Cálculo de errores: error absoluto, error relativo. Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:
Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
E rror relat relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades. Cifras significativas. significativas. Las cifras significativas de una medida están formas por los dígitos que se conocen no afectados por el error, más una última cifra sometida al error de la medida. Así, por ejemplo, si digo que el resultado de una medida es 3,72 m, quiero decir que serán significativas las cifras 3, 7 y 2. Que los dígitos 3 y 7 son cifras exactas y que el dígito 2 puede ser erróneo. O sea, el aparato de medida puede medir hasta las centésimas de metro (centímetros), aquí es donde está el error del aparato y de la medida. Por tanto, has de tener en cuenta:
Que en física y en química el número de dígitos con das un resultado de una medida (directa o indirecta) es importante. No puedes poner todos los dígitos que te da la calculadora. Los resultados no pueden ser más precisos que los datos de donde se obtienen, es decir, los resultados deben tener tantas cifras significativas o menos que los datos de procedencia. No es lo mismo 3,70 m que 3,7 m. En el primer caso queremos decir que se ha precisado hasta los centímetros mientras que en el segundo caso sólo hasta los decímetros. Un aparato de medida debería tener el error en el último dígito que es capaz de medir. Así si tengo una regla re gla cuya escala alcanza hasta los milímetros, su error debería ser de más / menos algún milímetro. Si el error lo tuviese en los centímetros no tendría sentido la escala hasta los milímetros.
Cuando el resultado de una operación matemática nos dé como resultado un número con demasiados dígitos hemos de redondearlo para que el número de cifras significativas sea coherente con los datos de procedencia.
R eg las las de redondeo. redondeo. Una vez que sepas cuantas cifras significativas debes tener, el número se redondea utilizando las siguientes reglas:
Si el primer dígito no significativo (primero de la derecha) es m enor que cinco, se
elimina y se mantiene el anterior que se convierte así en el último. Ejemplo si el número es 3,72; como el último dígito es 2 (menor que cinco), quedaría 3,7. Si el primer dígito no significativo (primero de la derecha) es igual o mayor que cinco, se añade una unidad al anterior que se convierte así en el último. Ejemplo si seguimos redondeando el resultado anterior (3,7) quedaría 4 dado que 7 es mayor que cinco, se suma una unidad al anterior que pasaría de 3 a 4. Notación científica. Tanto en física como en química se suelen manejar números muy grandes o muy pequeños. Una forma de evitar manejar demasiados dígitos (normalmente tendríamos problemas con las calculadoras para introducirlos) es utilizar la notación científica. Todo número en notación científica siempre viene expresado de la misma forma:
Una parte entera que consta de un número distinto de cero, seguido de una coma y de cifras decimales. Una potencia de diez, con exponente positivo o negativo.
1. ¿ C ómo pas ar un número muy g rande a notación científic a?
Se pone como parte entera el primer dígito de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos.
Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras no decimales que tiene el número menos una (la primera). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la izquierda. Es un exponente positivo.
Ejemplo: Poner en notación científica el número 3897000000000000
Parte entera: 3,897
Exponente de la potencia de diez: +15 (hay 16 dígitos no decimales, menos uno da quince)
El número en notación científica sería: 3,897·1015
2. ¿ C ómo pasar un número muy pequeño a notación científic a?
Se pone como parte entera el primer dígito distinto de cero de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos.
Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras decimales que tiene el número hasta la primera que sea distinta de cero (incluida). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la derecha. Es un exponente negativo.
Ejemplo: Poner en notación científica el número 0,000000000003897
Exponente de la potencia de diez: -12 (hay 12 dígitos decimales, hasta la cif ra 3, incluyendo dicha cifra) El número en notación científica sería: 3,897·10-12
3. ¿ C omo pas ar un número en notación científica con exponente pos itivo a número nor mal?
Se pone la parte entera y se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como indica el exponente positivo de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros.
Ejemplo: Poner el número que representa 4,567·1012
Ponemos 4,567
Movemos la coma hacia la derecha 12 lugares (después de la cifra 7 se añaden los ceros necesarios)
El número que queda es: 4567000000000
4. ¿ C ómo pasar un número en notación científica con exponente negativo a número nor mal?
Se pone la parte entera y se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como indica el exponente negativo de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros. Al final se pone delante de la coma un cero.
Ejemplo: Poner el número que representa 4,567·10-12
Ponemos 4,567
Movemos la coma hacia la izquierda 12 lugares (después de la cifra 4 se añaden los ceros necesarios)
El número que queda es: 0,000000000004567 Si todas las medidas de una misma magnitud están expresadas en notación científica, para compararlas sólo deberemos ver el exponente de la potencia de diez. Ese exponente representa lo que denominamos grado de magnitud. Lo comprenderás mejor cuando realices la actividad recomendada al final del bloque ('Las dimensiones de la materia'). Cálculos con datos experimentales. La estadística es muy importante en la Ciencias Experimentales. Toda experiencia debería tener detrás un estudio estadístico que nos indique cuantos datos debemos tomar y cómo tratarlos una vez realizada la misma. Como se trata de iniciarte en las Ciencias Experimentales, las reglas que vamos a adoptar en el cálculo con datos experimentales son las siguientes:
Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error accidental. Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de los resultados. El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética). El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmética).
Ejemplo. Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s 1. Valor que se considera exacto:
2. Errores absoluto y relativo de cada medida: Medidas
Errores absolutos
Errores relativos
3,01 s
3,01 - 3,12 = - 0,11 s
-0,11 / 3,12 = - 0,036
(- 3,6%)
3,11 s
3,11 -3,12 = - 0,01 s
-0,01 / 3,12 = - 0,003
(- 0,3%)
3,20 s
3,20 -3,12 = + 0,08 s
+0,08 / 3,12 = + 0,026
(+ 2,6%)
3,15 s
3,15 - 3,12 = + 0,03 s
+0,03 / 3,12 = + 0,010
(+ 1,0%)
1. Exactitud y Precisión
Una forma de mejorar la información dada por un instrumento de medida es repetir muchas veces la misma medida en las mismas condiciones. Si el equipo de medida tiene resolución suficiente, nos podemos encontrar que las distintas realizaciones de la medida dan resultados diferentes. La distribución típica de estas medidas recibe el nombre de normal o gaussiana (ver fig. 1). Esta distribución indica que el resultado más probable de la medida es el central (valor medio de todas las repeticiones), si bien existe cierta dispersión de las medidas en torno a este valor medio; cuanto más alta sea esta dispersión, mayor recuencia relativa probabilidad tendremos de obtener un error elevado en una única realización de la medida. En definitiva, el comportamiento de un equipo de medida se define en términos de su exactitud y su precisión. Un instrumento de medida es tanto más exacto cuanto más valor próximo está el valor medio de las n medidas Medida medio al valor convencionalmente verdadero. Y el Figura 1 mismo instrumento será más preciso cuanto menor sea la dispersión de estas medidas. Así, por ejemplo, el lanzador de dardos de la fig. 2 es muy preciso en el caso A, pues es capaz de lanzar los dardos prácticamente al mismo punto. Sin embargo es poco exacto, pues este punto está alejado del blanco. En el caso B sucede justo lo contrario: el lanzador está siendo poco preciso (los dardos están muy dispersos) pero, sin embargo, lanza con exactitud pues el punto medio de todos los impactos es justo el blanco. Evidentemente, el caso C es el más interesante, pues reúne precisión con exactitud. Los instrumentos de medida se diseñan para que sean precisos, y se reajustan periódicamente para que además sean exactos. Cuanto más exacto sea un Figura 2 instrumento preciso, más próximo estará el . resultado de cada medida individual al valor convencionalmente verdadero.
RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE CALCULO DE ERRORES
c) El error relativo de cada medición.
b) En un taller 6 trabajadores miden individualmente su longitud y obtienen los siguientes resultados: 1. 12,60m 2. 12,58m 3. 12,59m 4. 12,61m 5. 12,62m 6. 12,57m
c) El error relativo de cada medición.
