfica de ƒ. 1.

65. Modelado matemático Se prueba un vehículo experimental en una pista recta. Parte del reposo y su velocidad v (metros por segundo) se registra en la tabla cada 10 segundos durante un minuto.

1 1 sen t 2 dt. Utilizar una FSxD x2 x2 2 herramienta de graficacón para completar la tabla y estimar lím GSxD.

Sea GSxD

xm2

x

1.9

1.95

1.99

2.01

b)

2.1

GXxC c)

c)

Utilizar la definición de la derivada para encontrar el valor exacto del límite lím GSxD. xm2

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

b

a)

En los ejercicios 3 y 4, a) escribir el área bajo la gráfica de la función dada definida sobre el intervalo indicado como un límite. Después b) calcular la suma del apartado a) y c) calcular el límite tili d l lt d d l t d b)

8.

Graficar el arco parabólico delimitado por y 9 x2 y el eje x. Utilizar una integral apropiada para encontrar el área A. Encontrar la base y la altura del arco y verificar la fórmula de Arquímedes. Demostrar la fórmula de Arquímedes para una parábola general.

Galileo Galilei (1564-1642) enunció la siguiente proposición relativa a los objetos en caída libre: El tiempo en cualquier espacio que se recorre por un cuerpo acelerado uniformemente es igual al tiempo en el cual ese mismo espacio se recorrería por el mismo cuerpo movién-

Estos conjuntos de ejercicios al final de cada capítulo prueban las habilidades de los estudiantes con preguntas desafiantes que retan su pensamiento.

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xiv

Características

Cálculos clásicos con relevancia contemporánea TEOREMAS

Los teoremas proporcionan el marco conceptual del cálculo; se enuncian claramente y se distinguen del resto del texto por medio de recuadros para tener una rápida referencia visual. Las demostraciones más importantes muchas veces siguen al teorema, y se proporcionan otras más en un apéndice.

TEOREMA 4.9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si una función ƒ es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una antiderivada de ƒ en el intervalo [a, b], entonces

%

b

f SxD dx FSbD FSaD.

a

DEFINICIONES

Al igual que con los teoremas, las definiciones se enuncian claramente utilizando palabras sencillas y precisas; también se separan del texto mediante recuadros para tener una rápida referencia visual.

DEFINICIÓN DE LONGITUD DE ARCO Sea la función dada por y f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a, b]. La longitud del arco de f entre a y b es

%

b

s

1

F fSxDG 2 dx.

a

Similarmente, para una curva suave dada por x g(y), la longitud de arco de g entre c y d es

%

d

s

1 F gS yDG 2 dy.

c

La regla de L’Hôpital también puede aplicarse a los límites unilaterales, como se demuestra en los ejemplos 6 y 7.

Forma indeterminada 00

EJEMPLO 6

Encontrar lím sen xx. x0

PROCEDIMIENTOS

Solución Porque la sustitución directa produce la forma indeterminada 00, proceder como se muestra abajo. Para empezar, asumir que el límite existe y es igual a y.

y lím sen xx

Los procedimientos aparecen separados del texto para brindar una referencia fácil. Estas líneas proporcionan a los estudiantes instrucciones paso a paso que les ayudarán a resolver problemas de manera rápida y eficiente. NOTAS

Forma indeterminada 00.

x0

ln y ln lím sen x

x

x0

Tomar un logaritmo natural de cada lado.

lím lnsen xx

Continuidad.

lím x lnsen x

Forma indeterminada 0 · (@).

lnsen x lím x0 1x

Forma indeterminada @Y@.

cot x lím x0 1x 2

Regla de L’Hôpital.

x 2 lím x0 tan x

Forma indeterminada 0Y0.

2x lím 0 x0 sec2x

Regla de L’Hôpital.

x0 x0

Las notas proporcionan detalles adicionales acerca de los Ahora, porque ln y 0, concluir que y e 1, y se sigue que teoremas, definiciones y ejemplos. Ofrecen una profundización adicional o generalizaciones importantes que los estulím sen x 1. diantes podrían omitir involuntariamente. Al igual que las ayudas de estudio, NOTA Al aplicar la fórmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la curva se recorra una sola vez en el intervalo de integración. Por ejemplo, el círculo dado por las notas resultan invaluax ⫽ cos t y y ⫽ sen t, recorre una sola vez el intervalo 0 ⱕ t ⱕ 2␲, pero recorre dos veces el interbles para los estudiantes. valo 0 ⱕ t ⱕ 4␲. I 0

x

x0

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xv

Características

Ampliar la experiencia del cálculo ENTRADAS DE CAPÍTULO

Ecuaciones diferenciales

6

Las entradas de capítulo proporcionan motivación inicial para el material que se abordará en el capítulo. Además de los objetivos, en la entrada de cada capítulo un concepto importante se relaciona con una aplicación del mundo real. Esto motiva a los estudiantes a que descubran la relevancia del cálculo en la vida.

En este capítulo se estudiará una de las más importantes aplicaciones del cálculo: las ecuaciones diferenciales. El lector aprenderá nuevos métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, como las homogéneas, lineales de primer orden y de Bernoulli. Posteriormente aplicará esas reglas para resolver ecuaciones diferenciales en problemas de aplicación. En este capítulo, se aprenderá: n Cómo generar un campo de pendientes de una ecuación diferencial y encontrar una solución particular. (6.1) n Cómo usar una función exponencial para modelos de crecimiento y decrecimiento. (6.2) n Como usar el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales. (6.3) n Cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuación diferencial de Bernoulli. (6.4)

EXPLORACIÓN

Converso del teorema 4.4 ¿Es verdadero el converso del teorema 4.4 ? Esto es, si una función es integrable, ¿tiene que ser continua? Explicar el razonamiento y proporcionar ejemplos. Describir las relaciones entre continuidad, derivabilidad e integrabilidad. ¿Cuál es la condición más fuerte? ¿Cuál es la más débil? ¿Qué condiciones implican otras condiciones?

■

Dr. Dennis Kunkel/Getty Images

■

Según el tipo de bacteria, el tiempo que le toma duplicar su peso al cultivo puede variar mucho, desde varios minutos hasta varios días. ¿Cómo usaría una ecuación diferencial para modelar la tasa de crecimiento del peso del cultivo de una bacteria? (Vea la sección 6.3, ejercicio 84.)

EXPLORACIÓN

Suponer que se pide encontrar una de las siguientes integrales. ¿Cuál elegiría? Explicar la respuesta.

EXPLORACIONES

Las exploraciones proporcionan a los estudiantes retos únicos para estudiar conceptos que no se han cubierto formalmente. Les permiten aprender mediante el descubrimiento e introducen temas relacionados con los que están estudiando en el momento. Al explorar temas de esta manera, se estimula a que los estudiantes piensen de manera más amplia.

a)

% % % %

x3 1 dx

o

x 2x3 1 dx

b)

tanS3xD sec 2 S3xD dx

Una función y f(x) es una solución de una ecuación diferencial, si la ecuación se satisface cuando y y sus derivadas se remplazan por f(x) y sus derivadas. Una manera de resolver una ecuación diferencial es mediante los campos de pendientes, los cuales muestran la forma de todas las soluciones de una ecuación diferencial. (Ver sección 6.1)

o 405

tan S3xD dx

NOTAS HISTÓRICAS Y BIOGRAFÍAS

Las notas históricas proporcionan a los estudiantes información sobre los fundamentos del cálculo; las biografías les ayudan a sensibilizar y a enseñarles acerca de las personas que contribuyeron a la creación formal del cálculo.

DESAFÍOS DEL EXAMEN PUTNAM

n

n1

o

n 1

n

donde n 8? 134. Demostrar que si x es positivo, entonces

loge 1

1 1 . > x 1x

Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

Las preguntas del examen Putnam aparecen en algunas secciones y se toman de los exámenes Putnam reales. Estos ejercicios extenderán los límites del entendimiento de los estudiantes en relación con el cálculo y brindarán desafíos adicionales para aquellos más interesados.

The Granger Collection

Preparación del examen Putnam 133. ¿Cuál es mayor

LA SUMA DE LOS PRIMEROS CIEN ENTEROS

BLAISE PASCAL (1623-1662)

El maestro de Carl Friedrich Gauss (17771855) pidió a sus alumnos que sumaran todos los enteros desde 1 hasta 100. Cuando Gauss regresó con la respuesta correcta muy poco tiempo después, el maestro no pudo evitar mirarle atónito. Lo siguiente fue lo que hizo Gauss:

Pascal es bien conocido por sus 1 2 3 . . . 100 contribuciones a diversas áreas de las ... 1 matemáticas y de la física, así como por 100 99 98 . . . 101 su influencia con Leibniz. Aunque buena 101 101 101 100 101 parte de su obra en cálculo fue intuitiva y 5 050 carente del rigor exigible en las matemáticas 2 modernas, Pascal anticipó muchos Esto se generaliza por medio del teorema resultados relevantes. 4.2, donde 100

Oi

t 1

100S101D 5 050. 2

PROYECTOS DE SECCIÓN

Los proyectos aparecen en algunas secciones y exploran a mayor profundidad las aplicaciones relacionadas con los temas que se están estudiando. Proporcionan una forma interesante y entretenida para que los estudiantes trabajen e investiguen ideas de manera conjunta.

PROYECTO DE TRABAJO

Demostración del teorema fundamental Utilizar una herramienta de graficación para representar la función y1 sen2t en el intervalo 0 b t b P. Sea F(x) la siguiente función de x.

%

b)

Utilizar las funciones de integración de una herramienta de graficación para representar F.

c)

Emplear las funciones de derivación de una herramienta de graficación para hacer la gráfica de F (x). ¿Cómo se relaciona esta gráfica con la gráfica de la parte b)?

d)

Verificar que la derivada de y (1Y2)t (sen 2t)Y4 es sen2t. Graficar y y escribir un pequeño párrafo acerca de cómo esta gráfica se relaciona con las de los apartados b) y c).

x

FSxD

sen 2 t dt

0

a)

Completar la tabla. Explicar por qué los valores de ƒ están creciendo.

x

0

PY6

PY3

PY2

2PY3 5PY6 P

FXxC

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xvi

Características

Tecnología integrada para el mundo actual

Encontrar

INVESTIGACIONES CON SISTEMAS ALGEBRAICOS POR COMPUTADORA

Cambio de variables

EJEMPLO 5

%

x2x 1 dx.

Los ejemplos a lo largo del libro se acompañan de investigaciones que emplean un sistema algebraico por computadora (por ejemplo, Maple®) para explorar de manera adicional un ejemplo relacionado en el libro. Permiten a los estudiantes explorar el cálculo manipulando funciones, gráficas, etc., y observar los resultados.

Solución Como en el ejemplo previo, considerar que u 2x 1 para obtener dx duY2. Como el integrando contiene un factor de x, se tiene que despejar x en términos de u, como se muestra.

x Su 1DY2

u 2x 1

Resolver para x en términos de u.

Después de esto, utilizando la sustitución, se obtiene

%

x2x 1 dx

% %

u 1 1Y2 du u 2 2

1 Su3Y2 u1Y2D du 4 1 u5Y2 u3Y2 C 3Y2 4 5Y2 1 1 S2x 1D5Y2 S2x 1D3Y2 C. 10 6

Razonamiento gráfico En los ejercicios 55 a 58, a) usar una herramienta de graficación para representar gráficamente la función, b) representar su función inversa utilizando la herramienta de graficación y c) determinar si la gráfica de la relación inversa es una función inversa. Explicar la respuesta.

EJERCICIOS CON HERRAMIENTAS DE GRAFICACIÓN

La comprensión con frecuencia mejora utilizando una gráfica o visualización. Los ejercicios de tecnología de graficación piden a los estudiantes recurrir a una herramienta de graficación para ayudar a encontrar una solución.

CAS

Campos de pendientes En los ejercicios 67 a 72, usar un sistema algebraico por computadora para a) trazar la gráfica del campo de pendientes para la ecuación diferencial y b) trazar la gráfica de la solución que satisface la condición inicial especificada.

67.

dy 0.25y, dx

y0 4

68.

dy 4 y, dx

y0 6

69.

dy 0.02y10 y, dx

70.

dy 0.2x2 y, dx

y0 9

71.

dy 0.4y3 x, dx

y0 1

72.

y dy 1 x8 sen e , dx 2 4

a

CAS

79.

% %

1 dx x 2 4x 13

80.

1 dU 1 sen U

82.

En los ejercicios 33 a 40, usar un sistema algebraico por computadora para determinar la primitiva que atraviesa el punto dado. Usar el sistema para hacer la gráfica de la antiderivada resultante. 33. 35.

f SxD x 3 x 4

5x dx, 6, 0 34. x 2 10x 25 x2 x 2 dx, 0, 1 x 2 22

36.

6x 2 1 dx, 2, 1 x 2x 13 x3 dx, 3, 4 x 2 42

¡NUEVO! De igual manera que los ejercicios con herramientas de graficación, algunos ejercicios pueden resolverse mejor utilizando un sistema algebraico por computadora. Estos ejercicios son nuevos en esta edición.

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hSxD x4 x 2

A lo largo del libro, los recuadros de tecnología dan a los estudiantes una visión de cómo la tecnología puede usarse para ayudar a resolver problemas y explorar los conceptos del cálculo. No sólo proporcionan discusiones acerca de dónde la tecnología tiene éxito, sino también sobre dónde puede fracasar.

% %

x2 dx x 2 4x 13 ex ex 2

3

dx

TECNOLOGÍA La regla de Simpson puede usarse para dar una buena aproximación del valor de la integral en el ejemplo 2 (para n 10, la aproximación es 1.839). Al usar la integración numérica, sin embargo, se debe estar consciente de que la regla de Simpson no siempre da buenas aproximaciones cuando algunos de los límites de integración están cercanos a una asíntota vertical. Por ejemplo, usando el teorema fundamental del cálculo, se obtiene

%

1.99

EJERCICIOS CON SISTEMAS ALGEBRAICOS POR COMPUTADORA

56.

TECNOLOGÍA

En los ejercicios 79 a 82, usar un sistema algebraico por computadora para encontrar la integral. Usar el sistema algebraico por computadora para hacer la gráfica de dos antiderivadas. Describir la relación entre las gráficas de las dos antiderivadas.

81.

y0 2

y0 2

CAS

55.

0

x3 4 x 2

dx 6.213.

Aplicando la regla de Simpson (con n 10) para esta integral se produce una aproximación de 6.889.

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1100

Cónicas, ecuaciones Conics, Parametric paramétricas Equations, and y Polar Coordinates coordenadas polares

En este chapter, capítulo you se analizarán y seand write In this will analyze escribirán ecuaciones de cónicas usando equations of conics using their properties. sus propiedades. También se aprenderá You will also learn how to write and graph cómo escribir y graficar ecuaciones parametric equations and polar equations, paramétricas y polares, y cómo se and see how calculus cansebeverá used to study puede usar el cálculo para estudiar tales these graphs. In addition to the rectangular gráficas. de las equationsAdemás of conics, youecuaciones will also study rectangulares de cónicas, polar equations of conics.también se estudiarán ecuaciones polares de cónicas. In this chapter, you should learn the En este capítulo, se aprenderá: following. n Cómo analizar y escribir ecuaciones I How to analyze and write equations of de una parábola, una elipse y una a parabola, an ellipse, and a hyperbola. hipérbola. (10.1) (10.1) n Cómo trazar una curva representada I How to sketch a curve represented by por ecuaciones paramétricas. (10.2) I parametric equations. (10.2) n Cómo usar un conjunto de ecuacioI How to use a set of parametric equations nes paramétricas para encontrar la to find the slope of a tangent line to a pendiente de una línea tangente a curve and the arc length of a curve. una curva y la longitud de arco (10.3) de una curva. (10.3) I How to sketch the graph of an equation n Cómo dibujar la gráfica de una ecuain polar form, find the slope of a tangent ción en forma polar, encontrar la line to a polar graph, and identify special pendiente de una línea tangente a polar graphs. (10.4) una gráfica polar e identificar gráfiI How to find the area of a region cas polares especiales. (10.4) bounded by a polar graph and find the n Cómo encontrar el área de una arc length of a polar graph. (10.5) región acotada por una gráfica polar I How to analyze and write a polar y encontrar la longitud de arco de equation of apolar. conic.(10.5 (10.6 una gráfica )) n Cómo analizar y escribir una ecuación polar de una cónica. (10.6)

© Chuck Savage/Corbis

Thepuede path ofmodelar a baseball hit at a particular height de at an anglebateada with theahorizontal Se la trayectoria de una pelota béisbol una alturacan be modeled using parametric equations. How can a set of parametric equations¿Cómo be específica a un ángulo con el horizontal utilizando ecuaciones paramétricas. I used to find the minimum angle at which the ball must leave the bat in order for se puede usar un conjunto de ecuaciones paramétricas para encontrar el ángulothe hit to beala cual homelarun? (See Section Exercise 75.)el golpe sea un jonrón? (Ver mínimo pelota debe salir 10.2, del bate para que la sección 10.2, ejercicio 75.)

En de coordenadas polares, graficar una ecuación unaabout curvaa alrededor decalled un punto fijo In el thesistema polar coordinate system, graphing an equation involvesimplica tracingtrazar a curve fixed point the pole. llamado el polo. Considerar una región acotada por una curva y por los rayos que contienen los puntos extremos Consider a region bounded by a curve and by the rays that contain the endpoints of an interval on the curve. Youde un sobreoflacircles curva.toPueden usarsethe sectores para aproximar área de región. En la canintervalo use sectors approximate area ofcirculares such a region. In Sectionel10.5, youtalwill see how thesección limit 10.5 se verá cómo es posible usar el proceso de límite para encontrar esta área. process can be used to find this area.

695 695

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CAPÍTULO 10

Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

10.1 Cónicas y cálculo n n n n

Entender la definición de una sección cónica. Analizar y dar las ecuaciones de la parábola utilizando las propiedades de la parábola. Analizar y dar las ecuaciones de la elipse utilizando las propiedades de la elipse. Analizar y dar las ecuaciones de la hipérbola utilizando las propiedades de la hipérbola.

Secciones cónicas

Bettmann/Corbis

Toda sección cónica (o simplemente cónica) puede describirse como la intersección de un plano y un cono de dos hojas. En la figura 10.1 se observa que en las cuatro cónicas básicas el plano de intersección no pasa por el vértice del cono. Cuando el plano pasa por el vértice, la figura que resulta es una cónica degenerada, como se muestra en la figura 10.2.

HYPATIA (370-415 D.C.) Los griegos descubrieron las secciones cónicas entre los años 600 y 300 a.C. A principios del periodo alejandrino ya se sabía lo suficiente acerca de las cónicas como para que Apolonio (269-190 a.C.) escribiera una obra de ocho volúmenes sobre el tema. Más tarde, hacia finales del periodo Alejandrino, Hypatia escribió un texto titulado Sobre las cónicas de Apolonio. Su muerte marcó el final de los grandes descubrimientos matemáticos en Europa por varios siglos. Los primeros griegos se interesaron mucho por las propiedades geométricas de las cónicas. No fue sino 1900 años después, a principios del siglo XVII, cuando se hicieron evidentes las amplias posibilidades de aplicación de las cónicas, las cuales llegaron a jugar un papel prominente en el desarrollo del cálculo.

Circunferencia Secciones cónicas

Parábola

Figura 10.1

Punto Cónicas degeneradas

Recta

Dos rectas que se cortan

Figura 10.2

Existen varias formas de estudiar las cónicas. Se puede empezar, como lo hicieron los griegos, definiendo las cónicas en términos de la intersección de planos y conos, o se pueden definir algebraicamente en términos de la ecuación general de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para conocer más sobre las actividades de esta matemática, consultar al artículo “Hypatia and her Mathematics” de Michael A. B. Deakin en The American Mathematical Monthly.

Hipérbola

Elipse

Ecuación general de segundo grado.

Sin embargo, un tercer método en el que cada una de las cónicas está definida como el lugar geométrico (o colección) de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad geométrica, funciona mejor. Por ejemplo, la circunferencia se define como el conjunto de todos los puntos (x, y) que son equidistantes de un punto fijo (h, k). Esta definición en términos del lugar geométrico conduce fácilmente a la ecuación estándar o canónica de la circunferencia (x - h)2 +(y - k)2 = r2.

Ecuación estándar o canónica de la circunferencia.

Para información acerca de la rotación de ecuaciones de segundo grado en dos variables, ver el apéndice D.

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10.1 Conics Calculus SECCIÓN 10.1 and Cónicas y cálculo 697 697 10.1

Conics and Calculus

697

Parabolas Parábolas A x

x, ylosthat AUna parabola is the setconjunto of all points are equidistant from a fixed linerecta called parábola es el de todos puntos (x, y) equidistantes de una fija llaParabolas the directrix and a fixed point called the focus not on the line. The midpoint between mada directriz y de un punto fijo, fuera de dicha recta, llamado foco. El punto medio entre the focus the directrix the line passing the A parabola is theesset allvertex, points x, ythe that are equidistant afocus fixedand lineel called el foco yand la directriz elisof vértice, y la and recta que pasa por elthrough focofrom ythe el vértice es eje de vertex is the axis of the parabola. Note in Figure 10.3 that a parabola is symmetric the directrix and a fixed point called the focus not on the line. The midpoint between la parábola. Obsérvese en la figura 10.3 que la parábola es simétrica respecto de su eje. with the respect its the axis.directrix is the vertex, and the line passing through the focus and the focustoand vertex is the axis of the parabola. Note in Figure 10.3 that a parabola is symmetric TEOREMA 10.1 toECUACIÓN with respect its axis. ESTÁNDAR O CANÓNICA DE UNA PARÁBOLA THEOREM 10.1 STANDARD EQUATION OF A PARABOLA La forma estándar o canónica de la ecuación de una parábola con vértice The form the of a parabola with vertex h, k and (h, k)standard y directriz es EQUATION y 5ofkSTANDARD 2 pequation THEOREM 10.1 OF A PARABOLA directrix y 2 k p is vertical. sThe x 2standard hd 5 4psform y 2 kof d. the equation of a Eje parabola with vertex h, k and x h 2 4p y k . Vertical axis directrix y k p is Para la directriz x 5 h 2 p, la ecuación es For directrix2x 2 h p, the equation is h 4psx4p Vertical axis Eje horizontal. s y 2 xkd 5 2 yhd. k . y k 2 4p x h . Horizontal axis Forse directrix x enh el eje p, the El foco encuentra a p equation unidadesis(distancia dirigida) del vértice. Las The focus lies on the axis p units (directed distance) from the vertex. The coordenadas sonx las hsiguientes. 2 y delk foco 4p . Horizontal axis coordinates of the focus are as follows. Eje vertical. sThe h, k focus 1 pd lies on the axis p units (directed distance) from the vertex. The h, k p, pkd Vertical axis scoordinates h1 of the focus are as follows. Eje horizontal. h p, k Horizontal axis h, k p Vertical axis h p, k Horizontal axis

Eje

Pa r a b Parábola o la A x Pa r a b o F l a o c u s Foco d2

d2

(x, y)(x, y) pd1 d 1 d d F o c u s 2 d2 V e r t e Vértice x (x, y) d1 d 2 1 p d1 d2 Di r e c Directriz trix V e rte x d1 p

Figure 10.3 10.3 Figura Di r e c t r i x

Figure 10.3

EXAMPLE Finding Focus of a parábola Parabola EJEMPLO 1 1 Hallar el the foco de una

y

y=

1 2

− x − 12 x 2 y

V ér t i c e y = 12 − x − 12 x 2 1

)V −ér1,t i 12c )e

p = − 12

1

Foco p = − 12

−2

−1

)− 1, 12 )

x

Foco x

−2

−1 −1

−1

Parabola with a vertical axis, p < 0 Figure 10.4

Parábola p < p0 < 0 Parabolacon withejea vertical, vertical axis, Figura Figure10.4 10.4

1 1 2 EXAMPLE Findingdada thepor Focus Find theelfocus parabola given by y of a Parabola x x. Hallar foco of de the la1 parábola 2 2 1 1 2 Solución el parabola foco, se convierte canónica completando el Find the focus of the given by ay la forma x . o estándar Solution ToPara findhallar the focus, convert to standard form xby completing the square. 2 2 cuadrado. 1 1 2 y 2 x 2x Write original equation. Solution To find the focus, convert to standard form by completing the square. 1 2x 2 yy 5121 12 1x 2x Factor out 12.la ecuación original. Reescribir 2 x 1 y2 x2 x2 Write original equation. 2y 11 212x x 2 22 Multiply each side by 2. 1 SacarFactor wQ como y 5y2 s1 212x 22xx d x 2 outfactor. . 2y 1 2 x 2 2x Group terms. 2 2 2 Multiplicar cada lado por 2y 5 2y1 212x2 2 2xx x Multiply each side by2.2. 2y 2 x 2x 1 Add and subtract 1 on right side. 2 2y 21sx 2 1x 2xd 2x Group terms. Agrupar términos. x 2 2x 2y 1 5 1 2y 2 2 2y 2 2 x 2x 1 Add and subtract 1 on right side. 2 5 Sumarinystandard restar 1 form. en el lado derecho. 2 22ysx 11 2x 1 1d x 1 2y Write x 2 2x 1 2y 2 x 2 1 2x 1equation 1 5 22ywith 1 2 x h 2 4 p y k , you can conclude that Comparing this x 12 2 y 1 Write in standard form. sx1,1 1d 2 k5 22 1d h 1, s y 2and p 2 12. Expresar en la forma estándar o canónica. Comparing this equation with x h 4 p y k , you can conclude that Because p is negative, the parabola opens 2downward, as shown in Figure 10.4. So, the Si se compara esta x 2 hd p5 4ps y1. 2 kd, se concluye que h 1, ecuación k 1, con sand focus of the parabola is p units from the vertex, or2 k 5 11 theyparabola h 5 21,p is negative, p 5opens 2 12. downward, as shown in Figure 10.4. So, the Because h, k p 1, 2 . Focus focus of the parabola is p units from the vertex, or Como p es negativo, la parábola se abre hacia abajo, como se muestra en la figura 10.4. Por tanto,h,elk focop de la parábola del vértice, o sea 1, 12 . se encuentra a p unidades Focus A line segment that passes through the focus of a parabola and has endpoints on 1 sh, k 1 is pdcalled 5 s21, the parabola a focal focal chord perpendicular to the axis 2 d. chord. The specificFoco. of the parabola is the latus The next how to the on A line segment thatrectum. passes through theexample focus ofshows a parabola anddetermine has endpoints length the latusisrectum thechord. length The of the corresponding intercepted arc. to the axis theofparabola called aand focal specific focal chord perpendicular of the parabola is the latus rectum. The next example shows how to determine the A un segmento de la recta que pasa por el foco de una parábola y que tiene sus extrelength of the latus rectum and the length of the corresponding intercepted arc. mos en la parábola se le llama cuerda focal. La cuerda focal perpendicular al eje de la parábola es el lado recto (latus rectum). El ejemplo siguiente muestra cómo determinar la longitud del lado recto y la longitud del correspondiente arco cortado.

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CAPÍTULO 10


Longitud de la cuerda focal y longitud de arco

EJEMPLO 2

Encontrar la longitud del lado recto de la parábola dada por x 2 5 4py. Después, hallar la longitud del arco parabólico cortado por el lado recto. y

Solución Debido a que el lado recto pasa por el foco (0, p) y es perpendicular al eje y, las coordenadas de sus extremos son s2x, pd y sx, pd. Al sustituir, en la ecuación de la parábola, y por p se obtiene

x2 = 4py

x 5 ± 2p.

x 2 5 4ps pd Lado recto o latus rectum (−2p, p)

Entonces, los extremos del lado recto son s22p, pd y s2p, pd, y se concluye que su longitud es 4p, como se muestra en la figura 10.5. En cambio, la longitud del arco cortado es

(2p, p) x

(0, p)

E E! E 2p

Longitud del lado recto o latus rectum: 4p

s5

Figura 10.5

22p

Emplear la fórmula de longitud del arco.

!1 1 s y9 d2 dx

2p

52

11

0

12px 2

2

y5

dx

x2 4p

y9 5

x 2p

2p

5 5 5 5 <

Fuente de luz en el foco

1 !4p 2 1 x 2 dx p 0 2p 1 x!4p 2 1 x 2 1 4p 2 ln x 1 !4p 2 1 x 2 2p 0 1 f2p!8p 2 1 4p 2 lns2p 1 !8p 2 d 2 4p 2 lns2pdg 2p 2p f!2 1 ln s1 1 !2 dg 4.59p.

3

|

|4

Simplificar.

Teorema 8.2.

Una propiedad muy utilizada de la parábola es su propiedad de reflexión. En física, se dice que una superficie es reflejante o reflectante si la tangente a cualquier punto de la superficie produce ángulos iguales con un rayo incidente y con el rayo reflejado resultante. El ángulo correspondiente al rayo incidente es el ángulo de incidencia, y el ángulo correspondiente al rayo que se refleja es el ángulo de reflexión. Un espejo plano es un ejemplo de una superficie reflejante o reflectante. Otro tipo de superficie reflejante es la que se forma por revolución de una parábola alrededor de su eje. Una propiedad especial de los reflectores parabólicos es que permiten dirigir hacia el foco de la parábola todos los rayos incidentes paralelos al eje. Éste es el principio detrás del diseño de todos los espejos parabólicos que se utilizan en los telescopios de reflexión. Inversamente, todos los rayos de luz que emanan del foco de una linterna con reflector parabólico son paralelos, como se ilustra en la figura 10.6.

Eje

TEOREMA 10.2 PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE UNA PARÁBOLA Sea P un punto de una parábola. La tangente a la parábola en el punto P produce ángulos iguales con las dos rectas siguientes. Reflector parabólico: la luz se refleja en rayos paralelos Figura 10.6

1. La recta que pasa por P y por el foco 2. La recta paralela al eje de la parábola que pasa por P

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SECCIÓN 10.1

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Cónicas y cálculo

Bettmann/Corbis

Elipses

NICOLÁS COPÉRNICO (1473-1543) Copérnico comenzó el estudio del movimiento planetario cuando se le pidió que corrigiera el calendario. En aquella época, el uso de la teoría de que la Tierra era el centro del Universo, no permitía predecir con exactitud la longitud de un año.

Más de mil años después de terminar el periodo alejandrino de la matemática griega, comienza un renacimiento de la matemática y del descubrimiento científico en la civilización occidental. Nicolás Copérnico, astrónomo polaco, fue figura principal en este renacimiento. En su trabajo Sobre las revoluciones de las esferas celestes, Copérnico sostenía que todos los planetas, incluyendo la Tierra, giraban, en órbitas circulares, alrededor del Sol. Aun cuando algunas de las afirmaciones de Copérnico no eran válidas, la controversia desatada por su teoría heliocéntrica motivó a que los astrónomos buscaran un modelo matemático para explicar los movimientos del Sol y de los planetas que podían observar. El primero en encontrar un modelo correcto fue el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630). Kepler descubrió que los planetas se mueven alrededor del Sol, en órbitas elípticas, teniendo al Sol, no como centro, sino como uno de los puntos focales de la órbita. El uso de las elipses para explicar los movimientos de los planetas es sólo una de sus aplicaciones prácticas y estéticas. Como con la parábola, el estudio de este segundo tipo de cónica empieza definiéndola como lugar geométrico de puntos. Sin embargo, ahora se tienen dos puntos focales en lugar de uno. Una elipse es el conjunto de todos los puntos (x, y), cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. (Ver la figura 10.7.) La recta que une a los focos interseca o corta a la elipse en dos puntos, llamados vértices. La cuerda que une a los vértices es el eje mayor, y su punto medio es el centro de la elipse. La cuerda a través del centro, perpendicular al eje mayor, es el eje menor de la elipse. (Ver la figura 10.8.) (x, y) d1

d2 Vértice

Foco

Eje mayor

(h, k)

Foco

Centro

Vértice Foco

Foco Eje menor

Figura 10.7

Figura 10.8

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para saber más acerca de cómo “hacer explotar” una elipse para convertirla en una parábola, consultar al artículo “Exploding the Ellipse” de Arnold Good en Mathematics Teacher.

TEOREMA 10.3 ECUACIÓN ESTÁNDAR O CANÓNICA DE UNA ELIPSE La forma estándar o canónica de la ecuación de una elipse con centro (h, k) y longitudes de los ejes mayor y menor 2a y 2b, respectivamente, donde a > b, es

sx 2 hd 2 s y 2 kd2 1 51 a2 b2

El eje mayor es horizontal.

sx 2 hd 2 s y 2 kd2 1 5 1. b2 a2

El eje mayor es vertical.

o

Si los extremos de una cuerda se atan a los alfileres y se tensa la cuerda con un lápiz, la trayectoria trazada con el lápiz será una elipse Figura 10.9

Los focos se encuentran en el eje mayor, a c unidades del centro, con c 2 5 a 2 2 b 2. La definición de una elipse se puede visualizar si se imaginan dos alfileres colocados en los focos, como se muestra en la figura 10.9.

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CAPÍTULO 10


EJEMPLO 3

Completar cuadrados

Encontrar el centro, los vértices y los focos de la elipse dada por 4x 2 1 y 2 2 8x 1 4y 2 8 5 0. Solución Al completar el cuadrado se puede expresar la ecuación original en la forma estándar o canónica.

(x − 1)2 (y + 2)2 + =1 16 4

4x 2 1 y 2 2 8x 1 4y 2 8 5 0

y 2

4x 2 Vértice

2

1 4y 5 8

4sx 2 1d2 1 s y 1 2d 2 5 16

x −2

Escribir la ecuación original.

4sx 2 2 2x 1 1d 1 s y 2 1 4y 1 4d 5 8 1 4 1 4

Foco −4

2 8x 1

y2

sx 2 1d2 s y 1 2d2 1 51 4 16

4

Centro

Escribir la forma estándar o canónica.

Así, el eje mayor es paralelo al eje y, donde h 5 1, k 5 22, a 5 4, b 5 2 y c 5 !16 2 4 5 2!3. Por tanto, se obtiene:

Foco

Centro:

−6

s1, 22d

sh, kd.

sh, k ± ad.

Vértices: s1, 26d y s1, 2d

Vértice

Elipse con eje mayor vertical

Focos:

Figura 10.10

s1, 22 2 2!3 d y s1, 22 1 2!3 d

sh, k ± cd.

La gráfica de la elipse se muestra en la figura 10.10. NOTA Si en la ecuación del ejemplo 3, el término constante F 5 28 hubiese sido mayor o igual a 8, se hubiera obtenido alguno de los siguientes casos degenerados.

1. F 5 8, un solo punto, s1, 22d:

sx 2 1d 2 s y 1 2d 2 1 50 4 16

2. F > 8, no existen puntos solución:

EJEMPLO 4

sx 2 1d 2 s y 1 2d 2 1 < 0 4 16

n

La órbita de la Luna

La Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo una trayectoria elíptica en la que el centro de la Tierra está en uno de los focos, como se ilustra en la figura 10.11. Las longitudes de los ejes mayor y menor de la órbita son 768 800 kilómetros y 767 640 kilómetros, respectivamente. Encontrar las distancias mayor y menor (apogeo y perigeo) entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna. Luna

Solución Para comenzar se encuentran a y b. 800 2a 5 768 768,800

Tierra

a 5 384,400 384 400 640 2b 5 767 767,640 383 820 b 5 383,820 Perigeo

Apogeo

Longitud del eje mayor. Despejar a. Longitud del eje menor. Despejar b.

Ahora, al emplear estos valores, se despeja c como sigue. 108 c 5 !a 2 2 b 2 < 21 21,108

Figura 10.11

La distancia mayor entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna es a 1 c < 405,508 363,292 292 kilómetros. 405 508 kilómetros y la distancia menor es a 2 c < 363

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SECCIÓN 10.1

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información acerca de algunos usos de las propiedades de reflexión de las cónicas, consultar el artículo “Parabolic Mirrors, Elliptic and Hyperbolic Lenses” de Mohsen Maesumi en The American Mathematical Monthly. Consultar también el artículo “The Geometry of Microwave Antennas” de William R. Paezynski en Mathematics Teacher.

Cónicas y cálculo

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En el teorema 10.2 se presentó la propiedad de reflexión de la parábola. La elipse tiene una propiedad semejante. En el ejercicio 112 se pide demostrar el siguiente teorema. TEOREMA 10.4 PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE LA ELIPSE Sea P un punto de una elipse. La recta tangente a la elipse en el punto P forma ángulos iguales con las rectas que pasan por P y por los focos. Uno de los motivos por el cual los astrónomos tuvieron dificultad para descubrir que las órbitas de los planetas son elípticas es el hecho de que los focos de las órbitas planetarias están relativamente cerca del centro del Sol, lo que hace a las órbitas ser casi circulares. Para medir el achatamiento de una elipse, se puede usar el concepto de excentricidad. DEFINICIÓN DE LA EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE La excentricidad e de una elipse está dada por el cociente c e5 . a Para ver cómo se usa este cociente en la descripción de la forma de una elipse, obsérvese que como los focos de una elipse se localizan a lo largo del eje mayor entre los vértices y el centro, se tiene que 0 < c < a. En una elipse casi circular, los focos se encuentran cerca del centro y el cociente c/a es pequeño, mientras que en una elipse alargada, los focos se encuentran cerca de los vértices y el cociente c/a está cerca de 1, como se ilustra en la figura 10.12. Obsérvese que para toda elipse 0 < e < 1. La excentricidad de la órbita de la Luna es e 5 0.0549, y las excentricidades de las nueve órbitas planetarias son las siguientes.

Focos

Mercurio: e 5 0.2056 a c

a)

Júpiter:

e 5 0.0484

Venus:

e 5 0.0068

Saturno:

e 5 0.0542

Tierra:

e 5 0.0167

Urano:

e 5 0.0472

Marte:

e 5 0.0934

Neptuno: e 5 0.0086

Por integración se puede mostrar que el área de una elipse es A 5 pab. Por ejemplo, el área de la elipse

c es pequeño a

x2 y2 1 251 2 a b

Focos

está dada por a

E E a

A54

0

c

5 b)

c es casi 1 a

c Excentricidad es el cociente . a Figura 10.12

4b a

b !a 2 2 x 2 dx a

py2

a 2 cos 2 u du.

Sustitución trigonométrica x 5 a sen q .

0

Sin embargo, encontrar el perímetro de una elipse no es fácil. El siguiente ejemplo muestra cómo usar la excentricidad para establecer una “integral elíptica” para el perímetro de una elipse.

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CAPÍTULO 10


Encontrar el perímetro de una elipse

EJEMPLO 5

Mostrar que el perímetro de una elipse sx 2ya 2d 1 s y 2yb 2d 5 1 es

E

py2

!1 2 e 2 sen sin 2 u du.

4a

e5

0

c a

Solución Como la elipse dada es simétrica respecto al eje x y al eje y, se sabe que su perímetro C es el cuádruplo de la longitud de arco de y 5 sbyad!a 2 2 x 2 en el primer cuadrante. La función y es diferenciable (o derivable) para toda x en el intervalo f0, ag excepto en x 5 a. Entonces, el perímetro está dado por la integral impropia

E

E

d

d→a

a

!1 1 s y9 d 2 dx 5 4

C 5 lim lím 4

0

E! a

!1 1 s y9 d 2 dx 5 4

0

11

0

b 2x 2 dx. sa 2 2 x 2d

a2

Al usar la sustitución trigonométrica x 5 a sen sin u, se obtiene C54

E E E E

py2

sin sen u sa cos ud du !1 1 ab cos u

0

py2

54

2

22

2

2

!a 2 cos 2 u 1 b 2 sen sin 22 u du

0

py2

54

!a 2s1 2 sen sin 22 ud 1 b 2 sen sin 22 u du

0

py2

54

ÁREA Y PERÍMETRO DE UNA ELIPSE

!a 2 2 sa2 2 b 2dsen sin 22 u du.

0

En su trabajo con órbitas elípticas, a principios del siglo XVII, Johannes Kepler desarrolló una fórmula para encontrar el área de una elipse, A 5 pab. Sin embargo, tuvo menos éxito en hallar una fórmula para el perímetro de una elipse, para el cual sólo dio la siguiente fórmula de aproximación C 5 p sa 1 bd.

Debido a que e 2 5 c 2ya 2 5 sa 2 2 b 2dya 2, se puede escribir esta integral como

E

py2

C 5 4a

!1 2 e 2 sen sin 22 u du.

0

Se ha dedicado mucho tiempo al estudio de las integrales elípticas. En general dichas integrales no tienen antiderivadas o primitivas elementales. Para encontrar el perímetro de una elipse, por lo general hay que recurrir a una técnica de aproximación. EJEMPLO 6

Aproximar el valor de una integral elíptica

Emplear la integral elíptica del ejemplo 5 para aproximar el perímetro de la elipse x2 y2 1 5 1. 25 16

y 6

x2 y2 + =1 25 16

Solución Como e 2 5 c 2ya 2 5 sa 2 2 b 2dya 2 5 9y25, se tiene

E

C 5 s4ds5d

2

0

x −6

−4

2

−2

py2

4

6

−2

22

Aplicando la regla de Simpson con n 5 4 se obtiene C < 20

C ≈ 28.36 unidades

sin u du. !1 2 9 sen 25

1p6 21142f1 1 4s0.9733d 1 2s0.9055d 1 4s0.8323d 1 0.8g

< 28.36.

−6

Figura 10.13

Por tanto, el perímetro de la elipse es aproximadamente 28.36 unidades, como se muestra en la figura 10.13.

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SECCIÓN 10.1

Cónicas y cálculo

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Hipérbolas (x, y)

d2

d1 Foco

Foco d2 − d1 es constante d2 − d1 = 2a c

La definición de hipérbola es similar a la de la elipse. En la elipse, la suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos es fija, mientras que en la hipérbola, el valor absoluto de la diferencia entre estas distancias es fijo. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos (x, y) para los que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. (Ver la figura 10.14.) La recta que pasa por los dos focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento de recta que une a los vértices es el eje transversal, y el punto medio del eje transversal es el centro de la hipérbola. Un rasgo distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos ramas separadas.

a Vértice Centro

Vértice

TEOREMA 10.5 ECUACIÓN ESTÁNDAR O CANÓNICA DE UNA HIPÉRBOLA La forma estándar o canónica de la ecuación de una hipérbola con centro sh, kd es

Eje transversal

Figura 10.14

sx 2 hd2 s y 2 kd2 2 51 a2 b2

El eje transversal es horizontal.

s y 2 kd2 sx 2 hd2 2 5 1. a2 b2

El eje transversal es vertical.

o

Los vértices se encuentran a a unidades del centro y los focos se encuentran a c unidades del centro, con c2 5 a 2 1 b2.

NOTA En la hipérbola no existe la misma relación entre las constantes a, b y c, que en la elipse. En la hipérbola, c2 5 a 2 1 b2, mientras que en la elipse, c2 5 a 2 2 b2. n

Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola es determinar sus asíntotas, como se ilustra en la figura 10.15. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se cortan en el centro de la hipérbola. Las asíntotas pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a por 2b, con centro en (h, k). Al segmento de la recta de longitud 2b que une sh, k 1 bd y sh, k 2 bd se le conoce como eje conjugado de la hipérbola.

TEOREMA 10.6 ASÍNTOTAS DE UNA HIPÉRBOLA Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son b y 5 k 1 sx 2 hd a Asíntota

Eje conjugado (h, k + b) (h − a, k)

(h, k)

a

b y 5 k 2 sx 2 hd. a

Si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son a y 5 k 1 sx 2 hd b

b

y

y

a y 5 k 2 sx 2 hd. b

(h + a, k)

(h, k − b) Asíntota

Figura 10.15

En la figura 10.15 se puede ver que las asíntotas coinciden con las diagonales del rectángulo de dimensiones 2a y 2b, centrado en (h, k). Esto proporciona una manera rápida de trazar las asíntotas, las que a su vez ayudan a trazar la hipérbola.

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CAPÍTULO 10


Uso de las asíntotas para trazar una hipérbola

EJEMPLO 7

Trazar la gráfica de la hipérbola cuya ecuación es 4x 2 2 y 2 5 16. TECNOLOGÍA Para verificar la gráfica obtenida en el ejemplo 7 se puede emplear una herramienta de graficación y despejar y de la ecuación original para representar gráficamente las ecuaciones siguientes. y1 5 !4x 2 2 16 y2 5 2 !4x 2 2 16

Solución Para empezar se escribe la ecuación en la forma estándar o canónica. x2 y2 2 51 4 16 El eje transversal es horizontal y los vértices se encuentran en s22, 0d y s2, 0d. Los extremos del eje conjugado se encuentran en s0, 24d y s0, 4d. Con estos cuatro puntos, se puede trazar el rectángulo que se muestra en la figura 10.16a. Al dibujar las asíntotas a través de las esquinas de este rectángulo, el trazo se termina como se muestra en la figura 10.16b. y

y 6

6

(0, 4) 4

(−2, 0)

x2 y2 − =1 4 16

(2, 0)

x

x −6

4

−4

−6

6

4

−4

6

−4

(0, −4) −6

−6

a)

b)

Figura 10.16

DEFINICIÓN DE LA EXCENTRICIDAD DE UNA HIPÉRBOLA La excentricidad e de una hipérbola es dada por el cociente c e5 . a

Como en la elipse, la excentricidad de una hipérbola es e 5 cya. Dado que en la hipérbola c > a resulta que e > 1. Si la excentricidad es grande, las ramas de la hipérbola son casi planas. Si la excentricidad es cercana a 1, las ramas de la hipérbola son más puntiagudas, como se muestra en la figura 10.17. y

y

La excentricidad es grande

La excentricidad se acerca a 1

Vértice Foco

Vértice Foco

e = ac c

Foco

Foco Vértice

Vértice

x

x

e = ac

a c

a

Figura 10.17

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SECCIÓN 10.1

Cónicas y cálculo

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La aplicación siguiente fue desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial. Muestra cómo los radares y otros sistemas de detección pueden usar las propiedades de la hipérbola. EJEMPLO 8

Dos micrófonos, a una milla de distancia entre sí, registran una explosión. El micrófono A recibe el sonido 2 segundos antes que el micrófono B. ¿Dónde fue la explosión?

y

Solución Suponiendo que el sonido viaja a 1 100 pies por segundo, se sabe que la explosión tuvo lugar 2 200 pies más lejos de B que de A, como se observa en la figura 10.18. El lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran 2 200 pies más cercanos a A que a B es una rama de la hipérbola sx 2ya 2d 2 s y 2yb 2d 5 1, donde

4 000 3 000 2 000

d2 B

d1 A

−2 000

Un sistema hiperbólico de detección

2 000 3 000 −1 000 −2 000

280 2c 5 55280 200 d2 2 d1 5 2a 5 22200 Figura 10.18

c=

1 milla 5 280 pies = = 2 640 pies. 2 2

a=

2 200 pies = 1100 pies 2

x

y

Como c2 5 a 2 1 b2, se tiene que b2 5 c2 2 a2 5 5 759 600 y se puede concluir que la explosión ocurrió en algún lugar sobre la rama derecha de la hipérbola dada por

Mary Evans Picture Library

x2 y2 2 5 1. 11,210,000 210 000 55,759,600 759 600

CAROLINE HERSCHEL (1750-1848) La primera mujer a la que se atribuyó haber detectado un nuevo cometa fue la astrónoma inglesa Caroline Herschel. Durante su vida, Caroline Herschel descubrió ocho cometas.

En el ejemplo 8, sólo se pudo determinar la hipérbola en la que ocurrió la explosión, pero no la localización exacta de la explosión. Sin embargo, si se hubiera recibido el sonido también en una tercera posición C, entonces se habrían determinado otras dos hipérbolas. La localización exacta de la explosión sería el punto en el que se cortan estas tres hipérbolas. Otra aplicación interesante de las cónicas está relacionada con las órbitas de los cometas en nuestro sistema solar. De los 610 cometas identificados antes de 1970, 245 tienen órbitas elípticas, 295 tienen órbitas parabólicas y 70 tienen órbitas hiperbólicas. El centro del Sol es un foco de cada órbita, y cada órbita tiene un vértice en el punto en el que el cometa se encuentra más cerca del Sol. Sin lugar a dudas, aún no se identifican muchos cometas con órbitas parabólicas e hiperbólicas, ya que dichos cometas pasan una sola vez por nuestro sistema solar. Sólo los cometas con órbitas elípticas como la del cometa Halley permanecen en nuestro sistema solar. El tipo de órbita de un cometa puede determinarse de la forma siguiente. 1. Elipse: 2. Parábola: 3. Hipérbola:

v < !2GMyp v 5 !2GMyp v > !2GMyp

En estas tres fórmulas, p es la distancia entre un vértice y un foco de la órbita del cometa (en metros), v es la velocidad del cometa en el vértice (en metros por segundo), M < 1.989 3 1030 kilogramos es la masa del Sol y G < 6.67 3 1028 metros cúbicos por kilogramo por segundo cuadrado es la constante de gravedad.

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CAPÍTULO 10Conics, Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Chapter 10 Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 1010 Conics, Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 10 Conics, Conics, Parametric Parametric Equations, Equations, and and Polar Polar Coordinates Coordinates Chapter

Exercises www.CalcChat.com forforworked-out solutions to odd-numbered exercises. 10.1 Ejercicios SeeSee 10.1 Exercises See www.CalcChat.com worked-out solutions odd-numbered exercises. 10.1 Exercises www.CalcChat.com for worked-out solutions tototo odd-numbered exercises. 10.1 See www.CalcChat.com for worked-out solutions toodd-numbered odd-numbered exercises. See www.CalcChat.com worked-out solutions to odd-numbered exercises. Exercises See www.CalcChat.com forfor worked-out solutions exercises. 10.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 10.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 10.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 10.1 SeeSee www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. En10.1 los ejercicios 1 amatch 8, relacionar laSee ecuación con sugraph. gráfica. [Lassolutions En los ejercicios 17 find a 20, the hallar el vértice, eland focodirectrix y la directriz de See www.CalcChat.com for worked-out worked-out solutionsIn to odd-numbered odd-numbered exercises. Exercises www.CalcChat.com for to exercises. In Exercises 1– 8, the equation with its [The Exercises 17–20, vertex, focus, of the In Exercises 1– match the equation with its graph. [The In Exercises 17–20, find the vertex, focus, and directrix the In 8,8,8, In Exercises 17–20, find the vertex, focus, and directrix ofofof the InExercises Exercises1– 1– 8,match matchthe theequation equationwith withits itsgraph. graph.[The [The In Exercises 17–20, find the vertex, focus, and directrix of the In Exercises 1– 8, match the equation with its graph. [The In Exercises 17–20, find the vertex, focus, and directrix of the In Exercises 1– match the equation with its graph. [The In Exercises 17–20, find the vertex, focus, and directrix the gráficas están marcadas a),(c), b), (d), c), d), e),(f), f),with g) yand h).] In Exercises 1–1– 8,(a), match the equation its graph. [The graphs are labeled (b), (e), (g), (h).] graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), and (h).] In Exercises 8, match the equation with its graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), and (h).] In Exercises 1– 8, match the equation with its graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), and (h).] graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), and (h).] graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), and (h).] In Exercises 1– 8, match the equation with its graph. [The In Exercises 1– 8, match the equation with its graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), and (h).] y graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), and (h).] [The a) b) y y graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), and (h).] In Exercises 1– 8, match the equation with its graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), and (h).] In Exercises 1– 8, match the equation with its graph. (a) (b) graphs are labeled (e), (f),yy(g), yyy and (h).] yy yyy (a), (b), (c), (d), (a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b) y(g), y (a), graphs are labeled labeled (b), (c), (c), (d), (d), (e), (f), (g), and (h).] (h).] (a)(a) are (b)(e), graphs (f), y and y(a), (b), 8 4 y y (b) y y 4 (a) (b) (a) (b) 4 444y 88 888y (a) (b) 4 686yy (a) (b) 224 yy4 668866 8 (a) (b) 4 486 44686444 6 864 4 64464 x −8− 8−6−6 4 4 − 2− 2 222 222444 444 −−8−8 8−6 −6 −2 −6 8−−6 −−2−22 2 4 − 8 −6 −−4−24 −8 2 4 −−88−6 −6 −6 −6 −4 −−−−−422−244− 2 222 444 −8 −4 − 4 22 44 − 8 −6 −8 −6 −8 − 4 − 4 − 2 yy−y24 (c) c)(c) yy yy (c) (c) (c) (c) −−y44 (c)(c) y (c) yyy (c) (c) 4 4yy 4 (c) (c) 44 44 2242 224422 4 42 xx x x xx 2 − 6−−4 − 4 − 2 −6 −2 422242 22 2444 4666 6 xx 666−4 − 4 − −−6−6−−4 − 2 2 6 6 4 4 −−44−−2−22 2 22 4 6 x − 6 −4−4 −2 2 4 6 xxx −6 − −−4422−2 2 4 6 −4−444 222 444 666 xx −−−666−−−444− −−−4222− −4 −−66 −−44 −−−−22−444 − 4 22 44 66 −−44 (e) (e) e) y (e) (e) (e) (e)

(e)(e) (e) (e) (e) (e) (e)

4 2

2244222 2 x 4242 2 2 22 44 4 2 22 22 44 44 22 2 4 2 4 −4 222 444 −4−4 −4 −4 −4 −4 2 4 4 2 −4 −4 −4y−4 −4 y y (d) d) (d) (d) −4yyyyy (d) −4 (d) (d) (d)(d) y (d) 4 (d) 44 444yyy (d) 4 (d) 2244 yy4 (d) 2244222 2 x 4242 2 2 22 2 44 4 66 6 2 4 6 2 22 4 44 6 66 − 2222 −2 2 4 6 −−2− −2−22 2 24 46 6 −−−−4−2224− 2 22 44 66 −4 −−4−42−44 22 44 66 −4 −22 − 4 −− −−444 (f(f) ) (ff) (f)(f(f ) )) −−44 y

(f ) (f(f)))(f ) (f (f)) (f

x −8

−4 −2

2 4

−4 −6 −8 y yy yyy y 6 y y 66 666yy 6 6 yy6 266 2266222 2 − 6 6 − 2− 2222 2 2 2 6 −−6− −6−66 −−2−2−22 22 22 66 666 x −6 − 222 2 6 − 6 − 2 2 6 −−−666 −−−222 222 666 − 6− 6 −−−622−6−66 22 −−66 66 −6 −−666 − 6 − 4x4x 1. y22y2 225 25 −4x 4x 1.1.1. −4x 66 5 1.yyyy5 1. 55 4x

(g) (g) (g) (g) (g) (g) g) (g)(g) (g) (g) (g) (g) (g)

2 1 x

−3

−1

1

3

−2

yy yyy yy y y 4 yyy 444 444 y y 4 242 4 2224422 2 4242 2 −2−2 2 2 4 6 x −2 −2 −2 −2 − 2−222 222 222 444 444 666 666 −2 −2 2 4 6 −−2 −2−22 −2−2 −2 2 24 46 6 −2 −2 −2 −−−4−224− 2 22 44 66 −−4−42−44 −4 −2 −2 22 44 66 −4 −22 − 4 −− −−444 2 2s y y112d2d 2. sx x1 2 22d5 25 25 −−1 4444dd4 2s2ys 1 2d 2.2.sxs1

(h) (h) (h) (h) (h) (h) h) (h)(h) (h) (h) (h) (h) (h)

144d4d2d 55 522s2yssyy11 122d2dd 2.sxssxx11 2. 2. sx2 y22 y52 5 4x 4x 4dd22242 5 2ys 1 y s1 22 d2 2d 1. 1. 2. s2. s1 x2241 d52ss225 y1dd1221 5 1. 2. sxsxxssxs2 5 4x 1 5 sss1 1 1. 2. 25 2 2 5 22s y 2 2d xxx2 2 222dd2d2dd2d21 yyyyy211 544x 4x 1 4 2 1 1. syyyxy2221 2. s x d y 1 5 4x 1 4 1. 2. 2 1 2 s 1 d 1 3. 4. s 2 s y 1112d1d22d2ddd25 2 22d5 2 2 s x 1 4 5 22 s y 2 2 d 1 5 3. 4. s x 2 2 d s y 1 2 2 s x 1 4 d 22 s y 2 2 d 1 11111 3.3. 4. 144x 522 22 222d2dd 3.syyxs2sxx1 4.ssxx 16 1 4d4d2d 55 22 ssyy22 1 5 3. 4. 212s y41 22d25 25 22221 s y 5 4. 5 4x 1 4 d 5 1. 2. s x 2 d s y 1 1 d 5 1 4 d 5 2 s y 1 2 d 1. 2. 16 4 2d2 1 ssyy4 2dd2 5 2 2 1 1 sx s1x 1 4d2245 22 s y 2 2 d 1 1 3. 3. 4. 16 16 4 16 4 s x 2 2 1 1 2 16 4 s x 2 2 d s y 1 1 d sx2 2 d2 1 d5 22 5 s2 y 22 2d 1 5 22 5 3. 4. 162y16 1 444d2dd2 5 2222 2 1 s1y 14 14d225 51115 1 3. xss2sx2xx21 4. x4. 3. 4.4. sssyyy 2 22ddd 1 5 221 2 2 2xx 2 16 4 s 2 2 d s y 1 1 d 2 yy2y222 2 2 2 2 2 2 2 s 2 2 d s y 1 1 d 2 2 2 x y 16 4 16 4 x x y 16 4 5 122 11 5. 6. xxxx2 11yyy2 5 xxx1 11 5 22 2 22dd 15 5 11 3. 4. 1 4y49ydydy2225 5 1 5 3. 4. 5 111 ssyy 2 5. 6. y 1 1 5 1 5.5. 6. 1 5 1 5 1 5.s4sxxx42221 6. 1 5 1 5 1 5. 6. 2 2 2 2 16 16 1 5 1 1 5 1 6. 4 x16 216 222 16 222 y5 1 4 x4x244x19y1 y9y29992 y5 5 1 116 5. 45. 6.16 16 16 16 x16 y216 16 x16 xx16 yy16 1 5 1 5 5. 6. 225 1 x2922225 5 111 1 12y1 51y115 12 21 5. yx2422221 6. s6. 1 5. 6. 1 5 xx16 dy16 222 22 4 9 16 16 2 2 4 9 16 x y y 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y 2 2 2 2 y x s x 2 2 d y 4 9 16 9xss2 yy4yy2 2 xx9xx25 sxs16 22d916 yy11yy2551 1 2 xx1 2 2d2d2d2 1 7. 8. 12 55 5 5. 6. 1 5 5 5. 6. 2 7. 8. sx 2 216 d222 y 5y5 2 1111111 1 11 7.7. 8.8. 7.16 8.16 2 5 2 7. 8. 221 25 224 25 91 2 2 16 16 x5 s2 x999222 4yy416 9x1x9x221212155 2 222d 222 y21 y s x 2 d y4y22424245 1 2 5 15 1 1 7.16 8. 9 4y2 16 16 s x 2 2 d 16 9 y x s x 2 d 2 5 1 7. 8. 2 5 1 2 5 7. 8. 16 1 9 4 2 5 1 2 5 7. 8. 2 xx1122 5 7. y16 8. ssxx 2 22 16 11 9dd22 2 y4y4422 5 4 111 9 y 2 2 2 16 9 16 1 9 InIn Exercises 9–16, find the vertex, focus, and directrix ofofthe 2 9–16, 59–16, 2 5 11 of 7.Exercises 8.focus, 2 5 11 find 2 5 7. 8. Exercises find the vertex, focus, and directrix the In the vertex, directrix the In Exercises 9–16, find the vertex, focus, and of the In Exercises 9–16, find the vertex, focus, and directrix of the In Exercises find the vertex, focus, and directrix of 16 and 4 16 11 9–16, 99 and 4directrix In Exercises 9–16, find the vertex, focus, and directrix of the thethe parabola, sketch itsfind graph. parabola, and sketch its graph. In Exercises 9–16, the vertex, focus, and directrix of parabola, and sketch its graph. In Exercises 9–16, find the vertex, focus, and directrix of the parabola, and sketch its graph. parabola, and sketch its graph. parabola, and sketch its graph. In Exercises 9–16, find the vertex, focus, and directrix of the In Exercises 9–16, find the vertex, focus, and directrix of the parabola, and sketch itshallar graph. En los2 ejercicios 9sketch a 16, el vértice, el foco y la directriz de and graph. 2 1 6y parabola, and sketch its graph. In Exercises 9–16, find the vertex, and directrix of of the the parabola, and sketch itsits graph. In Exercises 9–16, find the vertex, focus, and xfocus, y 225 28x 5 0directrix 9. parabola, 10. 2 parabola, and sketch its graph. 25 22 1 28x 6y 10. la parábola, y trazar su gráfica. xx2xx2x21 yy2yy2y25 28x 6y 555 00000 9.9.9. 10. 5 28x 1 6y 5 9. 10. 5 28x 1 6y 5 9. 10. 5 28x 1 6y 10. parabola, and sketch its graph. x y 5 28x 1 6y 5 0 9. 10. parabola, and sketch its graph. 25d 1 s y 2 3d2 25 0 26d2 21 8s y 1 7d 5 0 x2x21 sx2x22 11. 12. x1 y5 5 28x 1 0y 17d75 10. 28x 5 9. 10. 25 22 5 26y 1 55d51 ddd1 1 yyy22 2 662d62dd2d1 1 11. 12. 5 28x 1 6y 9.ssxs9. 10. 55d28x ssysyss2 33d332d32dd2d5 00000 12. 666y d6y 8005 0 000 11. yyyxss2s1 5 1 5 9. 10. 1 1 2 5 2 1 177d7ddd55 5 11. 12.sxsxxxss2s2 xx1 1 1 2 5 xx2 2 1 yy11 5 11. 12. 5 1 80s888sy8ssyssy1 11. 12. s x 1 5 d 1 s y 2 3 d 5 0 s x 2 6 d 1 1 75 d 750d 05 0 11. 12. 2 2 2 2 2 2 2 2 2235 221 y y 2 4y 2 4x 5 0 1 6y 8x 1 25 13. 14. x y 5 28x 1 6y 5 0 2 2 s x 1 5 d 1 s y 2 d 5 0 s x 2 6 d 1 8 s y 1 11. 12. 9. 10. x y 5 28x 1 6y 5 0 9. 10. 2 2 2 2 s x 1 5 d 1 s y 2 3 d 0 s x 2 6 d 1 8 s y 1 7 d 5 11. 12. 2 2 2 2 2 5 1 25 13. 14. 1 5d4y d2 12 sy4x y4x 2 5 00 2 6d6y d11 1 sy1 y1 1 75 d5 5 11. 12. 4y 4x 5 0330d00d0 5 6y 8x 25 000000 0 13. 14. 1 54y 1 s4x 2 2 66y 1 888x s1 1 725 d5 11. 12. 2 4y 2 5 1 6y 1 8x 5 13.yyssxyy2yx22 14.yyssxyy2yx21 2 4y 2 4x 5 1 6y 1 8x 1 25 13. 14. 2 2 5 1 8x 25 13. 14. y y 2 4y 2 4x 5 0 1 6y 1 8x 1 25 5 0 13. 14. 2 2 24x 2 4y yssx2x22221 xss2xx22221 1 4y 43d04d255 00 8x 12 15. 16. 1 y2 2 2 d21 1 y8x 1 d25 5005 0 y1 2 4y 2 4x 05 1 6y 1 1 13. 14. 11. 12. 1 554y dd1 ss4x y4x 5 2 666y d4y 1 888x ss2 y2 1 775 d5 5 11. 12. 2 4y 2 4x 5 1 6y 8x 1 25 5 13. 14. 2 2y 1 4x 1 4y 2 1 1 8x 2 12 5 15. 16. 2 4y 2 5 1 6y 1 1 25 5 13. 14. 4x 4y 22 434005 000000 4y 11 8x 12 0000000 0 15. 16. 2 2 5 1 25 13. 14. 1 4x1 1 4y 2 455 5 1 4y 1 8x 2 125 5 15.xxyy2yxx22x21 16.yyy2yyy2y21 1 4x 1 4y 2 45 1 4y 1 8x 2 12 5 15. 16. 1 4x 4y 1 4y 8x 2 12 15. 16. y x 1 4x 1 4y 2 4 5 0 1 4y 1 8x 2 12 5 0 15. 16. 2 2 2 2 2 2 1 1 8x 5 00 0 y1 x1 1 1 4 05 0 14. 1 4y 1 8x 2 2 4y 2 4x 5 04 5 6y 1 25 13. 14. yxxyx222 2 2 5 yyyyy2221 5 13. 4x 1 4y 2 5 4y 1 8x 2 12 5 15. 16. 1 4y 4x4x 1 4x 4y4y 2 0442 5 16y 4y1 18x 8x1 225 1212 50005 15.15. 16.16. 1 4x 1 4y 2 00 1 4y 1 8x 2 12 5 15. 16. 22 1 22 1 2 2 y x 1 4x 1 4y 2 4 5 0 1 4y 1 8x 2 12 5 15. 16. y x 4x 1 4y 2 4 5 0 4y 1 8x 2 12 5 0 15. 16. 15. x 1 4x 1 4y 2 4 5 0 16. y 1 4y 1 8x 2 12 5 00

la parábola. Luego usar unavertex, herramienta dethe graficación In Exercises 17–20, the focus, and directrix of para thethe parabola. Then use a afind graphing utility toto graph parabola. parabola. Then use graphing utility graph the parabola. In Exercises 17–20, find the vertex, focus, and directrix of parabola. Then use aafind graphing utility to graph the parabola. In Exercises 17–20, find the vertex, focus, and directrix of the parabola. Then use agraphing graphing utility to graph the parabola. parabola. Then use afind graphing utility to graph the parabola. parabola. Then use utility to graph the parabola. In Exercises 17–20, the vertex, focus, and directrix of the the In Exercises 17–20, the vertex, focus, and directrix of representar la parábola. parabola. Then use a graphing utility to graph the parabola. 1 parabola. Then a graphing utility to graph the parabola. Then use aafind graphing utility to graph the parabola. In Exercises 17–20, find the vertex, vertex, focus, and directrix of the parabola. Then use graphing utility to5graph graph the parabola. In Exercises 17–20, the directrix the yfocus, 5 2 y22y2 221 xThen 11 y y5 0use s111x1s22x2 222 8x 1parabola. 6d6of 17. 18. 161and parabola. use a graphing utility to the parabola. 2 2 y 2 1 x 5 0 2 8x 1 d 17. 18. 22 xxx1 yyy5 00000 sx x22 8x 11 66d66d6ddd 17. 18. 5 1 1 5 2 8x 1 17.yyyyy21 18.yyy5 yyto 5 2 1 xx1 1 yyuse 5 2 8x 1 17. 18. 21 22 5 8x 17. 18. 62 616s66s6sxsxsxx 1 1 5 5 2 2 8x 1 17. 18. 1 the parabola. Then graphing utility utility graph the parabola. 5 2 1 xThen 1 y45 5 00aa0graphing 2 8x 1 6d0 6d 17. 18. parabola. use graph parabola. 2 4x 21 22s8y yyy2y2y222222 2 5 xy2yy2x2to 2x 1 98x 561 19. 20. 2 5 1 x2 1 y5 5 x2 2 17. 18. 11612 5 2 1 x 1 y 5 0 s x 8x 1 17. 18. 2y 2y2 621 22 2 4x 4 0 2x 1 8y 1 9 19. 20. 5 2 1 x 1 y s x 2 8x 1 65 17. 18. 6 y 2 4x 2 4 5 0 x 2 2x 1 8y 1 9 5 0ddd00000 19. 20. y 5 2 y 1 x 1 y 5 0 s x 2 8x 1 65 17. 18. y 2 4x 2 4 5 0 x 2 2x 8y 1 9 19. 20. 6 y 2 4x 2 4 5 0 x 2 2x 1 8y 1 9 5 19. 20. 2 2 4x 2 4 5 0 x 2x 1 8y 1 9 5 19. 20. 6 22 22 y 2 4x 2 4 5 0 x 2 2x 1 8y 1 9 5 19. 20. 1 1 1 yy2222 y1 2 4x 2yy2 45 5 0 0 xy225 222 2x 8y8x 11 95 0 0 19. 20. 2 2 22 2 2 1 x4x1 1 55 s2x x1 2 8x 1 17. 18. 4x 40005 x2 2 1 8y 96dd05 19. 20. y y x s x 6 17. 18. 2 2 25 4x 2 4 x 2x 1 8y 1 9 5 19. 20. 6 6 y 2 2 4 5 0 x 2 2x 8y 1 9 5 19. 20. y 2 4x 21–28, 221–28, 4 5 find 0 findananequation x ofthe 2the 2x 1 8y 1 9 5 00 19. 20. of In Exercises parabola. In Exercises equation parabola. In Exercises 21–28, find an equation of the parabola. In Exercises 21–28, find an equation of the parabola. In Exercises 21–28, find an equation of the parabola. 2 2 2 2 In 21–28, equation the parabola. EnExercises los ejercicios 210find a 28,an hallar una de8y parábola. 2 4x 2 2 5 0find xof 2 2 2x 1 8yla1 1 5 00 19. 20. ecuación yy 2 4x 44 5 xof 1 99 5 19. 20. In Exercises 21–28, an equation the2x parabola. In Exercises find equation of parabola. In Exercises 21–28, find an equation of the parabola. In Exercises 21–28, find anan equation of thethe parabola. s5, 421–28, d4d find 1d1d s22, 21. Vertex: 22. Vertex: In Exercises 21–28, an equation of the parabola. s 5, 22, s 21. Vertex: 22. Vertex: 44d4d44) 11d1d1) s22, 21. Vertex: 22. s(5, 5, 22, 1dd 21.Exercises Vertex:s5, 22.Vertex: Vertex: s21–28, 5, dd find an equation 22, ss(22, 21. Vertex: 22. Vertex: ss5, ss22, 21. Vertex: 22. Vertex: Vértice: 22. Vértice: 21. In of the parabola. parabola. 5, 22, 1d d1d 21. Vertex: 22. Vertex: In Exercises 21–28, an equation of the s3, 4s4d445,ddd 4d find 21 s22, Focus: Focus: s22, Vertex: 22. Vertex: s 5, 22, 1 d s 21. Vertex: 22. Vertex: s 3, 22, 21 s Focus: Focus: 5, 1 d d ddd 21.21. Vertex: 22. Vertex: s 3, 4 d 22, 21 s Focus: Focus: s 5, 4 d 22, 1 d s 21. Vertex: 22. Vertex: s 3, 4 d 22, 21 s Focus: Focus: s 3, 4 d 22, 21 s Focus: Focus: Foco: (3, 4) Foco: (22, 21) ss3, 44dd 21 ss22, Focus: Focus: 3, 22, 21 d d Focus: Focus: 5, 4dd5dddd4d 22, 1dd21 ss22, 21. Vertex: 22. Vertex: sssss0, 5443, ss2, 2s22, d2d21 23. Vertex: 24. Focus: s Focus: Focus: 5, 22, 1 s 21. Vertex: 22. Vertex: 3, Focus: Focus: s 0, 2, 23. Vertex: 24. Focus: 3, 4 22, 21 s Focus: Focus: 23. Vértice: 24. Foco: 545dd5d55) 22dd22d21 23. 24. 22, s2, Focus: 0, 2, d ddd 23.Vertex: Vertex:ss0, 24.Focus: Focus:ss2, ss(0, 0, dd ss2, 23. Vertex: 24. Focus: ss3, 0, 23. Vertex: 24. Focus: 0, 5 d s 2, 2 d 23.23. Vertex: 24. Focus: y45y0, 5 22 Directrix: Directrix: 22, 21 s22, Focus: Focus: 523 d23 222 d22 Vertex: Focus: ssss3, dddd5 21 dd Focus: Focus: 0, 2, 23. Vertex: 24. 23 xx5 5 22 Directrix: Directrix: s3, 0, d5 2,xxsx22x2, 25 d5 23.Directrix: Vertex: 24.24. Focus: Directriz: Directriz: yy4sy55 23 Directrix: 0, sss2, 23. Vertex: 24. Focus: 5 23 xdd5 522 22 Directrix: Directrix: y5y5 5 23 5 22 Directrix: Directrix: 23 Directrix: Directrix: y 5 23 x 5 22 Directrix: Directrix: y y s 0, 5 d s 2, 2 d 23. Vertex: 24. Focus: 25. 26. y 5 23 x 5 22 Directrix: Directrix: s 0, 5 d s 2, 2 d 23. Vertex: 24. Focus: yyy yyyyy y y 5 23 x 5 22 Directrix: Directrix: y y 25. 26. 5 23 x 5 22 Directrix: Directrix: 25. 26. y y 25. 26. x 5 22 25.Directrix:y y 5 23 26.Directrix: 25. 26. 25. 26. y (2,(2, 4)4) (0, 4) 23 25.25. 26.26. y (2, y4) (2, 4) y 5 x 5 22 Directrix: Directrix: y y 4) (0, 4) y 5 23 x 5 22 Directrix: Directrix: (2, 4) (2, 4) (0, y y 4 (2, 4) (0, 4) 25. 26. y (0, 4) 25. 26.444444y 25. 26. (2, (2, 4) 4) (0, (0, 4) 4) (2, 4) (0, 4) (2,4) 4) (0,4) 4) 25. 26. 344 yy4 (2, 25. 26. 3 yy (0, 3 33443333 333333 (2, 4) 4) (2, (0, 4) 4) (0, 2332 3 2443 3 3 2 22322 223332222 2 1332 2 33 2 112221111 (0, 0) 222 (−2, 0) (2, 0)0) (4, 0)0) (0, 0) (−2, 0) (4, (2, (2, 0) (0, 0) (4, 1 (0, (−2, 0)0) (2, 0)0) 0)0) (4, 0)0) (−2, 0) (2, 0) (−2, (2, (−2, (2, (0, 0) 0) (4, 0) (4, 0) x0) x0) (4, 1 (0, 20) 20) 2121 (0, (−2,(−2, (2, x(2, 0) 0) 20) 3 (4, x(4, 0) 1 (0,1 (0, xxxxx0) xxxxx0) 0) −1 1 (−2, 0) (2, 0) (0, 0) (4, 0) x x (−2, 0) (2, 0) (0, 0) 1 2 3 (4, 0) −1 1 1 2 3 −1 1 (−2, 0) (2, 0) (0, 0) 1 2 3 (4, 0) −1 1 −1 −1 1 11 2 22 3 33 −1 1 11 x x 11 10) 2 3 −1 0) 1 xxx xxx (−2, 0) (2, 0) (0,through (4, 0) (−2, (2, 0) (0, 1 22 2 33s0,3 3(4, 110) −1 11 1toto yd3,d0) s(3, 3, 44)d4,dy, 27. Axis isis−1 parallel axis; graph passes −1 1 2 3 −1 1 ys 0, , s 3, 27. Axis parallel axis; graph passes through El eje es paralelo al eje y; la gráfica pasa por (0, 3), 27. x x x x ys 0, 3 d , s 3, 4 27. Axis is parallel to axis; graph passes through y-axis; 0,33d3,dd,,s3, 3,4d4,d4,dd,, 27.Axis Axisisis isparallel paralleltoto toy-yaxis;graph graphpasses passesthrough throughs0, ss0, ss3, 27. Axis parallel graph passes through 27. y-axis; 27.27. Axis is11 parallel axis; graph passes s−1 4, and 11through 22 33 s0,s3 −1 s4, 11 . 11 to to and y-axis; 0,d,3sd3, , s43,d,4d, Axis isd.dparallel graph passes through

(4, s11). 4, 11parallel d.d.dd.. to y0, 3, 27. Axis is parallel to axis; graph passes through 4, 11 and ssis 4, 11 and ss4, and y-axis; 0,333ddd,,, sss3, 3,444ddd,,, 27.and Axis parallel to yaxis; graph graph passes passes through through sss0, 27. Axis 4,iss11 11 . 5d. 22; and yd11 s0, 2sd2s3, 28. Directrix: endpoints ofofpasses latus rectum are and 4, and s 4, 11 d . and ys 0, 3 d , 3, 4and 27. Axis is parallel to axis; graph passes through y 5 22; s 0, d 28. Directrix: endpoints latus rectum are s 4, 11 d . and ys 0, 3 d , 4and dd,, 27. Axis is parallel to axis; graph through y 5 22; 28. Directriz: extremos del lado recto (latus rectum) son 22; s0, 22d2d2dand 28. ofofof latus rectum are s4, 11ydy. 5 and 5 22;endpoints 0, dand 28.Directrix: Directrix: endpoints of latus rectum are yy55 22; ss0, 28. Directrix: endpoints latus rectum are and 22; ss0, 28. Directrix: endpoints latus rectum are y 5 22; 0, 2 d 28.28. Directrix: endpoints of latus rectum are and sand 8, 2 d . s 4, 11 d . and s 8, 2 d . y 5 22; s 0, 2 d Directrix: endpoints of latus rectum are s 4, 11 d . y s 0, 2 d s 8, 2 d . s 8, 2 d . 22; 0, 28. Directrix: endpoints of latus rectum are and 8, 22dd.. y 5 ss8, 8, 5 22; 22; endpoints 0,222ddd and 28. sDirectrix: endpoints of of latus latus rectum rectum are are sss0, andand 28. sDirectrix: 8,s228,dd..2d. yy 5 s 8, 2 d . y 5 22; s 0, 2 d 28. Directrix: endpoints of latus rectum are and s8,8,22dd.. 29–34, y 5 22; s0, 2d and 28.Exercises endpoints of latus rectum areeccentricity sDirectrix: In find the center, foci, vertices, and In Exercises 29–34, find the center, foci, vertices, and eccentricity En los ejercicios 29 afind 34, hallar elfoci, centro, el foco, el vértice y la In Exercises find the center, vertices, and eccentricity In 29–34, the center, foci, vertices, and eccentricity In Exercises 29–34, find the center, foci, vertices, and eccentricity In Exercises 29–34, find the center, foci, vertices, and eccentricity s8, 8,ellipse, sExercises 22dd.. 29–34, In Exercises 29–34, find the center, foci, vertices, and eccentricity of the and sketch its graph. of the ellipse, and sketch its graph. In Exercises 29–34, find the center, foci, vertices, and eccentricity excentricidad de la elipse y trazar su gráfica. ofof the ellipse, and sketch its graph. In Exercises 29–34, find the center, foci, vertices, and eccentricity of the ellipse, and sketch its graph. of the ellipse, and sketch its graph. ellipse, and sketch its graph. Inthe Exercises 29–34, findthe the center, foci,vertices, vertices,and andeccentricity eccentricity In Exercises 29–34, find foci, of the ellipse, and sketch itscenter, graph. of the ellipse, and sketch its graph. 2 1 229–34, 2vertices, 2 5 of the ellipse, and sketch its graph. In Exercises find the center, foci, vertices, and eccentricity of the ellipse, and sketch itscenter, graph. In Exercises find the foci, and 3x3x 16x y229–34, 5 1616 1 7y7y 6363eccentricity 29. 30. 2 2 2 2 of the ellipse, and sketch its graph. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16x 1 y 5 1 5 29. 30. 29. 30. 16x yyyy2555 16 7y7y 63 29. 30. 3x111 16x 1 5 16 1 7y555 5 63 29. 30.3x 3x 16x 1 16 63 29. 30. 3x 16x 1 16 63 29. 30. 21 of the ellipse, and sketch its graph. graph. 3x223x 16x 1 y2 22and 5 16 12 7y 7y 227y 5 63 29.the 30.30. of ellipse, sketch s16x x16x 2 d32222dy1 s2ys16 2 1d1222d222 its s52ys y63 1 6d6222d222 16x 5 16 1 5 22233 22 1 22 s5 3x 1 5 1 7y 5 29. 30. 222 y 27y s x 2 y 2 1 3x 1 y 5 16 1 63 29.29. 30. s x 2 d s y 2 1 d y 1 663 3x 16x 1 y 5 16 7y 63 29. 30. s x 2 3 d s y 2 1 d s y 1 s x 2 3 d s y 2 1 d s y 1 1 5 1 s x 1 4 d 1 31. 32. s x 2 3 d s y 2 1 d s y 1 6d66d6dd2d551 1 2 2 2 2 2 2 2 1 5 1 s x 1 4 d 1 31. 32. sx 16 2 3d2y21 2 1d225 s y63 1 1111 32. 44d4d47y 1111 31. 1 1 31.16x 32.sxs3x xx21 d2d11 1 5 31. 32. 21 25 25 25 1y4 2 1 21 31. 32. 2x 22 221 xsxs1 31. 32. 225 3x 16x y31 5sssyy16 16 1 7y 5 63 29. 30. s 2 d s y25 2 15 d s y 61 65 d5 1 5 1 5 29. 30. 16 25 1y4 2 2 s x 2 3 d 2 1 d s y 1 1 5 1 5 1 1 s 1 4 d 1 31. 32. 16 25 1y4 16 25 1y4 16 1y4 s x 2 3 d y 2 1 d s y 1 2 16 25 1y4 sx22 3d 21 s1y 2 1d 5 1 66ddd2 5 5 1 32. 5 s1 x 41 d1 s1y 1y4 32. 22241 1 s x 1 d 31. 16 25 1 5 1 s x 4 d 5 31.31. 32. 1 5 1 5 111 s x 1 4 d 1 31. 32. 9x 1 4y 1 36x 2 24y 1 36 5 0 33. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 25 1y4 2 2 16 25 1y4 s x 2 3 d s y 2 1 d s y 1 6 d 2 2 2 2 s x 2 3 d s y 2 1 d s y 1 6 d 33. 9x 1 4y 1 36x 2 24y 1 36 5 0 2 2 9x 1 4y 1 36x 2 24y 1 36 5 0 33. 16 25 1y4 4y 111 36x 24y 1 3636 5 0 ss00xx 1 33. 16 25222 1y4 5 9x1 1 4y1 1 36x 2 24y 1 36 5 33.9x 9x 4y 36x 24y 1 5 33. 22 1 9x 11 4y 36x 24y 5 33. 2 1 5 5 11 31. 32. 5 111 31. 32. 9x229x 4y 1 1 36 36 5 05 0 5010 44dd 1 33.33. 21 22 36x 2 24y 2 1 25y 64x 1 150y 1 279 16x 34. 16 25 1y4 22 22 2 21 1 36x 2 24y 1 36 16 25 1y4 222 224y 9x 1 4y 36x 2 24y 1 36 5 005 33. 21 236x 21 22 34. 16x 25y 2 64x 1 150y 1 279 5 0000 21 22 1 25y 2 64x 1 150y 1 279 5 16x 34. 9x 1 4y 1 36x 2 24y 1 36 5 33. 25y 64x 1 150y 1 279 0 34. 9x 4y 1 2 24y 1 36 5 0 33. 1 25y 2 64x 1 150y 1 279 5 16x 34.16x 1 25y 2 64x 1 150y 1 279 5 16x 34. 1 25y 2 64x 1 150y 1 279 5 0 16x 34. 2 2 2 64x 1 150y 1 279 5 0 25y 16x 34.34. 24y 2 22 22 2211 22 25y 9x 1 36x 24y 1150y 36 5 33. 1 1 1 0 9x 1 36x 264x 24y 1 36 00279 33. 21 222 2 1 25y 2 1 150y 1 279 5 16x 34. 14y 25y 2 64x 64x 1the 150y 15 279 5 005 0 and 16x16x 34.Exercises 1 25y 1 150y 1 279 5 16x 34. In 35–38, find center, foci, vertices of the En los ejercicios 35 64x afind 38, hallar el centro, eland foco yvertices el vértice de la In Exercises 35–38, find the center, foci, and the In Exercises 35–38, the center, foci, vertices ofofof the In Exercises 35–38, find the center, foci, and vertices of the In Exercises 35–38, find the center, foci, and vertices of the 2 2 2 2 In Exercises 35–38, find the center, foci, and vertices the 1 25y 2 64x 1 150y 1 279 5 0 16x 34. 1 25y 2 64x 1 150y 1 279 5 0 16x 34. In Exercises 35–38, find the center, foci, and vertices of of thethe ellipse. Use a graphing utility to graph the ellipse. elipse. Con ayuda de una herramienta de graficación represenellipse. Use a graphing utility to graph the ellipse. In Exercises 35–38, find the center, foci, and vertices ellipse. Use a graphing utility to graph the ellipse. In Exercises 35–38, find the center, foci, and vertices of the ellipse. Use a graphing utility to graph the ellipse. ellipse. Use a graphing utility to graph the ellipse. ellipse. Use a graphing utility to graph the ellipse. In Exercises 35–38, find the center, foci, and vertices of the In Exercises find the to center, foci, and vertices of the ellipse. Use a 35–38, graphing utility graph thethe ellipse. tar la elipse. ellipse. Use a2 2graphing utility to graph ellipse. 2Use ellipse. aa graphing graphing utility to graph the ellipse. In Exercises 35–38, find the center, foci, and vertices of of the the ellipse. Use graphing utility to graph the ellipse. ellipse. In Exercises 35–38, find the center, and vertices 12x 1 20y 2 12x 1 40y 2 37 550foci, 35. 2 ellipse. a utility to graph the 22Use 222 2 2 2 2 12x 1 20y 2 12x 1 40y 2 37 0 35. 12x 1 20y 12x 1 40y 2 37 5 0 35. 12x 1 20y 2 12x 1 40y 2 37 5 0 35. 12x 1 20y 2 12x 1 40y 2 37 5 0 35. 12x 1 20y 2 12x 1 40y 2 37 5 0 35. 2 2 ellipse. Use a graphing utility to graph the ellipse. 12x 1 20y 2 12x 1 40y 2 37 5 0 35. ellipse. Use a graphing utility to graph the ellipse. 2 2 2 2 2 2 221 36x 9y 48x 2 36y 1 4343 537 0 00 0 36. 35. 12x 1 20y 2 12x 1 40y 2 37 5 2 1 2 12x 1 40y 2 35. 212x 2220y 2221 12x 20y 2 12x 1 40y 2 37 5 35. 221 21 22 36x 1 9y 48x 2 36y 1 36. 12x 1 20y 2 12x 1 40y 2 37 35. 36x 9y 48x 22 36y 11 43 555 05000005 36. 12x 20y 2 12x 1 40y 2 37 5 35. 36x 1 9y 1 48x 2 36y 1 43 36. 36x 1 9y 1 48x 2 36y 1 43 5 36. 36x 1 9y 1 48x 36y 43 36. 21 21 36x 9y 48x 2 36y 1 43 5 0000 0 36. 2 2222 1 21 223x 2 21 221 2 x 1 2y 2 4y 0.25 5 0 37. 12x 1 20y 12x 1 40y 2 37 5 35. 36. 36x 1 9y 1 48x 2 36y 1 43 5 2 2 2 2 36x 9y 48x 2 36y 1 43 36. 12x 1 20y 2 12x 1 40y 2 37 5 35. 236x 229y 36x 1 48x 2 36y 1 43 5 36. 22 2 22 22 xx2x21 1 2y 3x 1 4y 1 0.25 5 000 005 37. 1 9y 1 48x 2 36y 155 43 5 0 36. xx36x 2y 2 3x 1 4y 11 0.25 005 37. 1 9y 1 48x 2 36y 1 43 36. 1 2y 2 3x 1 4y 1 0.25 5 37. 1 2y 2 3x 1 4y 1 0.25 5 37. 1 2y 2 3x 1 4y 0.25 37. 2 xx222 x1 2y 3x 1 4y 1 0.25 5 05 37. 222 2 222 1 222 4.8x 2x y 1 2 6.4y 1 3.12 0 38. 36x 9y 1 48x 2 36y 1 43 36. 1 2y 2 3x 1 4y 1 0.25 5 0 37. 2 2 2 2y 2 3x 1 4y 1 0.25 5 0 37. 36x 1 9y 1 48x 2 36y 1 43 36. 2 2 2 x 1 2y 2 3x 1 4y 1 0.25 5 0 37. 2 2 2 2 2 2 2x 1 y 1 4.8x 2 6.4y 1 3.12 5 38. 1 2 3x 1 4y 11 0.25 55 37. 2x y2y 4.8x 224y 6.4y 3.12 00000 38. xx2x 2y 2 3x 1 1 0.25 5 0055 37. 2x21 1 1 4.8x 2 6.4y 1 3.12 5 38. 1 4.8x 2 6.4y 1 3.12 38. 2x 11 yyyy211 4.8x 6.4y 1 3.12 38. 2x 1 4.8x 2 6.4y 1 3.12 5 00 0 38. 211 22 22y 2 1 22 21 2222 x 3x 1 4y 1 0.25 5 0 2x 1 y 1 4.8x 2 6.4y 1 3.12 5 37. 38. 2 2x 1 y 4.8x 2 6.4y 1 3.12 38. x 2y 2 3x 1 4y 1 0.25 5 0 37. 2x 1 1 4.8x 2 6.4y 1 3.12 5 38. 2x2 1 1 yyy239–44, 1 4.8x 4.8xfind 2 6.4y 6.4y 1 3.12 3.12 5 5of005 0the ellipse. 38.Exercises 2x 1 2 1 38. In ananequation In Exercises 39–44, find equation of the ellipse. In Exercises an equation ofof0of the ellipse. In Exercises 39–44, find an equation the ellipse. In Exercises 39–44, find an equation the ellipse. 239–44, In Exercises find an equation the ellipse. 2x22 1 1 yy239–44, 1 4.8xfind 2 6.4y 1 3.12 5 5 0of 38. 2x 1 4.8x 2 6.4y 1 3.12 38. In Exercises 39–44, find an equation of thethe ellipse. En los ejercicios 39 a 44, hallar una ecuación de In Exercises 39–44, find an equation of ellipse. In Exercises 39–44, find an equation of the ellipse. In Exercises 39–44, find an equation of the ellipse. s0, s 0, 0 d 3la d, selipse. 8, 3d 39. Center: 40. Vertices: In Exercises 39–44, find an equation of the ellipse. sss0, sss0, sss8, 39. Center: 40. Vertices: s0, s0, 00d00d0ddd 33d333,d3,ddsd,,8, 33d33d3ddd 39. Center: 40. Vertices: 0, 0, 8, 39. Center: 40. Vertices: 0, 0, 8, 39. Center: 40. Vertices: s s 0, 0, s,s8, 39. Center: 40. Vertices: In Exercises 39–44, find an equation of the ellipse. s s 0, 0 d 0, 3 d , 8, d 3d 39. Center: 40. Vertices: In Exercises 39–44, find an equation of the ellipse. 3 s 5, 0 d Focus: Eccentricity: 0, 0ddd 0d Centro: 40. Vértices: (0, (8, 3) 39. 333d8, , s338, Center: Vertices: 5, Focus: Eccentricity: sssss0, 0, 0, 39. Center: 40. Vertices: 0, 0,s343340, 3343), 8, 39.39. Center: 40.40. Vertices: s5, 00ds0000d0, Focus: Eccentricity: 5, 0ddd Focus: Eccentricity: 5, Focus: Eccentricity: 3dd44d,4,,sss8, sss5, sss0, 33ddd Focus: Eccentricity: 39. Center: 40. Vertices: 3 5, 0 d Focus: Eccentricity: 3 sss5, 6, 05,d 0d Vertex: Foco: Excentricidad: s00) Focus: Eccentricity: 0, 33344d3d,, ss48, 8, 33dd 39.Vertex: Center: 40. Vertices: Vertices: ss0, 0, 39. Center: 40. ss0, Vertex: Focus: Eccentricity: 5, Focus: Eccentricity: s(5, s6, 6, Vertex: 6, Vertex: s5, 6, Vertex: ss6, 0000d00dd00dd0ddddd Focus: Eccentricity: 4 s5, 6, Vertex: 343 s 3, 1 d , s 3, 9 d 0, ± 9 d s 41. Vertices: 42. Foci: Vértice: (6, 0) s 6, 0 d Vertex: s 0 d Focus: Eccentricity: ss5, Focus: Eccentricity: ss0s3, sss3, sss0, 41. Vertices: 42. Foci: ss6, 6, Vertex: Vertex: 3, 1d01ddd11,d1,ddsd,,3, 99d99d9ddd ± 9± s0, 41. 42. 3, 0, 41.Vertices: Vertices: 42.Foci: Foci: 3, 3, 0, ±± 41. Vertices: 42. Foci: s6, s,3, 9d999d9ddd4d4 ss0, 41. Vertices: 42. Foci: 003, Vertex: s3, 3, 13, 3, 0,s±± 41. Vertices: 42. Foci: Minor axis length: 6993, Major axis length: 2222 s 3, 1dddd,,,,1ssssd3, 3, 96dddd9d 41. Vértices: 42. Foco: (0, 69) s , s 0, ± 9d 22 41. Vertices: 42. Foci: s 6, 0 d Vertex: s 6, 0 d Vertex: Minor axis length: Major axis s 3, 1 0, ± s 41. Vertices: 42. Foci: s 3, 1 3, 9 0, ± dlength: s 41. Vertices: 42. Foci: Minor axis length: 6 Major axis length: Minoraxis axis length: Major axis 22 Minor axis Major axis length: 22 axis length: 22 s3,length: 1length: d, s3, 9666d6 ± 999 ddlength: s0, 41. Minor Vertices: 42. Major Foci: Minor axis length: Major axis length: 22 22 22 s s 0, 0 d 1, 2 d 43. Center: 44. Center: Longitud del Longitud mayor: Minor axis Major axis length: , ss3, 3,menor: 0, 41. Vertices: 42. Foci: 3, 101dddddeje ,length: 96966dd 6 6 44. 992dlength: dlength: ss0, 41. Vertices: 42. Foci: ss±± sssss0, 00dlength: 22dd2dddeje 43. Center: 44. Center: Minor axis length: Major length: 22 Minor axis Major axis 22 saxis saxis 0, 03, dlength: 1, 2del 43. s1, 0, 1, 43.Center: Center: 44.Center: Center: 0, 1, 43. Center: 44. Center: s s 0, 0 1, 43. Center: 44. Center: Minor Major axis 22 ss1, ss0, 00, dd 0d 6 21, 43. Center: 44. Center: Major axis: horizontal Major axis: vertical 0,s0horizontal 0length: 1,svertical 2dddvertical dvertical 43. Centro: 44. Centro: 2d 22 Center: Center: Minor axis Major axis 22 Minor axis 6 Major axis Major Major axis: saxis: 0, 1, 43. Center: 44. Center: s1, s0, 0, dhorizontal 1, 2length: 43.43. Center: 44.44. Center: Major axis: Major axis: Major horizontal Major vertical Major axis: horizontal Major axis: Major axis: horizontal Major axis: vertical ssaxis: saxis: 00length: ddhorizontal 22length: dvertical 43. Center: 44. Center: Major axis: Major axis: Points on the ellipse: Points on the ellipse: Eje mayor: horizontal Eje mayor: vertical Major axis: horizontal Major axis: vertical s s 0, 0 d 1, 2 d 43. Center: 44. Center: son son 0, 0the dhorizontal 1, 2the dvertical 43. Points Center: 44. Points Center: Points ellipse: Points the ellipse: Major axis: Major axis: vertical Major axis: horizontal Major axis: on the ellipse: on the ellipse: Points on the ellipse: Points on ellipse: Points on the ellipse: Points on the ellipse: Points on the ellipse: Points on the ellipse: Major axis: horizontal Major axis: vertical Points on the ellipse: Points on the ellipse: sMajor 3, 1Points d1,ds,axis: 4, 0on dthe sMajor 1, 6Points d6,ds,axis: 3, 2on dthe Puntos en ladhorizontal elipse: Puntos en ladvertical elipse: the ellipse: the ellipse: Major axis: horizontal Major axis: vertical s 3, s 4, 0 s 1, s 3, 2 Points on the ellipse: Points on the ellipse: Points on ellipse: Points on ellipse: s3, 1 d , s 4, 0 d s 1, 6 d , s 3, 2 d 3,11d1,dd,s,on 4,0the 1,66d6,dd,s,on 3,2the ss3, ss4, 0d0dd ellipse: ss1, ss3, 2d2dd ellipse: sPoints sPoints 1, ss3, 3, 13, dd,,1ss4, 4, 04, dd 0dellipse: sPoints 1, 61, dd,,6ss3, 3, 23, dd 2dellipse: 3, 1 4, 0 s 1, 6 3, 2 s d , s s d , s on the on the Points on the ellipse: Points on the ellipse: ssPoints 3, 1 d , s 4, 0 d s 1, 6 d , s 3, 2 d s3,3,11dd,,ss4,4,00dd ss1,1,66dd,,ss3,3,22dd 3, 11dd,, ss4, 4, 00dd 1, 66dd,, ss3, 3, 22dd ss3, ss1,

1059997_1001.qxp 9/2/08 9/2/08 3:49 3:49 PM PM Page Page 707 707 1059997_1001.qxp 10-1.qxd 3/12/09 16:44 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49Page PM 707 Page 707

SECCIÓN Cónicas y cálculo 10.110.1Conics Conics and Calculus Calculus 10.1 and 10.1 Conics and Calculus In los Exercises 45–52, find the center, center, foci, andyvertices vertices ofdethe the In Exercises 45–52, find the foci, and En ejercicios 45 a 52, hallar el centro, el foco el vérticeof la In Exercises 45–52, find theusando center, foci, and vertices of the hyperbola, and sketch its graph graph using asymptotes as an anayuda. aid. hyperbola, sketch its using as aid. hipérbola, y and trazar su gráfica lasasymptotes asíntotas como hyperbola, and sketch its graph using asymptotes as an aid. xx22 yy22 xx22 45. yy22 2 46. x 2 2 5 11 2 y2 5 5 11 2 x2 5 45. 46. 45. 46. 9 16 5 1 2 9 25 45. y 2 5 1 46. 25 2 16 9 25 1622 2111dd2d22 sssyyy1 1 22d2d22 1 33dd 2 55dd22 ssxx 2 1 ssyy 1 ssxx 2 2 s y 122dd2 5 5111 2 sx 2 5d2 5 5 11 47. ssxx2 48. s y 1 3d2 2 22 2 5 47. 48. 47. 48. 2 1 d 225 2 64 64 5 1 444 111 2 51 47. 48. 225 4 222 1 225 64 9x2222 2yyy 2 236x 36x2 26y 6y1 118 185 5000 49. 9x 9x 2 2 36x 2 6y 1 18 5 49. 49. 49. 9x222 2 y 2 222 36x 2 6y 1 18 5 0 2 16x 16x 1 1 64x 64x 2 2 208 208 5 5 00 50. yy 2 50. 50. 2 1 64x 2 208 5 0 50. y2222 2 16x 22 1 2 x 2 9y 1 2x 2 54y 2 805 5000 51. x 2 9y 2x 2 54y 2 80 5 51. 51. x 2 2 9y 2 1 2x 2 54y 2 80 51. x 2222 9y 2221 2x 2 54y 2 80 5 0 9x 2 24y 4y 1 154x 54x1 18y 8y1 178 785 5000 52. 9x 9x 2 4y 1 54x 1 8y 1 78 5 52. 52. 52. 9x 2 2 4y 2 1 54x 1 8y 1 78 5 0 In los Exercises 5353 56, find the el center, foci, andyvertices vertices ofdethe the In Exercises 53 ––56, find the center, foci, and En ejercicios a 56, hallar centro, el foco el vérticeof la In Exercises 53aa–graphing 56, find utility the center, foci,the and vertices and of the hyperbola. Use graphing utility to graph graph the hyperbola and its hyperbola. Use to hyperbola its hipérbola. Trazar la hipérbola y sus asíntotas con ayuda de una hyperbola. a graphing utility to graph the hyperbola and its asymptotes.Use asymptotes. herramienta de graficación. asymptotes. 9y2222 2xxx2221 12x 2x1 154y 54y1 162 625 5000 53. 9y 9y 2 1 2x 1 54y 1 62 5 53. 53. 53. 9y222 2 x222 1 2x 1 54y 1 62 5 0 9x 2 y 1 54x 1 10y 1 55 5000 54. 9x 2 y 1 54x 1 10y 1 55 5 54. 2 2 54. 9x 22 y 21 54x 1 10y 1 55 5 54. 9x22 2 y 221 54x 1 10y 1 55 5 0 3x2 2 22y 2y2 2 26x 6x2 212y 12y2 227 275 5000 55. 3x 3x 2 2y 2 6x 2 12y 2 27 5 55. 55. 55. 3x 222 2 2y222 2 6x 2 12y 2 27 5 0 3y 2 x 1 6x 2 12y 5 0 56. 3y 2 x 1 6x 2 12y 5 0 56. 2 2 56. 3y 22 x 21 6x 2 12y 5 0 56. 3y 2 x 1 6x 2 12y 5 0 In Exercises Exercises 57– 57–64, 64, find find an an equation equation of of the the hyperbola. hyperbola. In En ejercicios 64, hallar una ecuación de la hipérbola. In los Exercises 57–57 64,afind an equation of the hyperbola. 1, 00dd 0, ±±44dd 57. Vertices: Vertices:ss±±1, 58. Vertices: Vertices: ss0, 57. 58. 58. 57. s0,64) ± 4d 57. Vértice: Vertices:s±s±1,1,0d0d 58. Vértice: Vertices:(0, 5 ±±5x 5x 5 ±±2x 2x Asymptotes:yy 5 Asymptotes: yy 5 Asymptotes: Asymptotes: y 5 y65x Asíntota: y 5 y62x Asíntota: 5 ± 5x 5 ± 2x Asymptotes: Asymptotes: 2, ±±33dd 2, ±±33dd 59. Vertices: Vertices:ss2, 60. Vertices: Vertices: ss2, 59. 60. 59. 60. s2,±±3d3d s2,±±3d3d 59. Vértice: Vertices:s2, 60. Vértice: Vertices:s2, 0, 55dd 2, ±±55dd Point on on graph: graph:ss0, Foci: ss2, Point Foci: Punto gráfica: Foco: s0, 5ds0, 5d 2, ± ± 55dd Point de on una graph: Foci: ss2, 0, 00dd 0, 00dd 61. Center: Center:ss0, 62. Center: Center: ss0, 61. 62. 61. Centro: 62. Centro: s 0, 0 d s 0, 61. Center: s0, 0d 62. Center: s0,00dd 0, 22dd 6, 00dd Vertex:ss0, Vertex: ss6, Vertex: Vertex: 0, 22dd Vértice: Vértice: 6, 00)d Vertex: ss0, Vertex: s(6, 0, 44dd 10, 00dd Focus:ss0, Focus: ss10, Focus: Focus: s 0, 4 d Foco: Foco: (10, Focus: s0, 4d Focus: s10,0)0d 0, 22dd,, ss6, 6, 22dd 20, 00dd 63. Vertices: Vertices:ss0, 64. Focus: Focus: ss20, 63. 64. 63. 64. 0, 22dd,, ss6, 6,2222dd s20,0)0d 63. Vértices: Vertices:ss0, 64. Foco: Focus:(20, 3 5 5 xx ±344xx Asymptotes:yy2 5 Asymptotes: yy 5 Asymptotes: Asymptotes: 3 ± 3 y22 5 y3x5 323x y 5 y±5 Asíntota: Asíntota: 4x ± x Asymptotes: Asymptotes: 3 4 5 44 2 2233xx yy 5 yy 5 5 44 2 2 32xx 3

In Exercises Exercises 65 65 and and 66, 66, find find equations equations for for (a) (a) the the tangent tangent lines lines In En ejercicios 65 y66, 66,find hallar de las rectasvalue tanIn Exercises 65 and equations for (a) the tangent lines andlos (b) the normal normal lines to the theecuaciones hyperbola fora) the given and (b) the lines to hyperbola for the given value gentes y b) las rectas normales a la hipérbola para el valor dado and (b) the normal lines to the hyperbola for the given value x. of x. of de x. of x. xx22 yy22 xx222 2 yy222 5 5 1, 1, xx 5 5 66 2xx 2 5 5 1, 1, xx 5 5 44 65. xx22 2 66. yy22 2 65. 66. 9 2 9 65. 66. 2 y 5 1, x 5 6 2 222 5 5 1,1, xx 5 5 44 65. 9 2 y 5 1, x 5 6 66. 444 2 9 4 2 In Exercises Exercises 67–76, 67–76, classify classify the the graph graph of of the the equation equation as as aa In En los ejercicios 67 an aan76, clasificar gráfica la ecuación In Exercises 67–76, classify theaala graph ofde the equation como as a circle, parabola, ellipse, or hyperbola. circle, aa parabola, ellipse, or hyperbola. circunferencia, parábola, elipse circle, a parabola, an ellipse, oroahipérbola. hyperbola. 1 4y 4y22 2 2 6x 6x 1 1 16y 16y 1 1 21 21 5 5 00 67. xx22 1 67. 67. 1 4y 4y22 2 2 6x 6x 1 1 16y 16y 1 1 21 21 5 5 00 67. xx22 1 4x22 2 2 yy22 2 2 4x 4x 2 2 33 5 5 00 68. 4x 68. 2 2 2 2 68. 4x 2 2yy 2 24x 4x2 2335 500 68. 4x 2 8y 8y 2 2 8x 8x 5 5 00 69. yy22 2 69. 2 8y 2 8x 5 0 69. y 2 69. 25x22 2 2 10x 10x 2 2 200y 200y 2 2 119 119 5 5 00 70. 25x 70. 22 2 10x 2 200y 2 119 5 0 25x 70. 25x 2 10x 2 200y 2 119 5 70. 2 1 2 2 2 2 4x 4y 16y 1 15 5 0 71. 71. 4x 1 4y 2 16y 1 15 5 0 0 4x221 14y 4y222 2 16y1 1 15 5 0 71. 4x 71. 2 4y 4y 5 5 xx 16y 1 55 15 5 0 72. yy22 2 1 72. 2 y x 1 5 72. 2 222 4y 5 4y9y 522 2 x2136x 5 1 72. 9x21 1 9y 36x 1 6y 6y 1 1 34 34 5 5 00 73. y9x 73. 73. 9x22 1 9y22 2 36x 1 6y 1 34 5 0 2 1 yy6y2 73. 2xssx1 x2 29yyydd 5 5 y36x yss33 2 2 212x 2x34 74. 9x 2x dd 5 0 74. 74. 2xsx 2 y2d2 5 ys3 2 y 2 2x2d2 3 s x 2 1 d 5 6 1 2 s y 1 1 d 75. 3sx 2 1yd 5 5 y6s3122syy212x 1d 75. 2x 74. 75. 3sx 2 1d2222 5 6 1 2s y 1 1d22 22 1133ddd 5 5636 36 2 y2 2 76. 399ssxsxx2 1 5 2 44yssy1 76. 1 2 s 1 d22dd 75. 76. 9sx 1 3d2 5 36 2 4s y 2 2d2 2 76. 9sx 1 3d 5 36 2 4s y 2 2d2

707 707 707 707

WRRIITTIINNGG AABBOOUUTT CCOONNCCEEPPTTSS W Desarrollo W R I T I N G A B Ode U Tconceptos CONCEPTS

(a) Give Give the the definition definition of of aa parabola. parabola. (a) a) definición de of parábola. (a) Dar Givelathe definition a parabola. h, kkdd.. (b) Give Givethe thestandard standardforms formsof ofaaparabola parabolawith withvertex vertexat atssh, (b) b) Dar estándar o canónicas de una parábola kd. (b) Givelas theformas standard forms of a parabola with vertex at sh, con (c) In your own words, state the reflective property of aa (c) vértice In yourenown state the reflective property of sh, kwords, d. (c) parabola. In your own words, state the reflective property of a parabola. c) Expresar, con sus propias palabras, la propiedad de reparabola. 78. (a) (a)flexión Give the the definition of an an ellipse. ellipse. 78. Give of dedefinition una parábola. 78. (a) Give the definition of an ellipse. h, kkdd.. (b)Dar Give the standardde forms of an an ellipse ellipse with with center center at atssh, Give standard forms of 78. (b) a) lathe definición elipse. kd. (b) Dar Givelas theformas standard forms ofo an ellipse with center at sh, con b) estándar canónicas de una elipse 79. (a) (a) Give Give the the definition definition of of aa hyperbola. hyperbola. 79. 79. (a) centro Give the of a hyperbola. en definition sstandard h, kd. forms (b) Give Give the the standard forms of of aa hyperbola hyperbola with with center center at at (b) (b) Give the standard forms of a hyperbola with center at 79. a) Dar h, kla kdd..definición de hipérbola. ssh, sh, klas d. formas estándar o canónicas de una hipérbola con b) (c) Dar Write equations equations for for the the asymptotes asymptotes of of aa hyperbola. hyperbola. (c) Write centro sh, kd. for the asymptotes of a hyperbola. (c) Write en equations 80. Define Define the the eccentricity eccentricity of of an an ellipse. ellipse. In In your your own own words, words, 80. c) Dar las ecuaciones deoflasanasíntotas una 80. describe Define eccentricity ellipse. de In affect yourhipérbola. own words, describethe how changes in in the the eccentricity eccentricity affect the ellipse. ellipse. how changes the describelahow changes in the eccentricity affect the ellipse. 80. Definir excentricidad de una elipse. Describir, con sus propias palabras, cómo afectan a la elipse las variaciones en 81. Solar Solar Collector A A solar solar collector collector for for heating heating water water is is la excentricidad. 81. Collector 81. constructed Solar Collector solar collectorsteel for that heating waterinto is constructed with aa A sheet of stainless stainless steel that is formed formed into with sheet of is constructed with a sheet of(see stainless steel thatwater is formed into the shape shape of parabola (see figure). The water flow aa parabola figure). will flow Recolector oofpanel de energía solar UnThe recolector owill panel de 81. the the shape of a parabola (see figure). The water will flow through solar pipepara thatcalentar is located located at the theconstruye focus of of the the parabola. At through aa pipe that is at focus energía agua se conparabola. una hojaAt de through a pipefrom that the is located atthe thepipe? focus of the parabola. At what distance distance from vertex is the pipe? what vertex acero inoxidable en the forma de is parábola (ver la figura). El agua what distance from the vertex is the pipe? fluye a través de un mtubo situado en el foco de la parábola. ¿A 66 m 6m qué distancia del vértice se encuentra el tubo? 77. 77. 77.

cm 33 cm 3 cm

6m

16 m m 3 cm 16 16 m m 11 m 1m 1m

16 m Notdrawn drawnto toscale scale Not Not drawn to scale

Figure for for 81 81 Figure for for 82 82 Figure Figure Figure for 81 Figure for No 82está dibujado a escala 82. Beam Beam Deflection Deflection A A simply simply supported supported beam beam that that is is 16 16 meters meters 82. FiguraDeflection para 81 A simply supported Figura para 82. long Beam beam82 that figure). is 16 meters long has has aa load load concentrated concentrated at at the the center center (see figure). The (see The long has aof concentrated at viga theis (see figure). The deflection ofload the beam at its itsUna center iscenter centimeters. Assume Deformación de una viga de metros deAssume longitud 82. deflection the beam at center 33 16 centimeters. deflection ofcarga the beam its center is parabolic. 3 centimeters. that the the shape shape of the the deflected beamen is parabolic. soporta una que seatconcentra el centro (ver laAssume figura). that of deflected beam is thatviga the shape of the en deflected beam is parabolic. La se deforma la parte central 3 centímetros. Suponer (a) Find Find an an equation equation of of the the parabola. parabola. (Assume (Assume that that the the origin origin is is (a) que,at deformarse, la forma de una (a) Find an equation ofviga the adquiere parabola.la(Assume that theparábola. origin is atalthe the center of the the beam.) center of beam.) at the center of the beam.) a) de laof (Suponer que el ori(b) Encontrar How far far una fromecuación the center center ofparábola. the beam beam is the the deflection deflection (b) How from the the is está en el centro de la parábola.) (b) gen How far from the center of the beam is the deflection centimeter? 11 centimeter? 1 centimeter? b) ¿A distancia del tangent centro de lato viga de 1 centímetro la 5 ax ax22 at 83. Find Find anqué equation of the the tangent line to thees parabola at yy 5 83. an equation of line the parabola 2 deformación producida? y 5 ax 83. xFind an equation of the tangent line to the parabola at x5 5 xx00.. Prove x-intercept Prove that that the the xintercept of of this this tangent tangent line line is is x00.0una that de thelax-recta intercept of athis tangent yline is2 sxx05 y2, 5 ax 83. sxHallar ecuación tangente la parábola dd..Prove 0y2, sen x0y2, Demostrar quedistinct la intersección estato recta tangente xProve 50dx.0. that 84. (a) (a) Prove that any any two two distinct tangent de lines to parabola 84. tangent lines aa parabola el eje s x y2, 0 d . x es 84. con (a) intersect. Prove that any two distinct tangent lines to a parabola intersect. 0 intersect. que dos rectas tangentes distintas cualesquiera a 84. (b) a) (b) Demostrar Demonstrate the the result result of of part part (a) (a) by by finding finding the the point point Demonstrate sethe cortan o intersecan. (b) una Demonstrate result of part (a)lines by finding point of parábola intersection of the tangent lines to the the the parabola of intersection of the tangent to parabola b) Ilustrar del inciso a)sshallando el de intertangent the x22 2 2intersection 4xel2 2resultado 4y 5 5 0of 0 at 0,lines 6,punto atthe the points andto xof 4x 4y 0, 00dd and ss6, 33dd.. parabola the points sección las 5rectas tangentes a 0lad and parábola x2 2 4x de 2 4y 0 at the s6, 3d. x 2 2 4x 2 points s0, 85. (a) (a) Prove Prove that that ifif any any two two tangent tangent lines lines to to aa parabola parabola intersect intersect at at 85. en los puntos 5 0that stangent 0, 0d y slines 6, 3d.to a parabola intersect at 85. (a) 4y Prove if any twopoint right angles, angles, their point of intersection intersection must must lie lie on on the the right their of 85. a) Demostrar que their si dospoint rectasoftangentes a unamust parábola se corright angles, intersection lie on the directrix. directrix. tan o intersecan en ángulos rectos, su punto de intersección directrix. (b) debe Demonstrate the result of of part part (a) (a) by by proving proving that that the the (b) Demonstrate result estar en lathe directriz. 22 2 (b) tangent Demonstrate thethe result of part (a) by4y proving that the x 2 4x 2 4y 1 8 5 0 tangent lines to the parabola at the x 4x 2 1 8 5 0 lines to parabola at the b) Ilustrar el resultado 55del inciso a) probando que las x 22 2 4x 2 4y angles, 1 8 5 and 0 atthat tangent lines55dto the parabola the 22, d and 3, 454dd intersect pointstangentes and intersect at right right ss22, 3, points rectas a lassparábola los x 2 at 4x 2 4yangles, 1 8 5and 0 enthat s 22, 5 d 3, points and intersect at right angles, and that s d the point point of intersection lies on the the directrix. the of lies on puntos y s3, 54 d 4se cortan endirectrix. ángulo recto y que el s 22, 5intersection d the point of intersection lies on the directrix. punto de intersección se encuentra en la directriz.

10-1.qxd

3/12/09

708

16:44

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Chapter 10 10Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates CAPÍTULO Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

86. point on graph of x 2el punto 8y that is cercano closest to the 86. Find Sobrethe la gráfica dethe más al foco x2 5 8y hallar focus of the parabola. de la parábola.

94. Área Area Hallar Find a una formula for the area of thedeshaded region in the 94. fórmula para el área la región sombreada figure. de la figura.

Año

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

A

280

286

291

298

305

307

317

a) Emplear funciones de regresión una herramienta gra(a) Use the las regression capabilities of de a graphing utility todefind 2 1 bt 1 c ficación hallar unAmodelo A5 a modelpara of the form theatdata. Let t bt forma c for at 2 de la para los datos, donde t represente el año y t 5to9 1999. corresponda represent the year, with t 9 corresponding 1999. (b) aUse a graphing utility to plot the data and graph the model. b) Emplear una herramienta de graficación para representar los (c) Find dA dt and sketch its graph for 9 t 15. What datos y la gráfica del modelo. information about the average amount of time women c) Hallar su gráfica # graph t # 15.of ¿Qué dAydt y dibujar spent watching television is givenpara by 9the the información derivative? acerca de la cantidad promedio de tiempo que las mujeres dedicaron a ver televisión proporciona la gráfica 89. Architecture A church window is bounded above by a de la derivada? parabola and below by the arc of a circle (see figure). Find the 89. surface Arquitectura El ventanal area of the window. de una iglesia está limitado en la parte superior por una parábola, y en la parte inferior por el arco ft de una8circunferencia (ver la figura). Hallar el área de la superParabolic ficie del ventanal. supporting cable 4 ft

8 pies Circle 4 pies 8 ft radius Radio 8 pies de la Figure forcircunferencia 89

(60, 20)

Cable parabólico y de sujeción

x

(60, 20) x

Figure for 91

90. Arc Length Find the arc length of the parabola 4x Figura 89 para 91 overpara the interval 0 y Figura 4.

y2

0

91. Design is la suspended Longitud de arcoA cable Hallaroflaa suspension longitud debridge arco de parábola 90. Bridge (in they 2shape of el a parabola) two towers that are 120 intervalo 0between # y # 4. 4x 2 5 0 en 20 meters abovede theunroadway (see figure). 91. meters Diseñoapart de unand puente El cable puente colgante estáThe suscables touch the roadway midway between the towers. pendido (formando una parábola) de dos torres a 120 metros una (a) for de thealtura parabolic of each cable. de laFind otraany equation a 20 metros sobreshape la autopista. Los cables tocan la autopista en el punto medio entre ambas torres. (b) Find the length of the parabolic supporting cable. a) HallarArea la ecuación para la formareceiving parabólica deiscada cable. 92. Surface A satellite signal dish formed by b) Hallar the la longitud cable de suspensión. revolving paraboladel given byparabólico the y-axis. The x 2 20y about of una the dish is r feet.Un Verify that the area satelital of the 92. radius Área de superficie receptor de surface una antena dish is given se forma porbyrevolución alrededor del eje y de la parábola x2 5r 20y. El radio del2 plato es r pies. Verificar que el área de la x x del 1 plato estádxdada por 100 r 2 3 2 1000 . 2superficie 10 15 0 r x 2 p 2d3y2 2 11000 2p x 1 1Sketch the dx 5 fs100 93. Investigation graphs of x 21 r 4py for p 00014g,. 12, 1, 32, 10 15 0 and 2 on the same coordinate axes. Discuss the change in the 93. graphs Investigación En el mismo eje de coordenadas trazar las gráas p increases. ficas de x 2 5 4py con p 5 14, 12, 1, 32, y 2. Analizar la variación que se presenta en las gráficas a medida que p aumenta.

E

! 1 2

y

y y

87. Radio anddeTelevision ReceptionEn In areas,la Recepción radio y televisión las mountainous áreas montañosas, reception television suele is sometimes poor. Consider recepción of deradio radioand y televisión ser deficiente. Considean where a en hillelis represented by the of the raridealized un casocase idealizado que la gráfica de graph la parábola parabola a transmitter is punto located at 1)the point x x 2, una colina, en el (21, se localiy 5 x 2 xy2, representa is located otheren side the hill , and a receiver za 1, un1transmisor, y al otro lado deonlathe colina, el of punto (x0, at 0), the point x0, un What is ¿Qué the closest the receiver can puede be to the 0 .receptor. se encuentra tan cerca de la colina ubihill while still maintaining carse el receptor para que launobstructed señal no se reception? obstruya? 88. Modeling Data TheLa table shows the average amounts of time Modelo matemático tabla siguiente muestra las cantidades proA (in minutes) women spent watching each day for thea medio A de tiempo (en minutos) por díatelevision que las mujeres dedicaron years through 2005. (Source: Nielsen Media Research) ver la 1999 televisión de 1999 a 2005. (Fuente: Nielsen Media Research)

x 22 = 4py x = 4py

4

1

h h

−2 − 1 −2 −1 x x

95. 95.

96. 96.

97. 97.

y

4

1

x 1

1

2

2

3

x

3

Figure for 94 Figure for 96 Figura para 94 Figura para 96 Writing On page 699, it was noted that an ellipse can be Redacción página 699 asestring señalóofque se puede una drawn using En twolathumbtacks, fixed length trazar (greater elipse usando dosbetween alfileres,the una cuerda than the distance tacks), anddea longitud pencil. If fija the (mayor ends of a la los dos alfileres) y un extremos thedistancia string areentre fastened at the tacks and thelápiz. stringSiislos drawn taut de la cuerda se sujetan a los alfileres y se tensa la cuerda con el with a pencil, the path traced by the pencil will be an ellipse. lápiz, la trayectoria que recorre el lápiz es una elipse. (a) What is the length of the string in terms of a? a) ¿Cuál es la longitud de la cuerda en términos de a? (b) Explain why the path is an ellipse. b) Explicar por qué la trayectoria trazada por el lápiz es una Construction of a Semielliptical Arch A fireplace arch is to be elipse. constructed in the shape of a semiellipse. The opening is to have Construcción de un semielíptico Se va arco a height of 2 feet at arco the center and a width of a5 construir feet alongelthe de una chimenea en forma de una semielipse. El claro debe tener base (see figure). The contractor draws the outline of the ellipse 2bypies alturashown en el centro y 5 pies de ancho en lathe base (ver the de method in Exercise 95. Where should tacks bela figura). El constructor el perfil de la elipse siguiendo el placed and what shouldbosqueja be the length of the piece of string? método mostrado en el ejercicio 95. ¿Dónde deben colocarse los Sketch the ellipse that consists of all points x, y such that the alfileres y cuál debe ser la longitud del trozo de cuerda? sum of the distances between x, y and two fixed points is Trazar la elipse consta de todos 16 units, and theque foci are located at los the puntos centers(x, of y) thetales two que setsla suma de las distancias entre (x, y) y dos puntos fijos es 16 unidaof concentric circles in the figure. To print an enlarged copy of des, y los focos localizan los centros de los dos conjuntos de the graph, go tosethe websiteenwww.mathgraphs.com. circunferencias concéntricas que se muestran en la figura. 16 17 14 15 17 12 13 16 11 15 9 10 13 14 8 12 7 10 11 5 6 8 9 3 4 6 7 1 2 5 2 1 3 4 4 3 1 2 1 6 5 2 7 3 9 8 5 4 10 6 11 7 13 12 9 8 15 14 11 10 12 17 16 13 15 14 17 16

98. Orbit of Earth Earth moves in an elliptical orbit with the at one the foci. La TheTierra length half of is 98. sun Órbita de of la Tierra seof mueve enthe unamajor órbitaaxis elíptica 149,598,000 theLa eccentricity Findeje con el Sol enkilometers, uno de los and focos. longitud deis la0.0167. mitad del the minimum maximum es distance mayor es 149distance 598 000(perihelion) kilómetros yand la the excentricidad 0.0167. (aphelion) of Earth from the sun. Hallar la distancia mínima (perihelio) y la distancia máxima (afelio) entre Tierra y el Sol. 99. Satellite Orbit la The apogee (the point in orbit farthest from the satélite perigee (the point in(elorbit closest to Earth) 99. Earth) Órbitaand de un El apogeo punto de la órbita másoflean elliptical orbityofel an Earth(el satellite A and P. jano a la Tierra) perigeo punto are de lagiven órbitabymás cercano Show that thedeeccentricity of thede orbit a la Tierra) la órbita elíptica un is satélite de la Tierra están dados por A y P. Mostrar que la excentricidad de la órbita es

A P e A 2 P. e 5A P . A1P

100. Explorer 18 On November 27, 1963, the United States satellite Explorer 18. Its Estados low andUnidos high 100. launched Explorerthe 18 research El 27 de noviembre de 1963, points the surface ofpuntos Earth were miles and lanzó above el Explorer 18. Sus bajo 119 y alto sobre la 123,000 superficie miles. eccentricity of its yelliptical de la Find Tierrathefueron 119 millas 123 000orbit. millas, respectivamente. Hallar la excentricidad de su órbita elíptica.

1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 709 10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 709

SECCIÓN Cónicas y cálculo 10.110.1Conics and Calculus

101. de noviembre 1975, 101. Explorer Explorer 55 55 ElOn20November 20, de 1975, theEstados United Unidos States lanzó el satélite de investigación Explorer55. 55.Its Suslow puntos bajo launched the research satellite Explorer and high ypoints alto sobre superficie Tierra fueron de 96and millas y abovelathe surface de of la Earth were 96 miles 1865 1miles. 865 millas. Encontrar la excentricidad de su órbita elíptica. Find the eccentricity of its elliptical orbit.

Para C A P S Tdiscusión ONE 102. Considerar Consider the equation 102. la ecuación 9x2 1 4y2 2 36x 2 24y 2 36 5 0. a) la graph gráfica ecuación círculo, (a)Clasificar Classify the of de the la equation as acomo circle,un a parabola, una parábola, elipse o una hipérbola. an ellipse, or una a hyperbola. 2-term in 2 Classify b) el 4y término 4y2theenequation la ecuación (b)Cambiar Change the to 24ypor . 24y2. Clasificar la gráfica de la nueva ecuación. the graph of the new equation. c) 9x2in enthe la ecuación 9x2-term (c)Cambiar Change elthetérmino original original equationpor to 4x22. Clasificar la gráfica de the la nueva ecuación. Classify the graph of new equation.

d) se podría cambiar ecua(d)Describir Describeuna onemanera way en youquecould change the la original ción original quegraph su gráfica fuera una parábola. equation so para that its is a parabola. 103. El cometa Halley Quizás el más conocido de todos los come103. tas, Halley’s Comet Probably mostelíptica famous el cometa Halley, tiene unathe órbita conofelall Solcomets, en uno Halley’s comet, has an elliptical orbit with the sun de sus focos. Se estima que su distancia máxima al Solatesone de focus.UA Its (unidad maximum distance from the sun is 6approximately 35.29 astronómica millas) y que < 92.956 3 10 35.29 AU (1 astronomical unitUA. 3 excentricidad 106 miles), and < 92.956 su distancia mínima es de 0.59 Hallar la de its minimum distance is approximately 0.59 AU. Find the la órbita. eccentricity of the orbit. 104. La ecuación de una elipse con centro en el origen puede ex104. presarse The equation of an ellipse with its center at the origin can be written as 2 y x2 1 5 1. y 2 e 2d ax22 a 2s1 2 1 2 5 1. 2 2 a a que s1 2cuando e d e → 0, y a permanece constante, la elipMostrar seShow se aproxima that as ae una → circunferencia. 0, with a remaining fixed, the ellipse

709 709

2 Área y volumen 108. 9x 1 4y 2 1En 36xlos 2ejercicios 24y 1 36 109 5 0y 110, hallar a) el área de la región limitada por la elipse, b) el volumen y el área de la superficie del sólidoIngenerado de (a) la región alreArea and Volume Exercisespor 109revolución and 110, find the area of dedor de subounded eje mayor y c) el volumen y el the region by (esferoide the ellipse,prolato), (b) the volume and surface área la superficie del sólido generado the por region revolución la area de of the solid generated by revolving aboutdeits región de su eje menor (esferoide oblato).and surface major alrededor axis (prolate spheroid), and (c) the volume area of2 the 2solid generated by revolving the region about its y minorx axis 109. 1 (oblate 5 1 spheroid). 4 1 x2 x 22 yy22 y2 109. 110. 1 1 51 110. 11 5 5 11 4 16 9 16 9 111. Longitud de arco Usar las funciones de integración de una 111. Arc Length Use the integration capabilities of a graphing herramienta de graficación para aproximar, con una precisión utility to approximate to two-decimal-place accuracy the de dos cifras decimales, la integral elíptica que representa el elliptical integral representing the circumference of the ellipse perímetro de la elipse y 22 x 22 1 5 1. 25 49

112. el teorema10.4 10.4bymostrando que la tangente a una 112. Probar Prove Theorem showing that therecta tangent line to an elipse puntoPP makes forma ángulos iguales conlines las rectas a traellipseenatun a point equal angles with through P vés y de(see los figure). focos (ver la figura). [Sugerencia: enconand de thePfoci [Hint: (1) Find the slope of1)the tantrar pendiente de find la recta P,lines 2) encontrar tangentlaline at P, (2) the tangente slopes ofenthe through las P and gentes de las rectas a través de P y cada uno de los focos y 3) each focus, and (3) use the formula for the tangent of the angle usar la fórmula de la tangente del ángulo entre dos rectas.] between two lines.] yy

yy

xx22 yy22 + =1 aa22 + bb22 = 1

Recta Tangent tangente line ββ

(x0,,yy0)) PP==(x 0 0

(−a, (−a, 0) 0)

(0, (0, 10) 10) (a, (a, 0) 0)

αα

xx

x

(−(−c, c, 0)0)

(c,(c,0)0)

(0, (0, −10) −10)

approachesuna a circle. 105. Considerar partícula que se mueve en el sentido de las reloj siguiendo la trayectoria elíptica 105. manecillas Consider adel particle traveling clockwise on the elliptical path x22 y2 x 1 y2 5 1. 100 125 5 1. 100 25 La partícula abandona la órbita en el punto s28, 3d y viaja a lo The particle leavestangente the orbitaatlathe point¿En and travels in s28, 3d punto largo de una recta elipse. qué cruzará straight line to the ellipse. At what point will the laa partícula el ejetangent y? particle cross the y- axis? 106. Volumen El tanque de agua de un carro de bomberos mide 16 106. pies Volume They water tank on atransversales fire truck is 16 feet long, and its de largo, sus secciones son elipses. Hallar sections are ellipses. volume of water in the elcross volumen de agua que hay Find en el the tanque cuando está parcialpartially filled tank shownen in la thefigura. figure. mente lleno como seas muestra

Figura 112 Figure para for 112

El área elipse presentada en laisfigura 113. 113. Geometría Geometry The areadeoflathe ellipse in the figure twiceestheel doble del What círculo. longitud tiene el eje mayor? area ofdel theárea circle. is ¿Qué the length of the major axis? 114. 114. Conjetura Conjecture a) quethe la ecuación elipse puede (a) Mostrar Show that equationde ofuna an ellipse can beexpresarse written ascomo 2 2 ssxx 2 2 hhdd2 1 ss yy 2 2 kkdd2 5 1. 1 2 2 2 5 1. aa 2 aa 2ss11 2 2 ee 2dd

5 pies 3 pies

9 pies

In Exercises 107 and 108, determine the points at which dy/dx is En losorejercicios determinar los puntos los and que zero does not 107 existyto108, locate the endpoints of the en major dy/dx es cero, o no existe, para localizar los extremos de los ejes minor axes of the ellipse. mayor y menor de la elipse. 107. 16x 2 1 9y 2 1 96x 1 36y 1 36 5 0 107. 16x 2 1 9y 2 1 96x 1 36y 1 36 5 0 108. 9x 2 1 4y 2 1 36x 2 24y 1 36 5 0

Figura 113 Figure para for 113

115. 115. 116. 116.

b) una herramienta de graficación, (b) Mediante Use a graphing utility to graph the ellipse representar la elipse sx 2 2d2 s y 2 3d2 2 5 1 sx 24 2d2 1 4ssy1 2 2 3ed2d 5 1 1 2 4 4s1 2 e d for e 5 0.95, e 5 0.75, e 5 0.5, e 5 0.25, and e 5 0. para e 5 0.95, e 5 0.75, e 5 0.5, e 5 0.25,y e 5 0. (c) Use the results of part (b) to make a conjecture about the c) Usar los in resultados inciso b) para una conjetura change the shapedel of the ellipse as e hacer approaches 0. acerca de la variación en la forma de la elipse a medida que Find an equation of the hyperbola such that for any point on e se aproxima a 0. the hyperbola, the difference between its distances from the Hallar tal que, para todo punto, points suna and s10, de is hipérbola 6. 2, 2decuación 2d la la diferencia entre sus distancias a los puntos (2, 2) y (10, 2) Find an equation of the hyperbola such that for any point on sea 6. the hyperbola, the difference between its distances from the Hallar de la3hipérbola points suna 23,ecuación 0d and s23, d is 2. tal que, para todo punto, la diferencia entre sus distancias a los puntos (23, 0) y (23, 3) sea 2.

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CAPÍTULO 10


117. Dibujar la hipérbola que consta de todos los puntos (x, y) tales que la diferencia de las distancias entre (x, y) y dos puntos fijos sea 10 unidades, y los focos se localicen en los centros de los dos conjuntos de circunferencias concéntricas de la figura.

9 7 8 5 6 4 3 1 2

17 16

15 14

13

12 10 11

13 14

15 16

17

x2 y2 2 251 2 a b en el punto sx0, y0d es sx0ya 2dx 2 s y0yb2dy 5 1.

122. Mostrar que la ecuación de la recta tangente a

2 1 4 3 6 5 7 8 10 9 12 11

123. Mostrar que las gráficas de las ecuaciones se cortan en ángulos rectos: 2y 2 x2 51 2 1 a b2

118. Considerar una hipérbola centrada en el origen y con eje transversal horizontal. Emplear la definición de hipérbola para obtener su forma canónica o estándar: x2 a2

2

2

y 5 1. b2

x2

2

s

c2

vm2

y2 51 2 vs2 dyvm2

donde vm es la velocidad inicial de la bala y vs es la velocidad del sonido, la cual es aproximadamente 1 100 pies por segundo. 120. Navegación El sistema LORAN (long distance radio navigation) para aviones y barcos usa pulsos sincronizados emitidos por estaciones de transmisión muy alejadas una de la otra. Estos pulsos viajan a la velocidad de la luz (186 000 millas por segundo). La diferencia en los tiempos de llegada de estos pulsos a un avión o a un barco es constante en una hipérbola que tiene como focos las estaciones transmisoras. Suponer que las dos estaciones, separadas a 300 millas una de la otra, están situadas en el sistema de coordenadas rectangulares en s2150, 0d y s150, 0d y que un barco sigue la trayectoria que describen las coordenadas sx, 75d. (Ver la figura.) Hallar la coordenada x de la posición del barco si la diferencia de tiempo entre los pulsos de las estaciones transmisoras es 1 000 microsegundos (0.001 segundo). y 10 8 6 4

75

Espejo

x 75 −75 −150

Figura para 120

150

x −10

−4

2y 2 x2 5 1. 2 2 a 2b b2 2

124. Demostrar que la gráfica de la ecuación Ax 2 1 Cy 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 es una de las siguientes cónicas (excepto en los casos degenerados). Condición

a) Círculo

A5C

b) Parábola

A 5 0 o C 5 0 (pero no ambas)

c) Elipse

AC > 0

d) Hipérbola

AC < 0

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 125 a 130, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa. 125. Es posible que una parábola corte a su directriz. 126. En una parábola, el punto más cercano al foco es el vértice. 127. Si C es el perímetro de la elipse y2 x2 1 2 5 1, b < a 2 a b entonces 2pb ≤ C ≤ 2pa. 128. Si D Þ 0 o E Þ 0, entonces la gráfica de y2 2 x2 1 Dx 1 Ey 5 0 es una hipérbola. 129. Si las asíntotas de la hipérbola sx 2ya 2d 2 s y 2yb2d 5 1 se cortan o intersecan en ángulos rectos, entonces a 5 b. 130. Toda recta tangente a una hipérbola sólo corta o interseca a la hipérbola en el punto de tangencia.

Preparación del examen Putnam

y

150

−150

y

Cónica

119. Localización del sonido Con un rifle posicionado en el punto s2c, 0d se dispara al blanco que se encuentra en el punto sc, 0d. Una persona escucha al mismo tiempo el disparo del rifle y el impacto de la bala en el blanco. Demostrar que la persona se encuentra en una de las ramas de la hipérbola dada por c 2 vs2yvm2

121. Espejo hiperbólico Un espejo hiperbólico (como los que usan algunos telescopios) tiene la propiedad de que un rayo de luz dirigido a uno de los focos se refleja al otro foco. El espejo que muestra la figura se describe mediante la ecuación sx 2y36d 2 s y 2y64d 5 1. ¿En qué punto del espejo se reflejará la luz procedente del punto (0, 10) al otro foco?

2 4

−4 −6 −8 −10

Figura para 121

8 10

131. Dado un punto P de una elipse, sea d la distancia del centro de la elipse a la recta tangente a la elipse en P. Demostrar que sPF1dsPF2dd 2 es constante mientras P varía en la elipse, donde PF1 y PF2 son las distancias de P a los focos F1 y F2 de la elipse. 9 2 132. Hallar el valor mínimo de su 2 vd2 1 !2 2 u2 2 v con 0 < u < !2 y v > 0.

1

2

Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

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SECCIÓN 10.2 SECCIÓN 10.2

Curvas planas y ecuaciones paramétricas Curvas planas y ecuaciones paramétricas

711 711

10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas n n n n

Trazar la gráfica de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas. Eliminar el parámetro en un conjunto de ecuaciones paramétricas. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una curva. Entender dos problemas clásicos del cálculo: el problema de la tautocrona y el problema de la braquistocrona.

Curvas planas y ecuaciones paramétricas Hasta ahora, se ha representado una gráfica mediante una sola ecuación con dos variables. En esta sección se estudiarán situaciones en las que se emplean tres variables para representar una curva en el plano. Considérese la trayectoria que recorre un objeto lanzado al aire con un ángulo de 45°. Si la velocidad inicial del objeto es 48 pies por segundo, el objeto recorre la trayectoria parabólica dada por

Ecuación rectangular: x2 + x y = − 72 y

24

2, 24

2 − 16

18

t=1

9

(0, 0) t=0

x 9

y52

18 27 36 45 54 63 72

Ecuaciones paramétricas: x = 24 2t y = −16t2 + 24 2t

Movimiento curvilíneo: dos variables de posición y una de tiempo

x2 1x 72

Ecuación rectangular.

como se muestra en la figura 10.19. Sin embargo, esta ecuación no proporciona toda la información. Si bien dice dónde se encuentra el objeto, no dice cuándo se encuentra en un punto dado (x, y). Para determinar este instante, se introduce una tercera variable t, conocida como parámetro. Expresando x y y como funciones de t, se obtienen las ecuaciones paramétricas

Figura 10.19

x 5 24!2 t

Ecuación paramétrica para x.

y 5 216t 2 1 24!2 t.

Ecuación paramétrica para y.

y

A partir de este conjunto de ecuaciones, se puede determinar que en el instante t 5 0, el objeto se encuentra en el punto (0, 0). De manera semejante, en el instante t 5 1, el objeto está en el punto s24!2, 24!2 2 16d, y así sucesivamente. (Más adelante, en la sección 12.3, se estudiará un método para determinar este conjunto particular de ecuaciones paramétricas, las ecuaciones de movimiento.) En este problema particular de movimiento, x y y son funciones continuas de t, y a la trayectoria resultante se le conoce como curva plana. DEFINICIÓN DE UNA CURVA PLANA Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las ecuaciones x 5 f std y

y 5 gstd

se les llama ecuaciones paramétricas y a t se le llama el parámetro. Al conjunto de puntos (x, y) que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo I se le llama la gráfica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, juntas, es a lo que se llama una curva plana, que se denota por C.

NOTA Algunas veces es importante distinguir entre una gráfica (conjunto de puntos) y una curva (los puntos junto con las ecuaciones paramétricas que los definen). Cuando sea importante hacer esta distinción, se hará de manera explícita. Cuando no sea importante se empleará C para representar la gráfica o la curva, indistintamente. n

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CAPÍTULO 10


Cuando se dibuja (a mano) una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas, se trazan puntos en el plano xy. Cada conjunto de coordenadas (x, y) está determinado por un valor elegido para el parámetro t. Al trazar los puntos resultantes de valores crecientes de t, la curva se va trazando en una dirección específica. A esto se le llama la orientación de la curva. EJEMPLO 1

Trazado de una curva

Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas t y5 , 2

x 5 t2 2 4 y

22 ≤ t ≤ 3.

Solución Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecuaciones paramétricas, los puntos (x, y) que se muestran en la tabla.

y 4 2

t=1

t=3

t=2

x

t=0 t = −1

4

t = −2

t

22

21

0

1

2

3

x

0

23

24

23

0

5

y

21

22

0

1 2

1

3 2

6

−2

1

−4

Ecuaciones paramétricas: x = t2 − 4 y y = t , −2 ≤ t ≤ 3 2

Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la continuidad de f y de g se obtiene la curva C que se muestra en la figura 10.20. Hay que observar las flechas sobre la curva que indican su orientación conforme t aumenta de 22 a 3.

Figura 10.20 y

NOTA De acuerdo con el criterio de la recta vertical, puede verse que la gráfica mostrada en la figura 10.20 no define y en función de x. Esto pone de manifiesto una ventaja de las ecuaciones paramétricas: pueden emplearse para representar gráficas más generales que las gráficas de funciones. n

4

t=

1 2

2

t=1

t=

3 2 x

t=0 1 t=− 2

t = −1

4

A menudo ocurre que dos conjuntos distintos de ecuaciones paramétricas tienen la misma gráfica. Por ejemplo, el conjunto de ecuaciones paramétricas

6

−2 −4

x 5 4t 2 2 4 y

Ecuaciones paramétricas:

y 5 t, 21 ≤ t ≤

3

3 2

x = 4t2 − 4 y y = t, −1 ≤ t ≤ 2

Figura 10.21

tiene la misma gráfica que el conjunto dado en el ejemplo 1 (ver la figura 10.21). Sin embargo, al comparar los valores de t en las figuras 10.20 y 10.21, se ve que la segunda gráfica se traza con mayor rapidez (considerando t como tiempo) que la primera gráfica. Por tanto, en las aplicaciones, pueden emplearse distintas ecuaciones paramétricas para representar las diversas velocidades a las que los objetos recorren una trayectoria determinada. La mayoría de las herramientas de graficación cuenta con un modo paramétrico de graficación. Se puede emplear uno de estos dispositivos para confirmar las gráficas mostradas en las figuras 10.20 y 10.21. ¿Representa la curva dada por TECNOLOGÍA

x 5 4t 2 2 8t

y

y 5 1 2 t, 2 12 ≤ t ≤ 2

la misma gráfica que la mostrada en las figuras 10.20 y 10.21? ¿Qué se observa respecto a la orientación de esta curva?

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SECCIÓN 10.2

Curvas planas y ecuaciones paramétricas

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Eliminación del parámetro A encontrar la ecuación rectangular que representa la gráfica de un conjunto de ecuaciones paramétricas se le llama eliminación del parámetro. Por ejemplo, el parámetro del conjunto de ecuaciones paramétricas del ejemplo 1 se puede eliminar como sigue. Despejar t de una de las ecuaciones

Ecuaciones paramétricas

x 5 t2 2 4 y 5 ty2

Sustituir en la otra ecuación

x 5 s2yd 2 2 4

t 5 2y

Ecuación rectangular

x 5 4y 2 2 4

Una vez eliminado el parámetro, se ve que la ecuación x 5 4y 2 2 4 representa una parábola con un eje horizontal y vértice en s24, 0d, como se ilustra en la figura 10.20. El rango de x y y implicado por las ecuaciones paramétricas puede alterarse al pasar a la forma rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuación rectangular debe ajustarse de manera que su gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones paramétricas. En el ejemplo siguiente se muestra esta situación. EJEMPLO 2

Ajustar el dominio después de la eliminación del parámetro

Dibujar la curva representada por las ecuaciones y

x5 1

t=3 t=0

−2

1

−1

x

1 !t 1 1

y

y5

t , t > 21 t11

eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular resultante.

2

Solución Para empezar se despeja t de una de las ecuaciones paramétricas. Por ejemplo, se puede despejar t de la primera ecuación.

−1 −2

1 !t 1 1 1 2 x 5 t11 1 t115 2 x 1 1 2 x2 t5 2215 x x2 x5

t = −0.75

−3

Ecuaciones paramétricas: x = 1 , y = t , t > −1 t+1 t+1

y

x 1

−1

2

−2 −3

Ecuación rectangular:

Figura 10.22

Despejar t.

y5

t t11

Ecuación paramétrica para y.

y5

(1 2 x2)yx2 [(1 2 x2)yx2] 1 1

Sustitución de t por s1 2 x 2dyx 2.

−1

y = 1 − x2, x > 0

Elevar al cuadrado cada lado.

Sustituyendo ahora, en la ecuación paramétrica para y, se obtiene

1

−2

Ecuación paramétrica para x.

y 5 1 2 x 2.

Simplificar.

La ecuación rectangular, y 5 1 2 x 2, está definida para todos los valores de x. Sin embargo, en la ecuación paramétrica para x se ve que la curva sólo está definida para t > 21. Esto implica que el dominio de x debe restringirse a valores positivos, como se ilustra en la figura 10.22.

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CAPÍTULO 10


En un conjunto de ecuaciones paramétricas, el parámetro no necesariamente representa el tiempo. El siguiente ejemplo emplea un ángulo como parámetro.

Emplear trigonometría para eliminar un parámetro

EJEMPLO 3

Dibujar la curva representada por x 5 3 cos u

y

y 5 4 sen sin u,

0 # u # 2p

al eliminar el parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente. y

π θ =2

Solución Para empezar se despejan cos u y sen u de las ecuaciones dadas.

3

cos u 5

2 1

θ =π −4

θ=0 −2

1

−1

2

4

x

x 3

y sen u 5

y 4

Despejar cos u y sen u.

sin 2 u 1 cos 2 u 5 1 para formar una ecuación A continuación, se hace uso de la identidad sen en la que sólo aparezcan x y y.

−1

cos2 u 1 sen sin2 u 5 1

−2

3π θ= 2 Ecuaciones paramétricas: x = 3 cos θ , y = 4 sen θ Ecuación rectangular: x2 y2 + =1 9 16

Figura 10.23

13x2 1 14y2 2

−3

2

Identidad trigonométrica.

51

Sustituir.

x2 y2 1 51 9 16


En esta ecuación rectangular, puede verse que la gráfica es una elipse centrada en s0, 0d, con vértices en s0, 4d y s0, 24d y eje menor de longitud 2b 5 6, como se muestra en la figura 10.23. Obsérvese que la elipse está trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj ya que u va de 0 a 2p . El empleo de la técnica presentada en el ejemplo 3 permite concluir que la gráfica de las ecuaciones paramétricas x 5 h 1 a cos u

y

y 5 k 1 b sen sin u,

0 # u # 2p

es una elipse (trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj) dada por

sx 2 hd 2 s y 2 kd 2 1 5 1. a2 b2 La gráfica de las ecuaciones paramétricas x 5 h 1 a sen sin u

y

y 5 k 1 b cos u,

0 # u # 2p

también es una elipse (trazada en sentido de las manecillas del reloj) dada por

sx 2 hd 2 s y 2 kd 2 1 5 1. a2 b2 Emplear una herramienta de graficación en modo paramétrico para elaborar las gráficas de varias elipses. En los ejemplos 2 y 3 es importante notar que la eliminación del parámetro es principalmente una ayuda para trazar la curva. Si las ecuaciones paramétricas representan la trayectoria de un objeto en movimiento, la gráfica sola no es suficiente para describir el movimiento del objeto. Se necesitan las ecuaciones paramétricas que informan sobre la posición, dirección y velocidad, en un instante determinado.

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SECCIÓN 10.2


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Hallar ecuaciones paramétricas Los primeros tres ejemplos de esta sección ilustran técnicas para dibujar la gráfica que representa un conjunto de ecuaciones paramétricas. Ahora se investigará el problema inverso. ¿Cómo determinar un conjunto de ecuaciones paramétricas para una gráfica o una descripción física dada? Por el ejemplo 1 ya se sabe que tal representación no es única. Esto se demuestra más ampliamente en el ejemplo siguiente, en el que se encuentran dos representaciones paramétricas diferentes para una gráfica dada.

Hallar las ecuaciones paramétricas para una gráfica dada

EJEMPLO 4

Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de y 5 1 2 x 2, usando cada uno de los parámetros siguientes. a) t 5 x

b) La pendiente m 5

dy en el punto sx, yd dx

Solución a) Haciendo x 5 t se obtienen las ecuaciones paramétricas x5t

y 5 1 2 x 2 5 1 2 t 2.

y

b) Para expresar x y y en términos del parámetro m, se puede proceder como sigue. dy 5 22x dx m x52 2

m5

y

1

m=0

m=2

m = −2 x

−2

−1

m=4

1

Despejar x.

Con esto se obtiene una ecuación paramétrica para x. Para obtener una ecuación paramétrica para y, en la ecuación original se sustituye x por 2my2.

2

−1

y 5 1 2 x2

−2

m y512 2 2 2

−3

Derivada de y 5 1 2 x 2.

Escribir la ecuación rectangular original.

1 2

m = −4

y512

2

m2 4

Sustitución de x por 2my2.

Simplificación.

Por tanto, las ecuaciones paramétricas son Ecuación rectangular: y = 1 − x2 Ecuaciones paramétricas: m2 m x=− ,y=1− 4 2

Figura 10.24

x52

m 2

y

y512

m2 . 4

En la figura 10.24 obsérvese que la orientación de la curva resultante es de derecha a izquierda, determinada por la dirección de los valores crecientes de la pendiente m. En el inciso a), la curva tenía la orientación opuesta. Para usar de manera eficiente una herramienta de graficación es importante desarrollar la destreza de representar una gráfica mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas. La razón es que muchas herramientas de graficación sólo tienen tres modos de graficación: 1) funciones, 2) ecuaciones paramétricas y 3) ecuaciones polares. La mayor parte de las herramientas de graficación no están programadas para elaborar la gráfica de una ecuación general. Supóngase, por ejemplo, que se quiere elaborar la gráfica de la hipérbola x 2 2 y 2 5 1. Para hacer la gráfica de la hipérbola en el modo función, se necesitan dos ecuaciones: y 5 !x 2 2 1 y y 5 2 !x 2 2 1. En el modo paramétrico, la gráfica puede representarse mediante x 5 sec t y y 5 tan t. TECNOLOGÍA

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CAPÍTULO 10


CICLOIDES Galileo fue el primero en llamar la atención hacia la cicloide, recomendando que se empleara en los arcos de los puentes. En cierta ocasión, Pascal pasó ocho días tratando de resolver muchos de los problemas de las cicloides, problemas como encontrar el área bajo un arco y el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar la curva sobre una recta. La cicloide tiene tantas propiedades interesantes y ha generado tantas disputas entre los matemáticos que se le ha llamado “la Helena de la geometría” y “la manzana de la discordia”.

EJEMPLO 5

Ecuaciones paramétricas de una cicloide

Determinar la curva descrita por un punto P en la circunferencia de un círculo de radio a que rueda a lo largo de una recta en el plano. A estas curvas se les llama cicloides. Solución Sea u el parámetro que mide la rotación del círculo y supóngase que al inicio el punto P 5 sx, yd se encuentra en el origen. Cuando u 5 0, P se encuentra en el origen. Cuando u 5 p, P está en un punto máximo sp a, 2ad. Cuando u 5 2p, P vuelve al eje x en s2p a, 0d. En la figura 10.25 se ve que /APC 5 1808 2 u. Por tanto, AC BD 5 a a AP cos u 5 2coss1808 2 u d 5 2coss/APCd 5 2a sin u 5 sen sins1808 2 u d 5 sen sins/APCd 5 sen

lo cual implica que AP 5 2a cos u y BD 5 a sen sin u. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información acerca de las cicloides, consultar el artículo “The Geometry of Rolling Curves” de John Bloom y Lee Whitt en The American Mathematical Monthly.

X 5 au. Además, como Como el círculo rueda a lo largo del eje x, se sabe que OD 5 PD BA 5 DC 5 a, se tiene sen u x 5 OD 2 BD 5 au 2 a sin y 5 BA 1 AP 5 a 2 a cos u. Por tanto, las ecuaciones paramétricas son x 5 asu 2 sen sin u d

y

y 5 as1 2 cos u d.

Cicloide: x = a(θ − sen θ ) y = a(1 − cos θ)

y

P = (x, y)

(3π a, 2a)

(π a, 2a)

2a

A

a

θ

O

C

B D πa

x

(2πa, 0)

3π a

(4π a, 0)

Figura 10.25

TECNOLOGÍA Algunas herramientas de graficación permiten simular el movimiento de un objeto que se mueve en el plano o en el espacio. Se recomienda usar una de estas herramientas para trazar la trayectoria de la cicloide que se muestra en la figura 10.25. La cicloide de la figura 10.25 tiene esquinas agudas en los valores x 5 2np a. Obsérvese que las derivadas x9su d y y9su d son ambas cero en los puntos en los que u 5 2np. xsu d 5 asu 2 sen sin u d x9su d 5 a 2 a cos u x9s2npd 5 0

ysu d 5 as1 2 cos u d y9su d 5 a sen sin u y9s2npd 5 0

Entre estos puntos, se dice que la cicloide es suave. DEFINICIÓN DE UNA CURVA SUAVE Una curva C representada por x 5 f std y y 5 gstd en un intervalo I se dice que es suave si f9 y g9 son continuas en I y no son simultáneamente 0, excepto posiblemente en los puntos terminales de I. La curva C se dice que es suave a trozos si es suave en todo subintervalo de alguna partición de I.

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SECCIÓN 10.2


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Los problemas de la tautocrona y de la braquistocrona

B

A C

El tiempo que requiere un péndulo para realizar una oscilación completa si parte del punto C es aproximadamente el mismo que si parte del punto A Figura 10.26

El tipo de curva descrito en el ejemplo 5 está relacionado con uno de los más famosos pares de problemas de la historia del cálculo. El primer problema (llamado el problema de la tautocrona) empezó con el descubrimiento de Galileo de que el tiempo requerido para una oscilación completa de un péndulo dado es aproximadamente el mismo ya sea que efectúe un movimiento largo a alta velocidad o un movimiento corto a menor velocidad (ver la figura 10.26). Más tarde, Galileo (1564-1642) comprendió que podía emplear este principio para construir un reloj. Sin embargo, no logró llegar a la mecánica necesaria para construirlo. Christian Huygens (1629-1695) fue el primero en diseñar y construir un modelo que funcionara. En su trabajo con los péndulos, Huygens observó que un péndulo no realiza oscilaciones de longitudes diferentes en exactamente el mismo tiempo. (Esto no afecta al reloj de péndulo porque la longitud del arco circular se mantiene constante dándole al péndulo un ligero impulso cada vez que pasa por su punto más bajo.) Pero al estudiar el problema, Huygens descubrió que una pelotita que rueda hacia atrás y hacia adelante en una cicloide invertida completa cada ciclo en exactamente el mismo tiempo. A


B

Una cicloide invertida es la trayectoria descendente que una pelotita rodará en el tiempo más corto Figura 10.27

JAMES BERNOULLI (1654-1705) James Bernoulli, también llamado Jacques, era el hermano mayor de John. Fue uno de los matemáticos consumados de la familia suiza Bernoulli. Los logros matemáticos de James le han dado un lugar prominente en el desarrollo inicial del cálculo.

El segundo problema, que fue planteado por John Bernoulli en 1696, es el llamado problema de la braquistocrona (en griego brachys significa corto y cronos significa tiempo). El problema consistía en determinar la trayectoria descendente por la que una partícula se desliza del punto A al punto B en el menor tiempo. Varios matemáticos se abocaron al problema y un año después el problema fue resuelto por Newton, Leibniz, L’Hôpital, John Bernoulli y James Bernoulli. Como se encontró, la solución no es una recta de A a B, sino una cicloide invertida que pasa por los puntos A y B, como se muestra en la figura 10.27. Lo sorprendente de la solución es que una partícula, que parte del reposo en cualquier otro punto C, entre A y B, de la cicloide tarda exactamente el mismo tiempo en llegar a B, como se muestra en la figura 10.28. A

C

B

Una pelotita que parte del punto C tarda el mismo tiempo en llegar al punto B que una que parte del punto A Figura 10.28 PARA MAYOR INFORMACIÓN Para ver una demostración del famoso problema de la braquistocrona, consultar el artículo “A New Minimization Proof for the Brachistochrone” de Gary Lawlor en The American Mathematical Monthly.

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CAPÍTULO Cónicas, ecuaciones paramétricas coordenadas polares Chapter 1010 Conics, Parametric Equations, and yPolar Coordinates

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Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter Chapter10 10 Conics, Conics,Parametric ParametricEquations, Equations,and andPolar PolarCoordinates Coordinates

Ejercicios See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 10.2 10.2 Exercises Exercises See See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 10.2 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out worked-out solutions solutions to totoodd-numbered odd-numbered exercises. exercises. www.CalcChat.com for 10.2 Exercises See www.CalcChat.com 10.2 x 3 exercises. 4 cos 25.odd-numbered x 5 !t y yfor5worked-out 13 2 t. solutions 25. 1. Considerar las ecuaciones paramétricas

t and y 3 t. 1. Consider the parametric equations x a) Construir una tabla de valores para t 5 0, 1,and 2, and Construct table of values for t x 0, 1, t2, 3, y3 y 4.3 t. 1.(a)Consider theaparametric equations x t y 33 t.t. una 1.1. b) Consider the parametric equations and x in Consider the points parametric equations Trazar los puntos (x, y) generados la tabla yand dibujar x, yof (b)(a) Plot the generated table, a t enthe 0,t and Construct a table values for 1, 2,y 3, andsketch 4. t 0, (a) Construct a table of values for 1, 2, 3, and 4.4. gráfica de lastable ecuaciones paramétricas. Indicar la oriengraph of the parametric equations. Indicate the orientation t 0, (a)(b) Construct a of values for 1, 2, 3, and Plot the points x, y generated in the table, and sketch a tación de points la gráfica. ofgraph the x,x,yy generated (b) the inin the table, of the parametric equations. the sketch orientation (b) Plot Plot thegraph. points generated theIndicate table, and and sketchaa graph of the parametric equations. Indicate the orientation c)(c)Verificar la gráfica elaborada en el inciso b) empleando Use a graphing utility to confirm your graph in part (b).una of the graph. graph of the parametric equations. Indicate the orientation ofofthe graph. herramienta de graficación. the graph. (d)(c)Find rectangular equation by eliminating theinparameter, Usethe a graphing utility to confirm your graph part (b). (c) Use aasketch graphing utility totoconfirm your graph ininpart (b). d) Hallar la ecuación rectangular mediante eliminación del and its graph. Compare the graph in part (b) with the (c)(d) Use graphing utility confirm graph partparameter, (b).paFind the rectangular equation byyour eliminating the rámetro yrectangular dibujar su gráfica. Comparar la gráfica generada en graph of the rectangular equation. (d) Find the equation by eliminating the parameter, andthe sketch its graph. Compare graph in the partparameter, (b) with the (d) Find rectangular equation by the eliminating eland inciso b) its congraph. la gráfica de la the ecuación rectangular. 2 sketch Compare graph in part (b) with the x graph 4 cosin part y with 2 sinthe. 2. Consider theofparametric equations and (b) graph thegraph. rectangular equation. and sketch its Compare the graph the rectangular equation. x 5 4 cos 2 u y y 5 2. Considerar ecuaciones paramétricas graphofoflas theparametric rectangular equation. x 4 cos 2 and y 2 sin . 2. Consider the equations (a) a table of values forx 4 cos 22,2 and, y0, 2ysin . . senConstruct u. 2.2. 2Consider 2 and 4 y 4 2 sin 2 . Considerthe theparametric parametricequations equations x 4 cos , and , 0, sketch Construct a table valuespara for in the table, y .a a)(b)(a) Construir una tabla deyof valores x, Plot the points generated 4 , ,2 , ,0, (a) aatable ofofvalues for y4y . .2 (a) Construct Construct table values for 0, 4orientation 2the 44the 22una a graph of the parametric equations. 2 tabla 4 sketch b) (b) Trazar (x,x,y)y generados en la y dibujar Plotlos thepuntos points generated inIndicate table, and of the graph. x, y (b) Plot the points generated in the table, and sketch gráfica de las ecuaciones paramétricas. Indicar la orientax, y graph the parametric equations. the orientation (b) Plot the of points generated in theIndicate table, and sketch aa graph of the Indicate la gráfica. (c)ción Use graphing utility toequations. confirm your graphthe inorientation part (b). ofdeathe graph. graph of the parametric parametric equations. Indicate the orientation ofofthe graph. thethe graph. c)(d)(c) Verificar gráfica elaborada enbyeleliminating inciso empleando una Find rectangular equation theinparameter, Use alagraphing utility to confirm your b) graph part (b). (c) Use a graphing utility totoconfirm your graph ininpart (b). herramienta and sketch its graficación. graph. the graph in part (b) with (c)(d)Use a graphing utilityCompare confirm graph partparameter, (b). the Find the de rectangular equation byyour eliminating the graph ofrectangular the rectangular equation. (d) Find the equation by eliminating the parameter, d) lasketch ecuación rectangular mediante la in eliminación delthe and its graph. Compare the graph part (b) with (d)Hallar Find the rectangular equation by eliminating the parameter, and sketch its graph. Compare the graph in part (b) yofdibujar suselected gráfica. Comparar la generada 2, 3 the 2 (e)parámetro If graph values were from the interval of thegraph. rectangular equation. and sketch its Compare the graph in gráfica part (b)with with the graph ofofthe rectangular equation. en elIf inciso b)of con la gráfica de lafrom ecuación rectangular. for the table in were part (a), would thethe graph in part 2, (b)3 be2 graph the rectangular equation. (e) values selected interval different? Explain. 2, 22gbe (e) IfIf values were selected interval u enthe py2, y2 e)(e)Si se seleccionaran defrom elthe intervalo for theofof table in valores part (a), would graph fin part 2,33p(b) values were selected from the interval for the table in part (a), would the graph in part (b) be para la del a),would ¿seríathe diferente la part gráfica fordifferent? thetabla tableExplain. in inciso part (a), graph in (b) del be In Exercises 3–20, sketch the curve represented by the different? Explain. inciso b)? Explicar different? Explain.el razonamiento. parametric equations the curve orientation of the curve), In Exercises 3–20, (indicate sketch the represented by the and write the corresponding rectangular equation by In Exercises 3–20, sketch the curve represented by the equations (indicate the orientation of the curve), Inparametric Exercises 3–20, thecurva curve byecuathe En los ejercicios 3 a 20,sketch trazar la querepresented representa las eliminating the parameter. parametric equations (indicate the the and paramétricas write the corresponding rectangular equation parametric equations (indicate the orientation orientation ofcurva) the curve), curve), ciones (indicar la orientación de laof y, eli-by and write the rectangular equation by eliminating the corresponding parameter. and the minando el parámetro, x write 2t 3, ycorresponding 3tdar 1la ecuación x rectangular 5 4t, equation y correspon2 5tby 3. 4.rectangular eliminating the parameter. eliminating the parameter. diente. 5.3.x x t 2t 1, 3,y y t 2 3t 1 6.4.x x 2t52, y4t, t y4 12 5t xx 2t 3, yy2 3t 11 x 5 4t, yy 422 5t 3. 4. 2 2t 3, 3t 3. 5. 4. 3. 4. x 3 t 1, t y t , y t 15t 6.x x 52 2t 24t, 2 2 x 2tt 2222, yt, yt 4444 t 21 t x t , y 7. 8. x x t 1, y t 5. 6. 2 2 2 t 2tt 5.5. xx5 tt1 1,1, yy5 6.6. xx5 2t2t , , yy5 tt 1 11 7. x t 3, y t2222 8. x 4 t 2 t, y t 2 t 3 t, 3 x 22 t, y 8 22 t x y t 5 9. 10. t t 2 x t , y 7. 8. 3 3 7.7. xx5 tt , , yy5 2 8.8. xxx5 ttt221 t,t,t, yyy5 ttt222 ttt 4 t,1 y 2 2 t, y t t 5 8 t 9. x 10. x x t t, 3,y yt 5 11. 12. xx 4414t, y, y8 tt 1 x 9. 10. t, y t t 5 t3 t, t y1 8 t 10. x 9.9. x 10. 11. x t 3, y 12. x 1 1 , y t 1 t 111 t, y t 2 13. x 2t, y y t t2tt 3 14. x 11. 12. 3, y t 3 11. xx tt 3, 12. xxx5 1111 t ,, , yyy5 ttt2 111 11. 12. t 3t t 3 , y y e t 12 15. 16. 13.x x e 2t, 14.x x e tt, tt y1 , ey2t t1 2 x 2t, y t 2 x t 11t1,, , yyy5 tt2tt1 222 13. 14. 2t, 13. 14.16. xxx5x 2t, 22 1, 0 14. 13. sec
|

|

|

|

26. x 5 sec u 26.

u x tansec 25.y x 2 35 sen4 cos 26.y 5 xx 33 44cos xx sec 25. 26. 3 3 cos sec 25. 26. 27. x 5 28. x 5 y 5 3 tan u u, y 5 sen sin 33 u 27. 28. y 4 sec 2 u,5 sen y cos tan yy 2233 55sen y tan sen,3 lny t 3 tan 29. 30. y5 ln cos 2t, 3 y, 5y t 22 sin 3 29. 30. x t ,4 sec x tan 27.x 5 28.yx 5 333 , xx 442t sec ,, yy 3t3t 33tan y sin2333 xx cos 27. 28. t 2t 2t 3 sec tan cos 27. 28. , 2t, y, 5yyett sin 31. 32. 31. 32. x e t ,, yy 5 e3 ln t x e ln t 29.x 5 30.x 5 33 xx t t3, , yyt 33lnlnt t3t xx lnln2t, t 222 29. 30. 2t, yy 29.31. 30.32. x e2t, x e , y e y tet 3t 2t –36, determine 3t 2t Comparingtt Plane Curves In Exercises 33 any Comparación de curvas planas En los ejercicios 33tt a 36, deter31. 32. 31. xx ee ,t, yy ee3t 32. xx ee2t,, yy eet differences theentre curves the parametric equations. Are minar toda between diferencia las curvas de 33 las–36, ecuaciones paraComparing Plane Curves InofExercises determine any the graphs¿Son the same? Are the orientations the determine same? the Comparing Plane Curves In Exercises 33 any métricas. iguales lascurves gráficas? iguales las Are orientadifferences between the of the¿Son parametric equations. Are Comparing Plane Curves In Exercises 33–36, –36, determine any curves smooth? differences between the ofofExplicar. the equations. Are ciones? ¿Son suaves lascurves curvas? the graphs theExplain. same? Are the orientations the same? Are differences between the curves theparametric parametric equations. Arethe the graphs the same? Are the orientations the same? Are the curves smooth? Explain. the graphs the same? Are the orientations the same? Are the cosu 33. a) (a) xx5 t t Explain. (b) xx5 cos 33. b) curves curvessmooth? smooth? Explain. t 11 cosu 1 11 33. (a) (b) yy5x 2t2t1 yy5x 22cos xx t t2t t xx cos 33. (b) t cos 33. (a) (a) (b) t (c) xx5y ee 2t 1 (d) xx5y ee 2 cos 1 c) d) y 2t2t2t tt11 yy 22cos 1 t y5x 2e2etcos 2ee 1 11 1 1 et1 (c) (d) yyy5x 2e y 1 x eett t 2t2 (c) xx ee tt t t (d) (d) 4t 2 1y cos 34. (c) (a) xx5y 22cos (b) xxx5y ! 2e 2e u 1 11 t t 34. a) b) 4t tt tt yy 2e yy 2e 1 1 t t 2e 2sen 1 t 4t12 1 t 2sincos 34. (a) (b) yy5x 22e sin u 1 yy5x 1yt x 4t4t222 112t2tt t x 22cos 34. (b) 34. (a) (a) (b) (c) xxx5y ! (d) xxx5y 2 ! 2t sin 1 4t42 ee c) d) tcos y 22sin yy 11t tt t 42t t t x ee 4 e2t (c) (d) yyy5x ! 4sin yy5 xx 44 ee2t2t2t xx tt (c) (d) t (c) (d) cosu 4 t cos 35. a) (a) xx5y cos (b) xx5y cos es2 ud 35. b) yy eett t 2 2 yy 44 2 2 t t sin u sins2 ud cos cos 35. (a) (b) yy5x 22sen sin yy5x 22sen sin xx cos 35. (b) 2 cos cos 35. (a) (a) x0x0
||

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SECCIÓN 10.2

En los ejercicios 43 a 50, emplear los resultados de los ejercicios 39 a 42 para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta o para la cónica. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.

Desarrollo de conceptos (continuación) y

c)

Recta: pasa por (0, 0) y (4, 27) Recta: pasa por (1, 4) y (5, 22) Círculo: centro: (3, 1); radio: 2 Círculo: centro: (26, 2); radio: 4 Elipse: vértices (610, 0); foco: (68, 0) Elipse: vértices: (4, 7), s4, 23d; foco: (4, 5), s4, 21d Hipérbola: vértice: s± 4, 0d; foco: s± 5, 0d Hipérbola: vértice: s0, ± 1d; foco: s0, ± 2d

52. y 5 4y(x 2 1)

53. y 5 x3

54. y 5 x2

x

1

2

3

−2 −3 −4

4

y

e)

y

f)

3 2 1

4

x −3 −2 −1

1

1 2 3

x

i) x 5 t 2 2 1,

1

−1 −1

−3

2

3

y5t12

ii) x 5 sen u 2 1, y 5 sin sen u 1 2 iii) Curva de Lissajous: x 5 4 cos u,

y 5 2 sen sin 2u

cos3 u,

y 5 2 sen sin33 u

v) Evolvente o involuta de un círculo: x 5 cos u 1 u sen sin u, y 5 sen sin u 2 u cos u

sen ud, y 5 2s1 2 cos ud 59. Cicloide: x 5 2su 2 sin 60. Cicloide: x 5 u 1 sen sin u, y 5 1 2 cos u 61. Cicloide alargada: x 5 u 2 32 sen sin u, y 5 1 2 32 cos u 62. Cicloide alargada: x 5 2u 2 4 sen sin u, y 5 2 2 4 cos u 63. Hipocicloide: x 5 3 cos3 u, y 5 3 sen sin3 u 64. Cicloide corta: x 5 2u 2 sen sin u, y 5 2 2 cos u 65. Hechicera o bruja de Agnesi: x 5 2 cot u, y 5 2 sen sin2 u y5

3t 2 1 1 t3

sin u cos u vi) Curva serpentina: x 5 cot u,ÊÊ y 5 4 sen 69. Cicloide corta Un disco de radio a rueda a lo largo de una recta sin deslizar. La curva trazada por un punto P que se encuentra a b unidades del centro (b < a) se denomina cicloide corta o acortada (ver la figura). Usar el ángulo u para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para esta curva. y

y 4 2a

(π a, a + b)

P

3

b

θ

a x

(0, a − b)

Desarrollo de conceptos

1

(x, y) θ x 1

67. Explicar el proceso del trazado de una curva plana dada por ecuaciones paramétricas. ¿Qué se entiende por orientación de la curva? 68. Asociar cada conjunto de ecuaciones paramétricas con su gráfica correspondiente. [Las gráficas están etiquetadas a), b), c), d), e) y f).] Explicar el razonamiento. y

a)

−2

1

2

2 1 x −3 −2 −1 −2 −4

Figura para 69

3

4

Figura para 70

70. Epicicloide Un círculo de radio 1 rueda sobre otro círculo de radio 2. La curva trazada por un punto sobre la circunferencia del círculo más pequeño se llama epicicloide (ver la figura). Usar el ángulo u para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de esta curva. ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 71 a 73, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. En caso de que sea falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre que es falsa.

4

x −2 −1

y

b)

2

4

sin2

iv) Evoluta de una elipse: x 5

En los ejercicios 59 a 66, emplear una herramienta de graficación para representar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas. Indicar la dirección de la curva e identificar todos los puntos en los que la curva no sea suave.

3t , 1 1 t3

2 3

−2 x

−1 −1

y 5 2x 2 5, t 5 0 en el punto (3, 1) y 5 4x 1 1, t 5 21 en el punto (22, 27) y 5 x2, t 5 4 en el punto (4, 16) y 5 4 2 x2, t 5 1 en el punto (1, 3)

66. Hoja o folio de Descartes: x 5

4 3 2

1

En los ejercicios 55 a 58, encontrar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la ecuación rectangular que satisface la condición dada. 51. 56. 57. 58.

y

d)

4

En los ejercicios 51 a 54, hallar dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para la ecuación rectangular. 51. y 5 6x 2 5

719


1 2 3

71. La gráfica de las ecuaciones paramétricas x 5 t 2 y y 5 t 2 es la recta y 5 x. 72. Si y es función de t y x es función de t, entonces y es función de x.

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CAPÍTULO 10


73. La curva representada por las ecuaciones paramétricas x 5 t y y 5 cos t se pueden escribir como una ecuación de la forma y 5 f(x).

PROYECTO DE TRABAJO

Para discusión

Cicloides

74. Considerar las ecuaciones paramétricas x 5 8 cos t y y 5 8 sen t.

En griego, la palabra cycloid significa rueda, la palabra hipocicloide significa bajo la rueda, y la palabra epicicloide significa sobre la rueda. Asociar la hipocicloide o epicicloide con su gráfica. [Las gráficas están marcadas a), b), c), d), e) y f).]

a) Describir la curva representada por las ecuaciones paramétricas. b) ¿Cómo se representa la curva por las ecuaciones paramétricas x 5 8 cos t 1 3 y y 5 8 sen t 1 6 comparada a la curva descrita en el inciso a)?

Hipocicloide, H(A, B)

c) ¿Cómo cambia la curva original cuando el coseno y el seno se intercambian?

1A 2B B2t A2B y 5 sA 2 Bd sen sin t 2 B sen sin1 t B 2

Movimiento de un proyectil En los ejercicios 75 y 76, considerar un proyectil que se lanza a una altura de h pies sobre el suelo y a un ángulo u con la horizontal. Si la velocidad inicial es v0 pies por segundo, la trayectoria del proyectil queda descrita por las ecuaciones paramétricas x 5 xv0 cos uc t y y 5 h 1 xv0 sen sin uc t 2 16t 2. 75. La cerca que delimita el jardín central en un parque de béisbol tiene una altura de 10 pies y se encuentra a 400 pies del plato de home. La pelota es golpeada por el bate a una altura de 3 pies sobre el suelo. La pelota se aleja del bate con un ángulo de u grados con la horizontal a una velocidad de 100 millas por hora (ver la figura).

Trayectoria descrita por un punto fijo en un círculo de radio B que rueda a lo largo de la cara interior de un círculo de radio A x 5 sA 2 Bd cos t 1 B cos

Epicicloide, E(A, B) Trayectoria descrita por un punto fijo en un círculo de radio B que rueda a lo largo de la cara exterior de un círculo de radio A

1A 1B B2t A1B y 5 sA 1 Bd sen sin t 2 B sen sin1 t B 2 x 5 sA 1 Bd cos t 2 B cos

I. H(8, 3)

II. E(8, 3)

III. H(8, 7)

IV. E(24, 3)

V. H(24, 7) 10 pies

a)

VI. E(24, 7) y

b)

y

θ 400 pies x

3 pies

a) Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la trayectoria de la pelota. b) Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria de la pelota si u 5 158. ¿Es el golpe un home run? c) Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria de la pelota si u 5 238. ¿Es el golpe un home run? d) Hallar el ángulo mínimo al cual la pelota debe alejarse del bate si se quiere que el golpe sea un home run. 76. Una ecuación rectangular para la trayectoria de un proyectil es y 5 5 1 x 2 0.005 x 2.

c)

y

x

d)

y

x

e)

y

x

f)

y

a) Eliminar el parámetro t de la función de posición del movimiento de un proyectil para mostrar que la ecuación rectangular es 16 sec22 u 2 x 1 stan ud x 1 h. v02 b) Usar el resultado del inciso a) para hallar h, v0 y u. Hallar las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. c) Usar una herramienta de graficación para trazar la gráfica de la ecuación rectangular de la trayectoria del proyectil. Confirmar la respuesta dada en el inciso b) y dibujar la curva representada por las ecuaciones paramétricas. d) Usar una herramienta de graficación para aproximar la altura máxima del proyectil y su rango. y52

x

x

Ejercicios basados en “Mathematical Discovery via Computer Graphics: Hypocycloids and Epicycloids” de Florence S. Gordon y Sheldon P. Gordon, College Mathematics Journal, noviembre de 1984, p. 441. Uso autorizado por los autores.

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Ecuaciones paramétricas y cálculo Ecuaciones paramétricas y cálculo

721 721

10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo n n

y

n

Pendiente y rectas tangentes

30

20

Hallar la pendiente de una recta tangente a una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas. Hallar la longitud de arco de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas. Hallar el área de una superficie de revolución (forma paramétrica).

Ahora que ya se sabe representar una gráfica en el plano mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas, lo natural es preguntarse cómo emplear el cálculo para estudiar estas curvas planas. Para empezar, hay que dar otra mirada al proyectil representado por las ecuaciones paramétricas

x = 24 2t y = −16t 2 + 24 2t

θ

10

x 5 24!2t 45° x 10

20

30

En el momento t, el ángulo de elevación del proyectil es u, la pendiente de la recta tangente en ese punto Figura 10.29

y

y 5 216t 2 1 24!2t

como se ilustra en la figura 10.29. De lo visto en la sección 10.2, se sabe que estas ecuaciones permiten localizar la posición del proyectil en un instante dado. También se sabe que el objeto es proyectado inicialmente con un ángulo de 45°. Pero, ¿cómo puede encontrarse el ángulo u que representa la dirección del objeto en algún otro instante t? El teorema siguiente responde a esta pregunta proporcionando una fórmula para la pendiente de la recta tangente en función de t. TEOREMA 10.7 FORMA PARAMÉTRICA DE LA DERIVADA Si una curva suave C está dada por las ecuaciones x 5 f std y y 5 g std, entonces la pendiente de C en sx, yd es dy dyydt 5 , dx dxydt

y

( f(t + ∆t), g(t + ∆t))

DEMOSTRACIÓN

∆y

En la figura 10.30, considérese Dt > 0 y sea

Dy 5 gst 1 Dtd 2 gstd

y

Dx 5 f st 1 Dtd 2 f std.

Como Dx → 0 cuando Dt → 0, se puede escribir

( f(t), g(t)) ∆x x

La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos s f std, g stdd y s f st 1 Dtd, gst 1 Dtdd es Dy yD x. Figura 10.30

dx Þ 0. dt

dy Dy 5 lím lim dx Dx →0 Dx gst 1 Dtd 2 gstd 5 lím lim . Dt→0 f st 1 Dtd 2 f std Dividiendo tanto el numerador como el denominador entre Dt, se puede emplear la derivabilidad o diferenciabilidad de f y g para concluir que dy fgst 1 Dtd 2 gstdgyDt 5 lím lim dx Dt→0 f f st 1 Dtd 2 f stdgyDt gxt 1 Dtc 2 gxtc lim lím Dt→0 Dt 5 f xt 1 Dtc 2 f xtc lím lim Dt→0 Dt g9std f9std dyydt . 5 dxydt 5

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CAPÍTULO 10


Derivación o diferenciación y forma paramétrica

EJEMPLO 1

Hallar dyydx para la curva dada por x 5 sin sen tt y y 5 cos t. AYUDA DE ESTUDIO La curva del ejemplo 1 es una circunferencia. Emplear la fórmula

dy 5 2tan t dx para hallar su pendiente en los puntos (1, 0) y (0, 1).

Solución dy dyydt 2sin sen t 5 5 5 2tan t dx dxydt cos t Como dyydx es función de t, puede emplearse el teorema 10.7 repetidamente para hallar las derivadas de orden superior. Por ejemplo,

3 4

2

d y d dy 5 dx 2 dx dx

3 4

d 3y d d 2y 3 5 dx dx dx 2

3 4

d dy dt dx 5 dxydt d d 2y dt dx 2 5 . dxydt

3 4

Segunda derivada.

Tercera derivada.

Hallar pendiente y concavidad

EJEMPLO 2

Para la curva dada por 1 y 5 st 2 2 4d, t ≥ 0 4 hallar la pendiente y la concavidad en el punto s2, 3d. x 5 !t

y

Solución Como y

(2, 3)

3

t=4 m=8

2

x −1

1

Forma paramétrica de la segunda derivada.

En sx, yd 5 s2, 3d, se tiene que t 5 4, y la pendiente es

2

dy 5 s4d 3y2 5 8. dx

−1

x=

t 1 4

(t 2 − 4)

En (2, 3), donde t 5 4, la gráfica es cóncava hacia arriba Figura 10.31

Forma paramétrica de la

se puede hallar que la segunda derivada es d d 3y2 fdyydxg ft g d 2y dt dt s3y2d t 1y2 5 5 5 5 3t. dx 2 dxydt dxydt s1y2d t21y2

1

y=

dy dyydt s1y2d t 5 5 5 t 3y2 dx dxydt s1y2d t21y2

Y, cuando t 5 4, la segunda derivada es d 2y 5 3s4d 5 12 > 0 dx 2 por lo que puede concluirse que en (2, 3) la gráfica es cóncava hacia arriba, como se muestra en la figura 10.31. Como en las ecuaciones paramétricas x 5 f std y y 5 gstd no se necesita que y esté definida en función de x, puede ocurrir que una curva plana forme un lazo y se corte a sí misma. En esos puntos la curva puede tener más de una recta tangente, como se muestra en el ejemplo siguiente.

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SECCIÓN 10.3

EJEMPLO 3

x = 2t − π sen t y = 2 − π cos t y Recta tangente (t = π /2)

Una curva con dos rectas tangentes en un punto

x 5 2t 2 p sen sin t

Solución Como x 5 0 y y 5 2 cuando t 5 ± py2, y

(0, 2)

π

dy dyydt p sen sin t 5 5 dx dxydt 2 2 p cos t

x

se tiene dyydx 5 2 py2 cuando t 5 2 py2 y dyydx 5 py2 cuando t 5 py2. Por tanto, las dos rectas tangentes en (0, 2) son

−2

Recta tangente (t = −π /2)

y2252

Esta cicloide alargada tiene dos rectas tangentes en el punto (0, 2) Figura 10.32

y 5 2 2 p cos t

y

se corta a sí misma en el punto (0, 2), como se ilustra en la figura 10.32. Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes en este punto.

4

−π

723

La cicloide alargada dada por

6

2

Ecuaciones paramétricas y cálculo

1p2 2 x

p Recta tangente cuando t 5 2 . 2

y y225

1p2 2 x.

Recta tangente cuando t 5

p . 2

Si dyydt 5 0 y dxydt Þ 0 cuando t 5 t0, la curva representada por x 5 f std y y 5 gstd tiene una tangente horizontal en s f st 0d, gst 0dd. Así, en el ejemplo 3, la curva dada tiene una tangente horizontal en el punto s0, 2 2 pd (cuando t 5 0). De manera semejante, si dxydt 5 0 y dyydt Þ 0 cuando t 5 t0, la curva representada por x = f(t) y y = g(t) tiene una tangente vertical en s f st 0d, gst 0dd.

Longitud de arco Se ha visto cómo pueden emplearse las ecuaciones paramétricas para describir la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano. Ahora se desarrollará una fórmula para determinar la distancia recorrida por una partícula a lo largo de su trayectoria. Recuérdese de la sección 7.4 que la fórmula para hallar la longitud de arco de una curva C dada por y 5 hsxd en el intervalo fx0, x1g es s5 5

E E! x1

x0 x1

!1 1 fh9sxdg 2 dx

11

x0

1dy dx 2

2

dx.

Si C está representada por las ecuaciones paramétricas x 5 f std y y 5 gstd, a ≤ t ≤ b, y si dxydt 5 f9std > 0, se puede escribir s5

E! x1

x0

11

1dy dx 2

2

dx 5

E! E! E !1 E x1

x0 b

5

a

b

5

a

11

1dyydt dxydt 2

2

dx

sdxydtd 2 1 sdyydtd 2 dx dt sdxydtd2 dt dx dt

2 1 1dydt2 2

2

dt

b

5

!f f 9stdg 2 1 fg9stdg 2 dt.

a

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CAPÍTULO 10


TEOREMA 10.8 LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA Si una curva suave C está dada por x 5 f std y y 5 gstd y C no se corta a sí misma en el intervalo a # t # b (excepto quizás en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese intervalo está dada por

E !1 b

s5

a

dx dt

1

dy dt

E

b

2 1 2 2

2

dt 5

!f f 9stdg 2 1 fg9stdg 2 dt.

a

NOTA Al aplicar la fórmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la curva se recorra una sola vez en el intervalo de integración. Por ejemplo, el círculo dado por x 5 cos t y y 5 sen t, recorre una sola vez el intervalo 0 # t # 2p, pero recorre dos veces el intervalo 0 # t # 4p. n

En la sección anterior se vio que si un círculo rueda a lo largo de una recta, cada punto de su circunferencia trazará una trayectoria llamada cicloide. Si el círculo rueda sobre otro círculo, la trayectoria del punto es una epicicloide. El ejemplo siguiente muestra cómo hallar la longitud de arco de una epicicloide.

Calcular la longitud de arco

EJEMPLO 4

Un círculo de radio 1 rueda sobre otro círculo mayor de radio 4, como se muestra en la figura 10.33. La epicicloide trazada por un punto en el círculo más pequeño está dada por

ARCO DE UNA CICLOIDE La longitud de un arco de una cicloide fue calculada por vez primera en 1658 por el arquitecto y matemático inglés Christopher Wren, famoso por reconstruir muchos edificios e iglesias en Londres, entre los que se encuentra la Catedral de St. Paul.

y

t se

enta em cr x

−2

2 −2

−6

x = 5 cos t − cos 5t y = 5 sen t − sen 5t

E !1 E E E E E py2

54

py2

0

5 20 5 20 5 20 5 40

dx dt

py2

0 py2

Figura 10.33

2

2

dt

Forma paramétrica de la longitud de arco.

!2 2 2 sen sin t sen sin 5t 2 2 cos t cos 5t dt !2 2 2 cos 4t dt

0 py2

!4 sen sin22 2t dt


0 py2

sin 2t dt sen

3

4

5 220 cos 2t 5 40

2 1 1dydt2

!s25 sen sin t 1 5 sen sin 5td2 1 s5 cos t 2 5 cos 5td2 dt

0

Un punto en la circunferencia pequeña es el que traza una epicicloide en la medida que el círculo pequeño rueda alrededor de la circunferencia grande

y 5 5 sen sin t 2 sen sin 5t.

Solución Antes de aplicar el teorema 10.8, hay que observar en la figura 10.33 que la curva tiene puntos angulosos en t 5 0 y t 5 py2. Entre estos dos puntos, dxydt y dyydt no son simultáneamente 0. Por tanto, la porción de la curva que se genera de t 5 0 a t 5 py2 es suave. Para hallar la distancia total recorrida por el punto, calcular la longitud de arco que se encuentra en el primer cuadrante y multiplicar por 4.

0

in

y

Hallar la distancia recorrida por el punto al dar una vuelta completa alrededor del círculo mayor.

s54

2 −6

x 5 5 cos t 2 cos 5t

py2 0

Para la epicicloide de la figura 10.33, una longitud de arco de 40 parece correcta, puesto que la circunferencia de un círculo de radio 6 es 2p r 5 12p < 37.7.

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SECCIÓN 10.3

EJEMPLO 5

0.5 pulg

Ecuaciones paramétricas y cálculo

725

Longitud de una cinta magnetofónica

Una cinta magnetofónica de 0.001 pulgadas de espesor se enrolla en una bobina cuyo radio interior mide 0.5 pulgadas y cuyo radio exterior mide 2 pulgadas, como se muestra en la figura 10.34. ¿Cuánta cinta se necesita para llenar la bobina?

0.001 pulg

Solución Para crear un modelo para este problema, supóngase que a medida que la cinta se enrolla en la bobina, su distancia r al centro se incrementa en forma lineal a razón de 0.001 pulgadas por revolución, o

2 pulg

r 共0.001兲

4 000

x r cos

(x, y)

y

r

θ

1 000

donde está medido en radianes. Se pueden determinar las coordenadas del punto (x, y) correspondientes a un radio dado

x = r cos θ y = r sen θ

y

, 000 2 22000

x

y r sen sin . Al sustituir r, se obtienen las ecuaciones paramétricas x

Figura 10.34

cos 冢22000 000 冣

y

y

sin . sen 冢22000 000 冣

La fórmula de la longitud de arco se puede emplear para determinar que la longitud total de la cinta es s

冕

44000 000

11000 000

冪冢ddx冣冢ddy冣 d 2

冕冕

4000 4 000

2

1 22000 000

1 22000 000

1 1 冪 2 1 ln 冪 2 1 22000 000 2

1 000 1000

4000 4 000

1 000 1000

冪共 sen sin cos 兲2 共 cos sen sin 兲 2 d 冪 2 1 d

冢冣冤

ⱍ

ⱍ冥

44000 000 11000 000

Tablas de integración (apéndice B), fórmula 26.

781 pulgadas ⬇ 11 11,781 inches ⬇ 982 982 pies feet PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre las matemáticas de una cinta magnetofónica, consultar “Tape Counters” de Richard L. Roth en The American Mathematical Monthly. La gráfica de r a se llama espiral de Arquímedes. La gráfica de r 兾2 000 (ejemplo 5) es de este tipo. I NOTA

La longitud de la cinta del ejemplo 5 puede ser aproximada si se suman las porciones circulares de la cinta. El radio de la más pequeña es de 0.501 y el radio de la más grande es de 2. s ⬇ 2 共0.501兲 2 共0.502兲 2 共0.503兲 . . . 2 共2.000兲

1500 1 500

兺 2 共0.5 0.001i兲

i1

500(0.5 500)(1 501)/2兴 1500 共0.5兲 0.001(1 0.001共1500 兲共1501 兲兾2兴 2 关关1 786 inches pulgadas ⬇ 11 11,786

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CAPÍTULO 10


Área de una superficie de revolución La fórmula para el área de una superficie de revolución en forma rectangular puede usarse para desarrollar una fórmula para el área de la superficie en forma paramétrica. TEOREMA 10.9 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Si una curva suave C dada por x 5 f std y y 5 gstd no se corta a sí misma en un intervalo a # t # b, entonces el área S de la superficie de revolución generada por rotación de C, en torno a uno de los ejes de coordenadas, está dada por

E E

b

1. S 5 2p

a b

2. S 5 2p

!1dxdt2 1 1dydt2 dx dy f std!1 2 1 1 2 dt dt 2

gstd

a

2

2

dt

Revolución en torno al eje x: g(t) ≥ 0.

dt

Revolución en torno al eje y: f(t) ≥ 0.

2

Estas fórmulas son fáciles de recordar si se considera al diferencial de la longitud de arco como ds 5

!1dxdt2 1 1dydt2 dt. 2

2

Entonces las fórmulas se expresan como sigue.

E

b

1. S 5 2p

2. S 5 2p

a

Hallar el área de una superficie de revolución

EJEMPLO 6

( 32 , 3 2 3 ) ) , 23)

f std ds

a

y y

E

b

gstd ds

3 2

Sea C el arco de la circunferencia C

1

x2 1 y 2 5 9 (3, 0) x

−1

1

4

−1 −2 −3

Esta superficie de revolución tiene un área de superficie de 9phas a surface area The surface of revolution Figura 10.35 of 9p. Figure 10.35

que va desde s3, 0d hasta s3y2, 3!3y2d, como se ve en la figura 10.35. Encontrar el área de la superficie generada por revolución de C alrededor del eje x. Solución C se puede representar en forma paramétrica mediante las ecuaciones x 5 3 cos t

y 5 3 sen sin t,

y

0 # t # py3.

(El intervalo para t se obtiene observando que t 5 0 cuando x 5 3 y t 5 py3 cuando x 5 3y2.d En este intervalo, C es suave y y es no negativa, y se puede aplicar el teorema 10.9 para obtener el área de la superficie

E E E

S 5 2p 5 6p 5 6p

py3

0 py3

s3 sen sin td!s23 sen sin td2 1 s3 cos td2 dt sin t!9ssen sin22 t 1 cos 2 td dt sen

0 py3

3 sen sin t dt

0

3 4

5 218p cos t 5 218p 5 9p.

Fórmula para el área de una superficie de revolución.

py3 0

1 12 2 12


1059997_1003.qxp 9/8/08 3:54 PM 1059997_1003.qxp 9/8/08 3:54Page PM 10-3.qxd 3/12/09 16:47 8/08 1059997_1003.qxp 3:54 PM Page 727 9/8/08 1059997_1003.qxp 9/8/08 3:54 PM 1059997_1003.qxp 9/8/08 3:54 3:54 PM PM 1059997_1003.qxp 9/8/08 3:54 PM

Page 727 Page 727 727 Page Page 727 Page 727 727 Page 727

10.3

10.310.3Parametric Parametric Equations andCalculus Calculus SECCIÓN Ecuaciones paramétricas y cálculo 10.3 Equations and 10.3 Parametric Equations and Calculus Parametric Equations and Calculus 727 10.3 Parametric Equations and Calculus 10.3 Parametric Equations and Calculus 10.3 Parametric ParametricEquations Equationsand andCalculus Calculus 10.3

727 727 727 727 727 727 727 727

Exercises www.CalcChat.comforforworked-out worked-outsolutions solutionstotoodd-numbered odd-numberedexercises. exercises. 10.3 Exercises Ejercicios SeeSeeSeewww.CalcChat.com 10.3 10.3 Exercises www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 10.3 Exercises 10.3 See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions toto odd-numbered exercises. Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions odd-numbered exercises. 10.3 See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 10.3 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

ParametricEquations Equations Parameter dydx. Exercises 1–4,4, Parametric Parameter Ecuaciones paramétricas Parámetro /dx.dy dx. InInExercises 1– En los ejercicios 1 find afind 4, dy hallar Parametric Equations Parameter In Exercises 1– 4, find dy//dx. / 2 3 2 3 Parametric Equations Parameter x t t Parametric Equations Parameter t 2, y t 3t 21. Parametric Equations Parameter 2 3 Parametric Parameter es 1– 4, find dy/dx. In t tParameter 11 t 1Equations 2,2, yy 5tt3 23t3t 21. dy In Exercises 1– find 2 1– 21. xParametric dydx. In1.Exercises Exercises 1–4,4, 4,find find6tdy dx. 3 3t,t,y y5 4 42 t t /dx. In xx 5 tt2222 2 tt Equations tt 5 21 1 2, y t333 3t 21. xx t 2t2, ,yy1– 4, 77find 6t dy///dx. 1. Exercises 2.2.x x5 ! 3 2 3 7 6t 2 1. x t2232, y2 2. x21. x333 t, ty 4t t2, y t 3t 21. xxx tttt22 t1tt 2,2, ttt 3331p11 ttt33 3t 3t 21. 2, yyyy3 sin 3t 21. 2 2 3 x t t 1 t 2, t 3t 21. 2 2 2 u 2 u y2 x x t , y 7 6t t, y 4 t 1. 2. x 4 cos , y 22. x 2e , y e x sin , y cos y 7 6t t, y 4 t 2. 3. 4. 2 x x t , y 7 6t t, y 4 t 1. 2. t , ,2yuy, y75 7 cos t 1. x x5 sen 2. x x5 2e 2 3 ,t, yy5 e4 22. sin 3. 4. cos u,,, yyy 5333sin sin u u 5 334 22. xxx 5444cos sen 6t6t2u 1. 2. cos sin 22. cos 3. xx tsin 4. xx 2et,, yy 4e 22t22 3 3434 222 , y 222 22 2 34 x2e 4yyycoseee , y22 3 sin 2e , ,y,, yyy e cos n2 , y cos2 4. xxx 444cos ,,, yyy 333sin 22. x2x22. 2e , xxx sin 3.3. 4.4. cos sin 22. , sin cos cos sin 22. x 2e , sin cos 3. 4. 2 2 2 2 2 d In Exercises 5 –14, find and and find the slope dy dx y/dx , x 4 cos , y 3 sin 22. x 2e y e x sin , y cos 3. 4. 4 444 de las rectas tan2 2 /dxdy In Exercises 5 –14, and thelaslope dy/ dx , and dxddy2y/dx d y / 2dx , asífind En los ejercicios 5 a find 14, hallar como penEn los ejercicios 23find afind 26,the hallar las ecuaciones 4tangentlines / In Exercises 23–26, the equations of the linesatatthe the In Exercises 5 –14, find and and find the slope dy y/dx , In Exercises 23–26, equations of the tangent / 22y/dx 22,2 and and concavity (if possible) at the given value of the parameter. 2 2 2 2 2 d In Exercises 5 –14, find and find the slope dy dx and concavity (if possible) at the given value of the parameter. dExercises es 5 –14, find dy/ dx and and find the slope y/dx In Exercises 23–26, find the equations the tangent lines at the d y/dx In 5(if –14, find and and find the slope dy ,, of diente y la ,concavidad (de ser posible) en2,el punto corresponInExercises Exercises –14, find and and find theslope slope dy dx y/dx gentes en el the punto en el que laitself. curva seofcorta a sí misma. //at/dx point where thecurve curve crosses itself. /dx and concavity possible) the given value the parameter. dd2In In 55–14, find and and find the dy y/dx point where crosses Exercises 23–26, find the equations of the tangent lines at the In Exercises 23–26, find the equations of the tangent lines at the In Exercises 23–26, find the equations of the tangent lines at the InExercises Exercises 23–26, find theequations equations thetangent tangentlines linesatatthe the and concavity (if possible) atthe the given value ofthe the parameter. vity (if possible) at thediente given value the parameter. point where 23–26, the curve crosses itself. ofofthe and concavity possible) at of In find the al valorof(if dado del parámetro. and concavity (if possible) thegiven givenvalue value theparameter. parameter. Parametric Equations Point and concavity (if possible) atatthe given value ofofthe parameter. Parametric Equations Point point where the curve crosses itself. point where the curve crosses itself. point where the curve crosses itself. point where the curve crosses itself. sen 23. x 5 2 sin 2t, y 5 3 sin t sen x 2 sin 2t, y 3 sin t 23. Parametric Equations Point point where the curve crosses itself. 23. x 2 sin 2t, y 3 sin t etric Equations Point x 4t, 4t, t 33 23. x 2 sin 2t, y 3 sin t Equations Point Parametric Equations Point Punto Parametric Equations Point xParametric yy paramétricas 3t3t 22 5.5.Ecuaciones sen 2 cos 5 sin 24. 2t, t2ttt 2 psin 23. sin 2t, sin 23. cosyt,yyt,t, y3yy33sin sinttt 23. xtPoint 24.xxxxx 522222sin x 4t, y Equations 3t 2 t 23sin 2t, y 3 sin t 24. 5. Parametric sinp 2t, sin 23. cos 2t2t 23. x 4t, y 3t 2 t 3 5. x t , y 3t 1 t 1 y 3t 2 t 3 6. sin t 24. xx 2222sin 2t,cosyt, 33y3 sin2tt x t 3 5. 4t, y 3t 2 t 5 3 5. 4t, y 3t 2 3 5. x t x t , y 3t 1 1 6. 3t 25. 5. cos t, y 2t 25. sinxxxxxt 5t2t222t 2t,t,t,cos 3t 24. xtt 231 25. 2t 24. cos t,t, tt3tyyy23t 2t 2 11 sin sin 24. 6. xx 4t, t ,y y 3t3t 22 1 cos sintttt 24. yyyt,5 2t2t 11 sin 24. 2t 1 t , y 3t 1 7.xxxx5 ! 25. xx 2t222323 t, cosy t, t33y33 22 3t 3t 1113t3t 6.6. yy15 3t ttttt5 11121111 6. , yyy1, 3tt2 6. t t tttt,t,,,1, yy 3t 7. 3 2 x 5 t 2 6t, y 5 t 26. 2 3 x 3t 1 6. t, y t 3t 1 x t 25. 3 2 t, y t 3t 1 25. 3t 126. 25. xt t 1 t, y t 26.xxx t t2t 6t, 7. x t 2 1, y t222 3t t,6t, y y 3t t 3t 1 25. 25. 0111 1, y t 2 3t y 3t 8.xxxxx5 ttt2tt1t 1, 26. xx tt3333 t,6t, y y t t2222 3t 1 1,1, t2tt2y21 3t3t 7.7. yyyy154,t4, ttttt5 21 7. 1, 3t 7. 5t5t 4t4t 8. 7. 26. xtt t003 1 6t, y t 2 xxx tt3t 3 6t, yyy tt2t 2 26. 6t, 26. 8. xx tt2222 1,5ty 4,t y 3t4t 6t,27 26. x ejercicios t 27 6t, y y28, t find 26. En los 28, hallar los puntos dehorizontal tangencia and horiInExercises Exercises 27 and findall alltodos points any)ofof horizontal and 0 4,4, 5t 4, y 4t xxx ttt22t 5t 8.8. 5t 4t In and points (if(if any) ttttt5 00000 8. 5t 4, yy4yy sen4t 4t 8. x t 5t 4, 4t 8. x 4 cos , y 9. In Exercises 27 and 28, find allporción points (if any) of horizontal and 9. x 4 cos , y 4 sen zontal y vertical (si los hay) a la de la curva que se muestra. vertical tangency to the portion of the curve shown. vertical to 28, the portion of the (if curve shown. p44 27 and 28, find all points In Exercises (iftangency any)27 ofand horizontal and In Exercises find all points any) of horizontal and 9. x 4 cos , y 4 sen In Exercises 27 and 28, find all points (if any) of horizontal and In Exercises 27 and 28, find all points (if any) of horizontal and vertical tangency to 28, thefind portion of the(if curve In Exercises 27 and all points any)shown. of horizontal and u5 4 9. cos , y 4 sen xx 444cos sen 9.9. cos sen cos , ,,4,,yyyyy 34444sin sen tangency to the portion of the curve shown. vertical tangency to the portion vertical of curve shown. vertical tangency to the portion of the curve shown. 4cos cos 9.9. xxxx cos vertical tangency tothe theportion portion of thexcurve curve shown. 10. 5 2u Evolvente de un círculo: 28. 27. 2 xshown. 27.the Involute ofoaainvoluta circle: 28. , y 3 sinsen 0444404 10. vertical tangency to of the x 2 27. Involute of circle: 28. 0 10. x cos , y 3 sin 27. Involute of a circle: 28. x 2 xxxx5 cos u,,,,y0yyy5 3333sen sin u u 5 0000 of a circle: 10. s , y 3 sin cos sin 10. cos sin 10. y 2s1 2 cos ud x 5 cos u 1 u sen u cos sin 10. cos y 2 1 cos sin x 2 27. Involute 28. x 2 27. Involute of a circle: 28. x 2 27. Involute of a circle: 28. 27. xInvolute Involute 28. yxx 2221 5cos cos of a circle: sin ,sec y , ,y3ysin11 22tan 0 10. 2 sec tan 11.xxx 2cos 27. 28. 11. x cos of a circle: y 2 1 cos sin 6 p 11. x 2 sec , y 1 2 tan 6 x cos y 2 1 cos sin sen ucos xu 5 cos 2cos sin1 u 2cos cos sin cos y 2 1 cos sin cos sin u xxx5 2221 sec 11. yxyxyx 5 sin sec tan 11. 6 sec , y 1 2 tan sec tan 11. yy 2211 cos sin secu,,,, yyyy5 11111 2222tan tanu 11. y cos sin yy cos 11. 12.xxxx 22 t,t,sec yy yy6 , yt t 111 2 tan t t sin 2666266 12. y cos y sin cos y y y sin cos sin y cos cos 12. xx 5 !t,t, yy 5 !tt 2 11 yy sin y tttt5 2222 12. xxx ttt 1311 12. t, y t 1 tt,t,t,3yyy2 12. t 22 y 12. y 88yyyy 10 10yyyyy x t, y t 1 t 12. 3 3 , y sin x cos 13. 8 10 y 13. x cos 3 , y sin 3 p 8 10 sin3333u cos3333u,, yy 5 sen 13. xx 5 cos 88 u 5 444 8 13. 6886886 10 10 10 ,,, yyy sin sin xxx cos 10 13. 810 s 3 , y sin 3 sin cos 13. sin331 cos cos33 sin 13. 444 8644 10 8 , y sin x cos 13. 4 x , y 14. 46 46666 686 sin , y 1 cos 14. x 8 8 θ 8 6 4 8 sinu,, yy 5 11 2 cos cosu 14. xx 5 u 2 sen θθ 64 86 sin u5p 4 242442 xxx sin ,,, yyy 111 cos 14. θ sin , y 1 cos 14. 464 sin cos 14. sin cos 14. 6 6 6 2 4 6 4 x x x sin , y 1 cos 14. θ θ In Exercises 15–18, find an equation of the tangent line at each θ θ x 64 In Exercises 15–18, find an equation of the tangent 2 line at each 22 −6 −2 In Exercises 15–18, equation of the tangent at each −6 −2222 22θ2 444 666 888 x En los ejercicios 15 curve. yfind 18, an hallar una ecuación para laline recta tan4 2442442 −6 −2 given point on the x In Exercises 15–18, find an equation of the tangent line at each x x given point on15–18, the curve. es 15–18, find an equation of the tangent line atan each 42 x In Exercises find equation of the tangent line at −6 −2 2 4 6 8 InExercises Exercises 15–18, find an equation the tangentline lineat at each each given point on the de curve. In 15–18, find equation the gente en cada uno los an puntos dadosofof de la curva. xxx −4 −6 −2 2 −4 2222 4444 6666 8888 x 2222 −6 −2 6 8 −6tangent −2 2 4 each −6 −2 −6 −2 −4 given point on the curve. on the curve. given point on the curve. 10 12 22 444 666 888 10 2 1012 12 x given point on the curve. 6 8 −6 −2 2 4 −4 2 x 2 cot x 2 3 cos 15. 16. given on the curve. x point 2 cot 15. 16. x 2 3 cos x 2 4 6 8 10 12 xxxxx −4 −4 u −4 −4 cotu2 cos 15. xx 5 22cot 16. xx 5 22 2 33cos −4 15. 16. 10 12 2−4 4 6 8 10 12 2222 4444 6666 8888 10 10 12 10 12 12 sin23 cos y 3 2 sin cot 16. xyxxxy 2222sin cot x 2 3 cos 15. 16. cot x 2 3 cos 15. 16. cot x 2 3 cos 15. 16. sin 2 4 6 8 10 12 cot cos 15. yxy 5 222sen 16. yyxy 5 3323 1 2232sin 22 sin sin sin u u sen 2 222 In Exercises 29–38, find all points (if any) of horizontal and y3 22sin y En los ejercicios 29 a 38, hallar todos los puntos de tangencia 2 sin y sin sin 2 sin In Exercises 29–38, find all points (if any) of horizontal and yyy 2232sin y 3 y y sin2y y sin In Exercises 29–38, find all points (if any) ofutility horizontal and y 2 sin yy yy33 22sin vertical tangency to the curve. Use a graphing to confirm horizontal y vertical (si los hay) a la curva. Usar una herramien3 4 + 3 y y vertical tangency to the curve. Use a graphing utility to confirm In Exercises 29–38, find all points (if any) of horizontal and y y y In Exercises 29–38, find all points (if any) of horizontal and y y y 3 4 + 3 In Exercises 29–38, find all points (if any) of horizontal and In Exercises Exercises 29–38, find all points points (if any) any) ofof horizontal and 6 y 66 y vertical tangency to the curve. Uselos a (if graphing utility to confirm In 29–38, find all horizontal and (2,5)5) 44 ++ 332 33,, 22, 2 6 6y 666 y (2, your results. ta graficación para confirmar resultados. your results. vertical tangency adegraphing utility to confirm vertical tangency to the curve. Use aaagraphing utility to confirm 5)5) vertical tangency to the curve. Use graphing utility to confirm 33,, 22 curve. Use 4+3 3 5 (2, 3the 444++ vertical tangency to the curve. Use graphing utility to confirm 22323to (2, + 3 6 5 6 your results. 6666 6 6 vertical tangency to the curve. Use a graphing utility to confirm , 2 6 ,2 4 + 23 3 , 2 5656 (2, (2, 5) (2, 5) 64 your results. (2,5) 5) your results. 2 ,2 your results. 2 your results. (0,2)2)2 22 33 4 29.xxresults. 30.xx t t 1,1, yy t 2t 2 3t3t 29. 5555 (2, 5) 22 your 44 t,t, yy t 2t2 29. 30. −2−5 23, , 342 44 (0,(0, 2) (0, 2) 5 1 x 4 t, y t x t 1, y t2222 3t 29. 30. ,223 3, 233 444 (0, 2) 2 3 ,1 − − 2 2 3 4 (0, 2) (0, 2) (0,22) 2) −−−3 2223, ,,323 4 23 , 31, 12 4, 29. x(−(−1,1,43)3) t, y t 2 30. 31.xxxxx t44t4 4,t,1, yyyy ttt322tt323 3t3t xxx ttt 1,1, yy tt 2 3t 29. 30. 30. t, 3t 29. 30. t, 29. 30. y 31. (0, 2 2 , t, yy tt 29. 30. x t 1,1, yy t t2 3t3t − 333, 222 2 1 (−1, 3t3 23 1211 31. xx 4t 2 4, (− 1,3)3) 333 3 3 2 3, 2 , 3 2 1 2 , 3 x t 4, y t 3t 31. 3 33t 31. t t 3t3t 3t 31. 32.xxx t t2t 4, 31. 1 x(− (− 1, 3) 4, 31. (− 1,t3) 3) 4, y 2 t t yy2,2, ytt3y t 3t 32. 22 33, ,222x x (−1, 31. 111 (− 1,1,3)3) t33333 3t 32. xx tt22222 4,t y 2, t y 3t x 3 − 4 −− 2 2 4x 2 x 2 x 2 − 4 2 2 4 1 32. x 3 cos , y 3 sin x t t 2, y t 3t 32. 33. 1 x t t 2, y t 32. x 5 t 2 t 1 2, y 5 t 3t 32. 1 1 32. x x 3t2cos t, y2, 3y sin t33 2 3t 1 33. x −4 − 4 −2 − 2 2 2 4 4 xxxx 1 2 3 4 5 6 xx 3t3t 32. −1−11 33. xx t3 cost , 2,y y3 sint −2 −−−4444 − −−−2222−2 222 444 xx −1 111 222 333 444 555 666 xxxx 2 2 4 − 2 4 −1 x 3 cos , y 3 sin 33. sin 33. , y 3 sin 33. x 1 32 cos 34.xxx 5cos 33cos cos 333sin sin 33. sen cos, ,u,,,,yyyyyy 5 sin −22 3 42 5 46 33. −−1 4 − 2−2 22sin 22u 34. −1 1−2 −1 111 222 3333 4444 5555 6666 x −1 cos sin 33. −1 , y 2 3sin 2 34. xx 3cos −2 −2 −1 −2 2 −2 41 2 2 3 4 5 6 2 4 x t 4 x t 17. 18. −2 , y 2 sin 34. x cos , y 2 sin 2 x 5 3 cos , y sen 34. 35. x cos , y 2 sin 34. x 5 cos u , y 5 2 sin sen 34. sin2222u 22 sen 34. x x 5cos 3, ,cos 17. x t 2 4 18. x t 4 2 35. yy ,, 22ysin 34. 17. x t22224 4 18. x t4443 2 5 32cos y 2 2 sen 35. xx cos 2 4 x t 4 2 x t 17. 18. x 5 3 cos , y 2 sen 35. 4 2 18. 35. cos233 cos sin 22 sen 2 36. senxxx 4554cos 36. 442t 17. 18. 35. xy txt3t4 5t 22t 3 cos , y 17. yxxxxy tt2t2tt2 2t 18. yxx35. cos sen 35. , , y,y,, y2yy2sin 17. 18. 35. y tt3333 2t y t2223 42t , y 2 sin 2 sen 36. xx 54 cos322222cos 2, y 18, 2 3 2 0, 0 , 3, 1 , 3, 3 2, 0 , 3, 2 10 2t t y , y t 36. yy0, t 2t t x 4 cos y 2 sin x sec , y tan , 36. 37. y t t 2t t x 4 cos y 2 sin , 36. x 5 4 cos u , y 5 2 sin u 36. sen y 0 t,t3 3, t t 2 , y 18, 10 2t 1 , y 3, 3 4cos cos,2 ,y, yytan22sin sin 36. x x sec 37. y2, yy0, 00t,2t, 3, 2t 36. 3, 1 , y 3, 3 2, 0 , 3, 2 , y 18, 10 , y tan 37. xx 4sec 0,0, 000,,, 3,3,3, 333 2,2, 000x,,, 3,3, 10 sec 3, 1 , y 3, 3 2, 211,1,y,,yyy18, 3, 10 tan 37. cosu cos2 u2,,,,, , yyyyyy5 tan sec222,,,,yyy y18, tan 37. 38.xxxx 5cos 3, 18, 10 37. sec tan 37. 0, 3, 3, 2, 3, 18, 10 sec tan 37. cos 38. 0, 0 , 19–22, 3, 1 ,(a) 3,aa3graphing 0 , 3,totograph 2graph , y the 18, 10 y use 37. Exercises 19–22, (a) use graphing2, utility thecurve curve cos cos22222 , , yy tan 38. xx sec InInExercises utility 2de graficación In Exercises 19–22, use a graphing utility tocos graph the curve cos 38. a) usar una herramienta En los ejercicios 19 a(a) 22, , athe ygraphing cos x (b) 38. xxx 5 cos 38. cos 5 cos cos u 38. , yyy–yy 44, cos cos22 u,,,,39 38. represented by the parametric equations, use In Exercises 19–22, (a) use a graphing utility to graph curve represented the parametric equations, (b)to use a graphing cos xExercises cos 38. es 19–22, (a) use a graphing utility by to graph the curve In determinethe thet tintervals intervalson onwhich whichthe the In Exercises 19–22, (a) use a graphing utility graph the curve In Exercises 19–22, (a) use a graphing utility to graph the curve In Exercises 39 – 44, determine represented by the parametric equations, (b) use a graphing para trazar la curva representada por las ecuaciones paramétriIn Exercises 19–22, (a) use a graphing utility to graph the curve dx/dt, dy/dt, dy/dx utilitytotofind find anddy/dx the given value the In Exercises 39 –downward 44, determine the t intervals on which the dx/dt, dy/dt, and atatExercises the given value ofofdetermine the represented by the parametric equations, (b) use aa–graphing graphing d by the parametric utility equations, (b) use a graphing represented by the parametric equations, (b) use a curve is concave or concave upward. represented by the parametric equations, (b) use graphing curve is concave downward or concave upward. In 39 44, the t intervals on which the In Exercises 39 – 44, determine the t intervals on which the In Exercises 39 – 44, determine the t intervals on which the dy/dt, utility to find and at the(b) given value of the twhich en losthe que En los a 44, determinar intervalos dewhich In Exercises Exercises 39–39 –44, 44, determine thelos intervals on on the cas, represented bydx/dt, the parametric equations, use atographing b) usar una herramienta dedy/dx graficación para dxydt, parameter, (c) find an equation of thetangent tangent linehallar theof curve curve isejercicios concave downward or concave upward. In 39 determine the t t intervals (c) find an equation of the line to the curve dy/dx nd dx/dt, dy/dt, and parameter, given value of and the dy/dt, dy/dx utility to find at given value the dx/dt, dy/dt, dy/dx utility tothe find and at the given value of the dx/dt, dy/dt, dy/dx utilityyat find and atthe the given value ofuna the or concave is(d) concave downward curve isis concave downward or concave upward. curve concave downward or concave upward. parameter, (c)dx/dt, find an equation of thecurve tangent line to the curve 2cóncava 3hacia la curva es abajo o cóncava hacia arriba. curve isupward. concave downward orconcave concave upward. dx/dt, dy/dt, dy/dx utility toto find and at the given of the dyydt dyydx para elof valor dado del parámetro, c)value hallar 2 3 y t x 3t , t 39. at the given value the parameter, and use a graphing curve is concave downward or upward. 39. x 3t 2, y t 3 t the tangent given(c) value of the parameter, and (d) line use ato the graphing (c) find an equation at of line the curve parameter, find an equation of tangent to curve parameter, (c) find an equation of the the tangent line the curve parameter, (c) findto an equation the tangent line the curve 39. x 3t222, y2 t333 2t at the given of the parameter, and (d)elline use a the graphing parameter, (c) find an equation ofof tangent toto ecuación de lavalue recta tangente athe lathe curva en dado 2valor 3curve utility to graph thecurve curve and tangent line from (c).del 39. at the given of the parameter, and (d) use aaapart graphing 39. t(c). utility to graph the and the tangent from xline 3t , ypart t 22,2,, t 2ty,yy, yytt3t 3 t 2tttt t 3t 3 39. 40.xxxx 23t3t n value of the parameter, and (d)value use aof graphing at the given value the parameter, and (d) use graphing 39. 3t 39. at the given value of the parameter, and (d) use graphing 40. utility graph the of curve and the tangent line part (c). 39. at the to given value the parameter, and (d) from use apara graphing parámetro, y d) usar una herramienta de graficación trazar 2 , t222y2, yt t2222t t3333 40. xx 3t 2 2 3 utility to graph the curve and the tangent line from part (c). raph the curve and the tangent line from part (c). utility to graph the curve and the tangent line from part (c). 2,, t,yyy 5 utility graph the curveand and the tangent line2from from (c). 40. 2ttt3t 3lnlnt t xline t part , part y (c). t t 40. 41.xxxx 52t 2222t1 ttln 40. 40. Parametric Equations Parameter t ,ln 40. 2 t, yy tt2t 22t1 41. utility totoygraph the curve tangent la curva la recta tangente delthe inciso c).Parameter Parametric Equations 40. 41. xx 22t2 t ln, t,y y t 2t t ln t Parametric Equations Parameter 2 x 2t ln t, y 2t 41. 2 x 2t ln t, y 2t 41. t, ,1yyln t,lnlnt yt 5 2t 2 lnln 41.tParameter 42.xx 5t 2t 41. x Parameter 6t,yy Equations t x 112t ln t, y 2t ln t42. etric Equations 19.xParametric lnttt 41. Parametric Equations Parameter Parametric Equations Parameter 6t, t 2t2 44 19. 41. Parametric Equations Parameter Ecuaciones paramétricas Parámetro t2222, yln t, ln yt 2t ln t 42. xx 2t x 6t, y t t 1 4 19. 2 2 42. yln 42.ttt x 111 t , y ln t 43.xxxx 5sen tt2tsen ,2,, t,yt,yy 5 42. 6t, 19. ln ttcost,t, 00<
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1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 728 1059997_1003.qxp 9/2/08 Page 3:50728 PM Page 728 10-3.qxd 3/12/09 16:47 3:50 PM Page 728 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 728 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 728 1059997_1003.qxp 9/2/08 9/2/08 3:50 3:50 PM PM Page Page728 728 1059997_1003.qxp Page 728 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 728

728 CAPÍTULO Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Chapter 10 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates 728 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Conics,728 ParametricChapter Equations, and Polar Coordinates 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates 728 Chapter 728 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates 728 Chapter10 10 Conics, Conics,Parametric ParametricEquations, Equations,and andPolar PolarCoordinates Coordinates 728 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates 728 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Arc Length In Exercises 45– 48, write an integral that repre63. Descartes ConsiderConsiderar the parametric equations paraLongitud de arco En los ejercicios 45 a 48, dar una integral que 63. Folium Hoja (ooffolio) de Descartes las ecuaciones Arcthe Length In Exercises 45– 48, write an integral that repre63. Folium of Descartes Consider the parametric equations sents arc of de the curve the given Dodado. notConsider the represente la length longitud arco de on la 63. curva en elinterval. intervalo métricas In Exercises 45– 48,Arc write an integral that repreFolium of Descartes parametric equations Length In Exercises 48, write integral that repreFolium 4t of Descartes Consider parametric equations 4t2 2 2the sents the length of 45– the curve on an the given interval. Do not 63. Arc Length In 45– 48, write an that repre63. of Descartes evaluate thelaarc integral. Arc Length In Exercises 45– 48, write an integral that repre63. Folium of Descartes Consider the parametric equations No evaluar integral. and y Consider c length of the curvesents on the given interval. Do curve not Arc Length InExercises Exercises 45– 48, write anintegral integral that repre63.xFolium Folium4t of Descartes Consider theparametric parametricequations equations 4t 4t3 . the 4t Arc Length In Exercises 45– 48, write an integral that repre63. Folium of Descartes Consider the parametric equations 3 Descartes 2 Arc Length In Exercises 45– 48, write an integral that repre63. Folium of Consider the the arc length of the on the given interval. Do not evaluate thelength integral. 4t 4t x5 y 5 y 14t 2 3t. 3 . parametric equations x 1 4t t 3 3 y and sents the arc of the curve on the given interval. Do not sents the arc length of the curve on the given interval. Do not integral. sents the arc length of the curve on the given interval. Do not 2 x y . and 1 1 t 1 1 t sents the arc length of the curve on the given interval. Do not 1 t 1 t 2 sents the length of the curve on theIntervalo given Do not1 t 3 x 4t 4t evaluate thearc integral. 4t 2232. 4t4t3 and y Parametric Equations Interval 1 interval. t3 Ecuaciones paramétricas evaluate the yyyy 1 to4t4t xxxx 1Use4t ... . the curve represented by the evaluate the integral. tgraph and evaluate theintegral. integral. and utility evaluate the integral. (a) at tuna graphing 33 3 and Parametric Equations Interval and evaluate the integral. 3. a) Usar herramienta de pararepresented trazar la curva 1 1 tt3333tgraficación y x and 3 1 t 1 2 3 2 1 t 1 ric Equations Interval 3a graphing utility (a) Use to graph the curve by the 1 t 3 45. Parametric x 3t t Equations , 2 y 2t 3 2 1 t 1 t 45. Interval parametric equations. (a) Useta graphing utility to graph(a) the Use curve represented by the descrita por las ecuaciones paramétricas. Parametric Equations Interval y 2t 1 3 45. x 3t t , Parametric Equations Interval a graphing utility to graph the curve represented by the 2 3 2 Parametric Equations Interval Parametric Equations Interval parametric equations. 1 t 3 t , y 2t Parametric Equations Interval 2 3 2 (a) Use a graphing utility to graph the curve represented by 1 x ln t, y 4t 3 t 5 46. (a) Use utility to graph curve represented by the equations. Useaaauna agraphing utility graph the curve represented bythe the 1 tparametric 3 45. x 3t t ,22 2 y 2t 33 322 2 46. (a) Use graphing utility to graph the curve represented by the (b) Use graphing utility to findthe the points oflos horizontal (a) Use graphing utility totograficación graph the curve represented by the b)(a) Usar herramienta de para hallar puntos de parametric equations. 1111 1 ttt t t 3333 5 45. xxxx x 3t ln t,ttt 22t,,, ,yyyyy 4t2t 3 46. 3 2 2t 45. 3t 2t 45. 3t 3 2 2t 45. 3t parametric equations. (b) Use a graphing utility to find the points of horizontal t parametric equations. y 4t 3 1 t 5 12 tUse t t 5a32graphing utility to find thetangencia 45.xxx lne3tt, 2, t , y4ty 2t32t 1 parametric equations. 47. parametric equations. tangency to the curve. (b) points of horizontal y 1 46. parametric equations. horizontal a la curva. 47. t (b) Use a graphing utility to find the points of horizontal xxxx x ln y 2, 4t 1111 2ttt t 5t555 2 46. y4t 32t 47. tangency to theutility curve.to ln 33 1 46. 46. lnlnt,et, t, 4t 46. (b) Use aaaagraphing find of horizontal (b) Use graphing utility to find the points of horizontal t yyyyyt,2 4t 2, y 2t 1 t,t, 4t 46. Usethe graphing utility findthe the points horizontal 012 tangency sen y2t t33 1 cos t ttt 52 to the curve. 48. (b) Use utility to the points of (c) Use integration capabilities of apoints graphing utility tode c)(b) Usar las funciones de integración de una herramienta xxx e2tln 47. (b) Use a graphing graphing utility toto find find the points ofof horizontal horizontal tangency to the curve. t t t 2, 48. x e y 2t 1 2 t 2 2, 47. x t sen t, y t cos t 0 t 48. t tangency to the curve. (c) Use the integration capabilities of a loop. graphing utility to x e y 2t 1 2 t 2 2, 47. tangency to the curve. x e y 2t 1 2 t 2 2, 47. t tangency to the curve. x e y 2t 1 2 t 2 2, 47. tangency to the curve. approximate arc length of the closed Hint: Use sen t, y t cos t48. 0 t graficación para aproximar la longitud de arco del lazo cer1 t t the2 integration capabilities 47.x x t e sen2,t, y y 2tt cos (c)2 Use of a graphing utility to tangency to the curve. 0 t (c) Use the integration capabilities of a graphing utility to approximate the arc length of the closed loop. Hint: Use Arc Length In Exercises 49–56, find the arc length of the curve xxxx ttt t sen t,t, yyyy ttt t cos 0000 approximate ttt t 48. (c) Use capabilities of utility to sen cos 48. 0graphing tsobre 1.utility symmetry and integrate over the interval (c) Use the integration capabilities of aaagraphing graphing utility to senIn costttt t find the 48. rado. (Sugerencia: Usar la of simetría e aintegrar elUse interlength of the closed loop. Hint: Use (c) Usethe theintegration integration capabilities sen t,t,Exercises cos 48. (c) Use the integration capabilities ofof graphing utility toto x Length tde arco sen t, y los tejercicios cos 0 hallar t length 48. Arc 49–56, arc ofthe thearc curve (c) Use the integration capabilities of a graphing utility to approximate the arcintegrate length thethe closed loop. Longitud Enthe 49 a 56, la longitud de 0 Hint: tHint: 1.Use symmetry and over interval on the interval. In Exercises 49–56,Arc find thegiven arc length of curve approximate the arc length of the closed loop. Hint: approximate the arc length of the closed loop. Use valo 0 t 1. symmetry and integrate over the interval approximate the arc length of the closed loop. Hint: Use Length In Exercises 49–56, find the arc length of the curve approximate the arc length of the closed loop. Hint: Use 64. Witch of Agnesi Consider the the parametric equations onLength thelagiven interval. approximate arc length of the closed Hint: Use 0 loop. t 1. symmetry and the integrate over interval arco de curva en el intervalo dado. Arc In 49–56, find the Arc Length In Exercises 49–56, find the arc length of the curve interval. Arc Length InExercises Exercises 49–56, findthe thearc arclength lengthof thecurve curve 000equations ttt t 1. symmetry and over interval 64. Witch of Agnesi Consider thethe parametric Length In Exercises 49–56, find the arc length of curve 1. symmetry and integrate over the interval 0ecuaciones symmetry andintegrate integrate over the interval Arc Length In Exercises 49–56, find the arc length ofofthe the curve 1.1. onArc theParametric given interval. symmetry and integrate over the interval Equations Interval 64. Witch of Agnesi Consider the parametric equations 64. Hechicera o bruja de Agnesi Considerar las 0 t symmetry and integrate over the interval on the given interval. 64. Witch of Agnesi Consider the parametric equations 1. paraon the given interval. onthe theParametric giveninterval. interval. on given Equations Interval 2 parametric 64. Witch of Agnesi Consider the equations on the given interval. 64. Witch of Agnesi Consider the parametric equations x 4 cot , y 4 sin . and métricas 64. Witch of Agnesi Consider the parametric equations ric Equations Interval 64. Witch Witch of of Agnesi Agnesi Consider Consider the 2parametric parametric equations equations xEcuaciones 3t 5,Equations y 7 2t 1 t 3 49. Parametric 64. paramétricas Intervalo Interval 2 . x 4 cot sin , 2 and y 4 the Parametric Interval x 2 3t Equations 5, y 7 2t 14 cott 3and y 4 sin2 , 49. Parametric Equations Interval xInterval . Parametric Equations 2 2 u, Parametric Equations Interval 2 5, y 7 2t 1 t 3 x 4 cot y 4 sin . 2 and Parametric Equations Interval sen y x 5 4 cot u y 5 4 sin u y y2t 7 2t 01 t t 23 50. xx 3tt , 25, 22, 2 2 2 49. xxxx Use 4444cot ,,, , the yyyy 444to sin .. and 2 2 2 cot sin and cot 4 sin and (a) a graphing utility graph curve represented by the 2 x 3t 5, y 7 2t 1 t 3 49. x t , y 2t 0 t 2 50. cot sin and 5, 111 t t 333 49. 2the 2222.. . y 3 7777 2t 49. xxxx0 23t x (a)4 Use cot a graphing , 4 sinto graph and y utility 3t3t 5, 2t 49. 222 curve 2 y 2t 25,2tyyy2t 2t2t 3 49. represented by the 51. a) curve Emplear una herramienta de graficación para 2 2 trazar la curva xx t 6t3t ,22t2, y 2 y5, 01(a)1t tUset24a graphing 50. parametric equations. 3 utility to graph the represented by the xxxx x ttt222t,,,6t 0000 1 ttt t t 2222 4 50. 2t 3 51. 2t 50. (a) Use a graphing utility to graph the curve represented by the , yyyy,4y y2t 2t 50. parametric equations. 2t 50. descrita por las ecuaciones paramétricas. 1 t y 2t3 x t , 2t 0 t 2 50. 2 3 (a) Use a graphing utility to graph the curve represented by t 4 0 equations. 52. xx 6tt ,2 2 y1, y2t 34t 3 3 (a) Use utility graph curve represented by the (a) Useaaaagraphing utility graph the curve represented bythe the 1 1 t parametric 51. (a) Use graphing utility to graph the curve represented by the (b) Use graphing utilityto findthe the points of horizontal 2 (a) Use graphing utility tototo graph the curve represented by the parametric equations. 1111 t1tt t 444t 4 0 xxxx x 6t 51. 1, 2t y2t333 3 4t 3 52. 2t,,,2, yy 6t y 2t 51. 3 6t y 51. 2 parametric equations. (b) Use a graphing utility to find the points of horizontal 6t 2t 51. b) Utilizar una herramienta de graficación para hallar los punparametric equations. 1 1, y 4t 3 parametric equations. x 1 t 4 51. 26t ,t y 0 2t 3 parametric equations. tangency to the curve. points ofequations. horizontal xx t e22t2 cos 1 tUse t a0 graphing utility to find 1, t,y y 4t 3e3 3 t 3sen t 52. parametric (b) the Use a tangencia graphing utility find the points of horizontal 0(b) 53. 1111 ttt t 0000 52. tangency to the curve.toto tos de horizontal a find la curva. x tt 2 1, 1,1, yyyy 4t 4t4t33 333t3 52. 52. (b) Use utility of 52. (b) Use aaagraphing graphing utility to the points of horizontal (b) Useathe graphing utility findthe the horizontal cosyt, 4t y e 3 sen t 53.xxx x tt 2t e t1, 10 tangency t 2 0 to the curve. 1, 4t 52. (b) Use graphing utility totofind find the points ofofhorizontal horizontal (c) Use integration capabilities of points apoints graphing utility t (b) Use a graphing utility to find the points of horizontal tangency to the curve. cos t, y e sen t 53. x 0 e t tcos t, y e t sen t 2 1 c) Usar las funciones de integración de una herramienta de tangency to the curve. (c) Use the integration capabilities of a graphing utility 0 t tangency to the curve. 2 tangency to the curve. t t 2 tangency to the curve. t t to approximate the arc length over the interval tUse xxxx5 arcsen 1tsen 54. tcost,t, integration capabilities of a graphing utility ee2t cos t,t,t, yyyyy5 ln ee2t sen ttt t 2 00(c) 53. tangency to the curve. ttcos ttsen 2 the 2 t 53. 1 e e sin t 53. e cos e sen 0 t 53. (c) Use the integration capabilities of a graphing utility x e cos t, y e sen t 0 t 53. graficación para aproximar la longitud de arco en el intervato approximate the arc length over the interval 2 0 t x arcsen t, y ln 1 t 54. 1 2 2 (c) Use the integration capabilities of aaaagraphing utility 4over 2. (c) Use the integration capabilities of graphing utility 1 12 the arc length interval (c) Use thethe integration capabilities graphing utility tt, t,y2 y3t ln1 1 t 2 en t, y ln 1 t54. 222 (c) Use the integration capabilities ofof graphing utility 55. xx 0 arcsen (c) integration capabilities a graphing utility toloUse approximate the arc length of over the interval 00 t tto 2approximate 11 1 4the 2.the 22 2 11 1 to approximate arc length over the interval 0 t x arcsen t, y ln 1 t 54. x t, y 3t 1 0 t 55. 2 2 to approximate the arc length over the interval 0 t x arcsen t, y ln 1 t 54. 4 2. to approximate the arc length over the interval 2 0 t x arcsen t, y ln 1 t 54. ! arcsin t,t, 1 2 t 54. 2 arcsen to approximate the arc length over the interval 22 2 arcsen t,t 5y yy5 ln ln 1 t 54. xxx 5 65. Writing 0 t y 3t 1 0 t 1 to approximate the arc length over the interval arcsen ln 1 t 54. 4 2. xx t, t, y y 3t 5 11 0 t t 122 55. 65.65.Redacción 444 2. Writing 2.2. 56. 3t 55. t3t2 1131111 t,t, yyyyy5 3t 55. 65. 1000Writing 0 1 tt t t 1111 2 55. 2.utility to graph each set of parametric (a) Use44 a graphing2. xxxx5x !t,t,t, 55. 3t 55. 10 6t 3 1 t5 56. 65. Writing 5 3t t 55 510 1 6t 65. Writing (a) Use a graphing utility to graph each set of parametric a) Usar una herramienta de graficación para representar cada y 1 t 2 65. Writing 65. Writing 1 t 3 65. Writing 5 equations. x t, y 1 t 2 56. 1 t 5 (a) Use a graphing utility to graph each set of parametric 1 t 65. Writing 10 6t xxxx5 t,t,t, yyyy510ttt 5 16t131133 1111 ttt t 2222 56. (a) Use a graphing utility to graph each set of parametric 56. equations. conjunto de ecuaciones paramétricas. t, 56. t, 56. x y 56. (a) Use a graphing utility to graph each set of parametric Arc Length In Exercises 57– 60, find the arc length of the curve 3 10 6t 1 equations. t 2 56. x t, y 10 (a) Use parametric 10 6t (a) Use aaaa graphing graphing utility utility to to graph graph each each set set of parametric 33 10 (a) utility each set of 3 6t 6t6t (a) Use graphing utility to graph each set ofof parametric parametric equations. xUse t graphing sin t x to 2t graph sin 2t Length In10 equations. [0, ]. curve57– 60, find the arc length of the curve 2Exercises on Arc the interval equations. In Exercises 57– 60,Arc find the arc length of the equations. sen x t sin t x 2t sin 2t x 5 t 2 sin t x 5 2t 2 sin s 2t d equations. sen Length In Exercises 60, find the arc length thetcurve x 2t sin 2tequations. [0, 2 ].57– on the interval xlength t ofof sin cos cos 2t 2t Arc Length In Exercises 57– 60, the Arc Length In Exercises 57– 60, find the arc length of the curve al [0, 2 ]. xy t 1 sin t t xy 2t1 sin Arc Length 57– 60,find find thearc arc length ofthe thecurve curve Arc Length In 57– 60, find arc length of the curve 3 the 3 Arc Length In Exercises 57– 60, find the arc length of the curve [In ].].los ejercicios 0,Exercises 2Exercises on the interval ttt tt t xxxyx5 y ttt1t 2 1 sin y 2t 1 sin cos cos 12t2 cos s2t 2t d2t x a cos , y a sin 57. Hypocycloid perimeter: sin 2t sin Longitud de arco En 57 a 60, hallar la longitud de y 1 cos 2txxxxyx5 sincos sin sin 2t sin 2t [ 0, 2 on the interval 3 , y y a1 3 cos t [ ] 0, 2perimeter: .]. on the interval t sin t x 2t sin 2t2t [ 0, 2 on the interval [ ] 0, 2 . on the interval x a cos sin 57. Hypocycloid 0 t 2 0 t y 1 cos t y 1 cos 2t [ ] 0, 2 . on the interval 3 3 arco de curva en el intervalo [cos 0, 23p cos , y la circumference: a sin perimeter: loid perimeter: x a57. yyy0y 0≤ 111t1 ≤ cos yyy0y 0≤ 111t1 ≤ cos xx aacos ,3y],. y a sin 58. Hypocycloid Circle cos cos 2t 2cos p2tttt t pcos2t a sin 3 t33 3 2 cos cos 2t2t y 1 t cos y 1 t cos 2t 0 t 57. Hypocycloid perimeter: cos 58. Circle circumference: cos sin 57. Hypocycloid perimeter: cos333 3 ,,,,y,yyyy 0aaaaasin sin33 57. Hypocycloid perimeter:xxxxxx aaaaaacos 0 t 2 0 t cos sin 57. Hypocycloid perimeter: (b) Compare the graphs of the two sets of parametric , y a sin rcumference: x a cos cos sin 57. Hypocycloid perimeter: x hipocicloide: a x sin 59. Circle Cycloid arch: 3 u,cos 3u 0000Compare ttt t 222las 0 t b) (b) Comparar gráficas de los dos conjuntos de equations ecuaciones 0 t a cos ,xy,5y aacos a1 sin 58. circumference: sen 57. y 5 a sin Perímetro de una 000of tt t two sets graphs the of parametric equations 0 parametric t (a).22Ifthe cos ,,, y,yyy (b)aaaasin 58. Circle circumference: 1Compare cos the graphs of the two sets of 59. Cycloid arch: x axxxx aaaasin cos sin 58. Circle circumference: in part the curve represents the motion of a particle cos sin 58. Circle circumference: equations cos sin 58. Circle circumference: sin 59. ,58. y Cycloid a 1 circumference: cos arch: x a paramétricas del inciso a). Si la curva representa mox a cos , y a sin Circle x cos sin , y sin cos 60. Involute of a circle: (b) Compare the graphs of the two sets of parametric equations in part (a). If the curve represents the motion of aelparticle sin x, y5 a acos 1 u, ycos arch: x de aun círculo: sen 58. Circunferencia 5 a sin u (b) Compare the graphs of the two sets of parametric equations and what can you about the average speeds t is time, (b) Compare the of the two sets ofofparametric equations aaa x sin 59. Cycloid arch: cos ,,, y,yyy aaasin ycos 60. Involute of xaxxxcircle: part (a). If the cos curve represents the motion agraphs particle (b) Compare the graphs the two sets parametric equations 59. Cycloid arch: (b) Compare the graphs of the two sets parametric sin a1111 in, cos cos sin 59. Cycloid arch: vimiento de una partícula yyou tinfer esinfer tiempo, ¿qué puede inferirse (b) Compare the graphs ofof the two sets of parametric equations in part (a). Ifof the curve represents theof motion ofaverage a equations particle a cos sin sin cos 59. Cycloid arch: sin , y sin of a circle: x cos 60. and is time, what can about the speeds t in part (a). IfIf curve represents the motion of aaaparticle x x cos sinud,, yy and Involute a circle: of the particle on the paths represented by the two sets oflas in part (a). the curve represents the motion of particle is2time, the average speeds part (a). Ifthe the curve represents the motion particle 5cos asu 2 sin 5 sin astsin 1modeled cos cos uwhat dcosthecan you infer about 59. Arco deof sen in (a). If the curve represents the motion of particle acerca de las velocidades promedio de laaverage partícula en sin cos 60. Involute of aaacicloide: 61. of auna Projectile path by ininof part (a). Ifwhat the curve represents the motion ofofaatwo particle sin 60. Involute of circle: and isthe time, can you infer about the speeds tpart cos of a projectile sin ,,,, y,yyyy issin sin cos 60.Path Involute acircle: circle:xxxxxThecos particle on the paths represented by the sets of cos sin sin cos 60. Involute of circle: cos sin sin cos 60. Involute ofof aProjectile circle: and is time, what can you infer about the average speeds t parametric equations? 61. Path of a The path of a projectile is modeled by the and is time, what can you infer about the average speeds t of the particle on the paths represented two sets of you and isthe time, what can you infer about the average speeds tis and time, what can infer the average ttby trayectorias representadas por losabout dos by conjuntos despeeds ecuaparametric equations and is time, what can you infer about the average speeds 60. Evolvente o involuta de un círculo: Projectile The path61. of aPath projectile is modeled by the of the particle on the paths represented the two sets of parametric equations? of a Projectile The path of a projectile is modeled by the of the on the paths represented two of parametric equations of the particle on the paths represented by the two sets of equations? theparticle particle on the pathsdetermine represented bythe the twosets sets of particle on the paths represented by the two sets of (c) parametric Without graphing the curve, theby time required for 61. of path isis by ciones paramétricas? 61. Path of aauaProjectile Projectile The path of projectile modeled by the ofofthe the particle on the paths represented by the two sets ofof xPath 5 cos 1 u sin u, yThe 5 sin u of 2 uaprojectile cos u parametric ic equations equations? 61. Path Projectile The path projectile ismodeled modeled bythe the 61. Path ofofacos Projectile The path ofofaaaasin projectile is16t modeled by the 2 61. Path of a equations Projectile path of projectile modeled by the parametric parametric equations? ysen 90 30 t is xparametric 90 30 sen t andThe (c) Without graphing the curve, determine the time required for parametric equations? parametric equations? parametric equations? a particle to traverse the same path as in parts (a) and (b) if equations 2 (c)30 Without graphing the curve, determine the time required for parametric equations parametric equations? parametric equations c) Without Sin trazar la curva, determinar el tiempo que requiere laif x 90 cos 30 t and y 90 sin t 16t parametric equations (c) graphing the curve, determine the time required for 2 parametric equations a particle to traverse the same path as in parts (a) and (b) cos 30 t and y 90 sin 3090tcos 16t 2 to traverse the same path (c) Without graphing the determine the required the is modeled bycurve, (c) Without graphing the curve, determine the time required for as inpath parts (a) and (b) 30 t measured y in90 sin 30 t a particle 16tun and (c) Without graphing the curve, determine thetime time required for 61. xTrayectoria de un proyectil trayectoria (c) Without graphing the determine time para recorrer las mismas que(b) enfor los x and y30are where feet. 2 proyectil se (c) Without graphing the curve, determine the time required for apartícula particle to traverse theifcurve, same path as trayectorias in the parts (a)required and iffor xxx where 90 30 yyy La 90 sin 30 tt t de16t and the path istraverse modeled by 90 cos 90 sin 30 16t and 90cos 30ytttare t de 90 sin 30the 16t222is2 modeled by and a particle to the same path as in parts (a) and (b) ifif xcos and measured in feet. x 90 cos 30 y 90 sin 30 t path 16t and a particle to traverse the same path as in parts (a) and (b) a particle to traverse the same path as in parts (a) and (b) 1 1 1 describe por medio las ecuaciones paramétricas aa particle to the same path as in parts and (b) if incisos a) ysin b)traverse si la and trayectoria está descrita por(a) and y are measured in feet.where particle to traverse the same path as in parts (a) and (b) ifif the path is modeled by y 1 cos x t t t . (a) Use a graphing utility to graph the path of the projectile. 2 1is 2 1 by 2 1 x and y are measured in feet. the path modeled the path is modeled by 1 1 1 the path is modeled by x y where and are measured in feet. and y 1 cos x t sin t t . (a) Use a graphing utility to graph the path of the projectile. the path is modeled by 2 1 1 1 yyyprojectile. and are feet. where and measured feet. the modeled where and measured in feet. xwhere 5path s90xxxxcos 308 dare t measured yin 5approximate s90 sen sin 308d t 22t 16t y x 51path t 22issen sin 1 s2 td2 yby y 5 1 2 coss 21t d. 2 and y 1 xcos sin of a graphing utility to graph(a) the the y are where and are measured inin feet. (b) Use agraphing graphing utility to range 2 t the 2 t2 . y 1 cos 2t111 .1 Use aof utility to graph the path xof the the projectile. 66. Writing 2 t111t1 sin 2 t111 1 and x sin (a) Use a graphing utility to graph the path of the projectile. (b) Use a graphing utility to approximate the range of the and cos x t sin (a) Use a graphing utility to graph the path of the projectile. 1 2 cos2122tttt2t.... . and yyyyy 11111 cos x t sin (a) Use a graphing utility to graph the path of the projectile. and cos sin 2122tttt2t and (a) projectile. Use graphing utility to graph graph the the path path of of the the projectile. projectile. 66.66.Redacción Writing a graphing utility to approximate ofenthe x ayaathe ygraphing serange midenutility pies. donde and cos xx 222tt2 sin (a) Use to 2 2 the motion of a 66. Writing (b) Use graphing utility to approximate the range of the (a) Each set of parametric equations represents projectile. 66. Writing (b) Use a graphing utility to approximate the range of the (b) Use graphing utility to approximate approximate the range ofof the the ctile. (b) Usethe graphing utility approximate the range the a) Cada conjunto de ecuaciones paramétricas representa el mo66. Writing (a) Each set ofa parametric equations represents the motion of a (c) Use integration capabilities of a para graphing utility to (b) Use aaauna graphing utility the range of 66. Writing a) Utilizar herramienta detotograficación trazar la trayecprojectile. 66. Writing particle. Use graphing utility to graph each set. 66. Writing (a)ofEach set of parametric represents theparametric motion of equations a projectile. (c) Use the integration capabilities a graphing utility toequations projectile. (a) Each set of represents the motion of a projectile. projectile. vimiento de una partícula. Usar una herramienta de grafiparticle. Use a graphing utility to graph each set. approximate the arc length of the path. Compare this result the integration capabilities of a graphing utility to projectile. toria the del proyectil. (a) Each set of equations represents the a (a) Each set of parametric equations represents the motion of particle. Use athis graphing utility to graph each set. (c) Use integration capabilities apath. graphing utility to (a) Each set ofparametric parametric equations represents themotion motionof Second First Particle approximate arc length of of the Compare result (a) Each set of represents the motion ofofaaa particle. Use aparametric graphing equations utility toParticle graph each set. (c) Use the integration capabilities of utility to cación para representar cada conjunto. with range ofthe the projectile. (c) Use the integration capabilities of graphing utility to oximate the arc length of the path. Compare this result (c) Use the integration capabilities ofaaaaCompare agraphing graphing utility to (c) Use the integration capabilities of graphing utility to particle. Use a graphing utility to graph each set. Second Particle First Particle particle. Use a graphing utility to graph each set. (c) Use the integration capabilities of graphing utility to approximate the arc length of the path. this result particle. Use a graphing utility to graph each set. b) Utilizar una herramienta de graficación para estimar el particle. Use a graphing utility to graph each set. with the range of length the projectile. Second Particle First Particle tot graph each set. xparticle. 3 cosUse t a graphing x utility 4 sin approximate the arc Compare this result approximate the arc length of the path. Compare this result Second Particle the range of the projectile. First Particle approximate thethe arcprojectile. length ofthe thepath. path. Compare this61 result approximate the arc length of the path. Compare this result 62. Path ofthea del Projectile If the of projectile in Exercise is approximate the arc length of the path. Compare this result with range of alcance proyectil. Second First x Particle 3 cos t x 4Particle sin t Second Particle First Particle Primera partícula Segunda partícula First Particle Second Particle Second Particle First Particle with the range of the projectile. 62. Path of a Projectile If the projectile in Exercise 61 is x 3 cos t x 4 sin t with the range of the projectile. Second Particle First Particle with the range theis projectile. sintt cos with range of the projectile. launched at an angle with the horizontal, its parametric xy 34cos xy 43sin tt a Projectile If the62.projectile inathe Exercise with the range ofof61 the projectile. Path of Projectile If the projectile in Exercise 61 is x 3 cos t x 4 sin t y 4 sin t y 3 cos c) Utilizaraare las funciones de the integración de in unaExercise herramienta de launched at an angleIfIf withprojectile the horizontal, x 33cos xx5 44sen sin costtt t sinttt t t cos sin Path Projectile 61 equations y in 4Exercise sinitst parametric 62. Path of Projectile projectile 61 cos sin at an angle with 62. the horizontal, its parametric 62. Pathof ofataaaaan Projectile If the the projectile in its Exercise 61isis is y 3 cos t y0xxx54t33sin 2 0xx 3t44cos 2t 62. Path of Projectile If the projectile in Exercise 61 is t y 62. Path of Projectile If the projectile in Exercise 61 is launched angle with the horizontal, parametric graficación para aproximar la longitud de arco de la trayecequations yyyy5 yyyy5 0 4444sin tsinttt t 2 0 3333cos tcosttt t2 launched at an angle with the horizontal, its parametric sin cos launched atatare an angle with the horizontal, its parametric sen s are launched an angle with the horizontal, its parametric sin cos launched at an angle with the horizontal, its parametric 2 0 t 2 0 t 2 y 4 sin t y 3 cos launched at an with the its proyectil. parametric (b) 0Determine equations are xequations 90 cos t angle 90 sin tel alcance 16t . 2del and toria. Comparar este yresultado conhorizontal, t 2 the number0of points t 2oftintersection. equations are 0000Determine ttt t 2222 the number 0000of tpoints equations are t and y x 902are cos 90 sin(b)t Determine 16t . the number of points of(b) t t 2222of intersection. equations are equations are intersection. 0 the t particles 2 number 0points cos t and y 9062. sinxTrayectoria t 9016t (c) Determine Will everofbe attt the place at the same 2del ejercicio 61 se (b) the of2same intersection. proyectil el proyectil cos . det un y to find 90Sisin t 16t .22 2maximizes the and Use a graphing utility the angle that (b) Determine the number of points intersection. (c) WillIf the particles ever be at of the same place at the same xxx Use 90 cos tt t and yyy to 90 sin t(c) 16t ..the (b) Determine the number of points of intersection. 2 90 cos 90 sin t 16t and (b) Determine the number of points of intersection. 90 cos 90 sin t 16t . and (b) Determine the number of points of intersection. time? so, identify the point(s). 2 a graphing utility find the angle that maximizes the Will particles ever be at the same place at the same b) Determinar el número de puntos de intersección. x 90 cos t y 90 sin t 16t . and (b) Determine the number of points of intersection. lanza formando un ángulo con lamaximizes horizontal,thesus range ofthat the maximizes projectile. Whatu angle arcecuaciones length of (c) Willtime? the particles ever be atpoint(s). the same place at the same raphing utility to find theUse angle If so, identify the (c) Will the particles ever be atat the same place atatatthe same a graphing utility totheWhat find the angle that maximizes the the (c) Will the particles ever be atat the same place the same range of the projectile. angle maximizes length of point(s).(d) time? Ifthe so,arc identify (c) WillIf the particles ever be the same place the same paramétricas son (c) Will the particles ever be the same place the same Explain what happens if the motion of the particle c) ¿Estarán las partículas en algún momento ensecond el at mismo lugar Use a graphing utility to find the angle that maximizes the (c) Will the particles ever be at the same place at the same the trajectory? time? so, identify the point(s). Use a graphing utility to find the angle that maximizes the the projectile. What anglerange maximizes the arc length of Use a graphing utility to find the angle that maximizes the Use a graphing utility to find the angle that maximizes the time? If so, identify the point(s). Use a graphing utility to find the angle that maximizes the (d) Explain what happens if the motion of the second particle of the projectile. What angle maximizes the arc length of time? If so, identify the point(s). the trajectory? time? If so, identify the point(s). is represented by 2 time? If so, identify the point(s). al mismo tiempo? Si es así, identificar esos puntos. range of the projectile. What angle maximizes the arc length of what happens of the what second particle range ofof the projectile. What angle maximizes the arc length ofof if the motion sen xrange 5trajectory? s90of dprojectile. t y y5 s90 angle sin udmaximizes t maximizes 2(d)16tExplain . the ctory? range theuprojectile. What angle thearc arclength length the What of (d) Explain happens motion of the second particle range ofcos the projectile. What angle maximizes the arc length of is represented by ifififthe the (d) Explain happens the second (d) what happens the motion of the second particle the trajectory? is represented by (d) Explain the motion the second particle the trajectory? (d) Explain what happens if the motion of the second particle d) Explicar qué ocurre de la partícuxExplain 2 what 3what sin t,happens y si elif 2ifmovimiento 4motion cos t, of tsegunda 2 . particle 0ofthe the trajectory? (d) Explain what happens the motion of the second particle is represented by the trajectory? Usar una herramienta de graficación para hallar el ángulo que is represented by x 2 3 sin t, y 2 4 cos t, 0 t 2 . is represented by is represented by is represented by la se representa por 2 maximiza 3 sin t, yla 2 4 cos t,x is 0represented 2 t,.by y 2 4 cos t, 0 t 2 . maximiza el alcance del proyectil. ¿Qué xángulo 2 t 3 sin xxxx 2222 3333sin sin cos sint,t, cost,t, 2 ..... . sin t,t,t, yyyyy5 222222 44444cos cos t,t, 00000# tttt t# 22222p longitud de arco de la trayectoria? x 5 2 1 3 sin t, cos t, sen

hapter 10

1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 729 10-3.qxd 3/12/09 16:47 Page 729 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 729 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 1059997_1003.qxp PM Page 729

9/2/08

3:50 PM

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SECCIÓN 10.3 Parametric Ecuaciones paramétricas y cálculo 729 10.3 Equations and Calculus 729 10.3 Parametric Equations and Calculus 729 10.3 Parametric Equations and 10.3 CalculusParametric 729Equations and Calcul

Área de una superficie En los ejercicios 67 a 70, una inte84. de una deradius una esfera de radiobyr Surface Area In Exercises 67–70, write an dar integral that 84. Área Surface Areasuperficie A portionUna of a porción sphere of r is removed gral que represente el área la67–70, superficie generada por revolusecutting elimina un cone cono circular vértice el centro de represents area of thedesurface generated revolving the outcortando a circular its con vertex at rthe center ofby the Surface Areathe In Exercises write anbyintegral that 84. Surface Area A portion of awith sphere of radius isenremoved Surface Area In Exercises 67–70, Surface writeuna Area anherramienta integral In Exercises that 67–70, 84. Surface write an Area integral A portion that of aforma sphere 84. un Surface ofángulo radiusArea removed A portion by of a sphere of radius r ruis. Hallar ción de la curva alrededor del eje la esfera. El vértice del cono 2 x. Usar de el área curve about x-axis. a graphing utility approximate sphere.out The vertex ofcone the cone forms an angle the 2 . Find represents the the area of theUse surface generated by to revolving the cutting a circular with its vertex at the of center of the represents the area of the surface represents generated the by revolving area of the thesurface generated cutting out by arevolving circular cone the with its vertex cuttingatout the acenter circular of cone the with its vertex at the graficación de superficie eliminada decone la esfera. the integral. surface areavertex removed from the sphere. curve aboutpara the aproximar x-axis. Use laa integral. graphing utility to approximate sphere. The of the forms an angle of 2 . Find the curve about the x-axis. Use a graphing curve utility about to theapproximate x-axis. Use a graphing sphere. utilityThe to vertex approximate of the cone formssphere. an angle The of vertex of the cone forms an angle o 2 . Find the integral. 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 729surface area removed from the sphere. Ecuaciones Intervalo the integral. the integral. surface area removed from the sphere. surface area removed from Parametricparamétricas Equations Interval Area In Exercises 85 and 86, find the area of the region. (Use the sphere. Área En los ejercicios 85 y hallar el área de la región. (Usar 67. t1 22 0Interval #t# 4 4 Parametric Equations the result of Exercise 83.) 67.xParametric x5 4t,3t, y y5 t 0 t Area In Exercises 85 and 86, find the area of the region. (Use el resultado del ejercicio 83.) Equations Parametric IntervalEquations Area In Interval Exercises 85 and 86, findArea the area In of Exercises the region. 85 and (Use86, find the area of the the result of Exercise 83.) 67. x 13t,12 2 y t 2 0 t 4 2 2 2 the result of Exercise 83.) thexxresult ofuExercise 83.) 85. xx5 202sin 86. sintu 4 cot 67. 67. x 03t,0# tyt # 68. 85. 86. 5 22cot sen t 23 3 t 34t 3 2 68.x x5 43t,t ,t ,yy y5t t 1 14 2 2 85. x 2 sin 86. xyy5 222cot 222u2 sin tanu sin 10 2 t 3 222u tan sen 68. x 1 t 2, y t 3 sin sen 85. xyy52202sin 86.85. 86. x 2 cot x x 2 cot 2sin sin 0t , t y 3pt 3 t 3 68. x 4 t 22, y t 3 68. x 4 cosu2 , , y y5 cos 69. 04 0≤ u ≤ y 2 sin22 tan y 2 sin22 2 cosu 69.x x5 cos y 2 sin y 2 sin2 y 2 sin tan y 2 sin tan 22 0 < 00 << u << p 2 0 2 69. x cos22 , y cos Parametric Equations and Calcul 0 0< , yp2 cos 69. x cos , y cos 69. x cos 0 0 < 10.3 < 0 < 2 yy 2 0 <0 < < y y 0 < < sinsinu, , y y5 u 1 cos 0 0≤ u ≤ 2 70. cosu 70.x x5 u 1 sen 2 2 22 y y sin , y cos 0 70. x y y y sin , y cos 70. x 0 sin , 2 y cos 0 22y 70. x 2 2 Surface Area In Exercises 67–70, write an integral that 84. Surface Area A portion of a sphere of radius r Surface Area In Exercises 71–76, find the the surface Área de una superficie En los ejercicios 71 aarea 76, of encontrar el 2 211 revolving the 112 a circular cone with its vertex at the represents the of the surface generated by cutting out generated by revolving the 71–76, curve about each given axis. Surface Area In Exercises find the area the surface área de la superficie generada por revolución de laofarea curva alredeSurface Area In Exercises 71–76, curve Surface find the Area area of In the Exercises surface 71–76, find the area of the surface 1 about theaxis. x-axis. Use a graphing utility 1to approximatex x sphere. 11The vertex of the cone forms an angle o generated revolving the curve given dor de cadabyuno de los ejes dados.about each 1 x 1 generated by revolving generated eacha)given by each given axis. y 3t, the 0 curve t 3,about eje ycurve about −2 71. x 2t, ejerevolving x axis. b) the −2 −1 − 1 area removed −2 −1 −1 the integral. surface 11 2 2 x −2 11 22 from the sphere. x x −1 −1 71. a) eje b)b)eje 2t,t, yy 3t, 3,t 2, −1 4 002t, tt0 3, 72.xx x 2t, ejexxyx 3t,b) ejeyy ty 3, −2 − 1 −1 1 2 −2 −1 1 2 y 3t, 2t, 0eje 71. 71. xParametric a)a) eje eje x −2−2 In − 1−1 1 1852 and − 1 of the −2 a)−1 1b) eje 2 y 2 Equations Interval Area Exercises 86, find the−2area −1 − 1 72. x t, y 4 2t, 0 t 2, a) eje x b) eje y −2 2 −1 1−−1 −1 −2 −2 y 4, y 2t,5 sen 0 , t 0 2,72. t,, ejeeje yxy y 4t b)2t, t 2, 72. a)0eje xt 4 b) eje y the result −of Exercise 83.) 73.x x t, 5 cos 67. xx a)3t, 2eje 0y 2 −2 −2 −2 − 2−2 −2 , y 5 sen , 0 , eje y 73. x 5 1cos 2 y , y sen 1, 0t 73. cos 5 sen , CAS 0 73. yt 3 Closed Curves 85. 2 sin2 87–92, use a 86. x 2 cot 2 , 51eje 2, xxeje t 3, y, y t 5 1, 74.x x 5 3cos 68. Areas2 ,of0eje Simple In xExercises 2 y4 t , y t 3 CAS Áreas de curvas cerradas simples En los ejercicios 87 a 92, usar 1 y of 2Exercise sin2 87–92, tan83 touse y 2 sin2 computer algebraClosed systemCurves and the In result match y 3 t 1, 1 3 t , 02, eje y 1 ,3 eje x 74. CAS Areas of Simple Exercises a 75.xx x 13 tta33,,cos 1 t 2, x y 3 t , y t 1, 1 CAS t Areas 2, y ,t y 1, a sen 74. 74.eje yof un eje sistema algebraico porCurves computadora y of el resultado deluse ejerciCAS Areas Simple Closed In Exercises Simple 87–92, Closed Curves a In Exercises 8 3 the closed curve with its area. (These exercises were based on 2 3 3 computer algebra system and the result of Exercise 83 to match x cos 0 relacionar cos yy absen , eje 3x, y cos 3 75. cos sen3 ,,, 000 69. 76.xx x aa acos 3 ,,, y cio 83 para la and curva con su área.83(Estos ejersystem thecerrada result computer Exercise algebra system to match and the result a sen eje x , y a sen , 0 computer , algebra eje x with 75. 75. x 2 a, , cos 0of 0
CAPSTONE C AP PS S(a) OSketch N EE a graph of a curveC 82. Wdefined T ITNOby GN Ethe A B Oparametric UT CONCEPTS CPara A TTdiscusión O N ARPI S

b bb

x

equations thatparametric x of g t a and f t such dx dt > 0 82. (a) Sketch a graph curvey defined bythe the 77. (a) Giveby of the defined derivative. 82. (a) Sketch a graph of a curve defined 82. Sketch theparametric parametric a graph form of a curve by the parametric and dyla dt all real numbers 82. a) Dibujar gráfica una por las equations x < 0g for tde and ycurva f definida t sucht. that dx ecuaciodt > 0 equations x g t and y f t suchequations that dx xdt >g0t and y 89. such that0 dx tdt >2 0 f t Cardioid: nes paramétricas 5 real g(t) yIn y Exercises 5 f(t) manera que and numbers dy dt < 0 forxofall t. bydethe (b) Sketch curve defined parametric 78 and mentally determine dy/dx. and numbers all real 89. numbers dy dta 0 y dyydt < 0 para todos los números reales t. 89. Cardioid: Cardioide: 89. 0s0t ≤t ta cos 2 2td equations and such that x g t y f t dx dt < 0 (b) Sketch a graph of a curve defined by the parametric (b) Sketch a graph of a curve defined (b) by Sketch the parametric a 3graph of a curve defined by the parametric 78. x t, y 79. x t, y 6t 5 x 2a cos t a cos 2t 2acos sin tt 2 aacos sin2t 2t and dyladt all numbers b) Dibujar gráfica unareal por las equations x < 0g for tdeand ycurva f definida t sucht. that dx ecuaciodt < 0 xy5 2a 2a cos cos 2t equations x g t and y f t suchequations that dx xdt 0 t1, t 2ff. st1t1d 5a,a,f f ts2t 2d 5b,b,and where bothggcomo and fequations are continuous donde y tanto son continuas f 9 where f t and fand onall a, f t 2 b, and both gwhere f are t1dycontinuous b, and g andt.f are continuous on realboth numbers dta,
E

xx

permission of the author.) baaa (a) 83 ab

(b)

a2

(c) 2 a 2

(d) Deltoid: ab 90. 0 (e)t 2 ab 2 90. Deltoid: 0 t 2 x 2a cos t a cos 90.87. Deltoide: 90. 89. Deltoid: Cardioid: Ellipse: 0 0 0 t t t 2 2 22t xxy5 2a cos t aaacos 2t 2a sin sin 2t2t 2a cos 2t x x 2a cos cos tttt 1 t a cos acos cos 2t b2a cos yt yy 5 2a sin a sin 2t 2aa2a sin 2t2t sen sen y y 2a sin sin sin ttt 2 t aasin asinsin 2t y yy

(f) 6 a 2 90. 88. Deltoid: Astroid: 0 x

a2acos cos3 t

y

a sin 2a sin3 t

y

yy

a

a a

E

a aa

89. Cardioid: 0

x x

a b

a

t

2

90. Deltoid: 0

x

2a cos t

a cos 2t

x

2a cos t

y

2a sin t

a sin 2t

y

2a sin t

y

83. Use integration by substitution to show that if y is a continuous

3 8

y

10-3.qxd 3/12/09 9/2/08 16:47 3:50 Page PM 730 Page 730 1059997_1003.qxp 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 730

730 730 730

CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates

91. Reloj de arena: s0 ≤ t ≤ 2pd 92. Lágrima: s0 ≤ t ≤ 2pd 91. Hourglass: 0 t 2 92. Teardrop: 0 ≤ t ≤ 2 5 a sen sin 2t 0 t 2 x 5 2a cos t 2t a≤sen sin 0 ≤ 2 2t 91. xHourglass: 92. Teardrop: x a sin 2t x 2a cos t a sin 2t yx 5 basen sin sin t sin t2t x y 52abcos t a sin 2t sen y b sin t y b sin t y y y b sin yt y b sin yt b y b b

b b b

y

x

a a a

a a a

x x x

Centroide EnExercises los ejercicios 94, the hallar el centroide de la Centroid In 93 and9394,y find centroid of the region Centroid In the Exercises 93ofand 94, findecuaciones the centroid of theand region región limitada por la gráfica las paramétricas bounded by graph thede parametric equations they bounded the (Use graph ofresult theelof parametric equations los ejes de by coordenadas. resultado ejercicio and 83.) the coordinate axes. the(Usar Exercisedel 83.) coordinate axes. (Use the result of Exercise 83.) 93. x 94. x t, y 4 t 4 t, y t t, y 4 t 4 t, y t 93. x 94. x Volumen EnExercises los ejercicios 95 y96, 96,find hallar volumen Volume In 95 and theelvolume of del thesólido solid generado revolución torno al ejethe x by de la limitada Volume Inrevolving Exercises 95en and 96,bounded find volume of the formed bypor the region theregión graphs ofsolid the por la equations gráfica deabout las the ecuaciones dadas. elofgraphs resultado del formed by revolving by the of 83.) the given theregion (Use the(Usar result Exercise x-axis. bounded ejercicio 83.) given equations about the x-axis. (Use the result of Exercise 83.) 95. x 6 cos , y 6 sen 95. 95. x 6 cos , y 6 sen 96. x cos , y 3 sin , a > 0 sin 96. 96. xx 5 cos cos u,, yy 5 33sen sin u,, aa >> 00 97. Cycloid Use the parametric equations 97. Emplear las ecuaciones paramétricas 97. Cicloide Cycloid Use the parametric equations y a 1 cos , a > 0 and x a sin xx 5 aasu 2 sen sin ud, a ,>a 0> 0 yand y 5y as1a21 coscos sin ud to answer the following. para responder lo siguiente. to answer the following. 2 2. 2. dx and y dx (a)Hallar Find dy dyydx a) y d 2dyydx (a) Find dy dx and d 2y dx 2. (b)Hallar Find the equation ofdethe line at en theelpoint b) las ecuaciones la tangent recta tangente puntowhere en el (b)que Find thep equation of the tangent line at the point where 6.y6. u5 6. (c)Localizar Find all points of horizontal tangency. c) todos (if losany) puntos (si los hay) de tangencia hori(c)zontal. Find all points (if any) of horizontal tangency. (d) Determine where the curve is concave upward or concave (d)Calcular Determine where thecurva curvecóncava is concave concave downward. d) dónde es la haciaupward arriba or y dónde es downward. abajo. (e)cóncava Find thehacia length of one arc of the curve. (e)Hallar Find the length ofdeone la longitud un arc arcoofdethela curve. curva. 98. e) Use the parametric equations 98. Use the parametric equations 98. Emplear las ecuaciones paramétricas 1 y 3t 1 t3 x t2 3 and 2 1 3t t33 t3 xx 5 tt2!33 yand y 5y 3t 2 3 3 to answer the following. to answer the following. para los incisos siguientes. (a) Use a graphing utility to graph the curve on the interval (a)Emplear Use a graphing utility todegraph the curve the la interval a) una graficación paraon trazar curva 3 t 3.herramienta 3 intervalo t 3. 232 ≤ t ≤2 3. en el (b) Find dy dx and d y dx . 2 y dx 2. 2. dx and (b)Hallar Find dy 8 dyydx b) y d 2dyydx 3, 83 . (c) Find the equation of the tangent line at the point 8 . (c)Hallar Find the equationde of la therecta tangent line atenthe point s!3, 3, c) la ecuación tangente el punto 3 3 d. (d) Find the length of the curve. (d) Find the length of the curve. d) la curva. (e)Hallar Find la thelongitud surfacedearea generated by revolving the curve (e)Hallar Find the surface generated by revolving the curve e) de la area superficie generada por revolución de la aboutel theárea x-axis. aboutenthe x-axis. curva torno al eje x. 99. Involute of a Circle The involute of a circle is described by 99. Evolvente Involute ofo involuta aPCircle involute a circle described by 99. deThe círculo La of evolvente involuta de un the endpoint of a string that is held taut as it isoisunwound from the endpoint P of anot string isfigure). held taut as una it that is unwound from círculo está por el(see extremo P Show de cuerda que se a spool that descrita does turnthat a parametric arepresentation spool that does not involute turn that a que parametric mantiene tensa mientras se (see desenrolla un carrete no gira of the isfigure).deShow representation the involute (ver la figura). of Mostrar que laissiguiente es una representación x r cos de la sin y r sin cos . paramétrica evolvente oand involuta x r cos sin y r sin cos . and y x 5 rscos u 1 u sen sin ud y 5 rssen sin u 2 u cos ud.

y y y

1 1 1

r

rθ rr θ P rθ P r P

x x x

Figura para 99 Figura para 100 Figure for 99 Figure for 100 Evolvente involuta de un círculo La figura muestra un seg100. Figure foro99 Figure for 100 mento deofcuerda sujetoThe a un círculo de aradio cuerda 100. Involute a Circle figure shows piece1.ofLastring tiedes 100. Involute of with a Circle Thelarga shows a piece ofisopuesto string tied justo lo suficientemente llegar al lado del to a circle a radius offigure onepara unit. The string just long to a circle with athe radius one Thecircle. stringFind is círculo. Encontrar elopposite áreaofque seunit. cubre cuando la just cuerda enough to reach side of the the long arease enough to reach the opposite of las the manecillas circle. Finddel thereloj. area desenrolla en sentido contrario al unwound de that is covered when the stringside is counterclockwise. that is covered when the string is unwound counterclockwise. a) Usar herramienta degraph graficación paragiven trazar 101. (a) Use auna graphing utility to the curve by la curva 101. (a) utility to graph the curve given by dadaUse pora graphing 2 1 t 2t x 11 2 tt222, y 20 t 20. 2t t 2 , 2t 1 1 t x 5 , y 5 220 x 20 ≤ t ≤ 20. 2, y 2,, 2 2 11 1 tt 11 1 tt (b) Describe la thegráfica graph yand confirm la your result analytically. b) Describir confirmar respuesta en forma ana(b) lítica. Describe the graph and confirm your result analytically. (c) Discuss the speed at which the curve is traced as t (c) Discuss the speed which curvela iscurva traced as t t 20 at increasesla from toa20. c) Analizar velocidad la cual the se traza cuando 20 increases from to 20. aumentaAde 220 amoves 20. from the origin along the positive 102. Tractrix person 102. Tractrix A person moves from along positive axis pulling a persona weight at end the of aorigin 12-meter rope. 102. yTractriz Una sethe mueve desde el origen athe lo Initially, largo del yaxis pulling a weight at the end of a 12-meter rope. Initially, 12, 0 . the weight is located at the point eje y positivo tirando un peso atado al extremo de una cuerda 0. the weight is located at Inicialmente, the point 12, el de 12 de96 largo. estáthat situado en el (a) In metros Exercise of Section 8.7, it waspeso shown the path punto s 12, 0 d . (a) In Exercise 96 of Section 8.7, it was shown that the path of the weight is modeled by the rectangular equation of the weight is96modeled by the8.7 rectangular a) En el ejercicio de la sección se mostróequation que la trayec12 144 x 2 toria del12peso mediante la 144 siguiente y ln 12se describe x 2 ecuación 2 144 x x y 12 ln 144 x 2 rectangular x where 0 < x 12 12. utility to graph the 2 !Use 144a2graphing x2 y 5 212 2 !144 2 x 2 12. Use where 0
1

2

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731 731

Coordenadas polares y gráficas polares Coordenadas polares y gráficas polares

10.4 Coordenadas polares y gráficas polares n n n n n

Comprender el sistema de coordenadas polares. Expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares en forma polar y viceversa. Trazar la gráfica de una ecuación dada en forma polar. Hallar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar. Identificar diversos tipos de gráficas polares especiales.

Coordenadas polares

a

gid

cia

i dir

P = (r, θ)

tan

r

is =d

Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos (x, y) en el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas han estado en forma rectangular o en forma paramétrica. En esta sección se estudiará un sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares. Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen), y a partir de O se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura 10.36. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, u), como sigue.

θ = ángulo dirigido

r 5 distancia dirigida de O a P u 5 ángulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje — polar hasta el segmento OP

Eje polar

O

Coordenadas polares Figura 10.36

La figura 10.37 muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Obsérvese que en este sistema es conveniente localizar los puntos con respecto a una retícula de circunferencias concéntricas cortadas por rectas radiales que pasan por el polo. π 2

π 2

π 2

θ =π 3

(2, π3 ) π 1

2

3

0

π 2

3π 2

3π 2

a)

b)

3

0

π 2

θ = −π 6 π 3, − 6

(

)

3π 2

0

3

θ = 11π 6 11π 3, 2 6

(

)

c)

Figura 10.37

COORDENADAS POLARES El matemático al que se le atribuye haber usado por primera vez las coordenadas polares es James Bernoulli, quien las introdujo en 1691. Sin embargo, ciertas evidencias señalan la posibilidad de que fuera Isaac Newton el primero en usarlas.

En coordenadas rectangulares, cada punto sx, yd tiene una representación única. Esto no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas sr, ud y sr, 2p 1 ud representan el mismo punto [ver los incisos b) y c) de la figura 10.37]. También, como r es una distancia dirigida, las coordenadas sr, ud y s2r, u 1 pd representan el mismo punto. En general, el punto sr, ud puede expresarse como

sr, ud 5 sr, u 1 2npd o

sr, ud 5 s2r, u 1 s2n 1 1dpd donde n es cualquier entero. Además, el polo está representado por s0, ud, donde u es cualquier ángulo.

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CAPÍTULO 10


Transformación (o cambio) de coordenadas y

Para establecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se hace coincidir el eje polar con el eje x positivo y el polo con el origen, como se ilustra en la figura 10.38. Puesto que sx, yd se encuentra en un círculo de radio r, se sigue que r 2 5 x 2 1 y 2. Para r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que

(r, θ ) (x, y) r y

θ

Polo

x cos u 5 , r

y tan u 5 , x

y

y sin sen u 5 . r

x

Eje polar (eje x)

x

(Origen)

Si r < 0, estas relaciones también son válidas, como se puede verificar. TEOREMA 10.10 TRANSFORMACIÓN (O CAMBIO) DE COORDENADAS

Relación entre coordenadas polares y rectangulares

Las coordenadas polares sr, ud de un punto están relacionadas con las coordenadas rectangulares sx, yd de ese punto como sigue. y 1. x 5 r cos u 2. tan u 5 x y 5 r sen sin u r 2 5 x2 1 y 2

Figura 10.38

y

2

π 3, 6

)

(x, y) = 3 , 3 2 2

)

(r, θ) = 1

(

(r, θ) = (2, π ) −2

(

1

−1

EJEMPLO 1 x

2

(x, y) = (−2, 0)

Transformación (o cambio) de coordenadas polares a rectangulares

a) Dado el punto sr, ud 5 s2, pd, x 5 r cos u 5 2 cos p 5 22

−1

y

y 5 r sen sin u 5 2 sen sin p 5 0.

Por tanto, las coordenadas rectangulares son sx, yd 5 s22, 0d.

−2

b) Dado el punto sr, ud 5 s!3, py6d,

Para pasar de coordenadas polares a rectangulares, se hace x 5 r cos u y y 5 r sen u.

x 5 !3 cos

p 3 5 6 2

y 5 !3 sen sin

y

p !3 5 . 6 2

Por tanto, las coordenadas rectangulares son sx, yd 5 s3y2, !3y2d. Ver la figura 10.39.

Figura 10.39

EJEMPLO 2

Transformación (o cambio) de coordenadas rectangulares a polares

a) Dado el punto del segundo cuadrante sx, yd 5 s21, 1d, tan u 5 y

2

(r, θ) =

(

3π 2, 4

)

π (r, θ) = 2 , 2 (x, y) = (0, 2)

(

3p . 4

r 5 !x 2 1 y 2 5 !s21d 2 1 s1d 2

(x, y) = (−1, 1) x −1

u5

Como u se eligió en el mismo cuadrante que sx, yd, se debe usar un valor positivo para r.

)

1

−2

y 5 21 x

1

2

5 !2 Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es sr, ud 5 s!2, 3py4d.

Para pasar de coordenadas rectangulares a polares, se toma tan u 5 yyx y r 5 !x 2 1 y 2 .

b) Dado que el punto sx, yd 5 s0, 2d se encuentra en el eje y positivo, se elige u 5 py2 y r 5 2, y un conjunto de coordenadas polares es sr, ud 5 s2, py2d.

Figura 10.40

Ver la figura 10.40.

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SECCIÓN 10.4

π 2

Coordenadas polares y gráficas polares

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Gráficas polares Una manera de trazar la gráfica de una ecuación polar consiste en transformarla a coordenadas rectangulares para luego trazar la gráfica de la ecuación rectangular.

π 1

2

3

0

EJEMPLO 3

Trazado de ecuaciones polares

Describir la gráfica de cada ecuación polar. Confirmar cada descripción transformando la ecuación a ecuación rectangular.

3π 2

a) r 5 2

a) Círculo: r 5 2

b) u 5

p 3

c) r 5 sec u

Solución

π 2

π 1

2

3

a) La gráfica de la ecuación polar r 5 2 consta de todos los puntos que se encuentran a dos unidades del polo. En otras palabras, esta gráfica es la circunferencia que tiene su centro en el origen y radio 2. (Ver la figura 10.41a.) Esto se puede confirmar utilizando la relación r 2 5 x 2 1 y 2 para obtener la ecuación rectangular

0

x 2 1 y 2 5 22.

b) La gráfica de la ecuación polar u 5 py3 consta de todos los puntos sobre la semirrecta que forma un ángulo de py3 con el semieje x positivo. (Ver la figura 10.41b.) Para confirmar esto, se puede utilizar la relación tan u 5 yyx para obtener la ecuación rectangular

3π 2

b) Recta radial: u 5


p 3

y 5 !3 x.

π 2


c) La gráfica de la ecuación polar r 5 sec u no resulta evidente por inspección simple, por lo que hay que empezar por pasarla a la forma rectangular mediante la relación r cos u 5 x.

π 1

2

3

0

r 5 sec u r cos u 5 1 x51

3π 2

Ecuación polar.


Por la ecuación rectangular se puede ver que la gráfica es una recta vertical. (Ver la figura 10.41c.)

c) Recta vertical: r 5 sec u

Figura 10.41

TECNOLOGÍA Dibujar a mano las gráficas de ecuaciones polares complicadas puede ser tedioso. Sin embargo, con el empleo de la tecnología, la tarea no es difícil. Si la herramienta de graficación que se emplea cuenta con modo polar, usarlo para trazar la gráfica de las ecuaciones de la serie de ejercicios. Si la herramienta de graficación no cuenta con modo polar, pero sí con modo paramétrico, se puede trazar la gráfica de r 5 f sud expresando la ecuación como

x 5 f sud cos u y 5 f sud sen sin u. 6

−9

9

−6

Espiral de Arquímedes Figura 10.42

Por ejemplo, la gráfica de r 5 12u que se muestra en la figura 10.42 se generó con una herramienta de graficación en modo paramétrico. La gráfica de la ecuación se obtuvo usando las ecuaciones paramétricas 1 x 5 u cos u 2 1 y 5 u sen sin u 2 con valores de u que van desde 24p hasta 4p. Esta curva es de la forma r 5 au y se denomina espiral de Arquímedes.

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CAPÍTULO 10


EJEMPLO 4 NOTA

Una forma de bosquejar la gráfica de r 5 2 cos 3u a mano, es elaborar una tabla de valores.

u

0

p 6

p 3

p 2

2p 3

r

2

0

22

0

2

Si se amplía la tabla y se representan los puntos gráficamente se obtiene la curva mostrada en el ejemplo 4. n

Trazado de una gráfica polar

Dibujar la gráfica de r 5 2 cos 3u. Solución Para empezar, se expresa la ecuación polar en forma paramétrica. x 5 2 cos 3u cos u

y 5 2 cos 3u sen sin u

y

Tras experimentar un poco, se encuentra que la curva completa, la cual se llama curva rosa, puede dibujarse haciendo variar a u desde 0 hasta p, como se muestra en la figura 10.43. Si se traza la gráfica con una herramienta de graficación, se verá que haciendo variar a u desde 0 hasta 2p, se traza la curva entera dos veces. π 2

π 2

π

0

π

0

1 2

p 6

0 ≤ u ≤

3π 2

p 3

0 ≤ u ≤

π 2

π

0 1 2

3π 2

π 2

0

p 2 π 2

π

0

1 2

π

0

1 2

3π 2

0 ≤ u ≤

π

1 2

3π 2

0 ≤ u ≤

π 2

3π 2

2p 3

0 ≤ u ≤

5p 6

1 2

3π 2

0 ≤ u ≤ p

Figura 10.43

Usar una herramienta de graficación para experimentar con otras curvas rosa (estas curvas son de la forma r 5 a cos nu o r 5 a sen sin nud. Por ejemplo, las curvas que se muestran en la figura 10.44 son otros dos tipos de curvas rosa.

r = 2 sen 5θ

r = 0.5 cos 2θ

2

π 2

3

−3

0 0.2 0.3 0.4

−2

Curvas rosa Figura 10.44

Generada con Mathematica

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SECCIÓN 10.4


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Pendiente y rectas tangentes Para encontrar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar, considerar una función diferenciable (o derivable) r 5 f sud. Para encontrar la pendiente en forma polar, se usan las ecuaciones paramétricas x 5 r cos u 5 f sud cos u

y

y 5 r sen sin u 5 f sud sen sin u.

Mediante el uso de la forma paramétrica de dyydx dada en el teorema 10.7, se obtiene

π 2

dy dyydu 5 dx dxydu

Recta tangente r = f( θ)

5

(r, θ )

f sud cos u 1 f 9sud sin sen u 2f sud sen sin u 1 f9sud cos u

con lo cual se establece el teorema siguiente. π

0

TEOREMA 10.11 PENDIENTE EN FORMA POLAR Si f es una función diferenciable (o derivable) de u, entonces la pendiente de la recta tangente a la gráfica de r 5 f sud en el punto sr, ud es

3π 2

dy dyydu f sud cos u 1 f9sud sen sin u 5 5 dx dxydu 2f sud sen sin u 1 f9sud cos u

Recta tangente a una curva polar Figura 10.45

siempre que dxydu Þ 0 en sr, ud. (Ver la figura 10.45.) En el teorema 10.11 se pueden hacer las observaciones siguientes. 1. Las soluciones

dy dx 5 0 dan una tangente horizontal, siempre que Þ 0. du du

2. Las soluciones

dx dy 5 0 dan una tangente vertical, siempre que Þ 0. du du

Si dyydu y dxydu simultáneamente son 0, no se puede extraer ninguna conclusión respecto a las rectas tangentes. EJEMPLO 5

Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales

Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales a r 5 sen sin u, 0 ≤ u ≤ p. Solución Para empezar se expresa la ecuación en forma paramétrica. π 2

x 5 r cos u 5 sen sin u cos u

( 1, π2 )

y y 5 r sen sin u 5 sen sin u sen sin u 5 sen sin 2 u

( 22 , 34π )

( 22 , π4 )

π

(0, 0)

1 2

0

3π 2

Rectas tangentes horizontales y verticales a r 5 sen u Figura 10.46

Después, se derivan x y y con respecto de u y se iguala a 0 cada una de las derivadas. dx 5 cos 2 u 2 sen sin 2 u 5 cos 2u 5 0 du dy 5 2 sen sin u cos u 5 sen sin 2u 5 0 du

u5 u 5 0,

p 3p , 4 4 p 2

Por tanto, la gráfica tiene rectas tangentes verticales en s!2y2, py4d y s!2y2, 3py4d, y tiene rectas tangentes horizontales en s0, 0d y s1, py2d, como se muestra en la figura 10.46.

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CAPÍTULO 10


EJEMPLO 6

Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales

Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales a la gráfica de r 5 2s1 2 cos ud.

π 2

Solución Se usa y 5 r sin sen u, se deriva y dyydu se iguala a 0.

( ) 3, 2π 3

y 5 r sen sin u 5 2s1 2 cos ud sen sin u

( 1, π3 )

(4, π ) π

0

( 1, 53π )

dy sen udg sen ussin 5 2 fs1 2 cos udscos ud 1 sin du 5 22s2 cos u 1 1dscos u 2 1d 5 0

( 3, 43π )

Por tanto, cos u 5 2 12 y cos u 5 1, y se concluye que dyydu 5 0 cuando u 5 2py3, 4py3,y 0. De manera semejante, al emplear x 5 r cos u, se tiene 3π 2

x 5 r cos u 5 2 cos u 2 2 cos 2 u dx senu 5 2 sin sen u 1 4 cos u sin sen us2 cos u 2 1d 5 0. 5 22 sin du

Rectas tangentes horizontales y verticales de r 5 2s1 2 cos ud

Por tanto, sen q = 0 o cos u 5 2 2 , y se concluye que dyydu 5 0 cuando q = 0, p, p/3 y 5p/3. A partir de estos resultados y de la gráfica que se presenta en la figura 10.47, se concluye que la gráfica tiene tangentes horizontales en (3, 2p/3) y (3, 4p/3), y tangentes verticales en (1, p/3), (1, 5p/3) y (4, p). A esta gráfica se le llama cardioide. Obsérvese que cuando q = 0 ambas derivadas (dyydu y dxydu) son cero (es decir, se anulan). Sin embargo, esta única información no permite saber si la gráfica tiene una recta tangente horizontal o vertical en el polo. Pero a partir de la figura 10.47 se puede observar que la gráfica tiene una cúspide (o punto anguloso o cuspidal) en el polo.

Figura 10.47

1

El teorema 10.11 tiene una consecuencia importante. Supóngase que la gráfica de r 5 f sud pasa por el polo cuando u 5 a y f9sad Þ 0. Entonces la fórmula para dyydx se simplifica como sigue. dy f9sad sen sin a 1 f sad cos a f9sad sen sin a 1 0 sin a sen 5 5 5 5 tan a dx f9sad cos a 2 f sad sen sin a f9sad cos a 2 0 cos a Por tanto, la recta u 5 a es tangente a la gráfica en el polo, s0, ad.

f(θ ) = 2 cos 3θ

π 2

TEOREMA 10.12 RECTAS TANGENTES EN EL POLO Si f sad 5 0 y f9sad Þ 0, entonces la recta u 5 a es tangente a la gráfica de r 5 f sud. en el polo. π

0 2

3π 2

Esta curva rosa tiene, en el polo, tres rectas tangentes su 5 p y6, u 5 p y 2, y u 5 5p y6d Figura 10.48

El teorema 10.12 es útil porque establece que los ceros de r 5 f sud pueden usarse para encontrar las rectas tangentes en el polo. Obsérvese que, puesto que una curva polar puede cruzar el polo más de una vez, en el polo puede haber más de una recta tangente. Por ejemplo, la curva rosa f sud 5 2 cos 3u tiene tres rectas tangentes en el polo, como se ilustra en la figura 10.48. En esta curva, f sud 5 2 cos 3u es 0 cuando u es py6, py2, y 5py6. La derivada ƒ9(u) 5 26 sen u no es 0 en estos valores de u.

10-4.qxd

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16:56

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SECCIÓN 10.4

737


Gráficas polares especiales Varios tipos importantes de gráficas tienen ecuaciones que son más simples en forma polar que en forma rectangular. Por ejemplo, la ecuación polar de un círculo de radio a y centro en el origen es simplemente r 5 a. Más adelante se verán las ventajas que esto tiene. Por ahora, se muestran abajo algunos tipos de gráficas cuyas ecuaciones son más simples en forma polar. (Las cónicas se abordan en la sección 10.6.) Caracoles

π 2

r 5 a ± b cos u r 5 a ± b sen sin u

sa > 0, b > 0d

π 2

π

0

π

3π 2

2n pétalos si n es par sn ≥ 2d

π 2

π

0

π

3π 2

1 <

π 2

0

3π 2

a < 2 b Caracol con hoyuelo

a 51 b Cardioide (forma de corazón)

π 2

n pétalos si n es impar

0

3π 2

a < 1 b Caracol con lazo interior Curvas rosa Rose Curves

π 2

a ≥ 2 b

Caracol convexo

π 2

π 2

n=4 n=3 π

a 0

π

0

π

0

a

r 5 a cos nu Curva rosa Círculos y lemniscatas

π

r 5 a sen sin nu Curva rosa

π 2

a 0

3π 2

r 5 a sen sin nu Curva rosa

π 2

π

n=2

3π 2

r 5 a cos nu Curva rosa

π 2

0

n=5

3π a 2

3π 2

a

π

0

π 2

a

π

0

π

0

a

a 3π 2

r 5 a cos u Círculo

3π 2

sin u r 5 a sen Círculo

3π 2

sin 2u r 2 5 a 2 sen Lemniscata

3π 2

r 2 5 a2 cos 2u Lemniscata

TECNOLOGÍA Las curvas rosa descritas arriba son de la forma r 5 a cos nu o r 5 a sen sin nu, donde n es un entero positivo mayor o igual a 2. Usar una herramienta de graficación para trazar las gráficas de r 5 a cos nu o r 5 a sen sin nu con valores no enteros de n. ¿Son estas gráficas también curvas rosa? Por ejemplo, trazar la gráfica de r 5 cos 23u, 0 ≤ u ≤ 6p.

Gráfica generada con Maple

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre curvas rosa y otras curvas relacionadas con ellas, ver el artículo “A Rose is a Rose...” de Peter M. Maurer en The American Mathematical Monthly. La gráfica generada por computadora que se observa al lado izquierdo, es resultado de un algoritmo que Maurer llama “La rosa”.

1059997_1004.qxp 9/2/08 9/2/08 3:51 3:51 PM PM Page Page 738 738 1059997_1004.qxp 1059997_1004.qxp 9/2/08 3:51 PM Page 738 10-4.qxd 3/12/09 9/2/08 16:56 3:51 Page PM 738 Page 1059997_1004.qxp 9/2/08 3:51 PM Page 738 738 1059997_1004.qxp 1059997_1004.qxp 9/2/08 3:51 PM Page 738 1059997_1004.qxp 9/2/08 3:51 PM Page 738

738 738 738 738 738 738 738

CAPÍTULO Cónicas, ecuaciones paramétricas coordenadas polares Chapter 10 10 Conics, Parametric Equations, and yPolar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 10 Conics, Conics, Parametric Parametric Equations, Equations, and and Polar Polar Coordinates Coordinates Chapter Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates

Exercises Seewww.CalcChat.com www.CalcChat.comfor forworked-out worked-outsolutions solutionstotoodd-numbered odd-numberedexercises. exercises. 10.4 Exercises Ejercicios See 10.4 See 10.4 www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. See www.CalcChat.com www.CalcChat.com for for worked-out worked-out solutions solutions to to odd-numbered odd-numbered exercises. exercises. 10.4 Exercises See See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 10.4 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutionsc)to odd-numberedπ exercises. En los ejercicios 1 a 6, representar gráficamente el punto dado

In Exercises 1– 6, plot the point in polar coordinates and find In Exercises 1– 6, plot the point in polar coordinates and find In Exercises 1–6, 6, plot the pointcoordinates in polar polar coordinates and find find en coordenadas polares y hallar las coordenadas In 1– plot the point in coordinates and In Exercises 1– 6, plot the point in polar coordinates and find theExercises corresponding rectangular for therectangulares point. the corresponding rectangular coordinates for the point. the corresponding rectangular coordinates for the the point. point. correspondientes. In corresponding Exercises 1– 6, rectangular plot the point in polar coordinates and find the coordinates for the corresponding rectangular coordinates for the point. 1. corresponding 2. s22, s8,8,ppy2 y2d 22, 5pp y3the d point. the rectangular coordinates for 1. 2. y3 1. 2. 8, p y2 22, p y3 1. sssss8, 2. sssss22, 8, p py2 y2ddddd 22, 55555p py3 y3ddddd 1. 2. 1. 2. 8, p y2 22, p y3 3. s24, 23py4d 4. s0, 27py6d 27 p y6 3. 4. p y4 1. ssss24, 2. ss0, s24, 8, p23 y2 22, y3ddddd s0, 24, 23dp py4 y4dddd 0, 275p ppy6 y6 3. 4. 27 3. 4. 24, 23 p y4 27 p y6 3. 4. !2,23 5. 6. sss0, 2.36 23, 21.57 d s23, s d ! 5. 6. 2, 2.36 21.57 s d s24, 23ddp s23, 0, 27 py6dddddd 3. ss! 4. ssss23, 5. 6. 2, 2.36 21.57 ! 5. 6. 2, 2.36 2.36 23, 21.57 ! 5. 6. 2, 21.57 5. 6. 2, 2.36 23, 21.57 s! d y4d

(c) (c) (c) (c) (c) (c)

d) (d) (d) (d) (d) (d) (d)

2

ππ 2π ππ2ππ2 2222π 2

0 1

3

0

In5.Exercises Exercises 7–10, use the anglela feature of21.57 a graphing graphing utility to 6. 2, 2.367–10, d de una s23, s!ejercicios d 7 ause ángulo herraEn los 10,the emplear función In use the angle feature of utility to In Exercises 7–10, angle feature of graphing utility to In Exercises 7–10, use use coordinates the angle angle feature feature of aaapoint a graphing graphing utility to In Exercises 7–10, the of utility to In Exercises 7–10, use the angle feature of a graphing utility to find the rectangular for the given in polar mienta derectangular graficación para encontrar lasthe coordenadas rectangulafind the coordinates for point given in polar find the rectangular rectangular coordinates for the theofpoint point given in in polar In del Exercises 7–10, use the angle feature a graphing utility to find the coordinates for given polar find the rectangular coordinates for the point given in polar coordinates. Plot the point. res punto dadothe en coordenadas polares. Representar gráficacoordinates. Plot point. coordinates. Plot the the point. point. find the rectangular coordinates for the point given in polar coordinates. Plot coordinates. Plot the point. 5 22 sin sin 5 44 cos cos 22uu 23. 24. sen uu mente el punto. 23. rrr5 24. rrr5 5 5 23. 24. sin cos 7. ss7,7,55ppy4 8. ss22, y4ddPlot the point. 22,11 11ppy6 y6dd coordinates. 23. 24. rrr 5 5 2222 sin sin uuuu cos ud rrr 5 5 4444 cos cos 22uu 7. 8. 23. 24. 5 sin 5 cos 23. 24. r 2 u r 4 23. 24. 5 sin 5 cos 7. 8. s 7, 5 p y4 d 22, 11 p y6 d s r 5 3 s 1 1 r 5 2 sec222uuuuu 25. 26. 7. 8. s 7, 5 p y4 d 22, 11 p y6 d s 7. 8. s 7, 5 p y4 d 22, 11 p y6 d s 25. 26. r 5 3 s 1 1 cos u d r 5 2 sec 7. 8. s 7, 5 p y4 d 22, 11 p y6 d s 9. s24.5, 3.5d 10. s9.25, 1.2d 25. 26. 5 1 cos 5 sec 23. rrrrr5 24. rrrrr5 533332ssss1111sin 522224sec cosuuuu2u 25. 26. 5 1ucos cos uuuudddd 5 sec 9. 10. 3.5 1.2 25. 26. 1 25. 26. 7. ssss24.5, 8. ssss9.25, 5 1 cos 5 sec s24.5, 7, 5py4 ddddd 22, 1.2 11 s9.25, 9. 10. 24.5, 3.5 9.25, 1.2pddddy6d 9. 10. 3.5 9. 10. 24.5, 3.5 9.25, 1.2 In the 26. rectangular to polara 25.Exercises r 5ejercicios 3s1 127–36, cos27udaconvert u rectangular r5 2 secequation En los 36, transformar la ecuación In9.Exercises the rectangular 10. coordinates s24.5, 3.511–16, d s9.25, 1.2d of a point are In Exercises 27–36, convert the rectangular equation to polar In Exercises 27–36, convert the rectangular rectangular equation equation to to polar polar In Exercises 11–16, the rectangular coordinates of aa point point are In Exercises 27–36, convert the In Exercises 27–36, convert the rectangular equation to polar form and sketch its graph. En los ejercicios 11 a 16, se dan las coordenadas rectangulares de 1059997_1004.qxp 9/2/08 3:51 PM Page 738 In Exercises 11–16, the rectangular coordinates of point are la forma polar y trazar su gráfica. In Exercises 11–16, the rectangular coordinates of a are In Exercises 11–16, the rectangular coordinates of a point are given. Plot the point and find two sets of polar coordinates for form and sketch its graph. form and sketch its graph. In Exercises 27–36, convert the rectangular equation to polar given. Plot the point and find two sets of polar coordinates for form and sketch its graph. form and sketch its graph. un punto. Localizar gráficamente el punto y hallar dos conjungiven. Plotfor the011–16, point and find two two sets setscoordinates of polar polar coordinates coordinates for In Exercises the of a point for are given. Plot the point find of given. Plot the point and find two sets of polar coordinates for the point prectangular 2 5 9 # uu <
2

10.4 Exercises

111 1

(a) Set the window format of a graphing utility to rectangular coordinates and locate the cursor at any position off the axes. Move the cursor horizontally and vertically. Describe

222 2

111 1

222 2

43. r 5 3 sec u

44. r 5 2 csc u

45. r 5 sec u tan u

46. r 5 cot u csc u

In Exercises 47–56, use a graphing utility to graph the polar

1059997_1004.qxp 9/2/08 3:51 PM 739 Page 739 10-4.qxd 3/12/09 16:57 Page 1059997_1004.qxp 9/2/08 3:51 PM Page 739

SECCIÓN 10.4 Coordenadas polares y gráficas polares 10.4 Polar Coordinates and Polar Graphs 10.4 Polar Coordinates and Polar Graphs 58. Fórmula para la distancia 58. Distance Formula Verificar que la fórmula para la distancia entre dos puntos 58. a) Distance Formula (a)sr Verify Distance Formula for polares the distance en coordenadas es between , u1d y that sr2, uthe d dados 1 (a) Verify that the2 Distance Formula distance between r2, 2 for r1, 1 and the two points in the polar coordinates is 2 2r , r , the and in polar coordinates is !rpoints d 5two 1 r 2 2r r cos s u 2 u d . 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 r2 2r1 r2 cos 1 d r1 2 . b) Describir en relación uno con r22 2r1 r2de coslos 1puntos, d r12las posiciones 2 . (b)otro, Describe of the points relative to each other si u1 5theu2positions la fórmula de la distancia para . Simplificar (b) este Describe the positions of the points relative to each otherIs . forcaso. Simplify the Distance Formula for thisExplicar case. ¿Es la simplificación lo que se esperaba? 1 2 for theyou Distance Formula for this case. Is the what expected? Explain. 1simplification 2. Simplify por qué. the simplification what you expected? Explain. 90908. . Is¿Es Simplify the Distance for si1u1 22u2 5 the c)(c)Simplificar la fórmula de Formula la distancia 90qué. . Is the (c) laSimplify the Distance Formula for Explain. simplification what you expected? 1 2 por simplificación lo que se esperaba? Explicar simplification what you expected? Explain. Choose points polar coordinate systempolares and find d)(d)Elegir dostwo puntos enonelthe sistema de coordenadas y (d) encontrar Choose two points on the polar coordinate system and find the distance between them. Then choose different polar la distancia entre ellos. Luego elegir representathe distance them. polar representations of the same twochoose points different and the ciones polaresbetween diferentes paraThen los mismos dos apply puntos y representations of the same two points and apply Distance Formula again. Discuss the result.el resultado.the aplicar la fórmula para la distancia. Analizar Distance Formula again. Discuss the result. En ejercicios 62,the usar el resultado del58 ejercicio 58 para In los Exercises 59–59 62,ause result of Exercise to approximate Inthe Exercises 62, usethe thetwo result of Exercise 58 to approximate aproximar la59– distancia entre los dos puntos descritos en coordedistance between points in polar coordinates. the distance between the two points in polar coordinates. nadas polares. 5 7 59. 1,5 60. 8,7 , 4, , 5, 6 3 60. 8, 4 , 5, , 4, 59. 1, 6 3 4 61. 2, 0.5 , 7, 1.2 62. 4, 2.5 , 12, 1 61. s2, 0.5d, s7, 1.2d 62. s4, 2.5d, s12, 1d In Exercises 63 and 64, find dy/dx and the slopes of the tangent En los shown ejercicios 63 y64, 64,find hallar las pendientes las rec/dx Inlines Exercises 63 andy the slopes of thedetangent onand the graph ofdy/dx thedypolar equation. tas tangentes muestran las gráficas lines shown onque these graph of theen polar equation.de las ecuaciones 63. r 2 3 sin 64. r 2 1 sin polares. 63. r 2 3 sin 64. r 2 1 sin π u π sin sin ud 63. r 5 2 1 3 sen 64. r 5 2s1 2 πsen

)() 2)))

π 2 5,π π2 5, 2 2 5,2π

π2 π2 2

)( ) )) ) 3π −1, 3π2 −1, −1, 3π 2 2

(2, π ) (2, π ) (2, π )

2 2 2

3 0 0 3 3

)( ) )) ) 7π 3, 7π 3, 7π6 3, 6 6

0

(2, 0) (2, 0) 0 (2, 1 2 0)3 0 1 1

2 2

3 3

0

)) 4,33ππ32π) ) 4, ( 4, 22 )

In Exercises 65– 68, use a graphing utility to (a) graph the polar Inequation, Exercises 65– 68, graphing utility (a) graph the (b) draw the line at thetogiven of polar , and En los ejercicios 65 ause 68,atangent usar una herramienta devalue graficación y equation, (b)gráfica draw the tangent lineof at .the value , and (c) find dy/dx at the value Hint: Let the increment a) trazar la degiven la ecuación polar, b)given dibujar la of recta tan(c) find at the given of Hint: Letelthe increment between values of gente endy/dx elthe valor dado de equal valor dado de uvalue , y c) hallar / 24. . dy / dx en between the values of equal 24. / de u iguales a p / 24.c u. xSugerencia: Tomar incrementos 65. r 3 1 cos , 66. r 3 2 cos , 0 p 65. r 5 3s1 2 cos ud, u 5 2 66. r 5 3 2 2 cos u, u 5 0 2 67. r 3 sin , 68. r 4, p3 p sin u, u 5 67. r 5 3 sen 68. r 5 4, u 5 4 3 4 In Exercises 69 and 70, find the points of horizontal andhorizonvertical En los ejercicios 69 y 70, hallar los puntos de tangencia Intangency Exercises(if69 andto70, find thecurve. points of horizontal and vertical any) the polar tal y vertical (si los hay) a la curva polar. tangency (if any) to the polar curve. 69.r r5 112 sin 70.r r5 aasin sinu sinu sen sen 69. 70. 69. r 1 sin 70. r a sin Inlos Exercises 7171 and 72,hallar find the En ejercicios y 72, los points puntosof dehorizontal tangencia tangency horizonIn(ifExercises 71apolar and 72, find the points of horizontal tangency any) the curve. tal (si los to hay) la curva polar. (if any) to the polar curve. 71.r r5 22csc 72.r r5 aasin cscu 1 33 sinu cos cos2 u2 71. 72. sen 71. r 2 csc 72. r a sin cos 2 3 Inlos Exercises a graphing utility to graph the polar En ejercicios7373–76, a 76,use usar una herramienta de graficación para Inequation Exercises –76,alluse a graphing utility to puntos graph de thetangenpolar and find points horizontal representar la73 ecuación polar yofhallar todos tangency. los equation and find all points of horizontal tangency. cia horizontal. 73. r 4 sin cos 2 74. r 3 cos 2 sec 2 73. rr 5 44 sin 74. rr 5 33 cos sen u cos 73. 74. sin cos 2 u cos 22u sec sec u

739

739 739

75. 76. 75. rr 5 22 csc 76. rr 5 22 cos csc u 1 55 coss33u 2 22d 75. los r ejercicios 2 csc 775 a 84, dibujar76. 2 cos 2 En la rgráfica de3la ecuación polar Exercises 77–84, sketch a graph of the polar equation and yInhallar las tangentes en el polo. Infind Exercises 77–84, a graph of the polar equation and the tangents at sketch the pole. find tangents 77.the 78. r 5 5 cos u r5 3 sen sin u at the pole. 77. r 5 sin 78. r 5 cos r 5 2 s 1 2 sin u d s1 2 cos ud 79. 80. sen 77. r 5 sin 78. rr 553cos 79. r 2 1 sin 80. r 3 1 cos u u 81. rr 5221cos 3sin 82. rr 532sin 79. 80. 1sen 5cos 81. r 4 cos 3 82. r sin 5 r 5 3 sin 2 u r 5 3 cos 2 83. 84. sen3 81. r 4 cos 82. r sin 5 u 83. r 3 sin 2 84. r 3 cos 2 83. los r ejercicios 3 sin 2 85 a 96, trazar 84. r 3 cos En la gráfica de la2 ecuación polar. In Exercises 85–96, sketch a graph of the polar equation. r 5 8 85–96, sketch a graph 86.of rthe 5 1polar equation. In85. Exercises 85. 86. r 8 r sin u 87. r 5 4s1 1 cos ud 88. r 5 11 1 sen 85. r 8 86. r 1 87. 88. rr 5 51 2 4sin r 4 1 cos sin 89. r 5 3 2 2 cos u 90. sen u 87. r 4 1 cos 88. r 1 sin 89. r 3 2 cos 90. r 5 4 sin 6 89. 90. 91. rr 533 csc2 ucos 92. rr 55 4 sin6 2 sin u 2 3 cos u sen 91. r 3 csc 92. r 6 3 cos 91. r 3 csc 92. r 12 sin 3 cos 93. r 5 2u 94. r 521sin 93. r 2 94. r 1u 93. 94. 95. rr 2 52 4 cos 2u 96. rr 2 5 4 sin sen u 95. r 2 4 cos 2 96. r 2 4 sin 2 En unarherramienta de graficación 95. los r 2 ejercicios 4 cos 2 97 a 100, usar 96. 4 sin para representar la ecuación y mostrarutility que latorecta dada una In Exercises 97–100, use a graphing graph the es equaIn Exercises usegiven a graphing utility to graph the graph. equaasíntota la97–100, gráfica. tion andde show that the line is an asymptote of the tion and show that the given line is an asymptote of the graph. Nombre la gráfica Polar Ecuación polar Asíntota Name ofde Graph Equation Asymptote Name of Graph Polar Equation Asymptote r 5 2 2 sec u 97. Concoide 97. Conchoid r 2 sec x x 5 21 1 97. Conchoid r 2 sec x 1 1 csc u 98. 98. Concoide Conchoid r r 25 2 csc y y 51 1 98. Conchoidhiperbólica r r2 5 2y cscu y y 15 2 99. 99. Espiral Hyperbolic spiral r 2 y 2 99. Hyperbolic spiral r 2 2 cos u sec u y x x 25 22 100. 100. Estrofoide Strophoid r r 25cos 2 2sec 2 100. Strophoid r 2 cos 2 sec x 2

Desarrollo de WRITING ABO U Tconceptos CONCEPTS W101. R I T Describe I N G A Bthe O Udifferences T C O N C between E P T S the rectangular coordinate

101. Describir las diferencias entre el sistema de coordenadas 101. Describe the differences between the rectangular coordinate system and the polar coordinate system. rectangulares y el sistema de coordenadas polares. system and the polar coordinate system. 102. Dar Givelastheecuaciones equations para for the coordinate conversion from 102. pasar de coordenadas rectangu102. Give the equations for the coordinate conversion from rectangular to polar coordinates and vice versa. lares a coordenadas polares y viceversa. rectangular to polar coordinates and vice versa. 103. ¿Cómo How are slopes oflastangent linesdedetermined in polar 103. se the determinan pendientes rectas tangentes en 103. How are the slopes tangent lines determined polar coordinates? What of are¿Qué tangent at thetangentes pole in and how coordenadas polares? son lines las rectas en el coordinates? What are tangent lines at the pole and how are they determined? polo y cómo se determinan? are they determined?

Para C A P S Tdiscusión ONE C104. A P S Describe T O N E las lasfollowing siguientespolar ecuaciones polares. 104. Describir the gráficas graphs ofdethe equations. 104. Describe the graphs of the following polar equations. a) r 7 b) r2 7 a) r 7 b) r2 7 7 7 c) r d) r 7 7 cos sen c) r d) r 7 cos 7 sen e) r cos f ) r sen e) r 7 cos f ) r 7 sen sin u en el intervalo dado. 105. Trazar la gráfica de r 5 4 sen 105. Sketch the graph of r 4 sin over each interval. 105. Sketch the graph p of r p4 sin over each interval. p p ≤ u ≤ p a) 0 ≤ u ≤ b) c) 2 ≤ u ≤ (a) 0 (b)2 (c) 2 2 2 2 2 2 (a) 0 (b) 2 (c) 2 herramienta graficadora 2 para repre2 106. Para pensar 2 Utilizar una 106. Think About It Use a graphing utility to graph the polar sentar About la ecuación polar r 5 6 futility 1 1 cossu 2 fdgthepara a) 106. Think a graphing polar4, equation r It6 1Usecos for (a) to graph 0, (b) f 5 0, f 5 p y4, f 5 p y2. b) y c) Usar las gráficas para equation cos the graphsforto(a) (b)effect of 4, and (c) r 6 12. Use describe0,the the describir efecto del ángulo la ecuación como funf. Escribir and (c) . el the graphs describe of the angle Write2.theUse equation as a to function of the sin effect for part (c). ción de. sen el inciso as u para c).a function of sin for part (c). angle Write the equation

740

16:57 Page 740 9/2/08 3:51 PM

CAPÍTULO 10

740

Chapter 10

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Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates

107. Verificar que si la curva correspondiente a la ecuación polar r 5 f sud gira un ángulo f, alrededor del polo, entonces la 107. Verify de thatla ifcurva the curve is r 5 f sud is ecuación girada whose es r 5 polar f su 2equation fd. rotated about the pole through an angle f, then an equation for 108. Lathe forma polar de una sen ud. rotated curve is r ecuación 5 f su 2 de fd.una curva es r 5 f ssin Comprobar que la forma se convierte en 108. The polar form of an equation of a curve is r 5 f ssin ud. Show a) r 5 f s2cos ud si la curva gira py2 radianes alrededor del that the form becomes polo en sentido contrario a las manecillas del reloj. s2cos (a) f sen the gira curve is rotatedalrededor counterclockwise b) r 5r f5 del polo s2sin ud siudla ifcurva p radianes p y2 radians about the pole. en sentido contrario a las manecillas del reloj. f s2sin the curve rotated counterclockwise c) (b) gira 3is radianes alrededor delp r 5rf5 scos ud si ulad ifcurva py2 radians about the pole. polo en sentido contrario a las manecillas del reloj. (c) r 5 f scos ud if the curve is rotated counterclockwise 3py2 En los ejercicios a 112, usar los resultados de los ejercicios radians109 about the pole. 107 y 108. In Dar Exercises 109–112, use the rresults Exercises 107 u después la ecuación del caracol deand girar108. la 5 2 2ofsen sin 109. cantidad indicada. Utilizar una herramienta de graficación para 109. Write an equation for the limaçon r 5 2 2 sin u after it has representar el giro del caracol. been rotated by the given amount. Use a graphing utility to p p 3p limaçon. a) graph the b) rotated c) p d) 4 2 2 p 3p p p rosa (b) para la (c)curva (d) r 5 2 sen 110. Dar(a)una ecuación sin 2u después de 4 2 2 girar la cantidad dada. Verificar los resultados usando una herrau after 5 2desin 110. Writedeangraficación equation for rose curve it has mienta parathe representar el rgiro la 2curva rosa. been rotated by the given amount. Verify the results by using p p 2p to graph the rose curve. a) a graphing b) utility c) d)rotated p 6 2 3 p p 2 p 111. Dibujar (a) la gráfica (b) de cada (c)ecuación. (d) p 6 2 3 p a) b) r 5 1 2 sin u r 5 1 2 sen sin u 2 sen 111. Sketch the graph of each equation. 4 p 2 la sintangente u 5 1 2csin (a) r 5 1que (b) 112. Demostrar delr ángulo 5 u0 2 # c4 # py2) entre la recta radial y la recta tangente en el punto sr, ud en la gráfica 112. Prove that the tangent of the angle c s0 # c # py2d between de r 5 fsud (ver la figura) está dada por tan c 5 urysdrydudu. the radial line and the tangent line at the point sr, ud on the πgraph of r 5 f sud (see figure) is given by tan c 5 rysdrydud .

1

1

2

2

|

2 π Curva polar: r 2= f (θ ) Polar curve r = f (θ )

Recta tangente

ψ Tangent line Recta radial ψ P = (r, θ ) Radial line

P = (r, θ )

θ

O O

|

θ

0

A

Eje polar A

0

Polar axis

En los ejercicios 113 a 118, usar los resultados del ejercicio 112 para hallar el ángulo entre rectas y tangente a la c use In Exercises 113–118, thelasresult of radial Exercise 112 to find the gráfica en el valor indicado de Usar una herramienta de grafiu . angle c between the radial and tangent lines to the graph for cación para representar polar, de la rectatoradial y la the indicated value oflauecuación utility graph the . Use a graphing recta tangente en elthe valor indicado ángulo u. Identificar . polar equation, radial line, de and the tangentel line for cthe indicated value of u. Identify the angle c. Ecuación polar Valor de u Polar Equation Value of u 113. r 5 2s1 2 cos ud u5p 113. r 5 2s1 2 cos ud u5p u 5 3py4 114. r 5 3s1 2 cos ud 114. r 5 3s1 2 cos ud u 5 3py4 u 5 py4 115. r 5 2 cos 3u u 5 py4 115. r 5 2 cos 3u sin 2u u 5 py6 116. r 5 4 sen u 5 py6 116. r 5 4 sin 2u 6 u 5 2py3 117. r 5 1 2 cos6 u u 5 2py3 117. r 5 1 2 cos u u 5 py6 118. r 5 5 u 5 py6 118. r 5 5

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 119 a 122, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o True or False? In Exercises 119–122, determine whether the dar un ejemplo que muestre que es falsa. statement is true or false. If it is false, explain why or give an 119. Si sr1,that representan el mismo punto en el sistema u1d yshows sr2, u2itd is example false. de coordenadas polares, entonces r1 5 r2 . 119.SiIfsr,sru1, duy1d sr, and the same the polar 2, u2d represent 120. el mismo puntopoint en elon sistema de u2dsrrepresentan 1 r 5 r . coordinate system, then 1 2 coordenadas polares, entonces u1 5 u2 1 2p n para algún en120.tero If sn.r, u1d and sr, u2d represent the same point on the polar u1 5sx,u2yd1en 2peln sistema n. system,elthen for somede integer 121. Sicoordinate punto coordex > 0, entonces

| | | | | | | |

rectangulares cartesianas) puede representarse me0, then the (o sx, yd on the 121.nadas If x > point rectangular coordinate diante el sistema de polares, donde ud en r, ud on the polar systemsr,can be represented by scoordenadas coordinate 2 d. u 5 arctans yyxd. !x 2 1 r5 y 2 yru55! arctan x 2 1s yyyx system, where and 122. ecuaciones r 5 sen u y2ur, 5 r2sen 2u tienen la r 5 2sin 5 2sin 2u, and 122.Las The polar polares equations misma gráfica. s22ud all have the same graph. r 5 sin

PROYECTO S E C T I ODE N TRABAJO PROJECT

Anamorphic Art Arte anamórfico the art se is viewed art appears distorted, but when ElAnamorphic arte anamórfico parece distorsionado, pero cuando ve desdefrom un a particular point or is viewed with a device such as a mirror, particular punto de vista o con un dispositivo como un espejo pareceit appears to be normal. Use the anamorphic transformations que está normal. Usar las siguientes transformaciones anamórficas 3 p p 3p p 3 p 3 p r 5y y111616 y and u 5u25 2 r5 x, 8 x,2 2 ≤4 u #≤ u # 4 8 4 4 to sketch transformed polar image of rectangular graph. para dibujar the la imagen polar transformada de the la gráfica rectangular. When the reflection (in a cylindrical mirror centered at the pole) Cuando se observa la reflexión (en un espejo cilíndrico centrado enof image is viewed axis,elthe viewer will eleach polo)polar de una imagen polar from desdethe el polar eje polar, espectador ve see la the original rectangular image. imagen rectangular original. 2 1xs2y1 2 5 y5 5 x(d) 5d52 25 52 3 3 b) (b) x 5x 25 2c) (c) y 5yx5 1x51 d) 2s 5y d2 a)(a)y 5 Tomado Millington-Barnard Collection Scientific Apparatus, ca From thedeMillington-Barnard Collection of of Scientific Apparatus, ca 1855 1855 The University of Mississippi Museum, Oxford, Mississippi. The University of Mississippi Museum, Oxford, Mississippi

10-4.qxd 3/12/09 1059997_1004.qxp

Este ejemplo deof arteanamorphic anamórficoart es isdefrom la Colección MillingtonThis example the Millington-Barnard Barnard en laatUniversidad de Mississippi. Cuando observa el reflejo Collection the University of Mississippi. Whensethe reflection of dethe la “pintura polar”transformada espejo, veviewer el arte transformed “polar painting”en is el viewed in eltheespectador mirror, the distorsionado en susart proporciones sees the distorted in its properadecuadas. proportions. ■ FOR FURTHER INFORMATION For more information on PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre anamorphic art, see the article “Anamorphisms” by Philip Hickin in arte anamórfico, consultar al artículo “Anamorphisms” de Philip the Mathematical Gazette. Hickin en Mathematical Gazette.

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Área y longitud de arco en coordenadas polares Área y longitud de arco en coordenadas polares

741 741

10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares n n n n

Hallar el área de una región limitada por una gráfica polar. Hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares. Hallar la longitud de arco de una gráfica polar. Hallar el área de una superficie de revolución (forma polar).

Área de una región polar

θ r

El área de un sector circular es A 5 12u r 2. Figura 10.49

El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar se asemeja al del área de una región en el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas), pero en lugar de rectángulos se usan sectores circulares como elementos básicos del área. En la figura 10.49, 1 obsérvese que el área de un sector circular de radio r es 2u r 2, siempre que u esté dado en radianes. Considérese la función dada por r 5 f sud, donde f es continua y no negativa en el intervalo a ≤ u ≤ b. La región limitada por la gráfica de f y las rectas radiales u 5 a y u 5 b se muestra en la figura 10.50a. Para encontrar el área de esta región, se hace una partición del intervalo fa, bg en n subintervalos iguales

a 5 u0 < u1 < u2 < . . . < un21 < un 5 b. A continuación, se aproxima el área de la región por medio de la suma de las áreas de los n sectores, como se muestra en la figura 10.50b. π 2

β

RadioRadius del i-ésimo of ith sector 5 f suid b2a ÁnguloCentral central angle del i-ésimo of ith sector 5 5 Du n n 1 A< Du f f sui dg 2 2 i51

r = f(θ )

o1 2

Tomando el límite cuando n → ` se obtiene 1 n f f sui dg 2 Du n→ ` 2 i51

o

A 5 lím lim

α

0

5

1 2

E

b

a

f f sudg 2 du

lo cual conduce al teorema siguiente.

a) π 2

β

θn − 1

TEOREMA 10.13 ÁREA EN COORDENADAS POLARES r = f(θ )

Si f es continua y no negativa en el intervalo fa, bg, 0 < b 2 a ≤ 2p, entonces el área de la región limitada (o acotada) por la gráfica de r 5 f sud entre las rectas radiales u 5 a y u 5 b está dada por

θ2 θ1

A5

1 2

5

1 2

α

0

E E

b

a b a

f f sudg 2 du r 2 du.

0 < b 2 a ≤ 2p.

b)

Figura 10.50

NOTA La misma fórmula se puede usar para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no positiva. Sin embargo, la fórmula no es necesariamente válida si f toma valores tanto positivos como negativos en el intervalo fa, bg. n

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CAPÍTULO 10


Encontrar el área de una región polar

EJEMPLO 1 r = 3 cos 3θ

π 2

Encontrar el área de un pétalo de la curva rosa dada por r 5 3 cos 3u. Solución En la figura 10.51 se puede ver que el pétalo al lado derecho se recorre a medida que u aumenta de 2 py6 a py6. Por tanto, el área es A5

0 3

1 2

E

b

a

r 2 du 5

1 2

5

9 2

E E

py6

2py6

py6

1 1 cos 6u du 2 2py6

9 sin 6u sen u1 4 6 9 p p 5 1 4 6 6 3p 5 . 4

3 1

5

El área de un pétalo de la curva rosa que se encuentra entre las rectas radiales u 5 2 p y6 y u 5 p y6 es 3p y4. Figura 10.51

Fórmula para el área en coordenadas polares.

s3 cos 3ud2 du


py6

4

2py6

2

NOTA Para hallar el área de la región comprendida dentro de los tres pétalos de la curva rosa del ejemplo 1, no se puede simplemente integrar entre 0 y 2p. Si se hace así, se obtiene 9py2, que es el doble del área de los tres pétalos. Esta duplicación ocurre debido a que la curva rosa es trazada dos veces cuando u aumenta de 0 a 2p. n

Hallar el área limitada por una sola curva

EJEMPLO 2

Hallar el área de la región comprendida entre los lazos interior y exterior del caracol r 5 1 2 2 sen sin u. Solución En la figura 10.52, obsérvese que el lazo interior es trazado a medida que u aumenta de py6 a 5py6. Por tanto, el área comprendida por el lazo interior es

p 2

A1 5

u =p 6

u = 5p 6

2

3

1 2

E

b

a

r 2 du 5

1 2

5

1 2

5

1 2

5

1 2

0

r = 1 − 2 sen u

El área entre los lazos interior y exterior es aproximadamente 8.34 Figura 10.52

E E E E

5py6

py6 5py6

py6 5py6

py6 5py6

py6

sen u 1 4 sen s1 2 4 sin sin22 ud du 1 2 cos 2u sin u 1 4 1 31 2 4 sen 24 du 2

s3 2 4 sen sin u 2 2 cos 2ud du

3

1 3u 1 4 cos u 2 sen sin 2u 2 1 5 s2p 2 3!3 d 2 3!3 5p2 . 2 5

Fórmula para el área en coordenadas polares.

s1 2 2 sen sin ud2 du


Simplificación.

5py6

4

py6

De manera similar, se puede integrar de 5py6 a 13py6 para hallar que el área de la región comprendida por el lazo exterior es A2 5 2p 1 s3!3y2d. El área de la región comprendida entre los dos lazos es la diferencia entre A2 y A1.

1

A 5 A2 2 A1 5 2p 1

2 1

2

3!3 3!3 2 p2 5 p 1 3!3 < 8.34 2 2

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SECCIÓN 10.5

Área y longitud de arco en coordenadas polares

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Puntos de intersección de gráficas polares Debido a que un punto en coordenadas polares se puede representar de diferentes maneras, hay que tener cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas. Por ejemplo, considérense los puntos de intersección de las gráficas de r 5 1 2 2 cos u

y

r51

mostradas en la figura 10.53. Si, como se hace con ecuaciones rectangulares, se trata de hallar los puntos de intersección resolviendo las dos ecuaciones en forma simultánea, se obtiene r 5 1 2 2 cos u 1 5 1 2 2 cos u cos u 5 0 p 3p . u5 , 2 2 PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre el uso de la tecnología para encontrar puntos de intersección, consultar el artículo “Finding Points of Intersection of Polar-Coordinate Graphs” de Warren W. Esty en Mathematics Teacher.

Primera ecuación. Sustitución de r 5 1 de la segunda ecuación en la primera ecuación. Simplificación. Despejar u.

Los puntos de intersección correspondientes son s1, py2d y s1, 3py2d. Sin embargo, en la figura 10.53 se ve que hay un tercer punto de intersección que no apareció al resolver simultáneamente las dos ecuaciones polares. (Ésta es una de las razones por las que es necesario trazar una gráfica cuando se busca el área de una región polar.) La razón por la que el tercer punto no se encontró es que no aparece con las mismas coordenadas en ambas gráficas. En la gráfica de r 5 1, el punto se encuentra en las coordenadas s1, pd, mientras que en la gráfica de r 5 1 2 2 cos u, el punto se encuentra en las coordenadas s21, 0d. El problema de hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares se puede comparar con el problema de encontrar puntos de colisión de dos satélites cuyas órbitas alrededor de la Tierra se cortan, como se ilustra en la figura 10.54. Los satélites no colisionan mientras lleguen a los puntos de intersección en momentos diferentes (valores de u). Las colisiones sólo ocurren en los puntos de intersección que sean “puntos simultáneos”, puntos a los que llegan al mismo tiempo (valor de u). Puesto que el polo puede representarse mediante s0, ud, donde u es cualquier ángulo, el polo debe verificarse por separado cuando se buscan puntos de intersección. n NOTA

p 2

Caracol: r 5 1 2 2 cos u Círculo: r51

0 1

Tres puntos de intersección: s1, p y 2d, s2 1, 0d, s1, 3p y 2d

Las trayectorias de los satélites pueden cruzarse sin causar colisiones

Figura 10.53

Figura 10.54

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CAPÍTULO 10


Hallar el área de la región entre dos curvas

EJEMPLO 3

Hallar el área de la región común a las dos regiones limitadas por las curvas siguientes. Circunferencia.

r 5 2 2 2 cos u

Cardioide.

Solución Debido a que ambas curvas son simétricas respecto al eje x, se puede trabajar con la mitad superior del plano (o semiplano superior), como se ilustra en la figura 10.55. La región sombreada en gris se encuentra entre la circunferencia y la recta radial u 5 2py3. Puesto que la circunferencia tiene coordenadas s0, py2d en el polo, se puede integrar entre py2 y 2py3 para obtener el área de esta región. La región sombreada en rojo está limitada por las rectas radiales u 5 2py3 y u 5 p y la cardioide. Por tanto, el área de esta segunda región se puede encontrar por integración entre 2py3 y p. La suma de estas dos integrales da el área de la región común que se encuentra sobre la recta radial u 5 p.

lo

Círcu

p 2

Car dio i

de

2p 3

r 5 26 cos u

0

Región entre la cardioide y las rectas radiales u 5 2py3 y u 5 p

Región entre la circunferencia y la recta radial u 5 2py3

A 1 5 2 2

4p 3 Círculo: r = −6 cos u

Cardioide: r = 2 − 2 cos u

E E E

2py3

py2

2py3

5 18

Figura 10.55

59

s26 cos ud2 du 1

py2

2py3

py2

cos2 u du 1

1 2

E

1 2

p

2py3

p

2py3

s1 1 cos 2ud du 1 2py3

E

s2 2 2 cos ud2 du

s4 2 8 cos u 1 4 cos2 ud du

E

p

2py3

s3 2 4 cos u 1 cos 2ud du p

sin 2u sin 2u sen sen 1 3u 2 4 sen sin u 1 2 py2 2 2py3 !3 2p !3 p 59 2 2 1 3p 2 2p 1 2!3 1 3 4 2 4 5p 5 2 < 7.85

3

59 u1

1

4

3

4

2 1

2

Por último, multiplicando por 2 se concluye que el área total es 5p. NOTA Para verificar que el resultado obtenido en el ejemplo 3 es razonable, adviértase que el área de la región circular es p r 2 5 9p. Por tanto, parece razonable que el área de la región que se encuentra dentro de la circunferencia y dentro de la cardioide sea 5p. n

Para apreciar la ventaja de las coordenadas polares al encontrar el área del ejemplo 3, considérese la integral siguiente, que da el área en coordenadas rectangulares (o cartesianas). A 5 2

E

23y2

24

!2!1 2 2x 2 x2 2 2x 1 2 dx 1

E

0

23y2

!2x 2 2 6x dx

Emplear las funciones de integración de una herramienta de graficación para comprobar que se obtiene la misma área encontrada en el ejemplo 3.

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SECCIÓN 10.5


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Longitud de arco en forma polar NOTA Cuando se aplica la fórmula de la longitud de arco a una curva polar, es necesario asegurarse de que la curva esté trazada (se recorra) sólo una vez en el intervalo de integración. Por ejemplo, la rosa dada por r 5 cos 3u está trazada (se recorre) una sola vez en el intervalo 0 ≤ u ≤ p, pero está trazada (se recorre) dos veces en el intervalo 0 ≤ u ≤ 2p. n

La fórmula para la longitud de un arco en coordenadas polares se obtiene a partir de la fórmula para la longitud de arco de una curva descrita mediante ecuaciones paramétricas. (Ver el ejercicio 89.) TEOREMA 10.14 LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA POLAR Sea f una función cuya derivada es continua en un intervalo a ≤ u ≤ b. La longitud de la gráfica de r 5 f sud, desde u 5 a hasta u 5 b es s5

E

b

a

E! b

a

r2 1

1ddru2

2

du.

Encontrar la longitud de una curva polar

EJEMPLO 4 r = 2 − 2 cos θ

!f f sudg2 1 f f9sudg 2 du 5

Encontrar la longitud del arco que va de u 5 0 a u 5 2p en la cardioide

π 2

r 5 f sud 5 2 2 2 cos u que se muestra en la figura 10.56. 0 1

Solución Como f9sud 5 2 sen sin u, se puede encontrar la longitud de arco de la siguiente manera. s5

Figura 10.56

5

E E

b

a

!f f sudg 2 1 f f9 sudg 2 du

2p

Fórmula para la longitud de arco de una curva polar.

!s2 2 2 cos ud2 1 s2 sin sen ud2 du

0

5 2!2

E E! 2p

!1 2 cos u du

Simplificación.

0

5 2!2

E

2p

u 2 sen sin22 du 2

0


2p

u sin du sen 2 2p u 5 8 2cos 2 0 5 8s1 1 1d 5 16 54

sin sen

0

3

u ≥ 0 para 0 ≤ u ≤ 2p. 2

4

En el quinto paso de la solución, es legítimo escribir !2 sen sin22suy2d 5 !2 usen sinsu(y2 uYd2)u

en lugar de

|

|

!2 sen sin2suy2d 5 !2 sen sins(u(uuy2 d YY2) usen 2)u

porque sen sinsuy2d ≥ 0 para 0 ≤ u ≤ 2p.

NOTA Empleando la figura 10.56 se puede ver que esta respuesta es razonable mediante comparación con la circunferencia de un círculo. Por ejemplo, un círculo con radio 52 tiene una circunferencia de 5p < 15.7. n

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CAPÍTULO 10


Área de una superficie de revolución La versión, en coordenadas polares, de las fórmulas para el área de una superficie de revolución se puede obtener a partir de las versiones paramétricas dadas en el teorema 10.9, usando las ecuaciones x 5 r cos u y y 5 r sen sin u. TEOREMA 10.15 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Sea f una función cuya derivada es continua en un intervalo a ≤ u ≤ b . El área de la superficie generada por revolución de la gráfica de r = f(u), desde u 5 a hasta u = b , alrededor de la recta indicada es la siguiente.

NOTA Al aplicar el teorema 10.15, hay que verificar que la gráfica de r 5 f sud se recorra una sola vez en el intervalo a ≤ u ≤ b. Por ejemplo, la circunferencia dada por r 5 cos u se recorre sólo una vez en el intervalo 0 ≤ u ≤ p. n

E E

b

1. S 5 2p

a b

2. S 5 2p

a

f sud sen sin u!f f sudg2 1 f f9sudg2 du

Alrededor del eje polar.

f sud cos u!f f sudg 2 1 f f9sudg 2 du

Alrededor de la recta u 5

p . 2

Hallar el área de una superficie de revolución

EJEMPLO 5

Hallar el área de la superficie obtenida por revolución de la circunferencia r 5 ƒ(u) 5 cos u alrededor de la recta u 5 py2, como se ilustra en la figura 10.57. p 2

π 2

r = cos θ

0 1 0

Toro

a)

b)

Figura 10.57

Solución Se puede usar la segunda fórmula dada en el teorema 10.15 con f9(u ) 5 2sen u. Puesto que la circunferencia se recorre sólo una vez cuando u aumenta de 0 a p, se tiene

E E E E

b

S 5 2p

a p

5 2p

f sud cos u!f f sudg 2 1 f f9sudg 2 du

Fórmula para el área de una superficie de revolución.

cos u scos ud!cos2 u 1 sen sin2 u du

0

p

5 2p

cos2 u du


0

5p

p

s1 1 cos 2ud du

0

3

5p u1

sin sen 2u 2

p

4

0

5 p 2.


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SECCIÓN 10.5

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10.5 Ejercicios En los ejercicios 1 a 4, dar una integral que represente el área de la región sombreada que se muestra en la figura. No evaluar la integral. 1. r

2. r 5 cos 2u

4 sen π 2

π 2

En los ejercicios 25 a 34, hallar los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones. 25. r 5 1 1 cos u

26. r 5 3s1 1 sen sin ud

r 5 1 2 cos u

r 5 3s1 2 sen sin ud

π 2

π 2

0

0

0

1

1

3 5

0 1

3. r

3

2

3

4. r 5 1 2 cos 2u

2 sen π 2

27. r 5 1 1 cos u

π 2

28. r 5 2 2 3 cos u

r 5 1 2 sen sin u

r 5 cos u π 2

π 2

0 1 2 3 4 0 1

2

0

0 1

1

En los ejercicios 5 a 16, hallar el área de la región. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Interior de r 5 6 sen u Interior de r 5 3 cos u Un pétalo de r 5 2 cos 3u Un pétalo de r 5 4 sen 3u Un pétalo de r 5 sen 2u Un pétalo de r 5 cos 5u Interior de r 5 1 2 sen u Interior de r 5 1 2 sen u (arriba del eje polar) Interior de r 5 5 1 2 sen u Interior de r 5 4 2 4 cos u Interior de r2 5 4 cos 2u Interior de r2 5 6 sen 2u

En los ejercicios 17 a 24, emplear una herramienta de graficación para representar la ecuación polar y encontrar el área de la región indicada. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

Lazo interior de r 5 1 1 2 cos u Lazo interior de r 5 2 2 4 cos u Lazo interior de r 5 1 1 2 sen u Lazo interior de r 5 4 2 6 sen u Entre los lazos de r 5 1 1 2 cos u Entre los lazos de r 5 2 (1 1 2 sen u) Entre los lazos de r 5 3 2 6 sen u 1 Entre los lazos de r 2 cos

29. r 5 4 2 5 sen sin u

30. r 5 1 1 cos u

r 5 3 sen sin u

r 5 3 cos u

31. r 5

u 2

r52 33. r 5 4 sen sin 2u r51

32. u 5

p 4

r52 34. r 5 3 1 sin sen u r 5 2 csc u

En los ejercicios 35 y 36, emplear una herramienta de graficación para aproximar los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones polares. Confirmar los resultados en forma analítica. 35. r 5 2 1 3 cos u r5

sec u 2

36. r 5 3s1 2 cos ud r5

6 1 2 cos u

Redacción En los ejercicios 37 y 38, usar una herramienta de graficación para hallar los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones polares. En la ventana, observar cómo se van trazando las gráficas. Explicar por qué el polo no es un punto de intersección que se obtenga al resolver las ecuaciones en forma simultánea. 37. r 5 cos u r 5 2 2 3 sen sin u

38. r 5 4 sen sin u r 5 2s1 1 sen sin ud

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CAPÍTULO 10


En los ejercicios 39 a 46, emplear una herramienta de graficación para representar las ecuaciones polares y hallar el área de la región dada. 39. Interior común a r 5 4 sen sin 2u y r 5 2 40. Interior común a r 5 3s1 1 cos sin ud y r 5 23s1 2 cos sin ud sen u 41. Interior común a r 5 3 2 2 sen sin u y r 5 23 1 2 sin sen u y r 5 5 2 3 cos u 42. Interior común a r 5 5 2 3 sin 43. Interior común a r 5 4 sin sen u y r 5 2 44. Interior común de r 5 2 cos u y r 5 2 sen u 45. Interior r 5 2 cos u y exterior r 5 1 46. Interior r 5 3 sen u y exterior r 5 1 1 sen u En los ejercicios 47 a 50, hallar el área de la región. 47. En el interior de r 5 as1 1 cos ud y en el exterior de r 5 a cos u 48. En el interior de r 5 2a cos u y en el exterior de r 5 a 49. Interior común a r 5 as1 1 cos ud y r 5 a sen sin u 50. Interior común a r 5 a cos u y a r 5 a sen u donde a > 0 51. Radiación de una antena La radiación proveniente de una antena de transmisión no es uniforme en todas direcciones. La intensidad de la transmisión proveniente de una determinada antena se describe por medio del modelo r 5 a cos2 u. a) Transformar la ecuación polar a la forma rectangular. b) Utilizar una herramienta de graficación para trazar el modelo con a 5 4 y a 5 6. c) Hallar el área de la región geográfica que se encuentra entre las dos curvas del inciso b). 52. Área El área en el interior de una o más de las tres circunferencias entrelazadas r 5 2a cos u, r 5 2a sen sin u, y r 5 a está dividida en siete regiones. Hallar el área de cada región.

En los ejercicios 61 a 66, utilizar una herramienta de graficación para representar la ecuación polar sobre el intervalo dado. Emplear las funciones de integración de una herramienta de graficación para estimar la longitud de la curva con una precisión de dos decimales. 61. r 5 2u,

0 ≤ u ≤

1 63. r 5 , u

p 2

62. r 5 sec u,

p ≤ u ≤ 2p

sins3 cos ud, 65. r 5 sen sins2 cos ud, 66. r 5 2 sen

64. r 5 eu,

0 ≤ u ≤

p 3

0 ≤ u ≤ p

0 ≤ u ≤ p 0 ≤ u ≤ p

En los ejercicios 67 a 70, encontrar el área de la superficie generada por revolución de la curva en torno a la recta dada. Ecuación polar

Intervalo

Eje de revolución

67. r 5 6 cos u

p 0 ≤ u ≤ 2

Eje polar

68. r 5 a cos u

0 ≤ u ≤

p 2

u5

p 2

69. r 5 eau

0 ≤ u ≤

p 2

u5

p 2

70. r 5 as1 1 cos ud

0 ≤ u ≤ p

Eje polar

En los ejercicios 71 y 72, usar las funciones de integración de una herramienta de graficación para estimar, con una precisión de dos cifras decimales, el área de la superficie generada por revolución de la curva alrededor del eje polar. 71. r 5 4 cos 2u,

0 ≤ u ≤

p 4

72. r 5 u, 0 ≤ u ≤ p

53. Conjetura Hallar el área de la región limitada por r 5 a cossnud


para n 5 1, 2, 3, . . . Con base en los resultados formular una conjetura acerca del área limitada por la función cuando n es par y cuando n es impar.

73. Explicar por qué para encontrar puntos de intersección de gráficas polares es necesario efectuar un análisis además de resolver dos ecuaciones en forma simultánea.

54. Área Dibujar la estrofoide

p p r 5 sec u 2 2 cos u, 2 < u < . 2 2 Transformar estas ecuaciones a coordenadas rectangulares (o cartesianas). Encontrar el área comprendida en el lazo. En los ejercicios 55 a 60, hallar la longitud de la curva sobre el intervalo indicado. Ecuación polar

74. ¿Cuál de las integrales da la longitud de arco de r 5 3(1 – cos 2u )? Decir por qué las otras integrales son incorrectas.

E E E E

2p

a) 3

py4

b) 12

0#u#2p

56. r 5 a

0#u#2p

57. r 5 4 sen u

0#u#2p

p p ≤ u ≤ 2 2

58. r 5 2a cos u

2

sin u 59. r 5 1 1 sen

0 ≤ u ≤ 2p

60. r 5 8s1 1 cos ud

0 ≤ u ≤ 2p

!s1 2 cos 2ud2 1 4 sen sin 2 2u du

0

Intervalo

55. r 5 8


0

p

c) 3

!s1 2 cos 2ud2 1 4 sin sen2 2u du

0

py2

d) 6


0

75. Dar las fórmulas de las integrales para el área de una superficie de revolución generada por la gráfica de r 5 f sud alrededor a) del eje x y b) del eje y.

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1059997_1005.qxp

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3:51 PM

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SECCIÓN 10.5 10.5

CPara A P S T discusión ONE equation, theel 76. Para cada ecuación polar,sketch dibujaritssugraph, gráfica,determine determinar C76. A PFor S T Oeach N E polar interval that traces the graph only and find the area of intervalo la gráfica sólo once, unagraph, vez y encontrar área 76. For each que polartraza equation, sketch its determineel the the region bounded by por the la graph usingutilizando a geometric formula de la región acotada gráfica una fórmula interval that traces the graph only once, and find the area of and integration. geométrica e integración. the region bounded by the graph using a geometric formula (a) (b) r b) 5 5r 5 sin5usen u 5 10 10 cos cos uu a) rrintegration. 5 and (a) r 5 10 cos u (b) r 5 5 sin u 77. Área de la superficie de un toro Hallar el área de la superfi77. Surface Areagenerado of a Torus Find the surface area of the torus cie del toro por revolución de la circunferencia r52 generated by revolving the circle given by r 5 2 about the line alrededor de la recta r 5 5 sec u . 77. Surface Area of a Torus Find the surface area of the torus r 5 5 sec u. bysuperficie revolving de theun circle by rel5área line 2 about 78. generated Área de la torogiven Hallar de lathe superfi78. rSurface Area of a Torus Find the surface area of the torus 5 del 5 sec u. generado cie toro por revolución de la circunferencia r5a generated circle given 0by
Área y longitud de arco en coordenadas polares Area and Arc Length in Polar Coordinates

749 10.5 Area and Arc Length in Polar Coordinates a) Use Emplear una herramienta graficación trazarula gráfir 5 upara , where (a) a graphing utility tode graph $ 0. ca dehappens con la gráfica r 5 u, donde u ≥ 0.of¿Qué u as a increases? r 5 aocurre What to the graph Whatde (a) Use utility to graph r 5 u, where u $ 0. aifmedida r 5 au graphing u # 0?que a aumenta? ¿Qué pasa si u ≤ 0? happens 5 au ras5a aincreases? What happens to the graph of respiral What b) Determine Determinarthe lospoints puntos r 5 au sua sa> >0, 0, u u$ ≥0d,0d, (b) ondethelaspiral 0? cruza happens if ula#curva en los que el eje polar. where the curve crosses the polar axis. r5 au sa > 00,≤u u$≤0d2,p. (b) Determine the points on theu sobre spiral el c) Hallar la longitud intervalo rde5 ru5 (c) where Find the overpolar the interval thelength curveof crosses the axis. 0 # u # 2p. d) Find Hallar áreaunder bajo lathecurva r r55u upara .. (d) theellength area for 00 0≤##uu u≤##22pp 2p . (c) Find the of r 5 ucurve over the interval 84.Logarithmic Espiral logarítmica La curve curva represented descrita porby la the ecuación r 5 84. Spiral The equation udenomina (d) Find the area under the curve r 5 for 0 # uespiral # 2p.logarítbu, donde ae a y b son constantes, se bu r 5 ae , where a and b are constants, is called a logarithmic 84. Logarithmic Spiral siguiente The curve represented by thedeequation mica. La figura gráfica r5 eu,y6, euy6 spiral. figure showsmuestra the la graph of r 5 bu The r 22 5 ae b are constants, is called a logarithmic Hallar el área de la zona sombreada. p ≤, where u ≤ 2pa. and 22p # u # 2p. Find the area of the shaded region. spiral. Theπ figure shows the graph of r 5 euy6, 22p # u #π 22p. Find the area of the shaded region. 2 π 2

0 1

Complete the table giving the áreas areas AA de of the the Find the area the dando circle. las Completar la of tabla los sectors sectoresofcircu5 0 u u circle between and the values of in the table. lares entre the valores de u dados en sectors la tabla.of the u 5table 0 y los A of the Complete giving the areas circle between u 5 0 and the values of u in the table. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 u

uA

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

A c) Emplear la tabla del inciso b) para aproximar los valores (c) Use the table in part (b) to approximate the values of u forde 1 11 1 para los circular contiene área uwhich , y 3434 del the cuales sector el of sector the circle composes of the 4 , 24 , 2and (c) Use the table in part (b) to approximate the values of u for total la of circunferencia. total de area the circle. 1 1 3 which the sector of the circle composes 4, 2, and 4 of the d) total Usar una herramienta de graficación para aproximar, con una (d) Use area a graphing utility to approximate, to two decimal of the circle. precisión dos cifras ángulos los u para u fordecimales, places, thede angles which thelossector of the circle (d) Use a graphing utility to approximate, 1 1 3 to two decimal 1 1 3 cuales el sector circular contiene y del área total de la , , , , composes and of the total area of the circle. 4 2 4 u for which 4the2 sector places, the4 angles of the circle circunferencia. 1 1 3 (e) composes Do the results of part (d) depend on the radius of the circle? 4 , 2 , and 4 of the total area of the circle. e) ¿Dependen Explain. los resultados del inciso d) del radio del círcu-lo? (e) Do the results of part (d) depend on the radius of the circle? Explicar laArea respuesta. 80. Approximate Consider the circle r 5 3 sin u. Explain. 80. (a) Área aproximada Dado el círculo r 5 3 sen sin u. Find the area circle. 80. Approximate Areaof the Consider the circle r 5 3 sin u. a) Hallar el área de la circunferencia correspondiente. (b) Find Complete theof table (a) the area the giving circle. the areas A of the sectors of the b) Completar la tabla las values áreas Aofdeu in losthe sectores u 5 dando 0 and the circle between table. circu(b) Complete the table giving the areas A of the sectors of the lares comprendidos entre u 5 0 y los valores de u dados en circle between u 5 0 and the values of u in the table. la utabla.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

uA

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

A (c) Use the table in part (b) to approximate the values of u for 1 1 1 which the sector of the circle composes 8, 4, and 2 of the (c) Use the la table in del partinciso (b) tob)approximate the values of u for c) Utilizar tabla para aproximar los valores de u total area of the circle. 1 11 1 para losthe cuales el of sector representa , y 12 12del which sector the circular circle composes ofárea the 8 , 84,, 4and (d) total Use de a graphing utility to approximate, to two decimal la of circunferencia. area the circle. places, the angles u de forgraficación which thepara sector of the con circle d ) Usar una herramienta aproximar, una (d) Use a graphing utility to approximate, to two decimal 1 1 1 composesde the total area of the circle. 8 , dos 4 , and 2 ofdecimales, precisión cifras los ángulos para los que u places, the angles u for which the sector of the circle 1 1 1 1 1 does 1 the following 81. What conic equation el sectorsection circular representa delofárea total represent? del círculo. 8 , 4 , yarea 2polar composes the circle. 8 , 4 , and 2 of the total 81. ¿Qué sección cónica representa la siguiente ecuación polar? 81. What r 5 a conic sin u section 1 b cosdoes u the following polar equation represent? r5 5aasin sinuu1 1bbcos cos u sen 82. rArea Find the areau of the circle given by r 5 sin u 1 cos u. your result theporpolar equation 82. Check Área Hallar el áreabydelconverting círculo dado r 5 sen sin u 1 costou. 82. Area Find the area of the circle given by r 5 sin u 1 cos u. rectangular then using the formula for area ofpolar a circle. Comprobarform, el resultado transformando la the ecuación a la Check your result by converting the polar equation to forma rectangular y usando después la fórmula para el área del 83. rectangular Spiral of Archimedes The the curve represented form, then using formula for the by areathe ofequation a circle. rcírculo. 5 au, where a is a constant, is called the spiral of 83. Spiral of Archimedes The curve represented by the equation 83. Archimedes. Espiral de Arquímedes La curva representada por la ecuación r 5 au, where a is a constant, is called the spiral of r 5 au, donde a es una constante, se llama espiral de Arquímedes. Archimedes.

749

749

2

3 0

1

2

3

1

2

3

0

85. La mayor de las circunferencias mostradas en la figura si85. The largerescircle in thedefigure the graph of r 5 1. Findpara the la guiente la gráfica la ecuación polar r 5 1.isHallar polar equation ofmenor the smaller circleque suchlasthat the sombreadas shaded regions circunferencia de manera áreas sean 85. The larger circle in the figure is the graph of r 5 1. Find the are equal. iguales. polar equation of the smaller circle such that the shaded regions are equal. π π 22 π 2

00 0

86. Folium Hoja (ooffolio) de Descartes curva llamadaofhoja (o folio) 86. Descartes A curve Una called the folium Descartes de be Descartes puede medio de las ecuaciones can represented by representarse the parametricpor equations 86. Folium of Descartes A curve called the folium of Descartes paramétricas can be 3t represented by the parametric 3t 2 equations x5 and y 5 3t 2 3. 3t 3 t 12 t . y x 51 1 y 5 1 3t 3t 3 3 y 5 1 1 t 3. x 5 1 13t and 1 1 t the parametric equations 1 1 t to polar form. (a) Convert a) Convertir las ecuaciones paramétricas a la forma polar. (b) Convert Sketch the graph of theequations polar equation from part (a). (a) parametric polar b) Dibujar the la gráfica de la ecuación to polar delform. inciso a). (c) Use a graphing utility to approximate the area enclosed by (b) theuna graph of the polar from part (a). c) Sketch Emplear herramienta de equation graficación para aproximar el the loop of the curve. áreaacomprendida en eltolazo de la curva. (c) Use graphing utility approximate the area enclosed by loop of curve. 87 and 88, determine whether the True or the False? Inthe Exercises ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 87 y 88, determinar si la statement is true or false. If it is false, explain why or give an True or False? In Exercises 87 and determine whether the o afirmación es verdadera o falsa. Si 88, es falsa, explicar por qué example that shows it is false. statement is true que or false. If it isque false, explain why or give an dar un ejemplo demuestre es falsa. example false. 87. If f suthat for allituisand d > 0shows gsud < 0 for all u, then the graphs of 87. Si f sud > 0 para todo u y gsud < 0 para todo u, entonces las r 5 f sud and r 5 gsud do not intersect. f sud > 0defor sudgs
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CAPÍTULO 10


10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler n n

Analizar y dar las ecuaciones polares de las cónicas. Entender y emplear las leyes del movimiento planetario de Kepler.

Ecuaciones polares de las cónicas EXPLORACIÓN

Representación gráfica de cónicas En una herramienta de graficación elegir el modo polar e introducir ecuaciones polares de la forma r5

a 1 ± b cos u

r5

a . 1 ± b sen sin u

o

En este capítulo se ha visto que las ecuaciones rectangulares de elipses e hipérbolas adquieren formas simples cuando sus centros se encuentran en el origen. Sin embargo, existen muchas aplicaciones importantes de las cónicas en las cuales resulta más conveniente usar uno de los focos como punto de referencia (el origen) del sistema de coordenadas. Por ejemplo, el Sol se encuentra en uno de los focos de la órbita de la Tierra; la fuente de luz en un reflector parabólico se encuentra en su foco. En esta sección se verá que las ecuaciones polares de las cónicas adoptan formas simples si uno de los focos se encuentra en el polo. El teorema siguiente usa el concepto de excentricidad, definido en la sección 10.1, para clasificar los tres tipos básicos de cónicas. En el apéndice A se da una demostración de este teorema.

Si a Þ 0, la gráfica será una cónica. Describir los valores de a y b que generan parábolas. ¿Qué valores generan elipses? ¿Qué valores generan hipérbolas?

TEOREMA 10.16 CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS DE ACUERDO CON LA EXCENTRICIDAD Sean F un punto fijo (foco) y D una recta fija (directriz) en el plano. Sean P otro punto en el plano y e (excentricidad) el cociente obtenido al dividir la distancia de P a F entre la distancia de P a D. El conjunto de todos los puntos P con una determinada excentricidad es una cónica. 1. La cónica es una elipse si 0 < e < 1. 2. La cónica es una parábola si e 5 1. 3. La cónica es una hipérbola si e > 1.

Directriz

Q

π

π 2

Directriz

Directriz 2

P

Q F = (0, 0)

0

P

π 2

Q P F = (0, 0)

0

0

F = (0, 0)

P′ Q′

Elipse: 0 < e < 1 PF < 1 PQ

Parábola: e 5 1 PF 5 PQ

Hipérbola: e > 1 PF P9 F 5 > 1 PQ P9 Q9

Figura 10.58

En la figura 10.58, obsérvese que en todos los tipos de cónicas el polo coincide con el punto fijo (foco) que se da en la definición. La ventaja de esta ubicación se aprecia en la demostración del teorema siguiente.

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SECCIÓN 10.6

Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler

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TEOREMA 10.17 ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS La gráfica de una ecuación polar de la forma r5

ed 1 ± e cos u

o

r5

ed 1 ± e sen sin u

||

es una cónica, donde e > 0 es la excentricidad y d es la distancia entre el foco, en el polo, y la directriz correspondiente. DEMOSTRACIÓN La siguiente es una demostración de r 5 edys1 1 e cos ud con d > 0. En la figura 10.59, considérese una directriz vertical que se encuentra d unidades a la derecha del foco F 5 (0, 0). Si P 5 (r, u) es un punto en la gráfica de r 5 edy(1 1 e cos u), se puede demostrar que la distancia entre P y la directriz es

d

P = (r, θ )

|

Q

θ

|

r F = (0, 0)

| |

|

PQ 5 d 2 x 5 d 2 r cos u 5

0

| ||

r s1 1 e cos u d r 2 r cos u 5 . e e

||

Como la distancia entre P y el polo es simplemente PF 5 r , el radio PF entre PQ es PFyPQ 5 r y rye 5 e 5 e y, de acuerdo con el teorema 10.16, la gráfica de la ecuación debe ser una cónica. Las demostraciones de los otros casos son similares.

||| | ||

Directriz

Figura 10.59

Los cuatro tipos de ecuaciones que se indican en el teorema 10.17 se pueden clasificar como sigue, siendo d > 0. ed 1 1 e sin u ed b) Directriz horizontal abajo del polo: r5 1 2 e sin u ed c) Directriz vertical a la derecha del polo: r 5 1 1 e cos u ed d) Directriz vertical a la izquierda del polo: r 5 1 2 e cos u a) Directriz horizontal arriba del polo:

r5

La figura 10.60 ilustra estas cuatro posibilidades en el caso de una parábola.

y

Directriz

y

y

y=d

Directriz x=d x

x

Directriz r=

ed 1 + e sen θ

a)

r=

Directriz x = −d x

x

y=−d ed 1 − e sen θ

b)

Los cuatro tipos de ecuaciones polares para una parábola Figura 10.60

y

r= c)

ed 1 + e cos θ

r= d)

ed 1 − e cos θ

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CAPÍTULO 10


EJEMPLO 1 π 2

Dibujar la gráfica de la cónica descrita por r 5

15 3 − 2 cos θ

x=−

15 2

r=

Determinar una cónica a partir de su ecuación 15 . 3 2 2 cos u

Solución Para determinar el tipo de cónica, reescribir la ecuación como sigue (3, π )

(15, 0) 0 10

Directriz

5

15 3 2 2 cos u 5 5 . 1 2 s2y3d cos u

r5

Escribir la ecuación original. Dividir el numerador y el denominador entre 3.

Por tanto, la gráfica es una elipse con e 5 23. Se traza la mitad superior de la elipse localizando gráficamente los puntos desde u 5 0 hasta u 5 p, como se muestra en la figura 10.61. Luego, empleando la simetría respecto al eje polar se traza la mitad inferior de la elipse.

La gráfica de la cónica es una elipse con e 5 23. Figura 10.61

En la elipse en la figura 10.61, el eje mayor es horizontal y los vértices se encuentran en (15, 0) y s3, pd. Por tanto, la longitud del eje mayor es 2a 5 18. Para encontrar la longitud del eje menor, se usan las ecuaciones e 5 cya y b 2 5 a 2 2 c 2 para concluir que b 2 5 a 2 2 c 2 5 a 2 2 sead 2 5 a 2s1 2 e 2d.

Elipse.

Como e 5 23, se tiene b 2 5 9 2 f1 2 s23 d g 5 45 2

lo cual implica que b 5 !45 5 3!5. Por tanto, la longitud del eje menor es 2b 5 6!5. Un análisis similar para la hipérbola da b 2 5 c 2 2 a 2 5 sead 2 2 a 2 5 a 2 se 2 2 1d.

EJEMPLO 2

(

π −16, 32

)

π 2

Hipérbola.

Trazar una cónica a partir de su ecuación polar

Trazar la gráfica de la ecuación polar r 5

32 . sen u 3 1 5 sin

Solución Se divide el numerador y el denominador entre 3 y se obtiene Directriz 32 y= 5

r5

a=6 b=8

0

(

π 4, 2

4

) r=

8

32 3 + 5 sen θ

La gráfica de la cónica es una hipérbola con e 5 53. Figura 10.62

32y3 . 1 1 s5y3d sen sin u

Como e 5 53 > 1, la gráfica es una hipérbola. Como d 5 32 5 , la directriz es la recta El eje transversal de la hipérbola se encuentra en la recta y 5 32 . u 5 py2, y los vértices 5 se encuentran en

1 p2 2

sr, ud 5 4,

1

sr, ud 5 216,

y

3p . 2

2

Dado que la longitud del eje transversal es 12, puede verse que a 5 6. Para encontrar b, se escribe

31532

b 2 5 a 2se 2 2 1d 5 6 2

2

4

2 1 5 64.

Por tanto, b 5 8. Por último, se usan a y b para determinar las asíntotas de la hipérbola y obtener la gráfica que se muestra en la figura 10.62.

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SECCIÓN 10.6


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Leyes de Kepler Las leyes de Kepler, las cuales deben su nombre al astrónomo alemán Johannes Kepler, se emplean para describir las órbitas de los planetas alrededor del Sol.


1. Todo planeta se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. 2. Un rayo que va del Sol al planeta barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales. 3. El cuadrado del periodo es proporcional al cubo de la distancia media entre el planeta y el Sol.* Aun cuando Kepler dedujo estas leyes de manera empírica, más tarde fueron confirmadas por Newton. De hecho, Newton demostró que todas las leyes pueden deducirse de un conjunto de leyes universales del movimiento y la gravitación que gobiernan los movimientos de todos los cuerpos celestes, incluyendo cometas y satélites. Esto se muestra en el ejemplo siguiente con el cometa que debe su nombre al matemático inglés Edmund Halley (1656-1742).

JOHANNES KEPLER (1571-1630) Kepler formuló sus tres leyes a partir de la extensa recopilación de datos del astrónomo danés Tycho Brahe, así como de la observación directa de la órbita de Marte.

EJEMPLO 3

π 2

Sol π

0

Tierra

Cometa Halley

El cometa Halley tiene una órbita elíptica, con el Sol en uno de sus focos y una excentricidad e < 0.967. La longitud del eje mayor de la órbita es aproximadamente 35.88 unidades astronómicas (UA). (Una unidad astronómica se define como la distancia media entre la Tierra y el Sol, 93 millones de millas.) Hallar una ecuación polar de la órbita. ¿Qué tan cerca llega a pasar el cometa Halley del Sol? Solución Utilizando un eje vertical, se puede elegir una ecuación de la forma

Cometa Halley

r5

ed . s1 1 e sen sin u d

Como los vértices de la elipse se encuentran en u 5 py2 y u 5 3py2, la longitud del eje mayor es la suma de los valores r en los vértices, como se observa en la figura 10.63. Es decir, 0.967d 0.967d 1 1 1 0.967 1 2 0.967 35.88 < 27.79d. 2a 5

2a < 35.88

Por tanto, d < 1.204 y ed < s0.967ds1.204d < 1.164. Usando este valor en la ecuación se obtiene r5

3π 2

Figura 10.63

1.164 1 1 0.967 sen sin u

donde r se mide en unidades astronómicas. Para hallar el punto más cercano al Sol (el foco), se escribe c 5 ea < s0.967ds17.94d < 17.35. Puesto que c es la distancia entre el foco y el centro, el punto más cercano es a 2 c < 17.94 2 17.35 < 0.59 AU UA < 55,000,000 millas.

* Si se usa como referencia la Tierra, cuyo periodo es 1 año y cuya distancia media es 1 unidad astronómica, la constante de proporcionalidad es 1. Por ejemplo, como la distancia media de Marte al Sol es D 5 1.524 UA, su periodo P está dado por D3 5 P 2. Por tanto, el periodo de Marte es P 5 1.88.

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CAPÍTULO 10


La segunda ley de Kepler establece que cuando un planeta se mueve alrededor del Sol, un rayo que va del Sol hacia el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ley también puede aplicarse a cometas y asteroides con órbitas elípticas. Por ejemplo, la figura 10.64 muestra la órbita del asteroide Apolo alrededor del Sol. Aplicando la segunda ley de Kepler a este asteroide, se sabe que cuanto más cerca está del Sol mayor es su velocidad, ya que un rayo corto debe moverse más rápido para barrer la misma área que barre un rayo largo.

Sol

Sol

Sol

Un rayo que va del Sol al asteroide barre áreas iguales en tiempos iguales Figura 10.64

El asteroide Apolo

EJEMPLO 4

El periodo del asteroide Apolo es de 661 días terrestres, y su órbita queda descrita aproximadamente por la elipse π 2

r θ=π 2

9 1 1 共5兾9兲 cos 9 5 cos

donde r se mide en unidades astronómicas. ¿Cuánto tiempo necesita Apolo para moverse de la posición dada por 兾2 a 兾2, como se ilustra en la figura 10.65?

Sol 0 1

Tierra Apolo

Figura 10.65

θ =−π 2

Solución Para empezar se encuentra el área barrida cuando aumenta de 兾2 a 兾2. A

1 2

1 2

冕冕

r 2 d

兾2

兾2

Fórmula para el área de una gráfica polar.

冢9 59cos 冣 d 2

Usando la sustitución u tan共兾2兲, analizada en la sección 8.6, se obtiene

冤

冪56 tan共兾2兲 81 5 sen sin 18 A arctan 112 9 5 cos 冪56 14

冥

兾2

⬇ 0.90429. 兾2

Como el eje mayor de la elipse tiene longitud 2a 81兾28 y la excentricidad es e 5兾9, se encuentra que b a冪1 e2 9兾冪56. Por tanto, el área de la elipse es Área de la elipse ab

9 ⬇ 5.46507. 冢81 56 冣冢冪56 冣

Como el tiempo requerido para recorrer la órbita es 661 días, se puede aplicar la segunda ley de Kepler para concluir que el tiempo t requerido para moverse de la posición 兾2 a la posición 兾2 está dado por t área del segmento elíptico 0.90429 ⬇ 661 área de la elipse 5.46507 lo cual implica que t ⬇ 109 días.

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SECCIÓN 10.6

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Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler Kepler’s Laws

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10.6 Polar Equations of Conics and Kepler’s Laws 10.6 Ejercicios See www.CalcChat.com worked-out to odd-numberedπexercises. 10.6 Exercises π Razonamiento gráfico En los ejercicios 1 a 4, usar for una herra-solutions e) f) 2 2 mienta de graficación para representar la ecuación polar cuan10.6 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

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do a) e 5 1, b) e 5 0.5, y c) e 5 1.5. Identificar la cónica. 2e 2e Reasoning In Exercises r5 1.Graphical 2. r 5 1– 4, use a graphing 1 1 e cos u 1 2 utility to graph the polar equation when (a) ee cos1,u (b) e 0.5, 2e and (c) e 2e1.5. Identify the conic. 3. r 5 4. r 5 sen u 1 2 e sin 1 1 e sen sin u 2e 2e 1. 2. r r Considerar la ecuación polar1 e cos 5. Redacción 1 e cos 4 . 2e 2e r5 3. r 4. r 1 1 e sin sen u 1 e sin 1 e sin a) Usar una herramienta de graficación 5. Writing Consider the polar equation para representar la ecuación con e 5 0.1, e 5 0.25, e 5 0.5, e 5 0.75, y e 5 0.9. 4 r Identificar la .cónica y analizar la variación en su forma cuan1 e do e →sin 12 y e → 0 1 . b) Usar herramienta graficación para representar la (a) Use auna graphing utility de to graph the equation for e 0.1, ecuación Identificar cónica. and e la 0.9. Identify the conic e 0.25,cuando e 0.5,e e5 1.0.75, c) Usar una herramienta dein graficación para representar and discuss the change its shape as e→ 1 and e la→ecua0 . y e 5the y e 5 1.1, e 5 to 1.5,graph 2. Identificar (b) ción Use cuando a graphing utility equation la forcónica e 1. analizar en su forma a medida que e → 1 1 Identify la thevariación conic. y e → `. (c) Use a graphing utility to graph the equation for e 1.1, 6. Considerar la ecuación and e polar e 1.5, 2. Identify the conic and discuss the change4in its shape as e → 1 and e → . . r5 1 2 0.4 cos u 6. Consider the polar equation a) Identificar sin elaborar la gráfica de la ecuación. 4 la cónica . r 1 elaborar 0.4 cosla gráfica de las ecuaciones polares siguientes, b) Sin describir la diferencia de cada una con la ecuación polar de (a) arriba. Identify the conic without graphing the equation. (b) Without graphing the following4 polar equations, describe 4 rhow 5 each differs from , r the 5 polar equation above. 1 1 0.4 cos u 1 2 0.4 sen sin u 4 4 c) Verificar en forma gráfica r , r los resultados del inciso b). 1 0.4 cos 1 0.4 sin En los ejercicios 7 a 12 hacer corresponder la ecuación polar con (c) Verify the results of part (b) graphically. su gráfica. [Las gráficas están etiquetadas a), b), c), d), e) y f).] In Exercises 7–12, match the polar equation with the correct π (e), and (f).] a)graph. [Theπgraphs are labeled (a), b) (b), (c), (d), 2

2

π 2

(a) π

π 2

(b) 0

3 π

0

3

4 6

0

π

4 6

3π 2

3π π 2 2 π 2

c) (c) π

2 4 6 π

2 4 6 3π 2 3π 2

π 2

d) (d)

3 4

π

1 3π 2 3π 2

3 4

3π 2

1

3

3

6 1 2 cos u 3π 32

9. r 5

1 2 62 sen sin u 7. r 1 6cos 11. r 5 2 2 sen sin 3 u 9. r 1 2 sin

(f) π

0

0

π 2

3π 2

π

1

1

8. r 5

2 2 2 cos u

10. r 5

22 1 1 2sen sin u

2

2

0

0

3π

8. r 2 2 cos 12. r 5 2 1 23 cos u 10. r 1 sin

6 2y la distancia del En excentricidad 11. los r ejercicios 13 a 26, hallar la12. r sin 3 cos polo a la2 directriz de la cónica. Después 2trazar e identificar la gráfica. Usar una herramienta de graficación para confirmar los In Exercises 13–26, find the eccentricity and the distance from resultados. the pole to the directrix of the conic. Then sketch and identify the graph. Use 1 a graphing utility to confirm your 1 results. 13. r 14. r 1 1cos 1 1sen 13. r 14. r 4 1 4sen 1 cos 15. r 16. r 1 sen 1 4cos 4 15. r 16. r 6 1 cos 1 sen 17. r 2 6cos 17. r 2 10 cos 18. r 5 10 4 sen 18. r 19. r 2 5 sen4 sen 4 20. 19. r 23

2 cos sen 46 2 cos5 6 1 52 cos

20. r 3 21. r 21. r 22. r 22. r 23. r

24. r 25. r

26. r

π 2

1 0

7. r 5

25. r 26. r

3π 2

π

0

0

π 2 1

π

23. r 24. r

π

3π 2

(e) π

3

62 cos 7 6sen

3 2

73 sen 63 sen

2 1

68 sen 48 cos

1

4300 cos 12 3006 sen 12 180 6 sen 15 3.75 180 cos

1

15

3.75 cos

En los ejercicios 27 ause 30,ausar una herramienta de graficación In Exercises 27– 30, graphing utility to graph the polar para representar la ecuación polar. Identificar la gráfica. equation. Identify the graph and find its eccentricity.

0 0

27. r 29. r

4 1

3 2 sen 10 cos

28. r 30. r

2

15 8 sen

6

6 7 cos

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CAPÍTULO 10


En los ejercicios 31 a 34, usar una graficadora para representar Desarrollo de conceptos la cónica. Describir en qué difiere la gráfica de la del ejercicio 756 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates indicado. 756 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates 51. Clasificar las cónicas de acuerdo con su excentricidad. 52. Identificar cada cónica. 214 31. r 5 (Ver ejercicio 15.) In Exercises sen 12 sinsu 2 31– py434, d use a graphing utility to graph the conic. R I T I N G5 A B O U T Cb)O Nr C5E P T S5 In Exercises 31–how 34, the use graph a graphing utility to graph the conic. rN5 a)T W W R I I G 1A2B O2 U T CONCEPTS Describe differs from the graph in the indicated cos 2 sin sen u 64 graph differs from the graph in the indicated 51. Classify theuconics by their 10 eccentricities. Describe how the 32. (Ver ejercicio 16.) r 5exercise. 51. Classify the conics by their eccentricities. 5 5 exercise.1 1 cossu 2 py3d r 5 Identify each conic. d) r 5 c) 52. 52. Identify3each 2 3conic. cos u 1 2 3 sen sinsu 2 py4d 4 6 5 5 (See Exercise 15.) 4 33. r 531. r (Ver ejercicio 17.) (a)qué (b) rla 5directriz y el cenr pasa 4 (See Exercise 15.) 5 con la distancia entre 31. r 2 1 cos1su 1sin py6d 53. Describir 1 2 cos 10 sin (a) r (b) r 1 sin 4 1 elipse 2 cossi los focos permanecen 10 fijos sin y e se aprotro de una 4 26 5 5 (See Exercise 16.) 4 34. r 532. r (Ver ejercicio 22.) xima a (c) 0. r 5 (d) r 1 su 1 cos2py3d 3(See Exercise 16.) 5 32. r 3 1 7 sen sin 3 3 cos (d) r 1 3 sin 4 (c) r 1 cos 3 3 3 cos 1 3 sin 4 6 53. Describe what happens to the distance between the directrix 33. (See Exercise 17.) r 6 la elipse que se obtiene al girar py6 radianes 35. Dar la ecuación 2 decos 6(See Exercise 17.) 53. Describe what theellipse distance the directrix 33. r and the happens center oftoan if between the foci remain fixed and e 2 cos 6 en sentido de las manecillas del reloj la elipse and theapproaches center of an ellipse if the foci remain fixed and e 6 0. 34. r 5 (See Exercise 22.) approaches 0. 8 3 67 sin Para discusión 3 Exercise 22.) 34. rr5 . 2 3 2 (See 3 7 sin 85 1 53 cos u en qué difiere la gráfica de cada cónica de la grá35. Write the equation for the ellipse rotated 6 radian clockwise 54. Explicar CAPSTONE 35. Dar Write the equation the ellipse 36. la ecuación lafor parábola que rotated se obtiene 6alradian girar pclockwise y4 radia4 CAPSTONE from thede ellipse r 5 how the. graph of each conic differs from the graph fica54. de Explain from ellipse nes en the sentido contrario a las manecillas del reloj la parábola 1 1 sin sen 54. Explain how the graph 4 u of each conic differs from the graph 8 of r 44 . r92 8 . 4 of 8 . 5. cos rr5 a) rr 5 1 sin1 . sin b) r 5 5 cos 181 sen sin u 1 2 cos u 1 2 sen sin u 4 4 36. Write the equation for the parabola rotated 4 radian (a) r 44 (b) r 4 4 36. Write counterclockwise the equation forfrom the the parabola rotated radian 4 1 cos 1 sin (a) r (b) r c) r 5 d) r 5 parabola cosu 1 sen 111 cos 12 sinsin su 2 py4d En los ejercicios 37 a 48, una ecuación polar de la cónica counterclockwise fromhallar the parabola 4 4 (c) r 4 (d) r 9 conveniencia, la ecuación de la directriz con foco en el polo. (Por 4 1 cos 1 sin 4 r9 . (c) r (d) r está dada en forma 1 . rectangular.) sin 1 cos 1 sin 4 r 1 sin x2 y2 55. Demostrar que la ecuación polar de 2 1 2 5 1 es Cónica Excentricidad Directriz a b In Exercises 37– 48, find a polar equation for the conic with its x2 y2 In Exercises 37– 48,pole. find (For a polar equation for conic with its direc2 fory2 focus at the convenience, thethe equation for the 1 is 55. Show that the polar equation x 2 2 37. Parábola e convenience, 51 x 5 21 for the direcb a b focus at the pole. (For the equation 1 is2 55. rShow for 2 5 that the polar. equation 2 trix is given in rectangular form.) Elipse. a2 b 2 2 1 2 e cos u 2 trixParábola is given in rectangular 38. e 5 1form.) y51 b . Directrix Conic Eccentricity Ellipse r 2 b2 1 2 e2.cos2 Ellipse x2 y2 Conic r2 39. Elipse eEccentricity 5 12 yDirectrix 51 2 56. Demostrar 1 eque cosla ecuación polar de 2 2 2 5 1 es 37. Parabola e 1 x 3 a b 37. Elipse Parabola e 31 40. yx5 223y 4 x2 y2 38. Parabola e 5 4 e 1 2 fory2 56. Show that the polar equation 1 is x 2 2 38. Parabola e 1 y 4 a 1bis2 56. rShow that2b the polar. equation for 2 2 41. Hipérbola e52 e 1 x51 y 1 2 5 Hipérbola. 39. Ellipse a b 2 1 2 e 2 cos 2 u 2 e 12 y 1 39. Ellipse b 42. Hipérbola e 5 323 e 34 x 5 21y 2 2 40. Ellipse . 2 r Hyperbola b e 4 y 2 40. Ellipse 1 e 2.cos 2 Hyperbola r2 2 cos 2 e 2 x 1 41. Hyperbola 1 e En los ejercicios 57 a 60, usar los resultados de los ejercicios 55 e 2 x 1 41. Hyperbola 3 e vértices x 1 42. Hyperbola Vértice Cónica y 56 para dar la forma polaruse de the la ecuación deExercises la cónica.55 and 56 to 2 3 o In Exercises 57–60, results of e 2 x 1 42. Hyperbola In Exercises 57–60, use the results of Exercises 55 and 56 to writefoco the polar of the en equation of the p 57. Elipse: en (4,ofform 0); vértices (5, 0), sconic. 5, p d conic. 43. ParábolaConic 1, 2 Vertex or Vertices write the polar form the equation of the Conic Vertex2 or Vertices 57. Ellipse: 0); vertices (5,s4, 0),pd5, 58. Hipérbola: foco focus en (5,at0);(4,vértices en (4,at0), 1, 43. Parabola 57. Ellipse: focus at (4, 0); vertices at (5, 0), 5, 44. Parábola s 5, p d 2 2 2 1, 43. Parabola x 58. yHyperbola: focus at (5, 0); vertices at (4, 0), 4, 2 59. 2 5 focus 1 58. Hyperbola: at (5, 0); vertices at (4, 0), 4, 44. Parabola s2, 0d, s8,5,pd 9 16 45. Elipse x2 2 y2 2 5, 44. Parabola 1 x 2 59. y 9 116 2, 0 , 8, 45. Ellipse 59. x 2 p0 , 8, 3p 51 60. 9 1 y16 2, 45. Ellipse 46. Elipse 2, , 4, 4 x2 3 2 y2 1 2, 23 , 4, 46. Ellipse x 2 60. 2 2 y4 1 60. 2, , 4,2 46. Ellipse 4 ejercicios 61 a 64, usar las funciones de integración de una 32p 32p En los 47. Hipérbola 1, , 9,3 3 In Exercises 61–64, usepara the integration of a graphing 23 1, 23 , 9, 47. Hyperbola herramienta de graficación estimar concapabilities una precisión de 2 2 In Exercises 61–64, use the integration capabilities of a the graphing 1, , 9, 47. Hyperbola utility to approximate decimal places area of the dos cifras decimales el área detola two región limitada por la gráfica 2 2 48. Hipérbola utility region to approximate to two decimal places the area of the 2, 00d, 10, 0 48. Hyperbola s2, 0d, s10, bounded de la ecuación polar. by the graph of the polar equation. 2, 0 , 10, 0 48. Hyperbola region bounded by the graph of the polar equation. 49. Encontrar la aecuación para lafor elipse con foco 0), excentrici9 3 0, 0 , eccentricity 49. Find polar equation the ellipse with(0, focus 61. r 3 62. r 9 1 0, 0 , eccentricity 49. dad Finddea polar equation for the ellipse with focus 4 cos 2 cos and a directrix directriz en r at 5 r4 sec4 usec . . 61. r 62. r 2, y 1 2 cos 4 cos 4 sec . 2 , and a directrix at r 3 2 50. Find a polar equation for the hyperbola with focus 0, 0 , eccen63. r 2 64. r 3 50. la ecuación para una hipérbolawith confocus foco (0, 0), excen50. Encontrar Find a polar the hyperbola 8 csc . 0, 0 , eccentricityequation 2, and afor directrix at r 3 2 sen 6 5 sen 63. r 64. r tricidad 2 yadirectriz cscu. . tricity 2,deand directrixenat rr 5 288csc 3 2 sen 6 5 sen

1

2

1 2 1 1

2 1

2

2

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SECCIÓN 10.6


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65. Explorer 18 El 27 de noviembre de 1963, Estados Unidos CAS 71. Movimiento planetario En el ejercicio 69 se encontró la ecualanzó el Explorer 18. Sus puntos bajo y alto sobre la superficie ción polar para la órbita elíptica de Neptuno. Usar la ecuación y de la Tierra fueron aproximadamente 119 millas y 123 000 un sistema algebraico por computadora. millas, respectivamente (ver la figura). El centro de la Tierra es a) Aproximar el área que barre un rayo que va del Sol al planeel foco de la órbita. Hallar la ecuación polar de la órbita y hallar ta cuando u aumenta de 0 a p/9. Emplear este resultado para la distancia entre la superficie de la Tierra y el satélite cuando determinar cuántos años necesita Neptuno para recorrer este u 5 608. (Tomar como radio de la Tierra 4 000 millas.) arco, si el periodo de una revolución alrededor del Sol es de 165 años. 90° Explorer 18 r

60° 0

Tierra

a

b) Por ensayo y error, aproximar el ángulo a tal que el área barrida por un rayo que va del Sol al planeta cuando u aumenta de p a a sea igual al área encontrada en el inciso a) (ver la figura). ¿Barre el rayo un ángulo mayor o menor que el del inciso a), para generar la misma área? ¿A qué se debe? π 2

No está dibujado a escala

θ =π 9

66. Movimiento planetario Los planetas giran en órbitas elípticas con el Sol como uno de sus focos, como se muestra en la figura.

0

α −π

π 2

Planeta r

θ 0

Sol

a

No está dibujado a escala

a) Mostrar que la ecuación polar de la órbita está dada por

s1 2 e2d a r5 1 2 e cos u donde e es la excentricidad. b) Mostrar que la distancia mínima (perihelio) entre el Sol y el planeta es r 5 as1 2 ed y que la distancia máxima (afelio) es r 5 as1 1 ed. En los ejercicios 67 a 70, usar el ejercicio 66 para hallar la ecuación polar de la órbita elíptica del planeta, así como las distancias en el perihelio y en el afelio. 67. Tierra

a 5 1.496 3 108 kilómetros e 5 0.0167

68. Saturno

a 5 1.427 3 10 9 kilómetros e 5 0.0542

69. Neptuno

a 5 4.498 3 109 kilómetros

70. Mercurio

a 5 5.791 3 107 kilómetros

e 5 0.0086 e 5 0.2056

c) Aproximar las distancias que recorrió el planeta en los incisos a) y b). Usar estas distancias para aproximar la cantidad promedio de kilómetros al año que recorrió el planeta en los dos casos. 72. Cometa Hale-Bopp El cometa Hale-Bopp tiene una órbita elíptica con el Sol en uno de sus focos y una excentricidad de e < 0.995. La longitud del eje mayor de la órbita es aproximadamente 500 unidades astronómicas. a) Hallar la longitud del eje menor. b) Hallar la ecuación polar de la órbita. c) Hallar distancias en el perihelio y en el afelio. En los ejercicios 73 y 74, sea r0 la distancia del foco al vértice más cercano, y r1 la distancia del foco al vértice más lejano. 73. Mostrar que la excentricidad de una elipse puede expresarse como e5

r r1 2 r0 11e . Después mostrar que 1 5 . r1 1 r0 r0 1 2 e

74. Mostrar que la excentricidad de una hipérbola puede expresarse como e5

r1 1 r0 r e11 . Después, mostrar que 1 5 . r1 2 r0 r0 e 2 1

En los ejercicios 75 y 76, mostrar que las gráficas de las ecuaciones dadas se cortan en ángulo recto. 75. r 5

ed 1 1 sen sin u

y r5

76. r 5

c 1 1 cos u

y

r5

ed 1 2 sen sin u d 1 2 cos u

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CAPÍTULO 10



10

En los ejercicios 1 a 6, hacer corresponder la ecuación con su gráfica. [Las gráficas están etiquetadas a), b), c), d), e) y f).] y

a)

17. Vértice: (67, 0); foco: (69, 0)

18. Foco: s0, ± 8d; asíntotas: y 5 ± 4x

y

b)

En los ejercicios 17 y 18, hallar la ecuación de la hipérbola.

4 4

2

x

x

−2

2

−12

4

−8

En los ejercicios 19 y 20, usar una herramienta graficadora para aproximar al perímetro de la elipse.

−4

−2

19.

−4

x2 y2 1 51 9 4

20.

x2 y2 1 51 4 25

−4 y

c)

21. Una recta es tangente a la parábola y 5 x 2 2 2x 1 2 y perpendicular a la recta y 5 x 2 2. Hallar la ecuación de la recta.

y

d)

4

22. Una recta es tangente a la parábola 3x 2 1 y 5 x 2 6 y perpendicular a la recta 2x 1 y 5 5. Hallar la ecuación de la recta.

4

2 x −4

2

−2

x

4

−4

2

−2

−4

4

y5

−4

y

e)

b) Hallar el área de la superficie de la antena.

4 x −4

2

−2

2

4

x

−2

−4

2

4

−2

1. 4 x 2 1 y 2 5 4 3.

y2

5 24 x

5.

x2

1

4y 2

54

2. 4 x 2 2 y 2 5 4 4. y 2 2 4 x 2 5 4

a) Hallar el volumen del tanque.

6.

x2

5 4y

7. 16x 2 1 16y 2 2 16x 1 24y 2 3 5 0 9. 3x 2 2 2y 2 1 24x 1 12y 1 24 5 0 11. 3x 2 12. 12x

20x

2y 2 2

12y

19

12x 2

12x

0

12y 24y

29

0

45

b) Hallar la fuerza ejercida sobre el fondo del tanque cuando está lleno de agua. (La densidad del agua es 62.4 libras por pie cuadrado.) c) Hallar la profundidad del agua en el tanque si está lleno a Er de su capacidad (en volumen) y el camión se encuentra sobre un terreno nivelado. d) Aproximar el área en la superficie del tanque.

8. y 2 2 12y 2 8x 1 20 5 0 y2

24. Camión de bomberos Considerar un camión de bomberos con un tanque de agua que mide 16 pies de longitud, cuyas secciones transversales verticales son elipses que se describen por la ecuación x2 y2 1 5 1. 16 9

En los ejercicios 7 a 12, analizar la ecuación y trazar su gráfica. Emplear una herramienta de graficación para confirmar los resultados.

10. 5x 2

2100 ≤ x ≤ 100.

a) Hallar las coordenadas del foco.

6

4

x2 , 200

El equipo de recepción y transmisión se coloca en el foco.

y

f)

23. Antena satelital La sección transversal de una gran antena parabólica se modela por medio de la gráfica de

0

En los ejercicios 25 a 32, trazar la curva representada por las ecuaciones paramétricas (indicar la orientación de la curva) y dar las ecuaciones rectangulares correspondientes mediante la eliminación del parámetro. 25. x

1

En los ejercicios 13 y 14, hallar una ecuación de la parábola.

26. x

t

13. Vértice: s0, 2d; directriz: x 5 23

27. x

et

8t, y 6, y

4t

3

4t

t2

1, y

e3t

28. x

e , y

29. x

6 cos , y

En los ejercicios 15 y 16, hallar la ecuación de la elipse.

30. x

2

15. Vértices: (25, 0) s7, 0d; focos: (23, 0) (5, 0)

31. x 5 2 1 sec u, y 5 3 1 tan u

14. Vértice: (2, 6); foco: (2, 4)

16. Centro: s0, 0d; puntos solución: (1, 2), (2, 0)

t

4 6 sen

5 cos t, y

3

sin 3 u, y 5 5 cos3 u 32. x 5 5 sen

2 sen t

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1059997_100R.qxp 1059997_100R.qxp 1059997_100R.qxp 1059997_100R.qxp

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9/2/08 9/2/08 3:52 3:52 PM PM Page Page 759 759 9/2/08 3:52 PM Page 7599/2/08 9/2/08 1059997_100R.qxp 3:52 PM Page 759

3:52 PM

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759

Review 759 Review Exercises Exercises 759 Review Exercises 759 En los ejercicios 33 a 36, hallar una representación paramétrica herramienta de graficación En los ejercicios 53 y 54, a) usar una Review Exercises 759 Review Exercises de la recta o cónica. para trazar la curva representada por las ecuaciones paramétricas, b) usar una herramienta de graficación para hallar dx/dqq , In 33–36, find representation In In Exercises Exercises 33–36, find6aad parametric parametric representation of of the the line line In Exercises Exercises 53 53 and and 54, 54, (a) (a) use use aa graphing graphing utility utility to to graph graph the the 33. Recta: pasa por s22, y s3, 2d In conic. Exercises 33–36, find a parametric representation ofathe line In Exercises and 54, (a) graphing utility to graph the q yrepresented dy/dq dy/dx53 para y In c)ausar unaequations, herramienta deuse grafiuby 5p 6,use or curve the parametric (b) aaa graphing utility to g / In Exercises 33–36, find parametric representation of the line Exercises 53 and 54, (a) use or conic. curve represented by the parametric equations, (b) use In Exercises 33–36, find a parametric representation of the line In Exercises 53 and 54, (a) use a graphing utility to graph the or conic. curve represented by the parametric equations, (b) use 34. Circunferencia: centro en (24, 25); radio 3 cación para trazar la recta tangente arepresented la dy/dx curvafor cuando u/6, 5 parametric p /a6. dx/d , dy/d , graphing utility to find and and or conic. curve by the equations, (b , dy/d , and dy/dx graphing utility to find for or conic. curve represented by dx/d the parametric equations, (b) /6, useand a 2, 66 and 3, 33. Line: through dx/d , dy/d , and dy/dx /6, graphing utility to find for and 2,longitud 3, 22eje mayor horizontal 8 y 33. Elipse: Line: passes passes through and del (c) use a graphing utility to graph the tangent line to the curve dx/d , dy/d , dy/dx graphing utility to find and for 35. centro en s 23, 4 d ; (c) use a graphing utility to graph the tangent line to the curve dx/d , dy/d , and graphing utility and 2, 633.and 3, 2 33. Line: passes through 53. 54.the x 5a cot u to find x tangent 5 dy/dx 2u 2 for sin sen uto the/6, 2, 6 and 3,when 2 use Line: (c) graphing utility to graph line curve 4, 34. Circle: center at 333, 2passes through 33. Line: through and /6. (c) use atangent graphing utility tocurve graph the tangent line to t del eje 4, 6 52, 5 ;;6radius 34. longitud Circle:passes center atmenor radius /6. when (c) use a graphing utility to graph the line to the 4, 5 ; 34. 34. Circle: center at radius 3 wheny 5 sen sin 2/6. u 2 cos u 4, 5 ; radius 3 when Circle: when y 5 2 /6. 3, 35. Ellipse: center at ;d;radius 34. Hipérbola: Circle: center at 3 major 36. vértice foco en s0,44±5;;4horizontal s0,center ± 5axis d atof /6. 3, 35. Ellipse: center at en4, horizontal major axis of length length 88 and and x cot xx 22 sin 53. 54. 35. minor Ellipse:axis center at 63, 4 ; horizontal major axis of length 8 and x cot sin 53. 54. of length 3, 4 8; horizontal 35. Ellipse: center major x axis cotof length 8 and sin 53. 54.x x cot2 minor axis of length 6 4 ; horizontal 35. Ellipse: center at 3, major axis at of length and sin 53. Longitud de arco En los ejercicios 55 y 56, hallar minor axis of length 6 y sin 2 y 2 cos cot 2 sin la longitud de54. x 2 53. yx sin 54. yx 22 cos minor axis of length 6 37. Motor rotatorio El motor rotatorio fue inventado por Felix 0, 4 ; 5 0, 36. Hyperbola: vertices at ± foci at ± minor axis of length 6 y sin 2 y 2 cos 36. Hyperbola: vertices at 0, ± 4 ; foci at 0, ± 5 arco de la curva en el intervalo que se indica. y sin 2 y 2 cos 36. Wankel Hyperbola: verticesdeatlos0,cincuenta. ± 4 ; foci at 0, ± 5 un rotor que es un en la década Contiene 0,yLength Hyperbola: ± 5 sin 2 In Exercises 55 and 56,yfind2 the cos Arc arc length 4 ; foci 36. Hyperbola: vertices at 0, ±36. at 0, ± 5vertices at 0, ± 4 ; foci at Arc Length In Exercises and56. 56,xfind arc length of of the the triángulo equiláteroThe modificado. El rotorwas se mueve en una cámara 37. Rotary Engine rotary engine developed by Felix sen ud 55 55. x 5 rthe scosgiven u1 uinterval. sin 5 6the cos uExercises Arc Length In Exercises 55 and 56, find the arc length 55 of the 37. Rotary Engine The rotary engine was developed by Felix curve on Arc Length In and 56, find the arc leng curve on the given interval. Arc Length In Exercises 55 and 56, find the arc length of the 37. que, Rotary Engine The rotary engine was developed by Felix en dos dimensiones, esfeatures un37. epitrocoide. Usar una herramienta in It aa rotor, which is aa modified Rotary Engine rotary engine curve wasy developed byuinterval. Felix onrthe given Wankel Engine in the the 1950s. 1950s. It features rotor, which isThe modified sen 5 s sin u 2 cos u d y 5 6 sin u sen 37. Wankel Rotary The rotary engine was developed by Felix curve on the given interval. curve onr the interval. Wankel in thepara 1950s. It lafeatures aque rotor, which is aecuaciones modified de graficación trazar cámara describen las cos sin equilateral The moves in two 55. 56. Wankel the 1950s. Itin isgiven a modified cos sin equilateral triangle. The rotor moves in aainchamber chamber that, infeatures two a rotor, 55. xx0which 56. xx0 ≤ 66u cos Wankel in triangle. the 1950s. It rotor features a rotor, which is that, a modified ≤ rru cos ≤ p ≤ p x cos 6 cos sin equilateral triangle. The rotor moves in a chamber that, in two 55. 56.x x r cos paramétricas. dimensions, is an epitrochoid. Use a graphing utility to graph sin equilateral triangle. The rotor moves 55. in ayxchamber that, incos two 55.56. 56. x 6 cos r sin y 6 sin dimensions, is an epitrochoid. Use a in graphing utility to ingraph cos x sin equilateral triangle. The rotor moves a chamber that, two y r sin y 6 cos sin cos dimensions, is an epitrochoid. Use a graphing utility to graph y r utility sin to graph y r sin 6 sin cos chamber modeled by equations dimensions, is utility an epitrochoid. Use a graphing the chamber modeled by the the parametric parametric equations y cos dimensions, is an epitrochoid. Use a graphing to graph xthe 5 cos 3 u 1 5 cos u 00y 657 Área00y de una r sinsuperficie siny 58, hallar el área y 6 sin cos En los ejercicios the chamber modeled by the parametric equations the chamber modeled by the parametric equations 0 0 modeled by the parametric equations xxthe chamber cos 3 5 cos 0 0 de la0 superficie generada por revolución de la curva en torno 0 3 5 cos yx cos cos 3 5 cos Surface In Exercises 57 x cos 3 5 cos a) al eje Area xArea y b) al y. Surface Ineje Exercises 57 and and 58, 58, find find the the area area of of the the xand cos 3 5 cos Surface generated Area In by Exercises 57 andcurve 58, find the(a) area of the surface revolving the about the xx-axis Surface Area In Exercises 57 sen yand 5 sin 3 u 1 5 sin u . sen surface generated by revolving the curve about (a) the -axis Surface Area In Exercises 57 and 58, find the area of the and 58, find the are and surface generated by0revolving the curve about by (a) revolving the x-axis and 57. x 5 t, y 5 3t, ≤ t ≤ 2 and (b) the -axis. y surface generated and (b) the y-axis. by revolving the curve about (a) the x-axisthe curve about (a) t surface generated yyand sin 55 sin sin 33 sin .. and (b) the y-axis. 38. Curva las ecuaciones paramétricas and (b) thepy-axis. y sinserpentina 3 5 sin Considerar . and (b) the yy-axis. y sin 3 5 sin . sen 57. x t, tt u, 22 0 ≤ u ≤ x 5 2 cos 58. y sin 3 5 sin . sen y x 5 2 cot u y 5 4 sin u cos u , 0 < u < p . 57. x t, y u, 3t, 3t,y 500 2 sin 38. 38. Serpentine Serpentine Curve Curve Consider Consider the the parametric parametric equations equations 57. x t, y 3t, 0 t 257. x t, 2 y 3t, 0 t 2 38. xSerpentine Curve Consider the parametric equations 57.parametric x t, y equations 3t, 0 t 2 22 cot yy 44 Consider sin cos ,, the < .Curve 00 < 38. Consider the58. una and herramienta la equations curva. and x Usar cot sinde graficación cos Serpentine < para < trazar . 38. a) Serpentine Curve parametric xx En 22 cos ,, yy 22 59 sin x 2 cot and y 4 sin cos x, 0 2< cot< and . y 4 sin cos , 0 58. cos sin ,, 00hallar el 2área de la región. Área los ejercicios < < . 58. x 2 cos , y 2 siny 60, , 0 x 2 cos 2 , y 2 sin , 0 (a) Use aa graphing to graph andparámetro x Eliminar 2 cot y utility 4 sinpara , 0the < curve. b) el mostrar que< la .ecuación rectan(a) Use graphing utility tocos graph the curve. 2 58. x 2 cos , y 2 sin , 58. 0 (a) Use a graphing utility to graph the curve. 2 2ad ygraphing 22 cos u (a) Use utility to graph the curve. gular de la curva serpentina es s 4 1 x 5 8x. 59. 60. x 5 3 sin u x 5 sen (b) Eliminate the parameter to show that the rectangular (a) Use a graphing to graph the curve. Area In Exercises 59 and 60, find the area (b) Eliminate the utility parameter to show that the rectangular Area In Exercises 59 and 60, find the area of of the the region. region. (b) equation Eliminateof the parameter to show that 2 the rectangular AreathatIn the Exercises 59 and 60, find the area of the 59 region. yy rectangular 8x. the is Eliminate the parameter to show sen cos rectangular u yIn5 sin of u the Exercises and 60, find the area of the regi 8x. ofthe the serpentine serpentine curve is 44 thatxx 22the (b) equation Eliminate parameter curve to(b)show Areaxy 5In322Exercises 59 and 60, Area find the region. y serpentine 8x.tangen- curve 59. xof equation 39 of the serpentine curve isy 4los puntos 60. sin xx area 22 cos y 8x. 4 x equation is En los ejercicios a 48, a) hallar dy dx 2 the de 59. 60. x 3 sin cos / equation of the serpentine curve is 4 x y 8x. p p 59. x 3 sin 60.x x 3 sin 2 cos In (a) points 59.60. 60. x 2 cos //dx u ≤ ≤ p cia horizontal,39– b)48, eliminar parámetro sea posible y dx and In Exercises Exercises 39– 48, (a) find findeldy and all allcuando points of of horizontal horizontal dy yyx0 ≤ sin 59. yxy2 2 232≤cos sin 2u cos cos 2 sin dxExercises In Exercises 39– 48, (a) find and allwhere points of(a)horizontal dy / tangency, (b) eliminate the parameter possible, and dx In 39–48, find and all points of horizontal dy y 2 cos y sin / c)In trazar la (b) curva representada por las tangency, eliminate the dy parameter possible, and Exercises 48, (a) find andecuaciones allwhere points paramétricas. of horizontal y y 2 cos y sin /dx y 2 cos sin tangency, (b)39– eliminate the parameter where possible, and (c) sketch curve represented by equations. tangency, (b) eliminate the and parameter where possible, and 00 (c) sketch the the curve represented by the the parametric parametric equations. tangency, (b) eliminate the parameter where possible, y y 22 22 (c) sketch the curve represented by the parametric equations. by the parametric 0 (c)by sketch the curve represented equations. 0 (c) sketch the curve represented the parametric equations. 2 2 2 02 39. 40. 32yy 4 yy 2 39. xx 22 5t, 40. xx tt 6, 6, yy tt 22 5t, yy 11 4t 4t 2 39. x 2 5t, y 1 4t 39.40.x x 2 t 5t,6, y y 1t 2 4t 2 y y 40. x t 6, y 3 ty y y2 y 39. x 121 5t, y 1 4t 40. x 1t1 6, y2 t 33 44 41. 42. 41. xx 1t ,, yy 2t 42. xx 1 1t ,, yy tt 22 2t 33 1 3 4 41. x 1t , y 2t 3 42.x x , 1t ,y y 2t t 2 3 3 4 23 41.42. 42. x , y t 2 343 2 t , y 2t 3 41. x x t t, y t t 2 31 x t 11 t 2 3 2 3 43. 44. 11 −3 −2 − 1 1 2 3 43. xx 2t 1 1 44. xx 2t 2t x 1 −1 43. x 2t 1 1 44.x x 2t 1 xx 11 43. 44. x 2t 1 −3 −2 −1 1 1 2 3 43. x 2t 1 44. x 2t 2t 1 1 x −−33 −−22 −−11− 2 11 22 33 −1 11 2t 11 1 xx 1 x 1 − 3 − 2 − 1−−11 1 2 3 y yy 1 1 −3 −2 −1 1 x 2 y t122 2t −−133 −2 −1 1 2 3 − 1 − 3 −2 − 3 − 2 − 1 1 2 3 t 2t 2 x −2 −1 1 2 3 −1 y t 1 2t −−21 x − 3 −2 −1−−11 1 2 3 y y yy 2 tt 2 1 2t 2t 2 y t 22 2t − 3 −2 −1 − 22 1 2 3 −1 t t 2t 2t 2 − 3 −2 −1 1 2 3 −2 − 1−−32 cos 45. t 2t 2t −−212 cos 45. xx 55t 3 45. x 5 cos −3 −2 x 5 cos 45. −3 − 2 En los ejercicios 61 a 64, representar gráficamente el punto y 3 4 sen 45. xy 53 cos −3 −2 4 sen y 3 4 sen en coordenadas polares y hallar las coordenadas rectangulaIn Exercises 61–64, plot the point in polar coordinates and find y 3 4 sen 46. In Exercises 61–64, plot the point in polar coordinates and find 3 cos 4 sen 10 cos 46. xxy 10 In 61–64, plot point in polar coordinates and find resExercises correspondientes althe punto. 46. x 10 cos the corresponding coordinates of In Exercises 61–64, plot and the point the corresponding rectangular coordinates of the the point. point. x 10 cos 46. In 61–64,rectangular plot the point in polar coordinates find in polar coordinates y 10 sen 46. xy 10 cos theExercises corresponding rectangular coordinates of the point. sen corresponding coordinates of the poin y 10 sen the corresponding rectangularthe coordinates of the rectangular point. 3 y 10 sen 33 47. cos 3 47. xxy 10 cossen 61. 5, 3 3 61. 5, 2 47. x cos3 3 3 47. x cos3 61. 5, 32 sen 47. yxy 44cos 61. 5, sen 3 2 5, 61. 2 y 4t sen 33 277 y 4 sen 3 48. 62. 6, 48. xxy ee4tt sen 7 62. 6, 7 48. x e 62. 6, 766 48. x et 6, 62. 48. yxy eet ttt 6, 6 62. 6 63. 3, 1.56 y e t 6 63. 3, 1.56 y e t y e 63. 3, 1.56 3, 1.56 63. In Exercises 49– 52, find all points (if any) of horizontal and 64. 2, 2.45 3, 1.56 63. In los Exercises 49–49 52,a find all points any) of horizontal 64. 2, 2.45 En ejercicios 52, hallar todos(if puntos (si los hay)and de In Exercises 49– 52, find all points (iflosany) of horizontal and 2, horizontal 2.45 vertical tangency to the curve. Use aa graphing utility to confirm In Exercises 49– 52, find all and points (if 64. any) of and 2, 2.45 64. vertical tangency to the curve. Use graphing utility to confirm In Exercises 49– 52, find all points (if any) of horizontal 2, 2.45 64. tangencia horizontal y vertical a la acurva. Usarutility una herramienvertical tangency to the curve. Use graphing to confirm In Exercises 65–68, the your results. vertical tangency to the curve. Use a graphing utility to confirm In Exercises 65–68, the rectangular rectangular coordinates coordinates of of aa point point are are your results. vertical tangency to the curve. Use a graphing utility to confirm ta de graficación para confirmar los resultados. In Exercises 65–68, the rectangular coordinates ofthe a point are your results. given. Plot the point and find two sets of polar coordinates of En los ejercicios 65 a 68, se dan las coordenadas rectangulares de coordinates of a In Exercises 65–68, rectangular your results. given. Plot the point and find two sets of polar coordinates of the the In Exercises 65–68, the rectangular coordinates of a point are yourx results. 2 y 2t 49. 5 t, 2 given. Plot the point and find two sets Plot of polar coordinates ofpares the sets of polar coordina 49. x 5 t, y 2t 2 point for 0 < 2 . un punto. Representar gráficamente el punto y hallar dos given. the point and find two point for 0 < 2 . given. Plot the point and find two sets of polar coordinates of the 49. x 5 t, y 2t 3 2 49. x 5 t, y 2t 2 point for 0 <2 . 50. 49. t, yy t2t de coordenadas polares para point for 0 <2 . t3 2t 2, 2t 50. xx t5t 2, point for 40 < 2 . del punto 65. 66. 4, 0, 77 50. x t 2, y t33 2t 50. x t 2, y t3 2t 65. 66. 4, 4 0, x 2 2 sen , y 1 cos 51. y , t y 2t1 cos 50. x t2 2, 65. 4, 4 66.4, 0, 4 7 2 sen 51. 65.68. 66. 0, 7 67. 33 cos x 2 2 sen , y 1 cos 51. x 2 2 sen , y 1 51. 65. 66. 7 67. 4, 1, 68. 0, 3, 1, 334 3, x 2 2 cos , y 2 sen 2 52. sen 1 cos 51. 67. 68. 1, 3 3, 1, 3 3 52. x 2 2 cos , y 2 sen 2 67. 68. 3, 3 52. x 2 2 cos , y 2 sen 67. 68. 1, 3 3, 3 52.22 x 2 2 cos , y 2 sen 2 52. x 2 2 cos , y 2 sen

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17:01

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CAPÍTULO 10


En los ejercicios 69 a 76, pasar la ecuación polar a la forma rectangular.

107. Encontrar los puntos de intersección de las gráficas de r 5 1 2 cos u y r 5 1 1 sen u.

69. r 5 3 cos u

70. r 5 10

108. Encontrar los puntos de intersección de las gráficas de r 5 1 1 sen u y r 5 3 sen u.

71. r 5 22s1 1 cos u d

72. r 5

73.

r2

1 2 2 cos u

p 74. r 5 4 sec u 2 3

1

5 cos 2u

75. r 5 4 cos 2u sec u

76. u 5

En los ejercicios 109 a 112, usar una herramienta de graficación para representar la ecuación polar. Dar una integral para encontrar el área de la región dada y usar las funciones de integración de una herramienta de graficación para aproximar el valor de la integral con una precisión de dos cifras decimales.

2

3p 4

En los ejercicios 77 a 80, transformar la ecuación rectangular a la forma polar. 77. sx 2 1 y 2d 2 5 ax 2 y 79.

x2

1

y2

5

a2

1

y arctan x

78. x 2 1 y 2 2 4 x 5 0

2

2

80. s

x2 1

1

25

y d arctan x

y2

109. Interior de r 5 sen sin u cos 2 u sin 3u 110. Interior de r 5 4 sen 111. Interior común de r 5 3 y r 2 5 18 sen sin 2u 112. Región limitada por el eje polar r 5 eu para 0 ≤ u ≤ p

2

a2

En los ejercicios 113 y 114, hallar la longitud de la curva sobre el intervalo dado.

En los ejercicios 81 a 92, trazar la gráfica de la ecuación polar.

p 12

81. r 5 6

82. u 5

83. r 5 2sec u

84. r 5 3 csc u

85. r 5 22s1 1 cos u d

86. r 5 3 2 4 cos u

87. r 5 4 2 3 cos u

88. r 5 4u

89. r 5 23 cos 2u

90. r 5 cos 5u

sin22 2u 91. r 2 5 4 sen

92. r 2 5 cos 2u

En los ejercicios 93 a 96, usar una herramienta de graficación para representar la ecuación polar. 93. r 5

3 cossu 2 py4d

95. r 5 4 cos 2u sec u

Ecuación polar 113. r 5 as1 2 cos ud

0 ≤ u ≤ p

114. r 5 a cos 2u

2

En los ejercicios 97 y 98, a) hallar las tangentes en el polo, b) hallar todos los puntos de tangencia horizontal y vertical, y c) usar una herramienta de graficación para representar la ecuación polar y dibujar una recta tangente a la gráfica en u 5 p/6.

p p ≤ u ≤ 2 2

En los ejercicios 115 y 116, dar una integral que represente el área de la superficie generada por revolución de la curva en torno a una recta dada. Usar una herramienta de graficación para aproximar la integral. Ecuación polar

Intervalo

Eje de revolución

115. r 5 1 1 4 cos u

p 0 ≤ u ≤ 2

Eje polar

sin u 116. r 5 2 sen

0 ≤ u ≤

94. r 5 2 sin sen u cos 2 u 96. r 5 4 ssec u 2 cos ud

Intervalo

p 2

u5

p 2

En los ejercicios 117 a 122, trazar e identificar la gráfica. Usar una herramienta de graficación para confirmar los resultados. 117. r 5

2 1 2 sen sin u

118. r 5

2 1 1 cos u

119. r 5

6 3 1 2 cos u

120. r 5

4 5 2 3 sin sen u

En los ejercicios 99 y 100, mostrar que las gráficas de las ecuaciones polares son ortogonales en el punto de intersección. Usar una herramienta de graficación para confirmar los resultados.

121. r 5

4 2 2 3 sen sin u

122. r 5

8 2 2 5 cos u

99. r 5 1 1 cos u

En los ejercicios 123 a 128, hallar la ecuación polar de la recta o cónica con su foco en el polo.

97. r 5 1 2 2 cos u

r 5 1 2 cos u

98. r 2 5 4 sen sin 2u

100. r 5 a sin sen u r 5 a cos u

123. Círculo

124. Recta

En los ejercicios 101 a 106, hallar el área de la región.

Centro: s5, py2d

Punto solución: (0, 0)

101. Un pétalo de r 5 3 cos 5u

Punto solución: (0, 0d

Pendiente: !3

102. Un pétalo de r 5 2 sen 6u 103. Interior de r 5 2 1 cos u sin u d 104. Interior de r 5 5s1 2 sen sin 2u 105. Interior de r 2 5 4 sen 106. Interior común a r 5 4 cos u y r 5 2

125. Parábola Vértice: s2, pd 127. Elipse Vértices: s5, 0d, s1, pd

126. Parábola Vértice: s2, py2d 128. Hipérbola Vértices: s1, 0d, s7, 0d

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P.S.

Solución de problemas Problem Solving

761 761

SP Solución de problemas P.S. P R O B L E M S O LV I N G 3 4yand 1. la parabola parábola xx22554y y lathe cuerda 1. Considerar Consider the focalfocal chordyy554 34xx111.1. a) la cuerda focal. (a)Dibujar Sketch la thegráfica graph de of la theparábola parabolay and the focal chord.

b) que the las tangent rectas tangentes a laparabola parábolaatenthe losendpoints extremos (b)Mostrar Show that lines to the deoflathe cuerda focal se cortan en ángulo recto. focal chord intersect at right angles. c) que the las tangent rectas tangentes a laparabola parábolaatenthe losendpoints extremos (c)Mostrar Show that lines to the deoflathe cuerda focal se cortan en la directriz de la parábola. focal chord intersect on the directrix of the parabola.

5 4py 4py and 2. la parabola parábola xx22 5 y una deofsus focales. 2. Considerar Consider the one itscuerdas focal chords. a) Mostrar que las rectas tangentes a la parábola en los extremos (a) Show that the tangent lines to the parabola at the endpoints deoflathe cuerda focal se cortan en ángulos rectos. focal chord intersect at right angles. b) que the las tangent rectas tangentes a laparabola parábolaatenthe losendpoints extremos (b)Mostrar Show that lines to the deoflathe cuerda focal se cortan en la directriz de la parábola. focal chord intersect on the directrix of the parabola.

3. el teorema 10.2, la Property propiedad reflexiónasde una 3. Demostrar Prove Theorem 10.2, Reflective of de a Parabola, shown parábola, como se ilustra en la figura. in the figure. yy

PP

xx

4. Consider the hyperbola 4. Considerar la hipérbola x2 y2 2 5 1 xa22 yb22 2 5 1 a2 b2 with foci F1 and F2, as shown in the figure. Let T be the tangent linefocos at a point the se hyperbola. thatSea incoming raystanof F1 y FM2, on T la recta con como ilustra enShow la figura. light en aimed at one are reflected by aque hyperbolic gente un punto de la hipérbola. Mostrar los rayosmirror de luz M focus toward theenother focus.son reflejados por un espejo hiperbólico incidente un foco hacia el otroy foco. y y

B

y

A

M b

T aM

F2

F1

b

T a

F2

a) Mostrar quethe el area área of dethe la región (a) Show that regiones is pab. b) Mostrar quethe el solid volumen delspheroid) sólido (esferoide genera(b) Show that (oblate generatedoblato) by revolving do revolución deminor la región torno al ejehas menor de la thepor region about the axis en of the ellipse a volume 2 by3 y el área de la superficie es 2 by3 elipse 4pand of V 5es4Vp 5 a surface area of S 5 2pa2 1 p

1be 2 ln111 12 ee2. 2

(c) Show that the solid (prolate spheroid) generated by c) Comprobar que el volumen del sólido (esferoide prolato) revolving the region about the major axis of the ellipse has a generado por revolución de la región alrededor del eje mayor volume of V 5 4pab2y3 and a surface area of de la elipse es V 5 4pab2y3 y el área de la superficie es ab S 5 2pb2 1 2p ab arcsin e. 2 e. S 5 2pb 1 2p e arcsen arcsin e. e 7. The curve given by the parametric equations 7. La curva descrita por las ecuaciones2 paramétricas 1 2 t2 ts1 2 t d xstd 5 ystd 5 and 2 2 11 1 2 tt 2 ts1 121t 2td y xstd 5 y s t d 5 t2 1 1 t2 is called1 a1strophoid.

11 22

(a) Find a rectangular equation of the strophoid. se denomina estrofoide. (b) Find a polar equation of the strophoid. a) Hallar una ecuación rectangular de la estrofoide.

FF

F1

2ya 2yb 2 21 2 25 1yy2yb 51,1, 6. Consider Considerar regiónbounded limitadabypor elipsexx2ya thelaregion thelaellipse con excentricidad e 5cya. cya. with eccentricity e 5

O x

O

P

(c) Sketchuna a graph of the strophoid. b) Hallar ecuación polar de la estrofoide. (d) Find the equations of the two tangent lines at the origin. c) Trazar una gráfica de la estrofoide. (e) Find the points ondethelasgraph at which the tangent lines are d) Hallar la ecuación dos rectas tangentes en el origen. horizontal. e) Hallar los puntos de la gráfica en los que las rectas tangentes 8. Findson a rectangular equation of the portion of the cycloid given by horizontales. the parametric equations x 5 asu 2 sin ud and y 5 as1 2 cos ud, 8. Hallar una ecuación rectangular para la porción de la cicloide 0 # u # p, as shown in the figure. dada por las ecuaciones paramétricas x 5 a(u 2 sen u) y y 5 a y (1 2cos u), 0 ≤ u ≤ p, como se muestra en la figura. y 2a

B

Aθ P a c θ a c

2a x

O

aπ

O

aπ

x

x

9. Consider the cornu spiral given by Figure for 4

Figure for 5

y-axis 5. Figura Consider a circle of radius a tangent to thepara para 4 Figura 5 and the line x 5 2a, as shown in the figure. Let A be the point where the segment OBunintersects the circle. cissoidalofeje Diocles y y a consists círculo con radio aThe tangente la recta 5. Considerar OPla5 AB. Sea A el punto en el cual el points such thaten comoPse ilustra figura. xof5all2a, segmento corta el círculo. Lacissoid. cisoide de Diocles consiste de (a) Find aOB polar equation of the todos los puntos P tales que OP 5 AB. (b) Find a set of parametric equations for the cissoid that does a) Hallar una ecuación polar de la cisoide. not contain trigonometric functions. b) conjunto de ecuaciones paramétricas (c)Hallar Find aunrectangular equation of the cissoid. para la cisoide que no contengan funciones trigonométricas. c) Hallar la ecuación rectangular de la cisoide.

E E

t

E

t

p u2 pu 2 xstd 5 cos du and ystd 5 sin du. 9. Considerar la espiral de Cornu dada por 2 2 0 0

1 2

E

1 2

t (a) Use at graphing p u2 utility to graph the spiral pu 2 over the interval sen y xstd 2 5p #cos du y s t d 5 sin du. t # 2p. 2 0

1 2

0

1 2

(b) Show that the cornu spiral is symmetric with respect to the a) Usar una herramienta de graficación para representar la espiorigin. ral en el intervalo p cornu ≤ t ≤ p. (c) Find the length of 2 the spiral from t 5 0 to t 5 a. What b) Mostrar que laofespiral cornu es tsimétrica 5 2 p torespecto is the length the spiral from t 5 p ? al origen. c) Hallar la longitud de la espiral cornu desde t 5 0 hasta t 5 a. ¿Cuál es la longitud de la espiral desde t 5 2 p hasta t 5 p ?

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CAPÍTULO 10


10. Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoria descrita por las ecuaciones paramétricas x 5 1yt y y 5 sen sin tyt, con 1 ≤ t < `, como se muestra en la figura. Hallar la longitud de esta trayectoria. y

15. Un controlador de tráfico aéreo ubica a la misma altitud dos aviones que vuelan uno hacia el otro (ver la figura). Sus trayectorias de vuelo son 20° y 315°. Un avión está a 150 millas del punto P con una velocidad de 375 millas por hora. El otro se encuentra a 190 millas del punto P con una velocidad de 450 millas por hora.

1 y x 1 −1

20°

11. Sean a y b constantes positivas. Hallar el área de la región del primer cuadrante limitada por la gráfica de la ecuación polar ab r5 , sa sen sin u 1 b cos ud

p 0 ≤ u ≤ . 2

a) Mostrar que el área del triángulo es Asad 5

E

a

1 2

E

a

sec2 u du.

0

x

a) Hallar ecuaciones paramétricas para la trayectoria de cada avión donde t es tiempo en horas, y t 5 0 corresponde al instante en que el controlador de tráfico aéreo localiza a los aviones. b) Emplear el resultado del inciso a) para expresar la distancia entre los aviones como función de t.

sec2 u du.

0

c) Usar el inciso b) para deducir la fórmula para la derivada de la función tangente. y

1

(−1, 0)

(1, 0) x

α

150 millas 45° P

12. Considerar el triángulo rectángulo de la figura.

b) Mostrar que tan a 5

190 millas

1

−1

1 −1

c) Usar una herramienta de graficación para representar la función del inciso b). ¿Cuándo será mínima la distancia entre los aviones? Si los aviones deben conservar una distancia entre ellos de por lo menos tres millas, ¿se satisface este requerimiento? 16. Usar una herramienta de graficación para trazar la curva que se muestra abajo. La curva está dada por r 5 e cos u 2 2 cos 4u 1 sen sin55

u . 12

¿Sobre qué intervalo debe variar u para generar la curva? Figura para 12

Figura para 13

13. Determinar la ecuación polar del conjunto de todos los puntos sr, ud, el producto de cuyas distancias desde los puntos s1, 0d y s21, 0d es igual a 1, como se observa en la figura. 14. Cuatro perros se encuentran en las esquinas de un cuadrado con lados de longitud d. Todos los perros se mueven en sentido contrario al de las manecillas del reloj a la misma velocidad y en dirección al siguiente perro, como se muestra en la figura. Hallar la ecuación polar de la trayectoria de un perro a medida que se acerca en espiral hacia el centro del cuadrado. d

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre esta curva, consultar el artículo “A Study in Step Size” de Temple H. Fay en Mathematics Magazine. d

d

d

17. Usar una herramienta de graficación para representar la ecuación polar r 5 cos 5u 1 n cos u, para 0 ≤ u < p y para los enteros desde n 5 25 hasta n 5 5. ¿Qué valores de n producen la porción de la curva en forma de “corazón”? ¿Qué valores de n producen la porción de la curva en forma de “campana”? (Esta curva, creada por Michael W. Chamberlin, fue publicada en The College Mathematics Journal.)

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11 11 11

Vectors and the Vectores y la geometría Vectors and the Geometry of Space del espacio Geometry of Space

En capítulo se introducen Thiseste chapter introduces vectors los andvecthe tores y el sistema de coordenadas tridithree-dimensional coordinate system. mensional. vectores se usan para This chapter introduces vectors and the Vectors are Los used to represent lines and representar rectas y planos, y también three-dimensional coordinate system. planes, and are also used to represent para representar cantidades como fuerza Vectors aresuch usedasto represent lines and quantities force and velocity. The ythree-dimensional velocidad. Elalso sistema de coordenadas planes, and are used to represent coordinate system is used tridimensional se force utiliza para representar quantities such as and The to represent surfaces such asvelocity. ellipsoids and superficies como elipsoides y conos three-dimensional coordinate system is used elliptical cones. Much of the materialelípticos. parte delsuch material enonlos to surfaces as ellipsoids and in represent the Gran remaining chapters relies ancapítulos restantes se fundamenta en el elliptical cones. Much of the material understanding of this system. entendimiento este sistema. in the remainingdechapters relies on an In this chapter, you should learn the understanding of this system. En este capítulo, se aprenderá: following. In chapter, youvectores, should learn theopen this Cómo escribir realizar ■ How to write vectors, perform basic following. raciones vectoriales básicas y repre■ vector represent sentar operations, vectores de and manera gráfica. ■ How to write vectors, perform basic vectors graphically. ( 11.1 ) (11.1) operations, and represent ■ vector ■ How to plot points in a three-dimensional graphically. ( 11.1 ) n vectors Cómo determinar en unvectors sistecoordinate system puntos and analyze ma de coordenadas tridimensional y ■ How to plot points in a three-dimensional in space. (11.2) analizar vectores espacio.vectors (11.2) coordinate system en andelanalyze ■ How to find the dot product of two space. (11.2) el producto escalar n in Cómo encontrar vectors (in the plane or in space). (11.3) de dos vectores (en product el planoofy two en el ■ How to find the dot ■ How to find the cross product of two espacio). ( 11.3 ) vectors (in the plane or in space). (11.3) vectors (in space). (11.4) n How Cómo el producto vectorial ■ toencontrar find the cross product of two de ■ How to find equations of lines and planes dos vectores (en el (espacio). vectors (in space). 11.4) (11.4) in space, and how to sketch their graphs. n How las ecuaciones ■ find equations of lines anddeplanes (Cómo 11.5to ) encontrar y planos espacio, y cómo inrectas space, and howentoelsketch their graphs. ■ How to recognize and write equations (dibujar 11.5) sus gráficas. (11.5) of cylindrical and quadric surfaces and n How Cómo y escribir ecuaciones ■ to reconocer recognize and write equations of surfaces of revolution. (11.6 ) decylindrical superficiesand cilíndricas y cuadráticas of quadric surfaces and ■ How to use cylindrical and spherical y surfaces las superficies de revolución. of of revolution. (11.6) (11.6) coordinates to represent surfaces in n How Cómo cilíndricas ■ to(utilizar use cylindrical and spherical space. 11.7 ) coordenadas y esféricas para representar superficies coordinates to represent surfaces in en el espacio. ( 11.7 ) space. (11.7)

Mark Hunt/Hunt Stock

Dos remolcadores están empujando un barco trasatlántico, comoboat se muestra en la Two tugboats are pushing an ocean liner, as shown above. Each is exerting Mark Hunt/Hunt Stock foto. Cada barco ejerceWhat una fuerza de 400 libras. ¿Cuál la fuerza en el ■a force of 400 pounds. is the resultant force on the es ocean liner?resultante (See Two tugboats pushing an sección ocean liner, shown above. Each boat is exerting barco trasatlántico? (Ver 11.1,asejemplo 7.) Section 11.1,are Example 7.)la ■ a force of 400 pounds. What is the resultant force on the ocean liner? (See Section 11.1, Example 7.)

v

v u

u

u

u v

v

u u

v u+v u+v

v

Vectors indicate quantities that involve both magnitude and direction. In Chapter 11, you will study operations of vectors in the plane and in space. You will also learn how to represent vector operations geometrically. For example, the graphs Los vectores indican cantidades que implican tanto magnitud como dirección. capítulo 11 se estudiarán operaVectors indicate quantities thataddition involve both and direction. In Chapter En 11,elyou will study operations of vectors shown above represent vector in themagnitude plane. ciones de vectores el plano y enalso el espacio. También se aprenderá cómo representar operaciones de vectores de in the plane and in en space. You will learn how to represent vector operations geometrically. For example, the graphs manera geométrica. Porvector ejemplo, las gráficas que se muestran arriba representan adición de vectores en el plano. shown above represent addition in the plane.

763 763 763

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CAPÍTULO 11

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Vectores y la geometría del espacio

11.1 Vectores en el plano n n n n

Expresar un vector mediante sus componentes. Realizar operaciones vectoriales e interpretar los resultados geométricamente. Expresar un vector como combinación lineal de vectores unitarios estándar o canónicos. Usar vectores para resolver problemas de fuerza o velocidad.

Las componentes de un vector Q

Muchas cantidades en geometría y física, como el área, el volumen, la temperatura, la masa y el tiempo, se pueden caracterizar por medio de un solo número real en unidades de medición apropiadas. Estas cantidades se llaman escalares, y al número real se le llama escalar. Otras cantidades, como la fuerza, la velocidad y la aceleración, tienen magnitud y dirección y no pueden caracterizarse completamente por medio de un solo número real. Para representar estas cantidades se usa un segmento de recta dirigido, como se muestra en la figura 11.1. El segmento de recta dirigido PQ tiene como punto inicial P y como punto final Q y su longitud (o magnitud) se denota por i PQ i. Segmentos de recta dirigidos que tienen la misma longitud y dirección son equivalentes, como se muestra en la figura 11.2. El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos que son equivalentes a un segmento de recta dirigido dado PQ es un vector en el plano y se denota por v 5 PQ . En los libros, los vectores se denotan normalmente con letras minúsculas, en negrita, como u, v y w. Cuando se escriben a mano, se suelen denotar por medio de letras con una flecha sobre ellas, como → u,→ v y→ w. Es importante notar que un vector en el plano se puede representar por medio de muchos segmentos de recta dirigidos diferentes, todos apuntando en la misma dirección y todos de la misma longitud.

Punto final PQ

P Punto inicial

Un segmento de recta dirigido

\

Figura 11.1

\

\

Segmentos de recta dirigidos equivalentes Figura 11.2

EJEMPLO 1

\

Representación de vectores por medio de segmentos de recta dirigidos

Sea v el vector representado por el segmento dirigido que va de (0, 0) a (3, 2), y sea u el vector representado por el segmento dirigido que va de (1, 2) a (4, 4). Mostrar que v y u son equivalentes. Solución Sean P(0, 0) y Q(3, 2) los puntos inicial y final de v, y sean R(l, 2) y S(4, 4) los puntos inicial y final de u, como se muestra en la figura 11.3. Para mostrar que PQ y RS tienen la misma longitud se usa la fórmula de la distancia. \

y

i PQ i 5 !s3 2 0d 2 1 s2 2 0d 2 5 !13

Longitud de PQ .

i RS i 5 !s4 2 1d 2 1 s4 2 2d 2 5 !13

Longitud de RS .

\

\

(4, 4)

4

S

(3, 2)

(1, 2) R

1

\

Pendiente de PQ 5

Q

v

x 2

3

4

Pendiente de RS 5 \

Los vectores u y v son iguales Figura 11.3

\

220 2 5 320 3

y \

P (0, 0) 1

\

Los dos segmentos tienen la misma dirección, porque ambos están dirigidos hacia la derecha y hacia arriba sobre rectas que tienen la misma pendiente.

u

3

2

\

422 2 5 421 3

\

Como PQ y RS tienen la misma longitud y la misma dirección, se concluye que los dos vectores son equivalentes. Es decir, v y u son equivalentes.

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SECCIÓN 11.1

y

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El segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen a menudo se considera el representante más adecuado de un conjunto de segmentos de recta dirigidos equivalentes como los que se muestran en la figura 11.3. Se dice que esta representación de v está en la posición canónica o estándar. Un segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen puede representarse de manera única por medio de las coordenadas de su punto final Qsv1, v2 d, como se muestra en la figura 11.4.

4

3

(v1, v2) 2

Vectores en el plano

Q

DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO MEDIANTE SUS COMPONENTES

v

1

v = 〈v1, v2〉

(0, 0) P

x 1

2

3

4

Posición estándar de un vector

Si v es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es sv1, v2 d, entonces el vector v queda dado mediante sus componentes de la siguiente manera v 5 kv1, v2l.

Figura 11.4

Las coordenadas v1 y v2 son las componentes de v. Si el punto inicial y el punto final están en el origen, entonces v es el vector cero (o vector nulo) y se denota por 0 5 k0, 0l. Esta definición implica que dos vectores u 5 ku1, u 2 l y v 5 kv1, v2 l son iguales si y sólo si u1 5 v1 y u 2 5 v2. Los procedimientos siguientes pueden usarse para convertir un vector dado mediante un segmento de recta dirigido en un vector dado mediante sus componentes o viceversa. 1. Si P s p1, p2 d y Q sq1, q2 d son los puntos inicial y final de un segmento de recta dirigido, el vector v representado por PQ , dado mediante sus componentes, es kv1, v2l 5 kq1 2 p1, q2 2 p2 l. Además, de la fórmula de la distancia es posible ver que la longitud (o magnitud) de v es \

i v i 5 !sq1 2 p1 d 2 1 sq2 2 p2 d 2 5 !v12 1 v22 .

Longitud de un vector.

2. Si v 5 kv1, v2l, v puede representarse por el segmento de recta dirigido, en la posición canónica o estándar, que va de Ps0, 0d a Q sv1, v2 d. A la longitud de v también se le llama la norma de v. Si i v i 5 1, v es un vector unitario. Y i v i 5 0 si y sólo si v es el vector cero 0. y

EJEMPLO 2

Hallar las componentes y la longitud de un vector

Q (−2, 5) 6

Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene el punto inicial (3, 27) y el punto final (22, 5).

4

x −6

−4

−2

2 −2

4

6

v

v1 5 q1 2 p1 5 22 2 3 5 25

−4

v2 5 q2 2 p2 5 5 2 s27d 5 12.

−6

P (3, −7) −8

Vector v dado por medio de sus componentes: v 5 k25, 12l Figura 11.5

Solución Sean Ps3, 27d 5 s p1, p2 d y Qs22, 5d 5 sq1, q2 d. Entonces las componentes de v 5 kv1, v2 l son

Así, como se muestra en la figura 11.5, v 5 k25, 12l, y la longitud de v es i v i 5 !s25d 2 1 122 5 !169 5 13.

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CAPÍTULO 11

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Operaciones con vectores DEFINICIÓN DE LA SUMA DE VECTORES Y DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Sean u 5 ku1, u2 l y v 5 kv1, v2 l vectores y sea c un escalar.

v

1 v 2

2v

3 − v −v 2

1. La suma vectorial de u y v es el vector u 1 v 5 ku1 1 v1, u2 1 v2l. 2. El múltiplo escalar de c y u es el vector cu 5 kcu1, cu 2l. 3. El negativo de v es el vector 2v 5 s21dv 5 k2v1, 2v2 l. 4. La diferencia de u y v es u 2 v 5 u 1 s2vd 5 ku1 2 v1, u2 2 v2l.

La multiplicación escalar por un vector v Figura 11.6

Geométricamente, el múltiplo escalar de un vector v y un escalar c es el vector que tiene c veces la longitud de v, como se muestra en la figura 11.6. Si c es positivo, cv tiene la misma dirección que v. Si c es negativo, cv tiene dirección opuesta. La suma de dos vectores puede representarse geométricamente colocando los vectores (sin cambiar sus magnitudes o sus direcciones) de manera que el punto inicial de uno coincida con el punto final del otro, como se muestra en la figura 11.7. El vector u 1 v, llamado el vector resultante, es la diagonal de un paralelogramo que tiene u y v como lados adyacentes.

||

v u+v u

u

u+v

u


v

v

Para hallar u 1 v,

1) hacer coincidir el punto inicial de v con el punto final de u, o bien

Figura 11.7

2) hacer coincidir el punto inicial de u con el punto final de v

WILLIAM ROWAN HAMILTON (1805-1865) Algunos de los primeros trabajos con vectores fueron realizados por el matemático irlandés William Rowan Hamilton. Hamilton dedicó muchos años a desarrollar un sistema de cantidades semejantes a vectores llamados cuaterniones. Aunque Hamilton estaba convencido de las ventajas de los cuaterniones, las operaciones que definió no resultaron ser buenos modelos para los fenómenos físicos. No fue sino hasta la segunda mitad del siglo XIX cuando el físico escocés James Maxwell (1831-1879) reestructuró la teoría de los cuaterniones de Hamilton dándole una forma útil para la representación de cantidades como fuerza, velocidad y aceleración.

La figura 11.8 muestra la equivalencia de las definiciones geométricas y algebraicas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar y presenta (en el extremo derecho) una interpretación geométrica de u 2 v. (ku1, ku2) (u1 + v1, u2 + v2) (u1, u2)

ku

u+v

ku2

u

u2 v2

v1

Suma vectorial Figura 11.8

u1

u + (−v)

u1

u−v

u

u2

u (v1, v2) v

−v

(u1, u2)

v

ku1

Multiplicación escalar

Sustracción de vectores

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SECCIÓN 11.1

EJEMPLO 3


767

Operaciones con vectores

Dados v 5 k22, 5l y w 5 k3, 4l, encontrar cada uno de los vectores. 1

b) w 2 v

a) 2 v

c) v 1 2w

Solución a) 12v 5

k 12s22d, 12s5dl 5 k 21, 52l

b) w 2 v 5 kw1 2 v1, w2 2 v2 l 5 k3 2 s22d, 4 2 5l 5 k5, 21l c) Usando 2w 5 k6, 8l, se tiene v 1 2w 5 k22, 5l 1 k6, 8l 5 k22 1 6, 5 1 8l 5 k4, 13l. La suma de vectores y la multiplicación por un escalar comparten muchas propiedades con la aritmética ordinaria, como se muestra en el teorema siguiente.

TEOREMA 11.1 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES Sean u, v y w los vectores en el plano, y sean c y d escalares. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

u1v5v1u su 1 vd 1 w 5 u 1 sv 1 wd u105u u 1 s2ud 5 0 csdud 5 scd du sc 1 d du 5 cu 1 du csu 1 vd 5 cu 1 cv 1sud 5 u, 0sud 5 0

Propiedad conmutativa. Propiedad asociativa. Propiedad de la identidad aditiva. Propiedad del inverso aditivo.

Propiedad distributiva. Propiedad distributiva.

DEMOSTRACIÓN La demostración de la propiedad asociativa de la suma de vectores utiliza la propiedad asociativa de la suma de números reales.

su 1 vd 1 w 5 fku1, u2l 1 kv1, v2lg 1 kw1, w2l 5 ku1 1 v1, u2 1 v2 l 1 kw1, w2 l 5 ksu1 1 v1d 1 w1, su2 1 v2 d 1 w2l 5 ku1 1 sv1 1 w1d, u2 1 sv2 1 w2 dl 5 ku1, u2 l 1 kv1 1 w1, v2 1 w2 l 5 u 1 sv 1 wd Asimismo, la demostración de la propiedad distributiva de la multiplicación escalar depende de la propiedad distributiva para los números reales.

sc 1 ddu 5 sc 1 ddku1, u2l 5 ksc 1 dd u1, sc 1 dd u2 l 5 kcu1 1 du1, cu 2 1 du 2 l 5 kcu1, cu 2l 1 kdu1, du 2 l 5 cu 1 du Las otras propiedades pueden demostrarse de manera similar.

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CAPÍTULO 11

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Cualquier conjunto de vectores (junto con un conjunto de escalares) que satisfaga las ocho propiedades dadas en el teorema 11.1 es un espacio vectorial.* Las ocho propiedades son los axiomas del espacio vectorial. Por tanto, este teorema establece que el conjunto de vectores en el plano (con el conjunto de los números reales) forma un espacio vectorial. TEOREMA 11.2 LONGITUD DE UN MÚLTIPLO ESCALAR Sea v un vector y sea c un escalar. Entonces

||

i c v i 5 c i v i. EMMY NOETHER (1882-1935)

La matemática alemana Emmy Noether contribuyó a nuestro conocimiento de los sistemas axiomáticos. Noether generalmente se reconoce como la principal matemática de la historia reciente.

DEMOSTRACIÓN

|c| es el valor absoluto de c.

Como cv 5 kcv1, cv2l, se tiene que

i cv i 5 ikcv1, cv2 li 5 !scv1d 2 1 scv2 d 2 5 !c 2 v12 1 c 2 v22 5 !c 2sv12 1 v22d

|| ||

5 c !v12 1 v22 5 c ivi. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información acerca de Emmy Noether, ver el artículo “Emmy Noether, Greatest Woman Mathematician” de Clark Kimberling en The Mathematics Teacher.

En muchas aplicaciones de los vectores, es útil encontrar un vector unitario que tenga la misma dirección que un vector dado. El teorema siguiente da un procedimiento para hacer esto. TEOREMA 11.3 VECTOR UNITARIO EN LA DIRECCIÓN DE v Si v es un vector distinto de cero en el plano, entonces el vector u5

v 1 5 v ivi ivi

tiene longitud 1 y la misma dirección que v.

Como 1yi v i es positivo y u 5 s1yi v id v, se puede concluir que u tiene la misma dirección que v. Para ver que i u i 5 1, se observa que DEMOSTRACIÓN

iui 5

i 1 i 1v i 2 v i

| |

1 ivi ivi 1 5 ivi ivi 5 1. 5

Por tanto, u tiene longitud 1 y la misma dirección que v. Al vector u del teorema 11.3 se le llama un vector unitario en la dirección de v. El proceso de multiplicar v por 1yi v i para obtener un vector unitario se llama normalización de v.

* Para más información sobre espacios vectoriales, ver Elementary Linear Algebra, 6a. ed., por Larson, Edwards y Falvo (Boston: Houghton Mifflin Company, 2009).

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SECCIÓN 11.1

EJEMPLO 4


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Hallar un vector unitario

Hallar un vector unitario en la dirección de v 5 k22, 5l y verificar que tiene longitud 1. Solución

Por el teorema 11.3, el vector unitario en la dirección de v es

7

8

v k22, 5l 1 22 5 5 5 k22, 5l 5 , . i v i !s22d2 1 s5d2 !29 !29 !29 Este vector tiene longitud 1, porque

y

!1 22292 1 1 5292 5 !294 1 2925 5 !2929 5 1.

v

2

!

u

2

!

Generalmente, la longitud de la suma de dos vectores no es igual a la suma de sus longitudes. Para ver esto, basta tomar los vectores u y v de la figura 11.9. Considerando a u y v como dos de los lados de un triángulo, se puede ver que la longitud del tercer lado es iu 1 v i, y se tiene

u+v

x

i u 1 v i ≤ i u i 1 i v i. La igualdad sólo se da si los vectores u y v tienen la misma dirección. A este resultado se le llama la desigualdad del triángulo para vectores. (En el ejercicio 91, sección 11.3, se pide demostrar esto.)

Desigualdad del triángulo Figura 11.9

Vectores unitarios canónicos o estándar A los vectores unitarios k1, 0l y k0, 1l se les llama vectores unitarios canónicos o estándar en el plano y se denotan por i 5 k1, 0l

y

j 5 k0, 1l

Vectores unitarios canónicos o estándar.

como se muestra en la figura 11.10. Estos vectores pueden usarse para representar cualquier vector de manera única, como sigue.

y

v 5 kv1, v2l 5 kv1, 0l 1 k0, v2 l 5 v1 k1, 0l 1 v2k0, 1l 5 v1i 1 v2 j

2

Al vector v 5 v1 i 1 v2 j se le llama una combinación lineal de i y j. A los escalares v1 y v2 se les llama las componentes horizontal y vertical de v. 1

j = 〈0, 1〉

EJEMPLO 5 i = 〈1, 0〉 x 1

2

Vectores unitarios canónicos o estándar i y j Figura 11.10

Expresar un vector como combinación lineal de vectores unitarios

Sea u el vector con punto inicial s2, 25d y punto final s21, 3d, y sea v 5 2i 2 j. Expresar cada vector como combinación lineal de i y j. a) u

b) w 5 2u 2 3v

Solución a) u 5 kq1 2 p1, q2 2 p2 l 5 k21 2 2, 3 2 s25dl 5 k23, 8l 5 23i 1 8j b) w 5 2u 2 3v 5 2s23i 1 8jd 2 3s2i 2 jd 5 26i 1 16j 2 6i 1 3j 5 212i 1 19j

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CAPÍTULO 11

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y

Si u es un vector unitario y u es el ángulo (medido en sentido contrario a las manecillas del reloj) desde el eje x positivo hasta u, el punto final de u está en el círculo unitario, y se tiene

(cos θ , senθ )

1

u

sen u l 5 cos u i 1 sen u 5 kcos u, sin sin u j

senθ θ x

−1

cos θ

1

Vector unitario.

como se muestra en la figura 11.11. Además, cualquier vector distinto de cero v que forma un ángulo u con el eje x positivo tiene la misma dirección que u y se puede escribir v 5 i v ikcos u, sen sin u l 5 i v i cos u i 1 i v i sen sin u j.

−1

EJEMPLO 6 Ángulo u desde el eje x positivo hasta el vector u

Escribir un vector de magnitud y dirección dadas

El vector v tiene una magnitud de 3 y forma un ángulo de 308 5 py6 con el eje x positivo. Expresar v como combinación lineal de los vectores unitarios i y j.

Figura 11.11

Solución Como el ángulo entre v y el eje x positivo es u 5 py6, se puede escribir lo siguiente. v 5 i v i cos u i 1 i v i sen sin u j 5 3 cos 5

p p i 1 3 sen sin j 6 6

3!3 3 i1 j 2 2

Aplicaciones de los vectores Los vectores tienen muchas aplicaciones en física e ingeniería. Un ejemplo es la fuerza. Un vector puede usarse para representar fuerza porque la fuerza tiene magnitud y dirección. Si dos o más fuerzas están actuando sobre un objeto, entonces la fuerza resultante sobre el objeto es la suma vectorial de los vectores que representan las fuerzas. EJEMPLO 7

Hallar la fuerza resultante

Dos botes remolcadores están empujando un barco, como se muestra en la figura 11.12. Cada bote remolcador está ejerciendo una fuerza de 400 libras. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el barco? Solución Usando la figura 11.12, se pueden representar las fuerzas ejercidas por el primer y segundo botes remolcadores como F1 5 400kcos 208, sen sin 208l 5 400 coss208d i 1 400 sen sins208d j

y

F2 5 400kcoss2208d, sen sins2208dl

400 cos(−20°) F2

−20° 400

5 400 coss208d i 2 400 sen sins208d j. 400 sen(−20°)

La fuerza resultante sobre el barco es x

F1 400 20°

400 sen(20°)

400 cos(20°)

Fuerza resultante sobre el barco ejercida por los dos remolcadores Figura 11.12

F 5 F1 1 F 2 5 f400 coss208d i 1 400 sen sins208d jg 1 f400 coss208d i 2 400 sen sins208d jg 5 800 coss208d i < 752i. Por tanto, la fuerza resultante sobre el barco es aproximadamente 752 libras en la dirección del eje x positivo.

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SECCIÓN 11.1

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En levantamientos topográficos y en la navegación, un rumbo es una dirección que mide el ángulo agudo que una trayectoria o línea de mira forma con una recta fija nortesur. En la navegación aérea, los rumbos se miden en el sentido de las manecillas del reloj en grados desde el norte.

y

N W

E

EJEMPLO 8

Hallar una velocidad

S

Un avión viaja a una altitud fija con un factor de viento despreciable, y mantiene una velocidad de 500 millas por hora con un rumbo de 330°, como se muestra en la figura 11.13a. Cuando alcanza cierto punto, el avión encuentra un viento con una velocidad de 70 millas por hora en dirección 45° NE (45° este del norte), como se muestra en la figura 11.13b. ¿Cuáles son la velocidad y la dirección resultantes del avión?

v1 120° x

Solución Usando la figura 11.13a, representar la velocidad del avión (solo) como a) Dirección sin viento

v1 500 cos120 i 500 sen sin120 j.

y

La velocidad del viento se representa por el vector

v2

v2 70 cos45 i 70 sen sin45 j.

N W

E

La velocidad resultante del avión (en el viento) es

S

v v1 v2 500 cos120 i 500 sen sin120 j 70 cos45 i 70 sen sin45 j 200.5i 482.5j.

v v1

Viento

Para encontrar la velocidad y la dirección resultantes, escribir v v cos i sen sin j. Como v 200.52 482.52 522.5, se puede escribir

θ x

v 522.5 b) Dirección con viento

482.5 i j 522.5, cos112.6 i sen sin112.6 j . 200.5 522.5 522.5

La nueva velocidad del avión, alterada por el viento, es aproximadamente 522.5 millas por hora en una trayectoria que forma un ángulo de 112.6° con el eje x positivo.

Figura 11.13

11.1 Ejercicios En los ejercicios 1 a 4, a) dar el vector v mediante sus componentes y b) dibujar el vector con su punto inicial en el origen. 1.

2.

y

(5, 4) 4 3

v

2

(1, 2)

y

5. u: 3, 2 , 5, 6

(3, 4)

4 3 2 1

v x

−1 −2

−1

1

2

3.

3

4

5

2

(3, −2)

2

4

2

v (−4, − 3) −6

(2, −3)

v: 3, 10 , 9, 5

1 , 7, 7 4,

1 , 11,

4

v: 10, 13 , 25, 10

4

x

− 4 −2

v: 2, 8. u:

2

En los ejercicios 9 a 16, se dan los puntos inicial y final de un vector v. a) Dibujar el segmento de recta dirigido dado, b) expresar el vector mediante sus componentes, c) expresar el vector como la combinación lineal de los vectores unitarios estándar i y j y d) dibujar el vector con el punto inicial en el origen.

y

(−1, 3)

4, 0 , 1, 8

4 5 6

1 2

4.

y

6. u:

v: 1, 4 , 3, 8 7. u: 0, 3 , 6,

1 x

En los ejercicios 5 a 8, hallar los vectores u y v cuyos puntos inicial y final se dan. Mostrar que u y v son equivalentes.

Punto inicial

v (2, 1)

Punto final

Punto inicial

Punto final

1 x

−2

−1

1

2

9. 2, 0 11. 8, 3

5, 5 6,

1

10. 4,

6

3, 6

12. 0,

4

5,

1

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CAPÍTULO 11

Punto inicial 13. 6, 2 15.

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3 4 2, 3

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Punto final

Punto inicial

6, 6

14. 7, 1

3, 1

16. 0.12, 0.60

0.84, 1.25

1 2,

3

Punto final

En los ejercicios 17 y 18, dibujar cada uno de los múltiplos escalares de v. 17. v

3, 5

a) 2v

b)

3v

c)

7 2v

d)

a) 4v

b)

1 2v

c) 0v

2 3v

d)

a) u d)

b) v

uu

c) u v

vv

e)

f)

41. u 1, 1 v 1, 2

43. u 1,

1 2

uu vv

42. u 0, 1 v 3, 3

44. u 2, 4

v 2, 3

v 5, 5

En los ejercicios 45 y 46, representar gráficamente u, v y u + v. Después demostrar la desigualdad del triángulo usando los vectores u y v.

2, 3

18. v

En los ejercicios 41 a 44, hallar lo siguiente.

6v

En los ejercicios 19 a 22, usar la figura para representar gráficamente el vector.

45. u 2, 1 , v 5, 4

46. u 3, 2 , v 1, 2

En los ejercicios 47 a 50, hallar el vector v de la magnitud dada y en la misma dirección que u.

y

Magnitud v

u

x

19. u

20. 2u

21. u v

22. u 2v

24. u 3, 8

v 2, 5

47. v

6

u

0, 3

48. v

4

u

1, 1

49. v

5

u

1, 2

50. v

2

u

3, 3

En los ejercicios 51 a 54, hallar las componentes de v dadas su magnitud y el ángulo que forma con el eje x positivo.

En los ejercicios 23 y 24, hallar a) 23 u, b) v ⴚ uu,y c) 2u ⴙ 5v. 23. u 4, 9

Dirección

v 8, 25

En los ejercicios 25 a 28, hallar el vector v donde u ⴝ 2, ⴚ1 y w ⴝ 1, 2 . Ilustrar geométricamente las operaciones vectoriales.

51. v

3,

0

52. v

5,

120

53. v

2,

150

54. v

4,

3.5

En los ejercicios 55 a 58, hallar las componentes de u + v dadas las longitudes de u y v y los ángulos que u y v forman con el eje x positivo. 55. u 1, u 0

56. u 4, u 0

v 3, v 45

25. v 32 u

26. v u w

27. v u 2w

28. v 5u 3w

57. u 2, u 4

v 2, v 60 58. u 5, u 0.5

v 1, v 2

En los ejercicios 29 y 30 se dan el vector v y su punto inicial. Hallar el punto final. 29. v 1, 3 ; punto inicial: (4, 2)

v 5, v 0.5


30. v 4, 9 ; punto inicial: (5, 3)

59. Explicar, con sus propias palabras, la diferencia entre un escalar y un vector. Dar ejemplos de cada uno.

En los ejercicios 31 a 36, encontrar la magnitud de v.

60. Describir geométricamente las operaciones de suma de vectores y de multiplicación de un vector por un escalar.

31. v

61. Identificar la cantidad como escalar o como vector. Explicar el razonamiento.

33. v 35. v

7i 4, 3 6i

5j

32. v

3i

34. v

12,

36. v

5

10i

3j

En los ejercicios 37 a 40, hallar el vector unitario en la dirección de v y verificar que tiene longitud 1. 37. v

3, 12

38. v

5, 15

39. v

3 5 2, 2

40. v

6.2, 3.4

a) La velocidad en la boca de cañón de un arma de fuego. b) El precio de las acciones de una empresa. 62. Identificar la cantidad como escalar o como vector. Explicar el razonamiento. a) La temperatura del aire en un cuarto. b) El peso de un automóvil.

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SECCIÓN 11.1

En los ejercicios 63 a 68, hallar a y b tales que v ⴝ au ⴙ bw, donde u ⴝ 1, 2 y w ⴝ 1, ⴚ1 . 63. v 2, 1

64. v 0, 3

65. v 3, 0

66. v 3, 3

67. v 1, 1

68. v 1, 7

En los ejercicios 69 a 74, hallar un vector unitario a) paralelo y b) normal a la gráfica de f en el punto dado. Después representar gráficamente los vectores y la función. Función

Punto

69. f x x2

3, 9 1, 4 1, 1 2, 8 3, 4 ,1 4

70. f x x2 5 71. f x x3 72. f x x3 73. f x 25 x 2

En los ejercicios 75 y 76, expresar v mediante sus componentes, dadas las magnitudes de u y de u + v y los ángulos que u y u + v forman con el eje x positivo. 75. u 1, 45

76. u 4, 30

u v 2 , 90

u v 6 , 120

77. Programación Se dan las magnitudes de u y v y los ángulos que u y v forman con el eje x positivo. Escribir un programa para una herramienta de graficación que calcule lo siguiente. b) u v

c) El ángulo que u v forma con el eje x positivo d) Utilizar el programa para encontrar la magnitud y la dirección de la resultante de los vectores indicados. y

80.

y

F3

y

F2 110° 2

2.5 3

F1

4

33°

200°

x

−125°

F3

3

140° x

2

−10° F1

F2

81. Fuerza resultante Fuerzas con magnitudes de 500 libras y 200 libras actúan sobre una pieza de la máquina a ángulos de 30° y 45°, respectivamente, con el eje x (ver la figura). Hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante. y

500 libras

180 N 30°

74. f x tan x

a) u v

79.

773


x

θ

−45°

275 N

x

200 libras

Figura para 81

Figura para 82

82. Análisis numérico y gráfico Fuerzas con magnitudes de 180 newtons y 275 newtons actúan sobre un gancho (ver la figura). El ángulo entre las dos fuerzas es de grados. a) Si 30, hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante. b) Expresar la magnitud M y la dirección de la fuerza resultante en funciones de , donde 0 180. c) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla.

␪

0

30

60

90

120

150

180

M 45

u

20° −50°

␣ x

32 v

d) Usar una herramienta de graficación para representar las dos funciones M y . e) Explicar por qué una de las funciones disminuye cuando aumenta mientras que la otra no.

Para discusión 78. Los puntos inicial y final del vector v son (3, –4) y (9, 1), respectivamente. a) Escribir v en forma de componentes. b) Escribir v como la combinación lineal de los vectores unitarios estándar i y j. c) Dibujar v con su punto inicial en el origen. d) Encontrar la magnitud de v. En los ejercicios 79 y 80, usar una herramienta de graficación para encontrar la magnitud y la dirección de la resultante de los vectores.

83. Fuerza resultante Tres fuerzas de magnitudes de 75 libras, 100 libras y 125 libras actúan sobre un objeto a ángulos de 30°, 45° y 120°, respectivamente, con el eje x positivo. Hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante. 84. Fuerza resultante Tres fuerzas de magnitudes de 400 newtons, 280 newtons y 350 newtons, actúan sobre un objeto a ángulos de 30°, 45° y 135°, respectivamente, con el eje x positivo. Hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante. 85. Para pensar Considerar dos fuerzas de la misma magnitud que actúan sobre un punto. a) Si la magnitud de la resultante es la suma de las magnitudes de las dos fuerzas, hacer una conjetura acerca del ángulo entre las fuerzas.

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CAPÍTULO Vectores la Geometry geometría del espacio Chapter 11 11 Vectors and ythe of Space

b) resultante conjeturaabout acer0, hacer (b)SiIflathe resultantdeoflas thefuerzas forces es is 0, make una a conjecture cathe delangle ángulo entre las between thefuerzas. forces.

20° 20°

NN 30°

WO

c) sermagnitude la magnitud resultante la suma de (c)¿Puede Can the of de thelaresultant bemayor greaterque than the sum las de las Explicar la respuesta. ofmagnitudes the magnitudes ofdos the fuerzas? two forces? Explain.

SS

86. gráfico Consider Considerar dosforces fuerzas k20, 0 0l F1 F1 520, 86. Razonamiento Graphical Reasoning two andy F2 10 cos , sen . a) (a)Hallar Find iFF11 1 FF22 i..

c) gráfica inciso determinar rangoofdethe la (c)Usar Uselathe grapheninel part (b)b)topara determine the elrange función. ¿Cuál y con obtiene? u seof function. Whatesissuitsmáximo maximum andqué forvalor whatde value does ¿Cuál es suWhat mínimo con qué valor se obtiene? it occur? is itsy minimum and de foruwhat value of does it occur? d) Explicar por qué la magnitud de la resultante nunca es 0. (d) Explain why the de magnitude of the resultant is never 87. Tres de los vértices un paralelogramo son (1, 2), (3,0. 1) y 4). Hallar lasoftres posibilidades para 1, cuarto 2 , 3, vértice 1 , and (ver 8, 4la. 87. (8, Three vertices a parallelogram are el figura). Find the three possible fourth vertices (see figure). yy 66 55 44 33 22 11

(8, (8,4) 4) (1, (1,2) 2) (3, (3,1) 1) xx

−4 −2 −1 − 4−3 − 3−2 −1

11 22 33 44 55 66 77 88 99 10 10

88. vectorestopara puntos deoftrisección del seg88. Usar Use vectors find encontrar the pointslos of trisection the line segment mento de recta con (1, 2) y (7, 5). 1, 2puntos 7, 5 . with endpoints and terminales Tensión de un cable En los ejercicios 90, usar la figura Cable Tension In Exercises 89 and 89 90,y use the figure to para determinar la tensión en cable cada supporting cable que sostiene la load. carga determine the tension in each the given dada. 89. 90. 89. 90. 2 in. 1 in. A A

50° 50° C C 3000 lb 3 000 libras

30° 30°

100 km/hr 100 km/h

100libras lb 100

b) de of la the resultante función de (b)Determinar Determine la themagnitud magnitude resultantcomo as a function of u. Usar de graficación para the representar la funUseuna a herramienta graphing utility to graph function for ción 0 para<0 2≤ .u < 2p.

B B

A

10 pulg

20 pulg

A

B B

24 in. 24 pulg C C 5000 lb 5 000 libras

91. Projectile Motion A gun with a muzzle velocity of 1200 feet 91. Movimiento un proyectil con the unahorizontal. velocidad en la per second isdefired at an angleUn of 6arma above Find boca de cañón 1 200 piescomponents por segundo a un ánguthe vertical anddehorizontal ofse thedispara velocity. de 6° Load sobre laTohorizontal. Encontrarcylindrical las componentes 92. lo Shared carry a 100-pound weight,horitwo zontal y vertical de la velocidad. workers lift on the ends of short ropes tied to an eyelet on the 92. Carga compartida Para llevar una pesa cilíndrica de 100 litop center of the cylinder. One rope makes a 20 angle away bras, los extremos de unas corfromdos the trabajadores vertical and sostienen the other makes a 30 angle (seesogas figure). tas a un rope’s aro en tension el centroif de parte superior cilindro. (a) atadas Find each thelaresultant force isdel vertical. Una soga forma un ángulo de 20° con la vertical y la otra forma (b) Find the vertical component of each worker’s force. un ángulo de 30° (ver la figura). a) Hallar la tensión de cada soga si la fuerza resultante es vertical. b) Hallar la componente vertical de la fuerza de cada trabajador.

EE

900 km/hr 900 km/h 32° 32°

Figura for para Figure 9292

45°45°

Figura for para Figure 9393

Navegación AUnplane aviónisvuela dirección 302°. of Su 302 velocidad 93. Navigation flyingen with a bearing . Its con respecto al airetoesthe de 900 por hora. viento speed with respect air iskilómetros 900 kilometers per El hour. Thea la altitud del avión viene del suroeste hora wind at the plane’s altitude is froma 100 the kilómetros southwest por at 100 (ver la figura). es lafigure). verdadera dirección deldirection avión y cuál kilometers per ¿Cuál hour (see What is the true of es su velocidad respecto suelo? the plane, and what is its al speed with respect to the ground? 94. Navigation Navegación A Unplane aviónflies vuela velocidad constanteofde400 400 at aa una constant groundspeed millas per por hour hora hacia el este, al suelo, y se encuentra miles due east and respecto encounters a 50-mile-per-hour con unfrom viento 50 millas por del compass noroeste. wind thedenorthwest. Findhora the proveniente airspeed and Encontrarthat la velocidad al aire y el rumbo permitirán direction will allowrelativa the plane to maintain itsque groundspeed al avión mantener su velocidad respecto al suelo y su dirección and eastward direction. hacia el este. True or False? In Exercises 95 –100, determine whether the ¿Verdaderoisotrue falso? En los a 100, why determinar statement or false. If ejercicios it is false,95explain or give sianla afirmación esshows verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o example that it is false. dar un ejemplo que demuestre que es falsa. 95. If u and v have the same magnitude and direction, then u and 95. Si u y v tienen la misma magnitud y dirección, entonces u y v v are equivalent. son equivalentes. 96. If u is a unit vector in the direction of v, then v v u. 96. Si u es un vector unitario en la dirección de v, entonces v 5 i v i u. 2 2 97. If is a unit vector, then u ai bj b 1. a 2 97. Si u 5 ai 1 bj es un vector unitario, entonces a 1 b 2 5 1. 98. a b. 2b. 98. If Si vv 5 ai entonces ai 1 bj bj 5 0, 0, then a5 a i i abj 2a.!2 a. 99. If Si aa 5 b, entonces b, then i 1 bj i 5 v have lathemisma 100. If same magnitud magnitudepero but direcciones opposite directions, Si uu and y v tienen opuestas, u uv 1 v0.5 0. then entonces 101. Demostrar que u 5 (cos q )i 2 (sen q )j y v 5 (sen q )i 1 (cos q )j cos i sen j and v sen i cos j 101. Prove that u son vectores unitarios para todo ángulo q . are unit vectors for any angle . 102. Geometría Usando vectores, demostrar que el segmento de 102. Geometry Using vectors,medios prove that the lados line segment joining recta que une los puntos de dos de un triángulo the midpoints of two sides of a triangle is parallel to, and es paralelo y mide la mitad de longitud, del tercer lado. onehalf the length of, the third side. 103. Geometría Usando vectores, demostrar que las diagonales de 103. Geometry Usingsevectors, that the diagonals of a un paralelogramo cortan aprove la mitad. parallelogram bisect each other. 104. Demostrar que el vector w 5 i u i v 1 i v i u corta a la mitad u v v u bisects the angle 104. Prove thatentre the uvector el ángulo y v. w between and u v. 105. Considerar el vector u 5 kx, yl. Describir el conjunto de todos 105. Consider the set of all points . Describe los puntosthe sx,vector yd talesu que ix,uyi 5 5. 5. x, y such that u

PPreparación U T N A M E X A Mdel CHA LLENGE examen

Putman

106. A coast artillery gun can fire at any angle of elevation 106. Un arma 0de and artillería disparada cualquier between fixed puede verticalserplane. If air aresistance 90 indea costa ángulo de elevación entre 0° y 90° en un plano vertical is neglected and the muzzle velocity is constant vfijo. 0 , Si se desprecia la resistencia del aire y la velocidad en la boca determine the set H of points in the plane and above the de cañón eswhich constante s5hit. v0d, determinar el conjunto H de horizontal can be puntos en el plano y sobre la horizontal que puede ser golThis problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. peado. © The Mathematical Association of America. All rights reserved. Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

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SECCIÓN 11.2

Coordenadas y vectores en el espacio

11.2 Coordenadas y vectores en el espacio n n n

Entender el sistema de coordenadas rectangulares tridimensional. Analizar vectores en el espacio. Utilizar vectores tridimensionales para resolver problemas de la vida real.

Coordenadas en el espacio z

Hasta este punto del texto ha interesado principalmente el sistema de coordenadas bidimensional. En buena parte de lo que resta del estudio del cálculo se emplea el sistema de coordenadas tridimensional. Antes de extender el concepto de vector a tres dimensiones, se debe poder identificar puntos en el sistema de coordenadas tridimensional. Se puede construir este sistema trazando en el origen un eje z perpendicular al eje x y al eje y. La figura 11.14 muestra la porción positiva de cada eje de coordenadas. Tomados por pares, los ejes determinan tres planos coordenados: el plano xy, el plano xz y el plano yz. Estos tres planos coordenados dividen el espacio tridimensional en ocho octantes. El primer octante es en el que todas las coordenadas son positivas. En este sistema tridimensional, un punto P en el espacio está determinado por una terna ordenada (x, y, z) donde x, y y z son:

Plano yz

Plano xz

y

Plano xy

x

Sistema de coordenadas tridimensional Figura 11.14

x 5 distancia dirigida que va del plano yz a P y 5 distancia dirigida que va del plano xz a P z 5 distancia dirigida que va del plano xy a P En la figura 11.15 se muestran varios puntos. z 6 5 4

(2, −5, 3)

3

(−2, 5, 4)

−6 −5 −4 −3

2 −8

1

−4

−2 3 4

(1, 6, 0)

8

y

5 6

(3, 3, −2)

x

Los puntos en el sistema de coordenadas tridimensional se representan por medio de ternas ordenadas

z

z

Figura 11.15 y

x

x

y

Sistema dextrógiro

Sistema levógiro

Figura 11.16

Un sistema de coordenadas tridimensional puede tener orientación levógira o dextrógira. Para determinar la orientación de un sistema, se puede imaginar de pie en el origen, con los brazos apuntando en dirección de los ejes x y y positivo y el eje z apuntando hacia arriba, como se muestra en la figura 11.16. El sistema es dextrógiro o levógiro dependiendo de qué mano queda apuntando a lo largo del eje x. En este texto, se trabaja exclusivamente con el sistema dextrógiro.

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CAPÍTULO 11

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z

(x2, y2, z2)

Q

d

z2 − z1 

P x

y

(x1, y1, z1)

(x2, y2, z1)

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Muchas de las fórmulas establecidas para el sistema de coordenadas bidimensional pueden extenderse a tres dimensiones. Por ejemplo, para encontrar la distancia entre dos puntos en el espacio, se usa dos veces el teorema pitagórico, como se muestra en la figura 11.17. Haciendo esto, se obtiene la fórmula de la distancia entre los puntos sx1, y1, z1d y sx2, y2, z 2 d. d 5 !sx2 2 x1d2 1 s y2 2 y1d2 1 sz2 2 z1d2

Fórmula de la distancia.

Distancia entre dos puntos en el espacio

EJEMPLO 1

Distancia entre dos puntos en el espacio

La distancia entre los puntos s2, 21, 3d y s1, 0, 22d es

Figura 11.17

d 5 !s1 2 2d2 1 s0 1 1d2 1 s22 2 3d2

Fórmula de la distancia.

5 !1 1 1 1 25 5 !27 5 3!3. Una esfera con centro en sx0 , y0 , z0d y radio r está definida como el conjunto de todos los puntos sx, y, zd tales que la distancia entre sx, y, zd y sx0 , y0 , z0d es r. Se puede usar la fórmula de la distancia para encontrar la ecuación canónica o estándar de una esfera de radio r, con centro en sx0 , y0 , z0d. Si sx, y, zd es un punto arbitrario en la esfera, la ecuación de la esfera es

z

(x, y, z) r

sx 2 x0d2 1 s y 2 y0d2 1 sz 2 z 0 d2 5 r 2

(x0, y0, z0)

y

Ecuación de la esfera.

como se muestra en la figura 11.18. El punto medio del segmento de recta que une a los puntos sx1, y1, z1d y sx2, y2, z2d tiene coordenadas

x

Figura 11.18

1

x1 1 x2 y1 1 y2 z1 1 z2 , , . 2 2 2

2

Regla del punto medio.

Ecuación de una esfera

EJEMPLO 2

Hallar la ecuación canónica o estándar de la esfera que tiene los puntos (5, –2, 3) y (0, 4, –3) como extremos de un diámetro. Solución Según la regla del punto medio, el centro de la esfera es

15 12 0, 2221 4, 3 22 32 5 152, 1, 02.

Regla del punto medio.

Según la fórmula de la distancia, el radio es r5

!10 2 252

2

1 s4 2 1d2 1 s23 2 0d2 5

!974 5

!97

2

.

Por consiguiente, la ecuación canónica o estándar de la esfera es

1

x2

5 2

2

2

1 s y 2 1d2 1 z2 5

97 . 4

Ecuación de la esfera.

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SECCIÓN 11.2


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Vectores en el espacio En el espacio los vectores se denotan mediante ternas ordenadas v 5 kv1, v2, v3l. El vector cero se denota por 0 5 k0, 0, 0l. Usando los vectores unitarios i 5 k1, 0, 0l, j 5 k0, 1, 0l,y k 5 k0, 0, 1l en la dirección del eje positivo z, la notación empleando los vectores unitarios canónicos o estándar para v es

z

〈v1, v2, v3〉 v 〈0, 0, 1〉

v 5 v1i 1 v2 j 1 v3k

k j 〈0, 1, 0〉 i

y

〈1, 0, 0〉

x

como se muestra en la figura 11.19. Si v se representa por el segmento de recta dirigido de Ps p1, p2, p3d a Qsq1, q2, q3d, como se muestra en la figura 11.20, las componentes de v se obtienen restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final, como sigue v 5 kv1, v2, v3 l 5 kq1 2 p1, q2 2 p2, q3 2 p3 l

Los vectores unitarios canónicos o estándar en el espacio Figura 11.19

VECTORES EN EL ESPACIO Sean u 5 ku1, u2, u3 l y v 5 kv1, v2, v3 l vectores en el espacio y sea c un escalar.

z

Q(q1, q2, q3) P( p1, p2, p3)

1. Igualdad de vectores: u 5 v si y sólo si u1 5 v1, u2 5 v2,y u3 5 v3. 2. Expresión mediante las componentes: Si v se representa por el segmento de recta dirigido de Ps p1, p2, p3d a Qsq1, q2, q3d, entonces

v

v 5 kv1, v2, v3 l 5 kq1 2 p1, q2 2 p2, q3 2 p3 l. y

3. Longitud: ivi 5 !v12 1 v22 1 v32

x

v = 〈q1 − p1, q2 − p2, q3 − p3〉

1 2

v 1 5 kv1, v2, v3l, v Þ 0 ivi ivi 5. Suma de vectores: v 1 u 5 kv1 1 u1, v2 1 u2, v3 1 u3 l 6. Multiplicación por un escalar: cv 5 kcv1, cv2, cv3 l 4. Vector unitario en la dirección de v:

Figura 11.20 NOTA Las propiedades de la suma de vectores y de la multiplicación por un escalar dadas en el teorema 11.1 son también válidas para vectores en el espacio. n

EJEMPLO 3

Hallar las componentes de un vector en el espacio

Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene punto inicial s22, 3, 1d y punto final s0, 24, 4d. Después, hallar un vector unitario en la dirección de v. Solución El vector v dado mediante sus componentes es v 5 kq1 2 p1, q2 2 p2, q3 2 p3l 5 k0 2 s22d, 24 2 3, 4 2 1l 5 k2, 27, 3l lo cual implica que su longitud es ivi 5 !22 1 s27d2 1 32 5 !62. El vector unitario en la dirección de v es u

冬

冭

v 1 2 7 3 具2, 7, 3典 , , . 储v储冪62 冪62 冪62 冪62

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y

Recordar que en la definición de la multiplicación por un escalar se vio que múltiplos escalares positivos de un vector v distinto de cero tienen la misma dirección que v, mientras que múltiplos negativos tienen dirección opuesta a la de v. En general, dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si existe algún escalar c tal que u 5 cv. u = 2v w = −v

u

DEFINICIÓN DE VECTORES PARALELOS Dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si hay algún escalar c tal que u 5 cv.

v x

w

Por ejemplo, en la figura 11.21, los vectores u, v y w son paralelos porque u 5 2v y w 5 2v.

Vectores paralelos Figura 11.21

EJEMPLO 4

Vectores paralelos

El vector w tiene punto inicial s2, 21, 3d y punto final s24, 7, 5d. ¿Cuál de los vectores siguientes es paralelo a w? a) u 5 k3, 24, 21l b) v 5 k12, 216, 4l Solución Empezar expresando w mediante sus componentes. w 5 k24 2 2, 7 2 s21d, 5 2 3l 5 k26, 8, 2l a) Como u 5 k3, 24, 21l 5 2 12 k26, 8, 2l 5 2 12 w, se puede concluir que u es paralelo a w. b) En este caso, se quiere encontrar un escalar c tal que k12, 216, 4l 5 ck26, 8, 2l. 12 5 26c → c 5 22

216 5

8c → c 5 22

45

2

2c → c 5

Como no hay un c para el cual la ecuación tenga solución, los vectores no son paralelos. z

(1, − 2, 3)

EJEMPLO 5

P 4 2

Determinar si los puntos Ps1, 22, 3d, Qs2, 1, 0d,y Rs4, 7, 26d son colineales.

(2, 1, 0) Q

2

\

4 8

8

\

Solución Los componentes de PQ y PR son

6

6 x

Uso de vectores para determinar puntos colineales

y

PQ 5 k2 2 1, 1 2 s22d, 0 2 3l 5 k1, 3, 23l \

y PR 5 k4 2 1, 7 2 s22d, 26 2 3l 5 k3, 9, 29l. \

(4, 7, − 6) R

Los puntos P, Q y R están en la misma recta Figura 11.22

Estos dos vectores tienen un punto inicial común. Por tanto, P, Q y R están en la misma recta si y sólo si PQ y PR son paralelos. PQ y PR son paralelos ya que PR 5 3 PQ , como se muestra en la figura 11.22. \

\

\

\

\

\

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SECCIÓN 11.2

EJEMPLO 6


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Notación empleando los vectores unitarios canónicos

a) Expresar el vector v 5 4i 2 5k por medio de sus componentes. b) Hallar el punto final del vector v 5 7i 2 j 1 3k, dado que el punto inicial es Ps22, 3, 5d. Solución a) Como falta j, su componente es 0 y v 5 4i 2 5k 5 k4, 0, 25l. b) Se necesita encontrar Qsq1, q2, q3d tal que v 5 PQ 5 7i 2 j 1 3k. Esto implica que q1 2 s22d 5 7, q2 2 3 5 21,y q3 2 5 5 3. La solución de estas tres ecuaciones es q1 5 5, q2 5 2, y q3 5 8. Por tanto, Q es (5, 2, 8). \

Aplicación EJEMPLO 7 z

Una cámara de televisión de 120 libras está colocada en un trípode, como se muestra en la figura 11.23. Representar la fuerza ejercida en cada pata del trípode como un vector.

P (0, 0, 4)

(

Q3 − 3 , 1 , 0 2 2 Q1 (0, −1, 0)

)

Solución Sean los vectores F1, F2,y F3 las fuerzas ejercidas en las tres patas. A partir de la figura 11.23, se puede determinar que las direcciones de F1, F2,y F3 son las siguientes. \

y

Q2

( 23 , 12 , 0)

PQ 1 5 k0 2 0, 21 2 0, 0 2 4l 5 k0, 21, 24l \

PQ 2 5

x

Figura 11.23

Magnitud de una fuerza

\

7!23 2 0, 12 2 0, 0 2 48 5 7!23, 12, 248 7

PQ 3 5 2

!3

2

2 0,

8 7

8

!3 1 1 2 0, 0 2 4 5 2 , , 24 2 2 2

Como cada pata tiene la misma longitud, y la fuerza total se distribuye igualmente entre las tres patas, se sabe que iF1 i 5 iF2 i 5 iF3 i. Por tanto, existe una constante c tal que

7!23, 12, 248,

F1 5 ck0, 21, 24l, F2 5 c

y

7

F3 5 c 2

!3 1

2

8

, , 24 . 2

Sea la fuerza total ejercida por el objeto la dada por F 具0, 0, 120典. Entonces, usando el hecho que F 5 F1 1 F2 1 F3 se puede concluir que F1, F2,y F3 tienen todas una componente vertical de 240. Esto implica que cs24d 5 240 y c 5 10. Por tanto, las fuerzas ejercidas sobre las patas pueden representarse por F1 5 k0, 210, 240l F2 5 k 5!3, 5, 240l F3 5 k 25!3, 5, 240l.

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780

CAPÍTULO 11

780 780 780

Chapter 11 11 Chapter Chapter 11

Vectores y la geometría del espacio Vectors and and the the Geometry Geometry of of Space Space Vectors Vectors and the Geometry of Space

Ejercicios 11.2 11.2 Exercises 11.2 Exercises

See www.CalcChat.com www.CalcChat.com for for worked-out worked-out solutions solutions to to odd-numbered odd-numbered exercises. exercises. See See www.CalcChat.com www.CalcChat.com for for worked-out worked-out solutions solutions to to odd-numbered odd-numbered exercises. exercises. See

En los ejercicios 1 y 2, aproximar las coordenadas de los puntos. In Exercises Exercises 11 and and 2, 2, approximate approximate the the coordinates coordinates of of the the points. points. In z of the points. In1.Exercises 1 zand 2, approximate2.the coordinates B zz 1. 2. 1. 2. B 5 B 5 zz 1. 2. B B

3

4

−2 2 3

x

A

4

y

B 4 55 54 5 −4 3 4 −3 − 4 4 2 4 33−2 − 3− 4 344 332 − 2−−− 2 −−2−33 −2 22 −−22 −2 −2 1 2 y −2 A −2 11 22 yy x A 11 22 yy A xx A A xx

En ejercicios a 6, the representar en el mismo sisIn los Exercises 3– 6, 6,3 plot plot points on on los the puntos same three-dimensional three-dimensional In Exercises 3– the points the same tema de coordenadas tridimensional. In Exercises system. 3– 6, plot the points on the same three-dimensional coordinate coordinate system. coordinate system. 3.3. a)(a)s2,共2,1,1,3d3兲 2,2, 1d b)(b)s21, 1, 3. (a) 共2, 1, 3兲 (b) 共共1, 2, 11兲兲 3. a) (a) s共3,2,22, (b) s共321, 1, 3兲5d 2, 1d 兲 3 , 4, 22 4. b) 3, 2, 2, 55兲兲 4, 2 2 4. (a) (a) 共共3, (b) 共共32,, 4, 4. (b) 兲兲 332 共 3, 2, 5 兲 , 4, 2 4. (a) (b) 2 d s 5, 22, 22 d 兲 5.5. a)(a)s5,共5,22, b) 共兲 2 2 2, 22兲兲 5, 2, 2, 2 2 (b) 共共5, 兲 5. (a) 共5, 2, (b) 2d兲 5,0,2, 2兲共 5. a) (a) s共0,5,4,2, (b) s4, 25 5 d 6. b) 共 0, 4, 5 兲共 4, 0, 5 兲 6. (a) (b) 6. (a) 共0, 4, 5兲 (b) 共4, 0, 5兲 6. (a) 共0, 4, 5兲 (b) 共4, 0, 5兲 En ejercicios 7 afind 10, hallar las coordenadas del punto. In los Exercises 7–10, the coordinates coordinates of the the point. point. In Exercises 7–10, find the of In Exercises 7–10, find the coordinates of the point. punto detrás 7.7. ElThe yz-plano pointseis islocaliza located tres threeunidades units behind behind thedel plane, yz, fourcuatro units yz7. The point located three units the plane, four units aislaof derecha del units plano xz y units cinco unidades arriba del yz7. unidades The point located three behind the above plane, four units xzxyto the right the plane, and five the plane. to the right of the xz-plane, and five units above the xy-plane. plano to the xy. right of the xz-plane, and five units above the xy-plane. yz-plane, 8. The The point point is is located located seven seven units units in in front front of of the the yzplane, two two 8. 8. punto seisleft localiza siete unidades delante del yzplano yz,plane. dos 8. El The point located unitsand in one front of below the plane, two xz-plane, xyunits to the the of the theseven plane, unit the xzxyunits to left of and one unit below the plane. unidades la izquierda del plano xz yunit unabelow unidad del plane. xy-plane. units to thea left of the xz-plane, and one thedebajo x-axis, 9. The The point point is is located located on on the the xaxis, 12 12 units units in in front front of of the the 9. xy. is located x9. plano The point on the axis, 12 units in front of the point is located the front of the yzplane. yz-plane. 9. El plane.se localiza en el eje x, 12 unidades delante del plano yz. yz-punto plane. yz-plane, 10. The The point point is is located located in in the the yzplane, three three units units to to the the right right of of 10. 10. El punto seis en plano yz, tres unidades derecha 10. The The point islocaliza located inel the plane, three unitsato tolathe the right del of yzpoint located in the plane, three units right of xzxythe plane, and two units above the plane. the xz-plane, and two units above the xy-plane. plano y dosand unidades arriba delthe plano xy. xy-plane. the xz-xz plane, and two units units above the plane. the plane, two above z11. Think About It What is the coordinate of any any point point in in the the 11. Think About It What is the z-coordinate of 11. pensar es is coordenada z de puntoin el 11. Para Think About It It¿Cuál What islathe the coordinate oftodo any point point inenthe the z-coordinate Think About What of any xyplane? xy-plane? plano xy? xy-plane? plane? x-coordinate 12. Think Think About About It It What What is is the the xcoordinate of of any any point point in in the the 12. 12. pensar es is coordenada x de puntoin el 12. Para Think About It It¿Cuál What islathe the coordinate oftodo any point point inenthe the x-coordinate Think About What of any yz-plane? plane? yzplano yz? plane? yz-plane? x, y, y, zz冈冈 In Exercises Exercises 13–24, 13–24, determine determine the the location location of of aa point point 冇冇x, In In Exercises 13–24, determine the location location of aa point point 冇 x,punto y, z冈 In Exercises 13–24, determine the of En los ejercicios 13 a 24, determinar la localización de un that satisfies the condition(s). that satisfies the condition(s). thaty,satisfies satisfies the condition(s). condition(s). that the (x, z) que satisfaga la(s) condición(es). 66 22 13. zz 14. yy 13. 14. 13. z 6 14. y 2 55 13. 14. z 2 x 3 15. 16. 15. x 3 16. z 5 15. x 3 16. z 5222 15. 16. < 0 0 > 0 0 17. yy < 18. xx > 17. 18. 17. y < 0 18. x > 0 17. 18. > 4 4 19. yy 20. xx > 33 19. 20. y 3 19. 20. x > 4 19. 20. xy < 44 xy > > 0, 0, zz 3 3 < 0, 0, zz 21. xy 22. xy 21. 22. 21. xy > 0, z 3 22. xy < 0, z 4 21. 22. xyz < 0 > 0 xyz 23. 24. 23. xyz < 0 24. xyz > 0 23. xyz < 0 24. xyz > 0 23. 24. In Exercises Exercises 25–28, 25–28, find find the the distance distance between between the the points. points. In In Exercises Exercises 25–28, find the distance between the los points. In 25–28, distance between the points. En los ejercicios 25 afind 28, the hallar la distancia entre puntos. 0, 0, 0, 00兲兲,, 共共4, 4, 2, 2, 77兲兲 25. 共共0, 25. 25. 共0, 0, 0兲, 共4, 2, 7兲 25. 2, 3, 3, 22兲兲,, 共共2, 2, 5, 5, 2 2兲兲 26. 共共2, 26. 26. 共2, 3, 2兲, 共2, 5, 2兲 26. 1, 2, 2, 44兲兲,, 共共6, 6, 2, 2, 2 2兲兲 27. 共共1, 27. 27. 共1, 2, 4兲, 共6, 2, 2兲 27. 共 2, 2, 3 兲 , 4, 5, 6 兲共 28. 28. 共2, 2, 3兲, 共4, 5, 6兲 28. 共2, 2, 3兲, 共4, 5, 6兲 28.

ⱍⱍ ⱍ ⱍⱍ ⱍ

ⱍⱍ ⱍ ⱍⱍ ⱍ

En los ejercicios 29 a 32, hallar las longitudes de los lados del In Exercises Exercises 29–32, find que the lengths lengths of the the sides of of the thesi triangle triangle In find the of sides triángulo con29–32, los vértices se indican, y determinar el triánIn Exercises 29–32,vertices, find the the and lengths of the the sides sides of the the triangle In Exercises 29–32, find lengths of of triangle with the indicated determine whether the triangle with es theunindicated and determine whether the otriangle gulo triángulovertices, rectángulo, un triángulo isósceles, ninguwith the indicated indicated vertices, and triangle, determine whether the triangle triangle with the vertices, and determine is aaderight right triangle, an isosceles isosceles orwhether neither. the is triangle, triangle, or neither. na ambas cosas.an is aa right right triangle, triangle, an an isosceles isosceles triangle, triangle, or or neither. neither. is 0, 0, 0, 44兲兲,, 共共2, 2, 6, 6, 77兲兲,, 共共6, 6, 4, 4, 8 8兲兲 29. 共共0, 29. 29. 共0, 0, 4兲, 共2, 6, 7兲, 共6, 4, 8兲 29. 3, 4, 4, 11兲兲,, 共共0, 0, 6, 6, 22兲兲,, 共共3, 3, 5, 5, 66兲兲 30. 共共3, 30. 30. 共3, 4, 1兲, 共0, 6, 2兲, 共3, 5, 6兲 30. 1, 0, 2 兲 , 共 1, 5, 3, 1, 1, 11兲兲共 31. 31. 共1, 0, 2兲, 共1, 5, 22兲兲,, 共共3, 31. 共1, 0, 2兲, 共1, 5, 2兲, 共3, 1, 1兲 31. 4, 1, 1, 1 1兲兲,, 共共2, 2, 0, 0, 4 4兲兲,, 共共3, 3, 5, 5, 1 1兲兲 32. 共共4, 32. 32. 共4, 1, 1兲, 共2, 0, 4兲, 共3, 5, 1兲 32. 33. El triángulo del ejercicio 29 se cinco 33. Para Thinkpensar About It It The triangle triangle in Exercise Exercise 29 traslada is translated translated 33. Think About The in 29 is 33. Think Think About Itarriba Thea triangle triangle inDetermine Exercise 29 coordinates is translated translated 33. About It The in Exercise 29 is unidades hacia lo largo del eje z. Determinar las coorzfive units upward along the axis. the of five units upward along the z- axis. Determine the coordinates of five units upward alongtrasladado. the z- axis. axis. Determine Determine the the coordinates coordinates of of five upward along the denadas del triángulo the units translated triangle. the translated triangle. the translated translated triangle. triangle. the 34. El triángulo del in ejercicio 30 30 se is tres 34. Para Thinkpensar About It It The triangle triangle in Exercise 30 istraslada translated 34. Think About The Exercise translated 34. Think About It right Theaalong triangle in Exercise 30 is is the translated 34. Think About It The triangle in Exercise 30 translated unidades a la derecha lo largo del eje y. Determinar las coorythree units to the the axis. Determine coordithree units to the right along the y- axis. Determine the coordithree units totriángulo the right righttrasladado. along the y- axis. axis. Determine Determine the the coordicoordithree to the along the denadas natesunits of del the translated triangle. nates of the translated triangle. nates of of the the translated translated triangle. triangle. nates En los ejercicios 35 y 36, 36, find hallar coordenadas medio In Exercises Exercises 35 and and thelascoordinates coordinates of del the punto midpoint of In 35 36, find the of the midpoint of del segmento deand recta une los puntos. of In Exercises 35 and 36,que find the coordinates of the the midpoint midpoint of of In Exercises 35 36, find the coordinates the line segment joining the points. the line segment joining the points. the line line segment segment joining joining the the points. points. the 35. 36. 5, 29, 9, 777d兲兲,,, s共共22, 2, 3, 3, 333d兲兲 4, 0, 0, 26 6d兲兲,,, s共共8, 8, 8, 8, 20 20d兲兲 35. s共共5, 36. s共共4, 5, 9, 2, 3, 4, 0, 6 8, 8, 20 35. 36. 35. 共5, 9, 7兲, 共2, 3, 3兲 36. 共4, 0, 6兲, 共8, 8, 20兲 35. 36. En los ejercicios 40, hallar la ecuación estándar desphere. la esfera. In Exercises Exercises 37–37 40,afind find the standard standard equation of the the In 37– 40, the equation of sphere. In Exercises Exercises 37– 37– 40, 40, find find the the standard standard equation equation of of the the sphere. sphere. In 37. 38. 0, 2, 2, 555d兲兲 4, 21, 1, 111d兲兲 37. Centro: Center: s共共0, 38. Centro: Center: s共共4, 0, 2, 4, 1, 37. Center: 38. Center: 37. Center: Center: 38. Center: Center: 共4, 1, 1兲共0, 2, 5兲 37. 38. Radio: Radio: Radius:2 22 Radius:5 55 Radius: Radius: Radius: Radius: Radius: 22 Radius: 55 39. Puntos terminales de un diámetro: (2, 0, 0), 2, 0, 0, 00兲兲,, 共共0, 0, 6, 6, 00兲兲 (0, 6, 0) 39. Endpoints Endpoints of of aa diameter: diameter: 共共2, 39. 39. Endpoints of aa diameter: diameter: 共2, to 0, 兲, 共yz0, yz 6, 0兲 39. Endpoints of 40. tangente al 0the plano 3,2,2, 2,4), 40. Centro: Center: (23, tangent to plane 共共3, 44兲兲,, tangent 40. Center: the yzplane 40. Center: Center: 共3, 2, 4兲, tangent tangent to to the the yz- plane plane 40. En los ejercicios 41 a 44, completar el cuadrado para dar la In Exercises Exercises 41– 41– 44, 44, complete complete the the square square to to write write the the equation equation of of In ecuación de 41– la esfera en forma canónica o estándar. Hallarofel In Exercises 44, complete complete the square to write write theradius. equation In Exercises 41– 44, square to the equation of the sphere in in standard form.the Find the center center and the sphere standard form. Find the and radius. centro y el in radio. the sphere standard form. form. Find Find the the center center and and radius. radius. the sphere in standard 2 y 2 z 2 2x 6y 8z 1 0 x 41. 2 2 41. x22 y22 z222 2x 6y 8z 1 0 41. x 2 y 2 z 2 2x 6y 8z 1 0 41. yy2 zz2 9x 9x 2y 2y 10z 10z 19 19 00 42. xx2 42. 42. x22 y22 2z22 9x 2y 10z 19 0 42. 2 2 9x 9y 9z 6x 18y 1 43. 2 2 2 43. 9x 9y 9z 6x 18y 1 00 43. 9x222 9y222 9z222 6x 18y 1 0 43. 4y 4y 2 4z 4z 2 24x 24x 4y 4y 8z 8z 23 23 00 4x 2 44. 4x 44. 44. 4x 22 4y 22 4z 22 24x 4y 8z 23 0 44. In Exercises Exercises 45–48, 45–48, describe describe the the solid solid satisfying satisfying the the condition. condition. In En los ejercicios 45 adescribe 48, describir el sólido que satisface la conIn Exercises 45–48, the solid solid satisfying the condition. condition. In Exercises 45–48, describe the satisfying the 2 2 2 2 2 2 dición. x x y z 36 y z > 4 45. 46. 2 2 2 2 2 2 45. x y z 36 46. x y z > 4 45. x2222 y2222 z2222 36 46. x222 y222 z222 > 4 45. 46. yy 2 1 zz 2 ≤< < 36 4x 6y 6y 8z 8z46. 13 13 47. xx 2 1 45. x 1y 1z > 4 4x 47. 47. x 222 y 222 z 222 < 4x 6y 8z 13 47. z > 4x 6y 8z 13 48. 2 1 2 2 x y 1 < 4x 2 6y 1 8z 2 13 47. 48. x y z > 4x 6y 8z 13 48. x222 y222 z222 > 4x 6y 8z 13 48. 48. x 1 y 1 z > 24x 1 6y 2 8z 2 13 In Exercises Exercises 49–52, 49–52, (a) (a) find find the the component component form form of of the the vector vector v, v, In In Exercises 49–52, (a) find the component component formnotation, of the the vector v,v, In Exercises 49–52, (a) find the form of vector v, (b) write the vector using standard unit vector and (c) a) encontrar las componentes del vector En los ejercicios 49 a 52, (b) write the vector using standard unit vector notation, and (c) (b) writethe thevector vectorwith using standard unitatvector vector notation, and (c) (b) write the vector using unit notation, and (c) sketch itsstandard initial point thevector origin. b) escribir vector utilizando la notación unitario estánsketch theelvector with its initial point atdel the origin. sketch the vector with its initial point at the origin. sketch the vector with its initial point at the origin. dar y c) dibujar el vector con su punto inicial en el origen. 49. 50. 49. 50. 49. 50. 49. 50. z z 49. 50. 6

6

4

4

2

(4, 2, 1) 6 x

(4, 0, 3) 2

(2, 4, 3) v 6

y

v (0, 5, 1) 2

4 6 x

4

6

y

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SECCIÓN 11.2

z

51. 6 2

4

4

4

y

6

2 4

(3, 3, 0)

a) 具7, 6, 2典 v

4

(2, 3, 0)

6

b) 具14, 16, ⫺6典

y

6

x

b) 4j ⫹ 2k

72. z tiene el punto inicial 共5, 4, 1兲 y el punto final 共⫺2, ⫺4, 4兲.

(2, 3, 4)

2

v

2 6

a) ⫺6i ⫹ 8j ⫹ 4k

6

(0, 3, 3)

4

781

71. z tiene el punto inicial 共1, ⫺1, 3兲 y el punto final 共⫺2, 3, 5兲.

z

52.


En los ejercicios 73 a 76, usar vectores para determinar si los puntos son colineales.

x

En los ejercicios 53 a 56, hallar las componentes y la magnitud del vector v, dados sus puntos inicial y final. Después hallar un vector unitario en la dirección de v. Punto inicial 53. 共3, 2, 0兲 54. 共4, ⫺5, 2兲 55. 共⫺4, 3, 1兲 56. 共1, ⫺2, 4兲

共4, 1, 6兲共⫺1, 7, ⫺3兲共⫺5, 3, 0兲共2, 4, ⫺2兲

77. 共2, 9, 1兲, 共3, 11, 4兲, 共0, 10, 2兲, 共1, 12, 5兲 78. 共1, 1, 3兲, 共9, ⫺1, ⫺2兲, 共11, 2, ⫺9兲, 共3, 4, ⫺4兲

57. Punto inicial: 共⫺1, 2, 3兲

58. Punto inicial: 共2, ⫺1, ⫺2兲

Punto final: 共3, 3, 4兲

Punto final: 共⫺4, 3, 7兲

En los ejercicios 59 y 60, se dan el vector v y su punto inicial. Encontrar el punto final. 60. v ⫽ 具 1, 典 Punto inicial: 共0, 2, 52 兲 ⫺ 23, 12

En los ejercicios 61 y 62, hallar cada uno de los múltiplos escalares de v y representar su gráfica. b) ⫺v

a) ⫺v

b) 2v

3 c) 2v

d) 0v

1 c) 2v

5 d) 2v

En los ejercicios 63 a 68, encontrar el vector z, dado que u ⴝ 冬1, 2, 3冭, v ⴝ 冬2, 2, ⴚ1冭 y w ⴝ 具4, 0, ⴚ4典. 63. z ⫽ u ⫺ v

64. z ⫽ u ⫺ v ⫹ 2w

65. z ⫽ 2u ⫹ 4v ⫺ w

1 66. z ⫽ 5u ⫺ 3v ⫺ 2w

67. 2z ⫺ 3u ⫽ w

68. 2u ⫹ v ⫺ w ⫹ 3z ⫽ 0

En los ejercicios 69 a 72, determinar cuáles de los vectores son paralelos a z. Usar una herramienta de graficación para confirmar sus resultados. a) 具⫺6, ⫺4, 10典 4 10 b) 具 2, 3, ⫺ 3 典

En los ejercicios 79 a 84, hallar la longitud de v. 79. v ⫽ 具0, 0, 0典

80. v ⫽ 具1, 0, 3典

81. v ⫽ 3j ⫺ 5k

82. v ⫽ 2i ⫹ 5j ⫺ k

83. v ⫽ i ⫺ 2j ⫺ 3k

84. v ⫽ ⫺4i ⫹ 3j ⫹ 7k

En los ejercicios 85 a 88, hallar un vector unitario a) en la dirección de v y b) en la dirección opuesta a u. 85. v ⫽ 具2, ⫺1, 2典

86. v ⫽ 具6, 0, 8典

87. v ⫽ 具3, 2, ⫺5典

88. v ⫽ 具8, 0, 0典

89. Programación Se dan las componentes de los vectores u y v. Escribir un programa para una herramienta de graficación donde el resultado es a) las componentes de u ⫹ v, b) 储 u ⫹ v 储, c) 储 u 储, y d) 储 v 储. e) Ejecutar el programa para los vectores u ⫽ 具⫺1, 3, 4典 y v ⫽ 具5, 4.5, ⫺6典.

62. v ⫽ 具2, ⫺2, 1典

a) 2v

69. z ⫽ 具3, 2, ⫺5典

75. 共1, 2, 4兲, 共2, 5, 0兲, 共0, 1, 5兲

En los ejercicios 77 y 78, usar vectores para demostrar que los puntos son vértices de un paralelogramo.

En los ejercicios 57 y 58 se indican los puntos inicial y final de un vector v. a) Dibujar el segmento de recta dirigido, b) encontrar las componentes del vector, c) escribir el vector usando la notación del vector unitario estándar y d) dibujar el vector con su punto inicial en el origen.

61. v ⫽ 具1, 2, 2典

74. 共4, ⫺2, 7兲, 共⫺2, 0, 3兲, 共7, ⫺3, 9兲 76. 共0, 0, 0兲, 共1, 3, ⫺2兲, 共2, ⫺6, 4兲

Punto final

59. v ⫽ 具3, ⫺5, 6典 Punto inicial: 共0, 6, 2兲

73. 共0, ⫺2, ⫺5兲, 共3, 4, 4兲, 共2, 2, 1兲

Para discusión 90. Considerar dos vectores distintos de cero u y v, y sean s y t números reales. Describir la figura geométrica generada por los puntos finales de los tres vectores tv, u + tv y su + tv.

En los ejercicios 91 y 92, determinar los valores de c que satisfacen la ecuación. Sea u ⴝ i ⴙ 2 j ⴙ 3k y v ⴝ 2i ⴙ 2 j ⴚ k. 91. 储 cv 储 ⫽ 7

En los ejercicios 93 a 96, encontrar el vector v con la magnitud dada y en dirección de u.

1 2 3 70. z ⫽ 2i ⫺ 3j ⫹ 4k

a) 6i ⫺ 4j ⫹ 9k 4 3 b) ⫺i ⫹ 3j ⫺ 2k

c) 具6, 4, 10典

c) 12i ⫹ 9k

d) 具1, ⫺4, 2典

3 9 d) 4i ⫺ j ⫹ 8k

92. 储 cu 储 ⫽ 4

Magnitud

Dirección

93. 10

u ⫽ 具0, 3, 3典

94. 3

u ⫽ 具1, 1, 1典

3 2

u ⫽ 具2, ⫺2, 1典

96. 7

u ⫽ 具⫺4, 6, 2典

95.

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CAPÍTULO 11

Página 782


En los ejercicios 97 y 98, dibujar el vector v y dar sus componentes.

101. Sean u ⫽ i ⫹ j, v ⫽ j ⫹ k, y w ⫽ au ⫹ bv. a) Dibujar u y v. b) Si w ⫽ 0, demostrar que tanto a como b deben ser cero. c) Hallar a y b tales que w ⫽ i ⫹ 2j ⫹ k. d) Probar que ninguna elección de a y b da w ⫽ i ⫹ 2j ⫹ 3k.

105. Dar la ecuación canónica o estándar de una esfera de radio r, centrada en 共x0, y0, z0兲. 106. Dar la definición de vectores paralelos.

107. Sean A, B y C los vértices de un triángulo. Encontrar AB ⫹ BC ⫹ CA . \

\

\

108. Sean r ⫽ 具x, y, z典 y r0 ⫽ 具1, 1, 1典. Describir el conjunto de todos los puntos 共x, y, z兲 tales que 储r ⫺ r0 储 ⫽ 2. 109. Análisis numérico, gráfico y analítico Los focos en un auditorio son discos de 24 libras y 18 pulgadas de radio. Cada disco está sostenido por tres cables igualmente espaciados de L pulgadas de longitud (ver la figura).

45

50

110. Para pensar Suponer que cada cable en el ejercicio 109 tiene una longitud fija L ⫽ a, y que el radio de cada disco es r0 pulgadas. Hacer una conjetura acerca del límite lím lim T y jusr0 →a⫺ tificar la respuesta. 111. Diagonal de un cubo Hallar las componentes del vector unitario v en la dirección de la diagonal del cubo que se muestra en la figura. z

z 100

v


104. Dar la fórmula para la distancia entre los puntos 共x1, y1, z1兲 y 共x2, y2, z2兲.

40

e) Calcular la longitud mínima que debe tener cada cable, si un cable está diseñado para llevar una carga máxima de 10 libras.

102. Redacción Los puntos inicial y final del vector v son 共x1, y1, z1兲 y 共x, y, z兲. Describir el conjunto de todos los puntos 共x, y, z兲 tales que 储v储 ⫽ 4.

103. Un punto en el sistema de coordenadas tridimensional tiene las coordenadas 共x0, y0, z0兲. Describir qué mide cada una de las coordenadas.

35

d) Comprobar analíticamente las asíntotas obtenidas en el inciso c).

En los ejercicios 99 y 100, usar vectores para encontrar el punto que se encuentra a dos tercios del camino de P a Q. Q共6, 8, 2兲

30

c) Representar en la herramienta de graficación el modelo del inciso a) y determinar las asíntotas de su gráfica.

98. v está en el plano xz, tiene magnitud 5 y forma un ángulo de 45° con el eje z positivo.

100. P共1, 2, 5兲,

25

T

97. v está en el plano yz, tiene magnitud 2 y forma un ángulo de 30° con el eje y positivo.

99. P共4, 3, 0兲, Q共1, ⫺3, 3兲

20

L

−50 y

x

y

⏐⏐v⏐⏐ = 1

x

Figura para 111

75

Figura para 112

112. Cable de sujeción El cable de sujeción de una torre de 100 pies tiene una tensión de 550 libras. Usar las distancias mostradas en la figura, y dar las componentes del vector F que represente la tensión del cable. 113. Soportes de cargas Hallar la tensión en cada uno de los cables de soporte mostrados en la figura si el peso de la caja es de 500 newtons. z

45 cm D

C

70 cm B

65 cm

C

60 cm y

x

18 pies

115 cm A

D

A

B 6 pies

8 pies 10 pies

L

Figura para 113 18 pulg

a) Expresar la tensión T de cada cable en función de L. Determinar el dominio de la función. b) Usar una herramienta de graficación y la función del inciso a) para completar la tabla.

Figura para 114

114. Construcción de edificios Un muro de hormigón es sostenido temporalmente en posición vertical por medio de cuerdas (ver la figura). Hallar la fuerza total ejercida sobre la clavija en posición A. Las tensiones en AB y AC son 420 libras y 650 libras. 115. Escribir una ecuación cuya gráfica conste del conjunto de puntos P共x, y, z兲 que distan el doble de A共0, ⫺1, 1兲 que de B共1, 2, 0兲.

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SECCIÓN 11.3

El producto escalar de dos vectores

783

11.3 El producto escalar de dos vectores n n n n n

Usar las propiedades del producto escalar de dos vectores. Hallar el ángulo entre dos vectores usando el producto escalar. Hallar los cosenos directores de un vector en el espacio. Hallar la proyección de un vector sobre otro vector. Usar los vectores para calcular el trabajo realizado por una fuerza constante.

El producto escalar EXPLORACIÓN

Interpretación de un producto escalar En la figura se muestran varios vectores en el círculo unidad. Hallar los productos escalares de varios pares de vectores. Después encontrar el ángulo entre cada par usado. Hacer una conjetura sobre la relación entre el producto escalar de dos vectores y el ángulo entre los vectores. 90°

120°

Hasta ahora se han estudiado dos operaciones con vectores —la suma de vectores y el producto de un vector por un escalar— cada una de las cuales da como resultado otro vector. En esta sección se presenta una tercera operación con vectores, llamada el producto escalar. Este producto da como resultado un escalar, y no un vector. DEFINICIÓN DE PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de u 5 ku 1, u 2 l y v 5 kv1, v2 l es u ? v 5 u 1v1 1 u 2v2. El producto escalar de u 5 ku 1, u 2, u 3 l y v 5 kv1, v2, v3 l es u ? v 5 u 1v1 1 u 2v2 1 u 3v3.

60° 30°

150° 180°

0°

NOTA El producto escalar de dos vectores recibe este nombre debido a que da como resultado un escalar; también se le llama producto interno de los dos vectores. n

TEOREMA 11.4 PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 210°

330° 240°

Sean u, v y w vectores en el plano o en el espacio y sea c un escalar. 270°

300°

1. 2. 3. 4. 5.

u?v5v?u u ? sv 1 wd 5 u ? v 1 u ? w csu ? vd 5 cu ? v 5 u ? cv 0?v50 v ? v 5 i vi 2

DEMOSTRACIÓN

Propiedad conmutativa. Propiedad distributiva.

Para demostrar la primera propiedad, sea u 5 ku 1, u 2, u 3 l y v 5 7v1, v2, v38.

Entonces u ? v 5 u 1v1 1 u 2v2 1 u 3v3 5 v1u 1 1 v2u 2 1 v3u 3 5 v ? u. Para la quinta propiedad, sea v 5 kv1, v2, v3 l. Entonces v

? v 5 v12 1 v22 1 v32

5 s!v12 1 v22 1 v32 d 2 5 i vi2.

Se dejan las demostraciones de las otras propiedades al lector.

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CAPÍTULO 11

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Chapter 11


Vectors and the Geometry of Space

EJEMPLO 1

Cálculo de productos escalares

EXAMPLE 1 Finding Dot Products

Dados u 5 k2, 22l, v 5 k5, 8l, y w 5 k24, 3l, encontrar Given a) b) suv 5vdk5, u uv 5 k2, 22l, w 8l, and w 5 k24, 3l, find each of the following.

?

?

a. u v b. su ? 2vdw c) u ?? s2vd d) iwi c. u ? s2vd d. iwi 2 Solución Solution a) u ? vv 5 5 k2, k2, 22l 22l ? k5, k5, 8l 8l 5 5 22ss55dd 1 1 ss22 22ds ds88dd 5 5 26 26 a. u b) b. c) c. d) d.

?

?

u ?? vvddw w5 5 26k24, 26k24, 3l 3l 5 5 k24, k24, 218l 218l ssu u ?? ss2v 2vdd 5 5 22ssu u ?? vvdd 5 5 22ss26 26dd 5 5 212 212 u iwi 5 w ? w 5 k24, 3l ? k24, 3l 5 s24ds24d 1 s3ds3d 5 25

iwi22

Teorema Theorem 11.4. 11.4 Teorema Theorem 11.4. 11.4 Sustituir por k24, . Substitutewk24, 3l for3lw. Definition of productescalar. Definición deldot producto Simplify. Simplificar.

Notice that theelresult of part is a b) vector quantity, whereas the mientras results ofque thelos other Observar que resultado del(b) inciso es una cantidad vectorial, resultathreedeparts are scalar quantities. ■ dos los otros tres incisos son cantidades escalares.

Angle Between Two Vectors

Ángulo entre dos vectores

The angle between two nonzero vectors is the angle u, 0 # u # p, between their El ángulo standard entre dosposition vectores distintos de ceroinesFigure el ángulo 0 ≤ next u ≤ theorem p, entre sus respective vectors, as shown 11.24.u, The respectivos vectores en posición canónica o estándar, como se muestra en la figura 11.24. shows how to find this angle using the dot product. (Note that the angle between the El siguiente teorema muestra cómo encontrar este ángulo usando el producto escalar. zero vector and another vector is not defined here.) (Observar que el ángulo entre el vector cero y otro vector no está definido aquí.)

v−u v−u

u u

v θ θ

Origin Origen

The angle between two vectors El ángulo Figure 11.24entre dos vectores Figura 11.24

v

THEOREM 11.5 ANGLE BETWEEN TWO VECTORS TEOREMA 11.5 ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES If u is the angle between two nonzero vectors u and v, then Si u es el ángulo u entre ? v . dos vectores distintos de cero u y v, entonces cos u 5 iuui? ivi v cos u 5 . iui ivi PROOF Consider the triangle determined by vectors u, v, and v 2 u, as shown in Figure 11.24. By the Law of Cosines, you can write DEMOSTRACIÓN Considerar el triángulo determinado por los vectores u, v y v 2 u, como 2 iv 2 ui 5 figura i ui2 111.24. i vi2 Por 2 2iui ivi . se muestra en la la ley decos losucosenos, se puede escribir Using properties product, thecos leftu.side can be rewritten as 2 5 i ui2of1the 2 2 ivthe 2 ui i vidot 2iui ivi

iv 2 ui2 5 sv 2 ud sv 2 ud Usando las propiedades del? producto escalar, el lado izquierdo puede reescribirse como 5 sv 2 ud ? v 2 sv 2 ud ? u iv 2 ui2 5 sv 2 ud ? sv 2 ud 5v?v2u?v2v?u1u?u 5 v2 ud2u sv iui 2 u2 d ? u ? v? 2v 1 2 2 5 sivi 5v?v2u?v2v?u1u?u and substitution back into the Law of Cosines yields 5 ivi2 2 2u ? v 1 iui 2 ivi2 2 2u ? v 1 i ui2 5 i ui2 1 i vi2 2 2i ui ivi cos u y sustituyendo en la ley dev los cosenosi vi se cos obtiene 22u u ? 5 22iui ivi2 2 2u ? v 1 i ui2 5 i ui u ?2 v1 i vi2 2 2i ui ivi cos u cos u 5 . ■ i ui iv ii vi cos u 22u ? v 5 22iui cos u 5

u?v . iui iv i

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SECCIÓN 11.3

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Si el ángulo entre dos vectores es conocido, reescribiendo el teorema 11.5 en la forma u

? v 5 i u i iv i cos u

Forma alternativa del producto escalar.

se obtiene una manera alternativa de calcular el producto escalar. De esta forma, se puede ver que como iu i y iv i siempre son positivos, u ? v y cos u siempre tendrán el mismo signo. La figura 11.25 muestra las orientaciones posibles de los dos vectores. u v<0

Dirección opuesta θ

u

u

u v=0 u

θ

v

v

py 2 < u < p 2 1 < cos u < 0

u5p cos u 5 2 1

u v>0 u θ

θ

v

u 5 py 2 cos u 5 0

Misma dirección u

v

0 < u < py 2 0 < cos u < 1

v

u50 cos u 5 1

Figura 11.25

De acuerdo con el teorema 11.5, se puede ver que dos vectores distintos de cero forman un ángulo recto si y sólo si su producto escalar es cero; entonces se dice que los dos vectores son ortogonales. DEFINICIÓN DE VECTORES ORTOGONALES Los vectores u y v son ortogonales si u

? v 5 0.

NOTA Los términos “perpendicular”, “ortogonal” y “normal” significan esencialmente lo mismo: formar ángulos rectos. Sin embargo, es común decir que dos vectores son ortogonales, dos rectas o planos son perpendiculares y que un vector es normal a una recta o plano dado. n

De esta definición se sigue que el vector cero es ortogonal a todo vector u, ya que 0 ? u 5 0. Si 0 ≤ u ≤ p, entonces se sabe que cos u 5 0 si y sólo si u 5 py2. Por tanto, se puede usar el teorema 11.5 para concluir que dos vectores distintos de cero son ortogonales si y sólo si el ángulo entre ellos es py2. EJEMPLO 2

Hallar el ángulo entre dos vectores

Si u 5 k3, 21, 2l, v 5 k24, 0, 2l, w 5 k1, 21, 22l,y z 5 k2, 0, 21l, hallar el ángulo entre cada uno de los siguientes pares de vectores. a) u y v

b) u y w

c) v y z

Solución

u?v 212 1 0 1 4 28 24 5 5 5 iui ivi !14!20 ! ! ! 2 14 5 70 24 Como u ? v < 0, u 5 arccos < 2.069 radianes. !70

a) cos u 5

u?w 31124 0 5 5 50 iui iwi !14!6 !84 Como u ? w 5 0, u y w son ortogonales. Así, u 5 py2.

b) cos u 5

v?z 28 1 0 2 2 210 5 5 5 21 ivi i zi !20!5 !100 Por consiguiente, u 5 p. Observar que v y z son paralelos, con v 5 22z.

c) cos u 5

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CAPÍTULO 11

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Cosenos directores En el caso de un vector en el plano, se ha visto que es conveniente medir su dirección en términos del ángulo, medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde el eje x positivo hasta el vector. En el espacio es más conveniente medir la dirección en términos de los ángulos entre el vector v distinto de cero y los tres vectores unitarios i, j y k, como se muestra en la figura 11.26. Los ángulos a, b y g son los ángulos de dirección de v, y cos a , cos b y cos g son los cosenos directores de v. Como

z

k γ

v β

j

α

y

v

? i 5 iv i i i i cos a 5 i v i cos a

v

? i 5 kv1, v2, v3l ? k1, 0, 0l 5 v1

y

i

x

se sigue que cos a 5 v1yiv i. Mediante un razonamiento similar con los vectores unitarios j y k, se tiene

Ángulos de dirección Figura 11.26

cos a 5

v1 iv i

a es el ángulo entre v e i.

cos b 5

v2 iv i

b es el ángulo entre v y j.

cos g 5

v3 . iv i

g es el ángulo entre v y k.

Por consiguiente, cualquier vector v distinto de cero en el espacio tiene la forma normalizada v v v v 5 1 i 1 2 j 1 3 k 5 cos a i 1 cos b j 1 cos g k ivi iv i iv i iv i y como vyiv i es un vector unitario, se sigue que cos 2 a 1 cos 2 b 1 cos 2 g 5 1.

EJEMPLO 3

Cálculo de los ángulos de dirección

Hallar los cosenos y los ángulos directores del vector v 5 2i 1 3j 1 4k, y mostrar que cos 2 a 1 cos 2 b 1 cos 2 g 5 1. Solución

α = ángulo entre v e i β = ángulo entre v y j γ = ángulo entre v y k

4 3

γ v = 2i+ 3j + 4k

1

β

α 3 4

1

cos 2 a 1 cos 2 b 1 cos 2 g 5

2

x

3 4

y

5

Ángulo entre v e i.

b < 56.18

Ángulo entre v y j.

g < 42.08

Ángulo entre v y k.

4 9 16 1 1 29 29 29 29 29

5 1.

Ángulos de dirección de v Figura 11.27

a < 68.28

Además, la suma de los cuadrados de los cosenos directores es

1 2

v1 2 5 iv i !29 v 3 cos b 5 2 5 iv i !29 v 4 cos g 5 3 5 iv i !29 cos a 5

z

2

Como iv i 5 !22 1 32 1 42 5 !29, se puede escribir lo siguiente.

Ver figura 11.27.

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SECCIÓN 11.3


787

11.3 The DotProduct TwoVectors Vectors 787 11.3 The Dot ofof Two 11.3 DotDot Product ofProduct Two Vectors 787 11.3 The The Product of Two Vectors 787 787

Proyecciones y componentes vectoriales

w1 ww 11

w1 w1

w2

F

ww w w 2gravedad 22 La fuerza debida a la empuja la FF2 F F lancha contra la rampa y hacia abajo por The force dueto togravity gravity pulls theboat boat The force pulls the The force due to due gravity pulls boat rampa Thela force due to gravity pulls the the boat against the ramp and down the ramp. against the ramp and down the ramp. against the ramp and down the ramp. against the ramp and down the ramp. Figura 11.28

Figure 11.28 Figure Figure 11.28 11.28 Figure 11.28

Ya se hanProjections visto aplicaciones en las que se suman dos vectores para obtener un vector resulProjections and Vector Components and Vector Components Projections and Components Projections andVector Vector Components tante. Muchas aplicaciones en la física o en la ingeniería plantean el problema inverso: You have already seen applications intwo which twoare vectors are added You have already seen incomponentes which two vectors are totoproduce aa have already seen applications in which two vectors are added to produce a YouYou have already seen applications in de which vectors added toadded produce aproduce descomponer un vector dado en laapplications suma dos vectoriales. El ejemplo físiresultant vector. Many applications in physics and engineering pose the reverse resultant vector. Many applications in physics and engineering pose the reverse resultant vector. Many applications in physics and engineering pose the reverse resultant vector. Many applications in physics and engineering pose the reverse co siguiente permitirá comprender la utilidad de este procedimiento. problem—decomposing given vector into the sum two vector components. The problem—decomposing aagiven vector into the sum two vector problem—decomposing a given vector into sum of two vector components. The The problem—decomposing a given vector into thethe sum of two vector components. The Considerar una lancha sobre una rampa inclinada, como seofof muestra en lacomponents. figura 11.28. following physical example enables you to see the usefulness of this procedure. following physical example enables you to see the usefulness of this procedure. following physical example enables you to see the usefulness of this procedure. following physical example enables you to see the usefulness of this procedure. La fuerza F debida a la gravedad empuja la lancha hacia abajo de la rampa y contra la Consider boat onan aninclined inclined ramp, shown Figure 11.28. The due Consider boat on asas inin Figure 11.28. The force Consider afuerzas, boat inclined ramp, as shown in Figure 11.28. The force Fforce dueFFdue Consider a boat onaaon an inclined ramp, asramp, shown inshown Figure 11.28. The force F due rampa. Estas dos wan 1 y w2, son ortogonales; se les llama las componentes vectoto gravity pulls the boat down the ramp and against the ramp. These two forces, w1 1 to gravity pulls the boat down the ramp and against the ramp. These two forces, w to gravity pulls the boat down the ramp and against the ramp. These two forces, w to gravity pulls the boat down the ramp and against the ramp. These two forces, w riales de F. 1 1 and w , are orthogonal—they are called the vector components of F. and w , are orthogonal—they are called the vector components of F. , are orthogonal—they are called the vector components of F. 2 andand w2,ware orthogonal—they are called the vector components of F. 2 2 Componentes vectoriales de F. F 5 w1 1 w 2 F1 ww w ww2Vector Vectorcomponents components F Vector F w1 w w components of Fof F ofofFF F components 2 Vector 2 121 Las fuerzas w1 y w2 ayudan a analizar el efecto de la gravedad sobre la lancha. Por ejemThe forces ww1and andyou w2you help you analyze the effect gravity on thehacia boat. Forexample, example, The w you analyze the effect ofofon gravity on the boat. For forces w1 and analyze the effect of gravity on boat. For example, 2help TheThe forces wforces analyze the effect ofque gravity the boat. For example, plo, lawwfuerza necesaria para impedir la lancha sethe deslice abajo por w 2 help 1 and 21help 1 representa w indicates the force necessary to keep the boat from rolling down the ramp, whereas w indicates the force necessary to keep the boat from rolling down the ramp, w indicates the force necessary to keep the boat from rolling down the ramp, whereas 1 w indicates the force necessary to keep the boat from rolling down the ramp, whereas 1 la 1rampa, mientras que w2 representa la fuerza que deben soportar los neumáticos. whereas 1 w indicates the force that the tires must withstand. w indicates the force that the tires must withstand. indicates the force that the tires must withstand. 2 w 2w indicates the force that the tires must withstand. 2 2 2

DEFINICIÓN DE PROYECCIÓN Y DE LASAND COMPONENTES VECTORIALES DEFINITIONS OFPROJECTION PROJECTION ANDVECTOR VECTOR COMPONENTS DEFINITIONS OF AND COMPONENTS DEFINITIONS PROJECTION VECTOR COMPONENTS DEFINITIONS OFOF PROJECTION AND VECTOR COMPONENTS uMoreover, 5 1w w , udonde w visy Sean yu vLet vectores de cero. Sea Moreover, es a1 1is Let andnonzero benonzero nonzero vectors. let2w where vbe ww wwhere w2w ,where uvuand vdistintos u ,2paralelo vectors. let 1w and be vectors. Moreover, let u w is ww LetLet uu and v be nonzero vectors. Moreover, let w u1 21, where 1 1 w2, 1 1 is1 wparallel v, es ortogonal a como se muestra en la figura 11.29. parallel and orthogonal shown Figure 11.29. w2 2isisorthogonal v,v,asas parallel toto totoshown inin Figure 2 parallel v, and is w orthogonal to as v, shown as in Figure 11.29.11.29. to vto, and wv2v,w is,and to v, inshown Figure 11.29. 2 orthogonal 2

uofof vonto 1.1.A1. laprojection proyección o la vectorial lo 1.le iscalled called theprojection projection orthe the vector component along w1llama uvonto w uor vvcomponente 1. the orvector vector component ofuofuaualong w is called the u onto or the component udealong 1is ww is1se called the projection of uofde onto ven the vector component of uofalong 11 largo de v, y se denota por w 5 proy u. and is denoted by v, w proj u. w proj u. and is denoted by v, and is denoted 1 proj 1 vu. v v v v, and is denoted by by w1 w 1 proj 1 vu. 5 uw 2 w 2.2.A2. se le llama la componente vectorial u uortogonal 2. w is called the vector component uorthogonal orthogonal u w u w 2. is called the vector component ofof 2 1 u w ww2 w is called the vector component of of u orthogonal to to v. av.v.totov.v. u w is called the vector component udeorthogonal 22 1 1 11 2 2

1

θ es agudo acute. isisacute. is acute. is acute.

w2 w2 w2

ww 22

u u u

uu

θ v θ θv v θθ vv w1 ww w1 w1 11

θ es obtuso obtuse isisobtuse is obtuse is obtuse

u u u

uu

w2 w2 w2 θ θ θ

w1 w 1 w1

ww 11

ww 22 θθ

v v v

vv

w1 5 proyvu 5 la proyección de u en v 5 componente vectorial de u en dirección de v w1 1 proj proj projection projection vectorcomponent component alongv v vector of v vcomponent ofvofuuvalong w w proj projection u onto component u along w12 of vofuvuonto vector of uofalong vuvu componente vectorial deuof uonto ortogonal aonto vvector w 51 proj vu projection vu w vector component of u orthogonal to v w vector component of u orthogonal to v w vector component of u orthogonal to v 2 w vector component of u orthogonal to v 2 Figura 2 2 11.29 Figure 11.29 Figure Figure 11.29 11.29 Figure 11.29

y

y

10 10 8

8

yy 1010

EJEMPLO 4 4Hallar vectorial uofortogonal vtovv EXAMPLE 4 componente Vector Component Orthogonal EXAMPLE 4la Finding aaComponent Vector Component of uuOrthogonal EXAMPLE aFinding Vector of of u de Orthogonal to to v va to EXAMPLE 4Finding Finding a Vector Component u Orthogonal

EXAMPLE 4 Finding a Vector Component of u Orthogonal to v

(5,10) 10) (5, 10) (5, (5, 10)

88

(8, 6) (8, 6)

Encontrar lavector componente delofvector de queisis esorthogonal ortogonal ato4, dado Find the vector component of5, u that 5, that orthogonal v 4, 3, giventhat that Find the vector component of u10 5, 10 to v3, 4, 3, given Find thethe vector component u 5, is10 orthogonal to vto 4, given that Find component of u 10 that isthat orthogonal v 3, given that que w 5 proy u 5 k8, 6l y w proj u 8, 6 and w proj u 8, 6 and w proj u 8, 6 and w proj u v8, v 6 and 1 (8,6)6) (8, 1 11 v1 v v u 5, 10 ww w .ww2.2. u 5, u 10 10 w u 5, 5, 10 w 1 1 w2. 121

uu

(−3,4)4) u u (−3,(−3, 4) 4)(−3, 44 4 4 (4,3)3) (4, 3) (4, (4, 3) v2 2 2v2 w2 w22 2 ww − 4 − 4− 2 −−2−4 4

−22 2 4 −2 − −2 2 −2 −2

ww12 1ww2 2 w u uu w 51 wu11uw 1 2 w 2 Figure 11.30 Figure Figure 11.30 Figure 11.30 11.30 Figura 11.30

v wv1 w1 42 26

Solución Como es que es w lathat compouBecause 5 v,v, wthat Solution w1where where w1 1isisato parallel follows that w isisthe the Solution uu1w ww2w ,21,where parallel v,v, ititthat follows Solution Because uww w w w paralelo is w parallel toseitv,sigue ittotofollows is w the 1 11 2,2w 2w Solution Because uBecause w ,donde follows 21, where 1 is1 parallel 2 is2 the 2 2 nente vectorial de uofortogonal v.orthogonal Por vector component tose v.tiene So, youhave have vector component ofofuauorthogonal toyou v.you So, you vector component u orthogonal totanto, v. So, have vector component uoforthogonal to v. So, have

ww 11 64 48

86 6

x

88

w2 w2 uw w uw2 2 wuuww1 1 1 1 5, 10 8, 8,66 5, 10 10 8, 6 5, 5, 10 8, 6 3, 3,4. 4. 3, 4. 3, 4. w2 2isisorthogonal Check tosee that orthogonal shown Figure 11.30. tothat totoshown v,v,asas inin Figure Check toCheck see that wsee orthogonal to v, shown inshown Figure 11.30. Check to see wisthat is w orthogonal to as v, as in Figure 11.30.11.30. 2 2 Verificar que w 2 es ortogonal a v, como se muestra en la figura 11.30.

■ ■

■■

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CAPÍTULO 11

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Del ejemplo 4, se puede ver que es fácil encontrar la componente vectorial w2 una vez que se ha hallado la proyección w1 de u en v. Para encontrar esta proyección, se usa el producto escalar como establece el teorema siguiente, el cual se demuestra en el ejercicio 92. NOTA Ver la diferencia entre los términos “componente” y “componente vectorial”. Por ejemplo, usando los vectores unitarios canónicos o estándar con u 5 u1i 1 u 2 j, u1 es la componente de u en la dirección de i y u1i es la componente vectorial de u en la dirección i. n

TEOREMA 11.6 PROYECCIÓN UTILIZANDO EL PRODUCTO ESCALAR Si u y v son vectores distintos de cero, entonces la proyección de u en v está dada por proy projv u 5

1uiv?iv2 v. 2

La proyección de u en v puede expresarse como un múltiplo escalar de un vector unitario en dirección de v. Es decir,

1uiv?iv2 v 5 1uiv? iv2 ivv i 5 skd ivv i

k5

2

Al escalar k se le llama la componente de u en la dirección de v.

z

4

w2 u

EJEMPLO 5

2

w1

u = 3i − 5j + 2k v = 7i + j − 2k

−2

6

−4

8 x

u?v 5 iu i cos u. iv i

v

2

y

Descomposición de un vector en componentes vectoriales

Hallar la proyección de u en v y la componente vectorial de u ortogonal a v de los vectores u 5 3i 2 5j 1 2k y v 5 7i 1 j 2 2k mostrados en la figura 11.31. Solución w1 5

La proyección de u en v es 14 2 4 s7i 1 j 2 2kd 5 i 1 j 2 k. 1uiv?iv2 v 5 112 54 2 9 9 9 2

La componente vectorial de u ortogonal a v es el vector

u 5 w1 1 w2 Figura 11.31

w2 5 u 2 w1 5 s3i 2 5j 1 2kd 2

EJEMPLO 6

1149 i 1 92 j 2 94 k2 5 139 i 2 479 j 1 229 k.

Cálculo de una fuerza

Una lancha de 600 libras se encuentra sobre una rampa inclinada 30°, como se muestra en la figura 11.32. ¿Qué fuerza se requiere para impedir que la lancha resbale cuesta abajo por la rampa? Solución Como la fuerza debida a la gravedad es vertical y hacia abajo, se puede representar la fuerza de la gravedad mediante el vector F 5 2600j. Para encontrar la fuerza requerida para impedir que la lancha resbale por la rampa, se proyecta F en un vector unitario v en la dirección de la rampa, como sigue. v 5 cos 308 i 1 sen sin 308j 5 v

w1

1 i1 j 2 2

Vector unitario en la dirección de la rampa.

Por tanto, la proyección de F en v está dada por

30° F w1 = proyv(F)

Figura 11.32

!3

w1 5 proy projvvFF 5

1Fiv?i v2 v 5 sF ? vdv 5 s2600d1122 v 5 23001 23 i 1 21 j2. !

2

La magnitud de esta fuerza es 300, y por consiguiente se requiere una fuerza de 300 libras para impedir que la lancha resbale por la rampa.

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SECCIÓN 11.3 11.3

El producto escalar dosVectors vectores The Dot Product ofde Two

789 789

Trabajo Work

F F

El trabajo WW realizado una fuerza constante que actúa a lo largo deoflaanrecta de The work done bypor the constant force F actingFalong the line of motion object movimiento de un objeto está dado por is given by

P P

Q Q

Trabajo = =F F PQ  Work PQ

5(magnitud smagnitude force dsdistance d 5 iF F i i PQ i WW5W deof fuerza)(distancia) magnitude of force distance PQ \

\

como muestra en la figura 11.33a. Siconstant la fuerzaforce constante F nodirected está dirigida lo largo de as se shown in Figure 11.33(a). If the alongathe line of F is not la recta de movimiento, se puede ver 11.33(b) en la figura queWeldone trabajo W por la motion, you can see from Figure that11.33b the work by realizado the force is fuerza es W projPQ F PQ cos F PQ F PQ . W5 5 iproy iprojPQ F i i PQ i 5 scos udiF i i PQ i 5 F ? PQ . W This notion of work is summarized in the following definition. Esta noción de trabajo se resume en la definición siguiente.

(a)La Force acts along thelargo line de of motion. a) fuerza actúa a lo la recta de movimiento

\

\

\

\

\

\

\

\

F F θ θ proj proy PQ FF PQ

Q Q

P P Work = projF PQ FPQ PQ  Trabajo = proy PQ 

DEFINITION OF WORK DEFINICIÓN DE TRABAJO The work W done by a constant force F as its point of application moves El trabajo porisuna fuerza medida que su punto de aplicación along W therealizado vector PQ given by constante either of F thea following. se mueve a lo largo del vector PQ está dado por las siguientes expresiones. 1. W projPQ F PQ Projection form 1. WW55iproy En forma de proyección. iprojPQ F i iPQ i 2. W F PQ Dot product form 2. W 5 F ? PQ En forma de producto escalar. \

\

(b) Force acts at angle with the line of motion. b) La fuerza actúa formando un ángulo q con Figure 11.33 la recta de movimiento

Figura 11.33

\

\

\

\

\

\

EJEMPLO 7 Cálculo de trabajo EXAMPLE 7 Finding Work closeuna a sliding a person on a tira ropedewith constant 50 pounds at ParaTocerrar puertadoor, corrediza, unapulls persona unaacuerda conforce una of fuerza constante a constant of 60 , as showndein60°, Figure 11.34. Find theenwork done11.34. in moving theel de 50 libras y angle un ángulo constante como se muestra la figura Hallar doorrealizado 12 feet toalits closed trabajo mover la position. puerta 12 pies hacia la posición en que queda cerrada.

ft 1212 pies projPQFF proy PQ PP QQ 60° 60°

SolutionUsando Usinguna a projection, you calculate theelwork as follows. Solución proyección, secan puede calcular trabajo como sigue. W proj F PQ Projection form for work Forma de proyección para el trabajo. W5 5iproy iprojPQ FPQi iPQ i W cos 60 F PQ 5 coss608d iF i i PQ i 1 1 5012 5 s50ds12d 2 2 300 foot-pounds libras-pie 5 300 foot-pounds \

\

FF

\

\

\

\

ft 1212 pies

Figure 11.34 11.34 Figura

11.3 Exercises Ejercicios 11.3

See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

|| ||

2, (d) En los ejercicios a 8, c) uu 2v, v, d) In Exercises 1– 8, 1find (a)hallar u v, a) (b)uu?v,u, b) (c)u u? u, (u · v)v u x 2v c . ? and (e) yu e) 2v

.

1. u 3, 4, v 1, 5

2. u 4, 10, v 2, 3

3. u 6, 4, v 3, 2

4. u 4, 8, v 7, 5

5. u 2, 3, 4, v 0, 6, 5 6. u i, v i 7. u 2i j k vik u v.u In Exercises 9 and En los ejercicios 9 y10, 10,find calcular 9. 9. 10. 10.

■

8. u 2i j 2k v i 3j 2k

5 3i 3i 1 j,j, vv 5 2i 22i 1 4j 4j 13. uu 13.

p p sen sin 1 2jj

1662ii 1 sin 66 33p 33p sen 5 cos cos 1 2ii 1 sin sin 1 2jj vv 44 44

5 cos cos 14. uu 14.

5 1, k1, 1, 1, 1 1l 15. uu 15. 5 2, k2, 1, 1, 1 21l vv

In Exercises 11–18, find the angle ␪ between the vectors. En los ejercicios 11 a 18, calcular el ángulo u entre los vectores. 11. u 1, 1, v 2, 2 12. u 3, 1, v 2, 1 11. u 5 k1, 1l, v 5 k2, 22l 12. u 5 k3, 1l, v 5 k2, 21l

5 2i 2i 2 3j 3j vv

5 3i 3i 1 4j 4j 17. uu 17.

5 2i 2i 2 3j 3j 1 kk 18. uu 18.

5 2j 22j 1 3k 3k vv

? v.

8, 8, ivvi 5 5, 5, yand the angle between iuui 5 py3.v is 3. el ángulo entre uyvu esand 40, 40, ivvi 5 25, 25, yand v is 56. the angle between iuui 5 5py6. el ángulo entre uyvu esand

5 3i 3i 1 2j 2j 1 kk 16. uu 16.

5 ii 2 2j 2j 1 kk vv

In 19–26, whether siu and EnExercises los ejercicios 19determine a 26, determinar u y vv are son orthogonal, ortogonales, parallel, or neither. paralelos o ninguna de las dos cosas. 19. 19. 20. 20.

uu 5 4, k4, 0, 0l, uu 2, 18, 5 k2, 18l,

vv 5 1, k1, 1 1l 3 1 3, 61 vv 2 5 k ,2 l 2

6

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790

CAPÍTULO 11

21. u

4, 3 2 3

23. u

j

6k

v

i

2j

25. u

2,

v


1 3

22. u

1 2,

v

Página 790

v 24. u k

v 26. u

3, 1 1,

1,

1

v

i

2i

En los ejercicios 43 a 50, a) encontrar la proyección de u sobre v y b) encontrar la componente del vector de u ortogonal a v.

2j 4j

2i 2i

3j j

k

cos , sen , sen ,

43. u

k

44. u

v

9, 7 ,

v

1, 4 1, 3

1

45. u

2i

3j,

v

5i

cos , 0

46. u

2i

3j, v

3i

En los ejercicios 27 a 30, se dan los vértices de un triángulo. Determinar si el triángulo es un triángulo agudo, un triángulo obtuso o un triángulo recto. Explicar el razonamiento. 27. 1, 2, 0 , 0, 0, 0 ,

6, 7 ,

2, 1, 0

0, 3, 3 , v

47. u 48. u

2i

j

50. u

i

4k,

2k, v

2j 1, 1, 1

8, 2, 0 , v

49. u

j

2, 1, v

3j

3i

2k

1 4k

3, 0, 0 , 0, 0, 0 , 1, 2, 3

28.

29. 2, 0, 1 , 0, 1, 2), 30. 2,

7, 3 ,


0.5, 1.5, 0

1, 5, 8 , 4, 6,

1

51. Definir el producto escalar de los vectores u y v.

En los ejercicios 31 a 34, encontrar los cosenos directores de u y demostrar que la suma de los cuadrados de los cosenos directores es 1. 31. u ⫽ i ⫹ 2j ⫹ 2k 32. u ⫽ 5i ⫹ 3j ⫺ k

53. Determinar cuál de las siguientes expresiones están definidas para vectores distintos de cero u, v y w. Explicar el razonamiento. a) u ⭈ 共v ⫹ w兲

33. u ⫽ 具0, 6, ⫺4典

c) u ⭈ v ⫹ w

34. u ⫽ 具a, b, c典 En los ejercicios 35 a 38, encontrar los ángulos de dirección del vector. 35. u ⫽ 3i ⫹ 2j ⫺ 2k

36. u ⫽ ⫺4i ⫹ 3j ⫹ 5k

37. u ⫽ 具⫺1, 5, 2典

38. u ⫽ 具⫺2, 6, 1典

En los ejercicios 39 y 40, usar una herramienta de graficación para encontrar la magnitud y los ángulos de dirección de la resultante de las fuerzas F1 y F2 con puntos iniciales en el origen. Se dan la magnitud y el punto final de cada vector. Vector

52. Dar la definición de vectores ortogonales. Si los vectores no son paralelos ni ortogonales, ¿cómo se encuentra el ángulo entre ellos? Explicar.

b) 共u ⭈ v兲w

d) 储u储 ⭈ 共v ⫹ w兲

54. Describir los cosenos directores y los ángulos de dirección de un vector v. 55. Dar una descripción geométrica de la proyección de u en v. 56. ¿Qué puede decirse sobre los vectores u y v si a) la proyección de u en v es igual a u y b) la proyección de u en v es igual a 0? 57. ¿Si la proyección de u en v tiene la misma magnitud que la proyección de v en u, ¿se puede concluir que 储 u储 ⫽ 储 v 储? Explicar.

Magnitud

Punto final

Para discusión

39. F1

50 lb

F2

80 lb

共10, 5, 3兲共12, 7, ⫺5兲共⫺20, ⫺10, 5兲共5, 15, 0兲

58. ¿Qué se sabe acerca de ␪, el ángulo entre dos vectores distintos de cero u y v, si

40. F1

300 N

F2

100 N

41. Cables que soportan una carga Una carga es soportada por tres cables, como se muestra en la figura. Calcular los ángulos de dirección del cable de soporte OA. z

(−4, −6, 10) B (4, −6, 10) C

(0, 10, 10) A

O

300 libras

y

x

42. Cables que soportan una carga La tensión en el cable OA del ejercicio 41 es 200 newtons. Determinar el peso de la carga.

a) u ⭈ v ⫽ 0?

b) u ⭈ v > 0?

c) u ⭈ v < 0?

59. Ingresos El vector u ⫽ 具3 240, 1 450, 2 235典 da el número de hamburguesas, bocadillos de pollo y hamburguesas con queso, respectivamente, vendidos en una semana en un restaurante de comida rápida. El vector v ⫽ 具1.35, 2.65, 1.85典 da los precios (en dólares) por unidad de los tres artículos alimenticios. Encontrar el producto escalar u · v y explicar qué información proporciona. 60. Ingresos Repita el ejercicio 59 después de incrementar los precios 4%. Identificar la operación vectorial usada para incrementar los precios 4%. 61. Programación Dados los vectores u y v mediante sus componentes, escribir un programa para una herramienta de graficación que calcule a) 储 u 储, b) 储 v 储, y c) ángulo entre u y v. 62. Programación Con el programa escrito en el ejercicio 61 encontrar el ángulo entre los vectores u ⫽ 具8, ⫺4, 2典 y v ⫽ 具2, 5, 2典.

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791 The Dot Product of Two Vectors El producto escalar dosVectors vectores 791 791 The Dot Product of de Two 11.3 The Dot Produc 791 11.3 The Dot Product of Two Vectors Product of Two Vectors 791 791 11.311.3The The Dot Dot Product of Two Vectors 791 11.3 The Dot Product of Two Vectors 74. Work A toy wagon is pulled by exerting a force of 25 pounds 63. Programming Given vectors u and v in component form, 74. Work uinyvwhich v in Programación Dados los vectores mediante sus compoTrabajo coche decomponent juguete seexerting jala ejerciendo 74. A toy wagon pulled a the force 25fuerza pounds 63. Programming Given vectors component form, u and 74.ofuna Work Ade toy wagon is pulled by e 63.output Programming Given vectors inis form, uUnand vmakes on a handle that a 20 byangle with horizontal (see write a program for a graphing utility the is the nentes, escribir un programa para graficación 25 libras sobre una manivela que forma de 20° con on atoy handle that makes athe angle with the (seela that makes a 20 an 20 a program for athe utility which thedeform, output is theWork 74. Work A isbypulled by exerting aángulo force of 25 pounds 63.write Programming vectors and component form, v inv.form, on awagon handle write a74. program forA atoy graphing utility inpulled which output the 74. Work A iswagon exerting aisdone force of 25horizontal pounds 63. Programming Given vectors inherramienta component u and vucomponent wagon istoy pulled by exerting awork force of un 25in pounds 63. Programming Given vectors and ugraphing v in figure inwagon left column). Find the pulling the component form ofGiven projection of onto uin 74. Work Aoutput toydewagon byon exerting a force ofmakes 25 g Given vectors uwrite and avcomponent incalcule component form, que las componentes de proyección horizontal (ver la figura). Calcular elhorizontal trabajo realizado jalar el column). Find the wo uisen v.is pulled figure left column). the done in the pulling thealwagon form of the projection of onto u in v. on a in handle awith angle with horizontal 20work write forutility a graphing utility which the output is the figure in(see left component ofa the projection of upounds v. angle handle that amakes with the horizontal (see 20Find program for a graphing utility inla which the the onform a handle that makes athat angle the (see 20onto write a 64. program fora aprogram graphing in which the output the 50 feet. Programming Use the program you wrote inisthat Exercise 63a to on a handle makes angle with the horizontal (see 20 am for a graphing utility in which the output is the coche 50 pies. 50 feet. figure in left column). Find the work done in pulling the wagon component form of the projection of onto u v. 64. Programación Usar el programa escrito en el ejercicio 63 50 feet. figure in left column). Find the work done in pulling the wagon component ofprojection the Use projection u onto v. in left column). Find the work done in pulling wagon component formform of the ofprogram onto uuof v.you 64. Programming the Exercise 63and tofigure Use 64. the you wrote inusing Exercise 63 to 75. Work A car towed a force ofthe 1600 newtons. The find the projection of onto for v wrote uincolumn). 5,Programming 6, 2 Find figure invleft the work done inprogram pulling theis wagon orm of the projection of u onto 50 feet. para v.Use encontrar la program proyección de en y50 uyou 5 k5, 2l 5075. feet. feet. 75. Work Trabajo Un carro secar remolca una fuerza deWork 1 600 The newA car is towed using ausando force of 1600 newtons. the1, Use projection of onto for andto uyou vExercise usi63 5,63find 6, 26,the 64.find the wrote inu to Exercise 63 75. A car is towed using a f projection of onto for and u v u 5, 6, 2 64. Programming the wrote in Exercise to 64. Programming the youprogram wrote in chain used to pull the makes a angle with the horizontal. 25 vProgramming 3, 4program . Use 50 feet. g Use the programfind you wrote inthe 5projection k21, 3,of tons. La que secar usa para jalar elnewtons. forma un ángulo deto pull the car makes a 2 chain used tocar pull aaof25 angle with the horizontal. vvfind 1,Exercise 3, 44l..uof63 75.car Work Atowed isthe towed using force ofnewtons. 1600 newtons. The projection of and uv onto 6, 2 75.1, chain used 3, . A 75.4 Work A car iscadena using amakes force 1600 The for uto onto 2 5,vand Work is towed using ain force ofthe 1600 The find the the projection onto v for u uv5,for 6, 5, 2 u6, and Find the work done towing car 2 carro kilometers. 75. Work A car is towed using a force of 1600 newtons. The ojection of u onto for and v u 5, 6, 2 25° con la horizontal. Encontrar el trabajo que se realiza al done in towing the Find the work done in towing the car 2 kilometers. chain used to pull the car makes a angle with the horizontal. 25 v 1, 3, 4 . Think About It In Exercises 65 and 66, use the figure to Find the work chain used to pull the car makes a angle with the horizontal. 25 with the horizontal. 1, to pull the car makes a 25byangle v v Para 1, 3, pensar 4 3, . 4 . En los ejercicios 65 y 66, usar la figura para deter-chain used Work A sled is 66, pulled exerting a force of 100 newtons on chain used todan pull the car makes angle with the horizontal. 2576. 4. Think About It Inthe 65 of and 66, use thecoordinates figure toFind Think About It aFind In Exercises 65 and use the figure to remolcar el carro 2 kilómetros. Find the work done in towing the car 2 kilometers. determine mentally projection (The uuonto the work done in towing the car 2 kilometers. minar mentalmente laExercises proyección de en vv.(se las coordethe work done in towing the car 2 kilometers. 76. Work A sled is pulled by exerting force of 100 newtons onsled is pulled by exertin 76. Work A rope that makes a 25v. (The angle with thea horizontal. Find the work Find done in towing the car 2 akilometers. determine mentally the projection of onto (The coordinates u v.work Think Itpoints In and 66, use the figure determine mentally the of coordinates u onto Think About ItAbout Inpuntos Exercises 65 66, use the to Think About It de In Exercises 65Exercises and 66, use thethe figure to of the terminal of the vectors in standard position areto nadas los finales deand los65 vectores en lafigure posición estánadone rope that makes apulled angle with the horizontal. Find the 25 76.projection Work sled isby by exerting a force of 100 onmakes a 25 angle with 76. Trabajo tirathe de un trineo unanewtons fuerza de 100work newanewtons rope that 76. Work A sled isASe pulled exerting aejerciendo force of 100 on 76. Work A sled is pulled by exerting a force of 100 newtons on in pulling sled 40 meters. In Exercisesdetermine 65 and 66, use the figure to the terminal points the vectors standard areexerting determine theof of onto (The coordinates u (The v.sled ofisposition the terminal pointsa force ofdone in standard position mentally the projection of onto u 76. v.in determine of mentally thementally projection ofprojection onto coordinates u v. (The Work Acoordinates pulled by of 100 on given.) Verify your results analytically. dar). Verificar los resultados analíticamente. invectors pulling 40 meters. athe rope that makes asled angle theare horizontal. theinwork 25with tons en una cuerda que hace unwith ángulo de Find 25° con ladone horizontal. pulling the sled 40 meters a rope that makes anewtons angle the horizontal. theFind work 25 the a rope that makes a angle with the horizontal. Find the work 25 ally the projection of onto (The coordinates u v. Verify results of the terminal points ofanalytically. the vectors inposition standard are given.) your analytically. of terminal the given.) terminal points of the vectors in standard position of the points ofyour the vectors in standard areposition a rope that makes aare angle with results the horizontal. Find work 25Verify done pulling the sled 4077meters. el sled trabajo efectuado al jalar trineo 40whether metros. the or False? Inthe Exercises and 78, el determine inEncontrar pulling the 40 meters. donedone inTrue pulling theinsled 40 meters. y position are points of the vectors in standard 65. 66. done iny pulling the sled 40 meters. given.) Verify your results analytically. given.) Verify results analytically. given.) Verify youryour results analytically. True or False? In Exercises 77isand 78, explain determine whether the True False? y y statement is true or false. If it false, why ororgive an In Exercises 77 and y y 65. 66. 65. 66. ur results analytically. (4, 6) 6 ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 77 y 78, determinar si la or false. If it is fal 6 v statement is true or false. If it is false, explain why or give an True or False? In Exercises 77 and 78, determine whether the statement is true True or False? In Exercises 77 and 78, determine whether the True or False? In Exercises 77 and 78, determine whether the y v (4, 6) example that shows it is false. (4, 6) y y 65. 66.y or False? (4, 6) 6 77 and 78, 66. yTrue 6 y 65. 65. 66. 6 6 v In Exercises determine whether the declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o v y v (4, 6) example isitfalse, false. v (4,is statement is shows true Ifexplain it isexplain false, why 4 thatan shows it is false. statement is true or false. Ifisfalse. is false, why or example give an give 66. orthat false. If itorit whyexplain or give an or 46 6)true (4, 6) statement (4, 6)or 6 (4, 6) 6 statement 6 is true false. If it is false, explain why or give an v dar un ejemplo que demuestre que es falsa. 6 4 v 6 77. If and then u v u w u 0, v w. v 4 v 4 example that shows it is false. example that shows it is false. 4 example that shows it is false. (4, 6) 6 v (4,v26) (4, 6) v (4, 6) 77. If u v u w and u 0, then v w. v (4, 6) 77. If u v u w and u 0, then example shows it is false. 2that 4 24 4 2 4 4 78. IfSiuuand to entonces is orthogonal to w. v5are w, then uv 5vw. 4 x 77. vvw uu ?orthogonal w u then Þ 0, yand ? 2 2 77. If then u w u 0, v w. 77. If and u v u u 0, v w. 42− 4 u 2 77. If and then u v u w u 0, v w. 78. If u and v are orthogonal to w, then u v is orthogonal to w. 2 4 6 78. If u and v are orthogonal to w, the 2 u w and u x 0, then v 78.w.Si u y v son ortogonales a w, entonces u 1 v es 2 77.2 If−2u 2v w. −4 u 2 4 6 2u and 6v 4 − 46 u78. If 78. Ifvorthogonal and orthogonal to u orthogonal toaw. uare v areto w, v isto 78. If4 u79. and orthogonal to w,athen v isuorthogonal Find the angle between diagonal and one of w. its edges. are orthogonal w,tothen ucube’s v isthen w.ortogonal 2(− 2, −3) 4 −2)6 78. If−2u−2 and v are to w, then79. orthogonal to w. a cube’s u Find v isthe 6 −2between 4 (3, angle diagonal and one of its edges. u orthogonal 79. Find the angle u4 u (− −4 − 2 − 44 2 u6 4 6 2 4 6 79. Find Encontrar el ángulo entre la diagonal un cubo y una de sus between a cube’s d 2, −3) 80. the angle between diagonal of de a cube and the diagonal (− 2, −3) 4 6 −2 (3, −2) diagonal uthe −2−2 46 u 6 (3,4− 2) 6 79. Find −2 −2 4 79. Find the angle between a cube’s and one of its edges. 79. Find the angle between a cube’s diagonal and one of its edges. the angle between a cube’s diagonal and one of its edges. 80. Find the angle between the diagonal of a cube and the diagonal aristas. 80. Find the angle between the diagon 2, −3) 4 67 of one one of itsofsides. 6 a 70, encontrar (−−2 2, (− 2, −3) −2 (3,direcciones −2) athat 79. Find the angle between cube’s diagonal and its edges. −2 u (3, −u2) En−3) los(−ejercicios dos en uvectores (3, − 2) In Exercises 67–70, find two −2 vectors in opposite directions of one ofbetween its sides. 80. Find the angle between the diagonal ofde a un cube andythe diagonal oflaone of its sides. 80. Find the angle the diagonal of a cube and the diagonal −2 (3, − 2) 80. Find the angle between the diagonal of a cube and the diagonal u 80. Encontrar el ángulo entre la diagonal cubo diagonal In Exercises 67–70, find two vectors in opposite directions that opuestas que sean ortogonales vector u.the (Las respuestas no In Exercises 67–70, find two vectors indiagonal opposite directions that are orthogonal to the vector u.al(The answers are not unique.) 80. Find angle between theson diagonal of Exercises aof cube and the of one of its sides. In 81– 84, (a) find all points of intersection of the of one its sides. of one of its sides. de uno de sus lados. are not unique.) are orthogonal to the vector (The answers not unique.)thatto theInvector In67–70, Exercises 67–70, find two vectors in opposite directions únicas.) are orthogonal answers u. (The In Exercises 67–70, find two vectors in opposite directions that In Exercises find two vectors in u. opposite directions that of one of are its sides. Exercises 81– 84, (a) find(b) allfind points of intersection of the In Exercises 1directions 3 graphs of the two equations, the unit tangent vectors to81– 84, (a) find all po 70, find two vectors in opposite that 67. 68.areuanswers 4j not unique.) i vector j (The areuto orthogonal (The u. are orthogonal to14vector the (The answers are9iunique.) not are unique.) u.vector are orthogonal the answers not 32tou.the 1 Exercises 3 Exercises graphs of the two equations, (b) find the unit tangent vectors to In Exercises 81– 84, (a) find all points of intersection of the En los ejercicios 81 a 84, a) encontrar todos los puntos de intergraphs of the two equations, (b) find In 81– 84, (a) find all points of intersection of the In 81– 84, (a) find all points of intersection of the at68. their of 67. u are4 not 68. u 9i 4j 67. u i unique.) u points 4j intersection, and (c) find the angles j eachofcurve o the vector u. (The answers 2j 4 i all2 points In intersection of9i(b) the 69. 70.Exercises 23 u 4, 81– 3, 684, (a) find 1 13 33, 1, each curve at their points of intersection, and (c) find the angles 1 67.u graphs of the two equations, (b) find the unit tangent vectors to sección de las gráficas de las dos ecuaciones; b) encontrar los each curve at their points of intersec graphs of the two equations, find the unit tangent vectors to graphs of the two equations, (b) find the unit tangent vectors to between the curves at their points of intersection. 0 90 68. 9i 3,4j69. 67. u 69. 68. u9igraphs 9i4j 4jthe 67. u i u4ui j 23,j 1, 4i 70. 22 j 68. u 4, uu of 3 u 3, (b) 1, find 2 the u points 4, to 6intersection, two6equations, unit tangent vectors between the3,of curves their of intersection. 0each 9070. 68. u4 9i2 4j at their and (c) the vectores unitarios tangentes a and cadaat curva en puntos deangles inter0find 90 between the curves at curve atcurve their points of intersection, and (c) points find the angles eacheach curve at their points of intersection, (c) find thelos angles 2j 69. 70. u1, 1, 2 A 48,000-pound u6 3,is 6parked 4, their 3, on 6points 2, find 3 69. u3,71. 70. u4, 4, Load truck a 10 slope 69. u 70. Un 1, 3,Braking 2 23,de u 3,de each curve at intersection, (c) angles 81. ythethe x1los y90 between curves their oflas intersection. 0 and qof 71. sección yxbetween Fuerza frenado camión 48 000 libras estáof estac) 90 hallar ángulos (0° £at £intersection. 90°) entre curvas en the curves at their points ofpoints intersection. 0 between curves atthe their points 0 Load 90 70. u71. 2 4, figure). 3, 6Load Braking A 48,000-pound truck is 90 parked on athat slope 10 71. Braking A 48,000-pound truck 81. x11 33is parked on a 10 slope ypoints x23, ofyintersection. (see Assume the only force to overcome is due to 81. y x2, y x1 3 between the curves at their 0 cionado sobre una pendiente de 10° (ver la figura). Si se supone sus puntos de intersección. 82. y x y x , 2 1 3y 13overcome 3 (see figure). Assume the only force toon overcome that toy81.Assume 71. Braking Load truck is parked a 10due slope (see figure). is that due to 1 3x 71. Braking Load A 48,000-pound truck is parked on aslope slope 10 71. Braking Load A 48,000-pound truck isrequired parked akeep 10 81. gravity. Find (a) A the48,000-pound force to theison truck from yx2,82. xy2the ,y y yxonly 81. y2 xto1x1y3 x 32, x, force 82. y x3, y x1 3 que la única a force vencer es lay de to la2, keep gravedad, 1 3hallar a) la 2 d A 48,000-pound(see truckfigure). is parked on a fuerza slope 10 81. y x x y 5 x , y 5 x 81. 83. y 1 x , 1 y x gravity. Find (a) the required the truck from (see figure). Assume the only force to overcome is that due to gravity. Find (a) the force required to keep the truck from Assume the only force to overcome is that due to (see figure). Assume the only force to overcome is that due to 3, 1 3 1 3 2 rolling down the hill and (b) the force perpendicular to the hill. 3 3 1 3 2 82. y x y x 82. fuerza requerida paraand el camión ruede cuesta abajo y yx ,83.xy ,y yx 1 3 x2 x , y 1y3 x 3 1 82. Assume the only force to overcome that due toevitar 83. y 1 x2, y x2 1 3truck 1 from 3rolling rolling down the(a) hill (b)toque the to the hill. gravity. Find the force required the truck from down the hill gravity. Find (a)is the force required toforce the gravity. Find (a) the force required keep theperpendicular from ytruck xB ykeep xto , keep yy 5(b) x1the , 2 yforce 52 x perpendicular 82.2and 84. y x2 1 to the hill. 2x, 2, 1 y (5, − 5, 20) b)keep la fuerza perpendicular a la82. pendiente. 2 3 (a) the force required to the truck from 83. y x , 1 y x 83. y 1 x 1 x 83. y 1 x , 1 y x 84. y x y 1 x, 1 z rolling thethe hill andforce (b) the force 84. y 1 2 x, y x3 1 rolling thedown hill (b) and (b)force the perpendicular the rolling downdown the hill and perpendicular (− −xto 5, the 20)1hill. 2,tohill. 2 2 2 1B B −1perpendicular 5,to 20) 83. y (5, C xthe y 5,hill. y2 5 1 22 x32, (5,y3 −55, x20) 83. the hill and (b) the force perpendicular to the hill. 3z (−15, − 5, 20) 2 B 5, − 5, 20) (5, C−5, 20) z (− 84. y x y 1 x, 84. 1 that the diagonals of a rhombus are 84. y y185. 1Use yx, 2 yx tox1Cprove x, vectors B −5, 20) (5, − 5, 20) BCz−15,B2 20)zx,z (−5, (5, − 5, 20) 84. y 5, −x5,3 20)1 y (5, s y 1vectors 1d 5 x, y 5 x3that 2 1the diagonals of a85.rhombus 84. Use 85. to prove are to prove that the d (− Use vectors (− 5,20) − 5, 20) B (5, − 5, 20) 5, −5, perpendicular. C C z (− C A z (− 5, −5, 20) C perpendicular. 85. Use vectors to that prove theofdiagonals of are a rhombus are perpendicular. A 85. Use vectors to prove thethat diagonals ofrhombus a rhombus are 85. Use vectors to prove that the diagonals a A Usarof vectores para are demostrar que las diagonales de unifrombo 85. Use 86. vectors to prove that a parallelogram is a rectangle and A 85. Use vectors to prove that the perpendicular. diagonals a rhombus perpendicular. A perpendicular. 86. Use vectors to prove that a parallelogram is a rectangle if and A A 86. Use vectors to prove that a paralle son perpendiculares. only if its diagonals are equal in length. perpendicular. A 10° only if its diagonals are equal in length. 86. Use vectors to prove that a parallelogram is a rectangle if and only if its diagonals are equal in le 86. Use vectors to prove that a parallelogram is a rectangle if and 86. Use vectors to prove that a parallelogram is a rectangle if and (10, 5, 20) O 86. Bond Usar para demostrar que un paralelogramo un recAngle Consider a regular tetrahedron with esvertices 10° 10° 87. 86. Use vectors to isdiagonals avectores rectangle if and (10, (10, 5, 20) only ifAngle its diagonals are equal in length. O prove that a parallelogram only ifdiagonals its are equal inO length. only if its are equal in length. x 5, 20) 10° 87. Bond Consider a regular tetrahedron with vertices 87. Bond Angle Consider a regula is a positive 0, 0, 0 , sik,y k,sólo 0 , sik,sus 0, diagonales k , and 0, son k, k iguales , whereen k longitud. (10, 5, 10° 10° 10° only if5,20) its diagonals are equal in length. tángulo O x 1000 (10, (10, x Consider 20)5, 20) Weight = 48,000 (10, lb 5, O 20) kg O O and where is a positive 0, 0, 0 , k, k, 0 , k, 0, k , 0, k, k , k 10° 87. Bond Angle a regular tetrahedron with vertices 0, 0, 0 , k, k, 0 , k, 0, k , and 0 87. Bond Angle Consider a regular tetrahedron with vertices 87. Bond Angle Consider a regular tetrahedron with vertices real number. x 1000 kg (10, 5, 20) O 87. Ángulo de enlace Considerar un tetraedro regular con los véry Weight = 48,000 lb x =0,48,000 lb 1000 kg0, k0,, k, x Angle Consider 87. Bond aWeight regular tetrahedron with vertices x real number. and where is a positive 0, 0, 0 , k, k, 0 , k, 0, k, k , k real number. and where is a positive 0, 0 , k, k, 0 , k, 0, k , k , k and where is a positive 0, 0, 0 , k, k, 0 , k, 0, k , 0, k, k , k 1 000 kg y Peso = 48 000 libras x s0, k0,isthe 0da, sgraph k, k, 0of d, (k, k)y y s0, k, kd, donde k es un número Sketch the0,tetrahedron. kg72 Weight =Weight 48,000 where positive 0,kg 0, 1000 0 ,fork, k, 0 , y k, 0, k , and real 0, k,number. k (a) ,tices Figure for 71 Weight = 48,000 lb =lb48,000 lb 10001000 kg Figure real number. real number. (a) Sketch the graphfor of the tetrahedron. (a) Sketch the graph of the tetrahe y ht = 48,000 lb 1000 kg for 71 y 72 y real positivo. Figure Figure for Figure for 71 Figure 72 real number. (b) Find the length of each edge. y (a) Sketch the graph of the tetrahedron. 72. Load-Supporting Cables Find the magnitude of the projection (a) Sketch the graph of the tetrahedron. Figura para 71 Figura para 72 (a) Sketch the graph of tetrahedron. (b) Find thelalength of del eachtetraedro. edge. Figure Figure 72 (b) Find the length of each edge. Figure for 71 for 71 Figure for 72 for a) Find Dibujar gráfica Figure for Load-Supporting 71 Figure for 72 (a) Sketch the graph theastetrahedron. (c) between anyprojection two edges. 72. Cables FindOA the magnitude of72. theLoad-Supporting projection Cables Findthe theangle magnitude of the 1 Figure of for the 72 load-supporting cable onto the positive axis z-of (b) Find the length ofdeeach edge. (b) Find the length of each edge. (b) Find the length of each edge. Cables que soportan una carga Calcular la magnitud de la 72. (c) Find the angle between any two edges. b) Hallar la longitud cada arista. (c) Find the angle between any tw the Cables load-supporting onto the positive axis asedge. OAthe 72.of Load-Supporting of the projection ofzthe load-supporting onto between the positive as z-axis 72. Load-Supporting Cables Find the Find magnitude of the projection 72. Load-Supporting FindCables thecable magnitude ofmagnitude the projection (b) Find the length of each (d)cable Find OA the angle the line segments from the centroid shown in the figure. proyección del cable OA en el eje z positivo como se muestra en rting Cables Find the magnitude of the projection (c) Find the angle between any two edges. (c) Find the angle between any two edges. (c) Find the angle between any two edges. c) Hallar el angle ángulobetween entre cada dos aristas. Find the the line segments from the the cable figure. of theinload-supporting cable onto the positive as figure. (d) (d)centroid Find the angle between the lin shown in the of load-supporting the shown load-supporting cable ontoOA the positive axis asz-axis OA zof the onto axis as (c) Find angle between 73. Work An object isOA pulled 10the feetpositive across az-the floor, using a forceany two edges. k 2, k 2, k 2 to two vertices. This is the bond angle for a la figura. supporting cable OAshown onto axis as z-figure. to two vertices. This isde the bond angle ak 2, k 2 to two vertices kFind 2, kthe 2, k the 2 as (d) angle between the line segments from the centroid shown in the kof 2, (d) isFind the angle between the line segments from the centroid inthe thepositive figure. d) Hallar el ángulo entre los segmentos recta desde elfor cen(d) Find the angle between line segments from the centroid shown 73. in the figure. molecule such or where the structure the PbCl CH , Work An object is pulled 10 feet across a floor, using a force 73. Work An object pulled 10 feet across a floor, using a force 4 of 85 pounds. The direction of (d) the Find forcetheis angle thethe line segments from the centroid 4 60 above between figure. 73. Trabajo Un objeto es jalado 10 pies por el suelo, usando una molecule such as or where the structure of the PbCl CH , to two vertices. This is the bond angle for k 2, k 2, k 2 molecule to two vertices. This is the bond angle for a 2, 2, 2stwo de los vértices. Éste ky2, ky2, ky2isThis d 4a60dos isabove the angle for a es el ánguloa such as CH 4 or PbC k 2, kkdirection 2, kktroide 2 ktoof 4bond molecule isvertices. aforce tetrahedron. 85object pounds. The direction the forceusing above the 60 73.of Work is10 pulled 10aoffeet a is floor, using a force of pounds. the the 73. Work An isobject pulled feet across a across floor, 73. Work An object is An pulled 10 feet across floor, using force horizontal (see figure). Find the work done. to85 two vertices.The This is the bond angle foror aPbCl k 2, kaes2, ka force 2sobre fuerza de 85 libras. La dirección de la fuerza 60° la homolecule is a tetrahedron. bject is pulled 10 feet across a floor, using a force molecule such as or where the structure of the is a tetrahedron. PbCl CH , molecule such as where the structure of the molecule CH , de enlace en una molécula como o estrucCH PbCl molecule such as or where the structure of the PbCl CH , 44 (seedirection figure). Find the force work 4 vectors of 85 The ofis the is the above the figure). 60 the Find the work 4 of pounds. 85 horizontal pounds. The of force the is force above 60 4 done. of 85 Thepounds. direction of direction the above 60done. Consider the and 0 u 4 cos , sen 4,, cuya molecule suchhorizontal as CH 4 or(see where the structure of the 4 PbCl 488. , molecule rizontal (ver la figura). Calcular el trabajo realizado. s. The direction ofhorizontal the force is above the 60 molecule is a tetrahedron. is a tetrahedron. tura es un tetraedro. molecule is a tetrahedron. 88. Consider the vectors and 0 u cos , sen , horizontal (see figure). the work done. 88. Consider vectors u (see figure). theFind work done. horizontal (see figure). FindFind the work done. where Find the dot product of the the v cos , sen , 0 , . > molecule is a tetrahedron. ee figure). Find the work done. product the , use sen , 0result , where . Find >cos 88.vvectors Consider the and, sen , 0 , where > , 0 of cos 88. Consider the ,identity sen 0, sen ucos 88. Considerar losvectors vectores y vand 88. Consider thecos and 0the, dot uvectors ,u sen , cos andvectors the to prove the 88. Consider the vectors u cos sen ,0use thea,and result to prove identity Find theof dot the use the result to prove v , ,sen ,0sen 0 b. , where . product dot product ofvectors the , where . Find donde elthe producto escalar de losofand vecFind the>dot theproduct v vcos cos ,vectors sen , cos 0and , ,where .>Calcular > 85 lb where Find the dot product oftothe v cos , sen , 0 , . > cos cos cos sen sen .la identidad vectors and use the result to the identity vectors and use the el result prove theprove identity 85 lb tores y usar resultado para demostrar andcos use the result to prove the identity 85 lb vectors cos cos sen sen . cos cos cos sen 85 libras vectors and use the result to prove the identity 2 85 lb 85 lb85 lb u cos v sen u 2 sen v. 2 sen2u. v. 20° coscosthat cos cos sen cos sen cos cos89. Prove cos sen . that u 20°v 2 u 2 v 2 2u v. 89. Prove that u v 2 20° u 2 v 60° cos cos cos sen 89. sen Prove . 90. Prove the Cauchy-Schwarz Inequality v ? v. u v . 2 5 i 2 1 2i v i 2u2 2u 2 iu 2 vi ui 89. Demostrar que 20° 2 2 60° 2 2 2 60° 89. Prove that u v u v 2u v. 20° 89. Prove that u v u v 2u v. 20° 89. Prove that u v v 2u v. 20° 90. Prove the Cauchy-Schwarz Inequality u v u v . 90. Prove the Cauchy-Schwarz Inequ 10 ft 60° 89. Prove that u v 2 u 2 v 291. 2u v.the triangle 20° Prove inequality u v u v . 90. Demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz 60° 60° 1060° ft ft Prove 90.Cauchy-Schwarz Prove thetriangle Cauchy-Schwarz Inequality u vthe . triangle inequality u 90. the Cauchy-Schwarz Inequality 90.10Prove the Inequality u vuv v uuu vuv.91. 91. Prove the inequality vv ..Prove Not drawn to scale 10 pies 90. Prove the Cauchy-Schwarz Inequality u v u v . 92. Prove Theorem 11.6. 10Not ft drawn to scale 10 ft 10 ft Not drawn to scale 91.triangle Prove the triangle v . 91. Prove the triangle inequality uv v uu uv v . vu. 91. Prove the inequality uinequality 92. Prove Theorem 11.6. Figure for 73 Figure for 74 11.6. No está dibujado a escala i ≤ Prove i u i 1Theorem i v i. 91. Provefor the74triangle inequality u v91. Demostrar u v la . desigualdad del triángulo i u 1 v 92. drawn to scale Not73 drawn scale Not for drawn to scaletoNot Figure Figure Figure for 73 Figure for 74 92. Prove Theorem 11.6. 92. Prove Theorem 11.6. 92. Prove Theorem 11.6. ot drawn to scale 92. Demostrar el teorema 11.6. 73 Figura 74 11.6. Prove Theorem Figure for 73 Figure for 74 Figure for 73 para Figure for 74 para Figure for Figura 73 Figure for92. 74 Figure for 74 11.3 SECCIÓN 11.3 11.3

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11.4 El producto vectorial de dos vectores en el espacio n n

Hallar el producto vectorial de dos vectores en el espacio. Usar el producto escalar triple de tres vectores en el espacio.

El producto vectorial EXPLORACIÓN

Propiedad geométrica del producto vectorial Se muestran abajo tres pares de vectores. Usar la definición para encontrar el producto vectorial de cada par. Dibujar los tres vectores en un sistema tridimensional. Describir toda relación entre los tres vectores. Usar la descripción para escribir una conjetura acerca de u, v y u 3 v. a) u 5 k3, 0, 3l, v 5 k3, 0, 23l z 3 2

−2

u 1

−3

1

1

3 x

2

b) u 5 k0, 3, 3l, v 5 k0, 23, 3l z

2 −3

−2

Sean u 5 u 1i 1 u 2 j 1 u3 k y v 5 v 1i 1 v 2 j 1 v 3k vectores en el espacio. El producto cruz de u y v es el vector u 3 v 5 su 2v3 2 u 3v2 di 2 su 1v3 2 u 3v1 dj 1 su 1v2 2 u 2v1 dk.

Una manera adecuada para calcular u 3 v es usar determinantes con expansión de cofactores. (Esta forma empleando determinantes 3 3 3 se usa sólo para ayudar a recordar la fórmula del producto vectorial, pero técnicamente no es un determinante porque las entradas de la matriz correspondiente no son todas números reales.)

y

3

−3

3

DEFINICIÓN DE PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES EN EL ESPACIO

NOTA Asegurarse de ver que esta definición sólo aplica a vectores tridimensionales. El producto vectorial no está definido para vectores bidimensionales. n

−3

v

v

En muchas aplicaciones en física, ingeniería y geometría hay que encontrar un vector en el espacio ortogonal a dos vectores dados. En esta sección se estudia un producto que da como resultado ese vector. Se llama producto vectorial y se define y calcula de manera más adecuada utilizando los vectores unitarios canónicos o estándar. El producto vectorial debe su nombre a que da como resultado un vector. Al producto vectorial también se le suele llamar producto cruz.

1

1

k u3 v3

i 5 u1 v1

j u2 v2

k u3 i 2 v3

−3

u

3

2

−2

x

5

−3

−3

v

−2

−2

1

u x

−3

−3

2

i u1 v1

j u2 v2

| |

u3 j1 v3

k u3 j 1 v3 u1 v1

|

i u1 v1

u2 k v2

ⱍ ⱍ a c

1

2

| |

u3 u i2 1 v3 v1

||

Put “v”“v” in en Row 3. 3. Poner la fila

j u2 v2

|

k u3 k v3

Notar el signo menos delante de la componente j. Cada uno de los tres determinantes 2 3 2 se pueden evaluar usando el modelo diagonal siguiente. y g

z

2

u2 v2

Poner la fila Put “u“u” ” in en Row 2. 2.

5 su 2v 3 2 u 3v 2d i 2 su 1v 3 2 u 3v 1d j 1 su1v2 2 u 2v 1d k

c) u 5 k3, 3, 0l, v 5 k3, 23, 0l

3

|

y

3

| ||

j u2 v2

−2 2

| |

i u 3 v 5 u1 v1

3

y

b ⫽ ad ⫺ bc d

Aquí están un par de ejemplos.

| | | | 2 3

4 26

4 5 s2ds21d 2 s4ds3d 5 22 2 12 5 214 21 0 5 s4ds3d 2 s0ds26d 5 12 3

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SECCIÓN 11.4

NOTACIÓN PARA LOS PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL

La notación para el producto escalar y para el producto vectorial la introdujo el físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (18391903). A comienzos de la década de 1880, Gibbs construyó un sistema para representar cantidades físicas llamado “análisis vectorial”. El sistema fue una variante de la teoría de los cuaterniones de Hamilton.

EJEMPLO 1

El producto vectorial de dos vectores en el espacio

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Hallar el producto vectorial

Dados u 5 i 2 2j 1 k y v 5 3i 1 j 2 2k, hallar cada uno de los siguientes productos vectoriales. a) u 3 v Solución

b) v

3

c) v

u

| || | ||

i a) u 3 v 5 1 3

j 22 1

k 22 1 5 1 22

3

v

| | | | |

1 1 i2 22 3

1 1 j1 22 3

22 k 1

5 s4 2 1d i 2 s22 2 3d j 1 s1 1 6d k 5 3i 1 5j 1 7k

b) v

3

i u5 3 1

j 1 22

k 1 22 5 22 1

| | | | |

22 3 i2 1 1

22 3 j1 1 1

1 k 22

5 s1 2 4di 2 s3 1 2dj 1 s26 2 1dk 5 23i 2 5j 2 7k

| |

Notar que este resultado es el negativo del obtenido en el inciso a). c) v

3

i v5 3 3

j 1 1

k 22 5 0 22

Los resultados obtenidos en el ejemplo 1 sugieren algunas propiedades algebraicas interesantes del producto vectorial. Por ejemplo, u 3 v 5 2 sv 3 ud,y v 3 v 5 0. Estas propiedades, y algunas otras, se presentan en forma resumida en el teorema siguiente.

TEOREMA 11.7 PROPIEDADES ALGEBRAICAS DEL PRODUCTO VECTORIAL Sean u, v y w vectores en el espacio, y sea c un escalar. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

u 3 v 5 2 sv 3 ud u 3 sv 1 wd 5 su 3 vd 1 su 3 wd csu 3 vd 5 scud 3 v 5 u 3 scvd u30503u50 u3u50 u ? sv 3 wd 5 su 3 vd ? w

DEMOSTRACIÓN Para demostrar la propiedad 1, sean u 5 u 1i 1 u 2 j 1 u 3k y v = v1i + v2 j + v3k. Entonces,

u 3 v 5 su 2v 3 2 u 3v 2di 2 su 1v 3 2 u 3v 1dj 1 su 1v 2 2 u 2v 1dk y v

3

u 5 sv 2u 3 2 v3u 2di 2 sv 1u 3 2 v3u 1dj 1 sv1u 2 2 v2u 1dk

la cual implica que u 3 v 5 2 sv 3 ud. Las demostraciones de las propiedades 2, 3, 5 y 6 se dejan como ejercicios (ver ejercicios 59 a 62).

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CAPÍTULO 11

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Observar que la propiedad 1 del teorema 11.7 indica que el producto vectorial no es conmutativo. En particular, esta propiedad indica que los vectores u 3 v y v 3 u tienen longitudes iguales pero direcciones opuestas. El teorema siguiente da una lista de algunas otras de las propiedades geométricas del producto vectorial de dos vectores. NOTA De las propiedades 1 y 2 presentadas en el teorema 11.8 se desprende que si n es un vector unitario ortogonal a u y a v, entonces

u 3 v 5 ± s iui i v i sen sin u dn. n

TEOREMA 11.8 PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DEL PRODUCTO VECTORIAL Sean u y v vectores distintos de cero en el espacio, y sea u el ángulo entre u y v. u 3 v es ortogonal tanto a u como a v. iu 3 v i 5 iui iv i sen sin u u 3 v 5 0 si y sólo si u y v son múltiplos escalares uno de otro. iu 3 v i 5 área del paralelogramo que tiene u y v como lados adyacentes.

1. 2. 3. 4.

DEMOSTRACIÓN

sigue que

Para la propiedad 2, observar que como cos u 5 su ? vdys iui i vi d, se

iui ivi sen sin u 5 iui ivi!1 2 cos 2 u su ? vd 2 5 iui ivi 12 iui 2 ivi 2 5 ! iui 2 ivi 2 2 su ? vd 2 5 !su12 1 u22 1 u32dsv12 1 v22 1 v32d 2 su 1v1 1 u 2v2 1 u 3v3d 2 5 !su 2v3 2 u 3v2) 2 1 su 1v3 2 u 3v1d 2 1 su 1v2 2 u 2v1d2

!

v

v  sen θ θ

u

Los vectores u y v son los lados adyacentes de un paralelogramo Figura 11.35

5 iu 3 v i. Para demostrar la propiedad 4, ir a la figura 11.35 que es un paralelogramo que tiene v y u como lados adyacentes. Como la altura del paralelogramo es ivi sen sin u, el área es Área = (base)(altura) = u v sen θ = u×v . Las demostraciones de las propiedades 1 y 3 se dejan como ejercicios (ver ejercicios 63 y 64). Tanto u 3 v como v 3 u son perpendiculares al plano determinado por u y v. Una manera de recordar las orientaciones de los vectores u, v, y u 3 v es compararlos con los vectores unitarios i, j y k 5 i 3 j, como se muestra en la figura 11.36. Los tres vectores u, v y u 3 v forman un sistema dextrógiro, mientras que los tres vectores u, v y v 3 u forman un sistema levógiro.

k=i×j

u×v

j i

Plano xy

Sistemas dextrógiros Figura 11.36

v u Plano determinado por u y v

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SECCIÓN 11.4

Hallar un vector unitario que es ortogonal tanto a

(−3, 2, 11)

u 5 i 2 4j 1 k como a v 5 2i 1 3j.

12

Solución El producto vectorial u 3 v, como se muestra en la figura 11.37, es ortogonal tanto a u como a v.

10

| |

8

i u3v5 1 2

6

u×v 4

(1, −4, 1)

j 24 3

k 1 0

Producto vectorial.

5 23i 1 2j 1 11k

−4

Como

2

u

iu 3 vi 5 !s23d 2 1 2 2 1 11 2 5 !134 2 2

y

4

v

un vector unitario ortogonal tanto a u como a v es

(2, 3, 0)

4

u3v 3 2 11 52 i1 j1 k. iu 3 vi !134 !134 !134

x

El vector u como a v

795

Utilización del producto vectorial

EJEMPLO 2 z


3

v es ortogonal tanto a u NOTA En el ejemplo 2, notar que se podría haber usado el producto vectorial v 3 u para formar un vector unitario ortogonal tanto a u como a v. Con esa opción, se habría obtenido el negativo del vector unitario encontrado en el ejemplo. n

Figura 11.37

Aplicación geométrica del producto vectorial

EJEMPLO 3

Mostrar que el cuadrilátero con vértices en los puntos siguientes es un paralelogramo y calcular su área. A 5 s5, 2, 0d

B 5 s2, 6, 1d

C 5 s2, 4, 7d

D 5 s5, 0, 6d

Solución En la figura 11.38 se puede ver que los lados del cuadrilátero corresponden a los siguientes cuatro vectores. z \

AB 5 23i 1 4j 1 k 8 6

\

AD 5 0i 2 2j 1 6k \

C = (2, 4, 7)

\

\

CD 5 3i 2 4j 2 k 5 2AB \

\

CB 5 0i 1 2j 2 6k 5 2AD \

\

\

D = (5, 0, 6)

\

4

6

B = (2, 6, 1) 6

|

i AB 3 AD 5 23 0

2

2

\

Por tanto, AB es paralelo a CD y AD es paralelo a CB , y se puede concluir que el cuadrilátero es un paralelogramo con AB y AD como lados adyacentes. Como \

y

j 4 22

|

k 1 6

\

Producto vectorial.

5 26i 1 18j 1 6k el área del paralelogramo es

A = (5, 2, 0) \

x

El área del paralelogramo es aproximadamente 32.19 Figura 11.38

i AB

\

3

AD i 5 !1036 < 32.19.

¿Es el paralelogramo un rectángulo? Para decidir si lo es o no, se calcula el ángulo entre los vectores AB y AD . \

\

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CAPÍTULO 11

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En física, el producto vectorial puede usarse para medir el momento M de una fuerza F respecto a un punto P, como se muestra en la figura 11.39. Si el punto de aplicación de la fuerza es Q, el momento de F respecto a P está dado por M

\

M 5 PQ

3

F.

Momento de F respecto a P. \

P

La magnitud del momento M mide la tendencia del vector PQ al girar en sentido contrario al de las manecillas del reloj (usando la regla de la mano derecha) respecto a un eje en dirección del vector M.

PQ Q F

Una aplicación del producto vectorial

EJEMPLO 4

El momento de F respecto a P Figura 11.39

Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de un pie de longitud unida a un eje en el punto P, como se muestra en la figura 11.40. Calcular el momento de esta fuerza respecto al punto P cuando u 5 608.

z

Q

Solución Si se representa la fuerza de 50 libras como F 5 250k y la palanca como F

!3 1 PQ 5 coss608d j 1 sen sins608dk 5 j 1 k 2 2 \

60° P

| |

el momento de F respecto a P está dado por y

i

x \

Una fuerza vertical de 50 libras se aplica en el punto Q Figura 11.40

M 5 PQ

3

F5 0 0

j

k

1 2 0

!3

2 250

5 225i.

Momento de F respecto a P.

La magnitud de este momento es 25 libras-pie. NOTA

En el ejemplo 4, notar que el momento (la tendencia de la palanca a girar sobre su eje) depende del ángulo u. Cuando u 5 py2, el momento es 0. El momento es máximo cuando u 5 0. n

El triple producto escalar (o producto mixto) Dados vectores u, v y w en el espacio, al producto escalar de u y v u ? sv

3

3

w

wd

se le llama triple producto escalar, como se define en el teorema 11.9. La demostración de este teorema se deja como ejercicio (ver ejercicio 67). PARA MAYOR INFORMACIÓN Para ver cómo el producto vectorial se usa para modelar el momento de un brazo de robot de un transbordador espacial, ver el artículo “The Long Arm of Calculus” de Ethan Berkove y Rich Marchand en The College Mathematics Journal.

TEOREMA 11.9 EL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR Para u 5 u1i 1 u2 j 1 u3 k, v 5 v1 i 1 v2 j 1 v3 k, y w 5 w1i 1 w2 j 1 w3k, el triple producto escalar está dado por u ? sv

3

|

u1 wd 5 v1 w1

u2 v2 w2

|

u3 v3 . w3

NOTA El valor de un determinante se multiplica por 21 si se intercambian dos de sus filas. Después de estos dos intercambios, el valor del determinante queda inalterado. Por tanto, los triples productos escalares siguientes son equivalentes.

u ? sv 3 wd 5 v

? sw 3 ud 5 w ? su 3 vd

n

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SECCIÓN 11.4

v×w

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797

Si los vectores 11.4 u, v yThe w no están en elofmismo plano,in el triple producto Cross Product Two Vectors Space 797 escalar u ? sv 3 w) puede usarse para determinar el volumen del paralelepípedo (un poliedro, en el que todas sus caras son paralelogramos) con u,vv×yww como aristas adyacentes, como seIf the vectors u, v, u v w) can be used muestra en la u, figura 11.41. Esto en elplane, teorema If the vectors notselieestablece in the same the siguiente. triple scalar product v, and w do all of whose faces are pa u v w) can be used to determine the volume of the parallelepiped (a polyhedron, Figure 11.41. This is est all of whose faces are parallelograms) with u, v, and w as adjacent edges, as shown in TEOREMA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR Figure 11.41. This11.10 is established in the following theorem. u

v×w u

El volumen V de un paralelepípedo con vectores u, v y w como aristas adyacentes está dado por GEOMETRIC PROPERTY OF THE TRIPLE SCALAR PRODUCT THEOREM 11.10 V 5V uof? asvparallelepiped 3 wd . The volume with vectors u, v, and w as adjacent edges

u w

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|

v

proyv×w u

|

w

is given by

5 iv 3 wi Áreawde la base v

Volumen de paralelepípedo | ? sv 3 w d| Figura v11.41 Area of base w u v Volume of parallelepiped

THEOREM 11.10 GE

The volume V of a pa is given by

v

u

V

v

w

V u v En w la. figura 11.41 se observa proj v × wu  DEMOSTRACIÓN que

u  u projv × w5

w

PROOF

y v

Figure 11.41

and

Area of base v w Volume of parallelepiped

iv 3 wi 5 área de la base In Figure 11.41, note that

u

v

w

PROOF

Figure 11.41

v

w area of base iprojv 3 wui 5 altura de paralelepípedo. iproy

|

w

area of b

and projv

Por consiguiente, el volumen es projv wu height of parallelepiped. V5(altura)(área 5 sheightdsarea of based 5 iproj ui iv 3 wi V Therefore, the volume is de la base) 5 iproyv 3 w u ? sv 3 wd V height area of base projv5wu v w iv 3 wi iv 3 wi u v w v w v 5 wu ? sv 3 wd . u v w . EJEMPLO 5 Cálculo de un volumen por medio

|

In Figure 11.41

wu

heig

Therefore, the volume is

|

V

height area o

|

del triple producto escalar EXAMPLE 5 Volume by the Triple Scalar Product

EXAMPLE 5 Volum z

Find the volume of u 3i 5j k, v Find the volume of the parallelepiped having Calcular el volumen del paralelepípedo que tiene z (3, − 5, 1) (3, 1, 1) 2 u 3i 5j k, v 2j 2k yand k as adjacent edges. ww 5 3i 3i 1 j 1j k como aristas adyacentes. 1 Solution By Theorem u (3, −5, 1) (3, 1, 1) 2 1 u Solution By Theorem 11.10, you have w 1 V u v w Solución Por el teorema 11.10, se tiene y v 3 w V u v w Triple scalar product 3 5 1 6 y x v w3 V 5 u ? sv 3 wd Triple producto escalar. y 3 (0, 2, −2) v 3 5 1 6 0 2 2 x x 6 (0, 2, −2) 0 32 252 1 3 1 1 The parallelepiped has a volume of 36. (0, 2, −2) Figure 11.42 35 01 21 22 The parallelepiped has a volume of 36. 2 2 3 El paralelepípedo tiene un volumen de 36 Figure 11.42 10 2 3 2 1 2 0 2 1 1 Figura 11.42 3 5 1 1 21 22 3 01 22 3 01 2 34 56 53 2 s25d 1 s1d 1 3 1 3 4 15 6 1 1 6 3 36. 36.5 3s4d 1 5s6d 1 1s26d (3, − 5, 1) in shown mostrado en u

z

|

1, 1) 11.42 Figure la(3,figura 2 11.42

|

| |

| | | | | |

5 36. A natural consequen is 0 if and only if the thre A natural consequence of Theorem 11.10 is that the volume of the parallelepiped v v1, v2, v3 , and w is 0 if and only if the three vectors are coplanar. That is, if the vectors u u1, u2, u3 , consecuencia natural del teorema 11.10 es quethey el lie volumen del paraleleplane if and only if v v1, vUna , v , and , w , w have the same initial point, in the same w w 2 3 es 0 ifsi y sólo 1 si 2los 3tres vectores son coplanares. Es decir, si los vectores planepípedo if and only u1 u 5 ku1, u2, u3 l, v 5 kv1, v2, v3l,y w 5 kw1, w2, w3 l tienen el mismo punto inicial, se u 2 plano u 3 si y sólo si u v w v1 encuentran en elumismo 1 u v w v1 v2 v3 0. w1 u u u3 w1 w1 2 w2 3 u ? sv 3 wd 5 v1 v2 v3 5 0. w1 w2 w3

|

|

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CAPÍTULO 11

11:46 AM

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798 Chapter 11 Vectors and the Geometry Space 798 Chapter 11 11 Vectors Vectors and and the the Geometry Geometry of of Space Space 798 Chapter 798 Chapter 11 Vectors and the Geometry ofofSpace 798 798 ChapterChapter 11 Vectors and the Geometry of Space 11 Vectors and the Geometry of Space 798 Chapter 11 Vectors and the Geometry of Space

Ejercicios See 11.4 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 11.4 Exercises See www.CalcChat.com www.CalcChat.com for for worked-out worked-out solutions solutions to to odd-numbered odd-numbered exercises. exercises. Exercises 11.4 See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 11.4 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutionssolutions to odd-numbered exercises.exercises. 11.4 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out to odd-numbered 11.4 En los ejercicios 1 find a 6, the calcular el producto vectorial de los and vecÁrea In EnExercises los ejercicios 27 find a 30,the calcular elthe área del paraleloIn Exercises 1– 6, cross product of the unit vectors Area 27–30, area of parallelogram In Exercises Exercises 1– 1–6, 6, find find the the cross cross product product of of11.4 the unit unit vectors vectors and Area SeeIn In Exercises 27–30, 27–30, find the the areatoof of the parallelogram parallelogram Exercises www.CalcChat.com for worked-out solutions odd-numbered exercises. In the and Area Exercises find area the tores unitarios y dibujar su resultado. gramo que tiene los vectores dados como lados adyacentes. Usar In Exercises 1– 6, find the cross product of the unit vectors and Area In Exercises 27–30, find the area of the parallelogram

sketch your result. that has the given vectors as adjacent sides. Use computer sketch your your result. result. that has has the the given given vectors vectors as as adjacent adjacent sides. sides. Use Use aaa computer computer sketch that In Exercises 1– 6, find cross of the of unit and and Area Inthe Exercises 27–30, the area of the parallelogram un has sistema algebraico por27–30, computadora oarea una herramienta de In Exercises 1– 6,the find the product cross product thevectors unit vectors Area In or Exercises find the of the parallelogram sketch your result. that given vectors asfind adjacent sides. Use aresult. computer algebra system a graphing utility to verify your algebra system or a graphing utility to verify your result. jj 3your ii ii 3 jj 1. 2. algebra system oraverificar agraphing graphing utility to verify your result. sketch result. that has the given vectors adjacent sides. Use a Use computer graficación para elasutility resultado. 1. 2. j i i j 1. 2. sketch your result. that has the given vectors as adjacent sides. a computer In Exercises 1– 6, find the cross product of the unit vectors and Area In Exercises 27–30, find the area of algebra system or to verify your result. 1.j j i i 2.i i j j 1.3. 2.4. jj 3 kk kk 3 sketch jj algebra system or a graphing utility to your uu algebra jj uu verify ii to verify jhas kthe 27. 28. j k kresult. 27. u 28. utility system or a graphing your result. your result. that given vectors as adjacent side 3. 4. j k k j 3. 4. j u i j 27. 28. ik j i jj i j 1. 2. 27.u u 5j j 28.u u 5i i 1j j 1k k 3.j j k1. 4.kik j2. 27. 28. 3.5. 4.6. algebra system or a graphing utility to verify i 3k k 3i v j k v j k v j k v j k 27. uvv2.27. 28. uvv 28. 5. 6. kk 5. jiii 3. 6. kkk 4.jiii1.k j j i j kk j k 3. 4. 5jijj u1k 5j ijj u1kjkk i k j k 5. 6. j k v v 5. i k 6. k i 29. 30. uu j 3, 3, 2, 1 uu j 2, 2, 1, 29. vu 30. vu 3, 2, 2, 1, 0j0 28. u i k 21l k 1, 29. 30. v2,2, j1 11 k v u21, j 3i(c) ku yvv c) v. j2, 3.kand i ejercicios k i 7–10, ib) 5. Exercises 6.u vk3 29.u u4.5k3, 30.u u 527. k3, k 7 afind 5. 6. 29. 30. 2,k2, 1, j0 00l k En los 10, (a) calcular v, v 3 v. a) v In (b) u v, u, u v, v u, v. In Exercises 7–10, find (a) (b) and (c) In Exercises 7–10, find (a) (b) and (c) u v, v u, v v. v 1, 2, 3 v 1, 2, 0 v 1, 2, 3 v 1, 2, 0 v j k v j 29. uvv6.29. 30. uvv 30. 3, 1 2, 1 2,u 1, 1, 00l 1, 0 In Exercises 7–10, find (a) u v, (b) v u, 5. andi (c)kv v. 1,u2,2, i2,3 33l3, 2,02, v 5k1,k1, v 5 k21, 1, 2,2, u (a) v, u(b) vv, u,3i v (c) v. v v. In7. Exercises 7–10, find (a)find andu, (c)and u u 2i 4j 5k 8. u 2i 4j u 3i 5k 7. 8. v In Exercises 7–10, (b) 29.v 1, 30. u uthe 3, 1 the 2, v In 1,Exercises 2, 3 1, 2, 331 v that 2, points 0points 3i 5k 5k vExercises 1, 2, 2, 0are Area and 32, verify the Area In 31 and and 32, verify that are the 2i2i 4j4j 7.7.uu 8.8.uu 3i Área En los ejercicios 31v.y32, 32, verify verificar que lospoints puntos sonthe los Area In Exercises 31 that the are v, (b) vExercises u, and vand In Exercises 7–10, find (a) uArea (c) 3i 2j 5k 2i 3j 2k 3iu2i 2j 2j4j2i 5k 5k 4j 2i 3j 2k In 31 32, verify that the points are the 3i 5k 7. uvvv 7.3i 8. uvvv 8. v 1, 2, 3 v vertices of parallelogram, and find its area. 2k vertices of parallelogram, and find its its area. area. 5k vérticesInof deaaaun paralelogramo, y find calcular su área. vertices parallelogram, and v 3i 2j 5k v 2i2iu 3j3j3i 2k Area 31 and31 32, verify that the are theare the Area In Exercises and 32, verify thatpoints the points vertices ofu aExercises parallelogram, and find its area. uu 3i7, 7, 3, 22 5k uu 2i 3, 2, 22i 9. 10. 7, 3,2j 3, 2, 22k 9. vu 10. vu u 3j 4j2k 3i 5k 7.3, 8. 9. 10. 3, 2 2, 2 v 3i 2j 5k v 2i 3j vertices of a22parallelogram, and find its area. 31. A 0, 3, , B 1, 5, 5 , C 6, 9, 5 , D 5, 7, 2 7, 3, 2 3, 2, 2 9. u 10. u 31. A 0, 3, , B 1, 5, 5 , C 6, 9, 5 , D 5, 7, 2 vertices of a parallelogram, and find its area. Area In Exercises 31 and 32, verify that 31.AA0,0,3,v3,2 2, 2i , B1,1,5, ,2k C6,6,9,9,5 5, D , D5,5,7,7,2 2 1, 1, 55 1, 11 3i2 2j 5k 1, 1, 5,2, v5, 3j5,5 5, C 31. B 3, 1, 21,7, 9. uvvv 9. 7, 10. uvvv 10. 3, 1, 5 1, 5, 1 u 3, 2 u 3, 2, 2 vertices of a parallelogram, and find its area 32. AA 0, 2, 3, BB 6, 6, 5, C 7, 2, D 3, 6, v 1, 1, 5 v 1, 5, 1 32. A 2, 3,A3, 6, C 7, 2,D9, D 3, 6, 2444 31. 23,0, ,111B3, 5, 55,1, , C5, 9, 5 6, ,2, 7, 2 5, 7, 32. 2, ,,, 1, B 111,6,C ,5,, C 7, 222,5, ,5,, D 3, 6, 31. 22, ,5,B5, ,7,C ,3,D u 7, 3, 2 u 3, 2 9. 10. 32. A 2, 3, 1 , B 6, 1 2, 2 D 6, 4 v 1, 1, 5 v 1, 5, 1 v 1, 1, 5 v 1, 5, 1 vv and In Exercises 11–16, find and show that itit is orthogonal to In Exercises Exercises 11–16, and ushow show that is orthogonal orthogonal to En los ejercicios 11 find afind 16,uucalcular 3 vthat y probar que es orto11–16, to 31. A6,triangle 0, 3, triángulo 2 ,4Bwith 1, 5,the 5 , C 6, 9, 5 , D 5, 7, 2 32. 2,In 1ejercicios , B 6,33 5, 1 a5, ,find C 2, , D2,of 3,2área 4del A3, ,B 6, , C2area 7, ,D 3, 6, Area Exercises –36, the the ÁreaA 32. En los2, 33 36,7,1the calcular el con InIn Exercises find uu v vand show that itvitisisorthogonal Area In Exercises 33 –36, find the area of the triangle with the 1, 1, 5 to v Exercises 1, 5,3,1133 uutanto v. both and v.u como both and 11–16, Area In –36, find area of the triangle with the 1 area gonal a a v. u v. both and 11 Area In Exercises 33 –36, find the of the triangle with the u v In Exercises 11–16, find and show that it is orthogonal to 32. A 2, 3, 1 , B 6, 5, 1 , C 7, 2, 2 , D 3, u los vértices dados. (Sugerencia: u 3 v es el área del triánguv In Exercises 11–16, find and show that it is orthogonal to both u and v. 1 u given vertices. Hint: is area of the triangle having given vertices. vertices. Hint: isthe thearea areaofof ofthe thetriangle trianglewith having 2the 1 222–36, given Hint: is the area the triangle having uu 33 vvv–36, Area In Exercises 33 find the Area InHint: Exercises find theofarea of the triangle with the uboth v. and both and12, u 3, 0 u 1, 1, 2 11. 12. given vertices. is the area the triangle having u v u 12, 3, 0 u 1, 1, 2 11. 12. u v. lo que tiene u y v como lados adyacentes.) u v In Exercises 11–16, find and show that it is orthogonal to 2 1 and as adjacent sides. uu and 12, 3,3,0 0 1,2 2 11.uu 12, 12.uu andvertices. as adjacent adjacent sides. given Hint:sides. ofarea the of triangle having u v12 uis the vvvasas 1,1,1, 11. 12. Area In Exercises 33having –36, find the area of th vertices. is the the triangle v area 2Hint: u1, v. andAAvgiven adjacent sides. uu 2, 5, 000 vv both 0, 1, 00and 2, 5, 0, 1, 33. 0, 0, 0 , B 1, 0, 3 , C 3, 2, 3, u 1, 2 11. uvvv 11. 12, 12. 33. 0, 0, 0 , B 1, 0, 3 , C 3, 3, 2, 2, 000 1 2, 5, 0 v 0, 1, 0 u 12, 3, 0 u 1, 1, 2 12. 33. A 0, 0, 0 , B 1, 0, 3 , C and as adjacent sides. u v given vertices. Hint: v 2, 5, 0 v 0, 1, 0 2 u v is the area of t 33. A 0,u0,and 0 , vBas1,adjacent 0, 3 , C sides. 3, 2, 0 uu 2, 3, uu 11. 10, 0, 66 13. 14. 2, 3,01112, 5, 0 0, 13. vu 14. vu 34. AA 0, 2, 3, 44B,,,1,1, BB1,0, 0, 1, 22C,,, C C 1, 2, 00 u10,00, 12, 3, 0 u0, 3, 21, 2, 5, 0,v 10, 1, 34. 12. 2, 3, 0, 1, C 1, 2, 2, 3, 6 13. 14. 33. A 0 , 3 , 3, 2, 0 v 0, 1, 0 34. 2, 4 B 2 1, 2, 0 and as adjacent sides. u v 2, 3, 1 10, 0, 6 13. u 14. u 34. A 2,33. 3,A 40,, 0,B 00,, 1,B 21,, 0,C 3 , 1,C2, 03, 2, 0 1, 2, 5, 3, 1, 2,2, 5, 3,0,000610, 35. AA 2, 2, 7, BB00, 1, 5, C 4, 6, v 3, 2, 0, 5, 60 3, 111 3, 1 10, 13. uvvv 13. 2, 14. uvvv 14. 5, 35. A 2,v 3, 7, 4330,,,,1,B C 1, 4, 2, 6, 0 11 33. A 0, 0, 0 , B 1, 0, 3 , C 3, 2, 0 1, 2, 34. 25,0, ,88C,,, C u u 35. ,1,5,B5, v 1, 2, 1 v 5, 3, 0 35. A 2,34. 7,A7,32,3, B3, 41,1, 8 8, 1, C 24,,4,6,C6, 11,1 2, 0 15. 16. u i j k u i 6j 15. 16. u i j k u i 6j 36. A 1, 2, 0 , B 2, 1, 0 , C 0, 0, 0 u 2, 3, 1 u 10, 0, 6 13. 14. 1k 2, 1 0 3, 0 36. AA 35. 1, 2,7,0 ,3, B 1,5,0 8, C 0,4, 0,6,0 1 34. A 2, 3, 4 , B 0, 1, 2 , C 1, 2, 0 15.uvu i i1,vj j 2,k1, 16.uvu i i5,v6j6j3, 5, 35. 2, ,B B 32,1, ,CC 36. 0, 15. 16. 36. A 1,1,2,2,0A0, 2, B 7,2,2, 1,,1,0B0, ,C1, 0,5, 0,80,0,0C 4, 6, 1 2i kk vv i 2i 2i jj 1, k kk 2, 1 2iu j jjji kk 2i v v 5, 3, 0 15. uvvv 15.i2i 16. u 6j j v 35.bicycle A 2, by 7, applying 3una , Bfuerza 1, 36. 1, 2,A0 1, ,AB 1, 0frena , C 0, 6j 36. 0 2, ,niño B 2, 1,the 0 brakes ,0, C0 0, 0, Momento Un en una bicicleta aplicando 37. A v 2i j k j k v 16. 2iu ji k 37. Torque child applies on aa 5, 8 , C 4, 6, 1 Torque A2,child child applies the brakes on0aaa bicycle bicycle by applying applying 37. Torque A applies the brakes on by a 15. 16. u i j k u i 6j v About 2iv It jIt2i In k jExercises 2i vectors j 2i k juu and 37. Torque child applies a36. bicycle by Ael1,when 2, 0applying ,the B crank 2,a1,la0 , C 0, 0, 0 k vthe k vv dirigida Ahacia 20brakes libras sobre pedal cuando Think 17–20, use the downward force of 20 pounds on the pedal Think About In Exercises 17–20,v use use the vectors and downward forceabajo of 20 20dethe pounds onon the pedal when the crank u and Think About Exercises 17–20, vectors downward force of pounds on the the crank 37.downward Torque A childA applies the brakes on pedal apedal bicycle by the applying a Para pensar En losExercises ejercicios 17 a 20, los vectores uk the ythe 37.v Torque child applies the brakes on awhen bicycle by a v vv Think About ItIt InIn 17–20, useusar the force of 20 on the when crank vvectors 2i uj and 2iangle j with k pounds manivela forma un ángulo de 40° con la horizontal (vercrank la applying figushown in the figure to sketch a vector in the direction of makes a the horizontal (see figure). The is 40 shown in the figure to sketch a vector in the direction of makes a angle with the horizontal (see figure). The crank is 40 shownin inthe the figure topara sketch avector vector insistema the direction ofthe the makesadownward a4040angle anglewith with the horizontal (see figure). The crank is uofand v and v makes Think About It In to Exercises 17–20, use the vectors downward force of 20the pounds on the pedal when the crank u Think About It In Exercises 17–20, use the vectors mostrados en la figura dibujar en un dextrógiro un force of 20 pounds on the pedal when the crank 37. Torque A child applies the brakes on a bi shown figure sketch a in the direction horizontal (see figure). The crank is ra). La in manivela tienethe 6 torque pulgadas de longitud. Calcular el indicated cross product in right-handed system. inches length. Find at P. indicated cross cross product product in in aaa right-handed right-handed system. system. inches in length. length. Find Find the torque at at P. P. indicated 666inches inches in the torque shown incross the figure todel a vector in the direction ain40 angle with the horizontal The force crank iscrank shown in the figure to sketch a vector in the direction of the 17–20, vector en la dirección vectorial indicado. makes a vectors angle with the horizontal (see figure). Theof is 40Find u v at Think About It ofInthe Exercises use the and downward 20 pounds on the ped indicated product insketch aproducto right-handed system. 6makes length. torque P.(see figure). momento respecto a P.the z indicated in a right-handed system. inches in the length. Find the at P. atmakes indicated cross product in a right-handed system. 6 in inches in length. Find the torque P. shown in the figure to sketch a 6vector direction oftorque the a 40 angle with the horizontal (see zzcross product zz indicated cross product in a right-handed system. 6 inches in length. Find the torque at P. 66 z z

||

z

y yy yy y 6

y 2

1

v

40° P

F = 20 libras

60° 60° 2000 lb 2000 lb 60° 2000 lb 000 libras 60° 2 2000 60° lb 60° 2000 60° lb2000 lb

16

66 4 6 66 u 6

6 pulg

0.

6 5 4 3 2 1

v

00. 0. .1016.060. 16 1.f61p1i6 ft t6fetfftt 0. 16 ft

6 66555 vv 556444 445333 vvv 6 5 2 33422 v4 223111 3 11112 2 22 1 1 u 1 33 2 1 u1u uu 44 32 2 1 1 43 3 2 u 44 3 2 3 x4 4

||

u

y

6 17. 18. uu vv uu4 3 17. u 18. vvv u 17. 18. 17. 18. 17. 18. uu 3vvv vv 3uu Figure for 37 Figure for Figure for for 37 37 Figure for for 38 38 19. 20. vvv uu uu uu uu vv 19. u 17. 20. vu Figure Figure 17. 18. 19. 20. Figura Figura para 38 Figure forpara 37 37 Figure for 3838 19. 20. s2v su v3vvvdu 19. 20. v vd 3uuuu v uu 318. u Figure for Figure for 38 for 38. Torque Both the magnitude and the direction of the force on 38. 18. Torque Both the magnitude magnitude and and the direction direction of the the force force on on 17. uv uv to v 37uBoth 19. 20.algebra v u21–24, u 20. uusystem Figure for 37the Figure 38 19. v u use 38. Torque the of CAS In Exercises computer find uu vvv In Exercises Exercises 21–24, use aaa computer computer algebra system tovfind find u CAS In 38. Torque BothLa themagnitud magnitude and the direction of the the force on un CAS 21–24, use algebra system to Momento y la dirección de la fuerza sobre 38. a crankshaft change as the crankshaft rotates. Find torque a crankshaft change as the crankshaft rotates. Find the torque CAS In Figure for 37 Figure for Exercises 21–24, use a computer algebra system to find u v En los ejercicios 21 a 24, usar un sistema algebraico por compua crankshaft change as the crankshaft rotates. Find the torque 19. 20. v u u u v and a unit vector orthogonal to and u v. and aa unit unit vector vector orthogonal orthogonal to to uu and and v. v. 38.a Torque Both the magnitude and theCalcular direction the force on 38. Torque Both and theshown direction of the force on crankshaft change asthe the crankshaft rotates. Find the torque and cigüeñal cambian cuando éste gira. elof momento sobre CAS and In Exercises 21–24, useua3 computer algebra systemsystem to findto u find on the crankshaft using the position and data in the figure. on the crankshaft crankshaft using themagnitude position and data shown in the figure. CAS In Exercises 21–24, use a unit vector orthogonal and v. algebra tadora para encontrar vtoyaucomputer un vector unitario ortogonal a vu u v on the using the position and data shown in the figure. a crankshaft change as the crankshaft rotates. Find the torque a crankshaft change as theyand crankshaft rotates. Find thefitorque 38. shown Torque Both magnitude and the direc onelthe crankshaft using the position data in the figure. cigüeñal usando posición datos mostrados en the la au unit orthogonal to u22. and v. and 21. u 4, 3.5, 77 uuu 8, 6, 21. 22. 4, 3.5,vector 8, 6, 6, 444 21–24, use a computer and4, avector unit orthogonal to v. CAS In Exercises algebra system tolafind u56 v los 39. Optimization A force of pounds acts on the pipe wrench yand a v.u 39. on Optimization Ausing force ofposition 56the pounds acts ondata the shown pipe wrench 21. 22. 3.5, the crankshaft the and acts data shown in thewrench figure. 39. Optimization A force of 56 pounds on the pipe on the crankshaft using position and in the figure. a crankshaft change as the crankshaft rota gura. 21. 22. u 4, 3.5, 77 uu and8,8, 6, 4 A force pounds and v.in ushown the figure on the next page. 2.5, 9, 33 7 10, 12, 22 orthogonal39.to Optimization shown in the the figure figure onof the56 next page.acts on the pipe wrench 2.5, 9,4, 10, 12, 21. uvvv 21. 4, 22. uvvv 22. 10, 3.5, 8,a unit 6, 8, 4vector shown in on the next page. 2.5, 9, 3 12, 2 on the crankshaft using the position and data 39. Optimization A force of 56 pounds acts the pipe wrench u 3.5, 7 u 6, 4 39. Optimization A force of 56 pounds acts on the pipe wrench shown in the figure on the next page. 39. Optimización Una fuerza de 56 libras actúa sobre la llave inglev 2.5, 9, 3 v 10, 12, 2 (a) Find the magnitude of the moment about by evaluating O 23. 24. uu 3i 2j 5k uu 21. 0.7k (a) Find Find the8,magnitude magnitude ofon thethe moment about O by evaluating evaluating O by 23. vu 24. vu 3i 9, 32j 2j 9,5k 5k 0.7k shown in the the figure the next page. 22. 3.5, 72 u 6,figura 4on 2.5, 10, (a) of the moment about shown inlathe figure next page. 23. 24. 0.7k 39. A force of 56 pounds acts sa Find mostrada en que semoment encuentra enOptimization laOpágina siguiente. v u 12, 10,4, 212, (a) the F magnitude the about bythe evaluating 23. 24. u 3iv3i 2j2.5, 5k3 u 0.7k OA Use aa of graphing utility to graph resulting .. Use OA Use graphing utility to graph the resulting F v 0.4i 0.8j 0.2k v 1.5i 6.2k OA a graphing utility to graph the resulting F . 0.4i 0.8j 0.2k v 1.5i 6.2k shown in the figure on the next page. (a) Find the magnitude of the moment about by evaluating O v 2.5, 9, 3 v 10, 12, 2 23. uvv 23.0.4i 24. 3i 2j 5k 0.7k u (a) Find the magnitude of the moment about by evaluating O 0.8j 0.2k v 1.5i 6.2k a) Calcular la magnitud del momento respecto a O evaluando OA a graphing utility to graph the resulting F .of 2j 5k 0.7k function function ofUse v 0.4iu 0.8j3i 0.2k v 24. 1.5iu 6.2k ... F .auna function of OA Use graphing utility to graph the resulting F . Use a graphing utility to graph the resulting OA Usar herramienta de graficación para reprei OA 3 F i. (a) Find the magnitude of the moment abo . function of 23. 24. u 3i 2j 5k u 0.7k vu and1.5i vProgramming 0.4i 0.8j Given 0.2kthe0.2k 6.2k 6.2kform, v 0.4i 0.8j 1.5i 25. vectors in component (b) Use the result of part (a) to determine the magnitude of the u and 25. Programming Programming Given the vectors vectors u and vvv in in component component form, (b) function Use the the result of part (a) to to determine determine the the magnitude magnitude of of the the of . of 25. Given the form, (b) Use result part (a) function of . sentar la función de q que se obtiene. Use a graphing utility to OA F . u and vin 25. Programming Given vectors utility form,is (b) Use the1.5i result of part 45 (a) ..to determine the magnitude of the vcomponent 0.4i 0.8j vmoment 6.2k write program for graphing which the output moment when write aaa program program for aaathe graphing utility ininwhich which the output output is0.2k 45 when write for graphing utility in the is 45 . moment when Programación Dadas las componentes de los vectores u y v, 25. function of . u v 25.write Programming Given the vectors and in component form, (b) Use the result of part (a) to determine the magnitude of the b) Usar el resultado del inciso a) para determinar la magnitud u v 25. Programming Given the vectors and in component form, (b) Use the result of part (a) to determine the magnitude of the program 45 . moment when and uu vvav and uu for vv ... a graphing utility in which the output is and u (c) Use the result of part (a) to determine the angle when the (c) del Usemomento the result of part (a) to45 determine the angle angle when when the the u unuprograma de graficación que write awrite program apara graphing utility25. in which the output is 45(a) . to moment when (c) Use the result of part determine the cuando a program forherramienta a graphing utility in which thecaloutput is vectors when . u and vmoment Programming Given the in component (b) Use the result uescribir v and v v.for (c) Use the result of part (a)form, to determine the angle when theof part (a) to determine t 26. Programming Use the program you wrote in Exercise 25 to magnitude of the moment is maximum. Is the answer what 26. Programming Use the program you wrote in Exercise 25 to magnitude of the moment is maximum. Is the answer what cule y u 3 v iu 3 vi. and u v u v . 26.Programming Programming Use youwrote wrote inExercise Exercise 25 for to a graphing magnitude ofthe the moment maximum. the answer what u v andUse u the vprogram .programyou c) utility Usar el resultado del inciso a) para determinar elangle ángulo write a program inUse which the output moment when 45 . (c) Use result of part (a) to determine the angle when the (c)the result of part (a) the when the 26. magnitude ofthe moment isismaximum. IsIsthe answer what find and for and uu vvv and uu the vv for uu 2, 6, 10 vv 3, 8, 55 ... you expected? Why or why not? find u and u for u and 2, 6, 6, 10 10 in 3,25 8, to you expected? Why or why not?to determine find and v 2, v 3, 8, 5 you expected? Why or why not? 26. Programación Usar el programa escrito en el ejercicio 25 para cuando la magnitud del momento es máxima. ¿Es la respuesand u v u v . 26.find Programming Use the program you wrote in Exercise 25 to magnitude of the moment is maximum. Is the answer what 26. Programming Use the program you wrote in Exercise 25 to magnitude of the moment is maximum. Is the answer what (c) Use the result of part (a) to determine t u v and u v for u 2, 6, 10 and v 3, 8, 5 . you expected? Why or why not? encontrar yvv and vi u 5u 2, k22, 6,2,Programming 10l 5 k3, 5l. lo expected? que seexpected? ¿Por qué sí onot? por quémagnitude no? find u find forpara and vu and vu uv for 6,26. 10 3,v 8,8,5Use . 8,the you Why orWhy whyto not? and3 u3 v yvuiu 6, 10 3, 5 .program ta you or why you wrote inesperaba? Exercise 25 of the moment is maximum find u v and u v for u 2, 6, 10 and v 3, 8, 5 . you expected? Why or why not? \ \ \

\

\ \

\

\

1053714_1104.qxp 1053714_1104.qxp 10/27/08 10/27/08 11:46 11:46 AM AM Page Page 799 799 Larson-11-04.qxd 3/12/09 17:20 Page 799 1053714_1104.qxp 10/27/08 11:46 AM Page 799 1053714_1104.qxp 10/27/08 11:46 AM

Page 799

SECCIÓN 11.411.4 vectorial deofof dos vectores enin el espacio The Product Two Vectors 11.4El producto TheCross Cross Product Two Vectors inSpace Space

799 799

The Cross Product of Two Vectors in Space 799 11.4 The Cross Product of Two Vectors in Space 799 Volume 47 ofof the Volume In In Exercises 47 and andy 48, 48, find find the the volume volume the Volumen EnExercises los ejercicios 47 encontrar el volumen del 180 lb 180 lb 180 libras F FF parallelepiped the vertices. parallelepipedwith withtiene thegiven given vertices. paralelepípedo que vértices dados (ver las figuras). Volume In Exercises 47 and 48, find the volume of the B BB θ θθ 180 lb F Volume In Exercises 47 and 48, find the volume of the 180 lb AAA F parallelepiped 47. 0,0,00,the 5,5,11, ,vertices. 2,2,0,0,55 47. 0,0,0,0,00, , 3,3,with , 0,0,given θ parallelepiped with the given vertices. 18 in. 18 in. B 18 pulg θ B A 47. 3, 0,3,5, 0,5,101,, , 5, 3,5,0, 0,0,505,, , 2, 0,2,5, 5,5,616,, , 5, 2,5,5, 0,5,656 12 12in. in.A θθθ FFF 12 pulg 47. 0, 0, 0 , 3, 0, 0 , 0, 5, 1 , 2, 0, 5 18 in. 48. 48. 0, 3,0, 18 in. 3,0,0, 5,0,010,,, 0, 5,0,4, 0,4,050,,, 2, 3, 5, 60,0, 0,5,, 5,1,61,1,1,55 θ F 3, 5, 1 , 5, 0, 5 , 2, 5, 6 , 5, 5, 6 12 in. 30° 30° 30° θ F 3, 4, 0 , 1, 5, 5 , , , 1,4, 3, 4, 0 , 1, 5, 5 , 12 in. 48. 0, 0, 0 , 0, 4, 0 , 3, 0,4,04,1, ,1,551, 54,5,5,55 48. 0, 0, 0 , 0, 4, 0 , 3, 0, 0 , 1, 1, 5 A A A 15 in. 15 in. 15 pulg OOO 30° 5, 5vv, 0,0, 4, 1,what 5what , can 4, 5, 5concluir IfIfu3, about 49. Si yuu you conclude about u 4,vv0 , 00 y1, 49. puede 30° 3, 4, 0 ,¿qué 1,se5,can 5 ,you 4,conclude 1, 5 , acerca 4, 5,de5uu O A 15 in. v? and v? and y v? Figure for 39 Figure for 40 Figure for 39 Figure for 40 O 15 in. 49. If uA v Figura para 39 Figura para 40 0 y u v 0, what can you conclude about u 49. If u that whatreasoning. can you conclude about u vthatare 0 yequal. u vExplain 0, your 50. Identify the dot products 50. Identificar Identify the dot products are equal. your reasoning. 50. los productos vectoriales que Explain son iguales. Explicar el and v? 40. Optimization AA force ofof 180 pounds bracket 40.Optimización Optimization force 180Figure pounds acts on the the bracket Figure for 39 foracts 40 on and v? nonzero Una fuerza el soporte 40. u, v, w (Assume and are vectors.) u, v, w (Assume and are nonzero vectors.) Figure for 39de 180 libras actúa sobre Figure for 40 razonamiento. (Suponer que u, v y w son vectores distintos de shown in the figure. shown in the figure. 50. Identify the dot products that are equal. Explain your reasoning. en la figura. Identify the dot products 40. mostrado Optimization A force of 180 pounds acts on the bracket ww50. vv ww that uu are equal. Explain your reasoning. b)b) vectors.) a) uu vvu, v, cero.) (Assume and w are nonzero 40. Optimization Atheforce ofFFrepresenting 180 pounds the acts on the a) bracket AB (a) Determine the vector and the vector AB (a) Determine the vector and vector representing the (Assume u, v, and w are nonzero vectors.) a)shown Determinar el vector AB y el vector F que representa la in the figure. ww c) d) c) uuu vvv w d) uvu w ww u vv shown in the figure. force. (F will terms ofofde .).) force.(F (Festará willbe be terms a) b) eninin términos u.) vector F representing the a) u v w b) v w u AB and (a)fuerza. Determine the vector the u w v e) f u w v e) f)) ww ABAAand (a) Determine the vector the vector F representing Find ofofthe about evaluating (b) Findthe the magnitude the moment about by evaluating c) uthe v w d) u vv wuu v b)(b) Calcular magnitud del momento aby A evaluando force. (Flamagnitude will be in terms ofmoment .) respecto c) u v w d) u w v force. (F will be in terms of .) g) h) AB FF . . AB F i. e)g) u uuw vvv ww fh) ) www vuu uvv (b)i AB Find3 the magnitude of the moment about A by evaluating e) f ) u w v w v u (b)part Find the magnitude of magnitude the momentofofabout Use result (b) totob) determine the the (c) Use the result part (b) determine the magnitude the A by evaluating c)(c) Usar resultado inciso para determinar la magnitud g) h) ABelthe F . ofofdel u vABBOOw w u v W R I T I N G A U T C O N C E P T S W R I T I N G U T C O N C E P T S g) h) w u v AB F . u v w 30 moment when 305. . 308. moment when momento cuando (c)delUse the result of partu (b) to determine the magnitude of the 51. Define the cross product of vectors and u v. 51. Define the cross product of vectors and u v. (c) Use the result of part (b) to determine the magnitude of the WRITING ABOUT CONCEPTS Use result part (b) determine the (d) Useelthe the resultofofdel part (b) determine theangle angleel when whenthe the d)(d) Usar resultado inciso para determinar ángulo u 30 . totob) moment when W Rconceptos I Tproperties I N G A B of OofUthe T cross C O Nproduct. CEPTS Desarrollo de 30At . that moment 52. 52. State Statethe the geometric properties the magnitude ofofthe iswhen angle, what magnitude themoment moment ismaximum. maximum. At that angle, what 51. Define thegeometric cross product of vectors and v.product. u cross cuando la magnitud del momento es máxima. A ese ángulo, (d) Use the result of part (b) to determine the angle when the 51. Define the cross product of vectors u and v. ??Is isisthe between the and AB the relationship between thevectors vectors and itwhat what (d) entre Use the result of part to determine the when 53. If magnitudes two are doubled, 53.Definir Ifthe thethe magnitudes twovectors vectors are doubled, how willthe the ¿cuál esrelationship la relación losis vectores F yFF(b) ¿Es loIsitque se angle 51. AB ?AB u yhow v. will el geometric productoofof vectorial deoflos vectores 52. State properties the cross product. magnitude of the moment maximum. At that angle, what you Why oror why not? 52.cross State the geometric properties ofExplain. the cross product. youexpected? expected? Why why not? magnitude of the moment is maximum. At that angle,magnitude what of the product of the vectors change? magnitude of the cross product of the vectors change? Explain. esperaba? ¿Por qué sí o por qué no? is the relationship between the vectors F and AB ? Is it what 52. Dar lasmagnitudes propiedadesofgeométricas the two vectorsdel areproducto doubled, vectorial. how will the F and AB ?53. is the relationship between the vectors Is itIfwhat Use aa herramienta graphing utility totonot? graph the function for the 53. If the magnitudes of two vectors are doubled, how will the (e) Useuna graphing utility graphpara therepresentar function forfunthe e)(e) Usar de graficación la you expected? Why or why magnitude of the cross product of the vectors change? Explain. 53. Si las magnitudes de dos vectores se duplican, se change? Explain. you expected? not? AAWhy magnitude ofofthe about for magnitude of the cross product of¿cómo the vectors 180£. .Find magnitude themoment moment aboutrespecto for00orawhy Find magnitud del momento A para180 0° £ (e)ción Usede ala graphing utility to graph the function for qthe modificará la magnitud del producto vectorial de los vecthe function iningraphing the domain. the thezero zeroofofelthe the function thegiven given domain. Interpret the functionCCAfor TTOONNEE APPSSthe (e) Use toInterpret graphInterthe 180°. Hallar de la afunción enfor elutility 0dominio dado. 180 . Find magnitude of cero the moment about A tores? Explicar. meaning of the zero in the context of the problem. meaning of the zero in the context of the problem. A 0 180 . magnitude of the moment about for Find pretar el significado del cero contexto del problema. 54. 54. The triangleininspace spaceare are xx1,1,yy1,1,zz11, , xx2,2,yy2,2,zz22, , the zero of the function in en theelgiven domain. Interpret the C A PThe Sthe T vertices Overtices N E ofofaatriangle the zero of the function in the given domain. Interpret P S T Ohow Nhow E totofind and xx3,3,yy3,3,zz33C. .A Explain and Explain findaavector vectorperpendicular perpendicular meaning of the zero in the context of the problem. In u vv wof w. the . zero in the context of the problem.54. The vertices of a triangle in space are x1, y1, z1 , x2, y2, z2 , InExercises Exercises41– 41–44, 44,find findumeaning Para discusión to the triangle. to the triangle. 54. The vertices of a triangle in space are x1, y1, z1 , x2, y2, z2 , En los ejercicios 41 a 44, calcular u ? xv 3 wc. and x3, y3, z3 . Explain how to find a vector perpendicular w In and x Explain how to find vector perpendicular , y , z . uu i i 41– 44, find u v 42. 41. 41.Exercises 42.. uu 1,1,1,1,11 3 3 en 3 el espacio son sx , y a 54. Los vértices de un triángulo to the triangle. u 1, 1l v w. In Exercises 41– 1 1, z1d, 41. u 5 i 42.44,u find 5 k1, to the triangle. sx2, y2, z2d,y sx3, y3, z3d. Explicar cómo encontrar un vector 1,2,1,1, 1,1,0l010 41. vvuv5 j jij 42. vvuv5 k2,2, 1, 1, 1 41. u i 42. u True or True perpendicular or False? False? In In Exercises 55–58, 55–58, determine determine whether whether the the al Exercises triángulo. w k w 0, 0, 1 w k w 0, 0, 1 2,0, 1,1l 0 wv 5 kj wv 5 k0, statement statementisistrue trueor orfalse. false.IfIfititisisfalse, false,explain explainwhy whyor orgive givean an v j v 2, 1, 0 43. 44. 43. uwu k2,2,0,0,11 44. uwu 2,0, 2,0,0, 0,010 True or False? In Exercises 55–58, determine whether the example that shows it is false. example that shows it is false. True or False? In Exercises 55–58, determine whether the 43. u 5 k2, 0, 1l 44. u 5 k2, 0, 0l falso? En losIf ejercicios a 58, determinar la w k w 0, 0, 1 ¿Verdadero statement iso true or false. it is false,55 explain why or givesian statement is true or false. If it is false, explain why or give an 43. vvuv5 k0,0, 44. vvuv5 k1,1, 2,0,3,3, 0,3,0l010 2,1,1,1, 0,1,1l101 declaración esshows verdadera othe falsa. Siproduct es falsa,ofof explicar por qué example is false. 55. possible totoitfind the cross two inin aoa 43. u 44. u 2, 0, 1 2, 0, 0 55. ItIt isis that possible find cross product two vectors vectors w 0, 0, 1 w 0, 2, 2 example that shows it is false. w 0, 0, 1 w 0, 2, 2 dar un ejemplo que demuestre que es falsa. 0,0, 3,1l 0 v 1, 1, 1 two-dimensional two-dimensionalcoordinate coordinatesystem. system. wv 5 k0, v 0, 3, 0 w 5 k0, 2, 2l v 1, 1, 1 55. It is possible to find the cross product of two vectors in a 55. Es posible encontrar el producto vectorial de dos vectores en of un two vectors in a w 0, 0, 1 w 0, 2, 2 55. It is possible toare find the cross product ininspace that nonzero and nonparallel, Volume 56. If Ifuuand andvvare arevectors vectors space that are nonzero and nonparallel, Volume In InExercises Exercisesw45 45and and 46,1use usethe thetriple triplescalar scalarproduct product 0, 46, 0, w 0,toto 2, 2 56. two-dimensional coordinate system. sistema de coordenadas bidimensional. two-dimensional coordinate system. u v v u. then find the volume of the parallelepiped having adjacent edges u, u v v u. then find the volume of the parallelepiped having adjacent edges u, Volumen En los ejercicios 45 y 46, usar el triple producto 56. If u and v are vectors in space that are nonzero and nonparallel, Volume In Exercises 45 and 46, use the triple scalar product to v,v,and andw. w. encontrar escalar para el volumen del paralelepípedo tiene scalar56. 56. vIfv u en andelvespacio arethen vectors that are Volume In Exercises 45 and 46, use que the triple product vectores son distintos de nonzero cero y and nonparallel, vque w. 57. If and w, v in w.space 57. Si Ifuuu yutov00son then vanduu v u. uu w, then find the volume of the parallelepiped having adjacent edges u, como aristas adyacentes u, volume v y w. of the parallelepiped having adjacent edges then u v v u. find the u, no paralelos, entonces uu u vv vuu w, 58. u vvv uuw. w, w,then w. 58. If and thenvv w. and v,45. 45. 46. uu w.i i jj 46. uu 1,1,3,3,11 00,and uw,and w,uthen 57. IfIfuuu 0, v, and w. 0 u v u w, v w. 57. If and then 57. Si y entonces u Þ 0 u 3 v 5 u 3 w, v 5 w. 45. uvv5 i j1 46. uvv5 k1,0,0,3,6,6,1l66 j k u v prove u w,the u v ofof uthe v w. 58. If u 0,59 and thenproduct. 45. u ij k 46. u j 1, 3, 1 In property cross InExercises Exercises 59–66, –66, prove the property thew, cross product. u 0, u v u w, u v u w, then v w. 58. If and 58. Si y entonces u Þ 0, u v 5 u w, u 3 v 5 u 3 v 5 w. ? ? 45. 46. u i j u 1, 3, 1 vww 5j1k vww 5 k0, 6,4,4, 6l v ji i kkk v 0, 6, 60,0, 44 In the property of the crossdel product. uu ejercicios vv 59 ww–66, u uu ww propiedad 59. v j k 0, 6, 6 u66,vvdemostrar 59.Exercises En los 59 aprove producto w 5 i 1 zkz w 5 zk24, 0, 24l v In Exercises 59 –66, la prove the property of the cross product. w i k w z 4, 0, 4 vectorial. c u v cu v u cv 60. w i k w 4, 0, 4 c u v cu v u cv 60. v w u v u w 59. u z z v w u v u w 59. u z z 66 61. 0 d cu 61. uucu3 vv 22 z z 59. 5 su 3v vd 1 3 wd u suvuv1 0w u su cv 60. c u v cu v u cv 60. 644 v 2 vvvd 5 w 62. u v v5 v uww 62. cuuu 6 su 3u 3 scvd 60. 0w scud u3 61. v 2 6 2 61. u u 0 4 2 vv v 63. u v is orthogonal 2 uu 4 63. uuu3 uvv5is w both andv.v. ww 0orthogonal 61. u to vtoboth w uuand 62. 4 v u v w 62. u v w y y u 2 4 4 v 6 6 u v 0 u 64. if and only if and are u v 0 u 64. if and only if and arescalar scalarmultiples multiplesofofeach each 88 2 w u yy d 5 su 3 to vd both w u andvvv. 62. 63. uu ? sv 3 is w orthogonal ? v 1w 1 uu u y w w 22 w u v u v. 63. is orthogonal to both and 4 other. 6 other. 8 y 22 y 6 8 tantoifauu and como a v. scalar multiples of each 63. 0 if and only v are 64. uu y3 vv es ortogonal 1 x4 u w 2 y 4 6 65. uorthogonal. ififuand only if orthogonal. and v are scalar multiples of each 865. Prove u vvare uand Provethat that uu 64.vv u uvu v0v if and are wy 2 1 2xx 1 u w 64. uother. si u y v son múltiplos escalares uno del otro. 3 v 5 0 si y sóloother. 2 2 x 2 vvv wwu vuuif w vv uu vorthogonal. 66. v w. w. 66. Prove Provethat thatuu u iu uwand 65. Prove that x 65. Demostrar que siv u vy are vusonvortogonales. vi 5that iui uivi 65. 3 Prove if u and v are orthogonal. x v11.9. w v wd v u2 svu w. 66. Prove that u 66. que66. u11.9. 3Prove svw 3 that wd u5 s u 67. Prove ? ? 67. Demostrar ProveTheorem Theorem v w u vdww.v u v w. u 11.4

\\ \

\

\

\\

\

\

\

\\

\

\

\

67. el teorema 67. Demostrar Prove Theorem 11.9. 11.9. 67. Prove Theorem 11.9.

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CAPÍTULO 11

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11.5 Rectas y planos en el espacio n n n n

Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para una recta en el espacio. Dar una ecuación lineal para representar un plano en el espacio. Dibujar el plano dado por una ecuación lineal. Hallar las distancias entre puntos, planos y rectas en el espacio.

Rectas en el espacio En el plano se usa la pendiente para determinar una ecuación de una recta. En el espacio es más conveniente usar vectores para determinar la ecuación de una recta. En la figura 11.43 se considera la recta L a través del punto Psx1, y1, z1d y paralela al vector v 5 ka, b, cl. El vector v es un vector de dirección o director de la recta L, y a, b y c son los números de dirección (o directores). Una manera de describir la recta L es decir que consta de todos los puntos Qsx, y, zd para los que el vector PQ es paralelo a v. Esto significa que PQ es un múltiplo escalar de v, y se puede escribir a PQ 5 t v, donde t es un escalar (un número real).

z

Q(x, y, z) L

P(x1, y1, z1)

\

v = 〈a, b, c〉

\

y

\

\

PQ 5 kx 2 x1, y 2 y1, z 2 z1 l 5 kat, bt, ctl 5 t v

PQ = tv

Igualando los componentes correspondientes, se obtienen las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio. x

La recta L y su vector de dirección v

TEOREMA 11.11 ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA RECTA EN EL ESPACIO

Figura 11.43

Una recta L paralela al vector v 5 ka, b, cl y que pasa por el punto Psx1, y1, z1d se representa por medio de las ecuaciones paramétricas x 5 x1 1 at,

z 5 z1 1 ct.

Si todos los números directores a, b y c son distintos de cero, se puede eliminar el parámetro t para obtener las ecuaciones simétricas (o cartesianas) de la recta.

z

(1, −2, 4)

x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1 5 5 a b c

4 −4

2

−4

y 5 y1 1 bt, y

Ecuaciones simétricas.

−2

EJEMPLO 1 2 2 4 x

4

L

y

Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas

Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por el punto s1, 22, 4d y es paralela a v 5 k2, 4, 24l. Solución Para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta, se usan las coordenadas x1 5 1, y1 5 22,y z1 5 4, y los números de dirección a 5 2, b 5 4 y c 5 24 (ver figura 11.44).

v = 〈2, 4, −4〉

x 5 1 1 2t,

y 5 22 1 4t,

z 5 4 2 4t

Ecuaciones paramétricas.

Como a, b y c son todos diferentes de cero, un conjunto de ecuaciones simétricas es El vector v es paralelo a la recta L Figura 11.44

x21 y12 z24 5 5 . 2 4 24

Ecuaciones simétricas.

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SECCIÓN 11.5

Rectas y planos en el espacio

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Ni las ecuaciones paramétricas ni las ecuaciones simétricas de una recta dada son únicas. Así, en el ejemplo 1, tomando t = 1 en las ecuaciones paramétricas se obtiene el punto (3, 2, 0). Usando este punto con los números de dirección a 5 2, b 5 4 y c 5 24 se obtiene un conjunto diferente de ecuaciones paramétricas x 5 3 1 2t,

y 5 2 1 4t, y

z 5 24t.

Ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por dos puntos

EJEMPLO 2

Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos s22, 1, 0d y s1, 3, 5d. Solución Se empieza por usar los puntos Ps22, 1, 0d y Qs1, 3, 5d para hallar un vector de dirección de la recta que pasa por P y Q, dado por v 5 PQ 5 k1 2 s22d, 3 2 1, 5 2 0l 5 k3, 2, 5l 5 ka, b, cl. \

Usando los números de dirección a 5 3, b 5 2 y c 5 5 junto con el punto Ps22, 1, 0d, se obtienen las ecuaciones paramétricas z

x 5 22 1 3t, n

Q

Planos en el espacio y

n · PQ = 0 x

El vector normal n es ortogonal a todo vector PQ en el plano Figura 11.45

z 5 5t.

NOTA Como t varía sobre todos los números reales, las ecuaciones paramétricas del ejemplo 2 determinan los puntos (x, y, z) sobre la recta. En particular, hay que observar que t 5 0 y t 5 1 dan los puntos originales s22, 1, 0d ys1, 3, 5d. n

P

\

y 5 1 1 2t, y

Se ha visto cómo se puede obtener una ecuación de una recta en el espacio a partir de un punto sobre la recta y un vector paralelo a ella. Ahora se verá que una ecuación de un plano en el espacio se puede obtener a partir de un punto en el plano y de un vector normal (perpendicular) al plano. Considerar el plano que contiene el punto Psx1, y1, z1d y que tiene un vector normal distinto de cero n 5 ka, b, cl, como se muestra en la figura 11.45. Este plano consta de todos los puntos Qsx, y, zd para los cuales el vector PQ es ortogonal a n. Usando el producto vectorial, se puede escribir \

n ? PQ 5 0 kx 2 x1, y 2 y1, z 2 z1l 5 0 \

ka, b, cl

?

asx 2 x1d 1 bs y 2 y1d 1 csz 2 z1d 5 0 La tercera ecuación del plano se dice que está en forma canónica o estándar. TEOREMA 11.12 ECUACIÓN CANÓNICA O ESTÁNDAR DE UN PLANO EN EL ESPACIO El plano que contiene el punto sx1, y1, z1d y tiene un vector normal n 5 ka, b, cl puede representarse en forma canónica o estándar, por medio de la ecuación asx 2 x1d 1 bs y 2 y1d 1 csz 2 z1d 5 0.

Reagrupando términos, se obtiene la forma general de la ecuación de un plano en el espacio.

ax 1 by 1 cz 1 d 5 0

Forma general de la ecuación de un plano en el espacio.

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CAPÍTULO 11

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Dada la forma general de la ecuación de un plano, es fácil hallar un vector normal al plano. Simplemente se usan los coeficientes de x, y y z para escribir n 5 ka, b, cl. EJEMPLO 3

Hallar una ecuación de un plano en el espacio tridimensional

Hallar la ecuación general del plano que contiene a los puntos s2, 1, 1d, (0, 4, 1) y s22, 1, 4d.

z

(−2, 1, 4)

Solución Para aplicar el teorema 11.12 se necesita un punto en el plano y un vector que sea normal al plano. Hay tres opciones para el punto, pero no se da ningún vector normal. Para obtener un vector normal, se usa el producto vectorial de los vectores u y v que van del punto (2, 1, 1) a los puntos (0, 4, 1) y (22, 1, 4), como se muestra en la figura 11.46. Los vectores u y v dados mediante sus componentes son

5 4

v

3 −3

2

−2

u 5 k0 2 2, 4 2 1, 1 2 1l 5 k22, 3, 0l

1

(2, 1, 1) 3

x

v 5 k22 2 2, 1 2 1, 4 2 1l 5 k24, 0, 3l

(0, 4, 1)

u 2

2

4

así que 5

Un plano determinado por u y v

y

|

n5u3v i 5 22 24

Figura 11.46

j 3 0

|

k 0 3

5 9i 1 6j 1 12k 5 ka, b, cl

es normal al plano dado. Usando los números de dirección para n y el punto sx1, y1, z1d 5 s2, 1, 1d, se puede determinar que una ecuación del plano es asx 2 x1d 1 bs y 2 y1d 1 csz 2 z1d 5 0 9sx 2 2d 1 6s y 2 1d 1 12sz 2 1d 5 0 9x 1 6y 1 12z 2 36 5 0 3x 1 2y 1 4z 2 12 5 0.

Forma canónica o estándar. Forma general. Forma general simplificada.

NOTA En el ejemplo 3, verificar que cada uno de los tres puntos originales satisfacen la ecuación n 3x 1 2y 1 4z 2 12 5 0.

n1

θ

Dos planos distintos en el espacio tridimensional o son paralelos o se cortan en una recta. Si se cortan, se puede determinar el ángulo s0 ≤ u ≤ py2d entre ellos a partir del ángulo entre sus vectores normales, como se muestra en la figura 11.47. Específicamente, si los vectores n1 y n2 son normales a dos planos que se cortan, el ángulo q entre los vectores normales es igual al ángulo entre los dos planos y está dado por

n2

cos u 5 θ

|

|

n1 ? n2 . in1 i i n2 i

Ángulo entre dos planos.

Por consiguiente, dos planos con vectores normales n1 y n2 son

? n2 5 0.

Ángulo q entre dos planos

1. perpendiculares si n1

Figura 11.47

2. paralelos si n1 es un múltiplo escalar de n2.

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SECCIÓN 11.5

Hallar el ángulo entre los dos planos dados por

Plano 1

x 2 2y 1 z 5 0

Ecuación de plano 1.

2x 1 3y 2 2z 5 0

Ecuación de plano 2.

Plano 2

θ

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Hallar la recta de intersección de dos planos

EJEMPLO 4 z Recta de intersección


y

y hallar las ecuaciones paramétricas de su recta de intersección (ver figura 11.48).

x

Solución Los vectores normales a los planos son n1 5 k1, 22, 1l y n2 5 k2, 3, 22l. Por consiguiente, el ángulo entre los dos planos está determinado como sigue. cos u 5 5

Figura 11.48

5

|n1 ? n2|

Coseno del ángulo entre n1 y n2.

in1 i i n2 i

|26|

!6 !17

6 !102

< 0.59409 Esto implica que el ángulo entre los dos planos es u < 53.558. La recta de intersección de los dos planos se puede hallar resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones lineales que representan a los planos. Una manera de hacer esto es multiplicar la primera ecuación por 22 y sumar el resultado a la segunda ecuación. x 2 2y 1 z 5 0

22x 1 4y 2 2z 5 0

2x 1 3y 2 2z 5 0

2x 1 3y 2 2z 5 0 7y 2 4z 5 0

y5

4z 7

Sustituyendo y 5 4zy7 en una de las ecuaciones originales, se determina que x 5 zy7. Finalmente, haciendo t 5 zy7, se obtienen las ecuaciones paramétricas x 5 t,

y 5 4t,

y

z 5 7t

Recta de intersección.

lo cual indica que 1, 4 y 7 son los números de dirección de la recta de intersección.

Hay que observar que los números de dirección del ejemplo 4 se pueden obtener a partir del producto vectorial de los dos vectores normales como sigue.

n1

3

| |

i n2 5 1 2 5

|

22 3

j 22 3

k 1 22

| | | | |

1 1 i2 22 2

1 1 j1 22 2

22 k 3

5 i 1 4j 1 7k

Esto significa que la recta de intersección de los dos planos es paralela al producto vectorial de sus vectores normales.

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CAPÍTULO 11

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Trazado de planos en el espacio Si un plano en el espacio corta uno de los planos coordenados, a la recta de intersección se le llama la traza del plano dado en el plano coordenado. Para dibujar un plano en el espacio, es útil hallar sus puntos de intersección con los ejes coordenados y sus trazas en los planos coordenados. Por ejemplo, considerar el plano dado por 3x 1 2y 1 4z 5 12.

Ecuación del plano.

Se puede hallar la traza xy, haciendo z 5 0 y dibujando la recta 3x 1 2y 5 12

Traza xy-

en el plano xy. Esta recta corta el eje x en (4, 0, 0) y el eje y en (0, 6, 0). En la figura 11.49 se continúa con este proceso encontrando la traza yz y la traza xz, y sombreando la región triangular que se encuentra en el primer octante.

z

z

z

(0, 0, 3)

(0, 0, 3)

(0, 6, 0)

(0, 6, 0)

(0, 6, 0)

y

y

y

(4, 0, 0)

(4, 0, 0)

(4, 0, 0)

x

x

x

traza xy sz 5 0d: traza yz sx 5 0d: 3x 1 2y 5 12 2y 1 4z 5 12 Trazas del plano 3x 1 2y 1 4z 5 12

traza xz s y 5 0d: 3x 1 4z 5 12

Figura 11.49 z

Plano: 2x + z = 1

Si en una ecuación de un plano está ausente una variable, como en la ecuación 2x 1 z 5 1, el plano debe ser paralelo al eje correspondiente a la variable ausente, como se muestra en la figura 11.50. Si en la ecuación de un plano faltan dos variables, éste es paralelo al plano coordenado correspondiente a las variables ausentes, como se muestra en la figura 11.51.

(0, 0, 1)

( 12, 0, 0) y x

z

z

z

El plano 2x 1 z 5 1 es paralelo al eje y Figura 11.50

(0, 0, − dc ) (0, − bd , 0)

y x

(

)

− ad , 0, 0

El plano ax 1 d 5 0 es paralelo al plano yz Figura 11.51

y x

El plano by 1 d 5 0 es paralelo al plano xz

y x

El plano cz 1 d 5 0 es paralelo al plano xy

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SECCIÓN 11.5


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Distancias entre puntos, planos y rectas Esta sección concluye con el análisis de dos tipos básicos de problemas sobre distancias en el espacio. Q

n

1. Calcular la distancia de un punto a un plano. D

proyn PQ

P

D = proyn PQ 

La distancia de un punto a un plano

2. Calcular la distancia de un punto a una recta. Las soluciones de estos problemas ilustran la versatilidad y utilidad de los vectores en la geometría analítica: el primer problema usa el producto escalar de dos vectores, y el segundo problema usa el producto vectorial. La distancia D de un punto Q a un plano es la longitud del segmento de recta más corto que une a Q con el plano, como se muestra en la figura 11.52. Si P es un punto cualquiera del plano, esta distancia se puede hallar proyectando el vector PQ .sobre el vector normal n. La longitud de esta proyección es la distancia buscada. \

Figura 11.52

TEOREMA 11.13 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO La distancia de un punto a un plano Q (no en el plano) es

|PQ ? n| \

\

D D5 5 iproy iprojnPQ i 5

in i

donde P es un punto en el plano y n es normal al plano.

Para encontrar un punto en el plano dado por ax 1 by 1 cz 1 d 5 0 sa Þ 0d, se hace y 5 0 y z 5 0. Entonces, de la ecuación ax 1 d 5 0, se puede concluir que el punto s2dya, 0, 0d está en el plano.

Calcular la distancia de un punto a un plano

EJEMPLO 5

Calcular la distancia del punto Qs1, 5, 24d al plano dado por 3x 2 y 1 2z 5 6. Solución Se sabe que n 5 k3, 21, 2l es normal al plano dado. Para hallar un punto en el plano, se hace y 5 0 y z 5 0, y se obtiene el punto Ps2, 0, 0d. El vector que va de P a Q está dado por \

PQ 5 k1 2 2, 5 2 0, 24 2 0l 5 k21, 5, 24l. Usando la fórmula para la distancia dada en el teorema 11.13 se tiene

|PQ ? n| 5 |k21, 5, 24l ? k3, 21, 2l| \

D5

in i

!9 1 1 1 4

5 5

Distancia de un punto a un plano.

|23 2 5 2 8| !14

16 !14

.

NOTA El punto P que se eligió en el ejemplo 5 es arbitrario. Seleccionar un punto diferente en el plano para verificar que se obtiene la misma distancia. n

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CAPÍTULO 11

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Del teorema 11.13 se puede determinar que la distancia del punto Qsx0, y0, z0d al plano dado por ax 1 by 1 cz 1 d 5 0 es D5

|asx0 2 x1d 1 bs y0 2 y1d 1 csz0 2 z1d| !a2 1 b2 1 c2

o D5

|ax0 1 by0 1 cz0 1 d|


!a2 1 b2 1 c2

donde Psx1, y1, z1d es un punto en el plano y d 5 2 sax1 1 by1 1 cz1d.

Encontrar la distancia entre dos planos paralelos

EJEMPLO 6 z

3x − y + 2z − 6 = 0

Encontrar la distancia entre los dos planos paralelos dados por 3

3x 2 y 1 2z 2 6 5 0 y 6x 2 2y 1 4z 1 4 5 0.

−6

(2, 0, 0) 2

x

D

y

Solución Los dos planos se muestran en la figura 11.53. Para hallar la distancia entre los planos, elegir un punto en el primer plano, digamos (x0, y0, z0) = (2, 0, 0). Después, del segundo plano, se puede determinar que a 5 6, b 5 22, c 5 4 y d 5 4, y concluir que la distancia es D5

6x − 2y + 4z + 4 = 0

La distancia entre los planos paralelos es aproximadamente 2.14 Figura 11.53

5 5

|ax0 1 by0 1 cz0 1 d|


!a2 1 b2 1 c2

|6s2d 1 s22ds0d 1 s4ds0d 1 4| !62 1 s22d2 1 42

16 !56

5

8 !14

< 2.14.

La fórmula para la distancia de un punto a una recta en el espacio se parece a la de la distancia de un punto a un plano, excepto que se reemplaza el producto vectorial por la magnitud del producto vectorial y el vector normal n por un vector de dirección para la recta. TEOREMA 11.14 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN EL ESPACIO La distancia de un punto Q a una recta en el espacio está dada por \

D5

iPQ 3 u i iu i

donde u es un vector de dirección para la recta y P es un punto sobre la recta. Punto Q

DEMOSTRACIÓN En la figura 11.54, sea D la distancia del punto Q a la recta dada. Entonces D 5 iPQ i sin sen u, donde u es el ángulo entre u y PQ . Por el teorema 11.8, se tiene \

D = PQ  sen θ P

θ u

Recta

\

\

iu i i PQ i sen sin u 5 i u

\

3

Por consiguiente, \

Distancia de un punto a una recta Figura 11.54

i PQ 3 u i D 5 i PQ i sen sin u 5 . iu i \

\

PQ i 5 iPQ

3

u i.

1053714_1105.qxp 10/27/08 10:39 AM Page Page 807 807 1053714_1105.qxp 10/27/08 AM Page 807 Larson-11-05.qxd 3/12/0910:39 17:27

SECCIÓN 11.5 11.5 11.5

Rectas y planos en el espacio Lines and and Planes Planes in in Space Space Lines

807

807 807

Hallar la distancia de un punto a una recta Finding the the Distance Distance Between Between aa Point Point and and aa Line Line EXAMPLE 7 Finding Hallar la the distancia delbetween punto Qsthe la recta 3, 21, Find distance point4dQa 3, 1, 4dada and por the line given by EJEMPLO 7

Find the distance between the point Q 3, 1, 4 and the line given by y zand x 5x22 123t, 3t, y 5 22t, 2t, 5 1 z1 4t.1 4t. x 2 3t, yy 2t, and z 1 4t. SolutionUsando Usinglosthe the direction numbers 3,3,222, 2, and 4, you you know that de direction Solución números de dirección y 4, se 4, sabe queknow un vector dirección Solution Using direction numbers and that aa direction vector for the line line isis de lavector recta for es the 3, 4l. 2, 44 .. Direction vectordefor for line Vector de dirección laline recta. u 5uuk3, 22, 3, 2, Direction vector To find aa point point on the line, line, let and obtain obtain ParaTo determinar unon punto en la let recta, hace t 5 0 y se obtiene find the tt se 00 and 2,10, P 5PPs22, 0,2, d0, . 11 .. So, Así,So,

z zz 6 66 5 55

D D D Q = (3, −1, 4) Q == (3, (3, −−1, 1, 4) 4) Q

4 x 44 xx

Point onlathe the line Punto sobre recta. Point on line

\ \

0, 5, 3l1, 1, 33 PQ PQ PQ 5 k3 233s22d, 21 2441l 5 22 ,, 2110, 40, 11 k5, 21, 5, and youformar can form form the cross crossvectorial product y seand puede el producto you can the product \

3 33 2 22

−2 −2 −−22 −−22 1 2 3 2 11 1 2 −1 1 33 −1 1 2 −1 22 3 33 4 44 5 55

\ \

\

\ \

PQ 3 u i uu Di PQ PQ D 5D iu i uu 174 !174174 5 29 !29 29 2.45. 5 !6 <662.45. 2.45.

y yy

La punto the Q apoint la recta es the Thedistancia distancedel between and QQand The distance between the point the 2.45. line is 6 2.45.

! 6< 6 line is 2.45.

Figura Figure 11.55 11.55 Figure 11.55

Ejercicios 11-5 Exercises 11.5 Exercises

| |

i ii j jj k kk PQ u 5 2i11j 11j 11j 7kk2, 211, 2, 11, 11, 77 .. PQ PQ 3 u 5u 5 5 21 2 7k 5 27l. 11 3 5 33 2i 22i 7k 2, 3 3 322 22 4 44 Finally, using Theorem Theorem 11.14, yousecan can find the theque distance to be be es Por Finally, último, using usando el teorema 11.14, encuentra la distancia 11.14, you find distance to \

Seewww.CalcChat.com www.CalcChat.comfor forworked-out worked-outsolutions solutionstotoodd-numbered odd-numberedexercises. exercises. See

In Exercises Exercises and 2, the figuremuestra shows the the graph ofde line given given En los ejercicios 1 y2, 2,the la figura lagraph gráficaof una recta In 11 and figure shows aa line by the parametric equations. (a) Draw an arrow on the line to dada por las ecuaciones paramétricas. a) Dibujar una flecha by the parametric equations. (a) Draw an arrow on the line to indicate its orientation. To print an enlarged copy of the graph, sobre la recta para indicar su dirección. b) Hallar las coordeindicate its orientation. To print an enlarged copy of the graph, goto to the the website www.mathgraphs.com. (b) Find Findthe theelcoordinates coordinates nadas de dos puntos, P y Q, en la recta. Determinar vector PQ . go website www.mathgraphs.com. (b) of two twoespoints, points, and on the line. Determine Determine the vector vector PQ.. Q, on ¿Cuál la relación entre lasthe componentes del vector y los coefiof line. the PQ PP and Q, What is the relationship between the components of the vector cientes de t en las ecuaciones paramétricas? ¿Cuál es la razón de What is the relationship between the components of the vector and the coefficients of in the parametric equations? Why is this t esta relación? c) Determinar las coordenadas de todos los puntos and the coefficients of t in the parametric equations? Why is this true? (c)Determine Determine theplanos coordinates ofany any points points ofintersection intersection de intersección con los coordenados. Si la of recta no corta true? (c) the coordinates of with thelos coordinate planes. If If the the line line por doesqué. not intersect intersect aa awith uno the de planos coordenados, explicar coordinate planes. does not coordinate plane, plane, explain explain why. why. coordinate x 5 1 1 3t 1. 2. x 5 2 2 3t 1.yxx5 2112 t3t 2. yxx5 222 3t 3t 3t 1. 2. \

\ \

zyy5 2221 5ttt 5tz zz 22 5t

zyy5 1222 t zz 11 tt z

zz

zz

x

y

xx

yy

See Figure Figure 11.55. Ver figura 11.55.11.55. See

x

y yy

In Exercises Exercises and determine whether each point liessobre on the the En los ejercicios 3 4, y4,4, determinar si cada punto yace la In 33 and determine whether each point lies on line. recta. line. 3. xx 3t, zz 44 tt 3. 22 t,t, yy 3t, a) b) 2, 0, 6, 6 2, 3, 3, 55 a) 0, 6, 6 b) x 3 y 7 4. x 3 y 7 zz 22 4. 22 88 a) 7, 7, 23, 23, 00 a)

b) 1, 1, 1, 1, 3) 3) b)

In Exercises Exercises 5–10, find sets of ofconjuntos (a) parametric parametric equationsparaand En los ejercicios 5 afind 10, hallar de a) ecuaciones In 5–10, sets (a) equations and (b) symmetric equations of the line through the point parallel to métricas y b) ecuaciones simétricas de la recta por el punto (b) symmetric equations of the line through the point parallel pato the given given vectoroor orrecta line (if (if possible). possible). (For each each line,cada writerecta, the ralela al vector dado (si es posible). (Para the vector line (For line, write the directionlos numbers asde integers.) escribir números dirección como enteros.) direction numbers as integers.) 5. 5. 6. 6. 7. 7. 8. 8. 9. 9.

Point Punto Point 0, 0, 0 s0, 0, 0 d 0, 0, 0 s0, 0, 0 d 2, 0, 0, 33 2, s22, d 3, 0, 2 3, 0, 2 d s23, 1, 0, 1 s1, 0, 1 d

10. 3, 5, 5, 44 10. 3, s23, d

Parallel to to Paralela a Parallel v 3, 1, v 3, 1, 55

2, 5552,, 11 vv 5 k 22, 2, 22 l 2i 4j 4j 2k vv 5 2i 1 2 2k 6j 3k 3k vv 5 6j 1 x 3 3t, y 5 2t, zz xx 5 33 1 3t, 77 1 ttt 3t, yy 5 55 2 2t, 2t, z 5 27 xxx 2 111 yyy 1 111 z 3 z 3 333 5 22 22 5 z 2 3

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808 808 808

Chapter and Geometry of Space CAPÍTULO Vectores la geometría Chapter 11 1111 Vectors Vectors andythe the Geometrydel of espacio Space

808 808 808

Chapter 11 Vectors and the Geometry of Space Chapter Chapter11 11 Vectors Vectorsand andthe theGeometry GeometryofofSpace Space xx 33 yy 22 zz 22 In In Exercises Exercises 11–14, 11–14, find find sets sets of of (a) (a) parametric parametric equations equations and and (b) (b) 30. En los ejercicios 11 a 14, hallar conjuntos de a) ecuaciones 30. LL11:: 2 symmetric 11 22 symmetric equations equations of of the the line line through through the the two two points points (if (if pospos2 paramétricas y b) line, ecuaciones simétricas denumbers la recta que pasa por x x 3 1 y y 2 1 z z 23 Insible). Exercises 11–14, findwrite sets of (a) parametric equations and (b) (For each the direction as integers.) sible). (For each line, write the direction numbers as integers.) x 3 y 2 z In Exercises 11–14, find sets of (a) parametric equations and (b) 30. LL : xx 31 yy 21 zz 223 In Exercises 11–14, find setsline of (a) parametric equations and (b) los dos puntos (si es posible). (Para cada recta, escribir los 30. symmetric equations through the two points (if pos12 24 30. LL11L:122::: 224 22of 22 the symmetric equations of the line through the two points (if pos112 224 symmetric equations the line through the points 24 números de3, dirección enteros.) 22 line, ,, 33write 4, 33 ,,two1, 55 (if pos11. 12. ,como 5, 3,each 0,numbers 4, 1, 2,integers.) 11. 5, 12. 0, ,of 1 the 33,, 1 sible). (For direction as2, x x 12 y y 11 z z 33 sible). (For each line, write the direction numbers asasintegers.) sible). (For each line, write the direction numbers integers.) LL2: : xxx 112 yyy 111 zzz 333 13. 14. 7, 2, 2, 66 ,, 3, 3, 0, 0, 66 0, 0, 0, 25 25 ,, 10, 10, 10, 10, 00 13. 7, 14. 0, LL2L:233:: 4 20.5 41 11. 5, 3, 2 , 223,2 223,2 1 12. 0, 4, 3 , 1, 2, 5 4411 20.5 441 2 5, 3, 2 , 0, 4, 3 , 1, 2, 5 11. 12. , , 1 11. 5, 3, 2 , 3 3,3 3, 1 12. 0, 4, 3 , 1, 2, 5 x 2 y 1 z 3 In Exercises 15–22, find a set of parametric equations of the 13. 7, 2, 6 , 15–22, 3, 0, 6find a set 14. 0, 0, 25 , 10, 10, 0 of the In Exercises of parametric equations x 3 y 1 z x 2 y 1 z L : 23 yy 11 zz 3322 7,7, 2,2,66, , 3,3,0,0,66 13. 14. 3: : xx 25, , 10, 10,10, 10,00 13. 14. 0,0,0,0,25 L L 1 0.5 1 : L 4 line. : L 3 line. 34 44 1122 0.5 11 11 0.5 In Exercises 15–22, a set un of parametric the En los ejercicios 15 a find 22, hallar conjunto de equations ecuacionesof parax 3 y 1 z 2 In Exercises 15–22, find a set of parametric equations of the In Exercises 15–22, find a set of parametric equations of the yy 11 zz 22 15. line passes through the point 2, 3, 4 and is parallel to the L4: xx 3331–34, 15. The Thede line line. métricas la passes recta. through the point 2, 3, 4 and is parallel to the In and L 2 31–34, 1 whether In Exercises Exercises the lines intersect, intersect, and if L4:4:ejercicios line. En los 31444determine adetermine 34, determinar si the las lines rectas se cortan, y if si line.xz 22 11 whether xz-plane yz-plane. -plane and and the the yz -plane. so, find the point of intersection and the cosine of the angle of so, find the point of intersection and the cosine of the angle of es así, hallar el punto de intersección y el coseno del ángulo de 3, 4paralela The line passes the and to the 15. La recta pasa porthrough el punto (2,point 3, 4) 2, y es alparallel plano xz y al 22 is 16. The line passes through the point and is to 445, 15. the point and is totothe 4, 5, 16.The Theline linepasses passesthrough through the point2,2,3,3,4, and is parallel parallel to Inintersection. Exercises 31–34, determine whether the lines intersect, and if 15. line passes through the point and isparallel parallel the intersection. In Exercises 31–34, determine whether the lines and ifif intersección. xzThe yz -plane and the -plane. plano yz. In Exercises 31–34, whether linesintersect, intersect, andof xy yz the and the xzxz -plane and -plane. xy-plane yz-plane. the -plane andyzyz the -plane. so, find the point of determine intersection and thethe cosine of the angle -plane andthe the -plane. so, find the point ofyofintersection and the cosine ofofthe angle ofof so, find the point intersection and the cosine the angle x 4t 2, 3, z t 1 31. 4, 5, 2 The line passes through the point and is parallel to 16. La recta pasa por el punto (24, 5, 2) y es paralela al plano xy y x 4t 2, y 3, z t 1 31. 31. x 5 4t 1 2, y 5 3, z 5 2t 1 1 intersection. 3, 45, 17. The line passes through the point is perpendicular 16. the and 2,4, 3,5, 4 2and 17.The Theline linepasses passesthrough point 2, is is perpendicular 4, 2and 16. The line passes through thepoint and isparallel paralleltoto intersection. intersection. xy yz3x the -plane the -plane. al plano yz. and xx 2s 3, 2y z 6. to the plane given by 2s 2, 2, yy 2s 2s 3, 3, zzz5 sss1 111 xy yz the -plane and the -plane. 3x 2y z 6. to the plane given by the xy-plane and the yz-plane. z t 1 31. xx 54t2s 12,2, yy 53,2s 1 2, 3, 4 17. The line passes through the point and is perpendicular x 4t 2, y 3, z t t 2t 31. La recta pasa por el punto (2, 3, 4)2,y4, al plano 1, 4t 1, 32. 4t 3t 2, 1, 31. 5, 22and 18. The line passes through point and perpendicular 3t1 1,yyyy5 3, 4t1z 1, 1,zzz5 2t11 44 32. xxx5 23t 3,es 44perpendicular 17. through isisisis perpendicular 4t 32. 4, 5, 18.The Theline linepasses through the the point and perpendicular 2, 3, 17. The line passes the point and perpendicular x 2s 2, y 2s 3, z 2ts 1 41 3x 2y z 6. totothe plane given by dado por 3x 1 2y 2 z 5 6. xxx 2s2s 2s2s 4, 3,3,zz zz ssss 1111 2y the plane given by toto 3s 1, 2y zzzz 6.6.5. 5. tothe theplane planegiven givenby 3xxx 2y 2y the plane given by3x 3s 2,2, 1, yyyy 2s 2s 4, 2t 1 41 32. xx 5 3s3t1 1,1,yy5 2s4t1 4,1,zz5 2s 4, 5, 2 The line passes through the point and is perpendicular 18. La recta pasa por el punto (24, 5, 2) y es perpendicular al plano x 3t 1, y 4t 1, zz11 2t2t 44 32. 44 is 19. The line passes through the point and is 4, 23,2 and 18. passes through the point perpendicular zz 33 3t 222 1, y 4t xxx1, 32. xxxx yyy2 5,4,5,5,3, 19.The Theline line passes through the point 5, and is parallel parallel to to 18. The line passes through the point and is perpendicular 33. 1, tov thepor plane by dado 2xgiven 13 2y 1 z x5 5.2y zz 5. 1, 5 y zzz1 2s1, z24 1 5s yyy112225 z 133 33.xx3 53s 1, 4, 33. 2, toto given vthe 2, 1, 1, 3 .. by 1 3s 1, y 2s 4, z s 1 2y z 5.5. theplane plane given by xx 2y 3 1 4 s 1 3x 3s21 1, y 2s 4, 4z 233 3,4,24) 43 and The line passes point parallel toto 19. La recta pasa through por el the punto (5, 5, 23, yand esis paralela a xx y2 2y 2 x 1x 3 z 3z 2 1, 20. The line passes through the point is parallel 5, 3, 4 19. The line passes through the point and is parallel to 1, 4, 3 20. The line passes through the point and is parallel to x 1 x y 2 z 19. The line passes 33. xxx2 2y2 y2y2 z22 1,z x3,4 x1x2 yy33 22y 5z 33z3z1 22 2, 1,j.3l. 3 . through the point 5, 3, 4 and is parallel to vvv5 k2, 21, 34. 33. 34.33 3 511 6 zz 51,z1, z2 3,3, 33. 5i 34. 5i j.33. . vv 2, 2, 1,1, 44 222 y 5 y2y1 555 33 444 3233 1 66 1, 4, 3 The line passes through the point and is parallel to 20. La recta pasa por el punto (21, 4, 23) y es paralela a x 2 y 2 x 3 z 2 2, 1, 2 21. The line passes through the point and is parallel to the 1, 4, 3 20. The line passes through the point and is parallel to 21. The Theline linepasses passesthrough throughthe thepoint point 2,1,1,4,2 and is parallel to the 3 and 20. is parallel to xx 22 yy 22 z 3, xx 33 y 5 zz 22 34. vvline 5 5i 2 j. CAS In Exercises 35 and 36, use graph 34. z36, 3,3,aa computer yalgebra 55 system En los ejercicios 35 y usar un sistema algebraico compu3 6 2 4 porto CAS In Exercises 35 and 36, use computer algebra system x t, y 1 t, z 2 t. 34. z y 5i j. x t, y 1 t, z 2 t. line v 5i j. 33 66 22 44 to graph the pair of intersecting lines and find the point of intersection. tadora para representar gráficamente el par de rectas que se cor2, 1, 2 21. The line passes through the point and is parallel to the the pair of intersecting lines and find the point of intersection. La recta pasa porthrough el punto (2, 1, 2) y2 es a latorecta 88paralela 22. The line passes the point and is to 21. the point and is 6,20, 0, 22.The Theline linepasses passesthrough through the point2,2,1,1,6, and is parallel parallel toCAS In Exercises 35 and 36, use a computer algebra system to graph 21. The line passes through the point and isparallel parallel tothe the tan y hallar el punto de intersección. x t, y 1 t, z 2 t. xline 5 2t, y 5 1 1 t, z 5 22 1 t. CAS Exercises 35 and use a zcomputer algebra system totograph the line CAS In In 353, 36, use2, graph 2t,t.zt. z 0. 0. thexline line 35. xx of2t yy 36, 5t tt the 11algebra x xx t,t,y5y5 12t, 12t, yyt,t,zz 44 222t, line 35.Exercises 2tintersecting 3,and 5tlines 2,aand zcomputer the pair find point ofsystem intersection. the pair of intersecting lines and find the point of intersection. 8 paralela Therecta line passes through the (26, point0, 8)6, y0,es and is parallel to 22. La pasa por el punto a la recta the pair of intersecting lines and find the point of intersection. z5 35. xxx5 2t 1 6, 0,0,88 and 22. The line through the point toto 2s ss 2, 8, zz 2t2s 22. Theline linepasses passes through the point andisPisparallel parallel 2s 3, y7, 7,5yy 5t 2 8, 2s1 111 In 23–26, find on the line 2t, y1the 2t, z 6,of 0. aa point xthe 5line 5 2xx 2t, y55 5 24 2t,coordinates z44 5 0. In Exercises Exercises 23–26, find coordinates 35. x 2t 3, y 5t 2, z t 1 2t, yy the 2t, zz of 0.0. point P on the line the 35. x 2t 3, y 5t 2, z t x 5 22s 1 7, y 5 s 1 8, z 5 2s x 5 2t, 4 2t, the line 36. 1, 35. z10, zz t tt2111 and 36. xx 2t 2t 3, 1,yy 5t 4t 4t 2, 10, and aa vector vector vv parallel parallel to to the the line. line. x 2s 7, y s 8, z 2s 1 P In Exercises 23–26, find the coordinates of a point on the line y5y yy24t ss 3s zz11, 2s 2 18,8, 10, z5 36. xxxx5 2t2s2s 5s 12, zz2st 112s En losx ejercicios 23 afind 26,1the hallar las coordenadas dePPun P 5s 1,7,y7, 12, 3s 11, 2s 44 In Exercises coordinates ofofaapoint on the In coordinates point onpunto theline line 33 23–26, t,t,parallel yy find 2t, 23. 2t, 23.Exercises 36. x 2t 1, y 4t 10, z t v23–26, and axla vector to1the the line.zz a la22recta. sobre recta y un vector v paralelo 36. x 2t 1, y 4t 10, z t x 5 25s 2 12, y 5 3s 1 11, z 5 22s 24 v and a vector parallel to the line. 36. x 2t 1, y 4t 10, z t and a vector vy parallel to the line. 24. Cross In 37 38, find 4t, y 55 t,t, zz 44 3t 3t 24. xx 4t, x Product 5s 12, yExercises 3s 11, zand 2s(a) 4 the Cross Product In Exercises 37 and 38, (a) the coordinates coordinates xx 5s5s 12, 3s3s 11, 2s2s 4find t, y 21 1 2t, z 2 23. xx 5 33 2 t, 12,yQ, y and 11,zzthe plane, 4 determine the 2t, 23. of points R 2x2x 33 yy zz 33 23. of three three vectorial points P, in the 37 plane, and determine the P, En Q, and R in 66 111 2t, Producto los ejercicios y 38,and a) hallar las coor2t, zzz5 22 23. xxxx 3377 t,t,yy yyy5 zz zz 5 22 44 1 3t 25. 26. 4t, yy 5255 2 t, 24. 25.xxx 544t, 26. 5 Cross Product In Exercises 37RPQ and 38, (a).. find the coordinates t, 3t 24. vectors and (b) Find What is the relationPQ PR . PR denadas de tres puntos P, Q y en el plano, y determinar los vec8 6 vectors and (b) Find What is the relationPQ PR . PR PQ 4t, y 5 t, z 4 3t 24. Cross Product In 37 and 38, coordinates 5 8 6 24. x 4 4t, y 2 5 t, z 4 3t Cross Product InExercises Exercises 37 38,(a) (a)find findthe the coordinates of three points andPQ in and the plane, determine P, Q, R3 ship between components of the cross and the x x 31 3 y y z z 32 3 tores ypoints b) esand laproduct relación entre las PQ PR . the . ¿Cuál ship between the components of the cross product andthe the xxxx2 7777 yyyy1 6666 z 2 of three points and the plane, and determine the P,P,Hallar Q, RR ininPR x 3 y z 3 of three and the plane, and determine the Q, 25. 26. x 3 y z 3 5 5 z 1 2 25. 26. 5 5 vectors and (b) Find What is the relationPQ PR . PR . PQ In Exercises 27–30, determine if any of the lines are parallel or z 2 25. 26. coefficients of the equation of the plane? Why is this true? componentes del producto vectorial y. What los coeficientes de la 8 are 6 6 In Exercises 27–30, determine if any parallel or coefficients of the equation of the plane? Why is this true? z 2 25. 26. of55the5 lines 4444 2222 8 vectors and (b) Find is the relationPQ PR . PR PQ 88 66 vectors is the and relationPQ and . (b) Find PQ . What 5 ship between thePR components thePR cross product the identical. ecuación del plano? ¿Cuál es la of razón? identical. ship between the components of the cross product and ship between the components of the cross product and the the 37. 38. 4x 3y 6z 6 2x 3y 4z 4 37. 38. 4x 3y 6z 6 2x 3y 4z 4 In Exercises 27–30, determine if any of the lines are parallel or coefficients of the equation of the plane? Why is this true? In Exercises determine ofzalgunas the lines4t are or coefficients equation ofofthe plane? Why is this En 30, de lasparallel rectas son In Exercises any parallel or coefficients the equation the38. plane? Why this true? 27. LL1ejercicios 627–30, yy determinar 22ififany 2t, :1: xx 27–30, zz 5 zzis4z 37. 4x 2 3yofof 2the 6z 6 2x 1 3y 1 5true? 4 27.los 6 273t, 3t,a determine 2t, siof z the55 lines 4t are identical. identical. paralelas o idénticas. identical. 37. 4x 3y 6z 38. 2x 3y z 4z 4 6 z LL2:: xx 6t, 37. 38. 6t, yy 22 4t, 4t, zz 13 13 8t 8t 37. 4x 38. 2x 4x 3y 3y 6z 6z 66 2x 3y 3y 4z4z 44 27. L1: 2 x 6 3t, y 2 2t, z 5 4t z z z 27. L : x 6 3t, y 2 2t, 5 4t z zz xx 610 27. LL 2t, zzz 775 8t 4t 1L13::: x z 10 3t,6t, 6t, y yy 332 4t, 4t, 8t L2:3 x 6t, y 2 4t, z 13 8t LL2L:24::xxx 6t, 22 yy4t, 13 6t,44yy 6t, 4t,33zz 4t, 13 zz 8t8t55 6t yy 6t, 4t, 6t yy L3:4 x 10 6t, y 3 4t, z 7 8t xx L : x 10 6t, y 3 4t, 7 8t z y 28. 33 2t, 6t, yyy 36t, xx 28. L3L311:: xx 10 2t, 6t, 4t,zz z11 72t 2t 8t y L4: x 4 6t, y 3 4t, z 5 6t x y y LL4L:42::xxx 1144 2t, 6t, 53t yy t,t, zzzz 3t 6t, yyyy 3311 4t, 4t, 5 6t6t x yy 2t, x 2 28. L1: x 3 2t, y 6t, z 1 2t xx x 28. z L : x 3 2t, y 6t, 1 2t x xx 3 11 2t,2t, 33 z10t, 28. LL 1L13::: x x 2t,y yy 6t, 10t, 1 zz 2t11 4t 4t L :3 x 1 2t, y 1 t, z 3t LL22L:24::xxx 1155 2t, y 1 t, 3t z In Exercises 39 and 40, determine whether 1 t, z 8 3t In Exercises 39 and 40, determine whether the the plane plane passes passes 2t, y 1 t, z 3t 2t, y 1 t, z 8 3t L3:4 x 1 2t, y 3 10t, z 1 4t through each point. through each point. z LL3:3: xxx 8811 yy2t, y 3 10t, 1 4t 2t, 5 y z 3 9 10t, z 1 4t In Exercises 39 and the pasa plane passes 29. L: : x 5 2t, y 5 1 z t,9 z 8 3t 29.L En los ejercicios 39 y40, 40,determine determinarwhether si el plano cada In Exercises 39 and 40, determine whether the planepor passes LL44L:411::xx 4455 2t, In 39 39. xx each 2y 4z 2t, 2y2y 11 33t,t, zz 88 3t3t 39.Exercises 2y point. 4z and11 40,00 determine whether the plane passes through punto. through each point. x x 87 y y 54 z z 96 through each point. a) 7, b) 29. LL : xxx 887 yyy 554 zzz 996 a) 7, 2, 2, 1) 1) b) 5, 5, 2, 2, 22 29. 21 35 29. LL11L:122::: 442 39. x 2y 4z 1 0 2 3 39. x 2y 4z 1 0 2 1 5 4 2 3 40. 3z 39. 40. x2x 2x 2yyy 4z 3z 166 00 x 7 y 4 z 6 a) 7, 2, 1) b) 5, 2, 2 LL2: : xxxx 7744 yyyy 4411 zzzz 6618 a) 7, 2, b)b) 18 3, 6, a) 7, 2, 2, 25, 11 a) 3, 6, 221)1) b) 5,5,2,1, 1,25, LL2L:233:: 2 1 5 40. 2x y 3z 6 0 2288 1144 55 66 40. 2x y 3z 6 0 40. 2x y 3z 6 0 x 4 y 1 z 18 a) 3, 6, 2 b) 1, 5, 1 44 L : x x 42 y y 13 z z 18 a)a) 3,3,6,6, 22 b)b) 1,1,5,5, 11 LLL33L:344::: xx 8 42 yy4 13 zz 6 18 1.5 8822 4411 66 1.5 x 2 y 3 z 4 L: x 2 y 3 z 4 LL44:4: x 2 2 y 1 3 z1.5 4 22 11 1.5 1.5 \ \

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1053714_1105.qxp 10/27/08 AM Page 809 1053714_1105.qxp 10/27/08 10:40 AM Page Page 809 809 Larson-11-05.qxd 3/12/0910:40 17:27 1053714_1105.qxp 10/27/08 10:40 AM Page 809 1053714_1105.qxp 10/27/08 10:40 AM Page 809 1053714_1105.qxp 10/27/08 10:40 AM Page 809

SECCIÓN 11.5 11.5 11.5 11.5 11.5 11.5 En los ejercicios 41 a 46, hallar una ecuación del plano que pasa In 41– 46, ofof the plane In Exercises 41– 46, find an equation the plane passing In Exercises Exercises 41– 46, find find an an equation equation ofrecta the dado. plane passing passing In Exercises 46, find an equation the plane passing por el punto y 41– es perpendicular al vector oof In Exercises 41– 46, find an equation of the plane passing through the point perpendicular to the given vector or line. through the point perpendicular to the given vector or line. throughthe thepoint pointperpendicular perpendicularto tothe thegiven givenvector vectoror orline. line. through through the point perpendicular to the given vector or line. Punto Perpendicular ato Point Perpendicular Point Perpendicular Point Perpendicularto to Point Perpendicular to Point Perpendicular to 1, 3, 7 n j 41. 1, 3, 7 n j 41. 41. 1,1,3,3, 77 nn jj 41. j 41. 0,1, 3,1, 47 nnn 42. n 42. 0, 1,1, 1,444 n kkk k 42. 0,0, 42. n 2ik 3j k 42. 3,0,2, 21, 4 n 43. 3, 2, 2 n 2i 3j 43. 3j kk k 43. 3,3,2,2,22 nn 2i2i 3j 43. n 2i3i 3j2k k 43. 0,3,0,2,02 n 44. 0, 0, 0 n 3i 2k 44. 2k 44. 0,0,0,0,00 nn 3i3i 2k 44. 2k 44. 0,1,0,4,0 0 xxn 11113i 2t, 45. xx 2t, 2t 45. 1,4,4, 4,000 2t,yyyy 5555 t,t,t, t,zzzz 3333 2t 2t 45. 1,1, 2t, 2t 45. 1, 4, 0 x 1 2t, y z 5 3 t, z 3 2t 45. xxxx 1111 z 3 z 3 z 3 46. 46. 3,2, 2,2222 46. 3, x 44 1 yyyy 2222 z 333 3,3, 2,2, 46. y 2 46. 3, 2, 2 44 33 4 3 In In Exercises 47– 58, find an equation of the plane. InExercises Exercises47– 47–58, 58,find findan anequation equationof ofthe theplane. plane. In Exercises 47– 58, find an equation of the plane. En ejercicios 58, hallar una ecuación del plano. In los Exercises 47–47 58,a find an equation of the plane. 0, 0, 0 , 2, 0, 3 , 47. The plane passes through 0, 0, 0 , 2, 0, 3 47. The plane passes through and 0, 0, 0 , 2, 0, 3 3, 1, 1,5555.... 47. The Theplane planepasses passesthrough through 0, 0, 0 , 2, 0, 3 ,,,and and 3, 3,3, 1,1, 47. and 47. plano quepasses pasa por (0, 0, 0, 0),0,(2, 3)0,y 3(23, –1, 5). 02 ,0, 2, ,, and 3, 2,1, 52 .. 47. El The plane through 3, 1, , 2, 1, 5 1, 48. The plane passes through and 3, 1, 2 , 2, 1, 5 , 1, 2, 48. The plane passes through and 48. The Theplane planepasses passesthrough through 3,3, 1,1,22 ,, 2,2,1,1,55 ,,and and 1,1, 2,2, 222 ... 48. 48. ElThe plano que pasa through por (3, –1, 2),1,(2,2 1, 5)1,y 5(1,22, –2). 3, , 2, , 1, 2, 2. 48. plane passes and 49. 1, 2, 3, 2, 1, 49. The plane passes through and 1,2, 2,3333,,,, 3, 3,2, 2,1111,,,,and 1, 2, 2,2222.... 49. The Theplane planepasses passesthrough through 1, and 1, 1, 2, 3, 2, 2,2, 49. The plane passes through and 49. ElThe plano quepasses pasa por (1, 2, 1, 3),2,(3, 2,3, 1)2,y 1(21, 22, 1, 2). 3 , , 1, 2, 2 . 49. plane through and 50. 2, 50. The plane passes through the point and parallel 1,2, 2,3333 and 50. The Theplane planepasses passesthrough throughthe thepoint point 1, andis isparallel parallelto to 1,1, 2, 50. The plane passes through the point and isis parallel toto 50. El plano que pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralelo al plano yz. 50. the The plane passes through the point 1, 2, 3 and is parallel to plane. yzthe plane. yztheyzplane. yzthe plane. CAS CAS CAS CAS yzthe plane. 51. El plano que pasa por el punto (1, 2, 3)1,1, y2,es paralelo al plano xy. 3 51. The plane passes through the point and is parallel to CAS 2, 3 51. The plane passes through the point and is parallel to 1, 2, 3 51. The plane passes through the point and is parallel to 1, 2, 3 51. The plane passes through the point and is parallel to 1, 2, 3deand 51. El The plane passeselthrough the point parallel 52. plano contiene eje y y forma un ángulo el ejeto x py6iscon xythe plane. xythe plane. xythe plane. xythe plane. xythe plane. positivo. 52. 52. The plane contains the axis and makes an angle of with y-axis 52. The Theplane planecontains containsthe theyaxisand andmakes makesan anangle angleof of 6666with with y-y52. The plane contains the axis and makes an angle of with y-axis 52. El The plane contains the andpor makes an angle of 6 with 53. plano contiene las rectas dadas xthe positive axis. xthe positive axis. xthe positive axis. xthe positive axis. x-axis. lines given by the plane positive 53. 53. The plane contains the lines given by 2 1plane x 2given 2 by y21 z22 53. xThe The planecontains containsthe thelines lines given by 53. The contains the 5y2 4 5 z they lines given 5 by 5 . 53. The plane contains 23 xxxx221111 xxxx 2222 4yyyy 1111 21 zzzz 2222 and x 2 y 1 z 2.... and x 221 yyyy 4444 zzzz and and 4444 1111 .dada por 33 y contiene y por 4 elzpunto and(2, 2,331) 54. El plano la recta 22 pasa 2 3 4 1 54. 54. xThe Theplane plane passesthrough throughthe thepoint point 2, andcontains containsthe the yplane 2 4 passes 2,2, 2,1111 and 54. The plane passes through the point and contains the 2,2, 2,2, 54. The passes through the point and contains the 5 given 5 z. through the point 2, 2, 1 and contains the 54. line The planeby passes line given by line given by 2line 21 by given line given by xxxx yyyy 4444 55. El plano pasa z. por z. los puntos (2, 2, 1) y (21, 1, 21) y es perz.z. 22x22 y 11114al plano z. 2x 2 3y 1 z 5 3. pendicular 2 1 56. plano pasa por through los puntos (3, 2, 1) y2, 25) 2, 1, 1, 55. The plane passes the points 11 and 55. The plane passes through the points and 2,(3, 2,111, 1,perpen1, 1111 55. El The plane passes through the points and y es 2,2, 2,2, 1,1, 1,1, 55. The plane passes through the points and 2, 2, 1 1, 1, 1 55. dicular The plane passes through the points and al plano 6x 1 7y 1 2z 5 10. 2x 3y z 3. and is perpendicular to the plane 2x 3y z 3. and is perpendicular to the plane 2x 3y 3y zz 3.3. andisisperpendicular perpendiculartotothe theplane plane2x and 2x 3y z 3. and is perpendicular to the plane 57. plano pasa por los puntosthe (1, points 22, 21)3, (2,11115,and 6) y 3, es parale56. The plane passes through 3, 1, 56. The plane passes through the points and 3,y2, 2, 3,1, 1, 5555 56. El The plane passes through the points and 3,3, 2,2, 3, 1, 56. The plane passes through the points and 3, 2, 1 3, 1, 5 56. lo The plane passes through the points and al eje x. 6x 7y 2z 10. and is perpendicular to the plane 6x 7y 2z 10. and is perpendicular to the plane 6x 7y 7y 2z 2z 10. 10. andisisperpendicular perpendiculartotothe theplane plane6x and 6x 7y 2z 10. and is perpendicular to the plane 58. plano pasa por through los puntos (4, 2, 1) y1, yand es paralelo 2, 2, 57. The plane passes the points 11 and 57. El The plane passes through the points and 1,(23, 2,5, 117) 2,5, 5,6666 57. The plane passes through the points and 1,1, 2,2, 2,2, 5,5, 57. The plane passes through the points 57. al The plane passes through ejeis z.parallel xand to and parallel the axis. x-axis. and is parallel tothe the axis.the points 1, 2, 1 and 2, 5, 6 x-xand isis parallel toto the axis. and plane is parallel to the x-axis.the points 4, 2, 1 and 58. 58. The plane passes through the points and 4,2,2, 2,111 and 3,5, 5,7777 58. The The plane plane passes passes through through the the points points 4,4, and 3, 3,3, 5,5, 58. The passes through 4, 2, 1 and 3,y5,ha7 58. The plane passes through the points zand is parallel to the axis. zand is parallel to the axis. En los ejercicios 59 y 60, representar gráficamente la recta zand is parallel to the axis. and is parallel to the z-axis. zand is parallel to the axis. llar los puntos de intersección (si los hay) de la recta con los planos In InExercises Exercises 59and and60, 60,sketch sketchaaaagraph graphof ofthe theline lineand andfind findthe the xy, xz y yz. 59 In Exercises 59 and 60, sketch graph of the line and find the In Exercises 59 and 60, sketch graph of the line and find the In Exercises andthe 60, sketch a graph ofxy the line and find the yz points (if where intersects the -,-,-, -,-,-, xy xz yz points (if any) where the line intersects the and -planes. xy xz yz-planes. points (ifany) any)59 where theline line intersects the -,xz -,and and -planes. xy xz yz points (if any) where the line intersects the and -planes. points intersects the1xyt-, xz-, and yz-planes. 59. x 5(if1 any) 2 2t,where y 5the 22line 1 3t, z 5 24 2222 3t, 4444 tttt 59. 2t, 3t, 59. 2t, yyyy z 2 3t, zzzz 59. xxxxx2 21111 2t, 2t, 3t, 59. 3 4 t 59. xx 215 y2t, 1 1y5 zz 2 33 3t, z 60. x 2 xx 3 22 yy 11 zz 2 33 60. 60. 60. x 2 yy 11 z 22 3 60. y 1 60. 3333 22 3 2 En los ejercicios61– 61 a64, 64,find hallaranuna ecuaciónofdel plano que conIn In Exercises equation the plane that In Exercises Exercises 61– 61–64, 64, find find an an equation equation of of the the plane plane that that In Exercises 61– 64, find an equation of the plane that tiene todos los puntos equidistantes de los puntos dados In Exercises 61– 64, find an equation of the plane that contains all the points that are equidistant from the given points. contains all the points that are equidistant from the given points. containsall allthe thepoints pointsthat thatare areequidistant equidistantfrom fromthe thegiven givenpoints. points. contains contains all the points that are equidistant from the given points. 61. 62. 1) 61. 2, 62. 1, 2,2, 2,0000,,,, 0, 0,2, 2,2222 1,0, 0,2222,,,, 2, 2,0, 0,1) 1) 61. 62. 2,2, 2,2, 0,0, 2,2, 1,1, 0,0, 2,2, 0,0, 1) 61. 62. 61. 2,3,2,1,0 2, , 0,6,2, 22, 4 62. 1,5,0,1,2 , 3 ,2, 0,2,1) 1, 6 63. 64. 3, 1, 2 , 6, 2, 4 5, 1, 3 , 2, 63. 64. 1,666 63. 3,3,1,1,22 ,, 6,6, 2,2,44 64. 5,5,1,1, 33 ,, 2,2, 1,1, 63. 64. 3, 1, 2 , 6, 2, 4 5, 1, 3 , 2, 1, 6 63. 64.

Rectas y planos en el espacio Lines Lines and Planes in Space Linesand andPlanes Planesin inSpace Space Lines and Planes in Space Lines and Planes in Space

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809 809 809 809 809

En los ejercicios 65 a 70, determinar si los planos son paralelos, In –70, whether the planes are parallel, In Exercises –70, determine whether the planes are parallel, InExercises Exercises65 65ninguna –70,determine determine whether theno planes are parallel, In Exercises 65 –70, determine whether planes parallel, ortogonales, o65 de las dos cosas. the Si son niare paralelos ni In Exercises 65 –70, determine whether the planes are parallel, orthogonal, or neither. If they are neither parallel orthogonal, or neither. If they are neither parallel nor orthogonal, hallar or neither. neither. they are neither neither parallel parallel nor nor orthogonal, or IfIf de they are nor ortogonales, el ángulo intersección. orthogonal, or the neither. Ifintersection. they are neither parallel nor orthogonal, angle orthogonal,find find the angleof of intersection. orthogonal, find the angle of intersection. orthogonal, find the angle of intersection. orthogonal, find the angle of intersection. 65. 5x 2 3y 1 z 5 4 66. 3x 1 y 2 4z 5 3 65. 66. 5x 3y 3x 4z 65. 66. 5x 3y 3y zzzz 4444 3x yyyy 4z 4z 3333 65. 5x 66. 3x 5x 3y 3x 65. 66. 4y 7zz 5 14 29x 2 3y4z 1 12z3 5 4 3y17z 3x y 4z 65. xx5x14y 66. 9x xx 4y 4y 7z 9x 3y 12z 4y 7z 7z 1111 9x 3y 3y 12z 12z 4444 x 9x 3y 12z 67. x 2 3y 68. 3x 9x 6z 1 2y 3y 2z5 7 4y 16z 7z 5441 12z 4 x 3y 3x 2y z 67. 68. x 3y 6z 4 3x 2y z 67. 68. 3y 6z 6z 4 3x 2y 2y zz 7777 67. xx 3y 68. 3x 67. 68. 5x y 2 z6z5 444 x3x2 4y 1 2zz 5 07 x 13y 2y 67. 5x 68. xxx 4y 5x 4y 2z 5x yyyy zzzz 4444 4y 2z 2z 000 4y 69. 5x 70. x2x x5x2 5y z 5 2z 12z 00 y 2zz 5114 x 24y x 5y 2x z 1 69. 70. x 5y z 1 2x z 1 69. 70. 5y zz 11 2x zz 11 69. xx 5y 70. 2x 69. 70. 5x 25y 2 5z15 23 4x 10 x 25y z 5z 2x 1 yyz 1 8z 18z 5 10 69. 5x 70. 4x 25y 3 5x 25y 5z 3 4x 8z 10 5x 25y 5z 3 4x yyy 8z 8z 10 10 5x 25y 5z 3 4x 5x 25y 5z 3 4x y 8z 10 En los ejercicios 71 sketch asketch 78, marcar toda intersección y label dibujar la In 71–78, aaaagraph of InExercises Exercises 71–78, sketch graph ofthe theplane planeand and labelany any In Exercises 71–78, graph of the plane and label any In Exercises 71–78, sketch graph of the plane and label any In Exercises 71–78, sketch a graph of the plane and label any gráfica del plano. intercepts. intercepts. intercepts. intercepts. intercepts. 71. 72. 3x 4x 2y 6z 12 6y 2z 71. 72. 4x 2y 2y 6z 6z 12 12 3x 6y 6y 2z 2z 6666 71. 4x 72. 3x 4x 2y 6z 12 3x 6y 2z 71. 72. 4x y2y 3z6z 4 12 3x y6y z 2z 4 6 71. 2x 72. 2x 73. 74. 2x 2x y 3z 4 y z 73. 74. 2x yy 3z 3z 44 2x yy zz 444 73. 2x 74. 2x 73. 74. 2x y 3z 4 2x y z 4 73. 74. 75. 76. 2x 75. 76. 2x yyyy 8888 75. xxxx zzzz 6666 76. 2x 2x 75. 76. x z 6 2x y 8 75. 76. 77. 78. 77. 78. 77. xxxx 5555 78. zzzz 8888 77. 78. 77. x 5 78. z 8 In 79 aaaacomputer algebra system graph the In Exercises 79 –82, computer algebra system to graph the InExercises Exercises 79–82, –82, use computer algebra systemto topor graph the En los ejercicios 79 use ause 82, usar un sistema algebraico compuIn Exercises 79 –82, use computer algebra system to graph the In Exercises 79 –82, use a computer algebra system to graph the plane. plane. plane. para representar gráficamente el plano. tadora plane. plane. 79. 80. 2x 1 yyyyy 2 zzzzz 5 66666 3z 53333 79. 2x 80. xxxx 23z 2x 3z 79. 80. 79. 80. 2x 2x 3z 79. 80. x 3z4.7y3 z 79. 2x5x y 4y z 6z6 80. 2.1x 8 3333 81. 82. 5x 4y 6z 8 2.1x 4.7y 81. 82. 5x 1 4y 4y 2 6z 6z 5 28 2.1x 2 4.7y 4.7y 2 zzzz 5 23 81. 25x 82. 2.1x 81. 82. 4y 6z 2.1x 4.7y 5x 88 81. 82. 8 3 81. 5x 4y 6z 82. 2.1x 4.7y z In Exercises 83 – 86, determine if any of the planes are parallel In Exercises 83 – 86, determine if any of the planes are parallel In Exercises Exercises 83 83 – 86, determine determine ifif any any of of the the planes planes are are parallel parallel In En los ejercicios– 86, 83 a 86, determinar si algunos de los planos son In Exercises or or identical. oridentical. identical. 83 – 86, determine if any of the planes are parallel or identical. paralelos o idénticos. or identical. 83. 2x 3z 15x 6y 24z 17 83. 84. P11:11::: 2x 2x yyyy 3z 3z 8888 P1:1::: 15x 15x 6y 6y 24z 24z 17 17 84. 83. PPP 84. PPP 2x 3z 15x 6y 24z 17 83. 84. 2x 6y 24z 17 P : y 3z 8 83. PP11:1: 15x 84. 1 PPP 3x 5y 2z 5x 2y 8z P22:22::: 3x 3x 5y 5y 2z 2z 6666 P2222::: 5x 5x 2y 2y 8z 8z 6666 3x 5y 2z PP 5x 2y 8z 3x P : 5x 2y 8z 6 P : 5y 2z 6 2 6x 2 8x PPP PPP 4y 12z 4y 4z P33:33::: 8x 8x 4y 4y 12z 12z 5555 P33:33::: 6x 6x 4y 4y 4z 4z 9999 8x 4y 12z 6x 4y 4z 4y 2z 4z 49 12z 511 3: 6x 3: 8x4x 4y PPP PPP P 2y 6z 11 P 3x 2y 2z P44:44::: 4x 4x 2y 2y 6z 6z 11 11 P44:44::: 3x 3x 2y 2y 2z 2z 444 4x 2y 6z 3x 2y P : 3x 2y 2z 4 P : 4x 2y 6z 11 4: 3x 4 : P 2y 5z 10 85. P 3x 2y 5z 10 85. 3x 2y 2y 5z 5z 10 10 85. PP1111:: 3x 85. 85. PP1: : 3x6x 2y4y 5z10z 10 5 6x 4y 10z P2222::: 6x 6x 4y 4y 10z 10z 555 PP 6x 2y 4y 5z 10z 8 5 2:: PPP 3x : P 3x 2y 5z P3333:: 3x 3x 2y 2y 5z 5z 888 P : 3x 2y 5z 8 3 PPP 75x 50y 125z 250 P44:44::: 75x 75x 50y 50y 125z 125z 250 250 75x 50y 125z 250 75x P : 50y 125z 250 4: P 60x 90y 30z 27 : 86. P 60x 90y 30z 27 86. 60x 90y 90y 30z 30z 27 27 86. PP1111:: 60x 86. 30z 27 86. PP1: : 6x 60x9y 90y 3z 2 P 6x 9y 3z 2 : 2 6x 9y 9y 3z 3z 22 PP222:: 6x 3z 2 2: 6x20x9y 30y PPP P 30y 10z P33:33::: 20x 20x 30y 30y 10z 10z 9999 20x 10z P : 20x 30y 10z 9 3 PPP 12x 18y 6z P4:4::: 12x 12x 18y 18y 6z 6z 5555 12x 18y 6z P444: 12x 18y 6z 5 In In Exercises 87– 90, describe the family of planes represented by InExercises Exercises87– 87–90, 90,describe describethe thefamily familyof ofplanes planesrepresented representedby by In Exercises 87– 90, describe the family of planes represented by In Exercises 87– 90, describe the family of planesde represented by c the equation, where is any real number. c the equation, where is any real number. En los ejercicios 87 a 90, describir a la familia planos reprec the equation, where is any real number. the equation, where c is any real number. c is any the equation, realc number. sentada por lawhere ecuación, donde es cualquier número real. 87. 88. 87. 88. 87. xxxx yyyy zzzz cccc 88. xxxx yyyy cccc 87. 88. x y z c x yy 5 cc0 87. 88. 87. 88. xcy1 yzz1 z005 c 89. 90. cz 000 89. cy 90. xxxxx 1cz cy zz 00 cz 89. 90. cy cz 89. 90. cy 1 zz 5 00 cz 5 00 89. cy 90. xx 1 cz 89. 90. In In Exercises Exercises 91 91 and and 92, 92, (a) (a) find find the the angle angle between between the the two two In Exercises 91 and 92, (a) find the angle between the two In Exercises 91 and 92, (a) find the angle between the two In Exercises 91 and 92,ofof (a) find the equations angle between the two planes, and (b) find aaaaset parametric for the line of planes, and (b) find set parametric equations for the line of planes, and (b) find set of parametric equations for the line of planes, and (b) find set of parametric equations for the line of En los ejercicios 91 y 92, a) encontrar el ángulo entre los dos planes, and (b) find a set of parametric equations for the line of intersection of the planes. intersection of the planes. intersection ofthe theun planes. intersection of planes. planos y b) hallar conjunto de ecuaciones paramétricas de la intersection of the planes. recta 91. 2y 92. 91. 3x 3xde intersección 2y zzzz 7777 de los planos. 92. 6x 6x 3y 3y zzzz 5555 91. 3x 2y 92. 6x 3y 91. 3x 2y 92. 6x 3y 91. x3x 4y2y 2zz 07 92. 6xx 3y z 5 yyyy 15z x 4y 2z 0 x 91. x3x 92. 6xxx2 3y 2y 22z z 5 070 z5z x 14y 4y 2z 5z5 55555 5z x 4y 2z 0 x y 5z 5 x 2 4y 1 2z 5 0 2x 1 y 1 5z 5 5

1053714_1105.qxp10/27/08 10/27/08 10:40 AMPage Page 1053714_1105.qxp 810810 3/12/09 10:40 17:27AM Page 810 10/27/08Larson-11-05.qxd 10:40 AM Page 810

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Chapter 11

Vectors and the Geometry of Space

810 CAPÍTULO 11 Vectors Vectores y la geometría del Chapter Geometry of espacio Space 810810 Chapter 11 11 Vectors andand thethe Geometry of Space Vectors and the Geometry of Space In Exercises 93 – 96, find the point(s) of intersection (if any) of WRITING ABOUT CONCEPTS (continued) the plane and the line. Also determine whether the line lies in 115. Describe a method for determining when two planes En los ejercicios 93 a 96, hallar el o los de intersección Exercises – 96, find the point(s) of intersection any) of In Exercises 93 –93 96, find the point(s) of puntos intersection (if (if any) of(si theIn plane. I NA G BAOBUde OTUCTconceptos W Desarrollo RWI TRIINT G OCNOCNECPETPST (Sc(continuación) o(nctoi nn ut iendu)e d ) es 93 – 96, find the point(s) of intersection (if any) of los hay) del plano y la recta. Investigar además si la recta se halla plane line. Also determine d1 0 and Wwhether R I T Ithe N Gthe A line Blies O Ulies Tin CinO N C E P 115. T Sa1(xDescribe c o n tbi1nyu e dc) 1z thethe plane andand thethe line. Also determine whether line a method for determining when planes 115. a method for determining when twotwo planes and the line. Also determine whether the line lies 1in y enthe el plane. plano. 3 2 z 1 115.Describe uncplanes método the a2Describir x when b2 ytwo z d2 para0 determinar cuándo dos planos 115. Describe a method for determining 93.plane. 2x 2y z 12, x 2 0 and 21 y 1 1s3y2d z 21 1 a1xa1x b1yb1y c1z c1z d1 d1 0 and a1x(a) 1 bparallel 1 d1(b) 5 0perpendicular. c2z 1 d2your 50 y a x 1 b2 y 1Explain 93. 2x 2 2y 1 z 5 12, x 21 15y y 3 23 2 5 az1x z 1b11y c1z d1 0 and are 1y 1 c1zand a x b y c z d 0 2 2x 2y z 12, x 93. 2 21 2 areasoning. 2x 2 x 2 b2 y 2 c2z 2 d2 2 0 193. y2x 32y 2 z z5,12,1x x 1 2 y2 z 13 1 2 94. 3y 2 a2 x b2 y c2z d2 0 2y z 12, x a) paralelos yand b) Explicar el razoson are (a) parallel (b) perpendicular. Explain your z 62 3 are (a) parallel and (b)perpendiculares. perpendicular. Explain your 2 1 2 x 42 1 2y Let lines that do not intersect. Is L1 and LExplain 94. 2x 1 3y 5 25, x x 1 15y y5z z 3 3 are (a) parallel and (b) 116. 2 be nonparallel namiento. perpendicular. your reasoning. 2x 3y 5, 94. 4 2 6 reasoning. x 1 y 1 94. 2x 3y 5, x 1 95. y 2x z 33y 10, it possible to find a nonzero vector such that is v v 4 2 6 z 3 4 2 6 reasoning. 3y 5, 116. Sean yL Lbe no paralelas que no cortan. ¿Es Is posi116. Let be nonparallel lines do not intersect. Is LL1 1and L2rectas 2 1 2 x 32 1 y 1 116. Let nonparallel lines thatthat do se not intersect. L1 and 4 2 6 perpendicular both and L Explain your reasoning. L ? 2 to 1 2 2 3 Let L1 and L2 be nonparallel linesble 95. 2x 1 3y 5 10, x x 1 15y y 1 15 z116. hallar un intersect. vector vnonzero distinto de cero talsuch que vthat seathat perpenthat do not Isnonzero it possible to find a vector such is v v it possible to find a vector is v v 2x 3y 10, z 3 95. 3 22 x 4 y 1 z 2 10, z 3 x 1 95. y96. 2x 15x 3y 117. Find an vequation of yvthe plane withelxrazonamiento. -intercept a, 0, 0 , dicular a such ambos it possible to find a nonzero vector that 3 3 2 2 perpendicular toLboth and LExplain your reasoning. L?1 Explicar 1 L Lis 2 3y 10, z 3y 3 17, perpendicular to both and L your reasoning. ? 2? Explain 2 3 5 1 2 x24 y11 z12 0, b, 0 , and z-intercept 0, 0, c . (Assume a, 3 2 to both L1 and117. L2?y-intercept Explain your reasoning. 2 96. 5x 1 3y 5 17, x x 4 45y y 1 15z z 2 perpendicular Hallar una ecuación delthe plano con intersección ena,x 0, (a, 0,, 00),, 117. Find equation plane with x-intercept a,00, 117. Find anc an equation of of the plane with x-intercept 5x 3y 17, 96. b, and are nonzero.) 2 23 5 5x 3y 17, 96. x 4 In y Exercises 1 z 97–100, 2 2 3 5 intersección en y (0, b, 0) e intersección en z (0, 0, 117. Find an equation of the plane with x -intercept a, 0, 0 , find the distance between the point and the 2 3 5 y-intercept 0,0b,, 0and , and z-intercept 0,c0,. c(Assume . (Assume a, 3y 17, y-intercept 0, b, z-intercept 0, 0, a, c). 2 5 (Suponer que a, b y c son distintos de cero.) y-intercept b, 0 , and z-intercept 0, 0, c . (Assume a, plane. En3los ejercicios 97 a 100, hallar la distancia del punto al0,plano. b, and c are nonzero.) b, and c are nonzero.) In Exercises 97–100, distance between point and In Exercises 97–100, findfind thethe distance between the point andnonzero.) thethe b, the and c are CAPSTONE es 97–100, find the distance the point and the 98. 0, 0, 0 97. 0,between 0, 0 plane. plane. Para discusión 118. Match the equation or set of equations with the description 2x 3y z 12 5x y z 9 0,00, 0 0,00, 0 C ACPASitPTS OTNOEN E 97.97.0, 0, 98.98.0, 0, represents. 99.98.2, 8, 100. 1, C3,A P1S T O N E 0 0, 40, 0 118. Encontrar laequation correspondencia entre la ecuación o conjunto 118. Match the or set of equations with the description 118. Match theof equation or set of equations 2x 2x 3y 3y z z 12 12 5x 5x y y z z 9 9 (a) Set parametric equations ofdescripción a with line the description de ecuaciones que cumple con la indicada. with the description 3x 118. 2x 5x y y z z 5 9 4y Match 5z the6 equation or set of equations 3y z 12 it represents. it represents. 2,48, 4 1, 3,1 1 99.99.2, 8, 100.100.1, 3, (b) Set of symmetric equations of a line de una recta it represents. a) (a) Conjunto ecuaciones paramétricas 4 100. 1, 3, 1 of de parametric equations a line (a) SetSet of parametric equations of aofline z 5 a5 verify 3x 4y planos 5z 6parallel, 6 paraIn that theque planes 2x 2x y y101–104, z 101 3xtwo 5z are EnExercises los ejercicios 104, verificar los4y dos son (c) Standard equation of a plane in space (a) Set of parametric equations of a line b) Conjunto de ecuaciones simétricas de una recta y z 5 3x 4y 5z 6 (b) Set of symmetric equations of a line (b) Set of symmetric equations of a line and find the distance between theellos. planes. lelos, y hallar la distancia entre General form of an equation ofena el plane in space (b) are Setare of symmetric of aEcuación line Exercises 101–104, verify planes parallel, equations (d) In In Exercises 101–104, verify thatthat thethe twotwo planes parallel, c) estándar de un plano espacio Standard equation a plane in space (c) (c) Standard equation of aofplane in space es 101–104, verify and that the two planes parallel, 101. 102. xxfind 3y 4z4z 5are 10 4x and the planes. 2 3y 1distance 10between 4x 24y 4y (c) 19z9z 577 equation of a planed) 101. 102. find the distance between thethe planes. i)inForma x 6general 2 y 1 3 z 1 Standard space dean la equation ecuación deaof un espacio General form of an equation aplano plane in el space (d) (d) General form of of plane in en space he distance between the planes. xx 23y 4x 3y3y14z4z4z56610 4x4x24y 4y4y(d) 19z9z 518 187 form of an equationii)of a2xplane7yin space 5z 10 0 General x 9z 101. 102. 101. x 3y 4z 10 102. 4x 4y 9z 7 i) i)x x 6 62 2 y y 1 1 3 3 z 1z 1 103. 104. 3x 102.23x 3y 4z 10 4x 16y 4y 9z 6y 17z 7z 5171 2x 24z4z 544 x 6182 103. 104. 2x y 1 3 iii)z 1x 4 7t, y 3 t, z 3 3t x x 3y 3y 4z 4z 6 6 4x 4x 4y 4yi)9z 9z 18 ii) ii)2x 2x 7y 7y 5z 5z 10 10 0 0 6x 12y 2x 3y 4z 6 4y 214z 9z 525 18 6x4x2 12y 14z 25 2x2x24z4z4zii) 510 10 iv) 2(x 1) ( y 3) 4(z 5) 0 2x 7y 5z 10 0 3x 6y 7z 1 4 103. 104. 103. 3x 6y 7z 1 104. 2x 4z 4 y y 3 3 t, z t, z 3 3 3t 3t iii) iii)x x 4 4 7t, 7t, 104. 2x 4z 4 6y 7z 1 iii) x 4 7t, y 3 t, z 3 3t 12y 14z14zfind 10point and In Exercises the distance between the 6x 6x 12y105–108, 25 25 2x 2x 4z 4z 10 iv) 2(x 1) iv) 2(x 1) ( y ( y 3) 3) 4(z 4(z 5) 5) 0 0 En los ejercicios 105 a 108, hallar la distancia del punto a la recta 12y 14z 25 10set the line 2x given 4z by the of parametric equations. iv) 2(x 1) ( y 3) 4(z 5) 0 por medio del conjunto de ecuaciones paramétricas. In Exercises 105–108, distance between point 119. Describe and find an equation for the surface generated by all Indada Exercises 105–108, findfind thethe distance between thethe point andand Describir unafour ecuación para la 119.points es 105–108, find thethe distance between the point and 105. 1, 5, 2 ; x 4t 2, y 3, z t 1 the line given by set of parametric equations. x, y,yz hallar that are units from thesuperficie point 3, generada 2, 5 . por line given by the set of parametric equations. 105. s1, 5, 22d; x 5 4t 2 2, y 5 3, z 5 2t 1 1 119. Describe and find any, equation for the surface generated all todos los puntos (x, z) que están a cuatro unidades del punto ven by the set of parametric equations. 119. Describe and find an equation for the surface generated by by all 106. 1, 2, 4 ; x 2t, y t 3, z 2t 2 120.for Describe and generated find an equation for the surface generated by the surface by all 1,22, 5,2 4; d2; ;x x x54t2t,4t 2,y 2, y 3,3,3,z119. z Describe 105.1,s1,5, 5y t 2 z5 2tt 1t 12 1and find an equation 106. x, y, z 3, 2, 5 . points that are four units from the point s 3, 22, 5 d . 105. pointspoints x, y, z x,that four units from the point 3, 2, 5 . y,3,zarethat 2t x, y, z that are four unitsall 2 ; x 4t 2, 107. y 3, 2,z1, 3 ; t x 1 1 t, y 2 t, z points from the point 2, 5 .are four units from the plane 1,2,1,42,3; d4; ;x x x52t,1 2t, t 3,2 3, 2t 22t 106.1,s22, 2y t, y ty 5 1z t, z 2tz 5 107. 120. Describe find an equation for the surface generated by 120. hallar ecuación superficie generada 106. 2 2 120. Describe find anuna equation forpara thela surface generated bypor 4xDescribir 3y andyzand 10. z 1 t 2, 4 ; x 2t, y 108. t 3,4, z 1, 52t; x2 3, y 1 3t, 120. for thepoints surface byare x,generated y,sx,zthat all four units from the plane todos los puntos que están aunits cuatro unidades del plano y,that zd are 2,31,5; d3; ;x x x51 3,1 t,y t,5 2 t, zt,z5Describe z1 12tt 2t and find an equation 107.s4, all points four from the plane x, y, z 108. 107. 2, 21, 1, y 1y1 2 3t, Modeling Data Per all points x, y, z that 121. are 4x four units the capita plane consumptions (in gallons) of 4x 2 3y 1 10. 4x 3y zz 5 10. 1, 3 ; x 1 t, y 2 t, z 2t 3y z from 10.milk 3,yverify y 1 that 1 3t, 3t, z 1 1are t In 108. Exercises 109 110, the parallel, and different types of in the United States from 1999 through 108. 4, 4,1, 51, ; 5 ;and x x 3, z lines t 4x 3y z 10. 121. Modeling Data Per capita consumptions (in gallons) 1, 5 ; x 3, y find 1En los 3t, ejercicios z 1 between t y 110, 121. Modelado matemático Los consumos perof cápita (en galones) 109 verificar que las rectas son paralelas 121. Modeling Data capita consumptions (in gallons) of of the distance them. 2005 are shown inPer the table. Consumptions flavored milk, Modeling Dataandand Per capita consumptions (in gallons) of In Exercises 110, verify the lines parallel, different types of milk in the United States from 1999 through de diferentes de leche en Unidos desde 1999 hallar la distancia entre ellas. Iny Exercises 109109 andand 110, verify thatthat the121. lines areare parallel, different types oftipos milk in the United States from 1999 through plain reduced-fat milk, and plain lightEstados and skim milks are reprees 109 and 110, verify that lines parallel, and States from 1999 109. :the L1the x distance 2 are t, between y them. 3 them. 2t, z 4 tdifferent types of milk in the United find 2005 are shown in through the Consumptions of flavored milk, hasta 2005 se muestran en la tabla. El ofconsumo de leche find the distance between 2005 areby shown in the table. Consumptions flavored milk, sented the variables x,table. y, and z, respectively. (Source: 2 2yt, y1 5 36t,1 2t, t stance between them.109. LL:1: xx 53t, are shown in the table. Consumptions ofyflavored plain reduced-fat and plain light skim milks are repredescremada semidescremada, leche reducida enare grasas y la plain reduced-fat milk, andmilk, plain light andand skim milks reprez 4z 5 43t12005 Department of milk, Agriculture) 2 t, t,y y 3 3 2t, 2t,z z 4 4 t plain t reduced-fat milk, and plain U.S. 109.109. L1L2: L:x1:x x52 3t, light and skim milks are reprex,por y,las z, respectively. sented by the variables and (Source: y 5 1 2 6t, z 5 4 2 3t leche entera se representa variables x, y y z, respectivasented by the variables x, y, and z, respectively. (Source: 2 2 9t, z 1 12t 2 t, y 3 110. 2t, zL1: x4 3t 6t, y respectively. z,Department L : x 3t, y 1 6t, z 4 4 3t 3tsented by the variables x, y, and U.S. Department of(Source: Agriculture) mente. Department Agriculture) Agriculture) z 5 18t2 12t 110.L2L: :x2 x 53t,3 1y 6t, 1 y 56t,22z1 9t, 1999(Fuente: 2000ofU.S. 2001 2002 of 2003 2004 2005 AñoU.S. 3t, y 1 6t, z110.L42:1 x 3t 1 4t, y 3 6t, z U.S. Department of Agriculture) 3 6t, 6t,y y 2 2 9t, 9t,z z 1 1 12t12t 110. L1L: L:x1:x x53 21 1 4t, y 5 3 1 6t, z 5 28t 2 3 6t, y 2 9t, z 1 12t 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7 x Año 1999 1999 2000 2000 2001 2001 2002 2002 2003 2003 2004 2004 2005 2005 Año y 3 3 6t, 6t,z z 8t 8t 1B O1U 4t,T 4t,Cy O N W RLI2T: LIx2N: Gx A8t C E P T S Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 1 4t, y 3 6t, z 7.31.4 1.4 7.11.4 1.4 7.01.4 1.6 7.01.6 1.6 6.91.6 1.7 6.91.7 1.7 6.91.7 1.4 xy x 111. Give the parametric equations and the symmetric equations I NA G BAOBUde OTUCTconceptos PST S x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7 WDesarrollo RWI TRofIINTaG OCNOCNECPETwhat line in space. Describe is required to find these N G A B O U T C O N C E P 111. T S Give the parametric equations and the symmetric equations 6.27.3 7.1 6.17.1 7.0 5.97.0 7.0 5.87.0 6.9 5.66.9 6.9 5.56.9 6.9 5.66.9 7.3 yz y 111. and the symmetric equations 111.Give Darthe lasparametric ecuacionesequations paramétricas y ylas ecuaciones simétriequations. 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9 e the parametric equations and the equations asymmetric line inrecta space. what is required tosefind these of aofline space. Describe what isDescribir required to find these cas de una enDescribe el espacio. qué requiere 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6 6.26.2 6.16.1 z z A model Give thein standard equation of a plane in space. Describe a line in space. Describe112. what is required to find these data 5.9 is 5.6 given 5.8 by 0.92x5.6 1.03y5.5 z 5.6 0.02. equations. equations. 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6for the5.5 z para ishallar estastoecuaciones. what required find this equation. ations. (a) Complete a fourth rowestá in dado the table using the model to 112. Give standard equation ofplane a plane inelspace. Describe para losdata datos por 1.03y 112. Give the standard equation of aun Describe 112. Dar la the ecuación estándar de enspace. espacio. Des0.92x 1.03y z z 0.02. 0.02. A modelo model the is given by AUn model for for the data is given byvalues 0.92x Describe aspace. method of finding theplano lineinof intersection of e the standard equation113. of awhat plane in Describe approximate z for the given of x and y. Compare the what is required to find this equation. is required to find this equation. A model for the data is given by 0.92x 1.03y z 0.02. cribir qué se requiere para hallar esta ecuación. two planes. Complete a fourth row in the table using model (a) (a) Complete a fourth row inactual the table using thethe model to to at is required to find this equation. approximations with the values of z. 113. Describe a método method of hallar finding the line ofComplete intersection of row in thea)table Hacer un cuarto renglón de la tabla usando el Compare modelo para 113. Describe aeach method of de finding the line of intersection ofa,fourth (a) aentre using the to 113. Describir un la recta de intersección zmodel x and y. approximate for the given values of the approximate z for the given values of x and y. Compare the 114. Describe surface given by the equations x scribe a method of finding two the line of intersection of (b) According tozCompare this model, any increases in consumption oflas two planes. aproximar con los valores dados de x y y. Comparar planes. approximate z for the given values of x and y. the dos planos. z. approximations with the actual values of approximations with the actual values of z. y b, and z c. planes. two types will los havevalores what effect aproximaciones realesondethe z. consumption approximations values of z.of milk con 114. Describe each surface given by the equations a,with the actual(b) 114. Describe each surface given thelas equations x xx 5 a, a, 114. Describir toda superficie dadabypor ecuaciones According to this model, increases in consumption (b) According totype? this model, anyany increases in consumption of of of the third scribe each surface given ybyy y5the equations x a, b, b) Según este modelo, cualquier incremento elconsumption consumo de b,band z5 zc.c. c. (b) According to this model, any increases in consumption ofhave y zand two types of milk will what effect onen the two types of milk will have what effect on the consumption b, and z c. dos deconsumption leche two types of milk will have whatofeffect on third the of tipos the type?tendrá ¿qué efecto en el consumo del terthe third type? cer tipo? of the third type? Chapter 11

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SECCIÓN 11.5

122. Diseño industrial Un colector en la parte superior de un montacargas de grano canaliza el grano a un contenedor. Hallar ángulo entreDesign dos ladosThe adyacentes. 122.elMechanical figure shows a chute at the top of a grain elevator of a combine that funnels the grain into a bin. 8 pulg 8 pulgthe angle between two adjacent sides. Find

11.5 Lines and Planes in Space 811 124. Hallar la ecuación estándar de la esfera con el centro en (23, 2, 4) que es tangente al plano dado por 2x 1 4y 2 3z 5 8. 2 center y 1 4z共⫺3, 5 7 2,con 125. el punto de intersección 4兲 124. Hallar Find the standard equation of del the plano sphere3x with lathat recta que pasa (5, 4, given 23) yby que 2xes⫹perpendicular 4y ⫺ 3z ⫽ 8.a este is tangent to por the plane 125. plano. Find the point of intersection of the plane 3x ⫺ y ⫹ 4z ⫽ 7 126. Mostrar plano 共2x es paralelo a latorecta y 2兲 3z 5, 2 4, ⫺3 and the que lineelthrough that5is4 perpendicular this xplane. 5 22 1 2t, y 5 21 1 4t, z 5 4, y hallar la distancia entre 126. ambos. Show that the plane 2x ⫺ y ⫺ 3z ⫽ 4 is parallel to the line

8 in.

8 in.

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8 pulg 8 in.

6 pulg 6 pulg 6 in. a lo largo de rectas dife123. Distancia Dos insectos se arrastran 6 in. rentes en el espacio. En el instante t (en minutos), el primer está Two en elinsects punto are (x, crawling y, z) sobre la recta x 5lines 6 1 t,in 123.insecto Distance along different También, en el instante t, el segundo y three-space. 5 8 2 t, zAt 5 time 3 1 t.t (in minutes), the first insect is at the insecto el punto sobre la 8recta point 共está the line(x,x y, x, y, en z兲 on ⫽ z) 6⫹ t, y ⫽ ⫺ t, xz5 ⫽131 ⫹t,t. y Also, 521 5the 2t. second insect is at the point 共x, y, z兲 on the at t,timez t,

Suponer last,distancias en pulgadas. line x ⫽que 1⫹ y ⫽ 2 ⫹ t,sez dan ⫽ 2t.

a)Assume Hallar that la distancia los dos insectos en el instante distancesentre are given in inches. 0. the distance between the two insects at time t ⫽ 0. (a)t 5 Find b)(b)Usar herramienta de graficación para representar la disUseuna a graphing utility to graph the distance between the tancia entre los tinsectos ⫽ 0 to tdesde ⫽ 10.t 5 0 hasta t 5 10. insects from c)(c)Usando gráfica delfrom inciso b), (b), ¿quéwhat se puede acerUsinglathe graph part can concluir you conclude ca about de la distancia entre los insectos? the distance between the insects?

127. Hallar intersección por x ⫽ ⫺2el ⫹punto 2t, y de ⫽ ⫺1 ⫹ 4t, z ⫽de4, laandrecta findque the pasa distance (1, 23, 1)them. y (3, 24, 2), y el plano dado por x 2 y 1 z 5 2. between 128. un conjunto de ecuaciones de la共1, recta ⫺3,que 1兲 127. Hallar Find the point of intersection of paramétricas the line through pasa el punto 2) ygiven es paralela plano 3, ⫺4, 2兲, and(1, z ⫽ dado 2. por and 共por the0,plane by x ⫺aly ⫹ la the recta 1 y a1setz of 5 parametric 5, y perpendicular x5 t, y 5through 1 1 t, 128. xFind equationsa for line passing zthe 5 1point 1 t. 共1, 0, 2兲 that is parallel to the plane given by

x ⫹ y ⫹ z ⫽ 5, and perpendicular to the line x ⫽ t, ¿Verdadero y ⫽ 1 o⫹falso? t, z ⫽ 1En ⫹los t. ejercicios 129 a 134, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar unorejemplo que129–134, es falsa. determine whether the True False? que In pruebe Exercises statement false. If it is false, explain why or give an 129. Si v 5isa1true i 1 bor 1j 1 c1k es cualquier vector en el plano dado por example a x 1that b yshows 1 c z it 1isd false. 5 0, entonces a a 1 b b 1 c c 5 0. 2

2

2

2

1 2

1 2

1 2

i ⫹rectas b1j ⫹encel 129. Todo If v ⫽ is any ovector in the plane given by 130. para1de se cortan o son paralelas. 1k espacio a x ⫹ b y ⫹ c z ⫹ d ⫽ 0, a a ⫹ b b ⫹ c c then 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 131. Dos planos en el espacio o se cortan o son paralelos. ⫽ 0. 132. dos rectas son paralelas un plano P, or entonces L1 yinL2space 130. Si Every two lines are eithera intersecting parallel.L1 y paralelas. 2 sonplanes 131. LTwo in space are either intersecting or parallel. 133. planos a un tercer en then el espacio L1 and L2 are parallel L1 andson 132.Dos If two linesperpendiculares to a plano plane P, L2 paralelos. are parallel. 134. plano y una recta en el to espacio intersecan sonparallel. parale133.Un Two planes perpendicular a thirdse plane in spaceo are los. 134. A plane and a line in space are either intersecting or parallel.

d)(d)¿Qué setoacercan los insectos? Howtanto close each other do the insects get?

PROYECTO S E C T I ODE N TRABAJO PROJECT

Distances en in Space Distancias el espacio En estahave sección se hantwo vistodistance dos fórmulas para distancia, la distancia You learned formulas in this section—the dedistance un puntobetween a un plano, y la distancia de un punto una recta. En estea a point and a plane, and the adistance between proyecto se estudiará tercer problema distancias, distancia de point and a line. Inunthis project you de will study a lathird distance dos rectas que se cruzan. Dos rectas en el espacio son oblicuas si no problem—the distance between two skew lines. Two lines in space son ni seare cortan (verparallel la figura). areparalelas skew if they neither nor intersecting (see figure). a)(a)Considerar las siguientes dos enspace. el espacio. Consider the following two rectas lines in L1L:1x: x5⫽4 41⫹5t,5t,y y5⫽5 51⫹5t,5t,z z5⫽1 12⫺4t4t L2L:2x: x5⫽4 41⫹s,s,y y5⫽26 ⫺61⫹8s, 8s,z z5⫽7 72⫺3s3s i)(i)Mostrar que these estas lines rectasare nonot sonparallel. paralelas. Show that ii) Mostrar que estas rectas no se cortan, y por consi(ii) Show that these lines do not intersect, and therefore are guiente las rectas se cruzan. skew lines. iii) Mostrar que las dos rectas están en planos paralelos. (iii) Showlathat the twoentre lineslos lie planos in parallel planes.del inciso iv) Hallar distancia paralelos (iv)iii). Find thees distance between thelas parallel part Ésta la distancia entre rectasplanes que sefrom cruzan (iii). This is the distance between the original skew originales. b) Usar ellines. procedimiento del inciso a) para encontrar la distan(b)ciaUse thelasprocedure entre rectas. in part (a) to find the distance between Lthe : x lines. 5 2t, y 5 4t, z 5 6t 1

4t,4 z1⫽s,6tz 5 21 1 s L2L:1x: x5⫽1 2t, 2 s,y ⫽ y5 L2: x ⫽ 1 ⫺ s, y ⫽ 4 ⫹ s, z ⫽ ⫺1 ⫹ s

c)(c)Usar procedimiento parathe encontrar distanUseelthe procedure in del partinciso (a) toa)find distancelabetween cia las rectas. theentre lines. LL11::xx 5 ⫽ 3t, 3t, yy 5 ⫽ 22 2 ⫺ t,t, zz 5 ⫽ 21 ⫺11 ⫹tt LL22::xx 5 ⫽ 11 1 ⫹ 4s, 4s, yy 5 ⫽ 22 ⫺2 1 ⫹ s,s, zz 5 ⫽ 23 ⫺3 2 ⫺ 3s 3s d) fórmula encontrar la distancia de the las (d)Desarrollar Develop auna formula for para finding the distance between rectas skewoblicuas. lines. LL11::xx 5 ⫽ xx11 1 ⫹ aa11t,t, yy 5 ⫽ yy11 1 ⫹ bb11t,t, zz 5 ⫽ zz11 1 ⫹ cc11tt LL22::xx 5 ⫽ xx22 1 ⫹ aa22s,s, yy 5 ⫽ yy22 1 ⫹ bb22s,s, zz 5 ⫽ zz22 1 ⫹ cc22ss L1

L2

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CAPÍTULO 11

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11.6 Superficies en el espacio n n n

Reconocer y dar las ecuaciones de superficies cilíndricas. Reconocer y dar las ecuaciones de superficies cuádricas. Reconocer y dar las ecuaciones de superficies de revolución.

Superficies cilíndricas z

Las primeras cinco secciones de este capítulo contienen la parte vectorial de los conocimientos preliminares necesarios para el estudio del cálculo vectorial y del cálculo en el espacio. En ésta y en la próxima sección, se estudian superficies en el espacio y sistemas alternativos de coordenadas para el espacio. Ya se han estudiado dos tipos especiales de superficies. y

x

1. Esferas: sx 2 x0d2 1 s y 2 y0d2 1 sz 2 z0d2 5 r 2 2. Planos: ax 1 by 1 cz 1 d 5 0

Sección 11.2. Sección 11.5.

Un tercer tipo de superficie en el espacio son las llamadas superficies cilíndricas, o simplemente cilindros. Para definir un cilindro, considerar el familiar cilindro circular recto mostrado en la figura 11.56. Se puede imaginar que este cilindro es generado por una recta vertical que se mueve alrededor del círculo x2 1 y 2 5 a2 que se encuentra en el plano xy. A este círculo se le llama curva directriz (o curva generadora).

Cilindro circular recto: x2 + y2 = a2

Las rectas generatrices son paralelas al eje z Figura 11.56

DEFINICIÓN DE UN CILINDRO Sea C una curva en un plano y sea L una recta no paralela a ese plano. Al conjunto de todas las rectas paralelas a L que cortan a C se le llama un cilindro. A C se le llama la curva generadora (o la directriz) del cilindro y a las rectas paralelas se les llama rectas generatrices.

Recta generatriz que corta a C

z

Curva directriz C

NOTA Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que C se encuentra en uno de los tres planos coordenados. En este texto se restringe la discusión a cilindros rectos, es decir, a cilindros cuyas (rectas) generatrices son perpendiculares al plano coordenado que contiene a C, como se muestra en la figura 11.57. n

La ecuación de la (curva) directriz del cilindro circular recto mostrado en la figura 11.56 es x y

Cilindro: las rectas generatrices cortan a C y son paralelas a la recta dada Figura 11.57

x2 1 y 2 5 a2.

Ecuación de la curva directriz en el plano xy.

Para encontrar una ecuación del cilindro, hay que observar que se puede generar cualquiera de las (rectas) generatrices fijando los valores de x y y y dejando que z tome todos los valores reales. En este caso, el valor de z es arbitrario y, por consiguiente, no está incluido en la ecuación. En otras palabras, la ecuación de este cilindro simplemente es la ecuación de su curva generadora o directriz. x2 1 y 2 5 a2

Ecuación de un cilindro en el espacio.

ECUACIÓN DE UN CILINDRO La ecuación de un cilindro cuyas rectas generatrices son paralelas a uno de los ejes coordenados contiene sólo las variables correspondientes a los otros dos ejes.

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SECCIÓN 11.6

EJEMPLO 1

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Superficies en el espacio

Trazado de cilindros

Trazar la superficie representada por cada una de las ecuaciones. a) z 5 y 2

b) z 5 sen x, 0 ≤ x ≤ 2p

Solución a) La gráfica es un cilindro cuya directriz, z 5 y 2, es una parábola en el plano yz. Las generatrices del cilindro son paralelas al eje x, como se muestra en la figura 11.58a. b) La gráfica es un cilindro generado por la curva del seno en el plano xz. Las generatrices son paralelas al eje y, como se muestra en la figura 11.58b.

La directriz C está en el plano yz

La directriz C está en el plano xz

z

z 1

y π

y x x

Cilindro: z = y2 a) Las generatrices son paralelas al eje x

Cilindro: z = sen x b) Las generatrices son paralelas al eje y

Figura 11.58

Superficies cuádricas AYUDA DE ESTUDIO En la tabla de las páginas 814 y 815 se muestra sólo una de las varias orientaciones posibles de cada superficie cuádrica. Si la superficie está orientada a lo largo de un eje diferente, su ecuación estándar cambiará consecuentemente, como se ilustra en los ejemplos 2 y 3. El hecho de que los dos tipos de paraboloides tengan una variable elevada a la primera potencia puede ser útil al clasificar las superficies cuádricas. Los otros cuatro tipos de superficies cuádricas básicas tienen ecuaciones que son de segundo grado en las tres variables.

El cuarto tipo básico de superficies en el espacio son las superficies cuádricas. Éstas son los análogos tridimensionales de las secciones cónicas.

SUPERFICIES CUÁDRICAS La ecuación de una superficie cuádrica en el espacio es una ecuación de segundo grado en tres variables. La forma general de la ecuación es Ax2 1 By2 1 Cz2 1 Dxy 1 Exz 1 Fyz 1 Gx 1 Hy 1 Iz 1 J 5 0. Hay seis tipos básicos de superficies cuádricas: elipsoide, hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, cono elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico.

A la intersección de una superficie con un plano se le llama la traza de la superficie en el plano. Para visualizar una superficie en el espacio, es útil determinar sus trazas en algunos planos elegidos inteligentemente. Las trazas de las superficies cuádricas son cónicas. Estas trazas, junto con la forma canónica o estándar de la ecuación de cada superficie cuádrica, se muestran en la tabla de las páginas 814 y 815.

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CAPÍTULO 11

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Elipsoide

z

z

Traza

y x

Traza yz

Traza xz

x2 y2 z2 1 21 251 2 a b c Plano

Elipse Paralelo al plano xy Elipse Paralelo al plano xz Elipse Paralelo al plano yz La superficie es una esfera si a 5 b 5 c Þ 0.

y x

Traza xy

Hiperboloide de una hoja z

z

x2 y2 z2 1 22 251 2 a b c Traza

Plano

Elipse Hipérbola Hipérbola

Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz

El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo.

y x

Traza xy

y

x

Traza yz

Traza xz

Hiperboloide de dos hojas z

x

Traza yz

z2 x2 y2 2 22 251 2 c a b

y

Traza

Plano



El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es positivo. No hay traza en el plano coordenado perpendicular a este eje.

x

Paralela al plano xy

z

Traza xz

No hay traza xy y

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SECCIÓN 11.6

Cono elíptico

z 2

2

z

Traza xz

2

x y z ⫹ ⫺ ⫽0 a2 b2 c2

y x

Traza

Plano



El eje del cono corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. Las trazas en los planos coordenados paralelos a este eje son rectas que se cortan.

815


Traza xy (un punto) y x

Paralelo al plano xy

Traza yz

Paraboloide elíptico z

z⫽

x2 y2 2 ⫹ 2 a b

Traza

Plano

Elipse Parábola Parábola


El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la primera potencia.

z

Paralelo al plano xy

y

x

Traza xz

Traza yz

Traza xy (un punto)

x

y

Paraboloide hiperbólica z

z⫽

y x

y2 x2 ⫺ 2 2 b a

Traza

Plano

Hipérbola Parábola Parábola


z

Traza yz

y x

El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la primera potencia. Paralelo al plano xy Traza xz

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CAPÍTULO 11

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Para clasificar una superficie cuádrica, se empieza por escribir la superficie en la forma canónica o estándar. Después, se determinan varias trazas en los planos coordenados o en planos paralelos a los planos coordenados. EJEMPLO 2

Trazado de una superficie cuádrica

Clasificar y dibujar la superficie dada por 4x 2 2 3y 2 1 12z2 1 12 5 0. Solución

Se empieza por escribir la ecuación en forma canónica o estándar.

4x 2 2 3y 2 1 12z 2 1 12 5 0 x2 23 y2 z2 − =1 4 1

1

y2 4

Escribir la ecuación original.

2 z2 2 1 5 0

Dividir entre 212.

y 2 x 2 z2 2 2 51 4 3 1

z

y2 x2 − =1 4 3

3

Forma canónica o estándar.

De la tabla en las páginas 814 y 815 se puede concluir que la superficie es un hiperboloide de dos hojas con el eje y como su eje. Para esbozar la gráfica de esta superficie, conviene hallar las trazas en los planos coordenados.

2 1

4 x

3

2

1

2

y

Traza xy sz 5 0d:

y2 x2 2 51 4 3

Hipérbola.

Traza xz s y 5 0d:

x2 z2 1 5 21 3 1

No hay traza.

Traza yx sx 5 0d:

y2 z2 2 51 4 1

Hipérbola.

Hiperboloide de dos hojas: y2 x2 − − z2 = 1 4 3

Figura 11.59

La gráfica se muestra en la figura 11.59. EJEMPLO 3

Trazado de una superficie cuádrica

Clasificar y dibujar la superficie dada por x 2 y 2 2 4z 2 5 0. Paraboloide elíptico: x = y2 + 4z2

z

Solución Como x está elevada sólo a la primera potencia, la superficie es un paraboloide. El eje del paraboloide es el eje x. En la forma canónica o estándar, la ecuación es

2 −4

x = y2 2

4

y

x 5 y2 1 4z2.

Forma canónica o estándar.

Algunas trazas útiles son las siguientes. y2 + z2 = 1 4 1

10 x

x = 4z2

Figura 11.60

Traza xy s z 5 0d:

x 5 y2

Parábola.

Traza xz s y 5 0d:

x5

Parábola.

Paralelo al plano yz sx 5 4d:

y2 4

4z2

1

z2 1

51

Elipse.

La superficie es un paraboloide elíptico, como se muestra en la figura 11.60. Algunas ecuaciones de segundo grado en x, y y z no representan ninguno de los tipos básicos de superficies cuádricas. He aquí dos ejemplos. x2 1 y2 1 z2 5 0 x2 1 y2 5 1

Un único punto. Cilindro recto circular.

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SECCIÓN 11.6

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En el caso de una superficie cuádrica no centrada en el origen, se puede formar la ecuación estándar completando cuadrados, como se muestra en el ejemplo 4. (x − 2)2 (y + 1)2 (z − 1)2 + + =1 4 2 4

EJEMPLO 4

Una superficie cuádrica no centrada en el origen

z

Clasificar y dibujar la superficie dada por 3

x 2 1 2y 2 1 z2 2 4x 1 4y 2 2z 1 3 5 0. Solución

(2, −1, 1)

1

Al completar el cuadrado de cada variable se obtiene:

sx2 2 4x 1 d 1 2s y 2 1 2y 1 d 1 sz2 2 2z 1 d 5 23 sx2 2 4x 1 4d 1 2s y 2 1 2y 1 1d 1 sz2 2 2z 1 1d 5 23 1 4 1 2 1 1 sx 2 2d2 1 2s y 1 1d2 1 sz 2 1d2 5 4 sx 2 2d2 s y 1 1d2 sz 2 1d2 1 1 51 4 2 4

y

−1 5 x

Un elipsoide centrado en s2, 2 1, 1d Figura 11.61

En esta ecuación se puede ver que la superficie cuádrica es un elipsoide centrado en el punto (2, 21, 1). Su gráfica se muestra en la figura 11.61. Un sistema algebraico por computadora puede ayudar a visualizar una superficie en el espacio.* La mayoría de estos sistemas algebraicos por computadora crean ilusiones tridimensionales dibujando varias trazas de la superficie y aplicando una rutina de “línea oculta” que borra las porciones de la superficie situadas detrás de otras. Abajo se muestran dos ejemplos de figuras que se generaron con Mathematica.

TECNOLOGÍA

z

z

y y x

x Creado con Mathematica

Paraboloide elíptico y2 z2 x5 1 2 2

Creado con Mathematica

Paraboloide hiperbólico y2 x2 z5 2 16 16

Usar una herramienta de graficación para representar una superficie en el espacio requiere práctica. En primer lugar, se debe saber lo suficiente sobre la superficie en cuestión para poder especificar que dé una vista representativa de la superficie. También, a menudo se puede mejorar la vista de una superficie girando los ejes. Por ejemplo, se observa que el paraboloide elíptico de la figura se ve desde un punto más “alto” que el utilizado para ver el paraboloide hiperbólico.

* Algunas graficadoras 3-D requieren que se den las superficies mediante ecuaciones paramétricas. Para un análisis de esta técnica, ver la sección 15.5.

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CAPÍTULO 11

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Superficies de revolución Sección circular

z

El quinto tipo especial de superficie que se estudiará se llama superficie de revolución. En la sección 7.4 se estudió un método para encontrar el área de tales superficies. Ahora se verá un procedimiento para hallar su ecuación. Considerar la gráfica de la función radio

Curva generadora o directriz y = r(z) (0, 0, z) (0, r(z), z)

(x, y, z)

y 5 r szd

Curva generadora o directriz.

r (z)

y

en el plano yz. Si esta gráfica se gira sobre el eje z, forma una superficie de revolución, como se muestra en la figura 11.62. La traza de la superficie en el plano z 5 z 0 es un círculo cuyo radio es r sz0d y cuya ecuación es x 2 1 y 2 5 fr sz 0dg 2.

Traza circular en el plano: z 5 z 0.

x

Sustituyendo z 0 por z se obtiene una ecuación que es válida para todos los valores de z. De manera similar, se pueden obtener ecuaciones de superficies de revolución para los otros dos ejes, y los resultados se resumen como sigue.

Figura 11.62

SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Si la gráfica de una función radio r se gira sobre uno de los ejes coordenados, la ecuación de la superficie de revolución resultante tiene una de las formas siguientes. 1. Girada sobre el eje x: y 2 1 z2 5 frsxdg 2 2. Girada sobre el eje y: x 2 1 z2 5 frs ydg 2 3. Girada sobre el eje z: x 2 1 y 2 5 fr szdg 2

EJEMPLO 5

Hallar una ecuación para una superficie de revolución

a) Una ecuación para la superficie de revolución generada al girar la gráfica de y5

1 z

Función radio.

en torno al eje z es x2 1 y2 5 fr szdg 2

z

Superficie: x2 + z2 = 1 y3 9

x2 1 y2 5

11z 2 .

Girada en torno al eje z.

2

Sustituir r(z) para 1/z.

b) Para encontrar una ecuación para la superficie generada al girar la gráfica de 9x2 5 y3 en torno al eje y, se despeja x en términos de y. Así se obtiene y x

x 5 13 y 3y2 5 r s yd.

Función radio.

Por tanto, la ecuación para esta superficie es

Curva generadora o directriz 9x2 = y3

Figura 11.63

x2 1 z2 5 fr s ydg 2

Girada en torno al eje y.

x2 1 z2 5 s

Sustituir 13 y 3y2 para r syd.

d

1 3y2 2 3y

x2 1 z2 5 19 y 3.

Ecuación de la superficie.

La gráfica se muestra en la figura 11.63.

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SECCIÓN 11.6

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La curva generadora o directriz de una superficie de revolución no es única. Por ejemplo, la superficie x2 1 z2 5 e22y puede generarse al girar la gráfica de x 5 e2y en torno al eje y o la gráfica de z 5 e2y sobre el eje y, como se muestra en la figura 11.64. z

z

Superficie: x2 + z2 = e−2y

Curva generadora o directriz en el plano yz z = e−y

y x

y x

Curva generadora o directriz en el plano xy x = e−y

Figura 11.64

EJEMPLO 6

Hallar una directriz para una superficie de revolución

Hallar una directriz y el eje de revolución de la superficie dada por x2 1 3y2 1 z2 5 9. Directriz en el plano xy x=

9 − 3y2

z

Directriz en el plano yz z=

Solución

9 − 3y2

Se sabe ahora que la ecuación tiene una de las formas siguientes.

x2 1 y2 5 fr szdg 2 y2 1 z2 5 fr sxdg 2 x2 1 z2 5 fr s ydg 2

Girada en torno al eje z. Girada en torno al eje x. Girada en torno al eje y.

Como los coeficientes de x2 y z2 son iguales, se debe elegir la tercera forma y escribir x2 1 z2 5 9 2 3y 2. y

El eje y es el eje de revolución. Se puede elegir una directriz de las trazas siguientes. x

x2 5 9 2 3y2 z2 5 9 2 3y 2

Traza en el plano xy. Traza en el plano yz.

Por ejemplo, usando la primer traza, la directriz es la semielipse dada por Superficie: x2 + 3y2 + z2 = 9

Figura 11.65

x 5 !9 2 3y2.

Directriz.

La gráfica de esta superficie se muestra en la figura 11.65.

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CAPÍTULO 11

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11.6 Ejercicios c)

En los ejercicios 1 a 6, asociar la ecuación con su gráfica. [Las gráficas están marcadas a), b), c), d), e) y f).] a)

b)

z

z y

6

3 2

4

x

2

3 x

56

4

y

y

4

x

−3

x

Figuras para 17 CAS

z

c)

z

d)

−5

4

b) s0, 10, 0d

2

c) s10, 10, 10d

2

4

5

x

y

z

e)

1.

3 2

21. 16x 2

y

4

5

−3

4

4

5. 4x 2 2 4y 1 z 2 5 0

11.

x2

13. 4x 2 15. z

y

0

12.

y2

y2

4

14. y 2

sen y

0

16. z

2 z2 z

25

ey

z

b)

z2 25 18y2

26. z

27. x 2

y2

z

0

28. 3z

32. 9x CAS

y2

x2

y

2

16z 2 9z

2

32x 54x

36y 4y

54z

35. z 2

0

2z 2

0 4

0

En los ejercicios 33 a 42, usar un sistema algebraico por computadora para representar gráficamente la superficie. (Sugerencia: Puede ser necesario despejar z y considerar dos ecuaciones al representar gráficamente la superficie.) 33. z

16

1

x2

2y 2

36

2

4y 2 y2

30. x 2

9

9y 2

2

x2

1 18z2

y2 4

x2

6

z2

17. Para pensar Las cuatro figuras son gráficas de la superficie cuádrica z 5 x 2 1 y 2. Asociar cada una de las cuatro gráficas con el punto en el espacio desde el cual se ve el paraboloide. Los cuatro puntos son (0, 0, 20), (0, 20, 0), (20, 0, 0) y (10, 10, 20). a)

24. z 2

1 0

31. 16x 2

10. x 2

9

z2

y2 25

8x2

22.

z2

4. y 2 5 4x 2 1 9z 2

8. z

z2

y2

4

x2 16

y

29. z 2

6. 4x 2 2 y 2 1 4z 5 0

5

16z 2

20.

25. x 2

2. 15x 2 2 4y 2 1 15z 2 5 24

En los ejercicios 7 a 16, describir y dibujar la superficie. 9. y 2

1

y

x

3. 4x 2 2 y 2 1 4z 2 5 4

z2 y2

23. 4x2

x2 y2 z2 1 1 51 9 16 9

7. y

y2 4

19. x 2

z

f)

2

x

En los ejercicios 19 a 32, identificar y dibujar la superficie cuádrica. Usar un sistema algebraico por computadora para confirmar su dibujo.

y

6

x

3 2 1

4

18. Usar un sistema algebraico por computadora para representar gráficamente el cilindro y 2 1 z 2 5 4 desde cada punto. a) s10, 0, 0d

4

3

z

d)

37. x 2 39. z 41. 6x2

2 cos x x2 y2 10 4y2

34. z

7.5y 2 2 z

x2

0.5y 2 x2

36. 3.25y

z2

2

38. x 2 40. z

xy 6z2

36

42. 9x 2

y2

8

e x x2

4y 2

z

y2 8z 2

72

z

En los ejercicios 43 a 46, dibujar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones. 43. z 5 2!x 2 1 y 2, z 5 2 44. z 5 !4 2 x 2, y 5 !4 2 x 2, x 5 0, y 5 0, z 5 0 y

x

y

45. x 2 1 y 2 5 1, x 1 z 5 2, z 5 0 46. z 5 !4 2 x 2 2 y 2, y 5 2z, z 5 0

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SECCIÓN 11.6

En los ejercicios 47 a 52, hallar una ecuación para la superficie de revolución generada al girar la curva en el plano coordenado indicado sobre el eje dado. Ecuación de la curva Plano coordenado Eje de revolución 47. z 2 5 4y

Plano yz

Eje y

48. z 5 3y

Plano yz

Eje y

49. z 5 2y

Plano yz

Eje z

50. 2z 5 !4 2 x 2

Plano xz

Eje x

51. xy 5 2

Plano xy

Eje x

52. z 5 ln y

Plano yz

Eje z


821

64. El conjunto de todos los puntos equidistantes del punto (0, 0, 4) y del plano xy. 65. Geografía Debido a las fuerzas causadas por su rotación, la Tierra es un elipsoide oblongo y no una esfera. El radio ecuatorial es de 3 963 millas y el radio polar es de 3 950 millas. Hallar una ecuación del elipsoide. (Suponer que el centro de la Tierra está en el origen y que la traza formada por el plano z 5 0 corresponde al ecuador.) 66. Diseño de máquinas La parte superior de un buje de caucho, diseñado para absorber las vibraciones en un automóvil, es la superficie de revolución generada al girar la curva z 5 12 y2 1 1 s0 ≤ y ≤ 2d en el plano yz en torno al eje z. a) Hallar una ecuación de la superficie de revolución.

En los ejercicios 53 y 54, hallar una ecuación de una directriz dada la ecuación de su superficie de revolución. 53. x 2 1 y 2 2 2z 5 0

54. x 2 1 z 2 5 cos2 y

Desarrollo de conceptos 55. Dar la definición de un cilindro. 56. ¿Qué es la traza de una superficie? ¿Cómo encuentra una traza? 57. Identificar las seis superficies cuádricas y dar la forma estándar de cada una.

Para discusión 58. ¿Qué representa la ecuación z 5 x 2 en el plano xz? ¿Qué representa en el espacio?

b) Todas las medidas están en centímetros y el buje es fijo en el plano xy. Usar el método de capas para encontrar su volumen. c) El buje tiene un orificio de 1 centímetro de diámetro que pasa por su centro y en paralelo al eje de revolución. Hallar el volumen del buje de caucho.

67. Determinar la intersección del paraboloide hiperbólico z = y2yb2 – x2ya2 con el plano bx 1 ay 2 z 5 0. (Suponer a, b > 0.)

68. Explicar por qué la curva de intersección de las superficies x 2 1 3y 2 2 2z 2 1 2y 5 4 y 2x 2 1 6y 2 2 4z 2 2 3x 5 2 se encuentra en un plano. ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 69 a 72, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que pruebe su falsedad. 69. Una esfera es un elipsoide.

En los ejercicios 59 y 60, usar el método de las capas para encontrar el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie de revolución y sobre el plano xy. 59. La curva z 5 4x 2 x 2 en el plano xz se gira en torno al eje z. 60. La curva z 5 sen sin y s0 ≤ y ≤ pd en el plano yz se gira en torno al eje z. En los ejercicios 61 y 62, analizar la traza cuando la superficie

70. La directriz de una superficie de revolución es única. 71. Todas las trazas de un elipsoide son elipses. 72. Todas las trazas de un hiperboloide de una hoja son hiperboloides. 73. Para pensar Abajo se muestran tres tipos de superficies “topológicas” clásicas. La esfera y el toro tienen “interior” y “exterior”. ¿Tiene la botella de Klein interior y exterior? Explicar.

z 5 12 x 2 1 14 y 2 se corta con los planos indicados. 61. Hallar las longitudes de los ejes mayor y menor y las coordenadas del foco de la elipse generada cuando la superficie es cortada por los planos dados por a) z 5 2 y b) z 5 8.

Esfera

Toro

62. Hallar las coordenadas del foco de la parábola formada cuando la superficie se corta con los planos dados por a) y 5 4

y

b) x 5 2.

En los ejercicios 63 y 64, hallar una ecuación de la superficie que satisface las condiciones e identificar la superficie. 63. El conjunto de todos los puntos equidistantes del punto (0, 2, 0) y del plano y 5 22.

Botella de Klein

Botella de Klein

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CAPÍTULO 11

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11.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas n n

Usar coordenadas cilíndricas para representar superficies en el espacio. Usar coordenadas esféricas para representar superficies en el espacio.

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas cilíndricas: r2 = x2 + y2 y tan θ = x z=z

z

Coordenadas rectangulares: x = r cos θ y = r sen θ z=z

x

y

x

EL SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio se representa por medio de una terna ordenada sr, u, zd.

(x, y, z) P (r, θ , z)

r

θ

Ya se ha visto que algunas gráficas bidimensionales son más fáciles de representar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. Algo semejante ocurre con las superficies en el espacio. En esta sección se estudiarán dos sistemas alternativos de coordenadas espaciales. El primero, el sistema de coordenadas cilíndricas, es una extensión de las coordenadas polares del plano al espacio tridimensional.

1. sr, ud es una representación polar de la proyección de P en el plano xy. 2. z es la distancia dirigida de sr, ud a P. Para convertir coordenadas rectangulares en coordenadas cilíndricas (o viceversa), hay que usar las siguientes fórmulas, basadas en las coordenadas polares, como se ilustra en la figura 11.66.

y

Figura 11.66

Cilíndricas a rectangulares: x 5 r cos u,

y 5 r sen sin u,

z5z

Rectangulares a cilíndricas: r 2 5 x 2 1 y 2,

y tan u 5 , x

z5z

Al punto (0, 0, 0) se le llama el polo. Como la representación de un punto en el sistema de coordenadas polares no es única, la representación en el sistema de las coordenadas cilíndricas tampoco es única. (x, y, z) = (−2

3, 2, 3)

EJEMPLO 1

P

z

z

4

1

Convertir el punto sr, u, zd 5 4,

−4

3 −3 2

r

1

θ

x

(

(r, θ , z) = 4,

1

2

5π ,3 6

Figura 11.67

)

2

3

4

y

1

2

!3 5p 5 22!3 54 2 6 2 5p 1 sen y 5 4 sin 54 52 6 2 z 5 3.

x 5 4 cos

−1 −1

5p , 3 a coordenadas rectangulares. 6

Solución Usando las ecuaciones de conversión de cilíndricas a rectangulares se obtiene

−2

1

Conversión de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares

12

Por tanto, en coordenadas rectangulares, el punto es sx, y, zd 5 s22!3, 2, 3d, como se muestra en la figura 11.67.

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SECCIÓN 11.7

z

Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas

EJEMPLO 2 (x, y, z) = (1,

823

Coordenadas cilíndricas y esféricas

3, 2)

3

Convertir el punto sx, y, zd 5 s1, !3, 2d a coordenadas cilíndricas.

r=2

2

Solución

1

r 5 ± !1 1 3 5 ± 2

z=2 1 2

θ= π 3

2

y

3

u 5 arctan s!3 d 1 np 5

tan u 5 !3

3 x

Usar las ecuaciones de conversión de rectangulares a cilíndricas.

p 1 np 3

z52 (r, θ , z) = 2, π , 2 o −2, 4π , 2 3 3

(

Figura 11.68

) (

)

Hay dos posibilidades para r y una cantidad infinita de posibilidades para u. Como se muestra en la figura 11.68, dos representaciones adecuadas del punto son

12, p3 , 22 122, 43p , 22.

r > 0 y u en el cuadrante I. r < 0 y u en el cuadrante III.

Las coordenadas cilíndricas son especialmente adecuadas para representar superficies cilíndricas y superficies de revolución en las que el eje z sea el eje de simetría, como se muestra en la figura 11.69. x2 + y2 = 9 r=3

x 2 + y 2 = 4z r=2 z

x 2 + y2 = z 2 r=z

x2 + y2 − z2 = 1 r2 = z2 + 1

z

z

z z

y

y x

x

Cilindro

y

Paraboloide

y

x

x

Cono

Hiperboloide

Figura 11.69

Los planos verticales que contienen el eje z y los planos horizontales también tienen ecuaciones simples de coordenadas cilíndricas, como se muestra en la figura 11.70. z z

Plano vertical: θ =c

θ =c

y y

x x

Figura 11.70

Plano horizontal: z=c

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CAPÍTULO 11

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Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas

EJEMPLO 3 Rectangular: x2 + y2 = 4z2

Cilíndrica: r2 = 4z2

z

Hallar una ecuación en coordenadas cilíndricas para la superficie representada por cada ecuación rectangular.

3

a) x 2 1 y 2 5 4z 2 x

b) y 2 5 x

4

6

4

6

y

Solución a) Según la sección anterior, se sabe que la gráfica de x 2 1 y 2 5 4z 2 es un cono “de dos hojas” con su eje a lo largo del eje z, como se muestra en la figura 11.71. Si se sustituye x 2 1 y 2 por r 2, la ecuación en coordenadas cilíndricas es

Figura 11.71

x 2 1 y 2 5 4z 2


r 2 5 4z 2.

Ecuación cilíndrica.

b) La gráfica de la superficie y 2 5 x es un cilindro parabólico con rectas generatrices paralelas al eje z, como se muestra en la figura 11.72. Sustituyendo y2 por r2 sen2 q y x por r cos q, se obtiene la ecuación siguiente en coordenadas cilíndricas. Rectangular: y2 = x

Cilíndrica: r = csc θ cot θ

y2 5 x r2

z

rs

r sen sin22 u

2

r

sin2 sen

4

u 5 r cos u

2 cos ud 5 0

sin sen22 u

r 5 csc u cot u

2 y

Figura 11.72

Dividir cada lado entre r.

cos u sen sin22 u

r5

Sustituir y por r sen q y x por r cos q. Agrupar términos y factorizar.

2 cos u 5 0

1

x


Despejar r. Ecuación cilíndrica.

Hay que observar que esta ecuación comprende un punto en el que r 5 0, por lo cual nada se pierde al dividir cada lado entre el factor r. La conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas es más sencilla que la conversión de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares, como se muestra en el ejemplo 4.

Conversión de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares

EJEMPLO 4 Cilíndrica: r2 cos 2θ + z2 + 1 = 0

Hallar una ecuación en coordenadas rectangulares de la superficie representada por la ecuación cilíndrica

z 3

r 2 cos 2u 1 z 2 1 1 5 0. Solución

3

r 2 cos 2u 1 z 2 1 1 5 0

2

x

−1 −2 −3

Rectangular: y2 − x2 − z2 = 1

Figura 11.73

2

3

y

s

r2

cos 2

u

2 sen sin2

r 2 cos 2

u2

ud 1

z2

r 2 sen sin22 u x2

2

y2

y2

2

x2

1150

Ecuación cilíndrica. Identidad trigonométrica.

1

z2

5 21

1

z2

5 21

Sustituya r cos q por x y r sen q por y.

2

z2

51


Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje se encuentra a lo largo del eje y, como se muestra en la figura 11.73.

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SECCIÓN 11.7

Coordenadas cilíndricas y esféricas

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Coordenadas esféricas En el sistema de coordenadas esféricas, cada punto se representa por una terna ordenada: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera coordenadas son ángulos. Este sistema es similar al sistema de latitud-longitud que se usa para identificar puntos en la superficie de la Tierra. Por ejemplo, en la figura 11.74 se muestra el punto en la superficie de la Tierra cuya latitud es 40° Norte (respecto al ecuador) y cuya longitud es 80° Oeste (respecto al meridiano cero). Si se supone que la Tierra es esférica y tiene un radio de 4 000 millas, este punto sería

Meridiano cero

z

y

80° O 40° N

(4 000, 280°, 50°). x

Radio Ecuador

80° en el sentido de las manecillas del reloj, desde el meridiano cero

50° hacia abajo del Polo Norte

Figura 11.74

EL SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS En un sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio se representa por medio de una terna ordenada sr, u, fd. 1. r es la distancia entre P y el origen, r ≥ 0. 2. u es el mismo ángulo utilizado en coordenadas cilíndricas para r ≥ 0. 3. f es el ángulo entre el eje z positivo y el segmento de recta OP , 0 ≤ f ≤ p. \

Hay que observar que la primera y tercera coordenadas, r y f, son no negativas. r es la letra minúscula ro, y f es la letra griega minúscula fi. La relación entre coordenadas rectangulares y esféricas se ilustra en la figura 11.75. Para convertir de un sistema al otro, usar lo siguiente.

z

r = ρ sen φ =

x2 + y2

Esféricas a rectangulares: x 5 r sen sin f cos u,

z P

φ

O

ρ

θ

r

(ρ, θ , φ ) (x, y, z)

y 5 r sen sin f sen sin u,

z 5 r cos f

Rectangulares a esféricas: y

x x

f 5 arccos

1

!x 2

2

z 1 y2 1 z2

y

Coordenadas esféricas Figura 11.75

y tan u 5 , x

r 2 5 x 2 1 y 2 1 z 2,

Para cambiar entre los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas, usar lo siguiente. Esféricas a cilíndricas sr ≥ 0d: r 2 5 r 2 sen sin22 f,

u 5 u,

z 5 r cos f

Cilíndricas a esféricas xr ≥ 0c:

r 5 !r 2 1 z 2,

u 5 u,

f 5 arccos

1

z

2

!r 2 1 z 2

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CAPÍTULO 11

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El sistema de coordenadas esféricas es útil principalmente para superficies en el espacio que tiene un punto o centro de simetría. Por ejemplo, la figura 11.76 muestra tres superficies con ecuaciones esféricas sencillas. z

z

z

φ=c

c

y

x x

Esfera: ρ=c

θ=c

y

y x

Semiplano vertical: θ=c

Semicono: φ=c

(0 < c < π2 )

Figura 11.76

EJEMPLO 5

Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas

Hallar una ecuación en coordenadas esféricas para la superficie representada por cada una de las ecuaciones rectangulares. a) Cono: x 2 1 y 2 5 z 2 b) Esfera: x 2 1 y 2 1 z 2 2 4z 5 0 Solución a) Haciendo las sustituciones apropiadas de x, y y z en la ecuación dada se obtiene lo siguiente.

Rectangular: x2 + y2 + z2 − 4z = 0

Esférica: ρ = 4 cos φ

z

4

x2 1 y2 5 z2 r 2 sen sin2 f cos 2 u 1 r 2 sen sin2 f sen sin2 u 5 r 2 cos 2 f r 2 sen sin22 f scos 2 u 1 sen sin2 ud 5 r 2 cos 2 f 2 r sen sin2 f 5 r 2 cos 2 f sen sin2 f 51 cos 2 f tan2 f 5 1

≥ 0. r ≥

o f 5 3py4. f 5 py4 or

La ecuación f 5 py4 representa el semicono superior, y la ecuación f 5 3py4 representa el semicono inferior. b) Como r 2 5 x 2 1 y 2 1 z 2 y z 5 r cos f, la ecuación dada tiene la forma esférica siguiente.

rs r 2 4 cos fd 5 0

r 2 2 4r cos f 5 0

Descartando por el momento la posibilidad de que r 5 0, se obtiene la ecuación esférica −2 1 2 x

Figura 11.77

1

r 2 4 cos f 5 0 2

y

o

r 5 4 cos f.

Hay que observar que el conjunto solución de esta ecuación comprende un punto en el cual r 5 0, de manera que no se pierde nada al eliminar el factor r. La esfera representada por la ecuación r 5 4 cos f se muestra en la figura 11.77.

1053714_1107.qxp 10/27/08 10:41 AM Page 827 1053714_1107.qxp 10/27/08 Page 827 1053714_1107.qxp 10/27/08 10:41 AM Page Page827 827 Larson-11-07.qxd 3/12/09 10:41 17:44AM 1053714_1107.qxp 10/27/08 1053714_1107.qxp 10:41 AM 1053714_1107.qxp 10/27/08 10:41 10:41 AM AM Page Page 827 827 1053714_1107.qxp 10/27/08 10/27/08 10:41 AM Page 827 1053714_1107.qxp 10/27/08 10:41 AM Page 827 1053714_1107.qxp 10/27/08 10:41 AM Page 827 1053714_1107.qxp 10/27/08 10:41 AM Page 827

SECCIÓN Coordenadas cilíndricas y esféricas 11.7 11.7 Cylindrical and Spherical Coordinates 11.7 Cylindrical and Spherical Coordinates 11.7 Cylindrical Cylindricaland andSpherical SphericalCoordinates Coordinates 11.7 11.7 Cylindrical and Spherical Coordinates 11.7 Cylindrical and Spherical Coordinates 11.7 11.7 Cylindrical and Spherical Coordinates 11.7 Cylindrical Cylindrical and and Spherical Spherical Coordinates Coordinates

827 827 827 827 827 827 827 827 827 827

Exercises www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 11.7 Ejercicios SeeSeeSee 11.7 Exercises www.CalcChat.com for odd-numbered 11.7 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out worked-out solutions solutions to to odd-numbered exercises. exercises. www.CalcChat.com for odd-numbered Exercises See www.CalcChat.com worked-out solutions to exercises. Exercises See www.CalcChat.com forworked-out worked-outsolutions solutionsto odd-numberedexercises. exercises. 11.7 11.7 See www.CalcChat.com for for worked-out solutions totoodd-numbered odd-numbered exercises. Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 11.7 See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to exercises. find an equation in rectangular coordinates In11.7 Exercises 1–6,1 convert the point cylindrical coordinates Inodd-numbered Exercises 49–56, En los ejercicios 49 a 56, encontrar una ecuación en coordenadas En los ejercicios a 6, convertir las from coordenadas cilíndricas del

In Exercises 1–6, convert the point from cylindrical coordinates In Exercises 49–56, find an equation inrectangular rectangular coordinates In Exercises 1–6, convert the point fromcylindrical cylindrical coordinates In Exercises 49–56, find an equation rectangular coordinates In Exercises 1–6, convert the point from coordinates In Exercises 49–56, find an equation coordinates to rectangular coordinates. for the equation in spherical coordinates, and sketch itsy rectangulares de given la ecuación dada in en coordenadas esféricas punto en coordenadas rectangulares. In Exercises 1–6, convert the point from cylindrical coordinates In Exercises 49–56, find an equation in rectangular coordinates In Exercises 1–6, convert the point from cylindrical coordinates In Exercises 49–56, find an equation inin rectangular coordinates In Exercises 1–6, convert the point from cylindrical coordinates In Exercises 49–56, find an equation in rectangular coordinates to rectangular coordinates. for the equation given in spherical coordinates, and sketch its to rectangular coordinates. for the equation given in spherical coordinates, and sketchits its to rectangular coordinates. for the equation given in spherical coordinates, and sketch In Exercises 1–6, convert the point from cylindrical coordinates In Exercises 49–56, find an equation in rectangular coordinates graph. In Exercises 1–6, convert the point from cylindrical coordinates In Exercises 49–56, find an equation in rectangular coordinates dibujar su gráfica. to rectangular coordinates. for the equation given in spherical coordinates, and sketch its to rectangular coordinates. for the equation given in spherical coordinates, and sketch its In Exercises 1–6, convert the point from cylindrical coordinates In Exercises 49–56, find an equation in rectangular coordinates to rectangular coordinates. for the equation given in spherical coordinates, and sketch its graph. 7, 0, 5 2, , 4 1. 2. 1. rectangular 7, 0, 5 coordinates. 2. 2, , 4 graph. graph. to for the equation given in spherical coordinates, and sketch its to rectangular coordinates. for the equation given in spherical coordinates, and sketch its 0,5 55 coordinates. 2, graph. graph. to rectangular for the equation given in spherical coordinates, and sketch its 7, 2, , , ,, 44444 1. 2. 2, graph. 7,7,7, 0, 1.1.1. 2.2.2. 3 0, 0,0, 2, 4, 6, ,,4, 4, graph. 3, 3,7, 15551 6,2, 242 3.1. 4.2. 7, 4, 0, 2, 1.3. 2.4. graph. 33 5 49. 50. graph. 3, 4, 1 6, 4, 2 3. 4. 3 7, 5515 1 2, 4244 2 1. 2. 6, ,,,4, 3. 3,3,3, 4. 6, 49. 50. 7, 0, 0, 2, 1. 2. 4, 3. 4. 3334 49. 50. 55555 2, 1. 2. 49. 50. 4, 1131 3 2223, 4,4, 6, 4,4, 3. 4. 6, 0.5, 5.4,3, 6. 6, 7 7,7 0, 6, 0.5, 4 44, 3, 88 5.3. 6.4. 49. 50. 3,4, 4, 6, 4, 49. 50. 3. 4. 33344444 5 49. 50. 4, 7 6, 3 0.5, 4 3, 8 5. 6. 3, 4, 1 6, 4, 2 3. 4. 4, 7 6, 3 0.5, 4 3, 8 5. 6. 3, 4, 1 6, 4, 2 3. 4. 6, 5. 6. 555 49. 50. 4 49. 50. 3, 23, 3. 4. 4, 6, 0.5, 5. 6. 4,7777 4, 6,13333 0.5,44444, 3, 3,8888 5. 4, 6. 6,0.5, 51. 52. 49. 50. 4, 6, 0.5, 3, 5. 6. 4442 In Exercises 7–12, convert the point from0.5, rectangular coordinates 51. 52. 6 4, 7 6, 3 4 3, 8 5. 6. 4, 7 6, 3 0.5, 4 3, 8 5. 6. 51. 52. 51. 52. En los aconvert 12, convertir las coordenadas In Exercises 7–12, the point from rectangular coordinates 4,ejercicios 7 6, 3 7convert 0.5, 4 3, rectangulares 8coordinates 5.Exercises 6. 51. 52. 51. 52. In Exercises 7–12, convert the point from rectangular coordinates In 7–12, the point from rectangular 66666 22222 51. 52. to cylindrical coordinates. In Exercises convert the point from rectangular coordinates In Exercises 7–12, convert the point from rectangular coordinates 53. 54. In Exercises 7–12, convert the point from rectangular coordinates 51. 52. 644 cos 22 sec del punto en 7–12, coordenadas cilíndricas. to cylindrical coordinates. 51. 52. to cylindrical coordinates. to cylindrical coordinates. cos sec 53. 54. 51. 52. In 7–12, convert the point from rectangular coordinates In Exercises 7–12, convert the point from rectangular coordinates cos sec 53. 54. 4464664cos 22222222sec 53. 54. to cylindrical coordinates. toExercises cylindrical coordinates. In Exercises 7–12, convert the point from rectangular coordinates to cylindrical coordinates. cos 53. 54. cos sec 53. 54. csc 4sec csc sec 55. 56. 0, 5, 1 2 2, 2 2, 4 7. 8. 4 cos 2 sec 53. 54. to cylindrical coordinates. 7. 0, 5, 1 8. 2 2, 2 2, 4 to cylindrical coordinates. csc 4 csc sec 55. 56. 0, 5, 1 2 2, 2 2, 4 7. 8. 4 cos 2 sec 53. 54. csc 4 csc sec sec 55. 56. to cylindrical 44csc cos sec 53. 54. 0, 7. csc 44224csc 55. 56. 7. 8. 0, 5,5,5, 1111 coordinates. 2 2 2,2,2, 44 cos sec 53. 54. csc csc sec 55. 56. csc sec 55. 56. 0, 2, 7. 8. 0, 2,2, 7. 8.8. 22223,2 2, 2,5, 4 3,77222 2, 9. 2, 10. csc 4cylindrical csc sec 55. 56. 0, 5,2, 12, 2, 2, 444 7. 8. 9. 10. 4 3, 3, In Exercises 57–64, convert the point from coordinates 2, 2, 4 3, 3, 7 9. 10. csc 444cylindrical csc 55. 56. 0, 1112, 4 4 2223,2, 7. 8. csc csc sec 55. 56. 2,5, 10. 0, 5, 2, 2, 7. 8. 9. 10. 3, 7772272 2, En los ejercicios 57 a 64, the convertir las coordenadas cilíndricas In Exercises 57–64, convert the point from coordinates csc57–64, csc sec seccoordinates 55. 56.from 0, 5,2, 2, 2,444 7. 8. 3, 2, 2, 3, 3, 9. 10. 2, 2,3, 4444 3, 3,3, 9.9. 2, 10. In Exercises 57–64, convert the point from cylindrical coordinates 1, 2 2, 6 11. 12. In Exercises convert point cylindrical 2, 2, 3, 3, 7 9. 10. to spherical coordinates. 1, 3,3,4 44 23,2 3,3, 2,2,6 6 11. 12. In Exercises 57–64, convert the In Exercises 57–64, convertesféricas. thepoint pointfrom fromcylindrical cylindricalcoordinates coordinates 1, 3, 11. 12. In Exercises 57–64, convert the point from cylindrical coordinates 2, 2, 7 9. 10. del punto en coordenadas to spherical coordinates. 1, 3, 2 3, 2, 6 11. 12. 2, 2, 4 3, 3, 7 9. 10. 11. 12. 1, 3, 4 2 3, 2, 6 to spherical coordinates. to spherical coordinates. 2, 2, 9. 1, 10. 11. 12. 1, 3, 3,444 4 2 3, 3,3, 72, 2,666 11. 12. 223, In convert from In Exercises 57–64, convert the point from cylindrical cylindrical coordinates coordinates to spherical coordinates. toExercises spherical57–64, coordinates. 1, 3, 3, 2, 11. 12. In Exercises 57–64, convertthe thepoint point to spherical coordinates. InEExercises –20, equation cylindrical 4, 4,coordinates. 0 3, cylindrical 4, 0 coordinates 57. 58.from 1, 4441313 3, 12. 1, 3, 3, 2, 11. 12. to spherical I11. i 3, 20 fifind d an i i222in li d2, i666 l coordinates di to spherical coordinates. In Exercises 13 –20, find an equation in cylindrical coordinates 1, 3, 3, 2, 11. 12. 4, 4, 0 3, 4, 0 57. 58. to57. spherical InExercises Exercises 13 –20, find anequation equation incylindrical cylindrical coordinates 4,0coordinates. 0 58. 3,3,3, In 13 –20, find coordinates En los 13 afind 20, hallar una in ecuación en coordenadas 4,4,4, 4, 4,4,4,0000 57. 58. for theejercicios equation given inan rectangular coordinates. In Exercises 13 –20, find an equation in cylindrical coordinates In Exercises 13 –20, an equation in cylindrical coordinates 4, 57. 58. 4, 57. 58. 2,0004 2 4, 3, 0 2 59. 4, 60. 3, In Exercises 13 –20, find an equation in cylindrical coordinates 4,4, 4, 3,2, 4, 57. 58. for the equation given in rectangular coordinates. for theequation equation given in rectangular coordinates. for the given in rectangular coordinates. 4, 2, 44 2, 22 3,4, 3, 59. 60. cilíndricas de13 la–20, ecuación dada en coordenadas rectangulares. In Exercises find an equation in cylindrical coordinates 4, 0 3, 57. 58. In Exercises 13 –20, find an equation in cylindrical coordinates 4, 2, 2, 3,00022222 59. 60. 4, 4, 0 3, 4, 57. 58. 4, 2, 4 2, 2 59. 60. for the equation given in rectangular coordinates. for the equation given in rectangular coordinates. In Exercises 13 –20, find an equation in cylindrical coordinates 4, 4, 0 3, 57. 58. for the equation given in rectangular coordinates. 4, 2, 4 2, 2 3, 59. 60. 2, 4 2, 2 3, 59. 60. 3, 42 61. 4,4, 2, 46, 6 62. 2, 24, 3,4, z equation 4 x 9 13.the 14. coordinates. 59. 60. for given in rectangular for the equation given in rectangular coordinates. 4, 6, 6 4, 3, 61. 62. z 4 x 9 13. 14. 4, 2, 4 2, 2 3, 59. 60. 4, 2, 6,6666 4, 3, 3,42244 61. 4, 62. 2, for given in rectangular 4, 46, 24, 59. 60. z2 equation x 99992 13.zthe 14.xxxcoordinates. 6, 4, 3, 61. 62. 13. 14. 4444 2 2 2 4, 2, 4 2, 2 3, 59. 60. 6, 4, 3, 61. 62. 3, 61. 62. z 13. 14. z 13. 14. 12, , 5 4, 2, 34442 63. 64. x y z 17 z x y 11 15. 16. 4, 6, 6 4, 3, 61. 62. z x 9 13. 14. 22 4 22 22 22 22 12, 55 66 4,4, 2,2, 63. 64. 17 11 15. 16. 4, 3,3,33444 61. 62. 13. 14. 12, ,,,55,,56, 63. 12, 64. 4, 4, 6, 61. 62. 17 11 15.xzz2xx 44y 2yy z 2zz 17 16.zxx zz x992xx y 2yy 11 63. 64. 13. 14. 15. 16. 4, 6 4, 2, 61. 62. 13. 14. 12, 4, 333 63. 64. 12, 4,4,4, 2,2,33, 63. 64. 15. 16. 17 11 15. 16. 17. xxzxy222 4yxyy22222 zzz222 17 18. zzxzx 22 xxx9222y 22 yyy2228x 11 12, , 5 6,65–72, 4, 2, 63. 64. 17 15. 16. 22 222 22 222y 2 22 8x 11 In Exercises convert the point from spherical coordinates 2 y x x 17. 18. 2 2 12, , 5 4, 2, 3 63. 64. x z z x y 11 15. 16. 12, , 5 4, 2, 33 63. 64. y x x y 8x 17. 18. x y z 17 z x y 11 15. 16. 22 xy 2 22 17 2 2 y x y 8x 17. 18. 2 2 2 2 2 2 In Exercises 65–72, the point from coordinates 12,ejercicios , 565–72, 4, 2,spherical 63. 64.las 15. 16. 17. 18. 8x 17. 18. InExercises Exercises 65–72, convert thepoint point from spherical coordinates z 22 113z 0 19. yyxyy 2 xxx2y10 zz 2 17 20. xxzxx2 22 xyyyy2 22 y8x In the from spherical coordinates En los 65convert aconvert 72, convertir coordenadas esféricas del 8x 17. 18. to cylindrical coordinates. In Exercises 65–72, convert the point from spherical coordinates In Exercises 65–72, convert the point from spherical coordinates 2 2 2 2 10 zz2 3z 19. 20. 2zz 2 Into Exercises 65–72, convert the point from spherical coordinates 17. 18. cylindrical coordinates. 3z 00000 19.yyyy222yy2 2 xxx10 20.xxxx2222xx2 2 yyyy2222yy2 2 z8x 8x 17. 18. 210 z222 3z 19. 20. 2 2 to cylindrical coordinates. to cylindrical coordinates. punto en coordenadas cilíndricas. 8x 17. 18. 2 2 10 z z 3z 19. 20. 10 z z 3z 19. 20. In Exercises 65–72, convert In Exercises 65–72, convert the the point point from from spherical spherical coordinates coordinates to coordinates. to cylindrical cylindrical coordinates. y22 10 21–28, z y z 3z 0 19. 20. xin In Exercises to cylindrical coordinates. In Exercises find an equation rectangular coordinates 10, 6,65–72, 2 convert the point 4, spherical 18, 2 coordinates 65. 66. from xxx22in yExercises zzz222 yyy222 zzz222 3z 000 19. 20. yy2 10 10 3z 19. 20. 2 rectangular to cylindrical coordinates. to cylindrical coordinates. In 21–28, find an equation coordinates 10 3z 19. 20. 10, 6, 2 4, 18, 2 65. 66. to cylindrical coordinates. In Exercises 21–28, find an equation in rectangular coordinates 10, 6, 2 4, 18, 2 65. 66. In Exercises 21–28, find an equation rectangular coordinates 10, 6,6, 222 4,4, 18, 2 65. 66. for theejercicios equation given in cylindrical coordinates, sketch its In Exercises 21–28, find an equation in rectangular coordinates In Exercises 21–28, find an equation in rectangular coordinates 18, 65. 66. 10, 18, 65. 66. En los 21 a 28, hallar unain ecuación en and coordenadas 36, ,6, 3, 2223 2 67. 10, 68. 4, In Exercises 21–28, find an equation in rectangular coordinates 10, 6, 4,18, 18, 65. 66. for the equation given in cylindrical coordinates, and sketch its for theequation equation given in cylindrical coordinates, and sketchits its for the given in cylindrical coordinates, and sketch 36, ,, 2 22222 18, 3, 67. 68. In Exercises 21–28, find an equation in rectangular coordinates 10, 6, 4, 18, 23 65. 66. graph. In Exercises 21–28, find an equation in rectangular coordinates 36, 18, 3, 67. 68. 10, 6, 4, 18, 65. 66. 36, , 18, 3, 67. 68. for the equation given in cylindrical coordinates, and sketch its for the equation given in cylindrical coordinates, and sketch its rectangulares de la ecuación dada en coordenadas cilíndricas y In Exercises 21–28, find equationcoordinates, in rectangular 10, 4, 65. 66. for the equation given in an cylindrical andcoordinates sketch its 3, 67. 68. 36, 18, 3, 6,3332233 67. 68. graph. 6, ,,, 6,6,222 2 3 5, 518, 69. 36, 70. 18, 36, 18, 3, 67. 68. graph. graph. for the equation given in cylindrical coordinates, and sketch its for the equation given coordinates, and 6, 5, 69. 70. graph. graph. dibujar su gráfica. 36, 18, 222 3 33 67. 68. 6, ,, 6,6,6, 6, 5, 5 553, 6,33 69. 6, 70. 5, for given in in cylindrical cylindrical and sketch sketch its its 36, 18, 3,6,6,6, 67. 68. 69. 70. graph. r equation 3 z 2 21. the 22. coordinates, 36, 18, 67. 68. 3363 69. 70. 6, 5, 69. 70. 8, 7 , 6, 7, 5554,3,6, 3 34 71. 6, 72. 5, graph. 6, 6, 5, 6, 69. 70. graph. r 3 z 2 21. 22. graph. 8, 7 6, 6 7, 4, 3 71. 72. r 3 z 2 21. 22. r 3 z 21 21. 22. 6, 6, 5, 55 4,36, 69. 70. 6, 6663336 3 44444 71. 8, 72. 7, 6, 6, 5, 69. 70. 71. 72. 21. 22. 21. 22. 23. rrr 333 6 24. zzzr 222211z 6, 6, 5, 6, 69. 70. 8, 6, 7, 4, 71. 72. 8,8,77777 6, 6, 7,7, 54, 4,3336, 71. 72. 21. 22. 8, 6, 6 7, 4, 4 71. 72. 1 r 6 z 23. 24. 21. 22. CAS 71. In Exercises 736–88, use a computer algebra graphing 23.rr 33 6 6 24.rzz r 2121z2 z 21. 22. 23. 24. 8, 7, 3system 444 or 72. 8, 6, 6–88, 7, 4, 3system 71. 72. 21. 22. 23. 24. 23. 24. 25. rr 22 3 z 26626 5 26. rrzrz 21212122zzrz222 cos22 CAS In Exercises use acomputer computer algebra or graphing 8,777 6, 6,7373 6–88, 7, 4, 4,system 3system 71. 72.algebra 23. 24. CAS In Exercises 73 use a computer algebra or graphing CAS In Exercises –88, use a or graphing utility to convert the point from one system to another among 2 2 2 cos 2 z r r z 5 25. 26. 2 2 2 2 CAS CAS In Exercises 73 –88, use a computer algebra system or graphing In Exercises 73 –88, use a computer algebra system or graphing 1 r 6 z 23. 24. En los ejercicios 73 a 88, usar un sistema algebraico por compuz r r z 5 cos 25. 26. r 6 z 23. 24. zzrz r2r2r22z2cos rrr222 zzz222 6 555 25. 26. 2 2 CAS In Exercises 73 –88, use a computer algebra system or graphing utility to convert the point from one system to another among 23. 24. cos 2 25. 26. cos 25. 26. utility to convert the point from one system to another among cos 27. rr z2 sen 5 28. zr r22 cos utility to convert the point from one system to another among 25. 26. CAS In Exercises 73 –88, use a computer algebra system or graphing the rectangular, cylindrical, and spherical coordinate systems. CAS In Exercises 73 –88, use a computer algebra system or graphing utility to convert the point from one system to another among utility to convert the point from one system to another among 22r 2 2 2 tadora o una herramienta de graficación para convertir las coor2 2 2 2 sen r 2 cos 27. 28. CAS In Exercises 73 –88, use a computer algebra system or graphing utility to convert the point from one system to another among z r z 5 cos 25. 26. the rectangular, cylindrical, and spherical coordinate systems. r 2 sen r 2 cos 27. 28. z r r z 5 cos 25. 26. 2 2 2 2 r 2 sen r 2 cos 27. 28. the rectangular, cylindrical, and spherical coordinate systems. the rectangular, cylindrical, and spherical coordinate systems. z r r z 5 cos 25. 26. r 2 sen 2 cos r 27. 28. 2 sen r 2 cos 27. 28. utility to convert the point from one system to another among utility to convert the point from one system to another among the cylindrical, and coordinate systems. the rectangular, rectangular, cylindrical, andspherical spherical coordinate systems. r 2 sen r 2 cos 27. 28. denadas del punto de un sistema a otro, entre los sistemas de utility to convert the point from one system to another among the rectangular, cylindrical, and spherical coordinate systems. In Exercises 29–34, convert the point from coordinates Rectangulares Cilíndricas Esféricas rrr 222sen rrr 22rectangular cos 27. 28. sen cos 27. 28. the rectangular, cylindrical, and spherical coordinate systems. the rectangular, cylindrical, and spherical coordinate systems. In Exercises 29–34, convert the point from coordinates sen 2rectangular cos 27. 28.from Rectangulares Cilíndricas Esféricas coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. the rectangular, cylindrical, and spherical coordinate systems. In Exercises 29–34, convert the point from rectangular coordinates Rectangulares Cilíndricas Esféricas In Exercises 29–34, convert the point rectangular coordinates Rectangulares Cilíndricas Esféricas toExercises spherical29–34, coordinates. In convert In Exercises 29–34, convertthe thepoint pointfrom fromrectangular rectangularcoordinates coordinates Rectangulares Cilíndricas Esféricas Rectangulares Cilíndricas Esféricas In 29–34, convert the point from rectangular coordinates Rectangulares Cilíndricas Esféricas toExercises spherical coordinates. 4, 6, 3 73. Rectangulares En los ejercicios 29 convert a 34, convertir las coordenadas rectangulares spherical coordinates. to coordinates. In Exercises 29–34, the point from rectangular coordinates Cilíndricas Esféricas In Exercises 29–34, convert the point from rectangular coordinates Rectangulares Cilíndricas Esféricas 4, 6, 33 73. to spherical coordinates. totospherical spherical coordinates. 4, 6, 73. In Exercises 29–34, convert the point from rectangular coordinates Rectangulares Cilíndricas Esféricas 4, 6, 3 73. to spherical coordinates. del punto coordenadas esféricas. 4, 0,en 0 coordinates. 4, 0, 0 29. 30. 73. 4, 6,3332, 3 73. 6,6, 74. 4, to spherical 4, 6, 73. to spherical 4, 0, 4, 0, 30. to29. spherical coordinates. 6, 3 74. 4, 0, 4, 0, 29. 30. 4, 4, 0, 00000 coordinates. 0, 00000 29. 30. 4, 6, 3332, 73. 6, 74. 4, 6, 73. 6, 74. 4, 0, 4, 0, 29. 30. 4, 0, 4, 0, 29. 30. 31. 4, 0,2,02 3, 4 32. 2,4,2,0,40 2 4, 73. 2, 74. 6, 6,2, 2,2, 33333 74. 29. 30. 5, 9, 8 75. 6, 6, 2, 74. 2, 2 3, 4 2, 2, 4 2 31. 32. 4, 0, 0 4, 0, 0 29. 30. 5, 9, 75. 2, 2, 31. 4, 2, 32. 2,2,2, 0, 4, 29. 30. 20 2 3,3,3, 4444 2, 40,44002222 31. 32. 2, 333 74. 5, 9, 9, 75. 6, 6, 2, 74. 5, 88888 75. 0, 4, 29. 30. 2, 31. 32. 2, 2, 31. 32. 3,22201, 23, 3 1,440, 2, 12 33. 4,2, 34. 2, 6, 2, 74. 5, 9, 75. 5, 9,0.75, 75. 2, 3, 4 2, 2, 31. 32. 76. 5,10, 9, 8 6 75. 3, 1, 22 34433 1, 2, 121 33. 34. 2, 2 3, 2, 2, 4 2 31. 32. 10, 0.75, 76. 3, 1, 1, 2, 33. 34. 2, 2 3, 2, 2, 4 31. 32. 3, 1, 2 1, 2, 1 33. 34. 5, 9, 888 6 66 75. 10, 9, 0.75, 76. 5, 75. 10, 0.75, 76. 2, 21,2223,3343 2,2, 4 111 2 31. 32. 33. 34. 3,1, 1, 2, 33. 3, 34. 2,1, 5, 9, 75. 10, 0.75, 76. 10, 0.75, 76. 3, 1, 1, 2, 33. 34. 20, 2 3, 4 77. 10, 0.75, 666 76. In Exercises 35– convert the point from spherical coordinates 3, 333 40, 1, 111 33. 34. 20, 3, 4 77. 3, 1, 1, 2, 33. 34. 10, 0.75, 666 76. 20, 77. 10, 0.75, 76. 20, 2 22 3, 77. In Exercises 35– 40, convert the point from coordinates 3,1, 1,22235– 1,2, 2,spherical 33. 34. from 10, 0.75, 76. In Exercises 35– 40, convert the point from spherical coordinates In Exercises 40, convert the point spherical coordinates 20, 3, 77. 20, 3,3,1 44444 77. 7.5,2220.25, 78. toExercises rectangular 20, 3, 77. In 35– 40, In Exercises 35–coordinates. 40,convert convertthe thepoint pointfrom fromspherical sphericalcoordinates coordinates In Exercises 35– 40, convert the point from spherical coordinates 7.5, 0.25, 1 78. to rectangular coordinates. 20, 2 3, 77. 7.5, 0.25, 78. 20, 20.25, 3, 77. rectangular coordinates. 7.5, 78. to coordinates. En los ejercicios 35 aconvert 40, convertir lasfrom coordenadas esféricas del In Exercises 35– 40, spherical coordinates 20, 20.25, 3,11111 444 77. In Exercises 35– 40, the point from spherical coordinates 7.5, 78. 7.5, 0.25, 78. to rectangular coordinates. totorectangular rectangular coordinates. 79. 3, 2, 2 In Exercises 35– 40, convert convertthe thepoint point from spherical coordinates 7.5, 0.25, 78. to rectangular coordinates. 4, 6, 4 12, 3 4, 9 35. 36. 79. 7.5, 78. punto en coordenadas rectangulares. to rectangular coordinates. 3, 2,2,2, 2, 79. 3,3,3, 7.5, 0.25, 78. 22222 79. to rectangular 44 12, 36. 7.5,0.25, 0.25,111 78. to35. rectangular coordinates. 79. 79. 4, 6,6,6, 6, 4coordinates. 12, 4, 99999 35. 36. 12, 4,4,4, 3 33 4,4,4, 35. 36. 3 80. 3, 3,33 2, 2, 233 2, 79. 35. 36. 12, 35. 36. 12, 6, 4,4440 9, 333 4,4, 37. 4, 38. 12, 2, 3 2, 80. 4, 6, 12, 4, 9 35. 36. 2, 79. 2, 80. 3, 2, 79. 3223 2,2,2, 3333 33, 80. 12, 4, 9, 37. 38. 79. 4, 440 00 12, 35. 36. 80. 353 2, 80. 12, 6, 4, 9,33 4,4,4, 4,4, 37. 12, 38. 9, 4, 6, 4, 12, 4, 35. 36. 37. 38. 2,2,2,433323,2, 81. 333, 2, 33322 80. 4, 12, 4,2 999 35. 36. 37. 38. 12, 9, 37. 38. 5, 6, 4, 4, 34,40004 6, 3,4, 39. 12, 40. 9, 552,2, 2, 81. 12, 4, 9, 4, 37. 38. 334433,3, 2, 3 80. 2, 3, 81. 2, 3 3323 2 3 2, 80. 5 4 81. 5, 4, 3 4 6, , 2 39. 40. 3 2, 80. 12, 4, 0 9, 4, 37. 38. 5 2, 4 3, 81. 5 2, 4 3, 81. 5, 4, 3 4 6, , 2 39. 40. 12, 4, 0 9, 4, 37. 38. 39. 40. 82. 50,2, 45,3,4 2,333 2232 81. 12, 9, 37. 38. 5, 4, 6, 39. 40. 5, 4, 4,33334, 40444 6, ,,,, 4, 2222 39. 5, 40. 6, 0, 5, 4 82. 5, 4, 6, 39. 40. 5550,2, 4445, 3,3,4 333 222 81. 82. 0, 81. 82. In Exercises 41– find an equation in,, spherical coordinates 2,5, 81. 5, 444 48, 222 39. 40. 5, 82. 0, 2, 5,4443, 4 82. 5, 4, 6, 39. 40. 5, 3 4, 5 83. 0, 0, 5, 82. In Exercises 41– 48, find an equation in coordinates 5, 4, 4,33341– 6, , spherical 39. 40. 6, InExercises Exercises 41– 48,find find anequation equation inspherical spherical coordinates In 48, in coordinates 5, 4, 55 83. 0, 5, 4 82. for the equation given inan rectangular coordinates. 5, 83. 0, 5, 44 82. 5, 3 33 4, 83. In Exercises 41– 48, find an equation in spherical coordinates In Exercises 41– 48, find an equation in spherical coordinates 0, 5, 82. In Exercises 41– 48, find an equation in spherical coordinates 5, 4, 555 3 83. 5, 4,4, 56, 83. for the equation given in rectangular coordinates. 11 84. 5, 3332, 4, 83. for theequation equation given inrectangular rectangular coordinates. for the given in coordinates. In Exercises 41– 48, find an equation in spherical coordinates In Exercises 41– 48, find an equation in spherical coordinates 2, 11 6,3 33 84. for the equation given in rectangular coordinates. for the equation given in rectangular coordinates. 5, 3 4, 5 83. En los ejercicios 41 a 48, hallar una ecuación en coordenadas 2, 11 84. In Exercises 41– 48, find an equation in spherical coordinates 5, 3 4, 83. 2, 11 6, 84. for the equation given in rectangular coordinates. y equation 2 z 6 41.the 42. coordinates. 5,2, 33.5, 56333 83. 11 84. 2, 114, 6,56, 84. 2.5,6, 85. for given in rectangular 2, 11 6, 84. for the equation given in rectangular coordinates. y 2 z 6 41. 42. esféricas de la ecuación dada en coordenadas rectangulares. for given in rectangular 3.5, 2.5, 85. y equation z 66 41.ythe 42.z coordinates. 22 41. 42. 2, 11 6, 84. 3.5, 2.5, 85. 2, 11 6, 84. 3.5, 2.5, 66663633 85. 41. 42. 41. 42. 43. yyyx 22 222 y 22 z 22 49 44. zzzx 22 666 y 22 3z 22 0 2, 11 6, 84. 3.5, 2.5, 85. 3.5, 2.5, 85. 41. 42. 8.25, 1.3, 6 4 86. 3.5, 2.5, 85. 49 3z 43. 44. 2 2 41. 42. 8.25, 1.3, 86. 49 43.xyy2xx 2 22y 2yy 2 z 222zz2 2 49 44.xzz2xx 2 66yy222yy2 2 3z 41. 42. 00000 43. 44. 2 3.5, 2.5, 85. 8.25, 1.3,66644444 86. 3.5, 2.5, 85. 8.25, 1.3, 86. 41. 42. 22 49 3z 43. 44. 49 3z3z 43. 44. 45. xxyxx22222 2yyyy22222 zzz16 46. xxzxx222 6y13 3.5, 2.5, 85. 8.25, 1.3, 86. 8.25, 1.3, 86. 49 y 3z 0 43. 44. 3, 3 4, 3 87. 8.25, 1.3, 4 86. 22 22 2216 22 22 22 2 2 x y x 13 45. 46. 2 2 x x y z 49 y 3z 0 43. 44. 3, 4, 3 33 87. 16 49 45.x x2 y y2 16 46.x x2 13 zz16 yy13 3z22 00 43. 44. 2 2 45. 46. 8.25, 1.3, 444 86. 3, 87. 8.25, 1.3, 86. 3, 33333 4, 87. 43. 44. 45. 46. 13 45. 46. 2z22 49 y 22 3z z 2 9z 0 47. xxxx22 22 yyyy22 22 16 48. xxxx 22 13 8.25, 1.3, 86. 3, 87. 3, 4,4, 87. 16 13 45. 46. 6, 333 88. 3,8, 3 4, 4, 87. 22 2 132y 2 xx2 2 yy2222yy2 2 2z 2z 9z 0 47. 48. 2 2 2 2x 2zz 2 16 45. 46. 8, 6, 3 88. x 2z y 9z 0 47. 48. x 16 x 13 45. 46. x x y z 9z 0 47. 48. 2 2 2 2 2 2 2 2 3, 3 4, 87. 8, 88. 3, 3 4, 87. 8, 6, 88. x y 16 x 13 45. 46. x 2 2 22 2 2 2 x y 2z y z 9z 0 47. 48. 2z y z 9z 0 47. 48. 3, 87. 8, 6, 88. 8, 3 4, 6,6, 33 88. 47. x22 y22 2z22 48. x22 y22 z22 9z 0 8, 6, 88. x x y 2z y z 9z 0 47. 48. 47. 48. 8, 6, 88. 8, 6, 88. 2z2 9z 00 47. xx 2 yy 2 2z 48. xx 2 yy 2 zz 2 9z 8, 6, 88.

1053714_1107.qxp Larson-11-07.qxd

828 828 828

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Chapter 11 1111 Vectors Vectors and ythe the Geometrydel of espacio Space CAPÍTULO Vectores la geometría Chapter and Geometry of Space

In los Exercises 89–94, match the la equation (written in términos terms of of In Exercises 89–94, match the equation (written in terms En ejercicios 89 a 94, asociar ecuación (dada en cylindrical or spherical coordinates) with its graph. [The graphs cylindrical or spherical coordinates) with [The graphs de coordenadas cilíndricas o esféricas) conitssugraph. gráfica. [Los gráare labeled labeled (a),a), (b),b),(c), (c), (d), (e),y and and (f ).] ).] are (a), (b), (e), ficos se marcan c),(d), d), e) f).] (f zz

(a) (a) a)

− 33 − 2 − −2 yy 11 22 33 −3 −2 3 22 y 23 1 2 3 xx 3 x zz

(c) (c) c) 5

5

zz

(b) (b) b)

π π π 44 3 3 3 4 z

2

55

y

5

yy

22 44 4

yy y

zz

5

55

103. 103. 105. 105.

44 4 x x x

(d) (d) d)

z 55

99. 99. 101. 101.

z

−4 −4 −4

5

z 55

55

yy

55

y

5

x

x

(e) (e) e) 2 − 22 − −2

1

z 22

zz

22 2x x x

π π π 44 4

2

22

y

z 33

yy

5 55 89. rr 5 89. 89. r 5 5 5 55 91. rr 5 91. 91. r 5 5 5 zz 93. rr 22 5 93. 93. r 2 5 z

−2 −2 −2 22 2xx x

11 1

22 2

yy y

p 5pp 90. uu 5 90. 90. u 5 44 4 p f5 5pp 92. f 92. 92. f 5 44 4 5 44 sec sec f f 94. rr 5 94. 94. r 5 4 sec f

WR R II TT II N NG G A AB BO OU U TT C CO ON NC C EE P P TT S S W 95. Give Give the the equations equations for for the the coordinate coordinate conversion conversion from from 95.

Desarrollo conceptos rectangular de to cylindrical cylindrical coordinates and and vice vice versa. versa. rectangular to coordinates

5rec96.Dar Explain why in in spherical spherical coordinates the graph of of uu 5 is 95. las ecuaciones para lacoordinates conversión the de coordenadas cc is 96. Explain why graph a half-plane and not an entire plane. tangulares a coordenadas cilíndricas a half-plane and not an entire plane.y viceversa. 97. Give the equations for the coordinate conversion from 96. Explicar por qué en las coordenadas esféricas la gráfica de 97. Give the equations for the coordinate conversion from rectangular to spherical spherical coordinates and vice vice versa. versa. q rectangular = c es un semiplano y nocoordinates un plano entero. to and 97. Dar las ecuaciones para la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas y viceversa.

CA AP PS S TT O ON N EE C

98. (a) (a) For For constants constants a, and c, describe the the graphs graphs of of the the a, b, b, and c, describe 98. and zz 5 in cylindrical cylindrical 5 b, b, and 5 cc in uu 5 coordinates. coordinates. 98. a) Dadas las constantes a, b y c, describir las gráficas de las ecua(b) For For constants a, and c, describe the the graphs graphs of of the the a, b, and (b) ciones rconstants y z 5 cc,endescribe coordenadas cilíndricas. 5 a, u 5 b,b, equations rr 5 and f in spherical spherical 5 a, a, uu 5 5 b, b, and f5 5 cc in equations b) Dadas las constantes a, b y c, describir las gráficas de las coordinates. coordinates. ecuaciones r 5 a, u 5 b, y f 5 c en coordenadas esféricas. equations rr 5 5 a, a, Para discusión equations

2 1 y2 2 5 4y xx2 1 y 5 4y 2 2 yy 22 5 5 99 xx 2 2

107. 107. 108. 108.

# uu 00 # 2p py2 y2 2

109. 109. 110. 110.

00 00

# # # #

100. 100. 102. 102. 104. 104. 106. 106.

2 1 y2 2 5 z2 2 y dd 5 z 44ssxx2 1 2 2 1 yy 2 5 5 zz xx 2 1

2 1 y2 2 5 36 xx2 1 y 5 36 yy 5 5 44

uu uu

py2, y2, 00 # 2, 00 # #p # rr # # 2, # zz # # 44 # py2, y2, 00 # 3, 00 # cos uu # uu # #p # rr # # 3, # zz # # rr cos # 2 p , 0 r a, r z a # # # # # # 2p, 0 # r # a, r # z # a p,, 22 # 4, zz 22 # 2r 22 1 1 6r 6r 2 2 88 # 22p # rr # # 4, # 2r #

En ejercicios 111 a 114, dibujar sólidothat que tiene In los Exercises 111–114, sketch theel solid solid that has la thedescripgiven In Exercises 111–114, sketch the has the given description incoordenadas spherical coordinates. coordinates. ción dada enin esféricas. description spherical

# # # # # # 0 114. # 114. 0 #

3

11

2 1 y2 2 1 z2 2 5 25 xx2 1 y 1 z 5 25 2 2 xx 2 1 1 yy 2 1 1 zz 22 2 2 2z 2z 5 5 00

En ejercicios 107 a 110, dibujar sólido that que tiene In los Exercises 107–110, sketch theel solid solid that has la thedescripgiven In Exercises 107–110, sketch the has the given ción dada en coordenadas cilíndricas. description in cylindrical coordinates. description in cylindrical coordinates.

111. 111. 112. 112. 113. 113.

zz

(f )) (f f)

In Exercises Exercises 99–106, convert the rectangular rectangular equation to an ana In 99–106, the equation to En los ejercicios 99 a convert 106, convertir la ecuación rectangular equation in (a) cylindrical coordinates and (b) spherical equation in a) (a)encylindrical spherical coordenadascoordinates cilíndricas yand b) en(b) coordenadas una ecuación coordinates. coordinates. esféricas.

00 00 00

uu uu uu

# # # # # # u # u #

p,, 00 # f # py6, y6, 00 # sec f f #f #p # rr # # aa sec 22p 2 p , p y4 f p y2, 0 r 1 #f # # py2, 0 # #r # #1 2p, py4 # 0 p y2, 0 f p y2, r # # # # py2, 0 # f # py2, 0 # r # 22 p,, 00 # f# py2, y2, 11 # #f #p # rr # # 33 p

Think About En It los Inejercicios Exercises115 115–120, find inequalities inequalities that Para pensar a 120, hallar las desigualdades Think About It In Exercises 115–120, find that describe the solid, and state the coordinate system used. que describen sólido, sistema desystem coordenadas describe the al solid, andy especificar state the el coordinate used. Position the the solid on on the coordinate coordinate system such that that en the utilizado. Posicionar al sólido en el sistema de coordenadas el Position solid the system such the inequalities are as simple as possible. que las desigualdades sean tan sencillas como sea posible. inequalities are as simple as possible. 115. Un A cube cube with each edge 10 centimeters longde largo. 115. cubowith con each cada edge arista10 decentimeters 10 centímetros 115. A long 116. Una A cylindrical cylindrical shell 88demeters meters longde with an inside inside diameter of 116. capa cilíndrica 8 metros longitud, 0.75diameter metros of de 116. A shell long with an 0.75 meter meter and an any outside outside diameter of 1.25 1.25 meters diámetro interior un diámetro exterior de 1.25 metros. 0.75 and diameter of meters 117. Una A spherical spherical shell with with inside and outside radii of ofde inches and 117. capa esférica con inside radios and interior y exterior 4 pulgadas 117. A shell outside radii 44 inches and inches, respectively y66 6inches, pulgadas, respectivamente. respectively 118. El The solid que that queda remains after aa de hole inch in in diameter is drilled drilled 118. sólido después perforar undiameter orificio de 1 pul118. The solid that remains after hole 11 inch is through the center of a sphere 6 inches in diameter gada de diámetro a través del centro de una esfera de 6 pulthrough the center of a sphere 6 inches in diameter de diámetro. 1 yy22 1 1 zz22 5 5 99 and 119. gadas The solid solid inside both both xx22 1 and 119. The inside 2 2 2 2 119. El sólido dentro tanto de x 1 y 1 z 5 9 como de 2 332 dd2 1 1 yy 22 5 5 994 ssxx 2 32 2 94 2 x 2 2 solid 5 4. d 1 y between 1 yy22 1 1 zz22 5 5 44 and 120. sThe The the spheres spheres xx22 1 and 120. solid between the 2 2 2 2 2 2 2 1 y 2 1 z 2 5 9, and inside 2 2 2 z x 5 x 1 y the cone 2 1cone x sólido 1y 1 z 5 and inside 120. El entre las9, esferas x2 1 ythe z2 = z4 y5x2x11 y2y1 z2 = 9, y

dentro del cono z 2 5 x 2 1 y 2. True or or False? False? In In Exercises Exercises 121–124, 121–124, determine determine whether whether the the True statement is true or false. If it is false, explain why or give an ¿Verdadero En losIfejercicios 121explain a 124, determinar la statement iso falso? true or false. it is false, why or givesian example that shows it is false. declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o example that shows it is false. dar un ejemplo que pruebe que es falsa. 5 zz is 121. In In cylindrical cylindrical coordinates, coordinates, the the equation equation rr 5 is aa cylinder. cylinder. 121. 2 2 2 121. cilindro.the 5 22 and 1 yy 2 1 1 zzr 2=5 5z es 122. En Thecoordenadas equations rrcilíndricas, and laxx 2ecuación represent the 5 1 44 un 122. The equations represent sameecuaciones surface. r 5 2 y x 2 1 y 2 1 z 2 5 4 representan la 122. Las same surface. superficie. x, y, y, zzdd are 123. misma The cylindrical cylindrical coordinates of of aa point point ssx, are unique. unique. 123. The coordinates 123. Las coordenadas cilíndricas de un punto (x, y, z) son únicas. s x, y, z d 124. The spherical coordinates of a point are unique. 124. The spherical coordinates of a point sx, y, zd are unique. 124. Las coordenadas esféricas de un punto (x, y, z) son únicas. 125. Identify Identify the the curve curve of intersection of of the the surfaces surfaces (in (in cylindrical cylindrical 125. 125. Identificar la curvaofdeintersection intersección de las superficies (en coor5 sin sin uu and 5 1. 1. coordinates) zz 5 and rr 5 coordinates) denadas cilíndricas) z 5 sen q y r 5 1. 126. Identify Identify the curve of of intersection of of the surfaces surfaces (in (in spherical spherical 126. 126. Identificarthela curve curva deintersection intersección dethe las superficies (en coorr 5 2 sec f r 5 4. coordinates) and r 5 2rsec coordinates) andfr y5r 4. denadas esféricas) 5 2f sec 5 4.

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11

\

\

En los ejercicios 1 y 2, sean u 5 PQ y v 5 PR , a) escribir u y v en la forma de componentes, b) escribir u como combinación lineal de vectores i y j unitarios estándar, c) encontrar la magnitud de v y d) encontrar 2u + v. 1. P 5 s1, 2d, Q 5 s4, 1d, R 5 s5, 4d 2. P 5 s22, 21d, Q 5 s5, 21d, R 5 s2, 4d

8,

60

4. v

1 2,

225

5. Hallar las coordenadas del punto en el plano xy cuatro unidades a la derecha del plano xz y cinco unidades detrás del plano yz. 6. Hallar las coordenadas del punto localizado en el eje y y siete unidades a la izquierda del plano xz. En los ejercicios 7 y 8, determinar la localización de un punto (x, y, z) que satisface la condición. 7. yz > 0

En los ejercicios 21 y 22, determinar si u y v son ortogonales, paralelos, o ninguna de las dos cosas. 21. u 5 k7, 22, 3l

22. u 5 k24, 3, 26l

v 5 k21, 4, 5l

v 5 k16, 212, 24l

En los ejercicios 23 a 26, hallar el ángulo u entre los vectores.

En los ejercicios 3 y 4, encontrar las componentes del vector v dada su magnitud y el ángulo que forma con el eje x positivo. 3. v

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8. xy < 0

En los ejercicios 9 y 10, hallar la ecuación estándar de la esfera. 9. Centro: s3, 22, 6d; diámetro: 15 10. Puntos terminales de un diámetro: (0, 0, 4), (4, 6, 0)

23. u

5 cos 3

4i

v

2 cos 2

3i

sen 2

6i

3k,

v

24. u 25. u

10,

26. u

1, 0,

2j

5, 15 ,

sen 3

4j 3j 5j

i

2, 1,

v

3, v

2,

3

2, 1

27. Hallar dos vectores en direcciones opuestas que sean ortogonales al vector u 5 k5, 6, 23l. 28. Trabajo Un objeto es arrastrado 8 pies por el suelo aplicando una fuerza de 75 libras. La dirección de la fuerza es de 30° sobre la horizontal. Encontrar el trabajo realizado.

<

> <

>

En los ejercicios 29 a 38, sea u 5 3, 22, 1 , v 5 2, 24, 23 ,y w 5 21, 2, 2 .

<

>

29. Probar que u ? u 5 i u i2. 30. Hallar el ángulo entre u y v.

En los ejercicios 11 y 12, completar el cuadrado para dar la ecuación de la esfera en forma canónica o estándar. Hallar el centro y el radio. 11.

x2

12.

x2

1

y2

1

y2

1

z2

2 4x 2 6y 1 4 5 0

1

z2

2 10x 1 6y 2 4z 1 34 5 0

31. Determinar la proyección de w sobre u. 32. Calcular el trabajo realizado al mover un objeto a lo largo del vector u si la fuerza aplicada es w. 33. Determinar un vector unitario perpendicular al plano que contiene a v y a w.

En los ejercicios 13 y 14 se dan los puntos inicial y final de un vector, a) dibujar el segmento de recta dirigido, b) encontrar la forma componente del vector, c) escribir el vector usando notación vectorial unitaria estándar y d) dibujar el vector con su punto inicial en el origen.

34. Mostrar que u 3 v 5 2 sv 3 ud.

13. Punto inicial: s2, 21, 3d

38. Calcular el área del triángulo con lados adyacentes v y w.

14. Punto inicial: s6, 2, 0d

Punto terminal: s4, 4, 27d

35. Calcular el volumen del sólido cuyas aristas son u, v y w. 36. Mostrar que u 3 sv 1 wd 5 su 3 vd 1 su 3 wd. 37. Calcular el área del paralelogramo con lados adyacentes u y v.

Punto terminal: s3, 23, 8d

En los ejercicios 15 y 16, utilizar vectores para determinar si los puntos son colineales. 15. s3, 4, 21d, s21, 6, 9d, s5, 3, 26d

39. Momento Las especificaciones para un tractor establecen que el momento en un perno con tamaño de cabeza de 78 de pulgada no puede exceder 200 pies-libras. Determinar la fuerza máxima i F i que puede aplicarse a la llave de la figura.

16. s5, 24, 7d, s8, 25, 5d, s11, 6, 3d 17. Hallar un vector unitario en la dirección de u 5 k2, 3, 5l.

2 pies

18. Hallar el vector v de magnitud 8 en la dirección k6, 23, 2l. \

\

En los ejercicios 19 y 20, sean u 5 PQ y v 5 PR ., Hallar a) las componentes de u y de v, b) u · v y c) v ? v. 19. P 5 s5, 0, 0d, Q 5 s4, 4, 0d, R 5 s2, 0, 6d 20. P 5 s2, 21, 3d, Q 5 s0, 5, 1d, R 5 s5, 5, 0d

50°

7 8

pulg

70°

F

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CAPÍTULO 11

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40. Volumen Usar el producto escalar triple para encontrar el volumen del paralelepípedo que tiene aristas adyacentes u 5 2i 1 j, v 5 2j 1 k,y w 5 2j 1 2k. En los ejercicios 41 y 42, hallar el conjunto de a) ecuaciones paramétricas y b) ecuaciones simétricas de la recta a través de los dos puntos. (Para cada recta, dar los números directores como enteros.) 41. s3, 0, 2d, s9, 11, 6d

42. s21, 4, 3d,

s8, 10, 5d

En los ejercicios 43 a 46, a) hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta, b) encontrar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta y c) dibujar una gráfica de la recta. 43. La recta pasa por el punto (1, 2, 3) y es perpendicular al plano xz. 44. La recta pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralela a la recta dada por x 5 y 5 z. 45. La intersección de los planos 3x 2 3y 2 7z 5 24 y x 2 y 1 2z 5 3 46. La recta pasa por el punto (0, 1, 4) y es perpendicular a u 5 k2, 25, 1l y v 5 k23, 1, 4l. En los ejercicios 47 a 50, encontrar una ecuación del plano.

59.

x2 y2 1 1 z2 5 1 16 9

60. 16x 2 1 16y 2 2 9z 2 5 0 61.

y2 x2 2 1 z 2 5 21 16 9

62.

x2 y2 z2 1 2 51 25 4 100

63. x 2 1 z 2 5 4 64. y 2 1 z 2 5 16 65. Hallar una ecuación de una directriz de la superficie de revolución y 2 1 z 2 2 4x 5 0. 66. Encontrar una ecuación de la curva generadora de la superficie de revolución x2 1 2y2 1 z2 5 3y. 67. Determinar una ecuación para la superficie de revolución generada al rotar la curva z 2 5 2y en el plano yz alrededor del eje y. 68. Encontrar una ecuación para la superficie de revolución generada al rotar la curva 2x 1 3z 5 1 en el plano xz alrededor del eje x. En los ejercicios 69 y 70, convertir las coordenadas rectangulares del punto a a) coordenadas cilíndricas y b) coordenadas esféricas.

47. El plano pasa por (23, 24, 2), (23, 4, 1) y (1, 1, 22). 48. El plano pasa por el punto s22, 3, 1d y es perpendicular a n 5 3i 2 j 1 k. 49. El plano contiene las rectas dadas por

69. s22!2, 2!2, 2d

70.

1 43, 34, 3 2 32 !

!

En los ejercicios 71 y 72, convertir las coordenadas cilíndricas del punto en coordenadas esféricas.

1100, 2 p6 , 502

181, 2 56p, 27!32

x21 5y5z11 22

71.

y

En los ejercicios 73 y 74, convertir las coordenadas esféricas del punto en coordenadas cilíndricas.

x11 5 y 2 1 5 z 2 2. 22 50. El plano pasa por los puntos (5, 1, 3) y (2, 22, 1) y es perpendicular al plano 2x 1 y 2 z 5 4. 51. Hallar la distancia del punto (1, 0, 2) al plano 2x 2 3y 1 6z 5 6. 52. Hallar la distancia del punto (3, 22, 4) al plano 2x 2 5y 1 z 5 10. 53. Hallar la distancia de los planos 5x 2 3y 1 z 5 2 y 5x 2 3y 1 z 5 23. 54. Hallar la distancia del punto s25, 1, 3d a la recta dada por x 5 1 1 t, y 5 3 2 2t, y z 5 5 2 t. En los ejercicios 55 a 64, describir y dibujar la superficie. 55. x 1 2y 1 3z 5 6 56. y 5 z 2 1 57. y 5 2z

58. y 5 cos z

72.

125, 2 p4 , 34p2 p 2p 74. 112, 2 , 2 2 3 73.

En los ejercicios 75 y 76, convertir la ecuación rectangular a una ecuación en a) coordenadas cilíndricas y b) coordenadas esféricas. 75. x 2 2 y 2 5 2z 76. x 2 1 y 2 1 z 2 5 16 En los ejercicios 77 y 78, expresar en coordenadas rectangulares la ecuación dada en coordenadas cilíndricas y dibujar su gráfica. 77. r 5 5 cos u

78. z 5 4

En los ejercicios 79 y 80, expresar en coordenadas rectangulares la ecuación dada en coordenadas esféricas y dibujar su gráfica. 79. u 5

p 4

80. r 5 3 cos f

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Solución de problemas

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SP

1. Utilizando vectores, demostrar la ley de los senos: Si a, b y c son los tres lados del triángulo de la figura, entonces sen A a

sen B b

7. a) Hallar el volumen del sólido limitado abajo por el paraboloide z 5 x 2 1 y 2 y arriba por el plano z 5 1. b) Hallar el volumen del sólido limitado abajo por el parabo-

sen C . c

loide elíptico z 5

x2 y2 1 y arriba por el plano z 5 k, a2 b2

donde k > 0.

B

c) Mostrar que el volumen del sólido del inciso b) es igual a la mitad del producto del área de la base por la altura (ver la figura).

a

c

A

z

C

Base

b

E

x

2. Considerar la función f sxd 5

!t 4 1 1 dt.

Altura

0

a) Usar una herramienta de graficación para representar la función en el intervalo 2 x 2. b) Hallar un vector unitario paralelo a la gráfica de f en el punto (0, 0). c) Hallar un vector unitario perpendicular a la gráfica de f en el punto (0, 0). d) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (0, 0). 3. Utilizando vectores, demostrar que los segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados de un paralelogramo forman un paralelogramo (ver la figura).

y x

8. a) Usar el método de los discos para encontrar el volumen de la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 r 2. b) Hallar el volumen del elipsoide

y2 z2 x2 1 2 1 2 5 1. 2 a b c

9. Dibujar la gráfica de cada ecuación dada en coordenadas esféricas. a) r 5 2 sen f b) r 5 2 cos f 10. Dibujar la gráfica de cada ecuación dada en coordenadas cilíndricas. a) r 5 2 cos u b) z 5 r 2 cos 2u 11. Demostrar la propiedad siguiente del producto vectorial.

4. Utilizando vectores, demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares (ver la figura).

su 3 vd 3 sw 3 zd 5 su 3 v ? zdw 2 su 3 v ? wdz 12. Considerar la recta dada por las ecuaciones paramétricas x 5 2t 1 3,

y 5 12t 1 1,

z 5 2t 2 1

y el punto s4, 3, sd para todo número real s. a) Dar la distancia entre el punto y la recta como una función de s. 5. a) Hallar la distancia más corta entre el punto Qs2, 0, 0d y la recta determinada por los puntos P1s0, 0, 1d y P2s0, 1, 2d. b) Hallar la distancia más corta entre el punto Qs2, 0, 0d y el segmento de recta que une los puntos P1s0, 0, 1d y P2s0, 1, 2d. 6. Sea P0 un punto en el plano con vector normal n. Describir el conjunto de puntos P en el plano para los que sn 1 PP0d es el ortogonal a sn 2 PP0d. \

\

b) Usar una herramienta de graficación para representar la función del inciso a). Usar la gráfica para encontrar un valor de s tal que la distancia entre el punto y la recta sea mínima. c) Usar el zoom de una herramienta de graficación para amplificar varias veces la gráfica del inciso b). ¿Parece que la gráfica tenga asíntotas oblicuas? Explicar. Si parece tener asíntotas oblicuas, encontrarlas.

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832

CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio Chapter 11 Vectors and the Geometry of Space Chapter 11 Vectors and the Geometry of Space

832 832

13. Una pelota que pesa 1 libra sujetada por una cuerda a un poste 13. Aestetherball weighing 1 opuesta pound isalpulled from the pole lanzada en dirección poste outward por una fuerza horizonu until by horizontal force the rope makes an angle con of el tal au que hace que la cuerda forme un ángulo de q grados u figure). degrees with pole (see poste (ver la the figura). (a) Determine the resultingresultante tension inenthe andy the magnia) Determinar la tensión la rope cuerda la magnitud u when 30 . tude de u 5 308. u of cuando u 30 . (b) Write tension in cuerda the rope and the magnitude of ufunas b) Dar la the tensión T deTTla y la magnitud de u como u . functions of Determine the domains of the functions. ciones de q. Determinar los dominios de las funciones. . (c) Use auna graphing utility de to graficación complete thepara table. c) Usar herramienta completar la tabla. 0 0

10 10

20 20

30 30

40 40

50 50

16. Los Ángeles se localiza a 34.05° de latitud Norte y 118.24° de 16. Los Angeles is located at 34.05 North latitude and 118.24 longitud Oeste, y Río de Janeiro, Brasil, se localiza a 22.90° 34.05 Brazil 118.24 West longitude, Rio de Janeiro, is located de latitud Sur and y 43.23° de longitud Oeste (ver at la 22.90 figura). 22.90 South latitude and longitude (seeunfigure). Assume 43.23 esWest Suponer que la Tierra esférica y tiene radio de 4 000 South latitude and 43.23 Westa radius longitude (see figure). that Earth is spherical and has of 4000 miles. Assume millas. that Earth is spherical and has a radius of 4000 miles. zz z

rMeridiano m rm meridian cero meridian yy y

Los LosAngeles Ángeles Los Angeles

60 60

T T u u

xx x

(d) Use una a graphing utility to graph the functionslasfor d) Usar herramienta de graficación paratwo representar dos 0 60 . 0 60 . funciones para 0 60 . u as increases. (e) Compare TTand e) Comparar T y i u iua medida que u se aumenta. lím Tlím u . u .Are (f) Find (if possible) y lím the los reT y lím f ) Hallar (si es posible) ¿Son →lím 2 → T 2→lím2 → u2 . → 2 → 2 results yousexpected? e esperaba? Explain. sultadoswhat lo que Explicar.

θθ θ

θθ

θ

uu u

lb 11libra 1 lb

θθ

θ

Figure 13 13 Figurafor para

Figure para for 1414 Figura

14. loaded barge is being towed by two andremolcadoras, the magniUna barcaza cargada es remolcada por tugboats, dos lanchas 14. A tude the resultant 6000 pounds alongdirigidas the axis aoflo y la of magnitud de la is resultante es de directed 6 000 libras the (see defigure). Each (ver towline makes Cada an angle of de largobarge del eje la barcaza la figura). cuerda degrees with the un axisángulo of thede barge. remolque forma q grados con el eje de la barcaza. 20 . si u 5 208. (a) Find the if remolque a) Hallar la tension tensión in dethe las towlines cuerdas del 20 . T (b) Write the tension of each line as a function of . Deterb) Dar la tensión T en cada cuerda como una función de q. T . mine the domain of thede function. Determinar el dominio la función. (c) Use auna graphing utility de to graficación complete thepara table. c) Usar herramienta completar la tabla. 10 10

20 20

30 30

40 40

50 50

60 60

T T (d) Use auna graphing utility de to graficación graph the tension function. la fund) Usar herramienta para representar ción tensión. (e) Explain why the tension increases as increases. e) Explicar the por qué la tensión medida q aumenta. , 0 queand u aumenta cos a, sen v 15. Consider vectors ,0 u . Find costhe, sen v cos , sen los , 0 vectores , where u 5 > kcos v 5 kcosofb,the 15. Considerar sen a, sen sin across , 0l y product cos , sen , 0 , > . vectors and use to el prove the identity a >thebresult . Hallar b, 0l, donde producto vectorial de los vectores y usar el resultado para demostrar la identidad cos sen . sen sen cos sen sen sen sinsa 2 bd 5sen sin acos cos b 2cos cos asen sin b. . sen

Equator Ecuador Equator Rio Ríode deJaneiro Janeiro Rio de Janeiro

a) Find Hallar coordenadas esféricas paralocation la ubicación cada (a) thelas spherical coordinates for the of eachdecity. (a) ciudad. Find the spherical coordinates for the location of each city. (b) Find the rectangular coordinates for the location of each (b) Find the coordinates for the of eachde b) city. Hallar lasrectangular coordenadas rectangulares paralocation la ubicación city. cada the ciudad. (c) Find angle (in radians) between the vectors from the (c) Find angleto(in between vectors thede c) center Hallarthe el Earth ángulo (en radianes) entre losthe vectores delfrom centro of theradians) two cities. center of Earth to the two cities. la Tierra cada ciudad. distance s between the cities. (d) Find thea great-circle s between (d) Find the distancemáximo theciudades. cities. d) Hallar s del círculo entre las Hint: sla distancia rgreat-circle s r Hint: (Sugerencia: 5 ru.)for the cities of Boston, located at (e) Repeat parts s(a)–(d) (e) Repeat North parts (a)–(d) the71.06 cities of Boston, located e) 42.36 Repetir los incisos a) afor d) con las ciudades de Boston, localilatitude and West longitude, andat 42.36 71.06 North latitude and West longitude, and zada a 42.36° latitudatNorte y HonoHonolulu, located North longitud latitude Oeste, and 157.86 21.31y 71.06° 21.31 157.86 Honolulu, located at North latitude and lulu, longitude. localizada a 21.31° latitud Norte y 157.86° longitud West West longitude. Oeste. 17. Consider the plane that passes through the points P, R, and S. R, Mostrar 17. Consider passes through the and S. 17.Show Considerar planothat que pasa por los puntos P, RP, y S. that the theelplane distance from a point thispoints plane is Q to Q Show that the distance from a point to this plane is que la distancia de un punto Q a este plano es u v w Distance u u vsv 3 w wd u? Distance Distancia Distance 5 u v iu 3 vi where u PR , v PS , and w PQ . w u PR , v where u 5 PR 5 PS PS,,yand w between 5 PQPQ . . the parallel planes donde that 18. Show the, v distance 18. Show the 18.ax Mostrar que entre los by planoscz paralelos by that cz lathedistancia d1 distance 0 and 0 is planes axbetween dparallel 2 ax 2 00 y axax1 byby1 czcz1 d2d5 esis ax 1 by by 1 cz cz 1 dd11 5 00and d 1 d2 Distance d 2 d2d 2 . 2 1d 2 Distance Distancia Distance 5 aa2 2 1bb2 2 2cc 2 .2 . !a 1 b 1 c 19. Show that the curve of intersection of the plane z 2y and the 19. Show that the theplano planezz5 2y the 2yyand 2 2curva 19.cylinder Mostrarxque la deintersection intersección el cilinan ellipse. ofdel ycurve 1ofis 2 2 x cylinder is an ellipse. y 1 2 2 dro xthe1article es unaTables: elipse. Solution of a Dental Problem y 5 1“Tooth 20. Read 20. Read theartículo article “Tooth Tables: Solution Dental Problemby 20.by Leer el “Tooth Tables: Solution ofofa aDental Problem Vector Algebra” by Gary Hosler Meisters in Mathematics by Vector Algebra” by Gary Hosler Meisters in Mathematics Vector Algebra” de Gary Magazine. (To view this Hosler article,Meisters go to entheMathematics website Magazine. this write article,a paragraph go to theexplaining website Magazine. (To view Then www.matharticles.com.) www.matharticles.com.) Then write a paragraph explaining how vectors and vector algebra can be used in the construction how vectors and vector algebra can be used in the construction of dental inlays. of dental inlays.

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Funciones vectoriales Vector-Valued Functions

En capítulo se introduce el concepto Thiseste chapter introduces the concept of de funciones vectoriales. También vector-valued functions. Vector-valued pueden emplearse para to estudiar functions can be used study curvas curves en in el plano y en el espacio. Esas funciones the plane and in space. These functions también parathe estudiar can also pueden be usedusarse to study motionelof movimiento de un objeto a lo largo de an object along a curve. una curva. In this chapter, you should learn the En este capítulo, se aprenderá: following. n Cómotoanalizar bosquejar curva ■ How analyzeyand sketchuna a space en el espacio representada por una curve represented by a vector-valued función vectorial. Cómothe aplicar los of function. How to apply concepts conceptos de límites y continuidad a limits and continuity to vector-valued 12.1 ) las funciones vectoriales. ( functions. (12.1) ■ n ■ n

n ■

■

n

Cómotoderivar e integrar How differentiate andfunciones integrate vectoriales. (12.2 ) vector-valued functions. (12.2) How describelathe velocity yand Cómotodescribir velocidad acceleration associated with vectoraceleración asociada con unaafunción ■ valued function use a vectorial y cómoand usarhow unatofunción vector-valued to movimiento analyze vectorial para function analizar el projectile motion. (12.3 de proyectiles. (12.3 ) ) How to find tangent vectors and normal Cómo encontrar vectores tangentes y vectors. (12.4) vectores normales. (12.4) How to find the arc length and curvature Cómo encontrar of a curve. (12.5)la longitud de arco y la curvatura de una curva. (12.5) Jerry Driendl/Getty Images

A Ferris wheel constructed using the usando basic principles of a básicos bicycle wheel. can Una rueda de laisfortuna está construida los principios de una You bicicleta. ■ use a vector-valued function to analyze the motion of a Ferris wheel, including its Se puede usar una función vectorial para analizar el movimiento de una rueda de la position and velocity. (See P.S. Problem Solving, Exercise fortuna, incluidas su posición y velocidad. (Ver solución de 14.) problemas, ejercicio 14.)

v(1) v(2) v(1) v(2)

v(1) v(1) v(0) v(0)

v(0) v(0)

v(1) v(2) v(2) v(1) v(0) v(0)

v(0) v(0)

v(3) v(3) a(2) a(2) a(1) a(1) a(0) a(0)

a(0) a(0)

a(1) a(1) a(0) a(0)

a(2) a(2) a(3) a(3) a(1) a(1) a(0) a(0)

A vector-valued function mapsnúmeros real numbers use usar a vector-valued to para represent the motion Una función vectorial mapea realestoa vectors. vectores.You Secan puede una funciónfunction vectorial representar el of a particle along a curve. In Section 12.3, you will use the first and second derivatives of a position vector to movimiento de una partícula a lo largo de una curva. En la sección 12.3 se usarán la primera y segunda derivadas find particle’s velocity and de unavector de posición paraacceleration. encontrar la velocidad y aceleración de una partícula.

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CAPÍTULO 12

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Chapter 12

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Funciones vectoriales

Vector-Valued Functions

12.1 Funciones vectoriales 12.1 Vector-Valued Functions Analizar y dibujar una curva en el espacio dada por una función vectorial. n n

Extender los conceptos de límite y continuidad a funciones vectoriales. Analyze and sketch a space curve given by a vector-valued function. Extend the concepts of limits and continuity to vector-valued functions.

Curvas en el espacio y funciones vectoriales

Space Curves and Vector-Valued Functions

En la sección 10.2 se definió una curva plana como un conjunto de pares ordenados 10.2,con a plane curve was defined as the set of ordered pairs f t , g t sIn f stdSection , g stdd junto sus ecuaciones paramétricas together with their defining parametric equations x 5 f std y y 5 gstd x f t y gt and donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I. Esta definición puede extenwheredef manera and g are continuous functions of t on an interval Thiscurva definition be C derse natural al espacio tridimensional como sigue.I. Una en el can espacio extended naturally to three-dimensional space as space the set es un conjunto de todas las ternas ordenadas s f sfollows. td, gstd, hAstdd juntocurve con C susis ecuaciones of all ordered triples f t , g t , h t together with their defining parametric equations paramétricas xx 5 ffsttd,,

yy 5 ggsttd,,

yand z 5z hstdh t

f, gg,yand h are where ƒ, continuous functions on intervalo an interval h son funciones continuas de tofent un I. I. donde Beforedelooking at examples of en space curves, se a introduce new type un of nuevo function, a Antes ver ejemplos de curvas el espacio, tipocalled de función, vector-valued introduced. This type of function real numbers llamada funciónfunction, vectorial.isEste tipo de función asigna vectoresmaps a números reales. to vectors. DEFINICIÓN DEOF FUNCIÓN VECTORIAL FUNCTION DEFINITION VECTOR-VALUED Una función of de the la forma A function form rsrtdt 5 f sftdti 1 i gsgtdtj j o or

y

r(t2)

Espacio. rsrtdt 5 f sftdti 1 i gsgtdtj j1 hshtdtk k Space esisuna función vectorial, donde las funciones componentes ƒ, f,g g, y hand sonhfunciones a vector-valued function, where the component functions are del parámetro t. Algunas veces, las funciones vectoriales se denotan como real-valued functions of the parameter t. Vector-valued functions are sometimes rsdenoted td 5 k f sas td, rgsttdl o rfstdt 5 , grsttd, hstdl.f t , g t , h t . , g ktf stdor

y

r(t C 2)

r(t1) r(t0)

C

r(t1) r(t0)

Plano. Plane

x

Curve in a plane x

Curva en un plano

Técnicamente, una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de punTechnically, a curve in the plane or in space consists of a collection of points and tos y ecuaciones paramétricas que la definen. Dos curvas diferentes pueden tener la misma the defining parametric equations. Two different curves can have the same graph. For gráfica. Por ejemplo, cada una de las curvas dadas por instance, each of the curves given by

z

Curve in space r(t2)

rt

z

r(t1) r(t0)

Curva en el espacio r(t2)C

r(t1)

r(t0)

Cy y

x x C is traced out by the terminal point Curve of position vector r t . La curva Figure 12.1C es trazada por el punto final del vector posición r(t)

Figura 12.1

sen t i

cos t j

y

rt

sen t 2 i

cos t 2 j

has the unit circle as its graph, but these equations do not represent the same curve— tiene como gráfica el círculo unidad o unitario, pero estas ecuaciones no representan la because the circle is traced out in different ways on the graphs. misma curva porque el círculo está trazado de diferentes maneras. Be sure you see the distinction between the vector-valued function r and the Es importante asegurarse de ver la diferencia entre la función vectorial r y las funreal-valued functions f, g, and h. All are functions of the real variable t, but r t is a ciones reales ƒ, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r(t) es un vector, mienvector, whereas f t , g t , and h t are real numbers for each specific value of t . tras que ƒ(t), g(t) y h(t) son números reales (para cada valor específico de t). Vector-valued functions serve dual roles in the representation of curves. By Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. letting the parameter t represent time, you can use a vector-valued function to Tomando como parámetro t, que representa el tiempo, se puede usar una función vectorepresent motion along a curve. Or, in the more general case, you can use a vectorrial para representar el movimiento a lo largo de una curva. O, en el caso más general, se valued function to trace the graph of a curve. In either case, the terminal point of the puede usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el position vector r t coincides with the point x, y or x, y, z on the curve given by the punto final del vector posición r(t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada parametric equations, as shown in Figure 12.1. The arrowhead on the curve indicates por las ecuaciones paramétricas, como se muestra en la figura 12.1. La punta de flecha the curve’s orientation by pointing in the direction of increasing values of t. en la curva indica la orientación de la curva apuntando en la dirección de valores crecientes de t.

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SECCIÓN 12.1


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A menos que se especifique otra cosa, se considera que el dominio de una función vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones componentes ƒ, g y h. Por ejemplo, el dominio de rstd 5 sln td i 1 !1 2 t j 1 tk es el intervalo s0, 1g.

y

2

EJEMPLO 1

Trazado de una curva plana

1 x −3

−1

1

Dibujar la curva plana representada por la función vectorial

3

rstd 5 2 cos ti 2 3 sen sin t j, 0 ≤ t ≤ 2p.

Función vectorial.

Solución A partir del vector de posición r(t), se pueden dar las ecuaciones paramétricas x 5 2 cos t y y 5 23 sen t. Despejando cos t y sen t y utilizando la identidad cos2 t 1 sen2 t 5 1 se obtiene la ecuación rectangular r(t) = 2 cos ti − 3 sen tj

La elipse es trazada en el sentido de las manecillas del reloj a medida que t aumenta de 0 a 2p Figura 12.2 z

x2 y 2 1 2 5 1. 22 3


La gráfica de esta ecuación rectangular es la elipse mostrada en la figura 12.2. La curva está orientada en el sentido de las manecillas del reloj. Es decir, cuando t aumenta de 0 a 2p, el vector de posición r(t) se mueve en el sentido de las manecillas del reloj, y sus puntos finales describen la elipse.

Cilindro: x2 + y2 = 16

(4, 0, 4π) 4π

EJEMPLO 2

Trazado de una curva en el espacio

Dibujar la curva en el espacio representada por la función vectorial rstd 5 4 cos ti 1 4 sen sin t j 1 tk, 0 ≤ t ≤ 4p.

Función vectorial.

Solución De las dos primeras ecuaciones paramétricas x 5 4 cos t y y 5 4 sen t, se obtiene (4, 0, 0) x

4

y

r(t) = 4 cos ti + 4 sen tj + tk

A medida que t crece de 0 a 4p , se describen dos espirales sobre la hélice Figura 12.3

x 2 1 y 2 5 16.


Esto significa que la curva se encuentra en un cilindro circular recto de radio 4, centrado en el eje z. Para localizar en este cilindro la curva, se usa la tercera ecuación paramétrica z 5 t. En la figura 12.3, nótese que a medida que t crece de 0 a 4p, el punto sx, y, zd sube en espiral por el cilindro describiendo una hélice. Un ejemplo de una hélice de la vida real se muestra en el dibujo inferior de la izquierda. En los ejemplos 1 y 2 se dio una función vectorial y se pidió dibujar la curva correspondiente. Los dos ejemplos siguientes se refieren a la situación inversa: hallar una función vectorial para representar una gráfica dada. Claro está que si la gráfica se da en forma paramétrica, su representación por medio de una función vectorial es inmediata. Por ejemplo, para representar en el espacio la recta dada por x 5 2 1 t, y 5 3t

y

z542t

se usa simplemente la función vectorial dada por rstd 5 s2 1 td i 1 3tj 1 s4 2 td k. En 1953 Francis Crick y James D. Watson descubrieron la estructura de doble hélice del ADN.

Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica, el problema de representar la gráfica mediante una función vectorial se reduce a hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas.

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CAPÍTULO 12


836 Chapter 12 Vector-Valued Functions EJEMPLO 836 1212 Vector-Valued Functions Chapter 12 Vector-Valued Functions3 836 836Chapter Chapter Vector-Valued Functions

Representar la parábola y 5 x 2 1 1 mediante una función vectorial.

y

t = −2 t = −2 t =t−2 = −2 t = −2 5 t = −14 3

y5 y y 4 5 5 3 4 4 2 3 3

Representación de una gráfica mediante una función vectorial

EXAMPLE 3 3 Representing Representing a Graph by a Vector-Valued Function EXAMPLE a aGraph Function EXAMPLE 3 Representing a by Graph by a Vector-Valued Function EXAMPLE 3 Representing Graph bya aVector-Valued Vector-Valued Function t=2 y 5

t=2 t =t2= 2 t = 2

4

t=1

3

y = x2 + 1 t=1 2t =t1= 1 t = 1 x −2 −1 y 1=2 x 2 +2 1 2 t=0 t =t0= 0 t = y0 =y x= x+21y+ =1 x + 1 Hay muchas maneras de parametrizar esta

t = −1 t 2= 0 t =t−1 2 = −1 t 2= −1

Solución Aunque hay given muchas el parámetro function. t, una opción natural es Represent the parabola by maneras y 52 x22 1de12elegir by a vector-valued Represent thethe given y 15 xsexy1 1 xby a vector-valued function. 2given Represent the parabola by 5 1 by a vector-valued function. Represent parabola by y y5 1 1 by a1 vector-valued function. tomar Entonces tiene x5 t. parabola ygiven 5 tby 1 Solution Although there are many ways to choose the parameter t, a natural choice Solution Although are2there many toways choose thethe parameter t,Función at, natural choice Solution areways many to choose the parameter t,vectorial. a natural Solution Although are many ways to choose parameter a natural choicechoice td 5 t i t.1Then sAlthough t 2 there 1ythere 15d2j. is torslet x5 t2 1 12 and you have is is to to letlet 5 t. Then 5 t t1 1 and have isx to let 5 t.y Then y5 t1 and 1you 1you and you have x5 t.x Then y5 1 have Nótese de parámetro. d 5latfigura i 1 2st2212.4 1 12la d j.orientación obtenida con esta elección particular Vector-valued function r sten r strhubiera dst5 trist1 st stti111 1como dst1j.d j.1parámetro Vector-valued function tidelegido 5 1d j. Vector-valued function d5 1 Vector-valued function Si se orientada en direcx 5 2t, la curva hubiera estado Noteopuesta. in Figure 12.4 the orientation produced by this particular choice of parameter. ción Note inNote Figure thethe orientation produced byby this particular choice of parameter. in 12.4 Figure 12.4 the orientation produced by this particular choice of parameter. Note in Figure 12.4 orientation produced this particular choice of parameter. Had you chosen x 5 2t as the parameter, the curve would have been oriented in the Had you chosen x5 2t2t the parameter, thethe curve have been oriented in in thethein the Had you chosen xas5as 2t asparameter, the parameter, thewould curve would have been oriented Had you chosen x5 the curve would have been oriented opposite direction. opposite direction. opposite direction. opposite direction. EJEMPLO 4 Representación de una gráfica mediante

una función vectorial

x

− 2 −Una 1 de ellas1es tomar 2 x x x5 t x gráfica. EXAMPLE 4 4 Representing Representing a Graph by a Vector-Valued Function −2 − 2 −1 −−2 − 1 1 1 2 21 2 1 EXAMPLE apor by Function EXAMPLE 4 Representing Graph by adelVector-Valued Function EXAMPLE 4 CRepresenting aGraph Graph bya aVector-Valued Vector-Valued Function Figura 12.4 Dibujar la gráfica representada la aintersección semielipsoide There are many ways to parametrize this There areare many ways to to parametrize thisthis this Sketch the space curve C represented by the intersection of the semiellipsoid There are many ways to parametrize There many ways parametrize graph. One way is to let x 5 t. 2 2 thecurve 2 Sketch space Ccurve represented byby thethe intersection of of thethe semiellipsoid Sketch C represented byintersection the intersection ofsemiellipsoid the semiellipsoid xthe yspace zspace Sketch the curve C represented xis5 t.lett.x 5 t. graph. One wayway is to letlet graph. One xto5 graph. is way to FigureOne 12.4 z ≥ 0 21 21 25 1,

x y 24z22 x 212 y 2x24 z yz 5 z1,2 z $ 0 x2 1 y22 1 1 1 24 111 451 1, 1, z5$ 12 5 z1,$0 0z $ 0 12 24 424 4 y 5 x 2. Después, hallar una función vectorial que represente la y el cilindro 12 12 24parabólico 4 and the parabolic cylinder y 52 x22. Then, find a vector-valued function to represent the gráfica. y5 x .xyThen, and thethe parabolic cylinder a vector-valued function to to represent thethe the x 2.find and the parabolic cylinder Then, a vector-valued function to represent and parabolic cylinder y5 .5 Then, find afind vector-valued function represent graph. graph. graph.graph. Solución En la figura 12.5 se muestra la intersección de las dos superficies. Como en el Solution The intersection of the two surfaces is shown in Figure 12.5. As in Solution The of ofthe two is es inCon 12.5. Solution The intersection two surfaces is t.shown in Figure 12.5. ejemplo 3, unaintersection opción natural para elthesurfaces parámetro esta opción, seinusa x5 Solution The intersection theof two surfaces isshown shown inFigure Figure 12.5.As As inAslain Example 3, a natural choice of parameter is x 5 t. For this choice, you can use the 2 2 x 5 t. Example 3, a natural choice of parameter is For this choice, you can use thethe 5 t.this Example choice of Forchoice, this choice, youuse can use the ecuación dada para obtener y3,5a xnatural y 5parameter t . Entonces Example 3, a natural choice of parameter is x 5is t.x For you can 2 2 given equation y 52 x2 to obtain it follows that y 52 t2 . Then, y5 x xto 5 t .tyThen, given equation obtain follows that y5 x2 toyobtain t 2.itThen, given equation it follows given equation y5 to obtain y5 .5 Then, it follows that that z2 x 2 2 y222 t2 t4 24 2t22 24 t424 s46 12 t22ds4 2 t2d 2 2 42 2 z 2 z 2 5 z12 2 x 2x 2 2 y xy 5y12 2t 2 t 2 2t 4t t24 5 24t24 2t24 2 t2tt 2 s6ts1 t ds 2 22 st64ds1 tt22dsdt42d 2 5 . td 2 2t 61 42 12 525 12 525 5 24 5 5 5 24 . . 5 12 1222 24 5 12 1222 24 . 45 5 12 12 44 2424 24 4 1212 2412 24 24 1212 2412 24 24 2424 24 NOTE Curves in space can be specified Because the curve lies above the xy-plane, you should choose the positive square root NOTE Curves inCurves space can be espacio specified xy-xyBecause curve above plane, should choose the positive square root NOTE in can bepuespecified xy-you Because the curve liesthe above plane, you should positive square root NOTE Curves in can be specified Because the curve lies above the plane, you should choose the positive square rootposiComo lathecurva selies encuentra sobre elthe plano xy, hay que elegirchoose para z the la raíz cuadrada NOTA Las curvas enspace el in various ways. Forspace instance, the curve for z and obtain the following parametric equations. in in various ways. For instance, themaneras. curve inespecificarse various ways. For instance, the curve z for and obtain the following parametric equations. various ways. For instance, the curve z for and obtain the following parametric equations. for z and obtain the following parametric equations. tiva. Así se obtienen las ecuaciones paramétricas siguientes. den de varias in Example 4 is described as the in in Example 4 is4 described as the Example 4curva is described as the Example described as the s6 12 t22ds4 2 t2d Porinejemplo, la del ejemplo intersection ofistwo surfaces in space. 4 se t ds 2 st64ds1 tt22dsdt42d 2 t2d x 5 t, y 52 t222, 2 and z 5 s6 s1 61 42 intersection of two surfaces in space. intersection of two surfaces in space. intersection of two surfaces in space. x x5 t, t,t,xy5 t t,ty,, 5 and z5 describe como la intersección de dos t,5 t y,and and 6 x5 5 y5 z5 z5 y5 66 6 superficies en el espacio. n The resulting vector-valued function is The resulting vector-valued function is is is The resulting vector-valued The resulting vector-valued function La función vectorial resultante es function 2ds4 2 t2d s 6 1 t t2ds 2 st624ds1 tt22dsdt42d 2 r std 5 t i 12 t22 j 1 2 s6 s1 k,t2d22 # t # 2. Vector-valued function 61 42 r strdst5 trist1 t jt i1 k, k, 22 function #t #2. tid 1 5 k,# #t22 2. Vector-valued function 6 d5 j11t j 1 22 Vector-valued function # 2.t #Vector-valued Función vectorial. 66 6 sNote that the k-component of rstd implies 22 # t # 2.d From the points s22, 4, 0d spoints sNote that thethe k-component of of rsk trdsde 22 points 22, 4, 022, d 0d4,4,0)0d #t 2. s4, sNote that thecomponente k-component of rstd implica implies 2.dthe From the s22, sNote that kel -component timplies d implies 22# t22 d#From the points #d2.tFrom (Obsérvese que r(t) De los puntos (22, and s2, 4, 0d shown in Figure 12.5, you can see #that #the curve is traced as t increases s2,s4, 4,0) 0dsque t increases and shown in Figure 12.5, you can seesee that the curve traced and 4,se0dmuestran shown inen Figure 12.5, you can see that theiscurve isas traced as t increases 2, 4, 02, d shown in Figure 12.5, you can that the is as yand (2, la figura 12.5, se ve que lacurve curva estraced trazada at increases medida que t from 22 to 2. 22 from to22 2.22 from from 22 to 2. crece de a 2.to 2.

Figure 12.4 Figure Figure 12.4 12.4

!! !!

!! !! z

z Parabolic cylinder z zz Cilindro parabólico Parabolic cylinder Parabolic cylinder (0, 0, 2) Parabolic cylinder 2)2)(0, 0, 2) (0,(0, 0,0,2) (0, 0, 2 2 22

2

Ellipsoid Elipsoide Ellipsoid Ellipsoid Ellipsoid

4 4 44

Curve in Curve in en Curva in Curve in space Curve space el espacio space space (− 2, 4, 0) (−(−2, 2, (− (−4, 2,4,0) 4,0) 0)2, 4, 0)

4

x

C: x = t xx=t=tC: C:C: x= C: y 2=t2tt22 x = t 2 y =yy= t= t y = t (6 2+ t22 )(4 2− 2t22 ) z = (6 (6 + t+)t(4 −(4+ t−2 t)t )t)2(4) − t 2 ) (6 t )(6 6(4 z =zz== z =1 6 66 6

(2, 4, 0) (2,(2, 4, 4, 0) (2, 4,0) 0)(2, 4,50)555

y y 5yy

y

The curveC Cesislathe intersection ofsemielipsoide the semiellipsoid and theparabólico parabolic cylinder. La curva delthe y eland cilindro The curve C isCcurve the intersección intersection of semiellipsoid the parabolic cylinder. cylinder. The C is the intersection of the semiellipsoid and the parabolic The curve Figure 12.5is the intersection of the semiellipsoid and the parabolic cylinder. Figura 12.5 Figure 12.5 Figure Figure 12.5 12.5

■ ■■

■

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SECCIÓN 12.1


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Límites y continuidad Muchas de las técnicas y definiciones utilizadas en el cálculo de funciones reales se pueden aplicar a funciones vectoriales. Por ejemplo, las funciones vectoriales se pueden sumar y restar, multiplicar por un escalar, tomar su límite, derivarlas, y así sucesivamente. La estrategia básica consiste en aprovechar la linealidad de las operaciones vectoriales y extender las definiciones en una base, componente por componente. Por ejemplo, para sumar o restar dos funciones vectoriales (en el plano), se tiene r1std 1 r2std 5 f f1std i 1 g1std jg 1 f f2std i 1 g2std jg

Suma.

5 f f1std 1 f2stdg i 1 f g1std 1 g2stdg j r1std 2 r2std 5 f f1std i 1 g1std jg 2 f f2std i 1 g2std jg

Resta.

5 f f1std 2 f2stdg i 1 f g1std 2 g2stdg j. De manera similar, para multiplicar y dividir una función vectorial por un escalar se tiene crstd 5 cf f1std i 1 g1std jg

Multiplicación escalar.

5 cf1std i 1 cg1std j rstd f f1std i 1 g1stdj g 5 , cÞ0 c c 5

División escalar.

f1std g std i 1 1 j. c c

Esta extensión, componente por componente, de las operaciones con funciones reales a funciones vectoriales se ilustra más ampliamente en la definición siguiente del límite de una función vectorial. DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL 1. Si r es una función vectorial tal que rstd 5 f std i 1 gstd j, entonces −L

L

t→a

3

t→a

4 3

4

Plano.

siempre que existan los límites de f y g cuando t → a. 2. Si r es una función vectorial tal que rstd 5 f std i 1 gstd j 1 hstd k, entonces

O

r (t)

3

lim lim f std i 1 lím lim g std j lím rstd 5 lím

t→a

r(t)

4 3

t→a

4 3

4

lim lím hstd k lím f std i 1 lim lím rstd 5 lim lím g std j 1 lim

siempre que existan los límites de f, g y h cuando t → a. t→a

L O r(t)

A medida que t tiende a a, r(t) tiende al límite L. Para que el límite L exista, no es necesario que r(a) esté definida o que r(a) sea igual a L Figura 12.6

t→a

t→a

Espacio.

Si rstd tiende al vector L cuando t → a, la longitud del vector rstd 2 L tiende a 0. Es decir, i rstd 2 L i → 0

cuando

t → a.

Esto se ilustra de manera gráfica en la figura 12.6. Con esta definición del límite de una función vectorial, se pueden desarrollar versiones vectoriales de la mayor parte de los teoremas del límite dados en el capítulo 1. Por ejemplo, el límite de la suma de dos funciones vectoriales es la suma de sus límites individuales. También, se puede usar la orientación de la curva r(t) para definir límites unilaterales de funciones vectoriales. La definición siguiente extiende la noción de continuidad a funciones vectoriales.

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CAPÍTULO 12

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Chapter 12

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Vector-Valued Functions DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Una función vectorial r es continua en un punto dado por t 5 a si el límite de rstd cuando t → a existe y DEFINITION OF CONTINUITY OF A VECTOR-VALUED FUNCTION lim rstd 5 rsad. lím t→a A vector-valued function r is continuous at the point given by t ⫽ a if the limit of r t exists as tr→ a and Una función vectorial es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del intervalo. lim rt ⫽ ra. t→a

A vector-valued function r is continuous on an interval I if it is continuous atDe every pointcon in the acuerdo estainterval. definición, una función vectorial es continua en t 5 a si y sólo si cada una de sus funciones componentes es continua en t 5 a. From this definition, it follows that a vector-valued function is continuous at Continuidad de funciones vectoriales tEJEMPLO ⫽ a if and5only if each of its component functions is continuous at t ⫽ a. Analizar la continuidad de la función vectorial

EXAMPLE 5 Continuity of Vector-Valued Functions rstd 5 t i 1 aj 1 sa 2 2 t 2dk a es una constante.

Discuss the continuity of the vector-valued function given by cuando 5t0. r tt⫽ i ⫹ aj ⫹ a 2 ⫺ t 2k a is a constant. at t ⫽ 0. Solución Cuando t tiende a 0, el límite es Solution As t approaches 0, the limit is lím a j 1 lím lim rstd 5 lim lim sa 2 2 t 2d k lím lím t i 1 lim t→0 t→0 t→0 t→0 lim rt ⫽ lim t i ⫹ lim a j ⫹ lim a 2 ⫺ t 2 k t→0 t→0 t→0 t→0 5 0i 1 aj 1 a 2 k ⫽ 0i ⫹ aj2 ⫹ a 2 k 5 aj 1 a k. ⫽ aj ⫹ a 2k. Como Because

3 4 3

z

z

16 16

a = −a 4= −4

14 12

a = 4a = 4

14

10 10

−4 −4

8

6

6

4

4

2

2

2

2

4

4

x

x

r0 ⫽ 0 i ⫹ a j ⫹ a 2k ⫽ aj ⫹ a 2 k

For each value of a, the curve represented by the vector-valued function in Para 5, cada a, la curva representada por la función vectorial del ejemplo 5, Example 5 ti ⫹ 1 aj ⫹ 1 sa 2 ⫺ 2 t 2dk rrstd ⫽

4

y 4

y

a = 0a = 0 a = −2 a = −2 a = 2a = 2

For Para each value oflaa,curva the curve represented todo a, representada by the function porvector-valued la función vectorial 2 ⫺ 2t 2k 2 rt) r⫽stdti5⫹t iaj1⫹a ja1 sa 2 tis dakparabola. Figure 12.7 es una parábola Figura 12.7

4

you can conclude that r is continuous at t ⫽ 0. un Byrazonamiento similar reasoning, can continua en t 5 0. Mediante similar,you se concluye se concluye que r es conclude that the vector-valued function r is continuous at all real-number values que la función vectorial r es continua en todo valor real de t. of t. ■

12

8

4 3

esauna constante. aa is constant.

is parabola. YouUno canse think of imaginar each parabola of the vertical plane esauna parábola. puede cada as unathe deintersection estas parábolas como la intersección ydel ⫽plano a andvertical the hyperbolic paraboloid y 5 a con el paraboloide hiperbólico 2 yy22 ⫺ 2 xx 2 ⫽ 5 zz as shown in Figure 12.7. como se muestra en la figura 12.7.

TECHNOLOGY Almost any type of three-dimensional sketch is difficult to do by TECNOLOGÍA cualquier de dibujo tridimensional es difícil hacerlo a hand, but sketchingCasi curves in spacetipo is especially difficult. The problem is in trying mano, perothe trazar curvas el espacio es especialmente problema consiste to create illusion ofenthree dimensions. Graphing difícil. utilitiesEluse a variety of en crear la impresión de tres dimensiones. Las herramientas decurves: graficación usanisdiversas techniques to add “three-dimensionality” to graphs of space one way to técnicas daronlaa“impresión dimensiones” en gráficas de curvas en el espacio: show thepara curve surface, as de in tres Figure 12.7. una manera es mostrar la curva en una superficie, como en la figura 12.7.

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SECCIÓN FuncionesFunctions vectoriales 12.112.1 Vector-Valued 12.1 Vector-Valued Functions

Ejercicios 12.1 Exercises 12.1 Exercises 12.1

Seewww.CalcChat.com www.CalcChat.comforforworked-out worked-outsolutions solutionstotoodd-numbered odd-numberedexercises. exercises. See

InExercises Exercises 1–8, thedomain domain thevector-valued vector-valued function. In 1–8, ofofthe function. En los ejercicios 1find afind 8, the hallar el dominio de la función vectorial. 11 tt 3tk ii j j 3tk 1 1 22 2 2 2.2.rsrtdt 5 !442 t 2t i i1 t 2tj j2 6t6tkk t 3.3.rsrtdt 5 lnlnt it i2 e et j j2 t kt k 1.1. rrt t

InExercises Exercises 21–24, match theequation equation withits its graph. [The In 21–24, the with graph. [The En los ejercicios 21 amatch 24, asociar cada ecuación con su gráfica. graphs arelabeled labeled (a),(b), (b),(c), (c),a), and (d).] graphs are and [Las gráficas están(a), marcadas b),(d).] c) y d).] zz

a)a)

tt

sint it i1 44cos cost jt j1 t kt k sin 4.4.rsrtdt 5 sen r t F t G t where 5. 5. rstd 5 Fstd 1 Gstd where donde cost it i2 sen sint jt j1 !t k, t k, GGstdt 5 cos cost it i1 sen sint jt j FFstdt 5 cos sin sin r t F t G t where 6. 6. rstd 5 Fstd 2 Gstd where donde 2 2 FFstdt 5 lnlnt it i1 5t5tj j2 3t3t2 k,k, GGstdt 5 i i1 4t4tj j2 3t3t2kk

−2 −2

zz

b)b)

44

44

22

22 22

yy −2 −2 x x 22

44 xx zz

c)c)

where 7.7.rsrtdt 5 FFstdt 3 GGstdt where donde sint it i1 cos cost j,t j, GGstdt 5 sen sint jt j1 cos cost kt k FFstdt 5 sen sin sin r t F t G t where 8. where 8. rstd 5 Fstd 3 Gstd donde 11 j 3 3 3t ti i1 t k, GGstdt 5 ! FFstdt 5 t 3t i i2 t jt j1 t k, j 1 st t1 22d kk t t1 11

zz

d)d)

11

44 22

11

11

xx

En ejercicios 9 a 12, evaluar(if (sipossible) es posible) la función vectoIn los Exercises 9–12, evaluate (if possible) the vector-valued In Exercises 9–12, evaluate the vector-valued t. rial en cada valor dado de functionatateach eachgiven givenvalue valueofoft.t. function 1 12 1 9. 9.9.rrsrttdt 5 22t2t 2t i2i i2 stt t2 111d jj j rsr0rd00 c)(c) rssrr1 a) (a)rrsr11d1 b)(b) (b) (c) s s1d 11 (a)

22 xx

yy

44

yy

2tjjj 1 tt2t22k, k, 22 21. rrrstttd 5 ttitii 1 2t 22 ≤ ttt ≤ 222 21. 21. 2t k, cossptttdiii 1 sin sinsptttdjjj 1 tt2t22k, k, 21 22. rrrstttd 5 cos 11 ≤ ttt ≤ 111 22. cos sin k, 22. sen 2 0.75t 2t2 j 0.75t e k, r t t i 2 t 23. 0.75t 2 ≤ tt ≤ 222 23. k, 22 23. rrsttd 5 ttii 1 tt jj 1 ee k, 2t2t lnttjtjj 1 2tk, k, 0.1 0.1 t t 55 24. rrrstttd 5 ttitii 1 ln 24. ln 24. 333 k, 0.1 ≤ t ≤ 5

d) 2 Dtdt t2 rrs2r2d2 (d)rrs2r21 (d) sin 10. costt iit i1 222sen sintt jjt j 10.rrsrttdt 5 cos cos sin 10. r s 0 d r s p y4 rsurr2 pd a) b) (a) rr00 (b) (b) rr d44 c)(c) (c) (a) d) r y661 6 Dtdt t2 rrsp r y66d6 (d)rrsp (d)

Para Las The cuatro figuras siguientes son graphs gráficas dethe la 25. 25. Think Thinkpensar About ItIt four figures below are are 25. About The four figures below t graphs ofof the función vectorial Asociar cada r s t d 5 4 cos t i 1 4 sin t j 1 k. sen cost it i 444sin sint jt j t t 44k.k. vector-valued function function rrt t 44cos vector-valued Match each thecon four graphsen with thepoint point space from una de each las gráficas elgraphs punto el espacio desde el cualfrom se ve Match ofofthe four with the ininspace 0, 0, 20,0), which the helix is viewed. The four points are 0, 0, 20 which the helix is viewed. The four points are la hélice. Los cuatro puntos son s0, 0, 20d, s20, 0, 0d, (220, 0, 20, 0, 0 , 20, 0, 0 , 10, 20, 10 . and 20, 0, 0 , 20, 0, 0 , 10, 20, 10 . and y s10, 20, 10d. zz zz (a) (b) (a) (b) z z a) b)

111 11. 11.rrsrttdt 5 ln lnlntt iit i1 t jj j1 3t 3t3tkkk 11. tt rsr23 rstr2 a) r d33 c)(c) rt t4d 44 (a)rrsr22d2 b)(b) (b) (c) (a) r s 1 1 Dt d 2 r s 1 d d) (d) rr11 t t rr11 (d) 3y2 2ty4 12. 12.rrsrttdt 5 !tt tii i1 tt 3t 32 2jj j1 eee t t4 4kkk 12. rsr4rd44 c)(c) rscrr1 a) (a)rrsr00d0 b)(b) (b) (c) cc2d 22 (a) d) 9 Dtdt t2 rrs9r9d9 (d)rrs9r91 (d)

xx x

|| ||

InExercises Exercises 13and andy14, 14, find rrt t r. x.tc . In 13 En los ejercicios 13 14,find hallar y

13.rsrtdt 5 !t it i1 3t3tj j2 4t4tkk 13. 14. sin3t3ti i1 cos cos3t3tj j1 t kt k 14.rsrtdt 5 sen 14. 13. sin PtotoQQdesde InExercises Exercises 15–18, represent theline lineel segment from byaa In 15–18, the segment from by En los ejercicios 15 arepresent 18, representar segmento de Precta vector-valued function and by a set of parametric equations. vector-valued function andfunción by a setvectorial of parametric equations. P hasta Q mediante una y mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas. 15. PP0,0,0,0,00, ,QQ3,3,1,1,22 16. PP0,0,2,2, 11, ,QQ4,4,7,7,22 15. 16. 15. P (0, 0, 0), Q (3, 1, 2) 16. P (0, 2, 21), Q (4, 7, 2) P 2, 5, 3 , Q( 1, 4, 9 17. 17. P 2, 5, 3 , Q( 1, 4, 9 17. 5, 23), (21, 6,8), 8),QQQ 3, 3, 2,4, 2,559) 18.P PP(22, 1,1, 6, 18. 18. P (1, 26, 8), Q (23, 22, 5) ThinkAbout AboutItIt In InExercises Exercises19 19and and20, 20,find findrrt t uut t. .IsIsthe the Think result vector-valued function? Explain. result aavector-valued function? Explain. Para pensar En los ejercicios 19 y 20, hallar rxtc ? uxtc. ¿Es el 1 resultado función vectorial? 4k,Explicar. 19. rrt t una , uut t t 2t 2i i 8j8j t 3t 3kk 3t3t 11i i 14 4t 3t 3j j 4k 19. 1 3 2sin t, cos1t,dt,i221 sin cos 20.rsrtdt 5 s3t 19. 2 i2 t 3t,kt,t 2t 2 33cos sin 22,,, uututstd 544tsin t, 8j661 cos 20. 4 tt,t,jt t1 4k 20. rstd 5 k3 cos t, 2 sin sen t, t 2 2l,

yy

22

ustd 5 k4 sen sin t, 26 cos t, t l 2

yy

y GeneratedbybyMathematica Mathematica Generated Generada con Mathematica

GeneratedbybyMathematica Mathematica Generated Generada con Mathematica

(c) (c) c)

zz z

(d) (d) d) yy y

xx GeneratedbyxbyMathematica Mathematica Generated Generada con Mathematica

GeneratedbybyMathematica Mathematica Generated Generada con Mathematica

yy y

26. Sketch Sketch the the three three graphs graphs ofof the the vector-valued vector-valued function function 26. r t t i t j 2k as viewed from each point. r t t i t j 2k as viewed from each point. 26. Dibujar tres gráficas de la función vectorial rstd 5 t i 1 t j 1 2k (a) 0,0,desde 20los (b) (b) 10, 10,0,0,00 (a) 0,0,20 vistas puntos. a) s0, 0, 20d

b) s10, 0, 0d

(c) 5,5,5,5,55 (c) c) s5, 5, 5d

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Chapter 12

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Chapter CAPÍTULO Funciones Functions vectoriales Chapter12 1212 Vector-Valued Vector-Valued Functions

Vector-Valued Functions

In ExercisesChapter 27– 42, 12 sketchVector-Valued the curve represented by the vector840 Functions valued function and give the orientation of the curve. In 27– the by InExercises Exercises 27–42, 42,sketch thecurve curve represented bythe thevectorvectorEn los ejercicios 27 asketch 42, dibujar la represented curva representada por la valued and give valuedfunction function and give theorientation orientation thecurve. curve. función vectorial y dar lathe orientación de of laofthe curva. t 27. 28. r t rt i t 1j 5 ti tj In Exercises 4t 27– 42, sketch the curve represented by the vectort valued function and give the orientation of the curve. 27. 28. 5 ti tj 27.rrrtt t t43 ii i t 2t jt 11j j 28.rrrtt t 29. 30. t 25 t ti i t 2 t j t j 4 3 2 2 2 t 29. 30. rstd 5 t 3 ii3i 1 itt 2tjj2 3 sin rstd 5 st 2521 ttttidiii 12ssin t 2 2 tdj 31. 32. 29. 30. 27. 28. 29.rrt t tcos 30.rrt t 2t cos t i t j 1j j t i t t 2t jt jt tj j t 4 u i 1 3 sin sen tt jj sen 31. 32. r s u d 5 cos u j r s t d 5 2 cos t i 1 2 3cos 33. sec i ii 332sin tan j jj 31. 32. t i 22sin sin 31.r r 32. rrt t 22cos cos sin sin 3i 2j 2cos tt ii 2 tj 29. 30. r t t t r t t 3 rsud 5233cos sec3 ut ii 1 22 sin tan3 utjjj sin3 tjt j 33. 34. rstd 5 2 cos t i 1 2 tsen 34. 33. 3sec 33.r rt sec i 2tan tan j 31. rrstd 5 s2t 32.s2tr 1 cos1 i 3 sin j 2d j 1 t 2 cos t i 2 sin t j s4t 4t31 35. tcos3 3t11it diii 122sin 2t 33dkk 35. 34. sin3tjtj2 j 34.r rt t 22cos 33. rrstd 5 t i31secs2t i2 52d jtan 1 3t 3tj2k j 36. 36. 1 i i5 j 4t 35. 4t3 k 2 j 2t2t 33kk 35.r rt t t i t t 2t 3 t1 r t 2 cos i 2 sin tj t k 34. rsttd 5 22t icos cos tt2t i 1 225sin sin tjj3t1 37. sen r i t 37. j k 36. ti 2t 5 j 3t kt k 36. r t t 1i 4t 2 j 2t 3 k 35. r t r t ti 3 cos 38. tk 37. cost it i tj22sin sin3t jtsen j tk tk 37. r t 22cos ti 2t 5 j 3t k t 36. r t 39. 2t k 3t 3icos 38. cos2tjtjcos 3tt3jjsen senetktk 38.r rt t 2titisin 39. sen cost it i1 223cos sin t j1 et kt k 37. rrstdt 5 222sin 3 r t t i 2tj tk 40. it i 1 222cos 39. cost jt j ee tkk 39. r t 222sin i sin 1t32tj 40. tj23 3tk 3 sen tk 38. rrstdt 5 t ti 2 cos 2 3 2 t2tj 41. 40. t i2tit 2,, 3232tj 40.r rt t t t, t 3l 2 2tktk 41. e tk 39. rrstdt 5 k2t, sin 2t i2 3 2 cos t j 2 r t cos t t, sin tt 2 tt cos 42. 2 t,2t,t tt, ,313t ttt3sin 41. 41. rrstdt 5 kcos 3t, sen sin sin cos t,t, ttl 42. sen t i 2tj 2 tk 40. r t rrt t cos sin t,t,t t 42. cost246, t 2 t3use tsin sinat,t,computer sint t t tcos cos 42. CAS In Exercises 43– algebra system to graph the r tejercicios t, t ,43 41. CAS En 3 t a 46, usar un sistema algebraico por compulos vector-valued function and identify the common curve. CAS In 43– algebra totovectorial graph de función e r t a fin cos t46, t use sinat, singráficamente t t cos t, t lasystem 42. CAS tadora InExercises Exercises 43–representar 46,use acomputer computer algebra system graphthe the vector-valued function and identify the common curve. identificar la1curva común. vector-valued function and identify the common curve. 3 2 rt t2i tj t k CAS 43. In Exercises algebra system to graph the 2143– 46, use a computer 23 3 1 22 22 vector-valued function and identify ! 3 1 kk the common curve. 43. 43. rrrsttdt 5 2 2 tt 2t ii i31 tt jjt j2 12 tt 2t k 43. 2t22 k t i 22 t2j 44. r t 1 22 2 3 t i33 t j 11 t 2 k 43. r t kk 44. 2 !3 tt 22t 2jj3j1 1 2tt 22t 2k 44. rrrsttdt 5 tt iit i2 44. 1 1 3 2 222t sin t i 22 cos t j cos t k 45. r t 3 22 1 2 2 2 2 11 333 ti t j333 t k 111 44. r t ! ! 1 sin cos cos kk 45. 2 t i cos 2 tt t2t j tt t jj j21sin t k sintt 2iit i1 costt t1 2 k 45.rrrsttdt 5 sin cos 45. sen sin 2cos cos 46. 222 222 222 22 3 1 1 3 2i2sin sin cos sin k 46. t47tt jjtand j 222sin k 45. sin 2cos cos j1t ! sinttak tcos k t 46. rrrsttAbout !t2 sen dt 5 2sin tt iit i21 22cos 46. sen CAS Think It In Exercises use 2 48, 2 computer 2 algebra rcomputer t . For each ut, systemAbout to graph In theExercises vector-valued function CAS 47 algebra rpensar tAboutItIt sinejercicios t i 2 cos t and jyand 2 use sin tak 46. CAS Think Think In Exercises 47 48, use asistema computer algebra CAS Para En2los 48,48, usar un algebraico make atoconjecture about the47transformation (if any) of uthe r t . system graph the vector-valued function For each r t . Forlaeach ut t, , system to graph the vector-valued function por computadora fin de representar gráficamente función r t .ItUseInaaExercises of computer algebra system to any) verifyalgebra your CAS graph Think About 47 and 48, use a computer make a conjecture about the transformation (if of the make a conjecture (if any) of the vectorial cada the conjeturar sobre la transrxtc. Para about uxtc,transformation conjecture. r t .toto ut, system torrgraph the vector-valued function For eachyour t t. .Use graph aacomputer algebra verify graphofof computer algebra verify your formación (si laUse hay) de la gráfica de system un sistema rsystem x tc. Usar make a conjecture about the1 tk transformation (if any) of the conjecture. conjecture. r t 2 cos t i 2 sin tj 47. algebraico por computadora para verificar la conjetura. 2 graph of r t . Use a computer1 algebra1 system to verify your 1tk t j u t 2 cos t 1 i 2 sin (a) r t 2 cos t i 2 sin tj 47. 2t k 2 cos t i 2 sin tj 12 2 tk 47. r t conjecture. 47. rstd 5 2 cos t i 1 2 sin sen tj 1 2 tk 1 u t 2 cos t i 2 sin t j 2t k (b) (a) 2cos cost t 11i i 221sin sint jt j 12 12t k tk (a) u t 2 cos t i t 22 sin tj 47. a)r tustd 5 2 s cos 1 d i 1 2 sin sen 2 tkt j 1 2 t1 k u t 2 cos t i 2 sin t j (c) u t 2 cos t i 2 sin t j 2t k (b) 2 2 cos t i 2 sin t j 2t k 1 t k (b) u t cost i t1 21sen i t j21sin2ttkj 121t k b)(a)uusuttdt5 21t2cos sin 2sin costttk (d) t ti it j 22sin j j 2 2 t tkk (c) cos2 sin (c) u t 222icos u t 2 cos t i 2 sin tsj2t1d 2t k 1s2td k (b) 1cos sen c) u s t d 5 2 s 2t d i 1 2 sin jtkk1 1 u t 6 cos t i 6 sin t j t (e) t i 2 sin t j 2 cos u t (d) 2 (d) u t 2 2t i 2 sin t j 2 cos t k 2 1 (c) u t 1 22 cos 1 3t i 2 sin 1 1t j 2 t k d)(e) sin 1 j1 t uusutdttt5 i 26tt16icos 48. r(e) cos2t it2sen it kt6j6sin sin2t jtcos j 2tt2kk tk 213sin t j 21 cos tk (d) u t 22t i 1 2 31 e) u s t d 5 6 cos 6 sin t j 1 t k sen u t t i 2 j t k (a) 2j t ti 1 3 j t k r t t i t 48. 2 2 ti t 48. r t 22 t k 1 (e) u t 16 3sin t 1j 2t k 26 cos t i 3k (a) 48. (b) r(a) std u5ut t i 1t iti2i2j 1t j2t1212t 33k22t2jkj 2 12t 3t k t i 2t j 2 2 t k11133 48. r t (c) 3 k 1 43 k i2 i t t2jjt j 22ttt k (b) (b)uuusuttdt t5 tttiit1 1 a)(a) ut t i st22t 22 21d1223j1 3j1 2 t2 tk3 k u t t i t j t k (d) 2 3 1 t 4 (c) 2 3 8 j t 4kk u t t i t (c) 2 1 b)(b)usutd t5 t ti21 i t 2jt 1 j 21t21223tk3 k 1 j t 3k u t t i t (e) 2 3 1 u t t i t j t k (d) 2 i 2 t j s 8 t813t 1 k (d)usutd t5 t i t1 c)(c) j 2 22t 3 41d41k k 3 ut t i t tj21 t ti 2i 2 1 t13t 3j2j 2 2 t t k3k (e) (e)uusutdt t5 49– In Exercises d)(d) t tj represent 1 u t t it1 i 56, j 8t8tk k the plane curve by a vectorvalued function. (There are many 1 1 correct 3k answers.) In curve e) 2t it56, 1 srepresent 2td2tj21 kplane j 2sthe i represent (e)usutd t5 s49– In Exercises Exercises 49–d56, thed3tplane curve by by aa vectorvector22t valued function. (There are many correct valued (There are many answers.) y function. x 5 2x answers.) 3y 5 0 49. 50.correct In los Exercises 49– represent the plane curve by por a vectorEn ejercicios 4956, a 56, representar la curva plana medio 2 y y function. y2x 4 3y 51. 52. xxx 525 2vectorial. 00 49. 50. 2xrespuestas 3yx 55 correctas.) 49.una 50. valued (There are many correct answers.) de función (Hay muchas 2 xx2 2 51. 52. 51. yy xx 22 2 52. yy 2443y 1 49. 50. 2x 3y 555 00 49. yy5 xx1 55 50. 2x 51. 52. 51. yy5 sxx2 22d22 52. yy5 442 xx22

1

2 1

2

53. x 2 x 222

y2 yy222

25

54. x x2

2

2

2y 2222

y2

4

y 222

53. 54. 53. x 1 y 525 54. sxx 2 2d 11y 544 125 55. 56. 16 4 22 22 x9x2 2 16 x y yy2 2 55. 56. 53. xx2 2 yy2 5125 54. x 2 2 1y12 4 1 55. 56. 16 99 16 16 162 44257 and 58, find vector-valued In Exercises functions forming the x2 x y y2 1 region in the figure. 1 55. 56. State the interval boundaries of the for the In 58, vector-valued forming 16 ejercicios 4 57 9 functions 16vectoriales InExercises Exercises 57and and 58, findhallar vector-valued functions forming the En los 57 y find 58, funciones que the desparameter of each function. boundaries ofofthe ininthe State for boundaries theregion region thefigure. figure. Statethe theinterval interval forthe the criban los límites de la región en la figura. Dar el intervalo coIn Exercises andfunction. 58, find vector-valued parameter ofof57 each y functions forming the y parameter each function. 57. 58. función. rrespondiente al parámetro de cada boundaries of the interval for the y =the x 2 region in the figure. State 57. 58. 57. 5 yyy 58. 12 yyy parameter of each function. 57. 58. 2 2 10 x + y = 100 yyy===xxx222 4 1212 55 5 y y 57. 3 58. 10812 xxx222+++yyy222===100 10 44 100 610 100 y = x2 88 2 45 12 4 8 33 66 2 2 1 34 210 6 45° x + y = 100 22 484 2 x x 4 131 1 2 3 4 5 262 2 45° 445° 6 8 10 12 1 2 45° 2 xx xx 4 x x 2 2 4 4 6 6 8 8 10101212 111 222 333 444 555 1 2 represented 4 6 8 10 12 by the 2 In Exercises 59– 66, sketch the space curve 45° x x intersection of the surfaces. Then represent the curve by a In the 2 represented 4 6 8 10 12 by 1 259– 3 66, 4 sketch 5 InExercises Exercises 59– 66, sketch thespace spacecurve curve represented bythe the

vector-valued function the given curva parameter. En los ejercicios 59surfaces. a using 66, dibujar en the el repreintersection ofof the Then curve intersection the surfaces. Thenlarepresent represent theespacio curve by by aa sentada por la intersección de las superficies. Después represenIn Exercises 59– 66, sketch the space curve represented by the vector-valued vector-valued functionusing usingthe thegiven givenparameter. parameter. Surfaces function Parameter tar la curva por medio de una función vectorial usando intersection of the surfaces. Then represent the curve by ael zSurfaces x 2 dado. xParameter t y 2function , x yusing 0 the given parameter. 59. Surfaces Parameter parámetro vector-valued 22 22 x x 2t tcos t 60. 59. 59.z z x x 2 y y,2, zxx 4yy 00 Superficies Parámetro Surfaces Parameter 2 2 2 2 2 x x 22sin 61. cos 60. costt t 60.xzz xyx22 yy4,2,2, zz 4x4 59. z2 25 x 2 12 y , 2 x 1 y2 5 0 x5t 2 4x z t 4y z 16, x z 62. 2 2 2 xx 22sin 61. sint t 61. xx yy 4,4, zz xx 60. z2 25 x 22 12 y 22, 2 z 5 4 x 5 2 cos t 22 x x 1 x z 2 63. 2 y 4y 2z z 24, 16, 4x z t x z 62. z t sin t 4y z 16, x z 62. 4x 61. x222 1 y222 5 4, z 5 x2 x 5 2 sin sen t 22 x x y z 10, x y 4 64. 2 2 2 63. x 211 sin sint t 63. x 2 y 2 z 2 4,4, xx zz 222 1 4y 1 z 5 16, x 5 z z 5 t 62. 4x 2 2 2 2 2 2 2 x x t22firstsin octant 65. tt zz 2 y 10, 64. sin 10, z xx 4yy 44 64.x x 2 zyy 2 4, 63. x222 1 y222 1 z2 2 524, x2 1 z 5 2 sen t x 5 1 1 sin y z 16, xy 4 x x t first octant 66. 2 2 2 2 65. x t first octant 65. x zz 4,4, yy zz 44 64. x22 1 y22 1 z22 5 10, x 1 y 5 4 x 5 2 1 sen sin t 2 2 2 y z 16, xy 4 x x 66. y2 thez vector-valued 16, xy 4 x 2 that x t t first firstoctant octant 66.Show 2 2 67. function octante) sfirst octant d 65. x 1 z 5 4, y 1 z 5 4 x 5 t (primer 2 2 5 sfirst octant d 66. octante) ytthat z 2vector-valued 16, 4function xShow x 5 t (primer 67. t 1 that i 1the 2t cos tj xy 2t 5 sinfunction tk 67.rShow the vector-valued lacos función vectorial 67. rMostrar 2 tj y2t 22tsin 2 it ique 2t2t tk.tkSketch the curve. rt t on tthe cos sin zfunction 4x tj cone 67. lies Show that the vector-valued r s t d 5 t i 1 2t cos tj 1 2t sin sen 2 2 68. Show that function zz2tk .2.Sketch 4x lies the cone 4xtj2 yy2t2 sin on cone Sketchthe thecurve. curve. rlies t on tthe i the 2tvector-valued cos tk 2 2 2 t cos 5 se el cono 68. that the t encuentra ethat tvector-valued ivector-valued e t sin4xtj function ey t1 k z . Dibujar la curva. 68.rShow Show theen function lies on the cone 4x 2 y 2 z 2. Sketch the curve. 68. rMostrar que la ifunción t t vectorial ee t kt k the curve. rt t on ethe e tcos costvector-valued tzi 2 eex 2tsin sintjytj2function . Sketch cone 68. lies Show that the 2t 2t rstdon 5 e t cone cos t iz 21 e x t2 sen sin tj e2tt k the curve. yy2.21 lies x 2sin .Sketch z 2 ethe cone Sketch the curve. rlies t onthe ethe cos t ifind tj e it kexists). In Exercises 69–74, limit (if se encuentra en el2 cono2z 2 52x 2 1 y 2. Dibujar la curva. In 69–74, zfind xthelimit y . (if lies tion the cone Sketch the curve. InExercises Exercises 69–74, limit (ifititexists). exists). cos tj find senthe tk lím 69. t→

En los 74, evaluar titi cos sen tk lím 69. 1tk limit el(iflímite. cos2tj69 tj afind senthe límejercicios 69.Exercises In 69–74, it exists). t→ t→ 3ti j k 70. lím t→2 t2 2 1 t 1 1k lím ti3ti cos tj2 j jsen tk 69. 70. lím 3ti 70. lím t→ t t→2 t2 2 1 1 cos tt k t→2 2 t i 3tt j 1 k 71. lím 2 1 t→0 tcos 1 j kt t 70. lím 3ti 1 cos 22 2 71. t→2 t k j t1 lím t t i i 3tt3tjln 71. lím t→0 t 1 k t→0 ti j t k 72. lím 2 t→1 t 11 cos t 1t 1 j lnt t 71. lím t 2 i 3t ln 1k k lím t i j 72. t→0 t lím t i sen 72. t→1 t 2t 2t 11 j t t t 11 k t→1 t ei j e k 73. lím ln t 1 t→0 t t j t k 72. lím t t t i sen 2 tj 1 e t k eei i sen 73. t→1 t t 1 k lím j e 73. lím t t→0 t1t t→0 e ti j k 74. lím 2 sen t t→ 1t 1 j t et tt1k 73. lím e t it t e i j 74. lím t→0 t 74. t→lím e i t j t 2 2 1 kk t→ t t 1 1 t j k 74. lím e t i t→ t t2 1

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SECCIÓN FuncionesFunctions vectoriales 12.1 12.1Vector-Valued

In los Exercises 75– determine the elinterval(s) on which the En ejercicios 7580, a 80, determinar (los) intervalo(s) en que function is continuous. lavector-valued función vectorial es continua. 11 80, determine the interval(s) on which the In Exercises 75– 75. rrstdt 5 t ti i1 jj 76. rrstdt 5 !t ti i1 !t t2 11jj 75. 76. vector-valued function is continuous. tt 77. rrstdt 5 t ti i1 arcsen arcsinttjtjj1 st t2 11d kk 77. 1arcsin 75. r t t i t 2t 78. rrstdt 5 2e 2e i ti1j ee2t jt j1 lnlnst t2 11d k76. k rt 78. 79. rrstdt 5 t i 79. 77.

tantlt kee2t,t,t t2,2,tan

78. r t

arcsin t j

2e t i

e tj

t ln t

ti

80. rrstdt 5 1 k 80.

k

t

1j

l

33t t 8,8,!t,t,!

1 k

WRITING ABOUT CONCEPTS

79.Desarrollo 80. rt e t, t 2, de tan tconceptos

rt 8, t, 3 t 81. Consider the vector-valued function 81. Considerar la función vectorial 2 BOUT CONCEPTS W R I rT It N G t A i t 3 j tk. rstd 5 t 2 ithe 1 svector-valued t 2 3dj 1 tk.function 81. Consider Write a vector-valued function s t that is the specified transformation r.j tk. sstd que sea la transformación t of3vectorial rDar t una t 2 i función especificada de r. (a) A vertical translation three units upward Write a vector-valued function s t that is the specified a) traslacióntranslation vertical tres unidades arriba of the (b)Una A horizontal two units inhacia the direction transformation of r. b) Una traslación negative x-axishorizontal dos unidades en dirección del (a) A vertical translation three units upward negativo translation five units in the direction of the (c)eje A xhorizontal (b) A horizontal translation two units in the direction of the c) Una traslación positive y-axishorizontal cinco unidades en dirección del negative x-axis eje y positivo 82. State the definition of continuity of a vector-valued (c) A horizontal translation five units in the direction of the 82. Dar la definición continuidad para una función vectorial. function. Give andeexample of a vector-valued function that positive y-axis Dar un ejemplo decontinuous una función is defined but not at tvectorial 2. que esté definida 82. State continuity of a vector-valued pero nothe seadefinition continua enoft 5 2. function. Give an example of a vector-valued function that is defined but not continuous at t 2. CAS 83. The outer edge of a playground slide is in the shape of a helix of CAS 83. El borde1.5 exterior deThe unaslide resbaladilla tiene of forma de unaand hélice de radius meters. has a height 2 meters makes 1.5 de radio. La resbaladilla una altura de a2 vectormetros onemetros complete revolution from toptiene to bottom. Find CAS 83. The outer edgerevolución offor a playground slidea is in thearriba shape of asystem helix ofto yvalued hace una completa desde hacia abajo. function the helix. Use computer algebra radius 1.5 meters. The slide has a height of 2 meters and makes Encontrar una función vectorial para la hélice. Usar un sistema graph your function. (There are many correct answers.) one complete frompara topgraficar to bottom. Find a (Existen vectoralgebraico por revolution computadora la función. the helix. Use a computer algebra system to muchas C valued A P S T function Orespuestas N E for correctas.) graph your function. (There are many correct answers.) 84. Which of the following vector-valued functions represent Para thediscusión same graph?

CAPSTONE

a) r tde las siguientes 3 cos t 1)i 5 sen t 2 j representa 4k 84. Which ¿Cuál vectoriales 84. of the following funciones vector-valued functions representla misma gráfica? b) same r t graph? 4i 3 cos t 1)j 5 sen t 2)k the a)c) rrt t b)d) rrt t

33cos i sent t 2 2j j 4k4k cost t 11)i 55sen 2t t 2 j2)k 4k 4i 3 cos32t cos t 1 i 1)j 5 sen 5 sen

c) r t

3 cos t

1i

5 sen t

2j

4k

3 cos 2t 1 i 5 sen 2t 2 j 4k d) r t 85. Let r t and u t be vector-valued functions whose limits exist as t → c. Prove that lim rvectoriales t limfunctions u cuyos t . límites limr rrtsttdand 85. Sean y uuu cuanstdtt funciones Let be vector-valued whoseexisten limits exist t→c t→c t→c do Demostrar → c. c. Prove as tt → that que 86. Let r t and u t be vector-valued functions whose limits exist lim std c. 3 Prove ustdg 5 lim ustd. lím lím rstd 3 lím as tfr→ thatlim t→c t→c t→c t→c

t→c

t→c

lim r vectoriales t lim ufunctions tcuyos . limr rrtsttdand y uuu límites cuansttdt funciones 86. Sean Let be vector-valued whoseexisten limits exist t→c t→c t→c do Demostrar → c. c. Prove as tt → that que 87. Prove that if r is a vector-valued function that is continuous at fr st d ?ru sist dgcontinuous 5 lim lím lím r st dat? c. lím c, then lim u st d. lim t→c t→c

t→c t→c

t→c t→c

88. Demostrar Verify that the si converse Exercisevectorial 87 is not true by en finding a 87. es unaoffunción c, enProve that ifque function thatcontinua is continuous at r is arvector-valued vector-valued function such that is continuous at but r r c r tonces continua enatc.c. then i r i es is continuous c, is not continuous at c. 88. Verify Verificar que el recíprocoofde lo que se en elbyejercicio that the converse Exercise 87 afirma is not true finding 87 a no es verdad encontrando una función vectorial r tal que i sea vector-valued function r such that r is continuous at ci rbut r continua en c peroatrc.no sea continua en c. is not continuous

841 841

841las Vector-Valued Functions In Exercises 89 and two particles travel along the space En los ejercicios 8912.1 y 90, dos partículas viajan a lo largo de curves de and ur(t) collision will occur at en theel point r tespacio t . yAu(t). curvas Una colisión ocurrirá punto of de intersection PP ifsiboth particles are at thePsame time. tiempo. Do the P at en intersección ambas partículas están al mismo In Exercises 89 partículas? and particles travel the space particles collide? Do 90, theirtwo paths intersect? ¿Colisionan las ¿Se intersecan sus along trayectorias? curves r t and u t . A collision will occur at the point of 2k 89. r t) t2Pi if both 9t particles 20)j tare intersection at P at the same time. Do the 2 paths intersect? particles collide? Do their u t) 3t 4 i t j 5t 4 k 2 3k 90. rr(t 89. t) t2tii t9tj t20)j t2k 2 uut)t) 3t 2t 4 i 3 i t j 8tj 5t 12t 4k 2k

90. r(t About ti t2j In t3Exercises k Think 91 yand 92, partículas two particles travel Para pensar It En los ejercicios 91 92, dos viajan a lo u t) 2t 3 i 12t 2k along the space curves r8tj t andr(t) u ty. u(t). largo de las curvas de espacio y u(t) intersecan, ¿colisionarán las partículas? 91. 91. Si If About will particles collide? rr(t) t) and Think Itu tse Inintersect, Exercises 91theand 92, two particles travel 92. lasspace partículas colisionan, ¿se sus u trayectorias r(t) y along curves andtheir r t do u t intersecan . 92. Si Ifthe the particles collide, paths r t) and t intersect? u(t)? 91. If rort) False? and u t intersect, will the particles collide? whether the True In Exercises 93–96, determine ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 93 a 96,udeterminar si la 92. If the particles t) and t intersect? statement is true collide, or false.doIftheir it ispaths false,r explain why or give an declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o example that shows it is false. dar un que93–96, es falsa. True or ejemplo False? que In pruebe Exercises determine whether the 93. If and are first-degree polynomial functions, then an the f, g, h statement is true or false. If it is false, explain why or give 93. Si ƒ, g y h son funciones polinomiales de primer grado, entonces curve given by xit isffalse. t , y g t , and z h t is a line. example that shows la curva dada por x 5 f std, y 5 g(t) y z 5 hstd es una recta. 94. If the curve given by x f t , y g t , and z h t is a line, 93. and hdada are por first-degree the 94. IfSif,lag,curva y 5 g(t) y zfunctions, una recta, x 5 f std, polynomial 5 hstd es then then f, g, and h are first-degree polynomial functions of t. curve given is a line. t , y g polinomiales t , and z hde t primer entonces ƒ, gbyy xh sonf funciones grado de t. 95. Two particles travel along the space curves r t) and u t). The 94. thepartículas curve given by xa través f t ,dey las gcurvas t , anddez espacio h t is 95. IfDos viajan r(t)a yline, u(t). intersection of their paths depends only on the curves traced out then polynomial functions f, g, and h are La intersección defirst-degree sus trayectorias depende sólo deoflast. curvas by r t and u t), while collision depends on the parameterizations. trazadas por r(t) y u(t) en tanto la colisión depende de ulat). parame95. Two particles travel along the space curves The r t) and 96. trización. The vector-valued function r t t2 i t sin t j t cos t k intersection of their paths depends only on the curves traced out lies on the paraboloid x y2 2 z2. and u t),vectorial while collision sen 96. by Lar tfunción rstd 5depends t i 1 t on sinthe t j parameterizations. 1 t cos t k se encuentra en el paraboloide x 5 ry 2t 1 zt22. i t sin t j t cos t k 96. The vector-valued function Slies E on C TtheI O N P RxO J yE2 C zT2. paraboloid

PROYECTO DE TRABAJO

Witch of Agnesi SECTION PROJECT In Sectionde 3.5, you studied a famous curve called the Witch of Bruja Agnesi

Agnesi. In project you will take a closer look at this function. Witch ofthis Agnesi En la sección 3.5 se estudió una curva famosa llamada bruja de

Consider a circle of radius a centered on the y-axis at 0, a . Let En3.5, esteyou proyecto se profundiza sobre esta función. InAgnesi. studied a famous Witch and of be a point on the horizontal line y curve the origin, A Section 2a, letcalled O be the Considérese un círculo de radio acloser centrado enatelthis punto (0, a) del Agnesi. In this project you will take a look function. let B be the point where the segment OA intersects the circle. A eje y. Sea A un puntoofenradius la recta horizontal origen yB 5 2a, circle on ythe axisO atel 0, a centered a . Let pointConsider Witch of Agnesi if P lies ony-the horizontal line P is onathe el punto donde el segmento OA corta el círculo. Un punto P está be a point on on thethe horizontal let. O be the origin, anden Athrough 2a, A vertical line line ythrough B and la bruja si P se the encuentra en OA la recta horizontal travésAde let theAgnesi point where segment intersects the acircle. B be de (a)y Show that the point Através is traced out by the vector-valued function B en vertical de A. point is recta on the Witchaof Agnesi if P lies on the horizontal line P la through oncot vertical linedescrito A. la función vectorial 0 through rA B and 2a i A2aj, <
0 < out
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CAPÍTULO 12


12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales n n

Derivar una función vectorial. Integrar una función vectorial.

Derivación de funciones vectoriales En las secciones 12.3 a 12.5 se estudian varias aplicaciones importantes que emplean cálculo de funciones vectoriales. Como preparación para ese estudio, esta sección está dedicada a las mecánicas de derivación e integración de funciones vectoriales. La definición de la derivada de una función vectorial es paralela a la dada para funciones reales. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL La derivada de una función vectorial r se define como rst 1 Dtd 2 rstd Dt→0 Dt

r9 std 5 lím lim

para todo t para el cual existe el límite. Si r9(t) existe, entonces r es derivable en t. Si r9(t) existe para toda t en un intervalo abierto I, entonces r es derivable en el intervalo I. La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales.

NOTA

Además de la notación r9 std, otras notaciones para la derivada de una función vectorial son

Dt frstdg,

d frstdg, y dt

dr . dt

n

La diferenciación de funciones vectoriales puede hacerse componente por componente. Para ver esto, considérese la función dada por r std 5 f stdi 1 gstd j. Aplicando la definición de derivada se obtiene lo siguiente. r9std 5 lim lím

Dt→0

5 lím lim

f st 1 Dtd i 1 gst 1 Dtd j 2 f stdi 2 g std j Dt

5 lim lím

53 f st 1 DtDtd 2 f std4i 1 3 gst 1 DtDtd 2 gstd4 j6

Dt→0

z

r(t + ∆t) − r(t)

Dt→0

r′(t) r(t + ∆t)

5

r(t) y

x

Figura 12.8

r st 1 Dtd 2 r std Dt

f st 1 Dtd 2 f std gst 1 Dtd 2 gstd lim 3 lím 3 46i 1 5 lim 46 j 5 lím Dt Dt Dt→0

Dt→0

5 f9 std i 1 g9std j Este importante resultado se enuncia en el teorema de la página siguiente. Nótese que la derivada de la función vectorial r es también una función vectorial. En la figura 12.8 se ve que r9 std es un vector tangente a la curva dada por rstd y que apunta en la dirección de los valores crecientes de t.

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SECCIÓN 12.2

Derivación e integración de funciones vectoriales

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TEOREMA 12.1 DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES 1. Si rstd 5 f std i 1 gstd j, donde ƒ y g son funciones derivables de t, entonces r9 std 5 f9std i 1 g9 std j.

Plano.

2. Si rstd 5 f std i 1 gstd j 1 h stdk, donde ƒ, g y h son funciones derivables de t, entonces r9 std 5 f9std i 1 g9 std j 1 h9 stdk. y

Espacio.

r(t) = ti + (t 2 + 2)j

EJEMPLO 1

6

Para la función vectorial dada por r(t) 1 ti 1 (t2 1 2)j, encontrar r9(t). Entonces bosquejar la curva plana representada por r(t) y las gráficas de r(1) y r9(1).

5

r′(1)

4

(1, 3)

3

Derivación de funciones vectoriales

Solución Derivar cada una de las componentes base para obtener

r(1)

r9(t) 5 i 1 2tj

Derivada.

1 x −3

−2

−1

Figura 12.9

1

2

3

Del vector de posición r(t), se pueden escribir las ecuaciones paramétricas x 5 t y y 5 t2 1 2. La ecuación rectangular correspondiente es y 5 x2 1 2. Cuando t 5 1, r(1) 5 i 1 3j y r9(1) 5 i 1 2j. En la figura 12.9, r(1) se dibuja iniciando en el origen, y r9(1) se dibuja en el punto final de r(1).

Derivadas de orden superior de funciones vectoriales se obtienen por derivación sucesiva de cada una de las funciones componentes.

EJEMPLO 2

Derivadas de orden superior

Para la función vectorial dada por rstd 5 cos ti 1 sen sin tj 1 2tk, hallar a) r9 std c) r9 std ? r0 std

b) r0 std d) r9 std 3 r0 std

Solución a) r9 std 5 2sin sen ti 1 cos tj 1 2k b) r0 std 5 2cos ti 2 sen sin tj 1 0k 5 2cos ti 2 sen sin tj

||

Primera derivada.

Segunda derivada.

||

c) r9std ? r0 std 5 sen sin t cos t 2 sen sin t cos t 5 0 i j k d) r9 std 3 r0 std 5 2sin sen t cos t 2 2cos t 2sin sen t 0 cos t 2 2sin sen t 5 i2 2sin 0 2cos t sen t 5 2 sen sin ti 2 2 cos tj 1 k

|

Producto escalar.

Producto vectorial.

| |

|

sen t 2 2sin cos t j1 k 0 2cos t 2sin sen t

En el inciso c) nótese que el producto escalar es una función real, no una función vectorial.

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CAPÍTULO 12


La parametrización de la curva representada por la función vectorial r共t兲 ⫽ f 共t兲 i ⫹ g共t兲j ⫹ h 共t兲k es suave en un intervalo abierto I si f⬘, g⬘ ,y h⬘ son continuas en I y r⬘ 共t兲 ⫽ 0 para todo valor de t en el intervalo I. EJEMPLO 3

Intervalos en los que una curva es suave

Hallar los intervalos en los que la epicicloide C dada por r共t兲 ⫽ 共5 cos t ⫺ cos 5t兲i ⫹ 共5 sen sin t ⫺ sen sin 5t兲j, 0 ≤ t ≤ 2␲

y 6 4

es suave.

t=π 2

Solución La derivada de r es

2

t=0

t=π −6

−4

x

−2

2 −2 −4

4

t = 2π

6

t = 3π 2

−6

r(t) = (5 cos t − cos 5t)i + (5 sen t − sen 5t)j

La epicicloide no es suave en los puntos en los que corta los ejes Figura 12.10

sin t ⫹ 5 sen sin 5t兲i ⫹ 共5 cos t ⫺ 5 cos 5t兲j. r⬘ 共t兲 ⫽ 共⫺5 sen En el intervalo 关0, 2␲兴, los únicos valores de t para los cuales r⬘ 共t兲 ⫽ 0i ⫹ 0j son t ⫽ 0, ␲兾2, ␲, 3␲兾2, y 2␲. Por consiguiente, se concluye que C es suave en los intervalos

冢0, ␲2 冣, 冢␲2 , ␲冣, 冢␲, 32␲冣,

y

冢32␲, 2␲冣

como se muestra en la figura 12.10. NOTA En la figura 12.10, nótese que la curva no es suave en los puntos en los que tiene cambios abruptos de dirección. Tales puntos se llaman cúspides o nodos. I

La mayoría de las reglas de derivación del capítulo 2 tienen sus análogas para funciones vectoriales, y varias de ellas se dan en el teorema siguiente. Nótese que el teorema contiene tres versiones de “reglas del producto”. La propiedad 3 da la derivada del producto de una función real w y por una función vectorial r, la propiedad 4 da la derivada del producto escalar de dos funciones vectoriales y la propiedad 5 da la derivada del producto vectorial de dos funciones vectoriales (en el espacio). Nótese que la propiedad 5 sólo se aplica a funciones vectoriales tridimensionales, porque el producto vectorial no está definido para vectores bidimensionales.

TEOREMA 12.2 PROPIEDADES DE LA DERIVADA Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, w una función real derivable de t y c un escalar. 1. Dt cr t cr t 2. Dt r t ± u t r t ±u t 3. Dt w t r t wtr t w trt 4. 5. 6. 7.

Dt Dt Dt Si

r r r r

t ut rt u t r t ut t ut r t) u t r t ut w t r w t w t t rt c, entonces r t r t 0.

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SECCIÓN 12.2

DEMOSTRACIÓN


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Para demostrar la propiedad 4, sea

rstd 5 f1stdi 1 g1stdj y

ustd 5 f2stdi 1 g2stdj

donde f1, f2, g1, y g2 son funciones derivables de t. Entonces, rstd ? ustd 5 f1std f2std 1 g1stdg2std EXPLORACIÓN

Sea r(t) 5 cos ti 1 sen tj. Dibujar la gráfica de r std. Explicar por qué la gráfica es un círculo de radio 1 centrado en el origen. Calcular rspy4d y r9 spy4d. Colocar el vector r9 spy4d de manera que su punto inicial esté en el punto final de rspy4d. ¿Qué se observa? Mostrar que r std ? r std es constante y que rstd ? r9std 5 0 para todo t. ¿Qué relación tiene este ejemplo con la propiedad 7 del teorema 12.2?

y se sigue que Dt frstd ? ustdg 5 f1std f29 std 1 f19 std f2std 1 g1std g29 std 1 g19 std g2std 5 f f1st)f29 std 1 g1std g29 stdg 1 f f19 std f2std 1 g19 std g2stdg 5 rstd ? u9 std 1 r9 std ? ustd. Las demostraciones de las otras propiedades se dejan como ejercicios (ver ejercicios 77 a 81 y ejercicio 84).

EJEMPLO 4

Aplicación de las propiedades de la derivada

Para las funciones vectoriales rstd 5

1 i 2 j 1 ln tk y ustd 5 t 2 i 2 2tj 1 k t

hallar a) Dt frstd ? ustdg y

b) Dt fustd 3 u9 stdg.

Solución 1 1 a) Como r9 std 5 2 2 i 1 k y u9 std 5 2ti 2 2j, se tiene t t Dt frstd ? ustdg 5 rstd ? u9 std 1 r9 std ? ustd 1 5 i 2 j 1 ln tk ? s2ti 2 2jd t 1 1 1 2 2 i 1 k ? st 2 i 2 2t j 1 kd t t 1 5 2 1 2 1 s21d 1 t 1 531 . t

1

1

2 2

b) Como u9 std 5 2ti 2 2 j y u0 std 5 2i, se tiene

|| | ||

Dt fustd 3 u9 stdg 5 fustd 3 u0 stdg 1 fu9 std 3 u9 stdg i j k 5 t 2 22t 1 10 2 0 0 22t 1 t2 1 t 2 22t 5 i2 j1 k 0 0 2 0 2 0 5 0i 2 s22dj 1 4tk

| | |

5 2j 1 4tk. NOTA Hacer de nuevo los incisos a) y b) del ejemplo 4 pero formando primero los productos escalar y vectorial y derivando después para comprobar que se obtienen los mismos resultados. n

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CAPÍTULO 12


Integración de funciones vectoriales La siguiente definición es una consecuencia lógica de la definición de la derivada de una función vectorial.

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL 1. Si rstd 5 f stdi 1 gstdj, donde f y g son continuas en fa, bg, entonces la integral indefinida (o antiderivada) de r es

E

rstd dt 5

3Ef std dt4i 1 3Egstd dt4 j

Plano.

y su integral definida en el intervalo a ≤ t ≤ b es

E

b

3E

4 3E gstd dt4 j.

b

rstd dt 5

a

b

f std dt i 1

a

a

2. Si rstd 5 f stdi 1 gstdj 1 hstdk, donde f, g y h son continuas en fa, bg, entonces la integral indefinida (o antiderivada) de r es

E

rstd dt 5

3Ef std dt4i 1 3Egstd dt4 j 1 3Eh std dt4k

Espacio.

y su integral definida en el intervalo a ≤ t ≤ b es

E

b

3E

b

rstd dt 5

a

a

3E

b

4

f std dt i 1

a

4

g std dt j 1

3E

b

4

h std dt k.

a

La antiderivada de una función vectorial es una familia de funciones vectoriales que difieren entre sí en un vector constante C. Por ejemplo, si rstd es una función vectorial tridimensional, entonces al hallar la integral indefinida erstd dt, se obtienen tres constantes de integración

E

f std dt 5 Fstd 1 C1,

E

g std dt 5 G std 1 C2,

E

h std dt 5 H std 1 C3

donde F9 std 5 f std, G9 std 5 g std, y H9 std 5 h std. Estas tres constantes escalares forman un vector como constante de integración,

E

rstd dt 5 fFstd 1 C1gi 1 fG std 1 C2g j 1 fH std 1 C3gk 5 fFstdi 1 G std j 1 H stdkg 1 fC1i 1 C2 j 1 C3kg 5 Rstd 1 C

donde R9 std 5 rstd. EJEMPLO 5

Integración de una función vectorial

Hallar la integral indefinida

E

st i 1 3jd dt.

Solución Integrando componente por componente se obtiene

E

st i 1 3jd dt 5

t2 i 1 3tj 1 C. 2

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SECCIÓN 12.2


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El ejemplo 6 muestra cómo evaluar la integral definida de una función vectorial.

Integral definida de una función vectorial

EJEMPLO 6

Evaluar la integral

冕

1

冕冢 1

r共t兲 dt ⫽

0

3 ti ⫹ 冪

0

冣

1 j ⫹ e⫺t k dt. t⫹1

Solución

冕

1

冢冕

冣冢冕

1

r 共t兲 dt ⫽

0

0

⫽

冣冢冕 e dt冣k

1

1 dt j ⫹ t⫹1

t1兾3 dt i ⫹

0

冤冢34冣 t 冥

1

4兾3

0

冤 ⱍ

⫺t

0

ⱍ冥 0 j ⫹ 冤 ⫺e⫺t冥 0 k 1

i ⫹ ln t ⫹ 1

冢

1

1

冣

3 1 ⫽ i ⫹ 共ln 2兲 j ⫹ 1 ⫺ k 4 e Como ocurre con las funciones reales, se puede reducir la familia de primitivas de una función vectorial r⬘ a una sola primitiva imponiendo una condición inicial a la función vectorial r., como muestra el ejemplo siguiente.

La primitiva de una función vectorial

EJEMPLO 7

Hallar la primitiva de r⬘ 共t兲 ⫽ cos 2ti ⫺ 2 sen sin tj ⫹

1 k 1 ⫹ t2

3i ⫺ 2j ⫹ k. que satisface la condición inicial r共0兲 ⫽ 3i Solución r共t兲 ⫽ ⫽ ⫽

冕冢冕

r⬘ 共t兲 dt 1 sin t dt冣 j ⫹ 冢冕 dt k 冣冢冕 ⫺2 sen 1⫹t 冣

cos 2t dt i ⫹

2

sin 2t ⫹ C 冣i ⫹ 共2 cos t ⫹ C 兲j ⫹ 共arctan t ⫹ C 兲k 冢12 sen 1

2

3

Haciendo t ⫽ 0 usando el hecho que r共0兲 ⫽ 3i ⫺ 2j ⫹ k, se tiene r共0兲 ⫽ 共0 ⫹ C1兲i ⫹ 共2 ⫹ C2兲j ⫹ 共0 ⫹ C3兲k ⫽ 3i ⫹ 共⫺2兲j ⫹ k. Igualando los componentes correspondientes se obtiene C1 ⫽ 3,

2 ⫹ C2 ⫽ ⫺2,

y

C3 ⫽ 1.

Por tanto, la primitiva que satisface la condición inicial dada es r共t兲 ⫽

sin 2t ⫹ 3冣i ⫹ 共2 cos t ⫺ 4兲j ⫹ 共arctan t ⫹ 1兲k. 冢12 sen

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Chapter CAPÍTULO FuncionesFunctions vectoriales Chapter1212 12Vector-Valued Vector-Valued Functions Chapter 12 Vector-Valued Functions Chapter 12 Vector-Valued Functions Chapter 12 Vector-Valued Functions Chapter 12 Vector-Valued Functions

Exercises forfor worked-out solutions to to odd-numbered exercises. 12.2 Exercises www.CalcChat.com worked-out solutions odd-numbered exercises. 12.2 Ejercicios SeeSeeSeeSeewww.CalcChat.com 12.2 Exercises www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 12.2Exercises Exercises www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered 12.2 See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 12.2 See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. exercises. InInExercises 1–8, sketch the curve represented bybythe Exercises 1–8, theplane plane curve represented the En los ejercicios 1 asketch 8, dibujar la curva plana representada por vector-valued function, and sketch the vectors and for r t r tby In Exercises 1–8, sketch the plane curve represented the In Exercises 1–8, sketch the plane curve represented the 0by In la Exercises 1–8, sketch the plane represented the vector-valued function, and sketch the vectors r t In Exercises 1–8, sketch the plane curve by the función vectorial y dibujar los curve vectores para el rrepresented xt0rc0 ty0 rand 9 xtby c 0 for 0 the given value of Position the vectors such that the initial t . vector-valued function, and sketch the vectors and for r t r t vector-valued function, and sketch the vectors and for r t r t 0 vector-valued function, and sketch the vectors and for r t r t 0 0 0 inithe given of t0. Position such vector-valued and thedevectors and t00that r0 tinitial 0r que valor dado value de tfunction, los sketch vectores manera el the punto 0. Colocar 0 for of isof the and the initial point ofthat isisatinitial the r rt0value rthat thegiven given value ofPosition Position the vectors such the initial t.0.origin the of Position vectors such ttel0origin thepoint given the vectors such that initial ten point isatat and the initial point at rxtt00ctthe the given of Position the vectors such that the initial 0.the cial deof y el punto inicial deof enthe el rvalue xt0value ct0esté r9the 0esté 0. origen terminal point What isisthe relationship between t0 torigin . origin rat tthe point of isof atrthe the and the initial point oftbetween isthe at ris t0atis ris t0atis point of is at the origin and the initial point of is at r t r t 0the point of the origin and the initial point of r t r 0 0 terminal point of What the relationship r . r t0 point of at and the initial point of r t r t 0 0 punto final0de r xt0c. ¿Qué relación hay entre r9 xt0c y la0 curva?the 0 and the curve? terminal point What therelationship relationship between terminal point isisthe between terminal point of rof is the relationship between t0rrr. ttWhat r tr0 r tt00t0 0t0.. .What and the curve? terminal point ofof 0 What is the relationship between r and the curve? the curve? andand the curve? 2 and curve? 1.1.r the rt t t ti2 i tj,tj, t0 t0 2 2 2 1. r t i 2tj, tj, 1.trrrt tt t ititt 22t 2ii tj, 1. 2.r1. t t0t02 22 2. r t ti t tj, t2 0 1t10j, j, t20 t0 1 1 2 2 2 2. r2. 2.2.t rrrtt tti ti titit 1tt2t1 j,111j, j,tj,0 tt0t01 111 3.3.r rt t t 2ti2 i 1j, j, t0 t 2 02 1 t 1 11t j, t0 2 22 3. r3. 3.3.t rrrtt tt i tt 2t ii it j, t tj, j,t0 tt0 02 222 4.4.r rt t 1 1 t itt i t 3tj,30j, t0 t 1 1 0 3 3 3j, t t 4. r4. 4.4.t rrrtt t 1 111t i tt tii ti j, tt 3tj, j,t0 t00 01 111 5.5.r rt t cos costi ti sen sentj,tj, t0 t0 2 5. r t cos ti sentj, r t cos ti sen 5. r5. t0 tt00t0 22 t cos ti sen tj, 5. r t cos ti sen tj,tj, 2 22 6.6.r rt) t) 3 3sen senti ti 4 4cos costj,tj, t0 t0 2 costj, 333sen 444cos 6. r6. t tt0t0 2 tisenti tj, 6.6.t)rrrt) t)t)3 sen sen titi4 cos cos tj,tj, 7.7.r rt t et,ete,2te2t, , t0 t 0 0 0 0 2 222 0 2t 7.t rrt t et, ee2tttet,t,e, 2t et 2tt, , t t0 00 7. 8.r7. 7. 8.rrrt tt eee,, ete, e,t,0, tt000t00 000 t tt t t t 8. r8. 8.8.t rrrtt t e ,eeee t,,,,eete t,,0, tt00t00 000 InInExercises 9 9and 10, (a)(a)sketch the curve represented byby and thespace En Exercises los ejercicios 9 y10, 10, a)sketch dibujar laspace curvacurve en elrepresented espacio reprevector-valued function, and (b) sketch the vectors and r t In Exercises 9 and 10, (a) sketch the space curve represented In Exercises 9 and 10, (a) sketch the space curve represented by 0 Inthe Exercises 9 and 10, (a) sketch the space curve represented by theExercises vector-valued function, and the (b) sketch thelosvectors r t0r xtand In 9 and 10, (a) sketch curve represented sentada por la función vectorial, y b)space dibujar vectores y cby 0by for the given value ofand t0 t vector-valued t0.tand the vector-valued function, and (b)sketch sketch thevectors vectors and rand t0 and the vector-valued function, and (b) sketch the vectors and r t therrthe function, (b) sketch the vectors r t 0 for the given value of r9vector-valued . function, (b) the r t 0 xt00c para el valor dado de t00. 0 forthe thegiven given value oft t..0. value tt0t0 for the given value of tof r trr0 r for 0. t0 0 for the given value of 0 33 3p 9.9.r rt t 2 2cos ti 2 sin tj costiti1 22sen sintjtj1tk, tk, t0t0t035 233 9. r std 5 2 cos sin tk, 9. t r t 2 cos ti 2 sin tj tk, 9. t r t 2 cos ti 2 sin tj tk, 9. r9.t r t 2 cos t t0 0 322 ti 2 ti 2 sin tj tj tk, tk, 2 cos 32 sin 10. t0 t 2 2 0 0 2 222 33 10.rrrtstdt 5tititi1t ttj22jj12k, k, k, t 5 2 10. 223 00 2 2 23 3 k, t t 10. 10. r10.t rrrtt tti ti 2 t0 t0 02 2 10. titit j tt 2tjj 2j k, 322k, k, 22 0 InInExercises 11–22, find r t Exercises 11–22, find r .t . En los ejercicios 11 afind 22, Exercises 11–22, find In 11–22, In Exercises 11–22, find r trrhallar .r tt t.. . r9 xtc. 3i 11–22, InInExercises Exercises find 11. 12. t it i 1 1 t3 t3j j r t t 3tj 3 11. r t 12.r rt t t i 3tj 3 3 3 3 i t,3tj 3tj 11. 12. 3tj t tii i1t, 1121t3sen 11.13. 12.14. r12.t rrt t t it cos r11.t rrt tt i t3ti 3tj jtt33t tjj j 11. 12. 13.rrrt tt 2t 2icos 14.rrrt tt cos t,5 5sen sent t tt cos t, 2 sen t 3k t,j552 5sen 13. 22cos cos t,2sen sen t3t 14. 14. tt tcos 22sen sen 13.15. r13.trrrtrtt t 26ti cos t,cos 5 t, tsen r14.t rrrtt t t cos t,cost, 2t, sen tsentt t 7t t 13. 14. 2 t cos t, 2 15. r t 6ti 7t j t k 3k 6ti7t 2j7t 6ti 7t7t22jj2tj3 kttt233tk 15. 15. r15. t rrrtt t6ti16ti 2 15. 1i 16tj tkk 16. r t 2 16. r t 1 t 11 i 16tjt 2 2t 2t 2k i 16tj 16tj kt2 k 16. kk 16. 16. r16.t rrrtt t i 1ttii 16tj t a ttcos 3 t316tj 2 2223 tj 17. r t i 17. r t a cos t i a asen sen3 tj k k 3 tj 2 33 3 cos 3 sen 17. aacos at ajsen tj k kk 17.18. r17.t rrt ta cos tj 33 tj t titi 3i tt iittai2tsen 2a 17. sen 18.rrrt tt 4a4cos t j ln lnt tk2kk 2 2 2 2 2 lnt 2tkk j tln 18. tt tjjtln 18.19. r18.t rrt t4 4t4ti t ti ti2 tt 2tt j 5te k 18. 19.rrrt tt e4e ittii 4j4j 5tekt kln t k ti tk t t t t 3 19. r t e 4j 5te 19. 4j 5te 3t 5te k 19.20. r t r t e ei t ii 4j3t,4j k tk 19. 20.rrrt tt te ,t3cos , cos 3t,sen sen5te 3t 3 3 t3 r t t 20. , cos 3t, sen 3t 20. r t , cos 3t, sen 3t 3 r t t 20.21. , cos 3t, sen 3t t, t,t3t, cos t, t,t3tt 20. cos sen 21.rrrt tt t tsen t ,sen t cos tcos 21. tt tsen sen t,t,t,ttarccos cos t,t,ttt,t 0 21.22. r21.trrrtrtt t t sen t,sen t cos t,cos t t, arcsen 21. t, arcsen t, arccos t, 0 22. r t arcsen arccos arcsen t,t,arccos arccos t,t,000 r22.t rrrtt t arcsen t, arccos t, 0 t, 22. 22. arcsen t, 22. InInExercises Exercises23–30, 23–30,find find(a)(a)r rt ,t (b) , (b)r r t ,t and , and(c)(c)r rt t r r t .t . In Exercises 23–30, find (a) (b) r t , r t r. 0(t). In Exercises 23–30, find (a) (b) and r t , r t , tt t.. . In Exercises 23–30, find (a) (b) and (c) r t , r t , rt ?trrr0 1 23 3 23–30, 2 afind In Exercises and (c) r t a) , (b) r b) t , ,r0 0and r99(t), (t) (c) yr(c) c)trrrr99tt(t) En los ejercicios 30, (a) hallar 23. 23.r rt t t ti 3i 2t1121tj2 j 3 2 23. 23.24. r23.t rrt tt 3i t233ti 1i t 2 j1t 22tj j 2 23. 24.rrrt tt tt ti22 t 22itt2 ij t t 2 t jt j 2 2 24. t 22t 2t j t tj j r24.t rrt t t 2 tt 2t t ititt tii it42 sen 24.25. 24. 25.rrrt tt 4 4cos cos ti 4tsentjtjt j sentjtj 25. 44cos 44sen 25.26. r25.t rrt t4 cos ticostiti4 sen tj 25. cos sen cost itit i 343sen 26.rrrt tt 848cos sentjtjtj 1 828cos sentjtj 26. 313sen r26.t rrt t8 cos i tttjiit 3i sen 26.27. 1 it2cos 13tj 26. i tj 36t1sen tk3ktj 27.rrrt tt 2 81t21tcos 1 2 1 2t 2 i 1 3 1613t 3k r t tj 27. 27. r t r t t i t 2 i tj tj t k t 3k 27.28. 27. 28.rrrt tt 2 ti22ti2t i 2t2ttj 6 3 3j66t6j k 3t3t 5 5k k 2t3 j 333t, 5k k j j3t 3t 28. r28.t rrt tti ti 2tt 2t 28.29. 28. titicos 3tt3t5t kt55cos t2t t sen t senj t,sen sen t kcost, t,t t 29.rrrt tt cos t 2 r t cos t t sen t, sen t t cos 29. tt sen t, tt cos 29. r t r t coscos t t t sen t tt t cos t, t t, 29.30. tt,tsen 29. sen t, sen sen cos t,t,tt t 30.rrrt tt ecos e , tt,t t, 2tan , tan t 2 t 2 ,tt 2t,, ,tan 30. 30. r30.t rrrtt t e t,eete2t,,, tan ttantt t 30. tan

InInExercises 3131and 32, a avector-valued function and itsitsgraph and graph EnExercises los ejercicios 3132, y 32vector-valued se dan una function función and vectorial y su are given. The graph also shows the unit vectors rgraph t0 t r t In Exercises 31 and 32, a vector-valued function and In Exercises 31 and 32, a vector-valued function and its In Exercises 31The and 32, 32, atambién vector-valued andand its are given.La graph also shows thefunction unit rgraph r 0graph t0/its In Exercises 31 and a vector-valued function its graph gráfica. gráfica muestra losvectors vectores unitarios / 0 and Find these two unit vectors and t0 t graph . graph t / rThe arergiven. given. also shows the unit vectors rthem are the unit vectors rr0 unitatt0t0 are graph shows the unit vectors ridentify trr0 r/ tt00rt0// t/them and these unit vectors and identify rThe are also shows the unit vectors estos dos vectores rgiven. 9 xt0given. cr/ 0 tThe r09 x/tThe r.0Find xalso t0c/also r0 xshows t0ctwo . Hallar 0ygraph 0 0c on and Find these two unit vectors and identify them t0/ /trr .t0tFind and these vectors identify them ttgraph. and these twotwo unitunit vectors andand identify them rthe trr0ergraph. 0 . .Find 0r on the /identificarlos and these two unit vectors and identify them rios en la gráfica. 0 / r0 t0 . Find onthe thegraph. graph. on the graph. on on the graph. 1 2 31. 2 4 1 31.r rt t cos cos t it i sen sen t jt j t tk, k, t0 t0 2 1 1141 3 cos 122t k, 2t ti sen t t j t tj tj 2 k, 31. t r t cos i sen k, 31. t r t sen t 31.32. t r t cos t i 3 1 0 ti ti t ttj2ij esen 31. 32.rrrt tt 2 cos e kt ,k ,t tj0 t t4 k,0 t00 4 44 4 3 3323 ti2 z 2t 2j t e t t k , t01 1141 z 32. r t 32. ti t j tt 2zjj e eek ,t k k t,,0 tt0 04 4 4 32. 32. r t rr tt 2 ti 2 2ti z

||

||

||

2

1

1

0

zz z

z 1

||

1 11 1

1 1 1 1 x Figure 1 for 31

1

1 1 1 1

y y

y yy y

4

z zz z 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 12 1 1 2 2 2 2 x

2 2

y

2 2y 2 2

y y yy

1 Figure Figure for 31 Figurefor for3232 Figura para Figura para Figure for31 3131 Figure for32 3232 Figure for 31 Figure for 32 Figure for for 31 Figure for for 32 Figure Figure InInExercises 33–42, find the open interval(s) on which the Exercises 33–42, the openelinterval(s) on which thecurve curve En los ejercicios 33 find afind 42,the hallar (los) intervalo(s) abierto(s) en byby the vector-valued function is smooth. InExercises Exercises 33–42, find the open interval(s) onwhich which thecurve curve In Exercises 33–42, open interval(s) on which the curve Ingiven Exercises 33–42, findfind thethe open interval(s) on which thethe curve given the vector-valued function is smooth. In 33–42, open interval(s) on que la curva dada por la función vectorial es suave. given by the vector-valued function is smooth. given by the vector-valued function is smooth. given by by thethe vector-valued function is smooth. given vector-valued function is smooth. 11 2 3 33. 34. 33.r rt st d 5t ti2 i 1t tj3j 34.r rt st d 51t 11 i i 13tj3tj 2 3 1i 1 i 3tj t2 i 3tj 3tj 34. 33. 33. r33.t rrrtt tt 2 i tt 22t ii ti3j3 tt 33tjj j r34.t rrrtt t 3 j34. 34. 33. 35. r 2 cos 33 i i 3 3sinsin 3 t tt 1t 111i 3tj 35. cos3 3u i 1 33sen sin333ujj 35. rr sud 5 22 3cos cos 35. 222cos 333sin jj j 35.36. r35.rrrr 2 cos i3 ii 3i i sin j3 cos sin 1sin j 35. cos sin 36. sen sin udii 1 s11 2 cos cos udjj 36. rr sud 5 su 1 sin 36. r sin i 1 cos 36. r sin i 1 cos 36.37. r rr sin2sin i i i 1 11coscos sin 2 jcosjj j j j 36. 37. sen udii 1 s11 2 22 cos sin cos udj 37. rr sud 5 su 2 22 sin 2 sin cos 222sin 222cos 37. 37. r37. rrr 2 sin i 2tii i122 1112 cos j jj j 1 2t2t 37. sin cos 2t 38. r rt t t t 1 1i i 1j j t 2tk2k rt 2t3 i i 2 2t232 j j 39. 38. 39. 2t 2t 8 t t i 1 j 38. rr sttd 582t8 2t 2t 2 3 3 1 t 11 1 tt 33ii i 2t 882t 1 tt 33jj j39. 39. 38. 39. k2k 38. 38. r39.t rrrtt t t tt 1t i 111ii i j 1ttjj tj2k tt 22tk r38.t rrrtt t t 882t 3 i t3 3 j t3 t 8 t t 8 tt tk 8 3 3 8 t t tan 8 t 40. 41. r t e r t ti 3tj i e j 3tk t t 8 t 8 t 40. r t 41. r t e i e j 1 3tk 2 tit 3tj2t tan tk t j3tk 2 t 1k i 23tj e tan j1 3tk 39. 40. 3tj tan j 3tk 40. 41. tieti3tj tan tktk jt 3tk 40.42. 41. r40. t rrrst ttdet5 r41.t rrrrstttdtti5 ti tk i estteti ei2 t 1ej editt21 1 41. 40. 3tj tan tk 42.rrrt t t e ti it i e t jt 2 t13tk 1j j 4tk tk 41 1 2 1 2 2 t 2t1 j 11j j tk 1 tk 42. tk r t t i r t t i 42. 42. r t t i t 4 41. rr sttd 5 ti t2i 3tj t1 tan 42. 1 tk j 4 44tk InInExercises 4343and 44, use the properties of the derivative to 1 properties of the derivative to Exercises and use the 2 44, ! r s t d 5 t i 1 s t 2 1 d j 1 42. 4 tk the following. In Exercises 43 and 44, use the properties thederivative derivative In Exercises 43 and 44, use the of Infind Exercises 43 and 44, use the properties of the derivative to to find the following. In Exercises 43 and 44, use the properties properties ofofthe the derivative toto find the following. the following. findfind the following. Enr los usar las propiedades derivada find the ejercicios following. 43(b)y 44, (a) (c)(c)DtD[r[rt tdeula (a) (b)r rt t rtencontrar t ut ]t ] t para lo siguiente. (a) (b) (c) r t r t D [ r t u t] ] (a) (b) (c) r t r t D [ r t u t (a)(d) (c) (c) r t t t r t D [rt [ttt[rtr ttu],t u] tt > u ut ]t(b) (a) (b) (d)DrtD[3r (e)DrtD[rt [trt t u ut ]t ] (f) (f)tDD ] (e) Dt [ r t ], t] >0 0 tt[c3r t a) b) c) r 9 x r 0 x t c D [ r(t c u x t c] (d) (e) DD[r[rt t u]utt t]](f) [3rtt tu t u ] (f) D ]] ] (e) (d) (d) D [3r D(f)[ D rDt [t [r]r,t t?]t,],> t 0t>>00 t [[tt3r 2Dt [rDttt[tr t u t u (d) DtD u]utt t(e) tr t 3r ti 43. 3tj t(e) k,2 u t 4ti t 2(f) j 2t Dttt3[tk3r t ], t > 0 43. d) Drt [t3rxtc ti2 ux3tj tc] e)t2 2k,Dt [ruxtct 3 u4ti x tc] t2f)2j Dt [t3 3krxt) ] , t > 0 3tjt 2k,t 2tk,k, t4ti 4ti 4tit 2j t 2tj tj3k t 3tkk 43. uutttk, 43.44. r43.t rrt tti titi3tj 3tj u tu 43. 44.rrrt tt tititi 23tj 2sinsintjtjt 2k,2 2cos cos tk, 4ti t 2j t 3k 43. ti 1 23tj 1tjtjt2 k, ucos stdtk, 5 4ti 1 t j 1 t k tk, 222cos 44. 44. r44.t rrrrsttttdti51ti tjsin tk, 44. ti1ti2 sin 22sin sin tj cos cos tk, sin cos tk, 44.u urt std15t 1tii1 i1 222sin sen sintjtjtj1 222cos costk tk 1t costk 222sin 222cos u tu tjsintj tk uutt t t i t1tii 2i sin sin tjtj2 cos cos tktk uExercises std 5 t i 14545 2 sen sin tj 146, 246, cosfind tk InIn Exercises and t t u ut ]t ] and t [r[r and find (a) (a) DD and t t in two different ways. r t u t D [ ] [ In Exercises 45 and 46, find (a) and D [ ]] ] and In Exercises 45 and 46, find (a) D r t [ In(b) Exercises 45 and 46, find (a) D r t t t (b) DExercises ways.(a) t Dt [rrttut t u u t 45 ] in two In anddifferent 46, find and u]utt tand t [r t a)ways. D [rxtc ? uxtc] y b) Dt[rxtc 3 uxtc] En los ejercicios 45 ytwo 46,different hallar (b) in two different ways. r t u t D [ ] (b) in two different ways. r t u t D [ ] t (b)(i) in two different ways. r t u t D [ ] t t Find the product first, then differentiate. (b) in r t u t D [ ] t t (i) Find the product first, then differentiate. en dos diferentes formas. (i)Apply Find theproduct product first, then differentiate. Find first, then differentiate. (i)(ii)(i) Find thethe product first, then differentiate. the properties ofofTheorem 12.2. (i) Find the product first, then differentiate. (ii) Apply the properties Theorem 12.2. i) Hallar primero el producto y luego derivar. (ii) Apply the properties of Theorem 12.2. Apply the properties of Theorem 12.2. (ii) (ii) Apply the properties of Theorem 12.2. 2 3 4 12.2. (ii) Apply the properties of Theorem 45. r t ti 2t j t k, k u t t 2 3 4 ii) Aplicar las propiedades del teorema 45. r t ti 2t j t k, u t t k 12.2. 4 2 2 j3 3t 3k, 2 2t 4 t4 45. r t ti 2t u t 45. r t ti j t u t 22sin 33k,u t tk, 4t4kk 45.46. r t ti 2t j t k, k t r t cos t i t j u t 45. r t ti 2t j t k, u t t 45. rrsttd 5 cos ti 1t i2t j sin 1 tt jk, t uk,std 5 46. u tt kkj j tktk i 1 sin sin tk, k, j 1 tk tk 46. 46. r46.t rrrrsttttdcos tcos i tttiitisin tsen j tttjjtjtj k, u tu 46. 5 cos cos sin 1 tttk, tk 46. cos sin k, uuusttttdj 5 jjjtk tk InInExercises Exercises4747and and48, 48,find findthe theangle angle between betweenr rt tand andr rt tasas function of Use a graphing utility to graph t. .trand In Exercises 47 and 48, find the angle between r t rasthe In Exercises 47 and 48, find the angle between and as r t tt tfunEn los ejercicios 47 y hallar el ángulo entre y u r x t c InaExercises 47 and 48, find the angle between and r t r9Use tcrren a function Use48, a find graphing utilitybetween to graph the .xtUse In Exercisesof 47t.and the angle asas r t and to find any extrema of the function. Find any values of t t afunction function of Use a graphing utility to graph Use the t. t . aagraph of Use a graphing utility to graph Use the t. t . ción de t. Usar una herramienta de graficación para representar a graph function of Use a graphing utility to graph Use the t. t . to find extrema of theutility function. Find anyt values of function of t.any Use a graphing to graph . Use the atgraph which the are find any extrema the function. Find any values graph toto find any extrema ofofthe the function. Find any values ofoftt t lavectors gráfica para hallar todos losFind extremos devalues la función. ugraph xtwhich cto. Usar graph find any extrema oforthogonal. the function. anyany values of tof at the vectors areorthogonal. to find any extrema of function. Find atwhich which thevectors vectors arede orthogonal. at the orthogonal. Hallar todos los valores t en que los vectores son ortogonales. at which the vectors areare orthogonal. 2 at which the vectors are orthogonal. 47. costjtj 48. 47.r rt t 3 3sinsinti ti 4 4cos 48.r rt t t it 2i tjtj 2 2 2 2 sinti ii 1tj 3333sin 4444cos 47. 48. cos sen t rrrrtt sttd i5tt 2tiit tj r47.t rrrrsttttd35 sin tisin cos tjcostj 47. 47. r48. sin tititi41 cos tjtjtj 48. 48. tjtjtj 47. 48.

|| ||

1053714_1202.qxp 10/27/08 11:48 AM Page 849 12-2.qxd 3/12/09 18:10 Page 849 1053714_1202.qxp 10/27/08 11:48 AM Page 849

SECCIÓN 12.2 Derivación e integración de funcionesFunctions vectoriales 12.2 Differentiation and Integration of Vector-Valued

849 849

12.2

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Differentiation and Integration of Vector-Valued Functions

In Exercises 49–49 52,ause of the to para find En los ejercicios 52, the usardefinition la definición dederivative la derivada r9 xtc. r9 xtc. hallar In Exercises 49– 52, use the definition of the derivative to find 5 ss3t 3t 1 1 22ddii 1 1 ss11 2 2 tt22ddjj 50. r std 5 !t i 1 3 j 2 2tk r49. 9 xtcr.rssttdd 5 49. t 3 49. 5 kts! 3t 1 2di 1 2 t 2dj 52. rstd 5 k0, sin 2,t0, i1 j 2s12tk 50. rrssttdd 5 2tl t, 4tl 51. sen t 3 i 12tl j 2 2tk 50. kt2t, 0, 51. r std 5 ! 52. rstd 5 k0, sin t, 4tl En los ejercicios 53ta 60, hallar la integral indefinida.

E EEE1 EEE311 EEE 33 EEE1 E1 E1 E EEE E E E EE E

E EE 1 EE 1 E1

rstd 5 kt253– , 0, 2tl 5 k0, sin t, 4tl 51. 52. rstdintegral. In Exercises 60, find the indefinite s2ti 1 j 1 kd dt 53. 54. s4t 3 i 1 6tj 2 4!t kd dt In Exercises 53– 60, find the indefinite integral. s12ti 1 j 1 kd dt 53. 54. s4t 3 i 1 6tj 1 2 4!t kd dt i 1 j 2 t 3y2 k dt ln ti 1 j 1 k dt 55. 56. t 1 j 1 kd dt t s2ti 53. 54. s4t 3 i 1 6tj 1 2 4!t kd dt 1 ln ti 1 j 1 k dt i 1 j 2 t 3y2 k dt 55. 56. t t 2 1di 1 4t 3j 1 3!t k dt s12t 57. 1 ln ti 1 j 1 k dt i 1 j 2 t 3y2 k3 dt 55. 56. t st2t 2 1di 1 4t j 1 3!t k dt 57. set i 1 sen sin tj 1 cos tkd dt 58. s2t 2 1di 1 4t 3j 1 3!t k dt 57. set i 1 sin tj 11 cos tkd dt 58. sec2 ti 1 j dt se2t sen sin ti 1 e2t cos tjd dt 59. 60. 1tj11t 2cos tkd dt set i 1 sin 58. 1 sec2 ti 1 j dt se2t sin ti 1 e2t cos tjd dt 59. 60. 1 1 t2 En los ejercicios 61 1a 66, evaluar la integral definida. sec2 ti 1 j dt se2t sin ti 1 e2t cos tjd dt 59. 60. 1 1 t2 In Exercises 61– 166,1evaluate the definite integral. s8ti 1 tj 2 kd dt 61. 62. sti 1 t 3j 1 !3 t kd dt 1 01 21 In Exercises 61– 66, evaluate the definite integral. 61. py2s8ti 1 tj 2 kd dt 62. sti 1 t 3j 1 !3 t kd dt 1 sin td j 1 kg dt21 63. 01 fsa cos td i 1 sa sen s8ti 1 tj 2 kd dt 61. 0 py2 62. sti 1 t 3j 1 !3 t kd dt 63. 0 fsa cos td i 1 sa sin td j 1 kg dt21 64. 63. 64.

py4 0py2

py4 0 0 02py4

65. 64. 65.

2 00 02

2 2 2

2 2 2

4 4 4

2 2 2

E E E E E E

fsfssec t tan di 1 tanttddjj 1 1 ks2g dt sin t cos tdkg dt sen a cos td i t1 sa ssin fssec t tan tdi 1 stan tdj 1 s2 sin t cos tdkg dt

EE E

3

sti fs1sec et jt tan 2 tetdtik1 d dtstan tdj 166.s2 sin i 1 ttd2kji dt 3 it t cos g dt sti 1 et j 2 te t kd dt 66. 0 it i 1 t 2 ji dt 03

xtc paraitlas En 67 te a t72, dadas. sti 1 et j 2 kd dthallar r66. i 1condiciones t 2 ji dt 65. los ejercicios In Exercises 67– 72, find rxtc for the given conditions. 0 0 2t i 1 3et j, rr99ssttdd 5 67. 2t i 1 3et j, rrss00dd 5 5 4e 4e67– 5 2i 2i given conditions. 67.Exercises In 72, find rxtc for the 22 ! r 9 s t d 5 3t j 1 6 t k, r s 0 d 5 68. 1 2j 2j 68. r9 std 5 3t j 1 6!t k, r s0d 5 ii 1 67. r9 std 5 4e2t i 1 3et j, rs0d 5 2i ! ! r 9 s 0 d 5 600 3i 1 600j, rrss00dd 5 69. 5 232j, 232j, r 9 s 0 d 5 600 3i 1 600j, 5 00 69. rr00ssttdd 5 68. r9 std 5 3t 2 j 1 6!t k, r s0d 5 i 1 2j 24cos costjtj 2 2 3sen sintk, tk, rr99ss00dd 5 5 3k, 3k, rrss00dd 5 5 4j 70. r0 std 5 24 sin 70. rs0d 5 0 4 j 5 232j, r9 s0d3 5 600!3i 1 600j, 69. rr00ssttdd 5 1 2t22 2t 1 r r 9 s t d 5 te i 2 e j 1 k, s 0 d 5 i 2 j 1 k 71. 2t icos 2 tj e2t2j 31sin k, tk,r s0rd95 j1k 71. r s0d 5 4 j 5 te24 s0d22i523k, 70. rr90ssttdd 5 12 1 1 1 2t 2t e 12j j11k, i2 71. 1d 25 2i j 1 k 1 k,r s0rds5 72. r9 std 5 te 1 i 22i 1 72. r9 std 5 1 1 t2 i 1 t2 j 1 t k, rs1d 5 2i 1 11 t t1 t1 i 1 2 j 1 k, rs1d 5 2i 72. r9 std 5 2 W R I T I N G1 1A Bt O U Tt C O NtC E P T S

73. State the definition of the derivative of a vector-valued

WRITING ABO U Tconceptos CONCEPTS Desarrollo de function. Describe how to find the derivative of a vector-

73. State definition of the derivative interpretation. of a vector-valued valuedthe function anddegive geometric 73. Definir la derivada una its función vectorial. Describir cómo function. Describe how to find the derivative of a vectorla you derivada de integral una función vectorial y dar su inter74. hallar How do find the of a vector-valued function? valued function and give its geometric interpretation. pretación geométrica. 75. The three components of the derivative of the vector-valued 74. How do you find the integral of a vector-valued function? 74. ¿Cómo la integral una función vectorial? . Describe functionseuencuentra are positive at t 5 t0de the behavior of u 75. The three components of the derivative of the vector-valued at t 5 75. Las trest0.componentes de la derivada de la función vectofunction u are positive at t 5 t0. Describe the behavior of u positivas of en the t 5 derivative t0. Describir 76. rial Theu z-son component of elthecomportamiento vector-valued at t 5 t0. de u en t 5 t0. 0 for t in the domain of the function. What function u is 76. The zcomponent of the derivative of the of vector-valued does this information about graph u? 76. La componente z de laimply derivada de the la función vectorial u es function u is 0 for t in the domain of the function. What 0 para t en el dominio de la función. ¿Qué implica esta infordoes this information imply about the graph of u? mación acerca de la gráfica de u?

In 77–84, the property. In each case, assume En Exercises los ejercicios 77 aprove 84, demostrar la propiedad. En todos los r, u, and v are differentiable vector-valued functions derivables of t in space, casos, suponer que r, u y v son funciones vectoriales de In 77–84, prove property. each case, assume w isExercises a differentiable real-valued function andcces is un a scalar. t, que w es una función real the derivable de of t,In yt,que escalar. r, u, and v are differentiable vector-valued functions of t in space, fcrstdg 5 cr9 stdreal-valued function of t, and c is a scalar. 77.is D w a tdifferentiable 78. D frstd ± ustdg 5 r9 std ± u9 std 77. Dttfcrstdg 5 cr9 std 79. D fw stdrstdg 5 w stdr9 std 1 w9stdrstd 78. Dttfrstd ± ustdg 5 r9 std ± u9 std 80. D fr std 3 ustdg 5 r std 3 u9 std 1 r9 std 3 ustd 79. Dttfw stdrstdg 5 w stdr9 std 1 w9stdrstd 81. D frsw stddg 5 r9 sw stddw9std 80. Dttfr std 3 ustdg 5 r std 3 u9 std 1 r9 std 3 ustd 82. D fr std 3 r9 stdg 5 r std 3 r0 std 81. Dttfrsw stddg 5 r9 sw stddw9std 83. D Hr std ? fustd 3 vstdgJ 5 r9 std ? fustd 3 v stdg 1 r9 stdg 5 r std 3 r0 std 82. Dttfr std 3 r std fu9 std 3 v stdg 1 r std fustd 3 v9 stdg 83. Dt Hr?std ? fustd 3 vstdgJ 5 r9?std ? fustd 3 v stdg 1 r std r std is a constant, 0. 84. If then r std ? r9 strdst5 constante, rSistdr stdf?u?9 rstsdtd3esv suna tdg 1 r std fusentonces td 3 v9 stdg d ? r9 std 5 0.

?

?

85. If Movimiento partícula se mueve r std ? rMotion std isdea una d ? in r9partícula sthe td 5xy0.-plane r stUna 84. constant, thenmoves 85. Particle A particle alongen theel plano xy represented a lo largo de laby curvathe representada por la función veccurve vector-valued function st 2 sin t1di 2 1 cos s1 moves 2 dj.the xy-plane along the 85. Particle A sparticle rtorial std 5rssttdMotion 25sin tdi sen 1 tdj.cos tin curve represented by the vector-valued functionr. a) Usar herramienta graficación paratherepresentar r. Describe (a) Use auna graphing utility todegraph curve. rstdDescribir 5 st 2 sin t d i 1 s 1 2 cos t d j. la curva. (b) Find the minimum and maximum values of ir9 i and ir0 i. r. Describe (a) Use a graphing utility to graph curve. b) Hallar los valores mínimo y máximo de ir9 ithe y ir 0 i. 86. Particle Motion A particle moves in the yz-plane along the ir 9 i 0 i. (b) Find the minimum and maximum values of and iren 86. curve Movimiento de una partícula partícula se mueve represented by theUnavector-valued functionel plano yz a lo largo de la curva representada por la función vecyz 86. rParticle Motion A particle moves in the -plane along the std 5 s2 cos tdj 1 s3 sin tdk. sen torial rstdrepresented 5 s2 cos tdj 1bys3 sin tdk. vector-valued function curve the (a) Describe the curve. 5 s2 cos la tdjcurva. 1 s3 sin tdk. ra)stdDescribir (b) Find the minimum and maximum values of ir9 i and ir0 i. (a) Describe the curve. b) Hallar los valores mínimo y máximo de ir9 i y ir0 i. 87. Consider the vector-valued function (b) Find the minimum and maximum values of ir9 i and ir0 i. 87. Considerar la función vectorial rstd 5 set sin tdi 1 set cos tdj. 87. Consider t the vector-valued function rstd 5 se sen sin tdi 1 set cos tdj. t t rstdtdand d aretdj. always perpendicular to each other. rShow std 5 that se sin i 1 rse0stcos Mostrar que rstd y r0std son siempre perpendiculares a cada uno. that C AShow PSTO N Erstd and r0std are always perpendicular to each other.

Para discusiónConsider the vector-valued function C88. A PInvestigation STONE 2

r std 5 ti 1 s4 2 t dj. 88. Investigation Investigación Considerar vectorial r(t) 5 ti 1 88. Consider la thefunción vector-valued function 2)j. the graph (a) Sketch of rstd. Use a graphing utility to verify r(4std25t ti 1 s4 2 t 2dj. your graph. a) Trazar Usara una herramienta grafistd. Use (a) Sketch la thegráfica graph de of rr(t). graphing utility todeverify (b) cación Sketchpara the vectors 1d,gráfica. r s1.25d, and r s1.25d 2 r s1d on verificarr ssu your graph. the graph in part (a). b) Trazar r(1.25) 2 dr(1) (b) Sketchlos thevectores vectors r(1), r s1d, r(1.25) r s1.25d,yand r s1.25 2 rsobre s1d onla r9 (1d with the vector (c) gráfica Compare vectora). en the el inciso the graph in part (a). 1d . r9(1) con el vector r s1.25d 2elr svector c) Comparar (c) Compare the vector r9 (1d with the vector 1.25 2 1 r s1.25d 2 r s1d . 1.25 2 1

True or False? In Exercises 89–92, determine whether the statement or false. If ejercicios it is false, 89 explain why or givesianla ¿Verdaderoisotrue falso? En los a 92, determinar True or False? In itExercises 89–92, whether theo example thatesshows is false. declaración verdadera o falsa. Si es determine falsa, explicar por qué statement is trueque or muestre false. If que it is es false, explain why or give an dar un ejemplo falsa. 89. If a particle moves example that shows it isalong false.a sphere centered at the origin, then 89. its Si una partícula se mueve a lo tangent largo detouna centrada en el derivative vector is always theesfera sphere. 89. If a particle movessualong a sphere centered at thetangente origin, then origen, entonces vector derivada es siempre a la 90. The definite integral of a vector-valued function is a real number. its derivative vector is always tangent to the sphere. esfera. d 90. definite integral vector-valued functionesisun a real number. stdig 5definida ir9stdi of 91. 90. The Lafir integral deauna función vectorial número real. dt dd ssttddiiggu5 ir ssttddii 91. 92. If ffrir vector-valued functions of t, then 91. dt irand 5are ir99differentiable dt frstd ustdg 5 r9std u9std. D ? ? t 92. are differentiable vector-valued functions t, then Si rrand y uu son funciones vectoriales derivables de t,ofentonces 92. If D Dttffrrssttdd ?? uussttdg dg 5 5 rr99ssttdd ?? uu99ssttdd..

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CAPÍTULO 12


12.3 Velocidad y aceleración n n

Describir la velocidad y la aceleración relacionadas con una función vectorial. Usar una función vectorial para analizar el movimiento de un proyectil.

Velocidad y aceleración EXPLORACIÓN

Exploración de velocidad Considérese el círculo dado por rstd 5 scos vtdi 1 ssin sen vtdj. Usar una herramienta de graficación en modo paramétrico para representar este círculo para varios valores de w . ¿Cómo afecta w a la velocidad del punto final cuando se traza la curva? Para un valor dado de w , ¿parece ser constante la velocidad? ¿Parece ser constante la aceleración? Explicar el razonamiento. 2

Ahora se combina el estudio de ecuaciones paramétricas, curvas, vectores y funciones vectoriales a fin de formular un modelo para el movimiento a lo largo de una curva. Se empezará por ver el movimiento de un objeto en el plano. (El movimiento de un objeto en el espacio puede desarrollarse de manera similar.) Conforme un objeto se mueve a lo largo de una curva en el plano, la coordenada x y la coordenada y de su centro de masa es cada una función del tiempo t. En lugar de utilizar ƒ y g para representar estas dos funciones, es conveniente escribir x 5 xstd y y 5 ystd. Por tanto, el vector de posición rstd toma la forma rstd 5 xstdi 1 ystdj.

Vector de posición.

Lo mejor de este modelo vectorial para representar movimiento es que se pueden usar la primera y la segunda derivadas de la función vectorial r para hallar la velocidad y la aceleración del objeto. (Hay que recordar del capítulo anterior que la velocidad y la aceleración son cantidades vectoriales que tienen magnitud y dirección.) Para hallar los vectores velocidad y aceleración en un instante dado t, considérese un punto Qsxst 1 Dtd, yst 1 Dtdd que se aproxima al punto Psxstd, ystdd a lo largo de la curva C dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj, como se muestra en la figura 12.11. A medida que Dt → 0, la dirección del vector PQ (denotado por Dr) se aproxima a la dirección del movimiento en el instante t. \

−3

3

Dr 5 rst 1 Dtd 2 rstd Dr rst 1 Dtd 2 rstd 5 Dt Dt Dr rst 1 Dtd 2 rstd lim 5 lim lím lím Dt→0 Dt Dt→0 Dt

−2

Si este límite existe, se define como el vector velocidad o el vector tangente a la curva en el punto de P. Nótese que éste es el mismo límite usado en la definición de r9 std. Por tanto, la dirección de r9 std da la dirección del movimiento en el instante t. La magnitud del vector r9 std ir9 stdi 5 ix9stdi 1 y9stdji 5 !fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 da la rapidez del objeto en el instante t. De manera similar, se puede usar r0 std para hallar la aceleración, como se indica en las definiciones siguientes. y

y

Vector velocidad en el instante t P C

∆r

Vector velocidad en el instante t

∆t → 0

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Q

r(t) r(t + ∆t) x

Conforme Dt → 0, Figura 12.11

Dr se aproxima al vector velocidad Dt

x

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SECCIÓN 12.3

Velocidad y aceleración

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DEFINICIONES DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN Si x y y son funciones de t que tienen primera y segunda derivadas y r es una función vectorial dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj, entonces el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez en el instante t se definen como sigue. Velocidad Velocity 5 vstd 5 r9std 5 x9stdi 1 y9stdj Aceleración 5 astd 5 r0 std 5 x0 stdi 1 y0 stdj Acceleration Rapidez Speed 5 ivstdi 5 ir9stdi 5 !fx9stdg 2 1 f y9stdg 2

Para el movimiento a lo largo de una curva en el espacio, las definiciones son similares. Es decir, si rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk, entonces Velocity 5 vstd 5 r9 std 5 x9stdi 1 y9stdj 1 z9stdk Velocidad Acceleration Aceleración 5 astd 5 r0 std 5 x0 stdi 1 y0 stdj 1 z0stdk Speed 5 ivstdi 5 ir9 stdi 5 !fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 1 fz9stdg 2. Rapidez EJEMPLO 1

NOTA En el ejemplo 1, nótese que los vectores velocidad y aceleración son ortogonales en todo punto y en cualquier instante. Esto es característico del movimiento con rapidez constante. (Ver ejercicio 57.) n

Hallar la velocidad y la aceleración a lo largo de una curva plana

Hallar el vector velocidad, la rapidez y el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de la curva plana C descrita por t t rstd 5 2 sen sin i 1 2 cos j. 2 2

Vector posición.

Solución El vector velocidad es t t vstd 5 r9std 5 cos i 2 sen sin j. 2 2

Vector velocidad.

La rapidez (en cualquier instante) es ir9std i 5

t sin 5 1. !cos 2t 1sen 2 2

2

Rapidez.

El vector aceleración es

Círculo: x2 + y2 = 4 y

1 t 1 t astd 5 r0 std 5 2 sen sin i 2 cos j. 2 2 2 2

Vector aceleración.

2

Las ecuaciones paramétricas de la curva del ejemplo 1 son

v(t)

a(t) 1

x 5 2 sen sin −2

x

−1

1

2

−1

−2

t t r(t) = 2 sen i + 2 cos j 2 2

La partícula se mueve alrededor del círculo con rapidez constante Figura 12.12

t 2

y

t y 5 2 cos . 2

Eliminando el parámetro t, se obtiene la ecuación rectangular x 2 1 y 2 5 4.


Por tanto, la curva es un círculo de radio 2 centrado en el origen, como se muestra en la figura 12.12. Como el vector velocidad t t vstd 5 cos i 2sen sin j 2 2 tiene una magnitud constante pero cambia de dirección a medida que t aumenta, la partícula se mueve alrededor del círculo con una rapidez constante.

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CAPÍTULO 12


EJEMPLO 2

r(t) = (t 2 − 4)i + tj y

Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva plana dada por

4

v(2)

3

rstd 5 st 2 2 4di 1 t j

a(2)

v(0)

−3 −2 −1 −1

Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas x 5 t 2 2 4 y y 5 t, se puede determinar que la curva es una parábola dada por x 5 y 2 2 4, como se muestra en la figura 12.13. El vector velocidad (en cualquier instante) es

x 1

2

3

4

vstd 5 r9std 5 2t i 1 j

−3 −4

Vector posición.

y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando t 5 0 y t 5 2.

1

a(0)

Dibujo de los vectores velocidad y aceleración en el plano

x = y2 − 4

Vector velocidad.

y el vector aceleración (en cualquier instante) es

En todo punto en la curva, el vector aceleración apunta a la derecha

astd 5 r0 std 5 2i.

Figura 12.13


Cuando t 5 0, los vectores velocidad y aceleración están dados por v(0) 5 2(0)i 1 j 5 j y

y

a(0) 5 2i.

Cuando t 5 2, los vectores velocidad y aceleración están dados por v(2) 5 2(2)i 1 j 5 4i 1 j y Sol

a(2) 5 2i.

Si el objeto se mueve por la trayectoria mostrada en la figura 12.13, nótese que el vector aceleración es constante (tiene una magnitud de 2 y apunta hacia la derecha). Esto implica que la rapidez del objeto va decreciendo conforme el objeto se mueve hacia el vértice de la parábola, y la rapidez va creciendo conforme el objeto se aleja del vértice de la parábola. Este tipo de movimiento no es el característico de cometas que describen trayectorias parabólicas en nuestro sistema solar. En estos cometas, el vector aceleración apunta siempre hacia el origen (el Sol), lo que implica que la rapidez del cometa aumenta a medida que se aproxima al vértice de su trayectoria y disminuye cuando se aleja del vértice. (Ver figura 12.14.)

x

a

En todo punto de la órbita del cometa, el vector aceleración apunta hacia el Sol Figura 12.14

EJEMPLO 3

Dibujo de los vectores velocidad y aceleración en el espacio

Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva en el espacio C dada por rstd 5 t i 1 t 3j 1 3tk, t ≥ 0 Curva: r(t) = ti + t3j + 3tk, t ≥ 0

y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando t 5 1. Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas x 5 t y y 5 t 3, se puede determinar que la trayectoria del objeto se encuentra en el cilindro cúbico dado por y 5 x3. Como z 5 3t, el objeto parte de s0, 0, 0d y se mueve hacia arriba a medida que t aumenta, como se muestra en la figura 12.15. Como rstd 5 t i 1 t 3j 1 3tk, se tiene

C

z

v(1)

6

(1, 1, 3)

a(1)

4 y

2

10

2 4 x

Figura 12.15

Vector posición.

vstd 5 r9std 5 i 1 3t 2j 1 3k

Vector velocidad.

astd 5 r0 std 5 6tj.


y

Cuando t 5 1, los vectores velocidad y aceleración están dados por v(1) 5 r9(1) 5 i 1 3j 1 3k y

a(1) 5 r0(1) 5 6j .

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SECCIÓN 12.3


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Hasta aquí se ha tratado de hallar la velocidad y la aceleración derivando la función de posición. En muchas aplicaciones prácticas se tiene el problema inverso, hallar la función de posición dadas una velocidad o una aceleración. Esto se demuestra en el ejemplo siguiente.

Hallar una función posición por integración

EJEMPLO 4

Un objeto parte del reposo del punto P(1, 2, 0) y se mueve con una aceleración astd 5 j 1 2k


donde iastdi se mide en pies por segundo al cuadrado. Hallar la posición del objeto después de t 5 2 segundos. Solución A partir de la descripción del movimiento del objeto, se pueden deducir las condiciones iniciales siguientes. Como el objeto parte del reposo, se tiene vs0d 5 0. Como el objeto parte del punto sx, y, zd 5 s1, 2, 0d, se tiene rs0d 5 xs0di 1 ys0dj 1 zs0dk 5 1i 1 2j 1 0k 5 i 1 2j. Para hallar la función de posición, hay que integrar dos veces, usando cada vez una de las condiciones iniciales para hallar la constante de integración. El vector velocidad es vstd 5

E

astd dt 5

E

s j 1 2kd dt

5 tj 1 2tk 1 C donde C 5 C1i 1 C2 j 1 C3k. Haciendo t 5 0 y aplicando la condición inicial vs0d 5 0, se obtiene vs0d 5 C1i 1 C2 j 1 C3k 5 0

Por tanto, la velocidad en cualquier instante t es

Curva:

r(t) = i +

( 2 + 2) j + t k t2

vstd 5 t j 1 2tk.

2

rstd 5

C

6

E

vstd dt 5

4

r(2)

2

2

(1, 2, 0) t=0

5

(1, 4, 4) t=2

6

y

6

El objeto tarda 2 segundos en moverse del punto (1, 2, 0) al punto (1, 4, 4) a lo largo de C

E

stj 1 2t kd dt

t2 j 1 t2k 1 C 2

donde C 5 C4i 1 C5 j 1 C6k. Haciendo t 5 0 y aplicando la condición inicial r(0) 5 i 1 2j, se tiene rs0d 5 C4i 1 C5 j 1 C6k 5 i 1 2j

C4 5 1, C5 5 2, C6 5 0.

Por tanto, el vector posición es

x

Figura 12.16

Vector velocidad.

Integrando una vez más se obtiene

z

4

C1 5 C2 5 C3 5 0.

rstd 5 i 1

1t2 1 22 j 1 t k. 2

2

Vector posición.

La posición del objeto después de t 5 2 segundos está dada por rs2d 5 i 1 4j 1 4k, como se muestra en la figura 12.16.

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CAPÍTULO 12


Movimiento de proyectiles Ahora ya se dispone de lo necesario para deducir las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de un proyectil. Supóngase que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre un proyectil después de su lanzamiento. Por tanto, el movimiento ocurre en un plano vertical que puede representarse por el sistema de coordenadas xy con el origen correspondiente a un punto sobre la superficie de la Tierra (figura 12.17). Para un proyectil de masa m, la fuerza gravitatoria es

y v = velocidad inicial 0

v(t1)

v0 = v(0)

a

a

v(t2)

F 5 2mgj

a Altura inicial x

Figura 12.17

Fuerza gravitatoria.

donde la constante gravitatoria es g 5 32 pies por segundo al cuadrado, o 9.81 metros por segundo al cuadrado. Por la segunda ley del movimiento de Newton, esta misma fuerza produce una aceleración a 5 astd, y satisface la ecuación F 5 ma. Por consiguiente, la aceleración del proyectil está dada por ma 5 2mgj, lo que implica que a 5 2gj. EJEMPLO 5

Aceleración del proyectil.

Obtención de la función de posición de un proyectil

Un proyectil de masa m se lanza desde una posición inicial r0 con una velocidad inicial v0. Hallar su vector posición en función del tiempo. Solución Se parte del vector aceleración astd 5 2gj y se integra dos veces. vstd 5 rstd 5

E E

astd dt 5 vstd dt 5

E E

2g j dt 5 2gt j 1 C1

1 s2gtj 1 C1d dt 5 2 gt 2j 1 C1t 1 C2 2

Se puede usar el hecho de que vs0d 5 v0 y rs0d 5 r0 para hallar los vectores constantes C1 y C2. Haciendo esto se obtiene C1 5 v0 y C2 5 r0. Por consiguiente, el vector posición es 1 rstd 5 2 gt 2j 1 t v0 1 r0. 2

Vector posición.

En muchos problemas sobre proyectiles, los vectores constantes r0 y v0 no se dan explícitamente. A menudo se dan la altura inicial h, la rapidez inicial v0 y el ángulo u con que el proyectil es lanzado, como se muestra en la figura 12.18. De la altura dada, se puede deducir que r0 5 hj. Como la rapidez da la magnitud de la velocidad inicial, se sigue que v0 5 iv0i y se puede escribir

v0  = v0 = rapidez inicial r0  = h = altura inicial

v0 5 x i 1 y j

y

5 siv0i cos udi 1 siv0i sen sin udj 5 v0 cos u i 1 v0 sin sen uj. v0

Por tanto, el vector posición puede expresarse en la forma

yj θ

1 rstd 5 2 gt 2j 1 t v0 1 r0 2

xi h

Vector posición.

r0 x

x = v0 cos θ y = v0  sen θ

Figura 12.18

1 5 2 gt 2j 1 tv0 cos u i 1 tv0 sen sin u j 1 hj 2 1 5 sv0 cos udti 1 h 1 sv0 sen sin udt 2 gt 2 j. 2

3

4

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SECCIÓN 12.3


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TEOREMA 12.3 FUNCIÓN DE POSICIÓN DE UN PROYECTIL Despreciando la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil lanzado de una altura inicial h con rapidez inicial v0 y ángulo de elevación u se describe por medio de la función vectorial

3

rstd 5 sv0 cos udti 1 h 1 sv0 sin sen udt 2

4

1 2 gt j 2

donde g es la constante de la gravedad.

EJEMPLO 6

10 pies 45° 300 pies 3 pies

Figura 12.19

La trayectoria de una pelota de béisbol

Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el nivel del suelo a 100 pies por segundo y con un ángulo de 45° respecto al suelo, como se muestra en la figura 12.19. Hallar la altura máxima que alcanza la pelota de béisbol. ¿Pasará por encima de una valla de 10 pies de altura localizada a 300 pies del plato de lanzamiento? Solución Se tienen dados h 5 3, v0 5 100, y u 5 458. Así, tomando g 5 32 pies por segundo al cuadrado se obtiene

1

rstd 5 100 cos

p p t i 1 3 1 100 sen sin t 2 16t 2 j 4 4

2

3

1

2

4

5 s50!2 tdi 1 s3 1 50!2 t 2 16t 2dj

vstd 5 r9std 5 50!2 i 1 s50!2 2 32tdj. La altura máxima se alcanza cuando y9std 5 50!2 2 32t 5 0 lo cual implica que t5

25!2 16

< 2.21 segundos. Por tanto, la altura máxima que alcanza la pelota es y 5 3 1 50!2 5

1

2

1

25!2 25!2 2 16 16 16

2

2

649 8

< 81 pies. feet.

Altura máxima cuando t < 2.21 segundos.

La pelota está a 300 pies de donde fue golpeada cuando 300 5 xstd 5 50!2 t. Despejando t de esta ecuación se obtiene t 5 3!2 < 4.24 segundos. En este instante, la altura de la pelota es y 5 3 1 50!2 s3!2 d 2 16s3!2 d

2

5 303 2 288 5 15 pies. feet.

Altura cuando t < 4.24 segundos.

Por consiguiente, la pelota pasará sobre la valla de 10 pies.

n to find n at time

odel for

projectile an initial above the th of the

ctile fired elocity of orizontal.

bat at an above the tial speed

eet to the eet above ur and at does the

n for the uation is

12-3.qxd

3/12/09

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856

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Chapter 12 Vector-Valued Functions CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales

12.3 Exercises 12.3 Ejercicios


r r describe la trayectoEn los ejercicios 1 a 10, el vector posición ria de un objeto que sexymueve en el plano xy. Dibujar una gráfica de la trayectoria y dibujar los vectores velocidad y aceleración en elFunction punto dado. Position Point Función rt 3tposición i t 1j

Punto 3, 0

1. rrstdt 5 3t6i 1 tsti 2 1tdjj

s3,3,03d s3,4,32d s4,1,23d 1,1,31 1,3,12 3, 22, 2 s!3,2,0 !2 d s3, ,02d sp1,, 21d

i tdti j1 t j 2. rrstdt 5 st62 2 3. rrstdt 5 tt2ii 1 t j t2 4. rrt t t ti2 i t 3tj2 5. rrt t t2 14i t3 t 3 1j i 6. rrt t

4 j 4 j

tj 1 24 t3cos t1i i 2 tj sin t j

costtii1 22sin sinttjj 7. rrstdt 5 23cos sen i 1t, 21 sin tj t 8. rrstdt 5 3 tcos tsin sen cos sin t, 1 2 cos tl 9. rrstdt 5 kte2 sen t,

et

10. rstd 5 ke2t, et l

En los ejercicios 23 a 28, usar la función aceleración dada para determinar los vectores velocidad y posición. Después hallar la tposición 2. en el instante t 5 2. 23. astd 5 i 1 j 1 k vs0 d 5 0, rs0d 5 0 24. astd 5 2i 1 3k vs0 d 5 4j, rs0 d 5 0 25. astd 5 t j 1 t k vs1 d 5 5j, rs1 d 5 0 26. a t v0

32 k 3i

27. a t v0

s1, 1d

2j

k,

cos t i j

k,

28. a(t)

et i

8k

v0

2i

3j

r0

5j

2k

sen t j r0

i

k, r 0

0

En los ejercicios 11 a 20, el vector posición r describe la trayectoria de un objeto que se mueve en el espacio. Hallar velocidad, rapit t i 5tj 3t k rt 4t i 4t j 2t k dez yraceleración del objeto.

Movimiento de proyectiles En los ejercicios 29 a 44, usar el modelo para el movimiento de un proyectil, suponiendo que no hay resistencia del aire.

1 2 t2 12. rr tt 4t 3t kk 3tii 4t t jj 2t t kk 4 2 2 t 1 13. rr tt ttii tt2j 3t i t j t2k 9k t 2 k 14. r t 2 4 2 3 2 rt t i t j 2t k2 15. r t ti tj 9 t k rt 4t, 3 cos t, 3 3sen t 2 t i t j 2t 2 k 16. r t r(t 2 cos t, 2 sen t, t2 4t, 3 cos t, 3 sen t 17. r t rt et cos t, et sen t, et 2 cos t, 2 sen t, t2 18. r(t 1 t 19. rr tt eln cos t, t,, te4t sen t, et t 1 ln t, , t 4 20. r t t r tlos ejercicios 21 y 22 se dan la gráfica Aproximación lineal En t t 0 de la función vectorial rxtc y un vector tangente a la gráfica en

29. Hallar la función vectorial de la trayectoria de un proyectil lanzado desde una altura de 10 pies sobre el suelo con 30 una velocidad inicial de 88 pies por segundo y con un ángulo de 30° sobre la horizontal. Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria del proyectil. 30. Determinar la altura máxima y el alcance de un proyectil disparado desde una altura de 3 pies sobre 45 el nivel del suelo con velocidad inicial de 900 pies por segundo y con un ángulo de 45° sobre la horizontal. 45 31. Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el nivel del suelo, se aleja del bate con un ángulo de 45° y es cachada por un jardinero a 3 pies sobre el nivel del suelo y a 300 pies del plato de lanzamiento. ¿Cuál es la rapidez inicial de la pelota y qué altura alcanza? 32. Un jugador de béisbol en segunda base lanza una pelota al jugador de primera base a 90 pies. La pelota es lanzada desde 5 pies sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 50 millas por hora y con un ángulo de 15° con la horizontal. ¿A qué altura cacha la pelota el jugador de primera base? 33. Eliminar el parámetro t de la función de posición para el movimiento de un proyectil y mostrar que la ecuación rectangular es

11. rr tt

ttii

5tj t 2j

t 5 t0. t t0 . de ecuaciones paramétricas para la recta a) Hallar un conjunto tangente a la gráfica en t 5 t0. r t0 1 0.1 . b) Utilizar las t0 la 1recta para aproximar r xt0 1 0.1c. rt t, ecuaciones t 2, 14 t3 , de 2, 1 t3 t, 2, t 25 t2 , 21. rrstdt 5 k t,t,2t 25 4 l 0 5 1

22. rstd 5 k t, !25 2

t 2,

!25 z 2

t2

l,

z 2

)1, −1, ) 1 4

2

1 x2 4

(1, −1, ) x

Figura para 21

t0

3

t0 5 3

z

(3, 4, 4)

5z

(3, 4, 4)

5

2

n

ion. Then which it

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y 5 x 2 0.005x 2.

−2 −2 1 1

y y y

16 sec2 u 2 x 1 stan udx 1 h. v02 34. La trayectoria de una pelota la da la ecuación rectangular y52

2 2

6

2 4 2 6 4 6

y 6

x x

Figura para 22

Usar el resultado del ejercicio 33 para hallar la función de posición. Después hallar la velocidad y la dirección de la pelota en el punto en que ha recorrido 60 pies horizontalmente.

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SECCIÓN 12.3

35. Modelo matemático La trayectoria de una pelota lanzada por un jugador de béisbol es videograbada y después se analiza la grabación con una cuadrícula que cubre la pantalla. La cinta se detiene tres veces y se miden las posiciones de la pelota. Las coordenadas son aproximadamente (0, 6.0), (15, 10.6) y (30, 13.4). (La coordenada x mide la distancia horizontal al jugador en pies y la coordenada y mide la altura en pies.) a) Usar una herramienta de graficación para hallar un modelo cuadrático para los datos. b) Usar una herramienta de graficación para representar los datos y la gráfica del modelo. c) Determinar la altura máxima de la pelota. d) Hallar la velocidad inicial de la pelota y el ángulo al que fue lanzada. 36. Una pelota de béisbol es golpeada desde una altura de 2.5 pies sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 140 pies por segundo y con un ángulo de 22° sobre la horizontal. Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria de la pelota y determinar si pasará sobre una valla de 10 pies de altura localizada a 375 pies del plato de lanzamiento. 37. El Rogers Centre en Toronto, Ontario, tiene una cerca en su campo central que tiene 10 pies de altura y está a 400 pies del plato de lanzamiento. Una pelota es golpeada a 3 pies sobre el nivel del suelo y se da el batazo a una velocidad de 100 millas por hora. a) La pelota se aleja del bate formando un ángulo de ␪ ⫽ ␪0 con la horizontal. Dar la función vectorial para la trayectoria de la pelota. b) Usar una herramienta de graficación para representar la función vectorial para ␪0 ⫽ 10⬚, ␪0 ⫽ 15⬚, ␪0 ⫽ 20⬚, y ␪0 ⫽ 25⬚. Usar las gráficas para aproximar el ángulo mínimo requerido para que el golpe sea un home run. c) Determinar analíticamente el ángulo mínimo requerido para que el golpe sea un home run. 38. El mariscal de campo de un equipo de fútbol americano lanza un pase a una altura de 7 pies sobre el campo de juego, y el balón de fútbol lo captura un receptor a 30 yardas a una altura de 4 pies. El pase se lanza con un ángulo de 35° con la horizontal. a) Hallar la rapidez del balón de fútbol al ser lanzado. b) Hallar la altura máxima del balón de fútbol. c) Hallar el tiempo que el receptor tiene para alcanzar la posición apropiada después de que el mariscal de campo lanza el balón de fútbol. 39. Un expulsor de pacas consiste en dos bandas de velocidad variable al final del expulsor. Su función es lanzar las pacas a un camión. Al cargar la parte trasera del camión, una paca debe lanzarse a una posición 8 pies hacia arriba y 16 pies detrás del expulsor. a) Hallar la velocidad inicial mínima de la paca y el ángulo correspondiente al que debe ser lanzada de la expulsora. b) La expulsora tiene un ángulo fijo de 45°. Hallar la velocidad inicial requerida. 40. Un bombardero vuela a una altitud de 30 000 pies a una velocidad de 540 millas por hora (ver la figura). ¿Cuándo debe lanzar la bomba para que pegue en el blanco? (Dar la respuesta en términos del ángulo de depresión del avión con relación al blanco.) ¿Cuál es la velocidad de la bomba en el momento del impacto?


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540 mph

30 000 pies

Figura para 40 41. Un disparo de un arma con una velocidad de 1 200 pies por segundo se lanza hacia un blanco a 3 000 pies de distancia. Determinar el ángulo mínimo de elevación del arma. 42. Un proyectil se lanza desde el suelo con un ángulo de 12° con la horizontal. El proyectil debe tener un alcance de 200 pies. Hallar la velocidad inicial mínima requerida. 43. Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria de un proyectil para los valores dados de ␪ y v0. En cada caso, usar la gráfica para aproximar la altura máxima y el alcance del proyectil. (Suponer que el proyectil se lanza desde el nivel del suelo.) a) ␪ ⫽ 10⬚,

v0 ⫽ 66 ft兾sec pies/s

b) ␪ ⫽ 10⬚, v0 ⫽ 146 pies/s ft兾sec

c) ␪ ⫽ 45⬚,

pies/s v0 ⫽ 66 ft兾sec

d) ␪ ⫽ 45⬚, v0 ⫽ 146 ft兾sec pies/s

e) ␪ ⫽ 60⬚,


ƒ) ␪ ⫽ 60⬚,


44. Hallar el ángulo con el que un objeto debe lanzarse para tener a) el alcance máximo y b) la altura máxima. Movimiento de un proyectil En los ejercicios 45 y 46, usar el modelo para el movimiento de un proyectil, suponiendo que no hay resistencia. [a冇t冈 ⴝ ⴚ9.8 metros por segundo al cuadrado.] 45. Determinar la altura y el alcance máximos de un proyectil disparado desde una altura de 1.5 metros sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 100 metros por segundo y con un ángulo de 30° sobre la horizontal. 46. Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo con un ángulo de 8° con la horizontal. El proyectil debe tener un alcance de 50 metros. Hallar la velocidad mínima necesaria. Movimiento cicloidal En los ejercicios 47 y 48, considerar el movimiento de un punto (o partícula) en la circunferencia de un círculo que rueda. A medida que el círculo rueda genera la cicloide r冇t冈 ⴝ b冇␻ t ⴚ sen sin ␻ t冈i ⴙ b冇1 ⴚ cos ␻ t冈j, donde ␻ es la velocidad angular constante del círculo y b es el radio del círculo. 47. Hallar los vectores velocidad y aceleración de la partícula. Usar los resultados para determinar los instantes en que la rapidez de la partícula será a) cero y b) máxima. 48. Hallar la velocidad máxima de un punto de un neumático de automóvil de radio 1 pie cuando el automóvil viaja a 60 millas por hora. Comparar esta velocidad con la velocidad del automóvil. Movimiento circular En los ejercicios 49 a 52, considerar una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular de radio b descrita por r(t) ⴝ b cos ␻ ti ⴙ b sen ␻ tj donde ␻ ⴝ du兾兾dt es la velocidad angular constante. 49. Hallar el vector velocidad y mostrar que es ortogonal a r共t兲.

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er 12

1053714_1203.qxp 10/27/08 11:49 AM 12-3.qxd 3/12/09 18:11 Page 858 11:49 AM Page 858 10/27/08 11:49 AM Page 858 1053714_1203.qxp

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CAPÍTULO 858 12

Vector-Valued Functions 858 Chapter 12

Funciones Chapter 12vectoriales Vector-Valued Functions Vector-Valued Functions

. particle is b . 50. a) Mostrar que50. la rapidez de la partícula es bofvthe 59. Investigación 59. UnInvestigation objeto sigue una trayectoria dada A particle moveselíptica on an elliptical path given by (a) Show that the speed por lathe función vectorial rsmoves td 5 6on cosan t i elliptical 1 3 sen sinr tpath j. 6given cos tby i 3 sin t j. the function Investigation particle moves elliptical path given by vector-valued t the speed of the particle . una b)b Usar graficación paramétrico Investigation A particle 50. is (a) Show thatherramienta the speed ofde the particle isutility ben .modo (b) Use a59. graphing inAparametric modeon59. toangraph r t . Does 6 cos tgraphing i vector-valued 3 sin tvj.std, ivfunction 5vector-valued círculo Probar distintos valores i a3 sin a) Hallar st(a) d i, yFind astrd.vt t , 6vcos t ,tand t . t j. circleinpara for different values of the the bbthe 6.6.Try aphing utility in parametric mode graph elthe (b) para Use representar a tographing utility parametric mode to function graph the de ¿Dibuja la herramienta de graficación más rápido los v . draw circle greater of (a) ? b) Find tfaster , v the tfor,graphing a t values . (a)theFind and theb graphing b 6. Try different values of circle . Doesfor t , herramienta v t ,(b) ade t a.graficación andUse different values of v. Does 6. Try utility Usarvuna para completar la the tabla. graphing utility to complete table. círculos para loscircle valores de v?values w the circle faster for greater values ? 51. utilityof draw the faster for(b) greater ofand?utility Find themayores acceleration showtothat its direction is Use avector graphing complete the table. (b) Use a graphing utility to complete the table. p p 2p 51. Hallar el aceleración y mostrar que su of dirección es siemalways toward center thedirection circle. eleration vector and 51. show thatthe itsvector direction is vector p t 0 Find acceleration and the show that its is 2 4t 2 30 pre hacia el centro del círculo. 2 d the center of the circle. always toward the center of the circle. 4 2 2 52. Show that the magnitude of the acceleration vector is b . 3 2 0 t t Rapidez 0 2 52. Show Mostrar magnitud delthe vector aceleración es bisv2b4. 2. 2 . magnitude of the acceleration vector islabmagnitude 3 4 2 52. thatque the of acceleration vector 3 Speed Circular Motion In Exercises 53 and 54, use the results of Speed c) Representar gráficamente la trayectoria elíptica y los vecMovimiento circular En los ejercicios 53 y 54, usar los resultaSpeed Exercises 49– 52. In Exercises 53 and 54, use the results of Circular Motion In Exercises 53 and 54, use the results of tores velocidad y aceleración los valores de t the dados en la and acceleration dos de los ejercicios 49 a 52. Exercises 49– 52. (c) Graph thepara elliptical path and velocity 53. A stone weighing 1 pound is attached to a two-foot stringtabla and del inciso b). t vectors at the values of given in the table in part (b). (c) Graph the elliptical path and the velocity and acceleration (c) under Graph the elliptical path and the velocity and acceleration 53. to Una piedra que pesa 1 libra ata a un de dos pies de will break ispound whirled horizontally (see figure). The string hing 1 pound is attached astone two-foot string 53. A weighing 1and is se attached to acordel two-foot string and d) Usar los resultados de los incisos b) y c) para describir la t vectors at the values of given in the table in part (b). t vectors at the values of given in the table in part (b). (d) Use the results of parts (b) and (c) to describe the geometric largo ywill se hace girar (ver laFind figura). El cordel ahorizontalmente force of 10 pounds. thebreak maximum can izontally (see figure). Theis string break under whirled horizontally (see figure). The string will undersespeed the stonerelación geométrica entre los vectores velocidad y acelerelationship between the velocity and acceleration vectors (d) Use the results of parts (b) and (c) to describe the geometric romperá con una fuerza de 10 libras. Hallar la velocidad máxi(d) Use the results of parts (b) and (c) to describe the geometric attain without breaking the string. Use where F ma, pounds. Find the maximum speed the stone can a force of 10 pounds. Find the maximum speed the stone can ración cuando la rapidez de speed la partícula aumenta cuando 1 the of the particle isyvectors increasing, and when it is between the velocity and acceleration ma la ma, piedra puede alcanzar sinrelationship que se Frompa el where cordel. relationship vectors betweenwhen the velocity and acceleration m 32 .the string. ut breaking the string. attain Useque where Fwithout breaking Use ma, disminuye. 1F 5 ma, donde m 5 1 .d decreasing. when the speed of the particle is increasing, (Usar32 whenand the when speed itofisthe particle is increasing, and when it is m . 32 decreasing. decreasing. 1 lb

1 lb

30 mph

2 ft

1 libra 1 lb 22pies ft

CAPSTONE 2 ft

Para discusión CAPSTONE

30 mphC60. A P SConsiderar T O N E una60. partícula queaseparticle mueve moving sobre una Consider ontrayectoria an elliptical path described

elíptica donde r t onaan d dt is the by coselliptical t i bpath sen described t j, where 60. Consider 30 a particle moving on an elliptical path adescrita described mph 60. Consider particlepor moving es la velocidad constante. constant angular velocity. by r t is the a cos t i b sen t j, whereby r t d dt a cos t i b sen t j, where d dt is the constant angular velocity. constant angular a) Encontrar el velocity. vector velocidad. ¿Cuálvector. es la What rapidez de speed la (a) Find the velocity is the of the particle? partícula? (a) Find the velocity vector. What is the speed of the (a) Find theparticle? velocity(b) vector. is the speed ofvector the particle? FindWhat the acceleration and show that its direction

300 pies b)that Encontrar el vector is aceleración yshow demostrar que suthe direcalwaysand toward the center of ellipse. (b) Find the acceleration vector and show itsthe direction (b) Find acceleration vector that its direction 300ispies está toward siemprethe hacia el centro la elipse. always toward the center of the ellipse. isción always center of the de ellipse. Figure for 53 Figure for 54 Figura para Figura para 54 Figure Figure for 54 for 53 5354. A 3400-pound Figure for 54 automobile is negotiating a circular interchange WRITING ABOUT CONCEPTS deT conceptos Un automóvil de 3 400 libras está una 54. A of radius 300 feet miles hour Assuming d automobile is negotiating a3400-pound circular interchange W tomando R I T at I N30 A Bcurva O Uper Tcircular C O N(see CdeE Pfigure). T S WDesarrollo 54. automobile is negotiating aGcircular interchange R I T I N G A B O U61. CInO Nyour C E Pown T S words, explain the difference between the 300 pies de 30 hora (ver la figura). Supuesto roadway is level, find the force between the tires and the feet at 30 miles per hour of (see figure). Assuming radius 300radio feet aatthe 30millas miles por per hour (see figure). Assuming 61. Con las propias palabras, explicar la diferencia entre velocity of an object and itsbetween speed.la veloexplain the difference the explain the 61. In your own words, difference the 61. In yourbetween own words, queroadway la the carretera estároad nivelada, la fuerza necesaria entre los path that car stays ontires the and circular and does not de un objeto y su rapidez. is level, find the force between tires the the is and level, findsuch the hallar forcethe between the the cidad velocity of an object and its speed. velocity of an object and its speed. 62. What is known about the speed of an object if the angle neumáticos y el pavimento para que el automóvil mantenga la skid. (Use ma, where 32.) Find the angle at t the car stays on the circular notstays road path such and that does the car onFthe circular pathmand 3400 does not 62. ¿Qué se conoce acerca de la rapidez de un objeto si el ángubetween the velocity and acceleration vectors is (a) acute 62. What is known about the speed of an object if the angle 62. What is known about the speed of an object if the angle trayectoria circular sin derrapar. (Usar F 5 ma, donde m 5 the be banked at ma, where m 3400 skid. 32.) Find (Use the where ) Find the angle at so that no lateral F angle ma,which m roadway 3400 32.should lo entre los vectores velocidad y aceleración es a) agudo y and (b) obtuse? between the velocity and acceleration vectors is (a) acute between the velocity and acceleration vectors is (a) acute 3 400/32.) Hallar el ángulo de peralte necesario para que ningufrictional is exerted the no tireslateral of the automobile. oadway should be banked so that no lateral which the roadway should force be banked so onthat b) obtuso? and (b) obtuse? and (b) obtuse? 63. Consider a particle that is moving on the path na de fricción lateral seatires ejercida los neumáticos e is exerted on the tires offrictional thefuerza automobile. force is exerted on the of thesobre automobile. del automóvil. 55. Shot-Put Throw 63. Consider Redacción una x tpartícula y t que j se zon tmueve k.the sobre The pathaof particle a shot thrown angle ison the 63. Consider that atisan moving path r1 t that 63. a Considerar particle isi moving path la trayectoria r s t d 5 x s t d i 1 y s t d j 1 z s t d k. tde unx objeto t ian angle ylanzado t j iszcon t k. ow The path of a shot at anThrow angle is path r t x t i y t j z t k. 55.thrown Lanzamiento de peso La trayectoria 1 55. Shot-Put The of a shotr1thrown at (a) Discuss any changes in the position, velocity, or acceler1 1 2 rt v0 cos (a) t i Discuss h v0 sin t in gt j un ángulo u es a) Analizar todo cambio en la posición, velocidad o aceleation of the particle if its position is given by the vectorany changes the position, velocity, or acceler(a) Discuss any changes in the position, velocity, or acceler1 2 1 2 ti h v0 sin t r t gt2 vj0 cos t i ración de laparticle partícula si su posición está dada por la funh v sin t gt j valued function r t r 2t . ation of the particle if its position is given by the vectoration of the if its position is given by the vector1 0 2 1 2 gt2 j rs2td 5 sv0 cos udt i 1 h 1v svis0 the sin dt 2valued sen uinitial ción vectorial srt2d t5 r1sr2t d. where h is the initial r2 t height, r1 2t .t is the time valued functionr2(b) 0 2speed,function Generalize 1 2t . the results for the position function in seconds, and is the acceleration due to gravity. Verify that g e initial speed, h is the initial height, is the time t where v0 is the initial speed, h is the(b) initial height, t isthe the results time b) Generalize Generalizar los arla posición r3 t for t . position Generalize for the (b) position function the resultados results the function 1 función donde v0 es la rapidez inicial, es la altura inicial, es el tiemthe willh remain air fortVerify a. total of nd g is the acceleration due gravity.and Verify in to seconds, theshot acceleration duerin3totthe gravity. that g isthat r s t d 5 r s v t d . r t r t r t . 3 1 1 po en segundos y g es la aceleración debida a la gravedad. 3 1 emain in the air for a totalthe of shot will remain in the air for a total2 of 2 v0 sin v0 elsin 2gh Verificar que el objeto permanecerá en aire t 2 seconds 64. When t 0, an object is at the point 0, 1 and has a velocity 2 v02 sin2 2gh g v00 sin sen sin sin2 u 1 2gh 2gh sen u 1 !v002 sin seconds t seconds vector 0 i.0, 1It and moves a with an acceleration of 5 seconds segundos t 0, 0, 1 and 64. When an object is at the point has aanvelocity t 0, 64. When object is está at vthe g g 64. Cuando t 5 0, un objeto enpoint el punto (0, 1) yhas tiene velocity un vector and will travel vector a horizontal aoftIt moves sin t i with cos t j.anShow that the path of of the object is a circle. v 0 distance i. of It moves with vector an acceleration v 0 i. acceleration velocidad v(0) 5 2i. Se mueve con aceleración a(t) 5 sen ti 2 l a horizontal distance of and y recorrerá unaa distancia horizontal tde sin t i cos t j. Show that the pathaoft the sin will travel horizontal object circle.Show that the path of the object is a circle. t i is acos v02 cos distancea of 2gh cos t j. Mostrar quet j.la delExercises objeto es un círculo. True ortrayectoria False? In 65–68, determine whether the feet. sin sin2 2 2 2 2gh v00 cos u v g 22 True 2gh 0 2 statement is true or false. If it is false, explain or False? In Exercises 65–68, determine whether the sen sen feet. sin True or False? In Exercises 65–68, determine whether the why or give an pies. sin u 1 sin u 1 feet. v02 v0022 g ¿Verdadero otrue falso? En 65 68,why determinar si la example is afalse. statement true or false. If it is false, why or or give an los statement is false. Ifthat itejercicios isshows false,itexplain or give an 56. Shot-Put Throw A is shot is thrown from a height of explain h 6 feet declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o example that shows it is false. 56. Lanzamiento de peso Un peso es lanzado desde una altura de example that shows it is false. v0 45 with second and at an angle ow A shot is thrown56. fromShot-Put a height Throw of h 6 A feet shotan is initial thrownspeed fromof a height of feet h per 6 feet 65.pruebe The acceleration of an object is the derivative of the speed. dar un ejemplo que que es falsa. pies con rapidez inicial pies por segundo y con h 5 6 v 5 45 ofof v0 42.5 the horizontal. Find the total time of travel 0 with speed of v0 45 feet perwith second and at speed an angle an initial peracceleration second and of at an an object angle 45 feet The derivative of the speed. The acceleration of The an object is the derivative thederivative speed. of the position. 66. velocity of an object isofthe un ángulo de with contotal la65. horizontal. el tiempo total is the 65. uof5travel 42.58 andhorizontal. the horizontal distance traveled. with the horizontal. Find of the total42.5 time the Find theHallar total time of travel 65. La aceleración de un objeto es la derivada de la rapidez. 66. The velocity of an object is the derivative of the position. de recorrido y la distancia horizontal recorrida. 66. The velocity of 67. an object is the derivative of the The velocity vector points inposition. the direction of motion. horizontal distance traveled. and the total horizontal distance 57. Prove that iftraveled. an object is traveling at a constant speed, its 66. The Laofvelocidad de unpoints objetoinesthe la derivada de la posición. 67. The velocity vector points in the direction motion. 57. Demostrar que si un objeto se mueve con rapidez constante, sus 67. velocity vector direction of motion. 68. If a particle moves along a straight line, then the velocity and velocity and acceleration vectors speed, are orthogonal. an object is traveling a constant its is traveling 57.atProve that ifspeed, an object at a constant its 67. El apunta en lavectors dirección de movimiento. vectores and velocidad y aceleración son ortogonales. acceleration orthogonal. Ifobject aorthogonal. particle moves a straight line, then the velocidad velocity acceleration vectors are orthogonal. 68. a vector particle moves and along a straight line,are then the velocity and velocity acceleration 58. Provevectors that68. anare moving in aalong straight line at a Ifconstant acceleration vectors are orthogonal. 68. Si una partícula se mueve a lo largo de una línea recta, entonces 58. Demostrar que un objeto que se mueve en línea recta a velociacceleration vectors are orthogonal. speed has an acceleration of 0. n object moving in a 58. straight line at a constant Prove that an object moving in a straight line at a constant los vectores velocidad y aceleración son ortogonales. dad constante tiene aceleración acceleration of 0. speed has an acceleration of 0. nula. 300 pies

3

1

!

4

2

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SECCIÓN 12.4

Vectores tangentes y vectores normales

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12.4 Vectores tangentes y vectores normales n n

Hallar un vector unitario tangente en un punto a una curva en el espacio. Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración.

Vectores tangentes y vectores normales En la sección precedente se vio que el vector velocidad apunta en la dirección del movimiento. Esta observación lleva a la definición siguiente, que es válida para cualquier curva suave, no sólo para aquellas en las que el parámetro es el tiempo. DEFINICIÓN DEL VECTOR UNITARIO TANGENTE Sea C una curva suave en un intervalo abierto I, representada por r. El vector unitario tangente Tstd en t se define como Tstd 5

r9std , r9std Þ 0. ir9std i

Como se recordará, una curva es suave en un intervalo si r9 es continua y distinta de cero en el intervalo. Por tanto, la “suavidad” es suficiente para garantizar que una curva tenga vector unitario tangente.

EJEMPLO 1

Hallar el vector unitario tangente

Hallar el vector unitario tangente a la curva dada por rstd 5 ti 1 t 2j cuando t 5 1.

y

Solución La derivada de rstd es

4

r9std 5 i 1 2t j.

3

Derivada de rstd.

Por tanto, el vector unitario tangente es 2 1

−2

−1

x 1

2

r(t) = ti + t 2 j

La dirección del vector unitario tangente depende de la orientación de la curva Figura 12.20

r9std ir9std i 1 5 si 1 2tjd. !1 1 4t 2

Tstd 5

T(1)

Definición de Tstd. Sustituir r9std.

Cuando t 5 1, el vector unitario tangente es Ts1d 5

1 si 1 2jd !5

como se muestra en la figura 12.20.

NOTA En el ejemplo 1, hay que observar que la dirección del vector unitario tangente depende de la orientación de la curva. Por ejemplo, si la parábola de la figura 12.20 estuviera dada por

rstd 5 2 st 2 2di 1 st 2 2d 2j, aunque Ts1d también representaría el vector unitario tangente en el punto s1, 1d, apuntaría en dirección opuesta. Tratar de verificar esto. n

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CAPÍTULO 12


La recta tangente a una curva en un punto es la recta que pasa por el punto y es paralela al vector unitario tangente. En el ejemplo 2 se usa el vector unitario tangente para hallar la recta tangente a una hélice en un punto.

Hallar la recta tangente a una curva en un punto

EJEMPLO 2

Hallar Tstd y hallar después un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la hélice dada por rstd 5 2 cos t i 1 2 sen sin t j 1 tk

1

en el punto !2, !2,

Tstd 5

z

5

6

C

T

Recta tangente −3

(

2,

2,

π 4

3

)

La recta tangente a una curva en un punto está determinada por el vector unitario tangente en el punto Figura 12.21

r9std ir9std i 1 !5

s22 sen sin t i 1 2 cos tj 1 kd.

Vector unitario tangente.

En el punto s!2,!2, py4d, t 5 py4 y el vector unitario tangente es

5

x

2

sin t i 1 2 cos t j 1 k, lo que implica que Solución La derivada de rstd es r9std 5 22 sen ir9std i 5 !4 sen sin22 t 1 4 cos2 t 1 1 5 !5. Por consiguiente, el vector unitario tangente es

Curva: r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + tk

3

p . 4

y

1p4 2 5 !15 122 22 i 1 2 22 j 1 k2 !

5

1 !5

!

s2 !2 i 1 !2 j 1 kd.

Usando los números directores a 5 2 !2, b 5 !2, y c 5 1, y el punto (x1, y1, z1) 5 s!2, !2, py4d, se obtienen las ecuaciones paramétricas siguientes (dadas con el parámetro s). x 5 x1 1 as 5 !2 2 !2s y 5 y1 1 bs 5 !2 1 !2s z 5 z1 1 cs 5

p 1s 4

Esta recta tangente se muestra en la figura 12.21. En el ejemplo 2 hay una cantidad infinita de vectores que son ortogonales al vector tangente Tstd. Uno de estos vectores es el vector T9std. Esto se desprende de la propiedad 7 del teorema 12.2. Es decir, Tstd ? Tstd 5 i Tstd i 2 5 1

Tstd ? T9std 5 0.

Normalizando el vector T9std, se obtiene un vector especial llamado el vector unitario normal principal, como se indica en la definición siguiente.

DEFINICIÓN DE VECTOR UNITARIO NORMAL PRINCIPAL Sea C una curva suave en un intervalo abierto I representada por r. Si T9std Þ 0, entonces el vector unitario normal principal en t se define como Nstd 5

T9std . iT9std i

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SECCIÓN 12.4

EJEMPLO 3


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Hallar el vector unitario normal principal

Hallar Nstd y Ns1d para la curva representada por rstd 5 3t i 1 2t 2j. Solución Derivando, se obtiene r9std 5 3i 1 4tj

y

ir9std i 5 !9 1 16t2

lo que implica que el vector unitario tangente es Tstd 5 5

r9std ir9std i 1 !9 1 16t2

s3i 1 4tjd.


Usando el teorema 12.2, se deriva Tstd con respecto a t para obtener y

3

Curva: r(t) = 3ti + 2t2j

T9std 5

C

5

N(1) = 15 (−4i + 3j)

1 !9 1 16t2

16t s3i 1 4tjd s9 1 16t 2d3y2

12 s24ti 1 3jd s9 1 16t 2d3y2

!

iT9std i 5 12

2

s4jd 2

9 1 16t 2 12 5 . s9 1 16t 2d 3 9 1 16t 2

Por tanto, el vector unitario normal principal es

1

T(1) = 15 (3i + 4j)

Nstd 5 x

1

2

3

El vector unitario normal principal apunta hacia el lado cóncavo de la curva Figura 12.22

5

T9std iT9std i 1 !9 1 16t 2

s24ti 1 3jd.

Vector unitario normal principal.

Cuando t 5 1, el vector unitario normal principal es 1 Ns1d 5 s24i 1 3jd 5 como se muestra en la figura 12.22.

z

El vector unitario normal principal puede ser difícil de evaluar algebraicamente. En curvas planas, se puede simplificar el álgebra hallando

C

Tstd 5 xstdi 1 ystdj T

x

N

y observando que Nstd debe ser y

En todo punto de una curva, un vector unitario normal es ortogonal al vector unitario tangente. El vector unitario normal principal apunta hacia la dirección en que gira la curva Figura 12.23


N1std 5 ystdi 2 xstdj

o

N2std 5 2ystdi 1 xstdj.

Como !fxstdg2 1 f ystdg2 5 1, se sigue que tanto N1std como N 2std son vectores unitarios normales. El vector unitario normal principal N es el que apunta hacia el lado cóncavo de la curva, como se muestra en la figura 12.22 (véase ejercicio 94). Esto también es válido para curvas en el espacio. Es decir, si un objeto se mueve a lo largo de la curva C en el espacio, el vector Tstd apunta hacia la dirección en la que se mueve el objeto, mientras que el vector Nstd es ortogonal a Tstd y apunta hacia la dirección en que gira el objeto, como se muestra en la figura 12.23.

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CAPÍTULO 12


Hallar el vector unitario normal principal

EJEMPLO 4 Hélice: r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + tk

Hallar el vector unitario normal principal para la hélice dada por rstd 5 2 cos t i 1 2 sin sen t j 1 tk.

z

Solución De acuerdo con el ejemplo 2, se sabe que el vector unitario tangente es

2π

Tstd 5 3π 2

T9std 5

−2

−1 1 1 2

y

N std es horizontal y apunta hacia el eje z Figura 12.24

1 !5

s22 cos t i 2 2 sen sin t jd.

T9std iT9std i 1 5 s22 cos t i 2 2 sen sin t jd 2 5 2cos t i 2 sen sin t j.

Nstd 5

−1

x


Como iT9std i 5 2y!5, se sigue que el vector unitario normal principal es

π 2

2

s22 sin sen t i 1 2 cos tj 1 kd.

Así, T9std está dado por

π

−2

1 !5

Vector unitario normal principal.

Nótese que este vector es horizontal y apunta hacia el eje z, como se muestra en la figura 12.24.

Componentes tangencial y normal de la aceleración Ahora se vuelve al problema de describir el movimiento de un objeto a lo largo de una curva. En la sección anterior, se vio que si un objeto se mueve con rapidez constante, los vectores velocidad y aceleración son perpendiculares. Esto parece razonable, porque la rapidez no sería constante si alguna aceleración actuara en dirección del movimiento. Esta afirmación se puede verificar observando que r0 std ? r9std 5 0 si ir9std i es una constante. (Ver la propiedad 7 del teorema 12.2.) Sin embargo, si un objeto viaja con rapidez variable, los vectores velocidad y aceleración no necesariamente son perpendiculares. Por ejemplo, se vio que en un proyectil el vector aceleración siempre apunta hacia abajo, sin importar la dirección del movimiento. En general, parte de la aceleración (la componente tangencial) actúa en la línea del movimiento y otra parte (la componente normal) actúa perpendicular a la línea del movimiento. Para determinar estas dos componentes, se pueden usar los vectores unitarios Tstd y Nstd, que juegan un papel análogo a i y j cuando se representan los vectores en el plano. El teorema siguiente establece que el vector aceleración se encuentra en el plano determinado por Tstd y Nstd.

TEOREMA 12.4 VECTOR ACELERACIÓN Si rstd es el vector posición de una curva suave C y Nstd existe, entonces el vector aceleración astd se encuentra en el plano determinado por Tstd y Nstd.

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SECCIÓN 12.4


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Demostración Para simplificar la notación, se escribe T en lugar de Tstd, T9 en lugar de T9std, y así sucesivamente. Como T 5 r9yir9 i 5 vyivi, se sigue que v 5 iviT. Por derivación, se obtiene a 5 v9 5 Dt fivigT 1 iviT9 5 Dt fivigT 1 iviT9

Regla del producto.

1iTiT99 ii2

5 Dt fivig T 1 ivi i T9 i N.

N 5 T9yi T9 i

Como a se expresa mediante una combinación lineal de T y N, se sigue que a está en el plano determinado por T y N. A los coeficientes de T y de N en la demostración del teorema 12.4 se les conoce como componentes tangencial y normal de la aceleración y se denotan por aT 5 Dt fivig y aN 5 i vi iT9 i. Por tanto, se puede escribir astd 5 aTTstd 1 aNNstd. El teorema siguiente da algunas fórmulas útiles para aN y a T.

TEOREMA 12.5 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN Si rstd es el vector posición de una curva suave C [para la cual Nstd existe], entonces las componentes tangencial y normal de la aceleración son las siguientes. v?a ivi iv 3 ai aN 5 i vi iT9 i 5 a ? N 5 5 !iai2 2 a T2 ivi aT 5 Dt fivig 5 a ? T 5

Nótese que aN ≥ 0. A la componente normal de la aceleración también se le llama componente centrípeta de la aceleración.

a

a•T>0

T

N a•N

T a•N N a

a•T<0

DEMOSTRACIÓN Nótese que a se encuentra en el plano de T y N. Por tanto, se puede usar la figura 12.25 para concluir que, en cualquier instante t, las componentes de la proyección del vector aceleración sobre T y sobre N están dadas por aT 5 a ? T, y aN 5 a ? N., respectivamente. Además, como a 5 v9 y T 5 vyivi, se tiene

aT 5 a ? T 5T?a v 5 ?a ivi v?a 5 . ivi En los ejercicios 96 y 97 se pide demostrar las otras partes del teorema.

Las componentes tangencial y normal de la aceleración se obtienen proyectando a sobre T y N. Figura 12.25

NOTA Las fórmulas del teorema 12.5, junto con algunas otras fórmulas de este capítulo, se resumen en la página 877. n

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CAPÍTULO 12


EJEMPLO 5

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración para el vector posición dado por rstd 5 3t i 2 tj 1 t 2 k. Solución Para empezar se halla la velocidad, la rapidez y la aceleración. vstd 5 r9std 5 3i 2 j 1 2tk ivstd i 5 !9 1 1 1 4t 2 5 !10 1 4t 2 astd 5 r0 std 5 2k De acuerdo con el teorema 12.5, la componente tangencial de la aceleración es aT 5

v?a 4t 5 ivi !10 1 4t 2

| |

y como v

3

Componente tangencial de la aceleración.

i a5 3 0

j 21 0

k 2t 5 22i 2 6j 2

la componente normal de la aceleración es aN 5

NOTA

!4 1 36 iv 3 ai 2!10 5 5 . 2 ivi !10 1 4t !10 1 4t 2

Componente normal de la aceleración.

En el ejemplo 5 se podría haber usado la fórmula alternativa siguiente para a N.

a N 5 !i a i 2 2 a T2 5

EJEMPLO 6

!s2d

2

2

16t 2 2!10 5 10 1 4t 2 !10 1 4t 2

n

Hallar a T y a N para una hélice circular

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración para la hélice dada por rstd 5 b cos t i 1 b sen sin t j 1 ctk, b > 0. Solución vstd 5 r9std 5 2b sen sin t i 1 b cos t j 1 ck aN = b

z

ivstd i 5 !b 2 sen sin22 t 1 b 2 cos2 t 1 c2 5 !b 2 1 c 2 astd 5 r0 std 5 2b cos t i 2 b sen sin t j b

De acuerdo con el teorema 12.5, la componente tangencial de la aceleración es aT 5 y

x

La componente normal de la aceleración es igual al radio del cilindro alrededor del cual la hélice gira en espiral Figura 12.26

v ? a b2 sen sin t cos t 2 b 2 sen sin t cos t 1 0 5 5 0. ivi !b 2 1 c 2


Como iai 5 !b2 cos2 t 1 b2 sen sin22 t 5 b, se puede usar la fórmula alternativa para la componente normal de la aceleración para obtener aN 5 !iai 2 2 aT2 5 !b2 2 02 5 b.

Componente normal de la aceleración.

Nótese que la componente normal de la aceleración es igual a la magnitud de la aceleración. En otras palabras, puesto que la rapidez es constante, la aceleración es perpendicular a la velocidad. Ver la figura 12.26.

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SECCIÓN 12.4

r(t) = (50

2t)i + (50

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Movimiento de un proyectil

EJEMPLO 7

2t − 16t 2)j


y

El vector posición para el proyectil mostrado en la figura 12.27 está dado por rstd 5 s50!2 tdi 1 s50!2 t 2 16t2dj.

100 75 50

t=

t=1

Hallar la componente tangencial de la aceleración cuando t 5 0, 1 y 25!2y16.

25 2 16

25

t=0

Vector posición.

Solución vstd 5 50!2 i 1 s50!2 2 32td j ivstd i 5 2!50 2 2 16s50d!2t 1 16 2t 2 astd 5 232j

x 25

50

75 100 125 150

La trayectoria de un proyectil Figura 12.27

Vector velocidad. Velocidad. Vector aceleración.

La componente tangencial de la aceleración es vstd ? astd 232s50!2 2 32td 5 . ivstd i 2!502 2 16s50d!2t 1 162t 2 En los instantes especificados, se tiene


aTstd 5

232s50!2 d 5 216!2 < 222.6 100 232s50!2 2 32d a T s1d 5 < 215.4 2!50 2 2 16s50d!2 1 16 2 a T s0d 5

aT

12516 22 5 232s50502 22 50 !

!

!2

!

d 5 0.

En la figura 12.27 se puede ver que, a la altura máxima, cuando t 5 25!2y16, la componente tangencial es 0. Esto es razonable porque en ese punto la dirección del movimiento es horizontal y la componente tangencial de la aceleración es igual a la componente horizontal de la aceleración.

12.4 Ejercicios En los ejercicios 1 a 4, dibujar el vector unitario tangente y los vectores normales a los puntos dados. y

1.

2.

En los ejercicios 5 a 10, hallar el vector unitario tangente a la curva en el valor especificado del parámetro. 5. rstd 5 t 2 i 1 2tj, t 5 1

y

6. rstd 5 t3 i 1 2t 2j,

t51

p 7. rstd 5 4 cos ti 1 4 sen sin tj, t 5 4 8. rstd 5 6 cos ti 1 2 sen sin tj,

t5

p 3

9. rstd 5 3t i 2 ln t j, t 5 e x

x

3.

y

4.

10. rstd 5 et cos ti 1 etj, t 5 0 En los ejercicios 11 a 16, hallar el vector unitario tangente Tstd y hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva en el espacio en el punto P.

y

11. rstd 5 t i 1 t 2j 1 tk, Ps0, 0, 0d

x x

4 4 12. rstd 5 t 2 i 1 tj 1 3 k, Ps1, 1, 3 d

sin tj 1 t k, Ps3, 0, 0d 13. rstd 5 3 cos t i 1 3 sen 14. rstd 5 k t, t, !4 2 t2 l, Ps1, 1, !3 d

sin t, 4l, Ps!2, !2, 4d 15. rstd 5 k2 cos t, 2 sen

sin t, 2 cos t, 4 sen sin2 tl, Ps1, !3, 1d 16. rstd 5 k2 sen

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CAPÍTULO 12

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866 Chapter 12 Vector-Valued Functions En los ejercicios 17 y 18, usar un sistema algebraico por computadora para representar la gráfica de la curva en el espacio. conjunto de ecuaciones de CAS Después hallar Txtc y un use a computer algebra paramétricas system to graph latherecta a la find curva el find espacio punto P. spacetangente curve. Then a setenofelparametric T tenand Representar la the gráfica la rectatotangente. equations for linede tangent the space curve at point P. Graph thekt,tangent line. Ps3, 9, 18d 17. rstd 5 t2, 2t3y3l,

CAS

senPt j3,19,12 18 18. cos i1 t k, Ps0, 4, py4d 3 34 ,sin 17. rrstdt 5 3 t, t2,t2t 1

18. r t 3 cos t i 4 sin t j 2 t k, P 0, 4, 4 Aproximación lineal En los ejercicios 19 y 20, hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la Linear Approximation In Exercises 19recta and tangente 20, find aa lasetgráof fica en y utilizar las ecuaciones de la recta para t 5 t 0 parametric equations for the tangent line to the graph at taprot0 ximar rxtthe 0.1c. 0 1equations and use for the line to approximate r t 1 0.1 . 19. rstd 5 k t, ln t, !t l, t0 5 1 19. r t t, ln t, t , t0 1 sen tl, t0 5 0 20. rstd 5 ke2t, 2 cos t, 2 sin 20. r t e t, 2 cos t, 2 sin t , t0 0

0

En los ejercicios 21 y 22, verificar que las curvas en el espacio se In Exercises 21 and 22, verify that the space curves intersect at cortan en los valores dados de los parámetros. Hallar el ángulo the given values of the parameters. Find the angle between the entre los vectores tangentes a las curvas en el punto de intersectangent vectors to the curves at the point of intersection. ción. 21. rrstdt 5 k t t2 2,2,t2t2, ,1212tlt , , t t5 44 21. 1 33 ss , , ss5 88 2s,! uusssd 5 k 144s,s,2s, l 22. r t t, cos t, sin t , t t5 00 sen 22. rstd 5 kt, cos t, sin tl,

k

1 sin22ss2 sen sins,s,112 1212sen sin22ss2 uusssd 5 2 122sen sin sin sin 11 11 sinsscos cosss1 22ss , , ss5 00 sin 22sen

sins,s, sen sin

l

In Exercises 23 –30, principalelunit normal vectornormal to the En los ejercicios 23 find a 30,the encontrar vector unitario curve at the specified value of the parameter. principal a la curva en el valor especificado del parámetro. 1 23. 23. rrstdt 5 titi1 212t 2t 2j,j, t t5 22 66 24. 24. rrstdt 5 titi1 t j,j, t t5 33 t r s t d 5 ln t i 1 25. 25. r t ln t i st t1 11d j,j, t t5 22

26. 26. rr tt

cos costtii

sen sen tj, tj, tt

39. rstd 5 et i 1 e22t j, t 5 0 rstd 5 rt rstd 5 rt rstd 5 rrsttd 5

et i 1 e2t j 1 t k, t 5 0 et i e t j t k, t 0 p et cos t i 1 et sen sin t j, t 5 2 et cos t i et sin t j, t 2 0 a cos vt i 1 b sen sin vt j, t 5 akcos cosvt t1 i vtbsin sinvt,t j, t t 20 vt cos vtl, t 5 t sin sen v sen 0 r t cos t t sin t, sin t , t t0 43. sin vt, 1 2 cos vtl,t t 5t cos t0 44. rstd 5 kvt 2 sen t sin t, 1 cos t , t t 0 44. r t 40. 40. 41. 41. 42. 42. 43.

Movimiento circular En los ejercicios 45 a 48, considerar un Circular Motion In Exercises 45– 48, consider an object objeto que se mueve según la función de posición moving according to the position function rxtc 5 a cos vt i 1 a sen sin vt j. rt a cos t i 1 a sin t j. 45. Hallar Tstd, Nstd, a T , y a N. 45. Find T t , N t , a T , and a N. 46. Determinar las direcciones de T y N en relación con la función 46. Determine the directions of T and N relative to the position de posición r. function r. 47. Determinar la rapidez del objeto en cualquier instante t y 47. Determine the speed of the object at any time t and explain its explicar su valor en relación con el valor de a T . value relative to the value of a T . 48. Si la velocidad angular v se reduce a la mitad, ¿en qué factor 48. If the angular velocity is halved, by what factor is a N cambia a N? changed? En los ejercicios 49 sketch a 54, dibujar la gráfica de la curve curva given plana In Exercises 49–54, the graph of the plane dada por la función vectorial, y, en el punto sobre la curva deterby the vector-valued function, and, at the point on the curve minada por by los vectores T y N. Observar que N rxt0rc, tdibujar determined 0 , sketch the vectors T and N. Note that N apunta hacia el lado cóncavo deoflathe curva. points toward the concave side curve. Función Function

Instante Time

11 49. 49. rrsttd 5 tt ii 1 t jj t

tt0 5 22 0

3 50. tj 50. rrsttd 5 tt3 ii 1 tj

66

27. 27. rrstdt 5 t ti i1 t2t2jj1 lnlnt tk,k, t t5 11 t k, t 5 0 28. 28. rrstdt 5 !2t 2ti i1 eet jt j1 ee2t k, t 0 3p 3 29. sen 29. rrstdt 5 66cos cost ti i1 66sin sentjtj1 k,k, t t5 4 4 30. cos 30. rr tt cos 3t 3tii 22 sen sen 3t 3tjj k, k, tt In Exercises 31–34, find v t , a t , T t , and N t (if it exists) for En los ejercicios 31 a 34, hallar vxtc, axtc, Txtc y Nxtc (si existe) an object moving along the path given by the vector-valued para un objeto que se mueve a lo largo de la trayectoria dada por function r t . Use the results to determine the form of the path. la función vectorial rxtc. Usar los resultados para determinar la Is the speed of the object constant or changing? forma de la trayectoria. ¿Es constante la rapidez del objeto o cambiante? 31. r t 32. r t 4t i 4t i 2t j 31. 32. 33. rrstdt 5 4t4ti2 i 34. rrstdt 5 4tt 2ij 2 2t kj 33. rstd 5 4t 2 i 34. rstd 5 t 2 j 1 k In Exercises 35 – 44, find T t , N t , a T , and a N at the given time plane curve t for En losthe ejercicios 35 a r44,t .hallar Txtc, Nxtc, a T , y a N para la curva plana t en el instante rxtc. 1 35. r t 36. r t t2 i 2t j, t 1 ti j, t 1 1t 35. rstd 5 t i 1 j, t 5 1 36. rstd 5 t2 i 1 2tj, t 5 1 t tt3 i 2t2j, t 1 37. r t 2 2 t 5 1 3 t3d4t r s t d 5 s t i1 37. t2 i 2t j, t 1 j, t 0 38. r t 3 2 38. 39. rrstdt 5 stet i2 4tedi 2t1j, st t 2 10dj, t 5 0

51. r(t) r(t) 51.

4ti 4ti

4t22jj 4t

t) 52. rr t) 52.

2t 2t

1)i 1)i

tt0 5 11 0 11 tt00 4 4 2 tt2jj

22 p t00 5 4 t00 5 p tt00

sin tj 53. rstd 5 2 cos t i 1 2 sen sin t j 54. rstd 5 3 cos t i 1 2 sen

t ,NT t x, tac,TN , and In Exercises 55– 62, time xtc, aaTNyataNthe engiven el instante En los ejercicios 55 afind 62, Thallar t for the t . [Hint: a t , T t , aHallar space curve respacial dado rxtcFind . [ Sugerencia: t para la curva T(t) y T, and axNt.c,Solve aT T 1 aaxNtcN.5] a T 1 a N. ] N in the equation a t afor N. Resolver para N en la ecuación T N Function Función 55. rstd 5 t i 1 2t j 2 3t k 56. rstd 5 4t i 2 4t j 1 2t k 57. r t) 58. r t) 59. r t

cos ti 3ti ti

sen tj

Time Instante t51 t52 t

2tk

3

tj

t2k

t

t 2j

t2 k 2

t

1

t

2

t

0

t

0

1i

t2j

60. r t)

2t

61. r t

t

e sen t i

e t cos t j

62. r t)

et i

tk

2tj

e

4tk et k

1

1053714_1204.qxp 10/27/08 11:50 AM Page 867 1053714_1204.qxp 10/27/08 12-4.qxd 3/12/09 18:21 11:50 Page AM 867 Page 867 1053714_1204.qxp 10/27/08 11:50 AM Page 867 1053714_1204.qxp

10/27/08

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Page 867

SECCIÓN 12.4 12.4 12.4 12.4 CAS ejercicios 66, ausar un sistema algebraico porgraph compuCAS En In los Exercises 63 –63 66,y use computer algebra system to the CAS CAS CAS

In Exercises 63 – 66, use a computer algebra system to graph the tadora y representar gráficamente curva Entonces space curve. Then find at the to given time t. T t , N t , a Tla , and a espacial. In Exercises 63 – 66, use graph space curve. Then find and aNNsystem at the given timethe t. Tatcomputer , N t , a T ,algebra hallar y en el instante dado Dibujar y Nxtt.c Tcurve. xTtc,tNand xThen tc, aN a t. T xtctime Sketch on the space curve. t space find and at the given T t , N t , a , a N T N Sketch T t and NT t on the space curve. In Exercises 63el– 66, computer algebra system to graph the en la curva espacio. Sketch and onathe space curve. T t en N t use Function Timegiven time t. space curve. Then find T t , N t , a T , and aN atTime the Function Función Instante Function Time Sketch T t and N t on the space curve. 63. r t 4t i 3 cos t j 3 sen t k t 63. r t 4t i 3 cos t j 3 sen t k t 2 Time 63. Function rt 4t i 3 cos t j 3 sen t k t 2 2 t 64. r t 2 cos t i 1 sen t j t k t 64. t i t j 1 3 sen sent kt j 3k t 63. r t 4t2 i cos 3 cos t 64. r t 2 cos t i 1 sen t j 3 k t 2 2 3 2t 2 t t i 3t2 j t 2 65. r t k t 2 65. r t t 2i 3t 64. cosj t i t2k1 sen t j k t 2 t i2 3t 2 j 2 k t 2 65. r t 3 66. r t t i j 2tk t 1 t2 i j 2tkt 22 66. r t t 1 2 2 i j 2tk 66. r t t t t i 3t j t 21 65. r t k 2 CONCEPTS W R I T I N G A B O U T WRITING ABOUT CONCEPTS 66. rRtIDefine t 1unit normal W T I Nt2Gi the A jBde O U2tk Tconceptos C O N Cvector, E P T Sthe principal Desarrollo 67. unit tangent 67. Define the unit tangent vector, the principal unit normal vector, the andunit thetangent tangential andthenormal components of 67. Definir Define vector, principal unit normal tangential components of 67. el vector unitario normal W R Ivector, Tacceleration. I N G eland Avector B Othe U Tunitario C O N Ctangente, E Pand T S normal vector, and the tangential and normal components of acceleration. principal, y las componentes tangencial y normal de la ace67. the principal unit normalof acceleration. 68. Define How isthe theunit unit tangent tangent vector, vector related to the orientation 68. leración. How is the unit tangent vectorand related to the orientation of of vector, and the tangential normal components a curve? Explain. 68. ¿Cuál isesthe tangent vector relatedunitario to the orientation aHow curve? Explain. 68. la unit relación entre el vector tangente y of la acceleration. a(a) curve? Explain. 69.orientación Describe the motion ofExplicar. a particle if the normal component dethe una curva? 69. (a) Describe motion of a particle if the normal component 68. How of is acceleration the unit tangent to the orientation of is 0.vector related 69. a) (a)Describir Describe themovimiento motion the normal of acceleration is 0. of a particle 69. el de una ifpartícula si component la compoa curve? Explain. of acceleration is 0. (b)nente Describe the motion of a particle if the tangential normal de la aceleración es 0. Describe the themotion motion a particle if the component tangential 69. (b) (a) Describe of aof particle componentthe of motion acceleration isparticle 0.if the normal (b) component Describe of a if the tangential acceleration 0. partícula si la compob) Describir el of movimiento deisuna of acceleration is 0. component of acceleration is 0. es 0. nente tangencial de la aceleración (b) Describe the motion of a particle if the tangential of acceleration is 0. C A P S Tcomponent ONE

CAPSTONE C70. A PAn S Tobject O N E moves along the path given by 70. An discusión object moves along the path given by Para

70. An object moves along the path given by

r t O N3ti 4tj. C70. A PUn E se 4tj. rSt Tobjeto 3ti mueve a lo largo de la trayectoria dada por

r t object 3ti 4tj. along the path given by 70. An Find v t , moves a t , T t , and N t (if it exists). What is the form Find t , a1t 4tj. , T t , and N t (if it exists). What is the form r(t) 5v 3ti of the path? Is, T the speed of tthe object constant or changing? Find v t , a t4tj. , andof N it exists). What the form r tthe path? 3ti Is of the tspeed the(if object constant or is changing? of the path? Is the the (si object constant Encontrar v(t), a(t)speed T(t) yofN(t) existe). ¿Cuáloreschanging? la forma Find t , a t , T t ¿Es , andconstante N t (if ito exists). is the form de la vtrayectoria? variableWhat la velocidad del of the path? Is the speed the object or changing? objeto? 71. Cycloidal Motion The of figure showsconstant the path of a particle 71. Cycloidal Motion The figure shows the path of a particle modeled by the vector-valued function 71. modeled Cycloidal The figure shows the path of a particle byMotion the vector-valued function modeled by the vector-valued function t sen The t, 1 cos shows t . the path of a particle rt tMotion sen t, 1Lafigure cos tmuestra . rCycloidal t 71. Movimiento cicloidal figura la trayectoria de una t sen t, 1 cos t r t modeled by the vector-valued function partícula representada funciónv. vectorial The figure also showspor thelavectors t v t and a t a t at The figure also shows the vectors v t v t and a t a t at the indicated values t. vectors The figuret also shows t indicated sen t,of1t.the cos t v. t v t and a t a t at rthe values of the indicated values of t. y y figura std iayt astdayit astatd i La también los vectores The figuremuestra also shows the vectors and v t vvsttdyiv y en valoresvalues indicados thelos indicated of t.de t. y

y

t=1 t = 12 2 t = 1 t = 12 t = 1 t=1 t=

1t 2

=

1 t2 =

1t = 1

t=3 t = 3232 t= 2 3

t = 32t = 2

x x x x

x

1 1, and t 3. 1 2, t 1, and t 323.2 21, t t 1,ofand 2. the2,speed the tparticle

(a) Find a and a at t (a) Find aTTand aNNat t (a) a T andwhether a N at t (b) Find Determine is increasing or (b) Determine whether the speed of the particle is increasing or decreasing whether at each of indicated values ofist. increasing Give reasons 1 the 3particle (b) Determine the speed of the or 1 3 decreasing at each of the indicated values of Give reasons t. a) y aNaNenatt t5 2,2,t t5 11,y and t 5 t2. 2. (a) Hallar Find aaTTand for your answers. decreasing at each of the indicated values of Give reasons t. forcada your answers. b) de los the valores de t, determinar (b) En Determine whether speedindicados of the particle is increasingsiorla for youruno answers. rapidez de la partícula o values disminuye. Dar reasons razones decreasing at each of theaumenta indicated of t. Give para las respuestas. for your answers.

867 867 867 867

VectoresVectors tangentes y vectores Tangent and Normal normales Vectors Tangent Vectors and Normal Vectors Tangent Vectors and Normal Vectors

12.4 Along Tangent Vectors and 867 72. a loanlargo de una un La fi72. Movimiento Motion Involute ofinvoluta aNormal CircledeVectors Thecírculo figure shows 72. Motion Along an Involute of a Circle The figure shows gura muestra una partícula que sigue la trayectoria dada por a particle moving along a pathThe modeled by 72. aMotion Along an Involute of a Circle figure shows particle moving along a path modeled by cos t t sen t, sen ta path t cos t . The figure rt by sen t t cos t modeled . The figure ra t particle cos t moving t sen t,along 72. Motion Along Involute of vectores also shows the an vectors and for t tdThe v t t,los aa t Circle 1 and tpara2.shows sen rLa t figura cos t sen asttfigure 51y muestra también also shows thet vectors v t and a t tfor t vtscos 1 yand td. The 2. tfigure aalso along afor tpath1 and modeled y shows the moving vectors and v t a t t 2. by t 5 particle 2. y t cos t . The figure rt cos t y t sen t, sen t y also shows the vectors v t and a t for t 1 and t 2. y

t=1 t=1 tt = = 11

x x x x

t=1 t=2 t=2 tt = = 22

x

(a) Find a and a at t 1 and t 2. (a) Find a TTand aNt N=at2 t 1 and t 2. (a) Find and a at t the 2. particle is increasing or aaTTand (b)Hallar Determine of the a) y awhether 11yspeed t 5t 2. N Nen t 5 (b) Determine whether the speed of the particle is increasing or decreasing at each of the indicated values ofist.increasing Giveoreasons (b) Determine whether the speed of the particle or b) Determinar la rapidez de tla partícula aumenta dismidecreasing atsiaeach of the indicated t. Give reasons (a) Find a T and 1 and 2.values of N at t for your answers. decreasing at each of the indicated values of Give reasons t. nuye en cada uno de los valores indicados de t. Dar razones for your answers. (b) para Determine whether the speed of the particle is increasing or for your answers. las respuestas. In Exercises 73–78, find the vectors Tvalues and of N,t. and the unit decreasing at each thevectors indicated Givethe reasons In Exercises 73–78, findofthe T and N, and unit binormal vector for the vector-valued function B T N, rt for your answers. In Exercises 73–78, find the vectors T and N, and the unit En los ejercicios 73 a 78, T y N, yfunction el vectorrunibinormal vector B thevectores vector-valued T hallar N, forlos t at thebinormal given value of t.T binormal the vector-valued rt tario la función vectorial rxfunction BB 5 tc en el valor at the givenvector value of T t. 3 N,N,defor In Exercises 73–78, find the vectors T and N, and the unit at the given dado de t. value of t. t3 t vector-valued function binormal 73. r t vector t i 2t 2 j t33r kt 2 cos B ti T 2 senN,t jfort the k 74. r t 73. 74. j r t t i t r t 2 cos t i 2 sen t j k t3k t2 at 73.ther given t 2value cos t iof t.2 sen t j 2 k 74. rstd 5 t i 1 t 2j 1 3 k 2 3 t t 1 t3 t 73. rt 0 t0 p22 cos t i 2 sen t j k 74. rt0 0t 1 t i t 2 j k 2 3 t0 5 2 t0 5 1 z 2z t0

z z 4 42 43z 3 3 4

t0

−1 −1 −11 −

1

1 1 1z 1 1 1 1 1 2

3 3 x3 x 33 x

z z

3 3 3

y y y

2 2 x x 1 x 2

2 2 2 2

y y y y

Figure for 73 Figure for 74 3 y 3 Figure for 73 Figure for 74 x x − 1 7373 Figure for Figure for Figura para Figura para7474 75. r t i sen t j cos t k, t0 75. r t for i73 sen t j cos t k, t0 Figure 4 Figure for 74 75. r t i sen t j cos t k, t0 4 76. r t 2et t i et t cos t j et t sen t k,4 t0 0 76. r t 2e ti e tcos t j e tsen t k, t0 0 75. t0 t k, t0 0 i2e isen et jcos cos 76. rr tt t j t k,e sen 77. r t 4 sen t i 4 cos t j 2t k, 4 t0 77. r t 4 sen t i 4 cos t j 2t k, t0 3 76. 2e i t ei t cos4 tcos j t jet sen 77. rr tt 4 tsen 2t tk,k, t0t0 30 3 78. r t 3 cos 2t i 3 sen 2t j t k, t0 78. r t cos 2t sent j2t j 2t k, t k, t t0 4 77. 43 sen t i i 43cos 78. r t 3 cos 2t i 3 sen 2t j t k, 0 t0 34 4 79. Projectile Motion Find the tangential and normal compo79. Find normal compo78. rProjectile t 3 cosMotion 2tdei un3 proyectil sen 2tthe j tangential tHallar k, t0 las and Movimiento componentes tangen79. nents of acceleration for a the projectile fired 4at an normal angle with the 79. nents Projectile Motion Find tangential compoof acceleration for a projectile fired atand an angle with theun cial y normal de la aceleración de un proyectil disparado con horizontal at an initial speed of v0. fired Whatatare the components nents of acceleration for a projectile an angle with the horizontal at an initial speed of vrapidez are thev components 0. Whatinicial ángulo u con la horizontal ymaximum con ¿Cuáles son 79. Projectile Motion Find the tangential and compowhen the projectile is atspeed its height? horizontal at an initial of v0. What are normal the0.components when the projectile is at its maximum height? las componentes cuando el proyectil está en su altura máxima? nents of acceleration for a projectile fired at an angle with the the projectile at its maximum height? 80. when Projectile Motion isUse your results from Exercise 79 to find 80. Projectile Motion Usespeed your of results from Exercise 79 find horizontal at de an and initial v0. What are the components 80. Movimiento un proyectil Utilizar losof resultados delto ejercithe tangential normal components acceleration for a 80. the Projectile Motion Use your results from Exercise 79 tofor find tangential and normal components of acceleration ala when thepara projectile atcomponentes its maximum height? cio 79 hallar las y normal for de an projectile fired at is an angle of 45 tangencial with theacceleration horizontal at the tangential and normal components of a projectile fired at proyectil an angle disparado of 45 with horizontal at an aceleración deofun conthe un ángulo de to 45° con 80. Projectile Motion Use results from Exercise 79 initial speed 150an feetyour per of second. What are the components projectile at 45 What with the horizontal atfind an initial speedfired of con 150 feetangle per second. arepies the components la horizontal rapidez inicial de 150 por segundo. the tangential and normal of are acceleration for a when the projectile is at per itscomponents maximum height? initial speed of 150 feet second. What the components when the projectile is at its maximum height? ¿Cuáles cuando elthe proyectil está atenansu projectile firedlasatcomponentes anis angle of 45 with horizontal when theson projectile at its maximum height? altura speed máxima? initial of 150 feet per second. What are the components when the projectile is at its maximum height?

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CAPÍTULO 12


81. Movimiento de un proyectil Un proyectil se lanza con velocidad inicial de 120 pies por segundo desde 5 pies de altura y con un ángulo de 30° con la horizontal. a) Determinar la función vectorial de la trayectoria del proyectil. b) Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria y aproximar la altura máxima y el alcance del proyectil. c) Hallar vstd, i vstd i, y astd. d) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla. t

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Velocidad e) Usar una herramienta de graficación para representar las funciones escalares a T y aN. ¿Cómo cambia la velocidad del proyectil cuando a T y aN tienen signos opuestos? 82. Movimiento de un proyectil Un proyectil se lanza con velocidad inicial de 220 pies por segundo desde una altura de 4 pies y con un ángulo de 45° con la horizontal. a) Determinar la función vectorial de la trayectoria del proyectil. b) Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria y aproximar la altura máxima y el alcance del proyectil. c) Hallar vstd, i vstd i, y astd. d) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla. t

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Velocidad 83. Control del tráfico aéreo Debido a una tormenta, los controladores aéreos en tierra indican a un piloto que vuela a una altitud de 4 millas que efectúe un giro de 90° y ascienda a una altitud de 4.2 millas. El modelo de la trayectoria del avión durante esta maniobra es rstd 5 k10 cos 10p t, 10 sen sin 10p t, 4 1 4tl, 0 ≤ t ≤

1 20

donde t es el tiempo en horas y r es la distancia en millas. a) Determinar la rapidez del avión. CAS

b) Usar un sistema algebraico por computadora y calcular a T y a N. ¿Por qué una de éstas es igual a 0?

84. Movimiento de un proyectil Un avión volando a una altitud de 36 000 pies con rapidez de 600 millas por hora deja caer una bomba. Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración que actúan sobre la bomba. 85. Aceleración centrípeta Un objeto, atado al extremo de una cuerda, gira con rapidez constante, de acuerdo con la función de posición dada en los ejercicios 45 a 48. a) Si la velocidad angular v se duplica, ¿cómo se modifica la componente centrípeta de la aceleración? b) Si la velocidad angular no se modifica pero la longitud de la cuerda se reduce a la mitad, ¿cómo cambia la componente centrípeta de la aceleración?

86. Fuerza centrípeta Un objeto de masa m se mueve con rapidez constante v siguiendo una trayectoria circular de radio r. La fuerza requerida para producir la componente centrípeta de la aceleración se llama fuerza centrípeta y está dada por F 5 mv 2yr. La ley de Newton de la gravitación universal establece que F 5 GMmyd 2, donde d es la distancia entre los centros de los dos cuerpos de masas M y m, y G es una constante gravitatoria. Usar esta ley para mostrar que la rapidez requerida para el movimiento circular es v 5 !GMyr. Velocidad orbital En los ejercicios 87 a 90, usar el resultado del ejercicio 86 para hallar la rapidez necesaria para la órbita circular dada alrededor de la Tierra. Tomar GM 5 9.56 3 104 millas cúbicas por segundo al cuadrado, y suponer que el radio de la Tierra es 4 000 millas. 87. La órbita de un transbordador espacial que viaja a 115 millas sobre la superficie de la Tierra. 88. La órbita de un transbordador espacial que viaja a 245 millas sobre la superficie de la Tierra. 89. La órbita de un satélite de detección térmica que viaja a 385 millas sobre la superficie de la Tierra. 90. La órbita de un satélite de comunicación que está en órbita geosíncrona a r millas sobre la superficie de la Tierra. [El satélite realiza una órbita por día sideral (aproximadamente 23 horas, 56 minutos) y, por consiguiente, parece permanecer estacionario sobre un punto en la Tierra.] ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 91 y 92, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre que es falsa. 91. Si el indicador de velocidad de un automóvil es constante, entonces el automóvil no puede estar acelerando. 92. Si aN 5 0 en un objeto en movimiento, entonces el objeto se mueve en una línea recta. 93. Una partícula sigue una trayectoria dada por r(t) 5 cosh(bt)i 1 senh(bt)j donde b es una constante positiva. a) Mostrar que la trayectoria de la partícula es una hipérbola. b) Mostrar que astd 5 b2 rstd. 94. Mostrar que el vector unitario normal principal N apunta hacia el lado cóncavo de una curva plana. 95. Mostrar que en un objeto que se mueve en línea recta el vector T9std es 0. iv 3 ai 96. Mostrar que aN 5 . ivi 97. Mostrar que aN 5 !iai2 2 aT2.

Preparación del examen Putnam 98. Una partícula de masa unitaria se mueve en línea recta bajo la acción de una fuerza que es función f svd de la velocidad v de la partícula, pero no se conoce la forma de esta función. Se observa el movimiento y se encuentra que la distancia x recorrida en el tiempo t está relacionada con t por medio de la fórmula x 5 at 1 bt2 1 ct3, donde a, b y c tienen valores numéricos determinados por la observación del movimiento. Hallar la función f svd para el rango de v cubierto en el experimento. Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

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SECCIÓN 12.5

Longitud de arco y curvatura

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12.5 Longitud de arco y curvatura n n n n

Calcular la longitud de arco de una curva en el espacio. Utilizar el parámetro de longitud de arco para describir una curva plana o curva en el espacio. Calcular la curvatura de una curva en un punto en la curva. Utilizar una función vectorial para calcular la fuerza de rozamiento.

Longitud de arco En la sección 10.3 se vio que la longitud de arco de una curva plana suave C dada por las ecuaciones paramétricas x 5 xstd y y 5 ystd, a ≤ t ≤ b, es

EXPLORACIÓN

Fórmula para la longitud de arco La fórmula para la longitud de arco de una curva en el espacio está dada en términos de las ecuaciones paramétricas que se usan para representar la curva. ¿Significa esto que la longitud de arco de la curva depende del parámetro que se use? ¿Sería deseable que fuera así? Explicar el razonamiento. Ésta es una representación paramétrica diferente de la curva del ejemplo 1. rstd 5 t 2 i 1

E

b

s5

!fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 dt.

a

En forma vectorial, donde C está dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj, se puede expresar esta ecuación de la longitud de arco como

E

b

s5

ir9std i dt.

a

La fórmula para la longitud de arco de una curva plana tiene una extensión natural a una curva suave en el espacio, como se establece en el teorema siguiente. TEOREMA 12.6 LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO Si C es una curva suave dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk, en un intervalo fa, bg, entonces la longitud de arco de C en el intervalo es

4 3 1 t j 1 t4 k 3 2

E

b

Hallar la longitud de arco desde t 5 0 hasta t 5 !2 y comparar el resultado con el encontrado en el ejemplo 1.

s5

a

EJEMPLO 1

z

Hallar la longitud de arco de una curva en el espacio

Hallar la longitud de arco de la curva dada por

r(t) = ti + 43t 3/2 j + 12t 2 k

2

C

Solución Utilizando xstd 5 t, ystd 5 43 t 3y2, y zstd 5 12 t 2, se obtiene x9std 5 1, y¢(t) = 2t1/2 y z9std 5 t. Por tanto, la longitud de arco desde t 5 0 hasta t 5 2 está dada por

t=2

1 2 −1

3

4

A medida que t crece de 0 a 2, el vector rst d traza una curva Figura 12.28

4 3y2 1 t j 1 t2k 3 2

desde t 5 0 hasta t 5 2, como se muestra en la figura 12.28.

1

x

ir9std i dt.

a

rstd 5 t i 1

t=0

E

b

!fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 1 fz9stdg 2 dt 5

y

E E E

2

s5

!fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 1 fz9stdg 2 dt

Fórmula para longitud de arco.

0 2

5

!1 1 4 t 1 t 2 dt

0 2

5

!st 1 2d2 2 3 dt


0

3 t 12 2 !st 1 2d

|4 0

3 ln st 1 2d 1 !st 1 2d2 2 3 2 3 3 5 2!13 2 lns4 1 !13 d 2 1 1 ln 3 < 4.816. 2 2 5

2

232

|

2

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CAPÍTULO 12


EJEMPLO 2

Curva: r(t) = b cos ti + b sen tj +

Hallar la longitud de arco de una hélice

1 − b2 tk

Hallar la longitud de un giro de la hélice dada por z

rstd 5 b cos ti 1 b sen sin t j 1 !1 2 b 2 t k

t = 2π

como se muestra en la figura 12.29. Solución Se comienza hallando la derivada. sen ti 1 b cos tj 1 !1 2 b 2 k r9std 5 2b sin

C

Derivada.

Ahora, usando la fórmula para la longitud de arco, se puede encontrar la longitud de un giro de la hélice integrando ir9stdi desde 0 hasta 2p. s5 5 t=0

b

b

y

5

E E E

2p

0 2p

ir9std i dt

Fórmula para la longitud de arco.

!b 2ssin sen22 t 1 cos2 td 1 s1 2 b 2d dt

0 2p

dt

0

x

4

5t

Un giro de la hélice Figura 12.29

2p 0

5 2p.

Por tanto, la longitud es 2p unidades.

Parámetro longitud de arco s(t) =

∫

t

[x′(u)]2 + [y′(u)]2 + [z′(u)]2 du

a

z

t=b

C t

Se ha visto que las curvas pueden representarse por medio de funciones vectoriales de maneras diferentes, dependiendo del parámetro que se elija. Para el movimiento a lo largo de una curva, el parámetro adecuado es el tiempo t. Sin embargo, cuando se desean estudiar las propiedades geométricas de una curva, el parámetro adecuado es a menudo la longitud de arco s. DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LONGITUD DE ARCO Sea C una curva suave dada por rstd definida en el intervalo cerrado fa, bg. Para a ≤ t ≤ b, la función longitud de arco está dada por

t=a y

E

t

sstd 5

a

x

E

t

ir9sud i du 5

!fx9sudg 2 1 f y9sudg 2 1 fz9sudg 2 du.

a

A la longitud de arco s se le llama parámetro longitud de arco. (Ver la figura 12.30.)

Figura 12.30 NOTA La función de longitud de arco s es no negativa. Mide la distancia sobre C desde el punto inicial sxsad, ysad, zsadd hasta el punto sxstd, ystd, zstdd. n

Usando la definición de la función longitud de arco y el segundo teorema fundamental de cálculo, se concluye que ds 5 ir9std i. dt En la forma diferencial, se escribe ds 5 ir9std i dt.

Derivada de la función longitud de arco.

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SECCIÓN 12.5


871

Hallar la función longitud de arco para una recta

EJEMPLO 3

Hallar la función longitud de arco sstd para el segmento de recta dado por

y

rstd 5 s3 2 3tdi 1 4t j, 0 ≤ t ≤ 1

r(t) = (3 − 3t)i + 4tj

4

y expresar r como función del parámetro s. (Ver la figura 12.31.)

0≤t≤1 3

Solución Como r9std 5 23i 1 4j y

2

ir9stdi 5 !s23d2 1 42 5 5 se tiene

1

E E

t

x 1

2

3

El segmento de recta desde (3, 0) hasta (0, 4) puede parametrizarse usando el parámetro longitud de arco s. Figura 12.31

sstd 5

ir9sudi du

0 t

5

5 du

0

5 5t. Usando s 5 5t (o t 5 sy5), se puede reescribir r utilizando el parámetro longitud de arco como sigue. rssd 5 s3 2 35sdi 1 45s j, 0 ≤ s ≤ 5. Una de las ventajas de escribir una función vectorial en términos del parámetro longitud de arco es que ir9ssdi 5 1. De este modo, en el ejemplo 3, se tiene ir9ssdi 5

!12 532 1 1452 2

2

5 1.

Así, dada una curva suave C representada por r(sd, donde s es el parámetro longitud de arco, la longitud de arco entre a y b es

E E

b

Lengthdeofarco arc 5 Longitud

ir9ssdi ds

a b

5

ds

a

5b2a 5 longitud length ofdel interval. intervalo. Además, si t es cualquier parámetro tal que ir9stdi 5 1, entonces t debe ser el parámetro longitud de arco. Estos resultados se resumen en el teorema siguiente que se presenta sin demostración.

TEOREMA 12.7 PARÁMETRO LONGITUD DE ARCO Si C es una curva suave dada por rssd 5 xssdi 1 yssdj o rssd 5 xssdi 1 yssdj 1 zssdk donde s es el parámetro longitud de arco, entonces ir9ssdi 5 1. Si t es cualquier parámetro para la función vectorial r tal que ir9stdi 5 1, entonces t debe ser el parámetro longitud de arco.

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CAPÍTULO 12


Curvatura

y

Q

C

P x

La curvatura en P es mayor que en Q.

Un uso importante del parámetro longitud de arco es hallar la curvatura, la medida de cuán agudamente se dobla una curva. Por ejemplo, en la figura 12.32 la curva se dobla más agudamente en P que en Q, y se dice que la curvatura es mayor en P que en Q. Se puede hallar la curvatura calculando la magnitud de la tasa o ritmo de cambio del vector unitario tangente T con respecto a la longitud de arco s, como se muestra en la figura 12.33. DEFINICIÓN DE CURVATURA

Figura 12.32

Sea C una curva suave (en el plano o en el espacio) dada por rssd, donde s es el parámetro longitud de arco. La curvatura K en s está dada por

y

T2

Q

T3

C

K5

T1

i ddsT i 5 iT9ssdi.

P x

La magnitud de la tasa o del ritmo de cambio de T respecto a la longitud de arco es la curvatura de una curva

Un círculo tiene la misma curvatura en todos sus puntos. La curvatura y el radio del círculo están relacionados inversamente. Es decir, un círculo con un radio grande tiene una curvatura pequeña, y un círculo con un radio pequeño tiene una curvatura grande. Esta relación inversa se explica en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 4

Figura 12.33 y

Mostrar que la curvatura de un círculo de radio r es K 5 1yr.

K = 1r T

Solución Sin pérdida de generalidad, se puede considerar que el círculo está centrado en el origen. Sea sx, yd cualquier punto en el círculo y sea s la longitud de arco desde sr, 0d hasta sx, yd, como se muestra en la figura 12.34. Denotando por u el ángulo central del círculo, puede representarse el círculo por

(x, y) r

θ

s (r, 0)

Hallar la curvatura de un círculo

x

rsud 5 r cos u i 1 r sen sin u j.

u es el parámetro.

Usando la fórmula para la longitud de un arco circular s 5 ru, se puede reescribir rsud en términos del parámetro longitud de arco como sigue. La curvatura de un círculo es constante Figura 12.34

s s rssd 5 r cos i 1 r sen sin j r r

La longitud de arco s es el parámetro.

s s sen i 1 cos j, de donde se sigue que ir9ssdi 5 1, lo que implica que el Así, r9ssd 5 2sin r r vector unitario tangente es Tssd 5

r9ssd s s 5 2sin sen i 1 cos j ir9ssd i r r

y la curvatura está dada por K 5 iT9ssd i 5

s 1 sin j i 5 i 2 1r cos sr i 2 1r sen r r

en todo punto del círculo.

NOTA Puesto que una recta no se curva, se esperaría que su curvatura fuera 0. Tratar de comprobar esto hallando la curvatura de la recta dada por

1

rssd 5 3 2

2

3 4 s i 1 sj. 5 5

n

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SECCIÓN 12.5

T(t)


873

En el ejemplo 4, la curvatura se encontró aplicando directamente la definición. Esto requiere que la curva se exprese en términos del parámetro longitud de arco s. El teorema siguiente da otras dos fórmulas para encontrar la curvatura de una curva expresada en términos de un parámetro arbitrario t. La demostración de este teorema se deja como ejercicio [ver ejercicio 100, incisos a) y b)].

∆T T(t + ∆t)

T(t) ∆s

C

TEOREMA 12.8 FÓRMULAS PARA LA CURVATURA Si C es una curva suave dada por rstd, entonces la curvatura K de C en t está dada por K5

iT9stdi ir9std 3 r0 std i 5 . ir9std i ir9std i3

T(t) ∆s

C

T(t)

∆T T(t + ∆t)

Como ir9std i 5 dsydt, la primera fórmula implica que la curvatura es el cociente de la tasa o ritmo de cambio del vector tangente T entre la tasa o ritmo de cambio de la longitud de arco. Para ver que esto es razonable, sea Dt un número “pequeño”. Entonces, T9std fTst 1 Dtd 2 TstdgyDt Tst 1 Dtd 2 Tstd DT < 5 5 . dsydt fsst 1 Dtd 2 sstdgyDt sst 1 Dtd 2 sstd Ds En otras palabras, para un Ds dado, cuanto mayor sea la longitud de DT, la curva se dobla más en t, como se muestra en la figura 12.35.

Figura 12.35

EJEMPLO 5

Hallar la curvatura de una curva en el espacio

1 Hallar la curvatura de la curva definida por rstd 5 2t i 1 t 2j 2 3 t 3k.

Solución No se sabe a simple vista si este parámetro representa la longitud de arco, así es que hay que usar la fórmula K 5 iT9std iyir9std i. r9std 5 2i 1 2t j 2 t 2k ir9std i 5 !4 1 4t 2 1 t 4 5 t 2 1 2 Tstd 5 T9std 5 5 iT9std i 5 5 5

Longitud de r9std.

r9std 2i 1 2t j 2 t 2k 5 ir9std i t2 1 2

st 2 1 2ds2j 2 2tkd 2 s2tds2i 1 2t j 2 t 2 kd st 2 1 2d2 24t i 1 s4 2 2t 2dj 2 4tk st 2 1 2d2 !16t 2 1 16 2 16t 2 1 4t 4 1 16t 2

st 2 1 2d2

2st 2 1 2d st 2 1 2d2 t2

2 12

Longitud de T9std.

Por tanto, K5

iT9std i 2 5 2 . ir9std i st 1 2d2

Curvatura.

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CAPÍTULO 12


El teorema siguiente presenta una fórmula para calcular la curvatura de una curva plana dada por y 5 f sxd.

TEOREMA 12.9 CURVATURA EN COORDENADAS RECTANGULARES Si C es la gráfica de una función dos veces derivable y 5 f sxd, entonces la curvatura K en el punto sx, yd está dada por K5

|y0 | . f1 1 s y9 d2g 3y2

Si se representa la curva C por rsxd 5 xi 1 f sxdj 1 0k (donde x es el parámetro), se obtiene r9sxd 5 i 1 f9sxdj, DEMOSTRACIÓN

ir9sxd i 5 !1 1 f f9sxdg 2 y r0 sxd 5 f 0 sxdj. Como r9sxd 3 r0 sxd 5 f 0 sxdk, se sigue que la curvatura es ir9sxd 3 r0 sxd i ir9sxd i3 f 0 sxd 5 H1 1 f f9sxdg 2J 3y2 y0 5 . f1 1 s y9 d2g 3y2

K5

|

y

r = radio de curvatura

| |

K = 1r

P r

x

Centro de curvatura

C

El círculo de curvatura Figura 12.36

Sea C una curva con curvatura K en el punto P. El círculo que pasa por el punto P de radio r 5 1yK se denomina el círculo de curvatura si su centro se encuentra en el lado cóncavo de la curva y tiene en común con la curva una recta tangente en el punto P. Al radio se le llama el radio de curvatura en P, y al centro se le llama el centro de curvatura. El círculo de curvatura permite estimar gráficamente la curvatura K en un punto P de una curva. Usando un compás, se puede trazar un círculo contra el lado cóncavo de la curva en el punto P, como se muestra en la figura 12.36. Si el círculo tiene radio r, se puede estimar que la curvatura es K 5 1yr. EJEMPLO 6

y=x

Solución La curvatura en x 5 2 se calcula como sigue:

P(2, 1) 1

Q(4, 0) x 1 −1

2

(2, −1)

y9 5 1 2

3

y0 5 2

−2

K5

−3 −4

r= 1 =2 K

El círculo de curvatura Figura 12.37

Hallar la curvatura en coordenadas rectangulares

Hallar la curvatura de la parábola dada por y 5 x 2 14x 2 en x 5 2. Dibujar el círculo de curvatura en s2, 1d.

− 14 x 2

y

−1

|

1 2

x 2

|y0 | f1 1 s y9 d2g 3y2

y9 5 0 y0 5 2 K5

1 2

1 2

Como la curvatura en Ps2, 1d es 12, el radio del círculo de curvatura en ese punto es 2. Por tanto, el centro de curvatura es s2, 21d, como se muestra en la figura 12.37. [En la figura, obsérvese que la curva tiene la mayor curvatura en P. Trate de mostrar que la curvatura en Qs4, 0d es 1y25y2 < 0.177.]

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SECCIÓN 12.5

La fuerza del empuje lateral que perciben los pasajeros en un automóvil que toma una curva depende de dos factores: la rapidez del automóvil y lo brusco de la curva Figura 12.38


875

La longitud de arco y la curvatura están estrechamente relacionadas con las componentes tangencial y normal de la aceleración. La componente tangencial de la aceleración es la tasa o ritmo de cambio de la rapidez, que a su vez es la tasa o ritmo de cambio de la longitud de arco. Esta componente es negativa cuando un objeto en movimiento reduce su velocidad y positiva cuando la aumenta, independientemente de si el objeto gira o viaja en una recta. En consecuencia, la componente tangencial es solamente función de la longitud de arco y es independiente de la curvatura. Por otro lado, la componente normal de la aceleración es función tanto de la rapidez como de la curvatura. Esta componente mide la aceleración que actúa perpendicular a la dirección del movimiento. Para ver por qué afectan la rapidez y la curvatura a la componente normal, imaginarse conduciendo un automóvil por una curva, como se muestra en la figura 12.38. Si la velocidad es alta y la curva muy cerrada, se sentirá empujado contra la puerta del automóvil. Al bajar la velocidad o tomar una curva más suave, se disminuye este efecto de empuje lateral. El teorema siguiente establece explícitamente la relación entre rapidez, curvatura y componentes de la aceleración. TEOREMA 12.10 ACELERACIÓN, RAPIDEZ Y CURVATURA Si rstd es el vector posición de una curva suave C, entonces el vector aceleración está dado por

NOTA

El teorema 12.10 da fórmulas adicionales para aT y aN. n

astd 5

1 2

d 2s ds 2 T 1 K dt dt

2

N

donde K es la curvatura de C y dsydt es la rapidez. Para el vector posición rstd, se tiene

DEMOSTRACIÓN

astd 5 aTT 1 aNN 5 Dt fivigT 1 ivi iT9 iN d 2s ds 5 2 T 1 siviKdN dt dt d 2s ds 2 5 2T1K N. dt dt

1 2

EJEMPLO 7

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Hallar aT y aN de la curva dada por rstd 5 2t i 1 t 2j 2 13 t 3k. Solución Por el ejemplo 5, se sabe que ds 5 ir9std i 5 t 2 1 2 y dt

K5

2 . st 2 1 2d2

Por tanto, aT 5

d 2s 5 2t dt 2

Componente tangencial.

y aN 5 K

1dsdt2

2

5

2 st 2 1 2d2 5 2. st 2 1 2d2

Componente normal.

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CAPÍTULO 12


Aplicación Hay muchas aplicaciones prácticas en física e ingeniería dinámica en las que se emplean las relaciones entre rapidez, longitud de arco, curvatura y aceleración. Una de estas aplicaciones se refiere a la fuerza de fricción o de rozamiento. Un objeto de masa m en movimiento está en contacto con un objeto estacionario. La fuerza requerida para producir una aceleración a a lo largo de una trayectoria dada es F 5 ma 5 m

1ddt s2T 1 mK1dsdt2 N 2

2

2

5 maTT 1 maNN. La porción de esta fuerza que es proporcionada por el objeto estacionario se llama fuerza de fricción o de rozamiento. Por ejemplo, si un automóvil se mueve con rapidez constante tomando una curva, la carretera ejerce una fuerza de fricción o rozamiento que impide que el automóvil salga de la carretera. Si el automóvil no se desliza, la fuerza de fricción es perpendicular a la dirección del movimiento y su magnitud es igual a la componente normal de la aceleración, como se muestra en la figura 12.39. La fuerza de rozamiento (o de fricción) potencial de una carretera en una curva puede incrementarse peraltando la carretera.

Fuerza de fricción

La fuerza de fricción es perpendicular a la dirección del movimiento Figura 12.39

EJEMPLO 8

60 km/h

Fuerza de fricción

Un coche de carreras (kart) de 360 kilogramos viaja a una velocidad de 60 kilómetros por hora por una pista circular de 12 metros de radio, como se muestra en la figura 12.40. ¿Qué fuerza de fricción (o rozamiento) debe ejercer la superficie en los neumáticos para impedir que el coche salga de su curso? Solución La fuerza de fricción o rozamiento debe ser igual a la masa por la componente normal de aceleración. En el caso de esta pista circular, se sabe que la curvatura es

12 m

K5

1 . 12

Curvatura de la pista circular.

Por consiguiente, la fuerza de fricción es maN 5 mK

1dsdt2

2

5 s360 kgd Figura 12.40

m 1121m2160,000 3 600sec s 2 3600

< 88333 333 s(kg kgds)(m md)ysec ys2. 2.

2

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SECCIÓN 12.5


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Resumen sobre velocidad, aceleración y curvatura Sea C una curva (en el plano o en el espacio) dada por la función de posición rstd 5 xstdi 1 ystdj rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk.

Curva en el plano. Curva en el espacio.

vstd 5 r9std ds ivstd i 5 5 ir9std i dt astd 5 r0 std 5 a TTstd 1 aNNstd

Vector velocidad, rapidez y vector aceleración:

r9std ir9std i

Vector unitario tangente y vector unitario normal principal:

Tstd 5

Componentes de la aceleración:

aT 5 a ? T 5

y

Nstd 5

Vector velocidad. Rapidez. Vector aceleración.

T9std iT9std i

v ? a d 2s 5 2 ivi dt iv 3 ai ds aN 5 a ? N 5 5 !iai2 2 aT2 5 K ivi dt

1 2

|y0 | f1 1 s y9 d2g 3y2 x9y0 2 y9x0 | K5 | 2 fsx9 d 1 s y9 d2g 3y2

Fórmulas para la curvatura en el plano:

K5

Fórmulas para la curvatura en el plano o en el espacio:

2

C dada por y 5 f sxd. C dada por x 5 xstd, y 5 ystd.

K 5 iT9ssd i 5 ir0ssd i iT9std i ir9std 3 r0 std i K5 5 ir9std i ir9std i3 astd ? Nstd K5 ivstd i 2

s es el parámetro longitud de arco. t es el parámetro general.

Las fórmulas con productos vectoriales aplican sólo a curvas en el espacio.

12.5 Ejercicios En los ejercicios 1 a 6, dibujar la curva plana y hallar su longitud en el intervalo dado. 1. r t

ti

3t j,

0, 4

2. r t

ti

t 2j,

0, 4

3. r t

t3 i

t2 j,

0, 2

4. r t

t

1i

t2 j,

cos3

5. r t

a

6. r t

a cos t i

ti

a

sen 3 t j,

a sen t j,

8. Movimiento de un proyectil Un objeto se lanza desde el nivel del suelo. Determinar el ángulo del lanzamiento para obtener a) la altura máxima, b) el alcance máximo y c) la longitud máxima de la trayectoria. En el inciso c), tomar v0 5 96 pies por segundo.

0, 6

0, 2 0, 2

En los ejercicios 9 a 14, dibujar la curva en el espacio y hallar su longitud sobre el intervalo dado. Función

Intervalo

7. Movimiento de un proyectil Una pelota de béisbol es golpeada desde 3 pies sobre el nivel del suelo a 100 pies por segundo y con un ángulo de 45° con respecto al nivel del suelo.

10. r t

a) Hallar la función vectorial de la trayectoria de la pelota de béisbol.

11. r t

4t,

b) Hallar la altura máxima.

12. r t

2 sen t, 5t, 2 cos t

c) Hallar el alcance.

13. r t

a cos t i

a sen t j

14. r t

cos t

t sen t, sen t

d) Hallar la longitud de arco de la trayectoria.

9. r t

ti

4t j t2j

i

3t k

0, 1

t3 k

0, 2

cos t, sen t

0,

3 2

0, bt k t cos t, t 2

0, 2 0,

2

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CAPÍTULO 12


En los ejercicios 15 y 16, usar las funciones de integración de una herramienta de graficación para aproximar la longitud de la curva en el espacio sobre el intervalo dado. Función

27. r t

ti

1 j, t

28. r t

ti

1 3 t j, 9

Intervalo

15. rstd 5 t 2 i 1 t j 1 ln t k

1 ≤ t ≤ 3

sin p t i 1 cos p t j 1 t k 16. rstd 5 sen

t

1 t

2

29. r t

t, sen t ,

30. r t

5 cos t, 4 sen t ,

t

2

0 ≤ t ≤ 2

3

17. Investigación Considerar la gráfica de la función vectorial rstd 5 t i 1 s4 2 t 2dj 1 t3 k en el intervalo f0, 2g.

t

3

En los ejercicios 31 a 40, hallar la curvatura K de la curva.

a) Aproximar la longitud de la curva hallando la longitud del segmento de recta que une sus extremos.

31. rstd 5 4 cos 2p t i 1 4 sen sin 2p t j

b) Aproximar la longitud de la curva sumando las longitudes de los segmentos de recta que unen los extremos de los vectores rs0d, rs0.5d, rs1d, rs1.5d, y rs2d.

sen v t j 33. rstd 5 a cos v t i 1 a sin

c) Describir cómo obtener una estimación más exacta mediante los procesos de los incisos a) y b). d) Usar las funciones de integración de una herramienta de graficación para aproximar la longitud de la curva. Comparar este resultado con las respuestas de los incisos a) y b). 18. Investigación Repetir el ejercicio 17 con la función vectorial rstd 5 6 cossp ty4d i 1 2 sen sinsp ty4d j 1 t k. 19. Investigación Considerar la hélice representada por la función vectorial rstd 5 k2 cos t, 2 sin sen t, tl. a) Expresar la longitud de arco s de la hélice como función de t evaluando la integral

E

t

s5

0

!fx9sudg2 1 f y9sudg2 1 fz9sudg 2 du.

b) Despejar t en la relación deducida en el inciso a), y sustituir el resultado en el conjunto de ecuaciones paramétricas original. Esto da una parametrización de la curva en términos del parámetro longitud de arco s. c) Hallar las coordenadas del punto en la hélice con longitud de arco s 5 !5 y s 5 4. d) Verificar que ir9ssdi 5 1.

sen t 2 t cos td, 4scos t 1 t sen rstd 5 k 4ssin sin td, 32 t2l. En los ejercicios 21 a 24, hallar la curvatura K de la curva donde s es el parámetro longitud de arco.

1

!2

2

2 1

s i1 12

sen v t j 34. rstd 5 a cos v t i 1 b sin sen vtd, as1 2 cos vtdl 35. rstd 5 kasvt 2 sin sen vt 2 vt cos vtl sin vt, sin 36. rstd 5 kcos vt 1 vt sen 37. rstd 5 t i 1 t 2 j 1

!2

2

2

s j

22. rssd 5 s3 1 sdi 1 j sin t, tl 23. La hélice del ejercicio 19: rstd 5 k2 cos t, 2 sen

t2 k 2

1 38. rstd 5 2t 2 i 1 tj 1 t 2 k 2

sen t k 39. rstd 5 4t i 1 3 cos t j 1 3 sin e2t i

40. r t

e2t cos t j

e2t sen tk

En los ejercicios 41 a 44, encontrar la curvatura K de la curva en el punto P. 41. r t

3ti

2t2j,

42. r t

et i

4tj, P 1, 0

43. r t

ti

44. r t

et cos ti

P

3, 2

t3 k, 4

t2j

P 2, 4, 2

et sen tj

45. y 5 3x 2 2,

x5a

49. y

cos 2x, x a2

51. y 53. y

x 5 21 2

x 2, x

3

x, x

0

2

En los ejercicios 25 a 30, hallar la curvatura K de la curva plana en el valor dado del parámetro. 25. rstd 5 4t i 2 2t j, t 5 1 t 2i j, t 2 26. r t

P 1, 0, 1

46. y 5 mx 1 b, x 5 a 4 48. y 5 2x 1 , x 5 1 x 50. y e3x, x 0 3 4

52. y

x 2,

16 n

54. y

x, x

1,

x n

0 2

Redacción En los ejercicios 55 y 56, se dan dos círculos de curvatura de la gráfica de la función. a) Hallar la ecuación del círculo menor, y b) escribir un párrafo corto que explique por qué los círculos tienen radios diferentes. 55. f sxd 5 sen sin x

56. f sxd 5 4x 2ysx 2 1 3d

y

y

24. La curva del ejercicio 20: rstd 5 k 4ssen sin t 2 t cos td, 4scos t 1 t sen sin td, 32 t 2l

et k,

En los ejercicios 45 a 54, hallar la curvatura y el radio de curvatura de la curva plana en el valor dado de x.

47. y 5 2x 2 1 3,

20. Investigación Repetir el ejercicio 19 con la curva representada por la función vectorial

21. rssd 5 1 1

32. rstd 5 2 cos p t i 1 sin sen p t j

3 2

6

(π2 , 1) π

−2 −3

( −π3 , − 23 )

4

(3, 3)

x

x

(0, 0) −4 −6

2

4

6

8

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SECCIÓN 12.5

En los ejercicios 57 a 60, usar una herramienta de graficación para representar la función. En la misma pantalla, representar el círculo de curvatura de la gráfica en el valor dado de x. 1 57. y 5 x 1 , x 59. y 5 e x,

x51

x50

58. y 5 ln x, 60. y 5 x3,

77. Dada una función dos veces derivable y 5 f sxd, determinar su curvatura en un extremo relativo. ¿Puede la curvatura tener valores mayores que los que alcanza en un extremo relativo? ¿Por qué sí o por qué no?

x51

Evoluta Un evoluta es la curva formada por el conjunto de centros de curvatura de una curva. En los ejercicios 61 y 62 se dan una curva y su evoluta. Usar un compás para trazar los círculos de curvatura con centros en los puntos A y B. x 5 t 2 sen sin t

61. Cicloide:

Para discusión 78. Una partícula se mueve a lo largo de la curva plana C descrita por r(t) 5 ti 1 t2j. a) Encontrar la longitud de C en el intervalo 0 # t # 2.

y

y 5 1 2 cos t

b) Encontrar la curvatura K de la curva plana en t 5 0, t 5 1 y t 5 2.

π

x 5 sen sin t 1 t

Evoluta:

y 5 cos t 2 1 π

c) Describir la curvatura de C cuando t varía desde t 5 0 hasta t 5 2.

x

B

79. En la elipse dada por x 2 1 4y 2 5 4., mostrar que la curvatura es mayor en los puntos terminales del eje mayor, y es menor en los puntos terminales del eje menor.

A

−π

x 5 3 cos t

62. Elipse:

y

y 5 2 sen sin t

80. Investigación Hallar todos los a y b tales que las dos curvas dadas por x y1 5 axsb 2 xd y y2 5 x12

π

x 5 53 cos3 t

Evoluta:

B

sen33 t y 5 52 sin −π

A

π

x

−π

se corten en un solo punto y tengan una recta tangente común y curvatura igual en ese punto. Trazar una gráfica para cada conjunto de valores de a y b. CAS

81. Investigación Considerar la función f sxd 5 x 4 2 x 2. a) Usar un sistema computacional para álgebra y encontrar la curvatura K de la curva como función de x.

En los ejercicios 63 a 70 a) hallar el punto de la curva en el que la curvatura K es máxima y b) hallar el límite de K cuando x → `. 63. y 5 sx 2 1d2 1 3

64. y 5 x3

65. y 5 x 2y3

66. y 5

67. y 5 ln x

68. y 5 e

69. y

70. y

senh x

71. y 5 1 2

73. y 5 cos x

b) Usar el resultado del inciso a) para hallar los círculos de curvatura de la gráfica de f en x 5 0 y x 5 1. Usar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente la función y los dos círculos de curvatura.

1 x

c) Representar gráficamente la función Ksxd y compararla con la gráfica de f sxd. Por ejemplo, ¿se presentan los extremos de f y K en los mismos números críticos? Explicar el razonamiento.

x

cosh x

En los ejercicios 71 a 74, hallar todos los puntos de la gráfica de una función en los que la curvatura es cero. x3

879

Desarrollo de conceptos (continuación)

x51

1 3


82. Investigación La superficie de una copa se forma por revolución de la gráfica de la función y 5 14 x 8y5,

72. y 5 sx 2 1d 1 3 sin x 74. y 5 sen

0 ≤ x ≤ 5

en torno al eje y. Las medidas se dan en centímetros.

3

CAS

a) Usar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente la superficie. b) Hallar el volumen de la copa.


c) Hallar la curvatura K de la curva generatriz como función de x. Usar una herramienta de graficación para representar K.

75. a) Dada la fórmula para la longitud de arco de una curva suave en el espacio.

d) Si un objeto esférico se deja caer en la copa, ¿es posible que toque el fondo? Explicar la respuesta.

b) Dada las fórmulas para la curvatura en el plano y en el espacio.

83. Una esfera de radio 4 se deja caer en el paraboloide dado por z 5 x 2 1 y 2.

76. Describir la gráfica de una función vectorial para la que la curvatura sea 0 en todos los valores t de su dominio.

a) ¿Qué tanto se acercará la esfera al vértice del paraboloide? b) ¿Cuál es el radio de la esfera mayor que toca el vértice?

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CAPÍTULO 12


84. Rapidez Cuanto menor es la curvatura en una curva de una carretera, mayor es la velocidad a la que pueden ir los automóviles. Suponer que la velocidad máxima en una curva es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la curvatura. Un automóvil que recorre la trayectoria y 5 13 x3 (x y y medidos en millas) puede ir con seguridad a 30 millas por hora en s1, 13 d. ¿Qué tan rápido puede ir en s32, 98 d? 85. Sea C una curva dada por y 5 f sxd. Sea K la curvatura sK Þ 0d en el punto Psx0, y0d y sea z5

1 1 f9sx0d2 . f 0 sx0d

Mostrar que las coordenadas sa, bd del centro de curvatura en P son sa, bd 5 sx0 2 f9sx0dz, y0 1 zd. 86. Usar el resultado del ejercicio 85 para hallar el centro de curvatura de la curva en el punto dado. a) y 5 e x,

s0, 1d b) y 5

x2 , 2

11, 122

c) y 5 x2,

s0, 0d

87. Se da una curva C por medio de la ecuación polar r 5 f sud. Mostrar que la curvatura K en el punto sr, ud es K5

f2sr9 d2 2 rr0 1 r2g . fsr9 d2 1 r2g3y2

fSugerencia: Representar la curva por r1u2 5 r cos u i 1 r sen u j.] 88. Usar el resultado del ejercicio 87 para hallar la curvatura de cada una de las curvas polares. a) r 5 1 1 sen sin u

b) r 5 u

sen u c) r 5 a sin

d) r 5 eu

89. Dada la curva polar r 5 eau, a > 0, hallar la curvatura K y determinar el límite de K cuando a) u → ` y b) a → `. 90. Mostrar que la fórmula para la curvatura de una curva polar r 5 f sud dada en el ejercicio 87 se reduce a K 5 2y r9 para la curvatura en el polo.

| |

En los ejercicios 91 y 92, usar el resultado del ejercicio 90 para hallar la curvatura de la curva rosa en el polo. 91. r 5 4 sen sin 2u

92. r 5 6 cos 3u

93. Para la curva suave dada por las ecuaciones paramétricas x 5 f std y y 5 gstd, demostrar que la curvatura está dada por K5

| f9stdg0 std 2 g9stdf 0 std| . Hf f9stdg 2 1 f g9 stdg 2J3y2

97. Fuerza de rozamiento o de fricción Un vehículo de 5 500 libras va a una velocidad de 30 millas por hora por una glorieta de 100 pies de radio. ¿Cuál es la fuerza de fricción o de rozamiento que debe ejercer la superficie de la carretera en los neumáticos para impedir que el vehículo salga de curso? 98. Fuerza de rozamiento o de fricción Un vehículo de 6 400 libras viaja a 35 millas por hora en una glorieta de 250 pies de radio. ¿Cuál es la fuerza de fricción o de rozamiento que debe ejercer la superficie de la carretera en los neumáticos para impedir que el vehículo salga de curso? 99. Verificar que la curvatura en cualquier punto sx, yd de la gráfica de y 5 cosh x es 1yy2. 100. Usar la definición de curvatura en el espacio K 5 iT9(s)i 5 ir0(s)i, para verificar cada una de las fórmulas siguientes. iT9std i a) K 5 ir9std i ir9std 3 r0 std i b) K 5 ir9std i3 c) K 5

astd ? Nstd ivstd i2

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 101 a 104, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa. 101. La longitud de arco de una curva en el espacio depende de la parametrización. 102. La curvatura de un círculo es igual a su radio. 103. La curvatura de una recta es 0. 104. La componente normal de la aceleración es función tanto de la velocidad como de la curvatura. Leyes de Kepler En los ejercicios 105 a 112, se pide verificar las leyes de Kepler del movimiento planetario. En estos ejercicios, suponer que todo planeta se mueve en una órbita dada por la función vectorial r. Sean r 5 r , G la constante gravitatoria universal, M la masa del Sol y m la masa del planeta.

|| ||

dr . dt 106. Usando la segunda ley del movimiento de Newton, F 5 ma, y la segunda ley de la gravitación de Newton, F 5 21GmMYr32r, mostrar que a y r son paralelos, y que rstd 3 r9std 5 L es un vector constante. Por tanto, rstd se mueve en un plano fijo, ortogonal a L. 105. Demostrar que r ? r9 5 r

34

d r 1 5 3 Hfr 3 r9 g 3 rJ. dt r r r9 r 108. Mostrar que 3 L 2 5 e es un vector constante. GM r 109. Demostrar la primera ley de Kepler: todo planeta describe una órbita elíptica con el Sol como uno de sus focos.

94. Usar el resultado del ejercicio 93 para encontrar la curvatura K de la curva representada por ecuaciones paramétricas xstd 5 t3 y ystd 5 12t 2. Usar una herramienta de graficación para representar K y determinar toda asíntota horizontal. Interpretar las asíntotas en el contexto del problema.

107. Demostrar que

95. Usar el resultado del ejercicio 93 para encontrar la curvatura K de la cicloide representada por las ecuaciones paramétricas

110. Suponer que la órbita elíptica r 5 edys1 1 e cos ud está en el plano xy, con L a lo largo del eje z. Demostrar que i L i 5 r 2 duydt.

xsud 5 asu 2 sen sin ud y

ysud 5 as1 2 cos ud.

¿Cuáles son los valores mínimo y máximo de K? 96. Usar el teorema 12.10 para encontrar aT y aN de cada una de las curvas dadas por las funciones vectoriales. a) rstd 5 3t 2 i 1 s3t 2 t 3dj

b) rstd 5 t i 1 t 2 j 1 12 t 2 k

111. Demostrar la segunda ley de Kepler: todo rayo del Sol a un planeta barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales. 112. Demostrar la tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo de la órbita de un planeta es proporcional al cubo de la distancia media entre el planeta y el Sol.

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12

En los ejercicios 1 a 4, a) hallar el dominio de r y b) determinar los valores de t (si los hay) en los que la función es continua. 1 1. r(t) 5 tan t i 1 j 1 t k 2. rstd 5 !t i 1 j1k t24 3. rstd 5 ln t i 1 t j 1 t k

4. rstd 5 s2t 1 1d i 1 t 2 j 1 t k

En los ejercicios 5 y 6, evaluar (si es posible) la función vectorial en cada uno de los valores dados de t. 5. r t

2t

t2 j

1i

t

1p2 2

c) rss 2 pd d) rsp 1 Dtd 2 rspd

CAS

cos t,

sen t

8. r t

2, t2

t

1

En los ejercicios 9 a 14, usar un sistema algebraico por computadora a fin de representar gráficamente la curva en el espacio representada por la función vectorial. 9. rstd 5 i 1 t j 1 t 2 k

t2 i

10. r t

11. rstd 5 k1, sen sin t, 1l

t3 k

3t j

12. rstd 5 k2 cos t, t, 2 sen sin tl

1 13. rstd 5 k t, ln t, 2t 2l

14. rstd 5

En los ejercicios 15 y 16, hallar las funciones vectoriales que describen la frontera de la región de la figura. y

15.

b) r0 xtc

d) Dt [uxtc 2 2rxtc]

e) Dt [ rxtc ] , t > 0

|| ||

5

4

4

3

3

2

2

1 3

4

5

1 k t

En los ejercicios 27 a 30, hallar la integral indefinida. 27.

30.

E E E

scos t i 1 t cos t jd dt

28.

E

sln t i 1 t ln t j 1 kd dt

icos t i 1 sen sin t j 1 t ki dt

st j 1 t 2 kd 3 si 1 t j 1 t kd dt

E E

33.

s3t i 1 2t 2 j 2 t 3 kd dt

32.

1

2

3

4

5

17. Una partícula se mueve en una trayectoria recta que pasa por los puntos s22, 23, 8d y s5, 1, 22d. Hallar una función vectorial para esta trayectoria. (Hay muchas respuestas correctas.) 18. El borde exterior de una escalera de caracol tiene forma de una hélice de 2 metros de radio. La altura de la escalera es 2 metros y gira tres cuartos de una revolución completa de abajo a arriba. Hallar una función vectorial para la hélice. (Hay muchas respuestas correctas.)

d

!t j 1 t sen sin tk dt

0 1

se ty2 i 2 3t 2 j 2 kd dt

34.

21

0

x

Es E 1

22 2

1 2

1

26. Redacción La componente x de la derivada de la función vectorial u es 0 para t en el dominio de la función. ¿Qué implica esta información acerca de la gráfica de u?

31.

x 1

f) Dt [rxtc 3 uxtc] 2 3 3t k

25. Redacción Las componentes x y y de la derivada de la función vectorial u son positivas en t 5 t0, y la componente z es negativa. Describir el comportamiento de u en t 5 t0.

2

5

t2 j

En los ejercicios 31 a 34, evaluar la integral definida.

y

16.

c) Dt [rxtc ? uxtc]

a) r9xtc

29.

k 12t, !t, 14t 3l

2

En los ejercicios 23 y 24, hallar lo siguiente.

sin t i 1 cos t j 1 t k, ustd 5 sen sin t i 1 cos t j 1 24. rstd 5 sen

En los ejercicios 7 y 8, trazar la curva plana representada por la función vectorial y dar la orientación de la curva. 7. r t

1

23. rstd 5 3t i 1 st 2 1d j, ustd 5 t i 1

2k

a) rs0d b) rs22d c) rsc 2 1d d) rs1 1 Dtd 2 rs1d 6. rstd 5 3 cos t i 1 s1 2 sen sin td j 2 t k a) rs0d b) r

En los ejercicios 21 y 22, evaluar el límite. sen sin 2t lím 21. lím t i 22. lim i 1 e2t j 1 et k 4 tj k t→0 t→4 t

st 3 i 1 arcsen arcsin tj 2 t 2 kd dt

En los ejercicios 35 y 36, hallar rxtc para las condiciones dadas. 35. r9std 5 2t i 1 et j 1 e2t k, rs0d 5 i 1 3j 2 5k 36. r9std 5 sec t i 1 tan t j 1 t 2 k, rs0d 5 3k En los ejercicios 37 a 40, el vector posición r describe la trayectoria de un objeto que se mueve en el espacio. Hallar la velocidad, la rapidez y la aceleración del objeto. 37. r t

4ti

t3j

tk

sen33 t, 3tl 39. rstd 5 kcos3 t, sin

38. r t

ti

5tj

2t2k

40. rstd 5 kt, 2tan t, et l

En los ejercicios 19 y 20, dibujar la curva en el espacio representada por la intersección de las superficies. Usar el parámetro x 5 t para hallar una función vectorial para la curva en el espacio.

Aproximación lineal En los ejercicios 41 y 42, hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la gráfica de la función vectorial en t 5 t0. Usar las ecuaciones de la recta para aproximar rxt0 1 0.1c.

19. z 5 x 2 1 y 2,

x1y50

41. rstd 5 lnst 2 3d i 1 t 2 j 1 12t k,

20. x 2 1 z 2 5 4,

x2y50

t0 5 4

42. rstd 5 3 cosh t i 1 senh sinh t j 2 2t k, t0 5 0

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CAPÍTULO 12


Movimiento de un proyectil En los ejercicios 43 a 46, usar el modelo para el movimiento de un proyectil, suponiendo que no hay resistencia del aire. [axtc 5 232 pies por segundo al cuadrado o astd 5 29.8 metros por segundo al cuadrado.]

En los ejercicios 59 a 62, dibujar la curva plana y hallar su longitud en el intervalo dado.

43. Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo a una velocidad inicial de 84 pies por segundo con un ángulo de 30° con la horizontal. Hallar el alcance del proyectil.

60. rstd 5 t 2 i 1 2tk

44. El centro de la caja de un camión está a 6 pies hacia abajo y a 4 pies horizontalmente del extremo de una cinta transportadora horizontal que descarga grava (ver la figura). Determinar la velocidad dsydt a que la cinta transportadora debe moverse para que la grava caiga en el centro de la caja del camión. v0

Función

Intervalo

59. rstd 5 2ti 2 3tj

f0, 5g f0, 3g f0, 2pg f0, 2pg

sin3 t j 61. rstd 5 10 cos3 t i 1 10 sen sin t j 62. rstd 5 10 cos t i 1 10 sen

En los ejercicios 63 a 66, dibujar la curva en el espacio y hallar su longitud en el intervalo dado. Función

Intervalo f0, 3g f0, 2g f0, py2g f0, py2g

63. rstd 5 23t i 1 2tj 1 4tk

4 pies

64. rstd 5 ti 1 t 2 j 1 2tk sin t, tl 65. rstd 5 k8 cos t, 8 sen

6 pies

sin t 2 t cos td, 2scos t 1 t sen sin td, tl 66. rstd 5 k2ssen

En los ejercicios 67 a 70, hallar la curvatura K de la curva. 67. rstd 5 3ti 1 2tj 45. Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo con un ángulo de 20° con la horizontal. El proyectil tiene un alcance de 95 metros. Hallar la velocidad inicial mínima. 46. Usar una herramienta de graficación para representar las trayectorias de un proyectil si v0 5 20 metros por segundo, h 5 0 y a) u 5 308, b) u 5 45° y c) u 5 608. Usar las gráficas para aproximar en cada caso la altura máxima y el alcance máximo del proyectil. En los ejercicios 47 a 54, hallar la velocidad, la rapidez y la aceleración en el instante t. A continuación hallar a ? T y a ? N en el instante t. 47. rstd 5 s2 2 td i 1 3tj

48. rstd 5 s1 1 4td i 1 s2 2 3td j

49. rstd 5 t i 1 !t j

50. rstd 5 2st 1 1d i 1

2 j t11

51. rstd 5 et i 1 e2t j sin t j 52. rstd 5 t cos t i 1 t sen

69. rstd 5 2ti 1

1 2 2t j

68. rstd 5 2!t i 1 3tj 1

t2k

sin tk 70. rstd 5 2ti 1 5 cos tj 1 5 sen En los ejercicios 71 y 72, encontrar la curvatura K de la curva en el punto P. 71. rstd 5

1 2 1 t i 1 tj 1 t3k, 2 3

P

112, 1, 132

sin tj 1 tk, Ps24, 0, pd 72. rstd 5 4 cos ti 1 3 sen En los ejercicios 73 a 76, hallar la curvatura y el radio de curvatura de la curva plana en el valor dado de x. 73. y 5 12 x 2 1 2,

x54

74. y 5 e2xy2,

x50

p 4 77. Redacción Un ingeniero civil diseña una autopista como se muestra en la figura. BC es un arco del círculo. AB y CD son rectas tangentes al arco circular. Criticar el diseño. 75. y 5 ln x,

1 2 t k 2 1 54. rstd 5 st 2 1d i 1 t j 1 k t 53. rstd 5 t i 1 t 2 j 1

x51

B

76. y 5 tan x, x 5

y

C 2

(1, 1)

1 x

En los ejercicios 55 y 56, hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva en el espacio en el punto dado. p sin t j 1 t k, t 5 55. rstd 5 2 cos t i 1 2 sen 3 2 56. rstd 5 t i 1 t 2 j 1 3t3 k, t 5 2

57. Órbita de un satélite Hallar la velocidad necesaria para que un satélite mantenga una órbita circular 550 millas sobre la superficie de la Tierra. 58. Fuerza centrípeta Un automóvil circula por una glorieta al doble de la velocidad permitida. ¿En un factor de cuánto aumenta la fuerza centrípeta sobre la que se tendría a la velocidad permitida?

A

D

−2

1

2

3

(− 1, −1)

Figura para 77

Figura para 78

78. Un segmento de recta se extiende horizontalmente a la izquierda desde el punto s21, 21d. Otro segmento de recta se extiende horizontalmente a la derecha del punto s1, 1d, como se muestra en la figura. Hallar una curva de la forma y 5 ax 5 1 bx 3 1 cx que una los puntos s21, 21d y s1, 1d de manera que la pendiente y curvatura de la curva sean cero en los puntos terminales.

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SP

1. La espiral de Cornu está dada por

E

t

xstd 5

883

cos

0

E

t

pu2

1 2 2 du

y

ystd 5

0

pu2

1 2 2 du.

sin sen

4. Repetir el ejercicio 3 si el bombardero está orientado en dirección opuesta a la del lanzamiento, como se muestra en la figura. y 4 000

La espiral mostrada en la figura fue trazada sobre el intervalo 2 p ≤ t ≤ p.

3 200 Bomba 1 600

Proyectil θ

Cañón

x 5 000

5. Considerar un arco de la cicloide rsud 5 su 2 sen sin udi 1 s1 2 cos udj, 0 # u # 2p Generada con Mathematica

a) Hallar la longitud de arco de esta curva desde t 5 0 hasta t 5 a. b) Hallar la curvatura de la gráfica cuando t 5 a. c) La espiral de Cornu la descubrió James Bernoulli. Bernoulli encontró que la espiral tiene una relación interesante entre curvatura y longitud del arco. ¿Cuál es esta relación?

que se muestra en la figura. Sea s(u) la longitud de arco desde el punto más alto del arco hasta el punto (x(u), y(u)), y sea r(u) 5 1 el radio de curvatura en el punto (x(u), y(u)). K Mostrar que s y r están relacionados por la ecuación s2 1 r2 5 16. (Esta ecuación se llama ecuación natural de la curva.) y

2. Sea T la recta tangente en el punto Psx, yd a la gráfica de la curva x 2y3 1 y2y3 5 a 2y3, a > 0, como se observa en la figura. Mostrar que el radio de curvatura en P es el triple de la distancia del origen a la recta tangente T.

(x(θ ), y(θ ))

y a

x

P(x, y)

π x

a

−a

T −a

3. Un bombardero vuela horizontalmente a una altitud de 3 200 pies con una velocidad de 400 pies por segundo cuando suelta una bomba. Un proyectil se lanza 5 segundos después desde un cañón orientado hacia el bombardero y abajo a 5 000 pies del punto original del bombardero, como se muestra en la figura. El proyectil va a interceptar la bomba a una altitud de 1 600 pies. Determinar la velocidad inicial y el ángulo de inclinación del proyectil. (Despreciar la resistencia del aire.) y

2π

6. Considere la cardioide r 5 1 2 cos u, 0 ≤ u ≤ 2p, que se muestra en la figura. Sea ssud la longitud de arco desde el punto 1 s2, pd de la cardioide hasta el punto sr, ud, y sea rsud 5 el K radio de curvatura en el punto sr, ud. Mostrar que s y r están relacionados por la ecuación s 2 1 9r2 5 16. (Esta ecuación se llama ecuación natural de la curva.) π 2

(r, θ ) (2, π ) 0 1

4 000

3 200 Bomba 1 600

7. Si rstd es una función no nula y derivable en t, demostrar que

Proyectil θ x

Cañón

5 000

d 1 sirstdid 5 r std ? r9std. dt irstdi

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CAPÍTULO 12


8. Un satélite de comunicaciones se mueve en una órbita circular alrededor de la Tierra a una distancia de 42 000 kilómetros del centro de la Tierra. La velocidad angular du p radianes por hora 5v5 dt 12

a) Utilizar coordenadas polares para mostrar que el vector aceleración está dado por d 2r d 2r du 5 2r 2 dt dt 2 dt

1 2 4u 1 3r ddtu 1 2 drdt ddtu4u

3

a) Usar una herramienta de graficación para representar la función. b) Hallar la longitud de arco en el inciso a).

es constante.

a5

13. Considerar la función vectorial rstd 5 kt cos p t, t sen sin p tl, 0 # t # 2.

2

2

r

2

u

donde ur 5 cos u i 1 sen sin u j es el vector unitario en la dirección radial y uu 5 2sin sen u i 1 cos uj. b) Hallar las componentes radial y angular de la aceleración para el satélite. En los ejercicios 9 a 11, usar el vector binormal definido por la ecuación B 5 T 3 N. 9. Hallar los vectores unitario tangente, unitario normal y binorp sin tj 1 3tk en t 5 . mal a la hélice rstd 5 4 cos ti 1 4 sen 2 Dibujar la hélice junto con estos tres vectores unitarios mutuamente ortogonales. 10. Hallar los vectores unitario tangente, unitario normal y binorp mal a la curva rstd 5 cos ti 1 sen sin tj 2 k en t 5 . Dibujar la 4 hélice junto con estos tres vectores unitarios mutuamente ortogonales.

c) Hallar la curvatura K como función de t. Hallar las curvaturas cuando t es 0, 1 y 2. d) Usar una herramienta de graficación para representar la función K. e) Hallar (si es posible) el lím lim K. t→ `

f) Con el resultado del inciso e), hacer conjeturas acerca de la gráfica de r cuando t → `. 14. Se quiere lanzar un objeto a un amigo que está en una rueda de la fortuna (ver la figura). Las ecuaciones paramétricas siguientes dan la trayectoria del amigo r1std y la trayectoria del objeto r2std. La distancia está dada en metros y el tiempo en segundos.

1

r1std 5 15 sen sin

pt pt i 1 16 2 15 cos j 10 10

2 1

2

r2std 5 f22 2 8.03st 2 t0dg i 1

f1 1 11.47st 2 t0d 2 4.9st 2 t0d2g j

11. a) Demostrar que existe un escalar t, llamado torsión, tal que dByds 5 2 t N. b) Demostrar que

dN 5 2K T 1 t B. ds

(Las tres ecuaciones dTyds 5 K N, dNyds 5 2K T 1 t B, y dByds 5 2 t N son llamadas las fórmulas de Frenet-Serret.) 12. Una autopista tiene una rampa de salida que empieza en el ori1 5y2 gen de un sistema coordenado y sigue la curva y 5 32 x hasta el punto (4, 1) (ver la figura). Después sigue una trayectoria circular cuya curvatura es la dada por la curva en s4, 1d. ¿Cuál es el radio del arco circular? Explicar por qué la curva y el arco circular deben tener en (4, 1) la misma curvatura. Arco circular

y

a) Localizar la posición del amigo en la rueda en el instante t 5 0. b) Determinar el número de revoluciones por minuto de la rueda.

4

y=

1 5/2 x 32

c) ¿Cuál es la rapidez y el ángulo de inclinación (en grados) al que el objeto es lanzado en el instante t 5 t0?

2

(4, 1) x 2

4

6

d) Usar una herramienta de graficación para representar las funciones vectoriales usando un valor de t0 que permite al amigo alcanzar el objeto. (Hacer esto por ensayo y error.) Explicar la importancia de t0. e) Hallar el instante aproximado en el que el amigo deberá poder atrapar el objeto. Aproximar las velocidades del amigo y del objeto en ese instante.

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Functions of de Several Funciones varias Functions of Several Variables Variables variables

13 13 13

In this chapter, you will study functions of In Inthis thischapter, chapter,you youwill willstudy studyfunctions functionsof of En este capítulo se estudiarán funciones more than one independent variable. Many more more than than one one independent independent variable. variable. Many Many In this chapter, you will study functions of de másconcepts de una variable independiente. of the concepts presented are extensions of of ofthe the concepts presented presented are are extensions extensions of of more than one independent variable. Many Muchos de los conceptos presentados familiar ideas from earlier chapters. familiar familiar ideas ideas from from earlier earlier chapters. chapters. of the concepts presented are extensions of son extensiones de ideas familiares de familiar ideas from earlier chapters. In this chapter, you should learn the In In this this chapter, chapter, you you should should learn learn the the capítulos recientes. following. following. following. In this should learn the En estechapter, capítulo,you se aprenderá: following. ■ How to sketch graph, level curves, ■n ■ How How to totrazar sketch sketchuna aaagraph, graph, level level curves, curves, Cómo gráfica, curvas de and level surfaces. ( 13.1 ) and level level surfaces. surfaces. ( ( 13.1 13.1 ) ) ■ and nivel y superficies de nivel. ( 13.1 ) How to sketch a graph, level curves, ■ How to find a limit and determine ■ ■ and level surfaces. 13.1 ) y determiHow totoencontrar find find aalimit limit and determine determine n How Cómo un(and límite continuity. 13.2 continuity. (((13.2 13.2 ))) and ■ continuity. nar latocontinuidad. (13.2 ) How find a limit determine ■ How to find and use a partial derivative. ■ ■ How continuity. ( 13.2 ) n How to to find find and and use use a a partial partial derivative. derivative. Cómo encontrar y usar una derivada ( 13.3 ) ( ( 13.3 13.3 ) ) parcial. (13.3 ) use a partial derivative. ■ How to find and ■ n Cómo y usar unadifferential diferenHow to find and use total differential ■ ■ How (How 13.3to )toencontrar find findand anduse use aaatotal total differential cial total y determinar diferenciabili13.4 and determine differentiability. and and determine determine differentiability. differentiability. (((13.4 13.4))) ■ How to find and use a total differential dad. ( 13.4 ) ■ How to use the Chain Rules and find ■■ How and 13.4 Howdetermine to touse usethe thedifferentiability. Chain ChainRules Rulesand and(find find)aaa n partial Cómoderivative usar la regla de la cadena derivative implicitly. ( 13.5 ) partial derivative implicitly. implicitly. ( ( 13.5 13.5 ) )y a ■ partial How to use the Chain Rules and find encontrar una derivada parcial implí■ How to find and use directional ■ ■ How partial implicitly. (13.5) Howto toderivative find findand anduse use aaadirectional directional ■ ■ ■ cita. (13.5 ) a gradient. (13.6) derivative and derivative and and aagradient. gradient. ((13.6 13.6)) ■ derivative How to find and use a directional n Cómo encontrar y usar una derivada ■ ■ How to find an equation of aatangent tangent ■ ■ How derivative and aequation gradient. ) How to tofind find an equation of of(a13.6 tangent direccional yanun gradiente. (13.6) plane and an equation of a normal line plane plane and and an an equation equation of of a a normal normal line line ■ toencontrar find an equation of a tangent n How Cómo unatoecuación de un to a surface, and how find the angle to to a a surface, surface, and and how how to to find find the the angle angle plane and an equation of a normal line plano tangente y una ecuación de una of inclination of plane. ((13.7 13.7 of ofinclination of ofaaahow plane. plane. 13.7 ))) angle to ainclination surface, to (find the recta normaland a una superficie, y cómo ■ How to find absolute and ■ ■ How of inclination of a plane. (relative 13.7) How to tofind findelabsolute absolute and andinclinación relative relative encontrar ángulo de de extrema. ( 13.8 ) extrema. extrema. ( ( 13.8 13.8 ) ) ■ How to find(13.7 absolute un plano. ) and relative ■ How to solve an optimization problem, ■ ■ How extrema. (13.8 ) optimization How to tosolve solve an an optimization problem, problem, n Cómo encontrar los extremos absoluincluding constrained optimization using including constrained constrained optimization optimization using using ■ including tos y relativos. ( 13.8 ) How to solve an optimization problem, a Lagrange multiplier, and how to use the a a Lagrange Lagrange multiplier, multiplier, and and how how to to use use the the constrained optimization using n including Cómo resolver un problema de optimethod of least squares. ( 13.9, 13.10 ) method method of of least least squares. squares. ( ( 13.9, 13.9, 13.10 13.10 ) ) amización, Lagrangeincluida multiplier, and how to use optimización res-the method least squares. (13.9, 13.10 tringidaofusando un multiplicador de) Lagrange, y cómo usar el método de mínimos cuadrados. (13.9, 13.10)

NOAA NOAA NOAA

Meteorologists use maps that show curves of equal atmospheric pressure, called NOAA Meteorologists Meteorologistsuse usemaps mapsthat thatshow showcurves curvesof ofequal equalatmospheric atmosphericpressure, pressure,called called isobars , to predict weather patterns. How can you use pressure gradients to isobars isobars , , to to predict predict weather weather patterns. patterns. How How can can you you use use pressure pressure gradients gradients to to Los meteorólogos usan mapas que muestran curvas de presión atmosférica igual, ■ ■ ■ Meteorologists use maps that show curves of equal atmospheric pressure, called determine the area of the country that has the greatest wind speed? (See Section determine determine the the area areaof of the thepredecir country country that that has hascan the thegreatest greatest wind wind speed? speed? (See Section Section llamadas para losHow patrones del use clima. ¿Cómo se(See pueden isobars, toisobaras, predict weather patterns. you pressure gradients to usar los ■ 13.6, Exercise 68.) 13.6, 13.6, Exercise Exercise 68.) 68.) gradientes de presión paracountry determinar el área del paíswind que tiene las(See mayores determine the area of the that has the greatest speed? Section velocidades de 68.) viento? (Ver la sección 13.6, ejercicio 68.) 13.6, Exercise

zzz

zzz

zzz

yyy

z

z

z

y

xxx

yyy

yyy

yyy

y

y

y

xxx x

xxx

xxx

x x x Many real-life quantities are functions of two or more variables. In Section 13.1, you will learn how to graph function Muchas cantidades de laare vida real son devariables. dos o más En la sección 13.1 se to aprenderá cómo Many Manyreal-life real-life quantities quantities are functions functions of offunciones two twoor ormore more variables. In Invariables. Section Section13.1, 13.1, you you will will learn learn how how tograph graphaaafunction function of two variables, like the one shown above. The first three graphs show cut-away views of the surface at various graficar una función de dos variables, tal como la que se muestra arriba. Las primeras tres gráficas muestran visof of two two variables, variables, like like the the one one shown shown above. above. The The first first three three graphs graphs show show cut-away cut-away views views of of the the surface surface at at various various Many real-life quantities are functions of two or more variables. In Section 13.1, you will learn how to graph a function traces. Another way to visualize this surface is to project the traces onto the xy -plane, as shown in the fourth graph. tas cortadas de la superficie en varios trazos. Otra forma de visualizar estas superficies es proyectar los trazos traces. traces. Another Another way way to to visualize visualize this this surface surface is is to to project project the the traces traces onto onto the the xy xy -plane, -plane, as as shown shown in in the the fourth fourth graph. graph. of two variables, like the one shown above. The first three graphs show cut-away views of the surface at various hacia plano xy, taltocomo se muestra en laiscuarta gráfica. traces.elAnother way visualize this surface to project the traces onto the xy-plane, as shown in the fourth graph.

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CAPÍTULO 13

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Funciones de varias variables

13.1 Introducción a las funciones de varias variables n n n n n

Entender la notación para una función de varias variables. Dibujar la gráfica de una función de dos variables. Dibujar las curvas de nivel de una función de dos variables. Dibujar las superficies de nivel de una función de tres variables. Utilizar gráficos por computadora para representar una función de dos variables.

Funciones de varias variables EXPLORACIÓN

Comparación de dimensiones Sin usar una herramienta de graficación, describir la gráfica de cada función de dos variables.

Hasta ahora en este texto, sólo se han visto funciones de una sola variable (independiente). Sin embargo, muchos problemas comunes son funciones de dos o más variables. Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza sW 5 FDd y el volumen de un cilindro circular recto sV 5 p r 2hd son funciones de dos variables. El volumen de un sólido rectangular sV 5 lwhd es una función de tres variables. La notación para una función de dos o más variables es similar a la utilizada para una función de una sola variable. Aquí se presentan dos ejemplos.

a) z 5 x 2 1 y 2

z 5 f sx, yd 5 x2 1 xy

b) z 5 x 1 y c) z 5 x 2 1 y d) z 5 !x 2 1 y 2 e) z 5 !1 2 x 2 1 y 2

Función de 2 variables.

2 variables

y w 5 f sx, y, zd 5 x 1 2y 2 3z

Función de 3 variables.

3 variables

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

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Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) de D le corresponde un único número real f(x, y), entonces se dice que f es una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, y el correspondiente conjunto de valores f(x, y) es el rango de f.

MARY FAIRFAX SOMERVILLE (1780-1872) Somerville se interesó por el problema de crear modelos geométricos de funciones de varias variables. Su libro más conocido, The Mechanics of the Heavens, se publicó en 1831.

En la función dada por z 5 f sx, yd, x y y son las variables independientes y z es la variable dependiente. Pueden darse definiciones similares para las funciones de tres, cuatro o n variables donde los dominios consisten en tríadas (x1, x2, x3), tétradas (x1, x2, x3, x4) y n-adas (x1, x2, . . ., xn). En todos los casos, rango es un conjunto de números reales. En este capítulo, sólo se estudian funciones de dos o tres variables. Como ocurre con las funciones de una variable, la manera más común para describir una función de varias variables es por medio de una ecuación, y a menos que se diga explícitamente lo contrario, se puede suponer que el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la ecuación está definida. Por ejemplo, el dominio de la función dada por f sx, yd 5 x 2 1 y 2 se supone que es todo el plano xy. Similarmente, el dominio de f sx, yd 5 ln xy es el conjunto de todos los puntos sx, yd en el plano para los que xy > 0. Esto consiste en todos los puntos del primer y tercer cuadrantes.

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SECCIÓN 13.1

EJEMPLO 1

Introducción a las funciones de varias variables

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Dominios de funciones de varias variables

y

Hallar el dominio de cada función. 4

a) f sx, yd 5 2 1 −2

−1

−1

1

2

−2

−4

Dominio de x2 + y2 − 9 f(x, y) = x

Figura 13.1

x

b) g sx, y, zd 5

x !9 2 x 2 2 y 2 2 z 2

Solución x

−4

!x 2 1 y 2 2 9

4

a) La función f está definida para todos los puntos sx, yd tales que x Þ 0 y x 2 1 y 2 ≥ 9. Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que están en el círculo x 2 1 y 2 5 9, o en su exterior, con excepción de los puntos en el eje y, como se muestra en la figura 13.1. b) La función g está definida para todos los puntos sx, y, zd tales que x 2 1 y 2 1 z 2 < 9. Por consiguiente, el dominio es el conjunto de todos los puntos sx, y, zd que se encuentran en el interior de la esfera de radio 3 centrada en el origen. Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma manera que las funciones de una sola variable. Por ejemplo, se puede formar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de funciones de dos variables como sigue.

s f ± gdsx, yd 5 f sx, yd ± gsx, yd s f gd sx, yd 5 f sx, ydgsx, yd f f sx, yd sx, yd 5 g sx, yd Þ 0 g g sx, yd

Suma o diferencia. Producto. Cociente.

No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables. Sin embargo, si h es una función de varias variables y g es una función de una sola variable, puede formarse la función compuesta s g 8 hdsx, yd como sigue.

s g 8 hdsx, yd 5 g sh sx, ydd

Composición.

El dominio de esta función compuesta consta de todo sx, yd en el dominio de h tal que h sx, yd está en el dominio de g. Por ejemplo, la función dada por f sx, yd 5 !16 2 4x 2 2 y 2 puede verse como la composición de la función de dos variables dadas por h sx, yd 5 16 2 4x 2 2 y 2 y la función de una sola variable dada por gsud 5 !u. El dominio de esta función es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en la elipse dada por 4x2 1 y2 5 16 o en su interior. Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma cx m y n (donde c es un número real y m y n son enteros no negativos) se llama una función polinomial de dos variables. Por ejemplo, las funciones dadas por f sx, yd 5 x 2 1 y 2 2 2xy 1 x 1 2 y g sx, yd 5 3xy 2 1 x 2 2 son funciones polinomiales de dos variables. Una función racional es el cociente de dos funciones polinomiales. Terminología similar se utiliza para las funciones de más de dos variables.

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CAPÍTULO 13

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Gráfica de una función de dos variables Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho acerca del comportamiento de una función de dos variables dibujando su gráfica. La gráfica de una función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos sx, y, zd para los que z 5 f sx, yd y sx, yd está en el dominio de f. Esta gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio, como se explicó en las secciones 11.5 y 11.6. En la figura 13.2 hay que observar que la gráfica de z 5 f sx, yd es una superficie cuya proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. A cada punto (x, y) en D corresponde un punto (x, y, z) de la superficie y, viceversa, a cada punto (x, y, z) de la superficie le corresponde un punto (x, y) en D. Figura 13.2

EJEMPLO 2

Descripción de la gráfica de una función de dos variables

¿Cuál es el rango de f sx, yd 5 !16 2 4x 2 2 y 2 ? Describir la gráfica de f. Solución El dominio D dado por la ecuación de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que 16 2 4x 2 2 y 2 ≥ 0. Por tanto, D es el conjunto de todos los puntos que pertenecen o son interiores a la elipse dada por x2 y2 1 5 1. 4 16

Elipse en el plano xy.

El rango de f está formado por todos los valores z 5 f sx, yd tales que 0 ≤ z ≤ !16 o sea 0 ≤ z ≤ 4.

Rango de f.

Un punto (x, y, z) está en la gráfica de f si y sólo si z 5 !16 2 4x 2 2 y 2 La gráfica de f sx, yd 5 ! 16 2 4x 2 2 y 2 es la mitad superior de un elipsoide Figura 13.3

z 2 5 16 2 4x 2 2 y 2 4x 2 1 y 2 1 z 2 5 16 x2 y2 z2 1 1 5 1, 4 16 16

z=

16 − 4x 2 − y 2

0 ≤ z ≤ 4.

De acuerdo con la sección 11.6, se sabe que la gráfica de f es la mitad superior de un elipsoide, como se muestra en la figura 13.3.

z

Para dibujar a mano una superficie en el espacio, es útil usar trazas en planos paralelos a los planos coordenados, como se muestra en la figura 13.3. Por ejemplo, para hallar la traza de la superficie en el plano z 5 2, se sustituye z 5 2 en la ecuación z 5 !16 2 4x 2 2 y 2 y se obtiene 2 5 !16 2 4x 2 2 y 2 x

Figura 13.4

y

x2 y2 1 5 1. 3 12

Por tanto, la traza es una elipse centrada en el punto (0, 0, 2) con ejes mayor y menor de longitudes 4!3 y 2!3. Las trazas también se usan en la mayor parte de las herramientas de graficación tridimensionales. Por ejemplo, la figura 13.4 muestra una versión generada por computadora de la superficie dada en el ejemplo 2. En esta gráfica la herramienta de graficación tomó 25 trazas paralelas al plano xy y 12 trazas en planos verticales. Si se dispone de una herramienta de graficación tridimensional, utilícese para representar varias superficies.

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SECCIÓN 13.1

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Curvas de nivel

20

30

1008

40

30

30

30

20

100 4 100 8 1 10 01 16 2

20 1004

40

101 2

100 8 100 4 100 0

1008

100 4

101 2

Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usar un campo escalar en el que el escalar z 5 f sx, yd se asigna al punto sx, yd. Un campo escalar puede caracterizarse por sus curvas de nivel (o líneas de contorno) a lo largo de las cuales el valor de f sx, yd es constante. Por ejemplo, el mapa climático en la figura 13.5 muestra las curvas de nivel de igual presión, llamadas isobaras. Las curvas de nivel que representan puntos de igual temperatura en mapas climáticos, se llaman isotermas, como se muestra en la figura 13.6. Otro uso común de curvas de nivel es la representación de campos de potencial eléctrico. En este tipo de mapa, las curvas de nivel se llaman líneas equipotenciales.

50

1008

4

0 10

08 10

80

00 10

80

00 10

70

60

1008

90

Las curvas de nivel muestran las líneas de igual presión (isobaras) medidas en milibares

Las curvas de nivel muestran líneas de igual temperatura (isotermas) medidas en grados Fahrenheit

Figura 13.5

Figura 13.6

Alfred B. Thomas/Earth Scenes

Los mapas de contorno suelen usarse para representar regiones de la superficie de la Tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de mapas se llama mapa topográfico. Por ejemplo, la montaña mostrada en la figura 13.7 se representa por el mapa topográfico de la figura 13.8. Un mapa de contorno representa la variación de z respecto a x y y mediante espacio entre las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas de nivel indica que z cambia lentamente, mientras que un espacio pequeño indica un cambio rápido en z. Además, en un mapa de contorno, es importante elegir valores de c uniformemente espaciados, para dar una mejor ilusión tridimensional.

USGS

Figura 13.7

Figura 13.8

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CAPÍTULO 13

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Dibujo de un mapa de contorno

EJEMPLO 3

El hemisferio dado por f sx, yd 5 !64 2 x 2 2 y 2 se muestra en la figura 13.9. Dibujar un mapa de contorno de esta superficie utilizando curvas de nivel que correspondan a c 5 0, 1, 2, . . . , 8. Solución Para cada c, la ecuación dada por f sx, yd 5 c es un círculo (o un punto) en el plano xy. Por ejemplo, para c1 5 0, la curva de nivel es x 2 1 y 2 5 64

Círculo de radio 8.

la cual es un círculo de radio 8. La figura 13.10 muestra las nueve curvas de nivel del hemisferio.

f(x, y) =

64 −

x2

−

y2

z z

y

c1 = 0 c2 = 1 c3 = 2 c4 = 3

Superficie:

c5 = 4 c6 = 5 c7 = 6 c8 = 7

8

4

8

c9 = 8

12

x −8

10

−4

4

8

8 −4

6 4

8 x

2 4

4

x

y

−8

Hemisferio

Mapa de contorno

Figura 13.9

Figura 13.10

EJEMPLO 4 Superficie: z = y2 − x2

Figura 13.11

c= 0 c = −2 c = −4 c = −6 c = −8 c = −10 c = −12

y 4

x 4

−4

Curvas de nivel hiperbólicas (con incrementos de 2) Figura 13.12

El paraboloide hiperbólico dado por

se muestra en la figura 13.11. Dibujar un mapa de contorno de esta superficie.

c = 12

−4

Dibujo de un mapa de contorno

z 5 y2 2 x2

Paraboloide hiperbólico

c=2

y

8

Solución Para cada valor de c, sea f sx, yd 5 c y dibújese la curva de nivel resultante en el plano xy. Para esta función, cada una de las curvas de nivel sc Þ 0d es una hipérbola cuyas asíntotas son las rectas y 5 ± x. Si c < 0, el eje transversal es horizontal. Por ejemplo, la curva de nivel para c 5 24 está dada por x2 y2 2 5 1. 22 22

Hipérbola con eje transversal horizontal.

Si c > 0, el eje transversal es vertical. Por ejemplo, la curva de nivel para c 5 4 está dada por y2 x2 2 2 5 1. 2 2 2

Hipérbola con eje transversal vertical.

Si c 5 0, la curva de nivel es la cónica degenerada representada por las asíntotas que se cortan, como se muestra en la figura 13.12.

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SECCIÓN 13.1 13.1

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Introduction to Functions of Several Variables

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Un ejemplo de función de dos variables utilizada en economía es la función de producción de Cobb-Douglas. Esta función se utiliza como un modelo para representar el Onedeexample a functionalof two las variables useddeintrabajo economics is the número unidadesofproducidas variar cantidades y capital. Si Cobbx mide las Douglas production function. This function is used as a model to represent the unidades de trabajo y y mide las unidades de capital, el número de unidades producidas numbers of units produced by varying amounts of labor and capital. If x measures the está dado por units of labor and y measures the units of capital, the number of units produced is f sx, yd 5 Cx a y 12a given by donde C y a son constantes, con 0 < a < 1. f x, y Cx a y 1 a EJEMPLO 5 a La de producción where C and are función constants with 0 < a < 1. de Cobb-Douglas z = 100x0.6y0.4 y y 2 000

0.6 y 0.4 80 000 c = 160 000 zc==100x

c = 80,000 c = 160,000

2000 1 500

(2 000, 1 000)

1500 1 000 1000

(2000, 1000)

500

500

x 500

1 000 1 500 2 000 x (1 000, 500) 500 1000 1500 2000

(1000, 500) Curvas de nivel (con incrementos de 10 000) Figura Level curves13.13 (at increments of 10,000)

Figure 13.13

f(x, y, z) = c3 f (x, y, z) = c3 f(x, y, z) = c2 f(x, y, z) = c2

z

z

f (x, y, z) = c1 f (x, y, z) = c1

Un fabricante de juguetes estima que su función de producción es f sx, yd 5 100x 0.6 y 0.4, EXAMPLE 5 The de Cobb-Douglas Production donde x es el número unidades de trabajo y y esFunction el número de unidades de capital. Comparar el nivel de producción cuando x 5 1 000 y y 5 500 con el nivel de producción A toy manufacturer 100x 0.6 y 0.4, where cuando x 5 2 000 y yestimates 5 1 000.a production function to be f x, y x is the number of units of labor and y is the number of units of capital. Compare the production Cuando level when 500dewith the production level when Solución x 5 1x000 1000 y y 5 and 500, yel nivel producción es x 2000 and y 1000. ƒ(1 000, 500) 5 100(1 0000.6)(5000.4) ø 75 786. Solution When x 1000 and y 500, the production level is Cuando x 5 2 000 y y 5 1 000, el nivel de producción es f 1000, 500 100 1000 0.6 500 0.4 75,786. ƒ(2 000, 1 000) 5 100(2 0000.6)(1 0000.4) 5 151 572. When x 2000 and y 1000, the production level is Las curvas de nivel de z 5 f sx, yd se muestran en la figura 13.13. Nótese que al doblar 0.6 producción ambas x y y, se duplica100 el nivel ejercicio 79). f 2000, 1000 2000de 1000 0.4 (ver 151,572. The level curves of z

f x, y are shown in Figure 13.13. Note that by doubling both

Superficies de nivel the production level (see Exercise 79). x and y, you double El concepto de curva de nivel puede extenderse una dimensión para definir una superficie Level de nivel. Surfaces Si f es una función de tres variables y c es una constante, la gráfica de la ecuación es auna superficie de be nivel de la función como se to muestra la figura fThe sx, y,concept zd 5 c of level curve can extended by one f,dimension defineena level 13.14. surface. If f is a function of three variables and c is a constant, the graph of the Ingenieros han desarrollado mediante formas de ver equation f x, y,yz científicos c is a level surface of the functioncomputadoras f, as shown inotras Figure 13.14. funciones de tres variables. Por ejemplo, la figura 13.15 muestra una simulación compuWith computers, engineers and scientists have developed other ways to view tacional paraFor representar distribución de temperaturas del fluido que functionsque of usa threecolores variables. instance, la Figure 13.15 shows a computer simulation entra en el tubo. that uses color to represent the temperature distribution of fluid inside a pipe fitting.

y x

y

Superficies de nivel de f Level surfaces of f Figura 13.14 Figure 13.14

Imagen cortesía de CADFEM GmbH

x

TM y ANSYS Una forma común de One-way coupling of ANSYS CFX CFX™ and ANSYS Mechanical™ TM para análisis de esfuerzos térmicos. Mechanical for thermal stress analysis

Figura Figure 13.15

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CAPÍTULO 13

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EJEMPLO 6

Superficies de nivel

Describir las superficies de nivel de la función f sx, y, zd 5 4x 2 1 y 2 1 z 2. Solución

Cada superficie de nivel tiene una ecuación de la forma

4x 2 1 y 2 1 z 2 5 c. z

Superficies de nivel: 4x2 + y2 + z2 = c c=4

c=0 y x

c = 16

Ecuación de una superficie de nivel.

Por tanto, las superficies de nivel son elipsoides (cuyas secciones transversales paralelas al plano yz son círculos). A medida que c aumenta, los radios de las secciones transversales circulares aumentan según la raíz cuadrada de c. Por ejemplo, las superficies de nivel correspondientes a los valores c 5 0, c 5 4 y c 5 16 son como sigue. 4x 2 1 y 2 1 z 2 5 0 x2 y2 z2 1 1 51 1 4 4 2 2 x y z2 1 1 51 4 16 16

Superficie de nivel para c 5 0 (un solo punto). Superficie de nivel para c 5 4 (elipsoide). Superficie de nivel para c 5 16 (elipsoide).

Estas superficies de nivel se muestran en la figura 13.16.

Figura 13.16

NOTA Si la función del ejemplo 6 representara la temperatura en el punto (x, y, z), las superficies de nivel mostradas en la figura 13.16 se llamarían superficies isotermas. n

Gráficas por computadora El problema de dibujar la gráfica de una superficie en el espacio puede simplificarse usando una computadora. Aunque hay varios tipos de herramientas de graficación tridimensionales, la mayoría utiliza alguna forma de análisis de trazas para dar la impresión de tres dimensiones. Para usar tales herramientas de graficación, por lo general se necesita dar la ecuación de la superficie, la región del plano xy sobre la cual la superficie ha de visualizarse y el número de trazas a considerar. Por ejemplo, para representar gráficamente la superficie dada por f sx, yd 5 sx 2 1 y 2de 12x

2

2y 2

se podrían elegir los límites siguientes para x, y y z. f(x, y) = (x 2 + y 2)e1 − x

2

− y2

23 ≤ x ≤ 3 23 ≤ y ≤ 3 0 ≤ z ≤ 3

z

x

Figura 13.17

y

Límites para x. Límites para y. Límites para z.

La figura 13.17 muestra una gráfica de esta superficie generada por computadora utilizando 26 trazas paralelas al plano yz. Para realizar el efecto tridimensional, el programa utiliza una rutina de “línea oculta”. Es decir, comienza dibujando las trazas en primer plano (las correspondientes a los valores mayores de x), y después, a medida que se dibuja una nueva traza, el programa determina si mostrará toda o sólo parte de la traza siguiente. Las gráficas en la página siguiente muestran una variedad de superficies que fueron dibujadas por una computadora. Si se dispone de un programa de computadora para dibujo, podrán reproducirse estas superficies.

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SECCIÓN 13.1

z

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z

z

x

x y

x

y y

Tres vistas diferentes de la gráfica de f sx, yd 5 s2 2 y2 1 x2d e12 x 2 s y y4d 2

z

2

y

z

x

y

x

y

x

Trazas dobles

Trazas simples

Curvas de nivel

Trazas y curvas de nivel de la gráfica de f sx, yd 5

2 4x x 1 y2 1 1 2

z

z

z

y

x y y

x x

f(x, y) = sen x sen y

f (x, y) = −

1 + y2

x2

f (x, y) =

1− x 2 − y 2 1− x 2 − y 2 

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Chapter 13 13 Functions Functions of of Several Several Variables Variables Chapter CAPÍTULO Funciones de variasVariables variables Chapter 13 13 Functions of Several Chapter 13 Functions of Several Variables

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Seeofwww.CalcChat.com www.CalcChat.com for worked-out worked-out solutions solutions to to odd-numbered odd-numbered exercises. exercises. Exercises See for 13 Functions Several Variables Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.1 113.1 3.1 Chapter Ejercicios 13.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. In Exercises Exercises and 2, use use the graph to to determine whether is aa En los ejercicios 1 y2, usarthe la gráfica para determinar si z eszz is una x, yy sen yy 13. ff x, In 11 and graph determine whether xx sen 13. In13.1 Exercises use the graph to determine whether z is a f x, y x sen y function ofxxxExercises and Explain. y.2,Explain. función de y1and y.and Explicar. function of y. See www.CalcChat.com for worked-out solutions 13. to odd-numbered exercises. 2, 44 b) a) 2, b) a) In Exercises andy.2,Explain. use the graph to determine whether z is a function of x1and x sen y 13. f x, y

894

zz 1. 1. function of x and y. Explain. z 1. In Exercises 1 and 2, use the graph to determine whether z is a 1. 22 z function of x and y. Explain. 2 2z

1.

2 44 4 x x 4 x

2. 2. 2. 2.

x

33 3 3 zz z

3 4

x

44 4

yy y

4

y

4

y

33 z 3 3

2.

z 55 xx 5 x 5 x

3 55 5

5

5

x

yy y y

y. In Exercises Exercises 33––6, 6, determine determine whether whether zz is is aa function function of of xx and and y. In In Exercises 3 – 6, determine 5 whether z is a function of x and y. 2 de x y y. y En los determinar si esis22una función 3y223 – 6,3xxydetermine ya 6, 10 10 2x 3.Exercises 4.zxz xx22zzejercicios 3y 2x yy yy2of 4. zxz x 44and y. In3. whether a function 2 2 2 xz x y 10 2x y y 4 3. x222z 3y 4. 22 y x y 2 22 x 2xyyy 8yz y 2 400 3. 4. z x y 11 10 z 2 xx ln ln 8yz 5. xx22z y3y 6. zxz 2 z 5. 6. In5.Exercises whether of x and 2 determine 44 99 3 –z6, 1 ln y 8yz 0 y. 6. zz is ax function x42 y92 2 8yz zxz 2 x ln 5. x 2z 3y2 z x y 1 10 6. 2xyy values. y 2 40 4.the 4 9 7–18, In3.Exercises Exercises 7–18, find find and and simplify simplify the function values. In function 2 2 In Exercises find and simplify the function values. y 7–18, x 1 and simplify6.the z function x ln y values. 8yz 0 5. x, yy 7–18, xyz 2 find 7.Exercises f4f x, xy In7. 9 f ejercicios x, y xy 7 a 18, hallar y simplificar los valores de la funEn7.los 3, 2 1, 4 30, 5 a) b) c) 1, 4 c) 30, 5 a) 3, 2 b) f x, y3, 2 xyb) 7. a) 1, 4 c) 30, the 5 function values. ción. In Exercises 5, yy 7–18, x, 22 and simplify 5, tt d) 5, e) find x, d) e) ff )) 5, a) 5, 2y b) 2 422 fc)) 30, 5, t 5 d) 3, e) 22x, 1, x,x,yyy 44xy xx 4y 8. fff x, 4y 8. 7. f x, y5, y 4 e) x 2x, 24y 2 f ) 5, t 8. d) 0, 020 b) 0, 1, 2, 30, a) 0, b) 0, c) c) 2, 11 4 c) 33 5 a) 3, 8. fa)x, y0, 0 4 b) x 2 0, 14y 2 c) 2, 3 e) f ) 1, y x, 0 t, 1 t d) e) f ) 1, y x, 0 t, 1 d) 5, 2 f ) 5, 0, a) e) f ) 2, 1, 0y b) x, 01 2 c) t, 31 d) 0, y y 2 x, yy 9. ff x, xe 9. 4xe x 4y 8. x, 0 f ) t, 1 y f x, y1, y xee) 9. d) 5, 0 3, 2 2, 3 11 a) b) c) 2, 5, 0 3, 2 a) 0, b) 0, 1 c) y 9. fa)x, y5, 0 xeb) 3, 2 c) 2, 1 5, yy e) x, 202 ff )) t,t, tt1 d) 5, e) x, d) 1, a) 5, 0y b) x, 22 c) t, t 1 d) 5, e) 3, f ) 2, y g x, y ln x 10. g x, y ln x yy 10. xe 9. f f ) t, t g x, y5, y lne)x x,y 2 10. d) 1, 00 b) 0, 2 11 c) c) 0, ee1 a) 1, b) 0, c) 2,0, a) 5, 3, y 1 c) 0, e 10. ga)x, y1, 0 lnb)x 0, 1, 1 e, e 2 d) e) f ) 1, 1 e, e 2 2, d) 5, y e) x, 2 f )f ) t, t2, e55 a) 1, 01 b) e, e 12 fc)) 0, 2, 5 d) 1, e) 0, xy ln xy x y 10. g x, y 1,zz1 e) e, e 2 2, 5 h x, x, y, y, 11. hd) f ) 11. xy h x, y, 11. a) 1, z0 b)zz 0, 1 c) 0, e xy z ha)x, y, 11. a) 2, 3, 0, 11 f ) c) 2, 3, 3, 44 d) 5, 4, 4, 66 b) e, 1, c) 2, 5 2, d) 5, 2, 1, z3, 1 99 e) b) e1, 20, d) 2, 3, 4 d) 5, 4, 6 a) 2, 3, 9 z b) 1, 0, 1 c) x, y, y, zz 12. ff x, xx yy zz 12. 2, z3, 9 xyb) 2, 3, 4 d) 5, 4, 6 x y1, 0, z1 c) 12. a) hf x, y, 11. 0, 5, 5, 44 z b) 6, 8, 8, 33 a) 0, b) 6, a) 12. fa)x, y,0,z5, 4 xb) y6, 8,z 3 4, 6, 6, 292 d) 10,0, 14, 4, c)33 c) 4, d) 10, c) 2, 3, 1, 2, 3, 4 d) 5, 4, 6 a) b) a) 4, 5, 6, 42 b) 10,8, 4,3 3 c) 0, d) 6, x y z 12. f x, y, z c) 4, 6, 2 d) 10, 4, 3 a) 0, 5, 4 b) 6, 8, 3 c)

4, 6, 2

d)

10,

4,

3

3, 11 c) 3, 33 d) 4, 22 c) d) 4, 3, 3, 3, 3 d) 4, 2 a) 2, 4 22 b) 3, 1 c) V r, h r h V r, h r h 3, 3 d) 4, 2 a) V r, h2, 4 r 2hb) 3, 1 c) 3, 10 10x sen 5, 22 c) 4, 88 d) 6, 44 b) c) 4, d) 6, a) b) fa)x, y3, 2hy 5, V r, h r a) 3, 10 yy b) 5, 2 c) 4, 8 d) 6, 4 2, 4 b) 3, 1 c) 3, 3 d) 4, 2 a) 3, g x, x, yy 10 y b) 2t 5,332dt dt c) 4, 8 d) 6, 4 15. ga) 2t 15. g x, 15. V xxyr 22t r, hy h 3 dt 14. 3 ga)x, y4, 2t 4, 15. a) 4, 010 0 xb) 4,5,3112dtc) 4,4,3232 8 d) b)b) c)c) 4, d)d) 3223,,6,00 4 3, a) 3 4, 1 4, a) 4, 0 xyb) c) d) y 2 2, 0 y 1 1 3 3 y 4, 0 4, 1 4, ,0 a) b) c) d) g x, y dt 16. g x, y dt 16. 2 2 1 2tt 3 dt 15. g x, y 16. g x, y xxxy t dt 1 t 1 ga)x, y4, 16. a) 4, 101 xb) 6, 313 c) 2, 535 d) b) dt c) 2, d) 31221,,, 077 6, d) 4, 4, a) b) c) t 4, 2 6, 3 2, 5 a) 4, 1 xb) c) d) 22, 7 22 2 x, yy 2xy 1 yy2 x, yy1 3x 2y 17. ff x, 18. ff x, 3x 2x 2y 17. 18. c) 2, 518. d) 2 3 f x, y2, 7 3x2 2y 17. a) gf x, y4, 1 2xb) ydt6, 16. x,tyy x, yy x, yy x, yy ff xx x, ff x, ff xx x, ff x, fa)x, yf x 3x2x, y 2y f x, y fa)x, yf x 2xx x, yy2 f x, y 17. a) 18. a) 1 xx a) f4,x1 b)x, yxx6, 3 f x,c)y 2, 5 a) d) f2,x7 x, yx f x, y x a) a) x, yy2x yyy2 ff x, x, yy x, yy3x2 yy 2y ff x, x, yy fb)x, yff x, fb)x, yff x, 17. b) 18. b) f x, y yyxy f x, y f x, y yxyy f x, y b) f x b) f x x, yyy ff x, x, yy x, yyy ff x, x, yy a) f x, y a) f x, y b) b) x x y deof In Exercises 19–30, describe the eldomain domain and range of the In 19–30, the range En Exercises los ejercicios 19y a describe 30, describir dominioand y rango la the funIn Exercises 19–30, describe the domain and range ofx,the function. f x, y y f x, y f x, y y f y function. ción.b) b) In Exercises 19–30, describe the domain and range of the function. y y 2 2 xy x, yy x, yy 19. ff x, 20. ff x, eexy xx2 yy2 19. 20. function. x2 y2 e xy 19. f x, y 20. f x, y In Exercises 19–30, describe the domain andxy yy range of the ey xx2 yy y 2 19. 20. x, yy x, yy 21. gfg x, 22. gfg x, 21. 22. function. xx x y 21. g x, y 22. g x, y yx g x, y x y g x, y 21. 22. x y xy 2 2 xy x y xy y 19. 20. 23. zfz x, yx yx 24. zfz x, y xy e x 23. 24. xy xy 23. z 24. z xx yy y xy xy yx y 22 2 g x, x, yyyx xy y 44 xx22 4y 21. 22. 2 23. 24. x, yy 4y22 x, 25. fzf x, 26. fzgf x, 44 xx yy 25. 26. x xy 2 2 4 x y 25. f x, y 26. f x, yx y 4 x 2 4y 2 x, yyx yarccos arccos xx2 yy 2 x, yy xy arcsen arcsen yy2 xx 27. ff x, 28. ff x, 27. 28. 4 xx yy 4 xy x 4y 2 25. 26. x, yy arccos x, yy arcsen 27. fzf x, 28. fzf x, 23. 24. x, yy xy ln ln 44 xx yy x, yyx yln ln xy xy 66 29. ff x, 30. ff x, 29. 30. arccos arcsen 27. 28. x, yy ln 4 xx2 yy 2 x, yy ln xy y26x 29. ff x, 30. ff x, x, y 4 x y 4y 2 f x, y 4 x 25. ff x, 26. y About ln 4 It y b), xy and 29. 30. f x,a), 31. Think Think About It xThe Theygraphs graphs labeled labeled a), b),lnc), c), and6 (d) (d) are are 31. fThink x, y About x They graphs x,a), y xx22b),arcsen 27. 28. f 4x 31. graphs are 22 and yc), 1y ..x(d) f x, x, yy labeled 4x graphs ofarccos theItfunction function Match y 1 f of the Match 31. Think Para pensar Las gráficas marcadas a), b), y2d) and son gráficas 2 c) c), 31. About It The graphs labeled a), b), (d) are y 1 . f x, y 4x x of the function Match thex,four four graphs with the points in space from which the surface fgraphs y ln 4 x y f x, y ln xy 6 29. the 30. graphsf swith pointssxin2 1 space from which the surface 21 de la función gráfix, yd the 5 24xy y4x d. Asociar 2 1cada .10, f x, yare x1225 graphs of the Match the four graphs with points in space from the surface 20, 15, 25which 15, 10, 20 ,, is viewed. viewed. Thefunction fourthepoints points are 20, 15, ,,ysuperficie 15, 20 is The four ca con el punto en el espacio desde el que la es vifour graphs the0points in space from the 10, surface 20,a), 15, 25which , c), and 15, is20, The four are 31. the Think Itwith The graphs labeled b), (d) 20 are, 20,viewed. 20,About 0 ,, and 20, 0, 0points . and 20, 0 20, 0, . sualizada. Los cuatro puntos son (20, 15, 25), (215, 10, 20), 20 , is Thefunction four0, points 20,viewed. 20,of 0 ,the 20, 0 f. x, yare 20, and 1 .10, 4x15,x 225 , yzz2 15, graphs Match zz (20, a) b) a) b) (20, 20, 00), yand 0, 0, 0) 0 . 20, 20, 20, z z the four graphs with the points in space from which the surface a) b) z a) viewed.z zThe four points b) b) 20,xx15, 25 , z 15, 10, 20 , is are a) x x 20, 20, 0 , and 20, 0, 0 . x 14. 14. 14. 13. 14.

z

a)

y

yy y

x

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c) c) c) c) c)

z

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z

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Larson-13-01.qxd 3/12/09 18:40 Page 895 895 1053714_1301.qxp 10/27/08 12:05 PM Page 1053714_1301.qxp 10/27/08 12:05 PM Page 895 01.qxp 10/27/08 12:05 PM Page 895 1301.qxp 10/27/08 12:05 PM Page 895 1053714_1301.qxp 10/27/08 _1301.qxp 10/27/08 12:05 PM Page12:05 895 PM Page 895

13.1 to of Variables 895 13.1 Introduction to Functions Functions of Several Several Variables 895 SECCIÓN 13.1 Introduction Introducción a las funciones de varias variables 895 13.1 Introduction to Functions of Several Variables 895 13.1 Introduction to Functions of Several Variables 895 13.1 Introduction to Functions of Several Variables 895 2 2 32. 2 xxx2 2 12y 13.131. Variables 895 32. Think Think About About It It Use Use the the function function given given in in Exercise Exercise 31. Introduction to Functions of Several 2y 2y 2 ff fx, xx2x2 2 ff fx, 47. 48. x, lnlnyyof x, cos 47. 48. 32. Think ParaFind pensar Usar laand función dada enfunction. elinejercicio 31. 47.to 48.Several sIntroduction x,yyyd 5ln y 2Several sx,yyyd895 5cos cosx 2 442y 2 895 13.1 to Functions of Variables 32. About It Use the function given Exercise 31. 13.1 Introduction Functions Variables (a) the domain range of the FindAbout the domain and of the function. 32. (a) Think It Use therange function given in Exercise 31. lnz y x 2 2 f x, 2y cos x 2 4 2y 2 47. f x, y 48. 32. Think About It Use function given in Exercise 31. a) the Hallar el domain dominio y rango de la función. f x, y zz zcos 47.2 f x, y x 248. 2y zln 4 (a) Find the and range of the function. xy(b) Identify the points in the plane at which the function z y f x,xy xy(b) Identify the points in the plane at which the function 4 f x, y ln y x cos 47. 48. (a) the Findfunction the domain and range of the function. 32.(a)Think It b) Use given inenExercise 31. x 24 2y 2 z z Identificar los puntos el plano xy donde el valor de la funFind About the domain and range of the function. 5 value is 0. 2 55 z 48. f x, y value is the 0. points in the xy-plane at which the47.function (b) Identify 44 z f x, y ln y x cos Identify the points the xy-plane the31. function z 32. Think About Itthe Use the given Exercise 32.(a) Think It (b) Use the given in function Exercise 31. atinwhich x 2 2y 2 z x 2 4 2y 2 4 ción esisfunction 0. FindAbout the and range of function. xy(b) Identify thedomain points in the plane atpass which the function 0.surface (c) Does the through all f x, y ln y47. xf 2 x, y 5 5 ln y48. xf 2x, y cos 48. f x, y 4 cos 47.rectan(c) value Does the surface pass through all the the octants octants of of the the rectanvalue is 0. z z 4 4 4 Find the domain and range ofreasons the function. c)(a)¿Pasa la superficie por todos los octantes del sistema de coor(a) Find thethe domain and range ofplane thesystem? function. xy(b) Identify points in the the at through which the function value is 0. gular coordinate Give for answer. −−66 4 gular coordinate system? Give reasons for your your answer. (c) Does surface pass all the octants of the rectan- 5 −6 z z z z (c) Does the surface pass through all the octants of the rectandenadas rectangular? Dar las razones de la respuesta. value 0. the points xy(b) Identify points the plane atforwhich the function 5 xy-plane Identify incoordinate the the atinwhich the function 4 yy (c) (b) Does theissurface pass through all the octants of the rectangular system? Give reasons your answer. −6 gular coordinate system? Give reasons forthe your answer. y −6 In Exercises 33 – 40, sketch the surface given by function. 5− 6 value is 0. 3 22 value is 0. In Exercises 33 – 40, sketch the surface given by the function. 4 (c)gular Does the En surface pass through octants the rectancoordinate Give for your answer. 4 lossystem? ejercicios 33reasons aall 40,the dibujar la of superficie dada por la función. 5 55 444 33 2 y 10 5 y 1010 2 xx Insurface Exercises 33through –Give 40, sketch the surface given by the function. system? reasons for your − 6 444 55 6 Does the surface pass through all octants of the rectan(c)gular Doescoordinate the pass all the octants rectany x5 4 3 3 2 −2 33. 34.ofanswer. ff (c) x, 4433 ff the x, yythe 6by 2x 3y In Exercises – 40, sketch the surface 5 66 yy y xx x, yythe x,given 6 the 2xfunction. 3y 2 −2 −2 10 In Exercisesgular 33 – coordinate 40,33. sketch surface given by for the 34. function. 5 4 x6 4 3 gular coordinate system? Give reasons for your answer. x −10 system? Give reasons your answer. − 6 1 y 4 5 6 2 1 5 y 4 x 33. 34. f x, y 4 f x, y 6 2x 3y 2 −2 fff x, ggf x, 36. 5 6 x x,x,yyy theyy4surface given by the x, 35. 36. In Exercises 33 –35. 40, y 33.sketch 34.function. x,yyy 226yy 2x 3y −2 10 4 5 3 2 x x 4 y y of the function. 5 y 6 In 49–56, 33. f x, y 4 6 2x 3y 11 x 221 by 2 22f x, y −2 22 In4Exercises Exercises 49–56, describe the the level level curves curves of the function. x 10 describe x, y xx22the y34. gzfunction. 37. 38. In 33 – 40, sketch surface the function. In Exercises 3335. –37. 40,fzExercises surface giventhe by36. the 2yy x 3 2 zfsketch zgx,x,ygiven 38. 22y x 2 y1 yyy 3 2 5 x, y y 35. 36. 4 4 1 EnExercises ejercicios a 56, las curvas de nivelfunction. de la funy level 5los 2 6 the c-values. Sketch curves for the given 34. f x, y y6 2x 3y f x, 5 −2 1 Sketch the level curves fordescribir thethe given In 49–56, level curves of the x 49 y y y 2 4 37. 35.33.f x, 10 c-values. 10 4describe 2 z x, yy x 2 2ee36. yxx2 2g x, y 38. z 2 1 x 2 2 y 2 2 x 39. Inx 4Exercises 49–56, describe thepara levelloscurves ofdados the function. 5 6 de ynivel 5Dibujar 1 6 38. ción. curvas valores de c. y−2 las y34.g fx, zf x,3y 37. 33.ffzfx, 34. x, y x 4 36. y x 6 yIn 2xExercises 3y 6 level 33.f fx,x,y 2y y 242 39. 2x −2 Sketch 1 x,y y2 49–56, describe the level curves of the function. c the curves for the given -values. 2 x y 35. x 2 2 x y 39. f x, y 37. z 38. x z zz xthe y, cccurves1, 0, 2, 44given c-values. 49. Sketch level for the 2 x 0, y y1 0 x y, 1, 0, 2, 49. e 1 xy, x x 2 y 0 In Exercises the level curves of the function. c-values. Sketch the level49–56, curves describe for the given 239. eyxy, x,yyyy 35.ffffx, 35.z f x, yx 2 x yy240. 36.z gxx,12 y 0, 2y x 2 yy 236. g x, y 38. x,x, 40. zzzExercises x66 the y,2x c 3y, 1,cc 0, 2,0, 42,the 49. y e 39.37.f x, 4, 8, 10 50. 0, xxx<< 0010,ooyyy22<< 000 2 2x 3y, 4, 6, 6, 8,function. 10curves of the function. 50. 1 0, c Sketch the level curves for given -values. In 49–56, describe level In Exercises 49–56, describe the level curves the z x y, 1, 0,0, 2,2, 4of 49. c 2 xy, 2 2 2 2 x 37. 2 z y x xy,y38. z x 2 0,x y 38. y49. z x y, c y f x, y0 z 2 x 37.f zx, y x e 40. 39. 1, 0,6xthe 2, 22 42x 22 3y, z c 0, 2, 4, 6, 8, 10 50. xy, 40.x f x,0,y y 0, 0 z c 0, 1, 2, 3, 4 4y , 51. x < 0 o y < 0 c Sketch level curves for the given -values. c Sketch the level curves for the given -values. 4y , c 0, 51. z x6 2x c 1, 2, 0, 3, 2, 44, 6, 8, 10 0,x use x < computer 0computer o y < 0algebra x 39. f x,fy x, y CAS 40. 39. system to graph z 6the x 2xy, 3y, c50. cz 1, 20, 2, 44,2 6, 8,3y, 49. x,o y0, e0 41 e In CAS In Exercises 41–44, algebra system50. topor graph the y41–44, 0 ause z compuEn los 44, aautilizar un sistema algebraico 22 0, 1, 22 2, c3, 4 0, 1, 2, 3 0,xy, x Exercises < fx0ejercicios y < zff x, xyy0,2 2,4y , 2 c xx10 51. 9 y , 52. 40. f x, y CAS In x, 9 c y , 52. function. 0, 0, 1, 2, 2, 43, 40, 1, 2, 3 y,4y 49. x 2y, 51. c zz c1,xx0,0,2,2, 4 ,c c 1, 49.z z the function. Exercises ax computer algebra system graph 50. 0, y 0gráficamente tadora y representar la to función. x
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1053714_1301.qxp 3/12/09 10/27/08 12:05 Page PM Page 896 Larson-13-01.qxd 896 896 1053714_1301.qxp 10/27/08 18:40 12:05 PM PM Page Page 1053714_1301.qxp 10/27/08 12:05 896 1053714_1301.qxp 10/27/08 12:05 PM Page 896

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CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables Chapter 13 13 Functions Functions of of Several Several Variables Variables Chapter Chapter 13 Chapter 13 Functions Functions of of Several Several Variables Variables

Redacción En los ejercicios 65 y 66, utilizar las gráficas de las Writing In In Exercises Exercises 65 65 and and 66, 66, use use the the graphs graphs of of the the level level Writing curvas deIn nivel (valores65deand c uniformemente espaciados) de la Writing Exercises 66, use the graphs of the level curves ( -values evenly spaced) of the function to write c f curves ((f(ccc-values -values evenly spaced) of ofde the function to write write aa función para dar una descripción una posiblefffgráfica de aaf. curves evenly spaced) the function to curves -values evenly spaced) of the function to write description of a possible graph of Is the graph of unique? f. f description of possible graph of f.f.la Is thegraph graphof offffunique? unique? f.Is ¿Es única laof gráfica de f ?graph Explicar respuesta. description aaapossible of the description possible graph of Is the graph of unique? Explain. of Explain. Explain. Explain. y y 65. 66. y y 65. 66. y yyy 65. 66. y y 65. 66. 65. 66.

x x xxx

x x xxx

67. Inversión En el 2009 se efectuó una inversión de $1 000 al 67. Investment Investment In In 2009, 2009, an an investment investment of of $1000 $1000 was was made made in in a 67. 6% de interés In compuesto anual. Suponemos que was el inversor 67. Investment 2009, an investment of $1000 made paga in aa bond earning 6% compounded annually. Assume that the buyer bond earning 6%compounded compounded annually. Assumethat thatthe the buyer una tasa de impuesto R y que laannually. tasa de inflación anual esbuyer I. En bond 6% Assume bond earning 6% compounded annually. Assume that the buyer paysearning tax at at rate rate and the the annual annual rate of of inflation inflation is In the year pays tax and rate is In the year RRand I.I.In el añotax 2019, el R valor V deannual la inversión en dólares constantes de pays at rate the rate of inflation is the year I. pays tax at rate and the annual rate of inflation is In the year R I. 2019, the value of the investment in constant 2009 dollars is V 2019,es thevalue valueV ofthe theinvestment investmentin inconstant constant2009 2009dollars dollarsis 2009 2019, the 2019, the value of the investment in constant 2009 dollars isis VVof 10 10 1 0.06 0.06 11 RR 10 10 V I, R 1 000 000 111 0.06 11 R 0.06 R ... VV I,I,RR 11000 1 I 111 III Use this this function function of of two two variables variables to to complete complete the the table. table. Use Utilizar función de dos variables para completar la tabla. Use thisesta function of two variables to complete the table. Tasa de de inflación inflación Tasa Tasa de Tasa de inflación inflación Tasa de de Tasa Tasa de Tasa de 0.03 0.05 0.05 impuestos 000 0.03 0.03 0.05 impuestos impuestos impuestos 0 000 0.28 0.28 0.28 0.28 0.35 0.35 0.35 0.35 68. Inversión InvestmentSeA A principal principal of of $5000 $5000 is deposited deposited in aa savings savings 68. en una cuenta dein ahorro a una 68. Investment in Investment Adepositan principal $5 of 000 $5000 isis deposited a savings 68. 68. account that earns interest at a rate of (written as a decimal), r tasa de interés compuesto continuo r r(expresado enaaadecimal), forma deaccount thatearns earns interestat ataaarate rateof of (writtenas as decimal), r(written account that interest account that earns interest at rate of (written as decimal), r compounded continuously. The amount after years is r, tt after cimal). La cantidad A(r, t)The después deA años es tA(r, t) is 5 compounded continuously. The amount years is AAt r, r, ttyears compounded continuously. amount after t compounded continuously. The amount after years is A r, t t rt Use this function of two variables to A r, t 5000e . rt 5AA000e función dos variables paravariables completarto la Use this de function of two two variables to 5000ertrtrt..esta . Use this function of A r, 5000e this function of two variables to r,r,ttt . Utilizar 5000e complete the table. table.Use tabla. complete the complete the table. Número de de años años Número Número de Número de años años Tasa 55 10 10 15 15 20 20 Tasa Tasa 55 10 Tasa 10 15 15 20 20 0.02 0.02 0.02 0.02 0.03 0.03 0.03 0.04 0.04 0.04 0.04 0.05 0.05 0.05 0.05 In Exercises Exercises 69 69–74, –74, sketch sketch the the graph graph of of the the level level surface surface In En los ejercicios 69 a sketch 74, dibujar la gráfica superficie de In 69 –74, the graph of the surface In Exercises 69the –74, sketch the graph of de thelalevel level surface at given value of ff x, x,Exercises y, z c c. the givenelvalue value of nivel valorof dec.c.c que se especifica. cat5the c para given f x, y,y,fzxzx, y,cczat 69. ff x, x, y, y, z x y z, z, c 1 69. 69. ff x, 69. x, y, y, zzz xxx yyy z, z, ccc 111 70. ff x, x, y, z 4x yy 2z, 2z, c 4 70. 4x 70. f x, y,y,zz 4x y 2z, cc 44 2 2 71. y z22, c 9 f x, y, z x 2 2 71. fff x, 71. 71. x,x,y, y,y,zzz xxx222 yyy122 2 zzz22,,, ccc 999 1y 72. ff x, x, y, z x z, c 1 72. 72. f x, y,y,zz xx222 411444yy222 z,z, cc 11 2 2 2 73. 4y f x, y, z 4x 73. fff x, 4y222 zzz2z2,2,,, cccc 0000 4x222 4y 73. 73. x,x,y, y,y,zzz 4x 4x 4y 74. ff x, x, y, z sen xx z, z, c 0 74. sen 74. f x, y,y,zz sen x z, cc 00

75. Explotación forestal La regla de los troncos de Doyle es uno 75. Forestry Forestry The The Doyle Doyle Log Log Rule Rule is one one of of several several methods methods used used 75. de varios métodos paraLog determinar el rendimiento en madera ase75. Forestry The Doyle Rule isisone of several methods used to determine the lumber yield of a log (in board-feet) in terms to determine the lumber yield of a log (in board-feet) in terms rrada (en tablones-pie) en términos de su diámetro d (en pulgadas) to determine the lumber yield of a log (in board-feet) in terms toofdetermine the lumber yield ofand a log board-feet) in terms its diameter diameter (in inches) inches) its (in length (in feet). feet). The d (in L (in its and its its length The yofsu longitud L (en pies). El número delength tablones-pie of its diameter inches) and feet). ddd (in LLL (in of its diameter (in inches) and its length (in es feet). The The number of board-feet is numberof ofboard-feet board-feet number number of board-feet isis d 2 4 2 is Nsd, Ld 5 d 4 22 L. N d, L L. ddd 4 444 22 L. NN d,d,LL L. 4 a) Hallar el número de tablones-pie de madera aserrada pro444 ducida pornumber un tronco de 22 pulgadas de diámetro 12 pies de (a) Find the of board-feet of lumber lumber in aa log logy 22 22 inches (a) Find Findthe thenumber numberof ofboard-feet board-feet of in inches (a) of lumber in a log 22 inches longitud. in diameter and 12 feet in length. indiameter diameterand and12 12feet feetin inlength. length. in in diameter and 12 feet in length. b) s30, (b) Evaluar Find N NN 30, 1212 . d. (b) Find 30, 12 . (b) (b) Find Find N N 30, 30, 12 12 .. 76. Modelo filas The La cantidad de tiempo promedio que un 76. Queuing Queuingde Model average length length of time time that aa customer customer 76. Model Theaverage average of that 76. Queuing Model The length of time 76. Queuing Model The average length un of time that that customer cliente espera en service una fila para recibir servicio esaa customer waits in line for is waitsin inline linefor forservice service isis waits waits in line for 1 service is W sx, yd 5 1 , x > y 1 y, x > y x 112 W x, x, y W x yy,,, xxx >>> yyy W x, W x, yyy donde y esxxxel ritmo o tasa media de llegadas, expresada como yy número de clientes por unidad tiempo, y xasesthe el ritmo o tasa where is the average arrival de rate, written number of y where yyy is is the the average average arrival arrival rate, written as the the number number of where rate, written as of where the average arrival rate, written as the number of media deisservicio, expresada en las mismas unidades. Evaluar customers per unit of time, and is the average service rate, x customers per per unit unit of of time, time, and and xx isis the the average average service service rate, rate, customers cada unaindethelassame siguientes cantidades. written units. Evaluate Evaluate each of of the the following. following. written inthe thesame sameunits. units. each written in Evaluate of written in the same units. Evaluate each each of the the following. following. a) W b) W c) W d) W W 15, 15, 9 W 15, 15, 13 13 W 12, 12, 7 5, 2 W 5, a) b) c) d) a) c) W W W W a) b) c) d) W 15, 15, 999 b) W 15, 15, 13 13 W 12, 12, 777 d) W 5, 5, 222 77. Distribución de temperaturas La temperatura T (en grados 77. Temperature Temperature Distribution Distribution The The temperature temperature TT (in (in degrees degrees 77. 77. Temperature Distribution The temperature (in degrees TTplate 77. Temperature Distribution The temperature (in of degrees Celsius) en cualquier punto (x, y) de una placa circular deradius acero Celsius) at any point in a circular steel x, y Celsius) at at any any point point x, in aaa2 circular circular steel steel plate plate of of radius radius x, y in Celsius) Celsius) at any point in circular steel plate of radius x, 2, donde 2 2where de 10 metros de radio esyyT0.75x 5 600 2 0.75x 2 0.75y 10 meters is and arex T 600 x y 0.75y , 2 2 10 meters meters is where xxx and and yyy are are 600 0.75x 0.75x22 0.75y 0.75y22,,, where 10 600 10 isis T where and are TT metros. 600 0.75x 0.75y ymeasured ymeters se miden en Dibujar algunas de las curvascurves. isotermas. in meters. Sketch some of the isothermal measuredin inmeters. meters.Sketch Sketchsome someof ofthe theisothermal isothermalcurves. curves. measured 78. Potencial eléctrico The El potencial eléctricoVVaten cualquier 78. Electric Electric Potential Potential electric potential potential any point x, is x,punto y is 78. The electric at any point V 78. 78. Electric Electric Potential The The electric electric potential potential V at any any point point x, is V at x, yyy is (x, y) esPotential 5 . V x, y 55 VVsx,x,yyd 5 25 5 x2222 y2222.. 2 y 2 25 x !25 1 1 y x y 25 x 1 1 1 12 , 1V, V 115 13 , 1and Sketch the the equipotential curves for forde VVV5 111414.4... Dibujar lasequipotential curvas equipotenciales Sketch equipotential curves and VV V 115 2 3 ,y V Sketch the curves for V ,,VV ,,and 222 333 44 79. Función Cobb-Douglas Production Function Use the the Cobb-Douglas 79. de producción deFunction Cobb-Douglas Utilizar la función Cobb-Douglas Production Function Use Cobb-Douglas 79. Production the Cobb-Douglas 79. Cobb-Douglas Cobb-Douglas Production Function Use the Cobb-Douglas production function (see Example Example 5)ejemplo toUse show that if the the number de producción de Cobb-Douglas (ver 5) para mostrar que production function (see 5) to show that if number production function (see Example 5) to that number production function (see Example 5)units to show show that if if the the number of units of labor and the number of of capital are doubled, si el número de and unidades de trabajo y el of número deare unidades de ofunits units oflabor labor andthe thenumber number ofunits units ofcapital capital are doubled, of of of doubled, the production production levelelis isnivel alsode doubled. capital se duplican, producción también se duplica. the level also doubled. the production level is also doubled. the production level is also doubled. 80. Cobb-Douglas Cobb-Douglas Production Function Show Show that the the CobbFunción de producción de Cobb-Douglas Mostrar que Cobbla fun80. Production Function that 80. Cobb-Douglas Production Function that the 80. Cobb-Douglas Production Function Show that the CobbCobbay1Show a can a 12a Douglas production function be rewritten as z Cx a 1 a ción de producción de Cobb-Douglas puede reesCx be yberewritten aa can Douglas productionfunction function can rewritten as Cxaayy11z 5 Douglas production as zz Cx z x cribirse como ln 5x ln C 1 a ln . z ylnxxx . y lnzzz ln ln C C a ln ln y ln ln ln y ln C C aaaln ln yy... yy yy 81. Costo* de construcción Una caja rectangular abierta por arri81. Construction Construction Cost A rectangular rectangular box with an any open open top has a ba tiene x piesCost de longitud, y piesbox de ancho z piestop dehas alto. 81. A with 81. Construction Cost A rectangular box an open top aaa 81. Construction Cost A rectangular boxawith with anof open topIthas has x y z length of feet, a width of feet, and height feet. costs Construir la base cuesta $1.20 por pie cuadrado y construir los lengthof ofxxxfeet, feet,aaawidth widthof ofyyyfeet, feet,and andaaaheight heightof ofzzzfeet. feet.It costs length costs length of feet, width of feet, and height of feet. ItItsquare costs $1.20 $0.75 per square square foot to build the base and $0.75 per lados por pie cuadrado. Expresar eland costo C de construc$1.20 per foot to build the base $0.75 per square $1.20 per square foot to build the base and $0.75 per square $1.20 per square foot to build the base and $0.75 per square C of foot to to build theensides. sides. Write the cost of constructing constructing the the box box ción debuild la caja función de the x, ycost y z. C foot the Write C of foot to build the sides. Write the cost constructing the box x, y, z. as a function of and 82. as Volumen Un de z. propano se construye soldando hemisfeasaaafunction function oftanque and x, of x,x,y, y,y,and z.z. as function of and 82. rios Volume A propane propane tank is iscircular constructed by welding welding a los extremos de un cilindro recto. Expresar el volu82. Volume A tank constructed by 82. A propane tank is by welding 82. Volume Volume A to propane tank is constructed constructed by welding hemispheres the ends of a right circular cylinder. Write the men V del tanque en función de r y l, donde r es el radio del hemispheres to to the the ends ends of of aa right right circular circular cylinder. cylinder. Write Writecilinthe hemispheres the V r l, r volume of the tank as a function of and where is dro y de los hemisferios, y l es la longitud del cilindro. volume V of the the tank tank as as aaa function function of of rrr and and l,l,l, where where rrr is volume VV of volume of the tank as function of and where isis l the radius of the cylinder and hemispheres, and is the length 83. the Ley de los gases ideales De acuerdo con la ley de los gases theradius radiusof ofthe thecylinder cylinderand andhemispheres, hemispheres,and andlllis thelength length the radius of the cylinder and hemispheres, and isisthe the length of the the cylinder. ideales, PV 5 kT, donde P es la presión, V es el volumen, T es of cylinder. of the of the cylinder. cylinder. PVproporkT, 83. Ideal Ideal Gas Law Law(enAccording According tokthe the Ideal Gas Law, Law, de la temperatura kelvins) yto es Ideal una constante PV kT, 83. Gas Gas kT, 83. Ideal According to Gas Law, PV kT, 83. Ideal Gas Law According to the theT Ideal Ideal Gas Law,(inPV P is V is whereGas isLaw pressure, is volume, volume, is temperature Kelvins), cionalidad. Un tanque contiene 2is 000 pulgadas(in cúbicas de P V T where pressure, temperature Kelvins), V where is (in Pisis Vof where isapressure, pressure, is volume, volume, TT is is temperature temperature (in Kelvins), Kelvins), and kkP constant proportionality. A tank tank contains contains 2000 nitrógeno a constant una presión de 26 libras por pulgada cuadrada y una and is a of proportionality. A 2000 kk is and aa constant of A tank contains 2000 and is constant of proportionality. proportionality. A26 tank contains 2000 cubic inches of300 nitrogen at a pressure pressure of of pounds per square square temperatura de K. at cubic inches of nitrogen 26pounds pounds per cubic inches of nitrogen at aapressure of 26 per square inch and aa temperature temperature of 300 300 K. K. a) Determinar k. inch and of inch and aa temperature of 300 inch and temperature of 300 K. K. (a) Determine k. b) Determine Expresar Pk. función de V y T y describir las curvas de (a) Determine k. (a) (a) Determine k.como (b) Write P as a function of VV and and T and and describe describe the the level level nivel. (b) Write Write P as aaa function function of of (b) V (b) Write PP as as function of V and and TTT and and describe describe the the level level curves. curves. curves. curves.

1

2

* En España se le denomina coste.

1053714_1301.qxp 10/27/08 12:05 PM Larson-13-01.qxd 3/12/09 18:40

Page 897 Page 897

13.1 Introduction to Functions of Several Variables 13.113.1 Introduction Introduction to Functions Functions of Several Several Variables SECCIÓN Introducción a las funciones de varias variables 13.1 to of Variables

897 897 897 897

2002 2003 2002 2003 2002 2003 201.2 226.5 201.2 226.5 226.5 201.2 79.3 90.2 79.3 90.2 79.3 90.2 35.2 39.5 35.2 39.5 35.2 39.5

2004 2004 2004 252.8 252.8 252.8 102.5 102.5 102.5 43.6 43.6 43.6

2005 2005 2005 281.5 281.5 281.5 117.1 117.1 117.1 49.4 49.4 49.4

2006 2006 2006 208.9 208.9 208.9 135.6 135.6 135.6 53.2 53.2 53.2

2007 2007 2007 345.0 345.0 345.0 151.2 151.2 151.2 61.6 61.6 61.6

A model for these data is es Un modelo estos A model model forpara these datadatos is A for these data is 0.026x 0.316y 5.04. z f x, y x, yy 0.026x 0.316y 0.316y 5.04. 5.04. zz ff x, 0.026x (a) Use a graphing utility and the model to yapproximate for a) una herramienta el modeloz zpara (a) Utilizar Use aa graphing graphing utility and anddethe thegraficación model to to approximate approximate for (a) Use utility model for z the given values of and x y. aproximar z para los the given given values values of xxvalores and y. y. dados de x y y. the of and (b)¿Cuál Which of the two variables in this modeltiene has the greater b) de las dos variables mayor in(b) Which Which of of the the two two variables variablesenin ineste thismodelo model has has the the greater (b) this model greater influence on shareholder’s equity? fluencia sobre los derechos de los accionistas? influence on on shareholder’s shareholder’s equity? equity? influence (c)Simplificar Simplify la theexpresión expression and interpret its f x,e95 c) de for ffor (x, f95) su signifi(c) Simplify the expression and interpret interpret its x, 95 95interpretar (c) cado Simplify the and its f x, meaning in theexpression context of for the problem. en el contexto del problema. meaning in in the the context context of of the the problem. problem. meaning 85. Meteorología Meteorology Meteorologists measure the atmospheric 85. Los meteorólogosmeasure miden la presión atmosférica 85. Meteorology Meteorologists the atmospheric atmospheric 85. Meteorology Meteorologists measure the pressure in A millibars. From these observations they mapas create en milibares. partir de estas observaciones elaboran pressure in millibars. From these observations they create pressure millibars. From observations they create weather inmaps on which thethese curves of equal atmospheric climáticos en los que se muestran las curvas de presión atmosweather maps maps on on which which the the curves of of equal equal atmospheric atmospheric weather pressure (isobars) are drawn (seecurves figure). On theelmap, thecuanto closer férica constante figura). mapa, pressure (isobars)(isobaras) are drawn drawn(ver (see la figure). OnEn the map, map, the closer closer pressure (isobars) are (see figure). On the the the isobars the higher the wind speed. Match points and A, B, C más juntas the están las isobaras la velocidad the isobars isobars higher the wind windmayor speed.es Match points A, and C A,del B, viento. C the the higher the Match points and B, with (a)loshighest pressure, (b) speed. lowest pressure, andb)(c) highest Asociar puntos A, B y C con a) la mayor presión, la menor with (a) (a) highest highest pressure, pressure, (b) (b) lowest lowest pressure, pressure, and and (c) (c) highest highest with wind velocity. presión y c) la mayor velocidad del viento. wind velocity. wind velocity.

1036 1036 1036 1036

1036 CC 1036 C 1036 1032 C 102 1036 1032

1 24 1028 10024 1032 1028 10224 1032 1028 4 1028

1012 1012 1016 1012 1016 1020 1012 1016 1020 1024 1016 1020 1024 1020 1024 1028 1024 1028 1028 1028

BB B B AA A A 1024 1024 1024 1024

5.60 5.60 5.60 5.60

55.0 5.0 .0 555.0 .0000 0.0 5.0 44..4747 4.4.07 7 .0.7750 .0 0 40 40.0.07 7 00 00

1032 1032 1032 1032

4.52 .52 44.52 4.52

4.30 4.30 4.40 4.30 4.40 4.52 4.30 4.40 4.52 4.40 4.52 4.52 4.7 0 4.70 4.7 0 4.7 0

2 2.2 .2242 44..22 4

Figurepara for 85 Figurepara for 86 Figura Figura Figure for for 85 8585 Figure for for 86 8686 Figure Figure 86. Lluvia Acid Rain The acidity del of agua rainwater is measured units ácida The La acidity acidez de lluvia se mideinin enunits uni86. 86. Acid Acid Rain Rain of rainwater rainwater is measured measured 86. acidity of is in units calledllamadas pH. AThe pH of 7 ispH neutral, smaller values are menores increasingly dades pH. Un de 7 es neutro, valores cocalled pH. pH. A A pH pH of of 77 is is neutral, neutral, smaller smaller values values are are increasingly increasingly called acidic, and larger values are yincreasingly alkaline. The map rresponden a acidez creciente, valores mayores a alcalinidad acidic, and and larger larger values values are are increasingly increasingly alkaline. alkaline. The The map map acidic, shows curves of equal pH and gives evidence that downwind of creciente. El mapa muestra lasgives curvas de pH constante y da evishows curves curves of equal equal pH and and evidence that downwind downwind of shows of pH gives evidence that of heavilydeindustrialized areas en thelaacidity haselbeen increasing. dencia que en la dirección que sopla viento de áreas heavily industrialized industrialized areas areas the the acidity acidity has has been been increasing. increasing. heavily Using the level curves on the ha map, determine the direction of muy industrializadas laon acidez ido aumentando. Utilizar of las Using the level curves the map, determine the direction Using the level curves on the map, determine the direction of the prevailing winds in the northeastern United States. curvas de nivelwinds en el in mapa, para determinar la dirección the prevailing prevailing the northeastern northeastern United States. de los winds in the United States. vientos dominantes el noreste de Estados Unidos. 87.the Atmosphere The en contour map shown in the figure was 87. Atmosphere Atmosphere The The contour contour map map shown shown in in the the figure figure was was 87. computer generated using data collected by en satellite instrumen87. Atmósfera El contorno del mapa mostrado la figura fue gecomputer generated using data collected by satellite instrumencomputer generated using collected by satellite instrumentation. Color is used todata show the “ozone hole” in Earth’s nerado computadora usando de datos tation. por Color is used used to to showuna thecolección “ozone hole” hole” inmediante Earth’s tation. Color is show the “ozone in Earth’s atmosphere. The purple and blue areas represent the lowest instrumentación satélite. El blue color areas se usarepresent para mostrar “aguatmosphere. The Thedelpurple purple and the el lowest atmosphere. and blue areas represent the lowest levels of ozoneenand the green areas represent theáreas highest levels. jero de ozono” la atmósfera de la Tierra. Las púrpura y levels of ozone and the green areas represent the highest levels. levels of ozone and themás green areas represent the highest levels. (Source: National Aeronautics and Space Administration) azul representan los bajos niveles de ozono y las áreas (Source: National National Aeronautics and and Space Space Administration) Administration) (Source: verdes representanAeronautics los niveles más altos. (Fuente: National Aeronautics and Space Administration)

Figure for 87 Figure for for 87 87 Figure Figura para 87 (a) Do the level curves correspond to equally spaced ozone (a) Do the level curves curves correspond correspond to aequally equally spaced ozonede a) Do ¿Corresponden de nivel los mismos niveles (a) the level to spaced ozone levels? Explain.las curvas levels? Explain. Explicar. ozono espaciados? levels? Explain. (b) Describe how to obtain a more detailed contour map. (b) Describe how how toobtener obtain aaunmore more detailed contour map. b) Describe Describir cómoto contorno de mapa más detallado. (b) obtain detailed contour map. 88. Geology The contour map in the figure represents color88. Geología El mapa de contorno de la figura representa ampli88. Geology The contour map in the figure represents color88. Geology The contour mapofina fault the figure represents colorcoded seismic amplitudes horizon and a projected tudes sísmicas en código de color de una falla horizontal y un coded seismic amplitudes of a fault horizon and a projected coded seismic of ainfault horizonstudies. and a projected contour map, amplitudes which is used earthquake (Source: mapa de contorno proyectado que se usa en los estudios de contour map, which is used in earthquake studies. (Source: contour map, which is usedWilson/ in earthquake studies. (Source:teAdapted from Shipman/ Todd, An Introduction to rremotos.from (Fuente: Adaptado de Shipman/Wilson/Todd, Anto InAdapted from Shipman/ Wilson/ Todd, An An Introduction Introduction to Adapted Shipman/ Wilson/ Todd, Physical Science, Tenth Edition) troduction to Physical Physical Science, TenthScience, Edition)10a. ed.) Physical Science, Tenth Edition)

GeoQuest Systems, Inc. GeoQuest Inc. GeoQuest Systems,Systems, Inc. GeoQuest Systems, Inc.

Año Año Año x xx y yy z zz

NASA NASA NASA

84. Modeling Data The table shows the net sales x (in billions of 84. Modeling Modelingmatemático Data The The table table shows the the net netlas sales (in netas billions of Modelo La tabla 84. shows sales billions of xx (in dollars), Data the total assets billions ofventas dollars), andx (en the y (inmuestra dollars), the total assets (in billions of dollars), and the y miles de millones de dólares), los activos totales y (en miles de dollars), the total assets (in billions of dollars), and the shareholder’s equity of dollars) for Wal-Mart for z (inybillions shareholder’s equity yzz los (in derechos billions of of dollars) for Wal-Mart Wal-Mart for millones de dólares) de los accionistas z (en miles shareholder’s equity (in billions dollars) for for the years 2002 through 2007. (Source: 2007 Annual Report themillones years 2002 2002 through de 2007. (Source: 2007 Annual Report de de dólares) Wal-Mart desde 2002Annual hasta el 2007. the through 2007. (Source: 2007 Report foryears Wal-Mart) for Wal-Mart) (Fuente: 2007 Annual Report for Wal-Mart) for Wal-Mart)

(a) Discuss the use of color to represent the level curves. (a) Discuss the the usede ofcolores color to topara represent the level level curves.de nivel. a) Discuss Analizar el uso representar las curvas (a) use of color represent the curves. (b) Do the level curves correspond to equally spaced amplitudes? (b) Do the the level level curves curves correspond to equally spaced amplitudes? amplitudes? b) Do ¿Corresponden lascorrespond curvas de to nivel a amplitudes uniforme(b) equally spaced Explain. Explain. mente espaciadas? Explicar. Explain. True or False? In Exercises 89–92, determine whether the True or False? False? In Exercises Exercises 89–92, determine determine whether the thela ¿Verdadero falso? En losIf ejercicios a 92, determinar True or In whether statement iso true or false. it89–92, is false,89 explain why or givesian statement is true or false. If it is false, explain why or give an o declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué statement is true or false. If it is false, explain why or give an example that shows it is false. example that shows it is false. dar un ejemplo que demuestre que es falsa. example that shows it is false. 89. If f x0, y0 f x1, y1 , then x0 x1 and y0 y1. 89. IfSif fxs0x,,0yy, 0y0d 5ff fxxs1x,,1yy, 1y,1, dthen then x0 xx10 and 89. If , entonces 5 xyy100y y0yy15 1. y1. 89. 0 0 1 2f x, f ax,x0ay x1 aand 90. Iff fxis a function,1 then y .2 . 2 ax, ay ay f sax, 90. IfSif is function, thenentonces x, 90. If una función, f es d5 d. ff ax, aa2ay 90. aa function, then ff x, yyof..az f sx,f yx, y at most 91. Af is vertical line can intersect the graph z f x, 91. A vertical line can intersect the graph of at ymost most 91. AUna recta line vertical puede cortar la gráfica 5yyf sx, d a lo 91. vertical can intersect the graph of z de fz x, at once. once. sumo una vez. once. 92. Two different level curves of the graph of z f x, y can 92. Two different level curves of the thedegraph graph of zz deff x, 92. Two Dos diferenteslevel curvas de nivel la gráfica zx,5 scan x, yd 92. different curves of of yy f can intersect. intersect. pueden intersecarse. intersect.

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CAPÍTULO 13

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13.2 Límites y continuidad n n n n

Entender la definición de un entorno en el plano. Entender y utilizar la definición de límite de una función de dos variables. Extender el concepto de continuidad a una función de dos variables. Extender el concepto de continuidad a una función de tres variables.

Entornos en el plano


En esta sección se estudiarán límites y continuidad de funciones de dos o tres variables. La sección comienza con funciones de dos variables. Al final de la sección, los conceptos se extienden a funciones de tres variables. El estudio del límite de una función de dos variables inicia definiendo el análogo bidimensional de un intervalo en la recta real. Utilizando la fórmula para la distancia entre dos puntos sx, yd y sx0, y0d en el plano, se puede definir el entorno d de sx0, y0d como el disco con radio d > 0 centrado en sx0, y0d

Hsx, yd: !sx 2 x0 d2 1 s y 2 y0d2 < dJ

SONYA KOVALEVSKY (1850-1891) Gran parte de la terminología usada para definir límites y continuidad de una función de dos o tres variables la introdujo el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). El enfoque riguroso de Weierstrass a los límites y a otros temas en cálculo le valió la reputación de “padre del análisis moderno”. Weierstrass era un maestro excelente. Una de sus alumnas más conocidas fue la matemática rusa Sonya Kovalevsky, quien aplicó muchas de las técnicas de Weierstrass a problemas de la física matemática y se convirtió en una de las primeras mujeres aceptada como investigadora matemática.

Disco abierto.

como se muestra en la figura 13.18. Cuando esta fórmula contiene el signo de desigualdad menor que, <, al disco se le llama abierto, y cuando contiene el signo de desigualdad menor o igual que, ≤, al disco se le llama cerrado. Esto corresponde al uso del < y del ≤ al definir intervalos abiertos y cerrados. y

y

δ

Punto frontera

R Punto interior

(x0, y0)

Frontera de R x

x

Un disco abierto

La frontera y los puntos interiores de una región R

Figura 13.18

Figura 13.19

Un punto sx0, y0d en una región R del plano es un punto interior de R si existe un entorno d de sx0, y0d que esté contenido completamente en R, como se muestra en la figura 13.19. Si todo punto de R es un punto interior, entonces R es una región abierta. Un punto sx0, y0d es un punto frontera de R si todo disco abierto centrado en sx0, y0d contiene puntos dentro de R y puntos fuera de R. Por definición, una región debe contener sus puntos interiores, pero no necesita contener sus puntos frontera. Si una región contiene todos sus puntos frontera, la región es cerrada. Una región que contiene algunos pero no todos sus puntos frontera no es ni abierta ni cerrada. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información acerca de Sonya Kovalevsky, ver el artículo “S. Kovalevsky: A Mathematical Lesson” de Karen D. Rappaport en The American Mathematical Monthly.

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SECCIÓN 13.2

Límites y continuidad

899

Límite de una función de dos variables DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en sx0, y0d, excepto posiblemente en sx0, y0d, y sea L un número real. Entonces sx, yd → sx0, y0d

lím lim

f sx, yd 5 L

si para cada « > 0 existe un d > 0 tal que

| f sx, yd 2 L| < «

siempre que 0 < !sx 2 x0d2 1 s y 2 y0d2 < d.

NOTA Gráficamente, esta definición del límite implica que para todo punto sx, yd Þ sx0, y0d en el disco de radio d, el valor f sx, yd está entre L 1 « y L 2 «, como se muestra en la figura 13.20. n

z

La definición del límite de una función en dos variables es similar a la definición del límite de una función en una sola variable, pero existe una diferencia importante. Para determinar si una función en una sola variable tiene límite, sólo se necesita ver que se aproxime al límite por ambas direcciones: por la derecha y por la izquierda. Si la función se aproxima al mismo límite por la derecha y por la izquierda, se puede concluir que el límite existe. Sin embargo, en el caso de una función de dos variables, la expresión

L +ε L L−ε

sx, yd → sx0, y0d

y x

(x1, y1) (x0, y0)

Disco de radio δ

Para todo sx, yd en el círculo de radio d, el valor de f sx, yd se encuentra entre L 1 « y L 2 «.

significa que el punto sx, yd puede aproximarse al punto sx0, y0d por cualquier dirección. Si el valor de sx, yd → sx0, y0 d

lim lím

f sx, yd

no es el mismo al aproximarse por cualquier dirección, o trayectoria o camino a sx0, y0d, el límite no existe.

Figura 13.20

EJEMPLO 1

Verificar un límite a partir de la definición

Mostrar que sx, yd → sa, bd

lim lím

x 5 a.

Solución Sea f sx, yd 5 x y L 5 a. Se necesita mostrar que para cada « > 0, existe un entorno d de sa, bd tal que

| f sx, yd 2 L| 5 |x 2 a| < « siempre que sx, yd Þ sa, bd se encuentre en el entorno. Primero se puede observar que 0 < !sx 2 ad2 1 s y 2 bd2 < d implica que

| f sx, yd 2 a| 5 |x 2 a|

5 !sx 2 ad2 ≤ !sx 2 ad2 1 s y 2 bd2 < d.

Así que se puede elegir d = e y el límite queda verificado.

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CAPÍTULO 13

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Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades respecto a la suma, diferencia, producto y cociente que los límites de funciones de una sola variable. (Ver teorema 1.2 en la sección 1.3.) Algunas de estas propiedades se utilizan en el ejemplo siguiente.

Cálculo de un límite

EJEMPLO 2 Calcular

5x 2y . sx, yd → s1, 2d x 1 y 2 lim lím

2

Solución Usando las propiedades de los límites de productos y de sumas, se obtiene sx, yd → s1, 2d

lim lím

5x 2y 5 5s12ds2d 5 10

y sx, yd → s1, 2d

lím lim

sx 2 1 y 2d 5 s12 1 22d 5 5.

Como el límite de un cociente es igual al cociente de los límites (y el denominador no es 0), se tiene 5x 2y 10 5 1 y2 5

sx, yd → s1, 2d x 2

lim lím

5 2. EJEMPLO 3 Calcular

Verificar un límite 5x 2y . 1 y2

sx, yd → s0, 0d x 2

lím lim

Solución En este caso, los límites del numerador y del denominador son ambos 0, por tanto no se puede determinar la existencia (o inexistencia) del límite tomando los límites del numerador y del denominador por separado y dividiendo después. Sin embargo, por la gráfica de ƒ (figura 13.21), parece razonable pensar que el límite pueda ser 0. En consecuencia, se puede intentar aplicar la definición de límite a L 5 0. Primero, hay que observar que

|y| ≤ !x 2 1 y 2

z

y

Entonces, en un entorno d de (0, 0), se tiene 0 < !x 2 1 y 2 < d, lo que, para (x, y) ≠ (0, 0) implica

7 6 5

| f sx, yd 2 0| 5

| | 5x 2y 1 y2

x2

| |1 x 2 1 y 2 2 ≤ 5|y|

55y

−5 −4 2 5

3

4

5

y

x2

≤ 5!x 2 1 y 2

x

< 5d.

Superficie: f(x, y) =

Figura 13.21

x2 ≤ 1. x 1 y2 2

5x2y x2 + y2

Por tanto, se puede elegir d 5 «y5 y concluir que 5x 2y 5 0. sx, yd → s0, 0d x 2 1 y 2 lim lím

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SECCIÓN 13.2

z


901

Con algunas funciones es fácil reconocer que el límite no existe. Por ejemplo, está claro que el límite sx, yd → s0, 0d

lím lim

4

1 x2 1 y2

no existe porque el valor de f sx, yd crece sin tope cuando sx, yd se aproxima a s0, 0d a lo largo de cualquier trayectoria (ver la figura 13.22). Con otras funciones no es tan fácil reconocer que un límite no existe. Así, el siguiente ejemplo describe un caso en el que el límite no existe ya que la función se aproxima a valores diferentes a lo largo de trayectorias diferentes. 3 x

lim sx, yd → s0, 0d x 2 lím

y

EJEMPLO 4

3

1 no existe 1 y2

Un límite que no existe

Mostrar que el siguiente límite no existe.

Figura 13.22 sx, yd → s0, 0d

lim lím

1

x2 2 y2 x2 1 y2

2

2

Solución El dominio de la función f sx, yd 5

1xx

2 2

2 y2 1 y2

2

2

consta de todos los puntos en el plano xy con excepción del punto (0, 0). Para mostrar que el límite no existe cuando (x, y) se aproxima a (0, 0), considérense aproximaciones a (0, 0) a lo largo de dos “trayectorias” diferentes, como se muestra en la figura 13.23. A lo largo del eje x, todo punto es de la forma (x, 0) y el límite a lo largo de esta trayectoria es sx, 0d → s0, 0d

lim lím

1xx

2 2

2 02 1 02

2

2

5

12 5 1.

sx, 0d → s0, 0d

lim lím

Límite a lo largo del eje x.

Sin embargo, si sx, yd se aproxima a s0, 0d a lo largo de la recta y 5 x, se obtiene sx, xd → s0, 0d

lim lím

NOTA

En el ejemplo 4 se puede concluir que el límite no existe ya que se encuentran dos trayectorias que dan límites diferentes. Sin embargo, si dos trayectorias hubieran dado el mismo límite, no se podría concluir que el límite existe. Para llegar a tal conclusión, se debe mostrar que el límite es el mismo para todas las aproximaciones posibles. n

1

x2 2 x2 x2 1 x2

2

2

5

sx, xd → s0, 0d

lim lím

1 2 0 2x 2

2

5 0.

Límite a lo largo de la recta y 5 x.

Esto significa que en cualquier disco abierto centrado en s0, 0d existen puntos sx, yd en los que f toma el valor 1 y otros puntos en los que f asume el valor 0. Por ejemplo, f sx, yd 5 1 en los puntos s1, 0d, s0.1, 0d, s0.01, 0d, y s0.001, 0d y f sx, yd 5 0 en los puntos s1, 1d, s0.1, 0.1d, (0.01, 0.01) y s0.001, 0.001d. Por tanto, f no tiene límite cuando sx, yd → s0, 0d.

z A lo largo del eje x: (x, 0) → (0, 0)

El límite es 1. 2

3 x

3

y

A lo largo del eje y = x: (x, x) → (0, 0) El límite es 0. sx, yd → s0, 0d

lím lim

1 xx

2 2

Figura 13.23

2 y2 1 y2

2 no existe 2

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CAPÍTULO 13

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Continuidad de una función de dos variables En el ejemplo 2 hay que observar que el límite de f sx, yd 5 5x 2 yysx 2 1 y 2d cuando sx, yd → s1, 2d puede calcularse por sustitución directa. Es decir, el límite es f s1, 2d 5 2. En tales casos se dice que la función f es continua en el punto s1, 2d. NOTA Esta definición de continuidad puede extenderse a puntos frontera de la región abierta R considerando un tipo especial de límite en el que sólo se permite a sx, yd tender hacia sx0, y0d a lo largo de trayectorias que están en la región R. Esta noción es similar a la de límites unilaterales, tratada en el capítulo 1. n

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Una función f de dos variables es continua en un punto sx0, y0d de una región abierta R si f sx0, y0d es igual al límite de f sx, yd cuando sx, yd Æ sx0, y0d. Es decir, sx, yd → sx0 , y0 d

lím lim

f sx, yd 5 f sx0, y0d.

La función f es continua en la región abierta R si es continua en todo punto de R.

En el ejemplo 3 se mostró que la función f sx, yd 5

5x 2y 1 y2

x2

no es continua en (0, 0). Sin embargo, como el límite en este punto existe, se puede eliminar la discontinuidad definiendo el valor de f en (0, 0) igual a su límite. Tales discontinuidades se llaman removibles o evitables. En el ejemplo 4 se mostró que la función f sx, yd 5

1xx

2 2

2 y2 1 y2

2

2

tampoco es continua en (0, 0), pero esta discontinuidad es inevitable o no removible. TEOREMA 13.1 FUNCIONES CONTINUAS DE DOS VARIABLES Si k es un número real y f y g son funciones continuas en sx0, y0d, entonces las funciones siguientes son continuas en sx0, y0d. 1. Múltiplo escalar: kf 2. Suma y diferencia: f ± g

3. Producto: fg 4. Cociente: fyg, si gsx0, y0d Þ 0

El teorema 13.1 establece la continuidad de las funciones polinomiales y racionales en todo punto de su dominio. La continuidad de otros tipos de funciones puede extenderse de manera natural de una a dos variables. Por ejemplo, las funciones cuyas gráficas se muestran en las figuras 13.24 y 13.25 son continuas en todo punto del plano. z

z

Superficie: f(x, y) = 1 sen(x2 + y2)

Superficie: f(x, y) = cos(y2)e−

2

x2 + y2

2

x

y

x

2

2

y

La función f es continua en todo punto del plano

La función f es continua en todo punto en el plano

Figura 13.24

Figura 13.25

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SECCIÓN 13.2

EXPLORACIÓN

Sostener una cuchara a un palmo de distancia y mirar la propia imagen en la cuchara. La imagen estará invertida. Ahora, mover la cuchara más y más cerca a uno de los ojos. En algún punto, la imagen dejará de estar invertida. ¿Podría ser que la imagen ha sido deformada continuamente? Hablar sobre esta cuestión y sobre el significado general de continuidad con otros miembros de la clase. (Esta exploración la sugirió Irvin Roy Hentzel, Iowa State University.)

903


El siguiente teorema establece las condiciones bajo las cuales una función compuesta es continua. TEOREMA 13.2 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Si h es continua en sx0, y0d y g es continua en hsx0, y0d, entonces la función compuesta sg 8 hdsx, yd 5 gshsx, ydd es continua en sx0, y0d. Es decir, sx, yd → sx0, y0d

lim lím

gshsx, ydd 5 gshsx0, y0dd.

NOTA En el teorema 13.2 hay que observar que h es una función de dos variables mientras que g es una función de una variable. n

EJEMPLO 5

Análisis de la continuidad

Analizar la continuidad de cada función. a) f sx, yd 5

x 2 2y x2 1 y 2

b) gsx, yd 5

2 y 2 x2

Solución a) Como una función racional es continua en todo punto de su dominio, se puede concluir que f es continua en todo punto del plano xy excepto en (0, 0), como se muestra en la figura 13.26. b) La función dada por gsx, yd 5 2ys y 2 x2d es continua excepto en los puntos en los cuales el denominador es 0, y 2 x2 5 0. Por tanto, se puede concluir que la función es continua en todos los puntos excepto en los puntos en que se encuentra la parábola y 5 x2. En el interior de esta parábola se tiene y > x 2, y la superficie representada por la función se encuentra sobre el plano xy, como se muestra en la figura 13.27. En el exterior de la parábola, y < x 2, y la superficie se encuentra debajo del plano xy.

z

z

g(x, y) = 5

5

2 y − x2

4 3 2

4 3

4

x

y

y 5 x

f (x, y) =

x − 2y x2 + y2

y = x2

La función f no es continua en (0, 0)

La función g no es continua en la parábola y 5 x2

Figura 13.26

Figura 13.27

Larson-13-02.qxd 10/27/08 3/12/09 18:46 PagePage 904 904 1053714_1302.qxp 12:06 PM 1053714_1302.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 904

904 904

Chapter 13 13 Functions of Several CAPÍTULO Funciones de variasVariables variables Chapter 13 Functions of Several Chapter 13 Functions of Several Variables Variables

904 904

Continuity de of auna Function Variables Continuidad funciónofdeThree tres variables

Continuity of ofandThree Variables Continuity of aa Function Function Three Variables precedinganteriores definitions of limits continuity can extenderse be extended to functions of LasThe definiciones de límites y of continuidad pueden a funciones de tres three variables by considering points x, y, z within the open sphere The definitions of continuity can extended variables considerando los puntos dentro de la esfera abierta slimits x, y, zand dand The preceding preceding definitions of limits continuity can be be extended to to functions functions of of three variables by considering points within the open sphere x, y, z three variables by considering points x, y, z within the open sphere 2 2 2 2 sphere sx 2 x0dx2 1 sxy0 2 y0dy2 1 syz0 2 z0d2z < zd02. < . EsferaOpen abierta. 2 2 2 2 xx xx0 2 yy yy0 2 zz zz0 2 << 2.. Open sphere Open sphere

z z z z

(x , y , z ) (x00, y00, z00) (x0, y0, z0) δ (x0, y0, z0) δ δ δ

0

y y y y

x x x Open sphere in space x Esfera abierta en el espacio

0

0

El radio de esta esfera es d, y la esfera está centrada en sx0, y0, z0d, como se muestra en la The radius of this sphere is , and the sphere is centered at x0, y0, z0 , as shown in figura 13.28. Un punto sx0, y0, z0d en una región R en el espacio es un punto interior de R Figure 13.28.ofAthis point x0, y0is, z0, and in a region R in space is an interior if there The sphere the isis centered atat completamente as Rshown xx0,,yy0point , z0 , of The radius radius of thiscentrada sphere isen ,sxand centered in si existe una que está contenida en R. in Si d-esfera , z0sphere dsphere 0 0, z0 , as shown 0, y0the exists a -sphere about x , y , z that lies entirely in R. If every point in R an AAun point xx0,,interior, y00, z00 in 0 a region R in space is an interior point of R ifis Figure 13.28. point a regionse space point of R ifthere there R in todoFigure punto13.28. de R es punto entonces dice queisRan esinterior una región abierta. 0 y0, z0 in interior point, thenabout R is called open. exists R. IfIf every exists aa -sphere -sphere about xx00,,yy00,,zz00 that that lies lies entirely entirely in in R. every point point in in RR isis an an interior point, then R is called open. interior point, then R is called open. DEFINITION OF CONTINUITY OFFUNCIÓN A FUNCTION OFVARIABLES THREE VARIABLES DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA DE TRES DEFINITION OF CONTINUITY OF A FUNCTION OF THREE VARIABLES DEFINITION OF CONTINUITY A FUNCTION THREE f oftres function three variables isOF continuous a OF point an región open f de sx0,xy0,0,yVARIABLES z0,0dz0deinuna UnaAfunción variables es continua en unatpunto f x f x, y, z R , y , z region if is defined and is equal to the limit of as AAfunction isisycontinuous 0 , three 0 0 variables R x, y, zd abierta si f sx0f,fyof definido es igual al at límite de f sxx,x0,y, 0 in ,yy0z,d,zzcuando function of variables continuous ataapoint point inan ansopen open 0 zthree 0d está x, y, z Rapproaches ydecir, , z0 . That x0Es is,is equal to the limit of0 f 0x, y,0 z as f x , y , z region if and 0, is 0defined s x , y , z d . se aproxima a 0 0 region R if 0f x00, y00, z0 is defined and is equal to the limit of f x, y, z as x,x,y,y,zz approaches xx0,y,,yy0z,,zz0 .f.That approaches fy,x, x,0,zyis, , z0 . lím 0is, lim zd0 5 0f sx00, yThat x,lím y, z → x0 , yf0,szx, 0 0d. 0 sx, y, zd → sx0 , ylím , z d 0 0 f x, y, z f x , y .. x00,open y00,,zz00region lím x, y, z → x0f, yis , z 0 f x, y, z in fthe The function it is continuous every x, y, x0 , y00,continuous z0 f zes→continua La función en una región abierta R siResifcontinua en todoatpunto point in R. The function f is continuous in the open region R if it is continuous at de R.The function f is continuous in the open region R if it is continuous atevery every point pointin inR. R. EJEMPLO 6 Continuidad de una función de tres variables

Figure 13.28 Open Figura 13.28ininspace Opensphere sphere space Figure Figure13.28 13.28

EXAMPLE 6 Testing Continuity of a Function of Three Variables La función EXAMPLE 6 Testing Continuity of a Function of Three Variables EXAMPLE The function 6 Testing Continuity of a Function of Three Variables 1 The f sx,function y, zd 5 2 The function x 1 y 2 12 z f x, y, z 2 x y112 z ff x,x,en y,y,ztodo es continua punto en el espacio excepto en los puntos sobre el paraboloide dado 2 z xx 2 point yy22 in zz space except at the points on the paraboloid given by porisz continuous 5 x 2 1 y 2. at each 2 2 zis continuous x y . at each point in space except at the points on the paraboloid given by is continuous at each point in space except at the points on the paraboloid given by 2 zz xx 2 yy22..

113.2 3.2 Exercises Ejercicios Exercises 13.2 13.2 Exercises

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In Exercises 1– 4,1 use definition of the limit of a de function of En los ejercicios a 4, the utilizar la definición de límite una funtwo variables to4,verify thedefinition limit. ción de dos variables para verificar eloflímite. In Exercises 1– use the the limit of a function In Exercises 1– 4, use the definition of the limit of a functionof of two variables to1verify verifythe thelimit. limit.2. lím lím x to x 4 1.twovariables

In 9–22,9find thecalcular limit and continuity of EnExercises los ejercicios a 22, el discuss límite ythe analizar la conthe function. tinuidad de la9–22, función. In Exercises find the limit and discuss the continuity In Exercises 9–22, find the limit and discuss the continuity of of the the function. lím 2x2 y lím x 4y 1 9. function. 10.

lím lím xy 11 3 1.1. 2.2. lím y x b 44 3. 4. lím lím → 1, 0 x → 4, 1 x x,x,x,yyy→ x,x,x,yyy→ →1,1, 03 →a,4,b 1 lím y 3 yy bb 3. 4.4. lím lím lím x, y → 1, 35–y8, find3 the indicated x, y → a, busing In3.Exercises limit by the limits x, y → 1, 3 x, y → a, b En los ejercicios 5 a 8, hallar el límite indicado utilizando los In Exercises 5– 8, find the indicated limit by using límites Inlím Exercises thelimits limits lím limit f x, y5– 8, 4find the g x, yby using 3. the y indicated

9.9. 11.

x, y → 1, 0

x, y → 4,

x, y → a, b

lím

x, y → a, b

f x,x,yy 44 yy f x, y g x, y

x, y lím a, b f a, b 5.x, y→→lím x, y → a, b

5.5. 6. 6. 7.6. 7.7. 8. 8.8.

lím

x, y lím → a, b x,lím y → a, b x, y → a, b

lím

lím x, ylím → a, b x,x,y y→→a,a,b b lím

x, y lím → a, b x,lím y → a, b x, y → a, b

lím

1

x, y lím → a, b x, y → a, b

5fffx,x, x,yyy gg x,x,yy g x, 55ff x,x,yyy f gx, y ygy x, y g x,x, ff fx, x,x,yyy gg x,x, gyyx, y ff x,x,yfyx, y gg x,x,yy ff x,x,yy

lím

x, y lím → a, b x, y → a, b

gg x,x,yy

3.3.

x, y → 2, 1

11. 11. 13. 13. 13. 15. 15. 15. 17. 17. 17. 19.

2 lím 2x lím2, 1 xy 2x2 x, y → x,lím y → 2, 1e

x, y → 0, 0

yy

x, y → 1, 2

lím eexyxy x, y lím → 1, 2 x x,lím y → 1, 2 x, y → 0, 2 yx lím

x

x, y lím → 0, 2 y xy x,lím y → 0, 2 y x, y → 1, 1 x 2 xy y 2

xy

lím

x, y lím → 1, 1 x 22 y 22 x, ylím → 1, 1 xy cosyxy x, y → 4, 2

lím

y cos xy

x, y →lím 4,arcsen 2 y cos xyxy x,lím y → 4, 2 x, y → 0, 1 arcsen 1 xyxy

arcsen xy xxy xy y z 21. lím1, 3, 4 xx yy zz 21. x, y, zlím →

19. 19. 21.

lím

x, y lím → 0, 1 1 lím x,x,y,yz → → 0, 1, 13, 41 x, y, z → 1, 3, 4

y4y 4y 11 1 x yy 12. 2 lím 12. x, ylím → 2, 4 xx2 1y1 → 2, 4 x 14. x, ylím x, y → 1, 2 xx y x yy lím 14. lím1, 2 x x y 14. x, y → y → 1, 2 x y 16. x,lím x, y → 1, 1 xx y x 16. lím 16. x, ylím → 1, 1 xxx yy → 1, 1 sen 18. x, ylím x, y → 2 , 4 yx x sen 18. lím seny x y 18. x, y lím → 2 , 4arccos x, y → 2 , 4 y lím 20. x, y → 0, 1 arccos 1 xy arccos xx yy 20. lím 20. x, ylím →lím 0, 1 1 xeyzxy 22. xy x,x,y,yz → → 0, 1 2, 1, 0 1 yz xe 22. lím yz xe 22. lím 10. 10. 12.

lím

x

x, y lím → 0, 0 x x x,lím y → 0, 0 2 x, y → 2, 4 xx

x, y, z → 2, 1, 0 x, y, z → 2, 1, 0

1053714_1302.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 905 1053714_1302.qxp 10/27/08 PM Page Page 905 905 Larson-13-02.qxd 3/12/0912:06 18:46

SECCIÓN 13.2 Limits Límites continuidad 13.2 and yContinuity 13.2 Limits and Continuity In Exercises 23–36, the limit (if it exists). If the does En los ejercicios 23 afind 36, hallar el límite (si existe). Si ellimit límite no In Exercises 23–36, find the limit (if it exists). If the limit does not exist, explain existe, explicar porwhy. qué. not exist, explain why. xy 1 x22y xy 23. 24. lím xy 1 lím → 1, 1 1 23. x, ylím 24. x, y → lím1, 1 1 xy22 xy x, y → 1, 1 1 x, y → 1, 1 1 xy xy 1 1 1 1 25. 26. lím lím → 0, 0 x → 0, 0 x 2 y 2 25. x, ylím 26. x, ylím y x, y → 0, 0 x x, y → 0, 0 x 2 y 2 y x 2 y2 x 4 4y 4 27. 28. lím x2 y2 lím x 24 4y24 → 2, 2 x → 0, 0 x 27. x, ylím 28. x, ylím y 2y2 x, y → 2, 2 x x, y → 0, 0 x 2 y 2y x y x y 1 x y x y 1 29. 30. lím lím → 0, 0 → 2, 1 29. x, ylím 30. x, ylím x y x y 1 x, y → 0, 0 x, y → 2, 1 x y x y 1 x y x x2 y x 2 31. 32. lím lím → 0, 0 x x, ylím → 0, 0 x 2 31. x, ylím 32. y y2 x, y → 0, 0 x 2 x, y → 0, 0 x 2 y y 2 x2 2 x 33. 34. lím lím ln x y22 → 0, 0 x 2 → 0, 0 ln x2 33. x, ylím 34. x, ylím y 1 y22 1 x, y → 0, 0 x 2 x, y → 0, 0 1 y 1 xy yz xz xy yz2 xz2 lím 35. → 0, 0, 0 x2 35. x, y, z lím y2 z2 x, y, z → 0, 0, 0 x2 y z xy yz22 xz22 xy2 yz2 xz2 lím 36. → 0, 0, 0 x 36. x, y, z lím y2 z2 x, y, z → 0, 0, 0 x2 y z In Exercises 37 and 38, discuss the continuity ofdethe functiony En los ejercicios la continuidad la función In Exercises 37 37 andy 38, analizar discuss the continuity of the function x, yexiste) and evaluate the de limit ofyfc (si (if it exists) asxx,x,ycy →→x0,0,0c0. . evaluar el límite cuando f x x, and evaluate the limit of f x, y (if it exists) as x, y → 0, 0 . 37. f x, y 37. f x, y

z z

exy exy 7 7

3 3

1 1

2 2

3 3

y y

3

4

5

y

x x

38. f x, y 38. f x, y

1 1

cos x 22 y 22 cos 2x y x2 y 22 x y z 2 1

5 x

4

905 905 905

In 39–42, a graphing utility to make a table showing EnExercises los ejercicios 39use a 42, utilizar una herramienta de graficación In Exercises 39–42, use a graphing utility to make a table showing x, y tabla the of f una at the points eachde path. paravalues elaborar quegiven muestre losfor valores los f xx,Use yc enthe the values of f x, y at the given points for each path. Use the f x, y una result a conjecture about the limit as puntos to quemake se especifican. Utilizar el resultado paraofformular result to make a conjecture about the limit of f x, y as x, y → 0,sobre 0 . Determine existsxx,analytically conjetura el límitewhether de f xx,the cuando yc limit yc → x0, 0c. x, y → 0, 0 . Determine whether the limit exists analytically and discuss the continuity ofsithe Determinar analíticamente el function. límite existe y discutir la conand discuss the continuity of the function. xy tinuidad de la función. z xy 39. f x, y z 39. f x, y x 22 xyy 22 z 39. f sx, yd 5x 2 y 2 2 Path: y 0x 1 y 2 Path: y 0 2 2 y Trayectoria: 1, 0 ,y 5 0 Points: 2 y Points: 1, 0 , y 2 s 1, 0 d , Puntos: 0.5, 0 , 0.1, 0 , 0.5, 0 , 0.1, 0 , s0.01, 0.5, 00d, ,s0.1, 0d, 0 0.001, 0.01, 0 , 0.001, 0 2 s0.01,y 0d, sx0.001, 0d 2 Path: Path: y x x2 y 5 x Trayectoria: x Points: 1, 1 , Points: 1, 1 , x s 1, 1 d , Puntos: 0.5, 0.5 , 0.1, 0.1 , 0.5, 0.5 , 0.1, 0.1 , s0.01, 0.5, 0.5 d, s,0.1, 0.1d,0.001 0.01 0.001, 0.01, 0.01 , 0.001, 0.001 s0.01, 0.01d, ys0.001, 0.001d z y 40. f x, y z 40. f x, y x 22 y y 22 z 40. f sx, yd 5x 2 y 2 4 x 1 y Path: y 0 4 Path: y 0 34 Trayectoria: 1, 0 ,y 5 0 Points: 3 Points: 1, 0 , 23 1, 0d0, , Puntos: 2 0.5, 0 , s0.1, 0.5, 0 , 0.1, 0 , 2 s0.01, 0.5, 00d, ,s0.1, 0 d , 0.001, 0 0.01, 0 , 0.001, 0 y s0.01,y 0d, sx0.001, 0d Path: 3 y Path: y x 3 3 y x Trayectoria: 3 3 1, 1 ,y 5 x Points: x Points: 1, 1 , 3 x 1d, 0.1 , Puntos: 0.5, 0.5 s,1,0.1, 0.5, 0.5 , 0.1, 0.1 , s0.01, 0.5, 0.5 d, s,0.1, 0.1d,0.001 0.01 0.001, 0.01, 0.01 , 0.001, 0.001 2 s0.01, 0.01d, sxy 0.001, 0.001d z xy 22 4 41. f x, y z 2 41. f x, y x xy y z 41. f sx, yd 5 2x 22 y44 2 2 Path: x y 22 x 1 y 2 Path: x y 2 Trayectoria: 1, 1 ,x 5 y Points: Points: 1, 1 , y d, 0.1 , Puntos: 0.25, 0.5s1,, 10.01, 3 y 0.25, 0.5 , 0.01, 0.1 , 3 y 4 s0.0001, 0.25, 0.50.01 d, s0.01, 0.1 d , 3 , 4 0.0001, 0.01 , x4 s0.000001, 0.0001, 0.01 d, x 0.001 x 0.000001, 0.001 2 s 0.000001, 0.001 d y2 Path: x y Path: x 2 Trayectoria: 1, 1x ,5 2y Points: 1, 1 , Points: s21,, 1d,0.01, 0.1 , Puntos: 0.25, 0.5 0.25, 0.5 , 0.01, 0.1 , s20.25, 0.50.01 d, s20.01, 0.1d, 0.0001, , 0.0001, 0.01 , s20.0001, 0.01 d , 0.000001, 0.001 0.000001, 0.001 s20.000001, 0.001d

1053714_1302.qxp 10/27/08 10/27/08 12:06 12:06 PM PM Page Page 906 906 1053714_1302.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 906 1053714_1302.qxp 1053714_1302.qxp 10/27/08 12:06 PM PM Page 906 Larson-13-02.qxd 10/27/08 3/12/09 18:46 PagePage 906 906 1053714_1302.qxp 12:06 1053714_1302.qxp 4_1302.qxp 10/27/08 12:0610/27/08 PM Page 12:06 906 PM Page 906 1053714_1302.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 906 1053714_1302.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 906

AS

906 906 906 906 906 906 906 Chapter 13 906 906

CAPÍTULO Funciones de variasVariables variables Chapter 13 1313 Functions Functions of Several Several Variables Chapter Chapter Chapter13 13 Functions Functionsofof ofSeveral SeveralVariables Variables Chapter 13 Functions of Several Variables Chapter 13 Functions of Several Variables 906 Functions of Several Variables Chapter 13 Functions of Several Variables Chapter 13 Functions of Several Variables InExercises Exercises 53–58, 58,ause use polarcoordinates coordinates tofind find the limit. limit. 2x 2 yy2222 En los ejercicios 53 58, polar utilizar las coordenadas polares para 2x In Exercises 53– 58, coordinates find the In 53– toto 2x zzzz 42.ffffsx,x, x,yyyyd 5 2x In Exercises 53– 58,use usepolar polar coordinates to findx,the the→limit. limit. 2x2222 yyyy22 42. x, 42. In Exercises 53– 58, use polar coordinates to find the limit. z 2x [ x r cos y r sen , y 0,u00,0 y Hint: Let and and note that 2x y 2 hallar el límite. [Sugerencia: Tomar y x 5 r cos u y 5 r sin sen z 42. f x, y 2 [ x r cos y r sen , x, y → 0, Hint: Let and and note that [ x r cos y r sen , x, y → 0, Hint: Let and and note that 2x 1yy2y In Exercises 53– 58, use polar coordinates to find the limit. 2x In Exercises 53– 58, use polar coordinates to find the limit. 2 2x 42. y f x, y 2x cos y rr sen sen x,the →limit. 0, 00 Hint: Let and polar and note notetothat that z z 2x2 y yy In Exercises coordinates findx, [[implies xx0.] ]53– rr cos ,, and yy → 0, Hint: Let and 2x 42. f x, y → ]53– 2x 42. f x, y observar que implica xx, y58, c, → xuse 0,note 0cyypolar 2 2 rrry→ → implies 4444z [implies r cos r sen x, ythe →limit. 0, 0 Hint: and and note that In Exercises 58, use coordinates find [Hint: Let x r cos r ]sen x, ry,→ →0.]0, 0 to andrLet and that fPath: x, yyyy 02x Trayectoria: 2x2 42.y Path: 0002y 5yyy0 implies →xx0.0. 0. 4z [ r cos y r sen , x, y → 0, 0 Hint: Let and and note that implies r → 0. ] 4 42. fPath: x, y 2x y Path: y 1,2x 02 Path: implies r →x0.] rxy [Hint: Let cos and y r sen , and note that 4 implies r → 0.] 4 222 x3333 x,yyy3y333 → 0, 0 Points: y s1,1, 000d, ,, y Path: Puntos: Path: y 0 implies r → 0. ] xy x xy x Points: 0 Points: 4 2 53. 54. lím lím lím xx32 yy 32 y 1, Path: xy 2 222 1,000 ,, Points: implies r→→0, 0. ]222xy 53. 54. lím lím 53. 54. 4 Points: →0,0, 0,000 x 2y 00.01, Path: 53. x,x,x,ylím 54. lím lím yy→ →0,0,000xxx → 0.25,0y00d, 1, xx2322 yyyy233222 00.01, , 000d, ,, Points: lím lím 2xy2yy 2 2 y 3 x,x,x,x,y yyy→ xy 253. x 3 54. sPoints: Points: 1, 0 , 0.25, ,,,s0.01, 0.25, x, yylím → 0, 0, 0 0 x2 → 0, 0, 0 0 xx32 y xy 53. 54. lím 1, 0 , x, → x, y → 0.25, 0 0.01, 0 , x y x32x22 yy232y22 54. lím lím −3 53. 2 2222 2 2 0.25, 0 , 0.01, 0 , 2 2 2 2 −3 −3 −3 2 2 y 2y2 x, y → 0, 0 x 54. → 0, 0 xxxx → 0, 0 xx2 xy 53. 0, 0, Points: x, y → 0, 0 x y x,x, yylím y x,x, yylím 0.001,0000d1, 0.25, ,, ,,0.01, 2 y 2x 2 y −3 2y y 0.25, 0 , 0.01, 0 ,s0.001, 0.001, lím lím 55. 56. → 0, 0 → 0, 0 53. 54. lím lím x x −3 2 2 y x x2 yy2yy22 lím lím 55. 56. 55. 56. 0.25, 0 00, ,,0.01, 0 , 22x2 y2y 22 0.001, x,ylím →0,0, 0,00 x,ylím →0,0, 0,00 22 22 −3 x, yy→ → 0, 00xx x, yy→ → 0, 00 x 2x22x22 y 2y22y22 x x y −3 − 2 0.001, −3 −3 lím lím 55. 56. 2 55. 2 2 56. 2 x,x, x, y → y → x, −3 y y y x x 0.25, 0 , 0.01, 0 , −3 x 2 yy2yy22 lím lím 2 2 y y x x −22 0.000001, −3 0.001, 0 , 0d x, yylím → 0, 0, 0 0 xx → 0, 0, 0 0 xx2x2 s0.000001, 0.001, 0 , 2 2y2y y2 2 −3 −−2 0.000001, y2 2y2 2 56. x,x, yylím − 22 x, → → xcos límyyyy 2 55. −3 −3 55. 0.001, 0 , 0000 22 2 2ylím 2x2 2x2 2 2x 256. 0.000001, − 2 x, ylím 2 2 2 2 2 3 2 lím x lím sen 57. 58. 2 → 0, 0 x, y → 0, 0 2 y y 2y22 x lím 55. 56. x y 0.000001, −3 x, y → 0, 0 x, y → 0, 0 x x y 3 33 lím cos lím sen 57. 58. 57. x 58. y x,x,ylím −2 0.001, 2 xx y 2 2 yy 2 2 2 y2 yy 2 2 xxx2 y 0 x,xx0−3 Path: x,yylím y→ →0,0, 0,0000cos y→ →0,0, 0,0000sen yy 0.000001, x, → → lím lím 55. 56. x y 5− 2x Trayectoria: 0.000001, 0 3 −3 − 2 2 lím cos x y lím sen y 57. 58. x 22 y Path: y Path: x, y → 0, x, y → 0, x, x, y 2 2 3 lím cos x y lím sen x 57. 58. 2 2 y 2 y2 y 0.000001, 0 y x, y → 0, 0 x, y → 0, 0 2 2 y x Path: x y 2 x, y → 0, 0 x, y → 0, 0 −3 2 2 2 2 x 2 − 2xx3xx x2 ylím y 1,x10 , Path: → 0, 0 cos58. → 0, 0 sen x2 y y2 sen 58. x x,x,yyylím 57. y cos x57. yx, ylím 0.000001, 2 2 x,33ylím Points: y s1,1, x1d, , Path: x, y → 0, 0 → 0, 0 lím cos x y lím sen x y 57. 58. Puntos: Path: y x → 0, 0 x, y → 0, 0 Points: 1 Points: x y InExercises Exercises 59 62, use polar coordinates and L’Hôpital’s Rule 2polar 2regla 2 x y 1, Path: En los ejercicios 59 ause 62, usar coordinates las coordenadas polares In Exercises 59 62, and L’Hôpital’s In ––––62, and x, y lím → 0, 059 → 0, 0L’Hôpital’s 1,x11 ,, Points: 3 cos x2 use ypolar sen x2 y laRule yRule 57. 58. x, y lím Points: x In Exercises 59 62, use polarcoordinates coordinates and L’Hôpital’s Rule y0.25 Path: x, y → 0 59 x, y → 0, 0 L’Hôpital’s In Exercises – 62, use polar coordinates and Rule 0.25,0.25 0.25 0.01,x0.01 0.01d, ,, 1,dx,1,,s0.01, , 0.01, Points: tofind find the0,limit. limit. sPoints: Points: 1, 1 , x 0.25, 0.01 0.25, de L’Hôpital para encontrar el límite. to find the limit. to the In Exercises 59 – 62, use polar coordinates and L’Hôpital’s Rule In Exercises 59 – 62, coordinates and L’Hôpital’s Rule 1, 1,, , 0.01, 0.25, 0.25 0.25 0.01, 0.01 0.01 ,, touse findpolar the limit. limit. x 0.25, In Exercises 59 – 62, use polar coordinates and L’Hôpital’s Rule to find the 1, 1, d, 0.01, Points: −4 0.001, 0.001 0.25, 0.01 , 0.25, 0.25 , 0.01,s0.001, 0.01 , 0.25 the limit. 2 2 In find Exercises 59 – 62,2x22use 2ypolar coordinates and L’Hôpital’s −4 −4 0.001, 0.001 ,,, −4 0.001 ,0.01, to find the limit. to sen senxxx2222 yyy22Rule 0.25, 0.25 , 0.01 , −4 0.001, 0.001 to find the limit. sen sen sen xxx22 yyy222 2 −4 0.001, 0.001 , lím lím sen 59. 60. lím 2 2 x y sen sen 0.25, 0.25 , 0.01, 0.01 , to find the limit. lím lím 59. 60. lím 59. 60. 2 2 0.0001, 0.0001 −4 0.001, 0.001 , 2 2 y y sen x sen x s0.0001, d −4 0.001, 0.001 , →0,0, 0,000 →0,0, 0,000 0.0001, 0.0001 0.0001 lím lím 59. 60. 2 → → x,x, xx2x22x22 yyyy2222y22 sen x2x22x22 yy2y22y22 sen −4 0.001, 0.001 , lím lím 60. yx,x,y2yyy→ sen 59. x2 x,x,x,yyyy2→ 0.0001, 0.0001 → 0, 0, 0 0 senx xx → 0, 0, 0 0 senx2 0.0001, 0.0001 2 y2y2 2 2 sen x60. 59. x,x, yylím −4 0.001, 0.001 , → x, ylím → xx y y lím 59. 60. x 2 2xy2lím 0.0001, 0.0001 2 2 2 2 0.0001, 0.0001 2 2 2 2 y 1 cos x, y → 0, 0 x, y → 0, 0 y sen x sen x22x 2 y22y 2 x, y → 0, 0 x, y x, ylím 111 xcos xxxy222→ 0,yyy022 x 60. x59. yx, ylím 0.0001, 0.0001 2cos lím 61. → 0, 0 → 0, 0 In Exercises 43– 46, discuss the continuity of the functions and f lím lím 59. 60. x y En los ejercicios 43 a 46, analizar la continuidad de las funciones cos x y lím 61. 61. 2 In Exercises 43– 46, discuss the continuity the functions and In Exercises 46, 0.0001,43– 0.0001 cos 2 →0,0, 0,00 2x22 x → 00 1 xx x, y → 0, 0 222y2 y2 x2 y 2 lím 61. xx,x,x,2x,ylím In Exercises 43– 46,discuss discussthe thecontinuity continuityofof ofthe thefunctions functionsffffand and 1 cos yyy→ → 1 cos lím 61. 2 xy2y 2 2 y2 y0,20, In Exercises 43– 46, discuss the continuity of the functions and Explain any differences. g. f y g. Explicar cualquier diferencia. x, y → 0 2 x y Explain any differences. g. Explain any differences. g. y 1 cos x 61. In Exercises 43– 46, discuss thefunctions continuity of the functions and flím x, ylím → 0, 0 x 61. In Exercises 43– 46, the continuity of the f and 2y22x22 2 2y22 Explain any differences. g. discuss 2 lím 62. x,ylím y2lím → 0, 0 x 12x222 cos 61. x22y22 xln y y In Exercises 43–differences. 46, discuss the continuity of the functions and x, yf → 0, 0 Explain any g. x62. lím 62. x,yyyy→ →0,0, 0,0000 xx2 446, 4discuss 4 → any differences. g. lím 61. xy22yyy22lnln yx2xx22 yyyy22 In Explain Exercises 43– the continuity of the functions and f lím ln 62. g. Explain any differences. x, → 0, x,x, 4 4 4 x y lím x ln 62. y y x, yy → 0, 00 2 2 x 2 y2x2 g. Explain anyxxdifferences. x, → 0, 4 4 , 2 2 2 x, y 0, 0 lím x y ln x y2 62. → 0, 0y 2 x242 yy2242, ,, x,x,yy lím x y lnx,x, yyx→ 62. 0,0, Explain g. y42 , 4 lím0, 0 63 x 2– 68,y22discuss ln x22 the y22 continuity of the function. 62. x, yy 0,0000 x, y → 0, 0 43. x,yyy anyxxxx2differences. 4f ffx, y In Exercises y x, 0, 43. x, 2 x 4 43. y In Exercises 63 – 68, discuss the continuity the function. In Exercises 63 – 68, discuss the x, y → 0, 0 4 4 lím x y ln x y continuity 62. 43. ,ff x, x, yyx, y xxx242 0, 0yyy422 , x, y 0, 0 In Exercises Exercises 63 –– 68, 68, discuss discuss the the continuityofof ofthe thefunction. function. 43. x, y → 0, 0 63 In continuity of the function. x,yyyy 0,0000 0, x0, y2 ,, x,x, En los ejercicios 63 a 68, analizar la continuidad de la función. x, 0, 0,0, 0, x 2 43.y 2 f x, y 43. f x, y 2 In Exercises 63 – 68, discuss the continuity of the function. In Exercises 63 – 68, discuss the continuity of the function. x, y 0, 0 0,24 y 24 x, y 0, 0 x0, 1 43. f x, y x, y 0, 0 In – 68, discuss the continuity of the function. zzzz 111 xxx444 0, y0yy4y44 , f x, y, z fx,x, x,y,y, y,zzz 63 63.Exercises 64. x,x,yy 0,0,00 0, 43. f x, yx, y x0, In Exercises 63 – 68, discuss the continuity of the function. f x, y, z f 63. 64. f x, y, z f 63. 64. 2 1y222 2z22 z2 2 2 x 0,xxx24242 yyy24242, ,, x,x,yy 22 1 2 0, 0 0, 0 x f x, y, z f x, y, z 63. 64. xxx 22 yyy 22 zzz 22 63. 1f x, y, z 64.z f x, y, z xxx 22 yyzyy2222 4444 x,yyy 0,000 x,yyy x,x, 0, x0, xx422 yyy422 ,, 0, z 1 f x, y, z f x, y, z 63. 64. x 4 y4gggg, x,x, x y 4 f x, y, z f x, y, z 63. 64. x y z x, yyx, y xx24 0, 0yy42 x, y 0, 0 2 f x, 2 y, z 2 sen x22 yz22 4 x22zzz 1y22 z22 x 2 64. g x, y 2ff x,x,y, 4y,zz sen sen yx, zzz x63. 1, y , x,yyyy 0,0000 x, 0, f x, y, xy sen z 65. 66. x, 0, f x, y, z f y, 63. 64. 1,x1, x, 0, x y 4 x 2 y 2g x, y sen z y z x g x, y 2 xy sen 65. 66. 65. 66. x 2 zyeyy 2 sen x, 0, 1, x, yyy 0, 000 x1, y2 , xxy g x, y x,y,y, y,zzzz eexexsen x,y,y, y,zzzz xy xy2sen senyzzzz2 4 65.z f fffx,x, 66.f fffx,x, z2 x eze y y x, 0, x, y, x, y, sen 65. 66. sen x 24440, 0yyy4y244 4x g x, yx, y 4x 1, x, y 0, 0 xx esen eyx, y, z 1, 4x z f x, y, z f x, y, z xy sen z 65. 66. e e f x, y, z f xy sen z 65. 66. 4 4 , x y x, y 0, 0 1, x, y 0, 0 4x 42 yy42, , x,x,yy xy sen z 66. f x, y, z 0,0, exsen 4x ex 65.eyf x, y, z sen sen xyezey 44.yf 4ffx,x, x,yyy 0, 21, x2422 yyy2422 ,, x,x, x,yyy 0,00000 sen xy xy 44. f x, y, z f x, y, z xy sen z 65. 66. e 4x 2 2 x x 4x 444. 0, , xy 0 x y 4 4 sen xy 44. ff , x, x, yy x, y 4x xy , ,,e xy 000 2xx42 0, 0yyy42 , e xyxy sen x, y 0, 0 44. 2 xy f x, y 67. 2 2 xy xy sen xy 1, x, y 0, 0 , 2 2 4x y f x, y 67. , xy 0 f x, y 67. sen xy x, y 0, 0 44. yf x, y 2x1,21, 44. f x, y 2x 44. 0,0, xyxy , xy 0 x, yy 0 sen 67. f x, y xy x, 0, , ffxyx, x,yyyyy 0,00000 1, y4y2244, x,x, 24x x41, 67. 1,xy xy x, 0, 244 xy 1,1, xy 000 0 sen xy , xy xy67. f x, y 24x y x1, y y f x, y 67. x, y 0, 0 x, y 0, 0 4 4 1, xy , 0, 0 1,44. f x, y x, y 4x , xy00 0 xy xy x, y 0, 0 y 0, 0 4x1,42 yy42, , x, 1, f x, y 67. x, y 0, 0 4x x, yy 0, 00 2 4 xy xy 1, 02 2 2x21, y242 ,, x, y 1, 67. xy f x, 0y x, 0, sen 4x x, 0, 2x 4x 4 gyg4ggx,x, 2 yy42 sen x2xx222 y0y2yy222 , 2x22 2y22 sen 42 1, x, yy 0, 00 x,yyyy x, y 2x 2x 0, 0yyy42, 4x sen22x2xy 2x g2 , x, 2y 4 0, x, y 0, 0 1, xy 0 , , xx yy sen x x, y 0, 0 2 2 , 2 2 2 x y 0, 0,2x 0,0, 4x x,2yyy 68. 2x yg x, y g x, y xxx222x22 yyy22y22 ,, xx222 yy222 sen sen68. x2 f ffx,yx, x, 0, 0,2 2 2yy2 , x,x, x,yyyyy 0,00000 68. 2 sen 2x g x, y 0, x, 0, x 2 y y 2 , x2 f x, y 68. y2 x , x y 2 2 2 2 2 4x y 2 2 f x, y 68. 1, x 2 2 2 x, y 0,00 y2 2x g x, y x, y 0, 0, 0, 0y 4x 4x 1,1, sen x268. yf 2 x, y x,x, 0,0, 68. f x, y 0, 4xy22yyy 222, ,, x,x, 1,xx2xxxx22 yy2yyyy22 ,, xx2 yy2 yx,yyyyy 0,0, 00000 2 4x 1, f x, y 68. , 2 2 2 2 2 x y 2 2 x, 0, 2 0, 0, 2 2 2 45. x, y , xx 4x ydiscuss x, y 0, 0 1, x x2 discuss 4x45. y f fffx,x, 45. y 2 2 yy 1, In x2 Exercises In Exercises 69–72, the continuity continuity ofthe the composite composite f yx,2 y 68. 2 In Exercises 69–72, the 69–72, the 45. x,yyyyx, y xx4x x, y 0, 0 y 2y 22, ,f x, 1, x 2 discuss y22 45. In Exercises 69–72, discuss the continuity continuity ofof of the the composite composite 0,24x0,2 y0yy22 , x,yyyy 0,0000 x, 0, In Exercises 69–72, discuss the continuity of the composite 1, x y x, 0, 0,x0, x, 0, f g. function x 2 45.y 2 f x, y 45. f x, y 2 En los ejercicios 69 adiscuss 72, analizar la continuidad la función function fff g.g. function In Exercises 69–72, of thedecomposite x, 0, 0, x, yyy 0, 000 In Exercises 69–72, discuss the continuity of the the continuity composite x0, y 222 , 45. f x, y g.69–72, function x, 0, 24x In Exercises discuss the continuity of the composite 222yy f fg. function x4x x,x,yy 0, 00 4x y22 y20y222 , 0, 45. f x, yx, y 0, 0, compuesta g. f g. function 2 In Exercises 69–72, discuss the continuity of the composite 8 0, f g. function 4x , , 0,x224x x,x,yyy 0, 0 0, x, 0, 69. f t f 2t2g. 2 2 y2 22 , function 69. 69. x, yyy 0,00000 x, y x, 0, x 4x yyy22 , x0, 69.f ffft ttt ft ttt 22g. x, 0, 4x 2 y 2 ggggx,x, 2 2 y2 function 69. 2 , x,yyyyx, y xx4x x, y 0, 0 y , x, 2 0, 0 y x, y t 2 2x 2x 3y 3y g fg tx, 69. 2 2 t 69. f t 2,24x yy 2 , x,yy 0,00 0, x, 0, 2,x2, x,x, 0, x 2 y 2 g x, y t x, 69. gfgggx, g x, y x,yyyy t 22 2x 2x 3y 3y 2 0, 2, x,y2yyyy 0,00000 2x 3y x2, y 22 , 2 x, g x, y f t t 69. x, 0, 2 y 1 2x 3y g x, y 2x 70. 3y gf x, x22 0,2xy g x, yx, y xx2, 0, 0 0, 0 2, 0y2xy222 yx, yyy222,2yy,, x,0, t y 1111 2x 3y 70. fgfgft tx, 70. 2, x 22 22xy 2xy 2 2 x, yyy 0 0,0, x,x, y0, 000 x, x 2xy y t 70. , f x, y 46. 2 2 2 x, 0, 2, x, y 0 2x,yy 2 70. f t y t1ttt 2x 3y 1 x222xyyyy222 y2 , x, y 46. f ffx, 0, 0 x 2 46. 2xy 2 xxx 2 1 70. f t x, yyy , xxx, 46. 70. f t yy 0, 00 y 2 0 y 2,, x, yx222xy 220, f x, 46. y x,yyy 1tt xxx2222 yyy2222 2 tx, 70. 0, x, 0, t 0, gffgggx, x x2 2xy y22 y , x,x, x,2 y 46. x, 0, 0,0, yyyy 0, 0000 46. f x, y x 2 ff yx, t 70. x, y 0, x, 0, x, y 0, 0 y 46. g x, y tt1 xx22 yy22 0,2 x 2 y22 x, y 0, 0 y x y 0, 0, 0 g x, y x 2 71. y 2 gf x, 2xy2y20, 0, 46. f x, y 0yyy2222 , x,x,yy 1111 xxx2x,222 yx 2xy 2xy x0, t y 1111 x 22 y 22 72.f fft tt 2 g 0, 0 x, y 0, 0 71. 72. f fgft tx, 71. 72. 2xy 2 2 yy 2, ,, x,x, x, 0, yyyy 0,0, 0000 1 t x t 1 x, y x y 22xy2y t f t 71. 72. 0, g x, y 2 2 x, 0, t 1 t 1 1 2 2 2 2 2 2 2 x , f t f t 71. 72. 1 1 gggx,x, x, y 0, 0 2xy x 1 11 t2ttt 22xyy2yy 2 2 y2 , 2 xxx 2 1tt f x,yyyyy , xxx, t t f 71. 72. 1 x, y 0, 0 f t f t 71. 72. 2xy y y 0, 0 g x, x,yyy 1t 2x 2x 3y 3y x,yyy 1 x1xx222t yyy2222 tx, tx, 71. gfggx, x,yyyy 0,0000 0, t 1 t 72. gfggx, x1,2 xx222xy 2yy22 y 2,, x,x, 2x 3y x,2 y 1,1, g x, y x, 0, 0, x 2 gg yx, f t f t 71. 72. t g x, y 2x 3y g x, x, y 0, 0 1, x, y 0, 0 y y x g x, y 2x 3y g x, yy 1 xx 2t yy 2 1, x, y 0, 0 2 g x, y g x, y t 2x 3yg x, y 1,x, yx 2 y0,2 0 g x, y 2x In 3yExercises y 2 g x, y 1 x22t y22 xlimit. x, y 0, 0 1, 73 –78, find each g x, y 2x 3y g x, y x2 y2 1, In Exercises 47– 52, use a computer algebra system to graph the x, y 0, 0 CAS In Exercises 73 –78, find each limit. In find In Exercises 47– 52, use aacomputer computer algebra system graph the Exercises 47– toto CAS In CAS los ejercicios 47use a a52, utilizar un sistema por g x, y 73 2x–78, y x 1,52, InExercises Exercises 73 –78,3y findeach eachlimit. limit. g x, y x,algebra yalgebra 0,system 0 algebraico In Exercises 47– 52, use computer system tograph graphthe the CAS En In Exercises 73 –78, find each limit. In Exercises 47– 52, use a computer algebra system to graph the CAS function and find (if it exists). lím f x, y Infind Exercises 73 –78, find each function and find (if exists). lím x, yy to function and find (if itititexists). lím ygráficamente Ingraph Exercises each In Exercises 47– 52, algebra system to the 73 –78, CAS52, computadora para representar la función y hallar In Exercises 47– use a computer algebra system graph the fxxlimit. x73 1–78, x,yfind y 78,each fx,x, x,yylimit. ylimit. x,yuse y→ 0,0computer 0f ffx, →0,a function and find (if exists). lím x, f 1 x, y f f 1 x, f x, y 0, 0 x, En los ejercicios 73 a hallar cada límite. → In Exercises Exercises 47– 52, use a computer algebra system to graph the CAS In function and find x, ylím x, y (if it exists). lím ff xx73 a) lím 1–78, x, find x, yylimit. 0, computer 0 ff x, →a lím a)a) In 1 x, yy each ff x, and find it exists). y (ifalgebra x,existe). ylím 0, 0 In lím Exercises 52, use system to graph the → (siit function and CAS find function exists). f x,47– y (if x→0 lím a)yExercises x→0 x→0 x, ylím → 0, 0 f x, y (if it exists). function lím a) 1111 cos1111 f x 1 x, f x,f yx 1 x, xyxxx f x, y x, y →f 0, 0 yand find x→0 47. 48. x, sen x sen y f x, y sen f x 1 x, y f x, y lím a) x, y 0, 0 → x→0 function and sen find (if it exists). lím f x, y 48. 47. 48. sen sen cos x 47. lím 1 x→0 f x 47.f fffx,x, 48.f fffx,x, x,yyyy sen senxxxx x, ysen sen0,yyyy0 x,1yyyy sen senx1x1xa) cos cos a) x lím → x→0 x,y1 y11 1x,yyyx fffx,x, x,yyy x1xxx 47. x, sen sen x, sen cos 1 48. f x, y f x, x→0 x lím b) lím a) x f x,y y sen48. x f sen f x, y sen f x, y 1 y x, yy lím b)b) 47. f x, y sen x47. sen x, yy sen 48. cos 2 1x 2 cos 1x ff x, y→0 f x, y 1 yx x→0 lím b)y lím 1x 47. f x, y senxxx2xy222yy sen y f x,xy sen y→0 y→0 x 48. xxx2222 x1x yyyy2222cos lím b) f x,f yx, y 1 yyyy f x, y y→0 49.f fffx,x, 50.f fffx,x, x,yyyy xsen x,yyyy 47. 48. x, sen x2yy 2sen y x, cos x f x, y 1 b) x lím y→0 f x, y 1 y f x, y 49. 50. 49. 50. lím b) 4 2 y y x x 2y222 49. ff x, 50. x, yy x, yy xx4x44 x 22y y→0 f x, y2 1 yy b) f x, y 2y x22xxxx2y2x22yyyy22 y→0x y 2 ff x, x 2 50. x 2y49. x,yyy xxx2222 yyy2222 fy→0 x,yyy xxx222 4y 4yy 73.yf lím 74.f ffx,x, 2 y2y 2 x4 x50. lím b) f x, 4y 73. 74. x, 73. 74. y x y 49. 50. f x, y f x, y x 2y x y 49. f x, y f x, y 2 2 2 2 4 2 2 f x, f x, y x 4y 73. 74. y→0 4 2 2 5xy y y y x x 49. 50. x, y f x, y f x 5xy2y2 x y f x, yy xx 2 yy 2 x 4y 73. f x, y 74. x 2y f x, y x y y x22111 y22 y xxxx22 74.4yf x, y 51. 49. 50. f x, y f x,x, x,yyy x4425xy 2y 22 x 2273. y f x, y x 2 74. x 2 73. 4y ff x, y 2 ff x, 5xy f 51. 51. f 5xy x, y x, y 75. 76. 2 2 2 2 f x, y x f x, y x 4y 73. 74. x 2y x 1 y x 2y x y x, yy xx 2 5xy 51. ff x, 75. 76. 75. 76. 2y 2y 5xy51. x, x, 73. x,yyyyy yxxyxy2 4y x,yyyyy xxxx2 11yyyy 2 75.f ffffx,x, 76.f ffffx,x, 2y22 51.2 f x, y x, x, 75. 76. x 1 74. xx225xy 2y 51. f x, y 2 y x 2 xy 76. f x, y 75. f x, y 76. f x, y 6xy x 5xy 2y x 1 yy 75. f x, y x 51. 2y ff x,x,yy 6xy x,yyyy 3x xy 2y 2y x 78. 77.ffffx,x, 78.ffffx,x, x,yyyy 75. 76. yx3x xy x y1yy yyyy 111 52. 51. f x,x, x,yyy x 222 6xy 2y222 y y 6xy x, 3x xy 2y 77. 78. x, 77. f 52. f 52. 6xy 75. 76. y3x x yy yyy 11 y222 111 x, yyy 3x xy xy 2y 2y 77. fff x, 78. fff x, x, yyy x, yy xxx222 6xy 52. ff x, yy2y x, 77. 78. x, 52. 6xy y 78.xy x y yy 1 3x f x, y 52. 3x 77. xy f x, 2yy 77. f x, y f x, 2y y y y78. f1 x, y xx22 6xy yy22 11 52. f x, y 2 2 f x, y f x, y 3x xy 2y 77. 78. f x, y y y 1 6xy 52. x y 1 x y 1 2 2 3x xy 2y y y 1 77. f x, y 78. f x, y 52. f x, y x2 y2 1 x y 1

Larson-13-02.qxd 3/12/09 18:46 Page 907 1053714_1302.qxp 10/27/08 10/27/08 12:06 12:06PMPM Page Page907 907 1053714_1302.qxp 1053714_1302.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 907 1053714_1302.qxp 10/27/08 12:06 1053714_1302.qxp 10/27/08 12:06 PM PM PagePage 907 907 1053714_1302.qxp 10/27/08 10/27/08 12:06 12:06 PM PM Page Page 907 907 1053714_1302.qxp 1053714_1302.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 907 1053714_1302.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 907

SECCIÓN 13.2


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13.213.2 Limits and Continuity 907907 13.2 Limits and Continuity Limits and Continuity 907 13.2 Limits and Continuity 13.2 Limits and Continuity 907 907 1 13.2 Limits and Continuity 907 Limits and Continuity 907 ¿Verdadero o falso?In En los ejercicios a 82, determinar si the la lím 86. lim tan2113.2 2 13.2 907 TrueTrue False? Exercises 79– 82,79 determine whether 11 1z2 and Continuity s0, 0, 0d y2Limits True ororFalse? In Exercises 79– 82, determine whether theo the 86.sx, y, zd→lím 1 x 113.2 ores False? In oExercises 79– 82, determine whether 1 Limits and Continuity 907 declaración verdadera falsa. Si es falsa, explicar por qué tan 1 lím 86. 86. statement true or false. If it is false, explain why or give anthe tan2 x21 122y2 122z2 2 x, y, z → 0,lím 0, tan 0 True oris False? In Exercises 79– 82, determine whether True or False? In Exercises 79– 82, determine whether the statement is true or false. If it is false, explain why or give an statement is true or false. If it is false, explain why or give an x, y, z →x,0,y,0, 0 x z zlím → 0, 0, 01tan 1 yx y z dar un ejemplo que demuestre que es falsa. 86. límel límite 87. Hallar tan siguiente.22 example that shows itoris false. statement is true false. If false, it is determine false, explain whygive orthe give an 86. True or False? False? In 79– 82, determine whether the statement is true orshows false. Ifisitfalse. is explain why or an x, y, yz2 z2 example that shows itExercises is false. x, y, z → 0, z0,→ 0 0, 0, 0 1 x2 example that it True or In Exercises 79– 82, whether 1xy1 lím tan 86. 1 True or False? In Exercises 79– 82, determine whether the 2 87. Find the following limit. 2 2 1 lím tan 86. example that shows it is false. statement is true or false. If it is false, explain why or give an example that shows it is false. lím 79. SiTrue entonces lim f sfx,x,yfalse. dy5 0,IfExercises lim f82, sx, 0determine d5 0. or give lím x,87. y, z → 0, 0, 0the following x2 x 1 y2 1 zz212 87. x,Find the limit. Find limit. statement itthen is false, why an the 86. or In0, 79– whether 21 1 x y, z lím → 0, 0,following 0tantan Ifsx, ylím lím f explain x, lím dis →lím strue 0, 0False? d f or lim 2 1y 2 2 79.79.If79. then lím f x→0 x, 0explain statement oryitfalse. If it0,is false, If then lím f isx, false. y 0, f0x, 0. 0 0.why 0. or give an x, yis→true 0,lím 0 x, x→0 x, y, z → 0, 0, 0 2 x example that shows 87. Find the following limit. lím tan 86. 87. Find the following limit. sx, yd → s0, 1d x 1 s2y yx22211d2zy2 z2 x, that y → 0, 0y → x→0 example false. x,shows 0,true 0it is or x→0 statement issx, false. If itf lím is false, explain why or give an x, y, z → 0, 0,10 x2 x 1 If then lím f x, y 0, f x, 0 0. lím 80.80.If Si79. entonces lim f 0, y d 5 0, lim f s x, y d 5 0. lím 79. then lím lím f y 0, x, 0 0. x 1 example that shows it is false. lím tan1 tan limit. Ifsx,x,yylím f 0shows 0, f0dx, 87. Find Find the0,lím following x, x→0 d→ →lím s0, 0,y00→ d f 0, slím x, yd →fs0,x, 1 x→0 lím tan 80. If If80. then 0, y fy0, 0, 0, y fy x, 0. lím then lím yit0, 0,lím y 0. 0. 87. the example that isthen false. x, y → following 1 x,Ify → 0, x, →0 0,lím 0 x12x2 xy2 yx12 1y2112 1 2 2limit. 79. then f0x,x, fyx,x, x,Dada y →the 0, 1y following x, ylím → 0, 0yf→ x, y f→ 0, x,la → 0, 11 x limit. 88. Find función x, 0 0,y0y x,00y → 0,0. 00. 87. 79. IfIf then lím 0,y0,todo lím tan x,f lím yes → continua 0, x→0 80. If then lím f 0, 0, f x, y 0. lím 81. Si para x y para todo y distintos de cero, y lím tan 80. then lím f 0, y f x, y 0. lím 2 2 22x2y limit. 2 x, y → x→0 79. If then lím lím f 0,x,0y forfor 0,all f x, 87. If is continuous nonzero and 0, then xx,0, yand f 0, 0 0 0, x, 0, 1 following y0 → 0,y, 00. y → Find 0, y1 → the →0,fx, 0,0is x, yx → 00→ 81.81.If Iff s81. nonzero then fx,x,isyfy0lím 1 x xx If continuous all nonzero xfy,and 0, then 88.x, For 11 1y 1 → 0, 00, 79. then lím lím y for 0,x→0 the function 0, dcontinuous 5 lim flím sx,and yd f5 0.yy0 y,f and lím tan lím 80. then f entonces 0, y f x,all 0, x,and 0.0 f 0, 0, 1 x2 2 2 y x22 y 1 2122 88. For the function lím tan 80. IfIf then lím 0, x, 0. lím 88. For the function x, yfcontinuous → 0,y0y for 0, x→0 lím f x, 0. s x, y d → s 0, 0 d x, y → 0, 1 x, y → 0, 0 x, y → 0, 0 81. If is for all nonzero and and then f x y, f 0, 0 0, x 1 2 81. is continuous all nonzero and and then f x y, f 0, 0 0, y fyx, 0. y 0, then 0. x, y → x, 0,For yd1 5the xy 2x 2 12 y x1 2 1 yf s→ lím tan yy→ 0f0 x, 80. Ifx, x,yx,lím lím f 0, 0. lím0, 0 f x, y →0,0,lím 88. x,For the → 0, x, 0y0,→ 0, 0 x 2x1 2y2y2 y2 2 1 x,88. y → 0, 1function x, → x, y → 0, 0 lím lím function If then f y0. 0,all y nonzero fyf x,0,y,y0 y 0. lím x,continuous 0. 0, 82.82. Sif80. yand son funciones continuas de gygcontinuous hf0ylím x and f0,0, sfx,then ydy 5 81. If is continuous for and and then fis xand y, 2 xtan lím x, y0,f 0for yx x y y 1 2 81. If all nonzero and x y, f 0, 0 x, y → 0,x1 x, → x, y → 0, 0 If are functions of and h x y, x, x, y → 0, 0 f x, y xy x,82. yg→and 0, 0gh and 88. For the function 82. If are continuous functions of and and x y, f x, y If are continuous functions of and and h x y, f x, y f x, y xy 81. is continuous for all nonzero and and then f x y, f 0, 0 0, f function x, y x22 xxy2 xy2222y2 y22 88. For the es continua. gslím xglím d x1 hfshfyx,dx, ,yyentonces f y 0. 0.isfcontinuous is for fyxy s0, x0dxydeyxmanera 81. If f is are nonzero fy,0, 0 yf x,0,ythen 88. For y que f sea continua en el origen. y →and functions of y,x y,and 82. x,gIfx,82. continuous functions ofx xand and and fand x, x,function then ,continuous f definir x, the yfFor is all continuous. hy,hthen yare ,f then fcontinuous. yxg → lím0,Ifg0,0h0xg hfyand x, 0. continuous. 2 88. thex2function xy222 y2 2f is 2 x, x yg→and 0, x 0 lím f ,x,fthen y xcontinuous. 0.functions y x continuous. g h y 1 y 82. If are continuous of and and h x y, f x, y then is g h y , 89. Demostrar que f 0, 0 f is define such that origin. xy0 fxsuch 2 2 82. g andx, yh→are x and y, and f x, y 0, 0continuous 2 f 0, f is continuous at at thethe origin. f fdefine x,x,yy define xy 83. IfIf Considerar lim 2 x 2 functions laoffigura). fcontinuous such that is continuous at the origin. lím x220, 0yyy2xthat y 2 (ver 2 2 22functions 82. of x and y, and f x, y g andh hy are 2 f x, y xy x s x,then ydcontinuous → s0, 0 d y is continuous. g x , f xy y x y x 2 0 that 2 Consider (see figure). lím 0, f is continuous define such the origin. is continuous. gConsider x82. , then fx,that 0,yf0ff xsx, f that define such is continuous at theatorigin. 89.Prove Prove Ifh gy and functions of x and y, and f x, y h fare fProve xy 83.83. 22 (see 2figure). (see figure). lím lím lim yd y1 2continuous 89. that y → 0, 0 89. that xy 2 gsx, 2ydg 5 L1 1 L2 then is continuous. g 83. x Consider h yx, ,yx,lím f y x y x xthat f yis continuous at the origin. → 0, → 0,xy 0 sx, yd → sfa, 0, bd xy define suchthat 83. Consider (see figure). then g x lím h yx, 0z,ylím f is continuous. 83. Consider (see figure). 89. lím Prove 89. define Prove fthat 0, 00that fgisx,continuous such the origin. 0 y22 xy x220,xy fdsuch x, y x, yyx, gyLsx,Ly1 d Lat x, y → x, 0, y0 → f 0, 0 f is define that atL2theL2origin. a L 2 cuando y x lím f x, y gy ax, f s x, y Ly1gcontinuous donde tiende se lím f z x, y → a, b 83. Consider Consider lím (seefigure). figure). lím20z x 2 z y 2(see 1continuous 2 1 aproxima 89. Prove that f 0, 0 f define such that is x, y → a, b 83. x, y → a, b 89. Prove → 0, 0 xy x 2 (seey 2figure). límsfa,x,bdy. f x, yg x, yg x, yL1 LL12 L2at the origin. lím 0, 0 83. Consider x,x,y y→ lím sx,where ydthat → 89. Prove that z f a,x, x, yb → by approaches L1 and g x, y approaches L 2 as z0 límxy x, y → a, x, y → 0,20 xy 83. Consider (see figure). L asL as f x, ythat L and gand y g approaches where f approaches x, x, y approaches 89. Prove límwhere x, y y ggapproaches L1L1 L Lx, 20x, y →200, 0 2 bd < 0, existe un2d -en-2 xy lím f fyx, ybapproaches x,x,yy L1 Land 90. que a, z x,Demostrar y x, →y a, fb→ f y. bfapproaches y approaches where L 2 asL 2 as x, x, yg x, where approaches x, y → a, b .ya,si z x, y → a, b lím f x, y 1 L11Ly1 fgand Ls2a, x, y → x, .gesx,continua 20 20 2 z x,torno y → a,de b lím f bis x,que ycontinuous gLx, Lfx, Lapproaches tal todo sa,a, bifd.approaches f sx, y1 d yand
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13.3 Derivadas parciales n n n

Hallar y utilizar las derivadas parciales de una función de dos variables. Hallar y utilizar las derivadas parciales de una función de tres o más variables. Hallar derivadas parciales de orden superior de una función de dos o tres variables.


Derivadas parciales de una función de dos variables

JEAN LE ROND D’ALEMBERT (1717-1783) La introducción de las derivadas parciales ocurrió años después del trabajo sobre el cálculo de Newton y Leibniz. Entre 1730 y 1760, Leonhard Euler y Jean Le Rond d’Alembert publicaron por separado varios artículos sobre dinámica en los cuales establecieron gran parte de la teoría de las derivadas parciales. Estos artículos utilizaban funciones de dos o más variables para estudiar problemas de equilibrio, movimiento de fluidos y cuerdas vibrantes.

En aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta: ¿“Cómo afectaría al valor de una función un cambio en una de sus variables independientes”? Se puede contestar esta pregunta considerando cada una de las variables independientes por separado. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico podría repetir el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador, mientras mantiene constantes las otras variables como temperatura y presión. Para determinar la velocidad o la razón de cambio de una función f respecto a una de sus variables independientes se puede utilizar un procedimiento similar. A este proceso se le llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida. DEFINICIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Si z 5 f sx, yd, las primeras derivadas parciales de f con respecto a x y y son las funciones fx y fy definidas por f sx 1 Dx, yd 2 f sx, yd Dx f sx, y 1 Dyd 2 f sx, yd fy sx, yd 5 lím lim Dy→0 Dy fxsx, yd 5 lím lim

Dx→0

siempre y cuando el límite exista. Esta definición indica que si z 5 f sx, yd, entonces para hallar fx se considera y constante y se deriva con respecto a x. De manera similar, para calcular fy , se considera x constante y se deriva con respecto a y. EJEMPLO 1

Hallar las derivadas parciales

Hallar las derivadas parciales fx y fy de la función f sx, yd 5 3x 2 x 2y 2 1 2x 3y. Solución

Si se considera y como constante y se deriva con respecto a x se obtiene

f sx, yd 5 3x 2 x 2y 2 1 2x 3y

Escribir la función original.

fxsx, yd 5 3 2

Derivada parcial con respecto a x.

2xy 2

1

6x 2y.

Si se considera x constante y se deriva con respecto a y obtenemos f sx, yd 5 3x 2 x 2y 2 1 2x 3y

Escribir la función original.

fysx, yd 5

Derivada parcial con respecto a y.

22x 2y

1

2x 3.

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SECCIÓN 13.3

Derivadas parciales

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NOTACIÓN PARA LAS PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES Si z 5 f sx, yd, las derivadas parciales fx y fy se denotan por z f sx, yd 5 fxsx, yd 5 z x 5 x x y z f sx, yd 5 fysx, yd 5 z y 5 . y y Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto sa, bd se denotan por z x

|

sa, bd

EJEMPLO 2

5 fxsa, bd

z y

y

|

sa, bd

5 fysa, bd.

Hallar y evaluar las derivadas parciales

Dada f sx, yd 5 xe x y, hallar fx y fy, y evaluar cada una en el punto s1, ln 2d. 2

Solución z

Como

fxsx, yd 5 xe x ys2xyd 1 e x

(x0, y0, z0)

2

2y


la derivada parcial de f con respecto a x en s1, ln 2d es fxs1, ln 2d 5 e ln 2s2 ln 2d 1 e ln 2 5 4 ln 2 1 2. Como fysx, yd 5 xe x ysx 2d 2

5 x3ex y 2

y

x

la derivada parcial de f con respecto a y en s1, ln 2d es

Plano: y = y0

f 5 pendiente en la dirección x x

fys1, ln 2d 5 e ln 2 5 2.

Figura 13.29

z


Las derivadas parciales de una función de dos variables, z 5 f sx, yd, tienen una interpretación geométrica útil. Si y 5 y0, entonces z 5 f sx, y0d representan la curva intersección de la superficie z 5 f sx, yd con el plano y 5 y0, como se muestra en la figura 13.29. Por consiguiente,

(x0, y0, z0)

fxsx0, y0d 5 lím lim

Dx→0

f sx0 1 Dx, y0d 2 f sx0, y0d Dx

representa la pendiente de esta curva en el punto sx0, y0, f sx0, y0 dd. Nótese que tanto la curva como la recta tangente se encuentran en el plano y 5 y0. Análogamente, fysx0, y0d 5 lim lím y

x

Plano: x = x0

f 5 pendiente en la dirección y y Figura 13.30

Dy→0

f sx0, y0 1 Dyd 2 f sx0, y0d Dy

representa la pendiente de la curva dada por la intersección de z 5 f sx, yd y el plano x 5 x0 en sx0, y0, f sx0, y0dd, como se muestra en la figura 13.30. Informalmente, los valores fyx y fyy en sx0, y0, z0d denotan las pendientes de la superficie en las direcciones de x y y, respectivamente.

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CAPÍTULO 13

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Hallar las pendientes de una superficie en las direcciones de x y de y

EJEMPLO 3

Hallar las pendientes en las direcciones de x y de y de la superficie dada por f sx, yd 5 2

x2 25 2 y2 1 2 8

1 en el punto s 2, 1, 2d.

Solución

Las derivadas parciales de f con respecto a x y a y son

fxsx, yd 5 2x

fysx, yd 5 22y.

y

Derivadas parciales.

Por tanto, en la dirección de x, la pendiente es fx

112, 12 5 2 21

Figura 13.31a.

y en la dirección de y, la pendiente es fy

112, 12 5 22.

Figura 13.31b.

z

z

Superficie: 4

2 f(x, y) = − x − y2 + 25 2 8

(

( 12 , 1, 2 )

)

1 , 1, 2 2

y

2 3

2

Pendiente en la dirección de x: fx 1 , 1 = − 1 2 2

x

4

( )

a)

3

y

Pendiente en la dirección y:

x

( )

fy 1, 1 = −2 2

b)

Figura 13.31

EJEMPLO 4 Superficie: f(x, y) = 1 − (x − 1)2 − (y − 2)2

Hallar las pendientes de la superficie dada por

z 1

(1, 2, 1)

Hallar las pendientes de una superficie en las direcciones de x y de y

f sx, yd 5 1 2 sx 2 1d2 2 s y 2 2d 2

fx(x, y)

en el punto (1, 2, 1), en las direcciones de x y de y.

fy(x, y) 1 2 3 x

4

y

Solución

Las derivadas parciales de f con respecto a x y y son

fxsx, yd 5 22sx 2 1d

fysx, yd 5 22s y 2 2d.

y

Derivadas parciales.

Por tanto, en el punto (1, 2, 1), las pendientes en las direcciones de x y de y son fxs11, 2d 5 22s1 2 1d 5 0 Figura 13.32


y

fys11, 2d 5 22s2 2 2d 5 0

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SECCIÓN 13.3

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Derivadas parciales

Sin importar cuántas variables haya, las derivadas parciales se pueden interpretar como tasas, velocidades o razones de cambio. EJEMPLO 5

a

A = ab sen θ

θ

a sen θ

Derivadas parciales como velocidades o razones de cambio

El área de un paralelogramo con lados adyacentes a y b entre los que se forma un ángulo q está dada por A 5 ab sen q, como se muestra en la figura 13.33. a) Hallar la tasa o la razón de cambio de A respecto de a si a 5 10, b 5 20 y u 5

b

El área del paralelogramo es ab sen q Figura 13.33

p . 6

b) Calcular la tasa o la razón de cambio de A respecto de u si a 5 10, b 5 20 y u 5

p . 6

Solución a) Para hallar la tasa o la razón de cambio del área respecto de a, se mantienen b y q constantes y se deriva respecto de a para obtener A 5 b sen sin u a

Derivada parcial respecto a a.

A p 5 20 sen sin 5 10. a 6

Sustituir a b y q.

b) Para hallar la tasa o la razón de cambio del área respecto de q, se mantiene a y b constantes y se deriva respecto de q para obtener A 5 ab cos u u

Derivada parcial respecto de q.

A p 5 200 cos 5 100!3. u 6

Sustituir a, b y q.

Derivadas parciales de una función de tres o más variables El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si w 5 f sx, y, zd, existen tres derivadas parciales cada una de las cuales se forma manteniendo constantes las otras dos variables. Es decir, para definir la derivada parcial de w con respecto a x, se consideran y y z constantes y se deriva con respecto a x. Para hallar las derivadas parciales de w con respecto a y y con respecto a z se emplea un proceso similar. w f sx 1 Dx, y, zd 2 f sx, y, zd 5 fxsx, y, zd 5 lim lím Dx →0 x Dx w f sx, y 1 Dy, zd 2 f sx, y, zd 5 fysx, y, zd 5 lím lim Dy→0 y Dy w f sx, y, z 1 Dzd 2 f sx, y, zd 5 fzsx, y, zd 5 lím lim Dz→0 z Dz En general, si w 5 f sx1, x 2, . . . , xnd, hay n derivadas parciales denotadas por w 5 fxksx1, x2, . . . , xnd, xk

k 5 1, 2, . . . , n.

Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, se mantienen constantes las otras variables y se deriva con respecto a la variable dada.

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EJEMPLO 6

Hallar las derivadas parciales

a) Para hallar la derivada parcial de f sx, y, zd 5 xy 1 yz 2 1 xz con respecto a z, se consideran x y y constantes y se obtiene fxy 1 yz 2 1 xzg 5 2yz 1 x. z b) Para hallar la derivada parcial de f(x, y, z) 5 z sen(xy 2 1 2z) con respecto a z, se consideran x y y constantes. Entonces, usando la regla del producto, se obtiene fz sen sinsxy 2 1 2zdg 5 szd fsen fsinsxy 2 1 2zdg 1 sen sinsxy 2 1 2zd fzg z z z 5 szdfcossxy 2 1 2zdgs2d 1 sen sinsxy 2 1 2zd 5 2z cossxy 2 1 2zd 1 sen sinsxy 2 1 2zd. c) Para calcular la derivada parcial de f sx, y, z, wd 5 sx 1 y 1 zdyw con respecto a w, se consideran x, y y z constantes y se obtiene x1y1z x1y1z 52 . w w w2

3

4

Derivadas parciales de orden superior Como sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc., derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que tales derivadas existan. Las derivadas de orden superior se denotan por el orden al que se hace la derivación. Por ejemplo, la función z 5 f sx, yd tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden. 1. Derivar dos veces con respecto a x:

1 2

f 2f 5 2 5 fxx . x x x 2. Derivar dos veces con respecto a y:

1 2

f 2f 5 2 5 fyy . y y y NOTA Observar que los dos tipos de notación para las derivadas parciales mixtas tienen convenciones diferentes para indicar el orden de derivación.

1 2

f f 5 Orden de derecha a y x yx izquierda. 2

3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

1 2

f 2f 5 5 fxy . y x yx 4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

s fx dy 5 fxy

Orden de izquierda a derecha.

Se puede recordar el orden de ambas notaciones observando que primero se deriva con respecto a la variable más “cercana” a f. n

1 2

f 2f 5 5 fyx . x y xy Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas (cruzadas).

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SECCIÓN 13.3

EJEMPLO 7

Derivadas parciales

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Hallar derivadas parciales de segundo orden

Hallar las derivadas parciales de segundo orden de f sx, yd 5 3xy 2 2 2y 1 5x 2y 2, y determinar el valor de fxys21, 2d. Solución Empezar por hallar las derivadas parciales de primer orden con respecto a x y y. fxsx, yd 5 3y 2 1 10xy 2

y

fysx, yd 5 6xy 2 2 1 10x 2y

Después, se deriva cada una de éstas con respecto a x y con respecto a y. fxxsx, yd 5 10y 2

y

fyysx, yd 5 6x 1 10x 2

fxysx, yd 5 6y 1 20xy

y

fyxsx, yd 5 6y 1 20xy

En s21, 2d, el valor de fxy es fxys21, 2d 5 12 2 40 5 228. NOTA En el ejemplo 7 las dos derivadas parciales mixtas son iguales. En el teorema 13.3 se dan condiciones suficientes para que esto ocurra. n

TEOREMA 13.3 IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS Si f es una función de x y y tal que fxy y fyx son continuas en un disco abierto R, entonces, para todo sx, yd en R, fxysx, yd 5 fyxsx, yd.

El teorema 13.3 también se aplica a una función f de tres o más variables siempre y cuando las derivadas parciales de segundo orden sean continuas. Por ejemplo, si w 5 f sx, y, zd y todas sus derivadas parciales de segundo orden son continuas en una región abierta R, entonces en todo punto en R el orden de derivación para obtener las derivadas parciales mixtas de segundo orden es irrelevante. Si las derivadas parciales de tercer orden de f también son continuas, el orden de derivación para obtener las derivadas parciales mixtas de tercer orden es irrelevante. EJEMPLO 8

Hallar derivadas parciales de orden superior

Mostrar que fxz 5 fzx y fxzz 5 fzxz 5 fzzx para la función dada por f sx, y, zd 5 ye x 1 x ln z. Solución Derivadas parciales de primer orden: fxsx, y, zd 5 ye x 1 ln z,

fzsx, y, zd 5

x z

Derivadas parciales de segundo orden (nótese que las dos primeras son iguales): 1 fxzsx, y, zd 5 , z

1 fzxsx, y, zd 5 , z

fzzsx, y, zd 5 2

x z2

Derivadas parciales de tercer orden (nótese que las tres son iguales): 1 fxzzsx, y, zd 5 2 2, z

1 fzxzsx, y, zd 5 2 2, z

fzzxsx, y, zd 5 2

1 z2

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CAPÍTULO 13

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13.3 Ejercicios Para pensar En los ejercicios 1 a 4, utilizar la gráfica de la superficie para determinar el signo de la derivada parcial indicada.

En los ejercicios 41 a 44, utilizar la definición de derivadas parciales empleando límites para calcular fx冇x, y冈 y fy冇x, y冈. y

41. f x, y

3x

2y

42. f x, y

y

44. f x, y

x2

z

43. f x, y

x

y

5 5

1. fx共4, 1兲

2. fy共⫺1, ⫺2兲

3. fy共4, 1兲

4. fx共⫺1, ⫺1兲

En los ejercicios 5 a 8, explicar si se debe usar o no la regla del cociente para encontrar la derivada parcial. No derivar. x y x2

y 1

6.

xy x x

2

8.

1

x x x2 2

2x

5y

3

x2y3

11. f x, y 13. z

x y

15. z

x2

17. z

e xy

3y 2

4xy

2 2y

10. f x, y

x2

12. f x, y

4x3y 2

14. z

2y 2 x

16. z

y3

18. z

ex

ln

x y

22. z

ln xy

23. z

ln x2

y2

24. z

ln

25. z

x2 2y

3y 2 x

26. z

x2

29. f x, y 31. z

cos xy

33. z

tan 2x

35. z

ey sen xy

y

senh 2x

39. f x, y 40. f x, y

1 dt

x

y

,

2,

2

1, 1 2,

2xy , 4x 2 5y 2

53. g共x, y兲 ⫽ 4 ⫺ x 2 ⫺ y 2

共1, 1, 2兲

4

2 1, 1

54. h共x, y兲 ⫽ x 2 ⫺ y 2

共⫺2, 1, 3兲

z

z 7 6 5

2

x

y

3

3 y

y2 x2

ln 2x

sen 5x cos 5y

36. z

cos x 2

2t y

arccos xy,

4

x

sen x

2y y2 2

cosh xy

x

2t x

50. f x, y

2

34. z

1 dt

x y

49. f x, y

y arctan , x

xy

y

t2

2,

1

32. z

38. z

3y

sen xy,

4

30. f x, y

y

48. f x, y

, 4 3

En los ejercicios 53 y 54, calcular las pendientes de la superficie en las direcciones de x y de y en el punto dado.

y y

x x

x2

28. g x, y

y2

y,

4 3 2

21. z

x

cos 2x

y

ye

e

47. f x, y

xy

0, 0

y x

20. z

27. h x, y

2y 2

2xy 2

x e

2

cos y,

1

19. z

2

,0

e

52. f x, y

En los ejercicios 9 a 40, hallar las dos derivadas parciales de primer orden. 9. f x, y

x

46. f x, y

51. f x, y

y 1 xy

y x

ey sen x,

45. f x, y

x

37. z

y

En los ejercicios 45 a 52, evaluar fx y fy en el punto dado.

−5

7.

y2

1 x

2

5.

2xy

1 dt

y2 y3

CAS

En los ejercicios 55 a 58, utilizar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente la curva en la intersección de la superficie con el plano. Hallar la pendiente de la curva en el punto dado. Superficie

Plano

Punto

55. z ⫽ 冪49 ⫺ x 2 ⫺ y 2

x⫽2

56. z ⫽ x 2 ⫹ 4y 2

y⫽1

57. z ⫽ 9x 2 ⫺ y 2

y⫽3

58. z ⫽ 9x 2 ⫺ y 2

x⫽1

共2, 3, 6兲共2, 1, 8兲共1, 3, 0兲共1, 3, 0兲

1053714_1303_pg 915.qxp 915.qxp 10/30/08 10/30/08 8:30 8:30 AM AM Page Page 915 915 1053714_1303_pg 1053714_1303_pg 915.qxp 10/30/08 8:30 AM 915 Page 915 915 1053714_1303_pg 915.qxp 10/30/08 AM Page Larson-13-03.qxd 3/12/09 18:488:30 Page 1053714_1303_pg 1053714_1303_pg 915.qxp 10/30/08 8:30 AM Page 915 1053714_1303_pg 915.qxp 915.qxp 10/30/08 10/30/08 8:30 8:30 AM AM Page Page 915 915

SECCIÓN 13.3 Partial Derivadas parciales 13.3 Partial Derivatives 13.3 Derivatives 13.3 Partial Partial Derivatives Derivatives 13.3 En los ejercicios 59 a the 64, calcular lasderivatives derivadas with parciales de InExercises Exercises 59–64, 64, find thefirst firstpartial partial derivatives with respect In 59– find respect In Exercises Exercises 59–64, 64, find find the the first first partial partial derivatives derivatives with with respect respect In 59– primer orden tox,x,y,y,and and to z.z. con respecto a x, y y z. to x, and z. x, y, y, and z. to In 59– 64, first In Exercises 59– 64, find the the first partial partial derivatives derivatives with with respect respect InExercises Exercises 59–sen 64,find the 59. H x, y, z sen x 2y 2y first 3z partial derivatives with respect 59. H x, y, z xfind 3z to and x, y, z. to and x, y, z. 59. H x, y, z sen x 2y 3z 59. H x, y, z sen x 2y 3z to x, y, and z. 22 3x2y2y 5xyz 5xyz 10yz 10yz2222 60. f f x,x,y,y,zz 3x 60. f x, x, y, 3x 5xyz 10yz 60. H fH y, zzzz 3x yy xx 5xyz 10yz 60. 59. x, y, sen 2y 3z 59. x, y, sen 2y 3z 59. H x, y, z sen x 2y 3z 7xz 7xz 2 2 2 2 2 2 2 7xz 2 7xz 61. wffwx, 62.222 ww xx 3x yy zz5xyz 61. 62. 60. y, 10yz 60. 22 w xx yy 61. w 62. w 61. 62. fwx, x, y, y, zzzxx22 3x 3xyy22yyy zz5xyz 5xyz 10yz 10yz 60. xx yy 7xz 7xz 2 2 2 7xz Fx,x,y,y,zzxx222 lnln 63. Fw 63. yyy222 xxxx222zzz222 yyyy222 zzzz22262. 61. w w 61. 62. F x, x, y, y, zzx ln ln 63. F 63. w w xx yy 61. 62. w x y 1 1 22 11222 zz222 x,y,y, y,zzz ln Gx,x, 64. G 64. F x y 63. F ln x y 63. 2 x, y, y, zz G x, 64. G 64. F ln11 x xx2222 y yy2222 z zz2222 63. zz 11 xx 11 yy 1 x, y, zzz65–70, G 64. x, y, G 64. x, y, G 64. 2 2 2and f , f , In Exercises 65–70, evaluate the givenpoint. point. 2 2 f f atat f , f , In Exercises evaluate the yyyfxfx2xx,, fyfyyyfz,z,xzand xxx 2evaluar 2f yfzffz at ,2and en elgiven punto dado. En los ejercicios 65111aevaluate 70, In Exercises Exercises 65–70, evaluate the given point. point. In 65–70, and the given y zzzat 3 22 yz2,2evaluate , 1,1,1,1,11ff ,, ff ,, and 65.Exercises f f x,x,y,y,zz 65–70, 65. xx33yz In In at the given point. yz ,evaluate , 1, 1, 1, 1, 11fxxx , fyyy , and x, y, y, zz 65–70, 65.Exercises ff x, xx3yz 65. In Exercises 65–70, evaluate and fffzzz at at the the given given point. point. 2,1,1,22 2xyz 3yz, 3yz, 66. f f x,x,y,y,zz xx22y22y3333 2xyz 2, 66. 3 2 f x, y, z x 2, 1, 2 y 2xyz 3yz, 66. 3 2 f x, y, z x y 2xyz 3yz, 2, 1, 2 66. 65. xxx3yz yz 2,,, 1, 1, 1, 65. x, y, 1, 1, 1, 111 65. fff x, x, y, y, zzz xx2 yz 3 x 2 3 x f x, y, z , 1, 1, 1 67. f x, y, z , 1, 1, 13yz, 67. xxyz 2, 66. x, y, 2, 1, 2xyz 66. x,y, y,zzzz yz 1,2xyz 1, 3yz, 1 67. ffff x, x, y, 1, 13yz, 67. x2yy,y, 3 1, 2, 1, 1, 222 2xyz 66. yz yz xxx xy xy1, ,,, xy 67. x, y, 67. xy1, 1, , 1, 1, 3,3,1111,1, 11 67. ffff x,x, x,y,y, y,zzzz ,1, 68. 68. yz x, y, y, zz xyz 3, 1, 1, 11 68. ff x, 68. xyz yy zz,, 3, xx yy zz xy xy xy 1, 68. x, y, 3, 1, 68. 3,0, 1, 68. ffff x,x, x,y,y, y,zzzz zxxzsen senyyxx zzy,,,y, , 3, 0, ,1,11 44 69. 69. x, y, y, zz senyxx z yy ,, 0, 0,22 ,, 44 69. ff x, zzx sen 69. 22 2 2 2 2 2 2 x,y,y, y,zzzz 3x22xx yy2y2y ,, 2z 2z0, 1, 442,2,11 70. ffff x,x, 3x ,2, 1, 70. zzz sen 69. x, y, sen 69. 3x x yy y , 2z 2z20, 1, 4 2, 2, 11 70. ff x, 3x ,, 22,,,1, 70. x, y, y, zz sen 0, 69. 2 22find 22 In Exercises Exercises 71–80, 80, find the2z four second partial derivatives. derivatives. In 71– four second partial fff x, y, 3x yyy222the 2, 70. x, y, 3x 1, 2, 70. 2,, In los Exercises 71–71 80, find the2z four second partial derivatives. In Exercises 80, the second derivatives. x,ejercicios y, zzz 71– 3xa2 find 2zfour , las1, 1, 2, 111partial 70. En 80, calcular cuatro derivadas parciales Observe thatthe thesecond second mixed partials areequal. equal. Observe that mixed partials are Observe that the second mixed partials are equal. Observe that the second mixed partials are equal. de segundo orden. Observar que lassecond derivadas parciales mixtas In Exercises 71– 80, find the four partial derivatives. In Exercises 71– 80, find the four second partial derivatives. In segundo partial 2 71– 80, find the four second 2orden z 3xy 3xy 3y2222 derivatives. 71. 72. zz are de son iguales. zExercises xx2222 equal. 3y 71. 72. 22 the Observe that second mixed partials Observe that the second mixed partials are equal. z 3xy z x 3y 71. 72. z 3xy z x 3y 71. 72. Observe that the second mixed partials are equal. 2xy 3y 3y2222 3x222y2y2222 yy4444 73. zz xx2222 2xy 74. zz xx4444 3x 73. 74. 22 2xy 22 z x 2xy 3y z x 3x222 yy 73. 74. z x 3y z x 3x yy 73. 74. z 3xy z x 3y 71. 72. z 3xy z x 3y 71. 72. 2 2 2 2 x xx 3y 71. zzz 3xy 72. zzz lnln 75. 76. xx222 yy222 yy2 2 75. 76. 22 x 22 44 x z ln y z x x y 2 2 75. 76. z ln y z y 75. 76. 2xy xxx 4 y y 3x 73. 74. 2xy 3y 3y 3x 2yyy 2 x x yyy444 73. 74. 3y 2 73. zzzzz exxexx x2xtan 74. zzzzz 2xe tany2xy y 3ye xx 2xeyy 3x3ye 77. 78. 77. 78. x 22 y tan y 22 3ye 2xe 77. zz ee xxtan 78. zz 2xe 3ye 77. 78. 75. 76. ln 75. 76. ln xxx yyyyy x 2 yyy 2 75. zzz 76. zzz ln x y xx y x y y xyyy arctan 79. zzzz cos 80. zzzz arctan xy 79. 80. 77. 78. ecos tan 2xe 3ye 77. 78. x tan y xy y arctan 79. zz ecos 80. zz 2xe xy arctan 79. 80. ecos tan 3ye x 2xe 77. 78. xx3ye xx yyy zzz cos zzall arctan 79. 80. cos xy arctan 79. 80. cos xy xy z values arctanofof 79.Exercises 80. all In Exercises 81–88,for forf f x,x,yy, ,find find values andyysuch such xxand In 81–88, xof x, yy ,, find In Exercises Exercises 81–88, 81–88, for for ff x, find all all values values xof and yy such such In x xx and thatfxfxx,x,yy 00and andfyfyx,x,yy 00simultaneously. simultaneously. that x, yy x, yy that ffxx x, and ffyy x, simultaneously. 00 and 00 simultaneously. that ,,, find xx and In 81–88, values x, y such In Exercises 81–88, for find all values of of and such En los ejercicios 81 afor 88, 2ffpara f(x, y), all encontrar todos los yvalores f x, x, yyy2x In Exercises Exercises find 22 xyffforx, 2yall values of x and y such 81. f f x,x, yyyy que xx81–88, xy y=y22y20y y2x 2y 81. 22 fand x, 00(x, that simultaneously. x, x, that simultaneously. de y, (x, y) f y) = 0 simultáneamente. x, xy y 2x 2y 81.x fffyffxxxx, xy y 2x 2y 81. y y x,yytal y xx0200 and x, y 0 f that and simultaneously. x y y xy yy2222 5x 5x yy 82. f f x,x,yy xx222 xy 82. x,yyyy xy yyyy222 2x 5x 2y y 82. ffff x, x, xxx222 xy xy 5x y2y 82. x 81. x, xy 2x 81. x,yyy xxx22 4xy xy yyy22 2x 81. f ffx,x, 4xy 4x 2y 16y 33 83. 4x 16y 83. 2 2 2 2 x, yyyy 4xy 22yy 5x4x 4x 16y 16y 33 83. ff x, xx22 xy 4xy 83. 82. x, xy 82. x,yyy xxxxx222 xy xy yyyyy222 5x 5x yyy 82. fffff x,x, x, xy 84. 84. 2 2 22 22 2 f x, y x xy y 2 84. f x, y x xy y 84. 83. x, 4xy 4x 16y 83. x, yyy 1xx1x 2 114xy 4xy yyy 2 4x 4x 16y 16y 333 83. fff x, 2 2 1 1 2 2 1 1 f x, y xy 85. f x, y xy 85. 84. x, xy 84. x, yyyy xxxx 2 yyxy xyyyy2 85. ffff x, x, 85. xy xy 84. xx yy 1 1 1 1 3 3 1 33 112xy x,yyyy 3x 3x 12xy 86. ffff x,x, yy33 86. xy 85. x, xy 85. 12xy 12xy 86. ff x, 86. x, yy xy yy33 85. x3x x3x y 22 y 22 2 2 xy y y y22 87. f f x,x,yy eexxxx22 xyxy 87. yy x,yyyy 3x x, ee 333 xy12xy 87. ffff x, 87. yy333 86. x, 3x 12xy 86. 2 2 f x, y 3x 86. y222222 11y 88. f f x,x,yy lnlnx22x22 12xy y 88. x xy y f x, y ln x y 1 x xy y f x, y ln x y 1 88. 88. eee x 2 xy y 2 87. x, 87. x, yyy 87. fff x, 22 use CAS In InExercises Exercises 89–92, use computer algebrasystem systemtotofind findthe the CAS 89–92, algebra f x, y ln yyy222 aaaacomputer 1computer 88. f x, y ln 1computer 88. CAS In CAS In Exercises Exercises 89–92, use algebra system system to to find find the the 89–92, algebra f x, y ln xxx 2 use 1 88. firstand andsecond secondpartial partialderivatives derivativesofofthe thefunction. function.Determine Determine first first and and second second partial partial derivatives derivatives of of the the function. function. Determine Determine first CAS CAS whether In Exercises 89–92, use aaa computer system the yto find In Exercises 89–92, use computer algebra system find the whether there exist values ofxxand and suchalgebraico that and los ejercicios 89 avalues 92, un sistema por compuyyalgebra 00and fxfxx,x,yto there exist of such that CAS En In Exercises useutilizar computer system the x, yyto find 00 and ffxx x, whether there89–92, exist values values of xx and and yyalgebra such that that and whether there exist of such first and second partial derivatives of the function. Determine fyfirst x, y 0 first and second partial derivatives of the function. Determine simultaneously. y hallar las derivadas parciales de primero y segundo x, y 0 ftadora simultaneously. partial derivatives of the function. Determine x, yyand second ffyyy x, 00 simultaneously. simultaneously. yy such whether exist values of that and x,deyy x y 0y0 tales whether there exist values of and such that fffxx x, and orden dethere la función. Determinar si existen valores whether exist of xxx and and such and 22 x x, yxx2 2 0yy sec x,yy that 25 25 90. fyf x, f fyyx,x, yythere xxsec yfy xvalues 89. 90. 22 f89. x, 0 simultaneously. f89. x, 0 simultaneously. que y simultáneamente. x x, y c 5 0 x, y c 5 0 f x, y x sec y f x, y 25 x y22 f x, y x sec y f x, y 25 x y 89. 90. 90. y y x y fy x, y 0 simultaneously. xy xx xy 22 22 xy xx xy x,yyyy ln x,yyyy 91. ffff x,x, 92. ffff x,x, 91. 92. xln 89. 90. x, xln sec x, 25 89. 90. 91. ff x, 92. ff x, 91. 92. x, yy xlnsec x, yy xx 25 25yy xxx 2 yyy 2 89. 90. x2222 yyy yy2222 xsec xx yy xx yy xxx xy xy xy ln 91. 92. x, ln x, 91. 92. x, yyy ln xx222 yy222 x, yyy 91. fff x, 92. fff x, x x x y x yyy

915 915 915 915 915

13.3 915 13.3 Partial Derivatives 915 13.3 Partial Partial Derivatives Derivatives 915 En los ejercicios 93 a 96, mostrar quepartial las derivadas parciales fxyy, , In Exercises 93–96, show that themixed mixed partial derivatives fxyy In Exercises 93–96, show that the derivatives ffxyy In Exercises 93–96, show that the mixed partial derivatives In Exercises 93–96, show that the mixed partial derivatives xyy,, fare yequal. fyyx son iguales. fmixtas fyyx, are andffxyy fyxy , ,and yxy equal. yxy yyx ffyxy and ffyyx are equal. equal. yxy,, and yyx are In Exercises 93–96, show In Exercises 93–96, show that that the the mixed mixed partial partial derivatives derivatives ffxyy xyy,, In93. Exercises 93–96, y,zzare xyz show that the mixed partial derivatives fxyy , f f x,x,y, xyz fff93. , f and equal. , f and are equal. x, y, y, xyz 93. ff x, xyz 93. yxy yyx yxy yyxzz yxy , and fyyx are equal. 3xy 4yz 4yz zz3333 94. f f x,x,y,y,zz xx2222 3xy 94. f 3xy 4yz 4yz zz x, y, z x 94. f 3xy x, y, z x 94. f x, y, z xyz 93. f x, y, z xyz 93. x x sen yz x,y,y, y,zzz eexyz 93. f ffx,x, 95. sen yz 95. x x x, y, y, zz sen yz 4yz 95. ff x, 95. 3xy xexxe222 sen 94. 3xyyz 4yz zz333 x, y, 94. x, y, y, zzz 94. fff x, 2z 3xy 4yz z 2z x 2z x 2z x, y, z f 96. x, y, z f 96. 95. x, y, yz 95. x, y, 96. ffff x, 96. x, y, y, zzzz xeexe x sen sen yz 95. y yz ysen xx yy 2z 2z 2z zz 96. x, y, 96. x, y, y,Equation 96. fff x, Laplace’s InExercises Exercises 97–100,97 show that thefunction function Laplace’s Equation 97–100, show that the Ecuación dez Laplace los ejercicios a 100, mostrar que la xxx In yyIn Laplace’s Equation Exercises 97–100, show show that the function function Laplace’s Equation Exercises 97–100, that the yInEn 2z x2 2 1 2 2z2 y2 2 2 0. 2 2z 2 5 0. satisfies Laplace’sla equation x 221 2z2/ / zy/x 0. satisfies Laplace’s equation función satisface ecuación de Laplace 1 z y / 2 22z 2 / / 1 zz/ yy 0. 0. satisfies Laplace’s Laplace’s equation equation z/ xx 1 satisfies Laplace’s Equation In Exercises 97–100, show that the function Laplace’s Equation In Exercises 97–100, show that the function 1 y1y thaty ythe function Laplace’s Equation In Exercises 97–100, y 2 5xy e0.eyy2y sen 97. zz5Laplace’s 98. zz 2z2 12show 5xy sen xx x 97. 98. 121ee 22 22 1 5 dsin sen y2e e y2s satisfies equation 1 satisfies equation 2 98. 5xy e0. sen sen 5xy xx 97. zz Laplace’s 98. 97. 1zz 2zzz//22 yeyey2 2 e0. satisfies Laplace’s equation 2zzz// xxx98. yy y x 1 x 1 yy yy yy senxx exxxsen arctan senyy 99. zzzz5 e5xy 100. zzzz z arctan 99. 100. 1 eearctan 100. 97. 98. 97. 98. y 2arctan 2arctan e sen sen yy zz 5 99. zz e5xy 100. 99. 100. 5xy sen x 97. 98. xxeee xy sen 2 e xx y y y eeexxx sen arctan 99. 100. zzEquation arctan sen yyyIn 99. 100. arctan 99. zEquation 100. zzz101 Wave InExercises Exercises 101–104, show that thefunction function Wave 101–104, show that the Ecuación desen ondas En los ejercicios a 104, que la xxxmostrar Wave Equation In Exercises Exercises 101–104, show that the function function Wave Equation In 101–104, show that the 2 2 2 2 2 2zz t t2 2 22zz x2x2 . . 2 2 2 c satisfies the wave equation c satisfies the wave equation función the satisface la ecuación22zde // xx25 2 . c x z /x c. /z// tondas t22 cc22 z22z/zt satisfies the wave equation equation . satisfies wave Wave Equation In Exercises 101–104, show that the function Wave Equation In Exercises 101–104, show that the function WavezzEquation In 101–104, that the function sen ct Exercises cos 4x 4ct4ct 101. 102. sen xx 2ct zccz222 zshow cos 101. 22z 102. 22 102. 2 22s.4x 4ct 2z 101. zzz 5the sen(x ct) 5 x4x satisfies wave zz/ cos xx4x satisfies the wave equation 2zz/ ttt102. 2 2 .. 1 sen ct cos 4x 4ct d 101. 102. sen xx equation ct 4ct 101. czz 2cos satisfies the wave equation / / ln ct sen ct sensenxxwx 103. 104. zz z sen sen 103. 104. senctct wct lnxsxxxx 1ctct ctd 103.zzzzz 5lnln 104. ln ct sen ct sen 103. 104. zz 5 sen sen xx 103. 104. 101. 102. sen ct cos 4x 4ct 101. 102. sen xxx ct ct cos 4x 4x 4ct 4ct 101. zzz sen 102. zzz cos Heat InExercises Exercises 105and and106, 106, show that thefunction Heat Equation In show that the Ecuación En los 105 ejercicios y 106, mostrar zEquation xxx calor ct zzz105 sen ct 103. zEquation ln ct sen ct sen xfunction 103. 104. Heat Equation In Exercises Exercises 105104. and 106, show that thexfunction function Heat In 105 and 106, show that the z ln lndel ct sen ct sen sen x que la 103. 104. x22225 satisfies the heatequation equation t t calor cc2222 2z z22z/ //xt . . c 2x 2z /x 2c. zz/ /del satisfies the heat función satisface la ecuación 2 satisfies the the heat heat equation equation zz/ tt cc zz/ xx .. satisfies Heat Exercises that the Heat Equation In Exercises 105 and 106, show that the function function HeatEquation Equation xIn In Exercises105 105and and22106, 106,show show that xequation xx xthe function theat x t heat c106. xxx2t2e2tttsen ..sen satisfies the equation cc2 zz222zzz/ e5 satisfies the 2t xxequation zzz// ttt 106. x x e cos 105. 106. zzz 5 eee2t 105. sen . satisfies the heat 105. cos sin tcos t cosccc sencc c 105. zz ee cos 106. zz / ee sen 105. 106. cc cc x xxx x x eee ttt sen zzz ejercicios eee ttt cos 105. 106. cos sen 105. 106. EnExercises los 108, siwhether existe othere no función cos sen 105. 106. zzzwhether In Exercises 107cc107 andy 108, 108, determinar determine there exists In 107 and determine exists aa ccc una In Exercises Exercises 107 107c and and 108, 108, determine determine whether whether there there exists aa In exists f(x, y) con derivadas parciales Explicar el razonafunction with thegiven given partialdadas. derivatives. Explain your yy with f f x,x,las function the partial derivatives. Explain your x, yy with function ff x, with the the given given partial partial derivatives. derivatives. Explain Explain your your function miento. SiIfIf tal función existe, dar ungive ejemplo. In Exercises 107 108, whether there In Exercises 107 and 108, determine whether there exists reasoning. such afunction function exists, give anexample. example. reasoning. such exists, an In Exercises 107 aand 108, determine determine there exists exists aaa reasoning. If such such a function function exists, give givewhether an example. example. reasoning. If aand exists, an ff x, function the given x, function with the given partial partial derivatives. derivatives. Explain Explain your your x, yyy with function with the sen 3xgiven 2y ,f f x,x,give sen 3x 3xExplain 2y your 107. f f x,x,yfyIf 33sen 3x 2y ,partial yy derivatives. 22sen 2y 107. reasoning. function exists, reasoning. such function exists, an example. x, yyIf 3x 2y 2y x,give sen 3x 3x 2y 2y 107. xffxxx x, 3x ,, yffyyy x, yy an 22example. sen 107. reasoning. If such such33aasen asen function exists, give an example. 2x y,y,fyfyx,x,yy xx 4y 4y 108. fxfxx,x,yy 2x 108. fyy x, x, yy 2x33 sen y, f3x x, yy2y ,, xfxfy x, 4y 22 sen 108. ff x, 2x y, 4y 108. 107. x, 3x 2y 107. x, yyy 3 sen sen 3x 3x 2y 2y , fyy x, x, yyy 2 sen sen 3x 3x 2y 2y 107. fffxxxxx x, In Exercises 109 and 110, find the first partial derivative with In Exercises 109 and 110, find the first partial derivative with f f x, y 2x y, x, y x 4y 108. ffyy110, ffxx x, yy 109 2x y, x, yfind xx first 4y 108. EnExercises los ejercicios 109 y110, encontrar lapartial primera derivada parx, 2x y, x, y 4y 108. In Exercises 109 and 110, the first partial derivative with In and find the derivative with x y respect x.x. respect totorespecto cial con a x. x. respect to to x. respect In 109 110, the first In Exercises 109 and and 110,2z22find find the first partial partial derivative derivative with with In Exercises Exercises and z first partial derivative with y y 2 2222 zthe tan zeez 22 find 109. f f x,x, y,y,x. zz 109tan yy2z2110, 109. respect to respect to x, y,x. tan yy22zz eezz yy zz 109. ff x, tan 109. x.zz respect toy, yy 22y2 22 222 y 1 z x,y,y, y,zzzz xxtan senh 110. ffff x,x, senh 110. yyy222zzyzyeeezzyz2yy22yyy2222 yyzyzz 111zzz 109. x, y, 109. senh 110. ff x, xxtan senh 110. x, y, y, zz tan 109. z zz yyy yy222 22 yy 11 zz x, y, z x senh 110. f x, y, z x senh 110. f y 2 y 1 z senh 110. NGGz AABBxOOU UTT zCzzCOONNCCEEPPTTSS WWRRIfITTx,I INy,

WRRIITTIIN NGG AABBOOU UTT CCOON NCCEEPPTTSS W

111. Let Letf fbe beaafunction functionofoftwo twovariables variablesxxand andy.y.Describe Describethe the 111. fGbe x and y. Describe 111. Let beAAaaBBfunction function ofN two variables and y. Describe the the fG 111. of two variables W RRRIIIprocedure TTTLet IIIN OOOU TTT CCCO CCCfirst EEEfirst P TTTpartial Spartial W N U O N P SS xderivatives. procedure for finding the derivatives. for finding the W N G A B U O N P Desarrollo de conceptos procedure for for finding finding the the first first partial partial derivatives. derivatives. procedure fff be xxx and y. 111. Let aaasurface function of Describe the y. 111. Let be function of two variables and Describe the 112. Sketch representing function two variables f fofof 112. Sketch aasurface representing aafunction variables y.two 111. Let be function of two two variables variables and Describe the 112. Sketch surface representing apartial function of two variables 112. Sketch aa surface representing apartial function of two variables 111. procedure Sea f una función de dos variables x yderivatives. y. ffDescribir el procefor finding the first procedure for finding the first derivatives. andy.y.Use Use the sketchto togive give geometric interpretationsofof xxprocedure and the sketch geometric interpretations for finding the first partial derivatives. y. Use and y. Use the sketch to give geometric geometric interpretations of xxdimiento and the sketch give interpretations of para hallar lasto derivadas parciales de primer orden. 112. aaa surface 112. Sketch surface representing function of two variables and f f xxand f f y.y.representing 112. Sketch Sketch surface representing aaa function function fff of of two two variables variables f x f y. and f x f y. and 112. xxDibujar unathe superficie que represente una función f de of dos and Use to interpretations y. and Use the sketch to give interpretations of zgeometric 113. Sketch Sketch the graph ofaafunction function whosederivative derivative f f x,x,yy whose 113. the graph of xSketch y. andy. Use thesketch sketch togive givezgeometric geometric of x, yy interpretations 113. Sketch the graph of function whose derivative zz ff x, 113. the of aa function whose derivative variables xgraph y y. Utilizar la gráfica para dar una interpref x f and f x f y. and always negative and whose whose derivative derivative fyfy isis always always fxfxfisis always negative and x f y. and is always always negative and whose whose derivative ffyy is is always always ffxtación negative and derivative geométrica de fyx y fyy. x is 113. Sketch the x, 113. Sketch the graph of function whose derivative positive. x, yyy whose 113. positive. Sketch thegraph graphof ofaaafunction functionzzz fff x, whosederivative derivative positive. positive. zderivative 5 f sx, yd fcuya 113. ffxDibujar la gráfica de una función negative and whose always ffyy is is always always negative and whose is derivada always x is 114. Sketch Sketch thegraph graph function whose derivazz derivative f f x,x,yy whose 114. the ofofaafunction fSketch negative whose derivative always x is always y isderivax, yyfy sea 114. positive. the graph graph of aa and function whose derivazz ff x, 114. Sketch the of function whose derivanegativa y cuya derivada siempre pofx sea siempre positive. tives andfyfyare arealways alwayspositive. positive. tives fxfxand positive. tives and ffyy are are always always positive. positive. tives ffxx and sitiva. zzzsuchfffthat x, 114. graph x, 114. Sketch the graph of whose derivaxfunction fwhose 115. If athe function and yy such that and fderivafyx are are f f isis athe 115. IfSketch function ofofaaaxfunction and and x, yyyfxy 114. Sketch graph of of whose derivaxy yx xfunction 115. If function of xuna and suchz 5 that and are ff is yy such 115. If aa lafunction of and that ffyx are f sx,ffxy 114. tives Dibujar gráfica de función cuyas xyydand yx deriffwhat fis are always positive. tives and are always positive. ffxx and yywhat continuous, is the relationship between the mixed continuous, is the relationship between the mixed f tives and are always positive. ywhat is continuous, the relationship relationship between the the mixed mixed continuous, the vadasx fx y fywhat sean is siempre positivas. between fff is xxx and 115. If aaa function of 115. If is function of and such that and are partial derivatives? Explain. xy and yx are 115. partial If isderivatives? function Explain. of and yyy such such that that fffxy and fffyx partial derivatives? Explain. partial Explain. yx are x relationship 115. continuous, Si f esderivatives? una what función de y y tal que fxybetween y fyxxysonthe continuas, is the mixed continuous, what is the relationship between the mixed continuous, what is the relationship between the mixed ¿qué relación existe entre las derivadas parciales mixtas? partial partial derivatives? Explain. partial derivatives? derivatives? Explain. Explain. Explicar.

1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 916 1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 PM 916916 1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 PMPage Page Larson-13-03.qxd 3/12/09 18:48 Page 916 1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 916 2:06 PM Page 916 1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 916 xp 10/27/08 12:06 PM Page 916 1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 PM PM Page Page 916 916

60. f x, y, z 61. w

3x y x2

63. F x, y, z

y2

CAPÍTULO 13


916 916916Chapter 13 13 Functions of Several Variables Chapter of Several Variables Chapter 13 Functions Functions of Several Variables 916 Chapter 13 Functions of Several Variables

Functions of Several Variables 916 Chapter 13 Functions of Several Variables Chapter 13 Functions 916 Chapter 13 916 of Several ChapterVariables 13 Functions Functions of of Several Several Variables Variables

10yz

z2

ln x 2

62. w y2

94. f x, y 7xz x

95. f x, y y

96. f x, y

z2

1

64. G x, y, z

916

5xyz

1

x2

y2

z2

In Exercises 65–70, evaluate fx , fy , and fz at the given point. 3

2

Laplace’s E satisfies La 97. z

5

x yz , 1, 1, 1 65. f x, y, z 99. z e 123. 66. Distribución de La temperatura en cualquier 3 f x,123. y,Temperature z Temperature x2temperatura 2, 1, 2temperature yDistribution 2xyz 3yz, 123. Temperature The temperature at any point 123. Distribution The temperature at any point Para discusión Distribution The at any point 2 2 1.5y 2, C A PCSATPOSNTEO N EN E placa de acero es temperature sx, yd de una T 5 500 22 0.6x 123. punto Temperature Distribution The at 2 any point 2 where C A P S T O NCEA P S T O123. 221.5y in yx, a in steel plate is plate y x, 1.5y , where T is 500 0.6x ainsteel plate , 2,xwhere Tis T 500 0.6x0.6x x xWave Equa Temperature Distribution The temperature at donde anyx,point a steel ymedidos 1.5y 500 xplate 2 2 where y son en metros. En el punto (2, 3), hallar el x y in a steel is x, y 1.5y , T 500 0.6x x Find the four second partial derivatives of the function 116. Find the four second partial derivatives of the function 116. 116. Encontrar las cuatro segundas derivadas parciales de la fun116. Find the four second partial derivatives of the function f x, y, z , 1, 1, 1 67. 123. Temperature Distribution The temperature at any point 2 2 and yand are inpoint meters. At theAtpoint rates C A P S T116. O N EFind the four second x,partial 2, 3any ,2,find are measured in meters. the point find the the rates ymeasured 32, ,the a steel plate where ofisthe y in derivatives 1.5y , T function 500Distribution 0.6x 123. x and are measured in meters. At the point find rates y 3 , yz 123. Temperature The temperature at any Temperature Distribution The temperature at point satisfies th ritmo de la a, la recoDistribution The temperature any point 2respecto 22, T Opartial N E derivatives ofCCAthe and arecambio measured in temperatura meters. At the point find rates y de 3 at ,distancia SSfunction TTOOgiven N bygiven the second f by x, yby 2y the the second f x,f ysen x .xShow 2y 2y . Show dada por Mostrar quethat lasthat send Show second x, y xsensen .that a the steel plate is where x,123. y inTemperature 1.5y Tthe 500 0.6x xthe APPción NEEbygiven 2 of 2ofwhere 22 with 22 the ofin0.6x change of temperature with respect to change the temperature with respect to distances the distances and in At theplate pointis2, rates given Show that thea second f x, partial y sen xy are2ymeasured . of change of temperature respect to xxthe distances in steel x, ymeters. 1.5y , is T3 , find 500 x500 aaofsteel plate x, yychange 1.5y ,, where TT the 0.6x 116. that Findthe the four second derivatives the function rrida en la placa en las direcciones del eje x y y. xy in steel plate is where x, 1.5y 500 0.6x of of the temperature with respect to the distances mixed partial derivatives and f are equal. f mixed partial derivatives and f are equal. f gundas derivadas parciales mixtas f y f son iguales. Show second sen the x four 2y . second mixed partial derivatives and f are equal. f and are measured in meters. At the point find the rates y 2, 3 , Find partial derivatives of the function xy yx xy yx 116. Find the four second partial derivatives of the xyyx xy the f are x, y, zalong ,in At 3,in 1, 68.the 116. by Find theypartial foursen second partial derivatives ofsecond the function plate the directions of3 the axes. y-and moved the the plate the1the directions ofx-the x-rates y-axes. of temperature with respect to the distances mixed derivatives fof equal. fShow moved along plate directions ofand the and xy-axes. 101. z s and measured in meters. At point find the yyxarefunction 2, 3 xalong , the and measured in the yymoved 2,the ,, find xy and yx are given that the f x, x 2y .change and are measured in meters. theinpoint point find the rates 3 xmoved along the plate in the directions andthe y-axes. ymeters. zrates tives fby of change ofaxes. the temperature with respect to of the2, given f x,fyxy are equal. sen x 2y . Show given by that the second fthat x, yythe second sen xx 2y .. Show 124. Temperatura aparente UnaAt medida de ladistances percepción del xy and given by Show that the second f x, sen 2y moved along the plate in the directions of the and xyof change of the temperature with respect to the distances of change of the temperature with respect to the distances mixed partial derivatives fxy and fyx are equal. 124.change Apparent Temperature Awith measure of how hot weather feels feels 124. Apparent Temperature A respect measure ofthe how hothot weather 124. Temperature Ax-measure of how weather feels103. z l ofApparent the temperature moved along the plate inpor the directions of thepromedio and to axes. y-es mixed partial derivatives fxy and fyx arepartial equal.derivatives 124. of Apparent Temperature A measure of how hot weather feels mixed fyx are equal. ffxy and calor ambiental unas personas eldistances Índice de mixed partial derivatives moved Aalong the plate in the of and xyxy and fTemperature yx are equal. moved the in the directions of the and axes. xyan person isyperson Temperature Index.Index. AIndex. toaverage an average person Temperature A A 124. Apparent measure of how hot directions weather feels f x,along y, zthe zplate sen xinaxes. ,theisApparent 0,the ,Apparent 4Apparent 69. to to an average is the Temperature moved along the plate the directions of the and axes. xyMarginal Revenue A pharmaceutical corporation has two 117. Marginal Revenue A pharmaceutical corporation hashas twotwo temperatura toTemperature an average person is the Apparent Temperature aparente. Un modelo para índicefeels es Index. A 117. 117. Ingreso marginal UnaRevenue corporación farmacéutica tiene dos124. 117. Marginal A pharmaceutical corporation 2hoteste Apparent Aindex measure of weather Heat Equa 117. Marginal Revenue Atopharmaceutical corporation has two model this isfeels model for this index is how an average124. person is the Apparent Temperature Index. Afor model for this is of Apparent A offor how weather Apparent Temperature measure weather feels 124. Apparent Temperature A2index measure of1,how how2,hot hot weather plants that produce the same over-the-counter If x1 to xan plants thatthat produce the the same over-the-counter medicine. If124. model thishot index is A A pharmaceutical corporation has two plantas que producen laproduce misma medicina. Si x1 y medicine. x2Temperature son los xaverage plants same over-the-counter medicine. If1 measure 2Apparent 2 person is the Temperature Index. A feels 1 satisfies th f x, y, z 3x y 2z , 1 70. plants that produce the model same over-the-counter medicine. If x1 is the Apparent forcorporation this index isan A 5 0.885t 2 22.4h 1 1.20th 2 0.544 117. Marginal Revenue A pharmaceutical has two to average person Temperature Index. A to an average person is the Apparent Temperature Index. A person is 22.4h the22.4h Apparent Temperature andIfde are of produced 1at and 2, plant xand the numbers of produced 1plant and plant 2, 2,to an xthe xRevenue e same Revenue over-the-counter medicine. números unidades producidos enunits la planta 1atyplant enatlaplant planta 2, and are the numbers of units produced plant 1 and x2numbers A average 0.885t 22.4h 1.20th 0.544 A Ais0.885t 1.20th 0.544 0.885t 1.20th 0.544 Index. A arginal A 117. pharmaceutical has twounits 2 are Marginal A pharmaceutical corporation has two 1 index 117. Marginal Revenue A pharmaceutical corporation two andproduce the of units produced atmodel plant 1If and plant 2, is model for x2 are2corporation A this0.885t 22.4his 1.20th 0.544 xhas that thenumbers same over-the-counter medicine. for index model for this index 1this model for this index is respectively, then the total revenue for the product is given by respectively, then the total revenue for the product is given by snts of units producedthe atplants plant 1over-the-counter and plant 2, respectivamente, entonces el ingreso total del producto está respectively, then the total revenue for the product is given by A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544 x that produce same medicine. If In Exercises 71–80, find the four second partial derivatives. x plants that produce the same over-the-counter medicine. If 1 donde esA where la temperatura aparente en in grados Celsius, A where t esCelsius, 1 plants that produce thetotal samerevenue over-the-counter medicine. If xby respectively, then the product and are the numbers of200x units produced 1 and x2 dado where is the temperature degrees t islathe 2 at plant 2plantis isapparent apparent temperature in degrees Celsius, A1.20th t is tthe 2forx2the 22,given is the apparent temperature in Celsius, degrees is the105. z e 22.4h 0.544 Athe 2When When Rpor 200x 200x 4x .210.885t x2,11 x41 A1.20th R 200x 200x 4x8x 8x x4x 4x . plant 4 0.885t revenue for theof product is given by Cuando When R 200x 4x 8x x 4x . 4 x dtotal the numbers units produced at plant 1 and plant 2, x2 are Observe that the second mixed partials are equal. 1 2 1 1 2 2 where is the apparent temperature in degrees Celsius, is the A t forma 2 2 1 2 1 1 2 2 and are the numbers of units produced at plant and x 1 2 1 1 2 1 A 22.4h 0.544 A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544 temperatura del aire y es la humedad relativa dada en h 22200x and are the numbers of units produced at plant 1 and plant 2, x When R 200x 4x 8x x 4x . 4 x A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544 2 1for A 1 product 2 apparent 2is given respectively, the total revenue the by la air and hand isand humidity in decimal air air temperature, the relative humidity in decimal htheishrelative where isthe the temperature the t istemperature, 2 temperature, is the relative humidity in decimal find (a) the marginal revenue for plant 1,1planx2and Rin x1, find (a) the marginal revenue plant 1, degrees x12, 12, R, Rx1,Celsius, When 4x12 8x 41product xthen xrespectively, = 4and y xthe 12, a) el(a) ingreso marginal para and find revenue for plant xthe 12, pectively, then total for given by 2= air temperature, and is the relativeCelsius, humidity in decimal hUMAP 2 encontrar then revenue for the product isfor given by 1x2 the4x 2 . revenue 2 1and (Fuente: The Journal) wherex1A, decimal. is the apparent temperature inThe degrees 2istotal 2 respectively, then the total revenue formarginal the product given by find (a) the marginal revenue for hplant 1, x21200x 12, R x1, 1humidity 2form. 2 t is the 2 When R 200x 4x 8x 4xrevenue 4the x2, form. (Source: The UMAP Journal) form. (Source: The UMAP Journal) air and isAis the relative in decimal (Source: UMAP Journal) z 3xy z x 3y 71. 72. In Exercis where is apparent temperature in degrees Celsius, is the 1 and 1 ingreso 122xmarginal 2temperature, 2 . para 1 t 2plant 22the where is the apparent temperature in degrees Celsius, is the A t 2 (b) marginal revenue for plant 2, . R x and (b) the marginal revenue for plant . R x he200x marginal revenue for R x , ta 1, y b) el la planta 2, and (b) the marginal for plant 2, R x . where the apparent temperature in degrees Celsius, t is the When 200x2 4x1 RR 8x1x2200x 4x x11 48x form. A is (Source: Journal) 200x 4x 4x xx1 2 424 1 air temperature, and theUMAP relative humidity in decimal 1112 .marginal 22 revenue 11x 22 222..R When h yisThe When 200x 4x 8x(Source: xplant 4x (b) for 2,The xR2. x2 Journal) 1revenue and xx2 . and findthe (a) the marginal for plant 1,UMAP 12,200x a) Hallar Ayh sitthe t h5 308 ythhzwhen 530 0.80. form. 2Ayt 2is 4tand 2 decimal 20.80. 40.80. function f air temperature, and is the relative humidity in decimal 1, 1 h air temperature, and relative humidity in h (a) Find and when A t A h (a) Find and when and A t A h t 30 h forfind plant (a) Find and and A A 30 h 0.80. z x 2xy 3y x 3x y y 73. 74. air temperature, and is the relative humidity in decimal h devenue (a)2,theRmarginal revenue for plant 1, x2 12, , R x and find (a) the marginal revenue for plant 1, x 12, , R x 2118. Marginal Costs A company manufactures types oftypes 118. Marginal Costs A1 A company manufactures of of (Source: Marginal Costs company form. 22 118. and find (a)A the marginal revenue for manufactures plant 1,two xmarginal 12,Costs , types R two x11two (a) Find The A UMAP t and Journal) A h when t 30 and h 0.80. and (b)Costo the revenue for plant 2, R txdos 118. Marginal company manufactures two types of reasoning. (Source: The UMAP Journal) 2. form. form. (Source: The UMAP Journal) 118. marginal Una empresa fabrica tipos de estufas de (a) Find and when and A A h t 30 h 0.80. b) ¿Qué influye más sobre A, la temperatura del aire o la 2 2 form. (Source: The UMAP Journal) dcompany (b) the marginal revenue for plant 2, . R x and (b) the marginal revenue for plant 2, . R x (b) Which has a greater effect on air temperature or wood-burning stoves: a freestanding model and a fireplaceA, (b) Which has a greater effect on air temperature or wood-burning stoves: a freestanding model and a fireplaceA, manufactures two types of Which has a30greater effect on A, or wood-burning stoves: a freestanding and a fireplaceln xtemperature yah when zWhich y air temperature 76. 2 and (b) the marginal revenue for plant 2, R and x22. model (a) Find75. and t andx(b) AExplicar. 0.80. (b)Ahumedad? has greatert effect on hzA, air or wood-burning stoves: a manufactures freestanding model a offireplace118. Marginal Costs A company two types combustión de madera: el modelo autoestable y el modelo para (a) Find and andhumidity? A t Find 30humidity? 0.80. (a) and hh y 0.80. A tt hand AA Explain. hh when tt 30 Explain. insertinsert model. The cost function for producing freestanding xeffect model. The cost function producing xt freestanding (b)The Which has afor greater on temperature a freestanding model and Marginal a manufactures fireplaceA,A airh when humidity? Explain. insert model. function for producing x freestanding xA x (a) when arginal Costs A company two types of cost 118. Costs A company manufactures two types of 107. fx x, y zhas eaor tan yand 3ye z and 2xe 0.80. 77. Find 78.30temperature 118. Marginal Costs Acost company manufactures two types of humidity? Explain. insert model. The function for producing freestanding xpara (b) Which greater effect on A, air or wood-burning stoves: a ychimenea. freestanding model and a fireplaceinserción en una La función deiscosto producir andmodel fireplace-insert stoves isstoves yand fireplace-insert stoves is ystoves: humidity? Explain. stod-burning function for producing freestanding x wood-burning and fireplace-insert (b) Which has a greater effect on air temperature or stoves: a freestanding and a fireplaceA, 125. Ley de los gases ideales La ley de los gases ideales establece (b) Which has a greater effect on air temperature or a freestanding model and a fireplaceA, 125. Ideal Gas Law The Ideal Gas Law states that PV nRT, 125. Ideal Gas Law The Ideal Gas Law states that PV nRT, 125. Ideal Gas Law The Ideal Gas Law states that PV nRT, (b) Which has a greater effect on air temperature or wood-burning stoves: a freestanding model and a fireplaceA, and fireplace-insert stoves is y 108. fx x, y humidity? Explain. model. The cost function producingenx una freestanding x estufas autoestables y y for de inserción chimenea es 125. Ideal Gas Law The Ideal Gas Law states that yPV nRT, stoves is The cost insert humidity? Explain. ert model. function forCproducing freestanding x cost que elisnumber volumen, esofelmoles 5 nRT, Ppressure, zPVnRT, cos xy zisesthe 79. 80. humidity? insert model. The function for producing freestanding xIdeal where isExplain. pressure, ofnmoles ofmoles P Vesislavolume, nV where isPpressure, isVvolume, the number of of Pdonde Vpresión, narctan 125. Ideal Gas Law The Gas Law states that PV where is is volume, is the number of n humidity? Explain. insert model. The cost function for producing freestanding x 32 xy 175x 205y 1 050. C 32 xy 175x 205y 1 050. C 32 xy 175x 205y 1 050. and y fireplace-insert xof moles of where pressure, the PV numbernRT, P isThe V is volume, n isthat 125. Ideal Gas Law Ideal Gas Law states C5y32 32!xyxy1stoves 175xis 205y 050. d y205y fireplace-insert número de moles de gas, esGas una constante (la constante de RnRT, stoves is gas, is aRthat fixed constant (the gas constant), and isnRT, absolute Rgas, Tand isRThe ais fixed constant (the(the gasgas constant), isTabsolute T los where is1050. pressure, volume, the Ideal number of Law moles ofLaw V is Gas gas, aIdeal fixed constant constant), and is absoluteIn Exercis C 175x 1 205y and fireplace-insert stoves is1P11050. y fireplace-insert 125. Ideal Lawn isThe PV 125. Ideal states that PV 1 050. stoves is and 125.Gas Ideal Gas The Ideal Gas Law states that nRT, gas, isstates aLaw fixed constant (the gasLaw constant), and RGas TPVis where is pressure, is volume, is the number of moles ofabsolute P V n theFind marginal costs Ccosts xCand Cx and yCiswhen x when 80 gases) y T es temperatura absoluta. Mostrar que (a) (a) Find the the marginal costs x and y when xV isx volume, 80 C 32 xy(a) Find 175x 205y 1marginal 050. Cwhere C yconstant), 80Twhere temperature. Show that temperature. Show that gas, is a fixed constant (the gas and is absolute R temperature. Show that pressure, is the number of moles of P n respect to is pressure, is volume, is the number of moles of P V n f x, y , nfind x andofy such In Exercises 81–88, allnumber values of of moles Find xy the marginal costs C11 050. x and C y when x 80 pressure, is volume, the P isconstant Vfor 32 xy 175x 205y C 1Calcular 050. temperature. Show that 32 175x 205y gas, R iswhere a fixed (the gas constant),isand T is absolute C(a) xy 205y 050. sCyx d fixed a) costos marginales y Cyy cuando ylos 20. and175x y y 20. costs C x and C y when x32 and 80 and 20. temperature. Show that gas, is a constant (the gas constant), and is absolute R T gas, is a fixed constant (the gas constant), and is absolute R T f x, y 0 x, y 0 f that and simultaneously. and y 20. gas, isV a Tfixed RTxShow T P P VTP constant (a) Find the marginal costs C x and C y when x 80 PV V y (the gas constant), and T is absolute temperature. y marginal yWhen 5 20.additional 5 109. f x, y T P V 5that 21. that 1. 1. 1. Find the marginal costs C and80 when C yadditional x production 80C xproduction (a) xxFind the costs and C yyis when xxwhich 80 Show that (b) When is required, which model ofmodel (b) required, of oftemperature. Show (b) When additional required, which marginal costs when Cistemperature. 80ofmodel temperature. Show T PCproduction V xis and P V T T P V and(a) y(b)Find 20. theadditional V P When production required, which model VT that T y2 2x 2y P 2 1. f x, y x xy 81. and T P V y 20. 1. and y 20. b) model Cuando requiera producción adicional, de results inresults theincost increasing at ¿qué a higher How stove results the cost increasing at modelo aathigher rate? How production is required, which ofse20. stove in T the cost increasing arate? higher rate? T How P V and ystove Vincreasing Pis required, 110. f x, y stove results in the cost at a Thigher How P Vrate? TT PP VV 1. Whenrate? additional production which model ofmodel? 2 estufa hará incrementar eldetermined costo con una tasa más alta? ¿Cócan this be determined from the cost model? can this be determined from the cost model? eWhen cost increasing a(b)higher How f x,126. yMarginal x1. xyUtility y2 The 5xde y function 82. Marginal Utility The utility fydx,es can this be from the cost utility function a a x,isf yx,a yis is 1. Marginal Utility The utility V126. T 126. P Uyisfuna 126. Utilidad marginal La función utilidad UUfunction 5Uffsx,x,U additionalatproduction is required, which model of (b) When additional production is required, which model of 1. (b)results When additional production required, which model of can this be determined fromatisthe cost model? 126. Marginal Utility The utility function a y V T P T P V stove in the cost increasing a higher rate? How Px, ymeasure V Tmeasure puede determinarse esto athe del modelo costo? mined the in cost of utility satisfaction) derived bypersona a by person 2 the 2 utility of4xy the utility (or (or satisfaction) a person 126. Marginal Utility Thecentury, utility function a measure U testf83. of the satisfaction) by a person medida (o(or satisfacción) que obtiene unaderived stovefrom results themodel? cost increasing at aPsychology higher rate? How stove results in the cost increasing at rate? How 119.mo Psychology in the century, an del intelligence test test 119. Psychology Early intwentieth twentieth century, an intelligence f x,isyde xutilidad y (or 4x 16y 3 derived Early inpartir the twentieth an intelligence results inEarly the cost increasing at aa higher higher rate? How measure oflaThe the utility satisfaction) derived by a person can Psychology thisstove be119. determined from the cost model? 119. Early in the twentieth century, an intelligence test 126.derived Marginal Utility utility function is aSuppose Uy.two f products x,x yand from the consumption of two products the y. from the consumption of two products and Suppose the the W R I T I N x y. measure of the utility (or satisfaction) by a person from the consumption of and Suppose x y. por el consumo de dos productos y Suponer que la función x can this be determined from the cost model? can this be determined from the cost model? 126. Marginal Utility The utility function is a products Ux2 f xy x, y ofyutility called the Stanford-Binet Test (more commonly known asknown theasIQ Utility The function aa called the the Stanford-Binet Testcost (more commonly known the IQ U ff Suppose x, the twentieth century, an intelligence test 2two called Stanford-Binet Test commonly as 126. the IQMarginal 119. Psicología Recientemente en el siglo xx se(more desarrolló una pruecan this be determined from the model? 126. Marginal Utility The utility function is the U2a y. x, yy is from theyutility consumption and f the x, 84. called the Stanford-Binet Test (more commonly known asproducts the IQ x and measure ofutilidad (or satisfaction) person 2 derived 2 2xby 2 2 2is1 119. Psychology Early in the twentieth century, an intelligence test utility function is U 5x xy 3y . utility function U 5x xy 3y . from the consumption of two Suppose the y. utility function is U 5x xy 3y . de es U 5 25x xy 2 3y . measure of the utility (or satisfaction) derived by a person 111. Let test) was developed. In this test, an individual’s mental age is M 2 2 measure of the utility (or satisfaction) derived by a person test) was developed. In this test, an individual’s mental age is M net Test (more commonly known as the IQ test) was developed. In century, thisde test,Stanford-Binet anintelligence individual’s(más mental age M ismeasure ba decentury, inteligencia llamada la Prueba ychology Early in the119. twentieth an intelligence test of the utility (or5x satisfaction) bythe a person Psychology Early in the twentieth an test utility function is U . 119. Psychology Early inIn the twentieth an intelligence test) was developed. this test, an century, individual’s mental M is3y 2.from the consumption of two Suppose xxyand 3y y.derived 2 age test 1 y. 1 products called the Stanford-Binet Test (more commonly known as the IQ utility function is U 5x xy from the consumption of two products and Suppose x proc divided by the individual’s chronological age and the quotient C from the consumption of two products and Suppose the divided by the individual’s chronological age and the quotient C x y. nled thisthe test, an individual’s mental age is M (a) Determine the marginal utility of product x. divided by the individual’s chronological age and the quotient C (a) Determine the marginal utility of product x. conocida como la prueba IQ). En esta prueba, una edad mental (a) Determine the marginal utility of product f x, y xy x. 85. Stanford-Binet Test (more commonly known asTest thechronological IQ a) la 5x utilidad delproduct producto x. called the Stanford-Binet (more as the from theisconsumption products the 2 of two x and y. called theby Stanford-Binet Test (more commonly commonly known asquotient the IQ IQ divided the individual’s age Cknown andMthe utility function xymarginal 3y 2. of (a) Determinar Determine x. Suppose ymarginal test)and was developed. In this an individual’s mental age is 2U x the 22 utility 22 utility function isof UIQ. 5xx.2 utility xy (b)function 3y . is multiplied bytest, 100. The result is cronológica the IQ. MIQ. is isMmultiplied by 100. The result isindividual’s the individual’s U 5x xy 3y . ual’s chronological the quotient is multiplied by 100. The result is the individual’s individual es dividida entre la edad individual C, (a) Determine the marginal utility product t) was developed. Inage thisC test, an individual’s mental age is M utility function is test) was developed. In this test, an individual’s mental age is Uthe marginal 5xthe xy 3yof .product 112. Ske Determine utility y. y. y. (b) (b) Determine the marginal utility of product Determine marginal utility of product test) was developed. InThe thisresult test, an individual’s is multiplied by 100. isage theCindividual’s IQ.age M is b) la del producto 3 utilidad 3product dividedIQ. by individual’s chronological the mental quotient (a) Determine the utilitymarginal ofyutility (b)Determinar the marginal of x. product y. y. fDetermine x,product y marginal 3x 12xy 86. The is individual’s the individual’s ydivided elthe cociente es multiplicado por 100. Eland resultado es elutility IQ indiidedresult by the chronological age and quotient Cindividual’s divided by the chronological age and the quotient C (a) Determine the marginal utility of x. marginal x an MtheM (a) Determine the utility of product x. M (b) Determine the marginal of product y. by the individual’s chronological age and the quotient C (a) Determine the marginal utility of product x. (c) When and should a person consume one x 2 y 3, (c) When and should a person consume one x 2 y 3, (c) When and should a person consume one x 2 y 3, is multiplied byM, 100. The is the individual’s IQ. MM, IQ 100 IQCby M, Cresult 100 IQ CThe 100 c) Si debe consumir una unidad másone de xthe 5 marginal 2 eyx 2y2 5 3, xy y 2y¿se of (b) Determine utility product y. (c) When and should a person consume x 3, vidual. multiplied by 100. The resultis is the individual’s IQ. f x, y 87. multiplied 100. result is the individual’s IQ. f IQ M, C 100 C C C is multiplied byC100. The(c) result is the IQ.3, should (b) yDetermine the marginal of product y. (b) Determine the marginal utility product y. more of of x orof y? y? y? unitproduct of product or one more unitproduct of product xone When a person utility consume one more x individual’s 2 and more unit of product or one more unit ofel product x more (b) producto Determine the marginal of product y.unit xunit oof una unidad más de producto y? Explicar M more unit or one more unit ofone product y? x1utility 2 product 2 (c) When and should a person consume x 2 y 3, M f x, y ln x y 88. M IQ M, C Find Find 100 113. Ske your reasoning. the partial derivatives ofunit respect and with IQofwith your reasoning. the100 partial derivatives with respect to and more ofIQ orxMone unitwith product xto y? reasoning. Find the partial derivatives ofproduct with respect tomore IQ M and M (c) When and should aExplain person consume oneshould 2M ywith 3,of(c) When and aa person consume one xx Explain 22Explain y your 3, razonamiento. M, C 100 IQ M, C Cthe (c) When and should person consume Explain your reasoning. Find partial derivatives of IQ with respect to M and with M, Cwith 100 more unit of product unit of product x ory one3, more y? one C with respect to IQ fx is C respect to Evaluate the partial derivatives at the C.to respect Evaluate theyour partial derivatives at point the point C. C. Explain reasoning. atives of IQ M and respect to Evaluate the partial derivatives at the point C more unit of product or one more unit of product x y? more unit of product or one more unit of product x y? CAS (d) Use a computer algebra system to graph the function. CAS (d) Use a computer algebra system to graph the function. CAS (d) Use a computer algebra system to graph the function. more of product or system one unit of product y? the respect to C. Evaluate the partial derivatives at the point CAS d) Utilizar un sistema algebraico pormore computadora y function. represenIn 89–92, use ax computer algebra system to find Explain your Find the partial derivatives ofand with respect toresult. with IQ M and CAS (d)Exercises Use unit areasoning. computer algebra to graph the pos and interpret the result. (Source: Adapted from 12, 10 and interpret the result. (Source: Adapted from 12, 10 ate the partial derivatives at the point interpret the (Source: Adapted from 12, 10 Explain your reasoning. nd the partial derivatives of Find with respect to CAS with IQ12, M parciales Explain your reasoning. the partial derivatives of respect to IQ M Interpret thela marginal utilities oflasproducts andx and x maryx and Interpret the the marginal utilities of of products y y (d) Use awith computer algebra system to graph the function. Interpret marginal utilities products Explain your Find the partial derivatives of with respect toAdapted and with IQde M aand andderivadas interpret the result. from 10Evaluate Encontrar las IQ (Source: con M ywith con gráficamente función. utilidades and second partial derivatives ofofthe the function. respect to C. the partial derivatives atrespecto the point Interpret thereasoning. marginal utilities products and x Determine y CASFourth (d) Usefirst axtar computer algebra system toInterpretar graph function. Bernstein/Clark-Stewart/Roy/Wickens, Psychology, Fourth Bernstein/Clark-Stewart/Roy/Wickens, Psychology, etpect thetoresult. (Source: from Bernstein/Clark-Stewart/Roy/Wickens, Psychology, Fourth the Adapted partial derivatives at the point C. Evaluate 114. Ske respect to Evaluate the partial derivatives at the point C. graphically. graphically. Interpret the marginal utilities of products and y graphically. respect to Evaluate the partial derivatives at the point C. CAS (d) Use a computer algebra system to graph the function. Bernstein/Clark-Stewart/Roy/Wickens, Psychology, Fourth CAS (d) Use a computer algebra system to graph the function. a C. Evaluar derivadas parciales en el punto ginales de productos x y of y system con una gráfica. x and yto 0 and whether exist values such CAS and interpret the las result. (Source: Adapted from (12, 10) 12, 10respecto (d) Use computer algebra graph thefx function. graphically. Interpret theathere marginal utilities of products and xthat yx, y Edition) Edition) wart/Roy/Wickens, Fourth Edition) the result. (Source: Adaptedthe from 2, 10 and interpretPsychology, tive and interpret result. (Source: Adapted from 12, 10 graphically. and interpret the result. (Source: Adapted from 12, 10 Interpret the marginal utilities of products and x y Edition) Interpret the marginal utilities of products and x y 127. Modeling Data Per capita consumptions (in gallons) of 127. Modeling Data Per capita consumptions (in gallons) of e interpretar el resultado. (Fuente: Adaptado de Bernstein/Clark127. Modeling Data Per capita consumptions (in gallons) of fModelo x,Interpret y matemático 0 Data simultaneously. Bernstein/Clark-Stewart/Roy/Wickens, Psychology, Fourth the marginal utilities of products and yof xconsumos yModeling graphically. 127. Per En capita consumptions (inlosgallons) 127. la tabla se muestran rnstein/Clark-Stewart/Roy/Wickens, Psychology, Fourth Bernstein/Clark-Stewart/Roy/Wickens, Psychology, Fourth 120. Marginal Productivity Consider the Cobb-Douglas produc120. Marginal Productivity Consider the Cobb-Douglas produc120. Marginal Productivity Consider the Cobb-Douglas producBernstein/Clark-Stewart/Roy/Wickens, Psychology, graphically. different typestypes of types milk in States from 1999 through different of milk inUnited the United States from 1999 through 127.Psicología, Modeling Data Per graphically. capita Fourth consumptions (in gallons) of different ofthe milk in the United States from 1999 through 115. If f Edition) graphically. 120.Steward/Roy/Wickens, Marginal Productivity Consider4a. theed.) Cobb-Douglas produc0.7 0.3 different types of milk in United States 1999 0.7 0.3 0.3 per (en galones) dethe diferentes tipos de leche en Estados 0.7 Edition) 127. Modeling Data Per capita consumptions (in gallons) ofofthrough tion tion function and . milk f x, different yf x,f y200x xWhen 1000 function andand yWhen 200x x x States 1000 yition) Consider the Cobb-Douglas producfcápita x, y2005 xshown sec y inshown fConsumption x,Consumption yfrom 25 x 2 flavored y 2 milk, 89. 90. tion function y. inWhen .the x,0.7ytypes 200x 1000 Edition) con 0.3y 2005 are theintable. Consumption ofgallons) flavored milk, are shown the table. flavored of United from 1999 through 2005 are in the table. of milk, 127. Modeling Data Per capita consumptions (in gallons) of tion function When and y . f x, y 200x x 1000 127. Modeling Data Per capita consumptions (in of 120. Productividad marginal Considerar la función deofproducción Marginal Productivity Consider the Cobb-Douglas produc127. Data1999 Perthe capita consumptions (in gallons) of y 2005 are shown in table. Consumption of milk, Unidos hasta 2005. Elfrom consumo deflavored leche light 0.7 0.3 120. types ofdesde milk in the United States 1999 through find (a) the marginal productivity labor, y Cobb-Douglas 500, flabor, x, fdifferent findfind (a) theare marginal productivity of labor, yProductivity and y . When 200x x Marginal 1000 (a) the marginal productivity of milk y 500, 500, fx, flavored x,Modeling arginal Productivity Consider the producpart 120. Consider the Cobb-Douglas producplain reduced-fat milk, and plain light and skim milks are plain reduced-fat milk, and plain light and skim milks are 2005 shown in the table. Consumption of milk, x xy plain reduced-fat milk, and plain light and skim milks are 0.7 0.3 120. Marginal Productivity Consider the Cobb-Douglas produc0.7 0.3 different types of in the United States from 1999 through find (a) the marginal productivity of labor, y 500, f x, different types of milk in the United States from 1999 through de f 200x sx,the yd marginal 5productivity y .ofSi x of 5 1capital, 000 y y. y f5 500, tionof function When y 200x . 0.7 fand x,the y(b)marginal x capital, 1000 different milk in the United States from 1999 through plain milk, andgrasa plainy92. light milks are descremada, leche baja en leche entera se representa f x,reduced-fat ytypes lnoftable. f flavored x,and y skim 91. 0.7 Cobb-Douglas 0.3 0.3 2005 are shown in represented the Consumption of milk, and (b) fand the marginal productivity y.light f x, and (b) productivity of capital, f y. 2 2 by 0.7 0.3 nmarginal functionproductivity When and y . f x, y 200xlabor, x 1000 tion function When and y . f x, y 200x x 1000 represented by the variables and respectively. x, y, z, represented by the variables and respectively. x, y, z, plain reduced-fat milk, and plain and skim milks are the variables and respectively. x, y, z, yytable. xin xrespectively. y milk, tion function When and y of . capital, f x, y productivity 200x xf are 2005 shown in table. Consumption ofbyflavored and (b) theproductividad marginal 2005 are shown the Consumption hallar a)(a) la marginal del trabajo, y b) la the plain find the marginal productivity of labor, y f 500, fy.1000 x, 2005 arevariables shown in the table. Consumption of flavored milk, represented variables andof por las x,the y plain z,milk, respectivamente. (Fuente: Dex, y,skim z,flavored reduced-fat milk, and light milks areU.S. productivity y. (a)capital, the marginal ofAbout labor, 500, find of f It x,be find (a) the marginal productivity ofnumber yy productivity 500, ff x,applicants x,y,to and (Source: U.S. Department of and Agriculture) 121. Think About ItAbout Let number oflabor, applicants a toand NLet (Source: U.S. Department of Agriculture) 121. Think It be thethe number of of applicants ato plain Nthe represented variables respectively. z, (Source: U.S. Department ofand Agriculture) 121. Think Let the aplain N by find (a) productivity labor, 500, plain reduced-fat light and skim milks are reduced-fat milk, and plain light skim milks are marginal del capital, fyy. and121. (b)productividad the marginal productivity capital, fbe y. plain reduced-fat milk, and plain light and skim milks are (Source: U.S. Department of Agriculture) Think About It the Letmarginal be the number ofofapplicants tox,amilk,represented partment of Agriculture) N of by the variables and respectively. x, y, z, dt (b) thethe marginal productivity of capital, fp the y. pproductivity and (b) the of capital, ffhousing y. university, charge for food and housing at of theAgriculture) university, the charge for food and atuniversity, the university, U.S. Department number of applicants to amarginal N be university, the charge for food and housing at the p(Source: and (b) the marginal productivity of capital, y. represented by theuniversity, variables respectively. x, y, and by z, the represented variables x, represented by the and z, respectively. x, y, y, and z, respectively. university, charge fornumber food de and housing ata the university, p the (Source: U.S. Department of variables Agriculture) 121. Think About It tand Let be the of applicants toof auniversiNthe N 121. Para pensar el número and the tuition. is the a is function of and such that N p ofuna tand tuition. aisaspirantes function thatof tSea N p U.S. t asuch e forAbout food and at the university, and the tuition. a function and such that t N p t 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Año 1999 2000 2001 2002 2003 Año (Source: Department Agriculture) ink It housing Let N121. be the number of applicants to a 1999 2000 2001 2002 20032004 20042005 2005 Año (Source: U.S. Department of Agriculture) Think About It Let be number of applicants to N (Source: U.S. Department of Agriculture) 121. dad, Think About It Let be the number of applicants to a N andppthe the tuition. is a function of and such that tel N p t 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Año university, charge for food and housing at the university, costo y< alojamiento en la is universiand What information gained by N ppN
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SECCIÓN 13.3 13.3 13.3 128. Modelo matemático La tabla muestra el gasto en atención 128. pública Modeling Data The table table showsdethe the public medical 128. Modeling Data shows public médica (en The miles de millones dólares) en medical compenexpenditures (in billions of dollars) for worker’s compensation expenditures (in billions of dollars) for worker’s compensation sación a trabajadores x, asistencia pública y y seguro médico del public assistance and Medicare fromCenters 2000 through through 2005. x, public y, and Medicare 2000 2005. x, y, zz from Estado z, assistance del año 2000 al 2005. (Fuente: for Medicare (Source: Centers for Medicare and Medicaid Services) (Source: Centers for Medicare and Medicaid Services) and Medicaid Services) Año Año

2000 2000

2001 2001

2002 2002

2003 2003

2004 2004

2005 2005

xx

24.9 24.9

28.1 28.1

30.1 30.1

31.4 31.4

32.1 32.1

33.5 33.5

yy

207.5 207.5

233.2 233.2

258.4 258.4

281.9 281.9

303.2 303.2

324.9 324.9

zz

224.3 224.3

247.7 247.7

265.7 265.7

283.5 283.5

312.8 312.8

342.0 342.0

Derivadas parciales Partial Derivatives Derivatives Partial

917 917 917

136. Considerar la función f sx, yd 5 sx22 1 y22d22y3 . Mostrar que 3 x, yy 136. Consider Consider the the function function ff x, Show that that xx2 yy2 2 3.. Show 136. 4x 4x 2 1y3, sx, yd Þ s0, 0d 1 y2 d1 3,, fxsx, yd 5 3sx22 4x x, yy 0, 00 . x, 0, 2 3 x x, yy ff x x, yy2 1 3 30,x sx, yd 5 s0, 0.d. x 0, x, yy 0, 00 0, x, 0, PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre este problema, ver elINFORMATION artículo “A Classroom Note on a about Naturally FOR FURTHER FURTHER INFORMATION For more more information information about this FOR For this Occurring Function” Don Occurring Cohen en problem, see Piecewise the article article “A “ADefined Classroom Note on on aade Naturally Occurring problem, see the Classroom Note Naturally Mathematics and Computer Piecewise Defined Function”Education. by Don Don Cohen Cohen in in Mathematics Mathematics and and Piecewise Defined Function” by Computer Education. Computer Education.

5

PROYECTO DE TRABAJO N PP RR OO JJ EE CC TT SS EE CC TT II OO N

A model model forpara the los datadatos is given given by Un modelo estáby dado por A for the data is 354.65. 354.65.

222zz 2z22zz (a)Hallar Find z22 and and a) y 2. 2.. (a) Find x xx2 y yy2 xz(b)Determinar Determinela the concavity de of traces traces parallel to the thealxzplane. b) concavidad las trazas paralelas plano xz. (b) Determine the concavity of parallel to plane. Interpret the the result in in the the context of the the problem. Interpretar el resultado en el contexto delproblem. problema. Interpret result context of yz(c)Determinar Determinela the concavity de of traces traces parallel to the the plane. c) concavidad las trazas paralelas alyzplano yz. (c) Determine the concavity of parallel to plane. Interpret the the result in in the the context of the the problem. Interpretar el resultado en el contexto delproblem. problema. Interpret result context of True or or False? False? In Exercises Exercises 129–132, determine whether si the True In 129–132, determine whether the ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 129 a 132, determinar la statement is isestrue true or false. false.oIf Iffalsa. is Si false, explain why or or give ano statement or itit is false, explain why give declaración verdadera es falsa, explicar por quéan example that shows shows is false. false. que es falsa. example that itit is dar un ejemplo que demuestre 129. Si If zzz 5fff x, and then zz z c5 y,entonces c xxcsx y1 y .. yd. 129. y zyx sx,x,yyydand If then zz xx5 zyy, zz y, 130. If then z f x g y , z x z y f x g y 130. Si entonces If zz 5f f xsxgdgysy,d,then z x z y f xg y ff xx gg yy .. 2 2z zyx d 1xyszyy s yd 1 1f sexxyxy dg9s yd. xy 131. sIf If then d 5z f9sxdgxy 1 e .. 131. zz eexy,, then yy xx 132. If If aa cylindrical cylindrical surface x, y has rulings rulings parallel parallel to to the the 2zz ff x, 132. surface 131. Si 5 sxyy1has z 5 then e xy, entonces 1de xy. axis, yz y 0. yx y-axis, then z y 0. 132. Si una superficie cilíndrica z 5 f sx, yd tiene rectas generatrices 133. Consider Consider the the function function defined defined by by 133. paralelas al eje y, entonces zyy 5 0. 2 2 xy función xx2 yy2 definida 133. Considerar xy la ,, x, x, yypor 0, 0, 00 2 2 2 2 x y ff x, x, yy x 2 y 2 .. xy s x 2 y d , 0, x, y 0, 0 sx, y d Þ s0, 0 d 0, 2 f sx, yd 5 . x 1 y2 x, yys0, 0d 0, 0, 00 .. (a) Find Find ffx 0, and ffy x, for x, yy and x, yysx,for yd x, 5 (a) x,

5 x

y

0, 00 and (b) Use Use the definition definition of of partial partial derivatives to to find ffx 0, and (b) x a) Hallarthe f sx, yd y fy sx, yd para derivatives sx, yd Þ s0, 0dfind . ff y 0, 0, 00 .x. y b) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallar f x, 0 0, 00 ff 0, fxsHint: 0, 0d yffx f0, 0,s0,0 0d. lím lím f x, 0 Hint: .. x y 0 x→0 x→0 xx f sDx, 0d 2 f s0, 0d Sugerencia: fxs0,of 0dpartial 5 lim límderivatives 0, 00 and (c) Use Use the definition definition of partial derivatives to to find fxy. 0, and (c) the Dx→0 Dx find fxy 0, 00 .. yx 0, ffyx c) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallar (d) Using Using Theorem 13.3 13.3 and the result of part (c), what can be (d) y fyxs0, 0d. and the result of part (c), what can be fxys0, 0dTheorem f ? said about or yx? said about f xy or ffyx d) Utilizando elyxy y teorema 13.3 y el resultado del inciso c), 3 dt. acerca o fyxff.y x, x, yy qué puede x, yfyxyand x, yy .. 134. Let Letindicar Find ffx de and ff x, 11 decirse tt3 dt. x, 134. Find

3

Franjas de Moiré

Moiré Fringes

Léase el artículo “Moiré Fringes and the Conic Sections” de Mike Read the the article “Moiré “Moiré Fringes and and the Conic Conic Sections” by by Mike Mike Read Cullen enarticle The College Fringes Mathematicsthe Journal. Sections” El artículo describe Cullen in in The The College College Mathematics Mathematics Journal. Journal. The The article article describes describes Cullen cómo dos familias de curvas de nivel dadas por how two two families families of of level level curves curves given given by by how y f sx, yd 5 a gsx, yd 5 b x, yy x, yy and ff x, aa gg x, bb and pueden formar franjas de Moiré. Después de leer el artículo, escribir can form form Moiré Moiré patterns. patterns. After After reading reading the the article, article, write write a paper can un documento que explique cómo se relaciona la expresióna paper explaining how the expression explaining how the expression f g f g ff ? gg 1 ff ? gg x x y y xx xx yy yy con las franjas de Moiré formadas por la intersección de las dos is related related to the the Moiré Moiré patterns patterns formed formed by by intersecting intersecting the the two is familias detocurvas de nivel. Utilizar como ejemplo uno de lostwo mofamilies of of level level curves. curves. Use Use one one of of the the following following patterns patterns as as an an families delos siguientes. example in your paper. example in your paper.

Mike Cullen

4.121y 4.121y

Mike Cullen

71.381x 71.381x

Mike MikeCullen Cullen

zz

0.0096y22 0.0096y

Mike MikeCullen Cullen

1.2225x22 1.2225x

4

E

x

xx y

y

!1 1ff tx, 134. f sx, ydthe 5 function s d fysx, yd. x,dt. 135. Sea Consider the function yy x 135. Consider x f f 0, 0 0, 0 . (a) Find and 0, 0 andf sfx, (a) Findlafxxfunción yy 0, 135. Mostrar yd 05. sx3 1 y3d1y3. (b) Determine the points (if any) at which f x, y or f x, y (b) Hallar Determine they points a) f (0, 0) f (0, 0).(if any) at which fxx x, y or fyy x, y fails to tox exist. exist. y fails b) Determinar los puntos (si los hay) en los que fx(x, y) o fy sx, yd no existe. 3

Hallar x33

fx yyx,33 1y1 33.y.

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CAPÍTULO 13

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13.4 Diferenciales n n n

Entender los conceptos de incrementos y diferenciales. Extender el concepto de diferenciabilidad a funciones de dos variables. Utilizar una diferencial como aproximación.

Incrementos y diferenciales En esta sección se generalizan los conceptos de incrementos y diferenciales a funciones de dos o más variables. Recuérdese que en la sección 3.9, dada y 5 f sxd, se definió la diferencial de y como dy 5 f 9sxd dx. Terminología similar se usa para una función de dos variables, z 5 f sx, yd. Es decir, Dx y Dy son los incrementos en x y en y, y el incremento en z está dado por Dz 5 f sx 1 Dx, y 1 Dyd 2 f sx, yd.

Incremento en z.

DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL TOTAL Si z 5 f sx, yd y Dx y Dy son los incrementos en x y en y, entonces las diferenciales de las variables independientes x y y son dx 5 Dx

y

dy 5 Dy

y la diferencial total de la variable dependiente z es dz 5

z z dx 1 dy 5 fx sx, yd dx 1 fy sx, yd dy. x y

Esta definición puede extenderse a una función de tres o más variables. Por ejemplo, si w 5 f sx, y, z, ud, entonces dx 5 Dx, dy 5 Dy, dz 5 Dz, du 5 Du, y la diferencial total de w es dw 5

w w w w dx 1 dy 1 dz 1 du. x y z u

EJEMPLO 1

Hallar la diferencial total

Hallar la diferencial total de cada función. a) z 5 2x sen y 2 3x2y2

b) w 5 x 2 1 y 2 1 z 2

Solución a) La diferencial total dz de z 5 2x sen y 2 3x2y2 es z z dx 1 dy Diferencial total dz. x y 5 s2 sen sin y 2 6xy 2d dx 1 s2x cos y 2 6x 2yd dy.

dz 5

b) La diferencial total dw de w 5 x 2 1 y 2 1 z 2 es w w w dx 1 dy 1 dz x y z 5 2x dx 1 2y dy 1 2z dz.

dw 5

Diferencial total dw.

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SECCIÓN 13.4

Diferenciales

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Diferenciabilidad En la sección 3.9 se vio que si una función dada por y 5 f(x) es diferenciable, se puede utilizar la diferencial dy 5 f9sxd dx como una aproximación (para Dx pequeños) al valor Dy 5 f sx 1 Dxd 2 f sxd. Cuando es válida una aproximación similar para una función de dos variables, se dice que la función es diferenciable. Esto se expresa explícitamente en la definición siguiente. DEFINICIÓN DE DIFERENCIABILIDAD Una función f dada por z 5 f sx, yd es diferenciable en sx 0, y0 d si Dz puede expresarse en la forma Dz 5 fxsx0, y0 d Dx 1 fysx0, y0 d Dy 1 «1Dx 1 «2 Dy

donde «1 y «2 → 0 cuando sDx, Dyd → s0, 0d. La función f es diferenciable en una región R si es diferenciable en todo punto de R.

EJEMPLO 2

Mostrar que una función es diferenciable

Mostrar que la función dada por f sx, yd 5 x 2 1 3y es diferenciable en todo punto del plano. z

Solución plano es

4

Haciendo z 5 f sx, yd, el incremento de z en un punto arbitrario sx, yd en el

Dz 5 f sx 1 Dx, y 1 Dyd 2 f sx, yd

Incremento de z.

5 sx 2 1 2xDx 1 Dx 2d 1 3s y 1 Dyd 2 sx 2 1 3yd 1

4

y

5 2xDx 1 Dx 2 1 3Dy 5 2xsDxd 1 3sDyd 1 DxsDxd 1 0sDyd

x

5 fxsx, yd Dx 1 fysx, yd Dy 1 «1Dx 1 « 2Dy

−4

Figura 13.34

donde «1 5 Dx y « 2 5 0. Como «1 → 0 y « 2 → 0 cuando sDx, Dyd → s0, 0d, se sigue que f es diferenciable en todo punto en el plano. La gráfica de f se muestra en la figura 13.34.

Debe tenerse en cuenta que el término “diferenciable” se usa de manera diferente para funciones de dos variables y para funciones de una variable. Una función de una variable es diferenciable en un punto si su derivada existe en el punto. Sin embargo, en el caso de una función de dos variables, la existencia de las derivadas parciales fx y fy no garantiza que la función sea diferenciable (ver ejemplo 5). El teorema siguiente proporciona una condición suficiente para la diferenciabilidad de una función de dos variables. En el apéndice A se da una demostración del teorema 13.4.

TEOREMA 13.4 CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA DIFERENCIABILIDAD Si f es una función de x y y, para la que fx y fy son continuas en una región abierta R, entonces f es diferenciable en R.

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CAPÍTULO 13

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Aproximación mediante diferenciales El teorema 13.4 dice que se puede elegir sx 1 Dx, y 1 Dyd suficientemente cerca de (x, y) para hacer que e1Dx y e2Dy sean insignificantes. En otros términos, para Dx y Dy pequeños, se puede usar la aproximación

z

dz

∂ z ∆y ∂y

Dz < dz.

∂ z ∆x ∂x

∆z2 ∆z1 ∆z

dz 5

y x

(x, y)

Esta aproximación se ilustra gráficamente en la figura 13.35. Hay que recordar que las derivadas parciales zyx y zyy pueden interpretarse como las pendientes de la superficie en las direcciones de x y de y. Esto significa que

(x + ∆x, y) (x + ∆x, y + ∆y)

z z Dx 1 Dy x y

representa el cambio en altura de un plano tangente a la superficie en el punto sx, y, f sx, ydd. Como un plano en el espacio se representa mediante una ecuación lineal en las variables x, y y z, la aproximación de Dz mediante dz se llama aproximación lineal. Se verá más acerca de esta interpretación geométrica en la sección 13.7.

El cambio exacto en z es Dz. Este cambio puede aproximarse mediante la diferencial dz. Figura 13.35

EJEMPLO 3

Uso de la diferencial como una aproximación

Utilizar la diferencial dz para aproximar el cambio en z 5 !4 2 x 2 2 y 2 cuando sx, yd se desplaza del punto (1, 1) al punto (1.01, 0.97). Comparar esta aproximación con el cambio exacto en z. Solución Se hace (x, y) = (1, 1) y (x + Dx, y + Dy) = (1.01, 0.97) y se obtiene dx = Dx = 0.01 y dy = Dy = –0.03. Por tanto, el cambio en z puede aproximarse mediante Dz < dz 5

z z 2x 2y dx 1 dy 5 Dx 1 Dy. x y !4 2 x 2 2 y 2 !4 2 x 2 2 y 2

Cuando x 5 1 y y 5 1, se tiene Dz < 2

f (x + ∆x, y + ∆y) f (x, y) 4 − x2 − y2

z=

1 !2

s0.01d 2

1 !2

s20.03d 5

0.02 5 !2 s0.01d < 0.0141. !2

En la figura 13.36 se puede ver que el cambio exacto corresponde a la diferencia entre las alturas de dos puntos sobre la superficie de un hemisferio. Esta diferencia está dada por Dz 5 f s1.01, 0.97d 2 f s1, 1d 5 !4 2 s1.01 d2 2 s0.97d2 2 !4 2 1 2 2 1 2 < 0.0137.

z

Una función de tres variables w 5 f sx, y, zd se dice que es diferenciable en sx, y, zd si

2

Dw 5 f sx 1 Dx, y 1 Dy, z 1 Dzd 2 f sx, y, zd puede expresarse en la forma Dw 5 fx Dx 1 fy Dy 1 fz Dz 1 «1Dx 1 « 2Dy 1 « 3Dz

2

2 x

y

(1, 1) (1.01, 0.97)

Cuando sx, yd se desplaza de s1, 1d al punto s1.01, 0.97d, el valor de f sx, yd cambia aproximadamente en 0.0137 Figura 13.36

donde «1, « 2, y « 3 → 0 cuando sDx, Dy, Dzd → s0, 0, 0d. Con esta definición de diferenciabilidad, el teorema 13.4 puede extenderse de la siguiente manera a funciones de tres variables: si f es una función de x, y y z, donde f, fx , fy , y fz son continuas en una región abierta R, entonces f es diferenciable en R. En la sección 3.9 se utilizaron las diferenciales para aproximar el error de propagación introducido por un error en la medida. Esta aplicación de las diferenciales se ilustra en el ejemplo 4.

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SECCIÓN 13.4

EJEMPLO 4

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Análisis de errores

El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es ± 0.1 milímetros. Las dimensiones de la caja son x 5 50 centímetros, y 5 20 centímetros y z 5 15 centímetros, como se muestra en la figura 13.37. Utilizar dV para estimar el error propagado y el error relativo en el volumen calculado de la caja.

z 20

Diferenciales

y = 20

x = 50 z = 15 20 50 x

Volumen 5 xyz Figura 13.37

y

Solución dV 5

El volumen de la caja está dado por V 5 xyz, y por tanto V V V dx 1 dy 1 dz x y z

5 yz dx 1 xz dy 1 xy dz.

Utilizando 0.1 milímetros 5 0.01 centímetros, se tiene dx 5 dy 5 dz 5 ± 0.01, y el error propagado es aproximadamente dV 5 s20ds15ds± 0.01d 1 s50ds15ds± 0.01d 1 s50ds20ds± 0.01d 000(±0.01) 5 300s± 0.01d 1 750s± 0.01d 111000 s± 0.01d

5 2 050(60.01) 5 620.5 centímetros cúbicos. Como el volumen medido es V 5 s50ds20ds15d 5 15,000 centímetros cúbicos, el error relativo, DVyV, es aproximadamente DV dV 20.5 < 5 < 0.14%. V V 15,000 Como ocurre con una función de una sola variable, si una función de dos o más variables es diferenciable en un punto, también es continua en él.

TEOREMA 13.5 DIFERENCIABILIDAD IMPLICA CONTINUIDAD Si una función de x y y es diferenciable en sx0, y0 d, entonces es continua en sx0, y0 d.

DEMOSTRACIÓN

Sea f diferenciable en sx0, y0 d, donde z 5 f sx, yd. Entonces

Dz 5 f fx sx0, y0 d 1 «1g Dx 1 f fysx0, y0 d 1 «2 g Dy

donde «1 y «2 → 0 cuando sDx, Dyd → s0, 0d. Sin embargo, por definición, se sabe que Dz está dada por Dz 5 f sx0 1 Dx, y0 1 Dyd 2 f sx0 , y0 d. Haciendo x 5 x0 1 Dx y y 5 y0 1 Dy se obtiene f sx, yd 2 f sx0 , y0 d 5 f fx sx0 , y0 d 1 «1g Dx 1 f fy sx0 , y0 d 1 «2g Dy 5 f fx sx0, y0 d 1 «1gsx 2 x0 d 1 f fy sx0 , y0 d 1 «2 gs y 2 y0 d.

Tomando el límite cuando sx, yd → sx0 , y0 d, se obtiene lím

x, y → x0, y0

f x, y

f x0, y0

lo cual significa que f es continua en sx0 , y0 d.

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CAPÍTULO 13

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Hay que recordar que la existencia de fx y fy no es suficiente para garantizar la diferenciabilidad, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Una función que no es diferenciable

EJEMPLO 5

Mostrar que fxs0, 0d y fys0, 0d existen, pero f no es diferenciable en (0, 0), donde f está definida como

x2 0,

f x, y

TECNOLOGÍA Utilizar una herramienta de graficación para representar la función del ejemplo 5. La gráfica mostrada abajo fue generada con Mathematica.

3xy , y2

si x, y

0, 0

si x, y

0, 0

.

Solución Para mostrar que f no es diferenciable en (0, 0) basta mostrar que no es continua en este punto. Para ver que f no es continua en (0, 0), se observan los valores de f(x, y) a lo largo de dos trayectorias diferentes que se aproximan a (0, 0), como se muestra en la figura 13.38. A lo largo de la recta y 5 x, el límite es lím

z

x, x → 0, 0

lím

f x, y

x, x → 0, 0

3x 2 2x 2

3 2

mientras que a lo largo de y 5 2x se tiene y x


x,

lím

x → 0, 0

f x, y x,

3x 2 2x 2

lím

x → 0, 0

3 . 2

Así, el límite de f(x, y) cuando sx, yd → s0, 0d no existe, y se puede concluir que f no es continua en (0, 0). Por tanto, de acuerdo con el teorema 13.5, f no es diferenciable en (0, 0). Por otro lado, de acuerdo con la definición de las derivadas parciales fx y fy , se tiene fx 0, 0

lím

fy 0, 0

lím

x, 0

f

f 0, 0 x

x→0

lím

0

0 x

x→0

0

y f 0, y

f 0, 0 y

y→0

lím

0

0 y

y→0

0.

Por tanto, las derivadas parciales en (0, 0) existen.

f(x, y) =

−3xy , (x, y) ≠ (0, 0) x2 + y2 0,

(x, y) = (0, 0) z

A lo largo de la recta y = −x, f(x, y) se aproxima o tiende a 3/2.

(0, 0, 0)

y

x

Figura 13.38

A lo largo de la recta y = x, f(x, y) se aproxima o tiende a −3/2.

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13.4 SECCIÓN 13.4

13.4 Exercises 13.4 Ejercicios

y2 y2

2z3y sen x

10. f w2, 1 x 2yz 2 f sen 2.1,yz 1.05 z, dz Enz.los ejercicios 11 a 16, a) evaluar f(2, 1) y f(2.1, 1.05) y calcular Dz, y b) usar el diferencial total dz para aproximar Dz. f x, y 2x 3y f x, y x2 y2 11. f x, y 2x 3y2 12. f x, y xy2 y2 f x, y 16 x y2 f x, y yx 16 x x2 y2 13. f x, y 14. f x, y f x, y ye f x, y xx cos y

2 2 3.11 2 32 52 32 18. 1 5.053.05 2 2 1 5.95 3.05 1 6232 19. 2 2 62 2 0.95 sen 12 sen5.95 1.05 2 2 0.95 sen 12 20. sen 1.05

WRITING ABOUT CONCEPTS

12 12

21. Define the total differential of a function of two variables. Desarrollo de conceptos

22. Describe the change in accuracy of dz as an approximation 21. Definir la diferencial total de una función de dos variables. x and y increase. of z as 22. el cambio la exactitud de dzofcomo z faproxix, y at 23. Describir What is meant by a en linear approximation mación a cuando y aumentan. Dz Dx Dy the point P x0, y0 ? 23. quiere decir con what una aproximación lineal a 24. ¿Qué Whenseusing differentials, is meant by the terms el punto zpropagated 5 f sx, yd enerror Psx0, y0derror? ? and relative 24. Cuando se usan diferenciales, ¿qué significan los términos de propagación y error relativo? Area The area of the shaded rectangle in the figure is A lh. The possible errors in the length and height are l and h, respectively. Find dA and identify the regions in the figure 25. Área El área del rectángulo sombreada en la figura es A 5 lh. whose areas are given by the terms of dA. What region Los posibles errores en la longitud y la altura son Dl y Dh, represents the difference between A and dA? respectivamente. Hallar dA e identificar las regiones de la figura∆h cuyas áreas están dadas por los términos de dA. ¿Qué región ∆h representa la diferencia entre DA y dA? ∆hh h

∆h

l

∆l ∆r

Figure for 25l

∆l

Figure for 26 ∆r

Figura para 25

923

26. Volume The volume of the red right circular cylinder in the figure is VEl volumen possiblecircular errorsrecto in the radius r 2h. The 26. Volumen del cilindro de color rojoand en the height are and respectively. Find and identify r h, dV 2 la figura es V 5 p r h. Los posibles errores son Dr y Dh, enthe el solidsyinenthe volumes areHallar given dV by the terms of dV. radio lafigure altura,whose respectivamente. e identificar los What solid thevolúmenes differenceestán between and ? sólidos de larepresents figura cuyos dados Vpor losdV términos 27. de Numerical A rightla circular cone height sólido representa diferencia entreofDV y dV ?h 8 dV. ¿Qué Analysis and radius the process r 4 is constructed, r 27. Análisis numérico Se construyeandunincono circularerrors recto de and are made in the radius and height, respectively. h altura h = 8 y radio r = 4 y durante la medición se cometieron Complete tableDr to show relationship betweenla tabla V andpara dV errores en the el radio y en lathealtura Dh. Completar for the indicated errors. mostrar la relación entre DV y dV para los errores indicados.

Figura para 26

rr

hh

0.1 0.1

0.1 0.1

dV dV oo dS dS

V V oo SS

V V

dV dV oo

SS

dS dS

0.1 0.1

0.1 0.1

ye x

x cos y 16. f x, y z f x, y En los ejercicios 17 a 20, hallar z 5 f xx, yc y utilizar la diferencial total para aproximar la cantidad. 2.01 2 9.02 22 9 2 2 22 17. 2.015.059.02 3.12 9 52 32 15. f x, y

923


En los ejercicios 1 a 10, hallar la diferencial x 2 total. z z 2x 2y 3 x 2y 1. z 2x 2y 31 2. z x y z w y x2 1 y2 z x y3y 3. zz x2 cos y2 y cos x 4. wz 1 e x 2 y 2 e x 2 x y z2 3y x sen y 1 e yx 2cos y 2 x e z2x 2 w z e 5. z x cos y y cos x 6. z 2 3 2 2 yz x sen seny sen y x z2 yz 7. zw ex2z 8. ww exy cos 9. w

Differentials Diferenciales

0.001 0.001

0.002 0.002

0.0001 0.0001

0.0002 0.0002

28. Análisis Numerical Analysis LaThe height and de radius of a right circular 28. numérico altura y radio un cono circular recto cone are measured as h y16 and r En 6lameters. In the midieron h = 16 metros r =meters 6 metros. medición, se process of measuring, andel área h aredemade. S is the lateral cometieron errores Drerrors y Dh. Sr es la superficie lateral surface areaCompletar of the cone. Complete table abovelatorelación show de un cono. la tabla anteriorthepara mostrar the relationship between S and dS for the indicated errors. entre los errores indicados. DS y dS para 29. Modelo Modeling Data Per Los capita consumptions 29. matemático consumos per cápita(in (engallons) galones) of de different types in the Unidos United de States 1999 diferentes tipos of de plain leche milk en Estados 1999from a 2005 se through 2005 shown in the table. Consumption of flavored muestran en laare tabla. El consumo de leche light y descremada, milk, baja plainen reduced-fat milk, and plain light and skim are leche grasas y leche entera se representa por milks las variarepresented variables x, y, and (Source: z, respectively. bles x, y y by z, the respectivamente. (Fuente: U.S. Department of U.S. Department of Agriculture) Agriculture) 1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

x

1.4

1.4

1.4

1.6

1.6

1.7

1.7

y

7.3

7.1

7.0

7.0

6.9

6.9

6.9

z

6.2

6.1

5.9

5.8

5.6

5.5

5.6

Año

Un modelo estáby dado z 5 20.92x 1 1.03y 1 A model forpara the los datadatos is given z por 0.92x 1.03y 0.02. 0.02. (a) Find the total differential of the model. a) Hallar la diferencial total del modelo. (b) A dairy industry forecast for a future year is that per capita b) Seconsumption prevé en la of industria quebeen1.9 años el consuflavoredlechera milk will and 0.25 gallons ± futuros mo per cápita de leche light y descremada será de 1.9 ± will 0.25 that per capita consumption of plain reduced-fat milk galones consumoUse per dz cápita de leche the bajamaximum en grasas be 7.5 y±que to estimate 0.25el gallons. será galones. Utilizar dz para estimar los máximos 7.5 ± 0.25 possible propagated error and relative error in the prediction errores de propagación y relativo en el pronóstico de for the consumption of plain light and skim milks. consumo de leche entera. 30. Rectangular to Polar Coordinates A rectangular coordinate 30. Coordenadas rectangulares polares Un sistema coordesystem is placed over a map,aand the coordinates of de a point of nadas rectangular se coloca sobre un mapa y las coordenadas de interest are 7.2, 2.5 . There is a possible error of 0.05 in each un punto de interés son (7.2, 2.5). Existe un posible error de 0.05 coordinate. Approximate the maximum possible error in en cada coordenada. Aproximarofelthemáximo measuring the polar coordinates point. error posible al medir las coordenadas polares del punto.

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924 924

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CAPÍTULO Funciones de variasVariables variables Chapter 1313 Functions of Several Chapter 13 Functions of Several Variables

924

31. El radio r yr la h de circular recto 31. Volumen Volume The radius andaltura height right circular cylinder h ofuna cilindro 31. seare Volume The radius of4% arespectivamente. right circular cylinder r and height miden con posibles errores de 4 yhof 2%, Apromeasured with possible errors and 2%, respectively. are measured with possible errors ofposible 4% andal 2%, respectively. ximar el máximo error porcentual medir el voluApproximate the maximum possible percent error in measuring Approximate men. the volume. the maximum possible percent error in measuring the volume. 32. En un triángulo, dos lados miden y 4found pul32. Área Area A triangle is measured andadyacentes two adjacent sides3are

32. gadas Area Alongitud, triangle measured and twoanadjacent sides are entrelong, ellos forman un ángulo deoffound py4. to be 3deinches and is 4 yinches with included angle 11included angle of py4. to be 3 inches and 4 inches long, with an Los posibles errores de medición son pulgadas en los The possible errors in measurement are1616 inch for the sides and 1 The possible errors inen measurement are 16 formáximo the sides and lados yradian 0.02 radianes el Approximate ángulo. Aproximar el error 0.02 for the angle. theinch maximum possible 0.02 radian for theelangle. the maximum possible posible calcular área.ofApproximate error inalthe computation the area. error inChill the fórmula computation of thefor area. 33. La la frialdad producida el viento C 33. Viento Wind The para formula wind chill por degrees C (in 33.(en Wind Chill The by formula for wind chill C (in degrees grados Fahrenheit) es Fahrenheit) is given Fahrenheit) is given by 0.161 0.16 CC5535.74 10.4275Tv 0.4275Tv0.16 35.74110.6215T 0.6215T2235.75v 35.75v0.16 C 5 35.74 1 0.6215T 2 35.75v0.16 1 0.4275Tv0.16 donde velocidad del viento en millas por hora la wherev vesisla the wind speed in miles per hour and yTTisesthe where v is en the wind Fahrenheit. speed in miles per hour andis T23is ±the temperatura La del viento es3 temperature in grados degrees Fahrenheit. Thevelocidad wind speed temperature inpor degrees Theiseswind is 23 millas horathe y Fahrenheit. latemperature temperatura 23 ± 3 per 88 ±±speed 18. Utilizar miles hour and Use to3 18. 88 dC±dC miles perthehour and the temperature isy el Userelative to ± 18.relativo 88 error dCmápara estimar elmaximum posible error propagado estimate possible propagated error and estimate the maximum possible andNational relative ximos alincalcular la frialdad producida por (Source: elerror viento. (Fuente: error calculating the windpropagated chill. error inOceanic calculating theAdministration) wind Administration) chill. (Source: National National and Atmospheric Oceanic and Atmospheric Oceanic and Atmospheric Administration) 34. aceleración centrípeta de una partícula que se 34. Aceleración Acceleration LaThe centripetal acceleration of a particle

2yr, donde 34.mueve Acceleration The acceleration of a particle eninuna círculo la velocity velocidad y rr es a55v 2vyr, moving circle isesacentripetal where and is vvisesthe 2yr, where moving in a circle is is the velocity and is a 5 v r al elthe radio del of círculo. Aproximar el errorv the porcentual máximo radius the circle. Approximate maximum percent the radius of the circle. Approximate the maximum percent medir la aceleración debida a errores de 3% en y 2% en v r. error in measuring the acceleration due to errors of 3% in v and errorininr.measuring the acceleration due de to errors of 3% v and 2% 35. Volumen Un abrevadero tiene 16 pies largo (ver la in figura). 2% in r. secciones transversales sonlong triángulos isósceles lossections que los 35. Sus Volume A trough is 16 feet (see figure). Its en cross 35.dos Volume A triangles trough is with 16 long (see figure). Its cross sections lados iguales miden 18 feet pulgadas. El two ángulo entre losmeasuring dos lados are isosceles each of the equal sides areinches. isosceles triangles with each the equal two equal iguales es u.The 18 angle between theoftwo sidessides is u. measuring 18Expresar inches. between theabrevadero two equalassides is u. a)(a) el angle volumen ena function función de Write The the volume ofdelthe trough of u

(a)y and Write the volume of uthe asel avolumen function determinar el valor de para el quethat es of mádetermine the value of such the volume is ua utrough and determine the value of u such that the volume is a ximo. maximum. b)(b)Elmaximum. error máximo error en lasinmediciones lineales es de media pulThe maximum the linear measurements is one-half (b)gada Theymaximum error in the linear measurements is one-half el error máximo en la in medida del measure ángulo esis 2°. inch and the maximum error the angle 28. inch and el thecambio maximum error the angle measure is 28. Aproximar a partir delin volumen máximo. Approximate the change in the maximum volume. Approximate the change in the maximum volume.

ft 1616 pies 16 ft θθ in. θ 1818 pulg 18 in.

18pulg in. 18 18 in.

ft 9°9° 330330 pies 330 ft 9° 420pies ft 420 420 ft

Notdibujado drawn toa scale No escala Not drawn to scale

Figura 35 Figura 36 Figurepara for 35 Figurepara for 36 Figure for 35 Figure for 36 jugadorplayer de béisbol en el field jardíniscentral se approxiencuen36. 36. Deportes Sports AUn baseball in center playing 36.tra Sports A baseball in de center field is de playing approxiaproximadamente 330 pies una cámara que mately 330 feet fromaplayer a television camera that istelevisión behind home mately feet from television camera behind está en A la330 base. Un bateador golpea una pelota queissale hacia una plate. batter hits a flya ball that goes to thethat wall 420 feethome from plate. A batter hits adistancia fly ball that goespies to the 420 feet from valla situada a una de 420 de wall la cámara (ver la the camera (see figure). the camera (see figure). figura). (a) The camera turns 98 to follow the play. Approximate the The camera turns follow the play. a)(a)Lanumber cámara 9° 98 para seguir la carrera. Aproximar el of gira feet that thetocenter fielder has toApproximate run to make the numberdeofpies feetque thatelthejugador center central fielder has to que run to makepara the número tiene correr catch. catch. la pelota.of the center fielder could be in error by as (b)atrapar The position The position of the center fielder in error bythe as b)(b)Lamuch posición jugador central podríacould tener be unmeasuring error hasta de as 6del feet and the maximum error in muchy as 6error feet and the is maximum in measuring the 6 rotation pies elof al medir la error rotación de la cámara the máximo camera Approximate the maximum 18. rotation of theinel camera is 18. Approximate maximum depossible 1°. Aproximar máximo error posible resultado del error the result of part (a). en elthe possible inciso a). error in the result of part (a).

37. La potencia P está por where P = EE2/R, 37. Potencia Power Electrical powereléctrica by P dada is P is given 5 E2yR, 2 37. donde Power Eand Electrical power is by Pthe 5 E yR, where E is es el yRP esApproximate la given resistencia. Aproximar elpercent máxivoltage is resistance. maximum R voltaje voltage and the maximum percent R is resistance. mo error porcentual al calcular la potencia si se 120 error in calculating power ifApproximate 120 volts is applied to aaplican 2000-ohm error ainuna calculating power if000 120ohms volts applied to aerrores 2000-ohm volts de 2percent yislos posibles porresistor andresistencia the possible errors in measuring E and R resistor and the respectively. possible percent errors in measuring E and R centuales al 4%, medir E y R son 3 y 4%, respectivamente. are 3% and are 3% and 4%, 38. La respectively. resistencia total RR of de two dos resistors resistencias conec38. Resistencia Resistance The total resistance connected 38. tadas Resistance Theestotal en paralelo in parallel is given by resistance R of two resistors connected in parallel is given by 1 1 1 5 1 . R1 R111 R122 5 1 . R R1 R 2 the change in R as R is increased from 10 ohms Approximate Aproximar el cambio en R cuando 1R1 incrementa de 10 ohms a Approximate the change as Rfrom increased from ohms R ohms to 10.5 ohms 15ohms. ohms to 13 10 ohms. R2 is decreased 1 is 10.5 ohms y Rand dein15 a 13 2 decrece to 10.5 ohms and from 15 ohms toof13a ohms. Rinductance 2 is decreased 39. Inductance The (in microhenrys) straight L 39. Inductancia La inductancia L (en microhenrys) de un hilo 39. recto Inductance The in inductance nonmagnetic wire spaceLesis(in microhenrys) of a straight no magnético enfree el vacío nonmagnetic wire in free space is 2h ln 2h 2 0.75 0.75 5 0.00021 0.00021 ln LL 5 2h 2 L 5 0.00021 ln rr 2 0.75 r where hh esis lathelongitud length del of the in millimeters r is the donde hilowire en milímetros y r esand el radio de where length of the section. wire in millimeters hofis athe radius circular cross Approximate when Lr is una sección transversal circular. Aproximar L and cuando rthe 52 ± 1 1 1 radius circular cross section. Approximate L when and millimeters. h ±5 100 21 milímetros ±of16 amillimeters ± y milímetros. h 5 100 100 r 5 2r 5 ± 16 100 1 1 5 rPendulum 5 2 ± 16 ± 100 millimeters. 40. Elmillimeters periodo una100 péndulo de oflongitud 40. Péndulo The periodTand pendulum length L es is Tdehof

11

22

40. TPendulum period a pendulum of gravedad. is L Un laofaceleración dedue la 5 2p!LygThe , donde g es where isT the acceleration tolength gravity. A ! where is the acceleration due to gravity. A p Lyg , T 5 2 g péndulo se lleva de la zona del canal, donde pies/s g 5 32.09 pendulum is moved from the Canal Zone, where g 5 32.09 feet2, 2. Debido pendulum moved from Canal Zone, where feet 5 32.09 aper Groenlandia, donde pies/s g to 5the 32.23 cambio la secondisper second, Greenland, where feeten per g 5gal32.23 per second todel Greenland, wherein per gde 5 32.23 temperatura, la second, longitud péndulo cambia 2.5 piesfeet a 2.48 second per per second. Because of the change temperature, the second perthe second. Because change temperature, the pies. Aproximar el cambio en of el the periodo del péndulo. length of pendulum changes from 2.5in feet to 2.48 feet. length of the pendulum changes from 2.5 feet to 2.48 feet. Approximate the change in the period of the pendulum. Approximate in the period pendulum. En los ejercicios the 41 change a 44, mostrar que of la the función es diferenIn Exercises 41–44, show that function isdan differentiable ciable, hallando los valores de «the y que se en la defi« 1 2 In finding Exercises 41–44, that the function in is differentiable by values of «show definition 1 andy «verificar 2 as designated nición de diferenciabilidad que «1 y «the → 0 cuando 2 by differentiability, finding values of and designated in the definition «1 and «2 as of verify that both and « « 1 2 → 0 as xDx, Dyc → x0, 0c. and verify that both «1 and «2 → 0 as xof Dx,differentiability, Dyc → x0, 0c. xDx,f Dy x0,x 02 c2 . 2x 1 y 41. 42. f sx, yd 5 x22 1 y22 sx,cy→ d5 41. f sx, yd 5 x 22 2 2x 1 y 42. f sx, yd 5 x 1 y 2 43. 44. f ssx, yydd 5 xx22y2 2x 1 y x, yd 5 5 x5x2 1 2 10y 1 y3 41. 42. ff ssx, f x, 5 43. f sx, yd 5 x y 44. f sx, yydd 5 5x 2 y10y 1 y 3

43. f sx, yd 5 x 2y 44. f sx, yd 5 5x 2 10y 1 y 3 En los ejercicios 45 y 46, utilizar la función parathat demostrar que In Exercises 45 and 46, use the function to show fxx0, 0c and f x 0, 0 c f x 0, 0 c f x 0, 0 c. a) y existen, y b) no es diferenciable en In Exercises 45 and 46, use the function to show that and f x 0, 0 c x y fyx0, 0c both exist, but that f is not differentiable at x0,x 0c. that is not differentiable at x fyx0, 0c both exist, but f 0, 0 c . 3x22yy , 3x sx, yd Þ s0, 0d 4 2 2, f s x, y d 5 x 1 yyy2 sx, yd Þ s0, 0d 45. 4 45. f sx, yd 5 x 3x 1 , sx, yd Þ s0, 0d x, yydd 5 5 ss0, 0, 00dd 45. f sx, yd 5 0, x0,4 1 y 2 ssx, 2 0,5x s x, y d 5 s 0, 0d 5x2yy , sx, yd Þ s0, 0d , 3 3 2 s x, y d Þ s 0, 0 d x, yydd 5 5 xx35x 1 yyy3 46. 46. ff ssx, 1 , sx, yd Þ s0, 0d 3 3 x, yydd 5 5 ss0, 0, 00dd 46. f sx, yd 5 0, x0, 1 y ssx, sx, yd 5 s0, 0d 0, que if si f(x, en at (x0s,xy00, ),y0entonces 47. 47. Mostrar Show that differentiable f sx,y)ydesisdiferenciable d, then f f(x, sx, yy00d) 47.esis Show that if f sen at result x, at yxd =xisx50differentiable sx0, y0para dto , then y0d f sx,that diferenciable . xUsar estethis resultado probar que differentiable prove 0. Use 2 is x not 5 no es xdiferenciable differentiable atresult fissx,differentiable yd 5 !x2 1 yat s(0, 0, 00). d.to prove that 0. Use this en f sx, yd 5 !x2 1 y2 is not differentiable at s0, 0d.

55 55

CAPSTONE Para C48. A PConsider S Tdiscusión O N Ethe function f sx, yd 5 !x2 1 y2.

!x2 1 y2. 48. la función 48. Considerar Consider the f sx, yd 5 1.1 ffunction s3, 1d and d. (a) Evaluate f s3.05,

a) f(3,f s1) f(3.05, 1.1). 3, y1dof d. (a)Evaluar Evaluate and f s3.05, (b) Use the results part (a) to 1.1 calculate Dz. b) Usar los resultados del inciso a) para calcular (b) Use the results of part (a) to calculate Dz. ∆z. (c) Use the total differential dz to approximate Dz. c) diferencial totalwith dz para aproximar (c)Usar Usela the totalresult differential to approximate Dz. Compare your thatdz of part (b). ∆z. Comparar losCompare resultados conresult los del inciso your with that b). of part (b).

1 16

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SECCIÓN 13.5

Regla de la cadena para funciones de varias variables

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13.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables n n

Utilizar la regla de la cadena para funciones de varias variables. Hallar las derivadas parciales implícitamente.

Regla de la cadena para funciones de varias variables El trabajo con diferenciales de la sección anterior proporciona las bases para la extensión de la regla de la cadena a funciones de dos variables. Hay dos casos: el primer caso cuando w es una función de x y y, donde x y y son funciones de una sola variable independiente t. (La demostración de este teorema se da en el apéndice A.)

w ∂w ∂x x

∂w ∂y y dy dt

dx dt t

t

Regla de la cadena: una variable dependiente w, es función de x y y las que a su vez son funciones de t. Este diagrama representa la derivada de w con respecto a t Figura 13.39

TEOREMA 13.6 REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE Sea w 5 f sx, yd, donde f es una función derivable de x y y. Si x 5 gstd y y 5 h std, donde g y h son funciones derivables de t, entonces w es una función diferenciable de t, y dw w dx w dy 5 1 . dt x dt y dt

Ver figura 13.39.

Regla de la cadena con una variable independiente

EJEMPLO 1

Sea w 5 x 2 y 2 y 2, donde x 5 sen t y y 5 e t. Hallar dwydt cuando t 5 0. Solución De acuerdo con la regla de la cadena para una variable independiente, se tiene dw dt

w dx x dt

w dy y dt

2xy cos t x 2 2y e t t 2 sen t e cos t sen 2 t 2et et 2e t sen t cos t e t sen 2 t 2e2t. Cuando t 5 0, se sigue que dw 5 22. dt La regla de la cadena presentada en esta sección proporciona técnicas alternativas para resolver muchos problemas del cálculo de una sola variable. Así, en el ejemplo 1, se podrían haber usado técnicas para una sola variable para encontrar dw/dt expresando primero w como función de t, w

x 2y y 2 sen t 2 e t et e t sen 2 t e 2t

2

y derivando después como de costumbre. dw dt

2e t sen t cos t

e t sen 2 t

2e2t

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CAPÍTULO 13

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La regla de la cadena en el teorema 13.6 puede extenderse a cualquier número de variables. Por ejemplo, si cada xi es una función derivable de una sola variable t, entonces para w 5 f sx1, x2, . . . , xn d se tiene dw w dx1 w dx2 . . . w dxn 5 1 1 1 . dt x1 dt x2 dt xn dt EJEMPLO 2

Aplicación de la regla de la cadena a velocidades o ritmos de cambio relacionados

Dos objetos recorren trayectorias elípticas dadas por las ecuaciones paramétricas siguientes.

y

y1 5 2 sen sin t

Primer objeto.

x2 5 2 sen sin 2t

y

y2 5 3 cos 2t

Segundo objeto.

Solución por

2

s −4

y

¿A qué velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos cuando t 5 p?

t=π 3

4

x1 5 4 cos t

−2

x 4

En la figura 13.40 se puede ver que la distancia s entre los dos objetos está dada

s 5 !sx2 2 x1d 2 1 s y2 2 y1d 2 y que cuando t 5 p, se tiene x1 5 24, y1 5 0, x 2 5 0, y2 5 3, y

−2

s 5 !s0 1 4d 2 1 s3 2 0d 2 5 5.

−4

Cuando t 5 p, las derivadas parciales de s son las siguientes. y

t=π 2

4 2

s x −4

−2

4 −2 −4

t=π

s

x

−4

4 −2 −4

Trayectorias de dos objetos que recorren órbitas elípticas Figura 13.40

1 4 5 2 s0 1 4d 5 2 5 5 2 y1d 1 3 5 2 s3 2 0d 5 2 5 5 2 y1d 2 2

1 4 5 s0 1 4d 5 5 5 2 y1d 1 3 5 s3 2 0d 5 2 5 5 2 y1d 2

Cuando t 5 p, las derivadas de x1, y1, x2 y y2 son y

4

s 2 sx2 2 x1d 5 x1 !sx2 2 x1d 2 1 s y2 s 2 s y2 2 y1d 5 y1 !sx2 2 x1d 2 1 s y2 s sx2 2 x1d 5 x2 !sx2 2 x1d 2 1 s y2 s s y2 2 y1d 5 y2 !sx2 2 x1d 2 1 s y2

dx1 5 24 sen sin t 5 0 dt

dy1 5 2 cos t 5 22 dt

dx2 5 4 cos 2t 5 4 dt

dy2 5 26 sen sin 2t 5 0. dt

Por tanto, usando la regla de la cadena apropiada, se sabe que la distancia cambia a una velocidad o ritmo ds s dx1 s dy1 s dx2 s dy2 5 1 1 1 dt x1 dt y1 dt x2 dt y2 dt 4 3 4 3 5 2 s0d 1 2 s22d 1 s4d 1 s0d 5 5 5 5

1 2

5

22 . 5

1 2

12

12

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SECCIÓN 13.5


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En el ejemplo 2, obsérvese que s es función de cuatro variables intermedias, x1, y1, x2 y y2, cada una de las cuales es a su vez función de una sola variable t. Otro tipo de función compuesta es aquella en la que las variables intermedias son, a su vez, funciones de más de una variable. Por ejemplo, si w 5 f sx, yd, donde x 5 g ss, td y y 5 h ss, td, se sigue que w es función de s y t, y se pueden considerar las derivadas parciales de w con respecto a s y t. Una manera de encontrar estas derivadas parciales es expresar w explícitamente como función de s y t sustituyendo las ecuaciones x 5 g ss, td y y 5 h ss, td en la ecuación w 5 f sx, yd. Así se pueden encontrar las derivadas parciales de la manera usual, como se muestra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 3

Hallar derivadas parciales por sustitución

Hallar wys y wyt para w 5 2xy, donde x 5 s 2 1 t 2 y y 5 syt. Se comienza por sustituir x 5 s 2 1 t 2 y y 5 syt en la ecuación w 5 2xy para

Solución obtener

w 5 2xy 5 2ss 2 1 t 2d

1st2 5 21st 1 st2. 3

Después, para encontrar wys, se mantiene t constante y se deriva con respecto a s.

1

w 3s 2 52 1t s t 5

2

6s 2 1 2t 2 t

De manera similar, para hallar wyt, se mantiene s constante y se deriva con respecto a t para obtener

1 2 2s 1 st 5 21 2 t

w s3 52 2 21s t t 3

2

2

5

2st 2 2 2s 3 . t2

El teorema 13.7 proporciona un método alternativo para hallar las derivadas parciales del ejemplo 3, sin expresar w explícitamente como función de s y t.

TEOREMA 13.7 REGLA DE LA CADENA: DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

w

∂w ∂x ∂x ∂t t

x

∂x ∂s s

Sea w 5 f(x, y), donde f es una función diferenciable de x y y. Si x 5 g(s, t) y y 5 h ss, td son tales que las derivadas parciales de primer orden ∂x/∂s, ∂x/∂t, ∂y/∂s y ∂y/∂t existen, entonces wys y wyt existen y están dadas por

∂w ∂y ∂y ∂t

w w x w y 5 1 s x s y s y

t

La regla de la cadena: dos variables independientes Figura 13.41

∂y ∂s s

y

w w x w y 5 1 . t x t y t

Para obtener ∂w/∂s, se mantiene constante t y se aplica el teorema 13.6 para obtener el resultado deseado. De manera similar, para obtener ∂w/∂t se mantiene constante s y se aplica el teorema 13.6. DEMOSTRACIÓN

NOTA

La regla de la cadena en este teorema se muestra esquemáticamente en la figura 13.41. n

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CAPÍTULO 13

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EJEMPLO 4

Regla de la cadena con dos variables independientes

Utilizar la regla de la cadena para encontrar wys y wyt, dada w 5 2xy donde x 5 s 2 1 t 2 y y 5 syt. Solución Nótese que estas mismas derivadas parciales fueron calculadas en el ejemplo 3. Esta vez, usando el teorema 13.7, se puede mantener constante t y derivar con respecto a s para obtener w w x w y 5 1 s x s y s 5 2y s2sd 1 2x 52

11t 2

1st2s2sd 1 2ss

2

5

4s 2 2s 2 1 2t 2 1 t t

5

6s 2 1 2t 2 . t

+ t2d 1

11t 2

Sustituir y por ssytd y x por s 2 1 t 2.

De manera similar, manteniendo s constante se obtiene w w x w y 5 1 t x t y t 5 2y s2td 1 2x 52

12st2 2

1st2s2td 1 2ss

5 4s 2

2

+ t22d 1

12st2 2

Sustituir y por ssytd y x por s 2 1 t 2.

2s 3 1 2st 2 t2

5

4st 2 2 2s 3 2 2st 2 t2

5

2st 2 2 2s 3 . t2

La regla de la cadena del teorema 13.7 también puede extenderse a cualquier número de variables. Por ejemplo, si w es una función diferenciable de n variables x1, x2, . . . , xn, donde cada xi es una función diferenciable de m variables t1, t2, . . . , tm , entonces para w 5 f sx1, x2, . . . , xn d se obtiene lo siguiente. w w x1 w x2 . . . w xn 5 1 1 1 t1 x1 t1 x2 t1 xn t1 w w x1 w x2 . . . w xn 5 1 1 1 t2 x1 t2 x2 t2 xn t2

: w w x1 w x2 . . . w xn 5 1 1 1 tm x1 tm x2 tm xn tm

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SECCIÓN 13.5

EJEMPLO 5


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Regla de la cadena para una función de tres variables

Hallar wys y wyt si s 5 1 y t 5 2p, dada la función w 5 xy 1 yz 1 xz donde x 5 s cos t, y 5 s sen t y z 5 t. Solución

Por extensión del teorema 13.7, se tiene

w w x w y w z 5 1 1 s x s y s z s 5 s y 1 zdscos td 1 sx 1 zdssen sin td 1 s y 1 xds0d 5 s y 1 zdscos td 1 sx 1 zdssen sin td. Cuando s 5 1 y t 5 2p, se tiene x 5 1, y 5 0 y z 5 2p. Así, wys 5 s0 1 2pds1d 1 s1 1 2pds0d 5 2p. Y w w x w y w z 5 1 1 t x t y t z t 5 s y 1 zds2s sen sin td 1 sx 1 zdss cos td 1 s y 1 xds1d y si s 5 1 y t 5 2p, se sigue que w 5 s0 1 2pds0d 1 s1 1 2pds1d 1 s0 1 1ds1d t 5 2 1 2p.

Derivación o diferenciación parcial implícita Esta sección concluye con una aplicación de la regla de la cadena para determinar la derivada de una función definida implícitamente. Supóngase que x y y están relacionadas por la ecuación Fsx, yd 5 0, donde se supone que y 5 f sxd es función derivable de x. Para hallar dyydx, se podría recurrir a las técnicas vistas de la sección 2.5. Sin embargo, se verá que la regla de la cadena proporciona una útil alternativa. Si se considera la función dada por w 5 Fsx, yd 5 Fsx, f sxdd se puede aplicar el teorema 13.6 para obtener dw dx dy 5 Fx sx, yd 1 Fy sx, yd . dx dx dx Como w 5 Fsx, yd 5 0 para toda x en el dominio de f, se sabe que dwydx 5 0 y se tiene Fx sx, yd

dx dy 1 Fy sx, yd 5 0. dx dx

Ahora, si Fysx, yd Þ 0, se puede usar el hecho de que dxydx 5 1 para concluir que dy F sx, yd . 52 x dx Fy sx, yd Un procedimiento similar puede usarse para encontrar las derivadas parciales de funciones de varias variables definidas implícitamente.

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CAPÍTULO 13

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TEOREMA 13.8 REGLA DE LA CADENA: DERIVACIÓN IMPLÍCITA Si la ecuación Fsx, yd 5 0 define a y implícitamente como función derivable de x, entonces dy F sx, yd 52 x , dx Fy sx, yd

Fysx, yd Þ 0.

Si la ecuación Fsx, y, zd 5 0 define a z implícitamente como función diferenciable de x y y, entonces z F sx, y, zd 52 x x Fz sx, y, zd

y

z Fy sx, y, zd 52 , y Fz sx, y, zd

Fzsx, y, zd Þ 0.

Este teorema puede extenderse a funciones diferenciables definidas implícitamente de cualquier número de variables. EJEMPLO 6

Hallar una derivada implícitamente

Hallar dyydx, dada la ecuación y 3 1 y 2 2 5y 2 x 2 1 4 5 0. Solución

Se comienza por definir una función F

Fsx, yd 5 y 3 1 y 2 2 5y 2 x 2 1 4. Después, usando el teorema 13.8, se tiene Fx sx, yd 5 22x

y Fy sx, yd 5 3y 2 1 2y 2 5

por lo que – 2x d dy F sx, yd 2 s22x 2x 52 x 5 22 5 . 3y 1+ 2y –255 3y 2 1 2y 2 5 dx Fy sx, yd 3y NOTA

Comparar la solución del ejemplo 6 con la solución del ejemplo 2 en la sección n

2.5.

EJEMPLO 7

Hallar derivadas parciales implícitamente

Encontrar zyx y zyy, dada la ecuación 3x 2z 2 x 2 y 2 1 2z 3 1 3yz 2 5 5 0. Solución

Para aplicar el teorema 13.8, sea

Fsx, y, zd 5 3x 2z 2 x 2y 2 1 2z 3 1 3yz 2 5. Entonces Fx sx, y, zd 5 6xz 2 2xy 2 Fy sx, y, zd 5 22x 2 y 1 3z Fz sx, y, zd 5 3x 2 1 6z 2 1 3y con lo que z F sx, y, zd 2xy 2 2 6xz 52 x 5 2 x Fzsx, y, zd 3x 1 6z 2 1 3y z Fysx, y, zd 2x 2 y 2 3z 52 5 2 . y Fz sx, y, zd 3x 1 6z 2 1 3y

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13.5 Chain Rules for of Variables 13.5 Regla Chain for Functions Functions of Several Several Variables SECCIÓN 13.5 deRules la cadena para funciones de varias variables

13.5 Exercises 13.5 Exercises Ejercicios 13.5

See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. See See www.CalcChat.com www.CalcChat.com for for worked-out worked-out solutions solutions to to odd-numbered odd-numbered exercises. exercises.

In Exercises 1– dw using the dw// dt dt dw/dt En ejercicios 1 afind 4, hallar la reglaChain de la Rule. cadeIn los Exercises 1– 4, 4, find usingutilizando the appropriate appropriate Chain Rule. 2 2 2 2 na1.apropiada. 2 2 2 2 xx 2 yy 2 2. w w xx 2 yy 2 1. w 2. w tt x cos x 2t, y 3t 2 2 1. wx x2t, yy 3t 2. wx cosx 2t, t, yy 2 eet yyt, y et x cos x 2t, y 3t 3. 4. w xx sen sen yy w ln ln x 3. w 4. w yx 3. wx xettt,seny y 4. wx ln tt x e, y x cos cosx t, t, yy sen sen tt

In 19–22, and using w // /(a) In Exercises Exercises 19–22, find and (a) by using the the w// rrw En los ejercicios 19 afind 22, hallar u a)by utilizando la /r ywww appropriate Chain Rule and (b) by converting to a function of w appropriate Chainapropiada Rule and (b) converting wwto function of regla de la cadena y b)byconvirtiendo enauna función differentiating. rr and and before differentiating. de r y u before antes de derivar

x et, y t cos t, y appropriate sen t x using In dt (a) dw// dt In Exercises Exercises 5–10, 5–10, find find dw (a) by by using the the appropriate Chain Rule and (b) by converting to a function of w Chain Rule and5(b) by hallar converting a function of tt before before En los ejercicios a 10, dw/dt wa)to utilizando la regla de la differentiating. differentiating. cadena apropiada y b) convirtiendo w en función de t antes de tt 2t 2t derivar. 5. w xy, xy, xx ee t,, yy ee 2t 5. w 2 2 t 2t 6. w cos x y , x t , 5.6. ww xy, cos xx ye ,, xy te2, yy 11

21. 21. w w

tt xx t 2, cos y t, cos t, 1 yy sen sen t, t, zz eet 2 2 arccos xt, t, ttz et t, yycos t,tt 2,, yzz sen arccos 2 2 xy tt 22 t1, z, x yz, 8.9. 1, zz tt w xy xycos xz xz yz, t, xx y tt t , 1, 1, z yy arccos 9. ww 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x z yz , x t , y 2t, z w xy 10. t z1, 22z t 9. ww xy xy2 xzx2z yz,yz2x, x t t 21, , yy 2t, 10. yz2, x t 2, 11 y 2t, 12, z 2 parametric w xy2 x2z In 10. Projectile Projectile Motion Motion In Exercises Exercises 11 and and 12, the the parametric equations of projectiles are At what Movimiento dethe un paths proyectil los ejercicios 11 y 12 danrate las equations for for the paths of two twoEn projectiles are given. given. Atse what rate is the distance between the two objects changing at the ecuaciones paramétricas de las de dos at proyectiles. is the distance between the twotrayectorias objects changing the given given tt ?? value ¿A quéof o ritmo cambia la distancia entre los dos objevalue ofvelocidad tos en el valor de t dado? First object 11. First 11. xx111 10 10 cos cos 2t, 2t, yy111 66 sen sen 2t 2t First object object Primer objeto. 11. xxx122 10 cos 2t, y 6 sen 2t 77 cos t, y 4 sen t Second object Second 1 2 cos t, y22 4 sen t Second object object 2 Segundo objeto. xtt2 7 cos 22 t, y2 4 sen t 2 2 2 22 t, 12. First object First 12. txx11 48 48 t, yy11 48 48 22 tt 16t 16t 2 First object object

6.7. w 7. ww 8. 7.8. ww w

1

xx 222 x yy 222 y cos 2 xxy y 2z, xy cos cos z,

2

, zz 22,,x zxx2,

1

2 2 Primer objeto. 2 12. xxx122 48 48 48t Second object 2 Second 48 233t,t, t, yyy1222 48 48t 2 t 16t 16t16t Second object object 2 2 Segundo objeto. xtt2 1148 3 t, y2 48t 16t t 1 2 2 2 2 In In Exercises Exercises 13 13 and and 14, 14, find find dd22w w// dt dt22 using using the the appropriate appropriate 2 2 En los ejercicios 13 y 14, hallar d w dt utilizando lat.regla de la 2 2 / Chain Rule. Evaluate at the given value of d w dt 2 2 / Chain Rule. Evaluate at the given value of d t. w dt 2 2 / cadena apropiada. Evaluar d w dt en el valor de t dado.

/

tt tt ln ln xx yy ,, xx eet,, yy ee t,, tt 00 lnx 22x y , x et, y e t, t 0 2 x2 2 1, tt 11 x 2y ,, xx 2tt 2,, yy tt 1, y, x t , y t 1, t 1 y In Exercises 15 find w and the w tt using In los Exercises 15 –18, –18, and the appropriate appropriate w// ssw En ejercicios 15 afind 18, hallar la regla t utilizando /s wy //wderivative /using Chain Rule, and evaluate each partial at given de la cadena y evaluar cada derivada los Chain Rule, apropiada and evaluate each partial derivativeparcial at the the en given values of and s t. valores y t dados. values de of ss and t.

13. 13. w w 13. w 14. 14. w w 14. w

Función Función Función w x 222 y 222 15. w 15. 15. w xx2 yy2 x s t, y s t xx ss 3 t,t, yy2 ss t t 3 2 w 3x 16. 3x22yyy 16. ww yyy33 3x 16. s s x es, y ettt xx ees, , yy eet sen 2x 3y 17. w sen sen 2x 2x 3y 3y 17. ww 17. xx ss t, y s t x s 2 t,t, 2yy ss t t 2 2 w x 18. y 2 2 18. ww xx2 yy2 18. x s cos sen cost,t, t, yyy ssssen senttt xx sscos

Punto Punto Punto ss 1, t s 1,1, t t s ss s ss s ss

1, t 1,1, t t 0, t 0,0, t t 3, t 3,3, t t

0 00 2 22 2 22 4 44

19. 19. w w 20. 20. w w

22. 22. w w

yz 2 yz, x 2 yy rr ,, zz rr 2,, xx , x 2 2 ,, yy rr xx 222 2xy 2xy yy 2,, xx rr yy arctan arctan x,, xx rr cos cos ,, yy rr sen sen x 2 2 2 2 25 25 5x 5x 2 5y 5y 2,, xx rr cos cos ,, yy

rr sen sen

In 23 and by using approw // tt/t En los ejercicios 23 afind 26, hallar regla In Exercises Exercises 23 –26, –26, find and by utilizando using the the la approw// ssw /s ywww priate Chain Rule. de la cadena priate Chain apropiada. Rule. 23. 23. 24. 24. 25. 25.

w w w w w w

26. 26. w w

xyz, xyz, xx 222 xy xy ze ze xy,,

xx yy 222 xx

ss zz 222,, ss

xx cos cos yz, yz, xx

2 2 ss t, t, zz st st2 tt sen sen s, s, yy tt cos cos s, s, zz yy ss t, t, zz st st ss222,, yy tt 222,, zz ss 2t 2t

t, t, xx t, t,

yy

2 2 st st2

In 27–30, implicitly to dx. En los ejercicios 27 adifferentiate 30, hallar dy/dx por derivación In Exercises Exercises 27–30, differentiate implicitly to find find dy dx. dy//implícita. 27. 27. 28. 28. 29. 29.

xx222 xy xy sec xy sec xy 2 2 ln ln xx 2

xx 30. 30. x 222 y 222 y x

yy222 xx tan tan xy xy yy 222 xx yy 222

yy

00

55 00 yy 44

66

En los ejercicios 31 a 38, hallar las primeras derivadas parciales In In Exercises Exercises 31–38, 31–38, differentiate differentiate implicitly implicitly to to find find the the first first de z porderivatives derivaciónofimplícita. partial z. partial derivatives of z. xx 222 yy 222 zz 222 11 2 2 xx 222 2yz 2yz zz 2 11 tan tan tan xx yy tan yy xx zz e xy 0 37. xz xy 0 37. e 31. 31. 33. 33. 35. 35.

zz

11

xz xz yz yz xy xy 00 xx sen y 00 sen y zz x x zz ee x sen sen yy zz 2 2 2 2 x ln y 38. 38. x ln y yy 2zz zz 2 88 32. 32. 34. 34. 36. 36.

In Exercises 39 differentiate implicitly to first En ejercicios a 42, hallar las primeras parciales In los Exercises 39 ––3942, 42, differentiate implicitlyderivadas to find find the the first w. partial derivatives of de w por derivación implícita. partial derivatives of w. xy xy yz yz wz wz wx wx 2 2 xx 22 yy 22 zz 222 5yw 5yw cos cos xy xy sen sen yz yz wz wz w x y y 42. x y y 42. w 39. 39. 40. 40. 41. 41.

55 2 2 10w 10w 2 20 20 zz

22

00

Funciones homogéneas Una función f es homogénea de grado Homogeneous Homogeneous Functions Functions A A function function ff is is homogeneous homogeneous of of n tyfc tx, 5 ttynf xx, tynnnc.f En si f xtx, los ejercicios 4343– a 46, a) mostrar que n x, y . degree if In Exercises t f x, y . In Exercises 43– 46, degree n if f tx, ty 46, (a) (a) show show that that la función es homogénea y determinar n, y b) mostrar que the n, and the function function is is homogeneous homogeneous and and determine determine n, and (b) (b) show show xf x, y 1 yf x, y nf x, y . that xf x x, y c 1 yf x x, y c 5 nf x x, y c . x xfx y1 yfyy x, y x x, y nf x, y . that x y 43. f x, y 43. f sx, y d 5

xy xy xx 2222 yy 2222 ! 1

e xx yy 45. f x, y 45. f sx, y d 5 e xxyyy

x33 3xy 22 y 33 44. f x, y 44. f sx, y d 5 x33 2 3xy 22 1 y 33 46. f x, y 46. f sx, y d 5

xx 2222 x 22 y 22 !x 22 1 y 22

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Chapter 13 13 13Functions Functions of Several Several Variables Chapter of Variables CAPÍTULO Funciones de varias variables

932 932

Chapter 13 Functions of Several Variables Chapter 13 Functions of Several Variables 47. Let and where anddiferenare w x, yyy), 47. and x, ,, xxx = ggg(t) tt ,, yand tt ,, where hh are 47. Let Seanww =fff(x, y =yyh(t),hhdonde f, g yf,f, g, hg,son differentiable. Use the appropriate Chain Rule to find dw dt differentiable. Use the de appropriate Chain Rule to findencontrar dw dt cadena 47.ciables. Let tw Usar f given x,lay regla , the x following g t la , and y of hapropiada tvalues. , wherepara f, g, and h are when table 2 47. Let and where and are w f x, y , x g t , y h t , f, g, h when following tabletabla of values. tcuando 2 given dw/dt t = Use 2the dada siguiente de Rule valores. differentiable. thelaappropriate Chain to find dw dt differentiable. Use the appropriate Chain Rule to find dw dt when t 2 given the following table of values. 4,values. 4, 33 when ffx of 4, 33 ffy 4, 22 the gg following 22 hh 22 table gg 22t 2 hhgiven x

y

f 7 4, 3 g1 2 4g 2 3h 2 6h 2 f fx 554, 3 fy 4,7y3 g 24 h 23 g 2 1 h 26 x 4, 3 1 5 4 3 6 7 5hh s, 4w 7f, g yf,f,hg, 48. Let Sean yand y =yy h(t), donde dife48. Let where and ww =ff3f(x, x, yyy), s, tt6t),, and s, tt ,, where g,son 48. and x, ,, xxx 1=ggg(s, s, hh renciables. Usar la Use regla de laappropriate cadena apropiada para encontrar are differentiable. differentiable. Use the the appropriate Chain Rule Rule to find find are Chain to 48.w Let and y tabla where fw x, y1,2),2xdada g s,siguiente t , following htable s, t valores. , of f, g, and h yand (1, given the values. 1, 22) 2wfand 48. Let andfollowing w1, x,wtyw ,tt x1, 2 ggiven s, tla, the y h s, ttable ,dewhere f, g, and h of values. wss(1, are differentiable. Use the appropriate Chain Rule to find are differentiable. Use the appropriate Chain Rule to find w 1, 2 and wt 1, 2 given the following table of values. ws 1,ggs21, 1,following 2 1,table 1, and 1,2 22givenggthe hhss 1, 22 of values. 22 wt hh1,1, ss 1, 2 g 31, 2 h5 1, 2 g41, 2 h3 1, 2 gs 1, s23 hs 1,5s2 g 1, 42 h 1, 32 4 1, 22 ggt4t 1,

3 1, 22 hht3t 1,

3 4, 33 ffxx 34,

8

5

7

49. Let Let w x, yy be be aa function in which and yy are are functions functions 49. WR I TwIwN5 Gff Ax, BO U T function Cfunción O N C Ein P which T S x xxyand sx, yforson Sea donde funciones W 49. R I Tof I Naa G A Bfvariable O U yTd una Ct.t.OGive N C Ethe P TChain S of single variable Give the Chain Rule for finding dw dt. dt.de single Rule finding dw

49.una Letsola w variable f x, y bet. aDar function in which and y are functions la regla de la xcadena para hallar 49. ww f ffx,x, y yybebe inin functions 50.Let Let bea aafunction function inwhich whichxRule andyfor are functions 50. Let function which xxand and yyare are functions ofw a singlex,variable t. Give the Chain finding dw dt. dwydt. ofof variable st.s and Give Chain forRule finding dt. ofa single two variables variables and t.t.the Give theRule Chain Rule fordw finding two Give the Chain for finding 50.Sea Letwswand x,yyd t.una be afunción functiondonde in which are functions 5 f fsx, x y xyand 50. sony funciones de w w 50. Letww s and f x, yw bet.a function in which x and y are functions of two variables s and Rule para for finding dos variables Dar t.laGive reglathe deChain la cadena hallar s y t. s and Givefor Chaindy Rule for findingIf 51.ofIf Iftwo x,variables 0, w give thet.rule rule forthe finding dy dx implicitly. implicitly. If 51. ffwx, yysy and 0, give finding dx t.the wys wyt. w t. x,sy, y,and 0, give give the rule rule for for finding finding zz xx and and zz yy ff x, zz w0, the 51.implicitly. give rule forhallar finding dy implícitamente. dx implicitly. If dyydx 51. SiIff fsx,x,yyd 5 0,0,dar la the regla para 51. Ifimplicitly. f x, y 0, give the rule for finding dy dx implicitly. If y, y, z zd 5 0, 0,give finding x and z y Sif x, darthe la rule reglafor para hallar zzyx y zyy f sx, f x, y, z 0, give the rule for finding z x and z y implicitly. implícitamente. implicitly.

N EE CC AA PP SS TT OO N 52. Consider the function function ff x, x, y, y, zz 52. Para C AConsider P Sdiscusión T O N Ethe C A P SyyT O 2t, N and zz ee tt.. 2t,Eand

xyz, where where xx xyz,

r2

rr

rr11 r1

hh r1

r1 h

r h

r r R R

h R

h8 1, 2 f 54, 3 f 7 4, 3 g 21, 2 ht 1,8t2 fx 4,x35 fy 4,7y3 gt 1, t22 2

rr22 r2 r2

Figure for for 57 57 Figure

5 4, 33 ffyy54,

2 5 7 W N GG AA BB OO8de U TT conceptos N CC W RR II TT II N U CC OO N EE PP TT SS Desarrollo

57. Moment Moment of of Inertia Inertia An annular annular cylinder cylinder has has an an inside radius radius 57. 57. Momento de inerciaAn Un cilindro anular tieneinside un radio inteof and an outside radius of (see figure). Its moment r r 1 2 of r1 de andr1 an outside radius of (see lafigure). ItsSumoment y un radio exterior de rr22cylinder (ver figura). momento 57. rior Moment of Inertia An annular has an inside radius 1 1rr122 annular ofdeinertia inertia is where is the the mass. The two mAn r222 r,, 2where I I 125 mm 57. Moment of is Inertia cylinder has anlamass. inside radius 2r of is The two 2m I m inercia es donde es masa. Los dos m s r 1 d 1 2 2 2 of r2 (see figure). Its moment 1radius of r1 and an outside radii are increasing at a rate of 2 centimeters per second. Find ofradii and an outside radius (see figure). Its moment r r 1 2 are increasing at a rate of 2 centimeters per second. Find 1 radios se incrementan a razón de 2 centímetros por segundo. 2 2 of rate inertia is I1 2Im is the mass. Theare two r , where minstant 2isr1changing the at Iwhich which at mel the the radii ofthe inertia is the mass. The r 2 varía , 2where rate lais at is que changing at the instant radii are I1al 2m r Hallar instante enthe que lostwo radios radii are velocidad increasing at a2rate ofI(Assume 2encentimeters per second. Find 6 centimeters and 8 centimeters. mass is a constant.) radii are yincreasing a rate of 2 centimeters peressecond. Find 6 son centimeters and at 8 centimeters. (Assume mass isconstante.) a constant.) 8 at centímetros. queatlathe masa the 6rate which I is(Suponer changing instant the radii are the rate at which I is changing at the instant the radii are 6 centimeters and 8 centimeters. (Assume mass is a constant.) 6 centimeters and 8 centimeters. (Assume mass is a constant.)

2 tt2,,

y, z donde xyz, where t 2, 52.Considerar Consider lathe function función f(x, y,fy,z)x,Rule xdt. = tx2, yxt=2, 2t, f x, z= xyz, xyz, 52.52.Consider theappropriate function where (a)y Use Use the appropriate Chain to find df t (a) the Chain Rule to find df dt. z te . =2t, e–tand .2t, and y z(b) . zf as ea function Write of andRule thentofind find dfdf dt. dt. Explain (b)(a)Write fthe as appropriate a function of tt and then Use Chain finddf dt.Explain a) Usar la regla de la cadena apropiada para encontrar df/dt. (a) Use the appropriate Chain Rule to find df dt. why this result is the same as that of part (a). why this result is the same as that of part (a). (b) Write f as a function of t and then find df dt. Explain Escribir una of función de t find y entonces encontrar (b)b) Write f asf acomo function t and then df dt. Explain why this result is theeste same as that of (a). df/dt. Explicar por es part el why this result is thequé same asresultado that of part (a).mismo que el del inciso a). 53. Volume Volume and Surface Surface Area The The radius radius of of aa right right circular circular 53. and Area cylinder is increasing at a rate of 6 inches per minute, and the the cylinder is increasing at a rate of 6 inches per minute, and 53.height Volume and Surface Areaof 4The radius of a right circular is decreasing at a rate inches per minute. What are Volumen y área superficial El radio de un cilindro circular 53.53.Volume and Surface Area The radius of a right circular height is decreasing at a rate of 4 inches per minute. What are cylinder is change increasing at avolume rate of and 6 inches per area minute, andthethe the rates of of the surface when recto seisincrementa deof6 6pulgadas porminute, minuto, y la the altura cylinder increasing atrazón athe rate inches per and the rates of change aof volume and surface area when the height is decreasing atthe a rate of is 4 inches per minute. What are radius isdecreasing 12razón inches and height 36 inches? inches? decrece a12 deat 4 apulgadas la razón height isis rateheight of 4por inches per ¿Cuál minute.esWhat are de radius inches and the isminuto. 36 the rates of change of the volume and surface area when the cambio del volumen y del área superficial cuando el radio es 12 the rates of change of the volume and surface area when the 54. Volume and Surface Area Repeat Exercise 53 for a right 54. Volume Area Repeatis Exercise radius and is 12 Surface inches and the height 36 inches?53 for a right pulgadas yinches la altura radius is 12 and36 thepulgadas? height is 36 inches? circular cone. circular cone. 54. Volume and Surface Area Repeat Exercise 53 for a right 54.Volume Volumen y Surface áreaThe superficial Repetir el ejercicio 53 con 54. andLaw Area Repeat 53 forwhere a right 55. Ideal Gas Law The Ideal Gas Gas LawExercise is pV where isun pV mRT, R is 55. Ideal Gas Ideal Law is mRT, R circular cone. cono circular. circular cone. a constant, is a constant mass, and and are functions of m p V a constant, m is a constant mass, and p and V are functions of 55.time. IdealFind GasdT Law Therate IdealatGas Lawthe is pV mRT, where R is the which temperature changes dt, LeyGas de los gases ideales leytemperature demRT, los where gases ideales 55.55.Ideal Law Thethe Ideal Law islathe pV R is time. Find rateGas atSegún which changes dT dt, a constant, is a constant mass, and p and V are functions of m time. with respect to donde constante, constante pV 5 mRT, R es una m esV una a with constant, atime. constant mass, and p and are masa functions of m is respect to time. Find dT dt, the rate at which the temperature changes y y son funciones del tiempo. Hallar la velocidad p V dTydt, time. Find the rate at which the temperature changes dT dt, 56. Area Let be the angle between equal sides of an isosceles 56. Area Let betothe angle between equal sides of an isosceles o with respect time. el ritmo detocambio temperatura respecto al tiempo.at with respect time. triangle and let be de thelalength length of these thesecon sides. is increasing increasing at x be triangle and let the of sides. x xx is 56.11 meter Area per Lethour beand the angle between at equal 90 sides of an isosceles is increasing radian per hour. Área Sea el ángulo entre los lados iguales de un triángulo u 56.56.Area Let be the angle between equal sides of an isosceles meter per hour and is increasing at radian per hour. 2 90 2 triangle and let x be the length of these sides. x is increasing at Find the rate of increase of the the area when and 4. a isósceles ylet sea lathe longitud de estos lados. se incrementa triangle and length ofarea thesewhen sides. at4. x xbe x isx66 increasing Find rate of increase of and xx Si 1 the per hour and is increasing at 90 radian per hour. 1 1 2 meter razón de metro por hora y se incrementa a razón de u p y90 meter per hour and is increasing at radian per hour. 90 2 Find the 2rate of increase of the area when x 6 and 4. radianes porofhora, hallar incremento del área cuando Find the rate increase of la thetasa areadewhen x 6 and 4. x 5 6 y u 5 py4.

Figure for for 58 58 Figure

R R

58. Volume Volume and Surface Area The The two two radiifor of 58 the frustum frustum of of aa Figureand for Surface 57 Figure 58. Area radii of the Figure for 57 Figure for 58 Figura 57 cone para 58 rightpara circular cone are are increasing increasing atFigura rate of 44 centimeters centimeters per right circular at aa rate of per 58.minute, Volume and Surface Area The two radii of 12 thecentimeters frustum of a and the height is increasing at a rate of 58.58. Volume and Surface Area The two radii of the frustum of a un Volumen área superficial Los at dos radios del centimeters tronco de minute, andythe height is increasing a rate of 12 right circular cone areFind increasing at at a rate of 4thecentimeters per per minute (see figure). theatrates rates which volumeper and right circular cone are se increasing a arate of 4decentimeters cono circular recto incrementan razón 4 centímetros por per minute (see figure). Find the at which the volume and minute, and the height is increasing at a rate of 12 centimeters surface area are changing when the theaat two radii are 15 centimeters minute, and height increasing a rate ofare 1215 centimeters minuto y the laare altura seisincrementa razón de 12 centímetros por surface area changing when two radii centimeters per25minute (see figure). Find the rates at which the volume and and centimeters, and the height isat10 10 centimeters. per minute (see lafigure). Find the rates which thecambian volume el and minuto (ver figura). Hallar a qué velocidad voluand 25 centimeters, and the height is centimeters. surface area are changing when the two radii are 15 centimeters are changing the radii are men area y el área superficial cuando soncentimeters 59.surface Show that for15 w and w two w15 yff 25 x, yycen59. Show for w uu when vv los 00radios w x, ,, and 25 that centimeters, the w height is 10 centimeters. and 25 centimeters, and the height is 10 centimeters. tímetros, respectivamente, y la altura es de 10 centímetros. and yy vv u. v, and u. xx uu v, 59. Show that w u w v 0 for w f x, y , 59. Show that forw = wf(x, y), u of Exercise w v 59 f x, 59. Mostrar que the w x =y u, – v 60. Demonstrate result 59 0for forpara 60. Demonstrate andresult x u v,the y vof Exercise u. andu.y v u. x y uy 5 v, v2 w Demonstrate y sen sen x ..of Exercise 59 for 60.w theyyresult xx yel Verificar resultado ejercicio 60.60. Demonstrate the result ofxdel Exercise 5959 forcon 61. Consider Consider they function function where xx rr cos and w. ff x, x, yy ,, where cos and sen y xw w x the 61. w x y sen y x . Verify each each of of the the following. following. sen .. Verify yy rr sen 61. la función la que r cos uandy 61. Considerar Consider the function ww5 f sfx,x,ydy, ,enwhere x x5 r cos 61. Consider thewfunction ww sen f x, y , where x r cos and wrrsin yy 5w uw..Demostrar: sen Verify each of the following. sen w sen (a) r sen . Verify coseach of the following. y (a) cos xx rr rr wwsen sin w w ww senu a) (a)ww 5ww cos cosu 2wwsen cosr r w x r wcos w (a) x ucos rsen xy r r sen rr yw w r r u ww cos w w cos w w5 w w cos 2 2 sin u 1 sen sen 2 2 22 w w w 22 w w w 11 w sen y r u rr y r (b) y (b) r r 2 xx 2 2 w yy 2 2 w rr 2 2 rr12 w 2 2 w w w w 1 w b) (b) w 2 1 w 2 5 w 2 1 1 2 2 w 2 62.(b) Demonstrate they result of Exercise Exercise 61(b) for x x the r r r r for u w w arctan arctan yy xx .. y of 62. Demonstrate result 261(b) x y r r 63. Cauchy-Riemann Equations Given the functions and u x, x,syyyyx 62. Verificar el resultado delofejercicio 61b ww 5 arctan 63. Given thecon functions and uarctan 62.Cauchy-Riemann Demonstrate the Equations result Exercise 61(b) for yd.x . 62. Demonstrate thethat result of Exercise 61(b) for w arctan y x. verify that the Cauchy-Riemann Cauchy-Riemann differential equations v x, x, yy ,, verify the differential equations v 63. Ecuaciones de Cauchy-Riemann Dadas las funciones u yd 63. Cauchy-Riemann Equations Given the functions u x, y sx,and 63. Cauchy-Riemann Equations Given the functions and u x, yCauchyy verificar que las ecuaciones diferenciales v s x, y d , u v u v verify that the Cauchy-Riemann differential equations v x, yv, and u v that the Cauchy-Riemann differential equations v x,uRiemann y , verifyand xx yy yy xx u v u v u u v v andu u v v canxbe be written in polar polar coordinate form as as yandy in x form 5y written 5y 2coordinate xcan y x x y y x ucan 1be 1 written v coordinate in polar as vv and 11 uu. formform canupueden be written in polarv coordinate as como and . polares rr rr escribirse en rr coordenadas rr u 1 v v 1 u u u 1 1v v andv v 11 u u . and 64. Demonstrate the result of Exercise 63 for the functions r r r r. 64. rDemonstrate the 5 y result r 5of2Exercise rr u. 63 for the functions r r r u r 64.u Demonstrate the result of arctan Exercise 63 for the functions yy. for 22 and and ln xx22elthe 64.64. Demonstrate ofvvdel Exercise the functions yyresult u Verificar ln arctan 63 . resultado ejercicio xx 63 con las funciones y yy. . ln! x22 yy22 yand arctan uuln 5 ln v 5varctan arctan andis x 2 xif . of 65.u Show Show that if ffy12x,y is vhomogeneous homogeneous x,y x degree n, then 65. that xx of degree n, then

1 2 1 2 1 2 1 21 2

fShow x, yy thatyf yfque nfhomogeneous x, 65. y) x, esyyhomogénea de grado entonces 65.xxfDemostrar ify x, isnf of degree then fx, si x,y n, n, yyisƒ(x, .. of degree xx x,that 65. Show if f yx,y homogeneous n, then xxffxxsx,x,Let yLet 5 ty nf [Hint: tx, yd 1ggyfyf nfsx,x,ytydnn.f. x, y . Find g t and then let tt yysyx,x,yffyd tx, x f[Hint: x, y yfy x, nf ty x, y . t f x, y . Find g t and then let ttx 1. 1.]] td 5 sx, ydg. Hallar g9 std lety [Sugerencia: [Hint: Let g Sea t fgstx, ty f sntx,t ntyf d x,5yt n. fFind t and then [Hint: Let g t f tx, ty t f x, y . Find g t and then let después t 1.] hacer t 5 1.] t 1.]

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SECCIÓN 13.6

Derivadas direccionales y gradientes

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13.6 Derivadas direccionales y gradientes n n n n

Hallar y usar las derivadas direccionales de una función de dos variables. Hallar el gradiente de una función de dos variables. Utilizar el gradiente de una función de dos variables en aplicaciones. Hallar las derivadas direccionales y el gradiente de funciones de tres variables.

Derivada direccional z

y

x

Suponer que se está en la colina de la figura 13.42 y se quiere determinar la inclinación de la colina respecto al eje z. Si la colina está representada por z 5 f sx, yd, se sabe cómo determinar la pendiente en dos direcciones diferentes: la pendiente en la dirección de y está dada por la derivada parcial fy sx, yd, y la pendiente en la dirección de x está dada por la derivada parcial fx sx, yd. En esta sección se verá que estas dos derivadas parciales pueden usarse para calcular la pendiente en cualquier dirección. Para determinar la pendiente en un punto de una superficie, se definirá un nuevo tipo de derivada llamada derivada direccional. Sea z 5 f sx, yd una superficie y Psx0, y0d un punto en el dominio de f, como se muestra en la figura 13.43. La “dirección” de la derivada direccional está dada por un vector unitario u 5 cos u i 1 sen sin u j

Superficie: z = f(x, y)

donde u es el ángulo que forma el vector con el eje x positivo. Para hallar la pendiente deseada, se reduce el problema a dos dimensiones cortando la superficie con un plano vertical que pasa por el punto P y es paralelo a u, como se muestra en la figura 13.44. Este plano vertical corta la superficie formando una curva C. La pendiente de la superficie en sx0, y0, f sx0, y0dd en la dirección de u se define como la pendiente de la curva C en ese punto. De manera informal, se puede expresar la pendiente de la curva C como un límite análogo a los usados en el cálculo de una variable. El plano vertical utilizado para formar C corta el plano xy en una recta L, representada por las ecuaciones paramétricas,

Figura 13.42 z

z = f (x, y)

x 5 x0 1 t cos u P u θ

y

y y 5 y0 1 t sen sin u

L x

de manera que para todo valor de t, el punto Qsx, yd se encuentra en la recta L. Para cada uno de los puntos P y Q, hay un punto correspondiente en la superficie.

Figura 13.43

sx0, y0, f sx0, y0dd sx, y, f sx, ydd


z

(x0, y0, f(x0, y0))

Curva: C

Punto sobre P. Punto sobre Q.

Como la distancia entre P y Q es !sx 2 x0d2 1 s y 2 y0d2 5 !st cos ud2 1 st sen sin ud2

(x, y, f(x, y))

||

5 t P

Q t

x

Figura 13.44

se puede escribir la pendiente de la recta secante que pasa por sx0, y0, f sx0, y0dd y sx, y, f sx, ydd como y

f sx, yd 2 f sx0, y0d f sx0 1 t cos u, y0 1 t sen sin ud 2 f sx0, y0d 5 . t t Por último, haciendo que t se aproxime a 0, se llega a la definición siguiente.

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CAPÍTULO 13

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DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DIRECCIONAL sin u j un vector uniSea f una función de dos variables x y y, y sea u 5 cos u i 1 sen tario. Entonces la derivada direccional de f en la dirección de u, que se denota Du f, es Du f sx, yd 5 lím lim t→0

f sx 1 t cos u, y 1 t sen sin ud 2 f sx, yd t

siempre que este límite exista.

Calcular derivadas direccionales empleando esta definición es lo mismo que encontrar la derivada de una función de una variable empleando el proceso del límite (sección 2.1). Una fórmula “de trabajo” más simple para hallar derivadas direccionales emplea las derivadas parciales fx y fy.

TEOREMA 13.9 DERIVADA DIRECCIONAL Si f es una función diferenciable de x y y, entonces la derivada direccional de f en sin u j es la dirección del vector unitario u 5 cos u i 1 sen Du f sx, yd 5 fxsx, yd cos u 1 fysx, yd sen sin u.

Dado un punto fijado (x0, y0), sea x 5 x0 1 t cos u y sea y 5 y0 1 t sen u. Ahora, se hace gstd 5 f sx, yd. Como ƒ es diferenciable, se puede aplicar la regla de la cadena del teorema 13.6 para obtener DEMOSTRACIÓN

g9std 5 fxsx, yd x9std 1 fysx, yd y9std 5 fxsx, yd cos u 1 fysx, yd sen sin u. Si t 5 0, entonces x 5 x0 y y 5 y0, por tanto g9s0d 5 fxsx0, y0d cos u 1 fysx0, y0d sen sin u. De acuerdo con la definición de g9std, también es verdad que g9s0d 5 lím lim t→0

5 lím lim t→0

gstd 2 gs0d t f sx0 1 t cos u, y0 1 t sen sin ud 2 f sx0, y0d . t

Por consiguiente, Du f sx0, y0d 5 fxsx0, y0d cos u 1 fysx0, y0d sen sin u. Hay una cantidad infinita de derivadas direccionales en un punto dado de una superficie, una para cada dirección especificada por u, como se muestra en la figura 13.45. Dos de éstas son las derivadas parciales fx y fy.

z


y

(x, y) x

El vector u

Figura 13.45

1. En la dirección del eje x positivo (q 5 0): u 5 cos 0 i 1 sen 0 j 5 i Di f sx, yd 5 fxsx, yd cos 0 1 fysx, yd sen sin 0 5 fxsx, yd 2. En la dirección del eje y positivo su 5 py2d: u 5 cos Dj f sx, yd 5 fxsx, yd cos

p p i 1 sen sin j 5 j 2 2

p p 1 fysx, yd sen sin 5 fysx, yd 2 2

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SECCIÓN 13.6


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Hallar una derivada direccional

EJEMPLO 1

Hallar la derivada direccional de f sx, yd 5 4 2 x 2 2 14 y 2

Superficie.

en (1, 2) en la dirección de

1

u 5 cos

f(x, y) = 4 − x2 − 1y2 4

2

Dirección.

Du f sx, yd 5 fxsx, yd cos u 1 fysx, yd sen sin u y 5 s22xd cos u 1 2 sen sin u 2

z

1 2

4

Evaluando en u 5 py3, x 5 1,y y 5 2 se obtiene

(1, 2) 3

2 1

Solución Como fx y fy son continuas, f es diferenciable, y se puede aplicar el teorema 13.9.

Superficie:

x

p p i 1 sen sin j. 3 3

π 3

u

Du f s1, 2d 5 s22d

y

5

1122 1 s21d1 232

5 21 2

!

!3

2 < 21.866.

Figura 13.46


NOTA La figura 13.46 muestra que la derivada direccional se puede interpretar como la pendiente de la superficie en el punto (1, 2, 2) en la dirección del vector unitario u. n

Se ha especificado la dirección por medio de un vector unitario u. Si la dirección está dada por un vector cuya longitud no es 1, se debe normalizar el vector antes de aplicar la fórmula del teorema 13.9. z

Superficie: f(x, y) = x2 sen 2y

EJEMPLO 2

25

Hallar la derivada direccional de f sx, yd 5 x 2 sen sin 2y

20

v 5 3i 2 4j.

10

x

u

Dirección.

Solución Como fx y fy son continuas, f es diferenciable, y se puede aplicar el teorema 13.9. Se comienza por calcular un vector unitario en la dirección de v.

(1, π2 ) π /2

3

Superficie.

en s1, py2d en la dirección de

15

5

Hallar una derivada direccional

u5

π

v 3 4 5 i 2 j 5 cos u i 1 sen sin u j ivi 5 5

y

Usando este vector unitario, se tiene Du f sx, yd 5 s2x sen sin 2ydscos ud 1 s2x 2 cos 2ydssen sin ud p 3 4 Du f 1, 5 s2 sin 1 s2 cos pd 2 sen pd 2 5 5 3 4 5 s0d 1 s22d 2 5 5 8 Ver la figura 13.47. 5 . 5

1 2

−25

Figura 13.47

12

12

1 2

1 2

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CAPÍTULO 13

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El gradiente de una función de dos variables El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos variables. Esta función tiene múltiples aplicaciones importantes, algunas de las cuales se describen más adelante en esta misma sección.

z

(x, y, f(x, y))

DEFINICIÓN DE GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Sea z 5 f (x, yd una función de x y y tal que fx y fy existen. Entonces el gradiente de f, denotado por =f sx, yd, es el vector ∇f (x, y)

y

(x, y)

x

El gradiente de f es un vector en el plano xy

=f sx, yd 5 fxsx, yd i 1 fysx, yd j. =f se lee como “nabla f ”. Otra notación para el gradiente es grad f sx, yd. En la figura 13.48 hay que observar que para cada sx, yd, el gradiente =f sx, yd es un vector en el plano (no un vector en el espacio).

Figura 13.48

NOTA El símbolo = no tiene ningún valor. Es un operador de la misma manera que dydx es un operador. Cuando = opera sobre f sx, yd, produce el vector =f sx, yd. n

Hallar el gradiente de una función

EJEMPLO 3

Hallar el gradiente de f sx, yd 5 y ln x 1 xy 2 en el punto (1, 2). Solución Utilizando fxsx, yd 5

y 1 y2 x

y

fysx, yd 5 ln x 1 2xy

se tiene =f sx, yd 5

1yx 1 y 2i 1 sln x 1 2xydj. 2

En el punto (1, 2), el gradiente es =f s1, 2d 5

121 1 2 2 i 1 fln 1 1 2s1ds2dg j 2

5 6i 1 4j. Como el gradiente de f es un vector, se puede expresar la derivada direccional de f en la dirección de u como Du f sx, yd 5 f fxsx, yd i 1 fysx, ydjg ? fcos u i 1 sen sin u jg. En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente y el vector dirección. Este útil resultado se resume en el teorema siguiente.

TEOREMA 13.10 FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL Si f es una función diferenciable de x y y, entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es Du f sx, yd 5 =f(x, yd ? u.

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EJEMPLO 4

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Hallar una derivada direccional usando =f xx, yc

Hallar la derivada direccional de f sx, yd 5 3x 2 2 2y 2 en s2 34, 0d, en la dirección de Ps2 34, 0d a Qs0, 1d. Solución Como las derivadas de f son continuas, f es diferenciable y se puede aplicar el teorema 13.10. Un vector en la dirección especificada es

Superficie: f(x, y) = 3x2 − 2y2

1

\

PQ 5 v 5 0 1

z

5 3

2

3 i 1 s1 2 0dj 4

3 i1j 4

y un vector unitario en esta dirección es u5

2

v 3 4 5 i 1 j. ivi 5 5

\

Vector unitario en la dirección de PQ .

Como =f sx, yd 5 fxsx, ydi 1 fysx, ydj 5 6xi 2 4yj, el gradiente en s2 34, 0d es 1

1

2

3 9 =f 2 , 0 5 2 i 1 0j. 4 2

3

Por consiguiente, en s2 34, 0d la derivada direccional es

P

x

Gradiente en s2 4 , 0d.

1

Q 2 y

1

2

1

3 3 Du f 2 , 0 5 =f 2 , 0 4 4

1

2?u

9 5 2 i 1 0j 2 52 Figura 13.49

2 ? 135 i 1 54 j2

27 . 10

Derivada direccional en s2 34 , 0d.


Aplicaciones del gradiente Se ha visto ya que hay muchas derivadas direccionales en un punto sx, yd de una superficie. En muchas aplicaciones, se desea saber en qué dirección moverse de manera que f sx, yd crezca más rápidamente. Esta dirección se llama la dirección de mayor ascenso, y viene dada por el gradiente, como se establece en el teorema siguiente.

TEOREMA 13.11 PROPIEDADES DEL GRADIENTE Sea f diferenciable en el punto sx, yd. NOTA

La parte 2 del teorema 13.11 dice que en el punto sx, yd, f crece más rápidamente en dirección del gradiente, =f sx, yd. n

1. Si =f sx, yd 5 0, entonces Du f sx, yd 5 0 para todo u. 2. La dirección de máximo incremento de f está dada por =f sx, yd. El valor máximo de Du f sx, yd es i=f sx, ydi. 3. La dirección de mínimo incremento de f está dada por 2=f sx, yd. El valor mínimo de Du f sx, yd es 2i=f sx, ydi.

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CAPÍTULO 13

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DEMOSTRACIÓN z

Si =f sx, yd 5 0, entonces en cualquier dirección (con cualquier u), se

tiene Máximo incremento

Du f sx, yd 5 =f sx, yd ? u

5 s0i 1 0jd ? scos u i 1 sen sin u jd

(x, y, f(x, y))

5 0. Si =f sx, yd Þ 0, sea f el ángulo entre =f sx, yd y un vector unitario u. Usando el producto escalar se puede aplicar el teorema 11.5 para concluir que Du f sx, yd 5 =f sx, yd ? u

∇f(x, y)

5 i=f sx, ydi iui cos f

y x

(x, y)

5 i=f sx, ydi cos f

El gradiente de f es un vector en el plano xy que apunta en dirección del máximo incremento sobre la superficie dada por z 5 f sx, yd. Figura 13.50

y se sigue que el valor máximo de Du f sx, yd se presentará cuando cos f 5 1. Por tanto, f 5 0, y el valor máximo de la derivada direccional se tiene cuando u tiene la misma dirección que =f sx, yd. Este valor máximo de Du f sx, yd es precisamente i=f sx, ydi cos f 5 i=f sx, ydi. De igual forma, el valor mínimo de Du f sx, yd puede obtenerse haciendo f 5 p de manera que u apunte en dirección opuesta a =f sx, yd, como se muestra en la figura 13.50.

Para visualizar una de las propiedades del gradiente, imaginar a un esquiador que desciende por una montaña. Si f sx, yd denota la altitud a la que se encuentra el esquiador, entonces 2=f sx, yd indica la dirección de acuerdo con la brújula que debe tomar el esquiador para seguir el camino de descenso más rápido. (Recuérdese que el gradiente indica una dirección en el plano xy y no apunta hacia arriba ni hacia abajo de la ladera de la montaña.) Otra ilustración del gradiente es la temperatura Tsx, yd en cualquier punto sx, yd de una placa metálica plana. En este caso, =Tsx, yd da la dirección de máximo aumento de temperatura en el punto sx, yd, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Curvas de nivel: T(x, y) = 20 − 4x2 − y2 y

EJEMPLO 5

Hallar la dirección de máximo incremento

5

La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es Tsx, yd 5 20 2 4x 2 2 y 2 donde x y y se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partir de (2, 23) aumenta más rápido la temperatura? ¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento? x

−3

3

Solución El gradiente es =Tsx, yd 5 Txsx, ydi 1 Tysx, ydj 5 28x i 2 2y j.

(2, −3)

Se sigue que la dirección de máximo incremento está dada por =Ts2, 23d 5 216i 1 6j

−5

La dirección del máximo incremento de la temperatura en s2, 2 3d está dada por 2 16i 1 6j. Figura 13.51

como se muestra en la figura 13.51, y la tasa de incremento es i=Ts2, 23di 5 !256 1 36 5 !292 por centimeter. centímetro. < 17.098 per

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La solución del ejemplo 5 puede entenderse erróneamente. Aunque el gradiente apunta en la dirección de máximo incremento de la temperatura, no necesariamente apunta hacia el punto más caliente de la placa. En otras palabras, el gradiente proporciona una solución local para encontrar un incremento relativo de la temperatura en el punto s2, 23d. Una vez que se abandona esa posición, la dirección de máximo incremento puede cambiar.

Hallar la trayectoria de un rastreador térmico

EJEMPLO 6

Un rastreador térmico se encuentra en el punto s2, 23d sobre una placa metálica cuya temperatura en sx, yd es Tsx, yd 5 20 2 4x 2 2 y 2. Hallar la trayectoria del rastreador, si éste se mueve continuamente en dirección de máximo incremento de temperatura. Solución Represéntese la trayectoria por la función de posición rstd 5 xstdi 1 ystdj. Un vector tangente en cada punto sxstd, ystdd está dado por

Curvas de nivel: T(x, y) = 20 − 4x2 − y2

r9std 5

y 5

dx dy i 1 j. dt dt

Como el rastreador busca el máximo incremento de temperatura, las direcciones de r9std y =Tsx, yd 5 28xi 2 2yj son iguales en todo punto de la trayectoria. Así, 28x 5 k

x −3

dx dt

y 22y 5 k

dy dt

donde k depende de t. Despejando en cada ecuación dtyk e igualando los resultados, se obtiene

3

dx dy 5 . 28x 22y (2, −3)

La solución de esta ecuación diferencial es x 5 Cy 4. Como el rastreador comienza en el punto s2, 23d, se puede determinar que C 5 2y81. Por tanto, la trayectoria del rastreador del calor es

−5

Trayectoria seguida por un rastreador térmico Figura 13.52

x5

2 4 y . 81

La trayectoria se muestra en la figura 13.52. En la figura 13.52, la trayectoria del rastreador (determinada por el gradiente en cada punto) parece ser ortogonal a cada una de las curvas de nivel. Esto resulta claro cuando se considera que la temperatura Tsx, yd es constante en cada una de las curvas de nivel. Así, en cualquier punto sx, yd sobre la curva, la velocidad o razón de cambio de T en dirección de un vector unitario tangente u es 0, y se puede escribir =f sx, yd ? u 5 Du Tsx, yd 5 0.

u es un vector unitario tangente.

Puesto que el producto escalar de =f sx, yd y u es 0, se puede concluir que deben ser ortogonales. Este resultado se establece en el teorema siguiente.

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CAPÍTULO 13

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TEOREMA 13.12 EL GRADIENTE ES NORMAL A LAS CURVAS DE NIVEL Si f es diferenciable en sx0, y0d y =f sx0, y0d Þ 0, entonces =f sx0, y0d es normal (ortogonal) a la curva de nivel que pasa por sx0, y0d.

Hallar un vector normal a una curva de nivel

EJEMPLO 7

Dibujar la curva de nivel que corresponde a c 5 0 para la función dada por f sx, yd 5 y 2 sen sin x y hallar un vector normal a varios puntos de la curva. Solución La curva de nivel para c 5 0 está dada por 0 5 y 2 sen sin x y 5 sen sin x como se muestra en la figura 13.53a. Como el vector gradiente de f en sx, yd es =f sx, yd 5 fxsx, ydi 1 fysx, ydj 5 2cos xi 1 j se puede utilizar el teorema 13.12 para concluir que =f sx, yd es normal a la curva de nivel en el punto (x, y). Algunos vectores gradiente son =f s2 p, 0d 5 i 1 j 2p !3 1 =f 2 , 2 5 i1j 3 2 2 p =f 2 , 21 5 j 2 p !3 1 =f 2 , 2 52 i1j 3 2 2 =f s0, 0d 5 2i 1 j p !3 1 =f , 52 i1j 3 2 2 p =f , 1 5 j. 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 2

Estos vectores se muestran en la figura 13.53b. z y

4 3 2

−4

−π

1

π x

4

−π

π 2

y −2

−4

a) La superficie está dada por f (x, y) 5 y 2 sen x

Figura 13.53

El gradiente es normal a la curva de nivel

π

x

y − sen x = 0

−3

b) La curva de nivel está dada por f sx, yd 5 0.

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Funciones de tres variables


Directional Derivatives and Gradients

941 941

Las definiciones de derivada direccional y gradiente se pueden extender de manera natuThree ral Functions a funciones deoftres o más Variables variables. Como a menudo pasa, algo de la interpretación geométrica se pierde al generalizar funciones and de dos variablescan a funciones de naturally tres variaThe definitions of the directional derivative the gradient be extended bles. Por ejemplo, no se puede interpretar la derivada direccional de una función de tres to functions of three or more variables. As often happens, some of the geometric variables como una pendiente. interpretation is lost in the generalization from functions of two variables to those of Las definiciones y propiedades de la derivada direccional y del gradiente de unaoffunthree variables. For example, you cannot interpret the directional derivative a ción de tres of variables se dan en resumenslope. siguiente. function three variables toelrepresent The definitions and properties of the directional derivative and the gradient of a function of three variables are given in the following summary. DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES DERIVATIVE AND GRADIENT FOR de THREE f una función de Sea DIRECTIONAL x, y y z, con derivadas parciales primerVARIABLES orden continuas. La u 5 ai 1 bj 1 The ck está derivada direccional de f en dirección de un vector unitario Let f be a function of x, y, and z, with continuous first partial derivatives. dadadirectional por derivative of f in the direction of a unit vector u ai bj ck isDgiven by u f sx, y, zd 5 afxsx, y, zd 1 bfysx, y, zd 1 cfzsx, y, zd. afx x,como y, z Du f x, El gradiente dey,f zse define

bfy x, y, z

cfz x, y, z .

The gradient f is defined as =f sx, y, zd 5 fof xsx, y, zdi 1 fysx, y, zdj 1 fzsx, y, zdk. f x, y, zdel gradiente fx x, y, z ison:fy x, y, z j Las propiedades 1. 2. 3.

fz x, y, z k.

of the gradient are as follows. DProperties u f sx, y, zd 5 =f sx, y, zd ? u Si Dsux,f y, x, zy,d 5 z 0, entonces f x, y, z Du uf sx, y, zd 5 0 para toda u. 1. =f La dirección de máximo incremento 0, then Du f x, y, zde f está 0 fordada 2. If f x, y, z all u.por =f sx, y, zd. El valor máxiD f s x, y, z d mo de es u 3. The direction of maximum increase of f is given by f x, y, z . The maximum value i=f sx,ofy,Dzdui.f x, y, z isValor máximo de Du f sx, y, zd.

f x,dey,mínimo z . Maximum of dada Du f x,por y, z 2=f sx, y, zd. El valor míni4. La dirección incremento devalue f está D f s x, y, z d mo de es u 4. The direction of minimum increase of f is given by f x, y, z . The minimum z is 2i=fvalue sx, y, zofdi.Du f x, y, Valor mínimo de Du f sx, y, zd. f x, y, z .

NOTA El teorema 13.12 se puede generalizar a funciones de tres variables. Bajo las hipótesis adeNOTE You can generalize Theorem 13.12 to functions of three variables. Under suitable cuadas, hypotheses, =f sx0, y0, z0d f x0, y0, z0 es normal a la superficie de nivel a través de sx0, y0, z0d. n is normal to the level surface through x0, y0, z0 .

z 8

Hallar el gradiente para una función de tres variables EXAMPLE 8 Finding the Gradient for a Function of Three Variables Hallar =f sx, y, zd para la función dada por EJEMPLO 8

6 4 2

(2, −1, 1) −6

−4

2 x

2

4

6

y

−2 −4

∇f(2, − 1, 1) = 4i − 2j − 4k

Superficie de nivel y vector gradiente en 2, 1, 1 para f x, y, z x2 y2 4z Figura 13.54

Minimum value of Du f x, y, z

Find f x, y, z 2for the function given by f sx, y, zd 5 x 1 y 2 2 4z f x, y, z x 2 y 2 4z y hallar la dirección de máximo incremento de f en el punto s2, 21, 1d. and find the direction of maximum increase of f at the point 2, 1, 1 . Solución vector gradiente estáis dado Solution ElThe gradient vector givenpor by =f sx,f y,x,zy, d5 di z1i fysx,fy y,x,zy, dj z1j fzsx,fz y,x,zy, dkz k z fxsx,fx y,x,zy, 5 2x i2x1i 2y j2y2j 4k.4k. PorSo, tanto, la dirección dedirection máximo of incremento es s2, 21,at1d 2, it follows that the maximumenincrease =f s2,f 21, 2, 11,d 5 1 4 i 42i 2 j 22j 4 k.4 k.

1, 1 is

la figura 13.54. SeeVer Figure 13.54.

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942 Chapter 13 Functions of Several Variables Chapter of Variables Chapter13 13 13 Functions Functions of Several Several Variables CAPÍTULO Funciones de varias variables Chapter 13 Functions of Several Variables 942 Chapter 13 Functions ofof Several Variables 942 Chapter Chapter Functions of Several Variables 942 13 of Several Variables 942 Chapter 1313Functions Functions Several Variables

942 942 942 942

Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.6 Exercises See 13.6 Exercises Seewww.CalcChat.com www.CalcChat.comfor forworked-out worked-outsolutions solutionstotoodd-numbered odd-numberedexercises. exercises. 13.6 Ejercicios 13.6 Exercises See for worked-out solutions totoodd-numbered exercises. 13.6 Exercises www.CalcChat.com forfor worked-out solutions exercises. 13.6 Exercises SeeSeeSeewww.CalcChat.com See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.6Exercises www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.6 Exercises www.CalcChat.com worked-out solutions toodd-numbered odd-numbered exercises. 13.6 In Exercises 1–12, the directional derivative of thede function En los ejercicios 1 find afind 12,the hallar la derivada direccional la funIn 1–12, directional derivative of InExercises Exercises 1–12, find the directional derivative ofthe thefunction function In Exercises 1–12, find the directional derivative of the function at in the direction of v. P In Exercises 1–12, find the directional derivative of the function 1–12, the directional derivative of the function In 1–12, find the derivative ofof the function ción en en dirección de v.directional P Exercises 1–12, find directional derivative the function at in the direction of v.v.the PExercises atIn inExercises the direction offind PIn at in the direction of v. P atat inP the direction ofof in the direction at in the direction of v.v.of PPat in the direction v. v. P 3 4 1. f x, y 3x 4xy 9y, P 1, 2 , v 333i 444j 1.1. ff x,x,yy 3x 3x 4xy 4xy 9y, 9y, PP 1,1,22 , ,vv 353i3i 3 454j4j 4 1. f x, y 3x P 1, 2221, ,,,vvv2 , v55iii i55jjj j 1. f x, y 3x3x3x4xy 4xy 9y, 4xy9y, 1. 1.f 1.x, yf x, 4xy 9y, PPP 1,1,P f x, y y 3x 4xy 9y,9y, 1, 2 , v 55 i 55 j 2 22 5 5 5 5 5 5 2. f x, y x333 y333, P 4, 3 , v 222 iii 2 jjj 2.2. ff x,x,yy xx33 yy33, , PP 4,4,33 , ,vv 2 2. x, yyfyx, y xxx3 3 x3yyy3,,,3yP 4, 3334, ,,,vvv3 , v 22 2iii jijj j 3P ,P 2.2.2.fff2. x, 4,4,P y ,P fx,x, y x 4, 3 , v 22 i j 3. f x, y xy, P 0, 2 , v 1121 i 2 2 32 j 3.3. ff x,x,yy xy, xy, PP 0,0, 22 , ,vv 1221 ii 1 33jj 3. P 0, 222,,,vvv2 , v212 ii1i i 333jjj 3 j x, yyfyx, y xy, xxy, xy, 3.3.3.fff3. PPP 0,0,P x, 0, 0, 2 , v 2 2 i2 fx,x, y xxy, 3j x,xy,P 1, 4. f x, y 1 , v j 4.4. ff x,x,yy xxyx, , xPP 1,1,11 , ,vv jj x 4. f x, y , P 1, 1 , v j y 4.4.4.ff4.x, yfyx, 111, fx,x, y y yyy,, , PP, P1,1,P 1, 1,,vv,1v, v jj j j y xy y 5. h x, y exx sen y, P 1, , v i ii 5.5. hh x,x,yy eexxsen seny,y, PP 1,1, 2 , ,vv h x, y e P 1, , v i 5. sen y, 2 2 x x h x, y e P 1, , v 5. sen y, x hy x, esen sen 5. 5.h5.hx, x, y, y y e esen y,Py,P1,P1, 1,, v, v, v ii i i arccos xy, P 1,22202 ,2v j 6. g x, y xy, 6.6. gg x,x,yy arccos arccos xy, PP 1,1,00 , ,vv jj yyyx, y arccos PPP1,1, 00041, , ,v, vv jj3i j 4j 6. x,x, arccos xy, 6.6.ggg6.x, x 22 xy, y222, xy, 3,P 7. g x, arccos xy, 6. g y arccos 1, j 4j xx22arccos 440, ,v,,0vvv, vj 3i3i yyxy, , , PPPP1,3,3, 7.7. gg x,x,yy 4j 22 2y 22 g x, y x P 3, 4 ,,,vvv4 ,i v3i , 7. y22,y2 ,2P 2P 22 2 2x yx, x 3, 4 3i 4j 7.7.ghg7.gx,x,x, e 0, 0 , v j 4j 8. 2 g y P 3, y , y x P 3, 4 3i y , 7. jj3i4j4j4j 8.8. hh x,x,yy y ee xxxx2x2 yyyy2 2, , y P,P 0,0,P003,, ,v4v , vii 3i 2 2 x 2 2, 2 y 2 h x, y e P 0, 0 , v i j 8. x y , h x, y e P 0, 0 , v i j 8. x y hy x, P 0 0, 8. 8.h8.hx, x, y y e e 2e ,2 , P, P0, 0, 0, v,0v, vi i ij j j 33 3i j k x y z 2, P 1, 1, 1 , v 9. f x, y, z kk 9.9. ff x,x,y,y,zz xx2222 yy2222 zz2222, , PP 1,1,1,1,11 , ,vv 3333 3iii 3 jjj k y z , f x, y, z x P 1, 1, 1 , v 9. 3 3 2 2 2 2 2 2 y z , f x, y, z x P 1, 1, 1 , v 9. f x, y, z y, 1,1, 1 1, ii i ijj j jkkk k 9. 9.f 9.x, f x, y, z z x x 2x y y 2y z ,z 2,zP, P1,P 1, 1, 1, v,1v, v xy yz xz, P 1, 2, 1 , v 3332i3 3 j k 10. f x, y, z 10. xy yz yz xz, xz, PP 1,1,2,2, 11 , ,vv 2i2i jj kk 10. ff x,x,y,y,zz xy ffh(x, y, zzzz y, z xy 111,2,,vvv1 , v2i 10. f x, y,x, xyxyxyyz yz xz,1 xz, 2i 2ijjj jk 10. y, xyz, 1, ,PP v 1, 2, 1, P 2,yzxz, 11. fy, 2, x, y, xy yz xz, 1,1,P2, 2,2,1, 2i kk k 10. fx,x, 2, 10.10. h(x, 11 ,P 11. h(x, y,y,zz z xyz, xyz, PPyz2,2,1,1,xz, ,vvP 1,2, 2,1,1,212 , v 2i j k 11. h(x, y, z xyz, P 2, 1, 1 , v 2, 1, 2 11. ,vv11, 11. hh(x, x, h(x, y,y, zz y, xxyz, arctan yz, ,2,v1,1,2, 12. xyz, PPyz, 2,2,P 1,1,2,P 1P11, ,4, 221,1,22, 1 11. h(x, xyz, v1,, 11v12, 11.11. hh(x, zz z z xxyz, , ,v2, 12. h x, x,y,y,y, xarctan arctanP yz,2, 1, P14,4,,1, v 1, 21,1,2,2, 11 12. h x, y, z x arctan yz, P 4, 1, 1 , v 1, 2, 111 1 12. h x, y, z x arctan yz, P 4, 1, 1 , v 12. hy, x, x arctan h hx, x, z y, yz,yz,yz, P P4,P 1,4, 1 1, 2,2,1, 12.12.12. y, z z x arctan x arctan 4, 1, 1, v,1v, v 1,1,1, 2, 2, 1 In Exercises 13 –16, find the directional derivative of the In Exercises 13 –16, find the derivative the In los Exercises 1313 –16, find theladirectional directional derivative of the En ejercicios a 16, hallar derivada direccional deof la funIn –16, find the directional the u derivative cos i + of sen j. the function in the13 direction offind the unit vector InInExercises Exercises 13 –16, find the directional derivative of the In Exercises 13 the directional derivative of In Exercises –16, find the directional Exercises 13 –16, find the directional derivative ofthe cos ii ++ of sen j.the function in direction of vector sen cos sen j. function inthe the13 direction ofthe the unit vector ción en dirección de u–16, 5 cos u iunit 1 sin u j. uu derivative u cos i + sen j. function in the direction of the unit vector u cos i + sen function in the direction of the unit vector +sen sen function in the direction of the unit vector u u ucos i +i +isen j.j.j. j. function inin the direction ofof the unit vector coscos function the direction the unit vector x 2 y 2, 13. f x, y 13. 13. ff x,x,yy xx2222 yy2222, , fff x, yyfyx, y xxx2 2x 2yyy2,,,2y 2, 444 13. 13. x, 13. fx,x, y x y , 13.13. 444 4 y 4 yy , 14. f x, y yyy y ,y, 14. 14. ff x,x,yy x 6 fff x, yyfyx, y xx yy,,, , 14. 66 14. x, 14. fx,x, y xx yy , 14.14. 666 6 x x xy y y 6 sen 2x y , 15. f x, y 15. sen 2x 2x yy , , 15. ff x,x,yy sen 3 fff x, yyfyx, y sen 2x 15. sen 2x2x2xyyy,,y, ,y , 333 15. x, 2x 15. fx,x, y sen sensen 15.15. 2 33 3 3 22 xeyyy, 16. g x, y 2223 2 16. xeyy, , 16. gg x,x,yy xe gggx, xe 16. 332 y ,, ,xe xexe 16. y ,y , gyyyx, 16. gx,x,x, y y xe 16.16. 333 3 3 In Exercises 17–20, find the directional derivative of the In Exercises 17–20, find the derivative of the In los Exercises 17–20, find theladirectional directional derivative of the En ejercicios 17 a 20, hallar derivada direccional deof la funIn Exercises 17–20, find the directional derivative the Q. function at P in the direction of InInExercises Exercises 17–20, find the directional derivative of the In Exercises 17–20, find the directional derivative of In 17–20, find the directional derivative of Exercises 17–20, find the directional derivative ofthe thethe PPin Q. function at the direction of Q. function at in the direction of ción en Pat enPPdirección de Q. of Q. function in the direction Q. function at in the direction ofof Q. function at in the direction of P Q. function at in the direction of 2P 2direction P Q. function at in the x 3y22, P 1, 1 , Q 4, 5 17. f x, y 17. 3y22, , PP 1,1,11 , ,QQ 4,4,55 17. ff x,x,yy xx2222 3y f x, y x 1111, ,,,Q 4, 5554, 5 17. 23y 2P1, 2 2, ,3y f x, y x 3y3y 17. 2 ,4,Q , P1,1,P f x, yf x, P , 2, P 17.17.17. f x, y y x x x 3y 1, 1QQ ,1Q4, 4, 5 cos x y , P 0, , Q , 0 18. f x, y 18. cos xx yy , , PP 0,0, , ,QQ 2, ,00 18. ff x,x,yy cos fff x, yyfyx, y cos xx xyyy,,, yP 0, 0,,,,Q 18. 2, 0 cos 18. x, 18. fx,x, y cos cosxcos x y , PP, P0,0,P 0, QQ , Q,222Q,,00, 0, 0 18.18. xyezzz, P 2, 4, 0 , Q 0, 0, 19. g x, y, z 202 19. xyez,z, PP 2,2,4,4,00 , ,QQ 0,0,0,0,020 19. gg x,x,y,y,zz xye g x, y, z xye , 2, 4, 0 , Q 0, 0, 000,0,Q04, 3, 1 P 19. z z , g x, y, z xye P 2, 4, 0 , Q 0, 19. z lnxye x,xyePy, 2,P4, z 4, , 0,PQ,01, 0,0,0,00, 20.19.19. gy, x, ,Q gh gx, x, xye 0, 19. z z ln Q zzz y, zz2, ,0, 4, PP 1, 20. x,y,y,y, ln xx , yyP 2, 1,0,0, 0,00, 0 , ,0QQ 4,4,3,3,11 20. hh x, h x, y, z ln x y z , 1, 0, 0 ,,,Q 4, 3, 1113, 1 P 20. lnlnxxln 20. hy,y,x, ,4,Q hh hx,x,x, zz y, 0,0,1, 000, 3,3,4, 20. y, z z ln x xyy y yzz ,z, ,zPP, P1,1,P 1, 0, 0QQ ,0Q4, 4, 3, 1 20.20. In Exercises 21–26, find the gradient of the function at the given In InExercises Exercises21–26, 21–26,find findthe thegradient gradientof ofthe thefunction functionat atthe thegiven given In Exercises 21–26, the gradient of the function at the given point. InIn Exercises 21–26, the gradient ofof the function atat the given En los ejercicios 21 find afind 26, hallar el gradiente defunction la función en el In Exercises 21–26, find the gradient of the at the given In Exercises 21–26, find the gradient of the function at the given Exercises 21–26, find the gradient the function the given point. point. point. point. punto dado. point. point. 2 point. 3x 5y22 1, 2, 1 21. f x, y 21. 3x 5y 5y22 1,1, 2,2,11 21. ff x,x,yy 3x ffgf x, yfyyyx, y 3x 21. x5y 2 5y x, 3x3xyy3x 21. 2 21, x, 2xe 2, 01,1, 1,2, ,5y5y 22. 21. x, 3x 2,2,1112, 1 21. f x, y 21. x5y y x g x, y 2xe , 22. 2xeyyxx, 2,2,00 1, 2, 1 22. g x, y ggzgx, 0002, 0 22. x2, x,gyyln y yx2y222xe 2xe 22. yy ,xy,,,xy, 2, 23. ,2,332, 2, 22. 2xe 22.22. zz gx, x, lnlnx, xx222xe yy2xe , , 2,2, 23. 3 0 23. z ln x 2, 3 y , 23. z ln lnlnxx2ln 32, 34 23. cos x 22 2yy,2 , ,2,2, 24. 33, 23. 23.23. zzz z zcos xxx2222x y y,yy2222,y, , 2, 3, 24. cos 3,3 44 24. y , z cos x 3, 441, 24. 2 2 2 2 2 2 2 y , z cos x 3, 4 1, 2 24. 2 2 3xcos 25.24.24. ,2, 3, 3, x y , y2z zw zcos xcos 5y 24. ,2z23, 1,1,41,1,4 22 25. 3x2222 x 5y 5y2222 y 2z 25. wwz 3x 22, , w 3x 1, 1, 222 2 5y 2z , 25. 2 3x 5y2 z5y 2z24, 25. 2 y25y 2 , 22z 23,21, x3xtan 11,1, 1, 26. www wx3x ,,2z 1, 25. 3x 2 ,3,,1,1, 25.25. w 4,4, 3, 111, 26. w xtan tan yy 5yzz , , 2z 26. w 3, 111 1 26. y y yzzz,,z, ,z 4, 26. x yytan ,4,4, www wxxxtan tan 4, 3,3,4, 26. xtan tan 3, 3, 1 26.26.

In Exercises 27– 30, use theutilizar gradient to find the directional EnExercises los ejercicios 27 use ause30, el gradiente para hallar la In 27– the to directional In Exercises 27–30, 30, the gradient gradient to find find the the directional In Exercises 27– 30, use the gradient to find the directional P Q. derivative of the function at in the direction of In Exercises 27– 30, use the gradient to find the directional InExercises Exercises 27– gradient tofind find directional In 27– 30, use the gradient directional derivada direccional deuse lause función endirection entofind la dirección de P to Q. InExercises 27– 30,30, the thethe directional PPthe Q. derivative of function at in the of Q. derivative ofthe the function at ingradient the direction ofthe P Q. derivative of function at in the direction of Q. derivative ofthe the function atat inP the direction ofof derivative the in the direction of PPat Q. derivative the function at in the direction of 2the 2function P Q.Q. function in the direction g x, y ofof xof P 1, 2 , Q 2, 3 y 1, 27.derivative 27. 27. gg x,x,yy xx2222 yy2222 1,1, PP 1,1,22 , , QQ 2,2,33 ggfgx, P 1, ,,, 4Q 27. x,x, x2 22x 2yyy2y 22y 21, 27. PP QQ3333,2, 4,1, 1, 28. gyyyyx, y xx3x 2Q, ,2, PPP 1,1,P2221,1, 2,2, 1,1, 27. gx,x, 24Q 36663 27.27. ff x, 28. P 1,1,1, y y 3x 3xx2222 yyy2222 4,4, 4, ,Q , QQ2,3,3, 28. f x, y 3x P 1, 4 , Q 3, 28. y 2 2 2yy2 2 24, f x, y 3x P 1, 4 , Q 3, 4, 28. f x, y e P 0, 0 , Q 2, 1 sen x, 29. fy x, y 3x sen 3x y y 4, 4, 4 ,3,Q6663, 6 P P1, 4 1, , Q 28.28.28. fx,x, 29. y y eeyyyy3x senx,x,y PP 0,0,4,00 , ,PQQ 2,2,1,114 , Q 3, 6 29. ff x, f x, y e P 0, 0 , Q 2, 1 sen x, 29. y y f x, y e P 0, 0 , Q 2, 1 sen x, 29. y e x, fy x, ,2,Q f x, P P0,P 0 0, 1 2, 29.29.29. f x, y y e esen 0, 0, Q ,0 Q 2, 11 sensen x, x, sen 2x cos y, P , 0 , Q , 30. f x, y 30. sen2x 2xcos cosy,y, PP , ,00 , , QQ 2, , 30. ff x,x,yy sen fff x, yfyyx, y sen 2x cos y, ,,, , 30. sen 2x2x cos y,y, P 30. sen 2x cos y, , 2222Q x, 2x cos y, PPP ,,P,000, ,0,,, Q Q 30. fx,x, y sen sen cos ,0QQ , 30.30. 222 In Exercises 31–40, find the gradient of the function and the In Exercises 31–40, find the gradient of and In Exercises 31–40, the gradient of the the function function and the the EnExercises los ejercicios 31the afind 40,the hallar elderivative gradiente de lagiven función y el In 31–40, find gradient of and the maximum value of directional atfunction the point. In Exercises 31–40, find the gradient ofofthe the function and the InExercises Exercises 31–40, find the gradient ofthe the function and In Exercises 31–40, find the gradient of the function and the In 31–40, find the gradient function and thethe maximum value of the directional derivative at the given point. maximum value of the directional derivative at the given point. valor máximo de la derivada direccional en el punto dado. maximum value of the directional derivative at the given point. maximum value ofof the directional derivative atat the given point. maximum value of the directional derivative at the given point. maximum value of the directional derivative at the given point. maximum value the directional derivative the given point. Función Punto Función Punto Función Punto Función Punto 2 Función Punto f x, y x22 2xy 1, 0Punto 31. Función Función Punto Función 1,1,Punto 00 31. 2xy 31. ff x,x,yy xx22 2xy f x, y x 1, 0001, 0 2xy 31. 2 2xy 31. fyyx, 2xy ff x, 1,1,1, 31. fx,x, y y xxxxx2 x2 xyyy2xy 0 2xy 31.31. 0, 1 32. f x, y xxyx xyy1y y 0,0,11 32. 32. ff x,x,yy fff x, yfyyx, y yy x 11 y 0, 1110, 1 32. 32. x, 0,0,0, 32. fx,x, y yy 11 1 32.32. y y y1 1 1 x tan y 2, 33. h x, y 2,2, 4 33. tanyy 33. hh x,x,yy xxtan hhhx, x tan 2, 33. 44 yy y 33. hyyyx, xyytan 2,2,2, 33. hx,x,x, y y xxtan xtan tan 33.33. 4442, 4 4 y cos x y 0, 34. h x, y 0,0, 3 34. cos xx yy 34. hh x,x,yy yycos hhhx, xcos 0, 34. cos x x xyyy y y 34. 34. y yyycos x,x,hyyyx, cos 0,0, 33330, 34. xy x y y yey xcos 0, 0, 5 3 35.34.g hx, x, x g x, y ye 0, 35. ye xx 0,553 3 35. g x, y g x, y ye 0, 5 35. 3 2 2 x x g x, y ye 0, 35. x ln 33ye x y 1,0, 36.35.35. gy x, y ye g gx, x, 0, 5250, 5 35. xx2222 yy2222 1, 36. x,yy y lnlnye 1,22 5 36. gg x, 33x g x, y ln y 1, 2 36. x,x, lnln3 ln 21,2 2 36. fgx, z y ln x3x22 32 2yy22 2 2z 2 37. gy, yyx, 1,1,1, 24, 36. gx, 36.36. fgf x, y, xx2222x xyy2222y y zz2222 1, 37. y,zyz 1,4,4,222 37. f x, y, z x y z 1, 4, 2224, 2 37. 2 2 2 2 2 2 f x, y, z x y z 1, 37. 2 2 2 f x, f x, y, z y, 1, 1, 4,4,1, 37.37.37. f x, y, z z x111x x y y y z z z 4, 2 0, 0, 0 38. w 2 2 2 1 w 0, 0, 00 38. 0, 0, 38. w 1 y z 1 x 1 2 2 2 1 2 1 2 2 w 0, 0, 0000, 0 38. 38. www w 11 xx2 yy2 zz2 0,0,0, 0,0,0, 38. 0, 0 38.38. 2, 1, 1 39. w xy121221z2122 1xxx22x 2x 2yyy22y 2y 2zzz22z2 z2 w xy z 2, 1, 39. 2, 1,11 39. w xy22z22 w 2, 1, 39. 2 2xe xy 1,2,1111,4 1 39. fwx, y,xy z 2zzzxy 0, 40. w z 2yzyzyz xy 2,2,2, 1, 39. w 39.39. fwf x, 2, 40. x,y,y,zzxy z xe xeyz 2,0,0,1, 144 40. yz f x, y, z xe 2, 0, 444 4 40. yz xe xexe 40. yz yz x y fy,x, ff x, y, zz y, 2,2,2, 0,0,2, 40. fx,x, y, z z xe 0, 0, 4 40.40. 3 xx yy. In Exercises 41– 46, consider the function f x, y In InExercises Exercises41– 41–46, 46,consider considerthe thefunction functionff x,x,yy 33 xx3x x xyy2y. .y y fff x, yyyx, y 333 333 22... . In Exercises 41– 46, consider the function In Exercises 41– 46, consider the function In Exercises 41– 46, consider the function x, In Exercises 41– 46, the function En los ejercicios 41 aconsider 46, utilizar la función fx,xfx, yc 5 3 2 In Exercises 41– 46, consider the function 333 32 222 .2 41. Sketch the graph of f in the first octant and plot the 3point 2 41. 41. Sketch Sketch the the graph graph of of ff inin the the first first octant octant and and plot plot the the point point f 41. Sketch the graph of in the first octant and plot the point 3, 2, 1 on the surface. f 41. Sketch the graph of in the first octant and plot the point f the Sketch the graph inthe the first octant plot point 41. Sketch graph of first octant and plot thethe point 41. Dibujar la gráfica deoff fofin el primer octante y and marcar elthe punto fenin 41.41. Sketch the first octant and plot point 3,3, 2,2, 11 the on the surface. on thegraph surface. 3, 2, 1112,on surface. the surface. sen j, D u cos i sen fon 3,the 2the ,the 42. Find where each given 1on on surface. 3,3,3, 2,2, the surface. (3, 2,3, 1) sobre la superficie. 2, surface. u1on D u cos i j, f 3, 2 , 42. Find where each given sen j, 42. Find Duu f 3, 2 , where u cos i each given D u iii sen j, fffD ,,, where 42. Find each given .3, value ofuD D cos 23, 42. Find each given f223, ,donde isen Find where each given D uuu ucos cos j,j,j, j, usando 42. Find each given 42. Hallar cada f s3, d,2where , where sensen coscos i sen fu3, 22where 42.42. Find each given value of value of uuD u.u.3, . value of . value of 2 value value of valor dado . . q. value of.ofde 22 (a) (b) 2 2 (a) (b) (a) (b) 4 p 2233p 2 (a) (b) 4 4 (a) (b) (a) (b) a)(a)u(a)5 44 b)(b)u(b)5 333 444 3 33 44 (c) (d) 443 4 (c) (d) (c) (d) 6 4p4 p (c) (d) (c) (d) (c) (d) c)(c)u(c)5 3333 d)(d)u(d)5 2 6666 v 666 333 v v using each given vector v. 43. Find Du f 3, 2 , where u vvvv ,,,using 43. each 43. Find FindDDuuff 3,3,22 , ,where whereuu eachgiven givenvector vectorv.v. vusing v, using u v. fffD3, 2f223, ,,,where D 43. Find each given vector u 3, D 43. Find where using each given vector u u u 2 , , using 43. Find where each given u v.v.v. v. 3, D 43. Find where each given vector 43. usando cada vector vvector dado. 3, 22d,, donde , using 43.Hallar Find D where u vvv ,,using each given vector uDuu ffus3, (a) v i j v v v (a) (a) vv ii jj vvv viii 3ijijj 4j (a) (a) (b) j (a) v i1 i3i3ij j 4j a)(a)vv(a) (b) v5 4j (b) v 3i 4j (b) v 3i 4j4j (b) 2, 6 . (c) is vector from vthe 4j 1, 2 to 3ivector 4j (b) visthe 3i b)(b)vv(b) 5 23i 23i4j (c) from vis (c) the vector from 1,1,22 toto 2,2,66 . . v 1, 22221,to 2, 66.62, ... 6 . (c) is the vector from v 1, 2,2, (c) is the vector from to v 3, 4, (d) is the vector from to v 2 (c) is the vector from to v 1, 2, (c) is the vector from to visis the vector from c)(c)vves el vector que va de a4,s5522, 2to d 4, 3,3,1, 2s21,2toto (d) is the vector from 5 . . 66.d. (d) the vector from vvis 3, 2223,to .. from 4,5554, (d) the vector from to 4, f the x, yvector . vector 44. (d) Find vthe the from 3,3,3, (d) is vector from vis (d)vv(d) the from d) es el que va de ato4, s3,2to22to d 4, s4,5. 5.5d. . ffis x,x,is yvector 44. y . .vector 44. Find Find f x, y . 44. Find x,x, 44. Find 45. the value of the directional derivative at 3, 2 . Find ff x, yfyx, .y. .y . value 44. Find fmaximum 44.44. Find 45. Find the maximum 45. Find the maximum valueof ofthe thedirectional directionalderivative derivativeatat 3,3,22 . . 44. Find Hallar =fmaximum sx, yd. value 2223, ... 2 . 45. the of the directional derivative 45. Find the maximum value ofof the directional derivative atat3, uvalue f 3, 2 derivative 46.45.45. a the unit vectorvalue orthogonal to and at calculate Find the maximum value of the directional at3, 3,3, 45. Find the maximum of the directional derivative at 2. Find maximum the directional uu orthogonal ff 3,3,2derivative 46. Find aaelunit vector toto direccional calculate 2 and 46. Find unit vector orthogonal and calculate 45. Find Hallar valor máximo de la derivada en (3, 2). u f 3, 2 46. a unit vector orthogonal to and calculate f 3, 2 . D Discuss the geometric meaning of the result. u f 3, 2 46. Find a unit vector orthogonal to and calculate u u f 3, 2 46. Find a unit vector orthogonal to and calculate u f 3, 2 46. Find a unit vector orthogonal to and calculate ugeometric fof3,the 2 result. 46.DDuFind vector orthogonal to of and calculate 3,3,2a2 . .unit Discuss the meaning Discuss thegeometric meaning the result. ufff 3, 46. D Hallar vector unitario de u ortogonal aof=f y calcular s3,result. 2d result. 2un the geometric meaning of the f f3,3, 2.2..Discuss Discuss the geometric meaning the result. uD . Discuss the geometric meaning of the DD Discuss the geometric meaning of the result. .2Discuss the geometric meaning of the result. u f2 3, uufuD3, Du f s3, 2d. Analizar el significado geométrico del resultado.

I e m F e d

4

x

CAS

4

5

C

1053714_1306.qxp 10/27/08 12:08 PM Page 943 Larson-13-06.qxd 3/12/09 19:00 Page 943 1053714_1306.qxp 10/27/08 12:08 PM Page 943

943 943 943 943

13.6 Directional Derivatives and SECCIÓN Derivadas direccionales yGradients gradientes 13.613.6 Directional Derivatives andGradients 13.6 Directional Derivatives and Gradients Investigation 47 toto Investigation In In Exercises Exercises 47 and and 48, (a) use the the graph graph Investigación En los ejercicios 47 y48, 48,(a) a) use utilizar la gráfica estimate the ofofthe vector ininen the direction ofofde the estimate thecomponents components the vector thelause direction the para estimar lasIncomponentes vector dirección la Investigation Exercises 47del and 48, (a) the graph to maximum rate ofofincrease function at point. maximum ratede increaseinin the function atthe given point. (b) tasa máxima incremento en lavector función engiven el punto dado. the estimate the components ofthe the in the direction of(b) the Find the gradient ataten the point compare it your Find theel gradient the point and compare it with your b) Hallar gradiente el punto compararlo elwith estimado maximum rate of increase in the yand function at thecon given point. (b) estimate in part (a). (c) In what direction would the function be estimate in part (a). (c) In what direction would the function be del inciso c) ¿En qué dirección más rápido la funFind thea).gradient at the point decrece and compare it with your decreasing atatpart the rate? Explain. decreasing thegreatest greatest rate? Explain. ción? Explicar. estimate in (a). (c) In what direction would the function be 111 the 11 decreasing at greatest rate? Explain. 2 2 47. x 222 3xy 47. 48. 47.f ffsx,x, 48.f ffsx,x, x,yyyd 522y12yy!x,x, x,yyyd 51010 3xy 1yyy222d, ,, 48. x, 10sxx 2 3xy 1 2 1 47.s1, f 22x, f 22x,2d y 3xy y 2 , 48.s1, 1,1, 1,1, 10 x 2 y x, 2d y 1, 2

1, zz z 2

zzz

111

z

z 22 2

1

2 11 1 333

333

3

1

yyy

111

y

xxx 3

222

x

2

333 Generated byby Maple Generado con Maple Generated Maple Generated by Maple Generated by Maple

CAS 49. Investigación CAS 49. 49.Investigation Investigation

1

y 33 3 y y y 3

xx x3 x

Generated byby Maple Generated Maple Generado con Maple Generated by Maple Generated by Maple

Consider Considerar lafunction función Considerthe the function CAS 49. Investigation Consider the function 2222 y 222 2 f ffsx,x, y x x, yyd 5 xx 2 yy 2 y3,2 7 . f x, ypoint x 4, at 1053714_1306.qxp 10/27/08 PM Page 943 s4,4,23, d. . en el atthe thepunto point 3,7712:08 at the point 4, 3, 7 . (a) Use a computer algebra toto graph the surface a) sistema algebraico por computadora la (a)Utilizar Use auncomputer algebra system system graphpara thedibujar surface represented by the function. superficie función.system to graph the surface represented bypor theesa function. (a) Use a dada computer algebra represented by the function. (b) Determine the directional derivative aa 33 asas b) la derivada direccional funDu fD s4, (b)Determinar Determine the directional derivative f4,4,d como Du uuf23 function Use a4,acomputer , ,where uucoscos i isen j.j.D ción de uof un sistema ,ofdonde udirectional 5 u i 1derivative sinsen usen j. Utilizar function where Use computer cos (b) Determine the as a f 3 u algebra system function the 0,0,22 .la. algebraico por representar gráficamente algebra system tograph graph thepara function on theinterval function of computadora Use a computer ,towhere uthe cos i on sen j.interval ensystem el intervalo f0,ofthe 2ofpthe dfunction . function algebra graph on the 2 . (c) Approximate the inininterval part (c)función Approximate thetozeros zeros the function part (b) (b)0,and and interpret each in the context of the problem. c)(c) Aproximar los ceros la función inciso in b) epart interpretar interpret each inthe thede context thedel problem. Approximate zeros of ofthe function (b) and uno eneach elthe contexto del problema. interpret incritical the context of the problem. (d) Approximate numbers ofofthe (d)cada Approximate the critical numbers thefunction functionininpart part(b) (b) and interpret each incritical the context ofoflathe problem. d) Aproximar los números críticos de función del inciso b) e to and interpret each in the context the problem. (d) Approximate the numbers of the function in part (b) Investigation In Exercises 47 and 48, (a) use the graph interpretar cada uno en el contexto del problema. and interpret each in the context of the problem. (e) Find and explain its relationship to your f 4, 3 estimate the vector in the direction of the (e) Findthe fcomponents its relationship to your 4, 3 andof explain answers inin part (d). e)(e) Hallar sf4, d(d). relación respuestas maximum rate of increase thesu function atcon the las given point. answers part Findi=f andin explain its relationship to your(b) 4,23 3i y explicar inciso d). Find the gradient at the point compare it with your answers in part algebra (d). (f) Use aacomputer system totograph the curve (f)del Use computer algebra systemand graph thelevel level curve estimate in part (a). (c) In what direction would the function of the function at the level On this curve, graph f c 7. f )(f) Utilizar sistemaf algebraico porc computadora para represenofUse theaun function atalgebra the level thisthe curve, graph 7. On computer system to graph level curvebe decreasing at the greatest rate? Explain. the vector in the direction of and state itsits f 4, 3 , tar gráficamente la curva de nivel de la función en el nivel f the vector in the direction of and state f 4, 3 , of the function f at the level c 7. On this curve, graph relationship the level curve. 1 toto 1,eland En esta curva, representar gráficamente vector en la c 5 7. relationship the level curve. the vector in the direction of state its 2 2 f 4, 3 47. f x, y 3xy y , 48. f x, y 10 x 2 y x, dirección de y establecer su relación con la curva =f s 4, 23 d , relationship to the level curve. 50. Investigation Consider the function 50. Investigation Consider the function 1, 2 2 de1,nivel. 50. Investigation Consider the function 8y 8y z z . 50. fInvestigación la función fx,x,yy 1 x 2Considerar 2 . 2 2 1 x 8y yy 22 f x, y 1 8y2 y 2. f(a) sx,Analytically yAnalytically d 5 1 2xverify (a) that the level curve2of f x, y at the level 1 1 x verify 1 y 2 that the level curve of f x, y at the level 22isisaacircle. 1 of f x, y at the level circle. (a)ccAnalytically verify that the level curve a) Verificar analíticamente que la curva de nivel de f(x,cy) para is a circle. c 2 (b) At the point on the level curve for which 3, 2 2,2, (b) At the point 3, 2 on the y level curve for which c 3 el nivel es un círculo. c = 2 sketch the vector showing the direction of the greatest rate sketch the vector showing the direction of the greatest rate 3, 2 on the level1 curve for which c 3 2, y 3 (b) At the point ofofsketch increase the (To print ananenlarged copy ! b) En elincrease punto sobre la curva de nivel para cual 2dfunction. c =of 2, of3, the function. (Todirection print enlarged copy of thesof vector showing the of thelagreatest rate x 2 the go www.mathgraphs.com.) dibujar el vector que apunta dirección deenlarged la mayorcopy tasa of o the graph, goto thewebsite websiteen www.mathgraphs.com.) ofgraph, increase oftothe the function. (To print an de incremento la función. the graph, go to3,3, the www.mathgraphs.com.) (c) At the point on curve, 22dewebsite 3 (c)ritmo At the point onthe thelevel level curve,sketch sketchaavector vector such derivative is 0. Generated by Maple c)(c) En el that punto la the curva de nivel, ela vector 3, 2d3,sobre s!directional such thatthe the directional derivative 0. dibujar At the point on level sketch vector 2by Maple Generated x is curve, cuya derivada direccional sea 0. such that the directional derivative is 0. CAS (d) Use a computer algebra system to graph the surface CAS (d) Use a computer algebra system to graph the surfacetoto verify answers ininparts (a)– (c). CAS Investigation Consider thesystem function d)(d) Utilizar un sistema algebraico por computadora repre-to verify answers parts (a)– (c). CAS49. Use your ayour computer algebra to graph thepara surface sentar gráficamente la superficie y verificar las respuestas a verify your answers in parts (a)– (c). f x, y x2 y 2 los incisos a) a c). at the point 4, 3, 7 .

InIn 51–54, vector totothe curve Exercises 51–54, find anormal normal vectornormal thealevel level curve EnExercises los ejercicios 51 afind 54, ahallar un vector la curva de f fnivel x, ccat x,yyExercises f xx, yat c P. 5P.51–54, c en P. find a normal vector to the level curve In f x, y c at P. 2 2 51. 52. 51.f fx,x,yy 66 2x2x 3y3y 52. f fx,x,yy xx 22 yy 22 2 2 y PP x3, 51.ccf x,6,6, 52.ccf x,25, y PP0, 60,00 2x 3y 25, 3,44y c 6, P 0, 0 c 25, Pxx3, 4 53. 54. 53.f fx,x,yy xyxy 54.f fx,x,yy x 2 22 y 2 22 x xy 53. f x, y 54. f x,1 1y xy cc 3,3, PP 1,1,33 cc 2,2, PP1,x1,211 y 2 1 c 3, P 1, 3 c 2, P 1, 1 InIn 55–58, find ofofthe atatP,P, EnExercises los ejercicios 55 (a) a(a) 58, a) the encontrar el gradiente de la función Exercises 55–58, find thegradient gradient thefunction function (b) unit vector the level curve fpara yyla curva ccatat en P, b)aaencontrar un(a) vector normal unitario de (b) find unitnormal normal vector the level curve fx,x,function Infind Exercises 55–58, findtoto the gradient of the atP,P, P, (c) find the tangent line to the level curve at f x, y c P,P, nivel f(x, y) = c en P, c) encontrar la recta tangente a la curva de (c) tangent to the level curve y y c catat (b)find find the a unit normalline vector to the level curvef fx, x, P, and sketch curve, normal vector, and the nivel f(x, y) cthe enlevel P, y line d) trazar launit curva de nivel, uniand (d) sketch the level curve, the unit normal and theP, (c)(d) find the= tangent to the the level curve f vector, x,ely vector c at tangent line ininythe plane. xytario normal lathe recta tangente en elunit plano xy. vector, and the tangent line the plane. xyand (d) sketch level curve, the normal tangent line in the plane. xy2 2 55. 56. 55. f fx,x,yy 4x4x22 yy 56. f fx,x,yy xx yy22 2 55.ccf x,6,6, 56.ccf x,3,3, yPP2,2,4x yPP4,4,x 11y2 10 10 y 2 22102y2 22 cx,yy 6, P3x3x 2, 57. 57. f fx, 2y 57.ccf x,1,1, yPP1,1,3x 112 2y2

c

1, P 1, 1

2 22 1 cx,yy 3, P9x9x 4, 58. 4y4y2 22 58. f fx, 2 2 58.ccf x,40, y PP2,9x 40, 2, 11 4y

c

40, P 2,

1

WWRRI TI TI N I NGG AABBOOUUTT CCOONNCCEEPPTTSS Desarrollo de conceptos W R I T I N Gthe Aderivative Bderivative O U T C Oofof N the Cthe E Pfunction Tfunction S 59. Define z z f fx,x,yy inin the 59. Define the the

59. Definir z 5 f sx,zyd enf la cos sen j.j. function direction uderivada cos ide i la sen 59.direction Define lauthe derivative offunción the in the x, ydirección de u 5 cos u i 1 sin u j. sen direction u cos describing idescribing sen j. the 60. aa paragraph 60.Write Write paragraph the directional directional derivative derivative 60. párrafo que describa la derivada de the direction f fininthe uuthe cos i i direccional sen j jwhen ofWrite thefunction function the direction when cos senderivative 60.ofRedactar a un paragraph describing directional sen la función f en la dirección de u 5 cos u i 1 sin u j cuando (a) and (b) 0 90 . (a) 0 and (b) . of the function direction f in the 90 u cos i sen j when a)(a)u 5the 08 y and b) u(b) 5of908. 90 . ofoftwo 61. 61.Define Define the0gradient gradient ofaafunction function twovariables. variables.State Statethe the 61. Definir gradiente de funciónofdetwo dosvariables. variables.State Dar the las of the properties ofgradient thegradient. gradient. 61.properties Defineelthe of una a function propiedades del gradiente. properties of theofgradient. 62. the 62.Sketch Sketch thegraph graph ofaasurface surfaceand andselect selectaapoint pointPPon onthe the 62. Dibujar la gráfica deofuna superficie y select elegir un punto sobre aavector the plane giving the surface. Sketch vector in thexyxyplane giving thedirection direction 62.surface. SketchSketch the graph ainsurface and a point PPon the superficie. Dibujar un vector el xy que la943 ofla steepest ascent the atatP. ofsurface. steepest ascent on thesurface surface P.plano aon vector in the en xyplane theindique direction 13.6 Sketch Directional Derivatives andgiving Gradients dirección de mayor ascenso sobre la superficie en P. of steepest ascent on theofof surface at P. totothe 63. the the 63.Describe Describe therelationship relationship thegradient gradient thelevel levelcurves curves 63. lathe relación con las to curvas de nivel de aasurface given by f fof x,x,the yy. .gradient ofDescribe surface given byzdel z gradiente 63.ofDescribir relationship the level curves dada by porz z a5fnormal fx,sx,y y.d. vector to the level curve In una Exercises 51–54, find of asuperficie surface given f x, y c at P.

CCAAPPSSTTOONNEE 51. f x,discusión y 6 2x 3y Para C AConsider P S T O Nthe Ethefunction 64. 64. Consider functionf fx,x,yy

x2 y 2 52. f x, y 99 xx2 22 yy2.22. c 6, P 0, 0 c 25, P 3, 4 2 f fx,finin 64.(a) Consider function y the y 2and . andplot 64. Considerar la función Sketch graph the (a) Sketchthe the graphofof the9first firstxoctant octant plot x the 1, 2, 4 point on the surface. 53.a)(a) 54. f octant x, y yand f Trazar x,point y la1, xygráfica 2, 4graph onde theof Sketch the firstoctante f surface. enf in el the primer 2 plot 2the xgraficar y el 1, 4sobre point(1, surface. 4) la superficie. fu 2, 1,1, 22on , , the DD uu cos i i 1 sen j,j, for (b) Find where f cos sen (b)punto Find where for u2, c 3, Pu 1, 3 c 2, P 1, 1 4. f 1, 2 , u cos i sen j, Find D4.D where for sen f s 1, 2 d , u 5 cos u i 1 sin u j. b)(b) Encontrar donde para u u 4. q = – p/4. 3. (c) Repeat part (b) for 3. (c) Repeat part (b) for In Exercises 55–58, (a) find the gradient of the function at P, (b)(d) find a unit vector c at P, 3. (c) Repeat part (b) c) Repetir inciso b)for para q2to2= .the p/ felf1,normal 22 and f f1,1, Find 1, . 3.level curve f x, y (d) Find and (c)(e) find the tangent line to the level curve at P, f x, y c f =f 1, f s1, (d) Find s21, 2and duyuorthogonal i=f 1, 22di.. toto f f1,1,22 and d) Encontrar Find aaunit vector (e) Find unit vector orthogonal andcalculate calculate and (d) sketch the level curve, the unit normal vector, and the f 1, a2unit DDuFind the geometric meaning ofof the result. 2.un .Discuss Discuss geometric meaning the uthe f 1, 2para vector orthogonal to and =fcalculate sresult. 1, 2d y e)(e) Encontrar vector unitario u ortogonal uu f 1, tangent line in the xy-plane. Du f 1,D2u f. sDiscuss the geometric meaning of the result. calcular el significado geométrico del 1, 2d. Discutir 55. f resultado. 56. f x, y x, y 4x2 y x y2 65. Distribution The at the point x,x,yy 65.Temperature Temperature Thetemperature temperature c 6, P 2,Distribution 10 c at 3, the P 4,point 1 on a metal plate is on a metal plate is 65. Temperature Distribution The temperature at the point x, y 57. f x, y 58. f x, y 3x2 2y2 9x2 4y2 de temperatura La temperatura en el punto (x, y) 65. Distribución on a metal is xx plate 1, P2. 1, 1 c 40, P 2, 1 TTde cuna es .metálica xx2 22placa xyy 22 T . x R Ithe Tx 2I direction Ndirection Gy22.A B OofU Tgreatest C O N Cincrease EPTS TW5 Find Findthe ofgreatest increaseininheat heatfrom fromthe thepoint point x2 1 y 3,59. 4 . Define the derivative of function the z from f x, ytheinpoint 3, 4 . the direction of greatest the Find increase in heat Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto direction u cos i sen j. 3, 4 . (3, 4). 60. Write a paragraph describing the directional derivative of the function f in the direction u cos i sen j when (a) Use a computer algebra system to graph the surface (a) 0 and (b) 90 . represented by the function. 61. Define the gradient of a function of two variables. State the (b) Determine the directional derivative Du f 4, 3 as a properties of the gradient. function of , where u cos i sen j. Use a computer 62. Sketch the graph of a surface and select a point P on the algebra system to graph the function on the interval 0, 2 . surface. Sketch a vector in the xy-plane giving the direction

Larson-13-06.qxd

944

26/2/10

14:22

CAPÍTULO 13

Página 944


b) Hallar las direcciones, sobre la placa en el punto (3, 5), en las que no hay cambio en el calor.

66. Topografía La superficie de una montaña se modela mediante la ecuación h(x, y) ⫽ 5 000 ⫺ 0.001x2 ⫺ 0.004y2. Un montañista se encuentra en el punto (500, 300, 4 390). ¿En qué dirección debe moverse para ascender con la mayor rapidez? 67. Topografía La figura muestra un mapa topográfico utilizado por un grupo de excursionistas. Dibujar las trayectorias de descenso más rápidas si los excursionistas parten del punto A y si parten del punto B.

c) Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto (3, 5). CAS

72. Investigación Un equipo de oceanógrafos está elaborando un mapa del fondo del océano para ayudar a recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo

␲y , o ⱕ x ⱕ 2, 0 ⱕ y ⱕ 2 2 donde D es la profundidad en metros, y x y y son las distancias en kilómetros.

D ⫽ 250 ⫹ 30x 2 ⫹ 50 sen sin

18

a) Utilizar un sistema algebraico por computadora para representar gráficamente la superficie.

00

1671

B

b) Como la gráfica del inciso a) da la profundidad, no es un mapa del fondo del océano. ¿Cómo podría modificarse el modelo para que se pudiera obtener una gráfica del fondo del océano?

1994

A 00

18

68. Meteorología Los meteorólogos miden la presión atmosférica en milibares. A partir de estas observaciones elaboran mapas climáticos en los que dibujan las curvas de igual presión atmosférica (isobaras) (ver la figura). Son curvas de nivel de una función P共x, y兲 que dan la presión en cualquier punto. Dibujar los gradientes de las isobaras en los puntos A, B y C. Aunque no se conocen las magnitudes de los gradientes, sus longitudes relativas pueden estimarse. ¿En cuál de los tres puntos es la velocidad del viento mayor si la velocidad del viento se incrementa conforme el gradiente de presión aumenta?

c) ¿Cuál es la profundidad a la que se encuentra el barco si se localiza en las coordenadas x ⫽ 1 y y ⫽ 0.5? d) Determinar la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje x positivo a partir del punto donde se encuentra el barco. e) Determinar la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje y positivo en el punto donde se encuentra el barco. f ) Determinar la dirección de mayor tasa de cambio de la profundidad a partir del punto donde se encuentra el barco. ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 73 a 76, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa. 73. Si f 共x, y兲 ⫽ 冪1 ⫺ x 2 ⫺ y 2, entonces Du f 共0, 0兲 ⫽ 0 para todo vector unitario u.

B

74. Si f 共x, y兲 ⫽ x ⫹ y, entonces ⫺1 ≤ Du f 共x, y兲 ≤ 1. 75. Si Du f 共x, y兲 existe, entonces Du f 共x, y兲 ⫽ ⫺D⫺u f 共x, y兲.

A C

76. Si Du f 共x0, y0兲 ⫽ c para todo vector unitario u, entonces c ⫽ 0. 77. Hallar una función f tal que ⵜf ⫽ e x cos y i ⫺ e x sen sin y j ⫹ z k. 78. Considerar la función

Rastreador térmico En los ejercicios 69 y 70, hallar la trayectoria de un rastreador térmico situado en el punto P de una placa metálica con un campo de temperatura T(x, y). Campo de temperatura

Punto

69. T共x, y兲 ⫽ 400 ⫺ 2x 2 ⫺ y 2

P共10, 10兲

70. T共x, y兲 ⫽ 100 ⫺ x ⫺ 2y

P共4, 3兲

2

2

71. Temperatura La temperatura en el punto (x, y) de una placa metálica se modela mediante T共x, y兲 ⫽ 400e⫺共x CAS

2 ⫹y兲兾2

, x ≥ 0, y ≥ 0.

a) Utilizar un sistema algebraico por computadora para representar gráficamente la función de distribución de temperatura.

冦

4xy , f 共x, y兲 ⫽ x 2 ⫹ y 2 0,

共x, y兲 ⫽ 共0, 0兲

共x, y兲 ⫽ 共0, 0兲 1 共i ⫹ j兲. y el vector unitario u ⫽ 冪2 ¿Existe la derivada direccional de f en P(0, 0) en la dirección de u? Si f (0, 0) estuviera definido en 2 en vez de 0, ¿existiría la derivada direccional? 3 xy. 79. Considerar la función f 共x, y兲 ⫽ 冪 a) Demostrar que f es continua en el origen. b) Demostrar que fx y fy existen en el origen, pero que la derivada direccional en el origen en todas las demás direcciones no existe. CAS c) Usar un sistema algebraico por computadora para graficar f cerca del origen a fin de verificar las respuestas de los incisos a) y b). Explicar.

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SECCIÓN 13.7

Planos tangentes y rectas normales

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13.7 Planos tangentes y rectas normales n n n

Hallar ecuaciones de planos tangentes y rectas normales a superficies. Hallar el ángulo de inclinación de una recta en el espacio. Comparar los gradientes =f sx, yd y =Fxx, y, zc.

Plano tangente y recta normal a una superficie Hasta ahora las superficies en el espacio se han representado principalmente por medio de ecuaciones de la forma EXPLORACIÓN

Bolas de billar y rectas normales En cada una de las tres figuras la bola en movimiento está a punto de golpear una bola estacionaria en el punto P. Explicar cómo utilizar la recta normal a la bola estacionaria en el punto P para describir el movimiento resultante en cada una de las bolas. Suponiendo que todas las bolas en movimiento tengan la misma velocidad, ¿cuál de las bolas estacionarias adquirirá mayor velocidad? ¿Cuál adquirirá menor velocidad? Explicar el razonamiento. Recta normal a la bola estacionaria en el punto P

z 5 f sx, yd.

Ecuación de una superficie S.

Sin embargo, en el desarrollo que sigue, es conveniente utilizar la representación más general Fsx, y, zd 5 0. Una superficie S dada por z 5 f sx, yd, se puede convertir a la forma general definiendo F como Fsx, y, zd 5 f sx, yd 2 z. Puesto que f sx, yd 2 z 5 0, se puede considerar S como la superficie de nivel de F dada por Fsx, y, zd 5 0. EJEMPLO 1

Ecuación alternativa de la superficie S.

Expresar una ecuación de una superficie

Dada la función Fsx, y, zd 5 x 2 1 y 2 1 z 2 2 4 describir la superficie de nivel dada por Fsx, y, zd 5 0.

Bola en movimiento

Solución La superficie de nivel dada por Fsx, y, zd 5 0 puede expresarse como x2 1 y2 1 z2 5 4

P

la cual es una esfera de radio 2 centrada en el origen.

Bola estacionaria Recta normal a la bola estacionaria en el punto P

P

Bola en movimiento

Bola estacionaria Recta normal a la bola estacionaria en el punto P

Línea de impacto

P

Bola estacionaria

Se han visto muchos ejemplos acerca de la utilidad de rectas normales en aplicaciones relacionadas con curvas. Las rectas normales son igualmente importantes al analizar superficies y sólidos. Por ejemplo, considérese la colisión de dos bolas de billar. Cuando una bola estacionaria es golpeada en un punto P de su superficie, se mueve a lo largo de la línea de impacto determinada por P y por el centro de la bola. El impacto puede ser de dos maneras. Si la bola que golpea se mueve a lo largo de la línea de impacto, se detiene y transfiere todo su momento a la bola estacionaria, como se muestra en la figura 13.55. Si la bola que golpea no se mueve a lo largo de la línea de impacto, se desvía a un lado o al otro y retiene parte de su momento. La transferencia de parte de su momento a la bola estacionaria ocurre a lo largo de la línea de impacto, sin tener en cuenta la dirección de la bola que golpea, como se muestra en la figura 13.56. A esta línea de impacto se le llama recta normal a la superficie de la bola en el punto P.

Bola en movimiento

Línea de impacto

Figura 13.55

Línea de impacto

Figura 13.56

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CAPÍTULO 13

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En el proceso de hallar una recta normal a una superficie, se puede también resolver el problema de encontrar un plano tangente a la superficie. Sea S una superficie dada por Fsx, y, zd 5 0 y sea Psx0, y0, z0d un punto en S. Sea C una curva en S que pasa por P definida por la función vectorial r std 5 xstdi 1 y stdj 1 zstdk. Entonces, para todo t, Fsxstd, ystd, zstdd 5 0.

Superficie S: F(x, y, z) = 0

Si F es diferenciable y x9 std, y ¢(t) y z9 std existen, se sigue por la regla de la cadena que F

0 5 F9 std 5 Fx sx, y, zdx9 std 1 Fy sx, y, zdy9 std 1 Fz sx, y, zdz9 std. En sx0, y0, z0d, la forma vectorial equivalente es

P(x0, y0, z0)

0 5 =Fsx0, y0, z0d ? r9 st0d. Gradiente

Plano tangente a la superficie S en P Figura 13.57

Vector tangente

Este resultado significa que el gradiente en P es ortogonal al vector tangente de toda curva en S que pase por P. Por tanto, todas las rectas tangentes en S se encuentran en un plano que es normal a =Fsx0, y0, z0 d y contiene a P, como se muestra en la figura 13.57.

DEFINICIÓN DE PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL Sea F diferenciable en un punto Psx0, y0, z0d de la superficie S dada por Fsx, y, zd 5 0 tal que =Fsx0, y0, z0d Þ 0. 1. Al plano que pasa por P y es normal a =Fsx0, y0, z0d se le llama plano tangente a S en P. 2. A la recta que pasa por P y tiene la dirección de =Fsx0, y0, z0d se le llama recta normal a S en P.

NOTA

En el resto de esta sección, se supone =Fsx0, y0, z0d π 0 a menos que se establezca lo conn

trario.

Para hallar una ecuación para el plano tangente a S en sx0, y0, z0d, sea sx, y, zd un punto arbitrario en el plano tangente. Entonces el vector v 5 sx 2 x0di 1 s y 2 y0dj 1 sz 2 z0dk se encuentra en el plano tangente. Como =Fsx0, y0, z0d es normal al plano tangente en sx0, y0, z0d, debe ser ortogonal a todo vector en el plano tangente, y se tiene =Fsx0, y0, z0d ? v 5 0, lo que demuestra el resultado enunciado en el teorema siguiente.

TEOREMA 13.13 ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE Si F es diferenciable en sx0, y0, z0d, entonces una ecuación del plano tangente a la superficie dada por Fsx, y, zd 5 0 en sx0, y0, z0d es Fx sx0, y0, z0dsx 2 x0d 1 Fy sx0, y0, z0dsy 2 y0d 1 Fz sx0, y0, z0dsz 2 z0) 5 0.

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SECCIÓN 13.7

EJEMPLO 2

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Hallar una ecuación de un plano tangente

Hallar una ecuación del plano tangente al hiperboloide z 2 2 2x 2 2 2y 2 5 12 en el punto s1, 21, 4d. Solución Se comienza por expresar la ecuación de la superficie como z 2 2 2x 2 2 2y 2 2 12 5 0. Superficie: z2 − 2x2 − 2y2 − 12 = 0

Después, considerando Fsx, y, zd 5 z 2 2 2x 2 2 2y 2 2 12

z

se tiene

6

Fx sx, y, zd 5 24x,

5

Fy sx, y, zd 5 24y,

y and

Fz sx, y, zd 5 2z.

En el punto s1, 21, 4d las derivadas parciales son Fx s1, 21, 4d 5 24, F(1, −1, 4)

and y

Fz s1, 21, 4d 5 8.

Por tanto, una ecuación del plano tangente en s1, 21, 4d es 24 sx 2 1d 1 4 s y 1 1d 1 8sz 2 4d 5 0 24x 1 4 1 4y 1 4 1 8z 2 32 5 0 24x 1 4y 1 8z 2 24 5 0 x 2 y 2 2z 1 6 5 0.

y 3 3 x

Plano tangente a la superficie Figura 13.58

Fy s1, 21, 4d 5 4,

La figura 13.58 muestra una parte del hiperboloide y el plano tangente.

Algunas herramientas de graficación tridimensionales pueden representar planos tangentes a superficies. He aquí dos ejemplos.

TECNOLOGÍA

z

z

y

y

x Generado con Mathematica

Esfera: x 2 1 y 2 1 z 2 5 1

x

Generado con Mathematica

Paraboloide: z 5 2 2 x 2 2 y 2

Para hallar la ecuación del plano tangente en un punto a una superficie dada por z 5 f sx, yd, se define la función F mediante Fsx, y, zd 5 f sx, yd 2 z. Después se da S por medio de la superficie de nivel Fsx, y, zd 5 0, y por el teorema 13.13 una ecuación del plano tangente a S en el punto sx0, y0, z0d es fx sx0, y0dsx 2 x0d 1 fy sx0, y0dsy 2 y0d 2 sz 2 z0d 5 0.

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CAPÍTULO 13

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EJEMPLO 3

Hallar una ecuación del plano tangente

Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide z512

1 2 sx 1 4y 2d 10

en el punto s1, 1, 2 d. 1

1 2 Solución De z 5 f sx, yd 5 1 2 10 sx 1 4y 2d, se obtiene

fx sx, yd 5 2

fy sx, yd 5 2

(1, 1, ) 1 2

2

1 5

4y 5

4 fy s1, 1d 5 2 . 5

Así, una ecuación del plano tangente en s1, 1, 2 d es 1

−6

1 212 5 0 1 4 1 2 sx 2 1d 2 s y 2 1d 2 1z 2 2 5 0 5 5 2

−3

fx s1, 1dsx 2 1d 1 fy s1, 1ds y 2 1d 2 z 2 2

6

fx s1, 1d 5 2

y

Superficie: z = 1 − 1 (x2 + 4y2) 10 z

x 5

5

3

y

x

1 4 3 2 x 2 y 2 z 1 5 0. 5 5 2

Figura 13.59

Este plano tangente se muestra en la figura 13.59. El gradiente =Fsx, y, zd proporciona una manera adecuada de obtener ecuaciones de rectas normales, como se muestra en el ejemplo 4. EJEMPLO 4

Hallar una ecuación de una recta normal a una superficie

Hallar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie dada por xyz 5 12 en el punto s2, 22, 23d. Solución Se comienza por hacer Fsx, y, zd 5 xyz 2 12.

Superficie: xyz = 12

Entonces, el gradiente está dado por z

=Fsx, y, zd 5 Fx sx, y, zdi 1 Fy sx, y, zdj 1 Fz sx, y, zdk y 2

−4

−2

2 −2

4 x

4

5 yz i 1 xz j 1 xyk y en el punto s2, 22, 23d se tiene –2, 23 –2 ds23 –3 di 1 s 2d(23 –3 d 5 s22 – 3 dj 1 s2ds22 =Fs2, 22, – 2dk 5 6i 2 6j 2 4k.

−4 −6

∇F(2, −2, −3)

Figura 13.60

La recta normal en s2, 22, 23d tiene números de dirección o directores 6, 26 y 24, y el conjunto correspondiente de ecuaciones simétricas es x22 y12 z13 5 5 . 6 26 24 Ver la figura 13.60.

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SECCIÓN 13.7


949

and Normal y, zd esTangent Saber que el gradiente =Fsx, 13.7 normal Planes a la superficie F(x,Lines y, z) 5 0 949 permite resolver diversos problemas relacionados con superficies y curvas en el espacio.

Knowing that the gradient F x, y, z is normal to the surface given by EJEMPLO Hallaryou la ecuación de unaofrecta tangente unasurfaces curva and F x, y, z 5 0 allows to solve a variety problems dealing awith curves in space. Describir la recta tangente a la curva de intersección de las superficies

Elipsoide: x2 + 2y2 + 2z2 = 20

2 5 20 x 2 1 2y 2 15 2zFinding EXAMPLE the Equation ofElipsoide. a Tangent Line to a Curve

z (0, 1, 3)

Recta tangente 4 2 = 20 Ellipsoid: x 2 + 2y 2 + 2z Tangent line z (0, 1, 3) 4

x

x

5

Tangent line

2 3 4 5

5

2 3 4 5

Paraboloide: x2 + y2 + z = 4

Figura 13.61 FigureParaboloid: 13.61 x 2 + y 2 + z = 4 Figure 13.61

y

y

x2 1 y2 1 z 5 4 Paraboloide. Describe the tangent line to the curve of intersection of the surfaces en el punto (0, 1, 3), como se muestra en la figura 13.61. x 2 2y 2 2z 2 20 Ellipsoid 2 2 y comenzar, z 4 se calculan los gradientes Paraboloid de ambas superficies en el punto Soluciónx Para (0, 1, 3). at the point (0, 1, 3), as shown in Figure 13.61. Elipsoide Paraboloide Solution Begin by finding the gradients to both surfaces at the point (0, 1, 3). Fsx, y, zd 5 x 2 1 2y 2 1 2z 2 2 20 Gsx, y, zd 5 x 2 1 y 2 1 z 2 4 Ellipsoid Paraboloid =Fsx, y, zd 5 2xi 1 4yj 1 4zk =Gsx, y, zd 5 2xi 1 2yj 1 k 2 2 2 F x, y, z x 2y 2z 20 G x, y, z x2 y2 z 4 =Fs0, 1, 3d 5 4j 1 12k =Gs0, 1, 3d 5 2j 1 k F x, y, z 2xi 4yj 4zk G x, y, z 2xi 2yj k El producto vectorial de estos dos gradientes es un vector tangente F 0, 1, 3 4j 12k G 0, 1, 3 2j akambas superficies en el punto (0, 1, 3). The cross product of these two gradients is a vector that is tangent to both surfaces at i j k the point 0, 1, 3 . =Fs0, 1, 3d 3 =Gs0, 1, 3d 5 0 4 12 5 220i. 0i 2j 1k F 0, 1, 3 G 0, 1, 3 0 4 12 20i Por tanto, la recta tangente a la curva de las dos superficies en el punto 0 de2 intersección 1 (0, 1, 3) es una recta paralela al eje x y que pasa por el punto (0, 1, 3). So, the tangent line to the curve of intersection of the two surfaces at the point 0, 1, 3 is a line that is parallel to the x-axis and passes through the point 0, 1, 3 .

| |

El ángulo de inclinación de un plano

=Fsx, y, zd es of Otro del gradiente determinar el ángulo de inclinación del plano tangente Theuso Angle of Inclination a Plane a una superficie. El ángulo de inclinación de un plano se define como el ángulo Another use of 2theentre gradient F x,dado y, z yiseltoplano determine the angle of inclination of the 0 el plano xy, como se muestra en la figura 13.62. tangent plane to a surface. The angle of inclination of a plane is defined as the (El ángulo de inclinación de un plano horizontal es por definición cero.) Como elangle vector k 0 2 between the given plane and the xyshown in Figure 13.62. es normal al plano xy, se puede utilizar la fórmula delplane, cosenoasdel ángulo entre dos planos (The angle of inclination of a horizontal plane is defined as zero.) Because the (dado en la sección 11.5) para concluir que el ángulo de inclinación de un planovector con vecnormal to the plane, you can use the formula for the cosine of the angle k isnormal xy-por tor n está dado between two planes (given in Section 11.5) to conclude that the angle of inclination of a plane with normal vector n is given by n?k n?k Ángulo de inclinación de un plano. cos u 5 5 . ini n iki k ninik cos . Angle of inclination of a plane n k n

|

| |

|

z

n θ

k

y x

The angle of inclination Ángulo de inclinación Figure 13.62 13.62 Figura

θ

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CAPÍTULO 13

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EJEMPLO 6

Hallar el ángulo de inclinación de un plano tangente

Hallar el ángulo de inclinación del plano tangente al elipsoide x2 y2 z2 1 1 51 12 12 3 en el punto s2, 2, 1d. Solución Si se hace Fsx, y, zd 5

x2 y2 z2 1 1 21 12 12 3

el gradiente de F en el punto (2, 2, 1) está dado por

z 3

k

θ

∇F(2, 2, 1)

Como =Fs2, 2, 1d es normal al plano tangente y k es normal al plano xy, se sigue que el ángulo de inclinación del plano tangente está dado por

6

6 x

x y 2z =Fsx, y, zd 5 i 1 j 1 k 6 6 3 1 1 2 =Fs2, 2, 1d 5 i 1 j 1 k. 3 3 3

Elipsoide: z2 x2 y2 + + =1 12 12 3

Figura 13.63

y

cos u 5

|=Fs2, 2, 1d ? k| 5 i=Fs2, 2, 1di

2y3 !s1y3d 2 1 s1y3d 2 1 s2y3d 2

5

!23

lo cual implica que

!23 < 35.38,

u 5 arccos

como se muestra en la figura 13.63. NOTA Un caso especial del procedimiento mostrado en el ejemplo 6 merece mención especial. El ángulo de inclinación q del plano tangente a la superficie z 5 f sx, yd en sx0, y0, z0d está dado por

cos u 5

1 !f fx sx0, y0dg 2 1 f fy sx0, y0dg 2 1 1

.

Fórmula alternativa para el ángulo de inclinación (ver ejercicio 77).

n

Comparación de los gradientes =f xx, yc y —F(x, y, z) Esta sección concluye con una comparación de los gradientes =f sx, yd y =Fsx, y, zd. En la sección anterior se vio que el gradiente de una función f de dos variables es normal a las curvas de nivel de f. Específicamente, el teorema 13.12 establece que si f es diferenciable en sx0, y0d y =f sx0, y0d Þ 0, entonces =f sx0, y0d es normal a la curva de nivel que pasa por sx0, y0d. Habiendo desarrollado rectas normales a superficies, ahora se puede extender este resultado a una función de tres variables. La demostración del teorema 13.14 se deja como un ejercicio (ver ejercicio 78). TEOREMA 13.14 EL GRADIENTE ES NORMAL A LAS SUPERFICIES DE NIVEL Si F es diferenciable en sx0, y0, z0d y =Fsx0, y0, z0d Þ 0, entonces =Fsx0, y0, z0d es normal a la superficie de nivel que pasa por sx0, y0, z0d. Al trabajar con los gradientes =f sx, yd y =Fsx, y, zd, hay que recordar que =f sx, yd es un vector en el plano xy y =Fsx, y, zd es un vector en el espacio.

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SECCIÓN 13.7 13.7 13.7 13.7 13.7 13.7

Exercises 13.7 Exercises Ejercicios 13.7 13.7 Exercises 13.7 Exercises 13.7

10 10 10 10 10 10

(2, 1, 8) (2, 1, 8) (2,1, 1,8) 8) (2, 1, 8) (2,

x xx xxx

6 66 6 66 4 44 4 44 2 22 2 22 2 2 22 22 2 2 2 2 22 x 2 y 2,

y yy yyy

3, 4, 5 19. z x2222 y2222, 3, 4, 5 19. z z x 4,555 y , 19. 2 2 z x y , 3, 4, 19. y x y , 3,3,4, 19. z arctan y , 1, 0, 0 20. g x, y y y x arctan y , 1, 0, 0 20. g x, y arctan x,,, 1, 1,0, 0,000 20. ggg x, x,x,yyy arctan 1, 0, 20. arctan 20. x22 yxx22x, 1, 1, 2 21. g x, y 2 2 x22 y22, 1, 1, 2 21. g x, y 1, 1, 1,222 21. ggg x, x,x,yyy 1, 1, 21. xxx2 yyy2,,, 1, 21.

951 951 951 951 951 951

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In Exercises 1– 4, describe level surface F x, y, z de0. nivel En los ejercicios 1 a 4,the describir la superficie In Exercises 1– 4, describe the level surface F x, y, z 0. In Exercises 1– 4, describe the level surface F x, x, y,y, zz 0. F x x, y, z c 5 0. In Exercises 1– 4, describe the level surface F 0. In1.Exercises 0. F x, y, z 1– 4,3xdescribe 5y the 3z level 15 surface F x, y, z 1. F x, y, z 3x 5y 3z 15 2 2 F x, 1. F x,y, y,zzzz 15 FF 1. x,x, y,y, 3x 5y 3z 15 x3x2 5y y5y z3z 25 2. 1. 3x 3z 15 x2222 y2222 z2222 25 2. F x, y, z 2 2 2 F x, y, z x y z 25 2. 2 2 2 F x, y, z x y z 25 2. 3. FF x,x,y,y,zz x4x22 y 9y22 z 4z2225 2. 4x22 9y22 4z22 3. F x, y, z x,y, y,zzzz 4x2 2 9y 9y9y 4z36z F x, 3. F 2 2 4z 2 x,x, y,y, 4x 9y 4z FF 3. 16x 4. 4x 3. 16x2222 9y2222 36z 4. F x, y, z F x, y, z 16x 9y 36z 4. 2 2 F x, y, z 16x 9y 36z 4. 16x 9y 36z 4. F x, y, z In Exercises 5–16, find a unit normal vector to the surface In Exercises 5–16, find a unit normal vector to the surface at the given5–16, point. [Hint: Normalize the gradient vector In Exercises Exercises 5–16, find unit normal vector to the the surface surface In 5–16, find unit normal vector to the surface In aaa unit normal to En los 5 afind 16, hallar un vectorvector unitario normal a la at Exercises the ejercicios given point. [Hint: Normalize the gradient vector ] F x, y, z . at the given point. [Hint: Normalize the gradient vector at the given point. [Hint: Normalize the gradient vector atFthe Normalize the gradientel vector Normalizar vector superficie punto [Hint: dado. [Sugerencia: ] elpoint. x, y, given z .en x,y, FF x, x, y,y,zzz .=F .].]] sx, y, zd.] F gradiente Superficie Punto Superficie Punto Superficie Punto Superficie Punto 3x 4y 12z 0 0, 0, 0 5. Superficie Punto 0, 0, 0 5. 3x 4y 12z 0 4y z 12z 12z 0,0, 0,0020 5. 3x 3x 4y 12z 0, 0, 5. x3x y4y 4 000 2, 0, 6. 0, 5. 2, 0, 2 6. x y z 4 2 2 2 x y z 4 2, 0, 6. x y z 4 2, 0, 6. 1,0, 1,2222 7. xx y y z z 4 6 2, 6. 1, 1, 2 7. x2222 y2222 z2222 6 1,1, 1,2252 7. xxzx2 yyy2x 2 zzz2y 2 666 1, 1, 7. 3, 4, 8. 1, 7. x 22 y2222 3, 4, 5 8. z 3xx222 z y 3, 58 8. 2 z y 3, 4, 8. 2,4,4,551, 9. zz x x y 3, 8. 2, 1, 8 9. z x3333 2, 2,1, 1, 9. zzxz 2 y 4xxx3 z 0 2, 1, 9. 1, 16888 10. 2, 9. 1, 2, 16 10. x2222y4444 z 0 2yy4 3 x 1, 2, 162 z 0 10. 2 x 1, 2, 16 z 0 10. 2,2, 16 1, 9 11. xx y 3yz z0 1, 10. 2, 1, 2 11. x2222 3y z3333 9 2, 1,1, 1,222 1 3yy2z zzz3 2xz9993 4 11. xxxx22y3 3y 2, 1, 3y 11. 1, 12. 2, 11. 1, 1, 1 12. x2222y3333 y2222z 2xz3333 4 x 1, 2xz 4 12. 2 yy3 x yy2 zz 3 x 1, 1, 2xz 4 12. y z 2xz 4 1, 1,1, 111 12. x y 0 1, 4, 3 13. ln x 0 1, 4, 3 13. ln y xxx z ln y2 2 z 1,4, 4,333 13. ln ln 1, 4, 13. 000 1, 13. 2, 2, 3 14. zexxyy22y yy 22 zzz 3 0 x y 2, 2, 3 14. zexx222 yy222 3 0 zex y 2,2, 2,333 14. ze ze 2, 2, 14. 333 000 2, 14. 6, , 7 15. z x sen y 4 6, 6 , 7 15. z x sen y 4 sen yyy 444 6, 6,,,777 15. zzz xxxsen sen 6, 15. 6, 15. 3 666 , , 3 z 2 16. sen x y 3 , 6 , 3323 z 2 16. sen x y sen xxx yyy 16. sen sen 16. 3,,, 6,,, 2 zzz 222 16. 333 666 222 In Exercises 17– 30, find an equation of the tangent plane to the In Exercises 17– 30, find an equation of the tangent plane to the surface at the given point. InExercises Exercises 17– 30,afind find anequation equation ofthe thetangent tangent plane tothe the En los ejercicios 17 30, an hallar una ecuación del plano tangente In Exercises 17– 30, find an equation of the tangent plane to the In 17– 30, of plane to surface at the given point. surface at the given point. asurface la superficie en el punto dado. surface at the given point. at the given point. y 17. z x2 y2 3 18. f x, y y yyxy 17. z x2222 y2222 3 18. f x, y 17. zzz xxx2 yyy2 333 18. fff x, x,x,yyy 17. 18. x 17. 18. 2, 1, 8 1, 2, 2 xxx 2, 1, 8 1, 2, 2 z 2,1, 1,888 1,2, 2,222 z 2, 1, 1, 2, 2, 1, zz zzz

PlanosPlanes tangentes rectas normales Tangent andy Normal Lines Tangent Planes and Normal Lines Tangent Planes and Normal Lines Tangent Planes and Normal Lines Tangent Planes and Normal Lines

zz zz 10z 10 10 10 10 10 8 88 8 886 66 6664 44 4442 22 222 2 4 22 2 2 4 2 6 44 4 x666 4 xx66 xxx

(1, 2, 2) (1, 2, 2) (1,2, 2,2) 2) (1, 2, 2) (1, 6 66 6 66

y yy yyy

x22 2xy y22, 1, 2, 1 22. f x, y 2 2xy y222, 1, 2, 1 22. f x, y 22 2x 2xy 3, yyy2,,1, , 11, f x, y 1,2, 2,111 22. 2xy f x, y x 1, 2, 22. y, 23. fz x, y2 x2xx2 2xy 22. 23. z 2 2233223x y, 3, 1, 1 3, 1, 1,111 23. zzz 222 33xxx y, 3, 1, y,y, 3, 23. 23. 3 y 1 , 0, , 2 24. z ex sen 24. z exxxx sen y 1 , 0, 2 , 2 0, 2,,,222 sen yyy 111 ,,, 0, 24. zzz eeex sen 0, sen 24. 24. ln x 2 y 2, 222 3, 4, ln 5 25. h x, y ln x2222 y2222, 3, 4, ln 5 25. h x, y ln xxx2 yyy2,,, 3, ln555 25. hhh x, x,x,yyy ln ln 3,3,24, 4,4,ln ln 25. 25. cos y, 5, , 2 26. h x, y cos y, 5, 4 , 2222 26. h x, y 26. hhh x, cos y,y, 5, 5, 4,,, 2 x,x, yy cos 5, 26. 26. 2 y 2 cos y, 2 27. x2 4y2 z2 36, 444 2,222 2, 4 27. x222 4y222 z222 36, 2, 2, 4 2,2 2, 2,444 4y22 zzyz22, 36, 36, 27. xxxx22 4y 2, 2, 4y 36, 27. 2z 1, 3, 2, 28. 27. 28. x2222 2z2222 y2222, 1, 3, 2 x2 2 2z 1,3, 3, 1,222 3, 2 2z3x 28. xxxy 2 1, 3, 2z 28. 8, 29. yyyz2,,2, 1, 28. 29. xy2222 3x z2222 8, 1, 3, 2 xy 1, 3,222 3x z 8, 29. xy 1, 3, 3x 8,4, 4,1, 29. x 2 y 3x 2z zz32 , 8, 2 3, 30. xy 29. 30. x y 2z 3 , 4, 4, 2 2z 333 ,,, 4, 4,4, 4,222 30. xxx yyy 2z 2z 4, 4, 30. 30. In Exercises 31– 40, find an equation of the tangent plane and En los ejercicios 31 a 40, una ecuación del plano tangente In Exercises 31– 40, find hallar an equation of the tangent plane and find symmetric of equation the normal the surface the In Exercises Exercises 31–equations 40, find find an an equation ofline theto tangent planeatand and In Exercises 31– 40, find an equation of the tangent plane and In 31– 40, of the tangent plane y hallar ecuaciones simétricas para la recta normal a la find symmetric equations of the normal line to the surfacesuperfiat the given point. find symmetric equations of the normal line to the surface at the find symmetric equations of the normal line to the surface at the find symmetric of the normal line to the surface at the cie en el punto equations dado. given point. givenpoint. point. given point. given 31. x y z 9, 3, 3, 3 31. x y z 9, 3, 3, 3 9, 9, 3, 3,3, 3, 31. xxxx 2 yyyy 2 zzz z 2 9, 9, 3, 3, 31. 1,3332, 2 32. 31. 32. x2222 y2222 z2222 9, 1, 2, 2 2 2 y z 9, x 1,2, 2,4222 32. 9, 1, 1, 2, 32. 33. xxx2 yyy2 zzz2 9, 9, 1, 2, 32. 33. x2222 y2222 z 9, 1, 2, 4 1,2,2, 2,2,4448 9, 33. xxzx2 16 1, 2, 9, 33. y2, 1, 34. yyy2 zzxz2 9, 33. 34. z 16 x2222 y2222, 2, 2, 8 2 2 z 16 x 2, 2,888 y , 34. 16 2, 2, 2, 34. x 35. zzz 16 xyx , yy3,2,, 2, 52, 34. 35. z x2222 y2222, 3, 2, 5 z xxx2z yyy0, 3,2, 2,555 3, 6 35. zzxy 2 ,, 3, 2, 35. 36. , 3, 35. 2, 3, 6 36. xy z 0, xy z 0, 2, 3,666 36. xy 0, 1, 2,2, 2,5 3, 3, 36. xyz zz 10,0, 37. xy 36. 37. xyz 10, 1, 2, 5 2xy 10,, 1, 1,2, 2,5525 37. xyz xyz 10, 1, 2, 37. zxyz ye10, 0, 2, 38. 37. 2xy 2xy 0, 2, 2 38. z ye2xy 2xy, , z ye 0, 2, 38. ye2xy,, y 0, 0, 2, 2, 222 38. zz ye 38. 1, 1, 39. z arctan y , 1, 1, 4 39. z arctan yyxy, arctan x,,, 1, 1,1, 1, 4 39. zzz arctan arctan 1, 1, 39. 39. xx e, 2, 1444 40. y ln xz22 x2, 40. y ln xz222 2, e, 2, 1 2, y ln xz e, 2, 40. 2, e, ln xz xz2 2, e, 2, 2, 111 40. yy ln 40. In Exercises 41– 46, (a) find symmetric equations of the tangent In Exercises 41– 46, (a) find symmetricecuaciones equationssimétricas of the tangent En los 41 46, a) encontrar de la line toejercicios the curve intersection of the surfacesof the given InExercises Exercises 41–46, 46,ofa(a) (a) find symmetric equations ofat the tangent In Exercises 41– 46, (a) find symmetric equations of the tangent In 41– find symmetric equations the tangent line totangente the curve ofcurva intersection of the surfaces at the given recta a la de intersección de las superficies en el point, and (b) find the cosine of the angle between the gradient line to the curve of intersection of the surfaces at the given line to the curve of intersection of the surfaces at the given line to and the (b) curve oftheintersection of angle the surfaces at the given point, find cosine of the between the gradient punto dado, y find b) encontrar el coseno del surfaces ángulo entre losgradient vectores vectors at (b) this point. whether the are orthogonal point,and and (b) find theState cosine ofthe the angle angle between the gradient point, and (b) the cosine of the angle between the point, find the cosine of between the gradient vectors at this point. State whether the surfaces are orthogonal gradiente en punto. si surfaces son ortogonales o no las at the point ofeste intersection. vectors atthis this point. StateEstablecer whetherthe the surfaces areorthogonal orthogonal vectors at this point. State whether the are orthogonal vectors at State whether surfaces are at the point of point. intersection. superficies en el punto de intersección. at the point of intersection. at the the point2 of of intersection. intersection. at y 2, z x, 1, 1, 1 41. x 2point 41. x2222 y2222 2, z x, 1, 1, 1 2 2, zzz x 1,1, 1,112, 1 1, 5 y 41. 2 2 x 1, 1, y 2, x, 41. y2,2, 4x, 1, y, 42. xz xy z x, 41. 42. z x2222 y2222, z 4 y, 2, 1, 5 2 2 2 2 z x 2, 1,553, 54 y , z 4 y, 42. 2, 1, 1, y, 25, 42. 3, 43. zzx xx2z yy225, 2, ,, zz y 44 z y, 42. 43. x2222 z2222 25, y2222 z2222 25, 3, 3, 4 25, 25,3z 3, 3,22, 3,444 3, 4, 5 43. xxzx2 zzz2x 2 25, 25, 25, 3, 3, 43. y 2, yyy25x zzz22y 25, 44. 3, 43. x2222 y2222, 5x 2y 3z 22, 3, 4, 5 44. z 2 2 2 z x 3,4, 4,5525 y , 5x 2y 3z 22, 44. 3, 4, 5x x2y 2y y 3z 3z z 22, 22, 44. 1, yxx2 zyy2,, 14, 0, 3, 45. zzx 5x 44. 45. x2222 y2222 z2222 14, x y z 0, 3, 1, 2 3, 1,222 14, y xxx 6zyyy 33, 0,1, 2,3, 45. xxzx2 xyyy22 yzzz22, x14, 3, 1, 14, 0, 45. 5 1, 46. zzz 0, 45. 46. z x2222 y2222, x y 6z 33, 1, 2, 5 y , x y 6z 33, z x 1, 2, 5 46. 6z 33, 33, 1, 1, 2, 2, 55 46. zz xx2 yy2,, xx yy 6z 46. In Exercises 47–50, find the angle of inclination of the tangent In Exercises 47–50, find the angle of inclination of the tangent q del En losto ejercicios 47 find afind encontrar ángulo de inclinación plane the 47–50, surface at50, the given InExercises Exercises 47–50, the anglepoint. ofelinclination inclination ofthe thetangent tangent In Exercises 47–50, find the angle of inclination of the tangent In the angle of of plane to the surface at the given point. plano tangente a la superficie en el punto dado. plane to the surface at the given point. plane to the surface at the given point. plane the given 2 2, 2, 5point. z at15, 47. 3xto2 the2ysurface 47. 3x2222 2y2222 z 15, 2, 2, 5 3x2 2y 2y 15,2, 22, 2,2, 2,555 47. 3x 3x 2, 2, 2y 15, 47. 2xy z32 0, 2, 48. zzz 15, 47. 48. 2xy z3333 0, 2, 2, 2 2 2 2xy z 0, 2, 2, 2 48. 3 2xy z 2, 2, 2 0, 48. yz z0, 0,2, 2,1,22, 3 x 49. 2xy 48. 49. x2222 y2222 z 0, 1, 2, 3 2 x z 0, 0, 1, 2,333 49. 2 y 0, x 1, 2, 49. x 2, 1,1, 3 2, 50. 49. x 22 yyy2222 zz5, 50. x22 y22 5, 2, 1, 3 x y 5, 2, 1, 3 50. 2 2 x 2, 1, 3 y 5, 50. y 5, 2, 1, 3 50. x

1053714_1307.qxp 10/27/08 10/27/08 12:09 12:09 PM Page Page 952 952 1053714_1307.qxp 1053714_1307.qxp10/27/08 10/27/08PM12:09 Page 952 1053714_1307.qxp PMPMPage 952 Larson-13-07.qxd 3/12/09 19:11 12:09 Page 952 1053714_1307.qxp

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952 Chapter 13 of Several Variables 952952 CAPÍTULO Chapter 1313Functions Functions of Several Variables 952 Chapter 13 Functions ofof Several Variables Chapter 13 Functions ofvarias Several Variables 952 Chapter 13 Functions Several Variables 952 Funciones de variables 952 Chapter 13 Functions of Several Variables 952 Chapter 13 Functions of Several Variables 952 Chapter Functions Several Variables 952 Chapter 1313 Functions of of Several Variables 952 Chapter 13 Functions of Several Variables Consider the function In Exercises 51–56, find the point(s) on the surface at which the 67.Investigation Investigation Consider the function In Exercises 51–56, find the point(s) on the surface at which the the67. 67. Investigation Consider the function InIn Exercises 51–56, find the point(s) onon the surface atat which the 67. Investigation Consider the function Inejercicios Exercises 51–56, find the point(s) on the surface at which 67. Investigation Consider the function Exercises 51–56, the point(s) the surface which the 67. Investigation Consider the function In Exercises 51–56, find the point(s) on the surface at which the 67. Investigation Consider the In Exercises 51–56, find the point(s) on the surface at which the En los 51 afind 56, encontrar el (los) punto(s) sobre lawhich 67. Investigación Considerar lafunction función tangent plane is horizontal. 67. Investigation Consider function In Exercises 51–56, find the point(s) on the surface at the 67. Investigation Consider thethe function In Exercises 51–56, find the point(s) on the surface at which the tangent plane is horizontal. tangent plane is horizontal. tangent plane is horizontal. 4xy tangent plane ishorizontal. horizontal. tangent plane is horizontal. tangent plane is superficie en la cual el plano tangente es horizontal. 4xy 4xy 4xy tangent plane is horizontal. 4xy f x, y 4xy tangent plane is horizontal. 4xy fsx, x,yyyyfyd 5 2 2 2 2 x,x,x, xyx222x222 Consider 1 y 2 2 4xy 1 214xy zz z 33 3 x51–56, 51. y 22y2 6y 2 ffff fx, y fx,x, 26y point(s) on the surface at which the 51. 67. Investigation In Exercises 51. 6y fxsx2yxx, 1 y 11x1121dsyy2y222yy2122111the y11d 2function 1 y2the 6y 51. y 2 6y 6y z z51.3 z32 xx232xx2 2 yyx22find 51. 2 2 x 1y y 2 1 1 z 3 x 51. y 6y x 1 z 3 x 51. y 6y z 3x 2y 3x 4y 5 52. 2 2 tangent plane is horizontal. 2 2 2y22y 2 2 3x23x 4y4y 5 5 z 3x 52. 2 x 2 on the intervals y z 3x 52. 2 2 2 2 z3x 3x 3x 52.zz z52.3x enon los intervalos 4xy 2 x 2 0y 0 y y 3.3. 3. 3. onthe the intervals 3x 2y2y23x2 2y 3x3x22y4y 4y 52. 554y54y 4y5 5 5 52. 3.y3. on the intervals 2 4y 3x on the intervals intervals on intervals 2 52. z2y 222 22 xxx2x2 2222x2yyyxy000 0x2 2yyyyy02y0y3. intervals 3x y2 223x 3x 52. fon x,the ythe 2z xy 22y2x z x 2y 53. 0normal 3.de and on the intervals 2 2 2 y y 3.line on the intervals 2 2 z x xy y 2x 2y 53. 2 2 (a) Find a set of parametric equations of the an x 1 y 1 xy 2x 2y 53. xxy 51. 1053714_1307.qxp 12:09 PM Page 952 22y 6y a) Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas laand recta xxy2 y yyxy y 2x 2y 2x 2y 53.zzz z53.3xx22zx 10/27/08 (a) Find a set of parametric equations of the normal line and an 2x 2y 53. (a) Find ofaofparametric parametric equations ofofthe the normal line and anan (a) aaFind set of parametric equations of the normal line and an (a)Find Find aset setof parametric equations the normal line (a) set equations of normal line and an 2 z z x x2 xy2xy y2 y2 2x 2x 2y 2y 53. 53. z 4x 4xy 2y 8x 5y 4 54. 2 2 equation of the tangent plane to the surface at the point (a) Find a set of parametric equations of the normal line 22 22 2 2y 2 (a) Find a set of parametric equations of the normal line andand an an normal y una ecuación del plano tangente a la superficie en 2 2 z 4x 4xy 2y 8x 5y 4 54. equation of the tangent plane to the surface at the point z 4x 4xy 2y 8x 5y 4 54. z 3x 3x 4y 5 52. 2 2 2 2 equation of the tangent plane to the surface at the point 4xy 2y 8x 5y 4 4x 4x 4xy 2y 8x 5y 4 54.zz z54.4x equation of the tangent plane to the surface at the point equation of the tangent plane to the surface at the point 4xz54. 4xy 2y 8x 5y 4 54. 4xy 2y 8x 5y 4 54. equation of the tangent plane to the surface at the point 2 x 2 0 y 3. on the intervals y 2 2 equation of the tangent plane to the surface at the point 24x 22y z 4xy 8x 5y 4 1, 1, 1 . equation of the tangent plane to the surface at the point z 4x 4xy 2y 8x 5y 4 54. equation of the tangent plane to the surface at the point el1,punto 55. 1,1, 1,11, 2 5xyxy 1,1, z 5xy 55.zzzz z55. 1, .1). 11...(1, .. 11, 5xy 55. x5xy 53. 1,1, 1, 1, z5xy 5xy y2 2x 2y 55. 55. (a) Find a11set parametric equations of the42, normal line and an 1,of 1,(a) 11,for .1a).the 4 4 z 5xy (b) Repeat part point 2, z 5xy 55.55. b) Repetir el inciso con elpoint punto1,1,s1, 21, 5444 .45.2. 5 d4. 1 1 (b) Repeat part (a)for for the 2,1, 2 2 (b) Repeat part (a) for the point 2, 1 1 (b) Repeat part (a) for the point (b) Repeat part (a) for the point 1, 2, . 5 at 5 2, 1 1 z 4x 4xy 2y 8x 5y 4 54. (b) Repeat part (a) the point 1, 2, 4 equation of the tangent plane to the surface 4. the 11 1 xy 56. 5. 1, 1 5 1 1 5 1 1 z xy 56. (b) Repeat part (a) for the point 2, . point Repeat partalgebraico (a) system for thepor point 1, 2, xyzxy xxy y 1 1 1 1 56. c)(c)Use Utilizar un sistema computadora 5 the CAS (c) a(b) computer algebra to graph the surface, nor56.zz z56.xy 5y .representar 56. CAS Use a computer algebra system to graph the surface, the norx y CAS (c) Use a computer algebra system to graph the surface, the norx y 1, 1, 1 . CAS (c)aa computer a computer algebra system to the graph the surface, the nor56. CAS(c) Use aUse computer algebra system to graph the surface, the norz xzx xxy xy 5xy 55. z 56. CAS (c)(c)mal Use computer algebra system tofound graph the surface, the norCAS Use algebra system to graph surface, the noryyxy x xy y y gráficamente la superficie, las rectas normales y los planos lines, and the tangent planes in parts (a) and (b). CAS (c) Use a computer algebra system to graph the surface, the norCAS (c) Use a computer algebra system to graph the surface, the(b). normal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). 4found mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). mal lines, and the tangent planes in parts (a) and mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). mal lines, lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). (b) tangentes Repeat part (a) for the point 1, 2, . mal and the tangent planes found in parts (a) and (b). In Exercises 57 and 58, show that the surfaces are tangent to 5 1 1 encontrados en los incisos a) y b). mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). In Exercises 57 and 58, show that the surfaces are tangent to mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). In Exercises 57 and 58, show that the surfaces are tangent to En los ejercicios 57 y 58, demostrar que las superficies son tan68. Investigation Consider the function In xy Exercises 5758, and 58, show that the surfaces are tangent and 58,show show thatthe thesurfaces surfaces aretangent tangent to to 68. zExercises 56. InInExercises Exercises 5757and and 58, show that the surfaces are tangent totangent In 57 that are to 68.(c) Investigation Consider thefunction function Investigation Consider the function 68. Investigation Consider theto function each other at the given by showing the surfaces have 68. Investigation Consider the function In Exercises 57 and 58, show that surfaces are to 952 Chapter Functions of Several Variables Incada Exercises 57point and 58, show that the surfaces are tangent to CAS 68. Investigation Consider the Use a computer algebra system graph the surface, the norxthe y13 68. Investigation Consider the function each other at the given point by showing that the surfaces have 68. Investigación Considerar la función each other at given point by showing that the surfaces have gentes a una en el punto dado para demostrar que las 68. Investigation Consider the function each other at the given point by showing that the surfaces have each other at the given point by showing that the surfaces have 68. Investigation Consider the function each other at the the given point by showing that the surfaces surfaces have each other at given point by showing that the have sen yand the same tangent plane this point. each other at the given point showing that surfaces have each other atplane theat point by by showing thethe surfaces have mal the tangent planes found in parts (a) and (b). sen the same tangent at this point. sen the same tangent plane atgiven this point. superficies tienen el mismo plano tangente en estethat punto. the same tangent plane atpoint. this point. ff x, yx,y y lines, sen the same tangent plane at this point. sen yy yysen y the same tangent plane at this fx, x,x, In Exercises 57 and 58, show that the surfaces are tangent to sen f x, y the same tangent plane at this point. x f y sen y ythe function the same tangent plane at this point. f y f x, y x 2 2 2 2 2 2 68. Investigation Consider 1053714_1307.qxp 10/27/08 12:09 PM 952 xxother 3z 6x 10y 14 0,0, xx22x22 yby 57. f x,f xxxyx,x y x 2 z 2Page 2x22 2y2 2 22the 2 22 3,point 22y2 2 23, 2z22 the 26x 2y 3z 10y 14 0, 57. each at given showing that the surfaces have 2y 3z 3, y z 6x 10y 14 57. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 67. Investigation Consider In Exercises 51–56, find the point(s) on surface at which the x2y2 2y z6x 10y 6x 14 x x the function x 3, 57.xx x57. 2y 2y 3z3z22y3z 3,3,xx23z yxy3,2 xzzy2 z 2 y6x 6x 141410y0, 0,0, 0, 57. 57. 23, 2 y 2 10y 10y x23z 57. on the intervals 33 3 xx x 33y3y0y0 0 yy y 22 2. . . x is 2y 3z 3,point. y 2 z2 z10y 6x 6x 14 10y 14 14 0, 0, x 57. on the intervals 1,1, 1, 0 sen y the same tangent plane at this en los intervalos on the intervals tangent plane horizontal. 1, 1, 0 on the intervals onthe intervals4xy 1,1,001, onx, the intervals 33 3 xx3x3 333x3yyxy00 0x3 3yyyy03y0y220y2.y. . y2 2. 2. . 0 1, 0 fon ytheintervals 1,1,1, on the intervals on the intervals 2 2 2 2 2 1, 0 12y (a) Find a set of parametric equations of the normal line and an x x x 8x 4z 42 0, y 2z 7, 58. f x, y 2 y 222 2 z1,221, 22 0 2 2 (a) Find a set of parametric equations of the normal line and an 2 2 2 a) Hallar un conjunto de ecuaciones de laand recta 2 2 2 2 (a) Find set ofa1ofparametric parametric equations ofparamétricas the normal line and anan 2y2 2z20, 2 set 2 parametric x2 yyx2214 x2 32y y2x 2 zzy23z 8x 12yy 4z 4z 42 0, 2z 7, 7, 7, 58.zxxx22x58. (a) aaaFind set of equations of the normal line and an (a)Find Find aset parametric equations of the normal line 12y 4z4z 42 0,0, 7, 58. 3,6yx12y z 42 6x 0, 10y 2zz2y 28x 57. 22y (a) Find of parametric equations of the normal line and an (a) set of equations of the normal line and an z2 28x 8x 4z42 42 y2 2z 2z x(a) ytangent 1parametric 58. 51. 8x 42 0, 2z 58. xxx22x420,0, x 58. yyyx58. 4z y yx0,2 x2z 58. 2 12y 12y 2 7, equation of the tototo the surface atat the point Find atangent set of plane parametric equations of the normal line 2 xz2 2 y8x 2 z12y 2 y7, (a) Find a set of equations of the normal line andand an an 8x 12y 4z 2z 7, equation of the tangent plane the surface at the point x y z 8x 12y 4z 42 y 2z 7, normal y una ecuación del plano tangente a la superficie en equation of the plane the surface the point 2,2,2, 3, 3 equation of the tangent plane to the surface at the point equation of the tangent plane to the surface at the point equation of the tangent plane to the surface at the point on the intervals y 3 x 3 0 y 2 . equation of the tangent plane to the surface at the point 3, 3 2 2 3, 1, 1,2,0333, 3, 32y 3 3x 4y 5 3x equation of the tangent plane to the surface at the point 52. z 2,2, 3, equation of the tangent plane to the surface at the point el punto 2 x 2 y 0 y 3. on the intervals 2, 3, 3 3 11 1of parametric 2, 3, 2 (a) Find equations of the normal line and an 260, 2x 2,2,2,a, , set 1. . . 1 x2 xy2 2 59 z2andy8x 12yshow 4zthat42the surfaces 0, x2 yintersect 2z at 7, 58.Exercises 12, , 1 In (a) z xy 2y 53. In Exercises 59 and 60, (a) show that the surfaces intersect at , . 1 2 2 p 1 2,2a,,2set .the (a) Find parametric equations ofsurface the normal line and an 1tangent InInExercises Exercises 5959and and 60, (a) show that the surfaces intersect atat at En los ejercicios 59 y60, 60, a)(a) demostrar que las inter2, 2, ..of In Exercises 59 and 60, (a) show that thesuperficies surfaces intersect Exercises and 60,(a) show thatthe thesurfaces surfaces intersect In 59 show that intersect at equation plane to the at the point 2, 22of 2, , . 2 2 2, . , 2 2, , . 2 2 the given point, and (b) show that the surfaces have perpendicular 2 2 2 2 In Exercises 59 and 60, (a) show that the surfaces intersect at In Exercises 59 60, (a) show the surfaces intersect at 3 4xy thegiven given point, and (b)show show that the surfaces have perpendicular z2, 4x 2y 5y 4quethat 54. equation plane to2the surface at the point 2 2 2 of 2the2 tangent the given point, and (b) show that the surfaces have perpendicular secan en3, el punto dado yand b) demostrar las superficies tienen 952 Chapter 13 Functions of Several Variables the given point, and (b)8x show that the surfaces have perpendicular the given point, and (b) show that the surfaces have perpendicular 3 3 the point, and (b) that the surfaces have perpendicular the given point, and (b) show that the surfaces have perpendicular 2 3 3 2, 23 3, 2333 3. 3 tangent planes at this point. the given point, and (b) show that the surfaces have perpendicular(b)(b)Repeat (a) for the point the given and (b) show the surfaces have perpendicular 1part tangent planes at this point. 1, 1, ,1Repeat .part Repeat part (a) for the point tangent planes atpoint, this point. planos tangentes perpendiculares enthat este punto. (b) Repeat (a) for the point planes atpoint. this point. tangent planes at this point. z tangent 5xy 55. (b) part (a) for the point 3223,,,3332,,2 2,3,,2p (b)Repeat (a) for the point ,,2 .332.., 3 3. 3 tangent planes at this point. tangent planes this 2,Repeat .part (b) Repeat part (a) for the point (b) part (a) for the point In Exercises 59at and 60, (a) show that the surfaces intersect at tangent planes at this point. tangent planes at this point. (b) Repeat part (a) for the point b) Repetir el inciso a) con el punto 23 22, 243222 ,22,.2. ,.2, , . . (b) Repeat part (a) for the point 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 (b) Use Repeat part (a) algebra for the point 1,graph 2, 3 5the 5y 8z 13, 1,1,1, 1,1, 2have zz z 2xy 59. 2 nor2. 3surface, 232 22 the 2, 8x 2 2 212:09 1053714_1307.qxp 10/27/08 Page 952 28z PM CAS (c) a computer system toto , and 8x 5y 13, 1, 2xy 59. the given point, the surfaces 8x 5y225y 8zthat 13, 2xy 59. 22,,21 22 2,1(b) 22show 8x 5y 13, 2 z2xy CAS ,2xy 8x 8z2 8z 13, 1, 22 1,perpendicular 59. (c)Use Use a computer computer algebra system to graph thesurface, surface, thenornor2xy 8x 5y 1,1,1, 221, 59. CAS (c) Use computer algebra system graph the surface, the norzz2 z59. xy 56. CAS 28z 2 13, (c)aaa computer asistema computer algebra system graph they surface, the norCAS (c) Use aUse algebra system to graph surface, the nor2find 2graph 3toin 3the 67. Investigation Consider the function In Exercises 51–56, the point(s) on surface the CAS (c) computer algebra system tofound graph the the CAS (c) Use algebra system to the surface, the nor2 22xyy , 28x 5y 8z the13, 13, 1, 1,at21,which 2 zzat 2xy 59. , 8x 5y 8z z 59. c) Utilizar un algebraico por computadora representar CAS (c) Use a computer algebra system to graph the surface, the norx x y 2x 4y 4z 12 0, 60. mal lines, and the tangent planes parts (a) and (b). 2 2 2 CAS tangent planes this point. (c) Use a computer algebra system to graph the surface, the norCAS (c) Use a computer algebra system to graph the surface, the(b). nor2 2 2 (b) Repeat part (a) for the point , , . 2y2 z222z2 2x 22x 4y4y 4z4z 1212 0,0, x 60. mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). 2 x y 60. mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). 2 2 2 2 xy 2 iszzy2horizontal. z2 2x2 4y 2x 4y4z 12 4z12 0, 12 mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and z 2 2x 4y 4z 0, 0, 60.xx x60.plane mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). tangent y 2x 4y 4z 12 0, 60. mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). 3 2 2 y 60. mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). 2 gráficamente la superficie, las rectas normales y los planos mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). 2 60. 2x 2x y 2y 2 z z 2x 2x 4y 4y 4z 4z 12 12 0, 0, 60. mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). 2 4xy yy2222,y28x16z 11 1 1, 1, 2 4x 69. Consider the functions 2 2 2 224, 216z 224, 16z 1, 2, 2, 4x 69. Consider the functions 24, 1,that 2,1, 69. Consider the functions 8z 1, 13, z4x4x 59. Exercises 22 22xy 225y f(c) x,Consider ytangentes y2 216z 16z 24, 1 4x 69. Consider the algebra functions In and show the surfaces are tangent to 24, 1, 2, 69. functions y2yx57 24, 2, 1 1 2, 69. Consider the functions calculados en los incisos a) y the b). surface, the norCAS Use a computer system to graph 2the 2 22 16z 22 58, 2 6y 2 21, 24, x 68. Investigation Consider the function 1 y 1 3 51. z4x y y 16z 1, 2, 1 4x 69. Consider the functions 16z 24, 1, 2, 1 4x 2 y 69. Consider the 2functions each the given point by4zshowing that the f x,fx,mal yx,y y lines, 6 and x 222x22the g x, yx, found y.y. y. (a) and (b). y 2tangent 42 y planes 20, z 2 surfaces have x2other ya22at z 2on 2x 4yellipsoid 60.61. in parts gx,yx, y 2x 2x xx22212 61. Find point the ellipsoid the 2x 26 2 22 z22z22 99 2where y2x 2x x22 4y 9where Find apoint point on the where the the 69. fffConsiderar fx, x, yf x,666y66lasxxxfunciones x yyyx22y2y24424 44y2yyy2 y2y4ggg2gx, 24y x, y x,4yyy ygyyx,2x 2x y.y. 2xy. y. y y. z 3x 2y 3x 4y 5 52. 4y 61. Find a on the ellipsoid the 2 2 2 2 2 x 4y z 9 61. Find a point on the ellipsoid where Encontrar un punto sobre el elipsoide don61. x 4y z 9 61. Find a point on the ellipsoid where the sen y the tangent plane at this point. x 4y z 9 61. same Find a point on the ellipsoid where the f x, y 6 x g x, y y 2 x 2 0 3. on the intervals y x 4y z 9 61. Find a point on the ellipsoid where the y f x, y 6 x g x, y 2x y. y 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tangent plane is perpendicular to the line with parametric y 16z 24, 1, 2, 1 4x x 4y z 9 61. Find a point on the ellipsoid where the 69. Consider the functions x 4y z 9 61. Find a point on the ellipsoid where the f x, y (a) Find a set of parametric equations of the tangent line tototo the tangent plane is perpendicular to the line with parametric tangent plane is2isperpendicular perpendicular totothe the line with parametric tangent plane is perpendicular perpendicular to the line with parametric de elx2plano tangente es athe laline recta con parametric ecuaciones tangent plane perpendicular linewith with parametric 2 parametric 2parametric (a) Find aset set of equations ofthe the tangent line the tangent plane to xy yis 2x 2y2 perpendicular 53. zequations (a) Find aFind set of parametric equations of5 the tangent line the xset (a) a set of equations of the line to the f s x, y d 5 6 2 x 2 y y4 g s x, y d 2x 1 y. tangent y (a) Find a of parametric equations of the tangent line (a) Find a of parametric equations of tangent line toto (a) Find a set of parametric equations of the normal line and anthe 2 2tangent 2 plane 2 is is 2 (a) Find a set of parametric equations of the tangent line to the tangent plane to the line with parametric perpendicular to the line with parametric 2y 3z 3, y z 6x 10y 14 0, x 57. xparamétricas curve of intersection of the surfaces at the point ,4, line equations 1, 2, 4the (a) Find a set of parametric equations of the tangent to the 2 2 equations (a) Find a set of parametric equations of the tangent line to the equations equations curve of intersection of the surfaces at the point 1, 2, y f x, y 6 x g x, y 2x y. y 4 2 2 equations curve of intersection of the surfaces at the point 1, 2, 4 2 2 2 equations of intersection of the surfaces at thethe point curvecurve ofof intersection ofplane the surfaces atthe the point ,, 4 , 1, 2,441, 4,, 2, 4x 4xy 2y 8x 5y 4 54. x 4y z 9 61. a point on the ellipsoid where the curve of intersection of the surfaces at the point 1, 2, equation the tangent to the surface at point curve of intersection of the surfaces at point 1, 2, 952zxFind Chapter 13 Functions of Several Variables equations equations 2 4t, y 1 8t z 3 2t. y a) Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta tanand find the angle between the gradient vectors. on the intervals y 3 x 3 0 y 2 . curve of intersection of the surfaces at the point 1, curve of intersection of the surfaces at the point 1, 2, 42,,4 , x 2 4t, y 1 8t z 3 2t. y and find the angle between the gradient vectors. 1, 21,x2 0 4t, 8t18t yy y8tzz z yto33 z3the2t. 2t. and find the angle between the gradient vectors. 24t,yy yis4t,111perpendicular y1 8t 32t. 2t. and find the between angle between the gradient vectors. and theangle angle between thegradient gradient vectors. 4t, 8t 2t. tangent with parametric and find the angle between the gradient vectors. 1, 1,find .lathe xxx x 5xy 22 xplane 4t, and the vectors. zFind 55. (a) Use Find a1afind set of parametric equations of the tangent line topunto the gente curva de intersección de las superficies en el 2 2t. 2t. x22yon 2the 4t, z2line 3 and find the angle between the gradient vectors. 4t,hyperboloid y y 1y 1 z8t x8t23y2 2yz4y 3 and find the angle between the gradient vectors. 2 2point 2 2 CAS z 1 62. a where the (b) computer algebra system to graph the surfaces. 2 2 (a) Find a set of parametric equations of the normal line and an 2 yaaFind za on 8x 12y 4z xx22x42 0, 2z 7,the 58. CAS(b) x2 4y 4y 62.xequations Find apoint point on the hyperboloid where the theCAS (b)curve Use acomputer computer algebra system to graph thesurfaces. surfaces. 4graph 2 CAS 4y z2222zz2 y 111z2 211where 62. Find point onon the hyperboloid where the Use computer algebra system toto the surfaces. 2 2x 4y CAS x24y 1 where 62. point on the hyperboloid (b) Use a(a)computer algebra system to point graph the CAS 62. Find apoint point the hyperboloid where (b) Use apart computer algebra system the 62. Find the hyperboloid the (b) Use aaof algebra system to graph the intersection ofpoint the surfaces at the , surfaces. 1,surfaces. 2, 4surfaces. Repeat for the 1, 2,to .graph CAS x x 4y 62. Find a62. the hyperboloid (b) Use a4), computer algebra system the surfaces. (1, 2,(b) yof hallar ángulo entre los vectores 2 x2zz4y 2 z2 1the 5graph 1plane 1point 4y zz 24y 0.0.where tangent plane ispunto to the plane Graph the tangent found in part (a). CAS 1 where Find aparallel point on the hyperboloid the(b) equation the tangent plane to the surface atgradientes. the point (b) Use aelline computer algebra system to graph 62. Encontrar unon sobre el hiperboloide CAS z x 62. Find a on the hyperboloid where the Use a computer algebra system to graph thethe surfaces. x 4y z 0. tangent is parallel to the plane Graph the tangent line found in part (a). x 4y tangent plane is parallel to the plane Graph the tangent line found in part (a). z xy 56. x4y zz4yzat 0. z0. 0.the plane isthe parallel to the Graph the tangent line found in(a). part (a). 67. Investigation Consider thefound function In Exercises 51–56, find point(s) on xplane the which 2,tangent 3,2 tangent 3plane x2t.surface plane isparallel parallel tothe the plane Graph tangent line found inpart part (a). x 4y 0. tangent plane is parallel to the plane xdonde 4t, y 1 8t z 3 y Graph the tangent line found in part (a). and find the angle between the gradient vectors. 4y tangent is to plane Graph the tangent line in (c) a the computer algebra system tofound graph the norxtangent ytangente b) Use Utilizar un sistema algebraico por computadora representar plane is parallel toal the plane Graph the tangent found in surface, part eltangent plano es paralelo plano x x 4y 4y z z 0. 0. CAS plane is parallel to the plane Graph the tangent lineline inthe part (a).y(a). 70. functions tangent plane is horizontal. 70.Consider Consider the functions 1the 70. Consider the functions 2 2 2 70. Consider the functions 70. Consider functions 70. Consider the functions W R I T I N G A B O U T C O N C E P T S CAS x 4y z 1 62. Find a point on the hyperboloid where the (b) Use a computer algebra system to graph the surfaces. mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). la gráficamente las superficies. Representar gráficamente 4xy 2, , . W R I T I N G A B O U T C O N C E P T S 70. Consider the functions WExercises N G B UA60, Nshow InW 59 and (a) intersect at 70. the RI N I TG IANA GBOO BTOCCshow UCOTO OP Nthat T Ssurfaces W I ITIN U NC C EPplane PTCS TSESPthe 2 functions x, y y 2Consider RRR IITTW Gplane A U TGTA N ETEC 2the In Exercises 58, that surfaces are tangent fff x, yrecta 16 xobtenida yy21222y2found 2x 2en 2 16 222 line zperpendicular 0. planeto tangent parallel the 2x Graph tangent in4y part (a). W57 R IBand TNisOyIG2(b) N Oof U CTNthe Osurfaces P4y S the fx,x, x, 4ya). tangente el Wthe R I2standard Tand BAform OOBUto TC Oequation CNExC PETof SThave 22xinciso x 1 y z Give 3point, xthe 51. 6y 63. form the the tangent y 16 x 2x 4y 2 68. Investigation Consider the function 2 2 f x, y 16 x y 2x 4y the given show that the f y 16 x y 2x 4y 63. Give standard of the equation of tangent plane x, yy 16 2x 4y ff x, xx 16 16 yy x 2 x2x 63. Give the standard form of the equation ofofthe the tangent plane 2 2 y4y Desarrollo destandard conceptos 63. at Give the form of the equation of the tangent 63. Give the standard formof ofthe the equation the tangent plane each other the given point by showing that surfaces haveplane x,functions yfunciones 63. Give the standard form of the equation of tangent plane 63. Give standard form equation plane 3 4y f the x,f 16 ylas y 2 22x 32x 4y 2the 2 xof aplanes surface given by at FF x, y, zy,form ,x,ythe ,y,ztangent . . of 70. Consider 63. Give the standard the the tangent plane 70. y(b) Considerar 63. Give the standard form ofy,00of the equation the tangent plane tangent atsurface this point. 0equation 0 0, of z to 3x 2y 3x 4yF 5y, 52. same Repeat part (a)2for the point to a surface given by at F x, z 0 , z . x to a surface given by at x, y, z y z 0 0 0 x to a given by at F x, z 0 , y , z . y x to a surface given by at x, z 0 , y , z . x 2 0 y3, 23., 2 . on the intervals y sen y the tangent plane at this point. 0 0 0 x to a surface given by at F x, y, z 0 , y , z . y W R I T I N G A B O U T C O N C E P T S 0 00 0 000 0 0 0 y y 0 0 y y x00,, yz0pass tosurface aestándar given F lines x, zy, del zat 0plano , z0 a. 63. For Dar2some la forma denormal la by ecuación tangente to given by at0 atxpoint F x, y, f fx,sx,y yd 5 2surface 64. yx216 0, y 0 .pass ! x some xy2asurfaces, y5y 2y 53. 2,some 2 2xthe 2x x2 2 22yy2 2 1 2x 2 4y the normal line and an 64. For surfaces, the normal lines atany any point f(a)x, Find y y set 64. For surfaces, the normal lines at any point pass 8x 8z 13, 1, 1,ofat 2sthe zz Give 2xy 59. 64. some surfaces, the lines at, point any point 22x 6x4y of 64. For some the lines at any point pass pass CAS g(c) of equations 216 64. For some surfaces, the normal lines at any pass the standard form of the equation plane 2For 2 surfaces, 2 the 64. For some surfaces, lines any pass una superficie dada por en Fys2normal x,normal y,object. z2object. dnormal 5 0normal x0is , lines ytangent zpoint dat .any x, yx,y y aacomputer 3x 4y. Use system to surface, the nor2211parametric 2 22 y 22y22 6x 2 x2through 2y 3z 3, z 6x 10y 14 0, x 57.63. 2 0 0 the same geometric What the common 26xgraph 64. For some surfaces, the any point pass g 12algebra 3x 4y.the4y. 64. For some surfaces, the normal lines at point pass 22 22 through the same geometric What is the common g x, 3x yplane 4y. 2 2geometric object. What is the common 2 g x, y 1 3x y2 6x 6x 2 g x, y 1 3x y 2 through the same y g x, y 1 3x y 6x 4y. 2 z 4x 4xy 2y 8x 5y 4 g x, y 1 3x 54. y 4y. 2to 2 2 through the same geometric object. What is the common through the same geometric object. What is the common equation of the tangent to the surface at 2 4y. 23x6x 2y through the same geometric object. What is the common x a surface given by at F x, y, z 0 , y , z . 2 through the same geometric object. What is the common y z 2x 4y 4z 12 0, 60.64.x geometric mal lines, and the tangent planes found in parts (a)the andpoint (b). g x, y 1 6x 2 2 0 0 0 1 3x g x, y y 6x y object for asame What isisis the common 3 2x 3 y 0 y 2 . 4y.4y. 22 through the geometric object. What is the common on the intervals En algunas superficies, las rectas normales en cualquier punto through the same geometric object. What is the common 1,geometric 1, 0geometric geometric object for asphere? sphere? What the common geometric object for a sphere? What the common 2 object for a sphere? What is the common object for a sphere? What is the common 1, 1, 1 . geometric object for a sphere? What is the common ! 2 z geometric 55. 2 5xy 2 2 64.4x For some surfaces, the normal lines at any point pass 2 2 object for a right circular cylinder? Explain. geometric for a cylinder? sphere? What isobjeto the common y por 16z 24, 1, 2, pasan el mismo objeto geométrico. ¿Cuál es 69. Consider functions geometric object a142sphere? iselExplain. !parametric 2computer CAS Use computer toto4y. graph the first-octant gs(a) x,Find yUse d 5aathe 1 2 algebra 3x 1equations y2system 1system 6x 1 2What 2Explain. geometric object for right circular cylinder? (a) set of of the normal line and an CAS geometric object for aobject right circular Explain. 4graph 2algebra y2 geometric z2 object 8x object 12y 4z 0, xcylinder? yExplain. 2zthe common 7, 58. x2 geometric to the first-octant for afor right circular geometric object for aaright right circular cylinder? CAS (a) Use computer algebra system graph the first-octant geometric for circular cylinder? Explain. for aauna right circular cylinder? Explain. CAS x, Use yUse 3x yalgebra 6x 1, 4y. (a)aaUse a1(a) computer system to the first-octant 2computer CASg (a) Use aacomputer algebra system to graph the first-octant (b) Repeat part for the point 2, . graph CAS (a) computer algebra system to graph the first-octant CAS (a) algebra system to graph the first-octant through theobject same geometric What is the common 5and 1the 1 relationship geometric object for a¿Cuál right circular cylinder? Explain. geométrico común en esfera? es el objeto geométrigeometric object for aobject. right circular cylinder? Explain. portion of the surfaces represented by f g. CAS 2 (a) Use a computer algebra system to graph the first-octant 65. Discuss relationship between the tangent plane to a equation of the tangent plane to the surface at the point CAS 2 2 (a) Use a computer algebra system to graph the first-octant portion of the surfaces represented by and f g. 65. Discuss the between the tangent plane to a z2,geometric xya 3point 56.65. yrepresented x, portion yportion 6portion xthe g x,represented y by 2x y. g. ysurfaces 4surfaces portion ofof the surfaces represented by and g. 65. Discuss the relationship between the tangent plane totothe 2 tangent of thealgebraico and f g. g.the nor3,Discuss portion the represented byfffthe and f by 65. Discuss the relationship the tangent plane 65. the relationship between the tangent plane a to a CAS f(c) of the surfaces represented by and g. of surfaces and Discuss the between the plane to object for arelationship sphere? What is common x2 between 4y z2 the 9plane 61. Find on the ellipsoid where 65. Discuss relationship between the tangent to aaaplane co común en un cilindro circular recto? Explicar. Use aone computer algebra system to graph surface, xthe yrelationship a) Find Utilizar un sistema por computadora yand representar portion of the surfaces represented by and f g. surface and approximation by differentials. 65. Discuss the between the tangent to a portion of the surfaces represented by f g. 65. Discuss the relationship between the tangent plane to a (b) first-octant point on the curve of intersection and surface and approximation by differentials. surface and approximation bybydifferentials. differentials. (b)Use Find onefirst-octant first-octant point onthe the curve ofde intersection and and surface andperpendicular approximation bythe differentials. surface andapproximation 1Find (b) Find one first-octant point on the curve ofparts intersection and surface and by geometric for a right cylinder? Explain. tangent plane isapproximation todifferentials. line parametric (b)lines, one first-octant point on the curve of(a) intersection (b) one first-octant point on the curve of intersection and mal and the tangent planes found inthis and (b). gráficamente la porción del primer octante las superficies CAS (a) (b) Find one point on curve of intersection and a,one computer algebra system to graph the first-octant (b) Find point on the curve of intersection and Find set of parametric equations of tangent line tointersection the surface approximation differentials. 65. Analizar laobject relación entre el circular plano tangente awith una superficie 2,Find . first-octant surface andand approximation by by differentials. show that the surfaces are orthogonal at point. (b) Find one first-octant point on the curve of In Exercises 59 and 60, (a) show that the surfaces intersect at (b) Find one first-octant point onthe the curve of intersection andand show that the surfaces are orthogonal at this point. show that the surfaces are orthogonal at this point. 2 2 In65. Exercises 57 and 58, show that the surfaces are tangent to equations show that the surfaces are orthogonal at this point. showthat that thepor surfaces are orthogonal at this point. representadas f y the g. show that the surfaces are orthogonal this point. portion of represented byorthogonal fatand g. show the surfaces are orthogonal this point. Discuss the relationship between the tangent plane to a curve of intersection of the surfaces atat the point 1, 2, point. 4, y lapoint, aproximación por diferenciales. 68. (c) Investigation Consider the function show that surfaces are at this the given and (b) show that the surfaces have perpendicular show that the surfaces are orthogonal at this point. surfaces are orthogonal along the curve of intersection. eachx other atand the given that the surfaces have (c)These These surfaces are orthogonal along the curve of intersection. (c) These surfaces are orthogonal along the curve of intersection. 2curve 3 the 3vectors. differentials. 1 point 8t ybyby zshowing 3 2t. and the angle between the gradient (c)find These surfaces are orthogonal along the curve of intersection. These surfaces orthogonal along curve of intersection. (c) These surfaces are orthogonal along the of intersection. b)(c) Hallar un punto enare el primer octante la curva intersección CCACAPAPsurface SPSplanes T2STOTONON4t, ENEatEy approximation (b) Find one first-octant point on the of and tangent (b) Repeat part (a) for the point ,sobre ,curve .intersection Does part (b) prove this fact? Explain. (c) These surfaces are orthogonal along the curve of intersection. (c) These surfaces are orthogonal along the curve of intersection. sen y the same plane at this point.2 CS Atangent SN TEOthis N E point. C A P TPO Does part (b) prove this fact? Explain. C A P S T O N E Does part (b) prove this fact? Explain. 2 2 3 toExplain. 2 atgraph 2thisen Does part (b) prove this fact? Does part (b) prove this fact? Explain. y mostrar que las superficies son ortogonales este punto. Does part (b) prove this fact? Explain. show that the surfaces are orthogonal point. f x, Does part (b) prove this fact? Explain. C A P S T O N E CAS x 4y z 1 62. Find a point on the hyperboloid where the (b) Use a computer algebra system the surfaces. C A P S T O N E 66. Consider the elliptic cone given by Does part (b) prove this fact? Explain. 66. Consider the elliptic cone given by Does part (b) prove this fact? Explain. 2Consider 2 2 elliptic x 66. Consider the elliptic cone given byby1, 1, 66. the cone given by 5y 8z 13, 2 z 14 ztangent 2xy 59. 66. Consider the elliptic cone given 2, 8xthe 2elliptic 2cone 2given 66. Consider the elliptic cone given by 66. by CAS x6x 4y 0. 0, plane to plane (c) Use a computer algebra system graph the surface, the norGraph the tangent line found intothe part (a). x2Consider 2y 3z 3, ythe z2cone 57.Para In 71 72, show that tangent plane to the c) Estas superficies son ortogonales athe lo largo de laintersection. curva inter2 Consider 2is parallel (c) These surfaces orthogonal along the curve of Consider elliptic given by thexthe elliptic cone given by10y discusión InExercises Exercises 71and and 72, show that tangent plane to the xx2222x2266. yy66. InIn Exercises 7171 and 72, show that the tangent plane toto the In Exercises 71are and 72, show that the tangent plane to the 22y22 2 z 222z22 0. 20. Exercises and 72, show that thetangent tangent plane the 2 2 In Exercises 71 and 72, show that the tangent plane to the In Exercises 71 and 72, show that the plane to the 2 z 0. 2 2 OyyN E x y z 0. z 2x 4y 4z 12 0, 60.C Ax PxxS1,xTy1, mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b). y z 0. quadric surface at the point can be written in the , y , z x on the intervals y 3 x 3 0 y 2 . In Exercises 71 and 72, show that the tangent plane to z 0. sección. ¿Demuestra este hecho el inciso b)? Explicar. z 0. In Exercises 71 and 72, show that the tangent plane thethe Does part (b) prove this fact? Explain. 2 2 2 70. Consider the functions 0x 0 0, z can 0 x2 x y2 y z2 z 0. 0. quadric surface at the point can be written in the , y quadric surface at the point be written in the , y , z x 0 0 0 quadric surface at the point can be written intothe , y , z x quadric surface at the point can be written in the , , 0x 0y 0z0 can (a) Find an equation of the tangent plane at the point quadric surface at the point can be written in the , y , z x quadric surface at the point be written in the , y , z x 0 0 0 0 0 66. Considerar el cono elíptico dado por 0 0 0 (a) Find an equation of the tangent plane at the point W R I T I N G A B O U T C O N C E P T S 0 0 0 2(a) Find 2(a) the 2equation given form. quadric surface at the point can be written in the , y , z x an of the tangent plane at the point 66.4x2Consider elliptic cone given by quadric surface at the point can be written in the , y , z x Find an equation of the tangent plane at the point given form. y 16z 24, 1, 2, 1 69. Consider the functions (a) Find an equation of the tangent plane at the point 0 0 0 2 2 2 2 (a)given Findform. a set of parametric equations of line and an 0 the 0 normal 0 (a) yFind Find an equation of the tangent plane aty the the point equation of the plane point given form. 2 x at zan 8x 12y 4z tangent 0, 2z 7,the 58. x (a) given form. 5,5,5, 13, 12 . . an given form. (a) Find an equation of tangent plane point given form. flosx, y given y 2 2x 4y (a) Find equation of42 thethe tangent plane at at the point En ejercicios 71 yx72, probar quetoel plano tangente apoint latosuper13, 12 In Exercises 7116 and 72, show that the tangent plane the form. 13, 12 given form. 63. Give the standard 13, 13, 12 .. 12 .of the equation of the tangent plane . form equation of the tangent plane the surface at the x2 5, y25,13, z5,2 12 0. 2 2 y2 2 z2 5, 13,ellipsoid 12 . x2 of the x, y surface 6 xen x22 punto y 2x y. 2xel 2 5, 13, 12 2,(b) 3,aaFind 3 symmetric 2 normal 2yy22 4 ficiefEllipsoid: cuádrica expresarse en la forma xx22z22,yy , g2z x, c puede line quadric the 61. Find point on the where the x0normal to surface given by equations at Fequations x,. y, equations z of0of , normal yz20, znormal (b)Find Find symmetric equations of4y the normal lineatat atthe the (b) Find symmetric the at the 0 9.line 71.yEllipsoid: Ellipsoid: yyyx222yx 22point z2zzy222zy022 y101x2z011z,02y0z,12z0 can be written in the xxx222xat (b) an Find symmetric of the line at the 71. (b) Find symmetric equations the line at the 71. (b) Find symmetric equations of the normal line the (a) equation of the tangent plane at the point (b) Find symmetric equations of the normal line at the 71. Ellipsoid: x a b c 2 71. Ellipsoid: 71. Ellipsoid: 2a2 2b2 22c2 1 2 1 a) Encontrar una ecuación del plano tangente enparametric el punto dada. point 5, 13, 12 . 2 given form. (b) Find symmetric equations of the normal line at the (b) Find symmetric equations of the normal line at the a b c tangent plane is perpendicular to the line with 2 2 2 point 5, 13, 12 . 2 2 2 Ellipsoid: c2 2 2 1 of1 the tangent line to the 71. Ellipsoid: point 5, 13, 12 . . 12 (a) Find a, set 2,71. For point some surfaces, the normal lines at any point passat aa a.of parametric bab b acc2b cb 2 bequations point 13, . point 5, 13, 12 5, 13, 12 5,13, 13, 12 .5, 12 In64. Exercises 59–12). and 60, (a) the surfaces intersect 5, 13, c (5,point 2 c 6x 2x22x 2y01yy 2yya2 23x zz0 z2zz2z02of point 5,.. show 13, 12 that 12 point 5, 13, . . What is the common equations g x,curve y x2x00xxxof y1zthe 4y.at the point 1, 2, 4 , z x y y 0 0 intersection through the same geometric object. 0 0 x x y y z1 surfaces Plane: x y y z z z x x 0 0 0 x y y z z the given point, and (b) show that the surfaces have perpendicular 71. Plane: Elipsoide: 02 2 1 0 2 1002 02 511 0 0 2 2 Plane: 0 0 (b) Find symmetric equations of the normal line at the 2 2 2 x Plane: x y y z z 1 a b c Plane: 1 x x y y z z 71. Ellipsoid: 0 0 0 b) Encontrar ecuaciones simétricas de la superficie normal a b c 2 2 2 Plane: 1 2 3 3 0 0 0 Plane: 1 2 2 2 a b 2 2 2 x geometric 2planes 4t, at yobject 1 point. 8t ay sphere? z 3 What 2t. is the common find 2the 2 for cc2the 2c 22 abbangle c the gradient tangent Plane: 1 ,1 , vectors. apart b forbcbetween aa22aPlane: (b) and Repeat (a) point . 5, this 13, 12–12). . enpoint el punto (5, for 13, x0 x ya0 2y a 2 zb0 z2 b 2 c 2 c 2 3 2 2 2 2 2 geometric object a right circular cylinder? Explain. CAS (b) (a) CAS 4y z 1 where the 62. Find a point on the 2hyperboloid x Usex0ax2computer computer algebra system totograph graphthe thefirst-octant surfaces. 1y0 y2 1zalgebra 5 1system Plano: z 2 2 2 0 b surfaces c represented , 8x is parallel 5y 8z 13, x 1, 1,4y2 z 0. z 2xyplane 59. tangent Plane: 1 CAS (c) Use aa2computer algebra system topart graph the surface, the norportion of the by and f g. to the plane Graph the tangent line found in (a). 65. Discuss the relationship between the tangent plane to a 2 2 a b c y2 and z2 approximation 2x 4y 4z 12 0, 60. x2surface mal lines, and the tangent planes found in parts (a) and by differentials. (b) Find one first-octant point on the curve of intersection (b). and 70. Consider the functions 2 T CONCEPTS W R4xI 2T I NyG2 A B16z OU 24, 1, 2, 1 69. Consider show the thatfunctions the surfaces are orthogonal at this point. f x, y 16 x 2 y 2 2x 4y 63. Give the standard form of the equation of the tangent plane (c) These surfaces f x, y 6 x 2 are y the 2xcurve y. of intersection. y 2orthogonal 4 y g x,along 2 2 2 4y x0, yz0, z0 .9 where the 61. point on the C AFind PtoSaTasurface ON E given by ellipsoid F x, y, z x 0 at y Does part (b) prove this fact? Explain. plane elliptic is perpendicular the line with parametric (a) Find a set equations of the tangent line to the 66.tangent Consider givento bylines 64. For somethe surfaces, cone the normal at any point pass 2 of parametric equations 1 72, 3x 2show g x, curve y 6x the4y. of intersection ofy 2the surfaces at the point 4, In Exercises 71 and that tangent plane 1,to2,the

1

2

1

2

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SECCIÓN 13.7

72. Hiperboloide:

x2 y2 z2 2 ⫹ 2 ⫺ 2 ⫽ 1 a b c


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PROYECTO DE TRABAJO

x0 x y0 y z0 z Plano: 2 ⫹ 2 ⫺ 2 ⫽ 1 a b c

Flora silvestre

73. Demostrar que todo plano tangente al cono z 2 ⫽ a 2x 2 ⫹ b 2 y 2 pasa por el origen. 74. Sea f una función derivable y considérese la superficie z ⫽ xf 共 y兾x兲. Mostrar que el plano tangente a cualquier punto P共x0, y0, z0兲 de la superficie pasa por el origen. 75. Aproximación Considerar las aproximaciones siguientes para una función f 共x, y兲 centrada en 共0, 0兲. Aproximación lineal: P1共x, y兲 ⫽ f 共0, 0兲 ⫹ fx 共0, 0兲 x ⫹ fy 共0, 0兲 y

La diversidad de la flora silvestre en una pradera se puede medir contando el número de margaritas, lirios, amapolas, etc. Si existen n tipos de flores silvestres, cada una en una proporción pi respecto a la población total, se sigue que p1 ⫹ p2 ⫹ . . . ⫹ pn ⫽ 1. La medida de diversidad de la población se define como H⫽⫺

n

兺 p log p . i

2 i

i⫽1

En esta definición, se entiende que pi log2 pi ⫽ 0 cuando pi ⫽ 0. Las tablas muestran las proporciones de flores silvestres en una pradera en mayo, junio, agosto y septiembre. Mayo

Aproximación cuadrática: P2共x, y兲 ⫽ f 共0, 0兲 ⫹ fx 共0, 0兲 x ⫹ fy 共0, 0兲 y ⫹ 1 2 fxx 共0,

0兲 x 2 ⫹ fxy 共0, 0兲 xy ⫹ 12 fyy 共0, 0兲y 2

[Observar que la aproximación lineal es el plano tangente a la superficie en (0, 0, f (0, 0)).] a) Hallar la aproximación lineal a f 共x, y兲 ⫽ e共x⫺y兲 centrada en (0, 0). b) Hallar la aproximación cuadrática a f 共x, y兲 ⫽ e共x⫺y兲 centrada en (0, 0). c) Si x ⫽ 0 en la aproximación cuadrática, ¿para qué función se obtiene el polinomio de Taylor de segundo orden? Responder la misma pregunta para y ⫽ 0.

Tipo de flor

1

2

3

4

Proporción

5 16

5 16

5 16

1 16

Tipo de flor

1

2

3

4

Proporción

1 4

1 4

1 4

1 4

Tipo de flor

1

2

3

4

Proporción

1 4

0

1 4

1 2

Tipo de flor

1

2

3

4

Proporción

0

0

0

1

Junio

Agosto

d) Completar la tabla. Septiembre

CAS

x

y

0

0

0

0.1

0.2

0.1

0.2

0.5

1

0.5

P1 x, y

f x, y

P2 x, y

a) Determinar la diversidad de flores silvestres durante cada mes. ¿Cómo se interpretaría la diversidad en septiembre? ¿Qué mes tiene mayor diversidad?

e) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente las superficies z ⫽ ƒ(x, y), z ⫽ P1(x, y) y z ⫽ P2(x, y).

76. Aproximación cos (x + y).

Repetir el ejercicio 75 con la función ƒ(x, y) ⫽

77. Demostrar que el ángulo de inclinación ␪ del plano tangente a la superficie z ⫽ f 共x, y兲 en el punto 共x0, y0, z0兲 está dado por cos ␪ ⫽

1 冪[ fx 共x0, y0兲] 2 ⫹ [ fy 共x0, y0兲] 2 ⫹ 1

78. Demostrar el teorema 13.14.

.

b) Si la pradera contiene 10 tipos de flores silvestres en proporciones aproximadamente iguales, la diversidad de la población ¿es mayor o menor que la diversidad de una distribución similar con 4 tipos de flores? ¿Qué tipo de distribución (de 10 tipos de flores silvestres) produciría la diversidad máxima? c) Sea Hn la diversidad máxima de n tipos de flores silvestres. ¿Tiende Hn a algún límite cuando n → ⬁? PARA MAYOR INFORMACIÓN Los biólogos utilizan el concepto de diversidad para medir las proporciones de diferentes tipos de organismos dentro de un medio ambiente. Para más información sobre esta técnica, ver el artículo “Information Theory and Biological Diversity” de Steven Kolmes y Kevin Mitchell en la UMAP Modules.

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CAPÍTULO 13

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13.8 Extremos de funciones de dos variables n n

Hallar extremos absolutos y relativos de una función de dos variables. Utilizar el criterio de las segundas derivadas parciales para hallar un extremo relativo de una función de dos variables.

Extremos absolutos y extremos relativos Superficie: z = f(x, y)

En el capítulo 3 se estudiaron las técnicas para hallar valores extremos de una función de una (sola) variable. En esta sección se extienden estas técnicas a funciones de dos variables. Por ejemplo, en el teorema 13.15 se extiende el teorema del valor extremo para una función de una sola variable a una función de dos variables. Considérese la función continua f de dos variables, definida en una región acotada cerrada R. Los valores f (a, bd y f sc, d d tales que

z

Máximo

Mínimo

f sa, bd ≤ f sx, y) ≤ f sc, d d x

y

Región acotada cerrada R

R contiene algún(os) punto(s) donde f (x, y) es un mínimo y algún(os) punto(s) donde f (x, y) es un máximo

sa, bd y sc, d d están en R.

para todo sx, yd en R se conocen como el mínimo y máximo de f en la región R, como se muestra en la figura 13.64. Recuérdese de la sección 13.2 que una región en el plano es cerrada si contiene todos sus puntos frontera. El teorema del valor extremo se refiere a una región en el plano que es cerrada y acotada. A una región en el plano se le llama acotada si es una subregión de un disco cerrado en el plano. TEOREMA 13.15 TEOREMA DEL VALOR EXTREMO

Figura 13.64

Sea f una función continua de dos variables x y y definida en una región acotada cerrada R en el plano xy. 1. Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor mínimo. 2. Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor máximo.

A un mínimo también se le llama un mínimo absoluto y a un máximo también se le llama un máximo absoluto. Como en el cálculo de una variable, se hace una distinción entre extremos absolutos y extremos relativos. DEFINICIÓN DE EXTREMOS RELATIVOS Sea f una función definida en una región R que contiene sx0, y0d. 1. La función f tiene un mínimo relativo en sx0, y0d si f sx, yd ≥ f sx0, y0 d para todo sx, yd en un disco abierto que contiene sx0, y0d. 2. La función f tiene un máximo relativo en sx0, y0d si

z

f sx, yd ≤ f sx0, y0 d para todo sx, yd en un disco abierto que contiene sx0, y0d. 5 5 x

Extremos relativos Figura 13.65

y

Decir que f tiene un máximo relativo en sx0, y0d significa que el punto sx0, y0, z0d es por lo menos tan alto como todos los puntos cercanos en la gráfica de z 5 f sx, yd. De manera similar, f tiene un mínimo relativo en sx0, y0d si sx0, y0, z0d es por lo menos tan bajo como todos los puntos cercanos en la gráfica. (Ver la figura 13.65.)

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SECCIÓN 13.8

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Extremos de funciones de dos variables

Para localizar los extremos relativos de f, se pueden investigar los puntos en los que el gradiente de f es 0 o los puntos en los cuales una de las derivadas parciales no exista. Tales puntos se llaman puntos críticos de f.

DEFINICIÓN DE LOS PUNTOS CRÍTICOS The Granger Collection

Sea f definida en una región abierta R que contiene sx0, y0d. El punto sx0, y0d es un punto crítico de f si se satisface una de las condiciones siguientes: 1. fx sx0, y0d 5 0 y fy sx0, y0 d 5 0 2. fx sx0, y0d o fy sx0, y0d no existe. Recuérdese del teorema 13.11 que si f es diferenciable y

KARL WEIERSTRASS (1815-1897) Aunque el teorema del valor extremo había sido ya utilizado antes por los matemáticos, el primero en proporcionar una demostración rigurosa fue el matemático alemán Karl Weierstrass. Weierstrass también proporcionó justificaciones rigurosas para muchos otros resultados matemáticos ya de uso común. A él se deben muchos de los fundamentos lógicos sobre los cuales se basa el cálculo moderno.

=f sx0, y0d 5 fx (x0, y0di 1 fy sx0, y0dj 5 0i 1 0j entonces toda derivada direccional en sx0, y0d debe ser 0. Esto implica que la función tiene un plano tangente horizontal al punto sx0, y0d, como se muestra en la figura 13.66. Al parecer, tal punto es una localización probable para un extremo relativo. Esto es ratificado por el teorema 13.16. Superficie: z = f(x, y)

z


z

(x0, y0, z0)

(x0, y0, z0) y

y

(x0, y0)

x

Máximo relativo

x

(x0, y0)

Mínimo relativo

Figura 13.66

TEOREMA 13.16 LOS EXTREMOS RELATIVOS SE PRESENTAN SÓLO EN PUNTOS CRÍTICOS Si f tiene un extremo relativo en sx0, y0d en una región abierta R, entonces sx0, y0d es un punto crítico de f.

EXPLORACIÓN z

Utilizar una herramienta de graficación para representar z 5 x 3 2 3xy 1 y 3 usando las cotas 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3, y 23 ≤ z ≤ 3. Esta vista parece sugerir que la superficie tuviera un mínimo absoluto. Pero, ¿lo tiene?

3

3

3 x −3

y

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CAPÍTULO 13

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EJEMPLO 1

Hallar un extremo relativo

Hallar los extremos relativos de f sx, yd 5 2x 2 1 y 2 1 8x 2 6y 1 20. Superficie: f(x, y) = 2x2 + y2 + 8x − 6y + 20

Solución

z 6

Para comenzar, encontrar los puntos críticos de f. Como

fx sx, yd 5 4x 1 8


fy sx, yd 5 2y 2 6


y

5 4 3

están definidas para todo x y y, los únicos puntos críticos son aquellos en los cuales las derivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se hacen fx sx, yd y fy sx, yd igual a 0, y se resuelven las ecuaciones

(−2, 3, 3)

2 1

−2

−3

1

x

4x 1 8 5 0

−4

2

3

4

para obtener el punto crítico s22, 3d. Completando cuadrados, se concluye que para todo sx, yd Þ s22, 3d

y

5

y 2y 2 6 5 0

La función z 5 f sx, yd tiene un mínimo relativo en s2 2, 3d. Figura 13.67

f sx, yd 5 2sx 1 2d 2 1 s y 2 3d 2 1 3 > 3. Por tanto, un mínimo relativo de f se encuentra en s22, 3d. El valor del mínimo relativo es f s22, 3d 5 3, como se muestra en la figura 13.67. El ejemplo 1 muestra un mínimo relativo que se presenta en un tipo de punto crítico; el tipo en el cual ambos fx sx, yd y fy sx, yd son 0. En el siguiente ejemplo se presenta un máximo relativo asociado al otro tipo de punto crítico; el tipo en el cual fx sx, yd o fy sx, yd no existe. EJEMPLO 2

Hallar un extremo relativo

Determinar los extremos relativos de f sx, yd 5 1 2 sx 2 1 y 2d 1y3. Superficie: f(x, y) = 1 − (x2 + y2)1/3 z

Solución

Como

fx sx, yd 5 2

(0, 0, 1)

1

4

3


3s

2y 1 y 2d 2y3


y

2 4

x

fxsx, yd y fysx, yd están indefinidas en s0, 0d. Figura 13.68

3s

2x 1 y 2d 2y3

x2

y

fy sx, yd 5 2

x2

se sigue que ambas derivadas parciales existen para todo punto en el plano xy salvo para (0, 0). Como las derivadas parciales no pueden ser ambas 0 a menos que x y y sean 0, se concluye que (0, 0) es el único punto crítico. En la figura 13.68 se observa que f (0, 0) es 1. Para cualquier otro (x, y) es claro que f sx, yd 5 1 2 sx 2 1 y 2d 1y3 < 1. Por tanto, f tiene un máximo relativo en s0, 0d. NOTA En el ejemplo 2, fx sx, yd 5 0 para todo punto distinto de (0, 0) en el eje y. Sin embargo, como fy sx, yd no es cero, éstos no son puntos críticos. Recuérdese que una de las derivadas parciales debe no existir o las dos deben ser 0 para tener un punto crítico. n

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SECCIÓN 13.8


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El criterio de las segundas derivadas parciales z

f (x, y) = y 2 − x 2

El teorema 13.16 afirma que para encontrar extremos relativos sólo se necesita examinar los valores de f sx, yd en los puntos críticos. Sin embargo, como sucede con una función de una variable, los puntos críticos de una función de dos variables no siempre son máximos o mínimos relativos. Algunos puntos críticos dan puntos silla que no son ni máximos relativos ni mínimos relativos. Como ejemplo de un punto crítico que no es un extremo relativo, considérese la superficie dada por f sx, yd 5 y 2 2 x 2

y

x

Punto silla en s0, 0, 0d: fx s0, 0d 5 fy s0, 0d 5 0 Figura 13.69

Paraboloide hiperbólico.

que se muestra en la figura 13.69. En el punto (0, 0), ambas derivadas parciales son 0. Sin embargo, la función f no tiene un extremo relativo en este punto ya que en todo disco abierto centrado en (0, 0) la función asume valores negativos (a lo largo del eje x) y valores positivos (a lo largo del eje y). Por tanto, el punto (0, 0, 0) es un punto silla de la superficie. (El término “punto silla” viene del hecho de que la superficie mostrada en la figura 13.69 se parece a una silla de montar.) En las funciones de los ejemplos 1 y 2, fue relativamente fácil determinar los extremos relativos, porque cada una de las funciones estaba dada, o se podía expresar, en forma de cuadrado perfecto. Con funciones más complicadas, los argumentos algebraicos son menos adecuados y es mejor emplear los medios analíticos presentados en el siguiente criterio de las segundas derivadas parciales. Es el análogo, para funciones de dos variables, del criterio de las segundas derivadas para las funciones de una variable. La demostración de este teorema se deja para un curso de cálculo avanzado. TEOREMA 13.17 CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene un punto (a, b) para el cual fx sa, bd 5 0 y

fy sa, bd 5 0.

Para buscar los extremos relativos de f, considérese la cantidad d 5 fxx sa, bd fyy sa, bd 2 f fxy sa, bdg 2. 1. 2. 3. 4.

Si d > 0 y fxx sa, bd > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en sa, bd. Si d > 0 y fxx sa, bd < 0, entonces f tiene un máximo relativo en sa, bd. Si d < 0, entonces sa, b, f sa, bdd es un punto silla. Si d 5 0 el criterio no lleva a ninguna conclusión.

Si d > 0, entonces fxxsa, bd y fyy sa, bd deben tener el mismo signo. Esto significa que fxxsa, bd puede sustituirse por fyy sa, bd en las dos primeras partes del criterio. n NOTA

Un recurso conveniente para recordar la fórmula de d en el criterio de las segundas derivadas parciales lo da el determinante 2 3 2 d5

|

fxx sa, bd fyx sa, bd

fxy sa, bd fyy sa, bd

|

donde fxy sa, bd 5 fyx sa, bd de acuerdo al teorema 13.3.

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CAPÍTULO 13

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EJEMPLO 3

Identificar los extremos relativos de f 共x, y兲 ⫽ ⫺x 3 ⫹ 4xy ⫺ 2y 2 ⫹ 1.

z

Solución Para comenzar, se identifican los puntos críticos de f. Como

9

fx 共x, y兲 ⫽ ⫺3x 2 ⫹ 4y

8

6 5 4

Punto silla (0, 0, 1)

3

y

fy 共x, y兲 ⫽ 4x ⫺ 4y

existen para todo x y y, los únicos puntos críticos son aquellos en los que ambas derivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se igualan a 0 fx 共x, y兲 y fy 共x, y兲 y se obtiene ⫺3x 2 ⫹ 4y ⫽ 0 y 4x ⫺ 4y ⫽ 0. De la segunda ecuación se sabe que x ⫽ y, y por sustitución en la primera ecuación, se obtienen dos soluciones: y ⫽ x ⫽ 0 y 4 y ⫽ x ⫽ 3. Como

7

Máximo relativo

Aplicación del criterio de las segundas derivadas parciales

fxx 共x, y兲 ⫽ ⫺6x,

fyy 共x, y兲 ⫽ ⫺4, y

fxy 共x, y兲 ⫽ 4

se sigue que, para el punto crítico (0, 0), d ⫽ fxx 共0, 0兲 fyy 共0, 0兲 ⫺ 关 fxy 共0, 0兲兴 2 ⫽ 0 ⫺ 16 < 0

2

3

x

(

4, 4 3 3

)

4

y, por el criterio de las segundas derivadas parciales, se puede concluir que (0, 0, 1) es un punto silla. Para el punto crítico 共43, 43 兲, d ⫽ fxx 共3, 3 兲 fyy 共3, 3 兲 ⫺ 关 fxy 共3, 3 兲兴

y

4 4

4 4

4 4 2

⫽ ⫺8共⫺4兲 ⫺ 16 ⫽ 16 > 0

f(x, y) = −x3 + 4xy − 2y2 + 1

y como fxx 共43, 43 兲 ⫽ ⫺8 < 0 se concluye que f tiene un máximo relativo en 共43, 43 兲, como se muestra en la figura 13.70.

Figura 13.70

Con el criterio de las segundas derivadas parciales pueden no hallarse los extremos relativos por dos razones. Si alguna de las primeras derivadas parciales no existe, no se puede aplicar el criterio. Si d ⫽ fxx 共a, b兲 fyy 共a, b兲 ⫺ 关 fxy 共a, b兲兴 ⫽ 0 2

el criterio no es concluyente. En tales casos, se pueden tratar de hallar los extremos mediante la gráfica o mediante algún otro método, como se muestra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 4

Cuando el criterio de las segundas derivadas parciales no es concluyente

Hallar los extremos relativos de f 共x, y兲 ⫽ x 2 y 2. Solución Como fx 共x, y兲 ⫽ 2xy 2 y fy 共x, y兲 ⫽ 2x 2y, se sabe que ambas derivadas parciales son igual a 0 si x ⫽ 0 o y ⫽ 0. Es decir, todo punto del eje x o del eje y es un punto crítico. Como

f(x, y) = x2y2 z

fxx 共x, y兲 ⫽ 2y 2,

x

2

y

Si x = 0, entonces f (x, y) = 0 Si y = 0, entonces f (x, y) = 0

Figura 13.71

y

fxy 共x, y兲 ⫽ 4xy

se sabe que si x ⫽ 0 o y ⫽ 0, entonces

1

2

fyy 共x, y兲 ⫽ 2x 2,

d ⫽ fxx 共x, y兲 fyy 共x, y兲 ⫺ 关 fxy 共x, y兲兴

2

⫽ 4x 2 y 2 ⫺ 16x 2 y 2 ⫽ ⫺12x 2 y 2 ⫽ 0. Por tanto, el criterio de las segundas derivadas parciales no es concluyente, no funciona. Sin embargo, como f 共x, y兲 ⫽ 0 para todo punto en los ejes x o y y f 共x, y兲 ⫽ x 2 y 2 > 0 en todos los otros puntos, se puede concluir que cada uno de estos puntos críticos son un mínimo absoluto, como se muestra en la figura 13.71.

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Los extremos absolutos de una función se pueden presentar de dos maneras. Primero, algunos extremos relativos también resultan ser extremos absolutos. Así, en el ejemplo 1, f s22, 3d es un mínimo absoluto de la función. (Por otro lado, el máximo relativo encontrado en el ejemplo 3 no es un máximo absoluto de la función.) Segundo, los extremos absolutos pueden presentarse en un punto frontera del dominio. Esto se ilustra en el ejemplo 5. EJEMPLO 5

Encontrar extremos absolutos

z

Superficie: f(x, y) = sen xy

Hallar los extremos absolutos de la función 1

Mínimo absoluto

f sx, yd 5 sen sin xy en la región cerrada dada por 0 ≤ x ≤ p y 0 ≤ y ≤ 1.

Máximo absoluto 1

y

Solución

La expresión de las derivadas parciales

fx sx, yd 5 y cos xy xy = π 2

3 x

(π , 1) Mínimo absoluto

Figura 13.72

Dominio: 0≤x≤π 0≤y≤1

y

fy sx, yd 5 x cos xy

permite ver que todo punto en la hipérbola dada por xy 5 py2 es un punto crítico. En todos estos puntos el valor de f es f sx, yd 5 sen sin

p 51 2

el cual se sabe que es el máximo absoluto, como se muestra en la figura 13.72. El otro punto crítico de f que se encuentra en la región dada es s0, 0d. Este punto da un mínimo absoluto de 0, ya que 0 ≤ xy ≤ p implica que 0 ≤ sen sin xy ≤ 1. Para localizar otros extremos absolutos se deben considerar las cuatro fronteras de la región formadas por las trazas, de los planos verticales x 5 0, x = p, y = 0 y y = 1. Al hacer esto, se encuentra que sen xy 5 0 en todos los puntos del eje x, en todos los puntos del eje y y en el punto sp, 1d. Cada uno de estos puntos es un mínimo absoluto de la superficie, como se muestra en la figura 13.72. Los conceptos de extremos relativos y puntos críticos pueden extenderse a funciones de tres o más variables. Si todas las primeras derivadas parciales de w 5 f sx1, x2, x3, . . . , xnd existen, puede mostrarse que se presenta un máximo o un mínimo relativo en (x1, x2, x3, . . . , xn) sólo si cada una de las primeras derivadas parciales en ese punto es 0. Esto significa que los puntos críticos se obtienen al resolver el sistema de ecuaciones siguiente. fx1 sx1, x2, x3, . . . , xnd 5 0 fx2 sx1, x2, x3, . . . , xnd 5 0

: fxn sx1, x2, x3, . . . , xnd 5 0 La extensión del teorema 13.17 a tres o más variables también es posible, aunque no se considerará en este texto.

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CAPÍTULO 13

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13.8 Ejercicios 1 26. f sx, yd 5 2xy 2 2sx 4 1 y 4d 1 1

En los ejercicios 1 a 6, identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos. 1. g x, y

1) 2

x 5

2. g x, y

3

x x2

y2

1

4. f x, y

25

x

2

x2

5. f x, y

y2 x2

6. f x, y

2

2x y2

2

y

3. f x, y

2

2

3

y 2

z

y

2

y2

6y

6

10x

3

12y

64

x

27. z 5

En los ejercicios 7 a 16, examinar la función para localizar los extremos relativos. 3x2

7. f x, y

6x

8. f x, y

3x 2

9. f x, y

x2

5y2

10. f x, y

2x 2

2xy

11. z

x2

15. g x, y

10x

10y

y2

sin y sen z

16

4y

y2

e2x

2x

8

5

6

28

4

3 2

y 16x

10

y2

1 3

x

2 16. f x, y

y

x

y

28. z 5

2

112 2 x

2

2

y

1 y 2 e12x

En los ejercicios 17 a 20, utilizar un sistema algebraico por computadora y representar la superficie y localizar los extremos relativos y los puntos silla. 17. z 5

3π

6 x

y2

x2 4

4y

3x

2x

4xy x2

13. f x, y 14. h x, y

2y 2

1 2 2y

xy 5x 2

12. z

CAS

2y2

CAS

−2

2 2y2

z 2

24x x2 1 y2 1 1

18. f sx, yd 5 y 3 2 3yx 2 2 3y 2 2 3x 2 1 1 19. z 5 sx 2 1 4y 2de12x

2 2y 2

4

20. z 5 exy

y

4

En los ejercicios 21 a 28, examinar la función para localizar los extremos relativos y los puntos silla. 21. h x, y

80x

22. g x, y

x2

23. g x, y

xy

24. h x, y

x2

25. f x, y

x2

x2

80y y2

x

y2

y

x CAS

En los ejercicios 29 y 30, buscar los extremos de la función sin utilizar los criterios de la derivada. Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente la superficie. (Sugerencia: Por observación, determinar si es posible que z sea negativo. ¿Cuándo z es igual a 0?)

y2

3xy

y2

xy

3x

y

29. z 5

sx 2 yd4 x2 1 y2

30. z 5

sx 2 2 y 2d2 x2 1 y2

z

Para pensar En los ejercicios 31 a 34, determinar si hay un máximo relativo, un mínimo relativo, un punto silla, o si la información es insuficiente para determinar la naturaleza de la función f xx, yc en el punto crítico xx0 , y0c.

4

y 3 3 x

31. fxxs x0, y0d 5 9,

fyy sx0, y0d 5 4,

fxy sx0, y0d 5 6

32. fxx sx0, y0d 5 23,

fyy sx0, y0d 5 28,

33. fxx sx0, y0d 5 29,

fyy sx0, y0d 5 6,

34. fxx sx0, y0d 5 25,

fyy sx0, y0d 5 8,

fxy sx0, y0d 5 2 fxy sx0, y0d 5 10

fxy sx0, y0d 5 10

3. f x, y

x

y

1

6. f x, y

x2

y2

10x

−2

Larson-13-08.qxd 3/12/09 19:14 Page 961 2 1053714_1308.qxp 961 25 12:09 x 2 2PM yPage 4. f x, y10/27/08 1053714_1308.qxp 10/27/08 12:09 PM Page 961 1053714_1308.qxp 10/27/08 Page 961 2 2 12:09 PM x y 2x 6y 6 5. f x, y

12y

64

3 x

In Exercises 7–16, examine the function for relative extrema. 7. f x, y 8. f x, y

3x2 3x 2

2y2 2y 2

6x 3x

4y 4y

16 5

27. z e sin y z de funciones de dos variables SECCIÓN 13.8 Extremos 13.8 Extrema of Functions of Two Variables 13.8 Extrema of8 Functions of Two Variables 13.8 Extrema of Functions of Two Variables

x2 5y2 10x 10y 28 9. f x, y 35. Una función2 f tiene segundas derivadas parciales continuas en yregión2xabierta y 2 2xsecond 10. que contiene el 3punto crítico (3, 7). La 35. funa Ax,function continuous partial derivatives onfunan f has2xy 1 2continuous second partial derivatives on an 2 35. A function has f xtiene xyunfcontaining 2x 11. mínimo enthe (3,ycritical 7)second y d point de > partial 0 para open region The function 3, derivatives 7el. criterio 2 y continuous 35.zción A function has on las an open region containing critical point function 3, el 7 . The 2 derivadas 27 , the para >Determinar has a minimum at 3,y parciales. and the Second Test. 0 for open region containing the point The function 3, 7 intervalo . Partials 5x 4xy 16xdcritical 10 12. zsegundas has at7interval for78.theifSecond 7 , and ds3,>7f d0 5 fDetermine s3,a minimum 7d si fxxthe d23,5 fyyfor and 7Partials 2 Test. fxx 3,Partials has the Second Test. 3, 72 ,yand d >xy03,for xy 2s3, at x, ya minimum xthe yinterval 13. fDetermine for fxy 3, 7 if fxx 3, 7 2 and 3, 7 8. f Determine for if and f 3, 7 3, 7 2 f yy 36. Una función2f the tiene2 interval segundas derivadas parciales continuas en una xy xx y 77 x8.8. y 1 3 2 14. hfyyf x,3,3, abiertaf has que continuous contiene el punto b). Si fxxsa, 36. región Ayy function secondcrítico partial(a,derivatives onbdany 36. gA function has second an y bregion 4 f fcontaining x continuous y the critical f partial x,partial y a, x. Explicar. 15. 16. implica signos opuestos, ¿qué esto? d tiene point If fyxx a, b2on bderivatives 36. fopen Ax,sa, function has continuous second derivatives onand an yy open region containing the critical point a, b Explain. . If fxx a, b and have opposite signs, what is implied? fopen a, b region containing the critical point If and a, b . a, b f yy xx CAS In EnExercises los ejercicios 37use a 42, a) hallar los puntos críticos, b) deter17–20, a computer system to graph the opposite signs, whatalgebra is implied? Explain. fyy a, b have signs,indicar what is los implied? Explain. fyylos a, extremos b have opposite minar relativos, enfor los and locate any relative andpuntos saddlecríticos points. CAS surface In Exercises 37– 42, (a) findc)extrema the critical points, (b) test CAS cuales In Exercises 37–de 42,las (a)segundas find thederivadas critical points, (b) for elextrema, criterio parciales notest es con(c) list the critical points for which the Second CAS relative In Exercises 37– 42, (a) find the critical points, (b) test for 4x (c) relative list the critical pointspor forcomputadora which the Second cluyente, y d) usar un sistema algebraico para z extrema, 17. Partials Test fails, and (d) use a computer algebra system to relative extrema, (c) list the critical points for which the Second 2 2 yfails,1clasificando Partials and (d) use aextrema computer algebra system toy trazar laxTest función, cualesquiera puntos extremos graph the function, labeling any and saddle points. Partials Test fails, and (d) use a computer algebra system to 2 2 graph labeling extrema f x,the y function, y 3 3yx 3y 2any3x 1 and saddle points. 18. puntos silla. graph the function, labeling any extrema and saddle points. 3 3 37. f x, x, yyxd2 5 xx4y 1 3 x2 y2 3 2 y 19. 37. 37. zff sx, y x 3331eyy333 37. f x, y x 38. f x, x, eyyxy x3 yy3 6x 6x222 1 9y 9y22 12x 12x 1 27y 27y 19 19 20. 38. 38. zff sx, y d 5 xx331 yy3322 6x 9y 221 12x 27y 1 19 2 2 38. ff x,x,yy xx 1y 2 y 6x 4 2 9y 12x 27y 19 39. x, yyd 5 sxx 2 11d2 syy 1 44d2 39. 39.Exercises ff sx, 2 2 In the function for relative extrema 39. ff x,x,yy 21–28, x x 1examine 40. 1 2y 4y 2 2 !sxx 2 11d22 1 syy 1 22d22 x, yyd 5 40. and points. 40. saddle ff sx, 2 2 3 2 3 2 2 2 3 40. ff x,x,yy x 1 y 2 2 42. f x, y 41. f sx, x, yyd 5 xxx22y33 1 yyy22y33 f sx, x, yyd 5 sxxx22 1 yyy22d22y33 41. 42. 41. 42. f f 2 2 2 3 2 3 2 80y x y 21. 41.hf x,x,yy 80x 42. f x, y x y x y 2 2 3 CAS In Exercises 43 and 44, find the critical points of the function En los 43y 2y 44,x hallar puntos críticos de la función g x,ejercicios y x 2 and y thelos 22. In Exercises 44, critical points of the afunction and, from the43 form thefind function, determine relative Inpor Exercises 43 44, find the critical points of the function y, la forma deand laoffunción, determinar si sewhether presenta un máand, from the form of the function, determine whether g x, y xy 23. maximum or relative minimum occurs at each point.aarelative and, ofrom theaform of the function, determine whether relative ximo un mínimo relativo en cada punto. maximum or a relative minimum occurs at each point. h x, y orx 2a relative 3xy minimum y2 24. maximum occurs at each point. 2 2 2 43. f x, y, z 2 x2 y 3 z 1 25. 43. ff x, x, yy, z x x 2xy y y2 3 23x z y 12 22 2 43. f x, y, z x y 3 44. f x, y, z 9 x y 1 z z2 1 44. f x, y, z z 9 x y 1 z 2 22 44. f x, y, z 9 x y 1 z 2 4 45 En ejercicios 54, hallar los extremos absolutos la funIn los Exercises 45– 54,a find the absolute extrema of thede function In Exercises 45– 54, find the absolute extrema of the function R. (En cada caso, R contiene sus puntos fronción en la región over the region (In each case, contains the boundaries.) Use R. R In Exercises 45– 54, find the absolute extrema of the function over the region (Insystem eachalgebraico case, the boundaries.) Use R. sistema R contains tera.) Utilizar un por computadora y confiraover computer algebra to confirm your results. the region each case, the boundaries.) Use R. (In R contains a computer algebra system to confirm your results. mar los resultados. a computer algebra system to confirm your results. 45. f x, y x 2 4xy y5 45. f x, y x 22 3 4xy 3 5 45. Rf x, y x, yx : 1 4xyx 54, 0 y 2 R x, y : 1x x 4, 0 y 2 46. fRx, y x, xy22 : 1xy, x R 4, 0x, y y: x 2 2, y 1 46. f x, y x 2 xy, R x, y : x 2, y 1 46. ff x,x,yy xy, R2y x, y : x 2, y 1 x 47. 12 3x 47. ff sx, yyd 5 12 3x 2 2y 47. 12 2y 47. R: f x,x,The y triangular 122 3x 3x region 2y in the xy-plane with vertices 2, 0 , The the xy-xy plane vertices R: La 0, andtriangular 0, región 1triangular ,triangular 1, 2region eninel con with vértices (2, 0), 2, (0, R: region in plano the xy-plane with vertices R: The 2, 01), and 0, 1 , 1, 2 s1,12,d 2x and 1,y 22 48. f x,yy0, 48. f x, y 2x y 22 48. yyd 5triangular s2x 48. fR: fsx,x,The 2x2 yyd2region in the xy-plane with vertices 2, 0 , The the xy-xy plane vertices R: La 0, andtriangular 0, región 1triangular ,triangular 1, 2region eninel con with vértices (2, 0), 2, (0, R: region in plano the xy-plane with vertices R: The 2, 01), and 0, 1 , 1, 2 2 s1,12,d3x and 1,2y22 4y 49. f x,yy0, 2 49. f x, y 3x 2y 2222 4y 2 2 49. yyd 5region 3x 49. fR: fsx,x,The 3x 1in2y 2y 4y the xy-4y plane bounded by the graphs of y x22 The region in the plane bounded the graphsdeofyy5 xx2 y2 R: xyand yregion 4enin región elthe plano xy acotada porby las gráficas R:R: La The bounded by the graphs of y x xy-plane and y 4 50. f x,yand y5 4y 2x 4 2xy y22 50. ff sx, yyd 5 2x 2xy yy 22 50. 2x 2xy 50. R: f x,x,The y region 2x2in 2xy yplane bounded by the graphs of y x2 the1xyThe region in the plane bounded the graphsdeofyy5 x2x2y2 R: xyand yregion 1eninelthe región plano xy acotada porby las gráficas R:R: La The bounded by the graphs of y x xy-plane and y 1 51. f x,yand y5 1y x22 1 2xy y22, R x, y : x 2, y 1 51. ff sx, yyd 5 xx 2221 2xy yy 22,2, R x, yyd :: xx2 ≤ 2, y 1J H 22, yy ≤ 11 51. x, 2xy 1 R 5 s x, 2, 51. f x, y x 2xy y , R x, y : x 52. f x, y x 2xy y , R x, y : x y 8 52. ff sx, y x 2 2xy 1 yy22,2, R x, y : x 222 y 222 8 52. 52. f x,x,yyd 5 xx221 2xy 2xy 4xy y , RR5 Hsx,x,yyd :: xx 1 yy ≤ 88J 53. f x, y 4xy 4xy x 2 1) y2 1 4xy 53. ff sx, y 53. 53. f x,x,yyd 5 sxx2221 1) yy2221 11d 1) s R x, y x: 0 1)x y 1, 10 y 1 R 5 Hsx, x, yyd :: 00 ≤ xx ≤ 1, 1, 0 y 1 R R x, y : 0 4xyx 1,00≤ y y≤ 1J1 54. f x, y 4xy 4xyy 2 1 x, yyd 5 x222 14xy 54. ff sx, 54. f x, y sxxx 21 111dsyy2221 11d R x, y : x 0, y 0, x222 y222 1 0, xx 1 yy ≤ 11J R 5 Hsx, yd : x ≥ 0, y ≥ 0, R x, y : x 0, y 0, x 2 y 2 1

||

||

x

961 961 961 961

6 Desarrollo de conceptos

W R I T I N G A B O U T 4C O N C E P T S WWRRI ITTI INNGG AABBOOUUTT CCOONNCCEEPPTTSS 55. figuremuestra shows the level curves fordeanuna unknown 55. The La figura las de nivel funciónfunction descono2 curvas 55. The shows theinformation level curvescan for be an given unknown function if any, the x, figure yfigure f atpuede 55. fcida The the level curves forque an unknown function ¿Qué información, si es hay about alguna, f.sWhat, x, yd.shows if any, information can be given about fpoint x, y A? . What, f at the Explain your reasoning. can be el given about at the f x, yacerca . What, f darse deiff any, en elinformation punto A? Explicar razonamiento. y point A? Explain your reasoning. 3yπ yy 6 point A? Explain your reasoning. y y

y x y

28. z

1 AA x 2 2A

y 2 e1

x2

y2

A

y

DD D D

z x

BB B B

2

AA A A

x

CC C C

Figure 55 55 Figure 5656 Figurafor para Figura for para Figure for 55 Figure for 56 Figure for 55 Figure for 56función desLa figura laslevel curvas de nivel una 56. The 56. figure muestra shows the curves for andeunknown function 56. The figure shows the level curves for an unknown function y f(x, ¿Qué información, si es queabout hay ify).any, at the x, yfigure . What, falguna, 56. fconocida The shows theinformation level curvescan forbe angiven unknown 4 function What, if any, information can be given about at the fpoints x, y . A, f puede darse acerca de f en los puntos A, B, C y D? Explicar Explain your B, C,ifand any,D? information canreasoning. be given about f at the f x, y . What, points A, B,4C, and D? Explain your reasoning. el razonamiento. points A, xB, C, and D? Explain your reasoning. In Exercises 57–57 59,a sketch the la graph of anuna arbitrary En Exercises los ejercicios 59, dibujar gráfica función 57– 59,30, sketch the graph of de anwhether arbitrary InIn Exercises 29 and examine function for extrema function the given conditions. State thela f satisfying In Exercises 57– 59, sketch thethe graph of an arbitrary arbitraria f que satisfaga las condiciones dadas. Decir si function satisfying the given conditions. State whether the f without using the derivative tests, and use a computer algebra function has any extrema or saddle points. (There are many function satisfying the given conditions. State whether the f función has tieneany extremos o or puntos silla. (Hay(There muchas respuesfunction extrema saddle points. are many system to graph the surface. (Hint: By observation, determine correct answers.) function has any extrema or saddle points. (There are many tas correctas.) answers.) if correct itcorrect is possible for z to be negative. When is z equal to 0?) answers.) 57. fxfx sx,x,yyd >> 00and y fyfsyx,x,ydy <<00para todox,sx, 57. for all y .yd. 57. fx x,x y > 40 and fy x, y < 0 for all x, y2 . y x 57. and for all f x, y parciales . y 2of2 f are f x, y > 0 x, y < 0 58. Todas las primeras y segundas de f0.son 0. first andy second partial x of the z All z derivatives 29.58. 30.derivadas 2 2 2 2 f are 0. 58. Allx of the and second partial derivatives y first x yof 58. fxAll first fx s0,0,of 50, 0, fyfyand s0,00second d 500 partial derivatives of f are 0. 59. 59. 00dthe 0, 59. fx 0, 0 0, fy 0, 0 0 59. About fyxx0,<<000 31–34, fx 0, 0It<< 0, 0, 0 Think In determine there is 0, Exercises << 00 >> 0,0, yywhether f s x, y d , sx,yyd > 0, ay saddle , fyfyminimum, x, y x, f < 0 < 0 < 0, x x x maximum, a relative a relative point, or < 0 < 0 < 0, x > 0, y fy x, y << 0,0, yy >> 00 fx x, y >> 0,0, xx >> 00, , fy x, y the fx x, yinformation insufficient nature 0 determine y >of0 the function > 0, x > to < 0, >y y0d<<0,0,and > 0all 0, fxx x, sx, yd >>> 0, 0,fyyfyyxx, sx, y fxy todox,syx,.yd. fxysx,x, 0, f point x, y 0, yyfyy x, y < 0, and xyfxy x, y 0 for all x, y . 9, fyy x0, y0 4, fxy x0, y0 6 31. fxx x0, y0

5

fxxPxS0,TyO0 N E 32.C A

5

3, f x , y

yy 0 0 CC AAPPSSTTO NE Para discusión fxx Consider x0, y0O N Ethe9,functions fyy x0, y0 33.60.

8,

fxy x0, y0

2

6, fxy x0, y0 10 60. Consider the functions funciones 2lasfunctions 2 y g x, y 2 2. the fxConsider x, y x y y x , y 25, f x , y 8, f x , y 10 34.60. fxx Considerar f 0x, y0 x22 y2yy2y g0 x,0 y x22 xy y20.2 0 f x,Show y x both y yfunctions x aycritical . g x, y have (a) that point at 0, 0 . (a) Show that que bothambas functions have atienen critical atcrítico 0, 0 .en a) Demostrar funciones unpoint punto (a) Explain Show that both functions havedifferently a critical point 0, 0 . (b) how f and g behave at thisat critical (b)(0, Explain f and g behave differently at this critical 0). how (b) point. Explain how f and g behave differently at this critical point. cómo f y g se comportan de manera diferente en b) Explicar point. este punto crítico. True or False? In Exercises 61– 64, determine whether the True or False? In Exercises 61– 64, determine whether ¿Verdadero falso? En los ejercicios 61 a 64, why determinar sianla statement isotrue or If it is61– false, or givethe True or False? In false. Exercises 64, explain determine whether the statement is true or itfalse. it is false, why orpor givequé an o declaración esshows verdadera oIffalsa. Si es explain falsa, explicar example that is false. statement is true or false. If it is false, explain why or give an example that shows is false. que es falsa. dar un ejemplo queitdemuestre example thata shows it is false. 61. If f has relative maximum at x0, y0, z0 , then fx x0, y0 f 61. If has a relative maximum at sxx0,, yy0,, zz0d,, entonces then f x , y0 , y ) 61. fSi f tiene un máximo relativo en x , y 0. f , y00 0 If has a relative maximum at 0x0, 0y0, 0z0 , then xfx ƒx00x(x y 0 0 fy5x0ƒ, y(x0 , y )0.5 0. 0, then f has a relative maximum at 62. Iffy fxx0yx, 0y,00y0 0 0.fy x0, y0 fy x0, y0 0, then f hasf tiene 62. a relative maximum at 0, ,yy 0 62. IfSi un máximo relativo x0f,xfxxyx(x If then f has a relative maximum at 0x,0z 0y.0) = ffy(xx0,, yy0) = 0,0,entonces y0,,0zy0 .,0 z ). y 0 0 xen0, (x , y , z . x 0 two relative minima of f, there must be at least one 0 00 0 0any 63. Between 63. Between any two relative minima relativos of f, theredemust be at least oneal 63. Entre cualesquiera dos f, aquí estar maximum of f. mínimos 63. relative Between any two relative minima of f, there must bedebe at least one relative maximum ofrelativo f. menos un máximo de f. maximumfor of all f. x and y and has two relative minima, 64. Ifrelative f is continuous 64. IfSif fises all x and has dos two relative minima, 64. continua todo y yyyand yand tiene f continuous must have para atfor least relative maximum. 64. then If f is continuous for allone x xand has twomínimos relative relativos, minima, then f mustf debe have tener at least one relative maximum. entonces un máximo relativo por lo menos. then f must have at least one relative maximum.

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CAPÍTULO 13

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13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables n n

Resolver problemas de optimización con funciones de varias variables. Utilizar el método de mínimos cuadrados.

Problemas de optimización aplicada En esta sección se verán algunas de las muchas aplicaciones de los extremos de funciones de dos (o más) variables. EJEMPLO 1 z

(0, 0, 8)

Hallar un volumen máximo

Una caja rectangular descansa en el plano xy con uno de sus vértices en el origen. El vértice opuesto está en el plano

Plano: 6x + 4y + 3z = 24

6x 1 4y 1 3z 5 24 como se muestra en la figura 13.73. Hallar el volumen máximo de la caja. Solución Sean x, y y z el largo, ancho y la altura de la caja. Como un vértice de la caja se encuentra en el plano 6x 1 4y 1 3z 5 24, se sabe que z 5 1–3(24 2 6x 2 4y), y así se puede expresar el volumen xyz de la caja en función de dos variables. Vsx, yd 5 sxdsydf 13s24 2 6x 2 4ydg 5 13s24xy 2 6x 2y 2 4xy 2d

x

(4, 0, 0)

(0, 6, 0)

y

Igualando a 0 las primeras derivadas parciales y Vxsx, yd 5 13 s24y 2 12xy 2 4y2d 5 s24 2 12x 2 4yd 5 0 3 x Vysx, yd 5 13 s24x 2 6x 2 2 8xyd 5 s24 2 6x 2 8yd 5 0 3

Figura 13.73

se obtienen los puntos críticos (0, 0) y s3, 2d. En (0, 0) el volumen es 0, así que ese punto 4

no proporciona un volumen máximo. En el punto s3, 2d, se puede aplicar el criterio de las segundas derivadas parciales. 4

NOTA En muchos problemas prácticos, el dominio de la función a optimizar es una región acotada cerrada. Para encontrar los puntos mínimos o máximos, no sólo se deben probar los puntos críticos, sino también los valores de la función en los puntos frontera. n

Vxxsx, yd 5 24y 28x Vyysx, yd 5 3 1 Vxysx, yd 5 3s24 2 12x 2 8yd Como 8 64 Vxxs43, 2dVyys43, 2d 2 fVxys43, 2dg 5 s28ds2 32 9 d 2 s2 3 d 5 3 > 0 2

2

y Vxxs43, 2d 5 28 < 0 se concluye de acuerdo con el criterio de las segundas derivadas parciales que el volumen máximo es Vs43, 2d 5 13f24s43 ds2d 2 6s43 d s2d 2 4s43 ds22dg 5 64 9 unidades cúbicas. 2

Nótese que el volumen es 0 en los puntos frontera del dominio triangular de V.

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SECCIÓN 13.9

Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables

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En las aplicaciones de los extremos a la economía y a los negocios a menudo se tiene más de una variable independiente. Por ejemplo, una empresa puede producir varios modelos de un mismo tipo de producto. El precio por unidad y la ganancia o beneficio por unidad de cada modelo son, por lo general, diferentes. La demanda de cada modelo es, a menudo, función de los precios de los otros modelos (así como su propio precio). El siguiente ejemplo ilustra una aplicación en la que hay dos productos. EJEMPLO 2

Beneficio máximo

Un fabricante de artículos electrónicos determina que la ganancia o beneficio P (en dólares) obtenido al producir x unidades de un reproductor de DVD y y unidades de un grabador de DVD se aproxima mediante el modelo Psx, yd 5 8x 1 10y 2 s0.001dsx 2 1 xy 1 y 2d 2 10,000. Hallar el nivel de producción que proporciona una ganancia o beneficio máximo. ¿Cuál es la ganancia máxima? Solución Las derivadas parciales de la función de beneficio son Pxsx, yd 5 8 2 s0.001ds2x 1 yd PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre el uso de la matemática en la economía, ver el artículo “Mathematical Methods of Economics” de Joel Franklin en The American Mathematical Monthly.

y

Pysx, yd 5 10 2 s0.001dsx 1 2yd.

Igualando estas derivadas parciales a 0, se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente. 8 2 s0.001ds2x 1 yd 5 0 10 2 s0.001dsx 1 2yd 5 0 Después de simplificar, este sistema de ecuaciones lineales puede expresarse como 2x 1 2y 5 08 000 2x 1 2y 5 10 000. Resolviendo el sistema se obtiene x 5 2 000 y y 5 4 000. Las segundas derivadas parciales de P son Pxx(2 000, 4 000) 5 20.002 Pyy(2 000, 4 000) 5 20.002 Pxy(2 000, 4 000) 5 20.001. Como Pxx < 0 y Pxx(2 000, 4 000)Pyy(2 000, 4 000) 2 [Pxy(2 000, 4 000)]2 5

s20.002d2 2 s20.001d2 > 0 se concluye que el nivel de producción con x 5 2 000 unidades y y 5 4 000 unidades proporciona el beneficio máximo. El beneficio máximo es P(2 000, 4 000) 5 8(2 000) 1 10(4 000) 2 (0.001)[2 0002 1 2 000(4 000) 1 4 0002)] 2 10 000 5 $18 000. NOTA En el ejemplo 2 se supuso que la planta industrial puede producir el número requerido de unidades para proporcionar el beneficio máximo. En la práctica, la producción estará limitada por restricciones físicas. En la sección siguiente se estudiarán tales problemas de optimización. n

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CAPÍTULO 13

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El método de mínimos cuadrados En muchos de los ejemplos en este texto se han empleado modelos matemáticos, como en el caso del ejemplo 2, donde se utiliza un modelo cuadrático para el beneficio. Hay varias maneras para desarrollar tales modelos; una es la conocida como el método de mínimos cuadrados. Al construir un modelo para representar un fenómeno particular, los objetivos son simplicidad y precisión. Por supuesto, estas metas entran a menudo en conflicto. Por ejemplo, un modelo lineal simple para los puntos en la figura 13.74 es y 5 1.8566x 2 5.0246. Sin embargo, la figura 13.75 muestra que si se elige el modelo cuadrático, ligeramente más complicado,* es y 5 0.1996x 2 2 0.7281x 1 1.3749 se logra mayor precisión. y = 0.1996x 2 − 0.7281x + 1.3749

y = 1.8566x − 5.0246

y

y

(11, 17)

(11, 17)

15

15

(9, 12)

(9, 12)

10

10

(7, 6)

5

(7, 6)

5

(2, 1)

(5, 2)

(2, 1)

(5, 2)

x 5

x

10

5

Figura 13.74

10

Figura 13.75

Como medida de qué tan bien se ajusta el modelo y 5 f sxd a la colección de puntos

Hsx1, y1d, sx2, y2d, sx3, y3d, . . . , sxn, yndJ se pueden sumar los cuadrados de las diferencias entre los valores reales y y los valores dados por el modelo para obtener la suma de los cuadrados de los errores o errores cuadráticos

y

(x1, y1) d1

S5

y = f(x) d2 (x2, y2)

o f f sx d 2 y g . i

i

2

Suma de los cuadrados de los errores o errores cuadráticos.

i51

(x3, y3) d3 x

Suma de los cuadrados de los errores: S 5 d12 1 d22 1 d32 Figura 13.76

n

Gráficamente, S puede interpretarse como la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre la gráfica de f y los puntos dados en el plano (los puntos de los datos), como se muestra en la figura 13.76. Si el modelo es perfecto, entonces S = 0. Sin embargo, cuando la perfección no es posible, podemos conformarnos con un modelo que haga mínimo el valor de S. Por ejemplo, la suma de los errores cuadráticos en el modelo lineal en la figura 13.74 es S < 17. En estadística, al modelo lineal que minimiza el valor de S se le llama recta de regresión o por mínimos cuadrados. La demostración de que esta recta realmente minimiza S requiere minimizar una función de dos variables. * En el ejercicio 37 se describe un método para hallar el modelo de mínimos cuadrados para una colección de datos.

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SECCIÓN 13.9

Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables

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TEOREMA 13.18 RECTA DE REGRESIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS La recta de regresión de mínimos cuadrados para {(x1, y1), (x2, y2), . . . . (xn, yn)} está dada por f sxd 5 ax 1 b, donde n


n a5

n

i i

i51 n

o

n

x2i 2

i51

ADRIEN-MARIE LEGENDRE (1752-1833) El método de mínimos cuadrados lo introdujo el matemático francés Adrien-Marie Legendre. Legendre es mejor conocido por su trabajo en geometría. De hecho, su texto “Elementos de Geometría” fue tan popular en Estados Unidos que se usó durante un periodo de más de 100 años y hubo 33 ediciones.

n

oxy 2 oxoy

i i i51 i51 n 2

b5

y

1o x 2

1 n

1 o y 2 a o x 2. n

n

i

i51

i

i51

i

i51

DEMOSTRACIÓN Sea Ssa, bd la suma de los cuadrados de los errores para el modelo f sxd 5 ax 1 b y el conjunto de puntos dado. Es decir, n

o f f sx d 2 y g

Ssa, bd 5

i

i

2

i51 n

o sax 1 b 2 y d

5

i

i

2

i51

donde los puntos sxi, yi d representan constantes. Como S es una función de a y b, se pueden usar los métodos de la sección anterior para encontrar el valor mínimo de S. Las primeras derivadas parciales de S son n

o 2x sax 1 b 2 y d

Sasa, bd 5

i

i

i

i51

5 2a

n

ox

1 2b

2 i

i51

n

n

o x 2 2o x y i

i i

i51

i51

n

o 2sax 1 b 2 y d

Sbsa, bd 5

i

i

i51

5 2a

n

n

o x 1 2nb 2 2 o y .

i51

i

i

i51

Igualando estas dos derivadas parciales a 0, se obtienen los valores de a y b que indica el teorema. Se deja como ejercicio aplicar el criterio de las segundas derivadas parciales (ver ejercicio 47) para verificar que estos valores de a y b dan un mínimo.

Si los valores de x están simétricamente distribuidos respecto al eje y, entonces o xi 5 0 y las fórmulas para a y b se simplifican: n

oxy

i i

a5

i51 n

ox

2 i

i51

y b5

1 n y. n i51 i

o

Esta simplificación es a menudo posible mediante una traslación de los valores x. Por ejemplo, si los valores x en una colección de datos son los años 2005, 2006, 2007, 2008 y 2009, se puede tomar 2007 como 0.

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CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables Chapter 13 Functions of Several Variables Chapter 13 Functions of Several Variables

Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados EXAMPLE 3 Finding the Least Squares Regression Line EXAMPLE Finding the Leastcuadrados Squarespara Regression Hallar la recta de 3 regresión de mínimos los puntosLine (23, 0), (21, 1), (0, 2) Find the least squares regression line for the points ⫺3, 0, ⫺1, 1, 0, 2, and 2, 3. y (2, 3). Find the least squares regression line for the points ⫺3, 0, ⫺1, 1, 0, 2, and 2, 3. EJEMPLO 3

Solution The table shows the calculations involved in finding the least squares Solución tablatable muestra losthe cálculos necesarios para hallar la recta regresión SolutionLaThe shows calculations involved in finding thedeleast squaresde regression line using n ⫽ 4. mínimos cuadrados usando n 5 4. regression line using n ⫽ 4. x TECNOLOGÍA

Muchas calcu-

TECHNOLOGY Many calculators Many regression calculators TECHNOLOGY tienen “incorporados” prohaveladoras “built-in” least squares

have “built-in” least squares gramas regresión de mínimos programs. Ifdeyour calculator has regression such a programs. If your calculator has cuadrados. utilizar una such a program, use itSe to puede duplicate the results program,3.usecon it to duplicate the results calculadora estos programas of Example of Example 3. para reproducir los resultados del ejemplo 3.

n

y

x

⫺3 ⫺3 ⫺1 ⫺1 0 0 2 2

0 1 2 3 n

8 x + 47 f(x) = 13 326

8 x +8 47 f(x) = 13 26 47 x + 26 f(x) = 13 2

3 32

y

i

(2, 3) (2, 3) (0, 2)

21 2) (0, (−3, 0) (−1, 1) (0, 2) 1 1, 1) 1 (−3, 0) −3 (− 1 1, 1) (− 3, 0) −2 (−−1

x 2

x

x −3 −de 2 regresión −1 1 2 cuadrados Recta de mínimos −3 − 2 − 1 1 2

Figura Least squares13.77 regression line Least13.77 squares regression line Figure

2 3

n

9

0

⫺1 ⫺1 0 0 6 6

1 0 4 n

i⫽1

xn2i

xni yi

i

i⫽1

i⫽1

x2 9 1 0 4

i⫽1

i i

i⫽1

2 i

i⫽1

Aplicando el teorema 13.18 se obtiene Applying Theorem 13.18 produces Applyingn Theorem n13.18nproduces n n xni yi 2 n xni n yni n xi yi ⫺ i51 xi i51 yi 4s5d 2 s22ds6d 8 a 5 i51 nn xi yi i⫽1 ⫺ n i⫽1 xi2 5yi 45 ⫺ ⫺262 5 8 i⫽1 d ⫽ a⫽ ⫽ 4s14 4d52 ⫺s22 ⫺2 6 13 8 414 ⫺ ⫺22 2 13 a ⫽n ni⫽1xn2i2 2 ni⫽1xni 2i⫽12 ⫽ ⫽ ni51 xi ⫺2 i51 xi 414 ⫺ ⫺2 13 n xi ⫺i⫽1 xi i⫽1 y i⫽1 i⫽1 and n n 1 8 47 and 1 b 5 1 n yi 2 a n xi 5 1 6 2 8 s22d 5 47 . n 4 13 26 n n b ⫽ i51 1 yi ⫺ ai51 xi ⫽ 61 ⫺ ⫺2 8 ⫽ .47 b n⫽ yi ⫺i⫽1a xi 4⫽ 6 13 ⫺ ⫺2 26 ⫽ 8. 47 La recta de i⫽1 regresión de mínimos cuadrados n i⫽1 4 13 es f sxd 526 13 x 1 26 , como se muestra en la i⫽1 8 47 The least squares regression line is f x ⫽ x 8⫹ 26, as shown in Figure 13.77. figura 13.77. The least squares regression line is f x 13 ⫽ 13x ⫹ 47 26 , as shown in Figure 13.77.

o o

(2, 3)

1

yni

i⫽1

y

0

0

x2

xy

⫽6 ⫽5 ⫽ 14 ⫽x ⫺2 ⫽ ⫺2 y ⫽ 6 x y ⫽ 5 x ⫽ 14 xni

i⫽1

y

xy

y

o o 1 o 2

1o o 2 3

4

■

Figure 13.77

■

for worked-out solutions to odd-numbered exercises. EjerciciosSee www.CalcChat.com 13.9 13.9 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.9Exercises

En los ejercicios y 2,the hallar la distancia mínima del point punto al In Exercises 1 and 2,1find minimum distance from the In Exercises 1 and 2, find the minimum distance from the point plano (Sugerencia: Para simplificar los cálcux ⴚ y 1 z ⴝ 3. to the plane x ⴚ y 1 z ⴝ 3. (Hint: To simplify the computations, to the plane (Hint: To simplify the computations, x ⴚel ycuadrado 1the z ⴝdistance.) 3. de los, minimizar la distancia.) minimize the square of minimize the square of the distance.) s0,00, s1,32, 1. 1. 2. 2. 0, 0, 0d 1, 2, 3d 1. 0, 0, 0 2. 1, 2, 3 En los ejercicios y 4,the encontrar la distance distanciafrom mínima desde el In Exercises 3 and 4,3find minimum the point In Exercises 3 and 4, find the minimum from the point ⴚ 2x ⴚIndistance 2y. punto a la zsuperficie (Sugerencia: En el ⴝ 1 ⴚ 2xz ⴝ ⴚ 2y.1 (Hint: to the surface Exercise 4, use the zⴝ 1 ⴚ 2x ⴚraíz 2y. de to the surface (Hint: In Exercise 4,de use the ejercicio 4, usar la operación una herramienta grafiroot feature of a graphing utility.) root feature of a graphing utility.) cación.) 3. ⫺2, ⫺2, 0 3. ⫺2, ⫺2, 0 4. 0, 0, 2 4. 0, 0, 2 x, y, andx,z ythat In En Exercises 5 – 8, find three positivenúmeros integers positivos los ejercicios 5 afind 8, hallar que x, y, and yz zthat In Exercises 5 – 8, three tres positive integers satisfy the given conditions. satisfagan condiciones dadas. satisfy the las given conditions. 5. The product is 27 andythe sum isesa mínima. minimum. 5. la suma 5. El Theproducto product es is 27 27 and the sum is a minimum. 2 z2is a maximum. 6. The sum is 32 and 6. 32 and yP P⫽P⫽xy ⫽xyxyz2zesismáxima. 6. La Thesuma sum es is 32 a maximum. 7. The sum is 30 and the sum ofdethe squares is a es minimum. 7. 30 and y la the suma losthe cuadrados 7. La Thesuma sum es is 30 sum of squares is amínima. minimum. 8. The product is 1 and the sum of the squares is a minimum. 8. El producto es 1 y la suma de los cuadrados es 8. The product is 1 and the sum of the squares is amínima. minimum.

9. Costos Unimprovement contratista decontractor mejorías is caseras estáthe pintando 9. Cost A home painting walls las 9. Cost A home improvement contractor is painting the paredes y el techo de una habitación rectangular. El volumen and ceiling of a rectangular room. The volume of the room walls is de and ceilingfeet. of es aThe rectangular room. The isvolume of the room isde la habitación de 668.25 cúbicos. El costo pintura 668.25 cubic cost of pies wall paint $0.06 perde square feet. Thepiepaint cost of is de $0.06 perFind square pared escubic de $0.06 por cuadrado y paint elper costo pintura de techo foot668.25 and the cost of ceiling is wall $0.11 square foot. foot and the cost of ceiling paint is $0.11 per square foot. es de $0.11 por pie cuadrado. Encontrar las dimensiones de la the room dimensions that result in a minimum cost for theFind the room dimensions that result in a minimum cost for the habitación que den por resultado un mínimo costo para la pintupaint. What is the minimum cost for the paint? paint. What minimum the paint? ra. ¿Cuál esiselthe mínimo costocost por for la pintura? 10. Maximum Volume The material for constructing the base 10. Maximum Volume The material forconstruir constructing 10. Volumen máximo material para la base debase una of an open box costs 1.5El times as much per unit area asthethe of an open box costs 1.5 times as much per unit area as the caja abierta cuesta 1.5 veces más por unidad de área que el matematerial for constructing the sides. For a fixed amount of material fortheconstructing the a fixed amount rialC, para construir los lados. Dada unaofFor cantidad fija de dinero money find dimensions of thesides. box largest volume that ofC, C, money find the dimensions of the box of largest volume that las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede can hallar be made. can be made. ser fabricada. 11. Maximum Volume The volume of an ellipsoid 11. Maximum Volume El The volumede of un an elipsoide ellipsoid 11. Volumen máximo volumen x2 2 y 2 2 z2 2 ⫹ x22⫹ yy 2 2 ⫽ z 21 a 2 x2 b⫹ c 1 z2 ⫽ 1 2 ⫹ 1 aa 2 bb2 cc 2 5 1 is 4␲abc3. For a fixed sum a ⫹ b ⫹ c, show that the ellipsoid ises44␲pabc3. For a is fixed sum afija ⫹ ab 1 ⫹ bc,1 show that theque ellipsoid abcy3. c, mostrar Dada una suma el elipof maximum volume a sphere. of maximum volume is a sphere. soide de volumen máximo es una esfera.

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1053714_1309.qxp 10/27/08 12:10 PM PM PagePage 967 967 1053714_1309.qxp 10/27/08 12:10

13.9 SECCIÓN 13.9

Applications of Extrema of Functions of Two Variables Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables

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967

19. Minimum Cost A water line is to be built from point P to 12. Maximum Volume Show that the rectangular box of maxi13.913.9Applications Extrema of que Functions ofun Two Variables 967967 Applications ofmust Extrema of construir Functions of Two Variables 12. Volumen máximo Mostrar que la caja rectangular de volumen 19. CostoSof mínimo Hay conducto para agua costs desde point and pass through regions where construction mum volume inscribed in a sphere of radius r is a cube. máximo inscrita en una esfera de radio r es un cubo. el punto P al punto S y debe atravesar regiones donde los costos differ (see figure). The cost per kilometer in dollars is 3k from 13. Volume and Surface Area Show that a rectangular box of detoconstrucción (ver klafrom figura). kilómetro Find por P Q, 2k from difieren Q to R, and R toElS.costo x and y such 13. Volumen y área exterior Mostrar rectangular de given volume and minimum surfaceque areauna is acaja cube. 19. 19. Minimum Cost A water line isQto beto built from point 12. 12. Maximum Volume Show that that the rectangular box box of maxiPx to Minimum Cost A water line is be built from point Maximum Volume Show the rectangular of maxien dólares es 3k de P a Q, 2k de a R y k de R a S. Hallar y Py to that the total cost will be minimized. C volumen dado y área exterior mínima es un cubo. 14. mum Areamum A volume trough with trapezoidal cross point pass through regions where construction costscosts volume inscribed in a in sphere of radius r is ariscube. S andel and must pass through regions where construction inscribed a sphere ofsections radius is formed a cube. by S must talespoint que costo total C se minimice. 14. Área dea secciones transversales en forma(see de turningUn up comedero the edges of 30-inch-wide sheet of aluminum differdiffer (see figure). The The cost cost per kilometer in dollars is 3kisfrom figure). per kilometer in dollars 3k from 13. 13. Volume and and Surface AreaArea Show that that a rectangular box box of of P (see Volume Surface Show a rectangular trapecio se forma doblando losof extremos de area. una lámina de aluP2k figure). Find the cross section maximum to from to and from to Find and such P Q, Q R, k R S. x y to from to and from to Find and P Q, 2k Q R, k R S. x y such given volume and and minimum surface area area is a cube. minimum surface isHallar a cube. miniogiven de 30volume pulgadas de ancho (ver la figura). la sección that the total cost cost be minimized. C will 2 kmthat the total be minimized. C will 14. transversal AreaArea A trough with trapezoidal crosscross sections is formed by by 2 km x Q 14. A área trough with trapezoidal sections is formed de máxima. x Q turning up the edges of a 30-inch-wide sheet of aluminum (see turning up the edges of a 30-inch-wide sheet of aluminum (see x x 1 km P P R 1 km R figure). FindFind the cross section of maximum area.area. figure). the cross section of maximum y θx

x θ

30 − 2x

θ

x

x

θ

x

x

S y S 2 km2 km Q km Q x x10 10 km 1 km1 km R R 20. Distance y A company has retail outlets located at the points y empresa 20. Distancia Una tres tiendas de ventas al menudeo S tiene S

15. Maximum A company manufactures two types of 30 Revenue − 2x θ θ sneakers, running shoesθ andθ basketball shoes. The total revenue 15. Ingreso máximo Una empresa fabrica dos tipos de zapatos 30 − 30 2x from x1 units of −running shoes and x2 units of basketball shoes 2x tenis, tenis para correr y tenis para baloncesto. El ingreso total de is R 5x12 8x22 2x1x 2 42x1 102x 2, where x1 and unidades de tenis para correr y unidades de tenis de balonx x 15. 15. Maximum Revenue A company types of of 20. 2 manufactures Maximum Revenue A Find company manufactures two types in thousands to maximize x12 are x and x so as two 2 of units. 2 cesto es Rrunning donde 5 25x 2 shoes 8xand 2x1basketball x 2 11 shoes. 42x12shoes. 1The 102x x1 sneakers, shoes basketball total revenue 1 2 2 2, total sneakers, running and The revenue the revenue. yfrom en miles de running unidades. Hallar y xbasketball quebasketball maximizan x2 están of running shoes and and units of shoes x1 units x2 las 2 of from of shoes shoes x1 units x2x1units 16. elMaximum Profit A corporation manufactures candles at two is ingreso. and Ris R 5x12 5x128x22 8x222x1x2x x where , x 2 1x 242x142x1102x102x 2, where 1 2 1 and locations. The cost of producing x1 units at location 1 is of máximo units. FindFind assotoasmaximize x2 are x1 and x2 sox2fabrica arethousands thousands of units. to maximize x2 in x1 and 16. Ganancia oinbeneficio Una empresa velas en 2 the revenue. the0.02x revenue. dos producción de x1 unidades en el lugar 1 C1 lugares. 4x1 de 500 1El costo es 16. 16. Maximum Profit A corporation manufactures candles at two Maximum Profit A corporation manufactures candles at two and the cost of producing x2 units at location 2 is locations. The cost of producing units at location 1 is x locations. cost of producing units at location 1 is x 2 The 1 1 C1 5 0.02x1 2 1 4x1 1 500 C 0.05x2 24x 2 275. C 2 C10.02x0.02x 4x 500 1 1 4x1 de 500 y 1el costo de1 producción x2 unidades en el lugar 2 es The candles sell for $15 per unit. Find the quantity that should and the cost of producing at location 2 is 2 is x and the cost of producing at location x2 units 2 units Cbe 0.05x22 1 4x 1 275.location at 2 each to maximize the profit 2 5produced 2 x 24x C 275.C . x10.05x CP2 C15 0.05x 22 2 4x12 2 2 Las velas se2 venden a $15 275. por unidad. Hallar la cantidad que 17. debe Hardy-Weinberg Law Common blood typesal are determined producirse lugar para aumentar máximo el beThe The candles sell en for $15 per unit. Find the quantity that that should candles sellcada for $15 per unit. Find the quantity should genetically by three alleles A, 2 B, Cand O. (An allele is any of a neficio P 5 15 s x 1 x d 2 C . be produced at1 each location the the profit 1 location 2 to maximize be produced at 2 each to maximize profit group of possible mutational forms of a gene.) A person whose CAS 21. P de x15 P15Hardy-Weinberg 17. Ley Los sanguíneos son genética1 x1x2 x2 C1 C1C 2. Ctipos 2. blood type is AA, BB, or OO is homozygous. A person whose determinados por tres alelos A,types B types yare O.determined (Alelo es 17. mente Hardy-Weinberg Law Common 17. Hardy-Weinberg Law Common blood are determined blood type is AB, AO, or BO isblood heterozygous. The Hardycualquiera de las posibles formas deB,mutación de un gen.) Una genetically by three alleles A, B, and O. (An allele is any of a of a genetically by three alleles A, and O. (An allele is any Weinberg Law states that the proportion P of heterozygous persona tipo mutational sanguíneo es AA, BB u OO es CAS CAS 21. group ofcuyo possible forms of gene.) A homocigótica. person whose group ofinpossible mutational forms a gene.) A person whose individuals any given population is a of Una persona tipoBB, sanguíneo es homozygous. AB, AO A o BO heteroblood typetype is cuyo AA, BB, or is homozygous. person whose OO blood is AA, or OO is A es person whose cigótica. ley Hardy-Weinberg establece que la proporción P P p,blood q,type rLatype 2pq 2prAO, blood is AB, AO, or 2qr is heterozygous. The The HardyBO is AB, or BO is heterozygous. Hardyde individuos heterocigótica en cualquier población es Weinberg Law states that that the proportion P ofP heterozygous Weinberg Law states the proportion ofdada heterozygous where p represents the percent of allele A in the population, q any population is is in1given any population Pindividuals s p,individuals q, rd 5in 2pq 2prgiven 1 represents the percent of 2qr allele B in the population, and r percent of 2pr allele in the population. Use the fact Prepresents p,Pq,p,r q,the 2pr 2qrO2qr r 2pq 2pq p representa el porcentaje de alelos A en la población, q donde that p q r 1 to show that the maximum proportion of representa el porcentaje de alelos B la r repre2in population, where the percent allele A población inisAthe p represents q q where the ofenallele the ypopulation, p represents heterozygous individuals inpercent anyofpopulation 3. senta el porcentaje depercent alelos O laBpoblación. Utilizar el and hecho represents the the percent of allele inB the population, r r represents ofenallele in the population, and 18. de Shannon Diversity One way to measure species diverque mostrar proporción p1 1 5Index 1ofpara represents theq percent allele O inOthe population. Use Use themáxifact represents ther percent of allele inque thelapopulation. the fact sity is to use the Shannon diversityenindex habitat consists H. If apoblación ma es 23.of of that de that that thecualquier maximum proportion p individuos that to show the maximum proportion pq qr heterocigóticos r1 to 1show of three species, A, B, and C, its Shannon diversity 2 index is heterozygous individuals in any is 23de . ismedir heterozygous individuals in population any population 18. Índice de diversidad de Shannon Una forma diversi3. H de especies x ln x esy usar ln y el índice z ln z de diversidad de Shannon H. Si dad 18. 18. Shannon Diversity Index One One way way to measure species diverShannon Diversity Index to measure species diverun hábitat consiste deShannon tresof especies, A,ABindex su índice de diverwhere is percent species inyH.C, the the y is sity is toxisuse diversity index IfH. ahabitat, habitat consists sity tothe useShannon the diversity If a habitat consists sidad Shannon percent of species BA,and inB,the habitat, anddiversity the index percent z isdiversity of three species, A,esB, C, its is ofis ofdethree species, and C,Shannon its Shannon index species C in the habitat. H H x ln x ln xy ln y ln yz ln z ln z (a) Use the fact that x y z 1 to show that the maximum where of especies species A en inAel the habitat, is yporthe where is percent the percent of species inhábitat, the habitat, is the donde xxesiselxthe porcentaje de y esy el value of H occurs when x y z 13. percent of especies species BB inen of z iselzthe percent of species Bthe in the habitat, is percent the percent centaje de el habitat, hábitat yand z and es porcentaje de of (b) species UseCC the part (a) to show that the maximum value species inenCresults the habitat. inhábitat. theofhabitat. especies el of H in this habitat is ln 3. (a)Usar Use thefactor fact that to 1show that that theque maximum x + yxy + zyz= 1z1para (a) Use the fact to show theelmaximum a) el de that demostrar valor valuevalue ofdeHof when x xy yz z13. 13. occurs when H máximo Hoccurs ocurre cuando (b)Usar Use theresultado results ofdel part (a) to(a) that the maximum (b) el Use the results ofinciso part to show that the que maximum value b) a)show para demostrar el value valor of HofinH this habitat ishábitat lnis3.lnes inHthis habitat 3. de ln 3. máximo de en este

0, 0 , 2, 2 , and 2, 2 (see figure). Management plans to localizadas en los puntos (0, 0), (2, 2) y (22, 2) (ver la figura). La build a distribution 10 km 10 kmcenter located such that the sum of the dirección planea construir un centro de distribución localizado de distances S from the center to the outlets is minimum. From the tal manera que la suma Shas de las distancias del centro las tiendas Distance A the company outlets located at athe 20. Distance A problem company has retail outlets located at points the points symmetry of it retail is clear that the distribution center sea mínimo. Por laand simetría del problema es claro que elplans centro de and (see figure). Management to 0, 0 , 2, 2 , 2, 2 (see figure). Management plans 0, 0 , 2, 2 , 2, 2 will be located on the y-axis, and therefore S is a function of the to distribución se localizará en located el ejelocated y, such y por consiguiente Sofesthe una build a distribution center that the sum build a distribution center such that the sum of single variable y. Using techniques presented in Chapter 3, find the función deSuna y. Utilizando técnicas presentadas en distances from theofcenter to the is minimum. FromFrom theelthe distances from the tooutlets thelasoutlets is minimum. Svariable the required value y. center capítulo 3, of calcular el problem valoritdeisyitclear requerido. symmetry the that that the distribution center symmetry of problem the is clear the distribution center y yy y S is aS function will will be located on the axis, and therefore of the be located onythe and therefore is a function of the y-axis, single variable Using techniques presented in Chapter 3, find y. 4 presented single Using techniques in Chapter 3, find y. 3variable 3 4 (−2, 2) (2, 2) (−2,required 2) required (2,y. 2)of y. the of the dd3 value 22 value (−2, 2) (4, 2) dd2 2

3

y y (0, yy)) dd1 (0, 1 x (0,2)30) −−3 3 (−2, −2 22 2)(2, 2) 0) 3 11 (2, (−2, 2) −2 (0, d2 3 d3 2 2d d2 −−2 2 (0, y)(0, y) d1 d1

Figure for 2020 0)1 − 3 −2 − 3(0, −20)(0, Figura para

21

2

(−2, 2) (x, y) (4, 2) y (x, yy) dd2 dd3 1 d 3 4 4d12 x (0, 0) −2 2 4 −2 (−2, (−2, 2) (0, 2) 0) 2 (4,42)(4, 2) −2 (x, y)(x, y) d−2 d d3 2 d2 d 1 d 13 Figure for 21 Figura para2210) 4 −2 −2 (0, 0)(0, 2 4

− 2 − 2 The Investigation retail outlets described in Exercise 20en areel Investigación Las tiendas de ventas descritas −2al menudeo −2 located at200,se0localizan and(0, 0), (see figure). The lalocation , 4, 2 , en 2, (4, 2 2) ejercicio y (22, 2) (ver figura). of the distribution therefore the ysum the yFigure , and La localización delcenter centroisdex,distribución (x,21 y), porof consiFigure for 20 fores21 Figure for 20 Figure for distances is a function of x and y.es una función de x y y. guiente la Ssuma S de las distancias Investigation The The retailretail outlets described in Exercise 20 are 21. Investigation outlets described in Exercise 20 are a) Escribir expresión giving que dathelasum suma S de las distancias. (a) Write thelaexpression of the distances S. Use located at 0,at0 0, figure). The The location , 04, ,2 4, , and located figure). location 2 , and2, 2 2,(see 2 (see Utilizar un sistema algebraico porgraph computadora representar a computer algebra system to surface S. Does ythe of the center is x,isy x, therefore the sum of the , and of distribution the distribution center therefore the sum of the y , and S. ¿Tiene esta superficie un mínimo? have a minimum? distances of x of andx and S is Sa function y. y. distances is a function b) Utilizar un sistema algebraico computadora (b) Use a computer algebra systempor to obtain ObserveSx S and Syy .obtener (a) Write the expression giving the sum of the S. Use (a) Write the expression giving the sum ofxdistances the distances S. Use ythat quesystem resolver Sy . Observar Sy 5difficult. 0 es muy solving the Sx el sistema 0 and SSy x 500isy very a computer algebra system to graph the surface S. Does a computer algebra system to graph the surface S. Does difícil. Por tanto, aproximar la of localización del centro de disSo, approximate the location the distribution center. havehave a minimum? a minimum? tribución. (c) An initial estimate of the critical point is x1, y1 1, 1 . (b) Use a computer algebra system to obtain S and . Observe (b) Use a computer algebra system to obtain S Sand Sy . Observe c) Una estimación Sinicial punto crítico esx sx1xS, xyy11, d5 1d. Calculate with components 1, 1 del 1 s1,and that that solving the system difficult. Sx Sx0 and solving the system difficult. 0 Sand Sy0 is very 0 is very Calcular s1, direction 1d con componentes 2Svector s1, 1d y 2S s1,1 1?d. is given byythe . What Sy 1, 12=S S y1, x So, approximate the location of the center. So, approximate the location of distribution the distribution center. dirección es la dada porcritical el vector 2=S (d) ¿Qué The second estimate of the point is s1, 1d? (c) An estimate of the pointpoint is xis , y 1, 1 1, . 1. (c) initial An initial estimate of critical the critical , y x d) La segunda estimación del punto crítico es 1 1 1 1 Calculate and 1, 1 S and 11 t, with 1, 1 S y2 x 1 S 1, SxS1x11,, ywith y1components Scomponents x , y t . x 2, Calculate x x y 1 1 direction is ygiven they1vector 1y 1, . sWhat ? 1? the sx 2S,yy1, x11 .2What Sxsx1direction , y1dt, 2given Sby dtd. vector S 1, S1 1, 2dS5 1 is ysx1,by If these coordinates are substituted into S x, y , then S (d) Si The second estimate ofcoordenadas the point (d)seThe second estimate of critical the critical S se sx,ist.ydFind ,isentonces sustituyen estasof en Spoint becomes a function the single variable the value convierte en una función de una variable t. Hallar el valor de of Use this value of to estimate x S. t , y x S x , y t, y S x , y t . x 2,t ythat x S x , y t, y S x , y t . x2 2, yminimizes 2 2 . x 1 x 1 1 11 2 1 1 y 1 y 11 1 t que minimiza S.1Utilizar este valor de t para estimar sx 2, y2d. (e) Complete two more iterations of the process in part (d) to If these coordinates aremás substituted intodel S x, , then S S If these coordinates are substituted into then Sy x, yd), para e) Realizar del proceso inciso obtain xdos of the distribution center, y4iteraciones . For this location 4a, function becomes of the single variable Find the value t. becomes a function of the single variable Find the value t. obtener Dada esta localización del centro de diss x , y d . 4 what is the4 sum of the distances to the retail outlets? of t that minimizes Use this of t to x 2, yx2 2.al S. suma of t that minimizes this value ofestimate S. Use t toa estimate , y2 . tribución, ¿cuál es la de value las distancias las tiendas (f) menudeo? Explain why S x, y was used to approximate the (e) Complete two two moremore iterations of the in part (d) to (e) Complete iterations of process the process in part (d) to minimum value of S. In what types of problems would you xpor obtain this location the center, . For. For obtain location of distribution the distribution center, f) Explicar usó this aproximar el valor 2=S sx, yofd para 4, yx 4qué 4, y4se use S x, y ? whatwhat is de theisS.sum ofqué the distances to the outlets? the oftipo thede distances to retail the retail outlets? mínimo ¿Ensum problemas se usaría =Ssx, yd? (f) Explain whywhy S x, Sy x,was usedused to approximate the the (f) Explain to approximate y was minimum valuevalue of S.ofInS.what typestypes of problems would you you minimum In what of problems would use use S x, Sy x, ? y?

1053714_1309.qxp 10/27/08 12:10 PM Page 968 Larson-13-09.qxd 10/27/08 3/12/09 19:18 PagePage 968 968 1053714_1309.qxp 12:10 PM 1053714_1309.qxp 10/27/08 12:10 PM Page 968

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CAPÍTULO Funciones de variasVariables variables Chapter 13 13 Functions of Several Chapter 13 Functions of Several Variables Chapter 13 Functions of Several Variables

22. el ejercicio tiendas delocated ventas at al 22. Investigación Investigation Repetir Repeat Exercise 21 21 forcon retail outlets 22. menudeo Investigation Repeat 21s24, for retail located localizadas en6Exercise los puntos 0d, s1,outlets 6d, y s12, 2d. at the points and 4, 0 , 1, , 12, 2 . 22. Exercise the Investigation points 4, 0 , Repeat 1, 6 , and 12, 221 . for retail outlets located at the points 4, 0 , 1, 6 , and 12, 2 .

W R I T I N G A B de OUT CONCEPTS Desarrollo W R I T I N G A B O U Tconceptos CONCEPTS

23. W InRyour own theC Eproblem-solving strategy for Ilas T I Npropias G Awords, Bpalabras, O U Tstate CON P TlaSestrategia para 23. la solu23. Con In your own words, statedescribir the problem-solving strategy for applied minimum andaplicación maximum problems. 23. In your own words, state the problem-solving strategy for ción de problemas de de mínimos y máximos. applied minimum and maximum problems. 24. In your own words, describe the method of least squares for applied minimum and maximum problems. 24. lasown propias palabras, describir el método mínimos 24. Con In your words, describe the method of leastdesquares for finding mathematical 24. In your ownelaborar words,models. describe method of least squares for cuadrados para modelosthe matemáticos. finding mathematical models. finding mathematical models. En los ejercicios 25 a(a)28, a) the hallar recta de regresiónline de and míIn Exercises 25– 28, find leastlasquares regression In Exercises 25– 28,y (a) the least squares line and nimos cuadrados b) find calcular S, la suma regression de los errores al (b) In calculate the sum of the squared errors. Use the regression S, Exercises 25–sum 28, (a) findsquared the leasterrors. squares regression line and (b) calculate of the Use theuna regression S, the cuadrado. Utilizar el programa para regresión de herracapabilities of a S, graphing to verifyerrors. your results. (b) calculate the sumutility of the squared Use the regression capabilities of a graphing to verify your results. mienta de graficación parautility verificar los resultados. capabilities of a graphing utility to verify youry results. y 25. 26. yy yy 25. 26. 25. 26. yy yy (2, 3) 25. 26. 4 (2, 3) 3 4 33 (2, 3) 2 33 22 (0, 1) 22 1) (0, 1) 1 (0, (−2, 0) 11 (0, 1) (−2,0) 0) 11 (−2, x − 2 (−2, − 1 0) 1 2 − 2 −1 −1−1 −2 11 22 −−−111 −− 22 −1 11 22 −− 11 27. yyy 27. 27. (0,yy4) 4) (0, 27. 44 (0, 4) 4 (0, (1,4) 3) (1, 3) 33 44 (1, 3) 3 (1, 3) 22 33 2 (1,1) 1) (1, 11 22 (1, 1) 1 (2,1) 0) (1, (2, 0) (2, 0) 11 x 3 0) 1 2 3(2, 44 1 2 3 1 2 4 33 11 22 44

4 3 33 2 (−1, 1) 22 (−1, 1) (−1, 1) (−3, 0) 11 (−3, 0)(−1,1 1)

44 (3, 2) (3, 2) 33(1, 1) (3, 2)

(1, 1)

(3, 2)

22(1, 1) (1, 1) (−3, 0)(−1, 1) (− 3,−10) 11 1 2 3 x −3 −2 (−3, −3 −2 −2 −1 −1 −3 11 22 33 −3 11 22 33 −2−1 −3 −2 −2 −1 −2 −2 −2 −2 28. yyy 28. 28. (5,2) 2) (5, yy 28. (5, 2) 22 2 (4,2) 2) (6,2) 2) (4, (6, 2) (5, (4, 2) (6, 2) 22 (6, 2) (3,1) 1) (4, (4,2)1) 1) (3, (4, (3, 1) (4, 1) 11 1 (3, 1) (4, 1) 11 0) (3, 0) (1, (1, 0) (3, 0) (1, 0) (3, 0) x 4 50) 5 66 33 4(3, 11 (1, 22 0) 1 2 (2,3 0)4 5 6 (2, 0) 11(2,220) 33 44 55 66

(2, 0)

En los ejercicios 29 afind 32, the hallar la squares recta deregression regresión de In Exercises 29–32, least linemínimos for the In Exercises 29–32, find the leastUtilizar squares regressionde line for the cuadrados para los puntos dados. el programa regresión points. Use the regression capabilities of a graphing utility to the In Exercises 29–32, find capabilities the least squares regressionutility line for points. Use the regression of a graphing to de una your herramienta de parautility verificar los resultados. verify results. Usegraficación the graphing to graphing plot the points points. Use the regression capabilities of a utility to verify your results. Use the graphing utility to plot the points Utilizar la herramienta de graficación para trazar los puntos y reandverify graph the regression line. your results. Use the graphing utility to plot the points and graph regression line. presentar la the recta de regresión. 29. and 0, 0graph , 1, 1the , 3,regression 4 , 4, 2 , line. 5, 5 29. s0,0,00d,,s1,1,11d,,s3,3,44d,,s4,4,22d,,s5,5,55d 29. 30. 29. 1, 00,, 03,, 31,, 15,, 63, 4 , 4, 2 , 5, 5 30. s1,1,00d,,s3,3,33d,,s5,5,66d 30. 31. 30. 0, 61,, 04,, 33,, 35,, 05,, 68, 4 , 10, 5 31. s0,0,66d,,s4,4,33d,,s5,5,00d,,s8,8,244d,,s10, 10,255d 31. 32. 31. 6, 40,, 61,, 24,, 33,, 35,, 08,, 68,, 11, , 13, 58 4 ,8 10, 32. s6,6,44d,,s1,1,22d,,s3,3,33d,,s8,8,66d,,s11, 11,88d,,s13, 13,88d 32. 32. 6, 4 , 1, 2 , 3, 3 , 8, 6 , 11, 8 , 13, 8 33. Modeling Data The ages (in years) andlas systolic x matemático la tabla muestran edadesblood x (en 33. 33. Modelo Modeling Data TheEn ages and systolic blood x (inseyears) pressures of seven men are shown in the table. y años) y las presiones arteriales sistólicas y de siete hombres. 33. Modeling Data The ages (in years) and systolic blood x pressures y of seven men are shown in the table. pressures y of seven men are shown in the table. 16 25 39 45 49 64 70 Edad, x 16 25 39 45 49 64 70 Edad, x 16 25 39 45 49 64 70 Edad, x Presión Presión 122 150 165 159 183 199 arterial Presión 109 109 122 150 165 159 183 199 arterial sistólica, y 109 122 150 165 159 183 199 arterial sistólica, y sistólica, y a) Utilizar el programa de regresión de una herramienta de grafi(a) Use the regression capabilities of a graphing utility to find para hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados (a)cación Use the regression capabilities of a graphing utility to find the Use leastthe squares regression line forofthe data. (a) regression capabilities a graphing utility to find para datos. the los least squares regression line for the data. (b) Usethe a graphing utility to plot theline data least squares regression forand thegraph data. the model. b) una herramienta graficación trazar the los datos (b)Utilizar Use a graphing utility todeplot the datapara and graph model.y (c)representar UseUse the amodel to approximate thethe change in systolic blood (b) graphing utility to plot data and graph the model. el modelo. (c) Use the model to approximate the change in systolic blood pressure for each one-year increase in age. (c) Useelthe model to approximate change blood c) Utilizar modelo aproximar lathe variación ensystolic la presión pressure for each para one-year increase in age. in pressure forpor each one-year increase in age. arterial sistólica cada incremento de un año en la edad.

34. Modeling Modelo matemático El manager gerente de tienda quierethe conocer 34. Data A store wants to know demandla 34. Modeling Abarra storedemanager wants to know the demand demanda yData de una energía en función del precio x. for Las for an energy bar as a function of price The daily sales y x. 34. Modeling Aa store manager wants to know sales the demand for andiarias energyData bar function of price The for yventas x. aprices tresasprecios diferentes de lashown barradaily dethe energía se three different of the energy bar are in table. an energy bar as a function of price x. The daily sales for y for three different muestran en la prices tabla. of the energy bar are shown in the table. three different prices of the energy bar are shown in the table. $1.29 $1.49 $1.69 Precio, x $1.29 $1.49 $1.69 Precio, x $1.29 $1.49 $1.69 Precio, x 375 330 Demanda, y 450 375 330 Demanda, y 450 375 330 Demanda, y 450 (a) Use theelregression graphing utility de to grafifind a) Utilizar programacapabilities de regresiónofdea una herramienta (a) Use the regression capabilities of a graphing utility to find the least squares regression line for the data. cación para hallar la recta de regresión de mínimos cuadra(a) regression capabilities a graphing utility to find the Use leastthe squares regression line forofthe data. para los datos. (b) dos Usethe theleast model to estimate the line demand when squares regression for the data.the price is (b) Use el themodelo model para to estimate demand cuando when the price is b) Usar estimar the la demanda el precio es $1.59. (b) Use the model to estimate the demand when the price is $1.59. $1.59. 35. Modeling Data An agronomist used four test plots to $1.59. 35. Modeling Data An Un agronomist used four testfertilizantes plots to Modelo matemático agrónomo cuatro determine the Data relationship betweenprueba the wheat yield (in yplots 35. Modeling An para agronomist used four testentre determine the de relationship between the wheat yield y (inla to en los campos cultivo determinar la relación bushels per acre) and the amount of fertilizer (in hundreds of x determine the relationship between the yield y (in bushels per de acre) and amount of (in hundreds of x wheat producción trigo y the (en bushels porfertilizer acre) y la cantidad de ferpounds per acre). The results are shown in the table. bushels acre) amount fertilizer (in hundreds x resultados pounds per acre). Theand results are shown in theLos table. tilizante x per (en cientos dethelibras porofacre). se of poundsenper acre). The results are shown in the table. muestran la tabla. 1.0 1.5 2.0 2.5 Fertilizante, x 1.0 1.5 2.0 2.5 Fertilizante, x Fertilizante, x Rendimiento, y 32 1.0 41 1.5 48 2.0 53 2.5 41 48 53 Rendimiento, y 32 41 48 53 Rendimiento, y 32 Use the regression capabilities of a graphing utility to find the Use the regression capabilities of ade graphing utility to find the Utilizar el programa deline regresión unaand herramienta de yield grafileast squares regression for theof data, estimate Use the regression capabilities a graphing utilitythe to yield find the least squares regression linede forregresión the data, andmínimos estimate the cación para hallar la recta de cuadrados for least a fertilizer application 160forpounds perand acre. squares regressionof the data, estimate the yield for fertilizer application ofline 160 pounds per acre. paraa los datos, la producción para una and aplicación de 36. Modeling Data y estimar The table shows percents numbers for a fertilizer application of 160thepounds perxacre. 36. Modeling Data The table shows the percents x and numbers 160 libras de fertilizante por acre. millions)Data of women in theshows work force for selected y (in 36. Modeling The table percents numbers x andyears. (in millions) of women in the muestra work the force selected yModelo 36. (Source: matemático LaLabor tabla los for porcentajes xyears. y los U.S. Bureau of Statistics) of women inStatistics) the work force for selected years. y (in millions) (Source: U.S. Bureau of Labor números y (en millones) de mujeres en la fuerza laboral en (Source: U.S. Bureau of Labor Statistics) determinados años. (Fuente: Labor Statistics) 1970 1975U.S. Bureau 1980 of1985 Año 1970 1975 1980 1985 Año 1970 1975 1980 1985 Año 43.3 46.3 51.5 54.5 Porcentaje, x 43.3 46.3 51.5 54.5 Porcentaje, x Porcentaje, x 31.543.3 37.546.3 45.551.5 51.154.5 Número, y 31.5 37.5 45.5 51.1 Número, y 31.5 37.5 45.5 51.1 Número, y 1990 1995 2000 2005 Año 1990 1995 2000 2005 Año 1990 58.9 1995 59.9 2000 59.3 2005 Año 57.5 Porcentaje, x 57.5 58.9 59.9 59.3 Porcentaje, x Porcentaje, x 56.857.5 60.958.9 66.359.9 69.359.3 Número, y 56.8 60.9 66.3 69.3 Número, y 56.8 60.9 66.3 69.3 Número, y (a) Use the regression capabilities of a graphing utility to find (a) Use the regression capabilities of a graphing utility to find the Use leastelsquares regression line forofthe data. programa para regresión de una herramienta a) Utilizar (a) regression capabilities a graphing utility tode find the leastthe squares regression line for the data. para hallar la recta de regresión de (b) graficación According to this model, approximately how many women the least squares regression line for the data. mínimos (b) cuadrados Accordingpara to this model, approximately how many women losforce datos. enter the laborto for each one-point increase in women the (b) According this model, approximately how many enter the labor force for each one-point cuántas increase in the b) Según este modelo, ¿aproximadamente mujeres percent of women in the labor force? enterofthe labor force for each one-point increase in the percent the labor force?incremento ingresan a lawomen fuerzain laboral por cada de un punto 37. Find a percent system of equations whose solution women in the labor force? yields the coeffiof enaelsystem porcentaje de mujeres en la solution fuerza laboral? 37. Find of equations whose yields the coefficients the leastwhose squares regression quadratic b, and c offorequations Finda, yields the coefficients and c for the least squares regression quadratic a,unab,system 37. 37. Hallar sistema de the ecuaciones cuyasolution solución proporcione points y cients ax 22 a,bxb, and c for , y , x , y , . . . , xquadratic ,y x 1 squares 1 2 regression 2 for the least c the points ylos coeficientes ax bx a,c bfor , y , x , y , . . . , xnn, ynn x y c para el modelo de regresión 1 1 cuadrático 2 2 by minimizing the sum 22 ymínimos ax bx c for ythe y11 ,c xpara . . .puntos , xnn, ynn 11, 1 22, y22 ,los by the sum de minimizing cuadrados 5points ax 2 1 xbx la suma sx1,by y1dminimizing , sx2, y2nnd, . .the . , sum sxn2, ynd minimizando S a, b, c yi axi2 bxi c 22. n S a, b, c axi bxi c . ni i 1 ny Ssa,Sb,a,cb, d5 22i2 bxi bx 2i cd2.c 22. c i 1 syi 2yii ax2i ax i i

o

i51 ii

11

CAPSTONE CPara A P S Tdiscusión ONE 38.CThe ofEthe length and the girth (perimeter of a cross A P Ssum TON 38. The sum of the length and the girth (perimeter of a cross

section) of las a package carried bythea girth delivery service cannot 38. 38. La suma de longitudes y and el tamaño (perímetro de una The sum the length (perimeter of aseccross section) of a of package carried by a delivery service cannot exceed 108 inches. Find the dimensions of the rectangular ción transversal) de un paquete llevado por un servicio de section) a package carried by a delivery service cannot exceed 108 of inches. Find the dimensions of the rectangular package of 108 largest volume that may be sent. 108 entrega a domicilio no puede exceder pulgadas. inches. Find the dimensions of the rectangular exceed package of largest volume that may be sent. Encontrar lasofdimensiones delthat paquete rectangular de más package largest volume may be sent. grande volumen que puede ser enviado.

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13.9Applications Applications Extrema ofFunctions Functions Two Variables 13.9 Applications ofofExtrema of ofofdos Two Variables 13.9 of Extrema of Functions of de Two Variables SECCIÓN 13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones variables

969 969 969 969

13.9 Applications of Extrema of Functions of Two Variables 969 45. Modeling Data meteorologist measures the atmospheric InExercises Exercises 39–42, use theresult result Exercise 37find find theleast least 45.45. Modeling Data AA meteorologist measures the atmospheric In 39–42, use the ofofExercise 37 totofind the Modeling Data A meteorologist measures the atmospheric In Exercises 39–42, use the result of Exercise 37 to the least En los ejercicios 39 a 42, utilizar el resultado del ejercicio 37 45. Modelo matemático Un meteorólogo mide la presión atmospressure (in kilograms kilograms per square meter) altitude hh (in (in squares regression quadratic quadratic for for the the given points. Use the pressure per square meter) atat altitude squares regression given points. PP (in pressure kilograms square meter) altitude squares regression given points. UseUse thethe P (in para hallar el modeloquadratic cuadráticofor de the regresión de mínimos cuaférica P (en kilogramos porper metro cuadrado) aatuna altitudhh (in (en kilometers). The data areshown shown below. the atmospheric regression capabilities ofgraphing graphing utility to confirm confirm your 45. Modeling kilometers). The data are below. regression capabilities of aa graphing utility to your kilometers). The data are shown below. regression capabilities of a utility to confirm your Data A meteorologist measures In Exercises 39–42, use the result of Exercise 37 to find the least drados para los puntos dados. Usar el programa de regresión de kilómetros). Los datos se muestran en la tabla. results. Use thegraphing graphing utility toplot plot thepoints points and graph the results. Use utility to the graph results. Use thethe graphing utility to plot the points andand graph thethe pressure P (in kilograms per square meter) at altitude h (in squares regression for the given points. Use the una herramienta de quadratic graficación para confirmar los resultados. 10 15 15 15 20 20 20 Altitud, 55 10 10 Altitud, hh data0are00shown 5 below. Altitud, hThe least squares regression quadratic. least squares regression quadratic. least squares regression quadratic. kilometers). regression capabilities of agraficación graphing para utilitytrazar to confirm youry Utilizar la herramienta de los puntos results. Use the graphing utility tode plot the points and graph the representar cuadrados. 10332 3325 583 5832 376 3761 240 240517517 517 Presión, 10 55583 22376 11240 39. 2, 02,2, ,10,0, Presión, PP 10 332 Presión, , ,1, 01,1, 000,, regresión 39.39. ,la00curva , de , 111,, ,21,1, , 222,, ,mínimos 52,2,55 0 5 10 15 20 Altitud, hP least squares regression quadratic. 39. s 22, 0 d , s 21, 0 d , s 0, 1 d , s 1, 2 d , s 2, 5 d 40. 4, 5 , 2, 6 , 2, 6 , 4, 2 40.40. 4, 54,, 5 , 2, 62,, 62,, 62,, 64,, 24, 2 a)Presión, Utilizar el de regresión de una (a) Use Use theprograma regression utility find 10 332capabilities 5capabilities 583 2of376 1graphing 240herramienta 517 (a) regression capabilities aagraphing utility totode find (a) Use thePthe regression aofof graphing utility to find 39. s41. 2, 0d,,0s22, 1, 602d,,, s2, 0, 616d,,, s4, 1, 2212 2, 5 42. 0, 10 , 1, 9 , 2, 6 , 3, 0 40. 24, d , 42. 42.0, 10 4,4,12 0, 10 41.41. 0, 00,50, , 02,, ,22,2, , 23,, 63,3, , 64,, 12 , 1,, 91,, 92,, 62,, 63,, 03, 0 graficación para hallar una recta de regresión de mínimos aleast least squares regression line forthe thepoints points h,Plnln. PP. . a squares regression line for h, a least squares regression line for the points h, ln 40. s0, 4, , 2d2, 6 ,6d2, 6 ,124, cuadrados para los puntos sh, ln Pd. 0d,5s2, , s3, , s4, d 2 42. s0, 10d, s1, 9d, s2, 6d, s3, 0d 41. (a) Use the regression capabilities ofequation a graphing to (b) The result part (a)an an equation the form lnPP (b) The result inin part isis an ofofutility the form (b) The result in part (a)a)(a) is ofdethe form lnlnfind Pln 43. Modeling Data After new turbocharger for an automobile 43. Modeling Data After aanew turbocharger 43. Modeling Data After a turbocharger automobile 41. Modelo 42. 0, 0 , 2,matemático 2 , 3, 6 , 4, Después 12 new 0, 10 1,for 9 for ,an 2,an 6 ,automobile 0 b) El resultado delregression inciso esline unaequation ecuación lah,forma P5 de que fue, desarrollado un3,nue43. a least squares for the points ln P . Write this logarithmic form in exponential form. ah b. this logarithmic form in exponential form. ah b. Write b. Write this logarithmic form in exponential form. ah engine was developed, the following experimental data were engine developed, following experimental were engine waswas developed, the the following experimental datadata were ah 1 b. Expresar esta forma logarítmica en forma exponencial. vo turbopropulsor para un motor de automóvil, se obtuvieron los obtained for speed miles per hour two-second time (b) The in part (a) an equation of data the data form ln graph P the the (c) Use Use graphing utility tograficación plot theoriginal original and obtained for speed inin miles hour atatantwo-second time obtained for speed in miles perper hour atfortwo-second time ysiguientes 43. datos Modeling Data After ayynew turbocharger (c) aagraphing utility to plot and (c) Use aresult graphing utility toisde plot the the original and graph c) Utilizar una herramienta para data trazar losgraph datos the experimentales de velocidad y enautomobile millas por intervals this logarithmic form in exponential form. ah b. Write exponential model inpart part (b). intervals x.x. intervals x. engine was developed, the following experimental data were exponential model in (b). exponential model in part (b). originales y representar el modelo exponencial del inciso b). hora a intervalos x de dos segundos. obtained for speed y in miles per hour at two-second time (c) Use aIfgraphing utility to plot the original data and graph the (d) your graphing utility can fitpuede logarithmic models tolodata, (d) If your graphing utility can fit logarithmic models to data, (d) If your graphing utility can fit logarithmic models to data, d) Si una herramienta de graficación ajustar modelos 10 Tiempo, Tiempo, Tiempo, x x.xx 0 00 2 22 4 44 6 66 8 8810 10 intervals exponential part (b). use verify the result inpart part (b). toto verify the result inpara (b). useuse it toititverify the in result in part (b). garítmicos amodel datos, utilizarla verificar el resultado del inciso 1530 30 3050 50 5065 65 6570 70 70 Velocidad, (d) IfModeling yourb). graphing utility can fit logarithmic models to data, 46. Data The endpoints of the the interval over which Velocidad, yy0 0015 15 Velocidad, Modeling Data The endpoints interval which 46.46. Modeling Data The endpoints of of the interval overover which 2 4 6 8 10 Tiempo, x y 0 use itvision tovision verify the result in part (b). distinct vision possible are called thenear near point and farpoint point distinct isis possible are called point and is possible called the the near point and far far point 46. distinct Modelo matemático Losarepuntos terminales del intervalo de a) modelo cuadrático de regresión dethe (a) Find Find least squares regression quadratic for themínimos data. Use the eye. With increasing age, these points normally change. 15 30 regression 50 quadratic 65quadratic 70 for for Velocidad, ya un (a) aa0least squares data. ofofthe eye. With increasing these points normally change. (a)Hallar Find least squares regression the data. UseUse a aa 46. Modeling of the eye. With increasing age,age, these points normally visión se llaman punto próximo yofpunto lejano del ojo.change. Con la Data The endpoints the interval over which cuadrados para los Utilizar unaresults. herramienta de grafigraphing utility confirm your results. The table shows theapproximate approximate near points (in inches) for y(in graphing utility totoconfirm your The table shows the points inches) yand graphing utility to datos. confirm your results. The table shows thecambian. approximate near points inches) for for ylos(in edad, estos puntos La tabla muestra puntos próxidistinct vision is possible are called thenear near point far point cación para confirmar los resultados. various ages (in years). (Source: Ophthalmology various ages xx (in years). (Source: Ophthalmology various ages xincreasing (in (Source: & && mos yeye. (en pulgadas) ayears). varias edades x Ophthalmology (en años). change. (Fuente: (a) Find least squares regression for thegraph data. Use a of the With age, these points normally (b) Use graphing utility plot thepoints points and graph the model. aagraphing utility totoplot the and model. (b) (b) UseUse aa graphing utility to plot thequadratic points and graph the the model. b) Utilizar una herramienta de graficación para trazar los puntos Physiological Optics) Physiological Optics) Physiological Optics) Ophtalmology &the Physiological graphing utility to confirm your results. The table shows approximateOptics) near points y (in inches) for 44. Modeling Data The table shows theworld world populations (in Data The table shows populations yy(in 44.44. Modeling Data table shows the the world populations y (in yModeling representar el The modelo. various ages x (in years). (Source: Ophthalmology & (b) Use a graphing utility to plot the points and graph the model. billions) for five different years. Let represent the year x 8 billions) different years. 8 represent billions) for for fivefive different years. LetLet the the yearyear x x 8 represent 16 32 32 32 44 44 44 50 50 50 60 60 60 Edad, Edad, 16 16 Edad, x xx 44. Modelo matemático La tabla muestra la International población mundial y Physiological Optics) 1998. (Source: U.S. Census Bureau, Data Base) 1998. (Source: Census Bureau, International Data Base) 1998. (Source: U.S. Census Bureau, Data Base) 44. Modeling Data TheU.S. table shows the International world populations y (in (en miles de millones) para cinco diferentes años. Considerar que 3.04.74.7 4.79.89.8 9.819.719.7 19.739.439.4 39.4 Punto próximo, yy3.03.0 Punto próximo, Punto billions) for five different years. Let x 8 represent the year 32 44 50 60 Edad, xpróximo, y 16 x = 8Año, representa el1998 año 2008. (Fuente: U.S. Census Bureau, 1998 2000 2002 2004 2006 Año, 1998 2000 2002 2004 2006 2000 2002 2004 2006 Año, x xx U.S. 1998. (Source: Census Bureau, International Data Base) International Data Base) a) Hallar un amodelo racional para datos tomando el recí(a) Find Find model for thelos data bytaking taking thereciprocals reciprocals a rational model the data by 3.0 4.7 9.8 19.7 39.4 (a) (a) Find a rational model for for the data by taking the the reciprocals Punto próximo, yrational 5.9 6.16.1 6.1 6.26.2 6.2 6.46.4 6.4 6.56.5 6.5 Población, Población, yy 5.95.9 Población, y proco o inverso de los puntos próximos para generar los pun1998 2000 2002 2004 2006 Año, x thenear near points generate thepoints points Use the y. .Use ofofthe points totogenerate of the near points to generate the the points the the x, 1x,x,y11. yUse tos sx, Utilizar el programa para regresión de una he1yy d . regression capabilities of a graphing utility to find a least regression capabilities of a graphing utility to find a least regression capabilities of a graphing utility to find a least (a) Find a rational model for the data by taking the reciprocals (a) Use Use the regression capabilities graphing utility find rramienta de graficación parafor hallar una rectadata. de regresión de 5.9 capabilities 6.1 6.4 utility 6.5 Población, y regression (a) capabilities aagraphing utility totofind (a) Use the the regression of6.2aofof graphing to find squares regression line thepoints revised resulting squares regression line the revised squares regression for for thethe revised data. resulting of the near points toline generate Useresulting the x,data. 1The y The .The the least squares regression line for the data. mínimos cuadrados para los datos revisados. La recta resulleast squares regression data. the the least squares regression lineline for for the the data. line has theform form Solve for axb. Solve y. a least the yyax ax b.b.Solve lineline hashas the form for for 1 y11of y. regression capabilities a graphing utility to y.find a) Utilizar el programa de regresión de una herramienta de tante tiene la forma 1/y = ax + b. Despejar y. (a) Use the capabilities of aaof graphing utility to (b) Use theregression regression capabilities of graphing utility find (b) the capabilities aagraphing utility totofind (b)graficación UseUse theregression regression capabilities ofde graphing utility to find find squares regression line for revised data. The resulting (b) Use agraphing graphing utility tothe plot thedata data and graph themodel. model. para hallar la recta regresión de mínimos (b) Use a utility to plot the and graph the (b) Use a graphing utility to plot the data and graph the model. b) Utilizar una herramienta de graficación para trazar los datos the squares regression line for thefor data. theleast least squares regression quadratic forthe thedata. data. the squares regression quadratic for theleast least squares quadratic the data. line has the form Solve for 1 y ax b. y. cuadrados para losregression datos. (c) Do you think the model can be used used predict the near Do think the model toto predict (c) (c) youyou think model cancan be be used to predict the the nearnear yDo representar el the modelo. (b) Use the capabilities a de graphing utility to models. find (c) Use Use agraphing graphing utility plot the data and graph the models. (c) aregression utility totoplot data and graph (c)Utilizar Use a graphing utility to plot theofthe data and graph the the models. b) el programa de regresión una herramienta de (b) Use apoint graphing utility towho plot the data and graph the próximo model. for aperson person ispara 70years years old? Explain. point for a who is 70 old? Explain. point for a person who is 70 years old? Explain. c) ¿Puede utilizarse el modelo predecir el punto the least squares regression quadratic for thede data. para hallar el modelo regresión de the (d) Use both models toforecast forecast theworld world population for the (d) both models to the population (d)graficación UseUse both models to forecast thecuadrático world population for for the (c) Do you think the model can used to predict the for nearfor una persona dePartials 70 años? 47. Use the Second Partials Test toverify verify that theformulas formulas Use the Second tobe the 47.47. Useen the Second Partials TestTest toExplicar. verify thatthat the formulas aforaa (c) mínimos Use a graphing utility to plot the data and graph the models. cuadrados para los datos. year 2014. How do the two models differ as you extrapo2014. How models differ as you extrapo- 47. Usar yearyear 2014. How do do the the twotwo models differ as you extrapopoint for a person who is13.18 70yield years Explain. el de las segundas derivadas parciales para veand given Theorem 13.18 yield minimum. given inin Theorem yield aaminimum. bbcriterio andand given in Theorem 13.18 a old? minimum. b c) una herramienta de graficación trazar los late into thefuture? future? into the latelate into the future? (d) Utilizar Use both models to forecast the worldpara population fordatos the rificar las fórmulas anyn verify b proporcionadas en el teorema 47. Use theque Second Partials para Test nn 2the22formulas for a n that n to yyear representar los modelos. 2014. How do the two models differ as you extrapo2 2 2 13.18 llevan a un mínimo. Hint: Use the fact that n x x . the and given in 13.18 bHint: Hint: UseUse theTheorem factfact thatthat n n xyield xi x.i i . i xi i a minimum. d) Utilizar modelos para estimar la población mundial late intoambos the future? i 1 i i n11 i 1 i i 11 n 2 n n en el año 2014. ¿Cómo difieren los dos modelos cuando se Sugerencia: Considerar el hecho que nx 2. x2i ≥ xi . 2 Hint: Use the fact that n x i i extrapola i51 i51 INOO NNPelRPfuturo? PORRJOOEJJCEETCC TT S ESS CEETCCITTOIhacia

3

o

i

1

i

1o 2 4

1

Building a Pipeline Pipeline SBuilding E C T I aO Pipeline P ROJECT aNDE Building PROYECTO TRABAJO The cost building thepipeline pipeline $3million million permile mile the ofofbuilding isis$3 ininthe TheThe costcost of building the the pipeline is $3 million perper mile in the water and $4million million permile mile onland. land. So,the thecost cost thepipeline pipeline water ofofthe water andand $4 $4 million perper mile on on land. So,So, the cost of the pipeline El costo de construcción del oleoducto esmeets millones por milla Una empresa petrolera desea construir unFurthermore, oleoducto desde su P,iswhere depends on the location point where itmeets meets the shore. What shore, and thewishes refinery mile inland. Furthermore, and are depends Aand Bare P, depends location ofof point it$3 shore. What shore, and refinery 11mile inland. A B P, on the location ofthe point where the shore. shore, and the the refinery isto 1isis mile inland. Furthermore, A and B are The coston ofthe building pipeline $3itmillion perthe mile inWhat the An oil company construct a pipeline from its offshore en would elwould mar, y $4 por milla enoftierra. Por tanto, el pipeline costo del plataforma Aapart, hasta sushown refinería B. plataforma estáisa22 miles millasfrom de la be themillones most economical route the pipeline? miles apart, shown theLa figure. be the most economical route ofofthe pipeline? 55miles asas inin the figure. would be the most economical route the pipeline? 5 miles shown inB.the figure. water and $4 million per mile on land. So, the cost of the facility to itsasrefinery The offshore facility Aapart, oleoducto depende deyou laoflocalización punto costa, la refinería está is 1 milla tierra adentro. Además, A B están en lashore. orilla. ¿Cuál Imagine that you are write areport report the oil company about Imagine that are totowrite adel totoPthe oil company about Imagine you are to write awhere report the oil company about P, depends on thethat location point ittomeets the What shore, yand theA refinery 1 mile inland. Furthermore, A yand B area AA 55 millas de distancia unaindethe otra, como se muestra en la figura. sería labeproblem. ruta para el shown oleoducto? this problem. Let bethe the distance shown thefigure. figure. Determine this Let be distance ininthe Determine xeconomical this problem. Leteconómica bexxthe distance in the figure. Determine would the más most route of shown the pipeline? miles apart, as shown figure. Imaginar queyou hay que redactar informe la empresa P,and the cost building the pipeline from and thecost cost from P, cost ofof building the totothe the from Aun P, P toPPtoto the the cost of building the pipeline from toAAto and thepara cost from Imagine that are topipeline write a from report oil company about A A22mi mi 2 mi petrolera acerca de este problema. Sea xroutes lain distancia mostrada en la B. Analyze some sample pipeline and their corresponding B. Analyze some sample pipeline routes and their corresponding B. Analyze some sample pipeline routes and their corresponding x this problem. Let be the distance shown the figure. Determine 5 mi 5 mi 5 mi figura. Determinar elwhat costo de elP, oleoducto deroute? Aroute? a P, el costs. For instance, what thecost cost the most direct route? Then costs. instance, what isisconstruir the ofof the most direct Then costs. For instance, is the cost of the most direct Then A to P yto the cost ofFor building the pipeline from and the cost from P PP5 millas 2 2millas mi costo de P a B. Analizar alguna trayectoria muestra para el oleoducuse calculus to determine the route of the pipeline that minimizes use calculus to determine the route of the pipeline that minimizes use calculus to determine the route of the pipeline that minimizes x B. Analyze some sample pipeline routes and their corresponding x x 5 mi mi to ythe sus costos correspondientes. ejemplo, esand el costo de 1 mi11mi the cost. Explain allis steps your development and include any cost. Explain all steps ofofPor your development include the cost. Explain all steps of cost your and include anylaany costs. For instance, what the ofdevelopment the most¿cuál direct route? Then P P rutarelevant másgraphs. directa? Utilizar the después para determinar la ruta B relevant graphs. B B graphs. relevant use calculus to determine routeelofcálculo the pipeline that minimizes x x del cost. oleoducto queallminimiza costo. Explicar todos los pasosany del 1 mi 1 milla the Explain steps ofelyour development and include desarrollo e incluir una gráfica pertinente. B relevant graphs. An oil company company wishes construct pipeline from its offshore offshore wishes toto construct aa pipeline from An An oil oil company wishes to construct a pipeline from its its offshore

Building atotoPipeline Construcción de un oleoducto facility its refinery refinery The offshore facility miles from B. facility its The offshore facility 22 miles from AAits B. facility refinery offshore facility is 2isismiles from A to B. The

B

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CAPÍTULO 13

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13.10 Multiplicadores de Lagrange n n n

Entender el método de los multiplicadores de Lagrange. Utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización con restricciones. Utilizar el método de multiplicadores de Lagrange con dos restricciones.

Multiplicadores de Lagrange JOSEPH-LOUIS LAGRANGE (1736-1813) El método de los multiplicadores de Lagrange debe su nombre al matemático francés Joseph Louis Lagrange. Lagrange presentó el método por primera vez en su famoso trabajo sobre mecánica, escrito cuando tenía apenas 19 años.

Muchos problemas de optimización tienen restricciones, o ligaduras, para los valores que pueden usarse para dar la solución óptima. Tales restricciones tienden a complicar los problemas de optimización porque la solución óptima puede presentarse en un punto frontera del dominio. En esta sección se estudia una ingeniosa técnica para resolver tales problemas. Es el método de los multiplicadores de Lagrange. Para ver cómo funciona esta técnica, supóngase que se quiere hallar el rectángulo de área máxima que puede inscribirse en la elipse dada por x2 y2 2 1 2 5 1. 3 4 Sea (x, y) el vértice del rectángulo que se encuentra en el primer cuadrante, como se muestra en la figura 13.78. Como el rectángulo tiene lados de longitudes 2x y 2y, su área está dada por Función objetivo. f sx, yd 5 4xy. Se quieren hallar x y y tales que f sx, yd es un máximo. La elección de (x, y) está restringida a puntos del primer cuadrante que están en la elipse

x2 y2 Restricción. 2 1 2 5 1. 3 4 Ahora, considérese la ecuación restrictiva o de ligadura como una curva de nivel fija de x2 y2 2 1 2. 3 4 Las curvas de nivel de f representan una familia de hipérbolas f sx, yd 5 4xy 5 k. En esta familia, las curvas de nivel que satisfacen la restricción dada corresponden a hipérbolas que cortan a la elipse. Es más, para maximizar f sx, yd, se quiere hallar la hipérbola que justo satisfaga la restricción. La curva de nivel que hace esto es la que es tangente a la elipse, como se muestra en la figura 13.79. gsx, yd 5

Elipse: x2 y2 + =1 32 42

y

Curvas de nivel f: 4xy = k

y

(x, y)

5

3 2

3

1

2 x

−4

−2

−1

−1

1

2

−2 −3

Función objetivo: f sx, yd 5 4xy Figura 13.78

k = 72 k = 56 k = 40 k = 24

1

4

x −2 −1 −1

1

2

4

5

6

−2 −3

Restricción: gsx, yd 5 Figura 13.79

x2 y2 2 1 2 5 1 3 4

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SECCIÓN 13.10

Multiplicadores de Lagrange

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Para encontrar la hipérbola apropiada se usa el hecho de que dos curvas son tangentes en un punto si y sólo si sus vectores gradiente son paralelos. Esto significa que =f sx, yd debe ser un múltiplo escalar de =gsx, yd en el punto de tangencia. En el contexto de los problemas de optimización con restricciones, este escalar se denota con la letra griega l (lambda minúscula del alfabeto griego). =f sx, yd 5 l=gsx, yd Al escalar l se le conoce como un multiplicador de Lagrange. El teorema 13.19 da las condiciones necesarias para la existencia de tales multiplicadores. TEOREMA 13.19 TEOREMA DE LAGRANGE Sean f y g funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que f tiene un extremo en un punto (x0, y0) sobre la curva suave de restricción gsx, yd 5 c. Si =gsx0, y0 d Þ 0, entonces existe un número real l tal que =f sx0, y0 d 5 l=gsx0, y0 d. DEMOSTRACIÓN Para empezar, se representa la curva suave dada por gsx, yd 5 c mediante la función vectorial

rstd 5 xstdi 1 ystdj, r9 std Þ 0 donde x9 y y9 son continuas en un intervalo abierto I. Se define la función h como h std 5 f sx std, y stdd. Entonces, como f sx0, y0 d es un valor extremo de f, se sabe que h st0 d 5 f sxst0 d, y st0 dd 5 f sx0, y0 d es un valor extremo de h. Esto implica que h9st0 d 5 0, y, por la regla de la cadena, h9 st0 d 5 fxsx0, y0 d x9 st0 d 1 fy sx0, y0 dy9 st0 d 5 =f sx0, y0 d ? r9 st0 d 5 0.

NOTA Se puede demostrar que el teorema de Lagrange también es válido para funciones de tres variables, usando un argumento similar con superficies de nivel y con el teorema 13.14. n

Así, =f sx0, y0 d es ortogonal a r9 st0 d. Por el teorema 13.12, =gsx0, y0 d también es ortogonal a r⬘ 共t0 兲. Por consiguiente, los gradientes =f sx0, y0 d y =gsx0, y0 d son paralelos y debe existir un escalar l tal que =f sx0, y0 d 5 l=gsx0, y0 d. El método de los multiplicadores de Lagrange emplea el teorema 13.19 para encontrar los valores extremos de una función f sujeta a una restricción. MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Sean f y g funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange, y sea f una función que tiene un mínimo o un máximo sujeto a la restricción gsx, yd 5 c. Para hallar el mínimo o el máximo de f, seguir los pasos descritos a continuación. 1. Resolver simultáneamente las ecuaciones =f sx, yd 5 l=gsx, yd y gsx, yd 5 c resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente.

NOTA Como se verá en los ejemplos 1 y 2, el método de los multiplicadores de Lagrange requiere resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Esto a menudo requiere de alguna manipulación algebraica ingeniosa. n

fxsx, yd 5 lgxsx, yd fysx, yd 5 lgysx, yd gsx, yd 5 c 2. Evaluar f en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor mayor da el máximo de f sujeto a la restricción gsx, yd 5 c, y el valor menor da el mínimo de f sujeto a la restricción gsx, yd 5 c.

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CAPÍTULO 13

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Problemas de optimización con restricciones o ligaduras En el problema presentado al principio de esta sección, se quería maximizar el área de un rectángulo inscrito en una elipse. El ejemplo 1 muestra cómo usar los multiplicadores de Lagrange para resolver este problema.

Multiplicador de Lagrange con una restricción o ligadura

EJEMPLO 1

Hallar el valor máximo de f sx, yd 5 4xy donde x > 0 y y > 0, sujeto a la restricción sx 2y32d 1 s y 2y42d 5 1. NOTA

El ejemplo 1 también puede resolverse utilizando las técnicas aprendidas en el capítulo 3. Para ver cómo se hace esto, calcular el valor máximo de A 5 4xy dado que x2 y2 1 2 5 1. 2 3 4

Solución Para comenzar, sea gsx, yd 5

Igualando =f sx, yd 5 4yi 1 4xj y l=gsx, yd 5 s2l xy9d i 1 slyy8d j, se puede obtener el sistema de ecuaciones siguiente.

Para empezar, de la segunda ecuación se despeja y y se obtiene y 5 43!9 2 x 2. Después se sustituye este valor en la primera ecuación para obtener A 5 4x s

4 3 !9

2

x2

2 4y 5 l x 9

fxsx, yd 5 lgxsx, yd.

1 4x 5 l y 8

fysx, yd 5 lgysx, yd.

x2 y2 1 51 32 42

d.

Por último, se usan las técnicas del capítulo 3 para maximizar A.

x2 y2 2 1 2 5 1. 3 4

Restricción.

De la primera ecuación, se obtiene l 5 18yyx, que sustituido en la segunda ecuación da n

4x 5

1 2

1 18y y 8 x

x2 5

9 2 y. 16

Sustituyendo en la tercera ecuación x2 por este valor se tiene

1

2

x2 5

9 2 y 16

1 9 2 1 2 y 1 y 51 9 16 16

y 2 5 8.

Así, y 5 ± 2!2. Como se requiere que y > 0, se elige el valor positivo y se halla que

5 x5

9 9 s8d 5 16 2 3 . !2

Por tanto, el valor máximo de f es f

3 ,2 2 2

4xy

3 2 2 2

4

24.

Nótese que el expresar la restricción como gsx, yd 5

x2 y2 1 51 32 4 2

o

gsx, yd 5

x2 y2 1 2150 32 4 2

no afecta la solución, la constante se elimina cuando se calcula =g.

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SECCIÓN 13.10

EJEMPLO 2


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Una aplicación a la economía

La función de producción de Cobb-Douglas (ver ejemplo 5, sección 13.1) para un fabricante de software está dada por f sx, yd 5 100x 3y4 y1y4

Función objetivo.

donde x representa las unidades de trabajo (a $150 por unidad) y y representa las unidades de capital (a $250 por unidad). El costo total de trabajo y capital está limitado a $50 000. Hallar el nivel máximo de producción de este fabricante. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre la utilización de los multiplicadores de Lagrange en economía, ver el artículo “Lagrange Multiplier Problems in Economics” de John V. Baxley y John C. Moorhouse en The American Mathematical Monthly.

Solución De la función dada, se tiene =f sx, yd 5 75x21y4 y 1y4 i 1 25x 3y4 y23y4 j. El límite para el costo de trabajo y capital se refleja en la restricción o ligadura gsx, yd 5 150x 1 250y 5 50,000.

Restricción.

Así, l=gsx, yd 5 150l i 1 250l j. Esto da lugar al sistema de ecuaciones siguiente. 75x21y4 y 1y4 5 150l

fxsx, yd 5 lgxsx, yd.

5 250l

fysx, yd 5 lgysx, yd.

25x 3y4 y23y4

150x 1 250y 5 50,000

Restricción.

Resolviendo para l en la primera ecuación

l5

75x21y4 y1y4 x21y4 y1y4 5 150 2

y despejando l de la segunda ecuación, se obtiene 25x 3y4 y23y4 5 250

1

x21y4 y1y4 2

2

25x 5 125y.

Multiplicar por x 1y4 y 3y4.

Así, x 5 5y. Sustituyendo en la tercera ecuación, se tiene 150s5yd 1 250y 5 50,000 11000y 000y 5 50,000 y 5 50 unidades de capital x 5 250 unidades de trabajo. Por tanto, el nivel máximo de producción es f s250, 50d 5 100s250d3y4s50d1y4 unidadesunits. del producto. < 16,719 product Los economistas llaman al multiplicador de Lagrange obtenido en una función de producción productividad marginal del capital. Por ejemplo, en el ejemplo 2 la productividad marginal de capital en x 5 250 y y 5 50 es

l5

x21y4 y 1y4 s250d21y4 s50d1y4 5 < 0.334 2 2

lo cual significa que por cada dólar adicional gastado en la producción, puede producirse 0.334 unidades adicionales del producto.

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CAPÍTULO 13

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Functions of Several Variables

EJEMPLO 3

Multiplicadores de Lagrange y tres variables

Hallar el valor mínimo de Lagrange Multipliers and Three Variables

sx, y, zd 5 2x 2value 1 y 2of1 3z 2 Find fthe minimum

Función objetivo.

2 4z 5 function 49. sujeto a la f sx, y, restricción zd 5 2x 2 1o yligadura 1 3z 2 2x 2 3y 2 Objective

subject to the constraint 2x 2 3y 2 4z 5 49. Solución Sea gsx, y, zd 5 2x 2 3y 2 4z 5 49. Entonces, como Solution Let gsx, y, zd 5 2x 2 3y 2 4z 5 49. Then, because =f sx, y, zd 5 4xi 1 2yj 1 6zk l=gsx, y, zd 5 2l i 2 3l j 2 4l k y l=gsx, y, zd 5 2l i 2 3l j 2 4l k =f sx, y, zd 5 4xi 1 2yj 1 6zk and se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente. you obtain the following system of equations. 4x x, y, y, zzdd 5 5 llggxssx, x, y, y, zzdd. 4x 5 5 22l l ffxssx, x

x

fyysx, y, zd 5 lgyysx, y, zd . 2y 5 23l 6z 5 5 24 24l l fzsx, y, zd 5 lgzsx, y, zd 6z fzsx, y, zd 5 lgzsx, y, zd. 2x 2 3y 2 4z 5 49 Constraint Restricción. 2x 2 3y 2 4z 5 49 The solution of this system is x 5 3, y 5 29, and z 5 24. So, the optimum value of La f issolución de este sistema es x 5 3, y 5 29 y z 5 24. Por tanto, el valor óptimo de f es

f s3, 29, 24d 5 2s3d 2 1 s29d2 1 3s24d 2 5 147.

Elipsoide: Ellipsoid: 2x2 + y2 + 3z2 = 147 2x 2 + y 2 + 3z 2 = 147

From the original function and constraint,resulta it is clear maximum. sx,y,y,zdzdhas De la función original y de la restricción, clarothat quef sf x, no no tiene máximo. Por So, the optimum value of f determined above is a minimum. ■ tanto, el valor óptimo de f determinado arriba es un mínimo.

z

z 8 8 y y16 16 −16 − 16 24

x

24

x Punto de tangencia Plano: Point tangency (3,of−9, −4) Plane: 2x − 3y − 4z = 49 (3, −9, − 4) 2x − 3y − 4z = 49

Figura 13.80 Figure 13.80

A graphical of se constrained optimization problems in problema two variables Al principio interpretation de esta sección dio una interpretación gráfica del de optiwas givencon at restricciones the beginningpara of dos thisvariables. section. In three theinterpretación interpretationesissimimización Con tres variables, variables, la similar, that level surfaces instead leveldecurves. For en instance, in 3, lar, sólo except que se usan superficies de are nivelused en lugar de of curvas nivel. Así, el ejemplo Example 3, the f are ellipsoids at the and the las superficies de level nivel surfaces de f son of elipsoides centradascentered en el origen, y laorigin, restricción constraint 2x 2 3y 2 4z 5 49 2x 2 3y 2 4z 5 49 es un plano. El valor mínimo de f está representado por la elipsoide tangente al plano de is arestricción, plane. Thecomo minimum value of is figura represented la se muestra enf la 13.80.by the ellipsoid that is tangent to the constraint plane, as shown in Figure 13.80.

Optimización en el interior de una región EXAMPLE 4 Optimization Inside a Region

EJEMPLO 4

Hallar los valores extremos de Find the extreme values of x, yydd 5 5 xx22 1 1 2y 2y22 2 2 2x 2x 1 1 33 ff ssx, z

Relative z 40 maxima Máximo (−1, − 3, 24) 32 40 relativo (− 1, 3, 24) (−1, −3, 24) 24 32 (−1, 3, 24) 16 24 8 16

Relative minimum Mínimo (1, 0, 2) relativo (1, 0, 2)4 x

8

4

x Figure 13.81

Figura 13.81

(

2

3 2

10, 0, 6.675 (

(

y

4 3

10, 0, 6.675(

4

y

Función Objectiveobjetivo. function

sujeto la the restricción x 2 x12 1 y 2 y≤2 10. subjecta to constraint # 10. Solution To solve this problem, you can constraint into twoen cases. Solución Para resolver este problema, sebreak puedethe dividir la restricción dos casos. 2 2 a. For points on the circle x 1 y 25 10,2 you can use Lagrange multipliers to find 10, se value a) that Para the los maximum puntos en value el círculo puedenoccurs usar los of f sxx, y1d yis 5 24—this at smultiplicadores 21, 3d and at de f s x, y d Lagrange para hallar que el valor máximo de es 24; este valor s21, 23d. In a similar way, you can determine that the minimum value se of presenta f sx, yd en s21, 3d y en s21, 23d. De manera similar, se!puede determinar que el valor mínimo is approximately 6.675—this value occurs at s 10, 0d. de f sx, yd es aproximadamente 6.675; este valor se presenta en s!10, 0d. b. For points inside the circle, you can use the techniques discussed in Section 13.8 b) Para los puntos al círculo, se pueden usar las analizadas to conclude that interiores the function has a relative minimum of 2técnicas at the point s1, 0d. en la sección 13.8 para concluir que la función tiene un mínimo relativo de 2 en el punto (1, 0). By combining these two results, you can conclude that f has a maximum of 24 at Combinando dos resultados, concluir que f13.81. tiene un máximo de ■ 24 en s21, ± 3d andestos a minimum of 2 at s1,se0dpuede , as shown in Figure s21, ± 3d y un mínimo de 2 en (1, 0), como se muestra en la figura 13.81.

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SECCIÓN 13.10


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El método de multiplicadores de Lagrange con dos restricciones En problemas de optimización que involucran dos funciones de restricción g y h, se puede introducir un segundo multiplicador de Lagrange, m (letra minúscula mu del alfabeto griego), y resolver la ecuación =f 5 l=g 1 m=h donde los vectores gradiente no son paralelos, como se ilustra en el ejemplo 5.

Optimización con dos restricciones

EJEMPLO 5

Sea T sx, y, zd 5 20 1 2x 1 2y 1 z 2 la temperatura en cada punto en la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 11. Hallar las temperaturas extremas en la curva formada por la intersección del plano x 1 y 1 z 5 3 y la esfera. Solución Las dos restricciones son gsx, y, zd 5 x 2 1 y 2 1 z 2 5 11

y

hsx, y, zd 5 x 1 y 1 z 5 3.

Usando =T sx, y, zd 5 2i 1 2j 1 2zk

l=gsx, y, zd 5 2l x i 1 2ly j 1 2l z k y

m=h sx, y, zd 5 m i 1 m j 1 m k se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente.

x2

1

y2

1

2 5 2l x 1 m

Txsx, y, zd 5 lgxsx, y, zd 1 mhxsx, y, zd.

2 5 2ly 1 m

Tysx, y, zd 5 lgysx, y, zd 1 mhysx, y, zd.

2z 5 2lz 1 m

Tzsx, y, zd 5 lgzsx, y, zd 1 mhzsx, y, zd.

z2

5 11

Restricción 1.

x1y1z53

Restricción 2.

Restando la segunda ecuación de la primera, se obtiene el sistema siguiente. AYUDA DE ESTUDIO

El sistema de ecuaciones que se obtiene en el método de los multiplicadores de Lagrange no es, en general, un sistema lineal, y a menudo hallar la solución requiere de ingenio.

lsx 2 yd 5 0 2zs1 2 ld 2 m 5 0 x 2 1 y 2 1 z 2 5 11 x1y1z53 De la primera ecuación, se concluye que l 5 0 o x 5 y. Si l 5 0, se puede demostrar que los puntos críticos son s3, 21, 1d y s21, 3, 1d. (Tratar de hacer esto toma un poco de trabajo.) Si l Þ 0, entonces x 5 y y se puede mostrar que los puntos críticos se presentan donde x 5 y 5 s3 ± 2!3 dy3 y z 5 s3 7 4!3 dy3. Por último, para encontrar las soluciones óptimas, se deben comparar las temperaturas en los cuatro puntos críticos. T s3, 21, 1d 5 T s21, 3, 1d 5 25

13 2 32 312 T1 3 T

2 5 913 < 30.33 3 2 5 913 < 30.33

!3 3 2 2!3 3 1 4!3

,

3

,

3

!3 3 1 2!3 3 2 4!

,

3

,

3

91 Así, T 5 25 es la temperatura mínima y T 5 3 es la temperatura máxima en la curva.

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Chapter 13 13 Functions of Several CAPÍTULO Funciones de variasVariables variables Chapter 13 Functions of Several Variables Chapter 13 Functions of Several Variables Chapter 13 Functions of Several Variables

www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.10 Ejercicios See 13.10 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.10 Exercises Exercises SeeSeewww.CalcChat.com www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.10 Exercises for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.10 In Exercises 1– 4,1 identify the constraint and level curves ofythe En los ejercicios a 4, identificar la restricción o ligadura las 13. Minimizar f x, y, z

In Exercises 1– 4, identify the constraint and level curves of the objective in theobjetivo figure. Use the figure curvas defunction nivel deshown la función mostradas entolaapproxfigura. objective function shown inthe the constraint figure. Useand the level figurecurves to approxIn Exercises 1– 4, identify of the imate the extrema, assuming that and ycurves aresuponienpositive. xindicado, Utilizar la indicated figura para aproximar el extremo In Exercises 1– 4, identify the constraint and level of the imate the indicated extrema, assuming that and xthe y aretopositive. objective function shown in the figure. Use figure approxUseque Lagrange verify your result. do xfunction y ymultipliers son positivos. Utilizar los de objective shown into figure. Use themultiplicadores Use Lagrange multipliers tothe verify your result. imate the indicated extrema, assuming that and y to areapproxpositive. xfigure Lagrange para verificar el resultado. imate the indicated extrema,toassuming thatresult. x and 1. Maximize 2. your Maximize z multipliers xy z y are xy positive. Use Lagrange verify 1. Maximizar Maximize multipliers 2. Maximize zz 5xy Maximizar xy xy 1. Use Lagrange to verify2. your result. zz 5xy Constraint: Constraint: 10 1.Restricción Maximize xzx yxy 2.Restricción Maximize 2x z2x xyyy 44 Constraint: Constraint: y 10 1. Maximize 2. Maximize z xy z xy y y o Constraint: ligadura: o Constraint: ligadura: 1y5 c =2x22x cx=x1 30y y5 1010 y y y 44 c =2 c = 30 c = 40 Constraint: Constraint: xc = 40 y 10 4 12 y y 6yy c2x =4 y 12 10 y 12 1012 8 10810 12 6 1086 8 4 864 6 2 642 4 42 2 2

c30 = 50 c= 30 c= c = 50 = c =4040 c =c 30 = c =5050 c =c40 c = 50

2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 x 2 2 4 4 6 6 8 2810101212 2

3. Minimize z x 2 y 2 3. Minimize y 2 4 z6 8x 10 12 Constraint: 3.3.Minimizar zzx 5 xxy22 1 4yy22 0 Minimize Constraint: x 2 y 24 0 Restricción 3. Minimize z yo ligadura: x y yx Constraint: y 4 0 x 1 y 2 4 5 0 Constraint: 4 0 c=8 4 xy y c = 68 c = 46 c=8 ccc===8246 ccc===862 cc =c= 6=4 4 cc−=4c= 4=2 2 c−=4 2

−4 −4 −4

4y y 4 4 4

4 4 −4 −4 −4

4 4

4

x

6 y 66 4 64 44 2 42 22

c c= =2 24 c=6 c c= c=2c=4=46 c =c 4c= =6 6 c=6

2

2 2 22

4 4 44

6 6 x 66

4. Minimize2 z 4x 22 6y 22 4. Minimize z x y Constraint: 4.4.Minimizar zz2x5 xx224y1 yy225 Minimize Constraint: 2x 2 4y 2 5 Restricciónz yo ligadura: 4. Minimize x y y 2x Constraint: 4y 5 2x 1 4y 5 5 Constraint: 2x 4y 5 2yy

c = 1 2y c=1 2 c = 121 2 c =c2= 1 2 c=1 cc ==1 11 c−2 = 12 2 −2 c=2 −2−2 −2

−2 −2 −2

2 2 22 2

x

−4 −2 −4 5 –10, use Lagrange multipliers In Exercises to find the −2 −4 5 –10, use Lagrange multipliers In Exercises to find the indicated extrema, assuming that x and y are positive. indicated extrema, that x andmultipliers y are positive. InlosExercises use Lagrange to findpara the En ejercicios 55 –10, a assuming 10, utilizar multiplicadores de Lagrange Inindicated –10, use Lagrange multipliers to find the f5 x, y assuming x 22 suponer 5. Exercises Minimize y 22thatque extrema, positive. x and yy are hallar el extremo indicado, x y son positivos. f x, yassuming x 5. Minimize ythat x and y are positive. indicated extrema, 52 02 Constraint: Minimize fxx x, y2y 5.5.Minimizar 2y 2x 5 2y0 Constraint: 5. f f x,x,yy xx 2 yy 2 6. Minimize Maximize x y 2y x 2 5 y 20 Constraint: f x, 6. Restricción: Maximize Constraint: x2y 2yx 2 5220 0 22 Constraint: 6.6.Maximizar sx,x, yyd x52 xx 02 yy Maximize ff2y Constraint: 2 2 ff x, 6. x,2yyy2 xx2x22x y 7. Maximize Maximize Restricción: 2y 5 00y2xy Constraint: y 2 2x 2xy y 7. Maximize f x, 2y x Constraint: 0 100 Constraint: 7.7.Maximizar sx,x, yyd y5 2x 1 2xy 1 y f2x Maximize f2x y 2x 100 2xy y Constraint: ff x, 7. Restricción: 2xyy1 y 2x 5 1002xy x, 3x y 10y 8. Maximize Minimize Constraint: f x,2xy y 3x 100y 10 8. Minimize 2 2x y 100 Constraint: 8. Minimizar f sx,y yd 5 6 3x 1 y 1 10 8. Constraint: Minimize fxx 2x, y y 6 3x y 10 Constraint: Restricción: f f x,xx,2y2yy 5 63x 6 y x 2 10 y 2 8. 9. Minimize Maximize x yy 6 6 x 22 y 22 Constraint: f 2x, 9. Maximize 9. Constraint: Maximizar x 2y xfxsyx, yyd 65 2!6 2 Constraint: 9. Constraint: Maximize fx x, yy 2 6 00 x 2 y 2 2 2 Restricción: x 1 y 2 2 5 0 ff x, 9. Maximize x,x yy y 26x 22 0xy 22 y 10. Minimize Constraint: 2 2 f x, y x y 10. Minimize ! 10. Constraint: Minimizar fxsx, yyd 5 2 x 01 y 4y 152 y02 Constraint: 10.Restricción: Minimize f2x 2xx, y 4y 2x15 0 Constraint: x 15 5 y2 0 10. Minimize f x,2xy 1 4y 2 2x 4y 15 0 Constraint: In Exercises 11–14, use Lagrange multipliers to find the 0 In Constraint: Exercises 2x 11–14,4y use15Lagrange multipliers to find the En los ejercicios a 14, utilizar multiplicadores y, and z are positive.de Laindicated extrema,11assuming that x, los z are positive. indicated extrema, assuming that x, y, and In Exercises 11–14, use Lagrange multipliers to que find x,the grange para hallar losuse extremos indicados, suponiendo y In Exercises 11–14, Lagrange 2 2 2multipliers to find the f x, y, z x y z 11. Minimizar x, y, z indicated extrema, assuming that and are positive. 2 2 2 y z son positivos. f x, assuming y, z x thaty x, y,z and z are positive. 11. Minimizar indicated extrema, xx 2 y y 2 z z 2 9 0 x, y, z 11. Restricción Minimizar oof ligadura: x y2 z 2 9 0 Restricción ligadura: 2 f f x,x,y,y,zz xxyz y z 11. 12. Minimizar Maximizar x y z 9 0 Restricción o ligadura: xyz 12. Maximizar f x, y, z x y z 9 0 Restricción o ligadura: x, y, z xxxyz yy zz 33 00 12. Restricción Maximizaroof ligadura: Restricción ligadura: xyz 12. Maximizar f x, y, z Restricción o ligadura: x y z 3 0 Restricción o ligadura: x y z 3 0

x 22 y 22 z 22 x y z 13. Minimizar f x, y, z 13.Restricción: Minimizar fxx x, y,yy z zz x2 11 y2 z2 Restricción: ff x,x,y,y z x 2x 2 10x y 2 yz 22 14y 28 13. 14. Minimizar Minimizar 1 Restricción: f x,x y y x 2 z 10x y 2 14y 28 14. Minimizar 1 Restricción: xx yy z10 2 f x, y x 10x y 2 14y 28 14.Restricción: Minimizar Restricción: x y 210 x 10x y 2 14y 28 14. Minimizar f x, y x y 16, y use 10 Lagrange In 15 and multipliers todefind any EnExercises losRestricción: ejercicios 15 16, utilizar los multiplicadores Lagrany 16, 10 Restricción: In Exercises 15 xand use Lagrange multipliers2 to find any x 2 1sujetos y 22 a1. la extrema of the function subject to thedeconstraint ge para hallar todos los extremos la función x 1 y 1. extrema of the function subject to the constraint In Exercises 15 and 16, use Lagrange multipliers to find any 2 1 y 2 ≤ 1. restricción x15 In Exercises 2 Lagrange multipliers to 2 find 2 any f x, y of the x 22 and 3xy16, use ysubject 15. x 1 y 1. extrema function to the constraint 2 1 3xy yyd the y 22 15. x 2 1 y 2 1. extrema subject to16. the fconstraint x, of 5 xxfunction sx, yd 5 e2xyy4 15. ff sx, xy 4 3xy 1 y x, y e f 16. 15. f f x,x,yy ex 2xy 4 3xy y 2 16. flos x, y x 2 xy3xy y2 15. 4 y 18, utilizar los multiplicadores de LaEn 17 y 17 e and f x,ejercicios In16.Exercises 18, use Lagrange multipliers to find the xy 4 f x, yparae17 16. In Exercises andlos 18,extremos use Lagrange multiplierssujetos to finda the grange hallar de constraints. dos f indicados indicated extrema of f subject to two In each case, indicated extrema of f 18, subject to two constraints. In each case, restricciones. En cada caso, suponer que x, y y z son no negaIn Exercises 17 and use Lagrange multipliers to find the z are assume that x, and18, In Exercises 17y, usenonnegative. Lagrange multipliers In to each find the x, y,and assume thatextrema andofzfare nonnegative. indicated subject to two constraints. case, tivos. indicated extrema of to two constraints. In each case, f x, zf subject xyznonnegative. 17. Maximize x, y, y, assume that and are Maximizar sand x,y,y,zzzare dz 5 xyz xyz 17. Maximize assume that x, fy,fx, nonnegative. 32, x y z 0 17. Constraints: Maximize fxxx,1y,yyz1 zz xyz 5 32, x 2 y 1 z 5 0 Restricción: Constraints: 2 ff x, y, zz xyz 17. x, y, x y 22 2 xz 22 2 y z 0 18. Maximize Minimize xy,y,z zyd 5xz2x 2 132, Constraints: Minimizar sx, f fx, y y 1z z 18. Minimize x y z 32, x 2y12 z 0 Constraints: 2 y z 5 6, x 2 xx y1 z 12 18. Constraints: Minimize f xxx,1y,2z Restricción: 2z 6, y 25 Constraints: 2 2 x y z 18. Minimize f x, y, z x 2z 6, x y 12 Constraints: In Exercises 19–28, use Lagrange multipliers to find the miniEnExercises los ejercicios ause 28,Lagrange de the Lagrange x 19 2z 6,usar x losymultiplicadores 12 Constraints: In 19–28, multipliers to find minimum distance from the curve or surface to the indicated point. para encontrar la distancia mínima desde o superficie mum distance19–28, from the curve or surface to2la thecurva indicated point. In Exercises use Lagrange multipliers to find the f x, y x 2 1 toy 22find [Hints: In Exercise 19, minimize subject tominithe In Exercises 19–28, use Lagrange multipliers the minialmum punto [Sugerencia: 19, minimizar f En x, yel ejercicio xto 1they indicated [Hints: In indicado. Exercise 19, minimize subject topoint. the distance from the curve or surface x 1 y 1. constraint In Exercise 25, use the root feature of a 2 1from mum the curve or surface the indicated point. aExercise la restricción xto+the y2 =1root 1.y 2En el ejercicio f[Hints: xx, ydistance c 5InxxExercise 1 y 2 sujeta 1. constraint In 25, use feature ofthe a f x, y x 19, minimize subject to graphing utility.] 2 2 f x, y use x the 1 yde [Hints: InlaExercise minimize subject to the 25, usar operación una herramienta graficación.] graphing utility.] x 1 y 19,1.raíz constraint In de Exercise 25, root feature of a 1 y 1. In Exercise 25,Punto constraint use the root feature of a Curva xutility.] graphing Punto Curvautility.] graphing 0, 0 19. Recta: Curvaxx yy 11 Punto 0, 0 19. Recta: Curva Punto 2x 3y 1 0, 00 20. Recta: x y 1 0, 19. Recta: 1 0, 0 20. Recta: 2x 3y 0, 19. Recta: xx yy 14 0,0,020 21. 1 20.Recta: Recta:x2x y 3y4 0, 2 21. Recta: 2x 3y 3 1 0, 20. Recta: x x 4y 1,0,002 22. Recta: y 4 21. Recta: 1, 0 22. Recta: x 4y 3 0, 21. Recta: x yy x42 0,1,230 23. 22.Parábola: Recta: x y 4yx2 3 0, 3 23. Parábola: x y4y x2 32 1, 03, 0 22. Recta: 24. Parábola: 2 y x 0,3,30 23. Parábola: 24. Parábola: y x2 1 3 yy xx2 2 1 0, 23. Parábola: , 13, 0 25. Parábola: 1 2 24. Parábola: Parábola: yy xx2 1 25. 2, 1 y x x24 22 y 2 4 0 24. Parábola: 13, 0, 26. Círculo: ,10 1 25. Círculo: Parábola: xy 4x 2 1y 2 4 26. 10,2 10 2 y x 1 , 1 25. Parábola: Punto 2 0, 10 26. Superficie Círculo: x 4 2 y 2 4 Superficie Punto xy 4z 2 1y 2 4 0, 10 26. x 2, 1, 1 27. Círculo: Plano: Superficie Punto 2, 1, 1 27. Plano: x y z 1 2 2 Superficie Punto 4,2,0,1,01 28. 27.Cono: Plano:zz x yxx 2 z yy 2 1 4, 0, 0 28. Cono: 2, 1, 1 27. Plano: x y z2 1 2 y z x 4, 0, 0 on the curve of 28. Cono: In Exercises 29 and 30,2 find the highest point y find the highest x 2 30, 4, 0, point 0 28. Cono: z 29 and In Exercises on the curve of intersection of the29surfaces. En los ejercicios y 30, hallar el punto más alto de la curva de intersection theand surfaces. In Exercisesof29 30, find the highest point on the curve of intersección de las superficies. In Exercises 30, highest 2 x point 2z 4on the curve of z 22 find 0, the 29. Cone: x 22 29 Plane: intersection of yand the 2 surfaces. x x 2z 44 y z 0, 29. Cone: Plane: 2 2 2 intersection of the surfaces. 29. Sphere: Cono: xx 21 y y 22 z z 25 0,36,Plano: x1 2z 5 30. Plane: x 2x 2z yy 4 zz 22 29.Sphere: Cone: xx222 yy222 zz222 0, Plane: 36, 30. Plane: 2x 30. Cone: Esfera:x 2x 1y 2y 1z 2z 50, 36,Plane: Plano: x 2x2z1 y42 z 5 2 29. 2 zC2O N 36, 30. Sphere: x 2 yU Plane: 2x y z 2 W R I T I N G T C E P T S 2 A ByO 2 2 30.WSphere: R I T I N xG A B O U Tz C O36, N C E Plane: P T S 2x y z 2 31. meant optimization W RExplain I T I N G what A Bde O Uis C O N C by EbyP Tconstrained S Desarrollo conceptos 31. Explain what isT meant constrained optimization W R Iproblems. TING ABOUT CONCEPTS problems. 31. Explain what is meant by constrained optimization 31. Explicar qué se is quiere conconstrained problemas deoptimization optimización 32. Explain Explain the ofdecir Lagrange Multipliers for solving 31. whatMethod meant by problems. 32. con Explain the Method of Lagrange Multipliers for solving restricciones. constrained optimization problems. problems. constrained optimization problems. 32. Explain the Method of Lagrange Multipliers for solving 32. Explain Explicarthe el método deoflosLagrange multiplicadores de Lagrange para 32. Method Multipliers for solving constrained optimization problems. resolver problemas de optimización con restricciones. constrained optimization problems.

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1053714_1310.qxp 10/27/08 12:10 PM Page 977 1053714_1310.qxp 10/27/08 10/27/08 12:10 12:10PM PM Page Page977 977 1053714_1310.qxp 1053714_1310.qxp 10/27/08 12:10 PM Page 977

SECCIÓN 13.10

13.10 Lagrange Multipliers Multiplicadores de Lagrange 977

977

13.10 Lagrange Multipliers 977 13.10 Lagrange Lagrange Multipliers 977 traveling in a Multipliers 49. 13.10 Refraction of Light When light 977 waves In Exercises 33 – 42, use Lagrange multipliers to solve the indi13.10 Lagrange Multipliers 977 En los ejercicios 33cated a 42,exercise usar losinmultiplicadores 49. Refracción de la luztransparent Cuando las ondasstrike de luzthe quesurface viajan en medium of un a second transparent Section 13.9. de Lagrange para resolver el ejercicio indicado en la sección 13.9. medio transparente atraviesan la superficie un segundo medio medium, they tend to de “bend” in order to follow the path of 33. Exercise 1 multipliers 34. the Exercise 49. Refraction Light When light waves traveling aa refraction and is In Exercises 33 use Lagrange solve the indi49.Refraction Refractionofof ofLight Light When light waves traveling InExercises Exercises 33 –42, 42, use Lagrange multipliers solve theindiindi-2 49. When light waves traveling inininade In ––42, use Lagrange transparente, tienden a “desviarse” para seguir la trayectoria minimum time. This tendency is called 33. Ejercicio 133 34. multipliers Ejercicio 2tototosolve transparent medium strike the surface of a second transparent cated exercise in Section 13.9. transparent medium strike the surface of a second transparent cated exercise in Section 13.9. 49. Refraction of Light When light waves traveling in a In Exercises 33 – 42, use Lagrange multipliers to solve the inditransparent medium strike theby surface a second cated exercise in Section 13.9. 5 tiempo mínimo. Estadescribed tendencia seSnell’s llamaofrefracción ytransparent está descri35. Exercise 36. Exercise 6 Law of Refraction, 35. Ejercicio 5 36. Ejercicio 6 medium, they tend “bend” ininorder order follow the path medium, they tendtoto to“bend” “bend” order follow thepath pathofof of transparent medium strike the surface oftototo afollow second transparent cated exercise in Section 13.9. 9 medium, they in ta por la ley detend refracción de Snell, según la cual the 37. Exercise 38. Exercise 10 33. Exercise 34. Exercise 33.Ejercicio Exercise 34.Ejercicio Exercise 37. 9111 38. 10 33. Exercise 34. Exercise 222 sin sininis 1tendency 2is minimum time. This tendency called refraction and isis minimumthey time. This iscalled called refraction andis medium, tend to tendency “bend” order to follow the and path of minimum time. This refraction sin sin u1 sen uSnell’s sen 33. Exercise 34. Exercise 2Snell’s vLaw v2 is called refraction and is 35. Exercise 36. Exercise 35.Ejercicio Exercise 36.Ejercicio Exercise 39. 11 40. 12 described by Law Refraction, described by ofRefraction, Refraction, 35. Exercise 5155 39. Exercise 11 36. Exercise 6266 40. Exercise 12 minimum time. This 1 tendency described Snell’s Law ofof 5 by v v 1 2 35. Exercise 5 36. Exercise 6 41. Exercise 17 42. Exercise 18 described by Snell’s Law of Refraction, 41. 17 42. 18 37. Exercise 38. Exercise 10 37.Ejercicio Exercise 38.Ejercicio Exercise 10 37. Exercise 999 38. Exercise 10 sin sin sin 111 sin sin 22 where 1 and 2 are the magnitudes of the angles shown in the sin donde las magnitudes de los ángulos mostrados en la u1 y u2 2son 37. Exercise 9 38. Exercise 10 39. Exercise 11 40. Exercise 12 39. Exercise 11 40. Exercise 12 figure, and v1 and v2 are the velocities of light in the two media. sin sin 39. Exercise 11 40. Exercise 12 v vv v v 1 1 1 43. Volumen máximo multiplicadores de Lagrange paramultipliers de43. Utilizar Maximum Volume Use Lagrange to find 1 the figura, y v1v2y22v22 son las velocidades de la luz en los dos medios. 39. Exercise 11 40. Exercise 12 Use Lagrange multipliers to derive this law using x y a. v1 can v2 41. Exercise 17 42. 18 41.terminar Exercise 17 42.rectangular Exercise 18 41. Exercise 17 42. Exercise 18 las dimensiones de la caja de volumen máxi- volume Utilizar dimensions of aExercise rectangular box of maximum that los multiplicadores de Lagrange para deducir esta ley where and are the magnitudes the angles shown the where and are the magnitudes ofthe theangles angles shown the where 11and the magnitudes ofof shown inininthe 1 2 22are P 41. mo Exercise 17 ser inscrita 42. Exercise 18 que puede (con los bordes paralelos a los ejescoordinate de be inscribed (with edges parallel to the axes) in theand usando xand 1vvvy1and 5 a. figure, and are the velocities of light in the two media. v figure, and are the velocities of light in the two media. v where and are the magnitudes of the angles shown in the figure, and are the velocities of light in the two media. v 2 1 1 1 2 2 2 43. Maximum Volume Use Lagrange multipliers the 43.coordenadas) MaximumVolume Volume UseLagrange Lagrange multipliers 2tofind 2findthe 43. Maximum Use to Medium 1 en el elipsoide x2 a2 multipliers y 2 b2 zto cfind 1.the ellipsoid Use Lagrange multipliers derive this UseLagrange Lagrange multipliers derivethis this lawusing using figure, and v1 and oflaw light in thexxtwo v2 aredthe Use multipliers tototovelocities derive yyymedia. a.a.a. P dimensions ofofaaarectangular rectangular box maximum volume that can dimensionsof rectangular boxofofofmaximum maximum volume thatcan can 43. dimensions Maximum Volume Use Lagrange multipliers to that find the 1 θ1 law using x box volume Use Lagrange multipliers to derive this law using x y a. P P Medio 1 P be inscribed (with parallel totothe the coordinate axes) the beinscribed inscribedof (with edges thecoordinate coordinate axes) the dimensions aC rectangular of maximum volume that can be (with edges axes) inininthe y Aedges P S Tparallel Oparallel Nbox E to x d1 Para discusión θ1 22 a 22 22 b 22 22 c 22 P 2 2 2 2 2 2 Medium 1 Medium 1 y z 1. x ellipsoid a y b z c 1. x ellipsoid Medium 1 be inscribed (with edges parallel to the coordinate axes) in the h b sum zof cthe length 1. and the girth (perimeter of a cross ellipsoid x a 44.y The d2 Medium 2 1 dd1d11 θ2 y Medium a2 longitudes y2 b2 y el tamaño z2 c2 (perímetro 1. x2 las x θθ1θ11 44. ellipsoid La suma de una section) of a package carrieddeby a secdelivery service cannot d1 h a l Q θ PP OO Ttransversal) yyy CCC AAA Pción SSS TTO NNN EEE de exceed un paquete llevado por un servicio de d2 Medio 2xxx 1 108 inches. θ2 h h h y C44. Aentrega PThe S Tsum Osum N aE domicilio no puede exceder 108 pulgadas. The the length and the girth (perimeter cross 44. The sum thelength length andthe thegirth girth (perimeter cross l dd49 Medium 44. ofofofthe and (perimeter ofofofaaacross Medium for Figure for 50 a Figure dQ 22x2 2 22 θθ2θ22 (a) Determine whether Lagrange multipliers can be usedMedium to h section) of a package carried by a delivery service cannot section) of a package carried by a delivery service cannot 44. a) The sum the length and the girth (perimeter of a cross section) of a package carried by a delivery service cannot d Medium 2 a Determinar si los multiplicadores de Lagrange a l l Q Q a l 2 Q θ find the dimensions of se thepueden rectangular package of Figura para 4950. Area para 50 is on top of a rectangle (see 2 and PerimeterFigura A semicircle exceed 108 exceed 108 inches. section) of inches. ainches. packagelas carried by a delivery service cannot exceed 108 usar para encontrar dimensiones a l Q largest volumedel thatpaquete may berectangusent. Explain your50. reasoning. figure). If the area is fixed and the perimeter Área y perímetro Un semicírculo está sobre un Figure for 49 Figure for 50 Figure for 49 Figure for50 50 (ver is a minimum, or Figure for 49 Figurerectángulo for exceed inches. larDetermine de108 más grande volumen que puedecan serbe enviado. (a) Determine whether Lagrange multipliers can be used (a) Determine whetherLagrange Lagrangemultipliers multipliers can be usedtototo (a) whether used if the perimeter is fixed and the50area (b) If Lagrange multipliers can be used, find the dimenla figura). Si el área es fija y el perímetro es un mínimo, o si is el a maximum, use Figure for 49 Figure for el dimensions razonamiento. find the dimensions the rectangular package ofof findthe the dimensions themultipliers rectangular package (a)Explicar Determine whether Lagrange can be usedofto find ofofofthe rectangular package 50. Area and Perimeter A semicircle is on top of a rectangle (see 50.Area Area and Perimeter A semicircle is on top of a rectangle (see 50. and Perimeter A semicircle is on top of a rectangle (see Lagrange multipliers to verify that the length sions. Compare your answer with that obtained in perímetro es fijo y el área es un máximo, utilizar multiplicadores of the rectangle is largest volume that may be sent. Explain your reasoning. largest volume thatmay may besent. sent. Explain your reasoning. find the dimensions of the rectangular package of volume be Explain your reasoning. figure). the area is fixed and the perimeter isisaarectángulo minimum, figure). thepara areais isfixed fixed and theperimeter perimeter aminimum, minimum, or b) Silargest se pueden usarthat los multiplicadores de Lagrange, 50. figure). Area and Perimeter A semicircle is on topdel rectangle (see IfIfIfthe area and the isof twice its height. Exercise 38, Section 13.9. enconde Lagrange verificar que la longitud esoror el largest volume that may be sent. Explain your reasoning. if the perimeter is fixed and the area is a maximum, use if the perimeter fixed and the area is a maximum, use trar las dimensiones. Comparar su respuesta con la obtenifigure). If the area is the perimeter is a minimum, or (b) If Lagrange multipliers can be used, find the dimen(b) If Lagrange multipliers can be used, find the dimenif the perimeter is fixed and the area is a maximum, use (b) If Lagrange multipliers can be used, find the dimendoble de su altura. Lagrange multipliers totoverify verify that the length the rectangle Lagrange multipliers verify that the length ofthe the rectangle is the maximum dasions. en el ejercicio 38,your sección 13.9. if the perimeter is to fixed and the area is of aof maximum, use sions. Compare your answer with that obtained sions. Compare your answer withthat that obtained Production Level In Exercises 51 and 52, Lagrange multipliers that the length rectangle isisfind (b) If Lagrange multipliers can bewith used, findobtained the dimenCompare answer ininin twice its height. twiceits itsheight. height. Lagrange multipliers to verify that length the of rectangle is $72 per unit) and Exercise 38, Section 13.9. Exercise 38,Section Section 13.9. production level if the totalofcost labor (at P the twice sions. Compare your answer with that obtained in Exercise 38, 13.9. de producción En los ejercicios 51 y 52, hallar el máximo 45. Minimum Cost A cargo container (in the shape ofNivel a rectangular twice its height.capital (at $60 per unit) is limited to $250,000, where x is the Exercise 38, Section 13.9. nivel de will producción si el costo total de trabajo (a $72 por 45. Costo mínimo Un solid) contenedor carga (en forma de un sólido must de have a volume of 480 cubic feet. TheProduction bottom Production Level In Exercises 51 and 52, find the maximum Production Level number InP Exercises 51of and 52,and find the maximum Level In Exercises 51 and 52, find maximum of units labor is the number of units of capital. ythe unidad) capital (a $60 por unidad) está restringido a $250 000, rectangular) debe tener volumen 480topies cúbicos. cost un $5 per squaredefoot construct andLa the sidesproduction and the ytop production level if the total cost of labor (at $72 per unit) and P production level if the total cost of labor (at $72 per unit) and P Production Level In Exercises 51 and 52, find the maximum level P if the total cost of labor (at $72 per unit) and 45. Minimum Cost cargo container (in the shape ofofaarectangular 45.parte Minimum Cost cargo container (inthe theshape shape arectangular rectangular 45. Minimum Cost AAAwill cargo container (in of 0.25 donde x(at es el número de unidades de trabajo y where es el número dex, y inferior costará $5 por pie para construir, y los cost $3cuadrado per square foot to construct. Use Lagrange 52. P 100x 0.4y 0.6 P total x, 100x y 0.75(aty$72 capital (at $60 per unit) isisylimited limited $250,000, where isisand the xxis capital (at$60 $60 per unit) limited to $250,000, where the production level ifunit) the cost oftoto labor per unit) P 51. capital per is $250,000, the x solid) must have volume 480 cubic feet. The will solid) have volume 480 cubic feet. The bottom will 45. lados Minimum Cost cargo container (in the shape of bottom abottom rectangular solid) have aaAavolume ofofof480 cubic feet. The will unidades de capital. ymust lamust parte superior costarán $3find por pie cuadrado para consmultipliers to the dimensions of the container of this size number units labor and the number units number ofunits units oflabor laborand the number ofunits unitsofof ofcapital. capital. yisisthe capital (at $60 per unit) isand limited to $250,000, where is the xcapital. number ofof ofof number ofof yyis cost $5 per square foot totoconstruct construct and the sides and the top cost$5 $5 persquare square footto construct and thesides sides and thetop top solid) must have volume of 480 de cubic feet. The bottom will cost per foot and the and the Cost In Exercises 53 and 54, find the0.6 minimum cost of trucción. Usar los amultiplicadores Lagrange para encontrar that has minimum cost. number of units of labor and is the number of units of capital. y 0.25 0.75 0.4 0.25 0.75 0.4 0.25 0.75 0.4 0.6 51. 52. 100x P 100x will cost $3 per square foot construct. Use Lagrange will cost $3 persquare square footde construct. Use Lagrange 0.25 0.4 cost $5 per$3 square foot to foot construct and the sides and the top will cost per tototoconstruct. Use Lagrange 51. 52. PPsx,x, x, 100x PPsx,x, x,x,yyyyd 5 100x 100x 51.PP 52.Pof yd 5 100x 100x 100x y y0.6 producing 50,000 units ax,yyyproduct, where x is the number las dimensiones del contenedor tamaño que tiene costo 51. 52. yyy0.75 yyy0.6 46. Geometric and este Arithmetic Means 0.25 0.75 0.4 0.6 multipliers to find the dimensions of the container of this size multipliers findthe thedimensions dimensions thecontainer container thissize size will cost to $3tofind per square foot toofof construct. Useofof Lagrange multipliers the this 51. P x, y 52.per P x, y and 100x 100xof units y y number of units of of labor (at $72 unit) y is the mínimo. (a) Use Lagrange multipliers to of prove three Cost In Exercises 53 and 54, find the minimum cost CostofIn In Exercises 5353 and 54, find theminimum minimum costproof that has minimum cost. thathas hasminimum minimum cost. multipliers to findcost. the dimensions of the container thisthat sizethe product Costo EnExercises los ejercicios y 54, hallar elthe costo mínimo para Cost 53 and 54, find cost ofof that capital (at $60 per unit). 46. Medias geométrica y aritmética positive numbers x, y, and z, whose sum hasproducing the constant producing 50,000 units of a product, where is the number x producing 50,000 units of a product, where is the number x Cost In Exercises 53 and 54, find the minimum cost of that has minimum cost. ducir 50 000 unidades de un producto donde x es el número de 50,000 units of a product, where is the number x 46. Geometric and Arithmetic Means 46.Geometric Geometricand andArithmetic ArithmeticMeans Means 46. 0.75 a) Utilizar los multiplicadores parawhen demostrar que numbers value S,deisLagrange a maximum the three are equal. 53. 54.uniPper x, yunit) 100x yis Pofx, y 100x 0.6y 0.4 of units labor (at $72 per and the number units ofunits units of labor (at $72 per unit) and0.25 number ofunits units yis producing 50,000 units of aunit) product, where is the number x número unidades de trabajo (a $72 por unidad) ythe ythe es el de of ofof labor (at $72 and number ofof ofof yyis 46. (a) Geometric and Arithmetic Means (a) Use Lagrange multipliers prove that the product three (a) Use Lagrange multipliers toprove provethat that product three 3 xyz Lagrange multipliers toto ofofofthree elUse producto de tres números positivos x, ythe ythe zproduct cuya suma tiene Use this result to prove that x y capital z 3. capital (at $60 per unit). capital (at $60 per unit). of units ofcapital labor (at $72 por per unidad). unit) and y is the number of units of dades de (aunit). $60 (at $60 per positive numbers and whose sum has the constant positive numbers and whose sum hasthe theconstant constant z,whose (a)un Use Lagrange multipliers toz,z,prove that thehas product of three positive numbers and sum x,x,x, y,y,y, Investigation Consider the objective function g , , valor constante S, es máximo cuando los tres números (at $60 per55. unit). (b) Generalize the result of part (a) to son prove thatcapital the product 0.25 0.75 0.6 0.4 0.25 0.75 0.6 0.4 0.25 y 0.75 0.6 0.25 0.6 value isisaaamaximum maximum when the three numbers are equal. valueS,S, maximum when three numbers are equal. S,isnumbers 53. 54. PPx,x,yy 100x 100x PPsx,x, x,x, 100x positive and whose sum has constant y, when z,the 53.PP 54.PP 100x ycos 100x y0.4 value three numbers are equal. 53. 54. 5 100x 100x yy0.75 yyyydthe yyy0.4 subject to constraint that , , and are cos cos 54. iguales. Utilizar estex,resultado quethe . the is a maximum when x1 53. x1 x2 x3 . 3.para x 2 sx,x,xyy3d 5 100x xn demostrar 33 xyz 0.25 0.75 0.6 0.4 Use this result to prove that x y z 3. Usethis this provethat that xyz xyz x xnumbers value isresult a maximum when the S, result 53. P x, y 54. P x, y 100x ythe angles of a triangle. 100x y Use totoprove y y z zare 3.3.equal. n three x1y1 z . . . thatx 3, xyzx 55. Investigation Consider the objective function 55.that Investigation Consider Considerthe thelaobjective objective functionggg , , , , , , 3Use toresult prove xS, and ythat zthe 3. 55. Investigación Considerar funciónfunction objetivo all xi product 0. Then prove 55. Investigation (b) Generalize the part (a) prove that the product xyzthis ≤ result . ofofofpart (b)! Generalize theresult result part (a)tototo prove product n(a) i prove (b) Generalize the that the (a) Use Lagrange multipliers to maximize g. 3 i 1 subject to the constraint that cos ,and cos cos subject to the constraint that , , ,g,de cos cos ,and cos 55. Investigation Consider the objective function ,and , are . . . . . . sujeta a la restricción o ligadura que aare ,are b subject to the constraint that cos cos cos isis aaa of maximum when x1x1x1x2x2x2x3x3.3 xnxnn is x1x11 the maximum when xthat (b) xGeneralize result part (a) towhen prove maximum xx2x22product xx3x33 xthe CAS (b)deUse the constraint tothat reduce the function g to a function of . . . x the the angles of a triangle. the angles of a triangle. b) Generalizar el que el nnresultado del inciso a) paraxdemostrar subject to the constraint , and are cos cos , cos y g sean los ángulos un triángulo. angles of a triangle. . . . x x n when 1 x1 2 x 2 3 x 3 x. .1.x.2. x. 3 xn is an xmaximum n .x . . 0. x x . x . . . . and all Then prove that x , x S, x two independent variables. Use a computer algebra system and all Then prove that x , x S, 0. 1 2 3 n and all Then prove that x , x S, x 0. producto xn1nnx2nx3 i i i xn es máximo the angles of triangle. i i i cuando x1 5 x 2 5 x (a) Use Lagrange multipliers maximize n3 5 (a)Utilizar UseLagrange Lagrange multiplierstototo maximize a) losa multiplicadores de Lagrangeg.g.g. para maximizar g. (a) Use multipliers maximize . . . x ,i ini11x1 to graph the surface represented by g. Identify the S, and all xi 0. Then prove that n i . . . 5 x , i x1 5 S, y todo x ≥ 0. Después, (a) Use Lagrange multipliers tothe maximize g.gggtototoalaaafunction CAS CAS(b) (b) Use the constraint the function function (b)Utilizar Usethe thela constraint toreduce reduce the function functionof of que . . . . demostrar CAS b) restricción oreduce ligadura para reducir función gof a Use constraint toto function n i . . . geometric maximum values on the graph. greater than xx1x11 shows xx2x2i2 that xx3x33 the xxnxnn mean is never . . . . .x.xx This nnnxxxxxxxxx.i51 . . two independent variables. Use a computer algebra system two independent variables. Use a computer algebra system CAS (b) una . Use the constraint to reduce the function g to a function of función de dos variables independientes. Utilizar un sistwo independent variables. Use a computer algebra system . . . 111222333 nnn the arithmetic mean. n . . . 1 xxn n . . . xx11 xx2 21 xx3n3n1 n . totograph graph the surface represented by Identify the graph the by Identify the independent variables. system n xx1xx 2xx 3. . . xxn ≤ 1 tema algebraico por para representar totwo the Identify the P Usurface Tsurface N Acomputadora Mrepresented Erepresented XUse A Ma computer C Hby A L g. Lg.Eg.algebra N G E gráfica! . 1 2 3 47. Minimum n SurfacennArea Use Lagrange multipliers to findmaximum the values on the graph. maximum values on the graph. to graph the surface represented by g. Identify the This shows that the geometric mean is never greater than This shows that the geometric mean is never greater than mente la superficie definida por g. Identificar en la gráfica los maximum values on the graph. This shows that the geometric mean is never greater than 56. A can buoy is to be made of three pieces, namely, a cylinder dimensions of a right circular cylinder with volume V0 cubic maximum values on the graph. the arithmetic mean. thearithmetic arithmetic mean. valores máximos. This shows that the la geometric mean is never greater than the mean. Esto demuestra que media geométrica and two equal cones, the altitude of each cone being equal units and minimum surfacenunca area. es mayor TNN EXX HAALLLLEENN PPP UUU TTN AAA MMMEEX AAA MMMCCC HH GGG EEE of the cylinder. For a given area of the la arithmetic mean. que media aritmética. 47. Minimum Surface Area Use Lagrange multipliers find the 47.Minimum Minimum Surface Area Use UseLagrange Lagrangemultipliers multiplierstototofind findthe the toA LtheE Naltitude 47. Surface Area 2 2 48. Temperature Distribution Let T x, y, z 100 P56. x y U T N A M E X A M C H A L L E N G E pieces, can buoy be made three pieces, namely, aacylinder cylinder 56.AAAcan canbuoy buoyisisistototobe bemade made three pieces, namely, cylinder 56. ofofofthree namely, dimensions right circular cylinder with volume cubic dimensions right circular cylinderwith withvolume volume cubic 47. Superficie Minimum Surface Area Use Lagrange multipliers to find the surface, what shape will haveathe greatest volume? dimensions ofofofaaaright circular cylinder cubic VV0V 47. mínima Utilizar multiplicadores de Lagrange para 00 Preparación del examen Putman represent the temperature at each point on the sphere and two equal cones, the altitude ofofeach each cone being equal and two equal cones, the altitude eachnamely, conebeing being equal 56. A can buoy is to be made of three pieces, a cylinder and two equal cones, the altitude of cone equal units and minimum surface area. unitsand andminimum minimum surface area. dimensions of a right circular cylinder with volume cubic V units surface area. encontrar las dimensiones de un cilindro circular recto con vo0 This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. temperature on the x 2 y 2 z 2 50. Find the maximum 56. Una boya está hecha de tres piezas, a saber, un cilindro y dos to the altitude of the cylinder. For a given area of to the altitude of the cylinder. For a given area of and two equal cones, the altitude of each cone being equal to the altitude© of cylinder. For aof given of 22 units and surface area. The the Mathematical Association America.area All rights reserved. de Vminimum cúbicas yLet superficie 48. Temperature Distribution x,x,y,y,y, zz 100 100 y2y22 48.lumen Temperature Distribution Let 100 of 48. Temperature Distribution Let TTTx, zmínima. xx2xthe ysphere 0 unidades curve formed by the intersection and theconos plane iguales, la altura de cada uno de los conos es igual a surface, what shape will have the greatest volume? surface, what shape will have the greatest volume? to the altitude of the cylinder. For a given area of surface, what shape will have the greatest volume? 2sphere 2 represent the temperature at each point on the sphere represent the temperature at each point on the 48. Distribución Temperature Distribution Let T x, y, z 100 x y 48. de temperatura Sea represent the temperature x z 0.at each point on the sphere la altura del cilindro. Para superficie dada, ¿con qué surface, what shape will haveuna the greatest volume? 2 2sphere This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. Find the maximum temperature on the z2z22 en 50. x2x2temperatura Find theatmaximum maximum temperature on the 50. temperature eachla point on theyon la cada punto sobre esfera x2 1 1the z2 Find the temperature yy2y22 zthe 50. xrepresent forma se tendrá el volumen máximo? ©© The Mathematical Association ofof America. All rights reserved. The Mathematical Association America. All rights reserved. © The Mathematical Association of America. All rights reserved. 2 2 2 This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. by the intersection the sphere and the plane curve formed by50. theintersection intersection of the sphere andthe the plane Find the maximum temperature on the yformed z laby xcurve 5 50. Hallar temperatura máxima en lasphere curva formada por la curve formed the ofof the and plane © The Mathematical Association ofCommittee America. All reserved. Este problema fue preparado por el onrights the Putnam Prize Competition. xx zzzformed the intersection sphere intersección la esfera y el plano of x 2the z5 0. and the plane xcurve 0.0.0.de by © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados. x z 0.

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xy w x2 y2 z2 g x, y x2 y2 c c. 978 Chapter 13 13 Functions of Several Variables y CAPÍTULO Funciones de varias variables f x, y, z z arctan f x, y, z x 2 y z 2, c 2 x 4z 2, c of0 Several Variables 4x 2 13y 2 Functions 978f x, y, z Chapter 1 f x, y, z 2 978 Chapter 13 Functions of Several Variables See www.CalcChat.com for worked-out solutions 1 x y 2 z 2 exercises. to odd-numbered f x, y x2 y2. n 2t sen nx u x, t ce u x, t c sen akx cos kt f. See www.CalcChat.com for worked-outxysolutions to odd-numbered exercises. In Exercises 1 and 2, sketch the graph of the level surface 19. g x, 20. exercises. w x 2 y 2 z z f2 x, y See www.CalcChat.com foryworked-out to odd-numbered x 2 solutions y 2f value f x, y, z c at the given fy f g x, of y c. f x, y 2. x xy y In los Exercises 1 2and 2,trazar sketch the graph of superficie the level de surface 22 22 22 En ejercicios 1 y 2, la gráfica de la nivel 2 19. 20. w x g x, y y z 21. f x, y, z z arctan x 1. f x, y, z y z , c 2 x22 xy y22 x given value of c.graph of the level surface f x,Exercises c at In 1elthe and 2,2dado sketch the 2 f(x, y,y,z)z = c en valor de c. ln y x 21 y 2 zx-2 z 20. xw 19. g x, y 2 2, 2. y 4z f x, y, z 4x c 0 x 2 y 2 y1 value f x, y, z c at the 22 fgiven 22g, x,cyof c. y2, 0, 0 f x, y 2 . 21. f x, y, z z arctan 22. f x, y, z f x, y, z x 2 1. y z 1. f x, y, z x 2 y z 2, c 2 1 x 2yx y 2 z 2 2 function 21. f x, y, z z arctan 22 y y 22 zthe x2 y2. 3. Conjecture ff x, y, zz x4x2Consider 1. ,4z222c, c2 f0 x, y x, y, 2t 2. 2 2 n x1 2. f x, y, z 4x y 4z , c 0 23. 24. u x, t sen nx c sen akx cos kt 22. uf x,x,ty, z ce z f 1, y by f. 221 22 22 2. (a) y 2of the 4z 2surface , c given f x,Sketch y, z the 4x 2graph 0 1 x y z 2 2 z f Consider x, 1 . 22. f x, y, z x, =y x2 +xy2 2. y2. 3. Conjetura Conjecture the function función f(x,frelationship y) 3. 22tt 2 25. x, y kt (b) Make aConsiderar conjecturela about the between the 1 senSketch xnx y 2a graph z 224. of 23. Think u x, t About ce nnIt u x,a t function c sen zakxf cos 2 2 xderivative f is f x, y x 3. Conjecture Consider the function y . (a) graphs Sketch the graph of gthex,surface given by2.f. Explain your 22t f is always 2 3 whose derivative negative and whose of and f y f x, y n 3x xyx nx2y y kt a) Trazar la gráfica de la superficie dada por f. 23. fux,x,yt 24. hux,x,yt sen ce cos xc seny zakx 2 z 5f f x, sx,yyd 25. always Para pensar Dibujar unaa gráfica función (a) Sketch graph of surface given by f. negative. fb) x,Conjeturar yreasoning. y2.the 25. Think About It Sketch graph de of una a function (b) Make 1atheconjecture about relationship lax relación entre the las gráficas de f between y g(x, y)the = cuyas derivadas yiscos sean falways x, y the x sen yItofffxxxthe x a siempre x, cos 2negativas. y surface whose derivative negative and fyyyis graphs f andelabout grazonamiento. x, y the x, y 25. hFind Think About Sketch graph function z 2yx-f x, (b)f(x, Make conjecture about thef relationship relationship betweenyour the 26. slopes inx the and lnayywhose 1 derivative z xgof (c) Make conjecture between the f.2. Explain y) +aa2.of Explicar always negative. reasoning. 2 whose derivative is always negative and whose derivative is f f graphs of and Explain your f g x, y f x, y 2. directions at the point . y2, 0, 0 graphs of and Explain your f g x, y f x, y 2 . 26. Hallar las pendientes de la superficie z 5 x lns y 1 1d eny las x c) Conjeturar la relación entre las gráficas de f y g(x, y) = 22 always negative. reasoning. reasoning. 26. Find the slopes of the surface in the and ln y 1 z x x(c)f(x, Make a conjecture about the relationship between the direcciones s 2, 0, 0 d x y y en el punto . y – 2). Explicar elgrazonamiento. f x, y f x 2, y . In Exercises 27– find all second derivatives and 2 at30, the y-directions 2, 0, 0z. xpartial graphs of and your f in g (a), x, ysketch y graphs 2 . Explain 26. Find the slopes of point the surface ln y 1 in the x- and (c)Sobre Make conjecture thef x, relationship the (d) On thelaasurface part the ofbetween zgráficas f 1, yde d) superficie enabout el inciso a), trazar las verify that the second mixed partials are equal. 2 reasoning. z los z at27the point y-directions 2, 0,todas 0 . las segundas derivadas pargraphs and1).g x, y f .f(x, f x, y 2 . Explain your z y)fof En a 30, hallar zand = f(1, yx,z 1= + ejercicios 0.27– In 30, find all second partial derivatives and 2 Exercises 2 x y reasoning. ciales y verificar que las segundas derivadas parciales (d) On the surface in part (a), sketch the graphs of z f 1, y x mixtas son 4. Conjetura ConjectureConsiderar Consider function f gfunción x, y 4 f x, y . lathe 2 verify second mixed 27. 28. are f x,that y the 3x27– h partial x,equal. y xy find 2y 3allpartials In Exercises 30, second derivatives and iguales. andthe z surface f x, 12 .in part x y (d) On (a), sketch the graphs of z f 1, y f x, y 1 x 2 y22. verify that the second mixed partials are equal. x, yand z 1f Consider . function x, x1 . y the x 4. fConjecture 29. 30. x3xsen 22 y z f 0, y 27. hf x,x,yy 28. gh x,x,yy cos x 2y xy y cos 2yx33 (a) Sketch the graph of the surface given by f. x x y 22 superficie 4. a) Conjecture Consider x, 0x22. de ylathe 2 3 f x,Trazar y z la f1gráfica . function dada por f. 27. f x, y Equation 28. h x, 3x y that the function xy 2y (b) Make a conjecture about the relationship between the Laplace’s In Exercises 31–34, show x 29. 30. h x, y x sen y y cos x g x, y cos xy 2y 2 2 b) relación las gráficas de f y g(x, y) = f(x + 2, y). f(a)x,Conjeturar y 1ofla graph yentre . x,surface Sketch the graphs fx andof gthe y f given x 2,by y .f. Explain your satisfies Laplace’s equation CAS Explicar el razonamiento. 29. h x, y 30. g x, y x sen y y cos x cos x 2y (a) Sketch graph of the surface by f. (b) reasoning. Make atheconjecture about the given relationship between the Laplace’s Equation In Exercises 31–34, show that the function 2z 2z c) Conjeturar la relación entre las gráficas de f y g(x, y) = 4 – Ecuación de Laplace los ejercicios a 34, mostrar que la graphsa2a of f and about gabout x, y the xrelationship 2, y . Explain (b) Make Make conjecture thef relationship betweenyour the satisfies equation (c) conjecture between the + Laplace’s 0. Laplace’s InEn Exercises 31–34,31 show that the function 2Equation x y2 y).eExplicar el razonamiento. x2 ysatisface f x,f(x, ygraphs función la ecuación de Laplace reasoning. of ff and and gg x,x,yy f4f x,x yf x, Explain your your 2,yyln..xyExplain graphs of satisfies Laplace’s equation 22z 22z d) Sobre la superficie en el inciso a), trazar lasx gráficas de z = 2 reasoning. reasoning. about the relationship between the 2 a conjecture 2 31.2 22z + x2222 y0. 32. z x3 3xy 2 f (c) x,f(0, yMake x y f x, y y) y z = f(x, 0). xz yz yofbetween graphs of and your f in x, ysketch x, yx . Explain (c) On Make conjecture the4 relationship the (d) the asurface partgabout (a), thef graphs z f 0, y + 0. y x2 y2 y 33. 34. reasoning. graphs 4 f x, y . Explain your and z fofx, 0f . and g x, y 31. zz xx222 yy222 32. zz ex33sen x3xy 22 En los ejercicios 5 a 8, utilizar un sistema algebraico por compuCAS (d)y reasoning. On the surface in part (a), sketch thedegraphs of z def nivel 0, y 31. z x 2 y y 2 32. z x3yy 3xy 2 tadora representar gráficamente algunas las curvas CAS In Exercises 5– 8, use a computer algebra system to graph 33.Exercises 34.differential. z e sen x z In and 36, find the total and z f x, 0 . 22 35 22 (d) On the surface in part (a), sketch the graphs of z f 0, y x y y de la función. 2 several level curves the function. x 2 yof 1 x 33. 34. z ey sen x z f x, yand ze f x, 0 . g x, y y x2 y2 2 1y 2 xy x5– CAS In CAS Exercises 8, use a computer algebra system to graph 2 2 5. 6. f s x, y d 5 e f s x, y d 5 ln xy In Exercises 35. 36. differential. z x sen 35 xy and 36, find the total z 5. f x, y 6. f x, y ex y ln xy x2 y2 several level curves of the CAS In Exercises 5– 8, use a function. computer algebra system to graph In 35 and the la total differential. x EnExercises los ejercicios 35 y36, 36,find hallar diferencial total. 2 xy d 5 xcurves y2222of the function. x, yyd 5 x 7. 8. 22 several 22 7.5. fffsx, 8.6. fffsx, x,x,yylevel 35. 36. z x sen xy z x 1 y y xe xx yyy x, y ln xy 2 measured 37. Error Analysis The legs of a right triangle xare to be 2xy x y y 22 22 y 22 35. 5z centimeters 36. zwith a possible x sen xy and 12 centimeters, 5. f x, y 6. f x, y e x22xy ln xy xy error of x 2 2 2 2 x y límy límy 1 8. x,f yalgebra f yejercicios x, y10, x, 2 use 2 2 tocompuCAS En los 9 yy10, utilizar un sistema In7.Exercises a computer system graph x, → 1, 1 9 →algebraico 1, 1 xx xx2and centimeter. maximum possible errorto in 37. 2Error AnalysisApproximate The legs ofthe a right triangle are measured be x yy por 2 2 7. 8. f x, y x y f x, y 2 tadora y representar gráficamente la función. the function. y 2 computing the length of the hypotenuse. Approximate the 5 centimeters and 12 centimeters, with a possible error of y xe 37. Error Analysis The legs of a right triangle aretriángulo measuredrectánto be Análisis de errores Al medir los lados de un x x yy 11 lím lím CAS In Exercises 912and 10, use a computer algebra system CAS maximum percent error. error 2 to graph centimeter. Approximate the maximum possible in 22 1y 222d 2 5 centimeters and 12 centimeters, with a error of x, y → 0, 0 x, y → 0, 0 x 4 11 s x x gulo se obtienen los valores de 5 y 12 centímetros, con un posix y 1 possible x y 2 x, yyd 5 ee 9. ff sx, 10. gsx, yd 5 y | | 1computing the 1 theExercises function. 9 and 10, use a computer algebra system to graph length ofAproximar the hypotenuse. Approximate the CAS In centimeter. Approximate the maximum possible error in ble error de centímetro. el error máximo posible al 38. Error Analysis To determine the height of a tower, the angle 2 2 maximum percent error. theExercises function.11–14, computing the length of the hypotenuse. Approximate the calcular la longitud de la hipotenusa. Aproximar el error porof elevation to the top of the tower is measured from a point 100 x22 yfind y22 1continuity x In the limit and discuss the of x 1 x 10. g yx,analizar f x, y e 11 a 14, hallar el límite y y la continuidad En9.los ejercicios 1 maximum percent error. centual máximo. foot from To the base. The the angle is measured at 33 with ± 2Analysis thelafunction (if itx 2exists). 38. feet Error determine height of a tower, the, angle 2 y 22 de (si 9. f función 10. g x, y x, y ex existe). yxy1 x a possible error ofdetermine Assuming that the ground isel 1the . determinar cos y f x, y f x, y e of elevation to theTo top of tower isheight measured from a the point 100 In Exercises 11–14, find the limit and discussx theycontinuity of 38. Error Analysis the of a tower, angle Análisis de errores Para la altura de una torre, xy xy 11 xy xy horizontal, approximate the maximum error in determining the the function (if it exists). feet foot from the base. The angle is measured at with ± 33 , 11. lím y 11–14, 12. lím 2 the of elevation to the topa of the tower is measured from pointdesde 100 11. 12. lím lím ángulo la parte superior de la torre se amidió 22de elevación In Exercises find the limit andx, ydiscuss continuity of → → zx,x, yy → e 1,1, 11 xx2e2 x yy22 zx, y → ln1,1,x11 xx22 y 2 yy22 1 1 the tower. 1 1 . Assuming that the ground is height of aun possible error ofbase. feet foot from the The angle is measured at with ± 33 , punto a 100 pies pie de la base. La medida del ángulo da ± the function (if it exists). 2 2 22y xyxe yy22 y xxxy error in the determining the ahorizontal, possible errorcircular of Assuming that ground is 1the .demaximum 33°, con un posible error 1°. Suponer que elthe suelo es and hori11. lím 12. lím 39. Volume Aapproximate right cone is measured, and radius lím yy 22 xe lím 2 2 2 lím 13. 14. lím 13. 14. 2 2 2 x, y → → 1, 1, 1 x, y → → 1, 1, 1 heightare of the tower. x,x,yyy→ → 0, 0, 001 x1 x,x,yyy→ → 0, 0, 001 x44 xy y x, x, 1 xy xyx22 yy22 horizontal, approximate theerror maximum error inrespectively. determining the zontal, para aproximar máximo al determinar la altura height found to be 2 el inches and 5 inches, The 11. 12. lím lím xx 1 x, y → 1, 1 xy2 x, y → 1, 1 x 2 x22 yy 2 y 2 yy22 xe height oferror the tower. de la torre. possible in circular measurement ismeasured, inch. Approximate the 39. Volume A right cone is and the radius and 8 13.Exercises 14. ylím lím In find x, yy → → 0, 0, 0015–24, → 0, 0, 00 x 44x 2 y y22 x22y 22 all first partialx,x, yderivatives. x, → error in thecircular computation of the volume. y 115xe height are possible to be inches 5 recto. inches, respectively. The 39. maximum Volume Afound right circular cone isand measured, and the radius and Volumen Se mide un2cono Su radio y su altura En a 24, hallar todas las primeras derivadas par13.los ejercicios 14. lím lím 2 4 possible error in measurement is 51818the inch. Approximate the x, y → 0, 0 x, y → 0, 0 x xy 1 x y2 height are found to be 2 inches and inches, respectively. The son 2 y 5 pulgadas, respectivamente. El posible error de 40. Lateral Surface Area Approximate error in the computaciales. x In Exercises partial 15. cos y find all first 16. f x, derivatives. y f x, y e15–24, 1 1– maximum possible error in the computation of the volume. possible in measurement is inch. Approximate the medición es de pulgada. Aproximar el error máximo posible en tion of theerror lateral surface area of the cone in Exercise 39. The x xy y 8 8 In Exercises find all first partial 2 of the 2 15. e x cos 16. f x,derivatives. y 2 xy2 f x, y y 15–24, maximum possible in by theAcomputation volume. el cálculo del volumen. surface area iserror given rthererror hin . the x y 40. lateral Lateral Surface Area Approximate computa17. 18. yx x yy 1 eexx cos y 15. zf x,ey 16. zf x,ln tion of the lateral surface area of the cone in Exercise 39. The x y 40. Lateral Surface Area Approximate the error in the computaSuperficie lateral Aproximar el error en el cálculo de la superxy x 17. 18. zf x, yln x 2 y 2 1 15. zf x, ye yyy e xecos 16. y 22 22 lateral surface area is given by A r r h . tion the lateral surface area of the Exerciselateral 39. The ficieof lateral del cono del ejercicio 39.cone (La in superficie está 17. z e 18. z ln x 22 x y 2y2 1 e xx 2 2 2 given 2 .by A !is lateral surface area r r h . dada por A 5 p r r 1 h d y x 2 2 17. z e 18. z ln x e y 1 f x, y, z

E V I E W E Xde E Rrepaso CISES 13 REjercicios 13

13 R E V I E W E X E R C I S E S 13 R E V I E W E X E R C I S E S

||

1053714_130R.qxp 10/27/08 10/27/08 12:11 12:11PM PM Page Page979 979 1053714_130R.qxp 10/27/08 12:11 PM Page 979 1053714_130R.qxp 10/27/08 12:11 PM 979 1053714_130R.qxp 1053714_130R.qxp 10/27/08 12:11 PM Page 979 1053714_130R.qxp 10/27/08 12:11 PM Page Page 979 1053714_130R.qxp 10/27/08 12:11 PM Page 979 Larson-13-11-R.qxd 3/12/09 19:28 Page979 979 1053714_130R.qxp 10/27/08 12:11 PM Page

Review Exercises

In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before differentiating.

979

In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent line to the curve of intersection of theExercises surfaces at the given 979 Review 979 Review Exercises Ejercicios de repaso 979 979 Review Exercises 979 Review Exercises 979 Review Exercises 979 Review Exercises point. 979 Review Exercises 979 Review Exercises

Superficies Punto dw 41. w ln x 2 y , In Exercises 61 and 62, find symmetric equations ofthe thetangent tangent In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using 2 In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using dt En los ejercicios 41 44, las derivadas indicadas a) utiEn los ejercicios yy find 62, las2,ecuaciones simétricas de la In Exercises and 62, find symmetric equations of In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using In symmetric equations of In 41– 44, the derivatives (a) 61. z 61 961 y61 2, 5 ,62, x hallar In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using InExercises Exercises 61and and 62, find symmetric equations ofthe thetangent tangent InExercises Exercises 41– 44,afind findhallar theindicated indicated derivatives (a)using using In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using line to the curve of intersection of the surfaces at the given the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before line to the curve of intersection of the surfaces at the given the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before lizando la regla de la cadena apropiada y b) por sustitución antes recta tangente a la curva de intersección de las superficies en el line to the curve of intersection of the surfaces at the given the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before line to the curve of intersection of the surfaces at the given the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before 2 2of x 2t, y 4 t line to the curve of intersection of the surfaces at the given the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before line to the curve intersection of the surfaces at the given the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before 62. z x 2, 1, 3 y , z 3 line to to the the curve curve of of intersection intersection of of the the surfaces surfaces at at the the given given the appropriate appropriate Chain Chain Rule Rule and and (b) (b) using using substitution substitution before before line the point. differentiating. point. differentiating. de derivar. punto dado. point. differentiating. point. differentiating. point. differentiating. point. differentiating. du point. differentiating. point. differentiating. 42. u y2 x, 63. Find the angle of inclination Punto of the tangent plane to the dw Superficies Superficies Punto dw dt Superficies Punto dw Superficies Punto Superficies Punto dw Superficies Punto dw 41.ww lnxxxx2x22222 yyyyy,,,,, dw 2 2 2 41. ln ww ln Superficies Punto dw 41. ln 41. Superficies Punto dw surface at the point 2, 1, 3 . x y z 14 41. w ln 2 2 41. w ln x y , dt 2 2 dt 41. ww xlnlnxxcos t,yy, ,y dt 61.zzzzz 99999 yyyy2y22,,2,,, yyyyy xxxxx 2,2, 2,55555 dt 61. 2, 2, 41. dtdtsen t 61. 2, 2, 61. 2, 61. 2, 2, 2 61. z 9 y 2, 2,5following , y x 2 dtdt 61. 64. 55 61. zz Approximation 99222 yy2,22, yy xx Consider2,2,the 2,2, approximations for a 2t, yxy y 4444w tttt w y 2t, 62. z x y , z 3 2, 1,33333 2t, y 2 2 62. z x 2, 1, y , z 3 xxxxxx 2t, 2 2 62. z x 2, 1, y , z 3 2 2 2t, y 4 t 62. z x 2, 1, y , z 3 2t, y 4 t 62. z x 2, 1, y , z 3 2 2 2t, yy , 44 , t t 62. zzz function x2 yyy2, ,,f zx,zz y 3centered 2,0, 1,0333. 3 at2,2, 43. xx w2t, 62. x 1, 3 62. x 1, dur du z du t du du 42.uuuu yyy2y22222 x,x, x, du 42. x, du 42. 42. 63.Find FindLinear theangle angle ofinclination inclination of ofthe thetangent tangentplane planeto tothe the du 63. Find the angle of inclination of the tangent plane to the 2 42. u y x, 42. u y x, dt approximation: 63. the of tangent plane the 2 dt 63. of 42. u y x, 63. Find the angle of inclination of the tangent plane to the dt t,dtdt y rt, z 2r t 63. Find Findthe the angle of inclination of the the tangent plane to the Hallar el22angle ángulo deinclination inclinación del plano tangente a lato superu of 63. 42. u xy 2rx, dt 63. Find the angle of of the tangent plane to the 2 22 of 2inclination 63. Find the angle inclination of the tangent plane to the 2 2 2 surface at the point x 2, 1, 3 . y z 14 2 2 2 dtdt surface at the point x 2, 1, 3 . y z 14 2 2 2 surface at the point xx1 2, 1, 14 2 2yy 2 0, 2 14 2xx, 2zzz0 surface at the point 2, 1, 33.33... . surface atat the point 2, 1, y1 2 cos t, y sen t f 0, 0 x f 0, 0 y P surface at the point x 2, 1, y z 14 ficie en el punto x y 5 s 2, 1, 3 d cos t, sen t y 2y 2f2 z 22 1414 1 x y surface the point x 2, 1, 3 . y z 14 cos t, y sen t u u xxxxxx cos t, y sen t surface at the point x 2, 1, 3 . y z 14 cos t,t, y sen cost, senztt2tt, cos sen 64.Approximation Approximation Consider Considerthe thefollowing followingapproximations approximationsfor foraaaaa 44. xt,2 yyy y 2 sen , xx ucos 64. Approximation Consider the following approximations for 64. Consider following approximations for 64. 64. Approximation Consider the following approximations for xy ww w ww w 64. Approximation Approximation Considerthe the following approximations foraaaa 64. Aproximación Considerar las aproximaciones siguientes xy w w r t 64. Approximation Consider the following approximations for xy xy 64. Approximation Consider the approximations for Quadratic xy w w function centered at 0, fx,x, x,yyyyyapproximation: 0,00000following . xy w w w , , 43. function centered at f x, 0, . 43. w , , xy w w function centered at f 0, . w , , 43. function centered at f . w , , 43. xy w w function centered at f x, 0, . ww , , 43. function centered at f x, y 0, 0 . una función centrada en f s x, y d s 0, 0 d . w , , 43. z r t z r t function centered at f x, y 0, 0 . , , 43. function at 0,00 x. f 0, 0 y rrrr, t, ttt ty r sen t, z t 43. w xzzzzz, r cos P2 x,fy x, y fcentered 0, 0 f 0, y z rr t t Linear approximation: x Linear approximation: Linear approximation: 2r t,t,t, t, yyyyy rt, rt, zzzzz 2r 2r ttttt Linear approximation: 2r rt, 2r Linear approximation: Linear approximation: 2r rt, 2r 1 1 xxxxxx 2r Aproximación lineal 2r t, rt, 2r 2 2 Linearapproximation: approximation: 2r t, y rt, z 2r t Linear f 0, 0 x f 0, 0 xy x 2r t, y rt, z 2r t In implicitly to find the first x Exercises 2r t, 45 y and rt, 46,z differentiate 2r t x,yyyyy fffff0, 0,020000xx fffffxx0, 0,00000xxxxx xyfffffyy0, 0,00000yyyyy 2 fyy 0, 0 y P11x,x, x, 0, 0, 0, P 0, 0, 0, P u u P u u x, 0, 0, 0, P 1 x y 1P xfxffxxs0, yfyffyys0, x, y f 0, 0 0, 0 x 0, 0 y P P x, y d 5 f s 0, 0 d 1 0 d x 1 0 d y u u 111sx, 22 derivatives 22 22, ofuu x, y f 0, 0 0, 0 x 0, 0 y u u 2 2 2 u u 44. y z u x , partial z. 2 2 2 y f 0, 0 f 0, 0 x f 0, 0 y P 44. uuuu xxxx 222 yyyy 222 zzzz 2,,22,, , 11 [Note that the linear xx yy 44. 44. 44. 44. uuu xxx2 yyy2 zzz2, ,, rrurr,u,,, ,, ttutut 44. Quadratic approximation:approximation is the tangent plane to the 44. Quadratic approximation: rrr t tt Quadratic approximation: Quadratic approximation: Quadratic approximation: Quadratic approximation: Aproximación cuadrática r t 2 2 2 2 surface at 0, 0, f 0, 0 . Quadraticapproximation: approximation: 45. x cos 46. xz yz t,t,t, zzzz t0tt y sen z 0 Quadratic cost,xy sen cos t, yyy rrsen sen P22x,x, x,yyyyy fffff0, 0,00000 fffffxx0, 0,00000xxxxx fffffyy0, 0,00000yyyyy xxxxxx rrrrrcos t,t,t, zzz t t t x, 0, 0, 0, cos t,t,t, sen cost,t, t, yyyyyy rrrrsen sen PPP PP x,x, 0, 0, 0, cos rrsen sen yyyd Find 5 fff s0, 0, 000d linear 1 xxfxffxxs0, 0, 000dxxx 1 yyfyffyys0, 0, P22222sx, x, 0, 0,approximation 0,0000dyyyyof1f x, y xx rrrcos t,t, zz t t (a) the cos x sen y x, 0, 0, 0, P2P y f 0 f 0 x f x 0, y 0, 1 0, 1 1 2 x y 2 2 1 1111ff 0, 111111ff 0, 2 0, 0 x f 0, 0 xy 0,00000yyyy2y222222 In Exercises 47–50, find the directional derivative of the function 2 0 x f 0, 0 xy 2 2 In Exercises 45 and 46, differentiate implicitly to find the first 2 xx xy yy0, InExercises Exercises 45and and 46, differentiate implicitlyto to findencontrar thefirst first 0, 0 x f 0, 0 xy 0, 20 2f1fxx 2f21fyy xx xy yy 0, 0 x f 0, 0 xy centered at 0, . f 0, 0 x f 0, 0 xy f 0, In Exercises 45 and 46, differentiate implicitly to find the first En los ejercicios 45 y 46, derivar implícitamente para f s 0, 0 d x 1 f s 0, 0 d xy 1 f s 0, 0 d y 1 1 2 2 2 2 xx xy yy In 45 46, differentiate implicitly find the 2 2 xy f 0, 0 x f 0, 0 xy f 0, 0 y In Exercises 45 and 46, differentiate implicitly to find the first 2 2 222 xx xy yy InExercises Exercises 45 and46, 46,differentiate differentiate implicitlyto tofind findthe thefirst first fxx 0,00xx fxy 0,00xy xy 22222fyy fyy 0,00yy xx0, xy0, yy0, fxy In Exercises 45 and 46, differentiate implicitly to find the first xx xy yy In 45 and implicitly at Pderivatives in the direction of v. 22fxx partial derivatives ofz.z. partial derivatives of z. partial of las primeras derivadas partial derivatives of partial derivatives of z.z. (b) Find quadratic approximation f x, y plane costo xthe [Note that thethe linear approximation isthe theof tangent plane to thesen y partial derivatives ofz. z.parciales de z. [Note that the linear approximation is the tangent plane to the partial derivatives of z. [Note that the linear approximation is the tangent [Note that the linear approximation is tangent partial derivatives of [Note that the linear approximation is the tangent plane to the [Observar que la aproximación linealis es plano plane tangente athe [Notethat thatthe thelinear linear approximation isthe theeltangent tangent planeto tothe thela [Note that the linear approximation the tangent plane to 2y, [Note approximation is plane to the 2 2 2 2 centered at 0, 0 . 2 2 2 2 surface at 0, 0, f 0, 0 . 47. f x, y x 5, 5 , v 3i 4j surface at 0, 0, f 0, 0 . 45.xxx2x222 xy 46.xz xy yyy2y222 yz yz zzz2z222 0000 senzzzz 0000 xz2222 yyyysen 45. 46. xy yz sen xz surface at 0, 0, 0, surface at 0, 0, fff f0, 0f00s00,... 0. dd.g surface atat 0,0, 0, 0,0, 45. 46. xy yz sen xz superficie en s0, 0, 45. 46. surface at 0, 0, 0, 2 2 2 2 45. 46. x xy y yz z 0 y sen z 0 xz 45. 46. x xy y yz z 0 y sen z 0 xz surface f 0 . 2 2 2 2 surface at 0, 0, f 0, 0 . 45. xx xy 46. xz xy y yz z 0 y sen z 0 xz 45. (c) the quadratic approximation, you obtain y linear 0 in approximation (a)Find FindIfthe the linear approximation offffffx,x, cos senyyyyythe 48. f x, y y 14 y 2yz x 2z, 1,0 4 , v46. 2i j y sen z 0 (a) Find the linear approximation x, cos sen (a) linear of yyyyy coscos cos sen (a) xxxxxxsen (a) Find the linear approximation of x,x, cos sen a) Hallar la aproximación lineal de of cen-yy fof sx,f ffydx, xcos 1 sinsen ysen (a) Find Find the the linearapproximation approximation of x,y5 cos sen (a) Find the linear approximation of x, y x In Exercises 47–50, find the directional derivative of the function In Exercises 47–50, find the directional derivative of the function (a) Find the linear approximation of y cos x sen y In Exercises 47–50, find the directional derivative of the function second-degree Taylor polynomial for what function? centered at 0, 0 . In Exercises 47–50, find the directional derivative of the function 2 centered at 0,d.0000.... In Exercises 47–50, find the directional derivative ofof the function InExercises Exercises 47–50, find the directional derivative ofthe thede function centered at 0, centered at 0, 49.ejercicios w 47–50, y47–50, 1, 2,directional 2 ,la derivada v 2iderivative j 2kof En los 47xz, afind 50, hallar direccional la funcentered at 0, In Exercises find the directional derivative the function trada en s 0, 0 centered at 0, 0 . In the function centered at 0, 0 . at in the direction of v. P atPPP inthe thedirection directionof ofv.v. v. Pin centered at 0, 0 . at in the direction of at at in the direction of v. atPP inthe the direction ofv.v. v.de3yv.2z, 1, 0, 1 , v i j k P50. (d) the table. (b)Find FindComplete thequadratic quadratic approximationof offffffx,x, cosxxxxx sen senyyyyy 2 Pthe la ción en (b) Find the quadratic approximation of x, cos sen at in direction of (b) the approximation cos at in of (b) yyyyyyyd 5 cos wendirection 5xdirección 2xy (b) Find the quadratic approximation of x,sx, cos sen b) Hallar la quadratic aproximación cuadráticaof de cosxxx 1sen sin yy (b) Find Findthe the quadraticapproximation approximation off fffx, x,x, cos sen (b) Find the quadratic approximation x, cos sen 2y, (b) Find the quadratic approximation ofof yy cos x sen y centered at 0, 0 . 22 centered at 0, 0 . 47. f x, y x 5, 5 , v 3i 4j 2 47. y, f x, y x 5, 5 , v 3i 4j 2 centered at 0, 0 . centered at 0, 0 . 47. y, f x, y x 5, 5 , v 3i 4j 47. y,22y,y, f x, y x 5, 5 , v 3i 4j centered at 0, 0 . centrada en s 0, 0 d . f x, y x 5, 5 , 3i 4j centered at 0, 0 . 47. v 47. f x, y x 5, 5 , v 3i 4j 2 centered at 0, 0 . 47. In y, y x 5, 5 , v 3i 4j centered at 0, 0 . 47. y, f f x,x, y x 5, 5 , v 3i 4j 1 1 y quadratic find P1 x, y P2you x, y obtain f x, y approximation, 22 (c)IfIf inthe the quadratic approximation, you obtainthe the (c) If in the approximation, you obtain the yy x00in 48.fffffx,x, 1,44444,,the 2i jjjjjof the function and the 48. x,x,Exercises yy 1111y2y222222 51–54, 1, ,, vvvvgradient 2i (c) in quadratic the (c) quadratic you obtain 48. 1, 2i 48. 2i xxx2x222,,22,,,, 1, (c) IfIf in the quadratic approximation, you obtain the c) aproximación cuadrática, ¿para qué función se 48. x, 1, 2i (c) Si Ifyyyyyyy5 0000000en inlathe the quadraticapproximation, approximation, you obtain the 48. maximum x,yyyyyy 44144y4144yyyvalue 1,directional 2i (c) If in the quadratic approximation, you obtain the 48. 1, 44,, ,, vvvv 2i 2i jj yy2 xxxxof , the1, derivative at the given point. (c) If in the quadratic approximation, you obtain the 48. f ff x,x, 4 j , second-degree Taylor polynomial for what function? second-degree Taylor polynomial for what function? 2 4 2 second-degree Taylor polynomial for what function? second-degree Taylor polynomial for what function? 22 49. w y 1, 2, 2 , v 2i j 2k xz, 2 second-degree Taylor polynomial for what function? 49. w y 1, 2, 2 , v 2i j 2k xz, obtiene el polinomio de Taylor de segundo grado? 0 0 second-degree Taylor polynomial for what function? 49. w y 1, 2, 2 , v 2i j 2k xz, 49. second-degreeTaylor Taylorpolynomial polynomialfor forwhat whatfunction? function? 49. ww 2i2i 2k xz, 1,1, 2,2, second-degree 49.ww w yyyyy222 xz, 1,2,2, 2,22222, ,, ,, vvvvv 2i2i 2i jjjjj 2k 2k xz, 1,1, 49. 2k xz, 49. 2k xz, (d)Complete Completethe thetable. table. (d) Complete the table. (d) Complete the table. (d) 50.ww 5x222222x 2 y, 1,0, 0,11111,,,,, vvvvv 52. i z jjjjj e kkk 2xy2, 13y 3y2222z,2z, z, 1, (d) Complete the table. 50. ww z5x 5x 1, 0, i k 2xy 3y z, d) Completar la tabla. xkcos y, (d) Complete the table. 50. 5x 1, 0, i 2xy 3y 2 50. i 2xy (d) Complete the table. 51. 0, 50. w 5x 1, 0, i 2xy 3y z, (d) Complete table. 50. ww w 5x 5x22 2xy 1,0,0, 0,111, ,, vvv i ii jjj kk k 2xy 3y 3y22z,z, z, 1,1, 0 the0.1 50. 5x 2xy 3y 50. 4 x y In Exercises 51–54, find the gradient of the function and the x,yyyyy PPP x,yyyyy x,yyyyy PPP x y In Exercises Exercises 51–54, 51–54, find the the gradient gradient of of the the function function and the the PP111x, x, PP222x, x, x, In 51–54, find the the and fff x, xxxx 0.2yyyy 0.1 In y find x 2 and In Exercises 51–54, find the gradient of the function and the x, x, x, InExercises Exercises 51–54, find thegradient gradientof of54. thezfunction function and2,the the P111x, x,yyy P2P P222x, x,yyy x,yyy P1P x y fffffx,x, In Exercises 51–54, find the gradient of the function and the x, x, x, x y In Exercises 51–54, find the gradient of the function and the x, x, 53. , 1, 1 z , 1 En los ejercicios 51 a 54, hallar el gradiente de la función y el maximum value of the directional derivative at the given point. 1 2 maximum value of the directional derivative at the given point. 2the maximum value of directional derivative at the given point. maximum maximum value of the directional derivative at the given point. x 2 of ythe xgiven y point. maximumvalue value of thedirectional directionalderivative derivativeat atthe the given point. 0 0 maximum value of the directional derivative at the given point. 0 0 maximum value of the directional derivative at the given point. 0000 0.50000 0.3 valor máximo de la derivada direccional en el punto dado. 00 00 22y, xx cos 2 x 51. 52. z e z x y, 2, 1 cos y, 0, 2 x 51. 52. z e z x 2, 1 y, 0, In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, 2 x 0 0.1 0 0.1 51. 52. zzz xxxx2y,y, 2, 111 y, 0, 2y, xcos 51. 52. zzzz eeee xcos z 2, 1 y, 0, 0 0.1 2 x 0 0.1 51. 52. 2, cos y, 0, 51. 52. y, 2, cos y, 0, 0 1 0.1 0.1 0.5 51. (b) 52. cos 51. 52. zz find xx y,y,a unit 2,2,11normal vector to the zz curve ee cos y,y,y 0,0,4444c444 at P, 0.1 000 0.1 level f x, 4 2 22 y x 0.2 0.1 2 y x 0.2 0.1 2 2y 0.2 0.1 fxxxx, c 11at P, and yyythe 0.2 0.2 0.1 y tangent 0.2 0.1 0.1 53.zz(c) 54.curve , 1, 1,11111 line to the level 2, 53. 54. 1, zzz find 2, zz 0.2 0.1 53. 54. 2, 53. 54. xxx22 ,,,,,,, 2, 0.2 0.1 22 yy 2,2,,, , 1, 53. 54. 1, 2, 53. (d) 54.zzzzzznormal 1, 2,111111and the 53. 54. 1, 11 curve, the unit 2, SAC (e) Use a computer algebra system to graph the surfaces level xxx2xx22222 yyyy2yy222the 2, , 1, xxxxxx yyyyyvector, 53. 54. zzz xsketch 1 2, , 2 y 0.5 0.3 0.3 0.5 0.3 xx line yy in the xy-plane. xx yy 0.5 0.5 0.5 0.3 0.5 0.3 z 0.3 f0.3 x, y , z P1 x, y , and z P2 x, y . How does the tangent 0.5 0.3 0.5 In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, accuracy of the approximations change as the distance from In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, En los ejercicios 55 y 56, a) encontrar el gradiente de la función 1 0.5 In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, 1 0.5 InExercises Exercises 55normal and 56,vector (a)2find find the gradient offthe the atP, P, y 0.5 1111 0.5 256, In and (a) gradient of at 0.5 0.5 (b) findaafaaaunit unit normal vector tothe the levelcurve curve at x,function y 4ycccccsen P, 55. 56. x, y55 9x yfunction xen 4y (b) find unit to the level curve at fffx, x, P, 1 0, 00.5 0.5 (b) find unit normal vector to the level curve at fx, x, yyyf(x, P, (b) find normal vector to the level at f y P, 1 increases? (b) find unit normal vector to the level curve at x, P, en P, b) encontrar un vector normal a la curva de nivel y) = c (b) find a unit normal vector to the level curve at f x, y c P, (b)find findthe aunit unit normal vector tolevel thelevel level curve at cat P, (b) find athe normal vector to the curve cP, P, (c) find tangent line tothe the level curve atP, and x,yyyyfyf x,x,cycccycat (c) tangent line to the curve at and x, P, (c) find the tangent line to level curve and x, (c) the line to ffffffx, (c) find the tangent line to the level curve at and x, P, P, c) encontrar la recta tangente a curve la curva de nivelccat f(x, y)and =c (c)find find thetangent tangent line tothe thelevel level curve atP, and x, P, (c) find the tangent line to the level curve at and f x, x, yyvector, P, (c) find the tangent line to the level curve at and f y c P, c 65, P 3, 2 c 3, P , 1 SAC (e) (e)Use Useaaaaacomputer computer algebra system tograph graph thepara surfaces (d) sketch the level curve, the unit normal and the SAC (e) Use computer algebra system to graph the surfaces (d) sketch the level curve, the unit normal vector, and the CAS SAC In 65–68, examine the function for the relative extrema e) Utilizar un sistemaalgebra algebraico por computadora repreUse algebra system to the surfaces (d) sketch the level curve, the unit normal vector, and the SAC system to (d) sketch the curve, the normal vector, and SAC (e) Use computer algebra system to graph the surfaces (d) sketch the level curve, the unit normal vector, and the 2 the en y d) trazar la curva de nivel, el vector unitario normal ythe la SAC(e) (e)Exercises Use aaa computer computer algebra system to graph graph thesurfaces surfaces (d)P, sketch thelevel level curve, theunit unit normal vector, and the SAC (e) Use computer algebra system to graph the surfaces (d) sketch the level curve, the unit normal vector, and SAC (e) Use computer algebra system to graph the surfaces (d) sketch the level curve, the unit normal vector, and the and How does the z f x, y , z P x, y , x, y . z P tangent line in the plane. xyand How does the z f x, y , z P x, y , x, y . z P tangent line in the plane. xy1 2 and saddle points. Use a computer algebra system to graph gráficamente las superficies and How does the z 5 f s x, y d , z 5 P s x, ythe d,ythe zzz fff fx,x, x, y , x, y . z P tangent line in the plane. xy1x, 2x, and How does the zsentar yyyy,,, ,zzzz PPP1P y , y . z P tangent line in the plane. xyand How does the x, x, y , x, y . z P tangent line in the plane. xy1 1 2 recta tangente en el plano xy. 2 and How does x, x, y , x, y . z P tangent line in the plane. xyand zzchange How does the z f f x,x,yof yof, ,the z approximations x,yy, , and x, ythe tangentline linein inthe thexyplane. xy-plane. does the zaccuracy zthe PP1111your x,varía x,as ylas . . How PP2222de tangent accuracy approximations change as the distance from as distance from function and confirm results. In Exercises 57–60, find an equation of the tangent plane and ¿Cómo la exactitud aproximaciones accuracy of the approximations change the distance from z 5 P s x, y d . accuracy of the approximations change as the distance from 2 2 accuracy of approximations change as distance from 2 accuracy ofthe theapproximations approximationschange changeas asthe thedistance distancefrom from 55.fffffx,x, 56.fffffx,x, 9x 4ysen senxxxxx yyyyy 4y 2222 4y 222 accuracy of the approximations change as the distance from 55. 56. x,x,yyyyy 9x 9x x,x,yyyyy 4y 4y sen 4y of 55. 56. 4y sen 4y 55. 56. increases? 0, 55. 56. x, 9x x, 4y sen increases? 0, 2 4y 55. parametric 56. line x,yyy 9x 9x22equations x,yto 4ysurface senxxx at 4y2222 of the normal aaccuracy medida quethe aumenta la distancia para (0,the 0)? increases? 0, 0, 000000increases? 55. 56. 9x yy the 4y sen 4y increases? 0, 55. 56. f ff x,x, 9x f ff x,x, 4y sen yyy the 4y increases? 0, 2 2 increases? 0, 0 65. f0,x,0y increases? 2x 6xy 9y 8x 14 given65, point. 65, 3,22222 3,PPPP ,,,1,111 PP3, 3, 3, 65, 3, 3, cccccc 65, PPP cccccc 3, CAS In InExercises Exercises 65–68, examine functionfor forrelative relativeextrema extrema CAS 2 examine 2thefunction 65, 3, In Exercises 65–68, examine the function for relative extrema 3, P , 1 65, P 3, 2 3, P , 1 2 CAS In Exercises 65–68, examine the function for extrema 2 CAS 65–68, the 66. 3xy y 5x f x, y x c 65, P 3, 2 c 3, P , 1 CAS In Exercises 65–68, examine the function for relative extrema CAS En In Exercises Exercises 65–68, examine the function function forrelative relative extrema c 65, P 3, 2 c 3, P 22222, 1 los ejercicios 65Use aexamine 68, localizar los extremos relativos de CAS In Exercises 65–68, the function for relative extrema CAS In 65–68, examine the for relative extrema and saddle points. a computer algebra system to graph thela Surface Point 2 and saddle points. Use a computer algebra system to graph the and saddle points. Use computer algebra system to graph the and points. Use a1aaacomputer algebra system to and saddle points. Use computer algebra system to graph the andsaddle saddle points.un Use computer algebra system tograph graphthe the 1 algebraico función. Utilizar sistema por computadora y reand saddle points. Use a computer algebra system to graph the and saddle points. Use a computer algebra system to graph the function and confirm yourresults. results. InExercises Exercises 57–60, find anequation equation ofthe thetangent tangent plane and function and confirm your results. In Exercises 57–60, find an equation of the tangent plane and 67. fand x, yconfirm xy your function and confirm your In 57–60, find an of plane and En los 57 60, hallar una ecuación del plano tangente function In of and 57.ejercicios f x, y57–60, x 2 yafind 2, 1, 4plane function and confirm your results. In Exercises 57–60, find an equation of the tangent plane and function and confirm your results.y confirmar los resultados. InExercises Exercises 57–60, findan anequation equation ofthe thetangent tangent plane and presentar gráficamente la results. función x y function and confirm your results. In Exercises 57–60, find an equation of the tangent plane and function and confirm your results. In Exercises 57–60, find an equation of the tangent plane and parametric equations ofthe the normal lineto tothe thesurface surface atthe the equations of the normal line to the surface at the parametric equations of normal line to at yparametric las58. ecuaciones paramétricas de la recta asurface parametric line at 2 normal parametric equations of the normal line to the surface at the parametric equations ofthe the normal linenormal tothe the atthe the f x,equations yequations 25of ythe 2, surface 3, 4la superficie 65.ff68. 2x22x2222 6xy 9y2222223 8x 8x 14150 65. ff x, x,x,yyzyyy 50 2x 6xy 9y 8x 14 parametric of the normal line to the surface at the parametric equations of normal line to the surface at the 65. 2x 9y 14 y6xy 0.1x 20x 14 65. given point. 65. 2x 6xy 9y 8x 14 given point. 65. ff ffx,x, x,yyy 2x 2x22 6xy 6xy 9y 9y22 8x 8x 14 given point. en el punto dado. given point. 65. x, 2x 6xy 9y 8x 14 given point. 65. x, 2x 6xy 9y 8x 14 given point. 2 2 2 2 2 2 given point. given 59.point. z 9 4x 6y x y 2, 3, 4 66.ffffx,x, 3xy 5x 125 x,yyyy xxx2x2220.05y 3 66. 3xy yy2y2222 5x 5x x, 66. 3xy y20.6y 5x 66. 3xy y 2 66. 3xy 5x f x, y x 66. 3xy y 5x f x, y x 2 2 66. f f x,x,yy xx 3xy 3xy yy 5x 5x Surface Point Surface Point 66. Surface Point Surface Point Superficie Punto Surface Point 60. z 9 x2 y 2 Surface Point1, 2, 2 Surface Point 111111 111111 Surface Point 2y 67. f x, y xy 2 67. f x, y xy 1 1 2 57. f x, y x 2, 1, 4 67. xy 57. f x, x, y x2 y 2, 1, 67. 67. x,x,yyyyy xy xy 57. 2, 1, 57. 2, 67.ffff ffx,x, xy xx1xx yy1yy 57. x,x, 2,2,1, 1,1,444444 67. xy 57.ffff ffx, x,yyyyyyd 5xxxxxx22yy22yyyy 67. x,x, y xy 57. x y 57. 2,2, 1,1, 57. sx,x, s2, 1, 444d 22 xxx yyy 333 2 58. f y 25 y 2, 3, 2 58. f x, y 25 y 2, 3, 4 2 58. ff fx,x, yyy 25 yyy222 2, 3, 444 58. f y 25 y 2, 3, 4 68. z 50 x y 0.1x 20x 150 150 3 68. z 50 x y 0.1x 20x 150 58. x, 25 2, 3, 58. x, 25 2, 3, 68. z 50 x y 0.1x 20x 68. 58. f fsx,x,yyd 5 !25 252 yy 68. 50 0.1x 20x 150 68.zzzzz 50 50xxxxx yyyyy 0.1x 0.1x3333 20x 20x 150 150 58. 2,2,3, 3,3,444d s2, 58. 2 2 68. 50 0.1x 20x 150 68. 50 0.1x 20x 150 59. z 9 4x 6y 2, 3, 4 2x22 2y22 59. z 9 4x 6y x y 2, 3, 4 33 2 2 59. z 9 4x 6y x y 2, 3, 4 2 2 59. z 9 4x 6y x y 2, 3, 4 3 0.05y 20.6y 125 3 0.05y 20.6y 125 59. zzz 999 4x 6y xxx222 yyy222 2,2, 3,3, 444 59. 4x 6y 2, 3, 33 0.05y 20.6y 125 3 0.05y 20.6y 125 59. 4x 6y 0.05y 20.6y 125 0.05y3 20.6y 20.6y 125 125 59. zz 5 299 1 4x 4x 2 6y 6y 2 xx 2 yy 2, 23, 3, 4 s2, 59. 0.05y 20.6y 125 0.05y 60.zzzzz 1,2, 2,22222 4d 60. 99 x2x222 yy2222 1, 2, 60. 1, 2, 60. 1, 60. 1, 2, 60. zzzz5 !99999992 xxxxxxx222222 yyyyyyy22222 1,2, 2,2222d 60. 60. 1,1, 2,2, s1, 60.

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CAPÍTULO 13


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Review Exercises Redacción En los ejercicios 69 y 70, redactar un párrafo breve sobre la superficie cuyas curvas de nivel (los valores de c espaciaIn Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using dos uniformemente) se muestran. Hacer un comentario acerca de the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before los posibles extremos, puntos silla, la magnitud del gradiente, differentiating. etcétera. dw y 69. 70. 41. w ln x 2y y , dt x 42. u x 43. w

2t, y2

y

4

x,

du dt

Superficies Punto7.1 Rendimiento, y 1.2 9 y 2, y x 2, 2, 5 2 2 5 2, 1, 36 62. z x Minutos, y , z t3

x

sen t

xy , z

w t

13.1

7

8

y 15.5 16.0 63. Find the Rendimiento, angle of inclination of the 17.9 tangent 18.0 plane to the 2 2 2 surface x y z 14 at the point 2, 1, 3 . a) Utilizar el programa de regresión de una herramienta de 64. Approximation Consider following approximations for a graficación para hallar the la recta de regresión de mínimos function centered at f x, y 0, 0 . cuadrados para los datos. Después utilizar la herramienta de graficación para representar los datos y el modelo. Linear approximation: b) Utilizar una f 0, 0herramienta fx 0, 0 xde graficación fy 0, 0 y para trazar los punP1 x, y tos sln t, yd. ¿Parecen seguir estos puntos un modelo lineal con másapproximation: exactitud que los datos dados en el inciso a)? Quadratic c) el P2 Utilizar x, y f programa 0, 0 fx de 0, regresión 0 x fy de 0, 0una y herramienta de graficación para hallar la recta de regresión cuadrados 1 1 de mínimos 2 fxx 0, 0 x f 0, 0 xy f 0, 0 y 2 para los2 puntos sln t, yxyd y obtener 2 elyy modelo logarítmico y 5that a 1the b lnlinear t. approximation is the tangent plane to the [Note surface at una 0, 0,herramienta f 0, 0 . d) Utilizar de graficación para representar los modelos lineal y logarítmico. (a) datos Find ytheloslinear approximation of f x, y ¿Qué cosmodelo x senesy mejor? Explicar. centered at 0, 0 .

x

x 2r t, y rt, z 2r t 71. Ganancia o beneficio umáximo Una corporación fabrica, en u 2 44. dos z 2, digitales. u lugares, x 2 ycámaras , Las funciones de costo para pror t ducir x1 unidades en el lugar 1 y x2 unidades en el lugar 2 son x r cos t, y r sen t, z t C1 5 0.05x12 1 15x1 1 55400 400 In C Exercises 452 1 and 46,1differentiate implicitly to find the first 6 100 5 0.03x 15x 6100 2 2 2 partial derivatives of z. y la función del ingreso total es 45. x2 xy y2 yz z2 0 46. xz 2 y sen z 0 R 5 f225 2 0.4sx1 1 x 2dgsx1 1 x 2d. In Exercises 47–50, find the directional derivative of the function niveles of de v.producción en los dos lugares que maxiat PHallar in thelos direction mizan el beneficio Psx1, x2d 5 R 2 C1 2 C2. 47. Costo f x, y mínimo x 2y, Un5,fabricante 5 , v 3i 72. recibe4juna orden para 1 000

(b) ejercicios Find the quadratic of f x, y cosLagrange x sen y En los 77 y 78,approximation utilizar multiplicadores de centered at 0, 0 . todos los extremos de la función. para localizar y clasificar (c)5Ifxyy 1 yz in xz the quadratic approximation, you obtain the 01 77. w second-degree Taylor polynomial for what function? Restricción: x 1 y 1 z 5 1 (d) Complete the table. 78. z 5 x 2 y

1 2 48. unidades f x, y de 4 , vque 2ipueden j producirse en dos x 2, de 1, madera 4 ybancos 2 lugares. Sean y los números de unidades producidos en x x 49. w y v 2i j 2k xz, 1 1, 2, 2 2 , cada uno2de los dos lugares. La función del costo es 2 50. w 5x 2xy 3y z, 1, 0, 1 , v i j k C 5 0.25x12 1 10x1 1 0.15x22 1 12x 2. In Exercises 51–54, find the gradient of the function and the Hallar lavalue cantidad quedirectional debe producirse en cada lugar parapoint. satismaximum of the derivative at the given facer la orden y minimizar el costo.

Restricción: x y1 2yf5x,2y x P1 x, y P2 x, y 79. Costo mínimo Se va a construir un conducto para agua que va 0 0 del punto P al punto S y que debe atravesar por regiones donde los costos construcción difieren (ver la figura). El costo por 0 de0.1 kilómetro en dólares es 3k de P a Q, 2k de Q a R y k de R a S. 0.2 0.1 sea k = 1. Utilizar multiplicadores de Lagrange Para simplificar, para localizar x, y y z tales que el costo total C se minimice. 0.5 0.3

2 y, 51. Nivel 52.producción z e x cos z xde 2, 1 0, 73. producción La función de dey,un fabri4 cante de dulces es 2 y x 53. f zsx, yd 25 4x 21 54. z , 1, 1 , 2, 1 x y xy 1 2y x y

donde x es el número de unidades de trabajo y y es el número de In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, unidades de capital. Suponer que la cantidad total disponible (b) find a unit normal vector to the level curve f x, y c at P, para trabajo y capital es $2 000, y que las unidades de trabajo y (c) find the tangent line to the level curve f x, y c at P, and capital cuestan $20 y $4, respectivamente. Hallar el nivel de pro(d) sketch the level curve, the unit normal vector, and the ducción máximo de este fabricante. tangent line in the xy-plane. 74. Hallar la distancia mínima del punto (2, 2, 0) a la superficie 2. 2 55. z f5x,xy2 1 y9x 56. f x, y 4y sen x y 4y2 75. Modelo matemático La tabla muestra la fuerza de fricción y en c 65, P 3, 2 c 3, P , 1 2 kilogramos de un vehículo de motor a las velocidades x, en kilómetros por hora, indicadas. In Exercises 57–60, find an equation of the tangent plane and Velocidad, x 25 50 100 at125 parametric equations of the normal line to75the surface the given point. Fuerza de fricción, y 24 34 50 71 98 Surface Point a) Utilizar el programa de regresión de una herramienta de 2y 57. f x, y x 2, 1, 4 de regresión graficación para hallar un modelo cuadrático 2 por mínimos cuadrados para los datos. 58. f x, y 25 y 2, 3, 4 modelo total3,de4fricción cuan59.b)z Utilizar 9 el4x 6y parax 2estimar y 2 la fuerza2, do el vehículo está en movimiento a 80 kilómetros por hora. 2 2 60. z 9 x 1, 2, 2 y

9.9

61. z

t

cos t, y w , r

76. Modelo matemático Los datos en la tabla muestran el rendimiento y (en miligramos) en una reacción química después de In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent t minutos. line to the curve of intersection of the surfaces at the given point. Minutos, t 1 2 3 4

1 2 km SAC

CAS

0.5P Q

(e) Use a computer algebra system to graph the surfaces z 1 km f x, y , z P1 x, y , andRz P2 x, y . HowS does the x y z the distance from accuracy of the approximations change as 0, 0 increases? 10 km

80. Investigación la función objetivo ƒ(x, y)extrema 5 ax 1 In Exercises 65–68,Considerar examine the function for relative sujetapoints. a la restricción que xthe yy x 2y64 1 algebra y 2y36 5system 1. Suponer andby saddle Use a computer to graph son positivas. function and confirm your results. computadora y representar 2 sistema 65. a) f x,Utilizar y 2xun 6xy algebraico 9y 2 8xpor 14 gráficamente la restricción o ligadura. Si a 5 4 y b 5 3, uti66. f x,lizar 3xy algebraico y2 5x por computadora y representar y elx2sistema gráficamente1 las 1curvas de nivel de la función objetivo. 67. f x, y xy Mediante ensayo x y error, hallar la curva de nivel que parece ser tangente a la elipse. el resultado para aproximar 68. z 50 x y 0.1x 3 Utilizar 20x 150 el máximo3de f sujeto a la restricción o ligadura. 0.05y 20.6y 125 b) Repetir el inciso a) con a 5 4 y b 5 9.

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SP

1. La fórmula de Heron establece que el área de un triángulo con lados de longitudes a, b y c está dada por A 5 !sss 2 adss 2 bdss 2 cd donde s 5

a1b1c , como se muestra en la figura. 2 b

a c

a) Utilizar la fórmula de Heron para calcular el área del triángulo con vértices s0, 0d, s3, 4d, y s6, 0d. b) Mostrar que, de todos los triángulos que tienen un mismo perímetro, el triángulo con el área mayor es un triángulo equilátero. c) Mostrar que, de todos los triángulos que tienen una misma área, el triángulo con el perímetro menor es un triángulo equilátero. 2. Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con extremos hemisféricos, como se muestra en la figura. El depósito debe almacenar 1 000 litros de fluido. Determinar el radio r y longitud h que minimizan la cantidad de material utilizado para la construcción del tanque. r

h

5. a) Sean f(x, y) = x – y y g(x, y) = x2 + y2 = 4. Graficar varias curvas de nivel de f y la restricción g en el plano xy. Usar la gráfica para determinar el valor mayor de f sujeto a la restricción g = 4. Después, verificar su resultado mediante los multiplicadores de Lagrange. b) Sean f(x, y) = x – y y g(x, y) = x2 + y2 = 0. Encontrar los valores máximos y mínimos de f sujetos a la restricción g = 0. ¿Funcionará el método de los multiplicadores de Lagrange en este caso? Explicar. 6. Un cuarto caliente de almacenamiento tiene la forma de una caja rectangular y un volumen de 1 000 pies cúbicos, como se muestra en la figura. Como el aire caliente sube, la pérdida de calor por unidad de área a través del techo es cinco veces mayor que la pérdida de calor a través del suelo. La pérdida de calor a través de las cuatro paredes es tres veces mayor que la pérdida de calor a través del suelo. Determinar las dimensiones del cuarto que minimizan la pérdida de calor y que por consiguiente minimizan los costos de calefacción. V = xyz = 1 000

z

7. Repetir el ejercicio 6 suponiendo que la pérdida de calor a través de las paredes y del techo sigue siendo la misma, pero el suelo se aísla de manera que no hay ninguna pérdida de calor a través del mismo. 8. Considerar una placa circular de radio 1 dada por x 2 1 y 2 ≤ 1, como se muestra en la figura. La temperatura sobre cualquier punto Psx, yd de la placa es T sx, yd 5 2x 2 1 y 2 2 y 1 10. y 1

a) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P. b) Mostrar que el volumen del tetraedro formado en los tres planos de coordenadas y el plano tangente es constante, independiente del punto de tangencia (ver la figura). z

y

x

3. Sea Psx0, y0, z0d un punto en el primer octante en la superficie xyz 5 1.

x2 + y2 ≤ 1

1

−1

x

−1

3

a) Dibujar las isotermas T sx, yd 5 10. b) Hallar el punto más caliente y el punto más frío de la placa.

P

3 x

3

9. Considerar la función de producción de Cobb-Douglas

y

f sx, yd 5 Cxay12a,

0 < a < 1.

a) Mostrar que f satisface la ecuación x 4. Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar las 3 x 3 2 1 y gsxd 5 x en la misma pantalla. funciones f sxd 5 ! a) Mostrar que lím f f sxd 2 gsxdg 5 0. lím f f sxd 2 gsxdg 5 0 y lim lim

x→ `

981

x→2`

b) Hallar el punto en la gráfica de f que está más alejado de la gráfica de g.

f f 1y 5 f. dx dy

b) Mostrar que f stx, tyd 5 t f sx, yd. 10. Expresar la ecuación de Laplace denadas cilíndricas.

2u 2u 2u 1 1 2 5 0 en coorx 2 y 2 z

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Superficies 61. z

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982

62. z

Punto

y 2, y x CAPÍTULO 13 2 x y 2, z 3 9

2, 2, 5 Funciones de varias variables 2, 1, 3

63. Find the angle of inclination of the tangent plane to the 11. Un proyectil es lanzado a un ángulo de 45° respecto a la horisurface x 2 y 2 z 2 14 at the point 2, 1, 3 . zontal y con una velocidad inicial de 64 pies por segundo. Una 64. cámara Approximation Consider the following fordel a de televisión se localiza en el planoapproximations de la trayectoria function centered at f x, y 0, 0 . proyectil, 50 pies detrás del sitio del lanzamiento (ver la figura).

15. La figura muestra un rectángulo que tiene aproximadamente l 5 6 centímetros de largo y h 5 1 centímetro de altura. l = 6 cm

y Linear approximation:

P1 x, y

f 0, 0

h = 1 cm

fx 0, 0 x

fy 0, 0 y

Quadratic approximation: P2 x, y (−50, 0)

y sen z

f 0, 0 1 2 fxx

o find the first

α

(x, y)

fx 0, 0 x

0, 0 x 2

a) Dibujar una franja rectangular a lo largo de la región rectangular que muestre un pequeño incremento en la longitud.

fy 0, 0 y

fxy 0, 0 xy

1 2 fyy

0, 0 y 2

45°

x [Note that the linear approximation is the tangent plane to the surface at 0, 0, f 0, 0 .

0

(a) Find the linear approximation of f x, y cos x sen y centered 0, 0 . a) Hallar lasat ecuaciones paramétricas de la trayectoria del términos del parámetrooft fque (b) proyectil Find the en quadratic approximation x, yrepresenta cos x tiempo. sen y

of the function

centered el at ángulo 0, 0 . a que la cámara forma con la horizontal b) Expresar en términos de x yquadratic y y en términos de t. (c) If y 0 in the approximation, you obtain the second-degree Taylor del polynomial what function? c) Utilizar los resultados inciso b)for para calcular daydt. (d) Utilizar Complete table. d) unathe herramienta de graficación para representar a en términos de t. ¿Es simétrica la gráfica respecto al eje del arco parabólico qué momento x ydel proyectil? P¿En P2 x, y es mayor la f x, y 1 x, y razón de cambio de a? 0 0 e) ¿En qué momento es máximo el ángulo a? ¿Ocurre esto cuando proyectil está a su mayor altura? 0 el 0.1

k

nction and the he given point.

x

x

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In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent line to the curve of intersection of the surfaces at the given point.

tives (a) using titution before

cos y,

0,

4

12. Considerar la distancia d entre el sitio del lanzamiento y el 0.2 0.1 proyectil del ejercicio 11.

2

y

,

2, 1

e function at P, x, y c at P, c at P, and ector, and the 4y sen x P

2

y

,1

gent plane and surface at the

4

CAS

0.5 la 0.3distancia d en términos de x y y y en términos del a) Expresar parámetro t. 1 0.5 b) Utilizar los resultados del inciso a) para hallar la razón de cambio de d. SAC (e) Use a computer algebra system to graph the surfaces c) Hallar la razón de cambio de la distancia cuando t 5 2. z f x, y , z P1 x, y , and z P2 x, y . How does the d) Durante del proyectil, ¿cuándo la razón accuracyelofvuelo the approximations change es as mínima the distance fromo cambio de d? ¿Ocurre esto en el momento en el que el 0, 0 increases? proyectil alcanza su altura máxima? In Exercises examine the function for relative extrema 13. Considerar65–68, la función and saddle points. Use a computer algebra system to graph the sx 21y 2d, 0 < a < b. f sx, yand d 5 confirm sax 2 1 byour y 2de2results. function

||

computadora y representar 2 sistema 65. a) f x,Utilizar y 2xun 6xy algebraico 9y 2 8x por14 gráficamente la función empleando a 5 1 y b 5 2, e identi66. f x,ficar 3xyextremos y2 o5xpuntos silla. y todos x2 los 1 1 67. b) f x,Utilizar y xyun sistema algebraico por computadora y representar y gráficamentexla función empleando a 5 21 y b 5 2, e iden-

b) Dibuje una franja rectangular a lo largo de la región rectangular que muestre un pequeño incremento en la altura. c) Utilizar los resultados en los incisos a) y b) para identificar la medida que tiene mayor efecto en el área A del rectángulo. d) Verificar analíticamente la respuesta dada en el inciso c) comparando los valores de dA cuando dl 5 0.01 y cuando dh 5 0.01.

16. Considerar convertir un punto s5 ± 0.05,py18 ± 0.05d en coordenadas polares a coordenadas rectangulares sx, yd.

a) Utilizar un argumento geométrico para determinar si la exactitud en x depende más de la exactitud en r o de la exactitud en q. Explicar. Verificar analíticamente la respuesta. b) Utilizar un argumento geométrico para determinar si la exactitud en y depende más de la exactitud en r o de la exactitud en u. Explicar. Verificar analíticamente la respuesta. 17. Sea f una función de una variable derivable. Mostrar que los planos tangentes a la superficie z 5 y f sxyyd se cortan en un punto común. 18. Considerar la elipse y2 x2 1 251 2 a b que encierra el círculo x2 1 y2 5 2x. Hallar los valores de a y b que minimizan el área de la elipse. 19. Mostrar que 1 usx, td 5 [fsen sinsx 2 td 1 sen sinsx 1 tdg 2 es una solución a la ecuación de ondas unidimensional 2u 2u 5 2. t 2 x 20. Mostrar que

68. z tificar 50 x todos y los extremos 0.1x 3 20x 150silla. o puntos 3 0.05y los20.6y 125de los incisos a) y b) para la func) Generalizar resultados ción f.

1 usx, td 5 f f sx 2 ctd 1 f sx 1 ctdg 2

14. Demostrar que si f es una función diferenciable tal que

2u 2u 5 c2 2. t 2 x

=f sx0, y0d 5 0 entonces el plano tangente en sx0, y0d es horizontal.

es una solución a la ecuación de ondas unidimensional

(Esta ecuación describe la vibración transversal pequeña de una cuerda elástica como las de ciertos instrumentos musicales.)

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14 14

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Multiple Integration Integración múltiple

En capítulo se introduce el concepto Thiseste chapter introduces the concepts of de integrales dobles sobre regiones el double integrals over regions in the en plane plano e integrales triples sobre regiones and triple integrals over regions in space. en el espacio. In this chapter, you should learn the En este capítulo, se aprenderá: following. n Cómo evaluar una integral iterada y ■ How to evaluate integral encontrar el áreaan deiterated una región plana. and find the area of a plane region. (14.1) (14.1) n Cómo usar una integral doble para ■ How to use a double integral to find the encontrar el volumen de una región volume of a solid region. (14.2) sólida. (14.2) ■ How to write and evaluate double n Cómo escribir y evaluar integrales integrals in polar coordinates. (14.3) dobles en coordenadas polares. (14.3) ■ How to find the mass of a planar lamina, n the Cómo encontrar de una lámina center of masslaofmasa a planar lamina, ■ plana, el centro masausing de una and moments of de inertia double lámina plana integrals. (14.4y)los momentos de inercia usando integrales dobles. (14.4 ■ How to use a double integral to find the) n ■

n ■

n ■

n

area of usar a surface. (14.5) doble para Cómo una integral encontrar una superficie. How to useela área triplede integral to find the (14.5) center of mass, and moments of volume, inertia of a solid region. (14.6) Cómo usar una integral triple para How to write and evaluate tripledeintegrals encontrar el volumen, centro masa in cylindrical and spherical y momentos de inercia de coordinates. una región (sólida. 14.7) (14.6) How to use a Jacobian to change variables Cómo escribir y evaluar integrales in a double integral. (14.8) triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. (14.7) Cómo usar un jacobiano para cambiar variables en una integral doble. (14.8)

Langley Photography/Getty Images

The centerdeofpresión pressure a sail at en which the la total aerodynamic force El centro deon una velaisesthat esepoint punto el cual fuerza total may be assumed to act. Letting the que sail actúa. be represented a plane region, how por can aerodinámica puede considerarse Ya que labyvela es representada ■ you double integrals the center of integrales pressure ondobles a sail?para (Seeencontrar Section el una use región plana, ¿cómo to sefind pueden usar las 14.4, Project.) centroSection de presión sobre una vela? (Ver sección 14.4, sección proyecto.)

Se puede aproximar el volumen de una región sólida encontrando la suma de los volúmenes de prismas rectangulares representativos. Como el by número dethe prismas aproximaciónrectangular tiende a ser You can approximate the volume of a aumenta solid region finding sum ofrectangulares, the volumes oflarepresentative más y más exacta. En el capítulo 14 se aprenderá a usar integrales múltiples para encontrar el volumen de una prisms. As you increase the number of rectangular prisms, the approximation tends to become more and more región sólida. accurate. In Chapter 14, you will learn how to use multiple integrals to find the volume of a solid region.

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CAPÍTULO 14 Chapter 14

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Integración múltiple

Multiple Integration

14.1 Integrales iteradas y área en el plano 14.1 Iterated Integrals and Area in the Plane n

Evaluar una integral iterada.

■ Evaluateuna an iterated n Utilizar integralintegral. iterada para hallar el área de una región plana. ■ Use an iterated integral to find the area of a plane region.

Integrales iteradas Iterated Integrals NOTA En los capítulos 14 you y 15will se NOTE In Chapters 14 and 15, estudiarán varias aplicaciones de la study several applications of integration integración de funciones varias involving functions of severaldevariables. variables. Este capítulo es muy similar Chapter 14 is much like Chapter 7 in al capítulo 7 ya que ilustra el uso that it surveys the use of integration tode la hallar áreas planas, findintegración plane areas,para volumes, surface areas, volúmenes, áreas de moments, and centers ofsuperficies, mass. momentos y centros de masa. n

En Chapter el capítulo vio cómo funciones varias variables con of respecto In 13, 13 youse saw that it derivar is meaningful to de differentiate functions severala una variable manteniendo constantes las demás variables. Empleando un procedimiento variables with respect to one variable while holding the other variables constant. Yousimivarias variables. Por ejemplo, dada la example, derivada parcial lar seintegrate pueden integrar can functionsfunciones of severaldevariables by a similar procedure. For if you are given the partial derivative f sx, yd 5 2xy x

fxsx, yd 5 2xy entonces, considerando y constante, se puede integrar con respecto a x para obtener then, by considering y constant, you can integrate with respect to x to obtain Integrar con respecto a x. f sx, yd 5 fxsx, yd dx f sx, yd 5 fxsx, yd dx Integrate with respect to x. 5 5

EE EE EE

2xy dx 2xy dx

Mantener y constante. Hold y constant.

5 y 2x dx 5 y 2x dx

Sacar y como factor constante. Factor out constant y.

5 ysx 2d 1 Cs yd 5 ysx 2d 1 Cs yd 5 xx22yy 1 1C Cssyydd.. 5

Una primitiva (o antiderivada) de 2x es x 2. Antiderivative of 2x is x 2. Cs yd es una función de y. Cs yd is a function of y.

La “constante” integración, C C(y), funciónofde otras palabras, al integrar con The “constant” de of integration, s yd, es is auna function y. y. InEn other words, by integrating respecto a x,tosex,puede recobrar y) sólo Cómo totalmente with respect you are able toƒ(x, recover yd only partially. Therecobrar total recovery of a una f sx, parcialmente. función de y aypartir derivadas parciales es unyou tema que se estudiará en 15. el capífunction of x yand from de its sus partial derivatives is a topic will study in Chapter tulo now, 15. Por lo queconcerned interesa eswith extender las integrales For weahora, are more extending definite definidas integrals atofunciones functionsdeofvarias variables.variables. Por ejemplo, considerar constante, se ypuede aplicaryou el teorema fundamental several For alinstance, byy considering constant, can apply the del cálculo para evaluarof Calculus to evaluate Fundamental Theorem

E

2y

2y

4

2xy dx 5 x 2y

1

xx is variable esthe la variable of de integration integración and y isfija. fixed. y y es

1

5 s2yd2 y 2 s1d2y 5 4y 3 2 y.

Replace Sustituirxxby por the los limits límitesof integration. de integración.

The result is El resultado aesfunction una función of de y.y.

Similarly, can integrate respect procedures are y by holding x fixed. Both De manerayou similar se puede with integrar con to respecto a y, manteniendo x fija. Ambos procedisummarized as follows. mientos se resumen como sigue.

EE EE

h 2s yd h 2s yd fx x, y fx x, h1s yd h1s yd

s

g sxd 2 g sxd 2 fy x, y fy x, g1sxd g1sxd

s

h2s yd

44

d d dx 5 f sx, yd h2s y5 f sh s yd, yd 2 f sh s yd, yd s yd dx 5 f sx, ydh1s yd 5 f s2h2s yd, yd 2 f s1h1s yd, yd

With respect to x Con respecto a x.

h1s yd

g sxd 2 g sxd

44

2 d dy 5 f sx, yd 5 f sx, g sxdd 2 f sx, g sxdd s yd dy 5 f sx, ydg1sxd 5 f sx,2g2sxdd 2 f sx,1g1sxdd

With respect to y Con respecto a y.

g1sxd

Note that appear in either limit ofdeintegration. Nótese quethela variable variable of de integration integracióncannot no puede aparecer en ninguno los límitesFor de inteinstance, it makes no sense to write gración. Por ejemplo, no tiene ningún sentido escribir

EE

x x

0 0

y dx. y dx.

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SECCIÓN 14.1

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Integrar con respecto a y

EJEMPLO 1

E

Integrales iteradas y área en el plano

x

Evaluar

s2x 2y22 1 2yd dy.

1

Solución Se considera x constante y se integra con respecto a y, con lo que se obtiene

E

x

22x 2 1 2yd dy 5 1 y2 y

3

s

2x 2y22

1

5

4

122xx

x

Integrar con respecto a y. 1

2 122x1

2

1 x2 2

2

11

2

5 3x 2 2 2x 2 1. En el ejemplo 1 nótese que la integral define una función de x que puede ser integrada ella misma, como se muestra en el ejemplo siguiente.

La integral de una integral

EJEMPLO 2

E 3E

4

x

2

Evaluar

1

s2x 2y22 1 2yd dy dx.

1

Solución Utilizando el resultado del ejemplo 1, se tiene

E 3E

4 E

x

2

1

2

s2x 2y22 1 2yd dy dx 5

1

s3x 2 2 2x 2 1d dx

1 2

3

4

5 x3 2 x 2 2 x

Integrar con respecto a x.

1

5 2 2 s21d 5 3. y

y=x

La integral del ejemplo 2 es una integral iterada. Los corchetes usados en el ejemplo 2 normalmente no se escriben. Las integrales iteradas se escriben normalmente como

R: 1 ≤ x ≤ 2 1≤y≤x

EE b

2

a

1

x 1

2

La región de integración para

EE 2

1

x

f sx, yd dy dx

1

Figura 14.1

g2sxd

g1(xd

EE d

f sx, yd dy dx

y

c

h2s yd

h1s yd

f sx, yd dx dy.

Los límites interiores de integración pueden ser variables con respecto a la variable exterior de integración. Sin embargo, los límites exteriores de integración deben ser constantes con respecto a ambas variables de integración. Después de realizar la integración interior, se obtiene una integral definida “ordinaria” y la segunda integración produce un número real. Los límites de integración de una integral iterada definen dos intervalos para las variables. Así, en el ejemplo 2, los límites exteriores indican que x está en el intervalo 1 # x # 2 y los límites interiores indican que y está en el intervalo 1 # y # x. Juntos, estos dos intervalos determinan la región de integración R de la integral iterada, como se muestra en la figura 14.1. Como una integral iterada es simplemente un tipo especial de integral definida, en el que el integrando es también una integral, se pueden utilizar las propiedades de las integrales definidas para evaluar integrales iteradas.

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CAPÍTULO 14


Área de una región plana

y

En el resto de esta sección se verá desde una perspectiva nueva un viejo problema, el de hallar el área de una región plana. Considérese la región plana R acotada por a # x # b y g1(x) # y # g2(x), como se muestra en la figura 14.2. El área de R está dada por la integral definida

La región está limitada o acotada por a≤x≤by g1(x) ≤ y ≤ g2(x)

E

g2

b

f g2sxd 2 g1sxdg dx.

Área de R.

a

R

Usando el teorema fundamental del cálculo, se puede reescribir el integrando g2sxd 2 g1sxd como una integral definida. Concretamente, si se considera x fija y se deja que y varíe desde g1sxd hasta g2sxd, se puede escribir

g1

∆x

x

a

b b

g2(x)

a

g1(x)

Área =

E

g2sxd

g1sxd

dy dx

g2sxd

4

dy 5 y

g1sxd

5 g2sxd 2 g1sxd.

Combinando estas dos integrales, se puede expresar el área de la región R mediante una integral iterada

Región verticalmente simple Figura 14.2

EE b

a

g2sxd

g1sxd

E E

b

dy dx 5

a

g2sxd

4

y

g1sxd

dx

Área de R.

b

5

fg2sxd 2 g1sxdg dx.

a

Colocar un rectángulo representativo en la región R ayuda a determinar el orden y los límites de integración. Un rectángulo vertical implica el orden dy dx, donde los límites interiores corresponden a los límites o cotas superior e inferior del rectángulo, como se muestra en la figura 14.2. Este tipo de región se llama verticalmente simple, porque los límites exteriores de integración representan las rectas verticales x 5 a y x 5 b. De manera similar, un rectángulo horizontal implica el orden dx dy, donde los límites interiores están determinados por los límites o cotas izquierda y derecha del rectángulo, como se muestra en la figura 14.3. Este tipo de región se llama horizontalmente simple, porque los límites exteriores representan las rectas horizontales y 5 c y y 5 d. Las integrales iteradas utilizadas en estos dos tipos de regiones simples se resumen como sigue.

La región está limitada o acotada por c≤y≤dy h1(y) ≤ x ≤ h2(y) y

d R ∆y

ÁREA DE UNA REGIÓN EN EL PLANO

c

1. Si R está definida por a # x # b y g1(x) # y # g2(x), donde g1 y g2 son continuas en fa, bg, R está dada por h1

h2 d

h2(y)

c

h (y) 1

Área =

dx dy

Región horizontalmente simple Figura 14.3

x

EE b

A5

a

g2sxd

dy dx.

Figura 14.2 (verticalmente simple).

g1sxd

2. Si R está definida por c # y # d y h1(y) # x # h2(y), donde h1 y h2 son continuas en fc, dg, entonces el área de R está dada por

EE d

A5

c

h2syd

dx dy.

Figura 14.3 (horizontalmente simple).

h1syd

NOTA Hay que observar que en estas dos integrales el orden de integración es diferente; el orden dy dx corresponde a una región verticalmente simple, y el orden dx dy corresponde a una región horizontalmente simple. n

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SECCIÓN 14.1


987

Si los cuatro límites de integración son constantes, la región de integración es rectangular, como ocurre en el ejemplo 3. EJEMPLO 3

Área de una región rectangular

Utilizar una integral iterada para representar el área del rectángulo que se muestra en la figura 14.4.

y

Solución La región de la figura 14.4 es verticalmente simple y horizontalmente simple, por tanto se puede emplear cualquier orden de integración. Eligiendo el orden dy dx, se obtiene lo siguiente.

Región rectangular d

d−c

冕冕 b

R

a

冕冕

d

b

dy dx ⫽

c

冥 dx

Integrar con respecto a y.

c

a b

⫽

c

d

y

共d ⫺ c兲 dx

a b

冤

x

b

a

冥

⫽ 共d ⫺ c兲x

b−a

Integrar con respecto a x. a

⫽ 共d ⫺ c兲共b ⫺ a兲

Figura 14.4

Nótese que esta respuesta es consistente con los conocimientos de la geometría. EJEMPLO 4

Hallar el área por medio de una integral iterada

Utilizar una integral iterada para hallar el área de la región limitada o acotada por las gráficas de sin xx f 共x兲 ⫽ sen g共x兲 ⫽ cos x

y = cos x π 4

π 2

−1

π

3π 2

Δx

y = sen x Área =

Figura 14.5

5π /4 sen x

π /4

La curva coseno constituye el límite o cota inferior.

between entre x ⫽ ␲兾4 y x ⫽ 5␲兾4.

5π R: π 4 ≤x≤ 4 cos x ≤ y ≤ sen x

y

La curva seno constituye el límite o cota superior.

x

Solución Como ƒ y g se dan como funciones de x, es conveniente un rectángulo representativo vertical, y se puede elegir dy dx como orden de integración, como se muestra en la figura 14.5. Los límites exteriores de integración son ␲兾4 ⱕ x ⱕ 5␲兾4. Dado que el rectángulo está limitado o acotado, superiormente por ƒ(x) ⫽ sen x e inferiormente por g共x兲 ⫽ cos x, se tiene Area de of R ⫽ Área

dy dx

cos x

⫽ ⫽

冕冕冕冥冕 5␲兾4

sin sen x

dy dx

cos x ␲兾4 5␲兾4 sin x sen

y

␲兾4 5␲兾4 ␲兾4

冤

dx

Integrar con respecto a y.

cos x

共sen sin xx ⫺ cos x兲 dx 5␲兾4

冥

⫽ ⫺cos x ⫺ sen sin xx

␲兾4

Integrar con respecto a x.

⫽ 2冪2. NOTA La región de integración en una integral iterada no necesariamente debe estar acotada por rectas. Por ejemplo, la región de integración que se muestra en la figura 14.5 es verticalmente simple aun cuando no tiene rectas verticales como fronteras izquierda y derecha. Lo que hace que la región sea verticalmente simple es que está limitada o acotada superiormente e inferiormente por gráficas de funciones de x. I

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CAPÍTULO 14

988

1:27 PM


Con frecuencia, uno de los órdenes de integración hace que un problema de integración resulte más sencillo de como resulta con el otro orden de integración. Por ejemplo, hacer de nuevo el ejemplo 4 con el orden dx dy; sorprenderá ver que la tarea es formidaMultiple Integration ble. Sin embargo, si se llega al resultado, se verá que la respuesta es la misma. En otras palabras, el orden de integración afecta la complejidad de la integración, pero no el valor de la integral. One order of integration will often produce a simpler integration problem than the

Chapter 14

other order. For instance, try reworking Example 4 with the order dx dy—you may be to see thatde thediferentes task is formidable. However, if you succeed, you will see that EJEMPLO 5 surprised Comparación órdenes de integración the answer is the same. In other words, the order of integration affects the ease of integration, the value ofpor thelaintegral. Dibujar la región cuya áreabut estánot representada integral

y

EE

R: 0 ≤ y ≤ 2 y2 ≤ x ≤ 4

3

2

0

(4, 2)

x = y2

2

3 1

0

x

2

3x = y 4

22

2 4

−1

Área =

1

0 y2

dx dy

a) 1

3

2

y

R:− 10 ≤ x ≤ 4 0≤y≤ x

3

2

Area =

(a) y= x y

R: 0 ≤ x ≤ 4 0≤y≤ x

3 1 −1

y= 2 2 ∆x 3 4

Área = 1

x

x4

0 # y # 2 Outer limits of integration se sabe que R está limitada o acotada inferiormente por el eje x, como se muestra en la figura 14.6a. Elyou valor de that esta Rintegral es below by the x-axis, as shown in Figure 14.6(a). The value know is bounded of this integral is 2 4 2 4 2 dx dy 5 2 x4 dy Integrar con respecto a x. 4 0 y2 0 y 2 dy 5 dx x dy Integrate with respect to x.

EE

5

(4, 2)

2 ∆x 3

dy dx

Area = 0 0

Figure 14.6

x

4

d dy 5

y2

y2

2

s4 2 y 2d dy

4 3

0

y 3 2 16 3 5 . 3 0 5 34y 2 y 3

5 4y 2

4

(b)

s4 2

3

dy dx

E E

0

0

b)

−1

EE E 4 E 0 2 y2

x

1

y2

dx dy

0 0

Figura 14.6

5 Comparing Different Orders of Integration

Solución De Then acuerdo los límites deintegral integración se sabe dy dxque findcon another iterated usingdados, the order to represent the same area and (4, 2) show that both integrals yield the same value. y2 # x # 4 Límites interiores de integración. Solution From the given limits of integration, you know that ∆y lo cual significa que la izquierda por la parábola y 2 la x # 4 R está limitada o acotada a Inner limits of integration # región x 5 xy 2 y a la derecha por la recta x 5 4. Además, como 4 which means that the region R is bounded on the left by the parabola x 5 y 2 and on because 0 # y # 2the right by the line x 5 4. Furthermore, Límites exteriores de integración. 4

0 y2

(4, 2)

1

EXAMPLE dx dy.

y2

EE

R: 0 ≤ y ≤ 2 ∆y y2 ≤ x ≤ 4

1

4

Sketch the region whose area is represented by the integral Después hallar otra integral iterada que utilice el orden dy dx para representar la misma área 2 4 y mostrar que ambas integrales dx dy. dan el mismo valor.

y

2

Page 988

x 4Para cambiar

4

2 Integrar 16 0

5

3

.

con respecto a y. Integrate with respect to y.

elTo orden de integración dy dx, se coloca un rectángulo vertical en la región, change the order ofaintegration to dy dx, place a vertical rectangle in the region, as como se muestra en lainfigura ConFrom esto this se puede versee quethat los the límites o cotas cons-0 # x # 4 shown Figure14.6b. 14.6(b). you can constant bounds tantes 0 # x #serve 4 sirven como límites de integración. Despejando de la ecuaas the outer limitsexteriores of integration. By solving for y in they equation x 5 y 2, you 2 ción x 5 y , secan concluye quethat los límites interiores Por the tanto, el área conclude the inner boundsson are 0 # y # !x. So, area of thederegion can la región también representar alsosebepuede represented by por

EE 4

0

EE

!x

4

!x

dy dx.

0

dy dx.

0

0

By evaluating this integral, you can see that it has the same value as the original Evaluando estaintegral. integral, se ve que tiene el mismo valor que la integral original.

EE 4

0

!x

0

EEE 4 E !x

4

4

dy dx 50

0 4

5

0

!x dx

0

4

2 5 x3y2 3

E E

4

dy dx 5 dx 0y !x

4 0

5

0 4

4

!x

y

dx

Integrate with respect to y. Integrar con respecto a y.

0

!x dx

0

4

2 3y2 5 163 x 5 3

4 0

16 Integrate with respect to x. 3 con respecto a x. Integrar

5

■

The icon indicates that you will find a CAS Investigation on the book’s website. The CAS Investigation is a collaborative exploration of this example using the computer algebra systems Maple and Mathematica.

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SECCIÓN 14.1


989

Algunas veces no es posible calcular el área de una región con una sola integral iterada. En estos casos se divide la región en subregiones de manera que el área de cada subregión pueda calcularse por medio de una integral iterada. El área total es entonces la suma de las integrales iteradas. TECNOLOGÍA Algunos paquetes de software pueden efectuar integración simbólica de integrales como las del ejemplo 6. Tales programas se pueden utilizar para evaluar las integrales de los ejercicios y ejemplos dados en esta sección.

Un área representada por dos integrales iteradas

EJEMPLO 6

Hallar el área de la región R que se encuentra bajo la parábola y 5 4x 2 x 2

La parábola forma el límite o cota superior.

sobre el eje x, y sobre la recta y 5 23x 1 6.

La recta y el eje x forman el límite o cota inferior.

Solución Para empezar se divide R en dos subregiones R1 y R2 como se muestra en la figura 14.7. y

y = −3x + 6

4

3

y = 4x − x2 (1, 3) R1 R2

2

∆x 1

1 2

4x − x2

Área = 1

x

∆x

2

4

4

4x − x2

2

0

dy dx +

−3x + 6

dy dx

Figura 14.7

En ambas regiones es conveniente usar rectángulos verticales y se tiene

EE E 2

Área Area 5 5

4x2x 2

1 23x16 2

EE 4

dy dx 1

2

4x2x 2

dy dx

0

1

3

1

s4x 2 x 2d dx

2

2

4

7x 2 x 3 5 2 2 6x 2 3 5 14 2

E

4

s4x 2 x 2 1 3x 2 6d dx 1

1

3

x3 1 2x 2 2 3

4

4 2

2 1

2

8 7 1 64 8 15 2 12 2 1 1 6 1 32 2 281 5 . 3 2 3 3 3 2

El área de la región es 15/2 unidades cuadradas. Tratar de comprobar el resultado usando el procedimiento para hallar el área entre dos curvas, que se presentó en la sección 7.1. NOTA

En los ejemplos 3 a 6, hay que observar la ventaja de dibujar la región de integración. Se recomienda desarrollar el hábito de hacer dibujos como ayuda para determinar los límites de integración de todas las integrales iteradas de este capítulo. n

En este punto, uno se puede preguntar para qué se necesitan las integrales iteradas. Después de todo, ya se sabe usar la integración convencional para hallar el área de una región en el plano. (Por ejemplo, comparar la solución del ejemplo 4 de esta sección con la del ejemplo 3 en la sección 7.1.) La necesidad de las integrales iteradas será más clara en la sección siguiente. En esta sección se presta especial atención a los procedimientos para determinar los límites de integración de las integrales iteradas, y el conjunto de ejercicios siguiente está diseñado para adquirir práctica en este procedimiento importante.

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14:31

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CAPÍTULO 14


14.1 Ejercicios En los ejercicios 1 a 10, evaluar la integral.

冕冕冕冕冕

x

1.

共x 2y兲 dy

0 2y

3.

1

2.

x

y dx, x

y > 0

4.

y dy x

6.

冪1y2

y > 0

8.

冪1y2

yey兾x dy

10.

2

1 x

共x 2 y 2兲 dx

2

6

4

11.

冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冢冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕

共x y兲 dy dx

0

13.

4

14.

1

y cos x dy dx

0

16.

0

e xy dy dx

0

共1 cos x兲 dy dx

40. y

冪1 x 2 dy dx

22.

3y

1 0 2 2y

0

29.

共x y兲 dx dy

24.

44. y x,

0 兾2

冕冕冕冕冕冕

2 dx dy 冪4 y 2

2 cos

0

0

兾2

sin sen

r dr d

26. 28.

3y dx dy

冪3 cos

冪3

0

0

r dr d

0

51.

sin dr d sen

1

33.

1

32.

0

1

冕冕冕冕 3

y dy dx

0

1 dx dy xy

0

x2 dy dx 1 y2

34.

0

0

2 2 xye共x y 兲 dx

x2

yx2 x 0,

y0

冕冕冕冕冕冕冕冕 4

f 共x, y兲 dx dy

48.

0

2

f 共x, y兲 dy dx

50.

0

2

冪y

52.

ex

f 共x, y兲 dy dx

54.

f 共x, y兲 dy dx

0

兾2

1

f 共x, y兲 dy dx

0

1

0

f 共x, y兲 dx dy

4x 2

2

f 共x, y兲 dx dy

1 x 2

1兾x

x9

ln y

1

53.

0

冕冕冕冕

y 0,

y0

0

1

En los ejercicios 31 a 34, evaluar la integral iterada impropia. 31.

y 2x,

冪4x2

2

r dr d 3r 2

x y 5,

0

10

cos

5

y0

y

2

49.

0

兾4

冕冕冕冕冕冕冕冕 4

47.

4 dx dy 2 y2 x 0

兾4

4

En los ejercicios 47 a 54, dibujar la región R de integración y cambiar el orden de integración.

2yy 2

3y 26y 3 y

1

x 0,

y x,

46. x2 y2 4, 2

3

x2 y 2 43. 2 2 1 a b 45. y 4 x2,

0

冪4y2

0

30.

冪64 x 3 dy dx

冣

0

2

27.

4 0

共10 2x 2 2y 2兲 dx dy

0

25.

冕冕

1 3 x2 y2 dx dy 4

0 y 1 冪1y2

23.

20.

x

2

1

4

y 2x

x3兾2,

42. xy 9,

x2

4

0

5

21.

3

41. 2x 3y 0,

2yex dy dx

0

1 x

39. 冪x 冪y 2,

sen sin x

1 1 1 x

19.

1

En los ejercicios 39 a 46, utilizar una integral iterada para calcular el área de la región limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones.

0 0 4 冪x

18.

2≤x≤5

2

1

ln 3

0

1 x−1

3

共x y2兲 dx dy

ln 4

y= 4

3

1 1

0

兾2

17.

2

2

5

2

共x 2 y 2兲 dy dx

3

1 y

38. y = 4 − x2

2

1 2

共x 2 2y 2兲 dx dy

1

15.

12.

0

2

冕冕冕冕冕冕 1

(2, 1) x

3 2

(1, 1)

8

y

37. sin3 x cos y dx sen

En los ejercicios 11 a 30, evaluar la integral iterada. 1

(2, 3)

2

(8, 3)

4

y

0

(1, 3) 3

兾2

x3

y

6

共x 2 3y 2兲 dy

x3

y ln x dx, 7. x y e

36.

8

y dx

冪x

dy

y

35.

0

x 2y

0 y

9.

En los ejercicios 35 a 38, utilizar una integral iterada para hallar el área de la región.

cos y

冪4x2

5.

冕冕冕冕冕

x2

cos x

兾2

f 共x, y兲 dy dx

0

En los ejercicios 55 a 64, dibujar la región R cuya área está dada por la integral iterada. Después cambiar el orden de integración y mostrar que ambos órdenes dan la misma área.

冕冕冕冕 1

55.

0

dy

1

57.

0

2

冕冕冕冕 2

dy dx

56.

0

1

冪1y2

冪1y2

dx dy

58.

4

dx dy

2

2

冪4x2

2

冪4x2

dy dx

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1053714_1401.qxp 10/27/08 1:27 PM Page 991 1053714_1401.qxp 1053714_1401.qxp 10/27/08 10/27/08 1:27 1:27 PM PM Page Page 991 991

SECCIÓN 14.1

EE EE EE EE 2

59. 60. 59. 59. 61. 60. 60.

EE EE 4

x

dy dx 1

42x

CAS

dy dx

0 0 2 0 4 xy2 6 62x 2 x 2dyx dx 1 4 4 4x 4dyxdx 2 x 4 4 x 59. 0 0 dy dxdy dx 4 0 dy dxdy dx dy dx dy dx 9 3 02 01 0 0 2 0 2 0 0 0 4 x 2 2 0 4 x 2dy dx 6 6 6x 6 x dy dx 62. 4 x 2 6 6 x dy dx 0 !x 60. dy dx 0 xy2 dy dxdy dx dy dx dy dx 0 0 0 0! 4 0 4 0 01 0 3 y 2 1 4 0 2 9 23 2 1 9 342y 2 1 9 3 0 x 2 1 33 y1 1 y

3

x 4 2y 22 4 4 y

0 2 2

EE EE EE EE

2x

2 the integral. the integral. 0 xiterated the iterated iterated integral.

1 2y 2 2x 2

y2

dx dyla igual63. pensar 64. dxDar dy un argumento para 65. dx 63. 64. dx dy dx dy dy 63. Para 64. geométrico dy 0 dx y2 2 0 2 0 0 y 22Verificar dad. la igualdad analíticamente. 2 0 0 y

EE EE

14.1 Iterated Integrals and Area inPlane the Plane 991 991 Iterated and in En14.1 los ejercicios 73 aIntegrals 76, utilizar unArea sistema algebraico 14.1 Iterated Integrals and Area in the the Plane por compu991 tadora y evaluar la integral iterada. 2

dxdy dydx 64. 62. dy dx 62. 62. 22 0 x0dy dx x 0

y

991

In Exercises 73–76, a computer algebra system to evaluate CAS CAS 3 2use ause 73.Exercises 1 3y d dy adxcomputer CAS In In Exercisessx73–76, 73–76, use computer algebra algebra system system to to evaluate evaluate

EE EE

63. dx dydy dx 61. 61. dyx dx dx 61. 00 yx 2 20dy 2


2x

2 2x sen 74. 73. sin 3 2yd dx 2dy 3 sx x1 3y dy dx 73. 73. 00 xy2 0 xx3x 2 3y 3y 2 dy dy dx dx 2 0 4 x y 1 2y 1 2y 2 1 2y 75. 74. yd dx dx dy dy 74. dx ssin x y1xx sin 1dsyyx 1 74. 00 y0 0sin dx1dy dy 0 a y a2x 4 y 4 y

4 y 22 y 2d2dy dx 76. 75. sx 2 1 dx dy 75. 75. 00 00 0x 0 1x y 1 1y dx dx1dy dy x a 1x y 1 0 0 a a a

a x a x

22 76. y 2dxdy dx xx22 xy77 CAS 76. 76. y 2 ydy dy78, dx a) dibujar la región de integración, En los ejercicios 502x 65. ! Think About It Give a geometric argument forequality. the equality. 0 0 0 0 65. Think About It Give a geometric argument for the 2 2 0 0 65. Think About x yIt dyGive dx 5a geometric argument for the equality. b) cambiar el orden de integración y c) usar un sistema algeVerify the equality analytically. Verify equality 0 x the Verify the equality analytically. analytically. In por Exercises 77 and (a) (a) sketch the region of integration, CAS CAS In Exercises 77 sketch of integration, braico computadora y78,mostrar queregion ambos dan el 5 x2 50 x2 5 y 50 CAS In Exercises 77 and and 78, 78, (a) sketch the the region ofórdenes integration, 5 5!2 !502y2 5 50 x2 2 2 2 2 (b) switch the order of integration, and (c) use a computer (b) switch the order of integration, and (c) use a computer mismo valor. x y dy dx 2 2 xx 2ydy (b) switch the order of integration, and (c) use a computer x y dx dy x 2y 2 dx 1 dx y 2 dy dy dx algebra system to show that both orders yield the same value. x 0 x 0 0 algebra system to show that both orders yield the same value. 0 5 0 0 x algebra2 system to show that both orders yield the same value. 4!2y 2 y2 50 y2 5 yy 5 y 5 2 5 50 2 22y 4sx 22yy 2 xy 2d dx dy 2 4 5 5 2 y 2 2 50 y 77. 2 dx dy 2 4 2y x 2 ydy x ydy y =dx dy 50 − x 2 x 22y 22 dx x 22y 22 dx 0 y3 77. y 2 xy 2dydx dy 77. x 22y x 2xy 77. 0 2 y 342x xy 2 dx dx dy ( 0,00 500 x02 )y0 dx dy 55 500 0 x y dx dy 3x y 0 2yy4 3 0 y xy 2x 2 44 x 2 4 2 4 dy dx 78. y 2 5y 2 4 x 4 2 xy 2 − x2 y y (5, = 5) 50 y 2 1xy1dy dxdy dx yy == 50 78. 0 !42x2 x 1xy 78. 50 −− xx 2 2 dy dx 2 2 x 22 78. 1 yy 2 y11 2x ((0,0, 55 (0,22 ))5 2 ) 40 x22 4x 0 4 x x 0 y=x 5 CAS En los ejercicios 79 a 82, usar un sistema algebraico por compu5 (5, 5) In Exercises 79–82, a computer algebra system to approxi(5, 5 CAS CAS In Exercises 79–82, use ause computer algebra system to approxi(5, 5) 5) x CAS In Exercises 79–82, use a computer algebra system to approxitadora y iterated aproximar laintegral. integral iterada. mate the iterated mate the integral. 5 mate the iterated integral. y=x y=x 5

2

E E

EE EE

y=x 5 5

Para discusión

CSSATTP S N ECompletar las integrales iteradas en forma tal CC66. AA PPPara OOpensar N NTEEO que cada una represente el área de la región R (ver la figu-

66. Think AboutComplete It Complete the iterated integrals so that 66. About the iterated integrals so 66. Think Think About It Itdemostrar Complete iterated integralstienen so that thatla ra). Entonces quetheambas integrales R figure). each one represents the of area ofregion the region (see figure). R each one represents the area the (see each one represents the area of the region R (see figure). misma área. Then show that both integrals yieldsame the same area. Then Then show show that that both both integrals integrals yield yield the the same area. area. a) Área dx dydx dy a) a) Área Área dx dy

2

yy ==

yx = x

1 1

1

R R

R

x x yy == x y = 2 22 23 3

x 4

34 4

Inejercicios Exercises sketch the region of integration. Then In Exercises 67–72, sketch the region integration. Then En 67 67–72, a 72, trazar la región In los Exercises 67–72, sketch the regiondeof ofintegración. integration.Después Then evaluate the iterated integral. (Note that it is necessary to switch evaluate the iterated integral. (Note that it is necessary to switch evaluar integral iterada. (Observar que necesariotocambiar evaluatelathe iterated integral. (Note that it isesnecessary switch the order of integration.) the order integration.) el theorden orderdeof ofintegración.) integration.) 2 2 2 2 4 2 4 2 3 2 2 4 2 33 3 dy dx 67. x!1 x1 y133 dy ydx 68. 68. 67. 68. 3dxdy dx 67. 68. 0 x0 2 x y233 dy x0 x1 y dy dx dyydx 0 x 2 y

EE

0 2x 1 1 1 1 1

1

2

2 4ey dy dx 69. 69. 4eyy 2 dy dy dx dx 69. 0 2x 4e 0 2x

EE

1 1 71. x 2 dx dy 71. sin xx22sin dx 71. 0 y sen sin dx dy dy 0 yx 2 dx dy 71. sin 0 y 0

y

82. 82. 82. 82.

000 0

00 0

0

15 dr 15urrr15 drdddr udr d 15 dr

Desarrollo conceptos 83. Explain de what is meantanbyiterated an iterated integral. How is it 83. 83. Explain Explain what what is is meant meant by by an iterated integral. integral. How How is is itit evaluated? evaluated? 83. evaluated? Explicar qué se quiere decir con una integral iterada. ¿Có84. se Describe regionsare that are vertically simpleregions and regions that 84. regions mo evalúa? 84. Describe Describe regions that that are vertically vertically simple simple and and regions that that are horizontally simple. are horizontally simple. horizontally simple. 84. are Describir regiones que sean verticalmente simples y re85. Give geometric description ofregion the region of integration if 85. aa geometric description giones quea sean horizontalmente simples. 85. Give Give geometric description of of the the region of of integration integration if if the inside and outside limits of integration are constants. the inside and outside limits of integration are constants. and outsidegeométrica limits of integration are de constants. 85. the Darinside una descripción de la región integración 86.losExplain why it is ysometimes an toson change the 86. why an to the si límites interiores exteriores de advantage integración cons86. Explain Explain why it it is is sometimes sometimes an advantage advantage to change change the order of integration. order of integration. tantes.of integration. order

(4, 2) (4, (4, 2) 2)

x

12 2

1 1

2

81. 81. 81.

NBBGOOAU ESP T S W TT IIRN PPC TT S W RR IIW NIGGT IAA UBTTOCCUOOTN NCCCOEEN

2 2

0 x 1 1 2 1 2

80. 80. 80.

b) Área dy dxdy dx b) b) Área Área dy dx

y

y y

EE EE EE E E

2x 2 2 4 x 2 22 442x 2 4 x 2 xyxy xy dy e dxdy dx eeexy dy dy dx dx 0 0 0202 2 2 2 2 2 2 3 dy dx 80. !16 16 216 dyydx dx xxx333 2xyyy3333dy 16 dy dx 00 xx 0 x 0 x 2 22p 111cos cos 1 cos 2 1 cos u 81. 6r 2 ucos 6r dr 6r222cos cos drdddudr d 6r cos dr 0 00 000 0 0 2sin 1 sin 2 111sin py2 2 1 sin u

79. 79. 79. 79. 00 00

x

x 5 x

0 2 2

EE EE

x 2 2 2 2

2 2 2 y 22 e y2 dy dx y dy 2ydx dy dxdy dx x e 0 x 02 x 4 2 4 2 4 72. 2 4 x sin x dx

70. e 70. 70. 70. e 0 x 0

dy 72. xx sin dx 72. 72. sin xx sin dx dy dy x dx dy 0 y 22 0 y 2 !x sen 0 y 0

y2

86. Explicar por qué algunas veces es una ventaja cambiar el orden de integración. True or False? Exercises In Exercises 87 anddetermine 88, determine whether the True True or or False? False? In In Exercises 87 87 and and 88, 88, determine whether whether the the statement is true or false. If false, it is false, explain why or an give an statement is true or false. If it is explain why or give statement is true or false. If it is false, explain why or give an example that shows itlos is false. example that it ¿Verdadero falso? Enfalse. ejercicios 87 y 88, determinar si la example thatoshows shows it is is false. b d b d do falsa. b d bSi es falsa, explicar por qué o declaración es verdadera b d d b 87. ejemplo f x, ydxdemuestre dy dx f dx x, ydydx dy 87. ff x, ff que x, dar un que 87. x, yy dy dy dx x, yy es dxfalsa. dy a c a c a c 1 x 1b xd 1 x

EE EE

c a c a c a 1 y 1d y b 1 y

EE EE

x,dyydx 88. sx,x,yyyf ddy dxdy5dx 87. 88. fff x, 88. dy dx 0 0 0 0 0 88.

0

0

x,dxydy ff f x, sx,x,yyyf ddx dydx dy dx dy 0

0 0 0c 0a 1 y

0a 0c 1 x

f sx, yd dy dx 5

0

0

f sx, yd dx dy

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CAPÍTULO 14


14.2 Integrales dobles y volumen n n n n

Utilizar una integral doble para representar el volumen de una región sólida. Utilizar las propiedades de las integrales dobles. Evaluar una integral doble como una integral iterada. Hallar el valor promedio de una función sobre una región.

Integrales dobles y volumen de una región sólida Superficie: z = f(x, y)

Se sabe que una integral definida sobre un intervalo utiliza un proceso de límite para asignar una medida a cantidades como el área, el volumen, la longitud de arco y la masa. En esta sección, se usará un proceso similar para definir la integral doble de una función de dos variables sobre una región en el plano. Considérese una función continua f tal que f sx, yd ≥ 0 para todo sx, yd en una región R del plano xy. El objetivo es hallar el volumen de la región sólida comprendida entre la superficie dada por

z

z 5 f sx, yd y

R

x

Figura 14.8

Superficie sobre el plano xy.

y el plano xy, como se muestra en la figura 14.8. Para empezar se sobrepone una red o cuadrícula rectangular sobre la región, como se muestra en la figura 14.9. Los rectángulos que se encuentran completamente dentro de R forman una partición interior D, cuya norma iDi está definida como la longitud de la diagonal más larga de los n rectángulos. Después, se elige un punto sxi, yid en cada rectángulo y se forma el prisma rectangular cuya altura es f sxi, yi d, como se muestra en la figura 14.10. Como el área del i-ésimo rectángulo es DAi

Área del rectángulo i-ésimo.

se sigue que el volumen del prisma i-ésimo es f sxi , yi d DAi

Volumen del prisma i-ésimo.

y el volumen de la región sólida se puede aproximar por la suma de Riemann de los volúmenes de todos los n prismas, n

o f sx , y d DA i

i

Suma de Riemann.

i

i51

como se muestra en la figura 14.11. Esta aproximación se puede mejorar tomando redes o cuadrículas con rectángulos más y más pequeños, como se muestra en el ejemplo 1. z


z

z

f (xi , yi)

(xi , yi) y

y

y x

x

Los rectángulos que se encuentran dentro de R forman una partición interior de R

Prisma rectangular cuya base tiene un área de DAi y cuya altura es f sxi, yi d

Volumen aproximado por prismas rectangulares

Figura 14.9

Figura 14.10

Figura 14.11

x

R

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SECCIÓN 14.2

EJEMPLO 1

Integrales dobles y volumen

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Aproximar el volumen de un sólido

Aproximar el volumen del sólido comprendido entre el paraboloide 1 1 f sx, yd 5 1 2 x2 2 y 2 2 2 y la región cuadrada R dada por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Utilizar una partición formada por los cuadrados cuyos lados tengan una longitud de 14. Solución Para empezar se forma la partición especificada de R. En esta partición, es conveniente elegir los centros de las subregiones como los puntos en los que se evalúa f sx, yd.

s18, 18 d s38, 18 d s58, 18 d s78, 18 d

z

1

s18, 38 d s38, 38 d s58, 38 d s78, 38 d

s18, 58 d s38, 58 d s58, 58 d s78, 58 d

s18, 78 d s38, 78 d s58, 78 d s78, 78 d

1 Como el área de cada cuadrado es DAi 5 16 , el volumen se puede aproximar por la suma

o f sx y d DA 5 o 11 2 2 x 16

16

i i

1

1

y

1

i

i

i51

i51

2

21 2

1 1 2 yi 2 2 16

< 0.672.

x

Esta aproximación se muestra gráficamente en la figura 14.12. El volumen exacto del sólido es 23 (ver el ejemplo 2). Se obtiene una mejor aproximación si se usa una parti1 ción más fina. Por ejemplo, con una partición con cuadrados con lados de longitud 10 , la aproximación es 0.668.

Superficie: f(x, y) = 1 − 1 x2 − 1 y2 2 2

Figura 14.12 z

Algunas herramientas de graficación tridimensionales pueden representar figuras como la mostrada en la figura 14.12. La gráfica mostrada en la figura 14.13 se dibujó con una herramienta de graficación. En esta gráfica, obsérvese que cada uno de los prismas rectangulares está dentro de la región sólida.

TECNOLOGÍA

y

En el ejemplo 1, hay que observar que, usando particiones más finas, se obtienen mejores aproximaciones al volumen. Esta observación sugiere que se podría obtener el volumen exacto tomando un límite. Es decir,

x

Volumen 5 lím lim

n

o f sx , y d DA .

iDi→0 i51

Figura 14.13

i

i

i

El significado exacto de este límite es que el límite es igual a L si para todo « > 0 existe un d > 0 tal que

|

L2

n

o f sx , y d DA i

i51

i

|

i

< «

para toda partición D de la región plana R (que satisfaga iDi < d) y para toda elección posible de xi y yi en la región i-ésima. El uso del límite de una suma de Riemann para definir un volumen es un caso especial del uso del límite para definir una integral doble. Sin embargo, el caso general no requiere que la función sea positiva o continua.

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CAPÍTULO 14


DEFINICIÓN DE INTEGRAL DOBLE

EXPLORACIÓN

Las cantidades en la tabla representan la profundidad (en unidades de 10 yardas) de la tierra en el centro de cada cuadrado de la figura.

Si ƒ está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integral doble de ƒ sobre R está dada por

EE

1

2

3

1

10

9

7

2

7

7

4

3

5

5

4

4

4

5

3

x

i

iDi→0 i51

R

y

n

o f sx , y d DA

f sx, yd d A 5 lím lim

i

i

siempre que el límite exista. Si existe el límite, entonces ƒ es integrable sobre R.

NOTA Una vez definidas las integrales dobles, se verá que una integral definida ocasionalmente se llama integral simple. n

Para que la integral doble de ƒ en la región R exista es suficiente que R pueda expresarse como la unión de un número finito de subregiones que no se sobrepongan (ver la figura 14.14) y que sean vertical u horizontalmente simples, y que ƒ sea continua en la región R. Una integral doble se puede usar para hallar el volumen de una región sólida que se encuentra entre el plano xy y la superficie dada por z 5 f sx, yd.

z 20

30

y

40 x

Aproximar el número de yardas cúbicas de tierra en el primer octante. (Esta exploración la sugirió Robert Vojack, Ridgewood High School, Ridgewood, NJ.)

VOLUMEN DE UNA REGIÓN SÓLIDA Si ƒ es integrable sobre una región plana R y f sx, yd ≥ 0 para todo sx, yd en R, entonces el volumen de la región sólida que se encuentra sobre R y bajo la gráfica de ƒ se define como V5

EE

f sx, yd dA.

R

Propiedades de las integrales dobles Las integrales dobles tienen muchas de las propiedades de las integrales simples.

TEOREMA 14.1 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES Sean ƒ y g continuas en una región cerrada y acotada R del plano, y sea c una constante. y

1.

R = R1 ∪ R2

EE EE EE EE EE

EE

cf sx, yd dA 5 c

R

2.

f f sx, yd ± gsx, ydg dA 5

R

R1

R2

3. 4.

f sx, yd dA ≥ 0, f sx, yd dA ≥

R

Dos regiones no se sobreponen si su intersección es un conjunto de área 0. En esta figura, el área del segmento de la recta común a R1 y R2 es 0 Figura 14.14

5.

R

EE

f sx, yd d A ±

R

R

x

f sx, yd dA

R

EE EE

gsx, yd dA,

R1

gsx, yd dA

R

si f sx, yd ≥ 0

R

f sx, yd dA 5

EE

f sx, yd dA 1

si f sx, yd ≥ gsx, yd

EE

f sx, yd dA, donde R es la unión de dos

R2

subregiones R1 y R2 que no se sobreponen.

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SECCIÓN 14.2


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Evaluación de integrales dobles z

(0, 0, 2) 2

Plano: z = 2 − x − 2y

Altura: z=2−x

1

(0, 1, 0) (2, 0, 0)

1

Sección 2 transversal triangular

2

x

Base: y = 2 − x 2

Volumen:

E

y

Normalmente, el primer paso para evaluar una integral doble es reescribirla como una integral iterada. Para mostrar cómo se hace esto, se utiliza el modelo geométrico de una integral doble: el volumen de un sólido. Considérese la región sólida acotada por el plano z 5 ƒ(x, y) 5 2 2 x 2 2y y por los tres planos coordenados, como se muestra en la figura 14.15. Cada sección transversal vertical paralela al plano yz es una región triangular cuya base tiene longitud y 5 (2 2 x)/2 y cuya altura es z 5 2 2 x. Esto implica que para un valor fijo de x, el área de la sección transversal triangular es 1 1 22x s2 2 xd2 (base)(altura) . Asxd 5 sbase dsheightd 5 s2 2 xd 5 2 2 2 4

1

2

De acuerdo con la fórmula para el volumen de un sólido de secciones transversales conocidas (sección 7.2), el volumen del sólido es

2

Asxd dx

E E

b

Volume 5 Volumen

0

Figura 14.15

Asxd dx

a 2

s2 2 xd2 dx 4 0 s2 2 xd3 2 2 52 5 . 12 3 0 5

4

Este procedimiento funciona sin importar cómo se obtenga A(x). En particular, A(x) se puede hallar por integración, como se muestra en la figura 14.16. Es decir, se considera x constante, y se integra z 5 2 2 x 2 2y desde 0 hasta s2 2 xdy2 para obtener Asxd 5

z = 2 − x − 2y

E

s22xdy2

s2 2 x 2 2yd dy

0

3

y=

y=0

s22xdy2

4

5 s2 2 xdy 2 y2

0

s2 2 xd2 5 . 4

2−x 2

Combinando estos resultados, se tiene la integral iterada

Sección transversal triangular Figura 14.16

Volume 5 Volumen

EE

EE 2

f sx, yd dA 5

R

0

s22xdy2

s2 2 x 2 2yd dy dx.

0

Para comprender mejor este procedimiento, se puede imaginar la integración como dos barridos. En la integración interior, una recta vertical barre el área de una sección transversal. En la integración exterior, la sección transversal triangular barre el volumen, como se muestra en la figura 14.17.

z

z

y x

y x

Integrar con respecto a y para obtener el área de la sección transversal Figura 14.17

z

z

x

y

x

Integrar con respecto a x para obtener el volumen del sólido

y

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CAPÍTULO 14


El teorema siguiente lo demostró el matemático italiano Guido Fubini (1879-1943). El teorema establece que si R es vertical u horizontalmente simple y ƒ es continua en R, la integral doble de ƒ en R es igual a una integral iterada. TEOREMA 14.2 TEOREMA DE FUBINI Sea ƒ continua en una región plana R. 1. Si R está definida por a ≤ x ≤ b y g1sxd ≤ y ≤ g2sxd, donde g1 y g2 son continuas en fa, bg, entonces

EE

EE

g sxd

b

f sx, yd dA 5

a

R

2

f sx, yd dy dx.

g1sxd

2. Si R está definida por c ≤ y ≤ d y h 1s yd ≤ x ≤ h 2s yd, donde h 1 y h 2 son continuas en fc, dg, entonces

EE

c

R

EJEMPLO 2

EE d

f sx, yd dA 5

h2s yd

f sx, yd dx dy.

h1s yd

Evaluación de una integral doble como integral iterada

Evaluar

E E1 R

2

1 1 1 2 x2 2 y 2 dA 2 2

donde R es la región dada por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. y

R: 0 ≤ x ≤ 1 0≤y≤1

Solución Como la región R es un cuadrado, es vertical y horizontalmente simple y se puede emplear cualquier orden de integración. Se elige dy dx colocando un rectángulo representativo vertical en la región, como se muestra en la figura 14.18. Con esto se obtiene lo siguiente.

1

E E1 R

∆x

x 1

2

1 1 1 2 x2 2 y 2 dA 5 2 2

EE 1 E 31 E1 1

0

1

5

0

1

1 1

f(x, y) dA = R

f (x, y) dy dx

0

0 0

El volumen de la región sólida es 23. Figura 14.18

5

1

0

2

1 1 1 2 x2 2 y 2 dy dx 2 2

2

4

1 y3 1 2 x2 y 2 2 6

1

dx

0

2

5 1 2 2 x dx 6 2

5

3 56 x 2 x6 4

5

2 3

3 1 0

La integral doble evaluada en el ejemplo 2 representa el volumen de la región sólida que fue aproximado en el ejemplo 1. Nótese que la aproximación obtenida en el ejemplo 1 es buena 10.672 contra eW 2 aun cuando se empleó una partición que constaba sólo en 16 cuadrados. El error se debe a que se usaron los centros de las subregiones cuadradas como los puntos para la aproximación. Esto es comparable a la aproximación de una integral simple con la regla del punto medio.

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SECCIÓN 14.2


997

La dificultad para evaluar una integral simple ea f sxd dx depende normalmente de la función ƒ, y no del intervalo [a, b]. Ésta es una diferencia importante entre las integrales simples y las integrales dobles. En el ejemplo siguiente se integra una función similar a la de los ejemplos 1 y 2. Nótese que una variación en la región R lleva a un problema de integración mucho más difícil. b

EXPLORACIÓN

El volumen de un sector de paraboloide El sólido del ejemplo 3 tiene una base elíptica (no circular). Considerar la región limitada o acotada por el paraboloide circular z5

a2

2

x2

2

y 2,

a > 0

y el plano xy. ¿Cuántas maneras de hallar el volumen de este sólido se conocen ahora? Por ejemplo, se podría usar el método del disco para encontrar el volumen como un sólido de revolución. ¿Todos los métodos emplean integración? z

Hallar el volumen por medio de una integral doble

EJEMPLO 3

Hallar el volumen de la región sólida acotada por el paraboloide z 5 4 2 x2 2 2y 2 y el plano xy. Solución Haciendo z 5 0, se ve que la base de la región, en el plano xy, es la elipse x2 1 2y 2 5 4, como se muestra en la figura 14.19a. Esta región plana es vertical y horizontalmente simple, por tanto el orden dy dx es apropiado. Límites o cotas variables para y: 2

!s4 22 x d ≤ y ≤ !s4 22 x d 2

2

Límites o cotas constantes para x: 22 ≤ x ≤ 2

a2

El volumen está dado por

EE E3 2

V5 −a a

a

y

5

x

5 5 5 5 5 NOTA En el ejemplo 3, observar la utilidad de la fórmula de Wallis para py2 evaluar e0 cosn u du. Esta fórmula se puede consultar en la sección 8.3. n

!s42x 2dy2

22 2!s42x 2dy2 2 2 22

4

s4 2 x 2 2 2y 2d dy dx

s4 2 x dy 2

E E

2y 3 3

4

!s42x 2dy2

Ver figura 14.19b.

dx

2!s42x 2dy2

2

s4 2 x2d3y2 dx 3!2 22 py2 4 16 cos 4 u du 3!2 2py2 py2 64 s2d cos4 u du 3!2 0 128 3p 3!2 16 4!2p.

x 5 2 sen u.

E

1 2

z

Superficie: f(x, y) = 4 − x2 − 2y2

Fórmula de Wallis.

Base: −2 ≤ x ≤ 2 (4 − x2)/2 ≤ y ≤

−

(4 − x2)/2

y

4 2 1

x 1

−1 −1

∆x −2 3

2

y

Volumen: 2

(4 − x2)/2

−2 −

(4 − x2)/2

x

a)

Figura 14.19

b)

(4 − x2 − 2y2) dy dx

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CAPÍTULO 14


En los ejemplos 2 y 3, los problemas se podrían haber resuelto empleando cualquiera de los órdenes de integración porque las regiones eran vertical y horizontalmente simples. En caso de haber usado el orden dx dy se habrían obtenido integrales con dificultad muy parecida. Sin embargo, hay algunas ocasiones en las que uno de los órdenes de integración es mucho más conveniente que otro. El ejemplo 4 muestra uno de estos casos.

Comparación de diferentes órdenes de integración

EJEMPLO 4 z

Superficie: f )x, y) e

x

Hallar el volumen de la región sólida R acotada por la superficie

2

f sx, yd 5 e2x

1

Solución La base de R en el plano xy está acotada por las rectas y 5 0, x 5 1 y y 5 x. Los dos posibles órdenes de integración se muestran en la figura 14.21.

z=0 1

x=1

Superficie.

y los planos z 5 0, y 5 0, y 5 x y x 5 1, como se muestra en la figura 14.20.

y=0

x

2

1

y

y=x

y

y

R: 0 ≤ y ≤ 1 y≤x≤1

R: 0 ≤ x ≤ 1 0≤y≤x

La base está acotada por y 5 0, y 5 x, y x 5 1. Figura 14.20

(1, 1)

1

(1, 1)

1

∆y

(1, 0) ∆x

1 x

(1, 0)

x

x

1

1

1 1

2

e−x dy dx

2

e−x dx dy

0 y

0 0

Figura 14.21

Estableciendo las integrales iteradas correspondientes, se ve que el orden dx dy requiere la 2 primitiva (o antiderivada) ee2x dx, la cual no es una función elemental. Por otro lado con el orden dy dx se obtiene la integral

EE 1

0

x

E E

1

e2x dy dx 5 2

0

x

4

2x 2

e

y dx 0

0 1

5

xe2x dx 2

0

4

1 2 5 2 e2x 2 52 5

1

1 0

1 1 21 2 e

2

e21 2e

< 0.316.

NOTA

Tratar de utilizar un integrador simbólico para evaluar la integral del ejemplo 4.

n

1053714_1402.qxp 10/27/08 1:30Page PM Page 14-2.qxd 3/12/09 18:26 999 999 1053714_1402.qxp

10/27/08

1:30 PM

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SECCIÓN 14.2 Integrales dobles y volumen 999 14.2 Double Integrals and Volume 999 Integrals Volume 999 Volumen de una 14.2 regiónDouble acotada porand dos superficies EXAMPLE 5 Volume of a Region Bounded by Two Surfaces

EJEMPLO 5 Paraboloide: z Paraboloid: z x2y−2 y2 2− z = z1=−1x − Paraboloid: z = 1 − x2 − y2

z 1 1

Hallar el volumen de la región sólida R acotada superiormente por el paraboloide

Plano: Plane: z = z1 =− 1y − y

Find the volume of the solid region R bounded above by the paraboloid e inferiormente por elBounded plano z 5 como se muestra en la figura z 5 1 2 x22 2 2 y,Surfaces EXAMPLE 5 y2Volume of a Region by1Two 2

Plane: z=1−y

1

1

1

1

1

y

y

x

x

R: 0 ≤ y ≤ 1 1 y 1 R: 0 ≤ y ≤ 1 2 ≤x≤ 2 − y − y y − 2 2 − y−y ≤x≤ y−y y

x

Volume 5

R: 0 ≤ y ≤ 1 −

y y − y 2 ≤ yx ≤

z 5 1 2 x 2 y and below by the plane z 5 1 2 y, as shown in Figure 14.22. 14.22. Find the volume of zthe solidyou region R boundedthatabove by the paraboloid Solution Equating values, can determine the intersection of the two 2 2Igualando 2 and below Solución los valores z, se determina que la intersección de14.22. las dos superficies z5 1 2 x y by the plane z 5 1 2 y, as shown in Figure surfaces occurs on the right circular cylinder given by se produce en el cilindro circular recto dado por Solution1 2Equating 5 11 2 2 zx22values, 2 yy22 you canxx22determine 5 yy 2 2 yy22.. that the intersection of the two 12 yy 5 2 5 surfaces occurs on thex right circular cylinder given by R la Because the volume ofes is diferencia the difference the volume under the paraboloid Como el volumen de R entrebetween el volumen bajo el paraboloide y el volumen 2 2 2 2 x 5have 12 y volume 5 1 2 xunder 2 ythe plane, you y2y. and the bajo el plano, se tiene !y2y 2 1 !y2y 2 Because the volume 1of is the difference between the volume under the paraboloid 2 !y2y 1 R !y2y 2 2 2 5 s1 you 2 x have 2 y d2 dx dy 2 1 s1 2 yd dx dy and theVolume volume plane, 2 2 s1 2 x 2 y d dx dy 2 Volumeunder 5 0 the!y2y Volumen 2 s1 2 yd dx dy !

y − y2

5

y

5 1 2

5

1 2

1 2

x −1 − 1 2

1 2

2

1 2

x

Figure 14.22 14.22 − 1Figura 2 Figure 14.22

1 2

x

EEEE E EEEE E EE33 E 3EE E11 2121 22EE 1 21EE2E E EE E11 2121 22

EEEE EE

0 2 y2y 2 2 2 y2y 2 ! 1 ! 1 ! 0 y2y 0 y2y 2y2y 2!y2y 2 2 1 ! 2 2 2 1 !y2y 12 2 dy 2 50 !y2y 2 1 2y x2 2 y 2 y2 xdx dx dy 5 02 2!y2y 2 y 2 y 2 2 x 2 dx dy 0 2!y2y 2 2 y2y 2 0 y2y 1 ! 2! 1 3 !y2y 2 2 1 y22 y 2 x2x 3x 2!y2y dx dydy 50 !y2y y2 2 y 2x 2 5 02 y 2 y x 2 3 2!y2y 2 dy 3 2!y2y 2 1 0 3 !y2y 2 1 x 1 2 44 y 2 y x 223y2 dy 55 yy22yy2 3y2 3dy dy 2!y2y 2 0 3 30 1 0 4 4 1 213y2 1 4y 21 y 1 dy 2 3y2 5 350 3 8 122 2y 2y2211 2 3y2dy dy 0 3 8 0 1 4 1 1ppy2y2 cos 4 4u 2 3y2

s s

d d

s

ss

s d d

s s s

d d d

4

s

df

ss

f

d

s

yd dx dy

44 d

d dg g

55 1 fcos 1 2us2y 2 1d g2y 2dy 5sen sin uu. 2y 2 115 5 3 6 8 0 2 dduu 6 22ppy2y2 2 py2 4 pp y2 1 cos u y2 5 5 11 2y 2 1 5 sin u 4 du 6526py2 cos 2cos 4dduu 6 00 py2 1 1 3p4 5 55 1 cos3p du5 p . Wallis’s de Formula Fórmula Wallis. 6 0 66 16 16 32 1 p 3p ■ 5 5 32. Wallis’s Formula 6 16 p 5 . ■ Valor promedio de una función 32 Average Value of a Function Recordar de la sección 4.4 que para una función f en una variable, el valor promedio de f Recall[a, from Section 4.4 that for a function f in one variable, the average value of f on sobre b] es Average fa, bg is Value of a Function

1 21 2

E

b Recall from Section 4.4 that for a function f in one variable, the average value of f on 1 f sxd dx. fa, bg is b2a a b 1 a function f in two variables, you can find the average value of f over the region Given f sxd dx.de f en dos variables, se puede encontrar el valor de f sobre la región R Dada una a afunción R bas2shown in the following definition. como se muestra en la siguiente definición. Given a function f in two variables, you can find the average value of f over the region R as shown in the following definition.VALUE OF A FUNCTION OVER A REGION DEFINITION OF THE AVERAGE

E

DEFINICIÓN DEL VALOR PROMEDIO DE UNA SOBRE UNA REGIÓN If f is integrable over the plane region R, FUNCIÓN then the average value of f over R is DEFINITION OF THE AVERAGE VALUE OF A FUNCTION OVER A REGION Si f es1integrable sobre la región plana R, entonces el valor promedio de f sobre R f sx, over yd dAthe plane region R, then the average value of f over R is Ifesf is integrable A R 1 A is the area of R. where f sx, yd dA A R

EE EE

dondeAAisestheel area área of deR. R. where

1053714_1402.qxp 10/27/08 1:30 PM Page 1000 14-2.qxd 3/12/09 18:26 Page 1000 1053714_1402.qxp 1053714_1402.qxp 10/27/08 10/27/08 1:30 1:30PMPM Page Page1000 1000

1000 14 14 Integration 1000 CAPÍTULO 14Multiple Integración múltiple 1000 Chapter Chapter Multiple Integration 1000 1000

Chapter 1414 Multiple Chapter MultipleIntegration Integration

z z z

EJEMPLO 6 Encontrar elthe valor promedio función EXAMPLE 6 6Finding Average Value ofdeaofuna Function EXAMPLE Finding the Average Value a Function

z

EXAMPLE 6 Finding the Average Value of a Function

1 EXAMPLE 6 value Finding the Average Value of a Function Find theelaverage of de f of x, the region R, where R isRR a is rectangle withwith fy x, y 2 xy 12over R, Find the average value xy over the rectangle Encontrar valor promedio sobre la region región R, where donde esaun rectángu1 3 vertices 0, 0 , 4, 0 , 4, 3 , and 0, . 1 0, 00), ,value 4, of 00), ,f (4, 4, 0,over 3 . the region R, where R is a rectangle with vertices 6 6 loFind con vértices (0, (4, (0, 3). thetheaverage value Find average of fx, x,y33)y, yand 2 xy 2 xy over the region R, where R is a rectangle with 5 vertices 0, 0 , 4, 0 , 4, 3 , and 0, 3 . 5 vertices 0,The 0 ,The 4, 0area , 4,the 3 ,the andrectangular 0, 3 . region Solution area of rectangular R isRAis A12 (see Figure 14.23). TheThe 12 (see Solution of region Figure 14.23). Solución El área de la región rectangular R es A 5 12 (ver la figura 14.23). El valor 5 5 average value is given by rectangular average value is given by Solution The area of the region R is A 12 (see Figure 14.23). The Solution promedio está The dadoarea por of the rectangular region R is A 12 (see Figure 14.23). The 4 4 average value is given byby 4 3 4 3 1 average value is given 1 1 1 1 1 1 f (x, y) = 2y)xy= 1 xy f (x, 4 4 f x, fy x,dA 2 y dA12 4 4 3 32 xy dy xydx dy dx 1 1 A 3 1 1 RA R 1 1 012 010 1 0 2 y) y) = 2=xyxy 3 f (x, f (x, f fx, x,y ydAdA xy dy dx 2 xy dy dx 4 A AR R 1212 3 3 1 0 0101 20 4221 3 3 2 xy xydx dx 2 4 44 2 112 1 1 02 43 03 0 1 012 2 xy dx 2 2 121210 40 149xy 0940 dx4 1 1 x dx 12 49 4044 0 x dx 12 1 9 1 y 1 1 1 y x dx 1 12 312134 42 104 0 x4 dx (0, 3)(0, 3) (0, 0)(0, 0) 1 2 y y x 1 1 1 16 21 4204x 0 16 3 1 (0, 3) 3 (0,(0, 0) 0) 2 R(0, 3)R x2 2 2 1 1 161632 23x 0 0 3 3 RR 8 8 2 2 (4, 3)(4, 3) 4 4(4, 0)(4, 0) 316 3 816 3 3 (4,(4, 3) 3) 3 163 8 4 4 (4,x 0) x 16 . . (4, 0) Figure 14.23 x x Figure 14.23 3 23 2 Figura 14.23 . Figure 14.23 2 2. Figure 14.23 6

6

for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 14.2 Exercises See www.CalcChat.com See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 14.2Exercises Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 14.2 14.2 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

14.2 Ejercicios

Approximation In Exercises 1– 4,1–approximate the the integral Approximation In Exercises 4, approximate integral by dividing the rectangle with vertices f x, y d A R 0, 0 0, , 0, by dividing the rectangle with vertices f x, y d A R R Approximation InInExercises 1–1– 4, 4,approximate the integral R Approximation Exercises approximate the integral and into eight equal squares and finding the 4, f0 x, ,4, y4, 2 , 0, 2 into eight equal squares and finding 0 , 4, 2 by , and 0, 2 the dividing R Rwith 0, 0, 0 0, ,the R R f 8x, yd A dividing therectangle rectangle withvertices vertices d Aby 8 Aproximación En los ejercicios 1 asquares 4, aproximar la integral and into eight equal and finding the 4, 0 , 4, 2 , 0, 2 squares 4, 0 , 4,f 2xi ,fyand 2 into xeight sum isyithe ofand the th square. A0,where ithe isRcenter the offinding square. ith(4,the i , yixi ,equal i , yi i Ai where el rectángulo eRe fsum yc d A ixdividiendo concenter vértices (0, 0), 0), 8ixx, 81 i 1 sum is is the center ofwith the square. f xf(0, ,xy,i2) AiAwhere xi ,xy,and ithith (4, y en ocho cuadrados iguales y hallando la suma i i sum2) where the center of the square. y y Evaluate the iterated integral compare it the approxii i i i and compare it with the approxiEvaluatei the iterated integral 8 i i1 1 mation. mation. Evaluate the iterated integral and it it with the approxidonde elcompare centro del cuadrado f x x , y c D A x x , y c i-ésimo. Evaluate integral and compare with the approxii i the iterated i i i es 4 2 i51 4 2 4 2 1 1 42 2 mation. mation. 2 dx 1. 1. lax integral 2. 2. con x ylady Evaluar iterada xy dyy dx dy dx y compararla xaproximación. y dy dx 4 42 2 4 2 04 020 0 1 21 04 4202 202 0 1. 1. 4 2x4 x 2 y ydydy 2. 2. 1 4 2 x4 x2y22dy dxdx dx y dy1 dx 2 sx 1 yyd 2dydy dx 1. 2. 00 0 x 2 x 2 3. 0 03. 4. 2204.0 00 0 0 x y dy dx 1 dy dx y 2 dx dy dx dy dx 4 420 2 4 42 2 x 0 00 0 0 0 0 0 x1 1 1y1 y1 1 3. 3. 4 2x 2x22 y 2y22dydy 4. 4. 4 2 dxdx dydy dxdx 1 3. 0 00 0 sx 1 y d dy dx 4. 0 00 0 x x 1 1y y 1 1 dy dx 5. Approximation The The tabletable shows values function a a sxof1a 1of dsay function 1 1df over 5. 0Approximation shows f over 0 0 0values square region Divide the region into 16 equal squares and R. square region Divide the values region into equalf squares R.tabla Aproximación LaThe muestra valores de función sobre 5.5. The table shows of function over a a and 5.Approximation Approximation table shows values ofa una a16function over fƒto select beto the point in the closest the xi, ycuadrada ith select beDividir the point in the16 square closest to the ,to yR. ith ixiR. una región R. la región ensquare 16 cuadrados iguales square region the region into equal squares and i Divide square region Divide the region into 16 equal squares and origin. Compare this approximation with that obtained by using origin. Compare this approximation with that obtained by using y elegir como el punto más cercano al origen en el cuadras x , y d select bebethethepoint in inthetheithithsquare closest xi,xy,i y to i select point square closestto tothethe iin ithetoith the point square farthest from the origin. the point in the square farthest from the origin. ith do i-ésimo. Comparar esta aproximación con la obtenida usando origin. Compare this approximation with that obtained by using origin. Compare this approximation with that obtained by using 4punto 44 4 elthe lejano al origen en el cuadrado i-ésimo. the point inmás square farthest from thethe origin. ith f x, ythethe dy dx in square farthest from origin. ith 0 0point 0 0 f x, y dy dx

o

EE EE

EE EE

4 44 4 0 00 yf0

x

y x 0x 0 100 1 211 2 322 3 433 4 44

x, y dy dx f x, y0 y 0dy1 dx 1 2 2 3 3 4 x y y0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 031 3128 1 2823 22316 0 32 32 3232 32 3131 2827 2322 1615 28 27 232822 16 3130 3031 1 31 3131 31 3030 2724 2219 1512 27 24 222719 15 2827 2730 2 28 2828 28 2727 2419 1914 1212 24 19 192414 7 2322 2227 3 23 2323 23 2222 1912 22 147 197 07 1615 1519 1214 7 4 16 12 1616 16 1515 1215 7 12 7 00

6. Approximation The The figure shows the level curves for afor func6. Approximation figure shows the level curves a function over a square region Approximate the integral using f R. tion over a square region Approximate the integral using f R. 6. 6.Approximation The figure shows thethe level curves forfor a funcApproximation The figure shows level curves a, yfuncfour squares, selecting the R. midpoint of each square as xusing four squares, selecting the midpoint of each square as i ixi., yi . tion over a square region Approximate the integral f tion f over a square region R. Approximate the integral using y curvas 2 22 2 6.four Aproximación La figura muestraoflas deasnivel de una ysquare squares, selecting thethe midpoint each four squares, selecting midpoint of each square asxi,xyi,i y.i . f x,ƒfy en dyyuna dxdyregión función cuadrada R. Aproximar la integral emx, dx y y 2 22 2 0 00 0 pleando cuatro cuadrados y tomando el punto medio de cada 2 f x, y ydydy dxdx 2 f x, como sxi, yi d. 2 2 0 cuadrado 00 0

EE 2

0

2 2 1

2

f sx, yd dy dx

8

163

4

23 15

16

22 12

15

719 14 0 7

12 7 0

4 4 6 2 2 4 8 4

6 6 1 1 2 10 8 10

0

8 1010 1

2 1

41

2

6 1 1

2 2

x 2 x x

x

8 evaluate In Exercises 7–12, sketch the region evaluate the iterated R and In Exercises 7–12, sketch the region the iterated R and integral f x, y dA. 10 integral f x, y dA. R InIn Exercises 7–12, sketch the region and evaluate the iterated R R x Exercises 7–12, sketch the region R and evaluate the iterated 1 2 integral x, x, y ydA. 2 R1 2f f 2 1 2 integral dA. R 2 x cos 2 x2 cos 2 ydx 7. 7. 1 12x 2x2y dy y dy 2y dx dy dx 8. 8. 2 sin sin dy dx 2 21 1 0 00 0 0 0 0 20 2 2 2 7. 7. 6 316 1 3 2x2x 2y2ydydy dxdx 8. 8. sinsinx2 cos y dy dx x cos lay integral dy dx En 0los0 ejercicios 7 a 12, dibujar la región R y evaluar 0 00 0 0 0 9. 9. y dy dx dy iterada e exf xx,xyycdx dA. 6 63 3R 0 y 02 y 2

4

y 6 1

EE EE EE EE

9. 9. 4 4yx x yy ydxdx dydy 2 1 0y 2y 2 x2 y2 dx 2 2dy 10.7. 010. x y dx s1 1 2x 1 2ydy d dy dx

EE EE

p py2 sen 8. sin2 x cos2 4 4 1y y 1 0 2 y0 2 y2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 10.10. a axa xy xydx dy x2 dy a2 dx 1 1 4 !y 026y 2 3 y 11. 011. x xy dyy dx dy dx 2 2 9. a aa a aaa2x2x 1 10. dy x2 y2 dx dy xx22a2y xdx 2 11.11. 01 yy2 x x y ydydy dx1dx1 1 y 1 y 0 12 y 01 0 a2 a2x2x2 xy22 x y a a ! x y x ydy a ae 2x edx dy 12. 12. dx dy1 1 y e edx dx dy 1 10 0 1 01 y 0 y 1 0 11. x 1 y dy dx 0 0x xy y 0 y y1 y2 dx 12.12. 2a 2e!xea2x2x dx dydy e e dxdx dydy 0 0y y1 1 0 00 0 1 0 1 12y

12.

0

s

y21

d

s

d

e x1y dx dy 1

EE 0

0

e x1y dx dy

y dy dx

14-2.qxd

3/12/09

18:26

Page 1001

1001 1001 1001

14.2 Double DoubleIntegrals Integralsand andVolume Volume 14.2 SECCIÓN 14.2 Integrales dobles y volumen InExercises Exercises13–20, 13–20,set setup up integralsfor forboth bothorders ordersofofintegration, integration, In En ejercicios a 20,integrals dar order una integral parathe cada ordenover de andlos use themore more13 convenient toevaluate evaluate integral and use the convenient order to the integral overla integración y utilizar el orden más conveniente para evaluar the region R. the region integral enR. la región R. 13. 13. 13.

EEEE EEEE

25. 25. 25.

26. 26. 26. zz

+y y++z z==22 xxx++ y+z=2

2 22

3 33

xy d A xy xy dd A A

R R R

z zz

2x + 3y++4z4z==12 12 2x 2x++3y 3y + 4z =z12

R: rectanglewith with verticess0, s0, 0d, s0, 5d, s3, 5d, s3, 0d R: rectángulo convertices vértices s0,00dd,,ss0,0,55dd,,ss3,3,55dd,,ss3,3,00dd R: rectangle

14. 14. 14.

sin xsin sin y d A sin sen sin xx sen sin yy dd A A

R R R

R: rectanglewith s2p, 0d, sp, 0d, sp, py2d,d,s2 s2p, py2d d with verticess2 R: rectángulo con vertices vértices s2pp,,00dd,,sspp,,00dd,,sspp,,ppy2 R: rectangle y2d, s2pp,,ppy2 y2d y y y dA 15. 15. 15. R xx22 211yy22 2dd A A R R x 1 y R: trapezoidbounded 2x, x 5 1, xx5522 boundedby byyy55x,x, yy552x, R: triángulo acotado por y 5 x, y 5 2x, x x551,1,x 5 2 R: trapezoid 16. 16. 16.

EEEE EEEE

27. 27. 27.

28. 28. 28.

z z

z

EEEE EEEE

4

1 1 x

y=x y y==x x

1

y

y=1 y y==11

2

z

EEEE

2 2 sxsx2 11yy2d dddAA

! semicirclebounded bounded byyyy55 ! R:R:semicircle semicírculo acotado by por 5! 2xx2x,22,y, yy55 5000 R: 44422

2

2 2

y

1

y

2 y y

y = x 22 y = 2 y y==x x y y==22

z 1 1 1

0≤x<∞ 00≤≤xyx<<∞∞ 00≤≤y y<<∞∞

2 2

12 21 x

1

30. Integral impropia 30. Improper Improper integral z integral 30. − (x + y)/2

z= z = (x + 1)1221(y + 1)22 z z = (x + 1) (x + 1)2(y(y++1)1)2 z

1 1 1

1

y

29. Integral impropia 29. Improper Improperintegral integral 29. 1

xxddAA

R R

1

2 1

y

1

1

circlein inthe firstquadrant quadrant bounded by R:R:sector elsector sector en eltheprimer cuadrante acotado por ofofcircular aacircle first bounded by !25 2 x2 2, 3x 2 4y 5 0, y 5 0 yy55! 25 2 x , 3x 2 4y 5 0, y 5 0

20. 20.

3 2

EEEE RR

z=4− y2 2 z = 4 − y 2 z=4−y

3 3 2

regionbounded bounded byyy554422xx2,2, yy554422xx R:R:region by región acotada por yy d A 18. 18. 1 1 x2 2d A R R 1 1 x !x, x 5 4 regionbounded bounded byyy550,0,yy55! R:R:region by región acotada por x, x 5 4 19. 19.

4

1

22ydA dA 22y

R R

z 4

1 1

z z

z = 1 − xy z z==11−−xyxy

R: trianglebounded bounded byyy554422x,x, yy550,0,xx5500 R: R: triangle triángulo acotadoby por y 5 4 2 x, y 5 0, x 5 0

17. 17. 17.

y yy

2 22

2 22 x

xey y dA xe xe y dA dA

R R R

y yy

4 44

6 66 x

z

z=e

− (x + y)/2

z z==e e− (x + y)/2

y y

y y

2 2

2 x2 2

y

2

0≤x<∞ 0≤y<∞ 00≤≤x x<<∞∞ 00≤≤y y<<∞∞

In Exercises21–30, 21–30, useaadouble doubleintegral integraltotofind findthe thevolume volumeofof In x2 EnExercises los ejercicios 21 ause 30, utilizar una integral doble para hallar the indicated solid. x the indicated x el volumen delsolid. sólido indicado. z 21. 22. z z CAS En los ejercicios 31 y32, 32, utilizar un sistema algebraico portocompuCAS InExercises Exercises 31and and 32,use useaacomputer computer algebra system tofind find 21. 22. yy z CAS In 31 algebra system z z== 2 6 tadora y hallar el volumen del sólido. the volume of the solid. 2 66 z z==66−−2y2y the volume of the solid. 1 1 zz 31. 32. z 31. 32. z z 31. 32. 2 2 1 1 2 1 2 32 3 4 3 44

x

2

2

3 33

4

2

4 44 x

zz z 4 44

2

y

24. 24. 24. zz z= ==444− −−xx x− −−yy y

2

y

00≤≤x x≤≤44 00≤≤y y≤≤22

zz z

x

==444 44 4 zz z= ==xxx yyy=

1 11

x

11 1

yy y= ==xx x

x2 + z2 = 1 x x2 ++z 2z ==11

2

22 2

yy y

yy y= ==222

2 22 xx x xx==22 x=2

2 22

11

y

2 22

22 2

2 4 z z== 88−−x x2 −−y y

1

00≤≤x x≤≤44 00≤≤y y≤≤22

23. 23. 23.

y

y yy

x

3

3

3

3

y

y

x

1

11 1

x=1 x x==11

11

y=x y y==x x

y

yy

En los ejercicios 33set a up 40, dar una integral doble para hallar InExercises Exercises 33–40, set upand andevaluate evaluate double integral findel In 33–40, aadouble integral totofind volumen del sólido limitado o acotado por las gráficas de las the volume of the solid bounded by the graphs of the equations. the volume of the solid bounded by the graphs of the equations. ecuaciones. xy, z z550,0, yy55x,x, xx551,1, first 33. z z55xy, firstoctant octant 33. 33. z 5 xy, z 5 0, y 5 x, x 5 1, primer octante 34. y 5 0, z 5 0, y 5 x, z 5 x, x 5 0, x 5 5 34. 34. yy550,0, zz550,0,2 yy55x,x, zz55x,x, xx550,0, xx5555 35. z 5 0, z 5 x2 , x 5 0, x 5 2, y 5 0, y 5 4 35. 35. zz550,0, zz55xx2, , xx550,0, xx552,2, yy550,0, yy5544 36. x2 2 1 y2 2 1 2z2 5 2r2 36. 36. xx211yy211zz255rr2

1053714_1402.qxp 1:30 PM Page 1002 14-2.qxd 3/12/09 10/27/08 18:26 Page 1002 1053714_1402.qxp 1053714_1402.qxp 10/27/08 10/27/08 1:30 1:30 PM PM Page Page 1002 1002 1053714_1402.qxp 10/27/08 1:30 PM Page 1002

1002 1002 1002 1002 1002 1002 1002 1002 2 1002 37. 37. xx2 1002 2

Chapter Chapter 14 14 Multiple Multiple Integration Integration Chapter 14 Multiple Integration Chapter 14 Multiple Integration Chapter 14 Multiple Integration CAPÍTULO 14 Integración múltiple Chapter 14 Multiple Integration Chapter 14 Multiple Integration 2 2 Multiple Integration 214 z zz22Chapter 1, 1, octant 1, yy14 z2Multiple 1, first first octant Chapter Integration 222 1, 2 y222 z222 1,2 first octant 2 2 x 37. z x 37. z 1, y z 1, first octant x 37. z 1, y z 1, first octant 2 2 y 4 x , z 4 x , 38. first octant 2 2 2 2 38.x y 21 z4 25 x1,, yz 21 4z 25x1,, primer first octant 37. octante 37.y 2x 4 2z x22,2 z1, 22y 4 22zx22,2 first 1, octant first octant 38. zzxxzy25 38. first octant 4zxx2 38. first octant 2,1, 2 2xx 37. first octant 39. first octant 2 44 38. primer octante ,,21, ,,1, y, 4, 39.yyxyxzz5 first octant 37. z2 xxxy, y2444yyz2 z x2,4, 1, first octant 2, x 2, z2 2 42 2x1, 38.zx2y x z42 y, 21, first octant 37. first octant 39. first octant zzyzy5 xxx441 y, 4, 39. octant y, 4, 39. first octant xxx,x2xx,22z2yz1yyyy42224z54, x4, 38. 11y, 39. octante x,2first ,primer 38. first octant 2 2 z , x 0, x 2, y 00 40. x y, x y 4, 39. first octant z , x 0, x 2, y 40. 2 2 2 yz 4x 11111 y, x yy,2xz2 2 4y2 2 x4,, first 38. octant 39. first octant z , x 0, x 2, y 0 40. z x y, x y 4, 39. first octant 40. 40. zz 51 y12222,, x2x 5 0, 0, xx 5 2, 2, yy ≥ 000 39. y x, x y20, x4, first z 1x1 111yy, yoctant 0 40.zExercises 2 x 46, 0, In 41– set up aa2,2, double z , x yy 00integral 40. 1 y In Exercises 41– 46, set up integral to to find find the the volume volume 40. z 1 1 y2 2, x 0, x 2,double the region bounded by the graphs of the equations. Do 1 41– y, 46, In Exercises set up aaaestablecer double integral to find the volume In Exercises 41– 46, set up double integral to find the volume En los ejercicios 41 a 46, una integral doble para Inof Exercises 41– 46, set up double integral to find the volume z solid x 0, x 2, y 0 40. of the solid region bounded by the graphs of the equations. Do 1 region y2the not evaluate In Exercises 41–integral. 46, set up aby double integral to equations. find thelas volume of the solid bounded by the graphs of the Do of the solid region bounded by the graphs of the equations. Do encontrar el volumen de una región sólida limitada por gráof the solid region bounded the graphs of the equations. Do not evaluate the integral. InInExercises 41– 46, set up aadouble integral to find the Exercises 41– 46,bounded setNo upevaluar double integral find thevolume volume ofevaluate the solid region by thelagraphs oftothe equations. Do not the integral. not evaluate the ficas desolid las ecuaciones. integral. not evaluate the integral. zzintegral. of the region bounded the graphs ofof equations. Do In Exercises 41– 46, set up a2xby double integral tothe find the volume 41. 42. zz equations. 22 z = 4 − of the solid region bounded by the graphs the 41. 42. zz = xx 22 + yyDo not evaluate the integral. z = 4 − 2x = + not evaluate the zthe 41. 42. of the solid region by the graphs of thezzzequations. Do zz integral. 41. 42. 2 2 41. 42. 41. 42. zbounded not evaluate integral. 2 2 2 2 zz===444−−−2x 2x 2x zzz===xxx +++yyy 44 zintegral. not 44 z 41.evaluate the 42. z = 4 − 2x z = x2 + y2 z 41. 42. z z = 4 − 2x z 4 41. 42. 444 44 z z z==x x2 2++y y2 2 z = 4 − 2x z 41. 42. z = 4 − 2x 4z 4 z = x2 + y2 4

4

4

4

xx 222

22

22

yy

222 yyy 2 y 22 zz = = 44 − −2 xx 2 − −yy 2 y2 2 2 2 x 2 2 zzz===444−−−xx2x 2−−−yyyy22 2 zz x x xx222 yy22,, zxx=22 42 −yy2x222y− 2y4, 4 −2x x 2−−y y4, 2 x x2222 2y22,22 xz22z= 22= 4y− 222 4, z xxx

4

4 − −2 − 22 −2 11 −2 222 2 11 −2 −2 xx−−− yy 2 2 2 −2 1 −2 xxx − 2222 11 111z =2222x y −2 yy −2 1 z1= 2x−2 2 1 x y 2 1=2x −2 2x 2x x − 2 2 2 1zzz== y 1 2 x y 2 1 1 z = 2x 2 y 2 0x z = 2x

zz 0 43. 43. z = 2x zzz z5 xx sin 43. 43. 1 y , x 1 y 5 4, z 500,,0 00 yy 55 z = 2x y , x y 4, z 43. 2 2 2 x, z 0, 0 x 44. x, 2z = 24 0, 44. z sin − x02− y x 2 x2 2 x, z2yz ,5 x0, 002y≤xx 4, 43.z z sin , 0 0 ≤y ≤5 5 44. sen 44. sin ≤z zp x, yyz2y 0, 44. x2xx22222x, ,2, x22,,2x0, 43. 45. 2z 2 x 4,4, 2y z 0yy4y 4y 45.zz zz5 sin z , , 0000 yy 55 43. 2 44.zz z xx2222sin 22,222zx2 0,y20 yx, 4,x2 z ,20 0 y 5 43. 2y 45. 2y 4y 45. xsin 2y 4y 45. 018 44. yz2,,,,zzzz0, 4y xx222 2x, 46. 46.zz zz xsin 0 xxx2 ,yy,200 yy 55 44. 2 x,y z, 2 z 0, 18 z x 2y , z 4y 45. 2 2 2 2 22 x, 04y xxxx22 yy2y2,2 0 y 5 44. y 2,2,z,2zz,2z z0,18 zzzz xxsin 46. 46. 18 46. 45. z xx 22 yy2y 2y2 ,50, z 18 4ya computer 45. 2 2 CAS In Exercises 47– use algebra CAS 45. zz use 18 z x 22x 2y 46.zExercises In 47– algebra system system to to find find the the 2y2,, 50, 2x 2y 4y a xcomputer y , z 18 z x 46. 2 2 2byythe 2 graphs of the equations. volume of the solid bounded CAS y , z 18 x y z x 46. Exercises 47– 50, use a computer algebra system to find the CAS CAS In In Exercises 47– 50, use a computer algebra system to find the In Exercises 47– 50, use a computer algebra system to find the CAS volume of the solid bounded by the graphs of the equations. En los ejercicios un2 sistema algebraico por compu2 2 47 a 50, utilizar 2 y47– , z 50, 18 y x 46. CASvolume In zExercises use axdel computer algebra system to find the of solid bounded by of equations. volume of the solid bounded by the graphs of the equations. volume ofthe the47– solid bounded bythe thegraphs graphs ofthe the equations. el volumen sólido limitado o acotado por las 2 CAS tadora Exercises algebra system totofind 2 50, zz y hallar 99 the xx47– yy22use ,,use zz aacomputer 00computer 47. CAS In In Exercises 50, algebraof system findthe the 47. volume of solid bounded by the graphs the equations. gráficas de las ecuaciones. 2 2 volume by theoctant graphs the CAS 47. In Exercises 50, algebra system to find the z 2 9of the xx47– yyzy222,2,bounded zzz 9 a000computer 47. x22solid ,use 47. volume solid bounded graphsofof theequations. equations. y, y, 48. first y, y, by 48.zz xx2 99of99the firstthe octant 2 z 2bounded 2 9 2solid volume the by the graphs of the equations. 9 x y , z 0 47. 222z5 of 2 2 z 9 2 x 2 y , z 5 0 47. 2 2 zzz 2 9 xxzx 999 y, y,0y,first 48. 48. octant 48. firstoctant octant 47. z 9 xy,y, x222 2y2y,2,9,z9zz y, 0 first 47. yyfirst 0, xx 0, 0.5x 49. y, zy25 y,primer 48.zx22zzx25991922x2y, octant ,z9 9z2 0y,0, 0, 0, 0, yy 0.5x 11 49. 2 2 octante z 48. 2 2 2 , 47. y x 48. octant xy, z z2,y z99 0,y,y,yfirst 0, x 0, y 0.5x 111 49. 48.zzxzx2 919 2222y, first octant , z 0, y 0, x 0, y 0.5x 49. , z 0, y 0, x 0, y 0.5x 49. 2 2 1 x 22 y2 22 y,0,0, 48. first 440.5x1 1yy1 50. y5yy octant 0,0, x5xx 0,0,0, y5xx 20.5x 49.xz zz5 119ln ln 11xx22y,22 zxxyy ,2yy,9z ,,z5zz 0, 0, 0, 0, 50. 49. y 0, x y y 0, xx 0, y 0.5x 1 49. 11ln111 x222xxx21 yy22y,, zz 0, 0, 50. 49.zzzzz ln ln 0,0,yyy 0, 0,0, xx 0, 0,0,xxyx 444 0.5x yyy 1 50. 50. 111a xcontinuous x x yyy,y2,z, zzfunction 0, y 0, x 0, y 0.5x z 49. f 0 f x, 51. If is such that z ln 1 x y , z 0, y 0, x 0, x 50. 2 2 0 xx 5 f x,44 4yy2 !y11y1yover 51.z If such over aa 5fln xx 1y yyd,, zzfunction 5 0, yy 5 0, xxthat 5 0, 50. 1lniss11a 1 xcontinuous 50. 1continuous x y1, ,function z 0,0, ysuch 0, xR 000ff0,0, 4 11. y aaa 50.IfIfzIfzregion R x, yyfxx, ddyyA 00 0,that of prove that ff fisisisaln f 51. such over f x, 1 51. aacontinuous continuous function such that over x, y 1 51. that over R x, A 1. region of area area 1,function prove that R 0, x z If flnisR1aofcontinuous x 1,y prove , z function 0, y0 such 0, xthat 4 y1. y1 over a 50. 0y≤yy dfdsdfAA 51.region ff fx, area that R region area 1,1,of prove that Si una función continua talthe que enby fises x,Ax,bounded ≤1.11 over 51. Rof 0in region ofvolume area prove that0such R 52. Find the the solid the RRfirst 52. Find the volume of the solid in the first octant bounded byuna the f 00x,0x,octant f f x, yyd 1. 51. If a continuous function that aa f isRaRde x, 11.over 51.región If continuous function such that f x, y d Ady A 1. 0 region of area 1, prove that área 1, demostrar que 0 ≤ e e f s x, y d ≤ R x a y b z c 1, coordinate planes and the plane 52. Find the volume of the solid in the first octant bounded by the R 52. Find the volume of the solid in the first octant bounded by the 52. If Find the volume of the solid in the first octant bounded by the x a y b z c 1, coordinate planes and the plane R f x, y d A 1. 0 region of area 1, prove that f 0 f x, y 1 51. is a continuous function such that over a R f x, y d A 1. region R of area 1, prove that 0 R c a 0, b 0, 0. where and > > > 52.coordinate Find the volume of the solid in the first octant bounded by the x a y b z c 1, planes and the plane x a y b z c 1, coordinate planes and the plane 52. Hallar el volumen del sólido que se encuentra en el primer x a y b z c 1, coordinate planes and the plane c a 0, b 0, 0. where and > > > R volume x, y d Abounded 1. by the 0 the first region of area 1, prove that in R f octant 52. Find the of the solid 52.where Find volume ofpor the the xfirst the a octant y bbounded z cby 1, coordinate plane csolid aathe 0, bbb>>>0, 0. and cthe 0,planes 0.in where and octante, los planos coordenados y z el plano c>>> a>>volume 0,planes 0.the where and >acotado xfirst aa octant yintegration. bbounded cby 1,1, coordinate and the plane 52. Find the of0,0, the solid in the In 53 – 58, sketch the region of Then x y b z c coordinate planes and the plane c a 0, b 0, 0. where and > > > In sExercises Exercises 53 – 58, sketch the region of integration. Then donde y xya d 1 s yyb d 1 s zyc d 5 1, a > 0, b > 0, c > 0. aa>53 0,–0,58, bb>>sketch 0, where >switching x a theintegration. y b of integration z cThen1, coordinate planes and thecthe plane iterated integral, order cthe 0,and 0. wherethe and >53 >0. In Exercises region In Exercises 53 ––58, the region of Then Inevaluate Exercises 58, sketch sketch region of of integration. integration. Then evaluate the iterated integral, switching the order of integration aiterated b– 58, 0,sketch 0. region where and cswitching > 0, >integral, >the if necessary. In Exercises 53 of integration. Then evaluate the the order of integration evaluate the iterated integral, switching the order of integration evaluate the iterated integral, switching the order of integration if necessary. En los ejercicios 53 a 58, trazar la región de integración. Después InIn Exercises 53 ––58, sketch the region ofof integration. Then Exercises 53 58, sketch the region integration. Then evaluate the iterated integral, switching the order of integration ififevaluar necessary. necessary. 1 1 2 ln 10 10 if necessary. iterada y, sithe es necesario, cambiar el orden de 1 la 1integral 2 5322– 58, ln 10 of 10 integration evaluate the integral, switching In Exercises sketch regionthe oforder integration. evaluate theiterated iterated integral, switching the order of 1integration 1 dyThen x2 if necessary. 53. 54. dx 111 111222 e ln integración. lnorder 10 10 53. 54. e2 x dx dx dy dy dy dx ln10 10 10 10 ifif necessary. evaluate the iterated integral, switching the of integration ln yy xx 1 1 dy necessary. 0 2 0 x 1ln 01 yy 1e 2e2e xx2x2dx 0ln 10 ee 10 53. 54. 53. 54. dx dy dx 53.necessary. 54. ln dxdy dy dydx dx 11 1y2 if 1ydy 1 2 4 2xx2222 ln3310 10 e11xx10 10 ln y ln y 2 ln x 10 1 0 y 2 0 1 1 2 ln 10 0 y 2 0 e e 1111 dydydxdx 53. 0 2y 2 e42x 54. 0 e x2x 2dxdxdydy 2 53. 54. 2 55. 56. 53. 54. 4 y dy dx dx dy e dx dy dy dx ln y x 2 x 1 1 2 ln 10 10 3 1 55. 20220 yy2y 4424 exxx2 22 22dx dy 56. 4 y dy dx dxdx dy 53. 54. 030300 11y ee3xxe111ln ln1 yyxy44dy 4x x2 0 y2 2 222dy dx x 1ln x 03 y 13 e1 53. 54. dy dy dx 55. 56. y dx dy 2 e44 xx2dx4 55. 56. 4 y dy dx dx dy 55. 0122 yarccos 56. 4 y dy dx dx dy 4 y 4 4 1 2 3 1 ln y 1x x 2 dy dx 4444 xxx2yx2 22 55. 022221y 2arccos 56.0000 y3yy33311e1 11xx 4 dx dy 2 2x 57. sin xx 4 11y 2y2dy sin 55. dx x4 dxdxdydy arccos 30 1y 3 1 57. 1121 arccos sin x dx dx dy dy56. 2arccos x2 4 4 yy4yx2 2sin 55. 56. 4 y dy dx 0 0 222x dx dy 4 sin 0 y 3 11 1 xx 4 2sin 0arccos 2x 57. 1 yxsin 57. sin x 1 sin x dx dy 55. 56. 4 y dy dx dx dy 4 x 0 y 3 57. 1022212arccos x 1 sin x dx dy 2 y 2 x4 2 x dx dy arccos 4 y yx2sin x 1 0 y 3 1 57.00201201020arccos sin 2 58. y cos y dy dx 57. sin dy 58. 2120 2arccos dx2 2xxdx 20 y sin 57. sinyxxcos x 111y1dy sin dxdy dy ! 57. sin sin x dx sen 0 1 2 x 22sen 58. yyycos 58. cos dy dx 58. 002002002012 2 x 2 sin cosyy1ydy dydx dx2 x dx dy 57. x sin 22 2 0 1 2 x 2 2 0 1 2 58. 00 01 2xx y cos y dy dx 58. 58. 020 12 12 2 2x 2 yycos cosyydy dydx dx x 58. 0 1 2 x 2 y cos y dy dx

EE EE 0

1 2 x2

E E

Average Average Value Value In In Exercises Exercises 59– 59– 64, 64, find find the the average average value value of of f x, y R. over the region Average Value In Exercises 59– 64, find the average value of Average Value In Exercises 59– 64, find the average value of Average Valuethe In Exercises 59– 64, find the average value of fValor x, y promedio R. over region En los ejercicios 59 a 64, encontrar el valor Average Value In Exercises 59– 64, find the average value of fffx, R. the x, R. over the region x,yyy over R. la región over thefregion region Average Value InIny)Exercises 59– promedio de (x, sobre R.find f x, y x 59. Average Value Exercises 59–64, 64, findthe theaverage averagevalue valueofof f x, y x 59. f x, y over the region R. f x, y R. over the region Average Value In Exercises 59– 64, find the average value of f x, y x 59. f f yx, 59. x, yyd 5xthe xx region 59. f x, R. R: 0, rectangle with R: 0, 00 ,, 4, 4, 00 ,, 4, 4, 22 ,, 0, 0, 22 rectangle with vertices vertices sover x,yover f 59. x,R:yffrectangle R. region x, y thexwith 59. 000,0, ,d4, 000,0, ,d4, 222,2, ,d0, 2222d vertices 0,0, rectangle with vertices rectangle with vertices fR: yyy xx2xy 59. x,rectángulo 60. con vértices0, R: s0, ,4,4, s4, ,4,4, s4, ,0,0, s0, 2xy 60.R: ffx, x, 59. R: rectangle with vertices 0, 0 , 4, 0 , 4, 2 , 0, 2 f x, y x 59. f x, y 2xy 60. x, yrectangle 60. ff(x, x,rectangle yy) 52xy 2xy 60. R: 0,000, ,, 4,4, 5, 5, 0,2233 rectangle withvertices vertices 0,0, 60.fR: 2xywith 5,000, ,, 4,4, 5,2233, ,, 0,0, R: with vertices frectangle x, y 2xy 60.R:R: 2 2 rectángulo con vértices0, (0, (5, (5, (0, R: 0, ,, 5, 4, ,, 5, 4, ,, 0, 0, rectangle 0000,,0), 0000,,0), 3323,,3), 3323 3) with vertices R: 0, 5, 5, 0, rectangle with vertices R: 0, 5, 5, 0, rectangle with vertices 2with 2vertices f x, y 2xy 60. f x, y x y 61. x y 61. f x, y 2xy 60. R: rectangle with 2 1 2 vertices 0, 0 , 5, 0 , 5, 3 , 0, 3 22x 22y 2 2 61. f s x, y d 5 f x, y 2xy 60. f x, y x y 61. x, yrectangle yyvertices 61. f R: x,rectangle y xx with 61. fR: with vertices R: square 0,0,000,0,,0,2, 2, 2, 0, square with vertices , 5,005,0,,0,2, , 5,225,3,,3,0, , 0,220,33 with vertices0, 2 con 2 cuadrado vértices R: s00, 0,, 002,d,, 0s5, 2,, 002,d,, 2s5, 2,, 320,d,, 2s0, 0, 2d fsquare x, y with 61.R:R: 2x with 2yvertices rectangle 0, 0 vertices R: 0, , 2, 0 , 2, 2 , 0, 22 3 square with vertices R: 0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, square with vertices f x, y x y 61. 1 ff x, yy x2 1 y2 61. x, 62. 62. x,ysquare y x21xwithyy2vertices 0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, 2 62.f fR: x,square 61. R:R: with x11 vertices yvertices 0,0,00, , 2,2,00, , 2,2,22, , 0,0,22 62. x,x,yysquare 62. y x with 62.ff fx, y1yyvertices x x R: triángulo con vértices0,(0, R: 00, ,000),2, 0 ,000), 2, 21, ,111)0, 2 square with R: 0, ,, (1, 1, ,, (1, 1, triangle with 1 f x,triangle y 62. R: 1, with vertices vertices f ftriangle x,x,yy with 62. xx 1 yvertices y R: 0, 000,, , 1, 000,, , 1, 111 62. R: 0, 1, 1, triangle with vertices R: 0, 1, 1, triangle with vertices 63. x y 1 x y f x, y e 63. 63.f fx,x,y y xe y 62. R:ytriangle vertices 0, 0 , 1, 0 , 1, 1 xxx ywith y y x y f x, e 63. x, ytriángulo 63. fR: x,triangle y ee with 63. fR: convertices vértices 0, (0, , ,, 1,(0, , ,, 1,(1, R: 0,0000), 0, 1,1111) triangle with vertices 0,00111), R: 0, 1, 1, triangle with vertices x, y with e x y yvertices 63.R:R:ftriangle xwith 0, 0 , 1, 0 , 1, triangle vertices 0, 0 , 0, 1 , 1, 1111 R: 0, 0 , 0, 1 , 1, triangle with vertices R: 0, 0 , 0, 1 , 1, triangle with vertices 64. f x, y e 63. f x, y sen x y 64. x yx y 64. f x, y esen 63. R: triangle vertices 0, 0 , 0, 1 , 1, 1 x with y f x, y e 63. f x, y sen x y 64. x, yrectángulo xwith yyvertices 64. fR: x,triangle y sen sen xcon 64. fR: vértices 0,0,(0, 00, 1,,,1,1(p with vertices R: 0, rectangle 0,0,000), 0, p) rectangle with vertices R: , 0,,,0,(1p1,, 00,0), 1,,, p),,, (0, triangle with vertices x, y sen xvertices y 64.R:R:frectangle 0, 00Cobb-Douglas ,,, ,0, ,1, ,00,0,de 1, 1,, , production triangle with 0, ,, , 0, with vertices R: 0, 0 , 0, rectangle with vertices R: 0, 0 , 0, rectangle with vertices 65. Producción promedio La función producción Cobb-Douf x, y sen x y 64. 65. Average Production The function 65. fAverage Production function x, y sen x y The Cobb-Douglas production 64. 0.6 y 0.4 0.6 0.4 R: 0, 0 , is f, 0x, ,yesproduction ,f sx, ,yd0,5 rectangle withyvertices glas para un fabricante de automóviles 100x 0.6 0.4 y ,, where 100x for an automobile manufacturer f x, y sen x 64. 65. Average Production The Cobb-Douglas function 65. Production The Cobb-Douglas production function 65. Average Average Production The Cobb-Douglas production function y f x, y 100x for an automobile manufacturer is where R: 0, 0 , , 0 , , , 0, rectangle with vertices R: 0, 0 , , 0 , , , 0, rectangle with vertices 0.6 0.4 0.6 0.6 0.4 donde x number esProduction elwith número deThe unidades ynumber número de xxAverage yyy,yyis is of units of labor of units 65.for Cobb-Douglas production function yyely0.4 ,, ,where ffde 100x an automobile manufacturer x, 100x for an automobile manufacturer where f,x, 100x for automobile manufacturer whereof isanthe the number of units of labor and is the the number of units of R: 0,Cobb-Douglas 0 ,isisisand 0x,trabajo ,production , y0,es rectangle vertices 65. Production The function 0.6 y 0.4 65.xxAverage Average Production The Cobb-Douglas production function unidades de capital. Estimar elproduction nivel promedio de0.6 producción si capital. Estimate the average level if the number of , where x, ythe 100x for annumber automobile manufacturer isyyfyis is the of units of labor and the number of units of is the number of units of labor and is the number of units of x is the number of units of labor and is number of units of capital. Estimate the average production level if the number of 0.4 yyfunction , ,where 100x for ananautomobile manufacturer isisf f x,x,yy production 65. Average Production Thede Cobb-Douglas 0.6 0.4 100x for automobile manufacturer where el número x dexxthe unidades trabajo varía entre 200 yof 250 yofof el units of labor varies between 200 250 the number x is y is the number of units of labor andand the number units capital. Estimate average production level ifand the number of capital. Estimate the average production level if the number of capital. Estimate the average production level if the number units of labor varies between 200 and 250 and the number of 0.6 0.4 xxisisan the number ofofmanufacturer units ofoflabor and the number ofof yofof,units f yx,yisyentre 100x for automobile isand where the number units labor is250 the number units número yEstimate dexxunidades debetween capital varía 300 ythe 325. yy varies units capital 300 and 325. capital. the average production level if number units of labor between 200 and 250 and the number of units of labor varies between 200 and 250 and the number of xvaries units ofof labor varies between 200 and and the number ofof units of capital varies between 300 and 325. Estimate the average production level if the number xcapital. y is the number of units of labor and is the number of units of capital. Estimate the average production level if the number of x units of labor varies between 200 and 250 and the number of y units of capital varies between 300 and 325. y units of capital varies between 300 and 325. y units of capital varies between 300 and 325. 66. Temperatura Laproduction temperatura en grados Celsius 66. Average Temperature The temperature in degrees Celsius 66.capital. Average Temperature The temperature inand degrees Celsius on xxpromedio units ofofEstimate labor varies between 200 and 250 the average level if the number ofon units labor varies between 200 and 250 and the number of2 2 2 y units of capital varies between 300 and 325. sobre la superficie de una placa metálica es T(x, y) 5 20 2 4x 2 2 y , the surface of a metal plate is T x, y 20 4x where 66. The temperature in degrees on 66. Average Temperature The temperature in325. degrees Celsius on 66.Average Average Temperature The temperature in degrees Celsius on y , where the surface ofx yavaries metal plate is 200 T300 x, yand 20 capital between units of Temperature labor between and 250 and4x theCelsius number of yyvaries units capital varies between 300 and 325. 2, of 22Estimar 2,2 where 2 the 2 yand donde ymetal están medidas en la temxxAverage yy Temperature are in Estimate average 66.the The in degrees on yy2yCelsius surface of axaameasured plate isisiscentimeters. TTtemperature x, yyycentímetros. 20 4x , the surface of metal plate x, 20 4x where , the surface of metal plate T x, 20 4x where and are measured in centimeters. Estimate the average y units of capital varies between 300 and 325. 66. Temperature The temperature inindegrees on 2 Celsius 2yyvaries 66.xxAverage Average Temperature The temperature degrees Celsius on peratura promedio si x varía entre 0 y 2 centímetros y varía temperature if x varies between 0 and 2 centimeters and y , the surface of a metal plate is T x, y 20 4x where and y are measured in centimeters. Estimate the average and y are measured in centimeters. Estimate the average x and y are measured in centimeters. Estimate the average temperature variesplate between 0x,and 2 centimeters and varies y2,2,ywhere the surface ofofifaaxmetal 20 4x4x2 2 Celsius 66. Average Theistemperature in degrees on the surface plate is0T00Tand x,yy222centimeters 20 where entre 0 yTemperature centímetros. between 004are 44metal centimeters. x and measured in centimeters. Estimate they2yyyvaries average temperature ififand between temperature xaxvaries varies between and centimeters and varies ifxmeasured varies between and centimeters and varies between and centimeters. 2 and xtemperature and y are in centimeters. Estimate the average y , the surface of metal plate is T x, y 20 4x where xtemperature and 00y0and are in centimeters. Estimate the if xcentimeters. varies between 0 and 2 centimeters and average y varies between 44measured between and centimeters. between and centimeters. ifif x4O varies between 00and 22centimeters and yyvaries xtemperature and y Gare measured inNcentimeters. Estimate the average temperature x varies between and centimeters and varies W R I T I N A B U T C O C E P T S between 0 and 4 centimeters. Wtemperature RITING AifBx4Ovaries U T Cbetween O N C E 0P and T S 2 centimeters and y varies between 00and centimeters. between and 4T centimeters. W R I T I N G A B O U C O N C E P T S W R I T I N G A B O U T C O N C E P T S W R I T I N G A B O U T C O N C E P T S 67. State the definition of a double integral. If the integrand 67. State 0theand definition of a double integral. If the integrand is is Desarrollo conceptos between 4de centimeters. W R I T I N G A B O U T C Ndouble C E Pthe Tintegral. SregionIfIfof a nonnegative function over integration, give 67. State the definition of aaON double integral. the integrand isisis 67. State the definition of double integral. the integrand 67. State the definition of a If the integrand a nonnegative function over the region of integration, give W R I T I N G A B O U T C O C E P T S W REnunciar Ithe TIN GtheAla BO U T CON Eintegral PofTaSintegral. 67. definición deC doble. Dar la interpreinterpretation double integral. 67. State aC double If the integrand is over of give function the of integration, give anonnegative nonnegative over the ofIfintegration, integration, give the geometric interpretation of aregion double integral. W RaaIState Tnonnegative I Ngeometric G Adefinition Bdefinition Ofunction Ufunction T CofOofN Ethe P T region Sregion 67. the aover double integral. the integrand ises tación geométrica de una integral doble si el integrando 67.the State the definition of a double integral. If the integrand is a geometric nonnegative function over regionwhose of integration, give interpretation of athe double integral. the geometric interpretation of a double integral. the geometric interpretation of a double integral. 68. Let be a region in the plane area is If R xyB. 68.State anoregion the the plane whose area is give R be xyB. auna nonnegative function region of integration, 67. the definition of in a over double If the integrand isIf función negativa sobre laintegral. región de integración. aLet nonnegative function over the region of integration, give geometric interpretation of double integral. for every point in what is the ffthe x, yybe x, yyaregion R, 68. aakkaregion in the plane whose area isisisvalue IfIfIfof R xyB. 68. Let be region in the plane whose area R xyB. 68.Let Let be region in the plane whose area R xyB. for every point in what is the value of x, x, R, geometric interpretation of a double integral. athe nonnegative function over the of integration, give the R geometric interpretation of cuya a double integral. 68. una región en point el esisisB. Si value ƒ(x, 5 Explain. ddaA? 68.ffthe Let region inplano the plane whose area is y)B. Ifk every in what the of x, yyyff Rx, kbe x, yxyfor every point in what the value of x, kyykfor x,of yyaplane R, R for every point inR, what isarea the value of fSea x, x,xy R,área Explain. x, A? interpretation double integral. R geometric 68. Let be a region in the whose is If R xyB. todo punto (x, y) en R, ¿cuál es el valor de 68.Rpara Let be a region in the plane whose area is If R xyB. for every point in R, what isofthe value of f ffx,fx, yx,yyrepresent kA? x, y northern Explain. Explain. Explain. y dkddaA? A? 69. aa county part the United R 69.Let Let represent county inxythe northern part the United R every ininR,R, what isarea the value fReRfLet x,x,yfRx, x,the yplane 68. be region inpoint thein whose isvalue Ifof B. of yyd kdfor for every point what isof the ysx,x, x, ythe Explain. frepresent dA? A?aExplicar. RRe States, and let represent total annual snowfall f x, y 69. Let county in the northern part of the United R 69. afaExplain. county ininthe part the United 69. Let county theynorthern northern part ofthe the United States, let represent the total annual snowfall at x, ypoint Explain. x,represent yand dfor in R, what isof value ofat fLet x,RfyRfrepresent x, R x, ykcondado dA? A?every R R 69. Sea un en la parte norte de Estados Unidos, y sea the point in Interpret each of the following. x, y R. 69.States, Let represent a county in the northern part of the United R and let represent the total annual snowfall at f x, y States, and let represent the total annual snowfall at f x, y States, and let represent the total annual snowfall at f x, y the point incounty each of thepart following. R. Interpret y dx, A?y Explain. R fRx, 69. Let represent a in the northern of the United ƒ(x, y) laand precipitación anual de nieve enfollowing. elfollowing. punto (x, y) de R. 69.the Let aR. in each the northern part of snowfall the United R represent States, represent the annual at x,county yInterpret point in Interpret of the x, point ininfR. Interpret each of the following. x, R. the point each oftotal the x,yyylet States, and represent the atat x, 69. the Let county in the northern part ofdsnowfall the United R represent Interpretar cada uno los siguientes. States, andlet letyf afin represent thetotal total annual snowfall x,yR.y de ffannual x, y A the point Interpret each of the following. x, x, y d A the point theannual following. yyfinin States, andx,x, let represent the of total snowfall at x,R.yR.Interpret R the point Interpreteach each of Rf fthe x, x,x,yyfollowing. (a) (b) y dddAAA (a)point ff x,x, (b) Rof fthe x,yyy indd A A the Interpret each following. R. f s x, y d d A R R R dA (a) (b) (a) (b) x,x,yyy dddAAA (a) Rff fx, (b) RR f fx,x,yddyA Ad A a) b) R fRRdx,Ay d A (a)RRR f sfx,x,ydy ddAA (b) AA d A R f x,ddy (a) (b) invalid. R R f x, y d A f the x, y expression dA 70. Identify that RRR ddAAExplain 70. (a) Identify the expression that(b)is is R invalid. Explain your your R (a) (b) R f x, y d A A RR d Explain reasoning. 70. Identify the expression that is invalid. your d A 70. the Explain your 70. Identify Identify the expression expression that that isis invalid. invalid. Explain your reasoning. R R 70. Identificar la expresión que es inválida. el razonad A Explain RExplicar 2 2 70.reasoning. Identify your reasoning. reasoning. 2 3 3 the expression that is invalid. 2 yy 70. the expression that isis invalid. Explain your R miento. 70. Identify Identify the expression that invalid. Explain your a) b) f x, y dy dx yy dy dx reasoning. 222 333 f x, y dy dx 222 yyy ff x, a) b) x, dy dx reasoning. 70. Identify the expression that is invalid. Explain your 0 0 02 ff0 0f3x, 02 f0 0fyfx, a) b) a) b) x,x,yyy dy dy dx x,x,yyy dy dy dx a)reasoning. b) dydx dx dydx dx 2 02 33 2 02 y xx reasoning. 2 3 2 0 0 a) 00 200 3 f x, y dy dx b) 00 200 y f x, y dy dx c) d) f x, y dy dx f x, y dy dx a)a) b) f x, y dy dx f x, y dy dx c) 22220 33330 f x, y dy dx d) 22220 xxyx0 f x, y dy dx b) 00 0fxx x, y dy dx 00 0 f0 0 0 0 c) d) x, y dy dx 2 3 2 x a) b) f x, y dy dx f x, y dy dx 0 0 0 0 c)c) d) f f x,x,yy dy f f x,x,yy dy d) dydx dx dydx dx 2 3 x 00002 02000and 71. R 3 f x, region x f let 0 x2x0xplane c) 000the y dy dx x, ythe dx 71. Let Let the plane region be aa unit unitd)circle circle and let thedymaximum maximum R be c) d) f x, y dy dx f x, y dy dx 2plane 3x ff region 2and x0 let 0plane 0and value of on be 6. the greatest value 71. the unit circle the c) d) x, yR fpossible y maximum dy dx 71. Let the region be unit circle let the maximum Rdx 71.Let Let the region be unit circle letx, the maximum Rbe value of be 6.aaaIs Is the greatest possible value of of RdyR 0 plane x f on 0 and 0 c)Let fthe d) x, yRR dybe dx6. f x,not? dy dx 0x, fplane xy 0 why 0possible equal to 6? Why or If not, dy dx 71.value region be athe unit circle and lety the maximum R Is greatest value of value of on 6.6. IsIsathe greatest possible value of fyffon R value of onregion beR the greatest possible value of Rbe equal to 6? Why or why not? Ifmaximum not, what what f0of x,plane dy dx R the x 0 and 0 71. Let be unit circle let the 71.RSea Let the region unit and let the maximum 71. la región plana RR un círculo unitario ynot? el If máximo valor is possible value? value of on 6.be IsaWhy the circle greatest possible value of f dx R be equal to 6? or not? what ffthe ygreatest dy equal to 6? Why or why not? If not, what x, yplane dx equal to Why orwhy why Ifnot, not, what fx, x,of yplane dy dx is the greatest possible value? RR value on bebe Is the greatest value ofof fdy R 71. Let the region be a6? unit circle andpossible let the maximum R6. value of on 6. Is the greatest possible value f R f sobre R sea 6. ¿Es el valor más grande posible de equal to 6? Why or why not? If not, what f x, y dy dx isisisde the greatest possible value? the greatest possible value? the greatest possible value? R Why or IfIfnot, value ofyyf dy on be 6.toto Is6? the greatest value Requal R f f x, equal 6? Why orwhy why not?qué not, what dydxdx igual avalue? 6? ¿Por qué sí possible onot? por no?what Siofes isR thex,greatest possible isno, possible value? equal to 6? Why or why not? If not, what f ¿cuál x,greatest y es dy el dx Risthe the greatest possible value? valor más grande posible? is the greatest possible value?

EE

EE EE

3714_1402.qxp 10/27/08 1:30 PM 1:30 Page 1003 14-2.qxd 3/12/09 18:26 Page 1053714_1402.qxp 10/27/08 PM Page 1053714_1402.qxp 10/27/08 1:30 PM 1003 Page 1003 1003

14.2 Integrals and Volume 1003 14.2 Double Double anddobles Volume 1003 1003 14.2 SECCIÓN 14.2 Integrals Integrales y volumen 14.2 Double Integrals and Volume 1003 14.2 Double Integrals and Volume 1003 14.2 Double Integrals and Volume 1003 1

2

2

EE

4

EE

1 2 2 4 1 2 3 CCAAPPSSTTOONNEE 1 2 2x 3 48 80. dx C A P S T O N E 79. 79.1 2 sen 80.2 4 20e sen1 2xx yy dy dy dx dx 20e2 x4 8dy dy 79. dx 3 2x y8 Para discusión 0 0 0 0 ! following iterated integrals to 79. 1 2 sen sin x 1 y dy dx 0 080. x32 8 4 20e 3 0dy 0dxsen C A72. P S TThe OC EP 0 0 72. The following integrals represent represent the the solution solution72. to the the EE The following represent the to the 0 dy0 dx xx3 88 CNA A PS S TT O ON Niterated 79. iterated 80.solution 20e sen integrals x0 0 y dy dx

Double Integrals

2

x

y dy dx

80.

0 79. n 8sen 80. n 20e xx yy dy dy same problem. Which iterated integral is easier to evaluate? dy dx dx 0 m dy dx dx m 20 Which iterated integral is easier tothe evaluate? m0 79.4, 4,iterated n 0 8sen m0 80.10, 10,0 n0 20e 20 72. Thesame following integrals represent the solution tosolution the 72.problem. Lasiterated siguientes integrales iteradas representan la same solución al 0 Which problem. integral is easier to evaluate? m 4, n 8 m 0 72. The following iterated integrals represent to the 0 0 0 0 72. The following iterated integrals represent the solution to the m 5 4, n 5 8 m 5 10, n 5 20 6 2 4 2 Explain your reasoning. 6 2 Explain yourWhich reasoning. 6 2 4 same problem. iterated integral is easier tois mreasoning. 4, ny m 86 4, m 410,2 nm mismo problema. ¿Cuál integral iterada es másto de evaExplain your same problem. Which iterated integral easier evaluate? 88 nn dy20 2x n 2y33 dx same problem. Which iterated integral isevaluate? easier tofácil evaluate? 81. 82. m 4, ndx mxx3342010, 10, cos dy 4 2 2 2y 81. 82. y cos x dx dy y dx dy203 y cos x dx dy 6 42 0 4 12 1 81. 82. 3 4 2your 2razonamiento. 2y Explain reasoning. luar? Explicar el 6 2 4 2 ! ! 4 2 2 2y Explain your reasoning. 81. 6 2 y cos x dx dy 82.3 4 23 x 1 y4 dx dy Explain 4 0 1 1 0 1 sen y 22 dy your dx reasoning. sen y 22 dx dy 3 81.y 2 dymdx 82. y cos dyy 2 dxxx dy x n 1 y 14dxxxdy 3 81. 82. dx yy33 dx 4 02 x 2 sen4 y 2 dy dx 2 02y 0 sen2 y 2ydx dy sen sen 81. 82.6, cos dx dy dy dx dy dy 4, nn4 x 0dx 8y8y cos m 4 2 2 2y m 4, m 6, n 4 4 0 1 1 m 4, n 8 m 0 x 2 2 0 0 4 0 1 1 2 0 x 2 0 0 4 0 1 1 2 2 m 5 4, n 5 8 m 5 6, n 5 4 sen y dy dx sen sen sen yy 2 0dy dy0dx dxsen y dx dy sen yy 2 dx dx dy dy m 4, n m m 6,determine nm n 88 nn 44 value 0 x 2 m 8 4, 4,In m 4 6, 6, which 0 0 Approximation 0 xx 2 2 0 0 0 Approximation InnExercises Exercises 83 83 and and 84, 84, determine which value Approximation In Exercises 83 and 84, Aproximación En los ejercicios 83 y 84, determinar qué valor best approximates the volume of the solid between the -plane xy best approximates the volume of the solid between the -plane xy Approximation In Exercises 83 and 84, determine which value best approximates the volume of the sol Approximation In Exercises 83 and 84, determine which value Probability A joint density function of the continuous random Approximation In Exercises 83 and 84, determine which value aproxima mejor el volumen del sólido entre el plano xy y la función and the function over region. (Make your selection on the Probability A joint density function of the continuous random conjunProbability A joint density function ofthe thethe continuous random and thebest function over the region. (Make your selection on the Probabilidad Una función de densidad de probabilidad best approximates the volume of the solid between the -plane xy and the function over the region. (Mak approximates volume of the solid between -plane xy variables function the following xx and y is ff x, yy satisfying best the volume ofnot the solid between the xy-plane sobre la fregión. (Hacer la elección con base en un dibujo sólido basis of aa approximates sketch solid and by performing any variables isAaajoint function satisfying the x,function Probability joint density function of the continuous variables and is afunction function satisfying the following xfunción y the x,of y the of sketch of the solid and not by performing anyadel Probability density of ta A deand las yvariables aleatorias continuas yrandom yfollowing es unarandom andbasis over the region. (Make your selection on the basis of sketch of the solid and n Probability A joint density function of the thex continuous continuous random and the function over the region. (Make your selection on the properties. and function overcálculo.) the region. (Make your selection on the y sinthe realizar ningún calculations.) properties. variables and isxx asatisface function the following xƒ(x, x, y satisfying properties. calculations.) variables and aa ffunction satisfying the yy is ff x, y) yque propiedades basis of abasis sketch the solid andsolid not by performing any calculations.) variables and is las function satisfying the following following x, yysiguientes. of aaof sketch of the and not by performing any basis of sketch of the solid and not by performing any properties.properties. calculations.) f4x sx, yd 5 4x properties. 83. y83. ` ` dA calculations.) (a) all x, (b) 00 for 1 ff x, 83. ff x, x,calculations.) y 4x f x, y 4x (a) ff x, (b) x,a)yy f~~xx, x, yy todo xx, dA x, yy (a) (b) f x, y R: cuadrado 1 d, s4, 4d83. f x, ys0,dA0d, s4, yfor c ≥all0 para yc f xx, y1c yd A~50 1for allR: x, b) con0,vértices , s0, 4d with vertices 00 ,, 4, 00 ,, 4, 44 ,, 00, 44 83. f x,R:y square 4x 83. f x, y 4x ` ` 2 2 square with vertices 0, 4, 4, 0, (a) f x, y (a) for all (b) ~ 0 x, y dA 1 f x, y R: square with vertices 0, 0 , 4, 0 , 83. f x, y 4x (b) ff x, (a) ff x, for all all x, (b) x, yy ~ ~ 00 for x, yy dA 11 x, yy dA a) 2200 b)0,(c) 600 125 e) 1 000 (a) (b) (e) 1000 with vertices R: square 0 , 50 4, c) 0 (d) ,50 4,125 4d) , 000, 4 4, (a) 200 (b) 600 600 (c) 50 (d) 125 (e) 1000 200 square with vertices R: 0, 0 , 4, , 4 , 0, 4 (c) x, y R f x, y dA P [ ] (a) 200 (b) 600 (c) 50 (d) 12 square with vertices R: 0, 0 , 4, , 4, 4 , 0, 4 (c) P [ x, (c) P [ x, y R]84. f x, fy84.x, yf sx, dA 2 x2 1 y2 xx, yc dA c) yP[xx,Ry] c [ RR] 5f x, y fdA xx2y600 2d 5yy! 2(c) 50 (a) (b) (d) 125 (e) 1000 200 R 84. f x, y (a) (b) 600 (c) 50 (d) 125 (e) 1000 200 R f x, y x2 y2 (a) 200 (b) 600 (c)2 50 2(d) 125 (e)84. 1000 (c) P [ x, y(c) f ]]x, y RdA ff x, x, yy R dA (c) P x, –76, R x, yyfunction dA PR[[]73 2 2 acotado por R: x9 1 y 5 9 2 círculo 2 by circle bounded R: y x In Exercises show that the is a joint density R 2 2 2 2 84. f x, y x y R 2 2 circle bounded by y a joint 9 84. ffthat x, xx x yy is In Exercises 73 –76, show function is función a joint R 76, the R: circle bounded by x2 y2 9 84. x, yythe function In density Exercises 73–76, R: show density En losfind ejercicios 73 athat mostrar que la es una función function and the required probability. a) 50 b) 500 c) d) 5 e) 5 000 2500 2 2 (a) 50 (b) 500 (c) (d) 5 (e) 5000 500 2 2 function and find the required probability. by x (c) y by In Exercises 73 –76, show thatshow the function a yjoint function and findR: thecircle required probability. (a) 50bounded 500 500xx92 (d)yy25 (e) circle bounded R: 99 5000 In 73 that the is aalajoint density de Exercises densidad de probabilidad hallar probabilidad (a) 50 (b) 500 (c) 500 (d) 5 circle bounded by R:(b) In Exercises 73 –76, –76, show thatconjunta the isfunction function isdensity joint density 1the required probability. function and find function and find the required probability. requerida. 1 , (a) 50 (b) 500 (c) (d) 5 (e) 5000 500 ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 85 ywhether 86, determinar si la 0 x 5, 0 y 2 function10and find xthe required probability. 1 True or False? (a) 50 (b) 500 (c) (d) 5 (e) 5000 500 In Exercises 85 and 86, determine the , (a) 50 (b) 500 (c) (d) 5 (e) 5000 500 0 5, 0 y 2 , 85 and 86, determine whether 0 or xFalse? 5, 0In Exercises y 2 73. True orthe False? Ino Exercises 85 and 86, 10 True 73. ff x, x, yy 1 10 elsewhere declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué 73. f x, y statement is true or false. If it is false, explain why or give an 1 , 0, x1110 2000 ≤ yyy ≤ 222 statement isortrue or false. If and it is 86, false, explain why or give an is true ,, , 5,0000≤xxx y≤5, True or False? In Exercises 85 determine whether the statement 5, 10 0,0 elsewhere elsewhere True False? In Exercises 85 and 86, determine whether the 0, 5, 10 True False? In Exercises 85 que and es 86,falsa. determine whether the or false. If it is false, 73. f x, y 73. dar un ejemplo que demuestre example thator shows itit is 73. xff f sx, d 5 10y 2 x,x,yyyelsewhere PP 0073. example shows isIffalse. false. statement isthat true or is false. itfalse. is false, explain why or give anor example statement true or If it is false, explain why give an elsewhere x0, 2, 2, 11 0, y 2 elsewhere en cualquier otro punto P 0 x 2, 1 y 2 0, statement is true or false. If it is false, explain why orthat giveshows an it is false. elsewhere 0, 221 y22 1 z2 5 1 está dado por la inte1 2 example that shows it is false. 85. El volumen de la esfera x 1 example that shows it is false. 85. The volume of the sphere is given by the y z 1 x xy, 0 x 2, 0 y 2 2 2 2 P0 x P 2, 1 y 2 1 example that shows it is false. 4 0 x 2, 1 y P s 0 ≤ x ≤ ≤ ≤ 2 d 85. The y z 1 is given x P 0 4 xy,x 02, 1x y2, 02 y 2 85. by Thethe volume of the sphere x2 y2 0 volume x gral 2, 0of the y sphere 2 74. 4 xy, 74. ff x, x, yy 1 0, integral 74. f x, y 2 2 2 1 1 elsewhere integral 2 2 2 85. volume ofvolume the 1sphere the y x sphere xxy, 2,0000≤xxx y≤2, 85. given zz2 11byis xxz2 yy12 is given 4 xy,0, 0 41elsewhere 0, The elsewhere 1 of 85. The The of the the sphere is integral given by by the the xy, 2,2,2000 ≤ yyy ≤ 222 4xy, 1 1 volume 74. f x, y 74. 74. xff f sx, x,yyd 5 1 1 PP 0074. 11 4 yy 22 1 1 integral integral 2 2 y2 dx dy. 2 2 ! x0,x, y1, 1, elsewhere V 5 8 1 2 x integral 0, elsewhere 0, elsewhere en cualquier otro punto 11 xx2 yy2 dx dy. P 0 x 1, 1 VV y 88 2 0, elsewhere dx dy. 1 01 0 1 1 x2 y2 dx dy. V 8 0 0 1 1 9 y x 2y , 1 1 1 00≤ 22dxx 3, 33 yy 66 P0 x P 1, 1 0 0 271 0 x 1, 1 y P s 0 ≤ x ≤ ≤ 2 2 9 x y , 0 0 3, P 0 x 1, 1 y 2 2 9 x y , 75. 3, y1 3dxxxdy. 8 2 y y 26dx dy. 27 V V 75. ff x, x, yy 1 27 y indxR, dy. V 1088gsx,x,yxyd ≤for 75. f x, y 111y , para R, yff and ƒand y gggson g1sx, sx,and yd en 0, elsewhere 86. all both arecontinuas 0x, y 0x 2 xyd,, , 3,0003≤xxx y≤3, 6333 ≤ yyy ≤ 666 elsewhere 86. If If ff 86. allyd x, in R, and both x, 0y Si felsewhere g 00x, y00 for x, yy todo 9 x y s 9 2 27 90, x 27 3, 0, 86. If f are x, y g x, y for all x, y in 9 x y 27 3, 75. f x, y 75. 27 f x, y 75. f s x, y d 5 continuous over then R, f x, y dA g x, y dA. en R, entonces 75. f x, y PP 00 xx0, 1, yy 66elsewhere R R g x, continuous over then R, f x,in y R, dA y dA. 86. If for all and both and are 1, 44 0, f x, y g x, y x, y f g continuous over R R elsewhere P 0 x 1, 4 y 6 86. If for all in and both and are elsewhere 0, f x, y g x, y x, y R, f g en cualquier otro punto 0, elsewhere 86. If f x, y g x, y for all x, y in R, and both f and g are R, then R f x, y dA xx 64 0, yy ≤ 600d ee4≤xx xxyy,,y≤ 1, continuous overxxR, f then x, yaverage dA x, y dA. t 22then P0 x P 1, continuous over f x, gg x, yy dA. Ry xR R, x y 0, 87. Let value of interval e dt. f x 0 y P s 0 ≤ t x t2 continuous over then R, y gdA dA x, dA.el intervaR t 2the y 1f sex0d dt. e 87. ,Letx 87. 4 y 6 R f x, 76. the average value of ff on onRR the the interval f x 0,Sea f en 5 Find eFind 87.de Let f x 1 1 e dt. Hallar el valor promedio 76. ff x, x, yy P 0x0, y x 1, 1 e dt. Find the average 76. f x, y 0, 1 . x t2 2xx0, yy,y 0 e 0, , x eeeelsewhere x2y 2 x elsewhere 1 . lo1 eff0,xdt. 1g. x etthe 0, Let f0,elsewhere 87. value of f on theof interval x87. , , xxx ≥ 0, 0,0, yyy ≥ 000 1 . interval t 2 dt.average Find the average value ff on 76. f x, y 76. 87. Let Let fx x Find on0,the the interval 1 2 of 76. xff f x, sx,yyd 5 1 e dt. Find the average value 2 PP 0076. yy 11 elsewhere 2 ee1 x. ee`2x 2x2x 22x 0, 1 . x0,x, y1, 1, xx elsewhere 0, en cualquier otro punto 0, elsewhere xy 0, e 2 e P 0 x 1, x y 1 0, elsewhere e x e 2x 88. Find Hint: Evaluate 0, 1 . e dy. dx. xy 88. Find88. Hallar Sugerencia: dx. Evaluate 2 1 eEvaluar 88.dy. Find e2xy dy. Hint: E dx. xx2x x dx. x 2x Hint: x 2 0 P0 x P 1, x y 1 2 e e yy ≤ 11d of sand at a cement plant is x x 0 1 xy ee 2xHint: Evaluate 1 0 0e PPs000 ≤ xxx ≤ 1, 1, xx ≤ of e dx. 77. xy 88. Find e dy. xy 77. Approximation Approximation The The base base of aa pile pile of sand at a cement plant is 88. Find Hint: Evaluate e dy. dx. 77. Approximation The base ofxthe a pile of sand at dx. athe cement plant is1Evaluate 88. Find Hint:that 89. region -plane maximizes e the dy.valor de RR in xy 89. Determine Determine the in the -plane that maximizes the xyel 0 89. Determinar laxxregión R en plano xy que maximiza el rectangular with approximate dimensions of 20 by 89.11 Determine the region R in the xy-p 0 region rectangular with dimensions of 20atmeters meters byplant 77. Approximation Theapproximate base of a una pile ofof sand at acemento cement plant is de rectangular with value approximate of 20 meters by of 990 dimensions xx22 yy22 dA. 77. Approximation The base a pile of sand a cement is 77. Aproximación En fábrica de la base un monR 2 77. Approximation The base of a pile of sand at a cement plant is value of dA. 89. Determine the region in the -plane that maximizes the R xy 30 meters. If the base is placed on the plane with one vertex xyvalue of y2 dA. R 89. Determine the region in the -plane that maximizes the R xy R 30 meters. If the base isrectangular placed on the plane one20 vertex xy89. Determine thexyregion thevertex that maximizes the9 x R in xy-plane rectangular with approximate dimensions of 20with meters bymeters. 30 If the base is placed onregion plane with one rectangular with approximate dimensions of meters by 90. Determine the in the -plane that minimizes the xy tón de arena es con dimensiones aproximadas de 20 2the y 2 R rectangular with approximate dimensions of 20 meters by 2 2 90. Determine the region in the -plane that minimizes the R xy value of 9 x dA. at the coordinates on surface of the pile are 90.Rvalue Determinar la el plano xy que minimiza el valorthe de region R in the xy-p 2endA. 90. Determine of 9 región x2 R at the the origin, origin, the Ifis coordinates onsethe the surface of thevertex pile are value of dA. 2 R 30 meters. If the placed on the plane with one xyat the coordinates ofyy the pile are meters. base is on plane with one vertex of xxon yy229surface 44x dA. 30base metros. Si la5,base coloca en el15, plano unorigin, vérticethevalue 2 Rthe 30 meters. the base is placed on2the the plane with one vertex xyR region value ofDetermine dA.xy and 5, 5, 3330 ,por 15, 5, 66If,,the 25, 44 ,placed 5, 15, ,, xy15, 7xy ,,con 90. Determine the in the -plane that minimizes the R value of x2 y2 4 dA. R 90. the region in the -plane that minimizes the R xy R and 5, 5, , 15, 5, 25, 5, , 5, 15, 2 15, 15, 7 90. Determine the region in the -plane that minimizes the R xy at the origin, theorigen, coordinates on the surface the pileof are 2 5, 4 , 5,the 5, pile 3pile , are 15, 5, Find 6 , 25, 5, 15,arctan 2 , x15,dx. 15,(Hint: 7 , and at the origin, the coordinates on the surface en el las coordenadas de la superficie del montón son 2 arctan 2 2x at the origin, thethe coordinates on theof surface of the are 91. Convert the integral 2 2 2 Approximate volume of sand in the pile. 25, 15, 3 . value of x y 4 dA. 0 91. Find 0Rvalue (Hint: Convert the arctan arctan of y2 xthe 44dx.pile. dA. in (15, the 3 .5, 91. integral FindConvertir arctan x dx. (H value ofe2RRxfarctan dA. and 5, 5,25, 3 ,15,(5, 15, 5,333), 6,, ,(15, 25, 4,,(25, , volume 5, 4), 15,44of 2,, sand ,15, , 15, the volume ofxx2sand 25, 15, . Approximate 0 arctan and 5, 15, 66the 25, 5, 5, 15, 22 ,,7pile. 15, 77 ,, 315, 5,Approximate 5,5, 6), 5, (5, 2), 15, 7) y (25, 3). to a291. Hallar la x spy xind 2 arctan xg dx. (Sugerencia: and 5, 5, 15, 5,5, 25, 5, 5,15, 15,15, 15, 15, double integral.) 0 2 to a91. double integral.) 2x arctan 78. Consider a continuous function over f x, y 91. Find (Hint: Convert the integral arctan arctan x dx. to a double integral.) Approximate the volume of sand in the pile. 25,Programming 15, 3 .Aproximar Find (Hint: Convert the integral x arctan x dx. 0 78. Programming Consider a continuous function over f x, y in pile. 25, el volumen dethe la volume arena enof montón. 91. Find (Hint: Convert the integral x arctan 0 78. Programming Consider a continuous over f that x,xy dx. Approximate the volume ofelsand sand in the the pile. 25, 15, 15, 33 .. Approximate integral en una function integral doble.) 0 arctan 92. aa geometric argument to show the rectangular region with vertices a, cc ,, b, cc ,, a, dd ,, and to aUse double integral.) 92. Use geometric argument tob, show that to aa double integral.) the78. rectangular region RRaConsider with vertices and a,función b,f function a,over 92. Use a geometric argument to show tha to double integral.) 78. Programming Consider continuous function x, y the rectangular region with vertices and R a, c , c , a, d , Programming a continuous over f x, y f s x, y d 78. Programación Considerar una continua sobre 78. Programming a continuous function x, y over un argumento geométrico para mostrar que Partition the intervals cConsider a, bb fand b, aa << bb and < d. 3 92. 9 Utilizar y22 where and Partition the intervals and c a, b, dd ,, where < d. 3and 9cUse y d. 92. Use a geometric argument to show that the rectangular region with vertices and R a, c , b, c , a, d , 9 where Partition the intervals and a, b b, d , a < b < 3 9 y2 92. a geometric argument to show that the rectangular region with vertices and a, ,, b, ,,ina, la región rectangular vértices (a,subintervals c),cc (b, c),cc (a, d) 92. Use3 a ! to9 show 2 22 the rectangular regionRR with vertices andd) Rcon a, b, a, 9 92yx 99geometric yyargument .. that and so that the aaddy,, (b, c, d into m nn subintervals, 2 2 dx dy 2 x dx dy into and subintervals, so that the subintervals in m 9 p and Partition the intervals and c a, b b, dc,, dwhere a < b < d. 3 9 y 2 9 x2 y2 dx dy into and subintervals, so that the subintervals in a c, d m n 2 Partition cc < b, b< donde y< intervalos y fa, en a are < ba d. Dividir fa, bgfor c, 3 9 where and Partition the intervals intervals andm 00 00 a, b, dd ,, where aof Show not exist positive. 2 94. Show that if > 2 there does not exist a real-valued94.funcpositive. Show that if > 12 there does not e positive. where xi , ywhere center of representative rectangle in R. tion that all closed interval uu such xx in 0 x 1, center of aun representative rectangle in R. donde esthe el acentro de rectángulo representativo en R. sxxxiiExercises yjjjd is 1 for j is the 1 the CAS where is the center of a representative rectangle in R. y Approximation In 79 – 82, (a) use a computer algebra 1 i,,, y tion such that for all in the closed interval 0 x 1, 1 not >that 94.In Show that ifProbar there auna real-valued functionque, such ufuncCAS Approximation In Exercises 79 – 82, (a) use a computer 94.Show que si ldoes no exist existe función real u tal para that for all x in the clos algebra 1 does not exist aa real-valued 21(a) CAS Approximation Exercises ay >computer algebra 2there > 94. Show that ifyuse does not exist real-valued func22 there u x94. 179–82, uu if uu > xx dy. 1 system to the iterated integral, and use 1todo dy. tionuuxthe suchiterated thatuu for allythat inyfor the closed interval xel x dy. xxx integral, en intervalo cerrado 00≤interval x x≤ 1,1,00 u xxx 11, system to approximate approximate the iterated integral, anda(b) (b) use the the tion such all in the closed x CAS Approximation In Exercises 79 – 82, (a) use a computer algebra x u y u y system to approximate and (b) use the tion such that for all in the closed interval x 1, CAS Approximation In Exercises 79 – 82, (a) use computer algebra CAS 1 Approximation In Exercises 79 – 82, (a) use a computer algebra CAS 1 Aproximación En los ejercicios 79 a 82, a) utilizar un sistema program in 78 to approximate the integral for These were composed by Committee on Prize u 78 x problems 1approximate y uthe y x1iterated x yythe dy. program in Exercise Exercise 78 toiterated approximate the iterated iterated integral forin These problems were composed by the Committee on the the Putnam Putnam Prize u x u u y x dy. x u1 system to system approximate the integral, and (b) use the program Exercise to integral for These problems were composed by the Comm u x 1 u u y x dy. to approximate the iterated integral, and (b) use the © system toofapproximate the iterated integral, and (b)iterada, use theyCompetition. algebraico por computadora y aproximar la integral the values and m n. © The The Mathematical MathematicalxAssociation Association of of America. America. All All rights rights reserved. reserved. Competition. © Prize The Mathematical Association of A the given given values in of78 and mto n.78 to approximate program in Exercise approximate the iterated integral for the given values ofCompetition. andThese mproblems n. These were composed bycomposed the Committee on the Putnam Prize Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam program Exercise the iterated integral for problems were by the Committee on the Putnam Prize program in Exercise 78 to approximate the iterated integral for These problems were composed by the Committee on the Putnam Prize b) utilizar el programa del ejercicio 78 para aproximar la inteCompetition. Competition. ©Competition. The Mathematical Association America. All rights reserved. TheMathematical MathematicalofAssociation Association los derechos © of All reserved. the given values of m and n. Competition. ©©The The Mathematical Association of America. America. Todos All rights rights reserved.reserthe values and the given values of and n. mvalores n. dados de m y n. gralgiven iterada con of losm vados.

EE

EE

E E

EE

5

EE

5 5 5

E

EE

oo

EE

1

E

2

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3/12/09

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18:28

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CAPÍTULO 14


14.3 Cambio de variables: coordenadas polares n

Expresar y evaluar integrales dobles en coordenadas polares.

Integrales dobles en coordenadas polares Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides y pétalos de una curva rosa, y de integrandos que contienen x 2 1 y 2. En la sección 10.4 se vio que las coordenadas polares sr, ud de un punto están relacionadas con las coordenadas rectangulares (x, y) del punto, de la manera siguiente. x 5 r cos u r 2 5 x2 1 y 2

EJEMPLO 1

y

y 5 r sin sen uu y y tan u 5 x

Utilizar coordenadas polares para describir una región

Utilizar coordenadas polares para describir cada una de las regiones mostradas en la figura 14.24. y

y 4

2 2

x

1

−4

−2

2

4

−2 x 1

2

−4

b)

a)

Figura 14.24

Solución π 2

a) La región R es un cuarto del círculo de radio 2. Esta región se describe en coordenadas polares como

θ

R 5 Hsr, ud: 0 ≤ r ≤ 2,

2

θ

∆r

1

R (ri, θi) r2

∆θ

Figura 14.25

b) La región R consta de todos los puntos comprendidos entre los círculos concéntricos de radios 1 y 3. Esta región se describe en coordenadas polares como R 5 Hsr, ud: 1 ≤ r ≤ 3,

0 ≤ u ≤ 2pJ.

r1 0

Sector polar

0 ≤ u ≤ py2J.

Las regiones del ejemplo 1 son casos especiales de sectores polares R 5 Hsr, ud: r1 ≤ r ≤ r2, como el mostrado en la figura 14.25.

u1 ≤ u ≤ u2J

Sector polar.

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SECCIÓN 14.3

π 2

∆θ i (ri, θi)

Ri

g2 ∆ri

β α

g1

Figura 14.26

1005

Para definir una integral doble de una función continua z 5 f sx, yd en coordenadas polares, considerar una región R limitada o acotada por las gráficas de r 5 g1sud y r 5 g2sud y las rectas u 5 a y u 5 b. En lugar de hacer una partición de R en rectángulos pequeños, se utiliza una partición en sectores polares pequeños. A R se le superpone una red o cuadrícula polar formada por rayos o semirrectas radiales y arcos circulares, como se muestra en la figura 14.26. Los sectores polares Ri que se encuentran completamente dentro de R forman una partición polar interna D, cuya norma iDi es la longitud de la diagonal más larga en los n sectores polares. Considerar un sector polar específico Ri, como se muestra en la figura 14.27. Se puede mostrar (ver ejercicio 75) que el área de Ri es

0

La red o cuadrícula polar se sobrepone sobre la región R

Cambio de variables: coordenadas polares

DAi 5 ri Dri Dui

Área de R i.

donde Dri 5 r2 2 r1 y Dui 5 u2 2 u1. Esto implica que el volumen del sólido de altura f sri cos ui, ri sen sin ui d sobre Ri es aproximadamente f sri cos ui, ri sen sin ui dri Dri Dui y se tiene

EE

f sx, yd dA <

R

n

sin u dr Dr Du . o f sr cos u , r sen i

i

i

i

i

i

i

i51

La suma de la derecha se puede interpretar como una suma de Riemann para f(r cos u, r sen u)r. La región R corresponde a una región S horizontalmente simple en el plano ru, como se muestra en la figura 14.28. Los sectores polares Ri corresponden a los rectángulos Si, y el área DAi de Si es Dri Dui. Por tanto, el lado derecho de la ecuación corresponde a la integral doble

EE

f sr cos u, r sen sin udr dA.

S

A partir de esto, se puede aplicar el teorema 14.2 para escribir

EE

f sx, yd dA 5

R

5

EE EE

f sr cos u, r sen sin udr dA

S b a

g2sud

g1 sud

f sr cos u, r sen sin udr dr du.

Esto sugiere el teorema siguiente, cuya demostración se verá en la sección 14.8. π 2

θ

r = g2(θ )

r = g1(θ )

θ2

β

θ1

Ri Si r1

r2 (ri, θi)

α

(ri, θi) 0

El sector polar Ri es el conjunto de todos los puntos sr, ud tal que r1 ≤ r ≤ r2 y u1 ≤ u ≤ u2. Figura 14.27

Región S horizontalmente simple Figura 14.28

r

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CAPÍTULO 14


TEOREMA 14.3 CAMBIO DE VARIABLES A LA FORMA POLAR Sea R una región plana que consta de todos los puntos (x, y) 5 (r cos u, r sen u) que satisfacen las condiciones 0 # g1(u) # r # g2(u), a # u # b, donde 0 # (b 2 a) # 2p. Si g1 y g2 son continuas en [a, b] y f es continua en R, entonces

EE

f sx, yd dA 5

R

EXPLORACIÓN

Volumen de un sector paraboloide En la exploración de la página 997 se pidió resumir los diferentes métodos hasta ahora estudiados para calcular el volumen del sólido limitado o acotado por el paraboloide z 5 a 2 2 x 2 2 y 2,

b

a

g2sud

g1 sud

f sr cos u, r sen sin udr dr du.

NOTA Si z 5 f sx, yd es no negativa en R, entonces la integral del teorema 14.3 puede interpretarse como el volumen de la región sólida entre la gráfica de ƒ y la región R. Cuando se usa la integral en el teorema 14.3, asegurarse de no omitir el factor extra de r en el integrando. n

La región R puede ser de dos tipos básicos, regiones r-simples y regiones u -simples, como se muestra en la figura 14.29. π 2

a > 0

g2

y el plano xy. Ahora se conoce un método más. Utilizarlo para encontrar el volumen del sólido.

EE

θ =β

∆θ

Límites o cotas fijas para θ: α≤θ ≤β Límites o cotas variables para r: 0 ≤ g1(θ ) ≤ r ≤ g2(θ )

π 2

Límites o cotas variables para θ: 0 ≤ h1(r) ≤ θ ≤ h2(r) h2

Límites o cotas fijas para r: r1 ≤ r ≤ r2

g1

h1

θ =α

∆r 0

r = r1

Región r-simple

R: 1 ≤ r ≤ 5 0 ≤ θ ≤ 2π

Evaluar una integral usando coordenadas polares doble

Sea R la región anular comprendida entre los dos círculos x 2 1 y 2 5 1 y x 2 1 y 2 5 5. 2 Evaluar la integral eRe sx 1 yd dA.

π 2

Solución Los límites o cotas polares son 1 ≤ r ≤ !5 y 0 ≤ u ≤ 2p, como se muestra en la figura 14.30. Además, x 2 5 sr cos ud2 y y 5 r sin sen u. Por tanto, se tiene

R 0 2

3

EE

sx 2 1 yd dA 5

R

EE EE E1 E1 E1 2p

0

5

2p

0

Región r-simple

0

Región u-simple

Figura 14.29

EJEMPLO 2

r = r2

5

2p

0

Figura 14.30

5

2p

!5

!5

2p

r4 r3 cos2 u 1 sen sin u 4 3 6 cos2 u 1

5 3u 1 5 6p.

!5

24

1

du

2

5!5 2 1 sin u du sen 3

3 1 3 cos 2u 1

0

1

sr 3 cos2 u 1 r 2 sin sen ud dr du

1

0

5

sr 2 cos2 u 1 r sin sen udr dr du

1

2

5!5 2 1 sin sen u du 3

3 sen sin 2u 5!5 2 1 2 cos u 2 3

2p

24

0

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SECCIÓN 14.3


1007

En el ejemplo 2, notar el factor extra de r en el integrando. Esto proviene de la fórmula para el área de un sector polar. En notación diferencial, se puede escribir dA 5 r dr du lo que indica que el área de un sector polar aumenta al alejarse del origen. 16 − x2 − y2

Superficie: z =

Cambio de variables a coordenadas polares

EJEMPLO 3

z

Utilizar las coordenadas polares para hallar el volumen de la región sólida limitada superiormente por el hemisferio

4

z 5 !16 2 x 2 2 y 2

Hemisferio que forma la superficie superior.

e inferiormente por la región circular R dada por 4 4

x

y

x2 1 y 2 ≤ 4

Región circular que forma la superficie inferior.


R: x2 + y2 ≤ 4

Solución En la figura 14.31 se puede ver que R tiene como límites o cotas

Figura 14.31

2 !4 2 y 2 ≤ x ≤ !4 2 y 2,

22 ≤ y ≤ 2

y que 0 ≤ z ≤ !16 2 x 2 2 y 2. En coordenadas polares, las cotas son 0 ≤ r ≤ 2 y

0 ≤ u ≤ 2p

con altura z 5 !16 2 x 2 2 y 2 5 !16 2 r 2. Por consiguiente, el volumen V está dado por V5

EE

f sx, yd dA 5

R

EE E E 2p

NOTA Para ver la ventaja de las coordenadas polares en el ejemplo 3, hay que tratar de evaluar la integral iterada rectangular correspondiente

EE 2

52 52

!42y2

22 2!42y2

!16 2

x2

2

y2

dx dy.

5

n

!16 2 r 2 r dr du

0

0

52

2

1 3 1 3

2p

0 2p

2

4

s16 2 r 2d3y2

du 0

s24!3 2 64d du

0

8 s3!3 2 8du 3

2p

4

0

16p s8 2 3!3 d < 46.979. 3

Todo sistema algebraico por computadora que calcula integrales dobles en coordenadas rectangulares también calcula integrales dobles en coordenadas polares. La razón es que una vez que se ha formado la integral iterada, su valor no cambia al usar variables diferentes. En otras palabras, si se usa un sistema algebraico por computadora para evaluar

TECNOLOGÍA

EE 2p

0

2

!16 2 x 2 x dx dy

0

se deberá obtener el mismo valor que se obtuvo en el ejemplo 3. Así como ocurre con coordenadas rectangulares, la integral doble

EE

dA

R

puede usarse para calcular el área de una región en el plano.

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CAPÍTULO 14


Hallar áreas de regiones polares

EJEMPLO 4

Utilizar una integral doble para hallar el área encerrada por la gráfica de r 5 3 cos 3u.

π 2

π π R: − 6 ≤ θ ≤ 6 0 ≤ r ≤ 3 cos 3θ

r = 3 cos 3θ

Solución Sea R un pétalo de la curva mostrada en la figura 14.32. Esta región es r-simple y los límites son los siguientes.

θ=π 6 0 3

6

Límites o cotas fijas para u.

6

0

r

3 cos 3

Límites o cotas variables para r.

Por tanto, el área de un pétalo es θ = −π 6

6

1 A 3

3 cos 3

dA

r dr d

R

6 0 6

3 cos 3

r2 6 2

Figura 14.32

9 2 9 4

d 0

6

cos2 3 d 6 6

1

cos 6

9 4

d

6

6

1 sen 6 6

6

3 . 4

Así, el área total es A 5 9py4. Como se ilustra en el ejemplo 4, el área de una región en el plano puede representarse mediante

EE

g2sud

b

A5

a

g1 sud

r dr du.

Si g1sud 5 0, se obtiene

EE

g2sud

b

A5

a

r dr du 5

0

E

b

a

r2 2

g2sud

4

du 5

0

E

b

a

1 sg sudd2 du 2 2

lo cual concuerda con el teorema 10.13. Hasta ahora en esta sección, todos los ejemplos de integrales iteradas en forma polar han sido de la forma

EE

g2sud

b

a

π 2

g1 sud

f sr cos u, r sen sin udr dr du

en donde el orden de integración es primero con respecto a r. Algunas veces se puede simplificar el problema de integración cambiando el orden de integración, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

θ=π 3

θ =π 6

r= π 3θ

Cambio del orden de integración

EJEMPLO 5

Hallar el área de la región acotada superiormente por la espiral r mente por el eje polar, entre r 5 1 y r 5 2. 0 1

π R: 0 ≤ θ ≤ 3r 1≤r≤2

Región u-simple Figura 14.33

2

3

e inferior-

Solución La región se muestra en la figura 14.33. Las cotas o límites polares de la región son

p . 3r Por tanto, el área de la región puede evaluarse como sigue. 1 ≤ r ≤ 2 y

EE 2

A5

1

pys3rd

0

0 ≤ u ≤

E

2

r du dr 5

1

ru

pys3rd

4

dr 5

0

E

2

1

p pr dr 5 3 3

2

4

1

5

p 3

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SECCIÓN 14.3

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14.3 Ejercicios

E E E E py2

En los ejercicios 1 a 4 se muestra la región R para la integral eRe f xx, yc dA. Decir si serían más convenientes coordenadas rectangulares o polares para evaluar la integral. y

1.

15.

0

4

4 3

17.

x −2

2

1

2

3

y

21.

R x 2

−2

23.

1

EE EE

2

3

−1

0

y

24.

0

!x 2 1 y2 dx dy

x 2 dx dy

0

1 x2

cos x2

y2 dy dx

sen x2

y2 dy dx

0 4 x2

EE E E

E E E E 2!2

x

!82x2

!x 2 1 y 2 dy dx 1

0

2

x

5

xy dy dx 1

0

!x 2 1 y 2 dy dx

0 !252x2

xy dy dx

5!2y2 0

2

4

x

x −4

4

−4

8

−2

2

4

−2

−4 y

7.

!82y2

0 y 4 !4y2y2

xy dy dx

0 0 5!2y2

28.

−8

EE EE 2

sx 2 1 y 2d3y2 dy dx 22.

y2 dy dx

0

2

27.

6

12

x2 x x2

En los ejercicios 27 y 28, combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral iterada pasando a coordenadas polares. Evaluar la integral iterada resultante.

y

6.

x dy dx x x2

0

26.

4

En los ejercicios 5 a 8, utilizar las coordenadas polares para describir la región mostrada. 5.

ssen sin udr dr du

0

20.

!92x2

1 2

x 1

−4

y2 dy dx

0

25.

R

4

2

!a2 2x2

1

x2

0 0 1

2

2 −4

0

0 0 2 !2x2x2

3 4

re2r dr du

0 12cos u

EE

4 x2

2

y

4.

3

0

a

18.

0

3

3.

16.

y dx dy

2

−4

4

ur dr du

!a2 2y2

19.

x

0 py2

0

EE 0

−2

1

14.

0

a

R −6

!9 2 r 2 r dr du

En los ejercicios 17 a 26, evaluar la integral iterada pasando a coordenadas polares.

2

R

E E E E py2

3

0 2 py2 11sin sen u θ

y

2.

2

13.

29. f sx, yd 5 x 1 y, R: x 2 1 y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 30. f sx, yd 5 e2sx

y

8.

4

2 1y 2 dy2

, R: x 2 1 y 2 ≤ 25, x ≥ 0

4

y 31. f sx, yd 5 arctan , R: x 2 1 y 2 ≥ 1, x 2 1 y 2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x x

2

32. f sx, yd 5 9 2 x 2 2 y 2, R: x 2 1 y 2 ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0 x

2

−4

−2

4

x −4

En los ejercicios 29 a 32, utilizar coordenadas polares para escribir y evaluar la integral doble eRe f xx, yc dA.

4 −4

−2

Volumen En los ejercicios 33 a 38, utilizar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado o acotado por las gráficas de las ecuaciones. 33. z 5 xy, x 2 1 y 2 5 1, primer first octant octante

En los ejercicios 9 a 16, evaluar la integral doble eRe f xr, uc dA, y dibujar la región R. cos

9. 0

0

r 2 dr d

10.

0

0

EE 2p

11.

sen

r dr d

0

EE py4

6

3r 2 sen sin u dr du

0

12.

0

4

0

r 2 sen sin u cos u dr du

34. z 5 x 2 1 y 2 1 3, z 5 0, x 2 1 y 2 5 1 35. z 5 !x 2 1 y 2, z 5 0, x 2 1 y 2 5 25 36. z 5 lnsx 2 1 y 2d, z 5 0, x 2 1 y 2 ≥ 1, x 2 1 y 2 ≤ 4 37. Interior al hemisferio z 5 !16 2 x 2 2 y 2 e interior al cilindro x 2 1 y 2 2 4x 5 0 38. Interior al hemisferio z 5 !16 2 x 2 2 y 2 y exterior al cilindro x2 1 y 2 5 1

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CAPÍTULO 14


39. Volumen Hallar a tal que el volumen en el interior del hemisferio z 5 !16 2 x 2 2 y 2 y en el exterior del cilindro x 2 1 y 2 5 a 2 sea la mitad del volumen del hemisferio.

Área En los ejercicios 49 a 54, trazar una gráfica de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones. Después, usar una integral doble para encontrar el área de la región.

40. Volumen Utilizar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen de una esfera de radio a.

49. Dentro del círculo r 5 2 cos u y fuera del círculo r 5 1.

41. Volumen Determinar el diámetro de un orificio cavado verticalmente a través del centro del sólido limitado o acotado por las 2 2 gráficas de las ecuaciones z 5 25e2sx 1y dy4, z 5 0, y 2 2 x 1 y 5 16 si se elimina la décima parte del volumen del sólido. CAS

42. Diseño industrial Las superficies de una leva de doble lóbulo se representan por las desigualdades 14 ≤ r ≤ 12s1 1 cos2 ud y 29 9 ≤ z ≤ 4sx 2 1 y 2 1 9d 4sx 2 1 y 2 1 9d

51. Dentro del círculo r 5 3 cos u y fuera de la cardioide r 5 1 1 cos u. 52. Dentro de la cardioide r 5 1 1 cos u y fuera del círculo r 5 3 cos u. 53. Dentro de la curva rosa r 5 4 sen 3u y fuera del círculo r 5 2. 54. Dentro del círculo r 5 2 y fuera de la cardioide r 5 2 2 2 cos u.


a) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente la leva.

55. Describir la partición de la región de integración R en el plano xy cuando se utilizan coordenadas polares para evaluar una integral doble.

b) Utilizar un sistema algebraico por computadora y aproximar el perímetro de la curva polar

56. Explicar cómo pasar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares en una integral doble.

donde todas las medidas se dan en pulgadas.

r 5 12s1 1 cos2 ud.

57. Con sus propias palabras, describir regiones r-simples y regiones u-simples.

Ésta es la distancia que recorre una pieza en contacto con la leva durante un giro completo de ésta.

58. Cada figura muestra una región de integración para la integral doble eRe f sx, yd dA. Para cada región, decir si es más fácil obtener los límites de integración con elementos representativos horizontales, elementos representativos verticales o con sectores polares. Explicar el razonamiento.

c) Utilizar un sistema algebraico por computadora y hallar el volumen del acero en la leva. Área En los ejercicios 43 a 48, utilizar una integral doble para calcular el área de la región sombreada. 43.

50. Dentro de la cardioide r 5 2 1 2 cos u y fuera del círculo r 5 1.

44.

π 2

r=2

r = 6 cos θ

π 2

a)

b) y

c) y

y

R

r=4 R

R x

0

0 1 2 3 4 5

7

1

3

59. Sea R la región limitada por el círculo x2 1 y2 5 9. a) Establecer la integral

45.

π 2

x

x

46. r = 1 + cos θ

π 2

R

f x, y dA.

b) Convertir la integral en el inciso a) a coordenadas polares. c) ¿Qué integral debería elegirse para evaluar? ¿Por qué?

0

0

1

2 3 4

r = 2 + sen θ

47.

48.

π 2

π 2 r = 3 cos 2θ

r = 2 sen 3θ

Para discusión 60. Para pensar Sin desarrollar cálculos, identificar la integral doble que represente la integral de f(x) 5 x2 1 y2 sobre un círculo de radio 4. Explicar el razonamiento. 2

4

r 2 dr d

a) 0 1

2

0 3

0 2

0 4

0

0

r 3 dr d

c)

4

2

r 3 dr d

b)

0 0 2 4

r 3 dr d

d) 0

4

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SECCIÓN 14.3

61. Para pensar Considerar el programa escrito en el ejercicio 78 de la sección 14.2 para aproximar integrales dobles en coordenadas rectangulares. Si el programa se usa para aproximar la integral doble

EE

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 67 y 68, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa. 67. Si eRe f sr, ud dA > 0, entonces f sr, ud > 0 para todo sr, ud en R. 68. Si f sr, ud es una función constante y el área de la región S es el doble del área de la región R, entonces 2 eRe f sr, ud dA 5 eSe f sr, ud dA.

f sr, ud dA

R

en coordenadas polares, ¿cómo hay que modificar ƒ para introducirla al programa? Como los límites de integración son constantes, describir la región plana de integración. 62. Aproximación Las secciones transversales horizontales de un bloque de hielo desprendido de un glaciar tienen forma de un cuarto de un círculo con radio aproximado de 50 pies. La base se divide en 20 subregiones como se muestra en la figura. En el centro de cada subregión, se mide la altura del hielo, dando los puntos siguientes en coordenadas cilíndricas.

s5, 16p , 7d, s15, 16p , 8d, s25, 16p , 10d, s35, 16p , 12d, s45, 16p , 9d, s5, 316p, 9d, s15, 316p, 10d, s25, 316p, 14d, s35, 316p, 15d, s45, 316p, 10d, s5, 516p, 9d, s15, 516p, 11d, s25, 516p, 15d, s35, 516p, 18d, s45, 516p, 14d, s5, 716p, 5d, s15, 716p, 8d, s25, 716p, 11d, s35, 716p, 16d, s45, 716p, 12d a) Aproximar el volumen del sólido. b) El hielo pesa aproximadamente 57 libras por pie cúbico. Aproximar el peso del sólido. c) Aproximar el número de galones de agua en el sólido si hay 7.48 galones de agua por pie cúbico. π 2

1011


69. Probabilidad El valor de la integral I 5

`

2`

e2x

y2

2

dx se re-

quiere en el desarrollo de la función de densidad de probabilidad normal. a) Utilizar coordenadas polares para evaluar la integral impropia. I2 5 5

1E

`

2`

e2x

E E `

y2

2

`

2` 2`

21E

`

dx

e2sx

2

2`

1y 2dy2

e2y

y2

2

2

dy

dA

b) Utilizar el resultado del inciso a) para calcular I. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre 2 este problema, ver el artículo “Integrating e2x Without Polar Coordinates” de William Dunham en Mathematics Teacher. 70. Utilizar el resultado del ejercicio 69 y un cambio de variables para evaluar cada una de las integrales siguientes. No se requiere hacer ninguna integración.

E

`

a) 3π 8

E

2

2`

E

`

e2x dx

b)

2`

e24x dx 2

71. Población La densidad de población en una ciudad se aproxima mediante el modelo ƒ(x, y) 5 4 000e20.01(x 1 y ), x 2 1 y 2 ≤ 49, donde x y y se miden en millas. Integrar la función de densidad sobre la región circular indicada para aproximar la población de la ciudad. 2

π 4 π 8

2

72. Probabilidad Hallar k tal que la función 10 20 30 40 50

CAS

0

f sx, yd 5

Aproximación En los ejercicios 63 y 64, utilizar un sistema algebraico por computadora y aproximar la integral iterada.

E E E E py2

63.

py4

py4

64.

0

5

r!1 1

r3

sin !u dr du sen

0 4

5re!ru dr du

0

Aproximación En los ejercicios 65 y 66, determinar qué valor se aproxima más al volumen del sólido entre el plano xy y la función sobre la región. (Realizar la elección a la vista de un dibujo del sólido y no efectuando cálculo alguno.)

5

ke2sx 0,

2

b) 200

c) 300

d) 2200

73. Para pensar Considerar la región limitada o acotada por las gráficas de y 5 2, y 5 4, y 5 x y y 5 !3x y la integral doble eRe f dA. Determinar los límites de integración si la región R está dividida en a) elementos representativos horizontales, b) elementos representativos verticales y c) sectores polares. 74. Repetir el ejercicio 73 con una región R limitada o acotada por la gráfica de la ecuación sx 2 2d2 1 y 2 5 4. 75. Mostrar que el área A del sector polar R (ver la figura) es A 5 rDrDu, donde r 5 sr1 1 r2dy2 es el radio promedio de R.

a) 25

b) 8

c) 100

d) 50

R

e) 800

66. ƒ(x, y) 5 xy 1 2; R: cuarto de círculo: x2 1 y2 5 9, x ≥ 0, y ≥ 0 e) 230

x ≥ 0, y ≥ 0 elsewhere en el resto

sea una función de densidad de probabilidad.

65. ƒ(x, y) 5 15 2 2y; R: semicírculo: x2 1 y2 5 16, y ≥ 0 a) 100

1y2d,

∆r ∆θ r1

r2

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CAPÍTULO 14


14.4 Centro de masa y momentos de inercia n n n

Hallar la masa de una lámina plana utilizando una integral doble. Hallar el centro de masa de una lámina plana utilizando integrales dobles. Hallar los momentos de inercia utilizando integrales dobles.

Masa y

En la sección 7.6 se analizaron varias aplicaciones de la integración en las que se tenía una lámina plana de densidad constante r. Por ejemplo, si la lámina que corresponde a la región R, que se muestra en la figura 14.34, tiene una densidad constante r, entonces la masa de la lámina está dada por

g2 R

Masa Mass 5 rA 5 r

EE EE

r dA.

dA 5

R

g1 x=a

x

x=b

Lámina de densidad constante r Figura 14.34

Densidad constante.

R

Si no se especifica otra cosa, se supone que una lámina tiene densidad constante. En esta sección, se extiende la definición del término lámina para abarcar también placas delgadas de densidad variable. Las integrales dobles pueden usarse para calcular la masa de una lámina de densidad variable, donde la densidad en (x, y) está dada por la función de densidad r. DEFINICIÓN DE MASA DE UNA LÁMINA PLANA DE DENSIDAD VARIABLE Si r es una función de densidad continua sobre la lámina que corresponde a una región plana R, entonces la masa m de la lámina está dada por m5

EE

r sx, yd dA.

Densidad variable.

R

NOTA La densidad se expresa normalmente como masa por unidad de volumen. Sin embargo, en una lámina plana la densidad es masa por unidad de área de superficie. n

Hallar la masa de una lámina plana

EJEMPLO 1

Hallar la masa de la lámina triangular con vértices (0, 0), (0, 3) y (2, 3), dado que la densidad en sx, yd es rsx, yd 5 2x 1 y.

y

y=3 3

2

(0, 3)

(2, 3)

Solución Como se muestra en la figura 14.35, la región R tiene como fronteras x 5 0, y 5 3 y y 5 3x/2 (o x 5 2y/3). Por consiguiente, la masa de la lámina es

R

m5

x = 2y 3

1

(0, 0) 1

Figura 14.35

2yy3

s2x 1 yd dx dy

0 0 3

5

4

x2 1 xy

0

3

Lámina de densidad variable r sx, yd 5 2x 1 y

EE E3 E 3

s2x 1 yd dA 5

R

x 2

EE

2yy3

dy 0

3

10 y 2 dy 9 0 3 10 y3 5 9 3 0 5 10. 5

3 4

NOTA En la figura 14.35, nótese que la lámina plana está sombreada; el sombreado más oscuro corresponde a la parte más densa. n

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SECCIÓN 14.4

x2

+

y2

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Hallar la masa empleando coordenadas polares

EJEMPLO 2 y

Centro de masa y momentos de inercia

Hallar la masa de la lámina correspondiente a la porción en el primer cuadrante del círculo

=4

2

x2 1 y2 5 4 (x, y)

1

donde la densidad en el punto (x, y) es proporcional a la distancia entre el punto y el origen, como se muestra en la figura 14.36.

R

Solución En todo punto (x, y), la densidad de la lámina es x 1

Densidad en sx, yd: r sx, yd 5 k! x2 1 y 2 Figura 14.36

r sx, yd 5 k!sx 2 0d2 1 s y 2 0d2

2

5 k!x2 1 y2. Como 0 ≤ x ≤ 2 y 0 ≤ y ≤ !4 2 x2, la masa está dada por m5

EE EE

k!x2 1 y 2 dA

R

!42x2

2

5

0

k!x2 1 y 2 dy dx.

0

Para simplificar la integración, se puede convertir a coordenadas polares, utilizando los límites o cotas 0 ≤ u ≤ py2 y 0 ≤ r ≤ 2. Por tanto, la masa es m5

EE

k!x2 1 y 2 dA 5

R

E E E E E 4 E py2

0

5

py2

2

kr 2 dr du

0

py2

0

5

k!r 2 r dr du

0

0

5

2

8k 3

kr 3 3

py2

2 0

du

du

0

py2

34

5

8k u 3

5

4pk . 3

0

En muchas ocasiones, en este texto, se han mencionado las ventajas de utilizar programas de computación que realizan integración simbólica. Aun cuando se utilicen tales programas con regularidad, hay que recordar que sus mejores ventajas sólo son aprovechables en manos de un usuario conocedor. Por ejemplo, nótese la simplificación de la integral del ejemplo 2 cuando se convierte a la forma polar.

TECNOLOGÍA

Forma rectangular

EE 2

0

!42x2

0

k!x2 1 y 2 dy dx

Forma polar

E E py2

0

2

kr2 dr du

0

Si se tiene acceso a programas que realicen integración simbólica, se recomienda utilizarlos para evaluar ambas integrales. Algunos programas no pueden manejar la primera integral, pero cualquier programa que calcule integrales dobles puede evaluar la segunda integral.

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CAPÍTULO 14


Momentos y centros de masa y

En láminas de densidad variable, los momentos de masa se definen de manera similar a la empleada en el caso de densidad uniforme. Dada una partición D de una lámina, correspondiente a una región plana R, considerar el rectángulo i-ésimo Ri de área DAi , como se muestra en la figura 14.37. Suponer que la masa de Ri se concentra en uno de sus puntos interiores sxi , yi d. El momento de masa de Ri respecto al eje x puede aproximarse por medio de

xi

Ri

(xi, yi)

(Masa)(y sMassds yi)d < fr sxi , yi d DAigs yi d.

yi x

Mx 5 (masa)(yi) My 5 (masa)(xi) Figura 14.37

De manera similar, el momento de masa con respecto al eje y puede aproximarse por medio de (Masa)(x sMassdsxiid) < fr sxi , yi d DAigsxi d. Formando la suma de Riemann de todos estos productos y tomando límites cuando la norma de D se aproxima a 0, se obtienen las definiciones siguientes de momentos de masa con respecto a los ejes x y y. MOMENTOS Y CENTRO DE MASA DE UNA LÁMINA PLANA DE DENSIDAD VARIABLE Sea r una función de densidad continua sobre la lámina plana R. Los momentos de masa con respecto a los ejes x y y son Mx 5

EE

yr sx, yd dA y

My 5

R

EE

xr (x, yd dA.

R

Si m es la masa de la lámina, entonces el centro de masa es

sx, yd 5

1Mm , Mm 2. y

x

Si R representa una región plana simple en lugar de una lámina, el punto sx, yd se llama el centroide de la región. En algunas láminas planas con densidad constante r, se puede determinar el centro de masa (o una de sus coordenadas) utilizando la simetría en lugar de usar integración. Por ejemplo, considerar las láminas de densidad constante mostradas en la figura 14.38. Utilizando la simetría, se puede ver que y 5 0 en la primera lámina y x 5 0 en la segunda lámina.

R: 0 ≤ x ≤ 1 − 1 − x2 ≤ y ≤

R: − 1 − y 2 ≤ x ≤ 0≤y≤1

1 − x2

z

z

1

1 −1

−1 −1

−1 1

1 x

1 − y2

−1

Lámina de densidad constante y simétrica con respecto al eje x Figura 14.38

1

y x

1

y

−1

Lámina de densidad constante y simétrica con respecto al eje y

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SECCIÓN 14.4

1015

Hallar el centro de masa

EJEMPLO 3

Hallar el centro de masa de la lámina que corresponde a la región parabólica

Densidad variable: y ρ (x, y) = ky

0 ≤ y ≤ 4 2 x2 y=4−


x2

Región parabólica.

donde la densidad en el punto sx, yd es proporcional a la distancia entre sx, yd y el eje x, como se muestra en la figura 14.39.

3

(x, y)

Solución Como la lámina es simétrica con respecto al eje y y

2

r sx, yd 5 ky 1

el centro de masa está en el eje y. Así, x 5 0. Para hallar y, primero calcular la masa de la lámina.

x −2

−1

1

2

EE

42x2

2

Mass 5 Masa

Región parabólica de densidad variable Figura 14.39

22 0

E E

2

4

42x2

ky dy dx 5

k 2

5

k 2

5

k 8x3 x5 16x 2 1 2 3 5

y2

22 2

s16 2 8x2 1 x 4d dx

22

3

1

5 k 32 2 5

dx 0

64 32 1 3 5

4

2

22

2

256k 15

Después se halla el momento con respecto al eje x.

EE 2

Mx 5

42x 2

22 0

s ydskyd dy dx 5

E E

k 3

2

4 2x2

4

y3

22 2

dx

0

5

k 3

5

k 12x5 x7 64x 2 16x3 1 2 3 5 7

5

44096k 096k 105

22

s64 2 48x2 1 12x 4 2 x 6 d dx

3

4

2

22

Así, Densidad variable: ρ (x, y) = ky z

y5

R: −2 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 4 − x2

y el centro de masa es s0,

Centro de masa: −2

x

Figura 14.40

16 7

d.

(0, ) 16 7

1 2

Mx 44096ky105 16 096k/105 5 5 m 256ky15 7

4

y

Aunque los momentos Mx y My se pueden interpretar como una medida de la tendencia a girar en torno a los ejes x o y, el cálculo de los momentos normalmente es un paso intermedio hacia una meta más tangible. El uso de los momentos Mx y My es encontrar el centro de masa. La determinación del centro de masa es útil en muchas aplicaciones, ya que permite tratar una lámina como si su masa se concentrara en un solo punto. Intuitivamente, se puede concebir el centro de masa como el punto de equilibrio de la lámina. Por ejemplo, la lámina del ejemplo 3 se mantendrá en equilibrio sobre la punta de un lápiz colocado en s0, 16 d, como se muestra en la figura 14.40. 7

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CAPÍTULO 14


Momentos de inercia Los momentos Mx y My utilizados en la determinación del centro de masa de una lámina se suelen llamar primeros momentos con respecto a los ejes x y y. En cada uno de los casos, el momento es el producto de una masa por una distancia. Mx 5

EE

s ydr sx, yd dA

My 5

R

EE

sxdr sx, yd dA

R

Distancia al eje x

Masa

Distancia al eje y

Masa

Ahora se introducirá otro tipo de momento, el segundo momento o momento de inercia de una lámina respecto de una recta. Del mismo modo que la masa es una medida de la tendencia de la materia a resistirse a cambios en el movimiento rectilíneo, el momento de inercia respecto de una recta es una medida de la tendencia de la materia a resistirse a cambios en el movimiento de rotación. Por ejemplo, si una partícula de masa m está a una distancia d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la recta se define como I 5 md 2 5 (masa)(distancia)2. Igual que ocurre con los momentos de masa, se puede generalizar este concepto para obtener los momentos de inercia de una lámina de densidad variable respecto de los ejes x y y. Estos segundos momentos se denotan por Ix e Iy , y en cada caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado de una distancia. Ix 5

EE

s y 2dr sx, yd dA

R

En el caso de una lámina en el plano xy, I0 representa el momento de inercia de la lámina con respecto al eje z. El término “momento polar de inercia” se debe a que en el cálculo se utiliza el cuadrado de la distancia polar r. I0 5

EE EE

sx2 1 y 2dr sx, yd d A

Masa

Cuadrado de la distancia al eje y

Masa

A la suma de los momentos Ix e Iy se le llama el momento polar de inercia y se denota por I0.

Hallar el momento de inercia

EJEMPLO 4

Hallar el momento de inercia respecto del eje x de la lámina del ejemplo 3.

EE E 4 E 2

r 2r sx, yd d A

R

sx2dr sx, yd dA

Solución De acuerdo con la definición de momento de inercia, se tiene

R

5

EE R

Cuadrado de la distancia al eje x NOTA

Iy 5

n

Ix 5 5 5

42x2

22 0 2

k 4 k 4

42x2

y4

22 2 22

y2skyd dy dx dx

0

s256 2 256x2 1 96x4 2 16x6 1 x8d dx

3

5

k 256x3 96x5 16x7 x9 256x 2 1 2 1 4 3 5 7 9

5

32,768k . 315

2

4

22

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SECCIÓN 14.4


1017

El momento de inercia I de una lámina en rotación puede utilizarse para medir su energía cinética. Por ejemplo, consideremos una lámina plana que gira en torno a una recta con una velocidad angular de v radianes por segundo, como se muestra en la figura 14.41. La energía cinética E de la lámina en rotación es E5

1 2 Iv . 2

Energía cinética del movimiento giratorio.

Por otro lado, la energía cinética E de una masa m que se mueve en línea recta a una velocidad v es E5 Lámina plana girando a v radianes por segundo

1 mv 2. 2

Energía cinética del movimiento rectilíneo.

Por lo tanto, la energía cinética de una masa que se mueve en línea recta es proporcional a su masa, pero la energía cinética de una masa que gira en torno a un eje es proporcional a su momento de inercia. El radio de giro r de una masa en rotación m con momento de inercia I se define como

Figura 14.41

r5

!mI .

Radio de giro.

Si toda la masa se localizara a una distancia r de su eje de giro o eje de rotación, tendría el mismo momento de inercia y, por consiguiente, la misma energía cinética. Por ejemplo, el radio de giro de la lámina del ejemplo 4 respecto al eje x está dado por y5

128 5! < 2.469. !mI 5 !32,768ky315 256ky15 21 x

Cálculo del radio de giro

EJEMPLO 5

Hallar el radio de giro con respecto al eje y de la lámina que corresponde a la región R: 0 ≤ y ≤ sen sin x, 0 ≤ x ≤ p, donde la densidad en sx, yd está dada por r sx, yd 5 x. Solución La región R se muestra en la figura 14.42. Integrando r sx, yd 5 x sobre la región R, se puede determinar que la masa de la región es p. El momento de inercia con respecto al eje y es

y

2

1

Densidad variable: ρ (x, y) = x

R: 0 ≤ x ≤ π 0 ≤ y ≤ sen x

Iy 5

(x, y) π 2

Figura 14.42

π

x

5 5

EE E 4 E p

sen xx sin

x3 dy dx

0 0 sen xx sin p 3 x y 0 p

dx

0

x3 sen sin x dx

0

3

5

p3

p

4

5 s3x2 2 6ds(sen sin xx) d 2 sx3 2 6xdscos xd

0

2 6p.

Por tanto, el radio de giro con respecto al eje y es

!mI p 2 6p 5! p

x5

y

3

5 !p 2 2 6 < 1.967.

14-4.qxd 3/12/09 18:29 Page 1018 Page 1018 1053714_1404.qxp 1053714_1404.qxp 10/27/08 10/27/08 1:33 1:33 PM PM Page 1018

1018

CAPÍTULO 14 Integración múltiple Chapter Chapter14 14 Multiple MultipleIntegration Integration

1018 1018

Ejercicios 14.4 Exercises 14.4 www.CalcChat.comforforworked-out worked-outsolutions solutionstotoodd-numbered odd-numberedexercises. exercises. 14.4 Exercises SeeSeewww.CalcChat.com En los ejercicios 1 a 4, hallar la masa de la lámina descrita por CAS En los ejercicios 23 a 26, utilizar un sistema algebraico por compuIn 1– the mass the Exercises aacomputer totofind the tadora para23 hallar masa y el centroalgebra de masasystem de la lámina limitalas desigualdades, dado que su of densidad es r described (Sugexx, yc 5 xy.by CAS In InExercises Exercises 1–4,4,find find the mass ofthe thelamina lamina described by the CAS In Exercises 23–26, –26,lause use computer algebra system find the inequalities, given that its density is (Hint: Some x, y xy. mass and center of mass of the lamina bounded by the graphs da o acotada por las ecuaciones con laby densidad dada. rencia: Algunas dethat las its integrales en coordeinequalities, given density son is más Some x, y simples xy. (Hint: mass and center of gráficas mass of de thelaslamina bounded the graphs ofnadas ofofthe equations for the given density. polares.) ofthe theintegrals integralsare aresimpler simplerininpolar polarcoordinates.) coordinates.) 23.they equations 5 e2x, y 5for 0,the x 5given 0, x density. 5 2, r 5 ky x kxy y e 1.1. 00 xx 2,2, 00 yy 22 , y 0, x 0, x 2,2,e, r 5kxy 23. kyx 24. yy 5 elnxx, , yy 50,0, xx 50,1, xx 5 kxy 23. 2.2. 00 3.3. 00

xx

4.4. xx

0,0, 33

xx

3,3, 00 1,1, 00 yy

yy

99 xx2 2 11 xx2 2

33

99 xx2 2

yy

In 5– the mass and center mass lamina En los ejercicios 5find a 8, hallar masa y elofof centro de masa de la InExercises Exercises 5–8,8,find the massla and center massof ofthe the lamina for density. lámina cada densidad. foreach eachcon density. cuadrado con vértices0,0,(0, R: 00, 0), 00, 0), aa, a), aa a) 5.5. vertices R:square , a,a,(a, , 0,0,(0, , a,a,(a, 5. R: squarewith with vertices a) b)(b)r 5 ky r 5 kxkxkx kyky c) (a) (c) (a) r 5 kk (b) (c)

rectángulo convertices vértices0,s0, R: 0,000,d,,a,a, sa, , 0,sb0,b,b, da,,a,bsa, 00,0,d0, 6.6. R:rectangle b bd 6. R: rectanglewith with vertices 2 2 2 2 a) b)(b)r 5 kkskxxx1 d2 (a) 2 yyy kxy (b) (a) r 5 kxy

En los ejercicios 27 verify a 32, verificar losmoment(s) momentos of de inertia inercia and dados InIn Exercises 27–32, Exercises 27–32, verifythe thegiven given moment(s) of inertia andes x y. y hallar y Suponer que la densidad de cada lámina xxand y.y.Assume 11 find that each lamina has aadensity ofof find and Assume that each lamina has density r 5 per 1 gramos por centímetro cuadrado. (Estas regionesshapes son forgram square centimeter. (These regions are common gram per square centimeter. (These regions are common shapes mas de uso común empleadas en diseño.) used usedininengineering.) engineering.) 27. Rectángulo 28. Triángulo rectángulo 27. 28. triangle 27. Rectangle Rectangle 28. Right Right triangle y y 1

h hh

triángulo convertices vértices0,(0, (a, R: , , a(a/2, , , a, 8.8. R:triangle 0,000), a 2,2,aaa), a,000) 8. R: trianglewith with vertices a) b)(b)r 5 kx y kxy (a) kxy (a) r 5 kk (b)

kk b)b) kyky a)a) x 16. 16. yy ee ,x, yy 0,0, xx 0,0, xx 11 kyky2 2 kyky b)b) a)a) 2 kyky 17. 17. yy 44 xx,2, yy 0,0, 2 kxkx 18. 18. xx 99 yy,2, xx 0,0, xx 19. sen L , , yy 0,0, xx 0,0, xx L,L, 19. yy sen L

LL , 22 ,

kk kyky

kk kkx2x2 y2y2

1 I =1 12 bh3 1bh 3 3 IxI =x=12 bh x 1 3 I =112 bh 112 IyI =y=12 b 3h3 y 12 b h

yy

h hh b bb

Traslacionesinenthe el plano Translate Trasladar la lámina del ejercicio5 5 9.9. 9. Translations Translations in thePlane Plane Translatethe thelamina laminaininExercise Exercise 5 cinco unidades a la derecha y determinar el centro de masa totothe theright rightfive fiveunits unitsand anddetermine determinethe theresulting resultingcenter centerofofmass. mass. resultante. 10. Conjecture Use the result of Exercise 9 to make a conjecture 10. Conjecture Use the result of Exercise 9 to make a conjecture 10. about Conjetura Utilizar el resultado del ejercicio 9 para formular about the the change change inin the the center center ofof mass mass when when aa lamina lamina ofof una conjetura acerca del cambio en el centro de masa cuando constant constantdensity densityisistranslated translatedccunits unitshorizontally horizontallyororddunits units una lámina de densidad constante se trasladaisc not unidades horivertically. vertically.IsIsthe theconjecture conjecturetrue trueififthe thedensity density is notconstant? constant? zontalmente o d unidades verticalmente. ¿Es la conjetura verExplain. Explain. dadera si la densidad no es constante? Explicar. InInExercises 11– the and ofofmass ofofthe 11–22, 22,afind findhallar themass mass andycenter center mass the En Exercises los ejercicios 11 22, la masa el centro de masa de la lamina bounded by the graphs of the equations for the lamina limitada boundedoby the graphs the equations for thegiven given lámina acotada por lasofgráficas de las ecuaciones con density orordensities. (Hint: Some ofofthe are inin density densities. (Hint: theintegrals integrals aresimpler simpler la densidad o densidades queSome se especifican. (Sugerencia: Algunas polar coordinates.) polar coordinates.) de las integrales son más sencillas en coordenadas polares.) x,x, yy 0,0, xx 1,1, kyky 11. 11. yy 2 kxy 12. kxy 12. yy xx,2, yy 0,0, xx 2,2, y 4 x, y 0, x 1, x kxkx2 2 13. 13. y 4 x, y 0, x 1, x 4,4, 11 1,1, xx 1,1, kk 14. 14. yy 1 x2,2, yy 0,0, xx 1 x x 15. 15. yy ee,x, yy 0,0, xx 0,0, xx 11

3 I = 3 bh 3 IxI =x=13 1bh 3 bh x I = 31 b3h IyI =y=13 1b3b3h3h y 3

yy

triángulo convertices vértices0,(0, R: , , 0,(0, , , a,(a, 7.7. R:triangle 0,000), 0,aaa), a,aaa) 7. R: trianglewith with vertices a) b)(b)r 5 ky r 5 kxkxkx kyky c) (a) (c) (a) r 5 kk (b) (c)

xx 20. cos L , , yy 0,0, xx 0,0, xx 20. yy cos L 2 2 y a 21. 2 a xx,2, 00 yy x,x, 21. y 2 2 2 22. 22. xx2 yy2 aa,2, 00 x,x,00 y,y,

ln x,x, yy 0,0, xpx 1,1, xx pe,e, k x 5 ln 2 cos 3u, 2 ≤ u ≤ , r 5 k k x 6 6 22cos 3 , 6 6, kk cos 3 , 6 6, 5111 1cos cos ,u,, r 5kkk cos

y 24. 24. 25. yr r 25. 25. r 26.r rr 26. 26.

x xx

29. Círculo 29. 29. Circle Circle

b bb

x xx

30. Semicírculo 30. 30. Semicircle Semicircle y

y yy

yy

a

x

aa

xx

aa

I0 = 12 π a4

31. Cuarto del

I0I ==12 1ππaa4 4 círculo 0 2

x

a I0 = 14 π a4

I0I ==14 1ππaa4 4

32. Elipse

0

4

y

y

31. 31. Quarter Quartercircle circle I = 1 π a4 0 8

32. 32. Ellipse Ellipse yy

yy

I0I ==18 1ππaa4 4 0 8

a a

b a

bb x

I0 = xx

1 π ab(a2 4

x

aa +

xx

b2)

1

2 + b 2) a 33 a 40, hallar I , I , I ,I x, = 4 1πyπab(a 2 la 2) En los ejercicios para liab(a + blámina x y 0 0I0 =y 4 mitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones. Utilizar un sistema algebraico por computadora a fin de evaluar las integrales CAS CAS In In Exercises Exercises 33 33––40, 40, find find IxI,x,IyI,y,I0I,0,x,x, and and yy for for the the lamina lamina dobles. by the graphs of the bounded equations. Use a bounded by the graphs of the equations. Use a computer computer algebra system 33. y 5 0, y 5totob,evaluate x 5 0, the xthe 5double a, r 5integrals. ky algebra system evaluate double integrals.

CAS

34. y 33. 33. yy 35. y 34. 34. yy 36. y 35. 35. yy 37. y 36. 36. yy 38. y 37. 37. yy 39. y 38. 38. yy 40. y 39. 39. yy

50,!ya2 2 x2, y 5 0, r 5 ky ky 0, y b,b, xx 0,0, xx a,a, ky 5 4a222 x2x,2,2y y5 0,0,x > 0,kyr 5 kx a x , y 0, ky 54 x, yx25 x2, r 5 kxy kxkx 4 x,2, yy 0,0, xx>>0,0, 5x,!y x, yx25 0, x kxy 5 4, r 5 kxy , 2 kxy x, y x , 2 5 xx, , y2 5 x, r 5 x2 1 y2kxy x, yy 0,0, xx 4,4, kxy 2 5x2x,22,y2y22 5x,x, r 5x2kx y 2 2 x, y x, x y 5x2x,23,y2y2 5x,4x, r 5 k y 40. y x3,3 y 4x, kxkx x, y x, 40. y x , y 4x,

||

kkyy

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Página 1019

SECCIÓN 14.4

CAS

En los ejercicios 41 a 46, dar la integral doble requerida para hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones. Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral doble.

Hidráulica En los ejercicios 51 a 54, determinar la posición del eje horizontal ya en el que debe situarse una compuerta vertical en una presa para lograr que no haya momento que ocasione la rotación bajo la carga indicada (ver la figura). El modelo para ya es ya ⴝ y ⴚ

41. x2 ⫹ y2 ⫽ b2, ␳ ⫽ k, recta: line: x ⫽ a 共a > b兲 42. y ⫽ 0, y ⫽ 2, x ⫽ 0, x ⫽ 4, ␳ ⫽ k, recta: line: x ⫽ 6 43. y ⫽ 冪x, y ⫽ 0, x ⫽ 4, ␳ ⫽ kx, recta: line: x ⫽ 6 line: y ⫽ a 44. y ⫽ 冪a2 ⫺ x2, y ⫽ 0, ␳ ⫽ ky, recta: line: y ⫽ a 45. y ⫽ 冪a2 ⫺ x2, y ⫽ 0, x ≥ 0, ␳ ⫽ k共a ⫺ y兲, recta: line: y ⫽ 2 46. y ⫽ 4 ⫺ x2, y ⫽ 0, ␳ ⫽ k, recta:

1019


Iy hA

donde y es la coordenada y del centroide de la compuerta, Iy es el momento de inercia de la compuerta con respecto a la recta y ⴝ y, h es la profundidad del centroide bajo la superficie y A es el área de la compuerta. y

y=L


h y=y Iy ya = y − hA

47. Dar las fórmulas para hallar los momentos y el centro de masa de una lámina plana de densidad variable. 48. Dar las fórmulas para hallar los momentos de inercia con respecto a los ejes x y y de una lámina plana de densidad variable.

x

y

51.

y

52.

y=L

49. Con las propias palabras, describir qué mide el radio de giro. y=L

d

Para discusión 50. El centro de masa de la lámina de densidad constante mostrado en la figura es 共2, 85 兲. Hacer una conjetura acerca de cómo cambiará el centro de masa 共x, y兲 si la densidad ρ(x, y) no es constante. Explicar. (Hacer la conjetura sin realizar cálculo alguno.)

a x

b y

53.

y

54. b

y

x

b

y=L d

y=L

4 x

a

3 2

(2, 85 )

x

1 x

1

2

3

4

ⱍ

ⱍ

a) ␳ 共x, y兲 ⫽ ky

b) ␳ 共x, y兲 ⫽ k 2 ⫺ x

c) ␳ 共x, y兲 ⫽ kxy

d) ␳ 共x, y兲 ⫽ k 共4 ⫺ x兲共4 ⫺ y兲

55. Demostrar el teorema de Pappus siguiente: sea R una región plana y sea L una recta en el mismo plano tal que L no corta el interior de R. Si r es la distancia entre el centroide de R y la recta, entonces el volumen V del sólido de revolución generado por revolución de R en torno a la recta está dado por V ⫽ 2␲ rA, donde A es el área de R.

PROYECTO DE TRABAJO

Centro de presión sobre una vela El centro de presión sobre una vela es aquel punto 共xp, yp兲 en el cual puede suponerse que actúa la fuerza aerodinámica total. Si la vela se representa mediante una región plana R, el centro de presión es

Considerar una vela triangular con vértices en (0, 0), (2, 1) y (0, 5). Verificar los valores de cada integral.

兰兰 xy dA xp ⫽ R 兰R 兰 y d A

a)

y

兰兰 y2 d A yp ⫽ R . 兰R 兰 y d A

冕冕 R

y dA ⫽ 10 b)

冕冕 R

xy dA ⫽

35 c) 6

冕冕 R

y2 dA ⫽

155 6

Calcular las coordenadas 共xp, yp兲 del centro de presión. Dibujar una gráfica de la vela e indicar la localización del centro de presión.

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CAPÍTULO 14


14.5 Área de una superficie n

Utilizar una integral doble para hallar el área de una superficie.

Área de una superficie Superficie: z = f(x, y)

z

En este punto ya se tiene una gran cantidad de conocimientos acerca de la región sólida que se encuentra entre una superficie y una región R en el plano xy cerrada y limitada o acotada, como se muestra en la figura 14.43. Por ejemplo, se sabe cómo hallar los extremos de ƒ en R (sección 13.8), el área de la base R del sólido (sección 14.1), el volumen del sólido (sección 14.2) y el centroide de la base de R (sección 14.4). En esta sección se verá cómo hallar el área de la superficie superior del sólido. Más adelante se aprenderá a calcular el centroide del sólido (sección 14.6) y el área de la superficie lateral (sección 15.2). Para empezar, considerar una superficie S dada por

y

z 5 f sx, yd

x

Superficie definida sobre una región R.

Región R en el plano xy

Figura 14.43

Superficie: z = f (x, y)

∆Ti

z

∆Si ≈ ∆Ti

definida sobre una región R. Suponer que R es cerrada y acotada y que ƒ tiene primeras derivadas parciales continuas. Para hallar el área de la superficie, se construye una partición interna de R que consiste en n rectángulos donde el área del rectángulo i-ésimo Ri es D Ai 5 Dxi Dyi, como se muestra en la figura 14.44. En cada Ri sea sxi, yid el punto más próximo al origen. En el punto sxi, yi, zid 5 sxi, yi, f sxi, yi dd de la superficie S, se construye un plano tangente Ti. El área de la porción del plano tangente que se encuentra directamente sobre Ri es aproximadamente igual al área de la superficie que se encuentra directamente sobre Ri. Es decir, DTi < DSi. Por tanto, el área de la superficie de S está dada por n

o

R

i51

y

n

o DT . i

i51

Para hallar el área del paralelogramo DTi, notar que sus lados están dados por los vectores

x

u 5 Dxi i 1 fxsxi , yi d Dxi k ∆Ai

Figura 14.44

DSi <

y v 5 Dyi j 1 fysxi , yi d Dyi k. De acuerdo con el teorema 11.8, el área de DTi está dada por iu 3 vi, donde

|

i u 3 v 5 Dxi 0

j 0 Dyi

k fxsxi, yi d Dxi fysxi, yi d Dyi

|

5 2fxsxi, yi d Dxi Dyi i 2 fysxi, yi d Dxi Dyi j 1 Dxi Dyi k 5 s2fxsxi, yi di 2 fysxi, yi dj 1 kd DAi. Por tanto, el área de DTi es iu 3 vi 5 !f fxsxi, yi dg 2 1 f fysxi, yi dg 2 1 1 DAi, y El área deSurface la superficie area ofde S<

n

o DS

i

i51

<

n

o !1 1 f f sx , y dg x

i

i

2

1 f fysxi, yi dg 2 DAi.

i51

Esto sugiere la definición siguiente de área de una superficie.

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SECCIÓN 14.5

Área de una superficie

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DEFINICIÓN DEL ÁREA DE UNA SUPERFICIE Si ƒ y sus primeras derivadas parciales son continuas en la región cerrada R en el plano xy, entonces el área de la superficie S dada por z 5 f sx, yd sobre R está dada por Área de la superficie Surface area 5

EE EE

dS

R

5

!1 1 f fxsx, ydg 2 1 f fysx, ydg 2 dA.

R

Para memorizar la integral doble para el área de una superficie, es útil notar su semejanza con la integral de la longitud del arco.

E

b

Longitud sobre el eje x:

dx

a

E

b

Longitud de arco en el plano xy:

EE EE EE a

Área en el plano xy:

E

b

ds 5

!1 1 f f9sxdg 2 dx

a

dA

R

Área de una superficie en el espacio:

dS 5

R

!1 1 f fxsx, ydg 2 1 f fysx, ydg 2 dA

R

Igual que las integrales para la longitud de arco, las integrales para el área de una superficie son a menudo muy difíciles de calcular. Sin embargo, en el ejemplo siguiente se muestra un tipo que se evalúa con facilidad.

El área de la superficie de una región plana

EJEMPLO 1 Plano: z=2−x−y

Hallar el área de la superficie de la porción del plano

z

z522x2y 2

que se encuentra sobre el círculo x 2 1 y 2 ≤ 1 en el primer cuadrante, como se muestra en la figura 14.45. Solución Como fxsx, yd 5 21 y fysx, yd 5 21, el área de la superficie está dada por S5

EE EE EE


Fórmula para el área de la superficie.

R

2

2

x

R: x2 + y2 ≤ 1

Figura 14.45

y

5

!1 1 s21d2 1 s21d2 dA

Sustituir.

R

5

R

5 !3

!3 dA

EE

dA.

R

Observar que la última integral es simplemente !3 por el área de la región R. R es un cuarto del círculo de radio 1, cuya área es 14p s12d o py4. Por tanto, el área de S es S 5 !3 ssárea area of d de RRd 5 !3 5

1p4 2

!3 p

4

.

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CAPÍTULO 14


Hallar el área de una superficie

EJEMPLO 2 z

Hallar el área de la porción de la superficie

Superficie: f(x, y) = 1 − x2 + y

f sx, yd 5 1 2 x 2 1 y que se encuentra sobre la región triangular cuyos vértices son s1, 0, 0d, s0, 21, 0d y s0, 1, 0d, como se muestra en la figura 14.46a.

(0, 1, 2)

2

Solución Como fxsx, yd 5 22x y fysx, yd 5 1, se tiene 1

S5

EE

!1 1 f fxsx, ydg 2 1 f fysx, ydg 2 dA 5

R

−1 y

1

1

EE E E3 Es 1

12x

a)

!2 1 4x 2 dy dx

x21

0

1

5

y

y!2 1 4x2

0 1

1

5

y=1−x

0 1

R: 0 ≤ x ≤ 1 x−1≤y≤1−x

5

dx x21

4

s1 2 xd!2 1 4x2 2 sx 2 1d!2 1 4x2 dx

2!2 1 4x 2 2 2x!2 1 4x 2 d dx

s2 1 4x 2d3y2 6 0 1 5 !6 1 lns2 1 !6 d 2 !6 2 ln !2 1 !2 < 1.618. 3

Figura 14.46

Hallar el área de la superficie del paraboloide z 5 1 1 x 2 1 y 2 que se encuentra sobre el círculo unidad o unitario, como se muestra en la figura 14.47.

Paraboloide: z = 1 + x2 + y2

Solución Como fxsx, yd 5 2x y fysx, yd 5 2y, se tiene

z

S5

EE

!1 1 f fxsx, ydg 2 1 f fysx, ydg 2 dA 5

R

2

EE

!1 1 4x 2 1 4y 2 dA.

R

Se puede pasar a coordenadas polares haciendo x 5 r cos u y y 5 r sen sin u. Entonces, como la región R está acotada por 0 ≤ r ≤ 1 y 0 ≤ u ≤ 2p, se tiene S5

R: x2 + y2 ≤ 1

5 R

Figura 14.47

4

Cambio de variables a coordenadas polares

EJEMPLO 3

x

1

3

b)

1

Tablas de integración (apéndice B). Fórmula 26 y regla de la potencia.

5 x!2 1 4x 2 1 lns2x 1 !2 1 4x 2 d 2

2

y=x−1

−1

4

12x

0

x 1

!1 1 4x 2 1 1 dA.

R

En la figura 14.46b se ve que los límites o cotas de R son 0 ≤ x ≤ 1 y x 2 1 ≤ y ≤ 1 2 x. Por lo que la integral será S5

x

EE

1

y

5

EE E E 2p

!1 1 4r 2 r dr du

0 0 2p 0 2p 0

5

1

4

1 s1 1 4r 2d3y2 12 5!5 2 1 du 12

5!5 2 1 u 12

4

2p 0

p s5!5 2 1d 6 < 5.33. 5

1 0

du

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SECCIÓN 14.5

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EJEMPLO 4

Hallar el área de la superficie S correspondiente a la porción del hemisferio

Hemisferio: 25 − x2 − y2

f(x, y) =


f sx, yd 5 !25 2 x 2 2 y 2

z

Hemisferio.

que se encuentra sobre la región R limitada o acotada por el círculo x 2 1 y 2 ≤ 9, como se muestra en la figura 14.48.

5 4 3

Solución Las primeras derivadas parciales de ƒ son

−6

2 −4 1 −4

2

1

4 6

2

3

4

5

y

y

fysx, yd 5

2y !25 2 x 2 2 y 2

y, de acuerdo con la fórmula para el área de una superficie, se tiene

R: x2 + y2 ≤ 9

x

2x !25 2 x 2 2 y 2

fxsx, yd 5

−2

dS 5 !1 1 f fxsx, ydg 2 1 f fysx, ydg 2 dA

Figura 14.48

5

! 1 11

2x !25 2 x 2 2 y 2

5

5

2 1 2

1

2y !25 2 x 2 2 y 2

2

2

dA

dA.

!25 2 x 2 2 y 2

Así, el área de la superficie es S5

EE R

5 !25 2 x 2 2 y 2

dA.

sin u. Entonces, como Se puede pasar a coordenadas polares haciendo x 5 r cos u y y 5 r sen la región R está acotada por 0 ≤ r ≤ 3 y 0 ≤ u ≤ 2p, se obtiene S5

EE E E 2p

0

55

3

0 2p

5

r dr du

!25 2 r 2

4

2 !25 2 r2

0 2p

55

3

0

du

du

0

5 10p. El procedimiento utilizado en el ejemplo 4 puede extenderse para hallar el área de la superficie de una esfera utilizando la región R limitada o acotada por el círculo x 2 1 y 2 ≤ a 2, donde 0 < a < 5, como se muestra en la figura 14.49. Se puede mostrar que el área de la superficie de la porción del hemisferio

Hemisferio:

25 − x2 − y2

f(x, y) =

f sx, yd 5 !25 2 x 2 2 y 2

z

que se encuentra sobre la región circular es

5

S5

EE EE R

5

2p

0

a 5 x

Figura 14.49

a 5

R: x2 + y2 ≤ a2

y

5 dA !25 2 x 2 2 y 2 a

0

5 r dr du !25 2 r 2

5 10p s5 2 !25 2 a2 d. Tomando el límite cuando a tiende a 5 y multiplicando el resultado por dos, se obtiene el área total, que es 100p. (El área de la superficie de una esfera de radio r es S 5 4pr 2.)

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CAPÍTULO 14


La regla de Simpson o la regla del trapecio pueden usarse para aproximar el valor de una integral doble, siempre que se pueda obtener la primera integral. Esto se ilustra en el ejemplo siguiente.

Aproximación del área de una superficie mediante la regla de Simpson

EJEMPLO 5 Paraboloide: f(x, y) = 2 − x2 − y2

Hallar el área de la superficie del paraboloide f sx, yd 5 2 2 x 2 2 y 2

z

Paraboloide.

que se encuentra sobre la región cuadrada acotada por 21 ≤ x ≤ 1 y 21 ≤ y ≤ 1, como se muestra en la figura 14.50.

2

Solución Utilizando las derivadas parciales fxsx, yd 5 22x

y

fysx, yd 5 22y

se tiene que el área de la superficie es S5

EE EE EE


R

y

1 2

x

5

R: −1 ≤ x ≤ 1 −1 ≤ y ≤ 1

5

!1 1 4x 2 1 4y 2 dA.

R

Figura 14.50

En coordenadas polares, la recta x 5 1 está dada por r cos u 5 1 o r 5 sec u, y en la figura 14.51 se puede determinar que un cuarto de la región R está limitada o acotada por

y

r = sec θ θ=π 4

1

0 ≤ r ≤ sec u

5 −1

θ = −π 4

Un cuarto de la región R está acotada por p p 0 ≤ r ≤ sec u y 2 ≤ u ≤ . 4 4

EE E E E E

1 1 S5 4 4

1

−1

y

2

p p ≤ u ≤ . 4 4

sen u se obtiene Haciendo x 5 r cos u y y 5 r sin x

Figura 14.51

!1 1 s22xd2 1 s22yd2 dA

R

5 5

!1 1 4x 2 1 4y 2 dA

R py4

sec u

2py4 0 py4

!1 1 4r 2 r dr du

1 12

py4

2py4

sec u

4

1 s1 1 4r2d3y2 2py4 12

0

du

fs1 1 4 sec2 udg 3y2 2 1g du.

Por último, usando la regla de Simpson con n 5 10, se aproxima esta integral simple S5

1 3

E

py4

2py4

fs1 1 4 sec2 ud3y2 2 1g du

< 7.450.

La mayor parte de los programas de computación que realizan integración simbólica con integrales múltiples también realizan técnicas de aproximación numéricas. Si se dispone de uno de estos programas, se recomienda usarlo para aproximar el valor de la integral del ejemplo 5.

TECNOLOGÍA

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SECCIÓN 14.5

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14.5 Ejercicios 23. f sx, yd 5 4 2 x 2 2 y 2 R 5 Hsx, yd: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1J 2 24. f sx, yd 5 3x3y2 1 cos x R 5 Hsx, yd: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1J

En los ejercicios 1 a 14, hallar el área de la superficie dada por z 5 f xx, yc sobre la región R. (Sugerencia: Algunas de las integrales son más sencillas en coordenadas polares.) 1. f sx, yd 5 2x 1 2y R: triángulo cuyos vértices son (0, 0), (4, 0), (0, 4)

Aproximación En los ejercicios 25 y 26, determinar qué valor se aproxima más al área de la superficie z 5 f xx, yc sobre la región R. (Elegir el valor basándose en un dibujo de la superficie y no mediante la utilización de cálculos.)

2. f sx, yd 5 15 1 2x 2 3y R: cuadrado cuyos vértices son (0, 0), (3, 0), (0, 3), (3, 3) 3. f sx, yd 5 7 1 2x 1 2y 4. f sx, yd 5 12 1 2x 2 3y R 5 Hsx, yd: x 2 1 y 2 ≤ 4J

1 25. f sx, yd 5 10 2 2 y 2

R 5 Hsx, yd: x 2 1 y 2 ≤ 9J

5. f sx, yd 5 9 2 x 2

R: cuadrado cuyos vértices son (0, 0), (4, 0), (4, 4), (0, 4) a) 16 b) 200 c) 2100 d) 72 e) 36 26. f sx, yd 5 14!x 2 1 y 2 R: círculo limitado o acotado por x2 1 y2 5 9 a) 2100 b) 150 c) 9p d) 55 e) 500

R: cuadrado cuyos vértices son (0, 0), (2, 0), (0, 2), (2, 2) 6. f sx, yd 5 y 2 R: cuadrado cuyos vértices son (0, 0), (3, 0), (0, 3), (3, 3) 7. f sx, yd 5 3 1 x3y2 R: rectángulo cuyos vértices son (0, 0), (0, 4), (3, 4), (3, 0) 8. f sx, yd 5 2 1

2 3y2 3y

R 5 Hsx, yd: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 2 xJ

|

|

9. f sx, yd 5 ln sec x

5

R 5 sx, yd: 0 ≤ x ≤ 10. f(x, y) 5 13 1 11. 12. 13. 14.

6

p , 0 ≤ y ≤ tan x 4

2 2 H R 5 sx, yd: x 1 y 2 ≤ 4J f sx, yd 5 !x 2 1 y 2, R 5 Hsx, yd: 0 ≤ f sx, yd ≤ 1J f sx, yd 5 xy, R 5 Hsx, yd: x 2 1 y 2 ≤ 16J f sx, yd 5 !a 2 2 x 2 2 y 2 R 5 Hsx, yd: x 2 1 y 2 ≤ b2, 0 < b < aJ f sx, yd 5 !a 2 2 x 2 2 y 2 R 5 Hsx, yd: x 2 1 y 2 ≤ a 2J x2

y2

En los ejercicios 15 a 18, hallar el área de la superficie. 15. Porción del plano z 5 24 2 3x 2 2y en el primer octante 16. Porción del paraboloide z 5 16 2 x 2 2 y 2 en el primer octante 17. Porción de la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 25 en el interior del cilindro x 2 1 y 2 5 9 18. Porción del cono z 5 2!x 2 1 y 2 en el interior del cilindro x2 1 y 2 5 4

CAS

En los ejercicios 19 a 24, dar una integral doble que represente el área de la superficie z 5 f xx, yc sobre la región R. Utilizando un sistema algebraico por computadora, evaluar la integral doble. 19. f sx, yd 5 2y 1 x 2 R: triángulo cuyos vértices son (0, 0), (1, 0), (1, 1) 20. f sx, yd 5 2x 1 y 2 R: triángulo cuyos vértices son (0, 0), (2, 0), (2, 2) 21. f(x, y) 5 9 2 x2 2 y2 R 5 Hsx, yd: 0 ≤ f sx, ydJ

22. f sx, yd 5 x 2 1 y 2 R 5 Hsx, yd: 0 ≤ f sx, yd ≤ 16J

CAS

En los ejercicios 27 y 28, utilizar un sistema algebraico por computadora y aproximar la integral doble que representa el área de la superficie de la gráfica de ƒ sobre la región R 5 {xx, yc: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. 27. f sx, yd 5 e x

28. f sx, yd 5 25 y5y2

En los ejercicios 29 a 34, formular una integral doble que proporcione el área de la superficie en la gráfica de ƒ sobre la región R. 29. f sx, yd 5 x3 2 3xy 1 y3 R: cuadrado cuyos vértices son (1, 1), (21, 1), (21, 21), (1, 21) 30. f sx, yd 5 x 2 2 3xy 2 y 2 R 5 Hsx, yd: 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ xJ 31. f sx, yd 5 e2x sen sin y R 5 Hsx, yd: x 2 1 y 2 ≤ 4J

32. f sx, yd 5 cossx 2 1 y 2d

5

R 5 sx, yd: x 2 1 y 2 ≤

33. f sx, yd 5 exy R 5 Hsx, yd: 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 10J 34. f sx, yd 5 e2x sen sin y R 5 Hsx, yd: 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ xJ

p 2

6

W R I T I N G A B Ode U T conceptos CONCEPTS Desarrollo 35. Enunciar la definición, con integral doble, del área de una superficie S dada por z 5 f sx, yd sobre una región R en el plano xy. 36. Considerar la superficie f(x, y) 5 x2 1 y2 y el área de superficie de f sobre cada región R. Sin integrar, ordenar las áreas de superficie desde la menor hasta la mayor. Explicar el razonamiento. a) R: rectángulo con vértices (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2) b) R: triángulo con vértices (0, 0), (2, 0), (0, 2) c) R 5 {(x, y): x2 1 y2 # 4 sólo el primer cuadrante} 37. ¿Aumentará el área de superficie de la gráfica de una función z 5 f(x, y) sobre una región R si la gráfica de f cambió k unidades verticalmente? ¿Por qué sí o por qué no?

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CAPÍTULO 14


Para discusión 38. Responder las siguientes preguntas acerca del área de superficie S sobre una superficie dada por una función positiva z 5 f (x, y) sobre una región R en el plano xy. Explicar cada respuesta. a) ¿Es posible para S igualar el área de R?

41. Diseño industrial Una empresa produce un objeto esférico de 25 centímetros de radio. Se hace una perforación de 4 centímetros de radio a través del centro del objeto. Calcular a) el volumen del objeto y b) el área de la superficie exterior del objeto. 42. Modelo matemático Un ranchero construye un granero de dimensiones 30 por 50 pies. En la figura se muestra la forma simétrica y la altura elegidas para el tejado. z

b) ¿Puede S ser mayor que el área de R? 25

c) ¿Puede S ser menor que el área de R?

(0, 25) (5, 22) (10, 17)

39. Hallar el área de la superficie del sólido intersección de los cilindros x 2 1 z 2 5 1 y y 2 1 z 2 5 1 (ver la figura).

(15, 0) 20

z

z

y

50 x

y2 + z2 = 1 2

a) Utilizar las funciones de regresión de una herramienta de graficación para hallar un modelo de la forma z 5 ay3 1 by2 1 cy 1 d para el perfil del techo.

−3

x

y

3

3

r

r

b) Utilizar las funciones de integración numérica de una herramienta de graficación y el modelo del inciso a) para aproximar el volumen del espacio de almacenaje en el granero.

y

x −2

x2 + z2 =

1

Figura para 39

z=k

x 2 + y 2, k > 0

c) Utilizar las funciones de integración numérica de una herramienta de graficación y el modelo del inciso a) para aproximar el área de la superficie del techo.

Figura para 40

40. Mostrar que el área de la superficie del cono z 5 k!x 2 1 y 2, k > 0 sobre la región circular x 2 1 y 2 ≤ r 2 en el plano xy es pr 2!k 2 1 1 (ver la figura).

d) Aproximar la longitud de arco de la recta del techo y calcular el área de la superficie del techo multiplicando la longitud de arco por la longitud del granero. Comparar los resultados y las integraciones con los encontrados en el inciso c).

PROYECTO DE TRABAJO

Capilaridad z

Una propiedad muy conocida de los líquidos se llama “capilaridad”, y consiste en que ascienden por conductos verticales muy estrechos. La figura muestra dos placas que forman una cuña estrecha dentro de un recipiente con líquido. La superficie superior del líquido toma una forma hiperbólica dada por z5

θ = 2 arctan (0.01) 9 pulg

k !x 1 y 2 2

donde x, y y z están medidas en pulgadas. La constante k depende del ángulo de la cuña, del tipo de líquido y del material de las placas.

13 pulg

a) Hallar el volumen del líquido que ha ascendido por la cuña. (Tomar k 5 1.) b) Hallar el área de la superficie horizontal del líquido que ha ascendido por la cuña. Adaptación de un problema sobre capilaridad de “Capillary Phenomena” de Thomas B. Greenslade, Jr., Physics Teacher, mayo de 1992. Con autorización del autor.

y x

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SECCIÓN 14.6

Integrales triples y aplicaciones

1027

14.6 Integrales triples y aplicaciones n n

Utilizar una integral triple para calcular el volumen de una región sólida. Hallar el centro de masa y los momentos de inercia de una región sólida.

Integrales triples

z

El procedimiento utilizado para definir una integral triple es análogo al utilizarlo para integrales dobles. Considerar una función f en tres variables que es continua sobre una región sólida acotada Q. Entonces, se encierra Q en una red de cubos y se forma una partición interna que consta de todos los cubos que quedan completamente dentro de Q, como se muestra en la figura 14.52. El volumen del i-ésimo cubo es DVi 5 Dxi Dyi Dzi . y

Volumen del i-ésimo cubo.

La norma iDi de la partición es la longitud de la diagonal más larga en los n cubos de la partición. En cada cubo se elige un punto sxi, yi , z i d y se forma la suma de Riemann n

o f sx , y , z d DV .

x

i

i

i

i

Tomando el límite cuando iDi → 0 se llega a la siguiente definición. i51

Región sólida Q

DEFINICIÓN DE INTEGRAL TRIPLE

z

Si f es continua sobre una región sólida acotada Q, entonces la integral triple de f sobre Q se define como

EEE

f sx, y, zd dV 5 lim lím

n

o f sx , y , z d DV

iDi→0 i51

i

i

i

i

Q

siempre que el límite exista. El volumen de la región sólida Q está dado por y

Volumen de Q 5

n

o DV

i

i51

Figura 14.52

dV.

Q

x

Volumen de Q <

EEE

Algunas de las propiedades de las integrales dobles expuestas en el teorema 14.1 pueden replantearse en términos de integrales triples. 1.

EEE EEE EEE

EEE

cf sx, y, zd dV 5 c

Q

2.

Q

f f sx, y, zd ± gsx, y, zdg dV 5

Q

3.

Q

f sx, y, zd dV

f sx, y, zd dV 5

EEE Q1

EEE

f sx, y, zd dV ±

Q

f sx, y, zd dV 1

EEE

EEE

gsx, y, zd dV

Q

f sx, y, zd dV

Q2

En las propiedades dadas arriba, Q es la unión de dos subregiones sólidas que no se sobreponen Q1 y Q 2. Si la región sólida Q es simple, la integral triple eee f sx, y, zd dV puede evaluarse con una integral iterada utilizando alguno de los seis posibles órdenes de integración: dx dy dz dy dx dz dz dx dy dx dz dy dy dz dx

dz dy dx.

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CAPÍTULO 14


EXPLORACIÓN

Volumen de un sector paraboloide En las páginas 997 y 1006, se pidió resumir las diferentes formas estudiadas hasta ahora para hallar el volumen del sólido limitado o acotado por el paraboloide z 5 a2 2 x2 2 y2,

a > 0

y el plano xy. Ahora se conoce un método más. Utilizarse para hallar el volumen del sólido.

La versión siguiente del teorema de Fubini describe una región que es considerada simple con respecto al orden dz dy dx. Para los otros cinco órdenes pueden formularse descripciones similares. TEOREMA 14.4 EVALUACIÓN MEDIANTE INTEGRALES ITERADAS Sea f continua en una región sólida definida por Q a ≤ x ≤ b,

h 1sxd ≤ y ≤ h 2sxd,

g1sx, yd ≤ z ≤ g2sx, yd

donde h1, h2, g1 y g2 son funciones continuas. Entonces,

EEE

z

EE E h2sxd

b

f sx, y, zd dV 5

a

Q

h1sxd

g2sx, yd

f sx, y, zd dz dy dx.

g1sx, yd

a2

Para evaluar una integral iterada triple en el orden dz dy dx, se mantienen x y y constantes para la integración más interior. Después, se mantiene x constante para la segunda integración. −a a

a

y

EJEMPLO 1

Evaluar una integral iterada triple

x

Evaluar la integral iterada triple

EEE x

2

0

0

x1y

e xs y 1 2zd dz dy dx.

0

Solución Para la primera integración, se mantienen x y y constantes y se integra con respecto a z.

EEE x

2

0

0

x1y

EE EE 2

e xs y 1 2zd dz dy dx 5

0

x

4

e x s yz 1 z 2d

0 0 2 x

5

0

x1y

dy dx 0

e x sx 2 1 3xy 1 2y 2d dy dx

0

Para la segunda integración, mantener x constante y se integra con respecto a y.

EE

x

2

0

E3 1 E 2

e xsx 2 1 3xy 1 2y 2d dy dx 5

0

e x x 2y 1

0

5

19 6

3xy 2 2y 3 1 2 3

24

x

dx 0

2

x 3e x dx

0

Por último, se integra con respecto a x. 19 6

E

2

0

x3e x dx 5

3

4

19 x 3 e sx 2 3x 2 1 6x 2 6d 6

5 19

2 0

1 3 1 12 e2

< 65.797 El ejemplo 1 muestra el orden de integración dz dy dx. Con otros órdenes, se puede seguir un procedimiento similar. Por ejemplo, para evaluar una integral iterada triple en el orden dx dy dz, se mantienen y y z constantes para la integración más interior y se integra con respecto a x. Después, para la segunda integración, se mantiene z constante y se integra con respecto a y. Por último, para la tercera integración, se integra con respecto a z.

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SECCIÓN 14.6

z

Q z = g1(x, y) y

Proyección sobre el plano xy

La región sólida Q se encuentra entre dos superficies Figura 14.53

1029

Para hallar los límites dado un orden determinado de integración, por lo general se aconseja determinar primero los límites más interiores, que pueden ser funciones de las dos variables exteriores. Después, proyectando el sólido Q sobre el plano coordenado de las dos variables exteriores, se pueden determinar sus límites de integración mediante los métodos usados para las integrales dobles. Por ejemplo, para evaluar

z = g2(x, y)

x


EEE

f sx, y, zd dz dy dx

Q

primero se determinan los límites de z, y entonces la integral toma la forma

EE 3E

g2sx, yd

g1 sx, yd

4

f sx, y, zd dz dy dx.

Proyectando el sólido Q sobre el plano xy, se pueden determinar los límites de x y de y de la misma manera que se hizo en el caso de las integrales dobles, como se muestra en la figura 14.53.

0≤z≤2

4 − x2 − y2 z

Integral triple para hallar un volumen

EJEMPLO 2 4

Hallar el volumen del elipsoide dado por 4x 2 1 4y 2 1 z 2 5 16. Solución Como en la ecuación x, y y z juegan papeles similares, el orden de integración es probablemente irrelevante, y se puede elegir arbitrariamente dz dy dx. Además, se pueden simplificar los cálculos considerando sólo la porción del elipsoide que se encuentra en el primer octante, como se muestra en la figura 14.54. Para el orden dz dy dx, se determinan primero los límites o cotas de z. 2

0 ≤ z ≤ 2!4 2 x 2 2 y 2

1

x

2

Los límites o cotas de x y y son, como se ve en la figura 14.55, x y y y 0 ≤ x ≤ 2 y 0 ≤ y ≤ !4 2 x 2, por lo que el volumen del elipsoide es

y

V5

EEE EE E EE 4 EE E3 E E 12 dV

Q

58

0

Figura 14.54

0

!42x2

2

0≤x≤2 0 ≤ y ≤ 4 − x2

2!42x2 2y2

z

0

!42x2

5 16

0

0

1

y!4 2 x 2 2 y 2 1 s4 2 x 2d arcsen arcsin

58

x2 + y2 = 4


!s4 2 x 2d 2 y 2 dy dx

2

2

dy dx

0

0

2

dz dy dx

0

58 y

2!42x2 2y2

!42x2

2

Elipsoide: 4x2 + 4y2 + z2 = 16

0

2

f0 1 s4 2 x 2d arcsen arcsins1d 2 0 2 0g dx

58

1

0

p dx 2

2

s4 2 x 2d

58 x 1

0

2

3

5 4p 4x 2 Figura 14.55

5

64p . 3

x3 3

2

4

0

y !4 2 x 2

24

!42x2

0

dx

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CAPÍTULO 14


El ejemplo 2 es poco usual en el sentido de que con los seis posibles órdenes de integración se obtienen integrales de dificultad comparable. Tratar de emplear algún otro de los posibles órdenes de integración para hallar el volumen del elipsoide. Por ejemplo, con el orden dx dy dz se obtiene la integral

EE

E

!162z2y2

4

V58

0

0

!1624y 2 2z2y2

dx dy dz.

0

Si se resuelve esta integral, se obtiene el mismo volumen que en el ejemplo 2. Esto es siempre así; el orden de integración no afecta el valor de la integral. Sin embargo, el orden de integración a menudo afecta la complejidad de la integral. En el ejemplo 3, el orden de integración propuesto no es conveniente, por lo que se puede cambiar el orden para simplificar el problema.

Cambiar el orden de integración

EJEMPLO 3

E E E !py2

Evaluar

0

Q: 0 ≤ x ≤ z

x≤y≤

(

π 2 π 2 π , 2

x

3

sin s y 2d dz dy dx. sen

1

Solución Obsérvese que después de una integración en el orden dado, se encontraría la integral 2e sin senssy 2d dy, que no es una función elemental. Para evitar este problema, se cambia el orden de integración a dz dx dy, de manera que y sea la variable exterior. Como se muestra en la figura 14.56, la región sólida Q está dada por

!p2 ,

0 ≤ x ≤

1≤z≤3 3

!py2

π ,3 2

)

x ≤ y ≤

!p2 ,

1 ≤ z ≤ 3

y la proyección de Q en el plano xy proporciona los límites

!p2

0 ≤ y ≤

y

0 ≤ x ≤ y.

Por tanto, la evaluación de la integral triple usando el orden dz dx dy produce 2 2

y

3

y

2

sen y 2 dz dx dy 0

0

1

y

sen y 2 dx dy

2 0

0

(

π , 2

π ,1 2

y

2

)

2

x sen y

2

dy 0

0 2

π 2

π 2

x

y

y sen y 2 dy

2 0

y=x

2

cos y 2 0

Figura 14.56

dx dy 1

0

0

2

1

3

z sen y2

1.

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SECCIÓN 14.6

z

EJEMPLO 4

1

x= 1−y

b) El hemisferio superior dado por z 5 !1 2 x 2 2 y 2 c) La región acotada inferiormente por el paraboloide z 5 x 2 1 y 2 y superiormente por la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 6

x=3−y

x

Determinación de los límites de integración

a) La región en el primer octante acotada superiormente por el cilindro z 5 1 2 y 2 y comprendida entre los planos verticales x 1 y 5 1 y x 1 y 5 3 y

∆y

Q: 0 ≤ z ≤ 1 − y 2 1−y≤x≤3−y 0≤y≤1

Solución a) En la figura 14.57, obsérvese que el sólido está acotado inferiormente por el plano xy sz 5 0d y superiormente por el cilindro z 5 1 2 y 2. Por tanto,

Figura 14.57

0 ≤ z ≤ 1 2 y 2. z

1−

x2

−

Límites o cotas para z.

Proyectando la región sobre el plano xy se obtiene un paralelogramo. Como dos de los lados del paralelogramo son paralelos al eje x, se tienen las cotas siguientes:

Hemisferio: z=

1031

Dar una integral triple para el volumen de cada una de las regiones sólidas.

z = 1 − y2

1

3


y2

12y ≤ x ≤ 32y y

0 ≤ y ≤ 1.

1

Por tanto, el volumen de la región está dado por

EEE E E E 1

V5

32y

12y 2

dV 5

0

12y

dz dx dy.

0

Q

1

1

x

y

Base circular: x2 + y2 = 1 Q: 0 ≤ z ≤ −

1 − x2 − y2

1−y ≤x≤ 2

0 ≤ z ≤ !1 2 x 2 2 y 2.

Figura 14.58

2 !1 2 y 2 ≤ x ≤ !1 2 y 2 y z

Paraboloide: z = x2 + y2 −2 2

2

Q: x2 + y2 ≤ z ≤ 6 − x2 − y2 − 2 − x2 ≤ y ≤ 2 − x2 − 2≤x≤ 2

Figura 14.59

21 ≤ y ≤ 1

lo cual implica que el volumen de la región está dado por Esfera: x2 + y2 + z2 = 6

EEE E E E 1

V5

dV 5

Q

x

Cotas para z.

En la figura 14.58, obsérvese que la proyección del hemisferio sobre el plano xy es el círculo dado por x 2 1 y 2 5 1, y se puede usar el orden dx dy o el orden dy dx. Eligiendo el primero se obtiene

1 − y2

−1 ≤ y ≤ 1

3

b) Para el hemisferio superior dado por z 5 !1 2 x 2 2 y 2, se tiene

y

!12y2

!12x2 2y2

dz dx dy.

21 2!12y 2 0

c) Para la región acotada inferiormente por el paraboloide z 5 x 2 1 y 2 y superiormente por la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 6, se tiene x 2 1 y 2 ≤ z ≤ !6 2 x 2 2 y 2.

Cotas para z.

La esfera y el paraboloide se cortan en z 5 2. Además, en la figura 14.59 se puede ver que la proyección de la región sólida sobre el plano xy es el círculo dado por x 2 1 y 2 5 2. Utilizando el orden dy dx se obtiene 2 !2 2 x 2 ≤ y ≤ !2 2 x 2 y

2 !2 ≤ x ≤ !2

lo cual implica que el volumen de la región está dado por

EEE E E E !2

V5

dV 5

Q

2!2

!22x2

!62x2 2y2

2!22x2 x2 1y2

dz dy dx.

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CAPÍTULO 14


Centro de masa y momentos de inercia En el resto de esta sección se analizan dos aplicaciones importantes de las integrales triples a la ingeniería. Considérese una región sólida Q cuya densidad está dada por la función de densidad r. El centro de masa de una región sólida Q de masa m está dado por sx, y, zd, donde

EXPLORACIÓN

Dibujar el sólido (de densidad uniforme) limitado o acotado por z50y z5

m5

1 1 1 x2 1 y2

EEE EEE EEE EEE

r sx, y, zd dV

Masa del sólido.

xr sx, y, zd dV

Primer momento con respecto al plano yz.

yr sx, y, zd dV

Primer momento con respecto al plano xz.

zr sx, y, zd dV

Primer momento con respecto al plano xy.

Q

donde x 2 1 y 2 ≤ 1. A partir del dibujo, estimar las coordenadas del centro de masa del sólido. Ahora utilizar un sistema algebraico por computadora y verificar la estimación. ¿Qué se observa?

Myz 5

Q

Mxz 5

Q

Mxy 5

Q

y x5 NOTA En ingeniería y en física, el momento de inercia de una masa se usa para hallar el tiempo requerido para que una masa alcance una velocidad de rotación dada con respecto a un eje, como se muestra en la figura 14.60. Cuanto mayor es el momento de inercia, mayor es la fuerza que hay que aplicar a la masa para que alcance la velocidad deseada. n

Myz , m

y5

Mxz , m

z5

Mxy . m

Las cantidades Myz, Mxz, y Mxy se conocen como los primeros momentos de la región Q con respecto a los planos yz, xz y xy, respectivamente. Los primeros momentos de las regiones sólidas se toman con respecto a un plano, mientras que los segundos momentos de los sólidos se toman con respecto a una recta. Los segundos momentos (o momentos de inercia) con respecto a los ejes x, y y z son los siguientes. Ix 5

EEE EEE EEE

s y 2 1 z 2dr sx, y, zd dV

Momento de inercia con respecto al eje x.

sx 2 1 z 2dr sx, y, zd dV

Momento de inercia con respecto al eje y.

sx 2 1 y 2dr sx, y, zd dV

Momento de inercia con respecto al eje z.

Q

z

Iy 5

Q

y

Iz 5

Q

x

Figura 14.60

En problemas que requieren el cálculo de los tres momentos, puede ahorrarse una cantidad considerable de trabajo empleando la propiedad aditiva de las integrales triples y escribiendo Ix 5 Ixz 1 Ixy,

Iy 5 Iyz 1 Ixy,

donde Ixy, Ixz, e Iyz son Ixy 5

EEE EEE EEE

z 2r sx, y, zd dV

Q

Ixz 5

y 2r sx, y, zd dV

Q

Iyz 5

Q

x 2r sx, y, zd dV

e

Iz 5 Iyz 1 Ixz

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SECCIÓN 14.6

1033

Hallar el centro de masa de una región sólida

EJEMPLO 5 z


Hallar el centro de masa del cubo unidad mostrado en la figura 14.61, dado que la densidad en el punto (x, y, z) es proporcional al cuadrado de su distancia al origen.

1

Solución Como la densidad en (x, y, z) es proporcional al cuadrado de la distancia entre (0, 0, 0) y (x, y, z), se tiene

r sx, y, zd 5 ksx 2 1 y 2 1 z2d.

(x, y, z)

1

1

y

Esta función de densidad se puede utilizar para hallar la masa del cubo. Debido a la simetría de la región, cualquier orden de integración producirá integrales de dificultad comparable.

x

EEE EE 3 EE 1 E 31 E1 1

m5

Densidad variable: rsx, y, zd 5 ksx 2 1 y 2 1 z2d

1

0

0

ksx 2 1 y 2 1 z 2d dz dy dx

0

1

Figura 14.61

1

1

5k

0

0

1

1

5k

0

x2 1 y 2 1

0

1

5k

2

1

5k

x2 1

0

3

x3 2x 1 3 3

1

4

dy dx

0

2

1 dy dx 3

1 y3 y1 3 3

x2 1

0

5k

z3 3

sx 2 1 y 2dz 1

1

4

dx

0

2

2 dx 3 1

4

5k

0

El primer momento con respecto al plano yz es

EEE E 3E E 1

1

1

xsx 2 1 y 2 1 z 2d dz dy dx

Myz 5 k

0

0

1

5k

0

1

4

1

sx 2 1 y 2 1 z 2d dz dy dx.

x

0

0

0

Nótese que x puede sacarse como factor fuera de las dos integrales interiores, ya que es constante con respecto a y y a z. Después de factorizar, las dos integrales interiores son iguales con respecto a la masa m. Por tanto, se tiene

E

1

Myz 5 k

1

x x2 1

0

2

2 dx 3

2 1

3 x4 1 x3 4

5k 5

4

0

7k . 12

Así, x5

Myz 7ky12 7 5 5 . m k 12

Por último, por la naturaleza de r y la simetría de x, y y z en esta región sólida, se tiene 7 7 7 x 5 y 5 z, y el centro de masa es s12 , 12, 12 d.

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CAPÍTULO 14


Momentos de inercia de una región sólida

EJEMPLO 6

Hallar los momentos de inercia con respecto a los ejes x y y de la región sólida comprendida entre el hemisferio z 5 !4 2 x 2 2 y 2 y el plano xy, dado que la densidad en (x, y, z) es proporcional a la distancia entre (x, y, z) y el plano xy. 0 ≤ z ≤ 4 − x2 − y2 − 4 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2 −2 ≤ x ≤ 2

Solución La densidad de la región está dada por rsx, y, zd 5 kz. Considerando la simetría de este problema, se sabe que Ix 5 Iy, y sólo se necesita calcular un momento, digamos Ix. De acuerdo con la figura 14.62, se elige el orden dz dy dx y se escribe

Hemisferio:

z=

4 − x2 − y2

Ix 5

z

EEE EE E EE 3 EE 3 EE E3 E E E

s y 2 1 z 2dr sx, y, zd dV

Q

!42x2

2

2

5

22 2!42x2 0 !42x2

2

5k 2 2

y

Base circular: x2 + y2 = 4

Densidad variable: r sx, y, zd 5 kz Figura 14.62

22 2!42x2 !42x2

2

5k

x

5 5 5 5 5 5

!42x2 2y 2

22 2!42x2

k 4 k 4 k 4

4k 5 4k 5

s y 2 1 z 2dskzd dz dy dx

y 2z 2 z 4 1 2 4

!42x2 2y 2

4

dy dx 0

y 2s4 2 x 2 2 y 2d s4 2 x 2 2 y 2d 2 1 dy dx 2 4

4

!42x2

2

22 2!42x2

fs4 2 x2d2 2 y 4g dy dx

2

s4 2 x 2d2 y 2

22

y5 5

4

!42x2

2!42x2

dx

2

8 s4 2 x 2d5y2 dx 22 5 2

s4 2 x 2d5y2 dx

x 5 2 sen sin u.

0

py2

64 cos6 u du

0

5p 1256k 21 5 32 2

Fórmula de Wallis.

5 8kp. Por tanto, Ix 5 8kp 5 Iy. En el ejemplo 6, los momentos de inercia con respecto a los ejes x y y son iguales. Sin embargo, el momento con respecto al eje z es diferente. ¿Parece que el momento de inercia con respecto al eje z deba ser menor o mayor que los momentos calculados en el ejemplo 6? Realizando los cálculos, se determina que Iz 5

16 kp. 3

Esto indica que el sólido mostrado en la figura 14.62 presenta resistencia mayor a la rotación en torno a los ejes x o y que en torno al eje z.

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1053714_1406.qxp 10/27/08 1:34 PM PM1:34 Page 1035 1053714_1406.qxp 10/27/08 1:34 Page 1053714_1406.qxp 10/27/08 PM 1035 Page 1035

1035 14.6 Triple Triple Integrals Applications 1035 14.6 Integrals andand Applications 1035 14.6 Integrals and yApplications SECCIÓN 14.6 Triple Integrales triples aplicaciones 1035

Exercises See See See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.Triple Integrals and Applications 14.6Exercises www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 14.6 1035 14.6 1035 and Applications 14.6 Integrals Triple Integrals and Applications Exercises exercises.Triple 14.6 Ejercicios www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered14.6 14.6

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z zz z zz In Exercises 8, evaluate iterated integral. 21. 21. 22. 22. In Exercises 1– 8,1–evaluate the the iterated integral. 2 2 z zz = 36 z =−36 21. 22. In Exercises 1– 8, evaluate the iterated integral. x 2−−xy22− y2 22. 36 36 En 3los233ejercicios 1 a 8, evaluar la integral z = 36 − x 2 − y 2 See www.CalcChat.com for worked-out worked-out solutions21. tosolutions odd-numbered exercises. exercises. 11 iterada. 11See11www.CalcChat.com 122 11 1 www.CalcChat.com 36 See for solutions to odd-numbered exercises. for worked-out to odd-numbered 2 22 22 z 36 z dz dxdy dz dy z2 dy dx dz dy dz 1. 1. 33 22 x11 xy yz dx 2. 2. 11 11 x112y 2x2z22y2dx a z aa z = 36 − x 2 − y 2 1. 2. x y z dx dz dy x a 2 y 2 z2 dx dy dz 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 sx 1 y 1 zd dx dy dz 2. x22 y z22 dx dy dz 1. xy 9x y 2 9x 13 yy133y2 1 9x 36 y 1 00x11 00xyxx 00 xy 9 21 y99 z z z 21 21 2 21. 22. In Exercises Exercises 1–8, 8, evaluate evaluate the the iterated iterated integral. z 21. 22. In 1– 2 21. 22. z z = 36z− x22 − y22 2 2 InxyExercises the integral. iterated y 3 !yy2integral. a 29x dzdx dy dx1– 8, evaluate dzdy dx dy 3. 3. 11 xx xxy 4. 4. 99 yy3 dzxdy z9x2dzzdx z = 36 − xz = − y36 − x − y 3.0 000 33000 22 00 11xx dz 4.0 000 11 000 11 0011 1 1 zz dz dz dy dx dz dx dy dy 36 3. 4. 3 dy 2 dx 1 1 dx 36 36 a 2 22 22 a 4 1 x 4 e 1 xz 22xz0 a 2 01 0 0 0 0 a 4 1 x 4 e 1 xz 2 4 1 x 4 e y 2 2dz a a aa 1. 0 0 01. xx2 22yy xzz dx 2.dz0 dy0 2 2.0 xx yy zz dx dxydz dz dy dy dxxdy dy 1. 2. z dx y dz z 2 dx dy dz a a y yy 1 xz a xx dy dx dz x dy xx00 2ze dz 5. 5. 4400 11002ze 6. 6. 44 11ee2 111yxz ln11zln dx x xx 0 x022 dx 0 dz 12dyz dz 1dy 1 dx 2 2 2 2x 1 x xy 9 y 3 9x y zz 5.1 011 1000 x 00xy2ze 6.1 111 9 011 y 300 yln 2ze1 x dy dyxydx dx dz dz dy dzy2dx dx9x2 x dy 5. 6. 9ln y9x 3 dz a y 2 1 y a y 22 x 11x dz xx dy dx 0y012 y 1 y 3.4 11444 200 10203. 4. 211 y121222 y4. z dz dx dyz dz dx dy x dz dy dx z = 0z = 0 1 x 2 1 y x x0 cos dz dx dy dx8. 8. p00y2 00 yy2 00 1yy sin y dz dx dy z=0 7. 7. 400 p00y2 00 12x x0 cos y0 dzydy sin y dz dx dy 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7.0 000 44 00 101 xx00 4 xx1cos cosx yy dz dz dy dy dx dx 8. 8.0 00 404 ee02020 11 xz sin y1 dz dz dx dy dy 04 sen x aa+x2y ++y2z + =aaz2a = a2 yy a 12 y yy 12 12 12 0xz sin 7. e2 y xz dx x yxx 12 12 a 2 x +y +z =a 12 z y= 0 12 x x 2 dy dx dz 5. 00 00 5.00 2ze 6. 00 2ze xx2 dy dy2ze dx dz dz ln zz dy dy dz dzlndx dxz dy dz dx 006. 00 ln 5. 6. dx xx x CAS Exercises 9 and a computer CASCAS In In Exercises useuse a computer to to Volume 11 00 9 00 and 11 algebra 11 algebra 00 1 1system 2 2 2 2 1 0 10, 0 10, 0system VolumeIn Exercises In a triple integral to find x +Exercises y + z 23–26, = a23–26, useuse a xtriple the the 1 49 x y 10, 2 yalgebra y 22 11 y2y por CAS En In Exercises 10, a computer 12 integral 12 toy find CAS 44 the 22 iterated 19 xand los ejercicios sistema 2algebraico 2 integral. 1utilizar x use un ysystem 2 compu1 y to evaluate Volume Exercises 23–26,by use a graphs triple integral to find evaluate the iterated integral. zz == 00 the z = 0 volume ofInthe solid bounded the of the equations. volume of the solid bounded by the graphs of the equations. x cos y dz dy dx sin y dz dx dy 7. 8. evaluate the iterated integral. x cos y dz dy dx sin y dz dx dy 7. 8. tadora 3y evaluar 7. 2 la2integralx iterada. cos y dz dy dx 8. sin y dz dxvolume dy of thexxsolid the graphs12of the12equations. 22 + + yy22bounded + zxz222 =+ = aay222 +by 29 0 0 9 00 y9 + 3 03 z 2 = a 2 xx yy02y02 0yy2 00 00 12 x 1212 yy 12 0 000 0 0 y 22 primer octante 2 2 2 x22, y 2 primer 3 9 y y 23. z 4 4 x , y dz dx dy 9. 23. octante z 4 x , y 4 x , y dz dx dy 9. 2 2 Volumen En los ejercicios 23 a 26, usar una integral triple para 23. primer octante z 4 x , y 4 x , 9. 229 0and 2 y dz dx dy 9 y 0 CAS In Exercises 10, use a computer algebra system to 2 0 9 In y9 Exercises 0y 9 0and 10, CAS In0 Exercises use 10, a computer algebra algebra system to 33, y 3 xExercises CAS 9 and use a computer system to 24. x223–26, xintegral ≥ Volume In 23–26, use triple to find find the z z9 9Volume xIn 24. encontrar x2 Exercises 2, sólido y 2, y0, z 0,aaztriple 0, x0,por ≥a 0triple Volume Exercises use integral to el, yvolumen del limitado las0gráficas dethe lasfind the In 23–26, use integral to 0 2 9 22 y2x22 0 24 y22 2 2 the y iterated 2 x 2 iterated 4x y 4the 24. z 9 x3, y x2 2 2, y 0, z 0, x ≥ 0 evaluate integral. evaluate integral. 2 2 2 2 !2 ! 2 volume of the solid bounded by the graphs of the equations. 2 solid 22x 2 2 x 42y 4 y ecuaciones. volume of the bounded by the graphs of the equations. z 2 y, z 4 y , x 0, x 3, y 0 25. z 2 y, z 4 y , x 0, x 3, y 0 25. 10. y dz dy dx 10. y dz dy dx 2 25. z 2 y, z 4 y2, x2 0, x 3, y 0 y22 2 2 10.0 00033 00 99 2x yy2 32 2x 2x y2 dx yy22 9 yy2yy dz dy 2 x222,, ,primer 23. primer octante z zzzx, y x, 26. 26. octante 2 23. 44 yx zxx2x,,2, yy y 2,44yx2 2,xxprimer 2x yy2dz dx dyy dz dx dy 9. 00 00 9. primer octante 4primer x2octante ,octante 2x221y y x 4 2, yx , yx2, primer 26. z x,23. octante 22 0 9 y 0 0 2 9 y 0 3 2 9 12, yuse 0 use 0andand CAS 3, y 3x2 2 0, z In Exercises 11 a computer algebra system to CASCAS In Exercises 11 12, a computer algebra system to z 24. 9 x 2, y 0,0,volume x z≥ 00, is z27–32, 9sketch x , the 24. y the xsolid 2,whose y volume x given ≥ 0by by 2 CAS 2 11 In Exercises sketch los ejercicios 12,4use utilizar un sistema algebraico por In Exercises 2 11 27–32, solid whose is given CAS En In Exercises 22 xx2 2and 44 yy22y12, x2 integral. y 2 a computer algebra system to 2 the solid approximate iterated approximate the2 the iterated integral. In Exercises 27–32, sketch whose volume is 0given by 2 2x z 2 y, z 4 y , x 0, x 3, y 0 25. z 2 y, z 4 y , x 0, 3, y 0 25. computadora y aproximar la integral iterada. 10. y dz dy dx z 2 y, z 4 y , x 0, x 3, y 25. the iterated integral and rewrite the integral using the indicated the iterated integral and rewrite the integral using the indicated approximate the iterated integral. 10. y dz dy dxy dz dy dx 10. 4 4x2x22 44 2x222 y22 20 the iterated integral and rewrite the integral using the indicated 024 !x42x 2 202 2 04 y y 2x 2 y 2 4 2x 02 x202sen order of integration. 26.ofzintegration. primer octante order x, , primer ysin 26. 4 x2 x 4 sin , primer octante y x2octante 26.y z x x, y2, y x x22, 2 x sin y 2 order of integration. 11. dz dy dx 11.11. dx x sindzy dy dz dy dx 2 1 0 2 2 1 0 z 1 0 y dz dy dx CAS 11. In0 Exercises Exercises 11 and 12, use a computer algebra system to y y 00 00 In 1Exercises 11 z and 0 z CAS In 11 12, use a computer algebra system to CAS 11 and 12, use a computer algebra system En to Exercises 0 3 0 2 2y 31 6 2y 2 1 ejercicios 0 z 3z 3z yExercises In 27–32, the solid whose is givenestá bygiven by los a27–32, 32, dibujar elthe sólido cuyo volumen 0 2y 2 s32yy3 2y 63d1 2y 6 3z 2y 3 02 Indz sketch solidvolume whose volume is dz dx dy27dxsketch dy 27. 27. 33 22 approximate the622y23z iterated integral. 2 2 approximate the iterated approximate thex2integral. iterated integral. dz dy dx 27. x2x2y2y2 dx dz 0por 1la00 integral y2 dx the iterated integral and rewrite the integral using the indicated 0 1 0 0 1 dado iterada y reescribir la integral utilizando the iterated and rewrite the integral using the indicated ze2x dy 12. 3 2 2y 32 6 2y ze3z ze y dz dy 12.12. the iterated integral and rewrite the integral using theelindicated x2y2 dx 0 1 0 dx dz dz dy dy 12.0 000 22 00 44 x0x2 2 4040 x242 sin x2 yze 4 2 order of integration. dydx. dz dx. Rewrite using the order orden de integración indicado. dy dz Rewrite using the order order of integration. 0 0 0 x sin order of integration. y sindxy x dy 0 11. 0 0 11. dz 1 xusing 11. dz dy dx dz dy dx 111 11 11 2 xx the order dy dz dx. 1 Rewrite 0 z 2 1 0 y z z integral y x 1 0 y2 In Exercises 13–18, a triple integral for volume of the 28. 28. 1 1 1dz los 00ejercicios 18,aup una integral para el of volumen In En Exercises set up triple fortriple the the volume the 0013–18, 0 1113 0 aset 1dar dzdy dxdx dy dx dy 2y 333 266 set 2y 3z a In Exercises 13–18, dz dy dx 27. 21 y27. 33 22 2y 2y dz 27. 2y up 33z 6 triple 2y2 2 3z integral for the volume of the 27. 2 solid. 28. del sólido. solid. 1 y01 0y 21 000 dz dx dy dz dy dx 2 yy2 x 2 2 x x y ze dx dz dy 12. 21 0 0 0 solid. 0 1 ze dx dz dy 12. 1 y 0 ze dx dz dy 12. 0 dx dz Rewrite using order dx dz Rewrite using the the order 00sólido 0solid 00primer dydy. dzdy. dx.dx. Rewrite using theorder order octante acotado porthe loscoordinate planos planes coordena0 elthe 0 bounded dy dz dx. Rewrite using the order Reescribir usando el orden dy dz 13. The in first octant bounded by planes 13.13. TheEl solid in en the first octant by the coordinate dy dz dx. Rewrite using the order Rewrite the 4 x 44 2 xusing x 22 3x 12 3x 46y 6y 44dx dz dy. 3x 4 4 13. dos The ysolid in the first octant bounded by the coordinate planes 1 11 11 12 x 121 6y 1 x el plano z 5 5 2 x 2 y 1 1 x and the plane z 5 x y and the plane z 5 x y 4 4 x 2 12 3x 6y 4 In Exercises 13–18, set up a triple integral for the volume of the In Exercises 13–18, upx a triple the volume the 29. dz dx dy dx 29. dz dx dy Inplane Exercises set a triple for integral for theof volume of the dz dx dx dy dy dz 28. and the z set 513–18, y up2integral dz 28. 28. 28. 2 dz dy dy dx 29. sólido acotado yy 5 y2x 00 2 0 000 100 y22 00 14. The solid bounded 0,y and solid. 14.14. TheEl solid bounded bypor zbyz z5 9 992 x 2,xzx2,2,z z5 0, 0, y0,yy5 0, 0and 2x 2x solid. 1 y 0 y 1 0 0 0 0 14. The solid bounded by z 9 x 2, z 20, y 0, and y 2x dy dx dz. Rewrite using order dy dx Rewrite using the the order 2 6 2 x2 2 y 2 y z 5 0 2 x2 2 z y5 sólido acotado dxdz. dzdz. dy.dy. Rewrite using theorder order 15. The solid bounded and z6paraboloide 6xbounded 0 Reescribir usando el orden dx dz 15.15. TheEl solid bounded bypor zbyeloctant y and z thez0coordinate dx dz dy. Rewrite using the order dx dz dy. using the order dy dx 13. The solid in the the first by planes planes3 Rewrite 22 6 xRewrite 6 ythe 13. The solid in first by the coordinate planes x xx yy3x 3349 x4299 using 6 x 13. The solid in zoctant the first octant by the coordinate 15. The solid bounded by and 6 bounded x22 22y2bounded z 0 xd2y2224 s1223x26y 12 6y 4 2 4 s 42x d y4 4 4 x 12 3x 6y 4 2 2 12 3x 6y 4 9 x 6 x4 yx 2 3 sólido limitado por y z 5 0. 16. The solid bounded by and z 16 x z 0 y 16.16. TheEl solid bounded by and z 16 x z 0 y and the plane z 5 x y andsolid the plane z plane 5 z zx 5y16 x x2 y y2 and z 0 dz dx dy dx 30. 30. and the dzdy dydx dx dz dy dx 29. 0 0 29. 0 dz dy 16. The bounded by 29. dz dz dy dx 29. dz dy dx 30. 2the 2 1 z2 00 0 0 000 00 17. The solid that isinterior the common below sólido que es elthe común bajo de0, la2yyesfera xand 1yyysphere 22, interior 17.17. TheEl solid that is common interior below the sphere 0 0 0 14. The solid bounded by z 9 x z 0, 0, 2x 0 0 0 0 0 0 14. The solid bounded by and z 9 x , z 0, 2x 0 0 0 14. The solid bounded by and z 9 x , z 0, y 0, y 2x 1 1 17.2 5 The solid that is the common interior below the sphere 1 2 2 2 2 2 1 2 2 280 dz dx Rewrite using order dzeldx Rewrite using the the order z 5the 12y dz z2 x 2122 x22y 2 y22 above paraboloid y 2sobre z 2el 80 and and above the paraboloid x x2The y 2 ysolid z 2 bounded 80paraboloide dydy. dxdy. dz.dx Rewrite using theusing order 2 s2x Reescribir utilizando orden dy dy dx dz. Rewrite using the order dy dz. dx dz. Rewrite the order 15. by and 0 x z y0 Rewrite 21 y22 the order dz dx dy. 15. bounded by zzabove 66bythe 11 using xThe solid y 2 The z 2 solid 80 and 15. bounded zxx2paraboloid 6 yy2 and x2 zzz y22 0and 1 1113 1! 2 22y abajo por 9 y 1xx222 y262x2y 6 xx9 yyx2 6 x y 92x 3 9 6 3 18. El sólido limitado arriba por el cilindro z 5 4 2 x 18. The solid bounded above by the cylinder and below z 4 x 3 1 y dz dx dy 1 1 2 2 18. 16. The The solidsolid bounded above by the cylinder and below z 4 x 2 2 31. bounded by zz2by the and 16 0 below dz dx dy dz 16. The Thesolid solid bounded by 16 0and 16.paraboloid The solidzabove bounded by z xx 16z yy and z 0 31.31. dzdy dydx dx dz dy dx 30. 0 y 30. 18. bounded 4x2 zzxy2 2and 2cylinder 30. dz dy dx 30. byparaboloide the dz dx dy by el the paraboloid z x2 x223y2 3y22 0 y00 0y0 00 00 y00 0 000 0 0 0 the17. paraboloid z x 3y 17. by The solid that is the common interior below the sphere 0 The solid that is the common interior1 below the sphere dz dy dx. Rewrite using order dzeldy Rewrite using the the order 2 2 2 22 2 1 x22 dzdx. dxdx. dy.dx Rewrite using theorder order 22 1 2 Reescribir orden dz dz dx dy. Rewrite using the order and above the paraboloid 80–19 dz dy. dx dy. Rewrite using the order Volume In aabove triple integral 2utilizando and above the paraboloid xx2In Exercises yy2 Exercises 80 zzto yythe Volumen En 19 22, utilizar una integral triple dz dy using the the paraboloid xloszz ejercicios y 19 z 2 – 22, 80ause zthe y 2 2 Rewrite 22 Volume 22, use aand triple integral find 4x 22tox find y1y22 y24x 2 x 4221 441y2! 4x 2 2 2 12y 1 1 1 y 1 1 Volume In Exercises 19 – 22, use a triple integral to find the 2 2 1 y 1 1 2 and below y 4x 2 4 2 para hallar el volumen del sólido mostrado en la figura. volume of the solid shown in the figure. 2 32. 18. The solid bounded above by the cylinder z 4 x volume of the solid shown in the figure. 18. The solidThe bounded above by above the cylinder 4 zx and dzdx dydy dzdz dy dx solid bounded by the zcylinder below 4 below x and 32. dz dx dydxdz dx dy 31. 0 2x31.0 31. dz 31. volume of18. the solid shown in the figure. 32. dzdx dydy dx 0 00 0 2x 22 2 0 2x 2 by the paraboloid z x22 z 3y 00 2x yyy 0 000 0 y 0 by the paraboloid x 3y 19. 20. 0 19. 20. 19. 20. dx dy dz. Rewrite using the order dx Rewrite using the order z dzdz. dydz. dx.dy Rewrite using the order 19. 20. Reescribir utilizando el dy orden dz dz dy dx. Rewriteusing using theorder order dz dx. dy dx. Rewrite using the order z zz z zz dx dy Rewrite the 2 2 Volume Volume Inz =Exercises 19 – 22, use a triple integral to find the 2 2 4x2 z z – 22, use a triple integral to find the zxz==xxIn Exercises 19 222 444 !yyy2224x 4x y2 4x2 4 In Exercises 33–36, list the six possible orders of integration 444 In Exercises 33–36, list dz thedysix possible orders of integration for for volume of of thezsolid solid shown inshown the figure. figure. =of x 4the 32. volume the shown the dxsix volume solidin 32. 32. dx dz dy dy dx 32. 33–36, dz 8 88in the figure. dzpossible dy dx orders of integration for In Exercises list the 4 0 0 2x Q, xyz dV. the triple integral over the solid region xyz dV. the triple00 integral the solid region Q, 2x 2x 00 0 over 8 2x 0 the triple integral over the solid region Q,Q QQ xyz dV. 19. 20. 3 333 19. 20. 19. 20. dx dy dy dx dz.dy Rewrite using using theusing order Reescribir utilizando el the orden dz. Q dx dz. Rewrite the order dx dy dz. Rewrite order 6 z 66 3 zz Q Q x, y,x,z y,: 0z : 0 x x 1, 01, 0 y y x, 0x, 0 z z 3 3 33. 33. zz6 z = 2xyz z = 2xy x, y, z : 0 x 1, 0 2 y x, 0 z 3 33. Q zz == xx z=x 2six z = 2xy In Exercises 33–36, list thexdar possible orders integration for 4 Q ejercicios 0 xlist x the 2, x 2possible y 4, 0posibles 4, 0 z of zofórdenes 2x xdeintegration 34. 0 ≤ x ≤ 2 Q Exercises x,In y,x,Exercises z y, : 0z :33 2, y seis 2 integration 34. En In 33–36, six orders for los a33–36, 36, los inte0≤x≤2 list possible for 44 xxx 44 4488 Q x, y, z : 0 over x the 2,solid x 2 the y six 4, 0 z orders 2 dV.of x 34. 8 0 ≤ x ≤ 2 x 2 2 ≤ 2y ≤ 2 Q, xyz the triple integral region 2 2 0 2 2 0 ≤ y ≤ Q, xyz dV. the triple integral over the solid region gración de la integral triple sobre la región sólida Q, xyz dV. the triple integral over the solid region 4 Q x, y, z : x y 9, 0 z 4 35. Q x, y, z : x y 9, 0 z 4 35. x 4 4 4 0≤y≤2 Q 33 x, y, z : x 2 y 2 9, 0 z 42 QQ 35. Q 32 226 4 2, 0 2, 0 26 6 222 z 6x, 0336 z 3 x, y, zzz :::000xx, y,xxx1, 1, y001x 1yyx1, xx, Q x,33. x, y, 1, x, 33. z y, z : 0 y 36. 36. Q Q y Q x, y, 1, 0 z 33. y x = 4 − y y 2 Q z : 0 0 y 2 x = 4 − y 33. QQ 5 Hsx,x,y,y,zzd::00 ≤ xx ≤ 1, 1, y0 ≤ 1y ≤ xx, ,00 ≤ zz ≤ 36J 2xy z =332xyy x=4−y 2 36. zz == 2xy 3 x=4−y Q 34. x,Qy, y, zz :: 00x, y,xxz : 02, 2, x22 y 24, 0 z 2 x 34. Q 2 222 4 x, 34. 3 00 ≤≤ xx ≤≤ 22 0 ≤ x ≤ 2 4 1 4 H 1 1 Q 5 s x, y, z d : 0 ≤ x ≤ 2, xx2 x≤ yy2,≤ x4,4,00 ≤y zz≤4, 2022 xzJx 2 x 34. yyy 2 2 z = 0 y xx 21 2 z = 0zx= 0 y 00 ≤≤ yy ≤≤ 22 0 ≤ y ≤ 2 Q H x, x, y, y, z : x22 y22 2 9, 9, 00y 2 zz 9, 044J z 4 35. Q 35. 2 x xx 44 z = 04 Q 5 35. sx, Q y, zzd:: xx2x,1y,yyz2 : ≤x 9, 0 ≤ z ≤ 4 35. x 2 22 x,Qy, y, zz :: 00x, y,xxz : 01, 1, yy x 11 1, yxx222,, 001 zzx 2, 06J6 z 6 36. Q Q 36. x, 36. y 2 y 2 H y x = 4 − y Q 5 s x, y, z d : 0 ≤ x ≤ 1, y ≤ 12x ,0 ≤ z ≤ 6 2 36. x=4−y

Exercises 14.6 14.6 Exercises

EEE EEE EEE EE E

EEE EE E EE E E EE

EE E EE E EE E

EE E EE E EEE

EE E

x=4−y

22 y zz == 00 y z = 0 y

33

2

11

22

1 2 xx

3

x

14-6.qxd 3/12/09 10/27/08 18:32 Page 1036 1053714_1406.qxp 1:34 PM 1053714_1406.qxp 10/27/08 1:34 PM

1036 1036 1036

Page Page 1036 1036

CAPÍTULO 14 Integración múltiple Chapter Chapter 14 14 Multiple Multiple Integration Integration

En los ejercicios 37 y 38, la figura muestra la región de inte- CAS CentroideMEn los ejercicios 49 a 54, hallar el centroide de la Centroid In Exercises find centroid of solid In 37 figure the integraCAS región Centroid Inacotada Exercises 49–54, find the thelas centroid of the the solid In Exercises Exercises 37 and and 38, 38, the theReescribir figure shows shows the region region ofuna integragración de la integral dada. la integral comoof inte- CAS sólida por49–54, las gráficas de ecuaciones o descriregion bounded by the graphs of the equations or described by tion for the given integral. Rewrite the integral as an equivalent region bounded by the graphs of the equations or described by tion for the given integral. Rewrite the integral as an equivalent gral iterada equivalente con los otros cinco órdenes. ta en la figura. Utilizar un sistema algebraico por computadora the figure. Use a computer algebra system to evaluate the triple iterated in the five other orders. the figure. Use a computer algebra system to evaluate the triple iterated integral integral in the five other orders. y evaluar las integrales triples. (Suponer densidad uniforme y 1 12y2 12y 3 x 92x2 integrals. (Assume uniform integrals. (Assume uniform density density and and find find the the center center of of mass.) mass.) 2 11 12y 33 xx 92x 12y22 12y 12ydz dx dy 92x2dz hallar el centro de masa.) 37. 38. dy dx 37. 38. dz dz 0 37. 0 0 38. 0 0 0 dz dx dx dy dy dz dy dy dx dx hh 22 00 00 z 00 00 00 00 z !xx 1 !99 2 49. 50. 49. zz 5 50. yy 5 5! 5 ! 1 yy22,, zz 5 5 hh 2 xx22,, zz 5 5 y, y, zz 5 5 00 rr zz z z 2 x≥0 z=9−x 9 zz == 99 −− xx22 !16 yxx≥≥≥000 51. 51. zz 5 5! 16 2 2 xx22 2 2 yy22,, zz 5 5 00 99 z=1−y

EEEE EE

zyy≥≥≥000 zz ≥≥ 00

x

1

11

EEEEEE

zz == 11 −− yy

1 11

1 11

x = 1 − y2 xx == 11 −− yy22

x≥0 yxx≥≥≥000 zyy≥≥≥000 zz ≥≥ 00 y yy

52. 52. zz 5 5

6 66 y = x

yy == xx

53. 53.

11 ,, zz 5 5 0, 0, xx 5 5 22, 22, xx 5 5 2, 2, yy 5 5 0, 0, yy 5 5 11 yy22 1 1 11 z zz z zz 54. 54.

3 33

cm 2020 cm 20 cm

3 x 33 xx

(0,(0, 0,0, 4)4) (0, 0, 4)

cm 1212 cm 12 cm 5 5cm 5 cm cm y yy

3 y33 yy

x

(0,(0, 3,3, 0)0) (0, 3, 0)

x

y yy

(5,(5, 0,0, 0)0) (5, 0, 0) Masa centro de masaMEn a 42, la masa Mass Center of In Exercises 39– 42, find mass Massyand and Center of Mass Mass los Inejercicios Exercises39 39– 42,hallar find the the mass yand las coordenadas indicadas del centro de masa del sólido de denand the the indicated indicated coordinates coordinates of of the the center center of of mass mass of of the the solid solid CAS Moments In 55–58, CAS Momentos Moments of of Inertia In Exercises Exercises 55–58, and CAS xx,, IIyy,, and deInertia inerciaMEn los ejercicios 55 find afind 58,IIhallar efor Ix , IIIzyz, for Iz sidad dada acotado por lasby gráficas de lasof of density bounded the the of given given density bounded by the graphs graphs ofecuaciones. the equations. equations. the of density. Use computer system the solid solid of given given density. dada. Use aaUtilizar computer algebra algebraico system to to para el sólido de densidad un algebra sistema 39. utilizando y, zk. evaluate the evaluate the triple tripleyintegrals. integrals. por computadora evaluar las integrales triples. 39. Find rrssx, dd 5 39.Hallar Find xxxusing using x, y, y,rszzx, 5 k.d 5 k. Q: 2x 1 3y 1 6z 5 12, x 5 0, y 5 0, z 5 0 Q: (a) (a) 5 5 Q: 2x 2x 1 1 3y 3y 1 1 6z 6z 5 5 12, 12, xx 5 5 0, 0, yy 5 5 0, 0, zz 5 5 00 55. 56. 55. a) (a)rrr5 56. a) (a)rrrssx, 5kkk sx, x,y,y, y,zzdzdd5 5kkk 40. Hallar utilizando y r s x, y, z d 5 ky. 40. Find using y r s x, y, z d 5 ky. (b) (b) r 5 kxyz r s x, y, z d 5 40. Find y using rsx, y, zd 5 ky. b) b) (b)r r55kxyz (b)rsrx,sx,y,y,zdzd55kkskxssx2x2211 kxyz 1yyy2d22dd Q: 3x 1 3y 1 5z 5 15, x 5 0, y 5 0, z 5 0 z z z z Q: Q: 3x 3x 1 1 3y 3y 1 1 5z 5z 5 5 15, 15, xx 5 5 0, 0, yy 5 5 0, 0, zz 5 5 00 41. Hallar utilizando z r s x, y, z d 5 kx. a a 41. Find using z r s x, y, z d 5 kx. 41. Find z using rsx, y, zd 5 kx. aaa 222

Q: Q: Q:zzz55 544422 2x,x, x,zzz55 50,0, 0,yyy55 50,0, 0,yyy55 54,4, 4,xxx55 5000 42. Hallar utilizando y r s x, y, z d 5 k. 42. 42. Find Find yy using using rrssx, x, y, y, zzdd 5 5 k. k. xxx yyy zzz Q: s a, b, c 1 1 5 1 Q: Q:a 1 1 1 1 5 5 11 ssa, a, b, b, cc>>>00d0,dd,x, xx55 50,0, 0,yyy55 50,0, 0,zzz55 5000 aa bbb ccc

Mass Center of In set Masa centro de masaMEn ejercicios yand 44,44, formular las Massyand and Center of Mass Mass los In Exercises Exercises 43 43 and 44, set up up the the triple finding mass the of mass of integrales triples for para hallarthe la masa el centro de masa sólitriple integrals integrals for finding the massyand and the center center of del mass of the solid by do acotado por las gráficas de las of ecuaciones. the solid bounded bounded by the the graphs graphs of the the equations. equations. 43. 43. 43.xxx55 50,0, 0,xxx55 5b,b, b,yyy55 50,0, 0,yyy55 5b,b, b,zzz55 50,0, 0,zzz55 5bbb ssx, kxy rrsrx, x,y,y, y,zzdzdd55 5kxy kxy

aa

aa

xx

yy

57. (a) 5 57. a) (a)rrrssx, sx, x,y,y, y,zzdzdd5 5kkk b) (b) ky (b)rrr55 5ky ky

44. 44. 44.xxx55 50,0, 0,xxx55 5a,a, a,yyy55 50,0, 0,yyy55 5b,b, b,zzz55 50,0, 0,zzz55 5ccc ssx, rrsrx, x,y,y, y,zzdzdd55 5kzkz kz

58. (a) 5 kz 58. a) (a)rrr5 5kz kz b) (b) (b)rrr55 5kksk4ss4422 2zzdzdd zzz

zz==44−−−xx

444

2 3 22 44 33 4 xx x

11 22 1 2

yy y

yy

x

zzz

Think About center of aa solid of Think About ItIt laThe The center of mass massel of of solid of constant constant Para pensarMEn figura se muestra centro de masa de un density is shown in the figure. In Exercises 45–48, make a density is shown in the figure. In Exercises 45–48, make sólido de densidad constante. En los ejercicios 45 a 48, hacer unaa conjecture about how the center of mass change for x x, y, zzcc will conjecture about how the center of mass will change for x x, y, conjetura acerca de cómo cambiará el centro de masa xx, y, z c the nonconstant density rrxxx, y, zzcc.. Explain. thela nonconstant con densidad nodensity constantex,ry, xx, y,Explain. zc. Explicar. zz 45. r s x, y, zzdd 5 kx 45. r s x, y, 5 kx z 45. rsx, y, zd 5 kx CAS CAS CAS 46. ssx, 46.rrsrx, x,y,y, y,zzdzdd55 5kzkz kz ))2,2,2,0,0,0,88585))) 444 46. ( 5 3 3 47. ssx, 47.rrsrx, x,y,y, y,zzdzdd55 5kksksysyy11 122d2dd 3 47. 22 22 22 48. r s x, y, z d 5 kxz s y 1 2 d 2 48.rsrx,sx,y,y,zdzd55kxz kxz2s ys y112d22d 48.

aaa 222

aaa 222

444 x

44

44

yy

zz==44−−−yy222

22 yy

44 x

Momentos inerciaMEn los ejercicios 59 verify y 60, the verificar los Moments Inertia In 59 moments Moments of ofde Inertia In Exercises Exercises 59 and and 60, 60, verify the moments momentos del of sólido de densidad Utilizar of for the uniform density. Use of inertia inertia de forinercia the solid solid of uniform density.uniforme. Use aa computer computer un sistema algebraico por computadora y evaluar las integrales algebra system to the algebra system to evaluate evaluate the triple triple integrals. integrals. triples. 1 zz 1 59. 59. IIxx 5 5 12 mss3a 3a222 1 1 LL222dd z 112m 59. Ix 5 12 m s 3a 1 L d 1 aa IIyy 5 5 212ma ma22 aLL Iy 5 1211ma 2 22 L IIzz 5 5 12 mss3a 3a 1 1 LL22dd aa 112m aa Iz 5 12 ms3a 2 1 L2d LL a a xx

x

L 22 y 2

yy

1053714_1406.qxp 10/27/08 PM 14-6.qxd 10/27/08 3/12/09 18:32PM1:34 Page 1037Page 1037 1053714_1406.qxp 1:34 Page 1053714_1406.qxp 10/27/08 1:34 PM 1037 Page 1037 1053714_1406.qxp 10/27/08 1:34 PM Page 1037

SECCIÓN 14.6 Integrales triples y aplicaciones 14.6 Triple Integrals and Applications 14.6 Triple Integrals and Applications 1037 14.6 Triple Integrals and Applications 14.6 Triple Integrals and Applications 1 2 b2d 60. Ix 5 12m 1 sa 1 60. Ix 2 12 m a 2 b2 1 2 1 1b 2 2 60. Ix 60. IyIax5 12 m sba 21 c 2d2 12 m 11m 12 m b 2 bbc22 12m 1 IIxy 2 1 12 60. a 2 1 2 Iy 12mIzIb5 12m sa b 21 c 2d2 11cm Iyz 2 12 m ab 22 ccc 22 12 1 I m 2 1c Iz 12m Iay 12 2 c 22 1m a 2 Izz 12 c 12 m a

z z

c c b 2

x

xc x 2 x x

Para C A P S Tdiscusión ONE C A P S TCOANPES T O N E Think About It Of the integrals (a)–(c), which one is C68. AAbout PPara S T Opensar 68. De1 integrals las integrales a) which a c), ¿cuál es igual a 3 2the 68. Think ItN E Of (a)–(c), one is

z z z

a

c b a c 2b c b2

a a a

2b 2

c 2 ca c2 2 2c 2

b a b 2a a2 y 2a 2

y

1037

1037 1037 1037

y

68. Think About It Of one is 3 2 to 1 equal Explain.which f x,the y, z integrals dz dy dx?(a)–(c), Think About Of the integrals (a)–(c), which one is Explicar. equal68. to equal f133 x,022y,It11z1 fdz x,dyy,dx? z dzExplain. dy dx? Explain. 1 0 to 1 1 f x, y, z dz dy dx? Explain. equal to 3 21 10 1 0 3 2a) 1 f x,1 y, z dz dx dy 3 2 1 a) f13 x,02y, 1z1 fdzx,dxy,dy z dz dx dy 1 0a) 1 a) 1 1 0 2 13 f x, y, z dz dx dy 1 f x, y, z dx dy dz 1 b) 2 3 1 0 13 f 111x, 02y, b) 2 z3 fdxx,dy y, dz z dx dy dz 1 0b) 1 2 1 03 11 f x, y, z dx dy dz b) 1 0 1 f x, y, z dy dx dz 2 3c) 1 f022 x,133y, 11z1 fdyx,dx c) y, dz z dy dx dz 0 1c) 1 c) 0 1 1 f x, y, z dy dx dz

b b b

y y

0

1

1

Momentos de inerciaMEn los ejercicios 61 y 62, dar una integral Moments of Inertia el In Exercises 61 andcon 62,respecto set up aal triple Average Value In Exercises 69–72, find the average value of triple que represente momento de inercia ejeAverage z Valor promedioMEn los ejercicios 69 72, hallar el valor promeMoments of Inertia In Exercises 61 and 62, and setabout up triple Value In Exercises 69–72, find theafind average value ofavalue Moments ofsólida Inertia In Exercises 61 62, athe set a triple integral that gives the moment ofr.inertia -axis of the zup Average Value In Exercises 69–72, the average of the function over the given solid. The average value of continde la región Q de densidad dio de la función sobre el The sólido dado. find El valor de una Moments of Inertia In Exercises 61 the andz-axis 62, set up a triple Average Value In Exercises 69–72, the average value of integral integral that theQ moment of inertia of zthe the function over the over given solid. value ofisvalue apromedio continthat gives the moment ofabout inertia about the -axis of the solidgives region of density . the function the given solid. The average a continuous function over aaverage solid region f x,f(x, y, zy, Qsólida función continua z) sobre una región Q of es integral that gives the≤moment of inertia about the of the z-axis H J the function over the given solid. The average value of a continsolid region of density Q . Q 5 s x, y, z d : 21 x ≤ 1, 21 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 2 x 61. uous function over a solid region is f x, y, z Q solid region Q of density . uous function f x, y, z over a solid region Q is solid region Q of density . 1, 1 y 1, 0 z 1 x 1 function f x, y, z over a solid region Q is 61.r Q !x 2x,1y,yz2 :1 z12 x 1uous 5 fxx,x,y,y,zzc dV dV 1 61. Q 61.x, y, z : 1 x 1, 1 y 1, 0 z 1 x 1 V Q x, 1, 1 y 1, 0 z 1 x 2y, z : 2 1 2 x f1x, y, z ffdV xy,y,z2dz: yx: 2 11 zy 2 x≤ 1, 1, 2 02 y 2zJ V x, y, z dV 61.xQ2Q5 Hys2x,x, 1 y 1, 1 x 62. 0 ≤ z ≤ 4 2 x V Q V Q f x, y, z dV Q x2 z y 2 2 z2 2 2 V 62.r Q y2 Q where is el thevolumen volume de of la theregión solid region Ves Q. 5 kx: 2x 2xx,2 y, yzy2:2x 1,z 20y z 1, 04 zx 2 4 y 2 x donde V sólida Q. Q 62. Q 62.x, y, z 2 where Vwhere is the volume of the solid region Q.region Q kxx, y 22 1, 0 z 4 x 22 y 22 2 y, z : x 2 is the volume of the solid V Q. 62. x, y, z : x y 1, 0 z 4 x y 2 2z1 2 Q where of the solid Q. 69. f(x, cube in firstoctante octant bounded by f x,Vy,2y,isz)zthe 4 over 5 zvolume 4 sobre elthe cubo enregion el the primer acotado por 69. kxlos kx 22 En ejercicios 63 y 64, utilizando la descripción de región só69. f x, y, cube inthe the first octant bounded by z fthe zcoordinate 4 over 2 the 69. over the cube in the first octant x, y, z z 4 kx planes and planes and x 1, y 5 11,ybounded z1. by 1 los planos coordenados, y los planos x 5 1, y z 5 2 In Exercises 63 and 64, using the description of the solid region, lida, dar la integral para a) la masa, b) el centro de masa y c) el the coordinate 69. f x, y,planes the xcube1,inythe first octant bounded z zand the 4 over planes 1 z 1by In Exercises 63 the andintegral 64, the(a) description of the solid region, andcube the planes x 1,octant 1,and y zbounded 1, and In 63 using andcon 64, using of the solid region, 70. fthe over the in the first the fsx, x,coordinate y, zzd 5 xyz xyzplanes setExercises up for thethe mass, of mass, and y, 70. sobre el cubo en el primer octante acotado momento de inercia respecto aldescription eje(b)z. the center the coordinate planes and the planes and zby por x 1, y 1, 1 In Exercises 63 and 64, using the description of the solid region, 70. f x, y, the cube inthe the first bounded by the xyz set up the for (a)ofthe (b)mass, the center mass, of and 70.z los over the cube in octant the first octant bounded by the fcoordinate x,planos y, zovercoordenados xyz set up integral formass, (a) about the (b) theofcenter mass, and planes and planes and x 4, y 4, z 4 (c)integral thethe moment inertia the -axis. z y los planos x 5 4, y 5 4 y z 5 4. 70. f x, the xcube4,inythe 4, first octant bounded y, z andxyz set upsólido the integral for the (b)y2the of la mass, and coordinate planes theover planes 4and z 4by the (c) the moment of inertia the z-axis. z about 5 4 mass, 2the x2 2 5 0 con acotado por(a) y z center función 63. planes x 4,and y z 4, (c) El the moment ofabout inertia z-axis. 71. fcoordinate over the tetrahedron in the first fsx, x, y, y, zzd 5planes x 1 yy and zthe 2 and z coordinate planes and the planes and x 4, y 4, z octante 4octant (c) the moment thex2z-axis. x 1 z 71. sobre el tetraedro en el primer 63.de The solid bounded with density 4 y 0 densidad r of 5 inertia kz by zabout 71. f x, y, the tetrahedron in0the first octant z fwith xy,vertices y xz over 2 2 and z 71. over the tetrahedron in the first octant x, z y z and 0, 0, 0 , 2, 0, 0 , 0, 2, 0, 0, 2 63. The 63. solidThe bounded by with density z 4 x y 0 2 2 cuyos vértices y sthe 0d2, , s2, 0d, s0,0,2,20d in 0, 0,first 2d octant solidenbounded and density with 71. z 4 x 2 ypor 0 with function kz byoctante the0, tetrahedron f x, y,0, z 0, 0 x, son y0,s0, z0,over vertices and 2, 0, 0, 64. sólido el primer loszzplanos coordena63.ElThe solid by z 4 acotado density x y2 and 0 with with vertices 0, 00over ,, 2, 0, 00 ,solid 0, 2,0, 0 and 0, by 0, 2 the sphere function kz2 bounded 72. f(x, the bounded f x,y,y, z 5 xx1 y0,sobre function kz z2first 2 the with vertices and 0, 0 , 2, 0, 0 , 0, 2, 0 0, 0, 2 72. z) y el sólido acotado por la esfera x2 1 y2 64.dos The solid in octant bounded by the coordinate planes y con función de densidad x 1 y 1 5 25 r 5 kxy 72. f x, y, the solidthebounded by the by sphere z fx2x,x2y,yz2y over function kz bounded by the coordinate planes 2 72. over solid bounded the sphere x y z 3 64. The 64. solidThe in the first octant 2 2 2 5z3. octant by the coordinate and withbounded density function yin thez first 25 xsolid kxy planes 2 y2 1 f 2 x, y over the solid bounded by the sphere zz2 y, 23 2x 2 2 solid 2 in25 The the firstdensity octantfunction bounded by the coordinate planes x 72. y z 3 x and x64. with y z kxy 2 2 2 2 2 2 and x 2 y 2 z 2 25 with density function kxy yla región z sólida 3 x CAS CAS 73. and x y z 25 with density function kxy dondethe la integral triple QQwhere 73. Hallar Find the solid region triple integral W R I T I N G A Bde O U conceptos T CONCEPTS CAS 73. Find the solid region Q where the triple integral Desarrollo CAS 73. Find the solid region Q where the triple integral W R I T I NWGR IATBI O U T C O N C E P T S N G aAtriple B O Uintegral T C O Nand C E P T S a method of evaluating CAS 73. Find the solid22region Q where the triple integral 65.R IDefine W TING A Bintegral O and U T describe Ctriple O N CyEadescribe Pmethod T S of s112 2x 2x 2 2yy222 3z 3z22d dV dV 65. Definir una describir unevaluating método para eva65. Define a triple integral 2 2 65. Define triple integral and describe a method of evaluating 1 2x 1 y 2x2 3z y2dV 3z2 dV a tripleaintegral. QQ 65.luar Define a triple integral una integral triple. and describe a method of evaluating a triple integral. 1 2x2 y2 3z2 dV triple integral. Q y66. aaDetermine whether the moment of inertia about the axis esisQun máximo. Utilizar un sistemaalgebra algebraico por to computadora y triple integral. a maximum. Use a computer system approximate 66. Determinar sithe el moment momentoofdeinertia inerciaabout con respecto al eje y del y66. Determine theabout Q 66. Determine whether the moment of increase inertia the y-axis is a maximum. Use a computer algebra system to approximate ofwhether the cylinder in Exercise 59 will oraxis decrease for aproximar el valor máximo. ¿Cuál es el valor máximo exacto? is maximum.value. Use a What computer system to value? approximate thea maximum is thealgebra exact maximum Determine whether5959 the moment ofoor inertia about thelay-denaxis cilindro delExercise ejercicio aumentará disminuirá con of the66. cylinder in will increase decrease for is a maximum. Use computer algebra system to approximate of cylinder indensity Exercise the maximum value. What is athe exact maximum value? x,59y,will z increase x 2 orz 2decrease 4. CAS thethe nonconstant and a for the maximum value. What is the exact maximum value? 2 x2 1 2 z 2 y or 74. Hallar la región sólida Q donde la integral triple of the inx, 59x! will increase decrease for sidad nocylinder constante rExercise sy, x, zy, zd 5 5 a 4. the nonconstant density and z 74. the Findmaximum the solid value. region Q where theexact triple integral is the z solid B, x 22of equal a CAS4.as74. CAS nonconstant density z 22 andweight Find the solid region Q where What the triple integral maximum value? A y, 67. the Consider two solids, solid x, and x, y, zofB equal x weight aque 4. the nonconstant density z and CAS 74. Find the solid region Q where the triple integral 67. Considerar elsolid sólido A y el sólido de pesos iguales se A B, 67. Consider two solids, and solid as the triple integral 67. Consider two solids, solid A and solid B, of equal weight as CAS 74. Find sthe shown below. 112solid xx222region yy222 Q zz22dwhere dV dV 67.below. Considerentwo solids, solid A and solid B, of equal weight as muestran la figura. shown 2 2 2 shown below. 1 x y z dV 2 2 2 (a) Because the solids have the same weight, which has the 1 x 2 y 2 z 2 dV QQ below. a)shown Como los sólidos el mismowhich peso,has ¿cuál la (a) Because the solids have thetienen samethe weight, the tiene 1 x y z dV (a) Because the solids have same weight, which has the Q greater density? es un máximo. Utilizar un sistemaalgebra algebraico por to computadora y Q is a maximum. Use a computer system approximate (a)densidad Becausemayor? the solids have the same weight, which has the greater density? Q is a maximum. Useela valor computer algebra system approximate aproximar máximo. ¿Cuál es el to valor máximo exacto? (b) greater Which density? solid has the greater moment of inertia? Explain. is a maximum. Use a computer algebra system to approximate the maximum value. What is the exact maximum value? greater density? b) ¿Cuál sólido tiene moment el momento de Explain. inercia mayor? (b) Which solid has the greater of inertia? is a maximum. Use computer algebra system approximate the maximum value. What is athe exact maximum value? tovalue? (b) Which solid hasrolled the greater of inertia? Explain. the maximum What is the exact maximum 75. la integral triple. (c)Explicar. The solids are down moment an inclined plane. They are 75. Encontrar Solve for aa en in value. the triple integral. (b) Which solid has the greater moment of inertia? Explain. the maximum value. What is the exact maximum value? (c) The solids are rolled down an inclined plane. They are 75. Solve for in the triple integral. a (c) The solids aresame rolledtime down They are 2 2 in 22 started at the andanatinclined the sameplane. height. Which 11 32a2y 75. Solve integral.14 3 for a a y 42x2y 4the x triple y The solidsse are rolled an inclined They are c)(c)Los sólidos hacen hacia abajo en plane. un plano inclistarted atstarted the same time androdar atdown theand same height. 2 in the triple integral.14 1 375.a Solve y2 4 for x ya at the time at the sameWhich height. Which will reach thesame bottom first? Explain. dx 2 2 dz 1 3 a y 4 x y dz dx dy5 15 14dy started at the first? same time and at they same height. altura. Which nado. al mismo tiempo a la misma will reach theEmpiezan bottom Explain. 14 15 y2 001 003 a y2dz aa4 dxx dy will reach the bottom first? Explain. dz dx dy 14 will llegará reach the bottom first? Explicar. Explain. ¿Cuál abajo primero? 0 0 a dz 15 dx dy 15 0 0 a 76. el deof b de manera volumen 15que 76. Determinar Determine the value that theelvolume of del the elipsoide ellipsoid b such 0 0 a valor 76. Determine such the volume of the ellipsoid 2 the value 2 the 2 of b 2 ofthat 76. Determine value such that the volume of the ellipsoid b es 16 x y b z 9 1 . that the volume of the ellipsoid x2 76. 16 b .1such y2 xDetermine b2 2 y2z2b29the value 1z2 es9of es 16 . 2 Axis of x y2 b2 z2 9 1 es 16 . Axis of

EEE

EEE EEE

EE E

revolution Axis of revolutionrevolution Axis Eje deof Axis of revolution revolución Axis of Axis revolution of revolutionrevolution Axis of Eje de revolution revolución Solid A Solid B Solid A Solid A Solid B Solid B Solid SolidBB Sólido A A Sólido

PUTNAM EXAM CHALLENGE P U T N APMU TENX AA M M ECXHAAM L L EC N GA EL L E N G E Hexamen Preparación del 77. Evaluate P U T N A M E X A M C H A L L E N G E Putnam 77. Evaluate 1

lím

n→

0

77. Evaluate 1 1 77. Evaluate 77. . . . 1 1 límEvaluar

1 2 x1 x2 . . . xn dx1 dx2 . . . dxn. 1 2 1 cos . . . . . . 011 cos n→ 01. . . 01x 2 x2n . . . . 1 dx 1 2 x cos x xn. . dx dxn. . . . dx . x 2 dx dx 2n 0lím 0 n→ lím 0 0 . . . 0 cos2 2n x11 x22 . . . xnn dx11 dx22 . . . dxnn. n→ 2n 0 0 was composed 0 This problem by the Committee on the Putnam Prize Competition.

This problem composed by the Committee on the Putnam Prize reserved. Competition. © was The Mathematical Association America. All This problem was composed by theofCommittee on rights the Putnam Prize Competition. Este problema fue preparado por elAll Committee on the Prize © The Mathematical Association of America. rights reserved. This was composed by the onrights thePutnam Putnam PrizeCompetition. Competition. © Theproblem Mathematical Association of Committee America. All reserved. ©©The Mathematical Association of America. Todos los derechos The Mathematical Association of America. All rights reserved.reservados.

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CAPÍTULO 14


14.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas n n

Expresar y evaluar una integral triple en coordenadas cilíndricas. Expresar y evaluar una integral triple en coordenadas esféricas.

Integrales triples en coordenadas cilíndricas


Muchas regiones sólidas comunes como esferas, elipsoides, conos y paraboloides pueden dar lugar a integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares. De hecho, fue precisamente esta dificultad la que llevó a la introducción de sistemas de coordenadas no rectangulares. En esta sección se aprenderá a usar coordenadas cilíndricas y esféricas para evaluar integrales triples. Recuérdese que en la sección 11.7 se vio que las ecuaciones rectangulares de conversión a coordenadas cilíndricas son x 5 r cos u y 5 r sen sin u z 5 z.

PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749-1827) Uno de los primeros en utilizar un sistema de coordenadas cilíndricas fue el matemático francés Pierre Simon de Laplace. Laplace ha sido llamado el “Newton de Francia”, y publicó muchos trabajos importantes en mecánica, ecuaciones diferenciales y probabilidad.

AYUDA DE ESTUDIO Una manera fácil de recordar estas ecuaciones es observar que las ecuaciones para obtener x y y son iguales que en el caso de coordenadas polares y que z no cambia.

En este sistema de coordenadas, la región sólida más simple es un bloque cilíndrico determinado por r1 ≤ r ≤ r2,

u1 ≤ u ≤ u2, z1 ≤ z ≤ z2

como se muestra en la figura 14.63. Para expresar una integral triple por medio de coordenadas cilíndricas, supóngase que Q es una región sólida cuya proyección R sobre el plano xy puede describirse en coordenadas polares. Es decir,

z

Q 5 Hsx, y, zd: sx, yd está en R, h1sx, yd ≤ z ≤ h2sx, ydJ ∆zi

y R 5 Hsr, ud: u1 ≤ u ≤ u2,

g1sud ≤ r ≤ g2sudJ.

Si ƒ es una función continua sobre el sólido Q, se puede expresar la integral triple de ƒ sobre Q como θ=π 2

∆ri θ =0

ri ∆θ

Volumen del bloque cilíndrico: DVi 5 ri D ri D ui Dzi Figura 14.63

EEE

f sx, y, zd dV 5

E E 3E

h2sx, yd

R

Q

h1sx, yd

4

f sx, y, zd dz dA

donde la integral doble sobre R se evalúa en coordenadas polares. Es decir, R es una región plana que es r-simple o u-simple. Si R es r-simple, la forma iterada de la integral triple en forma cilíndrica es

EEE Q

f sx, y, zd dV 5

EE E u2

u1

g2sud

g1sud

h2sr cos u, r sen sin ud

h1sr cos u, r sin sen ud

f sr cos u, r sen sin u, zdr dz dr du.

NOTA Éste es sólo uno de los seis posibles órdenes de integración. Los otros cinco son dz du dr, dr dz du, dr du dz, du dz dr, y du dr dz. n

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SECCIÓN 14.7

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Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

Para visualizar un orden de integración determinado ayuda contemplar la integral iterada en términos de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales agrega una dimensión al sólido. Por ejemplo, en el orden dr du dz, la primera integración ocurre en la dirección r, aquí un punto barre (recorre) un rayo. Después, a medida que u aumenta, la recta barre (recorre) un sector. Por último a medida que z aumenta, el sector barre (recorre) una cuña sólida como se muestra en la figura 14.64.

z

θ =π 2 θ =0

Integrar con respecto a r z

EXPLORACIÓN

Volumen de un sector paraboloide En las páginas 997, 1006 y 1028, se pidió resumir las formas, conocidas para hallar el volumen del sólido acotado por el paraboloide

θ =π 2 θ =0

Integrar con respecto a u

z 5 a 2 2 x 2 2 y 2,

z

z a2

a > 0 −a

y el plano xy. Ahora ya se conoce un método más. Utilícese para hallar el volumen del sólido. Comparar los diferentes métodos. ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de cada uno?

θ =π 2

a

a

y

x

θ =0

Integrar con respecto a z Figura 14.64

Hallar el volumen empleando coordenadas cilíndricas

EJEMPLO 1

Hallar el volumen de la región sólida Q que corta en la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 4 el cilindro r 5 2 sin sen u, como se muestra en la figura 14.65. Esfera: x2 + y2 + z2 = 4

Solución Como x 2 1 y 2 1 z 2 5 r 2 1 z 2 5 4, los límites o cotas de z son

z

2 !4 2 r 2 ≤ z ≤ !4 2 r 2.

2

Sea R la proyección circular del sólido sobre el plano ru. Entonces los límites o cotas de R son 0 ≤ r ≤ 2 sen sin u y 0 ≤ u ≤ p. Por tanto, el volumen de Q es R 3 x

2 sen

3 y

r dz dr d 0

4 r2

0 2

Cilindro: r = 2 sen θ

Figura 14.65

4 r2

V 2 sen

4 r2

2

r dz dr d 0

4 r2

0 2 2 sen

2

r 2 dr d

2r 4 0

0 2

2 4 3

2 0

4 3 32 3

2 sen

r2

3 2

d 0

2

8

8 cos3

d

cos

1

0 2

1

sen 2

0

32 3 16 3 9 9.644.

sen 4

sen 3 3

2 0

d

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CAPÍTULO 14


Hallar la masa empleando coordenadas cilíndricas

EJEMPLO 2

Hallar la masa de la porción del elipsoide Q dado por 4x 2 1 4y 2 1 z 2 5 16, situada sobre el plano xy. La densidad en un punto del sólido es proporcional a la distancia entre el punto y el plano xy.

16 − 4r2

0≤z≤ z

4

Solución La función de densidad es rsr, u, zd 5 kz. Los límites o cotas de z son 0 ≤ z ≤ !16 2 4x 2 2 4y 2 5 !16 2 4r 2 donde 0 ≤ r ≤ 2 y 0 ≤ u ≤ 2p, como se muestra en la figura 14.66. La masa del sólido es m5

E EE EE EE E3 E 2p

0 2p

0

x

5

2 2

5

y

Elipsoide: 4x2 + 4y2 + z2 = 16

5

Figura 14.66

k 2

!1624r2

2

0 0 2p 2

k 2

kzr dz dr du

0 2

4

!1624r2

z2r

0

s16r 2 4r 3d dr du

0 0 2p

k 2

4

8r 2 2 r 4

0

2p

5 8k

dr du

2 0

du

du 5 16pk.

0

La integración en coordenadas cilíndricas es útil cuando en el integrando aparecen factores con la expresión x 2 1 y 2 como se ilustra en el ejemplo 3. z

Hallar el momento de inercia

EJEMPLO 3

5

Hallar el momento de inercia con respecto al eje de simetría del sólido Q limitado o acotado por el paraboloide z 5 x 2 1 y 2 y el plano z 5 4, como se muestra en la figura 14.67. La densidad en cada punto es proporcional a la distancia entre el punto y el eje z. Solución Como el eje z es el eje de simetría, y rsx, y, zd 5 k!x 2 1 y 2, sigue que Iz 5

EEE

ksx 2 1 y 2d!x 2 1 y 2 dV.

Q

−2 1 2 x

Figura 14.67

1

2

y

Limitado o acotado por Q: z = x2 + y2 z=4

En coordenadas cilíndricas, 0 ≤ r ≤ !x 2 1 y 2 5 !z. Por tanto, se tiene

EE E EE 4 EE E 4

Iz 5 k 5k 5k

5

k 5

!z

0 0 0 4 2p 5 r 0 0 4 2p 0

5

2p

0

r 2srdr dr du dz

5

!z

0

du dz

z5y2 du dz 5

4

z5y2 s2pd dz

0

2pk 2 7y2 z 5 7

3

4

4 0

5

512kp . 35

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SECCIÓN 14.7

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Integrales triples en coordenadas esféricas z

Las integrales triples que involucran esferas o conos son a menudo más fáciles de calcular mediante la conversión a coordenadas esféricas. Recordar que en la sección 11.7 se vieron las ecuaciones rectangulares para conversión a coordenadas esféricas

ρi sen φi ∆θi

∆ ρi

x 5 r sin sen f cos u sen u y 5 r sen sin f sin z 5 r cos f.

ρi ∆ φi

y

En este sistema de coordenadas, la región más simple es un bloque esférico determinado por

Hsr, u, fd: r1 ≤ r ≤ r2, u1 ≤ u ≤ u2, f1 ≤ f ≤ f2J

x

Bloque esférico: 2 Vi i sen Figura 14.68

i

i

i

i

donde r1 ≥ 0, u2 2 u1 ≤ 2p, y 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ p, como se muestra en la figura 14.68. Si sr, u, fd es un punto en el interior de uno de estos bloques, entonces el volumen del bloque puede ser aproximado por DV < r2 sen sin f Dr Df Du (ver ejercicio 18 en los ejercicios de solución de problemas de este capítulo). Utilizando el proceso habitual que comprende una partición interior, una suma y un límite, se desarrolla la versión siguiente de una integral triple en coordenadas esféricas para una función continua ƒ en la región sólida Q.

EEE

f sx, y, zd dV 5

EEE u2

u1

Q

f2

f1

r2

r1

f s r sin sin f sen sin u, r cos fdr2 sen sin f dr df du. sen f cos u, r sen

Esta fórmula puede modificarse para emplear diferentes órdenes de integración y se puede generalizar a regiones con límites o cotas variables. Como las integrales triples en coordenadas cilíndricas, las integrales triples en coordenadas esféricas se evalúan empleando integrales iteradas. Como sucede con las coordenadas cilíndricas, se puede visualizar un orden determinado de integración contemplando la integral iterada en términos de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales agrega una dimensión al sólido. Por ejemplo, la integral iterada

EE E py4

2p

0

0

3

sen f dr df du r 2 sin

0

(que se usó en el ejemplo 4) se ilustra en la figura 14.69. Cono: x2 + y2 = z2

Esfera: x2 + y2 + z2 = 9 ρ =3

z

z

z

θ φ

ρ 1

−2

−2

−2 2

1

2

y

x

r varía desde 0 hasta 3 mientras f y u se mantienen constantes Figura 14.69

2

1

2

y

x

f varía desde 0 hasta p y4 mientras u se mantiene constante

2

1

2

y

x

u varía desde 0 hasta 2p

NOTA Cuando la letra griega r se emplea en coordenadas esféricas no está relacionada con la densidad. Es la análoga tridimensional de la r que se utiliza en coordenadas polares. En este texto, en los problemas en los que se empleen coordenadas esféricas y una función de densidad, se usará un símbolo diferente para denotar la densidad. n

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CAPÍTULO 14


Hallar un volumen en coordenadas esféricas

EJEMPLO 4 Hoja superior del cono: z2 = x2 + y2

Hallar el volumen de la región sólida Q limitada o acotada inferiormente por la hoja superior del cono z 2 5 x 2 1 y 2 y superiormente por la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 9, como se muestra en la figura 14.70.

z 3

Solución En coordenadas esféricas, la ecuación de la esfera es

r2 5 x2 1 y 2 1 z 2 5 9

r 5 3.

La esfera y el cono se cortan cuando

−3

−2 1 3

2

1

2

3

x

sx 2 1 y 2d 1 z 2 5 sz 2d 1 z 2 5 9

z5

3 !2

y, como z 5 r cos f, se tiene que

Esfera: x2 + y2 + z2 = 9

Figura 14.70

y

p f5 . 4

1!3221132 5 cos f

Por consiguiente, se puede utilizar el orden de integración dr df du, donde 0 ≤ r

≤ 3, 0 ≤ f ≤ py4, y 0 ≤ u ≤ 2p. El volumen es

V5

EEE E E E EE E 4 E1 2 py4

2p

dV 5

0

0

3

r2 sen sin f dr df du

0

Q

5

py4

2p

59 59

9 sen sin f df du

0

0

2p

0 2p

2cos f 12

0

py4 0

!2

2

du

du 5 9p s2 2 !2 d < 16.563.

Hallar el centro de masa de una región sólida

EJEMPLO 5

Hallar el centro de masa de la región sólida Q de densidad uniforme, limitada o acotada inferiormente por la hoja superior del cono z 2 5 x 2 1 y 2 y superiormente por la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 9. Solución Como la densidad es uniforme, se puede considerar que la densidad en el punto sx, y, zd es k. Por la simetría, el centro de masa se encuentra en el eje z, y sólo se necesita calcular z 5 Mxyym, donde m 5 kV 5 9kp s2 2 !2 d por el ejemplo 4. Como z 5 r cos f, se sigue que Mxy 5

EEE

EE E EE EE

Q

0

0

3

2p

5k

0

5

k 4

py4

2p

3

kz dV 5 k

r3

0

3

0

sr cos fdr2 sen sin f df du dr

0

2p

0

sin sen22 f 2

py4

4

du dr

0

r3 du dr 5

kp 2

E

3

r3 dr 5

0

Por tanto, z5

Mxy 9s2 1 !2 d 81kpy8 5 5 < 1.920 m 16 9kp s2 2 !2 d

y el centro de masa es aproximadamente s0, 0, 1.92d.

81kp . 8

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SECCIÓN 14.7


1043

14.7 Ejercicios En los ejercicios 1 a 6, evaluar la integral iterada.

冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕兾2

5

1.

r cos dr d dz

1 0 0 兾2 2 cos 2

3.

0 0 兾2

4.

0 2

5.

4r 2

CAS

0

21. Sólido limitado o acotado por las gráficas de la esfera r2 z2 a2 y del cilindro r a cos

6r

rz dz dr d

22. Sólido interior a la esfera x 2 y 2 z 2 4 y sobre la hoja superior del cono z 2 x 2 y 2

0

r sin sendzdxdrdrdd

0

Masa En los ejercicios 23 y 24, utilizar coordenadas cilíndricas para hallar la masa del sólido Q.

2

3 e 2 d

0 0 兾4 cos

0

2.

6

0

0

d d

23. Q 再共x, y, z兲: 0 ≤ z ≤ 9 x 2y, x 2 y 2 ≤ 4冎

sin sen d d d 2

0 0 0 兾4 兾4 cos

6.

冕冕冕兾4

3

共x, y, z兲 k冪x 2 y 2 24. Q 再共x, y, z兲: 0 ≤ z ≤ 12e共x

2 sen sin cos d d d

共x, y, z兲 k

0

En los ejercicios 7 y 8, utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral iterada.


7.

兾2

z

0 0 兾2

8.

0

0

0

En los ejercicios 25 a 30, utilizar coordenadas cilíndricas para hallar la característica indicada del cono que se muestra en la figura.

re r d dr dz

sen sin

z

z = h 1 − rr 0

(

共2 cos 兲 2 d d d

冕冕冕冕冕冕冕冕冕兾2

0

2

11.

2

12.

0

0

10.

0

冪5

0

h

5r 2

r dz dr d

r0

0

4

兾6

0

r dz dr d

0

兾2

冕冕冕 2

er 2

3

0

x

2 sen sin d d d

25. Volumen Hallar el volumen del cono.

5

sen d d d 2 sin

26. Centroide Hallar el centroide del cono.

2

冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冪4x2

2

4

2

0

15.

冪a2 x2

a

冪a2 x2

0

冪x 2 y 2 dz dy dx

0

a

3

16.

冪16x2 y2

冪4x2

0

x dz dy dx

x2 y2

2 冪4x2

14.

冪9x2

0

y

0

CAS

27. Centro de masa Hallar el centro de masa del cono suponiendo que su densidad en cualquier punto es proporcional a la distancia entre el punto y el eje del cono. Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral triple.

CAS

28. Centro de masa Hallar el centro de masa del cono suponiendo que su densidad en cualquier punto es proporcional a la distancia entre el punto y la base. Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral triple.

En los ejercicios 13 a 16, convertir la integral de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y a coordenadas esféricas, y evaluar la integral iterada más sencilla. 13.

(

0

En los ejercicios 9 a 12, dibujar la región sólida cuyo volumen está dado por la integral iterada, y evaluar la integral iterada. 9.

, x 2 y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0冎

2 y 2兲

a 冪a2 x2 y2

x dz dy dx

a

冪9x2 y2

冪x 2 y 2 z 2 dz dy dx

0

Volumen En los ejercicios 17 a 22, utilizar coordenadas cilíndricas para hallar el volumen del sólido. 17. Sólido interior a x 2 y 2 z 2 a 2 y 共x a兾2兲2 y2 共a兾2兲2 18. Sólido interior a x 2 y 2 z 2 16 y exterior a z 冪x 2 y 2 19. Sólido limitado arriba por z 2x y abajo por z 2x2 2y2 20. Sólido limitado arriba por z 2 x2 y2 y abajo por z x2 y2

29. Momento de inercia Suponer que el cono tiene densidad uniforme y mostrar que el momento de inercia con respecto al eje z es 3 Iz 10 mr02.

30. Momento de inercia Suponer que la densidad del cono es 共x, y, z兲 k冪x 2 y 2 y hallar el momento de inercia con respecto al eje z. Momento de inercia En los ejercicios 31 y 32, usar coordenadas cilíndricas para verificar la fórmula dada para el momento de inercia del sólido de densidad uniforme. 1 31. Capa cilíndrica: Iz 2 m共a 2 b2兲

0 < a ≤ r ≤ b,

0 ≤ z ≤ h

/08

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CAPÍTULO Integración múltiple Chapter 14 14Multiple Integration Chapter 14 Multiple Integration 1044 Chapter 14 Multiple Integration

3 Integration Chapter 14 CAS CAS 1044 32. Cilindro Right circular cylinder: ma2 2 CPara A P S Tdiscusión ONE IzIz5 32ma 32. circular recto:Multiple 3 2 2 Multiple CAS Integration 32. Right circular cylinder: Iz 2ma C A48. P SConvert T O N E the integral from rectangular coordinates to both 3 2 CAS CAPSTONE ≤ hh cylinder: Iz sen rr5 2a sin , , 0Right 2a sinu32. 0 ≤ zzcircular 2 ma Convertir integral desde coordenadas rectangulares a 48.48.Convert the la integral from rectangular coordinates to both (a) cylindrical (b) spherical coordinates. Without calcur 2a sin , 0 z h 48. and Convert the yintegral from Sin rectangular coordinates to both 3 0por r 2a sin , z h 2 Use a computer algebra system to evaluate the triple integral. a) coordenadas cilíndricas b) esféricas. calcular, ¿qué Utilizar un sistema algebraico computadora y calcular la CAS 32. Right circular cylinder: Iz (b) spherical coordinates. Without calcuC A (a) P lating, Scylindrical T O Nwhich E and integral appears and to be(b) thespherical simplest to evaluate? 2 ma (a) cylindrical coordinates. Without calcu3 Use a computer systemC to integral. integral parece ser más sencilla ¿Por qué? integral triple. algebra which appears to bedetheevaluar? simplest to evaluate? ylinder: Iz 2ma 2 A Pevaluate STON Ethe triple Why? system to evaluate the triple integral. 48. lating, Convert the integral integral coordinates to simplest both r 2aIn sinExercises , 0Use az33computer h usealgebra lating,from whichrectangular integral appears to be the to evaluate? Volume –36, spherical coordinates to find Why? 48. Convertcoordinates the integral to from (a)acylindrical and coordinates. Without calcua2 tox2 both a2 (b) x2 spherical y2 0 z h Volume In En Exercises 33 –36,33use spherical findrectangular coordinates Why? the Use volume of los theejercicios solid. Volumen a 36, utilizar esféri2 dz dy dx a computer algebra to(a) evaluate the triple integral. Volume In system Exercises 33cylindrical –36, coordenadas use spherical coordinates to find 2 a Without x2 to 2be y2 the zsimplest a2which x2 calcua2 x2 yappears and (b) spherical coordinates. lating, integral to evaluate? the volume of the solid. 2 2 a a x x2 ay2 x2 z2y2dz dy dx cas para calcular elvolume volumen del sólido. 0 0 0 algebra system to evaluate the triple integral. the of the solid. 2 2 2 2 2 2 which z integral x appears 33. Solid inside x outside y z 9, lating, y , andto be the simplest Why?to evaluate? x y2 z2 dz dy dx 0 0 0 Volume Ininterior Exercises use9,spherical coordinates find 2 –36, 2x2 1 233 2z2 5 2 2to Sólido y 1 exterior y arri33. Solid z 33. inside outside and x y z 9, x y , 0 0 0 Why? 2 2 2 2 2 a xyabove the plane a x a x y x2 y2, and 33.to Solid ses 33 –36, use spherical coordinates find inside x2 y2 z2 9, outside z the volume of the 2 ba delthe plano xy.solid. xy-plane above x2 yen z2 dz dy dx a2 x2below y2 49. Hallar el “volumen” de la“four-dimensional “esfera cuatro dimensiones” x2 ya2 az22 x2 z and 34. Solid boundedabove above by xy-plane theby olid. 49. Find the “volume” of the sphere” 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 arriba 2 2 2x 9,1outside 2y abajo 2, and x y z dz dy dx 2 2 34. Sólido limitado por y 1 z 5 z por z x 33. Solid inside x y z y 2 2 y z z and below 34. Solid bounded above by x by z x 34.y Solid 49. Find they 2“volume” of2 the “four-dimensional sphere” 0 0 by x2 0 y2 2 z2 z and below 2 2,. and bounded above x 2by1 149. z2 1 w 5 a“volume” 2x2 xy2y Find the of the “four-dimensional sphere” z y2 z2 9, outsidez above the plane x y 2 2 2 2 2 2 2 CAS 35. The torus givenz by 4 siny (Use a computer algebra system x x y z w a ane by evaluating x 2 y 2 z 2 w2 a 2 CAS 35. 35. The El dado . (Utilizar algebraico r 5integral.) sin xf2(Use sen evaluando y2a computer z2un sistema z algebra 34. Solid bounded above by and below by CAS 44sin torus given by system to toro evaluate thepor triple 49.system Find the “volume” of the “four-dimensional sphere” CAS 4 sin (Use a computer algebra 35. The torus given by by evaluating 2 2 2 2 2 a !a22 x22 por computadora y evaluar la integral triple.) a22 x22 y22 a2 x2 y2 z2 y z evaluate z and above by x below triplebyintegral.) x the ybetween !evaluating !a2 2x2 2y2 2z2 a 2 a 2x 2y 2 2 the 2“four-dimensional 49. Find integral.) the of 2 sphere” 2 by 2a 2x 2 y z a x 2“volume” 36.tozThe solid thethe spheres and to evaluate triple 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z w a dw a x y a x y z a x 16 a 22 1 y 22 1 z 22 5 a 2 y dw dz dz2 dy dy2 dx. dx. 2 2 36. The El comprendido las a a2 x2 y2 a2 x2 CAS 36. 2esferas 2thex 2 2 and ycone zzw22 ax2asystem solid between 4entre sin 35. The torus byb2, bthe (Use axy2computer algebra x22 sólido y22 given z22 The > a,spheres y22 z 2 a 21616 and 0 0 0 0 dw dzady xdx.y z xinside zspheres 0 0 0 0 36. between the and 2, bsolid 2 25 2x 2y by evaluating dw dz dy dx. 2 2 2 2 2 2 e interior al cono x 1 y 1 z 5 b > a, z x 1 y 16 4 sin (Use a computer xto evaluate y algebra z thesystem b2 , b integral.) >2 a, and z x y by inside the cone triple 0 0 0 0 2 2 x y z 2 by b2,evaluating b > a, and inside the cone z 2 x 50. y 2 x2 coordinates 20 x20 y2 to show 20 x2 that 2 z2 0 Use spherical a a a y a 50. Utilizar las coordenadas esféricas para mostrar que Mass Exercises 37 and use spherical find riple integral.) 2 za22 x2 a y2to x 2 a2 ycoordinates 36. The Insolid between the38, spheres and to show that 2 dw dz dy dx. 16 spherical50.coordinates 237 2 a 2 coordenadas x2the given y2 z2Use Masa los ejercicios 38, utilizar esféricas Mass InEn Exercises 372and 38,yy 2use coordinates find2 a2 x2 50. with density. 1 spherical zinside a the spherical coordinates 2 mass 2 2to 2 `0 0` ` Use y22 z22 to show that a 2 band tween the spheres xthe x 2y 2 yof2z 2theMass z 2sphere ,2xb Exercises >1 a, z x y and cone In 37 and 38, use spherical coordinates todw find 0 2 02 2sxx2 1y 2 2 2 2 2 dz dy dx. 1z d 2 2 2 16 x y z e para hallar la sphere masa de densidad 1 2z the 5 given a de density. the mass of the 1 esfera y 1 zx 1a2y with x la !x2 1 y2 1 z2 e x2 y2 z2 dx dx dy dy dz dz 5 22p.. b2, b > a, and inside 37. z 2 the x 2at mass y 2 point the cone of the y the 1 distance z02 a 2 with x0 10 to 2e 0the given density. 2 The density any is sphere proportional between x2 y2 zto dx dy dz x2 y2 z.2 2`spherical 2` 2` coordinates especificada. 50. Use show that x2 y2 z2 e dx dy dz 2 . Mass In Exercises 37 andis38, use spherical to find 37. The at any point proportional to thecoordinates distance between thedensity point and the origin. 50. Use spherical coordinates to show that 2 2 2 2 37. The density at any point is proportional to the distance between s 37 and 38, use spherical coordinates to find the mass of the sphere with the given density. 1 y 1 z a x 37. the La densidad en cualquier punto es proporcional a la distancia x2 y2 z2 point and the origin. 2 CyH 2 A LzL2 E The atythe any pointand is proportional eN G E dx dy dz 2 . point the origin. to the distance of the 2 2 2P U T N A M E X AxM ere x 2 1 y 2 1 z 2 a 238. with thedensity entre elgiven puntodensity. el origen. x y P z U T N A M E X A M C H A L L E N G E Preparación del examen Putnam 2 2 2 38. density at point is proportional proportional to to the thedistance distance of zthee 37. The The density at any any between 51. Find the2volume ofMtheE region of points x, Gy,Ez such that point from38. the axis. zx y dx dy dz . P U T N A X A M C H A L LEN The density at any point is proportional to the distance of the2 38.topoint La densidad enthe 2 of8 the 2 2 of y 2 . 51. Find region points x, y, z such that ny point is proportional distance fromand thebetween axis. z-cualquier the point origin. punto es proporcional a la distancia del x they2volume z 36 x 51. Encontrar el volumen de la región de puntos y, z) x, eny, z such that 51. Find the volume of the region of(x, points from the z-axis. 2 punto alMass eje z. point Center 39 and 40, use spherical y2 E Xcomposed z2A M 8C2H A 36 PThis U Txproblem N AM L2 Committee L Ex2N2 G Ey2on.2the Putnam2 Prize 2Competition. e origin. 38. The of density at In anyExercises point is proportional to the distancecoordiof the forma was tal que x2 by the y z 8 36 x y . Center of In Exercises 39Pof and nates to Mass find the mass the density. U TExercises N40, Asolid MuseEofspherical X39uniform A and M C40, HcoordiA L L Espherical N G E This © The Mathematical Association of region America.on Allthe rights reserved. problem was by Putnam 51. Find the composed volume ofthe theCommittee of points such that x,Prize y, zCompetition. any point is proportional topoint the distance of the from thecenter z-axis. Center of of Mass In use coordiproblema fue Association preparado por America. el Committee on the Committee Putnam Prize This problem composed by on Competition. the Putnam Prize Competition. Centro En los 39solid y 40,ofutilizar coordenadas nates to de findmasa the center of ejercicios mass of the uniform density. © Este The Mathematical 2 y, z y2such 2that 2 ofwas 2 Allyrights 2 . thereserved. 51. Find the volume of the region of points x, x z 8 36 x z-axis. nates to find the center of mass of the solid of uniform density. © The Mathematical Association of America. Todos of losAmerica. derechosAll reservados. © The Mathematical Association rights reserved. 39. Hemispherical solid of radius r esféricas para hallar el centro de masa del sólido de densidad 2 2 2 2 2 2 Center of Mass solid In Exercises 39 yuse spherical z 8 coordi36 x y . This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. 39. Hemispherical oftwo radius r andx 40, uniforme. 40.use Solid lying between concentric hemispheres r and 39. Hemispherical radius r of radii n Exercises 39 and 40, spherical coordinates to find the center of mass ofsolid the of solid of uniform density. The Mathematical Association of America. All rights reserved. This problem was composed by therCommittee on the © Putnam Prize Competition. 40. Solid lying rbetween hemispheres of radii and where R,uniform < R two concentric nter of mass of the solid density. 40. Soliddelying two concentric hemispheres r and 39. of Sólido hemisférico radiobetween r© The Mathematical Association of America. of All radii rights S reserved. E C T I O N PROJECT where r < R solid of radius r 39. R,Hemispherical r < R, where R hemisferios concéntricos de raS E C T I O N P ROJECT PROYECTO DE 40. Sólido comprendido entre dos Moment of Inertia In Exercises 41 and 42, use spherical solid of radius r S E TRABAJO CTION PROJECT 40. Solid lying between two concentric hemispheres of radii r and dios of r y Inertia R, donde r
14

EE

EEE

E

E

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SECCIÓN 14.8

Cambio de variables: jacobianos

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14.8 Cambio de variables: jacobianos n n

Comprender el concepto de jacobiano. Utilizar un jacobiano para cambiar variables en una integral doble.

Jacobianos CARL GUSTAV JACOBI (1804-1851) El jacobiano recibe su nombre en honor al matemático alemán Carl Gustav Jacobi, conocido por su trabajo en muchas áreas de matemática, pero su interés en integración provenía del problema de hallar la circunferencia de una elipse.

En una integral simple

E

b

f sxd dx

a

se puede tener un cambio de variables haciendo x 5 gsud, con lo que dx 5 g9 sud du, y obtener

E

b

E

d

f sxd dx 5

a

f s g suddg9 sud du

c

donde a 5 gscd y b 5 gsd d. Nótese que el proceso de cambio de variables introduce, en el integrando, un factor adicional g9 sud. Esto también ocurre en el caso de las integrales dobles

EE

f sx, yd dA 5

R

EE

|

f s gsu, vd, h su, vdd

S

|

x y y x 2 du dv u v u v Jacobiano

donde el cambio de variables x 5 gsu, vd y y 5 hsu, vd introduce un factor llamado jacobiano de x y y con respecto a u y v. Al definir el jacobiano, es conveniente utilizar la notación siguiente que emplea determinantes. DEFINICIÓN DEL JACOBIANO Si x 5 gsu, vd y y 5 hsu, vd, entonces el jacobiano de x y y con respecto a u y v, denotado por sx, ydysu, vd, es

| |

x sx, yd u 5 su, vd y u EJEMPLO 1

x x y v y x 5 2 . y u v u v v

El jacobiano de la conversión rectangular-polar

Hallar el jacobiano para el cambio de variables definido por x 5 r cos u

y

|| |

sen u. y 5 r sin

Solución De acuerdo con la definición de un jacobiano, se obtiene x x sx, yd r u 5 sr, ud y y r u cos u 2r sen sin u 5 sin u r cos u sen 5 r cos 2 u 1 r sen sin22 u 5 r.

|

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CAPÍTULO 14


θ

El ejemplo 1 indica que el cambio de variables de coordenadas rectangulares a polares en una integral doble se puede escribir como

T(r, θ) = (r cos θ, r sen θ )

EE

θ =β

β

r=a

S

f sx, yd dA 5

R

r=b

f sr cos u, r sin sen ud r dr du, r > 0

| |

S

5

α θ =α

f sr cos u, r sen sin ud

S

a

r

b

y

sx, yd dr du sr, ud

donde S es la región en el plano ru que corresponde a la región R en el plano xy, como se muestra en la figura 14.71. Esta fórmula es semejante a la de la página 1006. En general, un cambio de variables está dado por una transformación biyectiva (o uno a uno) T de una región S en el plano uv en una región R en el plano xy dada por T su, vd 5 sx, yd 5 s gsu, vd, h su, vdd

r=b

θ =β

donde g y h tienen primeras derivadas parciales continuas en la región S. Nótese que el punto su, vd se encuentra en S y el punto sx, yd se encuentra en R. En la mayor parte de las ocasiones, se busca una transformación en la que la región S sea más simple que la región R.

R

r=a

EE EE

θ =α x

EJEMPLO 2 S es la región en el plano ru que corresponde a R en el plano xy

Hallar un cambio de variables para simplificar una región

Sea R la región limitada o acotada por las rectas

Figura 14.71

x 2 2y 5 0, y

x+ y=

x+

4

3

y= 3

1

(− , ) 5 3

2

x−

2y

=−

4 3

R

4

8 3

8 3

1

4 3

x 1

−2

2

3

2 3

y

x1y51

Solución Para empezar, sea u 5 x 1 y y v 5 x 2 2y. Resolviendo este sistema de ecuaciones para encontrar x y y se obtiene T su, vd 5 sx, yd, donde 1 x 5 s2u 1 vd 3

y

1 y 5 su 2 vd. 3

Los cuatro límites de R en el plano xy dan lugar a los límites siguientes de S en el plano uv.

(, )

−1

x 1 y 5 4,

como se muestra en la figura 14.72. Hallar una transformación T de una región S a R tal que S sea una región rectangular (con lados paralelos a los ejes u o v).

( , ) 2y = 0 x− (, )

2

x 2 2y 5 24,

1 3

−2

Límites en el plano xy Región R en el plano xy Figura 14.72

v u=1

v=0

u=4 (4, 0)

(1 , 0)

u 2

−1

3

−2

x1y51

u51

x1y54

u54

x 2 2y 5 0

v50

x 2 2y 5 24

v 5 24

La región S se muestra en la figura 14.73. Nótese que la transformación T Tsu, vd 5 sx, yd 5

−1

S

Límites en el plano uv

113 f2u 1 vg, 13 fu 2 vg2

transforma los vértices de la región S en los vértices de la región R. Por ejemplo,

−3

T s1, 0d 5 s13 f2s1d 1 0g , 13 f1 2 0g d 5 s23, 13 d

v = −4 (1, −4) −5

Región S en el plano uv Figura 14.73

(4, −4)

T s4, 0d 5 s13 f2s4d 1 0g , 13 f4 2 0g d 5 s83, 43 d T s4, 24d 5 s13 f2s4d 2 4g , 13 f4 2 s24dg d 5 s43, 83 d T s1, 24d 5 s13 f2s1d 2 4g , 13 f1 2 s24dg d 5 s2 23, 53 d.

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SECCIÓN 14.8


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Cambio de variables en integrales dobles TEOREMA 14.5 CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES Sea R una región vertical u horizontalmente sencilla en el plano xy y sea S una región vertical u horizontalmente sencilla en el plano uv. Sea T desde S hasta R dado por T(u, v) 5 (x, y) 5 (g(u, v), h(u, v)), donde g y h tienen primeras derivadas parciales continuas. Suponer que T es uno a uno excepto posiblemente en la frontera de S. Si f es continua en R y (x, y)y(u, v) no es cero en S, entonces

EE

f sx, yd dx dy 5

R

| |

f s g su, vd, hsu, vdd

S

(u + ∆u, v + ∆v)

\

S

\

DA < i MN (u, v)

sx, yd du dv. su, vd

DEMOSTRACIÓN Considerar el caso en el que S es una región rectangular en el plano uv con vértices su, vd, su 1 Du, vd, su 1 Du, v 1 Dvd, y su, v 1 Dvd, como se muestra en la figura 14.74. Las imágenes de estos vértices en el plano xy se muestran en la figura 14.75. Si Du y Dv son pequeños, la continuidad de g y de h implica que R es aproximadamente un paralelogramo determinado por los vectores MN y MQ . Así pues, el área de R es

v

(u, v + ∆v)

EE

(u + ∆u, v) u

Área de S 5 Du Dv Du > 0, Dv > 0

\

\

3

MQ i.

Para Du y Dv pequeños, las derivadas parciales de g y h con respecto a u pueden ser aproximadas por gusu, vd <

Figura 14.74

gsu 1 Du, vd 2 gsu, vd Du

husu, vd <

y

hsu 1 Du, vd 2 hsu, vd . Du

Por consiguiente, MN 5 f gsu 1 Du, vd 2 gsu, vdg i 1 fhsu 1 Du, vd 2 hsu, vdg j \

y

Q

< f gusu, vd Dug i 1 fhusu, vd Dug j

P

5

R

x y Dui 1 Duj. u u

| || \

M = (x, y)

De manera similar, se puede aproximar MQ por

N x

x = g(u, v) y = h(u, v)

Los vértices en el plano xy son M s g su, vd, h su, vdd, N s g su 1 Du, vd, h su 1 Du, vdd, P s g su 1 Du, v 1 Dv d, hsu 1 Du, v 1 Dv dd, y Q s g su, v 1 Dv d, h su, v 1 Dv dd. Figura 14.75

i

j

x MN 3 MQ < u Du x Dv v \

\

y u Du y Dv v

k

x u 0 5 x v 0

x y Dvi 1 Dvj, lo que implica que v v

|

y u Du Dvk. y v

Por tanto, en la notación del jacobiano, \

DA < i MN

\

3

MQ i <

| |

sx, yd Du Dv. su, vd

Como esta aproximación mejora cuando Du y Dv se aproximan a 0, el caso límite puede escribirse como \

dA < iMN

\

3

MQ i <

| |


Por tanto,

EE

f sx, yd dx dy 5

R

EE

| |

f sgsu, vd, hsu, vdd

S


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CAPÍTULO 14


Los dos ejemplos siguientes muestran cómo un cambio de variables puede simplificar el proceso de integración. La simplificación se puede dar de varias maneras. Se puede hacer un cambio de variables para simplificar la región R o el integrando f sx, yd, o ambos. EJEMPLO 3 y

x+

y=

y=

Sea R la región limitada o acotada por las rectas

−4

2 x−

x 2 2y 5 0,

y=

4

x+

3

1

2

x−

R

2y

=0

1 x 1

−2

2

Un cambio de variables para simplificar una región

3

x 2 2y 5 24,

x 1 y 5 4,

y

x1y51

como se muestra en la figura 14.76. Evaluar la integral doble

EE

3xy dA.

R

−1

Solución De acuerdo con el ejemplo 2, se puede usar el cambio siguiente de variables. −2

Figura 14.76

1 x 5 s2u 1 vd 3

1 y 5 su 2 vd 3

y

Las derivadas parciales de x y y son x 2 5 , u 3

x 1 5 , v 3

y 1 5 , u 3

| | ||

y 1 52 v 3

y

lo cual implica que el jacobiano es x x sx, yd u v 5 su, vd y y u v 2 1 3 3 5 1 1 2 3 3 2 1 52 2 9 9 1 52 . 3 Por tanto, por el teorema 14.5, se obtiene

EE

3xy dA 5

R

EE 3 EE E3 E1 3

S 4

5

1

5 5

1 s2u 2 2 uv 2 v 2d dv du 24 9 2u 2v 2

1 4

1 9

4

0

4

1 9

| |

1 1 sx, yd s2u 1 vd su 2 vd dv du 3 3 su, vd

8u 2 1 8u 2

1

3

4

uv 2 v 3 2 2 3

2

0

24

64 du 3

4

5

1 8u 3 64 1 4u 2 2 u 9 3 3

5

164 . 9

4 1

du

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SECCIÓN 14.8


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Un cambio de variables para simplificar un integrando

EJEMPLO 4

Sea R la región limitada o acotada por el cuadrado cuyos vértices son s0, 1d, s1, 2d, s2, 1d y s1, 0d. Evaluar la integral

EE

sx 1 yd 2 sen sin2sx 2 yd dA.

R

y

−1

Solución Obsérvese que los lados de R se encuentran sobre las rectas x 1 y 5 1, x 2 y 5 1, x 1 y 5 3, y x 2 y 5 21, como se muestra en la figura 14.77. Haciendo u 5 x 1 y y v 5 x 2 y, se tiene que los límites o cotas de la región S en el plano uv son

1

x−

y=

3

y=

(1, 2)

1 ≤ u ≤ 3

x−

2

x+

R

(0, 1)

3 2

x

1 x 5 su 1 vd 2

3

x+

(1, 0)

como se muestra en la figura 14.78. Despejando x y y en términos de u y v se obtiene

y=

(2, 1)

21 ≤ v ≤ 1

y

y

y=

1 y 5 su 2 vd. 2

1

Las derivadas parciales de x y y son

Región R en el plano xy

x 1 5 , u 2

Figura 14.77 v

1

u=1

u=3

S u 1

−1

2

3

v = −1 (1, −1)

Región S en el plano uv Figura 14.78

(3, −1)

y 1 5 , u 2

y 1 52 v 2

y

| || |

lo cual implica que el jacobiano es

(3, 1)

(1, 1) v=1

x 1 5 , v 2

x sx, yd u 5 su, vd y u

x v y v

1 2 5 1 2

1 2 1 2 2

Por el teorema 14.5, sigue que

EE

1 1 1 52 2 52 . 4 4 2

EE E E E 1

sx 1 yd 2 sen sin2sx 2 yd dA 5

R

5 5

3

u 2 sin sen2 v

21 1 1

1 2

13 3

21 1

ssen sin22 vd

1122 du dv

u3 3

4

3

dv 1

sen sin2 v dv

21 1

13 5 6

21

s1 2 cos 2vd dv

3

4

1

5

13 1 v 2 sen sin 2v 6 2

5

13 1 1 2 2 sen sin 2 1 sin s22d sen1222 6 2 2

5

13 s2 2 sen sin 2d 6

3

21

4

< 2.363. En cada uno de los ejemplos de cambio de variables de esta sección, la región S ha sido un rectángulo con lados paralelos a los ejes u o v. En ocasiones, se puede usar un cambio de variables para otros tipos de regiones. Por ejemplo, T su, vd 5 sx, 12 yd transforma la región circular u 2 1 v 2 5 1 en la región elíptica x 2 1 s y 2y4d 5 1.

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CAPÍTULO 14

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14.8 Ejercicios En los ejercicios 1 a 8, hallar el jacobiano xx, yc /xu, vc para el cambio de variables indicado. 1. x 5

2 12su

2 vd, y 5

1 2 su

y

(0, 1)

1

1 vd

y 2

(−1, 0)

(1, 0)

2. x 5 au 1 bv, y 5 cu 1 dv −1

(0, −1)

sin u, y 5 u sin 5. x 5 u cos u 2 v sen sen u 1 v cos u 6. x 5 u 1 a, y 5 v 1 a u 8. x 5 , y 5 u 1 v v

17.

y sx 2 yd dA

18.

y 5 3v

y5

y

y

(2, 3)

1 3 su

EE

x 5 12su 1 vd

y5u

y 5 12 su 2 vd y

y

2 vd

(−1, 1)

6 4

6

(3, 3)

2

1

R

1

(4, 1)

x

(0, 0)

x

3

2

(0, 0) 2 3 4 5 6

1 11. x 5 2su 1 vd

2

EE

e2xyy2 dA

x5

3

) ) 3 3 , 2 2

R

2

)− 13, 43 )

) 12, 12 )

x

1

R

−2 −1 −1

2

!uv, y 5

) 13, 23 ) 1

2

y= 2 1

3

En los ejercicios 15 a 20, utilizar el cambio de variables indicado para hallar la integral doble. 4s

1

R

d dA

16.

EE

xy = 1

60xy dA

R

x 5 12su 1 vd

x 5 12su 1 vd

y 5 12su 2 vd

y 5 2 12su 2 vd

4 x

xy = 4

3

R

2

y=4

R

y=1

x x

14. Ejemplo 4

y2

y5v

y

3

) 23, 103) ) 43, 83 )

En los ejercicios 13 y 14, verificar el resultado del ejemplo indipor establecer la integral usando dy dx o dx dy para dA. Después, usar un sistema algebraico por computadora para evaluar la integral.

x2

y sen sin xy dA

u x5 , v

!uv

y

CAS cado

13. Ejemplo 3

EE

y = 2x

4

(0, 1) (1, 2)

20.

R

y

1

EE

19.

y 5 13 s2v 1 ud

y

−1

R

1 12. x 5 3sv 2 ud

y 5 12su 2 vd

8

−2

(2, 2)

2

(3, 0)

(0, 0) (4, 0) 6

(6, 3)

3

x

(0, 0) 1

−1 x

4

R

(1, 1)

(7, 3)

5

2

4sx 1 ydex2y dA

R

x5u1v

10. x 5 13 s4u 2 vd

9. x 5 3u 1 2v

2

Figura para 16

R

En los ejercicios 9 a 12, dibujar la imagen S en el plano uv de la región R en el plano xy utilizando las transformaciones dadas.

15.

EE

x

(1, 0) 1

Figura para 15

sin v, y 5 eu cos v 7. x 5 eu sen

CAS

1

1

−1

4. x 5 uv 2 2u, y 5 uv

3

(2, 1) x

3. x 5 u 2 v 2, y 5 u 1 v

(1, 2) (0, 1)

1 y= x 4

3

1 y= x

x 1

2

3

4

En los ejercicios 21 a 28, utilizar un cambio de variables para hallar el volumen de la región sólida que se encuentra bajo la superficie z 5 f xx, yc y sobre la región plana R. 21. f sx, yd 5 48xy R: región limitada por el cuadrado con vértices (1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 1) 22. f sx, yd 5 s3x 1 2yd2!2y 2 x R: región limitada por el paralelogramo con vértices (0, 0), (22, 3), (2, 5), (4, 2) 23. f sx, yd 5 sx 1 ydex2y R: región acotada por el cuadrado cuyos vértices son s4, 0d, s6, 2d, s4, 4d, s2, 2d

PM

1053714_1408.qxp 10/27/08 Page 1051 14-8.qxd 3/12/09 18:35 1:35 PagePM 1053714_1408.qxp 10/27/08 1:35 PM1051 Page 1051 1053714_1408.qxp 10/27/08 PM 1051 Page 1051 1053714_1408.qxp 10/27/08 1:35 PM1:35 Page Page 1051

SECCIÓN 14.8 Cambio de variables: jacobianos 1051 14.8 1051 14.8 Change Change of of Variables: Variables: Jacobians Jacobians 1051 of Variables: Jacobians 14.8 14.8 Change Change of Variables: Jacobians 1051 1051 14.8 Change of Variables: Jacobians 1051 32. Utilizar el resultado del ejercicio 31 para hallar el volumen de 24. f sx, yd 5 sx 1 yd22 sen sin22sx 2 yd 32. the result of 31 volume of 24. 32. Use Use of Exercise Exercise 31 to to find find the the volume of each each domedome24. ff ssx, x, yydd 5 5 ssxx 1 1 yydd2 sin sin2ssxx 2 2 yydd2 cadathe unoresult de los sólidos abovedados que se encuentra bajo la 2 R: región acotada por el cuadrado cuyos vértices son s p , 0 d , 2 2 s x, y d z 5 f shaped solid lying below the surface and above the 32. Use the result of Exercise 31 to find the volume of each 32. Use the result of Exercise 31 to find the volume of each domeybounded d y5d ssin x 1sby 2 yd with vertices sp, 0d, 24. fR: sx, 24. yregion d 5f ssx, x1 xyd2sin yd sxsquare the z 5elíptica f sx, ydR. shaped solid lying below the surface and above the domesuperficie y sobre la región (Sugerencia: z 5 f s x, y d region bounded by the square with vertices R: s p , 0 d , ss33ppy2, ppy2 ddregion ,, sspp,, p32. dd,,bounded ssp y2, ppy2 dd the R. elliptical region (Hint: After making change variables x,above yd andthe zyd5and f sof shaped solid lyingthe below the zsurface above the Use the result of Exercise 31 to find the volume of each dome5the f sx, shaped solid lying below surface 2 yd y2, y2 p p y2, y2 by square with vertices R: s p , 0 d , region bounded by the square with vertices R: s p , 0 d , R. elliptical region (Hint: After making the change of variables Después de hacer el cambio de variables dado por los resultados s3py2, py2d, sp, pd, spy2, py2d given the results in Exercise 31, make aa second change R.After elliptical (Hint: After making theof change ofof variables shaped aboveby the R.region region (Hint: making the change variables 25. x, yysp dd 5 s,sxxsp2 1 3d! p p, y2 py2, , 4y pdp , y2 pdy2, lying py2d below the surface z 5 f sx, yd andelliptical ssolid the square with vertices ,5 , dy2, sff3ssp y2, ps0y2 pyyds dd,x,xssp given by the results in Exercise 31, make second change of ! 25. x, 2 ds 1 4y d del ejercicio 31, hacer un segundo cambio de variables a coor25. f sx, yd 5 !sx 2 ydsx elliptical 1 4yd region R. (Hint: After making the change of variables to polar coordinates.) given by the results in Exercise 31, make a second change of variables given by the results in Exercise 31, make a second change of 2, py2d variables to polar coordinates.) paralelogramo vértices son ss0, 0, 00dd,, denadas polares.) ! 25. x,bounded 5 ypor xel12 yds x 1 4yd cuyos ! fR: 25. R: sx,región yd 5f sacotada syxd 2 dsxsby 4y dparallelogram region the with vertices 2 2 ycoordinates.) 2 variables to polar given by the results in Exercise 31, make a second change of variables to polar coordinates.) R: s 0, 0 d , region bounded by the parallelogram with vertices f s x, y d 5 16 2 x (a) ss1, 11dd,, ss5, 0dd,, ss4, 21dd 4yd f sx, yd 5 16 2 x22 2 y 2 2 R:00bounded region bounded by to thepolar parallelogram with vertices R: s0, 0d, s0, 0d, (a) by the parallelogram with vertices coordinates.) s1, 1,region 1d, s5, 5, d, s4, 4, 21 21 d variables a) ffssx, x, xy(a) yd2d 5 5f s16 16 2 22 x,2 y2 d5 xx2 16 2 yy22;x 2 y 2 (a) 3y2 26. f s x, y d 5 s 3x 1 2y ds 2y 2 x d 0dd,2y s4, 21 d3y2 d0, d1, ds,1 he parallelogram with 26. vertices s1, 1dys,d0,s5 5,s01, 4,s5,21 x22 1 yyy22 2# 1 2 R: xx16 2 x2 2 y2 2 1 9 2x # 1 y x, yd 5 ss3x 3x 1 2y 2yds ds2y(a)2 2fxxsddx,3y2yd 5 16 26. ff ssx, R: R: 16 1 1y ≤ 11 3y2 el paralelogramo cuyos vértices son ss0, 0, 00dd,, y1 d 52ypor sds 3x2y 12 2yxds 2y22 xd3y2 26. #1 fR: sx,región yd 5f sacotada sx, 3x dparallelogram 26. R: R: #1 region bounded by the with vertices 2 16 R:99916 y x 9 16 R: s 0, 0 d , region bounded by the parallelogram with vertices 3y2 ss22, 33dd,, ss2, 55dd,, ss4, 22dd p xx222 yy222 2 xd 1 R: 1 # 22, 2, 4, region by with vertices R: s0, 0d, s0, 0d, (b) f sx, yd 5 A cos p region bounded with vertices p 1 x 16the parallelogram 9 s22, 3d,R:s2, 5d, s4, bounded 2by d the parallelogram x, yydd 5 5 AA cos cos p2 1 yyb222x 2; y 2 (b) ! b) ff ssx, ssx, yys3dd0,d5 xaa2222p1 ds,4,yys2,2d5d, s4, 2d d2, , 5xxd31 he parallelogram with27. vertices sff22, , s0s22, ,1 ! x, 5 27. 2 2 a s x, y d 5 A cos f (b) 1 bb22 2 1 2 (b) f sx, yd 5 A cos 27. f sx, yd 5 !x 1 y 2 2 2 y 0, 0d, p x son b 2 2 2 a 2 b a x,acotada x (b) 1elyftriángulo 27. fR: sx,región yd 5f s! xyd15y !por 27. R: xxx22 1 yyy22 # 1 striangle x, yd 5 Acuyos cos vértices s0,10d, ssa, 0d, region bounded by R: region bounded by>the the triangle with with vertices vertices R: 1 ≤ 1 2 a 2s0, 0bd,2 sa, 0d, 2 2 2 2 2 2 donde ssR: a, 0 d , s 0, a d , a 0 R: 1 1 # 2 2 y xa 2 yb 2x aadd,, where aa > 00by the triangle R:bounded region by the triangle with vertices R: s0, 0d, sa,s0,0d0,d, sa, 0d, with vertices R: aa2 1R:bb2 #2 1 1 2 # 1 s0, 0,region > bounded where x2 y2 a b a b xy s 0, a d , a > 0 where s 0, 0 d , s a, 0 d , e triangle with vertices s 0, a d , a > 0 where xy R: 2 1 2 # 1 28. f sx, yydd 5 xyx 22y 22 W R U C 28. a b W R II TT II N NG G A AB BO Ode U TT conceptos CO ON NC C EE P P TT S S x, yd 5 5 11 1 28. ff ssx, 1 x y xy Desarrollo xy 2 2 11 x5y W R I T I N G A B O U T C OTNSC E P T S W R I T I N G A B O U T C N C E P y d 28. f sx,región yd 5f sx, 28. R: 33. State the definition of the Jacobian. 2 2 gráficas de xy 5 1, xy 5 4, x 5 1, 2 21por acotada las 33. State the definition of the Jacobian. 1bounded 1x y 1 R: region xy 1, by of RxIthe Ty xI Ngraphs Gu,AyB5 OU T5 C E5 T Sxx 5 33. State Enunciar la definición de Jacobian. jacobiano. xy 5 1,Nxy xy 5P4, 4, 5 1, 1, region boundedW by the graphs of 33. the definition of the Jacobian. 33. theState definition of the xxR:5 44 ssSugerencia: Hacer 5vyu. vyu. dCofO 34. 5 d x 5 u, y 5 Hint: Let R: xy 5 1, xy 5 4, x 5 1, region bounded by the graphs 34. Describe Describe how how to to use use the the Jacobian Jacobian to to change change variables variables in in R: xy 5 1, xy 5 4, x 5 1, region bounded by the graphs of x 5 4 sHint: Let x 33. d 5 u,State y 5 the vyu.definition of the Jacobian. 34. Describe Describir cómotousar el jacobiano para hacer un cambio double integrals. 34. Describe how to use the Jacobian to change variables in 34. how use the Jacobian to change variables inde 29. La sustitución u 5 2x 2 y y v 5 x 1 y hacen la región R (ver la x1,5 4Let sHint: d1 y make the region u,and yd 5 vyu. double integrals. 5xThe 4, 5 he graphs of xy 5 1, xy 5 x4substitutions sHint: xu55Let u,2xyx2 55yvyu. v 5 x 29. variables en integrales dobles. u34. 5 región 2x 2 ySand vel5plano x use 1 yuv. 29. figura) The substitutions make the region double integrals. Describe how to the Jacobian to change variables in double integrals. en una simple en Determinar el y 5 vyu.d R SvS in figure) intouaa 5 simpler the plane. Determine u region 5 2x 2 y and vy5 x 1 the yDetermine 29. The substitutions make the region 2x 2 y and 5 x 1uv29. The substitutions make region R (see uv(see figure) simpler region in the integrals. número total deinto lados dedouble S que son paralelos a plane. cualquiera de the los S total number of sides of that are parallel to either R S uv(see figure) into a simpler region in the plane. Determine 2 y and v 5 x 1 y makeRthe the region S uv(see figure) into a simpler region in the plane. Determine the utotal number of sides of S that are parallel to either the In Exercises 35–40, find the Jacobian the ejes oorv.the // xx,xxu, x, y, y, zzcc u,y,v, v,zcw wcc xfor xxx, Exercises 35–40, find the Jacobian for the uvaxis S that number are parallel either theIn ler region S in the uv-plane.the Determine S thatofare total number of sides of of sides parallel to eithertothe En los ejercicios 35 a 40, hallar el jacobiano u, v, c uv-axis. axis orthe thetotal axis. / x 5 f x u, v, w c , x u, v, w y 5 g indicated change of variables. If x x, y, z c x u, v, wcw In Exercises 35–40, find the Jacobian c ,xu, v, w In Exercises 35–40,offind the Jacobian forv,the /gfxcu, /Si 5xfx,xu,y,v,zcw ww c,,cc ,for the yx5 indicated change variables. If xindicado. u-the axisv-or the v-axis. y orthe s of S that are parallel tou-either axis axis. para el cambio de variables 5 x u, v, y u, v, zw5 c indicated In Exercises 35– 40, find the Jacobian xx, y, zc / xindicated for thev, xu, wcchange ,ofthen hhchange x, and the and with xy, fcx, u,yzz v, wgcx,u,respect yv,5wgc,xu, v, wc, of Jacobian variables. fIf xu, v,5w 5 variables. If x 5of zgx5 x, and of and with y y el y,jacobiano de respect y5 u, v,xu, w cv,,isywzc,5then hxu,the v, wJacobian c, entonces x, y y z u, v, w to and x 5 f x u, v, w c , x u, v, w c , y 5 g indicated change of variables. If x u, v, w c , z 5 h x, y, z with respect then the Jacobian of and 8 x u, v, w c , z 5 h x, y, z and then the Jacobian of and with respect (2, 7) v, and waisu, v y w es to 8 conu,respecto (2, 7) to u,wv,isand w is z with respect u, v, and 8 7) 86 (2,and 7) z 5 hxu, v, wc, then the Jacobian of x, y, andto (2, 6 x u, v, w to and is x x x x x 6 64 u v w x x x x x x R 4 u v w (6, 3) R4 (6, 3) 42 u v w u v w y y y x x x x x, y, z c R R y y y . (6, 3) xx, y, zc 5 2 (0, 0) (6, 3) 5 y,y u v w u v w y y. y y y x u, v, w c x x, z c 2 (0, 0) x, y, z c 2 x xu, v, wc 5 u 5v w . . (0, 0) (0, 0) z z z y y y 2 4 6 8xx, y, zc wc v xu, v, wcxu, v,u z zu w zv w 2 4 6 8 5 u v w . u v w z z z 6 wc8 2 4 62 84xu, v, u z vz z w w C A P S TT O N EE u vu wv w z z z C A P S O N 35. discusión 5 uuusss111 2 2 vvvddd,,, yyy 5 5 uv uvsss111 2 2w wddd,,, zzz 5 5 uvw uvw u sx, v w vd, hsu, vdd CPara A P S TC OANPES T O N E 2 5 uv 2 w 5 uvw 5 35. xxx 5 30. 30. Find Find aa transformation transformation TTssu, u, vvdd 5 5 sx, yydd 5 5 ssggssu, u, vd, hsu, vdd s 1 2 v d , y 5 uv s 1 2 wwd, z 5 uvw x 5 u 35. s 1 2 v d , y 5 uv s 1 2 w d , z 5 uvw x 5 u 35. x 5 4u 2 v, y 5 4v 2 w, z 5 u 1 36. that when applied to the region will result in the image R S 5 4u 4u 2 2 v, v, yy 5 5 4v 4v 2 2 w, w, zz 5 5 uu 1 1w w Find a transformación transformation d5 u,vvdddS, hsu, vdd 36. xx 5 30. Encontrar una Find a transformation Tsu, vd 5TRssu, x, vydd 5 5 sx,sgyin su, vd, simage hgssu, that30. when applied the the sreasoning. 1 2 vd,will y 5result uvs1 2 w d, z 5 uvw 35.toxyour 5 uregion 1 2 12 y2 5 zw5 u 1 w 36. xx 5 4u v,vd4u y, y52 4vv, w, v4v zd,52 uw,1 Explain when applied to theRregion in theSSimage S 36. R will que al aplicar a la región R resultará enresult la imagen 1su x15 1su 5 5 z 5 2uvw 37. Tsu, vd 5 sx, yd 5 sgsu, vd, that h(see su, when vfigure). dd that applied to the region will result in the image 2 2 (see figure). Explain your reasoning. 37. x 5 12su 1 vd1, y 5 12su 2 vd1, z 5 2uvw 5el4ureasoning. 2your v, y reasoning. 5 4v 2 w, z v5 u 1 w 36. xExplain (see Explain figure). y la (ver Explicar razonamiento. e region R will result in the image Sfigura). (see figure). your 1 vsdu,2uv, y25vd, szu 5 2 2uvw vd, z 5w2uvw x 5 37. su x1v5v1 d, syu 5 37. 38. y v 5 2uu 2 2 v 12 w, w, yy 25 5 2uv, zz2 5 5 uu 1 1 vv 1 1w 38. xx 5 1 1 our reasoning. y v y v x 5 s u 1 v d , y 5 s u 2 v d , z 5 2uvw 37. (0, 6) (− 2,2 6) 2 2yv5 12uv, w, yz552uv, xSpherical 5 38. u 2xv5 1uw, u 1zv51uw1 v 1 w 38. 5 39. Coordinates (0, 6) (− 2, 6) 5 (6, 4) 39. Coordinates v 5z 6) Coordenadas esféricas 39. Spherical (0, w 6) (− 2, 5 u 2 v 1 w,(−y2,56)2uv, 1v1 38.(6,x 4) 5 544 5 5(0,u 6) 39. Spherical 39. Spherical Coordinates rr sin f cos uu,, Coordinates y5 r sin f sin uu,, zz 5 r cos f xx 5 (3, 3) (6, 4) S (6, 4) sin f cos 5 f f 5 (3, 3) 5 5 (0, 6) (−2, 6) S x 5 r sin f cos u,fyycos 5 rrusin sin f sin sinsinu,fz 5 5 rrucos f 4 sen sen sen 433 39. Spherical Coordinates r sin , y 5 r sin ,cos z5 x 5 (3, 3) r sin f cos u , y 5 r sin f sin u , z 5 r cos f r cos f x 5 3 (3, 3) R 40. Cylindrical Coordinates S S 5 3 R 40. Cylindrical Coordinates 3 322 2, 2) (0, 2) 40. Coordenadas cilíndricas (4, 2)xR5 r sin f cos (− u,2,y 2) 5 r sin sin2)3u, z 5 r cos 40. f Cylindrical 3 f(0, (− 40. Cylindrical Coordinates R (4, 2) S uu,,Coordinates yy 5 rr sin uu,, zz 5 z xx 5 r cos 211 1 2)(0, 2) 5 sin (0, 2) (4, 2) (1,21) (− 2, 2) (− 2, (4, 2)Cylindrical x5 5 rr cos cos u , y 5 r sin u, rz 5 5 zzu, z 5 z sen 3 1 40. Coordinates (1, 1) u , y 5 sin x 5 r cos u , y 5 r sin u , z 5 z x 5 r cos u 1 1 1 u 1 (−2, 2) (0, 2) 1(1, 21) 3 (1, 4 1) 5 6 − 5 − 4r −sin 3 − 2 −1 z 5 z 11 22 u PUTNAM EXAM CHALLENGE u 1 2 3 4 5 x6 5 xr cos u, y− 5 5 − 4 − 3 −u2,−1 1

1!

1! ! 1 ! 222 11 !

2

||||

| |

1 2 u

3 14 25 36 4

5

6

−4 −3 −2 − 5 − 4 − 3 −−5 2 −1 1 −1 2

2

1 2

PUTNAM EXAM CHALLENGE ECof XHAthe MLregion LELthe EPutnam Nfirst G E quadrant bounded P41. U TLet N APAMUbeTENthe XAAM M del Aexamen LCEH NAGin area Preparación

41. Let A be the area bounded 1 of the region in the first quadrant 1 2 by the line -axis, the ellipse 5 xxregion yy22 5 1. 41.be Let the area of theand in quadrant the first quadrant 41. Let theyyAarea of the the inregion the bounded A 21 x, 91 x the thefirst ellipse 5be x, x2 1 1 5 1.bounded 41. by Seathe A line el área de del and primer cuadrante por 1-axis, 12 la región 19 2 acotada 2 1 2 21 xarea Find the positive number such that is equal to the m A by the line the -axis, and the ellipse y 5 x, x 41. Let be the area of the region in the first quadrant bounded A by the line the -axis, and the ellipse y 5 x, x x 1 y 5 1. 1 1 9 areaely 5 1. R xy31. Consider the region in the plane bounded by the ellipse Find the ypositive that9 xA2 is to the la recta eje x2 ymlasuch 5 2 x,2 elnumber 1 equal y29 5 1. elipse Hallar 1 1 R xy31. Consider the region in the plane bounded by the ellipse 2 2 31. Considerar la región R en el plano xy acotada la elipse the first quadrant bounded the line Find thein number is to the area m such Aby -axis, y5 x, thepor xby yof 5the 1. region the positive number such that isthat equal to equal the m A 2plane of the region inpositive bounded the area line R xy31. Consider theRregion inplane the bounded by the theellipse ellipse9 x 1 Find xy-line 31. Consider the region inby thethe bounded the and ellipse número positivo mthe tal first que Aquadrant es igual área2 de by la región del 1 2al xx222 yy222 1quadrant the -axis, and the ellipse yy 5 mx, y x 1 y 5 1. of the region in the first bounded by the line Find the positive number such that is equal to the area m A of the region in the first quadrant bounded by the line 2 2 9 the -axis, and the ellipse 5 mx, y x 1 y 5 1. 1 5 1 the xy-plane bounded by the x 22ellipse y primer cuadrante acotada por la recta el eje y 5 mx, y y 9 1 2 2 2 1 2 1 y2 5 1. la 1 yb22x5 5 11 y 2 Putnam 2 x xaa22 1 the -axis, and the ellipse 5 mx, ythe This the problem was composed byand Committee on9the Prize Competition. of the region in the first quadrant bounded by line -axis, the ellipse y 5 mx, y x 1 y 5 1. 1ythe 9 2 2 2 b 1 51 This problem was Committee on the Putnam Prize Competition. 1 1 y 5by1.the a2 1 b2 5 9 x composed © Theelipse Mathematical Association of America. All rights reserved. aand the b a2 b2 the y-axis, and the ellipse 19 x2 1 y2 5 This y 5 mx, 1. Thiswas problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. problem composed by theofCommittee on rights the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association America. All reserved. 5 au au and 5 bv. bv. and the transformations transformations xx 5 and yy 5 Este problema fue preparado por el Committee onrights the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association ofAll America. All rights reserved. © Competition. The Mathematical Association of America. reserved. yand lasthe transformaciones y x 5 au y 5 bv. This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize x 5yau 5 bv.S under the and thegraph transformations x 5 region au and 5 and bv. yimage transformations © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados. (a) of and © The Mathematical of America. All rights RAssociation S under (a) Sketch Sketch the the graph of the the region R and its its image the reserved. a) la gráfica de la región RRyregion su imagen S its bajo la transx 5 au and y 5 bv. given transformation. R S (a) Sketch the graph of the and image under the S (a) Dibujar Sketch the graph of the region and its image under the given transformation. formación dada.transformation. given he region R and its image S under giventhe transformation. ssx, x, yydd. (b) Find x,yvyddd. sx, yd (b) Find sssx, b) su, u, vd. . . Find (b) Hallar Find(b) s u, su, vd ellipse. the su,area vvdd of (c) Find (c) Find the area of the the ellipse. c) el Find área elipse. the area of the ellipse. (c) Hallar Find(c) the area de of la the ellipse. llipse. −5 − 4 −3 − 2 − 1

1 2

PUTNAM EXAM CHALLENGE

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CAPÍTULO 14



14

18. Sólido acotado por las gráficas de z 5 x 1 y, z 5 0, x 5 0, x 5 3,y y 5 x

En los ejercicios 1 y 2, evaluar la integral.

E E

x2

1.

x ln y dy Valor promedio En los ejercicios 19 y 20, encontrar el promedio de f(x, y) sobre la región R.

1 2y

2.

s

x2

1

d dx

y2

y

19. f(x) 5 16 2 x2 2 y2 R: rectángulo con vértices (2, 2), (22, 2), (22, 22), (2, 22)

En los ejercicios 3 a 6, trazar la región de integración. Después, evaluar la integral iterada. Cambiar el sistema de coordenadas cuando sea conveniente.

EE EE EE EE 1

3.

0

0

0

21. Temperatura promedio La temperatura en grados Celsius sobre la superficie de una placa metálica es

2x

T(x, y) 5 40 2 6x2 2 y2

xx 2 1 2yc dy dx

x2

donde x y y están medidos en centímetros. Estimar la temperatura promedio si x varía entre 0 y 3 centímetros y y varía entre 0 y 5 centímetros.

!92x2

4x dy dx

0

!3

6.

s3x 1 2yd dy dx

0

3

5.

R: cuadrado con vértices (0, 0), (3, 0), (3, 3), (0, 3)

11x

2

4.

21 !42y2

CAS

dx dy

22 !42y2

0

Área En los ejercicios 7 a 14, dar los límites para la integral doble

EE

f xx, yc dA

R

para ambos órdenes de integración. Calcular el área de R haciendo f xx, yc 5 1 e integrando. 7. Triángulo: vértices s0, 0d, s3, 0d, s0, 1d 8. Triángulo: vértices s0, 0d, s3, 0d, s2, 2d 9. El área mayor entre las gráficas de x 2 1 y 2 5 25 y x 5 3 10. Región acotada por las gráficas de y 5 6x 2 x 2 y y 5 x 2 2 2x 11. Región encerrada por la gráfica de y 2 5 x 2 2 x 4 12. Región acotada por las gráficas de x 5 y 2 1 1, x 5 0, y 5 0 y y52 13. Región acotada por las gráficas de x 5 y 1 3 y x 5 y 2 1 1 14. Región acotada por las gráficas de x 5 2y y x 5 2y 2 y2 Para pensar En los ejercicios 15 y 16, dar un argumento geométrico para la igualdad dada. Verificar la igualdad analíticamente.

EE 1

15.

0

16.

2!22y 2

0

EE 3

e x1y dx dy 5

0

0 2!2

2 2xy3

0

22. Ganancia promedio La ganancia para la empresa P gracias al marketing de dos bebidas dietéticas es P 5 192x 1 576y 2 x2 2 5y2 2 2xy 2 5 000 donde x y y representan el número de unidades de las dos bebidas dietéticas. Usar un sistema algebraico por computadora para evaluar la doble integral alcanzando la ganancia promedio semanal si x varía entre 40 y 50 unidades y y varía entre 45 y 60 unidades. Probabilidad En los ejercicios 23 y 24, hallar k tal que la función sea una función de densidad conjunta y hallar la probabilidad requerida, donde

EE d

Pxa ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ dc 5

c

23. f sx, yd 5

50,kxye

2sx1yd

b

f xx, yc dx dy.

a

x ≥ 0, y ≥ 0 elsewhere en el resto

,

Ps0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1d 24. f sx, yd 5

5kxy, 0,

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x en el resto elsewhere

Ps0 ≤ x ≤ 0.5, 0 ≤ y ≤ 0.25d

xy2

sx 1 yd dy dx 1

0

52y

3yy2

EE E E 2

sx 1 yd dx dy 5

2y

EE 2

20. f(x) 5 2x2 1 y2

!82x2y2

sx 1 yd dy dx

0

e x1y dy dx 1

EE 5

3

Aproximación En los ejercicios 25 y 26, determinar qué valor se aproxima mejor al volumen del sólido entre el plano xy y la función sobre la región. (Hacer la elección a la vista de un dibujo del sólido y no realizando cálculo alguno.)

52x

e x1y dy dx

0

Volumen En los ejercicios 17 y 18, utilizar una integral múltiple y un sistema de coordenadas adecuado para hallar el volumen del sólido. 17. Sólido acotado por las gráficas de z 5 x 2 2 y 1 4, z 5 0, y 5 0, x 5 0 y x 5 4

25. f sx, yd 5 x 1 y R: triángulo con vértices s0, 0d, s3, 0d, s3, 3d a)

9 2

b) 5

c) 13

d) 100

e) 2100

26. f sx, yd 5 10x 2y 2 R: círculo limitado o acotado por x 2 1 y 2 5 1 a) p

b) 215

c)

2 3

d) 3

e) 15

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¿Verdadero o falso? En los ejercicios 27 a 30, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa.

EE b

27.

a

d

3E

43E

b

f sxdgs yd dy dx 5

c

a

dA 5

R1

EE

8y!13

c

EE EE EE

dA

f sx, yd dA 5

R1

29.

0

1

0

cossx 2 1 y 2d dx dy 5 4

0

1

cos sx 2 1 y 2d dx dy

40. y 5

0

1 p dx dy < 1 1 x2 1 y2 4

CAS

En los ejercicios 31 y 32, evaluar la integral iterada convirtiendo a coordenadas polares.

EE h

31.

0

x

EE 4

!x 2 1 y 2 dy dx

32.

0

0

!162y2

s

x2

π 2

r = 2 + cos θ

1

2

4

1

2

h x x2 2 2 2 2 , r 5 k, primer cuadrante 2 L L

En los ejercicios 41 y 42, hallar Ix, Iy, I0, x, y y para la lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones. Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar las integrales dobles.

d dx dy

42. y 5 4 2 x 2, y 5 0, x > 0, r 5 ky Área de una superficie En los ejercicios 43 a 46, hallar el área de la superficie dada por z 5 f xx, yc sobre la región R. 43. f (x, y) 5 25 2 x2 2 y2 R 5 {(x, y): x2 1 y2 # 25}

r = 2 sen 2θ

0

0 1

b) r 5 ksx 2 1 y 2d

0

34. π 2

xy dy dx

0

41. y 5 0, y 5 b, x 5 0, x 5 a, r 5 kx

y2

Área En los ejercicios 33 y 34, usar la doble integral para encontrar el área en la región sombreada. 33.

8y!13

!162x2

Masa y centro de masa En los ejercicios 39 y 40, hallar la masa y el centro de masa de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones con la densidad o densidades dadas. Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar las integrales múltiples. a) r 5 kxy

EE 1

E E 4

xy dy dx 1

39. y 5 2x, y 5 2x 3, primer cuadrante

f sx, yd dA.

R2

21 21

30.

EE

1

1

CAS

3xy2

0

0

R2

entonces

1

E E

gs yd dy

28. Si ƒ es continua sobre R1 y R2, y

EE

38. Combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral iterada convirtiendo a coordenadas polares. Evaluar la integral iterada resultante.

4

d

f sxd dx

1053

2

CAS

44. f sx, yd 5 16 2 x 2 y 2 R 5 Hsx, yd: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ xJ Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral. 45. f(x, y) 5 9 2 y2 R: triángulo limitado por las gráficas de las ecuaciones y 5 x, y 5 2x y y 5 3.

Volumen En los ejercicios 35 y 36, utilizar una integral múltiple y un sistema de coordenadas adecuado para hallar el volumen del sólido. 35. Sólido limitado o acotado por las gráficas de z 5 0 y z 5 h, exterior al cilindro x 2 1 y 2 5 1 e interior al hiperboloide x2 1 y2 2 z2 5 1 36. Sólido restante después de perforar un orificio de radio b a través del centro de una esfera de radio R sb < Rd 37. Considerar la región R en el plano xy limitada o acotada por la gráfica de la ecuación

46. f(x, y) 5 4 2 x2 R: triángulo limitado por las gráficas de las ecuaciones y 5 x, y 5 2x y y 5 2. 47. Proyectar construcción Un nuevo auditorio es construido con un cimiento en forma de un cuarto de un círculo de 50 pies de radio. Así, se forma una región R limitada por la gráfica de x2 1 y2 5 502 con x $ 0 y y $ 0. Las siguientes ecuaciones son modelos para el piso y el techo.

sx 2 1 y 2d2 5 9sx 2 2 y 2d.

Piso: z

a) Convertir la ecuación a coordenadas polares. Utilizar una herramienta de graficación para representar la ecuación.

Techo: z

x

y 5 20

xy 100

b) Utilizar una integral doble para hallar el área de la región R. CAS

c) Utilizar un sistema algebraico por computadora y determinar el volumen del sólido sobre la región R y bajo el hemisferio z 5 !9 2 x 2 2 y 2 .

a) Calcular el volumen del cuarto, el cual es necesario para determinar los requisitos de calor y enfriamiento. b) Encontrar el área de superficie del techo.

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CAS

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CAPÍTULO 14


48. Área de una superficie El techo del escenario de un teatro al aire libre en un parque se modela por

冤

f 共x, y兲 25 1 e共x

2

1 000 y 2兲兾1000 cos 2

y 冢x11000 000 冣冥 2

2

63. Investigación Considerar un segmento esférico de altura h de una esfera de radio a, donde h a y de densidad constante 共x, y, z兲 k (ver la figura).

donde el escenario es un semicírculo limitado o acotado por las gráficas de y 冪50 2 x 2 y y 0.

h

a) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente la superficie. b) Utilizar un sistema algebraico por computadora y aproximar la cantidad de pies cuadrados de techo requeridos para cubrir la superficie.

a) Hallar el volumen del sólido. b) Hallar el centroide del sólido.

En los ejercicios 49 a 52, evaluar la integral iterada.

冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冕冪9x2

3

49.

3 冪9x2

50.

x2 y2

2 冪4x2 a

51.

5

0

CAS

d) Hallar lím lim z.

0

0

f ) Utilizar el resultado del inciso e) para hallar Iz para un hemisferio.

0

冪25x2 y2

冪25x2

0

1

0

冕冕冕冕冕冕

冪1x2 y2

冪1x2

1

1 冪1x2 冪1x2 y2 2

54.

e) Hallar Iz.

c

x2

1 dz dy dx y2 z2

En los ejercicios 53 y 54, utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral iterada. 53.

h→0

共x 2 y 2兲 dz dy dx

共x 2 y 2 z 2兲 dx dy dz

0

52.

b

冪x 2 y 2 dz dy dx

共x 2y2兲兾2

冪4x2

2

c) Utilizar el resultado del inciso b) para localizar el centroide de un hemisferio de radio a.

9

0

共x 2 y 2兲 dz dy dx

64. Momento de inercia Hallar el momento de inercia con resz2 pecto al eje z del elipsoide x 2 y 2 2 1, donde a > 0. a En los ejercicios 65 y 66, dar una interpretación geométrica de la integral iterada.

0

xyz dz dy dx

0

66.

0

Volumen En los ejercicios 55 y 56, utilizar una integral múltiple para calcular el volumen del sólido. 55. El sólido interior a las gráficas de r 2 cos y r 2 z 2 4 56. El sólido interior a las gráficas de r 2 z 16, z 0 y r 2 sen

0

冪4x2 y2

冪4x2


65.

6 sen sin

0

0

2

1r 2

0

2 sin sen d d d

r dz dr d

0

En los ejercicios 67 y 68, hallar el jacobiano ⵲冇x, y冈/⵲冇u, v冈 para el cambio de variables indicado. 67. x u 3v,

y 2u 3v

68. x

y u2 v2

u2

v2,

Centro de masa En los ejercicios 57 a 60, hallar el centro de masa del sólido de densidad uniforme limitado o acotado por las gráficas de las ecuaciones.

En los ejercicios 69 y 70, utilizar el cambio de variables indicado para evaluar la integral doble.

57. El sólido interior al hemisferio cos , 兾4 ≤ ≤ 兾2, y exterior al cono 兾4

69.

2

ln共x y兲 dA

70.

R

2

59. x 2 y 2 z 2 a 2, primer octante

61. El sólido de densidad uniforme interior al paraboloide z 16 x2 y2, y exterior al cilindro x 2 y 2 9, z ≥ 0. 62.

y z a , densidad proporcional a la distancia al centro x2

2

2

y

v u

y 6

4

Momento de inercia En los ejercicios 61 y 62, hallar el momento de inercia Iz del sólido de densidad dada.

x dA 1 x2y2

x u,

y

60. x 2 y 2 z 2 25, z 4 (el sólido mayor)

冕冕 R

1 y 共u v兲 2

1 x 共u v兲, 2

58. La cuña: x y a , z cy 共c > 0兲, y ≥ 0, z ≥ 0 2

冕冕

(2, 3)

x=1

5

3

4

R

2

(1, 2) 1

3

(3, 2)

2 1

(2, 1)

xy = 5 R

x=5

x

2

1

2

3

4

x

1 xy = 1 4

5

6

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SP

1. Hallar el volumen del sólido de intersección de los tres cilindros x 2 1 z 2 5 1, y 2 1 z 2 5 1, y x 2 1 y 2 5 1 (ver la figura). z

d) Demostrar la identidad trigonométrica 12 sen sin u spy2d 2 u 5 tan . cos u 2

1

z

2

E E

2u1 !2

!2

e) Demostrar que I2 5

3

3

2 p2 . 2 2 dv du 5 22u 1v 9

!2y2 u2 !2

ƒ) Utilizar la fórmula para la suma de una serie geométrica infinita para verificar que

−3

−3 3

y

3

3

x

3

1 2

n51

y

x

`

on

EE 1

5

0

1

0

1 dx dy. 1 2 xy

x1y y2x yv5 para !2 !2 1 1 p2 dx dy 5 I1 1 I2 5 . 6 0 1 2 xy

g) Utilizar el cambio de variables u 5 −3

−3

demostrar que

2. Sean a, b, c y d números reales positivos. El primer octante del plano ax 1 by 1 cz 5 d se muestra en la figura. Mostrar que el área de la superficie de esta porción del plano es igual a

`

1 2 5 n51 n

o

EE 1

0

4. Considerar un césped circular de 10 pies de radio, como se muestra en la figura. Supóngase que un rociador distribuye agua de manera radial de acuerdo con la fórmula r r2 2 16 160

AsRd !a 2 1 b 2 1 c 2 c

f srd 5

donde AsRd es el área de la región triangular R en el plano xy, como se muestra en la figura.

(medido en pies cúbicos de agua por hora por pie cuadrado de césped), donde r es la distancia en pies al rociador. Hallar la cantidad de agua que se distribuye en 1 hora en las dos regiones anulares siguientes.

z

A 5 Hsr, ud: 4 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ u ≤ 2p} B 5 Hsr, ud: 9 ≤ r ≤ 10, 0 ≤ u ≤ 2p} ¿Es uniforme la distribución del agua? Determinar la cantidad de agua que recibe todo el césped en 1 hora.

R

y

x

1 pie

3. Deducir el famoso resultado de Euler que se menciona en la sec` 1 p2 ción 9.3, 5 , completando cada uno de los pasos. 2 n 6 n51

B

A

o

E

a) Demostrar que dv 1 v 5 arctan 1 C. 2 2 u 2 1 v 2 !2 2 u 2 !2 2 u 2

E E !2y2

b) Demostrar que I1 5

0

u

2 p2 dv du 5 2 2 18 2u 2 2 u 1 v

utilizando la sustitución u 5 !2 sin sen u.

4 pies

5. La figura muestra la región R limitada o acotada por las curvas x2 x2 y 5 !x, y 5 !2x, y 5 , y y 5 . Utilizar el cambio de 3 4 variables x 5 u1y3 v2y3 y y 5 u2y3 v1y3 para hallar el área de la región R. y

c) Demostrar que

E E E !2

I2 5

!2y2

54

2u1 !2

u2 !2

py2

arctan

py6

y = 13 x 2

2 dv du 2 2 u2 1 v2

1 2 sen sin u du cos u

sen u. utilizando la sustitución u 5 !2 sin

y = 14 x 2 y=

2x

y=

x

R x

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CAPÍTULO 14


6. La figura muestra un sólido acotado inferiormente por el plano z 5 2 y superiormente por la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 8.

A(b)

z 4

x2 + y2 + z2 = 8 V(b)

A(a) V(a) −2 2

y

2

x

a) Hallar el volumen del sólido utilizando coordenadas cilíndricas. b) Hallar el volumen del sólido utilizando coordenadas esféricas. 7. Dibujar el sólido cuyo volumen está dado por la suma de las integrales iteradas

EE E 6

y

3

zy2 zy2

0

EE E 0

14. El ángulo entre un plano P y el plano xy es q, donde 0 # u , py2. La proyección de una región rectangular en P sobre el plano xy es un rectángulo en el que las longitudes de sus lados son ∆x y ∆y, como se muestra en la figura. Demostrar que el área de la región rectangular en P es sec u Dx Dy.

s122zdy2 62y

6

dx dy dz 1

Figura para 13

3

Área: sec θ ∆ x∆y

dx dy dz.

zy2

P

Después, expresar el volumen mediante una integral iterada simple con el orden dy dz dx.

EE 1

8. Demostrar que lím lim

n→ `

0

1

x n y n dx dy 5 0.

θ

0

∆x

En los ejercicios 9 y 10, evaluar la integral. (Sugerencia: Ver el ejercicio 69 de la sección 14.3.)

E E! `

9.

2

1

ln

0

1 dx x

a) z1 5 2 1 x b) z2 5 5

11. Considerar la función f sx, yd 5

50,

ke2sx1ydya,

c) z3 5 10 2 5x 1 9y

x ≥ 0, y ≥ 0 en el resto. elsewhere.

d) z4 5 3 1 x 2 2y

Hallar la relación entre las constantes positivas a y k de manera que ƒ sea una función de densidad conjunta de las variables aleatorias continuas x y y. 12. Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región en el primer cuadrante limitado por y 5 e2x alrededor del eje y. Usar este resultado para encontrar 2

E

`

Área en el plano xy: ∆x∆y

15. Utilizar el resultado del ejercicio 14 para ordenar los planos, en orden creciente de sus áreas de superficie, en una región fija R del plano xy. Explicar el orden elegido sin hacer ningún cálculo.

x 2e2x dx

0

10.

∆y

0

0

1 dx dy. s1 1 x2 1 y2d2

17. Evaluar las integrales

EE 1

0

e2x dx.

EE

` `

16. Evaluar la integral

1

0

x2y dx dy y sx 1 yd3

EE 1

0

1

0

x2y dy dx. sx 1 yd3

2

2`

13. De 1963 a 1986, el volumen del lago Great Salt se triplicó, mientras que el área de su superficie superior se duplicó. Leer el artículo “Relations between Surface Area and Volume in Lakes” de Daniel Cass y Gerald Wildenberg en The College Mathematics Journal. Después, proporcionar ejemplos de sólidos que tengan “niveles de agua” a y b tales que Vsbd 5 3Vsad y Asbd 5 2Asad (ver la figura), donde V es el volumen y A es el área.

¿Son iguales los resultados? ¿Por qué sí o por qué no? 18. Mostrar que el volumen de un bloque esférico puede ser aproximado por DV < r2 sin sen f Dr Df Du.

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15 15 15

Vector Analysis Analysis Vector Análisis vectorial Vector Analysis

thischapter, chapter,you youwill willstudy studyvector vector InInthis En esteline capítulo se estudiarán los campos fields, line integrals, andsurface surface integrals. fields, integrals, and integrals. In this chapter, you de willlínea studyintegrales vector vectoriales, integrales Youwill willlearn learn touse usethese thesetotoedetermine determine You to fields, line integrals, and surface integrals. de superficie. Se aprenderá usarlosarea, para real-life quantities suchasasasurface surface area, real-life quantities such You will learn to use these to determine determinar cantidades en la vida real, como mass,flux, flux,work, work,and andenergy. energy. mass, suchmasa, as surface area, elreal-life área de quantities una superficie, flujo, trabamass, flux, work, and energy. In this chapter, you should learn the Injo this chapter, you should learn the y energía. following. following. En este aprenderá: In this capítulo, chapter, se you should learn the ■following. Cómo campo vectorial, deterHow sketchun vectorfield, field,determine determine ■n How totodibujar sketch aavector

minar siaes conservativo, encontrar una whether avector vector fieldisisconservative, conservative, whether How to sketch afield vector field, determine función de potencial, el rotacional y and laand find apotential potential function, findcurl, curl, find a function, find whether a vector field is conservative, divergencia. (15.1 find divergence. ()15.1) ) find divergence. ( 15.1 find a potential function, find curl, and Cómo una parametrización ■ How How toencontrar findaapiecewise piecewise smooth ■n find findtodivergence. (15.1 ) smooth continua por secciones, escribir y evaluar parametrization, write and evaluate parametrization, write and evaluate aa ■ How to find a piecewise smooth una integral de línea y utilizar el teorema lineintegral, integral,and anduse useGreen’s Green’sTheorem. Theorem. line parametrization, write and evaluate a Green. (de 15.2, 15.4)(15.2 ) , 15.4) (15.2, 15.4 line integral, and use Green’s Theorem. n Cómo usar el teorema fundamental de How usethe theFundamental FundamentalTheorem Theorem ■■ How totouse ( 15.2, 15.4 ) las integrales de línea, la independencia ■ of Line Integrals, independence path,■ ofHow LinetoIntegrals, independenceTheorem ofofpath, ■ de use the yFundamental la trayectoria la conservación de and conservation of energy. ( 15.3 ) and ofindependence energy. (15.3)of path, ■ of conservation Line (Integrals, energía. 15.3) ■ How How to sketch a parametric surface, ■n to sketch a parametric and conservation of energy.surface, (15.3) Cómo dibujar una superficie paramétrica, find a set of parametric equations find a set of parametric equations toto un conjunto de ecuaciones ■ encontrar How to sketch a parametric surface, represent a surface, find a normal vector, represent a surface, find a normal vector, paramétricas representar una superfind a set of para parametric equations to find a tangent plane, and find the area find a tangent plane, and find the area ficie, determinar un vector represent a surface, find anormal, normalunvector, parametric surface. (15.5 ofof aaparametric (de 15.5 plano el áreaand una) )superficie find atangente tangent ysurface. plane, find the area paramétrica. ( 15.5 ) How toevaluate evaluateasurface. asurface surface(integral, integral, ■■ How of atoparametric 15.5 ) n determine Cómo evaluar una integralofof deaasuperficie, determine theorientation orientation surface, the surface, ■ How to evaluate a surface integral, determinar la orientación de use una superfievaluate aflux flux integral,and and usethe the evaluate a integral, determine the orientation a surface, cie, evaluarTheorem. una integral de of flujo y) )usar Divergence Theorem. (15.6, 15.7 Divergence ( 15.6, 15.7 flux and(15.6 use the elevaluate teoremaa de la integral, divergencia. , 15.7) How useStokes’s Stokes’s Theorem toevaluate evaluate ■■ How totouse Theorem Divergence Theorem. ( 15.6, to 15.7 ) n Cómo utilizar el teorema de Stokes para a line integral or a surface integral and a line integral or a surface integral and ■ evaluar How touna useintegral Stokes’s to evaluate deTheorem líneathe o superficie howtotouse usecurl curltotoanalyze analyze motion how the motion line integral or a surface integral andel ya cómo usar el rotacional para analizar rotatingliquid. liquid.(15.8 (15.8) ) ofof aarotating how to use curl analyze thegira. motion movimiento de untolíquido que (15.8) of a rotating liquid. (15.8) ■

NASA NASA

Whileon onthe theground groundawaiting awaitingliftoff, liftoff,space spaceshuttle shuttleastronauts astronautshave haveaccess accesstotoaaNASA While basket and slide wire system that is designed to move them as far away fromthe the basket and slide wire system that is designed to move them as far away from Mientras el despegue tierra,space los astronautas del transbordador espacial While onesperan the ground awaitingenliftoff, shuttle astronauts have access to a shuttle as possible in an emergency situation. Does the amount of work done by as possible in an emergency situation. Does the amount of work done by ■■shuttle tienen a unwire sistema alámbrico canastatoy move tobogán diseñado para transportarbasketacceso and slide system that is de designed them as far away from the thegravitational gravitational forcefield field varyfor fordifferent different slide wirepaths paths betweentwo two¿La fixed the force vary slide wire between fixed los lo más lejos posible del transbordador en una situación de emergencia. cantidad ■ shuttle as possible in an emergency situation. Does the amount of work done by points? (See Section 15.3, Exercise 39.) points? (See Section 15.3, Exercise 39.) de trabajo realizado por el campo de fuerza gravitacional varía para diferentes trayectothe gravitational force field vary for different slide wire paths between two fixed rias entre(See dos Section puntos fijos delExercise tobogán 39.) alámbrico? (Ver la sección 15.3, ejercicio 39.) points? 15.3,

En el capítulo 15 combinará el conocimiento vectores elknowledge del cálculo La sección 15.115.1 introduce InChapter Chapter 15,you youse will combineyour your knowledgeofofde vectors withcon your knowledge integralcalculus. calculus. Section 15.1 In 15, will combine knowledge vectors with your ofofintegral. integral Section campos vectoriales, como losasas que se shown muestran arriba. Ejemplos de campos vectoriales incluyen campos de velociintroduces vectorfields, fields, such those shownabove. above. Examples vector fieldsinclude includevelocity velocity fields, electromagnetic introduces vector such those Examples ofofvector fields fields, electromagnetic In Chapter 15, you will combine your knowledge of vectors with your knowledge of integral calculus. Section 15.1 dad, campos electromagnéticos fields, andgravitational gravitational fields. y campos gravitacionales. fields, and fields. introduces vector fields, such as those shown above. Examples of vector fields include velocity fields, electromagnetic fields, and gravitational fields.

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1058 1058 1058 1058

CAPÍTULO 15

Análisis vectorial

Chapter Chapter15 15 Vector VectorAnalysis Analysis Chapter 15 Vector Analysis

15.1 Campos vectoriales 15.1 VectorFields Fields 15.1 Vector Vector Fields 15.1 Comprender el concepto de un campo vectorial. n

n■Determinar si un campoofof vectorial esfield. conservativo. ■ concept Understandthe the concept ofaaavector vector field. ■ Understand Understand the concept vector field. n■Calcular el rotacional de un campo vectorial. ■ whether a vector field is conservative. Determine whether a vector field is conservative. ■ Determine Determine whether a vector field is conservative. n■Calcular la divergencia un campo vectorial. ■ ofof field. Findthe thecurl curl ofaaavector vectorde field. ■ Find Find the curl vector field. ■■■Find the divergence of a vector Find the divergence of a vector field. Find the divergence of a vectorfield. field.

Campos vectoriales

Vector VectorFields Fields Vector Fields En el capítulo 12 se estudiaron funciones vectoriales que asignan un vector a un número In 12, functions—functions that aaavector InChapter Chapter 12,you youstudied studied vector-valued functions—functions thatassign assign vector to real. Se comprobó que las vector-valued funciones vectoriales de números reales son útiles paratorepreIn Chapter 12, you studied vector-valued functions—functions that assign vector to asentar real number. There you saw that vector-valued functions of real numbers are realcurvas number. Thereyou yousaw saw that vector-valued functions ofcapítulo realnumbers numbers areuseful useful y There movimientos a that lo largo de una curva. En este se estudiarán otros aareal number. vector-valued functions of real are useful in curves aaacurve. InIn this you two inrepresenting representing curvesand andmotion motionalong along curve. In thischapter, chapter, youwill will study two dos tipos de funciones vectoriales que asignan un vector a un punto en elstudy plano o a un in representing curves and motion along curve. this chapter, you will study two other functions—functions that aaavector othertypes types ofvector-valued vector-valued functions—functions thatassign assign vectortoto toaaapoint pointinde inthe the punto en elofof espacio. Tales funciones se llaman campos vectoriales (campos vectoother types vector-valued functions—functions that assign vector point in the plane or a point in space. Such functions are called vector fields, and they are useful plane oraapoint pointin inspace. space. Suchfunctions functions arecalled called vector fields, and theyare arede useful res), y or son útiles para representar varios tipos de campos defields, fuerza y campos velociplane Such are vector and they useful in inrepresenting representingvarious varioustypes typesofof offorce forcefields fieldsand andvelocity velocityfields. fields. dades. in representing various types force fields and velocity fields. DEFINICIÓN DE UNVECTOR CAMPO VECTORIAL DEFINITION OF FIELD DEFINITION OF VECTOR FIELD DEFINITION OF VECTOR FIELD AAAvector region RRRisis FFFthat assigns aaavector vectorfield fieldover overasobre plane region isaaafunction function that assigns vector Un campo vectorial una región plana R es una función F que asigna un vector field over aaplane plane region function that assigns vector F 共 x, y 兲 to each point in R. each pointpunto inR. R.en R. vector y) a cada FF共共x,x,yyF(x, 兲兲totoeach point in AAAvector region QQQinin space aaafunction FFFthat assigns aaa F que vectorfield fieldover overasobre solid region in space function that assigns Un campo vectorial una región sólida Qisisis en el espacio es una función vector field over aasolid solid region space function that assigns vector FFF 共x, point inin vectorun 共x,x,y,y,y,zz兲z兲兲to toeach each point inQ. Q. en Q. asigna F(x, y, z) a cada punto 共vector vector to each point Q. NOTA NOTE aaavector consists ofof infinitely vectors, Aunque un campo vectorial está constituido por infinitos vectores, seaapuede obtener NOTE Although Although vectorfield field consists of infinitelymany many vectors,you youcan canget get agood goodidea ideaofof of una NOTE Although vector field consists infinitely many vectors, you can get good idea what the looks like sketching several representative vectors idea aproximada de su estructura dibujando varios vectores representativos cuyos puntos what thevector vectorfield field looks likeby by sketching several representative vectorsFF(x, whoseinitial initial ini兲whose what the vector field looks like by sketching several representative vectors initial 共共x,x,yy), y兲y兲whose F共Fx, points 共(x, x, ■■■ n ciales son pointsare are points are 共共x,x,yy). y兲y.兲兲. .

The gradient isisisone example aaavector ififif si El gradiente un ejemplo deofof un campo vectorial. Por ejemplo, The gradientes one example of vectorfield. field.For Forexample, example, The gradient one example vector field. For example, 333 f f共fx, ⫽xx2x2y2yy⫹⫹ ⫹3xy 3xy 共共x,x,yy兲y兲兲⫽⫽ 3xy

then ofof entonces el gradiente thenthe thegradient gradient off ffde f then the gradient ⵜf ⵜf共x, ⫽fxf共fxxx, i⫹ ⫹fyf共fyyx, 共共x,x,yy兲y兲兲⫽⫽ 共共x,x,yy兲y兲i兲i⫹ 共共x,x,yy兲y兲j兲jj ⵜf 3 22 3 3 ⫽⫽ 兲2兲j兲jj ⫽共2xy 2xy⫹⫹ ⫹3y 3y兲兲i兲i⫹ i⫹ ⫹共x共共x2x22⫹⫹ ⫹9xy 9xy 共共2xy 3y 9xy

Vector field the Campo vectorial elplane plano. Vector fieldinininen the plane Vector field the plane

ises field inin 13, graphical interpretation ofof field campo vectorial en el From plano. Del capítulo 13, la interpretación gráfica de camavector vector field inthe theplane. plane. FromChapter Chapter 13,the the graphical interpretation ofthis thiseste field isisaaun vector field the plane. From Chapter 13, the graphical interpretation this field ispo a family of vectors, each of which points in the direction of maximum increase es una familia de vectores cada uno de los cuales apunta en la dirección de máximo is a family of vectors, each of which points in the direction of maximum increase is a family of vectors, each of which points in the direction of maximum increase along given by crecimiento a lo largo de lazzsuperficie por z 5 f sx, yd. alongthe thesurface surface given by z⫽⫽ ⫽f f共fx, . 共共x,x,yy兲y.兲兲.dada along the surface given by Similarly, if De manera similar, si Similarly, if Similarly, if f f共fsx, 1 1 ⫽xx2x222⫹ ⫹yy2y222⫹ ⫹zz2z222 共共x,x,y,y,y,zz兲zd兲兲⫽5 ⫽ ⫹ ⫹ then ofof entonces el gradiente thenthe thegradient gradient off ffde f then the gradient ⵜf =f 5 1 ⵜf共sx, 共x,x,y,y, ⫽ffxfx共fxsxx, 共x,x,y,y, i1 ⫹ffyfy共fysyx, 共x,x,y,y, ⫹ffzfz共fzszx, 共x,x,y,y, ⵜf 共x, y,y,zzz兲dz兲兲⫽ ⫽ 共x, y,y,zzz兲dzi兲i兲i⫹ ⫹ 共x, y,y,zzz兲dzj兲j兲jj⫹ ⫹ 共x, y,y,zzz兲dzk 兲k兲kk ⫽ 2x i ⫹ 2yj ⫹ 2zk 5 2xi 1 2yj 1 2zk ⫽ 2x 2xi ⫹ 2yj 2yj ⫹ ⫹ 2zk 2zk ⫽ i⫹

Vector field inininspace Campo vectorial en elspace espacio. Vector field space Vector field

ises field inin Note that functions for campo vectorial en el espacio. Notar que las funciones componentes para vector este campo vector field inspace. space. Note thatthe thecomponent component functions forthis thisparticular particular vector isisaun aavector vector field space. Note that the component functions for this particular vector field 2z. vectorial particular son fieldare are2x, 2x,2y, 2y,and and 2z.2x, 2y y 2z. field are 2x, 2y, and 2z. A field Un campo vectorial vector field AAvector vector field FFF 共x, 共x, 共x, 共x, ⫽MM M i⫹ ⫹NNN ⫹PPP 共共x,x,y,y,y,zz兲z兲兲⫽⫽ 共共x,x,y,y,y,zz兲zi兲兲i⫹ 共共x,x,y,y,y,zz兲zj兲兲jj⫹⫹ 共共x,x,y,y,y,zz兲zk 兲兲kk ises aaapoint only ofof functions M, continuo enatatat un punto yand sólo siififcada una de sus funciones componentes M, NPPis yisisP es continuous pointififsi ifand only ifeach each ofits itscomponent component functions M,N, N,and andP isiscontinuous continuous point and only each its component functions M, N, and continuous point. continua enatat ese punto. continuous atthat that point. continuous that point.

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SECCIÓN 15.1

Campos vectoriales

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Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son los campos de velocidades, los gravitatorios y los de fuerzas eléctricas. 1. Un campo de velocidades describe el movimiento de un sistema de partículas en el plano o en el espacio. Por ejemplo, la figura 15.1 muestra el campo vectorial determinado por una rueda que gira en un eje. Los vectores velocidad los determina la localización de sus puntos iniciales: cuanto más lejano está un punto del eje, mayor es su velocidad. Otros campos de velocidad están determinados por el flujo de líquidos a través de un recipiente o por el flujo de corrientes aéreas alrededor de un objeto móvil, como se muestra en la figura 15.2. 2. Los campos gravitatorios los define la ley de la gravitación de Newton, que establece que la fuerza de atracción ejercida en una partícula de masa m1 localizada en (x, y, z) por una partícula de masa m2 localizada en (0, 0, 0) está dada por

Campo de velocidades

Fsx, y, zd 5

Rueda rotante Figura 15.1

2Gm 1m 2 u x2 1 y 2 1 z2

donde G es la constante gravitatoria y u es el vector unitario en la dirección del origen a (x, y, z). En la figura 15.3 se puede ver que el campo gravitatorio F tiene las propiedades de que todo vector F(x, y, z) apunta hacia el origen, y que la magnitud de F(x, y, z) es la misma en todos los puntos equidistantes del origen. Un campo vectorial con estas dos propiedades se llama un campo de fuerzas central. Utilizando el vector posición r 5 xi 1 yj 1 zk para el punto (x, y, z), se puede expresar el campo gravitatorio F como 2Gm 1m 2 r iri2 iri 2Gm 1m 2 5 u. iri2

1 2

Fsx, y, zd 5

Campo vectorial de flujo del aire Figura 15.2 z

3. Los campos de fuerzas eléctricas se definen por la ley de Coulomb, que establece que la fuerza ejercida en una partícula con carga eléctrica q1 localizada en (x, y, z) por una partícula con carga eléctrica q2 localizada en (0, 0, 0) está dada por

(x, y, z)

y

Fsx, y, zd 5

cq1q2 u iri2

donde r 5 xi 1 yj 1 zk, u 5 ryi ri, y c es una constante que depende de la elección de unidades para iri, q1, y q2.

x

m1 se localiza en (x, y, z). m2 se localiza en (0, 0, 0).

Campo de fuerzas gravitatorio Figura 15.3

Nótese que un campo de fuerzas eléctricas tiene la misma forma que un campo gravitatorio. Es decir, Fsx, y, zd 5

k u. iri2

Tal campo de fuerzas se llama un campo cuadrático inverso.

DEFINICIÓN DE CAMPO CUADRÁTICO INVERSO Sea rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk un vector posición. El campo vectorial F es un campo cuadrático inverso si Fsx, y, zd 5

k u iri2

donde k es un número real y u 5 ryi ri es un vector unitario en la dirección de r.

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Como los campos vectoriales constan de una cantidad infinita de vectores, no es posible hacer un dibujo de todo el campo completo. En lugar de esto, cuando se esboza un campo vectorial, el objetivo es dibujar vectores representativos que ayuden a visualizar el campo. EJEMPLO 1

Dibujo de un campo vectorial

Dibujar algunos vectores del campo vectorial dado por Fsx, yd 5 2yi 1 xj. Solución Se podrían trazar los vectores en varios puntos del plano, al azar. Sin embargo, es más ilustrativo trazar vectores de magnitud igual. Esto corresponde a encontrar curvas de nivel en los campos escalares. En este caso, vectores de igual magnitud se encuentran en círculos. iFi 5 c

y

!x 2 1 y 2 5 c

3

x2 1 y 2 5 c2

2

x 1

3

Campo vectorial: F(x, y) = −yi + xj

Punto

Vector

s1, 0d

Fs1, 0d 5 j

s0, 1d

Fs0, 1d 5 2i

s21, 0d

Fs21, 0d 5 2j

s0, 21d

Fs0, 21d 5 i

En la figura 15.4 se muestran éstos y algunos otros vectores del campo vectorial. Nótese en la figura que este campo vectorial es parecido al dado por la rueda giratoria mostrada en la figura 15.1.

Figura 15.4

EJEMPLO 2 y

3

Fsx, yd 5 2xi 1 yj. c=2

Solución Para este campo vectorial, los vectores de igual longitud están sobre las elipses dadas por

c=1

x

−2

Dibujo de un campo vectorial

Dibujar algunos vectores en el campo vectorial dado por

4

−3

Ecuación del círculo.

Para empezar a hacer el dibujo, se elige un valor de c y se dibujan varios vectores en la circunferencia resultante. Por ejemplo, los vectores siguientes se encuentran en la circunferencia unitaria.

1

−4

Vectores de longitud c.

2

3

iFi 5 !s2xd2 1 s yd2 5 c lo cual implica que 4x 2 1 y 2 5 c 2.

−3 −4

Campo vectorial: F(x, y) = 2xi + yj

Figura 15.5

Para c 5 1, dibujar varios vectores 2xi 1 yj de magnitud 1 en puntos de la elipse dada por 4x 2 1 y 2 5 1. Para c 5 2, dibujar varios vectores 2xi 1 yj de magnitud 2 en puntos de la elipse dada por 4x 2 1 y 2 5 4. Estos vectores se muestran en la figura 15.5.

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SECCIÓN 15.1

EJEMPLO 3 z

Campos vectoriales

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Esbozo de un campo vectorial

Dibujar algunos vectores en el campo de velocidad dado por vsx, y, zd 5 s16 2 x 2 2 y 2dk

16

donde x 2 1 y 2 ≤ 16. Solución Es válido imaginar que v describe la velocidad de un fluido a través de un tubo de radio 4. Los vectores próximos al eje z son más largos que aquellos cercanos al borde del tubo. Por ejemplo, en el punto (0, 0, 0), el vector velocidad es v(0, 0, 0) = 16k, considerando que en el punto (0, 3, 0), el vector velocidad es v(0, 3, 0) = 7k. La figura 15.6 muestra éstos y varios otros vectores para el campo de velocidades. De la figura, se observa que la velocidad del fluido es mayor en la zona central que en los bordes del tubo.

Campos vectoriales conservativos En la figura 15.5 todos los vectores parecen ser normales a la curva de nivel de la que emergen. Porque ésta es una propiedad de los gradientes, es natural preguntar si el campo vectorial dado por Fsx, yd 5 2xi 1 yj es el gradiente de alguna función diferenciable ƒ. La respuesta es que algunos campos vectoriales, denominados campos vectoriales conservativos, pueden representarse como los gradientes de funciones diferenciables, mientras que algunos otros no pueden. 4

4

y

x

DEFINICIÓN DE CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS Campo de velocidades: v(x, y, z) = (16 − x2 − y2)k

Figura 15.6

Un campo vectorial F se llama conservativo si existe una función diferenciable ƒ tal que F 5 =f. La función ƒ se llama función potencial para F.

EJEMPLO 4

Campos vectoriales conservativos

a) El campo vectorial dado por Fsx, yd 5 2xi 1 yj es conservativo. Para comprobarlo, 1 considerar la función potencial f sx, yd 5 x 2 1 2 y 2. Como =f 5 2x i 1 yj 5 F se sigue que F es conservativo. b) Todo campo cuadrático inverso es conservativo. Para comprobarlo, sea Fsx, y, zd 5

k u y iri2

f sx, y, zd 5

!x 2

2k 1 y 2 1 z2

donde u 5 ryi ri. Como kx ky kz i1 2 j1 2 k sx2 1 y2 1 z2d3y2 sx 1 y2 1 z2d3y2 sx 1 y2 1 z2d3y2 k xi 1 yj 1 zk 5 2 x 1 y 2 1 z 2 !x 2 1 y 2 1 z 2 k r 5 iri2 iri k 5 u iri2

=f 5

1

se deduce que F es conservativo.

2

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Como puede verse en el ejemplo 4b, muchos campos vectoriales importantes, incluyendo campos gravitatorios y de fuerzas eléctricas, son conservativos. Gran parte de la terminología introducida en este capítulo viene de la física. Por ejemplo, el término “conservativo” se deriva de la ley física clásica de la conservación de la energía. Esta ley establece que la suma de la energía cinética y la energía potencial de una partícula que se mueve en un campo de fuerzas conservativo es constante. (La energía cinética de una partícula es la energía debida a su movimiento, y la energía potencial es la energía debida a su posición en el campo de fuerzas.) El importante teorema siguiente da una condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial en el plano sea conservativo. TEOREMA 15.1 CRITERIO PARA CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS EN EL PLANO Sea M y N dos funciones con primeras derivadas parciales continuas en un disco abierto R. El campo vectorial dado por Fsx, yd 5 Mi 1 Nj es conservativo si y sólo si N M 5 . x y

DEMOSTRACIÓN Para mostrar que la condición dada es necesaria para que F sea conservativo, suponer que existe una función potencial ƒ tal que

Fsx, yd 5 =f sx, yd 5 Mi 1 Nj. Entonces se tiene fxsx, yd 5 M fy sx, yd 5 N

M y N fyx sx, yd 5 x fxysx, yd 5

y, por la equivalencia de derivadas parciales mixtas fxy y fyx, se puede concluir que Nyx 5 Myy para todo sx, yd en R. Lo suficiente de la condición se muestra en la sección 15.4. NOTA El teorema 15.1 es válido en dominios simplemente conexos. Una región plana R es simplemente conexa si cada curva cerrada simple en R encierra sólo puntos que están en R. Ver la figura 15.26 en la sección 15.4. n

EJEMPLO 5

Prueba de campos vectoriales conservativos en el plano

Decidir si el campo vectorial dado por F es conservativo. a) Fsx, yd 5 x 2yi 1 xyj

b) Fsx, yd 5 2xi 1 yj

Solución a) El campo vectorial dado por Fsx, yd 5 x 2yi 1 xyj no es conservativo porque M 5 fx 2yg 5 x 2 y y y

N 5 fxyg 5 y. x x

b) El campo vectorial dado por Fsx, yd 5 2xi 1 yj es conservativo porque M 5 f2xg 5 0 y y y

N 5 f yg 5 0. x x

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SECCIÓN 15.1

Campos vectoriales

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El teorema 15.1 permite decidir si un campo vectorial es o no conservativo. Pero no dice cómo encontrar una función potencial de F. El problema es comparable al de la integración indefinida. A veces se puede encontrar una función potencial por simple inspección. Así, en el ejemplo 4 se observa que f sx, yd 5 x 2 1

1 2 y 2

tiene la propiedad de que =f sx, yd 5 2xi 1 yj. EJEMPLO 6

Calcular una función potencial para Fxx, yc

Hallar una función potencial para Fsx, yd 5 2xyi 1 sx 2 2 ydj. Solución

Del teorema 15.1 sigue que F es conservativo porque

f2xyg 5 2x y

y

2 fx 2 yg 5 2x. x

Si ƒ es una función cuyo gradiente es igual a F(x, y), entonces =f sx, yd 5 2xyi 1 sx 2 2 ydj lo cual implica que fxsx, yd 5 2xy y fysx, yd 5 x 2 2 y. Para reconstruir la función ƒ de estas dos derivadas parciales, se integra fxsx, yd con respecto a x y fysx, yd con respecto a y, como sigue. f sx, yd 5 f sx, yd 5

E E

fxsx, yd dx 5 fysx, yd dy 5

E E

2xy dx 5 x 2y 1 gs yd

sx 2 2 yd dy 5 x 2 y 2

y2 1 hsxd 2

Nótese que g(y) es constante con respecto a x y h(x) es constante con respecto a y. Para hallar una sola expresión que represente ƒ(x, y), sea gs yd 5 2

y2 2

y

hsxd 5 K.

Entonces, se puede escribir f sx, yd 5 x 2 y 1 gs yd 1 K 5 x2 y 2

y2 1 K. 2

Este resultado se puede verificar formando el gradiente de ƒ. Usted podrá que es igual a la función original F. NOTA La solución en el ejemplo 6 es comparable a la dada por una integral indefinida. Es decir, la solución representa a una familia de funciones potenciales, dos de las cuales difieren por una constante. Para hallar una solución única, se tendría que fijar una condición inicial que deba satisfacer la función potencial. n

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Rotacional de un campo vectorial El teorema 15.1 tiene un análogo para campos vectoriales en el espacio. Antes de establecer ese resultado, se da la definición del rotacional de un campo vectorial en el espacio. DEFINICIÓN DEL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL El rotacional de Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk es curl rot Fsx, y, zd 5 = 3 Fsx, y, zd P N P M N M 5 2 i2 2 j1 2 k. y z x z x y

1

NOTA

2 1

2 1

2

Si rot F = 0, entonces se dice que F es un campo irrotacional.

n

La notación de producto vectorial usada para el rotacional proviene de ver el gradiente =f como el resultado del operador diferencial = que actúa sobre la función f. En este contexto, se utiliza la siguiente forma de determinante como ayuda mnemotécnica para recordar la fórmula para el rotacional.

| |

rot Fsx, y, zd 5 = 3 Fsx, y, zd curl i

k

5 x y

z

M

P

5

EJEMPLO 7

j

N

N P M N M 2 i21 2 j11 2 k 1P y z 2 x z 2 x y 2

Cálculo del rotacional de un campo vectorial

Hallar rot F para el campo vectorial dado por Fsx, y, zd 5 2xyi 1 sx 2 1 z 2dj 1 2yzk. ¿Es F irrotacional? Solución

El rotacional de F está dado por

|

curl rot Fsx, y, zd 5 = 3 Fsx, y, zd i

j

k

|

x y z 2xy x 2 1 z 2 2yz y z i 2 x 5 x2 1 z2 2yz 2xy 5

|

|| ||

z j 1 x 2yz 2xy

5 s2z 2 2zdi 2 s0 2 0dj 1 s2x 2 2xdk 5 0.

Como rot F = 0, F es irrotacional.

|

y x2

1

k

z2

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SECCIÓN 15.1

Campos vectoriales

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Más adelante, en este capítulo, se asignará una interpretación física al rotacional de un campo vectorial. Pero por ahora, el uso primario del rotacional se muestra en la siguiente prueba para campos vectoriales conservativos en el espacio. El criterio establece que para un campo vectorial cuyo dominio sea todo el espacio tridimensional (o una esfera abierta), el rotacional es 0 en cada punto en el dominio si y sólo si F es conservativo. La demostración es similar a la dada para el teorema 15.1. TEOREMA 15.2 CRITERIO PARA CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS EN EL ESPACIO Suponer que M, N y P tienen primeras derivadas parciales continuas en una esfera abierta Q en el espacio. El campo vectorial dado por Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk es conservativo si y sólo si rot F(x, y, z) 5 0. Es decir, F es conservativo si y sólo si P N 5 , y z

NOTA El teorema 15.2 es válido para dominios simplemente conectados en el espacio. Un dominio simplemente conexo en el espacio es un dominio D para el cual cada curva simple cerrada en D (ver la sección 15.4) se puede reducir a un punto en D sin salirse de D. n

P M 5 , x z

y

N M 5 . x y

Del teorema 15.2 se puede ver que el campo vectorial del ejemplo 7 es conservativo, ya que rot F(x, y, z) = 0. Comprobar que el campo vectorial Fsx, y, zd 5 x 3y 2zi 1 x 2zj 1 x 2yk no es conservativo; se puede demostrar que su rotacional es rot Fsx, y, zd 5 sx3y 2 2 2xydj 1 s2xz 2 2x 3yzdk Þ 0. curl Para los campos vectoriales en el espacio que satisfagan el criterio y sean, por tanto, conservativos se puede encontrar una función potencial siguiendo el mismo modelo utilizado en el plano (como se demostró en el ejemplo 6). EJEMPLO 8

NOTA Los ejemplos 6 y 8 son las ilustraciones de un tipo de problemas llamados reconstrucción de una función a partir de su gradiente. Si se decide tomar un curso en ecuaciones diferenciales, se estudiarán otros métodos para resolver este tipo de problemas. Un método popular da una interacción entre las “integraciones parciales” sucesivas y derivaciones parciales. n

Calcular una función potencial para Fxx, y, zc

Hallar una función potencial para Fsx, y, zd 5 2xyi 1 sx 2 1 z 2dj 1 2yzk. Solución Del ejemplo 7 se sabe que el campo vectorial dado por F es conservativo. Si ƒ es una función tal que Fsx, y, zd 5 =f sx, y, zd, entonces fxsx, y, zd 5 2xy,

fysx, y, zd 5 x 2 1 z 2,

y

fzsx, y, zd 5 2yz

e integrando separadamente con respecto a x, y y z se obtiene f sx, y, zd 5 f sx, y, zd 5 f sx, y, zd 5

E E E

M dx 5 N dy 5 P dz 5

E E E

2xy dx 5 x 2 y 1 gs y, zd

sx 2 1 z 2d dy 5 x 2 y 1 yz 2 1 hsx, zd

2yz dz 5 yz 2 1 ksx, yd.

Comparando estas tres versiones de f sx, y, zd, concluir que gs y, zd 5 yz 2 1 K, hsx, zd 5 K, Por tanto, f sx, y, zd resulta ser f sx, y, zd 5 x 2 y 1 yz 2 1 K.

y ksx, yd 5 x 2 y 1 K.

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CAPÍTULO 15 Chapter 15

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Análisis vectorial

Vector Analysis

Divergencia de un campo vectorial NOTA La divergencia puede verse como un tipo de derivadas de F ya que, NOTE Divergence can be viewed as a para campos de velocidades de partícutypelas, of mide derivative of Fdeinflujo that,de forpartículas vector el ritmo fields velocities porrepresenting unidad de volumen enofunmoving punto. particles, the divergence En hidrodinámica (el measures estudio delthe ratemovimiento of particle flow per unitun volume de fluidos), campo de at avelocidades point. In hydrodynamics de divergencia(the nulastudy se of fluid a velocity that is de llamamotion), incompresible. Enfield el estudio divergence free yismagnetismo, called incompressible. electricidad un campo In the study of andnula magnetism, vectorial deelectricity divergencia se llama a vector field that is divergence free is n el solenoidal. called solenoidal.

Se ha visto que elof rotacional de unField campo vectorial F es a su vez un campo vectorial. Otra Divergence a Vector función importante definida en un campo vectorial es la divergencia, que es una función You have seen that the curl of a vector field F is itself a vector field. Another important escalar. function defined on a vector field is divergence, which is a scalar function. DEFINICIÓN DE DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL DEFINITION OF DIVERGENCE OF A VECTOR FIELD La divergencia de Fsx, yd 5 Mi 1 Nj es The divergence of Fsx, yd 5 Mi 1 Nj is M N div Fsx, yd 5 = ? Fsx, yd 5 M1 N. Plano. div Fsx, yd 5 = ? Fsx, yd 5 x 1 y . Plane x y La divergencia de Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk es The divergence of Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk is M N P div Fsx, y, zd 5 = ? Fsx, y, zd 5 M1 N1 P. Espacio. Space div Fsx, y, zd 5 = ? Fsx, y, zd 5 x 1 y 1 z . x y z Si div F 5 0, entonces se dice que F es de divergencia nula. If div F 5 0, then F is said to be divergence free. La notación de producto escalar usada para la divergencia proviene de considerar = product notation used divergence comes from considering = as a comoThe un dot operador diferencial, comoforsigue. differential operator, as follows. = ? Fsx, y, zd 5 i 1 y j 1 z k ? sMi 1 Nj 1 Pkd x = ? Fsx, y, zd 5 i1 j1 k ? sMi 1 Nj 1 Pkd z Mx N yP 5 M 1 N 1 P 5 x 1 y 1 z x y z

31 2 1 2 1 2 4 31 2 1 2 1 2 4

Divergencia de un campo vectorial EXAMPLE 9 Finding the Divergence of a Vector Field Hallar la divergencia en s2, 1, 21d para el campo vectorial Find the divergence at s2, 1, 21d for the vector field Fsx, y, zd 5 x33y 22zi 1 x 22zj 1 x 22yk. Fsx, y, zd 5 x y zi 1 x zj 1 x yk. EJEMPLO 9

Solución La divergencia de FF is es Solution The divergence of div Fsx, y, zd 5

3 2 fx y zg 1 fx 2zg 1 fx 2yg 5 3x 2y 2z. x y z

En el punto At the point ss2, 2, 1, 1, 21 21dd,, la thedivergencia divergenceesis div Fs2, 1, 21d 5 3s22ds12ds21d 5 212.

■

Hay muchas propiedades la divergence divergenciaand y elcurl rotacional de un campo There are many importantimportantes properties ofdethe of a vector field vectorial F (ver ejercicios 83 athat 89).is Se establece de usoinmuy frecuente el teorema F (see Exercises 83– 89). One used often isuna described Theorem 15.3.enYou are 15.3. el ejercicio 90 se pide demostrar askedEn to prove this theorem in Exercise 90.este teorema. THEOREM 15.3 DIVERGENCE AND CURL TEOREMA 15.3 RELACIÓN ENTRE DIVERGENCIA Y ROTACIONAL If Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk is a vector field and M, N, and P have continuous second derivatives, Fsx, y,partial zd 5 Mi 1 Nj 1 then Pk es un campo vectorial y M, N y P tienen segundas Si derivadas parciales continuas, entonces divscurl Fd 5 0. div (rot F) 5 0.

CAS

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SECCIÓN 15.1

Campos vectoriales 15.1 Vector Fields 15.1 Vector Fields 15.1 Vector Fields 15.1 Vector Fields

1067

1067 1067 1067

1067

Ejercicios See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.1 15.1 Exercises 15.1 Vector Fields 1067 for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.1 15.1 Vector Fields 1067 Exercises SeeSeewww.CalcChat.com www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.1 Exercises Exercises See field www.CalcChat.com forsuworked-out to odd-numbered exercises. In15.1 Exercises 1– 6, the vector with its graph. [ThesolutionsIn Exercises 21–30, the conservative vector field for the En los ejercicios 1 amatch 6, asociar el campo vectorial con gráfica. En los ejercicios 21 afind 30, hallar el campo vectorial conservativo graphs are labeled (a), (b), (c),vector (d), (e), and (f).] its graph. [The potential function byfind finding its gradient. [Las gráficas se marcan a), b), c), d), e) y ƒ).] para la función potencial, encontrando su gradiente. In Exercises 1– 6, match the field with In Exercises 21–30, the conservative vector field for the See field www.CalcChat.com for worked-out to odd-numbered In15.1 ExercisesExercises 1– 6, match the vector with its graph. [Thesolutions In Exercises exercises. 21–30, find the conservative vector field for the graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).] potential function by finding its gradient. Exercises See www.CalcChat.com for worked-out to odd-numbered exercises. y 6, match In15.1 Exercises field [Thesolutions potential In Exercises theits conservative field for the (a) (b) graphs are labeled (a), (b),the (c),vector (d), (e), andwith (f).] by find finding gradient. y1– y yits graph. a) b) f x, y function x21–30, 2y f x, y vector x y 21. 22. 2

graphs are labeled (a), (b), (c), (d), and (f).] y y (a) (b) (e), 4 4 1– y 6, match the vector In Exercises 6 6 yits graph. [The (a) (b) field with In field y 6, match 4 1– graphs are labeled (a), (b),the (c),vector (d), andwith (f).] 6 yits graph. [The (a) Exercises (b)(e), 4 6 graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).] 4 6 y y (a) (b) x xx y y (a) (b) 4 − 6 4 −6 66 4 4

(c) c) (c) (c) (c) (c) (c)

y y y 5 y

4 4

−6 −6

4

−6

4 4

(d) d) (d) (d) (d)

5 5 y 5 5 y y 5 5

5

x

5 5 5 5

(e) e) (e) (e) (e)

y yy y

(e) (e)

y y

5 5

y

−5 −5 −5 y −5

5 x 5 5 5 5

(d) (d)

−6 −6

6 6

−6−6

x

6

−6 −6 y y −6 5 yy 5 −6 5 y 5 −6 5 y y 5 5

−5 −5 −5 −5 y (f) y ƒ) −5y (f) 3 y (f) 3 −5 32 y (f) 3 2−5 21 123 y (f) 1 (f) − 3 −2 12 y − 13 − 3 − 2 −1 1 − 3 −2 − 132 − 3 −2 − 1 2 − 3 −2 −−311 −31 −3 2. −F3 x,−2y −− 31 x j − 3x j 2. F−s3x,−2yd 5 2. F x, y − 1 x j

x x

6 6

x x

6 6

5

5

x

5 5 5 5 5

2 3 2 3 2 3 2 3 2

x

3

5 2 3 yi 1. F x, 5 2 3 1. Fsx, yd 5 −5y i yyii xj 1. xxji 3yj 2. x, yy x, yy 3. FF x, 4. FF x, yyii 2 xj xxij1 3yj 3.1. FFsx,x,yyd 5 4.2. FFsx,x,yyd 5 1 2 −5 FF x, yy yyix,i sen xj y FF x, yy − 3 xx1i12jxy,13yj 3. 4. x, x, x 5. 6. 1. 2. y i sen − 3 x ixy, 43yj 2 −5 kx, sinxj yl 5.3. FFsx,x,yyd 5 6.4. FFsx,x,yyd 5 k 1 1 2 xy, 4 x 2l F x, y F x, y x, sen y x 5. 6. 1i 13yj F x, y y i xj F x, y x 3. 4. 2 2 4 F x, y y i F x, y x j 1. 2. x, sen y 6.sketch several F and In5.Exercises 7–16, compute representative 2 xy, 4x 1j 1 2 F x, y y i F x, y x 1. 2. x, sen y xy, x 5. 6. vectors in field. 4 F x, y the yvector i 7compute yseveral x 2ivarios 3yj 3.Exercises i4.Fsketch iFyx,dibujar vectores En los ejercicios axj16, calcular F and In 7–16, representative F and In3.Exercises 7–16, compute sketch representative 13yj F x, yx, idel xjfield. F x, yyseveral x 1i xy, 4. 2 representativos campo vectorial. vectors inyy the vector F x, F x, sen y x 5. 6. In7.Exercises 7–16, F x,in y the ivector jcompute F x, y several 2i12 representative 8. sketch vectors field. F and 14 2 y the vector x, sen yfield. 5. F x,in 6. F x, y 2 xy, 4 x vectors F x, FF x, y iy i jcompute y 2i 7. 8. sketch y2ii representative 2x j 9. 10. F and In F x, x, yy 7–16, i j xj F x, x, yyseveral 7.Exercises 8. F In Exercises 7–16, sketch FF x, FF x, yy, yivector i 3yjcompute xj field. F and yyseveral yx2iii representative 2x j 9. 10. vectors in the x, z x, 11. 12. y j 7. 8. y i xj y i 2x j 9. F x, y 10. F x, y vectors in the vector field. F F x, y, z 3yj x, y x 11. 12. F x, y 4x i yj F x, y y 2j i j 13. 14. y i xj yxiii2 2x 9. 10. y z i 3yjj 7. F x, y, 8. F x, y x2i 11. 12. 2 F x, x, yy iy i i3yj j yj 7. 8. FF x, 4x yy z 2i y 2yj i j 13. 14. jyj k 15. 16. 11. 12. yxxxii2x i 2x 9. FF 10. x, yy, z 4x i xj F x, x, y, y y 2j i zk j 13. 14. 2 2 F x, y y i xj F x, y y i 2x j 9. 10. F x, y, z i j k x, y, z x i yj zk F 15. 16. 4x i yj x y i j 13. 14. y z xsystem i x i yj 11. Exercises 12. Falgebra F x, y, z 17–20, i3yj j useka computer x, y, zk 15. 16. CAS In to graph F x, y, z 3yj F x, y x i 11. 12. 2 2 i j k y, z x i yj zk 15. 16. several vectors in vector field. F ejercicios x,representative y 4x17 i a 20, yj Falgebra x, yalgebraico x y toicompuj 13.los 14. CAS En In Exercises 17–20, use a computer system graph unthe sistema por CAS In Exercises 17–20, useutilizar a computer algebra system 2 2to graph F x, y 4x i yj F x, y x y i j 13. 14. several representative vectors in the vector field. 1 F x, x,yrepresentative z 17–20, i j use Falgebra x, y,vectores z system x i representayj zk gráficamente 15. 16. varios CAS tadora In Exercises to graph F yy,representar 2xyi y 2kja computer 17. several vectors in the vector field. x, campo y, z 18 vectorial. i j 2k x i yj zk 15. Fdel 16. F x, y, z tivos several representative vectors in the vector field. FF x, y 2xyi 3x yi 2j a computer 12y 18. 817–20, CAS 17. In Exercises use F x, x, yy y2 j 2y 3x j algebra system to graph 17. 18 2xyi 1s2y F s x, y d 5 2xyi 1 y CAS 17. In Exercises 17–20, use algebra system to graph 8 F x, y 3x i 2y 3x jvector 18. several representative vectors in the field. x i 3x yj zk x, yy 2xyi yi 2jjda computer 17. F x, 2y 2y 3x j 18. Fsx,x,representative y, z s82y 19. FF several in the vector field. 23xdivectors 2 2 y d 5 2 1 s 2y 1 3x d j 18. z x ix 3xyjyiy2j zk F x, x,y, 2y 3x j 18. FF x, yy z 18 2y 2xyi 17. x i yj zk 19. 2 zk 2 F x, x, y, y, z 1 2xyi 19. 21 xixxi i21 yjyj zk F z x yj 20. y z y y j 17. 2 2 2 19. Fsx,x, y zd 582y x2 3x iy2 zk 2yz2 3x j 18. x,y, 19. F zz 2 3x j FF x, y,y,zz ! x i x 21 yj y 21 zk2y 20. 18. F x, x, yy, z 2yx xi xi 3xyjyjiy zkzk 20. F F s x, y, z d 5 x i 2 yj 1 zk 20. F x, y, z 19. x xi xi 2 yjyjy 2 zkzkz 2 20. F x, y, z 19. F x, y, z 2 2 2 x i x yj y zk z 20. F x, y, z x i yj zk 20. F x, y, z

2

2

1 2 4

potential function by2 finding2 its gradient. 1 2 2 2 2y 2 fg x,x,yy x5x f x,x,yy vector xsen ycos 21. 22. y conservative 23. 24. In Exercises for the 2 2find the 2 4y 41field f x, y x21–30, 2y3xy y x2 3x 21. 22. fg x, 4y In Exercises 21–30, find the conservative vector field for 1 2 2 potential function by finding its gradient. 2 2 2 2 2 2 yy z 5x yy z sen 4y2 the 3xy y 2 24. 23. x, x5x6xyz x, xsen 3x ycos4y 21. ggf x, 22. gfg x, x4 cos 25. 2 2y x, y, y function x, y, y 3x 4y z y its 26. 23. 24. potential by3xy finding gradient. 21 2 2 z22 25. 26xyz 2 2 2 y x3x 2 4y4y x,y, y zz x5x x,y, y zz xsen cos 3xy y 2 26. 23. ffgx, 24. ffgx, xz 2 z 2 yy, yy, 21. 22. z 25. 26. x, y, z 2 6xyz z 2yye2 x g x, x, y, z 2 x14 y 2 4y g x, 27. 28. x 4yxzy2 z2 x, yy, x, yy, 21. 22. yz 3x 2 2y3xy 2 x, x, z xsen x42yzcos 25. gfgf x, 26. gfgf x, x 22 x, y, y zz x5xz6xyz x, y 4y y 23. 24. y z xz ye y, z 27. 28. x 2 lnye 27. ggh x, 28. ghg x, zxy arcsen xcos 4y y2 x 2 y y 2 24. y, yz 29. 30. x, y, yy, zz 5xzxy x, y, y zz sen 3xy 23. z 3x y z2 fg x, y, zz 6xyz x, y, x2 xz 4yxz 25. 26. x x, y, z ye x,y, y,zzz 27. 28. hfg x, 2 2y 2 h x, y, z xy ln x y x arcsen yz 29. 30. z x f x, y, z 6xyz f x, y, z x 4y 25. 26. h x, y, z 31–34, xy lnverify x 2 y that the h x, y,field z isxy conservative. arcsen 29. 30.vector z yz xz z In Exercises x g x, y, z z ye g x, y, z 27. 28. En los verificar el y, campo h x,ejercicios y, z xy31lnax34, y h x, z arcsen 29. 30.que yxvectorial xz xz yz yes conx2 In Exercises that the g x, y, z 31–34, z verify ye g x, y,field z 1isiszconservative. 27. 28.vector In Exercises 31–34, verify that the vector field conservative. servativo. 2 2 z x y F x, y, y z x yxyi ln x yjy xj yz F x, y, y z 2x yi 31. 32. h x, h x, arcsen 29. 30.vector In Exercises 31–34, verify that the fieldx is conservative. 2 ln x2 x, yy, z x yxy x, yy, z 11 xyiarcsen yz 29. Fh x, 30. Fh x, i2 x 2yj y xj 31. 32. F x, y 31–34, x y i verify x yj that the yi xj F x, y fieldx12is 31. 32.vector In Exercises x12 conservative. F x, y F x, y sen x cos yj yi xj 2yi 2 33. 34. F x, y 31–34, x y i verify x yj that the yi xj F x, yfieldxy 31.Exercises 32.vector In 2 conservative. 1xis sen2y i x2 cos yj 34. F x, y yi xj 33. F x, y 1 sen 33. xy2 yi xj x y iy i x xyjcos yj 34. 31. F x, y 32. F x, y 1 xy In 35–38, xyjcos yj 32. xjfield is 33. Exercises 34.whether F x, y xsen y 2 iy i x 2determine yi xj F x, y thex 2 vector 31. xy x conservative. answer.whether the1 vector field is In Exercises Justify 35–38, your determine In Exercises 35–38, determine the vector is Fsi x, F x,ejercicios y sen y i a 38, x cos yj 34.whether yi xjfield 33. En los 35 determinar el ycampo es con1 vectorial conservative. Justify answer. whether xy 2 yi your In Exercises 35–38, determine the vector field is 5y 3xj 35. conservative. Justify your answer. F x, y F x, y sen y i x cos yj yi xj 33. 34. servativo. xy 2 yi your conservative. Justify F x, y 5y 3xj answer.whether the vector field is 35. 235–38, 2 2x In F x, x, yy 5y yiy yidetermine 3xj xj 35. Exercises F e 36. 2 2 In Exercises 35–38, determine 2y5y conservative. Justify your answer. whether the vector field is F x,x,yy 35. F 22 e 2x2xyiyy yi 3xjxj 36. conservative. Justify yi answer. xj 36. F x, y y22 2e 1 your y 2xyi y 3xj 5y 35. 37. F x, x, yy e21 yyi2 i xjj 36. F 22 x y yi x, yy 5y 35. FF x, i j 37. 2 22x1 y 2 3xj 37. e 211 yyi2 i xjj 36. F x, y 2xx 2 y y F x, y yi 38. 2x y 37. F x, y e yi i xjjxj 36. y 2 1x1211 xyy 2yi xj 38. F x, y 38. i jxj 37. F x, y 1 xy 2 yi In 391x–2148,xy y determine yi 38. Exercises F x, y i jxj whether the vector field is 37. 2 2 xy ydetermine conservative. a potential functionthe for vector the vector field. In Exercises If39itx1–is, 48,find whether field is In 39 –148, determine F x, y yi xj whether the vector field is 38. Exercises 1 conservative. If it is, find a potential function for the vector field. 2 2 3 1 xy In Exercises determine vector is F x, y the 3x the yi39 xjfind y i vector 2xfield yj 39. conservative. If it–is,48, function for field. F x, y yia potential xj 40.whether 38. xy 2 2 vector 2xvectorial conservative. If it139 is, a potential function for the field. 2j determinar y i 2yi2x 3es En los ejercicios afind 48, six, elyycampo conF 3x F x, y yi xj y yj 39. 40. F x, xe F x, y 2xyi x xj 41. 42. 2 2 3 In Exercises F x, y the 3x 2vector F x, y yi39 – 48, xj determine40.whether y i 2xfield yj is 39. servativo. Si lo39es,– 48, calcular una función potencial x2vector ypara él. 3xjfield. In Exercises whether field 2y 2 2yi F x,x,yy the xe FF x,x,yy 2xyi x 22determine j a2 potential 41. 42. conservative. Ifyiit 3is,xjfind function for the vector 1 F 3x i 2x yj is 39. 40. x y F xe yi 2yi2xj xj F 2xyi x5xy j j 41. 42. F x, x, yy for F x, x, yy 15y i find 43. 44. function 2 the conservative. If it is, a potential vector field. 2 2j 1yxe2xyy2 i2yi 2x 3xj F x, x,yyy F x, x,yyy 2xyi 41. FF 42. FF 3 i xj x 2j x, yi x, 3x 39. 40. 12 yi 2xj yj 15y 5xy 43. 44. 3 2 2 F x, x, yy F x, x, yy 15y j yi 2xj 43. F 44. F 3 y3x xi 2y ixj x 5xy yi yj 39. 40. 2j 12 2x y2 y2 iyj yxe 2xyi 2yi 2x xj 41. 42. i 3 i x225xy 2j 45. 46. 2 2yi y 2 2xj F x, x, yy F x, x, yy 15y 43. F 44. F x x y 2 x y yj 2 xi 2y x yxi yj x, yy xe x, yy 2xyi 2yi xj 41. FF x, 42. FF x, 2y i xx2 jj 45. 46. 12 2j F x, y i3 i yi j sen 45. 46. xxi xx cos yx225xy yyj22 2xj yi 43. F 44. F x, x, yy e15y yj 47. 2 2 2y 1 x 3 y yx yi y 2xj j 2 j yj 44. 45. FF x, 46. F x, y x, yy e15y 5xy 43. x i i yi2yj 47. 2xi x22 y 2 xx cos y22 sen y F x, y e cos yi sen yj 47. 2y x xi yj 48. F x, y 2 2 2 F x, yy i y2yj 45. xx cos 22 j sen yj 46. F x, y 2xi 2 F x, e yi 47. xi 2y x x y x yyj2 2xi 2yj F x, y 48. 45. 46. F x, y 2 i y 2 22 j F x, x, yy 48. F 2 2 x2xi 2 2 x x y y x2 2yj x y F e cos yi 47. In find sen curlyjF for the vector field at the given F x, x, yy 49–52, 48.Exercises 2 2 2 xx y F x, y 49–52, e2xi cos yi sen yj 47. point. In Exercises find curl F for the vector field at the given 2yj In find curl F for the vector field at the given F x, y 49–52, 48.Exercises 2 2 2 2xi 2yj point. x y In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the given Campo Punto point. F x, y vectorial 48. x2 y 2 2 point. Campo Punto F x, y, zvectorial xyzi find xyzcurl j Fxyzk 2, 1,field 3 at the given 49. In Exercises 49–52, for the vector Campo vectorial Punto 249 a EnExercises los ejercicios 52, calcular rotacional campo vectoIn 49–52, find curl F forelthe vector at the given F x, y, zzvectorial xyzi xyz j xyzk 2, 1,field 3del 49. point. F x, y, x 2, 1, zi 2xzj yzk 50. Campo Punto z xyzi xyz j xyzk 2, 1, 3 3 49. rial F enx,ely,punto dado. point. 2x x x, xexyzi 2, zisen yi2xzj yzk 50. F x, y, y, zzzvectorial 0, 13 33 yj 51. xyz je cos xyzk 2, 0, 1,1, 49. FF Campo Punto x, y, x 2zi 2, 1, 2xzj yzk 50. x2 xyz x Punto Campo vectorial F x, y, z e 0, 0, 1 sen yi e cos yj 51. i j k 52. F x, y, z e 3, 2, x 2, 1, zi 2xzj yzk 50. x xyzk 2, 0, 1, 103 3 49. F x, y, z exyzi 0, sen yixyz je x cos yj 51. xyz x x x, y, y, zz xyzjj kyzk xyzk 2, 1, 3 49. 52. x, exyzi 3, 0,2, 0,01, sen iyi 51. FF xyz 2, 50. i 2xzjje cos k yj 52. F x, y, z exe2zi 3, 2, 01 3 2 xyz F x, y, z x zi 2xzj yzk 2, 1, 50. x x i j k 52. e 3, 2, e sen yi e cos yj 0, 0, 10 3 51. F x, y, z 51. 52. F F x, x, y, y, zz 52. F x, y, z

eex sen xyz yi i e xyz i

x je cos k yj j k

0, 3, 0, 2, 10 3, 2, 0

1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 representative Larson-15-01.qxd 3/12/09 Page 1068 F and In Exercises 7–16, compute19:45 sketch several 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM PM Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 vectors in the10/27/08 vector field.1:431:43 1053714_1501.qxp PM PM PagePage 10681068 1053714_1501.qxp 10/27/08

7. F x, y

i

9. F x, y

yi

11. F x, y, z

j xj 3yj

8. F x, y

2i

10. F x, y

yi

12. F x, y

xi

2x j

43. F x, y

15y i

5xy j

45. F x, y

2y i x

47. F x, y

e x cos yi

48. F x, y

2xi x2

x2 j y2

44. F x, y 46. F x, y

y2 xi x2

yi

2xj yj y2

sen yj

2yj y2 2

F1068 x, y Chapter 4x iChapter yj 15 FAnalysis x,vectorial y x2 y 2 i j 13. 14. 1068 CAPÍTULO 15Vector Análisis 1068 15 Analysis Vector 1068 Chapter 15 Vector Analysis 1068 Chapter 1068 Chapter 15 15 Vector Vector Analysis Analysis In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the given F1068 x, y, z Chapter i Chapter j15 15 k 15 F Analysis x, y, z x i yj zk 15. 16. 1068 Vector Analysis Chapter Vector Analysis 1068 Vector 1068 15 Vector Analysis 10681068 Chapter Chapter 15 15 Vector Analysis Chapter Vector Analysis point. CAS In Exercises 17–20, aaausar computer system to find graph In Exercises 53– 56, use algebra system to the CAS 2 2xz En los ejercicios 53 ause 56, un sistema algebraico por compuy, zzd 5 xx2222zi 78. 78. F78. Fsx, x, F y, x, zi x2 2xzjjj2xz 1 yzk yzk yzk CAS In Exercises 53– 56, use computer algebra system to find the CAS In Exercises 53– 56, use a computer algebra system to find the zi2xz jyzk CAS In Exercises 53– 56, use a computer algebra system to find the zi x, y, 78. CAS In 53– 56, aa computer algebra system Punto CASseveral FFF x, zzz y, zxxx222zi 78. In Exercises Exercises 53– 56, use use computer algebra system to to find find the the x,y, y,vectorial zi 2 22xz 2xzjj yzk yzk 78.Campo representative vectors in the vector field. rot F for the vector field. tadora y representar el rotacional del campo vectorial. CAS CAS In Exercises 53– 56, use a computer algebra system to find the rot F for the vector field. CAS In Exercises 53– 56, use a computer algebra system to find the F x, y, z x zi 2xz j yzk 78. In Exercises 53– 56, use a computer algebra system to find the F x, y, z x zi 2xz j 78. F x, y, z x zi 2xz j yzk yzk 78. rot F for the vector field. 2 CAS rot F for the vector field. Exercises 53– 56, use a computer algebra system to find the 2 F x, y, z x zi 2xz j yzk 78. rot F for the vector field. 2 CAS In In Exercises 56, use computer algebra system to find the the 49. Flos x,x,Exercises y,y, xyz jhallar xyzk CAS In Exercises 53– 56, ause a computer algebra system to find FIn zi and 2xz j 2xz yzk 78. div G FF G . G. In Exercises 80, find Fz zx, 79 y,xyzi zxand zi j Fdivyzk 78. 153– EnExercises ejercicios yx80, 80, F G2, 1, 3F F 79 80, find rot F for the vector field. div G G In 79 and find forfor the vector rot F the vector field. In Frot yFFthe 2xyi y x2j field. 17. div FFF G G F G G ... In Exercises Exercises79 79and and80, 80,find finddiv rot F for field. 8 vector rot Fx,x, for the vector field. 279 and x ln x 222 y2 222 j 2 k rot for the vector field. x div F G F G . In Exercises 79 and 80, find div F G F G G. . In Exercises 80, find F x, y, z x 2, 1, 3 zi 2xzj yzk 50. div F G F In Exercises 79 and 80, find F y, z arctan i 53. x x F zx, y, z arctan i 3xxln x 53.x,yy, y j k div F G In Exercises 80, ln 53. F79. x, y, zz 79 iand 3xj 2yk F80. x, y, zz y,F zk 79. 80. div Fdiv G FzxxxiiiG G In Exercises 79 find 53. F x, y, zand i80, 3xj 2yk F x, i G .zk 3xarctan ixyy iiix2y FF Gy, F x..zk In Exercises andfind 80, find 18. x, y, y, zz 2y arctan arctan ln xx222j 2yyy222jjj 2 2kkk 53.FFFFx,x, FF x, F x, y, ii 793xj 3xj 2yk x, y, zk 79. 80. yx ln F x, y, z i 2yk z 79. 80. x x F x, y, z 3xj 2yk x, y, z x i zk 2 79. 80. x y y F x, y, z arctan i ln x 53. y j k x, zx,z x, 0,Fx,z0,x, yii 3xj e2yk cos yj 51. F Fx,z x, y, y, z z arctan 53.53. arctan x 22ln x x22 y yj j k k x ilni ln 22k F x,x,y, y, 3xj F x,x,Fy, y, zk 79. F79. 80. 80. x, 53. 2 2 Fy, zeizixzxsen 2yk y,1y,y, z zxxxz2i22i2ii xxizk F 3xj 2yk xyj 79. 80. G y, G y, zzy,y,y, ii i3xj yj zk yj zzk y ii yzk y lni xzxxln xz xy F53. x, y, y, arctan 53. F G x, G x, xyj i 3xj yj zk ii zk yj x iyz yj F zx, y, zarctan arctan xyy2 jjxyy 2kkj k F x, zzx, 2yk F x, zzzx, 79. 80. G G x, y, yj zk x, y, z 2ii xzk yz y yz xz xy G x, y, x G x, y, z x i zk yj zzz222kkk z k F x, y, i 3xj 2yk F x, y, i 79. 80. xyz F y, z i 2yk F y, z iyj zk 79. 80. G x, y, z x G x, y, z x i yj zk F x, y, z i j k 54. yz xz xy y F x, y, z 19. y yz xz xy i j k 52. F x, y, z e 3, 2, 0 2 F x, y, z i j k 54. 2 2k2 2 x, y, j k 54. 2 x xz 2 G x, y, z x G x, y, z x i yj zk i yj z k G x, y, z x G x, y, z x i yj zk i yj z yyxyz2 zyzyz z x y G x, y, z x G x, y, z x i yj zk i yj iiiyyz j k 54. 2 2 x,y, y,zzz j k 54. FFF x, xy z x z zxzxzxzz xx xy yxyxyxyy G x, y, ii 82, zk z 2k z2 k 2i G x, x,Fy, y, zzx, y, xzx 2iiFF x..yj G y, zzx,81 x81 yji find zkfind yj div rot FG In Exercises G G y, and zxand xyj yj zk F 54. x,Fy, y,Fx,zz x, kxy k k 54. 54. y, y, z yzyyz yz zziiyz ixxixz xz zjjxz j xjxy yk div (rot rot F . zyjk z k In x,Exercises and 82, div rot F In Exercises 81 82, find F x, 54. = 5 = 3 En los ejercicios 81 y 82, hallar div F) · (= F). div rot F F . In Exercises 81 and 82, find y z x z x y div rot F F . In Exercises 81 and 82, find y z x z x y yi yxzk zi y sen zj zy j xk z sen yk zsen xz k x k 55. 54. FF55. x,x, y,y, z zx, i xzyj 20. F x, y, y,xzzsen 54. F sen i xj yysen jysen x, y, 55. div rot FrotF F F .. F F. . In Exercises Exercises 81 and and 82, find div InIn Exercises 8181 and 82,82, find 55. ysen zxsen divrot Exercises and find x,y, y,zzz ysen sen2xxzxy yy2yzxxiii zsen sen yzyxx zzzyyjxjj sen sen zzz xxx kkk 55. FFF x, div rot F In find F81. x, y, zz 81 xyzi yj zk 81. 2 div rot F F. F. In Exercises 81 and 82, find F x, y,5zxyzi xyzi yj zk 2sen 22xi yz2iy 22 i i sen div F rot F In Exercises 81 82, and 82, find F x, y, z sen x y sen y z j sen z senzxx zk kx k 55. 2 2 F x, y, z x y z j 55. F x, y, z sen sen y z j sen xk 55. F x, y, xyzi yj zk 81. y j k 56. x 2 s d 1 1 F x, y, z F x, y, z yj zk 81. y z i j k 56. F x, y, z x 2 2 2 F x, y, z sen x i sen y z j sen z 55. F x, y, z xyzi yj zk 81. y z i j k 56. F x, y, z x 2 2 2 jj zy k 56. jk z sen 55. Fy,zx, i ii 2ysen j zsen xz k x k 56. F55. F x,x,y, z y, zsenxx2xsen2yyx2 i 2yzz2sen 2 22zixyzi F x, y, z xyzi yj zk 81. 2zi F x, y, z yj zk 81. F x, y, z xyzi yj zk 81. x 2xz j yzk 82. 2 2 x, y, z F x, y, z x F 2xz j yzk 82. 2 y z i j k 56. F x, y, z x 2 y z i j k 56. F x, y, z x F x, y, z xyzi yj zk 81. 56. F x, y, z x 22 yx222 zy222 i z2 j i k j k x, y, zzd y, xx 2zi zi 2xz yzk 82. 5zxxyzi 2 2xz 1 82. yj zkyzk 81. F zk 81. 56. F x, y, zi xyzi 2xzjjjyj yzk x,y, y,zx, Fsx, 82. FF En los a determine 62, si el campo vectorial F is esF is 82. kj the 56. FIn x,ejercicios y, x57– In Exercises 62, field FF yz iwhether z jiwhether kvector 56. F zzx, y,57– z 57 xy determinar Exercises 62, determine the vector field x,Fy, y,Fx,zz x, F 82. zix 2xzi22xz 2xz yzk In Exercises 57– 62, determine whether the vector field is y, y, z xxz222zi jyzk 82. zi jj2xz 2xz j yzk yzk In Exercises 57– 62, determine whether the vector field F is In Exercises 57– 62, determine whether the vector field F is x, F 82. 2 conservativo. Si lo57– es, calcular función potencial para él. x,Exercises y, x 83 FIn zi –90, 2xz jthe yzk 82. In Exercises prove the vector fields F and G y, –90, z–90, x zi F zx,83 2xzproperty j property yzk for 82. conservative. If itit is, find aadetermine potential function for the vector field. prove the for vector fields FG and G In Exercises 57– 62, determine whether the vector field F isF conservative. If itfind is,62, find a una potential function for the vector field. In Exercises 62, whether the vector field is is In In Exercises 57– determine whether the vector field F In Exercises 83 prove property for vector fields and G conservative. If is, find potential function for the field. Exercises 83 –90, prove the property vector fields and conservative. If it is, a potential function for the vector field. In Exercises 57– 62, determine whether the vector field F is In Exercises 83 –90, prove the property for vector fields and G En los ejercicios 83 a 90, demostrarthat lafor propiedad paraFFFlos camconservative. If it62, is, find adetermine potential function for thevector vector field. In Exercises 57– determine whether thefor vector field F is In Exercises 57– 62, whether the field F is In f.f.prove and scalar function (Assume the required partial Exercises 83 –90, prove the property for vector fields F and G f. and scalar function (Assume that the required partial In Exercises 83 –90, the property for vector fields F and G conservative. If it is, find a potential function the vector field. In Exercises 83 –90, prove the property for vector fields F and conservative. If it is, find a potential function for the vector field. conservative. If it is, find a potential function for the vector field. and scalar function (Assume that the required partial 2 2 and scalar function (Assume that the partial Exercises 83 –90, the property for vector fields F and 2z 2 2 22j2 2x 2 conservative. If is, find field. and scalar function (Assume that the required partial 2 2a 2 2 for pos vectoriales F83yprove G f.yf.prove la función escalar ƒ.required (Suponer queFG las GG 57. x, y, z y, xy xxi 222potential yz y 222zk F57. 2i is, 2potential 2function In Exercises 83 –90, prove the property for vector fields Fpartial and G In Exercises –90, the property for vector fields and conservative. If zit it is, find the vector field.field. In yz xjx22function xzk y zkfor the F x, conservative. If it find a2jjjpotential function forvector the vector 222z2xy 2x derivatives are continuous.) 57. yz x, y, xy 2ii z a 2yz 2yy22zk f. and scalar function (Assume that the required derivatives are continuous.) f. and scalar function (Assume that the required partial 57. z x f. and scalar function (Assume that the required partial 57. FF z i x yz x y zk F x, x,y, y,zzz xy xy derivatives are continuous.) derivatives are continuous.) f.f. (Assume and scalar function the partial derivatives are continuous.) 2 x22 y2 derivadas parciales requeridas son that continuas.) 2 ix22 yz 3 2 and scalar function (Assume that the required required partial 3xj22jx 22k f. (Assume and scalar function that the required partial 57. zk F x, y, xy 22 z32xyz 22zk 57. yz23yz j2x 22jy22222z23xy xzzk Fy, y,y,y, zzxy 57. z2x 22iyz2xyz xy2222yzzk Fx,zzx, 58. yyz22222z222z333zz33xy i2i22yiixy 3xy F58. x, y, zzx, F z i derivatives are continuous.) derivatives are continuous.) 33322jj 2 j3xy 222k derivatives are continuous.) 57. F x, F x, y, 58. 2xyz 22xyz 2 k 2 F x, y, z y 58. z i j 3xy z k 57. z i x yz j x y zk xy derivatives are continuous.) z2xyz i jx 3yz33xy j z2x k2y 2zk F x, Fy, x, z y, z y2 z3 ixy 58. 57. rot Frot are F rot G 83. derivatives continuous.) FG Grot rot G 83. derivatives continuous.) 2 32 2xyz 3 2xyz rot G rot rot G 83. F x, 58. 3xy k zykzk2 k FFFrot Frot 83. Fy, y,y,y, zzysen yizi 58. Fx,zx, z22zz33izi yz iz3zi 58. i 33xj 2xyzj33xy j 2223xy 59. sen sen yk 223xy rot FFF G G arerot rot rot G G 83. rot F59. x, y, zzx, F sen sen 3xj 58. jjsen zzzyk k F x, y, sen sen yk 59. F x, y, sen xj sen yk 59. ysen 58. z zi izi 2xyz j xj 3xy k 2z 2 k rot F G rot F rot G 83. F y 2z2xyz 58. i 2xyz j 3xy rot F G rot F rot 83. Fx, x,y, y,zzx, z y, zysen sen sen xj sen 59. F rot F G rot F rotG G 83. f f 0 84. rot fF 84. 83. rot fF 84. xx xj yy sen F x, y, sen zi sen 59. rot fff G 000 G 84. Frot Gf Grot rot fF rot G0rot G 83. zze xsen yyk Fy, y,y,y, zzsen sen zi sen xj sen ykyk 59. Fx,zzx, z zzzzziizi sen zi xjxeyk sen 59. rot F 83. ye j xj xe kk 60. rot F f rot rot 84. rot F60. x, y, zzx, F ye i j k xxxj ze yyysen F x, sen 59. F x, y, ye ze xe 60. F x, y, z ye i ze j xe k 60. sen zi sen xj sen yk 59. rot f f 0 84. zi j sen fGf Gdiv 84. F x, Fy, x, z y, z yez i sen ze xexjk sen yk 60. 59. fdiv0G 0 84.rot div Fdiv G Fdivf Fdiv 85. div 85. ffrotFG z ze 84. z x jze x jxe x y kxe y ky div div G 85. F 60. x,Fy, y,Fx,zz x, ye 60. 60. div div 85. rot 84. y, y, z ye ize ixxjxz xze jyyxk xey k 0 G 84. zzz zziiyezye xz div FFFrot Gf divffFFF f00div divG G 85. rot F x, 60. xz xxk zze xxe j i 61. z xz x F x, y, z ye i j xe k 60. div F G div F div G 85. F x, y, z ye i ze j xe k 60. div F G div F div G Grot 85. z xz div F G div F div 85. G rot F G F G 86. F x, y, z i j k 61. 2 div FFdiv G x, y, 61. F G div rot div F rot G 86. 85. div rot G rot G 86. 2x yzy2222jjjxz yy kkk xyx 61. x,y, y,zzz zzyyiii zyxz 61. FFF x, xz div F rot FFF G FFF GF rot 86. G F div GG 85. F div F div 85. y xz divF Fdiv G G Gdiv rotF GG rot G G 86. div x yzzyi ziyxz y y y F x, y, z j k 61. F x, y, z j k 61. F x, y, i j k 61. x div F G rot F G F rot G 86. xz x div F G rot F G F rot 86. div F G rot F G F rotG G 86. f F F 87. 2 2 2 F x, y, z i j k 61. f F F 87. div F G rot F G F rot G 86. F 87. x, y, 61. F61. F zx, y, zyy i xxy yyi22xj y y2yyj k yyy yk y FFF Frot G 87. F Frot 86. F G rot F G F Grot G 86. FdivfffG 87. div x, y, zz y, zy 2 xxyy 2 ii y yi 2 yyy 2 jj kjk k F62. 62. F x, f F F 87. f F F 87. f F F 87. F x, y, 62. f F F f F 88. 2 2 2 2 f Ff FF F ff fFF F x 22 x xy2 2x2 iixy 2 x 22 y xy2 2y2 jjyy 2 kk 62. 88. 62. FF x,x,y,y,zz 87. 88. 88. fFF f F 87. f fff F FF f F F 88. 87. ffffF kj k k F 62. x,Fy, y,Fx,zz x, 62. 62. y, y, z xxzx22 xx 2yyy22xii 2 ix2xx2i2 yy 2yyy22yjj 2 jk fF F ffFFf fdiv fF fF F F fF FFff Ff F Ff F F 88. F x, 62. fFdiv 88. fF 88. div f F 89. xx 22 x yyx22 i y yxxi22 x yyx22 jy y 2kj k F x, y, z 62. div 89. F x, y, z 62. f 88. div f F f div f F 89. 2 2 2 2 div f F f div F f F 89. f F f F f F 88. En los ejercicios 63 a 66, calcular la divergencia del campo vecf F f F f F 88. div f F f div F f F 89. y find y x66, In Exercises 63– find the the field F. y xdivergence y of x66, In Exercises 63–find the xdivergence ofvector the vector field F. In Exercises 63– 66, the divergence of the vector field F. div fdiv F div F Ff15.3) 89. Ff ffFFdiv div F(Theorem 89. div f0div Fff F f F15.3) F 89.div rot FFfrot 00 f F In 63– 90. (Theorem InExercises Exercises 63–66, 66, find findthe thedivergence divergenceof ofthe thevector vectorfield fieldF. F. div 90. div f F torial F. 89. div rot 90. (Theorem 15.3) 00 fF 90. (Theorem frot FFF) f div 89. 5 90. div div(rot (Teorema div div F f F15.3) f F 89. div rot Ff F (Theorem 15.3) In Exercises Exercises 63– 66, find the divergence of the the vector fieldfield F.field InIn Exercises 66,66, find the divergence ofof the vector F. F. Exercises 63– find the divergence the vector 2 63– 2 2j the In find of field F. 2 divergence F63. x, y 63– 2y 63. div rotdiv Frotrot 90. 90. (Theorem 15.3) div F 00F (Theorem 0 0 (Theorem 15.3) 90.rot (Theorem 15.3) In Exercises 66, find the of theofvector vector field field F. F. yxxx2222iii66, x 22y i 66, jdivergence In find the divergence the vector 222j2y x, 2y 63. div F 90. 15.3) yFyy x, 63– j 63. F x, x,Exercises x2 xi 63– 2y j 63. FF div rot F 0 90. (Theorem 15.3) F x, y, zz y, zxi 1 1 div rot F 0 In Exercises 91– 93, let and let 90. (Theorem 15.3) 2 2y F x, xiyj 1 yjzk, 1 zk, In Exercises 91– 93, let and let 2x 2jyy2y 2jy2 FF x, x, y, xi 1 yj 1 zk, In Exercises 91– 93, let and let F x, y x 63. F x, y i 63. F x, y x i j 63. xe ye 64. 22 ixxxixxe 22yyj 2y F y, z In Exercises 91– 93, let x, y, z Fxx,xi xi 1 yj 1 1 zk,yjand In Exercises 91– 93, let and lety F x, y y,1 zc yj 5 xi zk, 1 1 zk,let En los ejercicios 91 a 93, sea F x, y i ye j 64. jjyjj2y 63. x, yy x, yxxe ye 64. 2 FF x, 64. xxe 2y 63. f x, y, z F x, y, z . iye j 63. Fx, x,yyF xeiixxiiix 2x2y ye j 64. F F x, y, z xi 1 yj 1 zk, In Exercises 91– 93, let and let F x, y, z xi 1 yj 1 zk, In Exercises 91– 93, let and let F x, y, z xi 1 yj 1 zk, In Exercises 91– 93, let and let f x, y, z F x, y, z . f x, y, z F x, y, z . y y x y 2 xi yj 1 zk, In 91– 93, let fIn y,y, zzzc..let ff x, x, F x, 64. xx, x,Exercises y,zzzcExercises 5 FFFx, xx,y,y,y, . F FyF yy,xe ye 64. Fx,x, y senx yejyyj j z 22k 2 64. y, zzx, iiyeiyyjjcos 65. xx iixexe F x, x, y, y, zz xi 1 1 xi yj 1 1 yj zk,1 and Exercises 91– 93, let and let let zk, and F65. x, i ye cos 64. F x, y, senx cos yj 65. ff x, x, fy, y,In F x, x,Fy, y,Fx,zz91– x, y, y, z zF y,..y, z93, . .let F x, y, z fzz x, x, z x, ixiye yj F 65. yF xezsenx i xesenx ye 64. i jcos j yjzzz222kkk z2 k2 64. Fx, x,yy, y,zx, z yxe senx i cos yj 65. F 1 F .F F 2 2 f x, Show y,f zx, y,that z F x,lny, Ff zx, y,. zF 22i senx 2i i cos k zlnk F x, cos yj zyj 65. 2cos Fy, y,y,y, zzsenx 65. Fx,zx, z xxsenx z yyk222ln 65. ln xyj z2222 k 2 66. 2 xyj 2 F66. x, y, zzx, 91. 92. Show that 1111 1 FFF3F.. F . F ln xyy2iycos ycos iyjyj 222 i yj 65. F x, y, ln xyj ln 66. f fFF222F... . 2. 92. 91. Show 92. Show that ln 91. Show that 92. Show that F x, y, ln xyj yy22 yzzz222 kkkz k 66. senx 65. 3 F i ii yj z 2k 65. Fx, x,y, y,zzx, z y, zsenx ln xx222iisenx ycos xyjzz 2kk ln ln 66. F f f 91. that Show that 91. Show =ln slnlnffffln d5 = 5 2 Probar quethat 92. Probar que . Show that Show that 1 F F 1 F 1 F f f 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 fff2. . . 92. 92. ff3f33..3. .Ff 3.F . F 66. x,Fy, y,Fx,zz x, ln xyj ln yyln kz zk k 66. 66. 11ffff 1 fF y, y, z ln y zzy222 k z xx2ln lnx yyx222 ii y y2ixyj i xyjxyj 22 ln lnn ff ln ln 91. 91. Show that that Show that that f nfF Show Show f 91. Show that 92. Show that F F F F 2 F x, ln 66. 2 2 3 2 2 2 ln . 91. Show that 92. Show that FIn x,Exercises y, x find i ydivergence xyj ln yof z vector k z vector 66. In Exercises the F at F zx, 67–70, y, zln67 ln xyfind i divergence lnthe yof kfield 66. n fnnf 2 2.2F. fn f 2 flnnn f f ln nf 93. Show that that thatff f f ff 33.. f 3f33. 67–70, the the field F at 91. 91. Show Show that 92. Show In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field at 93. nfnn22 22F. 2 .F. 92. Show 2nf En los ejercicios afind 70, calcular laxyj divergencia del campo vecnf 93. Show that In 67–70, the of field at In Exercises Exercises 67–70, find the divergence divergence of the the vector vector field FFF at fffnnnn 5 nf F. f 93. that f f =f nf F. 93. Show Probar quethat f f f nf F. Show that the given point. n n2 2 In Exercises 67–70, findfind the divergence of the the vector fieldfield Ffield atF Fatat 93. 93. the given point. In 67–70, ofofthe In Exercises 67–70, findthe thedivergence divergence thevector vector the given point. f nn f nnf nf F. Show that that F.F. fnnnnn nf222F. nf 93.Show Show torial FExercises en el 67–70, punto dado. the given point. In find of field F theExercises given point. fthat that In Exercises 67–70, find the the divergence divergence of theofvector vector field field F at at F at 93. In Exercises 67–70, find the divergence the vector fN E fnf 93. Show that nfF.n 2F. 93. CCAAShow PPCSSATShow OOSNNTEEOthat the given point. the given point. the given point. P T the point. CCAAPPSSTTOONNEE Campo vectorial Punto the given given point. Campo vectorial Punto the given point. Campo vectorial Punto Campo vectorial Punto C94. AP PC(a) SACTTPASketch O NTSEOT N Campo vectorial Punto SPN EN E several Oseveral representative vectors in the field Para discusión 94. (a) representative vectors invector the vector field C A S 94. (a) several representative vectors in the vector field Campo vectorial Punto Campo vectorial Punto several representative Campo vectorial Punto C94. A P(a) SATSketch OSketch F x, y, z xyzi xyj zk 2, 1, 1 67. C POSketch SNTEESketch ObyN E 94. (a) several representativevectors vectorsin inthe thevector vectorfield field FCampo x,vectorial y, z xyzi xyzixyj xyjzk zk 2, 67. Punto FF x, x, y, xyj zk 2, 1, 67. given F 2, 1, 111 1, 1 67. Campo Punto vectorial Punto 94. (a) Sketch several representative vectors in the vector field x,y, y,zzvectorial z xyzi xyzi xyj zk 2, 1, 67. Campo given by 94. (a) Sketch several representative vectors in the vector field 94. (a) Sketch several representative vectors in the vector field given by given by 94. Sketch several representative vectors in the field given by 94. (a) a) Dibujar varios vectores representativos campo vec-field F x, y, xyzi zkyzkzkyzk 2, 1,2,2, 12, 67. 2zxyj Fy, y,y,y, zzxyzi xyj 1,331, 11,13 67. 94. (a) Sketch several representative vectors inen theel vector field Fx,zzx, xyzi xyj zk 67. xxz22222zziixyzi 1, 2xzj 68. 94. (a) given Sketch several representative vectors invector the vector F68. x, y, zzx, 2, F x i 2xzj F x, xyj zk 2, 1, 1 67. F x, y, 2, 1, 2xzj yzk 68. given by by given by xi yj F x, y, z x 2, 1, 3 z i 2xzj yzk 68. xyzi xyj zk 1, 1 67. F x, Fy, x, z y, z x2x z i xyzi 2, 2, 1, 1, 31 2xzj xyj yzkzk 2 68. 67. xiyj . yj given by xi torial dado F x, yygiven xi given by 2i2xzj by xi yj yj2 .. . FF x, x, yF x, y por F x, 2, 1, yzk 68. Fy, y,y,y, zzxez2xxzsen x 2xxzyi 2,1, 33 2xzj yzk 68. Fx,zx, z i yi yzk 68. e xxx2xzj yj kk z2 k 2, 3, 0, 002,330,1,01, 69. x cos F69. x, y, zzx, sen e xyj cos yjzzz2222k F 3, F iisen 2xzj yzk 68. F x, x, yy . yj sen yi cos yj F x, y, 3, 0, 69. xixx22222 xiyj yj xcos y2 xxiyy2y2222..yj ee2xzj F x, y, 3, 0, 0 69. 2, 1, 3 i exx 2yi 2xzj yzk 68. F 2, 1, 3 zyi i yzk 68. e cos yj z k Fx, x,y, y,zzx, z y, zxexeexx2zxzsen 3, 0, 0 69. F xi x F x, y F x, y x 2 y22. yj2. 2. x F x, y x 2 xi yj x x 2 xi sen yi e cos yj z k F x, y, z e 3, 0, 0 69. sen yi e cos yj z k F x, y, z e 3, 0, 0 69. 2 F x, y sen yi e cos yj z k F x, y, z e 3, 0, 0 69. 2 ln xyz i j k 2, 1 70. x x 2 F x, y, z 3, (b) Sketch several representative in the field F x, ln k yj 3, F . y y. vectors x yyx222representative x sen F x, y several eejjijx cos zz2kk z2 k 3, 69. F x, y, zz y, xyz 3, 2, 70. (b) Sketch several representative vectors in the vector field (b)x, ySketch vectors invector the vector field F70. x, y, xyz iii yi kjk 3, 2, 1011 2, 70. (b) Sketch several representative vectors in the vector field sen yixyz cos yjcos eln 0, 69. xxx22 representative sen ekxyj F y, zzeln e xyi 0, 10 69. Fx, x,y, y,zzx, ln xyz 3,0, 2,03, 70. F (b) several vectors (b) Sketch Sketch several representative vectorsin inthe thevector vectorfield field y2 xy F x, y, z ln xyz i j k 3, 2, 1 70. F x, y, z ln xyz i j k 3, 2, 1 given by 70. F x, y, z ln xyz i j k 3, 2, 1 70. (b) Sketch several representative vectors in the vector field given by (b) Sketch several representative vectors in the vector field (b) Sketch several representative vectors in the vector field given by F x, y, z ln xyz i j k 3, 2, 1 70. given by (b) Sketch several representative vectors in the field F70. y, ln iC O 3, 2, 3, 1 2, 1 70. given by FNIzx, iCCCOEk jP T S k W R IIx,TTIR G y,AAzG B Oxyz UBlnTTOxyz NN b) Dibujar varios vectores representativos campo vec-field (b) Sketch several representative vectors inen theel vector field (b) given Sketch several representative vectors invector the vector TOOjN W given by by given by W AABBBOOOAUU CCCO xi yj WRRRIW ITTIIINN NTGGGI N UTT U NCCEEENPPPCTTTESSSP T S xi yj given by xi yj torial por G x, ydado xi given byx, y by given Desarrollo conceptos xi yj yj . W RW IDefine N G BGaO OAde U Ofield N C EN Pplane TECSPE TP RII N IRTG G BATO U Cthe OCin C ST Sin IITaNIAvector N Bfield OCTUO TN Oplane Nthe 71. field in and space. Give some G . G x, 71. vector and in space. Give some W R TTTW B C 71. Define vector in the and in space. Give some G G x, x,yyy . yj xixx22222 xiyj yj xiy2y22222..yj 71. vector plane W R IIDefine IRNDefine Aexamples B UBTTfield C NCthe Cthe Pfields. W I GT aIaaAN G OAU OC UO Tin OEENP CTTESSplane Pand T S in 71. Define vector field in plane and in space. space. Give Give some some x y2. xi physical of vector x y G x, y . G x, y x y G x, y . xi yj xi yj physical examples of vector fields. 71. Define a vector field in the plane and in space. Give some physical examples of vector fields. 71. Define a vector field in the plane and in space. Give some 71. Define a vector field in the plane and in space. Give some physical examples of vector fields. 2 G x, yG 2y22.. 2 2or differences in the vector Definir campo vectorial en el plano y space. en el espacio. Dar physical of vector fields. 71. aaunexamples vector field in the plane and Give some (c) Explain similarities physical examples offield vector fields. G y x,any y xxany 22 x similarities 71. Define Define vector field in the plane and in in space. Give Give some (c)x, Explain or differences in vector the vector 71. Define aexamples vector invector the plane and indospace. some (c) Explain any similarities or differences in the yyx222 yyy2.or (c) Explain any similarities differences physical examples of vector fields. physical of vector fields. (c) Explain any similarities or differences in in the the vector vector physical examples of fields. x 72. What is a conservative vector field, and how you test for x algunos ejemplos físicos de campos vectoriales. 72. What is aexamples conservative vector field, and how do test you test for of fields. 72. What is conservative vector field, and how do you test for fields FF x, yy any ysimilarities G x, yy ..x, yor. differences (c) Explain any in the vector 72. What is aaexamples conservative vector field, and how do you for physical examples of vector vector fields. fields F x, y y G (c) Explain similarities or differences in the (c) Explain any similarities or differences in thevector vector physical of vector fields. 72. physical What is a conservative vector field, and how do you test for fields x, y G x, fields F x, y y G x, y . (c) Explain any similarities or differences in the vector fields F x, y y G x, y . itit72. in the plane and in space? (c) Explain any similarities or differences in the vector 72. What is a conservative vector field, and how do you test for it in the plane and in space? c) Explicar cualquier similitud o diferencia en los campos 72. What is a conservative vector field, and how do you test for (c) Explain any similarities or differences in the vector What is a conservative vector field, and how do you test for in the plane and in space? ¿Qué es un campo vectorial conservativo y cuál es su critefields F x, x,Fyy Fx,yyx, Gyyx, x,G . x, it and 72. is aaplane conservative vector field, and how do you test for fields yG y .y . fields yyyGx, itin inthe the plane andin inspace? space? 72. What What is conservative vector field, and how do you test for 72. What is a conservative vector field, and how do you test for fields F . fieldsfields F x, yF x, yG y .x, y . it inen plane and space? vectoriales itthe in the plane in space? yG y x, it in the plane and space? 73. Define the rot of ain vector field. rio elthe plano yof enand el espacio? Define the rot of ainin vector field. in plane and space? 73. Define the rot of aaand vector field. 73. rot vector field. it73. in the the plane and in space? it in the space? 73. itDefine Define the rotplane ofain vector field. 73. Define the rot of aof vector field. 73. the rot aof vector 73.Define Define the rot of a avector field. 74. divergence vector field in the and in Define the 73. Definir el rotacional de un campo vectorial. 74. Define the divergence of afield. vector field inplane the plane and in True or False? In Exercises 95–98, determine whether the the 74. Define the divergence of vector field in the plane and in True or False? In Exercises 95–98, determine whether the 74. Define divergence aaafield. vector field 73. the rot of vector field. True or False? In Exercises 95–98, determine whether the 73. Define theof rotaa vector of of aofvector field. 74. Define Define therot divergence vector field in in the the plane plane and and in in True In Exercises 95–98, determine whether the True or or False? False? In false. Exercises 95–98, determine whether the space. space. 74. Define the divergence of a vector field in the plane and in space. 74. Define the divergence of a vector field in the plane and in statement is true or If it is false, explain why or give an 74. Define the divergence of a vector field in the plane and in space. True or False? In Exercises 95–98, determine whether the Definir la divergencia de un campo vectorial en el plano y en statement is true or false. If it is false, explain why or give an True or False? In Exercises 95–98, determine whether the True or False? In Exercises 95–98, determine whether the space. 74. Define the divergence of a vector field in the plane and in statement is true or false. If it is false, explain why or give an ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 95 a 98, determinar si la space. statement isis true or false. IfIf itit95–98, isis false, explain why or give an True or In determine whether 74. space. Define the divergence of a vector field in the plane and in statement true oritExercises false. false, explain why orwhether givethe an the 74. space. Define True or False? False? In Exercises 95–98, determine whether the True or False? In Exercises 95–98, determine example that shows is false. space. the divergence of a vector field in the plane and in statement is true or false. If it is false, explain why or give an el espacio. example that shows it is false. statement is true or false. If it is false, explain why or give an statement is true or false. If it is false, explain why or give an space. example that shows it is false. declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o example that shows it is false. statement is true or false. If it is false, explain why or give an space.space. example that shows is false. statement is that true oritit false. If2false. it If is false, explain why why or give an an statement is4xi true or false. it yis false, explain give 2 22it example that shows false. shows is example that shows it isj, false. j,false. FFejemplo x, yy x,shows yis Fsu x, → 00 → x, yy → 0, 00or.0, 95. If then as darexample un que demuestre falsedad. F y 4xi y F x, y 0 x, y → 0 . 95. If then as 2 example that it is j, x, 4xi y F x, y → x, → 0, . 95. If then as 2 4xi FF x,x,yy → 95. example that shows it yisy2 j,false. is 2false. j,itthen x,yy that 4xishows →00as → 0,0,00 .. 95. Ifexample IfFF x, then as x,x,yy → F F G . G. In Exercises 75 and find rot F G F In Exercises 75 76, and 76, find rot G 2j, G G In Exercises 75 and 76, find rot j, F x, 4xi yy2y22222j, F x,x, yiF → x, yas → 0, 95. If then as FFF G In 2 j, FyyF yy4xi 4xi ythen Fis x, yx, → 0 x, x,→ y-axis, 0, 0Æ 95. Ifx, then as Fx,x,x, y4xi 4xi yentonces F x, y00yon → 00positive y→y→ 0, 0. . 95. If then 96. 4xi and x, yyx, on the positive yx, then 2j j, G G ... InExercises Exercises75 75and and76, 76,find findrot rot FFF G If FFF(x, x, yyy) j 96. If 4xi y and y is the F y F y → y 0, 00(x, ...then 95. s d i → Si 5 4xi 2 cuando y) 95. If as j 96. If x, y and x, is on the positive -axis, then 2 2 j 96. If and x, y is on the positive j, F x, y 4xi y F x, y → 0 x, y → 0,→ 0-axis, 95. then as F G F G . In Exercises 75 and 76, find rot y 4xi in 4xithe y2 j,2 then F on x, ythe→positive 0 as x,yyy-axis, y-axis, 0, 0 then . 95. Ifx, Fy x,points InIn Exercises 7575 and 76, find rot 96. the If Fvector y2 j and x, y y-direction. is then . Exercises and 76, find rotFGFFx,Gy,Gz Fx i FGFzk En los ejercicios y3xj 76,find calcular F ..i GGG.zk In Exercises 75 and 76, rot negative F x, y, z i 2yk 75. 76. j 96. If F x, y 4xi y and x, y is on the positive y -axis, then F G F G In Exercises 75 and 76, find rot the vector points in the negative y -direction. j 96. If F x, y 4xi y and x, y is on the positive y -axis, then F x, y, z i 3xj 2yk F x, y, z x 75. 76. j 96. If F x, y 4xi y and x, y is on the positive y -axis, then F G F . In Exercises 75 and 76, find rot (0, 0). 2 the vector points in the negative yy-direction. -direction. x, y, 3xj 2yk x, y, zk 75. 76. the vector in negative 2the jj and 96. If F x, yyF x,points 4xi yy yis on the positive yy-axis, then 75. 2 x, the vector points inyythe negative -direction. x,y, y,zzz iii 3xj 3xj 2yk 2yk 76. x,y, y,zzz xxx2iii zk zk 2 75. FFF x, 76. FFF x, 96. If F x, 4xi and x, is on the positive -axis, then j 96. If y 4xi y and x, y is on the positive y -axis, then the vector points in the negative y -direction. 2i2i x izk 22k F F x, y, z i 3xj 2yk x, y, z 75. 76. the vector points in the negative y -direction. 2 2 F x, y, z i 3xj 2yk F x, y, z zk 75. 76. the vector points in the negative y -direction. F x, y, z i 3xj 2yk F x, y, z x i zk 97. If f is a scalar field, then rot f is a meaningful expression. 75. 76. 2 G x, y, z x G x, y, z x i yj zk yj z 97. If is a scalar then is yael meaningful expression. G x, y, zzxxx2ii2ii xxzk G y, zizixxii 3xj i 3xj yj zk76. i yj sthe x, yscalar d points 5 4xi 2field, ythen jinnegative srot x, ynegative 96. Si ynegative está en eje y positivo, entonces vector in the 75. 97. If is field, ffis is aaf meaningful meaningful expression. G x, y, zz y, yj zk G x, y, zz y, yj If is aaaf scalar field, then rot fdrot expression. the vector points in the -direction. G x, y, G x, y, zx, zk yj zzz222kkk z k 97. F x, y, 2yk F x, y, 75. F 76. F vector points the -direction. F ixyj F iyj zk 75. 76. 97. the IffffF is scalar field, then rot isyya-direction. meaningful expression. Gx, x,y, y,zzx, x i 3xj yj 2yk zk 2yk Gx, x,y, y,zzx, x2 i 2zk 2k2 2 i yj 97. If f is a scalar field, then rot f is a meaningful expression. G G x, y, z x i yj zk x, y, z x i yj z k 97. If f is a scalar field, then rot f is a meaningful expression. G x, y, z x i yj zk i z G x, y, z x 97. If f is a scalar field, then rot f is a meaningful expression. G x, y, z x G x, y, z x i yj zk yj z k 98. F is a vector field and rot F 0, then F is irrotational but el vector apunta en la dirección y negativa. 2 2 If 98. If F is a vector field and rot F 0, then F is irrotational but 97. If f is a scalar field, then rot f is a meaningful expression. 2 2 G G x, y, ii 78, zk zzyjkk z 2k 98. 98. If is vector field and rot 0, is irrotational but 2i is field and rot FFF 0, FFF is irrotational but 97. field, then rot is a fmeaningful G x, x,Fy, y, zzx, y, xxz iiFF x..yj G y, zzx,77 x77 yji find zkfind yj Frot In Exercises rot 97. If a scalar field, is athen meaningful expression. G G y, and zxand xyj yj zkrot 98. If IffFFFis isaafascalar aisvector vector field andthen rot frot 0, then then isexpression. irrotational but In x,Exercises and 78, rot rot In Exercises 77 78, find rot not conservative. FF .. F . In 98. If F is a vector field and rot F 0, then F is irrotational but rot FFF InExercises Exercises77 77and and78, 78,find findrot rot rot not conservative. 98. If F is a vector field and rot F 0, then F is irrotational but 98. If F is a vector field and rot F 0, then F is irrotational but f f 97. Si es un campo escalar, entonces el rotacional tiene sentido. not conservative. not conservative. 98. F is aaFvector field and but not conservative. rot F rotF F F .. F F. . In Exercises Exercises 77 and and 78, find rot En los ejercicios 7777 y78, 78,find hallar InIn Exercises and 78, find rot 98. If If98. Fconservative. is vector field field and rot rot Frot 0, 0, then then F is is irrotational irrotational but but Exercises and 78, find rotrot Ifnot is a vector and F F 0, F then F is irrotational rot F F In 77 rot not F x, y, z xyzi yj zk 77. not conservative. conservative. rot F F . In Exercises 77 and 78, find rot F x, y, z xyzi yj zk 77. rot F F . In Exercises 77 and 78, find rot x, y, xyzi yj zk 77. Fnot 98. not Si conservative. esconservative. un campo vectorial y rot F = 0, entonces F es irrota77. not conservative. x,y, y,zzz xyzi xyzi yj yj zk zk 77. FFF x, 77. 77. Fs77. x,Fy,Fx,zdx, 1xyzi yj 1yjzk y,5y, z xyzi z xyzi yj zkzk cional pero no conservativo. F x, y, z xyzi yj zk 77. x, y, yj yj zk zk 77. F77. F zx, y, zxyzi xyzi

||

||

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SECCIÓN 15.2

Integrales de línea

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15.2 Integrales de línea n n n n

Comprender y utilizar el concepto de curva suave a trozos. Expresar y evaluar una integral de línea. Expresar y evaluar una integral de línea de un campo vectorial. Expresar y calcular una integral de línea en forma diferencial.

Curvas suaves a trozos (o por partes) Una propiedad clásica de los campos gravitatorios (o gravitacionales) es que, sujeto a ciertas restricciones físicas, el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto que se mueve entre dos puntos en el campo es independiente de la trayectoria que siga el objeto. Una de las restricciones es que la trayectoria debe ser una curva suave a trozos (o por partes). Recuérdese que una curva plana C dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj, a ≤ t ≤ b The Granger Collection

es suave si dx dt

y

dy dt

son continuas en [a, b] y no simultáneamente 0 en (a, b). Similarmente, una curva C en el espacio dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk, a ≤ t ≤ b

JOSIAH WILLARD GIBBS (1839-1903) Muchos físicos y matemáticos han contribuido a la teoría y a las aplicaciones descritas en este capítulo, Newton, Gauss, Laplace, Hamilton y Maxwell, entre otros. Sin embargo, el uso del análisis vectorial para describir estos resultados se atribuye principalmente al físico matemático estadounidense Josiah Willard Gibbs.

es suave si dx , dt

dy , y dt

son continuas en [a, b] y no simultáneamente 0 en (a, b). Una curva C es suave a trozos (o por partes) si el intervalo [a, b] puede dividirse en un número finito de subintervalos, en cada uno de los cuales C es suave. EJEMPLO 1

z

C = C1 + C2 + C3

(0, 0, 0) x

C1 (1, 2, 0)

Figura 15.7

Hallar una parametrización suave a trozos

Hallar una parametrización suave a trozos de la gráfica C que se muestra en la figura 15.7.

1

1

dz dt

(1, 2, 1) C3 C2

Solución Como C consta de tres segmentos de recta C1, C2 y C3, se puede construir una parametrización suave de cada segmento y unirlas haciendo que el último valor de t en Ci coincida con el primer valor de t en Ci11, como se muestra a continuación.

(0, 2, 0) y

C1: xstd 5 0, C2: xstd 5 t 2 1, C3: xstd 5 1,

ystd 5 2t, ystd 5 2, ystd 5 2,

zstd 5 0, zstd 5 0, zstd 5 t 2 2,

0 ≤ t ≤ 1 1 ≤ t ≤ 2 2 ≤ t ≤ 3

Por tanto, C está dada por

5

2tj, rstd 5 st 2 1di 1 2j, i 1 2j 1 st 2 2dk,

0 ≤ t ≤ 1 1 ≤ t ≤ 2. 2 ≤ t ≤ 3

Como C1, C2 y C3 son suaves, se sigue que C es suave a trozos. Recuérdese que la parametrización de una curva induce una orientación de la curva. Así, en el ejemplo 1, la curva está orientada de manera que la dirección positiva va desde (0, 0, 0), siguiendo la curva, hasta (1, 2, 1). Trátese de obtener una parametrización que induzca la orientación opuesta.

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Integrales de línea Hasta ahora, en el texto, se han estudiado varios tipos de integrales. En una integral simple

E

b

f sxd dx

Se integra sobre el intervalo [a, b].

a

se integró sobre el intervalo [a, b]. De manera similar, en las integrales dobles

EE

f sx, yd dA

Se integra sobre la región R.

R

se integró sobre la región R del plano. En esta sección se estudia un nuevo tipo de integral llamada integral de línea

E

f sx, yd ds

Se integra sobre una curva C.

C

en la que se integra sobre una curva C suave a trozos. (Esta terminología es un poco desafortunada; este tipo de integral quedaría mejor descrita como “integral de curva”.) Para introducir el concepto de una integral de línea, considérese la masa de un cable de longitud finita, dado por una curva C en el espacio. La densidad (masa por unidad de longitud) del cable en el punto (x, y, z) está dada por ƒ(x, y, z). Divídase la curva C mediante los puntos z

P0, P1, . . . , Pn

(xi , yi , zi) P0

P1 P2

Pi − 1 C ∆si

x

Pi P n−1 Pn

produciendo n subarcos, como se muestra en la figura 15.8. La longitud del i-ésimo subarco está dada por Dsi. A continuación, se elige un punto sxi, yi, zi d en cada subarco. Si la longitud de cada subarco es pequeña, la masa total del cable puede ser aproximada por la suma

y

Masa de cable <

Partición de la curva C Figura 15.8

n

o f sx , y , z d Ds . i

i

i

i

i51

Si iDi denota la longitud del subarco más largo y se hace que iDi se aproxime a 0, parece razonable que el límite de esta suma se aproxime a la masa del cable. Esto lleva a la definición siguiente. DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE LÍNEA Si ƒ está definida en una región que contiene una curva suave C de longitud finita, entonces la integral de línea de f a lo largo de C está dada por

E

f sx, yd ds 5 lím lim

E

f sx, y, zd ds 5 lím lim

C

o

C

n

o f sx , y d Ds

iDi →0 i51

i

i

Plano.

i

n

o f sx , y , z d Ds

iDi→0 i51

i

i

i

i

Espacio.

siempre que este límite exista.

Como sucede con las integrales vistas en el capítulo 14, para evaluar una integral de línea es útil convertirla en una integral definida. Puede demostrarse que si f es continua, el límite dado arriba existe y es el mismo para todas las parametrizaciones suaves de C.

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SECCIÓN 15.2


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Para evaluar una integral de línea sobre una curva plana C dada por r(t) 5 x(t)i 1 y(t)j, se utiliza el hecho de que ds 5 ir9stdi dt 5 ! fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 dt. Para una curva en el espacio hay una fórmula similar, como se indica en el teorema 15.4. TEOREMA 15.4 EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE LÍNEA COMO INTEGRAL DEFINIDA Sea f continua en una región que contiene una curva suave C. Si C está dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj, donde a ≤ t ≤ b, entonces

E

E

b

f sx, yd ds 5

f sxstd, ystdd! fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 dt.

a

C

Si C está dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk, donde a ≤ t ≤ b, entonces

E

E

b

f sx, y, zd ds 5

f sxstd, ystd, zstdd! fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 1 fz9stdg 2 dt.

a

C

Obsérvese que si f sx, y, zd 5 1, la integral de línea proporciona la longitud de arco de la curva C, como se definió en la sección 12.5. Es decir,

E

C

z

EJEMPLO 2

1

(0, 0, 0)

arcoC.de la curva C. ir9stdi dt 5 longitud length ofde curve

a

Evaluación de una integral de línea

Evaluar

E

C (1, 2, 1)

1

sx2 2 y 1 3zd ds

C

1

x

E

b

1 ds 5

2

y

donde C es el segmento de recta mostrado en la figura 15.9.

Figura 15.9

Solución Para empezar se expresa la ecuación de la recta en forma paramétrica: x 5 t,

y 5 2t, y

z 5 t,

0 ≤ t ≤ 1.

Entonces, x9std 5 1, y9std 5 2, yy z9std 5 1, lo cual implica que ! fx9stdg2 1 f y9stdg2 1 fz9stdg2 5 !12 1 22 1 12 5 !6.

Por tanto, la integral de línea toma la forma siguiente. NOTA

En el ejemplo 2, el valor de la integral de línea no depende de la parametrización del segmento de recta C (con cualquier parametrización suave se obtendrá el mismo valor). Para convencerse de esto, probar con alguna otra parametrización, como por ejemplo x 5 1 1 2t, y 5 2 1 4t, z 5 1 1 2t, 2 12 ≤ t ≤ 0, o x 5 2t, y 5 22t, z 5 2t, 21 ≤ t ≤ 0. n

E

E

1

sx2 2 y 1 3zd ds 5

C

st 2 2 2t 1 3td!6 dt

E

0

1

5 !6

st 2 1 td dt

0

5 !6 5

3 t3 1 t2 4

5!6 6

3

2 1 0

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Supóngase que C es una trayectoria compuesta de las curvas suaves C1, C2, . . . , Cn. Si f es continua en C, se puede mostrar que

E

E

f sx, yd ds 5

C

f sx, yd ds 1

C1

E

f sx, yd ds 1 . . . 1

C2

E

f sx, yd ds.

Cn

Esta propiedad se utiliza en el ejemplo 3. EJEMPLO 3

y

Evaluar

E

Evaluación de una integral de línea sobre una trayectoria

x ds, donde C es la curva suave a trozos mostrada en la figura 15.10.

C

C = C1 + C2

Solución Para empezar, se integra, en sentido ascendente sobre la recta y 5 x, usando la parametrización siguiente.

(1, 1)

1

y=x

C1: x 5 t, y 5 t, y = x2

C1

(0, 0)

En esta curva, rstd 5 ti 1 tj, lo que implica que x9std 5 1 y y9std 5 1. Por tanto,

C2 x 1

Figura 15.10

0 ≤ t ≤ 1

!fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 5 !2

y se tiene

E

E

1

x ds 5

C1

t!2 dt 5

0

!2

2

4

1

t2

0

!2

5

2

.

A continuación, se integra, en sentido descendente, sobre la parábola y 5 x2, usando la parametrización C2: x 5 1 2 t,

y 5 s1 2 td2,

0 ≤ t ≤ 1.

En esta curva, rstd 5 s1 2 tdi 1 s1 2 td2j, lo cual implica que x9std 5 21 y y¢(t) 5 22(1 2 t). Por tanto, ! fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 5 !1 1 4s1 2 td2

y se tiene

E

E

1

x ds 5

C2

s1 2 td!1 1 4 s1 2 td2 dt

0

52

3

4

1 2 f1 1 4s1 2 td2g 3y2 8 3

1 0

1 5 s53y2 2 1d. 12 Por consiguiente,

E

x ds 5

C

E

C1

x ds 1

E

C2

x ds 5

!2

2

1

1 3y2 s5 2 1d < 1.56. 12

En parametrizaciones dadas por rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk, es útil recordar la forma de ds como ds 5 ir9stdi dt 5 ! fx9stdg 2 1 f y9stdg 2 1 fz9stdg 2 dt. Esto se usa en el ejemplo 4.

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SECCIÓN 15.2

E

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Evaluar una integral de línea

EJEMPLO 4 Evaluar


sx 1 2d ds, donde C es la curva representada por

C

4 3y2 1 t j 1 t 2 k, 0 ≤ t ≤ 2. 3 2

rstd 5 t i 1

Solución Puesto que r9std 5 i 1 2t1y2j 1 tk, y ir9stdi 5 ! fx9stdg2 1 f y9stdg 2 1 fz9stdg 2 5 !1 1 4t 1 t 2 se sigue que

E

E E 2

sx 1 2d ds 5

C

st 1 2d!1 1 4t 1 t 2 dt

0

5 5 5

1 2

2

2st 1 2ds1 1 4t 1 t 2d1y2 dt

0

3

4

1 s1 1 4t 1 t 2d3y2 3

2 0

1 s13!13 2 1d 3

< 15.29. El ejemplo siguiente muestra cómo usar una integral de línea para hallar la masa de un resorte (o muelle) cuya densidad varía. En la figura 15.11 obsérvese cómo la densidad de este resorte aumenta a medida que la espiral del resorte asciende por el eje z.

Hallar la masa de un resorte (o muelle)

EJEMPLO 5

Hallar la masa de un resorte que tiene la forma de una hélice circular z

Densidad: ρ (x, y, z) = 1 + z

rstd 5

1 scos t i 1 sen sin tj 1 t kd, !2

0 ≤ t ≤ 6p

donde la densidad del resorte es rsx, y, zd 5 1 1 z, como se muestra en la figura 15.11. Solución Como ir9stdi 5

1 !2

!s2sin sen td2 1 scos td2 1 s1d2 5 1

se sigue que la masa del resorte es Mass 5 Masa

E

C

s1 1 zd ds 5

E

6p

0

11 1 !t 22 dt

3

5 t1

2 x

2

y

r(t) = 1 (cos ti + sen tj + tk) 2

Figura 15.11

6p

t2 2!2

1

5 6p 1 1

4

0

3p !2

2

< 144.47. La masa del resorte es aproximadamente 144.47.

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Integrales de línea de campos vectoriales

Campo de fuerzas cuadrático inverso F

Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales de línea es la de hallar el trabajo realizado sobre un objeto que se mueve en un campo de fuerzas. Por ejemplo, la figura 15.12 muestra un campo de fuerzas cuadrático inverso similar al campo gravitatorio del Sol. Obsérvese que la magnitud de la fuerza a lo largo de una trayectoria circular en torno al centro es constante, mientras que la magnitud de la fuerza a lo largo de una trayectoria parabólica varía de un punto a otro. Para ver cómo puede utilizarse una integral de línea para hallar el trabajo realizado en un campo de fuerzas F, considérese un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria C en el campo, como se muestra en la figura 15.13. Para determinar el trabajo realizado por la fuerza, sólo se necesita considerar aquella parte de la fuerza que actúa en la dirección en que se mueve el objeto (o en la dirección contraria). Esto significa que en cada punto de C, se puede considerar la proyección F ? T del vector fuerza F sobre el vector unitario tangente T. En un subarco pequeño de longitud Dsi, el incremento de trabajo es DWi 5 (fuerza)(distancia) sforcedsdistanced < fFsxi, yi, zi d ? Tsxi, yi, zi dg Dsi donde sxi, yi, z i d es un punto en el subarco i-ésimo. Por consiguiente, el trabajo total realizado está dado por la integral siguiente. W5

E

C

Vectores a lo largo de una trayectoria parabólica en el campo de fuerzas F

Fsx, y, zd ? Tsx, y, zd ds z

z

Figura 15.12

z

C

(F • T)T

T tiene la dirección (F • T)T de F.

C F

T

F

C T y

T

y

y

(F • T)T x

x

x

En cada punto en C, la fuerza en la dirección del movimiento es sF Figura 15.13

?

T dT.

Esta integral de línea aparece en otros contextos y es la base de la definición siguiente de integral de línea de un campo vectorial. En la definición, obsérvese que r9std ir9stdi dt ir9stdi 5 F ? r9std dt 5 F ? dr.

F ? T ds 5 F ?

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL Sea F un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave C dada por rstd, a ≤ t ≤ b. La integral de línea de F sobre C está dada por

E

C

F ? dr 5

E

C

F ? T ds 5

E

b

a

Fsxstd, yst), zstdd ? r9std dt.

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SECCIÓN 15.2

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Trabajo realizado por una fuerza

EJEMPLO 6 z


Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas

(−1, 0, 3π )

1 1 1 Fsx, y, zd 5 2 xi 2 yj 1 k 2 2 4

3π

Campo de fuerzas F.

sobre una partícula que se mueve a lo largo de la hélice dada por rstd 5 cos t i 1 sen sin tj 1 tk

−2

π

−2

−1

−1

desde el punto s1, 0, 0d hasta el punto s21, 0, 3pd, como se muestra en la figura 15.14.

(1, 0, 0)

Solución Como

1

2

2

x

Curva C en el espacio.

y

rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk 5 cos t i 1 sen sin tj 1 tk

Figura 15.14

sin t,t y zstd 5 t. Por tanto, el campo de fuerzas puede se sigue que xstd 5 cos t, ystd 5 sen expresarse como 1 1 1 Fsxstd, ystd, zstdd 5 2 cos t i 2 sen sin tj 1 k. 2 2 4 Para hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas al moverse la partícula a lo largo de la curva C, se utiliza el hecho de que sen t i 1 cos tj 1 k r9std 5 2sin y se escribe lo siguiente. W5

E ? E E1 E1 E F

C b

5 5 5 5

dr

Fsxstd, ystd, zstdd ? r9std dt

a 3p

sen t i 1 cos tj 1 kd dt 2 ? s2sin 1 1 1 sen sin t cos t 2 sin sen t cos t 1 2 dt 2 2 4 1 1 1 2 cos t i 2 sen sin tj 1 k 2 2 4

0 3p 0 3p 0

1 dt 4

3p

4

1 5 t 4

z

5

0

3p 4

NOTA En el ejemplo 6, nótese que las componentes x y y del campo de fuerzas acaban no contribuyendo en nada al trabajo total. Esto se debe a que en este ejemplo particular la componente z del campo de fuerzas es la única parte de la fuerza que actúa en la misma dirección (o en dirección opuesta) en la que se mueve la partícula (ver la figura 15.15). n y x Generado con Mathematica

Figura 15.15

TECNOLOGÍA La gráfica, generada por computadora, del campo de fuerzas del ejemplo 6 mostrado en la figura 15.15 indica que todo vector en los puntos del campo de fuerzas apunta hacia el eje z.

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

En integrales de línea de funciones vectoriales, la orientación de la curva C es importante. Si la orientación de la curva se invierte, el vector tangente unitario Tstd cambia a 2Tstd, y se obtiene

E

2C

F ? dr 5 2

EJEMPLO 7

E

C

F ? dr.

Orientación y parametrización de una curva

Sea Fsx, yd 5 yi 1 x2j y evaluar la integral de línea eC F ? dr a lo largo de cada una de las curvas parabólicas mostradas en la figura 15.16.

C1: r1(t) = (4 − t)i + (4t − t 2)j C2: r2(t) = ti + (4t − t 2)j

a) C1: r1std 5 s4 2 tdi 1 s4t 2 t 2d j, 0 ≤ t ≤ 3

y

b) C2: r2std 5 ti 1 s4t 2 t 2dj, 1 ≤ t ≤ 4

4

(1, 3)

Solución a) Como r19 std 5 2i 1 s4 2 2tdj y

3

2

C2

C1

Fsxstd, ystdd 5 s4t 2 t 2di 1 s4 2 td2j la integral de línea es

1

(4, 0) x

1

2

3

4

Figura 15.16

E

C1

F ? dr 5 5

E E E

s24t 1 t 2 1 64 2 64t 1 20t 2 2 2t 3d dt

3

t4 1 7t 3 2 34t 2 1 64t 2

3

fs4t 2 t 2di 1 s4 2 td2jg ? f2i 1 s4 2 2tdjg dt

0 3

0 3

5

s22t 3 1 21t 2 2 68t 1 64d dt

0

NOTA

Aunque en el ejemplo 7 el valor de la integral de línea depende de la orientación de C, no depende de la parametrización de C. Para ver esto, sea C3 la curva representada por r3 5 st 1 2di 1 s4 2 t2dj donde 21 ≤ t ≤ 2. La gráfica de esta curva es el mismo segmento parabólico mostrado en la figura 15.16. ¿Coincide el valor de la integral de línea sobre C3 con el valor sobre C1 o C2? ¿Por qué sí o por qué no? n

5 2 5

4

3 0

69 . 2

b) Como r29 std 5 i 1 s4 2 2tdj y Fsxstd, ystdd 5 s4t 2 t 2di 1 t 2j la integral de línea es

E

C2

F ? dr 5 5

E E E

s4t 2 t 2 1 4t 2 2 2t 3d dt

3

t4 1 t 3 1 2t 2 2

4

fs4t 2 t 2d i 1 t 2jg ? fi 1 s4 2 2tdjg dt

1 4

1 4

5

s22t 3 1 3t 2 1 4td dt

1

5 2 52

4

4 1

69 . 2

El resultado del inciso b) es el negativo del del inciso a) porque C1 y C2 representan orientaciones opuestas del mismo segmento parabólico.

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SECCIÓN 15.2


1077

Integrales de línea en forma diferencial Otra forma normalmente utilizada de las integrales de línea se deduce de la notación de campo vectorial usada en la sección anterior. Si F es un campo vectorial de la forma Fsx, yd 5 Mi 1 Nj, y C está dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj, entonces F ? dr se escribe a menudo como M dx 1 N dy.

E

F ? dr 5

C

5

E ? E E1 E F

C b

a b

5

sMi 1 Njd ? sx9stdi 1 y9stdjd dt M

a

5

dr dt dt

2

dx dy 1N dt dt dt

sM dx 1 N dyd

C

Esta forma diferencial puede extenderse a tres variables. Los paréntesis se omiten a menudo, y se escribe:

E

M dx 1 N dy

E

y

C

M dx 1 N dy 1 P dz

C

Obsérvese cómo se usa esta notación diferencial en el ejemplo 8.

y 4

Evaluación de una integral de línea en forma diferencial

EJEMPLO 8 2

Sea C el círculo de radio 3 dado por x −4

−2

2

4

rstd 5 3 cos ti 1 3 sen sin tj, tj, 0 ≤ t ≤ 2p como se muestra en la figura 15.17. Evaluar la integral de línea

−2

E

−4

y3 dx 1 sx3 1 3xy2d dy.

C

r(t) = 3 cos ti + 3 sen tj

sin t, se tiene dx 5 23 sen sin t dt y dy 5 3 cos t dt. Por Solución Como x 5 3 cos t y y 5 3 sen tanto, la integral de línea es

Figura 15.17

E

M dx 1 N dy

C

NOTA

La orientación de C afecta el valor de la forma diferencial de una integral de línea. Específicamente, si 2C tiene orientación opuesta a C, entonces

E

2C

M dx 1 N dy 5 2

E

5 5

E E

y3 dx 1 sx3 1 3xy2d dy

C 2p

5 81 5 81

M dx 1 N dy.

C

Por tanto, de las tres formas de la integral de línea presentadas en esta sección, la orientación de C no afecta a la forma eC f sx, yd ds, pero sí afecta a la forma vectorial y la forma diferencial. n

fs27 sen sin3 tds23 sin sin22 tds3 cos tdg dt sen td 1 s27 cos3 t 1 81 cos t sen

E E E

0

5 81

2p

0 2p 0 2p 0

scos4 t 2 sen sin4 t 1 3 cos2 t sen sin22 td dt 3 sin t 1 sen sin 2t2 dt 1cos t 2 sen 4 3cos 2t 1 4311 2 2cos 4t24 dt 2

2

2

2p

sin 2t 3 3 sen sin 4t 1 t2 3sen 2 8 32 4

5 81 5

243p . 4

0

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

En curvas representadas por y 5 gsxd, a ≤ x ≤ b, se puede hacer x 5 t y obtener la forma paramétrica x5t

y

y 5 gstd, a ≤ t ≤ b.

Como en esta forma es dx 5 dt, se tiene la opción de evaluar la integral de línea en la variable x o en la variable t. Esto se muestra en el ejemplo 9. EJEMPLO 9 Evaluar

y

E

C: y = 4x − x 2 4

3

Evaluación de una integral de línea en forma diferencial

y dx 1 x2 dy

C

donde C es el arco parabólico dado por y 5 4x 2 x2 desde s4, 0d a s1, 3d, como se muestra en la figura 15.18.

(1, 3)

2

Solución En lugar de pasar al parámetro t, se puede simplemente conservar la variable x y escribir

1

x 1

Figura 15.18

2

3

4

dy 5 s4 2 2xd dx.

y 5 4x 2 x2

(4, 0)

Entonces, en la dirección de s4, 0d a s1, 3d, la integral de línea es

E

E E

1

y dx 1 x2 dy 5

C

fs4x 2 x2d dx 1 x2s4 2 2xd dxg

4 1

5

s4x 1 3x2 2 2x3d dx

4

3

5 2x2 1 x3 2

x4 2

4

1 4

5

69 . 2

Ver el ejemplo 7.

EXPLORACIÓN

Hallar el área de una superficie lateral La figura muestra un pedazo de hojalata cortado de un cilindro circular. La base del cilindro circular se representa por x2 1 y2 5 9. Para todo punto sx, yd de la base, la altura del objeto está dada por f sx, yd 5 1 1 cos

px . 4

Explicar cómo utilizar una integral de línea para hallar el área de la superficie del pedazo de hojalata. z

2

1 −2

x

1 + cos π x 4

−1

3 3

x2 + y2 = 9

y

(x, y)

1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1079 Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1079 1053714_1502.qxp 1053714_1502.qxp

10/27/08 10/27/08

1:44 PM 1:44 PM

Page 1079 Page 1079

Line Integrals SECCIÓN 15.215.2 Integrales de línea 15.2 15.2

15.2 Exercises Ejercicios See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.2 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.2 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out to odd-numbered C: círculoexercises. En15.2 los ejercicios 1 a 6, hallar una parametrización suave a trozossolutions 14. x 1y

1

1 1

1 1

y y

3. 3. 3.

Cyy == xx (1, 1) C y = x(1, 1) C y=x C y =1x x y =1x

(3, 3) (3, 3)

3 y 3 y

(3, 3) (3, 3) C C

2 233 1 122 1 1

5. 5. 5.

4. 4.

2 2

3 3

(2, 4) (2, 4) y = x2 y = x2

C C

2 2

3 3

4 4

1 1

2 2

3 3

4 4

x

(5, 4)

3

C

2 1

x

x

y 2 2 1 2x + y3 = 9 1 y 2 2 32

x +y =9

y 2 y x2 + y2 = 9 x2 + y2 = 9 21 12 −2 −1 2 1 2 x 1 1 2 −2 −1 1 −2 − 2 −−2 1 1 C 2 −2 −1 1 2 C −2 −2

1

2 y y

6.

4 y y

6. 6.

3

4

5

x 2 y2 + =1 16 9

2 x −2

2

−2

C

−4

C C

En los ejercicios 7 a 10, evaluar la integral de línea a lo largo de In Exercises dada. 7–10, evaluate the line integral along the given la Intrayectoria Exercises 7–10, evaluate the line integral along the given 3 x y ds path. xy ds path.C C 7. C:xyr ds 8. C:3rxt y tids 2 t j 7. C xyt ds 4ti 3tj 8. C 3 x y ds 7. C xy ds 8. C 3 x y ds C: Cr 0t t ti 2 2 t j C: Cr 0t t 4ti 1 3tj C: r t 4ti 3tj C: r t ti 2 tj C:0 r 2t t 4ti 3tj C:0 r t t ti2 2 tj x t y21 1 z2 ds 2xyz tds 2 0 0 C0 C0 t 1 t 2 ds 12ti 5tj 84tk 9. C:xr2 t y2 sen zti2 dscos tj 2k 10. C:2xyz r t 2 2 2 y z ds 9. C x 10. C 2xyz ds 9. C x2 y2 z2 ds 10. C 2xyz ds C: Cr 0t t12ti1 5tj 84tk C: Cr 0t t sen ti 2 cos tj 2k C: r t sen ti cos tj 2k C: r t 12ti 5tj 84tk C:0 r t t sen 2ti cos tj 2k C:0 r t t 12ti 5tj 84tk 1 C, 0 t 2 0 t 1 0 t 2 0 t 1 En los ejercicios 11 a 14, a) hallar una parametrización de la In Exercises 11–14, (a) find a parametrization of the path C, and trayectoria C,11–14, y b) evaluar In Exercises (a) find a parametrization of the path C, and 2 1 y2 ds (b) xevaluate (b) evaluate C 2 xx 1 y2c ds C x2 C. 1 y2 ds x2 1 y2 ds C a Clo largo C: de C. 0, 0 1, 1 along C. along segmentode derecta rectade de 0,0,00 a 1,2,14 11. C: segmento C:C. C: segmento 11. C: segmento derecta recta de 0,0,00 aa 2,1,41 x2 y2 1 12. 1, 0 11. C: segmentode de rectade de 0, 0 a 1, 1 segmento de recta C: 0, 0 a 2, 4 12. 0, 1 2 13. x de 1 recta y2 5 de 1derecorrido segmento C: círculo 0, 0 a 2,en4 sentido contrario a las 12. C: 13. C: counterclockwise around the circle x2 y2 1 from 1, 0 del reloj, desdethe s1,circle 0d hasta 13. C: manecillas counterclockwise around x2 s0,y12 d 1 from 1, 0 to 0, 1 to 0, 1

E

E

C. 4 y ds 1 a loxxlargo 1 4 dey C.ds

1 1

5 y y 4

2

C C

y = x2 y = x2 y y

4.

C C 1 1

C C

34 24 23 13 12 2 1 1

1079 1079

2 y2 contrario 4 2, 5 4 recorrido en xsentido a 0las 0, 2 manecillas del reloj, desde s2, 0d a s0, 2d 14. C: counterclockwise around the circle x22 y22 4 from 2, 0 C: counterclockwise y 4 from 2, 0 14. around the circle x En los ejercicios to 0, 2 15 a 18, a) hallar una parametrización deC,la to 0, 2 trayectoria C, y b) evaluar In Exercises 15–18, (a) find a parametrization of the path C, In Exercises 15–18, (a) find a parametrization of the path C, 1 44!yy d ds andsxx(b) evaluate 1 evaluate ds and (b) 2

C. de la trayectoria C. (Nótese que existe más de una respuesta correcta.) In Exercises 1– 6, find a piecewise smooth parametrization of y y In Exercises 1– 6, find a piecewise smooth parametrization of the pathyC. (Note that there is more than one correct answer.) y 1. 2. C correct the path C. (Note one (2, 4) answer.) y = xthat there is more than 4 C (2, 4) y y = x (1, 1) y 1. 2. 1 y 1. 2. 43 y (1, 1)

Line Integrals Line Integrals

1079 1079

15. C: eje x de x 0 a x 1 along C. along C:C.eje y de y 1 a y 9 16. 15. C: C: eje x de x 0 a x 1 0, 0 15. x de xcuyos 0 avértices x 1 son (0, 0), (1, 0) y (0, 1), recorrido 17. C: eje triángulo 16. C: en eje y ,de y contrario 11 a y a las 9 manecillas del reloj 1, 0 0, sentido 16. C: eje y de y 1 a y 9 17. C: counterclockwise around the (0, triangle with vertices C: cuadrado 0, 0 , 0, C: 18. cuyos vértices 0), (2,with 0), vertices (2, 2) y (0, 17. counterclockwise around son the triangle , C: 0, 002), 1, 00 , and 0,sentido 1 0, contrario 2, 2, 2 2 recorrido en a las manecillas del reloj 1, 0 , and 0, 1 18. C: counterclockwise around the square with vertices 0, 0 , 18. counterclockwise the square with vertices 0,conC: ejercicios 0, En los 20, around a) 2encontrar una parametrización 2, 0 , 2, 19 2 , yand 0, andla 0, 0 , 2,C2 , de 2 tinua por2,secciones trayectoria C que se muestra en la figura y b) evaluar In Exercises 19 and 20, (a) find a piecewise smooth parametrizaIn Exercises 19 and 20, (a) find a piecewise smooth parametrizay2path z C dsshown in the figure, and (b) evaluate tion2xof1the tion of the path C shown in the figure, and (b) evaluate C x2x 1 y2 2 zc ds C 2xC. 1 y2 z ds 2x 1 y2 z ds C aClo largo de C. along C. along 19. C. 20. z z z 19. 20. 19. 20.

E

(1, 0, 1) (1, 0, 1) C 0, 1) (1, (1, 0, 1) (1, 0, 0)C (1, 0, 0) C x C x 0, 0) (1, (1, 0, 0) x x

z 1z

1 zz 1 1 1

(0, 0, 0)1 1 (0, 0, 0)

(0, 0, 0) (0, 0, 0) 1 (0, 0, 0) (0, 1, 0, 1) 0) 1 (1,

(1, 1, 1) (1, 1, 1) (1, 1, 1)

1 1

(0, 0, 0) 1 (0, 0, 0) 1

y y y y

x

1

C C C C

(0, 1, 1) (0, 1, 1) (0, 1, 1) (0, 1,(0,1)1, 0) (0, 1, 0) y

(0, 1, 0) (0, 1, 0)y y

1 1

Masa En los ejercicios 21 y 22, hallar la masa total de dos vueltas completas de21 unand resorte de densidad y queoftiene Mass In Exercises 22, find the totalrmass two forma turns Mass In Exercises 21 and 22, find the total mass of two turns de circular of ahélice spring with density in the shape of the circular helix of a spring with density in the shape of the circular helix rt 2 cos t i 1 2 sen t j 1 t k, 0 t 4 . rt 2 cos t i 1 2 sen t j 1 t k, 0 t 4 . 1 21. r sx, x, y, y, zzd 5 12sxx222 1 yy222 1 zz222d 21. 2 22. x, y, z z 22. r sx, y, z d 5 z Mass In Exercises 23 –26, find the total mass of the wire with Masa In EnExercises los ejercicios 23 afind 26, the hallar la masa total cable de Mass 23 –26, total mass of thedel wire with density . densidad. r. density 23. r t cos ti sen tj, x, y x y, 0 t 23. r t cos ti sen tj, x, y x y, 0 t 3 3 y, 0 t 1 24. r t t2 i 2tj, x, y 24. r t t2 i 2tj, x, y 4y, 0 t 1 4 25. r t t2 i 2tj tk, x, y, z kz k > 0 , 1 t 3 25. r t t2 i 2tj tk, x, y, z kz k > 0 , 1 t 3 26. r t 2 cos ti 2 sen tj 3tk, x, y, z k z 26. r t 2 cos ti 2 sen tj 3tk, x, y, z k z k > 0, 0 t 2 k > 0, 0 t 2

1053714_1502.qxp 10/27/08 10/27/08 1:44 1:44 PM PM Page Page 1080 1080 1053714_1502.qxp Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1080 1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1080 1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1080 1053714_1502.qxp

10/27/08

1:44 PM

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1080 1080 1080

CAPÍTULO Análisis vectorial Chapter15 15 15Vector Vector Analysis Chapter Analysis Chapter 15 Vector Analysis 10801080 Chapter 15 Vector Analysis

En los ejercicios 27 aevaluate 32, evaluar InExercises Exercises 27–32, evaluate In 27–32, 1080 Chapter 15 Vector Analysis In Exercises 27–32, evaluate In Exercises 27–32, evaluate F dr FF? dr dr

E

C CC

C F dr27–32, evaluate In FExercises dr CC donde CCestá representaby por where represented by where isisrepresented rrtrt.xt.c. C where by r t . C isxi represented 27.FFF x, y represented dryis where 27. x,C xi yjyj by r t . C C: tj, 0yj 0 t t 11 27. rFt x, ytiti xi tj, 27. C: F x,r yt xi yj where by r 0t . t 1 C C: 28. FFx,x, yis represented xyi rxyi t tiyjyj tj, 28. y C: r t ti tj, 0 t 1 C: cosxyi 4 sen tj, 0 t 28.x,ryFt x, y4xi4cos 27. F yjti yj 22 28. C: F x,ryt xyi tiyj 4 sen tj, 0 t 29. FC: Fx,x,ryC: yt r3x 3x 4yj ttii i 4tj, cos0ti t 4 sen 2 1 tj, 0 t 29. 4yj C: r t 4 cos ti 4 sen tj, 0 t 2 C: cos ti 29.x,ryFt x, ycos 3xyji sen 4yjtj, 0 t 28. F xyi 22 29. C: F x,ryt 3x i ti 4yjsen tj, 0 t 30. FC: Fx,x,ryC: yt r3x 3x i cos t4 icos sentj,tj, 00 t t ti4yjti 4 sen 22 30. 4yj C: r t cos ti sen tj, 0 t 2 2 2 C: ti i 3x4yj 30.x,ryFt x, yti 29. F 3x 4i4 4yj t2t j,j, 22 t t 22 30. C: F x,ryt 3x i 4yj 31. FC: Fx,x,ry,C: y,t zz r tcos xyititi xzxz j 42tj,yzk yzk t20j, t 2 t2 2 sen 31. xyi j C: r t ti 4 t j, 2 t 2 C: t x, y,ti tizi t 22t 2j4yj t 1 j 2t2tk, k, j 00 yzk 31.x,rryF 30. C: xyi xz F 3x t 31. F x, y, z xyi xz j yzk t 1 32. FC: Fx,x,ry,C: y,t zz r ttixx222i i ti2 y4y222jtj2jt2zj,z222k2t k k, 2 0 t t 2 1 32. C: r t ti t j 2t k, 0 t 1 2 tj 2 11 2 C: t zx, y,22zsen sen tix2xz 32.x,rry, F i j2 ycos jyzk z k 2t 2k, 0 t 31. C: F xyi t 32. F x, y, z x2i ti y2j 2 cos z2ktj 22t k, 0 t 1 2 C: r C: t r tti 2t sen 0 1tjt2 21t 2k, 0 t j ti 2t k, 2 cos C: r t 233sen ti 34, 2 cos t CAS In In los Exercises and usetjaun a computer computer algebra system 2 t k, 0 CAS Exercises 33 use algebra system toto En ejercicios 332and y 34,34, utilizar sistema algebraico por compu2 2 32. F x, y, z x i y j z k evaluate the integral evaluate the integral CAS Iny Exercises 33 and 34, use a computer algebra system to tadora calcular la integral CAS In Exercises 33 and 34, use a computer system to C: r t the 2 sen ti 2 cos tj 12 t 2k, 0 algebra t evaluate integral evaluate the integral dr FF? dr dr F CAS In CC Exercises 33 and 34, use a computer algebra system to C F dr evaluate F Cdr the integral where isrepresented represented by where C rrtrt.xt.c. C CCis está representaby por donde where by rkt . 2 2 33.FF x, y,zzrepresented zdC5is xxrepresented x22zi 6yj dry, where by 1 r tyz . 22k 33. FFsx, x,C y,is zizi1 6yj 6yj yzyz k 33. C 2j2 2 C: r t ti t ln tk, 33. F x, y, z x zi 6yj yz2ttkt≤ 333 2 C: ti x1 ln tk, tk,yz21k 11 ≤ 2 tt jj 1 ln 33. C: F x,rrsy,ttd z5 ti zi 6yj where C C: is represented by r t . 2 zkln tk, 1 t 3 r t xixi1 ti yjyjt1j zk zk C: t zz ti xi t2j yj ln tk, 1 t 3 34. F Fsx, 34. F x,x,ry, y,y, 34. zd 5 2 x222 y222 z222 2 x y z yz zk xi yj 33. F x, y, z x zi 6yj k ! x 1 y 1 z xi yj zk 34. F x, y, z t 2 2 t 34. C: FC: x,rrry,tttz titi 2 k, C: ti tj e 0 t y002 ≤1ztt2t≤ t 222 3 k, tk, tj2t j1 xyee2ln C: rstd 5 ti 1xtj k, z C: r t xi ti yjtjt zket k, 0 t 2 k, C: r t ti tj e 0 the t work 2 done Work In Exercises 35– 40, find the work doneby bythe theforce forcefield field Work 35– 40, find 34. F x,Iny,Exercises z 2 35 2a 40, hallar el trabajo realizado Trabajo En losmoving ejercicios x2 along yalong zthe onWork particle the given path. FFon aaparticle moving given path. In ExercisesF35– 40, una find partícula the work done the force por elC:campo de sobre que sebymueve a lofield Work In 40, find by the force field r taExercises ti fuerzas tj35– et k, 0 thethe t work 2 done F on particle moving along given path. 35. F x, y x i 2yj largo F onFade along the given path. 35. x,particle yla trayectoria x imoving 2yj dada. Work 35– 40, the from C: xF Exercises 35.xIn x,t,t,yyy t33xt3ifrom 2yj C: 0,0,find 00 toto 2,2,work 88 done by the force field 35. F x, y x i 2yj F on a particle moving along the given path. 3 y C: x t, y t from 0, 0 to y2, 8 y C: x t, y 3 t3 from 0, 0 to 2, 8 y C: x = t, y = t desde hasta s 0, 0 d s 2, 8 d y y y 35. F x, x i 2yj (2, 8) y y

37. FFx,x,yy xixi yjyj 37. C: counterclockwise aroundson the(0, triangle with vertices F x, y cuyos xi yjaround 37. triángulo 0,0,00, , the triangle 0), (1,with 0) y vertices (0, 1), recorrido FC:x,counterclockwise y xi yj vértices 37. C: 1, 0 0, 1 , and (Hint: See Exercise 17a.) 1, 0 0, 1 , and (Hint: See Exercise 17a.) en contrario a las manecillas del reloj. C:sentido counterclockwise around the triangle with(Sugerencia: vertices 0, 0 , C: counterclockwise around the triangle with vertices 0, 0 , ejercicio 17a.) 1,xi0 , and 0, 1 (Hint: See Exercise 17a.) yy y yj 37. Fyyx,Ver 1, 0 , and 0, 1 (Hint: See Exercise 17a.) y y C: y counterclockwise around the triangle 33 y with vertices 0, 0 , (0,1, (0, 1)1)0 , and 0, 1 (Hint: See Exercise 17a.) 1 1

1

686 464 8 242 6 2 4

C:y 8

y 8

(2, 8)

x

y

3

t, y

(2, 8) (2, 8) (2, 8)

y

C 6 C (2, 8) 4 4 C 2 2 22

C

C C 44

1

2π

C:2πr t CC z 2 cos ti

−3

−3 33 π −3

66

88

cos3 t, y

sen3 t from 1, 0 to 0, 1

33

z

2 sen tj

tk, 0

yy

CC

55 −3

−3

−3

x

5

5 5

1

CC xx

C

x

C

xx

x

C C C

x

x 1 x

t

y

41.

C

C x

π

C

11

xx

x

x

x 2

2 33 z z 22 31 31 z 2 2C 13 1 2 1

z 3 2 1 33 yy 3 3 y y 3 y

3

3 y −3 3 for 5 for Figure for 393 −3 y3 y Figure for40 40 Figure 39 Figure 3 zfor 39 Figure Figure for 40 yxzj x x,x, yzi3 xzj xyk Figure 40. FF y,y,z39 yzi xyk 40. Figure for for 40 3 3 y C: 0 totoxzj 5,3,3,2xyk 2 line from F x, y, z 0,0,0,0, yzi 40.line C: 0 5, from yzi xzj xyk 40. F x, y, z Figura para 39 0, 0, 0 to 5, Figura para Figure for Figure 4040 C:39 3, 2 for line from C: line from 0, determine 0,determine 0 to 5, whether 3,whether 2 InExercises Exercises 41–44, 44, thework workdone donealong alongthe the In 41– the z d 5 yzinegative, xzj 1or xyk 40. sx,isExercises 1 pathFIn isy,positive, positive, negative, or zero. Explain. CC path zero. Explain. 41– 44, determine whether the work done along the In Exercises 41– 44, determine whether the work done along the C: 2 zero. line recta s0,0,0,0, 0d0 a to s5, 5, 3, 3, 2dor C from path isdepositive, Explain. yy negative, 41. path C is positive, negative, or zero. Explain. 41. In 41– 44, whether work done along the 41.ejercicios EnExercises los 41 determine ay 44, ydeterminar si the el trabajo efectuado a lo 41. C path is positive, negative, or zero. Explain. largo de la trayectoria C es positivo, negativo o cero. Explicar.

CC

x 2 4 6 8 x Figure for 435 Figurefor for36 36 1 Figure Figure 2 2for 35 6 8 2 4 6 8 Figure Figure for 361 36. FF i xyj xyj x x,x, yy 35for xx222i35 36. Figure for Figure for 36 2 4 333635 28 Figura para Figura para 36 3 3 3 t tfrom C: sen from 1,1,00 toto y 2 t,t,yxy i sen 36. xF x,cos xyj 0,0,11 F x,xy cos x i xyj 36. C: Figure for C:35xx23i 2 cos3 t, y sen3 t Figure 0 36 from 1,for to 0, 1 36. F C:sx,xyd 5cos t, y xyjsen3 t from 1, 0 to 0, 1 2 F x,x y5 cosx3 t, 36. C: i y5 xyjsen sin3 t desde s1, 0d hasta s0, 1d

C: x

−3 −3

2π 2π z C C π π 2π C π −3 2ππ C −3

1

C C

x

x

xx

Figurefor for37 37 Figure Figure for 38 x x −2 −1 1 2 Figure for 37 Figure for 38 1 F x, y yi xj 38. Figurafor para FFigura x,for y 37para yi37 xj 38. Figure Figure − 1 38 38 C: counterclockwise along thesemicircle semicircleyy from F x, y yi along xj the 38.counterclockwise C: 44 xx222from FFsx,x,yyd 5 2yi yi 2 xj 38. 38. xj 0counterclockwise Figure for Figure for 38 y 2,2, toto 2,2,00 C:037 4 x2 from along the semicircle C: 4 s2,x02 dfrom counterclockwise along theysemicircle contorno del semicírculo hasta C: 5 !4 2 xy2 desde F x, y, z x i yj 5zk 39. 2, 0 2, 0 to F x, y, z x i yj 5zk 39. y 0 to yi 2, 0xj en sentido contrario a las manecillas del 38. F x,s2,22, 0d recorrido C: rreloj t x, y,22zcos cos tix i 2sen tk, 00 t ty 22 4 x2 from F yjsentjtjthe 5zktk, 39.rcounterclockwise C: t C: semicircle x i ti yj 2along 5zk 39. F x, y, z z 0 r to C: t 2 cos ti 2 sen tj 2, 2, 0 z 39. C: Fsx,r y, xi 1 5zktj tk, 0tk, t0 2t 2 t zd 5 2 cos ti yj 2 2 sen i tiyj1 2 sen 5zk 39. F C:x,rzy, stdz5z 2 xcos sin tj 1 tk, 0 ≤ t ≤ 2pz

1

1 1

1

C

C 1

1 −2 −1 −1 −2 11 22 C − 1 − 1 −2 −1 1 −2 −1 1 1 2 −1 − 1 Figure for 38

xx

C 1

t from 0, 0 to 2, 18

6

C

C 11

E

88

(0, 1)

CC

y

11 3

CC

1

3

3

y(0, 1) (0, 1) 1

yy

42. 42. 42.

42.

y y

42.

x y xx x

CC C C

C

x

x

1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1081 Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1081

SECCIÓN 15.215.2 Integrales de línea Line Integrals

EnExercises los ejercicios 55 evaluate a 62, evaluar la integral In 55–62, the integral

y

43.

E

C C

C

x

y

44.

1081 1081

2x ⴚ 2 yyc dx dx 1 1 xxx 1 1 3y 3yc dy dy x2x

a lo largo de la trayectoria C. along the path C. 55. C: eje x desde x 5 0 hasta x 5 5 55. C: x-axis from x 0 to x 5 56. C: eje y desde y 5 0 hasta y 5 2 56. C: y-axis from y 0 to y 2 57. C: los segmentos de recta de (0, 0) a (3, 0) y de (3, 0) a (3, 3) 57. C: line segments from 0, 0 to 3, 0 and 3, 0 to 3, 3 58. C: los segmentos de recta de (0, 0) a (0, 23) y de (0, 23) a 58. C: line segments from 0, 0 to 0, 3 and 0, 3 to 2, 3 (2, 23) y 1y 5 1x 22from 0, 1 sto 0 s1, 0d 59. 59. C: arcoonsobre C: arc x 2 desde 0, 11, d hasta

y xy32 0, 0 sto 8 s4, 8d arc arcoonsobre 5 from x3y2 desde 0, 04, d hasta 2 x t, y x 5 2t t,, from 0,20, desde parabolic to 2, 8s0, 0d hasta trayectoriapath parabólica y 5 2t 62. C: elliptic s2, 8d path x 4 sin t, y 3 cos t, from 0, 3 to 4, 0

60. 60. 61. 61.

C

x

En los ejercicios 45 y46, 46, evaluate para cada hallar eC F ? dr. C Fcurva In Exercises 45 and each curve.

dr for Analizar la orientación dethe la curva y su its efecto sobre el value valor of de Discuss the orientation of curve and effect on the la theintegral. integral.

C: C: C: C:

62. C: trayectoria elíptica x 5 4 sen sin t, y 5 3 cos t, desde s0, 3d hasta Lateral Surface Area In Exercises 63–70, find the area of the s4, 0d lateral surface (see figure) over the curve C in the xy-plane and under the surface z ⴝ f x, y, where Área de una superficie lateral En los ejercicios 63 a 70, hallar el área de la superficie lateral (ver la figura) sobre la curva C en el ⴝ f x, y ds. Lateral plano xysurface y bajo area la superficie z5 f xx, yc, donde

C

z lateral 5 Área de la superficie

2 45. x, yyd 5 xx 2ii 1 xyj xyj 45. FFsx, a) r s t d 5 2ti (a) r1 1t 2ti1stt211dj,j, 11≤t t≤33 b) (b)r2rstdt522s332tdtii1s222tdtj,j, 00≤t t≤2 2

E

f xx, yc ds.

C Surface: z = f(x, y)

z


2

2 3y2 46. x, yyd 5 xx 2yi yi 1 xy xy32jj 46. FFsx, 2 a) 2j, 00≤ t t≤ 2 2 (a) rr1s1tdt5stt111d i i1t tj, 2 b) r s t d 5 s 1 1 2 cos t d i y22 cos2tdtj,j, 00≤t t≤p (b) 2r2t 1 2 cos ti1s44cos

Lateral surface

P

In Exercises 47– 47 50,ademonstrate thelaproperty that En los ejercicios 50, demostrar propiedad

E

C C

dr 5 ⴝ 00 FF ? dr

x

regardless of the initial and terminal of C, if they tangent independientemente de cuáles sean lospoints puntos inicial final de ⴕ t is tangente vector orthogonal theortogonal force fieldalF.campo de fuerzas F. si el rvector C, r9xto tc es x, yyd 5 yi yi 2 xj xj 47. FFsx, 47. C: r t t i 2tj C: rstd 5 t i 2 2tj

x, yyd 5 23yi 3yi 1 xj xj 48. FFsx, 48. 33j C: r t t i t C: rstd 5 t i 2 t j

1

2

In Exercises 51–54, evaluate the line integral along the path C En los by ejercicios x ⴝ 2t, 51 y ⴝa 54, 10t,evaluar t 1. de línea a lo largo de given where 0laintegral la trayectoria C dada por x 5 2t, y 5 10t, donde 0 ≤ t ≤ 1.

53. 53.

x 3y2 dy sx 1 3y2d dy

52. 52.

xy dx y dy C xy dx 1 y dy

54. 54.

C C

C

Q

y

y

C: Curve∆sin xy-plane i

63. f x, y h, C: line from 0, 0 to 3, 4 C: curva en el plano xy

64. f x, y y, C: line from 0, 0 to 4, 4) sx,yyd5xy, h, C: 0d hasta 63. f fx, C: recta x2 desde y2 s10,from 1, 0s3,to4d0, 1 65. 2 2 64. recta desde hasta f s x, y d 5 y, C: s 0, 0 d s4,04)to 0, 1 66. f x, y x y, C: x y 1 from 1,

2 2 4 s1, 0d hasta s0, 1d sx,yyd5xy2 1 x2ydesde C: 1x2 f fx, 1, y2 C:4, y 5 2 f sx, yd 5 xy, C: y 5 1 2 x desde s1, 0d hasta s0, 1d Engine Design A tractor engine has a steel component with f sx, yd 5 x2 2 y2 1 4, C: x2 1 y2 5 4 a circular base modeled by the vector-valued function t 2 de cosmotores t i 2 sin Un tj. Its . height is given by una z pieza 1 y2de 71. rDiseño motor de tractor tiene (All measurements of the component are in centimeters.) acero con una base circular representada por la función vecto-

68. 70. 69. 71. 70.

x, yyd 5 xi xi 1 yj yj 50. FFsx, 50. t 3 sin 33 cos cos tjtj C: r C: rstd 5 3 sen sin titi 1

E E

Q

∆s (xi, yi) i

Superficie lateral

2 1 desde 65. f fx, hasta sx,yyd5h,xy, C:C:y x2 1 y2x5 1 to0d0, 1 s0, 1d 67. from 1, 0s1, 2 2 52 1 desde s1, 0d hasta s0, 1d 66. f s x, y d 5 x 1 y, C: x 1 y 68. f x, y y 1, C: y 1 x from 1, 0 to 0, 1 2 67. f fx, hasta sx,yyd5xy, h, C: 1,00d to C: yy 5 11 2 xx2 desde 0, 1s0, 1d 69. from s1,

y x, yyd 5 sxx33 2 2x 2x22dii 1 xx 2 y jj 49. FFsx, 49. 22 C: rrsttd 5 ttii 1 tt22jj C:

51. 51.

P

(xi, yi)

E E C C

x 3y2 dx sx 1 3y2d dx

3y x dx y22 dy C s3y 2 xd dx 1 y dy

C

(a) lateral of theestá component. rial Find r(t) =the 2 cos ti + surface 2 sen tj.area Su altura dada por z 5 1 1 y2. (Todas medidas en (b) Thelas component is centímetros.) in the form of a shell of thickness 0.2 centimeter. thesuperficie result of lateral part (a) approximate the a) Hallar el áreaUse de la de to la pieza. amount steelforma used de in its manufacture. b) La piezaof tiene capa de 0.2 centímetros de espesor. resultado inciso a) para aproximar la cantidad (c) Utilizar Draw a el sketch of thedel component. de acero empleada para su fabricación. c) Hacer un dibujo de la pieza.

Larson-15-02.qxd

1053714_1502.qxp 1053714_1502.qxp

1082

3/12/09

10/27/08 10/27/08

19:50

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1:44 PM 1:44 PM

CAPÍTULO 15

Page 1082 Page 1080

Análisis vectorial

1082 Chapter 15 Vector Analysis 1080 Chapter 15 Vector Analysis 72. Diseño de edificios La altura del techo de un edificio está dada por z 5 20 1 14x, y una de las paredes sigue una trayectoria 72. representada Building Design The ceiling of a building height above por y 5 el área dehas la asuperficie de la x 3y2 . Calcular 1 In Exercises 27–32,by evaluate the floor and one of the walls follows x, z 20 las pared si 0given (Todas medidas se dan en pies.) ≤ x ≤ 40. 4 a path modeled by y x 32. Find the surface area of the wall if F0 drx Momentos de 40. inercia Considerar un de densidad rxx, yc (All measurements are cable in feet.) C dado por la curva en el espacio Moments Inertia Consider where by r t . a wire of density ␳ x, y given by C isofrepresented C: xtc 5 curve xxtci 1 yxtcj, a ≤ t ≤ b. the rspace 27. F x, y xide inercia yj Los momentos con respecto a los ejes x y y están dados C: rC: t ⴝ x t i 1 y tj, 00 t t 1b. rt ti tj, por

E E

The Fmoments of inertia 28. x, y xyi yj about the x- and y-axes are given by Ix 5C: ry2t rxx,4yccos ds ti 4 sen tj, 0 t 2 C Ix ⴝF x,yy2␳ x,3x yids 4yj 29. C

Iy 5C: rx2t rxx,cos yc ds. ti sen tj, 0 t 2 C 2 yi ds. 4yj Iy ⴝF x,xy ␳ x,3x 30. En losCejercicios 73 y 74, hallar los momentos de inercia del cable 2 r tdensidad ti 2 t 2 dadoC:con r.4 t j, In Exercises 73 and 74, find the moments of inertia for the wire 31. F x, y, z xyi xz j yzk of density ␳.se encuentra a lo largo de rstd 5 a cos ti 1 a sen 73. El cable sin tj, 2 C: r t ti t 0 t 1 j 2t k, 0 ≤ t ≤ 2p y a > 0, su densidad es rsx, yd 5 1. 73. A wire lies along rt a cos ti a sin tj, 0 t 2 and 32. El F x,cable y, z se encuentra x2i y2j a loz2largo k 74. rstd 5 a cos ti 1 a sen sin tj, density x, y 1.de a > 0, with 2k, C:≤rtt ≤ 2p 2 sen ti> 0, 2sucos tj 12 t es 0 yd 5 t y. y densidad 0 a r s x, 74. A wire lies along rt a cos ti a sin tj, 0 t 2 and CAS CAS

a > 0, with x,use yexterior a y.computer In Exercises 33density and 34, algebra to 75. Investigación El borde de un sólido consystem lados verevaluate ticalesthey integral que descansa en el plano xy, se representa por r(t) 75. Investigation The top outer edge of a 2solid with vertical sides 5 3 cos ti 1 3 sen tj 1 (1 1 sen 2t)k, donde todas las and resting on the xy- plane is modeled by medidas se dan en centímetros. La intersección del plano Frtdr 3 cos t i 3 sin tj 1 sin2 2tk, where all measureC y 5 b s23 < b < 3d con la parte superior del sólido es una ments are in centimeters. The intersection of the plane recta horizontal. where represented r t .the top of the solid is a horizontal y C bis3 < b < 3bywith a) Utilizar un2sistema algebraico por computadora y representar line. 33. F x,gráficamente y, z x zi el sólido. 6yj yz2k (a) Use a computer algebra system to graph the solid. C: Utilizar rt tiun sistema t2j lnalgebraico tk, 1 por t computadora 3 b) y aproximar (b) elUse computer algebra system to approximate the lateral áreaa de la superficie xi yj zklateral del sólido. 34. F x,surface y, z area2of the2 solid. c) Hallar (si esxposible) y elz2volumen del sólido. (c) Find (if possible) tthe volume of the solid. C: r t ti partícula tj e k, se0mueve t a2 lo largo de la trayectoria 76. Trabajo Una 76. yWork A particle moves theelpath from the point y (1,x21). el punto (0, along 0) hasta punto El campo de 5 x2 desde the point The force field measured fivey 0, 0In to 1, 1 . F isde Workfuerzas Exercises 35– 40, find the work done by forceatfield F se mide en cinco puntos a lo largo lathe trayectoria points alongmoving the and the shown in thedetable. Use F onlos a particle along theresults path. resultados sepath, muestran en lagiven tabla.are Usar la regla Simpson Simpson’s Rule or a graphing utility to approximate the work una herramienta de graficación para aproximar el trabajo efec35. oF x, yby x i 2yjfield. done tuado porthe el force campo de fuerza. 3 C: x t, y t from 0, 0 to 2, 8 y 8 6

x, y

0, 0

14, 161

12, 14y

34, 169

1, 1

F(2, x, y8)

5, 0

3.5, 1

2, 2

1.5, 3

1, 5

1

77. Trabajo Work Find the workeldone by ahecho person weighing 175 pounds 77. Determinar trabajo por C una persona que pesa 4 walking exactly revolution up a circular helical staircase of C libras 175 y que one camina exactamente una revolución hacia arriradius 3 feet if the person rises 10 feet. ba en una escalera de forma helicoidal circular de 3 pies de radio 2 x 78. si Investigation Determine la persona sube 10 pies. the value of c such 1that the work x done by4 the 6force field 78. Investigación Determinar el valor c tal que el trabajo realiza2 8 2yi xyj do dexfuerzas Fx,por y el campo 15 4 Figure for 35 Figure for 36 2 Fon sx,an yd object 5 15 fs 4 2 x y d i 2 xyj g x2 i moving 36. F x, y xyj along the parabolic path y c1 x2 between the3 t, points a la minimum. Compare se 1, and 1,largo sobre objeto mueve a lo parabó3 t 0from C: x uncos yque sen 1, 00toisde0, 1 trayectoria the result work los required move object the lica puntostos21, y s1, mínimo. y 5 cswith 1 2 the x2d entre 0dthe 0d seaalong straight-line connecting points.requerido para mover el Comparar el path resultado con elthe trabajo objeto a lo largo de la trayectoria recta que une esos dos puntos.

Desarrollo de conceptos Definir la W79. R A Bintegral Oyj U T de C Olínea N C Ede P Tuna S función f a lo largo de una F Ix,T IyN G xi 37. curva suave C en el plano y en el espacio. ¿Cómo se evalúa 79.C:Define a line integralaround of a function a smooth f along 0, 0 , the triangle with verticescurve lacounterclockwise integral de línea como integral definida? plane0,and in space. do you evaluate the line C in 1, 0the, and 1 (Hint: SeeHow Exercise 17a.) 80. integral Definir as una integral de línea de un campo vectorial contia definite integral? y nuo F sobre una curva suave C. ¿Cómo yse evalúa la integral 80. Define a line integral of a continuous vector field F on a de línea como integral definida? smooth curve C. How do you evaluate 3the line integral as a (0, 1) integral? 81. definite Ordenar las superficies en forma ascendente del área de la 1 superficie lateral bajo la superficie y sobre la curva y 5 !x C surface 81. Order the surfaces in ascending order of the lateral desde s0, 0d hasta s4, 2d en el plano xy. Explicar el orden area under the surface and over the 1curve y x from elegido Csin hacer cálculo alguno. 0, 0 to 4, 2 in the xy-plane. Explain your ordering x 2 1 xany calculations. 51x 1 a) z1 5doing b)−2z2 5 x without −1 2 1 5 22 x c) zz3 d)(b)z4z510 −5 11 (a) xx 1 2y 1

2

(c) z 2 Figure for 337

(d) z4 10 x 2y Figure for 38

Para discusión

yi xj 38. F x, y incisos tray 4 six2elfrom thesiguientes, semicircledeterminar C82. AC: P En Scounterclockwise T cada O N E uno de losalong bajo realizado para mover un objeto del primero hasta el 2, 0 2, 0 to 82. For each of the following, determine whether the work done segundo punto a través del campo de fuerzas mostrado en la x, y, z x ian object yj 5zk 39. F in moving from the first to the second point figura es positivo, negativo o cero. Explicar la respuesta. through the force field C: r t 2 cos ti 2 sen shown tj tk,in 0the figure t 2 is positive, a) Desdeor(23, hastayour (3, 3)answer. y negative, zero.23) Explain z b) From Desde3, (23,3 0) hasta (a) to 3,(0, 33) y z

3,0)0hasta (b) From (5, to 0,(0,33) π Desde 2c) C

(c) From 5, 0 to 0, 3

3 x

2

π −3

−3

5

C

1

3 3

3

y

y

Figure for 39

Figure for 40

yzi xzj xyk 40. F x, y, z ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 83 a 86, determinar si la TrueC:orline False? In0,Exercises whether the 0, 0 too 5, 3,83–86, 2 Si es determine from declaración es verdadera falsa. falsa, explicar por qué o statement is true or false. If it is false, explain why or give an dar un ejemplo que demuestre que es falsa. example that41– shows it is false. whether the work done along the In Exercises 44, determine 83. Si C positive, está dada negative, por xstd 5ort, zero. ystd 5Explain. t, 0 ≤ t ≤ 1, entonces C is path 83. If C is given by xt t, yt t, 0 t 1, then 1 y 41. xy ds 5 1 t 2 dt. 2 0 t dt. Cxy ds

E C

E 0

E

E

84. Si C2 5 2C1, entonces f sx, yd ds 1 f sx, yd ds 5 0. 84. If C2 C1, then f x,Cy1 ds f x,Cy2 ds 0. 2 C1 C vectoriales 2 t j, 0 ≤ t ≤ 1, y r 5 85. Las funciones r1 5 t i C1 2 2 2 85. The and r2 definen t j,x 0 1, curva. la tmisma s1 2 vector tdi 1 s1functions 2 td j, 0 r≤1 t ≤t i 1, 1 ti 1 t2j, 0 t 1, define the same curve. 86. Si F ? T ds 5 0, entonces F y T son ortogonales. 86. If CF T ds 0, then F and T are orthogonal. C y 87. Trabajo Considerar una partícula que se mueve a través del 42. campo de fuerzas punto sx, yd 5that s y moves 2 xdi 1through xyj delthe s0,field 0d al 87. Work Consider a Fparticle force de lafrom curvathe 0, 1yd aloxlargo x 5point kts1 2 t. Hallar pointel Fpunto x, y s i xyj 0, t0d, yto5 the de k, tal el trabajo port. Find el campo de fuerzas x kt1realizado theque curve the value of k valor 0, 1 along t, yx sea 1.that the work done by the force field is 1. such

E

C

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SECCIÓN 15.3

Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria

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15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria n n n

Comprender y utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea. Comprender el concepto de independencia de la trayectoria. Comprender el concepto de conservación de energía.

Teorema fundamental de las integrales de línea El estudio realizado en la sección anterior indica que en un campo gravitatorio el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto que se mueve entre dos puntos en el campo es independiente de la trayectoria seguida por el objeto. En esta sección se estudia una generalización importante de este resultado, a la que se le conoce como teorema fundamental de las integrales de línea. Para empezar, se presenta un ejemplo en el que se evalúa la integral de línea de un campo vectorial conservativo por tres trayectorias diferentes.

y

(1, 1)

1

C1

Integral de línea de un campo vectorial conservativo

EJEMPLO 1 x

(0, 0)

1

Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas 1 1 Fsx, yd 5 xyi 1 x 2j 2 4

C1: y = x a)

sobre una partícula que se mueve de (0, 0) a (1, 1) a lo largo de cada una de las trayectorias, como se muestra en la figura 15.19.

y

a) C1: y 5 x

a) Sea rstd 5 ti 1 tj para 0 ≤ t ≤ 1, por lo que

C2

1 1 Fsx, yd 5 t 2 i 1 t 2j. 2 4 Entonces, el trabajo realizado es dr 5 si 1 jd dt

x

(0, 0)

c) C3: y 5 x 3

Solución

(1, 1)

1

b) C2: x 5 y 2

1

C2: x = y2

W5

E

C1

b)

y

F ? dr 5

E

1

0

1

4

3 2 1 t dt 5 t 3 4 4

1 5 . 4

0

b) Sea rstd 5 ti 1 !t j para 0 ≤ t ≤ 1, por lo que y

1

dr 5 i 1 1

W5

c) Sea rstd 5 x 1

dr 5

y

1 1 Fsx, yd 5 t 3y2 i 1 t 2j. 2 4

F ? dr 5

1 2 ti

1

1 3 8t j

E

1

0

1

4

5 3y2 1 t dt 5 t 5y2 8 4

0

1 5 . 4

para 0 ≤ t ≤ 2, por lo que

112 i 1 83 t j2 dt 2

y

Fsx, yd 5

1 4 1 t i 1 t 2j. 32 16

Entonces, el trabajo realizado es

c)

Figura 15.19

E

C2

C3

C3: y = x 3

j dt

Entonces, el trabajo realizado es

(1, 1)

(0, 0)

2!t 2 1

W5

E

C3

F ? dr 5

E

2

0

2

4

5 4 1 5 t dt 5 t 128 128

0

1 5 . 4

Por tanto, el trabajo realizado por un campo vectorial conservativo es el mismo para todas las trayectorias.

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

En el ejemplo 1, obsérvese que el campo vectorial Fsx, yd 5 12xyi 1 14x 2j es conservativo porque Fsx, yd 5 =f sx, yd, donde f sx, yd 5 14x 2y. En tales casos, el teorema siguiente establece que el valor de eC F ? dr está dado por

E

C

F ? dr 5 f sxs1d, ys1dd 2 f sxs0d, ys0dd 5

1 20 4

5

1. 4

TEOREMA 15.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA NOTA

El teorema fundamental de las integrales de línea es similar al teorema fundamental de cálculo (sección 4.4) que establece que

E

Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta R y dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj, a ≤ t ≤ b. Si Fsx, yd 5 Mi 1 Nj es conservativo en R, y M y N son continuas en R, entonces,

E

b

f sxd dx 5 Fsbd 2 Fsad

C

a

donde F9sxd 5 f sxd.

n

E

F ? dr 5

C

=f ? dr 5 f sxsbd, ysbdd 2 f sxsad, ysadd

donde f es una función potencial de F. Es decir, Fsx, yd 5 =f sx, yd.

DEMOSTRACIÓN Esta demostración es sólo para una curva suave. Para curvas suaves a trozos (o por partes), el procedimiento se lleva a cabo por separado para cada trozo suave. Como Fsx, yd 5 =f sx, yd 5 fxsx, ydi 1 fysx, ydj, se sigue que

E

C

F ? dr 5 5

E ? E3 b

F

a b

dr dt dt

fxsx, yd

a

4

dx dy 1 fysx, yd dt dt dt

y, por la regla de la cadena (teorema 13.6), se tiene

E

C

F ? dr 5

E

b

a

d f f sxstd, ystddg dt dt

5 f sxsbd, ysbdd 2 f sxsad, y sadd. El último paso es una aplicación del teorema fundamental del cálculo. En el espacio, el teorema fundamental de las integrales de línea adopta la forma siguiente. Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta Q y dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk, a ≤ t ≤ b. Si Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk es conservativo y M, N y P son continuas, entonces

E

C

F ? dr 5

E

C

=f ? dr

5 f sxsbd, ysbd, zsbdd 2 f sxsad, ysad, zsadd donde Fsx, y, zd 5 =f sx, y, zd. El teorema fundamental de las integrales de línea establece que si el campo vectorial F es conservativo, entonces la integral de línea entre dos puntos cualesquiera es simplemente la diferencia entre los valores de la función potencial ƒ en estos puntos.

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SECCIÓN 15.3

EJEMPLO 2

F(x, y) = 2xyi + (x 2 − y)j

Evaluar

y

(−1, 4)

E

C


1085

Aplicación del teorema fundamental de las integrales de línea

F ? dr, donde C es una curva suave a trozos desde s21, 4d hasta s1, 2d y

Fsx, yd 5 2xyi 1 sx 2 2 ydj

4

como se muestra en la figura 15.20. 3

Solución Por el ejemplo 6 de la sección 15.1, se sabe que F es el gradiente de ƒ, donde (1, 2)

2

C

f sx, yd 5 x 2y 2

y2 1 K. 2

1

x

−2

−1

1

2

Aplicación del teorema fundamental de las integrales de línea, eC F ? dr.

Por consiguiente, F es conservativo, y por el teorema fundamental de las integrales de línea, se sigue que

E

C

F ? dr 5 f s1, 2d 2 f s21, 4d

3

Figura 15.20

5 12s2d 2

4 3

22 42 2 s21d2s4d 2 2 2

4

5 4. Nótese que no es necesario incluir una constante K como parte de ƒ, ya que se cancela por sustracción. EJEMPLO 3 F(x, y, z) = 2xyi + (x 2 + z 2)j + 2yzk

Evaluar

z

E

C

(0, 2, 3) 2

C

1

(1, 1, 0)

como se muestra en la figura 15.21. Solución Por el ejemplo 8 en la sección 15.1, se sabe que F es el gradiente de ƒ, donde f sx, y, zd 5 x 2y 1 yz 2 1 K. Por consiguiente, F es conservativo, y por el teorema fundamental de las integrales de línea, se sigue que

2 x

F ? dr, donde C es una curva suave a trozos desde (1, 1, 0) hasta (0, 2, 3) y

Fsx, y, zd 5 2xyi 1 sx 2 1 z 2dj 1 2yzk

3

1

Aplicación del teorema fundamental de las integrales de línea

2

y

E

C

F ? dr 5 f s0, 2, 3d 2 f s1, 1, 0d 5 fs0d2s2d 1 s2ds3d2g 2 fs1d2s1d 1 s1ds0d 2g 5 17.

Aplicación del teorema fundamental de las integrales de línea, eC F ? dr. Figura 15.21

En los ejemplos 2 y 3, es importante notar que el valor de la integral de línea es el mismo para cualquier curva suave C que tenga los puntos inicial y final dados. Así, en el ejemplo 3, trátese de evaluar la integral de línea de la curva dada por rstd 5 s1 2 td i 1 s1 1 td j 1 3tk. Se obtendrá

E

C

F ? dr 5

E

1

0

5 17.

s30t 2 1 16t 2 1d dt

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Independencia de la trayectoria A C R1

R2 B

R1 es conexa

R2 no es conexa

Figura 15.22

Por el teorema fundamental de las integrales de línea es evidente que si F es continuo y conservativo en una región abierta R, el valor de eC F ? dr es el mismo para toda curva suave a trozos C que vaya de un punto fijo de R a otro punto fijo de R. Esto se describe diciendo que la integral de línea eC F ? dr es independiente de la trayectoria en la región R. Una región en el plano (o en el espacio) es conexa si cada dos puntos en la región pueden ser unidos por una curva suave a trozos que se encuentre completamente dentro de la región, como se muestra en la figura 15.22. En regiones abiertas y conexas, la independencia de la trayectoria de eC F ? dr es equivalente a la condición de que F sea conservativo. TEOREMA 15.6 INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Y CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS Si F es continuo en una región abierta y conexa, entonces la integral de línea

E

C

F ? dr

es independiente de la trayectoria si y sólo si F es conservativo.

DEMOSTRACIÓN

(x1, y)

(x, y)

C2 C4

C1 C3 (x0, y0 )

Figura 15.23

Si F es conservativo, entonces, por el teorema fundamental de las integrales de línea, la integral de línea es independiente de la trayectoria. Ahora se demuestra el recíproco para una región plana conexa R. Sea Fsx, yd 5 Mi 1 Nj, y sea sx0, y0d un punto fijo en R. Si sx, yd es cualquier punto en R, elíjase una curva suave a trozos C que vaya de sx0, y0d a sx, yd, y defínase ƒ como f sx, yd 5

(x, y1)

E

C

F ? dr 5

E

M dx 1 N dy.

C

La existencia de C en R está garantizada por el hecho de que R es conexa. Se puede mostrar que ƒ es una función potencial de F considerando dos trayectorias diferentes entre sx0, y0d y sx, yd. Para la primera trayectoria, elíjase sx1, yd en R tal que x Þ x1. Esto es posible ya que R es abierta. Después elíjanse C1 y C2, como se muestra en la figura 15.23. Utilizando la independencia de la trayectoria, se sigue que f sx, yd 5

E E

M dx 1 N dy

C

5

M dx 1 N dy 1

C1

E

M dx 1 N dy.

C2

Como la primera integral no depende de x, y como dy 5 0 en la segunda integral, se tiene f sx, yd 5 gs yd 1

E

M dx

C2

y entonces, la derivada parcial de ƒ con respecto a x es fxsx, yd 5 M. Para la segunda trayectoria, se elige un punto sx, y1 d. Utilizando un razonamiento similar al empleado para la primera trayectoria, se concluye que fysx, yd 5 N. Por tanto, =f sx, yd 5 fxsx, yd i 1 fysx, yd j 5 M i 1 Nj 5 Fsx, yd y se sigue que F es conservativo.

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SECCIÓN 15.3

EJEMPLO 4


1087

Trabajo en un campo de fuerzas conservativo

Para el campo de fuerzas dado por Fsx, y, zd 5 e x cos yi 2 e x sen sin yj 1 2k mostrar que eC F ? dr es independiente de la trayectoria, y calcular el trabajo realizado por F sobre un objeto que se mueve a lo largo de una curva C desde s0, py2, 1d hasta s1, p, 3d. Solución Al expresar el campo de fuerzas en la forma Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk, se y y P 5 2, y se sigue que tiene M 5 e x cos y, N 5 2e x sen sin y, P N 505 y z M P 505 x z N M 5 2e x sen sin y 5 . x y Por tanto, F es conservativo. Si ƒ es una función potencial de F, entonces fxsx, y, zd 5 e x cos y fysx, y, zd 5 2e x sen sin y fzsx, y, zd 5 2. Integrando con respecto a x, y y z por separado, se obtiene f sx, y, zd 5 f sx, y, zd 5 f sx, y, zd 5

E E E

fxsx, y, zd dx 5 fysx, y, zd dy 5 fzsx, y, zd dz 5

E E E

e x cos y dx 5 e x cos y 1 gs y, zd 2e x sen sin y dy 5 e x cos y 1 hsx, zd 2 dz 5 2z 1 ksx, yd.

Comparando estas tres versiones de f sx, y, zd, se concluye que f sx, y, zd 5 e x cos y 1 2z 1 K. Así, el trabajo realizado por F a lo largo de cualquier curva C desde s0, py2, 1d hasta s1, p, 3d es W5

E

C

F ? dr

3

s1, p, 3d

4

5 e x cos y 1 2z

s0, py2, 1d

5 s2e 1 6d 2 s0 1 2d 5 4 2 e. ¿Cuánto trabajo se realizaría si el objeto del ejemplo 4 se moviera del punto s0, py2, 1d al punto s1, p, 3d y después volviera al punto de partida s0, py2, 1d? El teorema fundamental de las integrales de línea establece que el trabajo realizado sería cero. Recuérdese que, por definición, el trabajo puede ser negativo. Así, en el momento en el que el objeto vuelve a su punto de partida, la cantidad de trabajo que se registra positivamente se cancela por la cantidad de trabajo que se registra negativamente.

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Una curva C dada por r(t) para a ≤ t ≤ b es cerrada si r sad 5 r sbd. Por el teorema fundamental de las integrales de línea, se puede concluir que si F es continuo y conservativo en una región abierta R, entonces la integral de línea sobre toda curva cerrada C es 0.

TEOREMA 15.7 CONDICIONES EQUIVALENTES NOTA El teorema 15.7 proporciona varias opciones para calcular una integral de línea de un campo vectorial conservativo. Se puede usar una función potencial, o puede ser más conveniente elegir una trayectoria particularmente simple, como un segmento de recta. n

Sea Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk con primeras derivadas parciales continuas en una región abierta conexa R, y sea C una curva suave a trozos en R. Las condiciones siguientes son equivalentes. 1. F es conservativo. Es decir, F 5 =f para alguna función f. 2.

E E

C

3.

C

F ? dr es independiente de la trayectoria. F ? dr 5 0 para toda curva cerrada C en R.

Evaluación de una integral de línea

EJEMPLO 5 Evaluar

E

C1

C1: r(t) = (1 − cos t)i + sen tj

F ? dr, donde

Fsx, yd 5 s y 3 1 1di 1 s3xy 2 1 1dj

y

y C1 es la trayectoria semicircular de (0, 0) a (2, 0), que se muestra en la figura 15.24. 1

Solución Se tienen las tres opciones siguientes.

C1 C2 (0, 0)

(2, 0) 1

C2: r(t) = ti

Figura 15.24

2

x

a) Se puede utilizar el método presentado en la sección anterior para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva dada. Para esto, se puede usar la parametrización rstd 5 s1 2 cos td i 1 sen sin t j, donde 0 ≤ t ≤ p. Con esta parametrización, se sigue que dr 5 r9std dt 5 ssen sin t i 1 cos tjd dt, y

E

C1

F ? dr 5

E

p

ssen sin t 1 sen sin4 t 1 cos t 1 3 sen sin2 t cos t 2 3 sen sin2 t cos2 td dt.

0

Esta integral desanimará a cualquiera que haya elegido esta opción. b) Se puede intentar hallar una función potencial y evaluar la integral de línea mediante el teorema fundamental de las integrales de línea. Empleando la técnica demostrada en el ejemplo 4, se encuentra que la función potencial es f sx, yd 5 xy 3 1 x 1 y 1 K, y, por el teorema fundamental, W5

E

C1

F ? dr 5 f s2, 0d 2 f s0, 0d 5 2.

c) Sabiendo que F es conservativo, se tiene una tercera opción. Como el valor de la integral de línea es independiente de la trayectoria, se puede reemplazar la trayectoria semicircular con una trayectoria más simple. Supóngase que se elige la trayectoria rectilínea C2 desde s0, 0d hasta s2, 0d. Entonces, rstd 5 ti, donde 0 ≤ t ≤ 2. Así, dr 5 i dt y Fsx, yd 5 s y 3 1 1d i 1 s3xy 2 1 1d j 5 i 1 j, de manera que

E

C1

F ? dr 5

E

C2

F ? dr 5

E

2

0

4

1 dt 5 t

2 0

5 2.

Obviamente, de las tres opciones, la tercera es la más sencilla.

Larson-15-03.qxd

26/2/10

14:28

Página 1089

SECCIÓN 15.3


1089

Conservación de la energía


En 1840, el físico inglés Michael Faraday escribió: “En ninguna parte hay una creación o producción pura de energía sin un consumo correspondiente de algo que la proporcione.” Esta declaración representa la primera formulación de una de las leyes más importantes de la física: la ley de conservación de la energía. En la terminología moderna, la ley dice lo siguiente: En un campo de fuerzas conservativo, la suma de energías potencial y cinética de un objeto se mantiene constante de punto a punto. Se puede usar el teorema fundamental de las integrales de línea para deducir esta ley. De la física se sabe que la energía cinética de una partícula de masa m y velocidad v es k ⫽ 12 mv 2. La energía potencial p de una partícula en el punto 共x, y, z兲 en un campo vectorial conservativo F se define como p共x, y, z兲 ⫽ ⫺f 共x, y, z兲, donde f es la función potencial de F. Consecuentemente, el trabajo realizado por F a lo largo de una curva suave C desde A hasta B es W⫽

MICHAEL FARADAY (1791-1867)

冕

C

Varios filósofos de la ciencia han considerado que la ley de Faraday de la conservación de la energía es la mayor generalización concebida por el pensamiento humano. Muchos físicos han contribuido a nuestro conocimiento de esta ley; dos de los primeros y más importantes fueron James Prescott Joule (1818-1889) y Hermann Ludwig Helmholtz (1821-1894).

冥

F ⭈ dr ⫽ f 共x, y, z兲

A

冥

B

⫽ ⫺p共x, y, z兲

como se muestra en la figura 15.25. En otras palabras, el trabajo W es igual a la diferencia entre las energías potenciales en A y B. Ahora, supóngase que r共t兲 es el vector posición de una partícula que se mueve a lo largo de C desde A ⫽ r共a兲 hasta B ⫽ r共b兲. En cualquier instante t, la velocidad, aceleración y rapidez de la partícula son v(t) = r¢(t), a(t) = r⬙(t) y v共t兲 ⫽ 储 v共t兲储, respectivamente. Así, por la segunda ley del movimiento de Newton, F ⫽ ma共t兲 ⫽ m共v⬘共t兲兲, y el trabajo realizado por F es

冕

C

F ⭈ dr ⫽ ⫽

冕冕冕

b

a b a b

⫽

a

⫽ ⫽

m 2 m 2

F ⭈ r⬘共t兲 dt F ⭈ v共t兲 dt ⫽

F

⫽ C

冕

b

a

关mv⬘共t兲兴 ⭈ v共t兲 dt

m关 v⬘共t兲 ⭈ v共t兲兴 dt

冕冕

b

a b a

d 关v共t兲 ⭈ v共t兲兴 dt dt d 关储v共t兲储2兴 dt dt

冤

冥

冤

冥

b

m ⫽ 储v共t兲储2 2

A

A

⫽ p共A兲 ⫺ p共B兲

W⫽

y

B

m 关v共t兲兴 2 2

a

b a

1 1 ⫽ m 关v共b兲兴 2 ⫺ m 关v共a兲兴 2 2 2 ⫽ k共B兲 ⫺ k共A兲.

B x

El trabajo realizado por F a lo largo de C es W⫽

冕

C

F

⭈ dr ⫽ p共A兲 ⫺ p共B 兲.

Figura 15.25

Igualando estos dos resultados obtenidos para W se tiene p共A兲 ⫺ p共B兲 ⫽ k共B兲 ⫺ k共A兲 p共A兲 ⫹ k共A兲 ⫽ p共B兲 ⫹ k共B兲 lo cual implica que la suma de energías potencial y cinética permanece constante de punto a punto.

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1090

CAPÍTULO 15 Análisis vectorial Chapter 15 Vector Analysis

1090

Ejercicios See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.3 Exercises 15.3 EnExercises los ejercicios 1 a 4,that mostrar queofel兰valor de ethe F same ? d r es In 1– 4, show the value forel C F ⭈ d r is C mismo para cadarepresentation representaciónofparamétrica de C. each parametric C. 1. FF共sx, x, yy兲d ⫽ 5 xx22ii ⫹ 1 xy xyjj 1. a) r s t d 5 t i 1 t (a) r11共t兲 ⫽ t i ⫹ t22j,j, 00 ≤ⱕ tt ≤ⱕ 11

p␲ b) rr22s共u␪d兲 5 sin sin ⫽ sen sin u␪ii 1 ⫹sen sin22 u␪j,j, 00 ≤ⱕ u␪ ≤ⱕ (b) 22 2 1 y22d i 2 x j 2 2. F s x, y d 5 s x 2. F共x, y兲 ⫽ 共x ⫹ y 兲 i ⫺ x j a) rr11s共ttd兲 5 冪ttj,j, 00 ≤ⱕ t t ≤ⱕ 44 ⫽ ttii 1 ⫹! (a)

14. FF共x, sx,y兲yd⫽5xyxy2 i2 i⫹12x2x2y2yj j 14. 11 a) rr11共stt兲d ⫽ 5 ttii ⫹ 1 j,j, 11 ⱕ≤ tt ⱕ ≤3 (a) tt b) rr22共stt兲d ⫽ 5 共stt ⫹ 1 11兲dii ⫺ 2 1313共stt ⫺ 2 33兲dj,j, 00 ⱕ ≤ t ⱕ ≤ 2 (b) 15. 15.

冕E

2xydydy yy2 2dxdx⫹12xy

CC

yy

a) (a) 44

b) rr22s共wwd兲 5 ⫽ ww22ii 1 ⫹ wwj,j, 00 ≤ⱕ ww ≤ⱕ 22 (b) 3. FF共sx, x, yy兲d ⫽ 5 yyii ⫺ 2 xxjj 3.

11

c) (c)

C C44 (− 1, 0) (−1,

(1, (1, 0) 0)

−1 −1

x

11

2 −−1 1

(1, −1)

(−1, −1)

16. 16.

冕E

s2x⫺23y3y⫹111兲 ddxdx⫺2共3x s3x⫹1yy⫺255兲 ddydy 共2x

CC

yy

a) (a)

yy

b) (b) 11

(2, 3) 3) (2, CC11

11

−1 −1

(0, (0,0)0) −−1 1

x

22

33

(0, (0, 1) 1)

22

(0, (0,1) 1)

17. 17.

22

xx

11−−yy22 CC4 4 x

−1 −1

CC3 3 11

xx ==

11

yy==eexx

44

2

xy xy 12. 12. FF共sx, x, yy兲d ⫽ 5 ye ye xyii ⫹ 1 xe xe xyjj ⫽ ttii 2 ⫺ s共tt 2 ⫺ 33d兲j,j, 00 ≤ⱕ tt ≤ⱕ 33 (a) a) rr11s共ttd兲 5 兲 to (b) Thetrayectoria closed path consisting line segments from 共0, b) La cerrada que of consiste en segmentos de3recta 共0, 0兲,(0, 0, 0兲 (0, 3, 0después 兲, and then 兲 to 共0, from to 共0), from desde 3) 共hasta desde (0,共3, 0)0hasta (3,3兲0) y

yy

(d) d) 2 (2, (2,ee 2))

88

(0, −−1) (0, 1)

44

yy

66

CC 22 xx

(4, 1) 1) (4,

11

(c) c)

11−−yy22

xx ==

(0, 1) 1) (0,

33

2 11. 11. FF共sx, x, yy兲d ⫽ 5 2xy 2xyii ⫹ 1 xx 2jj 2 ⫽ ttii 1 ⫹ tt2 j,j, 00 ≤ⱕ tt ≤ⱕ 11 (a) a) rr11s共ttd兲 5 r 共 t 兲 ⫽ t i ⫹ tt33j,j, 00 ≤ⱕ tt ≤ⱕ 11 (b) b) r 2std 5 t i 1

c) r3std 5 t i 1 t 3 j, 0 ≤ t ≤ 1

11 −− xx22

y=

(2, 2)

1

(Hint: If F is Si conservative, the integration may bepuede easierser on más an F es conservativo, la integración (Sugerencia: alternative path.) sencilla a través de una trayectoria alternativa.)

⫽ ttii 1 ⫹ tt23j,j, 00 ≤ⱕ tt ≤ⱕ 11 b) rr23s共ttd兲 5 (c)

yy

d) (d) C3

x

FF ⭈? dr. dr.

⫽ ttii 1 ⫹ ttj,2 j, 0 0≤ ⱕt t≤ ⱕ1 1 a) rr12s共ttd兲 5 (b)

44

1

22

13. (a) Fsx,ry1共dt兲5⫽y ti i2⫹xtjj, 0 ⱕ t ⱕ 1

33

22

y

(−1, 2)

In 11–24, value the de linelaintegral EnExercises los ejercicios 11 find a 24,the hallar el of valor integral de línea

y兲 ⫽ (3, yi ⫺ j 0) xhasta (0, 3) 13. F共x,desde

xx

−−1 1

x

sen x, y, y, zz兲d ⫽ 5 sin sin yz yzii ⫹ 1 xz xz cos cos yz yzjj ⫹ 1 xy xy sin sin yz yzkk 10. FF共sx, sen 10.

C C

(1,0) 0) (1, 11

(0,0) 0) (0, 11

44

冕E

(−1, 0) (− 1, 0) −1 −1

In 5–10, determine whether the vector En Exercises los ejercicios 5 a 10, determinar si el campo vectorialfield es o is no conservative. conservativo.

xy x, y, y, zz兲d ⫽ 5 yy ln ln zzii ⫺ 2 xx ln ln zzjj ⫹ 1 xy kk 8. FF共sx, 8. zz 2z i 1 2xyz j 1 xy22 k 2 F s x, y, z d 5 y 9. 9. F共x, y, z兲 ⫽ y z i ⫹ 2xyz j ⫹ xy k

CC22

CC11

22

b) rr22s共wwd兲 5 ⫽ s共22 1 ⫹ ln ln wwd兲ii 1 ⫹ s共33 2 ⫺ ln ln wwd兲j,j, 11 ≤ⱕ ww ≤ⱕ ee33 (b)

x 5. 5. FF共sx, x, yy兲d ⫽ 5 ee x共ssin sin yyii ⫹ 1 cos cos yj yj兲d sen 2y 2 i ⫹ 10x 3yj F 共 x, y 兲 ⫽ 15x 6. 6. Fsx, yd 5 15x 2y 2 i 1 10x 3yj 11 7. x, yy兲d ⫽ 5 y 22 共syyii ⫹ 1 xj xj兲d 7. FF共sx, y

yy== 11−−xx22

(4,4) 4) (4,

33

p␲ a) rr11s共u␪d兲 5 ⫽ sec sec u␪ii 1 ⫹ tan tan u␪j,j, 00 ≤ⱕ u␪ ≤ⱕ (a) 33 b) rr22s共ttd兲 5 冪tt1 冪t tj,j, 00 ≤ⱕt t≤ⱕ33 ⫽! ⫹11i i1⫹! (b) 2j 2 4. F s x, y d 5 y i 1 x 4. F共x, y兲 ⫽ y i ⫹ x j a) rr11s共ttd兲 5 ⫽ s共22 1 ⫹ ttd兲ii 1 ⫹ s共33 2 ⫺ ttd兲j,j, 00 ≤ⱕ tt ≤ⱕ 33 (a)

yy

b) (b) (3,4) 4) (3,

−1 −1 (0, − 1) (0, −1)

冕E

2 2 2xy 2xydxdx⫹1共xsx 2⫹1yy兲2ddydy

CC

2 2 xx2 ⫹ yy 2 ⫽ 1 from 共5, 0兲 to 共0, 4兲 (a) a) C: C: ellipse elipse 25 1 5 1 desde s5, 0d hasta s0, 4d 16 25 16 2 共0, 4s兲0, 4d (b) b) C: C: parabola parábola yy ⫽ 5 44 ⫺ 2 xx 2 from desde共2, s2,00兲 dtohasta

1053714_1503.qxp 10/27/08 10/27/08 1:45 1:45PM PM Page1091 1091 1053714_1503.qxp Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page Page 1091

SECCIÓN 15.3

Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 15.3 Conservative Conservative VectorFields Fields andIndependence Independence Path 15.3 Vector and ofofPath

E

18. 18. 18.

2 21 y 2d2 dx 1 2xy dy y 2y dx dx2xy 2xydydy sxx2x

a)(a)rr1rst1tdt5 tt33tii31 i tt22tj,j,2 j, 00 0≤tt ≤t22 2 (a) 1

p

b)(b)rr2rst2tdt5 ttiit1 sin ttj,j,t j, 00 0≤tt ≤t

22 cos 2cos cos i 22 sen 2sin sin (b) 22 2 2

19. x, y,y,zzdz 5yz yzyzii xzxzjj j 1xy xyxykkk x,y, i1xz 19.FFF sx, 19. a)(a)rr1rst1tdt5 ttiit1 i 22j2j 1 jttk, t k, 00 0≤tt ≤t44 4 k, (a) 1

2 2 b)(b)rr2rst2tdt5 tt22tii21 i tjtjtj1 tt 2tk, k,k, 00 0≤tt ≤t22 2 (b) 2 20. x, y,y,zzdz 5ii 1yyk x,y, i1zzjzj j ykk 20.FFF sx, 20.

2 a)(a)rr1rst1tdt5 sin sen cos costtiit1 i sinttjjt 1 jtt22tk, cos sin k,k, 00 0≤tt ≤tp

(a) 1 2 2 b)(b)rr2rst2tdt5 dii1 2ttk, s1112 i p

t k, 00 0≤tt ≤t11 1 2t 2t2t k, (b) 2

21. x, y,y,zzdz 5s2y 2y 1xxxdii 2zzdzjj j 1s2y 2y 24z 4z4z x,y, 2y i1sxx2x2 2 2y 21.FFF sx, dkkk 21. 2 2 a)(a)rr1rst1tdt5 ttiit1 i tt 2tjj 1 jk, k,k, 00 0≤tt ≤t11 1 (a) 1

2 2 b)(b)rr2rst2tdt5 ttiit1 i tjtjtj1 2t2 k,k, 00 0≤tt ≤t11 1 s2t 2t 11d12k, (b) 2 22 22. x, y,y,zzdz 5y 2y 13xz 3xz kk 2k x,y, yii i1xxjxj j 3xz 22.FFF sx, 22.

a)(a)rr1rst1tdt5 sin sen cos costtiit1 i sinttjjt 1 jttk, t k, 00 0≤tt ≤tp

cos sin k, (a) 1 b)(b)rr2rst2tdt5 dii1 s1112 i p t

t k, 00 0≤tt ≤t11 1 2t 2t2t tk, k, (b) 2

23. x, y,y,zzdz 5eezezszyyiyi 1xy xyxykkkd x,y, i1xxjxj j 23.FFF sx, 23. a)(a)rr1rst1tdt5 44 4cos costtiit1 i 44sen 4sin sinttjjt 1 j3k, 3k, 00 0≤tt ≤tp

cos sin 3k, (a) 1

b)(b)rr2rst2tdt5 dii1 s4442 i 3k, 3k, 00 0≤tt ≤t11 1 8t 8t8t 3k, (b) 2 24. x, y,y,zzdz 5yyysin sin sin 1xy xyxycos cos xk sen sen x,y, sinzzizi i1xxxsin sinzzjzj j cosxk xk 24.FFF sx, 24. a)(a)rr1rst1tdt5 tt22tii21 i tt22tj,j,2 j, 00 0≤tt ≤t22 2 (a) 1 b)(b)rr2rst2tdt5 ii 1 4t i 4tj, 4tj, 00 0≤tt ≤t11 1 4t4t 4tj, (b) 2

In Exercises Exercises –34, evaluate the line integral integral using the the In 2525 –34, the line using En los ejercicios 25 a 34,evaluate evaluar la integral de línea utilizando el Fundamental Theorem of Line Integrals. Use a computer Fundamental Theoremde of Integrals. UseUtilizar a computer teorema fundamental las Line integrales de línea. un sisalgebra systemtoto verify yourresults. results. algebra system verify your tema algebraico por computadora y verificar los resultados.

E

25. 25. 25.

i 3x3xjj drdr 33y iy i1222sxxx dr

f22 2sxxx 1yyydii 1yyydjjgj?dr dr

CCC

E

cosxxxsin sinyyydx dx sinxxxcos cosyyydy dy cos cos sin dx 1sin sin cos dy sen sen

CCC

3 p p C:line 0, , , linesegment segment froms0, to 3 ,3

C:

d to C: curva suave desde 0, 2 p

hasta from 22 2 2 2 ydx dx dy 2xxxdy dy 28. yy dx 28. 28. 2 2 2y 2y C xx2x 1 y2

E E

1 2

CC

C:line 1,111d to 2s 3,23, linesegment segment froms1, to2 C: C: curva suave desde 1, hasta 23,! from 22d

29. 29. 29.

x sin y dx xe x cos y dy eexex sin sin yy dx dx 1 ee x cos cos yy dy dy sen

CCC

C:cycloid sin cos to02d

2hasta

cycloidx x C: 1 1 cos

from 0,0,00s0, , 0, 0 C: x 5 u 2sin sin , uy,, y y5 12 cos ufrom cicloide desde to sen s2p2x , 2x 0d 2y dx 2y 2 2dydy 30. 30. 2x22x y2y22 2dx x2x 22y y 2y 2 C x dy 30. C 2 2 dx 12 2 sxcircle 1 yx2dx x y1 y52d522 29 9clockwise 442 s y clockwisefrom from7,7,55toto C circle C:C: 2 2 1, 5 1, 5 sx 2 4d 1 s y 2 5d 5 9 en sentido de las maneciC: círculo llas del reloj desde s7, 5d hasta s1, 5d

E

C:line 1,11 s1, 1, 1d (a)C: linesegment segment fromdesde to1, a) C: segmento de from recta 01, d1,hasta 0,0,0,0,0s00,to0, (a) C: 0, 0, 0 1,1,1,1,111d (b) line segments from to b) C: segmento de recta de s 0, 0, 0 d a s 0, (b) C: line segments from 0, 0, 0 to 0, 0,0,11dtoatos1,1,

C:line 1,1,1,1,000dto (c)C: linesegments segments from c) C: segmento de recta de s0, 0,0,00,00to dtoa1,s1,0,0,00dtoto a s1,1, ytoa 0,0, (c) from 1,1, 1, 1,1,111d s1, 32. Repetir el ejercicio 31 utilizando la integral 32.Repeat RepeatExercise Exercise using theintegral integral 32. 3131using the

E E

dz. zydxdx dx1 xzxz xzdydy dy1 xyxy xydz. dz. zyzy

C CC

33. 33. 33.

2sin senx xxdxdx sin dx1 z zzdydy dy1 y yydzdz dz sin

C CC

p, 3, 4 C: 0, 0,0,000d to curva suave desde hasta C:smooth 0,0, , 3,4 4 smooth curve froms0, to , 3, C: curve from 22 2

1 2

E

34. 34. 34.

s4y 20z 6xdxdx dx2 4z4z 4zdydy dy2 4y 4y2 20z 20z dz dz 6x6x ddz

C CC

C: curva 0, 0,0,00d hasta suave desde (3, 4, 0) 0,0, smooth curve froms0, C:C:smooth 0 toto3,3,4,4,00 curve from

Trabajo En los ejercicios 35 yfind 36, the hallar el done trabajo the realizado Work InInExercises Exercises and36, 36,find work force Work 3535and the work done bybythe force por el campo de fuerzas F al mover un objeto desde P hasta Q. fieldFFininmoving movingananobject objectfrom fromPPtotoQ.Q. field 3y 2 1d j; Ps0, 0d, Qs5, 9d sx, yd 5 9x2 22y2y22ii 1 s6x 35. 3y3y11j; F 6x j;PP ,Q 35.FF x,x,yy9x9x y i 6x 0,0,00,Q 5,5,99 35. 2 2x x 2 2x j; P(–1, 1), Q(3, 2) sx, yd 52x2x ii 2 36. F xy 2j; 1,11,Q ,Q 36.FF x,x,yy yyi 1, 3,3,22 36. 2 j;PP y 2y y

37. Trabajo Una piedra de 1 libra atada al extremo de una cuerda de 37.Work Workpies weighing poundisisattached attached theend endofof 37. AAstone weighing 1 1pound aa dos sestone hace girar horizontalmente con to untothe extremo fijo. two-foot string and is whirled horizontally with one end held two-foot string and is whirled horizontally with one end held Realiza una revolución por segundo. Hallar el trabajo realizado fixed. Itmakes makes 1revolution revolution per second. Find the workdone done fixed. per second. the work byby por laItfuerza F1que mantiene a la piedraFind en una trayectoria circuF the force that keeps the stone moving in a circular path. F that Usar the keepsfuerza the stone moving in a circular path. lar.force [Sugerencia: = (masa)(aceleración centrípeta).] [Hint:Use UseForce Force (mass)(centripetalacceleration).] acceleration).] zd 5 a1i 1 a 2 j 1 a3 k es un campo vecto38.[Hint: Trabajo Si Fsx,y,(mass)(centripetal y,zza ai1 i a aj2 jaque a3 kel 38.Work Work IfFF constant force rial deIffuerza realizado al x,x,y,constante, 38. isistrabajo a aconstant force 1 mostrar 2 3k vector field, show that the work done in moving a particle along moverfield, una partícula lo work largo done de la in trayectoria P hasta vector show thatathe moving adesde particle along Q PQ anyW path 5 from Ffrom . toQQisisWWFF PQ es PPto .. any path ? PQ 39. Work To allow a means of escape forworkers workers hazardous 39. Work TrabajoTo allow Para tener un medio de escape para losinin trabajadores en 39. a means of escape for a ahazardous job 50 meters above ground level, a slide wire is installed. una50 arriesgada tarea a ground 50 metros sobrea elslide nivelwire del suelo, se instajob meters above level, is installed. Itruns runs fromtheir their position apoint point theground ground 50meters metersa un tobogán de cable. Corre suonon posición hasta50un punto Itla from position totoadesde the from thebase base theinstallation installation where theyare arelocalizan located.Show Show 50 metros de of laofbase de la instalación donde se los trafrom the the where they located. thatthe thework work done the gravitational force forade a bajadores. Mostrar que trabajo realizadoforce por field elfield campo that done bybyel the gravitational for 175-pound worker moving the length of the slide wire is the fuerzas gravitatorio para quetheunlength hombre libras 175-pound worker moving of de the175 slide wirerecorra is the la samefor foreach each path. longitud del cable es el mismo en cada una de las trayectorias. same path. i1s50 50 (a)rrrsttdt 5ttiti 50 2ttdtjj j a) (a) 11 1 i15050 50 (b)rrsrttdt 5ttiit 50 2ttdt22jj2j b) s50 (b) \

C:smooth 1, 1toto3,(3, 3,222) smooth curve from C: 1, C: curva suave desde (–1, 1)1hasta curve from

27. 27. 27.

dx2x 2xzzdy dy x xyydz dz zz2y2y dx

CC

\

CC

C:smooth toto3,3, smooth curve from C: 0,0, curve from C: curva suave desde s0, 00d0hasta s83,88 d

26. 26. 26.

31. 31. 31.

C CC

1091 1091 1091

\

50

40.Work Work Can Can you findaencontrar apath pathfor foruna thetrayectoria slidewire wirein inExercise Exercise 39 40. Trabajo ¿Se puede para el cable39del 40. you find the slide such that the work done by the gravitational force field would tobogán del ejercicio 39 tal que el trabajo realizado por el campo such that the work done by the gravitational force field would differ fromthe theamounts amountssea workdone done forthe thetwo twopaths paths given? de fuerzas gravitatorio distinto defor las cantidades degiven? trabajo differ from ofofwork Explainwhy why why not. realizadas para las dos trayectorias dadas? Explicar por qué sí o Explain ororwhy not. por qué no.

WWRRI TI TI NI NGGAABBOOUUT TCCOONNCCE EPPT TSS 41.State Statethe theFundamental Fundamental TheoremofofLine LineIntegrals. Integrals. Desarrollo de conceptos 41. Theorem 42. What does it mean that a line integral isindependent independent 42. doeselitteorema mean that a line integral ofof 41. What Enunciar fundamental de las is integrales de línea. path?State Statethe themethod methodfor fordetermining determiningififa aline lineintegral integralisis path? 42. ¿Qué significa que una integral de línea sea independiente de independentofofpath. path. independent la trayectoria? Enunciar el método para determinar si una integral de línea es independiente de la trayectoria.

1053714_1503.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1092 1053714_1503.qxp 1:45 PMPage Page 1092 Larson-15-03.qxd 10/27/08 3/12/09 19:52 1092 1053714_1503.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1092

1092 Chapter CAPÍTULO 15 Analysis Análisis vectorial 1092 15 Vector 1092 Chapter 15 Vector Analysis 1092 Chapter 15 Vector Analysis y x yi x j. Find 43. 43. Think About It Sea Let F x, y the el Para pensar Encontrar 43. Think About It Let F x, y x2 2 y2 2 i x2 2 y2 2 j. Find the x y y x y x value of the line It integral valor la deFlínea x, y 43. Think About Let i j. Find the value de of theintegral line integral x2 y2 x 2 y2 Fvalue dr.of the line integral F dr. C C y a) F dr. y y b) y a) b) C y y a) b) C2

C1

C1 C1 x

x

In Exercises 45 and45 46, 46, consider the force field de shown in mostrathe EnExercises los ejercicios considerar campo In 45 andy46, consider theel force fieldfuerzas shown in the figure. Is the force field conservative? Explain why or why not. doExercises en la ¿Es el de fuerzas conservativo? Explicar figure. Is figura. the 45 force field conservative? why or why In and 46,campo consider the Explain force field shown in not. the por qué por qué no.conservative? y why or why not. Is sí theoy force field Explain 45.figure. 46. y y 45. 46. 45. 46. yy yy 45. 46.

x

C2 C2 x

x

x xx

x

x xx

x x

c)

y

c) c)

d)

y y

C3

C3 C3 x

y

d) d)

y y

C4

C4 C4

x x

x

x x

CAPSTONE CAPSTONE 44.C Consider force field shown in the figure. A PConsider S T O Nthe E the 44. force field shown in the figure. y

44. Consider the force yfield shown in the figure. Para discusión y

44. Considerar el campo de fuerzas mostrado en la figura. y

x −5

−5

E1

x x

−5 x

−5

−5

−5 −5

(a) Give a verbal argument that the force field is not (a) Give a verbal argument that the force field is not conservative because you can identify two paths that conservative you that can identify paths (a) Give a verbalbecause argument the forcetwo field is that not −5 amounts of work to move an object require different require different amounts of work to move an object conservative because you can identify two paths that from 4, 0 to 3, 4 . Identify two paths and state from different paths an andobject state 4, 0 to amounts 3, 4 . Identify require of worktwo to move which requires the greater amount work.deTofuerzas print anno es a) Argumentar verbalmente que el of campo which requires amounttwo of work. print an from pathsTo and state 4, 0 tothe3,greater 4 . Identify enlarged copy porque of these pueden graph, encontrar go to the conservativo dos website trayectorias enlarged copytheofgreater the graph, to the website which requires amount go of work. To print an www.mathgraphs.com. que requieren cantidades diferentes de trabajo para www.mathgraphs.com. enlarged copy of the graph, go to the website mover un objeto desde that Identificar s24,the 0d hasta 4d. is (b) Give a verbal argument force s3, field not www.mathgraphs.com. (b) dos Give a verbal that the force is not trayectorias yargument decir mayorfield cantidad conservative because you cuál can requiere find a closed curve C de conservative you that can the find force a closed C (b) trabajo. Give a verbalbecause argument fieldcurve is not such that such that conservative because you can find a closed curve C b) Argumentar verbalmente que el campo de fuerzas no es such that 0. F dr conservativo se puede encontrar una curva ceF dr porque 0. C rrada C tal que C F dr 0.

E C

C

F ? dr Þ 0.

True or False? In Exercises 47–50, determine whether the True or False? In Exercises 47–50, determine whether the statement is true or false. If it is false, explain why or give an statement is otrue or Exercises false. If itejercicios is false,determine explain or givethe anla True or False? In 47–50, whether ¿Verdadero falso? En los 47 a 50, why determinar si example that shows it is false. example that shows it is false. statement is true or false. If it is false, explain why or give an declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o itdemuestre isthe false. 47.example If C1un same initial terminal points and , C2that , andshows C have dar queinitial esand falsa. 47. If C1ejemplo the same and terminal points and , C2, and3que C3 have then F dr F dr , F dr dr3. C C2 C1 1 C3 F then F, C1dr F 2dr dr1 terminal F points dry3.final 47. have the, same initial and y , and CC 1, yyCC C1 F and C 47.1 IfSi puntos inicial 1 1C1, 2C2 3 332 tienen 2 los mismos 48. If F Fy i dr x j and CF is given by r t F 4drsin t i F 3 cos then dr , dr .t? j,drt 3j,. F C? is dr2given dr 5 e F 48. IfCeC1F1 F ?ydr by i1 1 5 x jCeand sin t i 3 C1 r teC F14 C 3cos ? 2 2 3 C 2, entonces 1 C 1 3 0 t , then C F dr 0. Festá 48. is dr given by x jx and t itd i 13scos t j,td j, j yCCC 48. If0SiFFt5y iy i ,1then dada0. porr rt std 54ssin 4 sen sin 3 cos 49. If F0 is conservative in F a region R0.bounded by a simple closed entonces ≤ p, ,then F dr R 5 bounded 0. 49. If0 F≤ tist conservative adr region by a simple closed C ineC ? path and C lies within R, then C F dr is independent of path. C lies within R, path thenregión is independent path. 49. inen a una region by oa acotada simpleofclosed CRFbounded 49. If SiFFisand esconservative conservativo limitada por una Rdr i N j and M R,xthen N F y, then Findependent 50. If Fpath M is conservative. is path. cerrada R, ofentonces F andMCi lies Nwithin j andsimple M xy C N dr y,contenida F is en 50. Iftrayectoria then conservative. C está dri es independiente N j and M xde la2fNtrayectoria. y, 2then 50. IfeCFF ? M f 2 F is conservative. 2f f 0. Prove f 51. 50. A function is called harmonic if if 2 5 if Nyy, esthat conservaF 5 M if 1 N j y Myx 0.FProve 51. ASifunction is called harmonic that if x 2 2 2 yentonces xf y2f2 f is harmonic, then tivo. f is then 0. Prove that if 51. A called harmonic if 2 f isfunction harmonic, 2 2xf 2yf f then isf harmonic, 51. f Una si 2 1 2 5 0. Demostrar que f dxfunción dyff es armónica 0 x y dy 0 dx x y C si es armónica, fx entonces C f fy dx dy 0 x closed curve in the plane. where is a smooth C Cy f f C is a smooth where closed curve in the plane. dx 2 dyEnergy 5 0 The kinetic energy of an object 52. Kinetic and Potential y x C where is a smooth closed curve in kinetic the plane. C 52. Kinetic and Potential Energy The energy of an object moving through a conservative force field is decreasing at a rate moving through a conservative force field is decreasing a rate 52. Kinetic and Potential Energy The kinetic energy of anatobject es una curvaAt suave el plano. donde of 15 unitsCper minute. whatcerrada rate isenthe potential energy of 15 units per aminute. At what is isthe potentialatenergy moving through conservative forcerate field decreasing a rate changing? 52. Energía potencial y cinética La energía cinética de un objeto changing? of 15 units per minute. At what rate is the potential energy que se mueveya través de un x campo de fuerzas conservativo dischanging? y2 i x j. 15 unidades por minuto. ¿A x, y a una 53. Let F 2o ritmo minuye F x, y x 2 velocidad i j. 53. Let x y y 2 de x 2 y suy 2energía x 2 potencial? x y2 qué ritmo cambia F x, y i j. 53. Let (a) Show that x 2 y 2 x2 y2 (a) Show that y x 53. (a) Sea F s x, y d 5 i 2 j. NShowMthat x 2 1 y 2 x2 1 y2 N M x y a) Mostrar Nx Myque x y where N M where 5 x y y x where y and N x. M M x 2 2 y 2 2 and N x 2 2 y 2 2. dondex y y x xy and N M . 2 2 y2 (b) If r t xcos t j forx2x 0 yt 2 , find C F dr. yt i t i sin sin (b) If r t cos t j for 0 t , find C F dr. M 5 N 5 . y 2 2 2 2 (c) (b) If rIft r t cos t i yt i sin sin t j for 01 0y t t , find x 1 x C F Fdr.dr. for cos t j , (c) If r t find cos t i sin t j for 0 t , find dr. C CF (d) (c) If rIf tr t coscos find t i t i sinsin t j tfor 0 t 2 , dr. CFF dr. for find j 0 t , (d) If for find r t cos t i sin t j 0 t 2 , F dr. C b) Si s d 5 1 sen para ≤ ≤ p, hallar eCCF ? dr. Why doesn’t this contradict Theorem 15.7? Why doesn’t this contradict Theorem 15.7? (d) If for find r t cos t i sin t j 0 t 2 , F dr. c) Si rstd 5 cos t i 2 sen sin t j para 0 ≤ t ≤ p, hallar eCC F ? dr. Why doesn’t this xcontradict Theorem 15.7? x tF. (e) Show that arctan d) Si rstdthat 5 cos arctan ti 1 sin j para (e) Show F. 0 ≤ t ≤ 2p, hallar eC F ? dr. y sen xy ¿Por qué no contradice (e) Show thatestoarctan F. el teorema 15.7? y x e) Mostrar que = arctan 5 F. y

2

1

2

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SECCIÓN 15.4

Teorema de Green

1093

15.4 Teorema de Green n n

Utilizar el teorema Green para evaluarauna Use Green’sdeTheorem to evaluate lineintegral integral.de línea. Utilizar formas alternativas del teorema de Green. ■ Use alternative forms of Green’s Theorem.

Teorema de Green Green’s Theorem r(a) = r(a) r(b) = r(b)

R1

R1

Simplyconexa connected Simplemente R3

R3 R2

TEOREMA 15.8 TEOREMA GREEN THEOREM THEOREM 15.8 DE GREEN’S

R2

R be simplemente C, a simply connected with a piecewise smooth boundary Sea R unaLet región conexa region cuya frontera es una curva C suave a trozos, counterclockwise (that is, C isdeltraversed the region orientadaoriented en sentido contrario a las manecillas reloj (esonce decir,soCthat se recorre unaR N have alwaysque lieslatoregión the left). If M and derivatives in vez de manera R siempre quede a lacontinuous izquierda).first Si Mpartial y N tienen open region containing then abierta que contiene a R, entonces derivadasan parciales continuas en unaR,región

Not simpl conexas connected No simplemente

E EE E E E E E E E E E C

R

M dx 5 M dxM5dx 1 M dxM1dx C

C1 b

5

C1: y =Cf1:(x) 1 y = f1(x)

a b

5

a

a C =a C1C+=CC2 +bC 1 2

x

b

x

C1 b

a

a b

5

a

R C′2: x C′ = g2:2(y) x = g2(y) Por

R is horizontallysimple simple. R es horizontalmente Figure Figura 15.2715.27

x

x

f sxd

b f2sxd 2 M M M dA 5 dy dxM dy dx dA 5 y R y a f1sxd y a f1sxd y

5

C′ = CC′ ′1 += C′ C′21 + C′2

b

fM5sx, f1sfxM dds2 sx, f2sxM ddgsx,dxf2sxddg dx x, fM 1sxdd 2

b

C′1: 1 x = g1(y) x = g1(y) d

c

a

b

a b

EE EE E E E E E E4 E E R

c

M dx

C2 a

M5 sx, f1sxM ddsdx Msx, f sxdd dx x, f1 1sxdd dx 1 2 Msx, f2sxdd dx

b

C′ y:

R

C2

Por otro On lado, the other hand,

R es verticalmente R is verticallysimple simple.

d

2

DEMOSTRACIÓN unaisdemostración para una región es vertical horizonPROOF Se A da proof given only forsólo a region that is both que vertically simpley and horizontalmentetally simple, como se muestra en la figura 15.27. simple, as shown in Figure 15.27.

C2: C : 2 y = f2(x) y = f2(x)

y

EE 1 EE 1 2

N MN M dx51 N dy 5 2 2 dA. M dx 1 NMdy dA. y x R yx C C R

y

R

E

E

Figura 15.26 15.26 Figure

y

En esta sección se estudiará el study teorema de Green, quenamed recibeafter este the nombre enmathematician honor del In this section, you will Green’s Theorem, English matemático inglés George Green (1793-1841). Este states teorema establece queofelavalor de integral una George Green (1793–1841). This theorem that the value double integral over dobleasobre unaconnected región simplemente conexa está determinado porvalue el valor simply plane region R isR determined by the of ade line una integral de línea a lothe largo de la frontera integral around boundary of R. de R. Una curva C dada si noifseit corta rstby d 5rsxtdst5 di 1 dj, ydonde a ≤ ta ≤# b,t es A curve C por given xstydist1 stdj, where b, is simple does not # simple a sí misma, es itself—that decir, rscd Þ c yalld cenand el intervalo sa, bd. Una cross is,rrsdscddpara Þ rstodo dd for d in the abierto open interval sa, bdregión . A plane plana R region es simplemente conexa si cada curva simple cerradaclosed simplecurve en Rinencierra sólo only puntos R is simply connected if every R encloses points que estánthat en are R (ver figura 15.26). in Rla (see Figure 15.26).

b f2sxd

4

M5 sx, yd Msx,dx yd f sxd a b

1

f2sxd f1 sxd

dx

fM5sx, f2sfxM dds2 sx, f1sxM ddgsx,dx.f1sxddg dx. x, fM 2sxdd 2 a

consiguiente, Consequently,

E E EE EE

M M dx 5 M 2 dx 5 2 dA. M dA. y R y C R C

s ydyand Similarly, you can usar use g1(y) to show that g2(y)gpara que eC N dy 5 eRe Nyx dA. By De manera similar, se pueden 2s yd demostrar eC M dy, you the integrals and obtain the establecida conclusion en stated in the Sumandoadding las integrales y dx a la conclusión el teoeC M dx eC N dy,eCseNllega ■ rema. theorem.

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

EJEMPLO 1 y

Aplicación del teorema de Green

Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea

E

C = C1 + C2 (1, 1)

y=x

1

donde C es la trayectoria desde (0, 0) hasta (1, 1) a lo largo de la gráfica de y 5 x3 y desde (1, 1) hasta (0, 0) a lo largo de la gráfica de y 5 x, como se muestra en la figura 15.28.

C1 C2

y = x3 x

(0, 0)

y 3 dx 1 sx3 1 3xy 2d dy

C

1

C es simple y cerrada, y la región R siempre se encuentra a la izquierda de C Figura 15.28

Solución

Como M 5 y 3 y N 5 x 3 1 3xy 2, se sigue que

N 5 3x 2 1 3y 2 x

y

M 5 3y 2. y

Aplicando el teorema de Green, se tiene entonces

E

y 3 dx 1 sx 3 1 3xy 2d dy 5

C

EE 1 EE EE E 4 E R 1

5

2

N M 2 dA x y

x

fs3x2 1 3y 2d 2 3y 2g dy dx

0 x3 1 x

5

3x 2 dy dx

0 x3 1

5

0 1

5

x

3x 2y

dx x3

s3x 3 2 3x5d dx

0

5

3 3x4

4

2

x6 2

1

4

0

1 5 . 4

GEORGE GREEN (1793-1841) Green, autodidacta, hijo de un molinero, publicó por primera vez el teorema que lleva su nombre en 1828 en un ensayo sobre electricidad y magnetismo. En ese tiempo no había casi ninguna teoría matemática para explicar fenómenos eléctricos. “Considerando cuán deseable sería que una energía de naturaleza universal, como la electricidad, fuera susceptible, hasta donde fuera posible, de someterse al cálculo. . . me vi impulsado a intentar descubrir cualquier posible relación general entre esta función y las cantidades de electricidad en los cuerpos que la producen.”

El teorema de Green no se puede aplicar a toda integral de línea. Entre las restricciones establecidas en el teorema 15.8, la curva C debe ser simple y cerrada. Sin embargo, cuando el teorema de Green es aplicable, puede ahorrar tiempo. Para ver esto, tratar de aplicar las técnicas descritas en la sección 15.2 para evaluar la integral de línea del ejemplo l. Para esto, se necesitará escribir la integral de línea como

E

C

y 3 dx 1 sx 3 1 3xy 2d dy 5

E

y 3 dx 1 sx 3 1 3xy 2d dy 1

C1

E

y 3 dx 1 sx 3 1 3xy 2d dy

C2

donde C1 es la trayectoria cúbica dada por rstd 5 t i 1 t 3j desde t 5 0 hasta t 5 1, y C2 es el segmento de recta dado por rstd 5 s1 2 tdi 1 s1 2 tdj desde t 5 0 hasta t 5 1.

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SECCIÓN 15.4

EJEMPLO 2

Aplicación del teorema de Green para calcular trabajo

Fsx, yd 5 y 3i 1 sx3 1 3xy 2dj

y

una partícula recorre una vez el círculo de radio 3 mostrado en la figura 15.29. Aplicar el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por F.

C 2 1

Solución

E

x −1

1095

Estando sometida a la fuerza

F(x, y) = y 3 i + (x 3 + 3xy 2)j

−2

Teorema de Green

1

2

−1

Por el ejemplo 1, se sabe, de acuerdo con el teorema de Green, que

y 3 dx 1 sx 3 1 3xy 2d dy 5

C

−2

EE

3x 2 dA.

R

En coordenadas polares, usando x 5 r cos u y dA 5 r dr du, el trabajo realizado es r=3

W5

Figura 15.29

EE

3x 2 dA 5

R

EE EE E E E 2p

3

0

0

53 53

3sr cos ud2 r dr du

2p

3

0 0 2p 4 r

4

0

2p

53

0

cos2 u

4

3

du

0

81 cos2 u du 4

2p

243 5 8

r 3 cos2 u dr du

s1 1 cos 2ud du

0

5

243 sin 2u sen u1 8 2

5

243p . 4

3

2p

4

0

Al evaluar integrales de línea sobre curvas cerradas, recuérdese que en campos vectoriales conservativos (campos en los que Nyx 5 Myy), el valor de la integral de línea es 0. Éste es fácil de ver a partir de lo establecido en el teorema de Green:

E

M dx 1 N dy 5

C

R

EJEMPLO 3 y

EE 1

2

N M dA 5 0. 2 x y

Teorema de Green y campos vectoriales conservativos

Evaluar la integral de línea

E

C

y 3 dx 1 3xy 2 dy

C

donde C es la trayectoria mostrada en la figura 15.30. x

C es cerrada Figura 15.30

Solución A partir de esta integral de línea, M 5 y 3 y N 5 3xy 2. Así que, Nyx 5 3y 2 y Myy 5 3y 2. Esto implica que el campo vectorial F 5 Mi 1 Nj es conservativo, y como C es cerrada, se concluye que

E

C

y 3 dx 1 3xy 2 dy 5 0.

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

EJEMPLO 4 y

(0, 3)

Aplicación del teorema de Green para una curva suave a trozos (o por partes)

Evaluar

E

C R

sarctan x 1 y 2d dx 1 se y 2 x2d dy

C

x

(−3, 0)

(−1, 0)

C es suave a trozos Figura 15.31

(1, 0)

(3, 0)

donde C es la trayectoria que encierra la región anular mostrada en la figura 15.31. Solución

En coordenadas polares, R está dada por 1 ≤ r ≤ 3 para 0 ≤ u ≤ p. Y,

N M 2 5 22x 2 2y 5 22sr cos u 1 r sen sin ud. x y Así, por el teorema de Green,

E

sarctan x 1 y 2d dx 1 sey 2 x 2d dy 5

C

5 5 5

EE EE E E1

22sx 1 yd dA

R p

3

22r scos u 1 sen sin udr dr du

0 1 p

22scos u 1 sen sin ud

0 p

2

0

r3 3

4

3 1

du

2

52 scos u 1 sen sin ud du 3

3

52

52 sin u 2 cos u sen 3

52

104 . 3

p

4

0

En los ejemplos 1, 2 y 4, el teorema de Green se utilizó para evaluar integrales de línea como integrales dobles. También se puede utilizar el teorema para evaluar integrales dobles como integrales de línea. Una aplicación útil se da cuando Nyx 2 Myy 5 1.

E

M dx 1 N dy 5

C

EE 1 EE R

5

2

N M 2 dA x y

1 dA

R

N M 2 51 x y

5 area R R área of de region la región Entre las muchas opciones para M y N que satisfacen la condición establecida, la opción de M 5 2yy2 y N 5 xy2 da la siguiente integral de línea para el área de la región R.

TEOREMA 15.9 INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA Si R es una región plana limitada o acotada por una curva simple C, cerrada y suave a trozos, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces el área de R está dada por A5

1 2

E

C

x dy 2 y dx.

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SECCIÓN 15.4

EJEMPLO 5

Teorema de Green

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Hallar el área mediante una integral de línea

Usar una integral de línea para hallar el área de la elipse x2 y2 1 5 1. a2 b 2 y

x2 a2

+

y2 b2

Solución Utilizando la figura 15.32, a la trayectoria elíptica se le puede inducir una orientación en sentido contrario a las manecillas del reloj haciendo

=1

x 5 a cos t b

y

y 5 b sen sin t, 0 ≤ t ≤ 2p.

Por tanto, el área es

a x

A5

R

1 2

E

x dy 2 y dx 5

C

5 Figura 15.32

5

1 2

E E

2p

fsa cos tdsb cos td dt 2 sb sen sin tds2a sen sin td dtg

0

2p

ab 2

scos 2 t 1 sen sin2 td dt

0 2p

34

ab t 2

0

5 p ab. El teorema de Green puede extenderse para cubrir algunas regiones que no son simplemente conexas. Esto se demuestra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 6

y 2

C1

Sea R la región interior a la elipse sx 2y9d 1 s y 2y4d 5 1 y exterior al círculo x 2 1 y 2 5 1. Evaluar la integral de línea

C1: Elipse C2: Círculo

E

R C3

−3

C2

−2

C3: y = 0, 1 ≤ x ≤ 3 C4: y = 0, 1 ≤ x ≤ 3

Figura 15.33

2xy dx 1 sx 2 1 2xd dy

C

3

C4

El teorema de Green extendido a una región con un orificio

x

donde C 5 C1 1 C2 es la frontera de R, como se muestra en la figura 15.33. Solución Para empezar, se pueden introducir los segmentos de recta C3 y C4, como se muestra en la figura 15.33. Nótese que como las curvas C3 y C4 tienen orientaciones opuestas, las integrales de línea sobre ellas se cancelan entre sí. Además, se puede aplicar el teorema de Green a la región R utilizando la frontera C1 1 C4 1 C2 1 C3 para obtener

E

2xy dx 1 sx 2 1 2xd dy 5

C

EE 1 EE EE R

5

2

N M 2 dA x y

s2x 1 2 2 2xd dA

R

52

dA

R

5 22(área sarea of de RR)d 5 2spab 2 p r 2d 5 2fp s3ds2d 2 p s12dg 5 10p.

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

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Chapter 15

Vector Analysis

En la sección 15.1 se estableció una condición necesaria y suficiente para campos vectoriales conservativos. Ahí sólo se una dirección de laand demostración. Ahora sefor puede Inpresentó Section 15.1, a necessary sufficient condition conservative vector fiel dar la otra dirección, usando el teorema de Green. Sea F s x, y d 5 Mi 1 Nj definido en un In Section 15.1, a necessary and sufficient condition for conservative vector fields was listed. There, only one direction of the proof was shown. You can now outline t disco R. Se the quiere demostrar que siusing M y NGreen’s tienen primeras listed. There, only one direction of the proof was shown. You canabierto now outline other direction, Theorem.derivadas Let Fsx, yparciales d 5 Mi 1conNj be defined on an op y on an open r direction, using Green’s Theorem. Let Fsx, yd 5 Mi 1 Nj tinuas be defined disk R. You want to show that if M and N have continuous first partial derivatives a

R. You want to show that if M and N have continuous first partial and Mderivatives N M N 5 5 y x M N y x 5 y x F is conservative. C is a que thatcerrada closed path the boundary of entonces F es conservativo.then Supóngase que C es unaSuppose trayectoria forma la forming fronF is conservative. Suppose that C is a closed path forming a connected lying in R.usando Then, using the fact that Myy 5 Nyx, you can app terathe de boundary una regiónofconexa contenida region en R. Entonces, el hecho de que ected region lying in R. Then, using the fact that Myy 5 Nyx, you can apply conclude thatque se puede aplicar elGreen’s teoremaTheorem de Greentopara concluir n’s Theorem to conclude that F ? dr 5 M dx 1 N dy F ? dr 5 M dx 1 N dy C C C C F ? dr 5 M dx 1 N dy C C N M N M 2 dA 5 2 dA 5 N M x y R x y 5 2 dA R x y R 5 0. 5 0. 5 0. This, in turn, is equivalent to showing that F is conservative (see Theorem 15.7). Esto es, a su15.7). vez, equivalente a mostrar que F es conservativo (ver teorema 15.7). , in turn, is equivalent to showing that F is conservative (see Theorem

E

E

E EE 1

2

E EE 1

E

E EE 1

2

2

Alternative Forms of Green’s Theorem

ernative Forms of Green’s Theorem

Formas alternativasThis delsection teorema de Green concludes with the derivation of two vector forms of Green’s Theore

section concludes with the derivation of two vector formsEsta of Green’s regions in the plane. The extension of these vector forms todethree dimensions is t sección Theorem concluye confor la deducción de dos formulaciones vectoriales del teorema egions in the plane. The extension of these vector forms to three dimensions is the basis for the discussion in the remaining sections of this chapter. If F is a vector fie Green para regiones en el plano. La extensión de estas formas vectoriales a tres dimens for the discussion in the remaining sections of this chapter.siones If F isesalavector field in the plane, you can write base del estudio en el resto de las secciones de este capítulo. Si F es un campo e plane, you can write vectorial en el plano, se puede escribir Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 0k

Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 0k

| |

i j k curl F 5 = 3 F 5 x y z M N 0 N M N M i1 j1 2 52 k. z z x y

1

2

sequently,

1

2 4?k

N M N M 2 i1 j1 k x y z z N M . 5 2 y x

3

scurl Fd ? k 5 2

| | | |

Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 so 0k that the curl of F, as described in Section 15.1, is given by

at the curl of F, as described in Section 15.1, is given by

j k por lo que el rotacional de F, como se describió en lai sección 15.1, está dada por i j curl kF 5 = 3 F 5 x y z curl rot F 5 = 3 F 5 M N 0 x y z N M N M 52 i1 j1 2 k. M N 0 z z x y N M N M 5 2 Consequently, i1 j1 2 k. z z x y N M N M Por consiguiente, scurl Fd ? k 5 2 i 1 j1 2 k ?k z z x y N M N N M M (rot FF)d ? k 5 2 scurl i1 j1 2 k ?k z z x 5 x y 2 y .

1

2

1

3

1

3

1

2

24

24

N M With appropriate conditions on F, C, and R, you can write Green’s Theorem 5 2 . y With appropriate conditions on F, C, and R, you can write Green’s Theoremx in the vector form vector form Con condiciones apropiadas sobre F, C y R, seN puedeM escribir el teorema de Green en F ? dr 5 2 dA N M forma vectorial x y C R F ? dr 5 2 dA x y C R N M scurl Fd ? k dA. First alternative form F ? dr 5 2 dA 5 CAS R x y scurl Fd ? k dA. First alternative form 5 C R R The extension of this vector form of Green’s Theorem to surfaces in space produc Primera forma alternativa. 5 scurlF) F·d k? dA. k dA. (rot extension of this vector form of Green’s Theorem to surfaces in space produces Stokes’s Theorem, discussed in Section 15.8. R es’s Theorem, discussed in Section 15.8. La extensión de esta forma vectorial del teorema de Green a superficies en el espacio da lugar al teorema de Stokes, que se estudia en la sección 15.8.

E

EE 1 EE

2

E

EE 1 EE

E

2

EE 1 EE

2

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SECCIÓN 15.4 Teorema de Green 1099 15.4 Green’s Green’s Theorem 1099 1099 15.4 Theorem 15.4 Green’s Theorem 1099

Para la segunda forma vectorial del teorema de Green, supónganse las mismas condivector form Green’s Theorem, assume same conditions for ForFor thethe second form of of Green’s Theorem, assume thethe same ciones sobre F,second C yvector R. Utilizando el parámetro longitud de arco s conditions para C, sefortiene For the second vector form of Green’s Theorem, assume the same conditions and Using the arc length parameter for you have So, F, C, R. s C, r s x s i y s j. Using arctanto, lengthunparameter you haveTr as la curva So, por for s for C,tangente x s i C está y s j.dado rF, ssdC,5and xssdR. i1 yssdj.thePor vector unitario and Using the arc length parameter for you have F, C, R. s C, r s x s i y s j. So, a unit tangent vector to curve is given by From T C r s T x s i y s j. curve C is given r s verTque xel svector i yunitario s j. From ra9sunit sd 5 tangent T 5 x9svector sdi 1 yT 9ssdtoj. En la figura 15.34 by se puede normal a unit tangent vector to curve is given by T C r s T x s i y s Figure 15.34 you can see that the outward unit normal vector can then N Figure 15.34 you can see that thecomo outward unit normal vector N can then bej.beFrom exterior N puede entonces escribirse n Figure 15.34 you can see that the outward unit normal vector N can then be written as T written as n n T N 5written y9ssdi as 2 x9ssdj. C nTθ C C T N N y ys is i x xs j.s j. θ θ Por consiguiente, C N ya F(x, s i y)x5s Mi j. 1 Nj se le puede aplicar el teorema de Green para obθ Consequently, for apply Green’s Theorem obtain F yx, y MiMi Nj,Nj, tener Consequently, for youyou cancan apply Green’s Theorem to to obtain F x, N = −n Consequently, for you can apply Green’s Theorem to obtain F x, y Mi Nj, = −n bb b N =N−n T 5 cos u i 1 sen sin u j N = −n b N5 ds j ds FF ?FN sMi 1 Nj N ds ds MiMi NjdNj ds ? s yy9ssysdiis2i xx9ssxsdjjdsds sinj j T T coscosi i sin p p CC C F Naadsa Mi Nj y s i x s j ds n5T cos u cos 1 i i1 sinj u 1 j sinsen bb b C n n coscos i2 i sin sin j2 j dy dya dy dx dx dx 2 cos u j i sin 2 2 N ds 5 M M M b2 NNdy ds ds 52 sin cos u2i 1 n sen j ds ds ds ds M ds ds N dx ds 2 i cos aa a N 5 sin sinsin uii 2 coscos ujj2 j sen ds ds a sincosj i j cos j N sin sini15.34 i cos N Figura M dy N dx 5 M dy 2 N dx M dy N dx N sin i cos j Figure 15.34 Figure 15.34 CC C M dy N dx Figure 15.34

1

2

1

E

2

5

E E1 E E EE 1 EE

2

C

N dx M 2NN dx 1M dx M dy dy dy CC C N dx M dy M MCM NN N Green’s Teorema de Theorem Green. 5 1 M dA Green’s Theorem dAdA x yy y N dA RR R xx Green’s Theorem x y R F dA. 5 div FF dA. divdiv dA. RR R div F dA. R Por consiguiente, Therefore, Therefore, Therefore, Segunda forma alternativa. FF ?FN div FF dA. N5 ds F dA. Second alternative form N ds ds divdiv dA. Second alternative form C C F NRRdsR div F dA. Second alternative form C C R La generalización de esta forma a tres dimensiones se llama teorema de la divergencia, The extension form three dimensions is called Divergence Theorem, The extension of of thisthis form to to three dimensions is called thethe Divergence Theorem, discutidoThe en la sección 15.7. En las secciones 15.7 y 15.8 se analizarán las interpretaciones of15.7. this form to three dimensions called the and Divergence Theorem, discussed in Section The physical interpretations divergence and curl will discussed in extension Section 15.7. The physical interpretations ofisof divergence curl will be be físicas de divergencia y del rotacional. discussed in Section 15.7. The physical interpretations of divergence and curl will be discussed Sections 15.7 and 15.8. discussed in in Sections 15.7 and 15.8. discussed in Sections 15.7 and 15.8.

E

2

EE

Exercises SeeSeewww.CalcChat.com www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.4 Exercises for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.4 15.4 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.4 Ejercicios 2 2 2 In Exercises 1– 4, Green’s Theorem both circle given y 4x 241 y 2 5 4 In En Exercises 1– 4, verify Theorem by by evaluating both los ejercicios 1 averify 4, Green’s comprobar el teorema deevaluating Green evaluan5. C: C: circunferencia x 2 xdada 5. 5. circle given by by C: y por 2 In Exercises 1– 4, verify Green’s Theorem by evaluating both 6. C:5.boundary x by C: circleofgiven y 2 between 4 integrals integrals do ambas integrales region lying the graphs of 6. C: frontera la región comprendida lasofgráficas y y x xde 6. C: boundary of de thethe region lying between theentre graphs integrals 3 in the 3 3 C: 6. boundary of the region lying between the graphs of y x and first quadrant y x y en el primer cuadrante y 5 x y 5 x and in the first quadrant y x N M NN MM and y x3 in the first quadrant y2 dx 11 x 2 xdy22 dy 5 y22 dx 2 N dAdA M C C C dA y2 dx 1 x 2R dyRR xxx y yy In Exercises 7–10, Green’s Theorem to evaluate integral In Exercises 7–10, use7use Green’s Theorem to evaluate thethe integral En los ejercicios a 10, utilizar el teorema de Green para evax y C R In Exercises 7–10, use Green’s Theorem to evaluate the integral for path. dada. forsobre thethe given path. lagiven trayectoria luar la integral for the given path. x dx y dy y y x dx 11 2x 2x y dy of region lying between graphs of 1. 1. boundary thelathe region lying between graphs ofde C: y yy=x x xy 1.C: C:boundary fronteraofde región que yace entrethe lasthe gráficas C C y x dx 1 2x y dy x y C2 xc dx 1 x2x 2 yc dy 2x2 x2 1.and of the region lying between the graphs of y x and yyC: = yxboundary C the for given path. for the given path. 2 and y x of region lying between graphs of 2.C: C:boundary fronteraofde región que yace entrethe lasthe gráficas given path. 2. 2. boundary thelathe region lying between graphs ofde C: y yy=x x xy sobrefor la the trayectoria dada. boundary region lying between graphs 2.and boundary of of thethe region lying between thethe graphs of of C: C: y yx x yC:y boundary and x x of the region lying between the graphs of y x7. 7. 2 2 xde 7.and ofregión the region lying between C:y boundary y x 7. C: frontera la2x comprendida entre the las graphs gráficasof de and y x 2x y x and 01,,0), 01,, 0), 10,, 1), 1 1) with vertices 3.C: C:square cuadrado con vértices C: 0, 00,,(0, 01,,(1, 11,,(1, 10, (0, 3. 3. square with vertices 2 and y x 2x y y 5 x 2 cos, y , y sensen 8. 8. C: C: x x 2 cos C: square 0,0), , 01,0), 0 , 41,4), ,(0,0,0, 1 3.rectangle with vertices , 003,(3, , 1and with vertices 4.C: C: rectángulo con vértices C: 0, 00,(0, , 03, , 3,, 43,(3, , and 0, 44) 4 4. 4. rectangle with vertices 8. C: x2 cos2ofucos , sen ysin usen 8. C: x 5 yregion 5region boundary lying inside rectangle bounded 9. 9. C: C: boundary of the,the lying inside thethe rectangle bounded 4. C: rectangle with vertices 0, 0 , 3, 0 , 3, 4 , and 0, 4 9. C: boundary of region lying inside the rectangle by and and outside the x 5, x 5, y 3, 3, C: frontera de la región al acotado por x5 9. CAS In Exercises 5 and verify Green’s Theorem using by x 5, x 5, ythey interior 3, 3, and yrectángulo and outside thebounded CAS In En los ejercicios 5 y6,6,6, verificar el teorema de Green utilizando Exercises 5 and verify Green’s Theorem by by using a a x 5, x 5, y 3, y 3, by and and outside the CAS square bounded by x 1, x 1, y 1, and y 1 In Exercises 5 and 6, verify Green’s Theorem by using a 25, x 5 5, y 5 23 y y 5 3, y exterior al cuadrado acotado computer algebra system to evaluate both integrals square bounded by x 1, x 1, y 1, and y 1 un sistema algebraico computadora y evaluar ambas intecomputer algebra system por to evaluate both integrals square bounded by x 1, x 1, y 1, and y 1 por x 5 21, x 5 1, y 5 21 y y 5 1. gralescomputer algebra system to evaluate both integrals boundaryof ofthetheregion regionlying lyinginside insidethethesemicircle semicircle 10.10. C: C: boundary N N M M dA 2 2 la 2semicircle 10.yfrontera C:25boundary of the region lying y inside e x dy and outside the y y 95the 9!x25 x2 25de x 2región 10. C: interior alsemicircle semicírculo x2 dA xe yxedxy dx 1 e1x dy and outside the semicircle y x N M N x yM y C C xe y dx xe1y dx y 9 x2 y x 2 and outside ex 1 dy e5xR dyR x 2 dA dA y exterior al25 semicírculo y 5 !9the 2 semicircle x2 xy y x C R C R given path. forfor thethe given path. the given path. sobrefor la trayectoria dada.

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EE _

+

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+

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1100 1100 Chapter 1100 Chapter15 15 Vector VectorAnalysis Analysis 1100 Chapter 15 15 Vector Analysis CAPÍTULO Análisis vectorial 1100 15 Vector Analysis 1100 1100 Chapter Chapter 15 Vector Analysis 1100 Chapter 15 Vector Analysis

Chapter 15

Vector Analysis

1100 Chapter 15 Vector Analysis Area In Exercises 25 –28, use a line in In Exercises 11–20, use Green’s Theorem –28, to evaluate the line to find Area In Area In InExercises Exercises25 25 –28,use useaaline lineintegral integral to findthe thearea areaofof In Exercises Exercises 11–20, 11–20, use use Green’s Green’sTheorem Theorem toto evaluate evaluate the the line line Area InExercises Exercises 25–28, –28, use aline line integral to find the area of InExercises Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate theline line Area In 25 use a28, integral to find the area of In 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the the region Area In Exercises 25 –28, use a line integral to find the area of integral. In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the line R. línea Area In Exercises 25 –28, use a line integral to find the area of In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the line En los ejercicios 11 a 20, utilizar el teorema de Green para evaÁrea En los ejercicios 25 a utilizar una integral de the integral. theregion regionR. integral. R. 1053714_1504.qxp 10/27/08 theR. region integral. R. the region integral. R. the region integral.luar the region integral. R. la integral de línea. 1:45 PM Page 1100 para hallar el área de la región R. Area In Exercises 25 –28, use a line22integral to22find area of In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the line region bounded by the graph of x 2 R: the region ofofxx2 2222 yy222 2222 a25. R: regionbounded boundedby bythe thegraph graph R:region a 2222 11. 2xy dx x 25. y25.the dy 2 integral. R. 25. region bounded by the graph of x R: y a 11. 2xy dx x y dy 25. region by graph of aa R: triangle bounded by the graphs of 11. 2xy dx x y dy 25. R: region by the graph x ydexx a1yy 5 25. region bounded by the the graph of R: 25. R: regiónbounded acotada por laofgráfica R:bounded C 26. 11.Cdx 2xy dx1 dy 11. xxx1 yyyd dy 11. 2xy x dx y sdy 11. 2xy dx dy 26. C 2xy 26. R: trianglebounded boundedby bythe thegraphs graphsofofxx 0,0,3x and R:triangle 3x 2y 2y 0,0,and 26. triangle bounded by the graphs of and R: x 0, 3x 2y 0, 2 2 2 2y CCC 26. triangle bounded by the graphs of R: x 0, 3x C 26. triangle bounded by the graphs of and R: x 0, 3x 2y x 2y0, 2y 26. triangle bounded by the graphs of and R: x 0, 3x 2y 0, 26. triángulo acotado por las gráficas de R: x 5 0, 3x 2 5and 0, 8y boundary of the region lying between the graphs of C: y 0 25. R: by the graph of x y a0, xx region 2y 88 2y bounded ofofthe lying C: boundary theregion region lyingbetween betweenthe thegraphs graphsofofyy 00 C:boundary 11. 2xy dx x y dy 2 x 2y 8 boundary of2la the region lying between the graphs of C:frontera y 0 x 2y 8 x 2y 8 x 2y 8 de región comprendida entre las gráficas de C: boundary of the region lying between the graphs of y 0 x 1 2y 5 8 of the region lying between the graphs of C: boundary y 0 and 1 x boundary of the region lying between the graphs of C: y 0 bounded by the grap R: region and 11 xx 2 22 2 C yy triangle boundedby by the of xof and 3x5x 0, and 27. region bounded the graphs R: yy27. 27.26. region bounded by thegraphs graphs of 0, and R:R: 5x 2y33 and yand 5 yy0yxy2 y1115 41xxx22 x and y and 1and 27. R: region bounded by the graphs graphs of yyy 3 5x and1 R:region 5x 27. bounded by the of 333x 2and 27. bounded by the graphs of and R: region 5x y y 27. region bounded by the graphs of and R: 5x 27. región acotada por las gráficas de y R: 2 2 x 2y 8 graphs C: boundary of the region lying between the 0 2 of y 12. y dx xy dy y x y2y yyy 1xx xxx222 11111 12. xy 2 12.2 yy22dx xydy inside R:5xregion 1dydy 2dx región interior al lazo de la hoja ooffolio C 22dx 12. yand dxy1 xy xy dyx 27. region bounded by the graphs ofde28. and the loop of the folium R: yDescartes 3acotada y 12. y12. dx xy dy 12. y dx xy dy 28. region inside the of folium of Descartes bounded by R: 28.28. region inside theloop loop ofthe the folium Descartes bounded by R:R: C C 1100CCC Chapter 15 Vector Analysis 28. R: region inside the loop ofthe the folium ofDescartes Descartes bounded by R: 2 28. region inside the loop of folium of bounded by the graph of 28. inside the loop of the folium of Descartes bounded by R: region 28. region inside the loop of the folium of Descartes bounded by R: por la gráfica de C C: y 0, boundary of the region lying between the graphs of y x 1 the thegraph graphofof C: ofof the region 2 C:boundary boundary the regionlying lyingbetween betweenthe thegraphs graphsofofyy 0,0, 12. y dx xy dy the graph of the graph of the graph of the graph of C: y 0, boundary of the region lying between the graphs of frontera de la región comprendida entre las gráficas de C: yy x,0, boundary of the region lying between the graphs of C: boundary y 0, of the region lying between the graphs of y x 9 and C: 0, boundary of the region lying between the graphs of 2 28. R: region inside the loop2of the folium of Descartes bounded3tby yyC x,x,and 3t 2 andxx 99 3t3t 3t , 2y 53t3t23t x y 9x995 9 !xxx, x , y 5 0,x x, yx,x,5 and x 5 y x,yyyand 9and and 2 2 2 3 3 3 3 3t 3t x , y graph 3t x the3Exercises y2 –28, 3t1,of 3tdx t of1 t 1 C: boundary y yline of the lyingTheorem between to theevaluate graphsxof t 3t 1 3t 2 the 2 0, line dy integral to find the area In Exercises 11–20, useregion Green’s dx 2xy dy 3txxIn x t ,t 314. 11 yyy t t3y32t use 1 1a 2xy 22 x Area y 11 ,, ,x 25 xx222y222 yy22 2dx dy xx222 222 yy13. dx 13. 14. 3 dxand2xy 2xy dy dxC 2xy 2xydy dy 13.integral. 14.2 tregion 1 tR. x, x2xy 9dy t3t33 1C11t 3 1 tt3t33 2111 222 2 2d2 dx the x y dx 2xy dy x y dx 2xy dy 13. 14. 13. 14. s x 2 y 1 s x 2 y d dx 1 2xy dy x13. y dx 2xy dy x y dx 2xy dy 13. 14. x y dx 2xy dy x y dx 2xy dy 14. 3t 3t CC CC C x CC2 CCC C C C: r,TT yCC 1OONtN3C cos C: x 2 y 2 16 W 3BBO 2 2yy22 216 R I T I N G A U W R I T I N G A O U CNEgraph ECP1PETTPSSTofSx 2 y 2 Wa 2R I T I N G A B O U T C O N C E P T S t 1 x C: r 1 cos C: 21 2 x C: r cos C: 16 25. region bounded by the R: 2 2 x1 2xy dy C: r 14. 1C: x5 1111 y cos dxu 2xy dyW R I T IW 2 22 2y Desarrollo de conceptos W R I T I N G A B O U T C O 2 xx 2 5 dx R I T I N G A B O U T C O N C EEPPTTSS N G A B O U T C N C E P T S W R I T I N G A B O U T C O N C C: r cos C: y 16 16 C: a r y cos C: x 213. y 16 x C: r cos C: y 16 29. State Green’s Theorem. 11. C 2xy dx x y dy C 29. State Green’s Theorem. x cos 2y dx x sen 29. State Green’s Theorem. e 2e 2y dy 15. C 26. triangle bounded by the graphs of x 0, 3x 2y 0, and R: x x x x 29. State Green’s Theorem. 29. State Green’s Theorem. 29. State Green’s Theorem. 29. State Green’s Theorem. e cos 2y dx 2e sen 2y dy 15. 2 2 e cos 2y dx 2e sen 2y dy 15. 29. Enunciar el teorema de Green. W R I T I N G A B O U T C O N C E P T S 30. Give by the line integral for the area o x x C: r 1 cos C: xx cosy2yxdx16 2e xx sen 2y dy x15. C cos 2e sin dy sen sen line for e15. cos 2yeexeboundary dx 2edx 2y 15. cos 2y 2y dxsen 2edy sen2y 2ylying dy between 15. 30. Give Give the2y lineintegral integral forthe thearea areaofofaaregion regionRRbounded bounded by x the 8 integral CCC: of2the region the graphs of y 2 0 2 30. 30. Give the line for the area of a region R bounded by smooth simple curve C 2 30. Give the line integral for the area of a region R bounded by a piecewise 30. Give the line integral for the area of a region R bounded by 30. Give the line integral for the area of a region R bounded by CCC C 30. Dar la integral de línea para el área de una región R acotada 29.piecewise State Green’s Theorem. C: x y a smooth simple curve C. piecewise smooth simple curvegraphs C. C: yy2y2 22 a1dx x cos C:xx222eand a22 x 2 x 27. aaR: region bounded by the apiecewise piecewise smooth simple curve C. C. of y 5x 3 and aapor smooth simple curve C. a piecewise smooth simple curve C. piecewise smooth simple curve C. una curva simple suave a trozos 5 aaa222 2e sen 2y dy C: x 215. C: yC:xxx2221 a 2yyy22y C: 30. Give the y 2 line C 1 integral for the area of a region R bounded by yy 2 arctan dx ln x 2 yy2 dyx 16. yx22 dx y 2dx yxy 2ady2lnlnxx222 222 yy22 2dy 16. yydx 2arctan dy 16.12. 2C: a piecewise smooth simple curve C. yarctan x 2 C arctan dy 16. xxln dx 216. arctan dx xdx1 ln ylnsxxxdy1 yyy2d dy 16. 22arctan arctan dx ln dy 16. 28. R: region inside the loop of the folium of Descartes bounded In Exercises 31by and 32, use Green’s Th CC C2 xxx In Exercises 31 and 32, In Exercises 31 and 32,use useGreen’s Green’sTheorem Theoremtotoverify verifythe theline line CCC x C C: x 4 2 cos , y 4 sen y In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the line the graph of In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the line integral formulas. In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the line In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the line C: y 0, boundary of the region lying between the graphs of C: 44 22cos , ,yyln x424 sen 2 dy C:xx 2 arctan cos sen En los ejercicios 31 y 32, utilizar el teorema de Green para veridx y 16. integral formulas. integral formulas. C:xxx25cos 2cos cos 4 sen senu 4441x,, x2y2and C: x 4C: 4xu,, ,yyysen C: cos sen integralformulas. formulas. integralintegral formulas. integral formulas. 95 44 1 sin C y 2 ficar las fórmulas de32, las use integrales deTheorem línea. 31. 3t and 3tGreen’s In Exercises 31 to verify the line of the region having cos y dx xy x sen y dy 17. The centroid yy4dy 17. cosxyydx dx4 xy xycos xx,sen sen dy sen 17. cos x 31. The centroid having 31. The centroid of,the they region region having area area AA bounded bounded by by the the C: 2 y C 3 of 3 cos ydx dx2 x sen xyy xdy xsen senyyy dy dy 17.yCCdxcos 17. xy integral formulas. cos xy 17. cos dx xy x sen dy 17. t 1 t 1 31. The centroid of the region having area bounded by the thepath C is A 2 yy 2 2 The centroid of the region area bounded by closed 31. The31. centroid of thepath region having area bounded bysimple thetrayectoria 31. The centroid ofuna the region having area AA por bounded by the 31. El centroide de región dehaving área A acotada una y dx 2xy dy x y dx 2xy dy 13. CCC x 14. simple closed isis CC simple closed path C C: y x boundary of the region lying between the graphs of simple closed path is C C C simple closed path is C simple closed path is C simple closed path is C C: the lying C:boundary boundary theregion region lying betweenthe thegraphs graphsofofyy xx simple cerrada C es region having area A bounded by the cos y dxofof x comprendida sen ylying dybetween 17. 31. The 1 1 C:frontera boundary ofxy thelying region lying between thegráficas graphs ofyyyy 5xxxx x C: la región las de boundary of the region lying between graphs C: boundary ycosand xof region between theentre graphs C: boundary of the region between the graphs of 2of the2de WR I1T1Icentroid N G 22A B OofU the T C O1N 1 CEPTS C: r the 1of C: and x x 2 dy, y y2 d C x yy y xx 16 and 1 yy1C is 2111 yy22dx. x xx dy, simple path 11 closed dy, dx. 1x and 2A 2A y x5 yyy !x xxx and y yand and 2 2 2 2 2 C C 2 2 1CCGreen’s 1CC yyy 2dx. y 2A x2 2A x2dy, dy,Theorem. dx. 2 y y x x 2A 2A y x x dy, y dx. y x x dy, dx. 29. State C: boundary x of the region lying between the graphs of x 2 y 2 e y dx 2A e xC 52A 18. x dy, 2Ay 5C 22A 2A CCC y dx. 2Ax CCdy x2 2cos 22 2y dx 2A 2A y2 2222y 2e dy ee ex2x yy dx eex ysen x dy 18. 2 2 dy 18.15. 22y2 22y2 2A 2A 1 theCC line y2222 2221x xx x 2 2 seand y 21 2 see C C 2 of a region 32.RThe area of a plane region bounded by 2 integral for 1 dx dy 18. 30. Give the area bounded by 18. yyydexdx e18. y xxxdx xyyydy 18. dx e2y xd dy dy y x x dy, ybydx. CC C ee 32. The area of a plane region bounded by the path 32. The area of a plane region bounded thesimple simpleclosed closed pathC C 2A 2A 32. The area of a plane region bounded by the simple closed path CCC 2 32. The area of a plane region bounded by the simple closed path C C 32. The area of a plane region bounded by the simple closed path C 32. The area of a plane region bounded by the simple closed path CCcoordinates is A 1 C: boundary of the region lying between the graphs of the C C 2 2 a piecewise smooth simple curve C. 2 11 given in polar xe x 2 2y ofofythe athe 22 por C: boundary region the 2 C:C: boundary region lying between the graphs graphs ofof the the 2 C 32. El área de coordinates una región plana given inin polar isis1xAA acotada given polar coordinates . la trayectoria simple dx e ylying xbetween dy 18. 111rr ,d2d 22cos 2. d C:frontera boundary ofla the region lying between the graphs ofxthe the6 cos C: de región comprendida entre las gráficas del boundary of the region lying between the graphs of 2 2 , y 6 sen 3 C: boundary circle and the ellipse of the region lying between the graphs of the C: boundary of the region lying between the graphs of the given in polar coordinates is r . A C C given in polar coordinates is r d . A given32. in given polar coordinates iscoordenadas A 2isbounded in C polar coordinates r d . Ar dpolares xx 6y6cos circle 222. Cby C cos , ,yy 66sen sen and cos , , circle andthe theellipse ellipsexx 33cos The area ofdada a plane region the simple closed path C cerrada en es C CC 2 cos cos circle the ellipse círculo ythe laxellipse elipse 6cos cos 5 6sen sin uand cos xxxx ,5 66y6cos 666ysen xxxxy5, 3333cos circle sen 2cos senu,,,, cos 6ln,sen 3 cos circle the ellipse ,u,yxy,y2 y and sen and the ellipse 2boundary arctan dy and 16. C: 1 yxy circle 262sen sen x dx 2 d . Centroid 1 in polar In Exercises 33–36, use a co 2 du.coordinates is A given rCAS Cyyy5 2 senu of the region lying between the graphs of the 2 A 5 r sin CAS y 2 sen In Exercises 33–36, use a computer algebra system 22sen sen CAS Centroid Centroid In 33–36, use a computer algebra system 2 Exercises C In Exercises 31 and 32, useaGreen’s Theorem to verify the line CAS Centroid C x 3 cos , Centroid In Exercises 33–36, use a computer algebra system circle x 6 cos , y 6 sen and the ellipse CAS In Exercises 33–36, use a computer algebra system CAS CAS and the results of Exercise 31 to find th Centroid In Exercises 33–36, use computer algebra system Centroid In Exercises 33–36, use a computer algebra system x 3y dx and x the y dy 19. results ofofExercise and the results Exercise31 31totofind findthe thecentroid centroidofofthe theregion. region. xx yx 3y xx , yyy dy 19. 3y24 dx dx 2 cos dy4 sen 19. C: integral formulas. sen and the results of Exercise 31 to find the centroid of the region. C the results of 31 to the of and theand results Exercise 31 to find centroid of the region. and theof results of Exercise Exercise 31the to find find the centroid centroid of the the region. region. x 3y 3yx dx dxy dy dy 19.CC3y xxdx 19. xxx yyy dy x19. 19. 3y dx dy CAS Centroide Centroid In 33–36,33use a computer algebra system EnExercises los ejercicios a 36, utilizar33. un sistema algebounded by the graphs of y R: C 17. C CC cos y dx C: boundary of 33. the region lying between the graphs region bounded by the graphs ofofyy of area 424 region xx22by R: 00and 33.31. region bounded by theregion graphs andAyybounded R:The xy x sen ylying dy between centroid of the having the 222para C: ofdx of C:boundary boundary of the thexregion region lying between the the graphs graphs of and the results of Exercise 31 to find the centroid of the region. braico por computadora y los resultados del ejercicio 31 33. region bounded by the graphs of and y 4 x R: y 0 33. region bounded by the graphs of and y 4 x R: y 0 33. region bounded by the graphs of and y 4 x R: y 0 33. region bounded by the graphs of and y 4 x R: y 0 x 3y y dy 19. 2 2 of 2 2 C C: boundary of the region lying between the graphs of 34. region bounded by the graphs of y R: C: frontera de la región comprendida entre las gráficas de boundary of the region lying between the graphs x x y 1 y 9 C: boundary and of the region lying between the graphs of C: boundary of the region lying between the graphs of 2 2 2 2and 22 22 22 22 simple closed path is C 34. region bounded by the graphs of y a y 0 R: x 34. region bounded by the graphs of and y a y 0 R: x x x y 1 y 9 and C x 222 y 222 12 and x2 222 y2 222 9 hallar elregion centroide la 2 34. R: bounded byregión. theof graphs of a2235. R: 34. region by the graphs of 000 x y9 yy5 x1 ylying and bounded by thedegraphs and y ayy2yy 3 x02aaand 34. region bounded by the graphs of and R: xx222and x R: region the yand 1 9 999between the graphs of y 34. yyy 5x of 111and x 2 yC:2xxboundary 1 and yx xxregion 33. regionbounded bounded by the graphs of yyxR: 40andyyyx 2bounded R: region by the graphs of y 3and C: boundary of the region lying between the 3x graphs 2e y dx of ey dy 35. region bounded by the graphs of R: y x y x, 0 x 1 35. region bounded by the graphs of and R: y x y x, 0 x 1 3 20. 1 1 3 2 3 of y 2 eey ydy xdy 35. R: regionbounded bounded by the graphs R: x,triangle 2the graphs 2de 2yyy5 24 35. region by the graphs yyydx. x, 002 1011 vertices 33. región acotada por las gráficas y036. R: y x5 0and 35. R: region bounded by of and y xof x, xR: 10 xyxxx with 35. region bounded by the graphs of and R: xx3 and x, e2e22y2y2dx 20. 2 2 3x2xand dx 20.2 y 3x y x x dy, y 34. region bounded by the graphs of and y a R: x y y a, 0 , x y 1 y 9 and y y C y y 3xeee dx dx1 eee dy dy 20. 20. 3x eCCdx3x dy 20. 3x dx dy 20. 36. a,a,00C, , a,a,00, , and b,b,cc,2, where 2A with 36. R: triangle with vertices vertices 2A and where R:triangle Cacotada 34. región por las0squares gráficas de R: y 00x5 a,y2 where 2b, xccc0y,a, , ywhere 5b 01 a 36. triangle with vertices vertices and where a,000of 0with ,yand a, 03,b, ,! b, 36. triangle with and R: a, , a, 36. triangle with vertices R: a, , a, , c 36. triangle with vertices and where R: a, , a, , b, y2 2 C 18. CCC e x 2 2 C: boundary of the region lying between the 35. region bounded by the graphs and R: x, x dx e lying dy aa bb aa C: region the 2 y dxof y dy C:boundary boundary ofythe region lyingxbetween between the squares squares with with 3 y y 5 x, 0 ≤ x ≤ 1 3x ethe 20. aarea bbacotada aaa por a1, 1R: aa1,a of Cfrontera C: boundary of thelying region lying between between the squares with las debyy the 5 xsimple 32. The region closed path C C: deof la región comprendida entresquares losthe cuadrados cuyos boundary the region lying squares with C: boundary 1, 1 , 35. ,b región 1b awith , plane 1, 1 gráficas ,bounded ofe the between the with vertices and anda, 2, C: boundary of the region lying between the squares with 36. triangle vertices and b,In R: 0 ,2 , a,CAS 0 , Area c , where 37– 40, use a comp 1,1,1region vertices C 1, , 1,1,11, , 1,1, 11, ,and vertices and 1,1, 11, ,and and 2,2,22, , 1 1, 1 , 1, 1 , 1, 1 , 1, 1 , 2, 2 , vertices and and 2algebra C:vértices boundary of the region the graphs son 1d1, ,1, s121, d1, ,and s21, d,, y1, s1,1121 d,, y2,of s2, 2,2,2the 2CAS d,,,CAS 1, 11s,1, ,, 1 1,lying 11between ,,21 ,, 2and vertices and 2 2, 2 , 2, 2 1, 1 , 1, 1 2, and vertices and 1, , 1 1, 1, 2, vertices and and Area In Exercises 37– 40, use a computer system 36. triángulo cuyos vértices son y donde R: s 2a, 0 d , s a, 0 d , sb, cExercises dand , and Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system given in polar coordinates is r d . A a b a 2 2,2,22, , 2,2,of 2the 2,2, lying 22 between the squares 2, ,and and C: boundary region with CAS Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system and CAS Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system CAS CAS the results ofand Exercise 32 to find the are In Exercises 37– 40, use a40, computer algebra system and Area InofExercises 37–to usethe a computer algebra system and C 2d,,y,and yand 62, , the circle 22222, s22, 22 d 222 and the ellipse x 3 cos Area 2, 2, 2 ,s22, 2,222dx,, ,2s22, , 62, and 2, 2,2,cos 2,2,sen and results Exercise find area ofofthe region bounded 2a ≤Exercise b ≤ a 32 the results of 32 to find the area the region bounded 1, 1 , 1, 1 , and 1, 1 , 2, 2 , vertices 1, 1 , and the results of Exercise 32 to find the area of the region bounded the results of Exercise 32 to find the area of the region bounded the results of Exercise 32 to find the area of the region bounded by the graph of the polar equation. the results of Exercise 32 to find the area of the region bounded Work In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculate y 2 sen by the graph of the polar equation. the graph of the polar equation. CASbyArea In Exercises 37– 40, use ause computer system and Work 21–24, Work In In Exercises Exercises use Green’s Green’s Theorem toto calculate calculateby the 2, 2los , ejercicios 2,21–24, 2 Green’s , use 2 Theorem and CASforce Área En ejercicios 37 a 40, utilizar unalgebra sistema algebraico bythe the graph of the polar equation. Centroid In Exercises 33–36, a computer algebra system by graph of the polar equation. graph the polar equation. by the graph of the polar equation. Work InEn Exercises 21–24, use2,Green’s Green’s Theorem tocalculate calculate Work In Exercises 21–24, use Theorem to the work done by the Fof on a los particle that is moving counWork the In Exercises 21–24, use Theorem toisteorema calculate Work In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculate Trabajo utilizar el Green the results of Exercise 32 to find the area of the region bounded work by on particle that counthe workdone done bythe theforce forceFF21 onaaa24, particle that ismoving movingde coun37. r a 1 cos por computadora y los resultados del ejercicio 32 para hallar results 37. rr the aa1path the work done by the onaaaparticle particle that moving coun37.and 1 cos cosof Exercise 31 to find the centroid of the region.el xdone 3yforce dxtrabajo xforce yFFFon dy 19. the work by the that is counterclockwise around closed the work done by the F force on arealizado particle that counthe work done by the force on particle that isismoving moving counpara calcular el porislamoving fuerza F sobre una the by the graph of the polar por equation. 37. a11región 1 C. cos terclockwise around the closed path C. 37. rrrdecos aala cos terclockwise around the21–24, closed path C. 37. r a 1 37. cos Work In Exercises use Green’s Theorem to calculate C área acotada la gráfica de la ecuación polar. 38. r a cos 3 terclockwise around thepath closed path C. terclockwise the closed C. terclockwise around the closed C. path terclockwise around the closed path C. partícula quearound se mueve, en sentido contrario a las manecillas del 38. rr R:aaregion cos 38.33. cos33 bounded by the graphs of y 0 and y 4 x 2 the work done by of the force F on a particle that21. isthe moving cos333 F x,graphs y counxyi ycos rjrrr 35aaaacos of r x 38. 38. a38. 38. r 3u1 2 cos (inner loop) FFx,C: yyboundary xx the yycerrada jjregion C.lying between 21. reloj, laxyi trayectoria x,por xyi 21. 37. 38. r 539. scos 2 u(inner d a cos 39. rr R:11region 212cos 39.34. loop) coscos(inner 2xyiy j xxthe 2yjjj 2 path C. terclockwise around x,xyy2y xyxyi x xyclosed 21. x, y FFFxyi 21. F x,21. byloop) the graphs of y a 2 x 2 and y 0 x, xyi y 21. 2 2 1 y 9 and 39. (inner loop) r 1 cos loop) x C: y 1 39. (inner loop) r 1 2(inner cos 39. r 39. 1 rr2 cos (inner loop) 1a cos 22bounded cos 22 22 38. 3 3 3 x C: y 1 x C: y 1 FC: s2x,xxx2y22d15yyy2xyi 2 22 1 sx 1 ydj 31 3 2bounded 39. interior) rR: 16x cos u (lazo 540.y r x, 0 x 1 C: x21. yC: 35. by the graphs of y 40.x3rand x y 5region F x, y2 y x xxyi 111y x yy yj 21. C: 3 F x, y e 3y i e j 22. r 40. 3 r 40. 3 3 2 2 cos u 2 cos 39. 2 cos (inner loop) e iydy FFC: x,x,yxy3x 22. 2 ee 2 5x 3y i ee 6x 6xjj 22.20. 40. rrrr 22 1 cos cos 40. r 40. 40. yedx xx 4 13y FCx, 3yiii 6x eejeyyy 6x 6xjjj 22. y F ex,xxyy2y1 3y e3y 22. F x,22. 36. a, 0 , a, 0 , and b, c , where FC: x, 6x 22. coswith vertices 222 cos 2 R: costriangle cos y e2eie 13y C: r 2 cos C: rsrx, y2d25 cos C: cos FC: scos e x x2of3ythe di 1 sey y1 lying 6xdj between the squares with 41. (a) Evaluate y3 dx 27x x3 a 3b ya33dx 40. r y 222cos C: rx, C: r22. cos rboundary cos 3 2 Evaluar elthe círculo 41. (a) where isis 27x xx33 3dy, 41.41. (a)ra)Evaluate Evaluate whereCC1C1es the unit unituni-C1 y 3dx 27x dy,donde F e22 3y i region e 6x j 22. 2C: 23. 3y i 6x 5 y j F x, y x 3 3 1 2 cos 3 3 3 3 3 3 41. (a) (a) Evaluate Evaluate whereC theunit unit dx x27x 27x dy,Cwhere CC1 1 yyy27x the dx xxx dy, 3y 23. x,x,yryvertices xx 3331, Evaluate y dx dy, where 3yi i 1, 6x 6x, 551, yy 1jj, and 1, 1 , and 2, 241. 23. FFC: 41. (a) Evaluate where CC11unit isiscircle the unit dx 27x dy, 1is , (a) 41. 1 is the given by r t cos t i s 23. 3yiii 51 6x 6x Fx, CCC C1given xxx ui2221 ,3y 3y 6x y j 555 yyy jjj 23. F x,23. y FFC: xx,r3y5 3y 6x 23. x, yy2 22cos 11 1rrt t circle by t tiai0computer t tj,j, 00algebra t t 22system .. cos circle given by cos sen tario dado por boundary ofCAS the Area triangle with vertices and C: 0,40, 0cos , cos 5, , sen Incircle Exercises 37– use and 2, 2 , 2, 2 , 2, 2 and 3 3 boundary of the triangle with vertices and C: 0, 0 , 5, 0 , given by r t t i sen t j, 0 t 2 . 3y2 boundary of the triangle with vertices and C: 0, 0 , 5, 0 , circle given by r t cos t i sen t j, 0 t 2 . circle given by r t cos i sen j, 0 t 2 . circle given by r t cos t i sen t j, 0 t 2 . ! C 41. (a) Evaluate where is the unit y dx 27x x dy, 23. F s x, y d 5 s x 2 3y d i 1 6x 1 5 y j s d 1 boundary of the triangle with vertices and C:boundary 5,0050,, , and 3of 2 the with 5, 0, with vertices C: boundary the results of Exercise bounded boundary of the triangle with vertices and C: 0,0,0000, ,, ,and 5, C1 32 to find the area of the region 3ytriangle i 6x 5 vertices y0, j0 , 5,0, 23. C: F x, (b) Find the maximum value of 0,0, 55yof thex triangle (b) Find the maximum value oftofi3 sen yy33dx xx33. 3dy, dx 27x dy, (b) Find theof maximum value 0,555Exercises 2 2graph 3 0 27x del triángulo cuyos vértices son (0, 0), (5, 0) y 0, 0, 5 C: contorno by the the polar equation. 0, circle given by r t cos t j, t 2 3 3 3 Work In 21–24, use Green’s Theorem to calculate 24. y i 4xy j F x, y 3x (b) Find the maximum value of y dx 27x dy, C b) Encontrar el valor máximo de the dx xxx33 dy, 22 of the triangle 22 (b) Find(b) maximum value ofvalue dy,where (b)theFind Find the maximum maximum value yof ofdxC C yy27x dx x27x 27x dy, with vertices and 0, 0 , 5, 0 , 24. y i 4xy j 3x 24. FFx,C: y i 4xy j x,y(0, yboundary 3x C is any closed curve CC C 222 222 j 2i 24. yforce 4xy Fx, x,yy2y5) 3x where C is any closed curve in the xyplane, oriented where C is any closed curve in the xyplane, oriented y i 4xy j 3x the work done by the F on a particle that is moving coun24. F x,24. y i 4xy j y FF 3x 24. y i 4xy j x, 3x boundary of the region lying between the graphs of C:y ycurve x, 0, 5 ofof2the 3elxy3 where C is any anycurve closed curve inplane, the xyplane, oriented 37. r(b)donde ais1 any cos where C is closed in the plane, oriented counterclockwise. where C closed in the xyoriented where C is any closed curve in the xyplane, oriented boundary region lying between the graphs of C: x, C es cualquier curva cerrada en plano xy, orientada boundary the region lying between the graphs of C: y x, y dx 27x x dy, Find the maximum value of 2 counterclockwise. 24. FC: sx,boundary yof d 5 saround 3x 1 ylying dregion iregion 1closed 4xy jpath counterclockwise. terclockwise the C. boundary the lying between the graphs of C: ofof the lying between the graphs of x, C region between the graphs of yx,yyy 0, and C: boundary y boundary the region lying between the graphs of x,x, x 9counterclockwise. counterclockwise. counterclockwise. 24. C: F y0,0,the counterclockwise. and yy x, xof al de las manecillas and3x x2 99y i 4xy 2 j 38. r en asentido cos 3C contrario where is any closed curve in the del xy-reloj. plane, oriented C:and frontera dexxxla 9región comprendida entre las gráficas de yyy x0, y 0, 9and and 0,0,and 99 y xyiof thex region y j lying between the graphs of y 21. F C:x,boundary x, counterclockwise. 39. (inner loop) r 1 2 cos y 5 !x, y 5 0 y x 5 9 C: yx 2 0,y 2and 1x 9 3 40. r e x 3y i ey 6x j 22. F x, y 2 cos C: r 2 cos 41. (a) Evaluate y3 dx 27x x3 dy, where C1 is the unit C1 6x 5 y j 23. F x, y x 3 2 3y i circle given by r t cos t i sen t j, 0 t 2 . C: boundary of the triangle with vertices 0, 0 , 5, 0 , and 0, 5 3 3

E E E

E

E E

E

E

E

E

E

Larson-15-04.qxd 3/12/09 Page1101 1101 1053714_1504.qxp 10/27/08 1:4520:00 PM Page

SECCIÓN 15.4 15.4

CPara A P S T discusión ONE 42. Para cada given trayectoria teoremaby deshowing Green al 42. For each path, dada, verify verificar Green’s el Theorem demostrar que that

y2 dx x2 dy

C

R

N M dA. x y

For each which integral easier to evaluate? Para cadapath, trayectoria, ¿cuál deislas integrales es más Explain. fácil evaluar? (a) C:Explicar. triangle with vertices 0, 0, 4, 0, 4, 4 a) C: con vértices (b) circle given by x2 (0, C:triángulo y2 0), 1(4, 0), (4, 4) b) C: círculo dado por x2 + y2 = 1

43. Think About It Let 43. Para pensar Sea y dx x dy y dx 2 x dy I I 5 C x 22 y 22 x 1y C where circle oriented counterclockwise. Show contrario that I 0al circunferencia orientada en sentido donde CCisesauna I if0 C ifdeClas does not contain the origin. What does manecillas del reloj. Mostrar que isI 5 si C no contain contiene the origin?¿Cuál es el valor de I si C contiene al origen? el origen. 44. Let C el besegmento the line segment Show 44. (a) a) Sea de rectajoining que unexs1x,1y, 1y1and d y sxx2,2,yy2d2..Mostrar that C y dx x dy x1 y2 x2 y1. que

E E

(b) Let x1, y1, x2, y2, . . . , xn, yn be the vertices of a 2y dxProve 1 x dy 5 the x1 yarea x2 y1. 2 2 enclosed polygon. that is C

1 x2 y1 x2 y3 x3 y2 . . . 2 x1ys2x b) Sean 1, y1d, sx2, y2d, . . . , sxn, yn d los vértices de un políxn yeln1 encerrada xn y1 xes1 yn. xn1 yn que gono. Demostrar área 1 2 fsx1y2

2 x y d 1 sx2 y3 2 x3 y2d 1 . . . 1 Area In Exercises2 451 and 46, use the result of Exercise 44(b) to sxn21 yn by 2 xthe d 1 sxwith x1 given yndg. vertices. n yn21 n y1 2 find the area enclosed polygon the ÁreaPentagon: En los ejercicios el resultado del ejercicio 45. 0, 0, 2, 045 , y3,46, 2, utilizar 1, 4, 1, 1 44b Hexagon: para hallar vértices 0, el 0,área 2, 0encerrada , 3, 2, 2,por 4, el0,polígono 3, 1, 1cuyos 46. se dan.

Teorema de Green Green’s Theorem

1101 1101

45. Pentágono: s0, 0d, s2, 0d, s3, 2d, s1, 4d, s21, 1d In Exercises 47 and 48, prove the identity where R is a simply 0d, s2, 0d, s3, 2d,C. s2,Assume 4d, s0, 3dthat , s21, 46. Hexágono: connected regions0,with boundary the1d required partial of ythe functions continuous. f and g are En losderivatives ejercicios 47 48,scalar demostrar la identidad, donde R es una The expressions and Dcon the derivatives DN fconexa región simplemente frontera C. Suponer inquethelas N g are direction of parciales the outward normal vector of C, and are defined derivadas requeridas de las N funciones escalares ƒyg by and DNcontinuas. f ⴝ f N, DN g gD NN. f y DN g son las derivadas en son Las expresiones dirección del vector normal exterior N de C, y se definen por 47. y DN g 5 =g ? N. DNGreen’s f 5 =f first ? N,identity:

EE

47. Primera de Green: f 2identidad g f g dA R

E

f DNg ds

C

s f = 2g 1 =f ? =gd dA 5 f DNg ds [Hint: Use the second alternative Cform of Green’s Theorem and R the property div f G f div G f G. [Sugerencia: Utilizar la segunda forma alternativa del teorema 48. Green’s second identity: div s f Gd 5 f div G 1 =f ? G.g de Green y la propiedad

EE

E

48. Segunda2 identidad de Green: f g g2f dA f DNg g DN f ds R

C

s 2 d dA 5 s f DNg 2 g DN f d ds (Hint: Use Green’s first identity, given in Exercise 47, twice.) R C f = 2g

g=2f

Utilizar to la prove primera (Sugerencia: 49. Use Green’s Theorem thatidentidad de Green, dada en el ejercicio 47, dos veces.)

E

49. Utilizar para demostrar que f x dxelteorema g y dyde Green 0 C

f sxd dx 1 gs yd dy 5 0 if Cf and g are differentiable functions and C is a piecewise smooth closed path. son funciones derivables y C es una trayectoria cerrada si ƒ y gsimple

50. Let where M and N have continuous first partial F suave Mi aNj, simple trozos. in 1 a simply connected that if C paris R. Prove derivadas Nj, donde M y N region 50. derivatives Sea F 5 Mi tienen primeras N simple, smooth, and closed, and then M , x y conexa R. Demostrar ciales continuas en una región simplemente

E ?

que si C es cerrada, simple y suave, y Nx 5 My , entonces F dr 0.

C

F

dr 5 0.

C

SECTION PROJECT

PROYECTO DE TRABAJO

Hyperbolic and Trigonometric Functions Funciones y trigonométricas (a) Sketch the hiperbólicas plane curve represented by the vector-valued function rt cosh t i sinh tj on the interval 0 t 5. a) Dibujar la curva plana representada por la función vectorial r(t) Show that the rectangular equation corresponding to rt is the 5 cosh t i 21 senh t j en el intervalo 0 ≤ t ≤ 5. Mostrar que hyperbola x y 2 1. Verify your sketch by using a graphing la ecuación rectangular que corresponde a r(t) es la hipérbola utility to graph the hyperbola. x 2 2 y 2 5 1. Verificar el dibujo utilizando una herramienta de (b) graficación Let P cosh the point on the hyperbola , sinh be para representar la hipérbola. corresponding to r for > 0. Use the formula for area b) Sea P 5 (cosh f, senh f) el punto de la hipérbola correspondiente1a r(f) para f > 0. Utilizar la fórmula para el área A x dy y dx 2 C 1 A5 x dy 2 y dx 2 Cthat the area of the region shown in the figure is 12. to verify

E

(d) Consider the unit circle given by x 2 y 2 1. Let be the angle formed by the x-axis and the radius to x, y2. The2 area of d) Considerar la circunferencia unitaria dada por x 1 y 5 1. Sea the corresponding sector is 12 . That is, the trigonometric q el ángulo formado por el eje x y el radio a (x, y). El área del secfunctions f cos 1 and g sin could have been tor correspondiente es 2u. Es decir, las funciones trigonométricas defined as the coordinates of that point cos , sin on the unit f sud 5 cos u y gsud 5 sen sin u podrían haber sido definidas como circle that determines a sector of area 12 . Write a short paralas coordenadas del punto scos u, sen sin ud en el círculo unitario que graph explaining how you could define the hyperbolic functions determina un sector de área 12u. Escribir un párrafo breve expliin a similar manner, using the “unit hyperbola” x 2 y 2 1. cando cómo definir las funciones hiperbólicas de una manera y similar, utilizando la “hipérbola unitaria” x 2 2 y 2 5 1. y

(cosh φ, sinh φ) (cosh φ, senh φ )

1 (c) Show that the que areaelofárea thede indicated is also para verificar la regiónregion mostrada en lagiven figurabyesthe 2 f. integral c) Mostrar que el área de la región indicada está también dada por sinh la integral A 1 y 2 coth y dy.

E

senh f 0 sinh

A5 f!1 1 y 2 2 scoth fdyg dy. Confirm 0 your answer in part (b) by numerically approximating this integral for 1, 2, 4, and 10. Confirmar la respuesta del inciso b) aproximando esta integral numéricamente para f 5 1, 2, 4 y 10.

(0, 0) (0, 0)

(1, 0) (1, 0)

x x

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15.5

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Superficies paramétricas n n n n

Comprender la definición y esbozar la gráfica de una superficie paramétrica. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una superficie. Hallar un vector normal y un plano tangente a una superficie paramétrica. Hallar el área de una superficie paramétrica.

Superficies paramétricas Ya se sabe representar una curva en el plano o en el espacio mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas o, equivalentemente, por una función vectorial. rstd 5 xstdi 1 ystdj rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk

Curva en el plano. Curva en el espacio.

En esta sección se aprenderá a representar una superficie en el espacio mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas o mediante una función vectorial. Obsérvese que en el caso de las curvas, la función vectorial r es función de un solo parámetro t. En el caso de las superficies, la función vectorial es función de dos parámetros u y v.

DEFINICIÓN DE SUPERFICIE PARAMÉTRICA Sean x, y y z funciones de u y v, continuas en un dominio D del plano uv. Al conjunto de puntos (x, y, z) dado por rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk

Superficie paramétrica.

se le llama una superficie paramétrica. Las ecuaciones x 5 xsu, vd,

y 5 ysu, vd, y z 5 zsu, vd

Ecuaciones paramétricas.

son las ecuaciones paramétricas para la superficie. Si S es una superficie paramétrica dada por la función vectorial r, entonces S es trazada por el vector posición r(u, v) a medida que el punto (u, v) se mueve por el dominio D, como se indica en la figura 15.35. v

z

D

S (u, v)

r(u, v)

y u

x

Figura 15.35

Algunos sistemas algebraicos por computadora dibujan superficies paramétricas. Si se tiene acceso a este tipo de software, utilícese para representar gráficamente algunas de las superficies de los ejemplos y ejercicios de esta sección.

TECNOLOGÍA

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SECCIÓN 15.5

EJEMPLO 1

Superficies paramétricas

1103

Trazado de una superficie paramétrica

z

3

Identificar y dibujar la superficie paramétrica S dada por rsu, vd 5 3 cos ui 1 3 sen sin uj 1 vk donde 0 ≤ u ≤ 2p y 0 ≤ v ≤ 4. 4

sin u, se sabe que en cada punto sx, y, zd de la Solución Como x 5 3 cos u y y 5 3 sen superficie, x y y están relacionados mediante la ecuación x2 1 y2 5 32. En otras palabras, cada sección transversal de S, paralela al plano xy, es una circunferencia de radio 3, centrado en el eje z. Como z 5 v, donde 0 ≤ v ≤ 4, se ve que la superficie es un cilindro circular recto de altura 4. El radio del cilindro es 3, y el eje z forma el eje del cilindro, como se muestra en la figura 15.36.

y x

Figura 15.36

Como ocurre con las representaciones paramétricas de curvas, las representaciones paramétricas de superficies no son únicas. Es decir, hay muchos conjuntos de ecuaciones paramétricas que podrían usarse para representar la superficie mostrada en la figura 15.36. EJEMPLO 2

Trazado de una superficie paramétrica

z

Identificar y dibujar una superficie paramétrica S dada por c3

c2

rsu, vd 5 sen sin u cos vi 1 sen sin u sen sin vj 1 cos uk

d1

donde 0 ≤ u ≤ p y 0 ≤ v ≤ 2p. c4

c1

d2

d3

x

Solución Para identificar la superficie, se puede tratar de emplear identidades trigonométricas para eliminar los parámetros. Después de experimentar un poco, se descubre que y

x2 1 y2 1 z2 5 ssin sin u sin sen vd2 1 scos ud2 sen u cos vd2 1 ssen 5 sen sin2 u cos2 v 1 sen sin2 u sen sin2 v 1 cos2 u

d4

5 sen sin2 uscos2 v 1 sen sin2 vd 1 cos2 u 5 sen sin2 u 1 cos2 u

Figura 15.37

5 1. Así pues, cada punto en S se encuentra en la esfera unitaria o esfera unidad, centrada en el origen, como se muestra en la figura 15.37. Para u 5 di , rsu, vd traza circunferencias de latitud x2 1 y2 5 sen sin22 ddii,, 0 ≤ di ≤ p paralelos al plano xy, y para v 5 ci , rsu, vd traza semicírculos de longitud (o meridianos). NOTA Para convencerse de que la función vectorial del ejemplo 2 traza toda la esfera unitaria o esfera unidad, recuérdese que las ecuaciones paramétricas

x 5 r sin sen f cos u,

sen u, y y 5 r sin senf sin

z 5 r cos f

donde 0 ≤ u ≤ 2p y 0 ≤ f ≤ p, describen la conversión de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares, como se vio en la sección 11.7. n

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Ecuaciones paramétricas para superficies En los ejemplos 1 y 2 se pidió identificar la superficie descrita por un conjunto dado de ecuaciones paramétricas. El problema inverso, el de asignar un conjunto de ecuaciones paramétricas a una superficie dada, es generalmente más difícil. Sin embargo, un tipo de superficie para la que este problema es sencillo, es una superficie dada por z 5 f sx, yd. Tal superficie se puede parametrizar como rsx, yd 5 xi 1 yj 1 f sx, ydk.

z

Representar una superficie paramétricamente

EJEMPLO 3

3

Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para el cono dado por

2

z 5 !x2 1 y2 como el que se muestra en la figura 15.38. −2 1 2

Solución Como esta superficie está dada en la forma z 5 f sx, yd, se pueden tomar x y y como parámetros. Entonces el cono se representa por la función vectorial

1 2

x

y

rsx, yd 5 xi 1 yj 1 !x2 1 y2 k

Figura 15.38

donde (x, y) varía sobre todo el plano xy. Otro tipo de superficie fácil de representar paramétricamente es una superficie de revolución. Por ejemplo, para representar la superficie generada por revolución de la gráfica de y 5 f sxd, a ≤ x ≤ b, en torno al eje x, se utiliza y 5 f sud cos v, y

x 5 u,

z 5 f sud sen sin v

donde a ≤ u ≤ b y 0 ≤ v ≤ 2p.

Representación de una superficie de revolución paramétricamente

EJEMPLO 4

Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la superficie de revolución obtenida al hacer girar z

1 f sxd 5 , x

1 1

y

en torno al eje x. Solución x 5 u,

10 x

Figura 15.39

1 ≤ x ≤ 10

Utilizar los parámetros u y v como se describió arriba para obtener y 5 f sud cos v 5

1 1 cos v, y z 5 f sud sen sin v 5 sen sin v u u

donde 1 ≤ u ≤ 10 y 0 ≤ v ≤ 2p. La superficie resultante es una porción de la trompeta de Gabriel, como se muestra en la figura 15.39. La superficie de revolución del ejemplo 4 se forma haciendo girar la gráfica de y 5 f sxd en torno al eje x. Para otros tipos de superficies de revolución, puede usarse una parametrización similar. Por ejemplo, para parametrizar la superficie formada por revolución de la gráfica de x 5 f szd en torno al eje z, se puede usar z 5 u,

x 5 f sud cos v, y

y 5 f sud sin sen v.

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SECCIÓN 15.5


1105

Vectores normales y planos tangentes Sea S una superficie paramétrica dada por rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk sobre una región abierta D tal que x, y y z tienen derivadas parciales continuas en D. Las derivadas parciales de r con respecto a u y v están definidas como ru 5

x y z su, vdi 1 su, vdj 1 su, vdk u u u

rv 5

x y z su, vdi 1 su, vdj 1 su, vdk. v v v

y

Cada una de estas derivadas parciales es una función vectorial que puede interpretarse geométricamente en términos de vectores tangentes. Por ejemplo, si v 5 v0 se mantiene constante, entonces rsu, v0 d es una función vectorial de un solo parámetro y define una curva C1 que se encuentra en la superficie S. El vector tangente a C1 en el punto sxsu0, v0 d, ysu0, v0 d, zsu0, v0 dd está dado por rusu0, v0 d 5 N

z

como se muestra en la figura 15.40. De manera similar, si u 5 u0 se mantiene constante, entonces r(u0, v) es una función vectorial de un solo parámetro y define una curva C2 que se encuentra en la superficie S. El vector tangente a C2 en el punto (x(u0, v0), y(u0, v0), z(u0, v0)) está dado por

(x0, y0, z0) rv C2

ru

rvsu0, v0 d 5

C1 S

x y

Figura 15.40

x y z su0, v0 di 1 su0, v0 dj 1 su0, v0 dk u u u

x y z su , v di 1 su0, v0 dj 1 su0, v0 dk. v 0 0 v v

Si el vector normal ru 3 rv no es 0 para todo su, vd en D, se dice que la superficie S es suave y tendrá un plano tangente. De manera informal, una superficie suave es una superficie que no tiene puntos angulosos o cúspides. Por ejemplo, esferas, elipsoides y paraboloides son suaves, mientras que el cono del ejemplo 3 no es suave.

VECTOR NORMAL A UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA SUAVE Sea S una superficie paramétrica suave rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk definida sobre una región abierta D en el plano uv. Sea su0, v0 d un punto en D. Un vector normal en el punto

sx0, y0, z0 d 5 sxsu0, v0 d, ysu0, v0 d, zsu0, v0 dd está dado por

| | i

x N 5 rusu0, v0 d 3 rvsu0, v0 d 5 u x v

j

y u y v

k

z u . z v

NOTA La figura 15.40 muestra el vector normal ru 3 rv . El vector rv 3 ru también es normal a S y apunta en la dirección opuesta. n

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

EJEMPLO 5

Hallar un plano tangente a una superficie paramétrica

Hallar una ecuación para el plano tangente al paraboloide dado por rsu, vd 5 ui 1 vj 1 su2 1 v2dk en el punto (1, 2, 5). z

Solución El punto en el plano uv que es llevado al punto sx, y, zd 5 s1, 2, 5d es (u, v) = (1, 2). Las derivadas parciales de r son

7 6

ru 5 i 1 2uk y (1, 2, 5)

rv 5 j 1 2vk.

| |

El vector normal está dado por ru

3 rv

i 5 1 0

j 0 1

k 2u 5 22ui 2 2vj 1 k 2v

lo cual implica que el vector normal en (1, 2, 5) es ru una ecuación del plano tangente en (1, 2, 5) es −3

−2

−1

1

2

2

y

3

3 rv

5 22i 2 4j 1 k. Por tanto,

22sx 2 1d 2 4s y 2 2d 1 sz 2 5d 5 0

3

22x 2 4y 1 z 5 25.

x

El plano tangente se muestra en la figura 15.41.

Figura 15.41

Área de una superficie paramétrica

v

Para definir el área de una superficie paramétrica, se puede usar un desarrollo similar al dado en la sección 14.5. Para empezar se construye una partición interna de D que consiste en n rectángulos, donde el área del rectángulo i-ésimo Di es DAi 5 Dui Dvi , como se muestra en la figura 15.42. En cada Di sea sui, vi d el punto más cercano al origen. En el punto sxi, yi, zi d 5 sxsui, vi d, ysui, vi d, zsui, vi dd de la superficie S, se construye un plano tangente Ti . El área de la porción de S que corresponde a Di, DTi , puede ser aproximada por un paralelogramo en el plano tangente. Es decir, DTi < DSi . Por tanto, la superficie de S está dada por o DSi < o DTi . El área del paralelogramo en el plano tangente es

Di ∆vi

iDui ru

∆ui

3

Dvi rv i 5 iru

3 rv i

Dui Dvi

lo cual conduce a la definición siguiente.

(ui, vi)

u

ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA

z

Sea S una superficie paramétrica suave

∆vi rv

rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk

S

definida sobre una región abierta D en el plano uv. Si cada punto de la superficie S corresponde exactamente a un punto del dominio D, entonces el área de la superficie S está dada por ∆ui ru

Área de la superficie 5

EE E E dS 5

S

y x

Figura 15.42

donde ru 5

iru

3 rvi

dA

D

x y z x y z i1 j1 k y rv 5 i1 j1 k. u u u v v v

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SECCIÓN 15.5


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Para una superficie S dada por z 5 f sx, yd, esta fórmula para el área de la superficie corresponde a la dada en la sección 14.5. Para ver esto, se puede parametrizar la superficie utilizando la función vectorial rsx, yd 5 xi 1 yj 1 f sx, ydk definida sobre la región R en el plano xy. Utilizando rx 5 i 1 fxsx, ydk

|

se tiene

i rx 3 ry 5 1 0

y ry 5 j 1 fysx, ydk

|

j 0 1

k fxsx, yd 5 2fxsx, ydi 2 fysx, ydj 1 k fysx, yd

y irx 3 ry i 5 !f fxsx, ydg2 1 f fysx, ydg2 1 1. Esto implica que el área de la superficie de S es Área de la superficie Surface area 5

EE EE

irx 3 ry i dA

R

5

!1 1 f fxsx, ydg 2 1 f fysx, ydg 2 dA.

R

EJEMPLO 6 NOTA La superficie del ejemplo 6 no satisface totalmente la hipótesis de que cada punto de la superficie corresponde exactamente a un punto de D. En esta superficie, rsu, 0d 5 rsu, 2pd para todo valor fijo de u. Sin embargo, como el traslape consiste sólo en un semicírculo (que no tiene área), se puede aplicar la fórmula para el área de una superficie paramétrica. n


Hallar el área de la superficie de la esfera unitaria (o esfera unidad) dada por rsu, vd 5 sen sin u cos vi 1 sen sin u sen sin vj 1 cos uk donde el dominio D está dado por 0 ≤ u ≤ p y 0 ≤ v ≤ 2p. Solución

Para empezar se calcula ru y rv.

ru 5 cos u cos vi 1 cos u sen sin vj 2 sen sin uk rv 5 2sin sin vi 1 sen sin u cos vj sen u sen

|

El producto vectorial de estos dos vectores es ru

3 rv

i j k 5 cos u cos v cos u sen sin v 2sin sen u 2sin sin v sen sin u cos v 0 sen u sen

|

5 sen u cos vi 1 sen u sen sin vj 1 sen sin u cos uk sin2

sin2

lo cual implica que iru

3 rv i

sen vd2 1 ssin 5 !ssin sen u cos ud2 sen22 u cos vd2 1 ssin sen22 u sin sen44 u 1 sen 5 !sin sin22 u cos2 u 5 !sen sin22 u 5 sen sin u.

sen u > 0 para 0 £ u £ p .

Por último, el área de la superficie de la esfera es A5

EE

iru

3 rv i

dA 5

D

EE E 2p

0

5

p

sin u du dv sen

0

2p

2 dv

0

5 4p.

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20:02

CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial


EJEMPLO 7

EXPLORACIÓN

Hallar el área de la superficie del toro dado por

Para el toro del ejemplo 7, describir la función rsu, vd para u fijo. Después describir la función rsu, vd para v fijo.

rsu, vd 5 s2 1 cos ud cos vi 1 s2 1 cos ud sen sin vj 1 sen sin uk donde el dominio D está dado por 0 ≤ u ≤ 2p y 0 ≤ v ≤ 2p. (Ver la figura 15.43.) Solución

z

Para empezar se calculan ru y rv .

ru 5 2sin sin u sen sin vj 1 cos uk sen u cos vi 2 sen rv 5 2 s2 1 cos ud sen sin vi 1 s2 1 cos ud cos vj

|

El producto vectorial de estos dos vectores es ru

3 rv

y

|

i j k 2sin 2sin sin v cos u sen u sen sen u cos v 2 s2 1 cos ud sen sin v s2 1 cos ud cos v 0 5 2 s2 1 cos ud scos v cos ui 1 sen sin v cos uj 1 sen sin ukd 5

x

lo cual implica que Figura 15.43

iru

3 rv i

sen v cos ud2 1 sen 5 s2 1 cos ud!scos v cos ud2 1 ssin sin22 u 2 2 2 2 2 2 5 s2 1 cos ud!cos uscos v 1 sen sin vd 1 sen sin u 2 2 2 5 s2 1 cos ud!cos u 1 sen sin u 5 2 1 cos u.

Por último, el área de la superficie del toro es A5

EE

iru

3 rv i

dA 5

D

5

EE E 2p

2p

s2 1 cos ud du dv

0 0 2p

4p dv

0

5 8p 2. Si la superficie S es una superficie de revolución, se puede mostrar que la fórmula para el área de la superficie, dada en la sección 7.4, es equivalente a la fórmula dada en esta sección. Por ejemplo, supóngase que f sea una función no negativa tal que f9 sea continua sobre el intervalo fa, bg. Sea S la superficie de revolución formada por revolución de la gráfica de f, donde a ≤ x ≤ b, en torno al eje x. De acuerdo con la sección 7.4, se sabe que el área de la superficie está dada por

E

b

area 5 2p Área de Surface la superficie

f sxd!1 1 f f9sxdg2 dx.

a

Para representar S paramétricamente, sea x 5 u, y 5 f sud cos v, y z 5 f sud sen sin v, donde a ≤ u ≤ b y 0 ≤ v ≤ 2p. Entonces, rsu, vd 5 ui 1 f sud cos vj 1 f sud sen sin vk. Tratar de mostrar que la fórmula Surface area 5 Área de la superficie

EE

iru

3 rv i

dA

D

es equivalente a la fórmula dada arriba (ver ejercicio 58).

1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109 1053714_1505.qxp 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 10/27/08 1:46 1:46PM PM Page Page1109 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109 Larson-15-05.qxd 3/12/09 20:02 Page1109 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page Page 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109

15.5 Parametric Surfaces SECCIÓN 15.5 paramétricas 15.5 Parametric Surfaces 15.5 Superficies Parametric Surfaces 15.5 Parametric Surfaces 15.5 Parametric Surfaces 15.5 Parametric Surfaces 15.5 Parametric Surfaces 15.5 15.5 Parametric Surfaces 15.5 Parametric ParametricSurfaces Surfaces 15.5 Parametric Surfaces

1109 1109 1109 1109 1109 1109 1109 1109 1109 1109 1109 1109

Exercises See www.CalcChat.com forfor worked-out solutions toodd-numbered odd-numbered exercises. 15.5 www.CalcChat.com forfor worked-out solutions toto exercises. 15.5 Exercises See www.CalcChat.com worked-out solutions toodd-numbered odd-numbered exercises. 15.5 Exercises Ejercicios See 15.5 Exercises See www.CalcChat.com worked-out solutions exercises. 15.5 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.5 See www.CalcChat.com for worked-out solutions tototo odd-numbered exercises. Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions odd-numbered exercises. 15.5 See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.5 See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions odd-numbered exercises. 15.5 In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with its InIn 1– 6,6, the function with En los ejercicios 16,match amatch 6, relacionar la función vectorial con su its gráInExercises Exercises 1– match thevector-valued vector-valued function with its Exercises 1– the vector-valued function with its In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with its In Exercises 1– 6,6,6, match the vector-valued function with its In Exercises 1– match the vector-valued function with its In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with its In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with its graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f ).] In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with its graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f ).] fica. [Las gráficas están marcadas a), b), c), d), e) y f).] In Exercises 1– match the vector-valued function with its graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f ).] graph.[The [Thegraphs graphsare arelabeled labeled(a), (a),(b), (b),(c), (c),(d), (d),(e), (e),and and(f(f).] ).] graph. graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f(f).] ).] graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f ).] graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f ).] graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f ).] graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and ).] z zzz z z zz z (a) (b) (a) (b) a) b) (a) (b) (a) (b) z z (a) (b) zzz zzz zzz zzz (a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b) 222 2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2−2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2−2 −2 −2 −2 −2

2 22 2 2222 2 1 11221 1111111 −− 2−−22 2−1−1 −1 −1 1 1 1 2 2 2 y yy y −1 −−−−2−222− −1−1 −222−1 −1 −1 2 22 2 111111 222 −1 yyyyyyy x xx x 2222 22 11 22222 2 xxxxxxx

2 222 2 12111221 1 111111

yyyy y 2222 2yyyyyyy 22 2222 2 22xx2x22x x 2222222 xxxx x xx

z zz z zzzz zzz

(c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) c) (c) (c) (c)

z zz z zzzz zzz 2 22 2 2222222

(d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) d) (d) (d) (d)

2 22 2 2222222 4 44 4 4444444

4 x xx x 444 4 44 xxxxxxx 4444

(e) (e) (e) (e) (e) e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)

y yy y yyyyyyy x

z zz z zzzz zzz

(f)(f)) ) (f(f (f ))) ) f))(f (f(f (f (f (f ))

4 44 4 4444444 −− 4−−44 4 −−−−4−444− −444 4 44 4 4 x xx44x4444 x xxxxxx

4 44 4 4444444

y yy y yyyyyyy

2 22 2 222 2 x 222

2 22 2 2222222

2 22 2 2222222

u,u, 13. vvvv 13. ru, 13.rrru, 13. r u, 13. u,u,u, 13. 13. vvvvvvv 13. 13. r0u, u, 13.0rrr0rru, 13. 0 uuuuu 0 000 00u, uuvuuuu 14. v vv 14. ru,u, 14.rrr0u, 14. r u, 14. u,u,u, 14. 14. vvvvvvv 14. 14. r0u, u, 14.0rrr0rru, 14. 0 uuuuu 0 000 00u, uuvuuuu 15. v vv 15. ru,u, 15.rrr0u, 15. r u, 15. u,u,u, 15. 15. vvvvvvv 15. 15. r0u, u, 15.0rrr0rru, 15. 0 uuuuu 0 000 00u, uuvuuuu 16. v vv 16. ru,u, 16.rrr0u, 16. r u, 16. u,u,u, 16. 16. vvvvvvv 16. 16. ru, u, 16.rrrrru, 16. 0000 uuuu 0000000 uuuuuuu

senh cos vivi senh senh sen vjvj cosh cosh uk 222senh uuucos vivi uuusen vjvj uk 2senh senh ucos cos senh usen sen cosh uk senh cosh uk uuu cos vi senh uuu sen vj cosh uk senh cos vivi senh sen vjvj cosh uk 22senh senh uucos cos vi senh uusen sen vj cosh uk 22222, senh u vi senh u vj cosh uk senh cos vi senh sen vj cosh uk senh cos vi senh sen vj cosh uk 2 senh u cos senh u sen cosh uk 2,2,2, 0000 vvvv 2222 2, 2,2,2, 2, 0000000 vivvvvvvv 2u 2222222sen vj vk 2, 2, 2u cos 2u cos vivivi 2u sen vjvjvj vk 2u cos 2u sen vk 2u cos 2u sen vk 2u cos vi 2u sen vj vk 2u cos vivi 2u sen vjvj vk 2u cos vi 2u sen vj vk 2u cos vi 2u sen vj vk 2u cos vi 2u sen vj vk 2u cos vi 2u sen vj vk 2u cos 2u sen vk 1,1, 0000 vvvv 3333 1,1, 1, 1,1,1, 1, 000000senvvvvuvvv cos 3333333vi 1, cos sen vjvj uk uk uuu1,u 0sen uucos vivivi 1111 cos uuusen vjvj sen ucos cos cos usen sen uk sen cos uk sen uuu ucos cos vi 111 1 cos cos uuu usen sen vj uk sen cos vivi cos sen vjvj uk sen cos vi cos sen vj uk uuuuuu,u sen u vi 1 u vj uk sen cos vi cos sen vj uk sen u cos vi 1 cos u sen vj uk sen u cos 1 cos u sen uk , , , 0000 vvvv 2222 vv 2222222 3 3 3 ,,,, ,3,,300003u000cosvvvvvvi cos sen sen vjvj uk uk cos vivi vjvj 3uucos cos ucos cos vi sen sen usen sen uk 3 33u cos sen uusen uk 3 cos vi sen vj uk 33 33 33333 cos cos vivi sen sen vjvj uk cos uucos cos vi sen uusen sen vj uk cos uuuu33ucos vi uuu3u3usen vj cos cos vi sen sen vj uk cos cos vi sen sen sen vj uk uk cos cos sen sen uk , , , 000 v vv 222 222,,,,2, , 000000 vvvvvv 222222 2 222222,, 00 vv 22 Think About ItItEn In Exercises 17–20, determine how the graph Think About ItIt InIn Exercises 17–20, how the graph Think About In Exercises 17–20, determine how the graph Think About Exercises 17–20, determine how the graph Para pensar los ejercicios 17 a determine 20, determinar cómo la gráThink About It In Exercises 17–20, determine how the graph Think About ItItIt In Exercises 17–20, determine how the graph Think About Exercises 17–20, determine how the graph Think About It Exercises 17–20, determine how the Think About It In Exercises 17–20, determine how the graph of the surface sIn u, vvsdiffers differs from the graph ofof ru, u, Think About It sIn In Exercises 17–20, determine how the graph u, vExercises rthe vu, of surface from the graph ofof Think About 17–20, determine how graph sIn u, rrgraph u, ofthe the surface differs from the graph s u, v r u, vvvvc 5 of the surface differs from the graph fica de la superficie difiere de la gráfica de x u, v c x s u, v r u, v of the surface differs from the graph of 2 s u, v r u, v of the surface differs from the graph of 2 of the surface ssu,1 u, differs from the graph of u, vvand 2 svj u, vuvvuvvu the surface from the graph of the surface svj differs from the graph of u, (see figure), where and k uof cos vivi 1 usen sen uurrrru, u, ru of the surface differs from the graph of k22differs (see where uof cos vivi 1 uu vjvj 0000 of u 2u, the surface s1 u, differs from the graph vand (seefigure), figure), where ucos cos vi 1 usen sen 1 2vvand k (see figure), where 1 1 u222u u 22u, 0of 2 y (ver la figura) donde cos 1 sin vj 1 kk sen 2k 2 (see figure), where and uuu cos vi 1 sen vj 1 (see figure), where and cos vi 1 u.uu sen vjvj 1 unecessary uuu 2k (see figure), where and cos vi 1 u sen vj 1 u 2necessary k2kk (see figure), where cos vi 1 uu sen vj 1 uu 0000000 uu 2222222and (see figure), where and vi 1 u sen vj 1 u u (It is not necessary to graph s.) v 2 . k (see figure), where u cos vi 1 u sen vj 1 u u (It is not to graph s.) 0uuu00uu v 2 (see figure), where and k cos vi 1 sen 1 u (It is not to graph s.) 0cos v 2 . (It isnot not necessaryto tograph graphs.) s.) s gráficamente.)and v v 22 2. .(It (No es necesario representar 0 . is necessary 0 v (It isisis not necessary toto graph s.) (It not necessary to graph s.) ..(It is not necessary to graph s.) 000000 vvvvvv 222222... .(It (It is not necessary to graph s.) (It is not necessary to graph s.) not necessary graph s.) zz z zz zzzz zzz 4 44 4 4 4444444

y yy y yyyyyyy

r(u, v)v) r(u, v)v) r(u, r(u, r(u, v) r(u, v) r(u, v)v)v) r(u, r(u, v) r(u, v) r(u, v) r(u,

z zz z zzzz zzz 2 22 2 2222222

−2 −2 −2 −2 −2 −2 −2−2 −2 −2 −2 −2 2 22 2 22222y22yy y yyyyyyy

u,u, uiui vjvj vjvj uvk uvk 1.1.rrru, vvvv uiui 1.1. ru, uvk uvk u, ui vj uvk 1. u,u,u, uiui vjvj uvk 1.1.1. ui vj uvk rrrrrrru, vvvvvvvv ui vj uvk 1. u, ui vj uvk 1. r u, ui vj uvk 1. uvk u, u cos vi u sen vjvj uk uk 2. vvv uucos vivivi uusen vjvj 2.2.2.rru, ru,u, ucos cos usen sen uk uk rrr ru, u, vvv v uuuu cos vi uuu sen sen vj uk 2. u,u,u, cos vi sen vjvj uk 2.2.2. uucos cos vi u sen vj uk 1vi r v u vj uk 2. 1vi u, cos vi sen vj uk 2. 1 r u, v cos vi u sen vj uk 2. r v u cos u sen uk u,u, uiui 21112u2uuu vvvjvjj j vk vk 3.3.rrru, vvvv uiui 3.3. ru, vk vk u, ui vk 3. u,u,u, uiui vkvk 3.3.3. ui 112212221111uu12312u1uu3uu3 vvvvvvvjjjjjjj vk rrrr ru, vvv v ui 3. ui vk 3. rru, vk u,u, uiui vk 4.3. vvvvvvv ui 4. u, ui 4111v4221v4v33j3vjj j vk vk vk 4.rrrru, u, ui vk 4. rrr ru, u, vvv v ui ui v1v1v133vjj3jj333 j vk vk 4. u,u,u, uiui vk 4.4.4. 4144v ui vk r v 4. u, ui vk 4. r u, v ui v j vk 4. 4 r v v j vk 4 4vcos u,u, cos uiui 222cos cos sen ujuj 222sen sen vk 5.5.rrru, vvvv 222cos v4vv44cos uiui vvvsen ujuj vk 5.5. ru, 2cos cos cos 2cos cos vsen sen 2sen sen vk cos vk u, cos ui sen uj vk 5. u,u,u, cos cos uiui cos sen ujuj sen vk 5.5.5. 22cos cos vvcos cos ui 22cos cos vvsen sen uj 22sen sen vk rrrrrrru, vvvvvvvv 222242cos vvvvui cos ui 2222uj cos vvvvvk sen uj 22222sen vk 5. u, cos ui cos uj sen vk 5. r u, cos cos ui cos sen uj sen vk 5. cos v cos 2 cos v sen sen vk u, cos 4 sen 6. vvv 44cos uiuiui 44sen ujujuj vk 6.6.6.rru, ru,u, 4cos cos 4sen sen vk vk r u, ui 4 4sen uj vk 6. u,u,u, cos uiui sen ujuj vk 6.6.6. 44cos cos ui sen uj vk vvvvvvv 44444cos ui uj 6. cos ui uj vk 6. ru, u, cos ui 4444sen 4sen sen uj vk vk 6.rrrrru, cos sen vk In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface InIn Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface En los ejercicios 7 a 10, hallar la ecuación rectangular de la by eliminating the parameters from the vector-valued function. In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface by eliminating the parameters from the vector-valued function. In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface by eliminating the parameters from the vector-valued function. by eliminating the parameters from the vector-valued function. by eliminating the parameters from the vector-valued function. by eliminating the parameters from the vector-valued function. by eliminating the parameters from the vector-valued function. by eliminating the parameters from the vector-valued function. by eliminating the parameters from the vector-valued function. superficie por eliminación de los parámetros de la función vecIdentify the surface and sketch its graph. by eliminating the parameters from the vector-valued function. Identify the surface and sketch its graph. by eliminating the parameters from the vector-valued function. Identify the surface and sketch its graph. Identifythe thesurface surfaceand andsketch sketchits itsgraph. graph. Identify Identify the surface and sketch graph. Identify the surface and sketch its graph. Identify the surface sketch its graph. Identify the surface and sketch its graph. torial. Identificar laand superficie yits dibujar Identify the surface and sketch its graph.su gráfica. Identify the surface and sketch its graph. v vv u,u, uiui vjvj vjvj vvvvkvk k 7.7.rrru, vvvv uiui 7.7. ru, v2vkv2k k r u, v ui vj 7. 2 u,u,u, uiui vjvj 7.7.7. ui vj vvvvvv ui 7. ui vj 7. ru, u, ui vj vj 2222k2k k 7.rrrrru, kk 1 22 22u 222u u,u, 2u cos vi sen vjvj 121112u12u2u2k 8.8.rrru, vvvv 2u cos vi sen vjvj 8.8. u2 kk ru, 2u cos vi 2u sen 2ucos cosvivi 2u 2u sen 1 2 2k 11211u r u, v 2u sen vj 8. r u, v 2u cos vi 2u sen vj 8.8.8. 2 2 r u, v 2u cos vi 2u sen vj 22 k r u, v 2u cos vi 2u sen vj 8. uu2122u2uukk kk r u, v 2u cos vi 2u sen vj 2 8. r u, v 2u cos vi 2u sen vj r u, v 2u cos vi 2u sen vj 22 2u r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk 9.8. 2 r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk 9.9. cosuiui vjvj 22sen senuk uk kk 9. rru,u,vv 22cos r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk 9. r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk 9. ru, 22cos cos ui vj 22sen sen uk v v 2 cos uivui vj uk 9. vjui uk 9.9.9. rru,u, u, cos ui vj 222sen sen 9.rrrrru, u,u, cos vj sen cos cos cos vuk sen ujuj 555sen sen vk 10. vvvvvvv 32332cos vui cos ui vuk sen ujuj vk 10. 3cos cos vcos cos 3cos cos vsen sen 5sen sen vk 10. u,u, uiui 3333cos vk 10. rrrrru, u, vvv v 3333 cos cos vvvvcos cos ui cos vvvvsen sen uj 5 5sen vk 10. u, cos cos ui 3 cos sen ujuj sen vk 10. u, 3 cos v cos ui 3 cos sen uj sen vk 10. r v v ui 3 cos v uj vk 10. u, cos cos ui 3 cos uj vk 10. cosvvcos cosui ui 33cos cosvvvsen sen uj 5555sen 5sen sen vk 10. rr u,u,vv 33cos sen sen vk 10. CAS In Exercises 11–16, use computer algebra system toto graph the CAS Exercises 11–16, aaautilizar computer system toto graph the En los ejercicios 11use ause 16, un algebra sistema algebraico por compuCASIn In Exercises 11–16, use acomputer computer algebra system graph the CAS In Exercises 11–16, algebra system graph the CAS In Exercises 11–16, use computer algebra system to graph the CAS In Exercises 11–16, use computer algebra system toto graph the CAS In Exercises 11–16, use athe computer algebra system to graph the CAS In Exercises 11–16, use aaaathe algebra system to graph CAS In Exercises 11–16, use algebra system to graph the surface represented by vector-valued function. CASsurface In Exercises 11–16, use acomputer computer algebra system to graph the represented by the vector-valued function. CAS tadora yrepresented representar gráficamente la superficie dada por lathe funIn Exercises 11–16, use acomputer computer algebra system graph the surface represented by vector-valued function. surface by the vector-valued function. surface represented by the vector-valued function. surface represented by the vector-valued function. surface represented by the vector-valued function. surface represented by the vector-valued function. surface represented by the vector-valued function. surface represented by the vector-valued function. ción vectorial. surface represented by the vector-valued function. 4 4k 4 r u, v 2u cos vi 2u sen vj u 11. r u, v 2u cos vi 2u sen vj u k 11. 4 r u, v 2u cos vi 2u sen vj u k 11. 4 r u, v 2u cos vi 2u sen vj u k 11. 4 r u, 2u cos vi 2u sen vj u4 k4k444k 11. u,u,u, 2u cos vivi 2u sen vjvj 11. 2u cos vi 2u sen vj 11. vvvvvvv 2u cos vi sen vj 11. 2u cos vi 2u sen vj 11. ru, u, 2u cos vi 2u 2u sen vj uuuu4uukk 11.0rrr0rru, 2u 2u sen kk 11. 1, 1, 0cos 00 uuuuu 1, 1, 000 vvvvv 22222 0 1, 0 0000 uuuuuu 1, 1,1,1, 0000 vvvvvv 222222 0 0 0 1, 0 1, u,u, cos cos uiui 444cos cos sen ujuj sen sen vk 12. vvvv 222cos vvvcos uiui vvvsen ujuj vk 12. ru, 2cos cos vcos cos 4cos cos vsen sen sen vk 12.rrru, sen vk 12. r u, vvv cos cos ui 444 cos vvv sen sen uj sen vk 12. u,u,u, cos cos uiui cos sen ujuj sen vk 12. 22cos cos vvcos cos ui 44cos cos vvsen sen uj sen vk 12. vvvvvuvv 222222cos v ui 4 v uj sen vk 12. cos ui cos uj sen vk 12. r0u, u, cos cos ui cos sen uj sen vk 12.0rrr0rru, cos v cos 4 cos v sen sen vk 12. 0 uuu 222, ,, , 0000 vvvv 2222 0000000 uuuuuuu 2222222,,,, ,,, 0000000 vvvvvvv 2222222

2 x xx x 22222 x 22 xxxxxxx 2222

−2 −2 −2 −2 −2 −2 −2−2 −2 −2 −2 −2 2 22 2 y yyyy 2 y 2222222 yyyyyy

u,u, cos vivi uuusen sen vjvj uu2u2ku22k 17. k2k vvvv uuucos vivi vjvj 17. su, ucos cos usen sen 17.s ssu, 17. 2 sss u, u, vvv v uuuu cos cos vi uuu sen sen vj uuu222ukk 17. u, cos vi sen vj 17. k 2k 2 17. s u, u cos vi u sen vj 2 s v vi u vj u 17. u, cos vi sen vj 17. k cos sen 17.00ss0u,u,uvuvu 2,2, uu2,cos 17. 22 vjvj uu kk 0000vivivvvvuu2sen 0 u 2, 2 0 u 2, 0 v 2 0 u 2, 0 v 2 2, 00000 vvvvv2 2222222 00 00u, uuvuuu 2, 18. u2, cos vivi uuu2ju2jj j uuusen sen vk 18. vvv u2, cos vivi vk 18.s ss0u, usen sen vk su,u, u2, cos 18. cos vk 18. vk sss u, u, vvv v uuuuucos cos vi 18. u, cos vivi sen vk 18. u, u cos vi uusen sen vk s 18. vk s v vi uuuu2u22uujjj2j222jjj2 uuuuusen 18. u, vi sen vk 18.00ss0u,u,uvuvu 2,2, sen vk cos vi 18. uucos cos sen vk 0 v 0 v 2 0 u 2,2,2, 000 vvv 222 2,2,2, 0000s000u, uuuvuuuu 2, 000000vi vvvvvvu sen 222222vj 2u2k2 cos 19. s vvv u2, vivivi uusen vjvjvj uu2ku2kk 19. su,u, u2, cos usen sen 19. uucos cos 19. ssu, u, v u cos vi u sen vj 19. u,u,u, cos vivi sen vjvj uuuu222ukk 19. k222k 2 19. ssu, uucos cos vi uusen sen vvvvuvv uuu3, cos vi uuuusen vj 19. vi vj 19. k u, cos vi sen 19.0sss0su, u cos sen 19. 0 v 2 u 3, 0 v 2 0 uu 3,3, 00 vv 22 vjvj uu kk 0 3, 3,3,3, 0000 00u, uuuvuuuu 3, 0000000 vivvvvvvv 4u 2222222sen vj 2u2k2 3, 3,cos 20. 4u cos 20. vvv 4u vivivi 4u sen vjvjvj uu2ku2kk 20.s ss0u, su,u, 4u cos 4u sen 20. 4u cos 4u sen 20. s u, v 4u cos vi 4u sen vj 20. u,u,u, 4u cos vivi 4u sen vjvj uuuu222ukk k222k 2 20. ssu, 4u cos vi 4u sen 20. vvvvuvv 4u cos vi 4u sen vj 20. 4u cos vi 4u sen vj k 20.0sss0su, u, 4u cos vi 4u sen 20. 4u cos 4u sen 2, 0 v 2 u 2, 0 v 2 0 uu 2,2, 00 vv 22 vjvj uu kk 0 2, 0 v 2 2,2,2, 0000000 uuuuuuu 2, 2, 2, 000000 vvvvvv 222222 In Exercises 21–30, find vector-valued function whose graph InIn Exercises 21–30, find aaavector-valued function whose graph InExercises Exercises21–30, 21–30, find avector-valued vector-valued function whose graph find function whose graph In Exercises 21–30, find vector-valued function whose graph In Exercises 21–30, find vector-valued function whose graph In Exercises 21–30, find vector-valued function whose graph In Exercises 21–30, find aaaaaaavector-valued function whose graph In Exercises 21–30, find vector-valued function whose graph is the indicated surface. En los ejercicios 21 a 30, hallar una función vectorial cuya gráIn Exercises 21–30, find vector-valued function whose graph is the indicated surface. In Exercises 21–30, find vector-valued function whose graph is the indicated surface. is the indicated surface. is the indicated surface. isisis the indicated surface. the indicated surface. is the indicated surface. is the indicated surface. fica sea la superficie indicada. is the indicated surface. the indicated surface. 21. ElEl plano z zzz yyyy 21. plano 21.ElEl plano 21. plano 21. El plano 21. El plano 21. El plano zzz z yyy y 21. El plano 21. El plano 21. El plano 21. El plano 22. ElEl plano 22. plano xzxxzzx yyyyyyy z zzz 6666 22.ElEl plano 22. plano 22. El plano 22. El plano 22. El plano 22. El plano xxxx x yyyy yy 2zzzz2z2zz 666662662 2 22. El plano 22.El El plano 22. El plano 23. El cono 4x 9z9z 23. cono yyyxyx y4x 23. El El cono 4x 22 9z 22 23. cono 4x 9z 23. El cono y 4x 9z 222222 222222 23. El cono 4x 9z 2 9z 2 23. El cono 4x 9z 23. El cono yyyyyy 4x 23. El cono 4x 23. El cono 4x 9z 23. El cono 4x 9z 2 2 9z 22 2 2 24. El cono x 16y z 24. cono xxx 16y 24.ElElEl cono 16y 222 2 zzz222z2 24. cono 16y x 16y 24. El cono 2 2 2 2 24. El cono x 16y z 2 22 24. El cono 16y zz222 24. El cono xxxxx 2 2 216y 24. El cono 16y 24.El El cono 24. El cono z25 2y2 2 zz 25. El cilindro 25 xxx22x 16y 25. cilindro y16y 2 25. El El cilindro y 25 2 25. cilindro y 25 2 2 25 25. El cilindro 22x222 25. El cilindro 25 2 y 25. El cilindro 25 xxxx4x 25. El cilindro 25. El cilindro yy2y2yy2y22222 2 25 25 25. El cilindro 25 2 22 y xx4x 25. El cilindro 25 16 26. El cilindro 26. cilindro y 16 16 26.ElEl El cilindro4x4x 222 2 yyy222 16 26. cilindro 2 4x 16 26. El cilindro 2 2 2 2 4x y 16 26. El cilindro 2 2y 2 16 2 2 4x y 16 26. El cilindro 2 2 4x 26. El cilindro 4x y 16 26. El cilindro 4x y 16 26. El cilindro 2 4x 16 26. El cilindro 2y z x 27. El cilindro z x 27. El cilindro 2 z x 27. El cilindro 27. El El cilindro cilindro zz xx2222 2 27. 27. El cilindro 27. El cilindro 27. 27. El cilindro 27.El Elcilindro cilindrozzzxzzz2x2x2 2xxxxxxy2222y2y2 2 z2z22z2 27. El cilindro 28. El elipsoide 28. El elipsoide 28. El elipsoidexxxxx2222xx2222 yyyyy2222yy2222 zzzzz2222zz2222 1111 28. El El elipsoide elipsoide 28. 9x9 4y4 1z1 1 28. El elipsoide 28. El elipsoide 28. El elipsoide 28. 28.ElEl Elelipsoide elipsoide999999 444444 111111 111111 28. elipsoide 99the 4plane 9theplane 4 1z1z1z 444that 4plane 29. The part ofofthe that lies inside the cylinder 29. 29.The Thepart partofof thatlies liesinside insidethe thecylinder cylinder z 44 that 29. The part the plane that lies inside the cylinder 29. The part of the plane lies inside the cylinder 2 1 2 5 2 2 29. The part of the plane that lies inside the cylinder 2 2 zz 444444that 29. The part of the plane that lies inside the cylinder 2 2 zzzzzinterior 29. The part of the plane lies inside the cylinder z 5 4 x y 9 La parte del plano al cilindro 29. of the plane that lies inside the cylinder xx2The yypart 9 29.xThe The part of the plane that lies inside the cylinder ypart 9 2 2 29. of the plane that lies inside the cylinder x y 9 yyy2222y2222 999999 222x222 2 y xxxxThe x y 9 2xx222 1 2yy222 that x y 9 z 5 30. La parte del paraboloide interior al cilindro z 30. part of the paraboloid lies inside the y z x 30. The part of the paraboloid that lies inside the 2 2 30. The The part part ofof the the paraboloid paraboloid z z x22x y22y that that lies lies inside inside the 30. the 30. The part of the paraboloid that lies inside the 2 1 2 2of 2 2paraboloid 30. The part of the paraboloid that lies inside the 2y 30. The part the paraboloid that lies inside the zzzzzzz xxxx2x2xx2222 yyyy2y2yy2222that 30. The part lies inside the xcylinder yx2 2x2of 5 9the 30. The part of the paraboloid that lies inside the 9 cylinder 30.cylinder The part of the paraboloid that lies inside the y 9 2 2 30. The part of the paraboloid that lies inside the y 9 x 2 y 9 cylinder x 2 2 cylinder cylinder cylinder cylinder xxxx2x2xx2222 yyyy2y2yy2222 9999999 cylinder cylinder cylinder

Larson-15-05.qxd 1053714_1505.qxp 1053714_1505.qxp 1053714_1505.qxp 1053714_1505.qxp

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3/12/09 20:03 1110 10/27/08 1:46 PMPage Page 1110 10/27/08 1:46 PM Page 1110 10/27/08 1:46 PM Page 1110 10/27/08 1:46 PM Page 1110

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1110 Chapter 15 Vector Analysis 1110 Chapter Vector Analysis 1110 1515 Vector 1110 Chapter CAPÍTULO 15 Analysis Análisis vectorial 1110 Chapter 15 Vector Analysis 1110 Chapter 15 Vector Analysis Surface of Revolution In Exercises 31– 34, write a set of Area In Exercises 39– 46, find 1110 Chapter 15 Vector Analysis Surface of Revolution In Exercises 31– 34, write a set of Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over the region. Use a computer( parametric equations for the surface of revolution obtained by Surface of Revolution In Exercises 31– 34, write a set of given Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over 1110 Chapter 15 Vector Analysis Superficie de revolución En los ejercicios 31 a 34, dar un conÁrea En los ejercicios 39 a 46, hallar el área de la the superficie

parametric equations the revolution obtained by of given region. Use adada. computer algebra system to verify your revolving thegiven graph ofla the function about the given axis. parametric equations forfor the surface of of revolution results. region. Use a computer system verify your Surface of Revolution Insurface Exercises 31– 34,obtained write abyset Area In Exercises 39– 46,algebra find the area ofto the surface over the junto de ecuaciones paramétricas para la superficie de sobre sistema por compuSurface of Revolution In Exercises 31– 34,axis. write a revoluset of results. Area Inregión Exercises 39–Utilizar 46, findun the area ofalgebraico the surface over the revolving the graph the function about the given axis. results. revolving the graph of of the function about the given parametric equations for the surface of revolution obtained by given region. Use a computer algebra system to verify your ción obtenida por revolución de la gráfica de la función en torno tadora y verificar los resultados. Surface of equations Revolutionfor In 34, write a set of Area region. In Exercises 46, find algebra the area system of the surface over the part of the plane parametric theExercises surface of 31– revolution obtained by given Use a39– computer to verify your Función Eje de revolución 39. The Surface oftheRevolution Exercises 31–the 34,given write a set of Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over the revolving graph of theIn function about axis. results.region. al eje dado. parametric surface ofrevolución revolution byx 39.39. given Use a plane computer to Función de v= 4ui vk,verify Thepart where revolving theequations graph of for thethe function the given obtained axis. 39. Lapart parte deltheplano r(u, 4ui4ui–system vj vj+ vk, vk, donde results. Función EjeEje deabout revolución 0youru 2 y 0 v 1 r u,r v) vu, algebra vj The of ofthe plane where parametric equations for the surface of revolution obtained given region. Use aeje computer algebra system to verify your 31. y by , 00 results. revolving graph of the function about given axis. 0x uThe u6 2 ypart 2 0y 0 of v vthe 1 1xplane r u, v Eje de the revolución Función 4ui vj vk, 39. where x the xFunción 40. where The part of the paraboloid 2 revolving the graph of the function about the given axis. results. Eje de revolución 4ui vj vk, 39. The part of the plane r u, v y y , ,0 0 x x 6 6 x x 31.31. ejeeje 0 u 2 0 v 1 y r u, v 2u cos v i 2u sen vj 40. The part of the paraboloid 40. La parte del paraboloide r(u, v) = 2u cos vi + 2u sen vj +2 k, u2k, u r u, v 2u cos v i 2u sen vj where 0 u 2 y 0 40. The part of the paraboloid 2 x 2Función Eje revolución 32. y r u, v 4ui vj vk, where 0xThe 4upart2 yof0 the v xplane 1 x, 0239. eje x, 0 x 6 31. yFunción eje xde 2 Eje de revolución r u, v 4ui vj vk, 39. The part of the plane where 0 u k, 0 u 2 v 2 where y donde u 0 u 2 0 v 2 k, where y r u, v 2u cos v i 2u sen vj 40. The part of the paraboloid y , 0 x 6 x 31. eje 2 0 part u of 2 ythe 0 v 1 r u, v y y x, x,2x0 0 x x 4 4 x x 32.32. ejeeje 2u cos v i 2u41. senThe vj part of the cylinder r 0 The 33. x sen z, 40. eje z 1 0uz2 k, uwhere 2 0y 0 paraboloid 31. y eje x x, 0 x 6 u v rr2su, 0vd vr5u, vaa cos yr vu, a 22cos ui av sen uj vk, 41. The of the cylinder 0 u 2 and 0 ui a sen uj vk, where 41. The part of the cylinder 41. La parte del cilindro donde sen 2part u, cos ui 1 a sin uj 1 vk, v 2u cos i 2u sen vj 40. The part of the paraboloid 32. x, 0 x 4 2 u 0 u 2 0 v k, where y y , x 6 x 31. eje x sen z, 0 z z 33. eje 33. x 32. sen eje z eje x y0 v v br u, 0 The y0 part 2uof2 the 34. z y2 1, eje y z, 2 0x, 0z x 4 v 2u cos v i 2u sen vj 40. paraboloid 2 b where and 2 0 u 0 where and r u, v a cos ui a sen uj vk, 41. The part of the cylinder y 0 ≤ v2≤y b0 v 2 ≤ where u ≤ 2p u 2k, a sen u 33. a cos ui a sen42. uj The vk,sphere r u, v 41. The of00 the uucylinder z y2yxy2 1,sen y xz 1, x,z, 32. eje z 33. y eje 0z, 0 0y yx z2 24 34.34. ejeeje uwhere 2aysen 0ruu,vcos vv vbi21 k, part where 0u,r vu, uvrthe 0cos and 42. La esfera su,a 2sen vcylinder d sen 5 sin aof sin uvjsen sin vj 1a cos uk,0 u sen x, 00 xz 4 32. xy sen eje zx a u v i a sen u sen a cos uk, The sphere 0 vI r u cos v i a sen u sen vj a cos uk, where and 42.42. The sphere Tangent Plane In Exercises 35–38, find an equation the r u, v a cos ui a sen uj vk, 41. The part of 2 where 0 u 2 and 0 v b y2 z, 1, 0 0 z y 2 34. xz sen eje zy 33. eje u, vk, 41. The part the donde y0and ≤and 0av sen ≤by ≤cos 0sphere vvu2rthe 22vp where zx Plane ysen yz an 0 z y 35–38, 235–38, 34. eje 0 surface u00u≤of 0cylinder ruand u, v2p v ib aacos senui u senavjsen43. aujcos uk,part of the cone r u,b 42. The Tangent In find equation z,1, 0Exercises 33. Plane ejean Tangent In Exercises find equation of of thethe planewhere tangent to the represented vector-valued u 0 v where The ru u, v2 and a sen u cos ib a sen u sen vj a cos uk, 42. The sphere 2 0 del v vcos where z plane yto yby 1,the 0surface y represented 2 34.plane eje where sen 43. La parte cono donde rsu, v0d v5 au viavi 1sen auuau sin vj 1 uk, tangent represented vector-valued 2 to r 0sen au sen uk, 43. Thepart part the cone given point. tangent the by thethe vector-valued rand v0u, au cos vi au sen vj where 43.the The of00ofthe Plano En los 35 afind hallar unafunction ecuación Tangent Plane In Exercises 35–38, an equation of theat z tangente yPlane y38, 1, surface 0 Exercises y ejercicios 2 35–38, 34. eje ruucone u, v and au, u vvcos v22icos sen vjvj auk, cos uk, 0 u b and 0 vI 42. The sphere where Tangent In find an equation of the ryand v≤0 vcone a sen u sen vjsenavjcos uk, 42. The 0 ≤0sphere upart 0the 2vp function the given point. bu, 0 ≤av 0sen 2v v2i au cos where and function atelat the given point. u0≤u bbof 2uu,vcos where para plano tangente a la superficie dada by porthe la función vectotangent plane to the surface represented vector-valued r vi au uk, 43. The u where and a b co 44. The Tangent plane Plane to In 35–38, findbyanthe equation thev tangent theExercises surface represented vector-valued 35.ofr u, u43. vThe i part u0 of vuj the vk, r u,v1,v 1 2 au cos vi au sen vj uk,torus r u, v cone 01, where and Tangent In Exercises 35–38, find an equation of the 44.44. rial, en elPlane punto indicado. function at the given point. 0 u b 0 v 2 where and 44. El toro r s u, v d 5 s a 1 b cos v d cos ui 1 s a 1 b cos v d sin uj 1 sen r u, v a b cos v cos ui a b cos v sen uj The torus a b sen vk, > b, 0 u r u, v a b cos v cos ui a b cos v sen uj where The torus tangent surface 43.z where The part conez0 r u,v v 2 au cos vi au sen vj uk, v itheu point. u v jv j represented 35.35. r function u,r vu, v plane uat uthe v to igiven vk,vk, 1, 1, 1,by 11, 1the vector-valued 0 ofu theb and tangent plane to the surface represented by the vector-valued rb≤u, v2, v≤and au cos vi au senv vj uk, The part of>u, the cone donde y b sin vk, a > b, 0 u 2 p , 0 ≤ v ≤ 2 p sen a 0 u , 0 v 2 b sen vk, > b, where and a 0 u 2 0 v 2 b 43. sen vk, b, where r v a cos cos ui a b cos sen uj 44. The torus function at the given point. 0 r uu, v b and v v 2cos ui where 35. 1 vvdii 1 suu 2 vvdjj 1 zvk, 35. rrsu, u, vvd 5 zsuuzgiven vk, s1, 1, 21, 1, 11d a 00 b cos a b cos v45. senThe uj surface of revolution r torus (1, − 1, 1) 44. The function 0 where u deabrevolución v v22d 5, and where and 35. r u, vat the u v i point. u v j vk,z 1, 1, 1 ! ! 0cos 2vj bLa sen vk, > b,u,r0 bvu,cos 45. superficie vi 1 usen sin 1 cos u sen vjsen 45. The surface of revolution vurusu, u,uiand cos viuvi uvb sen uk, 0 u 4 and 0 I 45. The surface of revolution r u 2 r u, v a v cos a cos v ujvjwhere 44. The torus (1, 1) 2 a 0 2 0 v 2 b sen vk, > b, where (1,35. −1,−1, 1) r u, v u zv i u v j vk, zz 1, 1, 1 r0uu, vurevolution a y00bv ≤rcos vv≤cos ui u cos a vi b cos vu sen uj 44. The torus b donde uk, ≤ ≤ 4 v 2 p uk, where 0 4 and v 2 uk, where 0 u 4 and 0 2 2 2u z v i 35. r(1,u,−1, v 1) u v j vk, 1, 1, 1 sen vj 45. The surface of u, a > b, 0 r uu, v 2 , and 0 viv 2u46. b sensurface vk, The surface of revolutio 2 2 − 2 where vj 45. The of revolution u cos arevolución 0 0 rusu,vv2d 5 ,2and 0 cosvvi 12 ujsen buk, sen vk, > 4b,and where z z 1 I − 1 (1, −1, 1) where 0 u 46. La superficie de sen u sin u 1 sen 2 z Theuk, surface revolution r vvv1) u, v 2sen u vi cos 46.46. The surface of u, ucos cos vi vi uj z 2 1, u uj sensen vj u sen vk, where 0 u 45. The surface ofrevolution usen where 0 of urevolution 4 and 0rr u, 1 (1, (1, −1, 1) −12 −1− 2 − 2 2 cos viu cos vi u senuj vj 45. The surface of sen sin usen sin vk, donde yr and 0urevolution pand 0u,0≤vv0rv vu, ≤2vv2up 2 where sen uThe sen vk, 0of≤uu4revolution u≤and 2sen where sen u vk, 0 2 46. surface (1, −1, 1) (1, 1, 1) y (1, 1, 1) uk, where 0 0 2 I −2 1 1 2 46. The surface of revolution r u,2v sen u cos vi W RujI T I N G A B O U T C OCAS −1 − 2 x uk, where 0 u 4 and 0 v 2 2 2 N Cs 2 y where and sen u sen vk, 0 u 0 v 2 y 2 −1 (1, 1, 1) The ofC 0Orevolution r u,0 v v sen2u cos vi uj 1 sen uETPST Sand 2I NuGsen x x −2 W46. RTDesarrollo I TN BUOTwhere U TCde WR I46. G Asurface BAOvk, O Nconceptos CNECP 2 1 (1, 1,21) 2 The surface of revolution r u, v sen u cos vi 47.ujDefine a parametric surface −1 y − 2 sen u sen 2 and 0 v 2 u y vk, where 0 2 2 −1 − 2 (1, 1, 1) y x 1 (1, 1, 1) 1 where and sen u sen vk, 0 u 0 v 2 W R I T I N G A B O U T C O N C E P T S 1 47. Define a parametric surface. 47. Define a parametric surface. 2 x 2 −2 −2 48. Give the double integral t 1 y 2y W R IDefinir T I N G una A B Osuperficie U T C O Nparamétrica. CEPTS 47. y 2 2 1 1 2 2 y x 47. Define a parametric surface. Give surface area of W R the IDar T the IN Gdouble Aparametric Bintegral O integral U Tdoble Cthat O that Ncon C Eyields P Tque S the surface over an 48.48. Give double yields the surface area a adeparametric −2 y 2 x 47. 48. obtiene elofárea la W RDefine I T I NlaGaintegral A B O Uover T Csurface. ON C Elas Pregion T S x se −2 1 2 12 2 y 2 parametric surface an open parametric surface over ansuperficie open region D. D.the surface 1 48. Give the double integral that yields area of a 2 1 47. Define a parametric surface. x x superficie de una paramétrica sobre una región −2 y Give the double integral that yields the surface area of a Figure for 3548. Figure for 36 2 47. Define a parametric surface. −2 parametric surface over an open region D. y 1 2 abierta D. CAS x 48. parametric Give the double theD.surface area a that the cone in ExampI Figure Figure surfaceintegral over anthat openyields region Figure forfor 35 35 Figure forfor 36 1 36 49. of Show x36. r u, v Give uv thek,double yields the surface area of a 2 ui 48. vj parametric 1, 1,integral 1over anthat surface open region D. Show that cone in Example 3 can represented parametrically by r u, v u cos vi s 49.49. Show that thethe cone in Example 3ancan be be represented parametriFigure for 35 Figure for2 36 x parametric surface over open region D. v ui uifor vj uv k, 1, 1 r u,r vu,Figura vj uv k, 1, 1, 1 36.36. 2 Figure 35 Figure for 36 para 35 Figura para 36 x37. r u, v 2u cos vi 3u sen vj u k, 0, 6, 4 49. Mostrar que se puede representar el cono del ejemplo 3 de macally by u cos u sen uk, where u and cally by r u,rthat vu, vtheu cone cos viinviExample u sen vj3vjcan uk,be where 0 0 u parametriand 0 v 2 . 49. Show represented 1 forcos 35vi vj3u 3u 49. that conemediante in Example 3 v) can=be parametrirFigure u,2u v 2u uivi uvvj k, u2 k, 1,2 k, 1,Figure 1 6, 36. vu, u1, 0, 46,for 4 36 r 36. u,r vu,rFigure cos sensen vj 0, 37.37. nera r(u, u represented cos viwhere + u sen vju +and uk, v z 2 paramétrica 2. .rthe 0 vShow 0 for 35 Figure for 36 v ui vj uv k, 1, 1 cally by u, v u cos vi u sen vj uk, 0 ! 36. rsu, vd 5 ui 1 vj 1 uv k, s1, 1, 21d 49. Show that the cone in Example 3 can be represented parametrically by r u, v u cos vi u sen vj uk, where 0 u and 0# u ycone 0 #inv Example # 2p. 3 can be represented parametriu, vv 2u zcosvj 3u vj 1, 1,u21k, 0, 6, 4 37. rr u, CAPSTONE ui uvsen k, vj 36. z vi 49. Show the v that 0donde 2u u 1k, 0, 6, 4 37. r22u,..v u cos vi u sen vj uk, where 0 u and u, vv ui cosvjvi 3uuvsen k, 1, 1, 36. rr u, vby 0cally 6T O N C A P S E C A P S T O N E 2 cally by r u, v u cos vi u sen vj uk, where 0 and four figures below1 50.u The z 3u sen vj 37. r u, v 2u6 cos u k, 0, 6, 4 2 . 0 v discusión 6 vi 2u cos viz 3u sen vj u2 k, 0, 6, 4 37. r u, v CPara A05Pfour Sfour Tv Ofigures N2Efigures . below The below are graphs of the surface 50.50. The are graphs of the surface r u, v ui sen u cos vj CAPSTONE 5 5 6 zz rAvu, v ui sen u cos vj sen u sen vk, 6 z r C50. u, ui sen u cos vj sen u sen vk, 50. Las cuatro figuras son gráficas de la superficie The four figures below are graphs of the surface P S T Ofour N E6, 4)figures below are graphs of the surface (0, 50. 5 C A PThe TO E ui 0 u 2, 0 v sen u, dN5 ui 1 sen sin uu cos cos vj vj 1 sen sin u sen sin vk, vk, rrSsu, vvfour 5666(0, (0, 6, 4) 6, 4) 50. The below r u, v ui2,figures sen u cos vj2. .are sen ugraphs sen vk, of the surface 0 u 0 v 0 u 2, 0 v 2 50. The fourp figures below are graphs of the surface 555 Match each of the four gra (0, 6, 4) r0u,≤vu ≤ ui , sen u sen vk, 0 ≤u0vcos ≤ vj 2p. 2sen 2, . u sen (0, 6, 4) r0each u,each vuuof of ui sen cosvvwith vj with sen vk, 2the −6 Match four point in space from which the surface is viewe Match the four graphs point in space from 0 2, 0ugraphs 2the . the (0, 6, 6, 4) 2which (0, Relacionar una cuatro gráficas con el0, punto −6 −6 which is viewed. points are ,en el 10, 10, 0 , 0, 10, 0 , an 0Match u surface 0 deThe vlasThe 2 four . points thethe surface is viewed. four 10, 00,,0 from 4 (0, 6, 4) 4) eachcada of2, the four graphs with the are point in10, space 2 ueach 0 2, 0 segraphs vcontempla 2 with . the Match of the four point in space from x 2 2 espacio desde el cual la superficie. Los cuatro −6 0 0, , surface 0, 10, 10, 10,10, 10,10, 0 ,4the 10, 0 ,0and 10,10, 10,The 10 10 . . points are 10, 0, 0(a) 4 4 z which is, and viewed. four , −6 6 of the is 2 2 Match each graphsThe with the10, point in space from which the surface viewed. four points are 10, 0, x x yfour puntos son 0,10, 0), (210,10, 0),10, (0, (10, 10,0, 10). 2 4 4 z 0)z yin zof Match each the four graphs with the point space from z 0(10, and 10, 10, , 0, 0 , 10, 10 . 4 (a) (b) (a) (b) −6 2 6 which the 0surface is 0viewed. four10points are 10, 0, 0 , −6 10, 10, , 0, 10, , and The 10, 10, . 2 6 4 x y y −6 z z 10, 0, 0 , which the surface four points are 4 2 zz is viewed. The x a) 10, 10, b) (a) (b)10, 0 , 0, 10, 10 . 1 02 , and 10, 6 222 4 z z 444 (b)0,10, y 2u cosh (a) vi 10,2u10, senh vj0, 10, u0k,, and 10, 4, 2 10 . 38. r u, v 2 6 0 , 2 x 22 4 xx z 1 21 y2 z (a) (b) r u, v 2u cosh vi 2u senh vj u k, 4, 0, 2 38. 4 2u cosh vi 2u senh 4vj 6 2 u 2k,y 4, 0, 2 38. r u, v z y z z (a) (b) 6 yy1 2 2u cosh vi z z2u senh vj 12 u2 k, 4, 0, 2 38. r u, v y y 2u cosh vi 2u senh vj 2 u k, 4, 0, 2 38. r u, v 1 yy z y y x x 2u cosh vi 2u zsenh vj 21u22k, 4, 0, 2 38. r u, v y4 38. 2u cosh vi 2u senh vj 2 u k, 4, 0, 2 38. r u, v 4 4

x x

4 4

6 6 x x x xx

6 6 6 66

y y

z zz

4 4 (−4, (−4, 0, 2) 0, 2) 2 2 4 (−4, 0, 2) 442 (−4, 0, 2) 2 (−4, 0, 2) (−4, 0,− 2) 2 − 2 − 2(−4, 42) −6 −6 − 40, 2 2 2 4 42 −4 −2 2 4 y y −4 −2 2 4 4 4 −4 y −2 2 4 −4 y −2 −2 4 −4 22 44 4 y 4 y y

x −6 −6 −6 −6 −6

6

4

(−4, 0, 2)

2

(c)(c) c) (c) (c) 2 (c) (c)

z z

zz z − 2z z

4 y x

(d)(d) −4

d) (d) (d) −6 (d) (d)

yy y y (c) y

xx x x xz z

zz z z z y y yy y y y

z

y

1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page z z (c) (d) 1111 Larson-15-05.qxd 3/12/09 20:03 Page 1111 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46Page PM 1111 Page 1111 2 2

z

(e) x

4

4

z

(f ) 4

2

y 2

2

−4

z z 4 (e) About (f )determine how Think It In Exercises 17–20, the graph Exercises the vector-valued function 2 of r with v differs u, v its ofIn the surface1–s6,u,match from the graph 4 r(u, graphs are (a), (b),where (c), (d),0(e), uand (f (see figure), and ugraph. cos vi [The 1 u sen vj 1 u2v)klabeled 2 ).] is not necessary to graph s.) 0 v 2 . (It z z (a) (b) 2 −2

−2

−4 z

x

2 4x −2

4

2

y

2

2

4

y

2

y

1 SECCIÓN 15.5 Superficies paramétricas y Parametric Surfaces 2 15.5

4

y

− 2 −1

y

E EE

CAS

CAS CAS CAS

y

1111 1111

2 −2

0

u

2,

v

2u

2 x r u, 14.

2

21

r u, v

17. 15.

s0 u, vu 0r u, vu

2

u1,c 2,u

18. s0 u, vu u c, y 1 u sen vj15.5 u2k Parametric 17. s u, v−2 u cos2 vi 2 1111 1111 Parametric Surfaces r(u,x v)15.5 Surfaces co 16. 0r u, vu 2, 2 ui vj uvk 1. r u, v z z (e) (f ) x u 2, gráficamente 0 v 2 y hallar el área xde una vuelta comple51. asteroidal ecuaciónof dean una esfera asteroidal 57. 0Graph Representar x, y,x, 51. Esfera Astroidal Sphere Una An equation astroidal sphere in en 57. and find the area of one turn of the spiral ramp u cos vi u2 sen vj uk 2. r u, v 19. s0 u, vu u c −2 2 en espiral yand y zzes 18. s tau,de v la rampa u cos vi u j u sen vk −2 is 4 1 2 x, y, 51. Astroidal Sphere An equation of an astroidal sphere in 57. Graph and find the area of one turn of the spiral ramp r u, v ui u v j vk 3. r u, v u cos vi u sen vj 2vk 0 u 3, Astroidal An equation of an astroidal sphere in x, y, 57. Graph and 2 find the area of one turn of the spiral ramp vj2 Sphere 1. rx2u,51. 3v 2 ui 3 3 uvk 2 3 0 u 2, 0 v 2 y z a . su, vd 5 2uzcosy1vi31 u sen sin vj 1 2vk z and z isand z is (c) 2rru, (d) u, v uicos vi v j u sen vk vj 2vk 20. s u,About v 4u Think It x 4. rdonde vu vi4 3u cos vi vj 2vk v u sen 2u2kvj . y u0sen v 2of u3 cos vi u sen uk 2. rA2u,3graph s u, vv 0r u, uu cos 19. 22 33 una 3 vj 2de 2 below. sphere is shown Show that this 2 presenta 3 an zastroidal 22gráfica 3 3 una se esfera asteroidal. Mostrar y a . xAbajo 2 of the surface y1 z a . x y 0ui ≤ v2 ≤cos u ≤v3,cos 2pv. sen uj 2 sen −4 u, v 0 ≤2 cos vk 5. rdonde 0 u 2, 2 f is continuous 58. s0donde Let au3,2nonnegative function such over u, vesta ui be 2represented u 4 puede v j y representarse vk 3. rque 2. y surface parametrically by 0donde u 00vi3 yuv u0 sen 23 vvj superficie paramétricamente por u, vfube cos vkquethat 2 f9. es y 0 2utal 4 can u cos vi 1 u sen A graph an astroidal sphere is shown that this Aofgraph is 3below. shown Show below. Show that this17. 58. Sea función no4negativa continuaformed en el interf una r u, v 4 cos ui sen uj vk 6. 13of3 an 3astroidal sphere a, b . S the interval Let be the surface of revolution by 3 3 medio ui vk 4. rsurface r u, u,xvv de a be senrepresented vi parametrically a sen parametrically u sen vj cos uk (It 0 Exercises v 2 . 21 f is continuous 58. s0Let ab4u such overre- overIn 20. u,58. vfube u2kthat 4 vu jcos can by a by 2,nonnegative 0 aviSnonnegative v 4ufunction 2sen vjfunction f. cos f isthe Let be continuous surface can be represented valo Sea formada fa, gthe f, where de a revolución xsuchb,that x-por revolving graphlaofsuperficie about axis. a, b . S the interval Let be the surface of revolution formed by is the indicated y 3 3 3 3 3 u, 2a cos 2v cos uj 3vj2 sena3vk 5. rrdonde 2b .rectangular Szbe interval Let surface ofen revolution formed y ui u vucos 03vi 2v sen . uasen In Exercises 10, for the 2, 2v, 4cos volución de la0vi gráfica torno al f, x ≤v, b, z u, vv 0r u, a3 vi sen cos uk 18. s0Let u,x vxu 4the uthe jde u donde sen vkthe vsen acos sen u cos sen u sen vj a cos3 uk u,u7– ycos ffind uva, fa u≤equation sen a surface u eje bx. by and where f, v, awhere xsen xrevolving thethe graph of where axis. z f,5 a v,2b,donde xaboutb,athe x-axis. revolving the graph of about the by eliminating parameters from the vector-valued function. Sea y y x 5 u, y 5 f s u d cos z f s u d sin ≤ u ≤ b 4 cos ui 4 sen uj vk 6. rdonde 2 0 v 2 . S and Then, is represented parametrically by u, v 0donde ui vj uvk 1. u 0 uy 0 vy 0 2 v. 2 . 0Let xu u,21–30, 2,y 0 f find 2v, and z f u sen z 4 uyv cos u y meb u b21. El plano In Exercises asketch function graph f vector-valued uS cos v, fv,Show uwhere senwhose v,awhere and Identify sefits representa v Let ≤ surface 2xp. Entonces, r0u,u,≤vvthe ui fu,uand cos vj u2graph. sen zvk. paramétricamente that athe zcos vi z u sen vj r u, v u uk 2. s u cos vi u sen vj u 19. k 22. El plano x 0 v 2 . S and Then, is represented parametrically by is thediante indicated and parametrically In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface que las by rsu,formulas v0surface. d 5 vui are 12f equivalent. s.udThen, cos vj S1isf surepresented d sen sin vk. Mostrar following 1 v r u, v ui f u cos vj f u sen vk. Show that the r u, v ui u v j vk 3. fk2uequivalentes. cos vj f u sen vk. Show that the23. El cono y by eliminating the 2parameters from the vector-valued function. uv r u, 3, siguientes u, uiv y0 vjuiv son 7. 0rfórmulas z formulas 21. plano 2b equivalent. z z following are 3 (e) sEl (f ) k 2 bequivalent. following formulas are Identify ui 14 vand j sketch vk its graph. 4. r u, vthe surface 20. u, v 4u cos vi 4u sen x dx Surface area y 2 z 6f x vj1 u12f! 24. El cono x 22.8. El plano 5 2sen pbvj f sx2d u21k 1 f f9s2xdg2 dx rÁrea u, v de xla2usuperficie cos vi ab 2u 2 cos v cos vui 2 cos v sen uj 2 sen vk 5. r u, v −2 El cilindro−2 0Surface u area 2,4 0 22 v f 22x 1a 2 25. 2 f xukf 1x dx f x dx area 23.9. El cono y 2 cos4x 9z2 2 sen ui vj k y 7. r u, v r u, v Surface ui a vj 4 cos ui 24 sen uj vk 6. r xu, v Surface area ru arv dA 26. El 2 a5 2 la3 superficie iruv 3sen rvuj ifunction dA 5 senwhose 2 cilindro 2 In graph y 24. El cono rÁrea u, v dex21–30, cos16y vfind cos uizvector-valued 3 cos vk D 10.Exercises 1 x 8. r xu, v x 2u cos vi 2u sen vj y 2 u2 k Dr dA 2 Surface area r 27. El cilindro the−indicated surface. u v ru Surface area rv dA 2 In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface CAS is 4cilindro x2 Project 25. El yD2 25 59. Open-Ended The equations Dy parametric y the r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk 9. CAS In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph 4 s u, v uc 17. 59. Proyecto abierto Las ecuaciones paramétricas 4 by eliminating the parameters from the vector-valued function. 2 z 4xyProject 21. El plano y2 theThe 16 cilindro 28. El elipsoide surface represented by vector-valued function. CAS 26. 59. Open-Ended parametric equations x x 3 sen u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v 3 cos v and cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk 10. r u, vthe surface Identify sketch its graph. CAS 59. Open-Ended Project The parametric equations 0 u 2, 3 1xsen sin 52. Use a computer algebra system to graph three views of the 22. plano z cos 6s3u 2 2vd 24 2 coss3u 1 vdg z yu f7x22 27. Elx 5 cilindro x 3 sen u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v 29. The cos u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v y 3 18. s u, vpart uofc r u, v 2u cos vi 2u sen vj u k 11. graph ofun thesistema vector-valued function 3 f7sen u 7 2s23ucos 3u 2v 2 cos 3u v v computer In Exercises 11–16, aalgebraico algebra system graph the 22 Utilizar ythree representar 52. algebra systempor to computadora graph three views of the of the23. Ely 5 3 x1 y2 cos cono y cosx2u4x 9zz 2 2vd 2 2 coss3u 1 vdg 2 2 Use system to graphto views k algebra rUse u,52. va computer ui a computer vjuse 7.CAS x vu 3u ui u 02v vj uvk 28.1. El elipsoide 0 uy 2,9 1, 2 cos 2u sen surface by the vector-valued 3u yz0r u, 3sen 3u12v3uv 22vcos 3u gráficamente tres perspectivas devk, la gráfica graph the vector-valued function u27sen 2 cosv 3u v y cos 3 9 7cos24vcos r u,represented v ofgraph u cos vi vj 0 function. u de la ,función 0 v vecto1 of the vector-valued function 2 16y 24.2. Elz 5 cono zsen sinsx3u 2 2v d 1 2 sen sinsvj 3u 1 vd sen 1 30. s u, vpart uofc 19. The v 3u2u cos2vvvicos 2uuisen 43ucosuk vv sen uj sen vk u, v 2u cos vi 2u sen vj 2 4u2 k 8. rrial 12. zr u, sen z 29. The part of plane that inside thethecylinder u, v the 2u cosvivi u ,k0and 11. rfrom z sen 3u 2v 24sen where and surface u v3u lies,v represent u vcos u2u sen vk, 2 the 2 cylinder x2 1 r u, u10, cos vi sen vj vk,u10, 0 10,,u100 . ,v 0 v points 0, 0 sen , vj0,uvj0, 10 x y 25 25.3. El cilindro u, vyu2 below. j 2pyour vk 2 p2ui u20≤utopvcreate ≤ v own ≤ p,parametric yv 2 representan la superficie 0 u 3, 0r2donde 2 sen uk 0 ≤ u ≤ p, 0 ≤ v ≤ p 9. rrsu, xshown 9 ≤,2Try u, vvud 5 21, u cos cos0 ui vi 1v vj u sen sin surface using 2 vj 1 vk, 2 and where theparamétrisurface v , vrepresent 53. 0Investigation a 0computer system to .10, graph 4xlau 1figura. 16 and 26.4. El cilindro 3y u where the surface20. s u, v , represent points 10, , 30, 0, 10,vk 10 mostrada en Tratar de crear una superficie from thevUse points 0,cos 0 10 ,v algebra 0,, and 0,uj1010, ,5and 10, 10 .the r u, v ui v j vk 2 2 a computer algebra system. 4u u, v the 3 cos cos 0, ui 10, sen sen 10. rfrom 4 paraboloid z y that lies x parametric 30. The part of the insideusing the shown below. Try own surface torus u, v los 2puntos cos v cos cos0,v 10) sen uj sen 12. rdesde 2 to create (10,aui 0,computer 0),4(0, y (10, 10,vk 10). shown below. Trysistema to your create your ownpor parametric surface using cacilindro propia utilizando un algebraico computadora. z x 53.CAS Investigation Use algebra system to graph 2 2 53. Investigation Use a computer algebra system to the graph the27.5. El u, v x 2 algebra cos ui 2 cos v sen uj 2 sen vk y v cos 9system. cylinder 0 u 2, ar computer a computer algebra system. 0torus 2a , b0Utilizar 2 ui In 11–16, use algebra system graph the 53.Exercises Investigación un sistema algebraico portocomputadora r u, vu torus cos avv computer cos x2 ui y2 4 sen z2 uj vk r u, v 4 cos 6. 28. El elipsoide 1 surface represented by the vector-valued function. y representar gráficamente el toro In Exercises 21 9 4 1 cos sen sen vk r u, v r u,aav bb cos ui a vvbcos cosuj v cosb ui is the indicated 4 In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface saa 1 cos cos uivj1 b sen 29. The part of the plane z 4 that lies inside the cylinder cos vi vvd2u sen u k 11. r su, v d 5 2u bb cos a bsen cos b sen vk for each set of values ofujva sen andujb, vk where 0 u 2 and 2 2 by eliminating the parameters from the vector-valued function. x y 9 sen s2a 1. 0Use b costhe sin sin vk the effects of a and b sen 21. El plano z 00 uv 1, v vd results 2 uj 1 to bdescribe Identify the surface and sketch its graph. for each of values of a and where 2 2 forseteach set torus. of values of b, a and b, 0whereu 0 2 u and2 and30. y z x The part of the paraboloid that lies inside the on the shape of the 22. El plano x u, vvcada22conjunto cos v cosde uiresults 4 cosde v sen sen vk0 ≤ofu a≤and 12. r0para valores yujb, donde a to pbya and b cylinder x2 y2 9 describe the effects the to results describe the effects2of 0 v. Use2 the . Use v (b) auv shape bUtilizar 1 a 4, b 2 0on 0 v 2 los resultados para describir los efectos de 0(a)≤the ≤on4, 2the p.,of 23. El cono y the torus. r u, v ui vj k 7. shape of the torus. 2 a y b en la forma del toro. (c) (d) a 8, b 1 a 8, b 3 (a) a (a)4, a b 4,1 b 1(b) a (b)4, a b 4,2 b 2 24. El cono x 1 2u cos vi 2u sen vj 2 u2 k 8. r u, v a) b) aa 5 4,8, bb 5Consider 11 afunction 5 4,8, bin 5Exercise 23 54. (c) Investigation the 14. (d) a b 25. El cilindro (c) a 8, b 1 (d) a 8, b 3 2 cos ui vj 2 sen uk 9. r u, v aSketch 5 8, ab graph 5Consider 1 of thethe d)function afunction 5 8, where bin5 u3 isinheld (a)54. 54. c) Investigation Exercise 14.constant 26. El cilindro Investigation Consider the function Exercise 14. at 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk 10. r u, v u 1. Identify the graph. 54. (a) Investigación Considerar la función del ejercicio 14. u Sketch a graph of the function where is held constant at 27. El cilindro (a) Sketch a graph of the function where u is held constant CAS at60. Möbius Strip The surface shown in the figure is called a (b) Dibujar a graph of the constant at CAS In a) una gráfica de lafunction función dondevuisseheld mantenga consuSketch 1. uIdentify the graph. 11–16, to graph the 60.Exercises Banda de Möbius superficiealgebra mostrada en la figura se llama 1. Identify the graph.where Möbius strip anduse canaLa becomputer represented by the system parametric equations CAS 60. Möbius Strip Strip The surface shown shown in the in figure called v en 2 u 3.5Identify the graph. CAS 60. Möbius The surface the is figure is acalled a28. El elipsoide la gráfica. 1. Identificar represented byythe vector-valued function. banda de Möbius puede representarse mediante las ecuacio(b) tante Sketch a graph the function where vwhere is held constant at v is (b) Sketch aof graph of the function held constant atsurface MöbiusMöbius strip and canand be represented by the vparametric equations v v strip can be represented by the parametric (c) Dibujar that represented themantenga vector-valued b) gráfica de función dondeby v se consxnes paramétricas a u cos cos v, y a 4u cos sen v, z u senequations vAssume 2 vuna 3. Identify thelais graph. 2 a surface 3. Identify the graph. 29. The part o r u, v 2u cos vi 2u sen vj u k 11. 2 2 2 r 2pry3. u, vIdentificar . What generalization function can you make v v v en vthat la gráfica. 5 v y (c) tante Assume a surface is represented by the vector-valued x0 ua x u1,cos v, a y u cos v,v zsen v, u sen x2 y2 9 vu cos vusen vu senv (c) the Assume that a surface is ifrepresented by the vector-valued a cos cos v, a cos z 0 v 2 about graph of the function one of the parameters is x 5 a 11 u cos cos02v, yv5 2a 1 u cosa2 sen sin sin2 sen where Tryz 5 to ugraph u 2 1, , and 3. 2v, 2 c) Suponer que está representada poryou lacan función r una r u,rsuperficie v . rWhat functionfunction generalization can make u, v . What generalization you make 2 2 2 30. The part of held constant? r u, vMöbius 2 cosstrips v cosfor ui different 4 cos vvalues sen uj of asen vk a computer 12. other using vectorial generalización separameters hacer rgraph 5 the rsu,of vdthe . ¿Qué about the function if one of is about graph of the function if the one ofpuede the parameters is where to Try graph 1 ≤ uu 1≤ 1, 0 ≤ 1, v ≤0 22p,v,yand a3. 3. aTry where and to graph u 2 , 3. cylinder x2 donde Trate de representar 21 1, 0 v a 5 algebra system. 55. Surface Area The surface of the dome new museum is acerca de la gráfica de la función si unoon dealos parámetros se held constant? 0 uMöbius 2 Möbius , strips 0 for v different 2for different held constant? other values of using a computer a other strips values of using a computer a gráficamente otra banda dez Möbius para diferentes valores de a given by mantiene algebra system. 55. Surface Areaconstante? The surface of the dome a new is algebra system.algebraico por computadora. 55. Surface Area The surface of theon dome on museum a new museum is utilizando un sistema 55. given Área de la superficie La superficie de la cúpula de un museo by z r u, v given 20 sen by u cos vi 20 sen u sen vj 20 cos uk z 2 está dada por rwhere u, v 0r u,20vusen u20cos vjruissen 20vj cos uk senvi sen 20Find cos uk and in meters. the 3, 0 u cos v20visen 2 u20 , sen 2 2 −3 rsurface su, vd 5area 20 sen sin u cos vi 1 20 sen sin u sen sin vj 1 20 cos uk of the dome. where 0where in meters. Find the u 0 u3, 0 3, v 0 2 v, and2r is , and r is in meters. Find the −3 −3 56. surface Find a 0surface vector-valued donde , function y rhyperboloid está en metros. Hallar el ≤ uof≤area py3 0the ≤ dome. v ≤for 2pthe −4 area the dome. of −1 área de la superficie de la cúpula. 1 2 2 2 56. Find a vector-valued function for the hyperboloid 2 x 1 x 56.y Findz a vector-valued −4 function for the hyperboloid −4 4 −1 56. Hallar una función vectorial para el hiperboloide −1 1 2 2 2 1 2 x 2 2 2 y x z y the 1 ztangent xand determine 2 3 1 plane at 1, 0, 0 . 4x 4 x2 1 y2 2 z2 5 1 −2 3 1, 0,at0 .1, 0, 0 . and determine the tangent plane atplane and determine the tangent y3 y determinar el plano tangente en s1, 0, 0d. −2 −2 4

CAS CAS

13. −2

1

2

1

2

y

y

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CAPÍTULO 15

15.6

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Análisis vectorial

Integrales de superficie n n n n

Evaluar una integral de superficie como una integral doble. Evaluar integrales de superficie sobre superficies paramétricas. Determinar la orientación de una superficie. Comprender el concepto de integral de flujo.

Integrales de superficie El resto de este capítulo se ocupa principalmente de integrales de superficie. Primero se considerarán superficies dadas por z 5 gsx, yd. Más adelante, en esta sección, se considerarán superficies más generales dadas en forma paramétrica. Sea S una superficie dada por z 5 gsx, yd y sea R su proyección sobre el plano xy, como se muestra en la figura 15.44. Supóngase que g, gx y gy son continuas en todos los puntos de R y que ƒ está definida en S. Empleando el procedimiento usado para hallar el área de una superficie en la sección 14.5, se evalúa ƒ en (xi, yi, zi) y se forma la suma

z

S: z = g(x, y)

n

(xi , yi, zi)

o f sx , y , z d DS i

i

i

i

i51

x

(xi, yi)

R

La función escalar f asigna un número a cada punto de S Figura 15.44

y

donde DSi < !1 1 f gxsxi , yi dg 2 1 f gysxi , yi dg 2 DAi. Siempre que el límite de la suma anterior cuando iDi tiende a 0 exista, la integral de superficie de ƒ sobre S se define como

EE

f sx, y, zd dS 5 lím lim

n

o f sx , y , z d DS .

i Di→0 i51

S

i

i

i

i

Esta integral se puede evaluar mediante una integral doble. TEOREMA 15.10 EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE Sea S una superficie cuya ecuación es z 5 gsx, yd y sea R su proyección sobre el plano xy. Si g, gx y gy son continuas en R y ƒ es continua en S, entonces la integral de superficie de ƒ sobre S es

EE

f sx, y, zd dS 5

S

EE

f sx, y, gsx, ydd!1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2 dA.

R

Para superficies descritas por funciones de x y z (o de y y z), al teorema 15.10 se le pueden hacer los ajustes siguientes. Si S es la gráfica de y 5 gsx, zd y R es su proyección sobre el plano xz, entonces,

EE

f sx, y, zd dS 5

S

EE

f sx, gsx, zd, zd!1 1 f gxsx, zdg 2 1 f gzsx, zdg 2 dA.

R

Si S es la gráfica de x 5 gs y, zd y R es su proyección sobre el plano yz, entonces

EE S

f sx, y, zd dS 5

EE

f sgs y, zd, y, zd!1 1 f gys y, zdg 2 1 f gzs y, zdg 2 dA.

R

Si f sx, y, zd 5 1, la integral de superficie sobre S da el área de la superficie de S. Por ejemplo, supóngase que la superficie S es el plano dado por z 5 x, donde 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1. El área de la superficie de S es !2 unidades cuadradas. Trátese de verificar que eSe f sx, y, zd dS 5 !2.

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SECCIÓN 15.6

EJEMPLO 1

Integrales de superficie

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Evaluación de una integral de superficie

Evaluar la integral de superficie

EE

s y 2 1 2yzd dS

S

donde S es la porción del plano 2x 1 y 1 2z 5 6.que se encuentra en el primer octante. Solución

Para empezar se escribe S como 1 z 5 s6 2 2x 2 yd 2

1 gsx, yd 5 s6 2 2x 2 yd. 2 Usando las derivadas parciales gxsx, yd 5 21 y gysx, yd 5 2 2, se puede escribir 1

!1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2 5

!1 1 1 1 41 5 23 .

Utilizando la figura 15.45 y el teorema 15.10, se obtiene

EE

s y 2 1 2yzd dS 5

S

y 2 1 2y

R

z = 12 (6 − 2x − y)

(0, 0, 3)

f sx, y, gsx, ydd!1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2 dA

R

5

z

EE EE 3 EE E

2s32xd

3

53

1122s6 2 2x 2 yd41322 dA

ys3 2 xd dy dx

0 0 3 0

(0, 6, 0) x

s3 2 xd3 dx

56

S

4

3 5 2 s3 2 xd4 2

y

(3, 0, 0) y = 2(3 − x)

5

Figura 15.45

3 0

243 . 2

Una solución alternativa para el ejemplo 1 sería proyectar S sobre el plano yz, como se muestra en la figura 15.46. Entonces, x 5 12s6 2 y 2 2zd, y !1 1 f gysy, zdg 2 1 f gzsy, zdg 2 5

!1 1 41 1 1 5 23 .

Por tanto, la integral de superficie es

EE

z

(0, 0, 3) z=

s y 2 1 2yzd dS 5

S

6−y 2

EE EE E R 6

5

0

S (0, 6, 0) x

y

(3, 0, 0) x=

Figura 15.46

5

1 2

(6 − y − 2z)

5

3 8

f s gs y, zd, y, zd!1 1 f gys y, zdg 2 1 f gzs y, zdg 2 dA

s62ydy2

s y 2 1 2yzd

0 6

1322 dz dy

s36y 2 y 3d dy

0

243 . 2

Trátese de resolver el ejemplo 1 proyectando S sobre el plano xz.

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

En el ejemplo 1 se podría haber proyectado la superficie S en cualquiera de los tres planos de coordenadas. En el ejemplo 2, S es una porción de un cilindro centrado en el eje x, y puede ser proyectado en el plano xz o en el plano xy. EJEMPLO 2


z 3

Evaluar la integral de superficie

R: 0 ≤ x ≤ 4 0≤y≤3

EE

sx 1 zd dS

S

donde S es la porción del cilindro y 2 1 z 2 5 9 que se encuentra en el primer octante, entre x 5 0 y x 5 4, como se muestra en la figura 15.47. 3

2

1 3

4 x

S: y 2 + z 2 = 9

Figura 15.47

y

Se proyecta S sobre el plano xy, de manera que z 5 gsx, yd 5 !9 2 y 2, y se

Solución obtiene

!1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2 5

5

!1 1 1 3

2y !9 2 y 2

2

2

.

!9 2 y 2

El teorema 15.10 no se puede aplicar directamente porque gy no es continua en y 5 3. Sin embargo, se puede aplicar el teorema para 0 ≤ b < 3 y después tomar el límite cuando b se aproxima a 3, como sigue.

EE

EE s EE 1 E E1 b

sx 1 zd dS 5 lím lim2 b→3

S

4

0

0

b

5 lím lim2 3 b→3

0

b→3

4

0

b

5 lím lim2 3

x 1 !9 2 y 2 d

0

x !9 2 y 2

b→3

8

0

y 3

1

b 3

5 36 1 24

dy

0

2

3

5 lím lim2 3 4b 1 8 arcsen arcsin b→3

4

1 4 dy

5 lím lim2 3 4y 1 8 arcsen arcsin b→3

2

4

!9 2 y 2

dx dy

1 1 dx dy

x2 1x 2!9 2 y 2

b

5 lím lim2 3

3 !9 2 y 2

b

4

0

2

1p2 2

5 36 1 12p

Algunos sistemas algebraicos por computadora evalúan integrales impropias. Si se tiene acceso a uno de estos programas, utilícese para evaluar la integral impropia

TECNOLOGÍA

EE s 3

0

4

0

x 1 !9 2 y 2 d

3 !9 2 y 2

dx dy.

¿Se obtiene el mismo resultado que en el ejemplo 2?

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SECCIÓN 15.6


1115

Se ha visto que si la función ƒ definida sobre la superficie S es simplemente f sx, y, zd 5 1, la integral de superficie da el área de la superficie S. Area of surface 5 Área de la superficie

EE

1 dS

S

Por otro lado, si S es una lámina de densidad variable y rsx, y, zd es la densidad en el punto sx, y, zd, entonces la masa de la lámina está dada por

EE

Masa de of la lamina lámina 5 Mass

rsx, y, zd dS.

S

Hallar la masa de una lámina bidimensional

EJEMPLO 3 z

Una lámina bidimensional S en forma de cono está dada por

Cono: z=4−2

x2 + y2

4

z 5 4 2 2!x 2 1 y 2,

0 ≤ z ≤ 4

como se muestra en la figura 15.48. En todo punto de S, la densidad es proporcional a la distancia entre el punto y el eje z. Hallar la masa m de la lámina. 3

Solución

Al proyectar S sobre el plano xy se obtiene

S: z 5 4 2 2!x2 1 y2 5 gsx, yd,

2

0 ≤ z ≤ 4

R: x 2 1 y 2 ≤ 4 1

con densidad rsx, y, zd 5 k!x 2 1 y 2. Usando una integral de superficie, se halla que es

EE EE EE EE E Es E E

rsx, y, zd dS

m5

1

1

2

S

2

x

R: x2 + y2 = 4

Figura 15.48

y

k!x 2 1 y 2!1 1 fgxsx, ydg 2 1 fgysx, ydg 2 dA

5

R

5k

!1 1 x 4x1 y

!x 2 1 y 2

R

5k 5k

2

d

!5r r dr du

0 2p

!5k

3

4

0

2p

2

Coordenadas polares.

du

du

0

2p

34

8!5k u 3

5

4y 2 dA x 1 y2

1

2

r3

0

8!5k 3

5

2

!5!x 2 1 y 2 dA

R 2p 0

5

2

2

0

5

16!5kp . 3

TECNOLOGÍA Utilizar un sistema algebraico por computadora y confirmar el resultado del ejemplo 3. El sistema algebraico por computadora Maple calculó la integral así:

EE 2

!42y 2

k

22 2!42y 2

E Es

!5!x 2 1 y 2 dx dy 5 k

2p

0

2

0

d

!5r r dr du 5

16!5kp 3

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Superficies paramétricas e integrales de superficie Se puede mostrar que para una superficie S dada por la función vectorial rsu, vd 5 xsu, vd i 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk


definida sobre una región D en el plano uv, la integral de superficie de f sx, y, zd sobre S está dada por

EE

EE

f sx, y, zd dS 5

S

f sxsu, vd, ysu, vd, zsu, vdd irusu, vd 3 rvsu, vd i dA.

D

Obsérvese la analogía con una integral de línea sobre una curva C en el espacio.

E

f sxstd, ystd, zstdd ir9 std i dt

Integral de línea.

a

C

Véase que ds y dS pueden escribirse como ds 5 i r9 std i dt y dS 5 i rusu, vd 3 rvsu, vd i dA. n

NOTA

EJEMPLO 4 z

E

b

f sx, y, zd ds 5


En el ejemplo 2 se mostró una evaluación de la integral de superficie

EE

3

sx 1 zd dS

S

donde S es la porción, en el primer octante, del cilindro y 2 1 z 2 5 9 entre x 5 0 y x 5 4 (ver la figura 15.49). Evaluar esta misma integral, ahora en forma paramétrica. 1 2 3

3

y

4 x Generada con Mathematica

Solución

En forma paramétrica, la superficie está dada por

rsx, ud 5 xi 1 3 cos u j 1 3 sen sin u k donde 0 ≤ x ≤ 4 y 0 ≤ u ≤ py2. Para evaluar la integral de superficie en forma paramétrica, se empieza por calcular lo siguiente.

Figura 15.49

rx 5 i

|

ru 5 23 sen sin u j 1 3 cos u k i j k rx 3 ru 5 1 0 0 0 23 sen sin u 3 cos u irx 3 ru i 5 !9

cos 2

|

5 23 cos u j 2 3 sen sin u k

u 1 9 sen u 5 3 sin 2

Por tanto, la integral de superficie puede ser evaluada como sigue.

EE

EE E3 E1 4

sx 1 3 sen sin ud3 dA 5

D

py2

s3x 1 9 sen sin ud du dx

0 0 4

5

0 4

5

0

5

3

3xu 2 9 cos u 3p x 1 9 dx 2

2

3p 2 x 1 9x 4

5 12p 1 36

4

4 0

py2

4

dx 0

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SECCIÓN 15.6


1117

Orientación de una superficie Para inducir una orientación en una superficie S en el espacio se utilizan vectores unitarios normales. Se dice que una superficie es orientable si en todo punto de S que no sea un punto frontera puede definirse un vector unitario normal N de manera tal que los vectores normales varíen continuamente sobre la superficie S. Si esto es posible, S es una superficie orientada. Una superficie orientable S tiene dos caras. Así, cuando se orienta una superficie, se elige uno de los dos vectores unitarios normales posibles. Si S es una superficie cerrada, como por ejemplo una esfera, se acostumbra escoger como vector unitario normal N, el que apunta hacia fuera de la esfera. Las superficies más comunes, como esferas, paraboloides, elipses y planos, son orientables. (Ver en el ejercicio 43 un ejemplo de una superficie que no es orientable.) En una superficie orientable, el vector gradiente proporciona una manera adecuada de hallar un vector unitario normal. Es decir, en una superficie orientable S dada por z 5 gsx, yd

Superficie orientable.

se hace Gsx, y, zd 5 z 2 gsx, yd. Entonces, S puede orientarse, ya sea por el vector unitario normal N5 5

S: z = g(x, y) N = ∇G ∇G

z

5

S

y

Unitario normal hacia arriba.

2=Gsx, y, zd i=Gsx, y, zd i gxsx, ydi 1 gysx, ydj 2 k !1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2

r su, vd 5 xsu, vd i 1 ysu, vd j 1 zsu, vd k

S está orientada hacia arriba

Unitario normal hacia abajo.

como se muestra en la figura 15.50. Si la superficie suave orientable S está dada en forma paramétrica por

Dirección hacia arriba


los vectores unitarios normales están dados por

S: z = g(x, y) z

!1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2

o por el vector unitario normal N5

x

=Gsx, y, zd i=Gsx, y, zd i 2gxsx, ydi 2 gysx, ydj 1 k

N5

ru 3 rv iru 3 rv i

N5

rv 3 ru . irv 3 ru i

y

N = − ∇G ∇G

S

NOTA Supóngase que la superficie orientable está dada por y 5 gsx, zd o x 5 gs y, zd. Entonces se puede usar el vector gradiente

=Gsx, y, zd 5 2gxsx, zdi 1 j 2 gzsx, zdk

Gsx, y, zd 5 y 2 gsx, zd.

=Gsx, y, zd 5 i 2 gys y, zdj 2 gzs y, zdk

Gsx, y, zd 5 x 2 gs y, zd.

y

o x

Dirección hacia abajo

S está orientada hacia abajo Figura 15.50

para orientar la superficie.

n

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Integrales de flujo Una de las aplicaciones principales que emplean la forma vectorial de una integral de superficie se refiere al flujo de un fluido a través de una superficie S. Supóngase que una superficie orientada S se sumerge en un fluido que tiene un campo de velocidad continua F. Sea DS el área de una pequeña porción de la superficie S sobre la cual F es casi constante. Entonces la cantidad de fluido que atraviesa esta región por unidad de tiempo se aproxima mediante el volumen de la columna de altura F ? N, que se muestra en la figura 15.51. Es decir,

z

N

F

F·N ∆S

y x

El campo de velocidad F indica la dirección de flujo del fluido

DV 5 (altura)(área de la base) 5 (F · N)DS. Por consiguiente, el volumen del fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo (llamada el flujo de F a través de S) está dado por la integral de superficie de la definición siguiente.

Figura 15.51

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE FLUJO Sea Fsx, y, zd 5 M i 1 Nj 1 Pk, donde M, N, y P tienen primeras derivadas parciales continuas sobre la superficie S orientada mediante un vector unitario normal N. La integral de flujo de F a través de S está dada por

EE

F

S

? N dS.

Geométricamente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre S de la componente normal de F. Si rsx, y, zd es la densidad del fluido en sx, y, zd, la integral de flujo

EE S

r F ? N dS

representa la masa del fluido que fluye a través de S por unidad de tiempo. Para evaluar una integral de flujo de una superficie dada por z 5 gsx, yd, se hace Gsx, y, zd 5 z 2 gsx, yd. Entonces, N dS puede escribirse como sigue. N dS 5 5

=Gsx, y, zd dS i=Gsx, y, zd i =Gsx, y, zd !s gxd 2 1 s gyd2 1 1

!s gx d 2 1 s gyd2 1 1 dA

5 =Gsx, y, zd dA

TEOREMA 15.11 EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE FLUJO Sea S una superficie orientada dada por z 5 gsx, yd y sea R su proyección sobre el plano xy.

EE EE

F

S

S

F

? N dS 5 ? N dS 5

EE EE

F

? f2gxsx, ydi 2 gysx, ydj 1 kg dA

Orientada hacia arriba.

F

? f gxsx, ydi 1 gysx, ydj 2 kg dA

Orientada hacia abajo.

R

R

En la primera integral, la superficie está orientada hacia arriba, y en la segunda integral, la superficie está orientada hacia abajo.

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SECCIÓN 15.6

EJEMPLO 5


1119

Usar una integral de flujo para hallar la tasa o ritmo del flujo de masa

z

Sea S la porción del paraboloide 8

z 5 gsx, yd 5 4 2 x 2 2 y 2 que se encuentra sobre el plano xy, orientado por medio de un vector unitario normal dirigido hacia arriba, como se muestra en la figura 15.52. Un fluido de densidad constante r fluye a través de la superficie S de acuerdo con el campo vectorial

6

Fsx, y, zd 5 xi 1 yj 1 zk. Hallar la tasa o ritmo de flujo de masa a través de S. Solución

−4

4 x

Figura 15.52

4

Se empieza por calcular las derivadas parciales de g.

gxsx, yd 5 22x

y

y gysx, yd 5 22y La tasa o el ritmo de flujo de masa a través de la superficie S es

EE S

r F ? N dS 5 r 5r

EE ? EE EE EE EE E F

fxi 1 yj 1 s4 2 x 2 2 y 2d kg ? s2xi 1 2yj 1 kd dA

R

5r

f2gxsx, ydi 2 gysx, ydj 1 kg dA

R

f2x 2 1 2y 2 1 s4 2 x 2 2 y 2dg dA

R

5r 5r 5r

s4 1 x 2 1 y 2d dA

R 2p

2

s4 1 r 2dr dr du

Coordenadas polares.

0 0 2p

12 du

0

5 24pr. Para una superficie orientada S dada por la función vectorial rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk


definida sobre una región D del plano uv, se puede definir la integral de flujo de F a través de S como

EE S

F

? N dS 5 5

EE EE

F

D

D

? 1 iru 3 rv i 2 iru 3 rv i dA r 3r u

F

v

? sru 3 rvd dA.

Nótese la semejanza de esta integral con la integral de línea

E

C

F

? dr 5

E

C

F

? T ds.

En la página 1121 se presenta un resumen de las fórmulas para integrales de línea y de superficie.

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Hallar el flujo de un campo cuadrático inverso

EJEMPLO 6

Hallar el flujo sobre la esfera S dada por

S: x 2 + y 2 + z 2 = a2

x2 1 y 2 1 z2 5 a2

z

N

Esfera S.

donde F es un campo cuadrático inverso dado por a

Fsx, y, zd 5

N

N

Campo cuadrático inverso F.

y r 5 xi 1 yj 1 zk. Supóngase que S está orientada hacia afuera, como se muestra en la figura 15.53.

a x

kq r kqr 5 2 ir i ir i ir i 3

a

N

y

Solución

La esfera está dada por

r su, vd 5 xsu, vd i 1 ysu, vd j 1 zsu, vd k R: x 2 + y 2 ≤ a 2

Figura 15.53

5 a sen sin u cos vi 1 a sen sin u sen sin vj 1 a cos uk donde 0 ≤ u ≤ p y 0 ≤ v ≤ 2p. Las derivadas parciales de r son rusu, vd 5 a cos u cos v i 1 a cos u sen sin vj 2 a sen sin uk y rvsu, vd 5 2a sen sin u sen sin vi 1 a sen sin u cos vj lo cual implica que el vector normal ru 3 rv es

|

i ru 3 rv 5 a cos u cos v 2a sen sin u sen sin v 5

s

a2

sen sin 22 u

j a cos u sen sin v a sen sin u cos v

cos vi 1 sen

sin 22 u

k 2a sen sin u 0

|

sin vj 1 sen sin u cos ukd. sen

Ahora, usando Fsx, y, zd 5

kqr ir i3

5 kq 5

xi 1 yj 1 zk ixi 1 yj 1 zki3

kq sa sen sin u cos vi 1 a sen sin u sen sin vj 1 a cos ukd a3

se sigue que F

kq

sin u cos vi 1 a sen sin u sen sin vj 1 a cos ukd ? ? sru 3 rvd 5 a 3 fsa sen a2ssen sin22 u cos vi 1 sen sin2 u sen sin vj 1 sen sin u cos ukdg 5 kqssen sin33 u cos2 v 1 sen sin33 u sen sin22 v 1 sen sin u cos2 ud 5 kq sen sin u.

Por último, el flujo sobre la esfera S está dado por

EE S

F

? N dS 5 5

EE EE

skq sen sin ud dA

D 2p 0

p

0

5 4p kq.

kq sen sin u du dv

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SECCIÓN 15.6


1121

El resultado del ejemplo 6 muestra que el flujo a través de una esfera S en un campo cuadrático inverso es independiente del radio de S. En particular, si E es un campo eléctrico, el resultado obtenido en el ejemplo 6, junto con la ley de Coulomb, proporciona una de las leyes básicas de electrostática, conocida como la ley de Gauss:

EE S

E

? N dS 5 4p kq

Ley de Gauss.

donde q es un carga puntual localizada en el centro de la esfera y k es la constante de Coulomb. La ley de Gauss es válida para superficies cerradas más generales que contengan el origen, y relaciona el flujo que sale de la superficie con la carga total q dentro de la superficie. Esta sección concluye con un resumen de fórmulas de integrales de línea y de integrales de superficie.

Resumen de integrales de línea y de superficie Line Integrals Integrales de línea

ds 5 ir9 std i dt 5 !fx9 stdg 2 1 f y9stdg 2 1 fz9stdg 2 dt

E E

E

b

f sx, y, zd ds 5

C

F

C

? dr 5 5

E E

C b

a

f sxstd, ystd, zstdd ds

Forma escalar.

a

F

? T ds

Fsxstd, ystd, zstdd ? r9std dt

Forma vectorial.

Integrales de superficie Surface Integrals fz 5 g[zsx,5yg(x, dg y)]

dS 5 !1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2 dA

EE EE

EE EE ?

f sx, y, zd dS 5

S

f sx, y, gsx, ydd!1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2 dA

Forma escalar.

R

F

S

? N dS 5

F

f2gxsx, yd i 2 gysx, yd j 1 kg dA

R

Forma form vectorial (normal Vector (upward normal) hacia arriba).

Integrales de superficie (forma form paramétrica) Surface Integrals s parametric d

dS 5 irusu, vd 3 rvsu, vd i dA

EE EE S

EE EE ?

f sx, y, zd dS 5

S

f sxsu, vd, ysu, vd, zsu, vdd dS

Forma escalar.

D

F

? N dS 5

F

D

sru 3 rvd dA

Forma vectorial.

1053714_1506.qxp 1053714_1506.qxp 10/27/08 10/27/08 1:47 1:47 PM PM Page Page 1122 1122 Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1122 1053714_1506.qxp

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1:47 PM

Page 1122

1122 1122

Chapter Chapter 15 15

Vector Vector Analysis Analysis

1122

Chapter 15

Vector Analysis

1122 Chapter 15 Vector Analysis 1122 CAPÍTULO Análisis vectorial 1122 Chapter 15 Vector Analysis 1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1122 1122 Chapter 15 15 Vector Analysis

15.6 15.6 15.6 15.6 15.6 15.6

Exercises Exercises Exercises Exercises Exercises Ejercicios Exercises

See www.CalcChat.com for worked-out solutions totoodd-numbered exercises. Seewww.CalcChat.com www.CalcChat.comfor forworked-out worked-outsolutions solutionsto odd-numberedexercises. exercises. See odd-numbered See See www.CalcChat.com www.CalcChat.com for for worked-out worked-out solutions solutions toto odd-numbered odd-numbered exercises. exercises.

EE


EE

In Exercises 1– 4, evaluate 2y 1 z dS. dS. In Exercises 17–22, evaluate x, y,y,zzz dS. dS. InExercises Exercises 1–4, 4,1evaluate evaluate 2y dS. In Exercises 17–22, x,y, dS. In 1– xxxx xx2y In Exercises 17–22, ffff x, En los ejercicios 17evaluate aevaluate 22, evaluar 211112yzzzz1 zc dS. fy,xx, y, zc dS. En los ejercicios a 4, evaluar In Exercises 1– 4, evaluate 2y dS. In Exercises 17–22, evaluate x, y, zz dS. SS SS x 2y dS. f x, dS. In Exercises 1– 4, evaluate In Exercises 17–22, evaluate S S 1122 Chapter 15 Vector S SS SS SAnalysis S: x,x,evaluate 4, x,x,y, y,y,zzz 17–22, xx2222 yyy22222 zzz22222 1. 17. S: zzz 4441– 4,x, 4, x 000 2yyyy1 z333dS. 1.Exercises 17. In1. In fffffx, 17. S: 0000 xxxx 4, 17.Exercises sx, x, y, S: zz 44 x, 4, 00 yy 33 y, zzzd 5xxxx22 1evaluate 1. yy 2 1 2zzz 2 S f x, y, z dS. S: x, 0 x 4, f x, y, 1. 17. 22y S 2 S: z 15 2x 3y, 0 x 2, 0 y 4 x S: z x y, 2. 2 S: z 15 2x 3y, 0 x 2, 0 y 4 x S: z x y, 2. z 15 2x 3y, 00 xx 2,2, 00 yy 44 S: zz xx y,y, xx 22 yyyy222 1111 2.2. S: S: S: S:zzzz 42,15 15 xx,222x 2x0 y 223y, 3y, 0 0x y2, 30 y 4 S: z z x xxy y2 1 2y, yx2 2.S: x 4, f x, y, 1. 17. z S: 1 3. See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. S: zz 2,2, xx22 yy22 11 xy S: xy 3.3. xy 18. f x, y, z 2 2 x S: z 2, y 1 xy 18. f x, y, z 3. 222, x y 1 1, x 0 2,y 0 x y 4 xy 2 y 2 1 18. f fx, z 3.S:S:zz z 15 18. S: sx, y, zy,y, 2. 4. S: zz 2332x2xx33332222,,,2x 000 3y,xxx 0 1, 4. S: 1, 00 yy xx x, y, zzzxd 5 y, zzzzz x 18. ff x, S: 4. 3 x 3 2, S: 4. z 0 x 1, 0 y x z2 2 2 2 3 S: x , z 0 x 1, 0 y x 2 S: 16 S: zz 5xxxx222 1 16 xyyy222,,,, 4444 ≤ xxxx2222 1yyyy2222 ≤ 16 3.4.S: z 2,3 x 2 y 2 1 S: zzy, S: 16 2 yy 2 2 2 2 16 18. f x, z S: z x y , 4 x y 16 22evaluate 22 22 2 1– In Exercises 4, evaluate x 2y 1 z dS. In Exercises 17–22, f x, y, z dS. 3 2 z 19. y z f x, y, z x xy dS. 5 and 6, evaluate 19. x,x,y,y,y,zzzd 5 !xxx222 1yyy222 1zz2z22 xydS. dS. x In Exercises and evaluate S: ejercicios , 5 y6,6, 4.Exercises z 3 x55and 06,evaluate x 1, 0 xy ydS. 19. ffffx, In 19. s xy En los evaluar S2 S 2 2 y z x, y, z x In Exercises 5 and 6, evaluate S f x, y, z 2 22 2x 22 y 22 2 z 22 2 19.S: In Exercises 5 and 6, evaluate SSS xy dS. S: S: zzzzz 5x!xxxx2222y1,yyyy222,,4,,2 xxxx222x21yyyy222y ≤ 4444 16 SS x octant 4,octante 0 y 3 fS: x, y, 1. 17. S: S: z zzz xx2 xx222 yy2,yy222xz2 zz222y 2 4 5. first S: xx, y,y, 5.Exercises first octant S: zzz 33435 and x 6,0y, primer 19. f xy dS. In5. evaluate 20. f x,x,y, y, 5. first octant S: x 20. ffx, y,y,zzzd 5 ! 5. first octant S: zz 33 xx y, 20. fS: x, y, xx222 yyyy2222y 1 zz222 20. s x, S: y, 5. first octant 2 f x, y, z S S: z 15 2x 3y, 0 x 2, 0 y 4 z x 2. 2 f x, y, z xx222y, xxxyy2x222,21 yxx2 2 zzzy122122 4y 22 1 h, 2, 6. 20.S: S: zzz5 h, h, 0000 ≤ xxxx ≤ 2, 2, 0000 ≤ yyyy≤ !44442 xxxx222 6. S: 6. z S: z , S: h, 2, 6. 2 2 S: z x y , x 2 z h, 0 x 2, 00 yy 44 xx 2 6. S: S: zz 5 !xxxy yy 22,2, sxx 2111d2222 1yyy2222 ≤ 111 2 S: S:S:zz z 32,h, x02 y,yx2first2,1octant 3.6.S: 5. S: z zz xx2221 y 1 2 y 2,2 2 x 22 2 1 20. f x, y, x 21. 18. f x, y, 21. x,x,y,y,y,zzzd 5xxx222 1yyyy22y2 1zzz2z2z2 CAS In Exercises 773and and 8, use aacomputer computer algebra system to evaluate los ejercicios utilizar un sistema algebraico por compuCAS En InExercises Exercises and 8,8,use use computer algebra system toevaluate evaluate 27 21. ffffx, 2,7 y8, 21. s CAS In a algebra system to z 2 2 2 2 x, y, z x y z S: x 4. z 0 x 1, 0 y x CAS In S: zy evaluar h, 0and 8, x use 0 y algebra 4 xsystem 6. f x, z x222 x 9,y 2,y0 x xz 1 23, y02 y1 3, 0 z 9 21.S: 3 77 and CAS tadora In Exercises Exercises 8, use2,aa computer computer algebra system to toevaluate evaluate zxx222y, S: S: x 3, 3,2 000 ≤ yyy ≤ 3, 3, 000 ≤ zz ≤ 99 29, 00 S: xzx 222 1xyy2yy2222 5y9, S: S: ,9, 2400 ≤ xx2xx2 ≤ 3, y3, 016 yy 3, 3, S: x y xx222 9, 3, 00 zz 99 22 22 xy dS. xy dS. 21. f x, y, z y z 22. f x, y, z y z CAS In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate 22. x,x,y,y,y,zzzd 5xxx222 21yyy222 21zz2z22 2 xy dS. 22. fffffx, xy dS. 22. s SS Exercises 19. y x, y, z xy dS. In 5 and 6, evaluate 2x 2 2z x, y, z x y z xy dS. xy dS. f x, z y 222 x 9, y00 xxz 3, S 22.S: xxx2222y, S: 9, xx 0 z 9 S S: 9, 0 x 3, 3, 00000 ≤ yzzzz ≤ x3, SSS S: xzx 222 1yyyy2x2222 59, 22, S: 9, 3, S: y 2,2000x≤2 x2xx ≤y 23, z 9 x 0 x 2, 0 y x S: 7. 2 z 9 x 0 x 2, 0 y x S: , 7. S: y 9, x 3, 4 0 zz xxx 2 xy dS. z 9 x 0 x 2, 0 y x S: , 7. 2 22. f x, y, z x y z 2 2 S: 7. 5. 2 x≤ 2,02, 2, 000≤ y yy≤ x xx S:zzz5 93199xy, 2 xxx, ,, y,000first ≤ xxoctant 7.S: S7. In Exercises 23 –28, find the flux of FF through S, 20. f x, y, z 23 x 2 find y 2the InExercises Exercises 23 –28, find thezflux flux ofF throughS, S, S: 8. S: zzz 112121xy, xy, 00 xx 4, 4, 00 yyy 444 8. S: In of 2 2 –28, 8. 2 In Exercises 23 –28, find the flux offlujo through S, S: y 9, x 0 x 3, 0F2Fthrough zde Fxa través 2h,1xy,0 00 x xx 2, 4, S: z 4, 0 y 4 8. En los ejercicios 23 a 28, hallar de S, S, S: z 0 y 4 x 6. In Exercises 23 –28, find the flux through 2 2 2 el of 2xy, S: xy, z 0 x 4, 0 y 4 5 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 8. 2 8. 2 2 S: z x y , x 1 y 1 7. S: z 9 x , 0 x 2, 0 y x In Exercises 9 and 10, use a computer algebra system to evaluate CAS InExercises Exercises1 99and and10, 10,use useaacomputer computeralgebra algebrasystem systemto toevaluate evaluate CAS In FFx, y, N dS NzdS dS23 –28, CAS In Exercises 21. fF x 2 find y 2 the z 2 flux of F through S, In Exercises and 10, algebra system to evaluate S: z 2 xy, xuse 0 sistema y algebra 4 algebraico 8. CAS CAS In 799and use a a4, computer system to los ejercicios 9 0y8, 10, utilizar un compuFF ?NN N dS CAS En S InExercises Exercises and 10, use acomputer computer algebra systempor toevaluate evaluate F N dS dS SS SS S: x 2 tadora S y 2 9, 0 x 3, 0 y 3, 0 z 9 22y evaluar 2xy dS. 2xy dS.10, use a computer algebra system to evaluate where N isisdS the upward unit normal vector to S. 9 and where NNis theupward upward unit2normal normalvector vectorto toS. S. CAS In Exercises xxxx22dS. 2xy dS. F where N the 2 2xy dS. 2 2 unit SS xy where unit to x 2xy dS. 22. f x,N y,is z the xupward yunitario z normal donde es el normalvector a S dirigido S. hacia arriba. S N is thevector upward unit normal vector to S. Swhere N SSS xx 2 2 2xyc dS. 23. F x,x,xy, zz y 2 3z 3z ii 4j 4j yk 22 22 23. F y, 3z 4j yk 2y, z 10 x 0 x 2, 0 y 2 S: y , 9. 23. F x, z i yk 2 S: 9, 0 x 3, 0 z x 2 2 10 dS. S: 9. S: S x zzz 2xy 23. FFsN x, y, 3z 4j yk xx 2 yy 2,, 00 xx 2,2, y 000 x yyy 222 9. where unit normal vector to S. F x, y, zzzd 5upward 3z 4j 1octant yk 23. x,is y,the 3ziii 2 4j yk 23. S: S: 9. S: z 10 910 7. 10 x 2x,x 2 0 yy 2,,x 00 2, xx 0 2, 2, 01 y 2 first y,y,first S 9. S: z firstoctant octant S: zzz 111 xxx y, S: 2 2 1 first octant S: zz 1123 –28, xx find y, zzz5 10 x 002 y xx, 0 ≤,, x00≤ 2,yy 0 1≤1xxy ≤ 2 9. S: 1 2 S: cos x, 10. primer octante S: y, In Exercises the flux of F through S, first octant S: cos x, 10. xy,x, 02 0 x 2x 4,2 , 0 0 y y 4 21x 8. S: z cos 23. i yj 4j yk 10. 24. FFx, x,x,y, y,y,zzzz 3z 2cos 24. F yj 10. 9. 24. F x, y, xxxxiiii yj S:zzz 10 cos x, x,x 00 y ,xx 0p222 ,, x 00 2,yy 01222xxy 2 10.S:S: 24. F x, y, z yj FFsx, xxii 1y,2y, yj 24. x, y, y, zzd 5 3x yj 24.S: 10. S: z 5 cos x, 0 ≤ x ≤ ,2 0 ≤ y ≤ 1x2 firstfirst octant octant S: first octant S: zzzz 1666 x3x 3x 2y, 2y, first octant S: In Exercises 9 and 10,11 useand a computer algebra system to evaluate CAS Mass 212, 2mass FS: N dS66 3x octant z 2y, In Exercises find the of the surface Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surface S: z cos x, 0 x , 0 y x 10. primer octante z S: 3x 2y, first first octant Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surface 24. F x, y, z x i yj 25. F x, y, z x i yj zk S Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surface 2 2 25. FF x,x,y,y,zz xxii yj yj zk zk 25. Mass S Exercises 12, findlathe mass oflámina the surface lamina of density SSIn ..1111and lamina oflos density 25. F x, y, z x i yj zk lamina of density . Masa En ejercicios y 12, hallar masa de la bidiFFsx, y, xx2i2i 1 2y, yj 25. y, 6z1zd 5 3x yj zkoctant 25.S: 22 1 lamina density zzx, x 2 SS of 2xy dS. .. S: ,, first zzzk lamina of density S: N where normal vector to S. S: zzz is the 111 upward xxxx222 yyyy22,unit 000 mensional r. first S de densidad 22 2, zz Mass In Exercises 11 12, and 12,octant, find thex,x,mass ofxx22the surface 2 S: S S: 11. 2x 3y 6z y y, z 2 S: y , z 1 x z 00 11. first octant, S: 2x 3y 6z 12, y y, z 11. first octant, S: 2x 3y 6z 12, y x, y, z x 2 2 25. F x, y, z x i yj zk 26. F x, y, z x i yj zk 26. FF x,x,y,y,zz xxii yj yj zk zk 11. first 3y 6z 12, x, y, zz xx 2 2 yy 2 2 lamina of 26. S: zS2x 2x x, 11.S:S: firstx,octant, octant, 2.25 12, 22primer 23. FF y,y, 3z 4j yk 2 6z 2 12, 2 6z 26. FFsx,x, x, x2iiii 1 yj zk 1density 3y3y21 rsy, x,yy, zd25 x 1y octante, 11. 12. y, kz 26. y,z1zzzdy5 yj zk x y, S: 9. S: 12. x, y,zzz2, 0kz kz S: 2x 2 1 zk 26.S: 22y, 22 xxx 22 yyj 12. zzz 10aaaa222 x xxxx222 y yy,yy22,,2,,0 x, ,36, zxx, zfirst octant S: z 2 2 2 first0octant octant x S: y z 36, 12. x, y, z kz S: first x S: y z 36, z a x, y, z kz S: x y , 2 2 2 2 2 2 2 2 12. first octant S: z 1 x y, 2 2 2 2 2 2 ! first xxx 1 yyy 1 zzz 5 36, S: z 5 3ya 26zx 212, y ,first r soctant, x, y, zd 5x,kz1y, z 12. S: 2x 11. y x S: 36, primer octante S:x, 36, first octant octant 26. F y, z x i yj zk 27. F x, y, z 4 i 3j 5k 27. FF x,x,y,y,zz 44ii 3j 3j 5k 5k , 0 y x 10. S: z cos 2x, 02 x 2 27. 24. F x, y, z x i yj In Exercises 13–16, evaluate f x, y dS. 27. F x, y, z 4 i 3j 5k 2 2 In Exercises 13–16, evaluate f x, y dS. 12. z a x, y, z kz S: x y , FFsx, 5k 27. x,2 y, y, zzd 25 44ii 22 3j 3j2 1 first 5k In Exercises 13–16, evaluate y dS. 27.S: 22 octant In Exercises 13–16, evaluate SS fffx,x, S: 44 S: xzzz xxxy2222 yyyz2222,,, xxx2236, x, yy dS. dS. Inlos Exercises 13–16, S: yyyy222octant S S: zzzz 5 6xxx22 13xyyy22,,, 2y, 2 ≤ 44 En ejercicios 13 a evaluate 16, evaluar f xx, yc dS. xxx222 first S: 44 SS S: 1 y S: y f x, y y 5 13. 27. F x, y, z 4 i 3j 5k Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surface 28. F x, y, z x yj 2zk f x, y y 5 13. S 28. FF x,x,y,y,zz xxii yj yj 2zk 2zk f f x,x,yy 13–16, yy 55 evaluate 13. 28. In Exercises f x, y dS. 25. F x, y, z x i yj zk 13. 28. F x, y, z x i yj 2zk f x, y y 5 28. FFsx, x, y, y, zzd2 5 xxi2i 1 yj yj 2zk 13.S: S: u, vj 2vk, 1, lamina of 2 2 2zk 2 28.S: S: rrSr u, u,vvvdensity vj 2vk, 2vk, 1, 000 vvv 222 4 S S: uuuiii . vj 000 uuu 1, S: zzzz x aaa2222y2 ,xxx2222x2 yyy2222y S: rr u, S: S: u, vvxy uuii vj vj 2vk, 2vk, 00 uu 1, 1, 00 vv 22 S: zzzz 5 1!aaa2x2 2 xxx2y2 2, yyy2z2 0 S: S: S: f x, y 14. 2 2 f x,x,2x xy 56z 12, first octant, x, y, z 14. fS: 13. yy 3y yxy 28. F x, y, z x i yj 2zk 14. 11. y x ff x, 14. In Exercises and 30, find flux of FFover over the closed surface. x, yyu, vv xy xy cos vj 26. F x, y, z 29 xand i 30, yjfind zkthe 14.S: InExercises Exercises 292and 30, find theflux fluxof ofF overthe theclosed closedsurface. surface. 2vk, In S: sen jj uvvkk 1, 0 v 2 S: rrzrru, u,vv a 2 u222icos cos senx,uuu0y, In 29 and find the flux of the closed surface. S:N zbe2 the29 aoutward x2 230, y 2 the 12. S: x 2 uuuuiiiiy 2,2222sen InExercises Exercises and 30,30, find theoctant flux ofFFover over the closed surface. (Let unit normal vector of the surface.) 2outward S: rru,u, vv 22 cos sen uujjj z vvvkkkkz (Let Nbe be they29 unit normal vector ofFthe the surface.) En los ejercicios 29 y hallar el flujo de sobre la superficie S: u, cos u i 2 sen first x S: z 36, (Let N the outward unit normal vector of surface.) 14. f x, y xy (Let N be the outward unit normal vector of the surface.) (Let N be the outward unit normal vector of the surface.) 00 uu cerrada. normal a la superficie dirigido In 30,3jfindunitario the 27. ,,,, 00u00i vvvv2 sen 111 F x,x, y,y,(Sea z 29Nand 4xel i vector 5k yj zk 29. yj flux zk of F over the closed surface. 29.Exercises uu 2222cos S: r000u, vu13–16, FF x, y,y,zzz xxx yyyy iiii yj zk 29. 0 v 11ufj x, yv kdS. In Exercises hacia afuera.) F x, yj zk 29. 22 ,evaluate (Let N be the outward unit normal F x, y, z x y i yj zk 2 29. S: z 16 x16 yxx2222, xyy2222,, yzz2 004 vector of the surface.) S 15. x,x,yyy xxx yyy S: zz 16 15. fff x, x 22 yy 2,2, zz 00 S: 15. z 16 S: 15. ffx,x, ,y 0 v 1 zy,y,zzzd16 0 x,r0yyyu, vuyxx 225ycos 29. FFFS:x, sx,x,y, 5 x4xy sixxx1 ydi iy21 1zk zk 15. fS: 13. 2, 2zk 28. x yyj yjyjz yzk 29. 30. u i 2 sen u j v k 30. yzk F x, y, z 4xy S: rr u,u,vv 22cos cosuuii 22sen senuujj vvkk 30. FFx,x,y,y,zz 4xy ii2ii zzzz222jj2jj yzk S: 30. yzk 4xy S: r u, v 2 cos u i 2 sen u j v k S: r u, v u i vj 2vk, 0 u 1, 0 v 2 j yzk F x, y, z 4xy i z 2xx 2 y 2y,y 2, z z 0 0 30.S: S:unit z 16 16 S: zunit a 2 xbounded cube by 0, 1, 0, 1, 0, 15. f S: x, yr u, vx y2 cos u i 2 sen u j v k cube bounded by xxx 0, S: zunit 0, xxx 1, 1, yyy 0, 0, yyy 1, 1, zzz 0, 0, cube bounded by S: unit cube bounded S: xxyzk 0, xx 1, yy 0, yy 1, zz 0, 2 by 14. f x, 00y0 uuuxy 2,,, 000 vvv 111 cube bounded by S: 0, 1, 0, 1, 0, 2 unit 30. F s x, y, z d 5 4xy i 1 z j 1 z 1 30. F x,zzy, z11 4xy i z j yzk ,, u00i v2v sen11u j v k S: r 00u, v uu 222cos zz 1129 and 30, find the flux of F over the closed surface. In Exercises 22cos u i 2 sen u j v k S: r u, v 2 50,0,y x 51,1,z y 50,0, cubocube unitario limitado 16. x,x,yyy xxx yyy bounded bynormal S:S: xo acotado 0, x por 1, y xthe 16. fff x, (Let N unit be the outward unit 16. 31. Electrical Charge Let be an EE vector yz xz xy 31. Electrical Electrical Charge Let E be an an yziii ofxz xzjjj surface.) xykkk be 16. ff x, y,y 0 v 1 y 5 1, z 5 0, z 5 1 31. Charge Let yz xy x,r0yyu, vu xx 4u 16. S: z 1 31. Electrical Charge Let an E yz i xz j xy kk be 24u, cos v i 4u sen v j 3u k E yz i xz j xy 31. Electrical Charge Let be an S: r u, v cos v i 4u sen v j 3u k electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge 0 u 0 v 1 electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge S: rru,u,vv 4u cos v i 4u sen v j 3u k electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge S: 4u cos v i 4u sen v j 3u k FCarga x, y, z eléctrica xfield.y Sea i E yj zki 1 29. 24u cos v i 4u sen v j 3u k 5 yz xz j 1 xy k 31. un campo elecelectrostatic Use Gauss’s Law to find the total charge S: r u, v electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge enclosed by the closed surface consisting of the hemisphere 16. f00x, y uu x4, y 0 v enclosed by the closed surface consisting of the hemisphere 4, 00 vv enclosed the closed surface consisting the 2 la 2,de 31. Electrical Charge Let bequean yzhallar i xzlajof xy khemisphere trostático. Usar ley Gauss carga total hay enclosed by surface consisting of the hemisphere 2yand z 1116by xthe zits 0E para S: 15. 0f00x, yuuu x4,4, y0 v enclosed by closed surface consisting of theplane. hemisphere xx2222the its circular base in the xyyyclosed 22and and circular base inthe the xyplane. S: r u, v 4,4u0cos vvi 4u sen v j 3u k zzzen 1 x its circular base in xyplane. y 2 electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio 2 2 z 1 x and its circular base in the xyplane. y 2 z 1 x and its circular base in the xyplane. y 30. F x, y, z 4xy i 2 z j yzk S: r u, v 2 cos u i 2 sen u j v k 2 enclosed consisting the xy. hemisphere 0 u 4, 0 v base circular en elofplano z 5 !1 by 2 xthe 2closed y y susurface 2 2 andby unit cube bounded S: xcircular 0, x base 1, iny the0,xy-yplane. 1, z 0, z 1 x its y 0 u , 0 v 1 z 1 2

1053714_1

15.6 Exercises

EE

EE

EE

EE

EE

16. f x, y

x

S: r u, v 0

u

y 4u cos v i

4,

0

v

4u sen v j

3u k

31. Electrical Charge Let E yz i xz j xy k be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge enclosed by the closed surface consisting of the hemisphere z 1 x 2 y 2 and its circular base in the xy-plane.

CAS

CAS

EE EE EE

2. S: z I 5 3.x S: zS

Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1123 1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1123 1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1123 1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM PM Page 1123 1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 Page 1123 1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1123

4. S: z Iy 5

15 2x 3y, 0 x 2, 0 y x y 2 12 z 2cr x2x, y, zc dS 2, x y 1 2 3 2 x , 0 x 1, 0 y x x3x 2 1 z 2cr xx, y, zc dS

S:(b) z Expla x (c) Use a 18. f x, y, repres z

4

S

In Exercises 52 and 26, evaluate xx 1 y cr xx, y, zc dSS Iz 5

xy dS.

S

Integrales de superficie 1123 5. S: z SECCIÓN first octant 3 x y,15.6 33. Verify that the moment of inertia of a conical shell of uniform 2 z h, about 0 its x axis2,is 10ma 2,ywhere4m isxthe 6. S:density mass and1123 a is the 2 15.6 Surface Integrals 15.6 Integrals 1123 15.6 Surface Integrals 1123 15.6 Surface Integrals 1123 15.6Surface Surface Integrals 1123 radius and height. In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate 32. Carga eléctrica Sea E 5 x i 1 y j 1 2z k un campo elec- CAS 43. Investigación 34. Verify that the moment of inertia of a spherical shell of uniform trostático. Usar la ley de Gauss para hallar la carga total que hay a) density Utilizarabout un sistema algebraico computadora representar 2, where its diameter is 23mapor and a is m is theymass 32. en Electrical Charge Let cerrada E 5 x formada i 1 y j 1por 2z kel hemisferio be an CAS 43. Investigation elElectrical interior de laCharge superficie CAS 43. Investigation 32. Electrical Charge Let EE 5 xx5 ii 1 yy1 jj 1 2z kk2z be an xy dS. CASCAS 43. 43. Investigation 32. 32. Electrical Charge LetLet 5E 1 1 2z be be an an gráficamente la función vectorial Investigation x i y j 1 k CAS 43. Investigation 32. Electrical Charge Let E 5 x i 1 y j 1 2z k be an the radius. electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge 2 2 1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1122 S (a) Use a computer algebra system to graph the vector-valued yUse suUse base circular en plano zelectrostatic 5! 1 2 x field. 2 yfield. Use Gauss’s Law to the total charge electrostatic field. Gauss’s LawLaw toelfind find thexy. totaltotal charge (a) Use a computer algebra system to graph the vector-valued electrostatic Gauss’s to charge (a) (a) Use computer algebra theuthe vector-valued electrostatic field. Use Gauss’s Law tooffind find the total charge aas2computer to enclosed by the closed surface consisting the the hemisphere Use algebra system to graph vector-valued sen r(a) su,Use vad 5 4computer 2 v sen sin ualgebra d cossystem s2usystem di 1tos4graph 2 vgraph sin dthe sinvector-valued s2udj 1 sen enclosed by the closed surface consisting of the hemisphere enclosed by the closed surface consisting of the hemisphere zfunction 9 Inertia x , 0In Exercises x 2, 035 and y 36, x find I for the given S: function 7. the closed surface consisting of the hemisphere 2 by 2 and function enclosed by the closed surface consisting of the hemisphere Moment of ! function its circular base in the plane. z 5 enclosed xy1 2 x 2 y z function 2 2 2 2 ! v cos uk, 0 ≤v sin u ≤udpcos , 21 ≤ v ≤ 1. its base in zz 5 2 and its circular circular base in the the plane. 5zz! xy-plane. 211xx2 2 y2 Momento de ejercicios 33 y base 34, utilizar lasplane. fórmu! its in the 5 xyxx22yEn ylos ! and its circular circular base in xythe plane. 511inercia xy22 2and y22 and with ofdiy1 1. sUse computer v1dxy, 5 uniform s402 44 2 vasin ud sins2udalgebra j1 S: rzrssu,u, xsindensity 4,d cos0ss2u 8.lamina 2u 1 sin ddsin 2u 1 rsu,r2rvvssdu, du,5 5 452 2 sinvvusin usin d cos scos 2udsdsi2u i2u 1ddisis41 412 2 sin usin sin 2udsdsj2u j2u 1ddjj 1 las siguientes para los de and inercia a los vvddss45 ss44vv2 uudd cos ss44vv2 vvusin uuddsssin 2 2 sin 1 system to verify your results. Moment of Inertia In momentos Exercises 33 34, con use respecto the following A esta superficie se le llama banda de Möbius. v cos uk, 0 u p , v 1. 21 # # # # Moment of In 33 34, use the following Moment of Inertia Inertia In Exercises Exercises 33 and and 34, 34, use thethe following ejes coordenados de una lámina bidimensional de densidad r . v cos uk, 0 u p , v 1. 21 Moment of Inertia In Exercises 33 and use following # # # # v cos uk, 0 u p , v 1. 21 Moment of Inertia In Exercises 33 and 34, use the following #algebra #vv ##system 9cos and 10,#use a#uucomputer to evaluate v uk, 0 p , 1. 21 formulas for the moments of inertia about the coordinate axes CAS In Exercises # # # v cos uk, 0 p , 1. 21 # # # 2 1 y 2 5por formulas for the moments of about the coordinate axes formulas for for thethe moments of inertia inertia about thethe coordinate axes qué no es orientable. 35.b)xExplicar 0 esta a 2,is h # z superficie about coordinate axes formulas for the moments of inertia about the coordinate axes This surface called a#Möbius strip. of a formulas surface lamina ofmoments density rof . inertia This surface isis called aa Möbius strip. This surface called Möbius strip. of aaof surface lamina of density r . of surface lamina of density r . 2 This surface is called a Möbius strip. 2This 2sistema surface is called a Möbius strip. rr.. surface lamina ofzcdensity density 2 c) Utilizar un algebraico por computadora y representar Ix 5 of aa surface x y 2 1 zlamina cr xx, y,of dS 36. z 5 x 1 y , 0 z h # is not orientable. 2xy why dS. this#surface (b)x Explain 1122 S Chapter 15 Vector Analysis (b) Explain why this surface is not orientable. (b) Explain why this surface is not orientable. gráficamente la curva en el espacio dada por r su, 0d. IdenS (b) Explain why this surface is not orientable. 2 2 (b) Explain why this surface is not orientable. Ix 5 x y 221 z 2c2r xx, y, zc dS (c) tificar Use a lacomputer algebra graph the space curve IIxx 5 xxy2y xx1 ccrrzzxx22x, y, zzcy, 22zz1 5 1 x, y, cy,dS dS CAS Flow Rate In Exercises 37 system and 38,to use a computer algebra curva. I 5 y c r x x, z c dS (c) Use a computer algebra system to graph the space curve S 2 I 5 y 1 c r x x, z c dS (c) Use a computer algebra system to graph the space curve 2 2 x algebra curve Iy 5 x SS xx 1 z cr xx, y, zc dS z(c) 10 x system 2, 0 to ygraph2 the 9. S: represented (c) Use Use aaxcomputer computer system to graph the space space curve by rrate Identify the curve. syu,, 0dof .0algebra SS system to find the mass flow of a fluid of density r represented by r Identify the curve. s u, 0 d . S represented by r Identify the curve. s u, 0 d . d) Construir una banda de Möbius cortando una tira de papel, represented by r Identify the curve. s u, 0 d . represented by r Identify the curve. s u, 0 d . 1 Iy 5 xx 2221 z 22c2r xx, y, zc dS through the surface oriented upward if the velocity field is (d) Construct a Möbius strip by cutting a strip of paper, S IIyy 5 x x 1 z c r x x, y, z c dS 5 5 xx2 xx1 cy,dS S: zConstruct cos x, solo x y strip , 0 by x aa strip un giro, pegando extremos. (d) aa0 Möbius cutting of (d)dándole Construct Möbius strip byylos cutting strip of paper, paper, xx222z1 ccrrxy, zzcc dS odd-numbered exercises. 1crzzx22x, xx, x,zy, dSSee www.CalcChat.com for worked-out solutions to10. (d) Möbius strip by aa strip of (d) Construct Möbius strip by strip of paper, paper, Iz 5IIyyS5 2and 2cutting SS xx 1 y cr xx, y, zc dS givenmaking by FConstruct twist, pasting thecutting ends together. xx, ay,single zc 5aa0.5zk. SS making a single twist, and pasting the ends together. making a single twist, and pasting the ends together. S e) Cortar la banda de Möbius a lo largo de la curva en el espamaking a single twist, and pasting the ends together. making a single twist, and pasting the ends together. 2 2 xx 221 y 2c2r xx, y, zc dS Iz 5 (e)S:cio Cut the16 Möbius the space curve graphed in part 2 2 2, along xxxx que IIzz 5 5 ryyxx22x, x, cy,dS dS inciso c), ystrip describir 37. z $ z del 5 2 Möbius xMöbius yand 0el Mass Exercises 11strip 12, find thespace mass of the surface (e) Cut the Möbius strip along the space curve graphed in (e) In Cut the Möbius along theresultado. space curve graphed in part part x1 xx22yyel 1 ccrry, xy, zzcc inercia dS IIzzS5 5 x1 1ccr xx, x,zzcy, dS 33. Verificar momento de de una capa cónica de den(e) Cut the strip along the curve graphed in (e) Cut the strip along the space curve graphed in part part (c), and describe the result. SS SS 1 lamina of density S . 2 2 (c), and describe the result. 2 (c), and describe the result. !and In Exercises 1– 4, evaluate x 2y 1 z dS. In Exercises 17–22, evaluate f x, y, z dS. 38. S: 16 2 x 2 y z 5 sidad uniforme, con respecto a su eje, es donde m es la ma , (c), describe the result. (c), and describe the result. 2 33. Verify that the moment ofS inertia of a conical shell of uniform S 33. Verify the moment of conical shell of 33.masa Verify that theradio moment of inertia inertia of aaof conical shell of uniform uniform 1of y athat esthat el yisaltura. 33. Verify moment aa conical shell of 2of discusión 33. Verify that the moment of inertia inertia of conical shell of uniform uniform 11. CCPara AAS: PPSS2x TTO NN3y EE 6z 12, first octant, x, y, z x2 y 2 density about itsthe axis 1 112,2 where m is the mass and a is the 21ma O C A P S T O N E density about its axis is where is the mass and is the ma , m a 22, where density about its axis is where is the mass and is the m a ma , 2 2 2 W R I T I N G A B O U T C O 2 C A P S T O N E 2 C A P S T O N E density about its axis is is the mass and is the m a ma about is inercia is the mass and z density 4 que x, 0 its xaxisde 4, 0 , where y una 3mcapa x2 a is the 17. f x, y, z 1. S: y2 z2 N C E P T S 22 ma 34. Verificar el momento de esférica de denradius and height. 44. field 12. z athe x, y, z kz S:Consider x yfield , 44. Considerar elvector campo vectorial radius and height. radius andand height. 2 44. Consider vector 44. Consider vector 2 donde m height. radius and height. 2 field 39. athesurface integral 44. Consider the 44. Consider the vector field sidad uniforme, con3y, respecto ax suofdiámetro, z radius 15 the 2x 2,a spherical 0 yesshell x 2 vector S: z Define x the y, yfield 1 of the scalar function f over a 2. S: 34maof, uniform 34. Verify that moment of0inertia F s x, y, z d 5 zi 1 xj 1 yk 34. Verify that the moment of of a of spherical shell of 34.es Verify thatythat thees moment of inertia inertia spherical shell of uniform uniform 2 inertia how to evaluate the surface zzzdd5 szi x,xj yd1 .xj FFsssurface x, 5 zi yk x,FFy, y, zdy, dy, 5 zi 1 xj 1 yk la masa el radio. 34. the aa spherical shell of 2 of aof 34. Verify that the moment of inertia spherical shell of uniform uniform ssx, 5 1 1 x,z13–16, 5g1 zi 1 xjExplain 1 yk ykf x, density about diameter xa2its z Verify 2, y 2moment 1 isisof xy 3. S: 2 222,2 where m is the mass and a is 32ma In Exercises evaluate yinladS. density about its diameter where is the mass and is ma , m a 22, where S and the orientable surface given parametric form by density about its diameter is where is the mass and is ma , m a 18. f x, y, z y la superficie orientable S dada por forma paramétrica integral. 3 3 density about its diameter is is the mass and is ma m a density 2 3 2about its diameter is 33 ma , where m is the mass and a is and the orientable surface in form by andand the the orientable surface given in parametric parametric form by by thezradius. SSS given z orientable S surface given in parametric form S and the orientable surface given x , 4. S: 0 x 1, 0 y x the radius. 2 2 k, in parametric form by the radius. 3radius. the r s u, v d 5 s u 1 v d i 1 s u 2 v d j 1 u the radius. 40. Describe an orientable Momento de inercia En los ejercicios 35 y 36, calcular Iz para la 22d i 1 2su surface. 22k, 2 2 2 r s u, v d 5 s u 1 v 2 v d j 1 u 2 2 d5 u5,1 u2 d j vv1 2x yvvddsy5 13. S:f x,rzsyu,rrsvxsu, 16 ssuuv41 ddiis1 ssyuuv2 ddjju1 u, 5 1d ivv1 1 2 1k,uu2k, k, Momentespecificada of Inertia con In Exercises and 36,igual find Iaz 1. forUtilizar the given lámina densidad35 uniforme un 0# u v# 2, #vj2v # 2vk, 1. 41. a2, flux explain Moment of In 35 and 36, find the given S: rDefine u, u21 i integral 0 u how1,it is0 evaluated. v 2 IIzz for Moment of Inertia Inertia In Exercises Exercises 35 and 36, 36, findfind for thethe given 221 2and 0 # u # 21 # v # 1. 0 # u # 2, # v # 1. Moment of Inertia In Exercises 35 and for given I Moment of Inertia In Exercises 35 and 36, find for the given I 19. y z f x, y, z x xy dS. In Exercises 5 and 6, evaluate 00 # zz algebra # uu # # 2, 2, 21 21 # # vv # # 1. 1. lamina algebraico with uniform density of 1. yUse a computer sistema por computadora verificar los resultados. lamina with uniform density of 1. Use a computer algebra r 3 r . (a) Find and interpret lamina with uniform density of 1. Use a computer algebra S 42. Is Find the xy surface uin 2the v figure f x, lamina with uniform density of lamina withyour uniform density of 1. 1. Use Use aa computer computer algebra algebra 14. S: 2and 2 shown ..4rr .. orientable? Explain. (a) interpret 3 (a) Find andeand interpret system to verify results. z yEncontrar xFind yand , interpret x 2 rruuy3 v3 rruurrv3 (a) (a) Find interpret a) interpretar vv 2 1to system system toy 2verify verify your results. 35. xsystem 5verify ax2,your 0y,your ≤results. z results. ≤octant h to F ?22scos v. ru 3u2ri vd as22asen (b)r Find function system to verify your results. S: u, v u j vof kofuuuand 5. S: first z 3 FF x??FF v. ssrru?u 3 rrv3 dd as (b) Find aaas function and v. (b) Find function and 2 1 y 2 5 a 2, 20. f x,b) y,Encontrar z(b) ys3 zras v3 uu and r d Find a function of s r r d (b) Find as a function of and como unaof función de v. uv.y v. 35. 0 x z h u v # # 2 2 u v 22 1 22 5 22, 0 0 36. z 5 x 1 y , ≤ z ≤ h P u v s 3, 1, 4 d . (c) Find and at the point 2 35. x y a z h 2 2 2 # # 35. 0 x 1 y 5 a , z h h, yy 2205 4 x 6. S: 35. 2 2 2 2 35.z xx22 1 1 5 aax2,, #002,# ##0zz ## hyh P u v s 3, 1, 4 d . (c) Find and at the point PP(3, u and vv0aten s 3,PPs1, 44). d . 44dd.. (c) Find the point S: z x y , x 1 y 1 v 3, 1, (c) Find and at the point u v s 3, 1, (c) Find and at the point 0 u , v 1 c) Encontrar u y el punto 1, 36. z 5 x 221 y 2,2 0 # z # h (d) Explain2 how find the normal component of F to the 2how2to 36. zz 5 ##zzhh## hh 36. 36. 5zzxx5 1 xx22yy1 2 36. 51 1,, yy2020,, ##00zz# FFof (d) Explain to the normal component of (d) Explain how to find thelathe normal component of de to 21. f x,d) y,Explicar z(d) x at zfind Explain to find normal component to (d) Explain how to find the normal component ofto to the CAS In Exercises 8, useEna#computer algebra to evaluate cómo encontrar componente normal FFFthe athe lathe Ritmo o tasa 7deand flujo los ejercicios 37 y system 38, utilizar un sisP.y how surface Then find this value. 15. f x, y x y CAS Flow Rate In Exercises 37 and 38, use a computer algebra P. surface at Then find this value. P. surface at Then find this value. 2 2 P. surface at Then find this value. P. surface at Then find this value. superficie en P. Encontrar después su valor. CAS tema algebraico por computadora y hallar el ritmo o tasa de fluFlow Rate In Exercises 37 and 38, use a computer algebra CASCAS S: x y 9, 0 x 3, 0 y 3, 0 z 9 Flow Rate In Exercises 37 and 38, use a computer algebra Flow In 37 aa computer CAS Flow Rate In Exercises Exercises 37 and and 38, computer algebra system to Rate find the rate of mass flow 38, of use ause fluid of densityalgebra rS r Evaluate u, v 2 2the cos2flux u i integral 2 sen u j Fv?kN dS. (e) josystem desystem masa un fluido de densidad través de laof superficie r aflow to find the rate of mass flow of density rr rr 22. f S: 2 flujo system to de find the rate of mass flow of aaof fluid of density xy dS. e) de to find the rate of aavelocity fluid of density x, y,Evaluar z(e) x la integral y the system to find the rate of mass mass flow offluid fluid offield density FF ??FF N (e) Evaluate the flux integral N?dS. dS. (e) Evaluate the fluxzflux integral S through the surface oriented upward if the is S N Evaluate integral N dS. dS. (e) Evaluate the flux integral Sthrough the SS orientada hacia arriba, si el campo de velocidad está dado por through surface oriented upward if the velocity field is S the surface oriented upward if the velocity field is S SS oriented 20 through the surface oriented upward upward ifif the the velocity velocity field field is is u2 9,, 00 xv 3, 1 0 SSz x giventhrough by Fxx, the y, zcsurface 5 0.5zk. S: y x Fgiven x7.x,S: y, z c 5 0.5zk. by F x x, y, z c 5 0.5zk. 2 2 given by F x x, y, z c 5 0.5zk. z by 9 FFxxx, x y, x 2, 0 y x ,y, zzcc05 given given by x, 5 0.5zk. 0.5zk. 37. S: zz 5 116 2 x022222 xy 222,2 4,z $00 y 4 16.Exercises f x, y 23x –28,y find the flux In of twist F through S, Double S: xy, 8. 37. 5 xxx2 , ,, yyz2z2z,,≥$$z0z00$ 37. S: 5 2 2 37. 37. S: zS: zS: 5216 16 2 2 zz16 5 16 xxy22yy2 37. 52 16 22 2 $ 00 PROYECTO DE SS S: EE CCr Tu,T IvI OO NN PPTRABAJO RRv O J E C T !16 2 x22222 y 2222 38. S: z 5 ! 4u cos i 4u sen S ES CE TC ITOI NO NP RPOORJJOEEJCCETTCv j T 3u k 5 16 2 xxx22 38. 38. S: 16 2 2 5 ! 38.S: S:zzS: 16 2 2 zS: 5zz! ! 38. 16 xxy22yay2 yy22 ! 38. 16 2 5 95 and 10,2 use computer algebra system to evaluate CAS In Exercises F0 NudS 4, 0 v

EE EEEEEEE E 15.6 EEEEEEE EExercises EEEEE E

EEEEE E

W R IITTIINNGG AABBOOUUTT CCOONNCCEEPPTTSS W WRRW I TRIIINTTGIIN AGGBAA OBB UOOTU NOOCN ECP UCTTOCC N CETEPS PTTSS 2 R xW 2xyNdS.

39. Define a surface integral of the scalar function f over a Desarrollo de conceptos 39. Define aa surface integral of scalar function aa aa ff over 39. 39. Define surface integral of the the scalar function over Define aa surface integral of scalar function ff over 39. Define surface integral of the the scalar function over

surface z 5 gsx, yd. Explain how to evaluate the surface surface how evaluate the surface zz 5 ssx,x, yyss2dx, .. yExplain surface howhow tofunción evaluate the the 5zz2gg5 dx, surface d0d.. Explain surface Explain toyevaluate evaluate the surface yExplain lato escalar fsurface sobre z surface 10la integral x 5 gygde x de 2, how 0 to 2 , superficie 9.39.S:Definir integral. integral. integral. integral. integral. una superficie z 5 gsx, yd. Explicar cómo se calculan las in1 40. Describe an orientable surface. Describe orientable surface. 40. Describe an orientable surface. S:tegrales z Describe cosdex,an 0an x , surface. 0 y x 10.40. superficie. 40. 40. Describe an orientable orientable surface. 2 explain 41. Define a flux integral and how2it is evaluated. 41. Define aa una flux integral and explain how itit isisititevaluated. 41.Describir Define flux integral and explain howhow evaluated. 40. superficie orientable. 41. Define aa flux integral and explain is 41. Define flux integral and explain how is evaluated. evaluated. 42. IsIn theExercises surface shown in the figure orientable? Explain. Mass 11 and 12, find the mass of the surface 42. Is the surface shown in the figure orientable? Explain. 42.Definir Is the surface shown in the figure orientable? Explain. 41. una integral de flujo y explicar cómo se evalúa. 42. 42. Is Is the the surface surface shown shown in in the the figure figure orientable? orientable? Explain. Explain. lamina S of density . 42. ¿Es orientable la superficie de la figura adjunta? Explicar. 11. S: 2x 3y 6z 12, first octant, x, y, z x2 y 2 S

12. S: z

a2

x2

y 2,

x, y, z

In Exercises 13–16, evaluate

kz

f x, y dS. S

y 13. f x, y S: r u, v 14. f x, y

2vk,

0

x

S: r u, v u

2

,

0

u

Double twist Double twist Double twisttwist Double Double twist

2 cos u i Doble 2 sengiro uj

u

15. f x, y

0

vj

xy

S: r u, v 0

5 ui

v

vk

1

0

v

2

where N is upward surface unit normal S. Consider thethe parametric given vector by the to function Consider the parametric surface given by function Consider the parametric surface given by the the function Considerar lathe superficie paramétrica dada por la función Consider parametric surface given by function Consider the parametric surface given by the the function 23. i v4j rsu, F vd x, 5y,a zcosh 3z u cos i 1 ayk cosh u sin vj 1 b sinh uk. rrrsssu, v d 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin vj 1 b sinh uk. u, v d 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin vj 1 b sinh uk.uk. u,S: vcos i 1vvioctant cosh u sen sinuu vj sinh uk. senh rrvssdu, aa cosh uuy,cos aa cosh sin bb sinh u,z5vvdda5 5 cosh ia1 1 cosh sin1vj vjb1 1 sinh uk. first 1cosh xu cos (a) Use a graphing utility to graph r for various values of the rr for (a) Use aazgraphing graph various values of (a) Usar Use graphing utility to graph for various values of the the 24. F x,Use y,una x i b.utility yj a) de to graficación representar r para va-the rroffor (a) aaherramienta utility to various values of (a) Use graphing utility to graph for various values of the a graphing constants and Describe thegraph effectpara the constants on the aa de b. constants and Describe the effect of constants on the b. constantes constants and Describe the effect of the the constants on the rios valores las a y b. Describir el efecto de lasthe a b. constants and Describe the effect of the constants on a b. constants and Describe the effect of the constants on the S: z of6the surface. 3x 2y, first octant shape shape of surface. shape of the the surface. constantes sobre la forma de la superficie. shape of the surface. shape of the surface. 25. F x, y,that z thex isurface yj iszk (b) Show a hyperboloid of one sheet given by (b) Show that the surface isis es aais hyperboloid of sheet given by (b)Mostrar Show that the surface hyperboloid of one one sheet given bypor b) quethat la2superficie un hiperboloide deone una hoja dado (b) Show the surface aa hyperboloid of sheet given by (b) Show that the surface is hyperboloid of one sheet given by 2 S: y , x z 0 2 z y 21 2 z x 222 2 2 2 2 xxx2 1xx22yyy222yy22zzz22 5zz21. 2 26. F y,az1 i22 5 1 2 1. 1 2bx2 5yj 1. a 22x, 5 1. 22 2 5 1 2 5 1. 1.zk aaa 2 1 22a aa2 a2a22bbb2 2bb22 a a 2 S: x y z 36, first octant (c) For fixed values u 5 u0, describe the curves given by uuu3j5 ,,, describe (c) For fixed values the curves given by 5uuuuu5 (c)Para For fixed values describe the curves given by 0005k c) valores las the curvas dadas porby 5 udescribir (c) curves given 27. F x, For y, z fixed 4fijos ivalues 5 u00,, describe (c) For fixed values describe the curves given by rsu0, vd 52 a cosh u 0 2cos vi2 1 a cosh u 0 sin vj 1 b sinh u0 k. 2 rrrsssuuuz00rr,,,ssvvuvudddx,5 cosh uuxu00 cos vi cosh uuu00sen sin sinh uuu00k. 5vddaaa5 cos vi 1 1 cosh sin vj 1 sinh k.u k. S: ycosh 5 cosh vi 1 cosh vj 1 sinh senh aa, cosh uu00ycos vi aa cosh uu00 vj sin vj bb sinh 5 cosh cos vi4aaa1 1 cosh sin1 vjbbb1 1 sinh 0 0 cos 0 sin 0 k.u 00, v 00 k. v yj 5 v0,2zk (d) For fixed values describe the curves given by 28. F x, y, z x i v 5 v , (d) For fixed values describe the curves given by v 5 v , (d) For fixed values describe the curves given by 05 d) Para valores fijos las the curvas dadas porby v 5vvv5 vv00,, describe (d) fixed values curves given (d) For For fixed values describe the curves given by 00, describir 2 2 2 rS:su,zv0d 5 aa coshx u cosy v0 i 1 a cosh u sin v0 j 1 b sinh uk. rrrsssu, v d 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin v j 1 b sinh uk. u,rrvsvs00u, cosh cos v000ii v1 cosh sin vsin j1 sinh uk.uk. 0 u, cosh uu cos vcos aa1 cosh uusen sin bb1 sinh uk. senh 0dd 5 v5 aa cosh uu cos aa cosh uu vsin bb sinh u, v00ddaa5 5 cosh v1 cosh v1 sinh uk. 00j v 00ii 1 00jj 1 u, vd the 5 sclosed 0, 0d. surface. (e)Exercises Find a normal vector to the surface atF sover In 29 and 30, find the flux of vvdu, d0, (e) Find aaun normal vector to surface at u, d5 5 ss0, 0, 0s0s0, d.. 00dd.. (e)Hallar Find normal vector to the the surface at ssu, e) normal la superficie 5 (e) Find normal vector to surface at 5 (e) Find aoutward normal vector to the the surface at (Let N be theavector unitanormal vectoren ofssu, thevvddsurface.) 29. F x, y, z S: z

y 2 cos u i 2

1,

S Hyperboloid of One Sheet Hyperboloid of One Sheet Hiperboloide una hoja Hyperboloid ofde One Sheet Hyperboloid of One Sheet

,

0

2 sen u j v

1

vk

16

30. F x, y, z

x x2 4xy i

y i y 2, z2j

yj

zk

z

0 yzk

S: unit cube bounded by x z 1

0, x

1, y

0, y

1, z

0,

S:(d) z Const x2 makin 19. f x, y, z (e) Cut th S: z x (c), an 20. f x, y, z

CS:A Pz S T O N x

21. 44. f x, Conside y, z S: xF2sx, y, y 2z

22. f x, and y, z the S: xr2su, vyd 25

0# u # In Exercises 23 (a) Find S

Find F (b) N dS (c) Find

where N(d) is the Exp surf 23. F x, y, z S: z(e) 1Eva 24. F x, y, z S: z

6

25. F x, y, z

SECTI

S: z

1

26.Hyperbolo F x, y, z

S: x 2 y 2 Consider the p 27. F x, y, z rsu, vd 5 a 2co S: z x (a) 28. FUse x, y, az gra constants S: z a shape of th

In(b) Exercises 29 Show that (Let N 2be the2 o y x 1 2 29. F ax,2 y, za 2

z fixed 16 v (c)S:For 30. F x, y, z rsu0, vd 5 S: unit cub (d) For z fixed 1

rsu, v0d 5 31. Electrical (e)electrostatic Find a nor enclosed by z 1

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1124

15.7

3/12/09

20:15

CAPÍTULO 15

Page 1124

Análisis vectorial

Teorema de la divergencia n n

Comprender y utilizar el teorema de la divergencia. Utilizar el teorema de la divergencia para calcular flujo.

Teorema de la divergencia Recordar que en la sección 15.4 se vio que una forma alternativa del teorema de Green es

E

Mary Evans Picture Collection

C

F ? N ds 5 5

EE 1 EE R

2

M N 1 dA x y

div F dA.

R

CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855) Al teorema de la divergencia también se le llama teorema de Gauss, en honor al famoso matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Gauss es reconocido, junto con Newton y Arquímedes, como uno de los tres más grandes matemáticos de la historia. Una de sus muchas contribuciones a las matemáticas la hizo a los 22 años, cuando, como parte de su tesis doctoral, demostró el teorema fundamental del álgebra.

De manera análoga, el teorema de la divergencia da la relación entre una integral triple sobre una región sólida Q y una integral de superficie sobre la superficie de Q. En el enunciado del teorema, la superficie S es cerrada en el sentido de que forma toda la frontera completa del sólido Q. Ejemplos de superficies cerradas surgen de las regiones limitadas o acotadas por esferas, elipsoides, cubos, tetraedros, o combinaciones de estas superficies. Se supone que Q es una región sólida sobre la cual se evalúa una integral triple, y que la superficie cerrada S está orientada mediante vectores normales unitarios dirigidos hacia el exterior, como se muestra en la figura 15.54. Con estas restricciones sobre S y Q, el teorema de la divergencia es como sigue. z

S1: Orientada por un vector unitario normal dirigido hacia arriba N S2: Orientada por un vector unitario normal dirigido hacia abajo

S1

S2 y

N x

Figura 15.54

TEOREMA 15.12 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Sea Q una región sólida limitada o acotada por una superficie cerrada S orientada por un vector unitario normal dirigido hacia el exterior de Q. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q, entonces

EE S

F ? N dS 5

EEE

div F dV.

Q

NOTA Como se indica arriba, al teorema de la divergencia a veces se le llama teorema de Gauss. También se le llama teorema de Ostrogradsky, en honor al matemático ruso Michel Ostrogradsky (1801-1861). n

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20:15

Page 1125

SECCIÓN 15.7

NOTA Esta prueba se restringe a una región sólida simple. Es mejor dejar la prueba general para un curso de cálculo avanzado. n

DEMOSTRACIÓN

EE S

Teorema de la divergencia

1125

Si se hace Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk, el teorema toma la forma

F ? N dS 5 5

EE ? EEE 1

sMi N 1 Nj ? N 1 Pk ? Nd dS

S

2

M N P 1 1 dV. x y z

Q

Esto se puede demostrar verificando que las tres ecuaciones siguientes son válidas.

EE EE EE S

S

S

Mi ? N dS 5

EEE EEE EEE

M dV x

Q

Nj ? N dS 5

N dV y

Q

Pk ? N dS 5

P dV z

Q

Como las verificaciones de las tres ecuaciones son similares, sólo se verá la tercera. La demostración se restringe a una región sólida simple, con superficie superior

S2: z = g2(x, y)

z 5 g2sx, yd

z

Superficie superior.

y superficie inferior N (hacia arriba)

N (horizontal)

z 5 g1sx, yd

S2 S3

cuyas proyecciones sobre el plano xy coinciden y forman la región R. Si Q tiene una superficie lateral como S3 en la figura 15.55, entonces un vector normal es horizontal, lo cual implica que Pk ? N 5 0. Por consiguiente, se tiene

S1 N (hacia abajo) x

R

Figura 15.55

y

EE S

S1: z = g1(x, y)

Superficie inferior.

Pk ? N dS 5

EE

Pk ? N dS 1

S1

EE

Pk

S2

? N dS 1 0.

Sobre la superficie superior S2, el vector normal dirigido hacia el exterior apunta hacia arriba, mientras que en la superficie inferior S1, el vector normal dirigido hacia el exterior apunta hacia abajo. Por tanto, por el teorema 15.11, se tiene lo siguiente.

EE S1

EE S2

Pk ? N dS 5

EE EE EE EE

Psx, y, g1sx, yddk ?

R

52

g1

g1

1 x i 1 y j 2 k2 dA

Psx, y, g1sx, ydd dA

R

Pk ? N dS 5 5

R

1

Psx, y, g2sx, yddk ? 2

g2 g i 2 2 j 1 k dA x y

Psx, y, g2sx, ydd dA

R

Sumando estos resultados, se obtiene

EE S

Pk ? N dS 5 5

EE E E 3E EEE

fPsx, y, g2sx, ydd 2 Psx, y, g1sx, yddg dA

R

g2sx, yd

R

5

g1sx, yd

P dV. z

Q

4

P dz dA z

2

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Aplicación del teorema de la divergencia

EJEMPLO 1

Sea Q la región sólida limitada o acotada por los planos coordenados y el plano 2x 1 2y 1 z 5 6, y sea F 5 xi 1 y 2j 1 zk. Hallar

EE

F ? N dS

S

donde S es la superficie de Q. z

Solución En la figura 15.56 se ve que Q está limitada o acotada por cuatro superficies. Por tanto, se necesitarán cuatro integrales de superficie para evaluarla

EE

6

S2: plano yz S1: plano xz

F ? N dS.

S

Sin embargo, por el teorema de la divergencia, sólo se necesita una integral triple. Como div F 5 S4

4

5 1 1 2y 1 1 5 2 1 2y

3

x

S4: 2x + 2y + z = 6

M N P 1 1 x y z

3

se tiene 4

S3: plano xy

y

EE

F ? N dS 5

S

EEE EE E EE EE E3 E

div F dV

Q

Figura 15.56

3

5

32y

622x22y

s2 1 2yd dz dx dy

0 0 0 3 32y

5

4

s2z 1 2yzd

0 0 3 32y

5

622x22y

dx dy 0

s12 2 4x 1 8y 2 4xy 2 4y 2d dx dy

0 0 3

5

4

12x 2 2x 2 1 8xy 2 2x 2y 2 4xy 2

dy

0

0 3

5

32y

s18 1 6y 2 10y 2 1 2y 3d dy

0

3

5 18y 1 3y 2 2

10y 3 y 4 1 3 2

4

3 0

63 5 . 2

TECNOLOGÍA Si se tiene acceso a un sistema algebraico por computadora que pueda evaluar integrales iteradas triples, utilícese para verificar el resultado del ejemplo 1. Al usar este sistema algebraico por computadora obsérvese que el primer paso es convertir la integral triple en una integral iterada; este paso debe hacerse a mano. Para adquirir práctica para realizar este paso importante, hallar los límites de integración de las integrales iteradas siguientes. Después usar una computadora para verificar que el valor es el mismo que el obtenido en el ejemplo 1.

EEE ?

?

?

?

?

?

EEE ?

s2 1 2yd dy dz dx,

?

?

?

?

?

s2 1 2yd dx dy dz

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SECCIÓN 15.7

Sea Q la región sólida entre el paraboloide

z

S2: z = 4 −

−

y2

1127

Verificación del teorema de la divergencia

EJEMPLO 2

x2


z 5 4 2 x2 2 y 2

4

y el plano xy. Verificar el teorema de la divergencia para N2

S1: z = 0

2

2

x

Fsx, y, zd 5 2z i 1 xj 1 y 2k.

N1 = −k R: x 2 + y2 ≤ 4

y

Solución En la figura 15.57 se ve que el vector normal a la superficie S1 que apunta hacia afuera es N1 5 2k, mientras que el vector normal a la superficie S2 que apunta hacia afuera es N2 5

Figura 15.57

2xi 1 2yj 1 k !4x 2 1 4y 2 1 1

.

Por tanto, por el teorema 15.11, se tiene

EE S

F ? N dS 5

EE ? EE ? EE EE EE EE EE E3 E F

5

F

s2kd dS 1

2y 2 dA 1

5

22 2!42y 2

2

!42y 2

22

2!42y 2

2

5

!42y 2

22 2!42y 2 2

5

!42y 2

22 2!42y 2

22

dS

s4xz 1 2xy 1 y 2d dA

y 2 dx dy 1

2

!42y 2

22

2!42y 2

s4xz 1 2xy 1 y 2d dx dy

s4xz 1 2xyd dx dy

f4xs4 2 x 2 2 y 2d 1 2xyg dx dy s16x 2 4x 3 2 4xy 2 1 2xyd dx dy

2

5

!4x2 1 4y2 1 1

R

!42y 2

2

s2xi 1 2yj 1 kd

F

S2

R

52

N2 dS

F

S2

S1

5

EE ? EE ? EE EE

N1 dS 1

S1

4

8x2 2 x 4 2 2x 2y 2 1 x 2y

!42y 2

2!42y 2

dy

2

5

0 dy

22

5 0. Por otro lado, como div F 5

f2zg 1 fxg 1 f y 2g 5 0 1 0 1 0 5 0 x y z

se puede aplicar el teorema de la divergencia para obtener el resultado equivalente

EE S

F ? N dS 5

EEE EEE

div F dV

Q

5

Q

0 dV 5 0.

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

EJEMPLO 3

Sea Q el sólido limitado o acotado por el cilindro x 2 1 y 2 5 4, el plano x 1 z 5 6, y el plano xy, como se muestra en la figura 15.58. Hallar

z 9

Plano: x+z=6

Aplicación del teorema de la divergencia

EE

8

S

7

F ? N dS

donde S es la superficie de Q y

6

Fsx, y, zd 5 sx 2 1 sen sin zdi 1 sxy 1 cos zdj 1 eyk. Solución La evaluación directa de esta integral de superficie sería difícil. Sin embargo, por el teorema de la divergencia, se puede evaluar la integral como sigue.

2

2

EE S

y

F ? N dS 5

EEE EEE EEE E EE EE E

div F dV

Q

x

5

Cilindro: x2 + y2 = 4

s2x 1 x 1 0d dV

Q

Figura 15.58

5

3x dV

Q

5

2p

0

0

5

2p

62r cosu

s3r cos udr dz dr du

0

2

s18r 2 cos u 2 3r 3 cos 2 ud dr du

0

0

5

2

2p

s48 cos u 2 12 cos 2 uddu

0

1

3

5 48 sen sin u 2 6 u 1

1 sen sin 2u 2

2p

24

0

5 212p

Nótese que para evaluar la integral triple se emplearon coordenadas cilíndricas con x = r cos q y dV 5 r dz dr du. z

S2

Aunque el teorema de la divergencia se formuló para una región sólida simple Q limitada o acotada por una superficie cerrada, el teorema también es válido para regiones que son uniones finitas de regiones sólidas simples. Por ejemplo, sea Q el sólido limitado o acotado por las superficies cerradas S1 y S2, como se muestra en la figura 15.59. Para aplicar el teorema de la divergencia a este sólido, sea S 5 S1 < S2. El vector normal N a S está dado por 2N1 en S1 y por N2 en S2. Por tanto, se puede escribir

N2

−N1 S1

x

EEE

div F dV 5

EE ? EE ? EE ? F

N dS

F

s2N1d dS 1

S

Q

y

5

S1

52 Figura 15.59

F

S1

EE ? EE ? F

N2 dS

S2

N1 dS 1

F

S2

N2 dS.

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SECCIÓN 15.7


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Flujo y el teorema de la divergencia Con el fin de comprender mejor el teorema de la divergencia, considérense los dos miembros de la ecuación

z

Sα

Región sólida Q

(x0, y0, z0)

x

Figura 15.60

y

EE S

F

? N dS 5

EEE

div F dV.

Q

De acuerdo con la sección 15.6 se sabe que la integral de flujo de la izquierda determina el flujo total de fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo. Esto puede aproximarse sumando el flujo que fluye a través de fragmentos pequeños de la superficie. La integral triple de la derecha mide este mismo flujo de fluido a través de S, pero desde una perspectiva muy diferente; a saber, calculando el flujo de fluido dentro (o fuera) de cubos pequeños de volumen DVi. El flujo en el cubo i-ésimo es aproximadamente El flujo en el i-ésimo cubo < div Fsxi, yi, zid DVi para algún punto sxi, yi, zid en el i-ésimo cubo. Nótese que en un cubo en el interior de Q, la ganancia (o pérdida) de fluido a través de cualquiera de sus seis caras es compensada por una pérdida (o ganancia) correspondiente a través de una de las caras de un cubo adyacente. Después de sumar sobre todos los cubos en Q, el único flujo de fluido que no se cancela uniendo cubos es el de las caras exteriores en los cubos del borde. Así, la suma n

o div Fsx , y , z d DV i

i

i

i

i51

aproxima el flujo total dentro (o fuera) de Q, y por consiguiente a través de la superficie S. Para ver qué se quiere dar a entender con divergencia de F en un punto, considérese DVa como el volumen de una esfera pequeña S de radio y centro sx0, y0, z0d, contenida en la región Q, como se muestra en la figura 15.60. Aplicando el teorema de la divergencia a Sa resulta

a) Fuente: div F > 0

F across Flujo Flux de F of a través de Saa 5

EE E

div F dV

Qa

< div Fsx0, y0, z0,d DVa donde Qa es el interior de Sa. Por consiguiente, se tiene div Fsx0, y0, z0d <

flux Sa de Sa flujoofdeFFacross a través DVDV a a

y, tomando el límite cuando a → 0, se obtiene la divergencia de F en el punto sx0, y0, z0d. b) Sumidero: div F < 0

div Fsx0, y0, z0d 5 lím lim

a →0

flux Sa de Sa flujoofdeFFacross a través DVDV a a

5 flux per de unitvolumen volume en at sx0, y0, z0d 5 flujo por unidad En un campo vectorial el punto sx0, y0, z0d es clasificado como una fuente, un sumidero o incompresible, como sigue.

c) Incompresible: div F 5 0

Figura 15.61

1. Fuente, si div F > 0

Ver figura 15.61a.

2. Sumidero, si div F < 0

Ver figura 15.61b.

3. Incompresible, si div F 5 0

Ver figura 15.61c.

NOTA En hidrodinámica, una fuente es un punto por el que se considera que se introduce fluido adicional a la región ocupada por el fluido. Un sumidero es un punto en el que se considera que escapa fluido. n

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Calcular el flujo mediante el teorema de la divergencia

EJEMPLO 4

Sea Q la región limitada o acotada por la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 4. Hallar el flujo dirigido hacia afuera del campo vectorial Fsx, y, zd 5 2x3 i 1 2y 3j 1 2z3 k a través de la esfera. Solución

Por el teorema de la divergencia, se tiene

Flujo Flux a través de S 5 across

EE ? EEE EE E EE E

N dS 5

F

S

5

EEE

div F dV

Q

6sx 2 1 y 2 1 z 2d dV

Q 2

p

56

0

0

p

2

56

0

2p

r4 sin sen f du df dr

Coordenadas esféricas.

0

2pr4 sen sin f df dr

0 2

5 12p

2r4 dr

0

5 24p 5

13252

768p . 5

15.7 Ejercicios En los ejercicios 1 a 6, verificar el teorema de la divergencia evaluando

EE S

F

? N dS

3. Fsx, y, zd 5 s2x 2 ydi 2 s2y 2 zdj 1 zk S: superficie limitada o acotada por los planos 2x 1 4y 1 2z = 12 y los planos coordenados 4. Fsx, y, zd 5 xyi 1 zj 1 sx 1 ydk S: superficie limitada o acotada por el plano y 5 4 y z 5 4 2 x y los planos coordenados

como una integral de superficie y como una integral triple. 1. Fsx, y, zd 5 2x i 2 2yj 1 z 2k

z

S: cubo limitado o acotado por los planos x 5 0, x 5 a, y 5 0, y 5 a, z 5 0, z 5 a 2. Fsx, y, zd 5 2x i 2 2yj 1

z

6

4

z 2k

S: cilindro x 2 1 y 2 5 4, 0 ≤ z ≤ h z

z 4

a h

4

x

3 y

6 x

Figura para 3 5. F x, y, z a

a

y

xzi

2z2 k

zyj

x

2

Figura para 2

2

y

6. F x, y, z

2

xy i

2

yx j

S: superficie acotada por z

x2

1

S: superficie acotada por z

x

Figura para 1

Figura para 4

y2 y z

0

ek x2

y2 y z

4

y

1053714_1507.qxp 10/27/08 1:48 PM Page Page1131 1131 1053714_1507.qxp 10/27/08 PM Larson-15-07.qxd 3/12/091:48 20:15 Page 1131 1053714_1507.qxp

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1:48 PM

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SECCIÓN 15.7

En los ejercicios 7 a 18, utilizar el teorema de la divergencia Exercises 7–18, usethe theDivergence Divergence Theorem evaluatepara InInExercises 7–18, use Theorem totoevaluate evaluar

EE

F NNdS dS In Exercises 7–18, use the Divergence Theorem to evaluate FF ? N dS SS S

andF find theoutward outwardflux fluxofofFFthrough through thesurface surfaceofofthe thesolid solid Nthe dS find yand hallar el flujo de F dirigido hacia el the exterior a través de la Sbounded by the graphs of the equations. Use a computer bounded by graphs of the equations. Usegráficas a computer superficie del the sólido limitado o acotado por las de las algebra system toverify verify your results. and find the outward flux of F through the surface of the solidy algebra system to your results. ecuaciones. Utilizar un sistema algebraico por computadora bounded los by the 2 2graphs of the equations. Use a computer verificar i y y2j2j z 2zk2k y,y,z zresultados. x xiverify 7.7.FFx,x,system algebra to your results. S:S:x x 0,0,x x a,a,y y 0,0,y y a,a,z z 0,0,z z aa 7.8.FFx,x,y,y,z z x 22xi22z2 i y 2j 2yjz 2k3xyzk 8. F x, y, z x z i 2yj 3xyzk S:S:x x 0,0,x x a,a,y y 0,0,y y a,a,z z 0,0,z z a a S: x 0, x a, y 0, y a, z 0, z a 8.9.FFx,x,y,y,z z x 22xz22ii 2xyj 2yj 3xyzk xyz2 k2 k 9. F x, y, z x i 2xyj xyz S:S:x z 0, x a2 2 a, y2x 2 0,y2y2, z a, z0 0, z a S: z x y ,z 0 a 2 9. x, y, z x 2 i 2xyj xyz 10.F yzk k 10. FFx,x,y,y,z z xyxyi i yzyzj j yzk 2 2 2 S:S: zz a 2 x 2 y 2, z 0 S: z aa2 x 2x y y2, z, z 00 10. x, y, z xy i yz j yzk 11.F 11. FFx,x,y,y,z z x xi i yjyj zkzk S:S:z 2x 2 ay2 22 x2z22 y92, z 0 S: x y z 9 11. x, y, z x ixyz jyj zk 12.F 12. FFx,x,y,y,z z xyz j S:S:x 22x 2 y 2y2 2 z 24, z 9 0, z 5 S: x y 4, z 0, z 5 12. x, y, z xyz j 2 13.F 13. FFx,x,y,y,z z x xi i y y2j j zkzk S:S:x 22x2 y2y2 2 4,25, z z 0, 0, z 5 S: x y 25, z 0, z z 77 2 13. x, y, z x i xy2 2y j coszk 2 z 14.F senz zj j e ez k k 14. FFx,x,y,y,z z xy cos z zi i x 2xy y sen S:S:x2z 1y12 2x 225, zy2 2, z0, z 8 7 S: z 2 2 x y ,z 8 2 14. x, y, z xy32 cos sen z j e z k 2 z i 2 x y y 15.F 15. FFx,x,y,y,z1z x 3xi i x 2xyjyj x 2xeyekk 2 2 S:S:z z 2 4 x y, zy , z0, x 8 0, x 6, y 0 S: z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0 15. x, y, z x 3i z x 2yj z x 2ey k z 16.F 16. FFx,x,y,y,z z xexez i i yeyez j j e ze kk S:S:z z 4 4 y,y,z z 0,0,x x 0,0,x x 6,6,y y 0 0 S: z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0 zi z 16. x, y, z xexyi ye ez k 17.F 4yjj xzk xzk 17. FFx,x,y,y,z z xyi 4yj S:S:z 2x 2 4 y2 2y, z 2z 2 0, 16 x 0, x 6, y 0 S: x y z 16 17. x, y, z xyi 4yj xzk 18.F 18. FFx,x,y,y,z z 22x xi i yjyj zkzk S:S:x 2z y 2 4 z 22x 2 16y2 2, z 0 S: z y ,z 0 4 x 18. F x, y, z 2 x i yj zk Exercises and 20,yevaluate 2evaluate InInExercises 19 S: 419and x 220, ,z 0 z curlFF 19 dS 20, evaluate In Exercises and curl NNdS En los ejercicios 19 y 20, evaluar SS

EE

where closedsurface surfaceofofthe thesolid solidbounded boundedby bythe thegraphs graphs curl F·isN N dS where the SFSis curl F N dS rot dSclosed ?the S andz z 99 y 2y,2,and andthe thecoordinate coordinateplanes. planes. Sofx x 4 4and of where SS es is thesuperficie closed surface of the solid bounded by the graphs donde del 2z 2 i 19.FFx,x,y,y,la 4xy cerrada 2x2 2sólido 6yzjlimitado j 2xzk 2xzko acotado por 19. i the 2x 6yz z z z 4xy 2z, and of and coordinate planes. 9 y x 4 2 las20.gráficas de x 5 4,cos y zz i5 9yz2sen planos coordenados. y , y los xyzk 20. FFx,x,y,y,z z xyxycos z i yz sen xjxj xyzk 2 2 19. i 2x 6yz 2xzk F x, y, z 4xy z 2 2 19. Fsx, y, zd 5 s4xy 1 z di 1 s2x 1 6yzdjj 1 2xzk

I zNGG AAxy OUUTzTiCCOOyz CEEPxj P TSS xyzk WWFF RsRIx, IN BBOcos NNCsen 20. x,TI Ty, y, cos sen 20. zd 5 xy z i 1 yz sin xjT1 xyzk 21.State Statethe theDivergence DivergenceTheorem. Theorem. 21.

W22. R I THow I N GdoAyou BOU T CONC E Ppoint T S x , y , z in a vector field determine 22. How do you determine ififa apoint x0,0y0,0z0 0 in a vector field 21. State the Divergence Theorem. source, sink,oror incompressible? isisa asource, a asink, incompressible?

Desarrollo de conceptos 22. How do you determine if a point x , y , z 0

0

0

in a vector field

is a source, sink, ordeincompressible? 21. Enunciar el ateorema la divergencia. 22. ¿Cómo se determina si un punto sx0, y0, z0d de un campo vectorial es una fuente, un sumidero o incompresible?

Teorema de la divergencia 15.7 Divergence DivergenceTheorem Theorem 15.7

1131

1131 1131

15.7 Divergence Theorem 1131 23. a)(a)Utilizar teorema deTheorem la divergencia para que of el 23.(a) Usethe theelDivergence Divergence toverify verify thatverificar thevolume volume 23. Use Theorem to that the volumen delbounded sólido limitado o acotado por una superficie Sofes the solid by a surface is S the solid bounded by a surface S is 23. (a) Use the Divergence Theorem to verify that the volume of x dy dzdz 5 y dz dxdx 5 z dx dy.dy. z dx the a dz surface x xdydybounded dz y ydz dx S solid S by SS is z dx dy.

EE

SS

EE

EE

SS

SS

b)(b)Verificar el resultado del (a) inciso a) para el cubo limitado o Verify the resultofofypart part forthe the cube bounded x dy dzresult dz dx zcube dx dy. (b) Verify the (a) for bounded bybyx x 0,0, acotado por y x 5 0, x 5 a, y 5 0, y 5 a, z 5 0, z 5 a. Sx S S andz z a.a. x a,a,y y 0,0,y y a,a,z z 0,0,and (b) Verify the result of part (a) for the cube bounded by x 0, Para discusión CCAAPPSxSTTOONa,NEyE 0, y a, z 0, and z a. 24.Sea LetFFx,x,y,y,z z xixi yjyj zkzkand and bethe thecube cube bounded 24. y sea cubo acotado por 24. Let letletSSSbeel bounded C A Plos SbyTplanos Othe N Eplanes planes and 0, xy x= 0, x = 0,x x =0,1, by the 1,1,y y=y 1,0,z0,=y y0 y1,z1,=z z1. Verificar 0,0, and Verify Divergence Theorem evaluating el lathe divergencia 24. Let and let S be cube bounded x,Verify y, zde the xi yj zkevaluando F1.1. Divergence Theorem bybythe evaluating z zteorema by the planes x 0, x 1, y 0, y 1, z 0, and NNdSdSthe Divergence Theorem by evaluating z F 1.FVerify SS

asurface surface integral andasasa atriple triple integral. asasaF integral. como una deand superficie y como una integral triple. N integral dSintegral S

as a surface integral and as a triple integral. 25. Verificar que 25. Verify that 25. Verify that

EE

rot F FF· ?NN dS curl dS5500 curl F NNdSdS 00 25. Verify that S curl SS

para todaFclosed superficie cerrada forany any surface curl N surface dS 0 S.S. S. for closed S 26. Para el campo vectorial constante dado 26.For For the the constant constant vector vector field FFx, k, x,y,y,z por z aFai1x,i y,azaj2 j aa1aik, 26. field 1 2 33 for anythat surface S. that averify aclosed verify 2j 3k, verificar que

EE

26. For the constant vector field F x, y, z N dS 00 verifyFFFthat dS 5 0 ? NN dS

a1i

a2 j

a3k,

SS S

where is the0volume volume ofthe thesolid solidbounded bounded bythe the closed V dS F VN where VS.ises the donde el volumen of del sólido limitado o by acotadoclosed por la Ssurface surface S. superficie cerrada S. the volume the by the that closed Vtheisvector 27.where Giventhe vector fieldFFx,of verify that x,y,y, zk, 27. Given field verify z z solid x xi i bounded yjyj zk, 27. surface Dado el S.campo vectorial Fsx, y, zd 5 x i 1 yj 1 zk, verificar que 3V F x, y, z dSdS field 3V 27. GivenFFtheNN vector x i yj zk, verify that S S F ? N dS 5 3V

EE S

where isthe the3V volumeofofthe thesolid solidbounded boundedbybythe theclosed closed VisdS F VN where volume VS.es el volumen del sólido limitado o acotado por la donde Ssurface surface S. superficie cerrada S. the volume the by the that closed Vtheisvector 28.where Giventhe vector fieldFFx,of verify that x,y,y, zk, 28. Given field verify z z solid x xi i bounded yjyj zk, 28. surface Dado elS.campo vectorial Fsx, y, zd 5 x i 1 yj 1 zk, verificar que 11 the F 28. Given field F333x, y, z dV. x i yj zk, verify that dV. Fvector NNdSdS 1 FF S S F ? N dS 5 FF dV. i1Fi S i3Fi QQ Q dV. F N dS F S F In Exercises 29 and 30, prove theidentity, identity, assuming thatQ,Q,que In 29 and assuming that S,S, EnExercises los ejercicios 29 y30, 30,prove demostrar la identidad, suponiendo Qthe and theconditions conditions theDivergence Divergence Theorem andthat that and the ofofthe Theorem and Q, SNyNmeet Nmeet satisfacen las condiciones del teorema de la divergencia required partial derivatives thescalar scalar functions and In Exercises 29 and 30, prove the identity, assuming that Q, S, the required partial derivatives ofof the f fand gg ythe que las derivadas parciales necesarias defunctions las funciones esare continuous. The expressions and are the derivaD f g D and N meet ofLas the expresiones Divergence that are continuous. The expressions DNNf and DNTheorem calares f y gthe sonconditions continuas. DNgN are f y the DNand gderivason las tives the direction the vector NN and are defined byf and g the required partial derivatives ofNthe functions tives ininthe direction ofofthe vector and are defined by derivadas en la dirección del vector yscalar se definen por are continuous. The expressions DN f and DN g are the derivaf5 =f N, DDDNggg 5 =g g ? N. N. D f fdirection DD N, N. ? N, NNNff in NN of thegvector tives the N and are defined by

EE

DN f 29. 29. 29.

EEE f

EEE

N, 2 DN g g N. dV5 ggddV sff f=22ggg1 =ff f? =g dV

Q QQ

EE SSS

dS N ff fD DD ggdS dS N Ng

2g 29. [Hint: fUse gf dV gG. [Hint:Use ] =f ? G.] div f G div fdiv f NG. ]dS div fG GG fD [Sugerencia: Utilizar sdiv fG d5 f fdiv G 1 S

EEE Q

EE

2 G fdV div5G 2g 30.[Hint: Use g 22ff2fd dV 30. 30. sff f=2div gg2 fgg= dV Q QQ

SSS

G. dS N ff fd dS sffffD DD gg]2 gggD DD dS N N Ng NN

2 30. (Hint: fUse gExercise g 2f2929 dV f Ddos g DN f dS (Hint:Use twice.) 29 Ng veces.) Exercise twice.) (Sugerencia: Utilizar el ejercicio S Q

(Hint: Use Exercise 29 twice.)

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15.8

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CAPÍTULO 15

Page 1132

Análisis vectorial

Teorema de Stokes n n

Comprender y utilizar el teorema de Stokes. Utilizar el rotacional para analizar el movimiento de un líquido en rotación.

Teorema de Stokes

Bettmann/Corbis

Un segundo teorema, análogo al teorema de Green, pero con más dimensiones, es el teorema de Stokes, llamado así en honor al físico matemático inglés George Gabriel Stokes. Stokes formó parte de un grupo de físicos matemáticos ingleses conocido como la Escuela de Cambridge, entre los que se encontraban William Thomson (Lord Kelvin) y James Clerk Maxwell. Además de hacer contribuciones a la física, Stokes trabajó con series infinitas y con ecuaciones diferenciales, así como con los resultados de integración que se presentan en esta sección. El teorema de Stokes establece la relación entre una integral de superficie sobre una superficie orientada S y una integral de línea a lo largo de una curva cerrada C en el espacio que forma la frontera o el borde de S, como se muestra en la figura 15.62. La dirección positiva a lo largo de C es la dirección en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto al vector normal N. Es decir, si se imagina que se toma el vector normal N con la mano derecha, con el dedo pulgar apuntando en la dirección de N, los demás dedos apuntarán en la dirección positiva de C, como se muestra en la figura 15.63. GEORGE GABRIEL STOKES (1819-1903)

Stokes se convirtió en profesor Lucasiano de matemáticas en Cambridge en 1849. Cinco años después, publicó el teorema que lleva su nombre como examen para optar a un premio de investigación.

z

N N

Superficie S

C S

y

R x

C

Figura 15.62

La dirección a lo largo de C es en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto a N Figura 15.63

TEOREMA 15.13 TEOREMA DE STOKES Sea S una superficie orientada con vector unitario normal N, acotada por una curva cerrada simple, suave a trozos C, con orientación positiva. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a S y a C, entonces

E

C

F ? dr 5

EE S

scurl srot Fd ? N dS.

NOTA La integral de línea puede escribirse en forma diferencial eC M dx 1 N dy 1 P dz o en forma vectorial eC F ? T ds. n

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SECCIÓN 15.8

EJEMPLO 1

Teorema de Stokes

1133

Aplicación del teorema de Stokes

Sea C el triángulo orientado situado en el plano 2x 1 2y 1 z 5 6, como se muestra en la figura 15.64. Evaluar

z

E

6

S: 2x + 2y + z = 6

C

F ? dr

donde Fsx, y, zd 5 2y 2 i 1 zj 1 xk. C2

C3

R 3 x

C1 x+y=3

Figura 15.64

3

| |

Solución Usando el teorema de Stokes, se empieza por hallar el rotacional de F.

N (hacia arriba)

y

i curl rot F 5 x 2y 2

j y z

k 5 2i 2 j 1 2yk z x

Considerando z 5 6 2 2x 2 2y 5 gsx, yd, se puede usar el teorema 15.11 para un vector normal dirigido hacia arriba para obtener

E

C

F ? dr 5 5

EE EE EE EE E

srot Fd scurl Fd ? N dS

S

R

5

R 3

5

s2i 2 j 1 2ykd ? f2gxsx, yd i 2 gysx, yd j 1 kg dA s2i 2 j 1 2ykd ? s2i 1 2j 1 kd dA

32y

s2y 2 4d dx dy

0 0 3

5

s22y 2 1 10y 2 12d dy

0

3

5 2

4

2y 3 1 5y 2 2 12y 3

3 0

5 29. Trátese de evaluar la integral de línea del ejemplo 1 directamente, sin usar el teorema de Stokes. Una manera de hacerlo es considerar a C como la unión de C1, C2 y C3, como sigue. C1: r1std 5 s3 2 td i 1 tj, 0 ≤ t ≤ 3 C2: r2std 5 s6 2 td j 1 s2t 2 6d k, 3 ≤ t ≤ 6 C3: r3std 5 st 2 6d i 1 s18 2 2td k, 6 ≤ t ≤ 9 El valor de la integral de la línea es

E

C

F ? dr 5

E E

C1

F ? r19 std dt 1

3

5

E

E

C2

F ? r29 std dt 1

6

t 2 dt 1

0

592929 5 29.

3

E

E

C3

F ? r39 std dt

9

s22t 1 6d dt 1

6

s22t 1 12d dt

1053714_1508.qxp 10/27/08 PM Page Larson-15-08.qxd 3/12/091:48 20:21 Page 1134 1134 1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134 1053714_1508.qxp PM PMPage 1134 1053714_1508.qxp10/27/08 10/27/081:48 1:48 Page 1134 1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134

1134

1134 1134 1134 1134 1134

CAPÍTULO 15 Análisis vectorial Chapter 15 Vector Analysis Chapter 15 Vector Analysis Chapter 15 15 Vector Analysis Chapter Vector Analysis EJEMPLO 2 Chapter 15 Vector Analysis

S: z = 4 − x2 − y2 z S: z = 4 − x 2 − y 2 z S: z = 4 − x 2 − y 2 z 4 4 S: zS:= z4 =− 4x 2−−x 2y 2− y 2z z 4 S: z = 4 − x 2 − y 2 z S S

Verificación del teorema de Stokes EXAMPLE 2 Verifying Stokes’s Theorem EXAMPLE 2 delVerifying Stokes’s Theorem Sea SS be la parte paraboloide z = 4 –Theorem x2 z– y24que xpermanece sobre el plano orientado 2 Let the portion of the paraboloid y2 lying above the xyxy, -plane, EXAMPLE 2 Verifying Stokes’s EXAMPLE 2 Verifying Stokes’s Theorem hacia arriba (ver la figura 15.65). Sea C su curva en el plano xy orientada 2 frontera 2 Let S be the portion ofFigure the paraboloid y lying curve aboveinthe -plane, zTheorem x boundary oriented upward 15.65). Let thexyxy -plane,en el C4 be its EXAMPLE 2 (see Verifying Stokes’s

sentido contrario al of de lasthe manecillas del Verificar el2 teorema Stokes Let S be the portion the paraboloid y2 ylying above z Czreloj. 4 4its x2boundary xy oriented upward (see Figure 15.65). Let be curve indethe the -plane, xy-plane, oriented counterclockwise. Verify Stokes’s Theorem Let S be the portion of paraboloid lying above the -plane, x22for xypara 2 Let S be the portion of the paraboloid y lying above the -plane, z 4 x xy-plane, oriented upward (see Figure 15.65). Let be its boundary curve in the -plane, C xy oriented counterclockwise. Verify Stokes’s Theorem for oriented upward (see Figure 15.65). Let be its boundary curve in the C xy 2 4 y,upward z 2zi xj y k15.65). F x, 4 oriented (see Figure Let be its boundary curve in the -plane, C xy oriented counterclockwise. Verify Stokes’s Theorem for oriented Stokes’s Theorem for 2 4S k F x, y, counterclockwise. z 2zi xj yVerify N (hacia arriba) oriented counterclockwise. Stokes’s Theorem forequivalente. S S 2Verifyand by the surface integral equivalent line integral. N (upward) evaluando la integral de superficie y lathe integral de línea k Fevaluating x, y, z 2zi xj y 2 k F x, y, z 2zi xj y bySolution evaluating integral S N (upward) 2 and the equivalent line integral. 2 k F x, y,As zthea surface 2zi xj y surfaceintegral integral, you have z gline x, yintegral. 4 x y 2, g 2x, bySolución evaluating thethe surface andand thethe equivalent N (upward) 2 2– y2, xg = –2x, g = 2 by evaluating surface integral equivalent line integral. N (upward) Como integral de superficie, se tiene z = g(x, y) = 4 – x −3 Asand a surface integral, you have z g x, y 4 x y , gx x 2x, y g 2y, y Solution R y by evaluating surface integralyou andhave the equivalent integral. N (upward) −3 2 2 R Solution a the surface integral, z z g x,g yx,line y2y,As C 3 3 y and gy –2y, Solution As a surface integral, you have 3 y 4 4 x x 2 y ,yg2,x gx 2x,2x, C −3 2 i j k y 3 As a surface integral, you have z g x, y 4 x y 2, gx 2x, and gy gSolution 2y,2y, x R 3 and −3 C y y x i k j R −3 3 y R C and g 2y, 3 2 2 y rot F R: x + y ≤34 −3 2y i 2j k. i i j j k k y 3x R x 2 +Cy 2 ≤ 4 3 R: 3 x y z C rot F 2y i 2j k. x i j k 3x Figura 15.65 R: x 2 + y 2 ≤ 4 x2z yx zy 2 2y i 2j k. Figure 15.65 x rot F 2 2 rot F x 2y i 2j k. R: xR:+x 2y +≤y 24 ≤ 4 y yz2 z Figure 15.65 2z x xyyou 2y i 2j k. rot F 15.11, By Theorem obtain R: x 2 + y 2 ≤ 4 2 x y z Figure 15.65 2z 2z x x y y 2 Figure 15.65 By Theorem 15.11, you obtain Figure 15.65 y 215.11, se obtiene xobtain acuerdo15.11, con2zelyou teorema ByDe Theorem rot 15.11, F Nyou dS obtain 2yi 2j k 2x i 2yj k dA By Theorem By Theorem you obtain S rot F15.11, R 2yi N dS 2j k 2x i 2yj k dA 2 4 x2 S rotrot F F N dS dAdA N dS R 2yi2yi2 2j 2j k k 2xi2xi 2yj2yj k k S R 2 4xy 4y 2xi 1 dy 2yj dx x rot F N dS 2j k k dA S R 4 2yi 2 R2 4 x42 x 224xy S 4y 1 dy dx 2 4 x 2 4 4x 2 x 4xy 2 22 4y 4y 14 dy dx dx x12 dy 4xy 2 4 x22 2 2y 22 2xy y4y4 x 2 1 dy dxdx 4 x 4xy 2 2 2 2 2 222xy 2 4 x2y y 4 x424 xx2dx 2 2 2 222xy 2 2 2y2 2 y 2xy 2 22y2 y 44 x2x 2dx dx 4 x 22 2 4 x dx 2xy 2y y 4 x 2 dx 2 22 4 2 2 4 x2 x 2 dx 2 2 22 4 x 2 dx Área de radio 2 4 . 2del4círculo x 2 dx 2 2 2 4 2 Área del círculox dedxradio 2 4 . As a line integral, you canÁrea parametrize C asde radio 2 4 . 2 deldel círculo Área círculo As a line integral, you can parametrize as de radio 22 44 .. C del círculo r t integral, 2 cos you ti can 2 sen tjÁrea0k, 0as t de radio 2 . AsComo a line parametrize C integral setjpuede Asr at line you can parametrize as 2integral, cos de ti línea, 2 sen 0k,parametrizar 0 C tas 2C como . 2 As a line integral, you can parametrize C Forr Ft x, y,2 zcos ti2zi 2 sen xj tj y k, 0k,you 0obtain t t 2 2. . r t 2 cos ti 2 sen tj 0k, 0 2 For F x,r y, 2ziti xj2 seny tjk, you t z 2 cos 0k,obtain 0 t 2 . ForFor you obtain F x, y, zy, dr 2zi2ziMxjdx y 2Nk, 2dy 2 F dz obtain F x, z xj y k, Para Fsx, y, zd 5 2z i 1 xj 1 y2 k, you sePobtiene For FCFx, y, 2zi y k, you C drz M dx x j N dy P dzobtain CF C M dx Fdr dr M dx N dy N dy P dz P 2 dz C dr C C2z Mdx dx xNdydy yPdz dz CF 2 C C C dx 2z x dy y dz 2 2 dx C 2z 2z dx x dy x dy y dz y 2 dz C2 0 2 cos t 0 dt x dyt 2 cos y 2 dz C 2z dx 2 0C 0 2 cos t 2 cos t 0 dt 2 0 220 t 2t cos t t 0 dt 0 2 cos 2 cos 2 cos 0 dt 02 4 0cos 2 2t dt cos t 2 cos t 0 dt 0 2 0 2 0 4 cos t dt 2 2 0 4 2 2cos t 2dt 4 cos t dt 2 cos 02 2 1 4 cos t dt 2t dt 0 2 20 0 2 1 cos 2t dt 2 20 21 1 1 coscos 2t2 2t dt dt 220 t 0 1sen 2tcos 2 2t dt 12 2 t 0 1 sen 2t 2 02 1 2t 0 2 2 4t2 .t 2 sen 2 21 sen 2t 0 0 sen 2t 4 2. t 0 4 4. . 2 4 .

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SECCIÓN 15.8

Teorema de Stokes

1135

Interpretación física del rotacional T F

α (x, y, z)

Cα

F T F N

El teorema de Stokes proporciona una interesante interpretación física del rotacional. En un campo vectorial F, sea Sa un pequeño disco circular de radio a, centrado en sx, y, zd y con frontera Ca , como se muestra en la figura 15.66. En cada punto en la circunferencia Ca , F tiene un componente normal F ? N y un componente tangencial F ? T. Cuanto más alineados están F y T mayor es el valor de F ? T. Así, un fluido tiende a moverse a lo largo del círculo en lugar de a través de él. Por consiguiente, se dice que la integral de línea alrededor de Ca mide la circulación alrededor de Ca . Es decir,

E

N

Disco Sα

Figura 15.66

Ca

rot F N S (x, y, z) Sα

F ? T ds 5 circulación circulation of Ca . de Ca deFFaround alrededor

Ahora considérese un pequeño disco Sa centrado en algún punto sx, y, zd de la superficie S, como se muestra en la figura 15.67. En un disco tan pequeño, rot F es casi constante, porque varía poco con respecto a su valor en sx, y, zd. Es más rot F ? N es casi constante en Sa, porque todos los vectores unitarios normales en Sa son prácticamente iguales. Por consiguiente, del teorema de Stokes se sigue que

E

Ca

F ? T ds 5

EE Sa

scurl srot Fd ? N dS

< scurl srot Fd ? N Figura 15.67

EE

dS

Sa

< scurl srot Fd ? N spa 2d. Por tanto,

scurl srot Fd ? N <

E

Ca

F ? T ds

pa 2

circulation of Ca de Ca circulación deFFaround alrededor area of disk S área de disco a Sa tasa o ritmo de circulación. 5 rate of circulation. 5

Suponiendo que las condiciones son tales que la aproximación mejora con discos cada vez más pequeños sa → 0d, se sigue que

scurl lim srot Fd ? N 5 lím

a →0

1 pa 2

E

Ca

F ? T ds

a lo que se le conoce como rotación de F respecto de N. Esto es, rot Fsx, y, zd · N 5 rotación de F respecto de N en sx, y, zd. En este caso, la rotación de F es máxima cuando rot F y N tienen la misma dirección. Normalmente, esta tendencia a rotar variará de punto a punto de la superficie S, y el teorema de Stokes

EE S

scurl srot Fd ? N dS 5

Integral de superficie

E

C

F ? dr

Integral de línea

afirma que la medida colectiva de esta tendencia rotacional considerada sobre toda la superficie S (la integral de superficie) es igual a la tendencia de un fluido a circular alrededor de la frontera C (integral de línea).

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CAPÍTULO 15

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Análisis vectorial

Una aplicación del rotacional

EJEMPLO 3 z

Un líquido es agitado en un recipiente cilíndrico de radio 2, de manera que su movimiento se describe por el campo de velocidad Fsx, y, zd 5 2y!x 2 1 y 2 i 1 x!x 2 1 y 2 j como se muestra en la figura 15.68. Hallar

EE S

scurlF)Fd· N (rot ? NdSdS

donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico. 2

|

x 2

onvea0, ón

y

Solución El rotacional de F está dado por i rot F 5 curl x 2y!x 2 1 y 2

Figura 15.68

n

Haciendo N 5 k, se tiene

EE S

scurl srot Fd ? N dS 5 5

j y x!x 2 1 y 2

EE EE E 4 E

3!x 2 1 y 2 dA

R 2p

2

s3rd r dr du

0

0

5

2p

2

r3

0

5

|

k 5 3!x 2 1 y 2 k. z 0

2p

0

du

8 du

0

5 16p. NOTA Si rot F 5 0 en toda la región Q, la rotación de F con respecto a cada vector unitario normal N es 0. Es decir, F es irrotacional. Por lo visto con anterioridad, se sabe que ésta es una característica de los campos vectoriales conservativos. n

Resumen de fórmulas de integración Teorema fundamental cálculo: Fundamental Theoremdel of Calculus:

E

Teorema fundamental integrales Fundamental Theoremde of las Line Integrals:de línea:

E

b

F9 sxd dx 5 Fsbd 2 Fsad

a

C

Teorema de Green: Green's Theorem:

E E

M dx 1 N dy 5

C

C

F ? N ds 5

EE

E E1 R

S

E

F ? T ds 5

C

E

C

F ? dr 5

E

C

EE R

= f ? dr 5 f sxsbd, y sbdd 2 f sxsad, y sadd

scurl srot Fd ? kdA

div F dA

R

Teorema de divergencia: Divergence Theorem:

EE

2

N M 2 dA 5 x y

F ? dr 5

F ? N dS 5

EEE Q

Teorema de Stokes: Stokes's Theorem:

div F dV

E

C

F ? dr 5

EE S

scurl srot Fd ? N dS

1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1137 10/27/08 Larson-15-08.qxd 1:48 PM Page 1137 3/12/09 20:21 Page 1137 1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1137 1053714_1508.qxp

10/27/08

1:48 PM

Page 1137

15.8 15.8 Stokes’s Stokes’s Theorem Theorem SECCIÓN 15.8 15.8 Teorema Theorem de Stokes Stokes’s 15.8 Stokes’s Theorem 1137 15.8 Stokes’s Theorem 15.8 Stokes’s Theorem See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

1137 1137 1137 1137 1137

1137 Exercises 15.8 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.8 Exercises Ejercicios 15.8 See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.8 8 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.8 In 1– the F.F. vectorial F. Motion In and aa En los ejercicios 1 find afind 6, hallar el of rotacional delfield campo Movimiento de un líquido En los21 21 motion ymotion 22, elof moInExercises Exercises 1–6,6, thecurl curl ofthe thevector vector field Motion of of aa Liquid Liquid In Exercises Exercises 21ejercicios and 22, 22, the the of Exercises See vector www.CalcChat.com for worked-out solutionsMotion to odd-numbered exercises. In 15.8 In Exercises 1– 6, find the curl of the field F. ofaand acylindrical Liquid Exercises 21 and 122, the motionbyofthe a liquid in container of radius isisdescribed rcises 1– 6, find the curl1.ofFthe vector field F. Motion of a Liquid In Exercises 21 22, the motion of a vimiento de un líquido en un recipiente cilíndrico de radio 1 se liquid in a cylindrical container of radius 1 described by the x, y, z 2y z i e j xyzk

2y zz ii eezzjj xyzk 1.1. FF x,x,y,y,zz liquid a cylindrical container ofrotradius 1 dS, is described by the 2y the xyzk FF FF velocity field S the liquid ofinof radius 1 x, is described by describe campo Hallar Fwhere xwhere x,motion y, zcS.S is In1. Exercises 1– 6, find vector field in F. a cylindrical container Motion amediante Liquid Exercises 21velocidad andNN 22,dS, the of a x,y, y,zIn zel. . Find rot velocity field Find is the the x, y, z 2y z 2i curl e z2jof the xyzk S de z j F xyzk 2 F x, y, z . rot F N dS, S velocity field Find where is the x, y, z 2y z i e 2. F x, y, z x y x 2i 2j 2k upper surface of the cylindrical container. S F x, y, z 1– 6,x2 find i the y2 j curlx2 of k the vector rot Fcylindrical N of dS,thedonde S es velocity field F x, y, z . Findliquid where is of the S la superficie superior del reciin a container radius 1 is described by the upper surface cylindrical container. In2.2.Exercises field F. Motion of a Liquid In Exercises 21 and 22, the motion of a S F x,x,y,y,zz x2yi zy i j2 exz j k xyzk upper surface of the cylindrical container. 2 F x, y, z x 2 i y 2 j 1. x3. container. piente F x,i y, zj . container rot FF x,Ny,1dS, Syk velocity field Find where is the liquid incilíndrico. a zcylindrical of radius is described by the 2zii 4x 4x2 2jj zarctan arctanxxkk upper surface of the cylindrical 3.k FF x,x,y,y,zz 2z S F x, y, 2k z z i 21. 22. x, y, z of the i cylindrical j 2k z i yk 21. Fsurface 22. F x, y, z 22yi xk 2 z2 ji j xe2arctan 1. j x j xyzk FF x,x,y,y,zzz x2z i yy4x k upper x, y, z 2z i 4x 2 j 2.3. arctan F y,jzj 2 . Find rot N velocity field yz 4. 2k z ii 1S yk 21. 22. 2k sx,x,y, y,zx, zd y, 5zix, i1 2k ykS container. y,zdS, zd 5 where 2z ykis the 21. FF 22. FFsx,x,y, y, z xx2sen sen yi2i yycos cos x j yz k 4. FF x,x,xy,k F x, y, z i j 2k F z i 21. 22. 2 2 22 x j F x, y,yz x xsen yz k yi 2jj eyy 22cos x2arctan 2. zk2 upper surface of the cylindrical container. zzz2 k 2z ix22i2 yy22y4x x k 3.4. 2i W R I T I N G A B O U T C O N C E P T S x, y, z x sen y i y cos e j xyz k 5.5.FxFFjx,x,x,y,y,y, P TFS x, y, z i B Oj U T2kC O N C E22. z i yk 21. WFRx,I Ty,I zN G A z ex 2 y 2 i 2 ey 2y z 2z j xyz k TSI N GStokes’s A B Ode UTheorem. T conceptos CONCEPTS 2 2 2 3.2 F x, y, z i y ii4x jey cosarctan x2yz k 2kk y 2W Desarrollo z F y,y,zzk xe2z sen xj j xxyz 23. CW ERFPIState Tx,State x, y, z e x y i e y 4.5. jFFx,x,x,xyz arcsen y i 1 6.6. 2j 2k R I T I N G A B O U T C O N y, z i j 2k F x, y, z z i yk 21. 22. 23. Stokes’s Theorem. y, z arcsen y i 1 x2 j y2 k 2 23. z1 k State Stokes’s Theorem. W R IState TEnunciar I N GaStokes’s A BelOteorema UTheorem. Tinterpretation C Ode N CStokes. E P TofS curl. xx 2seny 2 iy yi i e yy2 cos 4.1 FF x,x, 2y,zz 2earcsen y, j x j xxyzjyzk2 ky 23. 5.6. 24. Give physical 23. x, y, z arcsen y i En x j y k 24. Give a physical interpretation of curl. los ejercicios 7 2a 10, verificar el teorema de Stokes evaluando 2 2 Stokes’s In 7–10, Theorem by z 2j 24.RState Give W I T Icurl. NaGphysical A B OTheorem. U interpretation T C O N C E P TofScurl. In 7–10, Theorem by aevaluating evaluating 23. FExercises e x y verify k y 2 k24. Give 5. FExercises x,x,y,y,zz 7–10, arcsen yiverify i e y Stokes’s 1Stokes’s x 2xyz j Theorem 6. physical interpretation 24. of Dar Stokes’s una interpretación física del rotacional. In Exercises verify by evaluating ercises 7–10, verify Stokes’s Theorem by evaluating T ds F dr como integral línea integral doble. 23. Give StateaStokes’s ?drdras ds and integral. 24. physicalTheorem. interpretation of curl. x, y, z5 F arcsen yas i aaline 1integral x 2 jde y 2as kasaeadouble 6.FFF? T T ds F line integral and double integral. CC InCC Exercises verify Stokes’s by evaluating T ds and7–10, F adr as a line integralTheorem and as a double integral. ffand gggbe 25. functions continuous partial 25. Sean f ayphysical funciones escalareswith con derivadas parciales contiCas Let and bescalar scalar functions with continuous partialderivaderiva24.Let Give interpretation of curl. T ds F dr as a lineCCF integral double integral. C f g 25. Let and be scalar functions with continuous partial derivaC S tives, and let and satisfy the conditions of In Exercises 7–10, verify Stokes’s Theorem by evaluating F x, y, z y z i x z j x y k 7. C supóngase que S satisfacen las condiciones del teog be scalar functionsnuas, withycontinuous tives, and let C partial and CS yderivasatisfy the conditions of Stokes’s Stokes’s F T x, ds y, z F dry as az line i integral x z j and25. xas aLet ydouble kf andintegral. 7. F SStokes’s tives, andStokes. let CVerificar andofidentity. satisfy conditions of Stokes’s x, x z j x y k and let C and S25.satisfy Theorem. Verify each rema de cada unathe de las identidades 2,z i z the f and gconditions Let be scalar functions with continuous partialsiguientes. derivaTheorem. Verify each identity. x, y, z y z i C7.xFFS:S:T zzzds jy, z99 xC xFx22yydr k yyas 0integral 2, a line and as tives, a double integral. z 0 Theorem. Verify each identity. 2 2 Theorem. Verify each identity. S: z 9 0 f g dr f g N dS a) C S tives, and let and satisfy the conditions of Stokes’s C F C x y y z, i z 2 2 f g 25. Let and be scalar functions with continuous partial derivax, y, z x z j x y k 7. C S f g dr f g N dS a) F x, y, z y z i x z j x y k 8. y , z 8. z 9 x 0 F x, y, z C S y z i x z j x yk fN gdS dr f gthe N dS a) Verify each identity. C and S S satisfy C tives, let and conditions of Stokes’s 2 y2 y 2, z 2iz fTheorem. g a)k C f g dr F x, y, z x z j x y 8. f f dr 0 f g g f dr b) c) 7. C C S S: z 9 x 0 dr 0 dr 00 b) C f f c) C f g g f x, y, z y z i x S:S:zzzj x11 yxxk2 yy 2 f g dr dr 0Sidentity. f dS g g f dr 0 b) c) Theorem. each 2 2 g f g a) C f f f Verify C N 2 2 C f f dr 0 g f dr 0 b) c) S: z 1 x y 26. Demonstrate the results of Exercise 25 for the functions C y y z, i z x0 z j x yk C Demonstrate results ofdelExercise thelasfunctions 26. Demostrar lostheresultados ejercicio2525forpara funcioz 1 x 2 y 2 8.9.9.FFFx,x,x,y,y,y,z9zz xxyz xyzii yyjj zk zk Demonstrate the results ofzf c) Exercise for the functions f f25 gxyz dr gz. a) fnes x,x,Cy,Cy,fzsfzx, y, z. SgdS and Let be dr fz.N25 gSthe felhemisphere dr 0 2yi 2 ji C5 26. yDemonstrate the results26. ofb) Exercise for the0ggSyx, functions F x, y, z xyz y zk 9. f xyz x, y, z S and Let be the hemisphere z x z j x k 8. Sea hemisferio y, z d 5 xyz g s x, y, z d S: z 1 x y x, y, z xyz i y j zk S:S:6x primer 2 g x, y, z fb) y, zLet Sg be gthef hemisphere and 6x 6y 6y z2z 12, 12, primeroctante octante zz x,5z. xx2the yresults 2 dr 2be 22. hemisphere fxyz 0 of Exercise dr 0 c) z. CLetf 25 f x, y, z xyz and g x,26. y, zDemonstrate the for the functions !44f 2S 2 primer octante C S: 6x 6y z 12, 2 2 y2 . z 1 x y 2 2 2 F x, y, z xyz i y j zk 9. z 4 x y . i x j y k F x, y, z z 10. 6x 6y z 12, primer octante z 4 x 2 y 2. x, y, z z2 2 i x2 2 j y2 2 k 10. F C S 27. Let be a constant vector. Let be an oriented surface with aa f x, y, z xyz g x, y, z z. S and Let be the hemisphere 26. the constante. results Exercise 25 for the functions SSbe Let C be constant vector.ofLet ansuperficie oriented surface withcon 27. Demonstrate Sea un avector Sea una orientada yzkk octante F 6x x, y, z 2 zxyz yjja, 2 kS: zi i x x12, primer 2 2 N, C S 27. Let be a constant vector. Let be an oriented surface with a y9. x, y, z z 2 i x 2 j 10. S:S:zz y6y 0 y a 0 C. unit normal vector bounded by a smooth curve Prove that 2, z 4 x y . fvector x, y,normal zan xyz x, y, z by S becurve and hemisphere S be oriented surface with a z.oa Let y2 , 0 x a, 0 y a 27. Let C be a constant vector. Let N,gbounded C. unit vector smooth Provesuave that unitario normal N, limitada acotada porthe una curva 212, , z0211 y teorema a unit normal primer 2 2N, bounded by a smooth curve C. Prove that i z axx20, j a, y 20k octante FS:x, y, zay 6y En ejercicios utilizar el deunit Stokes para eva-N, bounded zC. 4 a constant xvector z y 2, 0 x a, 10. 0 los yz6x C. Prove normal vector byC a be smooth curve S be an oriented surface with a 27. Let Letthat Demostrar quey1 .vector. In use to evaluate 1 C r dr. 2 Stokes’s C FF dr. 2 11–20, luar Utilizar sistema algebraico computadora y dS dr. InExercises Exercises 11–20, use Stokes’s evaluate xun ja, y02 k Theorem FeCzx,Fy,?yzdr. 10. ,11–20, S: 0z 2 i xuse yTheorem a totopor C. Provewith normal vector bounded curve surface thata C dS 12N,vector. C Let r byS adr. CCCbe N 27. unit Let aNconstant besmooth an oriented F dr. In Exercises Stokes’s Theorem evaluate 1 Use a computer algebra system to verify your results. In each S C 1 2 CC C r dr. C N dS F dr. rcises 11–20, use Stokes’s Theorem to evaluate verificar losy 2resultados. En cada uno de los casos, C está orienUseS: a zcomputer algebra system to verify your results. In each S dr. C C N dS C r , 0algebra x a, 0 toy verify a your from unit normal a smooth curve C. Prove that C ? N vector dS 512N,C bounded sC 3 rd by ? dr. Use ato computer system results. In each2 S CC case, issentido counterclockwise as above. 2 CC r dr. computer algebra system verify your results. S fromcomo tada en contrario a In laseach manecillas reloj vio C In Exercises 11–20, use Stokes’s Theorem todel evaluate case, isoriented oriented counterclockwise asviewed viewed above. S C C F sedr. N dS C case, is oriented counterclockwise as viewed from above. C A P S T O N E 21 C is oriented counterclockwise as zviewed above. anteriormente. Use a computer algebra system to verify your results. CInFeach C AS P SCT O N E dr. In Exercises 11–20, use Stokes’s Theorem to evaluate ifrom 11. C r dr. C28. A PVerify S T O NN E dS 2Theorem F x,is x,y,oriented y, z 2y 2ycounterclockwise i 3z 3zjj xxkk 11. FC C Afrom Presults. STO N EIn each Stokes’s for case, as viewed above. Use FC: a x, computer algebra system to verify your S C y, z 2y i 3z j x k 11. 28. Verify Stokes’s Theorem for each each given given vector vector field field and and 2, 0, 0 , 0, 2, 0 , 0, 0, 2 triángulo cuyos vértices son x, y, z 2y i 3z j x k C: triángulo cuyos vértices son 2, 0, 0 , 0, 2, 0 , 0, 0, 2 Para discusión 28. Verify Stokes’s Theorem forthe each given vector field and upward oriented surface. Is line integral or the double C A P S T O N E case,C:Ctriángulo is oriented counterclockwise as viewed from above. 28. Verify Stokes’s Theorem for each given vector field and upward oriented surface. Is the line integral or the double 2, 0, 0 , 0, 2, 0 , 0, 0, 2 cuyos vértices son x F x, y, z 2y i 3z j x k 11. upward oriented surface. Is evaluate? the line integral or the double 2, y, 0, z0 , 0,arctan 2, 0 , x0, 0, 2 x 22 y 22j k upward oriented surface.28. triángulo cuyos vértices sonF x, integral toto set to Explain. CIs A the PVerify S Tline ON Eeasier 12. integral or theup? double Stokes’s Theorem for each given vector field and integral easier set up? to evaluate? Explain. 28. Verificar el teorema de Stokes para cada campo vectorial Fx,x,y, y,zz 2y arctan y2 j k x2 12. F xy3ziji lnln i x k 11. integral easier to set up? to evaluate? Explain. x C: 2, 0, 0 , 0, 2, 0 , 0, 0, 2 triángulo cuyos vértices son y F x, y, z arctan ln x y j k i 12. y z 2 2 integral easier to set up? to evaluate? Explain. (a) F x, y, z e i upward oriented surface. Is the line integral or the double y z dado y superficie orientada hacia arriba. ¿Es más fácil x, y, z arctan i ln xC: y j k 28. Verify Stokes’s Theorem for each given vector field and yvértices son 0, 0, 0 , 1, 1, 1 , 0, 0, 2 (a) F x, y, z ey z i triángulo cuyos y C:triángulo 0,0,0, 1,2,1,01, , 0,0,0,0,22 triángulocuyos cuyosxvértices vérticesson son C: (a) F x,easier y, la z integral eset i detolínea 2 2, 2 00, , 0, y z integral towith up? evaluate? Explain. establecer o la integral doble?, ¿de evaupward oriented surface. Is the line integral or the double x,triángulo y, z arctan y j k i ln x 12. FC: (a) F x, y, z e i square vertices C: 0, 0, 0 , 1, 0, 0 , 1, 1, 0, 0, 0 , 1, 1, 1 , 0, 0, 2 cuyos vértices son 2 C: square with vertices 0, 0, 0 , 1, 0, 0 , 1, 1,00 , , y, zz21, 13. 0, 0, triángulo cuyos vértices sonFF x, 2i 1 y,2x i x2xi0,jj 0,ln2yy2 2kkx 2 y 2 j k x,y, y,zz0z , 1, 13. ysetz up? luar? Explicar. square with vertices C: 0, 0, 0 , 1, 0, 0 , 1, 1, 0 , integral easier to to evaluate? Explain. 0, 1, 0 (a) F x, y, z e i 2 F x, arctan 12. C: square with vertices 0, 0,0,01,, 01, 0, 0 , 1, 1, 0 , y, z z i 2x k F x, 2y, j z ≥yson y 2 kC: x, y, z z 2 i 2x j 13. S:S:triángulo zz 11 cuyos xx22 yvértices 00 0, 0, 0 , 1, 1, 1 , 0, 0, 2 2, 0, 1, 0 y z 2 2 2 z ≥ y a) (a) F x, y, z e i F x, y, z z (b) i x j y k 0, 0, 1, 20 2, 2 0, 0 , 1, 0, 0 , 1, 1, 0 , 22 ztriángulo 0 k 0, 0, 0 , 1, 1, 1 , 0, (b)C:F square x, y, z with z2 i vertices x2 j y20, k C: vértices i i y2x j z ≥y 2 son k y, z1 zxcuyos FFx,x, z 1 x 2 y 2, z 13. ≥14. 0FS: (b) F cuadrado x, y, z con z2 ivértices x2 j (0,y0, k0,0),0,(1, 2 2 2 C: 0, 1, 0 portion x,y,y,zz 4xz 4xz i yyjj 4xy 4xy k 14. 0, 0),2(1, (0, 1, 0) square with vertices C: 1, 1,lies 0lies , (b) F x, y, z z i x j y k S: the of the paraboloid y,y20), 2 01, 2 that 2 2 2 Fkzx, y, 1z x4xz i 22, y jz ≥ y4xy S: the portion of the paraboloid0 z,z 1,xx20, that 13. 00k k 2 that lies x, y, z 4xz i y j 14. 4xyS: S:S:zz 99 xzx22i yyy2x z ≥ 2 2 2 2, S: the portion of the paraboloid z x y 0, 1, 0 2 2 below the plane z 4 (b) F x, y, z z i x j y k z ≥ 0 , b) z the x plane S: the portion of the paraboloid y that below z 4lies z y,y,z91z 4xz 0k x 22 i y 2y, j z ≥4xy below the z x24j y2 k 2 2 2 FFx,x, z 9 x 2 y 2, z 14. ≥15. 0FS: x,porción y,portion z plane z2of i paraboloide below the plane z 4 (b)S: S:Flathe the paraboloid y2 that liesdel x, y, z zz2 2ii yyjj zzkk 15. del z = x z+ y xque yace abajo 2 i 2y j F zx, y, 9z xz4xz z k0 k 14. 2 2 x, y, z z 2 i y j z15. k S: S:S:zz 44 xx2i2y , yyy2jz2 ≥ 4xy below the plane z 4 plano z = 4. S: the portion of the paraboloid z x y that lies 2 2 FS:x,z y, z9 4 zx222ix yy2j,y2 z z≥k 0 k PPUUTTNNAAbelow M plane 16. z 4 x 2 y 2 15. M EEXthe XAAM M CCHHzAALLL4LEENNGGEE xyz k 16. FF x,x,y,y,zz xx22 2ii zz2 2jj xyz 16. S: Fsx, y, zd 45 xz xi221 zyyj2j2 2zxyz k yyL L E N GxxE P U T N A M E X A M C H A L LPEUNTGNEA M E X A M C H A x, y, z x 2 i z 2 j 15. xyz kS:S:zzz 44 xx 2 yy 2 k G x, y 29. Let , 2 2 29.T NLet xE4y22, ,00 . . Putman S: z 5 !4 2 U MGx,Ex,yXyA M xCx22H Ay4y L4ydel L2,2E,xxN22G examen x 2 ix 2 2z 2yj2 xyz k y P29. x APreparación xx 4y2, 0 . G Let z 4 x 2 y 2 16. F x, y, z 2 2 2 2 2 , 0 E. X A Mx C H A xx jj29.kkLet G x, y 4yL L xE NxG 4y FF x,x,y,y,zz x 2 ln xx2222j yyxyz arctan 17. 2 2 ,P U 2 T N A2M E 2 2ii i1 2ln arctan 17.S: y x x 4y 4y i z k 16. Prove or disprove that there is ! y 17. F s x, y, z d 5 2ln x 1 y arctan j 1 k z 4 x y Prove or disprove2y that, therex is a,a0vector-valued vector-valued function function x, y, z x j ln x 2 y 2 i arctan yyj k GGx,sor 29. 2 i F arctan 2 there 29.Let Sea x,y ydisprove d 5Mx2x,2 y,that ,N2 2x,xy, 0P. .x, y, z Prove is z2a2, ,vector-valued function x, y, z ln x 2 y17. k 2 2 y F x, y, z z , with the x 4y 4y 2 y Prove or disprove that there is a vector-valued function S: x 3y y F x, y, z M x, y, z , N x, y, z , P x, y, z x 1 4y x 1 4y with the x S:S:zzz 9y94 2x r 2 sen 2 over in the first octant x, Let 2 sobre 2x 3y 2 sen 2 j indethe over first octant F x,zGy, zPyx, Mz xx,2 y,with z4y, 2, Nxthe with the sen 2x, y, z 2,, 0P. x, y, z un pétalo elx, y, z , 29. 5 2octant sin 2u en following properties. x,zzy,5z 99 2 2x ln2 x3y y 2 irrde arctan krfirst 17. FS: 4y F x, y, z M N x, y, , y, S: 2x 3y 2 sen 2 over in the Prove or disprove that there is a vector-valued function following properties. 2 yxy 2 k, 2 2 x F x, y, z yz i 2 3y j x y 16 18. z 9 2x 3y over17. r 2 sen 2 in the first octant 2 i j arctan following properties. x2 y2 2 properties. x,y,y,zz octante yzlni x 22 y3y x 2 yj2 2 k,k following 16 18. FFx,primer Demostrar oPM que hay vectorial Ffor sfor x,the y, zd (i) have all FProve x, zorN, x, y, that zcontinuous , there N x, una y,iszpartial , vector-valued P x,derivatives y, z with disprove afunción function x22 octant y, z y 2 2x yz 3yr j1622 sen x 2 22 yin y the k, first 18. F x, M, N, Prefutar (i)y,M, have continuous partial derivatives all 2 2over 2 y2 2 16 zthe x, y, z yz i 2 3y xthe k, ii 1x3y y2 3y x y 16 portion of over 2 sx 2z 1 2 y 216 2 2 18.jS: FS: sS:x, y,2 z9first-octant dfirst-octant 5 yz sportion 22 dof j x1 d k, x 1 y ≤ 16 M, N, PzM (i) have continuous partial derivatives for the allsi5x,partial sM y, d, con las propiedades N s x, y, z d , P s x, y, z dd x2 M, N, x2 z2 16 over y2 P 16 x,sx,zx,y,y, zderivatives 0, 0, 0 ; following properties. F y, x, y, z , N x, y, z , P x, y, z with (i) have continuous for all z 0, 0, 0 ; 2z 2 2 2 x octant S: y 16 16 portion over zthezz2first-octant 2xover rj x 2 xsen in16the xfirst yz i en 3y2of y2 16 18. x, y, properties. z 0, 0, 0 ; F2Fx,x,x, z9z 16 xyz ii 3y jprimer 19. x2el2yyover the first-octant portion of FxS: guientes. lay,y, octante ydek,x 2 1 z2 5 following x,2y, z sobre0, 0, 0 ; y,porción xyz j y zzkk 16 19. 00for 0,0,0,0,derivatives 00 ;; (ii) Curl M, N,FFP have (i) for all all (ii) Curl forcontinuous all x,x,y,y,zz partial 2 2 2 2y, first-octant F x, z 2y 2 5 xyz16 z kjx 2 xz 2 y16k, i i xportion 2y ja, 3y 18. of overx x 2 y y 2 1616 F 0 x, y, z 0, 0, 0 ; (ii) Curl for all x, y, z xyz i y j 19. z k S: i) tienen derivadas parciales continuas en todo M, N, P S:S:the zxz 1 xx ,2, 0yz 0 y a x, y, z 0, 0, 0 ; N,y,y, (i) M, continuous partial derivatives for all 0,x,x, 0, 0P (ii) Curl F 0 for all x, y, z(iii) 0 x a, 0 2 y 2a FF 0;0 have GG x, 2, x,dy;y . . (iii) S: zisthe 0xyzii x1portion z a surface. 16 over x 2 y 2 16 s x, y, z d Þ s 0, 0, 0 y,y,the zazxfirst-octant yunit zz0of kk x yto the 19. sx, d downward 5 xyz yjja,1normal F x, y, 0 G x, y . (iii) x, y, z 0, 0, 0 ; NN z x 2, 0 x a, 19. 0 FF yx, Fcomposed 0 forbyall x, y, z on 0, 0,Putnam 0 ; Prize Competition. (ii) Curl G x, y .This is the downward unit normal to the surface.(iii) F x, y, 0 problem was the Committee the This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. N is the F zx, y, ya, j normal 19. ii) Rot F 00para sy, x, zy, All zAll dÞ 0, 0, ; Competition. todo S: zx,5 , 00xyz ≤ ixx ≤unit a, ≤2 the 2 S: xxz22,downward 00z k≤ y to a surface. ©©The Mathematical of America. rights This problem was byx,the on the F5 0,sPutnam 0,reserved. 0 ;0dPrize (ii) Curl for all s the downward unit normal the xyz aa22problem was composed by the Committee 20. x,Putnam y,composed 0Association G yofCommittee .x, (iii) The Mathematical Association America. rights reserved. onFthe Prize Competition. x,y, y,zz2surface. xyzii yyjj zzk, k, xx2 2 yy2 2 This 20. FFto 2 © The Mathematical Association of America. All rights reserved. F x, y, z xyz i y j z k, y a x 20. S: z x 0 x a, 0 y a , el vector a la dirigido iii) sx, y, G x, 2 2 © Mathematical Association of America. All F rights reserved. 2 surface. ises2the unitnormal normal tosuperficie, the Fwas x,composed y, 00d 5 by Gsthe x, yCommittee yd.. (iii) S: yy22 hacia aa22 abajo. xx2The portion x, y, z xyz i y j z k,NN ydownward aunitario 2 This problem on the Putnam Prize Competition. S:x the thefirst-octant first-octant portionof ofzz 2 xx2 2over over 2 2 x 222 y 2 2 x1 2surface. ©Este The problema Mathematical Association ofelAmerica. Allon rights reserved.Prize Competition. S: z a the first-octant portion over N is the downward unit normal to the 20. F s x, y, d 5 xyz y j 1 k, x y ≤ a fue preparado por Committee thePutnam Putnam 2 zz 2 ii 1 2y 2zzof F x, y, xyz j k, y a x 20. This problem was composed by the Committee on the Prize Competition. y a the first-octant portion of z x over x

E

E

EE

E

1

2 y2 5 a2 F x, z xyz y j of zoctante k,z x2x 2deover yz 25xx2 a2 2sobre 20. S: lay,porción eni elportion primer S: y 2 x2a1 the first-octant

S: the first-octant portion of z

x 2 over x 2

y2

a2

2

©The The Mathematical MathematicalAssociation Association of ofAmerica. America.All Todos losreserved. derechos reservados. © rights

1053714_150R.qxp 10/27/08 10/27/08 1:49 PM Larson-15-09-R.qxd 3/12/09 1:49 20:23 1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM 1053714_150R.qxp PM 1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM 1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM 1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM 1053714_150R.qxp 10/27/08 10/27/08 1:49 1:49PM PM 1053714_150R.qxp 1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM

function.

Page1138 1138 Page Page 1138 Page 1138 Page 1138 Page 1138 Page 1138 Page1138 1138 Page Page 1138

3. f x, y, z

2x 2

xy

z2

4. f x, y, z

x 2e yz

In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.

1138 1138

1138 1138 1138 1138 1138 1138 1138 1138 1138

5. F x, y

Chapter 15 15Vector Analysis CAPÍTULO Análisis vectorial Chapter 15 Vector Analysis Chapter 15 Vector Analysis Chapter 15 Vector Analysis Chapter 15 Vector Analysis Chapter 15 Vector Analysis Chapter 15 Vector Analysis Chapter15 15 Vector VectorAnalysis Analysis Chapter Chapter 15 Vector Analysis

6. F x, y

y i x2

1 j x y j x2

1 i y

E V I E W E Xde E Rrepaso C I S E S See www.CalcChat.com for worked-out 7.solutions 15 REjercicios F x, to y odd-numbered xy xexercises. i x y y 15 R E V I E W E X E R C I S E S See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15 See www.CalcChat.com www.CalcChat.com for for worked-out worked-out solutions solutions odd-numbered exercises. R E V I E W E X E R C I S E S See toyto odd-numbered exercises. 15 F x, 2y sen 2x i 8. RREEEEVVVVIIIEIEEEW W EEXXXXEEEERRRRCCCCIIIS SSEEEESSSS SeeSee See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 3y 1 15 R W E S www.CalcChat.com for worked-out solutions tototo odd-numbered exercises. 15 See www.CalcChat.com forworked-out worked-out solutions odd-numbered exercises. W I See www.CalcChat.com worked-out exercises. R E www.CalcChat.com for solutions odd-numbered 15 15 R E V I E W E X E R C I S E S See www.CalcChat.com forfor worked-out solutions odd-numbered 15 F x,totoy, zodd-numbered 4x y exercises. iexercises. 2x j 2z k 9.solutions In Exercises 1 and 2, compute F and sketch several represenx y ds 23. 2

2

2

3

2

2

2

2

j

CAS

cos 2x j

2

2

InExercises Exercises and 2, compute and sketch several representative vectors vector field.iFFi Use adibujar computer algebra system i and En los ejercicios 1the y2, 2, calcular yand varios vectores re4xy z 2 i 2x 2 6yz j 2 xz k FF In Exercises and 2, compute sketch several represenIn 1111in and compute sketch several represends F x, y, z 23. C xxx222 yyy22210. F In Exercises and 2, compute and sketch several represends 23. ds 23. tative vectors in the vector field. Use a computer algebra system to verify your results. 2 2 presentativos el2,2, campo vectorial. un sistema algeIn Exercises and compute and sketch several represenFF In Exercises and 2, compute and sketch several represenx t y22 1ds sen t i 23. C: C r tative vectors in the vector field. Use computer algebra system tative vectors in the field. aaaUtilizar computer algebra system InExercises Exercises and 2, compute and sketchseveral several represenFF In 11111en and compute and sketch represen1 yz i cosxz t jj, 0xy k t 2 CC xx FUse In and 2,vector compute and sketch several representative vectors in the vector field. Use computer algebra system 2222 yyy 2y 2ds ds 23. ds 23. toExercises verify your results. ds Fsen 23. C: 23. 2 2 11. C xx x x, ty,iz 1 cos t2 j,2 0 t 2 braico por computadora yfield. verificar los resultados. tative vectors in the vector field. Use aacomputer computer algebra system tative vectors in the vector field. Use computer algebra system y ds 23. to verify your results. to verify your results. r t 1 tative vectors in the vector field. Use a computer algebra system tative vectors in the vector Use a algebra system C C y zj, 00 tt 22 Fvectors x, y,your z inresults. x i vector j 2field. k x, y i algebra 2y j system 2. aFcomputer to1.verify tative the Use C rr 2tt C C: sen ttt iii cos ttt j, C: 11 sen 111 cos C r C: sen cos j, 0 t 2 to verify your results. x tt y 211ds sen 24. C: to verify your results. toverify verify your results. to your results. r t i 1 cos t j, F x, y, z x i j 2 k F x, y i 2y j 1. 2. C: r t 1 sen t i 1 cos t to1. verify your results. C: 1dssen cos tj,j,j, 0x000j0 tttkt t 22222 C: t2t2t y121212. tt ity,i iz 111sencos 2. Fsen x, z tyt ij, Fsx,x, x,y,y, y,zzzdz 5 xxxxiiii1 jjjj1 2222kkk k Fsx,x, x,yyyyd 5 iiii2 2y 2yjjjj 1. FFF 2. FFF 2y 1. 2. Crsrxr C: sen cos x 24. 24. 1 y d ds 2 2 2 2 x, y, x, 2y 1. 2. In the for the scalar ds 24. C xxx2 yyy2 ds 24. FFFx,x, xxixii i 4,jjjfind x, ii i 2y 2y x, y, y, zz 3 and kk gradient x,x,yyyy ifield 2y 1. Exercises 2. FF vector ds 24. C r22 t j 2222k2k 2y jjjj 1.1. 2.2. C: t t sen t i sen t t cos t j, 0 t 2 222cos CC xx F x,x,y,y,y,zz z 3 xand x i 4,j find k y i 2y 1.1.FExercises 2.2.FFFx,x, 2x 2 yyy 2y ds 24. In thegradient gradient vector field forj the thescalar scalar ds 24. function. 24. x ds 24. 2 2 C In 13–20, find the divergence In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalar In Exercises 3 and 4, find the vector field for En los ejercicios 3 y 4, hallar el campo vectorial gradiente de la xrrsttd 5y scos dsdsExercises 24. C: C: cos t t sen t i sen cos j, 0000≤ tttt≤ of 2 the vector field F t 1 t sin t d i 1 s sin t t2 t(a) ttdttj,j,j, 2p sen sen C In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalar C C rr tt C C: cos sen curl sen cos C: cos sen ttt iii ofsen ttttcos cos function. C r In Exercises 333and and 4, find the gradient vector field for the scalar In Exercises and 4,4, find the gradient vector field for the scalar andttt (b)xttt the thettt vector field F.0 t 222 C: t cos sen sen cos t j, function. function. In Exercises and find the gradient vector field for the scalar In Exercises 3 4, find the gradient vector field for the scalar 2x y dx 2y dy función escalar. 25. 2 2 2 yz x, y, z fieldx for 3.Exercises 4. f vector f x, y, z 3 and 2x 4, find xy thez gradient e the scalar In function. C: cos tt tt tsen ttitii i sen sen C:Crrrrttt t cos cos sen sen cos j, 00 tt 22 cos sent2y sen tcos costtttj, tj, tttt t ttttcos function. C:C: r 2x t sen t i dy 2sen cos j,j, 000 tt t 222 function. ycos dxtt t txtxxsen 25.C: 25. function. function. x,y, y,zzz xxx222eeeyzyzyz 3. fff x, 4. fff x, x,y, y,zzz 2x 2x222 xy xy zzz222 2j 2z k function. 2x y dx 2y dy 25. 2x y dx 2y dy 25. F x, y, z x i xy x 13. x, y, 3. 4. x, y, 2x xy 3. 4. y dx x from 2y dy 25. (a) C 2x C: line 0, 0 to 3, 3 segment x, y,vector z x22eyzyzyz is conser3. f x, y, z 5–12, 2x222 determine xy z222 whether 4. f the CC 2x In dx 2y dy 25. 2x dx 2y dy 25. 2x dx 2ydy dy 25. (a) yyyyydx xxxxx,x y, 2y 25. 2 2 xy C 2x 2x xy x,x,y,y, y,y,zzzz xxx2x22field 3.3.Exercises x,x,y,y, y,y,zzzz 2x 2x xy 4.4.fff fx,x, 2k 3 2x xy zzzz22z 2 4.4. 3.3. ffff fx,x, eee2eyzeyzyz 2x dx 2y dy 25. 2 C: 0,y0020jsto line segment from to 03, F z z3, 14. a) segmento de recta desde hasta –3) the circle C: 0, d3, C f x, y, z x x, y, z 2x xy 3. 4. C In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser(b) one segment revolution around vative. If it is, find a12, potential function for the vector C C: C C: line 0, (a) line segment fromcounterclockwise to 0, 333 (3, (a) from In Exercises Exercises 5–12, determine whether the vector field field. is conserconserIn 5–12, whether vector field is C C: line segment from 0, 0 to 3, En los ejercicios 5 adetermine determinar si elthe campo vectorial es con(a) In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser0, 0 3, 3 (a) line segment from to C: 0, 0 3, 3 (a) line segment from to C: (b) one revolution counterclockwise around the circle vative. If it is, find a potential function for the vector field. F x, y, z cos y y cos x i sen x sen y j xyz k 15. b) en sentido contrario a las manecillas del reloj a xlocircle largo C: x 3 cos t, y 3 sen t (a)C: linesegment segment from 0,0,0,000to (a) from In Exercises 5–12, determine whether the vector field conserIn Exercises 5–12, determine whether the vector field is conserC:line (b) one revolution counterclockwise around the circle C: (b) one revolution counterclockwise the vative. If it it is, is, find potential function for the vector vector field. vative. If find aaadetermine potential function for the field. InExercises Exercises 5–12, whether the vector fieldisis isconserconserIn 5–12, whether vector field servativo. Si es conservativo, hallar unathe función potencial para el C: (a) line segment from toto3,3,3, 333 around y determine 1 In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conserC: (b) one revolution counterclockwise around the circle vative. If it is, find potential function for the vector field. x 3 cos t, y 3 sen t del círculo x 5 3 cos t, y 5 3 sin t sen 5. F If C: x, j (b) one revolution the vative. If aia potential function for the vector field. (b) one revolution counterclockwise around the circle vative. Ifyitit is, is, find find potential function for the vector field. x, y, sen zcounterclockwise yaround 2z jthe zcircle 3x k 16. cos xC: 333 cos t,t,t, yF ttt 3x y i (b)C: one revolution counterclockwise around thecircle circle (b) revolution counterclockwise around vative. find potential functionfor forthe thevector vectorfield. field. vative. function campo vectorial. one revolution counterclockwise around the circle vative. IfIfitititis, is,is,find find potential function for the vector field. xxC:one cos yy x 333 sen sen xyyy2aaapotential x1 2x ycos dx 3y 26. (b) xC: 5. FFFx, x,yyy t,t,t,yyyFy x, 33y, sen ttdy xx 3333cos cos sen 2j 2k yx 2iii 111xjjj cos 3 sen t x t, 3 sen t 5. x, 5. z arcsen x i xy yz 17. C y sxx31sen 2x 23 yyycos yd dx dxt,1 3ydtdy dy 26. sx2x 26. 2x dx 3y dy 1 yxyxy2y22 i y 111xx1 j 5. F x, y 2x dx 3y dy 26. xxx 3y 26. 6. FFF x, x,yyy iyx ii 1jxjj 5. x, dx 3y dy 26. 2sen t CC 2x 5.5. C: t yy cos t F xx, t sen t idy t senx t j,sen02y j t 2 y, z 18. 5.5.FFFx,x,x,yy y 1y11xxx2x222i2i ixyyy2xxxxjj j CC r 2x dx 3y 26. 2x y dx x 3y dy 26. 2xt yy ydx dx t xx xt sen 3y dyx sen yt i t sen 26. C: 3y dy 26. C 2x 6. FFFx, x,yyy 2x dx 3y dy 26. 1yxiii 2 xy 2xj2jj r cos t i t j, 0 t 2 sen sen sen C: r s t d 5 s cos t 1 t sin t d i 1 s sin t 2 t sin t d j, 0 ≤ t ≤ p y2 6. x, 6. C C Crr tt C C: cos sen sen sen j,x 2000 y 2ttt j z2k C: cos ttt F x, ttt sen ttt iii ln sen tttlnj,j, 6. F x, y 111yy1xy i yy22x j i y, zuse x 2 ttt y 2ttt sen i algebra 19.and 7. x2y y2 j C r t C: cos sen sen sen 22 CAS In Exercises 27 28, a sen computer system to x,x,yyyy 1yiii i 2 yxy2xx22y2j2jjj2 6.6.FFFFx,x, 6.6. C: r t cos t t sen t i t t sen t j, 0 t 2 2 2 C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j, 0 t 2 C:rr rtt t cos costt t ttsen tsen sen sen tsen sen tj,j, 000 tt t C: tt iti i zsen ttzt ttsen tt j, 222 6.7.FFx,x,y y yyyyixy22 x3xxx2 xj22 i y 2 y1yy22 jjj cos 2x j C: cos sen CAS evaluate In Exercises Exercises 2727 and 28, usethe computer algebra system to F x, x, yyy 8. the line integral over given path. xy2y 7. FF i i xxxx222yyy3y xx2 i2x 7. y xy 2 x sen CAS In CAS In Exercises 27 and 28, use aa icomputer computer algebra system to 27 and 28, aaun system to En los ejercicios yF28, utilizar sistema por compux, xy 7. y222 j j algebraico z 2algebra x, y, zuse k 20. 222 3 2x222 i 222 CAS 2 In Exercises 27 and 28, use computer algebra system to 2 2 2 2 F 7. x, y xy x i x y y j F x, y xy x i x y y j 7. 2y 2x i 3y 1 cos 2x j 8. evaluate the line integral over the given path. x y 2x 32xisen 2y 3 2 F x, y xy 7. x i x y y j F x, y xy i y j 7.7. 2 2 2 2 CAS In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system to CAS In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system to F x, y, z 4x y 2x j 2z k 9. 2y3 sen sen 3y2 y111 j cos cos 2x 2x jjj 8. FFF x, x, 8. evaluate the line integral over the given path. evaluate line integral given path. CASIn tadora y the calcular la integral deathe sobre la trayectoria dada. CAS InExercises Exercises 27and and 28,over use acomputer computer algebra system 27 28, use algebra system to xy 2y x i2x CAS x,yyyy 2y In Exercises 27 and 28, use alínea computer system toto sen 2x i2ii x y3y 3y cos 2x 8. evaluate the line integral over the given path. 2 algebra 2sen 333y232sen 22222k 2y 2x 3y cos 2x 8. 2x y ds xpath. y 2 z 2 ds 27. 28. evaluate the line integral over the given path. FFFx,x, x, yy, 2y 2x 3y cos 2x 8. x,yyy, y, 4x isen2x 2z 9. evaluate the line integral over the given path. 22xii2i2i ij 3y y zzz 2y 2y 3y cos 2xj2jjjxz j k 8.FF 1k1111 6yz cos 2x 8. evaluatethe theline line integralover overthe the givenpath. evaluate integral given 3ysen 2k x, 4xy z 2x j 10. 4x i 2x j 2z 9. F x, 4x y i 2x j 2z 9. F x, y 2y sen 2x i 3y cos 2x 8. evaluate the line integral over the given path. 2 2 In the along the given 2 line2 integral C x2 4x y22 i 2x j 2z2k 9. F x, y, z 2x 1 yyyd ds ds Exercises 21–26, ds 27. C s2x 28. evaluate 2222ij2j 4x 2x 2z 9. 2x ds ds 27. 28. 27. 28. FFFx,x, x, y, 4x 2z 9.9.FFF x,y,y, y,zzzzzz 4x 4xy z2x 2x 6yz jjj 222xz xzkkk 10. sxx2222 1 yyy2222 1 zzz2222d ds 2kk 6yz 2j22x 4x 2z yyyy2i2yiii2i i xz2x k22k 9. 2ijj jxy2z 3 3 3 2 path(s). yz k x, y, 4xy z 2x xz 10. x, y, 4xy z i 2x 6yz 10. y ds 27. 28. Ct 2x a cos Ct x2 t i y2 t 2 jz2 ds F x, y, z 4x 2x 2z k 9. 2 r r t i a sen t j, t k, 2 2 2 4xy z22 2 i 2x22 6yz j 2 xz k 10. F x, y, z 11. 2x ds ds 27. 28. 2x yyyyds ds ds3 2 27. 28. ds 27. rCCCC2x 28. rCCCCxtxxx2x2 2 tyiyyy2y2 2 t 2zzzzj22z 2ds 27. 2 2 6yz 3 4xy zz22zjzjj2iii i xy 2x 6yz 10. FFx,x, x,x,y,y, y,y,zzzz 4xy 4xy 6yz xzkkkk 10. yz xz xy ycos ds dsds 27. 28. yzxz 4xy 2x 6yzjjjjj 2222xz 2xz 10.FF 2x 10. 2 td2x2x acos asen sen333tttj,j,j,28. 3 22 k, 32 222 j 33 tttiii 1 a CC CC yz xy kk iiii xz k2x FF x,x, y,y, z z yz 4xy z 2j 2i xy 2x 6yz xzxz k 10. 0 t 0 t 4 C C C C r t t i t r t a cos a sen k, r t t i t r t a j ttt33y2 11. s 5 sin s d 5 1 1 3 3 2 3 2k, yz xz k C C F x, y, z 11. 11. rt a cos321. t i ax sen k, 2 33 t 2j, yxz 2j2jjzzj22 xxy 2k, ytj,j,j, ds rrrr0rttttt tttittitiii 4tt2tt2t2jj2jjj tt3tt3t3232k, yz ii i z xz xz xy kkkk x, y, y, zz yz 11. FF x, yz xz xy 3tt ii 2k, 3 32 3 3 sen y i j 12. r t a cos a sen t yz xy y i k y z r t a cos a sen t 0 t 2 2 r t a cos t i a sen r t a cos t i a sen t j, 32 11. y jz xy k Fx,x, x,x,y,y, y,y,zzzz yz i xz 11. py2 r000t ≤ ttt t≤i 444 t 2 j t 3 2k,k, r000t ≤ ttt a≤ cos t i Ca sen3 t j, 11.FF 11. 22Area FF 11. Lateral Surface In Exercises 29 and 30, find the lateral Fx, x,y, y,zzzz sen senzzzyyyyy2iy22zi2iz2z22z22 xxxjjj kkk 12. 0 t 2 0 F x, y, sen 12. F x, y, 12. 44 0) 0000 ttt t 2222 (a) C: line segment 0000 from tttt t 4440, 3, 4 lateral to under F x, y, z 13 –20, sen zfind y iz (a)x jthe divergence k 12. In Exercises of the vector field F Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the surface area over the curve in the -plane and the C xy sen 12. Lateral Surface Surface Area Area In In Exercises Exercises 29 and and 30, 30, find find the lateral FFx,x, x,x,y,y, y,y,zzzz sen sen kk 12. Lateral 29 the lateral senzzzzzyyyyiyiii i xxxxjxjjjj kk 12.FF 12. Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateral 2 2 Área de una superficie lateral En los ejercicios 29 y 30, hallar el F x, y, z sen k 12. InExercises Exercises 13–20, –20, find (a)the the divergence ofthe thevector vectorfield fieldFFF and (b) the curl of the vector field F. surface area over the curve in the -plane and under the C xy x C: y 1, (b) one revolution counterclockwise, starting z f x, y . surface Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateral In Exercises 13 –20, find (a) the divergence of the vector field In 13 find (a) divergence of Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateral C in xy surface area over over theIn curve in the the -plane andthe under the surface area the curve -plane and under the C xy Lateral Surface Area InExercises Exercises 29and and 30,find find the lateral Lateral Surface Area 29 30, lateral In Exercises 13 –20, findvector (a) the divergence of the vector field F Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateral surface area over the curve in the -plane and under the C xy área de la superficie lateral sobre la curva C en el plano xy y bajo and (b) the curl of the field F. z f x, y . surface 1, 0 at In Exercises 13 –20, find (a) the divergence of the vector field F In Exercises 13 –20, find (a) the divergence of the vector field F C xy surface area over the curve in the -plane and under the and (b) the curl of the vector field F. and (b) the curl of the vector field F. C xy surface area over the curve in the -plane and under the In Exercises 13 –20, find (a) the divergence of the vector field F In Exercises 13 –20, find (a) the divergence of the vector field F 2 2 2 z f x, y . surface zzyarea ffover y sen ..the surface over theycurve thexy -planeand andunder underthe the surface -plane En los ejercicios afind 20, hallar a) campo vecF(b) x,the y, zcurl x13 xy j the xfield z klaF.divergencia 13.Exercises In 13 –20, (a) divergence of thedel vector field F and ofi the vector 29. f x,area 3x, xcurve y CCCin xyxy surface area ininthe the -plane and under the x, surface la superficie zover 5yfthe xx, c.curve and (b) the curl of the vector field and (b) the curl of the vector field F.F.vectorial F. surface 2the 2del 2z k x, surface and (b) the curl of thevector vector field and (b) the curl of field F.F. x,yyyyy....sen . x y surface zzzzzy fffffx,x, surface torial F y b) el rotacional campo F x, y, z x i xy j x 13. 2 and (b) the curl of the vector field F. 2 2 2 2 2 2 29. f x, 3 x, surface 22.sen x, y, z 2kjjj xxx2zzzkk 14. xy k 13. FF xxxy2iiij xy 13. f x, x,yyyy 2x333desde sen x0, xxy0ds 29. ffC: 29. yyyhasta 2, 4 F x, x, y, y, zzz xy 13. 29. x, sen 2i22i Cx xy xx2x22xz2z2zkzk 13. FFFx,x, x, y, xy kk sen x x sen y j xyz k 13. x,y,y, y,zzzzzz xxxy2yx22ycos z222222jkkjy2kjjcos 14. 29. f x, y 3 sen x y 29. f x, y 3 sen x desde hasta 2, C: 2x 0, 0 2,444 xy 13.FF i222ijjij yxy x 13. 29. f x, y 3 sen x yhasta 29. f x, y 3 sen x y x, y, i 15. z 14. F x, y, z 14. f x, y 12 x y 30. F x, y, z x xy j x z k 13. C: y 2x 0, 0 2, desde 00 yyhasta sen(a)x0, 29. fC: y22 j z222 k 14. F x, y, z line segment desde hasta C:x,yyy 2x 2x3 desde 0,C: 2, 4 from 0, 0 to 5, 4 2jj yzz 2kk 2y 2zkk F x, y, z y j 14. F x, y, z y 14. cos y cos x i sen x x sen y j xyz k 15. C: y 2x desde 0, 0 hasta 2, C: y 2x desde 0, 0 hasta 2, f x, y 12 x y 30. F x, y, z 14. F x, y, z y j z 14. 2 2 2 C: y 2x desde 0, 0 hasta C: y 2x desde 0, 0 hasta 2, x, y, 3x jsen 16. cos cosyxxx iii 2z sen senxxx z xxx3x senkyyy jjj xyz xyzkk k 15. FFF x, y, sen 15. x 12 0,yy0C: 2,2,444444 desdexxx(b) hasta ycos j yyy zy kiyyy cos 14. f x, x, 12 y0 hasta 30. C: ffC: 30. yyyyy 2x 0, 2, desde F x, x,y, y,zzzz cos cos sen xyz 15. counterclockwise around the triangle with vertices x, 12 30. 2 cos sen xyz 15. FFx,x, x, y, cos cos sen xyz k 15. x,y,y, y,zzzz cos 3x 2zsen jsen 3x 16. 2 xxxx z xxxsen 12 30. x,x, 12 30. 0, 2,444 desde hasta 2, cosyyyyyyyxyyiyyiyicos ycos cosxxyx2xiii i 2z xsen sen xyz 15.FF ykyykykyjjjjj xyz kk 15. 22 fC: 12 30.ffffC: x,x, yyyyyy xxx12 xxxxx 0, yyyy0y00 hasta 30. x, y, arcsen 17. 3x 3x 16. x, y, 3x jsen 16. FFF cos sen sen xyz kk 15. C: 0, 2, desde hasta y desde x, 12 30. 0, 0 , 4, 0 , 0, 2 2 F x, x,y, y,zzzz 3x y i cosxyyyxy 2ji 2z 2zyz jj 2kx zzz x 3x 3x k 16. C: y x desde 0, 0 hasta 2, 4 3x yxyy22jjj2z 2z j2jjy22kkkj zzzz 3x 3x 16. 2desde FFFx,x, x, y, 3x 2z 3x kk 16. x,y,y, y,zzzzzz 3x arcsen 17. 2 C: C: yy xx222desde 0, 00 hasta 2, 444 desde hasta 2zyz 16.FF yyyyyxxyxiiiiiii xy yxy jyz 16. F2, In Exercises desdeevaluate hasta2, C: 0,0, x, y, x3x sen 18. arcsen xy yz 17. x, y, arcsen 17. FFF x, y, zz 3x y 2 j 2z j 2 k z 3x3xkkk 16. C:C:yy y xx x2 31–36, 0,0,000hasta 2,2,44dr. desde hasta x, y, arcsen x i xy yz 17. 2 2 C F 2j2j 2k 2 2 2 2 dr. In Exercises 31–36, evaluate F x, y, z arcsen x i xy yz 17. F x, y, z arcsen x i xy yz k 17. F x, y, z x y i x sen y j 18. 2 2 2 2 2 2 2 2 arcsen 17.FFFFx,x, y,y, z arcsen kkyjkj j z k 17. 2y F dr. dr. In Exercises Exercises 31–36, 31–36, evaluate evaluate CFF In x, y, ln ixyxy xyz 19. sen 18. xxx2x xyxyyixiiyii xy xxx2jjlnj sen 18. yzyz 17. 2yy dr. In Exercises 31–36, evaluate F x, x,y, y,zzzz arcsen sen j2 18. F x, y xy i 2xy j 31. 2 2 C C 2 2 2 2 2 En los ejercicios 31 a 36, evaluar F ? dr. F dr. In Exercises 31–36, evaluate 2 2 2 2 dr. In Exercises 31–36, evaluate xzln sen 18. FFx, x, y, x x yy iiy i xx ln sen 18. x,y,y, y,zzzzzz xln lnsen x22 2yyyyjyjyjy2j2 jjj zzzkkk 19. dr. InExercises Exercises31–36, 31–36,evaluate evaluate CFFFF dr. In 18.FF 18. x, y, ln 19. In31. Exercises x, y, xxxsen 19. FFFx,x, y, z x x2 xxx222 yyzyiiyyyi222 iiixx2x ln sen 18. Fx, x, y 31–36, xy j 0 CCCtC 1Cdr. 2 y jy 2 j 2 i i evaluate 22xy ln ln z k 19. C: r t t t j, F x, y xy i 2xy j 31. F y xy i 2xy j 31. i j z F x, y, z k 20. 2 2 2 2 C xy2 i 2xy j 31. F x, y ln ln 19. FFx,x, x,x,y,y, y,y,zzzz ln ln ln xx2 22 yy2 22jj zzkk 19. zxxx2x222 zyzzyyy2y222iii i 2ln 19.FF 19. 2 j,jj 0 zxzzln xy 31. FF x,x, y,y, z z ln xi z yj i z22 k lnlnxx x2 yy y2 jj j zzkzkk 19. F x, C: t2x2iiiii i y2xy 31. t222xy 20. F 31.FF x,x, jj j00x ttty j 111 31. F x, 32. C: ryryyyyttytt xy txy tt2xy j, C: rx, txy t2xy F x, y, z i j z k 20. F x, y, z i j z k 20. F x, xy 2xy 31. 2i 2ij, 2 x y C: r t 0 t 1 j, 20. F x, y, z zzxzxz i zzyzyz j z22 k 2 22j, 2j, 2kthe line integral along the given C: rx, zxiii i evaluate zyjjjj zzz22zkk C: rx, F ij, 0300x0xsen x ttttytyyj,jj1j1110 t 2 32.C: FFFx,x, 20. x, y, y, zz 20. C:rx, rtyttyttyt ttt2t42tx2ixii2xicos i tytty2tty2tj, In k 20.FExercises 20. C: r i F i 32. F i 32. C: r 0 t j, F x,x,y,y,y,zz z 21–26, z k i j 20. x y i x y j1 32. F x, y xxxxx yyyyy In Exercises Exercises 21–26, 21–26, evaluate the the line line integral integral along along the the given given path(s). FF x, yyyttytiidiiiiyi 1 32. x, 32. C: ryyyy, td z5 x4s4x4xxxcos cos 3sxxsen F x, y xsen yj,jj, 32. F x, y y x 32. 32. F s x, 2 x djjjjj 000 ttt 222 In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the given In evaluate x i j z1 kytyyttyytj,j, 33. C: r t cos 3 sen C: r t 3 x cosyt i 3xsen 32. FC:x,ryt In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the given 4 0 t 2 path(s). In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the given In Exercises 21–26, evaluate the line integral along given En los ejercicios 21 aevaluate 26, calcular la integral dealong líneathe athe logiven largo path(s). C: rx, cos path(s). C: rx,ty, tty, cos sen tj, z 44444cos xiiittittittiiiiyy1 y j332sen 33.C: InExercises Exercises 21–26, evaluate theline line integral along the given In 21–26, the integral C:rx, tdt zz5 tj, 2t 2 C: cos sin j, sen In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the given cos sen tj, j 000000t≤k,ttttt t≤0 22222p path(s). FF zzkk kkttttj, 33. F xxxcos zsen 33. C: rx,rrrtsy, ty, 4 2cos t i yjjj3333sen sen j, 2 2 F z i z 33. x y ds 21. path(s). path(s). de la(s) trayectoria(s) dada(s). path(s). path(s). F x, y, z x i y j z k 33. iii 1tyttiyiyjiyjzjj 1 33. C: ry, 2z zk sen k, x000 yttt k 222 path(s). F xicos zkkkkz tttjjj x tjttk, 33.FFF x, 33. 33. F sx,x, x,x,ry, y,y,ztzzzd 5x2xxicos zsen 2y 34. C: k, C: 33. ds 21. C xxx222 yyy222 ds C: rry,tttz 222xcos cos tyi j i222zsen sen t j t k, 0 t 2 21. 21. 2 2 ds C: r t 2 cos t i 2 sen t j t k, y ds 21. C x C: r t 2 cos t i 2 sen t j t k, F x, y, z 2y z i z x j 34. 2 2 C: 0, 0) 3, 4 (a) line segment from to C: r t 2 cos t i 2 sen t j t 2 2 C: r t 2 cos t i 2 sen t j t k, ttttyt≤ykk222222p sen C: rcurve sttdzz5of 2cos cos tii z1 2sen sin txjj 1 tjjzk, k,k, 000x00xx40≤and 22221 yy 222d2 ds CCs xx intersection of F x, y, 2y z i z x 34. F x, y, 2y i z x 34. 2 2 C: r 2 t 2 t t 21. ds 21. y2 ds ds 21. (a) yline 21. 2 C xx x 2y z i z 2 x j 2 x ytyy k k 2 z 2 4 from 34. F x, y, z y ds 21. C: 0, 0) 3, 4 segment from to 2 2 C F x, y, z 2y z i z x j x y k 34. C y, 2y z i of 34. C: x22xxxxjd jjjz221 xsxxx42 z22 4 from curve of2y intersection and from C C C: 2, 0of x segment y 1,from (b) one revolution counterclockwise, starting C C: line 0, 0) 0) to 3, (a) line segment from to 3, 0, 44 (a) F y,zzzz2, zd 5 2y0, 34.FFF x, zof yyyyykdk 34. 34. F sx,x, x,x,y, sto 2y 2z0, szzzzxx2 kyk22 C: curve intersection and yk C: curve of intersection C C: line segment from 0, 0) to 3, 4 y,y, 2y zzzidi2ii 1of 34. (a) yy222 zzz222 444 from C: x222 x jzzz222 x444 and curve of intersection of and from C: 0, 0) 3, 444 (3, 4) (a) line segment from to 2,2, 2,of 0ofintersection 0,0, 0,i222 of to C: 0,0,0) 0) 3, (a) line segment from toto0) x222 segment C:segmento y222 de 1, 1, (b) onedesde revolution counterclockwise, starting 1, 0 at C: a) recta (0, hasta 2z jzz 2 zz 2x 2z 2 2 x4 2y 2z 22 4 0) 3, (a) line segment from 0, 3, 4 (a) line from to 2 2 y C: x curve and from y C: x 4 4 curve of intersection of and from F x, y, z y z x y k 35. 2, 2, 0 0, 0, to 2, 0 0, to x C: y 1, (b) one revolution counterclockwise, starting x C: y (b) one revolution counterclockwise, starting C: 4 4 curve intersection of and from y C: x z 4 z 4 curve of intersection of and from 2 2 2 2 0, 0) to 3,counterclockwise, 4 (a) curva C: curve z 5y 4 y z y 14 zfrom 54 2 segment 2 C: 4 and 2, 2, of 0enintersection 0, 2 of x dez x 1 tola0,intersección xat C: line 1,from (b) C: one revolution starting 222 1,y2y20 2, 2, 0 0, 0, 2 to xat C: (b) one revolution counterclockwise, starting 2, 2, 0 0, 0, 2 F x, y, z y z i x z j x y k to 35. x2at C: y00y222 1,1, 1,1,one (b) one revolution counterclockwise, starting 2 2 C: b) una revolución en sentido contrario a las 1, 1, 2, 2, 0 0, 0, 2 2, 2, 0 0, 0, 2 to to x C: (b) one revolution counterclockwise, starting x C: y (b) revolution counterclockwise, starting desde hasta s 2, 2, 0 d s 0, 0, 2 d 2 z x y x C: curve of intersection of and from F x, y, z y z i x z j x y k 35. F x, y, z y z i x z j x y k 35. 2, 2, 0 0, 0, 2 to C: dsxat 1,y0 1, one revolution counterclockwise, starting 22. (b) xy y z i x z j x y 2k 35. F x, y, z at 1, 00 at 1, manecillas at y, yyyintersection 35. FC: x,curve y,y,zzz0, kkand 35. C: curve of intersection of and y x from from 2,zzzz2, F ziiiii8 xxxxx of 35.FF x,x, yto zzzzzjzjjzjzj xxxxx2x22x2 yyyyyy2k22k 35. atat1,1,1,000 del reloj, empezando en (1, 0) 35. xyds ds 22. C xy curve of intersection of FC: x,x,y, y,0, z z 0of y intersection 35. xy ds 22. 22. z x C: y22k and curve of of and yyy xxx from from 2 0, 0, 0 2, 2, 8 to 2 ds 22. (a) C xy 2 2 2 2 2 2 C: 0, 0 5, 4 line segment from to yyy xxxx(0, C: curve of and from C: curve ofto intersection of zzz jxx2xx21x kyy2yy2yand and from FC:x, y, z0, xintersection z 888i yof 36.C: 0, 0, 0, 0of 0of 2, 2, 2, to 0, 2, CCxy curve intersection and from curve curva laintersection intersección de = xydesde 0, 0) C: ds 22. xy ds 22. xy 22. (a) ds 22. x y x from C: y yand curve ofof intersection of2ofzz5 from 0, 0en 2, 2, to Cxy dsdsline segment from 0, 0 to 5, 4 22. 22, 2, C: 0, to CCCxy 0, 0, 2, toto Fx, x, y,0,0, z0,000(2, x2intersection z888ii8i y2of xkkk x 2 y 2 4 from 36. FC: 22, 2 z zz jjx 2 xand C 0, 0 2, 2, 0, 2, 2, to (b) counterclockwise around the triangle with vertices C C: 0, 0 5, 4 (a) line segment from to C: 0, 0 5, 4 (a) line segment from to hasta 2, 8) curve of F x, y, z x z y 36. y, z x z y z j x 36. C C: line segment from 0, 0 to 5, 4 (a) y22 z j 2 x k 36. F x,0,y,0,z 0 tox2222, 2,z 8i C: 0, 5, 444triangle (a) line to C: 0, 5,5,4hasta (a) line segment from toto05, (b) counterclockwise around triangle with vertices vertices 2 0, 2 zzzjjj x22 xxx 0, segment 0segment , 4,de0 recta ,from 0, 2desde 0, dthe s5, 4d with a) 2to 2of x, y, kand 36. C:segmento 0,00000sto (a)C: line segment from 0, (a) line from F x, y, iii 1 k x 2 y 2 4 from 36. C: curve of intersection from 0, 0xsxxx2xx2intersection 0 ysyyy2yy22of F x,y, y,zzzzzzd 2, 36.FF x, zzzzzzidii2, 36. C: (b) counterclockwise around the triangle with vertices C: (b) counterclockwise around the 36. F s x, y, 5 2 1zzzzzjdjj xx12xxxk C: 0, 5, 4 (a) line segment from to C: curve of intersection of and C: curve of and F x, y, kkk xxx222 yyy222 444 from 36. (b) C: counterclockwise around the triangle with vertices C: z x curve of intersection of and from 0, 0 , 4, 0 , 0, 2 222 222 222 0, 2, 0 0, 2, 0 to C: (b) counterclockwise around the triangle with vertices C: (b) counterclockwise around the triangle with vertices 2 2 2 C: b) en sentido contrario a las manecillas del reloj, a lo largo 0, 0 , 4, 0 , 0, 2 0, 0 , 4, 0 , 0, 2 2 C: z x y 4 x curve of intersection of and from C: (b) counterclockwise around the triangle with vertices C: (b) counterclockwise around the triangle with vertices C: curve of00en intersection of z x and from 0,curva 2, 0, 2, 000 of to 0, 2, 2, to C:curve intersection from C: of lacurve la0, intersección desde C: xandyxxxx2 1yyyy2 54444from (b) C: counterclockwise 0, 0 , 4, 0 , 0, 2 around the triangle with vertices C: curve ofof intersection ofofzz zde xxz x25and and from 0, 2, 0intersection 0, 2, to 0, 000,,, ,4,4, 4, 00 ,, ,0,0, 0,0,2222 del s0, 0d, s4, 0d, s0, 2d 0,0, 0,0,22, 2, 00 to 0, 2, 2, to to0,0, 0, 2,2, 000002, 0d hasta s0, s2, 0, 0,0,0triángulo 0 , 4,4,000,,de 0,vértices 2 0,0, 2,2,0000dto 0,0,2,2, to

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field is conserector field.

CAS

(a) C: line segment from 0, 0 to 3, 3 F and sketcharound In Exercises 1 and 2, compute severalthe represen(b) C: one revolution counterclockwise circle x 2 y 2 ds 23. tative vectors in the field. x 3 cos t, yvector 3 sen t Use a computer algebra system C to verify your results. C: r t 1 sen t i 1 Ejercicios cos t j, de 0 repaso t 2 1139 2x y dx x 3y dy 26. xi j 2k i 2y j 1. FC x, y, z 2. F x, y 2 2 x y ds 24. 1138 C: r t Chapter cos t 15 t senVector t i Analysis sen t t sen t j, 0 t 2 C In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalar C: r 2t cos t t sen t i sen t t cos t j, 0 t 2 function. In Exercises use un a computer algebra por system to En los ejercicios2737and y 38,28, utilizar sistema algebraico compu48. sx 2 y 2d dx 1 2xy dy C evaluate the line la integral over given path. tadora y evaluar integral de the línea. y dx 2 x to odd-numbered 2y dy 25. for2x x 2e yz 3. f x, y, z 2x 2 xy z 2 4. f x, y, z 2 See www.CalcChat.com exercises. C: xworked-out 1 y 2 5solutions a

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15 R E V I E W E X E R C I S E S

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C

37. xy2xdx 15–12, x 2 1determine y 2d dy (a) C: line segment from 0, 0 to 3, 3 y sds x 2vector y 2 field z 2 is dsconser27. 28. the In Exercises whether zk 49. xy dx 1 x 2 dy CC C C: (b) one revolution counterclockwise around the circle vative. If it is, find a potential function for the vector field. C F and sketch several In Exercises and 2, compute represen21 3 3 2 ds desde hasta C: i desde t 2 j s2,t 342dk,hasta r ty 5 ax cos t i s0, a0dsen t j, s2, 4d ry ty 5 t2x xx2 3ycos 23. C: contorno t, la y región 3 senentre t las gráficas de y 5 x 2 y y = 1 de tative vectors in the vector field. Use a computer algebra system C C: s0, 0d 0F x, tyyour results. 2y i 1 j 0 t 4 to5.verify t 1y x1dx senx t i 3y dy 1 cos t j, 0 t 2 2 dx 4y3 dy x2 x 26. C: yr2x 50. 38. F ? dr C Lateral and x,Surface y, z 1 Area x i yj In 2Exercises k F x, y 30,i find2ythe j lateral 1. F 2. 29 C 2 2 ds 24. C: rxx 2y3 x, y i 6. F 2y3 t 2 j e vector field F t 1y ycos sen t t sen t j, 0 t 2 surface C in 5 1t sen t i y 2the C Fsx, yarea d 5 sover 2x yxd i curve 1 s2y 2 xd jthe xy-plane and under the In Exercises the gradient vector field for the scalar z f 3x,and y2. 4, find surface 2 2 2 C:ejercicios rt cos senuse t i un sen t t algebraico cosalgebra t j, 0 por t compu2 to F x, 7. C: x 2t i sen j t 2 2t cos td j, r sytd 5 s2xycos t 1 sin xtd iy 1 sy2 sen sin CAS En In los Exercises 27 a computer system 51and yt 52,t28, utilizar sistema function. 3 2 29. sensen x 2xy i 3y 1 cos 2x j 0yy≤ t 3≤ p2y 8. fFx,x, evaluatey the line integral over the given path. dada por la funtadora representar gráficamente la superficie 2x y dx x 2y dy 25. x 2e yz 3. f x, y, z 4. f x, y, z 2x 2 2 xy 2z 2 ción vectorial. y y, z2x desde 2,k4 C F x, 4x y i 0, 02xhasta j 2z 9. C: 39. Trabajo Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas 2 2 2 ysecsegment dsu cos v from 27. r(a) 2 C: 3 v jy 1 line n y j xyz k sen x,x,yxy,i 2 12 yz 2 i dewhether 30. su,2x vd 5 i 1 s10,1028. 2 to tan 3, udxsin 2uz k ds 51. z 5–12, 6yz j y 52 xz k desde 10.Exercises 3y2 In the vector is conser!y4xy lo largo la2xtrayectoria FfF5 j axdetermine xfield s0, 0d C C C: one (b) counterclockwise circle vative. find k 3 C: yIfsit 0,xz0j hasta p 3revolution yz i a potential xyfunction k2, 4 for the vector field. hasta 4,xis, 82 d.desde rt t i around t 2 j the t 3 2k, 0r t≤ xu ≤a 3cos , tt,0i y≤ va 3sen ≤sen 2pt tj, 11. F x, y, z cos 2 2 3 z y 40. Trabajo Uny avión1de 20 toneladas sube 2 000 pies haciendo 0 t 2 0 t 4 5.Exercises F x, i zun j x circular u In un 90°sen de 10 millas de radio. Hallar F giro x, yy, de z 31–36, yxiarco j Fk dr. 12. x 2enevaluate 52. vd 5 ye2uy4 sin v j 1 k dx cosxv i 13ye2uy4 dy sen 26. r su,2x C 6 30, find the lateral Lateral Surface Area In Exercises 29 and el trabajo realizado por los motores. C 1 y 1053714_150R.qxp Page 1138 FF x, xy–20, 2xy 31. x, yy 10/27/08 i j j 1:49 In6.Exercises 13 find (a) thePM divergence of the vector field F surface over thet xyt-plane the2 0C:≤r area ut ≤ 4, ≤ vtcurve ≤ 2tpiC insen cos0tthe sen sen t j,and 0 under t x2 y 2 2 and (b) the curl of the vector field F. En los surface z f x, y . C:ejercicios rt t i412 yt 42, 0 elt 2teorema 1 2 fundamental de las intej,2 usar x, ylínea para xy evaluar 7. F de x i lax integral. y y j CAS 53. In Exercises 27 and 28, uselaasuperficie computer algebra system to grales Investigación Considerar representada por la funFF x,x, yy, z x x 2 iy3 i xy 2 xj xy2zj k2 32. 13. 29. ción f x, yvectorial 3 integral sen x over y the given path. 2y sen 2x i 3y 1 cos 2x j 8. F x, y evaluate the line along the given C: r ty, zdx41cos 3ksen 0 t 2 2 t j, F 2xyz x, yx2 2jytz2iidyz 21 14. 0, u0 i hasta 2, v4sen 41. x, y, z 4x 2xx2 jy dz2z k 9. F rC: su,yvd 52x3desde cos v cos 1 3 cos sin u j 1 sen sin v k. C x, y, z F x i y j z k 33. F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyz k 15. 2x y ds x 2 y 2 z 2 ds 27. 28. f x, y 12 x y 30. 2 2 F x,curva y, z suave 4xy z i 2x 6yz j 2 xz k 10. C: Utilizar un sistema algebraico por Ccomputadora y efectuar lo desde s0, 0, 0d hasta (1, 3, 2) C F x,r y,t z 2 cos 3xi t i yxz i2j senxy yt jk 2zt k,j 0 z t 3x 2k 16. C: C: y x 2 desde 0, 0 hasta 2, 4 siguiente. yz rt t i t 2 j t 3 2k, r t a cos 3 t i a sen3 t j, 1138 Chapter 15 Vector Analysis 1 y, zz x dy 11. y, 2y1 zyxdz z 2 j x jyz 2 kx y k 34. 2i 2 xy 42. yx, F x, x,dx y, z1 arcsen 17. FF z z 0 Representar t 2 gráficamente la superficie 0 t para 4 0 ≤ u ≤ 2p y a) C 2 z 22y j4 and y 2 z 2 4 from In Exercises 31–36, evaluate F dr. F x, x,curve y, zz of intersection x 2 z yyi i xofjxx ksen 18. C: F y, sen 12. p p C: curva C 2, 2, suave 0 to desde 0, 0, 2s0, 0, 1d hasta s4, 4, 4d ckwise, starting ≤ v ≤ . In Exercises Lateral2Surface and 30, find the lateral ln x 2 y 2 i ln x 2 y 2 j z k 19. F x, y, z 2 xy Area 2 2xy jto odd-numbered29 See www.CalcChat.com for worked-out solutions F x, y i 31. In Exercises surface area over the curve C in theexercises. xy-plane and under the F x, y, z 13 –20, y find z i (a)xthe zdivergence j x yofkthe vector field F 35. z z línea2 y 2 dx 1 2xy dy. 2i b) 43. integral and the field F. x 2 y 2 and y x from C: rRepresentar t 2 j, 0 t la1superficie para 0 ≤ u ≤ 2p y i thedevector j z k F(b)x,curve y, zlacurl 20. Evaluar z t f tx, y . gráficamente surface C: ofxofintersection of y C z p p x y j 32. F x, y ≤ v ≤x .y i 2,2,2, to In Exercises 1 and represenx, 0, y,r s0, ztd 05 xs12 i1 xyd8i2 j1 s1x 21zFktd and 13. a)F C: 3tcompute j, 0sketch ≤ t ≤ several 1 29. 2sen x y 23. f x,4xy2 y32 ds 2 2 In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the given tative vectors Use a computer algebra system C: r t 4 cos t i 3 sen t j, 0 t 2 FF x, y, zzt2i j, 36. x, y,r szztd 5intyxthe j vector k field. 14. ! p b) C: i2 1 1y ≤ t z≤ j4 x k C:C y 2x desde 0, 0 hasta 2, 4 path(s). c) Representar superficie para 0 ≤ u ≤ y to verify your results. 2 2 2 e with vertices F x, y, z x i gráficamente y j z k 1 la cos 33. C: r t t j, 0 t 2 C: z x y 4 x curve of intersection of and from 4 x, y, z el teorema cos y fundamental y cos x i sen las x integrales x sen y j dexyz k 15. c)F Usar de línea, 121p xsen yt i 30. f x, y 2, 0 una . t i 2 sen t j t k, 0 t 2 C: 0r ≤t v2 ≤22 cos x,0, y, ito 0,jy2,i 02 ksuave i ks2y 1. F x, 2. jF sx, 1,yz1d hasta 4, j2d. 2 zz C 2esx3x y desde 2z 3x 16. 2ds 0, 0 hasta 2, 4 xy, y ds curva 21. F donde 24. C: yx 2 x ydesde FCx,Representar y, z 2ygráficamente z i z e xidentificar j x lay curva k 34. d) en el espacio 2 j la región 44. Área y centroide Considerar limitada o acotada por FCx, y, z 3 and arcsen x i the xygradient yz 2 k 17. In Exercises 4, find vector field for the scalar p 2 sen2 t 2 0, 0) 3, 4 from to C: r t cos t t sen t i t cos t j, 0 2 el(a)ejeC:x line y unsegment arco de la cicloide con ecuaciones paramétricas z 4 and y z 2 t 4 from curve of 031–36, ≤ intersection u ≤ evaluate 2p y vof 5x F. dr. para In Exercises function. F x, y, z 2 x 22 y i x sen 2y j 18. 4 línea x(b) 5 aC: su x2 sen sinyud y 1, y5 asrevolution 1 2 cos udcounterclockwise, . Usar integrales de 2, 2, 0 0, 0, 2 to C one starting 2 2 2 el área la superficie representada gráficamente Ff x, x,hallar y, zzat a) lnel y 2 lai zregión 19. 2x yxydx x de2y dy 25. e) x,Aproximar 2 ln x4. yz la región. y b) f yx,ely,jcentroide z z k x 2ede 3.para y, 1,2x 02xáreaxyde iy b).2xy 31. FCx,enyy,elz inciso z ij x z j x y k 35. F z z 2i 2 j, C: rcurve t line tof 0 la superficie t0, tárea F ejercicios x,xyy,ds z 5–12, i a 50,j utilizar z 2 kwhether 20. C: 3y 2 and gráficamente (a)Aproximar segment from y x from C: intersection of 0 z1to x3,2representada f) el de In los Exercises the vector field para is conserEn el teorema de Green eva22. x45 determine y 0, 0, 0 2, 2, 8 to C F x, y x y i x y j 32. incisorevolution c). (b)enC:el one counterclockwise around the circle vative. If it is, find a potential function for the vector field. luar la integral de línea. 4 (a) C: line segment from 0, to 5,integral In Exercises 21–26, evaluate the0 line along the given x 2t,t yi z i3 senyt2j, z0 j t x k 2 36. F C:x,r xy, t z 34cos cos y 1 z dS sobre la superficie S: 54. Evaluar la integral de superficie 45. 2x dy path(s). C: counterclockwise around the triangle with vertices 5. (b) F yx,dx y1 i j C: curve z x 2 and x 2 y 2 4 from y, z yofdx x iintersection yxj 3y z k of 33. x2 x C dy S 26. F x,2x 0, 0 , 4, 0 , 0, 2 rC: sCu,rv0,dt 5 2, su20cos 1tovtd i0,12,2su0sen 2 vt dj j 1t k, sin v0k t 2 sen y con vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0), C: contorno1 del cuadrado 21. 6. F x,xy2 y 2 ids 2 j C: r t cos t zt sen t zi xsen t xt seny tkj, 0 t 2 x C (1, 1) y F x, y, 0z ≤ u 2y i j 34. donde ≤ 2 y 0 ≤ v ≤ p. 2 2 0) to 2 3, 4 segment F x,C: y linexy 7. (a) x 2 from i x0, y y j y 2 yz 2representar C: curveunof27sistema z 2 computadora 4 andalgebra 4 from intersection of x 2a computer CAS 55. In Exercises and 28, use system to Utilizar algebraico por 46. xy dx 1 sx 2 21 y 2d dy 2 3 2 2,the 2, line 0 tolaintegral 0, 0, 2 over y2y sen 1, 2x onei revolution starting C F x,C: y x 3y 1 counterclockwise, cos 2x j 8. (b) evaluate given path. gráficamente superficie S ythe aproximar la integral de superficie 0 2 at 1,del contorno s0, 0d, s0, 2d, s2, 0d,s2, 2d y z i x z j x y k 35. F x, y, z F x, y, z 4x ycuadrado i 2x 2 jcon vértices 2z k 9. C: sx 1 yd dS 2 2 2 2x y ds 27. 28. S 2 2 C: curve of intersection of z x 2 x y 2 yand zy dsx from x, 2x 6yz j 2 xz k 10. F xy xy2y,ds 22. 47. dxz 1 x 24xy y dy z i C C 0, S0,es0 lato 2, 2, 8 donde superficie CC yz i xz j xy k rt t i t 2 j t 3 2k, rt a cos 3 t2 i a sen3 t 2j, F x, y, z 11. C: C: 0, 0 5, 4 (a) line segment from to x 5 4 cos t, y =y 24z 2sen t F x, y, z x z i y z j x k 36. S: sin v j 1 su02 1dst 2 24 ud k 0 r su,t vd 5 u2cos v i 1 u sen (b) C: counterclockwise around the triangle with vertices C: curve of intersection of z x 2 and x 2 y 2 4 from sen z y i x j k 12. F x, y, z sobre0,0 ≤2,u0 ≤to2 0, y 0 ≤0 v ≤ 2p. 0, 0 , 4, 0 , 0, 2 Lateral Surface Area 2, In Exercises 29 and 30, find the lateral In Exercises 13 –20, find (a) the divergence of the vector field F surface area over the curve C in the xy-plane and under the and (b) the curl of the vector field F. surface z f x, y .

E E

15 R E V I E W E X E R C I S E S

E

EE

E E

EE

E

13. F x, y, z

x2 i

xy 2 j

14. F x, y, z

y2 j

z2 k

15. F x, y, z

cos y

x 2z k

y cos x i

29. f x, y C: y sen x

x sen y j

xyz k

30. f x, y

3

sen x

y

2x desde 0, 0 hasta 2, 4 12

x

y

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CAPÍTULO 15

56. Masa

Una lámina bidimensional cónica S está dada por

z a共a

冪x 2

y2

Análisis vectorial

兲,

0 ≤ z ≤

58. F共x, y, z兲 x i y j z k Q: región sólida limitada o acotada por los planos coordenados y el plano 2x 3y 4z 12

a 2.

En cada punto en S, la densidad es proporcional a la distancia entre el punto y el eje z. a) Dibujar la superficie cónica. b) Calcular la masa m de la lámina.

En los ejercicios 59 y 60, verificar el teorema de Stokes evaluando

冕 F dr C

como integral de línea y como integral doble. En los ejercicios 57 y 58, verificar el teorema de divergencia evaluando

冕冕 F N dS S

como integral de superficie y como integral triple. 57. F共x, y, z兲 x 2 i xy j z k Q: región sólida limitada o acotada por los planos coordenados y por el plano 2x 3y 4z 12

sin x x sen sin y兲 j xyz k 59. F共x, y, z兲共cos y y cos x兲 i 共sen S: porción de z y 2 sobre el cuadrado en el plano xy con vértices 共0, 0兲, 共a, 0兲, 共a, a兲, 共0, a兲 N es el vector unitario normal a la superficie dirigido hacia arriba. 60. F共x, y, z兲共x z兲 i 共y z兲 j x 2 k S: porción en el primer octante del plano 3x y 2z 12 61. Demostrar que no es posible que un campo vectorial con componentes dos veces diferenciables tenga un rotacional de xi yj zk.

PROYECTO DE TRABAJO El planímetro

冕

b

Se han estudiado muchas técnicas de cálculo para hallar el área de una región plana. Los ingenieros usan un dispositivo mecánico llamado planímetro para medir áreas planas, el cual se basa en la fórmula para el área del teorema 15.9 (página 1096). Como puede verse en la figura, el planímetro se fija a un punto O (pero puede moverse libremente) y tiene un gozne en A. El extremo del brazo trazador AB se mueve en sentido contrario a las manecillas del reloj por el contorno de la región R. En B hay una rueda pequeña perpendicular a AB que está marcada con una escala para medir cuánto rueda mientras B recorre el contorno de la región R. En este proyecto se pide demostrar que el área de R está dada por la longitud L del brazo trazador AB multiplicada por la distancia D recorrida por la rueda. Supóngase que el punto B recorre el contorno de R para a ≤ t ≤ b. El punto A se moverá hacia atrás y hacia adelante a lo largo de un arco circular centrado en el origen O. Sea 共t兲 el ángulo que se indica en la figura y sean 共x共t兲, y共t兲兲 las coordenadas de A.

c) Utilizar la integral

关x 共t兲 sen sin 共t兲 y 共t兲 cos 共t兲兴 dt para de-

a

mostrar que las dos integrales siguientes son iguales.

冕冕

b

I3

a b

I4

a

1 d d sen L y sin x cos dt 2 dt dt

冢

冣

冢

冣

1 dx dy L sin cos dt sen 2 dt dt

sen i cos j. Explicar por qué la distancia D red) Sea N sin corrida por la rueda está dada por D

冕

C

N Tds.

e) Mostrar que el área de la región R está dada por I 1 I 2 I3 I 4 DL. B

\

r(t)

a) Mostrar que el vector OB está dado por la función vectorial r共t兲关x共t兲 L cos 共t兲兴 i 关 y 共t兲 L sin sen 共t兲兴 j.

O

R

b) Mostrar que las dos integrales siguientes son iguales a cero.

冕冕

b

I1

a b

I2

a

1 2 d L dt 2 dt

冢

A (x, y)

冣

1 dy dx x y dt 2 dt dt

Rueda

L

θ

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre el uso del cálculo para hallar áreas irregulares, ver “The Amateur Scientist” de C. L. Strong en la edición de agosto de 1958 publicación de Scientific American.

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SP

P.S. P.S. P.S.

P.S. P R O B L E M S O LV I N G P.S. M S SO O LV LV II N NG G P.S. PP RR OO BB LL EE M

1. El calor fluye de áreas de mayor temperatura a áreas de menor temperatura en dirección de la mayor variación. Como resultado, en la medición del flujo de calor juega un papel relevante el gra1.diente Heat de flows from areasElofflujo higher temperature of lower temperatura. depende del áreatodeareas la superficie. 1. Lo Heat flows from areas of higher temperature to areas of lower temperature in the direction of greatest change. As a lower result, importante es areas la dirección normal a la superficie, el 1. Heat flows from of higher temperature to areas porque of temperature inenthe direction ofthegreatest change. As a result, measuring heat flux involves gradient of the temperature. calor que fluye dirección tangencial a la superficie no ocasiona temperature in the direction of greatest change. As a result, measuring heat Así, fluxonsupóngase involves the gradient of the temperature. The flux the areathe of the surface. It istemperature. normal pérdida de depends calor. quegradient el flujo de the calor athetravés de measuring heat flux involves of The flux depends on the area of the surface. It is the normal direction to the surface that is important, because heat that flows una área dado por DS del The porción flux depends on the areadeoflathesuperficie surface. Itestá is the normal direction to the surface that is important, because heat that flows in directions to the surface will produce heat loss. es la temperatura, N no esthat el vector DH < 2k=T N dS, donde ?tangential direction to the surface that isTimportant, because heat flows in directions tangential to flux the en surface will produce node heat loss. So, assume that the heat across a portion of the surface of unitario normal a la superficie la dirección del flujo calor, y in directions tangential to the surface will produce no heat loss. So, assume that the heat flux across portion of the surface of area by is the S is given H flux T Naa dS, kSo, es assume la difusividad térmica del kmaterial. El where flujoof deTthe calor atempertravés that the heat across portion surface of area by the temperS is given H por k T Nthe dS, where Tinisthe ature, the Sunit vector de la superficie estánormal dado area by where T is the direction temperSNisisgiven H k T to N dS, surface ature, is the unit normal vector to the surface in the direction Nheat of the flow, and is the thermal diffusivity of the material. k ature, N is the unit normal vector to the surface in the direction of the heatflux flow, and the the thermal diffusivity of the material. k is surface The across by of S is given of theheat heat2flow, and is the thermal diffusivity the material. H 5 k=T kdS. ? Nthe The heat flux across surface is given by S S flux across the surface S is given by The heat H k T N dS. Considerar una sola fuente de calor localizada en el origen con S H k T N dS. H k T N dS. temperatura S S Consider a single heat source located at the origin with Consider a single25 heat source located at the origin with temperature located at the origin with TConsider sx, y, zd 5a single heat source . temperature!x 2 1 y 2 1 z 2 temperature 25 . T x, y, z 25 a) Calcular el flujo dey 2calorz 2a través de la superficie x 2 25 . T x, y, z 2 2 2 T x, y, z y z. x y 2 fluxz 2across x 2 heat 1 1 (a) SCalculate 5 sx, y, the zd: z 5 ! 1 2 x 2, 2the ≤surface x ≤ , 0 ≤ y ≤ 1 2 surface2 (a) Calculate the heat flux across the (a) Calculate the heat flux across the1surface 1 S x, y, z : z 1 x 2, x 1, 0 y 1 como se muestra en la figura.2 112 S x, y, z : z 1 x2 , x 12, 0 y 1 S x, zy, z : z 1 x , 2 x 2, 0 y 1 2 2 as shown in the figure. as shown zin the figure. as shown in the figure.

EE

5

1

6

2 z z

N

2 2 12

N N N

z

N

b)

el cálculo

1 1 del 1

1

y

1

y

E E E

r(t) = 3 cos t i + 3 sen t j + 2t k r(t) = 3 cos t i +z 3 sen t j + 2t k r(t) = 3 cos t i + 3 sen t j + 2t k z z 12 12 10 12 10 108 8 86 6 64 4 42 2 22 2 2

a) usando la parametrización

p 2p (b) xRepeat the calculation part 5 cos u, y 5 v, z 5insen sin u, (a) using ≤ u ≤the parametrization , 0 ≤ v ≤ 1. (b) Repeat the calculation in part (a)3using the 3parametrization (b) Repeat the calculation in part (a) using the parametrization 2 x cos u, y v, z sin u, u 2 , 0 v 1. 2. Considerar una sola fuente de calor localizada en el origen con x cos u, y v, z sin u, 3 u 2 3 , 0 v 1. x cos u, y v, z sin u, 3 u 3 , 0 v 1. temperatura 3 2. Consider a single heat source located at 3the origin with 2. Consider a single25 heat source located at the origin with temperature 2. TConsider located at the origin with sx, y, zd 5a single heat source . temperature!x 2 1 y 2 1 z 2 temperature 25 . T x, y, z 25 a) Calcular el flujo dey 2calorz 2a través de la superficie x 2 25 . T x, y, z 2 2 2 T x, y, z y z. 2 x2 !1z 22 5 H sx, y, xthe zd: heat z y52 flux x 2the y 2,surface x 2 1 y 2 ≤ 1J (a) SCalculate across (a) Calculate the heat flux across2 the surface 2 (a) como Calculate thez heat sex,muestra la figura. S y, : z enflux 1across x the ysurface , x2 y2 1 2 2 S x, y,cálculo z : z del 1inciso x y2 , x22 lay22parametrización 1 b) Repetir el y, Sas shown x, : z figure.1 x 2 a) yusando , x y 1 inz the p sen xas5shown sin u cos v, figure. y 5 sen sin u sen sin v, z 5 cos u, 0 ≤ u ≤ , in the (b) as Repeat shownthe in calculation the figure. in part (a) using the parametrization 2 ≤ v ≤the 2pcalculation . (b) 0Repeat in part (a) using the parametrization x sinthe u cos v, y sin u sin(a) v, using z cos 0 u , (b) Repeat calculation in part the u, parametrization 2, x sin cos v, y sin u sin v, z cos u, 0 u v uu cos 2 .v, x0 sin y sin u sin v, z cos u, 0 u , 2 2 0 v 2 . 0 v 2 .

S S

S1

x y 3. Considerar 1un cable de11densidad y rsx, y, zd dado por la curva en el x 1 espacio xFigure for 2 Figure 2 ystdj 1 zstdk, a ≤ t ≤ b. C: rFigure std 5 xsfor tdi 1 3. Consider a for wire2 of density x, y, z given by the space curve 3. Consider a wire de of density space x, y,respecto z givenaby Los momentos inercia con losthe ejes x, y curve y z están 3. Consider C: r t a wire x t i of ydensity t j z tx,k,y, za given t byb.the space curve dados por C: r t x t i y t j z t k, a t b. C: t x t i of inertia y t j about z t k, thea x-, y-, t and b. z-axes are given by Ther moments The Ix 5moments s y 221 zof2d2rinertia sx, y, zabout d ds the x-, y-, and z-axes are given by The ofz inertia Ix moments x, y, about z ds the x-, y-, and z-axes are given by C y Ix y222 z222 x, y, z ds C IIIxy 5 CCsxyx2 1 zzz2drsx,x, ds x,y,y, y,zzzd ds ds y 2 2 C Iy x z x, y, z ds 2 2 C 2 IIyz zy 2 x,x,y,y,zz ds ds. CC xx Iz 5 C sxx222 1 yy222drsx, x, y, y, zzd ds. ds. IFind x y x, y, z ds. the 1 z CC moments of inertia for a wire of uniform density Find the moments ofhelix inertia for a wire of uniform density 1 in the shape of the Hallar momentos de inercia un cable de densidad Find thelosmoments of inertia for de a wire of uniform densityuniforme 1 in the shape of the helix en forma de3helix hélice rr 5 in of tthe1shape 3 cos ti the sen tj 2tk, 0 t 2 (ver la figura). rt 3 cos ti 3 sen tj 2tk, 0 t 2 (ver la figura). rt 3 cos ti 3 sen tj 2tk, 0 t 22 (ver la figura). 3/2

y y y inciso y

1 1 1

Figura para 2

x 1 x 1 Repetir 1 x x

S

z z z

1

x

S S S 1

1

N N N

S

1 1 1

1141 1141 1141

Problem Solving Problem Solving Problem Solving

t 2 r (t) = 2 i + tj + t22 2 r (t) = t i + tj + 2 r (t) = 2zi + tj + 2z

2t k 3 3/2 2t 2t 3/2 k 3 k 3

z

2 2 2 1 1 1

2 2 2

1 1 1

y y y

x

1 1 1

2 2 2

y y y

x Figura para 3 Figura para 4 Figura para 3 Figura para 4 Figura para 3 Figura para 4 1 4. Find the moments of inertia for the wire of density 1 t 1 11 4. Find the moments of inertia for the wire of density giventhe by the curve of 4. Find Hallar losmoments momentos de inercia 4. inertia fordel thecable wirede ofdensidad density r 51 t 1 1t t 1 given by the2curve dado por latcurva given by the curve 2 2 t3 2 C: r t t2222 i tj 2 !23t333y222 k, 0 t 1 (see figure). t i tj 2 2 t k, 0 ≤ t ≤ 1 (ver (see la figure). C: r t figura). C: r st d 5 2 i 1 tj 1 k, 0 t 1 (see figure). 3 2 3 5. The Laplacian is the differential operator 5. The Laplacian is 2the differential operator 5. The El laplaciano diferencial 2 2 operator 5. Laplacianesis el theoperador differential 2

2

2

2

2 x2 y2 2 2z 2 x22 y22 z22 x y is z and Laplace’s equation y la ecuación de Laplace es and Laplace’s equation is 2 2 2is and Laplace’s w equation w w 2 w 0. 2 2 2 2 2 2 w w w 2y 2z 2x 2 w w w 0. 2w 2 2 2 w función 0. x y satisface z Cualquier que esta ecuación se llama armónica. x2 y 2 satisfies z2 Any function that equation is called harmonic. Demostrar que la función w = 1/fthis es armónica. Any function that satisfies this equation is called harmonic. Show that the function w 1 f is harmonic. Any function that satisfies this equation is called harmonic. Show that the function w 1 f is harmonic. Show that the function w 1 f is harmonic. 2 2

1053714_150R.qxp 10/27/08 10/27/08 1:49 1:49PMPM PM Page Page1142 1142 1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 Page 1142 1053714_150R.qxp Larson-15-09-R.qxd 3/12/09 20:23 Page 1142

1142 1142 1142 1142

CAPÍTULO 15 Análisis Chapter 15 Vector VectorAnalysis Analysisvectorial Chapter Vector Analysis Chapter 1515

CAS6.6. CAS 6. Consider the line integral 6. Considerar laline integral de línea Consider the integral CAS Consider the line integral nn dx nn dy y nyydxdx x nxxdydy C CC

where is the boundary of the region lying between the graphsde C where boundary region lying between the graphs donde esthe laboundary frontera deof lathe región que yace entre las gráficas where isis the of the region lying between the graphs CC 22 22 0. of ofof y yy a 2aa x 2xx a aa> >>0 00y yyy yy 0.0. (a) Use aun computer algebra system to verify Green’s Theoremel Use computer algebra system to verify Green’s Theorem a)Use Usar sistemaalgebra algebraico portocomputadora paraTheorem verificar (a)(a) a acomputer system verify Green’s n, for an odd integer from 1 through 7. n, for an odd integer from 1 through 7. teorema de Green entero7.impar de 1 a 7. n, an odd for integerpara fromn,1un through (b) Use auncomputer computer algebra system to verify Green’s Theoremel Use algebra system to verify Green’s Theorem b)Use Usar sistemaalgebra algebraico portocomputadora paraTheorem verificar (b)(b) a acomputer system verify Green’s n, for an even integer from 2entero through 8.de 2 a 8. for even integer from through teorema de Green para n, un par n,n, for anan even integer from 2 2through 8.8. nunan (c) For an odd integer, make a conjecture conjecture about the value of For odd integer, make about the value of c)For Para entero imparmake n, conjeturar acerca del valor de laofinten nan (c)(c) odd integer, a aconjecture about the value the integral. the integral. gral. the integral. 7. Use a line line integral tofind find thearea areabounded bounded by one archofof ofthe the Use integral find the area bounded one arch 7. Utilizar una integral de línea para calcular el área limitada o the aco7.7. Use a aline integral toto the byby one arch sin cos , 0,, 00 cycloid cos cycloid tada por lasin cicloide x xx un arco a aa de sin , y,, yy a aa1 11 cos 2 22, ,, cycloid as shown in in the the figure. figure. shown asas shown xsud 5in asthe u 2figure. sin ud, ysud 5 as1 2 cos ud, 0 ≤ u ≤ 2p sen y yy

y yy

como se muestra en la figura. 2a y 2a2a

1

x xx 1 11

−1 −1−1

2π2a2ππaa

x

Figure for Figure for Figure for 7 77

− 1−−11

1

−1

Figure for Figure for Figure for 8 88

2π a

y

6 66 5 55 4 44 3 33 2 22 1 11

6 5 4 3 2 1

x xx x 1 11 2 22 3 33 4 44 5 55 6 66 1 2 3 4 5 6

EE

E

s2vN?N NdS ddSdS 5 v vvsvr3rr rdr. d ?dr. dr. 2v NdS dr. 2v2v C

S S SS

x −1

x xx

y

11. Let be smoothoriented oriented surfacewith withnormal normal vector N, 11. Let smooth oriented surface with normal vector 11. Sea Sbe una superficie suave orientada, con vector normal N, aco11. Let a aasmooth surface vector S SSbe N,N, bounded by a smooth simple closed curve Let be C. v bounded by a smooth simple closed curve Let be C. v tada por curva suave bounded by una a smooth simplesimple closedcerrada curve C. Let vv un be vector a aa C. Sea constant vector, and prove that constant vector, and prove that constante. Demostrar que constant vector, and prove that

1 11y

2a

2 2x 23 33 y j is 3shown in the 22 2yd222y5 10. The forcefield field x, 3x x,3x y2x dyi y1 2x yd j se 10. Elforce campo deFfuerzas muestra 10. The force field shown the FFx,x, 10. The shown inin the y yi isi3x 2x j jissis y yy Fs3x figure below. Three particles move from the point1,s1, to the 1, en la figura. Tresparticles partículas se mueven del punto al punto d to figure below. Three particlesmove move fromthe the point the figure below. Three from point the 1 11to point along different paths. Explain why the work done is el 2, 4 a lo largo de trayectorias diferentes. Explicar por qué s 2, 4 d point along different paths. Explain why the work done 2, 4 point 2, 4 along different paths. Explain why the work done isis the same for each particle, and find the value of the work.y hallar trabajo realizado es el and mismo con las tresofof partículas, the same each particle, and find the value the work. the same forfor each particle, find the value the work. el valor del trabajo. yy

8.Use Use a line line integral to find the area bounded by the two loops of Use integral find the area bounded the loops Figura para 7 toto Figura para 8two 8.8. a aline integral find the area bounded byby the two loops ofof the eight curve the eight curve the eight curve 8. Utilizar una integral de línea para hallar el área limitada o acota1 11los dos la sin 2t,lazos sin sin 2t, sin t,t, 0 00ocho x xtxdatt por2sin 2t, y yty tt desin t,curva t tt 2 22 22 1 xshown sshown tshown d 5 inin ystd 5 sen sin t, 0 ≤ t ≤ 2p sin 2t, sen as the figure. the figure. asas the figure. 2 in

C CC

y2 x2 12. Comparar el área de la elipsex 2xx222 1y 2yy222 5 1 con la magnitud del 12. How does the area of the ellipse compare with the 1 compare 12. How does the area of the ellipse with the a b 12. How does the area of the ellipse 2aa22 2bb22 1 1compare with the a de fuerzas b trabajo realizado por el campo magnitude of the work done by the force field magnitude the work done the force field magnitude ofof the work done byby the force field 1 1 Fsx, yd 512 11 yi 1111 xj 2yi x, yi xj2xj xj F FFx,x, y yy 2 2yi 2 22 que da una vuelta alrededor de la elipse (ver sobre una2 partícula on afigura). particle that moves once around the ellipse (see figure)? particle that moves once around the ellipse (see figure)? onon alaaparticle that moves once around the ellipse (see figure)? y yy y 1 11 1

2xx22

9.The The force field acts on an object x, jj acts The force field object 1 11j acts 9.9. force field onon anan object F FFx,x, y yy x xx y yiy ii x que se muestra la figura. moving fromthe theen point tothe thepoint point0,0, asshown showninin in 0, 0, moving from the point the point shown ,, as moving from point 0,0, 0 00toto 1 11, as 9. Elfigure. campo the figure. de fuerzas Fsx, yd 5 sx 1 ydi 1 sx 2 1 1dj actúa sobre the figure. the yy objeto que se mueve del punto s0, 0d al punto s0, 1d, como se yun muestra en la figura.

x 1 11 1

−1−1 −1−1

1 11 y −1−1 −1−1 1

13. Una sección transversal del campo magnético de la Tierra as puede 13. A cross section of Earth’s magnetic field can be represented as 13. cross section of Earth’s magnetic field can represented as 13. AA cross section of Earth’s magnetic field can bebe represented representarse como un campo vectorial en el cual el centro de a vector field in which the center of Earth is located at the a vector field in which the center of Earth is located at the a vector field in which the center of Earth is located at the la Tierra sethe localiza en ely-origen ypoints el ejeinyin positivo apuntaofof en direcorigin and thepositive positive axispoints points inthe thedirection direction ofthe the y-axis origin and the positive the direction the yorigin and axis ción del polopole. norte magnético. La ecuación para magnetic north pole. The equation for this field is este campo es magnetic north pole. The equation this field magnetic north The equation forfor this field isis 1 11

x xx x

(a)Find Find the work done the object moves along the path 0, Find the work done the moves along the path (a)(a) the work done if ifif the object moves along the path x xx 0,0, 1 object 1. 0 00 y yy 1.1. a) Find Hallar el work trabajo realizado siobject el objeto sigue la trayectoria (b) Findthe the workdone done theobject object moves along thepath path the done the moves along the path (b)(b) Find work if ififthe moves along the xx 5 y0, 0 2y≤ 22,y0≤ 1.y y y 1. x 0 y 1. , x y y , 0 y 1. b) Suppose Hallar trabajo realizado si el objeto sigue la trayectoria 22 (c) Supposeel the object movesalong along thepath path the object moves along the path (c)(c) Suppose the object moves the x xx c ccy yy y 2yy, ,, 2 x 5 y 2 y , 0 ≤ y ≤ 1. > Find the value of the constant that c c 0 y 1, 0. Findthe thevalue valueofofthe theconstant constantc cthat that 0 0 y y 1,1,c c> >0.0.Find c)minimizes Supóngase que el objeto sigue la trayectoria x 5 cs y 2 y 2d, minimizes the work. minimizes the work. the work. 0 ≤ y ≤ 1, c > 0. Hallar el valor de la constante c que minimiza el trabajo.

5M x, Mx,Mx, x, Nx,Nx, x, F FFx,Fx, ysx,yy yd M ysx,yiy yiidi N1N ysx,yjy yjjdj m m m 2 2 5 m f3xyi 1 s22y 22 2 22x djg 3xyi 2y 3xyi 2 2y2y x 2xxj jj 2 s y 5225d5y2 22x 1 2 223xyi 2 2 5 x y x y x y donde m es el momento magnético de Earth. la Tierra. Demostrar que wheremm misis isthe themagnetic magneticmoment momentofof of Earth. Show thatthis this where the magnetic moment Show that this where Earth. Show that este campo vectorial es conservativo. vector field is conservative. vectorfield fieldisisconservative. conservative. vector

Apéndices

Apéndice A Demostración de teoremas seleccionados A-2 Apéndice B Tablas de integración A-4

A-1

Apendices_Vol_2.indd 1

3/12/09 20:34:39

nnddnnd n dn ddddnnddndn n nn n nb n is aaaisconvergent convergent a convergent geometric geometric geometric series. series. series. By By By the the the Comparison Comparison Comparison Test, Test, Test, the the the series series series anconverges. converges. bconverges. converges. is ageometric convergent geometric series. geometric By the series. Comparison By the Comparison Test, the series Test, anbnbbaanbaseries an b n converges. n nb convergent geometric series. By the Comparison Test, the series isais geometric series. By the Comparison Test, the series bconverges. isisaaais convergent geometric series. By the Comparison Test, the series converges. aconverges. bnnnconverges. isconvergent aconvergent convergent geometric series. By the Comparison Test, the series converges. aaathe isis convergent series. By the Comparison Test, the series na convergent geometric series. By the Comparison Test, the series nn annbn converges. ent geometric series. By the Comparison Test, the series an b converges. nndiverges n diverges Similarly, Similarly, Similarly, ifthe ifthe the ifpower the power power power series series series at where where bb 0, b0,0, then then itdiverges it0, diverges diverges itthen diverges aannnnnxxdiverges xandiverges xdiverges x b, x b, b, 0, nnndiverges Similarly, power if series the power diverges where at where then itdiverges it diverges anat xatnxxxat xatxxat xwhere Similarly, ififSimilarly, the power series diverges at where then itthen diverges b,b, 0, Similarly, the power series at where then diverges b,b, 0,0, Similarly, the series at where then diverges Similarly, the power series diverges where then diverges b,where 0,then bbbb bbb,b0, Similarly, ifif the power series diverges where then itbit aaanannxnxxaanxseries nax Similarly, ifififthe power series at itititdiverges xn xb, b, 0, n xdiverges n n n n n n n for for for all all all d d satisfying satisfying d satisfying d d d > > > b b . . b If If . If a a d d a d converged, converged, converged, then then then the the the argument argument argument above above above would would would n the power series an x diverges at x b, where b 0,for then it diverges for all d satisfying for all d satisfying d > b . If d > a d b . converged, If a d converged, then the argument then the above argument would above n n >d >> forfor all satisfying If converged, then thethe argument above would n then ndn converged, for all satisfying d> dnconverged, then the argument above would dd > for all satisfying then the argument above would b.. If .IfIf forall satisfying converged, then theargument argument above would would dddall bbb>.n..bbIfIf aaannndnddaannnadnconverged, all satisfying the argument above would dd dsatisfying converged, then above would nnd nd nbb n imply imply imply that that that a a a converged b converged converged as as well. as well. well. n isfying d > b . If an d n converged, then the argument imply above that would imply a b that converged a b as converged well. as well. n n imply that converged as as well. n as n n converged imply that bconverged as well. imply that as well. imply that converged aswell. well. aaannnbnabbannnabnconverged imply that well. imply that n bconverged an b n converged as well. Finally, Finally, Finally, to to prove to prove prove the the the theorem, theorem, theorem, suppose suppose suppose that that that neither neither neither Case Case Case 1nor 1nor nor 1Case nor Case Case Case 3is 3is 3Case true. is true. true. Then Finally, prove Finally, the to theorem, prove the suppose theorem, that suppose neither that Case neither Case nor true. Then 3Then isThen true. Then Finally, to prove the theorem, suppose that neither Case nor true. Then Finally, to prove the theorem, suppose that neither Case nor Case isis true. Then Finally, tototo prove the theorem, suppose that neither Case nor Case is true. Then Finally, toprove prove the theorem, suppose that neither Case nor Case istrue. true. Then Finally, to prove the theorem, suppose that neither 1111nor Case 33313isis Then Finally, the theorem, suppose that Case 11 1nor Case 33 3true. is Then nneither n n Case nxa n n there there there exist exist exist points points points b b and and b and d d such such d such that that that a a x x converges converges converges at at b at b and and b and diverges diverges diverges at at d. at d. Let d. Let Let nconverges rove the theorem, suppose that neither Case 1 nor Casethere 3 there is true. exist Then there points exist b and points d such b and that d such a x that a x at converges b and diverges at b and at diverges d. Let nnnx n n n b d a x there exist points and such that converges at b and diverges at d. Let n n n there exist points b and d such that a converges at b and diverges at d. Let b band there exist points that at at diverges at at d.atd. Let band dsuch x converges there exist points and such thataannnxaxnnaxconverges converges band and diverges d.Let Letat d. Let ddn such exist points that at bbatand diverges at d. Let there exist points dsuch that band diverges nconverges nnb nand nxx n n S S S x: x: x: a a a converges x converges converges . . S S . is is S nonempty is nonempty nonempty because because because b b b S. S. If S. If x If x x S, S, then S, then then x x x d d , nnx: points b and d such that an x converges at b and diverges atx:d. an x ... converges .SSSS.isis isnonempty . S isbecause because nonempty S. then If xxxxx xS,x dthen d , ,xd , d, nconverges x: because If xxIfxIfbxx S, then nx nconverges isnonempty nonempty because S. S, then x:x: xaanxnnnnaconverges converges nonempty because S.S.S. IfIf S,S,S, then converges isnonempty nonempty because bS. S.xIf xS, S,then then SSSS SS S x: aaanannSxLet bbbb bbbecause S. If then x:x: xnxconverges . is S.S Snonempty is because x dd ,,,dd d,, , n xconverges n which which which shows shows shows that that that d d is d is an is an upper an upper upper bound bound bound for for for the the the nonempty nonempty nonempty set set set S. S. By S. By By the the the completeness completeness completeness S. If x S,which then which x shows which d that , shows d is an that upper d is bound an upper for the bound nonempty for the set nonempty S. By the set completeness S. By the completeness which shows that is an upper bound for the nonempty set By the completeness d S. n x converges . S is nonempty because b which shows that d is an upper bound for the nonempty set S. By the completeness which shows that anisan upper bound forfor the nonempty setset By the completeness S. which shows that anupper upper bound forthe thenonempty nonempty set S.By Bythe thecompleteness completeness shows that upper bound for the nonempty set By the completeness dd disisdan S. which shows that is bound S. property, property, property, Shas Shas has Sahas aleast aleast least aSupper least upper upper bound, bound, bound, R.bound, R. s that d is an upper bound for the nonempty set S. By the property, completeness property, upper has aupper least bound, upper R.R. R. property, has least bound, R. property, has least upper bound, R. property, has least upper bound, R. property, least upper bound, R. property, aaahas least upper bound, SSSShas R. property, SS Shas aa aleast upper bound, R. has a least upper bound, R. nn n n And Now, Now, Now, ifxxifx xxif xNow, x>> R, R, R, then then xS, xS, xS, so S, soaaso aannnS, xdiverges. diverges. xdiverges. diverges. And xxif x > < < nnso Now, R, then ifR,then xthen so then anAnd xAnd diverges. ifxif R, then ifR,then xthen R, an xupper is not an upper > ndiverges. Now, ififif then so And ifAnd then is not an upper R, S, R, > < Now, R, then S,S, so xnxandiverges. And R, then isnot not an upper Now, then so And then not an upper R, xxifxifx< R, < Now, ifx>> xR, xR, S, so xdiverges. diverges. And xR, xnot isnot not anupper upper >then anannxxnxxaanxnnnnadiverges. xxxx < nn n nbb n n bound bound bound for for for S, S, S, so so so there there there exists exists exists b b in b in in S S satisfying S satisfying satisfying b b b > > > x x . . x Since Since . Since b b b S, S, S, a a a b n bound is not an for upper bound S, so for there S, exists so there b in exists S satisfying b in S satisfying b > x . Since b > b x . Since S, a b b S, an b n > R, then x S, so an x diverges. And if x < R, then xbound n n S, S, >b >> S, S, bound forfor so there exists inbin satisfying Since bound for S, so there exists in Ssatisfying satisfying b> Since S,S,aaannnbnbbaannabnbnnbn S, bound for so there exists Since S,so Ssatisfying x.. .Since bS, bound for sothere there exists satisfying Since S, bbb in SSSnin bbb b> xxx>...xxSince bbb bb S, for so there exists satisfying bound exists bbin S n n n n n n converges, converges, which which which implies implies implies that that that aan xxconverges. xanconverges. xconverges. converges. nnnconverges. S, so there exists b in S satisfying b > x . Sinceconverges, converges, bconverges, S, which aconverges, which implies which that implies that an x converges. converges, which implies that converges. nb converges, which implies that converges. converges, which implies that converges, which implies that converges. aaanannxnaxxanxnnnnaxnconverges. implies that converges, which implies that n xconverges. which implies that an x n converges.

A

Demostración de teoremas seleccionados

TEOREMA 10.16 ClAsifiCACión dE CóniCAs MEdiAnTE lAECCENTRICITY ExCEnTRiCidAd THEOREM THEOREM THEOREM 10.16 10.16 10.16 CLASSIFICATION CLASSIFICATION CLASSIFICATION OF OF OF CONICS CONICS CONICS BY BY ECCENTRICITY ECCENTRICITY THEOREM THEOREM 10.16 CLASSIFICATION 10.16 CLASSIFICATION OF CONICS OF BYBY CONICS ECCENTRICITY BY ECCENTRICITY THEOREM 10.16 CLASSIFICATION OF CONICS BY ECCENTRICITY THEOREM 10.16 CLASSIFICATION OF CONICS BY ECCENTRICITY THEOREM 10.16 CLASSIFICATION OF CONICS BY ECCENTRICITY THEOREM 10.16 CLASSIFICATION OF CONICS BY ECCENTRICITY THEOREM 10.16 CLASSIFICATION OF CONICS BY ECCENTRICITY THEOREM 10.16 CLASSIFICATION OF CONICS BY ECCENTRICITY (páginA 750) (PAGE (PAGE (PAGE 750) 750) 750) (PAGE 750) (PAGE 750) M 10.16 CLASSIFICATION OF CONICS BY ECCENTRICITY (PAGE 750) (PAGE 750) (PAGE 750) (PAGE 750) (PAGE 750) (PAGE 750) (PAGE 750) Let Let Let F F be be F a be a fixed fixed a fixed point point point ( ( focus) focus) ( focus) and and and let let let D be be abe alet fixed fixed aDfixed line line line (directrix) (directrix) in in the in the the plane. plane. plane. Let F be a fixed Let F point be a fixed ( focus) point and (let let focus) Dbe be abe fixed line be a(directrix) fixed linein (directrix) the plane. in the plane. Sean F un punto fijo (foco) y D una recta fija (directriz) en el(directrix) plano. Sean también LetLet F be fixed point focus) and let D be fixed line (directrix) inin the plane. Let fixed point focus) and let DD fixed line (directrix) in the plane. Let be aabe fixed point focus) and D be aaD fixed line (directrix) in the plane. Let fixed point ( focus) and let Dand fixed line (directrix) inthe the plane. Let FF be abe fixed point (((focus) and let D abe fixed line (directrix) the plane. FFFbe aa afixed point ((focus) and let D be aa afixed line (directrix) in plane. Let Let Let P P be be P another be another another point point point in in the in the the plane plane plane and and and let let let e e (eccentricity) (eccentricity) e (eccentricity) be be the be the the ratio ratio ratio of of the of the the Let P be another Let P be point another in the point plane in and the let plane e (eccentricity) and let e (eccentricity) be the ratio be of the the ratio a fixed point ( focus) and let D be a fixed line (directrix) in Let the plane. P otro punto del plano y e (excentricidad) la proporción que existe entre la distancia LetLet P be another point in the the plane and letlet (eccentricity) bebe the ratio of of the Let be another point ininthe the plane and let (eccentricity) be the ratio of the Let be another point in the plane and let (eccentricity) be the ratio of the Let beanother another point theplane plane and (eccentricity) bethe theratio ratio ofthe the of the PP be another point in plane and let eeelet (eccentricity) be the ratio of the PPPbe point in and ee e(eccentricity) distance distance distance between between between P P and and P and F F to to F the to the the distance distance distance between between between P P and and P and D. D. The D. The The collection collection collection of of of another point in the plane and let e (eccentricity) be the ratio of the distance between distance P between and F to P the and distance F to the between distance P between and D. The P and collection D. The of collection of que hay de P a F y la distancia de P a D. El conjunto de todos los puntos P con una distance between P and and F to to the distance between P and and D.D. The collection of of distance between and totothe the distance between and D. The collection ofof distance between and F to the distance between and D. The collection of distance between and thedistance distance between and D.The The collection distance between PP F distance between PP D. The collection of distance between PPPand FFFthe to between PPPand collection y all all all points points points P P with with P with a a given given a given eccentricity eccentricity eccentricity is is a is a conic. conic. a conic. between P and F to the distance between P and D. The collection all points of P all with points a given P with eccentricity a given eccentricity is a conic. is a conic. excentricidad dada es una cónica. allall points P with with given eccentricity is ais conic. all points with given eccentricity conic. all points with aa given given eccentricity aaisde conic. allpoints points with given eccentricity is conic. mediante all points PP a10.16 eccentricity isis conic. PPPwith aa agiven eccentricity aa aconic. TEOREMA Clasificación cónicas P with a given eccentricity isP a conic. 00ellipse 0if< 0e < 1. 1.The The 1. The The conic conic conic is isan is an ellipse an ellipse ellipse if e< e< e 1. 1.<1.(página < 01. conic 1.is conic ellipse is if< 1. < 1. La cónica es una elipse 00if The conic is an ellipse if 1. la excentricidad 1. The conic isan an ellipse if0if< Q < 1.1.1. The conic isisThe an ellipse ifsiif0an 1. < 0e > > 1.if1.e > 1. la proporción que existe entre la 3. 3. The 3. The The conic conic conic is is a is a hyperbola hyperbola a hyperbola if if e e if e 1. > 1. 3. The conic 3. is The a hyperbola conic is a if hyperbola e > 1. 3. The conic is a hyperbola if e bién P otro punto del plano y e (excentricidad) > 1. 3. The conic is a hyperbola if e > 1. 3. The conic is a hyperbola if e 1. 3. The conic is a hyperbola if e > 1. 3. The conic is a hyperbola if e conic a hyperbola 3. 3.LaThe cónica es is una hipérbola siif e > >1. r onic is a hyperbola if e > 1. distancia que hay de P a F y la distancia de P a D. El conjunto de todos los puntos P con una excentricidad dada es una cónica. y yy y y PROOF PROOF PROOF eeIf1, eSi 1, 1, 1, If then, then, by by definition, definition, the the the conic conic conic must must must aparabola. be amust parabola. parabola. a parabola. If then then you you e then PROOF PROOF ethen, = 1by entonces, por definición, la cónica debe una parábola. Sithen you eby 1,definition, 1,you then, If1, by definition, then, bythe the definition, conic must the conic beabe abe beIfIf parabola. then If1, you ethen yyy yy y DEMOSTRACIÓN PROOF 1,1, 1,1, IfIfeeeIf then, by definition, the conic must be parabola. IfaIfeser then you PROOF 1, 1,1, IfeIfIf then, by definition, the conic must be IfeIfIfeeeeIf then you PROOF PROOF 1, then, definition, the conic must be aabe parabola. you eeIf 1,then, 1,then then, by definition, the conic must aparabola. parabola. then you e1, PROOF IfIf then, by definition, conic must be parabola. then you PROOF ee e1, 1, 1, by definition, the conic must be aa parabola. you θ 0Fthe < eorigin < 1. 1. La cónica es una elipse silie x x x can can can consider consider consider the the the focus focus focus to to lie to lie at at at the the origin origin and and and the the the directrix directrix directrix to to lie to lie lie to to the to the the right right right F F F d d d , entonces considerar el foco que se encuentra en el origen y la directriz x = d a lathe right x x can consider can the consider focus the to lie focus at the to origin lie at and the the origin directrix and the directrix to lie to the to right lie to F d d e 1, then, by definition, Pthe 1, conic must be a parabola. If then you e cancan consider thethe focus to lietolie atlie the origin and thethe directrix to lietolie toliethe the right F to P PP P P QQ Q can consider the focus to lie atatthe the origin and the directrix to lie to the right FFlie can consider the focus to lie at the origin and the directrix to lie to the right can consider thefocus focus theorigin origin and thedirectrix directrix tothe theright right xxx xx xddd to can consider the focus at the origin and the directrix to right FF xQ consider to at and to to F dd dlie PP PP P QQ Q e � 1. 2. La cónica es una parábola si P P P r, r, r, x, x, y x, y , , y , of of the of the the origin, origin, origin, as as shown as shown shown in in Figure in Figure Figure A.1. A.1. A.1. For For For the the the point point point you you you have have have Q derecha del origen, como se muestra en la figura A.1. En el punto se Q x r the focus F to lie at the origin and the directrix to lie to the right d P r, P x, y r, , x, y , of the origin, of the as shown origin, in as Figure shown A.1. in Figure For the A.1. point For the point you have you F Q Qx = d P PPPr,r, r, r,r,r, x,x, x, yx, of of the origin, as as shown in in Figure A.1. ForFor thethe point you have of the origin, as shown in Figure A.1. For the point have yyx,,x, ,,yyyou of the origin, as shown in Figure A.1. For the point you have y,, you ,you ofthe the origin, asshown shown inFigure Figure A.1. For the point you have have PP of the origin, as shown in Figure A.1. For the point have origin, A.1. point have PF PF PF r r r PQ PQ PQ d d d r r cos cos r cos . . . e e e PF PF PF PQ PQ PQ , , , and and and Given Given Given that that that it it follows follows it follows that that that tiene y Dado que se deduce que r, x, PF y , r PF PQ r d PQ r cos d . r cos . e PF e PQ , PF PQ , n, as shown in Figure A.1. For the point P you have and and Given that Given that it follows that it follows that PFPF PQPQ cos PFPF PQPQ and Given that it,,follows follows that >that 1.that 3. rrrLa es una si PF PQ PF PQ Given that follows that PF PQ cos ee ee ePF PF PQ ,, itit and Given that follows that PF rand PQ drrr cos rcos cos .eGiven PF , itfollows and follows that PF PQ ddd ddhipérbola ... Given ethat PQ ,PQ and that rrcónica rr cos .. Given and itit that d r cos . Given e PF PQ , d PQ that it follows that PF PFPFPQ PQ PQ ee e PQrrre rrr eeerddeededdderrrdcos rrcos cos r cos .. . r rrr r r PF PQ cos ecos Figura PF eeePQ PF PQ r PF PQ cos PF PQ PQ rcos rrr rA.1 PF ePF r r re de ed dr cos .d.. . .. .r cos . PF PQ ee e rr cos PQ e r e d r cos . e � 1, Demostración Si entonces, por definición, la cónica debe ser una paráBy By By converting converting converting to to rectangular to rectangular rectangular coordinates coordinates coordinates and and squaring squaring squaring each each each side, side, side, you you you obtain obtain obtain By converting By converting torectangular rectangular torectangulares rectangular coordinates coordinates and squaring and each squaring side, you each obtain side, you Convirtiendo ato coordenadas y and elevando aleach cuadrado ambos lados, se obtain obtiene By converting to rectangular coordinates and squaring each side, you obtain By converting to rectangular coordinates and squaring each side, you obtain By converting to rectangular coordinates and squaring side, you obtain By converting to rectangular coordinates and squaring each side, you obtain By converting coordinates squaring side, you obtain By converting to rectangular coordinates and squaring side, you 1, bola. Si e � entonces considerar eland foco F que each se each encuentra en elobtain origen y la ding to rectangular coordinates and squaring each side, you obtain22 22 222 22 222 22 22 22 222 222 2222 22 2 2 222 22 2 2 x2 2xyyx2y2 � yy2 d2yee2xe2aeedde2d2la2ddedyderecha dx2xxe2 x2 de2 del eed222dexdorigen, 2dx 2dx 2dx x. .muestra 2 2d 2dx e2dx dxxx2x2 .xx..x2.2x2dx x . en la figura A.1. En el θ θθ θ θ 2.se como 2x2 x 2dx 2dx 2dx xxxPM 1053714_App_A_Calc_Calc MV.qxp 10/27/08 2:52rectriz θθθ θθ θ xx2xyPage yy2y eA20 ed ed dxxx 2xx x2 eee2 ededd22edd2d 2dx 2dx x .. . x xxx x x punto P � �r, �� x, y�, se tiene PF � r y PQ � d � r cos �. Dado que e2 d x 2 e2 dF2F F 2dx x2 . x x xx Completing Completing Completing the the the square square square produces produces produces F Completing Completing the square produces the square produces FF F F Completing the square produces Completando elthe procedimiento x==xxddxd===dxdd= dx x = d Completing Completing the produces Completing the square produces FF the square produces square produces F Completing square produces xxx== eCompleting � PF the � PQ ,square se deduce que xd =x d= d the square produces e22ddd2eede222e2dd2de2d2222d22222 e2y2yy2dy222yyy22y2222y 2 eee2e22yddd2ee2d2e22222e2dd2de22d222d 2 e 2d 2 xxPF x xeee2� . . �. �. e d2x 22 e 2 y r � e�de � d r.cos x . x 2 2Figura 2 2 Figura Figura Figura A.1 A.1 A.1 2 Figura A.1 Figura A.1 x x x x11 111 e21e22PQ A.1 e d y Figura eA.1 d eee22 2e 1111 111eee221e222eee22222e11211 111 eee21e22222ee22e.22..222222e.2.221.2 e 2 2 Figura A.1 Figura A.1 Figura A.1 A.1 Figura 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e . 1 e 1 e 1 e 2 2 2 2 e 1 e 1 e Convirtiendo a coordenadas rectangulares y elevando al cuadrado22 ambos lados, se 2 2 and eeIf e< e 1, < 1, 1, eeIf e> e 1, > 1, 1, < 0, 0, If this this equation represents represents represents an an ellipse. ellipse. ellipse. If then ee< e222<22e< and and the eIf < 1, eequation 1, e111then 0, then Ifthen 1>1111, 10, and eecuación the and the eeobtiene < 1, eeIf > 1, 0, this represents an ellipse. If then ee21e2then and the << 1, >> 1, << 0, If this equation represents an ellipse. If then and the < 1, > 1, < 0, If this equation represents an ellipse. If then and the e < 1, e > 1, < 0, this equation represents an ellipse. If then 1 e and the < 1, e > 1, < 0, IfIf this equation represents an ellipse. If then e and the Si e < 1, esta ecuación representa a una elipse. Si e 1, entonces y la e < 1, e > 1, < 0, If this equation represents an ellipse. If then 1 e and the 2 equation equation equation represents represents represents a a hyperbola. hyperbola. a hyperbola. < 0, is equation represents an ellipse. If e > 1, then 1 eequation equation and represents equation the a represents hyperbola. a hyperbola. equation represents a hyperbola. equation represents a hyperbola. represents hyperbola. equation represents ahyperbola. hyperbola. represents aa hyperbola. representa a una hipérbola. equation A20 Appendix A Proofs of Selectedequation Theorems x 2 �represents y 2 � e2�da � x�2 � e2�d 2 � 2dx � x2�. resents a hyperbola. Completando el procedimiento TEOREMA 13.4 pARA lA difEREnCiAbilidAd 2 e 2d COndiCiOnEs y 2 sufiCiEnTEs e 2d 2 FOR THEOREM SUFFICIENT CONDITION DIFFERENTIABILITY (PAGE 919) x � 13.4(páginA � � . 919) 1 � e 2 �1 � e 2�2 1 � e2 If f is a function of x and y, where fx and fy are continuous in an open region 2 < 0, 1 � eabierta e es < una 1, esta e > 1, entonces ecuación a una yR,la Si de x representa y on y, yR.además fx yelipse. fy son Si continuas en una región z R,f then f isfunción differentiable ecuación frepresenta a una hipérbola. entonces es derivable en R.

� ��

�

� �

� �

�

C

B

∆z2 ∆z1

∆z

A

y x

(x + ∆x, y + ∆y)

(x, y) (x + ∆x, y)

�z � f �x � �x, y � �y� � f �x, y� Figura A.2

A-2


PROOF Let S beSea the la surface defined by z porf zx,=y f,(x, where f, fx , and continuous superficie definida y) donde f, fx fyy fare DEMOSTRACIÓN y son continuas en TEOREMA 13.4 Condiciones suficientes para la diferenciabilidad x, Además, y . Let A,sean at y). B, and be points on surface S, as shown in Figure A.2. From thisEn la (x, A, BCy C puntos en la superficie, como se muestra en la figura A.2. (página 917) figure,observamos you can seeque thatelthe change f from point to point C encuentra is given bypor medio de figura cambio de in ƒ del punto A alApunto C se Si f es una función de x y y, y además fx y fy son continuas en una región z f xR, entonces x, y f es y derivable f x, y en R. abierta f x x, y f x, y f x x, y y f x x, y z1 z 2. Demostración Sea S la superficie definda por z � f �x, y�, donde f, fx , y fy son conA and yesisfija x changes. Between fixed and So, by Mean Value Theorem, there is la �x,B, yB, �.yAdemás, tinuas en A, B yEntonces, enthe la superficie, como muestra en C puntos Desde A hasta y xsean cambia. mediante el teorema delsevalor promedio, x x x a value between and such that figura A.2. En la figura observamos que el cambio de ƒ del punto A al punto C se existe unxvalor x entre x y x + Dx tal que 1 1 encuentra por medio de z1 f x x, y f x, y fx x1, y x. �z � f �x � �x, y � �y� � f �x, y� Similarly, between B and C, x is fixed and y changes, and there is a value y1 between f �x �that � x, y� � f �x, y�� f �x � �x, y � �y� � f �x � �x, y�� y and y �y� such � �z � �z . z2 f x 1 x, y2 y f x x, y fy x x, y1 y. Desde A hasta B, y es fija y x cambia. Entonces, mediante el teorema del valor promeBy combining these two results, you can write 3/12/09 dio, existe un valor x1 entre x y x � �x tal que

20:34:42

figure, figure, you figure, you cancan you seesee that canthat see the the that change change the change in f from fsee from inthat point f point from Achange to point A to point point Ainin to Cfpoint C isfrom is given given Cpoint isbygiven byA to by figure, youin can the change pointC C is given by figure, can see the x by x, y y f x, y figure,you seethat that infyffrom frompoint pointAAtotopoint pointz Cisisfgiven given by at the change in f from point A to point C is given by zz you ffxcan xx z x, x, yyf fxthe yychange ffyx,yx, x, x, y z f x f x x, x, y y y f x, f x, y y z z f f x x, y y y y f f x, y z z x x, x, y y f f x, x, y z z f x f x x, x, y y y y f x, f x, y y z z f xf zx fx,xx, y y x,y yyzz f fx, fyxx, yx y f x, x,x,yyy f x x, y f x, y f x x, y yy f ffx,x, yy z f fxf ffxxxx x,f x, x, ffyx,yx, yyxfx,yfxyx,x, x, yyfy fxyyx, x, y y f x, y x,yxy yy f yx, x, x, x, yfyx, f f yfx, yfxx, yyy yfx, y yfx,xfx,yxy x, x, yxf x, f xfx, fxyxffyx xxy x,x, xfx,yx, fxfffyyxfx, x yx, yfx, xyx, yxxxx,y yx,ffx,fx,yxxfx, x, fyxyx, yx,yxfx, yyxyyyf fxyx, yy f xf x fx,xx, y y fx,x, fy x, y yfff xx,x fy xf xx, y x, y y y y x, y x,yyffx,fxxx, f x, y f x y f x x,x,y y y y f fx x z1 x,x,y yz 2. y f. fx, ,y f x, y f x x, y y f x x, y 2.. z zz z . x, z1z1fzz11x z 2z. 12zzz.x, zzz.yz. z 2z.f 2.x 2 z1 z1 zz21.z 2. z 2. z1zz1 zz2z.21.. 1 12 2 21 21 Between A and B, y is fixed and x changes. So, by th . 2 fixed and x changes. So, by the Mean Value Theorem, there is A yyBetween Between and is Achanges. B, xis Between and is fixed and changes. So, byand the Mean Value Theorem, there AyB, A B, B, yby yB, xis xSo, Between and is is fixed fixed and and changes. changes. So, So, by by the the Mean Mean Value Value Theorem, Theorem, there there isthere is that ABetween Aand B,1B, yand xyMean xisMean Between and is is fixed fixed and and changes. changes. So, by by the the Mean Mean Value Value Theorem, Theorem, there there isValue isis A A B, y x x Between Between and and fixed fixed and and changes. changes. So, So, by by the Mean Mean Value Value Theorem, there isisthere A A B, B, y y x x Between and and is fixed fixed and changes. changes. So, So, by by thethe Mean Value Theorem, thereis is xTheorem, aMean value xthe xMean and xTheorem, such A and A and B,AB, yand B, y x x x Between Between Between isyBetween is fixed fixed is and and fixed and changes. changes. So, So, by the So, the by the Value Mean Value Theorem, Value Theorem, Theorem, there there is is there is Abetween Between fixed andxxxchanges. changes. So,by bythe theMean Value Theorem, there 1 between B,B, yyyxxisis Between and fixed and So, Value Theorem, there isis x xxA11between aaBetween value and such that x value between and such that A B, x and is fixed and changes. So, by the Mean Value Theorem, there is x x x x x x x a value a value between between and such such that that x x a value a value x x between x and x and such such that that x a a value value x x between between x x and and x such such that that s fixed and x changes. So, by the aMean Value Theorem, there is x x x x x x x x a value a value between between and and such such that that ApénDiCE A thatDemostración de teoremas seleccionados A-3 1x that 1such 1 x1xx 1that value a value xa1value xbetween x1 between x and x and xx and such x between such that value and such 1 between xxx 1 1 xxxsuch xxx1and aaaxvalue that z1 f x x, y f x, y fx x1, y x. valuezx1x11between between and such that and x x such that f x x, y f x, y f x , y x. z f x x, y f x, y f x , y x. 1yyx,fxx. yx,yyfx. ffxxx, x, x, yx,xfx,yfxfyxx, ,x, fx fxfx. xfx,zx, f1yxf,x, yfxxx.f1x. x1xy,x. , x. yfx fx. zx, f1yx,fx, xx1x.x, 1y, y x. x. 1 1yxxx 1y 1y xy 1y z1 z1 f xf z1x fx,xx, y y fx,z1x, fzyz1zx, y111f yfxff fxzxfx,x1xzfxy1x1x, ,xfzy1x, ,zxfx, fyxxyyx. y f , y 1, y1f f1x,x, x, y f x , y x. 1z 1x1 , y Similarly, between B and C, x is fixed and y changes, f x x, and y C,f xx,isyfixedxfxxand x. y f x, y fx x1, y x. 1 between 1 y changes, B Similarly, and there is aavalue value between Bchanges, xand yis Similarly, between and isbetween fixed and changes, and there is value between 1 BxC, Band C, C, xxand xes yyais yand Similarly, Similarly, between between and is is fixed fixed and and changes, changes, and there there isthere value ayyand value between B B C, C, xchanges, yxBand yisand yyis Similarly, Similarly, between between and and is is fixed fixed and changes, changes, and there there isachanges, value aand between B B C, C, x y ychanges, yvalue Similarly, Similarly, between between and and fixed fixed and and there is a athere value between Del mismo modo, desde B hasta C, fija, y cambia, y existe un valor entre yyvalue y1ybetween yis B C, C, x x yis y1ybetween Similarly, Similarly, between is fixed fixed and and changes, and there isay1Dy a1between value 1between 1 + 1ay 1 B and B C, B C, x x C, x y y y y y ychanges, yisyand yvalue Similarly, Similarly, Similarly, between between between and and is is fixed fixed is and and fixed and changes, and there there and is is a there value a value is value between between and between such that 1 between B C,xxisisfixed y1is Similarly, between fixedand andyychanges, changes, and aand value between 1 1and 1there B C, y Similarly, between and there is a 1between y y y and such that y y and such that B C, x y y Similarly, between and is fixed and changes, and there is a value between y y y y y y and and such such that that y y y y y and and such such that that y y y y y and C, x is fixed and y changes, and there is a value between and and such such that that tal que y y y y y y and and such such that that 1 y and y and y yy andy ysuch y such y1that that such thaty and suchthat that yyyand yyysuch z2 f x x, y y f x x, y fy x andy zy such x, that at f x y y f x x, y f x x, y y. z f x x, y y f x x, y f x x, y y. y yfx, yyxy xfx,yx, fxyyx, fyxy1yx1x, x, y1fyyx, y.1yy.1 y. zy2zy2y 22 f f fxxfyxz2xz2 x,ffzx,2x, yx f fxzyx, f xfx, fxyxyxxyx, yxfx,yyxy.yf fxfyyx, fxyx, y. y. zyxxf2x, x zyx, yfx, fyy11fx, x x, xyy. x, yx, x,y.x, y1y1 y. y. 1fx yy z2 z2 f xfz2x fx,xx, y y x, yx, y. y yx xy1 x, x,yy1 xfyy. fy yyxxfx,By x, 1 x, z2zz2 f fx x x,yx,yyy fx,y2 yfxy2yyyx ffyfx, x x, y y. combining f xcan write x, y fy x x, 1y11 y. these two results, you can write y y f x x, y fy x x, y1 y. By combining these two results, you By combining these two results, you can write By2By combining combining these these two two results, results, you you can can write write By By combining combining these these two two results, results, you you can can write write By By combining combining these these two two results, results, you you can can write write Combinando estos dos resultados, escribir By By combining combining these these two two results, results, you you can can write write ByBy combining combining By combining these these two these two results, results, two you results, you can can you write write can write Bycombining combiningthese thesetwo tworesults, results,you youcan canwrite write By z z1 z 2 fx x1, y x fy x x, y1 By combining these two results, you can write wo results, you can write z z z zfxzffzxxx,zzxxy,11y,, zyyfzxzfxz xxx,fy,fxzyffyyxz, xxy,xyf x, x, y. y. fyx1yx, x, y1fyyx, y.1yy.1 y. x, y. xxy. x, x1,yx1y1f,yyyyy11fy. x,y.x, y1y1 y. y. x11x 1yx xy. yfx 1fx xxfx, yf21 12x xfx 1 2y yxxx, z z z1zz1 zz21z 2 fx fxzzx12,zxzy1zz, yfxzx1xzz1xz1zz, 111zyfy zfxzy2xzzzx12zzz2221ffxyx, y1x121x1xy2,11,yy. x,x21y. xx y yx y x, 1 f x f x x, y y. 1y1 Ify. fx x, y and you define 1 and 2 as 1 fx x1, y zdefine1z1 and2z 2 asxfx 1x1, yf xx , y yfyy xf x, yx,and fx x1, y x fy x x, y1 y. 1 xxfx, x, x, yy11f xfx, x,fy,xx,yy,se If you f1xxx2,and xy2as yffxx1 f1xxx21fx,x, y11y,fyand x, Ifas you define and as and 1 2 1 1 yfxxxx, ,x, fx, x, yf1it2yxx,fx, yf22and fyy2,x, fy2xyand yff1yyx, yyx, fyy,,1fde x, x, yfyx, y,fyx, ,yx,1y y, f,y fx, Ifas Ifyou you define define and and as and fand fyxas ,1and y, and yfxyxx,xy1x, fx, f,xyyyfffyyand x2f,xand yxand f2x, Ifas Ifyou you define define and as and f x , y x, x, y f x If If you you define define and Definiendo e y e como y f x y , y f x y y, , If If you you define define as as 1fand 2as 12x, 11as 1 1 2 1 1 x x 2 1 y 1 1 2 2 1 1 x x 1 x 2 y 1 1 y y 1 2 1 1 x y y 1 follows that f f x , x y , y x f , f x, y x, y y f f y x, f y x, y If If you you define Ifdefine you define and and and and and 1 2 x 1 x 2 y 1 y x, you define as x 2fxfx2xx1,1y,yyy2 fxfxyx,x,yy1 and 1 1 2 1 If 2Ifyou 1 12define x x11 1 1and xand 1x x 2as 1andy 1y2 fyffyyxxx x,x, yy1y1 fyffyx,x, yyy, ,, it follows that 1 that 2 as 1 1 2 it follows that f x , y f x, y x, x, If you define and and it it follows follows that it it follows follows that that it it follows follows that that f x , y f x, y f x x, y f x, y , as and duce que it it follows follows that that 2 1 x 1 x 2 y 1 y 2 1 x 1 x y it follows 1 it 2follows it follows that that that followsthat that 1 ityititfollows z z1 z2 fx x, y x fy follows that 1 2 z z z f x, y x f x, y y z z z f x, y x f x, y y y y2y 1x, yfyyfyx,2x,y2yy fy fyx, y1z2y1y1f yfx, xzx, yx2 yy2 fyy2fxx, y xx, y221yfxyffxx, x, yy yy yyxx, xxzfx, xy y2 xz2z 2x yfx z z z1zz1 zz21z 2 1zz21zzzfx fx,zx 11x, yzzz1zy111zfx xzx,z2zxzzy12zz2221 2z1x1z2z12zf111zyf2xfx,yffx, x, y2xxxz1x, 2fxfxx, y yx, f x, x x, y y yy 1y21 f x, y x f x, y y x, y x f x, y y 2 y 1z 2z 1f x, xy yy z xxyyx, y yy. x,xy yyffyx2fx, y.y xyx y. y. xy.xy.x fx x, y x fy x, y y f 1yyx,y yfxfxyxxx, xxyyff fyx, ffyyx, yyx, 2 fxx, fy2x, yfyyfyf1yx,xx, x1y. 1 2 xy11xyyxy xxfyyfx, x, x, yx, 2yy. x x, yy 1 x, xfyxxx, 1y 2 21x 1 2 2 12 12 fx fx,x x, y yfxx x,x1yfy fx,yx x, y2 yffxyyffx, x, x2y. y. y. xy 2 xx yy 2 2y. y. x, x, y x y. 1y 1 xxx yx 1fyx2fyx, x, y y y x y. x 1 2 xf x, y yf x, y 1 the 2 continuity of f and fy and the fact that x x1 x that y By fx x, y x fy x, y y xand the fact y x 1 x x and2 y y. y x y ffand ffand xxde xxx fact y, By the continuity of and 1 x 2 y. xthe xand yxxyand y11xand y y,xy, y, By the continuity of and and the fact that and x11that x11xyand yand By By the the continuity continuity of and and the fact fact fthat ffact fof fand xand xand xthat xxque x yit xxyxthat y0yand the the continuity continuity of and the fact fact that that and ffxxfthe fyand ffdel xx1and y→ yy1y0 yas y y, yyy, y,yy,0yand y, y, By By the the ofthe and and the fact fact that por medio de laof continuidad de yxfand ffact yfxand hecho fxand fthat xythat xyxy, xyyand y1→ By the of of and the the fact that xxBy xyyxfcontinuity xof yand 1x 1xy, xcontinuity xcontinuity yxthe yfcontinuity 1fand 1y 1yxy yand ythe yxthat 1 1 fx By fxBy f f f f x x x x x x y y x y y y y, → y→ follows ByBy thethe continuity By continuity the continuity of of and and of and and and the the fact and fact that the that and x y y 1 1x f f x x x y yy1yx1 and y, By the continuity of and and y x y y 1 1 1 1 1 1 1 2 y, f f x x x x y y y By the continuity of the fact that and xand yand 1y → 1 → 0 → 0 x → 0 0. f it follows that and as and Therefore, by definition, is x y 1 1 → 0 → 0 x y 0. f it follows that and as and Therefore, by definition, is f f x x x y y y y, By the continuity of and and the fact that and 1 2 → → 0 0 → → 0 0 x → x → 0 0 y → y → 0. 0. f f it it follows follows that that and and as as and and Therefore, Therefore, by by definition, definition, is is → → 0 0 → → 0 0 x x → 0 y → y 0. 0. f f it it follows follows that that and and as as and and Therefore, Therefore, by by definition, definition, is is x y y y y, → → 0 0 → → 0 0 x x → → 0 0 y y → → 0. 0. f f is f isf is and fy and the fact that x x1 xit follows and it it follows follows that that and and as as and and Therefore, Therefore, by by definition, definition, is se deduce que y cuando lo hacen y De tal modo, → → 0 0 → 0 x → x → 0 0 y → y → 0. 0. it it follows follows that that and and as as and and Therefore, Therefore, by by definition, definition, 1 2 x y 1 1 1 12 y 2as 2→ 1x 0 1→ 21→ 1→ 1→ 2→ 2Therefore, differentiable. 0 and 0 1and → 0 → → 0 0 → x → 0 0 x → 0 y → 0. 0. y 0. f f f it follows it that follows that1 → and as as as and and and Therefore, Therefore, by by definition, definition, by definition, is is is 1 1 2 2 0 x 0 y → 0. f it follows that and Therefore, by definition, is 1that 2 2 2 0 as x x→→00and itdifferentiable. that 1 1→ differentiable. →0differentiable. 0and itfollows follows that and 2 2→ and y y→→0.0.Therefore, Therefore,bybydefinition, definition,f fisis differentiable. differentiable. differentiable. differentiable. differentiable. 0.differentiable. f definición, and 2 → 0 as x → 0 and y →differentiable. Therefore, by definition, isdifferentiable. por f 1es derivable. differentiable. 2 → 0 as differentiable. differentiable. differentiable. differentiable. THEOREM 13.6 CHAIN RULE: ONE INDEPENDE THEOREM 13.6 CHAIN RULE: ONE INDEPENDENT VARIABLE (PAGE 925) THEOREM 13.6 CHAIN RULE: ONE INDEPENDENT VARIABLE (PAGE 925) THEOREM THEOREM 13.6 13.6 CHAIN CHAIN RULE: RULE: ONE ONE INDEPENDENT INDEPENDENT VARIABLE VARIABLE (PAGE (PAGE 925) 925)925) THEOREM THEOREM 13.6 13.6 CHAIN CHAIN RULE: RULE: ONE ONE INDEPENDENT INDEPENDENT VARIABLE VARIABLE (PAGE (PAGE 925) 925) THEOREM THEOREM 13.6 13.6 CHAIN CHAIN RULE: RULE: ONE ONE INDEPENDENT INDEPENDENT VARIABLE VARIABLE (PAGE (PAGE 925) THEOREM THEOREM 13.6 13.6 CHAIN CHAIN RULE: RULE: ONE ONE INDEPENDENT INDEPENDENT VARIABLE VARIABLE (PAGE (PAGE925) 925) THEOREM THEOREM THEOREM 13.6 13.6CHAIN CHAIN 13.6 RULE: CHAIN RULE: ONE RULE: ONE INDEPENDENT INDEPENDENT ONE INDEPENDENT VARIABLE VARIABLE VARIABLE (PAGE (PAGE 925) (PAGE 925) 925) THEOREM 13.6 CHAIN RULE: ONE INDEPENDENT VARIABLE (PAGE 925) THEOREM 13.6 CHAIN RULE: ONE INDEPENDENT VARIABLE (PAGE 925) TEOREMA 13.6 REglA dE lA CAdEnA: unA vARiAblE indEpEndiEnTE (páginA w f x, y , f925) Let where is a differentiable functio THEOREM 13.6 CHAINf is RULE: ONE INDEPENDENT VARIABLE (PAGE 925) HAIN RULE: ONE INDEPENDENT VARIABLE (PAGE 925) Let w f x, y , x y. g t where a differentiable function of and If and x w Let x,w ywhere ,w fawhere xand Let where isdifferentiable differentiable function ofgand and Iffunction and wayLet x, f function x, yffunction y,is ,is fof y. gxhand gxt are tand xtand xy. where aof function function ofhy. of If and fdifferentiable fis x,fx, y,Let , fw xand xfunction y. gxand gIf t ggof tand where ayfunction function of Ifxy. Ifand and xof xand ffx, yw , aadifferentiable ,f differentiable f,differentiable gy.If gtIfxtand where where is is aIfand afunction differentiable ofxxy. and w fisfand x, y,fdifferentiable fxfunction f gisaIftgdifferentiable xIf xIf y. g gt tand xand Let Let where where is axof of and and where differentiable function tfunction w w Let f x, fwx, y ,ywhere f, where x, yLet ,fLet fwis f Let xx, xyisaand y. xy. y. tdifferentiable tfunction LetLet where is aw differentiable If and and xdifferentiable wah= ,where fx, y. gty. isuna of and wwdifferentiable x,x, yy)yy, donde fhhes xyxxt, y.Si g(t) Let isare aof differentiable function of and If,If and x= yyLet ggwhere w where and differentiable functions offunctions then is aadifferendifferentt,yfwhere ,,ff(x, Sea fwhere función diferenciable de yand y. xIf gw ytatof ydifferen= hadifferen(t), t, w where and are differentiable functions then is differenh w f x, , f y. g Let where is a differentiable function of and and x y g g h h t, t, w h h t , t , where where and and are are differentiable differentiable functions functions of of then then is is a differeny y g g h h t, t, w w where and and are are differentiable differentiable functions functions of of then then is is a differena h h t , t y y g g h h t, t, w w where and and are are differentiable differentiable functions of of then then is is a differenh h t t , , y. g t here f is a differentiable function of yx and If x and y y g g h h t, t, w w h h t , t , where where and and are are differentiable differentiable functions functions of then then is is a differena differeny h thy, twhere g and hygare hy and h t, t, w t, w w and are differentiable differentiable are differentiable functions functions functions of of then then of is then is a differena differenis a differen, where h t ,gwhere t, tiable function of and wisisaadifferenwhere and are differentiable then different,y,where gggand hhhare differentiable functions ofof then hhhtgfunction t, tiable of and donde son diferenciables deand t,functions entonces wt,t,t, es unawfunción diferenciable t,and tiable function of and yt, and w is a differenfunctions of then ttiable ,hwhere t,are t,and tiable function function ofof and t,funciones t,and tiable function function of of t, tiable w and h are differentiable functions oftiable thenfunction is a different, t,and tiable tiable function function of ofdifferentiable and tiable tiable function function ofoft, t,and t, and t, tiable tiable function function of of and of t, tiable function of and t, tiable function of and dw w dx w dy de t, y function of t, and tiable , and dx dy dw wdw wdxdx w . dy dw w w dx wwwdx w wdy dw dx dy dw wdy dx..dx dydy w wdydy dw dw wdy w wdx wdy wdx dw dw dxdx w wdxw dydw dy dwdw dw ww w dy w dt x dt y dt dx w w dw . . . . dx dy w w dw . . . . . . . dt x dt y dt dw dt xdtdx dtdtdtxyxdt ydtdt dt w dy dt y ydtxdtxydtydtdt y ydtdt xdtw ydtw .dt..dt xdtdy xdt dt dt xdtxdt dt x ydtydtdt dtdt y dtx dt . dtdt xxxdtdt yyydtdt dt dt dt y dt PROOF Because g and h are differentiable functions PROOFBecause t,you Because and are differentiable functions offunctions you know that both and PROOF ggand hhare t, xxand Because and are differentiable functions of you know that both and PROOF PROOF PROOF g g h h t,functions t, xthat Because Because and and are are differentiable differentiable functions functions ofknow of you you know know that both and and PROOF PROOF g g h h t, t, xque xtboth Because and are differentiable differentiable functions functions of of you know that both both and PROOF PROOF g g h h t,zero t,se xboth xand Because Because and and are are differentiable differentiable functions of oft,that you you know know that that both and xMoreove g g h h t,that t, x and Because Because and and are are differentiable differentiable functions of of you you know know that both and PROOF PROOF Because PROOF g and g and hPROOF g h h t, t, t, x xyou x de Because Because are and are differentiable differentiable are differentiable functions functions functions of of you you of know know you that know that both both that both and approach and and as zero. puesto que g y h son funciones diferenciables sabe Dx yxboth Dy DEMOSTRACIÓN PROOF Because t, Because andhthare aredifferentiable differentiable functions you know that both and PROOF gggand t,ybecause xxxapproaches functions ofof know that both and y f approach zero as approaches zero. Moreover, because is a differentiable PROOF y t f approach zero as approaches zero. Moreover, is a differentiable h t, Because and are differentiable functions of you know that both and y y t t f f approach approach zero zero as as approaches approaches zero. zero. Moreover, Moreover, because because is is a a differentiable differentiable y y t t f f approach approach zero zero as as approaches approaches zero. zero. Moreover, Moreover, because because is is a a differentiable differentiable xapproaches y y t t f f nd h are differentiable functions of yt, approach know that both and approach approach zero zero as as approaches approaches zero. zero. Moreover, Moreover, because because is is a a differentiable differentiable y y t t f f approach approach zero zero as as approaches approaches zero. zero. Moreover, Moreover, because because is is a a differentiable differentiable yyou y approach ttienden t t f f f x y, w w x x approach zero zero as as zero as approaches approaches zero. zero. Moreover, zero. Moreover, Moreover, because because because is is a differentiable a differentiable is a differentiable function of and you know that a cero a medida que lo hace Dt. Además, como ƒ es una función derivable de x y y, t approaches approach zero as tknow approaches zero.wMoreover, Moreover, because is aa differentiable differentiable yyyapproach f f is zero as zero. because y, wy, w y,yxyx y, y, xy,xy, function ofand and you that xxand y, w w yyxydonde yyy,is function and that tyou approach as approaches zero. Moreover, because xw xyou y,know y, wthat w wyxxthat wxxxxww xwww wyfw yw yxaw1 xyy11differentiable xay22 medida xy1y, function function ofy, of and and you know know that that xof xwfunction y,zero wwand w wyou xknow xwxxxwthat wxw yxx yy, xyyxx→ y, y, function function of of you you know know that that t approaches zero. Moreover,function x x y, y, x x y y y because a of differentiable function of of and and you you know know that x x y, w x x w w y, y,fo function function of of and you know 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 0 x, y → 0, 0 . where both and as x isand x and y, y, x and y, w w w x x w x x x x w y y w y y y x y, function function offof you you know know you that know that that 1 1 2 2So, se sabe que e e y, function and you know that 1xx 12 ww 2 yy 2 yy 1 1 1 x22x xxxand y,y, ww ww x.. x1xSo, function ofof you know that → x,0as → 0, where both and asand So, for 1 2 2 y, 000, x, yyw 00So, 00y0, where both and as y,both xfor y0. tSo, function of and you know that 1 2 → → 0x, x,→ x, y→ → 0, 0, 0for 0.x, t0for t0. So, 0t for where where both both and as So, So, for for → → 00→ 0as x, y→ yfor → → 0, 0, 02y0, 0.w .0as t.0, t y0tt→ 0w 0So, where where both both and as So, for → 0 0 x, x, y y → → 0, 0 . . 0 where where both and as as So, for w x x where w both ywhere y and x→ y, u know that w → → 0 x, y → 0, where where both both and and as for 1 2and 1 0 xt t 0 20 y, 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 → 0 0 → x, 0 x, y y → x, → 0, y 0, 0 → . . 0 . t t 0 0 t 0 where both both and and as as as So, So, for for So, 1 1 2 que por tanto, para →00asas x,x, yy → → 0, . So,for where both 1 1and and 2 2→ for t 0 1 1 2 1 2 where 2 w x w y x y →w0 as x, yx →0,0,00.y.So, whereboth both w1 and So, for t t 0w0 → 0 as x, y → 0, 0 . So, for t 0 w xxwww2ww yyxwx ww w w w x y w w x x y y x x y y x yxy t y y x t w w w w x x y y x x y y 1 2 w w w w y y x x w w w x x w w y y w w www x x w w xw y yww x xx xy wyw yy y 11 xx y t t t wt yxww y 2 2 2 x tx y ty 1 1 tx 12 12 2 1y1ty 2 2 1 21 2 w w w w y x y t t t t x tx t t x y ty t t t ttytt 1 xt1 txxtxxttt t1t tt2t xtt2ytxyyttyytxt2txtt tt ttyt yx1 t11xyttyttt tt t 2yt22 ytt ttt tt t t t t tt t 1 2 from which it follows that t xfollows t y t t t y t t t from which itfrom that from which it follows that from from which which itfrom itfollows follows that that from which which it itfollows follows that that which which itwhich itfollows follows that that from which it itfollows followsthat that from from which which fromitwhich follows it follows it from follows that that that fromwhich whichfrom itfollows follows that from it that w w dx w dy dx dw from which it follows de lo dw que se deduce quethat that w w w dx dy w w dy dx dy lím 0 0 wdy wdw w dx dy wdx w dwwwdx dxdx dy dy w wdx www ww w dx dx wwwdx w wdy dw dw dx dx dy dy dx dy wdw wdw wdx w wdy dx dx dy dyw wdywdy wdy dx dx dy dx dxdx dy w w w w dx dx dy dy w w w dx dx dy dy dx dx dy dy w w w w w dy w w w w dw dx dx dy dy dx dx dy dy w w w dx dy dy dy w w w w w dwdw dw w w wwdw dxdw dx dy dy dx dx dx dy dy dy lím 0 0 . t→0 dt t x dt y dt wt lím w dx dy dw dx dy dx lím lím 0000 0.0dy 0 0.0w0w . . .. lím 0 0 0 dx . dy .. wlím ww dw dx dy dy lím 0dt 0dx lím lím 0w0w . . dt t→0 w límlím wlím 0 0 0 0 0 0 . dt lím x dt y dt dt dt x dt y dt w w w dx dy w w dw dx dy dx dy t→0 lím 0 0 . dt t x dt y dt dt x dt y dt t→0 t→0 t→0 t→0 w dx w dy dx dy dt dtw dx dy dt dt t t x x dt dt y y dt dt dt dt dt dt x x dt dt y y dt dt dt dt t t x t→0 x dt t→0 dt y y dt dt dt dt dt dt x x dt dt y y dt dt lím 0 0 . t→0x txdt dtdt y ydtdt dtdt xdtdtdt x xdt.dt x xydtydtdt y ydtdt x dt xydtydt t→0 dtt→0 t t→0 t . x txdtdt dtdt x ydtt→0 ydt dt dttydtt dt dt dtxx dtdtdttdttt→0 dt dt xtdtxdt0dt ydt t→0 lím 0 0 yyydtdt dtdtx ydtydt0dtdtdt x xdtdt yyydtdt t→0 dt t x dt dt dt dt x dt y dt dt dt x dt y dt


3/12/09 20:34:47

B


Fórmulas un

1.

2.

 

un du 

un1  C, n  1 n1

1 du  lnu  C u

integrales con la forma a  bu 3.

4. 5.

6.

7.

8.

9. 10.

11.

12.

13.

          

1 u du  2 bu  a lna  bu  C a  bu b





u 1 a  lna  bu  C du  2 a  bu2 b a  bu





u 1 a 1  C, n du  2 n2  a  bu n  1a  bun1 b n  2a  bu



n  1, 2



1 u2 bu du  3  2a  bu  a2 lna  bu  C a  bu b 2





u2 1 a2  2a lna  bu  C du  3 bu  2 a  bu b a  bu





a2 u2 1 2a  du  3  lna  bu  C 3 a  bu b a  bu 2a  bu2





1 2a a2 1 u2 du  3    C, n n3 n2 a  bu b n  3a  bu n  2a  bu n  1a  bun1

 

n  1, 2, 3

u 1 1 du  ln C ua  bu a a  bu



     

1 u 1 1 1  ln du  ua  bu2 a a  bu a a  bu



1 1 1 b u du    ln u 2a  bu a u a a  bu



C

C

u 1 1 a  2bu 2b ln du   2  u 2a  bu2 a ua  bu a a  bu

C

A-4


3/12/09 20:34:48

ApénDiCE B


A-5

integrales con la forma a  bu  cu2, b2  4ac

14.

15.

 

1 du  a  bu  cu2



2 2cu  b arctan  C, 2 4ac  b 4ac  b2



17.

18. 19. 20. 21. 22.





u 1 du  ln a  bu  cu 2  b a  bu  cu 2 2c 

     

una  bu du 

1 du  ua  bu





2 una  bu32  na b2n  3





2cu  b  b2  4ac 1 ln  C, b  4ac 2cu  b  b2  4ac 2

integrales con la forma a  bu 16.

b2 < 4ac

1

a



ln

a  bu  a a  bu  a





1 du a  bu  cu 2



b2 > 4ac



un1a  bu du



a > 0

 C,

a  bu 2 arctan  C, a < 0 a a 1 1 a  bu 2n  3b 1 du   du , n  1 n n1 n1 u a  bu an  1 u 2 u a  bu



a  bu

u a  bu

un



1 du ua  bu

du  2a  bu  a du 



a  bu32 2n  5b 1  an  1 un1 2



u 22a  bu a  bu  C du  a  bu 3b 2



un 2 du  una  bu  na a  bu 2n  1b







a  bu

un1

un1 du a  bu



du , n  1



integrales con la forma a2 ± u2, a > 0 23. 24. 25.

  

u 1 1 du  arctan  C a2  u2 a a 1 du   u2  a2



 

ua 1 1 ln du  C a2  u2 2a u  a





1 1 u du  2  2n  3 a2 ± u2n 2a n  1 a2 ± u2n1



1 du , n  1 a2 ± u2n1

integrales con la forma u2 ± a2, a > 0 26. 27. 28.

  

u2 ± a2 du 

1 uu2 ± a2 ± a2 lnu  u2 ± a2  C 2

u2u2 ± a2 du  u2  a2


u

1 u2u2 ± a2u2 ± a2  a4 lnu  u2 ± a2  C 8



du  u2  a2  a ln



a  u2  a2 C u

3/12/09 20:34:48

A-6

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

ApénDiCE B

       

u2  a2

u u2 ± a2 2

u

du  u2  a2  a arcsec

du 

1 u ± a2 2



u  C a

 u2 ± a2  ln u  u2 ± a2  C u









du  ln u  u2 ± a2  C

1 uu2


a2

du 





1 a  u2  a2 C ln a u



1 1 u C du  arcsec uu2  a2 a a u2 u ± a2 2

du 

1 uu2 ± a2  a2 ln u  u2 ± a2   C 2





u2 ± a2 1 C du   a2u u2u2 ± a2



u2

±u 1 du  2 2 C 2 32 ± a a u ± a2

integrales con la forma a2  u2, a > 0 37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

        

a2  u2 du 





u a2  u2

u2 1 a2  u2



du  a2  u2  a ln

du 



u2



a  a2  u2 C u

u  a2  u2  arcsen  C u a

du  arcsen

1 ua2



1 u u2u2  a2a2  u2  a4 arcsen C 8 a

u2a2  u2 du  a2  u2



1 u ua2  u2  a2 arcsen C 2 a

du 

u C a





1 a  a2  u2 ln C a u





u2 1 u du  ua2  u2  a2 arcsen C a  u2 2 a 2

1 u2a2



a2




u2

du 

 a2  u2 C a2u

u 1 du  2 2 C 2 32  u a a  u2

3/12/09 20:34:48

ApénDiCE B


A-7

integrales con la forma sen u o cos u 46.

48. 50.

52.

54.

56.

58.

      

sen u du  cos u  C

47.

1 sen2 u du  u  sen u cos u  C 2

49.

senn1 u cos u n  1  senn u du   n n



senn2 u du

u sen u du  sen u  u cos u  C



un sen u du  un cos u  n

51.

53.

un1 cos u du

1 du  tan u  sec u  C 1 ± sen u

55.

57.

     

cos u du  sen u  C 1 cos2 u du  u  sen u cos u  C 2 cosn u du 

cosn1 u sen u n  1  n n



cosn2 u du

u cos u du  cos u  u sen u  C un cos u du  un sen u  n



un1 sen u du

1 du  cot u ± csc u  C 1 ± cos u

1 du  lntan u  C sen u cos u

integrales con la forma tan u, cot u, sec u, csc u 59.

61. 62. 63.

65. 67.

68.

69. 70.

71.

73.

          

tan u du  lncos u  C

60.



cot u du  lnsen u  C

sec u du  lnsec u  tan u  C csc u du  lncsc u  cot u  C



o

csc u du  lncsc u  cot u  C

tan2 u du  u  tan u  C

64.

sec2 u du  tan u  C

66.

tann u du 

tann1 u  n1

cot n u du   secn u du 



cot n1u  n1



csc2 u du  cot u  C

cot n2 u du, n  1



cscn2 u cot u n  2  n1 n1

secn2 u du, n  1



cscn2u du, n  1

1 1 du  u ± lncos u ± sen u  C 1 ± tan u 2

72.

1 du  u  cot u  csc u  C 1 ± sec u

74.


cot2 u du  u  cot u  C

tann2 u du, n  1

secn2 u tan u n  2  n1 n1

cscn u du  

 

 

1 1 du  u  lnsen u ± cos u  C 1 ± cot u 2 1 du  u  tan u ± sec u  C 1 ± csc u

3/12/09 20:34:48

A-8

ApénDiCE B


integrales con funciones trigonométricas inversas 75. 77. 79. 80.

   

arcsen u du  u arcsen u  1  u2  C

76.

arctan u du  u arctan u  ln1  u2  C

78.

 arccsc u du  u arccsc u  ln u 

83. 85. 86.

   



2

eu du  eu  C

82.



uneu du  uneu  n

89. 90.

  

un1eu du

eau sen bu du 

eau a sen bu  b cos bu  C a2  b 2

eau cos bu du 

eau a cos bu  b sen bu  C a2  b2

84.

ln u du  u1  ln u  C un ln u du 

88.

un1 1  n  1 ln u  C, n  1 n  12

ln u2 du  u 2  2 ln u  ln u2  C

91.

integrales con funciones hiperbólicas 92. 94. 96.

  

cosh u du  senh u  C

93.

sech2 u du  tanh u  C

95.

sech u tanh u du  sech u  C

97.

integrales con funciones hiperbólicas inversas (en forma logarítmica) 98. 100.

 

arccot u du  u arccot u  ln1  u2  C

 u  1  C

integrales con la forma ln u 87.

arccos u du  u arccos u  1  u2  C

arcsec u du  u arcsec u  ln u  u2  1  C

integrales con la forma eu 81.

 

du u2 ± a2

 ln u  u2 ± a2   C

du 1 a  a2 ± u2   ln C 2 2 a ua ± u u


99.

 

 

ueu du  u  1eu  C 1 du  u  ln1  eu  C 1  eu

u ln u du 

u2 1  2 ln u  C 4

ln un du  uln un  n



ln un1 du

  

senh u du  cosh u  C csch2 u du  coth u  C csch u coth u du  csch u  C



 

du au 1  C ln a2  u2 2a a  u

3/12/09 20:34:49

1059997_ans_10.qxp

9/5/08

11:58 AM

Page A102

Soluciones de los ejercicios impares Answers to Odd-Numbered Exercises

A102

Capítulo10 Sección 10.1

(página 706)

1. h 2. a 3. e 9. Vértice: 0, 0 Foco: 2, 0 Directriz: x

4. b

5. f 6. g 11. Vértice: Foco:

7. c 5, 3 21 4,3

y

6

4

5

(0, 0) − 8 − 6 −4 −2

(−5, 3)

x

2

x −6

35. Centro: 12, 1 Focos: 12 ± 2, 1 Vértices: 12 ± 5, 1 Para obtener la gráfica, despejar y y obtener

3 2

4

1 −4

−4

−2

2

1 −3

3

−3

x −14 − 12 −10 − 8 − 6 − 4 −2 −1

−6

13. Vértice: 1, 2 Foco: 0, 2 Directriz: x

2

(−2, 2) (−1, 2) −6

−4

4

2

−4

1 2 1 2 1 2

2

Directriz: x

2

1

7

4

4x 2 8 y

41. x

3

2

9

2

−6

4

21. y 23. x 8y 8x 24 0 32y 160 0 25. x 2 y 4 0 27. 5x 2 14x 3y 9 0 29. Centro: 0, 0 31. Centro: 3, 1 Focos: 0, ± 15 Focos: 3, 4 , 3, 2 Vértices: 0, ± 4 Vértices: 3, 6 , 3, 4 e 15 4 e 35 2

y

y

4

1

−8 −6

3

4

x 2

−4

3

−4 −5

−8

49. Centro: 2, 3 51. Hipérbola degenerada Focos: 2 ± 10, 3 La gráfica consta de dos rectas Vértices: 1, 3 , 3, 3 y 3 ± 13 x 1 y que se cortan en 1, 3 . x

4

2 −2

(3, 1) −2

2

−2

8

−6

6

8

−4

−2

Soluciones_Vol_2.indd 9

x 6

−2 −4

−2

4

(0, 0) 2

−4

1

y

x − 4 −3 −2

2

x

−1

6

2

1

2

−4

2

16

1

6

−3

2

y

8

6

5

y

47. Centro: 1, 2 Focos: 1 ± 5, 2 Vértices: 1, 2 , 3,

y −5

4

−3

12x

39. x 2 36 y 2 11 1 43. x 2 16 7y 2 16 1 45. Centro: 0, 0 Focos: 0, ± 10 Vértices: 0, ± 1

19. Vértice: 1, 0 Foco: 0, 0

Directriz: x

−2

1

y2 1 7 12x 4x 2 8. Representar gráficamente estas ecuaciones en la misma pantalla.

6

−2

1

Para obtener la gráfica, despejar y y obtener y1

−2

x

2

x

−2

12x 2 20 y

12x

37. Centro: 3,2 1 Focos: 32 ± 2, 1 1 7 Vértices: 1 , 2, 2,

4

4

57

y2 1 57 12x 12x 2 20. Representar gráficamente estas ecuaciones en la misma pantalla.

y

6

1

y1

15. Vértice: 2, 2 2, 1 Foco: Directriz: y 3

y

1

4

(− 2, 3)

y

6

17. Vértice: 4, Foco: 0,

6

2

4

−2

y

19 4

Directriz: x

2

8. d

33. Centro: 2, 3 Focos: 2, 3 ± 5 Vértices: 2, 6 , 2, 0 e 5 3

−6

4

6 −4

x

−2

2 −2 −4 −6

3/12/09 20:37:35

A-10

Answers to Odd-Numbered Exercises

Soluciones de los ejercicios impares

53. Centro: 1, 3 Focos: 1, 3 ± 2 5 Vértices: 1, 3 ± 2 Asíntotas: y 13 x 13 3; 1 1 y 3 3x 3

55. Centro: 1, 3 Focos: 1 ± 10, Vértices: 1, 3 , Asíntotas: 6x 2 6 y y 6x 2

1

3 3,

3

95. a) L 2a b) Los alfileres se localizan en los focos y la longitud de la cuerda es la suma constante de las distancias desde los focos. y 97. 99. Demostración

2 3; 6 2 3

1

−5

7

7 17

−7

−7

57. x 2 1 y 2 25 1 59. y 2 9 x 2 2 61. y 4 x 12 1 63. x 3 2 9 65. a) 6, 3 : 2x 3 3 y 3 0 6, b)

3 : 2x

6,

3 3y

3 : 9x

2 3y

3 60

2

2

y

9 4 1 22 4 1

0 0

81. 85. 87. 89. 91.

a) Demostración b) Demostración x 0 2 3 3; Distancia de la colina: 2 3 3 16 4 3 3 2 3 15.536 pies 2 2 a) y 1 180 x

79.

b) 10 2 13 93.

y

6

9 ln

p= 1 4

2

13 3

16

15

p=2 p= 3 p=

12

7

6

109. a) Área

10

5

11

12

3

4

2

13

14

15

16

101. e

17

x

1

8

17 16

13 12

121. x

4 5

10 9

6 7

8 7

90

2

9

8 9

6

5

10

11 12

4 3

9

13

14 15

4

21.48

6

3 2

34.69

7

1

16 17

2 1 4 3

96 2 7

6.538

y 160 96 2 7 3.462 123. Hay cuatro puntos de intersección. 2 ac b2 En , , las pendientes de las rectas 2 2 2a b 2 2a 2 b 2 tangentes son y e c a y y h a c. Como las pendientes son negativos recíprocos, las rectas tangentes son perpendiculares. De manera similar, las curvas son perpendiculares en los otros tres puntos de intersección. 125. Falso. Ver la definición de parábola. 127. Verdadero 129. Verdadero 131. Problema Putnam B4, 1976

Sección 10.2 1. a)

1

128.4 m

15 14

11

2 , 0, 2 6 , 3, 2

3 ln 2 3 115. x 6 2 9 y 2 119. Demostración

113. 40

3 1 2

6, 3,

3

Área de la superficie 111. 37.96 117.

0.1776

2

b) Volumen

(página 718)

t

0

1

x

0

1

y

3

2

2 2 1

b) y c)

3

4 2

3 0

1

Cuando p se incrementa, la gráfica de x 2 4 py se hace más abierta.

3

d) y

y

2

1 2

13

8

9

103. e 0.9671 105. 0, 25 3 107. Extremos del eje menor: Extremos del eje mayor:

p=1

28

14

9

10

11

7

8

Área de la superficie c) Volumen 16 3

6, 3 : 9x 2 3y 60 0 Elipse 69. Parábola 71. Círculo Círculo 75. Hipérbola a) Una parábola es el conjunto de todos los puntos x, y que equidistan de una recta fija y de un punto fijo que no se encuentra en la recta. b) Para la directriz y k p: x h 2 4p y k Para la directriz x h p: y k 2 4 p x h c) Si P es un punto de la parábola, entonces la recta tangente a la parábola en P forma ángulos iguales con la recta que pasa por P y el foco, y con la recta que pasa por P y es paralela al eje de la parábola. a) Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos x, y para los cuales el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos distintos es una constante. x h2 y k2 b) El eje transversal es horizontal: 1 2 a b2 2 2 y k x h El eje transversal es vertical: 1 a2 b2 c) El eje transversal es horizontal: y k b a x h y y k b a x h El eje transversal es vertical: y k a b x h y y k a b x h 9 2 m 83. y 2ax x ax 4 0 0

67. 73. 77.

4

3

2

5

1

−5

A103

x2, x

0

y

3

3

2

2

1

1 x

−1

1 −1

3

x

−1

1

2

3

−1

x

−16

−8


8

16

3/12/09 20:37:35


A104 3.

5.

y

A-11


25.

y

27.

8

6

7 6

4

−9

−12

4

9

6

3 2

−4

1

x

x −5

−3 −2 −1

3x

2y

y

7.

1

2

11

−2

3

0

2

y

1

x

16

2

29.

1

2

11. 5 4 x 1

3

3

4

2

−2

1

−3

−4 − 3

−4

x

−1

1

2

3

4

−5 −6

x2

5,

0

x

y

3 x

x

15.

y

y

8

5 4

4

3 x

−4

4

8

2

12

4 2

x

x

17.

1

x3

y

2

3

4

1

2 x 2

−6 −4 − 2

3

x 2

4

6

−4

−2

−6

−3

1 x,

21.

x

x2

1 23.

6

y2

43. x

64

2

−1 −9

8

9

−6

y2 16

−4

1

4

x 4

2

1

y 1

2

6

−4

b) La orientación se invierte. c) La orientación se invierte. d) Las respuestas varían. Por ejemplo, x 2 sec t x 2 sec t y 5 sen t y 5 sen t tienen las mismas gráficas, pero sus orientaciones se invierten. y2 y 1 x h2 y k2 x x1 1 39. y y1 41. x2 x1 a2 b2

6

2

−6

6

−4

y

3

1

5 −1

−6

4

1, x > 0

19.

y


5

1 − 2 −1 −1

x2 36

31.

1

y ln x y 1 x 3, x > 0 33. Cada curva representa una porción de la recta y 2x 1. Dominio Orientación Suave < x < a) Hacia arriba Sí dy dx 1 x 1 0 b) Oscila No, d d cuando 0, ± , ± 2 , . . . c) 0 < x < Hacia abajo Sí d) 0 < x < Hacia arriba Sí 35. a) y b) representan la parábola y 2 1 x 2 para 1 x 1. La curva es suave. La orientación es de derecha a izquierda en el inciso a) y en el inciso b) 4 4 37. a)

y

1 −4 − 3 −2 −1

y 9 3

−2

2

y

x 16

1

25

2

−1

1 2 3 2x

9.

y

2

2

3

y

y

2

x

−3 −2 −1

13.

−6

2

y

−1

1

y

3

x

4

2

1

4t

45. x

3

2 cos

y 7t (La solución no es única) 47. x 10 cos

y 1 2 sen (La solución no es única) 49. x 4 sec

y 6 sen (La solución no es única) 51. x t y 6t 5; x t 1 y 6t 1 (La solución no es única) 55. x t 3, y 2t 1

y 3 tan (La solución no es única) 53. x t y t 3; x tan t y tan3 t (La solución no es única) 57. x t, y t2

3/12/09 20:37:36

A-12 59.



61.

5

19. a) y d)

5

b) En t 1, dx dt 6, dy dt 2 y dy dx 1 3. c) y 13 x 3

8

(6, 5) −2

−2

16

A105

7

−8

10

−1

−1

2n

No es suave cuando 63.

65.

4

−4

Suave en todas partes 21. a) y d)

4

b) En t dy dt c) y 2

5 −6

−6

6

(4, 2)

6 −1

1 No es suave cuando Suave en todas partes 2n 67. Cada punto x, y en el plano es determinado por la curva plana x f t), y g t . Para cada t, graficar x, y . Cuando t se incrementa, la curva se traza en una dirección específica llamada orientación de la curva. b sen ; y a b cos 69. x a 71. Falso. La gráfica de las ecuaciones paramétricas es la porción de la recta y x cuando x 0.

73. Verdadero 440 3

cos

t; y

3

440 3

400

16t 2

60

0

400 0

0

No es home run d) 19.4

Sección 10.3

sen t

c)

0

Home run

(página 727)

1.

3 t 3. 1 dy 3 d 2 y 0; No es ni cóncava hacia arriba ni cóncava hacia , 5. dx 4 dx 2 abajo 7. dy dx 2t 3, d 2 y dx 2 2 En t 1, dy dx 1, d 2 y dx 2 2; Cóncava hacia arriba cot , d 2 y dx 2 csc 3 4 9. dy dx 2 4, dy dx 1, d y dx 2 2 2; En Cóncava hacia abajo 2 cot3 11. dy dx 2 csc , d 2 y dx 2 2 6, dy dx 4, d y dx 2 6 3; En Cóncava hacia abajo 13. dy dx tan , d 2 y dx 2 sec4 csc 3 En 4, dy dx 1, d 2 y dx 2 4 2 3; Cóncava hacia arriba 15. 2 3, 3 2 : 3 3x 8y 18 0 0, 2 : y 2 0 2 3, 1 2 : 3x 8y 10 0 17. 0, 0): 2y x 0 3, 1 : y 1 0 3, 3 : 2x y 9 0


3, 0.

8

−4

−4

75. a) x b) 30

1, dx dt 0 y dy dx

−3

3 ±4 x

23. y 25. y 3x 5 y y 1 27. Horizontal: 1, 0 , 1, , 1, 2 Vertical: 2, 1 , 3 2, 1 , 5 2, 1 29. Horizontal: 4, 0 31. Horizontal: 5, 2 , 3, 2 Vertical: Ninguna Vertical: Ninguna 33. Horizontal: 0, 3 , 0, 3 35. Horizontal: 5, 1 , 5, 3 Vertical: 3, 0 , 3, 0 Vertical: 8, 2 , 2, 2 37. Horizontal: Ninguna Vertical: 1, 0 , 1, 0 39. Cóncava hacia abajo: < t < 0 Cóncava hacia arriba: 0 < t < 41. Cóncava hacia arriba: t > 0 2 43. Cóncava hacia abajo: 0 < t < Cóncava hacia arriba: 2 < t < 3

2

45.

4t 2

3t

9 dt

47.

e 2t

1

4 dt

2

49. 4 13 53. 2 1

14.422 e 2

1 55. 12 ln 37 61. a) 35

6

51. 70 5 1.12

3.249 57. 6a 59. 8a b) 219.2 pies c) 230.8 pies

6 37

0

156.525

240 0

63. a)

b) c)

4

−6

0, 0 , 4 6.557

3

2 3, 4

3

4 3

6

−4

65. a)

3

3

−

3

−1

−

3

−1

b) La velocidad media de la partícula en la segunda trayectoria es el doble de la velocidad media de la partícula en la primera trayectoria. c) 4

3/12/09 20:37:37


A106

9.

4

67. S

2

10 t

2 dt

32

10

317.907

2

2

4 cos2

sen cos

5 5

1 d

71. 77. 79. 81.

1

b) S

2

dx dt

f t a

83. Demostración

85. 3 3 8 4, 5

91. a 92. e 93. 97. a) dy dx sen 2

b) y

2

dy dt

2

3 x

6

a

c) a 2n 1 , 2a d) Cóncava hacia abajo en 0, 2 e) s 8a 99. Demostración 2 101. a)

(2, 2)

−1

1

x 1

−1

2

3

4

5 x

−2

1

2

2 2, 13.

3

4,

2 2, 5

15.

y 5

(− 3, 4)

−2

4

89. f

90. c

x

−1

−1

a1

1

3)

−3

−2

−2

x

−1

1

2

3 2 , etc.

, 2 ,4

(−1, −

1 −4

1 a cos

4

y

2

88. b

1 2

2

3

95. 288 cos ; d 2 y dx 2

1

(4.214, 1.579)

1

dt

87. d

2

3

2

5.330 13 b) 18 13 a) 27 73. 50 75. 12 a 2 5 Ver el teorema 10.7, forma paramétrica de la derivada en la página 721. 6 b dx 2 dy 2 gt dt a) S 2 dt dt a b

y

3

6

0

11.

y 4

0

69. S

A-13


5, 2.214 , 5, 5.356 2, 4 3 , 17. 3.606, 0.588 19. 3.052, 0.960 21. a) y b) 4

2,

3 π 2

(4, 3.5)

3

1

2

0

(4, 3.5)

1

−3

3

x

1

−2

b) Círculo de radio 1 y centro en (0, 0) excepto el punto (–1, 0) c) Cuando t crece de –20 a 0, la velocidad aumenta y cuando t crece de 0 a 20, la velocidad disminuye. d g t dt f t f t

d 2y 103. Falso: dx 2

f tg t

g tf t f t

3

23. c 27. r

2

24. b 3

3

4

25. a

26. d 29. r

a

π 2

π 2

1

.

0

2

0

a

105. ≈ 982 pies

Sección 10.4

(página 738)

π 2

1.

3.

31. r

(−4, − 34π ( 0

6

4

1

0, 8

2

3

2 2, 2 2 π 2

4

0

2.828, 2.828

7.

y 1

(

2, 2.36 )

−5 − 4 − 3 − 2 − 1

x −1

35. r

4

6

1

0

37. x 2

9 csc2 cos

y2

1

0

(−4.95, −4.95)


−5

0

π 2

y

1 3 2 1

−3 −4

2

16

−2

1.004, 0.996

sen π 2

2

5.

2 3 cos

π 2

(8, π2 (

2

33. r

8 csc

π 2

1

2

3

4

5

6

7

0

−3 −2 −1

x 1

2

3

−2 −3

3/12/09 20:37:38

A-14 39. x 2



y2

3y

41.

0

x2

y2

arctan y x

71. 5, 73.

9 6 3

7

3 2,

6,

2 , 1, 3

11

6 , 12, 5

6

6

2 75.

2

10

x

2

9

1

−2

3 2,

Vertical:

12

4

2 , 12,

69. Horizontal: 2, 3

y

y

−3

−6 x

−1

1

3

− 12

−9

12

−12

2

−2

43. x

3

A107

45. x2

0

0

y

0, 0 , 1.4142, 0.7854 , 1.4142, 2.3562

y

y 7

π 2

77.

6

3

−6

7, 1.5708 , 3, 4.7124 π 2

79.

5 4

2

1

3

2

3

0

2

1

1

1

x

−4 − 3 −2 −1

x

1

2

3

4

2

1

47.

49.

4

2

0

3

4

0 −9

−4 −4

0

5

0 ≤

< 2

53.

5

−10

6, 0 ≤

−3

3

0

6

0, 87.

2

π 2

< 4

y 57. x h 2 Radio: h2 Centro: h, k

2

2, 5 π 2

85.

−2

<

3

3

−5

<

0

4

2

−3

5

55.

π 2

83.

−2

< 2

51.

2 π 2

81.

3

k2 k2

h2

k2 4

12

0

2

4

6

10

0

−2

0 ≤ < 2 59. 17 61. ≈ 5.6 2 cos 3 sen dy 63. dx 6 cos2 2 sen 5,

2 : dy dx

0

2,

: dy dx

2 3

1, 3 2 : dy dx 65. a) y b)

π 2

89.

91.

π 2

1 3 2

0

1

2

0

0 67. a) y b)

π 2

93.

5

4

95.

π 2

20 10

−8

4

5 −4

−4

c) dy dx

5 −1

1

c) dy dx

3

Larson Texts, Inc. • Final Pages • Calculus 9e • Soluciones_Vol_2.indd 14

−15

15

0

1

0

−15

Short

Long 3/12/09 20:37:39

A108


97.

99.

x = −1

6

π 2

111. a)

3

y=2

4

−6

A-15


−3

π 2

b)

3 1

0

2

1

2

0

−1 −4

101. El sistema de coordenadas rectangulares es una colección de puntos de la forma (x, y), donde x es la distancia dirigida del eje y al punto y y es la distancia dirigida del eje x al punto. Cada punto tiene una representación única. El sistema de coordenadas polares es una colección de puntos de la forma r, , donde r es la distancia dirigida del origen O al punto P y es el ángulo dirigido, medido en sentido positivo (contrario a las manecillas del reloj), del eje polar al segmento OP. En coordenadas polares la representación de cada punto no es única. en 103. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de r f r, es f

dy dx

cos f sen

f

105. a)

θ

ψ −2

1

2 117.

arctan 3 ψ θ 22

−12

3, 60

Sección 10.5

π 2

1. 8

(página 747) 1 2

3.

sen2 d 0

7. 17. 0

1

2

9.

3

8

11. 3

3

2

3

2 sen

2

5. 9

d

2

2

2

13. 27 19.

15. 4 3.5

0

−1

π 2

c)

18.4

119. Verdadero 121. Verdadero

16

2

2

3

−3

es tangente en el polo.

b)

1

2

−3

3

− 20

0, entonces

π 2

115.

3

−6

sen . )cos

f

0yf

Si f

113.

4 −3

3 −0.5

−2

2

3 3 2

21.

2

3 3 2

23.

2

2 −9

1

2

−1

0

107. Demostración 109. a) r

2 2

4

2 sen

b) r

2

cos

cos 4

25. 1,

2

−6

−6

6

6

d) r

4

2 2

2

27 3

2 3 2 2 7 , , 0, 0 , , 4 2 4

3 3 5 , 0, 0 , , , 2 6 2 6 1, 13

cos

9 2 , 0, 0

12 , 1, 5

31. 2, 4 ,

12 , 1, 7

12 , 1, 17

2,

12 , 1, 11

12 , 1, 19

4 12 ,

12 , 1, 23

12

4

6

−4


−10

3 3 2 , 1, 3

33. 1,

sen

−6

27. 29.

−4

−4

2

4

−2

sen

4

c) r

9

−6

6

−4

3/12/09 20:37:39

A-16


35.

r= 4

37.

sec θ 2


−4

−4

73. Habrá puntos de intersección simultáneos. Pueden ser puntos de intersección que no ocurren con las mismas coordenadas en las dos gráficas.

r = cos θ

1

5

8

−4

−5

0.581, ± 2.607 , 2.581, ± 1.376

39.

r=2

4

0, 0 , 0.935, 0.363 , 0.535, 1.006 Las gráficas alcanzan polo en diferentes tiempos (valores de ). 41. 6 r = −3 + 2 sen θ

r = 4 sen 2θ

75. a) S

2

f ( )sen

b) S

2

f ( )cos

r = 2 − 3 sen θ

r = 2 + 3 cos θ

−9

6

9

4 3

4

3 3

43.

5

11

r = 3 − 2 sen θ

r=1 −2 −6

2.5

6

−3

f ( )2 d

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

6.32

12.14

17.06

20.80

23.27

24.60

25.08

1 4 1 2 3 4

de área 4

12.57 : 0.42

de área 8

25.13 : 1.57

−1.5

r=2

− 12

2 3

4 3 3 47. 5 a2 4 49. a 2 2 2 2 51. a) x y 3 2 ax 2 4 b)

3

3 2

b) an , n donde n c) ≈ 21.26 d) 4 3 85. r 2 cos 87. Falso. Las gráficas de f 89. Demostración

2 c) 15

a=6

a=4

−6

2

6

Sección 10.6 1.

−4

53. El área encerrada por la función es a 4 si n es impar y es a 2 si n es par. 55. 16 61.

57. 4

e = 0.5

− 0.5

9

−8

5

a) Parábola b) Elipse c) Hipérbola b)

e = 0.1

−30

30

5 −30

e = 0.75 e = 0.9 −40

−1

2

≈ 4.39 1 1

a2 e 4a 2


a

2a

− 40

Elipse Parábola Cuando e → 1 , la elipse se vuelve más elíptica, y cuando e → 0 , se vuelve más circular.

−1

2

30

e = 0.25 e = 0.5

67. 36

1

e = 0.5

−9

a) Parábola b) Elipse c) Hipérbola 5. a)

−0.5

4

e = 1.5

≈ 0.71

65.

e = 1.0

−4

0.5

2 −1

≈ 4.16

3. 8

0.5

1 coinciden.

e = 1.5

e = 1.0

63.

−1

1yg

(página 755)

−4

59. 8

4

1, 2, 3, . . . 3

4

2

2

69.

2

Para de área 12 37.70 : 2.73 e) No. Los resultados no dependen del radio. Las respuestas varían. 81. Círculo 12 83. a) La gráfica se vuelve más grande y más extendida. La gráfica se refleja en el eje y. −10 14

r = 2 cos θ

1.5

f ( )2

0.4

c) y d) Para

24

45.

r = 4sen θ

f ( )2 d

0.2

Para −6

−4

f ( )2

77. 40 2 79. a) 16 b)

A −6

A109

71. 21.87

3/12/09 20:37:40


A110

c)

e = 1.1

80

e = 1.5 e=2 −90

90

Hipérbola Cuando e → 1 , la hipérbola se abre más lentamente, y cuando e → , abre más rápido.

29.

31.

15

10. e

1

π 2

− 18

33.

π 2

5

−8

1

2

3

4

5

0

2

Parábola

Parábola

17. e 12 Distancia

19. e 12 Distancia

6 π 2

4

6

8

37. 41. 45. 49. 51.

4

53. 3

3

1

0

Elipse

4

0

Elipse

21. e 2 Distancia π 2

55.

23. e 3 Distancia

5 2

57.

1 2

π 2

61. 67.

4

6

8

0

1

0

71. Hipérbola 25. e 12 Distancia

Hipérbola 27. 50

10 20

1

−2

π 2

40

0

Elipse e

Elipse


2

−2

1 2

4

−3

0

π 2

1

Girada 4 radianes en sentido contrario a las manecillas del reloj. 8 35. r 8 5 cos 6

Parábola e 1

11. b 12. d 15. e 1 Distancia 4

18

7

−15

9. a

6 −6

−8

−40

7. c 8. f 13. e 1 Distancia

A-17


73. 75.

Girada 6 radianes en el sentido de las manecillas del reloj. 39. r 1 2 sen r 3 1 cos 43. r 2 1 sen r 2 1 2 cos 47. r 9 4 5 sen r 16 5 3 cos r 4 2 cos Si 0 < e < 1, la cónica es una elipse. Si e 1, la cónica es una parábola. Si e > 1, la cónica es una hipérbola Si los focos son fijos y e → 0, entonces d → . Para ver esto, comparar las elipses. 1 2 1 r ,e ,d 1y 1 1 2)cos 2 5 16 1 5 ,e r ,d . 1 1 4 cos 4 4 Demostración 9 16 59. r 2 r2 1 16 25 cos2 1 25 9 cos2 7 979.21 ≈ 10.88 63. 3.37 65. ; 11 015 mi 1 0.9372 cos 149 558 278.0560 4 497 667 328 69. r r 1 0.0167 cos 1 0.0086 cos Perihelio: 147 101 680 km Perihelio: 4 459 317 200 km Afelio: 152 098 320 km Afelio: 4 536 682 800 km Las respuestas varían. Ejemplo de respuestas: a) 3.591 1018 km2; 9.322 años b) 0.361 ; Mayor ángulo con el rayo más pequeño para generar un área igual. c) Inciso a): 1.583 10 9 km; 1.698 108 km año Inciso b): 1.610 109 km; 1.727 108 km año Demostración Sea r1 ed 1 sen y r2 ed 1 sen . Los puntos de intersección de r1 y r2 son ed, 0 y ed, . Las pendientes de las rectas tangentes a r1 son –1 en ed, 0 y 1 en ed, . Las pendientes de las rectas tangentes a r2 son 1 en ed, 0 y –1 en ed, . Por lo anterior, tanto en ed, 0 como en ed, se 1, de manera que las curvas se intersecan en cumple m1m 2 ángulos rectos.

3/12/09 20:37:41

A-18



Ejercicios de repaso para el capítulo 10 (página 758) 1. e 2. c 7. Círculo Centro:

3. b 1 2,

4. d

5. a 6. f 9. Hipérbola 4, 3 Centro:

3 4

Radio: 1

4 ±

Vértices:

y

2, 3

4 2t 2; 39. a) dy dx 41. a) dy dx 5; Tangentes horizontales: Tangentes horizontales: ninguna ninguna 4x 13 5 b) y b) y 3 2 x y y c) c) 4

y

6 2

6

1

A111

4

1 4

x

−1

1

−2 −1

2 2

)

−2

1 , 2

−3 4

)

−6

−4

3 ±

2 2 x

1

2

dy dx

3

x 2

4

1

3 2

(2, −3)

−3 −2

x

−1

−4

2

3

−1

13. y 2 4y 12x 4 0 15. x 17. x2 49 y2 32 1 19. ≈ 15.87 21. 4x 4y 7 0 23. a) 0, 50 y 25. 27.

1

2

y2 20

36

dy 4 cot ; dx Tangentes horizontales: 5, 7 , 5, y 32 1 b) x 5 2 16 y c)

45. a)

y 5 4 3

2 x −2

2

4

2

6

−2

1

b) ≈ 38 294.49

6

−4 −2

−2

t

−1 −2

−4

1 2t 1 2 ; t2 t 2 2 1 Tangente horizontal: , 3 4x 2 b) y 5x 1 x 1 y c)

y

−1

3

x

−2

3

Vértices: 2,

−1

2

−2

43. a) 11. Elipse Centro: 2,

2

x 1

8

1

−4

− 3 − 2 −1

−6

1

6

x 1

−1

2

3

4 2

x

2y

7

29.

0

y 31.

y

1 3, x >

x

1

x

−2

y

2

4

6

8

−2

8 4

x −4 −2

−2

47. a)

4

2 2

2

4 −4

−4

x 2

−2

4

8

dy 4 tan ; dx Tangentes horizontales: ninguna

b) x 2 c)

−4

3

y 4

2 3

1

y 4

x2

y2

36

x

2

2

y

3

2

1

33. Las respuestas varían. Ejemplo de respuesta: x 5t 2 y 6 4t 5 3 35. x 4 cos 37. y 4 3 sen −7

−4

x

−2

2

4

−4

8

49. Horizontal: 5, 0 Vertical: Ninguna

−5


3/12/09 20:37:42


A112

A-19


51. Horizontal: 2, 2 , 2, 0 Vertical: 4, 1 , 0, 1

89. Curva rosa

91. Curva rosa

π 2

π 2

53. a) y c) 2 0

4

−3

0

2

3

−2

4, dy d

b) dx d 55.

1 2

93.

1 4

1, dy dx

95.

5

4

2r

57. a) s b) s 61.

12 4

59. A

10 119.215 10 39.738 63.

π 2

1

2

−1

π 2

0

4

3

−6

3

−4

−1

(

97. a)

3 , 1.56)

±

3

(5, 32π (

1

0.686, ± 0.568 , 2.186, ± 2.206

65.

67. (−1, 3) 3

4

2

5

99. Demostración

1

−2

−3 −2 −1

−3 −4

4 2,

7 , 4

y2

3x

73. x 2

y2

77. r

cos2

a

2

−1

2

3

107.

3 4

10, 1.89 ,

x2

75. y2

y2 79.

sen

y2

81. Círculo

r2

2x x2 4

2

4 x2 4

x

x A

2

2

1 2

sen 2 cos4 d

111.

0

1

4

−4

1 2 0 1.2058 113. 4a A

π 2

6

0

87. Caracol π 2

0.10

0

−6

85. Cardioide

2 7 , 0, 0 , 2 4

−0.1

a2 2 π 2

8

105. 4

0.5

y2

83. Recta

4

9 2

10, 5.03

π 2

2

103.

0.5

−0.5

71. x 2

0

9 20

2 3 , 1 , 2 4

1

109.

−3

4 2,

101.

x 1

−2

(4, − 4)

−5

69. x 2

−2.5

3

x

2

1

y

1

1

2.5

−5

Rectangular: 0.0187, 1.7320

5

y

−1

c)

0

2

, 12, ± 1.318

1, 0 , 3,

b) Vertical: Horizontal:

Rectangular: 0,

6

8

12

2

5

18 sen 2 9.4248

1 2 1.2058

12

9d 12

1 2

2

18 sen 2 d 5

12

11.8364

2

115. S

2

1

4 cos

sen

17

8 cos d

0

34 1


0

2

4

17 5

88.08

0

3/12/09 20:37:43

A-20



117. Parábola

119. Elipse π 2

2 2

6

1 2 ab

11. A

π 2

13. r 2

cos 70 150

375t

y1

sen 70 150

375t

Segundo plano: x2

cos 45 450t

190

y2

sen 45 190

450t

0

8

2 cos 2

15. a) Primer plano: x1

0

cos 45 450t

b)

190

sen 45 190 121. Hipérbola

123. r

10 sen

c)

A113

450t

cos 70 150

2

375t

sen 70 150

2 1 2

375t

280

π 2

2

3

0

4

0

1 0

0.4145 h; sí 17. 125. r

4 1

127. r

cos

SP Solución de problemas 1. a)

5 3

2 cos

4

n = −4

−6

6

(página 761)

−6

10

−4

4

8

4

n = −3

n = −2

6

)

− 1, 1 4

4

)

−6

(4, 4)

6

x 2

−2

4

6

b) y c) Demostraciones 2a tan 2at 2 1

t2

y

2at 3 1

t2

x 3 2a

x

7. a) y 2 b) r

6

x2 1 cos 2

x

−4

4

4

n=0

−6

1

6

x

6

−4

4

4

n=1 −6

1

−6

−4

sec

π 2

c)

−4

n = −1

sen

b) x c) y 2

−6

2

−6 − 4 − 2

5. a) r

6

−4

3. Demostración

y

4

n = −5

2

n=2 6

0

−6

6

−4

−4

4

4

n=4

n=3 −6

d) y e)

x, y 5 1 , ± 2

6

x 5 1 2

9. a)

−6

−4

2

5

b) Demostración c) a, 2

6

−4

4

n=5 −6

6

−4

n 4,

1, 2, 3, 4, 5 produce “campanas”; n 5 produce “corazones”

1,

2,

3,



3/12/09 20:37:44

A114


Capítulo 11

19.

21.

y

y

Sección 11.1 (página 771) 1. a) b)

u

3. a) b)

4, 2 y

−u

6, 0 y

u−v −v

5

4

4

(−6, 0)

(4, 2)

−8

2

−6

v −4

x

−2 −2

v

1

2

3

4

5

8 3, 3 2

23. a) 25. 3, y

−4

x 1

6

2,

b)

14

c) 18, 7 27. 4, 3 y

1

5. u v 9. a) y d)

7. u

2, 4

v

(3, 5)

(5, 5)

2

3

v

2

−1

4

(8, 3)

2

v

(2, 0) 1

−1

x

2

b) 3, 5 c) v 3i 13. a) y d)

3

4

2

4

(6, − 1)

y

y

2

4

4j

b) 1, 53 c) v i b) 9, 15

5 3j

(3, 5) v

x

2v

3

6

x 2

c) y

4

6

8

21 35 2, 2

(

21 35 , 2 2

−12

(− 9, −15)

10

d)

−3v −15

2, 10 3

( 7 v 2


6

9

12 15 18

−1

6

7

5 5

41 y

v

y

2

(a) (b)

6

2 v 3

4 2

1

2

3

4

74

Vector; tiene magnitud y dirección Escalar; sólo tiene magnitud 65. a 1, b 2 67. a 23, b 13 1, b 1 71. a) ± 1 10 1, 3 ± 1 37 1, 6 b) ± 1 10 3, 1 ± 1 37 6, 1

5

−2

1

(a) (1, 1)

(b)

(3, 9)

x −1

u

41

8

1 x

3

5

10

(2, 103 (

v

2

v

4

y

4

(3, 5)

x 3

47. 0, 6 49. 51. 3, 0 53. 5, 2 5 3, 1 2 3 2 3 2 55. 57. 2 cos 4 cos 2, 2 sen 4 sen 2 , 2 2 59. Las respuestas varían. Ejemplo: un escalar es un número real simple como 2. Un vector es un segmento de recta que tiene dirección y magnitud. El vector 3, 1 , dado mediante sus componentes, tiene dirección 6 y magnitud de 2.

(3, 5)

5

3

2

v

y

15

6

u

61. a) b) 63. a 69. a) b)

−6 −9

−2

−3 −3

v

−15 −12 −9 −6 −3

2

3

(3, 5)

6 3

4

9

2

y

6

u 1

−1

74

8

12

1

1

(6, 10)

10

v

2

x

−1

u+v

3

v

y

18

4

( (

c) v

0, 4 6, 10

−2

5

3 4 , 2 3

6

6

7

( 3(

v

−2

x 4

u

6

(−1, 53( 2

x

−2

4j

3

(6, 2)

u

29. 3, 5 31. 7 33. 5 35. 61 37. 39. 3 34 34, 5 34 34 17 17, 4 17 17 41. a) 2 b) 5 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 43. a) 5 2 b) 13 c) 85 2 d) 1 e) 1 f) 1 y 45.

1 , 2

(6, 6)

2

8

−6

b) 2, 4 c) v 2i 11. a) y d)

(0, 4)

u + 2w

2

−3

(−2, − 4)

5

5j

6

−2

3

x

−4 −2

1

3 u 2

6

4

−1

2w x

y

5

4

6, 5 11. a) y d)

y

b) 17. a)

x

x

2

3

4

A-21


x 2

4

6

8

10

x 1

2

3/12/09 20:37:45

A-22



73. a) ± 15 4, 3 b) ± 15 3, 4

75.

2 2,

2

43. x 13 y 1 2 z2 1 1 Centro: 3, 1, 0 Radio: 1 45. Una esfera sólida con centro en (0, 0, 0) y 6 de radio 47. Interior de una esfera con 4 de radio y centrada en (2, –3, 4) 49. a) 51. a) 2, 2, 2 3, 0, 3 b) v b) v 2i 2j 2k 3i 3k z z c) c)

2 2

y

(a) 4

(b)

(3, 4)

3 2 1

x

−1

1

2

3

4

5

77. a) a c) Las respuestas varían. d) Magnitud 63.5, dirección 8.26 79. 1.33, 132.5 81. 10.7 , 584.6 lb 83. 71.3 , 228.5 lb 85. a) 0 b) 180 c) No, la resultante sólo puede ser menor o igual que la suma. 87. 4, 1 , 6, 5 , 10, 3 89. Tensión en el cable AC 2 638.2 lb Tensión en el cable BC 1 958.1 lb 91. Horizontal: 1 193.43 pies s 93. 38.3 noroeste Vertical: 125.43 pies s 882.9 km h 95. Verdadero 97. Verdadero 99. Falso. ai bj 2a 101–103. Demostraciones 105. x 2 y 2 25

Sección 11.2

(2, 1, 3)

1,

3

2

53. v v

23. 25. 31. 33. 35. 39. 41.

1,

3

2

3

y

4

55. v v

1, 6 38

1 1, 38 57. a) y d) u

1

1

2

1, 0, 2 1 2

u

1, 6

3

y

4

1 1, 0,

1

z

(3, 3, 4) (−1, 2, 3)

5 4

x

3

2

1 −2 −3

v

2

4

4

y

x 1 2 3

y

(5, −2, −2)

9. 12, 0, 0 11. 0 3, 4, 5 Seis unidades arriba del plano xy Tres unidades delante del plano yz A la izquierda del plano xz A menos de tres unidades del plano xz Tres unidades debajo del plano xy, y debajo de ambos cuadrantes I y III Arriba del plano xy y por arriba de los cuadrantes II y IV, o debajo del plano xy y debajo de los cuadrantes I y III 27. 61 29. 7, 7 5, 14; Triángulo rectángulo 69 41, 41, 14; Triángulo isósceles 0, 0, 9 , 2, 6, 12 , 6, 4, 3 3 37. x 0 2 3, 5 y 22 z 52 4 2, 2 2 2 x 1 y 3 z 0 10 x 12 y 32 z 4 2 25 Centro: 1, 3, 4 Radio: 5


1

x

c) v

b) 4, 1, 1 59. 3, 1, 8 61. a)

4i

z

j

k z

b)

5

x

7. 13. 15. 17. 19. 21.

2

x

(4, 1, 1) 2

3 2 1

(5, −2, 2) − 3

y

1

−3

2 −2

1

2

3

3

−3

1

−2

−2

z

(− 1, 2, 1)

2 3 4

〈− 2, 2, 2〉

〈− 3, 0, 3〉

3

5.

1

4

(0, 0, 0) 2

4

4

5

4 2

2, 2

6 5 4 3

5 3

(página 780)

1. A 2, 3, 4 , B z 3.

A115

3

4

2

3

〈2, 4, 4〉

2 −2 3

4

2

−3

1

1

1

2 y

x

−3

d) −2

z

x

63. 1, 0, 4 69. a y b

2 3 , 2

3, 3

〉

−3

1 2

y

−2 −3

3

−1

−3

〈0, 0, 0〉 1

2

3

y

−2

x

65. 6, 12, 6 67. 71. a 73. Colineal

−2

1

−2

1

2 3

3

−3

〈

−2

y

3

−2

3 2

2

3

2

z

c)

−3

−2

〈− 1, −2, − 2〉

x

−3

−2

−3

7 2,

3, 52 75. No colineal

3/12/09 20:37:46


A116


\

77. AB 1, 2, 3 CD 1, 2, 3 BD 2, 1, 1 2, 1, 1 AC Porque AB CD y BD AC , los puntos dados forman los vértices de un paralelogramo. 79. 0 81. 34 83. 14 1 85. a) 13 2, 1, 2 b) 1, 2 3 2, 87. a) 1 38 3, 2, 5 b) 1 38 3, 2, 5 89. a) a d) Las respuestas varían. e) u v 4, 7.5, 2 u v 8.732 u 5.099 v 9.014 91. ± 73 93. 0, 10 2, 10 2 95. 1, 1, 12 z 97. 99. 2, 1, 2 \

\

\

\

2

\

\

−2

〈0,

1

−2

\

2

y

−1

〈0,

−2

0, 101. a)

3, − 1〉

3, ± 1 b) a 0, a b c) a 1, a b d) No es posible

z

1

0, b 2, b

v u

1

1 y

x

103. x 0 es la distancia dirigida al plano yz y0 es la distancia dirigida al plano xz z 0 es la distancia dirigida al plano xy 105. x x 0 2 y y0 2 z z0 2 2 2 109. a) T 8L L 18 , L > 18 b) 20 25 30 35 L T c)

30

18.4

11.5

10

9.3

100 0

111. 3 3 1, 1, 1 113. La tensión en el cable AB: 202.919 N La tensión en el cable AC: 157.909 N La tensión en el cable AD: 226.521 N 2 2 44 115. x 43 y 32 z 13 9


r2

107. 0

40

45

50

9.0

8.7

8.6

d) Demostración e) 30 pulg

L = 18

T=8 0

1. 3. 5. 7. 9. 15. 19. 25. 29. 31.

35. 37. 39. 41. 45.

3, 1〉

−1 1

x

Sección 11.3

0 1

A-23

(página 789)

a) 17 b) 25 c) 25 d) 17, 85 e) 34 a) 26 b) 52 c) 52 d) 78, 52 e) 52 a) 2 b) 29 c) 29 d) 0, 12, 10 e) 4 a) 1 b) 6 c) 6 d) i k e) 2 20 11. 2 13. arccos 1 5 2 98.1 17. arccos 8 13 65 arccos 2 3 61.9 116.3 Ni uno ni otro 21. Ortogonal 23. Ni uno ni otro Ortogonal 27. Triángulo rectángulo; las respuestas varían. Triángulo agudo; las respuestas varían 1 33. cos cos 0 3 2 cos cos 3 13 3 2 cos cos 2 13 3 43.3 , 61.0 , 119.0 100.5 , 24.1 , 68.6 Magnitud: 124.310 lb 29.48 , 61.39 , 96.53 43. a) 2, 8 b) 4, 1 90 , 45 , 45 1 5 a) 52, 12 b) 47. a) 2, 2, 2 b) 2, 1, 1 2, 2

44 8 6 49. a) 0, 33 b) 2, 25 , 25 25 , 25 51. Ver la “Definición de producto punto”, página 783. 53. a) y b) están definidas. c) y d) no están definidas porque no es posible encontrar el producto punto de un escalar y un vector o la suma de un escalar y un vector. 55. Ver figura 11.29 en la página 787. 57. Sí u v v u v u v2 u2 v u u v v u v2 u2 1 1 v u u v 59. $12 351.25; ingreso total 61. a) a c) Las respuestas varían 63. Las respuestas varían 65. u 67. Las respuestas varían. Ejemplo: 12, 2 y 12, 2 69. Las respuestas varían. Ejemplo: 2, 0, 3 y 2, 0, 3 71. a) 8 335.1 lb b) 47 270.8 lb 73. 425 pies-lb 75. 2 900.2 km-N 77. Falso. Por ejemplo: 1, 1 2, 3 5 y 1, 1 1, 4 5, pero 2, 3 1, 4 . 79. arccos 1 3 54.7 81. a) 0, 0 , 1, 1 b) Para y x 2 en 1, 1 : ± 5 5, ± 2 5 5 Para y x 1 3 en 1, 1 : ± 3 10 10, ± 10 10 Para y x 2 en 0, 0 : ± 1, 0 Para y x 1 3 en (0, 0 : 0, ± 1 c) En 1, 1 : 45 En 0, 0 : 90

3/12/09 20:37:47

A-24



83. a) 1, 0 , 1, 0 b) Para y 1 x 2 en 1, 0 : ± 5 5, 2 5 5 Para y x 2 1 en 1, 0 : ± 5 5, ± 2 5 5 Para y 1 x 2 en 1, 0 : ± 5 5, ± 2 5 5 1 en ( 1, 0 : ± 53.13 53.13

x2

Para y c) En 1, 0 : En 1, 0 : 85. Demostración z 87. a)

100

2 5 5

c) 60

d) 109.5

(0, k, k)

k

y

(k, k, 0)

89 a 91. Demostraciones

Sección 11.4 1.

(página 798) 3. i

z

k

z

1

1

k j 1

i

x

5.

−k

y

−1

i

x

b) 42 2 59.40 c) 90 ; que es lo que debería esperarse. Cuando 90 , la llave inglesa está horizontal 41. 1 43. 6 45. 2 47. 75 49. Al menos uno de los vectores es el vector cero. 51. Ver la “Definición del producto cruz de dos vectores en el espacio”, página 792. 53. La magnitud del producto cruz aumentará en un factor de 4. 55. Falso. El producto cruz de dos vectores no está definido en un sistema de coordenadas bidimensional. 57. Falso. Sea u 1, 0, 0 , v 1, 0, 0 y w 1, 0, 0 . Entonces u v u w 0, excepto v w. 59 a 67. Demostraciones

1 y

−1

1. a)

1

−j

−1

1

x

k

i

\

1

6 5 4 3 2 1 3

2

1

9. a) 17i 33j 10k 17i 33j 10k b) c) 0 15. 1 2, 3, 1 z 19. 6 5 4 3 2 1

v

u

4

b) P 1, 2, 2 , Q 10, 1, 17 , PQ 9, 3, 15 (Hay muchas respuestas correctas.) Los componentes del vector y los coeficientes de t son proporcionales porque la recta es paralela a PQ .

y

−1

7. a) 20i 10j 16k 20i 10j 16k b) c) 0 11. 0, 0, 54 13. 1, 1, z 17.

6

4

y

3

2

\

3.

5. v

1

u

4

6

y

7.

x

x

23.

z

y

x

21.

(página 807)

z

j

4

180 0

Sección 11.5

j 1

1

7.66 pies-lb

y = 84 sen θ

b) k 2

k

x

37. 10 cos 40

0

k

(k, 0, k)

5 5,

16 742 2

11 35. 2 39. a) 84 sen 33.

A117

73.5, 5.5, 44.75 , 3.6,

1.4, 1.6 ,

2.94 0.22 1.79 , , 11.8961 11.8961 11.8961 1.8 0.7 0.8 , , 4.37 4.37 4.37

25. Las respuestas varían 27. 1


29. 6 5

9.

1 12 7 1 c) 5 , 5 , 0 , 7, 0, 12 , 0, 3 , 3 a) Sí b) No Ecuaciones Ecuaciones paramétricas a simétricas b x z y x 3t 3 5 y t z 5t y z 3 x 2 2 2t x 2 4 2 y 4t z 3 2t y z 1 x 1 x 1 3t 3 2 1 2t y z 1 t

Números directores 3, 1, 5

2, 4,

3,

2

2, 1

31. 9 5

3/12/09 20:37:48

A118

11.

13.

15.

21.

23. 25. 27. 31. 35.


Ecuaciones Ecuaciones Números paramétricas a simétricas b directores x 5 y 3 z 2 17, 11, 9 x 5 17t 17 11 9 3 11t y z 2 9t No es posible. x 7 10t 10, 2, 0 2 2t y z 6 17. x 2 3t 19. x 5 2t x 2 y 3 y 3 2t 3 t y z 4 t z 4 t 4 3t z x 2 t y 1 t z 2 t P 3, 1, 2 ; v 1, 2, 0 P 7, 6, 2 ; v 4, 2, 1 29. L1 y L 3 son idénticas. L 1 L 2 y es paralela a L 3. 33. No se cortan. 2, 3, 1 ; cos 7 17 51 z 4

10

8

6

4

7, 8,

1

2 −

4

−8

(7, 8, − 1)

x

6

8

10

y

37. a) P 0, 0, 1 , Q 0, 2, 0 , R 3, 4, 1 PQ 0, 2, 1 , PR 3, 4, 0 (Hay muchas respuestas correctas.) b) PQ PR 4, 3, 6 Las componentes del producto cruz son proporcionales a los coeficientes de las variables en la ecuación. El producto cruz es paralelo al vector normal. 39. a) Sí b) Sí 41. y 3 0 43. 2x 3y z 10 45. 2x y 2z 6 0 47. 3x 19y 2z 0 49. 4x 3y 4z 10 51. z 3 53. x y z 5 55. 7x y 11z 5 57. y z 1 z 59. \

\

\

\

−8 6 −6 4 −4 2 2

2

x

(−7, 10, 0)

6 8

)0, − 12 , − 72 ) )

10

1 −3 ,

61. x z 0 65. Ortogonal 71.

z

y

10

0, − 3

)

63. 9x 3y 2z 21 67. Ni uno ni otro; 83.5 73.

0 69. Paralelo z

6

3

4

(0, 0, 43( 2

(0, − 4, 0)

(0, 0, 2)

6

(0, 6, 0)

4

(3, 0, 0)

6

−1

y

3

75.

77.

z 8

z 3

(0, 0, 6)

(6, 0, 0)

5 x

8

8

x

79.

y

81.

z

6

4

2

5

2

y

(5, 0, 0) z −2

4

6 y

x

−6

−1

2 Generado con Maple

x

1

y

Generado con Maple

83. P1 y P2 son paralelos. 85. P1 P4 y es paralelo a P2 . 87. Los planos tienen intersecciones en c, 0, 0 , 0, c, 0 y 0, 0, c para cada valor de c. 89. Si c 0, z 0 es el plano xy; si c 0, el plano es paralelo al eje x y pasa a través de los puntos (0, 0, 0) y (0, 1, –c) 91. a) 65.91 b) x 2 y 1 t z 1 2t 93. 2, 3, 2 ; La recta no se encuentra en el plano. 95. No se cortan 97. 6 14 7 99. 11 6 6 101. 2 26 13 103. 27 94 188 105. 2 533 17 107. 7 3 3 109. 66 3 111. Ecuaciones paramétricas: x x1 at, y y1 bt y z z1 ct x x1 y y1 z z1 Ecuaciones simétricas: a b c Se necesita un vector v a, b, c paralelo a la recta y un punto P x1, y1, z1 en la recta. 113. Resolver simultáneamente las dos ecuaciones lineales que representan los planos y sustituir los valores en una de las ecuaciones originales. Después elegir un valor para t y dar las ecuaciones paramétricas correspondientes a la recta de intersección. 115. a) Paralelos si el vector a 1, b1, c1 es un múltiplo escalar de a 2, b2, c2 ; 0. b) Perpendicular si a 1a 2 b1b2 c1c 2 0; 2. 117. cbx acy abz abc 119. Esfera: x 3 2 y 22 z 5 2 16 121. a) 1999 2000 2001 2002 Año z (aprox.)

6.25

6.05

5.94

Año

2003

2004

2005

z (aprox.)

5.66

5.56

5.56

5.76

Las aproximaciones están más próximas a los valores actuales. b) Las respuestas varían.

−4

x

A-25


y

(2, 0, 0)

x


3/12/09 20:37:49

A-26



123. a) b)

27. Paraboloide hiperbólico

70 pulg.

29. Cono elíptico

z

c) La distancia nunca es cero. d) 5 pulg.

15

A119

z

3 1 −3 2 3

3 2

x

0

y

1

x

3

15

23 13

1 2,

9 1 4, 4

125. 127. 129. Verdadero 131. Verdadero 133. Falso. El plano 7x y 11z 5 y el plano 5x 2y 4z 1 son perpendiculares al plano 2x 3y z 3 pero no son paralelos.

Sección 11.6 1. c 2. e 7. Plano

3. f

4. b

5. d 6. a 9. Cilindro circular recto 4

−2

1

3 x

1

2

4

−2

35.

−3

−1

x

2π

y

37.

z

z 4

2 7 6

2

−2

4

−3

4

x

5

−2

−2

y

y

2

2 y

x

4

4

x

11. Cilindro parabólico

y

2

x

1 1

z 3

2

z

2

33.

z

1

3

3

31. Elipsoide

(página 820)

z

2

y

−1

0

77 48 13 , 13 ,

y

13. Cilindro elíptico

z

z

4

39.

41.

z

z

12

3

6 4 2

4

3

3

x

2

3

4

y

3

z 2 1

y

20, 0, 0 10, 10, 20 0, 0, 20 0, 20, 0

x

3

6 −2

2

y

−4 −6

43.

45.

z

z 4

3

3 2 2

−2

x

−2

21. Hiperboloide de una hoja

z

z 3

2

2 −2

2

2

x

−3

2

3

y

3

−2

x

y

−3

23. Hiperboloide de dos hojas

25. Paraboloide elíptico

z

z

3

3 2 1

2 3

3 y

−3

x

2

−3

1 3

−2 −3


y

8

y

19. Elipsoide

x

−4 8 x

17. a) b) c) d)

3

−8

2

x

15. Cilindro

4

−6

−3

2

4

y

2 x

1

2

y

3 x

2

3

y

47. x 2 z 2 4y 49. 4x 2 4y 2 z 2 51. y 2 z 2 4 x 2 53. y 2z o x 2z 55. Sea C una curva plana y sea L una recta no contenida en un plano paralelo. Al conjunto de todas las rectas paralelas a L y que cortan a C se le llama un cilindro. C es llamada la curva directriz del cilindro, y las rectas paralelas se llaman rectas generatrices. 57. Ver páginas 814 y 815. 59. 128 3 61. a) Eje mayor: 4 2 b) Eje mayor: 8 2 Eje menor: 4 Eje menor: 8 Focos: 0, ± 2, 2 Focos: 0, ± 4, 8 63. x 2 z 2 8y; Paraboloide elíptico 65. x 2 3 963 2 y 2 3 963 2 z 2 3 950 2 1 67. x at, y 69. Verdadero bt, z 0; x at, y bt ab 2, z 2abt a 2 b 2 71. Falso. Una traza de una elipsoide puede ser un único punto.

3/12/09 20:37:51


A120

73. La botella de Klein no tiene un interior ni un exterior. Se forma insertando el extremo delgado abierto a través del costado de la botella y uniéndolo a la base de la botella.

Sección 11.7 1. 7. 13. 19. 21.

(página 827) 3. 3 2 2, 3 2 2, 1

7, 0, 5

9. 2 2, 5, 2, 1 z 4 15. r 2 z 2 17 10 z 2 r 2 sen 2 x2 y 2 9

5.

2 3,

2, 3

11. 2, 3, 4 sec tan

4, 4 17. r 23. x

3y

83. 85. 87. 89. 95.

z

3

2

2 1

3

4 3

x

x

y

4

2

y

−2

−3

25. x 2

−2

1

2

Rectangulares 73. 4, 6, 3 75. 4.698, 1.710, 8 77. 7.071, 12.247, 14.142 79. 3, 2, 2 81.

0

z

y2

z2

27. x 2

5

y2

2y

z

0

97.

z

3

2 1

−2

3 x

3

1

2

y

y

2

−1

x

−2

−3

29. 4, 0, 2 31. 4 2, 2 3, 4 33. 4, 6, 6 35. 37. 0, 0, 12 39. 52, 52, 5 2 2 6, 2, 2 2 41. 43. 2 csc csc 7 45. 47. tan2 4 csc 2 49. x 2 y 2 z 2 25 51. 3x 2 3y 2 z 2 0 z

99. 101. 103. 105. 107.

Cilíndricas Esféricas 7.211, 0.983, 3 7.810, 0.983, 1.177 5, 9, 8 9.434, 0.349, 0.559 14.142, 2.094, 20, 2 3, 4 14.142 3.606, 4.123, 0.588, 0.588, 2 1.064 5 4 3 2.833, 0.490, 3.206, 0.490, 2, 3, 2 1.5 2.058 3.536, 3.536, 5 5, 3 4, 5 7.071, 2.356, 2.356 2.804, 2.095, 6 3.5, 2.5, 6 6.946, 5.642, 0.528 1.837, 1.837, 1.5 2.598, 2.356, 1.5) 3, 3 4, 3 d 90. e 91. c 92. a 93. f 94. b Rectangulares a cilíndricas: r 2 x 2 y 2, tan y x, z z Cilíndricas a rectangulares: x r cos , y r sen , z z Rectangulares a esféricas: 2 x 2 y 2 z 2, tan y x, arccos z x 2 y 2 z 2 Esféricas a rectangulares: sen cos , y sen sen , z cos x a) r 2 z 2 25 b) 5 a) r 2 z 1 2 1 b) 2 cos a) r 4 sen b) 4 sen sen 4 sen csc a) r 2 9 cos2 sen 2 a) 2 9 csc2 cos2 sen 2 z z 109. 5

3

5

6

2

2

3

a

x

y

a

y

x −1

x

−a

1

−2

x

−a

2

2

6 5

a

3

z

6 5

A-27


−1

1

2

1

−1

y

−2

111.

113.

z

z

a

2 y

2

30°

−6

53. x

2

y

2

2

z

2

4

55. x 2

y2

1

z

x

z

5

y

2

2

y

x

2

4 1

3

−2

2 −2 x

57. 61. 65. 69.

3

2

1

2

3

−3

y

x

−2 2

1 −1

1

2

y

−2

59. 4 2, 2, 4 4, 4, 2 63. 13, , arccos 5 13 2 13, 6, arccos 3 13 67. 36, , 0 10, 6, 0 71. 4, 7 6, 4 3 3 3, 6, 3

115. Rectangulares: 0 x 10 117. Esféricas: 4 0 y 10 0 z 10 119. Cilíndricas: r 2 z2 9, r 3 cos , 0 121. Falso. r z representa un cono. 123. Falso. Ver página 823. 125. Elipse

Ejercicios de repaso para el capítulo 11 (página 829) 1. a) u v 3. v


6

3, 1 4, 2 4, 4 3

b) u 5.

3i

j c) 2 5 d) 10i

5, 4, 0

3/12/09 20:37:52

A-28

7. Arriba del plano xy y a la derecha del plano xz o debajo del plano xy y a la izquierda del plano xz. y 22 z 6 2 225 9. x 3 2 4 2 2 y 3 z2 9 11. x 2 Centro: 2, 3, 0 Radio: 3 13. a) y d) b) u 2, 5, 10 z c) u 2i 5j 10k (2, −1, 3) 3 2 1

5

4

3

51. 87 53. 55. Plano

35 7 57. Plano z 3

z 2

(0, 0, 2)

3 6 x

(0, 3, 0)

−2

6

(6, 0, 0)

x

61. Hiperboloide de dos hojas z

z y

5

2

2

x

−2

−4

5

5

y

4

5

x −8 −9 −10

y

2

y

59. Elipsoide 1 2 3

A121



y

x

−2

63. Cilindro

(4, 4, − 7) (2, 5, −10)

z

15. Colineales 17. 1 38 2, 3, 5 19. a) u 1, 4, 0 , v 3, 0, 6 2 21. Ortogonales 23. arccos

2

b) 3 c) 45 6 25. 15

4 Las respuestas varían. Ejemplo: 6, 5, 0 , 6, 15 5 5 u u 14 u 2 31. 14 , 7 , 14 1 5 2i j o 1 5 2i j 4 37. 285 39. 100 sec 20 106.4 lb a) x 3 6t, y 11t, z 2 4t b) x 3 6 y 11 z 2 4 43. a) x 1, y 2 t, z 3 b) Ninguno z c) 27. 29. 33. 35. 41.

2

y

x

−2

5, 0

65. Sea y 2 x y girar alrededor del eje x. 67. x2 z2 2y 69. a) 4, 3 4, 2 b) 2 5, 3 4, arccos 71. 50 5,

6, arccos 1

73. 25 2 2, 75. a) r 2 cos 2 5 2 2

77. x

5 5

5

4, 25 2 2 2z b) 2 sec 2 cos 25 4

y2

z

79. x

csc2

y z

4 3

−4

2

−4

3

−2 2 4

−2

4

x

x

y

y

2

3

4

3

2

x

1

t, y

1

t, z

b) x

1, z

y

SP Solución de problemas

4

2

− 4 − 3 −2 4

3

2

2

3

4

−2

x

(página 831)

1–3. Demostraciones 5. a) 3 2 2 1 7. a) 2 b) 2 abk k 1 c) V 2 ab k 2 V 12 (área de la base) altura 9. a) b)

−4 −3

1

y

4

1

z

3

3

−3

−4

45. a) x c)

1

−3

2.12

5

b)

2.24

z

2

−4

47. 27x

4y

32z

33

0

49. x

2y

1

−3

−3

1 3

3 4 −4

2

−4

−2 −2

−2

2

2

4

−2

x

−2

z

z

2

4 4

y

x

−2

x

−2

1

2

y

3 x

2

3

y

−2

−4 −2

11. Demostración

2 4

y

−4


3/12/09 20:37:54

A122


27.

13. a) Tensión: 2 3 3 1.1547 lb Magnitud de u: 3 3 0.5774 lb b) T sec ; u tan ; Dominio: 0 c) 0 10 20 30 T

1

u

d)

1.0154

0

1.0642

0.1763

2 1 x

−4 − 3 −2 −1

1

2

3

4

−2

− 5 − 4 −3 −2 −1

31.

50

60

T

1.3054

1.5557

2

u

0.8391

1.1918

1.7321

33.

y

y 12 9

2

6

1

3

x

−3 −2

2

x

−12 −9 −6

3

−9 −12

35. 60

→

z 7

(0, 6, 5)

4

y lím

2

37.

z 5

0

lím T

9 12

−6

T

0

6

−3

e) Ambas son funciones crecientes.

2.5

x

1 2 3 4 5

−2 −3

0.5774

40

→

y 7 6 5 4 3 2

3

90

u 

f)

29.

y 4

1.1547

0.3640

A-29


2

3

u

(2, − 2, 1)

Sí. Cuando aumenta, también aumentan T y u . 15. 0, 0, cos sen cos sen ; demostración PQ n 17. D n w u v u v w u v w u v u v u v 19. Demostración

(1, 2, 3)

1

3

4 5

3

\

6

y −3

3

3 x

x

39.

41.

z

y

z 6

6

)2, 4, 163 )

4 2

Capítulo 12

2 x

Sección 12.1 1. 5. 0, 9. a)

,

(página 839)

1

7. b) j 1 11. a) ln 2i j 2 1 2i

c) ln t d) ln 1

4i ti

−3

3. 0,

1, , c) 12 s

1 2i

sj

d)

1 2

t

t

4i

tj

43.

z −3

6k b) No es posible

3

−2

4

j

3t

−2

1

−1

−4

y

45.

−3

z 2

y

−2

4k

)− 2, 4, − 163 )

−6

2

x

1 t

3

3 x

2

j

x

−3

2

1 t 13. t 1 25t 3t i t j 2t k 15. r t x 3t, y t, z 2t 2 ti 5 tj 3 12t k 17. r t 2 t, y 5 t, z 3 12t x 19. t 2 5t 1 ; No, el producto punto es un escalar. 21. b 22. c 23. d 24. a 25. a) 20, 0, 0 b) 10, 20, 10 c) 0, 0, 20 d) 20, 0, 0

3

−5

3 tk

−2

−1 1

−4

t

y

5

−2

y

Parábola 47.

z 2π

π

−2

−2

2 x

2

y

Hélice a) La hélice se traslada hacia atrás sobre el eje x. b) La altura de la hélice aumenta a mayor velocidad. c) La orientación de la gráfica se invierte. d) El eje de la hélice es el eje x. e) El radio de la hélice aumenta de 2 a 6.

49 a 55. Las respuestas varían. 57. Las respuestas varían. Ejemplo de respuesta: r1 t t i t 2 j, 0 t 2 r2 t 2 t i 4 j, 0 t 2 r3 t 4 t j, 0 t 4


3/12/09 20:37:55

A-30 59.



61.

z

(

2, 4 ) 5

2, −

(−

2, 4)

2,

85 a 87. Demostraciones 89. Sí; sí 93. Verdadero 95. Verdadero

z 4

Sección 12.2 −3 3

1

2

2

−3

y

3

3

3

ti

2t 2 k

tj

63.

4i 4i

91. No necesariamente

(página 848) 3. r 2 r 2

2j j

y

y

x

x

rt

1. r 2 r 2

2 cos tj

(4, 2)

2

2

r′

r

(4, 12 (

1

r

z

r′

x

2 3

1 2j 1 4j

4i 4i

y

4

2 sen t i rt 4 sen 2 tk

A123

4

6

x

8

2

−2 −4

−3 y

3

3

r t0 es tangente a la curva en t0. 5. r 2 j r 2 i

x

−3

1 1

rt rt 65.

sen t i sen t i

2 cos tj 2 cos tj

sen t k y sen t k

1 1

y

y

z 3

r t0 es tangente a la curva en t0. 7. r 0 i j r 0 i 2j

r′

3

(0, 1)

(0, 0, 2)

r′

2

r x

1 3

4

y

4

(2, 2, 0)

x

x 1

t i tj 4 t2 k rt 67. Sea x t, y 2t cos t y z 2t sen t. Entonces y 2 z2 2t cos t 2 2t sen t 2 4t 2 cos2 t 2 2 4t cos t sen 2 t 4t 2. 2 2 2 Porque x t, y z 4x .

r t0 es tangente a la curva en t0. 3 3 9. r 2j k 2 2 3 r 2i k 2

4t 2 sen 2 t

z

)0, − 2, 32π )

2 x 4

8

12

16

z

y

rt

3

0

1.5 cos t i t

2

y

1.5 sen tj

1

tk,

3t 2 i 3j 13. 2 sen t i 5 cos t j 17. 3a sen t cos2 t i 3a sen2 t cos t j 6i 14tj 3t 2 k e ti 5te t 5e t k sen t t cos t, cos t t sen t, 1 a) 3t 2 i t j b) 6t i j c) 18t 3 t a) 4 sen t i 4 cos t j b) 4 cos t i 4 sen tj c) 0 a) t i j 12 t 2 k b) i tk c) t 3 2 t a) t cos t, t sen t, 1 b) cos t t sen t, sen t t cos t, 0 c) t r 1 4 1 31. 2 i 2 j k r 1 4 4 2 1 r 1 4 1 2 2i 2 2 j 4k 4 1 4 2 r 4 z

2

2

−1

1

11. 15. 19. 21. 23. 25. 27. 29.

69. i j 71. 0 73. i j k , 0 , 0, 1, 1 75. 77. 79. 2 n , 2 n , n es un entero. 81. a) s t t2 i t 3j t 3k b) s t t2 2 i t 3 j tk c) s t t2 i t 2 j tk 83. Las respuestas varían. Ejemplo de respuesta:

1

2π

−2

x

−2

z

r π

8 4

6

3

r′

12

5

2

r t0 es tangente a la curva en t0.

16

7

(1, 1)

1

r

2

r″ r ″ 

−2 −1

1 2 x


−1

2

y

x

r′ r ′ 

y

3/12/09 20:37:56

A124


33. 35. n 2, n 1 2 , 0 , 0, 37. 39. , , 0), 0, 41. 2 n , 2 n , n es un entero. 43. a) i 3j 2tk b) 2k c) 8t 9t 2 5t 4 d) i 9 2t j 6t 3t 2 k 3 2 3 e) 8t i 12t 4t j 3t 2 24t k 2 2 f ) 10 2t 10 t 45. a) 7t 6 b) 12t 5 i 5t 4 j 7 sen t cos t 47. t arccos 2 9 sen t 16 cos2 t 9 cos2 t 16 sen2 t 5 Máximo: 1.855 4 4 3 7 Mínimo: 1.287 4 4 n −1 7 Ortogonal: , n es un entero. 0 2 49. r t 3i 2tj 51. r t 2ti 2k 53. t 2 i t j tk C 55. ln t i t j 25 t 5 2 k C 57. t 2 t i t 4 j 2t 3 2 k C 59. tan t i arctan t j C 61. 4i 12 j k 63. ai aj 2 k 65. 2i e2 1 j e2 1 k 67. 2e2t i 3 e t 1 j 69. 600 3 t i 16t 2 600t j 2 71. 2 e t 2 i e t 2j t 1k 73. Ver la “Definición de la derivada de una función vectorial” y la figura 12.8 en la página 842. 75. Las tres componentes de u son funciones crecientes de t en t t0. 77 a 83. Demostraciones 85. a) 5 La curva es una cicloide.

0

40 0

b) El máximo de r es 2; el mínimo de r es 0. El máximo y el mínimo de r es 1. 87. Demostración 89. Verdadero 91. Falso: Sea r t cos t i sen tj k, entonces d dt r t 0, pero r t 1.

Sección 12.3 1. v 1 a1

3i 0

(página 856) 3. v 2 a2

j

y

j

4i 2i

y

4

2

v

(3, 0)

x 4

(4, 2)

2

A-31


5. v 1 a1

2i 2i

7. v a

3j 6j

2i 2i

4 4

y

2j 2j

y

8 7 6 5 4 3 2 1

3

a

v

(

2)

2,

a

v −3

x 3

(1, 1) x

−1

−3

2 3 4 5 6 7 8

9. v a

2i j

y 4

(π , 2)

2

v

a π

11. v t vt at 15. v t vt at 17. v t vt at 19. v t vt at 21. a) x y z 23. v t rt r2 25. v t rt r2 27. v t rt r2 29. r t

i 0 i

x

2π

5j 35

3k

j

t

13. v t vt at

i

2t j tk 1 5t2 2j k

t2 k 18 t 9 t2 2 3 2 9 9 t k 4i 3 sen tj 3 cos tk 5 3 cos tj 3 sen tk et cos t et sen t i et sen t et cos t j t e 3 2et sen t i 2et cos t j et k b) 1.100, 1.200, 0.325 1 t 1 2t 1 3 4 4t ti j k t2 2 i j k 2i j k 9 1 t2 2 2 j t2 2 2 k 9 14 3 3 t 6 2t t 6 12 t 13 k 3 j 17 2 3 j 3k sen t i cos t j k cos t i sen t j t k cos 2 i sen 2 j 2k 44 3t i 10 44t 16t 2 j 9

2

et k

50

v a

6

x 2

−2 −2

−4 −4


4

6

8

0

300 0

31. v0 35. a)

33. Demostración 40 6 pies s; 78 pies 0.004x 2 0.37x 6 y rt ti 0.004t 2 0.37t 6 j

3/12/09 20:37:58

A-32



b)

c) 14.56 pies d) Velocidad inicial: 67.4 pies s; 20.14

18

0

b)

t

0

Velocidad

3

c)

120

2

cos

0

440 3

3

ti

sen

0

t

6

16t2 j

4 2

θ 0 = 20

−8

θ 0 = 25

−4 − 2 −2

x 2

4

6

3 3

3 13 2

d) La velocidad aumenta cuando el ángulo entre v y a se encuentra en el intervalo 0, 2 , y disminuye cuando el ángulo se encuentra en el intervalo 2, .

8

440 3

2

6

3 10 2

y

0

37. a) r t b) 100

4

A125

8

−4 −6 −8 0 0

θ 0 = 10

500

El ángulo mínimo parece ser c) 0 19.38 39. a) v0 28.78 pies s; 58.28 41. 1.91 43. a) 5 b)

0

61. La velocidad de un objeto tiene magnitud y dirección de movimiento, mientras que la rapidez sólo tiene magnitud. 63. a) Velocidad: r2 t 2r1 2t Aceleración: r2 (t 4r1 (2t b) En general, si r3 t r1 t , entonces: r1 t Velocidad: r3 t 2 r1 ( t Aceleración: r3 (t 65. Falso; la aceleración es la derivada de la velocidad. 67. Verdadero.

θ 0 = 15

50

20 .

0

b) v0

32 pies s

15

0

0

300 0

Altura máxima: 2.1 pies Altura máxima: 10.0 pies Rango: 46.6 pies Rango: 227.8 pies c) : 40 d) 200

Sección 12.4 1.

(página 865) 3.

y

y

x

x

0

200

0

0

0

Altura máxima: 34.0 pies Rango: 136.1 pies e)

140 0

45. 47.

49. 51.

53. 59.

Altura máxima: 166.5 pies Rango: 666.1 pies f)

60

0

800

300

0

600 0

Altura máxima: 51.0 pies Altura máxima: 249.8 pies Rango: 117.9 pies Rango: 576.9 pies Altura máxima: 129.1 m Rango: 886.3 m vt b 1 cos t i sen tj b 2 sen ti cos tj at a) v t 0 cuando t 0, 2 , 4 , . . . b) v t es máximo cuando t ,3 ,. . . b sen ti b cos tj vt 0 vt rt 2 at b 2 cos ti sen tj r t ; a t es un múltiplo negativo de un vector unitario desde (0, 0) hasta cos t, sen t , así a t está dirigida hacia el origen. 8 10 pies s 55 a 57. Demostraciones a) v t 6 sen t i 3 cos tj vt 3 3 sen2 t 1 at 6 cos t i 3 sen t j


5. T 1 9. T e

2 2 i 3ei j

7. T 4 1 0.9926i

j 9e2

11. T 0 2 2 i k x t y 0 z t 1 15. T 4 2, 2, 0 2 2 2t x 2 2t y z 4 1 17. T 3 19 1, 6, 18 x 3 t y 9 6t z 18 18t 9

2 2 i 0.1217j

13. T 0 x 3 y 3t z t

10 10 3j

j k)

z

6

18 15 12 9 6 3 3

x

19. Recta tangente: x 1 t, y r 1.1 1.1, 0.1, 1.05 21. 1.2 23. N 2 5 5 25. N 2 5 5 2i j 27. N 1 14 14 i 2j 29. N 3 4 2 2 i j

−3 12 15

18

1

t, z 2i

y

1 2t

j

3k

3/12/09 20:37:59

A126


31. v t 4i 33. v t 8t i at 0 8i at Tt i Tt i N t no está definido. La N t no está definido. La trayectoria es una recta y trayectoria es una recta y la velocidad es variable. la velocidad es constante. 2 2 i j 5 5 i 2j 35. T 1 37. T 1 N1 2 2 i j N1 5 5 2i j aT 2 a T 14 5 5 aN 2 aN 8 5 5 39. T 0 41. T 2 5 5 i 2j 2 2 i j N 2 N0 5 5 2i j 2 2 i j aT aT 7 5 5 2e 2 aN 6 5 5 2e 2 aN 43. T t0 cos t0 i sen t0 j N t0 sen t0 i cos t0 j 2 aT 3 t0 aN 45. T t sen t i cos t j cos t i sen t j Nt aT 0 aN a 2 47. v t a ; La velocidad es constante porque a T 0. 49. r 2 2i 12 j T2 17 17 4i j N2 17 17 i 4j y

3 2 1

)2, )

T

1

x

2

51. r 1 4 T1 4 N1 4

i

3

1 4 j 5 5 2i 2 5 5

j 1 2i

y 3 2

N

1

T −1

1 −1

53. r T N

x

2 1 4

)1, )

2i 2 2 2 2

4 4 4

2j i j i j

y

T

(

2,

2)

N

1

x

−1

1 −1


2k

y

3

4π

x

65. T 2

149 149 i

N2 5 513 5 513 aT 74 149 149 aN 5 513 149

12j

2k

74i

k

6j z 4 2 4

2

N 4

6

8

T

1 2

−2

55. T 1 14 14 i 2j 3k N 1 no está definido. a T no está definida. a N no está definida. 57. T 3 5 5 3 2i 1 2j 1 2i 3 2j N 3 aT 0 aN 1 59. T 1 6 6 i 2j k 30 30 5i 2j k N1 aT 5 6 6 aN 30 6 61. T 0 3 3 i j k N0 2 2 i j aT 3 aN 2 1 z 63. T 2 3j T 5 4i N k N 2 3 aT 0 aN 3 2π

x

N

j

A-33


y

67. Sea C una curva suave representada por r en un intervalo abierto I. El vector unitario tangente T t en t se define como r t Tt ,r t 0. r t El vector unitario normal principal N t en t se define como T t Nt ,T t 0. T t Las componentes tangencial y normal de la aceleración se definen como sigue a t aTT t aNN t . 69. a) El movimiento de la partícula es en línea recta. b) La velocidad de la partícula es constante. 71. a) t 12 : a T 2 2 2, a N 2 2 2 2 t 1: a T 0, a N t 32 : aT 2 2 2, aN 2 2 2 b) t 12 : creciente porque a T > 0. t 1: máximo porque a T 0. t 32 : decreciente porque a T < 0. 73. T 2 17 17 4i k N 2 j B 2 17 17 i 4k 75. T 4 2 2 j k 2 2 j k N 4 B 4 i

3/12/09 20:38:00

A-34



77. T N B

3 3 3

5.

5 5 i 3j k 3i j 5 10 i 3 j 4k 32 v0 sen 32t 79. a T v02 cos2 v0 sen 32t 2 32v0 cos aN v02 cos2 v0 sen 32t 2 En la altura máxima a T 0 y a N 32. 81. a) r t 60 3 t i 5 60t 16t 2 j b) 70

y

1 2

a

−a

x

a −a

6a 7. a) r t b) 649 8 9.

50t 2 i 3 50t 2 16t 2 j 81 pies c) 315.5 pies d) 362.9 pies z 11. − 12

3 400

2

−2

(0, 0, 0)

0

Altura máxima 61.245 pies Rango 398.186 pies c) v t 60 3 i 60 32t j vt 8 16t 2 60t 225 at 32j d) 0.5 1.0 t

3

−3

(−1, 4, 3)

1

2

−1

x

1

2

−2

21 3

4

x 5

1.5

Velocidad

112.85

t

2.0

2.5

3.0

Velocidad

104

105.83

109.98

107.63

15

12

9

6 −6 6

(6 π , 0, −1)

3 17 15. 8.37

z

(a, 0, 2π b)

18

−9

−3 −6 −9 −12

6

9

y

y

26 13.

z

(0, − 1, 0)

4 0

A127

2

2π b

104.61 πb

e)

x

40

aN 0

4

aT −20

La velocidad es decreciente cuando aT y aN tienen signos opuestos. 83. a) 4 625 2 1 314 mi h b) a T 0, a N 1 000 2 a T 0 porque la velocidad es constante 85. a) La componente centrípeta se cuadruplica. b) La componente centrípeta se reduce a la mitad. 87. 4.82 mi s 89. 4.67 mi s 91. Falso; la aceleración centrípeta puede ocurrir con velocidad constante. 93. a) Demostración b) Demostración 95 a 97. Demostraciones

Sección 12.5 1.

(página 877) 3.

y

3

y

(1, 1)

1

(0, 0)

−3 −6

3 10


a2 b2 2 17. a) 2 21 9.165 b) 9.529 c) Aumenta el número de segmentos de recta d) 9.571 s s 19. a) s 5 t b) r s 2 cos i 2 sen j k 5 5 5 c) s 5: 1.081, 1.683, 1.000 s 4: 0.433, 1.953, 1.789 d) Demostración 21. 0 23. 25 25. 0 27. 2 2 29. 1 1 31. 4 33. 1 a 35. 2 4a 1 cos t 12 3 37. 5 1 5t 2 3 2 39. 25 41. 125 43. 7 26 676 45. K 0, 1 K no está definido. 47. K 4 17 3 2, 1 K 17 3 2 4 49. K 4, 1 K 1 4 51. K 1 a, 1 K a 53. K 12 1453 2, 1 K 1453 2 12 55. a) x 2 2 y2 1 b) Porque la curvatura no es tan grande, el radio de curvatura es mayor. 2 1 2 57. x 1 2 59. x 2 2 y 52 y 32 8 2 6

4

(1, 2)

x 6

y

(a, 0, 0)

9

−6

(9, −3)

(0, 0)

13 13

x 1

6

−4

(0, 1)

−6

3 0

8 27

3/12/09 20:38:02

A128

61.

63. a)

y

b) 0

1, 3

5. a) i c) 2c

π

2k 1i

d) 2 t i

x

π

A-35



A

2j

t t

7.

B

3i 4j 1 2j c

b) c

y

1k 3

t 9.

3k z

4

2

2 −2π

65. 67. 69. 71.

1 −4

a) K → cuando x → 0 (No es máximo) b) 0 a) 1 2, ln 2 2 b) 0 a) ± arcsenh 1 , 1 b) 0 73. 0, 1 2 K ,0 b

75. a) s

x t

2

y t

2

z t

2

dt

2

4

x

11.

13.

z

r t dt a

−2

y

1

2

−4

dT T s b) Plano: K ds T t r t r t Espacio: K r t r t 3 77. K y ; Sí, por ejemplo, y x 4 tiene curvatura 0 en su mínimo relativo (0,0). La curvatura es positiva en cualquier otro punto de la curva. 79. Demostración 2 6x 2 1 81. a) K 16x 6 16x 4 4x 2 1 3 2 1 2 1 2 y b) x 0: x 2 f 2 4 2 1 5 y x 1: x 2 −3 3 2 4

z

3

3

2

2

1

1 1

1

y

2

2

1

1

2

y

2

3

3

x

x

3t i 4t j, 0 t 1 15. r1 t r2 t 3i 4 t j, 0 t 4 r3 t 3 t i, 0 t 3 2 7t, 3 4t, 8 10t 17. r t (La respuesta no es única.) z 19. 21. 4i k 5

−3

−2

c)

1

−2

b

a

1

x

−2 − 1

3

5

2

1

2

3

y

x

−3

23.

3 −2

La curvatura tiende a ser mayor cerca de los extremos de la función y disminuye cuando x → ± . Sin embargo, f y K no tienen los mismos números críticos. Números críticos de f : x 0, ± 2 2 ± 0.7071 Números críticos de K: x 0, ± 0.7647, ± 0.4082 83. a) 12.25 unidades b) 21 85 a 87. Demostraciones 1 89. a) 0 b) 0 91. 4 93. Demostración 95. K 97. 3 327.5 lb 1 4a csc 2 Mínimo: K 1 4a No hay un máximo. 99. Demostración 101. Falso. Ver la exploración en la página 869. 103. Verdadero 105 a 111. Demostraciones

Ejercicios de repaso para el capítulo 12

(página 881)

1. a) Todos son reales, excepto 2 n , n es un entero b) Continuo excepto en t 2 n , n es un entero 3. a) 0, b) Continuo para todo t > 0


25. 27. 29. 31. 35. 37.

39.

41. 43.

x t, y t, z 2t 2 a) 3i j b) 0 c) 4t 3t 2 d) 5i 2t 2 j 2t 2 k e) 10t 1 10t 2 2t 1 8 3 2 2t i 8t 3 j 9t 2 2t 1 k f ) 3t x t y y t son funciones crecientes en t t0 y z t es una función decreciente en t t0. t sen t cos t j C sen t i 1 t 2 ln t 1 t2 C 2 t 1 32 33. 2 e 1 i 8j 2k 3j rt t2 1 i et 2 j e t 4k 2 vt 4i 3t j k vt 17 9t 4 at 6tj vt 3 cos2 t sen t, 3 sen 2 t cos t, 3 vt 3 sen 2 t cos2 t 1 3 cos t 2 sen2 t cos2 t , 3 sen t 2 cos2 t sen2 t , 0 at xt t, y t 16 8t, z t 2 12 t 0.1, 16.8, 2.05 r 4.1 191.0 pies 45. 38.1 m s

3/12/09 20:38:03

A-36

47. v

i

49. v

3j

v 0

a

T

(0, 0)

−4 −2

−3

1 4t t 4t

a N 1 2t 4t 53. v i 2t j tk v 1 5t 2 a 2j k 5t a T 1 5t2 5 a N 1 5t2 57. 4.58 mi s

1

61. 10

x

x

x 2

10

−10

60 65.

(−9, 6, 12)

z

π 2

8 x

(0, 0, 0)

6

)0, 8, π2 )

4 4

(8, 0, 0)

6

8

y

y

10

3 29

65

2

67. 0 69. 2 5 4 5t 2 3 2 71. 2 3 17 289; r 17 17 75. K 2 4; r 2 2 73. K 77. La curvatura cambia bruscamente de cero a una constante no cero en los puntos B y C.


(página 883)

1. a) a b) a c) K a 3. Velocidad inicial: 447.21 pies s; 5 a 7. Demostraciones 4 3 9. Tangente unitario: 5 , 0, 5 Normal unitario: 0, 1, 0 Binormal: 35, 0, 45 6π

B

4

3

2

1

2

2

1

3 2

1.04 0

e) lím K t→

63.43

5

5

4

T

3 2

3 5

N x

y

(página 894)

1. No es una función porque para algunos valores de x y y (por ejemplo x y 0 ) hay dos valores de z. 3. z es una función de x y y. 5. z no es una función de x y y. 4 c) 150 d) 5y e) 2x f ) 5t 7. a) 6 b) 9. a) 5 b) 3e2 c) 2 e d) 5e y e) xe 2 f ) te t 3 10 11. a) 32 b) 0 c) 2 d) 3 13. a) 2 b) 3 sen 1 c) 3 3 2 d) 4 25 15. a) d) 94 4 b) 6 c) 4 17. a) 2, x 0 b) 2y y, y 0 19. Dominio: x, y : x , y son cualquier número real Rango: z 0 21. Dominio: x, y : y 0 Rango: Todos los números reales 23. Dominio: x, y : x 0, y 0 Rango: Todos los números reales 25. Dominio: x, y : x 2 y 2 ≤ 4 Rango: 0 ≤ z ≤ 2 27. Dominio: x, y : 1 ≤ x y ≤ 1 Rango: 0 z 29. Dominio: x, y : y < x 4 Rango: Todos los números reales 31. a) 20, 0, 0 b) 15, 10, 20 c) 20, 15, 25 d) 20, 20, 0 z z 33. 35.

T

4

2

0.51

Sección 13.1

N B

3 2

5

z

3π

1

t

Capítulo 13

−2

(10, −15)

2 4 6 8

2 2

2

t

2

f ) Cuando t → , la gráfica forma una espiral hacia afuera y la curva decrece.

y

5 13

2

2 2

c) K K0 K1 K2 d) 5

0

− 10

12 10 8 6 4 2

−2

0

2

z

3

1

2 4 6 8 10 12 14

−4 −6 −8 −10 −12 −14 −16

63.

T

b) 6.766

2

1 2 t

1 4t t j

a

a N no existe. 51. v e t i e t j v e 2t e 2t t a e i e tj e2t e 2t a T e2t e 2t 2 a N e2t e 2t 55. x 3t 1 y t 3 z t 3 y 59. 2

4t

a 0

13. a)

1 2 t j

v

10

a

i

A129



2

1

1

2 3

4

1

y

4

2

3

y

x

x

11. a) Demostración


b) Demostración

3/12/09 20:38:05


A130 37.

39.

z

−2

67.

z

Tasa de inflación

8

1 2

y

2

x

A-37


6

Tasa de impuesto

0

0.03

0.05

4

0

$1 790.85

$1 332.56

$1 099.43

0.28

$1 526.43

$1 135.80

$937.09

0.35

$1 466.07

$1 090.90

$900.04

2

4

4

y

x

41.

43.

z

69.

z

71.

z

z 4

2 1 −4

−2

y

−1 1

y

4

c=0 c=1 c=2 c=3 c=4

2 x

−2

2

4 c=4

−2

−2

c=2 c = −1

75. a) 243 pies-tablón b) 507 pies-tablón

z

−2

2

1

2 x

77. x

c = 600 c = 500 c = 400

y 30

2

y

c = 300 c = 200 c = 100 c=0

x

− 30

55. Círculos que pasan por 0, 0 y con centro en 1 2c , 0

c

y

1

−1

1 −1

c=6 c=5 c=4 c=3 c=2 c=1 x c = −1 c = −2 c = −3 c = −4 c = −5 c = −6

c= c=

2

−3 2

c=1 c=2 x

2

c= 3

c = −2

59.

6

−9

9

−6

c= 1

2

2

4

−6

6

−4

61. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de todos los puntos x, y, z para los cuales z f x, y y donde x, y está en el dominio de f. La gráfica puede ser interpretada como una superficie en el espacio. Las curvas de nivel son los campos escalares f x, y c, donde c es una constante. 63. f x, y x y; las curvas de nivel son las rectas y 1 c x. 65. La superficie puede tener la forma de una silla de montar. Por ejemplo, sea f x, y xy. La gráfica no es única: cualquier traslación vertical producirá las mismas curvas de nivel.


30

− 30

y

−1 2

c = −1

57.

79. Demostración

c=0 −2

53. Hipérbolas: xy

y

−2

y

2

4

−4

2

51. Elipses: x2 4y2 c (excepto x2 4y2 0 que es el punto 0, 0

4

y

x

73. 45. c 46. d 47. b 48. a 49. Rectas: x y c

2

2

y x

x

x

1

81. C 1.20xy 1.50 xz yz 83. a) k 520 3 b) P 520T 3V Las curvas de nivel son rectas. 85. a) C b) A c) B 87. a) No; las curvas de nivel son irregulares y están espaciadas esporádicamente. b) Utilizar más colores. 89. Falso: sea f x, y 91. Verdadero 4.

Sección 13.2

(página 904)

1 a 3. Demostraciones 5. 1 7. 12 9. 9, continua 11. e 2, continua 13. 0, continua para y 0 1 15. 2, continua, excepto en 0, 0 17. 0, continua 19. 0, continua para xy 1, xy 1 21. 2 2, continua para x y z ≥ 0 23. 0 25. No existe el límite. 27. 4 29. No existe el límite. 31. No existe el límite. 33. 0 35. No existe el límite. 37. Continua, 1

3/12/09 20:38:07

A-38

39.



x, y

1, 0

0.5, 0

0.1, 0

0.01, 0

0.001, 0

f x, y

0

0

0

0

0

51. No existe el límite. z

2

y

0: 0 x, y

1, 1

0.5, 0.5

0.1, 0.1

f x, y

1 2

1 2

1 2

3 3

x

x, y

0.01, 0.01

0.001, 0.001

f x, y

1 2

1 2

x, y

1, 1

53. 63. 67. 71. 75.

x, y

79.

0.25, 0.5

1 2

f x, y

y2:

83.

0.01, 0.1

1 2

1 2

0.0001, 0.01

85. 91.

0.000001, 0.001

1 2

f x, y x

1, 1

0.25, 0.5

1 2

f x, y x, y

1 2

0.000001, 0.001

1 2

f x, y

1 2

Sección 13.3

y2: 1

x 2 No existe el límite. Continua excepto en 0, 0 43. f es continua. y es continua excepto en (0, 0). y tiene una discontinuidad removible en (0, 0). 45. f es continua. g es continua excepto en (0, 0). g tiene una discontinuidad removible en (0, 0). 47. 0 49. No existe el límite. z

z 2 y x

x

0 55. 0 57. 1 59. 1 61. 0 Continua excepto en 0, 0, 0 65. Continua Continua 69. Continua Continua para y 2x 3 73. a) 2x b) 4 a) 1 y b) 77. a) 3 y b) x 2 x y2 ln(x2 y2 , x 0, y 0 Verdadero 81. Falso: sea f x, y . 0, x 0, y 0 a) (1 a2 a, a 0 b) No existe el límite. c) No, el límite no existe. Trayectorias diferentes dan límites distintos. 0 87. 2 89. Demostración Ver la “Definición del límite de una función de dos variables”, en la página 899; mostrar que el valor de lím f x, y no es el

mismo para dos diferentes trayectorias hacia x0 , y0 . 93. a) Verdadero. Para hallar el primer límite, sustituir (2, 3) por x, y . Para hallar el segundo límite, sustituir 3 por y para encontrar una función de x. Entonces sustituir 2 por x. b) Falso. La convergencia de una trayectoria no implica la convergencia de todas las trayectorias. x 22 y 32 2 c) Falso. Sea f x, y 4 . 2 x 2 y 32 d) Verdadero. Cuando se multiplica por cero a cualquier número real, siempre se obtiene cero.

0.01, 0.1

1 2

0.0001, 0.01

y

−2

x, y → x0 , y0

1 2

1 2

x, y

2

2 −2


−3

−3

y x: 12 No existe el límite. Continua excepto en 0, 0 41.

A131

y

(página 914)

1. fx 4, 1 < 0 3. fy 4, 1 > 0 5. No. Porque al calcular la derivada parcial con respecto a y, se considera a x constante. De manera que el denominador se considera como una constante y no contiene variables. 7. Sí. Porque al calcular la derivada parcial con respecto a x, se considera a y constante. De manera que tanto el numerador como el denominador contienen variables. 2 2xy3 9. fx x, y 11. fx x, y fy x, y 5 fy x, y 3x2y2 y 13. z x 15. z x 2x 4y z y x 2 y z y 4x 6y 17. z x yexy 19. z x 2xe 2y z y xexy z y 2x 2e2y 21. z x 1 x 23. z x 2x x 2 y 2 z y 1 y z y 2y x 2 y 2 3 3 2 x 3y x y 25. z x z y x 3 12y 3 2xy 2 2 2 2xe x y x x2 y 2 27. hx x, y 29. fx x, y 2 2 x y hy x, y 2ye y x2 y 2 fy x, y y sen xy 31. z x 33. z x 2 sec2 2x y z y x sen xy z y sec2 2x y

3/12/09 20:38:09


A132 35. z z 37. z z

x y x y

41. fx x, y fy x, y 45. z x z y 49. z x z y 53. gx 1, 1 gy 1, 1 55. x=2

yey cos xy e y x cos xy sen xy 2 cosh 2x 3y 39. fx x, y 3 cosh 2x 3y fy x, y

1 y2

43. fx x, y fy x, y 47. z x z y 51. z x z y

3 2 1 0 1 4 1 4

1 2


x2 1

1 2 x 1 2 x 1

1 4

y y

1 4

2 2 57.

z

y=3 z

10 160

4 8 8

x

1 2

3

2

4

y

x y

18 cos x 2y 3z 59. Hx x, y, z Hy x, y, z 2 cos x 2y 3z Hz x, y, z 3 cos x 2y 3z w x x 61. 63. Fx x, y, z x x 2 y 2 z2 x 2 y 2 z2 w y y Fy x, y, z 2 2 2 2 2 y x y z2 x y z w z z Fz x, y, z z x 2 y 2 z2 x 2 y 2 z2 65. fx 3; fy 1; fz 2 67. fx 1; fy 1; fz 1 69. fx 0; fy 0; fz 1 2 2 z z 0 2 71. 73. x2 x2 2 2 z z 6x 6 y2 y2 2z 2z 2z 2z 6y 2 y x x y y x x y 2 2 2 z y z e x tan y 75. 77. x2 x2 y 2 3 2 x2 2z 2z x2 2ex sec2 y tan y 2 2 2 3 2 y x y y2 2 2 2 2 z z xy z z ex sec2 y 2 2 3 2 y x x y x y y x x y 2z y2 cos xy 79. x2 2 z x2 cos xy y2 2z 2z xy cos xy sen xy y x x y 2 6, y 4 81. x 2, y 83. x 85. x 1, y 1 87. x 0, y 0


A-39

89. z x sec y z y x sec y tan y 2 z x2 0 2 z y 2 x sec y sec2 y tan2 y 2 2 z y x z x y sec y tan y fy x, y 0. No existen valores de x y y tales que fx x, y y 2 x2 x x2 y 2 91. z x z y 2y x 2 y 2 2 2 z x x 4 4x 2 y 2 y4 x 2 x 2 y 2 2 2 2 z y 2 y2 x2 x2 y2 2 2 2 z y x z x y 4xy x 2 y 2 2 fy x, y 0. No existen valores de x y y tales que fx x, y fyxy x, y, z fyyx x, y, z 0 93. fxyy x, y, z fyxy x, y, z fyyx x, y, z z 2e x sen yz 95. fxyy x, y, z 2 2 2 2 z y 0 0 0 97. z x 2z 99. 2z x2 y2 e x sen y e x sen y 0 101. 2z t2 c 2 sen x ct c 2 2z x 2 2 2 2 2 2 103. z t c x ct c 2z x 2 t 2 105. z t e cos x c c 2z x 2 107. Sí, f x, y 109. 0 cos 3x 2y . 111. Si z f x, y , entonces para encontrar fx se considera a y como constante y se deriva con respecto a x. De la misma forma, para encontrar fy se considera a x como constante y se deriva con respecto a y. z 113. 4 2

4

2

4

y

x

115. Las derivadas parciales combinadas son iguales. Ver teorema 13.3. 117. a) 72 b) 72 100 119. IQM 10 , IQM 12, 10 C El IQ crece con una razón de 10 puntos por año de edad mental cuando la edad mental es de 12 y la edad cronológica es de 10. 100M IQC , IQC 12, 10 12 C2 El IQ disminuye con una razón de 12 puntos por año de edad mental cuando la edad mental es de 12 y la edad cronológica es de 10. 121. Un incremento en el costo de la comida y alojamiento o en el de la matrícula causará una disminución del número de solicitantes. 123. T x 2.4 m, T y 9 m 125. T PV nR ⇒ P V nR nRT V 2 P nRT V ⇒ P V V nRT P ⇒ V T nR P T P P V V T nRT VP nRT nRT 1 127. a) z x 0.92; z y 1.03 b) Cuando el consumo de la leche de sabor (x) crece, el consumo de las leches light y descremada (z) disminuye. Cuando el consumo de la leche baja en grasas (y) disminuye, el consumo de la leche descremada también disminuye. 129. Falso; sea z x y 1. 131. Verdadero

3/12/09 20:38:12

A-40

4x 2 y 2 y 4 x y2 2 4 2 xx 4x y 2 y 4 fy x, y x2 y2 2 0, fy 0, 0 0 fx 0, 0 fxy 0, 0 1, fyx 0, 0 1 fxy o fyx o ambas no son continuas en 0, 0 . fx 0, 0 1, fy 0, 0 1 fx x, y y fy x, y no existen cuando y x.

b) c) d) 135. a) b)

2

Sección 13.4

23.

25.

Sección 13.5

(página 923)

3

4xy dx 6x 2 y 2 dy 2 x dx y dy x 2 y2 2 cos y y sen x dx x sen y cos x dy e x sen y dx e x cos y dy 2z 3 y cos x dx 2z 3 sen x dy 6z 2 y sen x dz 1, f 2.1, 1.05 1.05, z 0.05 f 2, 1 dz 0.05 11, f 2.1, 1.05 10.4875, z 0.5125 f 2, 1 0.5 dz e2 7.3891, f 2.1, 1.05 1.05e2.1 8.5745, f 2, 1 z 1.1854 b) dz 1.1084 0.44 19. 0.012 Si z f x, y y x y y son incrementos de x y y, y x y y son variables independientes, entonces el diferencial total de la variable dependiente z es z x dx z y dy fx x, y x fy x, y y. dz La aproximación de z por dz se llama una aproximación lineal, donde dz representa el cambio en la altura del plano tangente a la superficie en el punto P x0 , y0 . dA h dl l dh

dz dz dz dz dw a) b) 13. a) b) 15. a)

17. 21.

41. Las respuestas varían. Ejemplo: x 1 0 2 45 a 47. Demostraciones

y x4

133. a) fx x, y

1. 3. 5. 7. 9. 11.



∆h

∆A

dA

h

dA

dA l

A

dA

27.

∆l

dl dh

r

h

0.1

0.1

dV

V

8.3776

8.5462

0.1

5.0265

5.0255

0.001

0.002

0.1005

0.1006

0.0001

0.0002

0.1

0.0034

V

0.1686 0.0010 0.0001 0.0000

0.0034

29. a) dz 0.92 dx 1.03 dy b) dz ± 0.4875; dz z 8.1% 31. 10% 33. dC ± 2.4418; dC C 19% 35. a) V 18 sen ft3; 2 b) 1.047 ft3 37. 10% 39. L 8.096 10 4 ± 6.6 10

dV

6

microhenrys

A133

43. Las respuestas varían. Ejemplo: y x 1 2x x x2 2

(página) 931

1. 26t 3. e t sen t cos t 5. a) y b) e t 7. a) y b) 2e 2t 9. a) y b) 3 2t 2 1 4 11. 11 29 29 13. t 2.04 ;1 e e t2 15. w s 4s, 4 17. w s 5 cos 5s t , 0 w t 4t, 0 w t cos 5s t , 0 19. w r 2r 2 21. w r 0 w 2r 2 3 w 1 w w 2 2 23. 25. t 2 3s 2 t 2 te s t 2s 2 1 s s w w 2 2 2st s2 2t 2 se s t 1 2t 2 t t x2 y 2 x y 2x 1 27. 29. 2y x 1 x 2 y2 y z x z x 31. 33. x z x y z z y z z y z y y z z sec2 x y z zexz y 35. 37. 2 x sec y z x xexz 2 z sec x y z 1 e xz y sec2 y z y w y w w y sen xy 39. 41. x x z x z w x z w x sen xy z cos yz y x z y z w w y w y cos yz w z x z z z tx ty xy 43. a) f tx, ty t t f x, y ; n tx 2 ty 2 x2 y2 xy b) xfx x, y yfy x, y 1f x, y x2 y2 45. a) f tx, ty etx ty e x y f x, y ; n 0 xe x y xe x y b) xfx x, y yfy x, y 0 y y 47. 47 49. dw dt w x dx dt w y dy dt dy fx x, y 51. dx fy x, y z fx x, y, z x fz x, y, z z fy x, y, z y fz x, y, z 53. 4 608 pulg3 min; 624 pulg2 min 1 dT dp dV 55. 57. 28m cm2 s V p dt mR dt dt 59. Demostración 61. a) Demostración b) Demostración

1

63 a 65. Demostraciones


3/12/09 20:38:15


A134

Sección 13.6 1. 1

3.

(página 942) 5.

1

7 25

7.

e

9. 2 3 3

11.

57. a) 6 i d)

8 3

4j b)

2j

c) y

3 2x

1 2

2

8k

1 −3 −2 −1

1

2

x

3

−2 −3

59. La derivada direccional de z u cos i sen j es

3

lím

Du f x, y

y

9

f x, y en la dirección de

t cos , y

f x

t sen

f x, y

t

t→0

si el límite existe. 61. Ver la definición en la página 936. Ver las propiedades en la página 937. 63. El vector gradiente es normal a las curvas de nivel. 1 65. 625 7i 24 j 67. 69. y 2 10x

x

3

13 13 3i

y 3

3 2 cos 2x y 13. 2 x y 15. 2 17. 6 19. 8 5 21. 3i 10j 23. 4i j 25. 6i 10j 27. 3 2 29. 2 5 5 31. 2 x y i xj ; 2 2 33. tan yi x sec2 yj, 17 35. e x yi j ; 26 x i yj zk ,1 37. 39. yz yzi 2xzj 2xyk ; 33 x2 y 2 z2 z 41. (3, 2, 1) 6

A-41


1

5 2 12 b) 5 c) 11 10 60 43. a) 5 d) 45. 13 6 47. a) Las respuestas varían. Ejemplo: 4i j 2 1 2 1 b) 5i 10 j c) 5 i 10 j En dirección opuesta al gradiente z 49. a)

18

00

1671

B 1994

x y

A

00

18

b) Du f 4,

3

8 cos

6 sen

71. a)

Du f

z 500

12 8 4

π

−4

θ

2π

−8

6

x

6

y

−12


2.21, 5.36 Direcciones en las cuales no hay cambio en f 0.64, 3.79 d) Direcciones de mayor tasa de cambio en f e) 10; magnitud de la mayor razón de cambio

c)

f)

y 6 4 2 −6 −4

−2

2

4

6

x

−4

b) El calor no cambia en las direcciones perpendiculares al gradiente: ± i 6j . c) El aumento es mayor en la dirección del gradiente: 3i 12 j. 73. Verdadero 75. Verdadero 1 2 e x cos y C 77. f x, y, z 2z 79. a) Demostración b) Demostración z c)

−6

3


Ortogonal a la curva de nivel 51. 2i 3j 53. 3i j 257 257 16i j c) y 16x 22 55. a) 16 i j b) y d)

−2

−1 2

y

2

x

Sección 13.7 −15 −10 −5

−5

−10


5

10

15

x

(página 951)

1. La superficie de nivel se puede escribir como 3x 5y 3z 15, que es la ecuación de un plano en el espacio. 3. La superficie de nivel se puede escribir como 4x 2 9y2 4z2 0, que es la ecuación de un cono elíptico en el espacio que se encuentra en el eje z.

3/12/09 20:38:17


A-42 Soluciones de los ejercicios impares 5. 9. 13. 17. 21. 25. 29. 33.

37.

39.

41. 43. 45. 47. 55. 59. 61. 63. 65. 67.

1 13

3i 4j 12k 7. 6 6 i j 2k 1 11. 13 4i 3j 12k 145 145 12i k 3 3 i j k 113 113 i 6 3j 2k 15. 4x 2y z 2 19. 3x 4y 5z 0 2x 2y z 2 23. 2x 3y 3z 6 27. x 4y 2 z 18 3x 4y 25z 25 1 ln 5 31. x y z 9 6x 3y 2z 11 x 3 y 3 z 3 35. 6x 4y z 5 2x 4y z 14 x 1 y 2 z 4 x 3 y 2 z 5 2 4 1 6 4 1 10x 5y 2z 30 x 1 y 2 z 5 10 5 2 x y 2z 2 x 1 y 1 z 4 1 1 2 1 x 1 y 1 z 1 a) b) , no son ortogonales 1 1 1 2 16 x 3 y 3 z 4 a) b) , no son ortogonales 4 4 3 25 x 3 y 1 z 2 a) b) 0, son ortogonales 1 5 4 49. 77.4 51. 0, 3, 12 53. 2, 2, 4 86.0 57. Demostración 0, 0, 0 a) Demostración b) Demostración 2, 1, 1 o 2, 1, 1 Fy x0, y0, z0 y y0 Fx x0, y0, z0 x x0 Fz x0, y0, z0 z z0 0 Las respuestas varían. a) Recta: x 1, y 1, z 1 t Plano: z 1 6 4 b) Recta: x 1, y 2 25 t, z t 5 Plano: 6y 25z 32 0 z z c) 1

1

69. a) x y z

y

−1

1 t 2 2t 4 48.2

−1

z

(1, 2, 4)

6 8


1

1

1

0

0.1

0.9048

0.9000

0.9050

0.2

0.1

1.1052

1.1000

1.1050

0.2

0.5

0.7408

0.7000

0.7450

1

0.5

1.6487

1.5000

1.6250

y

77. Demostración

f z

P2 P1

4

−2

x

3

−2 1 −2

2 y

−4

Sección 13.8

8

x

0

e)

y

b)

1

0

2 2

x

z2 c2

Fx x, y, z Fy x, y, z Fz x, y, z 2y0 2z 0 2x0 Plano: 2 x x0 y y0 z z0 0 2 a b c2 x 0 x y0 y z 0 z 1 a2 b2 c2 73. F x, y, z a 2 x 2 b 2 y 2 z2 2a2x Fx x, y, z 2b2 y Fy x, y, z 2z Fz x, y, z Plano: 2a 2x 0 x x0 2b 2 y0 y y0 2z 0 z z 0 0 2 2 a x0 x b y 0 y z 0 z 0 Por lo tanto, el plano pasa por el origen. 75. a) P1 x, y 1 x y b) P2 x, y 1 x y 12 x 2 xy 12 y 2 c) Si x 0, P2 0, y 1 y 12 y 2. Éste es el polinomio de Taylor de segundo grado para e y. Si y 0, P2 x, 0 1 x 12 x 2. Éste es el polinomio de Taylor de segundo grado para e x. d) y x P1 x, y P2 x, y f x, y

−2

2

3

2 x

x2 y2 a2 b2 2x a 2 2y b2 2z c2

71. F x, y, z

A135

1. 5. 7. 9. 11. 13. 15.

(página 960)

Mínimo relativo: Mínimo relativo: Mínimo relativo: Máximo relativo: Mínimo relativo: Mínimo relativo: Máximo relativo:

1, 3, 0 1, 3, 4 1, 1, 11 5, 1, 2 3, 4, 5 0, 0, 0 0, 0, 4

3. Mínimo relativo: 0, 0, 1

25/2/10 17:34:22


A136 17.

19.

z

z

4

6 5

−4 4

−4

y

−4

4

x

Máximo relativo: 1, 0, 2 Mínimo relativo: 1, 0, 2 21. 23. 27. 29.

−4

5

x

A-43


4

y

Mínimo relativo: 0, 0, 0 Máximos relativos: 0, ± 1, 4 Puntos silla: ± 1, 0, 1

Máximo relativo: 40, 40, 3 200 Puntos silla: 0, 0, 0 25. Puntos silla: 1, 1, 1 No hay números críticos. z nunca es negativo. Mínimo: z 0 cuando x y 0.

43. Mínimo relativo: 0, 3, 1 45. Máximo absoluto: 4, 0, 21 Mínimo absoluto: 4, 2, 11 47. Máximo absoluto: 0, 1, 10 Mínimo absoluto: 1, 2, 5 49. Máximos absolutos: ± 2, 4, 28 Mínimo absoluto: 0, 1, 2 51. Máximos absolutos: 2, 1, 9 , 2, 1, 9 Mínimos absolutos: x, x, 0 , x 1 53. Máximo absoluto: 1, 1, 1 Mínimo absoluto: 0, 0, 0 55. El punto A es un punto silla. 57. Las respuestas varían. 59. Las respuestas varían. Ejemplo de respuesta: Ejemplo de respuesta: z

z

z

7 6

75

60

60

40

45 30

x

3 3

x

2

2

Punto silla (0, 0, 0) −2

39. a) 1, a , b, c) 1, a , b,

b) Mínimos absolutos: 1, a, 0 , b, d) z

4 4

6

6

x

Mínimo absoluto (b, −4, 0)

41. a) d)

4

4

2

y

−2 −4

Mínimo absoluto (1, a, 0)

b) Mínimo absoluto: 0, 0, 0

0, 0

z

c)

0, 0

4, 0

y

Punto silla 1 x y en el punto 0, 0, 1 . x2 y2 (ver ejemplo 4 de la página 958).

(página 966)

1. 3 3. 7 5. x y z 3 9. 9 pies 9 pies 8.25 pies; $26.73 11. Sea a b c k. V 4 abc 3 43 ab k a b

−2

3 −3

Sección 13.9

−2

1 2

6

y

No hay extremos 61. Falso. Sea f x, y 63. Falso. Sea f x, y

2

y

x

y

31. Información insuficiente. 33. Punto silla. 35. 4 < fxy 3, 7 < 4 37. a) 0, 0 b) Punto silla. 0, 0, 0 c) 0, 0 z d)

x

2

Va

4 3

kb

2ab

Vb

4 3

ka

a2

7. 10, 10, 10

4 3

b2

0 kb

2ab

2ab

0 kb

a2

kab

a2b

b2

0

2ab

0

ab2

Así, a b y b k 3. Por tanto, a b c k 3. 13. Sean x, y y z la longitud, ancho y altura, respectivamente, y sea V0 el volumen dado. Entonces V0 xyz y z V0 xy. El área de la superficie es S 2xy 2yz 2xz 2 xy V0 x V0 y . Sx 2 y V0 x2 0 x 2 y V0 0 2 Sy 2 x V0 y 0 xy 2 V0 0 Así, x 3 V0, y 3 V0, y z 3 V0. 15. x 1 3; x 2 6 17. Demostración 19. x 2 2 0.707 km y 3 2 2 3 6 1.284 km 21. a) S x2 y 2 x 22 y 2 x 4 y 22

2

2

S

La superficie tiene un mínimo.

24

6

20

6

x


4

2

2

4

Mínimo absoluto (0, 0, 0)

6

4

y 8 x

6

4

2

2

4

6

8

y

3/12/09 20:38:22

A-44



x 2 22 y

x

b) Sx

x2

y2 x 42

x

x

x2

2

2

y

y2 x y 2 42 y 2 1 2 j 2 10

−1

y 2 22 y

2

37 43 x

7 43

2

2

175 148 x

31. y

(5, 0) (8, − 4)

(4, 2) 10

−6

18

(10, − 5)

y = − 175 x + 945 148 148

c) 1.6

80 50

35. y 14x 19 41.4 bushels por acre 1

i n

a

1

i n

a i

39. y

1

n

xi4

b

xi3

b

xi2

1

i n

1

i n

b

1

i

3 2 7x

6 5x

n

xi3

c

xi2

c

xi

1

i n i

1

n

xi2

n

xi n

cn i

26 35

i

1

xi2 yi

1

i

1

xi yi

41. y

x2

x 14

(2, 5) (3, 6)

(1, 2) (0, 1)

(−2, 0)

6

−5

3.

0.22x 2

9.66x

y 4

12

(2, 2) (0, 0)

Curvas de nivel

8 6

x −4

4

4

Restricción 6

4

8

10

−4

12

Curvas de nivel

f 5, 5 25 8 f 2, 2 5. f 1, 2 5 7. f 25, 50 2 600 1 1 1 1 9. f 1, 1 2 11. f 3, 3, 3 27 13. f 3, 3, 3 3 5 15. Máximos: f 2 2, 2 2 2 5 f 2 2, 2 2 2 1 Mínimos: f 2 2, 2 2 2 1 f 2 2, 2 2 2 17. f 8, 16, 8 19. 2 2 21. 3 2 23. 11 2 1024 25. 0.188 27. 3 29. 4, 0, 4 31. Los problemas de optimización que tienen restricciones sobre los valores que pueden ser usados para producir las soluciones óptimas se conocen como problemas de optimización restringidos. 33. 3 35. x y z 3 37. 9 pies 9 pies 8.25 pies; $26.73 39. a b c k 3 41. Demostración 43. 2 3a 3 2 3b 3 2 3c 3 45. 3 360 3 360 43 3 360 pies 3

7

3

v0 49. Demostración 2 226 869

1 8

3 2

1.79 α

3

3

β

Los valores máximos ocurren cuando


Restricción

10

−2

−2

43. a) y

(página 976)

y

v0 y h 2 2 51. P 15 625 18, 3 125 53. x 191.3 y 688.7 Costo $55 095.60 55. a) g 3, 3, 3 γ b)

(4, 12)

−9

1.

47. r

yi

8

(−1, 0)

Sección 13.10

2

84

0

n

24

47. Demostración

945 148

(4, 3) −4

0.1499h

−2,000

2

−1

37. a

9.3018 b) P 10,957.7e d) Demostración

x

(5, 5)

33. a) y 1.6x b) 250

0.1499h

−2

(0, 6)

(3, 4) (1, 1) (0, 0)

45. a) ln P 14,000 c)

8

7 y = 37 x + 43 43 7

−2

14 −20

x 1 c) i 2 186.0 0.05, 0.90 d) t 1.344; x2, y2 e) x4, y4 0.06, 0.45 ; S 7.266 f) S x, y da la dirección de la máxima tasa de decrecimiento de S. Usar S x, y para encontrar un máximo. 23. Expresar la ecuación a maximizar o minimizar como una función de dos variables. Tomar las derivadas parciales e igualarlas a cero o indefinido para obtener los puntos críticos. Utilizar el criterio de las segundas derivadas parciales para extremos relativos utilizando los puntos críticos. Verificar los puntos frontera. 25. a) y 34 x 43 b) 16 27. a) y 2x 4 b) 2 29. y

120

2

4

y

Sy

b) 2

A137

.

3/12/09 20:38:24

A138


Ejercicios de repaso para el capítulo 13 (página 978) 1.

A-45


25. Las respuestas varían. Ejemplo: z

z

3

2

−2 2

y

3

x

−1

−2

y

3 3

3. a)

x

z 5 4

−2

1

2

y

2

x

b) g es una traslación vertical de f dos unidades hacia arriba. c) g es una traslación horizontal de f dos unidades hacia la derecha. z z d) 5

5

4

4

z = f (1, y)

z = f (x, 1) 2

2

x

y

2

2

x

y

5.

7.

y 2

y 4

c = 10

4

x

−4

−1

Vector normal unitario

2

1

2

65 8

6

c = 12

c=1 −2

c = −12 c = −2 c=2

6 27. fxx x, y 12y fyy x, y fyx x, y 1 fxy x, y y cos x 29. hxx x, y x sen y hyy x, y hyx x, y cos y sen x hxy x, y 2z y2 2 2 0 31. 2z x 2 2 2 z z 6x 2 y 2y 3 6x 2 y 2y 3 0 33. x2 y2 x 2 y2 3 x2 y2 3 2 x cos xy dy 35. xy cos xy sen xy dx 37. 0.6538 cm, 5.03% 39. ± pulg3 8t 1 4t 2 t 4 41. dw dt 43. w r 4r 2 t 4rt 2 t 3 2r t 2 w t 4r 2 t rt 2 4r 3 2r t 2 2x y y 2z 45. z x z y x 2y z y 2z 2 1 1 47. 50 49. 3 51. 4, 4 , 4 2 53. 2, 0 , 2 8 27 27 i j c) y x 55. a) 54i 16j b) 8 793 793 y d)

1

4

x −6 −4

4

−2

x

6

−4 −2


9.


3 −3 −3

3

3

Recta tangente

57. Plano tangente: 4x Recta normal: x 59. Plano tangente: z Recta normal: x y 61. x 2 1

z

x

−6

−4

y

−3

65. Mínimo relativo: 4, 43, 2


z y

8 1

4t, z

3, z 4 t z 5 4

4

t

63.

36.7

67. Mínimo relativo: 1, 1, 3 z

z

1

11. Límite: 2 13. Límite: 0 Continua excepto en 0, 0 Continua e x cos y e x 15. fx x, y 17. z x x fy x, y e sen y z y e y 2 2 2 2 2 y y x x y 19. gx x, y gy x, y x x 2 y 2 x2 y 2 2 2 yz x 2 y 2 23. ux x, t cne n t cos nx 21. fx x, y, z 2 ut x, t fy x, y, z xz x 2 y 2 cn2e n t sen nx fz x, y, z arctan y x

4y 2 4t, 4 2, y 2 1

20 6 4 3 4

2 4 −2

x

2

2

x −2

(

)

6 −4, 4 , −2

3

−20 −24

y

(1, 1, 3)

y

69. Las curvas de nivel son hipérbolas. El punto crítico (0,0) puede ser un punto silla o un extremo.

3/12/09 20:38:27

A-46

71. 75. 77. 79.



13. a)

x1 94, x2 157 73. f 49.4, 253 13 201.8 a) y 0.004x2 0.07x 19.4 b) 50.6 kg 1 Máximo: f 13, 13, 13 3 x 2 2 0.707 km; y 3 3 0.577 km; z 60 3 2 2 3 6 8.716 km

z

y

k=0 k=1 k=2

b)

y

g(x, y) g(x, y) 1

−1

3

4

x

−2 −1

−4

−4

2 y

32 32

1

2

3

b)

x

4

1 1

k=3

Valores máximo y mínimo: 0 El método de los multiplicadores de Lagrange no se aplica porque g x0, y0 0.

150 5 3 150 3 f xCy1 aax a 1 yCx a 1 a y 1 y ax a Cy1 a 1 a x aC y1 a a 1 a Cx y a 1 a Cx a y1 a f x, y C tx a ty 1 a Ctx a y 1 a tCx a y 1 a tf x, y 2t 2t 16t 2

64t 4

32 2 t arctan 32 2 t

y x

50

16 8 2 t 2 25t 256 2 t 3 1024t2

c) Altura d) dl 0.01, dh 0: dA dl 0, dh 0.01: dA 17 a 19. Demostraciones

a

(página 990)

1. 2x 3. y ln 2y 5. 4x 2 x 4 2 2 2 2 2 7. y 2 ln y 9. x 2(1 e x 11. 3 y x 2e x 2 8 1 1 13. 3 15. 2 17. 2 19. 3 21. 1 629 23. 3 25. 4 27. 31. 12 33. Diverge 35. 24 2 29. 2 32 18 37. 16 39. 83 41. 5 43. ab 45. 92 3 y y 47. 49. 2

1

3 3 1

2 1

−2

x

−1

1

4

2

3

4

4

51.

625

4 y2

2

f x, y dy dx 0

2

−1

x 1

16t 2 50

25 2 800 2 t

0.01 0.06

Capítulo 14 Sección 14.1

4 y2

0

x

53.

y

f x, y dx dy

y 4

8

3

6 2

4

4

es máximo cuando t 0.98 segundos. No; el proyectil alcanza su máxima altura cuando t 1.41 segundos.


1 1

6 cm

2

−5

e)

Mínimos: ± 1, 0, e Máximos: 0, ± 1, 2e Puntos silla: 0, 0, 0 < 0 Mínimos: ± 1, 0, e Máximos: 0, ± 1, e Puntos silla: 0, 0, 0

1 cm

No; la razón de cambio de es mayor cuando el proyectil está más cerca de la cámara. 0

−1

1 cm

3

arctan

d c) dt d) 30

−1

−3

b) f tx, ty

b)

Mínimo: 0, 0, 0 Máximos: 0, ± 1, 2e 1 Puntos silla: ± 1, 0, e 1 c) > 0 Mínimo: 0, 0, 0 Máximos: 0, ± 1, e 1 Puntos silla: ± 1, 0, e 1 6 cm 15. a)

1

−3

Valor máximo: 2 2

11. a) x y

x

x

y

2

k=0 k=1 k=2

−2

k=3

7. 2 3 150 f 9. a) x x

1

y

2

2 1

−1

1

2

1. a) 12 unidades cuadradas b) Demostración c) Demostración 3. a) y0 z 0 x x0 x0 z 0 y y0 x0 y0 z z 0 0 b) x0 y0 z 0 1 ⇒ z0 1 x0 y0 Entonces el plano tangente es 1 1 1 y0 x x0 x0 y y0 x0 y0 z 0. x0 y0 x0 y0 x0 y0 3 Intersecciones: 3x0, 0, 0 , 0, 3y0, 0 , 0, 0, x0 y0 V 13 bh 92 5. a)

z

b)

1

SP Solución de problemas (página 981)

A139

1

2

ln 10 0

2

10 ex

3

x

−2

1

−1

1

x

y

f x, y dy dx 0

2

f x, y dx dy y

3/12/09 20:38:31

55.

69.

y

3

1

2

2

0

dx dy

0

0

y

3

1

dy dx

2

A-47



A140

2

2

0

1

1

x

x

1

2

57.

1

3

y

1

2

3

2 2

4e y dy dx 0

1

71.

1

53.598

y

x

−1

1

1

1 y2

1

1 y2

0

59.

e4

2x

1 x2

1

dx dy

dy dx

2

1 0

x

y

1

3

1

2

1 1 2

sen x2 dx dy 0

1

1

2

3

2

4

x

4

dy dx 0

1 664

2

x

4

dy dx

0

2

y

73. 105 77. a)

x

4

−1

61.

1

0

2

y

x = y3

4

(8, 2)

2

y x

y 2

2

2

1

1

dx dy 0

1

0

b)

1

8

x

y

2

x= 3 y 3

1

y

x = y2

2

y2

0

1

dx dy

1 0

x x3

dy dx

5 12

3

x

x

1

2

65. La primera integral surge utilizando rectángulos representativos verticales. Las dos segundas surgen utilizando rectángulos representativos horizontales. Valor de las integrales: 15 625 24 67. y

8

x2y

xy 2 dy dx

79. 20.5648 81. 15 2 83. Una integral iterada es una integral de una función de varias variables. Se integra con respecto a una variable mientras las otras variables se mantienen constantes. 85. Si los cuatro límites de integración son constantes, la región de integración es rectangular. 87. Verdadero

(página 1000)

1. 24 (la aproximación es exacta) 3. Aproximación: 52; Exacto: 160 5. 400; 272 3 7. y 9. y

2

2

x 1

2

0

x

y3 dy dx

3 4

2

26 9

2 x

1

8

1

(3, 6)

6

1 3

c) 67 520 693

x 32

Sección 14.2

(1, 1)

6

2

0 1

4

x = 4 2y

−2

2y

dy dx x 2

0

63.

0.230

4

y

dx dy

0

75. ln 5

cos 1

2

x

3

2

4

6

36

x

1


2

3

3/12/09 20:38:32

A-48



3

11.

5

13.

y

xy dy dx

225 4

xy dx dy

225 4

0 0 5 3

a

−a

0

x

a

0

57.

y

2

y = cos x 1

π 2

−a

0

1 2

2x

y

15.

x

1 x 2 y

2

y

4

y

2 1 1 x 1 4 x2

y2

17. 4

x 4

4

y

y 25

6 5 25

x dx dy

1

0 4y 3 4 3x 4

5 4

25. 12 x 1 xy dy dx 8 0

1

0

1 0

41. 2 43. 4 45.

4 x2 0 2

1

x

0 2

29. 1

31. 32 2 4 32 x 2 dy dx 3 0

Sección 14.3

x2

y2 dy dx

y2 dy dx

2

2 2y 1

0

47. 81 2 y 53.

2

x2

4y

49. 1.2315

x2

y2 dx dy. 91.

9

0.82736

(página 1009)

π 2

0 2 2y 1

1

1. Rectangular 3. Polar 5. La región R es un medio círculo de radio 8. Se puede describir en coordenadas polares como r, : 0 r 8, 0 . R 7. La región R es una cardioide con a b 3. Se puede describir en coordenadas polares como r, : 0 r 3 3 sen , 0 2 . R 9. 11. 0 4

16 3

x2

1

0

87. 12 1 e 89. R: x 2 y 2 93. Problema Putnam A2, 1989

3

2

2x

1 y2

8 0

2 3

y dy dx

x 1

0 0 2 4 x2

2 0

0

2

3 8

35.

x 2 dy dx

1

0

27.

x

37. 2

25

0

23. 4

33.

39.

x dy dx

0

85. Falso. V

x2

25

x dy dx 0

dx dy

y2

19.

21. 4

y2

1 2 2 3

sen2 x dx dy

0

59. 2 61. 83 63. e 1 2 65. 25 645.24 67. Ver la definición de integral doble en la página 994. La integral doble de una función f x, y 0 sobre la región de integración da el volumen de esa región. 69. a) La caída de nieve total en el país R b) El promedio de caída de nieve en el país R 71. No; 6 es el valor más grande posible. 73. Demostración; 51 7 75. Demostración; 27 77. 2 500 m3 79. a) 1.784 b) 1.788 81. a) 11.057 b) 11.041 83. d

1 5 ln 2 2

6 5

2y dx dy 3 3

x2

y 2

2

2y dy dx 0 4

y

dx dy

arccos y

0

2

x

π

sen x 1

1 5 ln 2 2

dy dx

2

A141

π 2

2y2 dx dy

51. Demostración 1

2

0

4

0

y = 2x

1

13. 5 5

1 2

15.

6

π 2 1 2

1

2

3

32

π 2

x

1

1 2

x2

e 0

9 8

1

dx dy

e

1 4

0.221

y 2

55.

y

x2 + y2 = 4

3

2 1 −3

−1

−1

1

3

x

2

4 x2 4 x2

1

4

y2 dy dx

64 3

2

3

0 1

17. a3 3 4

19. 4 2

27.

2

r 2 dr d 0

0

21. 243

10

23.

2 3

2

25.

0

2 sen 1

4 2 3

−3


3/12/09 20:38:34


A142

2 0 4 0

r 2 cos

sen

dr d

r dr d

3 2 64

33.

0 2

31. 37. 64 9 3 43. 9 49.

1 8

35.

250 3

5. a) c) 7. a) c)

2

41. 1.2858

9. a)

2

29.

1

39. 2 4 2 47.

4 45. 3

16 3

3

2

π 2


m ka2, a 2, a 2 b) m ka3 2, a 2, 2a 3 m ka3 2, 2a 3, a 2 m ka2 2, a 3, 2a 3 b) m ka3 3, 3a 8, 3a 4 m ka3 6, a 2, 3a 4 a a a 2a b) 5, 5, 2 2 2 3 2 a2 15a 75 a , 3 a 10 2 13. m 30k, 14 5, 4 5 k 4, 2 3, 8 15 1 e 1 m ke 1, , e 1 4 k 2 e2 1 4 e3 1 m e 1, , 4 2 e2 1 9 e2 1 2kL L 19. m 256k 15, 0, 16 7 , , 2 8 k a 2 4 2a 4a 2 2 , , 8 3 3 4 k e 13 8 e6 7 1 5e 4 , 4 , 8 e 5 27 e6 5e2

c)

π 2

51.

11. m

r = 3 cos θ

r = 2 cos θ

15. a) 0

3

0

1

r=1

b)

r = 1 + cos θ

17. m

3 2

3

21. m π 2

53.

r = 4 sen 3θ

1

3

4

23. m

4 3

2 3

0

r=2

55. Sea R una región acotada por las gráficas de r g1 y r g2 y las rectas a y b. Al utilizar coordenadas polares para evaluar una integral doble sobre R, R puede ser particionada en pequeños sectores polares. 57. Las regiones r-simples tienen límites fijos para y límites variables para r. Las regiones -simples tienen límites variables para y límites fijos para r. 3

9 x2

59. a)

f x, y dy dx

9 x2

3 2

3

f r cos , r sen

b) 0

4

y

f dx dy 2

y 2

3x 3 2 3 4 csc

c)

3

3x

4

4

f dy dx 2

f dy dx 4

x

3 x

f r dr d 4

2 csc

r22

75. A

2

Sección 14.4 1. m

4

f dy dx 2

4


3. m

r12 2

45.

6 2 dy dx

kx x 0

0

a2 x 2

a 0

ka

y y

42 752k 315 a 2 dy dx

ka 5

0

7 16

17 15

47. Ver definiciones en la página 1014. 49. Las respuestas varían. 51. L 3 53. L 2 55. Demostración

Sección 14.5

(página 1025)

r1

r2 2

1. 24 3. 12 5. 2 4 17 ln 4 17 4 7. 27 9. 2 1 11. 2 31 31 8 13. 2 a a 15. 48 14 17. 20 a2 b2 1 x 27 5 5 2 19. 5 4x dy dx 1.3183 12 0 0 3

r2

r1

r r

9 x2

21.

9 x2

3

(página 1018) 1 8

x

1

3

b)

3, 81 3 40 , 0 29. x a 2 31. x a 2 3b 3 3h 3 y a 2 y a 2 35. Ix 32k 3 kab 4 4 kb 2a 3 6 Iy 16k 3 3kab4 2ka3b2 12 I0 16k 3a 3 x 2 3 3 2b 2 y 2 6 3 39. Ix 3k 56 16k 512k 5 Iy k 18 592k 5 I0 55k 504 4 15 5 30 9 x 6 2 y 70 14 b 2 b2 x 2 k b 41. 2k x a 2 dy dx b2 4a 2 4 b 0 k

43.

c) Escoger la integral en el apartado b) porque los límites de integración son menos complicados. 61. Insertar un factor de r; sector de un círculo 63. 56.051 65. c 67. Falso. Sea f r, r 1 y sea R un sector donde 0 r 6 y 0 . 69. a) 2 (b) 2 71. 486 788 73. a)

25. m 27. x y 33. Ix Iy I0 x y 37. Ix Iy I0 x y

4

r dr d

0

A-49

6 1

37 37

4x 2

4y 2 dy dx

1

117.3187

1

23.

1 0

1

4x 2

4y 2 dy dx

1.8616

25. e

0

3/12/09 20:38:37

A-50



1

27. 2.0035

1

2

4 x2

31.

9 x2

1 1

2

y

9 y2

x 2 dy dx

1

1

33.

2x

e

e2xy x2

dy dx

y2 dy dx

2

fx x, y

fy x, y

2

11. 2.44167

5.

15 2

1

1 e 5

19. 27.

6 y2

6

4

17. V

5

x

x

y

40 3

9.

0

324 5

0

256 15

25. 10

z

1

1

0 1

1 x

1 1

43.

z

1 0

1

z

2

y

3

4 x

4z 3

12

4z

3x 6

dy dx dz 0

0

31.

0

41. m z

8k

3 2

m

b

b

0

b

k

xy dz dy dx

Myz

k

Mxz

k

Mxy

k

x 2 y dz dy dx 0 0 0 b b b

xy 2 dz dy dx 0 0 0 b b b

xyz dz dy dx 0

0

0

x será más grande que 2, mientras que y y z no cambian. x y z no cambian, mientras que y será más grande que 0. 3 5 51. 0, 0, 2 53. 5, 6, 4 0, 0, 3h 4 a) Ix 2ka 5 3 b) Ix ka 8 8 Iy 2ka 5 3 Iy ka 8 8 Iz 2ka 5 3 Iz ka 8 8 57. a) Ix 256k b) Ix 2 048 k 3 Iy 512k 3 Iy 1 024 k 3 Iz 2 048 k 3 Iz 256k 1

b) x 1

x

z

1

y

1 y2

1

1

dz dy dx

c) Iz

x

x2

y2

x2

y2

z 2 dz dy dx

0

1

4 x2

2

63. a) m

1


0

128k 3 1

1

0 0

x

0

59. Demostración 61.

z

0

1

x

45. 47. 49. 55.

3

x

1

1 dy dz dx,

0 y

x 1

0

39. m x

x

1

1

dz dy dx

1

12

1 dy dx dz,

2z z2 0 1

z

1 x

1 dy dz dx

y

−1

3

1

0 1

dy dz dx 0

29.

1

1 dy dx dz

0

1

dx dz dy,

0

0 0 0 b b b

1

0

0

0

dz dy dx

23.

1 z

dz dx dy

16 x2 x2 y2 2

21. 4 a3 3

2z z

0

xyz dx dz dy

9 y2

1 y2

1 y

xyz dy dx dz,

9 x2 9 y2

0

3

0

2

3 4

xyz dx dy dz,

0

0

3

0 3

xyz dz dx dy,

9 y2 0 9 x2

xyz dy dz dx,

1

4

9 y2

3 4

dx dy dz, 0

0

6 x2 y2

z

37. 1

6 y2 0 16 x2 80 x2 y2

4

256 15

5

7.

1

3

9 y2 1 y2

3

y

xyz dz dy dx,

9 x2 9 y2

0 3

3 4

0

4

9 x2 0 4 9 x2

0 1

xyz dx dz dy 0

9 x2

3 3

dz dy dx 0

6

xyz dy dx dz, 0 0 0 1 3 1

y

35.

dA.

13. V

15. V

0 0 3

(página 1035)

1 10

3.

xyz dz dx dy,

xyz dx dy dz,

37. No. La gráfica no cambia de tamaño ni de forma, sólo de posición. Por lo anterior, el área de la superficie no crece. 609 cm3 (b) 100 609 cm2 39. 16 41. (a) 812

Sección 14.6

3

xyz dy dz dx,

35. Si f y sus primeras derivadas parciales son continuas sobre una región cerrada R en el plano xy, entonces el área de la superficie dada por z f x, y sobre la región R es 1

1

0 y 0 3 1 x

0 0 0 3 1 1

1

1. 18

1

xyz dz dy dx, 0 0 0 1 3 x

0

R

3

x

33.

4 x2

2 4 10 0

1

29.

A143

4 x2 y2

kz dz dy dx

4 x2 0

2

0, por simetría

y 1 m

2 2 2 2

4 x2

4 x2 y2

4 x2 0 4 x2 4 x2 y2 4 x2 0

kz2 dz dy dx

kz x 2

y 2 dz dy dx

65. Ver “Definición de Integral Triple” en la página 1027 y el teorema 14.4, “Evaluación por integrales iteradas” en la página 1028.

3/12/09 20:38:40

67. a) El sólido B. b) El sólido B tiene el momento de inercia mayor porque es más denso. c) El sólido A llegará primero abajo. Como el sólido B tiene un momento de inercia mayor, tiene una resistencia mayor al movimiento de rotación. 3 13 69. 3 71. 2 2 y 2 2x 2 1; 4 6 45 0.684 73. Q: 3z 16 75. a 2, 3 77. Problema Putnam B1, 1965

Sección 14.7 1. 27 9.

Sección 14.8 1. 9.

1 2

v

(página 1050)

3. 1

5. 1

2v

7. e 2u 11. v 1

(1, 0)

(0, 1)

1

(3, 0) u

2 −1

(1, 0)

(1, −1)

u

1

(3, −1)

−2

(página 1043)

52 45

3.

A-51



A144

5.

7.

8

e4 11.

z

2 3

3

13.

z

1 2x

2

3xy dA

3xy dy dx 2 3 1

R

x

4 3

4 3 2 3

3

1

x

y

2 3

e

9

y

4

4

64 3

x

3

2

2

4

r 2 cos dz dr d 2

0

2

3 arctan 1 2

2

15. Cilíndrica:

a

0

0 4

2

a

a2 r2

2

4k 0

0

sen 2

cos d d d

r 2 cos

dz dr d

r0

0

g1

cos

0

d d d

a sec

h r0 r r0

r 3 dz dr d

ln 8

2

27. 5 a 5

2

1 2x

21. 96

0.9798 29. Uno v

h 2 r cos , r sen h1 r cos , r sen

S x

u

1

b) ab c) ab 33. Ver la “Definición de jacobiano” en la página 1045. 35. u2 v 2 sen 37. uv 39. 41. Problema Putnam A2, 1994

2

35. 16

1. x 3.

x3

x 3 ln x 2 5.

y

y

4

3

y=x+1

y=

9 − x2

2

3

3

2

3mr02 10

0

33. 9

4

2 1

2

1 x

1

2

x

3

1

29 6 3

x 3

7.

1

3y

0

25 x 2

3

25 x 2 4

5

25 y 2

0

x 1 0

4

dx dy

25 y 2

2 x2

4

25 y 2

4

1

0

dy dx

5

25

3 2

dx dy

0

5

11. 4

3

dy dx 0

9.

4

36 3

f r cos , r sen , z r dz dr d

47. a) r constante: cilindro circular recto en torno al eje z. constante: plano paralelo al eje z. z constante: plano paralelo al plano xy. b) constante: esfera. constante: plano paralelo al eje z. constante: cono. 1 49. 2 2a 4 51. Problema Putnam A1, 2006


2

Ejercicios de repaso para el capítulo 14 (página 1052) sen 2

37. k a 4 39. 0, 0, 3r 8 41. k 192 43. Rectangulares a cilíndricas: r 2 x 2 y 2 y x tan z z Cilíndricas a rectangulares: x r cos y r sen z z g2

0

2a cos

19. 4 16 21. 2a 3 9 3 2 r0 h 3 27. 0, 0, h 5 0

31. Demostración

e

cos d d d

a

Esférica: 0

sen 2

0

3

17. 2a 3 9 (3 23. 48k 25.

1 2

R

0

0 cot csc

2

0

y

4 3

19. e 100 25. 9

164 9

3xy dy dx

a 3

0

1

x

4 sec

Esférica:

2

4

b

0 r2 arctan 1 2

0

45.

8 3

1

4

13. Cilíndrica:

29. Iz

2

1 2x

15. 83 17. 36 23. 12 e 4 1 31. a)

1

1

1 2x

3xy dy dx

2

3

dx dy 25 y 2

dx dy

25 y 2

12

dy dx

3

67.36

1

1 4y 2 2

25 arcsen 5 4

1 2 0

1

1 4y

2

2

dx dy

4 3

3/12/09 20:38:42

A-52

5

13.



2

x 1

2

dy dx

2 1

x 3

x 1

2

dy dx

0

y 3

dx dy

1 y2 1

9 2

15. Ambas integraciones son sobre la región común R, como se muestra en la figura. Ambas integrales dan 43 43 2. y

y = 12 x

2

(2, 1)

y = 12

1

8 − x2 x

3

2

Sección 15.1

−1

40 3

3 296 15

11. Si a, k > 0, entonces 1 ka 2 o a 1 k . 13. Las respuestas varían. 15. Entre más grande sea el ángulo entre el plano dado y el plano xy, más grande es el área de la superficie. Así, z2 < z1 < z4 < z3. 17. Los resultados no son los mismos. El teorema de Fubini no es válido porque f no es continua en la región 0 x 1, 0 y 1.

Capítulo 15

R 1

17. 19. 21. 13.67 C 27. Verdadero 29. Verdadero 33. 9 2 35. h 3 3 37. a) r 3 cos 2

23. k 1, 0.070 31. h3 6 ln 2

25. c 1

1. d 2. c 7. 2

(página 1067)

3. e

4. b

5. a 9.

6. f x2 y2

y

2

y

5

1

4

x

−4 −6

−5

5

−4

43. 47. 51. 57. 63.

x

6

−4

39. 41.

A145

b) 9 c) 3 3 16 2 20 20.392 64 936 784 a) m k 4, 32 b) , 17k 30, m 45 55 1 309 , 663 2 3 Ix ka b 6 Iy ka 4b 4 I0 2ka 2b 3 3ka 4b 12 x a 2 y b 3 101 101 1 1 45. 37 37 1 6 6 a) 30 415.74 pies 3 b) 2 081.53 pies2 49. 324 5 2 53. 8 15 55. 32 abc 3 a 2 b 2 c 2 2 3 3 1 59. 3a 8, 3a 8, 3a 8 61. 833k 3 0, 0, 4 1 2 3 2a h 2 3 a) c) 0, 0, a h 3a h b) 0, 0, 3 4 3a h 8 h3

20a 2

3h2

SP Solución de problemas 1. 8 2 7.

9.

z

(3, 3, 6)

2

2x

(0, 6, 0) 6

6

y

x

dy dz dx 0

0


2

x −2 x

2

−1

1

2

1

2

y

4

−2

15.

17.

3

y

z

2 y

4

1

4 −2

−4

x

−1 −1

4

−2

x

−4

19.

21. 2xi

z

4yj

2 1

1 3

4

1

1

2

y

x

5

(3, 3, 0) 3

y2 y

4

6

(0, 0, 0) 3

5.

16x2

2

4

x

13. z

(página 1055)

3. a) a g) Demostraciones

2

11. 3 y

a5

d) a e) f) 4 30 15ah 15 65. El volumen de un toro generado por un círculo de radio 3, con centro en (0, 3, 0) al girar sobre el eje z. 67. 9 69. 5 ln 5 3 ln 3 2 2.751

−5

18

23. 10x 3y i 25. 6yz i 6xz j 6xyk 3x 2y j 2 2 27. 2xye x i e x j k 29. xy x y y ln x y i xy x y x ln x y j 31 a 33. Demostraciones 35. Conservativo porque N x M y. 37. No conservativo porque N x M y. 39. Conservativo: f x, y xy K 41. Conservativo: f x, y x2 y K

x

3/12/09 20:38:43


A146 43. 47. 51. 55. 57. 59. 63. 71.

No conservativo 45. No conservativo Conservativo: f x, y ex cos y K 49. 4i j 3k 2 2 2k 53. 2x x y k cos y z i cos z x j cos x y k 1 2 2 2 Conservativo: f x, y, z K 2 x y z No conserv ativo 61. Conservativo: f x, y, z xz y K 2x 4y 65. cos x sen y 2z 67. 4 69. 0 Ver la “Definición de campo vectorial” en la página 1058. Algunos ejemplos físicos de campos vectoriales son los campos de velocidades, campos gravitacionales y campos de fuerza eléctrica. 73. Ver la “Definición del rotacional de un campo vectorial” en la página 1064. 75. 9x j 2yk 77. z j yk 79. 3z 2x 81. 0 83 a 89. Demostraciones 91. f x, y, z F x, y, z x2 y2 z2 1 ln f ln x 2 y 2 z 2 2 x y z ln f i j k x 2 y2 z2 x 2 y2 z2 x 2 y2 z2 F f2 93.

F x, y, z

fn fn

n

x2

y2

z2

n

1

ti 2

1. r t

3. r t 5. 11. 13. 15.

rt a) C: a) C: a) C:

17. a) C: b)

19 6

t j, ti

2

tj,

0 1

t t

b)

t 3 2t2 i t i 2tj r t t 3 2t 2

F

t2 2 j 2t 2

t3

0

0

dr

C

51. 1 010 53. 190 55. 25 57. 63 59. 11 3 2 6 1 63. 5h 65. 2 67. h 4 2 5 ln 2 5 1 69. 120 25 5 11 71. a) 12 37.70 cm2 b) 12 5 7.54 cm3 z c)

61.

316 3

5 4

−3 y

3

73. Ix 75. a)

a3

Iy

z 3 2 1

3

3

4

y

4

x

b) 9 cm2

28.274 cm2

c) Volumen

3

2

2 9

y2 1

4

0

20 3 b)

9. 5

2

2

1 2 3

2

la orientación es de derecha a izquierda, así que el valor es negativo.


0

dr

49. F t r t Ft

1 2

0 t 1 t i, 23 i t k, 0 t 1 b) 6 i tj k, 0 t 1 8 5 1 4 2 3 795.7 23. 2 27. 1 29. 12 31. 94 k 12 41 41 27 249.49 35. 66 37. 0 39. 10 2 Positivo 43. Cero a) 236 3 ; la orientación es de izquierda a derecha, así que el valor es positivo. 236 3 ;

0

x

19. a) C: r t 21. 25. 33. 41. 45.

F

2t

C

(página 1079)

0 t 3 t i, 3i t 3 j, 3 t 6 9 t i 3j, 6 t 9 12 t j, 9 t 12 7. 3 cos t i 3 sen tj, 0 t 2 rt t i t j, 0 t 1 b) 2 2 rt cos t i sen t j, 0 t 2 rt t i, 0 t 1 b) 1 2 0 t t i, rt 2 ti t 1 j, 1 t 3 t j, 2 t 1

2t i tj 2j r t 2t i

3

y2 z xi yj zk x2 y2 z2

nf n 2F 95. Verdadero 97. Falso. El rotacional de f sólo tiene significado para campos vectoriales, que consideran la dirección.

Sección 15.2

47. F t r t Ft

2 n

x2

n

A-53


27

y2 1 9

y2 9

dy

42.412 cm3

2

77. 1 750 pies-lb 79. Ver la “Definición de integral de línea” y el teorema 15.4, “Evaluación de una integral de línea como integral definida”. 81. z 3, z 1, z 2, z 4; Entre más grande sea la altura de la superficie sobre la curva y x, más grande es el área de la superficie lateral. 1

83. Falso:

t 2 dt.

2

xy ds

0

C

85. Falso: las orientaciones son diferentes.

Sección 15.3 t2 0

0

3. a)

2t 4 dt sen2 cos

2 sen4 cos

sec tan2

sec3

0

d

11 15

3

0 3

b)

11 15

2

b)

12

(página 1090)

1

1. a)

87.

t 2 t

1

d

t 1 dt 2 t

1.317 1.317

3/12/09 20:38:46

A-54 5. 11. 15. 19. 25. 33.

15.

Conservativo 7. No conservativo 9. Conservativo 1 1 a) 1 b) 1 13. a) 0 b) c) 3 2 64 a) 64 b) 0 c) 0 d) 0 17. a) 3 b) 64 3 a) 32 b) 32 21. a) 32 b) 17 23. a) 0 b) 0 6 72 27. 1 29. 0 31. a) 2 b) 2 c) 2 11 35. 30 366 37. 0

z 5 4 3

−2 −3

50

39. a) dr

i

j dt ⇒

i

1 25

0

b) dr

50

t dt

0

(página 1099)

1. 3. 0 5. 19.99 7. 29 9. 56 11. 34 13. 0 1 225 15. 0 17. 12 19. 32 21. 23. 2 25. a2 27. 29. Ver teorema 15.8 en la página 1093. 31. Demostración 1 30

C

I 45.

19 2

37. 3 a 2 2 39. 2 b) 243 2

9 2

El paraboloide se refleja (invertido) en el plano xy. La altura del paraboloide aumenta de 4 a 9. r u, v ui vj vk 1 r u, v uj 13u sen vk, u 0, 0 v 2 o 2 u cos vi 2 xi 4x 9y2 j zk r x, y 25. r u, v 5 cos ui 5 sen uj vk 27. r u, v ui vj u2 k 29. r u, v v cos ui v sen uj 4k, 0 v 3 u u 31. x u, y cos v, z sen v, 0 u 6, 0 v 2 2 2 33. x sen u cos v, y sen u sen v, z u , 0 v 2 0 u 35. x y 2z 0 37. 4y 3z 12 39. 8 2 41. 2 ab 43. ab 2 a 2 1 45. 6 17 17 1 36.177 47. Ver la “Definición de superficie paramétrica” en la página 1102. 49 a 51. Demostraciones z z 53. a) b) 4

3 3 2

4

−6

6 x

N M dA 0; x y C R 2 cuando C es un círculo que contiene al origen. 47 a 49. Demostraciones dr

M dx

Sección 15.5

N dy

4. a

y

x

12

12

y −12

y

4π

−3

13.

z 2π 9 6

2

−4

−2

2

4

1 9


5

5

x

y

El radio del círculo generador que es girado en torno al eje z es b, y su centro está a a unidades del eje de revolución. 55. 400 m2 z 57.

3

3

x

12

−9

−4

2

y

z

d)

9

4 z

z

6

6

x

3

3 2

11.

z

c)

x

z

3 4 5

y

3

5. d 6. c 9. x 2 z2 Cilindro

5

6

−4

(página 1109)

1. e 2. f 3. b 7. y 2z 0 Plano

x

y

3

−6

8 8 35. 15 , 21 41. a) 51

F

2

17. 19. 21. 23.

33. 0, 85

43.

1

−1

−3

x

8 750 pies-lb 41. Ver teorema 15.5, “Teorema fundamental de las integrales de línea” en la página 1084. 43. a) 2 b) 2 c) d) 0 2 45. Sí, porque el trabajo necesario para ir de un punto a otro es independiente de la trayectoria seguida. 47. Falso. Sería verdadero si F fuera conservativo. 49. Verdadero 51. Demostración 53. a) Demostración b) c) d) 2 ; no contradice el teorema 15.7 porque F no es continuo en (0, 0) en la región R encerrada por C. 1 y x y2 x e) arctan i j y 1 x y2 1 x y2

Sección 15.4

−2 2

50

t j dt ⇒ 7

50

3

8 750 pies-lb

175 dt

A147



x 2

y

6

3

6

4

y

x 9

y

2

3 2

13

2 ln 3

13

2 ln 2

3/12/09 20:38:52

A148


15. a) b) 17. a) b)

59. Las respuestas varían. Ejemplo de respuesta: Sea 2 u 5 cos v cos 3 u x 2 u 5 cos v sen 3 u y z 5u 2 u sen v donde y u v .

Sección 15.6

19.

(página 1122)

1. 9. 19. 29. 39.

12 2 3. 2 5. 27 3 8 7. 391 17 1 240 13. 15. 8 17. 3 11.47 11. 364 12 5 3 4 21. 486 23. 3 25. 3 2 27. 20 32 3 31. 0 33. Demostración 35. 2 a3h 37. 64 384 Ver el teorema 15.10, “Cálculo de integral de superficie” en la página 1112. 41. Ver la “Definición de la integral de flujo” en la página 1118; ver el teorema 15.11, “Cálculo de integral de flujo” en la página 1118. z 43. a) b) Si un vector normal a un pun4 to P sobre una superficie se −6 mueve alrededor de la banda −6 de Möbius, éste apuntará en x 6 la dirección opuesta. 6 y

21. 27. 33. 41. 45. 51.

z

d) Construcción e) Una banda con doble vuelta y doble longitud que la banda de Möbius.

4

−2

div F rot F div F rot F

y sen x x cos y xy xz i yz j 1 1 x 2 2xy 2yz z2 i y2 k 2x 2y a) div F 1 x 2 y2 2x 2y b) rot F k x 2 y2 125 a) 3 b) 2 23. 6 25. a) 18 b) 18 9a 2 5 29. 5 3 19 cos 6 13.446 31. 1 4 8 37. 3 39. 3 3 4 2 2 2 35. 36 7.085 6 43. a) 15 b) 15 c) 15 1 47. 0 49. 0 z 6

−4 2

2

4

53. a)

y

4

−2

x

−4

c)

z

z

b) 3

3

−4

−4 −4

−4 −3

2 4

4

2

x

A-55


y

y

4

−2

x

3

2

2

−1

3

4

y

4

y

−2

x

−3

−3

−4

Sección 15.7

z

c)

Círculo

(página 1130)

2 −4 −3

1. a 4 3. 18 5. 7. 3a 4 9. 0 11. 108 13. 0 15. 2 304 17. 1 024 3 19. 0 21. Ver teorema 15.12, “El teorema de la divergencia” en la página 1124. 23 a 29. Demostraciones

Sección 15.8

(página 1137)

Ejercicios de repaso para el capítulo 15 1.

x

3. 4x

5

yi

(página 1138) xj

2zk

3

2 4

5. Conservativo: f x, y

y

−3

2 −2

−4

−4

3

4

y

4

3

x

−3

−2 2

3

−2 −3

14.436

55.

1

−4 −3

f)

Círculo 4.269

z 2

−3

−3 3 x

0 57. 66

3

y

−2

59. 2a 6 5

61. Demostración

(página 1141) 3 27 13 15

c)

32

2

;

5 2

11. Demostración y x

K

1 2 2 1 3 1 3 K 7. Conservativo: f x, y 2x y 3x 3y x yz 9. No conservativo 11. Conservativo: f x, y, z 13. a) div F 2x 2xy x2 b) rot F 2xz j y2 k


−2

1. a) 25 2 6 k b) 25 2 6 k 3. Ix 13 3 27 32 2 ; Iy 13 Iz 18 13 5. Demostración 7. 3a2 9. a) 1 b)

2

3

3

3


z

x

4 x

e)

1. xz ez i yz 1 j 2k 3. 2 1 1 x2 j 8xk 2 2 2 2 5. z x 2e y z i yzj 2ye x y k 7. 18 9. 0 8 11. 12 13. 2 15. 0 17. 3 19. a 5 4 21. 0 23. Ver el teorema 15.13, “El teorema de Stokes” en la página 1132. 25 a 27. Demostraciones 29. Problema Putnam A5, 1987 2

z

d)

3

K

13. M 3mxy x 2 y2 5 2 M y 3mx x 2 4y2 x 2 y2 7 2 N m 2y2 x2 x2 y2 5 2 N x 3mx x 2 4y2 x 2 y2 7 2 Por lo tanto, N x M y y F es conservativo.

3/12/09 20:38:58


3/12/09 20:38:58

Índice analítico A

B Banda de Möbius, 1111 Bernoulli, James, 717, 731 Bernoulli, John, 717 Bruja de Agnesi, 841

C Cálculo, 696, 721 Cálculo en el espacio, 812 Cálculo vectorial, 812 Campo cuadrático inverso, 1059 Campo de fuerzas central, 1059 Campo escalar, 889 Campos de fuerzas eléctricas, 1059 Campos de velocidad, 1059 Campos gravitatorios, 1059 Campos vectoriales conservativos, 1061, 1062, 1065, 1083, 1086 Campo vectorial, 1057, 1058, 1060, 1061, 1074 divergencia de un, 1066 rotacional de un, 1064 Campo vectorial continuo, 1058 Cantidades escalares, 764 Caracol con hoyuelo, 737 Caracol con lazo interior, 737 Caracol convexo, 737 Cardioide, 736, 737, 744 Centro de masa, 1012, 1014, 1032

D D’Alembert, Jean Le Rond, 908 De Laplace, Pierre Simon, 1038

Derivación, 929 Derivación de funciones vectoriales, 843 Derivada de una función vectorial, 842, 845 propiedades de la, 844 Derivada direccional, 885, 933-936, 941 Derivada parcial, 885, 908, 909, 911, 927 Derivada parcial de orden superior, 912 Derivada parcial implícita, 885 Diferenciabilidad, 885, 919, 921 Diferenciación parcial implícita, 829 Diferenciales, 918, 920 Diferencia total, 918 Directriz, 697,750 Directriz horizontal abajo del polo, 751 Directriz horizontal arriba del polo, 751 Directriz vertical, 751 Directriz vertical a la derecha del polo, 751 Directriz vertical a la izquierda del polo, 751 Disco, 898 abierto, 898 cerrado, 898 Discontinuidad inevitable o no removible, 902 Distancia de un punto a una recta en el espacio, 806 Distancia de un punto a un plano, 805 Distancia entre dos planos paralelos, 806 Divergencia, 1066 Dominio de una función, 835, 886, 887, 888

ÍNDICE

Aceleración, 850, 851, 875, 876 componente centrípeta de la, 863 componente normal de la, 862-864, 875 componente tangencial de la, 862-864, 875 Análisis vectorial, 1057 Ángulo de incidencia, 698 Ángulo de inclinación de un plano, 885, 949 Ángulo de reflexión, 698 Ángulo entre dos vectores, 784 Apolonio, 696 Arco de una cicloide, 724 Área, 695, 983, 984 Área de una región plana, 986 Área de una región polar, 741, 742 Área de una superficie, 1020, 1021, 1023 Área de una superficie de revolución, 721, 726, 746 Área de un sector circular, 741 Área en coordenadas polares, 741 Asteroide Apolo, 754 Axiomas del espacio vectorial, 768

Cicloide, 716, 717, 724 Cicloide alargada, 723 Cilindro, 812, 822 Cilindro parabólico, 836 Cometa Hale-Bopp, 757 Cometa Halley, 705, 753 Componentes vectoriales, 787 Concoide, 739 Condiciones equivalentes, 1088 Cónica, 695, 696, 699, 705, 737, 752 gráfica de la, 752 Cónica degenerada, 696 Cono, 822 Cono elíptico, 763, 813, 815 Continuidad, 885, 921 Continuidad de una función compuesta, 903 Continuidad de una función de dos variables, 902 Continuidad de una función de tres variables, 903 Continuidad de una función vectorial, 837 Continuidad removible o evitable, 902 Coordenadas cilíndricas, 763, 822, 824, 983, 1038 Coordenadas esféricas, 763, 822, 824, 983, 1038, 1041 Coordenadas polares, 695, 731, 732, 744, 1004, 1007, 1022 Coordenadas rectangulares, 731, 732, 741 curvatura en, 874 Copérnico, Nicolás, 699 Cosenos directores, 783, 786 Crick, Francis, 835 Cuaterniones, 766 Curva, 695, 711, 723, 850, 852, 1076 Curva directriz, 812 Curva generadora, 812, 818 Curva polar, 735 Curva rosa, 734, 736, 737 Curvas de nivel, 885, 889, 940, 970 Curvas en el espacio, 833, 834, 869 Curvas en el plano, 833 Curva serpentina, 759 Curvas planas, 711, 834, 869 Curva suave, 716, 1069 Curvatura, 875, 876 centro de, 874 círculo de, 874 radio de, 874 Curvatura de una curva, 833, 869, 872 Cúspides, 844

E Ecuación de Laplace, 978 Ecuación de una recta normal, 885 Ecuación de una recta tangente, 949 Ecuación de un cilindro, 812 Ecuación de un plano tangente, 885 Ecuaciones de la elipse, 696 Ecuaciones de la hipérbola, 696 Ecuaciones de la parábola, 695, 696 Ecuaciones de planos en el espacio, 763 Ecuaciones de rectas en el espacio, 763 Ecuaciones de superficies cilíndricas, 763 Ecuaciones de superficies cuadráticas, 763 Ecuaciones paramétricas, 695, 711-715, 721, 723, 735, 800, 801, 834, 836, 1102 Ecuaciones polares de las cónicas, 750, 751 Ecuaciones simétricas, 800, 801 Ecuación estándar o canónica de la circunferencia, 696 Ecuación estándar o canónica de la elipse, 699 Ecuación estándar o canónica de la esfera, 778 Ecuación estándar o canónica de la hipérbola, 703

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ÍNDICE ANALÍtICo

Ecuación estándar o canónica de la parábola, 697 Ecuación estándar o canónica del plano en el espacio, 801, 802 forma general, 801 Ecuación general de segundo grado, 696 Ecuación polar, 737, 752 Ecuación rectangular, 711, 713-715, 733 Ecuación rectangular en forma polar, 732 Eje polar, 731 Eliminación del parámetro, 713 Elipse, 695, 696, 699, 701, 703, 705, 714, 814-816, 835 área de la, 702 centro de la, 699 eje mayor de la, 699 eje menor de la, 699 excentricidad de la, 701 foco de la, 699 perímetro de la, 701, 702 propiedad de reflexión de la, 701 recta tangente de la, 701 vértices de la, 699 Elipsoide, 763, 813, 814, 888 Elipsoide centrado, 817 Energía, 1089 Energía cinética, 1089 Energía potencial, 1089 Entorno, 898 Epicicloide, 724, 8444 Errores cuadráticos, 964 Esfera, 776, 812 Espacio vectorial, 768 Espiral de Arquímedes, 725, 733, 749 Espiral de Cornu, 761 Espiral hiperbólica, 739 Espiral logarítmica, 749 Estrofoide, 739, 761 Euler, Leonhard, 908 Excentricidad, 750 Explorer 55, 709 Extremos absolutos, 885, 954, 959 Extremos de funciones, 962 Extremos relativos, 885, 954, 955, 956

F Faraday, Michael, 1089 Flujo, 1129 Foco, 697, 699, 703 Forma paramétrica de la derivada, 721 Fórmula de Wallis, 997 Fórmulas para la curvatura, 873 Franjas de Moiré, 917 Fubini, Guido, 996 Fuerza de fricción, 876 Fuerza de rozamiento, 876 Fuerza resultante, 770 Función, 715 Función compuesta, 887


Función continua, 902 Función de densidad, 1012 Función de dos variables, 886 Función de potencial, 1057 Función de posición, 853, 855 Función de producción de Cobb-Douglas, 891, 973 Función de tres variables, 941 Funciones componentes, 834 Funciones vectoriales, 833, 834, 836, 837, 850, 869 Función longitud de arco, 870 Función polinomial, 887, 902 Función racional, 887, 902 Función radio, 818

Integral de línea, 1057, 1070-1074 Integral elíptica, 702 Integrales de flujo, 1118, 1119 Integrales de línea, 1069, 1077, 1078, 1088, 1096, 1097 teorema fundamental de, 1083-1085 Integrales de superficie, 1112-1114, 1116 Integrales dobles, 983, 992-995, 997, 1004, 1047 propiedades de las, 994 Integral iterada, 983, 984, 985, 989, 996 Integral simple, 994 Integrales triples, 983, 1027, 1038, 1041 Intersección, 741 Isobaras, 885, 889 Isotermas, 889

G Galilei, Galileo, 716, 717 Gauss, Carl Friedrich, 1124 Geometría del espacio, 763 Gibbs, Josiah Willard, 793, 1069 Gradiente, 885, 933, 938, 940, 941, 950, 1058, 1065 propiedades del, 937 Gráfica de las ecuaciones paramétricas, 711, 713 Gráfica de una ecuación polar, 695 Gráfica de una elipse, 714 Gráfica de una función de dos variables, 888, 936 Gráfica polar, 695, 732-734, 741, 743 Gráficas polares especiales, 695, 731, 737

H Hamilton, William Rowan, 766 Hélice, 835 Herschel, Caroline, 705 Hipérbola, 695, 696, 703, 705, 814 asíntotas de la, 703, 752 centro de la, 703 eje conjugado, 703 eje transversal de la, 703, 752 excentricidad de la, 704 ramas de la, 704 vértices de la, 703 Hiperboloide, 822 Hiperboloide de dos hojas, 813, 814, 816 Hiperboloide de una hoja, 813, 814 Hoja (o folio) de Descartes, 749 Huygens, Christian, 717 Hypatia, 696

I Igualdad de las derivadas parciales, 913 Incremento, 918 Integración, 988 Integración de una función vectorial, 846 Integración múltiple, 983

J Jacobiano, 983, 1045

K Kepler, Johannes, 699, 702, 753 Kovalevsky, Sonya, 898

L Lagrange, Joseph-Louis, 970 Laplace, Pierre Simon, 1069 Legendre, Adrien-Marie, 965 Leibniz, Gottfried, 717, 908 Lemniscata, 737 Ley de Coulomb, 1059 Ley de Gauss, 1121 Ley de gravitación de Newton, 1059 Leyes de Kepler, 750, 753, 754 L’Hôpital, Guillaume, 717 Límites interiores de integración, 985 Límites exteriores de integración, 985 Líneas de contorno, 889 Líneas equipotenciales, 889 Límite, 898 Límite de una función de dos variables, 899 Límite de una función vectorial, 837 Longitud de arco, 723, 726, 833, 869, 875, 876 Longitud de arco de una curva, 695, 721 Longitud de arco de una curva en el espacio, 869 Longitud de arco de una curva polar, 745 Longitud de arco de una gráfica polar, 695 Longitud de arco en forma paramétrica, 724 Longitud de la cuerda focal, 698 Longitud de un múltiplo escalar, 768 Lugar geométrico, 696

M Mapa topográfico, 889 Masa, 115

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ÍNDICE ANALÍtICo

Máximo relativo, 954, 957 Maxwell, James, 766 Método de los multiplicadores de Lagrange, 970, 971, 974 Método de mínimos cuadrados, 885, 964 Mínimo relativo, 954, 957 Modelos matemáticos, 964 Momentos de inercia, 1012, 1016, 1032 Momentos de masa, 1014 Multiplicador de Lagrange, 885, 970-972, 974 Múltiplo escalar, 766, 778

N

O octante, 775 operador diferencial, 1064 optimización, 885 Órbitas elípticas, 705 Órbitas hiperbólicas, 705 Órbitas parabólicas, 705 orientación de la curva, 712

P Parábola, 696, 697, 699, 705, 751, 815, 816, 852 cuerda focal de la, 697 eje de la, 697 lado recto (latus rectum) de la, 697 propiedad de reflexión, 698, 701 Paraboloide, 822, 997, 1028 Paraboloide elíptico, 813, 816, 817 Paraboloide hiperbólico, 813, 815, 817 Parámetro, 711, 712 Parámetro longitud de arco, 870, 871 Participación polar interna, 1005, 1027 Pascal, Blaise, 716 Pendiente, 721, 735, 800 Pendiente de una línea tangente a una curva, 695, 721 Pendiente de una línea tangente a una gráfica polar, 695 Pendiente de una recta secante, 721 Pendiente de una recta tangente a una gráfica polar, 732, 735 Pendiente en forma polar, 735 Plano, 763, 804, 805, 812 punto interior del, 898


R Radio de giro, 1017 Rango, 886 Rapidez, 875, 876 Recta, 696, 763, 800, 805 Recta de regresión de mínimos cuadrados, 964, 965 Recta de intersección de dos planos, 803 Recta en el espacio, 800 Recta normal, 945, 946 Recta radial, 731, 733, 742 Rectas generatrices, 812 Rectas tangentes en el polo, 736 Recta tangente, 721, 723, 735 Recta tangente horizontal, 735, 736 Recta tangente vertical, 735, 736 Recta vertical, 733 Región abierta, 898, 904 Región cerrada, 898 Región de integración, 985, 987 Región horizontalmente simple, 986 Región verticalmente simple, 986 Regla de la cadena, 885, 925-927, 928-930 Regla de Simpson, 1024

Representación gráfica de las cónicas, 750 Rotacional, 1057, 1066, 1135, 1136 Rumbo, 771

S Sección cónica, 696 Sectores polares, 1004 Segmento de recta dirigido, 764, 765 longitud, 764 punto final, 764 punto inicial, 764 Segunda ley del movimiento de Newton, 854 Segundas derivadas parciales, 957, 958 Semielipsoide, 836 Sistema de coordenadas bidimensional, 775, 776 Sistema de coordenadas cilíndricas, 822 Sistema de coordenadas esféricas, 824 Sistema de coordenadas polares, 695 Sistema de coordenadas rectangulares tridimensional, 775 Sistema de coordenadas tridimensional, 763, 775 Sistema dextrógiro, 775, 794 Sistema levógiro, 775, 794 Somerville, Mary Fairfax, 886 Stockes, George Gabriel, 1132 Suma de los cuadrados de los errores, 964 Suma de Riemann, 993 Suma de vectores, 766, 783 Superficie, 1117 Superficie orientada, 117 Superficie reflectante, 698 Superficies cuádricas, 813, 816 Superficies de nivel, 885, 886, 891, 950 Superficies de revolución, 763, 818 curva generadora, 818 Superficies paramétricas, 1102, 1103, 1106, 1116 Sustracción de vectores, 766

ÍNDICE

Negativo escalar, 766 Newton, Isaac, 717, 731, 753, 908, 1069 Nodo, 844 Noether, Emmy, 768 Norma, 992, 1005 Normalización de v, 768 Notación para producto escalar, 793 Notación para producto vectorial, 793 Número escalar, 764 Números de dirección, 800

Plano en el espacio, 800, 801 Plano tangente, 945-947, 1105 Plano xy, 775 Plano xz, 775 Plano yx, 775 Polo, 695, 731, 736, 743, 822 Posición canónica de un vector, 765 Problema de la braquistocrona, 711, 717 Problema de la tautocrona, 711, 717 Producto cruz. Véase Producto vectorial Producto de un vector por un escalar, 783 Producto escalar, 783, 788 propiedades del, 783 Producto escalar de dos vectores, 763, 783, 805 Producto mixto. Véase triple producto escalar Producto vectorial, 792, 793, 795, 805 propiedades algebraicas del, 793, 794 propiedades geométricas del, 792, 794 Propiedad asociativa, 767 Propiedad conmutativa, 767, 783 Propiedad de la identidad aditiva, 767 Propiedad del inverso aditivo, 767 Propiedad distributiva, 767, 783 Propiedades de la elipse, 696 Propiedades de la hipérbola, 696 Propiedades de la parábola, 696 Propiedades de las operaciones con vectores, 767 Punto frontera, 898 Punto interior, 904 Puntos colineales, 778 Puntos críticos, 955

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T tangente, 698 tangente horizontal, 723 teorema de Fubini, 996 teorema de Green, 1057, 1093-1098 teorema de la divergencia, 1124, 11261129 teorema de Lagrange, 971 teorema de Stockes, 1057, 1132-1134 trabajo, 789, 1074, 1075, 1087 transformación de coordenadas, 732 trayectoria, 1069, 1086 triple producto escalar, 796, 797

V Valor promedio de una función, 999 Variables dependientes, 886

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ÍNDICE ANALÍtICo

Variables independientes, 886 Vector aceleración, 852 Vector cero (o nulo), 765, 777 Vector de dirección, 800 Vector de posición, 850, 854 Vector en el plano, 764, 765 longitud (o magnitud), 765 Vectores, 763, 764, 768, 775, 800, 805 Vectores bidimensionales, 792 Vectores normales, 833, 859, 1105 Vectores ortogonales, 785 Vectores paralelos, 778


Vectores tangentes, 833, 859 Vectores tridimensionales, 775, 792 Vectores unitarios estándar o canónicos, 764, 769, 777, 779 combinación lineal de, 769 componente horizontal, 769 componente vertical, 769 Vector resultante, 766 Vector tangente, 850 Vector unitario en la dirección de v, 768 Vector unitario normal principal, 860, 861 Vector unitario tangente, 859, 861

Vector velocidad, 850 Velocidad, 850, 851 Velocidad angular, 1017 Vértice, 697, 699 Volumen, 992, 993, 1027 Volumen de una región sólida, 994

W Watson, James D., 835 Weierstrass, Karl, 898, 955 Wren, Christopher, 724

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Calculo de Varias Variables - Ron Larson y Bruce Edwards - Novena Edicion

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