Cálculo Con Geometría Analitica (Earl W. Swokowski) OK

CALCULO

con geometría analítica

Earl W. Swokowski

Marquette University

Traducido por

José Luis Abreu

(PhD, MIT) Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas

Universidad Nacional Autónoma de México

y

Helga Fetter (MSc,

MIT)

Facultad de Ciencias

Universidad Nacional Autónoma de México

COPIA DE COR TE~tA

~

Grupo EditoritdlIberoamérúa IID~ 164. Mexk;o oeooa. o.F~ Mexlco ~

Wadsworth Internacional

Iberoamérica

Revisiones técnicas por: Profesora Beatriz Urquidi de Sen Departamento de Matemáticas Universidad Iberoamericana México D.F., México

Ing. Juan Sacerdotl Facultad de Ingeniería Departamento de Matemáticas Universidad de Buenos Aires Buenos Aires, Argentina

Ing. Anfbal Silvestri Departamento de Matemáticas I.T.E.S.M. Monterrey, México

Profesora Carmen Cortázar Instituto de Matemáticas Universidad Católica de Chile Santiago, Chile

Dr. Eugene A. Francls Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico Mayagüez, Puerto Rico

Dr. G. A. Estevez Departamento de Ciencias Naturales Universidad Interamericana San Germán, Puerto Rico

Prof~ora Maria Trigueros Departamento de Matemáticas I.T.A.M. México D.F., México

y

Departamento de Matemáticas Universidad Francisco de Paula Santander Cúcuta, Colombia

CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA Versión en español de la obra CALCULUS WITH ANAL YTIC GEOMETR Y, 2nd edition, por Ear! W. Swokowski. La edición original en inglés ha sido publicada por Prindle, Weber & Schmidt, Boston, Massachusetts, U.S.A., © 1975, 1979. D.R©1982, Wadsworth Internacional Iberoamérica, Belmont, California 94002. Grupo Edi­

torial lberoamérica. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o transmiti­

da en forma alguna o mediante algún sistema electrónico, mecánico, de fotorreproducción, me­

moria o cualquier otro, sin el previo y expreso permiso escri to por la editorial Wadsworth Inter­

nacional lberoamérica, una división de Wadsworth Inc.

ISBN 968-7270-03-9

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Esta edición en español es la única autorizada Impreso en México

Grupo Editorial lberoamérica, S.A. de C.V.

Río Atoyac No. 32

México06S00, D.F.

México.

Impreso en México

3

CONTENIIX>

Prólogo a la segunda edición Prólogo a la primera edición Introducción: ¿Qué es el cálculo?

ix

XUl

xv

Capítulo 1 REQUISITOS PARA EL CALCULO 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Los números reales Sistemas coordenados en dos dimensiones La línea recta Funciones Combinaciones de funciones Funciones inversas Repaso

1

10

20

29

38

42

47

Capítulo 2 LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Introducción Definición de límite Teoremas sobre límites Límites unilaterales Funciones continuas Repaso

50

56

62

71

75

84

Capítulo 3 LA DERIVADA 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Introducción Definición de derivada Algunas reglas para encontrar derivadas Incrementos y diferenciales La regla de la cadena Derivación implícita Derivadas de las funciones algebraicas Derivadas de orden superior Repaso

86

91

98

107

114

119

124

127

130

Capítulo 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11

Valores máximos y mínimos de las funciones El teorema de Rolle y el teorema del valor medio El criterio de la primera derivada La concavidad y el criterio de la segunda derivada Asíntotas verticales y horizontales Aplicaciones de los máximos y mínimos La derivada como una razón de cambio Razones de cambio y sus relaciones Antiderivada.s Aplicaciones a la economía Repaso

133

141

145

151

161

175

186

193

199

206

214

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IV

CONTENIDO

Capítulo 5 LA INTEGRAL DEFINIDA 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Area Definición de la integral definida Propiedades de la integral definida El teorema del valor medio para integrales definidas El teorema fundamental del cálculo Integrales indefinidas y cambio de variable Integración numérica Repaso

217

226

234

240

242

249

256

263

Capítulo 6 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

Area Sólidos de revolución Obtención de volúmenes mediante cáscaras cilíndricas Obtención de volúmenes mediante rebanadas El trabajo La fuerza ejercida por un líquido Longitud de arco Otras aplicaciones Repaso

265

275

286

291

295

302

308

314

320

Capítulo 7 TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Secciones cónicas Parábolas Elipses Hipérbolas Traslación de ejes Rotación de ejes Repaso

322

323

332

338

344

349

353

Capítulo 8 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 8. l 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

La función logaritmo natural La función exponencial natural Derivación e integración Funciones exponenciales y logarítmicas generales Las leyes de crecimiento y decrecimiento Las derivadas de las funciones inversas Repaso

355

363

370

378

384

392

396

Capítulo 9 OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

Límites de las funciones trigonométricas Derivadas de las funciones trigonométricas Integrales de las funciones trigonométricas Funciones trigonométricas inversas Derivadas e integrales de las funciones trigonométricas inversas Las funciones hiperbólicas Las funciones hiperbólicas inversas Repaso

399

404

413

418

423

429

436

439

v

CONTENIDO

Capítulo 10 METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL 10.1 10.2 10.3 lOA

10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10

Integración por partes Integrales trigonométricas Sustitución trigonométrica Fracciones parciales Expresiones cuadráticas Sustituciones diversas Tablas de integrales Momentos y centros de masa de regiones planas Centros de masa de sólidos de revolución Repaso

442 448 453 459 465 468 472 474 483 489

Capítulo 11 FORMAS INDETERMINADAS, INTEGRALES IMPROPIAS Y FORMULA DE TAYLOR 11.1 11.2 11.3 11.4

11.5 11.6 11.7

Las formas indeterminadas 'XJ/OO y O/O Otras formas indeterminadas Integrales con límites de integración infinitos Integrales con integrandos infinitos La fórmula de Taylor El método de Newton Repaso

492 498 501 507 512 522 526

Capítulo 12 SERIES INFINITAS 12.1 12.2 12.3 1204

12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 12. 10

Sucesiones infinitas Series infinitas convergentes o divergentes Series de términos positivos Series alternantes Convergencia absoluta Series de potencias Representación de funciones en series de potencias Series de Taylor y de Maclaurin La serie binomia Repaso

528 537 545 555 559 565 571 576 583 586

Capítulo 13 CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8

Curvas planas y sus ecuaciones paramétricas Rectas tangentes a las curvas Sistemas de coordenadas polares Ecuaciones polares de las cónicas Cálculo de áreas en coordenadas polares Longitudes de arcos de curvas Superficies de revolución Repaso

589 597 600 607 613 617 622 626

Capítulo 14 LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO 14.1 14.2 14.3 1404

Vectores en dos dimensiones Sistemas coordenadas rectangulares en tres dimensiones Vectores en tres dimensiones Angulos y cosenos directores

628 639 645 656

p

VI

CONTENIDO 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10 14.11

Rectas en el espacio Los planos El producto vectorial Cilindros y superficies de revolución Superficies cuadráticas Sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas Repaso

659 662 669 678 683 689 693

Capítulo 15 FUNCIONES VECTORIALES 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7

Definiciones Derivadas e integrales de funciones vectoriales Movimiento en el espacio Curvatura Componentes tangencial y normal de la aceleración Las leyes de Kepler Repaso

696

699 708 714 720 724 731

Capítulo 16 DERIVADAS PARCIALES 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10

Funciones de varias variables Límites y continuidad Derivadas parciales Incrementos y diferenciales La regla de la cadena Derivadas direccionales Planos tangentes y rectas normales a las superficies Máximos y mínimos de las funciones de dos variables Multiplicadores de Lagrange Repaso

733 740 746 752 759 766

774 781 786 793

Capítulo 17 INTEGRALES MULTIPLES 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 17.10

Integrales dobles Evaluación de las integrales dobles Areas y volúmenes Momentos y centro de masa Integrales dobles en coordenadas polares Integrales triples Aplicaciones de las integrales triples Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas El área de una superficie Repaso

795 800 810

817 823 830 839 844 850 854

Capítulo 18 TEMAS DE CALCULO VECTORIAL 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7

Campos vectoriales Integrales de línea Independencia de la trayectoria El teorema de Oreen Divergencia y rotacional Integrales de superficie El teorema de la divergencia

857 861 873 880 888 891 900

CONTENIDO 18.8 18.9 18.10 18.11

El teorema de Stokes Transformaciones de coordenadas Cambio de variable en integrales múltiples Repaso

VIl 909

915 920 927

Capítulo 19 ECUACIONES DIFERENCIALES 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9

Introducción Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones diferenciales homogéneas Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Aplicaciones Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas Soluciones en serie de ecuaciones diferenciales Repaso

930 936 940

943 946

952 958 964 969

Apéndice I

INDUCCION MATEMATICA

Al

Apéndice 11

TEOREMAS SOBRE LIMITES E INTEGRALES DEFINIDAS

A8

Apéndice 111

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS TABLAS

Apéndice IV

I. Funciones trigonométricas B. Funciones exponenciales lB. Logaritmos naturales

Apéndice V

ALGUNAS FORMULAS DE LA GEOMETRIA

Respuestas a los ejercicios impares In dice

Al8 A25 A25 A27

A28

A28

A33 A79

•

.,

"

PROLOGO A LA SEGUNDA EDICION

A esta segunda edición la beneficiaron mucho los comentarios de quienes usaron la primera edición, así como las críticas constructivas de quienes revisaron el manuscrito. De acuerdo con sus sugerencias, se agregaron a los conjuntos de ejercicios algunos problemas rutinarios así como otros más difíciles que ofrecen un reto a los estudiantes altamente motivados. Hay ahora aproximadamente 5500 ejercicios, casi 1500 más de los que había antes. El número de ejemplos resueltos también aumentó considerablemente. Lo siguiente proporciona información más específica respecto a las diferencias entre esta edición y la anterior. El capítulo 2 se reescribió parcialmente, manteniendo en mente los objetivos de presentar las nociones de límite y continuidad de las funciones de una manera matemáticamente sensata, y al mismo tiempo formar en el estudiante una fuerte intuición de estos conceptos tan importantes. Un cambio que vale la pena men­ cionar es que las secciones sobre límites en el infinito y funciones que se hacen infinitas, se mudaron al capítulo 4 donde se relacionan con las gráficas de las funciones racionales. Este cambio permite introducir la derivada antes que en la primera edición, manteniendo así el interés del estudiante al usar la noción de límite de una manera importante desde el principio del curso. Se simplificó la demostración de la regla de la cadena en el capítulo 3 evitando el caso en el que se necesita introducir una cierta función auxiliar. Sin embargo, quienes deseen una demostración completa podrán hallarla en el apéndice 11. La discusión sobre máximos y mínimos en el capítulo 4 se mejoró añadiendo algunos ejemplos y figuras. Se hizo más énfasis en el caso de los máximos y mínimos que se alcanzan en los extremos del intervalo de definición de la función. La sección sobre aplicaciones a la economía se reescribió. Se amplió la demostración del teorema fundamental del cálculo en el capítulo 5 y se prestó mayor atención que en la edición anterior a la estimación de errores en la integración numérica. En el capítulo 6 se hace mucho énfasis en la integral definida como un límite de sumas; sin embargo, las soluciones de los ejemplos se construyeron de tal manera que una vez que el estudiante haya comprendido perfectamente esta idea tan importante, pueda saltarse la parte en la que inter­ vienen subíndices y plantear directamente las integrales requeridas. El capítulo 8 sobre funciones exponenciales y logarítmicas se reescribió com­ pletamente. La versión actual debe hacer mucho más fácil que antes entender el desarrollo de estas funciones tan importantes. Los cambios principales en los capítulos 9 y 10 consisten en la adición de muchos ejemplos y ejercicios nuevos, una mejor discusión de las funciones hiper­ bólicas y una sección nueva sobre el uso de las tablas de integrales. En el capítulo 11 se usan dos nuevos ejemplos de la física para ayudar a motivar las integrales impropias. La sección sobre la fórmula de Taylor se aclaró, IX

x

PROLOGO

ilustrando gráficamente lo que sucede cuando el número de términos del polinomio aumenta. Parte del material sobre series infinitas en el capítulo 12 se reescribió y rea­ rregló. Se agregaron varios teoremas, incluyendo el criterio de la raíz, así como muchos ejercicios nuevos. También se amplió la discusión acerca de la represen­ tación de funciones en series de potencias. El concepto de la dirección de un vector bidimensional se reemplazó por las nociones más sencillas (y más fáciles de generalizar) de que dos vectores tengan la misma dirección o que dos vectores tengan direcciones opuestas. Esto, junto con una reorganización de los temas, simplifica el desarrollo del capítulo 14. Se ha puesto más énfasis en los problemas geométricos. Esto es cierto particularmente en el caso de las aplicaciones del producto vectorial. La discusión sobre derivadas e integrales de funciones vectoriales en el capítulo 15 se modificó para unificar este material. Se agregó una sección nueva sobre las leyes de Kepler para ilustrar la potencia de los métodos vectoriales. Los cambios en los capítulos 16 y 17 consisten primordialmente en que se añadieron ejemplos, figuras y ejercicios adicionales y se reescribieron algunas partes para hacer cambios menores. En el capítulo 18 se agregaron dos secciones nuevas sobre transformación de coordenadas: jacobianos y cambio de variables en integrales múltiples. El orden en que deben estudiarse los temas es flexible. Por ejemplo, algunos maestros que usaron la primera edición introdujeron las funciones trigonométricas muy temprano en el curso. Un lugar natural para introducirlas es inmediatamente después de la discusión de la regla de la cadena en el capítulo 3. De hecho hay un comentario al final de la sección 3.5 que hace referencia a la derivada de la función seno. A partir de ahí se puede continuar enunciando las fórmulas de derivación de las demás funciones trigonométricas y seleccionando ejercicios apropiados del capítulo 9, a medida que el estudiante avance por las secciones siguientes. Así mismo, las integrales de las funciones trigonométricas pueden introducirse en el capítulo 5. El capítulo 7 sobre geometría analítica se puede cubrir inmediatamente des­ pués del capítulo l. Por supuesto, en este caso no se pueden dejar de tarea los ejercicios en los que intervienen derivadas e integrales. El capítulo 19 sobre ecuaciones diferenciales puede discutirse una vez que se hayan cubierto los métodos de integración en el capítulo 10, siempre y cuando se omitan las sec­ ciones sobre ecuaciones exactas y soluciones en serie. También es posible discutir el material sobre vectores en el capítulo 14 antes del capítulo 13. El capítulo 12 sobre series infinitas puede posponerse si así se desea. Hay una sección de repaso al final de cada capítulo que consta de una lista de temas importantes y otra de ejercicios pertinentes. Los ejercicios del repaso son semejantes a los que aparecen a lo largo del texto, y los estudiantes pueden usarlos para prepararse para los exámenes. Al final del texto se dan las respuestas a los ejercicios con número impar. Los maestros pueden conseguir del editor un folleto de respuestas a los ejercicios con número par. Deseo expresar mi agradecimiento a las siguientes personas que revisaron todo, o partes de, el manuscrito para la segunda edición y ofrecieron muchas

PROLOGO

XI

sugerencias útiles: Phillip W. Bean, Mercer University; Daniel D. Benice. Montgomery College; Delmar L. Boyer, University of Texas-El Paso; Ronald E. Bruck, University of Southern California; David C. Buchthal, The University of Akron; John E. Derwent, University of Notre Dame; William R. Fuller, Purdue University; Gary Haggard, University of Maine-Orono; Douglas Hall, Michigan State University; George Johnson, University of South Carolina; Andy Karan­ tinos, University of South Dakota; G. Otis Kenny, Boise State University; Eleanor Killam, University of Massachusetts-Amherst; Prem K. Kulshrestha, University of New Orleans; Margaret Lial, American River CoUege; Phil Locke, University of Maine-Orono; Burnett Meyer, University of Colorado; Joseph Miles, University of IIIinois-Urbana; Charles D. Miller, American River College: John Nohel, University of Wisconsin-Madison; Neal C. Raber, The University of Akron; John T. Scheick, The Ohio State University; Richard D. Semmler, North­ ern Virginia Community College-Annandale; Ray C. Shiftlet, California State University-Fullerton; David Shochat, Santa Monica College; Carol M. Smith, Birmingham-Southern College; WilJiam M. Snyder, University of Maine-Orono; Eugene Speer, Rutgers University; John Tung, Miami University; Dale E. Walston, University ofTexas-Austin; Frederick R. Ward, Boise State University. Además, muchos maestros amablemente respondieron a una encuesta llevada a cabo por mi editor. Heron S. Collins, Louisiana State University-Baton Rouge: Karl Peterson, University of North Carolina; M. Evans Munroe, University of New Hampshire; John Berglund, Virginia Commonwealth University; George Johnson, University of South Carolina; Frank Quinn, University of Virginia; Lawrence Runyan, Shoreline College; Robert W. Owens, Lewis and Clark College; Karl Gentry, University of North Carolina-Greensboro; George Haborak, College of Charles­ ton; James M. Sobota, University of Wisconsin-La Crosse; Gene A. de Both, St. Norbert College; David Greenstein, Northeastern IIIinois University; Jerry Wagenblast, Valparaiso University; Gene Vanden Boss, Adrian College; Duane E. Deal, Ball State University; Carol Smith, Birmingham Southern University; Gary EichelsdoIfer, University of Scranton; Robert E. Spencer, Virginia Polytechnic Institute and State University; Albert L. Rabenstein, Washington and Jefferson College; Charles A. Grobe, Jr., Bowdoin College; Teisuke Ito, Northern Michigan University; Stanley R. Samsky, University of Delaware, son algunos de los que enviaron información valiosa e ideas. Deseo también reconocer los consejos de mis colegas en Marquette University, quienes me ofrecieron numerosas sugerencias para mejorar el libro. Debo un reconocimiento especial a los doctores Thomas Bronikowski y Michael Ziegler por su cuidadoso trabajo con las soluciones de los ejercicios. Agradezco la valiosa ayuda del personal de Prindle, Weber & Schmidt. En particular, Elizabeth Thomson, Nancy Blodget y Mary Le Quesne ayudaron mucho en la producción del texto. Como de costumbre, el editor ejecutivo John Martindale fue una fuente constante de consejo y aliento. Debo un agradecimiento especial a mi esposa Shirley y a los miembros de nuestra familia: Mary, Mark, John, Steven, Paul, Thomas, Robert, Nancy y Judy. Todos influyeron en el libro, ya sea directamente resolviendo ejercicios, re­

p

Xl1

PROLOGO

visando o mecanografiando, o indirectamente a través de su constante interés y apoyo moral. Además de todas las personas mencionadas aquí, quiero expresar mi sincero agradecimiento a los muchos estudiantes y maestros no mencionados que han ayudado a formar mi opinión de cómo debe presentarse el cálculo en el salón de clase. EARL

W.

SWOKOWSKI

PROLOGO A LA PRIMERA EDICION

La mayoría de los estudiantes estudian el cálculo para usarlo como una he­ rramienta en áreas fuera de las matemáticas. Tales estudiantes desean informa­ ción acerca de por qué es importante el cálculo y dónde y cómo puede aplicarse. Al escribir este texto traté de tener estos hechos en mente. En particular, antes de definir un concepto importante, se presentan problemas que requieren el con­ cepto. Después de desarrollar suficientemente la teoría se dan muchos ejemplos físicos y matemáticos interesantes para que el estudiante se ejercite con ellos. Sin embargo, lo difícil es interesar al estudiante al comenzar un tema nuevo. Como una ilustración de mi enfoque al cálculo, en este texto se motiva el concepto de límite haciendo referencia a tres problemas prácticos, uno de física, otro de química y otro de matemáticas. Después de esto, se discute la noción de límite de una manera intuitiva usando ejemplos numéricos. En una sección pos­ terior se da una definición precisa, pero después de haber hecho referencia a los ejemplos previos. Luego se refuerza la definición a través del uso de dos métodos gráficos distintos. No creo que los estudiantes deban pasarse un semestre entero o más repitiendo las palabras "más y más cerca" ni tampoco que deban sumergirse en un mar de épsilones y deltas. Los teoremas sobre límites se enuncian y se usan en los ejemplos, pero las demostraciones complicadas se presentan en un apén­ dice al final del libro, donde pueden dejarse como lectura adicional, discutirse inmediatamente o posponerse para una ocasión más propicia. La misma filosofía se usa en la presentación de la derivada, la integral definida y otros conceptos importantes. Además de tratar de lograr un balance entre el rigor y la intuición, mi objetivo primordial fue escribir un libro que pudiese ser leído y entendido por estudiantes del primer año de la universidad. A lo largo de cada sección busqué precisión y claridad en la exposición, junto con una presentación que hiciera la transición de las matemáticas elementales al cálculo lo menos brusca posible. Este texto contiene suficiente material para cualquier curso típico de cálculo. El índice muestra el orden en que se presenta el material. En general, los capítulos del l al 6 podrían constituir lo equivalente a un curso de un semestre para es­ tudiantes que solamente necesiten un conocimiento básico de límites, derivadas e integrales definidas de funciones algebraicas. Los capítulos del 7 al 12 contienen lo que normalmente constituye un segundo semestre de cálculo; sin embargo, el capítulo 12 sobre series infinitas podría posponerse para el tercer semestre. En tal caso, podría sustituirse en su lugar el capítulo 13 sobre curvas y coordenadas polares o algunas partes del capítulo 14 sobre vectores. El resto del texto contiene lo que normalmente constituye el tercer semestre de cálculo. El material del capítulo 18 sobre cálculo vectorial no suele incluirse en un primer curso. Algunos maestros quizás deseen incluirlo y otros no. Es por esto que se encuentra cerca XlII

XIV

PROLOGO

del final del libro, donde es más fácil omitir algunas porciones sin interrumpir la continuidad del texto. Lo mismo puede decirse del capítulo 19 sobre ecuaciones diferenciales. Deseo dar las gracias a las siguientes personas, quienes revisaron el manuscrito e hicieron muchas sugerencias útiles: James Cornette, Iowa State University; Au­ gust Garver, University of Missouri-Rolla; Douglas Hall, Michigan State Univer­ sity; Alan Heckenbach, Iowa State University; Simon Hellerstein, University of Wisconsin; David Mader, Ohio State University; William Meyers, California State University, San Jose; David Minda, University of Cincinnati; Chester Mira­ ele, University of Minnesota; Ada Peluso, Hunter College of the City University of New York; Leonard Shapiro, University of Minnesota; Donald Sherbert, Uni­ versity of Illinois; Charles Van Gorden, Millersville State College; Dale Walston, University of Texas. Quiero agradecer especialmente al Dr. Thomas Bronikowski de Marquette University, quien leyó cuidadosamente todo el manuscrito, resolvió todos los ejercicios y fue el responsable de muchas mejoras en el texto. Además, él escribió un suplemento que contiene las soluciones detalladas de aproximadamente una tercera parte de los ejercicios. Agradezco a Carolyn Meitler por su excelente labor al mecanografiar el ma­ nuscrito, y al personal de Prindle, Weber & Schmidt por su meticuloso trabajo en la producción de este libro. En particular John Martindale, un magnífico editor y amigo, ha sido una fuente de aliento constante durante el tiempo que estuve asociado con la compañía. Sobre todo, debo agradecer a mi familia su paciencia y comprensión durante los largos períodos de tiempo que pasé escribiendo este libro. EARL

W.

SWOKOWSKI

INTRODUCaON

¿QUE ES EL CALCULO? El cálculo se inventó en el siglo diecisiete para proporcionar una herramienta que resolviera algunos problemas en los que interviene el movimiento. La geometría, el álgebra y la trigonometría se aplican al estudio de los objetos que se mueven con velocidad constante; sin embargo para estudiar las órbitas de los planetas, para calcular el vuelo de un cohete, para predecir la trayectoria de una partícula car­ gada a través de un campo electromagnético, y en general, para tratar los diversos aspectos del movimiento, se necesitan los métodos del cálculo. Para poder discutir el comportamiento de los cuerpos en movimiento es esen­ cial definir primero lo que se entiende por velocidad y aceleración. A grandes rasgos, podemos decir que la velocidad de un objeto es una medida de la razón de cambio de la distancia que el objeto ha recorrido, con respecto al tiempo. La aceleración es una medida de la razón de cambio de la velocidad del objeto. La velocidad puede cambiar mucho, como por ejemplo cuando un automóvil de carreras arranca o cuando una cápsula espacial desciende y entra a la atmósfera terrestre. Para poder dar un significado preciso a las nociones de velocidad y aceleración se necesita usar uno de los conceptos fundamentales del cálculo, la derivada. Aunque el cálculo se inventó para ayudar a resolver algunos problemas de física, posteriormente se ha aplicado en muchos campos diferentes de la ciencia. Una de las razones por las que es tan versátil, es que la derivada es útil en el estudio de las razones de cambio de muchas cantidades, además de la distancia y la velocidad. Por ejemplo, un químico puede usar las derivadas para predecir el resultado de algunas reacciones químicas. Un biólogo puede usarlas en sus inves­ tigaciones sobre la razón de crecimiento del número de bacterias en un cultivo. Un ingeniero electricista puede usar la derivada para describir el cambio de la co­ rriente en un circuito eléctrico. Los economistas la han aplicado en problemas relacionados con las pérdidas y las ganancias de una empresa. La derivada se usa también para encontrar las rectas tangentes a las curvas. Además de que esto es de cierto interés en la geometría, el significado de las rectas tangentes es de gran importancia en algunos problemas físicos. Por ejemplo, si una partícula se mueve a lo largo de una curva, entonces la recta tangente indica la dirección del movimiento. Si restringimos nuestra atención a una parte suficien­ temente pequeña de la curva, entonces en cierto sentido, podemos usar la recta tangente para calcular aproximadamente la posición de la partícula. Muchos de los problemas sobre máximos y mínimos pueden atacarse con ayuda de la derivada. Estos son unos ejemplos del tipo de preguntas que pueden responderse usando la derivada: ¿A qué ángulo de elevación debe dispararse un proyectil para que llegue lo más lejos posible? ¿Qué dimensiones debe tener una lata de metal con un volumen de un litro para que la cantidad de metal necesaria en

xv E

~~'!!!!'!!!;

XVI

INTRODUCCION

su construcción sea mínima? ¿Cuál de los puntos entre dos fuentes de luz tiene la máxima iluminación? ¿Cómo puede cierta compañía hacer que su ingreso sea máximo? ¿Cómo puede un productor minimizar el costo de producción de cierto artículo? Otro de los conceptos fundamentales del cálculo es la integral definida. Tam­ bién tiene muchas aplicaciones en las ciencias. Un físico puede usarla para calcu­ lar el trabajo necesario para estirar o comprimir un resorte. Un ingeniero puede usarla para encontrar el centro de masa o el momento de inercia de un cuerpo. Un biólogo puede usar la integral definida para calcular el flujo de sangre a través de una arteriola. Un economista puede emplearla para estimar la depreciación del equipo de una fábrica. Los matemáticos usan integrales definidas para investigar los conceptos de área de una superficie, volumen de un sólido geométrico y longitud de una curva. A medida que avancemos a través de este libro, iremos discutiendo todos y cada uno de los ejemplos anteriores y muchos más. No hay límite a las apli­ caciones del cálculo. En efecto, quizás en el futuro tú, lector, descubrirás nuevos usos de esta importante rama de las matemáticas. La derivada y la integral definida se definen en términos de ciertos límites. La noción de límite es la idea inicial que separa al cálculo de las ramas más elemen­ tales de las matemáticas. Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) descubrieron la conexión entre la derivada y la integral. Por esto y por sus otras contribuciones al tema, se les considera los inventores del cálculo. Muchos otros matemáticos también han contribuido a su desarrollo. La discusión anterior no es una respuesta a la pregunta" ¿Qué es el cálculo?" De hecho, no hay una respuesta sencilla. Se podría llamar cálculo al estudio de los límites, las derivadas y las integrales; sin embargo esto no tiene sentido para quien no conoce el significado de estos términos. Aunque dimos unos cuantos ejemplos de lo que puede lograrse con las derivadas y las integrales, no hemos explicado aún el significado de estos conceptos. Definirlos será uno de los objetivos prin­ cipales de nuestro trabajo inicial en este texto.

_,1

REQUISITOS PARA EL CALCULO

Este capítulo trata temas necesarios para el estudio del cálculo. Después

de un breve repaso de los números reales, los sistemas coordenados y

las gráficas en dos dimensiones, dirigimos nuestra atención a uno de los

conceptos más importantes en las matemáticas: la noción de función.

1.1

Los NUMEROS REALES Como los números reales se usan mucho en las matemáticas que se enseñan antes del cálculo, supondremos que el lector está familiarizado con las propiedades fun­ damentales de la suma, la resta, la multiplicación, la división, los exponentes, los radicales, etcétera. En este capítulo las letras minúsculas a, b, c, ... denotarán números reales a menos que se especifique otra cosa. Los enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... se pueden obtener al sumar sucesivamente el número 1 consigo mismo. Los enteros son todos los enteros positivos y negativos junto con el número real cero. Un número racional es un número real que se puede expresar como un cociente a/b donde a y b son enteros y b # O. Los números reales que no son racionales se llaman irracionales. La razón del perímetro de un círculo a su diámetro es irracional. Este número real se denota por 1t y se escribe 1t :::::: 3.1416 para indicar que el valor de 1t es aproximadamente igual a 3.1416. Otro ejemplo de un número irracional es Los números reales se pueden representar por expansiones decimales infinitas. Por ejemplo, dividiendo, se puede hallar que la representación decimal del número 7434/2310 es 3.2181818 ... donde los dígitos 1 y 8 se repiten indefinidamente. Los números racionales siempre pueden representarse por expansiones decimales perió­ dicas, es decir que se repiten indefinidamente a partir de cierto término. Los irra­ cionales se pueden representar mediante expansiones decimales infinitas, sin em­ bargo éstas no son periódicas. Es posible asociar los números reales con los puntos sobre una recta 1 de manera que a cada número real a le corresponda uno y sólo un punto de la recta 1, y viceversa a cada punto P de 1 le corresponda exactamente un número real. A una asociación tal entre dos conjuntos se le llama correspondencia uno a uno. Primero elegimos un punto arbitrario 0, sobre la recta, llamado origen, y le asociamos el

fi.

1

2

REQUISITOS PARA EL CALCULO

número O. Luego se determinan los puntos asociados con los enteros marcando a ambos lados de O segmentos sucesivos de la misma longitud, como se ilustra en la figura 1.1. Los puntos correspondientes a los números racionales, por ejemplo 253 y - t, se obtienen dividiendo los segmentos anteriores. Los puntos asociados a ciertos números irracionales como j2 pueden hallarse por construcción geomé­ trica, con regla y compás. Otros números irracionales como 1t no se pueden construir de esta manera. Sin embargo se puede uno aproximar al punto correspondiente a 1t con el grado de precisión que se quiera localizando sucesivamente los puntos corres­ pondientes a 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, etcétera. Se puede mostrar que a cada número irracional le corresponde un único punto sobre 1, e inversamente, a cada punto que no está asociado a un número racional le corresponde un número irracional.

• -3

•

•

-2

-1

•I 1

o •

O

~(i

• 2

.)2-

;\

• 4

• • 2J ~

5

B

A

f¡

(J

•

.. /

n Fi¡:ura 1.1

Al número a asociado al punto A, sobre 1, se le llama la coordenada de A. Una asignación de coordenadas a los puntos de 1 se llama un sistema coordenado para 1, y 1 se llama una recta coordenada o recta real. Se le puede asignar una dirección a 1 tomando la dirección positiva hacia la derecha y la dirección negativa hacia la izquierda. La dirección positiva se distingue poniendo una punta de flecha en 1 como en la figura 1.1. Los números reales correspondientes a los puntos a la derecha de O en la figura l.l se llaman números reales positivos mientras que aquéllos correspondientes a los puntos a la izquierda de O se llaman números reales negativos. El número real O no es ni positivo ni negativo. La colección de los números reales positivos es cerrada bajo la suma y la multiplicación; es decir si a y b son positivos, entonces su suma a + b y su producto ab también lo son. Si a y b son números reales positivos y a - b es positivo, decimos que a es mayor que b, y escribimos a > b. Esto es equivalente a decir que b es menor que a, lo cual se escribe b < a. Los símbolos> y < se llaman símbolos de desigualdad y expresiones tales como a > b o b < a se llaman desigualdades. Se sigue, de la forma en que construimos la recta coordenada 1 en la figura 1.1, que si A y B son puntos con coordenadas a y b respectivamente, entonces a > b (o b < a) si y sólo si A está a la derecha de B. Como a - O = a, se sigue que a > O si y sólo si a es positivo. Análogamente a < O significa que a es negativo. Es posible demostrar las siguientes reglas:

(1.1)

Si Si Si Si

a > b y b > c, entonces a > e. a > b entonces a

+ e > b + e.

a > b y e > O, entonces ae > be.

a > b y e < O, entonces ae < be.

También se pueden enunciar reglas análogas para el símbolo <.

LOS NUMEROS REALES 1-41= 4 I

I

•

141= 4

A.

I

I

I

A.

V

I

-6 -5 -4 -3 -2 -1

•

O

I

I

2

3

, • 4

1.1

I

I

5

6

3

Figura 1.2

El símbolo a ~ b, que se lee a es mayor o igual que b, significa a > b o a = b. El simbolo a < b < e significa que a < by b < e, en cuyo caso decimos que b está enire a y c. Las notaciones a :::;; b, a < b :::;; e, a :::;; b < e, a :::;; b :::;; e, etcétera, tienen significados semejantes. Para caracterizar a los números reales se necesita otra propiedad, a la que llamaremos completitud. Esta propiedad se discutirá en el capítulo 12. Si a es un número real entonces a es la coordenada de algún punto A sobre una recta coordenada 1 y el símbolo lal se usa para denotar el número de unidades (o la distancia) entre A yel origen, sin importar la dirección. En la figura 1.2 vemos que para el punto con coordenada -4 tenemos 1-41 = 4. También 141 = 4. En general si a es negativo cambiamos su signo para encontrar lal, mientras que si a es no negativo, entonces lal = a. Así tenemos la siguiente definición:

(1.2)

lal = { a s~ a ~ O

DEFINICION

-a

SI

a
El número no negatívo lal se llama el valor absoluto de a.

Ejemplo 1

Encuentre 131, 1- 31,

Solución

Como 3, 2 -

Como

IJÍ - 21, 12 - JÍI y 101.

ji y O son no negativos, tenemos por (1.2) que 131 = 3, 12 - fil = 2 - fi. y 101 = O. -3 y ji - 2 son negativos, usamos de (1.2) la fórmula lal = -a obteniendo 1-31 = -(-3) = 3 Y lfi - 21 = -(.,/2 - 2) = 2 - vil.

Se puede demostrar que para todos los números reales a y b

lal = 1-01

labl = lallbl

-Ial ~ a ~ lal.

(1.3)

También se puede mostrar que si b es cualquier número positivo, entonces

(1.4)

lal < lal > lal =

b

si y sólo si - b < a < b

b

si y sólo si a > b O a < - b si y sólo si a = b o a = - b.

b

4

1

REQUISITOS PARA EL CALCULO

Se sigue de (1.4) que si b es positivo, entonces lal ~ b significa que - b Este hecho lo usaremos en la demostración de la siguiente afirmación. (1.5)

~

a ~ b.

DESIGUALDAD DEL TRIANGULO

Si a y b son números reales, entonces

Demostración. De (1.3), -Ial correspondientes obtenemos

la + ni

~

~

lal y -Ibl

~

a

-(lal + Ibl)

~

(J

lal + Ibl. ~

b

~

IN Sumando miembros

+ b ~ lal + Ibl

y de la observación a continuación de (l.4), resulta que ~

la + bl

lal + Ibl·

El concepto de valor absoluto se puede usar para definir la distancia entre dos puntos cualesquiera sobre una recta coordenada. Para empezar notemos que los puntos sobre I con coordenadas 2 y 7, mostrados en la figura 1.3, están separados por 5 unidades y que 5 es la diferencia 7 - 2, que se obtiene al restar la coordenada menor de la mayor. Si usamos valores absolutos, entonces como 17 - 21 = 12 - 71. es innecesario preocuparnos por el orden en el que restamos una coordenada de la otra. Esta es nuestra motivación para la siguiente definición. 5= 17 - 21 = 12 - 71 I

-2

I -1

A.

r

I

O

+

I 3

2

\

I 4

I 6

I S

•

7

I

8

~

I

Figura 1.3 (1.6)

DEFINICION

Sean a y b respectivamente las coordenadas de dos puntos A y B sobre una recta coordenada 1. La distancia entre A y B, denotada por d(A, B) está dada por d(A, B)

= lb - al.

Al número no negativo d(A, B) de la definición (1.6) también se le llama la longitud del segmento AB. Observe que, como d(A,B) = la - bl y lb - al = la - bl, tenemos que d(A, B) = d(B, A). Note también que la distancia entre el origen O y el punto A es d(O, A)

= la - 01

=

lal,

lo cual concuerda con la interpretación geométrica del valor absoluto ilustrada en la figura 1.2.

LOS NUMEROS REALES

5

l.l

e

Ejemplo 2

Si A, B, y D tienen coordenadas - 5, - 3, l Y6 respectivamente, encuentre d(A, B), d(C,B) y d(C,D).

Solución

Los puntos están indicados en la figura 1.4. Por la definición (1.6), d(A, B)

= 1- 3 - ( - 5)1 = 1- 3 + 51 = 121 = 2.

d( C, Bl = 1- 3 - l1 = 1- 41 = 4.

= 1-5 - 01 = [-51 = 5. d(C,Dl = 16 - l1 = 151 = 5. d(O,A)

•

•

A

•

-5

•

8

•

-3

•

•

O

•

o

e •

•

•

•

•

D

•

6

•

..

1

Figura 1.4

El concepto de valor absoluto tiene otros usos además del de expresar distan­ cias entre puntos. Generalmente se utiliza cuando se está interesado en la magnitud o valor numérico de un número real, independientemente de su signo. A veces para abreviar explicaciones es conveniente usar la notación y la termi­ nologia de conjuntos. Se puede pensar que un conjunto es una colección de objetos de algún tipo. Los objetos se llaman elementos del conjunto. A lo largo de todo nuestro trabajo IR denotará al conjunto de los números reales, N al conjunto de los enteros positivos y Z a los enteros. Si S es un conjunto, entonces a E S quiere decir que a es un elemento de S, mientras que a r¡ S quiere decir que a no es un elemento de S. Si cada elemento de un conjunto S es también elemento de un conjunto T, entonces S se llama un subconjunto de T. Se dice que dos conjuntos S y T son iguales y se escribe S = T, si S y T contienen exactamente los mismos elementos. La no­ tación S =1 T significa que S y T no son iguales. Si S Y T son conjuntos, entonces su unión S u T consta de aquellos elementos que están en S o en T o en ambos. La intersección S 11 T consta de los elementos que S y T tienen en común. Si los elementos de un conjunto S tienen cierta propiedad, entonces escribimos S = {x: ... } donde la propiedad que describe al elemento arbitrario x se enuncia despúes del doble punto. Por ejemplo se puede usar {x: x > 3} para representar al conjunto de todos los números reales mayores que 3. En el cálculo tienen importancia especial ciertos subconjuntos de IR llamados intervalos. Si a < b, entonces a veces usamos el símbolo (a,b) para denotar al con­ junto de todos los números reales entre a y b; o sea (a,b) = {x:a < x < b}.

El conjunto (a, b) se llama un intervalo abierto. Se define la gráfica de un conjunto S de números reales como el conjunto de los puntos sobre una recta coordenada que corresponden a los números en S. En particular la gráfica del intervalo abierto (a, b) consta de todos los puntos que se encuentran entre los puntos correspondientes a a y b. En la figura 1.5 dibujamos las gráficas de un intervalo abierto (a, b) Yde los intervalos abiertos particulares (- 1,3) Y (2,4). Los paréntesis en la figura se usan para indicar que los puntos extremos no están incluidos.

6

REQUISITOS PARA EL CALCULO

(

)

a

b

Figura 1.5.

~

(

)

-\

3

O

(

1_

O

I ~

) 4

2

Gráficas de los intervalos abiertos (a,b), (-1,3) y (2,4).

Los intervalos cerrados denotados por [a, b] Y los intervalos semiabiertos denotados por [a. b) Y (a, b] se definen como sigue:

[a,b] = {x:a

~

x

[a,b)

=

{x:a

~

x < b}

(a,b]

=

{x:a < x

~

~

b} b}

La figura 1.6 ilustra unas gráficas típicas. Un paréntesis cuadrado en la figura indica que el punto extremo correspondiente está incluido en la gráfica.

E

a

] h

..

E

)

(1

h

...

(

]

a

h

..

Figura 1.6 Por conveniencia, a veces se usan los términos intervalo y gráfica de un inter­ valo sin distinción. De aquí en adelante, cuando se hable de intervalos y no se men­ cionen explícitamente las magnitudes de a y b, siempre se supondrá que a < b. Si un intervalo es un subconjunto de otro intervalo 1, se llama un subintervalo de l. Por ejemplo, el intervalo cerrado [2,3] es un subintervalo de [0,5]. Los intervalos infinitos se definen como sigue:

(a, (0) = {x:x > a} [a, (0) = {x:x

~

a}

(-oo,a)={x:x
~

a}

= IR

Por ejemplo (1,00) representa a todos los números reales mayores que l. El símbolo 00 denota el "infinito" y se usa únicamente como artificio de notación. No se debe interpretar como un número real específico. Como se ha indicado en esta sección, frecuentemente usamos símbolos para denotar elementos arbitrarios de un conjunto. Por ejemplo podemos usar x para denotar un número real, aunque no especifiquemos ningún número real en parti­ cular. A las letras que se usan para representar a un elemento arbitrario de un con­ junto dado a veces se les llama variables. En este texto las variables representarán números reales a menos que se diga otra cosa. El dominio de una variable es el con­ junto de números reales representado por dicha variable. Por ejemplo, dada la expresión observamos que para obtener un número real necesitamos que x ~ O. Por lo tanto en este caso decimos que el domino de x es el conjunto de los

fi,

1 LOS NUMEROS REALES

1.I

7

números reales no negativos. De manera análoga. al trabajar con la expresión l/(x - 2) tenemos que excluir a x = 2 (¿por qué?) y por lo tanto tomamos como dominio de x el conjunto de los números reales diferentes de 2. En el estudio del cálculo se presentan frecuentemente desigualdades en las cuales aparecen variables. Un ejemplo es

x2

-

3 < 2x

+ 4.

Si en lugar de x se sustituyen ciertos números como 4 o 5 obtenemos los enunciados falsos 13 < 12 y 22 < 14 respectivamente. De otros números como 1 o 2 se obtienen los enunciados verdaderos - 2 < 6 y 1 < 8 respectivamente. En general si tenemos una desigualdad en x y al sustituir a en lugar de x obtenemos un enunciado verdadero, entonces llamamos a a una solución de la desigualdad. Por lo tanto 1 y 2 son soluciones de la desigualdad x 2 - 3 < 2x + 4, mientras que 4 y 5 no lo son. Resolver una desigualdad significa encontrar todas sus soluciones. Decimos que dos desigual­ dades son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. Un método típico para resolver una desigualdad consiste en reemplazarla por una cadena de desigualdades equivalentes, la última de las cuales tiene soluciones obvias. Las herramientas principales para aplicar este método son propiedades tales como las dadas en (1.1), (1.3) y (1.4). Por ejemplo, si x representa a un número real entonces al sumar a ambos lados de la desigualdad la misma expresión en x, obtenemos una desigualdad equivalente. Podemos multiplicar ambos lados de una desigualdad por una expresión que contiene a x y obtener una desigualdad equi­ valente, siempre y cuando estemos seguros que la expresión sea positiva para todos los valores de x que estamos considerando. Si multiplicamos ambos lados de una desigualdad por una expresión que siempre es negativa, tal como -7 - x 2 , en­ tonces se invierte el símbolo de desigualdad. El lector debe dar razones para las soluciones de las siguientes desigualdades.

+

3 > 2x - 5.

Ejemplo 3

Resuelva la desigualdad 4x

Solución

Las siguientes desigualdades son equivalentes. 4x

+3>

2x - 5

4x> 2x - 8 2x> -8 x> -4 Por lo tanto las soluciones son todos los números reales mayores que -4, es decir los números en el intervalo (-4, (0). Ejemplo 4

Resuelva la desigualdad - 5 <

Solución

Podemos proceder como sigue:

4 - 3x

2

< l.

8

REQUISITOS PARA EL CALCULO

4 - 3.\ -5<---<1

2

- 10 < 4 - 3x < 2 -14 < -3x < -2 14 2 - > x>­ 3 3

2 14 - < x <­

3 3 Por lo tanto las soluciones son los números en el intervalo abierto (~, J¡).

+

Ejemplo 5

Resuelva x 2

Solución

Como la desigualdad se puede escribir

-

7x

ID > O.

(x - 5)(x - 2)

> O,

resulta que x es una solución si y sólo si ambos factores x - 5 Y x - 2 son positivos o ambos son negativos. El diagrama en la figura 1.7 indica los signos de estos factores para varios números reales. Evidentemente ambos factores son positivos si x está en el intervalo (5,00) y ambos son negativos si x está en (- 00, 2). Por lo tanto las soluciones son todos los números reales en la unión (- 00, 2) u (5, 00). Signo de x - 2: - - - - - - + + + + + + Signo de x-S: - - - - - - - - - - - -3

-2

-1

o

++++++ ++++++ (

) 2

3

5

4

6

7

8

Figura 1.7 Entre las desigualdades más importantes que aparecen en el cálculo están aquéllas que contienen valores absolutos como la que se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ix - 31 < 0.1.

Ejemplo 6

Resuelva la desigualdad

Solución

Usando (lA) esta desigualdad es equivalente a -0.1 < x - 3 < 0.1

y. por lo tanto - 0.1

+ 3 < (x

- 3)

+3<

0.1

+3

o 2.9 < x < 3.1. Por lo tanto las soluciones son los números reales en el intervalo abierto (2.9,3.1).

1.1

LOS NUMEROS REALES

Ejemplo 7

Resuelva 12x - 71 > 3.

Solución

Por (1.4), x es solución de 12x - 71 > 3 si y sólo si 2x - 7 > 3

9

2x - 7 < - 3.

o

La primera de estas desigualdades es equivalente a 2x > 10, o x > 5. La segunda es equivalente a 2x < 4 o x < 2. Por lo tanto las soluciones de 12x - 71 > 3 son los números en la unión (- ex), 2) u (5, ex).

1.1 EJERCICIOS En los ejercicios 1 y 2 sustituya la coma entre cada par de números reales por el símbolo apropiado <, > o =. -2. -5 2¡3.0.66

(b) -2.5

(e)

(d)

J4

(r)

6 - 1. 2 + 3 n, 22¡7

(él)

-J. O

(b) -8. -J

(e)

8. -3

3 4

(e) vf2. 1.4

(f)

1IiO' 3.6513

(él)

2

2,

(e)

2 1 J 15

4053

(d) - - ' .

Reescriba las expresiones en los ejercicios 3 y 4 sin usar el símbolo de valor absoluto. 3

12 - 51 151 + 1-21 (e) In - 22/71 (g) 11/2 - 0.51 (a)

(e)

(b) 1-51 + 1-21 (d) 1-51-1-21

4

(f) (- 2)/1- 21 (h)

lb) 13 - ni (d) 1-4 + 81 (f) 12 - )'41 (h) -1-31

la) 14 - 81 1-41-1-81

(e)

(e) I-JI 2

I(-WI

(g)

1-0.671

5 Suponiendo que A, By C son puntos sobre una recta coordenada con coordenadas - 5, -1 Y7 respectiva­ mente, encuentre las distancias siguientes. (a) d(A, B) (c) d(C,B)

6

(b) d(B, C) (d) d(A, C)

Haga el ejercicio 5 en el caso de que A, By C tengan coordenadas 2, -8 y -3 respectivamente.

Resuelva las desigualdades en los ejercicios del 7 al 34 y exprese las soluciones en términos de intervalos. 7

5x - 6 > 11

8

3x - 5 < 10

9 12

Ix

2 - 7x

~

16

10

7 - 2x :;:: - 3

11

12x + 11> 5

13

3x + 2 < 5x - 8

14

2

+ 7x < 3x - 10

15

12:;:: 5x - 3 > -7

16

5> 2 - 9x > -4

17

3 - 7x - 1 < -4- <­ 6

18

O ~ 4x - 1 ~ 2

20

4

- 2 ->0 x +9

21

Ix - 101 < 0.3

23

17 -3.\ 2

24

IJ - Ilx/ :;:: 41

5 19 - - > 0 7 - 2x 22

\2X 31 <2 -+5

I ~I

+ 21 <

I

i

10

1

25

125x - 81 > 7

28

2.\2 -

31

[;\2

REQUISITOS PARA EL CALCULO

9x + 7 < O

< 100

12x + II < O

27

29

2x 2 + 9x + 4 ::::: O

30 x 2

3

2

x+2

34

-->-­

35

Demuestre que la - bl ~ lal-Ibl. (Sugerencia: Escriba lal = I(a - b) + bl y aplique (1.5).)

-

10x $ 200

J\ + 2 33 - - - $ 0 2x - 7

32 5+fi<1

x-9

3x 2 + 5x - 2 < O

26

36 Suponiendo que n es cualquier entero positivo y a., a 2 , . . . , a. son números reales demuestre que

la. + a2 + ... + a.1 $la 1 1 + lazl + ... + la.l. (Sugerencia: Observe que por ( 1.5)

la l + az + " . + a.1 $ latl + la z + ... + a.I.)

37 Demuestre que si O< a < b entonces (l/a) > (l/b). ¿Por qué se necesita la restricción O< a?

39 Demuestre que si a < b y e < d entonces a+c
1.2

38

Demuestre que si O < a < b entonces a Z < b Z• ¿Por qué se necesita la restricción O < a?

40 ¿Si a < by c < d, se cumple siempre que ac < bd? Explique su respuesta.

SISTEMAS COORDENADOS EN DOS DIMENSIONES En la sección I discutimos cómo asignar coordenadas a puntos sobre una recta. También se pueden introducir sistemas coordenados en un plano mediante parejas ordenadas. El término pareja ordenada se refiere a dos números reales, de los cuales a uno se le designa como el "primer" número y al otro como el "segundo" número. El símbolo (a, b) se usa para denotar la pareja ordenada que consta de los números reales a y b donde a es el primer número y b el segundo. Las parejas ordenadas tienen muchos usos diferentes. En la sección I se usaron para denotar intervalos abiertos. En esta sección representarán puntos en un plano. Aunque las parejas ordenadas se emplean en situaciones diferentes, es dificil confundirse, ya que en general es claro del contexto si el símbolo (a, b) representa un intervalo, un punto u otro objeto matemático. Consideramos que dos parejas ordenadas (a, b) y (e, d) son iguales y escribimos (a, b)

=

(e, d) si y sólo si a

= e y b = d.

Esto en particular implica que (a, b) # (b, a) si a # b. El conjunto de todas las parejas ordenadas se denotará por IR x IR. Se puede introducir un sistema coordenado rectangular o cartesiano· en un plano, considerando dos rectas coordenadas perpendiculares en el plano, las cuales se intersecan en el origen O de ambas rectas. Se elige la misma unidad de longitud en cada recta a menos que se especifique lo contrario. Usualmente una de las rectas • El término "ca,rtesiano" se usa en honor al matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650) quien fue uno de los primeros en usar estos sistemas coordenados.

SISTEMAS COORDENADOS EN DOS DIMENSIONES

11

1.2

es horizontal con dirección positiva hacia la derecha y la otra recta es vertical con dirección positiva hacia arriba como se indica mediante las flechas en la figura 1.8. y

y

6 5 4 3

11

------+-­ h PI I

1

O

-2

2

• (- 5, 3)

(O, O)

(- 4, O)

x

-6-5-4-3 - 2 -1

- I

-2

IV

-3 -4

(5, 3) •

3 2

I I I

304

(O, 5)

4

I

I

- I

111

5

I

1(0, h)

2

-4 - 3 -2 - I

• (4, 6)

6

01

(i)

3

4

5 x

(O, -2)

-3 • (-6, -4)

2

-4

•

(5, - 3)

(i i)

Figura 1.8

Las dos rectas se llaman ejes coordenados y el punto O se llama el origen. A menudo nos referimos a la recta horizontal como el eje x y a la recta vertical como el eje y y las designamos por x y y respectivamente. El plano se llama entonces un plano coordenado o bien, con la notación anterior para los ejes, un plano xy. En ciertas aplicaciones se designan las rectas coordenadas por letras diferentes tales como d, t, etc. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas el primero, el segundo, el tercero y el cuarto cuadrantes y que designaremos por 1, 11, 111 Y IV respectivamente como se muestra en (i) de la figura 1.8. A cada punto P en un plano xy se le puede asignar una pareja ordenada única. Si una recta vertical y una recta horizontal que pasan por P se intersecan con el eje x y el eje yen puntos con coordenadas a y b respectivamente (vea(i) de la figura 1.8), entonces a P se le asigna la pareja ordenada (a, b). El número a se llama la coordenada x (o abscisa) de P y b se llama la coordenada y (u ordenada) de P. A veces decimos que P tiene coordenadas (a, b). Inversamente, cada pareja ordenada (a, b) determina un punto P en el plano xy con coordenadas a y b. Concretamente, P es el punto de intersección de las rectas perpendiculares al eje x y al eje y en los puntos que tienen coordenadas a y b respectivamente. Esto establece una corres­ pondencia uno a uno entre el conjunto de todos los puntos en el plano xy y el con­ junto de todas las parejas ordenadas. A veces es conveniente hablar del punto (a, b) refiriéndonos al punto cuya abscisa es a y cuya ordenada es b. El símbolo P(a, b) denotará al punto P de coordenadas (a, b). Trazar el punto P(a, b) significa localizar en un plano coordenado al punto de coordenadas (a, b). Este punto se representa por una pequeña marca en forma de un punto en la posición apropiada como se ilustra en (ii) de la figura 1.8. La siguiente afirmación nos proporciona una fórmula para hallar la distancia d(P, Q) entre dos puntos P y Q en un plano coordenado.

12

1 (1.7)

REQUISITOS PARA EL CALCULO

FORMULA DE LA DISTANCIA

La distancia entre cualesquiera dos puntos PI (XI' YI) Y P2(X 2 , Y2) en un plano coordenado está dada por d(P I ,P2) = J(X2 - XI )2

+ (h

- YI)2,

Demostración. Si XI =1= X2 Y YI =1= Y2' entonces, como se ilustra en la figura 1.9, los puntos PI' P2 Y p) (X 2 , YI) son los vértices de un triángulo rectángulo, Por el teorema de Pitágoras, [d(p¡.Pl)]l

Si usamos que d(PI , p) fórmula deseada,

=

=

[d(p¡,p)]l

+

[d(p),Pl)]l,

IX 2 - xII Y que d(P) , P2 )

: I

..

=

IY2 -

yJ1

obtenemos la

x 1.1'2 -, y 1I

I

P,!.I'" Yd

-----------

P;¡(X2, ,\',)

Figura /.9 Si YI = h entonces los puntos PI y P2 están sobre la misma recta horizontal y d(PI ,P2 )

Análogamente, si vertical y

XI

= ¡x z - xtl =

(Xl - X¡)2,

= X 2 entonces los puntos se hallan sobre la misma recta d(P¡. Pl )

= IY2

- Y11

= J(Yl

- .\'1 )2,

Estos son casos particulares de la fórmula de la distancia, Aunque aquí mencionamos la figura 1.9, el argumento que usamos en esta demostración de la fórmula de la distancia es independiente de las posiciones de los puntos PI y P2 • Ejemplo 1

Demuestre que el triángulo con vértices A(-I, -3), B(6, 1) Y C(2, -5) es un trián­ gulo rectángulo y encuentre su área,

Solución

Por la fórmula de la distancia, d(A, B) = J( -1 - 6)2

+ (- 3 ­ 1)2 = J49 + 16 = .j65

SISTEMAS COORDENADOS EN DOS DIMENSIONES d(B,

C) = y/(6 - 2)2 + (1 + 5)2 = /16 + 36 =

d(A,C) = y/(-I - 2)2

+ (-3 + 5)2 =

1.2

13

y''52

/9 + 4 = y!J3.

Por lo tanto [d(A, B)]2 = [d(B, C)]2 + [d(A, C)]2; es decir, el triángulo es un triángulo rectángulo con hipotenusa AB. El área es (1/2)J52JT3 = 13 unidades cuadradas. Es fácil obtener una fónnula para el punto medio de un segmento. Sean PI (XI' YI) Y P2 (X 2 , Yz) dos puntos en un plano coordenado y sea M el punto medio del. segmento PI P2 • Las rectas paralelas al eje y que pasan por PI' P2 Y MI se inter­ secan con el eje X en A I (x l' O), A 2 (X 2 , O) y M respectivamente. Sabemos de la geome­ tría plana que la recta paralela al eje y que pasa por M biseca al segmento Al A 2 . (Vea la figura 1.10). Si XI < x 2 entonces x 2 - XI > O y por lo tanto d(A I , A 2) = X 2 - XI' Como MI es el punto medio de A I A 2 , la abscisa de MI es

x,

+ ·HX2 - x¡) = =

+ 1X2 -1x I t + tX 2 Xl + X2 Xl

Xl

2 Concluimos que la abscisa de M también es (Xl + x2)/2. Se puede mostrar de manera similar que la ordenada de M es (Yl + Yz)/2. Más aún, estas fórmulas son válidas para todas las posiciones de PI y P2 • Esto nos da el resultado siguiente. (1.8)

FORMULA DEL PUNTO MEDIO

El punto medio del segmento de recta entre PI (XI' Yl) Y P2 (X2, Y2) es (

X1 +X2 YI+Y2)

2

'

2

.

Figura 1.10

Ejemplo 2

Encuentre el punto medio M del segmento de recta comprendido entre PI (- 2, 3) Y P2 (4, -2). Trace los puntos PI' P2 , M Y verifique que d(P1 , M) = d(P2 , M).

14 Solución

REQUISITOS PARA EL CALCULO

Aplicando (1.8), se obtienen las coordenadas de M

(-\+4,3+~-2))

(l,~).

o

Los tres puntos PI' P2 Y M están trazados en la figura 1.11. Usando la fórmula de la distancia obtenemos d(PI,M)

= j(-2 -

d(P2,M)

= j(4 ­

1)2

1)2

+

(3 - i)2 = j9

+ (-2 ­

i)2

+(~) =

J61/2

= j9 + (~) = J61/2

Por lo tanto d( PI' M) = d( P2 , M). Si Wes un conjunto de parejas ordenadas, entonces podemos hablar del punto P(x, y) en un plano coordenado correspondiente a la pareja ordenada (x, y) en

W. La gráfica de Wes el conjunto de todos los puntos que corresponden a las pa­ rejas ordenadas en W. La frase "dibujar la gráfica de W" significa esbozar en un plano coordenado los rasgos geométricos importantes de la gráfica de W.

Ixl

~

Iyl

~

Ejemplo 3

Describa la gráfica de W = {(x, y):

Solución

De (1.4) se sabe que las desigualdades indicadas son equivalentes a - 2 < x < 2 y - 1 ~ Y ~ l. Por lo tanto la gráfica de W consta de todos los puntos dentro de la región rectangular mostrada en la figura 1.12 incluyendo los puntos sobre la frontera.

2,

l}.

y

y

3

2

P¡(-2,3)

1

2

-3 -2

3

x

-1

-2 !(x, y):

Figura I.JI

Ix 1" 2,

Iy 1,;;; 1I

Fi¡:ura 1.12

Ejemplo 4

Dibuje la gráfica de W = {(x,y): y = 2x - 1}.

Solución

Primero hallamos algunos puntos con coordenadas (x, y) tales que la pareja orde­ nada (x, y) esté en W. Conviene hacer una tabla con estas coordenadas como se muestra a continuación, de manera que el valor de y correspondiente al número real x sea igual a 2x - 1.

SISTEMAS COORDENAooS EN OOS DIMENSIONES x

-2

-1

y

-5

-3

O -1

1.2

15

2 3 3

5

Después de trazar los puntos con estas coordenadas, observamos que todos están sobre una línea recta y dibujamos la gráfica de acuerdo con esta observación. (Vea la figura 1.13.) En general los pocos puntos que trazamos no serían suficientes para esbozar la gráfica; sin embargo, en este caso sencillo podemos estar razona­ blemente seguros de que la gráfica es una recta. En la siguiente sección demos­ traremos que nuestra conjetura es correcta. y

x

v=2x-11

Figura /./3

Las abscisas de los puntos en los cuales una gráfica interseca al eje x se llaman abscisas al origen de la gráfica. Análogamente, las ordenadas de los puntos en los cuales una gráfica interseca al eje y se llaman las ordenadas al origen. En el ejemplo 4, hay una abscisa al origen, 1/2, y una ordenada al origen, -l. Es imposible dibujar la gráfica completa en el ejemplo 4 ya que x puede tomar valores tan grandes como se desee. De todas maneras frecuentemente llamamos a un dibujo del tipo de la figura 1.13 la gráfica de Wo un dibujo de la gráfica, sobreen­ tendiendo que el dibujo es únicamente un artificio para visualizar la verdadera gráfica y que la recta no termina como en la figura. En general el dibujo de una gráfica debe ilustrar una parte suficientemente grande de la gráfica de manera que las partes restantes sean evidentes. La gráfica en el ejemplo 4 está determinada por la ecuación y = 2x - 1 en el sentido de que para todo número real x, la ecuación se puede usar para encontrar un número y tal que (x, y) esté en W Dada una ecuación en x y y decimos que una pareja ordenada (a, b) es una solución de la ecuación, si se obtiene una igualdad al reemplazar x con a y y con b. Por ejemplo (2, 3) es una solución de y = 2x - 1 ya que al reemplazar x con 2 y Y con 3 obtenemos 3 = 4 - 1, o 3 = 3. Se dice que dos ecuaciones en x y y son equivalentes, si tienen exactamente las mismas solu­

16

1

REQUISITOS PARA EL CALCULO

ciones. Las soluciones de una ecuación en x y y determinan un conjunto S de parejas ordenadas. Definimos la gráfica de la ecuación como la gráfica de S. Observe que las soluciones de la ecuación y = 2x - 1 son las parejas (a, b) tales que b = 2a - 1 Y por 10 tanto el conjunto de las soluciones es idéntico al conjunto W dado en el ejemplo 4. En consecuencia la gráfica de la ecuación y = 2x - 1 es la misma que la gráfica de W. (Vea la figura 1.13.) Para algunas de las ecuaciones que encontraremos en este capítulo, el método que usaremos para dibujar la gráfica consistirá en trazar tantos puntos como sea necesario para llegar a observar algún modelo y luego dibujar la gráfica de acuerdo con este modelo. Esto obviamente es una manera burda (y frecuentemente inexacta) de obtener la gráfica; sin embargo, este método se usa con frecuencia en cursos elementales. A medida que progresemos en este libro introduciremos otros méto­ dos que nos permitirán dibujar gráficas más exactas sin tener que trazar muchos puntos. Ejemplo 5

Solución

Dibuje la gráfica de la ecuación y = x 2 • Para obtener la gráfica es necesario trazar más puntos que en el ejemplo anterior. Incrementando las abscisas sucesivamente por 1!2 obtenemos la siguiente tabla. 5

-2

-~

25

4

4'

x

-3

-~

JI

9

4'

3

-1

9

1

O

1 ~

1

O

4'

-~

4'

1

5

3

25

9

-1

3

2

~

9

4

4'

4'

Con valores grandes de x se obtienen valores aún más grandes de y. Por ejemplo los puntos (3,9), (4,16), (5,25) y (6,36) están sobre la gráfica y también (- 3,9), ( - 4, 16), ( - 5, 25) Y ( - 6, 36). Trazando los puntos dados en la tabla y dibujando a través de ellos una curva lisa obtenemos el dibujo de la figura 1.14, donde únicamente marcamos los puntos con coordenadas enteras. La gráfica en el ejemplo 5 se llama una parábola. El punto inferior (O, O) se llama el vértice de la parábola y decimos que la parábola se abre hacia arriba. Si la gráfica estuviese invertida, como sería el caso para y = _x 2 , entonces la parábola se abriría hacia abajo. El eje y se llama el eje de la parábola. Discutiremos en detalle las parábolas y sus propiedades en el capítulo 7 donde se mostrará que la gráfica de cualquier ecuación de la forma y = ax 2 + bx + e con a i= O es una parábola. El ejemplo siguiente ilustra un caso particular de esta ecuación con a = -1, b = 2 yc = O.

Ejemplo 6

Dibuje la gráfica de la ecuación y = 2x - x 2 •

Solución

Tabulando las coordenadas (x, y) de varios puntos sobre la gráfica obtenemos la tabla siguiente.

x

-2

-1

O

2

3

4

y

-8

-3

O

O -3

-8

La gráfica está dibujada en la Figura 1.15.

SISTEMAS COORDENADOS EN DOS DIMENSIONES

17

1.2

,1'

(-3,9)

(3,9)

(o.

O) I

(-2. -8)

1

..

(4, -8)

x

(O, O)

Figura /./5

Figura /.14

Si C(h, k) es un punto en un plano coordenado, entonces se puede definir el círculo con centro en e y con radio r como la colección de todos los puntos en el plano que distan r unidades de C. Como se muestra en (i) de la figura 1.16, un punto P(x, y) se encuentra sobre el círculo si y sólo si d( e, P) = r o bien, apli­ cando la fórmula de la distancia, si y sólo si ./(x - h)2

+ (y

- k)2

=

r.

La ecuación equivalente (X_h)2+(y_k)2=r 2,

(1.9)

r>O,

se llama la ecuación canónica de un círculo de radio r y centro C(h, k). Si h = O Y k = O esta ecuación se reduce a x 2 + y2 = r 2 que es la ecuación de un círculo con radio r y centro en el origen. (Vea (ii) de la figura 1.16.) Si r = 1, la gráfica de (1.9) se llama un círculo unitario. y y

x

Figura /.16

(-r, O)

(r, O)

x

18

1

Ejemplo 7

Encuentre la ecuación del círculo con centro C(- 2, 3) que pasa por el punto D( 4, 5).

Solución

Como D está sobre el círculo, el radio r es igual a d(C, D). Por la fórmula de la distancia,

REQUISITOS PARA EL CALCULO

r

= J(-2 - 4)2 + (3 - 5f =

Aplicando (1.9) con 11 = - 2

J36+4 =

j40.

Y k = 3 obtenemos

(X+2)2+(y-3)2=40 o equivalentemente x2

+ y2 + 4x

- 6y - 27 = O.

Efectuando las operaciones indicadas en (1.9) y simplificando obtenemos una ecuación de la forma x 2 + y2

(1.10)

+ ax + by + c = O.

Inversamente, dado (1.10) podemos completar los cuadrados en x y y, y obtener una ecuación de la forma (x - h)2

+ (y

- k)2 = 1

donde 11, k Y I son números reales. Este método se ilustra en el ejemplo. 8. Si I > 0, entonces la gráfica es un círculo con centro (h, k) Y radio r = JI. Si I = O, la única solución de la ecuación es (h, k) Y por lo tanto la gráfica consta de un solo punto. Finalmente, si I < O no hay soluciones y en consecuencia no hay gráfica. Esto prueba que la gráfica de (1.10), cuando existe, es un circulo o un punto. Ejemplo 8

Encuentre el centro y el radio del círculo cuya ecuación es x2

Solución

+ y2 -

4x

+ 6y -

3 = O.

Comenzamos arreglando los términos de la ecuación como sigue:

) + (y2 + 6y

) = 3.

En seguida completamos los cuadrados sumando los números adecuados dentro de los paréntesis. Es claro que para obtener ecuaciones equivalentes, tenemos que sumar dichos números a ambos lados de la ecuación. Para completar el cuadrado de una expresión de la forma x 2 + ax, sumamos a ambos lados de la ecuación el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, es decir (a/2)2. Análogamente para completar el cuadrado en la expresión y2 + by, sumamos (b/2)2 a ambos lados. Esto nos lleva a (x 2

-

4x

+ 4) + (y2 + 6y + 9) = 3 + 4 + 9

o (x - 2f

+ (y + 3)2

=

16.

Aplicando (1.9) vemos que el centro es (2, - 3) y el radio es 4.

1.2

SISTEMAS COORDENADOS EN DOS DIMENSIONES

19

1.2 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 6 encuentre: (a) la distancia d(A, B) entre los puntos A y B, Y (b) el punto medio del segmento AB.

4

A(6, -2), B(2, 1)

2

A(-4, -1), B(2,3)

3

A(0,-7),B(-1,-2)

A(4,S),B(4, -4)

5

A(-3,-2),B(-8,-2)

6

A(II,-7),B(-9,O)

En los ejercicios 7 y 8 demuestre que el triángulo con vértices A, B Y e es un triángulo rectángulo y encuentre su área. 7

8

A(-3A), B(2. -1), C(9,6)

A(7,2), B(-4,0), C(4,6)

En cada uno de los ejercicios del 9 al 14 dibuje la gráfica del conjunto de parejas ordenadas W. 9

W={(x,y):x=4}

10

W = 1(x,y):y = -3)

12

W={(x,y):xr=O}

13

W

= {(x,Y):lxl < 2Jrl > IJ

11

IV = j(x, r): xy < OJ

14

W

= {(x,Y):lxl > I.lyl:S;

2:

En cada uno de los ejercicios del 1S al 32 dibuje la gráfica de la ecuación.

15

.1'= 3x

19

y

23 27 31

+

+3

16

.1'= 4x - 3

17

r= -2x

2x 2 - 1

20

2 .1'= _x + 2

21

4.1' = x

.1'=

-1 X3

24

y = :\-x 3

25

J' = x 3

y =

"r;

28

.1'=

29

r=\,~

32

4x 2 + 4.1'2 = 25

=

x2

+ y2

I

= 16

fi-

I

2

2

-

= 2 - 3x

18

l'

22

3.1'

26

Y = 2 - x 3

30

r=v~

+ x 2 = O

En cada uno de los ejercicios del 33 al 40 encuentre una ecuación del circulo que satisfaga las condiciones dadas. 33

Centro C(3, - 2), radio 4

34

Centro C( - S, 2), radio S

35

Centro en el origen, pasa por P( - 3, S)

36

Centro C( - 4, 6), pasa por P(l, 2)

37

Centro C( -4,2), tangente al eje x

38

Centro C(3, - S), tangente al eje y

39

Extremos de un diámetro A(4, - 3) Y B( - 2,7)

40

Tangente a ambos ejes, centro en el primer cua­ drante, radio 2

En cada uno de los ejercicios del 41 al 46 encuentre el centro y el radio del circulo con la ecuación dada.

41

x2

43

x 2 + .1'2 + 6x = O

45

2x 2 + 21'2 - x

+ / + 4x -

6.1'

+4= O

+ l' -

3= O

42

x2

44

x

46

2

9x

+ .1'2

- 10x

+ 2y + 22

+ / + x + J' 2

+ 91'2

- 6x

= O

- I = O

+

121' - 31 = O

20

REQUISITOS PARA EL CALCULO

1.3

LA LINEA RECTA El siguiente concepto es fundamental para el estudio de las líneas rectas. Todas las líneas rectas a las que nos referimos están en un plano coordenado fijo. Como es costumbre, usaremos frecuentemente el término recta en lugar de línea recta.

(1.11)

DEFINICION

Sean I una linea recta no paralela al eje y, y Pi (X l' YI) Y P2 (x 2 , Y2) dos puntos diferentes sobre l. Entonces la pendiente m de I esta dada por m=

Y2 -

)'1

X2 -

XI

Si I es paralela al eje y, entonces no está definida su pendiente.

El numerador Y2 - YI en la fórmula para m, mide el cambio en la dirección vertical al movemos de PI a P2 y el denominador X 2 - XI mide el cambio hori­ zon tal al ir de PI a P2 . Para encon trar la pendien te de una recta no importa cuál de los puntos se llama PI y cuál P2 ya que

.\ 2 -

.\ I

.\ I -

.\ 2

En consecuencia podemos suponer que los puntos están numerados de manera tal que XI < X 2 como en la figura 1.17. En este caso X 2 - XI > O y por lo tanto la pendiente es positiva, negativa o cero si)'2 > YI' )'2 < )'1 o Y2 = YI respectivamente. La pendiente de la recta que se muestra en (i) de la figura 1.\ 7 es positiva mientras que la pendiente de la recta en (ii) de la figura es negativa. La pendiente es cero si y sólo si la recta es horizontal. Si la pendiente es positiva, entonces a medida que crecen las abscisas de los puntos, también crecen las ordenadas y decimos que la y

x

(i)

Pendiente positiva

(ii)

Figura /./7

Pendiente negativa

LA LINEA RECTA

1.3

21

recta sube. Si la pendiente es negativa, entonces a medida que las abscisas crecen, las ordenadas correspondientes decrecen y decimos que la recta baja. Es importante notar que la definición de pendiente no depende de los dos puntos que se eligen sobre 1, ya que si se usan otros puntos P{(x;,y;) y Pí(X;,Yí), entonces como se ve en la figura 1.18, el triángulo con vértices P{, Pí y P;(x~,y;) es semejante al triángulo con vértices PI' Pl Y P3 (Xl' YI)' Como las razones de lados correspondientes son iguales concluimos que Y2 - y¡

y; - y'¡

x2

x; - x'¡ .

-

X I

y

I

I I

I

I

--t------· p/ I I I

I

-----4

P" x

Figura 1.18

Ejemplo 1

Dibuje las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos y halle sus pendientes. (a) A( -1,4) (b)A(2,5) (c) A{4,3) (d) A(4, -1)

Solución

Y B(3,2)

yB(-2,-I)

y B(-2,3) Y B(4,4)

Las rectas están dibujadas en la figura 1.19. Usando la definición (1.11) obtenemos las pendientes para los incisos (a), (b) y (c).

-2 4

1 2

(a)

m=

2-4 3 - (-1)

(b)

m=

5 - (-1) 2 - (-2)

(c)

m=

3- 3 O =-=0 -2-4 -6

--

-

6 4

= - =­

3 2

(d) La pendiente no está definida ya que la recta es vertical. Esto también se ve al intentar usar (1.11), ya que el denominador Xl - X ¡ es cero.

22

REQUISITOS PARA EL CALCULO .1'

x

x

m = -1/2

(i)

(ii)

y

8(-2.3)

m

= y

A (4,3)

8(4,4)

x

(iii)

3/2

x

t

m = O

(iv)

;1(4, -1)

m no está definida

Figura 1.19 (1.12)

DEFINICION

Sea I una recta no paralela al eje x y P el punto de intersección de I con el eje x, Entonces la inclinación de I es el ángulo CJ. más pequeño tal que al girar el eje x alrededor de P en sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj éste coincida con l. Si I es paralela al eje x, entonces CJ. = O°. Si I no es horizontal, entonces 0° < CJ. < 180°. La recta mostrada en (i) de la figura 1.20 ilustra el caso en el que 0° < CJ. < 90° y la recta en (ii) ilustra el caso en el que 90° < CJ. < 180°. Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma in­ clinación. El siguiente teorema muestra la conexión entre la pendiente y la inclinación de una recta. En la demostración usaremos la definición de la tangente de un ángulo. En el apéndice lB se encuentra un repaso de éste y de otros conceptos de trigono­ metría.

LA LINEA RECTA

y

y

x

x

(ii)

(i)

Figura 1.20.

(1.13)

TEOREMA

23

1.3

Inclinación

r:t.

de una recta.

Si una recta tiene pendiente m e incli­ nación r:t., entonces m = tan r:t..

Demostración. Si la recta es horizontal entonces m = OYr:t. = 0° y como O = tan 0°, el teorema es cierto. En la figura 1.21 está dibujada una recta típica cuya inclinación es un ángulo agudo. Como se ilustra en la figura, sea l' una recta que pasa por el origen paralela a l. Elija cualquier punto (x, y) sobre l' con y > o. Si (XI,YI) y (X 2,Y2) son puntos distintos sobre 1 con Y2 > Y1' entonces usando la semejanza de los triángulos y la definición de tangente de un ángulo obtenemos

x

Figura 1.21

24

REQUISITOS PARA EL CALCULO

m = Y2 - YI = L- = tan a. X2 -

XI

X

Se puede dar un argumento parecido cuando a no es agudo.

(1.14)

Dos rectas con pendientes mi Y m 2 son paralelas si y sólo si mi = m 2 .

COROLARIO

Demostración. Si las rectas tienen inclinaciones al Y 11. 2 entonces son paralelas si y sólo si al = 11.2 o equivalentemente si y sólo si tan al = tan 11. 2 , El corolario se deduce del teorema (l.l3).

( 1.15)

TEOREMA

Demostración. Si teorema (1.13)

Dos rectas con pendientes mi Y m 2 son per­ pendiculares si y sólo si mi m 2 = -1. al

Y 11. 2 denotan las inclinaciones de las rectas, entonces por el mi

= tan

y

al

Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que 11. 2 > al como se muestra en la figura. 1.22. Si () es el ángulo indicado en la figura, entonces

x

Figura 1.22

Usando una identidad trigonométrica,

tan O = tan (a2

tan 11.2 - tan al

1 + tan al tan a2

- a ¡) = - - - - - ­

o

tanO =

m2 - mi . 1 + m 1m2

Por definición las rectas son perpendiculares si y sólo si () = 90° o, equivalentemente, si y sólo si tan () no está definida. Sin embargo, por la fórmula anterior, tan () no

LA LINEA RECTA

1.3

25

está definida si y sólo si 1 + m l m 2 = O o m l m 2 = -1, que es lo que queríamos demostrar. Aunque hablamos de la figura 1.22, se puede usar un argumento seme­ jante independientemente de las magnitudes de a I y a 2 , o del punto donde se in­ tersecan las rectas.

Ejemplo 2

Demuestre que el triángulo con vértices A(-I, -3), B(6, 1) Y C(2, -5) es un triángulo rectángulo.

Solución

Si mi es la pendiente de la recta que pasa por B y C y m 2 es la pendiente de la recta que pasa por A y C, entonces por la definición (1.11) mi =

1 - (- 5) 3 6 _ 2 = 2;

m2 =

- 3 - ( - 5) -1 - 2

2 3

Como m l m 2 = -1, el ángulo en C es recto. La ecuación y = b donde b es un número real puede considerarse igual a la ecuación O . x + y = b en dos variables x y y. Las soluciones son todas las parejas ordenadas de la forma (x, b) donde x tiene cualquier valor y b es fijo. Concluimos que la gráfica de y = b es una línea recta paralela al eje x cuya ordenada al origen es b. Análogamente la gráfica de la ecuación x = a es una recta paralela al eje y cuya abscisa al origen es a. Las gráficas están dibujadas en la figura 1.23.

--+------1---)' = (O, h)

(a, O)

h

x

x=a

Figura 1.23

Hallemos ahora una ecuación de la recta I con pendiente m que pasa por el punto PI (x l' y 1) (únicamente existe una recta tal). Si P(x, y) es cualquier punto con x # XI' entonces P está sobre I si y sólo si la pendiente de la recta que pasa por PI y P es m, es decir

y - YI --=m. x -

XI

Esta ecuación se puede escribir en la forma

y - YI = m(x - x¡). Note que (XI' y¡) también es una solución de la ecuación anterior y por lo tanto los puntos sobre I son precisamente aquéllos que corresponden a las soluciones.

26

REQUISITOS PARA EL CALCULO

Esta es la ecuación de la recta dados un punto y su pendiente. Nuestra discusión se puede resumir como sigue. (1.16)

FORMA DE LA ECUACION DE UNA RECTA DADAS

UN PUNTO Y SU PENDIENTE

La ecuación de una recta que pasa por P(x l , YI) y tiene pendiente m es

y - YI = m(x - XI)' Ejemplo 3

Encuentre una ecuación de la recta que pasa por los puntos A(I, 7) Y B(-3, 2).

Solución

Por la definición (1.11) la pendiente m de la recta es

s

7-2

m=

1­

4'

(- 3)

Sustituyendo las coordenadas de A en la ecuación en (1.16) obtenemos S y-7=-(x-l) 4

que es equivalente a 4y - 28 = Sx - S

o

S x - 4Y

+

23 = O.

Habríamos obtenido la misma ecuación si hubiéramos sustituido las coordenadas del punto B en la ecuación en (1.16).

Ejemplo 4

Encuentre una ecuación para la mediatriz del segmento comprendido entre A(l, 7) y B(- 3,2).

Solución

Por la fórmula del punto medio (1.8) el punto medio M del segmento AB es (-1,9/2). Como la pendiente de AB es S/4 (vea el ejemplo 3), se sigue de (1.IS) que la pendiente de la mediatriz es -4/S. Aplicando la ecuación en (1.16), Y­

9

-4

2 = -S-(x +

1).

Multiplicando ambos lados por lO y simplificando llegamos a la ecuación + lOy - 37 = O.

8x

La ecuación en (1.16) se puede reescribir como y = mx - mX I de la forma y

+

YI que es

= mx + b

donde b = -mx I + YI' El número real b es la ordenada al origen de la gráfica, lo cual se puede ver tomando x = O. La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta dadas su ordenada al origen y su pendiente. Inversamente, dada una ecuac ión de la forma y = mx + b podemos reescribirla como y - b = m(x ­

O).

LA LINEA RECTA

1.3

27

Comparando con (1.16) vemos que la gráfica es una recta con pendiente m y que pasa por el punto (O, b). Esto nos lleva al siguiente resultado. (1.17)

FORMA DE LA ECUACION DE UNA RECTA DADAS SU PENDIENTE Y SU ORDENADA AL ORIGEN

La gráfica de la ecuación y = mx + b es una recta con pendiente m y ordenada al origen b.

°

Una ecuación de la forma ax + by + c = tal que a y b no son cero simul­ táneamente, se llama una ecuación lineal. Se sigue de la discusión en esta sección que toda línea recta es la gráfica de una ecuación lineal e, inversamente, la gráfica de una ecuación lineal es una línea recta. Por simplicidad usaremos el término la recta ax + by + c = 0, en lugar de la expresión más precisa la recta con ecuación ax + by + c = O. Ejemplo 5

Dibuje la gráfica de la ecuación 2x - Sy = 8.

Solución

Como la gráfica es una línea recta, es suficiente hallar dos puntos sobre la gráfica. Sustituyendo y = en la ecuación obtenemos la abscisa al origen 4, y sustituyendo x = obtenemos la ordenada al origen - 8/S. Esto nos lleva a la gráfica dibujada en la figura 1.24.

°

°

y

x

Figura 1.24

Otro método para obtener la solución consiste en expresar la ecuación dada en la forma (1.17). Para hacerlo primero despejamos el término que contiene a y de un lado de la ecuación obteniendo Sy = 2x - 8.

En seguida dividimos ambos lados por S y obtenemos

2 + (-5 8) .

Y =5 x

Comparando con (1.17) vemos que la pendiente es m = 2/S y que la ordenada al origen es b = - 8/S. Luego podemos trazar la recta que pasa por (O, - 8/S) con pendiente 2/ S.

28

REQUISITOS PARA EL CALCULO

Ejemplo 6

Encuentre una ecuación de la recta que pasa por el punto (5, -7) Y que es paralela a la recta 6x + 3y - 4 = O.

Solución

Expresemos la ecuación dada en la forma (1.17). Primero escribimos

3y

=

-6x

+4

y después dividimos ambos lados por 3, obteniendo y = -2x

4

+ 3'

Comparando esta última ecuación con (1.17) vemos que m = - 2. Del corolario (1.14) se infiere que la pendiente de la recta buscada también es -2. Aplicando

la ecuación de una recta dados un punto y su pendiente (1.16), obtenemos y

+7=

-

2(x - 5)

o equivalentemente y

+ 7 = - 2x + lOor 2x + y

- 3 = O.

1.3 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del 1 al 4 trace los puntos A y B Yencuentre la pendiente de la recta que pasa por A y B. A(-4,6), B(-I, 18)

2

A(6, -2), B(-3, 5)

3

A(-I,-3),B(-1,2)

5

Muestre que A(-3, 1), B(5, 3), C(3,9) Y D( - 5, - 2) son vértices de un paralelogramo.

6

Muestre que A(2, 3), B(5, -1), C(O, -6) Y D( ­ 6,2) son vértices de un trapecio.

7

Muestre que los siguientes puntos son vértices de un rectángulo: A(6, 15), B(II, 12), C(-I, -8),

8

Muestre que los puntos A(I,4), B(6, -4) Y C( - 15, - 6) son vértices de un triángulo rec­ tángulo.

10

Sean A(xl> Yl)' B(x 2, Y2), C(x], h) y D(x 4, Y4) los vértices de un cuadrilátero arbitrario. Mues­ tre que los segmentos de recta que unen los puntos medios de lados adyacentes forman un paralelogramo.

D(-6, -5).

9

Si A( -1, ­ 3), B(4,2) Y C( - 7,5) son tres vér­ tices consecutivos de un paralelogramo halle el cuarto vértice.

4

A(-3,4),B(2,4)

En cada uno de los ejercicios del ll al 20 encuentre una ecuación para la recta que satisfaga las condiciones dadas. 11

Pasa por A (2, - 6), pendiente 1/2.

12

Pendiente - 3, ordenada al origen 5.

13

Pasa por A(-5, -7) y B(3, -4).

14

Abscisa al origen -4, ordenada al origen 8.

15

Pasa por A(8, -2), ordenada al origen -3.

16 Pendiente 6, abscisa al origen - 2.

17

Pasa por A(lO, -6) y es paralela (a) al eje y; (b) al eje x.

18

Pasa por A( -5, 1) Yes perpendicular (a) al eje y; (b) al eje x.

19

Pasa por A(7, -3) y es perpendicular a la recta con ecuación 2x - 5y

=

8.

FUNCIONES

+ 3y

29

1.4

20

Pasa por A (- 3/4, -1/2) y es paralela a la recta con ecuación x

21

Dados A (3, -1) Y B( ­ 2,6) encuentre una ecua­ ción para la mediatriz del segmento AB.

22

Encuentre una ecuación de la recta que biseca el segundo y el cuarto cuadrantes.

23

Encuentre unas ecuaciones para las alturas del triángulo con vertices A (- 3, 2), B(5, 4), C(3, - 8) Y encuentre el punto donde las alturas se inter­ secan.

24

Encuentre unas ecuaciones para las medianas del triángulo del ejercicio 23, y encuentre su punto de intersección.

= 1.

En cada uno de los ejercicios del 25 al 34 use la forma (1.17) para hallar la pendiente y la ordenada al origen de la recta con ecuación dada y dibuje la gráfica de cada una de las rectas. 25 3x - 4y

+8=

+

26

2.1' - 5x = l

27

x

29 Y = 4

30

x+2=(1/2)y

31

5x

33 x=31'+7

34

x-y=O

35 Encuentre un número real k tal que el punto P( -1,2) esté sobre la recta kx + 2y - 7 = O.

36

Encuentre un número real k tal que la recta 5x + ky - 3 = O tenga ordenada al origen - 5.

37 Demuestre que si una recta I tiene abscisa al origen a y ordenada al origen b y tanto a como b son distintos de cero, entonces

38

Demuestre que una ecuación de la recta que pasa por p.(X., Y.) y P1(X1 , Yl) es

O

es una ecuación para 1. (Esta es la forma simé­ trica de la ecuación de una recta.) Exprese la ecuación 4x - 2y = 6 en forma simétrica.

1.4

J

8x = l - 4v

+ 4.1' = 20

32

y =O

Usando .Ia ecuación anterior encuentre una ecuación de la recta que pasa por A (7, -1) Y

h

39 Encuentre todos los valores de r tales que la pendiente de la recta que pasa por los puntos (r, 4) y (1,3 - 2r) sea menor que 5.

28

(y - YI)(X 1 - Xl) = (Yl - YI)(X - Xl)'

~+¿'= 1. (/

2y = O

B(4,6).

40

Encuentre todos los valores de 1 tales que la pendiente de la recta que pasa por (1, 31 + 1) y (1 - 21, 1) sea mayor que 4.

FUNCIONES Uno de los conceptos más útiles en matemáticas es el defunción. Se puede considerar que una función es una regla o correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto X uno y sólo un elemento de un conjunto Y. Por ejemplo sea X el conjunto de libros en una biblioteca y Y el conjunto de los enteros. Si a cada libro le aso­ ciamos su número de páginas, obtenemos una función de X a Y. Observe que puede haber elementos de Y que no estén asociados a ningún elemento de X. En nuestro ejemplo los enteros negativos pertenecen a esta clase, ya que un libro no puede tener un número negativo de páginas. Otro ejemplo es el siguiente. Sean tanto X como y el conjunto IR de los números reales. A cada número real x, asociémosle su cuadrado x 2 • Entonces a 3 le asociamos 9, a - 5/4 le asociamos 25/16, a le asociamos el número 2, etc. Esto determina una función de IR a IR. La siguiente definición resume las observaciones anteriores e introduce algunos ténninos nuevos.

J2

30

1 (1.18)

REQUISITOS PARA EL CALCULO

DEFINICION

Una función f de un conjunto X a un conjunto Yes una regla que asocia a cada elemento x de X un único elemento y de Y. El elemento y se llama la imagen de x bajo f y se denota por f(x). El conjunto X se llama el dominio de la función. El rango de la función consta de todas las imágenes de los ele­ mentos de X. El símbolo f(x) que se usa para el elemento asociado a x se lee "f de x". Algunas veces se dice que f(x) es el valor de f en x. Las funciones se pueden representar pictóricamente mediante diagramas como se muestra en la figura 1.25. Las flechas curvas indican que los elementos f(x), f(IV),f(z) y f(a) de Y están asociados a los elementos x, IV, z y a de X respectivamente.

x

Figura 1.25

Podríamos imaginarnos toda una familia de flechas de este tipo, tales que cada flecha conectara a un elemento de X con un elemento específico de Y. Aunque los con­ juntos X y Yen la figura 1.25 no tienen ningún elemento en común, esto no es un requisito para la definición (1.18). De hecho frecuentemente ocurre que X = Y. Es importante notar que a cada x en X se le asocia exactamente una imagen f(x); sin embargo elementos diferentes como IV y Z en la figura 1.25 pueden tener la misma imagen en Y. Si los conjuntos X y Y de la definición (1.18) son intervalos u otros conjuntos de números reales, entonces podemos usar dos rectas coordenadas 1 y l' para re­ presentar los elementos. Este método se ilustra en la figura 1.26, donde se representan gráficamente las imágenes de dos elementos bajo f

~ ~----"~-~ x

x

a

1

f(x)

f(a)

y

l'

Figura 1.26

Los estudiantes principiantes a veces confunden los símbolos f y f(x) en la definición (1.18). Recuerde quefse usa para representar a la función. No está ni en X ni en Y. Sin embargo f(x) es un elemento de Y, a saber aquel elemento que f le aSigna a x.

FUNCIONES

1.4

31

Se dice que dos funciones fy g de X a Y son iguales y se escribe f = g, siempre y cuando f(x) = g(x) para todo x E X. Por ejemplo, si g(x) = O/2)(2x 2 - 6) + 3 y f(x) = x 2 para todo x en IR, entonces g = f Ejemplo I

Seafla función con dominio IR tal quef(x) = x 2 para todo x E IR. Encuentref(-6), f(.J3) y f(a + b) donde a y b son números reales. ¿Cuál es el rango de f?

Soludó"

Los valores de f (o las imágenes bajo f) se pueden hallar reemplazando a x con números reales en la ecuación f(x) = x 2. Por lo tanto I( -6) = (_6)2 = 36. f(v;J) = (..../"3)2 = 3 y

I(a

+ b)

=

(a

+ b)2

=

a2

+ 2ab + b 2 •

Si T denota el rango de f, entonces por la definición (1.18) T consta de todos los números de la forma f(a) donde a está en IR. Por lo tanto T es el conjunto de todos los cuadrados a 2 donde a es un número real. Como el cuadrado de cualquier número real es no negativo, T está contenido en el conjunto de todos los números reales no negativos. Más aún, todo número real no negativo c es una imagen de f, ya que f(JC) = (JC)2 = c. Por lo tanto el rango de f es el conjunto de todos los números reales no negativos. Para describir una función f es necesario especificar la imagen f(x) de cada uno de los elementos x del dominio. Un método común para hacer esto es usar una ecuación como en el ejemplo l. En este caso es irrelevante qué símbolo se use para la variable, es decir expresiones tales como f(x) = x 2, f(s) = S2, f(t) = 12, etc. todas definen la misma función f Esto es cierto, ya que si a es un número cualquiera en el dominio de f, entonces su imagen a 2 se obtiene independientemente de la expresión que hayamos usado. Algunas veces usamos una de las notaciones X.!. Y,

f:X->Y

o

f:x->I(x)

queriendo decir que f es una función de X a Y. En este caso decimos también que f envía X a Y o que f envía x a f(x). Si f es la función en el ejemplo 1, entonces f envía x a x 2 y podemos escribir f:x -> x 2. Muchas de las fórmulas que aparecen en las matemáticas y las ciencias de­ terminan funciones. Así por ejemplo la fórmula A = nr 2 para el área A de un círculo de radio r, le asocia a cada número real positivo r un único valor A y por lo tanto determina una función f donde f(r) = nr 2. La letra r que representa un número arbitrario del dominio de f, frecuentemente se llama una variable inde­ pendiente. La letra A que representa un número del rango de f, se llama la variable dependiente, ya que su valor depende del número asignado a r. Si dos variables r y A están relacionadas de esta manera, usualmente se usa la frase A es una función de r. Para citar otro ejemplo, si un automóvil viaja a una velocidad uniforme de 80 kilómetros por hora, entonces la distancia d (kilómetros) recorrida en el tiempo I (horas) está dada por d = 801 Ydecimos que d es una función de l. Hemos visto que elementos distintos en el dominio de una función pueden tener la misma imagen. Si las imágenes siempre son diferentes, entonces la función se llama uno a uno.

32

1 (1.19)

REQUISITOS PARA EL CALCULO

DEFINICION

Una función f de X a Yes una función uno a uno si siempre que a entonces fea) =1= f(b) en Y.

=1=

b en X,

Si f es uno a uno entonces cada f(x) en el rango es la imagen de exactamente un x en X. La función ilustrada en la figura 1.25 no es uno a uno ya que los dos elementos diferentes IV y z de X tienen la misma imagen en Y. Si el rango de f es y y si f es uno a uno, se dice que hay una correspondencia uno a uno entre X y Y. En este caso todo elemento de Y es la imagen de exactamente un elemento de X. La asociación de números reales con puntos en una recta coordenada es un ejemplo de una correspondencia uno a uno. Sea f(x) = 3x Sea g(x) = x 2

+ 2 con x real. Demuestre que f es uno a uno. + 5 con x real. Demuestre que g no es uno a uno.

Ejemplo 2

(a) (b)

Solución

(a) Si a =1= b entonces 3a =1= 3b y 3a + 2 =1= 3b + 2 o sea fea) =1= f(b). Por lo tanto f es uno a uno según la definición (1.19). (b) La función g no es uno a uno ya que existen números diferentes en el dominio que tienen la misma imagen. Por ejemplo, aunque -1 =1= 1, tanto g( -1) como g(l) son iguales a 6. Si f es una función de X a X y para todo x se tiene f(x) = x, es decir cada ele­ mento x se envía a sí mismo, entonces a f se le llama la función identidad en X. Una función f es una función constante si exíste algún elemento (fijo) c tal que f(x) = c para cada x en el dominio. Si se representa a una función constante me­ diante un diagrama como el de la figura 1.25, entonces todas las flechas que salen de X terminan en un mismo punto de Y. De aquí en adelante, a menos que se especifique otra cosa, la frase f es una función querrá decir que f es una función cuyo dominio y rango son conjuntos de números reales. Si una función está definida mediante una expresión como en los ejemplos I y 2 Y no se menciona explícitamente cuál es el dominio X, entonces X se considera como el conjunto de todos los números reales para los cuales la ex­ presión dada tiene sentido. Por ejemplo, si f(x) = ¡X/ex - 1), entonces el dominio es el conjunto de todos los números reales no negativos diferentes de l. (¿Por qué?) Si x está en el dominio a veces decimos que f está definida en x, o que f(x) existe. Si S es un conjunto contenido en el dominio, frecuentemente decimos que / está definida en S. La expresión/no está definida en x significa que x no está en el dominio de! El concepto de pareja ordenada se puede usar para ver a las funciones desde otro punto de vista. Primero observamos que una función f de X a Y determina el siguiente conjunto W de parejas ordenadas: W

= {(x,.f(x)):x está en X}.

Es decir W es el conjunto de todas las parejas ordenadas en las que el primer número está en X y el segundo es la imagen del primero. En el ejemplo I en el cual

FUNCIONES

1.4

33

W consta de todas las parejas (x, x 2 ) donde x es cualquier número real. Es importante notar que para cada x existe exactamente una pareja (x, y) en

f(x)

=

X

2

,

Wen la que el primer número es x. Inversamente, si partimos de un conjunto W de parejas ordenadas tal que cada x en X aparece exactamente una vez como primer número de una pareja ordenada y los segundos números de la pareja son elementos de Y, entonces W determina una función de X a Y. En concreto, para cada x en X existe una única pareja (x, y) en W y si asociamos y con x obtenemos una función de X a Y. Se concluye de la discusión anterior que el enunciado siguiente también se podría usar como una definición de función. Sin embargo preferimos considerarlo como un punto de vista diferente para entender este concepto. (1.20)

OTRA DEFINICION DE FUNCION

Una función con dominio X es un conjunto W de parejas ordenadas tal que para cada x en X, existe exactamente una pareja ordenada (x, y) en W con x como primer número. Se define la gráfica de una función

f como el conjunto de todos los puntos

(x,f(x» en un plano coordenado con x en el dominio dej. Las gráficas son muy útiles para describir el comportamiento de f(x) cuando x varía. También se puede des­ cribir la gráfica de f como el conjunto de puntos P(x, y) tales que y = f(x). Por lo tanto la gráfica de f coincide con la gráfica de la ecuación y = f(x) Y si P(x, y) está sobre la gráfica de f, entonces la ordenada y es el valor de f en x. Es importante notar que, como para cada x en el dominio existe un único valor f(x), entonces existe solamente un punto sobre la gráfica con abscisa x.

Ejemplo 3

Dibuje la gráfica defsuponiendo que (a)f(x) = 2x - 1; (b)f(x) = x 2 ; (c)f(x) = 2x - x 2 •

Solución

La gráfica en (a) consta de todos los puntos (x, 2x - 1) Y por lo tanto es la misma que la considerada en el ejemplo 4 de la sección 2 (vea la figura l.l3). Observe que esta gráfica es igual a la gráfica de la ecuación y = 2x - l. Análogamente las gráficas en (b) y (c) son iguales a las gráficas de las ecuaciones y = x 2 Yy = 2x - x 2 dibujadas en las figuras 1.14 y 1.15 respectivamente.

Ejemplo 4

Dibuje la gráfica de f donde f(x) = x 3 .

Solución

En la tabla siguiente aparecen las coordenadas (x,f(x» de algunos puntos sobre la gráfica.

~f----_2__-_I__-_t_ _O_t I(x)

I- 8

- I

-

k

O

k

2_ 8

Al trazar estos puntos, encontramos que la gráfica tiene la forma mostrada en la figura 1.27.

34

1

REQUISITOS PARA EL CALCULO

(2. 8)

y !(x) =

x - 1

x

x

(l, O)

(·_·2, -8)

Figura 1.27

Figura 1.28

=

~.

Ejemplo 5

Dibuje la gráfica defsuponiendo quef(x)

Solución

Los valores de x tales que x - I < O no están en el dominio de f ya que en este caso f(x) no es un número real. En consecuencia no hay puntos de la forma (x, y) con x < I en la gráfica de f En la tabla siguiente se hace una lista de algunos puntos (x,f(x)) sobre la gráfica. x ¡(x)

2

O

3

4

j2j3

5

6

2fi

Trazando estos puntos llegamos al dibujo mostrado en la figura 1.28. Las abscisas al origen de la gráfica de una función f son las soluciones de la ecuación f(x) = O. Estos números se llaman los ceros de la función. En el ejemplo anterior el número I es un cero de f ya que f(l) = O. En el ejemplo 4 f(O) = O Y por lo tanto O es un cero de f

IxI.

Ejemplo 6

Dibuje la gráfica defsuponiendo quef(x) =

Solución

Si x ~ O entonces f(x) = x y por lo tanto la porción de la gráfica a la derecha del eje y coincide con la gráfica de y = x que es una recta que pasa por el origen y tiene pendiente 1. Si x < O entonces por (1.2) f(x) = Ixl = -x y por lo tanto la porción de la gráfica a la izquierda del eje y coincide con la gráfica de y = -x. La gráfica está dibujada en la figura 1.29.

Ejemplo 7

Dibuje la gráfica de/suponiendo quef(x) = l/x.

Solución

El dominio de f es el conjunto de todos los números reales diferentes de cero. Si x es positivo entonces f(x) también lo es y por lo tanto ninguna porción de la gráfica

FUNCIONES y

35

1.4

y

x x

J{x) =

Figura 1.29

l.

x

Figura 1.30

está en el cuadrante IV. También se excluye el cuadrante 11 ya que si x < Oentonces f(x) < o. Si x está cerca de cero, la ordenada l/x es muy grande en valor absoluto. Al crecer x tomando valores positivos, l/x decrece y está cerca de cero cuando x es muy grande. Análogamente si x toma valores negativos grandes la ordenada l/x toma valores cercanos a cero. Usando estas observaciones y trazando varios puntos obtenemos el dibujo en la figura 1.30.

Ejemplo 8

Describa la gráfica de una [unción constante.

Solución

Si f(x) = c donde c es un número real entonces la gráfica de f es la misma que la gráfica de la ecuación y = c y por lo tanto es una recta horizontal con ordenada al origen c.

Ejemplo 9

Si x es un número real cualquiera entonces existen enteros consecutivos n y n + 1 tales que n :s; x < n + 1. Sea f la [unción de IR a IR definida como sigue: si n :s; x < n + 1 entonces f(x) = n. Dibuje la gráfica de f

Solución

Se puede hacer una lista de las abscisas y ordenadas de los puntos sobre la gráfica de f como sigue: valores de x

f(x)

-2:S;x< -1

-2

-1:S;x
-1 O 1 2

2:S;x<3

36

1

REQUISITOS PARA EL CALCULO

Ya que f se comporta como una función constante cuando x está entre dos valores enteros consecutivos, la porción correspondiente de la gráfica es un segmento de recta horizontal. En la figura 1.31 está dibujada una parte de la gráfica y

y

-

x

x

Figura 1.32

Fil(ura 1.31

Frecuentemente se usa el símbolo [x] para denotar el mayor entero z S x. A veces [x] se llama la parte entera de x. Por ejemplo [1.6] = 1, [J5] = 2, [7t] = 3 Y[ - 3.5] = - 4. Utilizando esta notación, se puede definir la función f en el ejemplo 9 como f(x) = [x]. Llamamos a f la función máximo entero o función parte entera. Algunas veces se describen las funciones en términos de varias expresiones como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 10

Dibuje la gráfica de la función

f definida como sigue: 2X

I(x) =

Solución

{

~2

+3

si x < O SI O S x < 2 si x ~ 2.

Si x < O entonces f(x) = 2x + 3. Esto quiere decir que si x es negativo entonces se debe usar la expresión 2x + 3 para hallar los valores de f(x). Por lo tanto si x < O la gráfica de f coincide con la recta y = 2x + 3 y dibujamos la porción de la gráfica a la izquierda del eje y como se indica en la figura 1.32. Si O s x < 2 usamos x 2 para encontrar los valores de f(x) y por lo tanto esta porción de la gráfica coincide con la gráfica de la ecuación y = x 2 (vea la figura 1.14). Dibujamos ahora la porción de la gráfica de f entre x = O Y x = 2 como se indica en la figura 1.32. Finalmente si x ~ 2 la gráfica de f coincide con la función constante que tiene valor l. Esta parte de la gráfica es la semirrecta horizontal ilustrada en la figura 1.32.

FUNCIONES

1.4

1.4 EJERCICIOS Suponiendo quef(x) = x 3 + 4x - 3 encuentref(l),f(-I),f(O) y f(fl).

2

Suponiendo que f(x) = ~

+

2x encuentre f( 1), f(3), f(5) Y f( l O).

En los ejercicios 3 y 4 encuentre cada uno de los siguientes valores donde a, b y h son

números reales:

(b) JI-a)

(a) f(a)

(e)

(e) {(a) +((h)

3

((xl = 3x 2

(f)

x

-

+ 2

4

-f(a)

(d)

I(a+h)-/(a)

.

.

h

(la + h)

.

sIempre que h #= O

((x) = 1/(x 2 + 1)

En los ejercicios 5 y 6 encuentre cada uno de los siguientes valores: (a)

g(l/a)

(d)

[g(a)

5

J2

g(x) = 1/(x 2

(b)

I(g(a)

(e)

g(a 2 )

(e)

g(\/~)

(f)

"g(a)

+ 4)

6

g(x)

= l/x

En cada uno de los ejercicios del 7 al 12 encuentre el subconjunto más grande de íR que pueda ser el dominio de f

7 ((x) = vf3x - 5 10 {(x) = jx 2

8 f(x) = vf7 - 2x

9

-

11

9 f(x)

x+1

f(x)= -. x 3 - 9x

12

((x) = 2 . 6x

En cada uno de los ejercicios del 13 al 18 encuentre el número x tal que f(x) cuál es el número x tal que f(x) = a? Encuentre el rango de f

13 /(x)

= 7x -

16 /(x)

=

5

14 f(x) = 3x

17 f(x)

l/x

=

4 - x2

=

=

18 /(x)

+7

+

13x - 5

4. ¿Si a > O

15 {(x) =

x 3

4x

=

x -

3

.;/x - 4

En cada uno de los ejercicios del 19 al 26 averigüe si la función fes uno a uno.

19 ((x) = 2x + 9 22 /(x) = 2x 2

-

X -

20 f(x) = 1/(7x + 9) 3

.

23 .f(x) = 26

25 {(xl = Ixl

V

r x

21 ((x) = 5 - lx 2 24 ((x) = x 3

{(x) = 4

Una función f con dominio X se llama (i) par si /( -a) = f(a) para todo número a en X o (ii) impar si f( - a) = - f(a) para todo a en X. En cada uno de los ejercicios del 27 al 36 averigüe si f es par, impar o ninguna de las dos cosas.

27 f(.x) = 3x 3

-

4x

28 ((x)

30 /(x) = 2x 5

-

4x 3

31

2x 2

-

3x

33 ((.x)

=

+4

= 7x

4

-

x2

/(x) = 2

34 f(x) =

,,17+1

+7

29 f(x) = 9 - 5x 2 32 /(x) = 2x 3 + x 2 35

/(x) =

3

x.'-=4

37

38 36

REQUISITOS PARA EL CALCULO ((x) =

Ixl + 5

En los ejercicios del 37 al 60 dibuje la gráfica y encuentre el dominio y el rango de f

37 ((x) = -4x + 3

38 ((x)

= 4x -

40 ((x) = 3

41

= 4 - x2

42 ((x)

I(x)

39

3

((x) = =

3

+

-(4

x2)

4 - x 2

' 44 ,f(.\)

= V~ X - 4

45

f(x) = l/(x - 4)

46 I(x) = 11(4 - x)

47 f(x)

= I (x - 4)2

48

j(x)=-I{(x-4)1

49 I(x) = Ix - 41

50

= Ixl - 4

51

I(x) = x/lxl

52 I(x) = x + Ixl

53 I(x) = v '4 - x

54

I(x) = 2 -

43 I(x) =

55 ,I(x) =

57 I(x)

=

",1

{-I 1

¡ ¡::

-.~

S\

x
S\

X20

I(x)

56

si x < - 5 si - 5:<:;; x :<:;; 5

{(x)

,

58 ((x) =

5 si x> 5

59

I(x)

=

2x

si x es un entero

.

¡-~ : ~:.~ O

SI X

Xl

si x:<:;; -1

\'

si Ixl < I si x 2 I

60

f(x) =

{

_Xl

X

61 Explique por qué la gráfica de la ecuación x 2

62

I

={

+ yl

=

yr;

si

no es un entero

X

< 1

2 1

si x :<:;; I si I < x < 2 si x 2 2

I no es la gráfica de una función.

(a) Defina una función radio 1.

f

cuya gráfica sea la mitad superior de un circulo con centro en el origen y

(b) Defina una función radio l.

f

cuya gráfica sea la mitad inferior de un circulo con centro en el origen y

1.5

COMBINACIONES DE FUNCIONES En el cálculo y sus aplicaciones es común encontrar funciones que están definidas en términos de sumas, diferencias, productos y cocientes de diferentes expresiones. Por ejemplo si h(x) = x 2 + )5x + I podemos considerar a h(x) como una suma de los valores de l¡ls funciones más simples f y g definidas por f(x) = x 2 y g(x) = J5x + 1. Es natural referirnos a h como la suma de f y g. En general si f y g son funciones cualesquiera y D es la intersección de sus dominios entonces se define la suma de f y g como la función s dada por s(x) = j(x)

+ g(x)

donde x está en D. Es conveniente denotar a s por el símbolo f + g. Como f y g son funciones y no números, el símbolo + que aparece entre f y g no se debe considerar como la suma de números reales. Se usa para indicar que la imagen de x bajo f + g es f(x) + g(x), es decir (f

+

g)(x) = f(x)

+

g(x).

COMBINACIONES DE FUNCIONES

I.S

39

Análogamen te la diferencia f - g y el producto fg de f y g se definen por

= f(x)

- g(x)

y

donde x está en D. Finalmente el cociente

JIg

(f - g)(x)

(l\g) (x) =

(fg)(x)

= f(x)g(x)

de f y g está dado por

¡(x) g(x)

donde x está en D y g(x) '" O. Ejemplo 1

Sean f(x) = ~ y g(x) ducto yel cociente de f y g.

Solución

El dominio de f es el intervalo cerrado [-2, 2J Y el dominio de g es IR. En conse­ cuencia la intersección de sus dominios es [ - 2, 2J Y las funciones pedidas están dadas por

= 3x +

l. Encuentre la suma, la diferencia, el pro­

U + g)(x) = v'4 -

x2

+ (3x + 1),

,,/4 -

x2

-

(f - g)(x) = (fg)(x)

= v/4 -

(fjg)(x)

= ,,/4 -

(3x

+ 1),

+ 1), 2 x /(3x + 1), 2

x (3x

- 2~ x

-2

S;

2

~:< S;

2

-2 ~ x ~ 2

-2 ~ x

S; 2,x '"

-1/3.

Si g es una función constante tal que g(x) = c para cada x y f es una función cualquiera, ef denotará al producto de g y f, es decir (cf)(x) = ef(x) para cada x en el dominio de f Por ejemplo si f es la función del ejemplo 1, tenemos que (cf)(x) = eJ4 - x 2, -2 ~ x ~ 2.

Sea f una función definida por

(1.21)

¡(x) = anx n + an_1x n-

I

+ ... + a1x + ao

para cada x, donde a o , al' ... , a n son números reales y los exponentes son enteros no negativos. La expresión a la derecha en (1.21) se llama un polinomio en x (con coeficientes reales) y cada akxk se llama un término del polinomio. Es costumbre también llamar polinomio a la función f definida por (1.21). Si an "" O decimos que f( o f(x» tiene grado n. Si un polinomio tiene grado O, entonces f(x) = e con e '" O Y por lo tanto f es una función constante. Si algún coeficiente a¡ es cero, frecuentemente abreviamos (1.21) omitiendo el término a¡x i• Si todos los coeficientes de un polinomio son cero, el polinomio se llama el polinomio cero y se denota por O. Es costumbre no asignarle ningún grado al polinomio cero. Sif(x) es un polinomio de grado 1, entoncesf(x) = ax + b con a "" O. Como vimos en la sección 3 la gráfica de f es una línea recta y consiguientemente f se llama una función lineal. Cualquier polinomio de grado 2 se puede escribir como f(x) = ax 2

+ bx + c,

con a "" O. En este caso f se llama una función cuadrática. La gráfica de f o, equi­ valentemente, la gráfica de la ecuación y = ax 2 + bx + e es una parábola.

40

1

REQUISITOS PARA EL CALCULO

Una función racional es un cociente de dos polinomios. Por lo tanto q es racional si para cada x en su dominio J(x) q(x) = h(x)

donde f(x) y h(x) son polinomios. El dominio de un polinomio es IR mientras que el dominio de una función racional consta de todos los números reales exceptuando los ceros del polinomio en el denominador. U na función f se llama algebraica si se puede expresar en términos de sumas, diferencias, productos, cocientes o raíces de polinomios. Por ejemplo si J(x) = Sx'¡ - 2

3 X

x(x 2 + S) + -r==== 3 x + JX

entonces f es una función algebraica. Las funciones que no son algebraicas se de­ nominan trascendentes. Las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas que se considerarán posteriormente en el libro, son ejemplos de funciones tras­ cendentes. Concluiremos esta sección describiendo un método importante para obtener una función a partir de otras dos funcíones fy g. Suponga que X, Y YZ son conjuntos de números reales, que f es una función de X a Y y que g es una función de Y a Z. En términos de la notación con flechas introducida en la sección 1 tenemos X~y~Z

es decir. f envía X a Y y g envía Y a Z. Se puede definir una función de X a Z de una manera natural. Para cada x E X el número f(x) está en Y. Como Yes el dominio de g, podemos encontrar la imagen de f(x) bajo g. Este elemento en Z se denota por g(f(x)). Al asociar g(f(x») con x obtenemos una funcíón de X a Z que se llama la función g compuesta con f. Esto se ilustra geométricamente en la figura 1.33 donde representamos el dominío X defsobre una recta coordenada /, el dominio y de g (y también el rango de f) sobre una recta coordenada /' y el rango de g sobre una recta coordenada /". La flecha punteada indica la correspondencia entre X y Z. Algunas veces usamos el símbolo operacional o y denotamos la función g compuesta con f por g o f. La siguíente definíción resume esta discusión. (1.22)

DEFINICION

Si f es una función de X a Y y g es una función de Y a Z, entonces la función compuesta g o f es la función de X a Z dada por (g o f)(x)

= g(f(x))

para cada x en X. En realidad no es necesario que el dominio de g sea todo el conjunto Y sino que y contenga al rango de.f En algunos casos puede ser deseable restringir x a algún subconjunto de X de manera que f(x) esté en el dominio de g. Esto se ilustra

COMBINACIONES DE FUNCIONES

41

1.5

•

1"

Figura 1.33

en el siguiente ejemplo.

+

JX.

Ejemplo 2

Sea f(x) = x - 2 Y g(x) = 5x

Solución

Usando las definiciones de g o j;¡y g,

Encuentre (g o f)(x).

(g of)(x) = g(j(x)) = g(x - 2)

=5(x-2)+~ =

5x - 10

+

x - 2.

El dominio X de fes el conjunto de todos los números reales. Sin embargo la última igualdad implica que (g o f)(x) es un número real sólo si x ~ 2. Por lo tanto para trabajar con g o f es necesario restringir x al intervalo [2, (0). Si X = Y = Z en la definición (1.22), entonces es posible hallar f(g(x)). En este caso obtenemos primero la imagen de x bajo g y luego aplicamos fa g(x). Esto nos da una función compuesta de Z a X denotada por f o g. Por lo tanto por definición (j o g)(x)

= /(g(x)),

para cada x en Z. Ejemplo 3

Sean f(x) =

Solución

Por las definiciones de f

Xl -

I Y g(x) = 3x o

+

5. Encuentre (f o g)(x) y (g

o

f)(x).

g, g y f,

(f og)(x) = /(g(x)) = /(3x =

+

5)

(3x + 5)2 - l

= 9x 2 + 30x + 24. Análogamente, (g of)(x)

= g(f(x)) = g(x 2 = 3(x 2 - 1) + 5 = 3x 2 + 2.

Observe que en el ejemplo 3, f(g(x» fog#gof

-

1)

y g(f(x»

no son iguales, es decir

42

REQUISITOS PARA EL CALCULO

1.5 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del l al 6 encuentre la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las funciones f y g.

= 3x 2 ,g(x) = 1/(2x -

f(x)

2 f(x)

3)

3 ¡(x) = x + I/x,g(x) = x - l/x

= 2x

5 ¡(x)

J

x

-

+ 5,g(x) = x + x + 2 2

En los ejercicios del 7 al 20 encuentre (f o g)(x) y (g 7 ¡(x)

= 2x +

9 ¡(x)

= xJ,g(x) = x +

2

5,g(x)

=4-

7x

o

= Jx + 3,g(x) = Jx + 3 = x J + 3x,g(x) = 3x 2 + l

4

f(x)

6

¡(x) = 7x 4

+ x2

-

I,g(x) = 7x 4

8 ¡(x)

= 1/(3x +

I),g(x)

= 3x 2 + 2,g(x) = 1/(3x 2 + 2)

12 ¡(x)

= 7,g(x) = 4

13 ¡(x)

= j2.;+l,g(X) = x 2 + 3

14 ¡(x)

= 6x - 12,g(x) =

15 ¡(x)

= Ixl,g(x)

16 ¡(x)

=

¡(x)

= -5

18 ¡(x) = 19 f(x)

= 2x -

3,g(x)

x+3

= -2­

+ 4x

= 2/x 2

= #+4,g(x) = 7x 2 +

11

xJ

I)(x).

10 ¡(x)

1

-

20 f(x)

=

p+l,g(x)

l

--~,g(x)

x+1 xJ

-

gx

+2

= xJ +

= x

l

l

+1

I,g(x) = ~~

21 Sean f(x) y g(x) polinomios de grado 5. ¿Puede concluirse que f(x) + g(x) es de grado 5? Ex­ plique su respuesta.

22 Demuestre que el grado del producto de dos polinomios diferentes de cero es ígual a la suma de los grados de los polinomios.

23 Usando la terminología del ejercicio 27 de la sección 4 demuestre que (a) el producto de dos funciones impares es par; (b) el producto de dos funciones pares es par y (e) el producto de una función par y una función impar es impar.

24 ¿Cuáles de los incisos del ejercicio 23 siguen siendo verdaderos si sustituimos la palabra "producto" por la palabra "suma"?

25 Demuestre que toda función con dominio IR se puede escribir como la suma de una función par y una función impar.

26 Demuestre que existe un número infinito de fun­ ciones racionales f y g tales que f + g = fg.

1.6

FUNCIONES INVERSAS En el ejemplo 3 de la sección anterior consideramos dos funciones f y g tales que f(g(x)) y g(f(x» no eran iguales. En algunos casos puede ser que la igualdad sí se cumpla. El caso más importante es el caso en el que f(g(x» y g(f(x» son idén­ ticos y además iguales a x. Sobra decir que f y g tienen que ser funciones muy especiales para que esto ocurra. En la discusión siguiente indicaremos bajo qué condiciones esto se puede lograr. Suponga que f es una funcíón uno a uno con dominio X y rango Y (vea la definición 1.19). Esto implica que cada elemento y de Yes la imagen de exactamente

FUNCIONES INVERSAS

43

1.6

un elemento x de X. Otra manera de decir esto es: cada elemento y de Y se puede escribir de una y sólo una manera en laformaf(x), con x E X. Podemos ahora definir una [unción g de Ya X pidiendo que g(y) = g(.f(x» = x para cada x en X.

Esto se reduce a invertir la correspondencia dada por f Si se representa a f geomé­ tricamente por medio de flechas como en (i) de la figura 1.34, entonces g se puede representar invirtiendo estas flechas como se ilustra en (ii) de la misma figura. Se sigue queg es una [unción uno a uno con dominio Yy rango X. (Vea el ejercicio 16.)

x

X (i)

y

y

y

y

.­

"

Y = f(x)

,'

~

x

X (ii) x

=

g(y)

Figura 1.34

1.34, si f(x) = y entonces x = g(y). Esto

Como se ilustra en la figura significa que f(g(y»

=y

para cada y en Y.

Como no importa la notación que se usa para la variable, podemos escribir f(g(x» = x para cada x en Y.

La [unción f se \lama la función inversa de g y la [unción g se \lama la función in­ versa de f de acuerdo con la siguiente definición. (1.23)

DEFINICION

Si fes una [unción uno a uno con dominio X y rango Y, entonces una [unción g con dominio Y y rango X se \lama la función inversa de f si f(g(x» = x para cada x en Y y g(.f(x»

=

x para cada x en X.

Sólo puede haber una [unción inversa de f(vea el ejercicio 18). Más aún, si g es la [unción inversa de f, entonces por la definición (1.23) (g o f)(x) == x para

44

1

REQUISITOS PARA EL CALCULO

cada x en X, es decir g o / es la función identidad en X. Análogamente, como (f o g)(x) = x para cada x en Y, /0 g es la función identidad en Y. Por esta razón frecuentemente se usa el símbolo /-1 para denotar la función inversa de f Em­ pleando esta notación

(1.24)

r

= x para cada x en X /(f-I(X)) = x para cada x en Y. 1(f(X))

El símbolo -1 en (1.24) no debe confundirse con un exponente, es decir I-I(x) no significa II/(x). La función recíproca I/I(x) se puede denotar por [f(x)] - l. Las funciones inversas son muy importantes en el estudio de la trigonometría. En el capítulo 8 discutiremos otras dos clases muy importantes de funciones in­ versas. Es importante recordar que para definir la función inversa de / es absolu­ tamente indispensable que / sea uno a uno. A veces se puede usar un método algebraico para encontrar la función inversa de una función / que es uno a uno con dominio X y rango Y. Dado x en X, su imagen y en Y se puede hallar mediante la ecuación y = f(x). Para encontrar la función inversa /-1 queremos invertir este procedimiento, en el sentido de que podamos encontrar x dado y. Como x y y están relacionados mediante y = f(x), entonces si de esta ecuación se puede despejar x en términos de y, podemos encon­ trar así la función inversa /- l. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1

Sea /(x) = 3x - 5 para todo número real x. Encuentre la función inversa de f

Solución

No es difícil mostrar que / es una función uno a uno con dominio y rango IR y por lo tanto la función inversa g existe. Sea y = 3x - 5 Si despejamos x en términos de y obtenemos

y+5 .x=--­ 3· Esta última ecuación nos pennite encontrar x dado y. Si l'

+5

g(y) =·-3­

entonces g es una función de Y a X que invierte la correspondencia dada por f Como no importa cuál es el símbolo que se usa para la variable independiente podemos sustituir x por y en la expresión para g obteniendo x

+5

g(x) =-3-.

Para verificar que g es efectivamente la función inversa de j; debemos comprobar que se satisfacen las dos condiciones en la definición (1.23). Así

5)

(x 5)

+ - - 5 = x. X + f(g(x)) =f ( 3- = 3 -3

FUNCIONES INVERSAS

1.6

45

Análogamente g(f(x)) = g(3x - 5) =

(3x - 5) 3

+5

= x.

Esto demuestra que g es la función inversa de f Usando la notación de (1.24), x+5 I-1(x) = -3-'

Ejemplo 2

Encuentre la función inversa de ¡ suponiendo que su dominio X es el intervalo [0, ce) y ¡(x) = x 2 - 3 para todo x en X.

Solución

El dominio se restringió de manera que ¡fuera uno a uno. El rango de¡es el intervalo [- 3, ca). Así como en el ejemplo 1 primero consideramos la ecuación y = x2

-

3.

Despejando x obtenemos

r-­ x = iy'y + 3.

Como x es no negativo descartamos x = rior hacemos

JY+3 y como en

g(y)

= y/y + 3

K(x)

= ,.,Ix + 3.

el ejemplo ante­

o equivalentemente

A continuación comprobamos las dos condiciones en la definición! (1.23) obteniendo I(g(x)) =I(y/x

+ 3) = (,,/x + 3)2

- 3

= (x + 3) - 3 = x

y g(f(x)) = g(x 2

-

3) = y/(x 2

-

3)

+ 3 = x.

Esto demuestra que I-I(x)

= /x + 3, donde

x ~ -3.

Existe una relación interesante entre las gráficas de una función ¡y su función inversa ¡-l. Primero observamos que ¡ envía o a b si y sólo si ¡-I envía b a o; es decir b = ¡(o) significa lo mismo que 0= ¡-I(b). Estas ecuaciones implican que el punto (o, b) está en la gráfica de¡ si y sólo si el punto (b, o) está en la gráfica de f - l. Por ejemplo, en el ejemplo 2 encontramos que las funciones f y¡- I dadas por I(x)=x 2 -3

y

I-I(x)=/x+3

son funciones inversas una de la otra siempre y cuando x esté restringido apro­ piadamente, Los puntos (O, -3), (1, -2), (2,1) Y (3,6) están sobre la gráfica de f Los puntos correspondientes sobre la gráfica de ¡- 1 son (- 3, O), (- 2, 1), (1, 2) Y (6, 3). Las gráficas de ¡ y I están dibujadas en los mismos ejes coordenados en

r

46

1

REQUISITOS PARA EL CALCULO y

y =/(x)

x

/ /

/ /

/

/

/

/

/

/

/

(O. -3)

Figura 1.35

la figura 1.35. Si la página se pliega a lo largo de la recta I que biseca los cuadrantes 1 y III (como lo indica la recta punteada en la figura), entonces las gráficas de ¡ y ¡- I coinciden. Se dice que las dos gráficas son reflexiones una de la otra respecto a la recta con ecuación y = x. Esto es típico de las gráficas de las funciones que tienen función inversa.

1.6 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 4 demuestre que f y g son funciones inversas una de la otra. ¡(x)

=

9x

+

2,g(x)

= (l19)x - 2/9

3 J(x)

=

,,'2x

+ I,x

~ -1/2; g(x) = (1/2)x 2

4 [(x) = 1'(x - 1). x > 1: g(x) = (1

+

2 -

I(x)

= x3 +

I,g(x)

= {/x - I

1/2,x ~ O

X)/X. x> O

En los ejercicios del 5 al 14 encuentre la función inversa de f 5 ./(x)

=

8

+

Ilx

7 j(xl=6-X2.0~X~,,'6

9 ./(x)

= , 7x-2.x~217

11 ./(x) = 7 - 3x 13 j(x) = (x"

+

3

8)5

15 Dibuje en el mismo plano coordenado las grá­ ficas de las funciones f y g dadas en el ejercicio 1, Haga lo mismo para las funciones definidas en el ejercicio 3,

6

I(x) = 11(8

8 J(x)

= 2x

3

+ -

l!x).x > -8111 5

10

I(x) = 'V'I - 4x 2 .0 ~

12

I(x) = x

14 I(x) =

Xl J

X

~ 1/2

+2

16 Sea f una función uno a uno con dominio X y rango Y. Demuestre quel- 1 es una función uno a uno con dominio Y y rango X.

REPASO 17 Demuestre que si a ,¡. O la función lineal dada

18 Demuestre que una función

por I(x) = ax + b tiene una función inversa. ¿Tiene inversa una función constante? ¿Tiene inversa la función identidad? 19 Demuestre que no todo polinomio tiene una

función inversa.

1.7

1.7

47

1 puede tener a lo

más una función inversa.

20 Demuestre que si 1 tiene una función inversa 1-1, entonces 1- 1 tiene una función inversa y (1-1)-1 == f

REPASO

Conceptos Defina o discuta lo siguiente. Números racionales e irracionales

2

Un número real a es mayor que un número real b

3

Recta coordenada

4

Intervalos (abiertos, cerrados, semiabiertos, infinitos)

5

El valor absoluto de un número real

6

Pareja ordenada

8

La abscisa y la ordenada de un punto

7 Sistema coordenado rectangular en un plano

10

La fónnula del punto medio

11 La gráfica de una ecuación en x y en y

12

La ecuación canónica de un circulo

13 La pendiente de una recta

14

La inclinación de una recta

15 La ecuación de una recta dados un punto y su pendiente

16

La ecuación de una recta dadas la pendiente y la ordenada al origen

9

La fónnula de la distancia

17

Función

18

El dominio y el rango de una función

19

Función uno a uno

20

Función constante

21

La gráfica de una función

22

Suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones

23

Polinomio

24

Función racional

25

La función compuesta de dos funciones

26

La inversa de una función

Ejercicios Resuelva las desigualdades en los ejercicios del I al 8. y exprese las soluciones en ténninos de intervalos. 4 - J, > 7

+ 2x

2

7 1- 4x 3 ->--->2 5 2 ~x!

< 5x - 3

4

16x - 71 > l

5

7

l 2 ---<-3x - I x +5

8 x 2 + 4 ~ 4x

J 6

I~x

- 71 :-s; (WI

2x! - 3x - 20

x+3


48 9

REQUISITOS PARA EL CALCULO Dados los puntos A(2, 1), B( -1,4) Y C( - 2, - 3): (a) Demuestre que A, B Y e son los vértices de un triángulo rectángulo y encuentre su área. (b) Encuentre las coordenadas del punto medio de AB. (c) Encuentre la pendiente de la recta que pasa por B y C.

Dibuje las gráficas de las ecuaciones en los ejercicios del 10 al 13. 11

103x-51'=10

Xl

+y

= 4

13

IX

+ .1'1 = 1

En los ejercicios del 14 al 17 dibuje la gráfica del conjunto W.

14 16

w= w=

:(x,y):x >

:(x,I'):x 2

O:

+\.2

< 1:

x:

15

W = {(x,y):y >

17

W=~(.\.I'):lx-41<

1.1\'+31<1:

En cada de los ejercicios del 18 al 20 encuentre una ecuación del círculo que satisfaga las condiciones dadas. 18

El centro es (4, -7) Y pasa por el origen.

19

El centro es (- 4, - 3) Yes tangente a la recta con ecuación x

20

Pasa por los puntos A( - 2,3), B(4, 3) Y C(- 2, -1).

21

Encuentre el centro del círculo cuya ecuación está dada por: Xl

+ yl

-

IOx

+

=

5.

14y - 7 = O.

Dados los puntos A ( - 4, 2), B(3, 6) Y C(2, - 5) resuelva los problemas propuestos en los ejercicios del 22 al 26. 22

Encuentre una ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a la recta que pasa por A y C.

23

Encuentre una ecuación de la recta que pasa por B y es perpendicular a la recta que pasa por A

yc. 24 Encuentre una ecuación de la recta que pasa por e y por el punto medio del segmento AB.

Encuentre una ecuación de la recta que pasa por A y es paralela al eje y.

25

26 Encuentre una ecuación de la recta que pasa por 3x - lOy + 7 = O.

e

y es perpendicular a la recta con ecuación

En los ejercicios del 27 al 30 encuentre el subconjunto más grande de IR que pueda servir como dominio de f

2x - 3 27 I(x) = - , - ­ X" -

29 I(x) = 31

28

X

, - - r.:;-­

30 I(x)

,x-5,,7-x

Sea f(x)

=

(él)

t( 1)

(e)

f(-x)

t(x)=

=

~

v 16 -

Xl

I

v~(X

- 2)

1/,;;+\. Encuentre lo siguiente (b)

1(3)

(r)

-f(x)

(c) 1(0) (g)

I(x

l

)

(d)

f(J2-1)

(h)

(/(X))2

REPASO

1.7

En los ejercicios del 32 al 35 dibuje la gráfica de f 32

f(x) = I - 4x 2

34

f(xl = -I¡(x

+

1)

33

¡(x) = 100

35

f(x) =

Ix + 51

En los ejercicios del 36 al 38 encuentre (f + g)(x), (f - g)(x), (fg)(x), (f/g)(x), (f o g)(x) y o f)(x).

(g

36

f(x)=x 2 +3x+I,g(x)=2x-1

38

{(xl = 5x

+ 2, g(x) =

37

I(x) = x 2

+ 4, g(x)

=

j2.;+ 5

lix 2

En los ejercicios 39 y 40 demuestre que f es uno a uno y encuentre la función inversa de f 39

/Ix)

=

5 - 7x

40

f(x)=4x2+3.x~O

49

2

LIMITES y CONTINUIDAD DE FuNCIONES

El concepto de límite de una función es una de las ideas fundamentales que distinguen al cálculo de otras áreas de las matemáticas como el ál­ gebra o la geometría. Debe advertirse al estudiante que la noción de límite no se llega a dominar fácilmente. En efecto, esfrecuentemente necesario para el principiante estudiar la definición muchas veces, mi­ rándola desde varios puntos de vista. antes de que su significado se aclare. A pesar de la complejidad de la definición, es fácil adquirir intuición para los límites. Con esto en mente, la discusión de la primera sección no es rigurosa. Presentaremos la descripción matemática precisa del límite de unafimción en la sección 2. El resto del capítulo contiene teoremas im­ portantes y otros conceptos referentes a límites.

2.1

INTRODUCCION

En el cálculo y sus aplicaciones a menudo nos interesamos por los valores f(x) de una función f cuando x está muy cerca de un número a, pero no es necesariamente igual a a. De hecho, en muchos casos el número a no está en el dominio de ¡; esto es fea) no está definido. Vagamente hablando, nos hacemos la siguiente pregunta: ¿Si x se acerca más y más a a (pero x # a), f(x) se acerca también cada vez más a algún número L? Si la respuesta es sí decimos que el límite def(x), cuando x tiende a a, es igual a L, y escribimos (2.1)

limf(x)

=

L.

x ..... a

Como una ilustración de (2.1), supongamos que un físico desea medir cierta cantidad cuando la presión de aire es cero. Como es imposible lograr un vacío perfecto en un laboratorio, una manera natural de abordar el problema es medir dicha cantidad a presiones cada vez más pequeñas. Si al acercarse a cero la presión, las mediciones correspondientes se acercan a un número L, entonces puede su­ ponerse que la medición en el vacío sería también L. Más aún, si se encuentra que para una presión de x g/cm 2 (o Ibs/pulg 2 ) la cantidad está dada por f(x), donde f es una función, entonces este resultado experimental se puede expresar como

50

INTRODUCCION

Iim ¡(x)

=

51

2.1

L.

x-o

Nótese que en este experimento la presión x nunca es igual a O; sin embargo los equipos modernos para hacer vacío pueden lograr presiones muy cercanas a cero. Un quimico usa un proceso semejante para medir la conductibilidad equivalente de una solución de cloruro de sodio en una celda eléctrica. Por definición, la conductividad k de la solución está dada por k = b/R, donde R es la resistencia de la celda y b es una constante que depende de la celda. La conductividad es una medida de la habilidad de una solución para conducir corriente eléctrica. Si la resistencia R es grande, entonces la conductividad k es pequeña; si R es pequeña, entonces k es grande. Si la solución tiene una concentración de moles por litro, entonces la conductibilidad equivalente E c se define por

e

k

b

Ec = - = - .

e Re

Para aprender algo acerca del movimiento de los iones en la solución, es necesario estudiar los valores de E c en soluciones sumamente diluidas. Esto lleva al físico­ químico a investigar el valor límite E de la conductibilidad equivalente de la solución dado por E

= Iim Ec . c~o

Este número se llama también la conductibilidad equivalente en dilución infinita. De nuevo, note que no podemos hacer = 0, porque entonces no habría cloruro de sodio en la solución y E c no existiría. Consideremos ahora una ilustracíón matemática de (2.1). En geometría plana la recta I tangente a un punto P sobre un círculo a veces se define como la recta que tiene solamente al punto P en común con el circulo, como se ilustra en la parte (i) de la figura 2.1. Esta definición no puede extenderse a gráficas arbitrarias, ya que una recta tangente puede intersecar a una gráfica varias veces como se muestra en la parte (ii) de la figura 2,1.

e

\'

x

(ii)

(i)

Figura 2.1

52

2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Para definir la recta tangente 1 en un punto P sobre la gráfica de una ecuación, es suficiente dar la pendiente m de 1, ya que ésta determina completamente a la recta. Para obtener m escogemos cualquier otro punto Q sobre la gráfica y con· sideramos la recta que pasa por P y Q, como en (i) de la figura 2.2. Una recta que corta a una gráfica de este modo se llama una recta secante a la gráfica. Después estudiamos la variación de la secante cuando Q se acerca cada vez más a P, como se ilustra con las lineas punteadas en (ii) de la figura 2.2. Se ve que si Q está cerca de P, entonces la pendiente m pQ de la recta que pasa por P y Q debe estar cerca de la pendiente de l. Por esta razón, si m pQ tiene un valor límite m cuando Q se aproxima a P, definimos la pendiente de 1como este valor m si a es la abscisa de P y x es la abscisa de Q (vea (i) de la figura 2.2), entonces para muchas gráficas la frase "Q se acerca a P" puede sustituirse por "x se acerca a a" y tenemos

(2.2)

m

= limmpQ' x-a

Una vez más es importante observar que x # a a lo largo de este proceso. En efecto, si hacemos x = a, entonces P = Q y m pQ no existe. y

Q

a

x

.\

a

(i)

x

x

(ii)

Figura 2.2

Ejemplo 1

Suponiendo que a es cualquier numero real, use (2.2) para encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica y = x 2 en el punto P(a, a 2). Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto (3/2, 9/4).

Solución

En la figura 2.3 se ilustran la gráfica de y = x 2 y los puntos típicos P(a, ( Q(x, x 2 ). Por la fórmula de la pendiente (1.11) x2 mpQ =

-

a2

x-a

=

(x

+ a)(x x-a

- a)

=

x+

2

)

y

a.

Aplicando (2.2), la pendiente m de la recta tangente a la gráfica en el punto P es m

= IimmpQ = lim (x + a). .\' -o

X""'"

a

A medida que x se acerca mas y más a a, la expresión x sea a 2a. Por lo tanto m = 2a.

+

a se acerca a a

+

ao

INTRODUCCION

2.1

53

Fi¡:ura 2.3

Como la pendiente de la recta tangente en el punto (3/2, 9/4) se obtiene del caso particular en el que a = 3/2, tenemos que m = 2(3/2) = 3. Usando la forma (1.16) de la ecuación de una recta dadas la pendiente y un punto, se ve que una ecuación de la recta tangente es y-

í = 3(x

-

Ü

El lector puede verificar que esta ecuación es equivalente a 12x - 4y - 9

= O.

La falta de precisión en la discusión anterior se debe a la vaguedad de las frases "muy cerca", "cada vez más cerca" y "acercarse más y más". Esto se arreglará en la próxima sección con la definición (2.6). Por ahora continuaremos de una manera intuitiva. Como una ilustración sencilla de (2.1) supongamos que f(x) = t(3x - 1) y consideremos el caso a = 4. Aunque 4 está en el dominio de la función/, estamos primordialmente interesados en el comportamiento de f(x) cuando x está cerca de 4, pero no es igual a 4. Los siguientes valores dan una indicación de este compor­ tamiento.

j(3.9)

=

5.35

j(3.99) = 5.485

/(3.999)

=

5.4985

/(3.9999)

=

5.49985

f(3.99999)

=

5.499985

I(4.I) = 5.65

j(4.01) = 5.515

/(4.001)

=

5.5015

/(4.0001) = 5.50015

/(4.00001)

= 5.500015

Se ve que mientras más cerca está x de 4, más cerca está f(x) de 5.5. Esto puede también verificarse observando que si x está cerca de 4, entonces 3x - 1 está cerca de 11 y t(3x - 1) está cerca de 5.5. Por lo tanto podemos escribir lim !(3x - 1) = 5.5. x-4

--------------------------~----------

54

2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

En este ejemplo podríamos haber sustituido el número 4 en lugar de x y haber obtenido así 5.5. Los dos ejemplos siguientes muestran que no siempre es posible encontrar el número L en (2.1) simplemente sustituyendo a en lugar de x.

Ejemplo 2 Solución

Sea f(x)

x-9 = -

JX -- .3

Encuentre lim f(x). x-9

El número 9 no está en el dominio de f porque el denominador para este valor de x. Sin embargo, escribiendo I(x) =

JX -

3 es cero

(Jx - 3)(y~ + 3) (y~ - 3)

resulta evidente que para todo x no negativo excepto para x = 9, f(x) está dado por + 3. Luego, cuanto más cerca esté x de 9 (pero x # 9), más cerca estará f(x) de + 3, o sea de 6. Usando la notación de (2.1),

JX

J9

tim

x-9

I x-9 y 'X -

2

Ejemplo 3 Solución

Sea f(x) = (2x (5x 2

-

5x + 2). 7x - 6)

=

3

6.

Encuentre lim f(x) ,

x-2

Note que 2 no está en el dominio de f porque al sustituir 2 en lugar de x obtenemos O/O. Al factorizar el numerador y el denominador obtenemos

,

(x-2)(2x-l) (x-2)(5x+3)

I(x) = - - - - - , ­

.

Y si x # 2, los valores de f(x) son los mismos que los de (2x - 1)/(5x + 3). Se sigue de esto que si x está cerca de 2 (pero x # 2), entonces f(x) está cerca de (4 - 1)/(10 + 3) o sea de 3/13. Por lo tanto se ve que 2x 2 - 5x + 2 2 x- 2 5x -7.\"-6 ,

11m

=

l' 2x - l 3 lm---=-. 5x+3 13

x_ 2

Los ejemplos anteriores muestran que el trabajo de hallar límites puede a veces simplificarse mediante manipulaciones algebraicas. En otros casos se requiere de mucho ingenio para determinar si el límite existe o no existe. Esto se notará es­ pecialmente cuando discutamos los límites de funciones trigonométricas, expo­ nenciales y logaritmicas. Por ejemplo, demostraremos más adelante que . sen x lI m - x-o x

= 1.

Esta importante fórmula no puede obtenerse algebraicamente como se obtuvieron las anteriores. La función f definida por f(x) = l/x proporciona un ejemplo en el cual el límite cuando x se aproxima a O no existe. Si asignamos a x valores cada vez más cercanos a cero (pero x # O), el valor absoluto de f(x) aumenta sin cota alguna,

2.l

INTRODUCCION

55

como se ilustra en la figura 1.30. Nos ocuparemos nuevamente de esta función en el ejemplo 2 de la próxima sección.

2.1 EJERCICIOS Procediend(l de manera intuitiva, encuentre los límites en los ejercicios del 1 al 16, si es que existen. x2 - x x 2 - 4 2x 3 - 6x 2 + x - 3 3 lim - 0 :2-- - - ­

Iim-­ 2 Iim------x_ 1 2x + 5x - 7

x-2 X - 2 x-3 x-3 4

,2 2 r--3'

Iim

+ 2, - 3 5

+7,+ l2

k 2 - l6 7 lim---

8

k-4fi-2

11

h_ 2 h -4

2x + 3

Iim

14

2

.'_-3/24x + 12x + 9

16 lim

3x 2 - 13x - 10

6

2

x- 5 2x - 7x - 15

lim

(x + h)3 - x 3

9

ir

h-O

h 3 - 8 10 lim-2

13

lim

12

I

lim

lim

15

2

S + 2s + I

5

(x + h)2 - x 2 ir

h-O

h3 + 8 lim-h--2 ir + 2

s- -1

vr; -

Iim

x-25X-25

1 Iim-­ :_102-l0 .

I

11m ..,

x-O:("

(l/l) - I

1-1

(- I

En cada uno los ejercicios del l7 al 20 encuentre (a) la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(aJ(a)); (b) la ecuación de la recta tangente en el punto P(2J(2)). 17 j(x) = 5x 2

-

4x

18

j(x)

= 3-

2x 2

19 /(x) = x 3

20 /(x) = x 4

En los ejercicios del 2l al 24 use (2.2) para encontrar la pendiente de la recta tangente en el punto que se encuentra sobre la gráfica de la ecuación y cuya abscisa es a. Encuentre también la ecuación de la recta tangente en el punto P indicado. Dibuje la gráfica de la recta tangente en P.

+ 2,

21

y

23

Y = l/x, P(2, il

22

Y = v· x . P (4,2)

24

y=x- 2 ,P(2.1/4)

25 Dé un argumento geométrico para demostrar que la gráfica de y = Ixl no tiene recta tangente en el punto (O, O).

26

Dé un argumento geométrico para demostrar que la función "máximo entero" (vea el ejt:mplo 9 en la sección 1.4) no tiene recta tangente en el punto P(l, 1).

27 Consulte el ejercicio 19. Demuestre que la rec­ ta tangente a la gráfica de y = x 3 en el punto P(O, O) cruza la curva en ese punto.

28

Sea f(x) = ax + b. Pruebe que la recta tangente a la gráfica de f en cualquier punto coincide con la gráfica de f

29 Consulte el ejemplo l. Dibuje la gráfica de y = x 2 junto con sus rectas tangentes en los puntos cuyas abscisas son - 3, - 2, -l, O, l, 2 Y 3. ¿En qué punto de la gráfica tiene la tangente

pendiente 6"

30

Dibuje una gráfica que tenga tres rectas tangen­ tes horizontales y una vertical.

=

3x

P( L 5)

+

56

2

2.2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

DEFINICION DE LIMITE Volvamos al ejemplo l de la sección l en donde se vio que lim.. _ 4 1(3x - 1) = 5.5 Y consideremos más detalladamente la variación de f(x) = 1(3x - 1) cuando x se encuentra cerca de 4. Usando los valores de la función tabulados en la página 53 llegamos a las siguientes afirmaciones: 3.9 < x < 4.1

Si

entonces

5.35 < I(x) < 5.65.

Si

3.99 < x < 4.01

entonces

5.485 < j(x) < 5.515.

Si

3.999 < x < 4.00 I

entonces

5.4985 <((x) < 5.5015.

Si

3.9999 < x < 4.0001

entonces

5.49985
Si

3.99999 < x < 4.0000 I

entonces

5.499985
Cada una de estas afirmaciones tiene la forma siguiente: (2.3)

Si 4 - D < x < 4 + D, entonces 5.5 - e < f(x) < 5.5 + e, en donde las letras griegas ¡; (épsilon) y D (delta) denotan números reales positivos pequeños. Por ejemplo, la primera afirmación se obtiene de (2.3) con D = 0.1 Y e = 0.15; la segunda con b = 0.01 ye = 0.015; para la tercera se escoge b = 0.001 ye = 0.0015; etcétera. Podemos reescribir (2.3) en términos de intervalos como sigue:

(2.4)

Si x se encuentra en el intervalo abierto (4 - ¿j,4 + b), entonces f(x) se encuentra en el intervalo abierto (5.5 - e, 5.5 + G). En la figura 2.4 damos una interpretación geométrica en la cual la flecha curva indica la correspondencia entre x y f(x).

~~

--+-(-+-........ 4-8

4

x 4+8

E

5.5-€

1

~ 5.5

f(x)

) 5.5

+€

., 1

Figura 2.4

Evidentemente (2.3) es equivalente a: Si

-¿j

< x - 4 <

¿j,

entonces -e < f(x) - 5.5 <

G.

Empleando valores absolutos esto puede escribirse así: Si

Ix -

41 < ¿j, entonces If(x) - 5.51 <

G.

Si en esta afirmación no deseamos incluir lo que sucede en x = 4, entonces es necesario agregar la condición O < Ix - 41. Esto nos da:

(2.5)

Si O < Ix - 41 <

¿j,

entonces If(x) - 5.51 <

G.

En la definición de límite aparecerá una afirmación de este tipo; sin embargo es necesario que cambiemos un poco nuestro punto de vista. Para llegar a (2.5), primero consideramos el dominio de f y asignamos valores a x cercanos a 4.

DEFINICION DE LIMITE

57

2.2

Después observamos la proximidad de f(x) a 5.5. En la definición de límite inver­ tiremos el proceso considerando primero un intervalo abierto (5.5 - 1::, 5.5 + 1::) y determinando después si existe un intervalo abierto (4 - b, 4 + b) en el dominio de f, para el cual (2.5) se cumpla. De aqui en adelante no siempre mencionaremos explícitamente que 1:: y b son números reales positivos. La siguiente definición es consecuencia de los comentarios anteriores. (2.6)

DEFINICION

Consideremos un intervalo abierto que contiene a a. Sea f una función defi­ nida en todos los números del intervalo excepto posiblemente en a y sea L un número real. La afirmación limj(x) significa que para todo

= L

> O existe b > O tal que:

1::

si O < Ix - al < b, entonces If(x) - LI <

1::.

Si lim x _ a f(x) = L, entonces decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L. Como 1:: puede ser arbitrariamente pequeño, a veces las dos desigualdades en esta definición se expresan diciendo que los valores f(x) pueden hacerse arbi­ trariamente cercanos a L escogiendo x suficientemente cercano a a. La segunda parte de (2.6) puede enunciarse en términos de intervalos abiertos como sigue: (2.7)

Si x se encuentra en el intervalo abierto (a - b, a + b) y x i= a, entonces f(x) se encuentra en el intervalo abierto (L - 1::, L + 1::). Con el objeto de entender mejor la relación entre los números positivos 1:: y b en (2.6) y (2.7), consideremos una interpretación geométrica semejante a la de la figura 1.26, donde el dominio de f se representa por ciertos puntos sobre una recta coordenada 1 y el rango se representa por otros puntos sobre una recta coordenada 1'. El proceso puede delinearse como sigue: Para demostrar que Iim f(x)

= L:

x-+a

Primer paso. Para todo la figura 2.5).

1::

> O considere el intervalo abierto (L - e, L

)

(

• a

L €

L

L

+€

+

e) (vea

•/'

Figura 2.5

Segundo paso. Pruebe que existe un intervalo abierto (a - b, a de f tal que (2.7) se cumple (vea la figura 2.6).

+

b) en el dominio

58

2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

( a-

o

,¿;: x a

a+o

~~

a ,

L -

1:

[(x)

•

_).......---.­ .. L + 1:

L

"

Figura 2.6

Es sumamente importante recordar que primero consideramos el intervalo arbi­ trario (L - e, L + e) y después mostramos que existe un intervalo (o - b, o + b) en el dominio de f del tipo requerido. Un artificio para recordar el orden apropiado de los eventos es pensar que la función f es un cañón que dispara una bala desde el punto sobre I con coordenada x al punto sobre l' con coordenada f(x), como se ilustra por medio de una flecha curva en la figura 2.6. El primer paso puede interpretarse como poner un blanco de radio ¡; con centro en L. Para aplicar el segundo paso debemos encontrar un intervalo abierto que contenga a o en el cual colocar el cañón para que la bala dé en el blanco. Por cierto, no tenemos ninguna garantía de que la bala dé en el centro del blanco. Sin embargo, si lim x _ a f(x) = L, podemos hacer que la bala caiga tan cerca como queramos del centro del blanco. Debe quedar claro que el número b en la definición de límite no es único, pues si se halla un cierto (j que satisfaga los requisitos, entonces cualquier otro numero positivo b' menor que b también los satisfará. Como una función puede describirse geométricamente por medio de una gráfica en un sistema coordenado rectangular, es interesante interpretar gráficamente la definición, (2.6). La figura 2.7 ilustra la gráfica de una función f Para cada x en el dominio de f, f(x) es la ordenada del punto de la gráfica que tiene abscisa x. Dado cualquier ¡; > 0, consideramos el intervalo abierto (L - ¡;, L + ¡;) sobre el eje y, y las rectas horizontales y = L ± ¡; que se muestran en la figura. Si existe un intervalo abierto (o - b, o + b) tal que para todo x en (o - (j, o + b), con la posible excepción de x = o, el punto (x, f(x» se encuentra entre las rectas hori­ zontales, es decir, dentro del rectángulo sombreado que se muestra en la figura 2.7, entonces y

P(x, [(x» L+I:~

______ y=L+1: .\--- ­ - - - - ­ y = L - 1:

L

I I I I

L-I:

I I

I I I I

a-o

a"a+o

lim f(x) = L x-+a

Figura 2.7

x

DEFINICION DE LIMITE

L -

E

2.2

59

< f(x) < L + F.

y por lo tanto limx~af(x) = L. No mostramos en la gráfica un punto con abscisa a, ya que x = a se excluye en la definición (2.6). Para" abreviar, cuando usemos la notación limx_af(x) = L, frecuentemente supondremos que todas las condiciones de la definición (2.6) se satisfacen. Por ejemplo, no siempre señalaremos que f está definida en un intervalo abierto que contiene a a. Más aún, no siempre especificaremos L sino que solamente escribiremos "Iimx~af(x) existe", o ''f(x) tiene un límite cuando x tiende a a". La oración "en­ cuentre limx_af(x)" significa "encuentre un número L tal que limx_af(x) = L". Si tal L no existe, entonces escribimos "Iimx_af(x) no existe". Puede demostrarse que si f(x) tiene un límite cuando x tiende a a, entonces ese límite es único (vea el apéndice 11).

Ejemplo I

Use la definición (2.6) para demostrar que

. 1 11 11m -(3x - 1) = -. x- 4 2 2 Solución

Sea f(x) = !-(3x - 1), a = 4 Y L debemos demostrar que para todo si O <

Ix -

= E

11/2. De acuerdo con la definiciónl (2.6) > O existe e5 > O tal que

41 < e5, entonces

I+(3x -

1) - 11 1< 2

E.

Podemos encontrar la clave para la elección de e5 examinando la última desigualdad en la cual interviene F.. A continuación, mostramos una lista de desigualdades eq uivalentes

It(3x - 1) - ~!.I <

F.

tl(3x - 1) - 11I <

¡;

13x - 1 - 11I < 2e 13x-121<2¡; 31x - 41 < 2E Ix - 41 <

tF.

La última desigualdad nos da la clave que necesitamos. Si tomamos e5 = h, entonces para O < Ix - 41 < e5, la última desigualdad de la lista es cierta y, en consecuencia, también lo es la primera. Por lo tanto, por la definiciónl (2.6), lim x _ 4 !(3x - 1) = 11/2. Fue relativamente fácil usar la definición de límite en el ejemplo anterior porque la función f era lineal. Los límites de funciones más complicadas también pueden verificarse aplicando directamente la definición; sin embargo, la labor de mostrar que para cada e > O existe un e5 > O adecuado, frecuentemente requiere de mucho ingenio. En la sección 3 presentaremos teoremas que pueden usarse para encontrar

60

2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

muchos límites sin recurrir a la búsqueda del número (j que aparece en la definición (2.6). Los siguientes dos ejemplos indican cómo puede usarse la interpretación geométrica ilustrada en la figura 2.7 para probar que ciertos límites no existen.

(~)

Ejemplo 2

Pruebe que lim x-o

Solución

Procedamos de manera indirecta. Supongamos que para algún número L

x

no existe.

" I 1lm-

x-ox

=

L

Consideremos cualquier par de rectas horizontales y = L ± e como se ilustra en la figura 2.8. Como estamos suponiendo que el límite existe, debería ser posible encontrar un intervalo abierto (O - (j, + (j) o equivalentemente (-(j, (j), con­ teniendo a 0, tal que siempre que -(j < x < (j y x #- 0, el punto (x, llx) se encuentre entre las dos rectas horizontales. Sin embargo, como llx puede hacerse tan grande como se desee escogiendo x cerca de 0, no todos los puntos (x, Ilx) con abscisa diferente de cero en (- (j, (j) tienen esta propiedad. En consecuencia, nuestra suposición es falsa; es decir, el límite no existe.

°

y I I I

I

---------- Y = L + E --------- Y = L - E

x f(x) =

1 x

Figura 2.8

= Ixl Ix. Muestre que limx_of(x) no existe. 0, entonces Ixl/x = xix = I Ypor lo tanto, a la derecha del eje y, la gráfica

Ejemplo 3

Sea f(x)

Solución

Si x > de f coincide con la recta y = 1. Si x < 0, entonces lx/Ix = -xix = -1, lo que significa que a la izquierda del eje y la gráfica de f coincide con la recta y = -l. Si fuese cierto que limx_of(x) = L para algún número L, entonces los comentarios anteriores implicarían que -1 ~ L ~ l. Como se muestra en la figura 2.9, si consideramos cualquier par de rectas horizontales y = L ± e, donde < e < 1, entonces para cada intervalo (- (j, (j) existen puntos sobre la gráfica que no se en­

°

DEFINICION DE LIMITE

61

2.2

y

y

I ,,

=L +€

Y= L -

I

I I

I --¡----------­

------1­

I

€

------t­I

1 +----------­ I

1

-8

1

,8

I

1

x

1

1

f(x) =

1 1

~ x

I 1

Figura 2.9

cuentran entre estas rectas y cuyas abscisas x no son cero y se encuentran en dicho intervalo. Se sigue que el límite no existe.

2.2 EJERCICIOS Verifique los limites en los ejercicios del 1 al 10 por medio de la definición (2.6). lim (5x - 3) = 7

2

4

lim (8x - 15) = 17

5

x-4

7 lim5 = 5 x-3

lim (2x x ...... - 3

x~2

8

+

(~+ 2) x-s 4 lim

lim 3 = 3

1) = - 5

3

lim (IO-9x)=64 x- -6

13

6

-

4

lim (9

x-ó

9

lim x = rr

10

-~) = 8 6 lim2 = 2

x-a

x-s

Use el método ilustrado en los ejemplos 2 y 3 para demostrar que los limites en los ejercicios del 11 al 14 no existen. 11

lim Ix - 31 x-3 x - 3

12

x+2

lim - ­ x- -

21x + 21

13

.

1

hm-­ x- - S

x

+5

l

14

lim

x-l

(x­

1)2

15 Dé un ejemplo de una función f que esté defi­ nida en a y para la cuallimx_.f(x) exista, pero limx_.J(x) #- f(a).

16

17 Definamos f por medio de las siguientes condi­ ciones: f(xl = O si x es racional y f(x) = 1 si x es irracional. Demuestre que para todo número real a Iim x -u ./(x) no existe.

18 ¿Por qué no es posible investigar limx_o medio de la definición (2.6)?

19 En la se cción 3 se demostrará que lim x _. x 2 = a 2. Ilustre gráficamente este hecho como en la figura 2.7, mostrando que para toda pareja de rectas horizontales y = a 2 ± e, existe un inter­ valo abierto (a - 15, a + 15) tal que si x está en (a - 15, a + 6l, entonces el punto (x, x 2 ) se en­ cuentra entre las rectas horizontales.

20

Sif es la función máximo entero y a es cualquier entero, muestre que Iim x _.f(x) no existe.

JX por

Demuestre gráficamente que lim x _. x 3 = a 3 . (Vea el ejercicio 19.)

... 62

2

2.3

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEOREMAS SOBRE LIMITES Sería una labor agotadora resolver cada problema sobre límites por medio de la definición (2.6). El propósito de esta sección es presentar teoremas que puedan usarse para simplificar el proceso. Para demostrar los teoremas, es necesario usar (2.6); sin embargo, una vez establecidos, será posible determinar muchos límites sin hacer referencia a [; o a (j. En esta sección se demostrarán algunos de los teoremas; las demostraciones restantes pueden verse en el apéndice JI. El limite más simple de considerar involucra la función constante definida por I(x) = c, donde c es un número real. Si se representa I geométricamente usando dos rectas coordenadas 1 y r, entonces todas las flechas que comienzan en 1 terminan en el mismo punto de r, el punto con coordenada c, como se indica en la figura 2.10.

~I

I~

x

a

z

,

e -

f

e

~

C+E

"

Fi¡:ura 2./0

Es fácil demostrar que para todo número real a, limx~Q f(x) = c. Para un + e) sobre r según se ilustra en la figura. Como I(x) = c siempre se encuentra en este intervalo, cualquier número (j va a satisfacer las condiciones de la definición (2.6); es decir, para todo (j > O,

e > O, consideremos el intervalo (c - e, c

si O <

Ix - al <

(j,

entonces II(x) -

el < e.

Hemos demostrado el siguiente teorema: (2.8)

TEOREMA

Si a y e son números reales cualesquiera, entonces lim e =

C.

x-+a

Algunas veces el teorema (2.8) se enuncia diciendo que "el limite de una cons­ tante es la misma constante". Por ejemplo Iim 8 = 8, X"'"

3

Iim 3 = 3,

lim

x-8

x ...... 1f

/2 = /2,

lim O = O x"" o

etcétera. El siguiente resultado nos dice que para encontrar el límite de una función lineal cuando x tiende a a. basta sustituir a en lugar de x.

(2.9)

TEOREMA

Si a, b y m son números reales, entonces, lim(mx

+ b) =

ma

+ b.

TEOREMAS SOBRE LlMlTES

2.3

63

Demostración. Si m = O, entonces mx + b = b Y la afirmación del teorema se reduce a limx~a b = b, lo cual se demostró en el teorema (2.8). Supongamos que m #- O. Definimos f(x) = mx + b y L = ma + b, enton­ ces de acuerdo con la definición (2.6) debemos mostrar que para todo 8 > Oexiste 15 > O, tal que

si O < Ix - al < 15, entonces I(mx

+

b) - (ma

+ b)1 <

8.

Como en la solución del ejemplo 1 en la sección anterior, podemos encontrar la clave para la elección de 15 examinando la desigualdad que involucra a 8. Todas las desigualdades de la siguiente lista son equivalentes:

I(mx

+ b)

- (ma

+ b)! < e

Imx - mal < e

Imllx -al <

8

e

Ix - al <-o Iml La última desigualdad sugiere elegir 15 = e/lml. Asi, para cualquier 8 > O, si O < Ix - al < 15, donde 15 = e/lml, la última desigualdad de la lista anterior se satisface y por lo tanto también se satisface la primera, que es lo que queríamos demostrar. Como casos particulares del teorema (2.9), tenemos: limx

=a

lim (3x - 5)

lim (l3x

x~j2

=

3·4 - 5

=

7

+ /2) = 13 v 12 + v,/2 = 14}2.

El siguiente teorema dice que si una función ftiene un límite positivo cuando x tiende a a, entonces f(x) es positivo en todo un intervalo abierto que contiene a a, excepto quizás en el punto a. (2.10)

TEOREMA

Si 1imx~Qf(x) = L YL > O, entonces existe un intervalo abierto (a - 15, a + (5) tal que f(x) > O para todo x en (a - 15, a + (5), excepto quizás para x = a. Demostración. Si e = L/2, entonces el intervalo (L - e, L + e) solamente contie­ ne números positivos. Por (2.7) existe 15 > O tal que siempre que x esté en el in­ tervalo abierto (a - 15, a + (5) y x #- a, entonces f(x) estará en (L - e, L + e) y por lo tanto, f(x) > O.

De manera semejante puede demostrarse que siftiene un límite negativo cuan­ do x tiende a a, entonces existe un intervalo abierto 1 que contiene a a tal quef(x) < O

64

2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

para todo x en 1 con la posible excepción de x = a. Muchas funciones pueden escribirse como sumas, diferencias, productos y cocientes de otras funciones. Supongamos que una función s es la suma de dos funcionesfy g, de manera que s(x) = f(x) + g(x) para todo x en el dominio de s. Sif(x) y g(x) tienen límites L y M respectivamente, cuando x tiende a a, es natural pensar que s(x) tiene el límite L + M cuando x tiende a a. El hecho de que ésta y otras afirmaciones análogas para productos y cocientes son ciertas, es una con­ secuencia del siguiente teorema. Las demostraciones son algo complicadas y las hemos puesto en el apéndice 11. (2.11)

Si limf(x) = L

TEOREMA

Y lim g(x) = M, entonces

+ g(x)]

L

+ M.

(i)

lim [/(x)

(ii)

limf(x) . g(x) = L· M.

(1·1·1·)

l·1m -(-) f(x) = M' L sIempre . O y cuan d o M #. x-a g X

=

El teorema anterior a veces se escribe como sigue: (i)

lim [f(x)

+ g(x)]

=

limf(x)

+ lim g(x)

x-a

(ii) (2.12)

limf(x)· g(x) = Iim/(x)·lim g(x) x ...... a

x ...... a

"()

(iii)

x ...... a

Iimf(x)

x-a · ¡ X l 1m - - = :.:........:=---­ x-a g(x) ).Img () X x-a

donde se supone que los límites indicados existen y limx~ag(x) # O en (iii). Los resultados (i) y (ii) pueden generalizarse a sumas y productos de más de dos funciones. En palabras, (2.12) puede enunciarse como sigue:

(i)

El límite de una suma es la suma de los límites.

(ii)

El límite de un producto es el producto de los límites.

(iii)

El límite de un cociente es el cociente de los límites.

.

3x + 4

Ejemplo 1

Encuentre ltm

Solución

El numerador y el denominador del cociente indicado definen funciones lineales cuyos límites existen y pueden calcularse usando el teorema (2.9). Aplicando (iii) de (2.12) junto con (2.9), obtenemos

x~2

5x

+

7.

TEOREMAS SOBRE LIMITES

3 4 , x+ 11m - - x-z 5x + 7

lim (3x + 4) x-Z = =--=-----­

+4 5(2) + 7 3(2)

Iim(5x+7)

2.3

65

10

17

x-2

Note que fue muy fácil hallar el límite del ejemplo 1. Verificar el límite di­ rectamente por medio de la definición (2.6) hubiese sido una labor muy larga. Ejemplo 2

Demuestre que para todo número real a,

Solución

Usando (ii) de (2.12) con f(x) = g(x) = x, junto con el teorema (2.9) obtenemos limx z = lim(x·x) = (Iimx)· (Iimx) = a.a = aZ. x-u

Los métodos usados en el ejemplo 2 pueden extenderse a la expresión x" donde n es un entero positivo. Para ello basta escribir x" como un producto x· x ... x de n factores y tomar el límite de cada factor. Esto nos da lim x"

(2.13)

= a"

para todo entero positivo n y para todo número real a. Análogamente, si limx_af(x) existe, podemos usar (ii) de (2.11) para demostrar que lim (f(x)]"

(2.14)

=

[limI(x)]"

para todo entero positivo n.

+ 4)5.

Ejemplo 3

Encuentre Iim (3x

Solución

Aplicando (2.14) Y el teorema (2.9),

,,-2

lim(3x + 4)5

=

x-2

[lim(3x

+ 4)p

x-2

= [3(2)

=

10

5

=

+ 4]5 100,000.

Si se nos da una expresión de la forma cf(x), donde e es un número real y la funciónftiene un límite cuando x tiende a a, podemos usar (ii) de (2.12) para escribir lim [c·I(x)] = [lime]. [limf(x)]. Aplicando el teorema (2.8), vemos que

66

2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

lim [cf(x)]

(2.15)

para todo número real c. Como f(x) - g(x) = f(x) + (2.15) con e = - 1 para obtener (2.16)

= c[limf(x)]

(- I )g(x)

lim [f(x) - g(x)]

=

podemos usar (i) de (2.12) y después

¡imf(x) - ¡im g(x)

siempre y cuando los limites existan. Como caso particular de (2.15), tenemos (2.17)

Ejemplo 4

Encuentre lim (3x 4

+

7 x).

x-+ - 2

Solución

Usando primero (i) de (2.12) y después (2.17) obtenemos lim (3x 4

+ 7x) = lim 3x 4 + Iim 7x x--2

.'(-+-2

.,---2

= 3(-2)4

+ 7(-2)

= 48 - 14 = 34. Note que (2.17) afirma que el limite indicado puede encontrarse sustituyendo a en lugar de x. Ahora demostraremos que lo mismo sucede para limites que in­

volucran polinomios y funciones racionales. (2.18)

,

Si f es un polinomio, entonces

TEOREMA

lim f(x) = f(a) para todo número real a. Demostración.

Podemos escribir f(x) en la forma f(x) = bnx n + bn_1x n-

1

+ ... + ha

donde las b¡ representan números reales. Usando (2.12) y (2.17),

Iimf(x) = [im (bnx n) + lim (b n-

IX" -

x ..... a

=

(2.19)

j)

+ ... + lim ba x-·a

f«(I)·

COROLARIO

Si q es una función racional y a está en el dominio de q, entonces lim q(x)

=

q(a).

TEOREMAS SOBRE LIMITES

2.3

67

Demostración. Podemos escribir q(x) = l(x)jh(x) donde l y h son polinomios. Si a está en el dominio de q, entonces h(a) "# O. Usando (2. 12) Y (2. I8), .

11m q(x) = x-a

~i~ I(x)

fea)

=-

lim h(x)

=

q(a).

h(a)

5x 2 - 2x + I 6x - 7

Ejemplo 5

Encuentre ~i~

Solución

Aplicando (2.19), 5x 2 - 2x + I Iim -----,,-­ x-3 6x - 7

5(3)2 - 2(3)

+

I

6(3) - 7

45 - 6 + 1 18 - 7

40 11

El siguiente resultado muestra que para las raíces enteras positivas de x, se pueden determinar los límites por medio de una simple sustitución. La demos­ tración usa la definición (2.6) y puede hallarse en el apéndice 11. (2.20)

TEOREMA

Si a > O y n es un entero positivo, o si a entonces

~

OYn es un entero impar positivo,

lim,y-; =~.

x-u

Si m y n son enteros positivos ya> O, entonces usando (2.14) yel teorema (2.20),

En términos de exponentes fraccionarios, podemos expresar esto como sigue:

Iim

(2.21)

x",/n

= a",/n

x-a

a

donde > O y m y n son enteros positivos. Este resultado se puede generalizar al caso de exponentes negativos. Ejemplo 6

Encuentre lim x-8

Solución

X

2/J

+ 3fi

4 - (I6/x)

.

El lector debe dar razones para justificar cada uno de los pasos siguientes

68

2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

" x 11m x-8

2/3

r:

3

lim (x 2/3

+ 3p)

+ V x = "-----'---------­ x-8

4 - (16/x)

lim (4 - (16/x» x-8

lim x 213

+ lim

x-8

x-8

3p

lim 4 - lim (I6/x) x-8

82;~

x-8

+ 3ft

4 - (16/8)

4

=

(2.22)

+ 6,fi = 2 + 3,fi

4- 2

TEOREMA

Si una función f tiene un límite cuando x tiende a a. entonces lím

j

f(x)

= jlim f(x)

siempre y cuando n sea un entero positivo impar o bien n sea un entero positivo par y lim x _ a f(x) > O. El teorema anterior se demostrará en la sección 5. Mientras tanto, lo usaremos cuando sea aplicable, para adquirir experiencia en la labor de encontrar límites que involucran raíces de expresiones algebraicas.

Ejemplo 7

Encuentre lim ~hX2 x-s

Solución

Usando los teoremas (2.22) y (2.18)

-

4x

lim ~hX2 x-s

+ 9.

-

4x

+9

=

jlim (3x 2

-

4x

+ 9)

x-5

=

j75 - 20 + 9 =

,j64 = 4.

El estudiante principiante no debe dejarse engañar por los ejemplos anteriores. No siempre pueden encontrarse los límites simplemente por sustitución. Como se ilustra en la sección 2, en algunos casos es necesario hacer ciertas manipulaciones algebraicas para obtener un límite. Algunas veces hay que emplear otras herra­ mientas. El siguiente teorema se refiere a tres funciones f, h Y g, donde h(x) se en­ cuentra "emparedada" entre f(x) y g(x). Si f y g tienen un mismo límite L cuando x tiende a a, entonces, como se enuncia a continuación. h debe tener el mismo límite. Puede hallarse una demostración de este teorema en el apéndice JI.

TEOREMAS SOBRE LIMITES

(2.23)

69

2.3

EL TEOREMA DEL EMPAREDADO (O DEL SANDWICH)

Si f(x) :S h(x) :S g(x) para todo x en un intervalo abierto que contiene a a, excepto quizás para x = a, y si

limf(x) = L = ¡im g(x), entonces, lim h(x) = L.

Ejemplo 8

La función seno tiene la propiedad de que - l :S sen 1 :S l para todo número real Utilice este hecho y el teorema del emparedado (2.23) para demostrar que

l.

lim x sen (l/x)

= o.

:c~o

No se puede encontrar el límite sustituyendo O en lugar de x, o haciendo alguna manipulación algebraica. Sin embargo, como todos los valores de la función seno se encuentran entre -1 y 1, I sen l/xl :S l y por lo tanto

Solución

para todo x #- O. Por tanto O

~ Ixsen~1 ~ Ix!.

No es dificil mostrar que lim:c~o Ixl = O. Entonces, usando el teorema del empa­ redado (2.23) conf(x) = O Y g(x) = Ixl, vemos que

tim

:c~o

Ix sen ~IX

= O.

Se sigue ahora de la definición de límite (2.6) que

lim x sen ~ = O.

:c~o

X

2.3 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 36 encuentre los límites si existen. lim

(J~J -

2x

+ 7)

2

4

Iim (31 ,- -3

lim (5x 2

-

9x - 8)

3

+ 4)(71 - 9)

5

lim .'( ...... 4

Iim (x 2

+ 3)(x

- 4)

4

+

x-fi

x-4

x ..... - 2

.yx

2

-

5x - 4

6

Iim x- - 2

Jx

-

4x

I

p

70 7

2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

limO

8

:( .. 7

10

16

19

22

12

x+3 lim '--3(UX) + (1/3)

lim-., 2 x 3 - 8

14

lim

x2 - X - 2 (x - 2)2

15

Iim

x 3 + 8 lim -.--4 x- -1 x - 16

605 - 1 17 lim-- .-4205 - 9

'v

!2

x-2

x-2

1)

Iim (Xl ----.,-1 x - I x - I

20

16x ll3 lim 4,3 .,--s4 - x

23

4- v '16+h h

26

lim (x + 4)3(X - 6)2 .'I: .....

1--

34

29

ó

lim

lim x-s

t

(41 1 + 51 - 3)3

(61 + 5)4

18

+ 5x ­ .1

, e)(

-

3x

24

I

,/(¡h

,

Iim h

o

37 Suponiendo que r es cualquier número racional ya> O, demuestre que Iim x _ a x' = a'. ¿Bajo qué condicione~ es cierto esto si a < O?

h

~x+5

lb

J~

11m 5 - ­ x+rr

x-.

- -1- - 1 )

2 ~ +\3,2 v

lim X"'"

S/3 - 51 Iim v (r - 5)3

35

Iim (x - 3.1416)

3

(2+h)-1_2-

2

21

lim [:2(3[: - 4)(9 - 1'3) 3 "

,-7

I

y 'x-4

_~-ll:

.\

11m h-O h,

32

x-8

Ji; -

. J2

11m 3

x - 16

x-16

~i~(J~+v~r ., ".1

h-O

31

lim 15

.,-fi­

2x 2 + 5x - 3 lim 2 x- 1/1 6x - 7x + 2

25 lim

28

9

11

lim x- 15

13

4x 2 - 6x + 3

Iim 3 x- 1i1 16x +8x-7

(x _ 1)5

27

lim

..' (-1

30

x5

lim y/3kl + 4 J!3k + 2

33

Xl - 81 lim x-93 - y x

36

Iim

2

(9+h)-1_9-

1

/¡

h-O

38

1

1>,;-2

Suponiendo que Iim x _ol(x) = L i' O Y limx_ag(x) = O. demuestre que Iim x _ a [j'(x)/g(x)] no existe. (Sugerencia: Suponga que existe un número M tal que Iim x _ a [j'(x)/g(x)] = M Y considere

· /. (x) l 1m.

=

x-a

l'1m [.R(X) .f(X)l - - .) x-a

_

g(x)

(b) Use el teorema del emparedado y el hecho de que Iim x _ o(lx\ + 1) = 1 para demostrar que Iim x _o(x 2 + 1) = 1.

39 (a) Ilustre geométricamente el teorema del em­ paredado dibujando gráficas de tres funciones arbitrarias ¡; /¡ y g que satisfagan las condi­ ciones de (2,23), 40 Use el teorema del emparedado (2.23) con f(x) = O Y g(x) = Ixl para demostrar que

_

41

Sea e un número real no negativo y O :o; j{x) :o; (' para todo x. Use el teorema del em paredado (2.23) para demostrar que Iim x 2I(x) = O. X"'"

42

o

43 Demuestre que si una función f tiene un limite Demuestre que lim,_o x sen (1/$) = O. (Suge­ negativo cuando x tiende a a, entonces existe un rencia: Vea el ejemplo 8.) intervalo abierto 1 que contiene a a, tal que/Ix) es negativo para todo x en 1 con la posible ex­ cepción de x = a. 4

LIMITES UNILATERALES

2.4

71

2.4

LIMITES UNILATERALES Si f(x) = ~ ya> 2, entonces f está definida en todo un intervalo abierto que contiene a a y por el teorema (2.22),

lim~=~.

x-a

El caso en que a = 2 no queda cubierto por la definición (2.6), puesto que no existe un intervalo abierto que contenga a 2 y en el cualf esté definida (note que ~ no es real si x < 2). Una manera natural de generalizar la definición de límite para incluir este caso excepcional, es restringir x a valores mayores que 2. En tal caso reemplazamos la condición 2 - J < x < 2 + J, que aparece en la definición (2.6), con la condición 2 < x < 2 + J. El límite correspondiente se llama el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha. Este es un caso particular de la siguiente definición. (2.24)

DEFINICION

Seafuna función definida en un intervalo abierto (a, c) y sea L un número real. La afirmación [im f(x) = L

significa que para todo e > 0, existe J > si a < x < a

°

tal que

+ J, entonces If(x)

-

LI <

e.

Si limx~Q. f(x) = L, decimos que el límite de f(x), cuando x tiende a a por la derecha, es L. También llamamos a L el límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a. El símbolo x---+a+ se utiliza para indicar que los valores de x son siempre mayores que a. Note que la única diferencia entre las definiciónes (2.6) y (2.24) es que para límites por la derecha restringimos x a la mitad derecha (a, a + J) del intervalo (a - J, a + J). En la parte (i) de la figura 2.11 se ilustra geométricamente

v

.v

L~ a (i)

x

x

x

lim J(.d = L

(ji)

x-a·

Figura 2.11

a

Iim/(x)=L

x

72

2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

la definición (2.24). Intuitivamente pensamos quef(x) se acerca a L a medida que x se acerca a a, tomando valores mayores que a. La noción de límite por la izquierda se define de manera semejante. Por ejemplo. si f(x) = ~, entonces restringimos x a valores menores que 2. He aquí la definición general. (2.25)

DEFINICION

Sea f una función definida en un intervalo abierto (e, a), y sea L un número real. La afirmación lim f(x) = L significa que para todo e > O, existe b > O, tal que si a - b < x < a, entonces If(x) - LI < e. Si lim x _ a - f(x) = L, decimos que el límite de f(x), cuando x tiende a a por la izquierda, es L; o que Les el límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a a. El símbolo x --> a - se usa para indicar que restringimos x a valores menores que a. En (ii) de la figura 2.11 se ilustra geométricamente la definición (2.25). Note que en este caso, x está en la mitad izquierda (a - b, a) del intervalo (a - b, a + b). A veces llamamos a (2.24) y (2.25) los límites unilaterales de f(x) cuando x tiende a a. En el siguiente teorema enunciamos la relación que existe entre límites unilaterales y límites. La demostración se deja como ejercicio. (2.26)

TEOREMA

Supongamos que un intervalo abierto contiene el punto a y que una función está definida en todo el intervalo excepto posiblemente en a. Entonces limx .... af(x) = L si y sólo si lim x .... a- f(x) = L Y lim x .... a+ f(x) = L.

f

El teorema anterior nos dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a existe si y sólo si ambos límites unilaterales existen y son iguales. Pueden demostrarse teoremas análogos a los de la sección anterior para límites unilaterales. Por ejemplo lim [j(x)

+ g(x)] =

lim f(x)

+

lim g(x)

y Iim ,yf(x) x-a·

= j lim

f(x)

x-a'

con las restricciones acostumbradas sobre la existencia de límites y raíces enésimas. Los resultados análogos para límites por la izquierda también son ciertos.

LIMITES UNILATERALES

2.4

73

+ ~).

Ejemplo 1

Encuentre lim x _2' (1

Solución

Usando teoremas sobre límites (unilaterales),

+ ../x-2)=

(im (1 x-2·

lim 1 + lim ~ x-2" x-2'

= 1+

J lim

(x - 2)

.<- 2 .

=1+0=1. La gráfica de f(x) = 1 + ~ está dibujada en la figura. 2.12. Note que el límite por la izquierda no existe, ya que ~ no es un número real si x < 2.

x

Figura 2.12

Ejemplo 2

Suponga que f(x) = Ixllx si x '1= O Y f(O) = 1. Muestre que lim x-o' f(x) = 1 Y limx_o-f(x) = -1. ¿Cuál es limx_of(x)?

Solución

Si x > O, entonces

Ixl =

x y f(x)

= xix = 1. En consecuencia,

[im j(x) .<-0"

Si x < O, entonces

Ixl = -

x y f(x)

=

lim x-o'

(=

1.

= - xlx = -1. Por lo tanto,

lim j (x) = (im (- 1) = - 1. x-O-

x-o'

Como estos dos límites unilaterales son diferentes entre sí, se sigue del teorema (2.26) que lim x _ o f(x) no existe. En la figura 2.13 hay un dibujo de la gráfica de f )'

x

-1

Figura 2./3

74

2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Suponga que f(x)

Ejemplo 3

= x + 2 si x

# l Yf(l)

= O.

Encuentre lim x -+ I - f(x) , lim x -+ I + f(x)

y lim~_¡f(x).

Como se muestra en la figura 2.14, la gráfica de f consta del punto P(I, O) junto con todos los puntos de la recta y = x + 2, exceptuando el punto con coordenadas (1,3). Evidentemente, lim x _ 1 + f(x) = 3 = lim x -+ I - f(x). Por lo tanto, por el teorema, (2.26), lim x _ ¡f(x) = 3. Note que lim x -+ ¡f(x) # f(l)·

Solución

x

Fi¡:ura 2./4

2.4 EJERCICIOS En los ejercicios dl:l I al 16, encuentre el límite (si éste existe). Iim (4 x-o' 4

7

13

2

2x - x 2)

lim

8

x + 10

x- -10-

J(x

+ 10)2

x+7 lim - x_-7'\x + 71

14

,

J (x)

=

I:n

f(x)

Iim x-s'

~ x S 2

x

slx>2

{

(Jx

lim

+ 6 + x)

lim x y /9 - x 2 x-3 ­

9

J(x-W . .:;......:.-----':­ )1m x-3

x-3'

.

12

4/ X 2 -

16

11m -".y--­

x+4

,,-4'

1 Iim -

15

16

18

. SI X

/(x) -:-'\ {

.

~ - 3

-3'

I(x), lim x _

- 3-

20

,3

S· \ 1,

< .., -­

4 - 2x si x> 2

I(x) y lim x _ - 3/(x),

f(x)

=

I

Iim-­ x -8

.<_8-

.T-O' X

.

.;/x + 2

6

1+ y/2x - 10 x+3

. 11t - xl 1Im-X-1t

1/(2 - 3x) si x < -3 =

- 25 + 3)

x + 10 lim - - x- - 1O· Ix + 101

En los ejercicios 19 y 20 encuentre lim x _ si éstos existen. 19

3

los ejercicios 17 y 18, encuentre Iim x _ 2 - I(x), lim x _ 2 ' I(x) y dibuje

{3X 2

",r; + 3)

.'(-rr

Para cada 1 definida la gráfica de f 17

11

-

x- - 6'

lim (J~2 ,'1:-5 .

Ix - 31 X- 3

lim

lim (4X 3 / 2

x-o·

5

512 -

_'(- 3

10

x)

(J5 -

lim x-

+

91x2 si x OS; - 3

{ 4 + x SI. x > -3

En los ejercicios del 21 al 23, n denota un entero arbitrario. Para cada función 1 dibuje su gráfica y encuentre lim,_.- I(x) y Iim.,_.+ I(x).

FUNCIONES CONTINUAS

21

f(x) = ( - I lO si n

22

O si x = n f(x) = { . I SI X # n

~

x < n

+

2.5

75

I 23

f(x) =

X

{

O

si x = n

si x # n

En los ejercicios 24 y 25, [ ] denota la función máximo entero y n es un entero arbitrario. 24 Encuentre Iim... _ o [x] y Iim... _ o • [x]. 25 Sea f(x) = x - [x]. Encuentre lim... _ o - f(x) y lim... _ o ' f(x). 26 Sea f(x) = (x 2 Iim... _J!(x).

9)/(x - 3) para x # 3 Y f(3) = 5. Encuentre Iim... _ J • f(x) , Iim... _ J - f(x) y

-

27 Sea f un polinomio. Demuestre que Iim... _•• f(x) = f(a) y que Iim... _. - f(x) = f(a) para todo número real a. 28 Demuestre el teorema (2.26). 29 Haga dibujos análogos a los de las figuras 2.5 y 2.6 que ilustren el concepto de límite por la derecha. Haga lo mismo para el concepto de límite por la izquierda. 30 Las ilustraciones de límites en fisica y química que dimos en la sección 1 son ejemplos de límites unilaterales.

¿Por qué?

2.5

FUNCIONES CONTINUAS En la definición de lim ... _af(x) hicimos énfasis en la restricción x "# a. Por medio de varios ejemplos en las secciones anteriores, vimos que limx_af(x) puede existir aunque f no esté definida en a. Prestemos ahora nuestra atención al caso en el que a se encuentra en el dominio de f Sif está definida en a y limx_af(x) existe, entonces este límite puede o no ser igual a f(a). En caso de que limx_af(x) = f(a), entonces se dice que f es continua en a según la siguiente definición.

(2.27)

DEFINICION

Una función f es continua en un número real a si se satisfacen las tres con­ diciones siguientes. (i) (íi) (iii)

f está definida en un intervalo abierto que contiene a a. limf(x) existe. limf(x)

= f(a).

Si f no es continua en a, entonces decimos que es discontinua en a o que tiene una discontinuidad en a. Ejemplo 1

(a)

Demuestre que un polinomio es una función continua en todo número real a.

(b) Demuestre que una función racional es continua en todos los números reales de su dominio.

76

2

Solución

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

(a)

Un polinomio / está definido en todo IR. Más aún, por el teorema (2.18), = /(a) para todo número real a. Entonces / satisface las condiciones (i), (ii) Y (iii) de la definición (2.27) y por lo tanto es continua en a.

Iim x _ a /(x)

(b) Si q es una función racional entonces q = /1 h, donde / y h son polinomios. Por lo tanto, q está definida en todos los números reales excepto en los ceros de h. Se sigue que si h(a) '" O, entonces q está definida en un intervalo abierto que con­ tiene a a. Más aún, por (2.19), limx_aq(x) = q(a). Aplicando la definición (2.27) concluimos que q es continua en a. Si / es continua en a, entonces por (i) de la definición (2.27) el punto (a,/(a» está sobre la gráfica de f Más aún, como limx_af(x) = /(a), cuanto más cerca esté x de a más cerca estará/(x) de/(a), es decir, el punto (x,/(x» se acerca al punto (a,/(a». Describamos esto con mayor precisión de manera parecida a la que se ilustró en la figura 2.7 (pero con el punto (a,/(a» incluido). Para toda pareja de rectas horizontales y = /(a) ± e, existen rectas verticales x = a ± 15, tales que si a - 15 < x < a + 15, entonces el punto (x,/(x» de la gráfica de / se encuentra dentro de la región rectangular sombreada. Por esta razón, se piensa en la funciones que son continuas en todos los números de un intervalo, como aquéllas cuyas gráficas pueden dibujarse sin despegar el lápiz del papel; es decir, que sus gráficas no están rotas. Otra manera de interpretar la continuidad de una función / es decir que una variación pequeña de x produce solamente una variación pequeña de /(x). Estas no son descripciones exactas sino artificios para adquirir cierta intuición para las funciones continuas. Como la noción de continuidad involucra el hecho de que limx_a/(x) = /(a), los siguientes resultados pueden obtenerse reemplazando L con /(a) en la definición (2.6). (2.28)

TEOREMA

Si una función / está definida en un intervalo abierto que contiene a a, en­ tonces / es continua en a si para todo e > O existe 15 > O tal que I/(x) - /(a) 1 < e siempre que Ix - al < b.

Note que en el teorema (2.28) no exigimos que O < Ix - al ya que / está definida en a. Más aún, si x = a entonces I/(x) - /(a)1

= I/(a) - /(a) 1 = O < e.

En la figura 2.15 están dibujadas las gráficas de varias funciones que no son continuas en a. La función cuya gráfica se ilustra en la parte (i) no es continua porque / no está definida en a. Las funciones cuyas gráficas se ilustran en las partes (ii) y (iii) son discontinuas en a porque Iim x _ a /(x) no existe. Para una función cuya gráfica es como la de la parte (iv), tanto /(a) como limx_af(x) existen, pero son diferentes y por lo tanto / es discontinua en a por (iii) de la definición (2.27). La última ilustración muestra la necesidad de comprobar todas y cada una de las tres condiciones de la definición.

FUNCIONES CONTINUAS

77

2.5

y

x

a

a

x

(ii)

(i)

y

x

a

a

x

(iv)

(i ii)

Figura 2.15

Como una ilustración concreta, consideremos la función I del ejemplo 3 de la sección anterior, donde I(x) = x + 2 si x :1: 1 Y lO) = O (vea la figura 2.14). Como lim f(x)

= 3 :1: f(1),

x-I

la condición (iii) de la definición (2.27) no se satisface y por 10 tanto I tiene una discontinuidad en x = 1. Si I(x) = l/x entonces I tiene una discontinuidad en x = O. En este caso no se satisface ninguna de las condiciones de la definiciónl (2.27) (vea la figura 2.8). Las funciones cuyas gráficas se representan en la figura 2.15 parecen ser con­ tinuas en los números distintos de a. La mayoría de las funciones que se usan en el cálculo son de este tipo, es decir, pueden ser discontinuas en algunos números reales de sus dominios, pero son continuas en el resto. Si una función I es continua en todos los números de un intervalo (a, b), decimos que I es continua en el intervalo (a, b). Análogamente, se dice que una función es continua en un intervalo infinito de la forma (a, 00), (- 00, b) o (- 00, 00) si es continua en cada número del intervalo. La siguiente definición contempla el caso de un intervalo cerrado.

78 (2.29)

2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

DEFINICION

Si una función f está definida en un intervalo cerrado [a, b J, entonces fes continua en [a, b] si es continua en (a, b) Y además lim f(x)

= fea)

y

Ejemplo 2

Solución

lim f(x)

=

f(b).

x-b-

x-a+

En general, si una función f tiene un límite por la derecha o por la izquierda del tipo indicado en la definición (2.29), decimos que f es continua por la derecha en a o que f es continua por la izquierda en b, respectivamente. Sea f(x) = J9 - x 2 . Dibuje la gráfica de f y demuestre que f es continua en el intervalo cerrado [ - 3,3]. Por (1.9), la gráfica de x 2 + y2 = 9 o equivalentemente la de y2 = 9 - x 2 es un círculo con centro en el origen y radio 3. Se sigue que la gráfica de y = J9 - x2, y, por lo tanto, la de f, es la mitad superior de ese círculo (vea la figura 2.16). Si - 3 < C < 3, usando el teorema (2.22) tenemos lim j(x) = lim y/9 - x 2 = y/9 - c 2 = j(c). .'(-c

:e-e

Por lo tanto, por la definición (2.27), f es continua en c. Según la definición (2.29) sólo falta considerar los límites unilaterales en los extremos del intervalo. Como lim I(x) = lim /9 - x 2 = /9 - 9 = x--3+

f

O=

f( - 3)

:<--3'

es continua por la derecha en - 3. También tenemos Iim I(x) = lim /9 - x 2 = y!9 - 9 = O = f(3) ......... 3-

x-~-

y por lo tanto f es continua por la izquierda en 3. Esto completa la demostración de que f es continua en [ - 3,3]. y

f(x)

-3

3

0=

";9 -

x2

x

Figura 2.16

Es evidente cómo definir la continuidad en otros tipos de intervalos. Por ejemplo, se dice que una función f es continua en [a, b) o en [a, 00), si es continua en todo número mayor que a en el intervalo y además es continua por la derecha en a. Análogamente, se dice que una función f es continua en (a, b J o en (- 00, b J

FUNCIONES CONTINUAS

2.5

79

si es continua en todo número menor que b en el intervalo y es continua por la izquierda en b. Como se ilustra en el siguiente ejemplo, al discutir la continuidad de una fun­ ción, mencionaremos los intervalos más grandes donde es continua. Por supuesto que si una función es continua en un intervalo, también lo será en cualquiera de sus subintervalos.

Ejemplo 3

Discuta la continuidad defsuponiendo que

f(X)=~. xSolución

La función no está definida si el denominador x - 4 se anula (es decir, si x = 4), o si x 2 - 9 es negativo (es decir, si - 3 < x < 3). Cualquier otro número real se encuentra en alguno de los intervalos ( - 00, - 3], [3, 4) o (4, (0). La demostración de que f es continua en cada uno de estos intervalos es semejante a la de la solu­ ción del ejemplo 2. Así pues, para demostrar la continuidad en [3,4) es necesario mostrar que IimI(x)

= I(c)

si 3 < c < 4

y también que

lim I(x) = I(3). x-3 .

Dejamos al lector los detalles de la demostración para éste y para los otros inter­ valos.

Los teoremas sobre límites discutidos en la sección 3, pueden utilizarse para demostrar el siguiente resultado importante. (2.30)

TEOREMA

Si las funciones f y g son continuas en a, entonces también lo son la suma f + g, la diferencia f - g, el producto fg y, en caso de que g(a) "# 0, el cociente flg. Demostración. Si f y g son continuas en a, entonces lim x_ a f(x) = f(a) y limx_ag(x) = g(a). Por la definición de la suma, (f + g) (x) = f(x) + g(x). En consecuencia,

Iim (j

+ g)(x) = Iim

[f(x)

+ g(x)]

x-a

=

lim I(x)

+ Iim g(x)

= I(a) + g(a) = (j + g)(a),

80

2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

lo cual demuestra que f + g es continua en a. Las demás conclusiones del teorema se demuestran de manera parecida. Si f y g son continuas en un intervalo /, se sigue que f + g, f - g y fg son continuas en /. Si además g(a) "# O para todo a en /, entonces f/g es continua en 1. Estos resultados pueden generalizarse a más de dos funciones; es decir, las sumas, diferencias, productos y cocientes que involucran cualquier número de funciones continuas, son a su vez funciones continuas (siempre que no intervengan deno­ minadores que se anulen). El siguiente resultado acerca de limites de funciones compuestas tiene muchas aplicaciones. (2.31)

TEOREMA

Si

f yg

son funciones tales que lim g(x) = b

y

f

es continua en b, entonces

lim f(g(x» = f(b) = f(lim g(x».

Demostración. Como señalamos en el capítulo 1 (vea la figura 1.33), la función compuesta f(g(x» puede representarse geométricamente usando tres rectas reales como se muestra en la figura 2.17, donde a cada coordenada x en / le corresponde la coordenada g(x) en r y a ésta le corresponde a su vezf(g(x» en /". Deseamos demostrar que f(g(x» tiene el limite f(b) cuando x tiende a a. Según la definición (2.6) debemos mostrar que para todo e > O existe D > O tal que

/, r, /"

(2.32)

si

O<

Ix - al < D entonces If(g(x» - f(b)1 < e.

-I~~----"~ ~ ~~ x a ,

g(x)

b

I

~

1"

f(g(x» f(b)

"

Figura 2./7 Comencemos por considerar el intervalo.

(f(b) - e,

f(b)

+ e)

sobre /", ilustrado en la figura 2.18. Como f es continua en b, limz~bf(z) = f(b) Y por lo tanto, como se muestra en la figura, existe DI > O tal que (2.33)

si

(

Iz - bl < DI' entonces If(z) - f(b) I < e.

I

~

l'

f(h) -

Figura 2./8

f

f(z) f(b)

)

.­

f(b)+€

1"

FUNCIONES CONTINUAS

81

2.5

En particular, si hacemos z = g(x) vemos que si Ig(x) - b I < 151' entonces I f(g(x» - f(b)

(2.34)

I<

e.

Ahora prestemos atención al intervalo (b - 151' b + 151) sobre 1'. Usando la defi­ nición de lim:c_a g(x) = b, obtenemos que existe 15 > O tal que

al < 15,entonceslg(x) - bl < 151'

siO < Ix -

(2.35)

como se ilustra en la figura 2.19.

a-6 x

a

~I

a+6

b-8¡

g(x) b

~

"

Figura 2.19

Finalmente, combinando (2.35) y (2.34) vemos que si 0< Ix - al < 15 entonces If(g(x» - f(b) 1< e que es la conclusión (2.32) que deseábamos demostrar. El teorema (2.31) se aplica principalmente para demostrar otros teoremas. Por ejemplo. si n es un entero positivo y f(x) = ~' entonces .f(g(x»)

=

n

R(x)

y I(lim R(X»)

=

x-u

jlim g(x). X-Q

Si ahora sustituimos en la ecuación

limI(g(x))

= f(lim g(x))

obtenemos el resultado enunciado en el teorema (2.22), es decir

tiro jg(x)

=

Jlimg(x),

donde se supone que las raíces enésimas indicadas existen. Si en el teorema (2.31) g es continua en a y fes continua en b = g(a), entonces (2.36)

limf(g(x» = f(lim g(x» = f(g(a»; es decir, la función compuesta fag es continua en a. Este resultado puede generali­ zarse a funciones que son continuas en intervalos. A veces esto se expresa diciendo "la composición de funciones continuas es continua".

Ejemplo 4

Seaf(x) = Ixl. Demuestre quefes continua en todo número real a.

82

2

Solución

Como

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Ixl =

p, por (2.22) y (2.13) tenemos limf(x)

= limlxl = limjX2 = Jlim x 2 = x-a

Ja

2

= lal = fea).

Por lo tanto, de la definición (2.27) resulta que f es continua en a. Terminaremos esta sección enunciando una propiedad importante de las fun­ ciones continuas. La demostración puede hallarse en textos de cálculo más avan­ zados.

(2.37)

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

Si una función fes continua en un intervalo cerrado [a, b] y sif(a) "# f(b), entonces f toma todos los valores entre f (a) y f (b) en el intervalo [a, b]. El teorema (2.37) afirma que si w es cualquier número entref(a) y f(b), en­ tonces existe un numero e entre a y b tal que f(e) = IV. Si consideramos la gráfica de la función continua f como una curva que sin romperse une el punto (a, fea»~ con el punto (b, f(b», como se ilustra en la figura 2.20, entonces para cualquier número w entre fea) y f(b) se ve que la recta horizontal y = IV corta la gráfica por lo menos en un punto P. La abscisa e de P es un número tal que f(e) = w. y /(h)

l"

---+-------+------t----y = ((a)

".

----­

a

h

('

x

Figura 2.20

Un corolario del teorema (2.37) es que si fea) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe un número e entre a y b tal quef(e) = O; es decir,fse anula (tiene un cero) en e. En términos geométricos, esto implica que si el punto (a, f(a» de la gráfica de una función continua se encuentra debajo del eje x y el punto (b,f(b» se encuentra arriba del eje x o viceversa. entonces la gráfica de f corta al eje x en algún punto (e, O), donde a < e < b.

Ejemplo 5

Verifique el teorema del valor intermedio tervalo [3, 24].

(2.37) para f(x) =

F+I en el in­

FUNCIONES CONTINUAS

2.5

83

La función / es continua en [3, 24] Y/(3) = 2, /(24) = 5. Para cualquier número real IV entre 2 y 5, debemos encontrar e entre 3 y 24 tal que /(c) = IV, es decir, = w. Elevando al cuadrado ambos miembros de esta ecuación y despe­ jando e obtenemos e = w 2 - l. El número e está entre 3 y 24 ya que si 2 < IV < 5, entonces

Solución

fi+I

4 < w 2 < 25 o 3 < w 2

1 < 24.

-

Para comprobar nuestro resultado sustituimos e = w 2 obtenemos I(c)

•

= I(w 2

-

1)

= )(w 2

+ 1=

1)

-

l en la definición de / y

-

w.

2.5 EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 6, muestre que la función I es continua en el número a dado. /(x)= 3

2x-5+3x,a=4

x f(x) = -2--,a = 3 x - 4

5 .f ·(x) =

3~2

v'\

+

,a

= - 5

2/(x)=3x 2 +7-1/0,a=-2 I x

4

/(x)

= -,a =

6

((xl

= _V _ _, a =

·

10- 6

3i;

+l

2x

8

En los ejercicios del 7 al 10 muestre que I es continua en el intervalo indicado. 7

f(x)

9 /(x)

=v

x - 4: [4.8]

I

= 2": (O,::e) x

8 ¡(x) 10

f(x)

= ,-'16

- x: (-::e,16]

I

= --:

(1,3)

x-I

En los ejercicios del lI al 22 encuentre todos los números en los que la función I es continua. IJ

3x - 5 f(x) = 2x2 _ X - 3

13

f(x) =,

h--=3 + x 2

12

x2 - 9 f(x)=-­ x-3

14 f(x) =

x 3i" _ 4

v'

15 f(x) =

x- l

yr;z=-T

17

. Ix + 91 I(x)=-- . x+9

19 f(x) 21

5

= - 3 - - , 2

/(x) =

x -.x

~~ v.x -9 y _5-x x-4

16 f(x) = 18 /(x) ·

x

=2- ­

20 ¡(x) = ·

22

x

v /~ .

I(x) =

x

+

1

4x - 7

(x

+ 3)(x 2 + 2x

- 8)

v'9 - x Jx-6

23-28 Discuta las discontinuidades de las funciones definidas en los ejercicios del 21 al 26 de la sección 4.

84

2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

29 Demuestre que si f(x) = 1Ix entonces f es con­ tinua en cualquier intervalo abierto que no con­ tiene al origen. ¿Qué sucede en los intervalos abiertos que sí contienen al origen?

Ix - 31

31 Sea {(x)

=

30 Sea

X =

32 Suponga que f(x) = O si x es racional y f(x) = I si x es irracional. Demuestre que f es disconti­ nua en todo número real a.

.

x- 3

1

si x#-3 3

¿Es f continua en 3? Explique su respuesta.

- - slx#-3

{

I

f(x) = { O· SI

si x = 3

¿Es f continua en 3? Explique su respuesta. 34 Sea f continua en un intervalo que contiene a e y sea f(e) > O. Demuestre que f(x) es positivo en todo un intervalo que contiene a e. (Suge­ rencia: Consulte el teorema (2.10).)

33 Demuestre que una función f es continua en a si y sólo si Iimh_of(a + h) = f(a).

En cada uno de los ejercicios del 35 al 38 verifique el teorema del valor intermedio (2.37) para en el intervalo dado [a, bJ mostrando que si IV es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe un número e en [a, bJ tal que f(c) = IV.

f

35 {(x) = x 3 + l; [- 1.2 J

37 j(x)

=

x2

+ 4x + 4; [O. I J

39 Sea f(x) = x - 5x + 7x - 9. Demuestre que existe un número real a tal que f(a) = 100. 3

2

36

j(x) = _x 3 ; [0,2]

38

j(x) = x 2

40

Demuestre que la ecuación

x; [- 1,3]

-

x5

-

3x 4

-

2x 3

-

+ 1= O

x

tiene una solución entre O y 1.

2.6 REPASO Conceptos Defina o discuta lo siguiente: 2

El límite de una función cuando x tiende a a

Las interpretaciones geométricas de limx_.f(x) = L

3

Teoremas sobre límites

4

Límites de polinomios y funciones racionales

5

Límites por la derecha y por la izquierda

6

Función continua

7

Discontinuidades de una función

8

Continuidad en un intervalo

9

Límite de una función compuesta

10

El 'teorema del valor intermedio

Ejercicios En cada uno de los ejercicios del I al 20 encuentre el límite, si existe. 5x

+ 11

lim~ x-3 V x + 1

4

lim (x x-4-

/16 - x 2 )

2 5

6 -7x Iim

4

x--2(3+2x) 2x 2 + x - 6

Iim

2

x-3/24x - 4x - 3

3

4x 2

Iim (2x x- - 2

6

lim x-

3x 2 - x- 10

2

2 x -

X -

2

+ x)

REPASO

7

x4 lim 2

x-2X

10

lim

16

19

8

2

X -

(l/S) x-S

(l/x) ­

x-5

13

16

-

-

11

I

x -3

hm-­

9

Iim

85

r;

x-o' y.

8x 3 - I Iim--­ x- 112 2x - I

IimS

12

x-2

(a + h)4 _ a r1m fi-fi­ 15 lim 4

3-x lim-­ x_3·13-xl

14

x+3 Iim 3 - 3 - ­ x- -3 X + 27

17

x-2

x-2

lim

(2

+ h)-3

A-O

rI m Ix ­ - ­21 x-2·

.

x-3·

2.6

20

2-x

h

A-O

_

2- 3

Iim (x 2

18

h

+ 3)0

x-s

x-I lim x-I J(x _ 1)2

Encuentre los límites en los ejercicios 21 y 22, donde [ ] denota la función máximo entero. 21

lim (Ex] - x 2 )

22

lim (Ex] - x 2 ) ..1"-3­

x-J·

23 Demuestre, directamente de la definición de lí­ mite, que Iim x _ 6 (5x - 21) = 9.

24 Suponga que f(x) = l si x es racional y f(x) = -1 si x es irracional. Demuestre que limx_.f(x) no existe para ningún número real a.

En cada uno de los ejercicios del 25 al 28, encuentre los números en los cuales f es continua. 25

.y; + 1

f(x) = 2x· -

J9-x 2

26

f(x) = J(2

28 f(x)=

27 f(x) = x.-16

+ x)(3

- x)

f

x -1

En cada uno de los ejercicios del 29 al 32, encuentre las discontinuidades def.

29 f x _ Ix

2

161 ( ) - x 2 - 16

31

x f(x) =

2

2

X -

x -

2 x

30 f(x) =

2

33 Sea f(x) = l/x 2. Verifique el teorema del valor

32

1 -2-­

X -16

x+2 f(x) = -3--8

x ­

34 Demuestre que la ecuación

intermedio (2.37) para f en el intervalo [2,3]. X

s + 7x 2

-

3x - 5 = O

tiene una raíz entre - 2 Y -l.

3

LA DERIVADA

La derivada de una función es una de las herramientas más poderosas en las matemáticas. En efecto, es indispensable para las investigaciones no elementales tanto en las ciencias naturales como en las ciencias sociales y las humanidades. Empezaremos nuestro trabajo reformulando la noción de recta tangente introducida en el capitulo anterior y luego discutiremos la velocidad de un objeto que se mueve. Estos dos conceptos servirán para. motivar la definición de la derivada que aparece en la sección 2. El resto del capitulo se ocupará principalmente de las propiedades de la derivada.

3.1

INTRODUCCION

Sea P(a, f(a)) un punto cualquiera sobre la gráfica de una función f Si Q es otro punto sobre la gráfica lo podemos denotar por Q(a + h, f(a + h)) donde h es la diferencia de las abscisas de Q y P (vea (i) de la figura 3.1). Por la definición (1.11) la pendiente m pQ de la recta secante que pasa por P y Q es f(a mpQ

=

+ h)

- f(a)

h

En el capítulo 2 se definíó la pendiente m de la recta tangente en P como el valor límite de m pQ cuando Q se acerca a P (vea (ii) de la figura 3.1). Si f es continua, entonces podemos hacer que Q tienda a P, haciendo que h tienda a cero. Por lo tanto es natural definir m como sigue: (3.1)

DEFINICION

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a a. Entonces la pendiente m de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P( a, f(a)) está dada por m

= lim f(a + h) h-O

siempre y cuando este límite exista.

86

h

- f(a)

INTRODUCCION

a

1

a+h

(i) Pendiente de una recta secante: tII

PQ =

¡fa

+ h) h

-

3.1

87

x

a

Pendiente de la recta tangente 1:

(ii)

ira)

-

11I

, j{l1+h)-j(a) = 1I m '-'-----"------"----"-­ 11-0

h

Figura 3.1

Si una recta tangente es vertical su pendiente no está definida y el limite de la definición (3.1) no existe. Las rectas tangentes verticales se estudiarán en el siguiente capítulo. Ejemplo 1

Sea f(x) = x 2 . Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto Pea, a 2 ).

Solución

Este problema es el mismo que el que se enunció para ecuacíones en el ejemplo l de la primera sección del capítulo 2. Usando el cociente en la definición (3.1),

fea + h) - fea)

(a

- a2

+ h)2

h

h a

2

+ 2ah + h 2

_

a2

h 2ah

+h

2

h

= 2a + h. La pendiente m de la recta tangente es por lo tanto m

=

lim(2a + h)

=

2a.

h~O

Una de las razones principales para la invención del cálculo fue la necesidad de encontrar una manera de estudiar el comportamiento de los objetos en movimiento. Consideremos el problema de obtener una definición satisfactoria de la velocidad o rapidez de un objeto en un instante dado. Por simplicidad supondremos que el objeto se está moviendo sobre una línea recta. El movimiento sobre una línea recta

88

3

LA DERIVADA

se llama movimiento rectilíneo. Es fácil definir la velocidad media r durante un in­ tervalo de tiempo. Sencillamente usamos la fórmula ­ d

r =­

(3.2)

t

donde t denota la longitud del intervalo de tiempo y d es la distancia entre la posi­ ción inicial del objeto y su posición después de t unidades de tiempo. Como una ilustración elemental, suponga que un automóvil sale de la ciudad A a la 1:00 P.M. y viaja a lo largo de una carretera recta llegando a la ciudad B, que dista 150 km de A, a las 4:00 P.M. Usando (3.2) vemos que su velocidad media r durante el intervalo de tiempo indicado es 150/3 o 50 km por hora. Esta es la velo­ cidad que, mantenida durante tres horas, permitirá al coche viajar la distancia de A a B. La velocidad media no da ninguna información sobre la velocidad en un momento dado. Por ejemplo, es posible que a las 2:30 P.M. el velocímetro del auto­ móvil marcara 40 o 30 o que el automóvil ni siquiera estuviera moviéndose. Si queremos determinar la velocidad a la cual está viajando el automóvil a las 2:30 P.M. necesitamos información sobre su movimiento o su posición cerca de las 2:30 P.M. Por ejemplo suponga que a las 2:30 P.M. el automóvil está a 80 km de A y a las 2:35 P.M. está a 84 km de A, como se ilustra en la figura 3.2. .1

"­

B

4IiIIP I

•

)2:30p.M.

v

•

80 km .-1

~

•

\..

B

I

v 84 km

)

2: 35 P.M.

Figura 3.2

En el intervalo de las 2:30 P.M. a las 2:35 P.M. el tiempo transcurrido t es 5 minutos o 1/12 de hora y la distancia d es 4 km. Sustituyendo esto en (3.2) ob­ tenemos que la velocidad media r durante este intervalo de tiempo es r = (1 ~ 2) = 48 kilómetros por hora Sin embargo esto todavía no es una indicación precisa de la velocidad a las 2:30 P.M. ya que, por ejemplo, el automóvil pudo haber viajado muy lentamente a las 2:30 P.M. y luego haber acelerado mucho para llegar a las 2:35 P.M. al punto que dista 84 km de A. Evidentemente se obtendría una mejor aproximación al movimiento si considerásemos la velocidad media durante un intervalo de tiempo menor, como de las 2:30 P.M. a las 2:31 P.M. En efecto, parece que el mejor procedimiento sería tomar intervalos de tiempo cercanos a las 2:30 P.M. cada vez más pequeños y es­ tudiar la velocidad media en cada uno de ellos. Esto nos conduce a un límite como el que se obtuvo para las rectas tangentes. Para poder basar nuestra discusión en conceptos matemáticos, supongamos que la posición de un objeto moviéndose en línea recta puede ser representada por un punto P sobre una recta coordenada l. Algunas veces hablaremos del movimiento del punto P sobre I o del movimiento de una partícula sobre I cuya posición está

INTRODUCCION

89

3.1

dada por P. Supongamos también que se conoce la posición de P en todo instante de un intervalo dado de tiempo. Si f(t) denota la coordenada de P en el tiempo 1, entonces la función f se llama la función de posición de P. Si medimos el tiempo mediante un reloj, entonces para cada I el punto P está a f(/) unidades del origen, como se ilustra en la figura 3.3. Tiempo

Posición de P

o •

f'

•

o

.. I

IU)

Figura 3.3

Para definir la velocidad de P en el tiempo a, primero investigamos la velocidad media en un intervalo de tiempo (pequeño) cercano a a. Así pues, consideramos los tiempos a y a + h donde h puede ser positivo o negativo pero no cero. Las po­ siciones correspondientes de P sobre el eje I están dadas por f(a) y f(a + h), como se ilustra en la figura 3.4 y por lo tanto la cantidad de cambio en la posición de P es f(a + h) - f(a). Este último número puede ser positivo, negativo o cero dependiendo de si en el tiempo a + h la posición de P es a la derecha de, a la iz­ quiera de, o la misma que la posición de P en el tiempo a. Este número no es ne­ cesariamente igual a la distancia recorrida por P durante el intervalo de tiempo [a, a + h] ya que, por ejemplo, P pudo haberse movido más allá del punto corres­ pondiente a f(a + h) y luego haber regresado a este punto en el tiempo a + h. Cambio en el tiempo

Cambio en la posición de P

•

•

o

I(a)

•

•

I

{(a 1- 11)

Figura 3.4

Según (3.2) la velocidad media de P durante el intervalo de tiempo [a, a está dada por Velocidad media = f(a

+

hl-

+

h]

j(a).

Tal como en nuestra discusión anterior, mientras más pequeño sea el valor absoluto de h, más se aproximará este cociente a la velocidad de P en el tiempo a. Por con­ siguiente definimos la velocidad como el límite cuando h tiende a cero de la velocidad media. siempre y cuando este límite exista. Este límite también se llama la velocidad

90

3

LA DERIVADA

instantánea de P en el tiempo a. Resumiendo llegamos a la siguiente definición. (3.3)

DEFlNICION

Supongamos que un punto P se mueve sobre una recta coordenada 1 de ma­ nera que su coordenada en el tiempo t esf(t). Entonces la velocidad v(a) de P en el tiempo a está dada por ,

() = 11m va

na + h) - I(a) h

h-O

siempre y cuando este límite exista. Sif(t) se mide en centimetros y t en segundos, entonces la unidad de la velocidad es centímetros por segundo, abreviado cmjseg. Si f(t) está dado en millas y t en horas, entonces la velocidad está dada en millas por hora (mijh), Desde luego se pueden usar otras unidades de medida. En el capítulo 4 regresaremos al concepto de velocidad y veremos que si la velocidad es positiva en un cierto intervalo de tiempo, entonces el punto se mueve en la dirección positiva de 1mientras que si la velocidad es negativa el punto se mueve en la dirección negativa. Aunque no hayamos demostrado todavía estos hechos, los usaremos en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 2

La posición de un punto P sobre una recta coordenada 1está dada porf(t) = t 2 - 6t donde f(t) está medido en metros y t en segundos. Encuentre la velocidad en el tiempo a. ¿Cuál es la velocidad en t = O? ¿En t = 4? Determine los intervalos de tiempo en los cuales (a) P se mueve sobre 1 en la dirección positiva y (b) P se mueve en la dirección negativa. ¿En qué tiempos es cero la velocidad?

Solución

De la fórmula para f(t) obtenemos I(a

+ h)

- I(a)

+ h)2

[(a

- 6(a

h

+ h)]

- [a 2

-

6aJ

h a

2

+ 2ah + h

2ah

+ h2 -

2

-

6a - 6h - a 2 h

+ 6a

6h

h

= 20 + h - 6. En consecuencia, por la definición (3.3), la velocidad v(a) en el tiempo a es uta)

,

= 11m h-O

I(a

+ h) h

- I(a)

,

= 11m (2a + h - 6) = 2a

- 6.

h-O

En particular la velocidad en t = O es v(O) = 2(0) - 6 = - 6 mjseg. En t = 4 es = 2(4) - 6 = 2 mjseg. Según los comentarios anteriores a este ejemplo, P se mueve a la izquierda cuando la velocidad es negativa, esto es, cuando 2a - 6 < O

v(4)

DEFINICION DE LA DERIVADA

91

3.2

°

o a < 3. La particula se mueve a la derecha cuando 2a - 6 > o a > 3. En ter­ minos de intervalos, el movimiento es a la izquierda en el intervalo de tiempo ( - 00, 3) Ya la derecha en (3, (0). La velocidad es cero cuando 2a - 6 = 0, es decir cuando a = 3 segundos. El lector sin duda se ha dado cuenta de la semejanza entre el límite en la de­ finición (3.3) y el límite usado en la definición de la pendiente de una recta tangente en (3.1). ¡En efecto ambas expresiones son idénticas! Hay muchas aplicaciones tanto en las matemáticas como en la física que conducen precisamente a este mismo límite. Varias de ellas se discutirán en el siguiente capitulo.

3.1 EJERCICIOS En los ejercicios; del I al 4 encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de J en el punto P(a,J(a». Dibuje la gráfica y las rectas tangentes en algunos puntos. 1 f(x) = 2 - x 3

2

f(x) = 3x - 5

3

f(x) =

fi + I

4

f(x)

l = -

x

-

l

En los ejercicios 5 y 6 la posición de un punto P moviéndose sobre una recta coordenada I está dada por f(/) donde / está medido en segundos y f(/) en centimetros. (a) Encuentre la velocidad media de P en los siguientes intervalos de tiempo: [1,1.2]; [1,1.1]; [1,1.01]; [1,1.001]. (b) Encuentre la velocidad de P en / = l. (c) Determine los intervalos de tiempo durante los cuales P se mueve en dirección positiva. (d) Determine los intervalos de tiempo durante los cuales P se mueve ea dirección negativa. 5 f(e) =

+ 3(

6

f(e) =

7 Si se arroja un objeto verticalmente hacia arri­ ba desde el suelo con una velocidad inicial de 112 pies/seg, entonces su distancia J(/) sobre el suelo después de / segundos es 112/ - 16/ 2 • ¿Cuál es la velocidad del objeto en / = 2, / = 3 Y / = 4? ¿En qué tiempo el objeto alcanza su altura máxima? ¿Cuándo cae al suelo el objeto? ¿Cuál es su velocidad en el instante del impacto?

8

Si se deja caer un objeto desde un globo a 500 pies de altura sobre el suelo, entonces su altura a los / segundos es 500 - 16/ 2 . Encuentre la velocidad en / = 1, / = 2 Y / = 3. ¿Con qué velocidad golpea el suelo el objeto?

9 La posición de un objeto en movimiento recti­ líneo como función de / está dada por un poli­ nomio de grado l. Demuestre que la velocidad es constante.

10

La función de posición de un objeto en movi­ miento rectilíneo es una función constante. Demuestre que la velocidad en todos los tiem­ pos es cero. Describa el movimiento del objeto.

4(2

3.2

(3

LA DEFINICION DE LA DERIVADA

En la sección anterior se usó el mismo procedimiento para resolver dos problemas totalmente diferentes, llegando en ambos casos al mismo límite. Este límite, que aparece en las definiciones (3.1) Y (3.3), es uno de los conceptos fundamentales

92

3

LA DERIVADA

del cálculo. En lo que resta del capítulo desarrollaremos varias reglas relacionadas con este concepto. Primero introduciremos la terminología y la notación necesarias. (3.4)

DEFINICION

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a a. Entonces la derivada de f en a, denotada por l' (a), está dada por f'(a)

= lim f(a + h) -

f(a)

h

h-O

si este límite existe. El símbolo f'(a) se lee "f prima de a". La frase "f'(a) existe" querrá decir que el límite en la definición (3.4) existe. Sif'(a) existe decimos quefes derivable en a, quefes diferenciable en a o queftiene una derivada en a. Es importante notar que si f es derivable en a, entonces, por la definición (3.1),f'(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a». Decimos que una función fes derivable en un intervalo abierto (a, b) si es deri­ vable en todo número c de (a, b). De manera similar definimos una función derivable en intervalos de la forma (a, 00), ( - 00, a) o ( - 00, 00). Para intervalos cerrados usamos la convención siguiente que es análoga a la que se usó en la definición (2.29) de [unción continua en un intervalo cerrado. (3.5)

DEFINICION

Una función es derivable (o diferenciable) en un intervalo cerrado [a, b), si es derivable en (a, b) y si existen los límites siguientes: . f(a + 11) - f(a) l1m '----------:---=--.....:. h-O· h

y

r

1m

h-O­

f(b

+ h)

h

- f(b)

.

A los límites unilaterales que se especifican en la definición (3.5) se les llama res­ pectivamente la derivada por la derecha de f en a y la derivada por la izquierda de fen b.

Si f está definida en un intervalo cerrado [a, b] pero no está definida fuera de este intervalo, entonces la derivada por la izquierda y la derivada por la derecha nos permiten definir la pendiente de las rectas tangentes en los puntos P(a, f(a» y R(b,f(b» como se muestra en la figura 3.5. Así pues, para obtener la pendiente de la recta tangente en P, tomamos el valor límite de la pendiente mpQ de la secante que pasa por P y Q, cuando Q tiende a P por la derecha. Para obtener la pendiente de la recta tangente en R, el punto Q debe tender a R por la izquierda. La derivabilidad en un intervalo de la forma [a, b), (a, b] o ( - 00, b] se define de manera obvia usando un límite unilateral en el extremo correspondiente. Suponga quefestá definida en un intervalo abierto que contiene a a. Es evidente que f'(a) existe si y sólo si tanto la derivada por la derecha como la derivada por la

DEFlNICION DE LA DERIVADA

pendiente = lim pendiente

·

f(a

l 1m

+

h--'O­

h) - f(o) h

J{b

93

3.2 + h)

­ f(b)

h

h-O·

a Figura 3.5 v

.1'

-+---.y.-----/2

a

x

x

Figura 3.6 izquierda existen en a y además son iguales. Las funciones dibujadas en la figura 3.6 tienen tanto derivada por la derecha como por la izquierda en a y éstas son las pendi­ entes de las rectas indicadas 11 y 12 respectivamente. Sin embargo, como las pendientes de 11 y 12 son distintas,f'(a) no existe. En general, si la gráfica deftiene una esquina en (a,f(a» entoncesfno es derivable en a. Dada una función/, sea S = {a:f'(a) existe}. Sifestá definida en ciertos in­ tervalos nada más, la frase "f'(a) existe" puede en algunos casos referirse a la exis­ tencia de ciertos límites por la derecha o por la izquierda como los que se mencionaron en la definición (3.5). Si a cada x en S le asociamos el número f'(x), obtenemos una función f' con dominio S, llamada la derivada de f El valor de f' en x está dado por

(3.6)

f'(x) = Iim I(x h-Q

+ h)

- I(x)

h

o por un límite unilateral apropiado. Es importante notar que en la definición def'(x), el número x es fijo pero al mismo tiempo arbitrario y que el límite se toma cuando h tiende a cero. La frase "derive f(x)" se usa igual que la frase "encuentre la derivada de f(x)". En las definiciones y los teoremas la expresión "f es derivable" significará que f'(x) existe para todos los números x de algún conjunto de números reales. El dominio de f' no siempre se mencionará explícitamente, sin embargo para muchos problemas específicos se puede hallar mediante un examen cuidadoso.

94

3

Ejemplo 1

Seaf(x) = 3x 2 - 5x + 4. Encuentre1'(x). ¿Cuál es el dominio de1'? Encuentre 1'(2),/'( -.Ji) y 1'(a).

Solución

Usando (3.6) obtenemos

LA DERIVADA

f'(x) = lim I(x

+ h)

- I(x)

h

¡,-o

. [3(x + h)2 - 5(x + h) + 4] - (3x 2 - 5x + 4) = 11m -=----------'-~---=------h

¡,-o

. (3X2 + 6xh + 3h - 5x - 5h + 4) - (3x 1 - 5x + 4) = l 1m - - - - - - - - - - , - - - - - - - - - ­ 2

h

¡,-o

=

. 6xl1 l 1m

+ 3h 2

511

-

h

¡,-o

=

lim (6x

+ 3h

- 5)

h-O

= 6x - 5. Como1'(x)

=

6x - 5 para todo x, el dominio de1' es IR. Reemplazando x tenemos

/,(2)

= 6(2) -

5

=7

f'( -.Ji) = 6( -.Ji) - 5 = -(6.Ji l'(a)

= 6a -

+ 5)

5.

= ~. Encuentre1'(x). ¿Cuál es el dominio de1'?

Ejemplo 2

Seaf(x)

Solución

Aplicando (3.6) vemos que

= lim

f'(x)

h-O

x+h h

-fi

Al resolver problemas siempre supondremos que los valores de las variables están escogidos de manera que las expresiones dadas estén definidas. En consecuencia, suponemos en este ejemplo que x y h son números tales que ) x + existen. En particular x > O. Para hallar el límite, primero multiplicamos por x + h + el numerador y el denominador del cociente indicado. Entonces

j

f'(x)

= lim

y

Ix

+ hh -

y

r;

¡,-o

(x + h) - x --===-----=­ h-O h(F+h + fi) .

=

+ h + v'r; F+h + fi

hm

l

= Iim ---;::==---=

',-O)X + h + yr; l

x

A

IX

IX

DEFINIeION DE LA DERIVADA

que es cierto para todo x > O. Examinemos por separado el caso x derivable en O, entonces usando (3.6) con x = O, 1'(0)

=

lim

n-O'

=

O. Si fes

JO+h - JO h

n-O'

= lim

95

3.2

jh =

lim _I_

h

n-O'

jh

Aquí es necesario usar un límite unilateral, ya que O es un extremo del dominio de! Como este último límite no existe (vea el ejercicio 38 de la sección 2.3),/'(0) tampoco existe. Por lo tanto el dominio de l' es el conjunto de los números reales positivos.

Ixl no es derivable en O.

Ejemplo 3

Demuestre que la función / dada por /(x)

Solución

La gráfica de f está dibujada en la figura 1.29. Es evidente de la figura que / no tiene derivada en O ya que la gráfica tiene una esquina en el origen. Podemos probar quel'(O) no existe mostrando que las derivadas de/por la derecha y por la izquierda en O son diferentes. Usando los límites de (3.5) con a = O y b = O, Iim nO h-O'

lim J (O h-O-

+ h)

- I(O)

= lim 10 + hl - 101 = lim ~ = I

h

+ h) - I(O) = h

=

h

h-O'

lim 10

+ hl - 101 =

n-O-

h

h-O'

h

lim ~ = -1.

h~O- h

Por lo tanto 1'(0) no existe. Se sigue del ejemplo 3 que la gráfica de y = Ixl no tiene recta tangente en el punto P(O, O). En (3.4) se definió la derivada como cierto límite. Hay otra fónnula importante para f'(a). Para ver cómo surge geométricamente primero rotulamos la gráfica de como se muestra en la figura 3.7 (compare con (i) de la figura 3.1).

,r.

x

Figura 3.7

96

3

LA DERIVADA

P y

Q está dada por

Según la definición (l.l O), la pendiente m pQ de la recta secante que pasa por

=

mpQ

f(x) -

fea)

x-a

Sifes continua en a, podemos lograr que Q se acerque a P, haciendo que x se acerque a a. Por lo tanto resulta que la pendiente de la recta tangente en P está dada por

,

f(x) -

fea)

m= 1Im------'---­ x~.

a

X -

si este límite existe. Como m = f'(a), esto nos lleva a otra fórmula para la derivada, la cual se enuncia en el siguiente teorema. Se puede hallar una demostración no geométrica de la fórmula en el apéndice 11. (3.7)

TEOREMA

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a a. Entonces

I'(a) = lím f(x) - fea)

x~a

X -

a

si este límite existe. l/3

Ejemplo 4

Seaf(x) =

Solución

Empleando el teorema (3.7) tenemos

X

ya "# O. Calculef'(a).

X l/3 _

a l/3

F(a) = l i m - - - ­ x~a

x -

a

si este límite existe. Ahora cambiamos la forma del cociente indicado como sigue: .

11m x

u

x l13

_

X -

a l13 a

x l/3 _

=

a l/3

lim ---:--:.-c;---~~ l 3 I13

x~. (X

)3 -

(a

/ )3

X 1/ 3 _

= ~i~ (X I / 3

_ (113)(x213

al /3

+ xl/3ali3 + a2/ 3 )'

Dividiendo el numerador y el denominador del cociente anterior por x 113 y tomando el límite obtenemos

f ' (a) = (3.8)

-

a 1/3

1

a 2/3

+ a 2/3 + a 2/3

TEOREMA

f_

S-I-'-u-na-f-u-nc-i-ó-n-f-e-s-d-e-r-iv-a-b-l-e-e-n-a-,-e-n-t-o-n-c-es-f-es-c-o-n-ti-n-u-a-e-n-a-.----,

Demostración. como sigue:

Sea x en el dominio defy x "# a. Entoncesf(x) se puede escribir

DEFINICION DE LA DERIVADA

I(x) = I(a)

97

3.2

+ I(x)

- I(a) (x - a). x-a

Usando algunos teoremas sobre límites yel teorema (3.7), ' j' (x ) ] 1m

= l'1m I (a) + ('1m f(x) - I(a) ·lim (x

x-a

X-Q

X-Q

X -

a

- a)

x-a

= I(a) + f'(a)· O =/(a).

Por lo tanto, por la definición (2.27), f es continua en a. La afirmación inversa del teorema (3.8) es falsa; es decir, existen funciones continuas que no son derivables. La función del ejemplo 4 es continua pero no es derivable en O. También f(x) = Ixl es continua en O; sin embargo se probó en el ejemplo 3 que f no es derivable en O. Se usan diversos símbolos para las derivadas. Algunas veces conviene denotar a f'(x) por Dx[j(x)]. El subíndice x de D se usa para designar a la varíable in­ dependiente. Por ejemplo, si la variable independiente es t, escribimos f'(t) = D,[j(t)]. A los símbolos D x' D, etcétera se les llama operadores diferenciales. El símbolo Dx por si solo no tiene significado práctico; sin embargo si se le agrega a la derecha una expresión que incluye a x, se obtiene la derivada. Para ilustrar esto usamos el ejemplo l y vemos que DA3x 2

-

5x

+ 4) = 6x

- 5.

Decimos que D x opera sobre la expresión 3x 2 - 5x + 4. Sif está definida mediante una ecuación y = f(x) escribimos f'(x)

= DxCI(x)] = DxY = y'.

En este contexto, a veces nos referimos a DxY como la derivada de y respecto a x. Como se indicó, se puede usar el símbolo y' como una abreviatura de esta derivada. Desde luego, las variables frecuentemente se denotan por otros símbolos diferentes de x y y. Por ejemplo, si s = f(t), dondefes una función, podemos escribir f'(t) = D,(f(t)] = D,s = s'.

En la sección 4 introduciremos otra notación más para las derivadas. En las matemáticas se usan todas estas representaciones y es recomendable que los estu­ diantes se familiaricen con todas ellas.

3.2 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 10 use (3,6) para hallar j'(x). f(x) = 37

S f(x) = 2

+ 8x

- 5x

9 f(x)=~

2

2

f(x) = 17 - 6x

6

f(x) = x)

10 f(x)

+x

= 1/2x

3 f(x) = 9x - 2

4

f(x) = 7x 2

7

8

f(x) = (1

f(x) = I/(x - 2)

-

5

+ J3)2

98

3

LA DERIVADA

En los ejercicios del II al 14 encuentre DxY.

11 Y= 7/;-;

12

Y = (2x

+W

13 Y = 2x 3

-

4x

+I

+ 4)

14

Y = x/(3x

18

f(x) = 8 - x 3

En los ejercicios del 15 al 20 encuentre f'(a) usando el teorema (3.7). 15 f(x) = x 2

16

19 f(x) = 1/(x

+ 5)

20

17

f(x) = fix f(x) =

f(x) = 6/x 2

fi

En los ejercicios 21 y 22 use las derivadas por la derecha y por la izquierda para demostrar que f no es derivable en x = 5. 21 f(x) =

23

Ix - 51

22 f(x)

=

[x] (la [unción máximo entero)

Demuestre que si n es cualquier entero, entonces la [unción máximo entero no es derivable en n.

24

Sea f(x) = O si x es racional y f(x) = l si x es irracional. Demuestre que f no es derivable en ningún número real a.

25 Sea j(x) un polinomio de grado l. Pruebe que f'(x) es un polinomio de grado O. ¿Qué con­ Cluye si f es un polinomio de grado 2 o 3?

26

Pruebe que para todo número real c, Dxc

3.3

=

O.

ALGUNAS REGLAS PARA ENCONTRAR DERIVADAS

Esta sección contiene algunas reglas generales que simplifican la tarea de encontrar las derivadas de ciertas funciones. (3.9)

TEOREMA

Sea f la función constante definida por f(x) = e, entonces f'(x) = O. Demostración. Como f(x) Por lo tanto, usando (3.6), f'(x)

limo

=

h-O

= j '(x

c para cada x, tenemos que f(x)

+ h) -

j'(x)

h

= e y f(x +

h)

=

c.

c- c

= Iim-- = limO = O h-O

h

h-O

El último paso se sigue del teorema (2.8). En términos de la notación de operadores que se introdujo en la sección ante­ rior, la conclusión del teorema 3.9 se puede escribir como Dxc = O Esto a veces se enuncia: "la derivada de una constante es cero", (3.10)

TEOREMA

Demostración.

[

Si f(x) = x entonces f'(x) = 1.

Usando (3.6) y la definición de f

ALGUNAS REGLAS PARA ENCONTRAR DERIVADAS

+ h) -

f'(x) = lim I(x h~O

=

3.3

99

I(x)

h

. (x + h) - x l 1m ------:-----:­

h~O

.

h

h

= l1m -h = lim 1 = l. h~O

h~O

Usando la notación de operadores,

D,,(x)

=

1.

En la demostración de la regla siguiente usaremos el teorema del binomio que afirma que la fórmula que se enuncia a continuación es válida para todos los números reales a y b Y para todo entero positivo n. (a

(3.11)

+ bt

= a"

+ na"-lb + + ... +

El símbolo

n(n - 1)

2!

a"-2b 2

(~) a" - 'b' + ... + nab" - + b" 1

(~) que es el coeficiente del término que contiene a b' está definido por n)=n(n-l)(n-2) ... (n-r+I)= n! . (r r(r-l)(r-2)···1 (n-r)!r!

La validez de (3.11) se puede comprobar por el método de inducción matemática. Los casos particulares para n = 2, n = 3 Y n = 4 son (a (a (a (3.12)

+ b)2 = a 2 + 2ab + b 2 + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 + b)4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4.

LA REGLA DE LAS POTENCIAS

Si f(x)

=

Demostración.

x" y n es un entero positivo cualquiera, entonces f'(x) = nx"-l.

Por (3.6) f'(x)

= lim (x + ht h~O

- x"

h

si este límite existe. Usando el teorema del binomio (3.11) con a = x y b = h obtenemos (x

+ h)" =

x"

+ nx"-lh +

n(n - 1)

x"-2h 2 +

... + nxh"-l + h".

2! Es importante observar que todo término a partir del segundo contiene a h elevado a alguna potencia entera positiva. Si restamos x" y dividimos por h obtenemos

100

3

LA DERIVADA

f'(x) = lim[nX"-1

+ n(n - 2)X"-2h + ... + nxh"-2 +

h-O

2!

h"-IJ.

Como todos los ténninos dentro del paréntesis excepto el primero contienen una potencia de h vemos que f'(x) = nx"-I. Si x "# O, entonces (3.12) también es válido para n = O, ya que en este caso f(x) = I = X O y, usando el teorema (3.9), tenemos que f'(x) = O = O . X O - I . En ténninos de la notación de operadores, se puede escribir la regla de las potencias como sigue (3.13)

DAx") = nx"-I.

Por ejemplo DAx 3 ) = 3x 2

Y

DAx 8 ) = 8x 7.

Análogamente, si y = x lOO entonces DxY = IOOx 99 o y' = 100x 99 . Si se usan otros símbolos en lugar de x para la variable independiente, entonces (3.13) se puede escribir D,(t") = nt"-I,

Dz(z") = nz"-I,

Dv(v") = nv"-I,

etcétera. En la sección 7 demostraremos que la regla de las potencias es válida también cuando n es un número racional. (3.14)

TEOREMA

Demostración.

Si f es derivable entonces

Sea g(x) = cf(x). Entonces Dx[cf(x)] = Dx[g(x)] .

g(x

+ h)

- g(x)

=)¡m-----­ h-O

h

. cf(x + h) - cf(x) =hm---..,..---­ h-O

h

= clim I(x + h) - f(x) h-O

h

=cf'(x) = cDx[I(x)].

La fórmula del teorema (3.14) está enunciada en ténninos de un valor arbi­ trario f(x) de f Si queremos expresar esta regla sin usar los valores de la función podemos escribir

..

ALGUNAS REGLAS PARA ENCONTRAR DERIVADAS

3.3

101

(ef)' = ej'.

(3.15)

En el caso especial f(x) = x", obtenemos la siguiente fórmula a partir de (3.1 4) Y (3.13). La fórmula es verdadera para todo número real e y para todo entero positivo n. D".{ex") = enx"-I

(3.16) Ejemplo 1

Solución

(a)

Encuentre DA7 x 4 )

(b)

Encuentre P(z) suponiendo que F(z) = -3Z 15

(a)

Usando (3.16) obtenemos D".{7x 4 ) = (7)4x 3 = 28x 3 •

(b)

Usando de nuevo (3.16) pero con z como variable independiente, obtenemos

= (-3)(15)zI4 =

F'(z)

-45z 14 .

Los teoremas siguientes son acerca de combinaciones de funciones. Como de costumbre supondremos que x se restringe a la intersección de los dominios de las funciones. (3.17)

TEOREMA

Si fy g son derivables entonces

Demostración. Sea k(x) = f(x) + g(x). Queremos mostrar que k'(x) = f'(x) g'(x). Esto se puede hacer como sigue. k'(x)

= lim k(x + h)

- k(x)

h

h-O

= lim

[f(x

+ h) + g(x + h)]

_. [f(X - hm

+ h) - f(x) h

h-O

_r

h-O

- [f(x)

+ g(x)]

h

h-O

- 1m

+

f(x

+ h) h

f(x)

+

g(x

.

+ h-O hm

+ h) - g(X)]

g(x

h

+ h) -

g(x)

h

= J'(x) + g'(x) Para expresar la regla del teorema (3.17) sin usar los valores de la función, podemos escribir (3.18)

(f + g)' = f'

+ g'.

102

3

LA DERIVADA

Para la diferencia existe una regla similar. Asi (3.19)

Dx[j(x) ­

= Dx[j(x)] - Dx(g(x)], o U -

g(x)]

g)'

= f' -

g'.

Los resultados anteriores se pueden extender a sumas y diferencias de cualquier número de funciones. Como un polinomio es una suma de términos de la forma ex" donde n es un entero no negativo, podemos usar (3.16) y los resultados para sumas y diferencias, para obtener su derivada, como se ilustra con el siguiente ejemplo. Ejemplo 2

5x 3 + x 2

-

4x + l. Encuentre f'(x).

f'(x) = Dxl2x 4

-

5x 3

Sea f(x) = 2x 4

Solución

-

= DJ2x = 8x

(3.20)

3

4

+ x2

Dx(5x

) -

3

)

-

4x

+

+ Dx(x

2

1) ) -

DA4x) + DAl)

15x + 2x - 4. 2

-

LA REGLA DEL PRODUCTO

Si f y g son derivables entonces

Dx[f(x)g(x)] = I(x)D,(g(x)] Demostración.

+ ~(x)Dx[j(x)].

Sea k(x) = j(x)g(x). Queremos mostrar que k'(x)

= f(x)g'(x) + g(x)f'(x).

Si k'(x) existe, entonces ' k (x)

=

. k(x + h) - k(x) 11m h h~O

=

lim f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x) h

h~O

.

Para poder calcular el límite, cambiamos el cociente restando y sumando la ex­ presión j(x + h)g(x) al numerador. Asi , f(x + h)g(x + h) - f(x + h)g(x) + I(x + h)g(x) - f(x)g(x) k'(x) = 11m h h-O

que se puede escribir k'(x) = Iim [I(X h-O

=

+ h). g(x + h) h

g(x)

+ g(x) )(x + h) -

I(X)]

h

1m j'( x + h) . l'1m g(x + h) - g(x) + l'1m g () x . l'1m I(x + h) - f(x) . h~O h h-O h-O h "

h-O

Como f es derivable, es continua y por lo tanto Iim h _ o f(x + h) = f(x). También lim h _ o g(x) = g(x) ya que x se mantiene fijo al tomar el límite. Finalmente aplicamos la definición de derivada a f(x) y g(x) obteniendo

ALGUNAS REGLAS PARA ENCONTRAR DERIVADAS

k'(x)

103

3.3

= I(x)g'(x) + g(x).f'(x).

La regla del producto se puede redactar como sigue: La derivada de un producto es igual al primer factor multiplicado por la derivada del segundo, más el segundo factor multiplicado por la derivada del primero. Si no queremos poner los valores de la función explicitamente, podemos escribir

(3.21)

(fg)' = fg'

=

+ gf'.

(x 3 + 1)(2x 2 + 8x - 5). Encuentre .f'(x).

Ejemplo 3

Sea f(x)

Solución

Usando la regla del producto (3.20) obtenemos

+ I)DA2x 2 + 8x - 5) + (2x 2 + 8x - 5)DAx 3 + 2 2 = (x 3 + I )(4x + 8) + (2x + 8x - 5)(3x ) 4 4 3 2 3 = 4x + 8x + 4x + 8 + 6x + 24x - 15x = IOx 4 + 32x 3 - 15x 2 + 4x + 8.

/,(x) = (x 3

2x 2

(3.22)

1)

También podríamos hallar .f'(x) multiplicando los dos factores x 3 8x - 5 Y luego derivando el polinomio resultante.

+

LA REGLA DEL COCIENTE

Si fy g son derivables y g(x) =1 O entonces

Demostración.

Sea k(x)

= f(x)/g(x). , k (x)

Deseamos mostrar que

g(x)f'(x) - f(x)g'(x) [g(X)]2

=

Usando las definiciones de k'(x) y de k(x) obtenemos k'(x) = lim k(x

f(x

= lim g(x h-O

+ h) -

k(x)

h

h-O

+ h) + h)

f(x) g(x)

h

= Iim g(x)j(x + h) - j(x)g(x + h). h-O

hg(x

+ h)g(x)

Restando y sumando g(x)f(x) al numerador del último cociente, llegamos a

+

I y

104

3

LA DERIVADA

, l' g(x)f(x + h) - g(x)f(x) + g(x)f(x) - j(x)g(x + h) k (x) = 1ro =-------=-------'--------'=---.,..:----'--------:-"-----=-----'------'------'------'-------'--­ hg(x

h-O

+ h)g(x)

o equivalentemente,

+ h)

f(X

- f(x) ']

g(x) - - - - -

[

h

k'(x) = liro

- f(x)

[g(X

+ h) h

- g(X)] ­

,

g(x + h)g(x)

h'"

Tomando el limite del numerador y del denominador obtenemos la fórmula deseada, Otra forma de enunciar la fórmula del cociente es

(L)' g

(3.23)

=

gI' - fg' g2

que se puede expresar como sigue: La derivada de un cociente es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo esto dividido por el cuadrado del denominador, 3x 2

+

x

-

2

Ejemplo 4

Sea y =

Solución

Por la regla del cociente (3.22) tenemos que

4x

2

+

,

5

(4x 2

. Encuentre y'.

+

.1'=

5)DAJx 2

x

-

' (4x 2

+

+

+

+ 2)D,(4x 2 + 5)

+ 2)(8x)

5)2

30x - 5) - (24x 3 (4x

x

-

+5)2

1) - (3.>:2 -.>: (4x 2

4x 2

2) - (Jx 2

(4x 2

5)(6x -

(24x~ - 4x 2

+

2

+

8x 2

-

+

16x)

5)2

+ 14x - 5 + 5)2 .

(4x 2

Ahora es fácil generalizar la regla de las potencias (3.12) al caso en el que el exponente es negativo. (3.24)

COROLARIO

Si n es un entero positivo, entonces DAx- n ) =

Demostración.

_I1X-

n

-

1

Usando la definición de x-n junto con (3.22)

y

(3.12) obtenemos

ALGUNAS REGLAS PARA ENCONTRAR DERIVADAS

I -nxn ­ -~_ (_n)x1n-1)-ln 2n X

=

=

105

3.3

(_n)x- n- 1

Por lo tanto (3.12) y (3.16) son verdaderas para exponentes positivos y negativos. Ejemplo 5

Derive las siguientes funciones (a) g(w)

=

l/w 4 .

= 3/s.

(b) H(s)

(a) Escribiendo g(w) = w- 4 y usando la regla de las potencias (con w como va­ riable independiente), g'(w) = -4w- 5 = -4jw 5 • (b) Como H(s) = 3s-1, entonces H'(s) = 3(-I)s-2 = -3/s 1 .

Solución

3.3 EJERCICIOS Derive las funciones definidas en los ejercicios del I al 32.

f(x) = IOx 2

+ 9x -

f(l) = 12 - 31 4

6

k(x) = (2x 2 - 4x

8

gis)

11

(S3 - 5s

h(z) =

8 - z

2

+ 1)(6x -

+ 9)(2s +

1)

+ 3z 2

19

5)

+

1

h(x)

x

1

= 4¡;(v - 1)(2v = (5x - 4)2 (3/5t) - 1

M(x)

= (2x 3 -

H(y)

7x 2 + 4x

8X2 - 6x

+

+ 3)1x 2

II

10 h(x)

= ------,-­

13

= 3x 3 -

= (yS

15

J(x)

x-I

- 2y3)(7/

21

25 K(s) = (3S)-4

29 J(t) = (2/12) + 7 31

+ 2)

2x 2 + 4x - 7

J(x) =

+y

- 8)

I 1

+ x + x2 + x3

23 g(z) = z(2z 3 - 5z - 1)(6z 2 + 7)

x

3)

+ 3)

16 s(x) = 2x + 1/(2x)

20 J(t) = 12 _ 2t + 3

1

27

7

h(r) = r 2(3r 4 - 7r

18

22 p(x) = 1 + - + - 2 + - 3 N(v)

g(x) = (x 3 - 7)(2x 2

2w J(w)=-\\,3 _ 7

8t

J(s)=15-s+4s 2 -5s 4

5

15 F(t) = t 2 + (I/t 2)

v3 _ l G(v)=-v3 + 1

24

3

4x - 5

(8x 2 - 5x)(13x 2 + 4)

x

+x +9

9 J(x) = 3x + 2 12

2 - 9z

14 g(z) = 5z 4 - 8z 2 + z 17 g(x) =

f(x) = 6x 3 - 5x 2

+ 41 6

4

=

4

26 28

g(r)

30

S(w)

= (5r

W(s)

= (3S)4

- 4)-2

= (2w +

1)3

32 f(x) = (3x 2 - 5x + 8)17

106

3

LA DERIVADA

En los ejercicios 33 y 34 encuentre y' (a) usando la regla del cociente (3.22), (b) usando la regla del producto (3.20) y (c) simplificando algebraicamente y usando la regla de las potencias (3.12).

3x - 1 33 .} ' = 2 x-

34 Y =

x

2

+1

--4­

X

En los ejercicios 35 y 36 encuentre y' (a) usando la regla del producto (3.20) y (b) multiplicando primero los dos factores.

+ 3)

35

\' = (12x - 17)(5x

37

Si J, g y h son derivables use la regla del producto (3.20) para demostrar que Dx[f(x)g(x)h(x)] = f(x)g(x)h'(x)

Si /

=g=

+ /(x)h(x)g'(x) + h(x)g(x)f'(x).

h, pruebe como un corolario que D,[f(x)].1 = 3 [f(x)j2,f'(x).

38

Generalice el ejercicio 37 a la derivada de un producto de cuatro funciones y luego encuentre una fórmula para Dx[j(x)] 4.

En los ejercicios 39 y 40 utilice el ejercicio 37 para encontrar y'.

39

41

Y

=

(8x - l)(x 2

+ 4x + 7)(x.1

- 5)

40

Y

=

Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y (a) P(O,5)

(b) P(I,5/2)

(3x 4 =

+x

5/(1

(b) P( -1.4)

43 Encuentre las abscisas de los puntos sobre la gráfica de y = x.1 + 2x 2 - 4x + 5 para los cuales

2

)

-

10)(6x

(e)

44

la recta tangente es (a) horizontal; (b) paralela a la recta 2y + 8x - 5 = O.

en los siguientes puntos

+ 4x 2

-

5x - 3 en los siguientes

PO, - 2)

Encuentre el punto P sobre la gráfica de y = x 3 para el cual la recta tangente en P tiene abscisa al origen 4.

En los ejercicios 45 y 46 se da la posición de un punto P que se mueve sobre una recta coordenada 1, mediante una función 1(1). Determine los intervalos de tiempo en los cuales P se mueve (a) en la dirección positiva; (b) en la dirección negativa. ¿Cuándo es O la velocidad? 45 /(1) = 21.1

+ 91 2

-

601

+

46

l

I(I) = 31 5

-

51.1

Sean 1 y g funciones derivables tales que f(2) = 3,1'(2) = -1, g(2) = - 5 Y g'(2) = 2. Encuentre los números pedidos en los ejercicios 47 y 48.

47

(a)

U + g)(2)

(d) Ug)(2)

48 (a) (g - /)(2) (c) (4g)'(2)

(b) U - gY(2) (e) (j/gf(2)

(c) (4/)'(2)

(b) (gl/)(2) (d) (fIl(2)

En los ejercicios 49 y 50 encuentre los puntos de intersección de las gráficas de 49 f(x)

= x3

-

x 2 + x + l

+ 7)

(c) P( -2,1)

42 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = 2x.1 puntos (a) PíO. -3)

+ 8)(2x 2

IOx 2

-

f y f'.

50 /(x) = x 2 + 2x + 1

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES

3.4

107

51 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = 3x 2 + 4x - 6 que es paralela a la recta 5x - 2y - 1 = O.

52

Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de y = x 3 que son paralelas a la recta 16x - 3y + 17 = O.

53 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto P(5, 9) Y es tangente a la gráfica de y = x 2.

54

Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(3, 1) Y son tangentes a la gráfica de xy = 4.

3.4

INCREMENTOS y DIFERENCIALES Sea funa función. Consideremos la ecuación y = f(x). En muchas aplicaciones se tiene que la variable independiente x varía ligeramente y se necesita encontrar la variación correspondiente de la variable dependiente y. Si x cambia de XI a x 2 , entonces la magnitud del cambio frecuentemente se denota por Llx (se lee "delta x"). Es decir Llx =

X2 -

XI'

El número Llx se llama un ¡Jlcremento de x. Observe que X 2 = XI + Llx; es decir que el segundo valor de X es igual al primero más el incremento Llx. Análogamente Lly denotará la variación de la variable dependiente y correspondiente al cambio Llx. Entonces (3.25) Las representaciones geométricas de estos incrementos en términos de la gráfica de fse muestran en la figura 3.8. Ejemplo 1

Sea y = 3x 2

Soludón

Usando (3.25) para f(x) = 3x 2

-

5. Encuentre el incremento Lly si el valor inicial de X es 2 y Llx = O.\. 5 obtenemos

-

y

-T I

P(x¡,/(x¡) I

Áy

--------t--l I

¡--- Áx-----i I I

I

I

I

I

I

1

I

I

X

XI

Figura 3.8

108

3

LA DERIVADA

+ L\x) - f(xil

L\y = f(x¡

f(2.1) - f(2)

=

= [3(2.1)2 - 5J - [3(2f - 5J 1.23.

=

La notación de incrementos se puede usar en la definición de la derivada de una función. Lo único que hay que hacer es sustituir L\x en lugar de h en (3.6) y considerar a x como el valor inicial de la variable independiente. Entonces

f

,

(x)

=

. f(x + L\x) - f(x) 11m L\ . X

dX-O

Si usamos (3.25) con x como el valor inicial, tenemos (3.26)

L\y

= f(x + L\x) -

f(x).

Sustituyendo esto en la fórmula para j'(x) obtenemos f ' (x)

(3.27)

=

l'1m-. L\y L\x

dX-O

En palabras (3.27) se puede expresar como sigue: "La derivada de fes el límite de la razón del incremento L\y de la variable dependiente y el incremento L\x de la variable independiente cuando este último tiende a cero." Observe que si x = X¡ en la figura 3.8, entonces L\y/L\x es la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q. Se sigue que si f es derivable entonces L\y ~ f'(x) si L\x L\x

(3.28)

~ O.

Geométricamente esto significa que si L\x está cerca de cero, entonces la pendiente L\y/L\x de la secante está cerca de la pendientef'(x) de la recta tangente en P. Podemos escribir también L\y ::::: f'(x) L\x si L\x::::: O.

(3.29)

La expresión j'(x)L\x en (3.29) recibe un nombre especial en la siguiente definición.

(3.30)

DEFINICION

Sea y = f(x) donde f es derivable y sea L\x un incremento de x. Entonces (i) (ii)

la diferencial dy de la variable dependiente y está dada por dy = j'(x)L\x la diferencial dx de la variable independiente x está dada por dx = L\x.

Observe que el valor de dy depende tanto de x como de L\x. En (ii) vemos que, en lo que respecta a la variable independiente x, no hay diferencia entre el incre­ mento L\x y la diferencial dx. Sustituyendo dx en lugar de L\x en (i) llegamos a

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES

(3.31)

109

3.4

dy = f'(x)dx.

Si dividimos ambos lados de (3.31) por dx (suponiendo que dx :F O) obtenemos (3.32)

dY = f'(x). dx Por lo tanto podemos expresar la derivada como un cociente de dos diferenciales. En efecto esta es una de las razones para definir dx y dy como se hizo en (3.30).

Ejemplo 2

Sea y = x 4 - 3x 2 .1x = -O.\.

Solución

(a)

Sea f(x) = x 4

+

5x

+ 4. Encuentre (a) +

3x 2

-

5x dy

dy; (b) el valor de dy para x

+ 4. Usando = (4x 3

-

6x

=2Y

(3.31) vemos que

+ 5)dx.

(b) Por la definición (3.30), dx = .1x. Sustituyendo x = 2 Y dx = -0.1 en la fórmula para dy obtenemos dy

= (4.2 3

-

6·2

+ 5)(-0.1) = (25)(-0.1) =

-2.5.

Es instructivo estudiar las interpretaciones geométricas de dx y dy. Considere las gráficas en la figura 3.9, donde / es la recta tangente en el punto P. En esta figura hemos dibujado a .1x y a .1y como cantidades positivas. Sin embargo también pueden tomar valores negativos. Sea T el punto de intersección de / y la recta vertical que pasa por Q y sea R el punto con coordenadas (x + .1 x, f(x». Entonces mirando el triángulo PRT se ve que la pendiente f'(x) de la recta tangente es r/.1x, donde r es la longitud del segmento RT. Por lo tanto r/.1x = f'(x) o r = f'(x).1x = dy. Se obtiene un resultado semejante si alguno de los incrementos o ambos son negativos.

Q: T:

----r Liy

~=1~_1

p -_.....

IR

I--Lix­ I

:

I

I

I

x

x

+ Lix

x

(i)

I

x

...

+ Lix

(ii)

Figura 3.9

En general, si se incrementa x una cantidad .1x, entonces dy indica qué tanto sube (o baja) la recta tangente cuando la variable independiente cambia de x a x + .1x. Por otro lado .1y indica qué tanto sube (o baja) la gráfica entre P y Q. Usando (3.29) y (i) de la definición (3.30), se concluye que si .1x es pequeño,

110 (3.33)

3

LA DERIVADA ~y

entonces

:::::: dy

= !'(x)dx = (Dxy)dx.

Esto también resulta evidente desde el punto de vista geométrico observando la figura 3.9. Por lo tanto, si y = f(x), entonces se puede usar dy como una aproxi­ mación al incremento ~y de la variable dependiente correspondiente a un incremento pequeño ~x de la variable x. Esta observación es útil para las aplicaciones en las que no se necesita una estimación muy exacta del incremento de la variable y.

=

Ejemplo 3

Sea y

Solución

Sea f(x)

3x 2

=

-

3x 2

5. Use dy para estimar ~y cuando x cambia de 2 a 2.1. -

5. Entonces según el ejemplo 1, ~y = 1.23. Usando (3.31),

tiy En este ejemplo x = 2,

~x

= f'IX)dx = 6xdx.

= dx = dy

0.1 Y

= (6)(2)(0.1) = 1.2.

Por lo tanto el error en nuestra aproximación es solamente 0.03. El siguiente ejemplo ilustra cómo usar las diferenciales para encontrar ciertas fórmulas de aproximación. Ejemplo 4

(a) Usando diferenciales obtenga una fórmula para estimar el volumen de una cáscara cilíndrica delgada de altura h, radio interior r y grueso t. (b)

Solución

¿Qué tan grande es el error al usar esta fórmula?

(a) Se ilustra una cáscara cilíndrica típica en la figura 3.10 en la cual se denota por ~r al grueso t. Queremos encontrar el volumen comprendido entre el cilindro "interior" de radio r y el cilindro "exterior" de radio r + ~r. El volumen V del cilindro interior está dado por

I I

I 1

I

_--1--­ . . . _--"f--_ I

I

~-

l' ,

.....

I

I

I I

....

--T--'"

1

.;

Figura 3./0

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES

3.4

111

Si incrementamos r una cantidad lir, entonces el volumen de la cáscara será el incremento IiV del volumen. Usando diferenciales como en (3.33), IiV~

dV = (D,V)lir

y por lo tanto Ii V

~

(2nrh) Iir

= (2nrh)c

es una fórmula que da un valor aproximado del volumen de la cáscara. En palabras volumen (b)

~

(área de la pared interior del cilindro) x (grueso).

El volumen exacto de la cáscara es Ii V

= n(r

+ 1ir)2h

- nr 2 h

que se simplifica obteniendo así Ii V

= (2nrh) lir + nh(Iir)2.

Esto indica que la fórmula de aproximación es muy precisa si lir es pequeño en comparación con h. Las diferenciales a veces se usan para estimar errores, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 5

Se calcula, con un error en la medición no mayor que 0.05 cm, que el radio de un globo esférico mide 12 cm. Estime el error máximo que se obtiene al calcular el volumen de la esfera.

Solución

Sea x el radio del globo y Vel volumen. Entonces V = (4j3)nx 3 . Si denotamos por dx (o equivalentemente por lix) al máximo error en la medición de x, entonces el valor exacto del radio está entre x - dx y x + dx. Si Ii V denota el error del vo­ lumen causado por el error dx, entonces se puede estimar Ii V mediante la diferencial dV = (DY)dx = 4nx 2 dx.

Si x = 12 Y dx = ± 0.05 obtenemos dV = 4n( 12)2( ±0.05) ~ ±90.

Por lo tanto el máximo error en el cálculo del volumen debido al error en la me­ dición del radio es aproximadamente 90 centímetros cúbicos. Si existe un error en la medición de una cantidad, definimos (3.34)

error en la medición " error med10 = - - - - - - ­ valor medido

112

3

LA DERIVADA

El error medio también se llama error relativo. Por ejemplo, si la longitud medida de un objeto es de 25 cm con un error posible de 0.1 cm, entonces vemos de (3.34) que el error medio es de 0.1/25 o 0.004. Esto quiere decir que el error en cuestión es, en promedio, 0.004 cm por centímetro. El error porcentual se define como el error relativo multiplicado por 100. En el ejemplo que acabamos de dar, el error porcentual es (0.004)(100) o 0.4%. En términos de diferenciales, si w representa una medición con un error posible dw, entonces de acuerdo con nuestros comentarios anteriores, el error medio es dw/w. Desde luego, si dw es un valor aproximado del error en la medición de w, entonces dw/w es un valor aproximado del error medio. En el ejemplo 5, el error medio para el radio es dx/x o 0.05/12 = 1/240 ~ 0.0042 cm por centímetro. El error medio para V es aproximadamente dV/V o sea 0.012 cm 3 por centímetro cúbico. Los errores porcentuales son aproximadamente 0.4% y 1.2% respectivamente. En (3.32) llegamos a la expresión dy/dx = j'(x). La notación dy/dx fue usada por Leibniz, uno de los pioneros del cálculo, en los últimos años del siglo XVII y todavía se usa extensamente en las matemáticas y las ciencias aplicadas. No siempre es esencial considerar dy/dx como un cociente de diferenciales. De hecho frecuentemente se considera dy/dx tan sólo como otro símbolo para la derivada j'(x). Por ejemplo, 3

si y = 7x - 4x

2

+ 2, entonces -dy = 21:< 2 - 8:<. dx

El símbolo d/dx se usa ígual que el símbolo Dx . Así f'(x)= D.. (f(x)]

= :x [f(x)] = d[~~X)].

En particular, se pueden enunciar las reglas para derivar sumas, productos y co­ cientes como sigue donde u = ¡(x) y v = g(x). (3.35)

d dx

du dv dx dx d dv du -(uv) = u- + vdx dx dx

-(u

+ v)=- +­

!!..-(~) dx

V

du dv v--u­ = dx 2 dx v

3.4 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 4 use (3.25) para encontrar l1y usando los valores iniciales de x y I1x indicados.

1 Y = 2x l

-

4x

+

5, x = 2, I1x = - 0.2

2

Y

=

x

3

-

3x

l

+x

- 4, x

= -

1, I1x

= 0.1

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES 3 Y = l/x 2 ,

X

= 3,

~x

= 0.3

4

Y

= (x + 2)/(x + 3).

x

113

3.4

= o.

~x

=

-0.03

En los ejercicios del 5 al 12 (a) use (3.26) para encontrar una fórmula general para ~y; (b) encuentre dy; (c) encuentre dy - ~y. 5 Y = 3x 2

+ 5x

6 Y = 4 - 7x - 2x 2

- 2

9 y = 4 - 9x

10 y = 8

8 Y = 7x

7 Y = l/x 11

y= x

3

12

Y = x-

+ 12 2

En los ejercicios 13 y 14 calcule las diferenciales como aproximaciones al incremento de f(x) cuando x cambia de a a b. 13

f(x)

= 4x'

- 6x 4

+ 3x 2

-

5; a

=

l. b = 1.03

14

f(x)

=

-3x 3

+ 8x

- 7; a

= 4, b = 3.96

15 Sea f(z) = z3 - 3z + 2z - 7 Y w = f(z). En­ cuentre dw. Calcule dw cuando z cambia de 4 a 3.95.

16 Sea F(I) = 1/(2 - 1 ) Y S = F(t). Encuentre ds. Calcule ds cuando 1 cambia de I a 1.02.

17 Se calcula que el radio de un disco circular es aproximadamente igual a 8 cm con un error máximo en la medición de 0.06 cm. Use diferenciales para estimar el máximo error obtenido al calcular el área de uno de los lados del disco. ¿Cuáles son el error medio y el error porcentual estimados?

18 Se calcula que el lado de un cuadrado mide I m con un error máximo en la medición de 0.2 cm. Use diferenciales para estimar el máximo error en el cálculo del área. ¿Cuáles son el error medio y el error porcentual estimados?

19 Use diferenciales para estimar el crecimiento del volumen de un cubo si cado uno de sus lados cambia de 10 a 10.1 cm. ¿Cuál es el valor exacto del incremento del volumen?

20

21 Un lado de una casa tiene la forma de un cua­

22 Un silo tiene la forma de un cilindro circular

drado coronado con un triángulo equilátero. Suponga que la base mide 48 pies con un error máximo en la medición de una pulgada. Calcule el área del lado y, usando diferenciales, estime el máximo error posible en este cálculo. ¿Cuáles son aproximadamente el error medio y el error porcentual?

recto coronado por un hemisferio. La altura del cilindro es exactamente 50 pies. Suponga que la circunferencia de la base mide 30 pies con un error máximo en la medición de 6 pulgadas. Calcule el volumen del silo a partir de estas medidas y use diferenciales para estimar el máximo error posible en el cálculo. ¿Cuáles son aproximadamente el error medio yel error por­ centual?

2

23 La arena que chorrea de un recipiente, va for­

2

24

Use el método empleado en el ejemplo 4 de esta sección para encontrar fórmulas para estimar el volumen de una cáscara sólida delgada cuya superficie es (a) esférica; (b) cúbica.

26

La ley de Boyle dice que la presión p y el volu­ men V de un gas encerrado están relacionados por la fórmula p V = e, o equivalentemente por p = el V donde e es una constante y V ~ O. Demuestre que dp y dV están relacionados por la fórmula p dV + V dp = O.

mando un monticulo cónico cuya altura siempre es igual a su radio. Use diferenciales para esti­ mar el incremento del radio correspondiente a un aumento de 2 cm 3 en el volumen del mon­ tículo, cuando el radio mide 10 cm. 25 La ley de gravitación de Newton dice que la fuerza F de atracción entre dos partículas con masas mi Y m 2 respectivamente, está dada por F = gm l m 2 ls 2, donde g es una constante y s es la distancia entre las partículas. Use diferenciales para estimar el incremento en s que se necesita para aumentar F en un 10% cuando s = 20 cm.

Use diferenciales para estimar el crecimiento del área de la superficie de un globo esférico si su diámetro aumenta de 2 a 2.02 m.

114

3

LA DERIVADA

27 Use diferenciales para estimar (0.98)4. (Sugeren­ cia: tome y = f(x) = x 4 y considere f(x + ~~

= f(x) + ~y con x = I Y ~x = -0.02). ¿Cuál es el valor exacto de (0.98)4?

28

29 El área A de un cuadrado de lado 5 está dada por A = 52. Suponga que a 5 se le da un incre­ mento ~5. Ilustre geométricamente dA y

30 El volumen V de un cubo de lado x está dado por V = x 3• Suponga que x crece una cantidad ~x. Ilustre geométricamente dV y ~ V - dV.

~A

Use diferenciales para estimar

N

=

(2.01)4 - 3(2.01)3

+ 4(2.01)2

- 5.

¿Cuál es el valor exacto de N?

- dA.

3.5

LA REGLA DE LA CADENA Sean f y g dos funciones derivables tales que y

= f(u) y u = g(x).

Si g(x) está en el domino de f entonces podemos escribir y

= f(u) = f(g(x»,

es decir, y es una función de x. En efecto, la función en cuestión es la función com­ puesta f o g definida en la sección 1.5. El siguiente teorema nos proporciona una fórmula que expresa la derivada D x Y de la función compuesta en términos de las derivadas de f y de g. En el enunciado del teorema suponemos que las variables se eligen de manera que la función f o g esté definida y que si g tiene derivada en x, entonces f tenga derivada en g (x). (3.36)

LA REGLA DE LA CADENA

Sean y = f(u) y u = g(x) y suponga que las derivadas DuY Y Dxu ambas existen. Entonces la función compuesta definida por y = f(g(x» tiene una de­ rivada dada por

Demostración parcial. Sea L\x un incremento tal que tanto x como x + L\x estén en el dominio de la función compuesta. Como y = f(g(x», el incremento corres­ pondiente está dado por

L\y = f(g(x

+ L\x)) -

f(g(x)).

Si la función compuesta tiene derivada en x, entonces por definición

· L\y Dxy= 11m-. <1x-O L\x Considere ahora u decir,

=

g(x) y sea L\u el incremento de u correspondiente a L\x, es L\u

Como

= g(x + L\x) -

g(x).

LA REGLA DE LA CADENA g(x

+ ~x)

= g(x) ~y

podemos expresar la fórmula para ~y =

+ ~u

=

u

115

3.5

+ ~u

de la manera siguiente

+ ~u) - J(u),

J(u

Si y = f(u) es derivable en u, entonces por definición D,,J

l'I m~y -, \u-O ~u

= j " (u) =

Análogamente, si u = g(x) es derivable en x entonces D,u

,

"~u 1m --.

= g (x) =

h-O~X

,

Supongamos que existe un intervalo abierto 1 que contiene a x, tal que si x está en 1 y ~x :F O, entonces ~u :F O. En este caso podemos escribir DY x

=

, -~y hm .\x-O ~x

=

+

~x

. (~y ~y) (hm' ~u) hm - -~u) = (. hm.lx-O ~u ~_~ .lx-O ~u .lx-O ~x

si el límite existe. Como g es derivable en x, es continua en x. Por lo tanto si ~x -+ O, entonces g(x + ~x) tiende a g(x) y ~u -+ O. Se concluye que la última de las fór­ mulas anteriores se puede escribir DxY

=

('

hm -~y)

.lu-O

~u.

('

= (Duy)(Dxu)

~u) hm­

h-O~X.

=

f'(u)g'(x)

que es lo que queríamos demostrar. En la mayoria de las aplicaciones de la regla de la cadena, u = g(x) tiene la propiedad que se pidió en el párrafo anterior. Si g no satisface esta propiedad, en­ tonces todo intervalo abierto que contiene a x, contiene un número x + n con x :F Otal que ~u = O. En este caso nuestra demostración no es válida, puesto que ~u aparece en el denominador. Para construir una demostración que incluya fun­ ciones de este tipo, es necesario introducir métodos más sofisticados que los que empleamos aquí. Damos una demostración completa de la regla de la cadena en el apéndice 11. Una manera fácil para memorizar la regla de la cadena, es usar la notación diferencial. Sea y = f(u) y u = g(x) de manera que y = f(g(x». Entonces (3.36) se puede escribir como sigue (3.37)

dy

dy du

dx

du dx'

Esta fórmula para dyjdx se puede recordar pensando en que du se puede cancelar en el lado derecho. Ejemplo 1

Sea y

=

u3 Yu

=

x2

+

l. Encuentre dyjdx.

116

3

Solución

El problema se podría solucionar sustituyendo x 2 + I en lugar de u en la primera ecuación y luego calculando dy/dx. Otra manera de hallar la solución es usar (3.37). Así

LA DERIVADA

dy

dy du

dx

du dx

- =­ Si sustituimos x 2

+

2

= (3u )(2x).

I en lugar de u obtenemos

dy dx

= 3(x 2 +

I )2(2x).

Una de las aplicaciones principales de la regla de la cadena (3.36) es la obtención de otras fórmulas de derivación. Como primera ilustración demostraremos la fórmula para la derivada de una potencia de una función. (3.38)

LA REGLA DE LAS POTENCIAS PARA FUNCIONES

Si g es una función derivable y n es un entero, entonces

Demostración. Sea y = u" y u cadena (3.36) tenemos que

= g(x). Entonces

D,y = (Duy)(D.,u) = nu"- 'o.xu =

11

y

= [g(x)]" y por la regla de la

[g(X)]"-1 D, [g(x)].

Esto completa la demostración.

La regla de las potencias se puede recordar mediante la fórmula

DAu")

(3.39) con u

= nu·-1Dxu

= g(x). Observe que si u = x, entonces Dxu = I Y (3.39) se reduce a (3.13).

+

Sr. Encuentre f'(x).

Ejemplo 2

Sea f(x) = (x 5

Solución

Usando (3.39) con u = x 5

-

{'(x)

4x

= o.,(x 5 = 7(x

+

~x

5

-

4x

-

+

Syn

4x + 8)7 4x

+

=

= 7(.\5

8)Ó(5x

4

-

7 obtenemos - 4x

+ 8}6DxCx s ­ 4x +

8}

4}.

Ejemplo 3

Sea y = (4x 2

Solución

Escribiendo y = (4x 2 + 6x - 7)-3 y aplicando la para g(x) = 4x 2 + 6x - 7 y n = - 3 obtenemos

_ 7)3 . Encuentre y'. regla de las potencias (3.38)

LA REGLA DE LA CADENA y'

3.5

117

3(4x 2 + 6x - 7)-4DA4x 2 + 6.\ - 7) 3(4x 2 + 6x - 7)-4(8x + 6)

==-

- 6(4x = (4x 2 +

-L

3)

6x - 7)4'

Ejemplo 4

Sea F(z) = (2z + 5)3(3z - 1)4. Encuentre F(z).

Solución

Usando primero la regla del producto, después la regla de las potencias y finalmente factorizando obtenemos

= (2z + 5)3D z (3z - 1)4 + (3z - l )4D z (2z + 5)3 = (2z + 5)3. 4(3z - 1)3(3) + (3z - 1)4. 3(2z + 5)2(2) = 6(2z + 5)2(3z - 1)3 [2(2z + 5) + (3z - 1)] = 6(2z + 5)2(3z - l )3(7z + 9). Si g es una función y y = g(x) entonces se puede escribir (3.39) en cualquiera F'(z)

de las formas siguientes: (3.40)

DAy")

= ny" - I DxY = ny"-I y' = ny"-I :~.

La variable dependiente y representa la expresión g(x) y por lo tanto al derivar y" es indispensable multiplicar ny" -1 por la derivada de y. Es un error común escribir D x y' = ry'-I. La fórmula (3.40) será de suma importancia para nuestro trabajo con funciones implícitas en la sección siguiente. La regla de la cadena tendrá consecuencias de largo alcance más adelante en nuestro trabajo de derivación e integración: Por ejemplo cuando discutamos en el capítulo 9 las funciones trigonométricas, mostraremos que para todo número real x, D, sen x

= cos x.

Como un corolario de esto, tenemos que si y = sen u y u = g(x) entonces de (3.36) se deduce que Del'

=

(D"y)(D,u)

= (cos u)D,u

es decir Dx[sen g(x)] =

[cos g(x)] g'(x).

De manera análoga, si tenemos cualquier regla para la derivada de una función de x, podemos usar de inmediato la regla de la cadena (3.36) para generalizarla a una función de u, donde u = g(x).

3.5 EJERCICIOS

Derive las funciones definidas en los ejercicios del I al 26.

2

f(x)=(4x 3 +2x 1 -x-3)2

3

g(x)=(8x-7)-~

118

3

= ISx!

LA DERIVADA

+

- 2x

1)-3

6

g(x) =

+ IW

9

F(r) = (171' _

+ 21)-2

12

k(x)

7

flx) = (8x 3 - 2x!

+x

10

K(x) = (3x 2 - Sx

+ 7)- I

13

N(x) = (6x - 7)3(8x 2

IS

~(;) = (;2 - ~r

18

~(x) = t3x - 8)-2(7x 2

20

9z 3 + 2z M(:)=---­ (6z + 1)3

23 h(x) = [(2.\

26

N(x) =

+

7x(x 2 (3x

1)10

+

- 7)5

5

.

8

~(\\.)

11

(x 2 _

= (w 4 _

1)4 8\\,2

s(1) = (41 5 - 31 3

+ 9)2 S(I) =

(31 + 4)3 61 - 7

-

(2x

5)1000

pIs) = 1(8 - Ss

+ 7S 2 )10

3\\' + I )(3w + 2)4 (11 2 + 1)3 kili) = - - - ­ (411 - 5)5

17

19 IIX)=(3<-S)2

+ 4)-3

1 ]10

f(w) = (2w 2

14 16

+

/(x) =

+

+ 3)4

.\4 _ .h!

X

4

.

24

j(1) =

1)-1 [( 1 + -;

2.\-

+7

J-I

+1

1)2

+ 10)4

En cada uno de los ejercicios del 27 al 30 encuentre (a) una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación dada en el punto indicado y (b) los puntos sobre la gráfica en los cuales la recta tangente es horizontal.

27 y = (4x 2 - 8x + 3)4. P(2.811

28 y= ( x+;:1

29 y= (2x - 1)lo.P(I.1l

30

3x 2 + 1)10. Encuentre dy y úselo para estimar el incremento de y cuando x cam-

31 Sea y = (x 4

-

Sean w = Z3 - (2/z) y z = (52 + 1)5. Use el resultado del ejercicio 33 para hallar dw/ds.

37 Sean j(x) = x 4 - 3x 3 + 3x + 2 y g(x) = x 3 3x 2 + 2x

-

+

1. Use diferenciales para estimar el incremento de f(g(:d) cuando x cambia de I a 0.99.

39 Sea k(x) = f(g(x» con f(2) = -4, g(2) = 2. 1'(2) = 3 Y g'(2) = 5. Encuentre k'(2).

Y = (x 2 - 1)7. P(O. - 1) - 1)5. Encuentre dw y úselo para estimar el incremento de \\' cuando z cambia de 2 a 1.98.

34

Sean l' = F(u) y u = G(t). Exprese la fórmula de la regla de la cadena para dl;/dl en términos de la notación diferencial.

36

Sean l' = (u 4 + 2u 2 + 1)3 y u = 41 2 . Use el re­ sultado del ejercicio 34 para hallar dl;fdl.

38

Sea f(x) = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. Estime el incremento de f(f(x» cuando x cambia de O a 0.01.

la regla de la cadena para dw/ds en términos de la notación diferencial.

3S

. P(1,32)

32 Sea \\' = Z3(Z

bia de 1 a 1.01.

33 Sean w = f(z) y z = gIs). Exprese la fórmula de

r

40 Sean r, s y 1 funciones tales que r(x) = S(I(X», 5(0) = -1, 1(0) = O. 5'(0) = -3 Y r'(O) = 2. Encuentre 1'(0).

DERIVACION IMPLICITA 41

Sean z = k( y), Y = f(u) y u = g(x). Demuestre que bajo las restricciones apropiadas

=

Dx = (D,z)(D"y)(Dxu).

Generalice este resultado para cualquier núme­ ro de funciones.

43

La recta normal en un punto P(x¡, y¡) sobre la gráfica de una función derivable f, se define como la recta que pasa por P y es perpendicular a la recta tangente a la gráfica en P. Suponga que !,(x¡) -:F O. Demuestre que

Y­

3.6

119

42 Se dice que una función fes par si f(-x) = f(x) para todo x en su dominio D y que f es impar si f( - x) = - f(x) para todo x en D. Suponga que f es derivable. Use la regla de la cadena para demostrar que (a) si f es par entonces !' es impar. (b) si f es impar entonces!, es par. Use polinomios para dar ejemplos de (a) y (b). 44 Consulte el ejercicio 43. Encuentre una ecua­ ción de la recta normal en el caso en que !,(x¡) = O.

I YI = --.-,- ( x - x¡) .

.1

(x¡)

es una ecuación de la recta normal en P(x¡, y¡). En los ejercicios del 45 al 48 encuentre una ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto indicado P. Dibuje la gráfica mostrando la recta normal en P. 45 f(x)

= x2 +

1, P(I, 2)

47 J(x)

=

+

= 8 - x 3 , P(I, 7) = (x - 1)4, P(2, I )

46

¡(x)

1), P( J.i)

48

{(x)

49 Encuentre una ecuación de la recta que tiene pendiente 4 y es normal a la gráfica de

50

Encuentre los puntos sobre la gráfica de

1/(x 2

Y

=

1/(8x +

= (2x

_ 1)3

en los cuales la recta normal es paralela a la recta x + 12y = 36.

SI En el capitulo 8 se define una función denotada por In que tiene la propiedad de que D x In x = l/x para todo x > O. Use la regla de la cadena para encontrar D x In (x 4 + 2x 2 + 5).

3.6

y

W.

52 En el capítulo 8 se define una función f con la propiedad de que Dx[J(x)] = f(x) para todo x. Encuentre una fórmula para Dx[J(g(x»] donde g es una función derivable cualquiera.

DERIVACION IMPLICITA Dada una ecuación de la forma y = 2x 2

-

3

es costumbre decir que y es una funcwn de x, ya que podemos escribir (3.41)

y

La ecuación

= f(x) donde

f(x)

=

2x 2

-

3.

120

3

LA DERIVADA

4x 2

(3.42)

2y = 6

-

define la misma función f, ya que al despejar y obtenemos

-2y

=

+

-4x 2

= 2x 2

o y

6

-

3.

En el caso de la ecuación (3.42) decimos que y es una función implícita de x o que f está definida implícitamente, por la ecuación. Sustituyendo f(x) en lugar de y en (3.42) obtenemos

4x 2 4x

2

2(2x

-

4x

2

-

2f(x) = 6

2

4x

-

2

=6 +6=6 3)

Esta es una identidad ya que es verdadera para todo x en el dominio de f Este resultado caracteriza a todas las funciones definidas implícitamente por una ecuación en x y en y; es decir f es implícita si y sólo si al sustituir f(x) en lugar de y llegamos a una identidad. Las ecuaciones en x y y frecuentemente determinan más de una función implícita como se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 1

¿Cuántas funciones implícitas diferentes están definidas por la ecuación x 2

Solución

Al despejar y en términos de x obtenemos

y=

+ y2

= l?

±JI="?

Entonces f(x) =

JI="?

y g(x)

=

-JI="?

son dos funciones implícitas definidas por la ecuación. Las gráficas de f y g son las mitades superior e inferior respectivamente del círculo unitario con centro en el origen. (Vea (i) y (ii) de la figura 3.11.) Para encontrar otras funciones implícitas, tomamos cualquier número a entre -1 y l luego definimos la función k mediante y

y

x

(i)

-1

y

x

(ii)

Figura 3.II

-1

x

a

(jii)

DERIVACION IMPLICITA

k(x)

={ ~ -~

si si

3.6

121

- 1~ x ~ a a
La gráfica de k está dibujada en (iii) de la figura 3.11. Observe que hay una dis­ continuidad en x = a. La función k está definida implícitamente por x 2 + y2 = 1 ya que x 2 + [k(X)]2 = 1 para todo x en el dominio de k. Haciendo variar a entre -1 y 1 podemos obtener tantas funciones implícitas como queramos. Hay también muchos otros tipos de funciones que están detenninadas implícitamente por x 2 + y2 = l. No es obvio que una ecuación como

y4

+ 3y - 4x 3 = 5x +

1

determine una función implícita f en el sentido de que si f(x) se sustituye en lugar de y entonces

+ 3[f(x)] - 4x 3 = 5x + 1 x en el dominio de f Es posible

[f(X)]4

es una identidad para todo dar condiciones bajo las cuales una función implícita exista y sea derivable en su dominio. Sin embargo la demostración requiere métodos avanzados y por lo tanto la omitimos. En los ejemplos siguientes supondremos que dada una ecuación en x y y, ésta detennina una función derivable f tal que al sustituir f(x) en lugar de y, la ecuación es una identidad para todo x en el dominio de f La derivada de f se podrá encontrar por el método de derivación implÍcita que se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 2

Suponiendo que la ecuación y4 + 3y - 4x 3 = 5x + 1 determina implícitamente una función derivable f tal que y = f(x), encuentre su derivada.

Solución

Consideramos a y como un símbolo que denota a f(x), y a la ecuación como una identidad para todo x en el dominio de f Concluimos que las derivadas de ambos lados de la ecuación son iguales, es decir

DAy4 + 3y - 4x 3 ) = DA5x

+

1),

o (3.43)

DAy4)

+ DA3y) - DA4x 3 ) = DA5x) + DA1).

Es importante recordar que en general D xy 4 # 4y 3. En cambio, como y = f(x), usamos la regla de las potencias para funciones (3.38), obteniendo DA y4) = 4y 3 y '. De manera análoga resulta que DA3y) = 3Dx Y = 3y'. Sustituyendo en (3.43) vemos que 4y 3 y '

Ahora despejamos y' obteniendo

+ 3y' -

12:<2 = 5

+ O.

122

3

LA DERIVADA

(4 y 3

+ 3)y'

=

12x 2 + 5

y

, 12x 2 + 5 y= 4y 3 + 3

siempre y cuando el denominador no sea cero, En términos de f, esto viene a ser 12x 2 + 5 .1 (x) = 4(/(X))3 + 3 ' "

Las dos últimas ecuaciones sacan a relucir una desventaja del método de derivación implícita, a saber que la fórmula para y' (o f'(x» puede contener la expresión y (o f(x». De todas maneras estas fórmulas pueden ser muy útiles en el análisis de fy de su gráfica. En el siguiente ejemplo se usa la derivación implícita para hallar la pendiente de la recta tangente en un punto P(a, b) sobre la gráfica de una ecuación. En pro­ blemas de este tipo supondremos que la ecuación define una función implícita f cuya gráfica coincide con la gráfica de la ecuación para todo x en algún intervalo abierto que contiene a a.

+ 3y

- 4x 3 = 5 x

+

Ejemplo 3

Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y4 en el punto P(l, - 2).

Solución

Por la definición (3.1), la pendiente m de la recta tangente en un punto P(a, b) sobre la gráfica es el valor de la derivada y' cuando x = a y y = b. La ecuación dada es la misma del ejemplo 2 en el cual se obtuvo quey' = (l2x 2 + 5)/(4 y 3 + 3). Sustituyendo l en lugar de x y - 2 en lugar de y tenemos que m=

12(1)2

+5

4(-2)3+3

17

=-­

29'

Ejemplo 4

Suponga que x 2

Solución

Esta ecuación fue considerada en el ejemplo l. Procediendo como en el ejemplo 2 derivamos ambos lados respecto a x obteniendo

+

y2 = 1 determina una funciónftal que y = f(x). Encuentre y'.

En consecuencia 2x + 2yy' = O,

o

yy'

= -x

y y'

x

= - -, y

si y i= O.

La ecuación x 2 + y2 = l detennina muchas funciones implícitas (vea el ejemplo 1). Se puede demostrar que el método de derivación implícita proporciona

DERIVACION IMPLlCITA

3.6

123

la derivada de cualquier función derivable determinada por una ecuación en dos variables. Por ejemplo la pendiente de la recta tangente en el punto (x, y) sobre cualquiera de las gráficas de la figura 3.11 está dada por y = - x/y siempre y cuando la derivada exista. I

+x3-

+6

Ejemplo S

Sea 4 xy 3 - x 2y

Solución

Al derivar ambos lados de la ecuación respecto a x obtenemos

5x

D..(4xy 3) - D..(x 2y)

= O. Encuentre y'.

+ DAx 3) -

D..(5x)

+ D,,(6) = D,,(O).

Como y denota a f(x), donde f es una función, se tiene que aplicar la regla del producto a D,,(4xy 3) y D,,(x 2y). Así

+ y 3D..(4x) = 4x(3},2 y') + y3(4) = 12 xy 2y' + 4y J

D..(4xy3)-= 4xD..(y3)

y D..(x 2y)

x 2D_S + yD..(x 2 ) = x 2y' + y(2x).

=

Sustituyendo estos resultados en la primera ecuación de la solución y derivando los demás términos llegamos a (l2 xy 2y'

+ 4y 3)

- (x 2y'

+ 2xy) + 3x 2 - 5 = O.

Juntando los términos que contienen y' y pasando los demás al lado derecho de la ecuación obtenemos (12 xy 2

-

x 2)y'

=5-

3x 2

+ 2xy

- 4y 3.

En consecuencia 5 - 3x 2

,

y=

+ 2xy - 4y 3

12 xy 2 - x 2

3.6 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del I al 8 encuentre al menos una función implícita f determinada por la ecuación dada y diga cuál es el dominio de f 3x - 2J'

+ .1'2

3

x2

6

3.\"2 -

+ 4 = 2x 2 + 3.1' - 16 = O

4xl'

+ )'2

= O

2 xJ

- h

4

3.\"2 -

7 .j.~

+

-

xy

+ 4.1' = I

4.1'2 = 12

J;: =

I

8

Ix - .1"1 = 2

Suponiendo que cada una de las ecuaciones de los ejercicios del 9 al 20 determina una función f tal que y = f(x), encuentre y'.

124

3

12

5x 2 + 2x 2.1'

15

(l/x 2)

18

LA DERIVADA

+ .1'2

+ (1//)

4 - 7xy =

=

8

= 1

(i + 4)5

13

5\"2 - xy - 4.1'2 = O

16

x

19

(.1'2 - 9)4 = (4x 2 + 3x _ 1)2

= .1'+

2l + 3.1'3

14

x4

17

X2.1'3

+ 4xy + x - 6.1'

+

Xy)3 = 2x 2 - 9

20

(1

+ 4.\2.1'2

- 3xy3

+ 2x =

=

O

2

En cada uno de los ejercicios del 21 al 24 encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación dada en el punto indicado P. 21

x.l'

+

22 .1'2 - 4x 2 = 5, PI-I,3)

16 = O. P( -2,8)

+ (3/.1')

232x 3 -x 2 y+y3_1=0.P(2.-3)

24 (l/x)

25 Demuestre que la ecuación x + y2 + 1 = O no determina una función f tal que y = f(x).

26 Demuestre que la ecuación y2 = x determina un n~mero infinito de funciones implícitas.

2

=

l. P(2.6)

Dibuje la gráfica de cuatro de estas funciones. 27 ¿Cuántas funciones implícitas están determina­ das por las siguientes ecuaciones? (a) x 4 + y4 _ l = O (b) x 4 + y4 = O.

28 Use derivación implícita para probar que si P es cualquier punto sobre el círculo x 2 + y2 = a 2 entonces la recta tangente en P es perpendicular a OP.

29 Suponga que 3x 2 - X 2 y 3 + 4y = 12 determina una función derivableftal que y = f(x). Supo­ niendo que f(2) = O, use diferenciales para estimar el incremento de f(x) cuando x cambia de 2 a 1.97.

30 Suponga que x 3 + xy + .1'4 = 19 determina una función derivable f tal que y = f(x). Suponga también que P(I, 2) es un punto sobre la gráfica de f Use diferenciales para estimar la ordenada b del punto Q(1.I0, b) sobre la gráfica.

3.7

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS La regla de las potencias (3.12) se puede extender al caso en el cual el exponente es un número raciona!. Así pues, si

con m y n enteros y n =1 0, entonces

Suponiendo que y' existe y que ningún denominador es cero, obtenemos por deri­ vación implícita . dy n"n- \ _

..

dx

= mx... - I .

En consecuencia m I y \-n = -x m ... -I( x "'In)\-n . -dy = -x"'-

dx

n

n

Si simplificamos la expresión en ellado derecho usando las leyes para los exponentes obtenemos (3.44)

DAx"'/") = ~x("'/")-\

n

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS

3.7

125

que es la regla de las potencias (3.12) para el exponente racional m/n. Nuestra demostración no está completa, ya que supusimos la existencia de y'. Para com­ pletar la demostración, se puede usar la definición de derivada (3.6).

Ejemplo 1

Sea y = 6 P + 4/fi. Encuentre y'.

Solución

Usando exponentes, podemos escribir y = 6X 4 / 3

+ 4X- I / 2. De aquí se deduce que

r' = 6(4/3)x(4!3)-1 + 4( -l!2)X-(1/2)-1

= 8X 1/ 3

_

2X- 312

8X I / 3

-

2/X 312

=

o en términos de radicales y' = 8J~ - 2/

,/-;s

para todo x > O. Podemos repetir la demostración que se usó al probar (3.38) y ver que la regla de las potencias para funciones es verdadera para todo exponente racional. Los ejemplos siguientes ilustran la generalización de (3.39) al caso en el que n es un número racional.

= .j5x 2

Ejemplo 2

Sea f(x)

Solución

Escribiendo f(x)

+ 4. Encuentre.f'(x). = (5x 2 - x + 4)1/3 y usando (3.39) con n = 1/3, obtenemos -

x

1 j'(x) = 3(5x 2

-

x

+ 4)- 2/3D)5x 2

(~)(5X2 _ ~ + 4)2/3(lOx -

=

-

x

+ 4)

1)

IOx - 1

Ejemplo 3

Sea y = (3x + 1)6

Solución

Como y = (3x tencias que dy

-

dx

Jh"- 5.

Encuen tre dy/dx.

+ 1)6

(2x -

=

+ l )6-(2x - 5)- 1/2(2) + (2x

(3x

5)1/2, tenemos por las reglas del producto y las po­

l 2

= (3x + 1)6 J2x - 5

+ 18(3x + 1)5 y/2x _ 5

(3x

+ 1)6 + 18(3x +

(3x

+

J2x - 5

y

- 5)1/26(3x

l )5(39x - 89) /2x - 5

1)5(2x - 5)

+ 1)5(3)

126

3

LA DERIVADA

El ejemplo siguiente es interesante ya que ilustra una situación en la cual una vez aplicada la regla de las potencias a [g(x)]', es necesario volver a aplicarla para hallar g'(x).

P+6f Encuentref'(x).

Ejemplo 4

Sea f(x) = (7x +

SohlciólI

Aplicando la regla de las potencias obtenemos f'(x) = 4(7x + p+6)3D,,(7x + p+6)

+ Jx 1 + 6)3 [D,,(7x) + D"p+6].

= 4(7x

Aplicando nuevamente la regla de las potencias concluimos que D"p+6

I

= D,,(x 2 + 6)1/2 = 2(x 2 + 6)-1/ 2 D,,(x 2 + 6) =

I

(2x) =

2

2Jx +6

x

p+6

.

Por lo tanto I'(x) = 4(7x + Jx 2 + 6)3

[7 +

~J.

v x +6

3.7 EJERCICIOS Derive las funciones definidas en los ejercicios del 1 al 26.

2 f(x) =

f(x)=P + 4 #

4

h(z)

= (2z 2

-

9z + 8)-2/3

7 f(x) =,jh 10 f(t)

= J0 - (Iíj(3)

IOP+JY

5 F(v) = 51.;/v' - 32 8

¡:(x)

= .yIi;

11

g(w)

= (w 2 -

13 M(x) = J4x 2 - 7x + 4

14

16 k(v) = I/J(v 4 + 7V 2)3

17 H(u)=

19 k(s) = 152 + 9(4s +

20

5)4

22 f(w) = Jw 3 (9w + 1)' 25 f(x) = (7x +

P+3)6

F(s)

g(y)

26

p(z)

!F?s

-2u + 5

= (l5y

23 g(z) =

=

8

+ 2)(y2 _ 2)3/4

.yb--t) J);+2 3z + 2

[1 + (1 + 2Z)I/2]"2

= .y8r3 + 27

6 k(s) = l/fis - 4

9 f(z)

4w + 3)/w 312

= ~/5s -

3 k(r)

12

= 10# + 3/JÍz

K(x)

15 Jet)

= 8x 2 j;

=

+

3x,y;

4/(9t 2 + 16)2/ 3

r 2

18

G(x)= ( 2x

21

h(x)

24

H(x)=---­ 2 J4x + 9

x + I

= (x 2 + 4)'i3(X 3 + h+ 3

1)31'

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

3.8

127

En cada uno de los ejercicios del 27 al 30 encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el punto P. 27 Y = J2x 2

+

l. p(-I.fi)

+ 2x- 1/3

29

Y = 4X 2 / 3

31

Encuentre el punto P sobre la gráfica de y = J2x - 4 tal que la recta tangente en P pase por el origen.

-

lO, P( - 8, S)

28

Y = (5x - 8)113. P(7.3)

30

.r = 4x/F+!.

32

P(3.6)

Encuentre los puntos sobre la gráfica de y = + x 1/3 en los cuales la recta tangente es perpendicular a la recta 2y + x = 7.

X S/3

Suponga que cada una de las ecuaciones en los ejercicios del 33 al 38 determina una función que y = I(x). Encuentre y'.

1 tal 33

fi + JY =

100 37

3x 2

+ .y;; =

2y 2

+ 20

+ ¡;y - 3y = 4

35

6x

38

2x -

J;; + i

= 16

En los ejercicios 39 y 40 encuentre dy.

39 y

=

.y6x + 1I

1/#+1

40

.1'=

42

Use diferenciales para estimar

43 Use diferenciales para estimar el incremento de I(x) = (4x 2 + 9)3/ 2 cuando x cambia de 2 a 1.998.

44

Use diferenciales para estimar N = 5(1.01)3/5 - 3(1.01)I/S + 7.

45 El área de la superficie lateral S de un cono cir­ cular recto de altura h y cuya base tiene radio r está dada por S = nrJr 2 + h 2. Para cierto cono, r = 6 cm y la altura mide aproximadamente 8 cm con un error máximo en la medición de 0.1 cm. Calcule S a partir de estas medidas y

use diferenciales para estimar el máximo error

posible en este cálculo. ¿Cuál es aproximada­

mente el error porcentual?

46

El periodo T de un péndulo simple de longitud / se puede calcular mediante la fórmula T = 2nj/ji. donde g es una constante. Use diferen­ ciales para estimar el incremento de / necesario para que T aumente 1%.

41

Use diferenciales para estimar

if65.

.J99.

3.8 DERlVADAS DE ORDEN SUPERIOR Al derivar una función f obtenemos otra función 1'. Si l' a su vez tiene derivada y se llama la seglDlda derivada de f Entonces ésta se denota por

r

(3.45)

j"(x)

= Dz(f'(x» =

Dz(Dz(f(x}}}

para cada x tal que la derivada indicada existe. La expresión al lado derecho de (3.45) se abrevia D;f(x). Análogamente la tercera derivada f'" de f es la derivada de la segunda derivada. Es decir

128

3

LA DERIVADA

f'''(x)

= Dx(f"(x» = DAD;f(x» = D~f(x).

En general, si n es un entero positivo, entonces f(n) denota la enésima derivada de se obtiene derivando f sucesivamente n veces. En la notación de operadores se escribe ¡
f y

DxY, D;y, D~y, .. . , D~y

o y',y",ylU, ... ,yen).

En la notación diferencial esto se escribe . dy d2 y d\ dx' dx 2' dx 3 "

d"y ..•

dx" .

En este caso los símbolos usados para las derivadas de orden superior no deben interpretarse como cocientes. Ejemplo I

Seaf(.\') = 4x 2

Solución

Como f(x)

=

5x

-

4x 2

-

+

8 - (3/x). Encuentre las primeras cuatro derivadas def(x).

5x

+

8 - 3x- 1 tenemos que

r (x) =

.

IN (x)

=

8x - 5

+ 3x - 2

= 8x -

3 5 + -, x-

8 - 6x - 3 = 8 - 63 X

¡·"'(x)

.

= 18"-ol = .,

~4

X

72 -~.

x·

El ejemplo siguiente ilustra un método para encontrar las derivadas de orden superior de las funciones implícitas. Ejemplo 2

Suponga que y4

+

Solución

Esta ecuación se

~nalizó

3y - 4x 3

=

5x

+

1. Encuentre y".

en el ejemplo 3 de la sección 6 donde se halló que y'= (12x 2

+ 5)/(4 y 3

31.

Por lo tanto 2

y" = D (/) = D ( x x

12x +5) 4i + 3 .

Ahora se usa la regla del cociente derivando implicitamente como sigue:

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR (4 y 3

y"

+

3)D x (12.\"2

+

5) - (12.\"2

(41'3

(4)'3

+

+

5)D x (4 y 3

3.8

129

+ 3)

3)2

3)(24x) - (12x 2 + 5)(12.1'2/)

+

(4)'3

+

3)2

Reemplazando y' se obtiene

+

3)(24x) - (12.e,

(4)"3

+

3 )2(24x) - 12)'2( 12x~

+

4r + 3

y

(4.1'3

+

5)

2

+­ 5)'12)"2 (12X -3-

(4)'3

+

5)2

3)3

Hay muchas aplicaciones en matemáticas y en física de las derivadas de orden superior. Algunas de ellas se discutirán en el capítulo siguiente.

3.8 EJERCICIOS Encuentre la primera y segunda derivadas de las funciones definidas en los ejercicios del 1 al 10. f(x) = 3x 4

4x 2

-

+x- 2

2 g(x) =

3x~

- 2x 5

5 g(z) = v/3z + 1 7 10

k(r) = (4r h(x)

+

8

7)5

f(x) =

5

10x

+7

+

6

k(s) = (S2

9

{(x) = ./x 2

4)21 3

+4

= I

En los ejercicios del 11 al 16 encuentre D;y. 11

+ 3x 3

Y = 2x 5

-

4x

1

14 Y = x2

+

l

12 Y =

2 - 5x

Y=

';/2 - 9x

15

+4

2x - 3 13 y = - ­ 3x + 1 16

y = (3x +

Suponga que todas las ecuaciones en los ejercicios del 17 al 20 determinan una función y = ¡(x). Encuentre y". .

1)4

f

tal

4UC

17 x 3

-

/

19

x2

-

3x}' + /

21

Encuentre todas las derivadas distintas de cero de ¡(x) = x 6 - 2x 4 + 3x 3 - x + 2.

= 1 =

4

18

x 2 y) = I

20

J xy

22

Encuentre todas las derivadas distintas de cero de ¡(x) = (x 2 _ 1)3.

- y

+x

= O

•

1

130

3

LA DERIVADA

2.1 Sea f(x) = l/x. Encuentre una fónnula para .rN~X) donde n es un entero positivo cualquiera.

JX.

Encuentre una fórmula para 24 Sea f(x) = .rN~X) donde n es un entero positivo cualquiera.

¿Cuánto vale .f"~I)? 25 Sea f(x) un polinomio de grado n. Demuestre que .rt~x) = O para k > n.

26 Encuentre un polinomio f(x) de grado 2 tal que f(l) = 5, f'(l) = 3 YrO) = -4.

27 Sea f(x) = 2x J + ]x2 - l2x + 7. Encuentre en los ceros de f'. los valores de

28 Sea f(x) = x 4 - x J - 6x 2 + 7x. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f' en el punto P(2, - 2).

r

IOx 2 + x + 2. Use diferen­ ciales para estimar el incremento de f'(x) cuan­ do x cambia de 2 a 2.005.

29 Sea f(x) = x 4

30 Suponga que u = f(x) y v = g(x) donde f y g tienen derivadas de todos los órdenes. Sea y = uv. Demuestre que

+ 2u'v' + UI''' u"'v +3u"[,' + 3u'[," + Uv'" U(4 I V + 4u"'(,' + 6u"l''' + 4u'v'" + UV(4).

y" = u"v

y'" = .1'14 1

=

Fonnule una conjetura para

r

31 Suponga que y = f(g(x» y que y gN existen. Use la regla de la cadena para expresar D;y en ténninos de la primera y segunda derivadas de fy g.

y(Nl.

32 Suponga queftiene segunda derivada. Demues­

tre que

r

(a) si f es una función par, entonces es par (b) si f es una función impar, entonces es impar.

r

Dé un ejemplo en cada caso usando polinomios. (Sugerencia: Vea el ejercicio- 42 de la sección 5.)

3.9 REPASO Conceptos Defina o discuta lo siguiente. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función

2

La velocidad de un punto en movimiento rectilíneo

3

La derivada de una función

4

Función derivable

5

La notación de incrementos

6

Diferenciales

7

Derivada por la derecha de una función

8

Derivada por la izquierda de una función

9

Derivabilidad en un intervalo

10

La relación entre la continuidad y la derivabili­ dad de una función

11

La regla del producto

12

La regla del cociente

13

La regla de la cadena

14

La regla de las potencias para funciones

15

Derivación implícita

16

Derivadas de orden superior

REPASO

131

3.9

Ejercicios En los ejercicios 1 y 2 encuentre f'(x) a partir de la definición de derivada. 1 f(x) = 4/(3x 2

2 f(x) = ~;

+ 2)

Encuentre las primeras derivadas de las funciones en los ejercicios del 3 al 32. 3

f(x)

= 2x J -

7x

+2

4

= 1/j6l+5 9 G(x) = 6/(3x 2 - I)~ 12 h(z) = [(Z2 _ 1)' _ 1 )' 2 4r r(s)= - 1 - 9s J

18

k(z)

=

7 F(z} =

6 hit)

15

k(x)

10 H(x) = 13

(8S

g(x)

1/(x 4 - x 2 + 1)

5

~(t)

fi Z2 -

8

f(w)=~

+3

11

= j(h + 2)4 (14' - 1)(14' - 3)

19

~(r)

= (7y

- 2)- 2(2y

21 f(x) = (x 2 + 1 )(x 2 + 2Hx 2 + 3)

= Jx + Jx + yX

23

h(x)

26

52 f(x) = 6x 2 - - + xp

29

k(,~)

31

5 f(w)= )214'+ -, 714' - 9

24

+

17

27 g(z)

F(x)

20 p(x}

1}2/J

22 H(t) = (t 6 K (r)

F(y)

= (y2

_ },-2)-2

14 P(x)=(X+X- I )2

16 g(w) = (14' + 1)(14' + 3)

= (Z2 + (Z2 + 9)112)1/2

= (25 2 -

4z

(3x 2 - 1)4/6

= ./6t + 5

_

= (x 6 + 1)s(3x + 2}J = (2x 4 + 3x 2 -

1}/x 2

r- 6 )6

= ¿; fi+"I ,;;+2

25 f(x)

= ~hx + 3/}h+2

= (9Z"J

28

= (5r 2 -

- 5z J1 ')J

35 + 1)(9,~ - 1)4

30

H(x)

F(r)

7)/(r 2

+ 2)

= (3 + h- 2 + 4x- J ) - '

32 S(r) = Jr 2 + t + 1 J4t - 9

Suponga que cada una de las ecuaciones en los ejercicios del 33 al 36 determina una función f tal que y = f(x). Encuentre y'.

l3

5x J

-

2x 2 J,2

+ 4y J

-

7= O

34

3x l

-

x,v l + y - I

= I

fi + 1 JY+ 1

]S - - - =y

En cada uno de los ejercicios del 37 al 39 encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación dada en el punto P indicado. 37

38

y=h-(4/fi},P(4.6)

y=(x J +2)',P(-I.I}

39

x 2y- y J=8.P(-3,1l

42

Y = 7

En los ejercicios del 40 al 42 encuentre J", yH Y y"',

40

y=5x J +4fi

43

Suponga que x 2 + 4xy - y2 = 8. Encuentre yH por derivación implícita.

41

y=X- 2 +X-

1

44 Sea f(x) = x J - x 2 - 5x + 2. (a) Encuentre las abscisas de todos los puntos sobre la gráfica de f tales que la tangente que pasa por cada uno de ellos sea paralela a la recta que pasa por A ( - 3, 2) Y B( 1, 14). (b) Encuentre los valores de en los ceros de f'.

r

132

3

LA DERIVADA

45 Sea f(x) = l/O - x). Encuentre una fórmula parajln l (x) donde n es cualquier entero positivo.

46 Sea y = 5x/(x 2 + 1). Encuentre dy y úsela para estimar el incremento de y cuando x cambia de 2 a 1.98. ¿Cuál es el incremento exacto de y?

47 Se calcula que el lado de un triángulo equilátero tiene 4 cm de longitud con un error máximo en la medición de 0.03 cm. Use diferenciales para estimar el máximo error posible en el cálculo del área del triángulo. ¿Cuál es aproximadamente el error porcentual?

48 Sea s = 3r 2 - 2JT+T Y r = (3 + (2 + 1. Use la regla de la cadena (3.36) para hallar el valor de ds/d( en ( = l.

49 Sea f(x) = 2x 3 + x 2 - x + 1 y g(x) = x~ + 4x 3 + 2x. Use diferenciales para estimar el in­ cremento de g(f(x)) cuando x cambia de -1 a -1.01.

50

Use diferenciales para estimar ;j64.2.

_4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

En este capítulo se usa la derivada para investigar algunos problemas ma­ temáticos y jisicos. Se estudian métodos para determinar los valores máximos y mínimos de las funciones. algunas aplicaciones de dichos valores extremos y los conceptos de concavidad y puntos de inflexión de una gráfica. Se examina también cómo se usa la derivada para encontrar las razones de cambio de ciertas cantidades, no solamemte con respecto al tiempo, sino también con respecto a otras variables. Hacia el final del capítulo se introduce el concepto de antiderivada y se aplica a problemas sobre movimiento rectilíneo. La última sección contiene una discusión de cómo pueden usarse las derivadas en la economía.

4.1

VALORES MAXIMOS y MINIMOS DE LAS FUNCIONES Supongamos que cierto instrumento que mide alguna cantidad física y la registra, dibujó la gráfica ilustrada en la figura 4.1. En este caso el eje x representa el tiempo y las ordenadas de los puntos de la gráfica representan magnitudes de la cantidad física medida por el instrumento. Por ejemplo, los valores de y podrían representar mediciones de temperatura, presión, intensidad de corriente en un circuito eléctrico, presión arterial de un individuo, la cantidad de cierta substancia química presente en una solución, el número de bacterias en un cultivo, etcétera. En la gráfica vemos y

Figura 4.1

133

134

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

que la cantidad aumentó durante el intervalo de tiempo [a, Cl]' disminuyó durante [Cl' C2], aumentó durante [c 2, c]], etcétera. Si restringimos nuestra atención al intervalo [Cl' C4 ], vemos que la cantidad obtuvo su valor máximo en C] y su valor mínimo en C 2 • En otros intervalos obtuvo valores máximo y mínimo diferentes. Por ejemplo, en todo el intervalo [a, b], el valor máximo se dio en Cs y el mínimo en a. Si la figura 4.1 representa la gráfica de una función f, es conveniente usar una terminología de carácter geométrico para describir el comportamiento de f(x) cuando x varía. En las dos definiciones siguientes precisamos los términos mate­ máticos que se emplean en esta descripción.

(4.1)

DEFlNICION

Si una función f está definida en un intervalo 1, entonces (i) fes creciente en Isif(x.) < f(X2) siempre que Xl yx 2 esténen/yx l < X2' (ii) f es decreciente en 1 si f(Xl) > f(x 2 ) siempre que Xl y X2 estén en 1 y Xl < X2' (iii) fes constante en 1 si f(x.) = f(X2) para todo Xl y X2 en l. En la figura 4.2 se dan interpretaciones geométricas de la definición anterior, aunque el intervalo 1 no está indicado. Por supuesto, si fes constante en 1, entonces su gráfica es un segmento de recta horizontal. y

y

x

x

(i.)

Función creciente

Figura 4.2

(ii.)

Función decreciente

Usaremos las expresiones "f es creciente" y "f(x) es creciente" de manera intercambiable. También haremos esto para el término "decreciente". Si una función es creciente, entonces su gráfica sube a medida que X aumenta, como se ilustra en (i) de la figura 4.2. Si una función es decreciente, entonces su gráfica baja a medida que X aumenta, como en (ii) de la figura. Si el dibujo en la figura 4.1 representa la gráfica de una funciónf, entonces fes creciente en los intervalos [a, Cl]' [c 2• CJ ] Y [C4' Cs]; es decreciente en [Cl' C2]' [c], C4], [cs, C6] y [c 7, b]; es constante en el intervalo [C 6 , C7 ]. La siguiente definición introduce la terminología que usaremos para los valores extremos de una función definida en un intervalo.

VALORES MAXIMOS y MlNIMOS DE LAS FUNCIONES

(4.2)

135

4.1

DEFINICION

Si una función está definida en un intervalo 1 y c es un número en 1, entonces (i) f(c) es el valor máximo de f en 1 si f(x) ~ f(c) para todo x en l. (ii) f(c) es el valor mínimo de f en 1 si f(x) ~ f(c) para todo x en l. En la figura 4.3 se ilustran gráficamente un valor máximo y un valor mínimo. Hemos dibujado a 1 como un intervalo cerrado [a, b]; sin embargo, la definición (4.2) puede aplicarse a cualquier intervalo. Aunque las gráficas en la figura tienen una tangente horizontal en el punto (c,f(c», también pueden aparecer valores máximos y mínimos en las abscisas de los puntos donde la~ gráficas tienen esquinas o en los puntos extremos de los dominios. y

y I

I I

I I J

I

f(x) : I I

a x

(i)

e

b

x

a

Valor máximo f(c)

(ii)

e

x

b

x

Valor mínimo f(c)

Figura 4.3

Si f(c) es el valor máximo de f en 1, decimos que f toma o alcanza su valor máximo en c. Si restringimos nuestra atención a puntos con abscisa en 1, entonces el punto (c,f(c» es el punto más alto de la gráfica, como se ilustra en (i) de la figura 4.3. Análogamente, sif(c) es el valor mínimo defen 1, decimos queftoma o alcanza su valor mínimo en c y (c,f(c» es el punto más bajo de la gráfica, como se ilustra en (ii) de la figura 4.3. Los valores máximo y mínimo defse llaman a veces valores extremos o simplemente extremos de I Una función puede alcanzar un valor máximo o uno mínimo más de una vez. En efecto, si f es una función constante, entonces, para todo número real c,f(c) es a la vez un valor máximo y un valor mínimo del Algunas funciones pueden tener un valor máximo pero no uno mínimo en un intervalo, o viceversa. Otras funciones pueden no tener un valor máximo ni un valor mínimo. Para ilustrar esto, suponga que f(x) = l/x si x # O Y f(O) = O. En la figura 4.4 aparece un dibujo de la gráfica de I Note que f no es continua en O. En el intervalo cerrado [ - 1, 1] la función no tiene valor máximo ni valor mínimo. (¿Por qué?) Lo mismo sucede en el intervalo abierto (0,1), porque si O < a < 1, siempre existen números XI y X2 en (0,1) tales que f(x l ) > f(a) y f(x 2 ) < f(a). En el intervalo semiabierto (O, 1] existe un valor mínimo f(l) pero no existe un valor máximo. En el intervalo cerrado [1,2] f tiene un valor máximo f(l) y un valor mínimo f(2). De la ilustración anterior se ve que la existencia de los valores máximo y mínimo

..

136

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA y

x f(x)

= x­ 1

Figura 4.4

puede depender tanto de la continuidad de la función como de que el intervalo considerado sea abierto, cerrado, semiabierto, etc. El siguiente teorema proporciona condiciones suficientes bajo las cuales una función alcanza sus valores máximo y mínimo en un intervalo. El lector interesado en la demostración puede consultar textos más avanzados. (4.3)

TEOREMA

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f al­ canza sus valores máximo y mínimo por lo menos una vez en el intervalo. Los valores extremos se llaman también valor mínimo absoluto y valor máximo absoluto de f en un intervalo. También nos interesan los valores extremos locales de f que definimos a continuación. (4.4)

DEFINICION

Sea c un número en el dominio de una función f (i) f(c) es un máximo· local de f si existe un intervalo abierto (a. b) que contiene a c tal que f(x) ~ f(c) para todo x en (a, b). (ii) f(c) es un mínimo local de f si existe un intervalo abierto (a, b) que con­ tiene a c tal que f(x) ~ f(c) para todo x en (a, b). Usamos el adjetivo "local" porque localizamos nuestra atención a un intervalo abierto suficientemente pequeño que contiene a c, en el que f alcanza su valor máximo (o mínimo) en c. A veces se usa la palabra "relativo" en lugar de "local". A los máximos o mínimos locales los llamaremos los valores extremos locales de f, de manera que cada máximo local (y cada mínimo local) es un valor extremo local. La función cuya gráfica está dibujada en la figura 4.1, tiene máximos locales en los puntos Cl' C3 Y C s Ymínimos locales en C2 Y c4 • Es posible que un mínimo local ·N. del T.: De acuerdo con la costumbre establecida en el lenguaje matemático, frecuente­ mente usaremos las palabras: máximo, mínimo y extremo, como substantivos.

VALORES MAXIMOS y MINIMOS DE LAS FUNCIONES

4.1

137

sea mayor que un máximo local tal como ocurre con f(c 4 ) Y f(el)' Los valores de la función correspondientes a los números del intervalo (C6' c7 ) son máximos locales y mínimos locales a la vez. (¿Por qué?) Entre los valores extremos locales puede no estar incluido el mínimo absoluto o el máximo absoluto de! Por ejemplo, refiriéndonos a la figura 4.1,/(a) es el valor mínimo de f en [a, b J, aunque no puede ser un mínimo local, ya que no existe un intervalo abierto 1 contenido en [a, b J que contenga a a. El número f(c s ) es un máximo local y es también el máximo absoluto de f en [a, b]. En los puntos correspondientes a los extremos locales de la función graficada en la figura 4.1, la recta tangente es horizontal, o bien, hay una esquina. Las abscisas de estos puntos son números en los que la derivada es cero, o bien, no existe. El siguiente teorema muestra que esto es cierto en general. (4.5)

TEOREMA

Si una función tiene un extremo local en c, entonces f'(c) = 00 f' (c) no existe. Demostración. Supongamos que f tiene un extremo local en c. Si f'(c) no existe entonces no hay nada que probar. Si f'(c) existe entonces (i) f'(c) > O o (ii) f'(c) < O o (iii) f'(c) = O. Probaremos (iii) demostrando que (i) y (ii) no pueden ocurrir. Supongamos pues quef'(c) > O. Usando el teorema (3.7) para la derivada,

lim f(x) - f(c) > O x-e

X -

C

y por lo tanto, usando el teorema (2.10) concluimos que existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a c tal que

f(x) - f(c) > O x-c

para todo x en (a, b) distinto de c. La última desigualdad implica que si a < x < b y x #- c, entonces f(x) - f(c) y x - c tienen el mismo signo; es decir f(x) - f(c) < O siempre que f(x) - f(c) > O siempre que

x - c < Oy x - c > O.

Otra manera de enunciar estos hechos es decir que si x está en (a, b) Yx #- c, entonces f(x) < f(c) siempre que x < c f(x) > f(c) siempre que x > c.

y

Se sigue que f(c) no es un máximo local ni un mínimo local de f, lo que contradice la hipótesis. En consecuencia (i) no puede ocurrir. De manera análoga, suponer que f'(c) < O, nos lleva a una contradicción. Por lo tanto (iii) se cumple necesa­ riamente y el teorema queda demostrado. (4.6)

COROLARIO

Sif'(c) existe y f'(c) #- O, entoncesf(c) no es un extremo local de la función!

138

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Un resultado análogo al teorema (4.5) es cierto para el máximo absoluto y el mínimo absoluto de una función que es continua en un intervalo cerrado [a, b], siempre que los extremos se alcancen en el intervalo abierto (a, b). El teorema puede enunciarse como sigue. (4.7)

TEOREMA

Si una función fes continua en un intervalo cerrado [a, b] Y toma su máximo o su mínimo en un número e del intervalo abierto (a, b), entonces f'(c) = O o f'(c) no existe. La demostración es igual a la del teorema (4.5) pero eliminando la palabra "local". De los teoremas (4.5) y (4.7) se sigue que los números en los que la derivada es cero o no existe, juegan un papel crucial en el proceso de buscar los valores extremos de una función. Por eso, en la siguiente definición damos un nombre especial a estos números. (4.8)

DEFINICION

Un número e en el dominio de una función f es un número crítico de f si = O o f'(c) no existe.

f'(c)

Según el teorema. (4.7), vemos que si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f toma su valor máximo (o mínimo) en a, en b, o en uno de los números críticos de f Por lo tanto, para encontrar los extremos absolutos de tales funciones podemos proceder como sigue: (i) (ii)

Calculamosf(c) para cada número crítico c. Calculamos f(a) y f(b).

Los valores máximo y mínimo de f en [a, b] serán respectivamente el mayor y el menor de estos valores de la función.

Ejemplo 1

Sea f(x) = x 3 - 12x. Encuentre los valores máximo y mínimo de f en el intervalo cerrado [-3, 5]. Dibuje la gráfica de f

Solución

Comenzaremos por encontrar los números críticos de f Derivando, f'(x) = 3x 2

-

12 = 3(x 2

-

4) = 3(x

+ 2)(x -

2).

Como la derivada existe en todas partes, los únicos números críticos son aquéllos en los cuales la derivada se anula, es decir, -2 y 2. Comofes continua en [ - 3,5], de la discusión anterior se sigue que el máximo y el mínimo absolutos son dos de los siguientes números: f( -2),/(2), f( -3) Yf(5). Calculando estos valores obtenemos

VALORES MAXIMOS y MlNIMOS DE LAS FUNCIONES

4.1

139

= (_2)3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16 1(2) = 2 3 - 12(2) = 8 - 24 = -16 1(-3) = (-3)3 - 12(-3) = -27 + 36 = 9 1(5) = 53 - 12(5) = 125 - 60 = 65. 1(-2)

Por lo tanto el mínimo de f en [ - 3, 5] es f(2) = - 16 Y el máximo es f(5) = 65. Usando los valores que ya calculamos de la función y graficando algunos otros puntos obtenemos el dibujo de la figura 4.5 en el que se usaron diferentes escalas en los ejes x y y para lograr mayor claridad. Nuestro trabajo en la sección 4 más adelante nos permitirá concluir quef( -2) = 16 es un máximo local def, como se indica en la gráfica. ,1'

Figura 4.5 Del teorema (4.5) vemos que si una función tiene un extremo local, entonces éste se encuentra en un número crítico; sin embargo, como se ilustra en el siguiente ejemplo, no en todo número crítico se encuentra un extremo local.

Ejemplo 2

Sea f(x) = x 3 • Demuestre que f no tiene valores extremos locales.

Solución

La derivada de f, f'(x) = 3x 2 , existe para todo x y se anula solamente en x = O. Por lo tanto O es el único número crítico. Sin embargo, si x < O, f(x) es negativo y si x > O, f(x) es positivo. Por lo tanto f(O) = O no es un máximo local ni un mínimo local. Como los extremos locales se encuentran en los números críticos (vea el teorema (4.5», resulta quefno tiene extremos locales. En la figura 1.27 aparece un dibujo de la gráfica de! Note que la recta tangente en el punto P(O, O), que tiene al número crítico O como abscisa, es horizontal. En secciones posteriores se desarrollarán métodos para encontrar extremos locales de funciones. Entonces será necesario obtener los números críticos de funciones definidas por expresiones un tanto complicadas, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3

Encuentre los números críticos defsi I(x) = (x

+ 5fJ"x -

4.

140

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Derivando f(x)

Solución

= (x + 5)2(X f'(x)

4)1/3 obtenemos

= (x + 5)2

l

(X - 4)-2/3

3

+ 2(x + 5)(x

- 4)1 13 .

Como ayuda para encontrar los números críticos simplificamos f'(x) como sigue f'(x)

=

(x + 5)2 . 3(x - 4)2/3

+ 2(x + 5)(x

+ 5)2 + 6(x + 5)(x

(x

-

_ 4)1/3

4)

3(x - 4)2/3

+ 5)[(x + 5) + 6(x

(x

- 4)]

3(x - 4)2/3

+ 5)(7x

- 19) 3(x_4)2/3

(x

En consecuencia f'(x) = O si x = -5 o x = 19/7. La derivada f'(x) no existe en x = 4. Por lo tanto f tiene tres números críticos que son - 5, 19/7 Y 4.

4.1

EJERCICIOS

En cada uno de los ejercicios del I al 4 encuentre el máximo y el mínímo absolutos de f en el

íntervalo cerrado indicado.

1 f(x)=5-6x 2 -2x 3 ; [-3,1]

2 f(x)=3x 2 -IOx+7;[-1,3]

3 f(x) = (_x 213 ; [-1,8]

4 f(x)

5 (a) Sea f(x) = x l13 • Demuestre que O es el único número crítíco de f y que f(O) no es un extremo local. (b) Seaf(x) = X 213 • Demuestre que Oes el único número crítico de f y que f(O) es un mínimo local.

6 Sea f(x) = Ixl. Demuestre que O es el único número crítico de f, que f(O) es un minimo local de f y que la gráfica de f no tiene una recta tangente en el punto (O, O).

=

x4

-

5x 2 + 4; [0,2]

En cada uno de los ejercicios 7 y 8, demuestre que f no tiene extremos locales. Dibuje la

gráfica de f Demuestre que f es continua en el intervalo (O, 1) pero no tiene valor máximo ni

mínimo en (O, 1).¿Por qué esto no contradice el teorema (4.3)?

8 f(x) = l/x 2

Encuentre los números críticos de las funciones definidas en los ejercicios del 9 al 20.

9 f(x) = 4x 2 - 3x + 2 12

K(z)

= 4z 3 + 5z 2

15 f(z) = 18

T(lJ)

-

42z + 7

J?-=I6

= (4l' +

1)p-:=J6

= 2x + 5

10

g(x)

13

F(w)

= w4

16

M(x)

= .jx 2

-

11

X -

= 21 3 + 12

14 k(r) = r 5

32w -

s(t)

2

19 G(x) = (2x - 3)/(x 2 - 9)

17 20

-

-

201

2r 3 + r - 12

= 12.j21 - 5 f(s) = s2/(5s + 4)

g(l)

+4

EL TEOREMA DE ROLLE Y EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

141

4.2

21 Demuestre que un polinomio de grado I no tiene extremos locales ni absolutos en el inter­ valo (- 00, (0). ¿Qué puede decirse para un in­ intervalo cerrado [a, b]?

22

Sean f una función constante y (a, b) cualquier intervalo abierto. Demuestre que f(c) es un ex­ tremo local y también un extremo absoluto de f para todo número e en (a, b).

23 Sea f la función máximo enlero. Demuestre que todo número real es número crítico de f

24

Suponga que f está definida por las siguentes condiciones: f(x) = O si x es racional y j(x) = l si x es irracional. Demuestre que todo número real es número crítico de f

25 Demuestre que una función cuadrática tiene exactamente un número crítico en (- 00, (0).

26

Demuestre que un polinomio de grado 3 tiene dos números críticos, o sólo uno, o ninguno. en (- 00, (0). Dibuje gráficas que ilustren cómo puede ocurrir cada una de estas tres posibili­ dades.

27 Sea f(x) = x", donde n es un entero posítivo. Demuestre que f tiene solamente un extremo local, o ninguno, en (-00, (0), según n sea par o impar respectivamente. Dibuje gráficas típicas que ilustren cada uno de estos casos.

28

Demuestre que un polinomio de grado n puede tener a lo más n - l extremos locales en (-00, (0).

4.2

EL TEOREMA DE ROLLE y EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO A veces es muy dificil encontrar los números críticos de una función. De hecho, la existencia de números críticos no está garantizada. El siguiente teorema, que se atribuye al matemático francés Michel Rolle (1652-1719), da condiciones sufi­ cientes para la existencia de un número crítico. El teorema se enuncia para una función f continua en un intervalo cerrado [a, b] que es derivable en (a, b) y para la cual f(a) = f(b). En la figura 4.6 aparecen dibujos de las gráficas de algunas funciones de este tipo. y

.1'

a

b

x

x

x

Figura 4.6

En vista de los dibujos de la figura 4.6, parece razonable pensar que existe al menos un número e entre a y b tal que la recta tangente en el punto (e, f(c» es horizontal, o equivalentemente, tal que f'(c) = O. Esta es precisamente la tesis del siguiente teorema.

142

4 (4.9)

APLICACIONES DE LA DERIVADA

TEOREMA DE ROLLE

Si una función / es continua en un intervalo cerrado [a, b] Y derivable en el intervalo abierto (a, b) y /(a) = /(b), entonces existe al menos un número e en (a, b) tal quef'(c) = O.

Demostr«ió". La función / debe caer por lo menos en una de las tres categorías siguientes (i) /(x) = /(a) para todo x en (a, b). En este caso / es una función constante y por lo tanto f'(x) = O para todo x. En consecuencia todo número e en (a, b) es un número crítico y f'(c) = O. (ii) /(x) > /(a) para algún x en (a, b). En este caso el valor máximo de / en [a, b] es mayor que /(a) o /(b) y, por lo tanto, debe alcanzarse en algún número e del intervalo abierto (a, b). Como la derivada existe en todo el intervalo (a, b), del teorema. (4.5) concluimos que l' (e) = O. (iii) /(x) < /(a) para algún x en (a, b). En este caso el valor mínimo de / en [a, b] es menor que / (a) o/ (b) Y debe alcanzarse en algún número e en (a, b). Como en (ii),f'(c) = O. (4.10)

COROLARIO

Si una función/es continua en un intervalo cerrado [a, b] y /(a) = /(b), en­ tonces / tiene al menos un número crítico en el intervalo abierto (a, b).

Denwstr«ió". Por un lado, si l' (e) no existe para algún e en (a, b), entonces por la definición (4.8), e es un número crítico. Por otro lado, sil' existe en todo (a, b), entonces por el teorema de Rolle, existe un número crítico en (a, b). Antes de discutir el siguiente teorema, el cual puede considerarse como una generalización del teorema de Rolle al caso en que /(a) "# /(b), consideremos los puntos P(a,f(a» y R(b,f(b» sobre la gráfica de / como se ilustra en cualquiera de los tres dibujos de la figura 4.7. Si f'(x) existe en todo el intervalo abierto (a, b), entonces parece evidente desde el punto de vista geométrico que existe al menos un punto T(c,f(c» sobre la gráfica

a

e

b

x

a

e

Figura 4.7

b

x

a e

b

x

EL TEOREMA DE ROLLE Y EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

4.2

143

en el que la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por P y R. Este hecho puede expresarse en términos de pendientes como sigue: (4.11)

f'(c)

= f(b)

- f(a) b-a

donde el cociente de la derecha se obtiene usando la fórmula para la pendiente de la recta que pasa por P y R. Si multiplicamos ambos lados de esta ecuación por b - a obtenemos la fónnula enunciada en el siguiente teorema. (4.12)

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] Y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un número e en (a, b) tal que f(b) - ¡(a)

Demostración.

= f'(c)(b

- a).

Definamos una función g como sigue: g(x)

= f(x)

- f(a) - [

f(b) - f(a)] b_ a (x - a)

para todo x en [a, b]. Aunque aparentemente "nos sacamos a g de la manga", hay una interpretación geométrica interesante para g(x) (vea el ejercicio 22). Como fes continua en [a, b] y derivable en (a, b), lo mismo es cierto para g. Derivando obtenemos '( )=f'( )_f(b)-f(a)

g x

x

b

-a

.

Más aún, por sustitución directa vemos que g(a) = g(b) = O y por lo tanto la función g satisface las hipótesis del teorema de Rolle. En consecuencia, existe un número e en (a, b) tal que g'(c) = O, o equivalentemente, f'(c) - f(bi

=~'(a) = O.

Esta última ecuación puede escribirse en la forma enunciada en la conclusión del teorema. El teorema del valor medio se utilizará más adelante como ayuda para de­ mostrar varios resultados importantes. El ejemplo siguiente ofrece una ilustración geométrica del teorema del valor medio. Ejemplo

Solución

Demuestre que la función f definida por f(x) = x 3 - 8x - 5 satisface las hipó­ tesis del teorema del valor medio en el intervalo [1, 4] Y encuentre un número e en el intervalo (1, 4) que satisfaga la conclusión del teorema. Como f es un polinomio, entonces f es una función continua y derivable en todos los números reales. En particular es continua en [1, 4] Y derivable en el intervalo

144

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

abierto (1, 4). Según el teorema del valor medio, existe un número e en (1, 4) tal que 1(4) - l(l)

Como f'(x) = 3x

2

-

= f'(c)(4

- 1).

8, esto es equivalente a 27 - (-12)

= (3c 2

-

8)(3).

Dejamos al lector el trabajo de mostrar que la última ecuación implica que e ±.j7. Por lo tanto el número deseado del intervalo (1, 4) es e = .j7.

=

4.2 EJERCICIOS Sea f(x) "" Ix!. Demuestre que f( -1) = /(1) pero f'(c) =F O para todo número e en el inter­ valo abierto (-1,1). ¿Por qué esto no contradice el teorema de Rolle?

2 Sea f(x) = 5 + 3(x - W/3. Demuestre que feO) = /(2), pero f'(c) =F O para todo número e en el intervalo abierto (O, 2). ¿Por qué esto no con­ tradice el teorema de Rolle?

3 Sea/ex) = 4/x. Demuestre que no existe ningún número e tal que/(4) - f(-I) = f'(c)[4 - (-I)J. ¿Por qué esto no contradice el teorema del valor medio aplicado al intervalo [-1, 4J?

4 Sean/la función máximo entero ya y b números reales tales que b - a ~ 1. Demuestre que no existe un número e tal que /(b) - fea) = f'(c)(b - a).

Explique por qué esto no contradice el teorema del valor medio. En los ejercicios del 5 al 8 demuestre que / satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo indicado [a, b J y encuentre todos los números e en (a, b) tales que f'(c) = O. 5 f(x)=3x 2 -12x+ll, [0.4]

6

I(x)=5-12x-2x 2 , [-7,1]

= x 4 + 4x 2 + 1. [- 3. 3]

8

((x)

7 f(x)

= x3

x, [-

-

1. 1]

En los ejercicios del 9 al 18 determine si la función / satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo indicado [a, b J y si es así, encuentre todos los números e en (a, b) para los cuales /(b) - fea) = f'(c)(b - a). 9 f(x)

=

x3

11 f(x) = x

13 f(x) =

+ 1, [-2,4]

+ (4/x),

2 3 X / ,

15 f(x) = 4

+

17 f(x) = x 3

-

[1.4]

[-8,8]

J7=1, [1.5] 2x 2

+ x + 3. [ - 1. l ]

19 Demuestre que si f es una función lineal en­ tonces f satisface las hipótesis del teorema del valor medio en l:ualquier intervalo [a, bJ y que todo número e satisface la conclusión del teo­ rema.

+ 1. [U]

10

I(x) = 5x 2

12

I(x) = 3x

5

14

I(x)= 1/(x-I)2, [0,2]

16

I(x) = l - 3x 1/3 , [-8,-1]

18

f(x) = Ix - 31. [-1.4]

-

3x

3

+ 5x + 15x, [- 1. l ]

20 Sea / una función cuadrática y [a, bJ un inter­ valo cerrado arbitrario. Demuestre que existe exactamente un número e en el intervalo (a, b) que satisface la conclusión del teorema del valor medio.

EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

4.3

145

Sea f un polinomio de tercer grado y [a, b] un intervalo cerrado arbitrario. Demuestre que exis­ ten a lo más dos números en (a, b) que satisfacen la conclusión del teorema del valor medio. Dibuje gráficas que ilustren las distintas posi­ bilidades. ¿Qué puede decirse de un polinomio de cuarto grado? Ilustre con dibujos. Generalice al caso de polinomios de grado n, donde n es cualquier entero positivo.

22 Demuestre que si g(x) es la función definida en la demostración del teorema del valor medio (4.12), entonces Ig(x)1 es la distancia (medida sobre la vertical con abscisa al origen igual a x) entre la gráfica de f y la recta que pasa por P(a,j(a» y R(b,j(b».

23 Sea f continua en [a, b] tal que f'(x) = e para todo x en (a, b). Utilice el teorema del valor· medio para demostrar que f(x) = ex + d para algún número real d.

24 Sea f(x) un polinomio de tercer grado. Use el teorema de Rolle para demostrar que f tiene a lo más tres raíces reales. Extienda este resultado al caso de polinomios de grado n.

21

4.3

EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA El siguiente teorema indica cómo usar la derivada para determinar los intervalos en los cuales una función es creciente o decreciente.

(4.13)

TEOREMA

Sea f una función que es continua en un intervalo cerrado [a, b] Y derivable en el intervalo abierto (a, b). (i) (ii)

Si f'(x) > O para todo x en (a, b), entonces f es creciente en [a, b]. Si f'(x) < O para todo x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b].

Denwstración. (i) Supongamos que f'(x) > Opara todo x en (a, b) Yconsideremos dos números cualesquiera XI' X2 en [a, b] tales que XI < X2 . Deseamos probar que f(x l ) < f(X2). Aplicando el teorema del valor medio (4.12) en el intervalo [X I ,X 2 ],

f(X2) - f(xd

= f'(W)(X2

- xd,

donde W es un número en el intervalo abierto (XI' X2). Como X2 - XI > O y por hipótesis f'(w) > O, tenemos que el lado derecho de la ecuación anterior es positivo y por lo tanto f(X2) - f(x l ) > O; es decir f(X2) > f(x l ), lo que queríamos demos­ trar. La demostración de (ii) es parecida y se deja como ejercicio. Las figura s 4.8 y 4.9 dan ilustraciones geométricas del teorema (4.13). Se muestra una típica recta tangente I a la gráfica en un punto cuya abscisa es un número X del intervalo (a, b). Como se ilustra en la figura 4.8, si f'(x) > O, la recta tangente sube y, como lo hemos demostrado, también la gráfica de la función fsube. Sif'(x) < O tanto la recta tangente como la gráfica defbajan, tal como se ilustra en la figura 4.9.

146

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

:/

~ 1

:

a

b

x

I

I

I

I

1

x

h

,

,

a

I

•

a

b

x

f'(x) > O; fcrece en [a,b].

Figura 4.8.

I~:I I

I

I

1

I

a

x

h

-L-----"------'---1~

a

x

!

h

•

x

h

f'(x) < O; f decrece en [a, b].

Figura 4.9.

La demostración dada del teorema (4.13) puede también usarse para mostrar que si f'(x) > O en un intervalo infinito de la forma ( - 00, a] o [b, 00), entonces f es creciente en (-00, a] o [b, 00) respectivamente, siempre y cuando f sea continua en dichos intervalos. Existe un resultado análogo para funciones decrecientes cuando f'(x) < O. Ejemplo 1

Sea f(x) = x 3 + x 2 - 5x - 5. Encuentre aquéllos intervalos en los cuales f es creciente y aquéllos en los cuales f es decreciente. Dibuje la gráfica de f

Solución

Derivando obtenemos I'(x)

= 3x 2 + 2x -

5 = (3x

+ 5)(x

- 1).

Por el teorema (4.13) basta encontrar los intervalos donde f'(x) > O o donde f'(x) < O. La forma factorizada def'(x), y los números críticos - 5/3 Y1 nos sugieren considerar los intervalos ( - 00, - 5/3), (- 5/3, 1) Y (1, oc!). Para tomar en cuenta todos los signos, es conveniente arreglar nuestro trabajo en una tabla como sigue. En esta tabla el símbolo + indica que la expresión bajo la cual aparece es positiva, mientras que el símbolo - indica que la expresión es negativa. Intervalo

(3x

+

5)

x-l

f

f'(x)

Creciente en (- 00, - j] Decreciente en [ - j, 1] Creciente en [1, 00)

+

-i) (-i,l)

( - X"

+ +

(I,x)

+

+

Note que f(x) puede escribirse como (x 2 - 5)(x + 1) y por lo tanto las intersecciones de su gráfica con el eje x tienen abscisas j5, - j5 y - l. La intersección con el eje y tiene ordenada f(O) = - 5. Los puntos corres­ f(x)

=

x 2 (x

+

1) - 5(x

+

1)

=

pondientes a los números críticos son (- 5/3,40/27) Y (1, - 8). Graficando estos

EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

4.3

147

y J(x)

= X 3 +X 2

-

5x - 5

x

Figura 4.10

seis puntos y usando la información acerca de dónde f es creciente y dónde es decreciente, obtenemos el dibujo de la figura 4.10. Como vimos en la sección 1, si la función tiene un extremo local, entonces éste se alcanza en un número crítico; sin embargo, no en todo número crítico hay un valor extremo local (vea el ejemplo 2 de la sección 1). Para encontrar los extremos locales podemos empezar por localizar todos los números críticos de la función. Luego debemos hacer una prueba en cada número crítico para determinar si la función tiene un valor extremo en él o no. Hay varios métodos para realizar esta prueba. El siguiente teorema proporciona uno de estos métodos, el cual se basa en el signo de la primera derivada de I A grandes rasgos, el teorema afirma que si f'(x) cambia de signo cuando x pasa de un lado a otro de un número crítico c, entonces f tiene un extremo local en c. Si f'(x) tiene el mismo signo para x a ambos lados de c, entonces f no tiene un valor extremo en c. (4.14)

EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Supongamos que c es un número crítico de una función f y (a, b) es un inter­ valo abierto que contiene a c. Supongamos además que f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), excepto posiblemente en c. (i) Si f'(x) > O para a < x < c y f'(x) < O para c < x < b, entonces f(c) es un máximo local de I (ii) Si f'(x) < O para a < x < c y f'(x) > O para c < x < b, entonces f( c) es un mínimo local de I (iíi) Sif'(x) > O(o sif'(x) < O) para todo x en (a, b) excepto posiblemente para x = c, entonces f(c) no es un extremo local de I Denwstración. Si f'(x) se comporta como se indica en (i), entonces por el teorema (4.13) fes creciente en [a, c] y decreciente en [c, b]. De esto se sigue que f(x) < f(c) para todo x en (a, b) distinto de c. Por lo tanto, de acuerdo con la definición (4.4), f(c) es un máximo local del Las partes (ii) y (iii) se demuestran de manera análoga.

148

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Un artificio que puede usarse para recordar el criterio de la primera derivada es pensar en gráficas como la de la figura 4.11. En el caso de un máximo local, que se ve en (i) de la figura 4.11, la pendiente de la recta tangente en P(x, f(x)) es positiva si x < c y negativa si x > c. En el caso de un mínimo local que se ilustra en (ii) de la figura 4.11, ocurre precisamente lo contrario. Pueden dibujarse gráficas semejantes para el caso en que hay una esquina en el punto (c,f(c)). y

a

(i)

('

x

b

a (ii)

Máximo local

e

b

x

Mínimo local

Figura 4.//

=x +x 3

2

Ejemplo 2

Seaf(x)

Solución

Esta es la misma función que consideramos en el ejemplo l. Sus números críticos son - 5/3 y 1. Vemos de la tabla en el ejemplo I que el signo de f'(x) cambia de positivo a negativo cuando x crece y rebasa a - 5/3. Por lo tanto, por el criterio de la primera derivada, f tiene un máximo local en - 5/3. Este valor máximo es f( -5/3) = 40/27. Análogamente, hay un mínimo local en I ya que el signo de f'(x) cambia de negativo a positivo cuando x crece y rebasa a 1. Este valor mínimo esf(l) = -S. El lector debe consultar la figura 4.10 para apreciar el significado geométrico de estos extremos locales.

Ejemplo 3

Sea f(x) = su gráfica.

Solución

Por la regla del producto

X 1/3 (S

5x - 5. Encuentre los extremos locales de!

-

- x). Encuentre los máximos y mínimos locales de f y dibuje

f'(x) = x l / 3 ( -1)

- 3x

1

+ (S - x)3X-2/3

+ (S - x) 3X 2 / 3

4(2 - x) 3X 2 / 3

y por lo tanto los números críticos de f son O y 2. La siguiente tabla indica el signo de f'(x) en los intervalos determinados por los números críticos y también indica dónde f es creciente y dónde es decreciente. Intervalo

2-x

(- ;x),0) (0,2) (2, ;x))

+ +

X

213

+ + +

!'(x)

+ +

f Creciente en ( - 00, O] Creciente en [O, 2] Decreciente en [2, 00)

EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

4.3

149

Según el criterio de la primera derivada, f tiene un máximo local en 2 puesto que f'(x) cambia signo de + a - cuando x crece y rebasa a 2. Este máximo local es f(2) = 21/3 (8 - 2) = 6.y2 ~ 7.6. La función no tiene un valor extremo en O ya quef'(x) no cambia de signo cuando x pasa de un lado al otro de O. Para dibujar la gráfica de la función, graficamos primero los puntos correspondientes a los números críticos. De la fórmula para f(x) resulta evidente que las abscisas de las intersecciones de la gráfica con el eje x son Oy 8. En la figura 4.12 aparece un dibujo de la gráfica de f v

Figura 4.12

=

2/3

2

Ejemplo 4

Seaf(x)

Solución

Por la regla del producto

X

(X

8). Encuentre los extremos locales defy dibuje su gráfica.

-

f'(x) = x2/3(2x) 6x 2

+ (x 2

+ 2(x 2

-

-

8)

3x l/3

8)nX-1/3) 8(x 2

-

2)

3x 1/3

Los números críticos son - fi. O Y fi. Estos números sugieren que examinemos el signo def'(x) en los intervalos (-oo. -fi), (-fi, O), (O. fi) y (fi, 00). Arreglando nuestro trabajo en una tabla obtenemos Intervalo ( - Xl,

-fi)

x2

-

Xl)

X

l/3

f'(x)

+

(- )2,0) (0,)2) (fi,

2

+ +

+ +

+

f Decreciente en (- 00, Creciente en [ - fi, O] Decreciente en [O, fi] Creciente en [fi, 00)

fi]

Según el criterio de la primera derivada. f tiene mínimos locales en - fi y fi y un máximo local en O. Los valores correspondientes de la función son f(O) = O

150

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

y f(j2) = -6.y2 = f( - j2). Note que la derivada no existe en O. En la figura 4.13 aparece un dibujo de la gráfica. y

x

Figura 4.13

En la sección l se señaló que un máximo absoluto o un mínimo absoluto de una función puede no estar incluido entre sus extremos locales. Recuerde que si se desea encontrar el máximo y el mínimo absolutos de una funciónf que es continua en un intervalo cerrado [a, b], deben encontrarse todos los extremos locales y además los valores f(a) y f(b). El mayor número de entre los extremos locales, f(a) y f(b) será el máximo absoluto defen [a, b], mientras que el menor de ellos será el mínimo absoluto de f en [a, b]. Para ilustrar estos comentarios, conside­ ramos la función discutida en el ejemplo anterior pero restringiendo nuestra aten­ ción a ciertos intervalos específicos. Ejemplo 5 Solución

Sea f(x) = X 2 / 3 (X 2 - 8). Encuentre el máximo y el mlmmo absolutos de f en cada uno de los siguientes intervalos: (a) [ -1, 1/2], (b) [ -1,3], (c) [-3, -2]. En el ejemplo anterior calculamos los extremos locales defy los intervalos en donde

f es creciente o decreciente. En consecuencia, lo que debemos hacer es encontrar las ordenadas de los puntos de la gráfica correspondientes a los extremos de cada uno los intervalos. Ordenamos los resultados de nuestro trabajo en una tabla y dejamos al lector la tarea de comprobarlos. Intervalo [ - 1, 1/2] [ - 1,3] [-3, -2]

Mínimo f(-1)=-7

1(,/2) = -6.y2 f( -2) = -4.j4

Máximo f(O) = O f(3) = ~ f(-3) =

J9

Nate que en algunos intervalos el máximo o el mínimo de f coincide con un extremo local mientras que en otros intervalos no sucede esto.

LA CONCAVIDAD Y EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

151

4.4

4.3 EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 16 encuentre los extremos locales de f. Describa los intervalos en los cuales f es creciente o decreciente y dibuje la gráfica de f.

= 5 - 7x - 4x 2 f(x) = x 3 - x 2 - 40x + ¡¡ f(x) = x 4/J + 4x 1il f(x)

4 7

10 f(x) = xJ4="? 13 f(x) 16 f(x)

= x 3 + (3/x) = (x 2 - IOX)4

2

f(x)

S f(x) 8

= 6.: 2 -

9x

= x 4 -

8x 2

f(x) =

x 2JJ (8

11

f(x)

= x 213 (X

14

f(x)

=8-

+5

3

f(x)

+

6

f(x) = x J

9

f(x)

=X

12

f(x)

= 4x J

IS

f(x) = IOx 3 (x _ 1)2

I

- x) - 7)2

{/x 2

-

+2 2x

+1

= 2x 3 + x 2 2

3x 2

-

JX -

2

20x

-

+l

+ 3x + 7

-

4

3x 4

En los ejercicios del 17 al 22 encuentre los extremos locales de f. 17 f(x)

= Jx 3 -

20 f(x)

= x 2 (x

9x

- 5)4

18 f(x)

= x 2 /F+7

21

= (2x -

f(x)

5)/(x

+ 3)

+ 1)4

19 f(x)

= (x

22

= (x 2 + 3)/(x

f(x)

- 2)3(X

- 1)

23-26 Para las funciones definidas en los ejercicios del 1 al 4, encuentre el mínimo y el máxímo absolutos en cada uno de los siguientes intervalos: (b) [-4,2]

(a) [- 1, 1]

(c)

[0,5]

En los ejercicios 27 y 28 dibuje la gráfica de una función derivable f que satisfaga las condiciones dadas.

= O; 1'(0) = O; 1'(5) = O; f'(x) > O si 5; f'(x) < O si O < Ixl < 5.

27 1'(-5)

Ixl >

28 I'(a) = O para a = 1,2, 3, 4, 5 Y f'(x) > O para todos los otros valores de x.

En los ejercicios 29 y 30 encuentre los extremos locales de f'. Describa los intervalos en donde l' es creciente o decreciente. Dibuje la gráfica de f y estudie la variación de la pendiente de sus rectas tangentes cuando x crece. 29 f(x) = x 4

-

6x 2

31 Sea f(x) = ax 3 + bx 2 + ex + d. Encuentre valores de a, b, e y d para los cuales f tenga un máximo local con valor 2 en x = -1 Y un mínimo local con valor -1 en x = 1.

4.4

30

f(x) = 4x 3 - 3x 4

32 Sea f(x) = ax 4 + bx 3 + ex 2 + dx + e. Encuen­ tre valores de a, b, e, d y e tales que f tenga un valor máximo local igual a 2 en x = O Y mínimos locales iguales a - 14 en x = - 2 Y x = 2.

LA CONCAVIDAD y EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA El concepto de concavidad es útil para describir la gráfica de una función derivable f'(c) existe, entonces f tiene una recta tangente en el punto P(c,f(c» con pendiente f'(c). La figura 4.14 ilustra tres situaciones posibles que pueden ocurrir si f'(c) > O. Otras situaciones semejantes pueden ocurrir si f'(c) < O o f'(c) = O. Note que en (i) de la figura 4.14 existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a

f Si

152

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

,.Q(x,f(x»

I

I

a

('

(j)

x h

x

a (ii)

h

I (1

('

h

(iii)

Figura 4./4

c tal que para todo x en (a, b), excepto x = e, el punto Q(x,f(x» sobre la gráfica de f, se encuentra arriba del punto sobre la recta tangente cuya abscisa es x. En este caso decimos que en el intervalo (a, b), la gráfica de / se encuentra arriba de la recta tangente en P. En (ii) de la figura 4.14 decimos que la gráfica de / se en­ cuentra abajo de la recta tangente en P. En (iii), para todo intervalo abierto (a, b) que contenga a c, la recta tangente no se encuentra arriba ni abajo de la gráfica sino que cruza a la gráfica en ese punto. La terminología que introducimos en la siguiente definición es útil para describir las gráficas ilustradas en (i) y (ii) de la figura 4.14. (4.15)

DEFINICION

Sea / una función derivable en un número c. (i) La gráfica de / tiene concavidad hacia arriba en el punto P(c,f(c» si existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a e tal que en él la gráfica de / se encuentra arriba de la recta tangente en P. (ii) La gráfica de / tiene concavidad hacia abajo en P(c,f(c» si existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a c tal que en él la gráfica de / se encuentra abajo de la recta tangente en P. Consideramos una función / cuya gráfica tiene concavidad hacia arriba en el punto P(c,f(c». Sea (a, b) un intervalo abierto que contiene a e tal que en (a, b) la gráfica de/se encuentra arriba de la recta tangente en P. Si/es derivable en (a, b), entonces la gráfica de / tiene una recta tangente en todos los puntos Q(x,f(x» con abscisa x en (a, b). Si consideramos algunas de estas rectas tangentes, como se indica en la figura 4.15, se ve que al aumentar la abscisa x del punto de tangencia, la pendiente f'(x) de la recta tangente también aumenta. Por lo tanto en (i) de la figura 4.15, a medida que P se mueve a la derecha, obtenemos una pendiente positiva cada vez mayor. En (ii) de la figura, la pendiente de la recta tangente también aumenta hacién­ dose menos negativa a medida que P se mueve hacia la derecha. Análogamente, si la gráfica de / tiene concavidad hacia abajo en P(c,f(c», entonces puede ocurrir lo que se muestra en la figura 4.16. Aquí la pendiente de la recta tangente disminuye al moverse P hacia la derecha.

LA CONCAVIDAD Y EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

153

4.4

y

x

e b

a

(/

e

(i)

Figura 4.15.

x

h (ii)

Concavidad hacia arriba.

y

y

a

e

b

(i)

Figura 4.16.

x

a

e

h

x

(ii)

Concavidad hacia abajo.

Inversamente, podemos esperar que si la derivada f'(x) aumenta cuando x aumenta y rebasa a e, entonces la gráfica tenga concavidad hacia arriba en P(c,f(c)) mientras que si f'(x) disminuye, entonces la gráfica tenga concavidad hacia abajo. De acuerdo con el teorema (4.13), si la derivada de una función es positiva en un intervalo, entonces la función es creciente. En consecuencia, si los valores de la segunda derivada 1" son positivos en un intervalo, entonces la primera derivada /' es creciente. Análogamente, si IN es negativa, entonces /' es decreciente. Esto sugiere que el signo de IN puede usarse para investigar la concavidad, como se afirma en el siguiente teorema.

(4.16)

LA PRUEBA DE LA CONCAVIDAD

Si una función es derivable en un intervalo abierto que contiene a e, entonces la gráfica tiene (i) concavidad hacia arriba si f"(c) > O; (ii) concavidad hacia abajo si f"(c) < O. Demostración.

Aplicando la fórmula del teorema (3.7) a la función /',

154

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

f"(e) = lim F(x) - F(c). x-e X - e

Si f"(e) > O, por el 'teorema (2.10), existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a e tal que f'(x) - f'(e) > O x-e

para todo x en (a, b) diferente de e. Por lo tanto f'(x) - f'(e) y x - e tienen ambos el mismo signo, para todo x en (a, b) diferente de e. Ahora probaremos que esto implica que la gráfica de f tiene concavidad hacia arriba. Para todo x en el intervalo (a, b), consideremos el punto (x, y) sobre la recta tangente en P(e,f(e» y el punto Q(x,f(x» sobre la gráfica def(vea la figura 4.17). y

a

x

x

h

e

Figura 4.17

Si definimos g(x) = f(x) - y, entonces podemos demostrar que la concavidad es hacia arriba probando que g(x) es positivo para todo x en (a, b) tal que x i= e. Como la ecuación de la recta tangente en P es y - f(e) = f'(e)(x - e), la orde­ nada y del punto (x, y) sobre la recta tangente está dada por y = f(c) + f'(e)(x - e). En consecuencia g(x)

= ¡(x) -

y

= ¡(x) -

¡(e) - f'(e)(x - e).

Aplicando el teorema del valor medio (4.12) afen el intervalo [x, eJ, vemos que existe un número w en el intervalo abierto (x, e) tal que ¡(x) - ¡(e)

= j'(w)(x -

e).

Sustituyendo f(x) - f(e) en la fórmula para g(x) obtenemos g(x)

= f'(w)(x

- e) - j'(e)(x - e)

que puede factorizarse en la forma siguiente: g(x)

= [f'(w) -

f'(e)] (x - e).

Como w está en el intervalo (a, b), por el primer párrafo de la demostración sabemos que f'(w) - f'(e) y w - e tienen el mismo signo. Más aún, como w se encuentra

LA CONCAVIDAD Y EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

155

4.4

entre x y e, w - e y x - e tienen el mismo signo. Por lo tanto, f'(w) - f'(c) y x - e tienen el mismo signo para todo x en (a, b) tal que x :1' c. De la forma fac­ torizada de g(x) se concluye que g(x) es positivo para x :1' e que es lo que queriamos demostrar. La parte (ii) puede demostrarse de manera parecida. Puede haber puntos sobre la gráfica de una función en ¡os que la concavidad cambia de estar hacia arriba a estar hacia abajo o viceversa. Tales puntos se llaman puntos de inflexión según la siguiente definición. (4.17)

DEFINICION

Un punto P(c,f(c» sobre la gráfica de una función fes un punto de inflexión si existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a e tal que una de las afirma­ ciones siguientes se cumple. (i) f"(x) > Osi a < x < e y f"(x) < Osi e < x < b; o (ii) f"(x) < Osi a < x < e y f"(x) > Osi e < x < b. El dibujo en la figura 4.18 muestra algunos puntos de inflexión típicos. Se dice que una gráfica tiene concavidad hacia arriba (o hacia abajo) en un intervalo si tiene concavidad hacia arriba (o hacia abajo) en todos los números del intervalo. Aquellos intervalos en los que la gráfica de la figura 4.18 tiene concavidad hacia arriba o hacia abajo se señalan por CU o CD (del inglés upward y downward) res­ pectivamente. Observe que una esquina puede o no ser un punto de inflexión.

."

puntos de

puntos de

inflexión

inflexión

/

?~ I I

1 I

I

I

I

_-+-

I

.1..-

I

..

'+-----'~'-y---''__v_''-v--''_____y_J.\'

cu

el)

ni

eo

el)

eu

Figura 4.18

Ejemplo 1

Sea f(x) = x 3 + x 2 - 5x - 5. Encuentre los intervalos en los cuales la gráfica de f tiene concavidad hacia arriba y los intervalos en los cuales tiene concavidad hacia abajo.

Solución

En los ejemplos 1 y 2 de la sección anterior ya consideramos esta función f Como f'(x) = 3x 2 + 2x - 5, resulta que f"(x) = 6x

+2=

2(3x

+ 1).

156

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Por lo tanto j"(x) < O si 3x + l < O, es decir, si x < -1/3. Aplicando la prueba de la concavidad (4.16) vemos que la gráfica tiene concavidad hacia abajo en el intervalo infinito (- 00, -1/3). Análogamente, j"(x) > O si x > -1/3 y por lo tanto la gráfica tiene concavidad hacia arriba en (- 1/3, (0). Según la definición (4.17) el punto P( -1/3, -88/27) en el cual la concavidad cambia, es un punto de inflexión. En el ejemplo l de la sección anterior obtuvimos la gráfica de / (vea la figura 4.10). En la figura 4.19 presentamos nuevamente la gráfica de / con el pro­ pósito de mostrar explicitamente su punto de inflexión.

punto de inflexión

Figura 4.19 Si P(c,f(c» es un punto de inflexión sobre la gráfica de/y j" es continua en un inll~rvalo abierto que contiene a c, entonces necesariamente /"(c) = O. Para demostrar esto note que sij"(c) > entoncesf"(x) > para todo x en un intervalo (a, b) que contiene a c, lo cual contradice a la úefinición (4.17). Sij"(c) < O lle­ gamos a una contradicción similar. Por lo tanto, para localizar los puntos de in­ flexión de una función cuya segunda derivada es continua, primero encontramos todos los números x tales quej"(x) = O. Después investigamos si cada uno de estos números es la abscisa de un punto de inflexión. Antes de dar un ejemplo de este método, enunciamos un criterio de gran utilidad para distinguir máximos y mí­ nimos locales.

°

(4.18)

°

EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Sea / una función derivable en un intervalo abierto que contiene a c. Supon­ gamos que1'(c) == O. (i) Sij"(c) < O entonces/tiene un máximo local en c. (ii) Sij"(c) > O entonces/tiene un mínimo local en c.

Demostración. Si 1'(c) = O, entonces la recta tangente a la gráfica en P(c, /(c» es horizontal. Si ademásj"(c) < 0, entonces la gráfica tiene concavidad hacia abajo en c y por lo tanto existe un intervalo abierto (o, b) que contiene a e en el cual la gráfica de f se encuentra abajo de la recta tangente en P. Concluimos que f(c) es un máximo local de f como se ilustra en (i) de la figura 4.20. La parte (ii) que ilus­ tramos gráficamente en (ii) de la figura 4.20, puede demostrarse en forma análoga.

LA CONCAVIDAD y EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA y

l'

-------:::;;;;&=---¡'(c)

~

=O \

r"("j > O )

,

~f(C)=O x

e

(i)

157

4.4

e

Máximo local

(ii)

x

Mínimo local

Figura 4.20

Si f"(c) = O, no puede aplicarse el criterio de la segunda derivada. En tales casos debe emplearse el criterio de la primera derivada

=

Ejemplo 2

12 + 2x 2 - x 4 • Utilice el criterio de la segunda derivada para encon­ trar los máximos y mínimos locales de f Discuta la concavidad, encuentre los puntos de inflexión y dibuje la gráfica de f

Solución

Comenzamos calculando la primera y segunda derivadas y factorizándolas como sigue:

Seaf(x)

f'(x) = 4x - 4x 3 = 4x(1 - x 2 ) j"(x) = 4 - 12x 2

= 4(1 -

3x 2 ).

Usamos la expresión de f'(x) para encontrar los números críticos O, 1 Y - 1. Los valores de f" en estos números son f"(0)

= 4 > 0,/"(1) = -8 < Oyf"(-I) = -8 < O.

Por lo tanto, aplicando el criterio de la segunda derivada vemos que hay un mí­ nimo local en O y dos máximos locales, uno en I y otro en - l. Los valores co­ rrespondientes de f son f(O) = 12 Y f( 1) = 13 = f( - 1). Para tratar de localizar los puntos de inflexión resolvemos la ecuaciónf"(x) = O, es decir, 4(1 - 3x 2 ) = O. Evidentemente las soluciones de esta ecuación son - )3/3 y )3/3. Esto sugiere que examinemos el signo def"(x) en los intervalos (- 00, - )3/3), (- )3/3, )313) y ()3/3, (0). Ordenamos nuestro trabajo en forma de tabla como sigue. Intervalo ( - 00, -

I"(x)

Concavidad

+

hacia abajo hacia arriba hacia abajo

)3/3)

(- fi/3,)3/3) (fi/3, (0)

Como el signo de f"(x) cambia cuando x aumenta y rebasa a -)3/3 y )3/3, los puntos correspondientes sobre la gráfica (± )3/3, 113/9) son puntos de in­ flexión. Estos son los puntos en los que el sentido de la concavidad cambia. En efecto, como se muestra en la tabla. la gráfica tiene concavidad hacia arriba en el

158

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

intervalo abierto (- ./3/3, ./3/3) y concavidad hacia abajo fuera del intervalo [ - ./3/3, ./3/3]. En la figura 4.21 aparece un dibujo de la gráfica. y

- Puntos de inflexión

---+

--+­ - + - ­ X

Figura 4.21

Ejemplo 3

Sea f(x) = X S - 5x 3 • Use el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos locales de f Discuta la concavidad, encuentre los puntos de inflexión y dibuje la gráfica de f

Solución

Siguiendo el mismo camino que en la solución del ejemplo 2 obtenemos f'(x)

= 5x 4

j"(x)

= 20x

3

= 5x 2 (X 2 30x = IOx(2x 2

15x 2

- -

3) -

3).

La fónnula para f'(x) nos muestra que los números críticos son O, -./3 y ./3. Los valores de f" en estos números son

f'W) = O

f"(j3) = 1Oj3(6 - 3) f"(

-)3) =

= 30J3 >

O

-30j3 < O.

Usando el criterio de la segunda derivada vemos que f tiene un mínimo local en ./3 y un máximo local en -./3 dados por f(./3) = -6/./3 Yf( -)3) = 6/./3 respectivamente. Como 1"(0) = O, el criterio de la segunda derivada no puede aplicarse en O y por ello nos vemos obligados a usar el de la primera derivada. Si -./3 < x < O entonces f'(x) < O y si O < x < ./3 entonces f'(x) < O. Como f'(x) no cambia de signo cuando x rebasa a O, entonces no puede haber ni un mínimo ni un máximo en x = O. Para encontrar los puntos de inflexión resolvemos la ecuación f"(x) = O, es decir, IOx(2x 2 - 3) = O. Las soluciones, ordenadas de acuerdo a su magnitud, son - )6/2, OY)6/2. Con esto construimos la tabla siguiente.

LA CONCAVIDAD Y EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Intervalo (- oc, - .J6/2)

+

(J6¡'2. oc)

+

159

Concavidad

I"(x)

(- )6/2,0) (0,)6/2)

4.4

hacia abajo hacia arriba hacia abajo hacia arriba

Como el signo def"'(x) cambia cuando x aumenta y rebasa cada uno de los números - ..j6/2, O Y ..j6/2, los puntos (O, O), (- ..j6/2, 21..j6/8) Y (..j6/2, -21..j6/8) son puntos de inflexión. Dibujamos la gráfica en la figura 4.22, donde hemos usado escalas diferentes en cada eje para lograr mayor claridad. y

x [(x)

= xS -

Sx 3

Figura 4.22

En todos los ejemplos anteriores

1'" fué continua. También es posible que

(e, f(e» sea un punto de inflexión cuando ya sea f'(e) o F(e) no existe, como se

ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 4

Sea f(x) = 1 - X l / 3 . Encuentre los extremos locales, discuta la concavidad, en­ cuentre los puntos de inflexión y dibuje la gráfica de f

So/ucwn

Derivando obtenemos f'(x)

= _ !X-2/3 = __1_ 3X 2 / 3

3

!,,(x)

.

= ~X-513 = _2_ S 3 9

9x

/

'

La primera derivada no existe en x = O YO es el único número critico de f Como 1"'(0) no está definido, no podemos aplicar el criterio de la segunda derivada. Sin embargo, si x #- O entonces X 2 / 3 > O y f'(x) = -1/3x 2 / 3 < O, lo que significa

160

4

APLICAClONES DE LA DERIVADA

que / es decreciente en todo su dominio. Por lo tanto /(0) no es un extremo local. Como f" no está definida en x = O, el punto (O, l) sobre la gráfica de / podría ser un punto de inflexión. Para verificar esto aplicaremos la definición (4.17) con e = O. Si x < O, entonces x 5/3 < O. Por lo tanto

2

f"(x) = --s¡3 < O si x < O 9x

lo que significa que la gráfica de/tiene concavidad hacia abajo en el intervalo ( - 00, O). Si x > O entonces x 5/3 > O. Por lo tanto f"(x)

=

~/3

9x

> O si x > O

lo cual muestra que la gráfica de / tiene concavidad hacia arriba en el intervalo (O, 00). Concluimos que el punto (O, 1) es un punto de inflexión. Utilizando esta información y trazando varios puntos de la gráfica obtenemos el dibujo de la figura 4.23.

/

punto de inflexión !(x)

x

=

l -

X

l/3

Figura 4.23

4.4 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 18 aplique el criterio de la segunda derivada (siempre y cuando esto sea posible) para encontrar los extremos locales de f Discuta la concavidad, encuentre las abscisas de los puntos de inflexión y dibuje la gráfica de f f(x)

3 f(x)

= x3

-

= 3x

4

6 f(x) = 3x 5

4x

-

5x 3

= .y; -

12 ¡(x)

= x 213 (1 3

18 ¡(x) = x

3

-

9 ¡(x)

15 ¡(x) =

+x+l

2x 2

+6

4 ¡(x) = 8x

2

7 f(x) = (x 2

-

2x

_

1)2

13 /(x)

- x)

+

10)

= x/(x 2 +

16 f(x) = x

4

-

IOx 2

+ 25x

- 50

6

6x 4

-

8 ¡(x) = x - (16/x) 11

+

f(x) = x 2

14 f(x) =

1)

4x 3

= x3 +

5 ¡(x) = 2x

4

10 ¡(x) = (x + 4)/j-;

1

x 2 (3x

2 ¡(x)

10

X

2

-

(27/x 2 )

/(X 2

+

17 I(x) = 8x l13 +

4 - x2

En cada uno de los ejercicios del 19 al 26, dibuje la gráfica de una función continua f que satisfaga todas las condiciones enunciadas.

X

1) 4/3

ASINTOfAS VERTICALES Y HORIZONTALES 19 1(0) = 1; 1(2) = 3; /'(0) = 1'(2) = O; f'(x) < O si Ix - II > 1; f'(x) > O si Ix - 1I < 1; F(x) > O si x < 1; F(x) < O si x > 1.

4.5

161

20 1(0) = 4; 1(2) = 2; 1(5) = 6; 1'(0) = 1'(2) = O; f'(x) > O si Ix - 1I > 1; f'(x) < O si Ix - 1I < 1; F(x) < O si x < I o si Ix - 41 < 1; F(x) > O

si Ix - 21 < I o si x > 5. 21 1(0) = 2;/(2) = I( - 2) = 1;/'(0) = O;/'(x) > O si x < O; f'(x) < O si x > O; F(x) < O si Ixl < 2; F(x) > O si Ixl > 2.

22 1(1) = 4; f'(x) > O si x < 1; f'(x) < O si x> 1; F(x) > O para todo x # 1.

23 1(-2) = 1(6) = - 2;/(0) = 1(4) = 0;/(2) = 1(8) = 3;/' no está definida en 2 y 6;/'(0) = 1; f'(x) > O para todo x en los intervalos (-00,2) Y (6,00); /'(x) < O si Ix - 41 < 2; F(x) < O para todo x en los intervalos (- 00, O), (4, 6) Y (6,00); F(x) > O para todo x en los intervalos

24 1(0)

= 2; 1(2) = 1; 1(4) = 1(10) = O; 1(6) = -4; 1'(2) = 1'(6) = O; /'(x) < O para todo x en los intervalos (-00,4), (4,6) Y (lO, 00); f'(x) > O para todo x en (6, 10);/'(4) Y1'(10) no existen; F(x) > O para todo x en (- 00, 2), (4, 10) Y (lO, 00); F(x) < O para todo x en (2,4).

(O, 2) Y (2,4).

25 Si n es un entero impar, entonces I(n) = 1 Y f'(n) = O; si n es un entero par, entonces I(n) = O Y f'(n) no existe; si n es cualquier entero, en­ tonces (a) f'(x) > O siempre que 2n < x < 2n + 1;

(b) f'(x) < O siempre que 2n - 1 < x < 2n; (c) F(x) < O siempre que 2n < x < 2n + 2.

26 I(x) = x si x = -1,2,4 Y 8;/'(x) = Osi x = -1, 4,6 Y 8; f'(x) < O para todo x en (-00, -1), (4,6) Y (8,00); f'(x) > O para todo x en (-1,4) Y (6, 8); F(x) > O para todo x en (- 00, O), (2, 3) Y (5, 7); F(x) < O para todo x en (O, 2), (3, 5) Y (7, 00).

27 Demuestre que la gráfica de una función cua­ drática no tiene puntos de inflexión. Describa unas condiciones bajo las cuales la gráfica tenga siempre (a) concavidad hacia arriba; (b) con­ cavidad hacia abajo. Ilustre todo esto por medio de dibujos.

28

Demuestre que la gráfica de un polinomio de tercer grado tiene exactamente un punto de in­ flexión. Ilustre este hecho por medio de dibujos.

Demuestre que la gráfica de un polinomio de grado n > 2 tiene a lo más n - 2 puntos de inflexión.

30

Sea I(x) = x", donde n > 1. Demuestre que la gráfica de I tiene un solo punto de inflexión cuando n es impar y no tiene puntos de in­ flexión cuando n es par. Ilustre esto con dibujos.

29

4.5

ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES Hasta ahora hemos usado la derivada principalmente como una herramienta para dibujar gráficas. En particular, desarrollamos técnicas para determinar los lugares donde una gráfica sube o baja, sus puntos altos y bajos, su concavidad y sus puntos de inflexión. Antes de pasar a las aplicaciones fisicas de la derivada, discutiremos otras características interesantes de algunas gráficas. Cuando apliquemos los re­ sultados de esta discusión a la derivada f', obtendremos información acerca de las rectas tangentes verticales a la gráfica de f Comenzamos considerando la gráfica def(x) = 2 + l/x que aparece dibujada en la figura 4.24. Prestemos atención a los valores de f(x) para x grande y positivo. Por ejemplo f(100) = 2.01, f(looO) = 2.001, f(lOOOO) = 2.0001 Y f(lOOOoo) =

162

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA y

---------

---------f(x) =

2

+ !.x x

Figura 4.24 2.00001. Es evidente que escogiendo x suficientemente grande podemos hacer que f(x) se acerque a 2 tanto como queramos, o equivalentemente, podemos hacer que 1f(x) - 21 sea arbitrariamente pequeño. Este comportamiento de f(x) se ex­ presa escribiendo lim

x-oo

lo cual se lee "el límite de 2 cota alguna) es 2".

+

(2 + !)x = 2,

l/x cuando x tiende a infinito (o cuando x crece sin

La definición general que describe el comportamiento def(x) en la ilustración precedente puede redactarse de la manera siguiente. (4.19)

DEFINICION

Seafuna función definida en un intervalo (e, (0). La expresión lim f(x)

=L

significa que para todo e > O existe un número positivo N tal que If(x)-LI
siempre que x > N. Si lim... _ oo f(x) = L decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a infinito (o cuando x crece sin cota alguna) es L. Para enfatizar el hecho de que x es grande y positivo, a veces decimos que el límite def(x) cuando x tiende a más infinito es L. Es importante recordar que el símbolo 00 no representa a un número real. Se usa aquí para denotar el hecho de que x crece sin cota alguna. Más adelante, en la de­ finición (4.22), usaremos dicho símbolo en un contexto diferente. Es interesante estudiar el significado geométrico de la definición anterior. Su­ pongamos que lim... _ oo f(x) = L Y consideremos las dos rectas horizontales y = L ± e con e > O arbitrario (vea la figura 4.25). Según la definición (4.19), si x es mayor que cierto número N, todos los puntos P(x, f(x)) se encuentran entre

ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES

163

4.5

y

P(x, l(x»

-;t=====-:7~===~~S;;;;;;';y = L +t L

~+------I'------------.v

-1

= L -

•

x

N x

Figura 4.25

t

lim f(x) = L

estas dos rectas horizontales. Hablando vagamente, la gráfica defse acerca más y más a la recta y = L a medida que x se hace cada vez más grande. Decimos que la recta y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de f Por ejemplo la recta y = 2 en la figura 4.24 es una asíntota horizontal de la gráfica def(x) = 2 + l/x. En la figura 4.25, la gráfica de f se aproxima a la asíntota y = L por arriba, es decir, con f(x) > L. Sin embargo, también podría tenerse f(x) < L u otras posibilidades. El caso en el que x es grande pero negativo también es importante. En particular escribimos lim f(x) = L

(4.20)

X- - 00

si If(x) - LI puede hacerse tan pequeño como se quiera escogiendo valores negativos suficientemente grandes de x. En este caso decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es L. Sif(x) está definida en (- 00, e) entonces podemos obtener la definición de (4.20) a partir de (4.19) tomando N negativo y sustituyendo x < N en lugar de x > N. En la figura 4.26 damos una ilustración geométrica de (4.20). Si consideramos las rectas y = L ± ¡; con ¡; > Oarbitrario, entonces todos

y=L+t

----------::.,;c----~-----_+.:.-

L

y = L -

x

N

Figura 4.26

lim f(x) = L

x­ - ao

t

164

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

los puntos P(x, f(x» sobre la gráfica se encuentran entre las dos rectas siempre que x sea menor que cierto número N. Como antes, se dice que la recta horizontal y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de f Pueden demostrarse teoremas análogos a los del capítulo 2 para esta clase de límites. En particular el teorema (2.11) referente a sumas, productos y cocientes es válido también para los casos x -+ 00 y X -+ - oo. Podemos decir lo mismo del teorema (2.22) referente al límite de ::) g(x) cuando x -+ 00 o X -+ - oo. Final­ mente es muy fácil demostrar que lime = e x~

y

lim e = e. x- -

00

00

El siguiente teorema proporciona una herramienta importante para calcular algunos límites particulares.

(4.21)

TEOREMA

Si k es un número racional positivo y e es cualquier número real distinto de cero, entonces e

lim k x-

x; X

=O y

lim .:e .... -

XI

~ = 0, X

siempre y cuando x k esté definido. Las cuatro desigualdades siguientes son equivalentes para todo

Demostración. e> O.

I:k - °1 < e; Sea N = (Iel/e)l/k. Entonces siempre que x > N la última desigualdad, y por lo tanto la primera, son válidas. Por lo tanto según la definición (4.19), lim;.;~ 00 elx k = O. La segunda parte del teorema se demuestra de manera parecida. Si f es una función racional, entonces su límite cuando x -+ 00 o X -+ - 00 puede hallarse dividiendo el numerador y el denominador de f(x) por una potencia adecuada de x y aplicando después el teorema (4.21), como se ilustra en los dos ejemplos siguientes.

Ejemplo 1

Solución

Investigue

lim

x~

- oc

2x 2 3x

2

-

5

+x +2

•

Podemos suponer que x -:j:: 0, puesto que nos interesan sólo valores negativos grandes de x. Dividiendo el numerador y el denominador de la expresión dada por x 2 y usando los teoremas adecuados sobre límites, obtenemos

ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES

. l1m

x~ -

00

2X2 -

5

2

3x + x + 2

. l1m

165

(5/x 2 )

2­

+ (l/x) +

x~-003

4.5

2

(2/x )

lim [2 - (5/x 2 )J

+ (l/x) +

lim [3

lim (5/x 2 )

lim 2 ­ x-

(2/x 2 )J

x- ­

-el)

lim 3 + lim (l/x)

00

+ lim x- -

(2/x 2 ) ':1)

Concluimos además que la recta y = 2/3 es una asíntota horizontal de la gráfica def

Ejemplo 2

Seaf(x) = 4x/(x 2 + 9). Determine las asíntotas horizontales, encuentre los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión, discuta la concavidad y haga un dibujo de la gráfica de f

Solución

Dividimos el numerador y el denominador de f(x) por x sobre límites como sigue:

2

y usamos los teoremas

4x lim I(x) = lim -2--9

x~

x~ ooX

r;

=

lim x~

+

(4(x)

<10

2

+ (9/x )

I

tim (4/y) .\' ..... 00

tim l

+

lim (9/Y" )

o

O

1+0

I

=--=-=0. Por lo tanto y = O (o sea el eje x) es una asíntota horizontal de la gráfica de f Análogamente, limx~ _ ""f(x) = O. Dejamos al lector demostrar que la primera y la segunda derivadas de f están dadas por F(x)

=

8x(x (x 2

2 -

+

27) 9)3

Los números críticos de f son ± 3. (¿Por qué?) Usando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, podemos demostrar que f( - 3) es un mínimo relativo y f(3) es un máximo relativo. Los puntos de inflexión tienen abscisas O y

166

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

±.¡n = ± 3J3. El lector puede comprobar que la gráfica tiene concavidad hacia abajo en los intervalos (- 00, - 3J3) Y (0,3J3) Y hacia arriba en los intervalos (- 3J3, O) Y (3J3, (0). Hay un dibujo de la gráfica en la figura 4.27. Puntos de inflexión

y

x

Punto de inflexión Figura 4.27

Ejemplo 3 Solución

J9x

2

' l' +2 1nvestlgue x~~ (3 - 4x) . Dividiendo el numerador y el denominador del cociente por x y aplicando los teoremas sobre límites obtenemos , 11m

J9X2 + 2 = l' J9 + (2/x 2)

x-oo

x-oo

(3/x) - 4

lim

J9 + (2/x 2 )

3 - 4x

Im...!.-------:.....:.....-~

x-

00

tim [(3/x) - 4]

lim (3/x) - lim 4 Jlim 9 + lim (2/x 2 )

0-4

J9+"O _2 -4

4

Consideremos ahora la función f definida como f(x) = lj(x - 3)2. Si x está cerca de 3 (pero x :F 3), el denominador (x - 3)2 está cerca de cero y por lo tanto f(x) es muy grande. En efecto, podemos hacer f(x) tan grande como queramos escogiendo x suficientemente cercano a 3. Este comportamiento de f(x) se representa simbólicamente escribiendo ,

11m.

1

<-3(.>.:-3)

2 =

x.. ,

ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES

(4.22)

4.5

167

DEFINICION

Seafuna función definida en todos los números de un intervalo que contiene a a (excepto posiblemente en x = a). La afinnación f(x) tiende a infinito (o crece sin cota alglDJa) cuando x tiende a a, lo cual se escribe limf(x)

= 00

significa que para todo número positivo N, existe un f(x) > N

siempre que

> O tal que

{J

O < Ix - al <

{J.

A veces nos referimos a la definición (4.22) diciendo que f(x) tiende a más infinito cuando x tiende a a. También decimos a veces que f(x) se hace infinito en a. La figura 4.28 muestra una interpretación geométrica de la definición (4.22) en términos de la gráfica de f Si consideramos una recta horizontal y = N arbi­ traria, entonces los puntos (x,f(x» sobre la gráfica de f se encuentran arriba de esta recta siempre que x se encuentre en un intervalo adecuado (a - {J, a + {)) y x t: a. y

y=N

x

Figura 4.28

lim ¡(x)

=

00

Como mencionamos anteriormente, el símbolo 00 se usa para describir ciertos tipos de comportamientos de las funciones. No es un número real. En particular, lim:c_af(x) = 00 no significa que el límite de f(x) existe cuando x tiende a a. La notación de límite se utiliza únicamente para denotar el comportamiento de f(x) que hemos descrito. Podemos también definir lo que quiere decir que f(x) tiende a infinito cuando x tiende a a por la derecha o por la izquierda. Para indicar esto escribimos (4.23)

lim f(x)

=

00

o

lim f(x)

=

00,

respectivamente. Sólo se requieren modificaciones sencillas de la definición (4.22) para definir estos conceptos. Así, para el caso x -+ a+ se supone quef(x) está definido para todo x en un intervalo abierto (a, c), y la desigualdad final en la definición

, 168

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

(4.22) se cambia de O < Ix - al < 15 a a < x < a + 15; es decir, x solamente puede tomar valores mayores que a. Algo semejante puede hacerse para el caso x-+a-. En la figura 4.29 aparecen dos gráficas que ilustran (4.23). y

!~ I

I

I

a lim !(x) =

(i)

x

ti

(ii)

00

lim /(x)

x

= 00

Figura 4.19 (4.24)

DEFINICION

Sea f una función definida en todos los números de un intervalo que con­ tiene a a (excepto posiblemente en x = a). La afirmación f(x) tiende a menos infinito (o decrece sin cota alguna) cuando x tiende a a, lo cual se escribe limf(x)

= -'Xi

significa que para todo número negativo N existe un número 15 > O tal que f(x) < N

siempre que

O<

Ix -

al < 15.

En la figura 4.30 se muestran ilustraciones geométricas de la definición (4.24), incluyendo los casos en que x-+a+ y x-+a-. Si ocurre cualquiera de las situaciones y

x

(i)

Iim f(x) =

-00

(ii)

Iim j(x) = x-a+

FiKura 4.30

-00

(iii)

lim f(x) X~Q-

=

-00

ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES

169

4.5

contempladas en las definiciónes (4.23) y (4.24) (incluyendo los casos de límites unilaterales), entonces se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica def También se dice queftiene una discontinuidad infinita en x = a. La recta x = a es una asíntota vertical de cada una de las gráficas en las figuras 4.28, 4.29 Y4.30. El siguiente teorema, el cual enunciamos sin demostrarlo, es útil para investigar ciertos límites. (4.25)

TEOREMA

(i)

Si n es un entero positivo par, entonces .

hm

x-a

1 (x - a)

" = oo.

(ii) Si n es un entero positivo impar, entonces

lim x-a'

(x - a)"

= 00

. l1m

y

x-a-

1 (x - a)"

=-

XJ.

Por lo tanto, si n es un entero positivo y f(x) = l/(x - a)", entonces x = a es una asíntota vertical de la gráfica de f Más aún, como lim x _ oo l/(x - a)" = O, el eje x es una asíntota horizontal. No es necesario que el lector memorice el teorema (4.25), ya que en cualquier problema específico es posible determinar la respuesta intuitivamente. Por ejemplo, consideremos lim x __ s - I/(x + 5)3. Si x se acerca a - 5 Y x < - 5, entonces x· + 5 se acerca a cero y es negativo. Por lo tanto (x + 5)3 se acerca a cero y es negativo y, en consecuencia, I/(x + 5)3 se hace grande y negativo. Esto sugiere que , 1 hm 3 = -oo. x_-s-(x+5)

Para investigar el caso x-+ - 5+, notamos primero que si x> - 5 entonces x y de esto deducimos que , 11m .<--5'

=

I/(x - 2)3. Discuta lim x _

l (x

+ 5)

3

+

5> O

= oo .

y lim x _ 2 - f(x). Dibuje la gráfica de f

Ejemplo 4

Sea f(x)

Solución

Si x está cerca de 2 pero es mayor que 2, entonces x - 2 es un número positivo pequeño y por lo tanto l/(x - 2)3 es positivo y grande. Es evidente entonces que , 11m x-2'

2 + f(x)

l (x - 2)

3

= oo.

Este hecho se deduce también de (ii) en el teorema (4.25) con a = 2 Y n = 3. Si x está cerca de 2 pero es menor que 2, entonces x - 2 está cerca de O y es negativo. Por lo tanto

170

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA .

I

hm

x-2-(x-2)

3

=

-OC.

Esto también es consecuencia de (ii) en el teorema (4.25). En la figura 4.31 se muestra un dibujo de la gráfica de f

y

x j(x)

=

_1_

(x - 2)'

Figura 4.31

La recta x

= 2 es

una asíntota vertical. El lector debe verificar que . (1m

I

x-",(x - 2)3 y por lo tanto y

= O (el

=

O=

.

hm

(

x--oo(x - 2)3

eje x) es una asíntota horizontal.

Los dos siguientes son casos especiales del teorema (4.25) con a = O. (i)

Si n es un entero positivo par, entonces

. I hm"

(4.26)

x-o

(ii)

X

= oc.

Si n es un entero positivo impar, entonces . 1 (1m - n x-o' x

= oc

Y

. 1 l1m -n= x-o - x

-::J::;.

Pueden enunciarse resultados semejantes para el caso de exponentes racionales positivos. A continuación enunciamos varias propiedades de las sumas, los productos y los cocientes de funciones que se hacen infinitos. Los resultados análogos para los casos x-+a+ y x-+a- también son ciertos.

ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES (4.27)

4.5

171

TEOREMA

Si. lim" ...af(x) = (i)

00

y lim,,"'ag(x)

lim [g(x) + f(x)]

(ii) Si e > O,

= e entonces:

= oo.

entonces lim [f(x)g(x)]

=

00

,,"'a

(iii) Si e < O,

entonces lim [g(x)f(x)] = -

y lim f«X» = oo.

,,"'ag X

00

X-Q

y lim f«x» X-CI g x

= - oo.

(iv) Iim g(x) = O. ,,"'af(x)

Las conclusiones del teorema (4.27) son intuitivamente evidentes. En (i) por ejemplo, si g(x) está cerca de e y f(x) tiende a infinito cuando x tiende a a, es razonable pensar que g(x) + f(x) puede hacerse arbitrariamente grande escogiendo x suficientemente cerca de a. En (iii), si lim" ...ag(x) = e < O entonces g(x) es negativo cuando x está cerca de a. Por lo tanto, como f(x) es grande y positivo, entonces g(x)f(x) es grande y negativo cuando x está cerca de a. Esto sugiere que lim" ...ag(x)f(x) = - oo. El lector debe dar argumentos semejantes para las partes restantes del teorema (4.27). No daremos demostraciones formales de estos re­ sultados. Puede enunciarse un teorema análogo para el caso de lim,,"'af(x) = - oo. También pueden demostrarse algunos teoremas que involucran a más de dos fun­ ciones. Las gráficas de funciones racionales muchas veces tienen asíntotas verticales y horizontales. En las figuras 4.24, 4.27 Y 4.31 pueden verse ilustraciones de esto. En el ejemplo siguiente damos una más. Ejemplo 5

Sea f(x) = 2x 2 /(9 - x 2 ). Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de f Dibuje la gráfica de f

Solución

Primero escribimos f(x)

=

2x 2 (3 _ x)(3

+ x)

El denominador se anula en x = 3 Y x = - 3 Y por lo tanto las rectas correspon­ dientes son buenas candidatas para ser asíntotas verticales. (¿Por qué?) Como . l 11m - -

x-)-3-x

= 00

y

2x 2 x-)-3+x

lim - - = 3

aplicando (ii) del teorema (4.27) vemos que lim f(x)

x-)-

= lim (-3_1-) (~) = ,,_)-

-x

3+x

00;

es decir, f(x) tiende a más infinito cuando x tiende a 3 por la izquierda. Más aún, como

172

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

¡im x-3·3-x

-00

y

2x 2

lim - x-3-3 + x

=3>

O

vemos que lim ¡(x) x-3'

=

lim x-3'

(-3 l )(~) -x 3+x

oo.

= -

Por lo tanto f(x) tiende a menos infinito cuando x tiende a 3 por la derecha. Este comportamiento cerca de la asíntota vertical x = 3, se muestra en la figura 4.32. Análogamente, como .

I

11m - ­ x-- r 3+x

2x 2

y

-00

lim - x- - 3 -

3- x

= 3> O

concluimos que lim I(x) x--3-

=

(_1)(l-~) -

lim x--3- 3+x

3-x

oo.

Sin embargo,

' l \1m -x--3·3+x

y por Io tanto

= 00

I¡m I(x) x- -J

=

x).

+

Este comportamiento de f(x) cerca de x = - 3 se muestra en la figura 4.32. Para encontrar las asíntotas horizontales consideramos . j' (x) ]1m x-co

2

= ]'1m - -2x- 2 = l'1m 9-

x-co

x-a.,

X

2 (9/x ) - 1

-=-~2--

-2.

Se obtiene el mismo límite cuando x -+ - oo. Por lo tanto y = - 2 es una asíntota horizontal. Usando la infonnación anterior y trazando varios puntos de la gráfica obtenemos el dibujo de la figura 4.32. Si se desea información más detallada de la gráfica puede usarse la primera derivada para mostrar que f es decreciente en los intervalos ( - 00, - 3) Y ( - 3, O], JI

I

I

I

I

-------t--I I

I

---+-------­ I I I

I I I

:

I

I

I I

X

I I

I I

Fi¡:ura 4.32

;(x)

= ~2 9 - x

ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES

173

4.5

es creciente en [O, 3) Y(3, 00) y tiene un minimo en x = Ocomo se ve en la figura. Podría utilizarse también la segunda derivada para investigar la concavidad. Si consideramos una recta tangente I como la posición límite de una recta secante (vea la figura 2.2), entonces es posible que 1 sea vertical. En tales casos, cuando la recta secante se acerca a 1, su pendiente tiende a más o menos infinito. Con esto en mente formulamos la siguiente definición. (4.28)

DEFINICION

Se dice que la gráfica de una función f tiene una recta tangente vertical en el punto P(a, f(a» si f es continua en a y

limlf'(x)1

= oo .

.\'-a

Ejemplo 6

Seaf(x) = (x - 8)1/3 + l y g(x) = (x - 8)2/3 + l. Demuestre que las gráficas de f y g tienen rectas tangentes verticales en P(8, 1). Dibuje las gráficas mostrando las rectas tangentes en P.

Solución

Las funciones fy g son ambas continuas en 8. Derivando obtenemos ('(x) -

.

~(x

- 3

'(

_ ~

g x) - 3 (x

_ 8

)

-2/3 _

- 3(x -

_ 8 - 1/3 )

l

8)2/3

2

_

- 3(x _ 8)1/3'

Evidentemente lim l.{,(x)1 = x-8

00

= lim Ig'(x)l. x-s

En la figura 4.33 aparecen dibujos de las gráficas. Note que para f la pendiente de la recta tangente tiende a más infinito cuando x tiende a 8 ya sea por la derecha o por la izquierda. Sin embargo, para g, la pendiente tiende a menos infinito cuando x ~ 8- ya más infinito cuando x ~ 8+. y

y

"Í'(8.

~~ P(8.

-

1)

1)

x

x

(i) ¡(x) = (x - 8) 113 + I

(ii) /(x)

Figura 4.33

= (x

- 8)213

+

1

174

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

4.5 EJERCICIOS Encuentre los límites en los ejercicios del 1 al 12.

5x 2 - 3x + 1 2 lim x-oo 2x + 4x - 7

4

3x 3 - x + 1 lim 3 2 x-x 6x + 2x - 7 8 + x 2 5 tim 3 x-x x(x + 1)

2

(3x + 4)(x - 1) tim x- - 00 (2x + 7)(x + 2)

7 lim ~ x-'" 10 - 3x 10 lim (x - Jx 2 - 3x)

· 4 - 7x lI m - ­ x--",2+3x

6

4x - 3 Iim x--"'Jx 2 +1

9

lim

2x 2 - x + 3 x3 + 1

8

tim x-x

11

lim x--",·I - ~

.'(-x.

3

I+~

12

Jx

2

+ 5x - x

31";

Iim _V __ x_"x 3 +1

13 Determine las asíntotas horizontales y dibuje la gráfica de y = 4x 2/(1 +x 2 ).

14 Determine las asíntotas horizontales y dibuje la gráfica de y = 4/(9 + x 2 ).

15 Sean f y g polinomios de grado n. Encuentre lim x_ oo f(x)/g(x) y lim x_ -00 f(x)/g(x). ¿Qué puede decirse si el grado de f es menor que el grado de g?

16 Sea f es un polinomio de grado mayor que O. Demuestre que lim x_ oo I/f(x) = o.

17 Aplicando directamente la definición (4.19) de­ muestre que limx_ oo [2 + (l/x» = 2.

18 Defina (4.20) de manera análoga a (4.19).

19 Sean f y g funciones tales que O < f(x) < g(x) para todo x, y que limx_oog(x) = O. Demuestre que limx_oof(x) = O.

20 Demuestre que si f(x) tiene un limite cuando x tiende a infinito, entonces el límite es único.

Encuentre lim._., f(x) y limx_.- f(x) en los ejercicios del 21 al 30 y dibuje la gráfica de f Identifique las asíntotas verticales y horizontales. 21

5 22 f(x) = 4 _ x' a = 4

5 f(x) = x _ 4' a = 4

-4

8

23 f(x)

= (2x + W,a =

-5/2

3x 25 f(x)=(x+W,a=-8 27 f(x) 29

f(x)

= x2

2x 2 _

X _

2,a

1

= -I,a = 2

= x(x _ 3)2,a = O,a = 3

24

3

f(x)=7x+3,a=-7

3x 2 9 26 f(x)=(2x_W,u=2 4x 28 f(X)=x 2 _4x+3,u=I,a=3 x2 30 f(x) = - - , a = - l x+l

En los ejercicios del 31 al 34 determine las asíntotas verticales y horizontales y dibuje la gráfica de f x2

31

f(x) = x2

33

f(x)

=

+ 3x + 2 + 2x _ 3

x+4 x2 _ 16

32

f(x) =

34 f(x) =

x2

-

5x

?--=25

JI6 - x 2 4_ x

APLICACIONES DE LOS MAXIMOS y MINIMOS 35 Si f y g son polinomios y el grado de f es may­ or que el de g, ¿cuánto vale lim x _ 00 f(x)/g(x)?

4.6

175

36 Demuestre el teorema (4.25).

En los ejercicios del 37 al 40 encuentre los puntos donde la gráfica de f tiene una recta tangente vertical. 37 f(x) = x(x

+ 2)3/5

39 f(x) = JI6 - 9x 2

F+2 f(x) = y; - 5

38 f(x)

+3

40

=

41 Demuestre que la gráfica de una función racional no tiene rectas tangentes verticales. 42 Dibuje la gráfica de y = Ix 3 - xl. Detennine lo siguiente respecto a ella. (a) Dónde tiene una recta tangente horizontal. (b) Dónde tiene una recta tangente vertical. (c) Dónd<: no tiene recta tangente.

4.6

APLICACIONES DE LOS MAXlMOS y MINIMOS La teoría que desarrollamos para encontrar los valores extremos de funciones puede aplicarse en algunos problemas prácticos. Estos problemas pueden descri­ birse oralmente o enunciarse por medio de palabras escritas como se hace en los libros de texto. Para resolverlos, es necesario traducir los enunciados verbales al lenguaje de las matemáticas introduciendo para ello fórmulas, funciones y ecua­ ciones. Como los tipos de aplicaciones son muchos y muy variados, es dificil dar reglas específicas para hallar las soluciones. Sin embargo puede desarrollarse una estrategia general para atacar tales problemas. Las siguientes reglas son útiles en muchos casos. REGLAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACIONES DE LOS MAXIMOS y MINIMOS l. Lea el problema cuidadosamente varias veces y fijese en los datos y en las in­ cógnitas que deben encontrarse. 2. Si es posible, haga un dibujo o un diagrama que incluya los datos pertinentes. Introduzca variables para denotar las incógnitas. Palabras como "qué", "en­ cuentre", "cuánto", "donde" y "cuándo" deben guiarle para reconocer las incógnitas. 3. Escriba una lista de hechos conocidos y relaciones entre las variables. Una relación entre variables generalmente se escribe como una ecuación. 4. Después de analizar la lista de 3, determine la variable cuyo máximo o mínimo se busca y exprésela como una función de una de las otras variables. 5. Encuentre los números críticos de la función que obtuvo en 4 y determine cuáles son máximos o mínimos. 6. Verifique si algún valor extremo de la función que obtuvo en 4 se alcanza en alguno de los extremos de su dominio.

176

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

7. No se deprima si no puede resolver algún problema. Se requiere mucho es­ fuerzo y práctica para adquirir destreza en la solución de problemas aplicados. ¡Siga tratando! En los ejemplos siguientes se muestra cómo pueden usarse estas reglas.

Ejemplo 1

Se desea construir una caja sin tapa, con base rectangular, a partir de una pieza rectangular de cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo, recortando un cuadrado de cada esquina y doblando los lados. Encuentre el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo.

Solución

Comenzamos por dibujar el cartón como se muestra en (i) de la figura 4.34, en donde usamos la letra x para denotar la longitud del lado del cuadrado que debe recortarse de cada esquina. Para completar la construcción de la caja debemos doblar el cartón a lo largo de las lineas punteadas (vea (ii) de la figura 4.34). Nuestro objetivo es lograr que la caja así construida tenga el máximo volumen posible.

1"

++_¡ ----------1 :t

________, _+ ~ __-i_l 21-----1

¡x~f--'-21 I

-r- x

2x

I

x

.­-.1­ x _ _

16

1----

21 ­

(i)

2x·--..... (ii)

Fil(ura 4.34

El volumen V de la caja que se muestra en (ii) de la figura está dado por V

= x(l6 - 2x)(21 -

2x)

= 2(168x -

37x 2

+ 2x 3 ).

Esta ecuación expresa a V como una función de x. El dominio de esta función es [0,8]. (¿Por qué?) Procedemos ahora a encontrar los números críticos de dicha función. Derivando con respecto a x obtenemos D x V = 2(168 - 74x

= 4(3x 2 = 4(3x -

37x

+ 6x l ) + 84)

28)(x - 3).

Por lo tanto los números críticos posibles son 28/3 y 3, pero como 28/3 se encuentra fuera del dominio de x, el único número crítico es 3. La segunda derivada de V está dada por D;V = 2( -74

+ 12x) = 4(6x

- 37).

APLICACIONES DE LOS MAXIMOS y M1NIMOS

4.6

177

Sustituyendo 3 en lugar de x, D~V= 4(18 - 37) = -76


y aplicando el criterio de la segunda derivada, vemos que V tiene un máximo local en x = 3. Finalmente analizamos los valores de V en los extremos del dominio de x (vea la regla 6). Como O :$; x :$; 8 y V(O) = O = V(8), el valor máximo de V no se alcanza en uno de los extremos del dominio de x. Por lo tanto para encontrar una caja con volumen máximo, deben recortarse cuadrados de tres centímetros de lado de cada esquina del cartón. Ejemplo 2

Se desea construir un recipiente con la forma de un cilindro circular sin tapa con un volumen de 241t centímetros cúbicos. El precio del material que se usa para el fondo es el triple que el del material que se usa para la parte curva. Encuentre las dimensiones del recipiente para las cuales el costo sea minimo.

Solución

Comenzamos por hacer un dibujo como el de la figura 4.35. Denotamos por r el radio de la base del recipiente y por h la altura (en centímetros). Como el volumen es 241t centímetros cúbicos, tenemos 1tr 2 h

= 241t.

Esto nos da la relación

entre r y h. Nuestro objetivo es lograr que el costo del recipiente sea mínimo.

e del material usado en la construcción

T -l h

Figura 4.35

Si a denota el precio por centímetro cuadrado del material que se usa para la parte curva, entonces el precio por centímetro cuadrado del matenal que se usa para el fondo será 3a. Así, el costo del material para la parte curva es a(21trh) y el costo de la base es 3a(nr 2 ). El costo total e del material está dado por

e = 3a(1tr 2 ) + a(21trh) = a1t(3r 2 + 2rh) o, como h = 24/r 2 ,

178

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Esta fórmula expresa a e como una función de una sola variable " ya que a es un número fijo. Para encontrar el valor de , para el cual e es mínimo, buscamos primero los números críticos. Derivando la ecuación anterior con respecto a , obtenemos

- 8) . ( -;r48) = 6an (,3-,-2-

DrC = an 6, -

Como DrC = Osi, = 2, vemos que) es el único número crítico. (El número O no es un número crítico porque e no está definido en , = O). Como DrC < O si, < 2 y DrC > Osi , > 2, concluimos gracias al criterio de la primera derivada, que e alcanza su valor mínimo cuando el radio del cilindro mide 2 centímetros. El valor correspondiente de la altura (que se obtiene de h = 24/,2) es 24/4 = 6 centímetros. Como el dominio de la variable r es el intervalo abierto infinito (O, 00), no puede alcanzarse el mínimo en los extremos del intervalo. Ejemplo 3

Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono de 12 cm de altura y base de 4 cm de radio, suponiendo que los ejes del cilindro y del cono coinciden.

Solución

El problema se ilustra en la figura 4.36 en la que (ii) representa la sección por un plano que pasa por el eje del cono y del cilindro. El volumen V del cilindro está dado por V = nr 2h. Para expresar V como una función de una sola variable (vea la regla 4) necesitamos encontrar una relación entre, y h. Aplicando la ley de las proporciones para triángulos semejantes en (ii) de la figura 4.36 vemos que h

12

4 -,

4

-- = - = 3 o

h = 3(4 - ,).

f-4 (ii)

(i)

Fi¡.:u,a 4.36

APLICACIONES DE LOS MAXIMOS y MINIMOS

4.6

179

Por lo tanto

v = nr 2h = nr 2[3(4 -

r)]

= 3n(4r 2 -

r 3 ).

Como V = O para r = O Y para r = 4, el volumen máximo no se alcanza en uno de los extremos del intervalo [O. 4]. Por lo tanto basta buscar los máximos locales. Como D, V = 3n(8r - 3r 2) = 3nr(8 - 3r) los números críticos de V son r = O Y r = 8/3. Apliquemos ahora el criterio de la segunda derivada para r = 8/3. Derivando D, V obtenemos D; V = 3n(8 - 6r).

Sustituyendo 8/3 en lugar de r obtenemos 3n[8 - 6(8/3)] = 3n(8 - 16) = -24n < O

lo cual indica que hay un máximo local allí. El valor correspondiente de h = 3(4 - r) es h = 3(4 - ~) = 3(j) = 4.

Finalmente, el volumen del cilindro inscrito es V=n

8)2 (64) 256n (3 (4) = n 9 (4) = -9- cm3 .

Ejemplo 4

Una carretera que corre de norte a sur y otra que corre de este a oeste se intersecan en un punto P. Un ciclista que se dirige al este con una velocidad de 20 km/h pasa por P a las 10:00 A.M. En el mismo momento otro ciclista que viaja hacia el sur a una velocidad de 50 km/h se encuentra dos kilómetros al norte de P. Calcule cuándo se encuentran los dos ciclistas más cerca uno del otro y encuentre un valor aproximado de la distancia mínima entre ellos.

Solución

Porque así nos conviene, representaremos a las carreteras por medio de los ejes x y y y al punto P por el origen. El este quedará a la derecha y el norte hacia arriba. Sea t el tiempo (medido en horas) transcurrido desde las 10:00 A.M. Al tiempo t, el ciclista más lento se encuentra 20t kilómetros al este de P, como se indica me­ diante el punto A en la figura 4.37. El ciclista más veloz se encuentra en B, 50t kilómetros al sur de la posición que tenía a las 10:00 A.M. La distancia d entre A y B está dada por

+ (20t)2 = J 4 - 200t + 2500t 2 + 400t 2 = J4 - 200t + 2900t 2.

d = J(2 - 50t)2

Evidentemente, d alcanza su valor mínimo cuando la expresión dentro del

180

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA y

501

+_8 2 - 501 A

p

x

I

201

I

~

Figura 4.37

radical es mínima. Por lo tanto podemos simplificar nuestro trabajo definiendo f(l) = 4 - 200/

+ 2900/'

y encontrando el valor de / para el cual 1 tiene un mínimo. Como

f'(c)

=-

200 + 5800c

el único número crítico de 1 es 200

e = 5800 =

1

29'

Más aún, como j"(t) = 5800, la segunda derivada es positiva siempre y por lo tanto 1 tiene un mínimo local en t = 1/29 cuyo valor es 1(1/29) :::::: 0.55. Como el dominio de / es [O, (0) y 1(0) = 4, el mínimo no se alcanza en un extremo. Por lo tanto la distancia entre los dos ciclistas es mínima 1/29 de hora (aproximadamente 2.07 minutos) después de las 10:00 A.M. La distancia mínima es.

J 1(1/29) ~ Jü.55 : : 0.74

kilómetros.

Ejemplo 5

Un pescador en bote de remos se encuentra a una distancia de 2 kilómetros mar adentro del punto más cercano de una playa recta y desea llegar a otro punto de la playa a 6 kilómetros del primero. ¿Suponiendo que puede remar a una velocidad de 3 km/h y caminar a 5 km/h, qué trayectoria debe seguir para llegar a su destino en el menor tiempo posible?

Solución

La figura 4.38 muestra un diagrama del problema. A denota la posición del bote, B el punto de la playa más cercano a A, y el destino del pescador. Como se muestra en la figura, D es el punto de la playa que tocará el bote y x denota la distancia entre B y D. Por lo tanto x queda restringido al intervalo [O, 6].

e

J

Según el teorema de Pitágoras, la distancia entre A y D es x 2 + 4. Usando la fórmula tiempo = distancia/velocidad, vemos que el tiempo que le toma al pescador remar de A a D es x 2 + 4/3 y el tiempo que le toma ir de D a e es (6 - x)/5. Por lo tanto el tiempo total T que tarda el viaje está dado por

J

APLICACIONES DE LOS MAXIMOS y MINIMOS

4.6

181

Playa

.4

Figura 4.38

Jx 2 +4

T=

6-x

+-­

3

5

o equivalentemente

l 6 l T= _(x 2 + 4)1/2 + - --x 3 5 5' Deseamos encontrar el valor mínimo de T. Note que el caso x = O corresponde a la situación extrema en que el pescador rema directamente hacia B y después camina de B a e, mientras que el caso x = 6 corresponde a la otra situación extrema en la que el pescador rema directamente de A a C. Estos números deben considerarse como extremos del intervalo de definición de T. Si x = O, entonces usando la fór­ mula para T obtenemos

yI4

T= -

6 5

+- -

3

28

O = - :::: 1.87 15

que es aproximadamente una hora con 52 minutos. Si x = 6, entonces

J40 +:56 -:56 = -3-:::: 2v liO 2.11

T= -3-

que es aproximadamente 2 horas con 7 minutos. Derivando la fórmula general para T vemos que

DxT=

l l 2 I 2 I 3'2(x + 4)- I (2x) -:5

- 3(x 2

x

l

+ 4)1/2

5

Para encontrar los números críticos escribimos D x T = O y despejamos x de la ecuación resultante como sigue 5x 25x

2

=

3(x 2

= 9(x

2

+ 4)1/2 + 4)

2

16x = 36

x2 x

= 36/16 = 6/4 = 3/2.

182

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Por lo tanto 3/2 es el único número crítico. Ahora aplicamos el criterio de la segunda derivada. Utilizando la regla del coci~nte para encontrar D; T obtenemos D 2T

= 3(x 2 + 4)1 12 -

x· 3(1/2)(x 2 + 4)-112(2x) 9(x 2

x

+ 4)

3(x 2 + 4) - 3x 2 9(x 2 + 4)3 12 4

- 3(x 2

+ 4)3/2

que es positivo cuando x = 3/2. Por lo tanto T tiene un mínimo local en x El tiempo T correspondiente a x = 3/2 es T

= ~(~ + 4) 1/2 + ~ _ 3 4

5

= 3/2.

3= 2615

10

o sea una hora con 44 minutos. Hemos visto que los valores de T en los extremos de su intervalo de definición son 1 hora 52 minutos y 2 horas 7 minutos, respectivamente. Por lo tanto el valor mínimo de T ocurre en x = 3/2. El bote debe tocar tierra entre B y e a 11 kiló­ metros de B. El ejercicio 22 presenta un problema semejante a éste, pero en aquél el tiempo mínimo se alcanza en uno de los extremos del intervalo de definición. Ejemplo 6

Un alambre de 60 cm de largo se va a partir en dos pedazos. Uno de los pedazos se doblará para formar un círculo y el otro se usará para formar un triángulo equi­ látero. ¿Dónde debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea (a) máxima; (b) mínima?

Solución

Sea x la longitud del pedazo que se utiliza para formar el círculo. La longitud del otro pedazo será entonces 60 - x. Si el radio del círculo es r entonces 21tr = x. Si 5 denota el lado del triángulo equilátero que se forma con el otro pedazo, entonces 35 = 60 - x (vea la figura 4.39).

2""1" =

1\

.1"

Figura 4.39

El área del círculo en la figura 4.39 es

y el área del triángulo es

=

60 - x

APLICACIONES DE LOS MAXIMOS y MINIMOS

4.6

183

J\2 = J3(60 - X)2 4 4 3 . Por lo tanto la suma A de las dos áreas puede expresarse en términos de x solamente, de la manera siguiente: A

= (4~)X2 + (~)(60

- xf.

Ahora busquemos los números críticos. Derivando, DxA

=

(;n)x - (~)(60 - x)

= (~+ 2n

Y por lo tanto DxA

=

J3)x _ 10J3 18 3

O si y sólo si

x

=

l (1/2n)

0J3j3

+ (j3/18)

~ 22.61.

La segunda derivada

siempre es positiva y por lo tanto el número crítico indicado corresponde a un valor mínimo de A. Podemos estimar este valor mínimo por A

~ 4~ (22.61)2 + ~(60 -

22.61)2

~

107.94.

Como no hay otros números críticos, el valor máximo de A debe alcanzarse en alguno de los extremos de su intervalo de definición. Si x = O entonces todo el alambre se usa para formar el triángulo y J32 A = 36(60)

~

173.21.

Si x = 60 entonces todo el alambre se emplea para construir el círculo y A

l

= 4n (60)2

~ 268.48.

Por lo tanto el valor máximo de A se obtiene si el alambre no se corta y se usa entero para formar un círculo.

4.6 EJERCICIOS 1 Encuentre dos números reales cuya diferencia sea 40 y su producto sea mínimo.

2 Encuentre dos números reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea máximo.

184

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

3 Se quiere construir una caja de base cuadrada y sin tapa que tenga un volumen de 4 decímetros cúbícos. Encuentre las dimensiones que hagan que la cantidad de material necesario sea míni­ ma (ignore el espesor del material y lo que se desperdicia en la construcción).

4

Resuelva el ejercicio 3 suponiendo que la caja sí tiene tapa.

5

Una cerca de 8 pies de altura colocada al nivel del piso corre paralela a un edificio alto. La cerca se encuentra a un pie del edificio. Encuen­ tre la longitud de la escalera más corta que pueda colocarse en el suelo y recargarse en el edificio por encima de la cerca.

6

Las páginas de un libro deben tener cada una 600 cm 2 de área con márgenes de 2 cm abajo y a los lados y 3 cm arriba. Encuentre las dimen­ siones de la página que permitan la mayor area impresa posible.

7

Sea a el radio de un semicírculo. Encuentre las dimensiones del rectángulo inscrito de área máxima, si se requiere que dos de los vértices del rectangulo estén sobre el diámetro.

8

Sea a el lado de un triángulo equilátero. Encuen­ tre las dimensiones del rectángulo de area máxima que pueda inscribirse en él mantenien­ do dos de los vértices del rectángulo sobre uno de los lados del triángulo.

9

Encuentre el cono circular recto de volumen máximo que pueda inscribirse en una esfera de radio a.

lO

Encuentre el cilindro circular recto de volumen máximo que pueda inscribirse en una esfera de radio a.

II

Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal, sin tapa, que tenga capacidad de un metro cúbico. Encuentre las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material necesario sea mínima, suponiendo que no se desperdicia nada en la construcción.

12

La base circular del recipiente del ejercIcIo l1 se corta de una hoja cuadrada y el metal res­ tante se desperdicia. Encuentre las dimensiones del recipiente para las cuales la cantídad de ma­ terial necesario en su construcción sea mínima.

13

Una pieza larga y rectangular de lámina de 30 cm de ancho va a convertirse en un canal para agua doblando hacia arriba dos de sus lados hasta formar ángulos rectos con la base. ¿Cuál debe ser el ancho de las partes dobladas para que el canal tenga una capacidad máxima?

14 Resuelva el ejercIcIo 13 suponiendo que los lados del canal forman un ángulo de 1200 con la base.

15

Demuestre que el rectángulo de área máxima con perímetro dado p es un cuadrado.

16

Al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados se genera un cilindro circular recto. ¿Si el perímetro p del rectángulo está dado, cuáJes son las dimensiones del rectángulo que genera al cilindro de volumen máximo?

17

La resistencia de una viga de sección rectangular es directamente proporcional a su ancho y al cuadrado de su altura. Encuentre las dimen­ siones de la viga más resistente que puede cor­ tarse de un tronco cilíndrico de radio a.

18

Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un semicírculo. Encuentre las di­ mensiones de la ventana que deja pasar más luz si su perímetro mide 5 metros.

19

Encuentre el punto sobre la gráfica de y = x 2 + I más cercano al punto (3, 1).

20

Encuentre la abscisa del punto sobre la gráfica de y = x J más cercano al punto (4, O).

APLICACIONES DE LOS MAXIMOS y MINIMOS

4.6

185

21

Un productor vende cierto articulo a los distri­ buidores a $20 cada uno si le piden menos de 50. Si le piden 50 o más de 50 (hasta 600) el precio por articulo se reduce a razón de 2 centavos por el número pedido. ¿Cuál es el tamaño del pedido que produce mayor canti­ dad de dinero al productor?

22 Consulte el ejemplo 5 de esta sección. ¿Si el pescador está en una lancha de motor que puede viajar a 15 km/h, qué trayectoria deberá seguir para llegar a su destino en el menor tiempo posible?

23

La iluminación que produce una fuente lumi­ nosa es directamente proporcional a la intensi­ dad de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente. ¿Si dos fuentes de luz con intensidades SI y S2 se colo­ can separadas por una distancia d, en cuál de los puntos del segmento de recta que las une es mínima la iluminación?

24

A la 1: 00 P.M. el barco A se encuentra 30 millas al sur del barco B y viaja hacia el norte a 15­ millas por hora. El barco B viaja hacia el oeste a 10 millas por hora. ¿A qué hora será mínima la distancia entre los dos barcos?

25

Un veterinario cuenta con 30 metros de tela de alambre y quiere construir seis jaulas para pe­ rros construyendo primero una barda alrededor de una región rectangular y luego dividiendo la región en seis rectángulos iguales mediante cin­ co bardas paralelas a uno de los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la región rectangular con las que el área total es máxima?

26

Se desea construir un vaso de papel en forma de un cono circular recto que tenga un volumen de 361t cm J . Encuentre las dimensiones que requie­ ren menor cantidad de papel (ignore cualquier desperdicio que pueda haber).

27

Se desea construir un tanque de acero para al­ macenar gas propano, en forma de un cilindro circular recto con un hemisferio en cada extre­ mo. La capacidad deseada es de 2 m J . ¿Cuáles son las dimensiones que requieren menor canti­ dad de acero?

28

Un oleoducto va a conectar dos puntos A y B que se encuentran a 5 kilómetros uno del otro en riberas opuestas de un río recto de 1.5 kiló­ metros de ancho. Una parte del oleoducto irá bajo el agua desde A hasta un punto e en la ribera opuesto del rio y otra parte irá desde e hasta B sobre tierra. El costo por kilómetro de oleoducto bajo el agua es cuatro veces el costo sobre tierra. Encuentre la posición del punto e para la cual el costo de la construcción es mini­ mo (ignore la pendiente del fondo del río).

29

Se va a partir un alambre de 36 cm de largo en dos pedazos. Uno de los pedazos se doblará para formar un triángulo equilátero y el otro para formar un rectángulo dos veces más largo que ancho. ¿Cómo debe partirse el alambre para que el área combinada de las dos figuras sea (a) mínima; (b) máxima?

30

Los lados iguales de un triángulo isósceles mi­ den a y su base b. Encuentre las dimensiones del rectángulo de área máxima que pueda ins­ cribirse en el triángulo manteniendo un lado del rectángulo sobre la base del triángulo.

31

Dos postes con longítudes de 6 y 8 metros res­ pectivamente se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de 10 metros. Calcule aproximadamente la longi­ tud mínima de un cable que pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los postes y luego hasta la punta del otro poste.

32 Encuentre las dimensiones del rectángulo de

área máxima con dos de sus vértices en el eje x y los otros dos arriba del eje x sobre la gráfica de y = 4 - x 2.

186

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

33

Una ventana tiene la fonna de un rectángulo coronado con un triángulo equilátero. El perí­ metro de la ventana es de 4 metros. Encuentre las dimensíones del rectángulo para el cual el área de la ventana es máxima.

34

Encuentre el cuarto lado que debe tener un trapecio cuyos otros tres lados no paralelos tienen longitud 8, para que su área sea máxima.

35

El dueño de una huerta de manzanas calcula que si se siembran 50 árboles por hectárea en­ tonces cada árbol maduro dará unas 600 man­ zanas al año. Por cada árbol más que se siembre por hectárea el número de manzanas produci­ das por un árbol al año disminuirá en 6. ¿Cuán­ tos árboles deben sembrarse por hectárea para obtener el mayor número de manzanas posible?

36

Una compañía de bienes raíces es dueña de 180 apanamentos que se ocupan en su totalidad cuando la renta se fija en $3000 pesos men­ suales. La compaña calcula que por cada lOO pesos de aumento en la renta se desocupan 5 apartamentos. ¿Cuál es la renta mensual con la que la compañía obtendría el mayor ingreso bruto?

• 37

Un paquete puede enviarse por correo ordinario solamente si la suma de su altura y el perímetro de su base es menor que dos metros y medio. Encuentre las dimensiones de la caja de volu­ men máximo que puede enviarse por correo si la base de la caja es cuadrada.

38

Una carretera A que corre de norte a sur y otra B que corre de este a oeste se intersecan en un

39 Aplique el criterio de la primera derivada para demostrar que la distancia mínima de un punto (XI' YI) a la recta ax + by + e = O está dada por

40

laxl

+ bYI + el

- P+b2 .

d------:====__

4.7

punto P. A las 10:00 A.M. un automóvil que viaja hacia el norte pasa por P a una velocidad de 80 km/h. Al mismo tiempo un avión que viaja hacia el este a una velocidad de 300 km/h y a una altura de 8000 metros, pasa directa­ mente encima del punto en B que se encuentra ISO kilómetros al oeste de P. ¿Si el avión se mantiene a la misma altura y tanto el avión como el automóvil mantienen la misma veloci­ dad y la misma dirección, a qué hora se encon­ trarán más cerca uno del otro? Demuestre que la distancia mínima de un punto (XI' YI) a la gráfica de una función derivable

f

se alcanza a lo largo de una recta nonnal a la gráfica, es decir, una recta perpendicular a la recta tangente y que pasa por el punto de tan­ gencia.

LA DERIVADA COMO UNA RAZON DE CAMBIO Todas las cantidades que se encuentran en la vida diaria cambian con el tiempo. Esto es cierto especialmente en las investigaciones científicas. Por ejemplo, un químico puede estar interesado en la cantidad de cierta substancia que se disuelve en el agua por unidad de tiempo. Un ingeniero eléctrico puede querer saber qué tanto cambia la corriente en alguna parte de un circuito eléctrico por unidad de tiempo. Un biólogo puede estudiar el aumento (o la disminución), por unidad de tiempo, del número de bacterias de algún cultivo. Pueden citarse muchos otros ejemplos, incluyendo algunos en campos fuera de las ciencias naturales. Conside­ remos la siguiente situación que puede aplicarse a cualquiera de los ejemplos an­ teriores.

LA DERIVADA COMO UNA RAZON DE CAMBIO

187

4.7

Supongamos que una variable w es función del tiempo de manera que al tiempo t, w está dada por w = g(t), donde g es una función derivable. La diferencia entre el valor inicial y el valor final de w en el intervalo de tiempo [t, t + h] está dada por g(t + h) - g(t). Análogamente a lo que hicimos en nuestro tratamiento del concepto de velocidad, formulamos la siguiente definición. (4.29)

DEFINICION

La razón media de cambio de w = g(t) en el intervalo [t, t g(t

+ h)

+ h]

es

- g(t)

h La razón de cambio de w = g(t) con respecto a t es

dw -d t

=g

'() t

l'

= h-O 1m

g(t

+ h)

h

- g(t)

.

Las unidades que deben usarse en la definición (4.29) dependen de la naturaleza de la cantidad representada por w. A veces dw/dt se llama la razón de cambio in­ stantánea de w con respecto a t. Ejemplo 1

Un científico encuentra que si calienta cierta substancia, la temperatura en grados centígrados después de t minutos, donde O ~ t ~ 5, está dada por la fórmula g(t) = 30t + + 8.

6Jl

(a) Encuentre la razón media de cambio de g(t) durante el intervalo [4, 4.41]. (b) Encuentre la razón de cambio de g(t) en t = 4.

Solución

(a) Tomando t = 4 Y h = 0.41 en la definición (4.29) vemos que la razón media de cambio de g en [4,4.41] es g(4.41) - g(4) 0.41

[30(4.41)

+ 6 y ;¡¡¡ + 8J - [120 + 6 y ''¡ + 8J 0.41

12.9

= 0.41

.

~ 31.46°C/mm.

(b) Según la definición (4.29) la razón de cambio de g al tiempo t está dada por g'(t) = 30 + 3/JI. En particular g'(4)

= 30 + 3/

J4 = 31.5 oC/mino

La velocidad de un punto P que se mueve sobre una recta coordenada 1 se definió en el capitulo 3. En el futuro usaremos frecuentemente la letra s para denotar funciones cuyos valores son distancias medidas a lo largo de líneas rectas u otras curvas. Si la coordenada de P al tiempo t es s(t), entonces según la definición (3.3), la velocidad de P al tiempo 1 es S'(l). Usando la terminología introducida al prin­ cipio de esta sección, la velocidad es la razón de cambio de s(t) con respecto al

188

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

tiempo. Llamamos a s la (unción de posición de P. Si denotamos la velocidad de P al tiempo 1 por V(l) obtenemos una nueva definición de velocidad. (4.30)

DEFINICION

Si la posición de un punto P sobre una recta coordenada / al tiempo 1 está dada por S(l), entonces la velocidad V(l) de P al tiempo 1 es V(l) = s'(I). Llamaremos a v la (unción de velocidad de P. La función v es la derivada de la función de posición s; es decir

v = D,s

e/s

=

di'

Si 1 se mide en segundos y S(l) en centímetros, entonces la unidad de V(l) es cm/seg (léase "centímetros por segundo"). Análogamente, si 1 se mide en horas y S(l) en kilómetros, entonces 1:(1) estará medida en km/h (kilómetros por hora), etc. La teoría desarrollada en la sección 3 puede usarse para determinar la dirección del movimiento de P. Si la velocidad 1'(1) es positiva en todos los tiempos I de un intervalo 1, entonces S'(l) > O y por lo tanto, según el teorema (4.13), s(l) es creciente; es decir, P se mueve en la dirección positiva sobre /. Análogamente, si V(l) es negativa entonces P se mueve en la dirección negativa. Como v(t) = s'(l), los tiempos en los que la velocidad se anula son números críticos de la función de posición s y por lo tanto corresponden posiblemente a máximos o mínimos locales de s. Si un máximo o un mínimo local de s se encuentra en I}, entonces 1} es proba­ blemente un tiempo en el que el movimiento de P cambia de dirección. La rapidez de P al tiempo I se define como IV(l)¡. La rapidez indica qué tan de prisa se mueve P sin indicar o especificar la dirección del movimiento. La derivada v'(t) se llama la aceleración de P al tiempo 1 y se denota por a(l). Como v(t) = s'(l) (4.31)

0(1)

=

u'(l)

=

s"(1)

La función a se llama la (unción de aceleración del punto P. Como en la definición (4.29), la aceleración a(t) es la razón de cambio de la velocidad de P con respecto al tiempo l. Las unidades de a(l) son cm/seg 2 (centímetros por segundo al cuadrado), km/h 2 (kilómetros por hora al cuadrado), etc. Utilizando nuevamente la teoría de funciones crecientes y decrecientes, ob­ tenemos que si a(l) > O, entonces en el tiempo 1 la velocidad es creciente mientras que si a(t) < O, la velocidad es decreciente. Note que si tanto a(l) < Ocomo V(l) < O, entonces la velocidad es decreciente en el sentido de que se hace cada vez más negativa. En este caso, aunque la velocidad es decreciente, la rapidez IV(I)1 es cre­ ciente. En el ejemplo 2 que se presenta más adelante puede hallarse una ilustración de este hecho. Como la función a es la segunda derivada de la función de posición s, puede a veces usarse en combinación con el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos locales de s. Por ejemplo, si v( 1}) = O Y a( 1}) < O, entonces s( I}) es un máximo local de s y por lo tanto, en el tiempo 1}. P deja de moverse hacia

LA DERIVADA COMO UNA RAZON DE CAMBIO

189

4.7

la derecha para comenzar a moverse hacia la izquierda. Análogamente, si v( ti) = O Y a(t l ) > O, entonces 5(t l ) es un mínimo local de 5 y P cambia la dirección de su movimiento de izquierda a derecha en el instante ti' Ejemplo 2

La función de posición de un punto P sobre una recta coordenada está dada por s(1) = 13 - 121 2

+ 361

- 20,

donde t se mide en segundos y 5(t) en centímetros. Describa el movimiento de P durante el intervalo [ - 1, 9]. Solución

Derivando, v(1) = S'(I)

= 31 2

-

241

+ 36 =

3(1 - 2)(1 - 6)

y a(l)

=

Por lo tanto la velocidad es O en t ción del movimiento de P. Intervalo de tiempo

(-1,2) (2,6) (6,9)

= 61 - 24 = 6(1 - 4).

1;'(1)

=

2 Yt

=

6. La tabla siguiente describe la direc­

Dirección del movimiento

v(t)

+ +

hacia la derecha hacia la izquierda hacia la derecha

La tabla muestra que la función 5 tiene un máximo local en el tiempo t = 2 Y un mínimo local en t = 6. Esto puede verificarse también notando que a(2) = - 12 < O y a(6) = 12 > O. La tabla siguiente muestra los vabres de las funciones de posi­ ción, velocidad y aceleración en algunos tiempos importantes, a saber, los extremos del intervalo [ - 1, 9] Y los tiempos en que la velocidad o la aceleración se anulan.

-1 s(l) V(I)

-69

a(l)

-30

63

2

4

6

9

12 O -12

-4

-20

-12 O

O

61 63

12

30

Es conveniente representar de manera sistemática el movimiento de P como se hace en la figura 4.40. La curva dibujada arriba de la recta coordenada no es

FiXlIra 4.40

I

I

1

..

50

60

70

I

190

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

la trayectoria del punto, pero muestra la manera en que P se mueve sobre l. Como se indica en la tabla y en la figura 4.40, en t = - l el punto se encuentra 69 cm a la izquierda del origen y se mueve hacia la derecha con una velocidad de 63 cm/seg. La aceleración negativa de - 30 cm/seg 2 indica que la velocidad está disminuyendo a razón de 30 cm/seg cada segundo. El punto continúa moviéndose a la derecha y disminuyendo su velocidad hasta que ésta se anula en t = 2, 12 cm a la derecha del origen. En ese momento la dirección del movimiento de P cambia hacia la iz­ quierda y éste sigue moviéndose hasta el tiempo t = 6 en el que se encuentra 20 cm a la izquierda del origen. Allí vuelve a cambiar de dirección y se mueve a la derecha durante el resto del intervalo de tiempo, aumentando su velocidad. En la figura 4.40 la dirección del movimiento se indica por medio de flechas sobre la curva. El tiempo t = 4 en el que la aceleración es O, es un número crítico de la función de la velocidad. (¿Por qué?) El significado de este tiempo se aclara cuando con­ sideramos la rapidez Iv(t)1 = 13(t - 2)(t - 6)1. En el intervalo [2, 6] la rapidez aumenta de O en t = 2 a un máximo local 1-121 = 12 en t = 4 y luego disminuye hasta O en t = 6. Ejemplo 3

Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad de 120 m/seg. Su altura sobre el suelo t seg. después del disparo está dada por s(t) = -4.9t 2 + 120t. Encuentre el tiempo en que el proyectil llega al suelo y la velocidad con que llega. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil? ¿Cuál es la aceleración en un tiempo t arbitrario?

Solución

La trayectoria del proyectil está sobre una recta coordenada vertical cuyo o­ rigen se encuentra al nivel del suelo y tal que su dirección positiva apunta hacia arriba. El proyectil estará en el suelo cuando -4.9t 2 + 120t = O, es decir cuando - 4.9t (t - 120/4.9) = O. Por lo tanto el proyectil llega al suelo después de 120/4.9 ~ 24.5 segundos. La velocidad al tiempo t está dada por V(/) = S'(/) = -9.81

+

120.

En particular, cuando I = 120/4.9, v(120/4.9) = -9.8(120/4.9)

+ 120

= -120 m/seg.

La altura máxima se alcanza cuando S'(/) = O, es decir cuando -9.81 + 120 = O. Despejando I obtenemos I = 120/9. 8 ~ 12.25 seg y por lo tanto la altura máxima es s(l20/9.8) = -4.9(120/9.8)2 + 120(120/9.8) = 7200/9.8 ~ 734.7 metros. Final­ mente la aceleración al tiempo I es a(/) = V'(/) = -9.8 m/seg 2 .

Podemos estudiar razones de cambio con respecto a variables que no sean el tiempo. Si y = f(x), donde x es cualquier variable, entonces la razón media de cambio de y con respecto a x en el intervalo [x, x + h] se define como el cociente f(x

+ h) h

f(x)

LA DERIVADA COMO UNA RAZON DE CAMBIO

4.7

191

El límite de este cociente cuando h tiende a O (es decir, dy/dx) se llama la razón de cambio de y con respecto a x. Así, si la variable x cambia, entonces y cambia a razón de dy/dx unidades por unidad de cambio de x. Por ejemplo, supongamos que cierta cantidad de gas está encerrada en un globo. Si el gas se calienta o se en­ fría mientras la presión pennanece constante, el globo se dilata o se contrae y su volumen Ves una función de la temperatura T. La derivada dV/dT nos da la razón de cambio del volumen con respecto a la temperatura. Ejemplo 4

La intensidad 1 (en amperes) de la corriente eléctrica en cierto circuito está dada por 1 = 100/R, donde R denota la resistencia (en ohms). Encuentre la razón de cambio de 1 con respecto a R cuando la resistencia es 20 ohms.

Solución

Como dI/dR = -100/R 2 , vemos que si R = 20 entonces dI/dR = -100/400 = - 1/4. Si R aumenta, entonces cuando R = 20, la intensidad 1 disminuye a razón de 1/4 ampere por ohm.

4.7 EJERCICIOS 1 El radio (en centímetros) de un globo esférico que se está inflando, después de 1 minutos está dado por r(/) = 3.yt+8, donde O :5: 1 :5: 10. ¿Cuál es la razón de cambio con respecto a 1 de cada una de las cantidades siguientes en 1 = 8? (a) r(/) (b) El volumen del globo (c) El área de la superficie.

2

El volumen de un globo esférico (en m 3 ) 1 horas después de la 1: 00 P. M. está dado por V(/) = ~1t(9 - 21)3, donde O :5: 1 :5: 4. ¿Cuál es la razón de cambio con respecto a 1 de cada una de las siguientes cantidades a las 4:00 P.M.? (a) V(/) (b) El radio del globo (c) El área de la superficie.

3 El pulso (en pulsaciones por minuto) de un in­ dividuo 1 segundos después de que comienza a correr está dado por P(/) = 56 + 21 2 - 1, donde O :5: 1 :5: 7. Encuentre la razón de cambio de P(/) con respecto a 1 en: (a) 1 = 2, (b) 1 = 4, (c) 1 = 6.

4

La temperatura T (en grados Celsius) de una solución al tiempo 1 (minutos) está dada por T(/) = 10 + 41 + 3/(1 + 1), donde I :5: 1 :5: 10. Encuentre la razón de cambio de T(/) con res­ pecto a 1 en: (a) 1 = 2, (b) 1 = 5, (c) 1 = 9.

5 Se tira una piedra a un lago lo cual produce olas circulares. Suponiendo que el radio de una de las olas después de 1 segundos es 401 cm, encu­ entre la razón de cambio con respecto a 1 del área del círculo formado por la ola en: (a) 1 = 1, (b) 1 = 2, (c) 1 = 3.

6

La ley de Boyle para los gases afirma que pV = c, donde p denota la presión y Vel volu­

men y c es una constante. Suponga que al tiem­ po 1 (minutos) la presión es 20 + 21 gm/cm 2, donde O :5: 1 :5: 10 y que el volumen en 1 = O es 60 cm 3. Encuentre la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo en 1 = 5.

En los ejercicios del 7 al 16 se definen las funciones de posición de algunos puntos que se mueven a lo largo de una línea recta. Encuentre la velocidad y la aceleración al tiempo 1 y describa el movimiento del punto durante el intervalo de tiempo indicado. Ilustre el movimiento mediante un diagrama como el de la figura 4.40. 7

s(t) = 3t 2

-

12t

+

1, [0,5]

8

s(t)=t 2 +3t-6, [-2,2]

9S(/)=t 3 -9t+I.[-3,3]

192 10

4 S(/) = 24

+ 61

APLICACIONES DE LA DERIVADA - 13, [-2,3]

13 S(/) = 21 4 - 6/ 2, [-2,2]

11

S(/)=1+4/I,[1,4]

14

s(/)

= 21 3 ­

6/ s, [- 1, 1]

12

s(/) = 2.j1

15

s(/) = 13

+ 1/.jI, [1,4]

+ 1, [0,4]

16 S(/)=jt, [-8,0]

17 Un objeto se tira verticalmente hacia arriba con una velocidad de 144 pies por segundo. Su al­ tura s(t) (en pies) sobre el suelo después de I segundos está dada por s(/) = 1441 - 16/ 2. En­ cuentre la velocidad y la aceleración a los I se­ gundos y en particular a los 3 segundos. ¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuándo llega al suelo el objeto?

18 Un objeto rueda cuesta abajo sobre un plano inclinado de manera que la distancia S(I) (en pulgadas) que recorre en I segundos está dada por s(/) = 51 2 + 2. ¿Cuál es la velocidad I se­ gundo después? ¿2 segundos después? ¿Cuándo alcanzará una velocidad de 28 pulgadas por se­ gundo?

19 La función de posición s de un punto que se mueve en linea recta está dada por S(I) = 2/ 3 - 15/ 2 + 481 - 10, donde I está medido en segundos y S(/) en metros. Encuentre la acele­ ración cuando la velocidad es 12 m/seg. En­ cuentre la velocidad cuando la aceleración es 10 m/seg 2•

20 Resuelva el ejercicio 19 con S(/)

21 La iluminación 1 que produce una fuente de luz es directamente proporcional a la intensidad S de la fuente e inversamente proporcional al cua­ drado de la distancia d a la fuente. Suponiendo que 1 es igual a 120 unidades a una distancia de 2 m, encuentre la razón de cambio de 1 con res­ pecto a d a una distancia de 20 m.

22 Demuestre que la razón de cambio del volumen de una esfera con respecto a su radio es igual al área de la superficie de la esfera.

23 Demuestre que la razón de cambio del radio de un circulo con respecto a su perímetro es inde­ pendiente del tamaño del circulo. Ilustre este hecho usando unos circulos máximos sobre dos esferas, una del tamaño de un balón de basket­ ball y otra del de la Tierra.

24 La fórmula de la dilatación adiabática del aire es pVI.4 = c, donde p es la presión, Vel volu­ men y c una constante. Encuentre la fórmula de la razón de cambio de la presión con respecto al volumen.

25 La relación entre la temperatura F en la escala Fahrenheit y la temperatura C en la escala CeI­ sius está dada por C = ~(F - 32). ¿Cuál es la razón de cambio de F con respecto a C?

26 Si una cantidad Po de dinero se invierte a una tasa de interés de lOOr por ciento al año amorti­ zado mensualmente, entonces el saldo P un año después está dado por P = Po(l + r/12)12. En­ cuentre la razón de cambio de P con respecto a r cuando Po = $1,000 Y r = 0.06.

27 El período T de un péndulo simple, es decir, el tiempo que tarda en completar una oscilación, es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud l. ¿Qué puede decirse de la razón de cambio de T con respecto a l?

28 La resistencia eléctrica R de un alambre de cobre de longitud fija es inversamente propor­ cional al cuadrado de su diámetro d. ¿Cuál es la razón de cambio de R con respecto a d?

= IS -

(5/3)/ 3

- 48/.

RAZONES DE CAMBIO Y SUS RELACIONES

193

30 En la óptica se usa la fórmula 11I = IIp + I/q, donde 1 es la longitud focal de una lente con­ vexa y p y q son las distancias de la lente al objeto y a su imagen, respectivamente. Supo­ niendo que 1 es fija, encuentre una fórmula general para la razón de cambio de q con res­ pecto a p.

19 Se desea construir una caja abierta a partir de una pieza rectangular de cartón de 40 cm de ancho y 60 cm de largo, recortando un cuadrado de lado s de cada esquina y doblando después los lados. Exprese el volumen V de la caja como una función de s y encuentre la razón de cambio de V con respecto a s. ¿Para qué valor de s la razón de cambio alcanza su máximo?

4.8

4.8

RAZONES DE CAMBIO Y SUS RELACIONES En las aplicaciones frecuentemente aparecen dos variables x y y que son funciones derivables del tiempo t, digamos x = I(t) y y = g(t). Además x y y pueden estar relacionadas entre sí por medio de una ecuación, como por ejemplo Xl _ y3 _

2x

+ 7y l

-

2

= O.

Si derivamos con respecto a t y usamos la regla de la cadena (3.36) obtenemos una ecuación que involucra a las razones de cambio dx/dt y dy/dt. Por ejemplo la ecuación anterior nos lleva a 2x

dx

ldy 3y dt dr

dx 2(j(

dy

+ 14y dt

=

O.

Las derivadas dx/ dt Ydy/dt en esta ecuación se llaman razones de cambio relacionadas, ya que están efectivamente relacionadas a través de la ecuación. La ecuación an­ terior puede usarse para encontrar una de las razones cuando la otra se conoce. Esta observación tiene muchas aplicaciones prácticas. Los ejemplos siguientes ilustran este hecho. Ejemplo 1

Una escalera de 20 m de largo está recargada contra un edificio vertical. La base de la escalera resbala horizontalmente a razón de 2 m por segundo. ¿A qué velocidad resbala el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 12 m arriba del suelo?

Solución

Comenzamos por representar esquemáticamente la posición general de la escalera en la figura 4.41, introduciendo la variable x para denotar la distancia de la base del edificio a la base de la escalera y otra variable y para denotar la altura sobre el suelo del otro extremo de la escalera. Como x aumenta a razón de 2 metros por segundo, podemos escribir dx dt = 2 m/seg.

Nuestro objetivo es hallar dy/dt, la razón de cambio de la altura del extremo superior de la escalera, en el momento en que y = 12 m. La relación entre x y y puede determinarse aplicando el teorema de' Pitágoras al triángulo de la figura. Esto nos da Xl

+ yl

=

400.

194

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

edificio vertical

T J y

~-n-i_ve-l-d-el

!­

I l+--

I

suelo

X ---oJ

I

Fi¡:ura 4.41

Derivando con respecto a

I

obtenemos dx dy 2x dt + 2y dI

=O

de lo cual se concluye que dy

x dx

dI

y dI'

La ecuación anterior es una fórmula general que relaciona las dos razones de cambio con las que estamos trabajando. Consideremos ahora el caso especial y = 12. El valor correspondiente de x puede determinar:;e a partir de x2

+ 144 = 400. o

x 2 = 400 - 144 = 256.

Por lo tanto x = J256 = 16 cuando y = 12. Sustituyendo en la fórmula general para dy/ dt obtenemos dy dI

- =

16 12

--(2)

8

= -- m/seg. 3

Algunas de las reglas enunciadas en la sección 6 respecto a las aplicaciones de los valores extremos son útiles para resolver problemas sobre razones de cambio relacionadas. En particular, las tres primeras reglas: (1) leer el problema cuida­ dosamente, (2) dibujar un diagrama adecuado con los nombres que se dan a las variables y (3) hacer una lista de las relaciones conocidas, son especialmente re­ comendables. Después de seguir estos pasos, se debe formular una ecuación general que relacione a las variables del problema, como lo hicimos en el ejemplo 1. Una equivocación que se comete frecuentemente es el introducir antes de tiempo algunos valores específicos de las variables o las razones de cambio. RecuerQe que siempre debe obtenerse una fórmula general que relacione a las razones de cambio en cualquier tiempo l. Los valores específicos de las variables deben sustituirse solamente en los últimos pasos de la solución.

RAZONES DE CAMBIO Y SUS RELACIONES

4.8

195

Ejemplo 2

Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto invertido tal que su altura es de 12 pies y el radio de su base es de 6 pies. ¿Si se bombea agua al tanque a ra­ zón de lO galones/min, cuál será la razón de cambio del nivel del agua cuando la profundidad es de 3 pies? (1 galón ~ 0.1337 pies cúbicos).

Solución

Comenzamos por dibujar el tanque en la figura 4.42, denotando por r el radio de la superficie del agua cuando la profundidad es h. Note que r y h son funciones del tiempo t. El volumen V de agua en el tanque correspondiente a una profundidad h está dado por I

,

V = -rrr-h

3

'

Fixura 4.42

Expresemos V en términos de una sola variable. Considerando ciertos triángulos semejantes en la figura 4.42 vemos que r y h están relacionadas por la ecuación r

6

h

12'

- = -

h

o

r =-, 2

Por lo tanto cuando la profundidad es h, I (h)2 I J V = -rr h = -rrh 3 2 12'

Derivando con respecto a t obtenemos la siguiente relación general entre las razones de cambio de V y de h en cualquier tiempo. dV

I

,dh

-- =-rrlr-, dI 4 dI

Una fórmula equivalente a ésta es dh dI

En particular, si h

4 dV rrh 2

df'

= 3 Y dV/dt = 10 gal/min

~

1.337 pies 3 /min, vemos que

dh 4 -, ~ - ( 1.337) ~ 0.189 pies/mino i 1

rr(9)

­

196

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Ejemplo 3

A la 1:00 P.M. el barco A se encuentra 25 millas al sur del barco B. Suponiendo que A navega hacia el oeste a razón de 16 mi/h y B navega hacia el sur a 20 mi/h, encuentre la razón de cambio de la distancia entre los dos barcos a la 1:30 P.M.

Solución

Sean x y y las millas recorridas por A y B respectivamente, I horas después de la 1:00 P.M. Tenemos entonces la situación del diagrama en la figura 4.43, donde P y Q son las posiciones respectivas de los barcos a la 1:00 P.M. Si z es la distancia entre los barcos al tiempo 1, entonces por el teorema de Pitágoras, Z2

Derivando con respecto a

= x 2 + (25

_ y)2.

obtenemos

I

~ = 2xdx + 2(25 2zdi

dI

y) ( - ~) ­

dI

o dz zdI

=

dx

dy

di

di

x - + (y - 25)-.

Los datos del problema son dx

16 mi/h

de

~=

y

20 mi/h.

Nuestro objetivo es hallar dz/de.

rg----l,. I

,, ,

V

B

A

x

25

P

Figura 4.43

A la 1:30 P.M. los barcos habrán viajado durante media hora y en ese momento x = 8, Y = 10,25 - Y = 15 Y por lo tanto Z2 = 64 + 225 = 289, es decir z = 17. Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos

11: 17-, =8(16)+(-15)(20) el

o d: dI

172

-17 ~

-IO.12mi/h

RAZONES DE CAMBIO Y SUS RELACIONES

4.8

197

El signo negativo indica que a la 1:30 P.M. la distancia entre los barcos estará dis­ minuyendo. Otro método para resolver este problema consiste en escribir x = 16t, Y = 20t y z

= [x 2 + (25

- y)2J 112

= [256t 2 + (25

- 20t)2J 1;2.

La derivada dz/dt puede calcularse directamente. Sustituyendo después 1/2 en lugar de t se obtiene la razón de cambio deseada.

4.8 EJERCICIOS Una escalera de 20 m de largo está recargada contra un edificio vertical. La base de la esca­ lera resbala alejándose del edificio a razón de 3 m por segundo. ¿A qué velocidad resbala hacia abajo el extremo superior de la escalera cuando se encuentra 8 m arriba del suelo?

2

A medida que un disco circular metálico se ca­ lienta, su diámetro aumenta a razón de 0.01 cm/mino ¿Cuál es la razón de cambio del área de uno de sus lados?

3 Se bombea gas a un globo esférico a razón de 5 m 3/min. ¿Si la presión se mantiene constante, cuál es la razón de cambio del radio cuando el diámetro mide 180 cm?

4

Una niña comienza a correr en un punto A y se dirige hacia el este a 3 m/seg. Un minuto des­ pués otra niña comienza a correr en A dirigién­ dose hacia el norte a 2 m/seg. ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia entre ellas un minuto más tarde?

5

Una lámpara se encuentra en la punta de un poste de 5 metros de alto. Un niño de 1.5 m de altura se aleja del poste a una velocidad de I m/seg. ¿ A qué velocidad se mueve la punta de su sombra cuando el niño está a 5 m del poste? ¿Cuál es la razón de crecimiento de su sombra?

6

Un hombre desde un muelle jala una cuerda atada a la proa de un bote 30 cm arriba del nivel del agua, la cual pasa por una polea simple que se encuentra en el muelle a 2 m del agua. ¿Si jala la cuerda a razón de I m/seg, con qué velo­ cidad se acerca el bote al muelle en el momento en que la proa está a 6 m del punto sobre el agua que se encuentra directamente abajo de la polea?

7 La lapa de un silo tiene la forma de un hemis­ ferio de 6 m de diámetro. Si la tapa está cubierta por una capa de hielo de 5 cm de ancho que dis­ minuye a razón de 1/2 cm por hora, ¿cuál es la razón de cambio del volumen de hielo?

8

La arena que se cuela por un agujero de cierto recipiente forma un montículo cónico cuya al­ tura es igual al radio de su base. Suponiendo que la altura del montículo aumenta a razón de 15 cm/min, encuentre el volumen de arena que sale del agujero por minuto en el momento en que la altura es 25 cm.

10

Un globo meteorológico se eleva verticalmente a razón de 60 cm/seg. Un observador se coloca a 100 metros del punto en el suelo que se encuen­ tra directamente abajo del globo. ¿Cual es la razón de cambio de la distancia entre el obser­ vador y el globo en el momento en que la altura del globo es 180 metros?

9

Un nmo que vuela una cometa cede hilo a razón de 2 pies por segundo mientras la cometa se mueve horizontalmente a una altura de 100 pies. Suponiendo que el hilo no se pandea, en­ cuentre la velocidad con la que se mueve la cometa en el momento en que se han cedido 125 pies de hilo.

198 II

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

La ley de Boyle de los gases dice que p V = e, donde p es la presión, V el volwnen y e una constante. En cierto momento el volumen es 75 pulgadas cúbicas, la presión es 30 Ib/pul­ gada 2 y ésta disminuye a razón de 2lb/pulgada 2 cada minuto. ¿Cuál es la razón de cambio del volumen en ese momento?

12 Una bola esférica de nieve se derrite de tal ma­ nera que su radio disminuye a razón constante, cambiando de 30 a 20 cm en 45 minutos. ¿Cuál era la razón de cambio del volwnen en el mo­ mento en que el radio medía 25 cm?

13 Los extremos de un abrevadero de 3 m de largo tienen la fonna de un triángulo equilátero con lados de 60 cm. ¿Si se bombea agua al abreva­ dero a razón de 20 litros/min, cuál es la razón de cambio del nivel del agua cuando la profun­ didad es de 20 cm?

14

15 El punto P(x, y) se desplaza sobre la gráfica de la ecuación y = x 3 + x 2 + l. Su abscisa varía a razón de 2 unidades por segundo. ¿A razón de cuántas unidades por segundo varía su orde­ nada en el punto (1, 3)?

16 El punto P(x, y) se desplaza sobre la gráfica de y2 = x 2 _ 9 de tal manera que dx/dt = l/x. Encuentre dy/dt en el punto (5,4).

17 El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm2/min. Encuentre la razón de cam­ bio de la longitud de sus lados en el momento en que el área del triángulo es 200 cm 2•

18

19 Se tira una piedra a un lago y esto produce olas circulares cuyos radios crecen a razón de 0.5 m/seg. ¿A razón de cuántos metros por segundo aumenta el perímetro de una ola cuando su radio mide 4 m?

20 El "diamante" de un campo de softbaIl tiene la fonna de un cuadrado de 60 pies de lado. Una jugadora corre de segunda a tercera base con una velocidad de 24 pies/seg. ¿A razón de cuán­ tos pies por segundo cambia su distancia al "home plate" cuando se encuentra a 20 pies de la tercera base?

21

Cuando dos resistencias R¡ y R 2 se conectan en paralelo, la resistencia total está dada por I/R = (I/R¡) + (I/R 2 ). ¿Si R¡ Y R 2 aumentan a razón de 0.01 ohms/seg y 0.02 ohms/seg res­ pectivamente, a razón de cuántos ohms por segundo cambia R en el momento en que R¡ = 30 ohms y R 2 = 90 ohms?

22

La fórmula de la expansión adiabática del aire es p VI.4 = e, donde p es la presión, V es el volumen y e es una constante. En cierto mo­ mento la presión es 40 gm/cm 2 y aumenta a razón de 3 gm/cm 2 por segundo. ¿Si en ese mismo momento el volumen es de 60 cm 3 , cuál es la razón de cambio del volumen?

23 Si un tanque esférico de radio a contiene agua con una profundidad h, entonces el volumen de agua en el tanque está dado por

24

Un tanque esférico está cubierto por una capa unifonne de hielo de ancho a. Demuestre que si el volumen de hielo que se derrite por unidad de tiempo es proporcional al área de la superficie, entonces la razón de cambio del diámetro ex­ terior es constante.

V = j1th 2 (3a - h).

Suponga que un tanque esférico de 5 m de radio se está llenando a razón de 400 litros/m in. Cal­ cule a razón de cuántos metros por segundo se eleva el nivel del agua cuando h = 1.25 m.

Resuelva el ejerc¡clo 13 suponiendo que los extremos del abrevadero tienen la fonna de la gráfica de y = 21xl entre los puntos (-1, 2) Y (1, 2).

El gas contenido en un globo esférico se escapa a razón de 10 litros/hora. ¿A razón de cuántos cm por hora disminuye el radio del globo en el momento en que el volumen es 400 litros?

ANTIDERIVADAS 25 Un niño deja caer una piedra a un lago desde un acantilado de 60 m de altura y dos segundos

después deja caer otra piedra desde el mismo lugar. Describa la razón de cambio de la dis­ tancia entre las dos piedras durante el segundo siguiente. (Suponga que la distancia que recorre un cuerpo que cae durante t segundos es 4.9t 2 m.) 27 Un avión vuela con velocidad constante de 500 km/h y una inclinación de 45° hacia arriba. En­

cuentre la razón de cambio de la distancia de un punto P en el suelo al avión un minuto después de que éste pasa directamente 3000 m arriba de P. 29 Un vaso de papel con agua tiene la forma de un cono circular recto truncado de 15 cm de altura y radios de la base y de la orilla de 2 y 4 cm respectivamente. ¿Si el agua escurre del vaso a razón de 100 cm 3/h, a raZÓn de cuántos centl­ metros por hora disminuye la profundidad del agua en el momento en que ésta mide 10 cm? (Note que el volumen V de un cono circular recto truncado de altura h y radios a y b en los extremos está dado por V = t7th(a 2 + b 2 + ab).)

4.9

199

26 Una barra de metal tiene la forma de un cilin­ dro circular recto. A medida que se calienta, su longitud y su diámetro aumentan a razón de 0.005 cm/min y 0.002 cm/min respectivamente. ¿A razón de cuántos centímetros cúbioos por minuto aumenta el volumen de la barra en el momento en que ésta mide 40 cm de largo y 3 cm de diámetro? 28 Consulte el ejercicio 38 de la sección 6. ¿Cuál

es la razón de cambio de la distancia entre el avión y el automóvil a las 10: 15 A.M.?

30 La orilla de una alberca es un rectángulo de 60 pies de largo y 30 de ancho. La profundidad de la alberca aumenta uniformamente de 4 a 9 pies en una distancia horizontal de 40 pies y después continúa al mismo nivel en los 20 pies restantes, como se ilustra en la figura 4.44 que representa una sección transversal de la alberca. La alberca se está llenando a razón de 500 galones de agua por minuto. Calcule aproximadamente la razón de cambio del nivel del agua en el momento en que la profundidad en la parte más honda es de 4 pies (1 gal ::::: 0.1337 pies 3 ).

Fixura 4.44

4.9

ANTIDERIVADAS

En el capítulo 3 se enunciaron algunos problemas en la forma "Dada una función g, encuentre la derivada g"'. Ahora nos ocuparemos del problema inverso, es decir, "Dada la derivada g', encuentre la función gU. Si denotamos g' por fy g por F, en­ tonces podemos enunciar este problema inverso en la forma equivalente "Dada una función/, encuentre una función F tal que F' = fU. Por ejemplo, supongamos que f(x) = 8x 3 • En este caso puede hallarse fácilmente una función F cuya derivada es f Sabemos que al derivar una potencia de x se reduce en l el exponente y por lo tanto para obtener F debemos aumentar en l el exponente dado. Así, F(x) = ax 4 para algún número a. Derivando obtenemos F' = 4ax 3 , y para que esto sea igual af(x). se necesita que a sea igual a 2. Por lo tanto la función F definida por F(x) = 2x4

200

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

tiene la propiedad deseada. Como se indica en la siguiente definición, decimos que F es una antiderivada de f (4.32)

DEFINICION

Una función F es una antiderivada de otra función

f

si F' =

f

A veces se llama funciones primitivas a las antiderivadas. Por conveniencia usaremos la frase "F es una antiderivada de f". En general no se especifica el dominio de una antiderivada. A partir del teorema fundamental del cálculo (5.31) en el siguiente capítulo, se concluye que cualquier intervalo cerrado [a, bJ en el que f es continua es un dominio adecuado para F. Las antiderivadas no son únicas. Como la derivada de una constante es cero, si F es una antiderivada de f entonces lo es también la función G definida por G(x) = F(x) + e para cualquier número C. Por ejemplo, si f(x) = 8x 3 , entonces Y 2x 4 + (2/5) las funciones definidas por expresiones como 2x 4 + 7, 2x 4 son antiderivadas de f El siguiente teorema muestra que las funciones de este tipo son las únicas antiderivadas de f que existen.

J3

(4.33)

TEOREMA

Si F¡ y F2 son funciones derivables tales que F{(x) = un intervalo cerrado [a, b J, entonces F2 (x) = F¡ (x) + e y para todo x en [a, b].

Demostración.

F~(x)

para todo x en

e para algún número

Si definimos la función g por medio de g(x)

= F2 (x) - F¡ (x)

obtenemos g'(x) = F;(x) - F{(x) = O

para todo x en [a, b]. Si x es cualquier número tal que a ~ x ~ b, entonces aplicando el teorema del valor medio (4.12) a la función g en el intervalo cerrado [a, x J, vemos que existe un número z en el intervalo abierto (a, x) tal que g(x) - g(a)

= g'(z)(x

- a)

= O, (x

- a)

= O.

Por lo tanto g(x) = g(a) para todo x en [a, b]. Sustituyendo en la primera ecuación de esta demostración obtenemos g(a) = F 2 (x) - F¡(x).

Sumando F¡(x) a ambos lados obtenemos la conclusión deseada con

e

= g(a).

Si F¡ Y F 2 son antiderivadas de una misma función/, entonces F{ = f = F~ Y por lo tanto, aplicando el teorema recién demostrado, F2 (x) = F¡ (x) + e para algún C. En otras palabras, si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces cualquier otra antiderivada de f(x) tiene la forma F(x) + e donde e es una constante arbi­ traria (esto es, un número real no especificado). Llamaremos a F(x) + e la anti­ derivada más general de f(x).

ANTIDERIVADAS (4.34)

4.9

201

TEOREMA

Si f es una función tal que f'(x) = O para todo x en [a, b], entonces f es una función constante en [a, b]. Demostración. Denotamos a f por F2 y definimos la función F1 como F1 (x) = O para todo x. Como Fí(x) = OY F;(x) = f'(x) = O, vemos que Fí(x) = Fí(x) para

todo x en [a, b]. Aplicando el teorema (4.33), existe algún número C tal que + C; es decir f(x) = C para todo x en [a, b]. Esto completa la demostración. F 2 (x) = F 1 (x)

Las reglas de derivación pueden utilizarse para obtener antiderivadas como se hace en la demostración del importante resultado siguiente. (4.35)

REGLA DE ANTIDERIVACION PARA LAS POTENCIAS

Sean a un número real arbitrario, r un número racional arbitrario diferente de -1 y C una constante arbitraria. Si f(x) = ax',

entonces

F(x) =

a

X,+l

+

C

r+1

es la antiderivada más general de f(x). Demostración. Basta demostrar que F'(x) = f(x). Este hecho se concluye inme­ diatamente de la regla de las potencias para derivadas (3.39), ya que

F'(x) =

Ejemplo 1

(_a_) + r

1

+ I )x' = ax' = f(x).

Encuentre la antiderivada más general de (a) 4x 5 ;

Solución

(r

(b) 7/x 3 ;

(c).,J?

(a) Usando la regla de las potencias (4.35) con a antiderivada ~X6

+ C, o

=4

Yr

=5

obtenemos la

ix 6 + C.

(b) Escribiendo 7/x 3 como 7x- 3 y usando la regla, (4.35) con a = 7 Y r = -3 obtenemos 7 7 -2 _2X + e, o - 2x 2 + C.

F

(c) Como = x 2/3, podemos aplicar la regla de las potencias (4.35) con a = I y r = 2/3, y así obtenemos 1

(5/3/

5/3

+ e, o

3

_X 5/3

5

+ e.

Para evitar errores algebraicos es conveniente verificar las soluciones anteriores derivando las antiderivadas. En cada caso debe obtenerse la expresión dada.

202

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Recuerde que, como se vio en el capítulo 3, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas. Algo semejante ocurre con las antiderivadas. Así, si FI y F2 son antiderivadas de I1 y 12 respectivamente, entonces,

(4.36)

+ F 2) = DxF I + DxF 2 = I1 + 12 es una antiderivada de ¡; + Ji. Este resultado puede generalizarse DAF I

es decir, FI + F2 al caso de una suma finita de funciones. Este hecho puede enunciarse como sigue: "La suma de las antiderivadas es una antiderivada de la suma". Como siempre, cuando trabajamos con varias funciones a la vez, suponemos que el dominio se restringe a la intersección de los dominios de las funciones individuales. Un re­ sultado semejante se cumple para el caso de una diferencia de funciones.

3x 4

+ 4 + (5/x 3 ).

Ejemplo 2

Encuentre la antiderivada más general F(x) de f(x)

Solución

Escribiendo el último término de/(x) como 5x- 3 y aplicando la regla de las potencias para antiderivadas (4.35) a cada término obtenemos F(x)

=

-

x

3 5 1 2 5 -2 = -x - -x + 4x - -x + c. 522

No es necesario introducir una constante arbitraria para cada una de las cuatro antiderivadas, ya que éstas podrían sumarse y convertirse así en una sola constante C. En las aplicaciones matemáticas aparecen frecuentemente ecuaciones en las que intervienen derivadas de una función 1 desconocida. Tales ecuaciones se de­ nominan ecuaciones diferenciales. La función 1 se llama soluciÓll de la ecuación diferencial. Resolver una ecuación diferencial significa encontrar todas sus so­ luciones. A veces, además de la ecuación diferencial se conocen algunos valores de f, llamados valores en la frontera, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3

Resuelva la ecuación diferencial f'(x) = 6x 2 1(0) = 2.

Solución

De la discusión acerca de las antiderivadas,

f(x) = 2x 3

+

x - 5 con el valor en la frontera

1

+ 2X2 - 5x + e

para algún número C. Tomando x = O Y usando el valor en la frontera dado obtenemos

[(O)

=

O+ O - O + e = 2

Y por lo tanto e = 2. Por consiguiente, la solución 1 de la ecuación diferencial con el valor en la frontera dado es

f(x)

1

= 2x 3 + 2X2 - 5x + 2.

ANTIDERIVADAS

4.9

203

Si un punto P se mueve en línea recta, su función de posición s es una anti­ derivada de su función de velocidad, es decir, s'(t) = v(t). Análogamente, como v'(t) = a(t), la función de velocidad es una antiderivada de la función de acele­ ración. Si se conoce la función de velocidad o de aceleración, entonces dadas suficientes condiciones a la frontera puede determinarse la función de posición. Las condiciones a la frontera correspondientes a t = O se llaman a veces condi­ ciones iniciales. El ejemplo siguiente ilustra estos comentarios. Ejemplo 4

Un punto se mueve en línea recta de tal manera que a(t) = 12t - 4. Encuentre = 8 Ys(O) = 15.

s(t) suponiendo que las condiciones iniciales son v(O) Solución

Partiendo de v'(t) = 12t - 4, mediante el procedimiento de antiderivación ob­ tenemos v(t) = 6t 2

-

4t

+e

para algún número C. Sustituyendo Oen lugar de t y usando que v(O) 8 = O ­ O + e = C. Por lo tanto v(t) = 6t 2

-

4t

+8

6t 2

-

4t

+ 8.

= 8 obtenemos

o equivalentemente, s'(t)

=

La antiderivada más general de s'(t) es s(t)

= 2t 3

-

2t 2

+ 8t + D

donde D es algún número. Sustituyendo O en lugar de t y usando que s(O) = 15 llegamos a 15 = O ­ O + O + D = D Y por lo tanto la función de posición está dada por s(t)

=

2t 3

-

2t 2

+ 8t + 15.

Sobre cualquier objeto que se encuentra arriba de la superficie de la Tierra pero cerca de ella actúa una fuerza que se llama la gravedad. Esta fuerza produce una aceleración constante que se denota por g. El valor aproximado de g que se usa en la mayoría de los problemas es 32 pies/seg 2 o 980 cm/seg 2 • En el siguiente ejemplo ilustramos la manera en que se utiliza esta importante constante fisica.

Ejemplo 5

Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 144 pies sobre el suelo con una velocidad de 96 pies/seg. Despreciando el efecto de la fricción del aire, encuentre la altura de la piedra t segundos después. ¿Durante cuánto tiempo sube la piedra? ¿En qué momento y con qué velocidad llega al suelo?

Solución

El movimiento de la piedra puede representarse mediante un punto que se mueve sobre una línea recta vertical cuyo origen está al nivel del suelo y su dirección posi­

204

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

tiva hacia arriba. La distancia al suelo en el tiempo 1 es S(/) y las condiciones iniciales son s(O) = 144 Y v(O) = 96. Como la velocidad disminuye, v'(/) < O; es decir, la aceleración es negativa. Por lo tanto, según los comentarios anteriores a este ejemplo,

= - 32.

a(l)

Como v es una antiderivada de a,

V(l)

=

-321+C,

para algún número C. Sustituyendo Oen lugar de 1 y usando que v(O) = 96 obtenemos 96 = O + e = e y por lo tanto v(t) = - 321

Como S'(/)

= v(t),

+ 96.

por antiderivación obtenemos s(t)= _161 2 +961 +D

para algún número D. Tomando 1 = O y usando s(O) = 144 llegamos a 144 = = D. Resulta entonces que la distancia del suelo a la piedra al tiempo 1 está dada por

O+ O+ D

= - 161 2 + 961 + 144.

SIl)

La piedra sube hasta que v(t) = O, o sea hasta que - 321 + 96 = O, o I = 3. La piedra tocará el suelo cuando S(/) = O, es decir, cuando -161 2 + 961 + 144 = O, o equivalentemente, 12 - 61 - 9 = O. Aplicando la fórmula cuadrática obtenemos I = 3 ± La solución 3 - 3J2 es ajena al problema (¿Por qué?) y por lo tanto la piedra golpea el suelo a los 3 + 3J2 segundos. En ese momento la velocidad es

3J2.

v(3 + 3)2) = - 32(3 + 3)2) + 96

=-

96)2 ~ - 135.8 piesjseg.

4.9 EJERCICIOS Encuentre las antiderivadas más generales de las funciones definidas en los

ejercicios del 1 al 20.

f(x)

= 9x l

4

f(x) = IOx 4

7

j(x) = 3

-

J(x) = 3x 5

13

J(x)

+3

6x 3

+5

+ (I/fi)

x

10

16

4x

-

-

JI x

5

= (3x _ I)l

f(x) =

2x

+3

l

- x ---::=---

Jx

2

j(x)

5 j(x) 8

= 4x l

8x

-

l

=0 -

f(x) =

Jx

3

+1

3 Xl

-

1X-l

11

f(x) = 2X 514 + 6X 1 {4

14

f(x) = (2x - 5)(3x

17

f(x)

=

5

32x

4

+5 + 3x- 4

+

1)

2x 3

3

j(x)

6

J(x) = "7 - ----:1

=

-

4 x

Xl

7 +x x

9 J(x) = (6/

3

x) ­

~

12

f(x) = ( x -

15

j(x)=-­

18

.

+ 3x - 7

8x - 5 3

X

f(x) = J64x 5

(fi/6) + 7

r

ANTIDERIVADAS

x3 _

19

I

f(x)=~

20

4.9

205

x + 3x - 9x - 2 f(x) = - - - - - ­ x-2 3

2

Resuelva las ecuaciones diferenciales en los ejercicios del 21 al 24 bajo las condiciones a la frontera dadas. 21

f'(x)

23 j"(x)

=

12x 2

= 4x

-

6x

+

- 1, f'(2)

1, /(1)

=

=5

22 f' (x) = 9x 2

-2, /(1) = 3

24 f"'(x)

= 6x,

+x

- 8, /( - 1) = I

j"(0)

= 2,

f'(0) = -1, /(0)

=4

25 Un punto se mueve en línea recta de tal manera que a(/) = 2 - 61. Suponiendo que las condi­ ciones iniciales son v(O) = - 5 Y s(O) = 4, en­ cuentre S(/).

26 Resuelva el ejercicio 25 suponiendo que a(/) = 31 2, v(O) = 20 y s(O) = 5.

27 Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 500 m/seg. Despreciando la resistencia del aire, encuentre su distancia S(/) al suelo en el tiempo l. ¿Cuál es su altura máxima?

28 Se deja caer un objeto desde una altura de 300 m. Despreciando la resistencia del aire, encuentre la distancia que cae en I segundos. ¿Cuál será su velocidad cuando hayan trans­ currido 3 segundos? ¿Cuándo llegará al suelo?

29 Se lanza una piedra verticalmente hacia abajo desde una altura de 96 pies, con una velocidad de 16 pies/seg. Encuentre (a) su distancia al

30 Resuelva el ejercicio 29 suponiendo que la pie­

dra se lanza hacia arriba con la misma velocidad de 16 pies/seg.

suelo I segundos después, (b) el instante en que llega al suelo y (c) la velocidad con que llega al suelo. 31 Un proyectil se dispara verticalmente hacia arri­ ba desde una altura So con una velocidad va. Demuestre que despreciando la resistencia del aire, la altura S(/) desde el suelo al tiempo I está dada por S(/) = -tgl 2 + vol + So, donde g es la aceleración de la gravedad.

32 Una pelota rueda cuesta abajo sobre un plano

33 ¿Si un automóvil parte del reposo, qué acelera­

34 ¿Qué aceleración constante (negativa) debe im­ primirse a un automóvil que viaja a 100 km/h para detenerlo en 9 segundos?

ción constante se le debe imprimir para que re­ corra 100 m en 10 segundos? 35 Si C y F denotan la temperatura en grados Cel­

sius y Fahrenheit respectivamente, entonces la razón de cambio de F con respecto a C está dada por dF/dC = 9/5. Sabemos que F = 32 cuando C = O. Usando antiderivadas encuentre una fónnula general para F en términos de C. 37 El volumen V de un globo cambia con el tiempo I y su razón de cambio está dada por dV/dl =

3J1 + (t/4) m 3/min. Exprese V como función de I suponiendo que cuando

men es 20 m3.

I =

4 min, el volu­

inclinado con una aceleración de 50 cm/seg 2• Si no se le imprime velocidad inicial a la pelota, ¿qué distancia recorrerá en I segundos? ¿Qué velocidad inicial habría que dar a la pelota para que rodara 25 m en 5 segundos?

36 La razón de cambio de la temperatura T de una solución está dada por dT/dl = (1/4)1 + lO, donde I es el tiempo en minutos y T está medida en grados Celsius. Suponiendo que la tempera­ tura es 5°C en I = O, encuentre una fónnula para T en ténnínos de l.

38 Suponga que la pendiente de la recta tangente en el punto P a la gráfica de una ecuación es ígual al cuadrado de la abscísa de P. Encuentre la ecuación suponiendo que la gráfica contiene (a) el origen; (b) el punto (3,6); (c) el punto ( -1, 1). Dibuje la gráfica en cada uno de los tres casos.

206

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

39 Suponga que F y G son antiderivadas de I y g respectivamente. Demuestre lo siguiente o prue­ be que es falso. (a) FG es una antiderivada de Ig. (b) F/G es una antiderivada de I/g.

40 Suponga que F es una antiderivada de f De­ muestre que (a) si F es una función par, entonces I es una función impar. (b) si F es una función impar, entonces les una función par.

4.10 APLICACIONES A LA ECONOMIA El cálculo ha llegado a ser una herramienta importante para algunos problemas que surgen en la economía. Como veremos en esta sección, si se usa una función f para describir alguna cantidad económica entonces se utiliza el adjetivo marginal al referirse uno a la derivada 1'. Si el costo de producir x unidades de cierto artículo de consumo se denota por C(x) entonces C se llama la funci60 de costo. La fmaci60 de costo medio c(x) de una unidad se define como c(x) = C(x)/x. Para poder usar los métodos del cálculo se considera a x como un número real aunque en la realidad esta variable sólo puede tomar valores enteros. Siempre supondremos que x ~ Opuesto que la producción de un número negativo de artículos no tiene ningún significado práctico. La derivada C ' de la función de costo se llama la funci60 de costo marginal. Si interpretamos la derivada como una razón de cambio (vea la sección 7), entonces C'(x) es la razón de cambio del costo con respecto al número de unidades producidas. El número C/(x) se denomina el costo marginal asociado a la producción de x unidades. Evi· dentemente, C(x) > O ya que el costo aumenta a medida que se produce mayor número de artículos. Si C denota la función de costo y n es un entero positivo, entonces según el teorema (3.7) ') C (n

= l'1m C(n + h) -

C(n)

h

h-O

.

Por lo tanto si h es pequeño entonces '( C(n C n) ~

+ h)

h

- C(n)

.

Cuando el número n de unidades producidas es grande, los economistas toman h = 1 en la fórmula anterior para obtener así una aproximación al costo marginal, a saber e(n) ::: C(n

+

1) - C(n).

En este contexto, el costo marginal asociado a la producción de n unidades es (aproximadamente) el costo de producir una unidad más. Algunas empresas encuentran que el costo C(x) de producir x unidades de cierto artículo está dado por una fórmula como C(x)

= a + bx + dx 2 + kx 3 .

La constante a representa el gasto fijo global que incluye gastos como renta, cale­ facción, electricidad, etcétera, que son independientes del número de unidades

APLICACIONES A LA ECONOMIA

4.10

207

producidas. Si el costo de producir una unidad fuese b y ningún otro factor inter­ viniese, entonces el segundo ténnino bx en la fórmula representaría lo que cuesta producir x unidades. Si x crece mucho entonces los términos dx 2 y kx 3 pueden afectar seriamente los costos de producción. Ejemplo 1

Una empresa calcula que el costo de producción de x unidades de cierto artículo de consumo está dado por C(x) = 200

+ 0.05.\" + 0.000Ix 2 .

Encuentre el costo, el costo medio y el costo marginal por producir (a) 500 unidades; (b) 1000 unidades; (c) 5000 unidades.

Solución

El costo medio por producir x unidades está dado por c(x)

C(x)

200

= -x- = - x + 0.05 + O.OOOlx.

El costo marginal es e(.\")

= 0.05 + 0.0002x.

Dejamos al lector la tarea de verificar los números de la tabla siguiente, en donde las tres últimas columnas están redondeadas al centésimo más próximo. x

c(x)

C(x)

= C(x) x

500 1,000 5,000

0.50 0.35 0.59

250.00 350.00 2950.00

C(x) 0.15 0.25 1.05

La derivada c'(x) del costo medio c(x) se llama el costo medio marginal. Apli­ cando la regla del cociente a c(x) = C(x)/x obtenemos é(x)

= xC(x) :- C(x) x¿

y por consiguiente el costo medio tendrá un valor extremo cuando xC'(x) - C(x)

=O

es decir cuando C(x) C'(x) = - = c(x).

x

Por lo tanto se tiene un costo medio mínimo solamente cuando los costos medio y marginal son iguales.

Ejemplo 2

En el ejemplo 1 encuentre (a) el número de unidades para el cual el costo medio es mínimo y (b) el costo medio mínimo.

208

4

Solución

(a) Según la discusión anterior debemos tener C'(x) = c(x), es decir

APLICACIONES DE LA DERIVADA

200

0.05 + 0.0002x = -

x

+ 0.05 + O.ooolx.

Esta ecuación se simplifica a

200

O.ooolx = ­ x

o

200

2

x = 0.0001 = 2,000,000.

Por lo tanto x = J2,000,000 ~ 1414.

Puede usarse el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada para verificar que para este número de unidades el costo medio es mínimo. (b) Usando el resultado obtenido en la parte (a), vemos que el costo medio mínimo es

200

+ 0.05 + 0.0001(1414) :::: 0.33.

c(1414) = 1414 Ejemplo 3

Una empresa determina que el costo C(x) por producir x unidades de cierto ar­ tículo de consumo es aproximadamente x2

10

C(x)

= 100 + -; + 200'

¿Cuántas unidades deben producirse para que el costo sea mínimo? Solución

Como el costo marginal es C'

(x)

=-

10

x2

x

+ 100

la función de costo tendrá un valor extremo si

10 x

- -2+ - = 0 x 100 o equivalentemente -1000 + x 3 loox 2

= O.

Despejando x obtenemos x = 10. Se deja al lector la tarea de probar que un mínimo absoluto en x = 10.

e tiene

Una empresa debe tomar en cuenta muchos factores para determinar un precio de venta. Además del costo de producción y la ganancia deseada, el vendedor debe conocer la manera en que la demanda de los consumidores varía cuando el precio

APLICACIONES A LA ECONOMIA

4.10

209

aumenta. Para algunos artículos la demanda es constante y los cambios de precio afectan poco sus ventas. Para los artículos que no son de primera necesidad en la vida, un aumento de precio frecuentemente acarrea una disminución en el número de unidades vendidas. Supongamos que una empresa sabe, por experiencia, que puede vender x unidades cuando el precio de una unidad es p(x), siendo p cierta función. A veces decimos que p(x) es el precio por unidad cuando hay una demanda de x unidades. Llamamos a p la función de demanda del artículo en cuestión. El ingreso o la recaudación total es el producto del número de unidades vendidas por el precio de una unidad, es decir, x . p(x). Por esta razón la función R definida por R(x)

= xp(x)

se llama la función de ingreso total o la función de recaudación total. Las derivadas p' y R ' se llaman la función de demanda marginal y de ingreso marginal respectiva­

mente. Se usan para encontrar las razones de cambio de la demanda y del ingreso total con respecto al número de unidades vendidas. Si definimos S = p(x), entonces S es el precio de venta de un artículo asociado a una demanda de x unidades. Como una disminución de S generalmente va acom­ pañada de un aumento en x, la función de demanda p casi siempre es decreciente, es decir p'(X) < O para todo x. En algunas ocasiones las funciones de demanda se definen implícitamente por medio de una ecuación que involucra a S y a x, como en el ejemplo siguiente. Ejemplo 4

La demanda de x unidades de cierto artículo de consumo está relacionada con el precio de venta S (pesos por unidad) por medio de la ecuación 2x + S2 - J2000 = O. Encuentre la función de demanda, la función de demanda marginal, la función de ingreso total y la función de ingreso marginal. Encuentre el número de unidades y el precio por unidad para los que se alcanza el ingreso máximo. ¿Cuál es el ingreso máximo?

Solución

Como S2 dada por

=

12000 - 2x y S es positivo, vemos que la función de demanda p está

s = p(x) = JI 2000 -

2x.

El dominio de p consta de todos los x tales que 12000 - 2x > O, o equivalente­ mente, 2x < 12000. Por lo tanto O ~ x < 6000. En la figura 4.45 aparece un dibujo de la gráfica de p. Teóricamente no hay ventas cuando el precio es JI2000 o aproximadamente 109.54 pesos, y cuando el precio de venta se acerca a O, la demanda se acerca a 6000 unidades. La función de demanda marginal p' está dada por p'(x)

-1

= --;:::=== J12000 - 2x

El signo negativo indica que una disminución del precio va unida a un aumento en la demanda. La función del ingreso total R está dada por

210

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

S(pesos) 100

10 6000

1000

Fixura 4.45.

x(unidades)

Gráfica de la función de la demanda.

R(x)

=

xp(x)

= xJ12000 -

2x.

Derivando esta función y haciendo simplificaciones obtenemos la función de in­ greso marginal R', donde R'(x)

= 12000 - 3x . JI 2000 - 2x

Por lo tanto x = 12000/3 = 4000 es un número crítico de la función de ingreso total R. Como R'(x) es positivo si O ~ x < 4000 y negativo si 4000 < x < 6000, el ingreso total alcanza un valor máximo cuando se producen 4000 unidades. Esto corresponde a un precio de venta de p(4000) = J12000 - 2(4000) ~ $63.25.

El ingreso máximo, que se obtiene vendiendo 4000 unidades a este precio, es 4000(63.25)

= $253,000.

Si se venden x unidades de cierto artículo de consumo a un precio p(x) por unidad, entonces la ganancia G(x) está dada por G(x) = R(x) - C(x)

donde R YC son las funciones de ingreso total y de costo respectivamente. Llamamos a G la funciÓD de ganancia y a G' la función de ganancia marginal. Los números críticos de G son las soluciones de la ecuación G'(x)

=

R'(x) - C'(x)

= O.

Esto demuestra que cuando R'(x) = C'(x), o equivalentemente, R'(x) = c(x), se obtiene una ganancia máxima (o mínima). Por lo tanto, si G toma un valor ex­ tremo entonces el ingreso marginal, el costo marginal y el costo medio son todos iguales.

APLICACIONES A LA ECONOMIA

Ejemplo 5

4.10

211

Una empresa calcula que el costo por producir x unidades de cierto artículo en una semana está dado por C(x)

= x3

-

3x 2

80x

-

+ 500.

Cada unidad producida se vende a un precio de 2,800 pesos. ¿Cuántos artículos deben producirse por semana para que la ganancia sea máxima? ¿Cuál es la má­ xima ganancia posible en una semana? Solución

Como el ingreso que se obtiene al vender x unidades es 2800x, la función de in­ greso total R está dada por R(x) = 2800x. De la discusión anterior a este ejemplo se concluye que la ganancia máxima se obtiene cuando C(x) = R'(x), es decir cuando 3x 2

= 2800.

6x ­ 80

-

Esta ecuación se reduce a x2

-

2x ­ 960

= O,

o (x - 32)(x + 30)

=O

y por lo tanto x = 32 o bien x = - 30. Como la solución negativa es absurda, basta verificar x = 32. La segunda derivada de la función de ganancia G = R - e está dada por G"(x)

=

= O-

R"(x) - C'(x)

(6x - 6).

Por lo tanto G"(32)

=

-6(32)

+6
lo cual indica que se obtiene la ganancia máxima cuando se fabrican 32 unidades por semana. La ganancia máximo semanal es G(32)

= R(32) ­

C(32)

= 2800(32) - [(32)3 - 3(32)2 - 80(32)

+ 500]

= $61,964. Un último comentario acerca de las aplicaciones a la economía que debemos hacer es que si se conoce una función marginal, entonces, a veces, por medio de las antiderivadas, puede encontrarse la función misma, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 6

Una empresa sabe que el costo marginal asociado a la producción de x unidades de cierto artículo está dado por 30 - 0.02x (pesos). Suponiendo que el costo por producir una unidad es de 35 pesos, encuentre la función de costo y el costo por producir 100 unidades.

Solución

Si e denota la función de costo, entonces el costo marginal es la razón de cambio de e con respecto a x, es decir C(x)

= 30 ­

0.02x.

212

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Buscando la antiderivada encontramos que C(x)

= 30x

- 0.01x 2

+K

para algún número real K. Tomando x = l Y usando el hecho de que C(I) = 35 obtenemos 35 = 30 - 0.01

+K

y por lo tanto K = 5.01. Consecuentemente C(x)

= 30x

- 0.01x 2

+ 5.01.

En particular, el costo por producir 100 unidades es

C(lOO) = 3000 - 100

+ 5.01

= $2,905.01.

4.10 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del I a14, C representa la función de costo de cierta mercancía. (a) Encuentre el costo por producir lOO unidades. (b) Encuentre la función de costo marginal, la de costo medio y los valores de ambas en x

=

100.

(c) Encuentre el mínimo de la función de costo medio. (d) Encuentre el valor de x para el cual el costo es mínimo, siempre y cuando sea posible. C(x) = 800

+ 0.04x + 0.0002:<2

+ 6.5x + 0.003x 2

2

C(x) = 6400

3 C(x) = 250 + 100:< + 0.001x 3

4

C(x) = 200

5 Un constructor de motores pequeños calcula que el costo por producir x motores al día está dado por C(x) = 25 + 2x + 256/ jX. ¿Qué pro­ ducción diaria hará que el costo medio sea mínimo?

6

Una empresa encuentra que el costo por producir x litros de cierto producto químico está dado por C(x) = 3 + x + (101:<). Com­ pare el costo marginal al producir diez litros con el costo de producir el undécimo litro.

+ (100Ifi) + (fin 000)

En cada uno de los ejercicios del 7 al 10, la ecuación dada relaciona la demanda de x unidades de cierta mercancía con el precio S de una unidad. Encuentre la función de demanda, la función de demanda marginal, la función de ingreso total y la función de ingreso marginal. Si es posible hacerlo, encuentre el número de unidades y el precio por unidad que proporcionan un ingreso máximo. 7 3S

+ 4x

- 800 = O

9 S2 - 8S - x + 16

=

8 O

x 2 + S + xS - 400 = O

10 Sx 2

-

1000x

+ 144S - 5000 = O

En los ejercicios del II al 14, R denota la función de ingreso total cuando hay una demanda de

x unidades de cierta mercancía. Encuentre (a) la función de ingreso marginal, (b) el ingreso

total máximo y (c) la función de demanda.

APLICACIONES A LA ECONOMIA 11 R(x) = 2xJ400 - x

12

R(x) = 70x - x 2

13 R(x) = x(300 - x 2 )

14

R(x) = 300x - 2X 3 / 2

4.10

213

En los ejercicios 15 y 16 las funciones de demanda y de costo de cierta mercancía se denotan por p y C respectivamente. Encuentre (a) la función de demanda marginal, (b) la función de ingreso total, (c) la función de ganancia, (d) la función de ganancia marginal, (e) la ganancia máxima y (1) el costo marginal cuando la demanda es de 10 unidades. 15 p(x)

= 50 - (x/lO); C(x) = 10 + 2x

16 p(x) = 80 -.¡x-:!; C(x)

= 75x +

2vx=-r

17 Una empresa calcula que para vender x uni­ dades de cierta mercancia el precio por unidad debe ser 1800 - 2x, donde I s x s 100. Su­ poniendo que el costo de fabricación de x unidades es 1000 + x + 0.0Ix 2, encuentre (a) la función de ingreso total, (b) la función de ganancia, (c) el número de unidades para el cual la ganancia es máxima y (d) la ganancia máxima.

18 Un fabricante sabe que x unidades de un pro­ ducto se venderán a 400 - 0.05x pesos cada unidad. El costo de producción de x unidades es 500 + IOx. Encuentre (a) la función de ingreso total, (b) la función de ganancia, (c) el número de unidades para el que la ganancia es máxima y (d) el precio por unidad cuando el ingreso marginal es 300.

19 El costo de fabricar x unidades por día de cierta mercancía es 500 + 0.02x + 0.001x 2 pesos y cada unidad se vende en 8 pesos. ¿Qué produc­ ción diaria hará que la ganancia sea máxima? ¿Cuál es la ganancia diaria máxima?

20 Una compañía que organiza excursiones en autobús se dio cuenta de que cuando el precio era de 180 pesos por persona, tenía un prome­ dio de 1000 clientes por semana. Cuando redujo el precio a 140 pesos por persona el promedio del número de clientes aumentó a 1500 por se­ mana. Suponga que la función de demanda es lineal. ¿Cuál debe ser el precio por persona para obtener un ingreso semanal máximo?

21 Cuando una empresa vendía cierta mercancía a 50 pesos por unidad, había una demanda de 1000 unidades a la semana. Después que el pre­ cio aumentó a 70 pesos, la demanda disminuyó a 800 unidades por semana. Suponiendo que la función de demanda f es lineal, encuentre f y la función de ingreso total.

22 Una función de demanda p está definida por p(x) = ax 2 + b donde a < O y b > O. ¿Qué valor de x hará que el ingreso total sea máximo?

23 Demuestre que si la función de demanda de

24 Demuestre que el ingreso marginal de una mer­ cancía puede hallarse sumando al precio de venta el producto del número de unidades ven­ didas por la demanda marginal.

cierta mercancía es lineal y decreciente para todo x > O, entonces la función de ingreso mar­ ginal también lo es. 25 El costo marginal al producir x unidades de cierta mercancía es de 20 - 0.015x pesos y el costo de producir una unidad es de 25 pesos. Encuentre la función de costo y lo que cuesta producir 50 unidades.

26 Suponiendo que la función de costo marginal es 2/(x + 6)1/3 y que producir 2 unidades cuesta 20 pesos, encuentre la función de costo y lo que cuesta producir 120 unidades.

27 En cierta compañia el ingreso marginal está dado por x 2 - 6x + 15. Encuentre las funciones de ingreso total y de demanda marginal.

28 Resuelva el ejercicio 27 suponiendo que el in­ greso marginal está dado por 4/(x + 2)312.

214

4

4.11

REPASO

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Conceptos Defina o discuta lo siguiente. 2

Máximo absoluto o mínimo absoluto de una función

3 N úmeros críticos de una función

4

El teorema de Rolle

5 El teorema del valor medio

6

El criterio de la primera derivada

7

Máximos o mínimos en los extremos del intervalo de definición de una función

8 Concavidad hacia arriba o hacia abajo

9

Pruebas para determinar la concavidad

Máximo local o mínimo local de una función

11

El criterio de la segunda derivada

13

lim,,_.f(x) =

00;

limx_.f(x) =

-00

10 Punto de inflexión

14 Asintotas horizontales y verticales

15 La derivada como una razón de cambio

16 Velocidad y aceleración en el movimiento rectilineo

17

18

Razones de cambio relacionadas

19 La regla de antiderivación de potencias

La antiderivada de una función

20 Ecuación diferencial

Ejercicios Encuentre unas ecuaciones de las rectas tangente

y normal a la gráfica de la ecuación 6x 2 - 2xy + y3 = 9 en el punto P(2, - 3).

2 Encuentre unas ecuaciones de las rectas que son tangentes a la gráfica de la ecuación x 2 + y2 = I Yque pasan por el punto P(2, 1).

En los ejercicios 3 y 4 encuentre las abscisas de los puntos sobre la gráfica de la ecuación dada, en los cuales la recta tangente es horizontal o vertical. 3 y = (x 2 + 3x + 2)1/3 4 x 2 - 2xy + y2 - 4 = O 5 Sea {(x) = x 3 + x 2 + x + l. Encuentre un número e que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio (4.12) en el intervalo [O, 4]. En los ejercicios del 6 al 8 encuentre los máximos y mínimos locales de f usando el criterio de la primera derivada. Describa los intervalos en los cuales f es creciente o decreciente y dibuje la gráfica de f. 6 f(x) = _x 3

+ 4x 2

-

3x

7 f(x) = li(I

+ x 2 )

8 f(x) = (4 -

X

2

I 3 )X /

En los ejercicios del 9 al II encuentre los máximos y mínimos locales de f usando el criterio de la segunda derivada. Discuta la concavidad, encuentre las abscisas de los puntos de inflexión y dibuje la gráfica de f. 9 f(x) = - x 3

+ 4x 2

-

3x

10 f(x) = l/O

+ x2)

11

f(x) = 40x 3

-

x6

REPASO 12 La función de poslclon de un punto que se

mueve en línea recta está dada por S(I) = (1 2 + 31

+ 1)/(12 + 1).

Encuentre la velocidad y la aceleración al tiem· po 1 y describa el movimiento del punto durante el intervalo de tiempo [-2,2].

4.11

215

13 Se lanza una piedra verticalmente hacia abajo

desde una altura de 300 metros con una veloci­ dad de 10 m/seg. Encuentre su altura sobre el suelo 1 segundos después. ¿Cuál es su velocidad 5 segundos después del lanzamiento? ¿Cuándo llegará al suelo?

En los ejercicios del 14 al 18 encuentre la antiderivada más general de f 14 ¡(x) =

8x 2

4x

-

+5

4

15 ¡(x)

= 3x 5

+ 2:<3 -

x

X

16 ¡(x) = 100

18 ¡(x) = (2:<

+ 1)3

19 Resuelva la ecuación diferencial I"(x) = X 1/3 - 5 suponiendo quef'(l) = 2 Y1(1) = -8.

20 Un hombre desea cercar un campo rectangular y luego subdividirlo en tres parcelas rectangu­ lares iguales colocando dos cercas paralelas a uno de los lados. ¿Si solamente puede costear la colocación de 1000 metros de cerca, qué dimensiones le darán un área máxima?

21 Encuentre la altura del cilindro circular recto

22 Un alambre de 5 metros de largo va a partirse

que puede inscribirse en una esfera de radio a tal que el área de la superficie curva sea máxima.

en dos piezas. Una de las piezas va a doblarse para formar un círculo y la otra para formar un cuadrado. ¿Dónde debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea (a) máxima? (b) mínima?

23 El interior de una pista de carreras de 400 me­ tros consta de un rectángulo con dos semicír­ culos en dos lados opuestos. Encuentre las dimensiones para las cuales el área del rectán­ gulo es máxima.

24 Los vértices de un rectángulo están uno sobre el eje x, otro sobre el eje y, otro sobre la gráfica de y = 4 - x 2 y el otro es el origen. De todos estos rectángulos encuentre el que tiene área máxima.

25 Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto de 30 metros de altura y su base tiene 1 metro de radio. El vértice del cono es el fondo del tanque. ¿Si sale agua del tanque a razón de lOO litros por minuto, a qué velocidad baja el nivel del agua en el momento en que la profundidad es 2 metros?

26 Los extremos de un abrevadero de 3 metros de largo tienen forma de trapecios isósceles cuya base menor mide 1 metro, la mayor mide 1.5 metros y la altura es de 50 centímetros. ¿Si el nivel del agua sube a razón de 1 cm/min cuando la profundidad es 25 cm, cuántos litros de agua están entrando al abrevadero por minuto?

27 Dos automóviles se acercan a la intersección de

28 Un punto P(x, y) se mueve sobre la gráfica de y2 = 2x 3 de tal manera que dy/dl = x, donde 1 representa el tiempo. Encuentre dx/dl en el punto (2, 4).

dos carreteras perpendiculares. El automóvil A viaja por una de ellas a 30 kmfh y el automóvil B viaja por la otra a 60 km/h. En cierto momento A se encuentra a 400 metros y B a SOO metros de la intersección. Encuentre la razón de cambio de la distancia entre los dos automóviles en ese mismo momento.

216

4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

29 La ley de los gases de Boyle dice que p V = e donde p es la presión, V el volumen y e una constante. Encuentre una fórmula para la razón de cambio de p con respecto a V.

30

Un puente de ferrocarril pasa 6 metros arriba de un río y es perpendicular al mismo. Un hombre en un tren que viaja a 100 km/h pasa sobre el centro del puente en el mismo instante en que un hombre en un bote de motor pasa bajo el centro del puente a 30 km/h. ¿Con qué rapidez se están separando los dos hombres 10 segundos después?

Encuentre los límites en los ejercicios del 31 al 38 si es que existen. 31

x- -

34

(x

'X.

lim x- -3

37

(2x - 5)(3.,

Iim

Iim x-o'

d

+ 7){4x + + 27

+

1)

- 9)

32

x-3 3 3

35

(J~ -~) Jx

38

x

+ 11 x~'" Jx + 1 , lim

2x

33

x· lim - - -2 4 - 9x

36

x-2'3'

lim (x - 1)/

Iim

x~ - ~

lim x-3/5-

6 - 7x 4 (3 + 2.'0')

5x - 3

le, - 1)2

x-I

Encuentre las asintotas verticales y las horizontales y dibuje la gráfica de f en los ejercicios 39 Y 40.

3x 2

39

flx) =

9.,1 _ 25

, ~'"])2 x-

40

f(x)

= (x

5

LA INTEGRAL DEFINIDA

El cálculo consta de dos partes principales, el cálculo diferencial y el cálculo integral. El cálculo diferencial está basado en la derivada. En este capítulo definiremos el concepto que es la base para el cálculo integral: la integral definida. Uno de los resultados más importantes que discutiremos será el teorema fundamental del cálculo. Este teorema demuestra que el cálculo diferencial y el cálculo integral están relacionados estrechamente.

5.1

AREA En nuestro desarrollo de la integral definida emplearemos sumas de muchos nú­ meros. Para expresar dichas sumas en forma compacta, es conveniente usar la notación de suma. Para ilustrar esto, sea {al' a2, ... , an} una colección de nú­ meros. El símbolo I a¡ denotará su suma, es decir

L7=

n

L a¡ = al + a2 + a3 + ... + an° ¡= 1

La letra mayúscula griega L (sigma) indica una suma y el simbolo a¡ representa el término i-ésimo. La letra i se llama el índice o la variable de la swna y los números I y n indican sus valores extremos. 4

Ejemplo 1

Encuentre

L: ¡2(i -

3).

;:;1

Solución

En este caso a¡ = i 2 (i - 3). Para encontrar la suma indicada sustituimos la i suce­ sivamente por los enteros 1,2, 3 Y4 Ysumamos los términos así obtenidos. Entonces 4

L ¡2(i j=

3) = 12(1 - 3)

+ 2 2(2 -

3)

+ 3 2(3

- 3)

+ 4 2(4 -

3)

1

= (- 2) + (- 4) + O + 16 = 10. La letra que se usa como índice de la suma es arbitraria. La suma en el ejemplo l también se puede escribir como

217

218

5

LA INTEGRAL DEFINIDA 4

L /(j -

3)

j; I

o de muchas otras maneras. Si a¡ es el mismo número para cada i, digamos a¡ = c, entonces por ejemplo. 3

L a¡ =

Q 1

+

+

a3

Le

=

az

= e + c + e = 3c.

i= 1

En general.

•

(5.1)

ne

i= 1

para todo número real e. El dominio del índice de la suma no tiene que empezar con 1. Por ejemplo. se entiende que s

L

Q¡

= a4

+

as

+

Q6

+

a7

+ as·

¡;4

2;

3

Ejemplo 2

L-,­ ¡=0(/+ 1)

Encuentre

3

¡~o (i

Solución

2; 20 21 2z 23 + 1) = (O + 1) + (l+i) + (2 + 1) + (3 + 1) 4

16

= 1 + 1 +3+2=3' El siguiente teorema es importante para hacer cálculos en los que intervienen sumas. (S.2)

TEOREMA

Si n es cualquier entero positivo y si {al' a z , ...• a.} y {b l , b z .. , • b.} son conjuntos de números entonces

•

(i)

••

L (a¡ + b;) = L a¡ + L b¡; i= 1

(ii)

(iii)

i= 1

¡ti ea¡ = c( ¡ti al •

L (a¡ -

b¡)

=

Demostración.

•

L

¡; I

(a¡

para cualquier número e;

••

L a¡ - L b¡. ;::: J

i= 1

;=-1

i= 1

Para probar la fórmula (i) comenzamos escribiendo

+

b¡)

=

(al

+ bd +

(az

+

b z)

+

(a3

+

b 3)

+ ". +

(a.

+ b.).

AREA

219

5.1

Los términos de la derecha se pueden reagrupar para obtener

•

L (ti, + b¡) =

(ti.

+ a 2 + a3 + ... + a.) + (b l + b2 + b3 + ... + b.).

i= I

Expresando el lado derecho en notación de suma, obtenemos la fórmula (i). Para la fórmula (ii) tenemos

•

L (ca

i)

= cal + ca2 + ca) + ... + ca.

i: I

= c(a 1 + a2

+ a) + ... + a.) = c(.± a¡) . 1=

1

La demostración de (iii) se deja como ejercicio.

Antes de enunciar la definición de integral definida, será instructivo estudiar el área de una región en el plano. Se podrían usar ejemplos de fisica, pero preferimos posponerlos para el siguiente capítulo. Es importante recordar que la discusión de área en esta sección no se debe considerar como la definición de la integral definida. Solamente se incluye para ayudar a motivar la sección 2, de la misma manera que las pendientes de las rectas tangentes y la velocidad se usaron para motivar la defi­ nición de la derivada. Es fácil calcular el área de una región plana acotada por rectas. Por ejemplo, el área de un rectángulo es el producto de su largo por su ancho. El área de un tri­ ángulo es la mitad del producto de su base por su altura. El área de cualquier polí­ gono se puede hallar dividiéndolo en triángulos. Para encontrar áreas de regiones más complicadas, cuyas fronteras son gráficas de funciones, es necesario introducir un proceso que consiste en hallar límites y usar métodos de cálculo. En particular, consideremos una región S en un plano coordenado, acotada por las rectas verticales que intersecan al eje x en a y en b, por el eje x y por la gráfica de una funciónfque es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b]. Una región de este tipo se ilustra en la figura 5.1. Comof(x) ~ O para todo x en [a, b], ninguna porción de su gráfica está debajo del eje x. Por conveniencia nos referiremos a S como la y

a

b

Fi/(ura 5.1

x

220

5

LA INTEGRAL DEFINIDA

región bajo la gráfica de / entre a y b. Nuestro objetivo es definir el área de S. Si n es un entero positivo cualquiera, comencemos dividiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos todos de longitud (b - a)/n. Esto se puede lograr escogiendo

números Xo, XI' X2, ... , Xn con a

=

Xo , b

=

Xn y

b-a

X¡_I = -n­

X¡ -

para i = 1,2, ... , n. Si se denota por L\x la longitud (b - a)/n de cada subintervalo, tenemos L\x

= Xi

-

Xj_ 1>

X¡

y

= Xi-I + L\x

como se ilustra en la figura 5.2. y

a

=

Xo XI X2

~X

Xj_1

X¡

Xn

=b

X

U¡

Figura 5.2

Observando la figura vemos que (S.3)

+ L\x, X2 = a + 2dx, ... , = a + i L\x, ... , X n = a + n dx = b.

Xo = a,. XI = a Xi

Como/es continua en cada subintervalo [X¡_I' x;], se sigue de (4.4) que f tiene un valor mínimo en algún número Ui en [Xi _ l' X;]. Como se muestra en la figura 5.2, para cada i podemos construir un rectángulo tal que uno de sus lados tenga longitud Xi - Xi _ 1 Y el otro lado tenga longitud igual a la mínima distancia f(u¡) del eje x a la gráfica de.f El área de este rectángulo es f(u¡) L\x. La frontera de la región formada por todos estos rectángulos, se llama el polígono rectangular inscrito asociado a la subdivisión de [a, b] en n subintervalos. El área del polígono inscrito es la suma de las áreas de los n rectángulos, o sea f(u¡)L\x

+ f(U2)dX + ... + f(un)dx.

Si usamos notación de suma, podemos escribir esta suma como n

(5.4)

L f(u¡)L\x. j=

1

AREA

S.l

221

Observando la figura 5.2, vemos que si n es muy grande, o equivalentemente si ~x es muy pequeño, entonces la suma de las áreas rectangulares parece estar muy cerca a lo que queremos considerar como el área de S. Razonando intuitiva­ mente, si existe un número A al que la suma (5.4) se acerca cada vez más a medida que ~x se acerca cada vez más a cero (pero ~x #- O), entonces llamaremos a A el área de S y escribiremos

(5.5)

¿

A = lim

f(u¡) ~x.

6,,-0 i= 1

El significado de este "límite de sumas" no es el mismo que el de límite de una función presentado en el capítulo 2. Para eliminar la frase nebulosa "acercarse cada vez más a" y llegar a una definición satisfactoria de A, tomemos un punto de vista ligeramente diferente. Si A denota el área de S, entonces la diferencia

(5.6)

¿

A -

I(u¡)~x

j= 1

es el área de la porción no sombreado en la figura 5.2. Esta porción se encuentra bajo la gráfica defy encima del polígono rectangular inscrito. El número indicado en (5.6) puede ser considerado como el error que se obtiene en el cálculo del área A al sustituirla por el área del polígono rectangular inscrito. Si tuviésemos la noción de área adecuada, deberíamos ser capaces de hacer la diferencia (5.6) arbitrariamente pequeña, escogiendo suficientemente pequeño el ancho ~x. Esta es la motivación para la siguiente definición, en la cual usamos la misma notación que en la discusión anterior. (5.7)

DEFINICION

Sea A un número real. La expresión A

= lim

¿

f(u¡)~x

6,,-Oj= 1

significa que para todo

B

> O existe () > O tal que si O <

~x

< b, entonces

n

A -

¿

f(u¡)~x

<

B.

i= 1

Si A es el límite indicado y tomamos ¡; = 10- 12 , entonces (5.7) nos dice que usando rectángulos suficientemente delgados, la diferencia entre A y el área del polígono inscrito es menor que un billonésimo de una unidad cuadrada. Similar­ mente, si B = 10- 18 podemos hacer esta diferencia menor que un trillonésimo de una unidad cuadrada. En general, podemos hacer la diferencia menor que cualquier número B fijado previamente. Se muestra en textos más avanzados que si f es continua en [a, b], entonces efectivamente existe un número A que satisface (5.7). Llamaremos a A el área bajo la gráfica de f entre a y b. El área A también puede obtenerse mediante poligonos rectangulares circuns­ critos del tipo ilustrado en la figura 5.3. En este caso elegimos el número V¡ en

AREA

5.1

223

y

'-(Xi

XUXI

3

X

ÁX

Figura 5.4

°y 3.

Ejemplo 3

Sea f(x) = 16 - x 2• Encuentre el área de la región bajo la gráfica de f entre

Solución

La región se ilustra en la figura 5.4. Para hacer más clara la figura usamos diferentes escalas en el eje x y el eje y. Si el intervalo [0, 3] se divide en n subintervalos iguales, entonces la longitud ~x de cada subintervalo es 3/n. Usando la misma notación que en (5.3) con el = y b = 3,

°

Xo

Ya que

~x

= 0,

XI

= .1x,

X2

= 2(.1x),

... ,

X¡

= ;(.1x),

...•

x.

= 11(.1.':) = 3.

= 3/n podemos escribir Xi

= i(.1x) = i

(3) =--;;-.3; ~

Como f es decreciente en [0, 3], el número U¡ en [Xi _ l ' x;] en el cual f alcanza su valor mínimo es siempre el extremo derecho Xi, es decir U¡ = Xi = 3i/n. Como

. =.(3i) j _. = 16 - (3;)2 = 16 - -9i, 2

jiu;)

n

n

11­

la suma (5.4) se puede escribir 2

·

L:f(u¡)!\x= ¡=I

9i (3)n­ L:· (16----¡ )

i=1

11

L:. (48n 2W) n

---3 .

i=1

Usando el teorema (5.2) y la fórmula (5.1), esta última suma se puede simplificar como sigue:

· 48 ,--= • 27i 2 (48) }--n n -27"2 -'I ¡~I n i~1 n n i~1 3

Luego, aplicando (5.10) obtenemos

3

.

224

S

LA INTEGRAL DEFINIDA

~ f (u¡).1x=48- 27[n(n + 1)(2n + I)J 6 3 n

i..-

i=1

= 48

9 3 - 2n 3 [2n

+ 3n 2 + n).

Para obtener el área tenemos que hacer tender L\x a O. Como L\x = (b - a)/n, esto se puede lograr haciendo crecer n indefinidamente. Aunque nuestra discusión en la sección 5 del capítulo 4 sobre límites en los que intervíene el infinito se limitó a una variable real x, puede darse una discusión similar para una variable entera n. Suponiendo que esto es cierto, y que podemos sustituir n -+ 00 en lugar de L\x -+ O, tenemos lim

f.

f(Ui).1X

óx-o i= 1

~

=

Iim {48 [2n 3 + 3n 2 + n]1 "-OC 2n f

=

. 48 - -9 l· 1m [2n 11m "_ x 2"_ >

=

. [2 48 - -9 11m

2"-«0

= 48

-

3

2

+ 3n + n

l + -3 + 2" n

n

3

nJ

J

9

2[2 + O + O] = 48 -

9

= 39.

Debido a las suposIcIones que hicimos, nuestra solución no es completamente rigurosa. En efecto, una de las razones para introducir la integral definida es poder resolver problemas de este tipo de una manera simple y precisa. El área en el ejemplo anterior también se puede encontrar usando polígonos rectangulares circunscritos. En este caso elegimos en cada subintervalo [Xi _ l ' x;], el número Vi = (i - 1)(3/n) en el cualf alcanza su valor máximo. El siguiente ejemplo ilustra el uso de polígonos circunscritos para encontrar un área. Encuentre el área bajo la gráfica de f entre O y b, donde b > O.

Ejemplo 4

Seaf(x) =

Solución

Si dividimos el intervalo [O, b] en n partes iguales, entonces la figura 5.5 nos muestra un polígono rectangular circunscrito típico en el cual, igual que en el ejemplo 2,

Xl.

b n

L\x = -

y

Xi

= i(L\x).

Para mayor claridad se usaron diferentes escalas en el eje

X

y el eje y.

Como f es una función creciente, el valor máximo de f en el intervalo se alcanza en el extremo derecho, es decir Vi

bi = Xi = i(.1x) = i(~b) =-¡¡.

La suma (5.8) de las áreas de los rectángulos circunscritos es

[Xi _ I, X;]

AREA

225

5.1

x

Fil(lIra 5.5

= b4 [n(n +

n 4

I)J2

2

En el último paso se usa la fónnula (5.11). El lector puede verificar ahora que 4

L" f(v·).1x = -b4 (n i= 1 1

4

J

+2n +n n4

4

2 )

2 1)

= -b ( I + - + - 2 . 4

n

n

Si hacemos tender .1x a 0, n crece sin límite y la expresión entre paréntesis tiende a l. Se concluye que el área bajo la gráfica es lim

L" f(v¡).1x

~x-o i=

b4

= -.

I

4

5.1 EJERCICIOS

En los ejercicios del I al lO, encuentre las sumas indicadas.

~

¿

6

(3i - 10)

2

S

¿ 1=0

3

6

¿ 1=0

L (l+

1)

4

8

(k - 2)(k - 3)

7

L 2; i= 1

¿

[1

n=1

j= 1

4

k(k - J)

10

4

(9 - 2i)

i= I

j:::l

5

¿

6

8

¿­

5

.,= I S

+ (-1)"]

226

S

LA INTEGRAL DEFINIDA

so

9

L

1000

10

10

;= 1

L

2

k=1

11 Demuestre (iii) del teorema (5.2).

12

Extienda el resultado (i) del teorema (5.2) a (a¡ + b¡ + c¡).

~7=1

13 Encuentre ~7; 1 (;2 + 3i + 5). (Sugerencia: Es­ criba la suma en la forma ~7;1 i 2 + 3~7=1 i + ~7=1 5 Y use (5.10), (5.9) Y (5.1).) n

15 Encuentre

L

(2k -

14

.

L (3;2 -

Encuentre

2i

+

1).

j;:.l

W.

16

Encuentre

k=1

L

(k J

+ 2P

- k

+ 4).

k= 1

En cada uno de los ejercicios del 17 al 26 encuentre el área bajo la gráfica de f entre a y b usando (a) rectángulos inscritos; (b) rectángulos circunscritos. En cada caso dibuje la gráfica de fy rectángulos tipicos, usando en el dibujo una notación semejante a la de las figuras 5.4 y 5.5.

= O, b = 2

17 j(x)=2x+3;a=O,b=4

18 j(x) = 8 ­

19 j(x)=x 2 ;a=O,b=5

20

j(x)=x 2 +2;a=I,b=3

21 j(x)=3x 2 +5;a= l,b=4 (Sugerencia: x¡ = l + (3i/n).)

22

j(x)=7;a=-2,b=6

23 j(x) = 9 - x 2 ; a = O,b = 3

24

j(x) = 4x 2

J

3x; a

+ 3x + 2;

a

=

I,b

=5

J

25 j(x)=x +l;a=I,b=2

26

j(x)=4x+x ;a=O,b=2

27 Use área base bajo

28

Sea j(x) = px 2 + qx + r y f(x) ~ O para todo x. Demuestre que el área bajo la gráfica de j entre O y b es

la definición (5.7) para demostrar que el de un triángulo rectángulo de altura h y b es ibh. (Sugerencia: Considere el área la gráfica de f(x) = (h/b)x entre O y b.)

p(~J) + q(b2

2

29 Use inducción matemática para demostrar (5.9), (5.10) Y(5.11).

30

)

+ rb.

Demuestre (5.9) escribiendo

S=I+

2

+· .. +n

S=n+(n-I)+···+I y sumando después los lados correspondientes de estas ecuaciones.

S.2

DEFINICION DE LA INTEGRAL DEFINIDA En las matemáticas y sus aplicaciones aparecen frecuentemente procesos semejantes al que se usó en la sección anterior. Las situaciones que se presentan, conducen a menudo a límites de la forma n

(5.12)

lim

L f(Wi)~X.

dx-O i= 1

DEFINICION DE LA INTEGRAL DEFINIDA

5.2

227

Un caso especial de este límite apareció en la definición (5.7); sin embargo, hay varias diferencias entre el caso general y el análisis hecho en el estudio de las áreas. En nuestra discusión de áreas en la sección anterior supusimos lo siguiente. 1.

La función f es continua en un intervalo cerrado [a, b J.

2. f(x) es no negativo para todo x en [a, b]. 3. Todos los subintervalos [X¡_I' x¡J obtenidos al dividir [a, bJ tienen la misma longitud ~x. 4. Los números W¡ siempre se eligen de manera que f(w¡) es el valor mínimo (o máximo) defen [X¡_I'X;].

Estas cuatro condiciones no siempre se satisfacen en los problemas que, para re­ solverse, requieren métodos semejantes al que se usó en el problema del área. Por esto es necesario generalizar el concepto de límite en (5.12) a Jos siguientes casos. 1'. La función puede ser discontinua en algunos puntos de [a, b].

2'. f(x) puede ser negativo para algún x en [a, b].

3'. Las longitudes de los subintervalos [x¡ -1' x;] pueden ser diferentes entre si.

4'. El número W¡ puede ser cualquier número en [X¡_I' x;].

Empezaremos introduciendo tenninología y notaciones nuevas. Una partición P de un intervalo cerrado [a, b J es una descomposición cualquiera de [a, b J en sub­ intervalos de la forma [XO.Xl]. [X l ,X2],

[X 2 ,X3]"'"

[x._l,x.]

donde n es un entero positivo y los X¡ son números tales que a'"', Xo

< Xl <

X2

<

X3

La longitud de [Xi -1' x;] se denotará por ~x¡ =

< ... < ~x¡,

X._I

<

x. =

b.

es decir

X¡ - Xi-l'

Una partición típica de [a, b J se muestra en la figura 5.6. El mayor de los números ~XI' ~X2" .. , ~X. se l1ama la norma de la partición P y se denota por IIPII .

.1Xl

.1X2

.1X3

.----.,~

I

a

I

I

I I I

= Xo Fi¡:u,.a 5.6.

Una partición de [a, b].

El siguiente concepto, l1amado así en honor del matemático B. Riemann es fundamental para la definición de la integral definida.

(l82~1866),

228 (5.13)

5

LA INTEGRAL DEFINIDA

DEFINICION

Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a, b] Ysea P una partición de [a, b]. Una suma de Riemann de f para P es cualquier expresión R p de la forma Rp

=

•

I

f(w¡) ~x¡

¡= I

donde W¡ es algún número en [x¡_¡,x¡) para i = 1,2, ... , n. Las sumas en (5.4) y (5.8) que representan sumas de áreas de ciertos rectángulos son casos particulares de sumas de Riemann. Sin embargo en la definición (5.13), f(w¡} no necesariamente es el valor máximo o mínimo defen [x¡_¡,x¡) y por lo tanto si construimos un rectángulo de altura f(w¡} y ancho ~Xi como se muestra en la figura 5.7, puede ser que el rectángulo no sea ni inscrito ni circunscrito. y

X¡_¡

x¡

x

w¡

FiKura 5.7

En general, como f(x) puede ser negativo para algún x en [a, b], algunos términos de R p en (5.13) pueden ser negativos. En consecuencia una suma de Riemann no siempre representa una suma de áreas de rectángulos. Sin embargo es po­ sible dar una interpretación geométrica de las sumas como sigue. Si R p está definida como en (5.13), entonces construyamos para cada subintervalo [X¡_I' x¡) un segmento de recta horizontal que pase por (w¡,J(w¡}), obteniendo así un conjunto de rectángulos. Si f(w¡} es positivo, entonces el rectángulo está encima del eje x, tal como se ilustra en los rectángulos sombreados en la figura 5.8. En este caso el producto f(w i ) ~x¡ es el área de dicho rectángulo. Si f(w i } es negativo, entonces el rectángulo está debajo del eje x, como se ilustra con los rectángulos no sombreados en la figura 5.8. En este caso el producto f(w¡) ~x¡ es el valor negativo del área del rectángulo. Por lo tanto, R p es la suma de las áreas de los rectángulos que están encima del eje x más los valores negativos de las áreas de los rectángulos que están debajo del eje x.

DEFlNICION DE LA INTEGRAL DEFINIDA

229

5.2

y

y =f(x)

a = Xo

x

XI

Figura 5.8

Ejemplo

Suponga quef(x) = 8 - (x 2 /2) y que P es la partición de [O, 6] en los cinco subinter­ valos determinados por Xo = O, XI = 1.5, X 2 = 2.5, X 3 = 4.5, X 4 = 5 Y X 5 = 6. (a) Encuentre la norma de la partición. (b) Encuentre la suma de Riemann R p si 11'1 = 1, 11'2 = 2, 11'3 = 3.5, 11'4 = 5 Y 11'5 = 5.5.

Solución

El dibujo de la gráfica de f se encuentra en la figura 5.9. También se muestran en la figura los puntos sobre el eje X correspondientes a las Xi y los rectángulos de alturas lf(w¡) I para i = 1,2,3,4 Y 5. Entonces ~Xl

= 1.5,

= 1,

~X2

~X3 =

2,

~X4

= 0.5,

y

_1123456

-2 - 3

- 4

- S - 6 - 7

Fi¡:u,.a 5.9

X

~X5

= 1,

230

5

LA INTEGRAL DEFINIDA

y de aquí se ve que la norma

IIP 11 de la partición es

~X3'

o sea 2. Por la definición

(5.13)

Rp

= = =

+ f(W2)~X2 + f(W3)~X3 + I(w4)~x4 + l(w5)~x5 l(I)( 1.5) + l(2)( 1) + /(3.5)(2) + l(5)(0.5) + l(5.5)(I) (7.5)(1.5) + (6)(1) + (1.875)(2) + (-4.5)(0.5) + (-7.125)(1) I(wl )~Xl

lo cual se reduce a R p

=

11.625.

De aquí en adelante no siempre especificaremos el número n de subintervalos de una partición P. En tal caso la suma de Riemann (5.13) se escribirá

Rp

(5.14)

= L:f(w¡)~x¡, ¡

donde se entiende que los términos de la forma f(w¡)~x¡ deberán sumarse sobre todos los subintervalos [x¡ _l ' x¡J de la partición P. De manera semejante a la que se usó para formular la definición (5.7), de­ finiremos a continuación lo que significa lim L:f(w¡) ~x¡ = 1 IIPII-O ¡

donde I es un número real. Intuitivamente, querrá decir que si la norma IIPII de la partición P tiende a O, entonces toda suma de Riemann para P tiende a l. (5.15)

DEFINICION

Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a, b] Y sea I un número real. La afirmación lim L:f(w¡) ~x¡

=1

IIPII-O ¡

significa que para todo E; > O existe ¿j, entonces

¿j

> O tal que si P es una partición de

[a, b] con IIPII <

I~f(w¡)~x¡ - 1 1<

E;

para cualquier elección de números W¡ en los subintervalos [x¡ -1' Xi] de P. El número I se llama el límite de las sumas de RiemaoD. Observe que para cada ¿j > O hay un número infinito de particiones tales que ¿jo Es más, para cada una de estas particiones P, hay un número infinito de maneras de elegir los números W¡ en [X¡ -1' x;]. Por lo tanto, puede haber un número infinito de sumas de Riemann asociadas con cada partición P. Sin embargo, si existe el límite 1, entonces para cualquier e, cada una de estas sumas difiere a 10 más E; unidades de 1, siempre y cuando se elija una norma suficientemente pequeña. Aunque la definición (5.15) es diferente de la definición de límite de una función, se puede usar una demostración parecida a la que se da en el apéndice 11 para probar que si el límite I existe, es único.

IIP 11 <

DEFINICION DE LA INTEGRAL DEFINIDA

5.2

231

A continuación definimos la integral como un límite de sumas de Riemann. (5.16)

DEFINICION

Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a, b]. La integral definida de f desde a hasta b denotada por J~f(x) dx, está dada por

l

b f(x)

dx

= lim

¿f(w¡) l\x¡,

IIPII-O

11

i

siempre que el límite exista. Si la integral definida de f desde a hasta b existe, se dice que f es integrable en el intervalo cerrado [a, b], o decimos que ~f(x) dx existe. El proceso de hallar el número representado por el límite anterior, se llama calcular la integral. El sím bolo Jen la definición (5.16) se llama signo de integral. Puede considerarse como una letra S alargada (la primera letra de la palabra suma) y se usa para indicar la relación entre las integrales definidas y las sumas de Riemann. A los números a y b se les llama los limites de integración; a se llama el límite inferior y b el límite superior. En esta terminología la palabra límite se usa para denotar el número mínimo y el número máximo del intervalo [a, b] Y no tiene nada que ver con las definiciones de límite dadas anteriormente. La expresión f(x) que aparece a la de­ recha del signo de integral se llama el integrando. Finalmente, el signo dx a con­ tinuación de f(x) no debe confundirse con la diferencial de x definida en el capítulo 3. En esta etapa de nuestro trabajo únicamente se usa para indicar la variable. Más adelante en el texto, el uso del símbolo diferencial tendrá ciertas ventajas prácticas. Se pueden usar otras letras en lugar de x en la notación de la integral definida, puesto que en la descripción de una función no importa cuál es el símbolo usado para denotar la variable independiente. Por lo tanto, si fes integrable en el intervalo [a, b], entonces

J

f

f(x)dx =

f

f(s)ds =

f

f(t)dt

Y así sucesivamente. Debido a esto a la letra x en la definición (5.16) se le llama a veces variable muda. Siempre que se use un intervalo [a, b] se supondrá que a < b. Por lo tanto la definición (5.16) no toma en cuenta aquellos casos en los cuales el límite inferior de integración es mayor o igual que el límite superior. La definición puede extenderse para incluir el caso en el cual el límite inferior es mayor que el límite superior. (5.17)

DEFINICION

Si e > d, entonces ff(X)dX

=-

ff(x)dX

siempre que esta última integral exista.

232

5

LA INTEGRAL DEFINIDA

En palabras, la definición (5.17) dice que "el intercambio de los límites de integración cambia el signo de la integral." Después de haber considerado el teorema fundamental del cálculo se verá una razón para dar la definición (5.17) en esta forma. El caso en que el límite inferior de integración es igual al límite superior, queda cubierto con la siguiente definición. (5.18)

DEFINICION

Sif(a) existe. entonces

J: f(x)dx

= O.

J

No toda funciónfes integrable. Por ejemplo, si el valor def(x) se hace infinito positivo o infinito negativo para algún número en [a, b], entonces la integral de­ finida no existe. Para ilustrar esto, suponga quef está definida en [a, b] Y lim x _ a + f(x) = oo. Entonces dado cualquier número M, puede hallarse un número wI en el primer subintervalo de cualquier partición P, tal que f(w¡}L\x es mayor que M. De esto se sigue que para cualquier partición P podemos hallar una suma de Riemann ¿J(W¡}L\Xi que sea tan grande como queramos. Por lo tanto, si 1 es un número real cualquiera y P es una partición de [a, b], entonces existen sumas de Riemann R p tales que R p - 1 es tan grande como queramos. Esto implica que f no es inte­ grable. Un argumento similar se puede dar si f se hace infinito en cualquier otro número en [a, b]. En consecuencia, si f es una función integrable en [a, b], entonces f es acotada en [a. b], o sea existe un número real M tal que If(x)1 ::::; M para todo x en [a, b]. El lector podría sentirse tentado a hacer la conjetura de que si f es discontinua para algunos valores en [a, b], entonces/no es integrable. Esta conjetura es falsa. Las integrales definidas de funciones discontinuas a veces existen y a veces no, dependiendo de la naturaleza de las discontinuidades. Sin embargo, de acuerdo con el siguiente teorema, las funciones continuas siempre son integrables. (5.19)

TEOREMA

Sifes continua en [a, b], entonces fes integrable en [a, b]. Este resultado nos proporciona una clase amplia de funciones integrables. Se puede hallar una demostración del teorema en la mayoría de los textos de cálculo avanzado. Si f es integrable, entonces el límite que aparece en la definición (5.16) existe para cualquier elección de W i en [x i - I ,·xi ]. Esto nos permite escoger una lV i particular si así lo deseamos. Por ejemplo podríamos elegír W i igual a X i - I que es el número mínimo en el subintervalo [Xi _ l' x;]; o podríamos elegir lV i igual a Xi que es el número máximo en el subintervalo [X i - I , x;]. También podríamos elegir W i de manera que fuese el punto medio de [Xi-I' x;], o tal quef(w¡} fuese el valor máximo o mínimo de f en [Xi -1' x;], etc. Además, como el límite es independiente de la elección de las particiones P de [a, b] podemos restringirnos a aquellas particiones particulares en las que todos los subintervalos [Xi _ l ' x;] tienen la misma longitud L\x. Una partición de este tipo se llama partición regular. Veremos en el siguiente

DEFINICION DE LA INTEGRAL DEFINIDA

5.2

233

capitulo que casos particulares como los que acabamos de describir se usan fre­ cuentemente en las aplicaciones. Como consecuencia inmediata, se obtiene que si f es continua y f(x) ~ O para todo x en [a, b] Y si A es el área bajo la gráfica de f entre a y b, entonces A

(5.20)

=

lim ¿f(ud áx 4X-O i

=

fb f(x) dx Q

dondef(u¡) es el valor mínimo defen [x i _¡, x;].

5.2 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del 1 al 4, los números dados {xo, XI' x 2, ... , x.} determinan una partición P del intervalo dado [a, b]. Encuentre dx¡, dX2' ... , dx. y la norma IIP 11 de la partición [0.5]; :0. 1.1,2.6,3.7,4.1, 5}

3 [-3.1]; {-3. -2.7. -1.0.4,0.9,1}

2

[2,6]; {2, 3, 3.7, 4,5.2, 6}

4

[1,4]; {l. 1.6.2,3.5, 4}

En los ejercicios 5 y 6 encuentre la suma de Riemann R p de f, en donde P es la partición re­ gular de [1,5] en los cuatro subintervalos determinados por Xo = 1, x¡ = 2, X2 = 3, X3 = 4, X4

(a) (b) (c)

= 5Y

W¡ es el extremo derecho x¡ de [Xi _¡, Xi] W¡ es el extremo izquierdo X¡_¡ de [X¡_¡, Xi] W¡ es el punto medio de [x¡_¡, x;]

5 f(x) = 2x

+3

7 Sea f(x) = 8 - (x 2j2). Encuentre la suma de

Riemann R p de f donde P es la partición re­ gular de [0, 6] en los seis subintervalos iguales determinados por Xo = 0, XI = 1, X2 = 2, X3 = 3, X4 = 4, Xs = 5. x 6 = 6 Y w¡ es el punto medio del intervalo [Xi -1' X;]. 9 Suponga que f(x) = x 3 y que P es la partición de [-2,4] en los cuatro subintervalos determi­ nados por Xo = -2, XI = 0, X2 = 1, X3 = 3 Y X 4 = 4. Encuentre la suma de Riemann R p cuando w¡ = -1, w2 = 1, w3 = 2 Y W4 = 4.

6

f(x) = 3 - 4x

8

Sea f(x) = 8 - (x 2j2). Encuentre la suma de Riemann R p de f donde P es la partición de [O, 6] en los cuatro subintervalos determinados por Xo = O, XI = 1.5, X2 = 3, X3 = 4.5, X4 = 6 Y W¡ = 1, W2 = 2, w3 = 4 Y W4 = 5.

10

Suponga que f(x) = Ji y P es la partición de [1, 16] en los cinco subintervalos determinados por Xo = 1, X¡ = 3, x 2 = 5, X3 = 7, X4 = 9 Y Xs = 16. Encuentre la suma de Riemann R p cuando w¡ = 1, w2 = 4, w3 = 5, W4 = 9 Y Ws = 9.

En cada uno de los ejercicios del I1 al 14, use la definición (5.16) para expresar cada límite como una integral definida en el intervalo [a, b] indicado. JI

Iim

.

L

(3w¡-2w¡+5)dX¡; [-1,2]

]2

Iim

L 2nw¡(1 + w?) dx¡;

II P II-o¡; 1

.

L n(w¡ -

4)dx¡; [2,3]

IIPII-O¡; ¡

IIPII-O ¡; I

13

Iim

[0,4]

14

Iim

±(.y;;

IIPII-O¡; 1

+4w¡)dx¡; [-4,-3]

234

5

15 Si

H jX dx

17 Si H(5x

4

-

LA INTEGRAL DEFINIDA =

14/3, encuentre

1) dx

=

H jX dx.

30, encuentre H(5r

4

16 -

Encuentre

Bx

2

dx.

18 Si S~llfS ds = 45/4, encuentre

1) dr.

Sil 11 di.

l

En cada uno de los ejercicios del 19 al 22 encuentre el valor de la integral definida, interpre­

tándolo como el área bajo la gráfica de una f,'nción f

19

f 3

20

21

S:~dX

22

23

(2x

+ 6)dx

Encuentre gx 3 dx. (Sugerencia: Vea el ejemplo 4 de la sección l.)

S:.

(7 - 3x)dx

Ja

2

2

-

x dx,a >

°

24 Sea e un número real arbitrario y suponga que f(x) = e para todo x. Si P es una partición cualquiera de [o, b J, demuestre que toda suma de Riemann Rp de f es igual a c(b - o). Use este resultado para probar que S: e dx = c(b - o). Interprete esto geométricamente si e > O. 26

25 Dé un ejemplo de una función continua en el intervalo (0,1) tal que Jóf(x) dx no exista. ¿Por qué esto no contradice al teorema (5.l9)?

5.3

fl

Dé un ejemplo de una función que no sea con­ tinua en [0, l J y tal que Sbf(x) dx exista.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Esta sección contiene algunas propiedades fundamentales de la integral definida. La mayoría de las demostraciones son más bien técnicas y se colocaron en el apéndice II, donde el lector puede estudiarlas cuando su tiempo lo permita. Si f es una función constante dada por f(x) = k para todo x en [a, b] y si P es una partición cualquiera de [a, b], entonces L!(w¡) ~x¡

= Lk ~x¡

i

=

k

L~Xi = k(b -

a),

i

i

para toda suma de Riemann def, ya que la sumaL ~x¡ es la longitud del intervalo [a, b]. Por lo tanto i

Itf(Wi)~Xi -

k(b -

a)1 = Ik(b -

a) - k(b - a)1 =

0,

que es menor que cualquier número positivo e, independientemente de la magnitud de IIPII. Por lo tanto lim L!(Wi)~Xi = IIPII-O i

lim Lk~Xi = k(b - a); 111'11-0 i

es decir,

(5.21)

s:

kdx

= k(b

- a).

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

5.3

235

Esta igualdad está de acuerdo con lo que se discutió sobre áreas en la sección 1, ya que si k > 0, entonces la gráfica de f es una recta horizontal que se encuentra k unidades sobre el eje x y la región bajo la gráfica de f entre a y b es un rectángulo cuyos lados tienen longitudes k y b - a. Por lo tanto el área del rectángulo es k(b - a).

J.!

Ejemplo 1

Evalúe

Solución

Usando (5.21),

2

7 dx.

f2

7dx

= 7[3 - (-2)] = 7(5) = 35.

En el caso especial en el que k cribiendo

s:

= 1 en (5.21), abreviaremos el integrando es­ dx

=b­

a.

Si una función f es integrable en [a, b] Y k es un número real, entonces por el teoremal (5.2) se puede escribir una suma de Riemann para la función kf de esta manera: ¿Iif(w¡)óx¡ = k:¿f(w¡)Óx¡. i

j

En el apéndice 11 se prueba que el límite de la suma en el lado izquierdo, es k veces el límite de la suma en el lado derecho. Si enunciamos este hecho en términos de la integral definida, obtenemos el siguiente teorema. (5.22)

TEOREMA

Si f es integrable en [a, b] Y k es un número real cualquiera, entonces kf es integrable en [a, b] y

s:

Iif(x)dx

=k

f

f(x)dx.

La conclusión del teorema (5.22) a veces se enuncia "un factor constante en el integrando se puede sacar del signo de integral." No está permitido sacar fuera

del signo de integral expresiones en las cuales aparece la variable. Si dos funcionesfy g están definidas en [a, b], entonces por el teorema (5.2) una suma de Riemann para f + g es

:¿ (f(w¡) + g(w¡)] óX¡ = i

¿/(w¡)Óx¡ i

+ ¿g(w¡)Óx¡. i

Sify g son integrables se puede demostrar que la suma en el lado izquierdo de la igualdad puede hallarse sumando los límites de las sumas en el lado derecho. En términos de la integral, esto se enuncia como sigue:

236 (5.23)

5

LA INTEGRAL DEFINIDA

TEOREMA

Sify g son funciones integrables en [a, b J, entoncesf + g es integrable en [a, b J y

f

[f(x) + g(x)] dx

f

=

I(x)dx +

f

g(x)dx.

Se da una demostración en el apéndice n. El resultado análogo para diferencias:

f

(5.24)

f

[f(x) ­ g(x)] dx =

f

I(x)dx -

g(x)dx

también se puede demostrar siempre y cuando f y g sean integrables en [a, b]. El teorema (5.23) se puede extender a cualquier número finito de funciones. Esto es, Sif¡,f2" .. ,h son integrables en [a, bJ, entonces su suma también lo es, y

f

[f¡{x) + =

f

j~(x) + ... + j~(x)]dx

I¡(x)dx +

f

f2(X)dx + ... +

Ejemplo 2

Dado que J~X3 dx = 4 Y gx dx = 2, evalúe g(5x 3

Solución

Podemos proceder como sigue:

s:

(5x 3

-

3x

+ 6)dx

=

s:

3

5x dx -

f

3

3xdx

x dx - 3

=

5

=

5(4) - 3(2) + 12

+

3x

-

s: s:

fj~(x)dx. +

x dx =

6) dx.

f

6dx

+ 6(2 - O)

26.

Sifes continua en [a, bJ y f(x) 2: Opara todo x en [a, b J, entonces, de acuerdo con el análisis de la sección 1, la integral J:f(x) dx es el área bajo la gráfica defentre a y b. Análogamente si a < e < b, entonces las integrales J~f(x) dx y J~ f(x) dx son las áreas bajo la gráfica de f entre a y e, y entre e y b respectivamente. Por lo tanto,

f

I(x)dx

=

fI(X)dX +

f

I(x)dx.

El siguiente teorema muestra que esta igualdad también es válida bajo hipótesis más generales. La demostración se encuentra en el apéndice n.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA (5.25)

5.3

237

TEOREMA

Si o < c < b y fes integrable tanto en [o, cJ como en [l.', bJ, entonces fes integra ble en [o, bJ Y

f

f(x)dx = [f(X)dX

+

f

f(x)dx.

El siguiente resultado muestra que el teorema (5.25) se puede generalizar al caso en el cual c no se encuentra necesariamente entre o y b.

(5.26)

TEOREMA

Si f es integrable en un intervalo cerrado y si o, b y c son tres números cuales­ quiera en ese intervalo, entonces

f

f(x)dx

=

[f(X)dX

+

f

f(x)dx.

Demostración. Si o, b y c son diferentes entre si, entonces hay seis maneras posibles de ordenar estos tres números. El teorema debería demostrarse para cada uno de estos casos y también para los casos en los cuales dos de los números o todos ellos son iguales entre sí. Demostraremos uno de los casos dejando los demás como ejer­ cicio. Suponga que los números están ordenados de tal manera que c < o < b. Usando el teorema (5.25)

r

f(x)dx

=

[f(X)dX +

f

f(x)dx

lo cual a su vez se puede escribir

f

f(xl dx

=-

f

f(x) dx

+

f

f(xl dx.

De la expresión anterior se obtiene la conclusión deseada, ya que el intercambio de los límites de integración cambia el signo de la integral. (Vea la definición (5.17».

Sify g son continuas en [o, bJ y f(x) ~ g(x) ~ O para todo x en [o, bJ, en­ tonces el área bajo la gráfica de f entre o y b es mayor o igual que el área bajo la gráfica de g entre o y b. Esto se generaliza para funciones integrables arbitrarias en el corolario al siguiente teorema. La demostración del teorema se encuentra en el apéndice n.

238

S

(5.27)

LA INTEGRAL DEFlNIDA

TEOREMA

Sifes integrable en [a, b] y sif(x) ~ O para todo x en [a, b], entonces

f (5.28)

f(x)dx

~ O.

COROLARIO

Sify gson integrables en [a, b] y sif(x) ?- g(x) para todo x en [a, b], entonces

f

f(x)dx

~

f

g(x)dx.

Demostración. Como f - g es integrable y f(x) - g(x) [a, b], por el teorema (5.27) tenemos que

f

[f(x) - g(x)] dx

~

O para todo x en

~ O.

Aplicando (5.24) llegamos al resultado deseado.

~

Se puede demostrar que tanto (5.27) como (5.28) son válidos si se sustituye por>. (Vea el ejercicio 28.)

5.3 EJERCICIOS

Evalúe las integrales definidas en los ejercicios del 1 al 6.

f fl

5dX

2

dx

5

fO j2dx

1

4

4

r

6

dx

-1

r

loodx

Resultará de nuestra discusión en la sección 5 que

f

x 1 dx

=

21,

f

xdx

=

15/2, Y

f.4 fidx

=

14/l

Use esto para evaluar las integrales en los ejercicios del 7 al 14

7

10

f f

(3x 1

(3x

+ 5)dx + 2)ldx

8

11

f(6X-I)dX

f

jS;dx

12

f

2x(x

+ 1) dx

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 13

J"(

x - 5)ldx

f

14

(3fi

+

239

5.3

x - 2)dx

1)(

Verifique las desigualdades en los ejercicios 15 y 16 sin evaluar las integrales.

J 2

15

(h 2 + 4)dx

~

J

r

2

(2.\-2

+ 5)dx

(5x 2

16

-

4fi

+ 2)dx > O

En los ejercicios 17 y 18 suponga que f es integrable en [a, b]. 17 Suponga que f(x) ~ M para todo x en [a, b]. Pruebe que S:f(x) dx ~ M(b - a). Ilustre gráficamente este resultado.

18 Suponga que m ~ f(x) para todo x en [a, b]. Demuestre que m(b - a) ~ S:f(x) dx. Ilustre gráficamente este resultado.

En los ejercicios del 19 al 22 exprese cada suma o diferencia como una sola integral del tipo S:f(x) dx. 19 fl/(X)dX 5

21

+

J5

f(x)dx

f<"+hI(X)dX - fhf(X)dX ,.

20 ff(X)dX + ff(X)dX

- 3

<"

23 Pruebe (5.24). (Sugerencia: Escriba f(x) - g(x) = f(x) + [- g(x)] y use los teoremas (5.23) y (5.22).)

22 f/(X)dX -

fl

f(x)dx

24 Suponiendo que f y g son funciones integrables en [a, bJ y que p y q son dos números reales cualesquiera, pruebe que {[!'((X)

"

+ qg(x)]dx

= "

Jh((.\)dX

+ Ilfhg(XldX.

" "

(Sugerencia: Use los teoremas (5.23) y (5.22).)

2S Complete la demostración del teorema (5.26) considerando todas las ordenaciones de a, b y c omitidas.

26 Use el teorema (5.26) para probar que si fes integrable en un intervalo cerrado y si c l , c2 , . • . , c. son números cualesquiera en ese intervalo, entonces

27 Suponga que f es integrable en [a, b] y que f(x) ~ O para todo x en [a, b J. Demuestre que S:f(x) dx ~ O. (Sugerencia: Si f(x) ~ O, entonces - f(x) ~ O.)

28 Demuestre que si f es continua en [a, bJ y f(x) > O para todo x en [a, b J entonces que S:f(x) dx > O. (Sugerencia: Sea f(u) el valor mínimo de f en [a, b J, Pruebe que R p ~ f(u)(b - a) para cual­ quier partición P de [a, b J y cualquier suma R p de Riemann de f para P.)

29 Demuestre que sifes continua en [a,bJ entonces

30 Consulte el ejercicio 29. Suponga que ¡; ,h, ... , f. son funciones continuas en [a, b J, donde n es cualquier entero positivo. Use inducción ma­ temática para probar que

Iff(X)dXI ~ fLnq'llx.

240

5

LA INTEGRAL DEFINIDA

5.4 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDAS Suponga que f es continua y f(x) ¿ O para todo x en un intervalo cerrado [a, h]. Sif(c) > O para algún número e en [a,.h], entonces limx_J(x) > O y por un argu­ mento similar al que se usó en la demostración del teorema¡ (2.10), existe un in­ tervalo [a', h'] contenido en [a, h] tal quef(x) > O para todo x en [a', h']. Sea f(u) el valor mínimo defen [a', h'] como se ilustra en la figura 5.10. Es evidente que el área bajo la gráfica de f entre a y h es al menos f(u)(h' - a'), que es el área del rectángulo sombreado en la figura. En consecuencia J~f(x) dx > O. Este re­ sultado también se puede probar directamente a partir de la definición de la integral definida. y

a

a

u

b'

h

x

Figura 5./0 Si f y g son continuas en [a, h] Yf(x) ¿ g(x) para todo x en [a, h] Yademás f =1= g, entonces f(x) - g(x) > O para algún x y por lo discutido anteriormente J~ [f(x) - g(x)] dx > O. En consecuencia J~f(x) dx > J~g(x) dx. Se usará este hecho en la demostración del siguiente teorema. (5.29)

EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDAS

Si f es continua en un intervalo cerrado [a, h], entonces existe un número z en el intervalo abierto (a, h) tal que

f

f(x)dx = f(z)(b - a).

Demostración. Si f es una función constante, entonces el resultado es una con­ secuencia trivial de (5.21) para cualquier número z en (a, h). Suponga que f no es una función constante, y sean m y M los valores mínimo y máximo de f en [a, h] respectivamente. Sean u y v números en [a, h] tales que f(u) = m y f(v) = M. Como f no es una función constante, entonces para algún x en [a, h] tenemos que m < f(x) < M y por la observación anterior a este teorema,

s:

m dx <

f

f(x) dx <

f

M dx.

EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDAS

5.4

241

Usando (5.21) m(b - a)

<

f

f(x)dx < M(b - a).

Dividiendo por b - a y sustituyendo m y M por f(u) y f(v) respectivamente, ob­ tenemos f(u) < -1b- a

fb f(x)dx < f(v). a

Como [l/(b - a)] J~ f(x) dx es un número entre f(u) y f(v), concluimos del teo­ rema del valor intermedio (2.37) que existe un número z comprendido estrictamente entre u y v, tal que

1

fb

f(z) = b _ a la f(x)dx.

Multiplicando ambos lados por b - a obtenemos la conclusión del teorema. El número z en el teorema (5.29) no es necesariamente único. De hecho, como señalamos en la demostración, si f es una función constante se puede usar cualquier número z. El teorema nos garantiza que al menos un valor de z nos dará el resultado deseado. Si f(x) ~ O en [a, b], el teorema del valor medio tiene una interpretación geométrica interesante. En este caso J~ f(x) dx es el área bajo la gráfica de f entre a y b y el númerof(z) en el teorema (5.29) es la ordenada del punto P en la gráfica de f cuya abscisa es z (vea la figura 5.11). Si trazamos una recta horizontal que pase por P, entonces el área de la región rectangular acotada por esta recta, por el eje x y por las rectas x = a y x == b esf(z)(b - a), que según el teorema (5.29) es igual al área bajo la gráfica de f entre a y b. y

a

b

x

FiKura 5.11

Ejemplo

Se puede demostrar que H [4 - (x 2 /4)] dx = 39/4. Encuentre para esta integral un número que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio.

242

5

Solución

De acuerdo con el teorema del valor medio para integrales definidas, existe un número z entre O y 3 tal que

LA INTEGRAL DEFINIDA

o equivalentemente

Z2)

39 _ (16 4 -

4

(3).

Multiplicando ambos lados de la última ecuación por 4/3 obtenemos que 13 = 16 - Z2 Yde aquí que Z2 = 3. Por lo tanto z = satisrace la conclusión del teo­ rema (5.29).

J3

El teorema del valor medio para integrales definidas se puede usar en la de­ mostración de varios teoremas importantes. Uno de ellos, el más importante. es el teorema fundamental del cálculo que se estudiará en la sección siguiente.

5.4 EJERCICIOS Las integrales definidas dadas en los ejercicios del l al 10 podrán ser verificadas con métodos que se estudiarán posteriormente. En cada ejercicio encuentre un número que satis­ faga la conclusión del teorema del valor medio para integrales (5.29).

J 3x dx == 27 3

1

2

o

-

5

5

l

7

7

1 (x

53

f

(J,l - 2x

+ 3)lix

=

(4x

3

-

1ldx = 14

1

dx = 10

+ 3)1'

8

10

f 4J~

3

fl

6

f(2+3\/X)liX=20

Suponga que f(x) = k para todo x en [a, b]. Demuestre que cualquier número z en [a, b] satisface la conclusión del teorema (5.29). In­ terprete geométricamente este hecho.

12

lix

3¡:;+1 dx = 54

= 45

53 (Xl + ~) lix = ~3 1

11

32

1

.\

Sea f(x) = x y O < a < b. Encuentre (sin inte­ grar) un número z en (a, b) tal que

f

hI(X)dX = I(z)(J¡ - cI).

(J

5.5

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO Aún en los casos más sencillos es bastante dificil evaluar la integral definida mediante el uso de la definición (5.16). Esta sección contiene un teorema que puede emple­ arse para encontrar la integral definida sin usar límites de sumas. Debido a su im­

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

s.s

243

portancia en la evaluación de integrales definidas y puesto que muestra la conexión entre el cálculo diferencial y el cálculo integral, el teorema es justamente llamado el teorema fundamental del cálculo. Este teorema fue descubierto independiente­ mente en Inglaterra por Sir Isaac Newton (1642-1727) yen Alemania por Gottfried Leibniz (1646-1716). Es principalmente debido a este descubrimiento que se les atribuye a estos sobresalientes matemáticos la invención del cálculo. En la discusión que sigue, para evitar confusiones, usaremos la variable t y denotaremos la integral de f de a hasta b por f(t) dt. Si f es continua en [a, b] y si x está en [a, b], entonces f es contin ua en [a, x] y por lo tanto por el teorema (5.19) fes integrable en [a, x] siempre que a ~ x ~ b. En consecuencia la ecuación

S:

(5.30)

G(x)

=

ff(t)dt

define una función G con dominio [a, b], ya que a todo x en [a, b] le corresponde un número único G(x) dado por (5.30). El siguiente teorema enuncia el hecho notable de que G es una antiderivada de f Además muestra cómo se puede usar cualquier antiderivada para encontrar la integral definida de f (5.31)

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. Parte I. Si se define G como G(x) =

r

f(t)dt

para todo x en [a, b], entonces G es una antiderivada de f en [a, b]. Parte 11. Si F es una antiderivada de f, entonces

f

f(x)dx

= F(b)

- F(a).

Demostración. Para probar la parte I tenemos que mostrar que si x está en [a, b], entonces G'(x) = f(x), o sea

Iim G(x + h) - G(x) h

=

I(x).

h~O

Antes de dar una demostración formal, es instructivo considerar algunos aspectos geométricos de esta fórmula. Sif(x) ~ O para todo x en [a, b], entonces G(x) es el área bajo la gráfica de f entre a y x, como se ilustra en la figura 5.12. Si h > O, entonces la diferencia G(x + h) - G(x) es el área bajo la gráfica de f entre x y x + h, el número h es la longitud del intervalo [x, x + h] y f(x) es la ordenada de aquel punto en la gráfica de f cuya abscisa es x. Mostraremos a continuación que [G(x + h) - G(x)]/h = f(z), donde z está entre x y x + h. Razonando in­ tuitivamente parece que si h -+ Oentonces z -+ X y f(z) -+ f(x), que es lo que quere­ mos probar. Demostraremos ahora rigurosamente que G'(x) = f(x) si fes continua en [a, b].

244

5

LA INTEGRAL DEFINIDA y y = f(t)

xzx+h

a

t

Figura 5./2

Si x y x + h están en [a, b], entonces usando la definición de G junto con (5.17) y (5.25), G(x

+ h) -

X+k

f X+k = fX+k

G(x) =

(X

o

f(t)dt -

o

f(t)dt

= fx

+

Jo [

X

f(t)dt

f(t)dt

f(t)dt.

Por consiguiente, si h i'- O, G(x + h) - G(x) h

= ~ fX+k f (

d t) t.

h

x

Si h > 0, entonces por el teorema del valor medio para integrales (5.29), existe un número z (dependiente de h) en el intervalo abierto (x, x + h) tal que

X+k f

f(t)dt =f(z)h

x

y por lo tanto G(x

(5.32)

Como x < z < x

+

+ h~

- G(x) = f(z).

h resulta que

lim f(z) = lim f(z) z ..... x ...

h-+O·

= f(x)

y por lo tanto de (5.32) .

11m

G(x

+ h) h

G(x) - f - (x).

k-O'

Si h < 0, entonces podemos probar de manera similar que · G(x+h)-G(x) l 1m h = k-O­

J

(x).

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

245

5.5

Los últimos dos límites unilaterales implican que

l' G(x G'() x = 1m

+ h) - G(x) h

h-O

= f(x),

que es lo que querímos demostrar. Para probar la parte 11, sea F una antiderivada cualquiera de j y sea G la anti­ derivada particular definida en (5.30). Resulta del teorema (4.33) que F y G difieren por una constante, es decir existe un número e tal que G(x) - F(x) = e para todo x en [a, b]. Por lo tanto, de la definición de G

f

f(e)de - F(x) =

e

para todo x en [a, b]. Si x = a y usamos la definición (5.18), entonces O - F(a) Por consiguiente

r

f(e) de - F(x)

=-

= C.

F(a).

Como ésta es una identidad válida para todo x en [a, bJ, podemos sustituir b en lugar de x obteniendo

f

f(e)de - F(b)

=

-F(a).

Sumando F(b) a ambos lados de esta ecuación y sustituyendo la variable x en lugar de 1, llegamos a la conclusión deseada. La primera parte del teorema fundamental (5.31), en términos del operador diferencial D", implica que D"G(x) = G'(x) = j(x). Esto nos da la fórmula siguiente:

(5.33)

D"

f

f(t)de

=

f(x).

Se suele denotar la diferencia F(b) - F(a) ya sea por el símbolo F(x)]: o por [F(x)J:. Podemos escribir entonces

f

(5.34)

f(x)dx

=

F(X)I

=

F(b) - F(a)

donde F'(x) = j(x). La fórmula anterior también es válida si a a > b entonces por la definición (5.17)

f

f(x)dx = - [ f(x)dx

==

Si a

= b, entonces por

[F(a) - F(b)]

F(b) - F(a).

la definición (5.18)

~

b, ya que si

246

5

LA INTEGRAL DEFINIDA

[ f(x)dx

f = f2

Ejemplo 1

Evalúe

Solución

F(x)

(6x 2

2

2x 3

o=

=

F(a) - F(a).

5) dx.

-

5x es una antiderivada de 6x 2

-

(6x 2

5)dx

-

[2X 3

=

12

5x

-

=

5. Usando (5.34)

-

[2(3)3 - 5(3)] - [2( _2)3 - 5( -2)]

= [54 ­ 15] - [-16 + 10] = 45. Observe que si en (5.34) se usa F(x) resultado, ya que

[F(X)

I

+e

=

+

e en lugar de F(x), se obtiene el mismo

{F(b) + C} - {F(a) + C}

= F(b) - F(a) = [F(X)I. Esto está de acuerdo con la afirmación de que se puede usar cualquier antiderivada F en el teorema fundamental. También observe que para cualquier número k,

[kF(X)I = kF(b) - kF(a)

= k[F(b)

- F(a)] = {F(X)]:;

es decir, se pueden "sacar" los factores constantes del paréntesis cuando usamos esta notación. Este resultado es análogo al teorema (5.22) sobre integrales definidas. integrales definidas. Si f está definida por f(x) = kx' donde k es un número real y r es un número racional diferente de -1, entonces la función Fdefinida por F(x) = (k/(r + 1»X'+l es una antiderivada de f, en el dominio de f Aplicando (5.34) obtenemos la siguiente fórmula para integrales definidas:

l

(5.35)

b

kx' dx

"

=

IJb =

[(_k )x'+ r+l"

(_k ) (b'+ r+1

I _a'+ 1)

siempre y cuando r #­ - l Y [a, b] esté contenido en el dominio de f Si el integrando es una suma de términos de la forma kx' con r #­ -1, entonces se puede aplicar (5.35) a cada término.

J~

3

+

Ejemplo 2

Evalúe

Solución

Elevando al cuadrado x 3

I

(x

1)2 dx.

f

1

+ l y aplicando (5.35) a cada término obtenemos 3

(x + 1)2 dx

=

=

f

1

6

3

(x + 2x + 1) dx

1 7 _x [7

+ 2_x 4 + xJ2 4

-1

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

=

1 l 4 +2 -(2) 7 +-(2) [7 2

J-

5.5

247

J

[1-(-1) 7 +-(-1) l 4 +(-1) =405 -. 7 2 14

Es muy importante notar que

J4

(5X - 2JX +

~) dx.

Ejemplo 3

Evalúe

Solución

Primero cambiamos la forma del integrando para poder aplicar (5.35) a cada término, como sigue:

f

4

(5x - 2X 1 / 2 + 32x- 3 )dx

=

1

[5_x 2 2

2 X 3/2 (3/2)

J4

32 2 + _x­ -2

I

=

5 2 - -(4) 4 3/2 - -16J - [5 -(4) - - -4 - 16] [ 2 3 42 2 3

=

259/6.

Ejemplo 4

Evalúe t21xI dx.

Solución

Por la definición (1.2), Ixl = -x si x < Oy Ixl = x si x ~ O. Esto nos sugiere que usemos el teorema (5.25) para expresar la integral dada como una suma de dos integrales definidas de la manera siguiente:

J3 Ixl dx

=

-2

JO

Ixl dx +

-2 =

JO

O

(-x)dx

- 2

=

+ J3 xdx O

2 _ [x JO 2

=

J3 Ixl dx

-2

2 + [X J3

2 o

-[o - ~J + [~- oJ

Observe que cualquier fórmula de derivación se puede usar para obtener una fórmula de integración. Por ejemplo,

248

S

LA INTEGRAL DEFINIDA ~ DxCyx + 1)

=

imp l'lca que

x ~ yX

2

+

l

DxCx - 5)10 = IO(x - 5)9

implica que

fb

Ja

P+tdX = P+lJb +

x

1

a

[ IO(x - 5)9 dx = (x - 5)10): .

Estas fórmulas no deben memorizarse. En la siguiente sección se discutirá un método que nos permitirá evaluar integrales del tipo antes mencionado.

5.5 EJERCICIOS

Evalúe las integrales definidas en los ejercicios del I al 26.

4

7

( (x 2 - 4x - 3) dx

2

f2 (5 + x -

12

5

{2 dx

(w 4 - 2w 3 ) dw

r

-dx 5 8x 6

2

10

8

~ 7 ds

2s

-1

6

r

2 f2 x - 1 --dx J x - 1

18

J2 (4u-

21

f)2X) - 4x 2 + 5 dx I x

24

f

22

¡-l (

23

dr

1

r

(x 2 +

S

26

t

+ 6u- 4)du

Ix - 41dx

2

fi)dt

fl f- x+

(2w + 3j2dw

I

-)

fii(fi + J3)dt

r (JI -

15

20

Ir

4fi

1)2 dx

JI (4x 2

r -;

ft-3 --dt

f

19

_ 2

9

(Jl60dX

14

17

5)100 dx

l8dx

-6

12

f';;x 2+ F+T dx -

+ 3z - I)dz

+ 2)ds

16

(2x - 3)(5x + I)dx

3

fa (P

f

f

f2 (8z

11

S

13

25

3

7

r 1

2 6x )dx

o

J

8x --d x+2

2

1 (x

+ I)(x + 2)(x + 3) dx

f y x - 31dx

Verifique las identidades en los ejercicios 27 y 28 usando primero el teorema fundamental del cálculo (5.31) y derivando después.

f

J

4fi + 5)dt

27

Dx

29

Encuentre Dx

(t

-

X

f

1

31

= xJ

-

4fi

+ 5 si x

I

-dt, si x > O. t

Sea f(x) = x 2 + 1. Calcule el área de la región bajo la gráfica de f entre -1 y 2.

~

O. 28

Dx

f

(5t + 3)2 dt x

30

Encuentre Dx

= (5x + W

fv o

1

~dt,

I ­ t2

si

Ixl <

1.

32 Sea f(x) = x J • Calcule el área de la región bajo la gráfica de f entre I y 3.

INTEGRALES INDEFINIDAS Y CAMBIO DE VARIABLE

249

5.6

Verifique las fórmulas en los ejercicios del 33 al 36.

En las integrales definidas en los ejercicios del 37 al 40 encuentre números que satisfagan la conclusión del teorema del valor medio para integrales (5.29).

37

r(..¡;

+

I)dx

39

f

I

(3x

3

9

+ 2)dx

40

3 2dx

5

IX

41 Sea I una función continua en [a, b J, entonces se define el valor medio (o el promedio) de I en [a.hJ como el número -I- I(x)dx. b- a • (a) Sea I(x) = x 2 + 3x - 1. Encuentre el valor medio de I en [-1,2].

lb

(b) Suponga que un punto P se mueve en una recta coordenada y su velocidad v es

una función continua del tiempo. Muestre que la velocidad media en el intervalo

de tiempo [a, bJ, es igual al valor medio de v en [a, b].

42 Demuestre que si I tiene una derivada continua en [a, bJ, entonces la razón de cambio media de I(x) respecto a X en [a, bJ (vea la sección 4.7) es igual al promedio de f' en [a, b]. Consulte el ejercicio 41.

5.6

INTEGRALES INDEFINIDAS Y CAMBIO DE VARIABLE Debido a la conexión entre antiderivadas e integrales definidas que proporciona el teorema fundamental del cálculo " se ha hecho costumbre usar signos de integral para denotar antiderivadas. Para poder distinguir estas últimas de las integrales definidas, no se escriben límites de integración con el signo de integral. Explí­ citamente escribimos ff(x)dX

(5.36)

= F(x) + e

si y sólo si F'(x)

= f(x)

donde e es una constante arbitraria. La integral en el lado izquierdo de (5.36) se llama la integral indefinida de f (o de f(x» y simplemente es otra manera de espe­ cificar la antiderivada más general de f En lugar de usar el término anliderivación para el proceso de hallar F dada j, usaremos la expresión integración indefinida. La constante arbitraria e se llama la con~tante de integración, f(x) se llama el inte­ grando y x la variable de integración. Con frecuencia llamamos evaluar la integral indefinida al proceso de hallar F(x) + e en (5.36). En general no daremos explí­ citamente el dominio de F. Siempre supondremos que se ha elegido un intervalo adecuado en el cual fes integrable. En particular se podría usar un intervalo cerrado en el cual f es continua. Al igual que para las integrales definidas, no importa cuál es el símbolo empleado para la variable de integración, ya que por ejemplo f(l) dI, f(u) du, etc. dan lugar a la misma función F que f(x) dx.

J

J

J

.

250

5

LA INTEGRAL DEFINIDA

Como ilustraciones de la nueva notación para antiderivadas tenemos

f

t x 3 + C,

2

x dx =

f( 8e

3

1) de - 5 + (2

y =

2e 4 - 5e -

tI + C.

Para verificar igualdades de este tipo podemos derivar la expresión en el lado derecho y ver si se obtiene o no el integrando. Las fórmulas siguientes son consecuencias inmediatas de la definición de in­ tegral indefinida (5.37) (5.38)

Dx

f

f

f(x) dx

DxCf(x)]dx

= f(x)

= f(x) + C.

Entonces de (5.36) se deduce que D,fI(X)dx = DJF(x)

+ C] = F'(x) = I(x).

La segunda fórmula resulta de que f(x) + e es una antiderivada de D x [f(x)]. Como la integral indefinida de f es una antiderivada, obtenemos a partir del teorema fundamental del cálculo la siguiente relación entre integrales definidas e integrales indefinidas: (5.39)

fr(X)dX

=

[ff(X)dXl

Luego, si se conoce la integral indefinida de una función f, se pueden evaluar in­ tegrales definidas del En capítulos posteriores desarrollaremos métodos para hallar las integrales indefinidas de diversas funciones. En este momento es posible enunciar varias reglas útiles. Por ejemplo la regla de las potencias para integración (inde­ finida) es (5.40)

f x'

dx

=

(r ~ 1) x'

+1

+ C,

donde el exponente r es un número racional y rol-l. En el capítulo 8 extenderemos este resultado a exponentes reales. La fórmula (4.36) que dice que la antiderivada de una suma es la suma de las antiderivadas se puede expresar en la notación de integrales indefinidas en la forma siguiente: (5.41)

fU(X)+g(X)]dX= JI(X)dX+ fg(X)dX. Otra fórmula de integración es

INTEGRALES INDEFINIDAS Y CAMBIO DE VARIABLE

(5.42)

5.6

251

f cf(x)dx = e ff(X)dx donde e es cualquier número real. Para probar esta regla basta derivar el lado derecho, obteniendo

D{ e fI(X)¡}X

J= c· D f f(x)dx = e f(xl x

que es el integrando en el lado izquierdo de (S.42). Es fácil obtener la integral indefinida de cualquier polinomio combinando las últimas tres fórmulas. Al igual que para integrales definidas, toda regla para derivación puede" trans­ formarse en una regla correspondiente para integración indefinida. Por ejemplo

Dx ) x

2

+S=

DAx 3

P+s x2

+ 2X)lO

+S

=

implica que

lO(x 3 + 2x)9(3x 2

f lO(x 3

f

P+s x2

+ 2)

+ S.

dx

= p+5 + e

implica que

+ 2X)9(3x 2 + 2)dx = (x 3 + 2X)10 + C.

Se puede usar un procedimiento parecido conjuntamente con la regla de la cadena para obtener una fórmula general para la integración indefinida. Suponga que F es una antiderivada de una función/, de manera que F' = f Además suponga que g es otra función derivable tal que g(x) está en el dominio de F para todo x en algún intervalo cerrado [a, b]. Podemos ahora considerar la función compuesta definida por F(g(x» para todo x en [a, bJ. Aplicando la regla de la cadena (3.36) y el hecho de que F' = f obtenemos

DxF(g(x» = F'(g(x»g'(x) = I(g(x»g'(x). Esto a su vez nos da la fórmula de integración

f f(g(x»g'(x) dx

= F(g(x» + e,

donde F' = f

Hay una manera sencilla para recordar esta fórmula. Si hacemos u = g(x) y sus­ tituimos formalmente g'(x) dx por la diferencial du, obtenemos (5.43)

f f(g(x»g'(x) dx = f

I

(u)du = F(u)

+ e = F(g(x» + C.

Este artificio de memorización indica que se puede considerar a g'(x) dx como el producto de g'(x) y de dx. En efecto la fórmula (S.43) es una de las razones prin­ cipales para usar el simbolo dx en la notación de integral. Llamaremos cambio de variable o método de sustitución al método de hallar integrales indefinidas mediante (S.43). Como primera aplicación extenderemos la regla de las potencias (S.40) a la siguiente fórmula de potencias de funciones: (5.44)

f

urdu = _1_ ur + 1

r+1

+e

252

S

LA INTEGRAL DEFINIDA

donde u = g(x), du = g'(x) dx y r #- -\. Este es el caso particular de (5.43) en el cual u = g(x) y f(x) = x'. Las soluciones de la mayor parte de los ejercicios en esta sección harán uso de la fórmula (5.44). Más adelante aplicaremos el método de sustitución a otros tipos de integrales.

Ejemplo 1 Solución

Encuentre J(2x 3 + I? x 2 dx. Sea u = 2x 3 + l. Entonces du = 6x 2 dx. Para obtener la forma de (5.43) es necesario introducir el factor 6 en el integrando. Haciendo esto y multiplicando por 1/6 la integral para compensar (esto es válido por (5.42)) obtenemos

f

(2x 3 + 1)7 x 2 dx

= ~f (2x 3 +

1)76x 2 dx.

Haciendo la sustitución indicada e integrando, resulta

f

(2x

3

+ lf x

2

dx

=~

f

7

u du

= ~[~ u8 + K

J

donde K es una constante. Ahora es necesario volver a la variable original x. Como u = 2x 3 + 1, obtenemos de la última igualdad

f

(2x

3

+

2

1)7 x dx

= ~[~(2X3 + =

l 3 48 (2x

+

1)8

+K

J

l

1)8

+ 6K .

En lugar de usar constantes de integración tales como i K, suele escribirse el resul­ tado como

La relación entre K y e es e = iK. Sin embargo no tiene ninguna ventaja práctica el recordar este dato. De aquí en adelante manejaremos constantes de integración de diversas maneras sin mencionar explícitamente las relaciones que existen entre ellas. Más aún, en lugar de proceder como antes, debería estar claro que se puede integrar como sigue: -l

6

f7

u du

= -1[1 -u

6 8

8J + e .

Se pueden hacer sustituciones formales en integrales indefinidas de varias maneras diferentes. Para ilustrar esto, otra forma de resolver el ejemplo l es hacer la siguiente. Definimos

u = 2x 3 + 1,

l du = 6x 2 dx, -du = x 2 dx.

6

INTEGRALES INDEFINIDAS Y CAMBIO DE VARIABLE

5.6

253

Luego en lugar de introducir el número 6 en el integrando, sustituimos directamente du en lugar de x 2 dx como sigue:

i

f

(2x

3

7

+

2

1) x dx =

f

u

7

~ du = ~

f

7

u du

El método de cambio de variable para integrales indefinidas es una herramien­ ta poderosa siempre que el estudiante reconozca que el integrando es de la forma f(g(x»g'(x) o f(g(x»kg'(x) donde k es un número real. La habilidad para re­ conocer esta forma es directamente proporcional al número de ejercicios resueltos.

Jx 17 - 6x

2

Ejemplo 2

Encuentre

Solución

Note que el integrando contiene el término x dx. Si no apareciera la x, no podríamos aplicar el método de cambio de variable. Sea

dx

u=7-6x 2 ,

du= -12xdx,

Si introducimos el factor -12 en el integrando y luego multiplicamos la integral por -1/12 para compensar, obtenemos

f x';;7 -

6x 2 dx = -

=

/2 f ';;7 -

-~f~du 12

=-

/2 f 1

=

6x 2 ( -12)xdx

1 3 U /

du

4 U /3

-12 (4/3) + e

= -

l -(7 - 6X 2 )4/3

16

+ C.

Al igual que en la segunda solución del ejemplo l podemos empezar con du = -12x dx y escribir x dx = (-1/12) duo Entonces el cambio de variable toma la forma

f ~h -

2

6x x dx

=

f J~ (- I~)

du

=-

f

I~ ~ duo

Lo que falta para obtener la solución se hace exactamente igual que antes. El método de sustitución también puede usarse para evaluar integrales definidas. Simplemente encontramos una integral indefinida (es decir una antiderivada)

254

5

LA INTEGRAL DEFINIDA

usando (5.43) Yluego aplicamos el teorema fundamental del cálculo. Otro método, que a veces es más corto, consiste en cambiar los límites de integración. De (5.43) y del teorema fundamental del cálculo obtenemos la siguiente fórmula donde F' =f:

Sl>j(g(S))g'(X)dX = F(g(X))ll>. u

l'

El número en el lado derecho de esta igualdad se puede escribir F(g(b)) - F(g(a))

J

~(b)

= F(u).(,,1

S~(/'}

=

.• 1,,1 I(u)du.

Esto nos da el siguiente resultado importante, en el cual por brevedad no men­ cionaremos de nuevo las restricciones para f y g. (5.45)

EL TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLE

J b

f,(bl I(u) du,

I(g(x))g'(x) dx =

a

donde u

= g(x).

Rlal

El teorema (5.45) afirma que después de hacer las sustituciones u = g(x) y du = g'(x) dx, podemos usar como límites de la integral con respecto a la variable u los valores de g correspondientes a x = a y x = b respectivamente. Entonces no es necesario volver a la variable x después de integrar. Este método se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3

Evalúe

fl0 ~dX. 2

Solución

v 5x - l

Comencemos escribiendo la integral como 3

f

I

10

2

~dx, \./

5x - l

La forma del integrando sugiere la sustitución u = 5x - l. Por supuesto, si = 5x - l entonces du = 5 dx. Para cambiar los límites de integración notamos que

u

Y

si x = 2

entonces

u

si x = 10

entonces

u

Al aplicar el teorema (5.45) obtenemos lo siguiente:

=9 = 49.

INTEGRALES INDEFINIDAS Y CAMBIO DE VARIABLE

3

255

5.6

IO I dx = -3 JIO I 5dx J2 ~ 52~ =~ 5

3

= 5"

f49_I_ du .....(;¡

9

f49 9

U-

I 2 /

du

5.6 EJERCICIOS Evalúe las integrales en los ejercicios del 1 al 22.

J(]x + I)~elx 4

7

10

JJ9-J J(1 + ~

2

;2:: c/z

5

----e/s s

8

~II= 2s

r

1

r 3

el) e/u

11

1

13 16

19 22

(1 2

-

1)3 1dl

14

J I

X

Xl

S)8:<

elx

17

S elx

20

+9 +

3)5 X dx

3

x-2 -clx 4x + 3)3 .

6

- 11(101 3 - Sl)dl

9

(2x

r)s-

12

xdx

r _J

1

f

J lI(Xl J~!14

J

l (v - 2)1

(Xl

J

15

-3 v- d I '

+

1)3 elx

6

18

13 _ 11 2 ell

Xl

(4 _ 3x u

Ji

f

4 - SI

+x

l _ 2X3)4 dx

+ 3)4

du

u I dx

3 2x -

r

I

o (3 - 21')2

J

(3 -

r

21

dI

J I

dll

X3)lXdx

x(

x

+

(3 - .\A)],,3 dx

Encuentre las integrales en los ejercicios del 23 al 26 (a) usando el método de sustitución y (b) desarrollando el integrando. ¿De qué manera difieren las constantes de integración? 23

f

(X

+ 4)2 elx

25

(Ir; + J "

" x

3)2

e/x

dx 1)3

256

5

LA INTEGRAL DEFINIDA

Verifique las identidades en los ejercicios 27 y 28 primero integrando y luego derivando. 27 D x 29

f-,3 J7+5" elx

Encuentre D, "

31 Encuentre

s:

f

f

(3x + 2)7 dx = (3x + 2)7

x4 + 5

28

Dx

l elx. Jx 3 + x + S

30

Encuentre

32

Encuentre Dr

34

Sea f(x) = x/(x 2 + 1)2. Encuentre el área de la región bajo la gráfica de f entre I y 2.

= x 3

D,Jx 2 + 16 elx.

fi+l.

33 Sea f(x) = Encuentre el área de la región bajo la gráfica de f entre O y 3.

f

Dx

{

x

J, + 1

dx.

x 2 + 4 x elx.

En los ejercicios del 35 al 38 encuentre números que satisfagan el teorema del valor medio para integrales. 35

37

roJ?+9" x

d,

36

r "

v/~ + 4 d,

38

f f

3 X

+ I tix

2

6 - x dx J

Verifique las fórmulas en los ejercicios 39 y 40.

41

Sea f continua en [-a, al Demuestre que si es una función par entonces

J f(x)dx u

-u

=

f

42

Sea f continua en [-a, al Demuestre que si f es una función impar entonces J~a.f(x) dx = O. Interprete geométricamente este resultaqo.

2 JU ¡(x)tix o

e interprete geométricamente este resultado.

5.7

INTEGRACION NUMERICA Para evaluar una integral definida Jab f(x) dx por medio del teorema fundamental del cálculo es necesario encontrar una antiderivada de ¡: En el caso de que no se pueda hallar una antiderivada se pueden usar métodos numéricos para calcular aproximadamente la integral con cualquier grado de precisión. Por ejemplo, debido a la definición (5.16) podemos calcular aproximadamente la integral definida me­ diante cualquier suma de Riemann de f siempre y cuando la norma de la partición de [a, b] sea pequeña. En particular si usamos una partición regular con ~x = (b - a)jn, entonces

(5.46)

{f(x)dX

~

JI I(w¡)~x

donde W¡ es cualquier número en el i-ésimo intervalo [X¡-I' x¡) de la partición. Desde luego la precisión de la aproximación depende de la naturaleza de f y de la magnitud de ~x. Puede ser necesario tomar ~x muy pequeño para obtener el grado de precisión deseado. Esto a su vez significa que n es grande y que por lo

INTEGRACION NUMERICA

5.7

257

tanto la suma (5.46) tiene muchos términos. En la figura 5.2 se ilustra el caso en el quef(w¡) es el valor mínimo defen [X i - I, xJ. En este caso el error obtenido en la aproximación a la integral definida defes igual al área de la región no sombreada bajo la gráfica de f y encima de los rectángulos inscritos. Si tomamos W i = Xi _ l ' o sea si evaluamos f en el extremo izquierdo de [Xi - l ' xJ entonces (5.46) se convierte en b

JI f(Xi-¡)Llx. n

f(x)dx ~

J a

Si tomamos W¡ = Xi' o sea si evaluamos f en el extremo derecho de [Xi -1' x¡J en­ tonces (5.46) se convierte en b

J a

n

f(x)dx ~ ¡~I f(x¡)Llx.

Otra aproximación que generalmente es más precisa se puede obtener usando el promedio de las dos aproximaciones anteriores, es decir

Exceptuando f(x o) y f(x n ), cada f(x¡} aparece dos veces y por lo tanto podemos escribir esta expresión como

Como Llx = (b - a)/n obtenemos la siguiente regla. (5.47)

REGLA DEL TRAPECIO

Sifes continua en [a, b] y si los números a = Xo, XI" .. , Xn = b detenninan una partición regular de [a, b], entonces

Jor f(x)dx b

b­ a

~ ~ [f(xo)

+ 2f(x¡) + 2f(X2) + ... + 2f(x n- ¡) + f(x n )].

El ténnino trapecio surge del caso en el que f es no negativa en [a, b]. Como se ilustra en la figura 5.13, si Pk es el punto sobre la gráfica de y = f(x) cuya abscisa es Xk , entonces para cada i entre l y n, ·los puntos sobre el eje X con abscisas Xi - I • Y Xi junto con los puntos Pi _ I Y P; son los vértices de un trapecio cuya área es

~x [f(x¡- d + f(x¡)]. La suma de las áreas de estos trapecios es la misma que la suma en la regla (5.47). En términos geométricos, la regla del trapecio nos da una aproximación del área bajo la gráfica de f entre a y b usando trapecios en lugar de los rectángulos asociados con las sumas de Riemann.

258

5

LA INTEGRAL DEFINIDA y

Xo

Xl

X2

Xj-l

x

Xj

'--v--'

Ax Fil(u,.a 5./3

El siguiente resultado nos da información acerca del máximo error que puede ocurrir en la aproximación de una integral definida usando la regla del trapecio. Se re­ quieren métodos avanzados para su demostración que por lo tanto omitimos. (5.48)

ESTIMACION DEL ERROR PARA LA REGLA DEL TRAPECIO

Si M es un número real positivo tal que 1f"(x)1 ~ M para todo x en [a, b], entonces el error obtenido al usar la regla del trapecio (5.47) no es mayor que M(b - a)3/12n 2 •

n

=

Ejemplo 1

Estime (l/x) dx usando la regla del trapecio con n error posible obtenido con esta aproximación.

Solución

Observe que en esta etapa de nuestro trabajo todavía no sabemos cómo encontrar una función F tal que F'(x) = l/x y por lo tanto no podemos usar el teorema fun­ damental del cálculo para evaluar la integral. Es conveniente arreglar nuestro trabajo en una tabla como sigue. Cada ¡(Xi) se obtuvo con una calculadora de bolsillo y es exacta en las primeras cuatro cifras decimales. i

Xi

¡(Xi)

m

mf(x¡}

O

1.0 1.1 1.2 1.3 lA 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

1.0000 0.9091 0.8333 0.7692 0.7143 0.6667 0.6250 0.5882 0.5556 0.5263 0.5000

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

1.0000 1.8182 1.6666 1.5384 IA286 1.3334 1.2500 1.1764 1.1112 1.0526 0.5000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10. Calcule el máximo

INTEGRACION NUMERICA

259

5.7

La suma de los números en la última columna es 13.874. Como (h - a)/2n = (2 - 1)/20

= 0.05,

se sigue de (5.47) que

f

2

I -dx

c::::;

(0.05)(13.8754)

c::::;

0.6938.

IX

El error en la aproximación se puede calcular mediante (5.48). Como f(x) = l/x, tenemos quef'(x) = -1/x 2 y j"(x) = 2/x 3. El valor máximo dej"(x) en el intervalo [1,2] ocurre en x = I Y por lo tanto

1f"(x)1 ::;

2((1)3 = 2.

Aplicando (5.48) con M = 2 vemos que el máximo error posible no es mayor que 2(2 - 1)3 = _1_ < 2 x 10-3. 12(10)2 600 Se mostrará en el capítulo 8 que la integral en el ejemplo I es igual al logaritmo natural de 2 denotado por In 2. Usando una calculadora de bolsillo es posible verificar que In 2 es aproximadamente igual a 0.69315, resultado exacto en las pri· meras cinco cifras decimales. Para obtener esta aproximación mediante la regla del trapecio es necesario usar un valor muy grande de n. La siguiente regla es por lo general más precisa que la regla del trapecio.

(5.49)

REGLA DE SIMPSON

Suponga que f es continua en [a, b] y que n es un entero par. Si a x n = b determinan una partición regular, entonces

=

xo,

XI' ... ,

f

j(x)dx

~ b ~ a [f(xo) + ~l(xd + 2!(X2) + ~/(X3) + ... + 2j(Xn -2) + 4j(x n -l) + j(x n )].

La idea tras la demostración de la regla de Simpson es aproximarse a la gráfica de f por porciones de gráficas de ecuaciones de la forma y = cx 2 + dx + e en lugar de usar trapecios. Si c #- O, entonces la gráfica de esta ecuación es una parábola. Si Po(x o• Yo), P¡(XI,YI) y P2(X 2, h) son puntos tales que X o < X¡ < X2' entonces al sustituir en la ecuación cuadrática las coordenadas de Po, PI Y P2 respectivamente, se obtienen tres ecuaciones de las cuales se pueden despejar c, d y e. Como caso especial, suponga que h, Yo, Y¡ YY2 son positivos y considere los puntos Po( -h, Yo), p¡(O, Y¡) y P2(h, h) como se ilustra en (i) de la figura 5.14. El área A bajo la gráfica de la ecuación entre - h Y h es A

=

h

J

-h

(cx 2

+

dx

+

e)dx

a3 + -h 2+ ex Jh

=-

3

2

-h

h

= -(2ch 2

3

+

6e).

260

5

LA INTEGRAL DEFINIDA y

-h

y

h

X

Xo

(i)

X

Xl

(ii)

Figura 5.14

Como las coordenadas de Po, p¡ y P2 satisfacen la ecuación y = cx 2 + dx + e, tenemos que Yo = ch 2 y¡

-

dh

+e

=e

h = ch

2

+ dh + e

de donde se obtiene que Yo + 4y¡ + Y2

= 2ch 2 + 6e.

En consecuencia (5.50)

h

A

= 3(Yo + 4y¡ + Y2)'

Si los puntos Po, p¡ y P2 son trasladados horizontalmente como se ilustra en (ii) de la figura 5.14, entonces el área bajo la gráfica sigue siendo la misma. En consecuencia, la fórmula (5.50) es válida para cualesquiera puntos Po, p¡ y P2 siempre y cuando X¡ - Xo = X2 - Xl' Si f(x) ~ O en [a, b], entonces se obtiene la regla de Simpson interpretando la integral definida como el área bajo la gráfica de f entre a y b. Suponga que n es un entero par y que h = (b - a)/n. Eligiendo números a = x o , X¡, ... , X n = b, dividimos a [a, b] en n subintervalos iguales de longitud h. Sea Pk(Xk> Yk) el punto sobre la gráfica def cuya abscisa es X k como se ilustra en la figura 5.15. Si se reemplaza la porción de la gráfica de f que pasa por Po, p¡ y P2 con la gráfica de la ecuación y = cx 2 + dx + e, entonces (5.50) ~ una aproximación del área bajo la gráfica de f entre Xo y X2 . Si se reemplaza de manera similar la porción de la gráfica que pasa por P2 , P3 Y P4 , entonces el área bajo la gráfica defentre X2 YX4 es aproximadamente h

3(h

+ 4)'J + Y4)'

Continuamos de esta manera hasta llegar a la última terna de puntos Pn Pn Ysu correspondiente aproximación al área bajo la gráfica, a saber

2,

Pn -¡,

INTEGRACION NUMERlCA

Yo

Y

1

Y2

261

5.7

Y3

x

Figura 5.15 h

3(Y.- 2

+ 4Y._I + y.).

Sumando estas aproximaciones obtenemos

l

b

a

h

f(x)dx;;:: -(Yo + 4YI + 2Y2 + 4Y3 + ... + 2Y.-2 + 4Y._1 + Y.), 3

que es la misma suma que aparece en (5.49). Si f es negativa en [a, b], entonces se pueden usar los valores negativos de las áreas para probar la regla de Simpson. Usando métodos avanzados se puede probar el siguiente resultado. (5.51)

ESTIMACION DEL ERROR PARA LA REGLA DE SIMPSON

Si M es un número real positivo tal que IP4)(x)1 ~ M para todo x en [a, b], entonces el error obtenido al usar la regla de Simpson (5.49) no es mayor que M(b - a)5/l80n 4 .

Ejemplo 2

Encuentre una aproximación a Ji (l/x) dx usando la regla de Simpson con n = 10. Calcule el error en la aproximación.

Solución

Esta es la misma integral considerada en el ejemplo l. Ordenamos nuestro trabajo como sigue: i

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Xi

f(x¡)

m

mf(x¡)

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

1.0000 0.9091 0.8333 0.7692 0.7143 0.6667 0.6250 0.5882 0.5556 0.5263 0.5000

1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1

1.0000 3.6364 1.6666 3.0768 1.4286 2.6668 \.2500 2.3528 1.1112 2.1052 0.5000

262

5

LA INTEGRAL DEFINIDA

La suma de los números en la última columna es 20.7944. Como (b - a)/3n

= (2 - 1)/30,

se sigue de (5.49) que 2

f

l

-dx

~

(1/30)(20.7944)

~

0.6932.

IX

Usaremos (5.51) para calcular el error en la aproximación. Si f(x) = l/x el lector puede verificar que f4)(X) = 24/x 5. El valor máximo de f4)(X) en el inter­ valo [1,2] se alcanza en x = 1 Y por lo tanto IP4)(x)1 ~ 24/( 1)3

Aplicando (5.51) con M no es mayor que

=

= 24.

24, vemos que el máximo error posible en la aproximación

24(2 - 1)3 = _2_ < 1.4 x 10-5. 180( 10)4 150000 Observe que el error calculado es mucho menor que el que se obtuvo usando la regla del trapecio en el ejemplo l. Un aspecto importante de la integración númerica es que se puede usar para integrar una función descrita en forma tabular. Para ilustrar, suponga que se en­ cuentra experimentalmente que dos variables fisicas x y y están relacionadas como se muestra en la tabla siguiente.

X

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

y

3.1

4.0

4.2

3.8

2.9

2.8

2.7

Si consideramos a y como una función de x, digamos y = f(x), donde f es con­ tinua, entonces puede ser que la integral definida J1f(x) dx tenga un importante significado fisico. En este ejemplo se puede hallar una aproximación a la integral sin conocer la fórmula explícita paraf(x). En particular, si se usa la regla del trapecio (5.47) con n = 6 y (b - a)j2n = (4 - 1)/12 = 0.25, entonces

r

I(x)dx::: 0.25[3.1 ~

+ 2(4.0) + 2(4.2) + 2(3.8) + 2(2.9) + 2(2.8) + 2.7]

10.3.

Como el número de subdivisiones es par, también podríamos hallar una aproximación a la integral mediante la regla de Simpson.

REPASO

263

5.8

5.7 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 6 use (a) la regla del trapecio (5.47) y (b) la regla de Simpson (5.49) para hallar una aproximación a la integral definida para el valor dado de n. Use aproximaciones exactas en las primeras cuatro cifras decimales para f(x¡) y redondée sus respuestas a dos cifras decimales. 4

1 -dx,

f

2 fJ_I- dx , 11 o 1+ x

6

=

11

I X

.l

4

J 2

",!í+x J dx,

5

4

11 =

f

2

I

J

7

I -dx < I <

J

O.O

-ldx, 04+ x

7 Use la regla del trapecio (5.47) con (b - a)/n = 0.1 para mostrar que 2.

8

=

11 =

10

6

f

u

8

I

y4-x­

,dx,

11

Encuentre cotas superiores para los errores en las partes (a) y (b) del ejercicio l.

J'2.8 -dx. I

I X I

X

Suponga que las tablas en los ejercicios 9 y 10 indican la relación entre dos variables fisicas x y y. Suponiendo que y = f(x) donde f es continua, halle una aproximación a Hf(x) dx mediante (a) la regla del trapecio (b) la regla de Simpson.

x

2.00

2.25

2.50

2.75

3.00

3.25

3.50

3.75

4.00

.r

4.12

3.76

3.21

3.58

3.94

4.15

4.69

5.44

7.52

x

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

.r

12.1

11.4

9.7

8.4

6.3

6.2

5.8

5.4

5.1

5.9

5.6

9

10

5.8

REPASO

Conceptos Defina o discuta lo siguiente.

3 5

El área bajo la gráfica de una función continua no negativa entre a y b

2

Partición de [a, b]

Norma de una partición

4

Suma de Riemann

~f(Wi)Lh¡ =

6

La integral definida de f entre a y b

8

Integrando

lim 111'11-0

7

1

i

Límite inferior y límite superior de integración

=6

264

5

LA INTEGRAL DEFINIDA

9

Propiedades de la integral definida

10

El teorema del valor medio para integrales

11

El teorema fundamental del cálculo

12

Integral indefinida

13

Constante de integración

14

Regla de potencias para integración indefinida

15

El método de sustitución

16

Integración numérica

Ejercicios Encuentre las sumas en los ejercicios del I al 3. 5

L

50

(k2

+ 3)

2

L

4

3

8

k=I

k= 1

L

(_1/2)k-2

k=O

4 Suponga que f(x) = I - x 2 para x en [-2,3] Ysea P la partición de [- 2,3] en cinco subinter­ valos iguales. Encuentre la suma de Riemann R p si f es evaluada en el punto medio de cada subintervalo.

5

Haga el ejercicio 4 evaluando derecho de cada subintervalo.

f

en el extremo

6 Dada J~ (x 2 + 2x - 5) dx encuentre números

que satisfagan la conclusión del 'teorema del

valor medio para integrales (5.29).

Encuentre las integrales en los ejercicios del 7 al 27.

7

1'j8?dx

10

J(X 2+ 4)2dx

13

JI2/=W~+=I= 1\'2

J

2 X2 -

16

1

8

X -

dI

dI\'

+ 211" 6

x+2

Jj5I+T

dx

17

J

(3 -

2x - 5x 3 )dx

21

24 25

J

Dy

5 )'4

J

+ 1)(41 2 + 21 -

9 fl

2r

(41

7)2 dI

+ 7 dr

+ 2l + I dy

28 Evalúe J~o ji+7 dx usando (a) la regla del trapecio (5.47) con n = 5 Y (b) la regla de Simpson (5.49) con n = 8. Use aproximaciones exactas en las primeras cuatro cifras decimales para f(x i ) Y redondée su respuesta a dos cifras decimales. 29 Sea f(x) = x 4

J

X

S

+ 4. Encuentre el área de la región bajo la gráfica de f entre O y 2.

30 Use una integral definida para demostrar que el área de un triángulo rectángulo de altura a y base b es ab/2. (Sugerencia: tome los vértices en los puntos (O, O), (b, O) Y (b, a).)

_6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

DEFINIDA

La integral definida es útil para resolver una gran variedad de problemas que aparecen en las aplicaciones. En este capítulo discutiremos algunos problemas sobre área, volumen, trabajo, fuerza ejercida por un líquido, longitud de curvas y algunas cuestiones de economía y biología. Más adelante se considerarán otras aplicaciones.

6.1

AREA Seafuna función continua en un intervalo cerrado [a, b] y suponga quef(x) ~ O para todo x en [a, b]. Entonces, aplicando (5.20), vemos que el área bajo la gráfica de f entre a y b es igual a S: f(x) dx. Si g es otra función continua con valores no negativos en [a, b] y sif(x) ~ g(x) para todo x en [a, b], entonces el área A de la región acotada por las gráficas de J, g, x = a y x = b (vea la figura 6.1), se puede calcular restando el área bajo la gráfica de g del área bajo la gráfica de J, es decir A = ff(X)dX y

f

g(x)dx =

f

[f(x) - g(x)]dx.

y =f(x)

y =g(x) a

b

x

Figura 6.1

Esta fórmula para A se puede generalizar al caso en el que f o g es negativa para algún x en [a, b], como se ilustra en (i) de la figura 6.2. Para calcular el área de la región indicada, elegimos un número negativo d menor que el valor mínimo

265

R5JiiiiF,

266

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA y

y

y =f(x)

y =fl(X)

x

a

d

---------------------

a

(i)

b

x

(ii)

Figura 6.2

de g en [a, b] Yconsideramos las dos funciones fl y g 1 definidas por f¡{x) = f(x) - d,

g¡{x) = g(x) - d

para todo x en [a, b]. Como d es negativo, los valores de fl y g 1 se encuentran su­ mando el número positivo Idl a los valores correspondientes de f y g respectiva­ mente. Geométricamente esto equivale a subir las gráficas de f y g una distancia Idl. obteniendo una región que tiene la misma forma que la original, pero que se encuentra toda ell~encima del eje x. Si A es el área de la región en (ii) de la figura 6.2, entonces A

= = =

f f

[f1(X) - g.(x)] dx

{[f(x) - d] -

f

[g(x) - d]} dx

[f(x) - g(x)] dx.

La discusión anterior se puede resumir como sigue. (6.1)

EL AREA COMPRENDIDA ENTRE DOS GRAFICAS

Suponga quefy g son continuas en [a, b] y quef(x) ~ g(x) para todo x en [a, b]. Entonces el área A de la región acotada por las gráficas de f, g, x = a y x = b está dada por A

=

f

[f(x) - g(x)]dx.

Si g(x) es cero para todo x en [a, b], entonces la gráfica de g es el eje x, y (6.1) se reduce a (5.20). Sif(x) es cero para todo x en [a, b], entonces la gráfica defes el eje x y ocurre la situación ilustrada en (i) de la figura 6.3. En este caso (6.1) toma la forma

AREA

A=

(6.2)

f

267

6.1

[O - g(x)] dx = - ibg(X)dX.

Esta fórmula también se puede deducir observando que la gráfica de la ecuación = -g(x) es la reflexión de la gráfica de y = g(x) respecto al eje x (vea (ii) de la figura l 6.3). Por lo tanto el área de la región acotada por el eje x y las gráficas de g, x = a y x = b es la misma que el área de la región bajo la gráfica de - g entre a y b. Esta está dada por (6.2). y

• y

y y = -g(x)

a

b

x

:b

al

I

x

I

I I

I I

I ,"'-...

I

. , " ' ,,

I

" I

" ... _," y=g(x)

y =g(x)

(i)

(H)

Figura 6.3 La fórmula para A en (6.1) se puede interpretar como un límite de sumas de Riemann. Si definimos la función h por h(x) = f(x) - g(x) para todo x en [a, b], entonces h(x) es la distancia entre las gráficas defy g, es decir la distancia del punto sobre la gráfica de g cuya abscisa es x, al punto sobre la gráfica de f con abscisa x. Igual que en la discusión sobre sumas de Riemann en el capítulo 5, denotemos por P a la partición de [a, b] determinada por los números a = Xo, XI' ... , x" = b. Para cada í sea .1x¡ = X¡ - X¡_I Ysea W¡ un número arbitrario en el intervalo iésimo [Xi _ l ' x¡J de P. Por la definición de h tenemos que

que en términos geométricos es el área del rectángulo de altura f(w¡) - g(w¡} y base de longitud .1x¡ (vea la figura 6.4). La suma de Riemann Ih(w¡).1x¡

=

¿ [f(w¡) -

g(w¡)].1x¡

i

i

es la suma de las áreas de todos los rectángulos dibujados en la figura 6.4 y puede considerarse como una aproximación al área de la región comprendida entre las gráficas de f y g entre a y b. Aplicando la definición de la integral definida, tenemos que lim ¿h(w¡).1x¡ = Jb h(x)dx IIPII~O

¡

11

268

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA y

a=xo

XI

X¡_¡YX¡

X2

Xn

=b

x

t:1x¡

Figura 6.4 o equivalentemente liro

(6.3)

IIPII-O

¿ [f(w¡} -

g(w¡)] t:1x¡

=

fb [f(x) -

i

g(x)] dx

= A.

•

Esta fónnula nos permite adoptar un punto de vista diferente al de (6.1). Cuando usamos (6.3), primero construimos una aproximación a la región mediante rec­ tángulos como los que se muestran en la figura 6.4. Después escribimos la fónnula del área de un rectángulo típico y sumamos todas estas áreas para finalmente tomar el límite de estas sumas como en (6.3) y obtener así el área de la región.

Ejemplo 1

Calcule el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones y = x 2 y y =

Solución

Emplearemos el punto de vista de las sumas de Riemann que discutimos en el párrafo anterior. En la figura 6.5 se muestran la región y un rectángulo típico. Como se indica, la altura del rectángulo es'¡;; - wl y su área es wl) t:1x¡. Usando (6.3) obtenemos

JX.

(.¡;; -

A

=

liro ¿(~

IIPII-O

=

-

W~)t:1Xi

i

[~X3/2 ~X3 -

J:

=

~ - ~ = ~.

El área también se puede calcular sustituyendo directamente en (6.1) f(x) = y g(x) = x 2 •

fi

AREA

269

6.1

y

--l­ ~-w¡

,

1_

1

I

I ,

I

i.,r- W¡ · ~X· X 1-1 A ,

x

~Xi

Fif(ura 6.5

Para calcular áreas por medio de límites de sumas de Riemann, siempre em­ pezamos por dibujar la región con al menos un rectángulo típico, rotulando apro­ piadamente el dibujo, como se ilustra en el ejemplo l. La razón por la cual en­ fatizamos el método de las sumas es que más adelante se usarán procedimientos que involucran límites semejantes a estos para calcular muchas otras cantidades matemáticas y físicas. Si consideramos a las áreas como límites de sumas de Riemann, esto nos facilitará entender las aplicaciones futuras. Al mismo tiempo nos ayudará a consolidar el significado de la integral definida. Ejemplo 2

Encuentre el área de la región acotada por las gráficas de y Y

Solución

+

+ x2

=

6 Y

2x - 3 = O.

En la figura 6.6 se halla un dibujo de la región y un rectángulo típico. Los puntos de intersección de las gráficas (-1, 5) Y (3, - 3) se pueden encontrar resolviendo simultáneamente ambas ecuaciones. Para poder usar (6.1) o (6.3) tenemos que despejar y en terminos de x en cada una de la ecuaciones, obteniendo y

=6-

x

2

Y

y

=3-

2x.

Entonces las funciones f y g están dadas por f(x) = 6 - x 2

Y

g(x) = 3 - 2x.

Como se muestra en la figura 6.6, (6 - wl) - (3 - 2w¡)

es la altura de un rectángulo típico, donde W¡ es algún número en el iésimo inter­ valo de una partición P de [ -1, 3]. El área del rectángulo es [(6 - wl) - (3 - 2w¡)] .1x¡.

Aplicando (6.3) obtenemos

270

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

-----r ___ t'

(6 - w~) - (3 - 2w.) I

x

y=3-2x

Figura 6.6

A =

lim

¿ [(6 -

wf) - (3 - 2w¡)] ~Xj

IIPII-O i

=

=

fl

f

I

2

[(6-x )-(3-2x)]dx

(3 - x

2

+ 2x)dx

Una vez que el estudiante entiende bien el mecanismo intrínseco del límite de sumas de Riemann que se ilustra en los ejemplos 1 y 2, puede saltarse los pasos que involucran a los subíndices y proceder directamente a "plantear" la integral. Por ejemplo, en el ejemplo 2 se puede considerar dx como la longitud de la base de un rectángulo típico. La altura del rectángulo está dada por la distancia (6 - x 2 )

-

(3 - 2x)

entre las fronteras superior e inferior de la región, donde x es un número cualquiera en [ -1, 3]. Entonces, se puede representar el área de un rectángulo cualquiera, sin usar subíndices, como [(6 - x 2 )

-

(3 - 2x)]dx.

Se puede considerar que colocar el símbolo

J:

1

antes de esta expresión, equivale a

AREA

271

6.1

sumar todos estos términos y al mismo tiempo hacer tender a cero las longitudes de las bases. Puesto que uno de nuestros objetivos es enfatizar la definición de la integral definida (5.16), seguiremos usando límites de sumas de Riemann en muchos de los ejemplos de este capítulo. El símbolo W¡ que se usa en las soluciones, siempre de­ notará un número en el iésimo subintervalo de una partición. Aquellos que deseen evitar los subíndices pueden escribir directamente la integral definida que aparece después del límite de sumas de Riemann (siempre y cuando el profesor lo permita). El ejemplo siguiente muestra que para calcular un área, a veces es necesario subdividir una región y usar las fórmulas (6.1) o (6.3) más de una vez.

= 6, Y

- x3

=O

Ejemplo 3

Encuentre el área de la región R acotada por las gráficas de y - x Y 2y + x = O.

Solución

Las gráficas y la región están dibujadas en (i) de la figura 6.7, donde aparece y despejado en términos de x. Se muestran algunos rectángulos típicos que se ex­ tienden desde la frontera inferior hasta la frontera superior de R. Como la frontera inferior consta de porciones de dos gráficas diferentes, no se puede encontrar el área mediante una sola integral definida. Sin embargo, si se divide R en dos sub­ regiones R¡ y R 2 como se muestra en (ii) de la figura 6.7, entonces podemos hallar el área de cada una de ellas y luego sumarlas. y

y

(2,8)

y=x+6

(-4,2)

"'..

~ x

x

(i)

(ii)

Fi!(ura 6.7

Para la región R¡ las fronteras superior e inferior son las rectas y = x + 6 y Y = -x/2 respectivamente, y por lo tanto la altura de un rectángulo típico es (w¡

+ 6)

- ( - w;/2).

.. 272

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Aplicando (6.3) resulta que el área A 1 de R l es

= lim

Al

IIPII~o

L [(w¡ + 6) -

(-w;/2)]~xj

¡

=

f4[(X+6)-(-X/2)]dX

=

fJ~x + 6JdX

=

[~x z + 6XJO 4

O- (12 - 24) = 12.

=

-4

La frontera superior de la region R z está dada por la misma expresión y = x + 6 que la de R l ; sin embargo la frontera inferior está dada por y = x 3 . En este caso la altura de un rectángulo tipico es

+ 6) -

(w i

w~

yel área A z de R z es Iim

Az =

IIPII-O

= =

f

L [(wi + 6) -

w~]~x¡

i

[(x+6)-x 3 ]dx

:4J:

[~z + 6x _

= (2 +

12 - 4) - O = lO.

Por lo tanto el área de toda la región R es Al

+ A z = 12 + 10

= 22.

Algunas veces es necesario encontrar el área A de una región acotada por las gráficas de y = e y y = d Y las de dos ecuaciones de la forma x = f(y) y x = g(y), donde f y g son funciones continuas y f(y) ~ g(y) para todo y en [e, d] (vea la figura 6.8). Igual que en nuestra discusión anterior, pero intercambiando los papeles de x y y, obtenemos la fórmula A

=

f

[f(y) - g(y)] dy

donde ahora consideramos a y como la variable independiente. También se pueden aplicar los métodos de sumas de Riemann a regiones como la de la figura 6.8. En este caso elegimos puntos sobre el eje y con ordenadas Yo, Yl' ... , y", con Yo = e y y" = d, obteniendo de este modo una partición del intervalo [e, d] en subintervalos de longitud ~Yi = Yi - Yi _ 1. Para cada; escogemos un núme­ ro W i en [Yi-l> y consideramos los rectángulos de área [f(w;) - g(w¡)] ~Y¡ como se ve en la figura 6.9. Esto nos lleva a

ya

(6.4)

A

=

lim IIPII-O

L [f(w¡) - g(w¡)]~y¡ = [[f(y) ¡

g(y)]dy,

e

donde la última igualdad se deduce de la definición de la integral definida.

AREA

6.1

273

y

d

x =g(y)

x =f(y)

x Figura 6.8

y

d=Yn

liy¡ {

y¡ w¡ y¡-l

(f(w¡), w¡)

Y¡

e =Yo

- - x=f(y)

x = g(y)

x Fi/:ura 6.9

+

Ejemplo 4

Encuentre el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones 2y 2 = x y x = y2.

Solución

Hay dos dibujos de la región en la figura 6.10 donde en (i) se ilustra la situación que ocurre al usar rectángulos verticales (integración con respecto a x) y en (ii) se ilustra el caso en el que usamos rectángulos horizontales (integración con respecto

4

a y). Al observar (i) de la figura vemos que se necesitan varias integrales definidas para calcular el área. (¿Por qué?) En cambio en (ii) podemos usar (6.4) para calcular el área con una sola integración. Sea f(y) = y2 Y g(y) = 2y 2 - 4. Entonces, ob­ servando (ii) de la figura (6.10), vemos que la longitud f(w¡} - g(w¡} de la base de un rectángulo horizontal es

w¡ -

(2w¡ - 4).

274

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA y

y l-\'¡

(-4,0)

x

x

(-4, O)

x = 2y 2

4

-

(i)

(ii)

FiKura 6./0

Como la altura es

~Yi'

se concluye que el área del rectángulo es

[w1 - (2w1 - 4)J ~Yi'

Usando (6.4), obtenemos que el área de R es

Iim

A =

IIPII-O

=

I

[w1- (2w1- 4)J~Yi

j

f2 [y2 - (2 y 2 - 4)] dy -2

=f2 (4-l)dy -2

En efecto, hubiésemos podido simplificar aún más la integración. Por ejemplo, como el eje x biseca la región, basta encontrar el área de la parte de la región que se en­ cuentra arriba del eje x y multiplicarla por dos, obteniendo asi A = 2

f

[y2 - (2y 2 - 4) Jdy.

6.1 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del I al 20 dibuje la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas, muestre un rectángulo típico vertical u horizontal y encuentre el área de la región.

3

y2

=

-

5 y=

, x­

x, x - y = 4, )' = - 1,

+ 1, .1'

=

8 y = x 3, y = x 2

5

.r = 2 =4

6

Y

9

v=

,

- :C,

1 -

\,2

,

2

y=,jx,y=-x,x=Lx=4

4

x = y2,

.r -

x

= 2, )'

= -

2, Y = 3

.r = -4

7

.r = x 2 , y = 4x

=x

10

x + y = J, Y +

.1'

- 1

\,2

=J

SOLIDOS DE REVOLUCION 12

x = y2,

X -

Y- 2= O

275

6.2

+y

13

)' = x, y = 3x, x

17

x = 4y - y3,x = O

20

)I=:
= 4

14 x-y+I=0,7x-y-17=O,2x+.I'+2=0 15 y=x 3 -x,)'=0

16 Y=X 3 -x 2 -6x,y=0 19

Y

= xJ4=7,y = O

21 Sea R la región acotada por la gráfica de (x - 4)2 + y2 = 9. Exprese el área A de R como un límite de sumas de Riemann. Calcule A sin usar integrales.

22 Sea R la región acotada por las gráficas de 2x + 3y = 6, x = OYY = O. Exprese el área A

de R como un límite de sumas de Riemann. Calcule A sin usar integrales.

Cada uno de los ejercicios del 23 al 30 representa un límite de sumas de Riemann para una función f en el intervalo indicado. Interprete cada límite como el área de una región R y en­ cuentre su valor. Dibuje la región R.

23

lim ¿ (411'; + I )L\x¡: [O, l J

24

25

lim ¿(4 -1I'¡2)L\y;: [0.1 J IIPII-O

27

lim

16

[1I';i(\\}

+ 1)!JL\x;: [2.5J

28

iIPII-O ;

19

lim

¿ [(5 + ,/II'~)'v¡;~JL\\'¡: [1.4J

30

¿ v'~ L\y¡:

lim

[O, I J

lim ¿(511';/../9 IIPII-O

i

lim

¿

11';-2

+ 1I'1)L\x¡: [1,4J

L\y;: [-5, -2J

IIPII-O ;

IIPII-O ;

6.2

i

IIPII-O ;

¡

¿

lim ¿(II'¡-w;)L\x;: [O,IJ IIPII-O

IIPII-O ;

SOLIDOS DE REVOLUCION Si una región del plano gira alrededor de una recta del mismo, se obtiene un sólido llamado sólido de revolución y se dice que el sólido está generado por la región. La recta alrededor de la cual gira la región, se llama el eje de revolución. Si la región acotada por la gráfica de una función continua no negativa f, por el eje x y por las gráficas de x = a y x = b (vea (i) de la figura 6.11) gira alrededor del eje x genera un sólido como el que se muestra en (ii) de la figura 6.11. y

y

a

IV

b

x

x

(ü)

(i)

FiKura 6.11

276

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Por ejemplo, si f es una función constante, entonces la región es un rectángulo y el sólido generado resulta ser un cilindro circular recto. Si la gráfica de f es un semi­ círculo tal que (a, O) y (b, O) con b > a son los extremos de uno de sus diámetros, entonces el sólido de revolución es una esfera de diámetro b - a. Si la región dada es un triángulo rectángulo con base en el eje x tal que dos de sus vértices son (a, O) y (b, O) Ytal que el ángulo recto se encuentra en uno de estos dos vértices, entonces se genera un cono circular recto. Al intersecar el sólido mostrado en (ii) de la figura 6.11 con un plano perpen­ dicular al eje x, se obtiene una sección circular. Si el plano pasa por el punto de abscisa w sobre el eje x como se indica en la figura, entonces el radio del círculo esf(w) y su área es n[j(w)Y Llegaremos a una definición del volumen de un sólido de revolución, usando sumas de Riemann como se usaron para calcular áreas en la sección anterior. Suponga que f es continua y que f(x) ¿ O para todo x en [a, b]. Considere una suma de Riemann I:¡j(w¡}¿\x¡ donde w¡ es cualquier número en el iésimo in­ tervalo [Xi -1 ,x;] de una partición P de [a, b]. En ténninos geométricos esto nos da la suma de las áreas de unos rectángulos como los que se muestran en (i) de la figura 6.12. El aspecto del sólido generado por el polígono fonnado por estos rectángulos puede verse en (ii) de la figura. Observe que el iésimo rectángulo genera un disco circular (es decir un cilindro circular recto "aplastado") cuya base tiene radio f(w¡} y cuya altura o "grueso" es ¿\x¡ = Xi - Xi-l' El volumen de este disco es igual al área de la base multiplicada por la altura, es decir n [j(w¡}] 2 ¿\X¡. La suma de los volúmenes de todos estos discos es el volumen del sólido que se muestra en (ii) de la figura (6.12) Yestá dado por ¿ n: [f(w¡)] 2 ¿\X¡. Esto se puede considerar como una suma de Riemann para la función h definida por h(x) = n[j(x)Y Se ve intuitivamente que si IIP 11 está cerca de cero, entonces la suma está cerca del volumen del sólido. Por lo tanto es natural definir el volumen como el límite de estas sumas. y

y

a=

Xo Xl

X¡-l X¡

X,,=

x

h x

(i)

(ii)

Figura 6.12

SOLIDOS DE REVOLUCION (6.5)

277

6.2

DEFINICION

Sea f continua en [a, b]. El volumen V del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje x la región acotada por las gráficas de f, x = a, x = b Ypor el eje x, está dado por V

=

lim IIPII-O

L n [f(w¡)]2 L\x¡ =

lb

n [f(X)]2 dx.

a

¡

El hecho de que el límite de las sumas en la definición (6.5) sea igual a se deduce de la definición de la integral definida. De aquí en adelante, siempre que usemos sumas de Riemann, no señalaremos explícitamente el sig­ nificado de cada uno de los símbolos. Supondremos que el lector sabe lo que quieren decir símbolos tales como IIP 11, W¡ y L\x¡. En la definición (6.5) se omitió el requisito f(x) ~ O para todo x en [a, b]. Si f(x) es negativo para algún valor de x, como se ilustra en (i) de la figura (6.13), J~nU(x)]2 dx,

y

y

b

x

x

(ii)

(i)

Figura 6.13

y si la región acotada por las gráficas de f, x = a, x = b Ypor el eje x gira alrededor del eje x entonces genera un sólido como el que se ve en (ii) de la figura. El sólido es el mismo que el sólido generado al girar alrededor del eje x la región bajo la gráfica de y = If(x)1 entre a y b. Como If(xW = [f(X)]2, el volumen es igual al límite en la definición (6.5).

Ejemplo 1

Sea f(x) = x 2 + l. Calcule el volumen del sólido generado al girar la región bajo la gráfica de f entre -1 y I alrededor del eje x.

Solución

El sólido se muestra en la figura 6.14. Se incluye en el dibujo un rectángulo típico y el disco generado por él. Como el radio del disco es W¡2 + 1, su volumen es n(wf

y de acuerdo con la definición (6.5),

+ 1)2 L\x¡

278

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA y

IV; + I x

FiguI'a 6./4

v=

L n(w? + 1)2 L\x¡

lim

11 PII-O i

=

f f

1 n(x

= n

1

2

(x

4

+

1)2 dx

+ 2x 2 + 1)dx

1 5+ -X 2 3+ X JI = n[ -X

S

=

3

_1

n[ (~ + ~ + 1) - (- ~ - ~ - 1) J= ~~ n.

También se hubiera podido calcular el volumen en el ejemplo 1 integrando de O a 1 y duplicando el resultado. (¿Por qué?). Otra manera de resolver el problema consiste en sustituir x 2 + 1 en lugar def(x) en la fórmula V = J~n[f(x)]2 dx. Por

lo general no especificaremos las unidades de medida. Si la medida lineal está dada en pulgadas, el volumen se expresa en pulgadas cúbicas. Si x está dado en cm, entonces V se expresa en cm 3 , etcétera. Consideremos ahora una región acotada por rectas horizontales con ordenadas al origen e y d respectivamente, por el eje y y por la gráfica de x = g(y), donde g es una función continua y g( y) ~ O para todo yen [e, dJ. Si esta región gira alrededor del eje y, entonces el volumen V del sólido resultante se puede calcular intercambiando

SOLIDOS DE REVOLUCION

279

6.2

los papelesdexy yen la definición (6.5) y tomandoaycomo la variable independiente. Esto nos da

La fórmula anterior se puede interpretar como un límite de sumas de Riemann, como se muestra a continuación. Suponga que P es la partición del intervalo [c, ti] determinada porlos números c = Yo, Yl'· ..• Yn = d. Sean .1Yi = Yi - Yi-l Y Wi un número cualquiera en el iésimo intervalo y considere los rectángulos de altura g(wi ) Y ancho .1y¡ como se ilustra en (i) de la figura 6.15. El sólido que se genera al girar estos rectángulos alrededor del eje Y se muestra en (ii) de la figura. El vo­ lumen del disco generado por el iésimo rectángulo es n [g(W¡}]2 .1y¡. Sumando y tomando el límite obtenemos

(6.6)

v= Iim Ln[g(w¡)]2.1Yi

=

IIPII-O i

[n[g(y)fdY. r

y el

= y 11 r-------..,.

e

= Yo x (i)

x (ii)

FiKura 6./5

Ejemplo 2

La región acotada por el eje Y y las gráficas de Y = x 3, Y = l YY = 8 gira alrededor del eje y. Calcule el volumen del sólido resultante.

Solución

El sólido se muestra en la figura 6.16 junto con un disco generado por un rectángulo tipico. Como deseamos integrar respecto a y, es necesario despejar x de la ecuación y = x 3. Haciéndolo obtenemos x = yl/3. Sea x = g(y) = yl/3. Entonces, como se ve en la figura 6.16, el radio de un disco típico es g(w¡} = wl/ 3 y su volumen es n(wl/ 3)2 .1y¡. Aplicando (6.6) con g(y) = yl/3 obtenemos

280

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA y

x= yl/3

x

Figura 6.16

v=

lim IIPII~O

=

L n(wl/ 3)2 LlYi i

8 8 fl n(yI/3)2 dy = n fl y2/3 dy

Consideremos a continuación una región acotada por las gráficas de x = a, x = b Y las gráficas de dos funciones continuas f y g donde f(x) ~ g(x) ~ O para todo x en [a, b]. Si esta región gira alrededor del eje x, genera un sólido como el que se ve en (i) de la figura 6.17. Observe que si g(x) > O para todo x en [a, b J, entonces el sólido tiene un agujero. Se puede calcular el volumen V restando el volumen del sólido generado por la menor de las dos regiones, del volumen del sólido generado por la mayor de las dos regiones. Usando la definición (6.5) obtenemos

v=

fn[f(x)fdX- fn[g(x)]2dX

que se puede escribir en la forma (6.7)

V= fn{[f(x)f - [g(x)]2}dx.

La fórmula (6.7) tiene una interpretación interesante como un límite de sumas de Riemann. Como se ve en (ii) de la figura 6.17, un rectángulo que se extiende desde

SOLIDOS DE REVOLUCION

281

6.2

y

y

t.X¡

x

(i)

(ii)

Fi¡:ura 6./7

la gráfica de g hasta la gráfica de f, genera un sólido en forma de arandela cuyo volumen es

o equivalentemente

Sumando los volúmenes de todas estas arandelas y tomando el límite, obtenemos (6.7). Por lo tanto se puede considerar la fórmula (6.7) como un límite de sumas de volúmenes de arandelas. Al trabajar en problemas de este tipo, frecuentemente resulta conveniente usar la fórmula general siguiente: (6.8)

Volumen de una arandela = n[(radio exterior)2 - (radio interior)2] . (grueso). En los problemas de integración el grueso estará dado ya sea por Llx¡ o por Lly¡.

Ejemplo 3

La región acotada por 1as gráficas de x 2 = y - 2, 2y - x - 2 = O, x x = I gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del sólido resultante.

Solución

La región, junto con un rectángulo típico, se muestra en (i) de la figura 6.18. Como queremos integrar respecto a x, despejamos yen función de x en las dos primeras ecuaciones obteniendo y = x2 + 2 y Y = 1x + 1. La arandela generada por el rectángulo en (i) se muestra en (ii) de la figura 6.18. Como el radío exterior es W¡2 + 2 y el interior es !w¡ + 1, su volumen (vea (6.8)) es n[(wf

+ 2f -

(Íw¡

+ 1)2]LlX¡.

Tomando el límite de la suma de los volúmenes de este tipo obtenemos

=

OY

.. 282

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

(i)

(ü)

Figura 6.18

= 3 la re­

Ejemplo 4

Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta y gión descrita en el ejemplo 3.

Solución

La región junto con un rectángulo típico y el eje de revolución y = 3 se muestran en (i) de la figura 6.19. La arandela generada por el rectángulo se muestra en (ii) de la figura 6.19. Observe que los radios de esta arandela son

radio interior = 3 - (w? + 2) = I radio exterior = 3 - (tw¡ + 1) = 2 -

w? tw¡.

Usando (6.8) se obtiene que el volumen de la arandela es

Tomando el límite de la suma de estos términos obtenemos

SOLIDOS DE REVOLUCION

y = 3 -+-----jf---­

f

3 - (w¡2

283

6.2

-t--t+"""+---.-y = 3

+ 2)

----( w¡ + 2

~--+-I--~.

W¡

x

w¡

(i)

x

(ii)

Fi¡:ura 6.19

v= f{(2-~Xr = 1t

= 1t

f [(4 f (3 -

2x +

2x

2 _(l-X )2JdX

~X2)

4 2 - (1 - 2x + X )JdX

+ ~X2 - X4 ) dx

3 3 I 5]1 = 1t[ 3x - X 2+ ¡X - S-X O 3 IJ 51 =1t_3-1+¡-S=201t~8.01. [

Intercambiando los papeles de X y Y podemos aplicar los métodos discutidos en esta sección a los sólidos que se generan al girar regiones alrededor del eje y o de una recta paralela al eje y como en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 5

La región contenida en el primer cuadrante acotada por las gráficas de y = y = 2x gira alrededor del eje y. Calcule el volumen del sólido resultante.

kx 3 y

284

6

Solución

La región junto con un rectángulo típico se muestra en (i) de la figura 6.20. Como queremos integrar respecto a y, despejamos x en función de y en las ecuaciones dadas obteniendo

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Como se muestra en (ii) de la figura 6.20, los radios interior y exterior de la arandela generada por el rectángulo son y 2W/ 13 respectivamente. Como el grueso es ~y¡, se sigue de (6.8) que el volumen de la arandela es

tw¡

o

Tomando el límite de la suma de estos términos obtenemos

512

=

151t ~

107.2.

y

I

1

I

2

t4---W. 1

I

x (ii)

Figura 6.20

SOLIDOS DE REVOLUCION

285

6.2

6.2 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del l al 12 dibuje la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y calcule el volumen del sólido que se genera al girar R alrededor del eje indicado. En cada caso muestre un rectángulo típico y el disco o arandela que éste genera. y

=

= 1, x = 3, Y = O; eje x

l/x, x

3 y = x 2 , y = 2; eje y

x 2 - 4x, y

= y2 = x,

5 Y 7

2y

= O;

= x;

eje x

= y2, Y

- x

2

= O;

4 y

=

eje y

13 Calcule el volumen del sólido que se obtiene al girar la región acotada por las gráficas de y = x 2

l/x, x

=

O, Y

=

1, y

=

3; eje y

3

10 x

= x , X = - 2, Y = O; eje x = 2x, y = 4x 2; eje y = y3, x 2 + y = O; eje x

12

x

+y =

14

Calcule el volumen del sólido que se genera al girar la región acotada por las gráficas de

8 y

eje y

+

= ¡-;, y = O, x = 4; eje x

6 Y

9 Y = x 2, y = 4 - x 2 ; eje x

11 x

2 Y

1, Y

=

x

+

y = .jX, y = O Y x (a) la recta x = 4 (b) la recta x = 6 (c) la recta y = 2

y y = 4 alrededor de (a) la recta y = 4 (b) la recta y = 5 (c) la recta x = 2

1, x

=

=

2; eje y

4 alrededor de

En los ejercicios del 15 al 20 dibuje la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas en (a) y luego plantee (pero no evalúe) las integrales necesarias para calcular el volumen del sólido que se obtiene al girar R alrededor de la recta dada en (b). Como de costumbre, dibuje rectángulos típicos y los discos o arandelas correspondientes. 15 (a) (b)

y = .'0'3. .1' = 4.'0' y=8

18 (a) (b)

y= l y = 3

.\"2, X _

16

y= 1

19

= .'o' J • (b) .'0'=4 (a) y

7

(a) x'

(b)

l'

= 4.'0'

17

+ y2 = I

20

x=5

+ y = 3. Y

x 2 = :1

(a)

x

(b)

.'0'=2

(a)

y = X 213 , y = x 2 .1'= -1

(bl

En cada uno de los ejercicios del 21 al 24 use una integral definida para deducir una fórmula para el volumen del sólido indicado. Un cono circular recto de altura h y cuya base tiene radio r.

22

Una esfera de radio r.

23 Un cono circular recto truncado de altura h, cuya base tiene radio r1 Y cuya tapa tiene radio

24

Un segmento esférico de altura h tal que el radio de la esfera es r.

21

r2 .

Cada uno de los ejercicios 25 y 26 representa un límite de sumas de Riemann para una función

f definida en el intervalo [O, 1]. Interprete cada límite como un volumen y calcule su valor. 25

lim

¿ n( wt -

IIPII-O i

wt) ¿\x¡

26

lim "n(w. _ \l'8)L\1' ~ I

IIPII-O

j

I

.1

286

6

6.3

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

OBTENCIüN DE VüLUMENES MEDIANTE CASCARAS CILINDRICAS Existe otro método para encontrar el volumen de un sólido de revolución, que en ciertos casos es más sencillo de aplicar que los de la sección 2. En este método se usan cilindros circulares huecos, es decir cáscaras cilíndricas como la que se ilustra en la figura 6.21.

lIT ! --1 1 I I I

I

I I

I I L___

1 I ---t-- --........ ,""",...--....... --­ .... :

• ,..

-+I

--1' ~

f¡

.....

Fi¡:lI,.a 6.21

El volumen de una cáscara de radio exterior r 2 , radio interior r l Y altura h es rrdh - rrr~h. Esta expresión también se puede escribir como sigue. rr(d - ,.f)h

+ "1 )(r2

=

rr(r2

=

2rr( r2 ; r

l

)

- "I)h

h(r2 - rd.

Sea r = (rz + r l )/2 (el radio medio de la cáscara) y I'J.r = r z - r l (el grueso de la cáscara). Entonces el volumen de la cáscara está dado por 2rrrhI'J.r o equivalente­ mente por (6.9)

Volumen de una cáscara = 2rr(radio medio) . (altura) . (grueso). Seafcontinua en [a, b] y f(x) ~ O para todo x en [a, b]. Sea R la región aco­ tada por la gráfica de f, el eje x y las gráficas de x = a y x = b donde b > a ~ O. El sólido generado al girar R alrededor del eje y se muestra en (i) de la figura 6.22. Observe que si a > O, entonces el sólido tiene un agujero. Sea P una partición de [a, b] Y considere un rectángulo cuya base es el intervalo [x¡ _ l ' x;] y cuya altura esf(IV¡), donde IV¡ es el punto medio de [X¡_I' Xi]. Si gira este rectángulo alrededor del eje y, entonces genera una cáscara cilíndrica de radio medio IV¡, altura f(IV;) y grueso I'J.x¡ = X¡ - X¡-l como se muestra en (ii) de la figura 6.22. Aplicando (6.9) vemos que su volumen es 2rrwJ(w¡) I'J.x¡. Haciendo esto para cada subintervalo de la partición y sumando obtenemos

OBTENCION DE VOLUMENES MEDIANTE CASCARAS CILlNDRICAS

6.3

287

y

x

(i)

y

(üi)

(ii)

Fif(ura 6.22

I

2TCIVJ( Wi) óX¡.

¡

En términos geométricos, esta suma representa el volumen de un sólido como el que se ilustra en (iii) de la figura 6.22. Es evidente que mientras más pequeña sea la norma IIPII de la partición, mejor será la aproximación al volumen V del sóli­ do generado por R. En efecto, se ve que el volumen del sólido ilustrado en (i) de la figura está dado por (6.10)

V=

Iim IIPII-O

I ¡

2TCWJ(W¡} óX¡ =

lb

2TCxI(x) dx

Q

donde la última igualdad se sigue de la definición de la integral definida. El argumento anterior está incompleto, ya que es necesario demostrar que si los métodos de la sección 2 también se pueden aplicar a este caso, entonces ambos métodos conducen al mismo resultado. Ejemplo 1

La región acotada por la gráfica de y = 2x - x 2 y el eje x gira alrededor del eje y. Calcule el volumen del sólido resultante.

288

6

Solución

La región y una cáscara generada por un rectángulo tipico se muestran en la figura 6.23. donde W¡ es el punto medio de [x¡ _ l ' x¡). Como el radio medio de la cáscara es W¡. la altura es 2w¡ - w/ y el grueso es ÓX¡. se sigue de (6.9) que el volumen de la cásca ra es

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

En consecuencia el volumen V del sólido está dado por

V

=

lim ¿2nw¡(2w¡ - wf)Óx¡ IIPiI-O

¡

=

122nx(2X - x 2)dx

=

2n

=

2{~X3 - ~x4I =

s:

(2x 2 - x 3 ) dx

8n/3.

También se puede encontrar el volumen V usando arandelas; sin embargo sería más complicado. ya que habria que despejar x en términos de y. y

2

W¡

x

FiKura 6.23 Ejemplo 2

La región acotada por las gráficas de y = x 2 y y = x + 2 gira alrededor de la recta x = 3. Exprese el volumen del sólido resultante como una integral definida.

Solución

La región y un rectángulo típico se muestran en (i) de la figura 6.24. donde W¡ representa el punto medio del iésimo subintervalo [X¡-I' x¡). En (ii) de la figura (6.24) se ilustra la cáscara cilíndrica generada por el rectángulo. Vemos que la cáscara tiene las dimensiones siguíentes:

altura = (w¡

+

radio medio = 3 grueso = Óx¡.

2) - w/

W¡

OBTENCION DE VOLUMENES MEDIANTE CASCARAS CILINDRlCAS y

6.3

289

y

x=3

x

x

y=x+2 (i)

(ii)

Figura 6.24

Por lo tanto, según (6.9) el volumen es 27[(3 - w¡)[(w¡

+ 2)

- wf]L\x¡.

Tomando el límite de las sumas de Riemann que se obtienen al sumar estos términos, vemos que

v = f2

27[(3 - x)(x

+2-

x 2)dx.

- I

La integral definida del ejemplo anterior se puede evaluar efectuando las operaciones indicadas y luego integrando término a término. Como ya hemos resuelto un número suficiente de problemas de este tipo, no sería instructivo llevar a cabo todos estos detalles. Por conveniencia, nos referiremos al procedimiento de expresar a V en términos de una integral como el planteamiento de la integral para V. Podemos hallar ciertos volúmenes intercambiando los papeles de x y de y, usando cáscaras e integrando respecto a y como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3

La región en el primer cuadrante acotada por la gráfica de x = 2y 3 - y4 Y el eje y, gira alrededor del eje x. Plantee la integral para el volumen del sólido resultante.

Solución

La región se muestra en (i) de la figura 6.25 junto con un rectángulo (horizontal) típico. La cáscara cilíndrica generada por el rectángulo se ilustra en (ii) de la misma figura. La cáscara tiene las dimensiones siguientes: altura = 2w? - wf radio medio = W i grueso = L\Yi'

290

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA y

y

(O, 2),.-_ _,--­

x = 2y3 _ y4

W¡

t,y~ •

.-I!"'" x

x

(i)

(ji)

Fi¡:ura 6.15

Por lo tanto, según (6.9) su volumen es 2rrw¡(2w¡ - IV~) óy¡.

Tomando el límite de las sumas de Riemann que se obtienen al sumar estos térmi­ nos, y recordando que la variable independiente es y, vemos que V = (2rr Y(2 yJ - y4) dy.

Vale la pena notar que en el ejemplo anterior nos vimos obligados a usar cás­ caras y a integrar con respecto a y, ya que para usar discos e integrar con respecto a x hubiésemos tenido que despejar y de la ecuación x = 2y J - y4, lo cual, sin exagerar, hubiese sido una faena espantosa.

6.3 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del 1 al 10 dibuje la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y use los métodos de esta sección para calcular el volumen del sólido generado al girar R alrededor del eje indicado. En cada uno de los casos muestre un rectángulo típico junto con la cáscara cilíndrica que genera.

y =

jX,

3 Y = x

2

x = 4, Y = O; eje y

, y2

= 8x; eje y

5 2x - y - 12 = O, x - 2y - 3 = O, x = 4; eje y 7

x

2

= 4y, Y = 4; eje x

9 y = 2x, y = 6, x = O; eje x

2 Y = l/x. x = 1, x = 2, Y = O; eje y 4 Y = x2 6 Y = x

3

-

Sx, y = O; eje y

+ 1, x + 2y = 2. x

=

8 y3 = x, y = 3, x = O; eje x

10

2y = x, y = 4, x = l', eje x

1; eje y

OBTENCION DE VOLUMENES MEDIANTE REBANADAS

11 Calcule el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de y = x 2 + 1, x = O, x = 2 YY = O alrededor de (a) la recta x = 3 (b) la recta x = -1

12

6.4

291

Calcule el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de y = 4 - x 2 y y = O alrededor de (a) la recta x = 2 (b) la recta x = -3

13-24 Use los métodos de esta sección para resolver los ejercicios del 13 al 24 de la sección 2. Cada una de las expresiones en los ejercicios 25 y 26 representa un límite de sumas de Riemann para una [unción len el intervalo [O, 1]. Interprete cada límite como un volumen y encuentre su valor. 25

lim ¿2n(w~ - Wf)t1X¡ IIPII-O

26

6.4

lim ¿2n(w;

+ Wf,2)t1X¡

IIPII-O ¡

¡

OBTENCION DE VOLUMENES MEDIANTE REBANADAS

Si un plano interseca a un sólido, entonces la región común al plano y al sólido se llama una sección del sólido. En la sección 2 de este capitulo nos encontramos con secciones en forma de círculo y de arandela. Consideraremos ahora sólidos con la propiedad de que para todo x en un intervalo cerrado [a, b] sobre una recta coordenada 1, el plano perpendicular a I en el punto con coordenada x interseca al sólido en una sección cuya área está dada por A(x), donde A es una función continua en [a, b]. En las figuras 6.26 y 6.27 se ilustran sólidos del tipo que de­ seamos considerar. El sólido se llama un cilindro si todas sus secciones son iguales, como se ilustra en la figura 6.26. Consideremos únicamente aquella parte del sólido que está acotada por los planos que pasan por los puntos de coordenadas a y b. Entonces las secciones determinadas por estos planos se llaman las bases del cilindro y la distancia entre las bases se llama la altura. Por definición el volumen de un cilindro tal es el área de la base multiplicada por la altura. Como un caso particular, se tiene que el volumen de un cilindro circular recto de altura h y cuya base tiene radio r es 7lr l h.

a

x

h

..

Figura 6.26

El sólido que se ilustra en la figura 6.27 no es un cilindro, ya que las secciones obtenidas al intersecarlo con planos perpendiculares a I no son todas iguales. Para encontrar su volumen comenzamos escogiendo una partición P de [a, b] determi­ nada por los puntos a = Xo, XI' Xl' . . . , X. = b. Los planos perpendiculares a I en los puntos con estas coordenadas, rebanan el sólido en pedazos pequeños.

292

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

W¡

I I I

b

a

•

Fi!(ura 6.27

En la figura 6.27 se muestra la iésima rebanada. Como de costumbre, sea

~x¡

=

x¡ - x¡_ 1 y elijamos cualquier número w¡ en [x¡ -1' x¡]. Se ve que si ~x¡ es pequeño,

entonces el volumen de la rebanada está próximo al volumen del cilindro de altura ~Xi Y cuya base tiene área A(w¡), es decir a A(w¡)~x¡. En consecuencia el volu­ men total del sólido es aproximadamente igual a la suma de Riemann¿7= 1 A(IV¡)~x¡. Como la aproximación mejora a medida que IIPII se hace pequeña, definimos el volumen V del sólido como el límite de estas sumas. Como A es continua en [a, b] tenemos que

(6.11)

V

= Iim IIPII-O

¿ A(Wi)~X¡ = lb A(x)dx. ¡

•

Ejemplo 1

Calcule el volumen de una pirámide recta de altura h y base cuadrada de lado a.

Solución

Si colocamos una recta coordenada 1 en el eje de la pirámide, con el origen O en su vértice, como se muestra en la figura 6.28, entonces la sección obtenida al in­ tersecar la pirámide con un plano perpendicular a 1, es un cuadrado. Si A (x) es el área de la sección determinada por el plano que interseca al eje a una distancia x de O, entonces A(x)

= (2y)2

=

4l

donde y es la distancia indicada en la figura. Usando las propiedades de los tri­ ángulos semejantes, tenemos que

y x

y por lo tanto

a/2

h'

o

y

=

ax 2h

OBTENCION DE VOLUMENES MEDIANTE REBANADAS

6.4

293

o

Figura 6.28

Aplicando (6.11) llegamos a

Ejemplo 2

La base de un sólido es la región circular en el plano xy acotada por la gráfica de + y2 = a 2 , donde a > O. Suponga que la sección obtenida al intersecar el sólido con un plano perpendicular al eje x, es un triángulo equilátero con uno de sus lados contenido en la base. Calcule el volumen del sólido. x2

Solución

En la figura 6.29 se ilustra una sección típica obtenida al intersecar el sólido con un plano a una distancia x del origen. Si el punto P(x, y) se halla sobre el círculo, entonces la longitud de un lado del triángulo es 2y y su altura es fiy. Por lo tanto el área del triángulo ilustrado es

(a, O)

Figura 6.29

x

294

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Aplicando (6.11) obtenemos

4j3a 3 3

6.4 EJERCICIOS La base de un sólido es la región circular con­ tenida en el plano xy acotada por la gráfica de x 2 + y2 = a 2 , donde a > O. Calcule el volu­ men del sólido suponiendo que la sección ob­ tenida al intersecarlo con un plano perpendicular al eje x es un cuadrado.

2 Resuelva el problema I suponiendo que las sec­ ciones son triángulos isósceles con su base en el plano xy y con altura igual a la longitud de la base.

3 La base de un sólido es la región en el plano xyacotada por las gráficas de y = 4 YY = x 2 . Calcule el volumen del sólido suponiendo que la sección obtenida al intersecar el sólido con un plano perpendicular al eje x, es un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa está en el plano xy.

4 Resuelva el ejercicio 3 suponiendo que las sec­ ciones son cuadradas.

5 Calcule el volumen de una pirámide como la de la figura 6.28 suponiendo que su altura es h y que su base es un rectángulo de dimensiones a y 2a.

6 La base de un sólido es la región en el plano xy acotada por las gráficas de y = x Y y2 = x. Calcule el volumen del sólido suponiendo que la sección obtenida al intersecar el sólido con un plano perpendicular al eje >;, es un semicír­ culo cuyo diámetro está en el plano xy.

7 La base de un sólido es la región en el plano xy acotada por las gráficas de y2 = 4x y x = 4. Calcule el volumen del sólido suponiendo que la sección obtenida al intersecarlo con un plano perpendicular al eje y, es un semicírculo.

8 La base de un sólido es la región en el plano xy acotada porlas gráficas de x 2 = 16y Yy = 2. Calcule el volumen del sólido suponiendo que la sección obtenida al intersecar el sólido con un plano perpendicular al eje y, es un rectángulo cuya altura es el doble de la longitud de su lado contenido en el plano xy.

9 Al intersecar un cilindro circular recto de radio a con dos planos se obtiene un sólido en forma de dos cuñas. Uno de los dos planos es perpen­ dicular al eje del cilindro y el otro interseca al primero a lo largo de un diámetro de la sección fonnando un ángulo de 45°. Calcule el volumen del sólido.

10 Los ejes de dos cilindros circulares de radio a

La base de un sólido es la región circular en el plano xy acotada por la gráfica de x 2 + y2 = a 2 donde a > O. Calcule el volumen del sólido su­ poniendo que la sección obtenida al intersecar el sólido con un plano perpendicular al eje x es un triángulo isósceles de altura constante b. (Sugerencia: Interprete ~ ya - x dx como un área). -o

12 Las secciones obtenidas al intersecar un sólido

11

f·

se intersecan en ángulo recto. Calcule el volu­ men del sólido acotado por los cilindros.

en forma de bocina con planos perpendiculares a su eje son círculos. Suponga que una sección que se encuentra a s centímetros del extremo menor del sólido tiene un diámetro de 15 + s2j90 centímetros y que la longitud del sólido es de 60 centímetros. Calcule el volumen del sólido.

EL TRABAJO

6.5

295

Un tetraedro tiene tres caras perpendiculares entre sí y tres aristas perpendiculares entre sí de 2, 3 Y 4 cm. de longitud respectivamente. Calcule su volumen.

14 Se perfora un agujero de diámetro d a través de un sólido esférico de radio " de manera que el eje del agujero coincide con un diámetro de la esfera. Encuentre el volumen del sólido resul· tanteo

IS Un prismatoide es un sólido tal que las áreas de las secciones obtenidas al intersecarlo con planos paralelos a un plano fijo ya una distancia x de este último, pueden expresarse como ax 2 + bx + e donde a, b y e son números re­ ales. Demuestre que el volumen V de un prisma­ toide está dado por

16 El teorema de Cal'aJieri afirma que si dos sólidos tienen la misma altura y si todas las secciones obtenidas al intersecarlos con planos paralelos a sus bases a la misma distancia de ellas tienen la misma área, entonces los sólidos tienen el mismo volumen. Demuestre este teorema.

13

h

v= 6(8 1 + 8 2 + 48) donde 8 1 Y 8 2 son las áreas de las bases, 8 es

el área de la sección paralela a las bases que

se encuentra a la mitad de la distancia entre ellas

y h es la distancia entre las bases. Demuestre

que un cono truncado circular recto de altura

h y cuyas bases tienen radios '1 y '2' es un pris­

matoide y encuentre su volumen.

6.5

EL

TRABAJO

El concepto de fuerza puede considerarse intuitivamente como aquella entidad fisica que describe la acción de jalar o empujar un objeto. Por ejemplo se necesita una fuerza para empujar o tirar de un objeto en un plano horizontal, para levantar un objeto del suelo, o para mover una partícula cargada a través de un campo electromagnético. La fuerza frecuentemente se mide en kilogramos o libras. Si un objeto pesa diez kilogramos, entonces, por definición, la fuerza necesaria para levantarlo (o mantenerlo alejado del suelo) es de 10 kilogramos. Una fuerza de este tipo es una fuerza constante, ya que su magnitud no cambia mientras se aplica al objeto dado. Supongamos que una fuerza constante F se aplica a un objeto desplazándolo una distancia d en la dirección de la fuerza. Se define el trabajo W efectuado sobre el objeto como (6.12)

w= Fd. Si F se mide en libras y d en pies entonces las unidades de Westán en libras-pies. Si F se mide en kilogramos y d en metros, entonces las unidades de W están en kilogramos-metros (kg-m). En el sistema métrico se define una dina como aquella fuerza que aplicada a una masa de I gramo, induce una aceleración de I cm/seg 2 . Si F se expresa en dinas y d en centímetros, entonces las unidades de Westán en dinas-centímetros, también llamadas ergs.

296

6

Ejemplo 1

Encuentre el trabajo efectuado al empujar con una fuerza constante de 135 kilo­ gramos un automóvil sobre una carretera recta y plana desde un punto A hasta un punto B a 7 metros de A.

Solución

El problema se ilustra en la figura 6.30, donde dibujamos la carretera como parte de una recta l. Como la fuerza constante es F = 135 kg Y la distancia que recorre el automóvil es d = 7 metros, se sigue de (6.12) que el trabajo realizado es

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

w=

(135)(7) = 945 kg-m

Fuerza = 135 kg

---~-, -_.~-------.

-

........

A

B

\

/

y 7m Figura 6.30

Cualquiera que haya empujado un automóvil (o cualquier otro objeto) se da cuenta del hecho de que la fuerza aplicada varía de un punto a otro. Así pues, si un automóvil está parado en el punto A, podría ser necesaria una fuerza mayor para poder moverlo que si está en movimiento. También podría variar mucho la fuerza aplicada en puntos entre A y B por la fricción, ya que parte de la carretera puede ser de concreto liso y otra parte de grava áspera. También una persona sen­ tada dentro del automóvil podría hacer que la fuerza necesaria para moverlo variara, pisando los frenos de vez en cuando. A las fuerzas que no son constantes se les suele llamar fuerzas variables. Si se aplica una fuerza variable a un objeto moviéndolo cierta distancia en la dirección de la fuerza, entonces se necesitan métodos del cálculo para encontrar el trabajo realizado. Por ahora supondremos que el objeto se mueve a lo largo de una línea recta l. El caso del movimiento no rectilíneo se considerará en el capítulo 18. Primero introducimos un sistema coordenado sobre 1y suponemos que el objeto se mueve del punto A con coordenada a al punto B con coordenada b donde b > a. Para poder resolver el problema, es indispensable conocer la fuerza sobre el punto de abscisa x para cada x en el intervalo [a, b]. Esta fuerza se denotará por f(x). Para simplificar, supondremos que la función f que se obtiene de esta manera es continua en [a, bJ. Sea P la partición en [a, bJ determinada por los números a = Xo, XI' ... ,X. = b y sea L\x¡ = Xi - X¡_I (vea la figura 6.31). Si IV¡ es un punto en [X¡_I' x¡J, entonces la fuerza en el punto Q con coordenada IV¡ es f(w¡). Si L\x¡ es pequeño, entonces debido a la continuidad de f, los valores de f varian muy

o

u

•

= X(¡

I

I

XI

.~'.,

X:¡

•

x:_ I

U·,

,.j.\,

Figura 6.31

. u

Q

A

X,

X,,_I

X" = f¡

.. /

EL TRABAJO

6.5

297

poco en el intervalo [x¡ _ l' x¡J. Se podría decir que f es casi constante en [x¡ - l ' x¡J. Se ve, por lo tanto, que el trabajo W¡ realizado cuando el objeto se mueve a lo largo del iésimo subintervalo se puede calcular aproximadamente por (6.12) es decir

ltí:::::: f(w¡)dX¡. Parece evidente que mientras más pequeño sea dX¡, mejor será la aproxima­ ciónf(w¡)dX¡ al trabajo W¡ realizado en el intervalo [X¡-l, x¡J. Si además se supone que el trabajo es aditivo, en el sentido de que el trabajo W realizado cuando el objeto se mueve de A a B se puede hallar sumando los trabajos realizados en cada subintervalo, entonces W::::::

•

¿ ¡~

f(w¡)dx¡. 1

Como esperamos que esta aproximación mejore a medida que la norma IIPII de la partición se hace pequeña, es natural definir W como el límite de las sumas an­ teriores. Este límite nos lleva a una integral definida. (6.13)

DEFINICION

Sea f(x) la fuerza en un punto de coordenada x sobre '.lOa recta coordenada 1, donde f es continua en [a, b]. El trabajo W realizado al mover un objeto desde el punto de coordenada a hasta el punto de coordenada b está dado por W

=

Iim ¿f(w¡)dx¡ IIPII-O ¡

=

fb f(x)dx. a

La fórmula de la definición (6.13) se puede usar para calcular el trabajo reali­ zado al estirar o comprimir un resorte. Para poder resolver problemas de este tipo es necesario usar la siguiente ley fisica. (6.14)

LEY DE HOOKE

La fuerza f(x) necesaria para estirar un resorte x unidades a partir de su lon­

gitud natural está dada por f(x) = kx

donde k es una constante llamada la constante del resorte. La misma fórmula se usa para calcular el trabajo realizado al comprimir un resorte x unidades a partir de su longitud natural. Ejemplo 2

Se necesita una fuerza de 4 kg para estirar un resorte de su longitud natural de 15 cm a una longitud de 20 cm. (a) Encuentre el trabajo realizado al estirar el resorte de su longitud natural a una longitud de 25 cm.

298

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE

NIDA

(b) Encuentre el trabajo realizado al estirar el resorte de una longitud de 17.5 cm. a una longitud de 22.5 cm.

Solución

(a) Primero introducimos una recta coordenada 1 como se muestra en la figura 6.32, en la cual se ve que un extremo del resorte está sujeto a un punto a la izquierda del origen y el otro está colocado en el origen. De acuerdo con la ley de Hooke (6.14), la fuerzaf(x) necesaria para estirar un resorte x unidades a partir de su Ion· gitud natural, está dada por

= kx

f(x)

para alguna constante k. Usando los datos dados,f(5) = 4. Sustituyendo enf(x) = kx obtenemos 4 = k . 5 Y por lo tanto la constante del resorte es k = 4/5. En con­ secuencia la ley de Hooke para este resorte tiene la forma f(x)

!x.

=

Según la definición (6.13), el trabajo realizado al estirar el resorte 10 cm está dado por W

=

f

10

o

4 -x dx 5

=

J10 = 40 kg-cm = 0.4 kg-m.

2 _x 2 5 o

o

5

10

15

Longitud natural

o

5 x 10

15

Estirado x unidades Fi/:,lra 6.32

(b) Usamos la misma función 15/2], obteniendo así W =

f

15/2

5/2

f

pero cambiamos el intervalo a [2.5, 7.5] o [5/2,

J

4 2 -xdx = _x 2 5 5

15/2

5/2

45

= -

2

5

- - = 20 kg-cm = 0.2 kg-m. 2

Ejemplo 3

Un tanque en forma de cono circular recto de 6 metros de altura y cuya base tiene radio de 1.5 metros, tiene su vértice en él suelo y su eje es vertical. Suponga que el tanque está lleno de agua. Encuentre el trabajo realizado al bombear el agua para que salga por la parte de arriba del tanque.

Solución

Primero introducimos un sistema coordenado como se muestra en la figura 6.33.

EL TRABAJO

6.S

299

y

x

Fi¡:ura 6.33

El cono interseca al plano xy a lo largo de la recta de pendiente 4 que pasa por el origen. Una ecuación para esta recta es y = 4x. Sea P la partición del intervalo [O, 6] determinada por O = Yo, YI, ... , y" = 6, sea Ay¡ = Yi - Y¡_I Y sea Xi la abscisa del punto sobre y = 4x con ordenada Ji. Si en cada Yi se corta el cono con un plano perpendicular al eje y, entonces po­ demos pensar que el agua está rebanada en n partes. Como se ilustra en la figura 6.33, el volumen de la iésima rebanada es aproximadamente igual a 1tX¡2 Ay¡, que es el volumen de un disco circular. Como X¡ = yJ4, el volumen del disco es 1t( y;/4)2 Ay¡. Esto nos lleva a la aproximación siguiente Volumen de la iésma rebanada

~ 1t(~~)AY.

Suponiendo que el agua pesa 1000 kg/m 3 , el peso del disco en la figura 6.33 es aproximadamente 10001t(ylj 16) AYi' Según (6.12), el trabajo realizado al levantar el disco hasta la parte de arriba del tanque es el producto de la distancia 6 - y¡ por el peso, es decir, Trabajo realizado al levantar la iésima rebanada ~ (6 - y¡)l000 1t(yl;16) Ay¡. Como el número anterior es una aproximación al trabajo realizado al levantar la iésima rebanada a la parte de arriba del tanque, el trabajo realizado al vaciar todo el tanque es aproximadamente

El trabajo real W se obtiene al tomar el límite de estas sumas cuando la norma tiende a cero. Esto nos da

11 PII

300

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

w=

J:(6 - y)IOOO7t ( ~~)dY

= lOOO7t 16

f6 (6 y

Jo

2 _

y3) dy

lOOO7t [6Y 3 y4J 6 =16-3--4 0 =

Ejemplo 4

lOOO7t

-16- (l08)

21,205 kg-m.

La presión P (kgJcm 2 o lb/pulg 2 ) y el volumen v (cm 3 o pulg 3 ) de un gas confinado están relacionados por la fórmula pv· = e donde k y e son constantes. Suponiendo que el gas se expande de v = a a v = b demuestre que el trabajo realizado (kg-cm o Ib-pulg) está dado por

w= Solución

:=:::

f

pdv.

Como el trabajo realizado es independiente de la forma del recipiente, podemos suponer que el gas está encerrado en un cilindro circular recto de radio r y que la expansión se realiza moviendo un pistón, como se ilustra en la figura 6.34. Sea P una partición de [a, b] determinada por a = Vo, VI' . • . , v" = b Y sea .1vi = Vi Vi _ l' Consideraremos que la expansión se realiza con incrementos de volumen .1v l , .1V2' ... , .1v". Sean di' d 2, . .. ,d" las distancias correspondientes que recorre el pistón (vea la figura 6.34). Se concluye que para cada i

y por lo tanto

d¡

=

(7t~2) ~Vi' pistón

el;

=

cambio en la posición del pistón

FiKU/'U 6.34

Si Pi representa el valor de la presión P correspondiente al iésimo incremento, entonces la fuerza sobre el pistón es el producto de Pi por el área del pistón, es decir Pi7tr2. Por lo tanto el trabajo realizado en este incremento es 2 2 p¡7tr (d¡) = p¡7tr

(7t~2) ~v¡ = ~Vi Pi

EL

TR~BAJO

6.5

301

y por lo tanto

Como esta aproximación mejora a medida que ~Vi se acerca a cero concluimos que W =

Iim LP¡dV¡ IIPII-O ¡

=

fb pdv. a

6.5 EJERCICIOS Un resorte cuya longitud natural es de 10 pul­ gadas se estira 1.5 pulgadas al colgarle un peso de 8 libras. (a) Calcule el trabajo realizado al estirar el re­ sorte de su longitud natural a una longitud de 14 pulgadas. (b) Calcule el trabajo realizado al estirar el re­ sorte de una longitud de 11 pulgadas a una longitud de 13 pulgadas.

2 Se necesita una fuerza de 400 dinas para com­ primir un resorte de su longitud natural de 12 cm a una longitud de 10 cm. Calcule el trabajo realizado al comprimir el resorte de su longitud natural a una longitud de 8 cm.

3 Suponga que un resorte tiene 12 cm de largo. Compare el trabajo realizado al estirarlo de 12 cm a 13 cm con el trabajo realizado al estirarlo de 13 cm a 14 cm.

4 Se necesita un trabajo de 60 dinas-<:m para es­ tirar cierto resorte de una longitud de 6 cm a una longitud de 7 cm y 120 dinas-<:m para es­ tirarlo de 7 a 8 cm. Encuentre la constante del resorte y su longitud natural.

5 Un acuario tiene una base rectangular de 0.6 m de ancho y 1.2 m de largo y lados rectangulares de 0.9 m de altura ¿Si el acuario está lleno de agua, cuánto trabajo se necesita para vaciarlo bombeando el agua por la parte de arriba?

6 Generalice el ejemplo 3 de esta sección al caso de un tanque cónico de altura h cuya base tiene radio a y que está lleno de un líquido de densidad (peso por unidad de volumen) p.

7 Un elevador de carga que pesa 1500 kg está sostenido por un cable de 4 m de largo que pesa 18 kg por metro lineal. Calcule el trabajo ne­ cesario para subir el elevador 3 m enrollando e! cable en un carrete.

8

Un hombre que pesa 80 kg se trepa en un pos­ te de teléfono vertical de 5 metros de altura. ¿Qué trabajo realiza si alcanza el tope en (a) 10 segundos (b) 5 segundos?

9 Un tanque vertical cilíndrico de un metro de diámetro y 2 metros de altura está lleno de agua. (a) Calcule el trabajo necesario para bombear el agua fuera del tanque por la parte su­ perior. (b) Encuentre e! trabajo necesario para sacar el agua bombeándola por un tubo que se eleva a 1.20 m sobre la parte superior del tanque.

10

Resuelva los incisos (a) y (b) de! ejercIcIo 9 suponiendo que el tanque sólo está lleno hasta la mitad.

11 Los extremos de un abrevadero de 2 m de largo son triángulos equiláteros de 0.5 m de lado. Su­ ponga que el abrevadero está lleno de agua. Calcule el trabajo necesario para sacar e! agua del abrevadero bombeándola por la parte de arriba.

12 Una cisterna en forma de hemisferio de 2 metros de radio con la parte circular hacia arriba está llena de agua. Calcule el trabajo necesario para bombear el agua a un punto que se encuentra a 1.5 metros encima de la parte superior de la cisterna.

302

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

13 La fuerza (en dinas) con la cual se repelen dos electrones es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (en centímetros) entre ellos. (a) Suponga que se fija un electrón en el punto (5, O). Encuentre el trabajo realizado al mover otro electrón a lo largo del eje x desde el origen hasta el punto (3, O). (b) Si dos electrones se fijan en los puntos (5, O)

Y(- 5, O) respectivamente, encuentre el tra­

bajo realizado al mover un tercer electrón

desde el origen hasta el punto (3, O).

14

Un cable uniforme de 20 metros de largo y que pesa 30 kilogramos cuelga vertícalmente desde la azotea de un edificio. ¿Si se sujeta un peso de 250 kg al extremo libre de la cuerda, qué cantidad de trabajo se necesita para jalarlo a la azotea?

15 El volumen y la presión de cierto gas varían de acuerdo con la ley pv 1.2 = 115 donde las uni­ dades de medida son pulgadas y libras. En­ cuentre el trabajo realizado cuando el gas se expande de 32 a 40 pulgadas cúbicas. (Su­ gerencia: Vea el ejemplo 4.)

16

La presión y el volumen de cierta cantidad de vapor confinado están relacionados por la fór­ mula pVl.14 = c, donde c es una constante. Suponga que la presión y el volumen iniciales son Po Y Vo respectivamente. Encuentre una fórmula para el trabajo realizado cuando el vapor se expande a lo doble de su volumen. (Sugerencia: Vea el ejemplo 4.)

17 La ley de la gravitación universal de Newton afirma que la fuerza F de atracción entre dos partículas de masa mI Y m2 respectivamente, está dada por F = gm l m 2 /s 2 donde g es una constante y s es la distancia entre las partículas. Suponga que la masa mi de la tierra está concentrada en su centro y que un cohete de masa m 2 está en la superficie (a una distancia de 6400 kilómetros del centro). Encuentre una fórmula general para el trabajo realizado al lanzar el cohete verticalmente hacia arriba su­ poniendo que éste alcanza una altura máxima h.

18

En el estudio de la electricidad se usa la fórmula F = q/kr 2 donde k es una constante, para en­ contrar la fuerza (en dinas) con la cual una carga positiva Q de magnitud q repele una carga positiva unitaria, a r cm de distancia de Q. Encuentre el trabajo realizado al mover una carga unitaria desde un punto a d cm de Q hasta un punto a d/2 cm de Q.

Suponga que las tablas en los ejercicios 19 y 20 se obtuvieron experimentalmente y que f(x)

denota la fuerza que actúa sobre un punto con coordenada x en una recta coordenada 1. Use

la regla del trapecio (5.47) para estimar el trabajo realizado en el intervalo [a, b], donde a

y b son los valores menor y mayor de x respectivamente.

19

20

xm

O

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

f(x) kg

7.4

8.1

8.4

7.8

6.3

7.1

5.9

6.8

7.0

8.0

9.2

2

3

4

5

6

7

8

9

120

130

146

165

157

150

143

140

xcm f(x) dinas

6.6

125

LA FUERZA EJERCIDA POR UN LIQUIDO En fisica se define la presión p de un líquido a una profundidad h como el peso del líquido contenido en una columna tal que el área de una sección horizontal es de una unidad y la altura es h. La presión también se puede considerar como la fuerza

LA FUERZA EJERCIDA POR UN LIQUIDO

6.6

303

por unidad de área ejercida por el líquido. Si la densidad (el peso por unidad de volumen) del líquido se denota por p entonces, a una profundidad h, (6.15)

p = ph

Se debe tener cuidado de que las unidades de medida para p y h sean consistentes. Por ejemplo, suponiendo que la densidad del agua es 1000 kg/m 3 , entonces a una profundidad de I m la presión es p = ph = (1000)(1) = 1000 kg/m 2

Note que 1000 kg es el peso de una columna de agua de I m de altura tal que el área de su sección es 1m 2 . Se puede verificar experimentalmente que la presión a cualquier profundidad es la misma en todas las direcciones. Si se llena con agua un tanque rectangular ordinario (por ejemplo, un acuario), entonces la fuerza total ejercida por el agua sobre la base (horizontal) se puede encontrar multiplicando la presión en el fondo del tanque por el área de la base. Por ejemplo si la profundidad del agua es I m y el área de la base es 2 m 2 , entonces la presión en el fondo es 1000 kg/m 2 y la fuerza total que actúa sobre la base es (1000

~~ )

. (2 m

2

)

= 2000

kg.

Esto corresponde a 2 columnas de agua, cada una teniendo una sección de I m 2 de área y un peso de 1000 kg. Es más complicado encontrar la fuerza ejercida sobre uno de los lados del tanque, ya que ahí la presión no es constante sino que crece al aumentar la profundi­ dad. En lugar de investigar este problema particular, estudíaremos una situación más general. Considere una plancha plana sumergida en un líquido de densidad p, de manera que la cara de la plancha es perpendicular a la superficie del líquido. Suponga que la forma de la plancha es igual a la de una región en el plano xy acotada por las gráficas de las ecuaciones y = e, y = d, x = f(y) y x = g(y) donde f y g son funciones continuas en [e, d] y f(y) ~ g(y) para todo y en [e, d]. Además suponga que la superficie del agua contiene a la recta y = k. Se ilustra una región de este tipo en la figura 6.35. En general no es necesario que toda la región se en­ cuentre arriba del eje x como en esta figura. Sea P la partición de [e, d] determinada por e = Yo, YI, ... , yft = d Ysea ~y¡ = y¡ - y¡_ l ' Escoja un número W¡ en cada intervalo [y¡_I, y;] y considere el rectángulo de área [j(w¡) - g(w¡}] ~y¡ mos­ trado en la figura. Si ~y¡ es pequeño, entonces todos los puntos de la región rec­ tangular distan aproximadamente k - W¡ de la superficie del líquido. De (6.15) concluimos que la presión en cualquier punto del rectángulo es aproximadamente igual a p(k - w¡). Se ve entonces que la fuerza en el iésimo rectángulo es aproxi. madamente igual al producto de esta presión por el área del rectángulo, es decir p(k - w¡)[f(w¡) - g(w¡)]6y¡.

La fuerza total sobre la región mostrada en la figura. 6.35 es aproximadamente igual a la suma de Riemann

304

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA y

Superficie del agua k

-- -

}~Y¡

d y¡ W¡ y¡-l

x

t k

-

-:.v¡

= f(y) W¡

x

FiXIII'u 6.35

Ip(k - w¡)[f(w¡) - g(W¡)]~)'i' i

Como esperamos que esta aproximación mejore a medida que la norma de la par­ tición decrece, es natural dar la definición siguiente. (6.16)

DEFINICION

La fuerza F ejercida por un líquido de densidad constante p sobre una región como la de la figura 6.35, donde las funciones f y g son continuas en [e, d], es F

=

lim Ip(k - w¡)[f(w j )

-

g(w¡)]~)'¡

IIPII-O ¡

= [P(k

- y) [f(y) - g(y)] dy.

Si se tiene una región más complicada, pero que se puede dividir en regiones del tipo mencionado en la definición (6.16), entonces aplicamos esta definición a cada subregión y sumamos los números resultantes. El sistema coordenado se puede introducir de varias maneras. En el ejemplo 2 elegiremos el eje x a lo largo de la superficie del agua y la dirección positiva del eje y hacia abajo. En este caso habrá que modificar adecuadamente la definición (6.16). Conviene usar la fórmula siguiente para especificar la fuerza sobre un rectán­ gulo típico,

(6.17)

(Fuerza sobre un rectángulo)

=

(densidad) . (profundidad) . (área del rectángulo)

LA FUERZA EJERCIDA POR UN LIQUIDO

6.6

305

y luego tomar el límite de las sumas de Riemann para así obtener la fuerza total sobre la región. Ejemplo 1

Los extremos de un abrevadero de 2 metros de largo tienen la fonna de un trapecio isósceles cuya base inferior mide l metro, su base superior 1.5 metros y su altura l metro. Calcule la fuerza total sobre uno de los extremos, suponiendo que el abre­ vadero está lleno de agua.

Solución

La figura 6.36 muestra uno de los extremos del abrevadero colocado en un sistema coordenado rectangular rotulado apropiadamente. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (0.5, O) Y (0.75, 1) es y = 4x - 2 o equivalentemente x = (l(4)(y + 2). Se concluye que el rectángulo indicado tiene área 2x¡.1y¡

=

2(i)(w¡

+

= (t)(w¡ +

2) .1y¡

2) .1y¡.

Usando (6.17) encontramos que la fuerza que ejerce el líquido sobre este rectángulo es aproximadamente igual a (1000)(1 - w¡)(!)(w¡

+

2) .1y¡.

Sumando y tomando el límite obtenemos la fuerza total. Así pues

t

(~ )(y + 2) dy

1

F

=

(1000)(1 - y)

t

1

=

500

(2 - Y - y2) dy y2

}'3J1

= 500 [ 2y - - - ­ 23

J

0

1750. = 500 [ 2 - -l - -1 = - kIlogramos 233 y

(0.75,1)

(-0.75,1)

(-0.5. O)

(0.5, O)

Fi/:llru 6.36

x

306

6

Ejemplo 2

Un tanque cilíndrico de 2 metros de diámetro y 3 metros de longitud yace de costado. Suponga que el tanque está lleno hasta la mitad con aceite que pesa 930 kgjm 3 . Encuentre la fuerza que ejerce el aceite sobre un lado del tanque.

Solución

Introducimos un sistema coordenado de manera que el extremo del tanque es un círculo de l metro de radio con centro en el origen. Si elegimos que la dirección positiva del eje y sea hacia abajo, entonces W¡ representará la profundidad en un punto en un rectángulo típico como el que se encuentra en la figura 6.37.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

/

x

2

+

y2

=

I

~--T'"-~

(1, O) x

(O, 1) y

FiKll1"U 6.37

De la ecuación del círculo se deduce que la longitud del rectángulo es 2J l - wl. Usando (6.17) se infiere que la fuerza que actúa sobre el rectángulo mostrado es 930 1V¡(2JI - wl) Lly¡. Como de costumbre, tomamos el límite de las sumas de Riemann de estos términos para así obtener la fuerza total F sobre el extremo del tanque. Esto nos da

=

F

f

1

0

930 y(2JI -

)'2)

dy.

Podemos evaluar esta integral tomando u

= l - y2 Y du = -2ydy.

Observe que si y = O entonces u = 1, mientras que si y = l entonces u = O. Por lo tanto podemos transformar la integral como sigue:

F

=

-930

-930

L'JTf I 2 10 U /

y2 (-2y) dy

du

LA FUERZA EJERCIDA POR UN LIQUIDO 3 2 U /

-930 (3/2)

307

JO 1

_ 1860 [O _ 13 / 2 ] 3

6.6

620 kg.

6.6 EJERCICIOS Un acuario de vidrio tiene una longitud de l metro y extremos cuadrados de 0.3 metros de lado. Suponga que el tanque está lleno de agua. Calcule la fuerza ejercida por el agua sobre (a) un extremo y (b) un lado.

2 Suponga que uno de los extremos cuadrados del tanque en el ejercicio I se divide en dos partes mediante una diagonal. Calcule la fuerza ejercida en cada una de las partes.

3 Los"extremos de un abrevadero de 2 metros de largo tienen forma de triángulos isósceles cuyos lados iguales miden 0.6 metros y el tercer lado. que se encuentra en la parte superior del abreva­ dero, mide (0.6) metros. (a) Calcule la fuerza que ejerce el agua en uno de los extremos del abrevadero suponiendo que éste está lleno de agua. (b) Calcule la fuerza si el abrevadero está lleno hasta la mitad con agua.

4 Resuelva los incisos (a) y (b) del ejercicio 3 suponiendo que la altura del triángulo es h y O < h < 0.6.

S Un tanque cilíndrico de 4 pies de diámetro y 5 pies de largo yace de costado. Suponga que el tanque está lleno hasta la mitad con aceite que pesa 60 libras/pie 3 . Calcule la fuerza que ejerce el aceite sobre uno de los extremos del tanque.

6 Un dique tiene una compuerta rectangular de I.S metros de ancho y I metro de alto. Suponga que la compuerta está colocada verticalmente y que su parte superior está 2 metros abajo de la superficie del agua y es paralela a ésta. Calcule la fuerza que ejerce el agua sobre la compuerta.

7 Una piscina rectangular tiene 12.5 m de ancho y 25 m de largo. La profundidad del agua au­ menta uniformemente de I metro en un extremo a 3 metros en el otro extremo. Calcule la fuerza total que ejerce el agua sobre el fondo de la piscina.

8 Calcule la fuerza que ejerce el agua sobre uno de los lados de la piscina descrita en el ejercicio 7.

9 Se sumerge verticalmente en agua una placa en forma de trapecio isósceles con base superior de 1.50 metros y base inferior de 3 metros, de manera que las bases permanecen paralelas a la superficie. Suponga que las bases inferior y su­ perior distan 3.75 metros y 2.25 metros respecti­ vamente de la superficie del agua. Calcule la fuerza que ejerce el agua en una de las caras de la placa.

10 Se sumerge verticalmente en agua una placa cir­ cular de 1 metro de radio. Suponga que la dis­ tancia de la superficie del agua al centro de la placa es de 3 metros. Calcule la fuerza que ejerce el agua sobre una cara de la placa.

J3

308 11

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Los extremos de un abrevadero tienen la forma de la región acotada por las gráficas de y = X 2 y y = 4 donde x y y se miden en metros. Suponga que el abrevadero está lleno de agua. Calcule la fuerza sobre uno de los extremos.

12 Se sumerge verticalmente en agua una placa plana que tiene la forma de la región acotada por las gráficas de y = x 4 y y = 1 donde x y y se miden en metros. Suponga que la parte recta de la frontera de la placa es la más cer­ cana a la superficie del agua y es paralela a ésta. Calcule la fuerza que ejerce el agua sobre una cara de la placa, suponiendo que la parte recta de la frontera dista 4 metros de la superficie.

13 Se sumerge verticalmente en aceite una placa

14 Suponga que la placa del ejercicio 13 se divide en dos por medio de una diagonal. Calcule la fuerza ejercida sobre cada una de las partes.

rectangular de 3 pies de ancho y 6 pies de largo. Suponga que los lados cortos son paralelos a la superficie y que el más cercano a ésta dista de ella 2 pies. Calcule la fuerza total que ejerce el aceite sobre una cara de la placa si el aceite pesa SO Iibras/pie J .

6.7

LONGITUD DE ARCO Se dice que una función f es lisa en un intervalo si f tiene una derivada f' continua en todo el intervalo. Hablando sin mucha precisión, esto significa que variaciones pequeñas de x tienen como consecuencia variaciones pequeñas de la pendiente f' (x) de la recta tangente a la gráfica de I Por lo tanto en la gráfica de una función lisa no hay esquinas. En esta sección definiremos el concepto de longitud de arco entre dos puntos A y B sobre una gráfica lisa. Sifes lisa en un intervalo cerrado [a, b], llamaremos a los puntos A(a,f(a» y B(b,f(b)) los extremos de la gráfica de I Sea P la partición de [a, b] determinada por a = Xo, XI' X2' ... ,x" = b y sea Q¡ el punto de coordenadas (x¡,f(x¡)). Tene­ mos entonces n + I puntos Qo, QI' Q2' ... , Q" sobre la gráfica del Si conectamos cada Q¡_I con Q¡ mediante un segmento de recta de longitud d(Q¡_I' Q¡) como se muestra en la figura 6.38, entonces la longitud L p de la línea quebrada resul­ tante es

i= I

Si la norma ¡IPII' es pequeña, entonces Q¡_I está cerca de Q¡ para cada i y se espera que L p sea una aproximación a la longitud de arco entre A y B. Esto nos indica cómo definir adecuadamente el concepto de longitud de arco. En concreto, consideraremos el límite de las sumas L p cuando JIPII -+ O. Para formular con precisión este concepto y al mismo tiempo llegar a una fórmula para calcular la longitud de arco, procederemos como sigue. De acuerdo con la fórmula de la distancia (1.7) d(Q¡_I,Q¡) = J(x¡ -

X¡_1)2

+ [f(x¡) - f(X¡_¡}]2.

Aplicando el teorema del valor medio (4.12) resulta que f(x¡) - f(x¡- ¡} = f'(w¡}(x¡ - X¡_ ¡}

LONGITUD DE ARCO

309

6.7

y

a=X1 1

XI

X~l

·\"i

x

~ 6.X¡

Fif(ura 6.38

donde w¡ está en el intervalo abierto (x¡ _ l ' x¡). Sustituyendo esto en la fórmula anterior y definiendo ~x¡ = X¡ - X¡ _ l ' obtenemos d(Q¡-1>Q¡) = J(~xY

+ [f'(W¡)~Xi]2

= JI + [f'(w¡)] 2 ~x¡. En consecuencia n

Lp =

L:

JI

+

[f'(w¡)] 2 ~x¡.

¡= 1

Observe que L p es una suma de Riemann para la función g definida por g(x) = JI + [f'(x)]2. Ademásg es continua en [a, b] ya quef' lo es. Como lo menciona­ mos antes, si la norma IIPII es pequeña, entonces la longitud L p de la línea quebrada es aproximadamente igual a la longitud de la gráfica de / entre A y B. Es más, esta aproximación mejora a medida que IIPlI decrece. Es natural definir la longitud (también llamada longitud de arco) de la gráfica de / entre A y B como el límite de las sumas L p • Como g = JI + (1')2 es una función continua, este límite existe y es igual a la integral definida J~ JI + [f'(x)]2 dx. Denotaremos esta longitud de arco por el símbolo

L:.

(6.18)

DEFINICION

Sea / una función lisa en un intervalo cerrado [a, b]. La longitud de arco de la gráfica de/entre A(a,f(a» y B(b,f(b» está dada por

L~ =

f

JI

+

[f'(x)F dx.

Generalizaremos la definición (6.18) a otras gráficas, en el capítulo 13. Una gráfica que tiene longitud de arco se llama rectificable. Si una función/ está definida

310

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

implícitamente por una ecuación en x y y, hablaremos de la longitud de arco de la gráfica de la ecuación.

Ejemplo 1

Sea f(x) = 3X 2 / 3 - 10. Calcule la longitud de arco de la gráfica de f entre los pun­ tos A(8, 2) Y B(27, 17).

Solución

La gráfica defse muestra en la figura 6.39. Comof'(x) = 2X- I / 3 = 2/(X I / 3 ), tenemos que 27

Lf

=

J 8

Para poder evaluar esta integral tomemos

Y du

2 3

= -x

-113 o

2 1 dx = - 173dx. 3x

La integral se puede expresar en forma adecuada para efectuar la integración, introduciendo el factor 2/3 en el integrando y multiplicando la integral por 3/2 para compensar. Así pues L 827

_

-

3J27 J x 2/3 + 4 (2- 173 1 )dx..

-

2

3x

8

Si x = 8, entonces u = (8)2/3 + 4 = 8, mientras que si x = 27 entonces u = (27)2/3 + 4 = 13. Haciendo la sustitución y cambiando los límites de in­ tegración llegamos a L~7

= _3 2

fl3 yÍudu = u3/2 J13 = 13 8

3 ,2 -

83/2 ~ 24.2.

8

8(27. 17)

.1

0

Figura 6.39

Consideremos ahora una ecuación de la forma x = g(y), donde g es continua en un intervalo [e, d]. Entonces un argumento similar al anterior, pero conside­ rando a y como la variable independiente, conduce a la fórmula siguiente para la longitud L~ de la gráfica de g entre (g(c), e) y (g(d), d).

LONGITUD DE ARCO

f

L~ = JI +

(6.19)

6.7

311

[g'(y)J2 dy.

Ejemplo 2

Plantee una integral para hallar la longitud de arco de la gráfica de y = y3 - x entre A (O, - 1) Y 8(6, 2). Estime esta integral usando la regla de Simpson (5.49) con n = 6.

Solución

No se puede aplicar la definición (6.18) ya que la ecuación dada no es de la forma = f(x). Sin embargo, si escribimos x = y3 - Y podemos usar (6.19) con g(y) = y3 _ y. La gráfica de la ecuación se muestra en la figura 6.40. y

y

FiKllra 6.40

Usando (6.19) con e

= -1 Y d = 2 obtenemos

L:

1fl JI =

=

J2

+

/9 y 4

(3y2 - 1)2dy

6y 2

-

+ 2dy.

- 1

Para poder usar la regla de Simpson tomamos f( y) = J9 y 4 - 6y 2 + 2 y a­ rreglamos nuestro trabajo como lo hicimos en la sección 5.7. El lector puede veri­ ficar los datos de la tabla siguiente: i

O 1 2 3 4 5 6

r·

fUi)

111

1II((.I'i)

-1.0 -0.5 0.0

2.2361 1.0308 1.4142 1.0308 2.2361 5.8363 11.0454

1 4 2 4 2 4

2.2361 4.1232 2.8284 4.1232 4.4722 2J.3452 11.0454

. I

0.5 1.0 1.5 2.0

I

La suma de los números en la última columna es 52.1737. Por lo tanto, usando la regla de Simpson (5.49) con a = -l. b = 2 Y n = 6, l1egamos a 1

2

J

_ 1

)9y 4

-

6y 2

+ 2 dy ~ '6 [52.1737J ~

8.7.

312

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Si una gráfica se puede descomponer en un número finito de partes, cada una de las cuales es la gráfica de una función lisa, entonces se define la longitud de arco de la gráfica como la suma de las longitudes de arco de la gráfica de cada una de las partes. Se dice que una función de este tipo es lisa por partes o por tramos en su dominio. Para evitar cualquier interpretación incorrecta, denotaremos por t la variable de integración en la discusión siguiente. En este caso la fórmula para la longitud de arco de la definición (6.18) se escribe

L~ =

f

JI

+

[f'(t)]

2

dI.

Si f es lisa en [a, b], entonces f es lisa en [a, x] para todo x en [a, b] Yla longitud de arco de la gráfica entre los puntos A(a,f(a» y Q(x,f(x» está dada por

L~ =

f

JI

+ [J' (t)] 2 dI.

Si cambiamos de notación y usamos el símbolo s(x) en lugar de L:, entonces se puede considerar a s como una función con dominio [a, b], ya que a cada x en [a, b] le corresponde un único número s(x). Llamaremos a s la función de longitud de arco para la gráfica def(relativa al punto A). Los valores s(x) de s se representan geométricamente como las longitudes de arco medidas a lo largo de la gráfica de f entre A(a,f(a» y Q(x,f(x». La función de longitud de arco s es derivable en [a, b]. En efecto, se sigue de la definición de s(x) y de (5.33) que

Dx[s(x)]

= D.{

f JI

+ [J'(tW dtJ = JI + [J'(xW.

Más aún, de la definición (3.30) y de la igualdad anterior se concluye que la dife­ rencial de s es (6.20)

ds = s'(x)dx

=

JI

+ [J'(x)] 2 dx

o, introduciendo dx en el radical,

Tomando y = f(x) y usando la definición (3.30) esto se puede escribir

ds

=

J(dX)2

+ (dy)2.

Existe una interpretación geométrica interesante de esta última fórmula. Elevando ambos lados al cuadrado obtenemos (6.21) Consideremos ahora y = f(x) y demos a x un incremento Llx. Sean Lly el incre­ mento de y y Lls el incremento de la longitud de arco correspondientes a Llx. Estos

LONGITUD DE ARCO

6.7

313

incrementos se muestran en la figura 6.41 donde dy indica cuánto sube o baja la tangente cuando la variable independiente cambia de x a x + ~x (vea también la figura 3.9). Se infiere de (6.21) que se puede considerar a ds como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud Idxl y Idyl, como se ve en la figura 6.41. Esta figura también nos muestra que si ~x es pequeño, entonces se puede usar ds para estimar el incremento ~s de la longitud de arco. .1'

= (x)

11

.\

X

+ tlx

h

.\

Figura 6.41 Ejemplo 3

Use diferenciales para estimar la longitud de arco de la gráfica de y = x 3 entre A(I, 3) Y B(1.2, 4.128).

Solución

Seaf(x)

= x 3 + 2x.

+ 2x

Entonces por (6.20)

= JI + (3x 2 + 2)2 dx. aproximación tomando x = l Y dx = ds

Se puede obtener una

ds = ji+52(0.2)

=

0.2 Entonces

.)26(0.2) ~ 1.02.

6.7 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 4 use la definición (6.18) para calcular la longitud de arco de la ecuación dada entre A y B. 8x 2 = 27.1'3; A (1.2/3). 8(8.8/3)

,J;i; A(1.4), 8(4. -3)

3

.1'=5 -

5

Resuelva el ejercicio l usando (6.19)

2

(y

+

1)2

= (o< -

4 y = 6,y? + 6

1;

4)3; A(5,O), 8(8,71

A(-

1, 7), 8( - 8. 25)

Resuelva el ejercicio 2 usando (6.19)

En los ejercicios del 7 al 10 calcule la longitud de arco entre A y B de la gráfica de la ecuación dada. 7

,\'

= (x 3 /12) + (l/x);

A(1.13/l2). 8(2,7/6)

314

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

8

r+ 1/(4x) + (x J ¡)) = 0:A(2.67/24),8\3. 109;12)

9

30 xy J

-

y8 = 15: A(8/l5.1), 8(271/240,2)

10

x = (y 4 /l6) + (1/2.1'2): A(9i8. -2). 8(9/16. -1)

En los ejercicios 11 y 12 plantee (pero no evalúe) la integral para calcular la longitud de arco entre A y B de la gráfica de la ecuación dada.

= O:

12

Ilx-4x J -7¡·+7=0:A(I.2).8(0.1)

14

Calcule la longitud de arco de la gráfica de y = (3x 8 + 5)/30x 3 entre el punto de abscisa 1 y el punto de abscisa 2.

15 Sea f(x) = .y? ¿Cuál es la función de longi­ tud de arco s, relativa al punto (1, l)? Su­ poniendo que x crece de 1 a 1.1. calcule tis y ds.

16

Resuelva el ejercicio 15 paraf(x) =

17 Use diferenciales para estimar la longitud de arco de la gráfica de y = x 2 entre A(2, 4) Y B(2.1, 4.41). Ilustre esta aproximación con un dibujo y compárela con d(A, B).

18

Use diferenciales para estimar la longitud de arcodelagráficadey + x 3 = OentreA(I, -1) y B(l.1, -1.331). Ilustre esta aproximación con un dibujo y compárela con d(A, B).

11 2/ - 7.1' + 2x - 8

A(3.2). 8(4.0)

13 Calcule la longitud de arco de la gráfica de X 2/J

+

y21J =

l.

p.

En los ejercicios 19 y 20 use la regla de Simpson (5.49) con n = 4 para estimar la longitud de arco de la grá­ fica de la ecuación dada entre A y B. 19 Y = x 3 : A(O,O). 8(2,8)

6.S

20

.r

=

x2

+

x

+ 3:

A(-2.5). 8(2.9)

OTRAS APLICACIONES En esta sección consideraremos varias aplicaciones para dar al lector una idea de la versatilidad de la integral definida. La persona interesada puede hallar muchos ejemplos más. Las primeras tres aplicaciones tienen que ver con el estudio de la economía y la cuarta con la biología. Es importante para la gente de negocios hacer planes para la posible deprecia­ ción de equipo o mercancía. El procedimiento más elemental que se usa para esto es el método de la línea recta en el cual la razón de depreciación se considera constante. Por ejemplo, si la depreciación cada año es de $200, entonces la depre­ ciación total f(t) al final de t años está dada por f(t) = 200t. Observe que la razón de depreciación es f' (t). En muchos casos la razón de depreciación no es constante. Por ejemplo, un automóvil se deprecia muy rápidamente durante los primeros años posteriores a su compra y más lentamente a medida que se hace más viejo. Para otros objetos la razón de depreciación aumenta de año en año. En general supongamos que la razón de depreciación de cierto equipo en un intervalo de tiempo [O, t] es aproximadamente g(t) donde g es una función continua. Si la depreciación total en [O, t] esf(t), entoncesf'(t) = g(t) y podemos escribir fU) = {f'(X)dX = f>(X)dX.

Suponga además que se necesita un costo adicional fijo e para el servicio de man­ tenimiento del equipo después de un tiempo t (años). Entonces en el intervalo de tiempo [O, t], el gasto h(t) debido al equipo está dado por

OTRAS APLICACIONES

(6.22)

h(t)

6.8

315

= e + {g(X) dx.

El gasto medio, es decir el gasto por año, es (6.23)

k(t)

h(t)

= -t-'

Si no interviene otro factor, entonces el tiempo óptimo para renovar el equipo corresponde al valor de 1 para el cual k tiene un mínimo relativo. Esto sucede cuando k'(e) =

eh'(e) - h(e)

e2

=

O

o equivalentemente cuando h'le) = h(e) = k(e).

e

Como h/(l) = g(l), el tiempo más apropiado para la renovación es cuando g(l) k(l), es decir, cuando la razón de depreciación es igual al gasto medio.

=

Ejemplo 1

Usando la notación de la discusión anterior, suponga que para cierto equipo g(t) = 300Jl Y e = 500, donde 1 se mide en años. ¿Cuándo debe renovarse este equipo para que el gasto medio sea mínimo?

Solución

De (6.22) y (6.23) vemos que el gasto medio es k(t) = (500

+

i

300JX dX)

-;- t

= (500 + 200( 3/2 )/t. De la discusión anterior concluimos que k tendrá un valor mínimo cuando (500

+ 200( 3/2 )/l

= 300t 1/2 .

Despejando 1 obtenemos 1 = 52/3 ~ 2.924 o redondeando al mes más cercano, es aproximadamente igual a 2 años y 11 meses.

1

En la teoría económica, el procedimiento que usa una compañía para aumentar su riqueza se Barna formación de capital. Si la cantidad K de capital en el tiempo 1 se puede representar por f(l) donde f es una función derivable, entonces la razón de cambio de K respecto a 1 se l1ama el flujo de inversión neto. Por lo tanto, si 1 denota el flujo de inversión, entonces dK = J' (t). 1 = dt

Inversamente, si 1 está dado por g(l) donde g es una función continua en un inter­ valo [a, b], entonces el crecimiento del capital en este intervalo de tiempo es

316

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

f

(6.24)

g(t)dt = f(b) - f(a).

Ejemplo 2

Suponga que una compañía quiere que su flujo de inversión neto sea aproximada­ mente g(t) = t 1/3 donde t se expresa en años y g(t) en millones de dólares por año. Suponga que t = O corresponde al tiempo presente. Calcule el crecimiento del capital durante los próximos ocho años.

Solución

Aplicando (6.24) obtenemos

f

(1/3

dt = %t 4 / 3]: = 12.

En consecuencia, el crecimiento de capital es de $12,000,000.00.

En muchos empleos sucede que un trabajador tiene que ejecutar repetidamente la misma tarea. Por ejemplo a un muchacho que trabaja en una tienda de bicicletas se le puede pedir que arme las bicicletas nuevas. A medida que el muchacho arma una bicicleta tras otra, va adquiriendo pericia y, hasta cierto punto, arma cada bicicleta en menos tiempo que la anterior. Otro ejemplo de este procedimiento de aprendizaje por repetición es el del perforista de tarjetas que tiene que traducir información de formas escritas a tarjetas perforadas. El tiempo requerido para perforar cada tarjeta disminuye a medida que el número de tarjetas aumenta. Como un último ejemplo, el tiempo que una persona requiere para encontrar el camino en un laberinto mejora con la práctica. Consideremos una situación general en la cual cierta tarea ha de repetirse varias veces. Suponga que se sabe por experiencia que el tiempo requerido para ejecutar la tarea por iésima vez se puede representar por fU) donde f es una función continua decreciente en un intervalo adecuado. El tiempo total requerido para ejecutar la tarea k veces está dado por la suma k

L f(i) =

f(l)

+ f(2) + ... + f(k).

i= 1

Si observamos la gráfica de f que se muestra en la figura 6.42, entonces vemos que la suma anterior es igual al área del polígono rectangular inscrito que se muestra en la figura, y que por lo tanto es aproximadamente igual a la integral definida S~f(x) dx. Evidentemente la aproximación estará cerca de la suma, si f decrece lentamente en [0, k]. Si f decrece rápidamente con cada cambio unitario de x, no se debe usar una integral como aproximación a la suma.

Ejemplo 3

Una compañía que hace encuestas por medio de entrevistas telefónicas, descubre que el tiempo que necesita un empleado para completar una entrevista depende del número de entrevistas que este empleado haya realizado antes. Suponga que se calcula que para cierto estudio el número de minutos necesario para completar la iésima entrevista está dado por fU) = 6(1 + i)-1 15. Use una integral definida

OTRAS APLICACIONES

6.8

317

y

2

3

x

k -1 k

4

Figura 6.42

para calcular aproximadamente el tiempo necesario para que un empleado com­ plete (a) lOO entrevistas; (b) 200 entrevistas. Suponga que un entrevistador recibe $3.60 por hora. Calcule qué tanto más caro sería pagar a dos empleados por lOO entrevistas cada uno que pagar a un solo empleado por 200 entrevistas. Solución

Como en la discusión anterior, concluimos que el tiempo para completar lOO en­ trevistas es aproximadamente igual a [lOO

Jo

6(1 + x)-

liS

dx = 6. ~(I

+ X)4 /S JIOO

o

4

=~[(lOI)4/S -IJ

2 :::: 293.5 minutos.

El tiempo necesario para que un solo empleado efectúe 200 entrevistas es aproxima­ damente

f

200

6(1 + x)-

15

liS

dx = -

[(201 )4/S

2

o

-

IJ

:::: 514.4 minutos. Como un entrevistador recibe $0.06 por minuto, el costo de que un empleado realice 200 entrevistas es más o menos ($0.06)(514.4) o sea $30.86. Si cada uno de dos em­ pleados realiza lOO entrevistas, el costo es aproximadamente 2($0.06)(293.5) o $35.22 que es $4.36 más que el costo cuando se usa un solo empleado. Observe sin embargo que el tiempo ahorrado al usar dos empleados es aproximadamente 220 minutos. Se puede usar una calculadora para mostrar que 100

L 6(1 + n-

j~

I

200 1/5 ::::

291.75 y

L 6(1

i~

I

+

n-l/s:::: 512.57.

318

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Por lo tanto el resultado que se obtiene mediante integración (el área bajo la gráfica de f) es aproximadamente 2 unidades mayor que el valor de la suma correspondi­ ente (el área del polígono inscrito.).

La siguiente aplicación de la integral definida la tomamos del campo de la biología. Si un líquido fluye a través de un tubo cilíndrico con velocidad constante Va, entonces la cantidad de líquido que pasa por un punto fijo por unidad de tiempo está dada por vaA donde A es el área de una sección del tubo (vea la figura 6.43). Se necesita una fórmula más complicada para estudiar el flujo sanguíneo en una arteriola. La sangre fluye en capas, como se ilustra en la figura 6.44. En la capa más cercana a la pared de la arteriola, la sangre tiende a pegarse a la pared y puede considerarse que tiene velocidad cero. La velocidad aumenta a medida que las capas se aproximan al centro de la arteriola. Podemos pensar que el flujo sanguíneo consta de cáscaras cilíndricas delgadas que se deslízan, manteniéndose fija la cás­ cara exterior, y que la velocidad de las cáscaras aumenta al disminuir sus radios (vea la figura 6.44). Si se considera constante la velocidad de cada cáscara, en­ tonces se sabe de la teoría de los líquidos en movimiento, que la velocidad v(r) dentro de una cáscara de radio medio r está dada por

P

v(r) = 4v¡(R

2

-

r

2

),

donde R es el radio de la arteriola (en cm), tia longitud de la arteriola (en cm), P es la diferencia de presiones entre los dos extremos de la arteriola (en dinas/cm 2 ) y v es la viscocidad de la sangre (en dinas-seg/cm 2 ). Observe que al sustituir r = R en la fórmula se obtiene velocidad cero y la velocidad máxima PR 2 !4V¡1 se obtiene cuando r es igual a O. Si el radio de la k-ésima cáscara es rk Ysu grueso es Llrk, en­ tonces según (6.9) el volumen de sangre en esta cáscara es 2nr.r(r.)l'!r.

=

2nr.P 2 2 --¡-(R - r.)M•. 41'

Si hay n cáscaras, entonces el flujo total por unidad de tiempo en la arteriola es aproximadamente igual a ~

¿ •

~

I

2nr.? . 1 - - ( R - - rk)M•. 4v¡

Para poder calcular el flujo total F, es decir el flujo de sangre por unidad de tiempo, tomamos el límite de estas sumas cuando n tiende a infinito. Esto nos conduce a

() Figura 6.43

Figura 6.44

OTRAS APLICACIONES

6.8

319

la integral definida siguiente: F =

I

R

2nrP

_ _ (R 2 -

r 2 )dr

o 4vl

IR

2nP (R 2 r - 1: 3 ) dr 4v o

=

-1

=

nP [~R2r2 2vl 2

_ ~r4JR. 4

o

Al sustituir los limites de integración obtenemos nPR 4 8vl

F = --cm 3

Esta fórmula para F no es exacta ya que el grosor de las cáscaras no se puede hacer arbitrariamente pequeño. En efecto, el límite inferior es el ancho de un glóbulo rojo, o sea aproximadamente 2 x 1O-4 cm. Sin embargo podemos suponer que la fórmula nos da una aproximación razonable. Es interesante notar que un cambio pequeño en el radio de una arteriola tiene como consecuencia un cambio grande en el flujo ya que F es directamente proporcional a la cuarta potencia de R. Un cambio pequeño en la diferencia de presiones tiene un efecto menor, debido a que P sólo está elevado a la primera potencia.

6.8 EJERCICIOS La razón de depreciación de cierto equipo durante el intervalo de tiempo [O, 3J se puede representar por g(l) = I - 12 /9 donde 1 se mide en años y g(l) en cientos de dólares. Calcule la depreciación total al final de (a) 6 meses (b) laño (c) 18 meses (d) 2 años

2 La razón de depreciación de cierta mercancia durante el intervalo de tiempo [O,6J se puede representar por g(l) = JTO-=t donde 1 se mide en años y g(l) en miles de dólares. ¿Suponiendo que después de 6 años se necesitan $420 adicio­ nales para renovar el equipo, cuál es el gasto medio en seis años?

3 Sea g(l) = 1001 2 / 3 Y e = 400 en el ejemplo 1. Encuentre el tiempo óptimo para renovar el equipo.

4

5

6 Se calcula que el tiempo necesario (en minutos) para que una persona encuentre el camino por un laberinto sin equivocarse está dado por f(¡) = 5i- 1 / 2 , donde i es el número de intentos completados con anterioridad. ¿Cuánto tiempo se necesita para completar 10 intentos?

Una perforista tiene que traducir datos sobre la inscripción de estudiantes universitarios, de hojas escritas a tarjetas perforadas. Se calcula que el tiempo necesario para perforar la iésima tarjeta es aproximadamente fU) = 6(1 + i) - 1/3 minutos. Use una integral definida para calcular el tiempo necesario para que (a) una perforista perfore 600 tarjetas; (b) dos perforistas perfo­ ren 300 tarjetas cada una.

Suponga que en el ejemplo 2 la razón de in­ versión se representa por g(l) = 21(31 + 1), donde g(l) se mide en miles de dólares. Calcule la cantidad de capital formado durante los intervalos de tiempo [O,5J Y [5,10].

320

6

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

7 Un fabricante calcula que el tiempo necesario (en minutos) para que un obrero arme cierto objeto, depende del número de objetos que haya armado anteriormente. Suponiendo que el tiempo necesario para armar el enésimo objeto está dado por f(n) = 20n- O. 4 + 3, calcule aproximadamente el tiempo necesario para armar las siguientes cantidades de objetos (a) I (b) 4 (c) 8 (d) 16

6.9

8 Use una integral definida para calcular aproxi­ madamente la suma lOO

L

k(k2

+

1)-1/4.

k=1

REPASO

Conceptos

Defina o discuta lo siguiente El área entre las gráficas de dos funciones continuas

2 Sólido de revolución

3 Métodos para encontrar volúmenes de sólidos de revolución

4 Cálculo de volúmenes por rebanadas

5 Trabajo

6

Fuerza ejercida por un líquido

7· Función lisa

8

Función lisa por partes

9

Longitud de arco de una gráfica

10 La función de longitud de arco

Ejercicios

En los ejercicios I y 2 dibuje la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y cal· cule su área de dos maneras, primero integrando con respecto a x y después integrando con respecto a y. 2

i =4-

x, x

+ 2y - I =

°

En los ejercicios 3 y 4 calcule el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas 4

Y + x3

= 0, y = fi,

3y

+ 7x

-10 = O

En los ejercicios del 5 al 8 dibuje la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y calcule el volumen del sólído generado al girar R alrededor del eje indicado. 5 Y = ~, y = 0, x = 0, x = 2; eje x 6

y = x 4 , y = O, x = 1; eje y

7 Y = x3 8 Y=

+ 1, x = 0, y = 2; eje y

fi, y = fi;

eje x

REPASO

6.9

321

9 Calcule el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de y = 4x 2 y 4x + y - 8 = O alrededor de las rectas si­ guientes. (a) el eje x (b) la recta x = I (c) la recta y = 16

10 Calcule el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de y = x 3, X = 2 Y Y = O alrededor de (a) el eje x; (b) el eje y; (c) la recta x = 2; (d) la recta x = 3; (e) la recta y = 8; (O la recta y = -1.

11

Calcule la longitud de arco de la gráfica de la ecuación (x + 3? = 8(y - 1)3 entre los puntos A(­ 2,3(2) Y B(5, 3).

12 La base de un sólido es la región en el plano xy acotada por las gráficas de y2 = 4x y x = 4. Calcule el volumen del sólido suponiendo que las secciones obtenidas al intersecar el sólido con planos perpendiculares al eje x, son trián­ gulos rectángulos isósceles con uno de los lados iguales en la base del sólido.

13 Una alberca encima del nivel del suelo tiene la forma de un cilindro circular recto de 4 metros de diámetro y 1.50 metros de altura. ¿Si la profundidad del agua en la alberca es de 1.20 metros, cuál es el trabajo necesario para vaciar la alberca bombeando el agua por su parte superior?

14 Al levantar una cubeta una distancia de 10 m sobre el fondo de un pozo el agua chorrea a razón constante. Calcule el trabajo realizado si la cubeta originalmente contenía 10 kilogramos de agua y se chorreó una tercera parte del agua. Suponga que el peso de la cubeta vacía es de 2.5 kilogramos y desprecie el peso de la cuerda.

15

16

Una placa cuadrada de I metro de lado se sumerge verticalmente en agua de manera que una de sus diagonales es paralela a la superficie. Suponga que la distancia del centro de la placa a la superficie es de 1.50 metros. Calcule la fuerza que ejerce el agua sobre una de las caras de la placa.

Use diferenciales para estimar la longitud de arco de la gráfica de y = 3x 2 - 4x + 2 entre A(I,I) Y B(I.I, 1.23).

Suponga que limllPU_o I:i71W~.1Xj representa el limite de las sumas de Riemann de una función! en el intervalo [O, 1]. Resuelva los ejercicios del 17 al 20. 17 Encuentre el valor del limite. 18 Interprete el limite como el área de una región en el plano xy. 19 Interprete el limite como el volumen de un sólido de revolución. 20

Interprete el límite como el trabajo realizado por una fuerza.

_7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

La geometría plana íncluye el estudio de figuras tales como rectas. círculos y tríángulos. las cuales se encuentran en un plano. Se demuestran teoremas por razonamientos deductivos a partir de ciertos postulados. En la geometría analítica, las figuras planas se estudian introduciendo prímero un sistema coordenado y usando después varíos tipos de ecuaciones y fórmulas. Si fuese necesario resumir el estudío de la geometría analítica por medío de una sola frase, quizás la siguiente sería apropiada: "Dada

una ecuación, encontrar su gráfica, e inversamente, dada una gráfica,

encontrar su ecuación . .. En este capítulo aplicaremos los métodos de las

coordenadas a varias figuras planas básicas.

7.1

SECCIONES CONICAS Cada una de las figuras geométricas que discutiremos en este capítulo puede ob­ tenerse como la intersección de un cono circular recto de dos mantos con un plano. Por esta razón se llaman secciones cónicas, curvas cónicas o simplemente cónicas. Si el plano cruza todo un manto del cono y no es perpendicular al eje, como en (i) de la figura 7.1, entonces la curva formada por la intersección se llama elipse. Si el plano es perpendicular al eje del cono, se obtiene un círculo. Si el plano inter­

(i)

322

Elipse

(ii)

Parábola

Figura 7.1

(iii)

Hipérbola

PARABOLAS

7.2

323

seca a un manto del cono pero no lo cruza, y además no toca el otro, como en (ii) de la figura 7.1, entonces la curva formada por la intersección es una parábola. Si el plano corta a ambos mantos del cono, como en (iii) de la figura 7.1, la curva resultante es una hipérbola. Cambiando la posición del plano y la forma del cono, es posible producir cónicas de apariencia muy variada. Con ciertas posiciones del plano resultan lo que se llaman cónicas degeneradas. Por ejemplo, si el plano interseca al cono sola­ mente en el vértice, entonces la cónica consta de un solo punto. Si el eje del cono está enteramente contenido en el plano, entonces se obtiene una pareja de rectas. Finalmente, si comenzamos con el caso parabólico como en (ji) de la figura 7.1, Y movemos el plano paralelamente a su posición inicial hasta que coincida con uno de los elementos del cono, se obtiene una recta. Las secciones cónicas fueron estudiadas exhaustivamente por los antiguos matemáticos griegos usando los métodos de la geometría euclideana. Ellos des­ cubrieron las propiedades que nos permiten definir una cónica en términos de ciertos puntos (los focos) y ciertas rectas (las directrices) que se encuentran en el plano de la curva. Para reconciliar las definiciones posteriores con la discusión anterior se requiere de algunas demostraciones que no veremos aquí. Es notable el hecho de que aunque las secciones cónicas se estudiaron hace miles de años, están lejos de hacerse obsoletas. En efecto, son herramientas impor­ tantes para las investigaciones actuales sobre el espacio exterior y para el estudio del comportamiento de las partículas atómicas. En la fisica se demuestra que si una partícula se mueve bajo la influencia de un campo de fuerza proporcional al inverso del cuadrado de la distancia, entonces su trayectoria puede describirse por medio de una curva cónica. Los campos gravitacional y electrostático son ejemplos de este tipo. Las órbitas de los planetas son elípticas. Si la elipse es muy "aplastada", la curva semeja la trayectoria de un cometa. La hipérbola es útil para describir la trayectoria de una partícula alfa en el campo eléctrico de un núcleo atómico. La persona interesada podrá encontrar muchas otras aplicaciones de las curvas cónicas.

7.2

PARABOLAS

Las parábolas son muy útiles en las aplicaciones de las matemáticas al mundo fisico. Por ejemplo, puede demostrarse que si se dispara un proyectíl y se supone que la única fuerza que actúa sobre él es la de la gravedad (es decir, la resistencia del aire, y otros factores externos se ignoran), entonces la trayectoria del proyectil es parabólica. Las propiedades de las parábolas se utilizan en el diseño de espejos para telescopios y faros y de los micrófonos de campo que se usan en las trans­ misiones de los juegos de fútbol. Estas son sólo unas cuantas de sus muchas apli­ caciones fisicas. (7.1)

DEFINICION

Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo F (llamado foco) y de una recta fija I (llamada directriz), ambos contenidos en el plano.

324

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

Supondremos que F no se encuentra sobre / porque cuando así sucede la pará­ bola degenera en una recta. Sí P es cualquier punto del plano y P' es el punto sobre / determinado por una recta que pasa por P y es perpendicular a /, entonces según la definíción (7.1), P está sobre la parábola si y sólo si d(P, F) = d(P, P'). En la figura 7.2 se ilustra una situación típica de éstas, donde la curva discontinua muestra las posiciones posibles de P. La recta que pasa por F y es perpendicular a la directriz se llama el eje de la parábola. El punto V sobre el eje, que se encuentra a medio ca­ mino entre F y /, se llama el vértice de la parábola. .1'

(eje)

v y= -p

x P'(x. -p)

I (directriz)

Fi/(ura 7.2

Fi/(ura 7.3

Con el objeto de obtener una ecuación simple para la parábola, escojamos el eje y como el eje de la parábola, con el origen en el vértice V, como se ilustra en la figura 7,3. En este caso el foco F tiene coordenadas (O, p) para algún número real p "" y la ecuación de la directriz es y = -p. A partir de la fórmula de la distancia vemos que un punto P(x, y) está sobre la parábola si y sólo si

°

/(x -

0)2

+ (y

_ p)2 = /(x _ X)2

+ (y + p)2.

Elevando al cuadrado ambos lados obtenemos (x - 0)2

+ (y

_ p)2 = (y

+ p)2

o x 2 + y2 _ 2py

+ p2

=

y2

+ 2py + p2

que simplificando se convierte en (7.2)

x 2 = 4py. Hemos demostrado que las coordenadas de cualquier punto (x, y) sobre la parábola satisfacen la ecuación x 2 = 4py. Inversamente, si (x, y) es una solución de esta ecuación, entonces, invirtiendo los pasos anteriores vemos que el punto (x, y) se encuentra sobre la parábola. Llamaremos a (7.2) la forma canónica para la ecuación de una parábola con foco en F(O, p) Y directriz y = -p. Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba, como en la figura 7.3, mientras que si p < O, la parábola se abre hacia abajo.

PARABOLAS

7.2

325

y

P'( -l'. y)

-

x x

= -1'

Figura 7.4 Si el eje de la parábola se coloca a lo largo del eje x ocurre una situación pare­ cida. Si el vértice es V(O, O), el foco F(p, O) Y la ecuación de la directriz x = -p (vea la figura 7.4), entonces, usando un argumento análogo, obtenemos la forma canónica (7.3)

y2

= 4px.

Si p > O, la parábola se abre hacia la derecha, como en la figura 7.4, mientras que si p < O, se abre hacia la izquierda.

= -6x y dibuje

Ejemplo 1

Encuentre el foco y la directriz de la parábola con ecuación y2 su gráfica.

Solución

La ecuación tiene la forma (7.3) con 4p = - 6 Y por lo tanto p = - 3/2. De la discusión anterior concluimos que el foco es F(p, O), es decir, F( - 3/2, O). La ecua­ ción de la directriz es x = - p, o x = 3/2. En la figura 7.5 aparece un dibujo de la gráfica. y

x

,1

x=~

Fi¡:ura 7.5

326

7

Ejemplo 2

Encuentre una ecuación de la parábola que tiene vértice en el origen, se abre hacia arriba y pasa por el punto P( - 3, 7).

Solución

La forma general de la ecuación es x 2 = 4py (vea (7.2». Si P está sobre la parábola, entonces ( - 3, 7) es una solución de la ecuación. Por lo tanto debemos tener ( - 3)2 = 4p(7) o p = 9/28. Sustituyendo este valor de p en (7.2) obtenemos la ecuación deseada x 2 = (9/7)y, o bien 7 x 2 = 9y. Si el plano coordenado de la figura 7.3 se dobla a lo largo del eje y, entonces la parte de la gráfica que se encuentra en el semiplano izquierdo coincide con la del semiplano derecho. Decimos que la gráfica es simétrica con respecto al eje y. Como en (i) de la figura 7.6, una gráfica es simétrica con respecto al eje y si siempre que el punto (x, y) está sobre la gráfica, el punto (-x, y) está también sobre la grá­ fica. Análogamente, como en (ii) de la figura 7.6, una gráfica es simétrica con res­ pecto al eje x si siempre que el punto (x, y) está sobre la gráfica, el punto (x, -y) también está sobre la gráfica. En el segundo caso, si doblamos el plano coordenado a lo largo del eje x, la parte de la gráfica que se encuentra encima del eje x coin­ cidirá con la parte que se encuentra debajo del mismo eje. Los comentarios anteriores nos proporcionan los resultados enunciados en (7.4).

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALlTICA

y

I

(x. y)

I I

I I I

I I I I


.1')

(ji)

(i)

Figura 7.6 (7.4)

CRITERIOS DE SIMETRIA CON RESPECTO A UN EJE

(i) La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje y si el sustituir - x en lugar de x no altera las soluciones de la ecuación. (ii) La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje x si el sustituir - y en lugar de y no altera las soluciones de la ecuación. Por ejemplo, para ilustrar (7.4), si reemplazamos x con -x en (7.2) obtenemos = 4py, que es lo mismo que x 2 = 4py Y por lo tanto las soluciones no cambian. Así pues, la parábola con ecuación x 2 = 4py es simétrica con respecto al eje y. Esto es evidente también a partir de la gráfica en la figura 7.3. Análoga­ mente, la gráfica de y2 = 4px en la figura 7.4 es simétrica con respecto al eje x, ya que la ecuación no se altera al reemplazar y con -y. Si existe la simetría respecto a un eje, entonces basta determinar la gráfica en ( - X)2

PARABOLAS

7.2

327

una mitad del plano coordenado, ya que el resto de la gráfica es un reflejo de la pri­ mera mitad. No es dificil generalizar nuestros resultados al caso en que el eje de una pará­ bola es paralelo a uno de los ejes coordenados. En la figura 7.7 escogimos el vértice en el punto V(h, k), el foco en F(h, k + p) y la directriz como y = k - p, donde p > O. Como antes, el punto P(x, y) está sobre la parábola si y sólo si d(P, F) = d(P, P'), es decir, si y sólo si y'(x - h)2

+

=

(y - k - p)2

Y

(x - X)2

+

(y - k

+

p)2.

Dejamos al lector la tarea de demostrar que esta ecuación se reduce a (7.5)

= 4p(y

(x - h)2

- k)

que se llama la forma canónica para la ecuación de una parábola con vértice en = (O, O), entonces (7.5) se reduce a (7.2).

(h, k) Yeje paralelo al eje y. Como caso particular, si (h, k) y

(x - h)2 = 4p(y - k)

y = k - P '----i---I-~---V(II, k) P'(x, k - p) I

x

Fi¡:lIra 7.7

Elevando al cuadrado el lado izquierdo de (7.5) y simplificando llegamos a una ecuación de la forma y

=

ax 2

+ bx + e

donde a, b, y e son números reales. Inversamente, dada una ecuación como ésta, podemos completar el cuadrado en x y llegar a la forma canónica (7.5). Ilustraremos este procedimiento en el ejemplo 3. En consecuencia, si a '# O, la gráfica de y = ax 2 + bx + e es una parábola con el eje vertical.

+

Ejemplo 3

Discuta y dibuje la gráfica de y = 2x 2

Solución

La gráfica es una parábola con eje vertical. Para obtener la forma (7.5) comenzamos escribiendo la ecuación como y - 4 = 2x 2

-

-

6x

6x

4.

= 2(x 2

-

3x).

328

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALlTICA

Luego completamos el cuadrado en la expresión x 2 - 3x. Recordemos que para completar el cuadrado en cualquier expresión de la forma x 2 + qx, debemos su­ mar el cuadrado de la mitad del coeficiente en x, esto es, (q/2)2. Así a x 2 - 3x debemos sumar (- 3/2)2, o sea 9/4. Sin embargo, si sumamos 9/4 a x 2 - 3x en la ecuación y - 4 = 2(x 2 - 3x), entonces debido al factor 2 que aparece fuera del paréntesis, esto resulta ser equivalente a sumar 9/2 al lado derecho de la ecuación y por lo tanto, debemos compensar esto sumando 9/2 aliado izquierdo. Esto nos da Y- 4

9

(2 -

+ 2=

2 x

3x

9)

+4

1 ( 3) 2 Y+2=2x2 o equivalentemente

Esta última ecuación tiene la forma (7.5) con }¡ = 3/2, k = -1/2 Y 4p = 1/2, o sea p = 1/8. Por lo tanto el vértice de la parábola es V(3/2, -1/2). El foco es F(h, k + p) o sea F(3/2, - 3/8) Y la directriz tiene ecuación y

= k - p = (-1/2) - (1/8), o y = -5/8.

Como una ayuda para dibujar la gráfica notemos que la ordenada al origen es 4. Para encontrar la abscisa al origen resolvemos la ecuación 2x 2 - 6x + 4 = que es equivalente a (2x - 2)(x - 2) = 0, y así obtenemos x = 1 y x = 2. En la figura 7.8 aparece un dibujo de la gráfica

°

\'

6x

+4

( \, O)

.x (~

2'

_!) 2

Figura 7.8

Para obtener la ecuación de una parábola arbitraria con el eje horizontal tomamos el vértice V(h, k), el foco F(h + p, k) y la directriz x = }¡ - p, como se ilustra en la figura 7.9. Se deja como ejercicio demostrar que d(P, F) = d(P, P')

PARABOLAS

7.2

329

V(h. k)

x=h-p

Figura 7.9

si y sólo si (7.6)

(y - k)2

= 4p(x

- h).

La ecuación (7.6) puede escribirse como

x

= al + by + e

donde a, b, y e son números reales. Inversamente, esta última ecuación puede ex­ presarse en la forma (7.6) completando el cuadrado en y, como se ilustra a conti­ nuación en el ejemplo 4. Por lo tanto si a =1: O, la gráfica de x = ay2 + by + e es una parábola con el eje horizontal. Ejemplo 4

Discuta y dibuje la gráfica de la ecuación 2x = y2 + 8y + 22.

Solución

De acuerdo con la discusión anterior, la gráfica es una parábola con eje horizontal. Escribimos y2 + 8y

= 2x

- 22

Procedemos luego a completar el cuadrado del lado izquierdo, sumando 16 a ambos lados, con lo cual obtenemos y2 + 8y

+ 16 =

2y - 6.

Esta última ecuación puede escribirse

+ 4)2 = 2(x - 3) la cual tiene la forma (7.6) con h = 3, k = -4 Y 4p = 2, o sea p = 1/2. Por lo (y

tanto el vértice es V(3, -4). Como p = 1/2 > O, la parábola se abre hacia la de­ recha y su foco es F(h + p, k), es decir, F(7/2, -4). La ecuación de la directriz es x = h - p, o x = 5/2. La parábola se muestra en la figura 7.10.

330

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA .1'

Figura 7./0

Ejemplo 5

Encuentre una ecuación para la parábola con vértice (4, -1), eje paralelo al eje y y que pasa por el origen,

Solución

De acuerdo con (7,5), la ecuación es de la forma (x - 4 ¡2 = 4p(y

+ 1¡.

Si el origen se encuentra sobre la parábola, entonces (O, O) debe ser solución de esta ecuación y por lo tanto (O - 4)2 = 4p(0 + 1). En consecuencia, 16 = 4p Y P = 4. La ecuación que buscábamos es, por lo tanto, (x - 4)2

= 16(y +

1).

Concluiremos esta sección señalando una propiedad importante de las pará­ bolas. Supongamos que I es la recta tangente a la gráfica de y2 = 4px en el punto P(x l ' Y1)' Como en la figura (7.11), denotemos por CI. el ángulo entre I y el segmento recto FP, y por f3 el ángulo entre I y la semirrecta horizontal indicada que termina en P. En el ejercicio 34 se pide al lector demostrar que CI. = {J. Esta propiedad tiene muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la forma del espejo en un faro se ob­ tiene girando una parábola alrededor de su eje. Si se coloca una fuente luminosa en F, entonces, por una ley de la física, los rayos de luz que se reflejan en él salen

Fi¡:ura 7.11

PARABOLAS

331

7.2

dirigidos en dirección paralela al eje. Este mismo principio se utiliza en la construcción de espejos para telescopios y hornos solares, en los que un haz de luz que llega al espejo parabólico en dirección paralela al eje, se refleja hacia el foco. Las antenas de los sistemas de radar y los micrófonos de campo usados en los juegos de fútbol también utilizan esta propiedad.

7.2 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del I a 16 encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola que tiene la ecuación dada y dibuje la gráfica.

,

x- = -12)' 5

2 / = (1/2)x

2

8x =-"

8 Y = 40x - 97 - 4x 2 11

y2 _

14

i -

4y - 2x - 4 = O

20.1'

+

100 = 6x

,

7

x 2 - 4x

10

y-

9

.r = y2

15

2

2)'2 = -3x

= -100x

6

12

3

+2 + 14y + 4x + 45

x + 20y

= O

= 10

17 Describa un método para localizar el vértice de una parábola con ecuación y = ax 2 + bx + e, aplicando la derivada. Use este método para en­ contrar los vértices en los ejercicios del 8 al 10. Describa un método análogo para ecuaciones de la forma x = ay2 + by + e.

x2

=

-3y

/-12=12x Y = 8x 2

+

16x

+

10

4x

2

+ 40x + y +

106 = O

4x

2

+ 4x + 4y +

I =0

13 16

18

4

Describa cómo usar la segunda derivada para determinar si la parábola con ecuación y = ax 2 + bx + e se abre hacia arriba o hacia abajo. Ilustre este método con los ejercicios 8, 9 Y 10.

En cada uno de los ejercicios del 19 al 24 encuentre una ecuación para la parábola que satisface las condiciones dadas.

19 El foco es (2, O) Y la directriz x = - 2.

20

El foco es (O, -4) Y la directriz y = 4.

21 El foco es (6, 4) Y la directriz y = - 2.

22

El foco es ( - 3, - 2) Y la directriz y = l.

23 El vértice está en el origen, es simétrica con res­ pecto al eje y y pasa por el punto A (2, - 3).

24

2S Un faro reflector está diseñado de tal manera

26

Demuestre queel punto de una parábola que está más cerca del foco es el vértice.

27 Encuentre una ecuación de la parábola que tiene eje vertical y que pasa por los puntos A(2, 3), B( -1,6) Y C(I, O).

28

Deduzca (7.6).

29 Demuestre que la ecuación de la recta tangente a la parábola x 2 = 4py en el punto P(x l , YI) es XIX - 2py - 2PYI = O.

30

El vértice es V( - 3, 5), el eje es paralelo al eje

X

y pasa por A(5, 9).

que cualquier corte transversal por un plano que pasa por el eje es una parábola y la fuente de luz se encuentra en el foco. Encuentre el foco suponiendo que el reflector tiene 90 cm de diá­ metro en la abertura y 30 cm de profundidad.

Demuestre que la parábola con ecuación y = + bx + e no tiene puntos de inflexión.

ax 2

332

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

31

Sea R la región del plano xy acotada por la parábola x 2 = 4y Y la recta I que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola. (a) Calcule el área de R. (b) Calcule el volumen del sólido que se ob­ tiene al girar R alrededor del eje y. (c) Calcule el volumen del sólido que se ob­ tiene al girar R alrededor del eje x.

32 Sea R la región del plano xy acotada por las gráficas de y2 = 2x - 6 Y x = 5. (a) Calcule el área de R. (b) Calcule el volumen del sólido que se obtiene al girar R alrededor del eje y. (c) Calcule el volumen del sólido que se ob­ tiene al girar R alrededor del eje x.

33

Una puerta vertical de una presa tiene la forma de la región parabólica del ejercicio 3 I. ¿Si la recta I está al nivel del agua, cuál es la fuerza que el agua ejerce sobre la puerta?

j4

35

Un segmento de recta que pasa por el foco de una parábola y tiene sus extremos sobre la parábola, se llama una cuerda focal. Sea AB una cuerda focal. Demuestre que las rectas tangentes en A y B son perpendiculares.

36 Sea AB una cuerda focal de una parábola (vea el ejercicio 35). Demuestre que el punto de in­ tersección de las rectas tangentes en A y B está sobre la directriz.

7.3

En la figura 7.11 demuestre que

IX

= {J.

ELIPSES Una elipse puede definirse como sigue:

(7.7)

DEFINICION

Una elipse es el conjunto de todos los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano (los focos) es constante. Se sabe que las órbitas de los planetas en el sistema solar son elipses y el sol está en uno de los focos. Esta es sólo una de las muchas e importantes aplicaciones de las elipses. Hay una forma fácil de construir una elipse sobre el papel. Podemos comen­ zar por insertar dos chinches en el papel en dos puntos que denotamos por F y F', Y atar los extremos de un hilo a las chinches. Restiramos después el hilo con un lápiz, como se muestra en la figura 7.12. Sea P el punto del papel sobre el cual queda la punta del lápiz con el hilo restirado. Si ahora movemos el lápiz mante­ niendo el hilo restirado, la suma de las distancias d( F, P) Y d( F', P) es igual a la longitud del hilo y por lo tanto es constante. Por lo tanto el lápiz trazará una figura parecida a una elipse con los focos en F' y F. Variando las PQsiciones de F' y F pero manteniendo fija la longitud del hilo, puede hacerse cambiar mucho la forma de la elipse. Si F' Y F están muy separados en el sentido de que d(F, F') es casi igual a la longitud del hilo, entonces la elipse es muy plana y alargada. Por otro lado, si d(F, F') es casi cero la elipse se parece a un círculo. De hecho si F = F' entonces se obtiene un círculo. Introduciendo sistemas coordenados adecuados podemos deducir algunas ecuaciones sencillas para las elipses. Escojamos el eje x como la recta que pasa por los dos focos Fy F', con el origen en el punto medio del segmento F' F. Este punto

ELIPSES

7.3

333

y

x

Figura 7.12

Figura 7.13

se llama el centro de la elipse. Si F tiene coordenadas (e, O), donde e > O, entonces, como se muestra en la figura 7.13, r tiene coordenadas ( - e, O) y la distancia entre F y r es 2e. Denotemos por 2a la constante que es la suma de las distancias de P a Fy r. Notemos que para obtener puntos que no están sobre el eje x es necesario que 2a > 2e, es decir, a > e. (¿Por qué?) Según la definición (7.7), P(x, y) está sobre la elipse si y sólo si d(P, F)

+ d(P, F') = 2a

o, usando la fórmula de la distancia, J
Escribiendo esta ecuación como ~ - e)2

+ y2 = 2a _ J(x + e)2 + y2

y elevando ambos miembros al cuadrado obtenemos x 2 _ 2ex + e 2 + y2 = 4a 2 _ 4aJ(x + e)2 + y2 + x 2 + 2ex + e 2 + y2

lo cual se reduce a aJ(x + e)2 + y2

= a 2 + ex.

Elevando ambos miembros al cuadrado obtenemos a 2(x 2 + 2ex + e 2 + y2)

=

a4 + 2a 2ex + e 2x 2

lo cual puede escribirse en la forma x 2(a 2 _ e 2) + a 2y2 = a2(a 2 _ e 2). Dividiendo ambos miembros por a 2(a 2 - e 2) obtenemos x2

y2

2+ 2 a

a - e

2=1.

Por conveniencia definimos

(7.8)

donde

b > O

334

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos

x2

(7.9)

a2

i

+ bf = 1.

Como a > e, se infiere a partir de (7.8) que a 2 > b 2 y por lo tanto a > h. Hemos demostrado que las coordenadas de cualquier punto (x, y) sobre la elipse de la figura 7.13 satisfacen la ecuación (7.9). Inversamente, si (x, y) es una solución de esta ecuación, entonces invirtiendo los pasos anteriores vemos que el punto (x, y) está en la elipse. La ecuación (7.9) se llama la forma canónica para la ecuación de una elipse con focos en el eje x y centro en el origen. Las abscisas al origen pueden encontrarse tomando y = O. Haciéndolo ob­ tenemos x 2 /a 2 = 1, o x 2 = a 2 y por lo tanto las abscisas al origen son a y -a. Los puntos correspondientes sobre la gráfica, a saber V(a, O) y V'( - a, O), se llaman los vértices de la elipse, y el segmento de recta V' V se llama el eje mayor. Tomando x = O en (7.9) obtenemos las ordenadas al origen que son by-b. El segmento de recta que une los puntos M'(O, -b) y M(O, b) se llama el eje menor de la elipse. Note que el eje mayor es más largo que el eje menor puesto que a > b. Aplicando los criterios de simetría (7.4) vemos que la elipse es simétrica con respecto al eje x y también con respecto al eje y. Además es simétrica con respecto al origen en el sentido de que si el punto P(x, y) está sobre la gráfica, entonces tam­ bién el punto P' ( - x, -y) está sobre la gráfica. Note que P' puede encontrarse prolongando el segmento que va de P al origen O, una distancia d(O, P) más allá de O. El siguiente resultado es útil para investigar la simetria con respecto al origen. (7.10)

CRITERIO DE SIMETRIA CON RESPECTO AL ORIGEN

La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al origen si el sustituir simultáneamente - x en lugar de x y - yen lugar de y no modifica las soluciones de la ecuación. Ejemplo 1

Discuta y dibuje la gráfica de la ecuación

4x 2 + 18y 1 Solución

=

36.

Para obtener la forma canónica dividimos ambos miembros de la ecuación por 36 y simplificamos. Esto nos lleva a

x2

y2

9

2

-+-=

1

que tiene la forma (7.9) con a 2 = 9 y h 2 = 2. Por lo tanto a = 3, h = )2, y los extremos del eje mayor son (± 3, O) y los del eje menor (O, ± )2). De (7.8) ob­ tenemos e2 = a 2

-

b2 = 9 - 2

En consecuencia, los focos son (± 7.14. Ejemplo 2

=

J7, O).

7,

o

(' =

J7.

La gráfica está dibujada en la figura

Encuentre una ecuación para la elipse con vértices (± 4, O) y focos (± 2, O).

ELIPSES

7.3

335

y (O, y'2)

(-3. O)

(3, O)

x .:¡\'~

+

I Xy2 == 36

Figura 7.14 Solución

Sustituyendo a = 4 y e = 2 en (7.8), obtenemos b 2 (7.9) obtenemos la ecuación

16 - 4 = 12. Utilizando

x2 y2 -+--=1. 16 12 Multiplicando ambos miembros por 48 obtenemos 3x 2

+ 4y 2

=

48.

A veces conviene escoger el eje mayor de la elipse a lo largo del eje y. Si los focos son (O, ± e), entonces por medio de un argumento del mismo tipo que el que usamos para deducir (7.9), obtenemos en este caso la ecuación

x2 y2 b2 + a 2 = l

(7.11)

donde a > b. La relación entre a, b y e está dada otra vez por b 2 = a 2 - e 2 o, equivalentemente, por e 2 = a 2 - b 2 • En este caso los vértices son VeO, a) y V'(O, -a). Los extremos del eje menor son M(b, O) y M'( -b, O). En la figura '7.15 aparece un dibujo de la gráfica de una elipse típica en esta posición. ,1'

1'(0, a)

:\.1' (- h, O)

M(h. O)

V('O. -a)

Figura 7.15

336

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

La discusión anterior muestra que una ecuación de una elipse con centro en el origen y focos sobre un eje coordenado siempre puede escribirse en la forma x2

y2

P

q

- +- =

l

qx 2 + py2

o

= pq

donde p y q son números positivos. Si p > q, entonces el eje mayor coincide con el eje x, mientras que si q > p, entonces el eje mayor coincide con el eje y. No es necesario memorizar estos resultados puesto que en un problema concreto el eje mayor puede determinarse examinando las intersecciones de la elipse con los ejes.

+

Ejemplo 3

Dibuje la gráfica de la ecuación 9x 2

Solución

La gráfica es una elipse con el centro en el origen y los focos sobre un eje coordenado. Para encontrar las abscisas al origen tomamos y = O y obtenemos 9x 2 = 25, o x = ± 5/3. Análogamente, para encontrar las ordenadas al origen tomamos x = O y obtenemos 4 y 2 = 25 o y = ± 5/2. Esto nos permite dibujar la elipse (vea la figura 7.16). Como 5/3 < 5/2, el eje mayor está sobre el eje y.

4 y 2 = 25.

r

(J'" O) x

Figura 7.16

Ejemplo 4

Calcule el área de la región acotada por una elipse cuyos ejes mayor y menor tienen longitudes 2a y 2b respectivamente.

Solución

La ecuación (7.9) es una de las formas de la ecuación de la elipse. Despejando de ella y obtenemos

La gráfica de la elipse tiene la forma general que se muestra en la figura 7.14, y por lo tanto, por simetría, basta calcular el área de la región que se encuentra en el primer cuadrante y multiplicar el resultado por 4. Usando (5.20),

fa y'a

4b a o

A = -

J

2

-

x 2 dx.

Como la gráfica de y = a 2 - x 2 entre x = O Y x = a es un cuarto de círculo de radio a con centro en el origen, la integral vale na 2 /4. En consecuencia,

ELIPSES

A=

(~)(n:2)

337

7.3

= nabo na 2 •

Como un caso particular, si b = a la elipse es un círculo y A

7.3 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del I al 8 dibuje la gráfica de la ecuación y encuentre las coordenadas de los vértices y los focos. Xl

5

yl

Xl

yl

-+--=1 9 4

2 -+-= l 25 16

5x 2 + 2y l = 10

6

(lf2)x" + 2y l

=8

3

4x l + yl = 16

4

yl

+ 9x l = 9

7

4x 2 + 25 y 2 = l

8

10.1'2 + x 2 = 5

En cada uno de los ejercicios del9 al 14 encuentre una ecuación para la elipse que satisface las condiciones dadas. 9

Los vértices son V( ±8, O) Ylos focos F( ± 5, O).

11

Los vértices son V(O, menor es 3.

± 5) y la longitud del eje

12 Los focos son F( ± 3, O) Y la longitud del eje menor es 2.

13

Los vértices son V(O,

± 6) y pasa

14 El centro está en el origen, es simétrica con res­ pecto a ambos ejes y pasa por los puntos A(2, 3)

por (3, 2).

10 Los vértices son V(O.

± 7) y los focos

F(O,

± 2).

Y B(6. 1).

En los ejercicios 15 y 16 encuentre los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones dadas. Dibuje ambas gráficas en un mismo sistema de ejes coordenados, mostrando los puntos de intersección. 15

{x x

2

+

4)'2 =

+ 2)'

20

= 6

17 Un arco de un puente tiene la forma de una media elipse con el eje mayor horizontal. La

base del arco mide 12 metros y la parte más alta está 4 metros arriba del camino horizontal que pasa bajo el puente. Encuentre la altura del arco sobre el punto del suelo que está a 3 metros del centro.

18 La excentricidad de una elipse se define como la razón (Ja 2 - b 2 )/a. Describa la forma general de la elipse cuando la excentricidad está cerca de l y cuando está cerca de cero, suponiendo que a está fijo y b varía.

19 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la elipse 5x 2 + 4y 2 = 56 en el punto P( -2,3).

20 Demuestre que XXI/al + yYI/b 2 = l es una ecuación de la recta tangente a la elipse x l /a 2 + y2/b 2 = l en el punto P(x l , YI)'

21 Dos rectas tangentes a la elipse 9x 2 + 4y 2 = 36 se intersecan en el punto (O, 6). Encuentre los puntos de tangencia.

22 Dos rectas tangentes a la elipse blx l + al)'l = a l b 2 intersecan el eje y en el punto (O, d), donde d > b. Encuentre los puntos de tangencia.

23 Encuentre el volumen del sólido que se obtiene al girar la región dentro de la elipse b 2 Xl + a l y 2 = a 2b 2 alrededor del eje x.

24 Encuentre el volumen del sólido que se obtiene al girar la región dentro de la elipse b l x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 alrededor del eje y.

338

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALlTICA

25 La base de cierto sólido es la región acotada por una elipse con ejes mayor y menor de longi­ tudes 16 y 9 respectivamente. Calcule el volumen del sólido si es que toda sección que se obtiene al intersecarlo con un plano perpendicular al eje mayor es (a) un cuadrado; (b) un triángulo equilátero.

26

La base de un cono elíptico recto tiene ejes mayor y menor con longitudes 2a y 2b respec­ tivamente. Encuentre el volumen si la altura es h. (Sugerencia: vea el ejemplo 4).

27 Encuentre las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una elipse de semiejes a y b, suponiendo que dos de los lados del rectángulo son paralelos al eje mayor.

28

Un tanque cilíndrico cuyas secciones son elipses con ejes de 1.5 y 2 metros respectivamente, yace sobre el suelo y está lleno de agua hasta la mitad de su volumen. Calcule la fuerza que el agua ejerce en un extremo del tanque.

29 Sea / la recta tangente en el punto P a la elipse ilustrada en la figura 7.13. Demuestre que si a es el ángulo entre F' P y /, y P es el ángulo entre FP y /, entonces a = p. (Esta es la propiedad análoga a la de reflexión de la pará­ bola ilustrada en la figura 7.11).

30

Deduzca (7.11).

7.4

HIPERBOLAS La definición de una hipérbola es semejante a la de una elipse. El único cambio es que en lugar de usar la suma de las distancias a dos puntos fijos usamos la dife­

rencia. (7.12)

DEFlNICION

Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. Con el objeto de encontrar una ecuación sencilla para una hipérbola, escogemos un sistema coordenado de manera que los focos sean F(c, O) y F( - c, O) y denotamos la diferencia (constante) por 2a. Observando la figura 7.17 vem.os que un punto P(x, y) está en la hipérbola si y sólo si se cumple una de las dos igualdades siguientes: (7.13)

d(P,F') - d(P, F) = 2a d(P, F) - d(P, r) = 2a.

En el caso de las hipérbolas necesitamos a < c (lo contrario de lo que se ne­ cesita en las elipses) para que existan puntos de la hipérbola fuera del eje x. En efecto, si P es un punto de la hipérbola, entonces en la figura 7.17 vemos que d(P,F) < d(r,F)

+ d(P, r)

HIPERBOLAS

7.4

339

Figura 7./7

ya que la longitud de uno de los lados de un triángulo es siempre menor que la suma de las longitudes de los otros dos. Análogamente d(P, F')

< d(F', F) + d(P, F).

Las dos igualdades anteriores son equivalentes a d(P,F) - d(P, F') < d(F', F) d(P,F') - d(P,F)

< d(F',F).

Usando 7.13 yel hecho de que d(F', F) = 2e, concluimos que las dos desigual­ dades anteriores implican que 2a < 2e, o a < e. Las ecuaciones (7.13) pueden reemplazarse con una sola ecuación Id(P,F) - d(P, F')I = 2a.

Usando la fórmula de la distancia se infiere que

IJ(x - ef +

(y - 0)2 -

J(x +

e)2

+

(y - 0)21

=

2a.

es una ecuación de la hipérbola. Utilizando un procedimiento de simplificación del tipo usado en la deducción de la ecuación de la elipse, llegamos a la ecuación equivalente

x2 a2

y2 -

e2

_

a 2 =1.

Por conveniencia definimos (7.14)

b2 = e 2

-

a2,

donde b > O.

Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos (7.15) Hemos demostrado que las coordenadas de cualquier punto (x, y) que está en la hipérbola de la figura 7.17 satisfacen la ecuación (7.15). Inversamente, si (x, y) es una solución de (7.15), entonces, invirtiendo los pasos anteriores, vemos que el

340

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

punto (x, y) está en la hipérbola. La ecuación (7.15) se l1ama la forma canónica para la ecuación de una hipérbola con focos en el eje x y centro en el origen. Por los criterios de simetría vemos que esta hipérbola es simétrica con respecto a cada eje coordenado y también con respecto al origen. Las abscisas al origen son ± a. Los puntos correspondientes Vea, O) y V' ( - a, O) se llaman los vértices y el seg­ mento de recta VV' se denomina el eje transversal de la hipérbola. No existe nin­ guna ordenada al origen puesto que la ecuación - y2 Ib 2 = I no tiene soluciones. Si despejamos y de (7.15), obtenemos (7.16)

Y

b

=

2 2 ±-Jx - a • a

Por lo tanto no hay puntos (x, y) en la gráfica cuando x 2 - a 2 < O, es decir, cuan­ do -a < x < a. Perosí hay puntos P(x, y) en la gráfica cuando x ~ a o x ~ -a. La recta y = (bla)x es una asíntota de la hipérbola (7.15) en el sentido de que la distancia d(x) entre el punto P(x, y) de la hipérbola y el punto correspondiente r(x, Y1) de la recta, tiende a cero a medida que x tiende a infinito. Para demostrar esto usaremos (7.16). Si x > O, entonces b - -b d(x) = -x a

a

J2 x -

J2x - a 2).

b a 2 = -(x a

Como

tenemos lim d(x) X-L

=

b lim X-La x

a2

+ Jx 2

-

a2

= O.

Análogamente, d(x) tiende a cero cuando x tiende a menos infinito. Puede de­ mostrarse de manera parecida que la recta y = (-bla)x es otra asíntota de la hipérbola (7.15). Las asíntotas son una guía excelente para dibujar la gráfica. Una manera conveniente de dibujar las asíntotas es trazar primero los vértices Vea, O) y V'( -a, O) y los puntos W(O, b) y W'(O, -b) (vea la figura 7.18). El segmento de recta W' W de longitud 2b se l1ama el eje conjugado de la hipérbola. Si se dihujan rectas hori­ zontales que pasen por los extremos del eje conjugado y rectas verticales que pasen por los extremos del eje transversal, entonces las diagonales del rectángulo re­ sultante tienen pendientes bla y - bla. Por 10 tanto prolongando estas diagonales obtenemos las rectas cuyas ecuaciones son y = ± (bla)x. La hipérbola puede di­ bujarse ahora como en la figura 7.18 usando las asíntotas como guía. Las dos curvas conexas que constituyen la hipérbola se l1aman las ramas de la hipérbola. Ejemplo 1

Discuta y dibuje la gráfica de la ecuación 9x 2

Solución

Dividiendo ambos lados por 36, tenemos

-

4 y 2 = 36.

HIPERBOLAS

X' a'

y'

--b'

"-

341

l'

y :>-­

7.4

y=!!.x/./.

',,~

a

"- ) < " - - - - -

~~~~) )/"

"

1 ........

I

.... ....

.... ....

x

x

Figura 7.18

Figura 7.19

x2

y2

---= 1

4

9

'

que tiene la forma canónica (7.15) con a 2 = 4 Y b 2 = 9. Por lo tanto a = 2 Y b = 3. Los vértices (± 2, O) Y los extremos del eje conjugado (O, ± 3) determinan un rectángulo cuyas diagonales (prolongadas) son las asíntotas. La gráfica de la ecuación aparece dibujada en la figura 7.19. Las ecuaciones de las asíntotas y = ±íx pueden obtenerse directamente de la gráfica o a partir de las ecuaciones y = ± (b/a)x. Usando (7.14) obtenemos que e 2 = a 2 + b 2 = 4 + 9 = 13 Y por lo tanto los focos son (± ji3, O). El ejemplo anterior indica que para las hipérbolas no siempre es cierto que a > b como sucede en el caso de las elipses. En efecto, puede tenerse a < b, a > b o a = b.

Ejemplo 2

Encuentre una ecuación, los focos y las asíntotas de una hipérbola cuyos vértices son (± 3, O) Yque pasa por el punto P(5, 2).

Solución

Sustituyendo a = 3 en (7.15) obtenemos la ecuación x2 y2 9 - b2 = l. Como (5, 2) es una solución de esta ecuación, 25 9

4 b

---= 1 2

•

2

Esto nos da b = 9/4 y por lo tanto la ecuación deseada es

x2

4y 2 9

---=1

9

o equivalentemente, x

2

-

4y 2 = 9.

'

342

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

Usando (7.14) vemos que e 2 = a 2 + b2 = 9 + (9/4) = 45/4 Y por lo tanto los focos son (± ~J5, O). Sustituyendo los valores de a y b en y = ± (b/a)x y sim­ plificando, obtenemos las ecuaciones y = ± para las asíntotas.

tx

Si los focos de una hipérbola son los puntos (O, podemos mostrar que

y2

(7.17)

± e) sobre el eje

y entonces

x2

-2- - = 1 2 a

b

es una ecuación para la hipérbola, en donde nuevamente b 2 = e 2 - a 2 • La ecua­ ción (7.17) se llama la forma canónica para la ecuación de una hipérbola con focos sobre el eje y y centro en el origen. Los puntos VeO, a) y V/ (O, - a) son los vértices de la hipérbola y W(b, O) y W/( -b, O) son los extremos del eje conjugado. Las asíntotas se encuentran, como antes, prolongando las diagonales del rectán­ gulo determinado por estos puntos y las rectas paralelas a los ejes coordenados que pasan por ellos. En la figura 7.20 aparece un dibujo de la gráfica. Las ecua­ ciones de las asíntotas son y = (± a/b)x. Note la diferencia entre estas ecuaciones y y = (± b/a) x de las asíntotas a la hipérbola dada por la ecuacíón (7.15).

l'

Fit:ura 7.20

Ejemplo 3

Discuta y dibuje la gráfica de la ecuación 4 y 2

Solución

La forma canónica es

,

-

2x 2

1.

,

y-

.c

1/4

1/2

---=1.

Por lo tanto a 2 = 1/4, b 2 = 1/2 Ye 2 = 1/4 + 1/2 = 3/4. En consecuencia a = 1/2, b = )2/2 Y e = .)3/2. Los vértices son (O, ± 1/2) y los focos (O, ± .)3/2). La gráfica tiene la apariencia general que se muestra en la figura 7.20.

HIPERBOLAS

343

7.4

7.4 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 12 dibuje la gráfica de la ecuación, encuentre las coordenadas de los vértices y los focos y escriba las ecuaciones de las asíntotas. x

l

9

4

2

)'2

---= I

2

X2

'(2

---= 1

49

4

16

49

y2

-=---- = 16

1

En los ejercicios del 13 al 20 encuentre una ecuación para la hipérbola que satisface las condiciones dadas. 13 Los focos son F(O, ±4) y los vértices V(O, ± 1)

14

Los focos son F( ± 8. O) Y los vértices V( ± 5, O)

15 Los focos son F( ± 5, O) Y los vértices V( ± 3, O)

16

Los focos son F(O, ± 3) y los vértices V(O, ± 2)

17 Los focos son F(O, ± 5) y la longitud del eje conjugado es 4

18

Los vértices son V( ± 4, O) Ypasa por P(8, 2)

19 Los vértices son V( ± 3, O) Y las ecuaciones de las asíntotas y = ± 2x

20

Los focos son F(O, ± 10) y las ecuaciones de las asíntotas y = ± (1/3)x

En los ejercicios 21 y 22 encuentre los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones dadas y dibuje ambas gráficas sobre los mismos ejes coordenados. 21

2 {.I'2 - 4x = 16 Y - x = 4

23

Las gráficas de las ecuaciones X2

)'2

--b--' = 1

(/2

22

X2

{x

2

\,2 = 4

.1'2 - 3x = O

24

Deduzca (7. 15) Y demuestre que la recta y = (-b/a)x es una asíntota de esta hipérbola.

26

Demuestre que

)'2

Y -=-1 a2 h2

se llaman hipérbolas conjugadas. Dibuje las

gráficas de ambas ecuaciones sobre un mismo

sistema coordenado tomando a = 2 Y b = 5.

Describa la relación entre las dos gráficas.

25 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la hipérbola 2x 2 - 5y 2 = 3 en el punto

XIX

)"Il"

,--T=l. h-

(r

P(-2,1).

es una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la hipérbola x 2 /a 2 - y2/b 2 = I en el punto P(x(, YI)'

27 Encuentre los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la hipérbola 9x 2 - y2 = 36 que in­ tersecan al eje y en el punto (O, 6).

28

Encuentre los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la hipérbola b 2 x 2 - a 2y 2 = a 2 b 2 que intersecan el eje y en el punto (O, d).

29 Encuentre una ecuación de la recta que pasa por P(2, -1) Y es tangente a la hipérbola x 2 - 4y 2 = 16.

30 Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la hipérbola 8x 2 - 3y 2 = 48 que son parale­ las a la recta 2x - y = 10.

344

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

31 Encuentre el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje x la región acotada por la hipérbola b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 y una recta vertical que pasa por el foco.

7.5

32

Encuentre el volumen del sólido que se obtiene al girar la región del ejercicio 31 alrededor del eje y.

TRASLACION DE EJES Si a y b son las coordenadas de dos puntos A y B respectivamente, sobre una recta coordenada /, la distancia entre A y B está definida por (1.6) como d(A, B) = lb - al. Si deseamos tomar en cuenta la dirección de /, entonces usamos la distancia diri­ gida AB de A a B, donde por definición AB = b - a. Como BA = a - b, tenemos que AB = - BA. Si la dirección poslttva de / es hacia la derecha, entonces B se encuentra a la derecha de A si y sólo si AB > O, y se encuentra a la izquierda de A si y sólo si AB < O. Si e es cualquier otro punto de / con coordenada e, se tiene que

(7.18)

Ae = AB

+ Be

ya que e - a = (b - a) + (e - b). En la siguiente discusión usaremos (7.18) para desarollar las fórmulas para la traslación de ejes en dos dimensiones. Sea C(h, k) un punto arbitrario sobre un plano coordenado xy. Introduzcamos un nuevo sistema coordenado x'y' con origen O' en e tal que los ejes x' y y' sean paralelos y tengan la misma dirección positiva y la misma unidad de longitud que los ejes x y y respectivamente. En la figura 7.21 se ilustra una situación típica de éstas. Por simplicidad hemos colocado a e en el primer cuadrante. Usaremos letras con apóstrofe para denotar las coordenadas de los puntos en el sistema coordenado x'y' con el objeto de distinguirlas de las coordenadas de los mismos puntos en el sistema coordenado xy. Asi, el punto P(x, y) en el sistema xy se denotará por P(x', y') en el sistema x'y'. Si rotulamos las proyecciones de P sobre los diversos ejes según se indica en la figura 7.21, y denotamos por A y B las proyecciones de e sobre los , l'

.1'

R'(O'. ),') R(O . .\')

--------~P(x. v)

}'(x ' . p')

C(J¡, k) 8(0, k)

O

0 '(0',

O')

A(J¡,O)

Figura 7.21

Q'(X',O ' ) x

Q(x, O)

,

x

TRASLACION DE EJES

7.5

345

ejes x y y respectivamente, entonces aplicando (7.18) obtenemos x

= OQ = OA + A Q = OA + O' Q' = h + x'

+ BR = OB + O'R' = k + l·

y = OR = OB

Resumiendo, si (x, y) son las coordenadas de un punto P con respecto al sis­ tema coordenado xy y si (x', y') son las coordenadas de P con respecto al sistema coordenado x'y' cuyo origen está en el punto C(h, k) del sistema xy, entonces (7.19)

x = x'

+ h,

y = y'

+k

o equivalentemente (7.20)

x'

=

x - h, y'

= y-k.

Las fórmulas anteriores nos permiten pasar de uno de los sistemas coorde­ nados al otro. La aplicación más importante de estas fórmulas consiste en cambiar la forma de las ecuaciones de las gráficas. Específicamente, si la gráfica de una ecuación en x y y es cierta colección de puntos en el plano xy, entonces, para en­ contrar una ecuación en x' y y' que tenga la misma gráfica en el plano x'y', susti­ tuimos x' + h en lugar de x, y y' + k en lugar de yen la ecuación dada. Inversa­ mente, si la gráfica de una ecuación en x' y' es cierta colección de puntos del plano x'y', entonces para encontrar la ecuación correspondiente en x y y sustituimos x - h en lugar de x' y y - k en lugar dey'. Como una ilustración sencilla de los comentarios anteriores, consideremos la ecuación

que tiene por gráfica en el plano x' y' un círculo de radio, con centro en el origen O'. Usando (7.20) obtenemos una ecuación para este círculo en el plano xy, a saber, (x - h)2

+ (y

- k)2

= ,2,

que coincide con la fórmula para un círculo de radio, con centro en C(h, k) en el plano xy. Veamos otra ilustración. Sabemos que (X')2 = 4py'

es una ecuación de una parábola con vértice en el origen O' del plano x'y'. Usando (7.20)- vemos que (x - h)2 = 4p(y - k)

es una ecuación de la misma parábola en el plano xy. Esto coincide con la fórmula (7.5) que se dedujo para una parábola con vértice en el punto V(h, k) en el plano xy. Debe ser evidente ahora cómo aplicar este método a todas las cónicas. Por ejemplo, según (7.9), la gráfica de (X')2

(y')2

-'-+-b 2 = I a­

346

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA ,1'

(X')2 {j"2

+ (,:)2 ,,2

'-'

I or

---x'

x

Fi¡:u,.a 7.22 es una elipse con centro en O' en el plano x'y', como se ilustra en la figura 7.22. Según (7.20), su ecuación con respecto al sistema coordenado xyes (X-h)2

(7.21)

(y_k)2

+

a2

bZ

=

1,

Algo semejante sucede con las hipérbolas, En algunos casos, dada una ecuación en x y y, mediante una traslación ade­ cuada de ejes, podemos obtener una ecuación más simple en x' y y' que tenga la misma gráfica, En particular, esto puede hacerse para una ecuación de la forma (7.22)

Ax

2

+

el + Dx + Ey + F = o

donde los coeficientes son números reales. La gráfica de (7.22) es una cónica, excepto en los casos degenerados en que se obtienen puntos, rectas o nada. No daremos una demostración general de este hecho sino que solamente ilustraremos el pro­ cedimiento mediante ejemplos. Ejemplo 1

Discuta y dibuje la gráfica de la ecuación 16x z

Solución

+

9y 2 + 64x - 18y - 71

= O.

Para determinar el origen del nuevo sistema coordenado x'y' que nos permite simplificar la ecuación, comenzamos por escribir la ecuación dada en la forma 16(x 2 + 4x)

+ 9ty2 -

2y) = 71.

Después completamos los cuadrados para las expresiones dentro de los paréntesis, obteniendo así 16(x 2 + 4x

+ 4) +

9(y2 - 2y

+

1) = 71

+ 64 + 9.

Note que al sumar 4 a la expresión dentro del primer paréntesis, hemos sumado 64 aliado izquierdo de la ecuación y por lo tanto debemos compensar esto sumando 64 al lado derecho. Análogamente, al sumar 1 a la expresión dentro del segundo paréntesis, se agrega 9 aliado izquierdo por lo que hay que sumar 9 aliado derecho

TRASLACION DE EJES

7.5

347

también. La ecuación anterior puede escribirse así 16(x

+ 2)2 + 9(y

- 1)2

=

144.

Dividiendo por 144 obtenemos

+ 2)2

(y - 1)2

--9-+

16

(x

-1

lo cual tiene la forma (X')2

(7.23)

(y')2

-+-=1 9 16

donde x' = x + 2 y y' = y - l. Esto muestra que si tomamos h = -2 Y k = I en (7.20), entonces (7.23) se reduce a la ecuación dada. Como la gráfica de (7.23) es una elipse con centro en el origen O' del plano x'y', se infiere que la ecuación dada es una elipse con centro C( - 2, 1) en el plano xy y con ejes paralelos a los ejes coordenados. En la figura 7.23 aparece un dibujo de la gráfica. y

• .1" I

I

I

-

------

x' --------.,

x (.
(.1'_1)2

--+--=1 9

16

Figura 7.23

Ejemplo 2

Discuta y dibuje la gráfica de la ecuación 9x 2

Solución

-

4y 2

-

54x - 16y

+ 29 = O.

Como en el ejemplo 1, ordenamos nuestro trabajo como sigue: 9(x 2 9(x 2 - 6x

-

+ 9)

+ 4y) + 4y + 4)

6x) - 4(y2

= -

29

- 4(y2

= -

29

9(x - 3)2 - 4(y

(X-3)2

--4-

+ 2)2

=

36

=

1.

(y+2)2

- -9'-

+

81 - 16

Si sustituimos h = 3 Y k = -2 en (7.20), la ecuación dada se reduce a la forma canónica (7.15) para la ecuación de una hipérbola, es decir (x' / (y')2 -4---9=1.

348

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

Trasladando los ejes x y y al nuevo origen C(3, - 2) obtenemos el dibujo que se muestra en la figura 7.24.

Figura 7.24

Ejemplo 3

Discuta y dibuje la gráfica de la ecuación 2x = yl + 8y + 22.

Este es el mismo ejemplo que el ejemplo 4 de la sección 2, donde completamos el cuadrado en y y obtuvimos la ecuación (y + 4)2 = 2(x - 3). Usando los méto­ dos de esta sección, si tomamos h = 3 Y k = - 4 en (7.20), la ecuación dada se reduce a la forma canónica (y')2 = 2x' de la ecuación de una parábola con vértice en 0'. En consecuencia, una traslación de ejes al nuevo origen C(3, -4) nos lleva al dibujo que se muestra en la figura 7.10.

Solución

Aunque solamente hemos considerado ejemplos particulares de (7.22), nues­ tros métodos son perfectamente generales. Si A Y C son iguales y distintos de cero, entonces la gráfica de (7.22), en caso de existir, es un circulo y, en casos excepcionales, un punto. Si A Y C son distintos pero tienen el mismo signo, entonces completando los cuadrados y haciendo una traslación adecuada de ejes obtenemos una ecua­ ción cuya gráfica, si existe, es una elipse (o un punto). Si A YC tienen signos opuestos se obtiene la gráfica de una hipérbola o posiblemente, en casos degenerados, dos rectas que se intersecan. Finalmente si A es cero o C es cero pero no simultáneamente, la gráfica es una parábola o, en ciertos casos, una pareja de rectas paralelas.

7.5 EJERCICIOS Discuta y dibuje las gráficas de las ecuaciones de la l a la 26 después de haber hecho una traslación de ejes conveniente. (.1" -

4

4(.x

W= +

1)"

8(x

+

+

1)

8(.1" - 5)" = 32

2

5

(x+3)"=-5{J-4) (x

+ 5)" 16

1)" 2S

(y -

----= I

(x-4)"

(y-2)"

9

4

3

---+ ---

= 1

6

(y - 6)" - - - - (x 4

=

,

+ 2)-

l

ROTACION DE EJES 7

4(x +

W+

(y -

W=

8

I

(x - 3)2

+ 4y 2

=

9

16

9x 2

349

7.6

s¡z =

100y2 - 16(x -

+ 16 y 2 + 54x - 32.1' - 47

\O (x - 5)2 - (y + 1)2 = 1

11

12 4x 2 + 9y 2 + 24.\ + 18y + 9 = O

1325x 2 +4/-250x-16y+541=0

14 4x 2 +)'2 = 2y 17 4y 2

-

15

4x 2 - 32y + 4x - 49

x 2 + 40)' - 4x + 60 = O

19 9)'2 - x 2 - 36y + 12x - 36 = O

=

O

16

= O

4y2 - x - 16.1' + 13

=

18

25x 2 - 9.1'2 - 100x - 54.1' + 10 = O

20

4x 2

-

y2

+ 32x - 8)' + 49

21 )' = Ix - 51 - 4

22 x + 2 = ..jI (y - 1) 2

23

x

=

24 (x - 7)3 - Y - 2 = O

25

26

(y

+ 7)(x

2y+ 10-(x+2)4=0

3

+

=

1600

O

O

(y - 6)3 - 5) = 1

27 Encuentre una ecuación de la hipérbola con focos (h ± e, k) y vértices (h ± a, k), donde O < a < e y e 2 = a 2 + b2•

28

Encuentre una ecuación de la hipérbola con vértices (h, k ± a) Y asíntotas y - k = ±(a/b)(x - h), donde b > O.

29 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la elipse 4x 2 + )'2 - 8x + 12)' - 12 = O en el punto P(3, - 2).

30

Encuentre una ecuación de la recta nonnal a la hipérbola 5x 2 - 2y 2 + 8x + 7y + 7 = O en el punto P( -1,4).

7.6

ROTACION DE EJES

Puede pensarse que el sistema coordenado X'y' que discutimos en la sección 5 se obtiene moviendo e! origen O de! sistema xy a una nueva posición C(h, k) sin cambiar la dirección positiva de los ejes ni la unidad de longitud. Introduciremos ahora un nuevo sistema coordenado manteniendo fijo e! origen O y girando los ejes x y y alrededor de O hasta otra posición. Denotamos los nuevos ejes por x' y y'. Una transfonnación de este tipo se llama rotación de ejes. Consideremos una rotación de ejes y, como se ilustra en la figura 7.25, deno­ temos por e! ángulo que debe girarse e! lado positivo de! eje x para hacerlo coin­ cidir con el lado positivo del eje x'. Si (x, y) son las coordenadas de un punto P con respecto al plano xy, entonces denotamos por (x', y') las coordenadas de P

x

Figura 7.15

350

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

con respecto al nuevo sistema coordenado x'y'. Denotemos las proyecciones de P sobre los diversos ejes como se indica en la figura 7.25. Sea e el ángulo POQ'. Si p = d(O, P) entonces (7.24)

x' = pcose,

(7.25)

x = pcos (e

/

+ cf¡),

=

psene,

y = p sen (O

+ cf¡).

Aplicando las fórmulas del seno y del coseno de una suma a (7.25), obtenemos x

=

p cos ecos cf¡ - p sen Osen cf¡

y = p sen Ocos cf¡

ey p

Según (7.24) podemos reemplazar p cos Esto nos da x

(7.26)

+ p cos Osen cf¡.

= x'cascf¡ -

y = x' sen 4>

sen O con x' y y', respectivamente.

y'sen4>

+ y' cos cf¡.

Si despejamos x' y y' de las ecuaciones en (7.26) obtenemos

x'

(7.27)

=

x cas 4> + y sen cf¡

y' = -xsencf¡

+ ycoscf¡.

Las fórmulas (7.26) y (7.27) pueden usarse para pasar de uno de estos sistemas coordenados al otro. Las llamaremos fórmulas para la rotación de ejes por un ángulo

t/J. Ejemplo 1

La gráfica de una ecuación xy = 1, o equivalentemente y = l/x, está dibujada en la figura 1.30. Suponiendo que los ejes coordenados se giran un ángulo de 45°, encuentre la ecuación de la gráfica con respecto al nuevo sistema coordenado x'y'.

Solución

Tomando cf¡

=

45° en (7.26) obtenemos x

=

y =

'(v2 2)- ,(v2 2) = (V'2 2) , , x'( \2) + l( 2) (,~2) (x' + x

y

(x - y )

v

y').

=

2

Sustituyendo estas expresiones de x y y en la ecuación xy = 1 obtenemos

(~)(x' ­/) (~)(X' + /)

=

1.

Esta ecuación se reduce a (X')2 _ (/)2 =

2

1

2

que es la ecuación canónica de una hipérbola con vértices

(±.ji, O) sobre el eje

x'. La figura 7.26 muestra la gráfica y el nuevo sistema coordenado. Note que

ROTACION DE EJES

351

7.6

y

/

/

/

/

/

/

/

y

" X

I

¡l. X

I

x

Fixura 7.26

Figura 7.27

las asintotas de la hipérbola tienen ecuaciones y' Estas corresponden a los ejes originales x y y.

± x'

en el nuevo sistema.

El ejemplo I ilustra un método para eliminar el término de una ecuaclOn que contiene al producto xy. Este método puede usarse para transformar cualquier ecuación de la fórma

(7.28)

Ax

2

+ Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =

°

donde B #- 0, en una ecuación en x' y y' que no tenga término x'y'. Demostremos que esto siempre puede hacerse. Suponiendo que se giran los ejes un ángulo , entonces, al sustituir en (7.28) las expresiones para x y y dadas en (7.26), obtenemos A(x' cos - y' sen
+ B(x' cos - y' sen )(x' sen + y' cos + y' COS - y' sen + y' cos 1J) + F = O.

Esta ecuación puede escribirse en la forma

(7.29)

A'(X')2

+

B'x'y'

+ C'(y')2 +

D'x'

+ E'y' + F =

°

donde el coeficiente B' del término x'y' está dado por B'

= 2(C

- A) sen cos

+

B(cos 2 - sen 2
Para eliminar el término x'y' en (7.29) debemos elegir de tal manera que 2(C - A)sen1Jcos1J

+

B(cos 2 1J - sen 2
= o.

Usando las fórmulas del seno y el coseno del doble de un ángulo, podemos escribir

352

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

la ecuación anterior así:

(e - A) sen 2

=

o

que es equivalente a (7.30)

A-C

col2
B i' O.

= -B-'

Por lo tanto, para eliminar el ténnino xyen (7.28) debemos escoger

Ejemplo 2

Discuta y dibuje la gráfica de la ecuación 4lx 2

Solución

-

24xy

+ 34y 2

-

25

Usando la notación de (7.28) tenemos A = 41, B (7.30), col2
=

= O.

=

-24 Y C = 34. Aplicando

41 - 34 2

- 4

Como cot 2

sen
J

I - cos 2
2

=

1 - ( - 7/25) 2

4 5

JI + cos2 2

Resulta que las fórmulas de rotación (7.26) deseadas en este caso son x = tx' -

h',

y = ~x'

+ h'.

Dejamos al lector la tarea de mostrar que sustituyendo estos valores de x y y en la ecuación dada y simplificando, se obtiene la ecuación (X')2

+ 2(y')2 = l.

Por lo tanto la gráfica es una elipse con vértices en (± 1, O) sobre el eje x'. Como tan

REPASO

353

7.7

7.6 EJERCICIOS Después de realizar una rotación de ejes adecuada, describa y dibuje la gráfica de la ecuación en cada uno de los ejercicios del l al 14. 2 7x 2 4

' x 2 -xy+y-=J

7

16x 2 - 24xy

9

5x 2

+

+ 9.1'2

6 v Jxy - /

10

18s 2 - 48x)'

11

x2

13

40x 2

5

- 60x - SO)'

+ Sx -

48xy - 7)'2 = 225

-

5x 2 -Sx)'

+ 5.1' 2 =9

+ 100 = O

8

' - '3 ' Ilx"-IO v xr+y-=20

6

x 2 + 2 y '3x)'

+ 3r 2 + 8y Jx - Sy + 32

= O

8 y '3y - 12 = O

+ S2)"2 + 6/lOx + 2/10)' - SO = O

+ 4xI' + 4.1'2 + 6 y :Sx - ISy'S.I· + 45

12

15x 2

+ 20xy - 4J5x + sJ5y - 100 = O

+ 25.1'2 - 8,/lJx - 12ji3y = O

14

64x 2

-

15 Demuestre que, excepto en casos degenerados, la gráfica de la ecuación (7.28) es (a) una parábola cuando B 2 - 4AC = O (b) una elipse cuando B 2 - 4AC < O (c) una hipérbola cuando B 2 - 4AC > O.

16

Use los resultados del ejercicio 15 para deter­ minar la naturaleza de las gráficas en los ejerci. cios del l al 14.

7.7

-

36x)'

=

O

240xy

+ 225y 2 + 1020x - 544y

REPASO

Conceptos Defina o discuta lo siguiente:

3

Secciones cónicas

2 Parábola

Foco, directriz, vértice y eje de una parábola

4 Criterios de simetría

5 Elipse

6

Ejes mayor y menor de una elipse

7

Focos y vértices de una elipse

8

Hipérbola

9

Ejes conjugado y transversal de una hipérbola

10

11

Asintotas de una hipérbola

12 Traslación de ejes

13

Rotación de ejes

Focos y vértices de una hipérbola

= O

354

7

TEMAS SELECTOS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

Ejercicios En cada uno de los ejercicios del I al 10 encuentre los focos y los vértices y dibuje la gráfica de la sección cónica que tiene la ecuación dada.

4

9y 2

= 144 + 16x 2

2 y - 1 = 8(x + 2)2 5 x 2 -l- 4 = O

7

25y

= 100 - x 2

8

= 64x

)'2

10

x

3(x -

W + 4(y +

1)2

= 12

= 144 - 16x 2

3

91

6

25x 2 + 36y2 = I

9

(x + 4)2 - 9(y -

W=

l

= 2/ + 8y + 3

Encuentre unas ecuaciones para las cónicas en los ejercicios del II al 18. 11

La hipérbola con vértices V(O, ± 7) y eje con­ jugado con puntos extremos (± 3, O)

13 La parábola con foco F(O, - 10) Y directriz y = 10

12

La parábola con foco F( -4, O) Y directriz x = 4

14 La parábola con vértice en el origen que es si­ métrica con respecto al eje x y pasa por el punto (5, -1)

15 La elipse con vértices V(O, F(O, ±5) 17

La hipérbola con vértices V(O, con ecuaciones y = ± 9x

± 10)

y focos

16

La hipérbola con focos F(± 10, O) Y vértices V(±5, O)

±6) y asintotas

18

La elipse con focos F( ± 2, O) Yque pasa por el punto (2,

Ji)

Discuta y dibuje la gráfica de cada una de las ecuaciones en los ejercicios del 19 al 23 después de hacer una traslación de ejes adecuada. 20 4x 2 - l - 40x - 8.l' + 88 = O 19 4x 2 + 9;:1 + 24x - 36y + 36 = O 21 y2-8x+8)'+32=O 22 4x 2 + l - 24x + 4)' + 36 = O 2

9y2 + 8x + 7 = O

23

x

24

Encuentre unas ecuaciones de las rectas tangente y nonnal a la hipérbola 4x 2 - 9 y 2 - 8x + 6y - 36 = O en el punto P( ­ 3, 2).

-

25

Encuentre las abscisas de los puntos de tangen­ cia de las rectas tangentes a la parábola y = 2x 2 + 3x + 1, que pasan por el punto P(2, -1).

26 Sea R la región acotada por la parábola 9 y = 5x 2 - 39x + 90 y una de las asíntotas de la hipérbola 9y 2 - 4x 2 = 36. (a) Calcule el área de R. (b) Calcule el volumen del sólido que se obtiene al girar R alrededor del eje y. 28

27

Una elipse cuyos ejes tienen longitudes 8 y 4 gira alrededor de su eje mayor. Calcule el volumen del sólido resultante.

Un sólido tiene por base la región del plano acotada por la gráfica de x 2 + y2 = ,2. La sección que se obtiene al intersecar el sólido con un plano perpendicular al eje x es siempre una media elipse que tiene un eje de longitud c. En­ cuentre el volumen del sólido. xy

Después de hacer una rotación de ejes adecuada, describa y dibuje las gráficas de las ecuaciones en los ejercicios 29 y 30. 29 x 2 - 8xy + 16)'2 - 12,/17x - 3 y i 17)' = O 30 8x 2 + 12x)' + 17.1'2 - 16 y

5x -

12 y '5y

=O

_8

FuNCIONES EXPONENCIALES

Y LOGARITMICAS

Casi todas las funciones consideradas en los capítulos anteriores son funciones algebraicas. Las funciones que no son algebraicas se llaman trascendentes. En este capítulo definiremos dos funciones trascendentes de mucha importancia y estudiaremos algunas de sus propiedades.

8.1

LA FUNCION LOGARITMO NATURAL Si a es un número real positivo, entonces es fácil definir a n para todo exponente n entero o racional y luego demostrar las siguientes leyes de los exponentes. aman = am+ n (am¡n =amn (ab¡n = anb n

(8.1) bn

Sin embargo la generalización a exponentes irracionales como por ejemplo a'/1: o a n necesita de conceptos más profundos que los que se tratan en matemáticas elementales. En efecto en los cursos anteriores al cálculo siempre se supone que si a > O, entonces a se puede definir para cada número real u de manera que las leyes de (8.1) se cumplan para todos los exponentes reales. Habiendo hecho esta suposición, se pueden definir los logaritmos de base a como sigue: U

(8.2)

u = logav

si y sólo si

a = v. U

Se pueden probar ahora las siguientes leyes de los logaritmos (8.3)

log" P4

=

lag" P + log" (/

(m

=

log"p - log,,4

log"

log" pr = r log" P donde p y q son números reales positivos y r es un número real cualquiera. En este capítulo usaremos algunos conceptos del cálculo para enunciar las definiciones de loga x para todo número real positivo x y de a X para todo número real x. La manera de llegar a estas definiciones consistirá primero en usar una in­ tegral definida para introducir la función logaritmo natural denotada por In. Después

355

356

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

se usará la función logaritmo natural para definir la función exponencial natural. Finalmente daremos sentido a las expresiones a y log" x. La razón de seguir este procedimiento es que nos proporciona un método preciso para definir funciones logarítmicas y exponenciales generales sin tener que usar procesos en los que in­ tervengan límites. Este método además nos permitirá probar resultados sobre continuidad, derivadas e integrales de una manera muy simple. Es más, el resultado final será la tan familiar regla (8.2) que conocen los alumnos antes de estudiar cálculo. Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces como en (5.30) podemos definir una función F mediante X

r

F(x) =

I(t)dt

donde x es un número cualquiera en [a, b]. Si f(t) ~ O para todo t en [a, b], en­ tonces F(x) es igual al área bajo la gráfica de f entre a y x. Consideremos el caso particular f(t) = t", donde n es cualquier entero diferente de -l. Por el teorema fundamental del cálculo (5.31), F(x) =

I JX t"dt=--t"+l n +I "

I

x

a

1

a"+l)

= _ _ (X"+l _

n

+1

siempre y cuando t" esté definido para todo t en [a, x]. Es necesario excluir el caso f(t) = I/t en la fórmula anterior ya que I/(n + 1) no está definido para n = -\. En efecto, nos ha sido imposible hasta este momento encontrar una antiderivada de f(x) = l/x. Vamos a remediar ahora esta situación introduciendo una función cuya derivada es l/x. (8.4)

DEFINICION

La función logaritmo natural, denotada por In, se define como Inx

=

XI

I

1

-dt t

para todo x > O. La expresión In x se llama el logaritmo natural de x. La restricción x > O es necesaria puesto que Jt (I/t) dt no existe para x :-:; O. (¿Por qué?) Usando la parte l del teorema fundamental del cálculo (5.31) para f(t) = I/t Y a = 1, vemos que para todo x > O, x

D x

o equivalentemente

I

1

I

' -dt = ­ I t x

LA FUNCION LOGARITMO NATURAL

S.I

357

I Dx(!nx)=-. x

(8.5)

Esto demuestra que In x es una antiderivada de l/x. Más aún, como In x es derivable y su derivada l/x es positiva para todo x > O, se sigue de (3.8) y el teorema (4.13) que la función logaritmo natural es continua y creciente en todo su dominio. Dibujemos la gráfica de y = In x. La ordenada y del punto cuya abscisa es x, está dada por la integral en la definición (8.4). En particular para x = I Inl=

II -dt=O.

J I

t

Por lo tanto la gráfica de y = In x tiene abscisa al origen l. Como In es una función creciente, concluimos que para x > I el punto (x, y) sobre la gráfica está arriba del eje x, mientras que para O < x < 1, el punto (x, y) está debajo del eje x. Para calcular y si x "# I podemos aplicar ya sea la regla del trapecio o la regla de Simpson. Si x = 2, entonces según el ejemplo 2 de la sección 5.7, 2

In 2 =

J I

1 - de e

~

0.6932

~

0.69.

Demostraremos en el teorema (8.7) que si a > O, entonces In a' cada número racional r. Usando este resultado obtenemos

r In a para

ln4 = In 2 2 = 2ln 2 ~ 2(0.69) = 1.38 In 8 = In 2 3 = 3 In 2 ~ 2.07 In(I/2) = lnr

1

= -ln2

~

-0.69

In(1/4) = In2- = -21n2 ~ -1.38 2

In(I/8) = Inr 3 = -31n2 ~ -2.07. La tabla 111 del apéndice IV nos proporciona una lista de logaritmos naturales de muchos otros números con una exactitud de tres cifras decimales. También se pueden usar calculadoras de bolsillo para calcular algunos valores de In. Trazando los puntos correspondientes a las coordenadas que hallamos y aprovechándonos de que la función In es continua y creciente, obtenemos el dibujo de la figura 8.1. Al y = In x

y

x

Fi¡:ura 8./

358

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

final de esta sección demostraremos que Iim In x =

oc;

es decir que los valores de In se hacen tan grandes como queramos escogiendo x súficientemente grande. También demostraremos que lim Inx

=

-.'l)

lo que significa que el eje y es una asíntota vertical de la gráfica. Finalmente, para averiguar la concavidad, observamos que , D~(lnx) = D, ( -I

x

)

=-,I .C

lo cual es negativo para todo x > O. Por lo tanto según (4.16), la gráfica de la fun­ ción logaritmo natural es cóncava hacia abajo en todo punto P(c, In e) sobre la gráfica. Se puede usar la regla de la cadena (3.36) para generalizar la fórmula de derivación (8.5). Específicamente, si hacemos y = In u y u = g(x) donde g es de­ rivable y g(x) > O, entonces

Por lo tanto I Dxu, u

Dx In u =

(8.6)

~

donde u

=

g(x)

> O.

= x, entonces (8.6) se reduce a (8.5).

Observe que si u Ejemplo 1

(a) Sea f(x) = In (x 2 + 6). Encuentre f'(x). (b) Sea y = In ~ para x > -1. Encuentre y'.

Solución

(a) Sustituyendo u

= x 2 + 6 en (8.6) obtenemos

'"

_

1.

j (x) -D, n (x 2

(b) Sustituyendo u

+

I

6) = -,--D,(x :c + 6

2

+ 6)

2x

= -,--o

x-

+6

= ~ en (8.6) obtenemos

y'=

I

Jx+ 1 I

~

I

I

12

Dyx+l=--=·-(x+I)-1 x 1 2

1

F+

1

fi+T'2: fi+T

1 2(x

+

1)

El siguiente teorema nos muestra que los logaritmos naturales cumplen las mismas leyes (8.3) que se estudiaron en algunos cursos anteriores al cálculo.

LA FUNCION LOGARITMO NATURAL (8.7)

8.1

359

TEOREMA

Sip > O y q > O, entonces (i) Inpq = Inp + In q. (ii)

In(:) = Inp - In q.

(iii)

In p' = r In p, donde r es cualquier número racional.

Demostración.

(i) Si p > O, entonces sustituyendo u = px en (8.6) obtenemos I

Dxln (px) = -DAPx) px

I

= -(p) px

I

=-.

x

Como In px tiene la misma derivada que In x para todo x > O, concluimos del teorema (4.33) que estas expresiones difieren por una constante; es decir

e

+

In px = In x

para algún número real C. Sustituyendo I en lugar de x obtenemos In p = In I Como In 1 = O vemos que

e

+

C.

= In p y por lo tanto In px = In x

+

In p.

Sustituyendo q en lugar de x en esta ecuación resulta que Inpq = Inq

+ Inp.

que es lo que queriamos demostrar. (ii) Usando la fórmula probada en la parte (i), con p = I/q vemos que In

~ + In q= In (~ . q)

=

In I

=O

y por lo tanto I In- = -Inq. q

En consecuencia

(1) = In p + In -I = In p -

In -p = In p. q

q

q

In q.

(iii) Si r es un número racional cualquiera y x > O, entonces sustituyendo u = x' en (8.6) tenemos que DAln x')

I I = -D..{x') = -rx'-I = r ( -I ) .

x'

x'

x

También podemos escribir DArlnx)

=

r DAlnx)

=

r(~).

360

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

En consecuencia

o.,,(ln x') = DArln x). Como In x' y r In x tienen la misma derivada para todo x > 0, se sigue del teorema (4.33) que Inx' = rlnx +

e

para alguna constante C. Si hacemos x = 1 en la fórmula anterior, obtenemos Inl=rlnl+C. Como In I = 0, esto implica que

e

=

°

y por lo tanto

In x' = rlnx. En la sección 4 generalizaremos esta ley a exponentes irracionales (vea (8.24».

El siguiente ejemplo ilustra el hecho de que a veces conviene usar el teorema (8.7) an tes de derivar.

=

In [J6x - 1 (4x + 5)3] donde x > 1/6. Encuentref'(x).

Ejemplo 2

Seaf(x)

Solución

Primero escribimos J6x (8.7) obteniendo

I = (6x -

1)1/2 Y luego usamos (i) y (iii) del teorema

f(x) = In [(6x - I )1/ 2 (4x

+ 5)3]

= In(6x - 1)1/2 + In(4x + 5)3 I

= "2 In (6x -

1)

+ 31n (4x +

5).

Ahora nos es fácil derivar usando (8.6). Así pues

., j (x)

I

1

--(6) 2 6-.: - I

= -.

I

+ 3· - - ( 4 ) 4.\

+

5

3 12 =---+--­ 6x - 1 4x + 5

84x

+ 3

+

(6x - 1)( 4x

5)'

En los ejemplos y ejercicios siguientes, si una función está definida en términos de la función logaritmo natural entonces no mencionaremos explicita mente su dominio. Supondremos que x está restringido a valores para los cuales la expresión tiene sentido. Ejemplo 3

Sea y = In

fF?t :(2 -

. 2

x

+

I I

. Encuentre y'.

LA FUNCION LOGARITMO NATURAL

Solución

361

8.1

Primero usamos el teorema (8.7) para cambiar la forma de y como sigue:

2-1) X2 _1)1/3 =I - l(X n-­

y=ln (x2 + I 1

= - [In (x 2 3

-

x2

3

1) - In (x 2

+

+I

1)].

A continuación aplicamos (8.6) obteniendo y' =

=

1 1 ~3[-2-(2X) - x+1 -(2X)] x-1 -2-

2X[ x 1 1 - x 1] +1

3

2

2 -

= 2;[(X 2 _

I~X2 + I)J 3(X:~ 1)' =

Concluiremos esta sección investigando el comportamiento de In x cuando x --> 00 y cuando x --> 0+. Si x > I y t está en el intervalo [1, x], entonces I/t > O y por lo tanto podemos interpretar la integral StO/!) dt = In x como el área de la región del plano co­ ordenado ty acotada por las gráficas de y = I/t, t = 1, t = x y el eje t. Se ilustra una región de este tipo en la figura 8.2. Ahora observe que la suma de las áreas de los tres rectángulos mostrados en la figura 8.3 es 1

1

1

2 +3 +4

13

=

y

12' y

1

Y =­ t In(x) =

IX1 .!t dt

x

2

3

4

Figura 8.3

Figura 8.2

Como el área bajo la curva de y = I/t entre t = I Y t = 4 es In 4, podemos escribir In 4 >

13 12

> l.

Se concluye que si M es un número racional positivo cualquiera, entonces M In 4 > M

o

In 4'" > M.

362

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Si x > 4"", entonces, como In es una función creciente, tenemos que In x > In 4 M > M. Esto demuestra que podemos hacer In x tan grande como queramos si escogemos x suficientemente grande, es decir

lim In x

oo.

=

En seguida notamos que I

-In- = -(In 1 - Inx) = Inx x

y por lo tanto

(-In~).

lim In x -= lim x-o·

x-'O'

X

Cuando x tiende a cero tomando valores positivos, entonces l/x tiende a más in­ finito, junto con In (l/x). En consecuencia -In (l/x) tiende a menos infinito, es decir lim Inx=

-XJ.

x-o+

8.1

EJERCICIOS

En los ejercicios del I al 24 encuentref'(x), dondef(x) es la expresión dada. In ('J.\

+ 4)

5

In '\ :¡~ 2x 3

9

In

13

Z3 In (x

v

~

Xl -

6

In(

10

111" 1 - x-

14

x + v Inx

+

In (x"

6~

1)

3

In(2 - 3.\)"

+7

7

In (3.\1 - 2x

-+

1)

4

In (5x 1

8

In (4.\"\ -

---:;

J: 4x 1-+ 7x

In

-+

2

1)

Inx.l

+

1).1 Xl

+ 2)

.\1

li

+ (In.\').1

15

18

In..:.~ 4x -

21

J~T~1 In --

24

In (x

X

Inx

Inx

12

+

111

5(h + 8)1

Xl + I

+ '\ 'x l

(~)

Inx

111

16

19

\~1 + I

In'\' - ' ,

22

111(lnx)

)4

+

Xl

-4 - Xl

(9x - 4)"

+ 1)

En los ejercicios del 25 al 28 use derivación implícita para encontrar y'. 25 3.1'-.\1+lox.l'=2

26

.1'1

+

27

28

)'3

+ :-;:2 In )' =

30

Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = x + In x Que es perpendicular a la recta 2x + 6y = 5.

xln.l' - .l'lnx = 1

29 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = Xl + In(2x - 5) en el punto sobre la gráfica cuya abscisa es 3.

111 (x,)') - 4x

5x

+

3

=

O

+3

LA FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

8.2

363

31 ¿Cuál es la diferencia entre las gráficas de y = In (x 2 ) y y = 2 In x?

32 Suponga que O < a < b. Demuestre que la función logaritmo natural satisface las hipótesis del teorema del valor medio (4.12) en [a, b] Y encuentre una fónnula general para el número e en la conclusión de (4.12).

33 Encuentre los puntos sobre la gráfica de y = x 2 + 4 In x en los cuales la recta tangente es paralela a la recta y - 6x + 3 = O.

34 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de x 3 - x In y + y3 = 2x + 5 en el punto (2, 1).

35 Suponga que In 2.00 ~ 0.6932. Use diferen. iales para estimar In 2.01.

36 Sea f(x) = In x. Encuentre una fónnula para la enésima derivada f")(x), donde n es un entero

positivo cualquiera. 37 La función de posición de un punto que se está moviendo sobre una recta coordenada está dada por s(t) = 12 - 4 In(t + 1) donde O ~ 1 ~ 4. Encuentre la velocidad y la aceleración en el tiempo 1 y describa el movimiento del punto en el intervalo de tiempo [0,4].

38 En el estudio de ciertas reacciones químicas aparece la ecuación

39 Use la tabla III para dibujar la gráfica de y = In x. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica en los puntos de abscisas 1, 5, 10, 100 Y 1000. ¿Qué pasa cuando la abscisa a del punto de tangencia tiende a infinito? ¿Qué pasa cuando a tiende a O?

40 Dibuje las gráficas de las siguientes ecuaciones.

I b(a - x) r = - - - I n ----e-­ c(a - b)

a(b - x)

donde x es la concentración de una substancia en el tiempo 1 y a, b y e son constantes. De­ muestre que dx/dl = c(a - x)(b - x).

(a) .1' = Inlxl

lb) .1' = Ilnxl

Verifique las fónnulas en los ejercicios del 41 al 44.

41

f'nxdx = xlnx - x +

43

f v

Q

x

I 2

.

+a

8.2

2

e I

2

2

dx = In (.\ + V x + a ) +

e

42

f(lnx)2dx = x(lnx)2 - 2xlnx

44

f

+ 2x + e

I I u+x 2 2 -2--2 dx = - I n - - + C.a > x a - x

2a

a- x

LA FUNCION EXPONENCIAL NATURAL En la sección 1 demostramos que lim lnx

= 00

y lim lnx

= -

oo.

x-o·

Usaremos estos hechos en la demostración del siguiente teorema. (8.8)

TEOREMA

A cada número real x le corresponde un número real positivo único y tal que In y = x.

364

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Demostración. Primero observe que si x = O, entonces In I = O. Más aún, I es el único valor de y tal que In y = O. (¿Por qué?). Si x es positivo entonces podemos escoger un número b tal que

In I < x < In b. Como la función In es continua, el teorema del valor intermedio (2.37) garantiza la existencia de un número y entre I y b tal que In y = x. Más aún, como In es una función creciente, sólo existe un número con esta propiedad. Finalmente, si x es negativo, entonces existe un número b > O tal que In b < x < In l. Igual que antes existe exactamente un número y entre b y I tal que In y = x. Esto completa la demostración.

El teorema. (8.8) nos permite definir una función del conjunto de los números reales al conjunto de los números reales positivos, ya que a cada x corresponde un único y > O. La definición formal de esta función se da a continuación. (S.9)

DEFINICION

La función exponencial natural denotada por exp se define mediante exp x = y

si y sólo si

In y = x

para todo x y para todo y > O. El teorema siguiente especifica la relación que existe entre In y exp. (S.lO)

TEOREMA

Las funciones logaritmo natural y exponencial natural son funciones versas una de la otra.

In­

Demostración. De acuerdo a la definición (1.23) tenemos que probar (i) In (exp x) = x para todo x, y (ii) exp (In y) = y para todo y > O.

Estas afirmaciones se siguen inmediatamente de la definición (8.9), ya que si

exp x = y, entonces In y = x y sustituyendo exp x en lugar de y obtenemos (i). Aná­

logamente, si In y = x, entonces exp x = y y sustituyendo In y en lugar de x obte­

nemos (ii).

Como señalamos en el capítulo 1, si dos funciones son inversas una de la otra, entonces una de las gráficas es la reflexión de la otra con respecto a la recta y = x. Por lo tanto se puede obtener la gráfica de y = exp x reflejando la gráfica de y = In x con respecto a esta recta como se ilustra en la figura 8.4. Evidentemente

LA FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

8.2

365

y

y = lnx

x

Figura 8.4

lim expx =

00

x-·x,

y

lim expx = O. x--x.,

Por el teorema (8.8) existe un número real positivo umco cuyo logaritmo natural es l. Este número se denota por e para conmemorar al matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) quien fue uno de los primeros en estudiar extensamente sus propiedades. (8.11)

DEFINICION

La letra e denota al único número real positivo tal que In e = En la sección 1 se calcularon varios valores de In. Se puede mostrar usando la regla. del trapecio (5.47) que 2.7

f

I ,.2.81 -dI < I < -dI

J

t

I

I

t

(Vea el ejercicio 7 de la sección 5.7). En consecuencia, por la definición (8.4), In 2.7 < In e < In 2.8 lo cual implica que 2.7 < e < 2.8. Más adelante en el teorema. (8.32) veremos que e se puede expresar como el límite siguiente: e

= lim (l + h)llh. h-O

366

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Esta fórmula se puede usar para estimar e con cualquier grado de precisión. En particular con una exactitud de veinticinco cifras decimales

e ::::: 2.7182818284590452353602874. Se ha demostrado que e es un número irracional. Si r es cualquier número racional, entonces usando (iii) del teorema (8.7) obtenemos In e' = r1ne = r(l) = r. Esta es la motivación para la definición de eX que damos a continuación. (8.12)

DEFINICION

Si x es cualquier número real, entonces eX es el (único) número real y tal que In y = x. Comparando (8.12) con la definición (8.9) vemos que eX=expx para todo número real x. Esta es la razón para llamar función exponencial a exp. En efecto, frecuentemente se le llama la función exponencial con base e o función exponencial natural. Tal vez la siguiente afirmación es la mejor manera para recordar la definición (8.12): eX = y

(8.13)

si y sólo si

In y = x.

El hecho de que In (exp x) = x y exp (In y) = y para cada x y cada y > O (vea el teorema: (8.10)) se puede ahora escribir de la forma siguiente: In ex = x

(8.14)

e1ny = y.

y

Debido a que no definimos eX como una potencia de e, no es obvio que se cumplen las leyes usuales para los exponentes. Sin embargo estas leyes se pueden demostrar fácilmente como se indica en el teorema que sigue.

(8.15)

TEOREMA

Si p y q son números reales y r es un número racional, entonces (i)

epe q

(ii)

el'

=

=

ep+

eP -

q

.

q•

~

(jii)

Demostración.

(e P)' = e P'

Usando el teorema (8.7) y (8.14) llegamos a Ine"e q = IneP + Ineq = p + q = lne,,+q.

Como la función logaritmo natural es uno a uno se sigue que

LA FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

8.2

367

Esto prueba (i). Las demostraciones de (ii) y (iii) son similares y se dejan como ejercicio. Se verá en la sección 4 que (iii) también se cumple para r irracional. No es dificil mostrar que si x es racional, entonces eX tiene el mismo significado que e elevado a la potencia x. Por ejemplo podemos usar (8.14) como sigue: eO

= eln l =

1

el

e ln •

e.

=

=

Después, del teorema (8.15) se infiere que e2 e3

= el + I = e 1e 1 = ee = e 2 + 1 = e2 e l = (ee)e

y en general, si n es un entero positivo, entonces en es un producto de n factores, todos ellos iguales a e. Los exponentes negativos también tienen las propiedades usuales, es decir

y en general,

e -n

1

=­

en

si n es un entero positivo. Las potencias racionales de e también se pueden inter­ pretar como se hace en el álgebra elemental. La gráfica de y = eX es la misma que la de y = exp x que se ilustra en la figura, 8.4. De aquí en adelante usaremos eX en lugar de exp x para denotar los valores de la función exponencial natural. En las matemáticas anteriores al cálculo se dibujan las gráficas de ecuaciones tales como y = 2 X y y = 3 x suponiendo que las expresiones exponenciales están definidas para todo x real y crecen cuando x crece. Usando este punto de vista intuitivo se puede hacer un dibujo burdo de la gráfica de y = eX, dibujando y = (2.7)x.

Se verá en la sección 6 que la función inversa de una función derivable es una función derivable. Aceptando desde ahora este resultado, tratemos de encontrar implícitamente la derivada de la función exponencial natural. Como si y = eX

entonces

In y = x,

por derivación implícita obtenemos Dx(lny)

=

DAx),

o

I -DxY Y

=

1.

Multiplicando ambos lados de esta última ecuación por y obtenemos D.y = y.

¡Esto muestra que para todo número real x

368

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

(8.16) es decir la función exponencial es su propia derivada! Ejemplo 1

Sea f(x) = x 2 e": Encuentre f'(x).

Solución

Por la regla del producto (3.20), f'(x)

= x 2 D x ex + e D x x 2 2 = x ex + e'(2x) = (x + 2)xex . X

Como de costumbre podemos usar la regla de la cadena (3.36) para generalizar (8.16). En concreto sea y = e" y u = g(x) donde g es derivable. Entonces

DxY

= (DuY)(Dxu) = e"D,u

es decir,

D,e" = e"D,u, donde u

(8.17)

=

g(x).

Si u = x, entonces (8.17) se reduce a (8.16). Ejemplo 2

Sea y = eJxl + l. Encuentre y'.

Solución

Por (8.17),

xe

xl + I

Las funciones como la que aparece en el ejemplo siguiente surgen en la rama de las matemáticas llamada probabilidad. Ejemplo 3

Sea f(x) = e- xlI2 • Encuentre los valores extremos locales de I Discuta la conca­ vidad, encuentre los puntos de inflexión y dibuje la gráfica de f

Solución

Por (8.17)

Como e- xll2 siempre es positivo, el único número critico defes o. Si x < Oentonces f'(x) > O, mientras que si x > O entoncesf'(x) < O. Se concluye de la prueba de la primera derivada que f tiene un máximo local en o. El valor máximo es }(O) =

e-o

=

1.

LA FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

369

8.2

Aplicando la regla del producto aj'(x), f"(x) = -xe-·,·,,2( -x) - e-"",2

= e-·",2(x 2 _

1),

Ypor lo tanto la segunda derivada se anula en - 1 Yen l. Si - I < x < 1 entonces .f"(x) < O y de acuerdo con (4.16) la gráfica de f es cóncava hacia abajo en el in­ tervalo abierto (-1, 1). Si x < -1 o x > 1, entonces f"(x) > O y por lo tanto la gráfica es cóncava hacia arriba en los intervalos ( - 00, - ) ) y (1, (0). En conse­ cuencia P( - 1, e - 1/ 2 ) Y Q( 1, e - 1/ 2 ) son puntos de inflexión. Escribiendo

.

j (x)

1

= e< ---'-1'

­

se ve claramente que a medida que x crece en valor absoluto, f(x) se acerca a O. Se deja como ejercicio probar que hmx_
(O, 1)

x

FiKura 8.5

8.2

EJERCICIOS

En los ejercicios del 1 al 26 encuentre f'(x), donde f(x) es la expresión dada.

"

5.\

5

JI

9

.\2

13

(l'~' (r'

17

e

eX

-

2 +(,1,\ 2.\

-

5).1

6

e 3.__ 1/(1'"

+

1)

3

eh

7

"

4 el

,\-+ I

8

-X'\

.,

Xl'

10

,),,2, + 2x

11

"x/(x 2 + 1)

12

x/ex'

14

(l'3x _

IS

el,.\,

+

16

l'

18

e

19

e-

20

eX

23

)ln(e2x + e h)

24

In

1'- h)~

I¡e-'

.,

+

,

(J'"

t'-.\

+ (!-.\" (-'.\" + I

21

In--

22

2S

e ln .\'"

26

eX _ I

1'\"

In (,...' +- 1)

In (eX - 1) In

h

Inx

Ir'

En los ejercicios del 27 al 30 use derivación implícita para encontrar y'. 28

xeY + 2x - In (y + 1) = 3

In.\'

eh + e- h

370

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARlTMICAS 30

xeJ' - ye X = 2

31 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = (x - 1)e + 3 In x + 2 en el punto P(I, 2). 33 Demuestre que la función exponencial natural satisface las hipótesis del teorema del valor medio (4.12) en todo intervalo cerrado [a, b] Y encuentre una fórmula general para el número e en la conclusión de (4.12).

32

Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = x - e-X que es paralela a la recta 6x - 2y = 7. Compare las gráficas de y = y y = ej;.

35 Encuentre un punto sobre la gráfica de y = eh tal que la tangente en dicho punto, pase por el origen.

36

X

34

p

Encuentre una ecuación de la recta normal a la gráfica de y = 4xe x '-t en el punto P(I,4).

En los ejercicios del 37 al 40 encuentre los valores extremos locales de f Averigüe si fes creciente o decreciente, discuta la concavidad, encuentre los puntos de inflexión y dibuje la gráfica de f 37 I(x) = xe'\

39

/(x)=e- h

41 Use diferenciales para estimar el incremento de f(x) = xex ' cuando x cambia de \.00 a \.01. ¿Cuál es el valor aproximado de f(1.01)?

42

Sea f(x) = eh. Encuentre la fórmula para la enésima derivada f"'(X).

40

I(x)

xe-'

=

En cada uno de los ejercicios del 43 al 46 encuentre los valores de e tales que y = e
+

44

43

y" - 3/

45

y'" - y" - 4.1"

47

Demuestre lo siguiente. (a) lim e- x '/2 = O (b) lim .c ......

2y = O

+ 4.1' =

y" - 9y = O

46 v'" - y" - 6/

O

48 1.'-.,',2

=O

=

O

Demuestre lo siguiente. (a)

lim e' = O

(b) Iim eX = ro

Á

49 Demuestre (ii) y (iii) del teorema (8.15).

50

Verifique lo siguiente (a)

8.3

f

ea., In x dx =

~ e"X In x

ti

-

f

~ ~e"-' dx

ti

X

DERIVACION E INTEGRACION

La fórmula para la derivada de In u que se demostró en la sección I se puede gene­ ralizar como se indica en el teorema siguiente

DERIVACION E INTEGRACION

(8.18)

8.3

371

TEOREMA

Si u = g(x), donde g es derivable y g(x) :1: O, entonces

I D)( In lul = - D)( u. u

Si x < O, entonces In Ixl = In (-x) y de acuerdo con (8.6),

Demostración.

I

-DA -x) =

D.,ln( -x) =

(-x)

I

I

- - ( -1) =-. (-x) x

En consecuencia, D)( In Ixl

= ­1

para todo x :1: O.

x

Usando la regla de la cadena se puede completar la demostración. Observe que si u = g(x) > O, entonces el teorema (8.18) es el mismo que (8.6).

=

14 +

5x - 2x 3 1. Encuentref'(x).

Ejemplo 1

Seaf(x)

Solución

Usando (8.18) para u

In

= 4 + 5x - 2x 3

f '( X ) = 4 + 5xI _

2x 3

tenemos

2 5 ­ 6x . 4 + 5x - 2x 3

(5 _ 6x2) =

Podemos usar la fórmulas de derivación de In para obtener algunas reglas de integración. En particular, de D)( In Ixl = l/x se concluye que

f~dX

(8.19)

=

Inlxl

+ c.

Más aún, como

se satisface la siguiente fórmula de integración (8.20)

f ~du =

In lul

+ e,

donde u

= g(x):I: O.

Desde luego que si u > O, entonces se puede omitir el símbolo del valor absoluto. Al calcular una integral indefinida con ayuda de (8.20) frecuentemente usamos el método de sustitución haciendo u = g(x) y du = g'(x) dx, para una gapropiada.

372

8

Ejemplo 2

Encuentre

Solución

Si tomamos u = 3x 2 - 5 entonces du = 6x dx. Llegamos a la forma (8.20) in­ troduciendo el factor 6 en el integrando como sigue

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

f

X 2

3x - 5

dx.

f

x l 3x 2 _ 5 dx ="6

f

I

3x2 _ 5 6x dx

=

~ f~dU

=

l "6lnlul

=

l "6lnl3x2 - 51

6 u

+e + C.

Otra manera de resolver el problema sería reemplazar la expresión x dx en la integral con! du y luego integrar. 4

Ejemplo 3

Evalúe

f

2

Solución

I - - - dx. 9 - 2x

Como 1/(9 - 2x) es continua en [2,4], la integral definida existe. Un método de evaluación consiste en usar una integral indefinida para encontrar una antiderivada de 1/(9 - 2x). Si tomamos u = 9 - 2x, entonces du = -2 dx y podemos proceder como sigue:

_ l _ dx = _~f_I_(-2)dX f 9 - 2x 2 9 - 2x =

-~f~dU 2

u

I = -"2lnlul = -

+e

I "2 In 19 - 2xI

+ C.

Aplicando el teorema fundamental del cálculo (5.31) obtenemos

f

4

2

- -I d x = - -I ~Inl9 - 2xl 9 - 2x 2 I

=

-"2 [In I

=

"2 ln5 .

J4 2

- In 5 ]

I

Otro método consiste en usar la misma sustitución en la integral definida y cambiar los límites de integración. Refiriéndonos a u = 9 - 2x vemos que si

DERIVACION E INTEGRACION

8.3

373

x = 2 entonces u = 5 Y si x = 4 entonces u = l. En consecuencia,

4 J 2

J4

I I - - d x = -9 - 2x 2

2

I --(-2)dx 9 - 2x

= _~fl ~du 2 s u

=

-Kln,u'I I

= - - [In 2

f

I - In 5]

I

= - In 5. 2

llnx - x - dx.

Ejemplo 4

Encuentre

Solución

Sea u = Inx. Entonces du = (l/x) dx y

f~

--dx x

=

f re:-::

=

fU ' /2du

I v' Inx ·-dx x

2 ) 3

= -u /-

= ~ (In

+e

X)),2

3

+ C.

Es fácil encontrar fórmulas de integración para la función exponencial na­ tural. Como Dxe x = eX, podemos escribir

f

(8.21)

e< dx

=

eX

+ C.

Usando la regla de la cadena podemos generalizar esto a

f

(8.22)

e"du

=

e" +

e

donde u = g(x) es derivable.

f

e)/x

Ejemplo 5

Encuentre

Solución

Sea u = 3/x. Entonces du = (- 3/x 2 ) dx y se puede poner el integrando en la forma (8.22) introduciendo el factor - 3. Si hacemos esto y compensamos multiplicando la integral por - 1/3 obtenemos

- ) dx. x-

374

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 3 x / Xl

fe

dx

= (- t) f e 3/x (- ~2~) dx = (-t)

f

e"du

=(-t)e"+C

= (-He 3/x + C. 2 e3/x

Ejemplo 6

Encuentre

f I

Solución

- 2 dx.

X

En el ejemplo 5 encontramos una antiderivada del integrando. Aplicando el teorema fundamental del cálculo (5.31) llegamos a

fe:~x dx = =

(-t{e (-t)(e

3/X

I

3/2 _

e

3 ).

Este ejemplo también se puede resolver usando el método de sustitución. Si tomamos u = 3/x como en el ejemplo 5, entonces du = - 3/x 2 dx. Ahora notamos que para x = 1, u = 3 Y para x = 2, u = 3/2. Por consiguiente 2 e3/.< -2 1

f

x

dx = ( -

t)

f

3/ 2

e" du

3

3/ 2

J

= (-t)e" 3

=

(-t)(e 3 / 2

_

e3 ).

eX,

Ejemplo 7

Encuentre el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones y = y = fi, x = OY x = 1.

Solución

En la figura 8.6 se muestran esta región y un rectángulo típico como los que se estudiaron en el capítulo 6. El área A está dada por

A =

lim ¿(e w , IIPII-O

=

La aproximación

~)Lhi

{(eX - fi)dx

= [e.< -

=

-

i

~X3¡2 J~

(e -"32).- (e o -

O)

=e - 5 3'

DERIVACION E INTEGRACION

8.3

375

y

x

Figura 8.6

A

~

2.718 - 1.666

=

1.052.

es exacta hasta el milésimo más cercano. Dado y = f(x) a veces conviene hallar DxY mediante un proceso llamado derivación logarítmica. Este método es particularmente útil cuando f(x) consta de productos, cocientes o potencias complicadas. Más adelante también lo aplicaremos a expresiones tales como y = (x 2 + I y. El proceso se puede esbozar como sigue, donde suponemos que f(x) > O. PASOS EN LA DERIVACION LOGARITMICA

1.

y = I(x)

(Dato)

2. 3.

loy = 10I(x) DAloy] = Dx[lnI(x)]

(Tome logaritmos naturales y simplifique) (Derive implícitamente)

4.

!D.
(Por (8.6))

5.

(Multiplique por y = f(x))

Desde luego, para obtener la solución, en algún momento después del paso 3 es necesario derivar lo f(x). Si f(x) < O para algún x, entonces el paso 2 no puede realizarse, ya que Inf(x) no está definido. Sin embargo podríamos sustituir el paso 1 por Iyl = If(x) 1y tomar logaritmos naturales obteniendo In Iyl = lo If(x)l. Si derivamos esto implícitamente y usamos (8.18) llegamos nuevamente al paso- 4. Por lo tanto los valores negativos de f(x) no afectan el result~do y no tenemos que preocupamos por que f(x) sea positivo o negativo. Sin embargo, no debe usarse este método para encontrar f'(a) en el caso en que f(a) = O, ya que In O no está definido.

376

8

Ejemplo 8

Use derivación logarítmica para encontrar DxY donde y =

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS (Sx - 4)3

~.

+I De la misma manera que en el esbozo, primero tomamos el logaritmo natural en ambos lados y simplificamos, obteniendo .J2x

Solución

(~) In (2x + 1).

Iny = 3ln(Sx - 4) -

Derivando ambos lados respecto a x obtenemos l -D,y JI o

= 3 - -I ( S ) Sx - 4

( -I ) - -I( 2 ) 2 2.'\ + l

2Sx + 19

------(Sx - 4 )(2x + 1)

Finalmente, multiplicando ambos lados de la ecuación por y (es decir por (Sx - 4)3/J2x + 1) llegamos a D,y = o

• 2Sx+19

(SX-4)3

--------o~o=~=

(Sx-4)(2x+l) ,2x+1 (2Sx + 19)(S.'\ - 4)2 ---(2x + 1)3/2 ---­

Este resultado se puede verificar aplicando la regla del cociente a y.

8.3 EJERCICIOS

Evalúe las integrales en los ejercicios del l al 28.

f ,J~ f .~ =4;::;: 9 x ¡dx

5

9 13

17

x-2

2 dx

r

- -l d x _22x + 7

r

.-

(x

J3

+ e 5 .,) dx

e- 4x dx

6 10

f f

- -I d x 8x + 3 (2

---dx x

7

- -I d x 1 4 - 5x

11

r -

14

f f f

(1 1

18

+ Inx)3

3

+ e-h)dx

e 2x + 3 dx

15 19

r~; 1)2 dx

22

I_ dx 7 - 5x

4

2

8

-x - d x x3 + I .

r

2

x('/~ + 4)

fl:X f -

dx

12

16

dx

e-rx dx

20

x

0

21

ff

~ 1)2 dx

(~+

23

f~

e-x

~

+ e-x

dx

24

f

3

-4x dx x - 5

r

o

h dx IX + 4 -2-_

f f fx~' f

­

x - l dx 3x 2 - 6x + 2

- - l - d x x(lnx)2 dx

eX d x -eX + l

DERIVACION E INTEGRACION 25

5+ x

2

l

2x + l

26

dx

(X 2 -

5

4)2

2x

dx

27

f

2x2_5X-7 x - 3

dx

28

377

8,3

f

x2

+ 3x + l x

dx

En cada uno de los ejercicios del 29 al 32 encuentre el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas.

29 Y = eh, y 31 Y

= e-',

= 0, x = 0, x = In 3 xy = 1, x = 1, x = 2

33 La región acotada por las gráficas de y = e-", y = 0, x = y x = I gira alrededor del eje y.

°

30

xy=I,y=O,x=l,x=e

32

y=e-h,y= -e',x=O,x=2

34

La región acotada por las gráficas de y = 1/ jX, Y = 0, x = 1 Y x = 4 gira alrededor del eje x. Encuentre el volumen del sólido resultante.

Encuentre el volumen del sólido resultante. 35 Una partícula se mueve sobre una línea recta de manera que su velocidad en el tiempo I es e - 3'. ¿Si en el tiempo I = la partícula se encuentra en el origen, qué distancia recorre en el intervalo de tiempo [0, 2J?

36

La base de un sólido es la región en el plano

=

°

secciones obtenidas al intersecar el sólido con planos perpendiculares al eje x son cuadrados.

En los ejercicios 37 y 38 haga lo siguiente. (a) Plantee una integral para encontrar la longitud de arco L de la gráfica de la ecuación dada entre A y B. (b) Escriba la fónnula para la aproximación a L mediante la regla del trapecio (5.47) para n = 5. (c) Si dispone de una calculadora encuentre el valor de la aproximación hallada en la parte (b). 37 Y = e'; A(O, 1), B(I,e) En los ejercicios del 39 al 46 encuentre DxY por derivación logaritmica.

39 Y == (5x (x

41

Y=

2

+ 2)3(6x +

1)2

40

y=~(x-W

+ 3)5

-'----;===­ fi+T

(2:< - W 44 y = ----===--'--­

fi+T(7x + 2)3

45 Y = J(3x 2 + 2))6x - 7

En los ejercicios del 47 al 50 encuentre f'(x). 47 f(x) = In 13 - 2xl

=

xy acotada por las gráficas de y eh, y e' y x = l. Encuentre el volumen del sólido si las

48

f(x) = In 14 - 5x 3 12

1

50 ¡(x)

= Inl2x _ 151

378

8

8.4

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS GENERALES En esta sección daremos sentido a la expresión a X donde a > O y x es cualquier número real. Si el exponente es un número racional r, entonces aplicando (8.14) y (iii) del teorema (8.7) vemos que

Usaremos esta fórmula como motivación para la definición de a

(8.23)

X •

DEFlNICION

Si x es cualquier número real y a es cualquier número real positivo entonces

La función f definida mediante f(x) = a X se llama la función exponencial coo base a. Como eX es positivo para todo x, lo mismo sucede para a X. Para estimar los valores de a podemos consultar las tablas de logaritmos y exponenciales o usar una calculadora. Ahora podemos probar que la ley de los logaritmos enunciada en (iii) del teorema (8.7) también se cumple para exponentes irracionales. Así, si u es cual­ quier número real, entonces según la definición (8.23) y (8.14) X

(8.24)

Ind'

= Ineu'na = ulna.

También podemos demostrar que las leyes de los exponentes enunciadas en (8.1) se cumplen para todos los exponentes reales. Por ejemplo, para probar que a a" = a U + I si u y v son reales, usamos la definición (8.23) y (i) del teorema (8.15) como sigue: U

=

eulna+vlna

=

e("+vllna

Para probar que (a")" = a"', primero usamos la definición (8.23) sustituyendo a" en lugar de a y v en lugar de x obteniendo asi (a")V

=

e"lna".

Aplicando (8.24) y la definición (8.23) obtenemos

Las demostraciones de las otras leyes en (8.1) se dejan como ejercicio. Es fácil encontrar la derivada de a aplicando (8.23) y (8.17) como sigue: X

D..(a X) = DAe X1na ) = ex'naDAxlna) = ex1na(lna). Usando de nuevo la definición (8.23) obtenemos

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS GENERALES

379

8.4

(8.25) Note que si a = e, entonces (8.25) se reduce a (8.16). Si a > 1, entonces In a > O y por lo tanto DAa X ) > O. Por consiguiente a X es creciente en el intervalo (- 00, 00) si a > 1. Si O < a < 1, entonces In a < O y DAa X ) < O; es decir a-< es decreciente para todo x. Las gráficas de y = 2X y y = (l/2Y = r x que se muestran en la figura 8.7 se pueden dibujar trazando algunos puntos representativos. La gráfica de la ecuación y = a X tiene la forma general que se ilustra en (i) o (ii) de la figura 8.7 dependiendo de si a > 1 o O < a < I respectivamente. y

y

x

x ..) (11

y= (1)% 2" = 2-%

Figura 8.7 La regla de la cadena (3.36) se puede usar para generalizar (8.25) como sigue: DAa") = (a" In a)Dxu,

(8.26)

donde u = g(x) y g es derivable. Ejemplo 1

Sea y = 3i ". Encuentre y'.

Solución

Usando (8.26) para a

=

3 Yu

=

fi, tenemos

y'=

=

(3JXln3)(~x-1/2) 3JX In 3

2Jx

Suponga que u = g(x) y que a es un número real. Es muy importante dis­ tinguir entre las expresiones de la forma a" y las de la forma ua • Para derivar a" usamos (8.26), mientras que para derivar u a se tiene que usar la regla de las po­ tencias, como se muestra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 2

Sea y

=

(x 2

+ 1)10 + IO x2 + l. Encuentre y'.

380

8

Solución

Usando la regla de las potencias para funciones (3.38) y (8.26) obtenemos

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

y'

=

IO(x 2 + 1)9(2x) + 10-'2+ lln 1O(2x)

=

20x [(x 2

+ 1)9 + IOx 'In lO].

La fórmula de integración (8.27) se puede verificar mostrando que el integrando es la derivada de la expresión del lado derecho de la ecuación. Se deduce de (8.26) que

f

(8.28)

f

a"dU

=

(_1_) a" + e, In a

donde u = g(x).

J,2 X dx.

Ejemplo 3

Evalúe

Solución

Sea u = x 2 . Entonces du = 2x dx y podemos proceder como sigue:

f

x2

3 x dx =

=

=

=

f ~f

~

),'(2x) dx

3" dll

)3" + e (_1))" + C. (~)(_I 2 In3 21n 3

Si a # I Yf(x) = a X , entonces fes una función uno a uno. Su función inversa se denota por loga Y se llama la función logarítmica con base a. Así pues (8.29)

y = loga x

si y sólo si x

= aY.

Esto está de acuerdo con la fórmula (8.2) que se usa en los cursos de matemáticas anteriores al cálculo. La expresión loga x se llama el logarítmo de x con base a. En estos términos los logaritmos naturales son logaritmos con base e, es decir Inx = logex. La demostración de las leyes de los logaritmos (8.3) se deja como ejercicio. Para obtener la relación entre loga y In considere y = loga x o equivalentemente x = aY. Tomando el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación obtenemos que lnx = y lna o y = lnx/lna y, por lo tanto, lnx log.,x = - . lna

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS GENERALES

8.4

381

Derivando ambos lados de esta última ecuación obtenemos (8.30)

D..{log"x)

I

= -1-' x na

Usando la regla de la cadena (3.36) y generalizando al caso de los valores absolutos como en (8.18) obtenemos (8.31)

Dxlog"lul

I ulna

= --Dxu

donde u = g(x) es derivable y g(x) '" O para todo x. Ejemplo 4

Seaf(x) = IOglO~(2x

Solución

Primero usamos el inciso (iii) del teorema 8.7 pero para logaritmos de cualquier base y el hecho de que (2x + 5)2 = 12x + 51 2. Así pues

+ 5)2.

Encuentref'(x).

. l j(x) = 310g¡o12x

2

310g¡o12x

=

+W + 51·

Usando (8.31) tenemos x: fC)I

(3)3 (2x+5)lnlO() 1 2 4 (6x

+ 15)ln lO'

Como ya tienen sentido para nosotros los exponentes irracionales, podemos definir ahora la función de potencias general mediante f(x) = XC donde e es cual­ quier número real. Si c es irracional, entonces por definición, el dominio de f es el conjunto de números reales positivos. Usando (8.23), (8.17) Y (8.5) vemos que Dxx c = DAeC1n X)

=

ednx(~)

= xc(~)

Esto demuestra que la regla de las potencias (3.12) es verdadera para exponentes tanto racionales como irracionales. La regla de las potencias para funciones (3.38) también se puede generalizar a exponentes irracionales.

382

8

Ejemplo 5

Encuentrey'para(a)y

Solución

(a)

y'

=

(b)

y'

= n(l

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

=

x i2 y(b)y

= =

=

= (1 +

v;2x fi -

eh)".

1

+ eh)"-lD-CI + eh) n(1 + e2x )"-1(2é 2ne h (l + eh)" - 1 X

)

> O. Encuentre DxY.

Ejemplo 6

Sea y

Solución

Como el exponente en x·< es una variable, no se puede usar la regla de las potencias (3.12). Tampoco (8.25) es aplicable ya que la base x no es un número real fijo. Sin embargo, por la definición (8.23), XX = eX In X para todo x > O y por consiguiente

XX donde x

D,(x') = Dx(eXlnx)

= e·
Otra manera de atacar el problema es usando el método de derivación logarítmica que se introdujo en la sección anterior. En este caso tomamos el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación y = XX Y luego derivamos implícitamente como sigue Iny = Inx x

= xlnx

DxClny) = DxCxlnx)

I -DxY y

DxY

=

I

+ In x

= y(l +

In x)

= xX(l + In x).

Terminaremos esta sección expresando el número e como un limite. No pudimos hacer esto en la sección 2 porque en la demostración del teorema siguiente se usa (8.24) y una función exponencial general.

(8.32)

TEOREMA

(i) lim (1 h-O

+ h)l/h = e

.. l'1m ( I (11) "-'00

+ -I )" = e n

Demostración. Aplicando la definición de la derivada (3.1) a ¡(x) las leyes de los logaritmos obtenemos

Inx y usando

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARlTMICAS GENERALES

f'(x) = lim

In (x

+ h)

8.4

383

- In x

h

h-O

I

x+h

h

x

= lim-In-­ h-O

h) Ilh .

= Iim In (I + -

X

h-O

Comof'(x)

=

l/x, tenemos que para x

I

=

1

lim In(l

+ h)llh.

h-O

Ahora, de (8.12) se deduce que

+ h)llh

(1

=

e1n (1 +h)l/h.

Como la función exponencial natural es continua en l. se sigue del teorema (2.31) que lim (1

+ h)llh = lim

h-O

[eln(1 +h)l/h]

h-O

_ e[limln(\ +h)'/') -

11-0

= el = e. Esto prueba el inciso (i) del teorema. El límite en el inciso (ii) se puede obtener haciendo el cambio de variable n = I/h (vea el ejercicio 43). Las fórmulas del teorema (8.32) son muy importantes en matemáticas. En efecto, frecuentemente se usan para definir el número e. Es instructivo para el es­ tudiante calcular (1 + h)llh con ayuda de una calculadora para algunos valores pequeños de h (tanto positivos como negativos). En la tabla siguiente se dan al­ gunos de estos valores. h

0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001

(1

+ h)llh

2.704814 2.716924 2.718146 2.718268 2.718280

h

-0.01 -0.001 - 0.0001 -0.00001 -0.0‫סס‬oo1

(1

+ h)llh

2.731999 2.719642 2.718418 2.718295 2.718283

Con una exactitud de cinco cifras decimales, e ::::: 2.71828.

384

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

8.4 EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 22 encuentre f'(x) para la expresión dada j(x).

7

x

5 10glO (x 4 + 3x 2 + 1) 9 (x 2+ 1)lOli' 13 loglo (3x 2

+ 2)5

2 5- x

3

6

7 53.< - 4

IOg316x - 71

8x' +

I

4

9';;

8

32 -

x'

10 (10" + 10-")10

11

7 J x' + 9

12

x/(6 X

14

15

6x logs 1- +41 2x - 3

16

1

x21 loglo 12 _ 5x3

19

XV

20

xl'l'JrX

25

f x(r"')dx

10gloP+!

17 loglo In x

18 Inloglox

21 (x + 1)'

22

xx'!

+

eX

+ x 6 )

+4

Evalúe las integrales en los ejercicios del 23 al 34. 23

f 10h dx

27

f - -2 d x

24

f 5- 2x dx

28

f

X

31

2"

fx

2

+

1

32

2'" dx

3"

ft+4

dx

flO';; --dx

fi

29 J2 5- 2x dx

jl2

26

30

x+ 1)2 2"

fl

dx

23x- 1 dx

-\

33

f

1 d x loglo X x

34

f ID" + 10-" 10x _ IO-"dx

35 Encuentre el área de la región acotada por las gráficas de y = 2"0 x + y = I Y x = 1.

36

La región bajo la gráfica de y = r" entre x = 1 Y x = 2 gira alrededor del eje x. Encuentre el volumen del sólido resultante.

37 Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente

38

Encuentre la abscisa del punto sobre la gráfica de y = 2" en el cual la recta tangente es paralela a la recta cuya ecuación es 2y - 8x + 3 = O.

40

Demuestre las leyes de los logaritmos (8.3).

y normal a la gráfica de la ecuación y = x3 x en el punto P(I, 3).

39 Demuestre que para todos los números reales u y v, y para cualquier a > O y b > O

(ah)"=a"h"'•

a"

-=a"-e (1'"

En los ejercicios 41 y 42 dibuje las gráficas de las dos ecuaciones dadas en el mismo plano

coordenado y discuta la relación entre ellas.

41

Y = 10" Y = log¡ox

42

Y = 2', Y = log2

43 Demuestre el inciso (ii) del teorema (8.32) usando el limite del inciso (i) y el cambio de

variable n = l/h.

8.5

LAS LEYES DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Suponga que una cantidad física varía con el tiempo y que la magnitud de la can­ tidad en el tiempo t es aproximadamente q(t) donde q es una función derivable. Entonces se puede usar la derivada q'(t) para medir la razón de cambio de q(t)

LAS LEYES DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

8.S

385

respecto al tiempo. En muchas aplicaciones resulta que la razón de cambio en un instante dado es directamente proporcional a la magnitud de la cantidad en dicho instante. La cantidad de bacterias en ciertos cultivos se comporta de esta manera. Si el número de bacterias es pequeño, entonces la razón de crecimiento es pequeña; sin embargo a medida que el número de bacterias crece, la razón de crecimiento aumenta. En muchos casos este cambio en la razón de crecimiento es muy grande y podemos considerar el resultado como una explosión de población desde un punto de vista microscópico. La desintegración de una substancia radiactiva obe­ dece a una ley similar, ya que al disminuir la cantidad de materia, la razón de des­ integración, es decir la cantidad de radiación, también disminuye. Como un último ejemplo damos el siguiente. Suponga que se permite que un condensador eléctrico se descargue. Si al empezar, el condensador tiene una carga grande, entonces la razón de descarga también es grande, pero al disminuir la carga el condensador se descarga más lentamente. Hay muchos otros ejemplos de este fenómeno. Todos ellos son casos particulares de la situación general que describiremos a continua­ ción. Suponga que q es una función derivable de 1 y que la razón de cambio de q respecto a 1 es directamente proporcional a q(t) donde q(t) > O para todo l. Este hecho se puede expresar mediante la ecuación diferencial (8.33)

q'(t) = eq(t)

donde e es un número real. Una ecuación equivalente a ésta es q'(t)

--=e. q(t)

Si el intervalo

[O, x] está en el dominio de q'/q, entonces dt = f.x e dt. f.oxq'(t) q(t) o

Como In q(l) es una antiderivada de q'(l)/q(l), se deduce del teorema fundamental del cálculo (5.31) que

lo cual también se puede escribir en cualquiera de las siguientes formas equivalentes. In q(x) - In q(O)

= ex

q(x)

ln-- = ex q(O)

q(x)

ex

--=e q(O)

q(x) = q(O)e'x.

386

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Si usamos la variable

t

en lugar de x, entonces la ecuación anterior toma la forma

(8.34)

= q(O)e".

q(r)

Hemos probado que si la razón de cambio de q(t} es directamente proporcional a q(t) entonces q se puede expresar en términos de una f~nción exponencial. Si q crece cuando t crece entonces (8.34) se llama la ley de crecimiento de q, mientras que si q decrece, se llama la ley de decrecimiento de q. El número q(O) a veces se llama el valor inicial de q. En los problemas de aplicación, la discusión anterior frecuentemente se resume en términos de una ecuación diferencial en la cual se suprime la expresión q(t}. En concreto, si hacemos y = q(t} entonces se puede escribir (8.33) de la forma siguiente dy -=cy dr

o en términos de diferenciales, dy

= (cy) dr.

Dividiendo ambos lados de esta ecuación por y obtenemos 1 -dy = edr.

(8.35)

y

En vista de que es posible separar las variables y y t en lados opuestos del signo de igualdad, la ecuación diferencial dyJdt = ey se llama una ecuación diferencial separable. Estudiaremos estas ecuaciones más detalladamente en el capítulo 19 donde mostraremos que se pueden encontrar las soluciones integrando ambos lados de la ecuación "separada". Asi pues, por (8.35) tenemos

f~dY = f

cdl

y suponiendo que y > O lny

= cr + d

donde las dos constantes de integración se juntaron en una sola constante d. Se sigue de aquí que (8.36) Si Yo denota al valor inicial de Y (es decir el valor correspondiente a tonces sustituyendo t = O en la ecuación anterior obtenemos que Yo = e"e o = ed y por lo tanto se puede escribir la solución (8.36) como y

que es otra manera de expresar (8.34).

= yoe

Cl

t

= O), en­

LAS LEYES DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

8.5

387

Ejemplo 1

El número de bacterias en cierto cultivo crece de 600 a 1800 en 2 horas. Suponiendo que se cumple la ley exponencial de crecimiento, encuentre una fónnula para el número de bacterias en el cultivo para cualquier tiempo t. ¿Cuál es el número de bacterias al cabo de 4 horas?

Solución

Sea t = Oel tiempo en el cual hay 600 bacterias en el cultivo y sea q(t) el número de bacterias después de t horas. Entonces q(O) = 600 y q(2) = 1800. Como la función de crecimiento es exponencial, q(t) es de la forma (8.34) con q(O) = 600; es decir q(l) = 600e<'.

Sustituyendo t = 2 obtenemos

= 6ooe 2c , o

1800

e 2c = 3.

En consecuencia 2e = In 3,

e = t In 3.

o

Por lo tanto la fórmula para q(t) es q(l)

= 600e<1/21n3I'.

Si usamos el hecho de que e1n 3 = 3 (vea (8.12», entonces se puede expresar esta ley de crecimiento en ténninos de una función exponencial con base 3 como sigue: q(t)

=

6oo(e 1n 3)'/ 2 = 600(3)'/ 2.

En particular después de 4 horas q(4)

= 600(3)4 /2 = 600(9) = 5400.

Ejemplo 2

El radio se desintegra exponencialmente y tiene una vida media de aproximada­ mente 1600 años; es decir, dada cualquier cantidad, la mitad de ella se desintegrará en 1600 años. Encuentre una fórmula para la cantidad q(t) que queda de 50 mili­ gramos de radio después de t años. ¿Cuándo quedarán 20 mg?

Solución

Por hipótesis q(O) = 50

Y q(l6oo)

= 25. Aplicando (8.34),

q(l)

Haciendo t

= 50e<'.

= 1600 obtenemos 25

=

50e1600c,

o

Por lo tanto 1600e = In(1/2) = In I -ln2 = -ln2 y e=

In2 - 1600'

388

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

En consecuencia q(t) = 50e-lIn2/1(00)1.

Igual que en el ejemplo I podemos escribir este resultado en términos de otra base como sigue: q(t) = 50(e 1n2 )-1{1600

o

q(t) = 50(2)-1{1600.

Para encontrar el valor de t para el cual q(l) = 20 tenemos que resolver la ecuación 20 = 50(2)-1/1600

2'/1600 = 5;2.

o

Tomando el logaritmo natural de ambos lados,

5

t

--ln2 = In2' 1600

1600 In (5/2)

o

t

= -----=-ln-2=-------'-.

De la tabla III obtenemos la aproximación

t

~

1600(0.916)/(0.693)

~

2,115 años

Ejemplo 3

De acuerdo con la ley del enfriamiento de Newton, sabemos que la razón a la cual se enfría un objeto es directamente proporcional a la diferencia de tempera­ turas entre el objeto y el medio que lo rodea. Cierto objeto se enfría de 50°C a 40°C en media hora estando rodeado de aire a una temperatura de 20°e. Encuentre su temperatura después de otra media hora.

Solución

Sea y la temperatura del objeto después de 1 horas de enfriamiento. Entonces, por la ley de Newton, dy dI = e(y - 20), donde e es constante. Separando las variables obtenemos I y_20 dy =edt.

Integrando ambos lados llegamos a

In (y - 20) =

el

+

=

ebe c1 •

b,

donde b es constante, o equivalentemente

y - 20 = e C1 + b

Si tomamos k = eb, entonces la fórmula anterior se puede escribir

y Como y = 50 cuando

=

ke c1

+

20.

O, vemos que 50 = ke o + 20 = k + 20 1 =

o

k = 30.

LAS LEYES DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

8.5

389

Por lo tanto y = 30e Cl Como y = 40 cuando 40

l

+

20.

= 1/2 hora,

+

30e c/2

=

20

o

ec/2

= 20/30 = 2/3.

Esto implica que e = 2 In (2/3) = In (4/9). En consecuencia, la temperatura después de

En particular, para

l

l

y

=

30e,ln(4 /9)

y

=

30eln(4/9)

horas está dada por

+

20.

= 1, 30(4/9)

+ 20 + 20 ~

33.33°C.

En muchos casos las circunstancias de crecimiento son más estables que las que aparecen en (8.34). Algunas situaciones típicas en las cuales esto sucede están re­ lacionadas con poblaciones, ventas de productos y valores de capitales. En biología a veces se usa una función G como la que escribimos a continuación para calcular el tamaño de cierta cantidad en el tiempo 1: G(l)

(8.37)

= ke(-Ae-

B

')

donde k, A Y B son constantes positivas. La función (j siempre es positiva y cre­ ciente, sin embargo tiene límite cuando l tiende a infinito. La gráfica de G se llama una curva de crecimiento de Gompertz. Ejemplo 4

Discuta y dibuje la gráfica de la función G dada por (8.37).

Solución

Primero observamos que la ordenada al origen es G(O) = ke- A para todo l. Derivando obtenemos G'(l)

y que G(/) > O

= kel-Ae-B')D,(_Ae-B') = ABke(-B,-Ae- B1 )

y

G"(l)

= ABkel-BI-Ae-BI)D,( -Bl - Ae- BI )

= ABk( - B + ABe-BI)e-BI-Ae-BI.

Como G'(/) > O para todo rivada G"(/) es cero si

1,

-B

la función G es creciente en [O, (0). La segunda de­

+ ABe- BI = O, o

eBI

=

A.

Despejando l de esta última ecuación obtenemos l = (l/B) In A que es un número crítico para la función G'. Se deja como ejercicio probar que en este tiempo la razón

390

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

de crecimiento G' tiene un valor máximo Bkle. También se deja al lector la de­ mostración de que

lim G'(t)

=

O

y

¡im G(t)

= k.

Por lo tanto, a medida que t tiende a infinito, la razón de crecimiento se acerca a O y la gráfica de G tiene una asíntota horizontal y = k. Se muestra una gráfica típica de este tipo en la figura 8.8. G{t)

k

k ('

-----------------------­

-A

Fi¡:ura 8.8

8.5 EJERCICIOS El número de bacterias en cierto cultivo crece de 5,()()() a 15,()()() en 10 horas. Suponiendo que la razón de crecimiento es proporcional al número de bacterias presente, encuentre una fórmula para el número de bacterias en el cul­ tivo en cualquier tiempo t. Calcule el número al cabo de 20 horas. ¿Cuándo llegará a 50,()()() el numero de bacterias?

2 El isótopo de polonio 210pO tiene una vida media aproximada de 140 dias. ¿Si una muestra pesa inicialmente 20 mg, cuánto queda después de t días? ¿Cuánto quedará aproximadamente después de dos semanas?

3 Si la temperatura es constante. entonces la razón de cambio de la presión atmosférica p respecto a la altura h es proporcional a p. Su­ poniendo que p = 145 al nivel del mar y p = 140 a una altura de 300 metros, encuentre la presión a una altura de 1500 m.

4 La población de cierta ciudad crece a razón de 5 por ciento por año. ¿Si la población actual es 500,()()(), cuál será la población dentro de 10 años?

5 Usualmente se supone que se necesitan I()()() metros cuadrados de tierra para proveer de alimentos a una persona. También se calcula que hay 40 billones de metros cuadrados de tierra laborable en el mundo y por lo tanto se puede sostener a una población máxima de 40,000 millones de personas si no hay ninguna otra fuente de alimentos. La población a co­ mienzos de 1970 fue de 3600 millones. ¿Su­ poniendo que la población crece a razón de 2 por ciento por año, cuándo se alcanzará la población máxima?

6 Un objeto se enfría de SO°C a 65°C en 20 mínutos al estar rodeado de aire a una temperatura de 15°C. Use la ley del enfriamiento de Newton (vea el ejemplo 3) para estimar la temperatura después de una hora de enfriamiento. ¿Cuándo llegará a 40°C la temperatura?

LAS LEYES DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO 7 Un termómetro exterior registra una tempera­ tura de 1°C. Cinco minutos después de que se mete en un cuarto donde la temperatura es de 20°C, el termómetro registra 15°C. ¿Cuándo registrará 18°C? (Vea el ejemplo 3.)

391

8.5

8 La sal se disuelve en el agua a una razón que es directamente proporcional a la cantidad de sal no disuelta. Si se ponen en un recipiente con agua 5 kg de sal y se disuelven 2 kg en 20 minutos, en cuánto tiempo adicional se disol­ verán otros 2 kg?

9 La ecuación

10 La razón a la cual el azúcar se disuelve en cierta solución, es directamente proporcional al azúcar di que queda sin disolverse. Suponiendo que la E = Ri + L­ dt solución contiene k kg de azúcar inicialmente y en un tiempo 1 se disuelve una cantidad y, aparece en la teoría de los circuitos eléctricos, exprese yen función de l. donde las constantes E, R Y L denotan la fuerza electromagnética, la resistencia y la inductancia respectivamente e i denota la corriente en el tiempo l. Pruebe que si la fuerza electromag­ nética se retira en el tiempo 1 = OYsi la corriente es J en ese instante, entonces

11 Si se invierte una cantidad P de dinero a un interés de lOOr por ciento al año, compuesto m veces por año, entonces el capital al final de 1 años está dado por r ) mI

12 Use el ejercIcIo 11 para encontrar el capital después de un año si se invierten Slooo a razón de 10 por ciento, compuesto como sigue: (a) mensualmente (b) diariamente (c) cada hora (d) continuamente

Pl+;;; (

Si consideramos a m como un número real y hacemos que m tienda a infinito, entonces se dice que el interés se compone conlinuamente. Use el teorema (8.32) para probar que en este caso el capital después de 1 años es Pe". 13 En el ejemplo 4 verifique que: (a) Bk/e es un valor máximo para G' (b) Iim,_oo G'(I) = O (c) Iim,_oo G(I) = k

14 Dibuje la gráfica de (8.37) para k

15 En la ley de crecimiento logístico se supone que la razón de crecimiento 1'(1) en el tiempo 1 de una cantidad f(l) está dada por

16

nI) =

Af(t) [B - f(I)]

YB

=

=

10, A

=

1/2

1.

Discuta y dibuje la gráfica de la función de crecimiento f definida mediante f(x) = a

+ b(l

- e-eX),

donde a, b y c son constantes positivas.

donde A Y B son constantes. Suponiendo que f(O) = e, pruebe que

Be

f(t)

= C + (B _ C)e- AB'·

17 Suponiendo que una substancia radiactiva se desintegra de acuerdo a la ley q(t) = qoe- cr donde qo = q(O), encuentre su vida media si (a) c = 100; (b) e = 1000; (c) e es una con­ stante positiva cualquiera.

18 ¿Si una cuarta parte de cierta substancia radiac­ tiva se desintegra en 10 días, cuál es su vida media?

392 19

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Una máquina comprada por $20,000 vale $16,000 después de dos años de uso. Suponiendo que su valor decrece exponencialmente, encuentre su valor después de otro año.

8.6

20

El costo de bienes raíces en cíerta ciudad ha aumentado a razón de 10% por año desde 1975. Si contínúa aumentando a esta razón, cuánto valdrá en 1985 una casa que en 1975 valía $60,OOO?

LAS DERIVADAS DE LAS FUNCIONES INVERSAS Las funciones inversas se definieron en la sección 6 del capítulo l. Ahí mostramos procedimientos para encontrar ¡- 1 (x) en el caso de que ¡(x) estuviese dada por una expresión algebraica sencilla. También señalamos que las gráficas de ¡ y ¡- I son reflexiones una de la otra respecto a la recta y = x. Al principio de este capítulo demostramos que la función logaritmo natural y la función exponencial natural son funciones inversas una de la otra. Las inversas de las funciones trigonométricas se discutirán en el capítulo 9. En esta sección demostraremos varios teoremas generales que son válidos para todas las funciones inversas y obtendremos una fórmula para hallar sus derivadas.

(8.38)

TEOREMA

Si una función ¡ es continua y creciente en un intervalo [a, b], entonces ¡ tiene una función inversa ¡-I que es continua y creciente en el intervalo [j(a), ¡(b)]. Demostración. El teorema es evidente desde el punto de vista intuitivo, si con­ sideramos la gráfica de ¡ - I como una reflexión de la gráfica de ¡ respecto a la recta y = x. Sin embargo, como una ilustración gráfica no constituye una demostración, procederemos como sigue. Para probar la existencia de ¡- I es suficiente mostrar que ¡ es una función uno a uno con rango [j(a),f(b)]. Sean Xl y X2 dos números en [a, b]. Si XI < X2, en­ tonces como ¡ es creciente, ¡(XI) < ¡(X2). Análogamente si X2 < XI' entonces ¡(x 2) < ¡(XI)· En consecuencia, si XI i' X2, entonces ¡(XI) i' ¡(x2)' es decir ¡es uno a uno. Por el teorema del valor intermedio (2.37),¡toma todos los valores entre ¡(a) y ¡(b) y por lo tanto el rango de ¡ es [j(a),f(b)]. Por consiguiente, la función ¡-I existe y su dominio es [j(a),f(b)] y su rango es [a, b]. Para demostrar que ¡-I es creciente, hay que ver que si W I < 11'2 y IV I Y w2 están en [j(a), ¡(b)], entonces ¡-I (w I ) < ¡- I (W2). Daremos una demostración indirecta de este hecho. Supongamos que ¡-I (w 2 ) ::;; ¡-I (w I ). Como ¡ es creciente, tenemos que¡(f-I(w 2» ::;;¡(f-I(W I » y por lo tanto, según (1.24), w 2 ::;; IV I lo cual es una contradicción. En consecuencia¡-I(w l ) < ¡-I(W2). Falta demostrar que ¡- I es continua en [j(a), ¡(b)]. Como ¡-I es la inversa de f, se sigue que y = ¡(x) si y sólo si X = ¡-I (y). En particular, si Yo está en el intervalo abierto (f(a), ¡(b», definimos Xo como el número del intervalo (a, b) tal que Yo = ¡(xo) o equivalentemente, tal que Xo = /-1 (Yo). Queremos demostrar que

LAS DERIVADAS DE LAS FUNCIONES INVERSAS

lim ¡-I(y)

(8.39)

393

8.6

= ¡-I(yO) = XO'

Y-YO

Es instructivo usar una representación geométrica de una [unción y su inversa como se describió en el capítulo l. En este caso el dominio [a, b] de ¡ se representa por puntos sobre un eje x y el dominio [j(a), ¡(b)] de ¡-I por puntos sobre un eje y. Se dibujan flechas apuntando de un eje al otro para representar los valores de la [unción. Para demostrar (8.39) se considera cualquier intervalo (xo - 1:, Xo + 1:) con 1: > O. Basta hallar un intervalo (Yo - J, Yo + J) como el que se muestra en (i) de la figura 8.9, tal que siempre que Y esté en (Yo - J, Yo + J), entonces¡-I(y) esté en (x o - 1:, Xo + 1:). Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que Xo - 1: Y Xo + 1: están en [a, b]. Sean JI = Yo - f(x o - 1:) Y J 2 = f(x o + 1:) - Yo. como se ilustra en (ii) de la figura 8.9. Como la [unciónfdetermina una correspon­ dencia uno a uno entre (x o - 1:, Xo + 1:) y (Yo - JI' Yo + ( 2 ),f- 1 envía el in­ tervalo (Yo - JI' Yo + ( 2 ) sobre (x o - 1:, Xo + 1:). En consecuencia. si J denota el número menor entre JI y J 2 , entonces siempre que Y esté en (Yo - J, Yo + J), f- I (y) estará en (xo - 1:, Xo + 1:). Esto prueba que f- I es continua en el intervalo abierto (f(a),f(b». La continuidad en los extremosf(a) y f(b) se demuestra análoga­ mente usando límites unilaterales. f(a)

Yo -

o

Yo

Yo + o f(b)

f(a) I

y

a

Xo -

€

Xo Xo

+€

x

b

f(b)

a Xo -

€

Xo Xo

(i)

+€

b

x

(ii)

Figura 8.9

La demostración del siguiente resultado se omite, ya que es semejante a la del teorema (8.38). (8.40)

TEOREMA

f es una [unción continua y decreciente en un intervalo [a, b], entonces tiene una [unción inversa que es continua y decreciente en el intervalo [f(b),f(a)].

Si

f

=

x2

Ejemplo 1

Verifique el teorema (8.38) paraf(x)

Solución

Como f es un polinomio, f es continua en [O, 6]. Más aún como f'(x) = 2x, entonces f' (x) > O para todo x en [O, 6] Y por lo tanto f es creciente en [O, 6]. Se vio en el ejemplo, 2 de la sección 1.6 que f- I está dada por

f- I (x)

=

fi+3,

-

3 en el intervalo [O, 6].

donde x ~ - 3.

394

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

En este ejemplo el dominio de f - 1 es [f(0),f(6)], es decir [ - 3, 33]. Como lim x _ a = ja+3 para todo a en (- 3, 33], f - 1 es continua en este intervalo. También es continua en - 3. Finalmente, como la derivada

F+"3

Dx

r

1

(x)

=

es positiva en ( - 3, 33], se deduce que f-

1

l

2fi+3 es creciente en [ - 3, 33].

El siguiente teorema nos proporciona un método para encontrar la derivada de una función inversa.

(8.41)

TEOREMA

Si una función derivable f tiene una función inversa g y sif'(g(e) i= O, en­ tonces g es derivable en e y

,

l

g (e)

Demostración.

= j'(g(e»

Usando la fórmula del teorema (3.7),

g'(e)

=

Iim g(x) - g(e) . x-e

X -

e

Introduzcamos una nueva variable z tal que z = g(x) y sea a = g(c). Como f y g son funciones inversas una de la otra, se concluye que

g(x) = z si y sólo sif(z) = x g(c) = a si y sólo sif(a) = e. La expresión x -+ e en el límite anterior se puede reemplazar con z -+ a, ya que si x -+ e, entonces g(x) -+ g(e) y si z -+ a entonces f(z) -+ f(a). Por lo tanto pode­ mos escribir

z-a

g'(e)

=

~i~ f(z) - f(a)

=

Iim. z-a

l I

j (z) -

(a)

z-a l f'(a)

l f'(g(e»'

Por el teorema (8.41), si g es la función inversa de una función derivable f, entonces

(8.42)

g'(x)

= f'(;(X»'

si f'(g(x)) i= O.

LAS DERIVADAS DE LAS FUNCIONES INVERSAS

8.6

395

Ejemplo 2

Use (8.42) Yel hecho de que la función exponencial natural es la inversa de la función logaritmo natural para demostrar que Dxe x = eX.

Solución

Si f(x) = In x y g(x) = eX, entonces f'(x) lo tanto, de (8.42), ,

= l/x y f'(g(x» = f'(e X) = l/ex. Por

I

ex.

g (x) = (l/ex) =

Ejemplo 3

Seaf(x) = x 3 + 2x - 1. Demuestre queftiene una función inversa g y encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de g en el punto P(2, 1).

Solución

Como f es continua y f'(x) = 3x 2 + 2 > O para todo x, podemos concluir del teorema (8.38) que f tiene una función inversa g. Como f(l) = 2 deducimos que g(2) = 1 Y por lo tanto el punto P(2, 1) está sobre la gráfica de g. Usando (8.42) llegamos a que la pendiente de la recta tangente en este punto es '(2) _

I

1

- f'(g(2»

g

I

= f'(l) = 5'

Hay una manera sencilla para recordar (8.42). Si Y = f(x) y g es la función inversa de f, entonces g(y) = g(f(x» = x. De (8.42) obtenemos

,

(8.43)

1

1

g (y) = f'(g(y»

f'(x)

o en la notación diferencial, (8.44)

Esto nos muestra que en cierto sentido la derivada de la función inversa g es la recíproca de la derivada de f Una desventaja de usar (8.43) o (8.44) es que estas. fórmulas no están expresadas en términos de la variable independiente de la función . inversa. Para ilustrar esto, suponga que en el ejemplo 3 tomamos y = x 3 + 2x - 1 Y x = g(y). Entonces por (8.43)

dx

1

dy

3x 2

=

+ 2'

es decir , g(y)

I

I

= 3x 2 +

2

= 3(g(y))2 +

2'

Esto también se puede escribir en la forma , . g (X)

I

=

3(g(X»2

+ 2'

En consecuencia, para poder encontrar g'(x) es necesario conocer g(x).

396

8

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

8.6 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 10 demuestre que la función f, definida en el intervalo dado, tiene una función inversa r 1 y diga cuál es el dominio de ésta. Encuentre r1(x). Dibuje las gráficas de jy j-I en el mismo plano coordenado. Encuentre Dxj-l(X) tanto directamente como con ayuda de (8.42).

4

I(x) = y'2x

+ 3,

/(x) = x 2

4x

7 f(x) 10 (x)

-

[1.11)

+ 5, [- 1, 1)

= e", [O, Xl) = ¡r' + e-x, [O, 'X»

2 I(x) = J'Sx +2, [0,5)

3 j(x) = 4 - x 2 , [0,7)

S j(x) = l/x, (O,

6 I(x) =

8

-y~)

f(x) = In (3 - 2x), (-

'X>,

3/2)

9

«x) =

j9 (T' -

x 2 , [0,3)

e-x, (-

'X>,

Xl)

En cada uno de los ejercicios del II al14 demuestre que ftiene una función inversa j-I en cada intervalo cerrado [a, b] Y encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de j-l en el punto indicado P. II 13

f(x) = x 5

+ 3x J + 2x -

I(x) = (eh -

1)/(e h

+

1, P(S,I) 1), P(O, O)

12

14

}(x)

=2-

f(x) = e

2

x -

- J .,',

Xl,

P(-8,2)

P(lje,l)

En cada uno de los ejercicios del 15 al 18 demuestre que si el dominio dejes IR entoncesjno tiene función inversa. También demuestre que si se restringe adecuadamente el dominio, en­ tonces j-I existe. 15

f(x) =

x· + 3x 2 + 7

16

}(x) = Ix - 21

19 Complete la demostración de (8.38) mostrando l que es continua en j(a) y en j(b).

r

8.7

18 20

}(x) = In (X Z + 1)

Demuestre el teorema (8.40).

REPASO

Concepto~'

Defina o discuta lo siguiente: La función logaritmo natural

3 Las leyes de los logaritmos

2

La función exponencial natural

4

Las fórmulas de las derivadas de In u y e"

S

La derivación logarítmica

6

a donde a > O

7

El número e

8

log.

9

Las fórmulas de las derivadas de lo&,u y a"

11 Las leyes de crecimiento y decrecimiento

X

,

10

La función general de potencias

12

Las derivadas de las funciones inversas

Ejercicios En los ejercicios del I al 20 encuentre f'(x) para la función dada.

REPASO 2x)ln!1 - 2xl

(1 -

4

- 9xl , loglo 12- 1- x-

7

e1n1x'

+

1)

2

11

x

15

2- I x¡(.\.3 + 4)

19 10 111 .<

(3x + 2)4 !6x - 5

v

3

In

6

e2x

1

5

(8x - 7)

In x

In (2x 2 + 3)

+

I

In(e 4X + 9)

lO

12

4jlx + 3

14

16

5 3 .< + (3X)5

20

(x 2

8

1nx

JlnJX

+

397

8.7

+

17

(1

22

In (x

18

v xl'"

¡nJ x+ 3x

5

In eh"

1)2.<

En los ejercicios 21 y 22 encuentre y'. 21

+ XI" =

I

e'<)"

+ J) + x 2

-

2.1"" = I

23 Mediante sustitución directa, compruebe que y = CI e"x + clxe"x es una solución de la ecuación diferencial y" - 2ay' + aly = O donde C1 , C l ya son constantes cualesquiera. 24 La posición de un punto sobre una recta coordenada durante el intervalo de tiempo [ -5, 5J está dada por 1(/) = (tl + 21)e-1. (a) ¿Cuándo se hace O la velocidad? (b) ¿Cuándo se hace O la aceleración? (c) ¿Cuándo se mueve el punto en la dirección positiva? (d) ¿Cuándo se mueve el punto en la dirección negativa?

25 Una particula se mueve sobre una línea recta con una aceleración de e'1lcm/seg l en el tiempo l. Cuando 1 = O la partícula está en el origen y su velocidad es 6 cm/seg. ¿Qué distancia recorre la particula durante el intervalo de tiempo [O, 4J? Evalúe las integrales en los ejercicios del 26 al 41. 26

re

Jx' 2

elx

27

o

30

34

38 42

- -+eIl x x 3 + 3.\

J2 x 1

2

I e f+ (eh

+ 3')2 - , --tlx e' .\'

I

-2e'-elx e-'

f(l + f + I f

---elx x 3.\ 2

32

- - -1- e l \ "oglox .

36

f f f

40

5-\"1 ox' e/x

e-')2

, e-X

elx

2

31

35

Xv

39

X

5'e elx

Encuentre los valores extremos locales de f(x) = xlln x, x > O. Discuta la concavidad,

encuentre los puntos de inflexión y dibuje la gráfica de f 44

28

Encuentre el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones y = e lx , y = x/(x l + 1), x = O Y x = l.

--e/x I xlnx

29

r

I

_ .¡; elx

v'XI! .~

1 1

el/

- ,.< eI.\• x­

33

- -x- ---el\ x" + 2x 2 + I .

37

41

x4 X ' elx

- -+e Il x x+1

{\2

r"'

elx

43 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = xe l / x ' + In 12 - xli en el punto P(I, e). 45 La región acotada por las gráficas de y = e4 X, x = - 2, x = - 3 YY = Ogira alrededor del eje x. Encuentre el volumen del sólido resultante.

_9

OTRAs FUNCIONES TRASCENDENTES

En este capítulo desarrollaremos fórmulas para los límites, derivadas e integrales de las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas. Las dos últimas secciones del capitulo contienen una discusión de las funciones hiperbólicas y sus inversas. En el apéndice IU se puede encontrar un repaso de las funciones y las identidades trigonométricas. Los estudiantes que lo necesiten deben leer el apéndice UI cuidadosamente antes de estudiar la sección 1.

9.1

LIMITES DE LAS RJNOONF.S TRIGONOMEfRICAS

Los resultados de esta sección son importantes para el desarrollo de las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas. Cuando discutamos límites, de­ rivadas e integrales de expresiones trigonométricas en las que intervengan sen t, cos x, tan (J, etc., supondremos que cada variable representa un número real o la medida en radianes de un ángulo. El primer teorema nos dice que la función seno es continua en O, ya que sen O = O.

(9.1)

TEOREMA

lim sen t = O

Demostración. Demostraremos primero que lím t _ o + sen t = O. Como solamente nos interesan los valores positivos de t cercanos a cero, no perderemos generalidad al suponer que O < t < ¡r/2. Sea U el círculo de radio 1 con centro en el origen en un sistema coordenado rectangular y sea A el punto (1, O). Si, como se ilustra en la figura 9.1, P(x, y) es el punto sobre U tal que AP = t, entonces la medida en radianes del ángulo AOP es t. Refiriéndonos a la figura vemos que

O
o, como y = sen t, O < sen t < t.

399

400

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES y

A(I,O)

x

u

Figura 9.1

Como lim,_o. 1 = O, se sigue del teorema (2.23) que lim,_o. sen 1 = O. Para completar la demostración basta probar que lim,_o - sen 1 = O. Si -rr/2 < 1 < O, entonces O < -1 < rr/2 y por lo tanto, de la primera parte de la demostra­ ción inferimos que O < sen (-/) <

-l.

Multiplicando la desigualdad anterior por - I Yusando el hecho de que sen (-1) = - sen 1 obtenemos 1

Como lim,_o -

(9.2)

1

1

< O.

O, se sigue del teorema (2.23) que lim,_o - sen

lim cos

COROLARIO

Demostración. te

< sen

Si -rr/2 < ¡imcos t ,-o

1

1

O.

1

< n/2, entonces cos 1 = JI - sen 2

l.

Por consiguien­

= lim JI - sen 2 t = Jlim(1 -sen 2 e) ,-o

= J1=O =

,-o

1.

El corolario (9.2) afirma que la función coseno es continua en Oya que cos O = 1. En la sección 2 veremos que para encontrar la derivada de la función seno es necesario conocer los límites de (sen 1)/1 y (1 - cos 1)/1 cuando 1 tiende a cero. Los dos teoremas siguientes nos dan los valores de estos límites tan importantes.

LIMITES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS (9.3)

9.1

401

. sen / ll m - - =

TEOREMA

1-0

/

°

Demostración. Cuando < / < n/2, nos encontramos en la situación ilustrada en la figura 9.2, en donde U es el círculo unitario. y

Q

A (1, O)

x

u

Fi/:ura 9.2

Si el área del triángulo AOP es A J, la del sector circular AOP es A 2 y la del triángulo AOQ es A 3 , entonces Como

=·W )d(M,P) = ~y = ~sent

Al

A Z =!(I)l t =it A]

= t(l)d(A.Q)

=

itant

tenemos

isent <~t <~tant. Dividiendo por (1/2) sen / y usando el hecho de que tan / = sen /Icos / obtenemos t

l

1<--<-­ sent cos t

o, equivalentemente,

sent

1> - - > cost.

(9.4)

e

Si - rr/2 < / < 0, entonces tenemos que

°<

- / < rr/2 y de acuerdo con el resultado anterior

402

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

1>

sen ( -1) -t

>

COS ( - 1).

Como sen( - 1) = - sen 1 y cos( - 1) = COS 1, esta desigualdad se reduce a (9.4). Esto demuestra que (9.4) se cumple también cuando -n/2 < 1 < O. Por lo tanto (9.4) es válida en todo el intervalo (-n/2, n/2) excepto en 1 = O. Como Iim,_o cos t = 1 Y (sen t)/l está siempre entre cos t y 1, se sigue que sent Iim-- = 1.

,-o t

A grandes rasgos, el teorema (9.3) implica que si 1 está cerca de O entonces (sen l)/t está cerca de l. Otra forma de enunciar esto es escribir sen t ~ t para valores pequeños de t. Es importante recordar que si t denota un ángulo, entonces en el teorema (9.3) y en la fórmula de aproximación sen t ~ t, t debe expresarse en ra­ dianes. Como ilustración veamos lo que dicen las tablas trigonométricas para algunos valores de t,

(9.5)

~

0.05996

sen (0.05)

~

0.04998

sen (0.04)

~

0.03999

sen(O.03)

~

0.03000.

· Il1m

TEOREMA

Demostración.

sen(0.06)

,-o

COS

t

1

=

O

Podemos cambiar la forma de (1 - cos t)/t como sigue: - cos 1

1 - cos 1 I + cos 1 1+ casI

sen 2 1 1(1 + cos 1) sen 1

sent

I

+ cos 1

Por consiguiente

1 .sen (im I - cos 1 = lim (sen --1­ ) ,-o l ,-o 1 I + cos 1 sen1 ,-o 1

= (lim_) (lim = 1.

e~

sent ) ,-o 1 + cos 1

1) = I . O = O.

LIMITES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

403

9.1

sen 5x Encuentre lim __ x-o 2.\'

Ejemplo 1

o

Solución

_.

No podemos aplicar directamente el teorema (9.3) porque la expresión dada no tiene la forma (sen t)/t. Sin embargo podemos introducir esta forma definiendo t = 5x y haciendo las siguientes manipulaciones algebraicas lim sen 5x = lim ~ sen 5~ 2.\' x-o 2 x

x-o

. 5 sen5x lI m - - ­ .<-02 5x 5. sen5.\' = -]¡m--. 2 x - 0 5.\'

=

Se sigue de la definición de límite que x -> O puede reemplazarse con 5x lo tanto, aplicando el teorema (9.3) con t = 5x, vemos que

->

O. Por

sen5x 5 5 Iim-- = -(1) =-. x-o 2x 2 2 Advertencia: Cuando trabaje en problemas de este tipo recuerde que sen 5x "1= 5 sen x. .

Ejemplo 2

tan t

Encuentre ]¡m --'. '-0 2t Usando que tan t = sen t/cos t,

Solución

. tan-1 =]¡m . (1 sen 1 ]¡m -. - - . -1) ­ 2t e-O 2 t CoS 1

e-O

=1·1·1=1. 9.1 EJERCICIOS Encuentre los limites en los ejercicios del 1 al 20. COSI

lim

, S

13

X

+ tan x

lim o

17

lim x o lim

.,

,~O

sen I

sen x

x

9

2 lim

01 -

J

sen 2 (x/2) sen x x

2

- 6x 2

6

10

sen I

I

+ cos I

. sen 221 h m 2- ­

,-0

1

3

7

11

x ..... f [ X - 7 [

+9

sen (x - 3)

lim Jxcscx x-o'

14

Iim x- ­

18

+ 1) + 2x + 1

sen (x 2 1X

Iim xcot x

sen3x lim-­ x-o sen 5x

19

4

8

o

lim W

IS

COSI

sen I

'-0

X"'"

sen x lim-­

1-

Iim

'2

sen (x/2) Im--­

I

x-o

X CSC 2x

Iim-­ col x

x-o

sen (3w - 6)

7w - 14

cosO

12

lim-­ o-o O

16

1 lim xcos­ x x-o:.

20

Iim v-o

COS

(I!

+ rr./2) I!

Iim Ct 2 CSC 2 Ct a-O

Iim eXcosx

404

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

Demuestre las igualdades en los ejercicios del 21 al 24, en donde a y b representan números reales arbitrarios distintos de cero. 21

sen ax

(/

bx

h

lim--=-

x-o

9.2

22

lim x •o

1 - cos (IX

= O

bx

sen (IX a lim - - =-

23

x_.osenhx

h

24

. cos ax !Im--= 1

x_ocosbx

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Con el objeto de derivar la función seno definamos f(x) = sen x. Si f' (x) existe, entonces

f

,

.

(x) =

11m

f(x

+ h)

h

I(x)

-

h-O

=

·

sen (x + h) - senX

11m - - ' - - - - - ­ h

h-O

· sen x cos h + cos x sen h - sen x hm - - - - - - - - - - ­ h-O h · senx(cosh-l)+cosxsenh = hm - - - - - . , . . - - - - - ­ }¡-O h =

=

l~~ [ senX (

cos h h

1)

J

h) . + cosx ( sen -h-

Empleando los teoremas (9.5) y (9.3),

re>;)

=

(senx)(ü)

+

(con)(l) = con.

es decir, D x sen x

(9.6)

= cos x.

Hemos demostrado que la derivada de la función seno es la función coseno. Si y = sen u, donde u = g(x) es derivable, entonces aplicando la regla de la cadena (3.36) y la fórmula (9.6) con u en lugar de x, DJ = (D"y)(D.,II) = cas LI D,1I

es decir D, sen u = cos u D,u.

(9.7) Por supuesto, si u

= x entonces (9.7) se reduce a (9.6).

Ejemplo 1

(a) Encuentre D x sen (4x 3 ). (b) Encuentre D x sen.'! 4x.

Solución

(a) Usando (9.7), D x sen(4x 3 )

= cos(4x 3 )Dx(4x 3 ) = I2x 2 cos (4x 3 ).

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

9.2

405

(b) Como sen 3 4x = (sen 4X)3, usamos primero la regla para derivar potencias de funciones (3.38), obteniendo así Dx sen 3 4x

= =

3(sen4x)2 D, sen4x (3sen 2 4x)D x sen4x.

Después, aplicando (9.7), D,sen 3 4x = (3sen 2 4x)cos4x D x 4x = (3sen 2 4x)(cos4x)(4) =

12sen 2 4xcos4x.

Las derivadas de las demás funciones trigonométricas se pueden obtener a partir de (9.7) con la ayuda de algunas identidades trigonométricas. Usando las fórmulas del seno y el coseno de una suma, vemos que cos x = sen (n/2 - x) y sen x = cos (n/2 - x). Combinando estos hechos con la fórmula (9.7), D" cos x = D x sen(rr/2 - x) =

cos(rr/2 - x) Dx (rr/2 - x)

=

(sen x)( - 1)

=

-senx.

Como antes, si u = g(x) donde g es derivable, entonces podemos escribir

(9.8)

D x cos u

= - sen u D x u.

Aplicando la regla del cociente a tan x = sen x/cos x,

D x tan x

=

cos x D, sen x - sen x D x cos x

2 COS X

cos 2 x + sen 2 x cos 2 x 1 cos x

2

= -2 = sec x. De manera más general, si u = g(x) y g es derivable, entonces

(9.9)

Análogamente _ _1__ (cosx)Dxl - (l)Dxcosx D x secx - D x 2 COSX

0+ sen x , cos- x sen x cos x cos x

= secxtanx.

COS

X

406

9

Si u

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

=

g(x) y g es derivable, entonces

Dx sec u

(9.10)

= sec u tan u Dxu.

Se deja como ejercicio demostrar las dos fórmulas siguientes. (9.11) (9.12)

(a)/(x) = e- 2X tan4x;

Ejemplo 2

Encuentref'(x) suponiendo que

Solución

(a) Usando la regla del producto (3.20),

(b)I(x)

= sec 2(3x - 1).

+ tan 4x D,e- 2x e- 2X(sec 2 4x)(4) + tan 4x(e- 2X)( - 2)

.f'(x) = e- 2x Dx tan 4x =

= 2e- 2x (2sec 2 4x

- tan4x).

(b) Aplicando la regla de las potencias (3.12) y (9.10),

.f'(x)

=

2sec(3x - I)D.,sec(3x - 1)

=

2sec(3x - l)sec(3x - 1)tan(3x - 1)(3)

=

6 S~C2 (3x -- 1) tan (3x - 1).

En la figura 9.3 aparecen dibujos de unas porciones de las gráficas de las ecuaciones y = sen x, y = cos x y y = tan x. Las rectas discontinuas en el dibujo de la gráfica de y = tan x son asíntotas verticales a la gráfica. Como la función seno es derivable, también es continua en todo número real a. Más aún, como D x sen x = cos x, los números críticos de la función seno son las soluciones de la ecuación cos x = O. Dichas soluciones son x = n/2 + mr., donde n es cualquier entero. Puede demostrarse, mediante el criterio de la segunda derivada, que los puntos críticos son máximos locales cuando n es par y mínimos locales cuando n es impar. Esto nos da las cimas (puntos altos) y las simas (puntos bajos) en la gráfica de y = sen x. Como D; sen x = D x cos x = - sen x, se sigue que la gráfica de la función seno tiene concavidad hacia abajo cuando sen x es positivo y tiene conca­ vidad hacia arriba cuando sen x es negativo. Por consiguiente, para todo entero n, mr. es la abscisa de un punto de inflexión, y todos los puntos de inflexión tienen abscisa de la forma nn. Puede hacerse un análisis semejante para estudiar la gráfica de cada una de las funciones trigonométricas restantes. Ejemplo 3

Sea f(x) = 2 sen x + cos 2x. Encuentre los valores extremos locales y dibuje la gráfica de f en el intervalo [O, 2nJ.

Solución

Derivando obtenemos .f'(x)

=

2 cos x - 2sen 2x.

Como sen 2x = 2 sen x cos x, podemos reescribir esto así:

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

407

9.2

y

x

y =

sen x

y

x

y = cos x

'h

-T:, 3.. ,

1­ 12 I

x

,, ,

I

, I

,I

I

I

I I

I

I

y = tan x

Figura 9.3

j'(x)

= 2cosx = 2cosx(1

4senxcos.:x' - 2senx).

Por consiguiente, f'(x) = O si sen x = 1/2 o si cos x = O y, por lo tanto, los nú­ meros críticos de f en el intervalo [O, 2nJ son n/6, 5n/6, n/2 y 3n/2. La segunda derivada de f es r(x)

=-

2 sen.\" - 4 cos 2x.

408

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

Sustituyendo los números críticos en lugar de x obtenemos 1"(7[/6)

= - 3,

1"(57[/6)

= - 3,

j"(7[/2)

= 2,

j"(37[/2)

= 6.

Aplicando el criterio de la segunda derivada vemos que en n/6 y 5rr./6 la función tiene máximos locales y en n/2 y 3rr./2 tiene mínimos locales. Esta información junto con la siguiente tabla nos llevan al dibujo en la figura 9.4.

o

x

7[/6

f(x)

7[/2

57[/6

7[

3n/2

-3

3/2

3/2

27[

y

2

x -1

-2 -3 FiKura 9.4

Ejemplo 4

Suponga que X

sen

f(x) = {

~

si x # O si x = O.

O

Demuestre quefes continua en todo número real y dibuje su gráfica. Solución

Demostraremos que lim x _ a f(x) = fea) para todo número real a. Si a # O en­ tonces lim (x ).."-1/

sen~) = (lim x) (Iim sen~):x X"'" U

.\

=

X-'II

asen ­aI = ./(a).

Del ejemplo 8 en la sección 2.3 sabemos que I

limxsen­ x-o '\

=

O = f(O). .

Por lo tanto, según la definición (2.27), f es continua en todo número real.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

La gráfica de y

= f(x)

9.2

409

es simétrica con respecto al eje y, ya que al sustituir

-x en lugar de x obtenemos y

=

1

_xsen__,

-x

-x( -sen~)x = xsen~.x

=

Por lo tanto podemos restringir nuestra discusión a los puntos (x, y) con x ~ O, ya que el resto de la gráfica puede determinarse mediante una reflexión con respecto al eje y. Para encontrar las intersecciones con el eje x resolvemos la ecuación x sen (l/x) = O, obteniendo x = O Y l/x = nn donde n es cualquier entero (dife­ rente de cero). En particular, en el intervalo [O, IJ, la gráfica tiene una infinidad de puntos de intersección con el eje x, todos de la forma I/nn. Los números

n'

l 2n'

l 3rr'

y

4rr'

57[

son las abscisas de algunas de estas intersecciones. Es interesante notar que la función es continua en el intervalo [O, I J, pero su gráfica no puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel, puesto que no existe un primer punto de intersección con el eje x a la derecha del origen. No es difícil demostrar que

f

' lI- < x < -I y f(x) < O S 2n n I ' II- < x < ­ f(x) > O S 3n 2rr Para todo entero positivo n se puede obtener una desigualdad análoga en el intervalo I/«n + l)n) < x < I/nn. Si x '" O, entonces [sen (l/x)! :::; I Y por lo tanto

Concluimos que la gráfica de f se encuentra entre las rectas y = x y y = - x. La 1. Observe que Isen (l/x)1 = I gráfica interseca estas rectas cuando Isen (l/x)1 cuando 1 -

x

rr = -

2

+

1m =

7[(1 +

211)

2

\'=---­ . rr( 1 + 211)

o

2

donde n es cualquier entero. Los números 2

2

2

2

y

2

97['

son abscisas de algunos de estos puntos de intersección. En el ejercicio 60 se pide al lector demostrar que la gráfica de f es tangente a y = x o a y = -x en cada uno de estos puntos, y que la gráfica tiene una recta tangente horizontal en (x,f(x» si tan (l/x) = l/x. Estos últimos puntos corresponden a extremos relativos de!

410

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES y /

/

/

/

/ \' = x .

/

x

/

/

Figura 9.5 Usando la información que hemos obtenido llegamos a la gráfica de la figura 9.5.

Ejemplo 5

Un faro giratorio que se encuentra a 200 metros del punto más cercano P sobre una playa recta, da una vuelta cada 15 segundos. Calcule la rapidez con que el rayo de luz se mueve a lo largo de la playa en un punto a 400 metros de P.

Solución

La figura 9.6 presenta un diagrama del problema, en el que la recta horizontal representa la playa recta, L denota la posición del faro luminoso y
-

Si x = 400, entonces tan cjJ = 400/200 = 2,

y p

sec
JI + tan

x

2

cjJ =

s Playa

200

L

Faro giratorio

Figura 9.6

JT+4 = }5.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

411

9.2

Por lo tanto dx dI

16ooJr()5)2

= 8000Jr m/min.

9.2 EJERCICIOS Demuestre (9.11) Y(9.12). 2 Dibuje las gráficas de las funciones cosecante, secante y cotangente. En cada caso discuta

la continuidad, determine los intervalos donde la función es creciente o decreciente y en­

cuentre los extremos locales. Discuta la concavidad y encuentre los puntos de inflexión.

En cada uno de los ejercicios del 3 al 34 encuentre f'(x) suponiendo que f(x) es igual a la expresión dada. 3 sen(iS\

+ 3)

4

eos (.\/2)

5

scc

7 col (x.'

-

8

tan.y5 - 6x

9

2.\)

2.x

esc (x 2

cos3x"

10

tan.16x

13

x 2 ese 5x

14

x ese ( l/x) senJ\

11

cos 2 Jx

12

sen e

15

tan 2 x see J x

16

x 2 sce J 4x

17

(sen 5x - cos 5X)5

18

19

cot J (J'C

+

1)

20

e..:n...

2,

21

----

cos4x I - sen4x

22

23

In lese x

+ cot xl

24

sen (2x + 3)4

25

e-J:(tan

27

In In scc 2x

28

ese(cot 4x)

29

la n J

ese Jx +I

32

4x 3

33

37

31

-

x 2 eot 3 (I/x)

+ 4)

6

x-

+ ~\

scc 2x

--­

tan 2x

+

I

x

26

In eos" 3x

2x - scc J 2x

30

(tan 2x - scc 2x).1

.X",ffl.\

34

(tan x).I·\

r = sen x - x cos x

38

r = In tan.\

\.1

En los ejercicios del 35 al 40 encuentre dyjdx y d 2yjdx 2 . r = scc" 3.\

36

r = cot.1 5x

39 .1'= jtanx

40

r­

35

cos.\ ­ eos x

+

En los ejercicios del41 al 44 encuentre y' derivando implícitamente.

41

r=xsen.l'

43

(r'

eos r = xel'

= tan

42

\'1'

44

eos (.'C - .r) = .1' eos x

\r

En los eje~cicios del 45 al 48 encuentre los extremos locales y dibuje la gráfica de f en el inter­

valo [O. 4rrJ.

45

J(\)

= 2eosx

47

I ( \)

=

+ sen2'C

e 'sen x

46

f(.\)

=

48

J( \l =

COS \ -

sen x

(x/2) - sen x

--------------------------------------------412

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

En los ejercicios 49 y 50 encuentre unas ecuaciones para las rectas tangente y normal en el punto P a la gráfica de la ecuación dada.

= lan.\ .- ,,2 sen \": pnn 4. - 21

49

.\ = X sen \ \. 1'1 n h. I )

5U

.1'

51

Desde un punto a 6 metros de la base del asta de una bandera, se mide el ángulo de elevación de la punta del asta obteniendo un valor de 60° con un error posible de 15'. Utilizando diferenciales estime el error en la altura cal­ culada del asta.

52

Usando diferenciales estime el cambio de cot x cuando x cambia de 45° a 46°.

53

Un avión vuela con una velocidad constante a una altura de 3000 metros a lo largo de una trayectoria que lo hará pasar exactamente arriba de un observador que está en el suelo. En un instante dado el observador nota que el ángulo de elevación del avión es de 60° y éste aumenta a razón de 1° por segundo. ¿Cuál es la velocidad del avión?

54

Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 6 centímetros. El ángulo Oentre los lados iguales aumenta a razón de 2° por minuto. ¿Cuál es la razón de crecimiento del área en el instante en que O = 30°?

Sí un punto se mueve sobre una recta coordenada de manera que su distancia s(t) medida desde el origen está dada por 5(1) = a cos rol o S(I) = a sen rol, donde a y ro son constantes, entonces el movimiento del punto se denomina movimiento armónico simple. En los ejercicios 55 y 56 encuentre la velocidad y la aceleración y discuta el movimiento para la función S(I) dada. 55 .\( 1) = J cos

56,(1) = 2 sen nI

21

57 Se quíere hacer un vaso de papel en fonna de un cono circular recto descartando un sector de un papel circular y uniendo las orillas rectas del sector restante. Encuentre el ángulo del sector para el cual el volumen del vaso es máximo.

58

Dos pasillos de 3 y 4 metros de ancho están unidos en ángulo recto. Encuentre la longitud de la barra recta más larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo al otro, como se ilustra en (i) de la figura 9.7.

p

T: a

I I

Aire

I

(ii)

(i)

Figura 9.7

INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 59

60

Cuando un rayo de luz viaja de un punto a otro sigue la trayectoria que requiere el tiempo minimo. Suponga que la velocidad de la luz en el aire es VI y en el agua es V2 Y que VI > v2 . Un rayo de luz viaja de un punto P en el aire a un punto Q en el agua, como se ilustra en (ii) de la figura 9.7. Demuestre que la trayectoria para la cual el tiempo de viaje es minimo es tal que sen 0 1 sen O2

1'1

9.3

413

Sea f la función definida en el ejemplo 4. (a) Demuestre que la gráfica de f tiene una recta tangente horizontal en (x,f(x» cuando tan (l/x) = l/x. Dibujando las gráficas de y = tan ( y y = ( en los mismos ejes coorde­ nados, demuestre que existe una infinidad de tales puntos. (b) Demuestre que las rectas y = x y y = -x son tangentes a la gráfica de f en una infinidad de puntos.

1'2

(Este es un ejemplo de la ley de refracción de Snell.)

9.3

INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Las reglas de derivación desarrolladas en la sección 2 pueden usarse para obtener algunas fórmulas de integración. Por ejemplo, como D y sen x = cos x, de acuerdo con la definición de la integral indefinida,

f

(9.13)

cosxdx = sen x

+ C.

Más generalmente, aplicando (9.7), si g es una función derivable entonces = cos g(x) . g'(x) y por lo tanto

D x sen g(x)

f cos g(x) . g'(x) dx = sen g(x) + C. Es muy fácil recordar la fórmula anterior si se usa el método del cambio de variable introducido en (5.44). Concretamente, si definimos u = g(x), entonces du = g' (x) dx y sustituyendo formalmente en la fórmula anterior obtenemos

f

(9.14)

cos u du = sen u + C.

Esta fórmula tiene la misma forma que (9.13); sin embargo en (9.14) u puede con­ siderarse como una expresión en x y du como la diferencial de u.

f

Ejemplo I

Encuentre

Solución

Si u = x 2 , entonces du = 2x dx. Podemos obtener la fórmula (9.14) introduciendo el factor 2 en el integrando. Haciéndolo obtenemos

x

COS.\"2

d.\".

414

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

fxcosx 2 dX

=

~f

=

t

=

henu +

cosx 2 (2x)dx

f cosudu

e=

tsenx 2 + C.

De manera semejante a como se hizo en la deducción de (9.14), podemos usar las fórmulas de la (9.8) a la (9.12) para obtener

= -cosu + e

(9.15)

f senudu

(9.16)

f sec 2 u du

(9.17)

f sec u tan u du

=

(9.18)

f

cot u

(9.19)

f cscucotudu = -cscu +

csc 2 U du

= tan u + e

=-

sec u +

e

+e

e

en donde u = g(x) y du = g' (x) dx

Jsen 5x dx.

Ejemplo 2

Encuentre

Solución

Definimos u

= 5x

de manera que du

f

=

5 dx, y procedemos como sigue:

sen5xdx = t f{sen5X)5dx

= t f sen u du -tcos u +

=

= - ~ cos

f

sec x(scc x

+ C.

+ tan x) dx.

Ejemplo 3

Encuentre

Solución

Podemos proceder como sigue:

f

5x

e

secx{secx

f f

+ tan x)dx = {sec 2 x + sec x tan x)dx = =

sec 2 dx +

f

sec x tan x dx

tanx + sccx + C.

INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Éjemplo 4

Encuentre

Solución

Si

f (~)

9.3

415

csc 2 f i dx.

u = fi,

du = (2fi-) dx

entonces

y el integrando puede escribirse en la forma (9.18), introduciendo el factor 1/2 dentro de la integral. Por lo tanto

f

= 2 csc 2 udu = -2cotu

+e

= -2cotfi + C. Para obtener una fórmula de integración para tan x comenzamos escribiendo

f

tanxdx=

f

senx --dx. cosx

Si ahora definimos v = cos x, entonces dv = - sen x dx y por lo tanto f

tanxdx

_f_I_(-senx)dX cosx

=

= -

l f-v dv

= -In Ivl + C. Por consiguiente, siempre que cos x "# O,

f

(9.20) Como -Inlcos xl

tan x dx = -In leos xl + C.

InO/lcos xl) = Inlsec

f

(9.21)

xl, podemos escribir también

tan x dx = In Isec xl + C.

Si u = g(x) donde g es una función derivable, entonces (9.21) y (9.20) pueden generalizarse a (9.22)

f tan u du = In Isec ul + e =

-In leos ul +

e

donde du = g'(x) dx. Análogamente, si escribimos cot u = cos u/sen u obtenemos

f

(9.23) siempre y cuando sen u "# O.

cotudu = Inlsenul

+e

416

9

Ejemplo 5

Evalúe

Solución

Sea u = x/2. Entonces du = (1 /2)dx. Haciendo este cambio de variable y notando que u = O cuando x = O, Y u = n/4 cuando x = n/2, obtenemos

OTRAS FUNCIONES TRASCE 'DENTES onl2

Jo

~

tan:- d.'\. 2

n 2 '

i

o

i

nl2

x tan-d.'\ = 2 2 o

x -dx I tan -. 2 2

n4

i

= 2 o tanudu n 4

=

J

21n sec u o

donde no se necesita escribir el simbolo de valor absoluto como en (9.22) ya que sec u es positivo cuando u está entre O y n/4. Como In sec rr/4 In .jf = (1/2) In 2, y In sec O = In I = O, se sigue que

i

n 2

O

I

\'

tan~d.\'

2

= 2· 21n2 = In2.

Podemos obtener una fórmula de integración para sec x usando el siguiente artificio:

J

sec .'\ d.'\ =

J J

sec x

=

Sl:C

x

sec x

+ tan .'\ dx + tan.'\

+ sec x tan x dx. secx + tan x

sec2 x

Si definimos v = tan x + sec x, entonces dv = (sec 2 x tuyendo en la fónnula anterior, obtenemos

J

secxdx =

J~du

= In Ivl + =

Como de costumbre, si u (9.24)

=

+ sec x tan

In Iscc x

e + tan xl + C.

g(x) y g es derivable, entonces

J

sec u du = In Isec 11

+ tan ul + C.

De manera análoga puede demostrarse que (9.25)

J

csc u du = In Icse u - eot ul

+ C.

x) dx. Susti­

INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

f

Ejemplo 6

Encuentre

Solución

Si definimos u

eh scc e

2x

dx.

= eh, entonces du = 2e2.
f

417

9.3

eh

sec e 2.< tlx

f =!f =t

y

sec e1x (2e 2.<) tlx

SCC LI

du

= ! In Isec u + tan ul +

e

= :l: In Isec eh + tan ehl + C. Ejemplo 7

Encuentre

f

(cse x - 1)2 tlx.

f

Solución

(esc x - 1)2 lix = =

f f

(csc 2 X csc

2

X

-

2 csc x

lix - 2

f

+ 1) lix

csc x lix

+

f

lix

= - cot x - 21n Icsc x - cot xl + x + C. En el capítulo 10 se estudian otros métodos para integrar funciones trigono­ métricas.

9.3 EJERCICIOS Encuentre las integrales en los ejercicios del l al 28.

J

3

sen 4x tf.\'

5

13

Jllan,h + 5cc3,'),,-"

fn-ltan\'scc'\'r/\'

6

J

f" "

21

sen x eos x ti\'

sec 2"

dx

7

J()

J(S +

14

JcSC 2XC01Xds

18

J

22

fn

f,

"-' f "-1

I

+ sen x , -,- d" cos' S

tan Jxscc .hd\'

. -d." Jcos2x I

I

csc'¡l,x)ds

11

15

" 17

J

COS2 s --r/x ese x

-1

(1

19

+ sec S)2 ds

J J J+

cot 6.\' sen

12

J 0; J

20

J

8

(n

ds

COl,ji\'

. _. (Jy \,2

'

sen 2x tan 2xt/x

tan2 2x ---ds see 2s I-sens - - IIx cosx

x

23

JI"«I

27

J

(r' d\' cos(r' '

+ COS (,<) dx

l)

tan("h

26

J

--Jx

e

dx

see2 x

21an x

+

d\

I '

28

2 sen x

J+ I

- - lis

J eos.\'

418

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

29 Calcule el área de la región bajo la gráfica de

30

Calcule el área de la región bajo la gráfica de y = 2 tan x entre x = O Y x = rr/4.

31 Calcule el área de la región acotada por las gráficas de y = sec x, y = x, x = -rr/4 y x = rr/4.

32

Calcule el área de la región acotada por las gráficas de y = sen x, y = cos x, x = - rr/2 y x = rr/6.

33

34

Calcule el volumen del sólido que resulta al girar la región bajo la gráfica de y = sen x entre x = OY x = rr, alrededor del eje x. (Sugerencia.­ Use la fórmula sen 2 x = (1 - cos 2x)/2.)

35 Demuestre (9.25).

36

Demuestre (9.23).

37 Integrando de dos maneras distintas demuestre que

38

Integrando de tres maneras distintas demuestre que

y = sen (x/2) entre x = O Y x = rr.

Calcule el volumen del sólido que resulta al girar la región acotada por las gráficas de y = sec x, x = -rr/3,x = rr/3yy = O, alrededor del eje x.

f

tanxsec 2 xdx = !tan 2 x

+e

= 1sec 2 x

+

f

D.

sen x cos x d x =

! sen 2 x + e =

= -±cos 2x

¿Cómo pueden reconciliarse estos dos resul­ tados?

+

-

~ cos 2 .\ + D

E.

¿Cómo pueden conciliarse los resultados?

En los ejercicios 39 y 40, (a) escriba una integral para calcular la longitud de arco L de la gráfica de la ecuación dada, entre A y B, (b) escriba la fórmula para calcular aproximadamente el valor de L mediante la regla de Simpson (5.49) con n = 4, Y (c) si dispone de una cal­ culadora, encuentre el valor aproximado de L dado por la fórmula que obtuvo en la parte (b). 39 r

=

sen x: AIO.Ol, 81rr/2, 1)

9.4

40

.\ = tan\: A(O,O), 8(rr/4, 1)

LAS FUNCIONES TRJGONOMETRICAS INVERSAS Como vimos en la sección 1.6, sif es una función uno a uno con dominio Y y rango X, entonces su función inversaf-l tiene dominio X y rango Y. Más aún,

(9.26)

f- 1 (x)

=

y

si y sólo si f(y)

=

x

para todo x en X y todo y en Y. Como las funciones trigonométricas no son uno a uno, no tienen funciones inversas. Sin embargo, restringiendo sus dominios, se pueden obtener funciones que se comportan igual que las funciones trigonométricas (en dominios más pequeños) y que si tienen funciones inversas. Para comenzar, consideremos la función seno que tiene dominio IR y cuyo rango es el conjunto de números reales en el intervalo [ - 1, 1]. Esta función no es uno a uno ya que, por ejemplo, toma el valor 1/2 en los números n/6, 5n/6 y - 7n/6. Es fácil encontrar un subconjunto S de con la propiedad de que sen x tome todos los valores entre - 1 Y l una y sólo una vez cuando x recorre S. Es conveniente escoger el intervalo [ -n/2, n/2] como el conjunto S. La nueva función que se obtiene restringiendo el dominio de la función seno a [ -n/2, n/2] es continua y creciente y por lo tanto, de acuerdo con el teorema (8.38), tiene una función in­ versa. Aplicando (9.26) llegamos a la siguiente definición.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

(9.27)

9.4

419

DEFINICION

La función inversa del seno, denotada por sen sen -

1 X

=

donde - I :'5: x :'5: l

Y

si y sólo si

sen y

=

1,

se define mediante

x

Y -n/2:'5: y :'5: n/2.

Es costumbre también llamar a esta función, la función arco seno y escribir arcsen x en lugar de sen - 1 x. En nuestro trabajo emplearemos ambas notaciones. El - l en sen - 1 no debe considerarse como un exponente sino como una manera de denotar la función inversa. Observe que, de acuerdo con (9.27), -n/2 :'5: sen -1 x :'5: n/2

o

-n/2:'5: arcsen x :'5: n/2.

De la definición (9.27) se infiere que la gráfica de y = sen - 1X (o y = arcsen x) puede encontrarse dibujando la gráfica de x = sen y, donde - n/2 :'5: y :'5: n/2 (vea la figura 9.8). y

y=sen-1x

x

Figura 9.8

Como en (1.24), podemos escribir sen- I (sen x) sen (sen- I x)

(9.28)

=

x

SI

-n/2 :'5: x :'5: n/2

=x

si

-1:'5:X:'5:l.

Por supuesto, las fórmulas en (9.28) también pueden escribirse arcsen (sen x)

=

x

y

sen (arcsen x)

=

x.

Ejemplo I

Encuentre sen -1 (j2/2) y arcsen ( - 1/2).

Solución

Si Y = sen - 1 (j2/2) entonces, según (9.27), sen y = fi/2 y por consiguiente = n/4, ya que es necesario escoger y en el intervalo [-n/2, n/2]. Un número como 3n/4 es un valor incorrecto a pesar de que sen (3n/4) = fi/2. Análogamente, si y = arcsen (- 1/2), entonces sen y = - 1/2 Y por lo tanto y = -n/6. y

420

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

Pueden realizarse discusiones análogas para las otras funciones trigonométricas. El procedimiento consiste en determinar un subconjunto conveniente del dominio en donde la función sea uno a uno y entonces aplicar (9.26). Si el dominio de la función coseno se restringe al intervalo [O, nJ, obtenemos una función continua y decreciente que, de acuerdo con el teorema (8.40), tendrá una función inversa que es también continua y decreciente. Esto nos lleva a la siguiente definición.

(9.29)

DEFINICION

La función inversa del coseno, denotada por cos -1, se define mediante cos donde -1

s

x

s

1 X

=

Y

si y sólo si

cos y = x

O s y S n.

y

La función inversa del coseno se denomina también la función arco coseno y se utiliza la notación arccos x como equivalente a cos -1 x. Como en (9.28), Os x S n

cos- I (cosx) = arccos(cosx) = x si I

-I:os; x :os; 1.

cos(cos- x) = cos(arccosx) = x si

(9.30)

DEFINICION

La función inversa de la tangente o la función arco tangente, denotada por tan - 1 o arctan, se define mediante tan -

1X

= arctan x =

y

si y sólo si

tan y = x

donde x es cualquier número real y -n/2 < y < n/2. En la figura 9.9 aparecen dibujos de las gráficas de las funciones inversas del coseno

y de la tangente.

r

y

----------2'Ir ----------­ x

x

-1 (i)

y=cos-1x

(ii)

Figura 9.9

Y

=

tan- I x

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

9.4

421

como una expresión algebraica en x, suponiendo que - l :::;

Ejemplo 2

Reescriba cos(sen x :::; 1.

Solución

Sea y = sen - IX. Entonces sen y = x. Deseamos expresar cos y en términos de x. Como -n/2 :::; y :::; n/2, se deduce que cos y ~ O Y por lo tanto

IX)

cosy

=

I - sen 2y =

j'I"="7.

Por consiguiente cOs(sen -1 x)

=

JI -

x2.

Si y recorre los dos intervalos [O, n/2) y [n, 3n/2), entonces sec y toma cada uno de sus valores una y sólo una vez, así que se puede definir una función inversa de la secante cuyo rango sea la unión de dichos intervalos. (9.31)

DEFINICION

La función inversa de la secante o la función arco secante, denotada por sec o arcsec, se define mediante sec -

IX

= arcsec x = y si y sólo si sec y

I

x

donde Ixl ~ 1 YY está en [O, n/2) o en [n, 3n/2). En la figura 9.10 aparece un dibujo de la gráfica de y = sec-1x. La razón principal para escoger y como en (9.31), es que de esta manera la fórmula de de­ rivación de la función inversa de la secante resulta más simple que la que se ob­ tendría si se escogieran los intervalos [O, n/2) y (n/2, n] que parecen más naturales. y

----------

3.­ - - - - - - - - ­ T

"2.- .----------­ x

-1

Y = sec

-1

x

Figura 9./0

Ejemplo 3

Reescriba tan(sec- I x) como una expresión algebraica en x, suponiendo que Ixl ~ 1.

Solución

Sea y = sec- IX. Entonces x = sec y. Nuestro objetivo es expresar tan y en términos de x. De acuerdo con la definición (9.31), O :::; Y < n/2 o bien n :::; y < 3n/2. Por consiguiente, tan y es siempre no negativo y podemos escribir

422

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

tany =

sec 2 y­

es decir

tan(sec- 1 x)

Jx

=

2

l.

-

9.4 EJERCICIOS

Encuentre los valores exactos en los ejercicios del l al 18.

3

(a) cos

5

(a)tan- l

7 11

16

2/2

1

j3 sen [eos - 1 j3/2J

aresen(sen

(b)sen- I í-

3/2)

2

(a)sen-IO

(h) areeos O

(b)eos- I (-

2/2)

4

(a)aresen(-J)

(b)eos-I(-I)

6

(a) tan- I (-1)

(b)arceos(I/2)

9

sen [areeos (3/5)]

(b) aretan (- )"3)

8 cos [sen - 1 O]

5)

12

tan [tan -

10

1

10]

tan - 1 (eos O)

cos [2 sen -1.,,]

+ arecosO]

14

sen [aresen"!

17

sen [2 arccos ( _ 4)]

15

tan [arctan~ + arccoss]

18

sen(arctan

t-

arccos 4)

Reescriba las expresiones en los ejercicios del 19 al 22 como expresiones algebraicas en x.

19

sen(tan

1

xl

20

tan (arceos x)

22

eos(2tan-lx)

21

cos((I/2)arccos.\")

24

arctanx

26

2 cos -

28

arceos ( - .\") = 71 ­

30

tan

32

Defina csc - 1 restringiendo el dominio de csc a los intervalos (O,n/2J Y (71,371/2].

Verifique las identidades en los ejercicios del 23 al 30. 23

sen

1

+ eos - 1 X

x

25 arcsen

71/2

=

2x

1

---) = 2 aretan x, Ixl ..,;

+ x­

27

sen

1 ( -.Y)

29

sen

1

= -sen -

x = tan -

1X

x

1 - - , - __

I _

x2

31 Defina cot - 1 restringiendo el dominio de cot al intervalo (0,71).

1

+ aretan(l/x)

1 .\"

x

cos - 1 (2x 2

=

=

n/2,.\" > O

-

I l. () ..,; x ..,;

arccos x

x+y

+ tan - 1 r = tan

1

1- H

Dibuje las gráficas de las ecuaciones en los ejercicios del 33 al 38.

33 37

= sen 1 2x 1" - 2 = sen 1 (.Y

34

1"

4)

1"

= ~ lan - I X

35

.1"

= 2 sen - 1 X

38

1"

=

-1

tan

36 1 (x

-

1"

2)

Demuestre que las ecuaciones en los ejercicios 39 y 40 no son identidades. 39

tan

1

x=

I tan x

40

(arcsen.\)2

+ (arecosx)2

=

1

= tan

1

~x

DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS FUNCIONES INVERSAS

9.5

423

9.5 DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS FUNCIONES

TRIGONOMETRICAS INVERSAS

Si tomamos f(x) = sen x y g(x) = sen - 1X en el teorema (8.41), vemos que la función inversa del seno, g, es derivable para Ixl < I. Usaremos la derivación im­ plícita para encontrar g'(x). Notemos primero que, de acuerdo con la definición (9.27), y = sen - 1 x

sen y = x

si y sólo si

donde - I < x < I y -n/2 < y < n/2. Derivando implícitamente la última de las ecuaciones anteriores obtenemos cosy D,.I'

I

=

y por lo tanto D v = D sen-'o

I

I \'

=-­

cos.\'

-'

Como -n/2 < y < n/2, cos y es positivo y por lo tanto cosy

=

JI -

sen 2 y =~.

Sustituyendo esto en la fórmula anterior para DxY obtenemos 1

_ 1

(9.32)

x=

Dxsen

~2

vi - x

siempre que Ixl < I. La función inversa del seno no es derivable en ± 1. Este hecho resulta geométricamente evidente de la figura 9.8, ya que en los extremos del in­ tervalo la gráfica tiene asíntotas verticales. Si definimos u = k(x), donde k es derivable y Ik(x)1 < 1, entonces aplicando la regla de la cadena obtenemos (9.33)

Análogamente, para encontrar la derivada de la función inversa del coseno comenzamos con las dos ecuaciones equivalentes y = cos -

1X

Y cos Y = x

donde Ixl < I y O < y < n. Derivando implícitamente la segunda de estas ecua­ ciones obtenemos - sen y DxY = l

y por 10 tanto DxY

=

Dx cos -

1X

=

sen y

r

424

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

Como O < y < n, sen y entonces

D~cos-l X

De manera más general, si (9.34)

- x 2 . Por consiguiente, si Ixl < 1,

I - cos 2 y =

=

=

ti

1- x 2 ·

k(x), donde k es derivable y Ik(x)1 < 1, entonces

Dxcos- '

Ejemplo 1

Encuentre dy/dx suponiendo que y

Solución

Aplicando (9.33) y (9.34) con

I

ti =

--r=~, D.,l/.

I - u-

= sen -

3

6

3

I - 9x

dx

13x - cos - 13x.

= 3x,

ti

dy

= ---­

2

+ JI

- 9x

2

Del teorema (8.10) concluimos que la función inversa de la tangente es derivable en todos los números reales. Si consideramos las dos ecuaciones equivalentes y = tan -

1X

Y tan y = x

donde -n/2 < y < n/2, y derivamos implícitamente la segunda de estas ecuaciones, obtenemos sec 2 y D,.y

=

1.

Por consiguiente

DxY = D~ tan 2

Usando el hecho de que sec y

=

I --2-.

sec JI

= I + tan y = l + 2

Dx tan

(9.35)

I X

-1

x =

x

2

obtenemos

I

--2.

1+x

Usando la regla de la cadena podemos generalizar la fórmula anterior a (9.36)

donde

ti

= k(x) y k

es derivable.

Ejemplo 2

Encuentref'(x) suponiendo quef(x)

Solución

Aplicando (9.36) con

Ll

= e 2x ,

DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS FUNCIONES INVERSAS

9.5

425

Finalmente consideremos las dos ecuaciones equivalentes

= sec -

y

Y sec Y

1X

= x

donde y se escoge en [O, n/2) o en [n, 3n/2). Derivando implícitamente la segunda de estas ecuaciones obtenemos secy tan y Dd;

=

l

o, si tan y '1 O,

D Y = D sec-

I

"

\

= Jsec 2y -

Usando el hecho de que tan y

D, sec- 1 x

(9.37)

l sec y tan y

= ---­ =

Jx

2

1, obtenemos

1

= --=== Z xjx

-

I

siempre que Ixl > 1. La función inversa de la secante no es derivable en x = ± 1. En efecto, la gráfica tiene tangentes verticales en los puntos con estas abscisas (vea la figura 9.10). Aplicando la regla de la cadena con u = k(x), donde k es derivable y Ik(x)1 > 1, obtenemos

(9.38)

Ejemplo 3

Encuentre y' suponiendo que y

Solución

Aplicando (9.38) con u = x 2 , y'

1

2

(2x)= ~' x zp-=1 x v x4 - l

Siguiendo el mismo procedimiento empleado varias veces antes, podemos utilizar las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas inversas para obtener algunas fórmulas de integración. La demostración de las siguientes fórmulas se deja como ejercicio al lector.

(9.39)

(9.40)

. (9.41)

f+ fv

-_I-Z du 1 u

= tan- 1 u +

l . ~du u2 - 1

e

= sec ­ 1 u + e

U

donde se supone que u está debidamente restringida.

426

9

Ejemplo 4

Encuentre

Solución

Si definimos u = e 2x , entonces du = 2e 2x dx y podemos escribir la integral en la forma (9.39) como sigue:

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

f

e2x

J 1 - é

x

dx.

e2x ---¡=====:= dx

fJI -

é

x

f =2 f ~du 1

2e 2x

2

JI - (e 2X )2

=-

1

dx

1

1 =2sen-lu+C 1 1 2x =-sene +C . 2 Las fórmulas (9.39), (9.40) Y(9.41) pueden generalizarse como sigue: (9.42)

1

f +

(9.43)

a

2

u

1 u

2 du = - tan - 1 - + C a

a

(9.44) Demostremos (9.43). Sea u = g(x) donde g es derivable. Aplicando (9.35) ob­ tenemos

l

[1

D x -tan _lg(X)] = a a a l

+

1

a2

l

= -

a a2

+

2

+

l

-g'(x) [g(X)]2 a

1 a

[1]

D x -g(x) a

[g(x)ja]2

[g(x)]

2g

,

(x).

Por consiguiente

f + , a-

1 [g(x)]

1 g(x)

2g'(xJdx=-tan- I - + C a

a

que es lo mismo que (9.43). Las demostraciones de (9.42) y (9.44) se dejan como ejercicios.

Ejemplo 5

Encuentre

f

x2

-"- 6 dx. 5+x

DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS FUNCIONES INVERSAS

Solución

9.5

427

Si definimos u = x 3 , entonces du = 3x 2 dx y podemos escribir la integral dada en la forma (9.43) como sigue:

1

= 3"

f

1

+ u2 du

(.J5)2

1 1 I U = -·-tan+e

.J5 .J5 = -tan-

.J5

3

-

15

Ejemplo 6

Solución

Encuentre

f~

x - 9

x

x

3

.J5 + C.

I

dx.

Si definimos u = x 2 , entonces du de la forma (9.44) como sigue:

2x dx y la integral puede transformarse a una

2

I I x = -sec- + C.

6

3

9.5 EJERCICIOS

En los ejercicios del l al 24 encuentre f'(x) suponiendo que ¡(x) es igual a la expresión dada.

fi

4

tan - I Xl

aretan Xl

8

tan -1 sen2x

12

are sen In x

tan- 1(3x - 5)

2

sen -1 (x/3)

3

sen-- I

5

e-'< arcsee e-X

6

aresee 3x

7

Xl

9

(1 +eos-13x)J

10

Xl

see- I 5x

11

In aretan

13

l/sen-Ix

14

x+1

aretan-x-I

15

see- I

17

(aTetan x)/(x l

18

eos- I eos ~

19

fi see- 1 .J-~

20

21

3arcSt'n .x-'

23

(tan x)·,,'·nx

24

+

1)

22 x areeos

4x

+

I

Xl

x2

_

I

16

e Ir - - aresen­ x .\" el.<

sen - I 5x (tan - I 4x)e,·n

14_y

428

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

Encuentre y' en los ejercicios 25 y 26.

25

+ x sen - 1 r = r"X

x2

26

In(x+.I')=lan-IX.l'

29

r'í

Encuentre las integrales en los ejercicios de 27 al 42.

27

31

r

---dy 1 2 + J6

u x

f - ----dy sen x cos s + 1 . 2

28

32

JI - "x-dx o 1 + ('2x cos x

f

2

elx

X

2

1 _

x4

ds

r

-2

.y2 _

3 S

33

f j.y( 1 ~ xi

dx

34

Lx

38

f

42

f ---elx eX

9-sen x

1

35

36

f

37

L'Js~' --4 ds

39

40

f-s----:o.\=,=-=1 dx

41

-=ds f ,1~ ,,2x - 25

sec x tan x ------,.-c/.y 1 + sec 2 x

30

1

2

_ e- 2x s

36 _

"­

1

x2

ds dx

elx

/4 - ("

6

43 Calcule el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones y = 4/ 16 - x 2 , x = -2, x = 2 Y Y = O.

44 Sea f(x) = x /(1 + x }. Calcule el área de la región bajo la gráfica de f entre x = O Y x = l.

45 Los lados opuesto y adyacente a un ángulo de un triángulo rectángulo miden 10 m y 7 m respectivamente, con un error posible de 2 cm en la medición del lado opuesto. Utilice la diferencial de una función trigonométrica in­ versa para estimar el error en el cálculo del valor de e.

e

46 Use diferenciales para estimar el incremento de arcsen x cuando x cambia de 0.25 a 0.26.

47 Un avión volando a una altura de 5 km a una velocidad de 500 kilómetros por hora, se aleja de un observador en el suelo. Utilice funciones trigonométricas inversas para calcular la razón de cambio del ángulo de elevación, cuando el avión se encuentra arriba de un punto a 2 km del observador.

48 Un faro buscador se encuentra a 1/8 de kiló­ metro del punto más cercano P de una carretera recta. El faro se apunta hacia un automóvil que viaja por la carretera a 50 kilómetros por hora. Use funciones trigonométricas inversas para calcular la razón de cambio del ángulo de giro del faro cuando el automóvil se encuentra a 1/4 de kilómetro del punto P.

49

50 Dados los puntos A(3, l} Y B(6, 4} en un sistema coordenado rectangular, encuentre la abscisa del punto P sobre el eje x para el cual el ángulo APB es máximo.

Un cartel de 6 metros de alto se coloca encima de un edificio, con su orilla inferior a una altura de 20 metros sobre el nivel de los ojos de un observador. Use funciones trigonométricas in­ versas para calcular a qué distancia del edificio debe colocarse el observador para que el ángulo entre las rectas que van del ojo del observador a las orillas superior e inferior del cartel sea máximo.

51 Demuestre (9.42).

52

Demuestre (9.44).

53 Encuentre unas ecuaciones para las rectas tan­ gente y normal a la gráfica de y = sen -l(X - 1) en el punto (3/2, rr/6).

54

Encuentre los puntos sobre la gráfica de }' = tan -1 2x en los cuales la recta tangente es paralela a la recta 13y - 2x + 5 = O.

LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

429

9.6

55

Encuentre los intervalos en los cuales la gráfica de y = tan -1 x tiene (a) concavidad hacia arriba; (b) concavidad hacia abajo.

56

La velocidad en el tiempo ( de un punto que se mueve sobre una línea recta es (1 + (2)-1 m/seg. Suponiendo que el punto está en el origen cuando ( = O, encuentre su posición en el ins­ tante en que la aceleración y la velocidad tienen el mismo valor absoluto.

57

Encuentre el volumen del sólido resultante al girar la región acotada por las gráficas de y = eX, y = 1/ y x = l alrededor del eje x.

58

Use diferenciales para estimar la longitud de arco de la gráfica de y = tan -1 x entre los puntos (O, O) y (0.1, tan- I 0.1).

Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde un punto que se encuentra a 5 km de una estación rastreadora y que tiene la misma elevación que ésta. Durante los primeros 20 segundos del vuelo el ángulo de elevación aumenta a razón de 2° por segundo. Calcule la velocidad del proyectil en el instante en el que el ángulo de elevación es 30°.

60

Demuestre que

fil+T

59

9.6

f~ I

o l

+x

dx =

7[

y aplique la

regla de Simpson con n = 10 para calcular aproximadamente el valor de 7[.

LAS FUNCIONES ffiPERBOLICAS Las expresiones exponenciales 2

y

2

aparecen frecuentemente en las matemáticas aplicadas y en la ingeniería. Su como portamiento es parecido al de sen x y cos x en muchos sentidos. Más aún, como veremos más adelante, estas expresiones están relacionadas con una hipérbola de una manera muy parecida a como sen x y cos x están relacionadas con un círculo unitario. Es por esto que dichas expresiones se llaman el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico de x. (9.45)

DEFINICION

La función seno hiperbólico, denotada por senh, y la función coseno hiperbólico, denotada por cosh, están dadas por eX _ e-x

senh x =

2

Y cosh x

donde x es cualquier número real. La gráfica de y = cosb x puede encontrarse por el método de suma de or­ denadas. Para usar este método, dibujamos las gráficas de y = (1 /2)e X y y = (1/2)e - X que se muestran como curvas discontinuas en la figura 9.11. Las ordenadas de los puntos sobre la gráfica de y = cosh x pueden obtenerse sumando las ordenadas de

430

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES y

.\'

, ,, ¡

\ \ \

\

\

\

I

I /

\

y=!('-x~

.

2

,

,...

---

/

/~.- y =

I

'2 cx

~----I-

/

/'

. y = .

-xX

--c 2

x

y = cosh

y = senhx

X

Figura 9.11

FiKura 9.12

los puntos de las otras dos gráficas. Esto nos da el dibujo que se muestra en la figura. Es evidente de la gráfica que el rango de cosh es [1, ro). Esto puede demostrarse también directamente. La gráfica de y = senh x puede obtenerse sumando las ordenadas de las gráficas dey = (1/2)e y y = -(1/2)e-X, como se ilustra en la figura 9.12. La función coseno hiperbólico puede usarse para describir la forma de un cable flexible uniforme o de una cadena cuyos extremos están atados a la misma altura. Esto es lo que frecuentemente sucede con los cables de teléfono o los que conducen corriente eléctrica, como se ilustra en la figura 9.13. A primera vista la forma del cable tiene la apariencia de una parábola, pero no es ésta la forma exacta, Si introducimos un sistema coordenado como se indica en la figura, se puede de­ mostrar que una ecuación de la forma y = a cosh (x/b), donde a y b son números reales, corresponde a la forma del cable. La gráfica se llama catenaria, de la palabra griega para cadena. X

y

X

Figura 9.13.

Catenaria;

F =

a cosh (x/a).

Hay otra aplicación de la función coseno hiperbólico al análisis del movimiento en un medio con resistencia que produce fricción. Si se deja caer un objeto desde cierta altura y se desprecia la resistencia del aire, entonces la distancia y que re­ corre en t segundos está dada por y = (1/2) gt 2, donde g es la aceleración de la

LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

9.6

431

gravedad. Sin embargo no siempre se puede despreciar la resistencia del aire. En efecto, a medida que la velocidad del objeto aumenta, la resistencia del aire puede afectar de manera importante su movimiento. Por ejemplo, si se supone que la resistencia del aire es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad, en­ tonces se puede demostrar que la distancia y que el objeto recorre en I segundos está dada por y = A In (cosh Bl)

donde A Y B son constantes. Existen muchas identidades entre las expresiones que involucran a las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico que son análogas a las de las funciones trigono­ métricas. Por ejemplo, si denotamos por cosh 2 x y senh 2 x a (cosh X)2 y (senh X)2 respectivamente, entonces (9.46)

cosh 2

X

-

senh 2 x = l.

Para verificar esta fórmula usamos la definición (9.45) como sigue:

4

4

4

4 4

1.

La identidad (9.46) es análoga a la identidad trigonométrica cos 2x + sen 2 x = 1. Pueden demostrarse muchas otras identidades; algunas de ellas las encontrará el lector en los ejercicios. En cada una de ellas basta expresar las funciones hiperbólicas en términos de funciones exponenciales y demostrar que uno de los lados de la ecuación puede transformarse en el otro. Las identidades hiperbólicas son seme­ jantes (aunque no siempre iguales) a algunas identidades trigonométricas. Las diferencias que hay frecuentemente involucran cambios de signo de algunos términos. La identidad (9.46) puede usarse para justificar el adjetivo "hiperbólico" en las definiciones de senh y cosh. Las funciones trigonométricas se llaman a veces funciones circulares porque si P es el punto sobre el círculo unitario que se muestra en (i) de la figura 9.14 y I es la medida en radianes del ángulo POB, entonces las coordenadas de P son (cos 1, sen 1). Cuando I va de Oa 2n, el punto P recorre una vez el círculo unitario en sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj. Si ahora consideramos el punto P con coordenadas (cosh 1, senh t), entonces, según (9.46), P se encuentra sobre la hipérbola x 2 - y2 = l (vea (ii) de la figura 9.14). Cuando t recorre todos los números reales, el punto P traza la rama derecha de la hipérbola. En este caso la variable I no representa un ángulo como en el caso de las funciones circulares. Sin embargo, podemos encontrar una relación interesante que involucra a l. Note que el área A del sector circular POB en (i) de la figura 9.14 es

432

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

y

y

/

x

I

I

I I

I /

/ /

" Figura 9.14

y por lo tanto 1

= 2A.

Puede demostrarse que en (ii) de la figura 9.14, t = 2A, donde A es el área del sector hiperbólico indicado. Debido a la notable analogía entre el seno y coseno hiperbólicos y el seno y coseno trigonométricos, resulta natural definir funciones hiperbólicas que corres­ pondan a las cuatro funciones trigonométricas restantes. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas, denotadas por tanh, coth, sech y csch respectivamente, se definen por medio de senhx

eX_e- x

tanhx

=-= cosh x

cot h x

=-= senhx

cschx

1 =-= sen h x

---

sechx

=-=-­ cosh x eX + e-x

l

2

cosh x

--­

eX

+ e-X

eX

+ e- X

eX - e

.

x·

x # O

(9.47)

2

eX - e

x'

x#O

En la figura 9.15 aparece un dibujo de la gráfica de y = tanh x. Note que las rectas y = l Y Y = -1 son asíntotas horizontales de dicha gráfica. Dejamos como ejercicio verfficar esto y dibujar las gráficas de las funciones hiperbólicas restantes. Si dividimos ambos lados de (9.46) por cosh 2 x y usamos las definiciones de tanh y sech obtenemos

LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

9.6

433

y

x

-1

FiKura 9./5

- tanh 2 x = sech 2 x.

(9.48) Análogamente,

coth 2 X

-

1 = csch 2 x.

Una vez más, el lector debe notar cuidadosamente las diferencias entre estas identi­ dades y las identidades análogas estudiadas en la trigonometría. En los ejercicios aparecen otras identidades relacionadas con (9.47). Es fácil encontrar fórmulas para las derivadas de las funciones hiperbólicas. Por ejemplo, como Dxe·< = eX y Dxe- x = -e-X, eX + e-X ---=

coshx

e·< - e-X --2--

senh x.

2

=

Para derivar tanh x aplicamos la regla del cociente (3.22) como sigue: senhx Dxtanhx = Dx - ­ cosh x cos h x D X sen h x - sen h x DX cosh X cosh 2 x cosh 2 X - senh 2 .\ cosh 2 x

1 --,= sech 2 x. cosh- x

La comprobación de las fórmulas para las derivadas de las tres funciones restantes que aparecen en la lista (9.49) se deja al lector. Como de costumbre, po­

434

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

demos emplear la regla de la cadena para generalizar cada una de las fónnulas de derivación al caso en que u = g(x), donde g es derivable; es decir

Dx senh u = cosh u Dxu Dxcoshu = senh UDxl1

(9.49)

Dx csch u =

-

csch u coth u Dxu.

+

Ejemplo 1

Encuentref'(x) suponiendo quef(x) = cosh (x 2

Solución

Aplicando la segunda fórmula en (9.49) con u = x 2 + 1, r(x) = senh (x 2 + 1)· DJ,,2 + 11

1).

= 2xsenh (x 2 + 1l. Las fórmulas de integración correspondientes a (9.49) son

(9.50)

f f f f f f

senh u du

= cosh u + e

cosh u du

= senh u + e

sech 2 udu = tanh u

csch 2 u du

=-

coth u

+e

sech u

+e

csch ucoth udu = -csch u

+ C.

sech u tanh u du

Ejemplo 2

+e

=-

LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

Si definimos u

Solución

435

9.6

x 3 , entonces du = 3x 2 dx y

f

f =:\- f

x 2 senh (x 3 )dx = j

senh (x 3 )(3x 2 )dx

senh u du

= jcoshu + e =

j-coshx 3

+ C.

9.6 EJERCICIOS Verifique las identidades en los ejercicios del l al 14.

+ senhx =

coshx

e"

3

senh(-x) = -senhx

5

senh (x

+ y)

7

senh2x

= 2senhxcoshx

10

tanh2x

=

=

senh xcoshy

2 tanh x l

+

+ cosh xsenhy 8

x

cosh'2

cosh s - sen h s = (' - .<

4

cosh ( - x) = cosh x

6

cosh (x

+ y)

= cosh 2 x + senh 2 x

cosh 2x

11

tanh 2 x

2

=

JI

9

+ cosh x

12

2

=

+ senh x senh)'

cosh x cosh)' tanh (x x

tanh 2

+ senhy = 2senh1(x + y)coshj-(x - y) (cosh x + senh xl" = cosh nx + senh TlX para todo entero positivo n. (Sugerencia:

+ y)

=

=

tanh x I

+ tanh y

+ tanh x tanh)'

senh x l

+ coshx

13 senhx 14

Use el ejercicio l.)

En los ejercicios del 15 al 30 encuentre j'(x) suponiendo que f(x) es igual a la expresión dada.

15 senh 5x 19

sech x 2

x2

+

1

23

cosh 3 x

27

1'3.<

sech x

16 cosh

4x 2

+3

17

fi tanh fi

18

xcsch e 4x

20

cothx cotx

21

cosh x 3

22 senh (x 2

24

senh 2 3x

25

Insenh2x

26

28

29

scch Ss

31 Encuentre y' suponiendo que senh xy

= ye

x

.

32

tanhx

+

30

l

fsenh

fi tlx

34

x 36

f

dx l cosh 2 3.x .

37

fCOSh In x tlx x

1 + cosh x l - cosh s

Encuentre y' suponiendo que x 2 tanh y

f

senh x cosh s tlx

35

38

fCOSh - - txl x senhx

f

1)

arctan tanh x

Encuentre las integrales en los ejercicios del 33 al 44.

33

+

sech 2 x lanh x tlx

=

In y.

436 39

f

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

lanh 3, scch 3, d,

42 flanh,d,

40

fsenh'

43

r-

\,~h~ d,

41

scch 2.\ d, .1-2tanhx

44

f

(,","h.,

- J, scch,

45 Calcule el área de la región acotada por las gráficas de y = senh 3x, y = O Y x = 1.

46

Calcule la longitud de arco de la gráfica de y = cosh x entre x = O Y x = l.

47 Encuentre los puntos sobre la gráfica de y = senh x en los cuales la recta tangente tiene pendiente 2.

48

Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la región acotada por las gráficas de y = cosh x, x = - 1, x = 1 Y Y = O.

49 Verifique que la gráfica de y = tanh x corres­ ponde al dibujo en la figura 9.15.

Dibuje las gráficas de las ecuaciones en los ejercicios 50, 51 Y52.

50

r = cOlh x

9.7

51

,\' = scch,

52

.1'

= csch,

LAS FUNCIONES IllPERBOLICAS INVERSAS La función seno hiperbólico es continua y creciente para todo x y por lo tanto, según el teorema (8.38), tiene una función inversa continua y creciente, denotada por senh - 1. Más aún, y = senh - 1 x

x = senh y.

si y sólo si

Esta última ecuación se puede usar para encontrar una forma explícita de senh - 1 x. Asi, si eY .\" =

-

e-.r

senh .l' = - 2 ­

entonces

,,\' - 2x ._- ,,-Y = O.

Multiplicando ambos lados por el' obtenemos

,,2,r _

2.\",,' - 1 = O

y, aplicando la fórmula cuadrática,

el =

2x

± J 4,2 + 4 o

el'

2

=, ±P+1.

Como el' nunca es negativo, el signo menos debe descartarse. Haciendo esto y tomando el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación obtenemos y = In (,

+

,2

+

1)

x2

+ 1).

es decir

(9.51)

senh -

1X

= In (x +

LAS FUNCIONES HIPERBOLlCAS INVERSAS

9.7

437

Usando (9.51) concluimos que

Dxsenh -1 x =

1 ~

X)

( 1 +-----:::==

x + yX 2 + 1 p-+l p-+l+x (x+p-+llp-+l 1

Esta fórmula se puede generalizar de la manera acostumbrada. Si u = g(x), donde g es una función derivable, entonces (9.52)

- 1

Dxsenh

u

1

=

~Dxu. yU

2

+

1

Se deja como ejercicio demostrar que (9.53)

a> O. Las demás funciones hiperbólicas inversas se definen de manera análoga. Como en el caso de las funciones trigonométricas, a veces se necesita restringir el dominio para que exista la función inversa. Por ejemplo, si el dominio de cosh se restringe al conjunto de los números reales no negativos, la función resultante es continua y creciente y su función inversa cosh - 1 se define por medio de y

= cosh - 1x

cosh y = x, y 2 O.

si y sólo si

Empleando los métodos usados al analizar senh - 1x obtenemos cosh - 1 x = In (x

(9.54)

+ .p-=t l,

x 2 1

(9.55)

(9.56)

f

Ju 2

1 -

a2

du

= cosh - I ~ + e, u > a >

O.

a

Análogamente, la función inversa de la tangente hiperbólica, denotada por tanh - 1, se define por medio de

y

=

tanh-1x

si y sólo si

tanh y = x,

de 10 cual se concluyen (9.57)

(9.58)

tanh -

1

1X

1+ x

= -In --,Ixl < 1 2 l-x

438

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

1 1 -1 U

2 2 du = - tanh - + a - u a a

f

(9.59)

e,

a> O,

lul <

a.

Si el dominio de sech se restringe a los números no negativos, se obtiene una función uno a uno y definimos y = sech- I x

si y sólo si

sech y = x, y

~

O.

Pueden demostrarse fácilmente: (9.60)

sech - ¡ x = In

(9.61)

D,sech-¡ u =

(9.62)

f

Solución

Encuentre

~), O< x ::s; 1

+

-1

~Dxu,

1

uJa

2

u

-

1

f )9x +

2

Y csch -

1

2

O < u < 1

u y 1 - u2

1

_¡Iul

a

a

-¡==;;====;c du = - ~ sech

Las funciones coth -

Ejemplo 1

(1

1

-

+

e,

0< lui < a.

a> O,

pueden discutirse de manera análoga.

dx ..

25

La integral puede escribirse en la forma (9.53) definiendo u = 3x y du = 3 dx. Por lo tanto

f

1

J9)(2

1

+ 25 dx

f

1

=

3

=

1 3x -senh - ¡ - 3 5

J(3.:d

+ (5)2

3

dx

+ c.

f-~2 dx. 16 - e x

Ejemplo 2

Encuentre

Solución

Sea u = eX. Entonces du = eX dx y, aplicando (9.59) obtenemos eX

--~d, =

f 16-e 2x

·

=

f 4 2 _(e 1 x )2 eXcI,.

f 1

= _

4

2 1 ,du 4 - u­

tanh -

u 1 -

4

+e

1 e' =-tanh-1-+C

4

siempre que eX < 4.

4

REPASO

9.7

439

9.8

EJERCICIOS

Demuestre las fórmulas cuyos números aparecen en los ejercicios del l al 6.

4

(9.54)

2

(9.57)

3

(9.55)

(9.58)

5

(9.56)

6

(9.59)

Dibuje las gráficas de las ecuaciones en los ejercicios del 7 al 10. 8

9 Y = tanh- I x

J' = cosh - 1x

10

.1' = sech -

I X

En los ejercicios del l1 al 20 encuentre f'(x) suponiendo que ¡(x) es igual a la expresión dada. 11

senh- ' 5x

15

tanh - I (x 2

19

lncosh 14x

1;

_

12

senh-'('x

13

cosh -

16

tanh - I sen 3x

17

20

cosh- I In 4x

23

J-;

14

cosh -1 x

xsenh - I (I(x)

18

I(senh-¡ x 2

f 49 - 14x

24

f

l

f

5_

I

Encuentre las integrales en los ejercicios del 21 al 28.

f f

21

25

9x

.../e

eX 2X

dx

+ 25

2

-

dx

22

26

16

f .../16xI

d>: 9 .

2 -

f---d>: 2 5 - 3x 2

27

.

fx

2

dx

9 - x4

tix

28

sen x

+ cos 2 x

llx

tlx ('h

Use (9.53) y (9.51) para demostrar que si a > O entonces

29

= In(u + f r~=~dU +a 11

2

2

Use (9.56) y (9.54) para demostrar que si u > a > Oentonces

30

9.8

REPASO

Conceptos Defina o discuta lo siguente Fórmulas de derivación para las funciones trigonométricas

2

Fórmulas de integración para las funciones trigonométricas

3

Las funciones trigonométricas inversas

4

Fórmulas de derivación e integración para las funciones trigonométricas inversas

5

Las funciones hiperbólicas

6

Las funciones hiperbólicas inversas

440

9

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES

Ejercicios En cada uno de los ejercicios del 1 al 44 encuentre f'(x) suponiendo que f(x) es igual a la expresión dada. cos ./:\:,,2+ x

2

x 2 cot 2.':

3 (scc x + lan

5

x 2 arcscc x 2

6

tan - 1 (In 3.':)

7

9

(cosx)"'~ 1

10 7 s~1I3."

13

In (csc J 2.\ )

14

17

e""-' 1- (eos x)'"

18

21

tanh I (tanh ~x I

22

26

25 sen 29

J t' - 2.\

csc x

~x

33

tan (sen

37

tan I (tan

41

30

cot x + 1 I

xl

senh .\ cosh x - sen h x

38 42

(3x+7)4

8

sen - 1 Sx

2x 2 + sech 4x

J

x J +csc6x sen8x - x

4x 2

12

'yscc- 1 4x

15

2x + scc 2 x

16

1 1 cot-+-­ x cotx

19

cosh e - 5_,

20

(eosx)""I",

sec (sec x)

23

2'lrd
24

(1 + a resec 2x)fi

incos 2 3x

27

(:'-x

28

scc Sx tan Sx

31

sen-I.JI - x-

32

35

(tan x + tan

36

('4",

39

e-Xsenh e-"

40

In tanh (Sx + 1)

43

senh

44

cosh- I tan x

loglo(sen 2x) In senh.Y x

1- x

senfi ex~o.. h

x

1 I -tanh-

x

2x

cotx 2

2

arccos x

34 1

11

4

X)5

x

,

1 X)4

1 Xl

sen- I (I-x 2 ) scc

I e4x

Encuentre (as integrales en los ejercicios del 45 al 76. 45

48

f sen (3 - Sx)dx f sec (l/x) x

2

dx

f csc (x/2) col (x/2) tix

47

fsec

49

f (cot 9x + csc 9x) elx

50

f xcsc 2 (3x 2 + 4)dx

51

f e-' tane"'dx

52

f

55

f --elx sen 4x

56

f xcotx 2 dx

59

tan4x

e 2x

f

_ e 2x

r

2

63

.. - I 2

66

dx

60

cot 2x csc 2x dx

e-'

f

f (1 + cos 2 x) sen x dx

tix

1 - el..

1

---dx 1 - x2

2

46

64

67

5"'2

o

f

54

fsenX+l tix cosx

f - -x- d x 4 + 9x 2

58

f ---elx 1 4 + 9x 2

f ---dx x sech x 2

62

J"

53

f (csc 3x +

57

61

cos .x elx l+sen 2 x

fi x dx

1)2

elx

1

65

f sec 2 x (1 + tan

68

f (sen x )ecoS-' + 1 dx

X)2

2

csc x dx 2 + cotx

x

4

tix

tix -

1

_10

METODOS DE INTEGRACION

y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

En esle capílUlo discUliremos algunos mélodos que pueden ulilizarse para evaluar inlegrales de lípos muy diversos. Consideraremos algunas aplicaciones de la inlegral definida a los problemas del cálculo de momenlos y cen/ros de masa de cíerlos cuerpos sólidos.

10.1

INTEGRACION POR PARTES Si f y g son funciones derivables, entonces por la regla del producto (3.20) DJI(x)g(x)] = I(x)g'(x)

+ g(x)f'(x)

o, equivalentemente, f(x)g'(x) = Dx[f(x)g(x)] - g(x)f'(x).

Integrando ambos lados de la igualdad anterior obtenemos fI(X)g'(X)dX = f D'[I(x)g(x)] dx - f g(x)f'(x)dx.

Por (5.37), la primera integral del miembro derecho es igual a I(x)g(x) + C. Como aparece otra constante de integración en la segunda integral, no es necesario incluir C en la fórmula; es decir, podemos escribir fI(X)g'(X)dX

=

I(x)g(x) - f g(x)f'(x)dx.

Si definimos u = I(x) y ¡; = g(x), de tal manera que du entonces la fórmula anterior puede escribirse

(10.1)

f

u dv

= uv -

f

= f'(x) dx y dv = g'(x) dx,

v duo

Para aplicar (10.1) a una integral dada representamos por u a una parte del inte­ grando y por dv al resto (incluyendo a dx). Por esta razón, el método que consiste en aplicar la fórmula 10.1 se llama el método de integración por partes. Los siguientes ejemplos ilustran el uso de este importante método de integración.

442

INTEGRACION POR PARTES

f

10.1

443

xe h dx.

Ejemplo 1

Encuentre

Solución

Tenemos cuatro elecciones posibles para dv, a saber dx, x dx, eh dx, o xe h dx. Si tomamos dv = e h dx, entonces el resto del integrando deberá ser u; es decir, u = x. Para encontrar v integramos dv, obteniendo así v = te 2X • Note que no agregamos una constante de integración en esta etapa de la solución. Como u = x, tenemos du = dx. Para mayor claridad es conveniente exhibir estas expresiones como sigue: dv = ehdx

u=x

v = ie h

du = dx

.

Sustituyendo las expresiones anteriores en la fórmula (10.1), es decir, integrando

por portes, obtenemos

La integral del lado derecho puede encontrarse aplicando (8.22). Esto nos da

Se requiere cierta práctica para saber escoger dv eficientemente. Por ejemplo, si hubiésemos escogido dv = x dx en el ejemplo 1, entonces deberíamos haber tomado u = e 2 .., lo cual nos habría dado dv = xdx du = 2e

2x

dx

Integrando por partes obtenemos

Como el exponente de x aumentó, la integral del lado derecho es más complicada que la integral dada. Esto indica que la elección de dv no fue adecuada.

f

x scc 2 X dx.

Ejemplo 2

Encuentre

Solución

Como sec 2 x puede integrarse directamente utilizando (9.16), tomamos dv = sec 2 x dx. Entonces u=x du = dx

dv = scc 2 xdx

v = tan x

Integrando por partes obtenemos

f

x sec 2 x dx = x tan x -

f

tan x dx

= x tan x - In Isec xl + C.

444

lO

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

En el capítulo 8 no enunciamos una fórmula para f In x dx. La razón por la que no lo hicimos es que para encontrar una antiderivada del logaritmo natural se necesita integrar por partes, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3

Encuentre

Solución

Sean

f

In x l/x.

u

=

Inx

du

=

l -dx

l/zo

=

dx

u = x.

x

Integrando por partes obtenemos

flnxdX

= xlnx

-

= xlnx -

fx(~) dx

fdx

= xlnx - x + C. A veces se necesita integrar por partes varias veces en un mismo problema. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4

Encuentre

Solución

Sean

f

2

x eh

dx. du du

= 1'2x dx

= 2xdx

Integrando por partes obtenemos

Para evaluar la integral del lado derecho de la ecuación anterior debemos integrar por partes una vez más. Procediendo exactamente igual que en el ejemplo l ob­ tenemos

El siguiente ejemplo ilustra un artificio para encontrar ciertas integrales, el cual consiste en aplicar dos veces la fórmula de integración por partes (10.1)

INTEGRACION POR PARTES

Ejemplo 5

Encuentre

Solución

Sean

fe

10.1

445

cos x dx.

u = eX du Integrando por partes, (a)

f

=

dv = cosxdx v = senx.

eX dx

f

e'< cosx dx = eX sen x -

eX senxdx.

Ahora integramos por partes la integral del lado derecho de (a). Tomando dv du

=

eX dx

sen x dx

=

v = -cosx

e integrando por partes, obtenemos

f

(b)

eXsenxdx = -eXcosx

+

f

eX cos xdx.

Si sustituimos en lugar de la integral en el lado derecho de (a) la expresión dada en la ecuación (b), obtenemos

f e-" cos x dx = eX sen x o

f

e'
J

[ - eX cos x

= e-"senx + eXcosx

+ f e-" cos x dxJ

-

f

e-"cosxdx.

Sumando eX cos x dx a ambos lados obtenemos

2

f

e-"cosxdx = eX(senx + cosx).

Finalmente, dividiendo ambos lados por 2 y agregando la constante de integración llegamos al resultado:

f

eXcosxdx = !eX(senx + cosx) + C.

Debe tenerse cuidado cuando se evalúan integrales del tipo de la del ejemplo 5. Por ejemplo, supongamos que al evaluar la integral en el lado derecho de (a) hu­ biésemos usado u

du

= sen x

dv

= cosxdx

=

e'< dx

v = eX.

En este caso la integración por partes nos hubiese dado

f

e-"senxdx = e-"senx -

f

e-"cosxdx.

446

10

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Si sustituimos esto en (a) obtenemos

fe

f

cos x dx = eX sen x - [ex sen x -

eX cos x dxJ

lo cual se reduce a

f

eXcosxdx =

f

eXcosxdx.

Aunque ésta es una afirmación correcta, no es una solución del problema. Por cierto, la integral en el ejemplo 5 puede evaluarse usando dv = eX dx en ambas aplicaciones de la fórmula (10.1). La integración por partes puede usarse a veces para obtener fórmulas de re­ ducción de integrales. Tales fórmulas pueden utilizarse para escribir una integral que involucra potencias de alguna expresión, en términos de integrales en las que aparecen potencias menores de la misma expresión.

Ejemplo 6

Encuentre una fórmula de reducción para

Solución

Sean

u = senndu =

(11 -

f sen

n X

dx.

dp=senx,/x

IX

l)senn- 2

xcosxdx

v = -cosx.

Integrando por partes,

f

sennxdx = -cosxsen n- I x

r 2 + (11- 1) J senn--.\·cos .\(/x. J

Como cos 2 x = l - sen 2 x, podemos escribir

f sen" x dx =

- cos x sen"-

IX

+

(11 -

1)

f sen"-

2

x dx -

(11 -

1)

f sennx dx.

Por lo tanto

f sen" x dx +

(11 -

1)

f sen nx tlx =

- cos xsen n- I x

+

(11 -

1)

f sen n-

2 X

dx.

El lado izquierdo de la ecuación anterior se reduce a n Jsennx dx. Dividiendo ambos lados por n obtenemos

(10.2)

sen n xdx = f

-~cosxsenn-l x + (11 11

11

1) fsen n- 2 xdx.

Como una ilustración de la forma en que se aplica (10.2) consideremos el caso n = 4. Entonces

f

4

sen xdx = -tcos x sen 3 x

Aplicando (10.2) a la integral del lado derecho,

f

+ ~ sen 2 x dx.

INTEGRACION POR PARTES

f sen

2

x dx

= - 1 cos x sen x + 1

f

447

10.1

dx

= -1cos x senx + 1X +

el·

Por lo tanto

f

sen 4 x dx =

-! cos x sen 3 x - ~ cos x sen x + #x + C.

Es evidente que mediante la aplicación repetida de (10.2) podemos encontrar

Jsen"x dx para cualquier entero positivo n puesto que estas reducciones terminan con Jsen x dx o con Jsen 2 x dx y cada una de éstas puede evaluarse fácilmente. 10.1 EJERCICIOS

Encuentre las integrales en los ejercicios del l al 38.

f

xe- x dx

5 J xcos5xdx 9 J x 2 COSX dx

f

2 3x

2 J xsenxdx

3

6 J xe- 2x dx

7 J x sec x tan x dx

x e

4 J

dx

J tan- I x dx

X

2

sen 4xdx

8 J xcsc 2 3xdx

10

J x 3 e- x dx

11

J x 2 1nxdx

15 J xcsc 2 xdx

16 J xtan- I xdx

19 J sen x In cos x dx

20 J x 3 e- x ' dx

13

J ftlnxdx

14

17

J e-X senxdx

18 J e 3x cos 2x dx

12 J sen -1 x dx

I O 3

21

J sec 3 xdx

22 Jcsc 5 XdX

25

r"

26

o ,- x sen 2x dx

4x

x dx oP+l

23

JI

xsec 2 xdx

27

J x(2x

J x 3 COS (x 2 ) dx

31

J (lnx)2 dx

f'4

24

Jsenlnxdx

28

J

32

J.x 2"' tlx

5

+ 3)99 dx

n "

29

J e sen 5x dx

33

J x 3 senhxdx

34

J (x

36

J cot- I 3xdx

37

f

30

+ 4) cosh 4x dx

cos- I xdx

x

~

dx

cosJ-~dx

35

J

38

J (x

+ l )lO(X + 2)dx

Utilice la integración por partes para encontrar fórmulas de reducción en los ejercicios del 39 al 42. 40

J x m sen x dx = - xm COS x

+ m J xm -

1 COS

x dx

448

lO

41

f

42

f secmxelx =

(In x)m elx

=

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL x(ln .\)m -

ni

f

secm-2xtanx m - I

(In X)"'-I elx

11I-2f scc.. - 2 xdx.

+ --

1

111-

43 Con ayuda del ejercicio 39 encuentre f x 5 e x dx.

/Il

*1 Con ayuda del ejercicio' 41 encuentre f (In

44

X)4

dx.

Sea f(x) = sen jX. Calcule el área de la región bajo la gráfica defentre O y 11 2

46

La región entre la gráfica de y = x sen x y el eje x entre x = O Y x = 11/2 gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del sólido resultante.

47 La región acotada por las gráficas de y = In x, y = O Y x = e gira alrededor del eje y. Calcule el volumen del sólido resultante.

48

Suponga que la fuerza f(x) que actúa sobre el punto con coordenada x en una recta coor­ denada I está dada por f(x) = x 5 "fx3+i. Calcule el trabajo hecho al mover un objeto desde x = O hasta x = l.

49 Los extremos de un canal de agua tienen la forma de la región comprendida entre la gráfica de y = sen x y el eje x entre x = 11 Y x = 211. Su­ poniendo que el canal está lleno de agua calcule la fuerza total sobre uno de los extremos.

50

La velocidad (en el tiempo 1) de un punto que se mueve a lo largo de una recta coordenada es l/e 21 (m/seg). Suponiendo que el punto se en­ cuentra en el origen al tiempo 1 = O, encuentre su posición al tiempo l.

45

10.2

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

J

En el ejemplo 6 de la sección 10.1 obtuvimos una fórmula de reducción para sennx dx. Algunas integrales de este tipo se pueden encontrar también sin recurrir a la in­ tegración por partes. Si n es un entero impar positivo, comenzamos por escribir

f

sennxtlx

= fsen

,

n -

xsenxdx.

Como el entero n - l es par, podemos usar el hecho de que sen 2 x para obtener una forma fácil de integrar.

f

sen 5 x dx.

Ejemplo I

Encuentre

Solución

Procediendo según se indica en el párrafo anterior,

J

sen 5 x dx

= =

=

=

f f

sen 4 x sen x dx (sen 2 X)2 sen x dx

f(¡ - cos 2 x)2senxdx

J(I -

2cos 2 x

+ cos 4 x)senxdx.

l - cos 2 x

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

10.2

449

A continuación, empleamos el método de sustitución con

u = cos x

y du = - sen x dx

Entonces (l - 2cos 2 x

f sen 5 x dx = - f

=-

f

(1 - 2u

2

+ cos 4 x)( - senx)dx

+ u4 ) du

= - u + ju 3 - !u 5 + e = -cosx + jcos 3 x - !cos 5 x + C. Puede usarse un método semejante para las potencias impares de cos x. Con­ cretamente, escribimos

f cos" xdx

=

f

COS"-l

xcosxdx

y usamos el hecho de que cos 2 x = I - sen 2 x para obtener una forma integrable. Si el integrando es sen"x o cos"x y n es par, entonces pueden utilizarse las fórmulas del seno o coseno de la mitad de un ángulo, a saber sen 2 x

=

l - cos 2x

2

o cos 2 x

l + cos 2x = -.:....---­

2

para simplificar el integrando.

Ejemplo 2

Encuentre

f

cos 2 x dx.

f cos 2 xdx

Solución

Ejemplo 3

Solución

Encuentre

=

if

=

ix + t sen 2x + C.

(1

+ cos2x)dx

f

sen 4 x dx.

fsen 4 xdX= f(sen 2x )2 dx

=

*f

(l - 2 cos 2x

+ cos 2 2x) dx.

Aplicamos nuevamente la fórmula del coseno de la mitad de un ángulo y escribimos cos 2 2x =

i(l + cos4x) = ! + tcos4x.

450

10

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Sustituyendo esto en la integral anterior y simplificando obtenemos

f

sen 4 xdx =

f

i (i -

2cos2x

+ ! cos4x)dx

ix - isen2x + tisen4x + C. Las integrales de la forma Jsen mx cosO x dx donde m y n son enteros positivos, pueden encontrarse usando ligeras modificaciones de los métodos descritos anterior­ mente. Si m y n son ambos pares, entonces deben utilizarse las fórmulas del seno y el coseno de la mitad de un ángulo. Si n es impar debemos escribir =

f sen mxcos" xdx

=

f sen mXCOS"-I xcosxdx

y expresar coso - 1 X en términos de sen x empleando la identidad cos 2 x = I - sen 2 x. Sustituyendo u = sen x obtenemos un integrando que puede manipularse con facilidad. En el caso en que m es impar, puede aplicarse un método semejante.

f

cos 3 x sen 4 x dx.

Ejemplo 4

Encuentre

Solución

Procedemos de la siguiente manera: 4

f cos 3 xsen xdx

Si tomamos u

=

f

=

fO - sen x)sen xcosxdx.

cos 2 xsen 4 xcosxdx 2

4

sen x, entonces du = cos x dx y la integral puede escribirse fcos 3 xsen 4 xdx= f(l-u 2 )u 4 du

=

f

(u

= !u 5 =

Para integrales de la forma

1.

4

-

-

6

u )du ~U7

! sen 5 x -

+e +sen 7 x

+ c.

Jtanmx sec"x dx podemos proceder como sigue:

Si n es par, escribimos la integral como

f

tan mx sec"- 2 x sec 2 x dx

y expresamos secO - 2 X en términos de tan x usando el hecho de que sec 2 x = I + tan 2 x. La sustitución u = tan x nos lleva a una integral que se puede obtener fácilmente. 2.

Si m es impar, escribimos la integral como

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

f

tan m -

I

10.2

451

x secn - 1 x secx tan x dx.

Como m - l es par, tan m - 1 X puede expresarse en términos de sec x usando la identidad tan 2x = sec 2x - 1. La sustitución u = sec x nos lleva a una forma que puede integrarse fácilmente. 3. Si n es impar y m es par, es necesario usar otro método como por ejemplo el de integración por partes.

f

tan 2 .\" scc 4

dx.

Ejemplo 5

Encuentre

Solución

Usando el método l descrito en el párrafo anterior,

f

X

tan 2 xsec 4 xdx

=

f

tan 2 xsec 2 xsec 2 xdx

= ftan2x(tan2x + l)sec 2 xdx. Si tomamos u = tan x, entonces du = sec 2x dx y

ftan2xsec4xdx

=f =

f

2 2 U (U

(u

4

+

I)du

+ u2 )du

= !u 5 + ju 3 + e

f

tan 3 x sec 5 x dx.

Ejemplo 6

Encuentre

Solución

Usando el método 2,

f =f

f tan 3 x sec 5 .\" dx =

Sustituyendo u

sec x y du

f

tan 2 x sec 4 x(sec x tan x) dx (sec 2 x - 1) sec 4 x(sec x tan x) dx.

= sec x tan x dx, obtenemos

tan 3 x sec 5 x dx

f =f =

(u

2

(U

ó

= ~u 7

-

4

-

l )u du

-

u )du

4

,!-u 5 + e

= hec 7 x - hcc 5 x + C.

452

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

10

Las integrales de la forma Jcot m x csc" x dx pueden hallarse de manera análoga. Finalmente, las integrales de la forma Jsen mx cos nx dx pueden hallarse apli­ cando las fórmulas para productos de senos y cosenos (Vea el apéndice 111), como se ilustra en el ejemplo siguiente.

J

Ejemplo 7

Encuentre

cos 5x cos 3x dx.

Solución

Podemos escribir cos 5:< cos 3:< = ~(cos 8:<

+ cos 2x).

Por lo tanto

J

cos 5:< cos 3x dx =

f

1

(cos 8x + cos 2x) dx

= ir; sen 8x +

*sen 2.\" + C.

10.2 EJERCICIOS Encuentre las integrales en los ejercicios del l al 30.

S sen 2 xcos 2 xdx

S cos 3 xdx

2

S sen 2 2xdx

3

5

S sen 3 xcos 2 xdx

6

Ssen

7 Ssenoxdx

9

S tan 3 x sec 4 x dx

10

Ssec 6 xdx

11

S tan 6 xdx

14

S cot 4 xdx

15

5X

cos 3 X dx

S tan 3 x sec 3 x dx

4

S cos 7 X dx

8

S sen 4 xcos 2 xdx

12 S tan 5 xsecxdx 3

13

S

cos X 16 S ---dx

sen x cos 3 x dx

Jsenx

17

S (tan x + cot X)2 dx

18

Seot

x esc 3 x dx

19

20

f

21

S sen 5x sen 3x dx

22

f' f'

24

S sen 4x cos 3x dx

25

S csc 4 x cot 4 X dx

27

S

cosx dx 2-senx

28

Jtan x - I dx sec 2 x

30

S~dx cot S x

23

tan 2 (7txj4)dx

f/

o 2 sen 3x cos 2x dx

sec2 x

3

29

S(I+tanx)

31

La región acotada por el eje x y el arco y = sen x entre x = O Y x = 7t gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del sólido resultante.

2

dx

3

o 4 sen x dx

o

4

cos x cos 5x dx

2

32 La región comprendida entre las gráficas de

y = tan 2x y y = O entre x = O Y x = 7t/4 gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del sólido resultante.

SUSTITUCION TRIGONOMETRICA 33

Suponga que la velocidad (en el tiempo 1) de un punto que se mueve a lo largo de una línea recta es COS 2 7t1 m/seg. ¿Qué distancia recorre el punto en 5 segundos?

10.3

10.3

453

34 La aceleración (en el tiempo 1) de un punto que se mueve a lo largo de una recta coordenada es sen 2 1 cos 1 m/seg 2 • En 1 = O el punto se en­ cuentra en el origen y su velocidad es 10 m/seg. Encuentre su posición en el tiempo l.

SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

J

Si un integrando contiene la expresión a 2 - x 2 donde a > O, entonces la susti­ , , ri tucion trigonomet ca x = a sen O nos lleva a

Ja

2

-

x2 =

Ja

2

a 2 sen 2 ()

-

= J a2 0 =

Ja

= a

2

sen 2 O)

cos 2 a

Icos 01.

Al hacer esta sustitución o cualquier otra de las sustituciones trigonométricas discutidas en esta sección, supondremos que Oestá en el rango de la función trigono­ métrica inversa correspondiente. Así, para la sustitución anterior donde usamos el 2 2 = cos O. Por su­ seno, -n/2 ~ O ~ n/2. Por lo tanto cos O ~ O Y 2 2 puesto, si a - x aparece en un denominador, restringimos aún más los valores de O, a saber, -n/2 < O < n/2.

Ja

J

Ejemplo 1 Solución

Encuentre

f

x2

Ja

1

2

-

x

2

x

a

dx, donde a > O.

Sea x = a sen O, donde -n/2 < O < n/2. Se sigue que

Como x = a sen O, tenemos que dx = a cos fJ d fJ. Sustituyendo en la integral dada,

f

I

x 2 Ja 2

_

x2

dx =

f

I

(a 2 sen 2 0)acosO

=

~2 fsen

=

~2

l2

f I

o dO

2

csc Oda

= -2cotO

a

a cos adO

+ C.

Ahora es necesario regresar a la variable de integración original x. Un método sencillo para hacer esto es utilizar el siguiente artificio geométrico. Si O < () < n/2, entonces como sen () = x/a, podemos interpretar () como un ángulo agudo de un triángulo rectángulo que tiene lado opuesto x e hipotenusa a (vea la figura 10.1). La longitud a 2 - x 2 del lado adyacente se calcula mediante el teorema de

J

454

10

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

x

.ja 2 - x 2 x=asenO Figura lO.]

Pitágoras. Refiriéndonos al triángulo vemos que cotO

J'a

x

2 2 =~--­ X

Puede demostrarse que esta fórmula es cierta también para -n/2 < () < O. Por lo tanto la figura 10.1 puede usarse cuando () es positivo y también cuando es negativo. 2 x 2 /x por cot Oen la integral obtenemos Sustituyendo

J'a

f x Ja

I

I

-:------r::::;=:===7 dx = - 2 ' 2

2

x

a

2

-

Ja

a2

_

(/2"(

2

x2

-

x x2

+e

+c.

J

Si un integrando contiene a 2 + x 2 , donde o > O, entonces la sustitución x = a tan O eliminará el signo de raiz cuadrada. Cuando usemos esta sustitución supondremos que () está en el rango de la función inversa de la tangente; es decir, -n/2 < () < n/2. En este caso

=

Ja

=

asec O.

2

sec 2 (}

Después de hacer esta sustitución y hallar la integral trigonométrica resultante, es necesario regresar a la variable x. Las fórmulas anteriores muestran que x

tan (} = -

a

y

\,/02+ X 2

sec() = --'------­ a

Al igual que en la solución del ejemplo 1, las funciones trigonométricas de (} pueden encontrarse por referencia al triángulo en (i) de la figura 10.2 tanto, cuando () es positivo como cuando (} es negativo.

SUSTlTUCION TRlGONOMETRlCA

10.3

x

x

2

l/

x

(i)

Ejemplo 2

Solución

Encuentre

f P+ 4

=

455

a tan O

(ji)

x = 2 tan8

Figura 10.2

x

2

dx.

Realicemos la siguiente sustitución:

x = 2 tan e, Por lo tanto

y

= f~2sec2ede f pdX 4+x 2 seC!7 2

=f secede = In Isec e + tan el + C. Como tan

e=

x/2 vemos en el triángulo en (ii) de la figura 10.2 que

sece=~ 2 y por lo tanto

f

1

~

dx=n I

xl

I~ +-+. e 2

2

La expresión del lado derecho puede escribirse In

1J4+"? + xl + e =

In

I~ + xl ­

In 2

J

+ C.

Como 4 + x 2 + x > Opara todo x, el signo de valor absoluto puede eliminarse. Si además definimos D = -In 2 + e, entonces

+x)+D. f pdx=ln(~ 4+x 2

456

10

METODOS DE lNTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

J

Para integrandos que involucran x 2 - a 2 sustituimos x = a sec O donde e se restringe al rango de la función inversa de la secante; es decir, O ~ O < n/2 o bien n ~ < 3n/2. En este caso

e

Jx2-a2=~~ 2 2 = Ja (sec e- 1)

Ja

=

2

tan 2 O

= a tan (J. Como sec (J =

,.­

~

y

a

se ve que para pasar de la variable en (i) de la figura 10.3.

(/

e a la variable x podemos referirnos al triángulo x

~

'.Jx"- a"

o

o

3

a x = a sec O

(i)

(ii)

x=3secfi

Figura 10.3

f FC9 ~

x

dx.

Ejemplo 3

Encuentre

Solución

Realicemos la siguiente sustitución: x

= 3 sec(),

dx = 3 sec U tan OdO.

Entonces tenemos

y por 10 tanto

f

Jx

2

-

9

f f = f

3 tan (J - 3 sec() tan ()dO 3 sec O

--"-----tlx =

x

=

=

3

tan 2 Ode

3

(scc 2 0 ­ l)dO

3(tan() ­ e)

+ C.

Como sec O = xf3, consultando el triángulo en (ii) de la figura 10.3, podemos escribir

SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

f JT-9 x

[P-=9 3

dx = 3

=

sec

10.3

457

-1 (X)J +e 3

P-=9 - 3sec- ' (i)

+ C.

Para referirnos a ellas más adelante, resumimos las sustituciones discutidas en esta sección en la siguiente tabla. Sustitución trigonométrica

Expresión dada Ja 2 2 Ja + Jx 2 -

x2 2 x a2

x = a senO x = alanO

x

= asecO

Las funciones hiperbólicas son útiles también para simplificar algunas in­ tegrales. Por ejemplo, cosh 2 u = 1 + senh 2 u, y por lo tanto, cuando el integrando contiene la expresión Ja 2 + x 2, la sustitución x = a senh u nos lleva a ja 2

+ x2 =

J a 2 + a 2senh 2 u

Ja20 + senh 2 u) 2 2 = Ja cosh u =

=

Ejemplo 4

Solución

Encuentre

fP

4+x

acosh u.

dx usando funciones hiperbólicas.

La integral dada es la misma que consideramos en el ejemplo 2. Hagamos la siguiente sustitución: x

=

2senh u,

dx

=

2cosh udu.

Entonces

y por lo tanto

f

p 4

+ x2

dX = f2 cos1 h u 2cosh udu =

f

du = u

+e

458

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

10

Aplicando la fónnula (9.51) se comprueba que esta solución es equivalente a la solución del ejemplo 2. Aunque ahora contamos con nuevos métodos de integración, el estudiante debe tener en mente los primeros. Por ejemplo, la integral J(x/J9 + x 2 ) dx podría evaluarse por medio de la sustitución trigonométrica x = 3 tan e. Sin embargo resulta más fácil usar la sustitución algebraica u = 9 + x 2 y du = 2x dx, pues con ella la integral toma la forma (i/2)JU- I / 2 du la cual puede integrarse inmediata­ mente por medio de la regla de las potencias. Los siguientes ejercicios incluyen algunas integrales que pueden hallarse usando métodos más simples que el de susti­ tución trigonométrica.

10.3 EJERCICIOS Encuentre las integrales en los ejercicios del l al 22. f

5

9

13

17

21

f

2 x dx J4 - x 2

2

l

f

(x2 _I 1)3/2 d X

10

f

2 J9 - 4x dx

14

dx

x3

f

r

J9x2

4

+ 49

+ .'(2)2 x

3

d

dx

x

18

22

3

x

6

x 2p-=25

f f

23-28

f J 427 dx

l d J4x 2 _ 25 x

x

I

dx

1 xJ25x 2

dx

4

x,j9+?

I d X3JX2 _ 25 x

fp+I f + f

I

f

7

f

11

f

15

dx

19

16

f f

x d J47 x

8

f

x

I

P+9

2

dx

f _ x - dx 2

x

f

+9

+1 X2)2 dx

12

x dx (16 - X2)2

16

fX~dx

20

f

(36

x4

1

P-=--3

d

x

1 d (16 _ X2)5/2 x

2 x (1 _ 9X2)3/2 dx

3x - 5 dx

F7

Utilice sustituciones trigonométricas para obtener las fórmulas de la (9.39) a la (9.44).

29 Calcule el volumen del sólido que se obtiene al girar la región acotada por las gráficas de y = x(x 2 + 25)-1/2, y = O Y x = 5 alrededor del eje y.

30

Calcule el área de la región acotada por la gráfica de y = x 3 (10 - X 2 )-1/2, el eje x y la recta x = l.

31 Calcule la longitud del arco de la gráfica de y = x 2/2 entre A(O, O) y B(2, 2).

32

Calcule el volumen del sólido que se obtiene al girar la región acotada por las gráficas de y = 1/(x 2 + 1), y = O, x = O Y x = 2 alre­ dedor del eje x.

33 Emplee una sustitución trigonométrica para calcular el área de la región acotada por la elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 •

34

Calcule el área de la región acotada por la hipérbola b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 y la recta que pasa por uno de sus focos y es perpendicular al eje transversal.

FRACCIONES PARCIALES 35 Suponga que y = f(x), x dy - ) Yf(4) = O. Encuentre f(x).

X

2

-

16 dx = O

10.4

459

36 Suponga que las variables x y y están relacio­ nadas entre si por medio de ~ dy = x 3 dx y que y = O cuando x = O. Exprese y como una función de x.

Encuentre las integrales en los ejercicios del 37 al 40 mediante sustituciones hiperbólicas. 37

39

f f

I x 2 )25 I

+ x2

dx

40

dx

X2~

f__

I _ dx

16 - x 2

(Sugerencia: Defina x = tanh u y utilice (9.48).)

41 Emplee sustituciones trigonométricas para demostrar las fónnulas 21, 27, 31, 36, 41 Y44 de la tabla de integrales de este libro.

10.4

FRACCIONES PARCIALES Es fácil verificar que 2

I

-1

-2--=--+--'

x -1

x-l

x+l

La expresión alIado derecho de esta ecuación se llama la de composición de 2/(x 2 - 1) en fracciones parciales. Esta descomposición puede emplearse para encontrar la integral indefinida de 2/(x 2 - 1). Para ello basta integrar independientemente cada una de las fracciones que forman la descomposición, obteniendo así

f

2 -2--dx x

-1

=

f

=

In Ix - 11 - In /x + 11 +

I

- -1d x x-l

+

f

--1 -dx x+l

e

x -11 + C. = In -

Ix+l

Teóricamente, es posible escribir cualquier expresión racional f(x)/g(x) como una suma de expresiones racionales cuyos denominadores son potencias de poli­ nomios de grado no mayor que dos. Concretamente, si f(x) y g(x) son polinomios y el grado de f(x) es menor o igual que el de g(x), entonces se sigue de un teorema de álgebra que (10.3)

f(x)

--=F.+F 2 +···+Fh g(x) donde cada F¡ tiene una de las dos formas siguientes A (px

+ q)m

o

ex + D (ox 2 + bx + ct

460

10

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

siendo m y n algunos enteros no negativos y en donde ax 2 + bx + c es irreducible en el sentido de que es una expresión cuadrática sin raíces reales, es decir, b 2 - 4ac < O. La suma al lado derecho de (10.3) se llama la descomposición en fracciones parciales def(x)jg(x) y cada una de las F¡ es una fracción parcial. No demostraremos este resultado algebraico sino que daremos reglas para obtener la descomposición. Para encontrar la descomposición en fracciones parciales de una expresión racionalf(x)jg(x) es necesario quef(x) tenga grado menor queg(x). Si éste no es el caso entonces debe emplearse la llamada división larga para llegar a una expresión tal. Por ejemplo dada la expresión x3

-

6x 2 + 5s - 3 x2 _ I

con la división larga obtenemos

x3

-

6s 2

+ 5x

2

S

-

- 3

l

=

X -

6

6s - 9

+ - 2--o x - 1

Ahora debe hallarse la descomposición en fracciones parciales de la expresión (6x - 9)j(x 2 - 1). Con el objeto de obtener la descomposición (10.3), comenzamos por expresar el denominador g(x) como un producto de factores de la forma px + q o expre­ siones cuadráticas irreducibles de la forma ax 2 + bx + c. Después agrupamos los factores repetidos de manera que g(x) queda expresado como un producto de factores distintos de la forma (px + q)m o (ax 2 + bx + c)n, donde m y n son en­ teros no negativos y ax 2 + bx + c es irreducible. Finalmente, aplicamos las reglas siguientes.

Regla l. Por cada uno de los factores de la forma (px + q)m donde m ~ 1, la descomposición (10.3) contiene una suma de m fracciones parciales de la forma

Al px+q

--- +

A2 (pX+q)2

A (px+q)m

m + ... + --"'-­

donde cada A¡ es un número real. Regla 2. Por cada uno de los factores de la forma (ax 2 + bx + e)" donde n ~ l Y b 2 - 4ac < O, la descomposición (10.3) contiene una suma de n fracciones parciales de la forma

Alx + B I ax + bx + c

----,,...:---,------------=---2

+

A 2x + B2 (ax 2 + bx + e)2

Anx + Bn + ... + -~----,--:.:....-..(ax 2 + bx + el"

donde para cada i, A¡ Y B¡ son números reales.

Ejemplo 1

Encuentre

f

4X 2 + 13x - 9 3 2 dx. x + 2x - 3x

FRACCIONES PARCIALES

Solución

10.4

461

El denominador del integrando tiene la forma factorizada x(x + 3)(x - 1). Cada uno de los factores lineales se maneja de acuerdo con la regla 1, con m = l. Así, al factor x le corresponde una fracción parcial de la forma A/x. Análogamente, a los factores x + 3 y x - 1 les corresponden fracciones parciales B/(x + 3) y C/(x - 1), respectivamente. La descomposición (10.3) tiene por lo tanto la forma 4:<2'+13x-9

A

+ 3)(x

x

---,------,---- = -

x(x

- 1)

B

C

+ -- + -­ x +3 x - I

Multiplicando por el mínimo común denominador obtenemos 4x 2 + 13x - 9

(10.4)

= A(x +

3)(x - 1) + Bx(x - 1) + Cx(x + 3).

En un caso como éste en el que los factores son lineales y no se repiten, los valores de A, By C pueden hallarse sustituyendo valores de x para los cuales se anulan ciertos factores. Si tomamos x = O en (10.4), entonces

o

-9 = -3A Tomando x

=

A = 3.

1 en (10.4) obtenemos 8 = 4C

o

C = 2.

Finalmente, con x = - 3, obtenemos -12= 12B

o

B=-1.

La descomposición en fracciones parciales es, por lo tanto, 4x 2 + 13x - 9 x(x+3)(x-l)

3 x

- 1 x+3

2

- - - - - - = - + - - + --o x-l

Integrando,

+ l3x - 9 dx = f~dX + f--=...!..-dX + f-2_ dx

f x(x+3)(x-l) xx+3 x-I 4X2

= 3 In Ixl -

In Ix + 31 + 2ln Ix -

11

+D

Otro método para encontrar los valores de A, B y C consiste en comparar los coeficientes de las potencias de x. Si desarrollamos el lado derecho de (10.4) y agru­ pamos las potencias iguales de x, obtenemos 4x 2 + 13x - 9

= (A + B + C)x 2 + (2A - B + 3C)x - 3A.

Usamos ahora el hecho de que si dos polinomios son iguales, entonces los coe­ ficientes de las potencias iguales deben ser iguales. Por lo tanto

462

10

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

¡

A+B+ C=

2A - B

+ 3C

4

=

13

=

-9.

-3A

Se deja como ejercicio al lector comprobar que la solución de este sistema de ecua­ ciones es A = 3, B = - I Y C = 2.

J• 3x (x +18x1j(x+- 29x2) 3

2

-

4

Exemplo 2

Encuentre

Solución

Según la regla 1, hay una fracción parcial de la forma A/{x + 1) correspondiente al factor x + l en el denominador del integrando. Para el factor {x - 2)3 aplicamos la regla. I (con In = 3), obteniendo asi una suma de tres fracciones parciales: B/{x - 2), C/{x - 2)2 y D/{x - 2)3. Por consiguiente, la descomposición (10.3) tiene la forma

3

3x 3

-

18x 2

+ 29x

dx.

- 4

A

BCD +----,; 2)2 (x - 2)3'

---------:--=--+--+ (x + l)(x - 2)3 x + 1 x - 2 (x Multiplicando ambos lados por {x

(10.5)

+

l)(x -

2)3 obtenemos

3x 3 - 18x 2 +29x-4 =

A(x -

2)3

+ B(x + l)(x -

+

2)2

C(X

+ l)(x -

2)

+ D(x +

1).

Dos de las constantes desconocidas pueden determinarse fácilmente. Si tomamos x = 2 en (10.5), entonces 24 - 72

+

Análogamente, tomando x

58 - 4

= -

-3 - 18 - 29 - 4

=

= 3D,

6

= 3 D,

y

D = 2.

I en (10.5),

-54

-nA,

=

-27A.

Y

A = 2.

Las otras constantes pueden encontrarse comparando coeficientes. Si se desarrolla el lado derecho de (1O.5) y se agrupan las potencias iguales de x, vemos que el coe­ ficiente de x 3 es A + B. Este debe ser igual al coeficiente de x 3 en el lado izquierdo, es decir

A

+

B

=

3.

Como A = 2, concluimos que B = 3 - A = 3 - 2 = l. Finalmente comparamos los términos constantes en (1O.5) tomando x = O. Esto nos da la ecuación

-4 = -8A + 4B - 2C + D. Sustituyendo los valores encontrados de A, B Y D llegamos a

-4 = -16 + 4 - 2C + 2 que tiene la solución C = - 3. La descomposición en fracciones parciales es, por lo tanto,

3x 3 - 18x 2 + 29x - 4 (x+l)(x-2)3

2

1

- 3

x+l

x-2

(X-2)2

---------:--=--+--+

2

+-------=­

(X-2)3'

FRACCIONES PARCIALES

10.4

463

Para encontrar la integral dada integramos cada una de las fracciones parciales en el lado derecho de la ecuación anterior. Esto nos da 3 1 21n Ix + 11 + In Ix - 21 + - - 22 +E x - 2 (x - ) que puede escribirse en la forma más compacta In (x + 1flx - 21 +

f

3x - 7 2 2 + E.

(x -

)

X2 - X - 21 3 2 8 dx. 2x - x + x - 4

Ejemplo 3

Encuentre

Solución

El denominador puede factor izarse por agrupamiento como sigue: 2x 3

-

x 2 + 8x - 4 = x 2 (2x - 1) + 4(2x - 1) = (x 2 + 4 )(2x - 1).

Aplicando la regla 2 al factor cuadrático irreducible x 2 + 4 vemos que una de las fracciones parciales tiene la forma (Ax + B)/(x 2 + 4). Según la regla 1, hay tam­ bién una fraccion parcial Cj(2x - 1) correspondiente al factor 2x - l. Por con­ siguiente x2

2x

3

-

21 Ax + B e 2 x + 8x - 4 = x + 4 + 2x - 1

-

X -

2

Como en ejemplos anteriores, a partir de esto llegamos a x2

(10.6)

-

X -

21 = (Ax + B)(2x - 1) + C(x 2 + 4).

Sustituyendo x = 1/2 obtenemos (1/4) - (1/2) - 21 = (l7/4)C, que tiene la so­ lución C = - 5. Las constantes restantes pueden encontrarse comparando coe­ ficientes. Rearreglando el lado derecho de (10.6) obtenemos x2

x - 21 = (2A + C)x 2 + ( - A + 2B)x - B + 4C.

-

Comparando los coeficientes de x 2 vemos que 2A + C = 1. Como C = -5 resulta que 2A = 6 o A = 3. Análogamente, comparando los términos constantes, - B + 4C = - 21 Y por lo tanto - B - 20 = - 21 o B = 1. Por consiguiente, la descomposición en fracciones parciales del integrando es x 2 -x-21

2x

3

-

x2

+ 8x - 4

3x+l

x

-5

+ --­ + 4 . 2x - 1

= -2 - -

-~-,,----

3x

= -x-2 -+-4 +

1 5 -x2 -+-4 - -2x---1'

La integral dada puede ahora encontrarse integrando el lado derecho de la ecuación anterior. Esto nos da 3 2 1 1 x 51 -In(x + 4) +-tan- - - - nl2x - 11 + D. 2 2 2 2

464

lO

Ejemplo 4

Encuentre

Solución

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

f

+ 7x

5X3 - 3x 2 (x

2

- 3

2

+

1)

Aplicando la regla 2 con n

dx.

= 2,

y por lo tanto

5x 3

-

3x 2

+ 7x

- 3 = (Ax

+ B)(x 2 +

+ Cx + D

1)

o

+ Bx 2 + (A + C)x + (B + D). Comparando los coeficientes de x 3 y los de x 2 obtenemos A = 5 Y B = - 3. Com­ parando los coeficientes de x vemos que A + C = 7 o e = 7 - A = 7 - 5 = 2. Finalmente, el término constante nos da B + D = - 3 o D = - 3 - B = 5x 3

3x 2

-

+ 7x

- 3

=

Ax 3

- 3 - (- 3) = O. Por lo tanto

+ 7x + 1)2

5:<3 - 3x 2 (x 2

- 3

5x - 3

= -2- -

x

+

1

5x

2x

+ ----,¡----. (x 2 + 1)2 3

2x

=-----+----.--,----,­ x2 + 1 x2 + 1 (x 2 + 1)2' Integrando obtenemos

f

5X3 -

3x (x

2

2

+ 7x 2 + 1)

- 3

._

5.2

d"\ - }ln(x

+

1) - 3tan

1 .\ - -2-- +E. x + 1

- 1 •

10.4 EJERCICIOS Encuentre las integrales en los ejercicios del I al 32.

f 5x - 12 dx x(x - 4) 4

7

10

13

15

f

4x

+ 54x + 134 dx 1)(.'0' + 5)(.'0' + 3)

2

(x -

f

2

.'0'+ 16 d x 2 + 2x _ 8 X

f4.'o' xJ

2

-

-

8

3

f6X - 1I dx (x - 1)2 f

6

llx + 2 dx 2x 2 - 5x - 3

9

2

5.'0' - 15 d>: 4x 2 - 5.'0' -

11

f 9.'o'~ + 17x J + 3x 1 - 8x . x 5 + 3x 4

f

5

x + 34 dx (x - 6)(x + 2)

f

+3

f2x - 25x - 33 dx (x + 1)2(X - 5) 14

tlx

f

12

(x+W

x + 3x + 3x + 63 (x

2

- 9)

2

dx

16

f-_1_5dx (x -7)

17

37 - Ilx dx (x + I)(x - 2)(x - 3)

f - 19x 2 + 50x - 25 lJ,; x 2(3x - 5) ­

f

5x

2

10x - 8 dx 4x

-

xJ

f2x

-

2 -

xJ

5x 2 + 30.'1' + 43

2

J

f

-

12x + 4

eh 4x 2 ­

ti,

­

5.'1'2 + I 1x + 17 dx f x J + 5x 2 + 4.'1' + 20

EXPRESIONES CUADRATICAS 18

f 4x

3

2 3x + 6x - 27 4 2 tlx x + 9x

-

2 f 'X + 3x , + I d x 4 + 5x2 + 4 x

19

3

21

24 27

29 31

f2x + 10x 2 2 tlx (X + 1)

22

rX4 +3 2x 2 + 3 tlx

25

x - 4x

2X 3

5x 2 + 46x + 98 ti>; 2 (x +x-12)2 ­

4x 3

+ 2x 2

J

f f

f

2 + 2x + 4x + I tlx 2 (X + 1)3

4 X

fX

20 23

f

465

10.5

4x tlx (x 2 + 1)3 ­

fX

3

+ 3x - 2 2 dx X

X

3 - x + 1 d>; x 4 + 9x 2 ­

ó

26

f (x 2

-~ 4)2 tlx

-

5x - 18

-

----,------~-tlx

+

(x - 4)(x

2X4 - 2x X

3

3

1)3

+ 6x 2

-X

Z

-

5x + I tlx

+x-I

Use fracciones parciales para hallar las integrales en los ejercicios del 33 al 36 (vea las fórmulas 19,49,50 Y52 en la tabla de integrales de este libro). 33

f-z-l_z

37

Sea f(x) = x/(x z - 2x - 3). Calcule el área de la región bajo la gráfica defentre x = OYx = 2.

38 Calcule el volumen del sólido que se obtiene al girar la región acotada por las gráficas de y = I/(x - 1)(4 - x), y = O, x = 2 Y x = 3 alrededor del eje y.

39

Calcule el volumen del sólido que se obtiene al girar la región descrita en el ejercicio 38 alre­ dedor del eje x.

40

a - u

10.5

du

34

f

1 ¡I(a

+ bu)

tlu

36

35

f

I u(a

. tlu

+ hU)2

Suponga que la velocidad de un punto que se mueve a lo largo de una recta coordenada es (1 + 3)/(1 3 + 1) m/seg, donde 1 se expresa en segundos. ¿Qué distancia recorre el punto durante el intervalo de tiempo [1, 2J?

EXPRESIONES CUADRATICAS La descomposición en fracciones parciales puede llevar a integrandos que con­ tengan una expresión cuadrática irreducible ax 2 + bx + c. Si bolO, a menudo es necesario completar el cuadrado como sigue:

ax 2 + hx + e = a(.\2 + ~ =

La sustitución u

Ejemplo 1

Encuentre

f

z

=x +

+e

a(x + ~) 2 + e _ 2a

~~.

4a

b/2á puede llevarnos entonces a una forma integrable.

2x - l

x - 6x

x)

+ 13

dx.

466

10

Solución

Note que la expresión cuadrática x 2 - 6x + 13 es irreducible ya que b 2 -16 < O. Completamos el cuadrado como sigue: .\:2-6.\:+13=(x 2 -6.\: )+13

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

=

(.\:2 _

dx =

2x - 1 3)2

+4

4ac

6x + 9) + 13 - 9 = (x - 3)2 + 4.

Si tomamos u = x - 3, entonces x = u

f (x -

-

f2(U

+

+ 3) +4

3, dx = du, y por lo tanto l du

u2

=

f2U

u2

f

+ 5 du +4

f

2u I = -2--dll + 5 -2--du u +4

+4

11

u

= In(u 2 + 4) + ttan- I - + 2

e 3

x

5 I = In(x-, - 6x + 13) + ltan- - + C.

2

El método de completar el cuadrado puede usarse también cuando la expresión cuadrática aparece bajo un signo de raíz cuadrada.

f----r====~dX. 2

Ejemplo 2

Encuentre

Solución

Podemos completar el cuadrado en la expresión cuadrática 8 sigue:

8

+ 2x

- x

8 + 2.\: - x 2

=8-

(x 2

-

2x) = 8 + 1 -

(.\:2 -

= 9 - (.y -

Ahora, tomando u = x -

l tenemos du

+ 2x - x 2

como

2x + 1)

1)2

= dx y por lo tanto

= sen

u

,-1 -

3

+e

1X -

1

= sen - - - + C. 3

En el ejemplo siguiente se necesita hacer una sustÍtución trigonométrica des­ pués de completar el cuadrado.

Ejemplo 3

Encuentre

f

---¡=::===== d.\:. .\:2

+ 8x +

25

EXPRESIONES CUADRATlCAS

Solución

10.5

467

Completamos el cuadrado en la expresión cuadrática como sigue: x 2 + 8.\ + 25

= (x 2 +

) + 25

8x

= (x 2 + 8x + 16) + 25 - 16 =(X+4)2+9. Por lo tanto

Si ahora hacemos la sustitución trigonométrica x

+ 4 = 3 tan O

dx

= 3 sec 2 OdO

entonces

y por lo tanto

J

J

_1- 3 sec 2 OdO

--;=:;==1= = = dx =

Jx 2 + 8x + 25

3secO

=

f

sec OdO

= In IsecO + tan 01 +

C.

Para regresar a la variable x usamos el triángulo en la figura 10.4. Esto nos da

f

1 Jx + 8.'< 2

d

+

25

x=ln I

J

.'<2

+ 8x + 25 +x +41 + e 3

= In IJx 2 + donde D

=e -

3

8x

+ 25 + x + 41 + D

In 3.

x

3 x

+

4

=

3 tan

e

Figura 10.4

+

4

468

10

METODOS DE INTEGRACION y APLlCAC[ONES DE LA [NTEGRAL

10.5 EJERCICIOS Encuentre las integrales en los ejercicios del l al 14.

•

Jx 4

7

[O 13

f

1 2

x2

4x + 8

-

dx l 2x + 2

f-J-Ix4

f ' 2x

_

5

8

dX

x - I

f

2

dx

-

J

11

dx l 4x + 13x 2

2 -

dl( 3x + 9 -

14

I

f f

dx

3

2x + 3 tlx J9 - 8x - x 2

6

7 + 6x - x 2

J

r -J--dx x

9

• x - 1

f f

d.,; 1 (x 2 + 6x + 13)31 2 "

(x 2 +

2x 2x +

15 Calcule el área de la región acotada por las gráficas de y = (x 3 + 1)-1, y = O, x = O Y

Calcule el volumen dei sólido resultante al girar la región descrita en el ejercicio 16, alrededor del eje y.

10.6

4x - x 2

dx

x+5 dl( 9x 2 +6x+17 ~

1

(x 2 + 4x +

dx 5)2

­

Jx(6 - x)dx

dx 5)2

16

Calcule el volumen del sólido que se obtiene al girar la región acotada por la gráfica de y = 1/(x 2 + 2x + 10), los ejes coordenados y la recta x == 2, alrededor del eje x.

18

La velocidad (al tiempo 1) de un punto que se mueve a lo iargo de una recta coordenada es (75 + 101 - (2)- 1/2 m/seg. ¿Qué distancia re. corre el punto durante el intervalo de tiempo [O, 5J?

x=1. 17

12

f f f f

SUSTITUCIONES DIVERSAS Frecuentemente hemos usado un cambio de variable como ayuda para haBar una integral definida o indefinida. En esta sección presentaremos algunas sustituciones adicionales que son útiles en ciertas ocasiones. El primer ejemplo indica que si una integral contiene una expresión de la forma f(x), entonces una de las sustituciones u = o u = f(x) puede simplificar la evaluación.

::1

::!1W

Ejemplo 1

Encuentre

f~dX. x +4 3

Solución 1

2

La sustitución u = ~ x 2 + 4 nos Beva a las siguientes ecuaciones equivalentes u = Jlx 2

+ 4,

u3 = x 2

+ 4,

x2

== u 3

-

4.

Tomando la diferencial en ambos lados de la última ecuación obtenemos

Ahora sustituimos en la integral dada como sigue:

SUSTITUCIONES DIVERSAS

J,jx + 2

J

_J-==X=3=dX 3 X

2

+4

=

2

=~J(U4 =

·xdx

X

H~U5

4

-4u)du

2 2U )

-

3

= _U 2 (U 3 10

Solución 2

+e

10)

-

+e

Si sustituimos u en lugar de la expresión bajo el radical, entonces u 2x dx

= x2 + 4

x2 =

= du

x dx

4

U -

= -tdu.

En este caso podemos escribir

=

~

J

(u 2J3 ­ 4u-

= ~nU5/3

­ 6u

3

= _U 2/ 3 [U 10

­

113

2J3

10J

Ejemplo 2 Solución

Encuentre Sea z

Jfi + .y; x

1

3

= ~. Entonces

x

dx.

+e

]

+e

3 2 = _(x + 4)2/3(X 2 10

)du

-

6)

+ C.

10.6

469

470

lO

METODOS DE INTEGRAClON y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

y

f

f-3-

1

fix+1 .y:;x dx =

5

-2 6z d: = 6 z+z

3

f~1 dz. z+

Efectuando la división larga, Z3

-- =

z+ I

I

Z2 - Z + I - _ _ z+ I . o

Por consiguiente

f fi

I x+

.y:; dx =

6

3 X

f

[Z2 -

Z

+ I - _I_J dz z+1

=6(~z3_1z2+z-lnlz+II)+C

= 2fi -

3~

+ 6.y-; -

6In(.y-;

+ 1) + C.

Si un integrando es una expresión racional en sen x y cos x, entonces la susti­ tución z = tan (x/2) con -1[ < x < 1[, la transformará en una expresión (alge­ braica) racional en z. Para demostrar esto notemos primero que cos(x/2) =

I scc(x/2)

=

I

JI

I

+ tan 2 (x/2)

sen (x/2) = tan (x/2) cos (x/2) = z

=,

~

I

~.

vI + z2

Por consiguiente sen x = 2 sen (x/2)cos(x/2) cosx = I - 2 sen 2 (x/2) = Más aún, como x/2

=

2z 1+ Z 2z 2 l - --, 1+ r = --2'

tan-Iz, tenemos que x

=

I - Z2 =

--2'

1+ z

2 tan-Iz y por lo tanto

2 dx =--2dz.

I+z

Se sigue que reemplazar sen x, cos x y dx por

(10.7)

sen x =

2z --2'

I+z

I -

COSX

Z2

produce un integrando que es una expresión racional en z.

Ejemplo 3

Encuentre

f

I

4 sen x - 3 cos x

dx.

2

= - - 2 ' dx =--2dz I+z I +z

SUSTITUCIONES DIVERSAS

Solución

471

10.6

Aplicando (10.7) Ysimplificando el integrando,

J

1

4senx-3cosx .

dx =

=

J

1

2

dZ 2 (2Z) (I_Z )·1+Z2 4---3-­ 1 + Z2 1 + Z2 2

J

8z - 3(1 - Z2)

=2

dz

I dz. 3z + 8z - 3

J

2

Desarollando en fracciones parciales,

1

3z 2 + 8z - 3

l( 3

1)

= 10 3z - 1 - z + 3

y por lo tanto

J

1

-4-se-n-x----3-C-O-S-X dx

=~

J(-3Z-~-1

- -z+_1-3) dz

1 = 5"(ln 13z - 11 - In Iz + 31) + =

e

~ In 1_3Z_-_1 I + e z+3

5

= ~In 13 tan (x/2) - 11 + c. 5 tan (x/2) + 3 Otras sustituciones pueden ser útiles también; sin embargo es imposible enunciar reglas que se apliquen en todas las situaciones posibles. El que uno pueda o no expresar un integrando de manera adecuada depende frecuentemente del ingenio personal.

10.6 EJERCICIOS Encuentre las integrales en los ejercicios del l al 26.

1

5

9

fXVX+9dX f J/x+4 dx f l

6f dx

(x+I)F=2 12

fX X

I 3 / 1/3

+ I

dx -1

I

J4 +.Ji 10

f

dx

3

f

d

7

f I+~ fi dx

x

~hx

+ 2 x

+3 v' 1 + 2x 2x

I ~dx

11

f e dx

4

f (x +5x3)2/3 dx

8

f

f (x x++4)1/3 l d x

2x

14

VI + ~

I

~+~

15

f --dx eh ~+4

dx

472 16

10

d

sen 2x

fJI + f f+ f +

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL x

17

sen x

19 21

24

(Sugerencia:

x dx (x _ 1)6

2

1

sen x

tan x

10.7

1

25

dx

sen x

sen

Defina u

22

dx

f

fi+4 dx x -

=

f + f

l.)

18

f

20

+ 4)1

o dx

23

sec x dx 4 - 3 tan x

26

1

2cosx

dx

(Sugerencia:

X2

(3x

dx

3

f fie./X

Defina u

f + f 1

=

3x

+ 4.)

1 dx sen x + cos x

sen x _

~!3cosx dx

TABLAS DE INTEGRALES Los matemáticos y los científicos que usan integrales en su trabajo frecuentemente utilizan las tablas de integrales. Muchas de las fórmulas que aparecen en esas tablas pueden obtenerse con los métodos que hemos estudiado. En general, el estudiante no debe usar las tablas hasta que haya desarrollado suficiente experiencia con los métodos de integración normales. En efecto, en el caso de integrales complicadas, para obtener integrandos que aparezcan en las tablas, frecuentemente se necesita hacer sustituciones, o usar fracciones parciales, integración por partes u otros métodos. Los siguientes ejemplos ilustran la manera en que se usan varias de las fórmulas en la pequeña tabla de integrales impresa en el interior de las cubiertas de este libro.

f

Ejemplo 1

Encuentre

Solución

La forma del integrando sugiere que usemos la parte de la tabla en la que aparece la expresión Ja 2 + u 2 . En particular la fórmula 28 afirma que

l . dx, donde x > O. x 2 J3 + 5x 2

f

du ---:----¡=c;=======:o 2 u Ja 2 + u2

=

-

Ja 2 + u 2 + 2 a u

e

donde la diferencial du se ha colocado en el numerador en lugar de aliado derecho del integrando con el propósito de hacer más compacta la expresión. Para poder usar esta fórmula necesitamos ajustar el integrando dado, de manera que coincida exactamente con el de la fórmula. Si tomamos a 2 = 3 Y u 2 = 5x 2 entonces la expresión bajo el radical adquiere la forma deseada; sin embargo también necesitamos que aparezcan: (i) u 2 a la izquierda del radical (ii) du en el numerador.

Podemos lograr (i) escribiendo la integral como

TABLAS DE INTEGRALES

473

10.7

Para lograr (ii) notamos que u=.j5x y escribimos la integral como 1 5._

.j5

f

.j5 dx

du

y

.j5dx 5x 2 J3

+ 5x 2 .

Ahora el integrando coincide exactamente con el de la fórmula 28. Por lo tanto

f

1

x 2 J3 + 5x 2

J3 + 5X 3(J5:<}

dx =.j5[

= -

2

J+

C

J 3 + 5x 2 + C. 3:<

Con el objeto de cuidarse de los errores algebraicos, cuando se usen las tablas de integrales es conveniente verificar las respuestas, derivándolas.

f

x 3 cos x dx.

Ejemplo 2

Encuentre

Solución

Usamos primero la fónnula de reducción 85 en la tabla de integrales, con n Y u = x, obteniendo

f x 3 COS x dx =

=3

x 3 sen x - 3 f x 2 sen x dx

Después usamos la fónnula 84 con n = 2, Y luego la fónnula 83, obteniendo fx 2se nxdx = -x 2 cosx + 2 f xcosxdx - x 2 COS x

+ 2 [cos x + x sen x] + C.

Sustituyendo en la primera expresión obtenemos f x 3 COS x dx = x 3 sen x

+ 3x 2 COS x

- 6 cos x - 6x sen x

+ C.

Este resultado puede verificarse por derivación.

10.7 EJERCICIOS Use la tabla de integrales impresa en el interior de las cubiertas de este libro para hallar las integrales en los ejercicios del l al 20.

f

J 4 + 9x 2 dx

2

f

l dx xJ2 + 3x 2

3

f

2 - 3x dx

6

fX2~dX

7

f sen 6 3x dx

x

5

fx

(16 - X2 )3/2 dx

2

4x 2 - 16dx

4

fX

8

f xcos 5 (x 2 )dx

474

\O

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

f csc 4 X dx

\O

f sen 5x cos 3x dx

11

fx sen -

13

fe -)x sen 2x tlx

14

fx 5 1nxdX

15

JJ5X - 9x dx x-

17

J

18

J

19

f e 2x cos - 1 eX dx

20

f sen 2 xcos) xtlx

9

IX

elx

12

2

---dxx 5x 4 - 3 .

10.8 MOMENTOS

cosx

16

J

x 2 tan -

f~

I X

dx

I

3x - 2x 2

dx

sen 2 x - 4 dx

y CENTROS DE MASA DE REGIONES

PLANAS

En el capítulo 6 consideramos algunas aplicaciones de la integral definida. En esta sección y en la próxima discutiremos algunas otras aplicaciones. Sea I una recta coordenada y P un punto sobre I con coordenada x. Si una partícula de masa m se coloca en P, entonces el momento (o más precisamente el primer momento) de la partícula con respecto al origen O se define como el pro­ ducto mx de la masa y la distancia dirigida del origen a P. Supongamos que I es horizontal con la dirección positiva hacia la derecha e imaginemos que I puede girar libremente alrededor de O como si un punto de apoyo se colocase según se muestra en la figura 10.5. Si un objeto tiene toda su maSa rn ¡ concentrada en un punto con coordenada positiva Xl' entonces el momento m ¡ x 1 es positivo, y el peso del objeto hace girar a I en la misma dirección que las manecillas del reloj.

Figu"a /0.5

Si un objeto de masa rn2 está colocado en un punto con coordenada negativa x 2 , entonces su momento 111 2 X 2 es negativo y hace girar a I en la dirección contraria a la del movimiento de las manecillas del reloj. Se dice que el sistema que consta de ambos objetos está en equilibrio si mlx¡ = m2 1x 2 1. Como x2 < 0, esto es equi­ valente a rn 1 x 1 = - m 2 x 2 , o

es decir, la suma de los momentos con respecto al origen es cero. Esta situación es análoga a la de un subibaja que se balancea en el punto O cuando dos personas de masas m ¡ Y m 2 se colocan en x ¡ y x 2 respectivamente, como se muestra en la figura 10.5. Si el sistema no está en equilibrio, como en la figura 10.6, existe un punto de "balance" P con coordenada x, en el sentido de que ml(x¡ - x) =

donde IX 2

-

xl

-(x 2

-

miX:2 -

xl

x) ya que X2 < x.

= -11J2(X2 - x)

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA DE REGIONES PLANAS

•

O

p

O

x

•

X2

+

•

475

XI

J\

Y IX2

10.8

Y

-xl

XI

­

-x

Figura /0.6

Para localizar P podemos despejar ml(.x¡ - x) mlxl

+ m2x2

(lO.S)

x como sigue

+ m2(x2 - x) = O - (mi + m 2)x = O (mi + m2)X = m¡x. + m2x2 mlxl + m2 x 2 _ x= mi + m2

Por lo tanto, para encontrar x dividimos la suma de los momentos con respecto al origen por la masa total m = mI + m 2 . El punto x se llama el centro de masa (o centro de gravedad) del sistema. De manera más general, si un sistema consta de n partículas con masas mI' m 2 , ••• , m. colocadas en los puntos de I con coordenadas XI' X 2 , . . • , x.' respecti­ vamente, entonces la suma de los momentos 1:7= 1 m¡x¡ se llama el momento del sistema con respecto al origen. Si m = 1:7= 1 m¡ denota la masa total del sistema, entonces por analogía con (\0.8) definimos x por medio de

•

L:

x = i=1

(10.9)

m¡x¡

o

mx

m

=

•

L: m¡x¡. ¡= 1

El número mx puede considerarse como el momento con respecto al origen de una partícula de masa m localizada en el punto con coordenada x. La segunda fórmula en (10.9) afirma que x es la posición en donde podria concentrarse la masa total m sin cambiar el momento del sistema con respecto al origen. El punto con coorde­ nada x es el punto de balance del sistema, en el sentido de nuestra ilustración del subibaja, y se llama el centro de masa (o centro de gravedad) del sistema. Si x = O, entonces por (10.9) 1:7= Im¡x¡ = O Y se dice que el sistema está en equilibrio. En este caso el centro de masa es el origen. Ejemplo 1

Tres cuerpos de masas 40, 60, Y 100 unidades se colocan sobre una recta coor­ denada I en los puntos de coordenadas -2, 3, Y 7 respectivamente. Calcule el centro de masa del sistema.

Solución

Si denotamos las tres masas por mI' m 2 Y m 3, entonces tenemos la situación que se ilustra en la figura 10.7, donde XI = -2, X 2 = 3 Y X 3 = 7. Aplicando (10.9), m¡ = 40

•

'- 2

n/3

o

I 3

Figura /0.7

= 100 + 7

476

10

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

+ 60(3) + 100(7) ­ + 60 + lUO + 180 + 700 800

-: _ 40( -2) .\ 40 - 80

-

---4

200

- 200 -

.

Los conceptos anteriores pueden generalizarse a dos dimensiones como sigue. Sean mi' m 2 , . . • , m" las masas de n partículas colocadas en los puntos p¡(x¡, y¡}, P 2 (X 2 , Y2), ... , Pn(x n, Yn) respectivamente, sobre un plano coordenado, como se ilustra en la figura 10.8. El momento de la ;-ésima partícula con respecto al eje x se define como mi Yi' es decir, el producto de la masa y la distancia dirigida del eje x al punto. Análogamente, el momento de la ;-ésima partícula con respecto al eje y se define como m¡x¡. Ahora definimos los momentos M;r y M y del sistema con respecto al eje x y al eje y respectivamente, como (10.10)

M;r

=

¿

n

m¡y¡

y

My

¿

=

m¡x¡.

¡= I

¡= 1

En palabras, para calcular M;r multiplicamos la masa de cada partícula por su dis­ tancia dirigida al eje x y sumamos todos los productos. Para M y usamos las distancias dirigidas al eje y. y 1/11

• )',.

- -

-­

I/Ii

- - -

~

1(,... y.)

1 .. "

[

I I I

x • 1/1]

• 1/1"

F;Kura 10.8

En analogía con (10.9), si m = I? = 1 mi denota la masa total del sistema, entonces el centro de masa (o centro de gravedad) del sistema es el punto P(x, ji) definido a través de las ecuaciones (10.11)

m.x =

My Y mjl

=

Mx .

El número mx puede considerarse como el momento con respecto al eje y de una partícula de masa m colocada en el punto P(x, ji), y my puede pensarse como el momento con respecto al eje x de la misma partícula. Por consiguiente, las ecuaciones (10.11) implican que el centro de masa del sistema de partículas es el punto en el que podría concentrarse toda la masa sin alterar los momentos del sistema con respecto a los ejes coordenados. Para adquirir una imagen íntuitiva de esta situación podemos pensar que las n partículas están unidas al centro de masa P por medio de barras

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA DE REGIONES PLANAS

10.8

477

rígidas sin peso, tal como los rayos de la rueda de una bicícleta se unen a su eje. El sistema quedaría balanceado si se colgara del techo de un cuarto con una cuerda amarrada al punto P, como se ilustra en la figura 10.9. Su apariencia sería parecida a la de un móvil; en nuestro caso todos los objetos del móvil están en el mismo plano horizontal.

m" 11/1

1/1:)

/1/2

Figura 10.9

Ejemplo 2

Cuatro partículas con masas de 4, 8, 3, Y 2 unidades están colocadas en los puntos PI ( - 2, 3), P 2 (2, - 6), P 3 (7, - 3) Y P 4(5, 1) respectivamente. Calcule los momentos M x Y M y Y las coordenadas del centro de masa del sistema.

Solución

El sistema se ilustra en la figura 10.10, en donde además hemos trazado con anti­ cipación la posición de (.~, JI). Aplicando (lO. 10), M,

MI'

Como m

=

4

= (4)(3) + (8)(-6) + = (4)( -2) + (8)(2) +

(3)(-3)

(3)(7)

+ (2)(1) =

-43

+ (2)(5) = 39.

+ 8 + 3 + 2 = 17, se sigue de (10.11) que MI' 39 x = -' =-:::: m 17

2.3

_

Mx

.v=-= m

'

43 17 :::: -2.5.

y mi

= 4

• (- 2,

3) m4

=2 • (5, 1) I

m)

I

=3

•

(7, -3)

=8 • (2, -6)

11/2

Figura 10.10

•

x

478

10

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Consideremos ahora una hoja delgada de cierto material (una lámina) que es homogénea, es decir, tiene densidad constante. Deseamos definir el centro de masa P de manera que sea el punto de balance, en un sentido análogo al de los sistemas de partículas. Si una lámina tiene la forma de un rectángulo es evidente que su centro de masa está en la intersección de las diagonales. Si la lámina rectangular está en el plano xy suponemos que toda su masa puede concentrarse en el centro de masa sin que se alteren los momentos con respecto al eje x y al eje y. Consideremos una lámina que tiene la forma de una región del tipo ilustrado en la figura 10.11, donde f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Hacemos una partición de [a, b] escogiendo n números a = xo < XI < ... < X n = b, Y para cada ¡escogemos W¡ como el punto medio del intervalo [X;_I' x;], es decir, W¡ = (X¡-1 + x¡)f2. La suma de Riemann L7=1 f(w¡) ~x¡ puede pensarse como la suma de las áreas de ciertos rectángulos como el que se muestra en la figura 10.11. r

y :- l(x)

c¡ • W¡ (/

X¡-l

h

.\

F~~Ul'a

.Y

JO.JJ

Si la densidad es p, entonces la masa de la parte de la lámina correspondiente al rectángulo es pf( IV¡) ~x¡ y por consiguiente la masa del polígono rectangular asociado con la partición es L¡pf(W¡) ~Xi' Cuando la norma IIPII de la partición tiende a cero. el área del polígono rectangular tiende al área de la cara de la lámina y la última suma mencionada debe tender a la masa de la lámina. Es natural entonces definir la masa m de la lámina por medio de

m

(10.12)

=

lim ¿>/(w¡) ~x¡ == p

IIPII-O

j

fb f(x) dx. "

El centro de masa de la i-ésima lámina rectangular ilustrada en la figura 10.11 está colocado en el punto C¡(w¡, (lf2)f(w¡». Si suponemos que la masa está con­ centrada en Cj , entonces el momento con respecto al eje x puede encontrarse mul­ tiplícando la distancia (lf2)f(w¡) del eje x a C¡ por la masa pf(IV j ) ~x¡. Según la propiedad aditiva de los momentos, el momento del polígono rectangular asociado a la partición es L¡(lf2)f(w¡} . pf(w¡} ~Xi' El momento M x de la lámina se define como el límite de esta suma, es decir, (10.13)

At.,

=

¡im

¿ ~.f(w¡)· pf(lv¡) ~Xj = ¡J fb Jf( xJ 2dx.

lIPII-O i

tI

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA DE REGIONES PLANAS

10.8

479

Análogamente, usando la distancia W¡ del eje y al centro de masa del i-ésimo rec­ tángulo, llegamos a la definición del momento M y de la lámina con respecto al eje y. Concretamente (10.14)

M}. =

¿ W¡' pf(w¡)lo.x¡ = p fb xf(x)dx.

¡im

IIPII-+O¡

u

Finalmente, como en el caso de las partículas (vea 10.11). las coordenadas

xy

ji del centro de masa de la lámina se definen mediante

(10.15)

mx

=

My

Y mji

=

M x·

Sustituyendo las formas integrales de m, M x Y M y en estas ecuaciones y despejando x y y obtenemos _

My

=­

x

m (10.16)

_

y

Mx

=­

m

fb xf(x)dx

P

=

u ---:-b- - ­

p

i

f(x)dx

P fb !I(x)2 dx u

= -----;-b---· p

i

f(x)dx

Como la constante p en estas fórmulas puede cancelarse, vemos que las coorde­ nadas del centro de masa de una lámina homogénea son independientes de la den­ sidad p; es decir, dependen solamente de la forma de la lámina y no de la densidad. Por esta razón el punto (x, ji) se llama a veces el centro de masa de una región plana, o el centro de gravedad de la región. Poniendo p = I en las fórmulas anteriores se obtienen fórmulas para las coordenadas del centro de gravedad. Ejemplo 3

Encuentre las coordenadas del centro de gravedad de la región acotada por las gráficas de y = eX, x = O, x = I y Y = O.

Solución

La región está dibujada en la figura 10.12. Usando (10.12) y (10.13) con p = 1, tenemos m=

Mx =

f f ie

eX dx = eX

2x

J~ = e ­

I

dx = te 2x

I

= t(e

2

-

Por consiguiente, aplicando (10.16), ji=

Utilizando después (10.14),

~2 _ 1) e + I =--~0.93. e­ I 4

1).

480

10

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

x

2 Figlll'll 10.12

My

Integrando por partes (con u = x

M)'

=

{l

=

xedx.

y dv = e

[xe

= (e

dx) obtenemos

ex J~

x -

- el - (O - 1)

= 1.

Usando (10.16), 1

x =--::::- 0.58. e-I

En el caso de regiones más complicadas se pueden obtener fórmulas seme­ jantes a las de (10.16). Por ejemplo consideremos una lámina con densidad constante p que tiene la forma ilustrada en la figura (10.13), donde f y g son funciones con­ .\'

.\' = /(x) .1'

a

-\-1

Xi

FiKllra 10.13

h

= g(x)

x

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA DE REGIONES PLANAS

10.8

481

tinuas y f(x) ~ g(x) para todo x en [a, b]. Tomando una partición de [a, b], es­ cogiendo las W¡ como antes y aplicando después la fórmula de punto medio (1.8) vemos que el centro de masa de la i-ésima lámina rectangular dibujada en la figura 10.13 es el punto C¡(w¡, (1/2) [j(w¡} + g(w¡}]). Usando un argumento similar al que dimos anteriormente, concluimos que el momento del i-ésimo rectángulo con respecto al eje x es la distancia del eje x a C¡ multiplicada por la masa, es decir,

+ g(w¡)]p[.f(w¡)

-H[(w¡)

- g(w¡)] ~x¡.

Sumando y tomando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero ob­ tenemos

Mx = P (10.17) Mx = p

f f

-H[(x)

+ g(x)]

[.f(x) - g(x)] dx,

o

t{ [f(X)]2 - [g(X)]2} dx.

Análogamente (10.18)

=P

My

f

x [.f(x) - g(x)] dx.

Las fórmulas en (10.15) se pueden utilizar ahora para encontrar

x y y.

Ejemplo 4

Encuentre las coordenadas del centro de gravedad de la región acotada por las gráficas de y + x 2 = 6 YY + 2x - 3 = O.

Solución

La región es la misma que consideramos en el ejemplo 2 de la sección 6.1 (vea la figura 6.6) donde encontramos que el área es igual a 32/3. Si como en aquel ejemplo definimos f(x) = 6 - x 2 y g(x) = 3 - 2x, entonces usando (10.17) con p = 1, Mx

f3 [(6 - X2)2 - (3 - 2X)2] dx

=t

- 1

=t

f3 (x 4

-

16x 2

+

12x

+ 27)dx.

- 1

Se deja al lector la tarea de mostrar que M x = 416/15. Por lo tanto, de acuerdo con (10.16),

_

Mx

416/15

13

Y

= --;- =

32/3

= S'

Aplicando ahora (10.18) con p

=

1,

My=f3 x(3-x 2 +2x)dx -1

482

10

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

de 10 cual se sigue que M)' = 32/3. Por consiguiente _

M,

32/3 32/3

.\"=-" = - - = 1 .

m

Se pueden obtener también fórmulas para los momentos de regiones del tipo ilustrado en la figura 6.8. Esto se deja como un ejercicio para el estudiante.

10.8 EJERCICIOS Se colocan partículas de masas 2, 7 Y 5 en los puntos A(4, - 1), B( - 2, O) Y C(- 8, - 5) respec­ tivamente. Encuentre los momentos M x Y M)' Y las coordenadas del centro de masa del sistema.

2 Se colocan partículas de masas lO, 3, 4, I Y 8 en los puntos A (- 5, - 2), B(3, 7), C(O, - 3), D( - 8, - 3) Y 0(0, O). Encuentre los momentos M x y M y Y las coordenadas del centro de masa de este sistema.

En cada uno de los ejercicios dc 3 al 12, dibuje la región acotada por las gráficas dc las ecua­ ciones dadas y encuentre el centro de gravedad de la región. 4 y=,/-:::,.r=O.x=9 = scc 2 x.y = O.x = -][·4. .-.: =]['4

5 Y = sen x, y = O. x = 0, x = ][

6

7 .1'= 1·-x 2 ,y=.-.:_1

8 x = yl,.-.:

9 y= 1!~2,Y=O.x=O.x=3

.1'

-.r -

2=O

10 xy = 1•.1' = 0. .-.: = l. x = e

11 y=eh,y=O,x=-l..-.:=O

12.1'=coshx,.I'=O.x=-l.x=

13 Demuestre que el centro de gravedad de un triángulo coincide con el punto de intersección de sus medianas. (Sugerencia: Considere los puntos (O, O), (a, b) y (O, e), donde a, b y e son positivos, como los vértices del triángulo.)

14 Encuentre el centro de gravedad de la región en el primer cuadrante acotada por los ejes coor­ denados y por el círculo x 2 + y2 = a 2 .

15 Encuentre el centro de gravedad de una región semicircular de radio a.

16 Encuentre el centro de gravedad de la región acotada por la parábola x 2 = 4py Y la recta que pasa por el foco y es perpendicular al eje y.

17 Una región plana tiene la forma de un semi­ círculo de radio a montado en un cuadrado con lado 2a. Encuentre el centro de gravedad de esta región. (Sugerencia: Use el ejercicio 15 y el hecho de que los momentos son aditivos.)

18 Una región tiene la forma de un triángulo equilátero de lado a montado en un cuadrado de lado a. Encuentre su centro de gravedad. (Sugerencia: Use el ejercicio 13 y el hecho de que los momentos son aditivos.)

19 Encuentre el centro de gravedad de la región semi-elíptica acotada por la gráfica de y = (b/a)ja 2 - x 2 y por el eje x.

20 Encuentre M)' para la región acotada por la hipérbola b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 y la recta que pasa por el foco y es perpendicular al eje trans­ versal.

CENTROS DE MASA DE SOLIDOS DE REVOLUCION

10.9

10.9

483

CENTROS DE MASA DE SOLIDOS DE REVOLUCION El centro de masa de un sólido de revolución homogéneo es un punto del eje de revolución. En el caso especial de un cilindro circular recto de altura finita, el centro de masa es el punto sobre el eje que se halla a medio camino entre las dos bases. Con el propósito de desarrollar fórmulas para localizar el centro de masa de un sólido, comenzamos con un plano xy e introducimos un tercer eje coordenado, llamado el eje z, perpendicular a ambos ejes, el x y el y, en el origen, como se ilustra en la figura 10.14. Los ejes y y z detenninan un plano coordenado llamado el plano yz;. Análogamente, el plano detenninado por los ejes x y z se llama el plano xz;. y

x

Fi¡:ura 10./4

Consideremos un sólido de revolución del tipo que se muestra en la figura 10.15; es decir, un sólido que se obtiene girando alrededor del eje x la región del plano xy acotada por la gráfica de una función continuafy las rectas x = a, x = b YY = O. Supondremos que el sólido resultante tiene densidad constante (peso por unidad de volumen) p y que su masa m es el producto de p y el volumen del sólido. Por 10 tanto, según la definición (6.5), y y =/(x)

x

Fi¡:ura 10./5

484

10

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

(10.19)

m= p

f

n[f(x)Fdx.

Como el centro de masa e del sólido en la figura 10.15 está en el eje x, basta definir la distancia dirigida x del origen a C. Tomemos una partición de [a, b] en la manera usual, escojamos Wi como el punto medio del intervalo [Xi _ l' xJ y con­ sideremos el rectángulo con base sobre [Xi-I' xJ y alturaf(w¡). La masa del disco generado al girar este rectángulo alrededor del eje X es pn [j(w¡)] 2 LlXi' El centro de masa de este disco es el punto sobre el eje x con coordenada W¡. El momentC' con respecto al plano yz del i-ésimo disco se define como el producto de la distancia W i del plano yz al centro de masa del i-ésimo disco y la masa del disco, es decir \V¡ •

pn [f(W¡))2 óx¡.

Suponiendo que los momentos son aditivos, el momento con respecto al plano yz del sólido que consta de los discos determinados por todos los rectángulos, es una suma de términos de la forma anterior. El momento M y % del sólido de revolución con respecto al plano yz se define como el límite de estas sumas, es decir (10.20)

M y := lim Lw¡.pn[f(w¡))2LlX¡=pnfbX[f(x)]2dX. IIPII-O

"

La coordenada x del centro de masa,

x,

mx = Myz,

(10.21)

se define por medio de

o

_

Myz m

X=--.

Si las formas integrales (10.19) y (10.20) se sustituyen en (10.21), el factor p de densidad se cancela. Por consiguiente, el centro de masa de un sólido de revolución homogéneo es independiente de la densidad; es decir, depende solamente de la forma del sólido. Por esta razón frecuentemente haremos referencia al centro de gravedad de un sólido geométrico en lugar de a su centro de masa. Por conveniencia, podemos tomar p = 1 en (10.19) y (10.20) para encontrar los centros de gravedad de sólidos geométricos de revolución. Ejemplo I

Encuentre el centro de masa de un cono circular recto homogéneo de altura h y cuya base tiene radio r.

Solución

Si la región triangular con vértices en los puntos (O, O), (h, O) Y (h, r) gira alrededor del eje x, genera un cono del tipo deseado (vea la figura 10.16). La fórmula y = y

r

x

z

Figura /0.16

CENTROS DE MASA DE SOLIDOS DE REVOLUCION

10.9

485

{r/h)x es una ecuación de la recta que pasa por (O, O) Y (h, r), y por lo tanto f{x) {r/h)x define una función f del tipo de la que se usó en la discusión anterior. Aplicando (10.20), ('

M¡-= = ¡in Jo x

¡;X

(,.

) 2

=

e/x

,.2) f.ho x 3 e/x

= 1m (h2

2 4

_ m (rh )[X"4 Jho -1 2

1

,

= ¡i . -nr-h

4

2

.

La masa del cono podría encontrarse a partir de (1O.19); sin embargo, como el volumen de un cono circular recto de altura h y cuya base tiene radio res (I/3)1tr 2 h, la masa m es p{I/3)1tr 2 h. Finalmente, usando (10.21)

Por lo tanto el centro de masa está en el eje del cono, a 3/4 del camino del vértice a la base. Para los sólidos que se obtienen girando regiones alrededor del eje y, puede obtenerse una fórmula análoga a (10.20). La deducción solamente involucra un intercambio de papeles entre x y y en la discusión anterior. Haciendo referencia a la figura 10.17, vemos que si W i es el punto medio de [Yi _ 1 , y;], entonces y

x = g(y)

/ /

/

/

- - - - - - - -:;jL--------­

x

z

Figura 10.17

486 (10.22)

10

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL M x= =

lim

~:>. W¡1![g(w¡)] 2 .1y¡ = ¡J1! Id y[g(y)F dy.

IIPII-O ¡

e

El centro de masa está en el eje y y su coordenada JI está dada por

m.v = M =

(10.23)

x

o

_

M x=

-1 ' = -m- .

Ejemplo 2

Encuentre el centro de gravedad de un hemisferio de radio a.

Solución

Si la región en el primer cuadrante bajo la gráfica de la ecuación x 2 + y2 = a 2 gira alrededor del eje y, entonces genera un hemisferio de radio a (vea la figura 10.18). y

x = .ja 2 _

y2

x

z Fi¡:ura 10.18

J

Despejando x de la ecuación del círculo obtenemos x = a 2 - y2 Y por lo tanto g(y) = a 2 - y2 define una función g del tipo discutido en párrafos an­ teriores. Usando (10.22) con p = 1,

J

M,= =

1!

L'y(Ja 2 _/)2 dy

Como el volumen de una esfera de radio a es (4j3)na 3 , el hemisferio tiene volumen (2j3)na 3. Aplicando (10.23),

CENTROS DE MASA DE SOLIDOS DE REVOLUCION

10.9

487

Los centros de gravedad también pueden calcularse usando elementos de volumen en forma de cáscaras cilíndricas. El siguiente ejemplo ilustra este método. Ejemplo 3

La región acotada por la gráfica de y = 2x - x 2 y el eje x gira alrededor del eje y. Encuentre el centro de gravedad del sólido resultante.

Solución

La región es la misma que consideramos en el ejemplo l de la sección 6.3 y volvemos a dibujarla en la figura 10.19 junto con la cáscara cilíndrica generada por un rectán­ gulo típico. Como en la solución de aquel ejemplo, el volumen de la cáscara cilín­ drica es 2nw¡(2w¡ - w;) Ax¡. El centro de la cáscara está en el eje y y su distancia al eje x es la mitad de la altura de la cáscara, o sea (1/2) (2w¡ - W¡2). Por consiguiente el momento de la cáscara con respecto al plano xz es t(2w¡ - w;) . 2mv¡(2w¡ - ~.¡) .1x¡,

Sumando y tomando el límite cuando IIPII tiende a cero, obtenemos el momento Mxz del sólido, a saber M

x:

=

f

t(2x - x 2 ). 2nx(2x - x 2 )dx 2

= n Sa

(4x 3

-

4x 4

+ ",5) dx 16n

15

Del ejemplo 1 en la sección 6.3 sabemos que m

= 1V =

8n/3 y por lo tanto

_ M,e 16nj15 2 \'=--=---=-­ . m 8nj3 5' y

Figura 10.19

Concluiremos este capítulo enunciando un teorema muy útil acerca de los sólidos de revolución. Para ilustrar un caso especial del teorema supongamos que f y g son funciones continuas tales que f(x) ~ g(x) para todo x en un intervalo

488

10

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

[a, b], donde a ~ O. Sea R la región acotada por las gráficas de f, g y las rectas verticales x = a y x = b. En la figura 10.13 puede verse una región de este tipo. Si R gira alrededor del eje y, entonces el volumen del sólido resultante está dado por JI

=

fh 2n:x(f(x) -

g(x)] dx.

"

Supongamos que la región R tiene centro de gravedad (x, y) y área A. Si usamos (10.15) y (10.18) con p = I (en cuyo caso m = pA = A) obtenemos --, \ .

My A

f~x[f(x) - g(x)] dx

=-=

A

V/2n A

V 2nA

=--=-­

y por lo tanto V = 2nxA. Como x es la distancia del eje y al centro de gravedad de R, esta fórmula afirma que el volumen V de un sólido de revolución puede ob­ tenerse multiplicando el área A de R por la distancia 2nx que viaja el centro de gravedad cuando R gira una vez alrededor del eje y. Cuando g(x) ~ O Y R gira alrededor del eje x, puede hacerse también una afirmación semejante. En general, puede demostrarse el siguiente teorema que lleva el nombre del matemático Pappus de Alejandría (ca. 300 D.C.). (10.24)

TEOREMA DE PAPPUS

Sea R una región de un plano que se encuentra a un solo lado de una recta I en el plano. Si R gira una vez alrededor de 1, entonces el volumen del sólido resultante es el producto del área de R y la distancia recorrida por el centro de gravedad de R.

Ejemplo 4

El centro de un circulo de radio a se encuentra a una distancia b, donde b > a, de una línea recta que se encuentra en el plano del circulo. Calcule el volumen V del sólido que resulta al girar el circulo alrededor de la recta. (Este sólido en forma de rosquIlla se llama toro.)

Solución

La región acotada por el circulo tiene área na 2 y la distancia que viaja el centro de gravedad es 2nb. Del teorema de Pappus concluimos que V = (2nb) (na 2 ) = 2n 2 a 2 b.

10.9 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del l al 6 encuentre el centro de gravedad del sólido que se ob­ tiene cuando la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas, gira alrededor del eje x.

3

y= l/x,y=O,x= l,x=2

2

y=(senx)ll2,y=O,x=O,x=rr

Y = eX, y = O, x = O, x = 1

4

y= 1/~,y=0,x=0,x=4

6

x 2 = y, y = 2x

10.10

REPASO

489

En los ejercicios del 7 al 12 encuentre el centro de gravedad del sólido que se obtiene cuando la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas gira alrededor del eje y. 7

9

y2 - x 2 Y=e

11 Y

2

."

= 4, Y = 4

8

y = O, x = O, x = 2

= 1/(x 2 + 25), y = O, x

10

= O, x

x =

Y

-J.Y=l, x = O, Y = 1, Y =

= e-", y = O,

x

= O, x = -

5

I

12 Y = 1/(9 - x 2 ), y = O, x = O, x = 2

=5

13 La región acotada por la mitad superior de la elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 y el eje x gira alre­ dedor del eje y. Encuentre el centro de gravedad del sólido resultante.

14 La región acotada por la hipérbola b 2y 2 ­ a 2 x 2 = a 2 b 2 y la recta y = e, donde e > a, gira alrededor del eje y. Encuentre el centro de gravedad del sólido resultante.

15 La región comprendida entre la gráfica de y = cos x y el eje x entre x = O Y x = n/2, gira alrededor del eje y. Encuentre el centro de gravedad del sólido resultante.

16 La región desc.ri~ en el ejercicio 15 gira alre­ dedor del eje x. E"~I>":ntre el centro de gravedad del sólido resultante.

En los ejercicios 17 y 18 use el teorema de Pappus para calcular el volumen generado al girar el cuadrilátero con vértices A, B, e, D alrededor (a) del eje y (b) del eje x. 17 4(1,0): B(3.6): C(II.6l: D(9,0)

18 4(2.2); B( U): 04.6): D(5.5)

19 Use el teorema de Pappus para encontrar el centro de gravedad de la región en el primer cua­ drante acotada por la gráfica de y = a2 - x 2 y los ejes coordenados.

20 Use el teorema de Pappus para encontrar el centro de gravedad del triángulo con vértices 0(0, O), A(O, a), B(b, O).

J

10.10

REPASO

Conceptos Discuta lo siguiente. Integración por partes

2

Sustituciones trigonométricas

3

Fracciones parciales

4

Momentos y centros de masa de regiones planas

5

Momentos y centros de masa de sólidos de revolución

3

fa' In(1 + x)dx

4

{I

7

f

8

f

Ejercicio.\' Encuentre las integrales en los ejercicios del l al 100.

5

f f

x sen -

IX

dx

cos 3 2x sen 2 2x dx

2 6

f f

csc 3 xdx 4

cos xdx

tan xsec s xdx

e.[; dx

tanxsec 6 xdx

490 9

13 16

METODOS DE INTEGRACION y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

10

f

f f

1

+ 25)

2

(X

X3

+

32 I

tlx

3

14

x - I d>:

(x

+

17

2)5 .

23

fsen 3 xcOS 3 Xtlx

J~8 x

dx

dx

11

Xl

fJ~dx

f _ I _3el .>: x+x

f

x dx J4+4x-x 2

20

f

24

f eot 2 3xelx

sen x ti>: 2eos x + 3 .

f

12

15

f

18

f

x3

-

20x 2

x

- '--2t1x (x-

+

1)

6h - 198

-

4

.\ - 81

x

2

x

+ 6x +

13

elx

tlx

21

f ,,2xsen 3xtlx

22

fCOS(lnX)tlx

25

f----==x==

26

f

4 - x2

dx

9x 2

x

+4

elx

x5 - x 3

27 •

r

j'

3

X

+1 dx + 2x 2

+ 5)100 ti>:.

f

38

f x(4x 2 + 25) -

41

f see 2 x lan 2 xdx

f

f

31

f

35

fsen 3 xeos l / 2 xdx

2x + 1

(x

34

59

1 x l JI6 -

tlx

f

56

f

I

xIx - 1)

19

30

10

sen 2x eos x dx

2 7 x - 6x

+

18

112

¿ sec eX dx

32

36

f f

2

x tan x dx

fcot 6 xdx

67

f (x 2 - seeh 2 4x) tlx

44

f(l+eSC2X)2dX

feos

48

fx

52

f

47

50

f~d>: 4 +

51

elanX

63

fxcotxesexdx

f x (In X)2 dx

54

f

57

f

x

tan -

I

f

64

feot 5 xesexdx

71

5x dx

58

- - d2 x ese 5x '

68

f

X2_4X+3 -_--elx Jx 55

1

x

60

f

x dx

tlx

25 - 9x

+2 elx x + 8x + 25 3x

2

43

46

dx

- -2d x eos x

f

40

.

fX 2 sen 5x tlx

sen h eot 3x dx

tlx

,,4x

33

61

65

f f

x

3

x2

-

COS3 x --,===dx

1 + sen x

2 I - 2x dx x +12x+35

4

sen 3x dx

f~ f 1

5 - 3x dx

dx

62

f2X Xl

+3d +4 x

25 dx

fxeOShxdx

3 dx 11-IOx-x 2

72

f

12x 3 + 7x 4 elx x

73

J

tan 7x cos 7x tlx

REPASO

74 fel+,n5xdX

77 f(X 3 80

f4x 3

75

4_\_2 - 12x - 10 (x - 2)(x 2 - 4x

dx

+ 3)

76

_dx

16 - x 2

J,;4

9 - 4x 2 dx x2

+ l)cosxdx

78

f(X - 3)2(X + l)dx

79

15x 2 - 6x + 81 dx 4 x - 18x 2 + 81

81

}t

82

f x(x 2 + 5)3/4 dx

84

f --x2-dx

85

f

87

f

d\-

88

f sen 4 X COS J X dx

90

f

tlx J4 + 9x 2 f(X 2 - 2)2 dx

91

3 2 f2x + 4x + 10x + 13 l/X x 4 + 9x 2 + 20

94

f cot 2 X CSC x dx

97

f

-

83 f

1 r- dx x(fi + ,J'x) 2 f 4x - 6x + 4 elx 86 (x 2 + 4)(x - 2)

89

f tan 3x sec x dx

92

f

sen x (1

f

491

10.10

+ COSX)3

dx

5 - cot 3X)2 dx

cos 4x ­

f

sen x dx JI + cosx

2

93

(25

x

+ X2)2 ­ X

X

2

95

98

5-x3/2In x dx

96

fl - sen x dx cotx

99

f.y;x 3 x _ 1 dx

x

dx

12x+3

f x 3 ex' dx

100

f(.>; + 2)2(X + I)I0dx

101 La región comprendida entre la gráfica de y = sen x y el eje x entre x = O Y x = n gira alrededor del eje y. Calcule el volumen del sólido resultante.

102

La región acotada por las gráficas de y = tan x, y = O, x = n/6 y x = n/4 gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del sólido resultante.

103 Calcule la longitud de arco de la gráfica de y = In sec x entre A(O, O) y 8(n/3, In 2).

104

Calcule el área de la región acotada por los ejes coordenados y las gráficas de y = (9

+ 4x 2 )-1/2

y x = 2.

En los ejercicios 105 y 106 dibuje la región acotada por los gráficas de las ecuaciones dadas y encuentre el centro de gravedad.

106 Y = cosx,y

= O,x = O,x = n/2

En los ejercicios 107 y 108 encuentre el centro de gravedad el sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas alrededor del eje x. 107

Y=

p, y =

O, x

=

4

109 La región acotada por las gráficas de y = e- 3~ y = O, x = O Y x = I gira alrededor del eje y. Encuentre el centro de gravedad del sólido re­ sultante.

= secx, y = O, x = O, x

lOS

Y

110

La región acotada por las gráficas de y = sen (x 2 ),

y

= O,

=

x

n/4

=O

Y x

= J1r

gira alrededor del eje y. Encuentre el centro de gravedad del sólido resultante.

_11

FORMAS INDETERMINADAS, INTEGRALES IMPROPIAS, Y FORMULA DE TAYLOR En este capítulo introducimos una técnica llamada la regla de ~Hópital, la cuares muy útil en la investigación de algunos límites. También aumentaremos la clase de funciones para las que se pueden encontrar integrales definidas. La sección 5 contiene un método para aproximar se a las funciones por medio de polinomios. Estos temas tienen muchas aplicaciones matemáticas y físicas. La aplicación más importante que haremos de ellos vendrá en el siguiente capítulo donde estudiaremos series infinitas. La última sección se ocupa del método de Newton para aproximar raices.

11.1

LAS FORMAS INDETERMINADAS

00/00 y

O/O

En nuestro trabajo anterior con límites nos encontramos con expresiones de la forma lim x .... c f(x)/g(x), donde tanto f como g tienen límite O cuando x tiende a c. En este caso se dice que f(x)/g(x) tiene la forma indeterminada O/O en x = c. Se usa la palabra indeterminada porque se necesita hacer un análisis adicional para concluir si el límite existe o no. Quizás los ejemplos más importantes de la forma indeterminada O/O aparecen en la fórmula de derivación I'(c)

= Iim j(x) x .... c

- j(C). x - e

Sify g tienden a más o menos infinito cuando x tiende a c, decimos quef(x)/g(x) tiene la forma indeterminada 00/00 en x = c. Las formas indeterminadas pueden a veces investigarse empleando mani­ pulaciones algebraicas de algún tipo. Por ejemplo, en el capítulo 2 consideramos . 2x 2 - 5x + 2 hm 2 . X"" 2 5x - 7x - 6

El cociente indicado tiene la forma indeterminada O/O; sin embargo, el límite puede encontrarse como sigue:

492

LAS FORMAS INDETERMINADAS

.

hm x-2

00/00 Y %

11.1

493

(x - 2)(2x - I) I' 2x - I 3 = Im---=-. (x - 2)(5x + 3) .<-2 5x + 3 13

Otras fonnas indeterminadas requieren metodos mas complicados. Por ejemplo, en el capitulo 9 usamos un argumento geometrico para mostrar que sen x Jim - - = I. x-o x

En esta seccion probaremos la regia de L'Hopital e ilustraremos como puede usarse para investigar formas indeterminadas. La demostracion hace uso de la siguiente formula que lleva el nombre del famoso matematico frances A. Cauchy (1789-1857). ( 11.1)

FORMULA DE CAUCHY

Si las funciones f y g son continuas en un intervalo cerrado [a, b], derivables enel intervalo abierto (a, b) y si g'(x) "# 0 para todo x en (a, b), entonces existe un numero w en (a, b) tal que

I(b) - I(a) g(b) - g(a)

f'(w}

-,-. g (w)

Demostracion. Notamos primero que g(b) - g(a) "# 0 porque de otra manera, por el teorema de Rolle (4.9) existiria un numero c en (a, b) tal que g'(c) = 0, 10 cual contradiria la hipotesis. Es conveniente introducir una nueva funcion h como sigue:

h(x) = [f(b) - f(a)]g(x) - [g(b) - g(a)]f(x)

para todo x en [a, b]. Se sigue que h es continua en [a, b], derivable en (a, b) y h(a) = h(b). Por el teorema de Rolle, existe un numero wen (a, b) tal que h'(w) = 0, es decir, [f(b) - f(a)]g'(w) - [g(b) - g(a)]f'(w) = O.

La ecuacion anterior puede escribirse de manera que nos de la conclusion del teorema. Como un caso especial, si tomamos g(x) = x en (11.1), entonces la conClusion tiene la forma f(b) :- f(a) b-a

f'(w)

que es equivalente a f(b) - f(a)

= f' ~ w)(b

­ a).

Esto muestra que la formula de Cauchy es una generalizacion del teorema del valor medio (4.12).

494

11

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

EI siguiente resultado es el teorema principal sobre formas indeterminadas. Fue nombrado en honor del matematico frances G. L'H6pital (1661 - 1704). ( 11.2)

REGLA DE L'HOPITAL

Supongamos que las funciones f y g son derivables en todo el intervalo (a, b) excepto posiblemente en c. Si g'(x) =1= 0 para x =1= c y si f(x) /g(x) tiene la forma indeterminada w/w 0 % en x = e, entonces

. lex) I' F(x) ,' Im--= Im-­ x-cg(x)

siempre que f'(x)/g'(x) tenga limite x tiende a c.

x-cg'(x)'

0

tienda a mas

0

menos infinito cuando

Demostracion. Supongamos que l(x)/g(x) tiene la forma indeterminada % en x = c y que lim~_c f(x)/g'(x) = L para algun numero L. Deseamos probar que limx_J(x) /g(x) = L. Es conveniente introducir las funciones F y G, donde F(x) = f(x)

Sl

X =1=

c

y

F(e) = 0,

G(x) = g(x)

si

x

e

y

G(e)

=1=

=

O.

Como

lim F(x)

=

lim lex)

=

0 == F(c),

la funci6n F es continua en c y por 10 tanto es continua en todo el intervalo (a, b). Analogamente, G es continua en (a, b). Mas aun, en todo x =1= e tenemos r(x) = f'(x) y G ' (x) = g'(x). De la f6rmula de Cauchy aplicada al intervalo [e, x] 0 al intervalo [x, e], se sigue que existe un numero II' entre e y x tal que F(x) - F(c)

F'(w)

F(w)

G(x) - G(c)

= G' (w) =

g'(w)

Usando que F(x) = f(x), G(x) = g(x) y F(e) = G(e) = Oobtenemos

Como

IV

lex)

F(w)

g(x)

g'(w) '

se encuentra siempre entre e y x resulta que lim lex) = lim F(w) = lim F(w) = L x- c

g(x)

x-c

g' (w)

w- c

g'(w)

que es 10 que queriamos demostrar. Puede darse un argumento semejante sif'(x)/g'(x) tiende a infinito cuando x tiende a c. La demostraci6n para la forma indeterminada ro / ro es mas dificil y puede encontrarse en textos mas avanzados. A veces los estudiantes principiantes usan incorrectam::nte la regia de CH6pitai porque aplican la regia de la derivada del cociente a f(x) /g(x) . Note que (11.2) dice que se deriven separadamente f(x) y g(x), y despues se investigue el limite del cociente f'(x) /g'(x) .

LAS FORM AS INDETERMINADAS 00/00 Y %

Ejemplo 1 Solucion

11.1

495

, cosx + 2x - I Encuentre hm - ---::---­ x-a 3x EI cociente tiene la fonna indeterminada % en x = 0, Por la regia de L'H6pital (II. 2), ' cos x I1m

x~a

+ 2x

- I

3x

- sen x + 2 =Iim - -- ­ x-a 3

2

3'

Para ser completamente rigurosos, en el ejemplo I deberiamos haber probado la existencia de limx~o( - sen x + 2)/3 antes de igualarlo a la expresion dada; sin embargo, para simplificar las soluciones es costumbre proceder como se indico, A veces es necesario emplear la regia de L'H6pitai varias veces en el mismo problema, como se ilustra en el siguiente ejemplo,

eX +e - x -2 . 2 ' x~a I - cos x

Ejemplo 2

Encuentre lim

Solucion

EI cociente tiene la forma indeterminada 0/0, Por la regia de L'H6pital, lim

e-'+e - x -2

x-o I - cos 2x

eX_e- X

= lim - - ­ x-o 2 sen 2x

siempre y cuando el segundo limite exista , Como el ultimo cociente tiene la forma indeterminada 0/0, aplicamos la regia de L'H6pital por segunda vez, obteniendo lim

eX_e- X

x-a 2sen2x

eX+e - 'Y

=

I

lim-- ­ x-o 4cos2x

2'

Se sigue que el limite dado existe y es igual a 1/2, La regia de L'H6pital es valida tam bien para limites uni,l aterales como se ilustra en el siguiente ejemplo,

Ejemplo 3

Encuentre

lim x- } . -

Solucion

4 tan x I

+ secx

La forma indeterminada es ' I1m X-1' -

00/00,

4tanx = I + secx

Por la regia de L'H6pital , 11m

x~t. -

4sec 2 x secxtanx

lim .\"_ }n-

4 secx tan x

EI ultimo cociente tiene de nuevo la forma indeterminada 00/00 en x = n/2; sin embargo, toda aplicacion sucesiva de la regia de L'Hopital produce siempre la forma 00/00 , En este caso el limite puede encontrarse usando identidades trigono­ metricas para modificar el ultimo cociente como sigue: 4 sec x tan x

4/cosx sen x/cos x

4 sen x

496

11

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

En consecuencia

lim

x

~ 1" -

I

4tanx + sec x

= x

I' 4

1m - sen x

~ 1" -

=

4,

Puede mostrarse que la regia de L'H6pital sigue siendo valida si el simbolo x ..... c se sustituye por x ..... ',x; 0 x ..... - 00, Daremos una demostraci6n parcial de este hecho, Supongamos que

lim I(x) = lim g(x) = 0, \"--+.t

-,--O J

Si definimos u

=

I/x y aplicamos la regia de L'H6pital,

lim f(x)

(11.3)

x~

lim

=

I( 1/11)

=

u~O ' g(I / II)

g(x)

lim DJ( 1/ 11 ), u~O' D ug(l ! II)

Por la regia de la cadena (3,36) DJ( 1/ 11) = f'( I/II J1 -1/11 2 )

y D"g( 'I /II)

= g'(I/II)( - 1/1/),

Sustituyendo en (11.3) y simplificando obtenemos lim I(x) = lim x~ " g(x)

",,0

fJYII) = g'(I/u)

lim f'(x) x~' g'(x)'

A este resultado tambien 10 llama rem os regia de L'H6pital. Los dos ejemplos si­ guientes ilustran la aplicaci6n de la regia al caso x ..... 00 y a la forma indeterminada 00/00,

Ejeruplo 4

Inx Encuentre lim ,

Solucion

La forma indeterminada es

x ~,-fi

lim x~ '

Ejeruplo 5

Encuentre lim X--+'l

Solucion

e 3x

~ l'

In x ---= =

Jx

ex; / 00,

Por la regia de L' H6pital I/ x ,

lim = lIm x ~ f 1/ (2 J"x) x ~ ,

2f i

~-

x

'

2

x~ ,

fi

= lIm -

= 0,

si este existe.

X

La forma indeterminada es dos veces como sigue.

00/00.

e 3x

'~ 2 x ~-.. x

lim

En este caso debemos aplicar la regia de L'Hopital

3e 3x

= lim '­ -

x ~ f2x

ge 3x

= lim - - = x X~ f

2

Entonces el cociente dado crece sin cota cuando x tiende a infinito. Es importante verificar que el cociente dado tenga la forma indeterminada 0/00 00/00 antes de usar la regia de L'H6pital. En efecto, si la regia se aplica a una

LAS FORMAS INDETERMINADAS

00/00

y %

497

11.1

forma no indeterminada, puede obtenerse una conclusion incorrecta como se ilustra en el siguiente ejemplo. eX

Ejemplo 6

Encuentre lim

x

.\" .., 0

Solucion

+ e- X 2

si este existe.

'

Supongamos que pasamos por alto el hecho de que el cociente no tiene ninguna de las formas indeterminadas % 0 XJl w en x O. Si (incorrectamente) aplicamos la regIa de L'H6pital, obtenemos eX_e - X

eX+e- X

lim

, :c

lim - -- ­ x- o 2x

=

Como el ultimo cociente tiene la forma indeterminada 0/0 podemos aplicar la regIa de L'Hopital y obtener lim

e-<

eX - e-'<

., - 0

=

2x

+ e- X

I + I -2=1 .

lim - - - x-o 2

Esto nos llevaria a la conclusion (erronea) de que eIlimite dado existe y es igual a I. Un metodo correcto para investigar este limite es observar que

Como lim (eX x- o

+ e - X) = 2

.

I

hm---:;-= x­ x-.o x-

y

se sigue de (ii) del teorema (4.27) que lim

+ e - '<

e"

x­

.<-0

= x- .

,

11.1 EJERCICIOS Encuentre [os limites en los ejercicios . del I al 50 si es que existen .

rIm senx -, -0

5

lim x •2

9 lim ., - 0

13

lim .x-o

2x

2.\"2 - 5x + 2 ,

5:c - 7x - 6 senX - x tan x - x X -

sen x x 3

2

6

5x lim - -

., o tan x lim ' -' -

10

14

X2 + 2x - 3 , 3 2:c + 3x - 9

sen X lim x-ox - tanx lim X -

1f(2

I - sen x cosx

3

4 x----s

7

x3 lim

., _ 1 X

11

lim

-

3x + 2

2x - I

x+ I - e-'

:( - 0

IS

-

2

lim x--+;r } 2

x2

I + sen x cos 2 x

8

x- 4

lim \ - -0 4

3

x +4-2

x2

-

5x

+6

lim 2 x_ 2 2x - x - 7

12

lim

x- o ~

16

lim x-o·

x+ I -Ii' X3 cos x

- ­ X

498

11

2 + sec x 3 tan x

lim

17

x ..... -t rt

21

In sen x lim .,.-----­ x-o ' In sen 2x

24

hm - - ­ x- 2 X - 2

27

lim

30

33

7" 2- ­

I

­

e3x .

23

lim x- o

25

x cos x + e - x x2 x- o

26

lim x- o

28

x3 + X + I lim

3x 3 + 4

29

x" lim - , I1>O

32

. In(x - I)

hm 2

34

(x-2)

. In(lnx) hm - - ­ Inx

x

- ,

I X

f

eX

sen 2 x lim , .<- 0 cos' X

37

lim

x ~ ()

4

+ 2 cos x - 2 -

+ X3

tan

11.2

tr'

lim - . n > 0

sen - I 2x 'lim _I x-o sen x

2 -fT' -e - x

40 lim

x

2

I - cos x

., · . 0

+2 5x + 9x - 7x + 2 3

J?+l

x-~

x Inx

x + In x

2x 3 - 5x 2 + 6x - 3 38 lim -,.--....,-----­ x- I x 3 - 2X 2 + X - I

tan x - sen x 3 X tanx

5- 5

-1

x2

lim

35

xsenx- I

-

3x2 2

X

X4 -

lim

42

.

xsen - Ix lim - -­ ., _ ox-senx lim

2e< - 3x - e - X

x-" r ..' ("

x

-

e-' - e- x - 2 sen '( · . x sen x

x- ,

3 - y

lim

lim

lim

x-

. Inx hm - 2 x

x - a:.;

2x lim - -_-1­ x- utan X

31

X4

47

+ 3x +

2x 2 -

20

22

lim .<_ " Inx

x

43

Inx lim - ­

x ~ o·cotx

., _,. 5x +x+4

39

41

18

In(x - I)

.

.< - 2 '

36

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

, _ I X

lim

45

3 + 2x - ­ 3 x- x; x + I

49

lim -

-

x.1

2

x 3 - 3x 2 + 5x - 2 _3 2 5x + 9x - 7x + 2

+ 5x

- 4 46

x In .\

2e 3x + In x lim - - -2 3x

X

48

4

x- x

e

50

+x

lim

x­

x ..... o

lim x-.;2

tan - I X X

sen x

tanx cot 2x

OTRAS FORMAS INDETERMINADAS Si lim x _ c /(x) = 0 y lim.<_clg(x)1 = ro , entonces se dice que /(x)g(x) tiene la forma indeterminada 0 . 00 en x = c. Se usa la misma terminologia para limites unilaterales 0 si x tiende a mas 0 men os infinito. Esta forma puede cambiarse a cualquiera de las formas indeterminadas % 0 ro / X! escribiendo .

J(x)

j (x)g(x) = l/g(x)

Ejemplo I

Encuentre lim x 2 In x

Solucion

La forma indeterminada es 0 .

Xl .

o

. j(x)g(x)

Primero escribimos

=

g(x)

l/J(x)'

OTRAS FORMAS INDETERMINADAS

11.2

499

Inx

2

x 1n x

= (l/X2)

y despues aplicamos la regia de L'H6pital a la forma indeterminada resultante

00/00 . Entonces . lIm xllnx x-o'

=

. Inx hm - - 2 x-o' (l/x)

=

. (l/x) lIm 3 . x-o' (- 2/x )

EI ultimo cociente tiene la forma indeterminada 00/00 ; sin embargo, aplicaciones sucesivas de la regia de L'H6pital nos llevarian de nuevo a 00/00. En este caso sim­ plificamos algebraicamente el cociente y encontramos el limite como sigue: · (l / x) I1m 3 x-o' (-2/x) Ejemplo 2

x2

3

=

I. x 1m-x-o' -2x

lim x-o' -2

=

o.

Encuentre lim (2x - n)secx. x -n / 2

Solucion

La forma indeterminada es 0 . 00. Por 10 tanto comenzamos por escribir (2x - n)secx

2x - n I/sec x

2x - n cos x

= - --- = - - - .

Como la ultima expresi6n tiene la forma indeterminada % aplicarse la regia de L'H6pital como sigue: 2x - n lim - - x-n / 2

COSX

=

2

lim - - x-. / 2 -senx

= -

en x

=

n/2, puede

2.

Las formas indeterminadas denotadas por 0°, 00 ° y }'" surgen a partir de expresiones como f(x) ,(x). Un metodo para estudiar estas formas es escribir y

= f(x)'(X)

y tomar el logaritmo natural en ambos lados, obteniendo asi

lny

= Inj(x )'(x) = g(x) Inj(x).

Note que si la forma indeterminada para y es 0° 0 00°, entonces la forma inde­ terminada para In y es 0 . 00 , la cual puede tratarse usando los metodos previos. Amilogamente si la forma para y es I OCJ , entonces la forma indeterminada para In y es 00 . o. Se sigue que SI

lim In y = L,

entonces

lim y = lim e 1n y = e L ,

es decir,

Este procedimiento puede delinearse como sigue.

500

11

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

Guia para investigar limf(x)g(·<) si la forma indeterminada es 0°, I " 1. 2. 3. 4.

0 x)0

Escriba y = f(X)8(X ). Tome logaritmos: In y = Inf(x)g(X) = g(x) Inf(x) . Encuentre limx~ c In y, si este existe. Si lim, ~ c In y = L, entonces lim, ~ c y = e L .

Un error comun es parar despues de mostrar que lim<~ c In y = L Y concIuir que la expresi6n dada tiene como limite L. Recuerde que deseamos encontrar el limite de y y si In y tiene limite L , entonces y tiene limite e L . La guia puede usarse tambien si x --> 00 0 x --> - ,X) 0 bien para !imites unilaterales.

EjempJo 3

Encuentre lim (1

+

3X) 112x.

X~O

La forma indeterminada es I

Solucion

y

1.

2.

Q

.

=

Siguiendo la guia anterior, comenzamos por escribir

+

(I

lny = -

I

3X)I I2-<.

In(1 + 3x) =

In(I +3x )

2x

2x

.

La ultima expresi6n tiene la forma indeterminada 010 en x = O. Por la regia de L'Hopital, I' 3/ (1 + 3x) 3 , I . J' In(1 + 3x ) IIn1 n \' = 1m = 1m = - . 0 2x .\ _ 2 2

3.

\

()

•

°

X -

En consecuencia,

4.

lim (I

+ 3\ )1 2,\

= hm

y

=

e3 i 1 ,

Si limx~ c f(x) = lim x _ c g(x) = x ; entonces f( x ) - g(x) tiene la forma indetermi­ nada 00 - 00 en x = c. En este caso la expresi6n debe modificarse de manera que se obtenga alguna de la formas que ya hemos discutido.

,~i_~ ( eX ~ I - ~ ) .

EjempJo 4

Encuentre

Solucion

La forma es entonces

00 -

XJ ; sin embargo si la diferencia se escribe como una sola fraccion,

. (I lIm - -

x-o eX -

,.

. .' .

- -I)

I

x

=

, x - e-'+ I 11m - -- ­

x- o xe X - x

Esto nos da la forma indeterminada 0(0. Es necesario aplicar dos veces la regia de L'Hopital ya que la primera aplicacion lleva a la forma 010. Entonces

INTEGRALES CON LIMITES DE INTEGRACION INFINITOS

lim x - eX x- o

X f:' -

+1= X

lim .<-0

=

x e'

501

11.3

1 - e·' + eX ­ 1 2

lim -x- -­ xe + 21:'·'·

.,.- 0

11.2 EJERCICIOS Encuentre los limites en los ejercicios dell al40 si est os existen .

2

lim xln x

:5

3

lim ta nxlnsen x

lim (x 2

l )e .. 1

-

6

lim (, - ' senx

lim x tan ·' I X

7

.'( ... u

8

x(::2 - tan - I x)

lim x-,

9

12

.\: ..... 0

19

16

lim (tan x)'

20

lim

(X" -- -

Xl- )

-

24

lim (sec x - tan x)

27

x - I

14

lim (£" + 3 X) I .' x-o

1 lim (

x-o

x + I 2

-

~) x

30

18

lim (t a n x)"o"

lim (2x

+

33

+ cos x )"'n x

36

+ 5x 2 +

39

3 - x2)

I)ml ,

22

lim (_ 1._ - - I ) x- I x-I In x lim (1 - x)ln x

lim ( I

+ 3x )""'x

.\: - 0 •

:( -- 0 .

(I I)

25

lim - - - ­ x-o X sen x

28

lim (1

lim (cot l x - csc 2 x)

31

+ 1:")"

.<

lim (cot 2 x - e - X )

34

lim (Jx 2 + 4 - tan - 1 x ) :( -

lim (I x-o

+ ax )b1x

37

lim (x

+ cos 2x f'" 3x

40

,);" __ 0

lim co t 2x tan - I x .'( - 0

.'( ..... 0

lim (J x"

11.3

Xl / x

:(-0

.0

lim (I

lim

x ..... I .

.,-- ni l

38

21

lim (x - 2)X x "'" 2 '

32 lim x 3 2 - x 35

17

XX

x + I

x-

lim 1' - x ln x

lim (cos .y;-' + I

x- i-n ­

29

10

:c ..... 0 •

.\" - 11 , 1

26

I lim x sin x

.\: ·... 0

lim (eX_ I)-' x - o'

23 lim ,_,

lim sen x ln sen x ." ' 0 ·

Illim xsec" x 15

lim x(1' u - I)

4

.\: -. ! "

x -· O

)'

X - - - - 4- ) lim ( - - x- - 3 X l + 2x - 3 x + 3 lim sec x cos 3x x ·.... 1t / 2

INTEGRALES CON LIMITES DE INTEGRACION INFINITOS Supongamos que una funci6n f es continua y no negativa en un intervalo infinito [a , 00 ) y que Iim x _ '" f(x) = O. Sea { > a, entonces el area A (t) bajo a grafica de f entre a y { (vea la figura 11.1) esta dada por

(11.4)

A(t)

=

f

fIx) dx .

502

11

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS y

x

a

Fixura 11.1 Si en (11.4) lim, ~ 00 A (t) existe, entonces el limite puede ser intepretado como el area de la region no acotada que se encuentra bajo la gnifica de 1. arriba del eje x y a la derecha de x = a. Para denotar este numero se usa el simbolo f(x) dx. De manera mas general, si f es cualquier funcion continua en [a, 00 ), entonces, por definicion,

S:

f"

(11.5)

}~~

f(x) dx =

f

f(x) dx,

siempre que el Hmite exista. De manera semejante, si f es continua en ( - 00 , a], entonces definimos

f ~ f(x)dx = ,~i~c<

(11.6)

f

f(x ) dx ,

siempre que el limite exista. Si f(x) 2 0 para todo x, entonces (11.6) puede con­ siderarse como el area bajo la grafica de 1. arriba del eje x y ala izquierda de x = a. Las expresiones (1\.5) y (1\.6) se Haman integrates impropias. Difieren de las integrales definidas en que uno de los Iimites de integracion no es un numero real. Se dice que estas integrales convergen si , al tender It I a infinito, los Iimites del lado derecho de las ecuaciones existen; si no es asi , las integrales divergen. Tambien se dan integrales impropias con los dos Iimites de integracion infinitos. Eo particular sif es continua para todo x y a es un numero real cualquiera, eotonces, por definicion,

f eL j(x)dx

(11.7)

=

f"

f(x)dx

+ ff(X)dX ,

siempre y cuando las dos ultimas integrales converjan. Si una de las integrales diverge, entonces se dice que J-:'", f(x) dx diverge. Puede mostrarse que (11.7) es independiente del numero real a (vea el ejercicio 32). Tambien se puede mostrar que S~ ,y, f(x) dx no necesariamente es 10 mismo que lim,~ '" J(x) dx (vea el ejer­ cicio 31) .

1'-

Ejemplo 1

Determine si las siguientes integrales impropias convergen .,

(a)

I

~1

I (x - I)

-,

l dx

(b)

J

1

1 - - dx x - I

0

divergen .

INTEGRALES CON LIMITES DE INTEGRACION INFINITOS

Solucion

11.3

503

(a) Por (11.5)

f

I

~

2

_

(.x ­

I

~

I)

2

, ~ ",l(X-I)

dx = lim

2

dx

J' = Jim (-=-!- + _ 1_ ) I 2- 1 =

Iim -I x - I

,_ ~

2

=

,-.",

I -

0

+I=

I.

Por 10 tanto la integral converge y tiene el valor I. (b) Por (11.5)

f~ 2

1-

X -

I

dx

= =

=

lim

,-~

f' -.- I 2.\ -

lim In (x

,-+

-

I

I

dx

)J'

:!

00

lim [IntI - I) -In(2 - I) ]

= lim In(l- I)

= x, .

En consecuencia esta integral impropia diverge. Las gnificas de las dos funciones definidas por los integrandos en las partes (a) y (b) del ejemplo I estan dibujadas en la figura 11 .2. Note que aunque las graficas tienen Ia misma apariencia para x ~ 2, podemos asignar un area a la region bajo Ia grafica mostrada en (i) de la figura, mientras que esto no es cierto para Ia grafica en (ii). y

y

x

2

x

2 (ii)

(i)

Figura 11.2 Hay un aspecto interesante de la gratica en (ii) de Ia figura 11 .2. Si Ia region bajo la grafica de y = I/(x - I) entre 2 y t gira alrededor del eje x, entonces por la definicion (6 .5) el volumen del solido resultante es

504

11

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

TC

' I

I ,

1)­

2 (X -

dx .

La integral impropia I

oo TC

J

J

1) ­

(x -

2

dx

puede considerarse como el volumen del solido no acotado que se obtiene al girar alrededor del eje x la region bajo la gratica de y = I / (x - I) para x z 2. Por (a) del ejemplo I el valor de esta integral impropia es 11;' I 0 sea n. Esto nos muestra el hecho curioso de que, aunque el area de la region es infinita, eI volumen del solido de revolucion que genera es fin ito. Ejemplo 2

Calcule eI area de la region que se encuentra bajo la grafica de y =:= eX, arriba del eje x y a la izquierda de x = I.

Soluciim

La region acotada por las graficas de y = eX, y = 0, x = I y x = t, donde t < I, est a dibujada en la figura 11.3. Por nuestros comentarios previos el area deseada esta dada por

JI ~ dx

=

-.I

lim (-

- «>

lim I ..... -

=

00

II

eXdx

I

ex]

I f

lim (e - e'l = e - 0 = e. c- -

00

y = eX

x

'oo

Ejemplo 3

Evalue

Figura 11.3

I

J. '" I + .\

-2 £Ix.

Dibuje la gnlfica def(x)

=

1/ (1 + x 2 ) e interprete la integral como un area.

INTEGRALES CON LIMITES DE INTEGRACION INFINITOS

So/ucion

Usando(J 1.7) con a

J

=

0,

~ - -J- , dx 00 I + x-

fO

I - - -, dx _ 00 I + x -

=

-

Despues, aplicando (1/.5)

I dx I ~ · -• () 1 + x 2

r

505

I1.3

=

lim ,_

~

+ f.~ -

°

I

- , dx.

I + x­

i' + I

0

1 - dx -I x 2

lim arctan xJ'

,- ~

=

(l

lim (arctan I

-

arctan 0) = n/ 2 - 0 = n/ 2.

AnaJogamente podemos mostrar por medio de (11 .6) que

f

o _ _1_2 dx _ool+x

=

n/ 2.

En consecuencia, la integral impropia dada converge y tiene el valor nl 2 + nl 2 = n. La gratica de y = I/ ( I + x 2 ) esta dibujada en la figura 11.4. Como en nuestra discusion anterior, se Ie puede asignar un area de n unidades cuadradas a la region no acotada que se encuentra bajo la grafica y arriba del eje x .

-2

2

-I

x

Figu,.a //.4 Las integrales impropias con Iimites de integracion infinitos tienen muchas aplicaciones en el mundo fisico. Para ilustrar esto, supongamos que a y b son co­ ordenadas de dos puntos A y B en una recta coordenada / como se muestra en la figura l 11.5. Si F(x) es Ja ruerza que actua en el punto P con coordenada x, entonces por la definicion (6.13) el trabajo realizado cuando P se mueve de A a B esta dado por

w= A

p

a

x

•

f

F(x)dx.

B

•

•

b

Figura 11.5

..

I

506

11

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

S:

De manera similar la integral impropia F(x) dx se usa para definir el trabajo realizado al moverse P ilimitadamente hacia la derecha (en las aplicaciones a veces se usa la terminologia "al infinito"). Por ejemplo, si F(x) es la fuerza de atracci6n entre una particula fija en un punto A y una particula (m6vil) en P, y si c > a, entonces J:' F(x) dx representa el trabajo requerido para mover P desde el punto con coordenada c, al infinito (vea los ejercicios 33 y 34).

11.3 EJERCICIOS Determine si las integrales en los ejercicios del I a'l 24 convergen que convergen. ",x>

9

2

J ., " I. J_"" - ds 5 - 2s I

5

I -x-J dx

.\

I ' I

6

I

I

10

-:J lix

I

17

21 24

x - -.-, dx I + x'

14

00

18

J~ , sech x ds

zz

1) 3

(x -


j""" ~ -
, _ ""x

" f

+9

I

h

+ I

3 X

I2 .x-_,_I_ 4 dx _

J"lns dX I s

,.""

I

o

00 .\

\3

I

CI

j" • 3

3

f'

I

I

.., 1

divergen y evalue aquel\as I

. ~ dx .\

4 .

j'' ' ~
-,.,

7

J ('

"'ds

()

II

15

T

'

0

- "- - lix x· - I

19

xe -" t/x

Z3

-II

' - -+ 18 - d\ 14 x 2 + X -,\2 .

r f

\1'

, 2

d\

16

f-'

cos " xdx

,

.I , sen 2x lix ,., !t/ 2

20

cos x £Ix

r

Xl -

I 3x

+2

elx

S

En los ejercicios del 25 a'l 28 calcule. si es posible, el valor de (a) el area de la region R y (b) el volumen del solido que se obtiene al girar R alrededor del eje x.

25

29

R

=:(x.y): x

~

1. 0 ~ y s ll f i J

26

R

Encuentre todos los valores de n para los cuales

.10

Encuentre todos los valores enteros de n para los cuales L~ x" dx (a) converge; (b) diverge.

32

Pruebe que si entonces

S;x" dx (a) converge; (b) diverge. 31

= {(x , y):x ~

I . () "'; .l' <; I/ x }

Encuente una fUl1cionltal que Iim" ' Lf ,f(x)dx existe pero lex) dx diverge.

J:,

t

<

.CJ(X)dX

lex) dx = L Y S:l(x) dx

+

LX; j(x)dx =

para todD numero real b.

L

+K

=

K,

INTEGRALES CON INTEGRANDOS INFINITOS 33 En la figura 11.5 tome a = 0 y suponga que A representa al centro de laTierra. Si P representa un pun to encima de la superficie. entonces la fuerza ejercida por la graved ad esta dada por F(x) = k /X2, donde k es una constante. EI radio de la Tierra es dc 4000 millas. Encuentre el trabajo necesario para lanzar un objeto que pesa 100 libras desde la superficie al infinito a 10 largo de I. (Sugerencia: Note que F(4000) = 100.)

34

11.4

507

La fuerza (en dinas) con la que dos clectrones se repelen es inversamente proporcionai al cuadrado de la distancia (en centJmetros) que los separa. Suponiendo que en la figura 11.5 un electron esta fijo en A, encuentre el trabajo hecho cuando el otro electron es repelido desde un punto B que se encuentra a I cm de A, hasta el infinito, a 10 largo de I.

En la tcoria de las ecuaciones diferenciales, si f es una funcion entonces la transformada de Laplace L de f(x) se define como

L[f(x) ] =

f'

e - ·' xj(x)dx

()

para todo numero real s para el cual la integral impropia converge. En los ejercicios del 35 al40 encuente L[j(x)] sif(x) es la expresion indicada.

35

36

.\

39 e'n

40

sen IIX

11.4

37

cosx

38

sen x

INTEGRALES CON INTEGRANDOS INFINITOS Si una funci6nJes continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces por el teorema (5.19) la integral S~ J(x) dx existe. Si J tiene una discontinuidad infinita en algun punto del intervalo puede aim ser posible asignar un valor a la integral. Supon­ gamos por ejemplo que J es continua y no negativa en el intervalo semiabierto [a, b) y que lim x _ b - J(x) = 00. Si a < t < b entonces el area A(r) bajo la grafica de J entre a y t (vea la figura 11.6) esta dada p~r A(t) =

I'./ (x) dx. "

y

x Fif(lIra 11.6

508

11

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES fMPROPIAS

Si lim'~b - A(t) existe, entonces el limite puede interpretarse como el area de la region no acotada que se encuentra bajo la graiica de/, arriba del eje x y entre x = a y x = b. Es natural denotar este numero por S:f(x) dx . En general, sifes cualquier funcion continua en el intervaio semiabierto que tiende a mas 0 menos infinito en b, entonces por definicion

f

(11.8)

j(x)dx

=

,~~

f

f

j(x)dx

=

r~~

b)

j(x)dx

siempre que el limite exista. Analogamente, si I es continua en (a, b] y tiende a mas entonces por definicion (11.9)

[a,

0

menos infinito en a,

r

j(x)dx

siempre que el limite exista. Una situacion de este tipo se ilustra en la figura 11.7. y

y

a

b

t

x

u

Figura 11.7

h

Figu,.a 11.8

Como en la seccion anterior, (11.8) y (11.9) se Haman integrales impropias y se dice que convergen si los limites indicados existen; si no, se dice que divergen . Siftiene una discontinuidad infinita en un numero c en (a, b) pero es continua en el resto de [a, b] (como, por ejempio, en la figura 11.8) entonces definimos

f

(l1.l0)

j(x)dx =

f

f(x)dx

+

r

j(x)dx

siempre que las dos ultimas integrales converjan. Si ambas convergen entonces el valor de la integral es ia suma de los dos valores. Fina lmente, si f es continua en (a , b) pero tiende a mas 0 menos infinito tanto en a como en b entonces definimos

f

j(x)dx

por medio de (I 1.10). Se usa una definicion semejante si f tiene un nllmero finito de discontinuidades en [a, b]. J

Ejemplo 1

r Jo

Evalue

dx.

3- x

INTEGRALES CON INTEGRANDOS INFINITOS

Solucion

Como el integrando tiene una discontinuidad infinita en x como sigue

f.

,-3-

JoJ3-x ' I dx

lim

[-2J~J'

3---::=I= =dX = lim

o~

J'l I dx converge

Ejemplo 2

. SI. O etermme

Soludon

EI integrando no esta definido en x

0 ~

0

509

3, aplicamos (11.8)

0

,-3 ~

lim [-2J3 - (

=

=

11.4

,-3 ­

+ 2J3 ]

d 1verge. ·

= O.

Aplicando (11.9),

I

II f ll - dx = lim -dx ox ,- 0· , x

lim

=

,-0 ·

= lim [0 - In tJ = x. , ~o

.

Como el limite no existe, la integral impropia diverge.

J4

Ejemplo 3

. SI. O etermme

Solucion

EI integrando no esta definido en x = 3. Como este numero esta en el interior del intervalo [0, 4], usamos (ILlO) con c = 3, obteniendo asi

.0

(x _I 3)2 dx converge 0 d·1verge.

4-

1

- I ---.2 dx

0 (x-3)

1 3

=

I ,dx o( x -3)-

+

f4

I 2 dx. 3(x-3)

Para que la integral de la izquierda converja, ambos integrales en el lado derecho deben converger. Aplicando (11.8) a la primera integral

f.Io 3

(x -

I

, dx = lim 3),~3 -

I'

lim - -I -

'~3 - x-3

lim

,~3 -

I

, dx

o (x - 3)­

J'

0

(~ -~) = 1-3 3

Se sigue que la integral impropia dada diverge.

00.

510

11

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

Es importante notar que eI teorema fundamental del calculo (5.3}) no puede aplicarse a la integral del ejemplo 3 porque la funci6n dada por eI integrando no es continua en [0, 4]. En efecto, si hubiesemos aplicado eI teorema fundamental del calculo habriamos obtenido

,·4 \ dx = ---\­J4 Jo (x - 3) Z (x - 3)

t1

\

= -\

4

3

Este resultado es obviamente incorrecto ya que el integrando nunca es negativo . •7

Ejemplo 4

Evalue

\

J .(x + I)

2/3

dx.

- 2

Solucion

EI integrando no esta definido en x = - I, numero que se encuentra entre - 2 Y 7. En consecuencia aplicamos (11.10) con c = -1 como sigue :

I

I I-I 7 --~ 1 -=3 dx =

- 2

(x

+

1)-'

I

_ 2 (x

+

, 3 dx 1) -'

I7

+

I

- 1 (x

+

2

I) ,

3 dx.

Despues investigamos cada una de las integrales del lado derecho. Usando (11.8) con b = - I obtenemos }

I

I

-1

- z (x

+ 1)

2 3

'

dx

= lim

I'

= ,~i~

~(x+ 1)1

=

lim

[3(/

= 0

+

,- - 1-

I

- z(x

+

+

, 3 dx 1)-'

J2

1) 1. 3 - 3(_1)113 ]

3 = 3.

De manera semejante usando (1 1.9) con a = -I,

f

I

7

I _

1

(x

- - " "2 --=3

+

1) ,

dx =

lim

,_ -

l '

f7 I

,

I (x

+

I)

2/ 3

£Ix

1

,~i~ . l3(X + 1) 1/3 = lim 1---> -

[3(8)1 /3 - 3(1

+

1)1 /3 ]

1 ..

= 6 - 0 = 6. Como ambas integrales convergen, la integral dada converge y tiene el valor 3 + 6 = 9. Las integrales impropias del tipo considerado en esta secci6n aparecen en algunas aplicaciones fisicas. La figura 11.9 es un dibujo esquematico de un resorte

INTEGRALES CON INTEGRANDOS INFINITOS

11.4

511

d

_____________ :i_1

~t:,.Yi= Yi - Yi-1 -d

Fi/:u,.a J J.9

con un peso prendido a el, el eual oseila entre los puntos con eoordenadas - d y d en un eje coordenado Y (el eje Y se ha eoloeado a la derecha para mayor claridad). EJ periodo T es el tiempo requerido para completar una oscilacion, es decir, el doble del tiempo requerido para que el peso reeorra eJ intervalo [ - d, dJ . Sea v( y ) la veloeidad del peso cuando se encuentra en un punto de coordenada Y en [ -d, dJ. Dividimos el intervalo [ -d, d] en la forma usual y denotamos por AYi = Yi - Yi - 1 a la distancia que el peso recorre durante un intervalo de tiempo Ali ' Si Wi es eualquier numero en [Yi _ l ' y;], entonces V(W i ) es la velocidad del peso cuando este se eneuentra en el punto con coordenada Wi ' Si la norma de la particion es pe­ quefia y suponemos que v es una funcion continua entonces la distancia AYi es aproximadamente igual al producto v(w i) Ali' es decir, AYi ~ v(wJ Ali

Entonces el tiempo requerido para que el peso recorra la distancia AYi se puede estimar mediante I v(wd

M~--~y. I

I

y por 10 tanto

Tomando el limite de las sumas dellado derecho y usando la definicion de integral definida, 1

d

T= 2

f

-d

-

v(y)

dy.

Como v(d) = 0 y v( - d) = 0, la integral es impropia (pero necesariamente eon­ vergente).

512

11

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

11.4 EJERCICIOS Determine si las integrales en los ejercicios del I al 25 convergen que convergen.

1oj; -

•-,

dx

2

6

5 I

4

1

O (4 - X)23

10

d\ .

13

f _(l2 --===2 dx

17

l'

25

2

-

I

1

d\ .

JoJ I -

22

sen x

dx

8

.

• - 2

(x

1

I )'

12

dx

JI

tan 2 x dx

19

1

ta n x d x

I)

\

.1

x - I

X -

4

,3dx I

20

f~' 2 1 -

24

L'sec x dx

I

-' -

. -,

+ I dx

1

, '2

--2 dx

o

r

j x

4

, <' x( ln x)

I

10

16

x dx - 2 ~ X2

q

26

I

I

- I

I

r

I

I dx • _ 2 (x + 2) 5/4

I

Jo (4 -,-, dx - .\j - 2

IJ

, .x - I

18

4 .4

7

f 2~ dX

.<

+4

5x

cos x

r"

e,j-; dx o x

fO

2

X -

2

,

!
x lll x dx

Jx

3

14

4- x

.4

21

divergen y evahie aquellas

I

8

9

0

, - - ds o x- - x - 2 cosx dx

li x

En los ejercicios del 27 al 30 cal cule si es posible, (a) el a rea de la regio n R y (b) el volumen del solido que se obtiene al girar R alrededor del eje x. 27

R = ((x ,y ): O <;: x $; I , O <;: y < 11

29

R = : (x, .\') : - 4 < x < 4, 0 <;: r

x:

<;:. I/ (x

+ 4 ):

28

R = 1(x,)" ): 0 <: x < 1.0 < .\' - I !,y~l

30

R = : (x.r): I < \" < 2. 0 < Y

I,'(t - I ):

Encuentre todos los valores de n para los cuales las integrales en los ejercicios 31 y 32 convergen . 31

1.,

x" dx

11.5

32

I'

x" In x £Ix

LA FORMULA DE TAYLOR Recuerde que f es un polinomio de grado n si para lodo x I (x ) =

00

+ 0 tX + 0 2X2 + ' " + o"x"

donde cada OJ es un numero real y los exponentes son enteros no negativos. Los polinomios son las funciones mas simples de usar para hacer caiculos, en el senlido de que sus valores pueden hallarse efectuando unicamente adiciones y multipli­ caciones de numeros reales. Se necesitan operaciones mas complicadas para caicular los valores de funciones logaritmicas, exponenciales, trigonometricas 0 de otras

LA FORMULA DE TAYLOR

11.5

513

funciones trascendentes. Sin embargo a veces es posible estimar estos valores usando polinomios. Por ejemplo como limx _ o (sen x)/x = I, se sigue que si x es pequeno, entonces sen x ~ x; es decir el valor de la funcion seno es casi el mismo que el valor del polinomio x . Decimos que sen x puede estimarse por el polinomio x (siempre y cuando x este cercano a 0). Como una segunda ilustracion, sea I la funcion exponencial natural, es decir I(x) = eX para todo x. Suponga que estamos interesados en calcular valores de I para valores de x cercanos a O. Como I'(x) = eX, la pendiente de la recta tangente a la gnifica de I en el punto (0, I) es 1'(0) = eO = l. Por 10 tanto y -

I = I (x - 0),

0

y = I

+

x.

es una ecuacion de la recta tangente. Observando la figura 11.10 se ve claramente que si x esta muy proximo acero, entonces el punto (x, I + x) sobre la recta tangente esta proximo al punto (x, eX) sobre la grafica de I y por 10 tanto podemos escribir ~~

I +x.

x

Figura 11./0

La formula anterior nos permite estimar eX por un polinomio de grado 1. Como evidentemente esta aproximacion es muy pobre a menos que x este muy cerca de 0, busquemos un polinomio de segundo grado g(x)

=

a

+ bx + cx 2

tal que eX ~ g(x) cuando el valor de x es pequeno. La primera y segunda derivadas de g(x) son g'(x)

= b + 2cx

g"(x) = 2c.

Si queremos que la gnifica de g (una parabola) tenga la misma intersecci6n con el eje y y tambien la misma recta tangente y la misma concavidad que la grafica de I en el punto (0, I) entonces debemos tener g(O)

= I(O),

g' (0)

= /'(0),

g" (0)

= I" (0).

514

11

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

Como todas las derivadas de eX son iguales a eX y eO = I estas tres ecuaciones im­ plican que a =

I,

b

I,

Y 2c

y por 10 tanto e'" :::::: g(x)

= I + x + -}x 2 •

Las gnlficas de f y g estan dibujadas en la figura 11 . 11 . Comparandola con la figura 11.10 parece que si x esta proximo acero, entonces I + x + t x 2 esta mas cerca de eX que I + x.

x

- I

FiKura 11.11

Si queremos estimar lex) = eX mediante un polinomio de tercer grado hex), es natural pedir que h(O), h'(O), h"(O) y W(O) sean iguales a f(O) , /,(0) , / "(0) y /,"(0) respectivamente. En este caso las graficas de f y II tienen la misma recta tangente y la misma concavidad en (0, I) Y ademas, las razones de cambio de fa concavidad con respecto a x (es decirlas terceras derivadas) son iguales. Usando el mismo pro­ cedimiento que antes obtendriamos

eX :::::: hex)

= I

I

I

+ x + _x 2 + _ x 3 2

3!'

Para damos una idea de la precision de esta aproximacion, en la siguiente tabla mostramos varios valores de eX y hex) calculados con una precision de un centesimo.

-1.5

h(x)

-1.0

-0.5

o

0.5

1.0

1.5

0.22

0.37

0.61

1.65

2.72

4.48

0.06

0.33

0.60

1.65

2.67

4.19

Observe que el error en la aproximacion crece a medida que el valor absoluto de x crece. Las graficas defy de h estan dibuj'adas en la figura 11.12. Note que la aproxi­

LA FORMULA DE TAYLOR

11.5

515

Figura 11.12

maci6n mejora cerca de x = o. Si continmiramos de esta manera y encontraramos un polinomio de grado n cuyas primeras n derivadas coincidiesen con las derivadas correspondientes de I en x = 0, lIegariamos a

eX ::::: I + x + ~X2 + ...!..-x 3 + ... + ...!..-x" 2 3! n! . Se seguira de nuestro trabajo posterior que esta f6rmula tan extraordinariamente simple se puede usar para estimar eX con tanta precisi6n como queramos. Hacemos ahora las siguientes dos preguntas: I. l,Existe alguna f6rmula general que se pueda usar para estimar por medio de polinomios funciones exponenciales arbitrarias, funciones logaritmicas, funciones trigonometricas, funciones trigonometricas inversas y otras funciones trascen­ dentes 0 algebraicas?

2. l,Se puede generalizar la discusion anterior al caso en d que x esta proximo a un numero a arbitrario diferente de cero? La respuesta a ambas preguntas es "si", siempre y cuando la funci6n en cues­ tion tenga un numero suficiente de derivadas. Especificamente, la formula (ll.I2) de esta seccion puede usarse para estimar una amplia gama de funciones. Para ver por que es razonable pensar en la formula (I l.I2) suponga que I es una funcion que tiene muchas derivadas y considere un numero a en el dominio def Procedamos de la misma manera que 10 hicimos anteriormente para el caso especial de eX, pero usando a en lugar de O. Notemos primero que el unico polinomio de grado 0 que coincide con I en a es la constante I(a). Si deseamos estimar I(x) cerca de a por un polinomio de grado I, entonces elegimos el polinomio cuya grafica es la recta tangente ala grafica de/en el punto (a,/(a». Como la ecuacion de esta recta tangente es Y - I(a) = j'(a)(x - a),

el polinomio deseado es

0

Y = I(a)

+ f'(a)(x

- a)

516

11

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

+ j'(a)(x

I(a)

- a).

Deberiamos obtener una mejor aproximacion usando un polinomio cuya gnifica tenga la misma concavidad y la misma recta tangente que f en el punto (a, f(a». Dejamos al lector el trabajo de verificar que el polinomio de segundo grado I(a)

+ j'(a)(x

- a)

rea) 2- (x -

+-

a)2.

satisface estas condiciones . Si ahora consideramos el polinomio de tercer grado

1"( a_)(x

g(x) = I(a) + j'(a)(x - a) + _

2!

I"' ( ) 3!

- a)2 + _ _a_ (x - a»)

entonces es facil pro bar que adem as de que g'(a) = /'(a) y g"(a) = /"(a), tenemos tam bien que g"'(a) = f"'(a). Vemos que si continuamos con este procedimiento deberiamos obtener mejores aproximaciones a I(x) , para x cerca de a. Esto nos lIeva a los primeros n + I terminos dellado derecho de (11.12). La forma del ultimo termino es una consecuencia del siguiente resultado, que Ileva el nombre del mate­ matico ingles Brook Taylor (1685-1731). (11.11)

FORMULA DE TAYLOR

Sea I una funcion y n un entero positivo tal que la derivada In + I) (x) existe para cada x en un intervalo I. Si a y b son numeros distintos en I, entonces existe un numero z entre a y b tal que I'(a) I"(a) 2 f(b) = f(a) + -1!-(b - a) + ~(b - a) + ... f (n)(a) n!

+ --(b Demostracion.

a)·

+

fIn + I )(z)

(n+I)!

(b - at+

I.

Existe un numero Rn (que depende de a, b y n) tal que

. . I'(a) f"(a, 2 p·)(a) j(b) =j(a) + - - (b - a) + - - -(b - a) + . .. + - - (b - a)· + R I! 2! n! •.

En efecto, para encontrar Rn simplemente restamos de f(b) la suma de los primeros n + 1 terminos del lado derecho de esta ecuacion. Queremos mostrar que Rn es igual al ultimo termino de la formula dada en el enunciado del teorema. Sea g la funcion definida por g(x) = I(b) - f(x) - j'(x) (b - x) _ f"(x) (b _

I!

X)2 _

•. .

2!

pn)(x) (b - \")" + 1 -(b - x)n - R - - -;-:­ n! . n(b-a)"+1

- -

para todo x en I. Si derivamos ambos lados de la ecuacion entonces muchos terminos del lado derecho de la misma se cancelan. De hecho, podemos probar que

LA FORMULA DE TAYLOR

, pn+l)(x) n g (x) = (b - x) + Rn(n n!

11.5

517

(b - xt

+

I) b t+ ( - a

I .

(vea el ejercicio 41). Es facil ver queg(b) = O. Mas aun, sustituyendo a en lugar de xen la expresi6n para g(x) y usando la primera ecuaci6n de la demostraci6n obtenemos g(a) = O. De acuerdo con el teorema de Rolle (4.9), existe un numero z entre a y b tal que g'(z) = O. Evaluando g'(x) en z y despejando Rn vemos que R = n

j ·'n+ l)(z) (b - at+ (n+I)!

I

que es 10 que queriamos demostrar.

AI reemplazar b con x en (11.11) obtenemos la formula siguiente.

(11.12)

FORMULA DE TAYLOR CON RESIDUO

f'(a) f "(a) ? f(x) = f(a) + - - ( x - a) + · _(x - at + ... I! 2' f (nl(a) n!

+ --(x -

at

+

j ·(n + ll(z)

(n+I)!

(x - at+ 1

donde z es un numero entre a y x. La suma de los primeros n + I terminos del lado derecho de (11.12) se denota frecuentemente por Pn(x) y se llama el polinomio de Taylor de grado n para la funcion fen el punto a, 0 sea, (11.13)

P. (x) n

=

f'(a) f"(a) pnl(a) f(a) + - - ( x - a) + - - ( x - a)2 + . .. + - - (x - at I! 2! n! ·

La expresi6n (11.14)

R (x) == n

se llama el residuo despues de n (11.15)

+

pn+ll(Z)

(n

+ I)!

(x - at+ 1 •

1 terminos. Entonces podemos escribir

f(x) = Pn(x)

+ Rn(x).

Resulta que si el valor absoluto de Rn{x) es pequeno, entonces f(x) se puede estimar mediante el polinomio de Taylor de grado n en el punto a, esto es, (11.16)

f(x) ;:::: Pn{x)

si

x;:::: a.

Como If(x) - Pn(x)1 = ·IRn(x)l, entonces el error que se tiene al usar esta aproxi­ maci6n mediante polinomios es igual a IRn(x)l. Ejemplo 1

Sea f(x) = In x . Encuentre la f6rmula de Taylor con residuo para n = 3 y a = 1.

518

11

Solucion

Si 11 = 3 en (11.12), entonces necesitamos las primeras cuatro derivadas de I Es conveniente arreglar nuestro trabajo como sigue.

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

f(x) = Inx

rex) =

I(I) =

°

1'(1)=1

X-I

j"(x) = _x -

2

f"(I) = - I

I'''(x) = 2x - 3

r"(I) = 2

}'4)(X) = -3!x- 4

P4)(:) = -6z - 4

Por la formula de Taylor (11.12),

I

I

2

2

3

6z - 4

4

Inx=O+-(x-I)--(x-l) + - (x-I) - - - (x-I) I! 2! 3! 4! ' donde z esta entre I y x. La ultima formula se reduce a

I 2 I 3 I 4­ In x = (x - I) - -(x - i) + -(x - I)- - - (x - I) .

2

3

4Z4

Ejemplo 2

Use la formula obtenida en el ejemplo I para estimar In (1.1), y calcule la precision de esta aproximacion.

Solucion

Sustituyendo 1.1 en lugar de x en la formula del ejemplo I obtenemos In(l.1)

= 0.1

I

2

I

3

I

- 2(0. 1) + 3'(0.1) - 4z 4 (0.1)

4­

donde I < z < 1.1. Sumando los tres primeros terminos obtenemos que In (1.1) :::: 0.0953. Como z > I, entonces I /z < 1 Y por 10 tanto l/z 4 < I. En consecllencia (0.1)41 < 4T

IR 3(1.I)1 =

0001 1°. ~ 1 = 0.000025.

1

Por 10 tanto la aproximacion In (1.1) cifras decimales.

~ 0.0953

es exacta en las primeras cuatro

Si deseamos estimar el valor de f(x) para algun x, es conveniente escoger el numero a en (11.12) de manera que el residuo Rn(x) este muy cercano a cero cuando 11 sea relativamente pequeno (digamos n = 3 0 11 = 4). Esto se cumpli­ ra si escogemos a cercano a x. Ademas es conveniente elegir a de manera que los valores de las primeras 11 + I derivadas de f en a sean faciles de calcular. Esto se hizo en el ejemplo 2, donde elegimos a = I para estimar In x en x = 1.1 (vea el ejemplo I). EI siguiente ejemplo proporciona otra ilustracion de como elegir ade­ cuadamente el numero a. Ejemplo 3

Use un polinomio de Taylor para estimar cos 61 " Y calcule la precision de la aproxi­ macion.

LA FORMULA DE TAYLOR

Solucion

11 .5

519

Deseamos estimar f(x) = cos x para x = 61 0 . Observamos primero que 61 0 esta proximo a 60° 0 sea n/3 radianes y que es sencillo calcular los valores de fun­ ciones trigonometricas en n/3. Esto sugiere elegir a = n/3 en (11.12). La eleccion de n dependera de la precision que queramos alcanzar. Ensayemos con n = 2. En este caso se necesitan las tres primeras derivadas de f y ordenamos nuestro trabajo como sigue:

/(x) = cosx

I(n/3) = 1/ 2

f'(x) = -!l:nx

I"(x) I "' (x)

1'(n/ 3) / " (n/3)

-cosx

=

=

-./3/2

=

-1 /2

/"'(z) = senz

= !l:n x

Por (11 .13) el polinomio de segundo grado para f en n/3 es P2(X) =

~_ 2

(./3/ 2)(x _ ~) _ (1 / 2)( x _ ~) 2. I! 3 2! 3'

Como x representa un numero rea'l, tenemos que convertir 61 ° a radianes, antes de sustituir en ellado derecho. Escribiendo 61 " = 60"

+

1u =

~ +~ 3

180

y sustituyendo en P2 (x) obtenemos

n + 180 n)

P2 ( "3

=

1 (./3)( n) -"4I( n )2

2" - 2

180

180

;::0

0.48481.

Entonces por (11.16), cos 61 °

;::0

0.48481.

Para calcular la precision de esta aproximacion , de (11.14) vemos que

IR 2 (x)1 = Sustituyendo x

=

n/3

+ n/180 y

, ~~z (x -

ir,.

usando que Isen

zl

~

I,

En consecuencia tenemos que la aproximacion cos 61 ° ;::0 0.48481 es exacta en las primeras cinco cifras decimales. Si deseamos mayor precision, entonces es necesario encontrar un valor de n tal que IRn(n/3 + n/180)1 este dentro del rango deseado. En los ejemplos 2 y 3 afirmamos que las aproximaciones eran exactas en las primeras cuatro y en las primeras cinco cifras decimales respectivamente. En eI resto deltexto se dira que una aproximacion es exacta en las primeras k cifras deci­ males si el error E, en valor absoluto, es menor que 5 x 1O-(k+ I) . Por ejemplo,

520

11

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

usando esta convencion tenemos exactitud en

lEI < 5 primeras cifras decimales si lEI < 5 primeras cifras decimales si lEI < 5 la primera cifra decimal si

las dos las tres

x 10 - 2 x 10 -

3

x 10 - 4

= 0.05 = 0.005

= 0.0005.

Si en (11.12) usamos 0 en lugar de a, entonces obtenemos la formula . . 1'(0) j(x) =j(O) + ­ -x l!

(11.17)

}"(O)

p·'(O)

2!

n!

+ __ x 2 + ... + - - x · +

}"'. ... I'(Z)

+

(n

I)!

x·+

1

,

donde z esta entre 0 y x. Este caso especial de (11 . 12) se llama formula de Maclaurin, en honor del matematico escoces Colin Maclaurin (1698-1746).

Ejemplo 4

Encuentre la formula de Maclaurin (11.17) paraf(x) = eX y para cllalquier entero positivo n.

Solucion

Para todo entero positivo k, Pk,(x) = eX y por 10 tanto Pk)(O) = eO = I . AI susti­ tuir en (I 1.17) obtenemos

donde z esta entre 0 y x. Note que los primeros n + I terminos son los mismos que obtuvimos en la discusion al principio de la seccion.

La formula obtenida en el ejemplo 4 puede usarse para estimar valores de la funcion exponencial natural. En el proximo capitulo discutiremos otra aplicacion importante, al estudiar la representacion de funciones por medio de series infinitas.

= sen x y

= 8.

Ejemplo 5

Encuentre la formula de Maclaurin para f(x)

Solucion

Necesitamos las primeras nueve derivadas de I(x). Comencemos como sigue:

= senx

frO) = 0

F(x) = cosx

1'(0) = I

}(x)

}"(x)

}"'(x)

Como

f(4I(X)

=-

sen x

j"(0)

= -cosx

II

=0

F"(O) = - I

sen x, las demas derivadas siguen el mismo modelo lIegamos a

}'9i(X) = cos X

}'9)(Z) = cos z.

Sustituyendo en (11.17) Y observando que tanto el termino constante como los coeficientes de x 2 , X4, XO Y x 8 son 0, obtenemos I sen.\" = - x I!

( - 1)

I

(- I)

cos z

3!

5!

7'

9!

+ _ _ x 3 + _ x 5 + ---x 7 + __ .\"9

LA FORMULA DE TAYLOR

521

11.5

que se puede escribir

sen x

x3 x - 3!

=

x7 7!

x5 5!

COSZ 9

+ - - - + --x . 9!

Por cierto, si en la f6rmula hallada en el ejemplo 5 usaramos los primeros cuatro terminos diferentes de cero para aproximar sen (0.1), entonces el error seria IRs(O. I)I . Como Icos zl ~ I,

iDe acuerdo con nuestra convenci6n respecto a la exactitud, esto significa que la aproximaci6n seria exacta en las primeras 14 cifras decimales!

11.5 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 12 encuentre la f6nnula de Taylor con residuo para los valores dados de a y n.

= 1£/4,n =

1 f(x) = senx,a = 1£/2,n = 3

2

f(x) ~ cosx,a

3 f(x) = Jx,a = 4, n = 3

4

f(x)

5 f(x) = tanx, a = 1£/4,n = 4

6 f(x)

= e-",a = I,n = 3 = I/(x - 1)2,a = 2, n =

8

= ,y-;,a = -8,n = 3

7 f(x)

9 f(x) = tan - I x, a II

f(x)

=5

= I/ x,a = -2,n

= I, n =

= xe',a = -I,n

=

2

4

f(x)

10

f(x) = In sen X, a

12

f(x)

3

5

= 1£/6,n = 3

= loglox,a = lO,n = 2

En los ejercicios del 13 al 24 encuentre la f6nnula de Maclaurin para los valorcs indicados de n. 13

f(x) = In(x

+ I),n

=

4

16 f(x) = tan-I x,n = 3 19 f(x) =

I

(x - 1)2'

= e - xl, n

n

= sen x, n = 7 2x

,

n

=5

20 f(x)=~,n=3

= cosx,n = 8

15

f(x)

18

f(x)=secx,n=3

21

f(x) = arcsenx, n = 2

3

f(x)

23

f(x) =

24

f(x) = cosh x, n = 4

2X4 -

f(x)

17 f(x) = e

=5

22

=

14

5x J + x 2 - 3x + 7, n = 4 y n = 5 y n = 5

En los ejercicios del 25 al 28 calcule los numeros dados,con una exactitud de cuatro cifras decimales, usando el ejercicio indicado. En cada caso pruebe que su respuesta es correct a mostrando que IR.(x)1 < 5 x 10 - 5. 25 sen 89° (Use el ejercicio I y 1£/180 27

J 4.03

(Use el ejercicio 3.)

~

0.0175.)

26 cos 47° (Use el ejercicio 2 y 1£/ 180

28 e-l.

02

(Use el ejercici04.)

~

0.0175.)

522

11

FORMAS INDETERMJNADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

En cada uno de los ejercicios del 29 al 34 calcule aproximadamente el numero dado usando el ejercicio indicado y estime el error IR.(x)1 de la aproximacion . 29

1/ 2.2; ejercicio 7

30


32

sen 0.1; ejcrcicio 14

33

cos 30°; ejercicio 15

cjercicio 8

31

In (I. 25); ejercicio 13

34

loglo 10.01 ; ejercicio 12

Use la formula de Maclaurin para obtener las formulas de aproximacion en los ejercicios del 35 al 40 y diga en terminos de cifras decimales que tan precisa es la aproximacion si Ixl :<:;; 0.1.

35 cos x

~

x 2 I --

2

x3

36

, x-

38

senx~x- -

41

En la demostracion de la formula de Taylor (11.11) verifique la formula para g'(x) .

6

11.6

EL

39

,

I 3

~ ~I+ - x

37

42

2

.\3

In ( l + x)~ x - - + -

2

x­

t'x .~I + x + _

40

3

cosh x ~ I +

x­

,

2

Suponiendo quef(x) es un polinomio de grado n y a es cualquier numero real, demuestre que f(x) = p.(x) donde p.(x) esta dado por (11.13).

METODO DE NEWTON

En la seccion anterior se uso la formula de Taylor con residuo (11.12) para en­ contrar poJinomios que se aproximan a funciones . Como caso particular se puede usar el polinomio de primer grado j(a)

+ j"(a)(x

- a)

para estimar f(x) cuando x est
x

Fixura 11./3

EL METODO DE NEWTON

11.6

523

Como y

= f(xd + f'(xd(x

- xd

es una ecuacion de la recta tangente I, la interseccion por

X2

de 1 con el eje x esta dada

Si f'(x) "# 0, entonces la ecuacion anterior es eq,uivalente a X2

=

XI -

f(xd !'(xd·

Si tomamos a X 2 como una segunda aproximacion a r, entonces se puede repetir el proceso usando la recta tangente en (X2,f(X 2». Si!'(X2) "# 0 esto conduce a una tercera aproximacion X3 dada por f(X2) X3

= X2 - f'(X2)"

Se continua este proceso hasta obtener el grado de precision deseado. En general, si x. es una aproximacion cualquiera, la aproximacion siguiente X.+ I esta dada por (11.18)

X. + I

= x.

f(x.) - f' (x ) n

siempre y cuando !'(xn ) "# O. Este metodo de aproximaciones sucesivas a raices reales se conoce como el mHodo de Newton. Se debe tener cuidado al elegir la primera aproximacion XI. En efecto, si XI no esta suficientemente cerca de r, es posible que la segunda aproximacion X 2 sea peor que X I ' como se ilustra en la figura 11.14. Se sigue evidentemente a. observar el denominador en (11.18), que no es conveniente elegir un numero Xn tal que f'(x n ) este cerca de O. En particular no es conveniente elegir valores cercanos a los numeros criticos de f y

Figura II.I4 Ejemplo 1

Use el metodo de Newton para estimar

fl.

524

11

Solucion

EI problema enunciado es equivalente al problema de estimar el cero real posi­ tivo de la funci6n f(x) = x 2 - 7. Como f(2) = - 3 Y f(3) = 2, se sigue de la continuidad defque 2 < r < 3. Mas atlO, comofes creciente en (2, 3), unicamente puede haber un cero en este intervalo. Si Xn es una aproximaci6n a r, entonces por (11.18) la siguiente aproximaci6n Xn + 1 esta dada por

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

Xn+l

= Xn -

x; - 7

j(x n ) !'(x ) =

~

Xn -

n

que se simplifica a

(11.19)

Xn + 1

x; -+ -.7

= -

Si elegimos como primera aproximaci6n (3)2 X2

Usando de nuevo (11.19) con n

=

x )

=

=

2x n

XI

+7

2(3)

=

3, entonces por (11.19) con n

I,

8 3

16

­

6

2, la siguiente aproximaci6n es

(8/ 3)2 + 7 2(8/ 3)

=~~

2.6458.

48

J7

Se puede mostrar que ~ 2.645751 con seis cifras decimales de exactitud . Por 10 tanto con dos aplicaciones sucesivas del metodo de Newton se obtuvo una exactitud de tres cifras decimales. Ejemplo 2

Estime la raiz real de la ecuaci6n 2x - e-' = O.

Solucion

Queremos hallar un valor de x tal que e - x = 2x. Este valor coincide con la abs­ cisa del pun to de interseccion de las graficas de y = e -x y y = 2x . Se ve en la figura 11.15 que XI = 0.3 es una primera aproximacion adecuada . Si tomamosf(x) = 2x - e - x , entonces de acuerdo con (1\.18)

y =

(' - X

2

Figura 11.15

.\

EL METODO DE NEWTON

525

11.6

o Xl

= 0.3 -

0.6 - e- 0 . 3 03 . 2+e .

Usando la tabla II Xl

Si usamos

Xl

~ 0.3 -

0.6 - (0.7408) 2 + (0.7408) ~ 0.351.

0.35 en (11.18) entonces X3

=

0.7 - e - 0 . 35 0.35 - 2 + e 0 .35

'" 0 35 _ 0.7 - 0.7047 "'. 2 + 0.7047 ~

0.352.

Se puede mostrar usando una comp.utadora que las primeras cinco cifras decimales de r son 0.35173. Se continua con el proceso iterativo en el metodo de Newton hasta que los digitos de una aproximacion se repitan en la siguiente. Por ejemplo, si deseamos una precision de un centesimo, generalmente continuamos con el proceso hast a que los primeros tres digitos permanezcan fijos y luego redondeamos ados cifras decimales.

11.6 EJERCICIOS Use el metodo de Newton en los ejercicios I y 2 para estimar el numero dado con una exactitud de cuatro cifras decimales.

1 12

2 13

Use el metodo de Newton en los ejercicios del 3 al 10 para estimar la raiz real indicada con una exactitud de tres cifras decimales.

3 La raiz positiva de x 3 + 5x - 3 = 0

5 La raiz de

X4

+ 2x

3

-

5x + I 2

=

4

0 que se halla

9 La raiz de x

e -~ =

0

+ In x = 2

5x + 2x - 5 = 0 que se halla

La raiz de X4 entre 2 y 3.

8

La raiz de cos x

-

+x = 2

10 La maxima raiz de

e~

- sen x = 0

En cada uno de los ejercicios del II al 18 use el metodo de Newton para hallar con una exactitud de dos cifras decimales las ralces reales de las ecuaciones dadas. II

X4

= 125

12

IOx 2

-

I

=

0

13

+ 1=0

2

6

entre I y 2.

7 La minima raiz positiva de cos x -

La raiz mas grande de x 3 - 3x

X4 -

X -

2= 0

526 14

X

11 S

+4

2X2

-

FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS =

0

172x-5-senx=O

11.7

15

2x 3

18

x2

+ eo' =

0

2- e

-

16 =

h

2e x + x - I = 0

0

REPASO

Conceptos Defina

discuta

0

10

siguiente.

Las formas indeterminadas

2

La regia de L'H6pital

3

La formula de Cauchy

4

Integrales impropias

5

La formula de Taylor

6

La formula de Maclaurin

7

EI metodo de Newton

Ejercicios Encuentre los Iimites en los ejercicios del I al 14, siempre que estos existan .

4

In (2 - x) lim x-o I + (,2 .'(

2

tan - , x lim - - ,- x- o sen X

5

sen 2x - tan 2,. lim x2 x- o ("2 x _

lim :.. ..... 0

I' - h

-

3

.\: - J

4x

6

xl

lim ~



eX

:c .. 1:

x "'" ~

10 lim tan ~ x-- o 13

lim cos x In eos x

8

I X

csc x

II

Iim(] + 8x2)' x'

' f f' " f

-

4

19

I

dx

- :x

20

x

'- 8

23

16

f

' x.js

o

dx I

- - -- dx e''C

+

lim (I _ 21" X)x

,

lim (Inx)X x- I

(I

4

I

secx

])

14 lim - - - ­ .,- 0 tanx x

x -3-

12

.\"-0

lim (eX + I)' -,

in

It"

En los ejercicios deliS al 26 determine si convergen aquellas que convergen.

15

9

tanx

lim x-

\'"

7

x 2 + 2.\ + 3 In(x + I)

lim

f

dx

I

- - d\' 4X + 4 .

24

0

divergen las integrales y evalue

o

17

= Incosx,a = 71/6, II =

(b) I(x)

= .j:;-:--J, a = 2,11 =

4

3

18

+ 2

22

{ ' senxdx

f f

dx

2

I X

25

(a) f(x)

_, x

21

(I - X

27 Encuentre la formula de Taylor con residuo para las siguientes funciones.

f

I

- - dx

28

f

x2

-

I

' ;2

'lnx dx

26

o x

o

escx dx

Encuentre la formula de Maclaurin para la, siguientes funciones. (a) fIx) = e -

(b) I(x)

=

x3

,11

=3

1/ (1 - X),II

=

6

REPASO

11.7

527

29

Use la formula de Taylor para estimar con una exactitud de cuatro cifras decimales sen143~ (Sugerencia: use sen 1 x = (I - cos 2x)/2.)

30 Obtenga la fonnula de aproximaci6n sen x ~ x - (x 3/6) y diga que tan precisa es esta aproxi­ maci6n para Ixl ~ 0.2.

31

Use el metodo de Newton para estimar la maxima raiz de 2x 3 - 4Xl - 3x + 1 = 0 con una exactitud de tres cifras decimales.

32

Use el metodo de Newton para estimar ~ con una exactitud de tres cifras decimales.

_

12

SERIES INFINITAS

Las series infinitas son utiles en los cursos avanzados de matenultic:a.l', flsica e ingenieria, puesto que se pueden emplear para represenlllr algunas funciones de una manera nueva. En este capitulo discllliremos algunos de los resultados fundamentales asociados con este concepto matematico tall importante.

U.l

SUCESIONES INFINITAS

Una funci6nf de un conjunto X a un conjunto Yes una correspondencia que asocia a cada elemento x de X un unico elemento f(x) de Y (vea la definici6n (1.18». Hasta este momento, el dominio X generalmente ha sido un intervalo de numeros reales. En esta secci6n consideraremos una clase diferente de funciones. (12.1)

DEFINICION

Una sucesion infinita es una funci6n cuyo dominio es el conjunto de los en­ teros positivos. Por conveniencia, a veces llamamos a las sucesiones infinitas simplemente sucesiones. En este libro el rango de una sucesi6n infinita sera un conjunto de nu­ meros reales. Si f es una sucesi6n infinita, entonces a cada entero positivo n Ie corresponde un numero real f(n) . Se puede hacer una lista de los numeros del rango de f es­ cribiendo f( 1),/(2),/(3), ... ,/(n), ... en donde los puntos al final indican que la sucesi6n no termina. EI numero f(l) se llama el primer termlnode la sucesi6n, f(2) el segundo termlnoy en general f(n) se llama el enesimo termlno de la sucesi6n. Es costumbre usar una notaci6n con subindices en lugar de la notaci6n de funciones y.escribir estos numeros en la forma siguiente (12.2)

528

al,(/2,a3,""(/" ""

SUCESIONES INFINITAS

12.1

529

donde se entiende que para cad a entero positivo n, el simbolo an denota el numero real fen). De esta manera obtenemos una coleccion infinita de numeros reales que esta ordenada en el sentido de que hay un primer numero, un segundo numero, un cuadragesimo quinto numero, etcetera. Aunque las sucesiones son funciones, tam bien llamaremos sucesion infinita a una coleccion como la de (12.2). Si queremos convertir a (12.2) en una funcion f, tomamos f(n) = an para todo entero positivo n. A partir de la definicion de la igualdad entre funciones, vemos que una sucesion

a J ,Q2,Q3,···,Qn,· · · es igual a una sucesion

si y solo si a j = h j para todo entero positivo i. Las sucesiones infinitas frecuente­ mente se definen mediante una formula para el enesimo termino como en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1

Haga una lista de los primeros cuatro terminos y del decimo termino de la sucesion cuyo enesimo termino an se da a continuacion. (a)

a n

II

= --

an

(b)

n+ 1

= 2

+ (0.1)"

2

(c)

Solucion

a =(_1)" + 1_ n_ _ n 3n - I

Para encontrar los primeros cuatro terminos sustituimos n = 1,2,3 y 4 en la formula para an' EI decimo termino se encuentra sustituyendo 10 en lugar de n. Haciendo esto y simplificando obtenemos: Primeros cualro lermillos

Decimo lermino

I 234

10

(a)

2.'3'4'5

11

(b)

2. 1,2.01,2.001 , 2.0001

2.000000000 1

(c)

2' -5'8'-11

(d)

4, 4, 4, 4

I

4 9

16

100

29 4

A veces denotamos la sucesion (12.2) por {an}. Por ejemplo, el enesimo termino de la sucesion (2ft} es aft = 2ft. De acuerdo con la definicion (12.1), la sucesion {2n} es la funcion f tal que f(II) = 2 n para cada entero positivo n. Algunas sucesiones infinitas {an} tienen la propiedad de que al crecer n, aft se acerca mucho a cierto numero real L. Otra manera de ver esto, es decir que el valor absoluto laft - LI tiende a cero cuando n tiende a infinito. Como un ejemplo, con­ sidere la sucesion {an} donde

an

=2+(_~)ft 2 .

530

12

SERIES INFINITAS

Los primeros terminos son

y se ve que los terminos se aproximan a 2 a medida que n crece. De hecho , para cada entero positivo n

y el numero 1/2n, y por 10 tanto tam bien Ian

21 , se puede hacer arbilrariamenle arcano a cero. eligiendo n sujicientemenle grande. De acuerdo con la detinicion (12.3) que aparece a continuaci6n, la sucesi6n dada tiene ellimite 2 y escribimos

Esta situaclOn es casi ident ica a la del capitulo 4 en el cual se definio = L. La unica d iferencia es que sif(n) = (ln, entonces el ~ominio defes el conjunto de los enteros positivos y no un intervalo infinito de numeros reales. La siguiente definici6n es igual a la definici 6n (4.19), excepto que se usa an en lugar de f(x). lim< ~", f(x)

(12.3)

DEFINICION

Una sucesi6n {an} tien e ellimite L , 10 cual se escribe lim n _

T

an

= L,

si para cada e > 0 existe un numero positivo N tal que

Ian -

LI <

I)

siempre que n

~>

N.

Si lim n_. -0 an no existe en el sentido de la definici6n (12.3) , entonces la sucesi6n [an) no tiene limite. Se puede dar una interpretacion geometrica semejante a la de la tigura 4.25 para ellimite de una sLicesio n. La unica diferencia es q ue la coordenada x del punto que se muestra en el eje x siempre es Lin entero positivo. En la tigura 12.1 se ilustra el comportamiento de los puntos (k, ak ) en un caso especial en el cuallirn n 0 an = L. Observe que para cada c > 0 los puntos (n , an) est,\n e ntre las rectas y = L ± e, siempre que n sea suficientemente grande. Desde luego que Ia forma en que las an se aproximan a L puede ser diferente de la que se ilustra en la figura. Se puede ob­ tener otra interpretacion geometrica de la definici6n (12.3) trazando los puntos correspondientes a ak sobre una ~ecta coordenada como se muestra en la tigura 12.2. En este caso, si consideramos cualquier intervalo abierto (L - c, L + e), entonces an estanl en este intervalo siempre y cuando n sea suficienternente grande. Si se puede hacer an tan grande como se quiera eligiendo n sutkientemente grande, entonces la sucesi6n an no tiene limite, pero de todos modos escribimos limn ~". an = x . Una manera mas precisa de describir este comportamiento es la siguiente :

SUCESIONES INFINITAS

531

12.1

y

•

L

1----------------------.---.--------.---

•

•

I

•

(2, uJ

• (3,

y=L+f y = L - f

(/I, a'll

•

(J 1l

• (1, a,) 2

3

N

x

11

Figura 11.1 I- -- f

•

al

~11

• • •

• {/2

a4

(/J

I-

I-

I

)

+f

.­

I

Figura 12.1 (12.4)

DEFINICION

La afirmacion lim"_ ex, a" = co significa que para todo numero real positivo P, existe un numero N tal que si n > N, entonces a" > P. La demostracion del siguiente teorema ilustra el uso de las definiciones an­ teriores. (12.5)

TEOREMA

(i)

lim

r"

(ii)

lim

1r"1

=

0 si

= ex;

Irl < I si

Irl > I

Demostracion. Si r = 0, obviamente el limite es O. Supongamos que 0 < Irl < I. Para probar (i) por medio de la definicion 02.3) tenemos que mostrar que para cada c > 0 existe un numero positivo N tal que

si n > N, entonces La desigualdad lista siguiente :

Ir" - 01 < c

Ir" - 01 < c es equivalente a cada una de las desigualdades de la In c

Irl" < c, n In Irl < In t, n>-­ In Irl En la ultima desigualdad esta cambiado eI signo, ya que In Id es negativo si 0 < Irl < I. La ultima desigualdad de la lista nos da una clave para la eleccion de N. Es­ pecificamente, si c < 1, entonces.ln e < 0 y tomamos N = In tjln Irl > O. En este caso, si n > N, entonces se verifica la ultima desigualdad de la lista y por 10 tanto tambien

532

12

SERIES INFINITAS

la primera, que es 10 que queriamos demostrar. Si e ~ I, entonces In e ~ 0 y por 10 tanto In f:jln Irl ~ O. En este caso, para cualquier numero positivo N, si n > N entonces la ultima desigualdad de Ila \ista se verifica. Para probar (ii) sea Irl > 1 Y considere cualquier numero real positivo P. Las siguientes desigualdades son equivalentes : InP

II > - - . In 1,.1

n In Irl > In P,

Irln> P,

Si elegimos N =; In Pj ln Irl, entonces siempre que n > N tenemos que Irl' > P. Por 10 tanto, de la definicion (12.4), resulta que Lim, ~ oo lrln = 00. EjempJo 2

Haga una \ista de los primeros cuatro terminos y, de ser posible, encuentre los Iimites de cada una de las siguientes sucesiones. (a)

Solucion

[( 1.0 1)n]

(b)

{( - 2/3 )"]

(a) Los primeros cuatro terminos son 2 3'

4

8

9'

27'

16 81

De acuerdo con el teorema (1 2. 5), lim

n~ '"

(_~)n = O. 3

(b) Los primeros cuatro terminos son 1.01,

1.0201,

1.03030 i ,

1.04060401.

De acuerdo con el tcorerna (12.5), lim (1.0 I)"

=

ro .

Se pueden demostrar, para sucesiones infinitas, algunos teoremas analogos a los teoremas para limites en el capitulo 2. En particular, dadas dos sucesiones infinitas {an} y {b,}. se pueden Sllmar los terminos correspondientes para formar la sucesi6n infinita {an + b n} que se llama la suma de las sucesiones dadas. Analogamente, podriamos formar la diferencia, el producto 0 el cociente restando, multiplicando 0 dividiendo los terminos correspondientes (siempre y cuando no aparezcan denomi­ nadores iguales a cero). Si limn~ X' an = L y limn ~
+ bn) = L +

M

lim (an - bn ) = L - M

n-

~J

.

Un

lim n- .,.

bn

L

= -

M

.

SUCESIONES INFINITAS

12.1

533

En la ultima f6rmula se necesita que M #= 0 y bn #= 0 para todo n. Si an = c para cada n, de manera que la sucesi6n infinita es c, c, .. . , c, .. . , entonces im c = c. Si c es un numero real y k es un numero racional positivo, entonces, igual que en el teorema (4.21),

c lim k = O. n-

00

n

Ejemplo 3

Encuentre ellimite de la sucesi6n { ~. 2n }

Solucion

Queremos encontrar limn~ 00 an donde an = 2n/(Sn - 3). Dividiendo el numerador y el denominador de an por n y aplicando los teoremas sobre limites, obtenemos ·

2n

I'

2

IIm - - = Im - -­ n~ "'. Sn - 3 n ~ '( S - (3/ 11) lim 2 lim [S - (3/n)] 2

lim S - lim (3/n) n ..... ::c

n-rx;

2 . 2 S- 0

S'

Por 10 tanto, el limite de la sucesi6n es 2/ S. Sea {an} una sucesi6n y considere la funci6n f, donde f(n) = an' A veces f(x; esta definido para cada numero real x ~ I. En este caso, se sigue de las definiciones (12.3) y (4.12) que (12.6)

si

lim f(x) = L, entonces lim f(n) = L.

Este hecho nos permite aplicar los teoremas sobre Iimites de funciones (cuando x -> CD) a los Iimites de sucesiones. La regIa de L'Hopital (11.2) es de especial im­ portancia, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 4

Encuentre ellimite de la sucesi6n {Sn/e!n}.

Solu(:ion

Como se indic6 en la discusi6n anterior, consideremos f(x) = Sx/e h donde x es real. Note que f toma la forma indeterminada OO/CD cuando x -> CD. Usando la regIa de L'Hopital

534

12

SERIES INFINITAS

Por 10 tanto, de acuerdo con (12.6), 51! lim z;; = O. n .....

e

Q

B siguiente teorema es analogo al teorema (2.23) . Afirma que si los terminos de una sucesion infinita siempre estan "emparedados" entre los term in os corres­ pondientes de dos sucesiones tales que ambas tienen el mismo limite L, entonces la sucesion dada tam bien tiene el limite L.

(12.7)

EL TEOREMA DEL EMPAREDADO PARA SUCESIONES INFlNITAS

Si {a"}, {b"} y {c n} son sucesiones infinitas tales que an :::;; b" :::;; en para todo n, y SI lim an = L = lim en n -.

"~ .L

=

entonces limn ~, b"

Demostracion. entonces

A cada

la" - LI <

L -

L.

6

y

6 6

J.

> 0 Ie corresponde un numero M tal que Ie" - LI < 6; es decir

< an < L + 6

Y

L - /: < c" < L

y

Cn

SI

n > M,

+ D.

En consecuencia, si n > M, entonces L -

f,

< u"

< L +

I:.

Como an :::;; bn :::;; Cn' se sigue que si n > M, entonces L - Ii < b" < L equivalentemente, Ibn - LI < 6. Esto completa la demostracion. 2

+

f.

0,

n} '

Ejemplo 5

. d e Ia suceslOn .. {cos Encuentre e I "r1mlte ---y;­

Solucion

Como 0 < cos 2 n < I para todo entero positivo n, podemos escribir cos 2 I! 1 0 < -­ < ­ . 3"

3"

Aplicando el teorema (12.5) con r = 1/ 3, obtenemos lim n

~ .J

~ = 3"

lim n_

J

(2)" = o. 3 •

Es mas, Iim" _ x 0 = O. Se concluye, del teorema del emparedado (12.7) con a" n = (CC'S2 n)/3" y e" = 1/3 , que

bn

COS

lim " _

j

2

3"

/l

= O.

0,

SUCESIONES INFINITAS

535

12.1

Por 10 tanto, el limite de la sucesi6n es O. La demostraci6n del siguiente teorema se deja como ejercicio. (12.8)

TEOREMA

Sea {an } una sucesi6n. Si limn_ Xl lanl

=

0, entonces lim n_ ", an

=

O.

Ejemplo 6

Suponga que el enesimo termino de una sucesi6n es an que Iimn_ ", an = O.

Solucion

Los terminos de la sucesi6n son alternativamente positivos y negativos. Por ejemplo, los cinco primeros terminos son I

I,

2'

3'

4'

= (-

I)n + 1 (l In) . Demuestre

I 5

Como

. . I 0 11m la.1 = 11m - = , n-+ .t ll

n- ,

se concluye de (l2.8) que lim n_ oo an

=

O.

Se dice que una sucesi6n es monotona si los terminos sucesivos son no decre­ cientes en el sentido de que

o si los terminos sucesivos son no crecientes en el sentido de que

Una sucesi6n es acotada si existe un numero real positivo M tal que lakl ::; M para todo k . EI teorema siguiente es fundamental para algunos desarrollos pos­ teriores. (12.9)

TEOREMA

Toda sucesi6n infinita, mon6tona acotada tiene un limite. Para probar (12.9) es necesario usar una propiedad muy importante de los numeros reales. Primero enunciaremos varias definiciones. Si S es un conjunto no vacio de numeros reales, entonces un numero real u se llama una cota superior de S si x ::; u para todo x en S. Un numero v es la minima cot a superior de S si v es una cota superior y si ningun numero menor que v es una cota superior de S. Por 10 tanto, la minima cota superior es el numero real mas pequeno que es mayor 0 igual que cualquier numero de S. Por ejemplo, si S es el intervalo abierto (a, b), entonces cualquier numero mayor que b es una cota superior de S; sin embargo, la minima cota superior de S es unica y es igual a b. (Vea el ejercicio 40). La siguiente afirmaci6n es un axioma para el sistema de los numeros reales.

536

12

(12.10)

SERIES INFINITAS

LA PROPIEDAD DE COMPLETITUD

Si un conjunto no vacio S de numeros reales tiene una cota superior, entonces S tiene una cota superior minima . Usaremos ahora la propiedad de completitud para pro bar el teorema (12 .9). Si {an } es una sucesi6n mon6tona acotada con terminos no decrecientes, entonces existe un nllmero M tall que ak ~ M para todo entero positivo k . Por 10 tanto, el conjunto S = {Ok: k = 1, 2, .. .}

tiene una cota superior My, de acuerdo con (12.10), tiene una cota superior minima L, donde L ~ M . Si c > 0, entonces L - f; no es una cota superior de S y por 10 tanto al menos un termino de {an } es mayor que L - c; es decir,

L -

£

<

para algun entero positivo N.

aN

Como los terminos de {an } son no decrecientes, tenemos que

y por 10 tanto, L -

< an para todo n > N.

I::

Se sigue que si n > N, entonces

o~

L - an <

£

0

IL - ani < c.

La definici6n (12.3) implica que

lim an 1/

=

L ~ M;

,

es decir, {an} tiene un Hmite. La demostraci6n pa ra una sucesi6n {an } de terminos no crecientes se puede obtener mediante una demostraci6n similar 0 bien conside­ rando la sucesi6n { - an }.

12.1 EJERCICIOS Dado el enesimo termin o an de una sucesi6n infinita como e:1 los ejercicios del I al 16, encuentre los primeros cuatro terminos y calcule lim n _ oo an en caso de que exista . II

= --

II

311 + 2

n

5

8

an = - 5

an

=

811

+

I

2

7 - 411 2

611 - 5 ­ 511 + I

a = n

3

6 an =

fi

9

--;:==

an

11

n

=-3 + 211 2 7

2

+9

10

a

4 an =

an

=

4

= -­

8 - 711

n

(211 - 1) (311

+

I)

- - - ,3:-'-- --'­ II

2

=

II

+I

10011 11 3; 2 + 4

SERIES INFINITAS CONVERGENTES 0 DlVERGENTES

11 14

3n

u = ( - I)" + 1 - - .-,------::­

•

u,

112

+ 411 + 5 15

= I - (1 / 2')

a.=I+(_Ij"+l

13

u. = I

16

u,

=

+

537

12.2

(0.1)"

(II + l)/fi

En cada uno de los ejercicios del 17 al 34, calcule el limite de la sucesi6n en caso de que este exista . 17

{6( - 5/ 6)'}

18

{8 - (7/8)"}

19

{arctan 11)

20

ran,~ III}

21

{\O~~

­ /I}

22

{( 1.0001)'/ 1ODD)

23

{ ( -1)"-Inn} ,-,

24

25 {41142 + I}

26

{co;

27

{:: }

{In('~~ I)}

28

{e - 'Inn)

+~r}

30

[( -1)'n 3 r')

32

{ 411 + 511 + I} 211 3 - 112 + 5

2n

29 {( I 33

-

I

II}

3

31 (2 - 'senll)

2 2 {/l - - - - '1 - } 2/1 - I 2n + I

35 En un problema de un examen, se dan los pri­ meros terminos de una sucesi6n: 2, 4, 6 Y 8. Se Ie pide a la persona examinada encontrar el quinto termino. Muestre que el quinto termino puede ser cualquier numero u, exhibiendo el enesimo termino de una sucesion cuyos primeros cinco terminos son 2,4, 6, 8 ya.

36 Demuestre directamente a partir de la defini­ cion (12 .3) que si lim._ xc a. = L, entonces

37 Sea k un entero mayor que I. Demuestre que lim,_ oo I l k n = O. (Sugerellciu: Use el teorema (12.7)).

38 Pruebe el teorema (12.8).

39 Pruebe el teorema (12.9) en el caso en el que los terminos de {u,) son no crecientes.

40 Demuestre que b es la minima cota superior del

12.2

limn_ ", lu.1

=

ILl.

intervalo abierto (a, b).

SERIES INFINITAS CONVERGENTES 0 DIVERGENTES Si {an} es una sucesi6n infinita, entonces una expresi6n de la forma

a1

+ a2 + .,. + an + ...

se llama una serie infinita 0 simplemente una serie. En la notaci6n de suma deno­ taremos esta serie ya sea por

I

an

0

Ian

n -= I

entendiendo que la variable en la ultima suma es 11. Cada numero ai se llama un termino de la serie y an se llama el enesimo termino. Debido a que unicamente se pueden sumar algebraicamente sumas finitas, hace falta delinir 10 que significa una

538

12

SERIES INF INlTAS

suma infinita . Con el objeto de lIegar a una definicion, consideramos para cada entero positivo II la enesima suma parcial SN de la serie, donde

Sn = at + a2 + ... + an '

Asi

St = at S2 = a\

S3 = a\ S4 = a\

+ a2 + a 2 + a3 + a 2 + a3 + a..

etcetera. La sucesion infinita

S\,S2, ··.,Sn, ·'· se llama la sucesion de sumas parciales asociada a la serie infinita L an ' Para ilustrar esto consideremos la serie

6 0.6 + 0.06 + 0.006 + ... + -I 0n + . Los primeros terminos de la sucesion de sumas parciales son

,

0.6,

0.66,

0.666,

0.6666, 0.66666,

Mas adelante en esta seccion, mostraremos que el limite de esta sucesion es 2/3. Como las sumas parciales Sn de ta serie se acercan a 2/3 a medida que n crece, es natural Hamar a 2/3 la suma dela serie infinita y escribir

2

6

3" = 0.6 + 0.06 + 0.006 + . .. + lQn + En efecto, este es el molivo por el que el numero racional 2/ 3 se expresa como el decimal infinito periodico 0.6666 . .. La siguiente definicion generaliza est as ob­ servaciones a una serie infinita arbitraria . (12.11)

DEFINICION

Una serie infinita

a\ + a2 + ... + an + '" cuya sucesion de sumas parciales es

SI,S2 , · · ·' Sn·... · es convergente (0 converge) si Iimn ~ '.(l Sn = S para a'\gun numero real S. La serie es divergente (0 diverge) si estc limite no existe. Si at + a2 + . .. + an + . .. es una serie convergente y limn_x. Sn = S, entonces S se llama la suma de la serie y escribimos

S = a\ + a 2 + .. . + an + .. '. Si la serie diverge, entonces no tiene suma.

SERIES INFINITAS CONVERGENTES 0 DlVERGENTES

Ejemplo 1

12.2

539

Demuestre que la serie infinita

-

I

I ·2

+-

I

2·3

+-

I

3·4

+ ... +

I n(n

+ I)

+ . ..

converge y calcule su suma.

Solucion

La descomposicion de a. en fracciones parciales es

a.

1

=

l1(n

I

+ I)

=- - -

n

n

I

-.

+ 1

En consecuencia , la em:sima suma parcial de la serie se puede escribir S" = a,

+ (12 + aJ + . .. + a"

(I _~) + (~ _~) + (~ _ ~) + ... + (~ _ _ I )' , 2 2 3 3 4 ,11 11+1

=

I n = 1- - - = - -.

11+1

11+1

Como lim S.

= lim - " -- = 1

" _ To.

. -,

n+ I

la serie converge y su suma es I. Ciertos tipos de series infinitas surgen a menudo en las aplicaciones. Un ejemplo es la serie geometrica

a

+ ar + ar2 + . .. + ar" - 1 + .. .

donde a y r son numeros reales y a "# O. EI siguiente resultado es de extrema im­ portancia para el trabajo posterior en este capitulo.

(12.12)

La serie geometrica

TEOREMA

a

+ ar + ar2 + .. , + ar" - ' + ...

con a "# 0 (i)

converge y su suma es

(ii) diverge si

Demostradon.

Si r

Irl

--.!!. - si Irl < I. I - r

~ I .

I, entonces S. = a

+ u + . .. + a = na

y la serie diverge ya que lim"_ 00 S" no existe.

Si r "# I, considere S" = a

+ ar + ar2 + ... + ar" - I

540

12

SERIES INFINITAS

y

rS. = (lr + (lr 1 + (lr 3 + ... + ar· . Restando los lados correspondientes de estas ecuaciones obtenemos (I - ,.)S. = a - ar·.

Dividiendo ambos lados por I -

lIegamos a

r

a

S.

ar·

= - - - - -. 1- r I- r

En consecuencia, lim S.

. _,

lim

=

(_a_ _~ )

._ J, I - r

I - r

a

ar·

lim - - - lim - ­

=

• , I - r

._

I -- r

1.

a a = - - - - - lim r·. I - r

Si Irl < I, entonces Iim n _

oo

I - r

n-

I

rn = 0 (vea el teorema (12.5» y por 10 tanto

. hm Sn • _

f

a

= - -. 1 - r

Si Irl > 1, entonces Iim._ ,,_ r· no existe (vea el teorema (Il2.S» y por 10 tanto lim n_ c£ Sn no existe. En este caso, la serie diverge. La serie 6 0.6 + 0.06 + 0.006 + ... + -I 0n + .. .

considerada anteriormente es una serie geometrica con a = 0.6 acuerdo con el teorema (12 . 12) la serie converge y su suma es

S=

Ejempto 2

y r = 0.1. De

0.6 0.6 2 -­ I - 0.1 - 0.9 -"3

Demuestre que la serie infinita

2 2 2 2+ -3 + -3 2 +···+ -3· -- I +··. converge "j calcule su suma. Solucion

La serie converge ya que es una serie geometrica con tcorema (12.12) conc1uimos que la suma es

2 2 = = 3 I - (1 /3) (2/3) .

S=

r

1/3. Aplicando (i) del

SERIES INFINITAS CONVERGENTES 0 DlVERGENTES

12.2

541

El enesimo termino an de una serie infinita se p l!lede expresar como

an = 5" - Sn - l' S entonces tambien limn _Xl

Si limn _x Sn

Sn-l

= S

Y

lim (In = lim (Sn - Sn - l) = lim Sn - lim Sn - l = 11 -

o.

:.1.

De esto se deduce el teorema siguiente.

( 12.13)

TEOREMA

Si una serie :E an es convergente. entonces limn_ a:> an = O. EI teorema anterior dice que si una serie converge, entonces su enesimo termino tiende a 0 cuando n --+ 00. EI inverso es falso, es decir, no es necesar;amente c;erto que si Iim n_ oc an = 0, cntonces la serie :E an converge. (Vea el ejemplo 4 de esta seccion .) EI resultado siguiente es consecuencia directa del teorema (12.13).

(12.14)

UN CRITERIO PARA LA DlVERGENCIA

Si lim n_ ", an #- 0, entonces la serie :E an es divergente.

EjempJo 3

Determine si la serie 123

n

- + - + - + ... + - - + ... 3 5 7 211 + I converge

Solucion

0

diverge.

Como

lim an

n ~ ',

I

/I

=

lim - -n ~' 211 + I

= -

2

#- 0,

aplicando (12.14) vemos que la serie diverge.

(12.15)

TEOREMA

Si una serie infinita :E an es convergente, entonces para todo entero N tal que [Sk - S, t < t: siempre que k, I > N.

Demostracion.

t:

> 0 existe un

Sea S la suma de la serie. Entonces

[Sk - S, t = I(Sk - 5)

+ (5

- 5,)[

Como limk_ -:c Sk = S = lim,_ oo S,' para todo

s t:

[Sk - S[

+ [5

- 5,[,

> 0 existe un entero N tal que

542

12

SERIES INFINITAS

siempre que k , I > N. De esto se sigue directamente la conclusion del teorema. Ejemplo 4

Demuestre que la serie 1

Solucion

Sea n > 1. Entonces

+

t

+ 1 + ..

+ .~

I

+ . . . es divergente.

I

I

n+2

211

S2,,-S,, = - - + - - + '''+ ­ 11

+ I

I 211

I 211

1 211

I

> -- + - +. '+ - = ". 2

Si la serie dada fuese convergente, entonces aplicando el teorema' (12.15) para E = 1/2. k = 2n y I = n, tendriamos que IS 2 • S.I < t siempre que" fuese suficientemente grande. Pero como esta desigualdad nunca se satisface, concluimos que la serie dada es divergente . La serie infinita del ejcmplo 4 se llama la serie arm6nica y es un ejemplo de una serie divergente L a. para la cuallim. _ _f.. a. = O. Esto demuestre que el inverso de (12.13) es falso. En consecuencia, no es suficiente probar que lim. _ X> a. = 0 para demostrar la convergencia de una serie infinita. EI teorema siguiente afirma que si los terminos correspondientes de dos series infinitas son identicos de cierto termino en adelante, entonces ambas series con­ vergen 0 ambas divergen. (12.16)

TEOREMA

Si L a. y L h. son series infinitas tales que aj = h j para todo i > k, donde k es un entero positivo, entonces ambas series convergen 0 ambas divergen .

Demostracion.

Por hipotesis, podemos escribir

L

U.

=

U1

+ a 2 + .. . + (/k + Uk + 1 + .. . + U. + ...

y

L bn = b

1

+ b2 + .. . + bk + ak + 1 + ... + an + ....

Sean Sn y T. las enesimas sumas parciales de L a. y L h. respectivamente. Entonces SI n 2. k

o Sn =

T" +

(Sk - 7;.).

Por consiguiente, lim S. = lim T" " ...... <1

n -:x.;

+ (Sk

- 7;.)

SERIES INFINITAS CONVERGENTES O DIVERGENTES

12.2

543

y por lo tanto ambos límites existen o ninguno de los dos existe. Esto es lo que

queríamos demostrar. Es claro que si ambas series convergen, entonces sus sumas difieren por Sk - Tk • El teorema (12.16) implica que si cambiamos un número finito de términos de una serie infinita, esto no afecta su convergencia o divergencia (aunque sí cambia la suma de una serie convergente). En particular, si reemplazamos los primeros k términos de L an con O esto no afecta la convergencia. Concluimos que la serie ak + 1

+ ak + 2 + ... + an + ...

converge o diverge dependiendo de si L a n converge o diverge. Se dice que la serie + ak + 2 + . . . se obtiene a partir de L an omitiendo los primeros k términos.

ak+ 1

Ejemplo 5

Demuestre que la serie 1 3·4

1 4·5

1 (n + 2)(n + 3)

- + - + ... + .

+ ...

converge.

Solución

La serie converge puesto que se puede obtener omitiendo los primeros dos términos de la serie convergente del ejemplo l .. La demostración del siguiente teorema se deduce directamente de la defini­ ción (12.11) Yse deja como ejercicio.

(12.17)

TEOREMA

Si L a n y L b n son dos series convergentes y sus sumas son A y B respectivamente, entonces

+

bn ) converge y su suma es A

+

B.

(i)

L (a n

(ii)

Si e es un número real, entonces L can converge y su suma es cA.

(iii)

L (a n

-

bn ) converge y su suma es A-B.

También es fácil ver que si L 0n diverge entonces L Ejemplo 6

can

diverge para todo e =f O.

Demuestre que la serie

converge y encuentre su suma.

Solución

En el ejemplo 1 demostramos que la serie L I/[n(n + 1)] es convergente y su suma es 1. Usando (ii) del teorema (12.17) con e = 7 ya n = I/[n(n + 1)], vemos que L 7/[n(n + 1)] converge y su suma es 7(1) = 7.

544

12

SERIES INFINITAS

La serie geométrica L 2/3·- 1 converge y su suma es 3 (vea el ejemplo 2). Por lo tanto, según (i) de (12.17) la serie dada converge y su suma es 7 + 3 o sea 10. (12.18)

TEOREMA

Si L a. es una serie convergente y L b. es divergente, entonces L (a. divergente.

+ b.)

es

Demostración. Daremos una demostración indirecta. Suponga que L (a. + b.) es convergente. Aplicando (iii) del teorema (12.17), L [(a. + b.) - a.] = L b. es convergente, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, nuestra suposición es falsa, es decir L (a. + b.) es divergente.

Ejemplo 7

Determine la convergencia o divergencia de

l) L (1-+­ 5· n' CG

.~

I

Como L (1/5·) es Una serie geométrica convergente y L (I/n) es la serie armónica divergente. De acuerdo con el teorema (12.18) la serie dada es divergente.

Solución

12.2 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del 1 al \0 determine si la serie goemétrica dada es convergente o divergente y en caso de que sea convergente calcule su suma.

3 3 3+-+ .. ·+--+··· 4

31+ 5

0.37

3

23+--+ .. ·+

4"-'

(- 1)

fi

( -1

+"'+.J5

(-4)

)"-1 + ... 37

+ 0.0037 + ... + - - + ... (100)"

¿

8 n

(-5)"-14-·

3

,+"

(-4)"

4

I+(})+'"+(i)"-'+'''

6

0.628 + 0.000628 + ...

9

= 1

628

+- - + ... (1000)"

¿ (- 1)"-' "=1

Use los ejemplos y los teoremas que se discutieron en esta sección para determinar si las series dadas en los ejercicios del \\ al 28 convergen o divergen. I

I

I

-1

-1

-1

11

- + - + ... + + ... 4·55·6 (11+3)(11+4)

12

- + - + ... + + ... l ·2 2·3 11(11 + 1)

13

5 5 5 - - + - + ... + + ... 1 ·2 2 . 3 11(11 + 1)

14

- + - + ... + - - + ...

15

3 3 3+-+· .. +-+ .. · 2 11

16

- + - + ... + - 2 3 n+ \

I

I

4

5

l

2

1

n

+3 n

+ ...

SERIES DE TERMINOS POSITIVOS

3n

CL

17

n=

¿

21

c----:­

n=.ln(lI+ 1)

26

19

n+2

n+3

I [n(n I+

-~J 1) n

n= 1

24

I

n~ 1

,y;

00

n(n + 1)

8

1

00 ( ¿In -2n­

n~.

¿

n=

)

7n-5

x

27

00

¿­

545

¿ (1-n + - 1) --

n=

23 f:(_5 __ 5) n=1

¿ ---:-::-:-:­ n= I + (0.3)n 1

n

00

20

18

I

1 511 -

l

00

¿--

12.3

11

1 sen-

00

28

/l

I

¿

(2- n

_

2- 3n )

n= 1

Use el método ilustrado en el ejemplo l para demostrar que las series en los ejercicios 29 y 30 convergen y calcule sus sumas:

29

¿'" n= 1

l -2­

4n - l

31

Demuestre que si ~ a n diverge entonces diverge para todo e #' O.

33

Demuestre o refute que si ~an y entonces ~ (a n + bn ) diverge.

~bn

~

ean

32

Demuestre el teorema (12.17).

divergen

34

¿Cuál es el error en la siguiente "demostración" de que la suma de la serie geométrica divergente ~:=I (_1)"+1 es O? ¿(-I)"+I n= 1

= [1 +(-1)]+ [1 +(-1)]+ [1 +(-1)]+ .. · =0+0+0+ .. ·=0

En los ejercicios del 35 al 38 la barra indica que los números debajo de ella se repiten indefinidamente. Exprese cada decimal periódico como una serie infinita y use el teorema (12.12) para hallar el número racional que éste representa. 35 0.23

36

5.146

39 Se deja caer una pelota de hule desde una altu­ ra de 10 metros. Suponga que después de cada caída rebota hasta la mitad de su altura ante­ rior. Use una serie geométrica para calcular la dístancia total que recorre la pelota antes de quedar en reposo.

12.3

37

3.2394

40

El extremo de un péndulo recorre un arco de 24 cm de largo en su primera oscilación. Su­ ponga que en cada oscilación recorre cinco sextos de la longitud de la oscilación anterior. Use una serie geométrica para calcular la dis­ tancia total que recorre antes de llegar al reposo.

38

2.71828

SERIES DE TERMINOS POSITIVOS

Generalmente, es dificil aplicar la definición de convergencia o divergencia (12.11) a una serie infinita L a n , ya que en la mayoría de los casos no podemos hallar una fórmula simple para Sn- Sin embargo, podemos desarrollar criterios que nos ayudan a averiguar la convergencia o divergencia de una serie analizando su enésimo tér­ mino a n - Estos criterios solamente nos dan información acerca de si la serie converge o diverge, pero no acerca de la suma.

546

12

SERIES INFINITAS

En esta sección únicamente nos ocuparemos de series de términos positivos, es decir, series infinitas para las cuales cada término es positivo. Si {S.} es la sucesión de sumas parciales de una serie de términos positivos, entonces SI < S2 < ... < S. < .. , y por lo tanto {Sn} es monótona. Si existe un número M tal que S. < M para cada n, entonces igual que en el teorema (12.9) lim Sn = S <; M para algún número S y por lo tanto la serie converge. Si no existe un número M con esta propiedad, entonces lim n_ 00 Sn = CfJ Y la serie diverge. Esto demuestra el teorema siguiente. (12.19)

TEOREMA

Si L Gn es una serie de términos positivos y existe un número M tal que Sn < M para todo n, entonces la serie converge y su suma S es tal que S :'S: M. Si no existe M con esta propiedad entonces la serie diverge. Suponga que una función / está definida para todo número real x tonces podemos considerar la serie infinita

~

l. En­

~

¿

f(l1)

n=1

= f(l) + f(2) + ... + /(n) + ....

Por ejemplo, sif(x) = l/x 2 , entonces oc

¿

n=1

¿

.=1

I

l

:>:

f(lI) =

2' = 2'

l

11

l

l

2

11

+ 2' + ... + 2' + ....

Podemos investigar la convergencia o divergencia de una serie de este tipo mediante una integral impropia como se indica en el resultado que sigue. (12.20)

EL CRITERIO DE LA INTEGRAL

Si una funciónfes continua y decreciente y toma valores positivos para x entonces la serie infinita f(l)

~

1,

+ j(2) + ... + f(n) + ...

(i)

converge si J~' /(x) dx converge.

(ii)

diverge si J~ f(x) dx diverge.

Demostración. Si n es un entero positivo mayor que 1, entonces el área del polígono rectangular inscrito que se muestra en (i) de la figura 12.3 está dada por

¿ k=2

f(k)

=

f(2)

+ f(3) + ... + j(I1).

SERIES DE TERMINaS POSITIVOS

547

12.3

y

y = [(x)

[(2) 1(3) 1(4) 1(5)

234

5

n- I

11

n -)

n

x

(i)

y

5

x

(ii)

Figura 12.3

Análogamente, el área del polígono rectangular circunscrito que se muestra en (ii) de la figura es n-1

L I(k) = f(l) + I(2) + ... + I(n -

1).

k= 1

Como J~ f(x) dx es el área bajo la gráfica de f entre l y n, tenemos

kt

f(k):$;

f

f(x)dx

:$;

:t:

f(k).

Si Sn denota la enésima suma parcial de la serief(l) + 1(2) + ... entonces podemos escribir

+ I(n) + ... ,

548

12

SERIES INFINITAS

S.-f(l)s ff(x)dXSS.-1' J~ f(x) dx

La desigualdad anterior implica que si tonces

s. ­

/(1)

s

K, o S.

s

converge y es igual a K > 0, en­

K

+ f(l)

para todo entero positivo n. Por lo tanto, según el teorema (12.19), la serie "L f(n) converge. Si la integral impropia diverge, entonces lim n-oc.

J.

= 00

f(x)dx

1

y como J~ f(x) dx s S._ 1 también tenemos que lim.~oo S._I serie "L f(n) diverge.

Ejemplo 1

00;

es decir, la

Use el criterio de la integral para demostrar que la serie armónica I

I

2

3

1 n

1+-+-+ .. ·+-+ .. · diverge. Solución

Sea f(x) = l/x. Entonces f es continua y decreciente y toma valores positivos para x ~ l. Por lo tanto, podemos aplicar el criterio de la integral. Como

f

oc

I

'1

1 -dx = lim x ,~oc =

f' -dx I IX

lim [Inx]'

'-00 =

1

lim [In t - In I ]

= 00

la serie diverge de acuerdo con (ii) de (12.20). Ejemplo 2

Determine si la serie infinita "L ne-·' converge o diverge.

Solución

Seaf(x) = xe­ x '. Entonces la serie dada es igual a "Lf(n). Para x ~ l,fes continua y toma valores positivos. Podemos usar la primera derivada para averiguar si fes

decreciente. Como f'(x)

f es decreciente en [1,

= e-x' - 2x 2e­ x' = e-"'(I - 2x 2 ) <

°

(0). Entonces podemos aplicar el criterio de la integral como

sigue.

f

OC

1

xe-X' dx

= liro

J'

'-r.(. - 1

xe- X' dx

= liro (-~)e -Xl]' ,~oc

2

1

SERIES DE TERMINOS POSITIVOS

12.3

549

Por lo tanto, la serie converge de acuerdo con (i) de (12.20). También podemos usar el criterio de la integral si la función f satisface las condiciones de (12.20) para todo x ~ m donde m es un entero positivo. En este caso simplemente reemplazamos la integral en (12.20) con f(x) dx. Esto corres­ ponde a omitir los primeros m - 1 términos de la serie. Si f(x) = l/x' donde p > O, entonces la serie r. f(n) es de la forma

J:

l

l

l

1+-+-+···+-+ .. · 2' 3' n' y la llamamos p-serie. Esta serie nos será muy útil más adelante en esta sección cuando apliquemos los criterios de comparación. El siguiente teorema nos pro­ porciona información sobre la convergencia o divergencia de esta serie.

(12.21)

1

re

TEOREMA

La p-serie

LInp

n:

(i) (ii)

converge SI p > l. diverge si p ~ l.

Demostración. Observe que en el caso particular p = 1 obtenemos la serie ar­ mónica que es divergente. Suponga ahora que p es cualquier número real positivo diferente de 1. Seaf(x) = l/x' = x-'. Entonces fes continua y toma valores posi­ tivosparax ~ 1. Más aún, vemos que para estos valores de x,f'(x) = _pX-,-1 < O y por lo tanto f es decreciente. En consecuencia, f satisface las condiciones del criterio de la integral (12.20) y

f

oo

I

1 r;dx x

=

Jim 1-00

= lim 1-00

f" x-'dx I

X1-PJ'

1- P

= _l_lim

I

[tI -, -

1].

l-PI-ro

Si p > 1, entonces p - 1 > O y podemos escribir la última expresión asi: _I-lim

l-p,-ro

[---h tP

lJ = _1-(O _ 1) = _1-. I-p

p-l

Entonces, según (i) de (12.20) la p-serie converge para p > 1. SiO < p < 1, entonces 1 - p > Oy _1_ lim [t I 1- P,-ro

- P -

1] = oo.

550

12

SERIES INFINITAS

Por lo tanto, según (ji) de (12.20), la p-serie diverge. Si p :s; O, entonces limn~oo (I/n P ) :f. O y, según (12.14), la serie diverge. Ejemplo 3

Determine si convergen o divergen las series siguientes. (a)

(b) Solución

5+

­

555

+­

fiJ3

+ ... + ­

+ ...

,fi

(a) La serie L l/n 2 converge por ser la p-serie con p (b) La serie L I/,fi diverge por ser la p-serie con p En consecuencia, L 5/

fi diverge. (Vea el

=

=

2 > 1.

1/2 < 1.

ejercicio 31 de la sección 2).

El teorema siguiente nos indica cómo usar series convergentes (divergentes) conocidas para probar la convergencia (divergencia) de otras series. (12.22)

CRITERIO DE COMPARACION

Suponga que L a n y L bn son dos series de términos positivos. (i) Si L bn converge y an :s; bn para todo entero positivo n, entonces L an converge. (ii) Si L bn diverge y an diverge.

~

bn para todo entero positivo n, entonces L an

Demostración. Sean Sn y Tn las sumas parciales de L an y L bn respectivamente. Suponga que L bn converge y su suma es T. Si an :s; bn para todo n, entonces Sn :s; T" < T y por lo tanto según el teorema (12.19) L an converge. Esto demuestra el inciso (i). Para probar (ii), suponga que L bn diverge y que an ~ bn para todo n. Entonces Sn ~ Tn y, como Tn tiende a infinito cuando n tiende a infinito, lo mismo sucede con Sn' Por consiguiente.L a n diverge.

Como la omisión de un número finito de términos no afecta la convergencia o divergencia de una serie, es suficiente que las condiciones an ~ bn o an:S; bn en (12.22) se satisfagan a partir del término k-ésimo donde k es algún entero positivo fijo. Se dice que la serie L dn domina a la serie L Cn si O < Cn :s; dn para todo entero positivo n. Usando esta terminologia, el inciso (i) de (12.22) afirma que una serie de términos positivos dominada por una serie convergente, también es convergente. El inciso (ii) afirma que una serie que domina a una serie divergente es a su vez divergente.

SERIES DE TERMINOS POSITIVOS

Ejemplo 4

551

Investigue si las series siguientes convergen o divergen. oc

(a)

Solución

12.3

l

'~I 2 + 5"

(b)

Í

3

'=2~

-

l

(a) Para todo n ? 1, l l ( l ). 2+5"<5"= 5" . Como L (1/5)' es una serie geométrica convergente, la serie dada converge según (i) de (12.22). (b) Lap-serie L I/~ diverge y por lo tanto también diverge la serie que se obtiene al omitir el primer término l/JI. Como 3

l.

~_ l >~

SI n?

2,

deducimos de (ii) de (12.22) que la serie dada diverge. (12.23)

CRITERIO DE COMPARACION MEDIANTE EL LIMITE DEL COCIENTE

Si L a. y L b. son dos series de términos positivos y si lim a. . - 00

b.

=k>

°

entonces ambas series convergen o ambas divergen.

Demostración.

Si lim._ oo (a./b.) = k > 0, entonces existe un número N tal que

k a. 3k - <- <2 b. 2

siempre que n > N.

Esto equivale a

k

lb"

< a. <

3k

2"'b.

siempre que n > N.

Si L a. converge, también converge L (k/2)b. ya que está dominada por L a•. Apli­ cando (ii) de (12.17), vemos que

converge. Inversamente si L b. converge, entonces L a. converge ya que está domi­ nada por la serie convergente L (3k/2)b•. Hemos demostrado que L a. converge si y sólo si L b. converge. En consecuencia, L a. diverge si y sólo si L b. diverge. En los ejercicios 49 y 50 se enuncian otros dos criterios de comparación.

552

12

Ejemplo 5

Investigue si las series siguientes convergen o divergen.

SERIES INFINITAS

1

(a)

Solución

l

I ---===

"=1P+\

(a) Aplicaremos (12.23) con

a

=

" P+\

l 1 b" = 302 = 2/3.

y

Jn

n

La serie L b" es la p-serie con p = 2/3 < l y por lo tanto diverge. Como

p

a lim -.!!. = lim = lim ~n2 - 2- - = l > 0, "-ocb" "-ocp+\ "-OC n + l

L a" también diverge. (b) Sea

3n 2 + 5/1 a"=2"(n 2 +1)

l b" = 2"

y

Entonces

a lim -.!!. "-OC b"

=

3n 2 lim 2 "-'1 n

+ 5n

+l

=

3 > O.

Como L b" es una serie geométrica convergente, la serie L a" también converge, de acuerdo con (12.23). Para encontrar una serie adecuada L b" comparable con L a" donde a" es una fracción, un buen procedimiento consiste en descartar todos los términos del nu­ merador y denominador excepto los que son más significativos para la magnitud. Por ejemplo, si

y descartamos todos los términos del numerador y del denominador excepto los de mayor grado, obtenemos

Esto nos sugiere usar b"

l/n 3 / 2 • En este caso,

. a" . 11m ­ = 11m

"-OCb"

3/17/2

"- oc 5+11

+ n2 1

+11

7/2

= 3.

SERIES DE TERMINOS POSITIVOS

12.3

553

Como L b. es una p-serie convergente con p = 3/2 > 1, concluimos de (12.23) que L a. también es convergente. Empleando este método en el inciso (b) del ejemplo 5, donde 3n 2 + 5n 2'n 2 + 2'

a = --:--­

,

llegamos a

Esto sugiere usar b. = 1/2', que es lo que hicimos al resolver el problema. Terminaremos esta sección con varios comentarios generales acerca de las series de términos positivos. Suponga que L a. es una serie de términos positivos y que los términos están agrupados de cierta manera. Por ejemplo, podríamos tener (al

+ a2) + a3 + (a 4 + as + a6 + a7) + ....

Si denotamos la serie anterior por Lb" de manera que

entonces cada suma parcial de L b. es a su vez una suma parcial de L a,. Deducimos que si L a. converge, también L b. converge y sus sumas son iguales. Se puede usar un argumento similar para cualquier otra forma de agrupar los términos de La•. Así, si una serie de términos positivos converge, entonces la serie que se obtiene al agrupar de cualquier manera los términos, también converge y tiene la misma suma. Este resultado no es necesariamente verdadero para una serie que tiene térmi­ nos tanto positivos como negativos. Tampoco podemos hacer una afirmación semejante para una serie divergente cualquiera. Por ejemplo, podemos agrupar los términos de la serie L (- 1)" de manera que obtengamos una serie convergente (vea el ejercicio 34 de la sección 12.2). Ahora suponga que la suma de una serie convergente de términos positivos L a. es S y que formamos una serie nueva L b. rearreglando los términos de alguna manera. Por ejemplo, L b. podría ser la serie

Si T. es la suma parcial enésima de Lb., entonces es una suma de términos de La•. Si m es el mayor subíndice de los términos a¡ que aparecen en T., entonces T. ~ Sm ~ S. Por consiguiente, T, < S para todo n. Aplicando el teorema (12.19) vemos que L b, converge y su suma T es tal que T ~ S. La demostración anterior es independiente del rearreglo particular de los términos. También podemos con­ siderar que obtuvimos la serie L a. como un rearreglo de los términos de L b. Y por el mismo argumento S ~ T. Hemos demostrado que si se rearreglan de cual­ quier manera los términos de una serie convergente de términos positivos, entonces la serie resultante converge y tiene la misma suma.

554

12

SERIES INFINITAS

12.3 EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 16, use el criterio de la integral para determinar si las series dadas convergen o divergen.

n~1 (3 + 5 n

1

3

¿_I_

n- I 411 + 7

7

n~1

211)2

t~

6

11

I

10

¿

lIe- n

¿

8 3211

,,_ I

1I

'\

12

L. n~I"(1

n=1

I

J.

¿

13

IIr"

14

¿--

,,~I

11=-1

,

11

15

+9

l

¿--

+

l 1)(11

¿--­

16

"~211~

I

,,~2 n

11 2

+ 2)

l

-

En los ejercicios del 17 al 38, use algún criterio de comparación para determinar si las series

dadas convergen o divergen.

17

~

,,-1 11

+ 11 2 +

4

, 211 + 11 2 ¿ 11 3 + 1-

21

I

-3= ,,:2 ,j411 - 511 ¿

, ¿

29 "

32

19

"~I 113"

22

¿_2_ ,,~I 3 + 11

23

¿n~ 1 11 + 4

¿ _31_1_ 2 ,,~4 211 - 7

27

"~I e (1I +

t

35

I + 2"

t

30

=1

In:1

,,:::: I

I

¿ n

26

¡+y arct~n 11

33

/l

,,-:::;;1

11'

¿ 2 ,,~I 11 + l

n::.1

25

,

_fi

18

36 3 5112 +

t

'

"~I

20

'fi

31 34

I

' 1 ¿---;; ,,~I 1I

­

,

¿

n- I

37

4

+ 11 + 2

2 + cos 11 ¿ ,.- I

(211 + 1)3 (11 3 + 1)2

8

' sen 2 11 ¿ y;­ 11

"

311 +,,5 ,,~I 11·2

"~I 211

28

1)2

In n < n)

(Sugerencia:

' 11 5 + 411 3 + I

24

811 2 - 7

n

JI~

W

11(11 + 1)(11 + 2)

38

7 l ¿­ n~ In!

42

1

tan1I n= 1

En los ejercicios del 39 al 46, determine si las series dadas convergen o divergen.

39 43

11 + Inll

"~11I3 x

+ 11 + l

In n

n~17

40 44

,. n + In 11 ¿z ,,~I II + l

41

"t

45

In

(1

+~)

""

¿

n= 1

'J.:.

¿

n= 1

. l sm 2

n

,,2 + 2"

~'y ~

46

¿

±

sen

n:

En los ejercicios 47 y 48, encuentre todos los números k para los cuales las series convergen.

47

¿ -l -

,,=z"kl nn

48

¿ -I ­

n=zll(lnll)k

I

+ 2 n + 5n 1I

n

SERIES ALTERNANTES 49 Suponga que ~ a. y ~ b. son dos series de tér­ minos positivos. Demuestre que si lim._oo(a./b.) = O Y si ~ b. converge, entonces ~ a. converge. (Esto no necesariamente se cumple cuando la serie tiene términos negativos).

12.4

50

555

12.4

Demuestre que si Iim._ oo (a./b.) = diverge, entonces ~ a. diverge.

00

y

~

b.

SERIES ALTERNANTES Una serie infinita cuyos términos son alternativamente positivos y negativos se llama una serie alternante. Es costumbre expresar una serie alternante ya sea de la forma

o de la forma

donde cada a¡ > O. El teorema siguiente nos proporciona el resultado más impor­ tante sobre estas series. (12.24)

CRITERIO DE CONVERGENCIA PARA LAS SERIES ALTERNANTES

Si ah ;;:: aH l ;;:: O para todo entero positivo k y si lim._ co a. la serie alternante 1: ( - 1)· - l a. es convergente. Demostración.

O, entonces

Primero consideramos las sumas parciales S2,S4,S6"",S2.,···

que contienen un número par de términos de la serie. Como Sz. = (al - a2)

y ah - l/k,.

1 ;;::

+ (a3

- a4)

+ ... + (a2.-1

- a2.)

O para todo k, vemos que O::S; Sz ::s; S4 ::s; ... ::s; Sz. ::s; "',

es decir, {Sz.} es una sucesión monótona. También podemos escribir la fórmula para S 2. asi: S2. = al - (a2 - a3) - (a 4 - as) - ... - (a Z.-2 - a2.-I) - a 2•

y por lo tanto S2. ::s; al para todo entero positivo n. Igual que en la demostración del teorema (12.9),

para algún número S. Si consideramos una suma parcial S2. + l' ésta consta de un

556

12

SERIES INFINITAS

número impar de términos de la serie y

=

S2.+1

S2. +

Q2.+I'

Como

tenemos

Iim 52.+ 1

=

n-oc

Iim 52. = 5.

n-oo

De aquí inferimos

lim S. = S ::;; al

es decir, la serie converge. Ejemplo 1

Determine si las series alternantes siguientes convergen o divergen. 2n

oc

(a)

Solución

¿

.=

(b)

(-1)·-1--=-21

4n - 3

2n

¿ oc

(_1)"-1_._-­

4n - 3

.=1

(a) Sea a.

= f(n)

=

2n 4n2 _ 3 .

Para poder aplicar el criterio para las series alternantes, tenemos que demostrar que (i)

(ii)

Qk

~ Qk+ 1

lim.~ ro

para todo entero positivo k

=

Q.

O.

Una manera de probar (i) es mostrar quef(x) x 2 l. Según la regla del cociente,

'x _ J( )-

(4x 2

-

=

~oc,

3) es decreciente para

< O

.

Deducimos quefes decreciente y por lo tanto Qk 2 Para demostrar (ii) vemos que

· a. l1m

-

3)(2) - (2x)(8x) (4x 2 - 3)2

-8x 2 - 6 --::;--~~(4x 2 - 3)2

•

2xj(4x 2

l'1m 22n = .~oc 4n -

3

Qk+ 1

para todo entero positivo k.

= O.

Por lo tanto, la serie alternante converge. (b) Se puede demostrar que

Qk

2

Qk+ 1

para todo k. Sin embargo,

2n 1 lim--=-,iO .~
y según (12.14) la serie diverge.

SERIES ALTERNANTES

12.4

557

En la parte (a) del ejemplo l usamos una derivada para demostrar que ak ¿ ak + 1 para todo k. También lo podemos demostrar directamente verificando que ak - aH 1 ¿ O. Específicamente, si a n = 2n/(4n 2 - 3), entonces Qk -

Qk

=

+ I

2k 2(k + 1) 4k 2 _ 3 - 4(k + 1)2 - 3 8k 2 + 8k + 6 , , (4k- - 3)(4k- + 8k

+

1)

¿ O

para todo entero positivo k. Otro método para demostrar que ak ¿ aH l ' consiste en verificar que aH I/ak ~ l. Si una serie infinita converge, entonces se puede usar la enésima suma parcial Sn para estimar la suma S de la serie. En la mayoría de los casos es dificil determinar la precisión de la aproximación. Sin embargo, el siguiente teorema proporciona una manera simple para estimar el error si la serie es alternante. (12.25)

TEOREMA

Si L ( - I)n - 1 a n es una serie alternante tal que a k > ak + 1 > O para todo entero positivo k y si Iim n_
( - l )" a" + I + (- 1)" + la" + 2 + (- l )n + 2a" + 3 + ... también satisface las condiciones de (12.24) y por lo tanto su suma es R n • Así S - Sn = Rn

= (-I)n(on+1

-

0n+2

+ 0,,+3

-

... )

y

Usando el mismo argumento que en la demostración del criterio para las series alternantes (pero sustituyendo < en lugar de ~) vemos que IRnl < a n + l' En con­ secuencia,

que es lo que queríamos demostrar. Ejemplo 2

Demuestre que la serie l _ ~ 3!

+ ~ _ ... + (_ I )n 5!

1

l

+ ...

(217 - I)!

es convergente y calcule su suma S con una exactitud de cinco cifras decimales.

558

12

SERIES INFINITAS

Evidentemente el limite de a" = 1/(2n - I)! cuando n -+ oc es O y ak > aH 1 para todo entero positivo k. Por lo tanto, la serie converge según el criterio para las series alternantes. Al usar S4 para estimar la suma S de la serie, obtenemos

Solución

1 I 1 S:::: 1 - - + - - ­ 3'

5'

I

l

7!

I

= 1 - - + - - - : : : : 0.84147. ó 120 5040 Según (12.25), el error en esta aproximación es menor que I

(1,

9! < 0.000003.

=

Por lo tanto, la aproximación 0.84147 tiene una precisión de cinco cifras decimales. Deduciremos a partir de (12.43) que la suma de la serie dada es igual a sen I y por lo tanto sen 1 :::::: 0.84147. Esto ilustra un método para construir tablas trigono­ métricas.

12.4 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 12 determine si las series dadas convergen o divergen.

¿

7

5

¿

(-1)"

1112 11

¿, ,,=0

3

+ +

1

8

l

.J11 + 1

(_1)" _ _ 811 + 5

11

I

l

3

"')

=I J

4

,.=-:I

10

lO

(_1)"-1 _11 _ 2 11 + n"l J

¿ (-Ir

2

.J211 + I

n=-I

4

J

I

(-1)"-1

1111

¿(-I)"-

(l

10= 2

In 11

¿'

311 + (_1)"-1 _ _

511

¿'

I

(_1)"-1

In (11

1

±

+

1)

In 11

(-1)"­

tI=

4

,,-1

¿ "=

n

I

en

9

+7

¿ (-1)"4 1J

n'::' I

,

J-;'

12

(-1)"-10= 1 211 + 5

¿

I + 4"

(- 1)" - - ­

n=-O

I

+

)10

En los ejercicios del 13 al 16. estime con una exactitud de tres cifras decimales la suma de la serie dada. ,

13

1

¿(-I)".=0

14

,

,,';:0

11!

I

') (_1)"+1 _ _ (211)!

15

¿, It=

11+1 (_1)"-1_

5"

I

En cada uno de los ejercicios del 17 al 20, encuentre el menor entero positivo n tal que Sn sea una aproximación a S con una exactitud de cuatro cifras decimales. ,

17

¿ rr:= 1

1 (-1)", '"'-

¿ J

18

n:::1

1 (_1)"_ 11

J

19

l

¿ (-1)". 10-1

11

20

I

¿ 10=

(-1)10-)­ 1

11

+

I

CONVERGENCIA ABSOLUTA

12.5

12.5

559

CONVERGENCIA ABSOLUTA El siguiente concepto juega un papel importante en el estudio de series infinitas.

(12.26)

DEFINICION

Una serie infinita L a n es absolutamente convergente, si la serie que se obtiene al tomar el valor absoluto de cada término

es convergente. Observe que si L an es una serie de términos positivos, entonces lanl = an y en este caso la convergencia absoluta es lo mismo que la convergencia. Ejemplo 1

Demuestre que la serie alternante

es absolutamente convergente.

Solución

Al tomar el valor absoluto de cada término obtenemos

que es una p-serie convergente. Por lo tanto, según la definición (12.26), la serie alternante dada es absolutamente convergente. El teorema siguiente nos dice que la convergencia absoluta implica la con­ vergencia. (12.27)

TEOREMA

Si una serie infinita L a n es absolutamente convergente, entonces L a n es con­ vergente. Demostración. Sea bn = an .:::; lanl vemos que

+

lanl. Entonces, usando la propiedad - lanl .:::; an

o.: :; lIn + lan' .:::; 2lanl,

o

O .:::; bn -s; 2lanl.

Si L an es absolutamente convergente, entonces L lanl es convergente y por lo tanto, según (ii) del teorema (12.17), L 21anl es convergente. Aplicando el criterio de com­ paración (12.22), deducimos que L bn es convergente. Usando (iii) de (12.17) in­ ferimos que L (b n - lanl) es convergente. Como bn - lanl = an , esto completa la demostración.

560

12

Ejemplo 2

Determine si la serie

SERIES INFINITAS

sen 2 sen 3 se n n sen I + - + - - + ... + - + ... 22 Y n2 es convergente o divergente.

Solución

La serie tiene términos tanto positivos como negativos. Sin embargo, no es una serie alternante, ya que por ejemplo los primeros tres términos son positivos y los siguientes tres son negativos. La serie de los valores absolutos es

i • =1

Isen 2 n

ni = I: Isen ni . .=1

n

2

Como Isen 111 1 -<­ n2 - n2 la p-serie L l/n 2 domina a la serie de los valores absolutos L I(sen n)/n 2 1 y por lo tanto es convergente. Entonces la serie dada es absolutamente convergente y, por consiguiente, según (12.27), es convergente. Las series que son convergentes pero no absolutamente convergentes reciben un nombre especial.

(12.28)

DEFINICION

Una serie infinita L a. es condicionalmente convergente si L a. es convergente pero L la.1 es divergente.

Ejemplo 3

Demuestre que la serie alternante

1 __1 + 1

1 + ... + (- 1). - 11- + ...

234

n

es condicionalmente convergente.

Solución

La serie dada es convergente según el criterio para las series alternantes. Tomando el valor absoluto de cada uno de los términos, obtenemos

1 1 1 1 1+-+-+-+ .. ·+-+· .. 2

3

4

n

que es la serie armónica divergente. Por lo tanto, de acuerdo con la definiciónl (12.28), la serie dada es condicionalmente convergente. De la discusión anterior, vemos que una serie infinita arbitraria se puede clasificar de una y sólo una de las siguientes maneras: (i) absolutamente convergente, (ii) con­ dicionalmente convergente, (iii) divergente. Es claro que para series de términos positivos únicamente necesitamos investigar su convergencia o divergencia.

CONVERGENCIA ABSOLUTA

12.5

561

Uno de los criterios más importantes para analizar la convergencia absoluta es el siguiente. (12.29)

EL CRITERIO DE LA RAZON

Sea L an una serie infinita de términos diferentes de O. (i)

Si lim

la n + 1 1= L <

n ..... oc

1,

Qn

entonces la serie converge absolutamente. (ii)

Si lim n-fooc

la n + 1 I = L >

1, o

Qn

lim

la n +

n-loa:

Qn

II =

00,

entonces la serie diverge. (iii)

Si lim

la n + 1 I = 1,

n-to x

Qn

entonces la serie puede ser absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente. Demostración. (i) Suponga que limn_ la n + l/a,,1 = L < 1. Si r es un número cualquiera tal que O ~ L < r < 1, entonces existe un entero N tal que

la:: I < rsiempre que n¿ 1

N.

Esto implica que laN+ 11 < laNlr la N+ 21 < laN + Ilr < lall'Ir

2

laN+31 < laN+2lr < laNlr

3

yen general laN+ml < laNlr m

siempre que

m > O.

Se deduce del criterio de comparación (12.22) que la serie lall'+

11+ 1a11' + 21 + ... + laN+ml + ...

converge, ya que sus términos son menores que los términos correspondientes de la serie geométrica

+ laNlr 2 + ... + lall'lrn + ....

lall'lr

Como la omisión de un número finito de términos no afecta la convergencia o divergencia, la serie L:= I lanl también converge, es decir L Gn es absolutamente convergente. (ii) Suponga ahora que lim n_ ro la n + I/anl = L, L > 1. Si r es un número tal que l < r < L, entonces existe un entero N tal que

I

an + 1 ---;;: > 1

r

.

> l siempre que

n ¿ N.

562

12

SERIES INFINITAS

Por consiguiente la,,+ 11 > lanl si n ~ N Y por lo tanto lim"_e> la,,1 i= O Y según (12.14) la serie L a n diverge. La demostración para el caso en que lim,,~ Xllun+ l/a,,1 = 'X) es semejante y se deja como ejercicio. El criterio de la razón no da información útil en el caso de que l. En efecto, es fácil verificar que este límite es I tanto para la serie absolutamente convergente L (-1 )"/n 2 como para la serie condicionalmente convergente L (-1 )"/n, como para la serie divergente L I/n. En consecuencia, si el límite es 1, entonces es necesario emplear otro criterio.

(iii)

limn~Y lan+1/a n/=

Ejemplo 4

Determine si las series siguientes son absolutamente convergentes, condicional­ mente convergentes o divergentes.

,

(a)

Solución

I

3"

(_1)"_ ,,~I 11'

(a) Como

la

Jim n-

n

+

I

I = tim I 3" ~I I ,,_ (11 + 1) I 3" TI.

y

(1"

I

.

3

11m - - = 0< I ,,_ ,n + I según el criterio de la razón la serie es absolutame .te convergente. (b) Como la serie consta únicamente de términos positivos, podemos omitir los signos de valor absoluto en el teorema (12.29). Así, (. . a,,+ 1 (1m - - = 1m

,,~.<

'n + I

n1

----;;-2

3"

j

,,~:x. (11

0"

¡im

=

"~I

+

1)

311 2 --';-2- - - -

n + 2n

=3> I

y por lo tanto, según el criterio de la razón, la serie diverge.

i:

Ejemplo 5

Determine la convergencia o divergencia de

Solución

Como todos los términos de la serie son positivos, podemos omitir los signos de valor absoluto en el criterio de la razón (12.29). Así, .

Un + 1

.

11m - - = 11m

,,~ :x.

n'~ :Y

0"

=

(11

+ 1)"+1 ni .+ I)! I1 n

(n

. (11 + 1)" 11m ,.-;y n"

lim n-e(

n". ,,= 1 n!

=

.

11m

,,~

(11

+ l)n+1

-----e­

y

(n

+

1)

11"

(n 1)"

. 11m -+n

n-oc

(1 + ~)" =e n

en donde la última ecuación es consecuencia del teorema (8.32). Como e > 1, la serie dada diverge, por el criterio de la razón.

CONVERGENCIA ABSOLUTA

12.5

563

El siguiente criterio es muy útil en el caso en que los términos 0" contienen potencias enésimas. No es tan versátil como el criterio de la razón, ya que no es aplicable cuando a" contiene factoriales. (12.30)

EL CRITERIO DE LA RAIZ Sea 1: (i)

0"

una serie infinita.

Si lim ~!ia:T

=

L < 1, entonces la serie es absolutamente convergente.

,,- oc

(ii) (iii)

Si lim ~ = L >

o

lim ~ =

00

entonces la serie diverge.

Si lim ~ = 1, entonces la serie puede ser absolutamente convergente, n-+ 00

condicionalmente convergente o divergente.

Demostración. La demostración es similar a la del criterio de la razón. Supon­ gamos que L < l. Consideremos un número r cualquiera tal que L < r < l. Por la definición de límite existe un entero positivo N tal que si n ¿ N entonces

yr¡;:¡ < r,

o

la"1 <

r".

Como O < r < 1, tenemos que 1::'; N r n es una serie geométrica convergente y, de acuerdo con el criterio de comparación (12.22), 1::';Nlo,,1 converge. En consecuencia, 1::'; tla"1 es convergente, es decir 1: 0" es absolutamente convergente. Esto demuestra (i). El resto de la demostración se deja como ejercicio. '7

Ejemplo 6

Determine la convergencia o divergencia de

I

n; 1

Solución

23n + 1 --n-O

n

Como todos los términos de esta serie son positivos, podemos omitir los signos de valor absoluto en el criterio de la raíz (12.30). Así

3n 1 / . J23n+1 . + )l n 11m - - = hm - ­ n--y n" n---+J.. n" 23 + 11¡n) = lim = O < l.

(2

11

Por lo tanto, usando el criterío de la raíz, la serie converge. Quisiéramos por último comentar lo siguiente. Es posible demostrar que si una serie 1: 0n es absolutamente convergente y sus términos se rearreglan de cual­ quier manera, entonces la nueva serie también converge y tiene la misma suma que la serie dada. Esto, sín embargo, no es cierto para series condicionalmente con­ vergentes. En efecto, si 1: 0n es condicionalmente convergente, entonces se puede obtener ya sea una serie divergente o una serie convergente cuya suma es cualquier número fijado previamente, rearreglando los términos de manera apropiada.· ·Vea por ejemplo el libro Advanced Ca/cu/us de R. C. Buck, tercera edición (Nueva York: McGraw-Hill, 1978) pp. 238-239. O el libro Principios de Análisis Matemático de W. Rudin, 2da. edición (McGraw-Hill de México, 1978) pp. 79 Y 80.

564

12

SERIES INFINITAS

12.5 EJERCICIOS

En los ejercicios del l al 38, determine si la serie es absolutamente convergente,

condicionalmente convergente o divergente. 1

7.

I

I""

4

"= 1

,3n + l 2"

J

n

=1 :x.

10

?"

16

19

(-lOO)"

oc

I -II! ­

r,;

(_I)"-1_V_" 2

"= 1 n + l

14

f ,,=1

3

11

20

+ e"

cosn - l ,-~":-1 11 3 /1

23

~

11

2

+3

I­

I .3

1. 3 . 5

2

14

a:

1·4·7

2·4·6

t

27

n

(211 -

+

3

l)

II!

+

11

+I

(-1)"-3­

I

(-1)"

"= 1

I

ni

,,~I ~

(n

+

arctan n

L. (-1)"--2­ 11

, 10 - 2"

I ­ n!

f

l

(n )2

11 1

y

30 l

1

I-;;'

,,= n 1

+.

---+

":-2 (In 11)" I "

(211)"

x:

I "=

-(5 -3 '1"

1 11 + .11

,

I

37

I (- 1)"11 tan "=

11

1

,I(t cos <

34

35

38

11_

I

Complete la demostración del criterio de la razón (12.29) mostrando que si = 'l..-.

entonces L a" es divergente. Complete la demostración del criterio de la raiz (12.30).

­

1)'

2·4·ó .. ·(211)

lim" ., \(/,,-1/(/,,1

40

n2

I

"= 1 (211)!

sen "'(;; 11

" 10 - n 2

I ­ n!

14·7 .. (311-2)

+--

n= I

39

"= 1 tan

1 . J . 5 ...

'

I"" (- 1)"3

5"

"~11I(3"+ 1)

11=1

---1­

"= 1

JI

+ --- +

i: ":

,,= 1 e

n= 1

24

sec- I n

I

21

11"

"= 1 10"

29

+ --1 + - - + ... + - - - -

l

15

113211

1..

L.(-l)", 2 ,,=1 (_11 - 5)

I

36

+l

'(_1)"-1_

L. 5"- 1 ,,=1

J

32 - + 2 2·4 33

11

J

(_1)"-1_-_

T

31

Jn

(_1)"-1

18

?

x

I

(-1)"-4­ 11 - I

1t..::1

x: 211 + l '(-1)" -­ ,,:-, n2 + /13

26

28

12

n= 1

I

"= 1 22

9

11

1)

oc

13

5

I

,,-2

6

11'

8

1

,I 5"(~1 +

1

3

1

'(-1)"- - ­ L.

+

W

i: 1000-n

5

(-I)"e-"

,

(-I)"-y­

"=1

n= 1

7

I

2

.¡;,

n= 1

11

J

(_1)"+1_

In 11

1)" (10 1)"

(l:rr/6) 11

SERIES DE POTENCIAS

12.6

12.6

565

SERIES DE POTENCIAS En las secciones anteriores nos dedicamos a estudiar series infinitas con términos constantes. Son aún más importantes para las aplicaciones las series cuyos términos contienen variables. En particular, si x es una variable, entonces una serie de la forma y,

I

a"x" = ao

+ a1x + a2x2 + ... + a"x" + ...

,,=0

se llama una serie de potenciasen x. Si reemplazamos a x con un número obtenemos una serie de términos constantes cuya convergencia o divergencia podemos analizar. Para simplificar el término general de la serie de potencias supondremos que X O = l aún en el caso en que x = O. El objetivo principal de esta sección es hallar todos los valores de x para 'Ios cuales una serie de potencias converge. Evidentemente toda serie de potencias converge para x = O. Para encontrar otros números que nos den una serie convergente, frecuentemente usamos el criterio de la razón, como se ilustra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1

Encuentre todos los valores de x para los cuales la serie l

2,

11

5

52

sn

+ -x + -x- + ... + -x" + ...

l

es absolutamente convergente. Solución

Sea u" = (n/5")x" = nx"/5".Entonces ¡im IU"+11

"~I

=

U"

lim 1(11 + l)x"+1

"~I

5,,+1

'~I 11 x"

= lim 1(11 + I)x 1= lim ,,~

511

'l

,,~

l'

(~)IXI =~Ixl. 511

5

Según el criterio de la razón, la serie dada será absolutamente convergente si se cumplen las desigualdades siguientes:

!Ixl < 1, Ix! < 5,

- 5 < x < 5.

La serie será divergente si (1/5)lxl > 1, es decir, si x > 5 o si x < -5. Si (1/5)lxl = 1, entonces el criterio de la razón no nos da información y por lo tanto tenemos que analizar por separado los casos x = 5 Y x = - 5. Al sustituir 5 en lugar de x en la serie dada obtenemos J.

I

11

---,;5" = ,,=0 5

I

11

= O + l + 2 + 3 + ...

,,=0

la cual es una serie divergente. Si sustituimos x = - 5 entonces obtenemos J

n

:JI

I ---,;( - 5)" = I 5

,,=0

,,=1

11( -1)"

= O - l + 2 - 3 + ...

566

12

SERIES INFINITAS

que también diverge. Por consiguiente la serie L {n/5 n )x n es absolutamente conver­ gente para todo x en el intervalo abierto ( - 5, 5) Ydivergente fuera de este intervalo. Ejemplo 2

Encuentre todos los valores de x para los cuales la serie de potencias 1

1 l'

1 I ,C + .. ' + - s" + .. , 2' 11' 1

+ - s + -

es absolutamente convergente.

Solución

Usaremos el mismo procedimiento que en el ejemplo l. Sea LI

"

I x" =-y"=­ 11" 17!

Entonces

lim ;f __ o

I

¡U"+il =

lim

Un

11

J

= lim n-o

,

"J

I

s"·

(n

+

I

'~I

l)! x n

XI I17+1 1

= lIm - - Ixl = ,,-" n + 1

o.

Como el límite es menor que I para todo valor de x, concluimos del criterio de la razón que la serie dada es absolutamente convergente para todos los números reales. Ejemplo 3

Encuentre todos los valores de x para los cuales L n !x n es convergente.

Solución

Sea

Un =

n!xn,Six i=

o entonces

lim

I~.¡..!-I--lim l~l+_llr\,'~'_ll 11"

,,_,

.=.

11' y"

lim 1(11 + lhl n • ,

/1

•

r

y según el criterio de la razón la serie diverge. Por lo tanto la serie dada converge únicamente para x

=

O.

En el teorema (12.32) mostraremos que las soluciones de los ejemplos anteriores son típicas en el sentido de que si una serie de potencias converge para valores de x distintos de cero, entonces es absolutamente convergente para todos los números reales o es absolutamente convergente para todos los números en un intervalo abierto ( - r, r) y divergente fuera del intervalo cerrado [ - r, r]. La demostración de este hecho depende del siguiente teorema.

SERIES DE POTENCIAS

(12.31)

12.6

567

TEOREMA

(i) Si una serie de potencias L anx n converge para un número e #- 0, en­ tonces es absolutamente convergente siempre que Ixl < lel.

(ii) Si una serie de potencias L anx n diverge para un número d #- O, entonces diverge siempre que Ixl > Idl.

Demostración. Si L anen converge para c #- 0, entonces de acuerdo con el teorema (12.13) limn~oo ancn = O. Usando la definición (12.3) con t: = 1, sabemos que existe un entero positivo N tal que

lanenl < 1 siempre que n

~

N

y por lo tanto,

a"c"x" la"x"l = - I = lanc"l Ix- In < Ix­ 1"

l

e"

('

('

siempre que n ~ N. Si Ixl < lel entonces lx/el < 1 y L Ix/el n es una serie geométrica convergente. Por lo tanto, de acuerdo con el criterio de comparación (12.22), la serie que se obtiene al omitir los primeros N términos de L lanxnl es convergente. Concluimos que la serie L lanxnl también converge, lo cual demuestra (i). Para probar (ii), supongamos que la serie diverge para x = d #- O. Si la serie convergiese para algún C I con lell > Idl, entonces por (i) convergería siempre que Ixl < lell· En particular convergería para x = d, lo cual contradice nuestra su­ posición. Por lo tanto la serie diverge siempre que Ixl > Idl. (12.32)

TEOREMA

Si L anx n es una serie de potencias, entonces se cumple exactamente una de las tres proposiciones siguientes. (i) La serie converge únicamente para x = O. (ii) La serie es absolutamente convergente para todo x. (iii) Existe un número positivo r tal que la serie es absolutamente convergente si Ixl < r y divergente si Ixl > r.

Demostración. Sí (i) Y (ii) son falsos, entonces existen números C y d diferentes de cero tales que la serie converge para x = C y diverge para x = d. Sea S el con­ junto de números reales para los cuales la serie es absolutamente convergente. Entonces, según el teorema (12.31), la serie diverge para Ixl > Idl y por lo tanto todos los números en S son menores que Idl. De acuerdo con la propiedad de com­ pletitud (12.10), S tiene una cota superior mínima r. Concluimos que la serie es absolutamente convergente si Ixl < r y divergente si Ixl > r. Si se cumple (iii) del teorema (12.32) entonces la serie de potencias L anx n es absolutamente convergente en todo el intervalo abierto (-r, r) y divergente fuera

568

12

SERIES INFINITAS

del intervalo cerrado [ - r, r]. El número r se llama el radio de convergencia de la serie. Dependiendo de la serie, ésta puede converger o diverger en x = r y X = - r. El conjunto de números para los cuales una serie de potencias converge se llama su intervalo de convergencia. Si el radio de convergencia r es positivo, entonces el intervalo de convergencia es uno de los siguientes (-r,r),

(-r,r],

o

[-r,r),

[-r.l"].

Si se cumple (i) o (ii) de (12.32) entonces decimos que el radio de convergencia es O o 00 respectivamente. En el ejemplo 1 de esta sección el intervalo de convergencia es (- 5, 5) Y el radio de convergencia es 5. En el ejemplo 2 el intervalo de conver­ gencia es (-00, (0) y escribimos r = oo. En el ejemplo 3, r = O. El ejemplo si­ guiente ilustra el caso en el que el intervalo de convergencia es semiabierto.

,

Ejemplo 4

Encuentre el intervalo de convergencia de la serie de potencias

¿

1

7

X '"

,,;1,1 11

Solución

Observe que en este ejemplo el coeficiente de n = 1. Sea Un = xn/fi. Entonces lim

/u::

1

XO

es O y que la suma comienza con

I ~~~ I>~:I: =

=

l .

I J;,

~~n; JI1 +

IX

~~I I

.~1 --\xl

!1m n- r

11

+

I

=(I)lxl = Ixl·

Inferimos del criterio de la razón que la serie de potencias es absolutamente con­ vergente si Ixl < 1, es decir si - I < x < l. La serie diverge si [xl > 1, es decir si x > I o x < - l. Los números l y - l tienen que analizarse sustituyéndolos directamente en la serie dada. Si x = l entonces

JI, fi(l 1)" = l + J2l + J3I + ... + fi1 + ... que es una p-serie divergente. Al sustituir x = - l el resultado es

¿ r

I _(_1)" = -1

n=lfi

l

l

(-1)"

+ - - - + ... + -_- + ...

J2

3

JI1

que es convergente de acuerdo con el criterio para las series alternantes. Por lo tanto la serie de potencias converge si - l s x < l y el intervalo de convergencia es[-I,I).

SERIES DE POTENCIAS

569

12.6

Si e es un número real entonces eL

¿

Gn(x -

ct

= GO + G¡(x

c) +

-

G2(X -

+ .. , + Gn(X

C)2

-

C)n

+ ...

n=O

se llama una serie de potencias en X-C. Para simplificar el enésimo término su­ pondremos que (x - C)O = l aún en el caso x = e. Usando el mismo razona­ miento que en la demostración del teorema (12.32) y reemplazando x con x - e, podemos demostrar que se cumple exactamente una de las proposiciones siguientes. (i)

La serie converge únicamente si x - e = O es decir si x = e.

(íí)

La serie es absolutamente convergente para todo x.

(íii) Existe un número positivo < r y diverge si Ix - el > r.

r tal que la serie converge absolutamente si Ix - el

Cuando se cumple (iii), la serie 1: an(x - e)n es absolutamente convergente si -r

< x - e < r,

e - r < x < e

o

+

r

es decir, si x está en el intervalo (e - r, c + r). Los extremos del intervalo deben analizarse por separado. Igual que en la discusión anterior, el conjunto de números para los cuales la serie converge se llama el intervalo de convergencia y r se llama el radio de convergencia. Ejemplo 5

Encuentre el intervalo de convergencia de l

Solución

Sea

Un

_-.!.(x 2

= (- W(x

3)

+-.!.(x 3

3)2

+ ... +

n+ l

+ ....

+ 1). Entonces

- 3Y/(n

I . I(X - 3)n+

lim - +-1 = 11m Un

n~7

(-It-I-(x - 3)n

i

n~oc

Un

n+2

=

7.

Iím

n~,.

n+ .-l­

-

I

(x-3t

I~(x 3)1 n+2

= lim n~

1

(~)IX - 31 n+2

= (I)lx

- 31

= Ix - 31.

Según el criterio de la razón la serie es absolutamente convergente si es decir si - l < x - 3 < l

o

Ix -

31 < 1,

2 < x < 4.

La serie diverge si x < 2 o x > 4. Los números 2 y 4 hay que analizarlos por separado. Si x = 4, obtenemos la serie l + __ I ... + (_ I)n -l- + ... 2 3 n+ I

I __

570

12

SERIES INFINITAS

la cual, según el criterio para las series alternantes, converge. Para x = 2 obtenemos la serie I

1

I

1+-+-+· .. +--+··· 2 3 11+1 que es la serie armónica divergente. Por lo tanto el intervalo de convergencia es (2, 4].

12.6 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 26 encuentre el intervalo de convergencia de la serie de potencias dada. I I--x ,,~011 + 4 - 3)"

4

_ 11 2

J

1l

1/;;:0

L -( -=---x

H •

I

5

I

n

,,=0

11=

"

10'" I __ ," 2n 1

o 3

,. =

11

.

I --.\" 4";;'

9

I I:. 11- +--(.\ -

i

I (- I )" -

1

~3'1

11=1

10"

19

I - -(.\ -

,,-o 11

22

+ I I

I

12

(.\11)1.\"

15

" 0211

25

IX

I (1

20

21"

t- 3)"

+ I

J'

I

I

--(.\-2)" "= 111(11 + 1)

~

I

,,=0

(-4)

,

L.. - - n x -"

+1

, 10" -x"

L

,,=0 11!

I

I 115 -(.\ -

/1=

-(,

11

,

4)"

.\"

31n

I

~ ~,,,

L

,,=.2

1

"=0 (211)!

16

2"

(-1)"

,,-o

14

-X"

1

I

8 10

L

23

1

I ,,- I

I J)" -(2\- 11" 116"

26

I ,,=0

"

I

5)"

21

I

/1:;0

11111 --(s -1.')"

2-t

(:'''

,,2 --(s

23 "

+ 4)"

11

"L

- ( x - 1)2" 3211-1

11:=.:0

1

,j311

+4

(3.\

+ 4)"

En los ejercicios del 27 al 30 encuentre el radio de convergencia de la serie de potencias dada.

27

I /1=

r

29

(-1)"

L 1/=

l· 'l. - ..... (211 .

-

1)

-.\"

3·6·9·· ···(311)

1

28

11"

-x" l'l!

30

I

2·4· (, ..... (211) --s"

,,=1 4·7·1(l· .... (311

,:. (11

L

"(l

+

Il'

10"

(s -

5)"

+

1)

REPRESENTACION DE FUNCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

12.7

571

12.7 REPRESENTACION DE FUNCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

Se puede usar una serie de potencias L GIIX para definir una funciónf cuyo dominio es el intervalo de convergencia de dicha serie. Explícitamente, para cada x en este intervalo definimos f(x) igual a la suma de la serie, es decir Il

I(x)

(12.33)

=

ao

+ alx + a1x2 + ... + a"x" + .. '.

Sifes una función definida de esta manera, decimos que L allx" es una representación en serie de potencias de f(x) (o para f(x». También decimos que la serie de potencias representa G f Una representación en serie de potencias como (12.33) nos permite encontrar los valores de una función de una manera nueva. Explícitamente, si e está en el intervalo de convergencia, entonces f(c) se puede hallar (o estimar) encontrando (o estimando) la suma de la serie

Las representaciones en series de potencias también nos permitirán resolver algunos problemas relacionados con derivación e integración usando procedimientos dife­ rentes a los que hemos usado hasta este momento. Ilustremos estos cqmentarios. Si Ixl < 1, entonces, de acuerdo con el teorema (12.12), la serie geométrica 1 - .\

+ x2

-

,\3

converge y su suma es 1/[1 - (-x)] cribir 1

-- =

(12.34)

I+x

1 -.\

+ x2

-

+ ... + (- l )" X " + ...

+

=

1/(1

x3

+ ... +

Esto nos da una representación en serie para }1x)

x), y por lo tanto podemos es­

(-1 )"x ll

=

+ ....

1/( 1 + x), siempre y cuando

Ixl < 1. La mayor parte de los ejemplos y los ejercicios en esta sección se limitan a las series geométricas debido a que su suma se puede obtener mediante una fórmula específica. En la sección siguiente consideramos un problema más difícil, a saber, dada una función I encontrar una representación en serie para f Las propiedades de una función definida mediante una serie de potencias como (12.33) son semejantes a las de un polinomio. En particular, se puede demos­ trar que f tiene una derivada cuya representación en serie de potencias se puede hallar derivando término a término la serie dada. Análogamente, se pueden en­ contrar las integrales definidas de f integrando la serie dada término a término. El teorema siguiente, que enunciamos sin demostrarlo, resume estas observaciones.

572 (12.35)

12

SERIES INFINITAS

TEOREMA

Suponga que la serie de potencias ¿ a"x" tiene un radio de convergencia diferente de cero y sea f la función definida por 7~

f(x) =

L o"x" =

00

+ a¡x +

02X2

+ ". + o"x" + , ..

o

'1;:

para cada x en el intervalo de convergencia. Si - r < x < r, entonces :t~

:J

(i)

r(x) =

L

,,= o

DAa"xn ) =

L

,,= ¡

11(/"X"-1

(ii) =

I 2 I 3 1 " + 1 + .. '. (/ox +-alx +-(/?x + .. , + --a"x 2 3 11 + I

Se puede demostrar que las series en los incisos (i) y (ii) del teorema (12.35) tienen el mismo radio de convergencia que ¿ a"x". Como un corolario al inciso (i) se concluye que una función que se puede representar en serie de potencias en el intervalo (-r, r) es continua en todo este intervalo. (Vea el teorema (3.8).) Se pueden demostrar los resultados correspondientes para funciones representadas mediante series de potencias de la forma L a,,(x -

er.

+

Ejemplo 1

Use (12.34) para encontrar una representación en serie de potencias de 1/(1

Solución

Sea f(x) = l/O + x). Entonces f'(x) = -1/(1 + X)2. Por lo tanto, al derivar la serie en (12.34) término a término, usando (i) del teorema (12.35) obtenemos (1

siempre que

I

?

+ x)­

=

_

I + 2x - 3x 2

-

,,.

X)2.

+ (_ 1)"I1X"- I + ' , .

Ixl < l. En consecuencia l

-----:- =

(1

+ X)2

I ­ 2x + 3x 2 + ... +

(-1)"+

'I1X"-

Ejemplo 2

Encuentre una representación en serie de potencias de In (1

Solución

Si

1

+

+ ... ,

x) para

Ixl < 1 entonces In (1

+ x) = =

iX_I-dl o 1+1

s: [1 -

I

+ 12

-

...

+ (- 1)"1" + ... ] dI

Ixl < l.

REPRESENTACION DE FUNCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

12.7

573

donde la última igualdad se sigue de (12.34). De acuerdo con (ii) del teorema (12.35) podemos integrar la serie término a término obteniendo así In (1

+x)

f 1 +f 1

+(- 1)" 50' 1" +... = IJ: - I;J: +I;J: - ... + )II,:"~ +.... =

So' l dI

-

2

dI

dI - ...

dI

(-1

]: 1

1

Por lo tanto In (1 si

Ixl <

+

x +- ... + 2 3

x2

3

x) = x - -

X"+I

(-1)"-11

+1

+...

1.

Ejemplo 3

Calcule In (1.1) con una exactitud de cinco cifras decimales.

Solución

En el ejemplo 2 hallamos una representación en serie de In (1 Sustituyendo 0.1 en lugar de x en esta serie obtenemos

+

x) para

Ixl <

l.

(0.1)2 (0.1)3 (0.1)4 (0.1)5 In(J.I)= O. 1 - -- + -- - -- + -- - .. , 2 4 5 3

= 0.1

- 0.005

+ 0.000333 - 0.000025 + 0.000002 - ....

Al sumar los cuatro primeros términos del lado derecho de la ecuación y redon­ deando a cinco cifras decimales obtenemos !n(l.l)

~

0.09531.

Según (12.25) el error es menor que el valor absoluto del quinto término 0.000002 y por lo tanto el número 0.09531 es una aproximación exacta en las primeras cinco cifras decimales. Compare esta solución con la del ejemplo 2 de la sección 11.5.

Ejemplo 4

Encuentre una representación en serie de potencias para arctan x.

Solución

Primero observemos que x

arctan x =

I

1 - - , dI.

o 1 + l-

A continuación vemos que si 11I < 1, entonces de (12.12) con a se sigue que

- -1, = I 1+1­

(1 --1 +1 - ... +2

4

)"1 2 "

+

=

....

Oe acuerdo con (ii) del teorema (12.35), podemos integrar la serie término a término obteniendo así

574

12

SERIES INFINITAS

arctan X = siempre que Ejemplo 5

xJ X -

-

3

x' x~n+ 1 + - - ... + 1- I )" - - - + ... 5

211

Ixl < l.

Demuestre que eX tiene la representación en serie de potencias siguiente: X.!.\3

X'I

('-'=I+x+-+-+···+ 2' 3! Solución

+1

11

1

+ ....

La serie de potencias en cuestión se consideró en el ejemplo 2 de la sección anterior donde mostramos que es absolutamente convergente para todo número real x. Sea fla función representada por esta serie. Entonces

Aplicando (i) del teorema (12.35), I

I '(x)

.

=

I

11-'

11 \"- I

x"

J

~- = II!

X2

1

I '-­

,,=, (11 - 1JI x"

.'(3

=I+x+-+-+ ... +-+ 2' 3' II! es decir I'(x)

Sean q = ./; obtenemos

1

=

X

Y('

=

I(x) para todo x.

I en (8.33). Entonces, como en la demostración de (8.34), I (x) = f(Oje·'.

Sin embargo 01

0"

./(0) = 1+ O + - + ... + 2. ' 11' y

T ...

= I

por lo tanto {(x) =

(r'

que es lo que queríamos demostrar. Note que el ejemplo 5 nos permite expresar el número e como la suma de una serie de términos positivos, a saber I 1 I ('=1+1+ - + - + ... +­ 2' 3' 11'

REPRESENTACION DE FUNCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

12.7

575

O.l

Ejemplo 6

Calcule aproximadamente

Solución

Sustituyendo x

= -

J °

dx.

e--<2

t 2 en la serie del ejemplo 5 obtenemos 4

(_1)"1 2 "

2!

Il!

1 + __ ... +

e-(2=1_1 2

+ ...

que es válido para todo t. Aplicando (ii) del teorema (12.35),

J

O.I

e--<'

dx

=

JO .. e-,2 dI

()

o

o.1 - -13lo.1 +­"JO.l

=1

l°

3 o (0.1)3

= 0.1 - - -

3

10

°

(0.1)'

+ - - - .. '. 10

Si usamos los dos primeros términos para estimar la suma de esta serie alternante convergente, entonces de acuerdo con el teorema (12.25), el error es menor que el tercer término (0.1)5/10 = 0.000001. Por lo tanto o.l,

J°

e-x- ti,

~

0.001

0.1 - - 3

~

0.99667

con una exactitud de cinco cifras decimales. Hasta aquí los procedimientos para obtener las representaciones en series de potencias de las funciones han sido indirectos, en el sentido de que empezamos con una serie conocida. después derivamos o integramos y tal vez usamos otros conocimientos sobre el comportamiento de las funciones para finalmente obtener la representación en serie. En la sección siguiente discutiremos un método directo que se puede usar para encontrar las representaciones en serie de potencias para una gran cantidad de funciones.

12.7 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del 1 al t O encuentre una representación en serie de potencias para f(x) y especifique el radio de convergencia. .f(x)

= 1/(1 -xl

2 .f(x) = 1/(1 2

+

/(1 -

4 J(x) = 1/(1 - 4x)

5 J(x) = x

7 .f(x) = x/(2 - 3x)

8 J(x) = x 3 /(4 -

10 J(x) = 3/(2x + 5)

3 J(x) = 1/( 1 -

Xl)

x

2

)

);3)

X)2

6 ¡(x) = x/(1 - x 4 ) 9 J(x) = (x 2 + 1)/(x - 1)

576 11

12

SERIES INFINITAS 12

Demuestre que In(1 - x) =

oc

_xn

n=l

n

¿ --

Use el ejemplo 4 para probar que la suma de la serie r.:'=0(-1/3)'/,j3(2n + 1) es igual a 7[/6.

si Ixl < 1,

y use este hecho para estimar In (1 .2) con una

exactitud de tres cifras decimales.

En cada uno de los ejercicios del 13 al 18 use el resultado que se obtuvo en el ejemplo 5

para hallar una representación en serie de potencias de f(x).

13 16

f(x) =

e-X

14

f(x) = e 2x

17

f(x) = xe

f(x) = senhx

J

·<

15

f(x) = cosh x

18

j(x)

=

x 2 r'

Use una serie infinita para estimar las integrales en los ejercicios del 19 al 24 con una precisión de cuatro cifras decimales. 19

22 25

f°

l

1/2

- -I d6 x

20

fo

f.0.2 - -x 3d x

23

fol e- '1l 0dx

3

°

1+ x

1+ x

5

arctan x 2 dx

o. 1 arctan x

f f°

21

[)

x

dx

O.5

x

24

26

Use la representación en serie de potencias de 2 X )-1 para encontrar una representación en serie de potencias de 2x(1 - X 2 )-2.

(1 -

e-x'dx

Use el método del ejemplo 2 para hallar una re­ presentación en serie de potencias de In (3 + 2x).

En cada uno de los ejercicios del 27 al 30 encuentre una representación en serie de potencias para f(x).

27 f(x) =

I fX e- '

° .

29 J(x) =

IX In (1

12.8

o

28

I dI

f(x) =

fXel -

°

I

- t)

d¡

30

f(x)

=

I dI

I

{ln(1

+ (2)d¡

I

SERIES DE TAYLOR y DE MACLAURIN Suponga que f se representa por una serie de potencias en x - e,

(12.36)

j(x) =

I

a.(x - e)'

n=O

= ao

+ a¡(x

- e)

+ a2(x

- e)2

+ a3(x

- e)3

+ a4(x-

e)4

+ ...

donde el dominio defes un intervalo abierto que contiene a e. Igual que en la sección anterior se pueden hallar representaciones en serie para f'(x), j"(x), ... , derivando los términos de la serie en (12.36). Así, .f'(x) =

I n

=1

/w,,(x - (')"-

1

SERIES DE TAYLOR y DE MACLAURIN

577

12.8

00

j"(x)=

¿

11(11- 1)0"(x-e)"-2

,r = ~

¿

j "'(xl =

1)(11 - 2)0,,(x - e)"-

11(11 -

3

,,= .3

=

(3·2)03

+

(4·3· 2)0.dx - e)

+ ..

y, para todo entero positivo k, 00

./lkl(X) =

¿

1)·· '(11 - k

11(11 -

+

I)o,,(x - e)"-k.

n=k

Más aún, cada una de las series que se obtiene derivando tiene el mismo radio de convergencia que la serie original. Sustituyendo e en lugar de x en cada una de estas representaciones en serie obtenemos / (e) = a o.

j , (e)

=

j" (e)

al.

=

2a1.

.f '" (e) = (3 . 2 )a 3

y, para cada entero positivo n,

.f l"l(e)

o

= II! (/'"

.f III'(e) 1I,,=--. 11!

Hemos demostrado el resultado siguiente. (12.37)

TEOREMA

Sifes una función tal que 00

./ (x)

=

¿

(/,,(x - e)"

"= o para todo x en un intervalo abierto que contiene a e, entonces j (x)

=./ (e) + j

,

(e)(x - e)

j"(e), - e)-

+ --(x 2!

j I")(e)

+ ... + - - ( x n!

- e)"

+ ..

La serie en la conclusión de este teorema se llama la serie de Taylor para f(x) en c. El caso especial e = O es muy importante y por lo tanto lo enunciamos por separado como un corolario. (12.38)

COROLARIO

Si f es una función tal que f(x) = ¿ anx n para todo x en un intervalo abierto (-r, r) entonces j "(O)

j(x)

j Inl(O)

= j(O) + j'(O)x + -2! x 2 + ... + - - x " + .... n!

578

12

SERIES INFINITAS

La serie que aparece en este corolario se llama la serie de Maclaurin paraf(x). En todos los ejemplos de la sección anterior apareció una serie de Maclaurin. El . teorema (12.37) nos dice que si una función f está representada por una serie de potencias en x - c, entonces esta serie tiene que ser la serie de Taylor. Sin embargo este teorema no propone condiciones que garanticen que efectivamente exista una representación en serie de potencias. Obtendremos ahora tales condi­ ciones. Primero observamos que la (n + I)-ésima suma parcial de la serie de Taylor dada en (12.37) es el polinomio de Taylor Pn(x) de grado n de la función f en c (vea (II.I 3». Más aún, usando (11.15) vemos que

(12.39)

p"(x)

== j (x) - R"(x)

donde Rn(x) =

(12.40)

}'"+ 1)(7) (11

+

- (x - e)n'

I

1)'

para algún número z entre e y x. En el teorema siguiente usamos Rn(x) para espe­ cificar condiciones suficientes para la existencia de una representación en serie de potencias de f(x).

(12.41)

TEOREMA

Si una funciónftiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo que con­ tiene a e y si

Iim Rn(x) = O para todo x en dicho intervalo, entoncesf(x) se representa por la serie de Taylor para f(x) en c.

Demostración. El polinomio p"(x) es el término general de la sucesión de las sumas parciales de la serie de Taylor paraf(x) en c. Más aún, de (12.39) obtenemos lim p"(x) =/(x) - lim R,,(x) =j(x). '1 --

ti -- 00

:o

Por lo tanto, la sucesión de sumas parciales converge a f(x). Esto demuestra el teorema.

En el ejemplo 2 de la sección 6 probamos que la serie de potencias L xn/n! es absolutamente convergente para todos los números reales. Por consiguiente, según el teorema (12.13), (12.42)

X" 1 = O lím :..-

n-ao I n!

para cada número real x. Usaremos este hecho en la solución del ejemplo siguiente.

SERIES DE TAYLOR y DE MACLAURIN

12.8

579

Ejemplo I

Encuentre la serie de Maclaurin para sen x y demuestre que representa a sen x para todo número real x.

Solución

Arreglamos nuestro trabajo como sigue: ./(x)=senx

./(0)=0

= con

,nO) = 1

= -senx

}"(O) = O

j'(x) }"(x)

j"'(x) = -cosx

J"'(O) = -1

Las derivadas de orden mayor siguen el mismo patrón. Al sustituir esto en (12.38) obtenemos la serie de Maclaurin sen x

(12.43)

=

x3 x' x 7 x 2n +! x - - + - - - + . ' , + ( - I )" + .... 3! 5! 7! (2n+I)!

Todo lo que sabemos hasta aquí, es que si la función sen x está representada por una serie de potencias en x, ésta estará dada por (12.43). Para ver que esta represen­ tación es válida efectivamente para cada número x, emplearemos el teorema (12.41). Si n es un entero positivo, entonces 11(1'+II(x)1

Como Ip·+ 1) (z)1

~

= leosxl

o

Ip"+ll(X)1

=lsenxl.

1, para todo número z, usando (12.40) con e = O, obtenemos

11 1'"

IR,,(x)1 = '

(11

11(_)1 -

+

I)!

Ixl"+ 1 Ixl"+ 1 -s: -':-_-, (11

+

1)'

Concluimos de (12.42) y del teorema del emparedado (12.7) que limn _ x, IRn(x)1 = O. Por consiguiente, lim._ co R.(x) = O y la representación en serie de Maclaurin (12.43) para sen x es válida para todo x.

Ejemplo 2

Encuentre la serie de Maclaurin para cos x.

Solución

Podríamos proceder directamente como en el ejemplo l. Sin embargo, obtendremos la serie buscada derivando (12.43). Así, cos X

(12.44)

=

x2

x4

x 6

x 2•

1 - - + - - - + ... + ( - 1)" - - + .. '. 2! 4! 6! (2n)!

Esta serie también se puede obtener integrando los términos de (12.43). La serie de Maclaurin para eX se obtuvo en el ejemplo 5 de la sección anterior usando un método indirecto. A continuación, daremos un procedimiento directo para obtener esta fórmula tan importante. Ejemplo 3 Solución

Encuentre una serie de Maclaurin que represente a eX para todo número real x. Sea ¡(x) = eX. Entonces p.) (x) = e'< para todo entero positivo n. Por lo tanto 1 Y al sustituir en (12.38) obtenemos '

p.) (O) =

580

12

SERIES INFINITAS

(12.45)

tr=1

x2

X

3

x·

+x+-+-+···+-+···. 2! 3! 11!

Como en la solución del ejemplo 1, usamos el teorema (12.41) para probar que esta representación en serie para eX es válida para todo número real x. De (12.40), tomando e = O, obtenemos

eZ

R(x)= x·+ • (l1+l)!

1

donde z es un número entre O y x. Si O < x, entonces e Z < eX ya que la función exponencial natural es creciente y por lo tanto, para todo entero positivo 11, O
tr

+

x·+ l)!

1

•

Usando (12.42)

lim

tr

.-oc, (11 + 1)!

x·+ 1

x' + 1 = eX lim

._,,-

(11

+

l)!

=O

y, por el teorema del emparedado (12.7),

= O.

lim R.(x) Si x <

0, entonces también

z < O y por lo tanto e Z < eO

O < IR.(x)1 <

l. Por consiguiente

I

x'+ 1 I 1(11 + I)! 1

y otra vez vemos que R.(x) tiende a O cuando 11 tiende a infinito. Concluimos del teorema (12.41) que la representación en serie de potencias (12.45) para eX es válida para todo x distinto de cero. Note que si x = O, entonces (12.45) se reduce a eO = 1. Ejemplo 4

Solución

Encuentre la serie de Taylor en potencias de x Las derivadas de f(x) rr./6, resulta

rr./6

para sen x.

= sen x se enumeran en el ejemplo l. Si las evaluamos en

e =

j(rr./6)

= 1/2. j'(rr/6) = j3/2, j"(rr/6) = -1/2, j"'(rr/6) = - j3/2,

y este patrón de cuatro números se repite indefinidamente. Sustituyendo en (12.37), obtenemos

senx=~+j3(x-~) _ _ 1 I(X_~)2 _ j3(X_~)3 + .... 2

2

6

2(2!)

6

2(3!)

6

El término general u. de esta serie está dado por 1 (. - 6' rr. ). SI. 11 -(- )'12 ~.~

u• =

O, 2, 4 • 6 • ...

JI

(_I)('-1)12J3(x_~)' SI 2n!

6

11=1,3,5,7, ....

SERIES DE TAYLOR y DE MACLAURIN

12.8

581

La demostración de que la serie representa a sen x para todo x es semejante a la que se dio en el ejemplo 1 y por consiguiente se omite. Las series que estudiamos en esta sección se pueden usar para obtener las representaciones en series de potencias de otras funciones. Por ejemplo, como la igualdad (12.45) es válida para todo x, podemos encontrar una representación en serie de potencias para e- x2 sustituyendo _x 2 en lugar de x en (12.45). Esto nos da (12.46)

e- x2

=

x 2"

x4

1 _x 2 + - - ... +(-1)"-+ .... 2! n!

Análogamente, sustituyendo -x en lugar de x en (12.45) llegamos a (12.47)

e-X

= 1-

x2

x + -

2!

x" n!

- ... + (-1)"- + ....

Como cosh x = ! (eX + e-X), podemos hallar una serie de potencias para cosh x sumando los términos correspondientes de (12.45) y (12.47) y multiplicando después por 1/2. Así, (12.48)

4 x2 x x 2" cosh x = 1 + - + - + ... + - - + .... 2! 4! (2n)!

Es interesante comparar esta serie con la serie (12.44) para cos x. Otros ejemplos parecidos se dejan como ejercicios. Las series de Taylor y Maclaurin pueden usarse para estimar los valores de algunas funciones de manera semejante a la de la sección anterior. Por ejemplo, para encontrar sen (0.1) podríamos usar (12.43) obteniendo sen(O.I)

0.001

= 0.1 -

+

-6-

0.00001

120

- ....

Por el' teorema (12.25) el error resultante al usar la suma de los dos primeros términos como una aproximación, es menor que 0.00001/120. Más aún, hemos encontrado la siguiente fórmula de aproximación: sen x

x3

~

x --, 6

donde el error es menor que Ix 5 1/5!. El ejemplo siguiente ilustra cómo usar series infinitas para calcular aproxi­ madamente los valores de algunas integrales definidas.

Ejemplo S

Encuentre una aproximación de decimales.

Solución

Usando (12.43) obtenemos

g sen x 2 dx exacta en las primeras cuatro cifras

sen x 2 = x 2

x6 -

-

3!

x lO

+-

5!

X

- -

l4

7!

Integrando esta serie término a término obtenemos

+ ....

582

12

SERIES INFINITAS

~ - tI + ti20 -

{sen x 2 dx =

rrhm + ....

Sumando los tres primeros términos, {senx 2 dx:::: 0.3103 donde el error es menor que 1/75600 ::::: 0.000013. Note que en el ejemplo anterior alcanzamos una precisión de cuatro cifras decimales sumando únicamente tres términos de la serie obtenida al integrar la serie de sen x 2 • Para poder lograr el mismo grado de precisión mediante la regla del trapecio o la regla de Simpson, sería necesario usar una partición extremada­ mente fina del intervalo [O, 1]. Esto saca a relucir un punto muy importante. En las aplicaciones numéricas, además de analizar el problema dado, también debemos tratar de hallar el método más eficiente para calcular la respuesta. Para obtener una representación en serie de Taylor o de Maclaurin para una funciónfmediante el teorema (12.37) o el corolario (12.38) respectivamente, es nece­ sario encontrar una fórmula general para pn) (x) y además investigar lim n _ oo Rn(x). Por eso nuestros ejemplos se restringieron a expresiones tales como sen x, cos x y eX. Este método no se puede usar para funciones tales como tan x o sen - I x, ya que fIn) (x) se complica mucho a medida que n crece. Casi todos los ejercicios que siguen, tratan funciones cuyas enésimas derivadas se pueden determinar fácilmente, o representaciones en serie que ya se calcularon con anterioridad. En los casos más complicados restringiremos nuestra atención solamente a los primeros términos de una representación en serie de Taylor o de Maclaurin.

12.8 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del 1 al 4 use (12.38) para encontrar la serie de Maclaurin para

f(x) y demuestre con ayuda de (12.41) que la serie efectivamente representa a la función

dada en todo x.

I(x)

= cosx

4

I (.\)

= cLlsh x

En los ejercicios deiS al 12 use series ya conocidas para encontrar la serie de Maclaurin de f(x) y calcule el radio de convergencia.

5 8 11

j(x) = x 2 e" f(x)

I

2

= x senx

(x) =

6

f(x)

=

Xl"

9

I(x)

==

x

cos 2 .\ (Sugerencia: Use cos 2 x = (1

7

/(x)

= senh\

sen 3.\

10

./(x)

= cos x 2

+ cos 2x)/2.)

12

./(x)=sen 2 x

2.,

En los ejercicios del 13 al 18 encuentre la serie de Taylor paraf(x) en el número dado c.

(No demuestre que lim._.", R.(x) = O.)

13.

j{x) = senx;

l'

= 71/4

14

f(x) = cosx;

17

/(x)

= 10":

e

l'

= 71/3

=O

15

/(x) = 1/\: e = 2

18

/(x)

= In(1 +

x):c

= ()

LA SERIE DINOMIA 19

Encuentre una representación en serie de poten­ cias de x + 1, para e 2x.

583

12.9

,20 Encuentre una representación en serie de poten­ cias de x - 1, para 'In x.

En los ejercicios del 21 al 26, encuentre los primeros cuatro términos de la serie de Taylor para f(x) en el valor indicado c. 21

f(x) = secx; e = Tr/3

24 f(x) = cscx; e

=

2Tr/3

sen- I x; e

22 f(x)=tanx;c=n/4

23 f(x)

25

26 f(x) = sechx; e = O

f(x)=xex;c=-I

=

=

1/2

En cada uno de los ejercicios del 27 al 36, use una serie infinita para dar una aproximación al número dado con una exactitud de cuatro cifras decimales.

1 1

27

fi

31

Jll -

35

fO

28 cosx 2 dx x

o

_1

eh l ---dx IOx

32 36

29

sen 1°

Jl JI o

senx --dx x

33

e-X' dx

f¡lln(1 +x) dx o x

30

f/2 o xcosx J dx

34

{.s cosx dx o

2

I - e-x ---dx o x

12.9 LA SERIE BINüMIA El teorema del binomio dice que si k es un entero positivo y reales, entonces

Sea (12.49)

°

° y b son dos números .

I Y b = x. Entonces k

(I+x) =I+kx+

+

k(k - 1) 2 x + ... 2! .

k(k - 1)··· (k - n

+

1)

n!

xn

+ ... + x k •

Es útil estudiar la serie de potencias L 0n x n , donde 00 = l Y 0n = k(k - 1) ... (k - n + 1) In! para n ~ l Yk un entero cualquiera. Esta serie tiene la forma (12.50)

l + kx +

k(k - 1) 2!

x 2 + ... +

k(k - 1) .. · (k -

11

+

1)

. . x n + ...

11!

Yse llama la serie binomia. Si k es un entero no negativo, entonces (12.50) se reduce a la suma finita (12.49). Si k es un entero negativo, la serie no termina. Se deja como ejercicio demostrar que

584

12

SERIES INFINITAS

lim

(12.51)

,,- >

" = lIa"+I.\'''+11 a"x I

Ik -111 \x\ = Ixl.

.

11m - -

+

In

11-'

II

Por lo tanto, de acuerdo con el criterio de la razón, (12.50) es absolutamente con­ vergente si Ixl < I y es divergente si \xl > l. Por consiguiente, la serie binomia representa una función f, donde

I

j(x) =

a"x" si

Ixl < 1.

,,;;:0

Ya vimos que si k es un entero no negativo, entonces f(x) = (l + X)k. Demos­ traremos ahora que esto es verdadero para cualquier número real k. Como f(x) está dado por (12.50), tenemos , j (x) = k

+ k(k

- I)x

+ ... +

+

1)

I1k(k - 1) .. · (k - n

+

nk(k - I) .. ·(k - n

n!

x

11-1

+ ...

y por lo tanto ,

x/ (x) .

= kx + k(k

- I)x

2

+ ... +

n!

1)

x

11

+ ....

Si sumamos los términos correspondientes de las dos series de potencias anteriores, obtenemos que (11 + I )k(k - 1) .. · (k - 11) I1k(k - 1) .. · (k - 11 + 1) ---------+--------­ (n + I)! 11'

es el coeficiente de x". Esta expresión podemos simplificarla como sigue: [(k - n)

+ nJ

k(k - 1) .. · (k -

11

+

1) =

ni

ka",

Por consiguiente, .I'(x)

+ xf'(x)

L kallx" = kj(x)

=

11;0

y por lo tanto

+ x)

f'(x)(1

Sea g la función definida por g(x) ,

(1

= f(x)/( 1 +

+ X)kj'(X)

g (x) =

=

kj(x) = O.

-

X)k.

- j(x)k(l

(1

+ X)2k

(1 +x)j'(X) - kj(x) (1

+ X)k+1

Concluimos del teorema (4.34) que g(x)

=

=O

e para alguna constante c, es decir,

j(x)

+ xl

+ X)k-I

.

---,=c (1

Entonces

.

LA SERIE BINOMIA

+

Como f(O) = 1, vemos que e = 1 Y por lo tanto f(x) = (1 queríamos demostrar. Resumiendo, si Ixl < 1, entonces (12.52)

(l

+ X)k = l + kx + k(k

- 1) x2 2!

+ ... + k(k

12.9

585

x)\ que es lo que

+ 1) x" + ...

- 1)··· (k - n

n!

para todo número real k. Ejemplo 1

Encuentre una representación en serie de potencias para ~.

Solución

Usando (12.52) con k = 1/3, obtenemos ~

=l

1

+.-x 3

+ t(t -

+ 'JleJ

1)

-

x2

2!

1) .. · (t

-

n

n!

+ JleJ

-

1)(1

J -

2)

x3

3!

+ ...

+ 1) x " + ...

lo cual se puede escribir

1 + x = 1 + -x ~ 3 1

2 2 1·2·5 3 -2 - x + -3 - x + ... 3 ·2! 3 ·3!

+(_1)"+1 cuando n ~ 2.

Ixl <

1 ·2··· (3n - 4)

3"·n!

x"+ ...

1. La fórmula para el enésimo término es válida siempre y cuando

+

Ejemplo 2

Encuentre una representación en serie de potencias para .yl

Solución

Esta serie la podemos hallar sustituyendo x 4 en lugar de x en la serie del ejemplo 1. Por lo tanto, si Ixl < 1, entonces 1

1 + x = 1 +-x JT+7 3

4

2 8 - -2 - x 3 . 2!

+ (_ 1)"+ 1

+ ...

1·2··· (3n - 4)

3"·n!

x 4"

+ .. '.

4

Ejemplo 3

Encuentre un valor aproximado de J~.3 .yl

Solución

Al integrar los términos de la serie en el ejemplo 2 obtenemos

+

x dx.

rO. 3 Jo JI + x dx = 0.3 + 0.000162 4

x4 .

0.00‫סס‬oo243 + ....

En consecuencia, la integral vale aproximadamente 0.300162. Esta aproximación es exacta en las seis primeras cifras decimales debido a que el error es menor que 0.000000243. (¿Por qué?)

xt

La serie binomia se puede usar para obtener una aproximación de (1 + mediante polinomios. Por ejemplo, si Ixl < 1, entonces vemos del ejemplo 1 que

586

SERIES INFINITAS

12

3

1+

X

~ 1+

1x ,

donde el error en la aproximación es menor que el siguiente término x 2 /9.

12.9 EJERCICIOS

En cada uno de los ejercicios del I al 6, encuentre una representación en serie de potencias para f(x) y halle el radio de convergencia. • 1 . I (a) ¡(x) = l + x (b) /(x) = 1 - x3 2 (a) f(x) = --=== (b) f ( x ) = - ­ . J I _ Xl

. 31 + x 3

j'(x)

= (1 +

5 f(x) = 38

4/(x)=x(I+2x)-1

X)-3

+x

7 Obtenga una representación en serie de poten­ cias, para sen- I x usando que

sen

1X

=

J" o

+ X)3

6

j'(x) = (4

8

Obtenga una representación en serie de poten­ cias para senh -1 x usando que

1

I -¡,-,_lit. l n v 1+ t

"O

1 - tl

dt.

senh

¿Cuál es el radio de convergencia de esta serie?

'x=

J

¿Cuál es el radio de convergencia de esta serie?

En los ejercicios 9 y lO, encuentre un valor aproximado de las integrales dadas, con una exactitud de tres cifras decimales. 9

fa'

12.10

1

ll

(vea el ejercicio 1)

1

10

Jo

~dx J

l

+ x2

(vea el ejercicio 2)

REPASO

COnl'eptos Defina o discuta lo siguiente. Sucesión infinita

2

Limite de una sucesión infinita

3

Teoremas sobre limites de sucesiones

4

Sucesiones monótonas

5

Sucesión de las sumas parciales de una serie infinita

6

Convergencia de una serie infinita

7

Series infinitas divergentes

8 La serie geométrica

9

La serie armónica

10

La p-serie

11

El criterio de la integral

12

Los criterios de comparación

13

El criterio de las series alternantes

14

Convergencia absoluta

15

Convergencia condicional

16

El criterio de la razón

17

El criterio de la raíz

18

Series de potencias

REPASO

12.10

19

Radio de convergencia

20

Intervalo de convergencia

21

Derivación e integración de las series de potencias

22

Series de Taylor

23

Series de Maclaurin

24

La serie binomia

25

Aproximación por medio de series

Ejercicios En cada uno de los ejercicios del 1 al 6, encuentre el límite de la sucesión en caso de que exista.

{,n(l1: + I)} 4

U

+ (-2)"}

2 {100(0.99)"}

5

{11

fi+4-

11}

y'';;+9

En los ejercicios del 7 al 32, determine si la serie dada es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente. 1

oc

7

¿

9

---::r==== ,,= 1 111(11 + 1)(11 + 2) '"

10

"~o2

13

¿

I + (1/2)"

.

+

In(/1

15

1)

" 1 ¿(-I)"-

~

"=1

3;;:;-=¡¿ (- I )"_v" -- 1 2 11 -1

F2

25

I -

¿ 11=

1

,

27 30

COSII

,

¿

(O 9)"

(-1)"-'-

,,= 2

26

(11

2

+ 9)( -

2)1 -"

r,;

¿

(_I)"-'_v_" "= 1 11 + l

2

2·4

l'

2'

±

sen(115re/3)

n= 1

---+"'+(-1)

24

,,51t/3

¿ (_ 1)"2/1 + 3 n!

n; 1

,,_ ,2.4 ... (211) 11'

+ ...

el

(211 Y'

,I~

29

/1

¿-­ (211 - I)!

,,_ 1

, (1- - ­ 5)

,,=1, 3"

21

In /1

J

23

11-

"L

¿

+2

18 y

20

J

22

"L. 3" "- I

n= 1

17

19

I

1

'X.

12

11'

,,=1

¿ (- 2j3)" n=1

fi

¿ y

31

n;; 2

~ llI

(_I),,_v_ " Il

tan - I 11

32

¿ -----==2

11=

1

1+

11

En los ejercicios del 33 al 38, use el criterio de la integral para determinar si las series dadas convergen o divergen. 33

¿

,,~I (311

1

+ 2)

3

587

588

12 I

ex>

36

SERIES INFINITAS 10

ex>

¿--

37

0= 2 n(ln n)3

I

ex>

¿--

¿

38

-2-­

o=~ n - 4n

0=IJn+8

En los ejercicios 39 y 40, dé una aproximación a la suma de las series que sea exacta en las tres primeras cifras decimales. 39

¿ ex>

I

(_1)0-1 _ _­

(2n+I)!

0=1

En los ejercicios del 41 al 44, encuentre el intervalo de convergencia de las series dadas. 41

ex>

¿

n+ I --oxo

0=0(-3) ex>

43

¿

¿

(-I)O--x"

~

0=0

I

ex>

- , ( x + 10)"

0= 1 n·

420

ex>

42

44

2

¿

0=2

I

--(x-I)" n(ln n)2

En los ejercicios 45 y 46, encuentre el radio de convergencia de las series dadas. 45

ex>

¿

(2n)! ,

ex>

46

--2 X

o=o(n!)

I

¿ (x + 5)" ,=0(n+5)!

En cada uno de los ejercicios del 47 al 52, encuentre la serie de Maclaurin para f(x) y halle el radio de convergencia.

47

f(x) =

I - cosx x

50 ¡(x) = In(2 + x)

48

f(x)

= xe- 2x

49

f(x)

= senxcosx

51

f(x)

= (1

52

f(x)

=~

+

X)2/3

I

I-x

53 Encuentre una representación en serie de potencias de x + 2, para e-x. 54

Encuentre una representación en serie de potencias de x - n/2, para cos x.

55

Encuentre una representación en serie de potencias de x - 4, para

JX.

En los ejercicios del 56 al 60, use series infinitas para obtener una estimación de los números dados que sea exacta en las tres primeras cifras decimales.

56

I/~

59

.ytm

60

e-O.2~

sen x

Jop I

58

--dx

_13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES En este capítulo se estudian las ecuaciones paramétricas y polares de las curvas. Las aplicaciones incluyen la obtención de rectas tangentes y el cálculo de áreas, longitudes de arco y áreas de superficies de revolución.

13.1

CURVAS PLANAS Y SUS ECUACIONES PARAMETRICAS A la gráfica de una ecuación y = f(x), donde fes una función, se le llama frecuen­ temente curva plana. Sin embargo, usar esto como una definición es demasiado restrictivo, ya que excluye a la mayoría de las secciones cónicas y a otras gráficas muy útiles. El siguiente enunciado resulta satisfactorio para la mayoría de las apli­ caciones.

(13.1)

DEFlNICION

Una curva plana es un conjunto C de parejas ordenadas de la forma (f(t), g(t))

donde fy g son funciones continuas en un intervalo 1. Frecuentemente a una curva plana la llamaremos simplemente curva. La gráfica de la curva C en (13.1) es el conjunto de todos los puntos P(t) = (f(t), g(t)) en un sistema coordenado rectangular que corresponden a las parejas orde­ nadas. Decimos que cada P(t) es un punto sobre la curva, en la curva o de la curva. Usaremos los términos curva y gráfica de una curva indistintamente. A veces es conveniente pensar que el punto P(t) traza la curva C cuando t recorre el intervalo 1. Esta idea resulta útil especialmente en las aplicaciones en las que t representa el tiempo y P(t) es la posición de una partícula móvil en el tiempo t. En la figura 13.1 aparecen las gráficas de varias curvas para las cuales 1 es el intervalo cerrado [a, b]. Si P(a) "# P(b) como en (i) de la figura, entonces P(a) y P(b) se llaman los extremos de la curva C. Note que la curva ilustrada en (i) se in­ terseca a sí misma, en el sentido de que dos valores distintos de t dan lugar al mismo punto. Si P(a) = P(b), como se ilustra en (ii) de la figura 13.1, entonces se dice

589

590

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES y

y

y P(a)=P(b)

P(a)

x

x

x

(i)

(ii i)

(ii)

Figura B.I que e es una curva cerrada. Si P(a) = P(b) Y e no se interseca a sí misma en ningún otro punto, como se ilustra en (jii) de la figura, entonces e se llama una curva cerrada simple. Si

e es la curva en 13.1, entonces las ecuaciones x = f(t), y = g(t)

(13.2)

donde t está en 1, se llaman ecuaciones paramétricas para e y f se llama parámetro. Cuando t recorre 1, el punto P(x, y) traza la curva. A veces se puede eliminar el parámetro en (\ 3.2) Y obtener una ecuación para e en términos de x y y. La continuidad defy g en la definición (13.1) implica que un cambio pequeño en t produce un cambio pequeño en la posición del punto (f(t), g(t» sobre C. Esto puede usarse para obtener un dibujo burdo de la gráfica, trazando algunos de sus puntos y conectándolos en el orden en el que aparecen cuando t crece, como se ilustra en el ejemplo l. Ejemplo 1

Describa y dibuje la gráfica de la curva

e Solución

=

{(2t, t 2

En este ejemplo f(t) = 2t, g(t) = t

x = 2t, Y = t 2

2

1): -1 ~ t ~ 2}.

-

l Y las ecuaciones paramétricas para

-

I

-

e son

- I ~ t ~ 2.

donde

Estas ecuaciones pueden usarse para tabular las coordenadas de algunos puntos P(x, y) sobre e como en la tabla siguiente.

X

Y

-1

-2

1

O

-2

-1

O

O

3

-4

-1

1

"Z

2 3

-4

O

"Z

3

2

3

4

3

Trazando estos puntos y usando la continuidad de f y g obtenemos el dibujo en la figura 13.2.

CURVAS PLANAS Y SUS ECUACIONES PARAMETRICAS

13.1

591

)'

x

r

21. ,\' - 12

1"- 1 -: 2

I:

Figura 13.2

Eliminando el parámetro podemos obtener una descripción más precisa de la gráfica. Para ilustrar esto, despejamos 1 de la primera ecuación paramétrica, ob­ teniendo 1 = x/2, y luego sustituimos esta expresión en la segunda ecuación. El resultado de esto es 1 , .1, + l = 4 r­ .

La gráfica de la ecuación anterior es una parábola con eje vertical y vértice en el punto (O, - 1). La curva e es la parte de la parábola que se muestra en la figura 13.2, Las ecuaciones paramétricas de una curva no son únicas. La curva e de este ejemplo también puede expresarse así:

e = :(tj I 2 - e = :(lJ.~16 -

s 1 s 4: 1):';; -2 s 1 s

1): -2

J/'4:

o de muchas otras maneras. Ejemplo 2

Describa la gráfica de la curva x

Solución

= cos

e que tiene las ecuaciones paramétricas 1,

y

= sen

1,

O

s

t S 2n.

Eliminando el parámetro obtenemos x + y2 = 1 Y por lo tanto los puntos de e están sobre el circulo unitario con centro en el origen. Cuando t aumenta de O a 2n, P(t) comienza en el punto A( 1, O) Yrecorre el circulo una vez en sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj. En este ejemplo el parámetro puede in­ terpretarse como la longitud de arco desde A hasta P, como se ilustra en la figura 9.1. 2

Si una curva e está descrita mediante una ecuación y = f(x), donde f es una función continua, entonces puede darse fácilmente un par de ecuaciones para­ métricas para e, a saber,

592

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

x =

1,

Y = J(/)

donde I está en el dominio de f Por ejemplo, si la curva está descrita por y entonces

= 1,

x

Y = 13 ,

= x 3,

donde I está en IR,

es un par de ecuaciones paramétricas para ella. Podemos usar muchas sustituciones distintas para x, a condición de que cuando I recorra cierto intervalo, x tome todos los valores en el dominio de f Así, por ejemplo, la gráfica de y = x 3 también está dada por

= 1'/ 3 ,

x

Y = 1,

donde I está en IR.

Note sin embargo que las ecuaciones paramétricas

x = sen

1,

y = sen 3

1,

donde I está en IR,

solamente dan aquella parte de la gráfica de y Y(\, 1).

= x 3 que se encuentra entre (-1, -1)

Ejemplo 3

Encuentre unas ecuaciones paramétricas para la recta con pendiente m que pasa por el punto (x" y,).

Solución

La ecuación de la recta con pendiente m que pasa por (x" y,) es y - .1'. = m(x -

"d·

Si tomamos x = 1, entonces y - y, = m(1 -

=

x

1,

= YI +

Y

m(t -

XI)'

XI)

Y por 10 tanto

donde I está en ¡¡,¡;,

son unas ecuaciones paramétricas para la recta. Pueden darse unas ecuaciones paramétricas más sencillas tomando x - XI = l. En este caso y - YI = mI y por 10 tanto la recta tiene también las ecuaciones paramétricas

= y, + mI, donde I está en IR. También puede definirse x = XI + tan I y obtener así x

x =

XI

=

XI

+

+ tan 1,

1,

y

y =

YI

+ m tan

1,

donde - .!!- < 2

I

< .!!­

2'

Por supuesto, hay muchas otras maneras de representar la recta mediante ecuaciones paramétricas. Decimos que e es una curva lisa si tiene unas ecuaciones paramétricas x = J(/}, g(/), donde I está en un intervalo 1, tales que las derivadas f' y g' de J y g son continuas en I y no se anulan simultáneamente, excepto posiblemente en alguno de los extremos del intervalo l. Se dice que e es lisa por partes si el intervalo I puede dividirse en subintervalos tales que e es lisa en cada uno de ellos. La gráfica de una curva lisa no tiene esquinas. La curva descrita en el siguiente ejemplo es lisa por partes. y

=

CURVAS PLANAS Y SUS ECUACIONES PARAMETRICAS

593

13.1

Ejemplo 4

La curva trazada por un punto fijo P de un círculo que rueda sin resbalar sobre una línea recta, se llama cicloide. Encuentre unas ecuaciones paramétricas para una cicloide. Determine si la cicloide es lisa o lisa por partes.

Solución

Supongamos que el círculo tiene radio a y que rueda sobre (y encima de) el eje x en la dirección positiva. Si una de las posiciones de P es el origen, entonces una parte de la curva y una de las posiciones posibles del círculo pueden verse en la figura 13.3. y

x

Figura 13.3

Sea C el centro del círculo y T el punto de contacto con el eje x. Definimos el parámetro 1 como el ángulo TCP medido en radianes. Como OT es la distancia que el circulo ha rodado, OT = al. Por cónsiguiente, las coordenadas de C son (al, a). Si consideramos ahora un sistema coordenado x'y' con origen en C(al, a), y P(x', y') denota el punto P en relación a este sistema, entonces, usando (7.19) con h = al y k = a, x

= al + x', y

= a

+

y'.

Si, como se ilustra en la figura 13.4, () denota el ángulo del segmento CP respecto al eje x' entonces () = 3n/2 - l. Por lo tanto

x' = acosO = acos(3n/2 - l) = -asenl y'

= asen () = asen (3n/2 -

t)

= - a cos l,

y'

(a, O)

Figura 13.4

X'

594

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

y sustituyendo en x = al + x', y métricas para la cicloide, a saber, x

(13.3)

= a(1

=

al

-sen 1),

+

y' obtenemos unas ecuacIOnes para­

y = a(1 - casI)

donde l está en IR.

Para investigar si la cicloide es lisa consideremos

dx

-

dI

= a(l -

cos 1),

dy

-

dI

=

asen

l.

Estas derivadas son continuas para todo l pero se anulan simultáneamente en = 2nn para todo entero n. Note que los puntos correspondientes a l = 2nll son las intersecciones de la curva con el eje x y la cicloide tiene una esquina en cada uno de esos puntos (vea la figura 13.3). Por lo tanto la cicloide no es lisa. La gráfica es lisa por partes puesto que es lisa cuando l se restringe a cada uno de los intervalos [2nn, 2n(n + 1)] donde n es un entero. l

Si a < O, entonces la gráfica de (13.3) es la cicloide invertida que se obtiene haciendo rodar al círculo debajo del eje x. Esta curva tiene algunas propiedades que la hacen muy importante en la física. En particular, supongamos que un alambre delgado pasa por dos puntos fijos A y B, como se ilustra en la figura 13.5, y que podemos cambiar la forma del alambre doblándolo a nuestro antojo. Supongamos además que una cuenta (bolita perforada de collar) resbala sin fricción por el alambre de manera que la única fuerza responsable del movimiento de la cuenla es la gravedad. Nos preguntamos ahora cuál de todas las trayectorias hará que la cuenla se deslice de A a B en el mínimo tiempo posible. Es natural creer que la trayectoria deseada es el segmento de recta de A a B; sin embargo, ésta no es la respuesta correcta. Si A se coloca en el origen, la trayectoria que requiere el tiempo mínimo coincide con la gráfica de (13.3) para cierto a < O. La demostración de este resultado es dífícil y puede hallarse en textos más avanzados. ,1

FiKllra 13.5

Para citar otra propiedad interesante de esta curva, supongamos que A es el origen y B es el punto sobre la curva con abscisa nlal, es decir, el punto más bajo en el primer arco a la derecha de A, de nuestra cicloide invertida. Se puede demoslrar

CURVAS PLANAS Y SUS ECUACIONES PARAMETRJCAS

13.1

595

entonces que el tiempo que tarda la cuenta en llegar a B es independiente del punto (entre A y B) desde el cual se suelta. En algunos problemas prácticos aparecen variaciones de la cicloide. Por ejemplo, la curva trazada por un punto fijo en uno de los rayos de una rueda de una bici­ cleta que viaja por una carretera recta, se parece a una cicloide. En este caso la curva no tiene esquinas ni interseca a la carretera (el eje x) como lo hace la cicloide. Análoga­ mente, un punto fijo en la circunferencia de una rueda de tren traza rizos a intervalos regulares. Note que el punto llega a pasar debajo del nivel de la vía. En los ejercicios 33 y 34 se definen otras cicloides.

13.1 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del I al 20 (a) dibuje la gráfica de la curva C que tiene las ecuaciones para métricas dadas y (b) encuentre una ecuación en coordenadas rectangulares de una gráfica que contenga a los puntos de C. x = 1- 2,y = 21 + 3;0 s I S 5

3 5

9 11

2

2

x=1 +I,y=1 -1;-2sls2 x = 41

2

-

5,y = 21

+ 3; I

t:n IR

x = 2senl,y = 3cosl;O s I S 2][ x

= scc 1, Y = tan 1;

<

- ][/2

I

< ][/2

2

s

2

x = 1 - 21, Y = 1 +

4

x=I~+I,y=I~-I:-2sls2

6

x=

8

x=j/,y=31+4;I:?O

I~ . .I'

=

12 : I

1; - 1

I S 4

en IR

10

x = cos I - 2, Y = sen I + 3; O S I S 2][

12

x = cos21,y = senl: -][ S I S][

13

x=1 ,y=2Inl:I>O

14

x = cos 3 1,.1' = sen 3 1; O S I S 2][

15

x=senl,y=cscI;O
16

x

17

x = cosh 1, Y = senh 1; I en IR

18

x=3coshl,y=2senhl;lenlR

19

x =

1, l' =

1

2

-

1:

1" :?

= e'.y =

e-I;I en

IR

20 x = - 2/i=I""2,\, = 1; 1I1 s l

l

En los ejercicios del 21 al 24 dibuje la gráfica de la curva C que tiene las ecuaciones para métricas indicadas y determine si C es lisa o lisa por partes.

= I,.r = JI 2

21

x

23

x = (i

+

-

21

1)3,.1' = (r

+

1; O S I S 4

+ 2)2;0 s

I

S 2

= 81 3 ; -1 s r si

22

x=

24

x = tanl,y = 1: -][/2 < 1< ][/2

21,.1'

e

En los ejercicios 25 y 26 se dan las curvas C l , 2 , C 3 y C 4 en forma paramétrica, donde 1 está en IR. Dibuje las gráficas de C l , C 2 , C .1 y C4 y discuta sus semejanzas y sus diferencias. 25

C¡:X=1 2 ,y=1 C 2 :x = 14 ,)' = 12 C 3: x = sen 2 /..\' = sen I C 4 :x = e 21 ,y = _el

26

el: x = 1, Y = I - I ('2: X = I _ [2,.1' = 12 CJ:x = COS 2 1,.\' = sen 2 1

C 4: x = In I - /.y = l + I - In I

596

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

Las ecuaciones paramétricas en los ejercicios 27 y 28 dan la posición de un punto P(x, y) y en ellas / representa el tiempo. Describa el movimiento del punto durante el intervalo de tiempo indicado. 27 (a)

x

(b) x (e)

= eosf.y = sen[;O = sen[.y = eos[;O

~ [~TC

28 (a)

~ [~TC

x=[ . .\"=J1-[2;-1 ~[~ I

29 Sean PI (x l' Y1) Y P2(x 2' Y2) dos puntos distintos.

Demuestre que x

= (Xl

- XI)I

+ x,.

)' = (.1'2 -

x

(b) x (e) x

YI)[

+ )',.

= [2,)' =

1 _ [2;0....: [ ~ I

== I -In[.y = In[; I = cos 2 [.)' = sen 2 [;0

~

[:s: e :s: 2TC

~ [

30 ¿Cuál es la diferencia entre la gráfica de la hipérbola b 2 x 2 - a 2y 2 = 02b 2 Y la gráfica de x = a cosh /, y = b senh /, donde / está en~?

donde / está en ~, son unas ecuaciones para­ métricas de la recta / que pasa por PI y P2 . Encuentre otros tres pares de ecuaciones para­ métricas para la recta 1. Demuestre que hay una infinidad de parejas de ecuaciones paramétricas para /. 31

Demuestre que

x=acosI+h.

° /

y=hsen[+k.

32 Encuentre unas ecuaciones paramétricas para la parábola con (a) vértice VeO, O) y foco F(O, p); (b) vértice V(h, k) y foco F(h, k + p).

donde ~ ~ 27t son unas ecuaciones para­ métricas de una elipse con centro en el punto (h, k) Y semiejes de longitudes a y b. 33 Un circulo e de radio b rueda sin resbalar den­ tro de otro circulo con ecuación x 2 + y 2 = a 2, donde b < a. Sea P un punto fijo de e y su­ ponga que la posición inicial de P es A(a, O). Use como parámetro / al ángulo que forma el segmento de recta que va de O al centro de e con la parte positiva del eje x. Demuestre que las ecuaciones paramétricas que se obtienen así para la curva trazada por P (llamada hipoci­ cloide) son x = (l/ - h) cos [

l/-h

+ h cos -

h

[,

el - h , r=(a-h)senl-hsen--h [

° /

donde ~ ~ 2rr. Demuestre que cuando b = a/4 las ecuaciones paramétricas son x=

el

eos J

[.

.1' = a sen J

[

y dibuje la gráfica de la curva en esta caso.

34 Encuentre las ecuaciones paramétricas de la curva trazada por P cuando el circulo e del ejercicio 33 rueda por fuera del otro círculo. (Esta curva se llama epicicloide.)

RECTAS TANGENTES A LAS CURVAS

13.2

13.2

597

RECTAS TANGENTES A LAS CURVAS

En el ejemplo I de la sección anterior vimos que la curva métricas x = 2/,

Y = 12

1, donde -1 ~

-

e con ecuaciones para·

I ~

2

se puede describir mediante una ecuación rectangular de la fonna y = k(x), donde k es una función definida en un intervalo adecuado. De hecho podemos tomar y = k(x) = ix 2

-

1,

donde - 2 ~ x ~ 4.

Resulta entonces que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto P(x, y) sobre e es k'(x) =

tx o

k'(x) = t(2/) = l.

Estudiaremos ahora un método para encontrar la pendiente directamente a partir de las ecuaciones paramétricas. Sean x = f(/), y = g(/) ecuaciones paramétricas para una curva e y supon­ gamos que e también puede representarse por una ecuación rectangular de la fonna y = k(x), donde k es una función. Supongamos también que f, g y k son derivables en sus dominios. Si P(f(/), g(/» es un punto sobre e, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación y = k(x), es decir, g(/) = k(f(/».

Aplicando la regla de la cadena (3.36), g'(l) = k'(/(l))j'(1) = k'(x)f'(1)

y por lo tanto la pendiente de la recta tangente en P es (13.4)

, k (x)

g'(t)

= f'(t)

.

,

siempre y cuando 1'(/) ::1- O.

Si 1'(/) = O Y g'(/) ::1- O para algún 1, entonces e tiene una recta tangente vertical en el punto correspondiente a l. Una manera sencilla de recordar la fórmula (13.4) consiste en usar la notación diferencial: (13.5)

dy dx

dy/dt.

dx

= dx/dl' siempre que dt::l- O.

Las condiciones impuestas en la discusión anterior se satisfacen cuando e es una curva lisa y 1'(/) ::1- O para todo I en un intervalo cerrado [a, b]. En este caso l' es continua y por lo tanto 1'(/) > Oen todo [a, b] 01'(1) < Oen todo [a, b]. (¿Porque?) Aplicando el teorema (8.38) o el teorema (8.40), se concluye que f tiene una función inversa f- 1, Y como x = f(/), podemos escribir I = f- 1 (x), donde x está en el intervalo [f(a),f(b)]. Por lo tanto .1' = g(1) = gU-1(y» = k(x)

donde k es la función compuesta g o f- 1 .

598

13

Ejemplo 1

Encuentre las pendientes de las rectas tangente y normal a la curva e = {(2/, 12 - 1): -1 :S: I :S: 2} en el punto P(/).

Solución

La curva e es la misma que consideramos en el ejemplo l de la sección anterior (vea la figural 13.2). Usando (13.5) con x = 21 Y Y = 12 - 1, concluimos que la pendiente de la recta tangente en el punto P(/) es

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

21 2

dr/dl

dI' -

= - - = - = l.

ds

ds/dl

Note que esto concuerda con el resultado de la discusión al principio de esta sección. La pendiente de la recta normal es - 1/1, siempre y cuando I -1= O. Ejemplo 2

Sea e una curva con ecuaciones paramétricas x = 13 - 3 1, Y = t 2 - 5 I - 1, donde I está en IR. Encuentre una ecuación de la recta tangente a e en el punto correspondiente a I = 2. ¿Para cuáles valores de I la recta tangente es horizontal o vertical?

Solución

Aplicando (13.5) dy

dy/dl

do<

ds/dl

Por lo tanto en el punto P correspondiente a es

21 - 5 2

31

I

=

3'

-

2 la pendiente m de la recta tangente

2(2) - 5

m

= 3(22)

_ 3

1

=

9'

Sustituyendo I = 2 en las ecuaciones para métricas obtenemos las coordenadas (2, - 7) de P. Por lo tanto y

+7=

- ~(o< -

2)

o equivalentemente x

+ 9y + 61 = O.

es una ecuación de la recta tangente. La recta tangente es horizontal si dy/dt = O, es decir, si 21 - 5 = Oo t = 5/2. La recta tangente es vertical si 3/ 2 - 3 = O.(¿,Porqué?) Por lo tanto la recta tangente es vertical en los puntos correspondientes a t = l y t = - l. Si la gráfica de una curva entonces

e coincide con la gráfica de

una ecuación y

=

k(x),

, dy dy/dt Y =-=--. do< dx/dt Si y' es una función derivable de cando (13.4) a y' como sigue:

1,

entonces podemos encontrar d 2 y/dx 2 apli­

RECTAS TANGENTES A LAS CURVAS

d2 y dx

-2 =

Ejemplo 3

Suponga que

d dx

,

599

13.2

dy'/dt dx/dt

-(y) = - - .

e tiene ecuaciones para métricas = e-',

x

= e2"

y

donde t está en IR.

2

2

(a) Encuentre d y/dx directamente de las ecuaciones paramétricas. (b) Defina una función k que tenga la misma gráfica que e y verifique la respuesta a la parte (a). (c) Discuta la concavidad de C.

Solución

(a) Primero calculamos

Después,

d2 y dy' dy'/dt -6e 31 4, -= -=--=--=6e. 2 dx dx dx/dt -e-' (b) Usando el hecho de que x = e-' = l/e', obtenemos e' l/x = x y = e 2, = (e')2, resulta que e es la gráfica de la ecuación

y

=

(x -

1)2

=

X - 2,

-l.

Como

donde x > O.

La restricción x > Oes necesaria porque e-' > O para todo t. Por lo tanto podemos definir una función k cuya gráfica coincida con la gráfica de e, por medio de k(x)

Como k'(x)

-

= X -2 ,

x > O.

2X - 3 , k"(x)

=

6,_-4

=

6(e-')-4

= 6e 4'

que concuerda con el resultado de la parte (a). (c) Como d 2 y/dx 2 = 6e41 > Opara todo t, la curva tiene concavidad hacia arriba en todos sus puntos.

13.2 EJERCICIOS Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a las curvas definidas en los ejercicios del 1 al 10, en el punto correspondiente a 1 = 1. Compare sus resultados con los de los ejercicios del l al 10 de la sección anterior. x = 1 - 2, Y = 21 + 3; O ~ 1 ~ 5

3

\=1 2 + l,y=(2-1:-2~1~2

5

\=41 2 -5,y=21+3:lenlR

2

4

x = I - 21,)1 = 1 + 1; 3

3

x = 1 + 1,.1' = 1

-

- I ~ 1~ 4

1; - 2 ~ 1 ~ 2

600

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

7

x

= e',y = e- 2';c

9

x

=

8

en IR

2 sen c,)' = 3 cos c; O ~ c ~ 2rr

x=jl,y=3c+4;c;:::O

= cos c -

10

x

11 Sea I la recta con ecuaciones paramétricas x = t/2, Y = 2t - 5 Y sea e la curva con ecua­ ciones paramétricas x = t 4 - 7, Y = 8t + 3, donde t está en IR. Encuentre una ecuación rec­ tangular de la recta normal a e que es paralela a 1.

12

Sea

13 Sea e la curva con ecuaciones paramétricas x = 4t 2, Y = 2t - 5, donde t está en IR. En­ cuentre una ecuación rectangular de la recta que pasa por el punto (4, 1) Y es tangente a C.

14

2, Y

= sen c + 3; O ~ c ~

211

e

la curva con ecuaciones paramétricas y = t 3 - 2t, donde t está en IR. Encuentre los puntos de e en los que la recta tangente es perpendicular a la recta 3x + 5.1' - 8 = O.

x

= 6t + 1,

Encuentre una ecuación rectangular de la recta que pasa por el origen y es normal a la curva que tiene ecuaciones paramétricas x = 3t 2 - 2, Y = 2t 3, donde t está en IR.

En cada uno de los ejercicios del 15 al 18 encuentre los puntos sobre la curvá indicada en los cuales la recta tangente es horizontal o vertical. Dibuje la gráfica de la curva mostrando las rectas tangentes horizontales y verticales. Encuentre d 2 y/dx 2 en cada uno de los ejercicios. 15 x=4c 2 ,y=c 3 -12c;cenlR

16

x=c 3 +I,y=t 2 -2t;tenlR

yr,y = .:Ir - t;t en IR

17

x=3t 2 -6t,y=jl;t¿O

18

x =

19

¿Cuál es la pendiente de la recta tangente en el punto P(t) a la cicloide

20

Responda a las preguntas del ejercicio' 19 para el caso de la hipocicloide

x = a(t - sen c),

donde t está en IR? ¿En cuáles puntos la tan­ gente es horizontal o vertical? ¿En cuáles pun­

tos la pendiente de la recta tangente es igual al?

13.3

x

y = a(1 - cos t),

=

a cos 3 t,

donde O ~ t

~

y

=

a sen 3 t,

21t.

SISTEMAS DE COORDENADAS POLARES Anteriormente hemos especificado los puntos de un plano en términos de coorde­ nadas rectangulares, usando la pareja ordenada (a, b) para denotar el punto cuyas distancias dirigidas desde el eje x y desde el eje y son b y a respectivamente. Otra manera importante de representar puntos en un plano es mediante coordenadas polares. Para introducir un sistema de coordenadas polares en un plano, comen­ zamos con un punto fijo O (llamado origen o polo) y una semirrecta dirigida (llama­ da eje polar) con punto inicial O. Después consideramos un punto arbitrario P distinto de O en el plano. Si r = d(O, P) y (J denota el ángulo determinado por el eje polar y el segmento OP, como se ilustra en la figural 13.6, entonces r y (J se llaman las coordenadas polares de P. En estas coordenaáas P se denota por los símbolos (r, (J) o P(r, (J). Como de costumbre, (J se considera positivo si el ángulo se genera mediante una rotación del eje polar en sentido opuesto al movimiento de las mane­ cillas del reloj, y se considera negativo si la rotación es en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. Pueden usarse radianes o grados para medir (J. Hay muchos ángulos distintos que dan la posición de un mismo segmento OP, es decir, las coordenadas polares de un punto no son únicas. Por ejemplo,

SISTEMAS DE COORDENADAS POLARES

601

13.3

P(r, 8)

Eje polar

() Polo Figura 13.6

las parejas ordenadas (3, n/4), (3, 9n/4) y (3, - 7n/4) representan todas el mismo punto (vea la figura 13.7). También permitiremos que r sea negativo. En este caso, en lugar de medir Irl unidades a lo largo de la semirrecta determinada por medi­ mos las Irl unidades a lo largo de la semirrecta que comienza en O y cuya dirección es la opuesta a la determinada por e. En la figura 13.7 se han trazado también los puntos correspondientes a las parejas ( - 3, 5n/4) y ( - 3, - 3n/4). Finalmente convenimos en que el polo O tiene coordenadas polares (O, e) para cualquier e. Una asignación de parejas ordenadas de la forma (r, e) a los puntos de un plano se denomina un sistema de coordenadas polares y al plano se le llama un plano rO.

e,

po,

()

JT :4)

po, - 1JT/4)

P(J,911"/4)

L p(- 3, 51r/4)

x'

~'

-JII"/4)

,•

..

.. Figura 13.7

Una ecuación polar es una ecuación en r y e. Una solución de una ecuación polar es una pareja ordenada (a, b) tal que al sustituir en la ecuación a en lugar de r y b en lugar de se obtiene una igualdad. La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de todos los puntos (en un plano re) que corresponden a las soluciones de la ecuación.

e

Ejemplo 1

Dibuje la gráfica de la ecuación polar r = 4 sen

e.

602

l3

Solución

En la tabla siguiente aparecen algunas de las soluciones de la ecuación.

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

()

o

n/6

n/4

n/3

n/2

2nj3

3n/4

5n/6

n

r

o

2

2~2

2~]

4

2~3

2~2

2

o

En coordenadas rectangulares la gráfica de la ecuación dada consta de una onda sinusoidal de amplitud 4 y período 2n. Sin embargo en coordenadas polares los puntos correspondientes a las parejas de la tabla se encuentran en un círculo de radio 2, y dibujamos la gráfica de acuerdo con esto (vea la figura 13.8). Como una ayuda para trazar puntos hemos prolongado el eje polar en la dirección negativa y hemos dibujado una recta vertical que pasa por el polo. En el ejemplo 4 daremos la demostración de que la gráfica es efectivamente un círculo. Los puntos adicionales que se obtienen cuando O toma valores entre n y 2n, se encuentran sobre el mismo circulo. Por ejemplo, la solución ( - 2, 7n/6) nos da el mismo punto que (2, n/6); el punto correspondiente a (5n/4) es el mismo que el que se obtiene de (2 2, n/4); etcétera. Si dejamos que (J recorra todos los números reales obtenemos los mismos puntos una y otra vez debido a la periodicidad de la función seno.

2J2,

(4, :rr12)

(2h,

(2 ../2. J¡r/4)

()

¡r/4)

.¡ sen ()

FiKlII'U 13.8

+

Ejemplo 2

Dibuje la gráfica de la ecuación r

Solución

Como la función coseno disminuye de l a - l cuando O aumenta de O a n, l' dis­ minuye de 4 a O en este mismo intervalo. La tabla siguiente exhibe algunas de las soluciones de la ecuación dada.

e

u

o

r

4

n/6

=

n/4

2+13 2+J2

2

n/3 3

e

2 cos O.

n/2 2n/3 2

3n/4

5n/6

n

2-J2

2-fi

O

Si aumenta de n a 2n, entonces cos aumenta de - l al, Y por consiguiente l' aumenta de O a 4. Trazando los puntos y conectándolos mediante una curva lisa, obtenemos el dibujo que se muestra en la figura!. 13,9, en la que hemos dibujado

SISTEMAS DE COORDENADAS POLARES r

=

2

+

13.3

2 cos

-t---+--+--+--+---3""'-~-+--+--+--+---

603

1)

O

Figura 13.9

algunas rectas que pasan por O a varios ángulos, así como algunos círculos con sus centros en el polo. Se puede obtener la misma gráfica tomando otros intervalos para e. La gráfica en forma de corazón en el ejemplo 2, se llama una cardioide. En general la gráfica de cualquier ecuación polar de la forma r = u(

1 + cos O).

r = u( 1

r = u(

1 - cos O).

r = u(

+ sen (})

1 - sen O)

donde a es un número real, es una cardioide. Ejemplo 3

Dibuje la gráfica de la ecuación r = a sen 2e, donde a > O.

Solución

En lugar de tabular algunas de las soluciones, razonemos de la manera siguiente. Cuando e aumenta de O a n/4, 2e aumenta de O a n/2 y por lo tanto sen 2e aumenta de O a 1. Se deduce que r aumenta de O a a cuando recorre el intervalo [O, n/4]' Si ahora 8 aumenta de n/4 a n/2, entonces 28 aumenta de n/2 a n. Por consiguiente r disminuye de a a O cuando 8 recorre el intervalo [n/4, n/2J. (¿Porqué?) Los puntos correspondientes sobre la gráfica forman un rizo, como se ilustra en la figural 13.10. Dejaremos al lector el trabajo de verificar que cuando 8 aumenta de n/2 a n se forma un rizo semejante directamente bajo el primero. Note que en este caso n < 2e < 2n y por lo tanto sen 2e es negativo. Cuando e recorre los intervalos

e

604

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

r = a sen 28

Figura 13./0

[n, 3n/2] y [3n/2, 2n] se fonnan otros dos rizos. En la figura 13.10 trazamos sola­ mente los puntos de la gráfica correspondientes a los valores extremos de r. La gráfica en el ejemplo 3 se llama una rosa de cuatro pétalos. En general una ecuación de la forma r = a sen

ne

r = a cos ne

o

donde n es un entero positivo mayor que I y a es un número real, tiene una gráfica que consta de varios rizos que se unen en el origen. Si n es par, entonces hay 2n rizos, mientras que si n es impar hay solamente n rizos (vea por ejemplo los ejerci­ cios 9, 10 y 22). Muchas otras gráficas interesantes se obtienen a partir de las ecuaciones po­ lares. Algunas de ellas se incluyen en los ejercicios al final de esta sección. Las co­ ordenadas polares son muy útiles en aquellas aplicaciones en las que intervienen círculos con centro en el origen o rectas que pasan por el origen, ya que las ecua­ ciones que tienen a estos círculos o estas rectas como gráficas, pueden escribirse en la forma muy sencilla r = k o e = k para algún número fijo k. (Verifique este hecho.) Vamos ahora a sobreponer un plano xy a un plano re de manera que el eje x positivo coincida con el eje polar. A cualquier punto P del plano le podemos asignar ahora coordenadas rectangulares (x, y) o coordenadas polares (r, e). No es difícil obtener unas fórmulas que relacionen los dos sistemas coordenados. Si r > 0, tenemos una situación semejante a la que se ilustra en (i) de la figura 13.11. Si r < 0, la situación es como la que se ilustra en (ii) de la figura, donde hemos trazado también el punto P' con coordenadas polares (Irl, e) y coordenadas rectangulares ( - x, -y), para poder referirnos a él más adelante. Aunque hemos dibujado a e como un ángulo agudo, la discusión que sigue es válida para cualquier ángulo. Por un lado, si r > 0, como en (i) de la figura 13.11, (13.6)

x = rcos (J,

y

= rsen (J.

SISTEMAS DE COORDEN ADAS POLARES

605

13.3

P'( -x, -y)

P(r,/J) P(x, y)

/" O

,

" ""

.'P(r,

/J)

P(x, y) (i)

1'>0.

(ii)

l'

< O.

Figura 13.11

Por otro lado, si

l'

< O, entonces 11'\ = - 1', Y en (ii) de Is figura 13.11 vemos que cos O = sen O =

-x

-

/1'1

-j'

-

11'1

-x

x

-r

l'

= -

-y

=-

-1'

= -, y

= -. l'

Multiplicando por l' obtenemos (13.6) y, por lo tanto, dichas fórmulas son válidas tanto para l' positivo como para l' negativo. Si l' = O, el punto es el polo y vemos que nuevamente las fórmulas (13.6) son válidas. Las fórmulas siguientes son consecuencia de (13.6): (13.7)

Podemos usar las fórmulas (13.6) y (13.7) para cambiar de un sistema de coorde­ nadas al otro. Una aplicación más importante de estas fórmulas consiste en la trans­ formación de una ecuación polar a una rectangular y viceversa. Esta aplicación se ilustra en los dos ejemplos siguientes.

=

Ejemplo 4

Encuentre una ecuación en x y y que tenga la misma gráfica que

Solución

La ecuación dada es la misma que consideramos en d ejemplo l. Si multiplicamos ambos lados por l' obtenemos 1'2 = 41' sen (j. Aplicando (13.6) y (13.7) obtenemos x 2 + y2 = 4y. Esta última ecuación es equivalente a x 2 + (y - 2)2 = 4, cuya gráfica en el plano xy es un círculo de radio 2 con centro en (O, 2).

Ejemplo 5

Encuentre la ecuación polar de una recta arbitraria.

Solución

Sabemos que cualquier recta en un plano xy es la gráfica de una ecuación lineal ax + by + e = O. Reemplazando x y y con sus expresiones en coordenadas pola­ res, dadas en (13.6), obtenemos la ecuación polar 1'( a cos O + bsen (})

+ e = O.

l'

4 sen

(j.

606

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

Supongamos que tenemos un plano xy superpuesto a un plano re. La gráfica de una ecuación polar puede ser simétrica con respecto al eje x, al eje y o al origen. Se deja al lector demostrar que si una de las sustituciones indicadas en la siguiente tabla no cambia las soluciones de la ecuación polar, entonces la gráfica tiene la simetría indicada en el renglón correspondiente.

Sustitución

1t

Simetría con respecto al

- e en lugar de e -r en lugar de r - e en lugar de ()

eje x origen eje y

Para ilustrar esto, consideremos las gráficas de las ecuaciones en los ejemplos 1, 2 Y3. Como sen (1t - e) = sen e, la gráfica en el ejemplo I es simétrica con respecto al eje y. Como cos ( - e) = cos e, la gráfica de la ecuación en el ejemplo 2 (vea la figura 13.9) es simétrica con respecto al eje x. La gráfica en el ejemplo 3 es simétrica con respecto a ambos ejes y al origen. Pueden enunciarse otros cntenos de simetria, pero los de la lista anterior están entre los más fáciles de aplicar.

13.3 EJERCICIOS Dibuje la gráfica de cada una de las ecuaciones polares en los ejercicios del l al 24. l'

=5

2

5

,. = 4cosO

7

l' ""

9

,. = 8 cos

4(1 - sen O)

30

0= n/4

(cardioide)

(rosa de tres pétalos)

4 cos 20 (lemniscato)

3

0= -n 6

6

,. =

8

,. = 1

10

4

-2senO

+ 2cos {)

,.=2sen40 2

(rosa de ocho pétalos)

r

,. = 4 cscO

14

,. = - 3 secO

15

,. = 2 -

16

,. = 2 + 2 secO (concoide)

17

,.=2Q.O~O

18

rO

19

,. = - 6( I + cos O) (cardioide)

20

r

21

,. = 2 + 4cosU

22

,. =

23

,.2

24

4,. = O (espiral)

,.2 =

13

cos () (lima¡;on) (espiral)

(lima¡;on)

-16sen20 (Iemniscato)

=

=

6 sen (-!-O)

(lima¡;on)

12

II

r= -2

= J.(}

~ (;'26

(cardioide)

> O (espiral)

(espiral logarítmica)

8eos 50

(rosa de cinco pétalos)

En los ejercicios del 25 al 32 encuentre una ecuación polar que tenga la misma gráfica que la ecuación dada. 25

,= - 3

29

l' =

6

=2

26

Y

30

Y = 6,

32

9,2 +

4i =

36

ECUACIONES POLARES DE LAS CONICAS

13.4

607

En los ejercicios del 33 al 48 encuentre una ecuación en x y y que tenga la misma gráfica que la ecuación polar dada y úsela como una ayuda para dibujar la gráfica en un sistema de coordenadas polares. 33 rcosO = S

34

rsenO = -2

35

r-6senO=O

36

r = 6cot U

=2

38

0= il/4

39

r = tan O

40

r = 4 sec O

37

r

41

r 2 (4 sen 2 O - 9coslO)

44 r l sen 20

= 36

=4 1

47 r = - - - 1 + cos/l 49

Sean Pt(r t , ( 1 ) y Pl (r 2 ,

( 2)

+ 4 sen l O) = 16

42

r 2 (cos 2 0

45

r(sen O - 2 cos O) = 6

48

r=

43

r l cos 20 = I

46

r(sen O + rcos 2 0l = I

4 2

+ senO

dos puntos en un plano rO. Use la ley de los cosenos para demostrar que [d(P,. Pll]l =

d+d-

2r,rlcos(1I 2

-(1 1),

50 Demuestre que las gráficas de las siguientes ecuaciones polares son círculos y encuentre el centro y el radio en cada caso. (a) r = a sen 0, a 'lo O (b) r = h cos 0, b 'lo O (c) r = a sen () + b cos 0,

13.4

ab 'lo O

ECUACIONES POLARES DE LAS CONICAS El teorema siguente proporciona un nuevo método para describir las seccIOnes cónicas.

(13.8)

TEOREMA

Sean F un punto fijo y / una recta fija en un plano. El conjunto de todos los pun­ tos P del plano tales que la razón d(P, F)/d(P, Q) es una constante positiva e, donde d(P, Q) denota la distancia de P a /, es una curva cónica. Más aún, la cónica es una parábola si e = 1, una elipse si O < e < I y una hipérbola si e > 1. La constante e se llama la excentricidad de la cónica y no debe confundirse con la base de los logaritmos naturales. Veremos que el punto F es un foco de la cónica. La recta / se llama directriz. Demostraremos (13.8) suponiendo que e :-:;; I Y dejaremos al lector el caso e > l. Si e = I en el teorema (13.8), entonces tenemos d(P, F) = d(P, Q) y, de acuerdo con la definición (7.1), la curva que se obtiene es una parábola. Supongamos ahora que O < e < l. Será conveniente utilizar un sistema de coordenadas polares en el plano con el polo en F y el eje polar perpendicular a /, de manera que el punto de intersección del eje polar y / sea D(d, O) donde d > O. Sea P(r, O) un punto del plano tal que d(P, F)/d(P, Q) = e < 1. Entonces en la figura 13.12 vemos que P se encuentra a la izquierda de /.

608

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

P(r, (J)

_------1Q

<1---'--------6------+--­ D(d. O) F e

Figura /3./2

Sea

e la proyección de P sobre el eje polar. Como d(P.F)

=r

d(P.Q)

y

=

FD - Fe

= el - reosO

concluimos que P satisface la condición del teorema (13.8) si y sólo si r

----=e

d - rcosO

o equivalentemente r = de - ereos (J,

(13.9)

Despejando r obtenemos de 1+ ecosO

(13.10)

r=---­

que es una ecuación polar de la gráfica. La misma ecuación se obtiene en el caso e = 1; sin embargo en este caso no existe un punto (r, O) sobre la gráfica cuando 1 + cos O = O. La ecuación rectangular correspondiente a (13.9) es

Elevando al cuadrado ambos lados y arreglando los términos llegamos a

Completando el cuadrado en la ecuación anterior y simplificando obtenemos

(.\.+

~}2 ~_ d2('2 , + I - e-) - (1 - ('-))" 1 - e-

Finalmente, dividiendo ambos lados por d 2 e 2 /(1 - e 2 )2 obtenemos la forma (x_II)2

(\_k)2

a

b2

---,,-+ . 2

= I

(vea (7.21». Por consiguiente la gráfica es una elipse con centro en el punto ( - de 2 1(1 - e 2 ), O) sobre el eje x y cuyos semiejes están dados por

ECUACIONES POLARES DE LAS CONfCAS

13.4

609

Usando (7.8), e

222

=a

- b

d2 e4

= ( 1 - e 2)2

y por lo tanto e = de 2 /(1 - e 2 ). Esto demuestra que F es un foco de la elipse. También concluimos que e = e/a. Para el caso e > l se puede dar una demos­ tración parecida. Inversamente, puede demostrarse que toda cónica que no es un círculo se puede describir por medio del enunciado en (13.8). Esto nos da una formulación de las secciones cónicas que es equivalente al punto de vista adoptado en el capítulo 7. Como el teorema (13.8) incluye los tres tipos de cónicas, a veces se toma como una definición de las secciones cónicas. Si hubiésemos escogido el foco F aliado derecho de la dírectriz, como se ilustra en la figura 13.13 (en donde d > O), entonces habríamos obtenido una ecuación semejante a (13.10) pero con un signo menos en lugar del signo más. Si se permíte que d sea negativo entonces aparecen otros cambios de signo. Si I se escoge paralela al eje polar, de manera que pase por uno de los puntos (d, n/2) o (d, 3n/2), entonces en las ecuaciones correspondientes aparece sen (J en lugar de cos (J. La demostracíón se deja como ejercicio al lector.

Q;-----""I'I

D(d, 1r) - - - - -

-4 -----'--+-------I~

F

e

Figura 13.13

El teorema siguiente resume la discusión anterior. (13.11)

TEOREMA

Las gráficas de las ecuaciones polares r

de l ± ecos6'

= -:----__::_

de r=---­ I ±esen(J

son secciones cónicas. Más aún, si e = 1 la cónica es una parábola, si O < e < l es una elipse y si e > l es una hipérbola.

610

13

Ejemplo 1

Describa y dibuje la gráfica de la ecuación

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

r

Solución

=

10

.

3 + 2cos e

Dividiendo el denominador y el numerador por 3 obtenenos r

10/3

= -----=--­

1 + ~cos e

que tiene la forma de una de las ecuaciones en el teorema (13.11) con e = 2/3. Por lo tanto la gráfica es una elipse con foco F en el polo y cuyo eje mayor coincide con el eje polar. Los extremos del eje mayor pueden encontrarse tomando e igual a O y a n. Esto nos da V(2, O) y V'(lO, n). Por lo tanto 2a

= d(V', V) = 12, o a = 6.

El centro de la elipse es el punto medio del segmento V' V, es decir (4, n). Usando el hecho de que e = e/a obtenemos e = ae = 6(2/3)

= 4.

Por lo tanto /¡2

= a2

e2

_

= 36 -

16 = 20

es decir, el semieje menor tiene longitud j20. La gráfica está dibujada en la figura 13.14, en donde hemos superpuesto un sistema coordenado rectangular sobre el sistema polar, para referencias futuras.

V(2. O) x

V'(ID.7T')

J

+

10 2 cos

o

Fi¡:uI'a /3./4

Ejemplo 2

Describa y dibuje la gráfica de la ecuación r=

Solución

10

2 + 3 senO

.

Para expresar la ecuación en una de las formas del teorema (13.11) dividimos el numerador y el denominador por 2, obteniendo así

ECUACIONES POLARES DE LAS CONICAS

13.4

611

5

r=l+henO' Por lo tanto e = 3/2 Y la gráfica es una hipérbola con un foco en el polo. Como aparece sen en el denominador, el eje transversal de la hipérbola es perpendicular al eje polar. Para encontrar los vértices tomamos e igual a rr/2 y 3rr/2, lo cual nos da los puntos V(2, rr/2) y V'( -lO, 3rr/2). Por lo tanto

e

2a

= d( V, V') = 8 o a = 4.

Los puntos (5, O) Y(5, rr) están sobre la hipérbola y con ellos podemos darnos una idea vaga del aspecto de la rama inferior. La rama superior se obtiene por simetría, como se ilustra en la figura 13.15. Si se desea información adicional o mayor pre­ cisión, se puede calcular

e = ue 2

b = e

2

-

= 4(1) =

6

y

2

u = 36 - 16 = 20.

Las asíntotas pueden construirse a partir de esta información, de la manera acostum­ brada. y

V'(-IO,3rr/2) V(2, rr/2)

x

r = 2

~

\0 3 sen 8

Figura /3./5

Ejemplo 3

Dibuje la gráfica de la ecuación

r= Solución

15 4 - 4cosO

.

Para obtener una de las formas del teorema (13.11) dividimos el numerador y el denominador por 4, lo cual nos da

r=

(15/4) . 1 - cosO

Por consiguiente e = 1 y la gráfica es una parábola con foco en el polo. Podemos

612

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

hacer un dibujo burdo de la curva trazando los puntos donde ésta interseca el eje x y el eje y. Las coordenadas polares de estos puntos están indicadas en la tabla siguiente (}

rr/2

rr

3rr/2

r

15/4

15/8

15/4

Note que () = Ono se toma en cuenta. (¿Porqué?) Trazando estos puntos y usando que la gráfica es una parábola con foco en el polo, obtenemos el dibujo en la figura 13.16. y

x

r=

15 4 - 4 cos ()

Figura 13.16

Si solamente se desea un dibujo burdo de la gráfica, entonces se recomienda el método empleado en el ejemplo 3. Para aplicar este método trazamos los puntos correspondientes a () = O, rr/2, rr y 3rr/2 (si éstos existen). Estos puntos y el tipo de la cónica (que se obtiene del valor de e), nos dan suficiente información para dibujar la gráfica.

13.4 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del l al 10 idenlifique y dibuje la gráfica de la ecuación dada. r=

12

6

+ 2 sen // 3

12 6 - 2 sen //

12 3 r=---2 - 6 cos /1

r=

6

7 r = ----,:-­ 8 r=---­ r=---­

4

r=---­

2

+ 6cosO

3

4

4 sec O

2 - 2 senO

cos/l - 2

2secO - 1

5

r = -:-----,-----,­ 2 + 2C05//

9

lO r = esc //(csc // - cOlO)

r=---­

11-20

12

2

6cscO

2csc/l

+ 3

En cada uno de los ejercicios del l al 10 encuenlre una ecuación reclangular para la gráfica de la ecuación dada.

CALCULO DE AREAS EN COORDENADAS POLARES

613

13.5

En cada uno de los ejercicios del 21 al 26 use el teorema 13.8 para encontrar una ecuación polar de la cónica que tiene un foco en el polo, y tiene la excentricidad y la ecuación de la directriz dadas. 21

e

= 1/3,r = 2secO

22

e=2/S.r=4cscO

23

e = 4.r = - 3csc O

24

e = 3.r = -4secO

25

e

= 1, reos O = S

26

e = 1,rsenO = -2

27

Encuentre una ecuación polar de la parábola con foco en el polo y vértice V(4,1t/2).

28 Encuentre una ecuación polar de la elipse con excentricidad 2/3, un vértice en (1, 31t/2) Y un foco en el polo.

29 Demuestre el teorema (13.8) para el caso e > 1.

30 (a) Use la figura 13.13 para deducir la fórmula r = de/(1 - e cos O). (b) Deduzca las fórmulas r = de/(1 ± e sen O) en el teorema (13.11) tomando la directriz paralela al eje polar.

En cada uno de los ejercicios del 31 al 36 exprese la ecuación en una de las formas del teorema (13.11) Yencuentre la excentricidad y una ecuación de la directriz. 31

y2

34

S.\"2

=

4 - 4.\"

+ 9y 2

13.5

=

32x

+ 64

32

x2

35

8x 2

=

+

1 - 2y 9.1'2

+ 4x =

4

33

3/ - 16y - x 2

36

4x 2

-

+ 16 = O

si + 36y -

36 = O

CALCULO DE AREAS EN COORDENADAS POLARES Las áreas de ciertas regiones planas acotadas por las gráficas de ecuaciones polares se pueden calcular utilizando límites de sumas de las áreas de ciertos sectores cir­ culares. Supongamos que R es una región en un plano rO acotada por las gráficas de las semirrectas que pasan por O cuyas ecuaciones son O = a y O = b, donde O :s; a < b :s; 21t Y por la gráfica de r = 1(0), donde 1 es una función continua y 1(0) ~ Oen [a, b]. En (i) de la figura 13.17 aparece una ilustración de una región tal. Sea P una partición de [a, b] determinada por 8

r

= 8¡

= [(8) (ii)

(i)

Figura 13.17

614

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

a

= 00 < 0 1 < O2 < ... < On = b

Y sea tiO¡ = O; - O; _ 1 para i = 1, 2, . . . , n. Las rectas con ecuaciones O = O; dividen a R en subregiones con forma de cuña. Si f(u¡} y f(v¡} son el valor minimo y el valor máximo defrespectivamente en [0;-1' O;], entonces, como se ilustra en (ii) de la figura 13.17, el área tiA; de la iésima subregión está entre las áreas de los sectores circulares inscrito y circunscrito que tienen ángulo central ti Oi Y radios f(u;) y f(Vi) respectivamente. Por lo tanto ·H/(Ui)]2ti()j :::;; tiA¡ :::;;

Hf(r¡)f .Mi,.

Sumando desde i = I hasta i = n y usando que la suma de las tiA; es el área A de R, obtenemos n

11

I -! [f(u¡)] 2ti()¡ :::;; A :::;; I -! [f(r;)] j=

1

j.:::

2

.Mi j •

I

El límite de ambas sumas, cuando la norma ¡¡PI! de la partición tiende a cero, es igual a la integral J~(l/2)[f(0)F dO. Por consiguiente el área A de laregiónacotada por las gráficas de r = f( e), (J = a, y O = b es (13.12)

A

=

~

f

r

2

dO.

Esta integral también se puede interpretar como un límite de sumas de Riemann escribiendo (13.13)

A

= lim IIPII ~O

I

n

j;

Hf(\\I;)] 2 M, = 1

t

lb

[f(V)] 2 d(-)

Q

donde IV; es cualquier número en el intervalo [Oi _ l' O;]. El dibujo en la figura 13.18 ilustra el significado geométrico de una de estas sumas de Riemann. Es conveniente pensar en (13.13) como el proceso de barrer con un sector circular de radio variable, la región R haciendo que O aumente de a a b mientras que, al mismo tiempo, tiO; tiende a cero. (Vea la figura 13.18.)

r == [(e)

Figura 13.18 Ejemplo 1

Calcule el área de la región acotada por la cardioide r

=

2

+

2 cos O.

CALCULO DE AREAS EN COORDENADAS POLARES

Solución

13.5

615

La gráfica correspondiente está dibujada en la figura 13.19, junto con un sector circular del tipo que describimos en la discusión anterior. Debido a la simetría, basta calcular el área de la mitad superior y luego duplicar el resultado. La función f de (13.13) está dada por f(e) = 2 + 2 cos e. Para encontrar a y b observamos que el sector circular barre la mitad superior de la cardioide cuando aumenta de O a n. Por consiguiente a = O, b = n y

e

A = 2·1 (" (2

Jo

(" (4

=

Jo

= fa" =

+ 8cosO + 4cos 2 0)dO.

+ cos 2e),

Usando que cos 2 e = (1/2)(1 A

+ 2 cos 0)2 dO

(6

+ 8cosO + 2cos20)dO

[60 + 8 senO +sen 20 J: = 6][.

El área también puede calcularse usando (13.13) con a

r= 2

+

=

OYb

2 cos

2n.

e

Figura 13.19

Consideremos ahora dos funciones continuas f y g tales que f(O) ~ g(O) ~ O para todo Oen un intervalo [a, bJ. Sea R la región acotada por las gráficas de r = f( e), r = g(O), = a y O = b, como se ilustra en la figura 13.20. Evidentemente el área A de la región R se puede calcular como la diferencia de las áreas de dos re­ giones del tipo considerado anteriormente. Por lo tanto

o

A

= -}

f.b

A =

1

[/(0)] 2 dO -

o (13.14)

f

t lb" [g(O)] 2 dO

([/(0)]2 - [g(O)]2)dO.

Esta última integral se puede expresar como el límite de unas sumas de Riemann como sigue:

616

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

O=b

o= a r = feO)

r = g(O)

o Figura 13.20 (13.15)

A

= lim IIPII~O

Lt([f(w¡)f -

[g(w¡}] 2) L\O¡.

i

La suma en (13.15) puede pensarse como el proceso de barrer la región R con un elemento de área del tipo ilustrado en la figura 13.20 variando () de a a b.

Ejemplo 2

Calcule el área de la región que se encuentra dentro de la cardioide con ecuación r = 2 + 2 cos () y fuera del círculo con ecuación r = 3.

Solución

La región está dibujada en la figura 13.21 junto con un elemento de área polar del tipo considerado en la suma (13.15). Como las dos gráficas se intersecan en los puntos (3, -n/3) y (3, n/3), el elemento de área indicado barre la región cuando () aumenta de -n/3 a n/3. Usando (13.14) obtenemos A

=

=

t

f

~'J

-~IJ [(2

1 f~~J

+ 2COSO)2 - 3 2]dO

(8cosO + 4cos 2 0 - 5)c/O.

r=2+2cos8

8= -

Figura 13.2/

f

LONGITUDES DE ARCOS DE CURVAS

617

13.6

Como en el ejemplo 1, la integral se puede evaluar usando la fónnula cos 2 O = (\/2)(1 + cos 20). Se deja al lector demostrar que A

= (9.J3/2) -

1t.

13.5 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del 1 al 8 dibuje la gráfica de la ecuación dada y calcule el área de la región acotada por la gráfica.

5

r = 2eos 1)

2

r=5senO

3

r = 1 - eos O

4

r=6-6senO

r = sen20

6

r2

7

r

+

8

1"

=

geos 20

=

4

senO

=

3 + 2eos O

Calcule el área de la región 10 Calcule el área de la región R = {(r,O):O ~ O ~ n/2,0 ~ r ~ t'}. R = {(I",O):O ~ O ~ 11:,0 ~ r ~ 20}. En los ejercicios del 11 al 14 calcule el área de la región acotada por uno de los rizos de la gráfica de la ecuación dada. 9

11

r2

=

4 cos 20

12

r = 2 cos 30

13

r = 3 eos 50

14

r = sen6(}

En cada uno de los ejercicios del 15 al 18 calcule el área de la región que se encuentra fuera de la gráfica de la primera ecuación y dentro de la segunda. 15

r=2+2cosO,I"=3

17

r = 2,,2

=

8 sen 20

16

r

18

r = I - senO, r = 3 senO

=

2". = 4 eos O

En cada uno de los ejercicios del 19 al 22 calcule el área de la región que se encuentra dentro de las gráficas de ambas ecuaciones dadas. 19

r=senO".=J3eosO

21

r

=

1 + senO".

=

5senO

20

r=2(I+senO),r=1

22

r2

=

4 cos 20".

=

1

En cada uno de los ejercicios del 23 al 26 calcule el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas. 23

1"

= 2secO,O = rr/6,IJ = n/3

24

r

25

r

= 4/(1

26

r(l+senO)=2.0=n/3

13.6

- cos O), O = n/4

=

csc () COI IJ, O = n/6, IJ = n/4

LONGITUDES DE ARCOS DE CURVAS Si una curva es la gráfica de una ecuación y = I(x), donde 1 es una función lisa en un intervalo [a, b], entonces su longitud de arco puede calcularse por medio de la definición (6.18). Si la curva está dada en forma paramétrica o en coordenadas polares entonces (6.18) no se puede aplicar. En esta sección desarrollaremos una fórmula que puede aplicarse para calcular la longitud de curvas más generales. Supongamos que una curva e está dada paramétricamente por x = 1(/),

y = g(t)

donde 1 y g son derivables en un intervalo [a, b]. Más aún, supongamos que e no se interseca a si misma, es decir, valores distintos de t entre a y b determinan puntos

618

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

distintos sobre C. Consideremos una partición P de [a, b] dada por a = t o < ti < ... < t n = b. Sea !lt¡ = t¡ - t¡_1 Y sea P; = (¡(t¡), g(t¡» el punto de e deter­ minado por ti' Sea d(P¡_I, P;) la longitud del segmento recto P;-I p;. Entonces la longitud L p de la línea quebrada que se muestra en la figura 13.22 es n

LI ,

=

I

d(P;- (, P.). I

j::

y

x

Figura 13.22

De manera análoga a la definición (5.15) escribimos L =

lim L p

IIPIl-o

y \lamamos a L la longitud de e entre Po Y p.. , si para todo e > Oexiste un D > O tal que IL p - LI < e para todas las particiones P con IIPII < D. Según la fórmula de la distancia, d(P;_"P;) = J[fU;) -/(1;_1)]2 + [g(I¡) - g(I¡-I)f.

De acuerdo con el teorema del valor medio (4.12), existen números intervalo abierto (t¡_I' ti) tales que fUi) - f(l¡ - 1) g(l;) - g(I¡_

W¡

y

Z¡

en el

= j'(w;) !ll¡,

d = g'(z;) !ll;.

Sustituyendo en la fórmula para d(P¡_I' P¡) y sacando fuera del radical el factor

común (!ltY obtenemos (13.16)

Por consiguiente L

= lim L p = lim IIPII-O

I

IIpll-O¡-1

[j'(w;)] 2

+

[g'(z¡)] 2 !ll¡,

siempre y cuando el límite exista. Si IV¡ = Z¡ para todo i, entonces las sumas son sumas de Riemann para la integral de la función k(t) = J[/'(I)]2 + [g'(t)]2. Si e es lisa entonces el límite de las sumas existe y la longitud de e entre Po Y p. está dada por

LONGITUDES DE ARCOS DE CURVAS

13.6

619

(13.17) Puede demostrarse que aunque w¡ -# z¡ el límite existe; sin embargo la demostra­ ción requiere de métodos avanzados y por lo tanto la omitimos. En resumen, (13.17) nos da la longitud de una curva e definida paramétricamente cuando f y g son funciones lisas en [a, b] Y e no se interseca a si misma excepto posiblemente en los puntos correspondientes a l = a y l = b. La fórmula (13.17) se puede escribir en términos de la notación diferencial como (13.18)

L = Jbj(dX)2 d l

a

y

+ (ddl )2 dl.

Si la curva e está descrita en coordenadas rectangulares por medio de una ecuación de la forma y = k(x) donde k' es continua en [a, b], entonces

x = l, Y = k(l),

donde a

~

l

~

b,

son unas ecuaciones paramétricas para C. En este caso

dx

dt =

dy dt = k'(t) = k'(x),

1,

dt = dx

y (13.18) se puede escribir L =

f

+

JI

[k'(x)J2 dx.

Esto concuerda con la fórmula para calcular la longitud de arco dada en I? defi­ nición (6.18).

Ejemplo 1

Calcule la longitud de uno de los arcos de la cicloide que tiene ecuaciones para­ métricas x = l - sen l, y = 1 - cos l.

Solución

La gráfica tiene la forma ilustrada en la figura 13.3, donde el radio a del circulo es 1. Se obtiene un arco de la cicloide cuando l aumenta de Oa 2n:. Aplicando (13.18)

L Como cos 2

l

+

sen 2

l

=

f" Jo -

cos t)2

+ (sent)2 dt.

= 1, el integrando se reduce a

J2 -

2 cos l =

J2 J l -

cos l.

Por lo tanto

L

=

f" J2JI -

costdt.

Según la fórmula del seno de la mitad de un ángulo, sen 2 (l/2) equivalentemente, l - cos l = 2

serr (t12).

=

(1 - cos l)/2, o

620

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

Por lo tanto JI ­

COS 1

= J2 sen2 U/2) = j2lsen(1/2)1.

El símbolo de valor absoluto puede suprimirse ya que si O ~ 1 O ~ 1/2 ~ 1t Y por lo tanto sen (t/2) ¿ O. Por consiguiente

L= =

~

21t, entonces

f~ j2 j2senU/2)dt 2

fK

sen(t/2) dt

= [ - 4 cos

Uj2)

J:~

= (- 4)( - 1) - ( - 4)( 1) = 8. Si una curva

e es la gráfica de una ecuación polar r = f«())

donde f es lisa en

[a, b], entonces aplicando (13.6) vemos que x = f(O) cosO, y = f(O) sen () son ecuaciones paramétricas para

dx

dO

e y por lo tanto

= - j(a) sena + l' (a) cos a

dy dO =f(O)cos()

+ f'(O) senO.

Se deja como ejercicio demostrar que

(~;r + (~~r =

(13.19) Aplicando (13.18) con = bes

e (13.20)

[f(O)F

e = 1 concluimos L=

r

J[f(e)] 2

+ [f'(O)V

que la longitud L de

e

entre

e= a y

+ [f'(e)F dO.

e=

e=

Ejemplo 2

Calcule la longitud de la espiral con ecuación polar r = e8 / 2 entre

Solución

En la figura 13.23 está dibujada una parte de la espiral. En la figura se muestran (e. 2) (~, 1)

Figura /3.23

IY

2.

LONGITUDES DE ARCOS DE CURVAS

las coordenadas polares de los puntos correspondientes a ()

621

13.6

1 Y O = 2. Usando

(13.20) conf(O) = e 9/ 2 ,

L

=

J2 J

=

fvV

(e(!/2)2

+ (íe 9 / 2 )2 dO

dO

= fi f2 e6/2dO 2

1

= fieO/

I

2

=

fi (e - fi)·

Un valor aproximado de la longitud de la curva es L :::::; 2.4.

13.6 EJERCICIOS Calcule la longitud de las curvas definidas en los ejercicios del I al 7.

2

x=3t,y=2t312;O~t~4

4

x

6

x = cos t; y = sen t; O ~ t ~ n/2

8 Calcule la longitud de la curva con ecuación polar r = sen 3 (0(3).

9

Calcule la longitud de la espiral r O = O Y O = 2n.

10 Calcule la longitud de la espiral r = O entre O = O Y O = 4n.

11

3 x = e'cost,y = e'sent;O

~

t

~

5

x=lncost.y=t;O~t~n/3

7

x = 2t,y

12

=

t4

+ (1/8)t- 2 ; l

n/2

= 3/'

- 5.y 3

= 21' +

1; OS 1S 2

3

~ t ~ 2 =

e- 8 entre

Calcule la longitud de la curva r = cos 2 (0(2) entre O = O Y O = n.

Calcule la longitud de la espiral r = 28 entre O = O Y O = n.

Las ecuaciones paramétricas en los ejercicios del 13 al 16 dan la posición (x, y) de una partí­ cula en el tiempo t. Calcule la distancia que la partícula recorre durante el intervalo de tiempo indicado. 13 x=4t+3.y=2t2;0~t:s;5 15 x

17

= tcost

- sent,y

= t sent + cost;O ~

t

~

n/2

Verifique (13.19).

19 Calcule la longitud de la curva definida por x = lit, Y = In t; l ~ t ~ 2.

14

x=cos2t.y=sen2t;0~t~n

16

x=t2,y=2t;O:S;t~4

18 De manera análoga a como se hizo para áreas planas, defina el cenlro de gravedad (x, ji) de una curva y escriba unas integrales para calcular (x, ji) cuando la curva está dada en forma para­ métrica. (Vea las fórmulas (10.13), (10.14) Y (10.15).) 20

Calcule la longitud de la cardioide r = I + cos O.

•

622 13.7

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

SUPERFICIES DE REVOLUCION Cuando una curva plana e gira alrededor de una recta que se encuentra en el mismo plano, genera una superficie de revolución. Por ejemplo, si un circulo gira alrededor de uno de sus diámetros, se obtiene la superficie de una esfera. Pueden desarrollarse fórmulas para calcular el área de este tipo de superficies, siempre que e se comporte suficientemente bien. En particular, supongamos que e está dada en forma para­ métrica por x = l(t), y = g(t), donde f' y g' son continuas en un intervalo [a, b] Y g(t) ~ O para todo t. Esta última condición implica que la gráfica de e se en­ cuentra arriba del eje x. Usaremos la misma notación que en la sección anterior. Sea P una partición de [a, b] Y sea Pi = (f(t;), g(t;) el punto de e correspon­ diente a ti' como se ilustra en (i) de la figura 13.24. Razonando intuitivamente observamos que si la norma IIPII es pequeña entonces la línea quebrada C' formada por los segmentos rectos P¡_I p¡ es una aproximación a e y por lo tanto el área de la superficie generada al girar C' alrededor del eje x, debe ser una aproximación al área de la superficie generada por C. Como se ilustra en (ii) de la figura 13.24, cada segmento p¡_ 1 Pi genera la superficie lateral de un cono circular recto truncado cuyas bases tienen radios g(t¡_I) y gel¡) y su altura inclinada es d(P;-I' P;). Sabemos que el área lateral de un cono circular recto truncado cuyas bases tienen radios '1 y '2 Y su altura inclinada es 5, está dada por n('1 + '2)5. Por lo tanto el área de la superficie generada por Pi - 1 Pi es

+ g(t¡)Jd(P;- P;). Sumando estos términos desde i = 1 hasta i = n obtenemos el área Sp de la super­ n[g(t¡- J)

J,

ficie generada por C'. Empleando la expresión (13.16) para d(P;-I' P;), obtenemos (13.21)

Sp =

1:" n[g(t¡) + g(t¡_ J)Jj[f'(w¡)F + [g'(z¡)]Z ~t¡ j=

I

y p;-J

P¡-I \ \ I

Po

I

Pi

I

1 \

P"

I I \ I I

[(1;-1)

[(1;)

x

-----+I I

I

I

I I

I

I

I

I

(ii)

(i)

Figura /3.24

x

SUPERFICIES DE REVOLUCION

623

13.7

donde W¡ y z¡ están en el intervalo (t¡-I' t¡). En la sección anterior vimos que la longi­ tud de e es el límite de la longitud L p de C' cuando IIPII tiende a cero. Por lo tanto resulta natural definir el área S de la superficie generada por e como S

=

lim Sp. IIPII-O

Es de esperarse que, en vista de (13.21), este límite esté dado por

S=

(13.22)

f

2rrg(l)j[!'(t)F

+

[g'(t)] 2 dt

o, en términos de la notación diferencial, (13.23)

f 2rryJ(~;)2

S=

+

(~~r dt.

La demostración de (13.22) está fuera del alcance de este libro. Hay una manera sencilla de recordar (13.23). Si consideramos

+

j(dx/dt)2

(dy/dt)2 dt

como la altura inclinada de un cono truncado típico, y si (x, y) representa un punto en el arco correspondiente, entonces el integrando en (13.23) se puede considerar como el producto de la altura inclinada por el perímetro del círculo trazado por (x, y). De manera análoga puede verse que si la curva gira alrededor del eje y, entonces

e

S está dado por

dX) 2 (dY)2 (-dt + -dt dt '

(13.24)

donde nuevamente podemos considerar 2rrx como el perímetro del circulo trazado por un punto (x, y) en C.

Ejemplo 1

Verifique que el área de la superficie de una esfera de radio a es 4rra 2.

Solución

Sea e la mitad superior del circulo x 2 + y2 = a 2. La superficie deseada puede generarse girando e alrededor del eje x. Unas ecuaciones paramétricas para e son x

=

a cos t,

y = a sen t

donde O ~ t ~ rr. Aplicando (13.23) y usando la identidad sen 2 t S

+

cos 2 t = 1,

= L~ 2rra senC J a 2 sen2 t + a 2 cos 2 t dt = 2na

2

J:

sen t dt

= - 2rra 2 [cos c];; = - 2rra 2 [ - 1 - 1]

= 4na 2 .

Unas ecuaciones paramétricas para la gráfica donde f es lisa en un intervalo [a, b], son

e

de una ecuación y = f(x),

624

13

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES x = 1,

Y = f(/),

donde a ~ I ~ b. Usando (13.23) y el hecho de que I = x, vemos que el área de la superficie generada al girar e alrededor del eje x está dada por (13.25)

S

Si (13.26)

=

f f

2nf(x)JI

+

[f'(x)P dx.

e gira alrededor del eje y, entonces usando (13.24) obtenemos S=

2nxJl

+

[f'(x)p dx.

Pueden enunciarse fórmulas análogas para el caso en que ecuación x = g(y) donde e ~ y ~ d. Ejemplo 2 Solución

e

es la gráfica de una

=

x

La figura 13.25 muestra la superficie en cuestión. Usando (13.25) con y = f(x) 1 2 / obtenemos

=

Calcule el área de la superficie que se genera cuando el arco de la parábola y2 entre (1, 1) Y(4, 2), gira alrededor del eje x. X

y

x

Figura 13.25

Se pueden enunciar también fórmulas para calcular S cuando de una ecuación polar r = f«(), donde a ~ () ~ b. En este caso

e es la gráfica

SUPERFICIES DE REVOLUCION

x = f(e) cos o,

625

13.7

y = J(O)sen O

donde a ~ O ~ b son unas ecuaciones paramétricas para C. Si C gira alrededor del eje polar entonces sustituyendo en (13.23) y usando (13.19) obtenemos

s=

(13.27)

f

2nf(O)senOJU(O)f

+ (J'(O)] 2 dO.

Ejemplo 3

Calcule el área de la superficie que resulta cuando la parte de la espiral r = eOl2 entre () = O Y O = 7t gira alrededor del eje x.

Solución

La figura 13.26 muestra la superficie. Usando (13.27) conf(O) = e 6/2 , S=

f:

27te8/2sen OJ(eOI2 )2

= fin

J:

+ (ieO/ 2)2 dO

eOsen OdO.

fi7t

fin

Integrando por partes obtenemos S = -2-e°(sen O- cos 0)] o = -2-(e"

y

x

Figura J3.26

13.7 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del 1 al 8 calcule el área de la superficie que se genera al girar la curva dada alrededor del eje x. I

x = e2 ,y = 2e; O ~ e ~ 4

2 x = 4e,y = e3 ; i ::::; e ~ 2

+ 1).

626 3

5

13

x=

2 1 ,Y = I -

Y = x

7. x

3

CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES !I 3; O ~ I ~

I

entre x = I Y x = 2

= a(1 --

sen 1), y = a(l - cos 1); O ~

I ~

27t

4

X=412+I,y=3-21;-2~1~0

6

Y = e-X entre x = O Y x = I

8

12y = 4x 3 + (3/x) entre x = I Y x = 2

En cada uno de los ejercicios del 9 al 16 calcule el área de la superficie que se genera al girar el arco dado alrededor del eje y.

X=41 1/ 2,y=!1 2 +1-1; 1 ~1~4

10 x = 31,y =

11

x = e' sen 1, y = e' cos I ; O ~

12 x

13

x 2 = 16y entre (O, O) Y (8,4)

9

I ~

7t/2

15 Y = In x entre x = I yx=2

=

I -t-

1;0

~ I ~

31 2,y = 21 3 ;0 ~

I ~

5 I

14 8x = y3 entre (1,2) Y (8,4) 16 y = cosh x entre x = I yx=2

En cada uno de los ejercicios del 17 al 20 calcule el área de la superficie que se genera al girar la curva dada alrededor del eje polar. 17 r = 2

+ 2 cos ()

18

r 2 = 4cos20

19

r =

2a sen I!

20

r =

2acosO

21 Calcule el área de la superficie que se genera

22 Calcule el área de la superficie que resulta cuan­

al girar el menor de los dos arcos del círculo x 2 + y2 = 25 entre los puntos (- 3,4) Y (3, 4), alrededor del eje y.

do el arco descrito en el ejercicio 21 gira alre­ dedor del eje x.

23 Demuestre que el área de la superficie lateral de un cono circular recto de altura a y cuya base l tiene radio b es 7tb + bl.

24 Calcule el área de la superficie que resulta al girar la elipse blx l + a 2y l = alb l alrededor del eje y.

25 La superficie que se genera cuando un círculo gira alrededor de una recta que no lo toca y que se encuentra en su mismo plano, se llama toro. Calcule el área del toro que se obtiene al girar el círculo Xl + yl = al alrededor de la recta x = b, donde O < a <. b.

26 La forma del reflector de un faro buscador se obtiene girando una parábola alrededor de su eje. Calcule el área de la superficie de un reflec­ tor de 20 cm de profundidad y cuya abertura tiene un diámetro de 80 cm.

Ja

13.8

REPASO

Com:eptos Defina o discuta lo siguiente. Curvas planas

2

Curvas cerradas

3

Ecuaciones paramétricas de una curva

4

Sistemas de coordenadas polares

5

Gráficas de las ecuaciones polares

6

Areas en coordenadas polares

7

Longitud de una curva

8

Superficies de revolución

REPASO

627

13.8

Ejercicios En los ejercicios del l al 3 dibuje la gráfica de la curva, encuentre una ecuación rectangular cuya gráfica contenga a los puntos de la curva y calcule la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto correspondiente a 1 = l.

x = 1/1

+ 1.

y = 2/1 - 1; O < 1 :$ 4

2

3

x=jt,y=e-';I,?O

4

Sea e la curva con ecuaciones paramétricas x = 12, Y = 21 3 + 41 - 1, donde 1 está en IR. Encuentre las abscisas de los puntos de e tales que las rectas tangentes a e en ellos pasan por el origen.

x = cos 2 1 - 2, Y = sen 1 + 1; O $ I $ 271

5 Compare unas con otras las gráficas de las cur­ vas siguientes, donde 1 está en IR. x = I l , Y = 13

(a)

(b) X = 14 • Y = 16 (e)

x

=

el',.I'

=

e 3,

(d) x = l - sen l 1, y = cos 3 1 En cada uno de los ejercicios del 6 al 19 dibuje la gráfica de la ecuación dada y encuentre una ecuación en x y y que tenga la misma gráfica. 6

, = 3

+ 2cos O

7

, = 6cos2U

8

, = 4 - 4cos O

10

, = 2 sen3e

11

,(3 cos e ­

12

, = e-o, O;:::: O

13

,2 = sec2e

14

,=8secO

16

, = 6 - 'cosO

17

,-1=0

18

,=

9

,2 = -4sen20

2 sen e) = 6

8

1­

3senO

19

8

,=--­

3 + cosO

Encuentre unas ecuaciones polares para las gráficas en los ejercicios 20 y 21.

+l

21

l

22 Encuentre una ecuación polar de la hipérbola que liene un foco en el polo, excentricidad 2 y ecuación de la directriz, = 6 sec e.

23

Calcule el área de la región acotada por uno de los rizos de la gráfica de ,2 = 4 sen 2e.

24 Calcule el área de la región que se encuentra

25

20

Xl

= 2x)'

dentro de la gráfica de , = 3 de la gráfica de , = 4.

+ 2 sen e y

fuera

= Xl - 2x

La posición (x, y) de una partícula en el tiempo está dada por x = 2 sen t, y = sen 2 l. Calcule la distancia que la partícula recorre de 1 = O a

I

1 =

n/2.

Calcule la longitud de la espiral, = l/e entre (1,1) Y (1/2,2).

27

Calcule el área de la superficie generada al girar la gráfica de y = cosh x entre x = O Y x = 1, alrededor del eje x.

28 Calcule el área de la superficie que resulta cuan­ do la curva x = 21 2 + 1, y = 41 - 3, donde O :$ 1 :$ 1, gira alrededor del eje y.

29

Calcule el área de la superficie que se genera al girar el arco de la espiral , = e 8 entre (1, O) Y (e, 1), alrededor de la recta e = n/2.

26

30 Calcule el área de la superficie generada al girar el lemniscata ,2 = a 2 cos 2e alrededor del eje polar.

_14

Los VECTORES Y LA GEOMETRIA

ANALITICA EN EL ESPACIO

Los vectores tienen dos naturalezas distintas, una geométrica y la otra algebraica. Para poder usarlos en las aplicaciones es necesario entender ambos aspectos. Por esta razón nuestra discusión oscilará entre los dos enfoques enfatizando algunas veces el aspecto geométrico y otras el algebraico. Empezaremos con los vectores en un plano. Después de esto es muy fácil generalizar el concepto de vector a tres dimensiones, simplemente tomando en cuenta una tercera componente. También discutiremos algunos temas básicos de la geometría analítica en el espacio incluyendo el estudio de rectas, planos, cilindros, superficies cuadráticas y curvas en el espacio.

14.1

VECTORES EN DOS DIMENSIONES Una cantidad fisica que se puede caracterizar completamente por un número real especifico, a veces la llamamos cantidad escalar o simplemente un escalar. Ejemplos de escalares son la temperatura, la masa o la densidad. Las cantidades vectoriales tienen tanto magnitud como dirección. Como ejemplo tenemos la veloci­ dad de una partícula en movimiento, la fuerza que actúa sobre un punto o el des­ plazamiento de un objeto a lo largo de una recta. Se puede representar geométri­ camente una cantidad vectorial mediante un segmento de recta dirigido, donde la longitud y la dirección del segmento indican la magnitud y la dirección de la cantidad respectivamente. Estos segmentos de recta dirigidos se llaman vectores. Si un vector va de un punto A (llamado el punto inicial) a un punto B (llamado el punto final), se suele poner una punta de flecha en B y se usa el simbolo AB para denotar el segmento de recta dirigido (vea la figura 14.1). También usaremos letras negras tales como a o b para denotar a los vectores. En los trabajos escritos, donde es difícil distinguir las letras negras se puede usar la notación ii o ¡j. Si AB es un vector, entonces la longitud del segmento de recta se llama la mag­ nitud del vector y se denota por IAlj¡. Se dice que los vectores AB y CD son Iguales y se escribe AB = CD si ambos tienen la misma magnitud y la misma dirección, como se ilustra en la figura 14.\. Por consiguiente se pueden trasladar los vectores de una posición a otra siempre y cuando no se cambien ni su magnitud ni su direc­ ción. A los vectores de este tipo se les llama frecuentemente vectores libres.

628

VECTORES EN DOS DIMENSIONES

14.1

629

B

D

A

- -

AB == CD

e Figura /4.1

Suponga que usamos Aff para repr~sentar el desplazamiento de un punto a lo largo del segmento de recta comprendido entre A y B, es decir la trayectoria que recorre un punto al moverse de A a B. Como se muestra en la figura 14.2 un des­ plazamiento AB seguido por un desplazamiento OC conducirá al mismo punto que el desplazamiento único AC. Por definición al vector AC se le llama la suma de Aff y OC y escribimos

Debido a que estamos trabajando con vectores libres, se pueden sumar cualesquiera dos vectores haciendo coincidir el punto inicial de uno con el punto final del otro y procediendo después como en (i) de la figura 14.2.

e

A

- --

(i) AC==AB+BC

s

P (ii)

- -PS == PQ

+ PR

Figura /4.2

Otra manera de hallar la suma de dos vectores es considerar dos vectores iguales a los dados pero que tengan el mismo punto inicial, como se ilustra con PQ y PR en (ii) de la figura 14.2. Si construimos el paralelogramo RPQS con lados adyacentes PR y PQ entonces, como PR = QS, se sigue que PS

= PQ + PRo

Si PQ y PR son dos fuerzas que actúan sobre P, entonces PS es la fuerza resultante, es decir la fuerza individual que produce el mismo efecto que las dos fuerzas com­ binadas. Si e es un número real y AB es un vector, entonces se define el producto eAB como un vector cuya magnitud es lel veces la magnitud de AB y cuya dirección es

630

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

la misma que la de AB si e > O O la dirección opuesta a la de AB si e < O. Se da una ilustración geométrica de esto en la figura 14.3.

;: A

Figura 14.3

Si todos los vectores bajo consideración están en un plano coordenado fijo, entonces es posible asignar coordenadas a los puntos iniciales y finales, es decir, es posible asociarles parejas ordenadas de números reales y las afirmaciones acerca de los vectores se pueden traducir al lenguaje del álgebra. De este modo los vectores tienen un papel dual, donde el punto de vista algebraico surge de la geometría. Es posible cambiar el orden de este desarrollo, comenzando con una definición algebrai­ ca de los vectores y obtener a continuación la interpretación de los vectores como segmentos dirigidos. Hay varias ventajas en este segundo enfoque. Una de ellas es que las demostraciones de las propiedades de los vectores se convierten en sencillos ejercicios de álgebra en lugar de problemas geométricos. Después es posible obtener los resultados geométricos usando procedimientos algebraicos. Otra ventaja es que el enfoque algebraico es muy fácil de generalizar al caso de vectores de tres o más dimensiones. Con estos comentarios en mente daremos a continuación una definición algebraica de los vectores. Las representaciones geométricas las estudiaremos después de la definición. La formulación algebraica de los vectores en dos dimensiones involucra parejas ordenadas de números reales. Para evitar confusiones con la notación para los in­ tervalos abiertos o los puntos en el plano usaremos el simbolo y) para denotar una pareja ordenada que representa un vector. También denotaremos estas parejas ordenadas por símbolos tales como a o ¡¡ Los números reales se llamarán escalares.


(14.1)

DEFINICION

El espacio vectorial de dos dimensiones J-í es el conjunto de todas las parejas ordenadas de números reales y), llamddos vectores, sujetos a los siguientes axiomas.


(i) Suma de vectores. Si a =
(ii)

Y b =
Multiplicación de vectores por escalares. Si a =
VECTORES EN DOS DIMENSIONES

14.1

631

Los números al Y a 2 en (al' a 2) se llaman las componentes del vector. Así, para sumar dos vectores sumamos sus componentes correspondientes. El vector ea que se obtiene al multiplicar cada una de las componentes de a por e se llama un múltiplo escalar de a. Ejemplo 1

Sea a = (3, -2) (a) a

Solución

+b

Y b =

(b) 4a

<-6,7). Encuentre

(e) 2a

+

3b

Aplicando la definición (14.1) obtenemos (a) a

+b

(b) 4a (e) 2a

= (3, - 2)

+ <- 6, 7)

=

<-

= 4<3, -2) = (12, -8) + 3b = 2(3. -2) + 3( -6,7)

3. 5)

=

<6. -4)

+ (-IX,21)

=" -12,17)

Definimos el vector cero O y el negativo - a del vector a sigue:

=

(a l' a 2) como

0=(0,0) Un vector diferente de cero a = (a l ' a2) lo representaremos en un plano co­ ordenado mediante un segmento de recta dirigido PQ con cualquier punto inicial P(x, y) y con punto final Q(x + al' Y + a2)' En la figura 14.4 se muestran varias representaciones de a. El símbolo a está colocado junto a cualquier segmento dirigido que representa al vector a de JI;. El vector O = (O, O) se representa por cualquier punto en el plano. Hablando estrictamente, un segmento de recta dirigido PQ rep­ resenta un vector; sin embargo también hablaremos de PQ como un vector. Será claro del contexto, si el término "vector" se refiere a una pareja ordenada o a un segmento de recta dirigido. y

~Q(x+aIoY+az) P(x, y)

S(c+a"d+az)

x R(c, d)

Figura 14.4 (14.2)

DEFINICION

La magnitud

lal de un vector a =

(al. a 2 >está dada por

lal = Jaf + a~.

632

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

Se deduce de la fórmula para la distancia que lal es la longitud de cualquier segmento de recta dirigido que representa a a. Note también que lal ~ O Y que lal = O si y sólo si a = O. No se debe confundir el símbolo para la magnitud de un vector con el símbolo lel para el valor absoluto de un número real c. Por ejemplo, si a = (3, - 2) entonces

lal = 10, -2)1 =}"9 + 4 =

JT3.

Si P es un punto en un plano coordenado y O es el origen, entonces OP se llama el vector de posición de P. Si a = (al' a 2) entonces el vector de posición OA del punto A(a l , a 2 ) (vea la figura 14.4) se llama el vector de posición correspon­ diente a a. Aunque a tiene muchas representaciones geométricas, hay solamente un vector de posición correspondiente a a. (14.3)

TEOREMA

Si PI (x l' Y 1) y P2 (x 2' Y2) son dos puntos, entonces el vector a en J'; cuya repre­ sentación geométrica es PI P2 es el vector a =

(Xl -

XI

,Y2 - YI)'

Demostración. Si PI (x l ' Y ¡) es el punto inicial de un vector correspondiente a a = (° 1, a 2 ) entonces su punto final es Q(X I + al' YI + al)' Si Q es igual a P2 (X 2 , Y2), entonces X 2 = XI + 01 y Y2 = YI + 02' Por consiguiente a = (x 2 - XI' Y2 - YI)' En la figura 14.5 se muestra una ilustración de P I P2 junto con el vector de posición correspondiente a a. y

o

x

Figura 14.5

Ejemplo 2

Dados los puntos P( ­ 2, 3) Y Q(4, 5) encuentre dos vectores a y b que tengan repre­ sentaciones geométricas PQ y QP respectivamente. Dibuje PQ, QP y los vectores de posición correspondientes a a y b.

Solución

Aplicando el teorema (14.3), tenemos que el vector correspondiente a PQ es a = (4 ­ (-2),5 - 3) = (6,2) Yel vector correspondiente a QP es

b = ( - 2 ­ 4, 3 ­ 5) = ( - 6, - 2).

VECTORES EN DOS DIMENSIONES

633

14.1 y

y

Q(4, S)

Q(4, S)

• (6, 2)

x

x (-6, -2) (i)

(ii)

Figura 14.6

Los dibujos se muestran en la figura 14.6. Observe que b

=

-8.

Es fácil obtener una representación geométrica para la suma de dos vectores a = Y b = (b l • b 2>. Primero representamos a 8 mediante un vector PQ con punto inicial P(x, y) y punto final Q(x + al. Y + a 2 ). A continuación repre­ sentamos a b por QR como se muestra en la figura 14.7, donde R es el punto R(x

+ al + b.,y + a2 + b 2 ).

Si representamos a + b = por un vector con punto inicial P, entonces el punto final tiene coordenadas (x

+ al + b.,y + a2 + b 2)

y por lo tanto, coincide con R. En consecuencia PR es una representación geométrica de a + b. Esto concuerda con nuestra definición de la suma de segmentos de recta dirigidos y muestra cómo podemos oscilar entre los puntos de vista algebraico y geométrico de los vectores. El lector debe tratar de volverse un experto usando ambos puntos de vista. y

P(x, y)

o

x

Figura 14.7

En el siguiente teorema enunciamos cuatro propiedades muy importantes de los vectores.

634 (14.4)

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

TEOREMA

Si a, b, e son tres vectores cualesquiera en V2 entonces

a+b=b+a

(i)

+ (b + e) = (a + b) + e a + O = a a + (- a) = O

(ii) a (iii) (iv)

La demostración del teorema (14.4) es inmediata a partir de la definición de suma de vectores y de las propiedades de los números reales. Por ejemplo para demostrar el inciso (i) tomamos a =
+b=

(a¡

+ b 1 ,a2 + h2 ) = (b¡ + a¡,b 2 + (2) =

b + a.

El resto de la demostración se deja como ejercicio. Es conveniente que el lector también dé interpretaciones geométricas para las conclusiones de (14.4). La operación de resta entre vectores, que se denota por -, se define como sIgue: (14.5)

DEFINICION

Sean a y b dos vectores en V;. La diferencia a - b está dada por

a - b=a

+ (-

b).

Sea a =
<-b¡,

-b 2 ) Y deducimos

Así, para encontrar a - b lo único que tenemos que hacer es restar las componentes de b de las componentes correspondientes de a. Ejemplo 3 Solución

Sea a = <5, -4)

y

b = < - 3,2). Encuentre (a) a - b; (b) 2a - 3b.

fa) a - b

=

(5, -4) - (-3,2)

= (5 - ( - 3), - 4 - 2) = <8, - 6) (b) 2a - 3b = 2(5, -4) - 3(-3,2)

= (ID, -8) - (-9,6)

= (19,-14)

Es fácil demostrar que si a y b son vectores arbitrarios entonces b

+ (a

- b) = a

es decir, a - b es el vector cuya suma con b nos da a. Esto nos proporciona una interpretación geométrica para a-b. Si representamos a a y a b por los vectores

VECTORES EN DOS DIMENSIONES

14.1

635

PQ y PR con el mismo punto inicial, como se muestra en la figura 14.8, entonces

PR + RQ

=

p(j"

y por lo tanto RQ representa a a-b.

R

y

Q

p ()

x

Figura 14.8

Al principio de esta sección usamos el símbolo eAB para denotar un vector cuya dirección es la misma que la de AB si e > O y la opuesta a la de AB si e < O. La siguiente definición nos da este mismo concepto para vectores en V2 . (14.6)

DEFINICION

Se dice que dos vectores a y b en V2 diferentes de cero tienen

=

ca para algún escalar e > O.

(i)

la misma dirección si b

(ii)

dirección opuesta si b = ea para algún escalar e < O.

No es difícil demostrar que si b = ca, entonces los vectores de posición co­ rrespondientes a a y b están sobre la misma recta que pasa por el origen. Más aún, si e > O, entonces los puntos finales A y B de los vectores de posición están en el mismo cuadrante (o sobre el mismo eje coordenado positivo o negativo). Si e < O y A no está sobre ningún eje coordenado, entonces A y B están en cuadrantes diagonal­ mente opuestos. Es conveniente suponer que el vector cero O tiene todas las direcciones. Decimos que dos vectores a y b son paralelos si y sólo si b = ea para algún escalar e. En particular, dos vectores a y b diferentes de cero son paralelos si y sólo si tienen la misma dirección o dirección opuesta. El siguiente teorema revela la relación entre las magnitudes de a y ea. (14.7)

TEOREMA

Si a es un vector y e es un escalar, entonces Ical

Iellal.

636

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRlA ANALITlCA EN EL ESPACIO

Demostración. Si a =
= J(cO¡)2 + (ca2)2 = = ..j1')' e (/"j + o~,

leal

Je2(0~

+ o~)

= lellaj.

El 'teorema. (14.7) implica que la longitud de un segmento de recta dirigido que representa a ca es lel veces la longitud de un segmento de recta que representa a a. Esto está de acuerdo con la interpretación geométrica que se discutió al iniciar esta sección y que se ilustra en la figura 14.3. En el siguiente teorema enunciamos algunas propiedades de los múltiplos es­ calares de los vectores. (14.8)

TEOREMA

Si a y b son vectores en V2 y e y d son escalares, entonces (i)

+ b) + d)a

e(a

(ii) (e

= ca = ca

+ eb. + da.

(¡ii) (cd)a = ('(da) = d(ca). (iv)

la

=

a,

(v)

Oa

=

O = tO,

Demostración. Probaremos (i) y dejamos las demostraciones de las demás pro­ piedades como ejercicios. Sea a =
+

b) = e(o,

=

(ni,

+

h¡,02

+

h 2)

+ ch,. C(/2 + ch 2)

=
+

(ch¡.cb z )

= ca + cb. No es dificil recordar las propiedades enunciadas en el teorema (14.8) ya que son parecidas a algunas propiedades muy familiares de los números reales. Los vectores especiales i y j se definen por i = (1.0).

j = (0,1).

Estos vectores se pueden usar para denotar de otra manera los vectores en dos di­ mensiones. Explícitamente, si a =
es decir (14.9)

= (0 1 ,0) +

(0.(/2)

= 0 1(1.0) + 02(0.1)

VECTORES EN DOS DIMENSIONES

14.1

637

La suma de los vectores en el lado derecho de (14.9) se llama una combinación lineal de i y j. Si tomamos b = = b l i + b 2 j y usamos esta notación, entonces las reglas anteriores para la suma, la resta y la multiplicación por un esca­ lar se pueden escribir como sigue: ((/ji ((/¡í

+ (/2j) + (bli + b 2j) = + (/2j) - (bli + b 2j) = c((/¡i + (/2j) =

+ b¡)i + ((/2 + b 2 )j + ((/2 - b 2 )j (e(/I)i + (C(/z)j· ((/1

(0 1 ­ b¡)i

Estas fórmulas demuestran que podemos considerar las combinaciones lineales de i y j como sumas algebraicas ordinarias. Ejemplo 4

Sean a = 5i de i y de j.

+j y b

=

4i - 7j. Exprese 3a - 2b como una combinación lineal

+ j) - 2(4i - 7j) = (15i + 3j) - (8i - 14j) = 7i + 17j

3a - 2b = 3(5i

Solución

Un vector unitario es un vector de magnitud 1. Los vectores i y j son vectores unitarios. (14.10)

TEOREMA

Si a es un vector distinto de cero, entonces el vector I

u =-a.

lal

es un vector unitario con la misma dirección que a. Demostración. Sea e = 1/ lal. Entonces e > O y de acuerdo con (14.6) el vector u = ca tiene la misma dirección que a. Más aún, según el teorema. (14.7) 1

lul = leal = lellal = -Ial = lal

l.

Esto completa la demostración. Ejemplo 5

Encuentre un vector unitario u que tenga la misma dirección que 3i - 4j.

Solución

Como lal

= )9+16 = 5 sabemos del teorema (14.10) que u = á(3i - 4j) = ~í - ;j. La fórmula para el vector a = , a = ali + a2 j, tiene una interesante

interpretación geométrica. En (i) de la figura 14.9 se ilustran los vectores de posición

638

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITlCA EN EL ESPACIO y

y

o

x

o

x

al i

(i)

(ii)

Figura 14.9 correspondientes a i, j Y a. Como i y j son vectores unitarios, al i Y a 2j se pueden representar por un vector horizontal y un vector vertical de magnitudes la 11 y la 2 1 respectivamente, como se ve en (ii) de la figura 14.9. Podemos considerar el vector a como la suma de estos vectores. Por esta razón a a 1 se le llama la componente horizontal y a a 2 la componente vertical del vector a.

14.1 EJERCICIOS Demuestre los incisos del (ii) al (iv) del teorema (14.4). También dé argumentos geométricos que justifiquen estas conclusiones.

2

Demuestre los incisos del (ii) al (v) del teorema

( 14.8).

En los ejercicios del 3 al lO, donde a y b son vectores y c es un escalar, demuestre las propiedades que se piden.

3

(-I)a =

5

7

4

(-c)a = -ca

-(a+b)=-a-b

6

c(a - h) = <'a - eb

Si a + b = O entonces b = - a

8

Si a

-3

9 Si ca = O Y e 'i' O entonces a = O En cada uno de los ejercicios del 11 al 20 encuentre a

= O.

11

a

13

a = - (7. - 2). b = 4( - 2, 1)

15

a = i

18

a = 8j, b = ( - 3)( - 2i

10

+

-3).b = <1,4)

+ 2j. b =

3i - 5j

+ j)

16

a = - Ji + j, b

19

a = 2j,b = -Ji

=

+

b = a entonces h = O

Si ca = O Y a 'i' O entonces e = O

b, a - b, 4a

+

5b y 4a - 5b.

12

a=(-2,6),b=<2,3)

14

a=2(5,-4),b=-<6,0)

-

Ji

+j

17

a = -(4i - j).b = 2(i - Jj)

20

a = O. b = i

En los ejercicios del 21 al 26 encuentre un vector a cuya representación geométrica sea Dibuje PQ y el vector de posición correspondiente a a.

+ j

PQ.

21

P(I, -4),Q(5.3)

22

PI?, -3),Q(-2,4)

23

P(2,5),Q(-4,5)

24

P(-4.6),Q(-4. -2)

25

P(-l-I),Q(6, -4)

26

P(2,J),Q(-6,O)

SISTEMAS COORDENADOS RECTANGULARES EN TRES DIMENSIONES En los ejercicios del 27 al 30 dibuje vectores correspondientes a a, b, a 2a y -3b.

27 3 = 3i

+ 2j. b = - i + 5j

29 a = < -4.6).b = <-2.3)

+ b.

639

14.2

a-b.

+ 2j. b =

28

a = - 5i

i - 3j

30

a = (2. O). b = < - 2. O)

En los ejercicios del 31 al 38 encuentre la magnitud de a.

31

3=


-3)

35 3 = -4i

+ 5j

32

3 = <-2. -2)3)

33

3 = < - 5. O)

34

a=
36

a = 10i - 10j

37

3 = - 18j

38

a = Oi -r Oj

42

3 =

En los ejercicios del 39 al 42 encuentre un vector unitario tal que (a) tenga la misma dirección que a; (b) tenga la dirección opuesta a la de a.

39 a

= -

8i + l5j

40

a = 5i - 3j

413=(2.-5)

<0.6)

43 Encuentre un vector que tenga la misma direc­ ción que <- 6, 3) Y (a) el doble de su magnitud; (b) la mitad de su magnitud.

44

Encuentre un vector que tenga la dirección opuesta a la de 8i - 5j Y (a) tres veces su mag­ nitud; (b) un tercio de su magnitud.

45 Encuentre un vector de magnitud 6 con la mis­ ma dirección que a == 4i - 7j.

46

Encuentre un vector de magnitud 4 con direc­ ción opuesta a la de a = (2, - 5).

47 Demuestre graficamente que la + bl ¿Bajo qué condiciones la + bl = lal

48

(a) Sea 3 = (al' a2) un vector diferente de cero cualquiera y sea DA su vector de posición correspondiente. Sea O el ángulo no nega­ tivo más pequeño medido del eje positivo de las x a DA. Demuestre que

~ lal + Ibl. + Ibl?

:1 = lal(coslii

senlij).

(b) Demuestre que todo vector unitario en puede ex.presar de la forma cos Oi para algún O.

49 Sean PI' P2 • • . . • Po puntos arbitrarios en un plano coordenado. Demuestre que 11-

1

¿

I~/~~'

50

~

+

se sen 8j

Sean PI' P2 , . . . , Po los vértices de un poligono regular y sea D el centro del polígono. Demues­ tre que L7: 1 DP¡ es el vector cero.

+ PnP,

i:. 1

es el vector cero. Ilustre gráficamente este hecho

para n = 5.

14.2 SISTEMAS COORDENADOS RECTANGULARES EN TRES

DIMENSIONES

Para poder discutir los aspectos geométricos de los vectores en el espacio, es nece­ sario introducir un sistema de coordenadas tridimensional. Esto se lleva a cabo mediante ternas ordenadas de números reales. Una terna ordenada (a, b, e) es un conjunto {a, b, e} de tres números de los cuales a se considera como el primer nú­

640

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALlTlCA EN EL ESPACIO

mero del conjunto, b como el segundo y c como el tercero. El conjunto total de estas ternas ordenadas suele denotarse por IR x IR x IR. Decimos que dos ternas ordenadas son iguales y escribimos (al> az, a3) = (b¡, b z , b 3) si y sólo si a¡ = b¡, az = b z Y a 3 = b 3· Para poder localizar los puntos en el espacio, elegimos un punto fijo O (llamado el origen) y consideramos tres rectas coordenadas mutuamente perpendiculares en­ tre sí (llamadas el eje x, el eje y y el eje z) con origen común O como se ilustra en (i) de la figura 14.10. Para visualizar esta configuración podemos imaginarnos que el eje y y el eje z están en el plano de esta hoja de papel y que el eje x apunta hacia afuera del papel. Un sistema coordenado de este tipo se llama derecho. Si se intercambian los papeles del eje x y del eje y, el sistema de coordenadas resultante es un sistema izquierdo. El plano coordenado determinado por el eje x y el eje y se llama el plano xy. Análogamente, el plano determinado por el eje y y el eje z se llama el plano yz y el plano determinado por el eje x y el eje z se llama el plano xz. El nombre de sistema derecho se puede justificar como sigue. Si, como en (ii) de la figura 14.10, se curvan los dedos de la mano derecha en la dirección de una rotación de 90 c de los ejes en el plano xy (de manera que el eje x positivo se trans­ forma en el eje y positivo), entonces el pulgar extendido apunta en la dirección del eje z positivo. z

/

2

// /

>"'-3

I

r-2

+'-1

---+--+--+-Qr/-~-'-~~--' -3

-2

-1

I

2

3

Y

'1+-1 I

I

+ -2 I I

+ -3 I

(i)

FiKura /4./0.

(ii)

Sistema coordenado derecho.

Si P es un punto, entonces su proyección en el eje x tiene una coordenada a llamada la coordenada x de P. También podemos pensar que la coordenada x de P es la distancia dirigida del plano yz a P. Análogamente, las coordenadas b y e de las proyecciones de P sobre los ejes y y z respectivamente se llaman la coordenada y y la coordenada z de P. Usaremos la terna ordenada (a, b, e) tanto para denotar las coordenadas de P como para denotar a P mismo. También usaremos la notación P(a, b, e) para denotar el punto P con coordenadas a, b y c. Si P no está en alguno

SISTEMAS COORDENADOS RECTANGULARES EN TRES l>IMENSIONES

641

14.2

de los planos coordenados, entonces los tres planos que pasan por P y son paralelos a los planos coordenados, forman junto con éstos un paralelepípedo rectangular. Esto se muestra en (i) de la figura. (14.11) en la cual los vértices están rotulados de la manera descrita anteriormente.

ro, o, (a, O, e)·

z e) ·(O,b,c)

i i P(a, b, e) 1I •

,

A(-I, -3,1) ,

I

Oj..------------~-___i~ (O, b, O) Y

"

..1 _-----­A-.::--+---+-t---+--__ -10 I

, / (0,0, O)

y

I I

I

~; O, O)

}.-----------­ (a, ;, O)

,/,/'

•

x

x (i)

Figura 14.11

B(3, 4, -2)

(ii)

Inversamente, a cada terna ordenada (a, b, e) de números reales le corresponde un punto P cuyas coordenadas son a, b y c. El concepto de trazar puntos es similar al que usamos para dos dimensiones. Frecuentemente es conveniente construir un paralelepípedo como el que se muestra en (i) de la figura (14.11) como ayuda para trazar un punto. En (ii) de la figura se dibujan los puntos A( - 1, - 3, 1) YB(3, 4, - 2). La correspondencia uno a uno entre los puntos en el espacio y las ternas or­ denadas de números reales que acabamos de describir se llama un sistema coordenado rectangular en tres dimensiones. Los tres planos coordenados dividen el espacio en ocho partes llamadas octantes. La parte que consta de todos los puntos P(a, b, e) cuyas tres coordenadas a, b y e son positivas se llama el primer octante. Es fácil encontrar una fórmula para la distancia d(P¡, P2 ) entre dos puntos p¡ y P2 • Si PI YP2 están sobre una recta paralela al eje 2 como se muestra en la figura 14.12, y si sus proyecciones sobre el eje 2 son AI(O, 0, 2 1 ) y A 2 (0, O, 2 2 ) respectivaZ

A ¡(O, 0, z¡)

O

----------+-----...Y ............

.........................

(X¡'YI,O)

Figura 14.12

642

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALlTICA EN EL ESPACIO

mente, entonces d(PI , P2) = d(A I , A 2) = IZ2 - zll. Si la recta que pasa por PI y P2 es paralela al eje x o al eje y, obtenemos fórmulas semejantes a la anterior. Si tenemos una situación como la que se ilustra en la figura 14.13, entonces el triángulo PI AP2 es un triángulo rectángulo y según el teorema de Pitágoras d(P¡.Pc ) =

,1 [d(PI.A)f + [d(A,P2 )f·

z

y

x

FiKura 14.13

Como PI Y A están en un plano paralelo al plano xy, concluimos de la fórmula para la distancia en dos dimensiones que [d(PI , A)J2 = (x 2 - XI)2 + (Y2 - YI)2 Y sabemos de nuestros comentarios anteriores que d(A, P2)2 = (Z2 - ZI)2. Sustitu­ yendo esto en la fórmula anterior para d(PI , P2) obtenemos la siguiente fórmula para la distancia en tres dimensiones: (14.11) Observe que si PI y P2 están en el plano xy, de manera tal que Z I = Z2 = O, en­ tonces (14.11) se reduce a la fórmula para la distancia en dos dimensiones. Ejemplo 1

Encuentre la distancia entre A ( - 1, - 3, 1) y B(3, 4, - 2).

Solución

En la figura 14.11 están dibujados los puntos A y B. Usando la fórmula de la dis­ ta ncia (14. 11) obtenemos d(A.BI = v'(3

+

I)C

+

(4

+

= ,,/16 + 49 + 9 =

3)c

+

(-2 --1)2

v 74.

Remitiéndonos a la figura 14.13 y usando triángulos semejantes podemos probar el siguiente resultado.

SISTEMAS COORDENADOS RECTANGULARES EN TRES DIMENSIONES

( 14.12)

14.2

643

FORMULA DEL PUNTO MEDIO

El punto medio del segmento de recta comprendido entre PI (x l' Yl' Z1) Y Z2) es

P2 (X2, Y2,

Por ejemplo, si A y B son los puntos del ejemplo 1, entonces el punto medio del segmento AB tiene las coordenadas (1, 1/2, - 1/2). La gráfica de una ecuación en tres variables x, y y z se define como el conjunto de tudos los puntos P(a, b, e) en un sistema coordenado rectangular, tales que la terna ordenada (a, b, e) es una solución de la ecuación, es decir, al sustituir a, b y e en lugar de x, y y z respectivamente, obtenemos una igualdad. La gráfica de una ecuación así es una superficie. Es fácil encontrar una ecuación cuya gráfica es una esfera de radio, con centro en el punto C(h, k, /). Como se ve en la figura 14.14, un punto P(x, y, z) está sobre la esfera si y sólo si [d(C, p)]2 = ,2. Aplicando la fórmula de la distancia (14.11) obtenemos la ecuación canónica de la esfera de radio r con centro en C(h, k, f) (14.13)

y

x

FiKura 14.14

Si efectuamos las operaciones indicadas y simplificamos, entonces se puede escribir la ecuación (14.13) en la forma

donde los coeficientes son números reales. Inversamente, si partimos de una ecua­

644

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALlTICA EN EL ESPACIO

ción de esta forma y su gráfica existe, entonces al completar los cuadrados llegamos a una ecuación de la forma (14.13) Ypor lo tanto la gráfica es una esfera o un punto. Ejemplo 2

Discuta la gráfica de la ecuación x 2 + y2

Solución

Completamos los cuadrados como sigue:

+ Z2 -

6x + 8y + 4z

+ 4 = O.

(x 2 - 6x) + (/ + 8.1') + (:2 + 4: I = - 4 2 (x -6x+9)+(.I'2+8)'+ 16)+(:2+4:+4)= -4+9+ 16+4 (x - 3)2 + (.1' + 4)2 + (;: + 21 2 = 25.

Comparando esta última ecuación con (14.13), concluimos que la gráfica es una esfera de radio 5 con centro C(3, - 4, - 2).

14.2 EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 6 dibuje los puntos A y B Yencuentre (a) d(A, B); (b) el punto medio de AB.

4

A(2.4. - 5 1.8(4.·- 2. 3 I

2.1(\,-2.71.8(1.4.-1)

.3

A(~4.0.1).8(.\.-2.1)

AI0.5. -41.8(1.1.01

5

6

A(O.O.O).81-H.-1.4:

AI\,O.O).B(O.1.11

En los ejercicios 7 y 8 suponga que A y B son los vértices opuestos de un paralelepípedo cuyas caras son paralelas a los planos coordenados. Encuentre las coordenadas de los vértices restantes. 8.1(-l2.6).8(1.5.-I)

7 A(2.5.-3).8(-4.2.11

En los ejercicios 9 y 10 demuestre que A, B Y e son los vénices de un triángulo rectángulo y encuentre su área. 10

9.1(2.0.1).8(ll.2).C(I.1.0)

,4(4.

~

.l. 21.8(6. - 2. 1). e(7. -6.5)

En los ejercicios del 11 al 14 encuentre una ecuación de la esfera con centro

('n. -

=3

e y radio r.

12

("(4. -5.\).1' = 5

13 ("(-5.0.1).,=1/2

14

nO. -3.-61.1' =

15 Encuentre una ecuación de la esfera con centro en (- 2,4, - 6) que además (a) sea tangente al plano yz (b) sea tangente al plano xz (c) sea tangente al plano xy

16

Encuentre una ecuación de la esfera que tiene como extremos de un diámetro a A (1,4, - 2) Y

11

1. 2).,

3

B( -7,1,2).

En los ejercicios del 17 al 22 encuentre el centro y el radio de la esfera que tiene la

ecuación dada.

17 x 2 + 19 x 2

)'2

+ ::1 + 4.\ -

+ .1'1 + ::1

-

8x

2.1'

+ 2:: + 2 = O

+ 8:: +

16 = O

+ .1'2 +

18

Xl

20

4x 2 + 4,,1

::1 -

6x - 10.1'

+ 4:: 1

-

+ 6:: + 34 =

4x + 8.1' - 3 = O

O

VECTORES EN TRES DIMENSIONES

23 Encuentre una ecuación para el conjunto de to­ dos los puntos que equidistan de A(2. -1, 3) Y B( -1,5. 1). Describa la gráfica de la ecuación.

24

25 Describa la gráfica de cada una de las ecuaciones siguientes (a) z = 5 (b) Y = 2 (c) x = O

26

645

14.3

Haga el ejercicio 23 para A(5, O, -4) Y B(2. -1,7).

Describa la gráfica de la ecuación xyz

=

O.

En cada uno de los ejercicios del 27 al 34 describa la región dada, R. en un sistema coordenado tridimensional. 27 R={(x.Y.:):X 2 +y 2 +: 2

:(x,Y.:):lxl

1,Iyl

::;

1:

2,1:1

3:

29

R

31

R = {(x,J',z):O < x 2

33

R={(x,y,z):X l +yl+Zl_4x-2y+ I
=

14.3

<;

<;

<;

+ l::; 1}

28

R=:(X,.\'.:):X 2

+y 2 +: 2 > 1]

30

R = :(.x.y,:):x 2

+ .1'2 =

32

R

= {(x,y.z):4

34

R

= ¡(x,y,z):y = x}

<

1:

Xl +\,2 + Z2

< 9}

VECTORES EN TRES DIMENSIONES El sistema Jt; de vectores en tres dimensiones se define como la colección de todas las ternas ordenadas
+ b =
El vector cero y el negativo - a de a son

0=<0,0,0)

y

-a=-
La resta se define por

a - b = a + (-b)

=
- b l ,a 2

-

b Z ,a3 - b 3).

Las propiedades de los vectores en dos dimensiones se pueden generalizar sin dificultades a Jt;, simplemente tomando en cuenta la tercera componente. En par­ ticular. las demostraciones de las propiedades mencionadas en los teoremas (14.4) y (14.8) son inmediatas. Un vector a =
646

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

Q(x

+ l/lo y + Q2, Z + a:¡)

P(x, y, z)

.y

FiXII,.a 14./5

Por definición, la magnitud lal de un vector a = (al' a2' a 3) es la longitud de cualquiera de sus representaciones geométricas. Aplicando la fórmula de la distancia (14.11) obtenemos lal

= J a~ + a~ + a~.

Observe que lal ~ OY que lal = O si y sólo si a = O. Igual que en dos dimensiones se puede demostrar que leal = lellal.

Ejemplo 1

Solución

Sea a = (2,5, -3) Y b = (-4, 1,7). Encuentre a

+

b, 2a - 3b Y lal.

+ b = (2.5, -3) + (-4, 1.7) = (-2,6,4) 2a - 3b = 2(2,5, -3) - 3( -4,1,7) = (4,10, -6) a

<-12,3.21)

= (16,7. -27)

lal

= J(2)2

+ (W + (-w

=

J38

Exactamente igual que para vectores en dos dimensiones, decimos que dos vectores a y b en V:J diferentes de cero tienen la misma dirección si b = ea para algún escalar e > O o tienen direcciones opuestas si b = ea para algún e < O. Por ejemplo, dados los vectores a

=

<15, -6,24),

b = (5. -2,8).

e

=

< --'f. 3, -12)

a y b tienen la misma dirección ya que a = 3b o equivalentemente b = (1/3)a; mientras que e y a tienen direcciones opuestas ya que e = (-1/2)a o a = - 2e. Igual que en dos dimensiones decimos que los vectores a y b son paralelos si b = ea para algún escalar e. La demostración del siguiente resultado es semejante a la del teorema (14.3).

VECTORES EN TRES DIMENSIONES (14.14)

14.3

647

TEOREMA

Si PI (x l' Y l' Z 1) Y P2 (x 2' Y2, Z 2) son dos puntos, entonces el vector a en V3 cuya representación geométrica es PI P2 está dado por

En la figura 14.16 se da una ilustración del teorema. (14.14) donde O A es el vector de posición correspondiente a a. Se dice que dos segmentos de recta dirigidos tienen la misma dirección (o dirección opuesta) si sus vectores correspondientes en V3 tienen la misma dirección (o dirección opuesta). Se define la magnitud IPQ I como la distancia entre P y Q. La notación PQ = RS significa que estos vectores tienen la misma magnitud y la misma dirección. Si a es el vector en V3 correspondiente a PQ y e es un escalar, entonces una representación geométrica de ca se denota por ePQ. Estos múltiplos escalares tienen el mismo significado geométrico que los correspondientes en dos dimensiones. Más aún, los vectores PQ y RS tienen la misma dirección si PQ = eRS para algún e > O y tienen dirección opuesta si PQ = eRS para algún e < O. En ambos casos decimos que PQ y RS son paralelos.

A(x, -XI.Y2-YI,~'-~¡}

Figura 14.16

Ejemplo 2

Dados los puntos PI (5, 6, - 2) Y P2 ( - 3, 8, 7) encuentre (a) el vector de posición correspondiente a PI P2 (b) IPI P2 1

Solución

(a) De acuerdo con el teorema (14.14), PI P2 es una representación geométrica del vector a = 3 - 5, 8 - 6, 7 + 2) = 8, 2, 9). Por lo tanto el punto final A del vector de posición DA correspondiente a PI P2 es A( -8, 2, 9).

<-

(b) IPI P2

1= lal =

<-

J64

+ 4 + 81 = JT49

648

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALlTICA EN EL ESPACIO

Se dice que a es un vector unitario si lal = l. Los vectores unitarios particulares i=(LO,O).

j=(O.1.0),

k=(O,O,I)

son importantes ya que todo vector a = (al' a 2 , G3 ) se puede expresar como una combinación lineal de i, j Y k. Explícitamente

En (i) de la figura 14.17 se muestran representaciones geométricas de i, j Y k. En (ii) de esta figura se ilustra el hecho de que el vector de posición correspondiente a a = (al' a 2 , a 3) se puede considerar como la suma de los tres vectores correspon­ dientes a ali, azj ya 3k. z z

(O, O, 1) k

j y

(O, 1, O) .J' (al,O,O)~---------------~

a2j

x

x (ji)

( i)

FiKura 14.17

Igual que en la sección 1, es muy fácil traducir las reglas para la suma, resta y multiplicación por escalares a la notación de i, j Y k. Frecuentemente es conve­ niente considerar a V2 como un subconjunto de V3 identificando el vector (a l ' a 2 ) con (a l ' a 2 , O). Si hacemos esto no hay ninguna diferencia esencial entre los vectores i = (1, O), j = (O, 1) Y los vectores i y j que definimos en esta sección. El concepto que introducimos a continuación tiene muchas aplicaciones en matemáticas y en física. Como en nuestro trabajo anterior, comenzaremos con una definición algebraica y daremos las interpretaciones geométricas y físicas más adelante en esta sección. (14.15)

DEFINICION ~

~

Si a = (al' a 2 , a 3 ) Y b = (b l , b 2 , b 3 ) entonces el producto punto a . b de a y b está dado por

El producto punto también se llama el producto escalar o el producto interior. Es importante notar que a . b es un escalar, no un vector. Por ejemplo (2,4, - 3)· (3i - 2j

+

<-1,5,2)

k)·(4i

+

+ (4)(5) + (- 3)(2) = 12 (3)(4) + (-2)(5) + (1)( -2) =

= (2)( -1)

5j - 2k) =

O.

VECTORES EN TRES DIMENSIONES (14.16)

14.3

649

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

Si a, b y e son vectores y

C

es un escalar, entonces

a·a = lal 2• (ii) a· b = b . a. (i)

(iii) a· (b + e) = a . b + a .e. (iv) (ca)· b = c(a· b) = a· (cb). (v) O·a

= O.

La demostración de (14.16) se deduce directamente de la definición (14.15) y de algunas propiedades de los números reales. Por ejemplo, si a = (al' a 2 , a3>' b = (b l , b 2 , b3 > ye = (c l , C2' C3> entonces a ·(b + e) =

«([¡,([2,(/3)' (b l

= 0 1 (b¡ +

<'1)

= (o.b l

([2bl

+

+

+

('1,b 2

02(b 2

+

+

('2)

+

03b3)

+ +

c2,b 3

+

<'3>

([3(b 3

+

(3)

(a¡<'.

+

02C2

+

03(3)

=a·b+a·e lo cual demuestra la propiedad (iii). Las demostraciones de las demás propiedades

se dejan como ejercicios. Hay una estrecha conexión entre el producto escalar y el ángulo entre dos vectores, el cual se define a continuación.

(14.17)

DEFINICION

Sean a y b dos vectores diferentes de cero. Si b no es un múltiplo escalar de a y si OA y OB son los vectores de posición correspondientes a a y b respectiva­ mente, entonces el ángulo 8 entre y IJ (o entre OA y OB) se define como el ángulo AOB del triángulo cuyos vértices son A, O Y B (vea la figura 14.18). Si b = ca para algún escalar c, entonces () = O o () = 1t dependiendo de si c > O oc < O.

a

: A(a lo 1I~.

0:1)

y

x

Figura 14.18

650

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

Note que si a y b son paralelos, entonces según (14.17) () = O o () = 71:. Se dice que los vectores a y b son ortogonales si () = n/2. Por conveniencia supondremos que el vector cero O es paralelo y ortogonal a todo vector a. (14.18)

TEOREMA

Si () es el ángulo entre dos vectores diferentes de cero a y b, entonces a . b = lallbl cos O. Demostración. Si b i= ca tenemos una situación similar a la que se ilustra en la figural 14.18. Aplicando la ley de los cosenos al triángulo AOB obtenemos

lAR 12

lal 2 + Ibl 2

=

-

21allbl cos O.

Por consiguiente (nI - (

1 )2

+

o¡ + a~

=

+ (h) + (d + ni + b~ +

(h 1

-

(2)2

0.d 1

n~

-

21allbl cos o

lo cual se reduce a - 20 l b 1

-

20 1 b1

-

20)h) = - 21allbl cos O.

Dividiendo ambos lados de la última ecuación por - 2 obtenemos la conclusión deseada. Si b = ca, entonces usando las propiedades (iv) y (i) de (14.16) vemos que a·b = a·(ca) = c(a·a)

= elal 2 .

También lallbl cos O = lalleal cos O = lellal 2 cos O.

°

Si e > 0, entonces lel = e, () = y Iellal 2 cos () se reduce a elal 2 . Por consiguiente lallbl cos () = a . b. Si e < 0, entonces lel = - e, () = n y de nuevo Iellal 2 cos () se reduce a elal 2 • Esto completa la demostración del teorema. (14.19)

COROLARIO

Si () es el ángulo entre dos vectores diferentes de cero a y b, entonces a·b

cosO = lallbl'

Ejemplo 3

Encuentre el coseno del ángulo entre a = <4, - 3, 1) Yb = <1, 2, - 2).

Solución

Aplicando el corolario (14.19) cosO

= ~ = (4)(1) + (-3)(2) + (1)( -2) = ~ = _ 4}26. lallbl

JI6

+ 9 + I JI + 4 + 4

3}26

78

VECTORES EN TRES DIMENSIONES

14.3

651

El teorema siguiente es consecuencia inmediata del teorema (14.18). (14.20)

TEOREMA

Dos vectores a y b son ortogonales si y sólo si a . b = O.

Ejemplo 4

Solución

Demuestre que las siguientes parejas de vectores son ortogonales. (a) i,j (b) 3i - 7j + 2k, 10i + 4j - k La demostración se sigue del teorema, (14.20). Asi = (1,0,0)· (O, 1,0) = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = O

(a) i·J

(b) (3i - 7j

+ 2k) . (10i + 4j

- k)

= 30 -

28 - 2

=O

El siguiente resultado tiene aplicaciones importantes en el estudio de los vec­ tores. (14.21)

LA DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ

Si a y b son dos vectores cualesquiera en la . bl

S;

~,

entonces

lallbl.

Demostración. El resultado es trivial si a = O o b = O. Si a y b son dos vectores diferentes de cero, entonces según el teorema (14.18), la . bl = lallbllcos el donde (J es el ángulo entre a y b. Como Icos (JI :s; 1, concluimos que la . bl :s; lallbl. (14.22)

LA DESIGUALDAD DEL TRIANGULO

Si a y b son dos vectores, entonces la

Demostración. escribir

+ bl

S;

lal

+ Ibl·

Aplicando algunas de las propiedades del producto escalar podemos la

+ W = (a + b)· (a + b) = a . a + 2a . b + b . b = lal 2 + 2a . b + IW.

Como a . b :s; la . bl :s; lallbl, tenemos la

+ W S; lal 2 + 21allbl + IW = (Ial + Ib1)2.

Extrayendo raíz cuadrada de ambos lados obtenemos la

+ bl

S;

lal

+ Ibl.

La razón para el nombre "desigualdad del triángulo" salta a la vista si repre­ sentamos a y b geométricamente como en la figura 14.19. En este caso (14.22)

652

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

Figura 14.19 afirma que la longitud de uno de los lados de un triángulo no es mayor que la suma de las longitudes de los otros dos lados. El ángulo entre dos vectores PQ y TR se define como el ángulo O entre sus vec­ tores correspondientes a y b en J-3. Si O = n/2, entonces PQ y TR son ortogonales o perpendiculares. En la figura 14.20 se ilustra un ángulo típico. En dicha figura OA y OB son los vectores de posición correspondientes a a y b respectivamente. El producto escalar de PQ y TR se define por

PQ . T R = a.b = lallbl cos O.

T

.4

b

B

o

l'

p

x

Fi/(ura 14.20 Como IPQ I = (14.23)

lal y ITR I = Ibl esto se puede escribir PQ . TR

=

IPQ IITRI cos o.

Sean PQ y PR dos vectores con el mismo punto inicial. Si S es la proyección de Q sobre la recta que pasa por P y R (vea la figura 14.21) entonces el escalar IPQ I cos O se llama la componente de PQ a lo largo de jij( y lo abreviaremos compiR PQ. Observe que \PQI cos O es positivo o negativo dependiendo de si O ~ O < n/2 o n/2 < O ~ n. Si O = n/2 la componente es cero. Concluimos que (14.24)

- = IPQ - IcosO compp¡PQ

= PQ

I

­

·~PR.

IPRI Esto muestra que para encontrar la componente de PQ a lo largo de PRo podemos

VECTORES EN TRES DIMENSIONES

14.3

653

Q

S

P

R

IPQ leos () > O

CompPilPQ

Fixura 14.21 tomar el producto escalar de PQ con un vector unitario cuya dirección es la misma que la de PRo El concepto anterior también se puede aplicar a vectores en V3 . Simplemente re­ presentamos a y b geométricamente por PQ y P R respectivamente como en la figura 14.21. Definimos la componente de a lo largo de I)y la denotamos por compba como en (14.24), es decir

a

(14.25)

comPb a En particular, si a = ali

+

+

a2j

I

= a . ibfb.

a 3 k, entonces según (14.25),

comp¡ a = a· i = al comp.J a = a . j = a2 comp¡. a = a· k = Ejemplo 5

Sean a = 4i - j + 5k y b = 6i (a) compb a. (b) comp. b.

Solución

(a) Usando (14.25)

+ 3j -

a3'

2k. Encuentre

1 compb a = a 'ibfb = (4i - j

I

+ 5k)· "7(6i + 3j -

24 - 3 - 10

I1

7

7

2k)

(b) Intercambiando los papeles de a y b en (14.25) comp b

•

I

= b·-a lal

= (6i

+ 3j -

2k)._I_(4i - j

)42

24 - 3 - 10

II

)42

)42'

+ 5k)

Terminaremos esta sección con una interpretación física del producto escalar. Recuerde que en (6.12) se definió el trabajo W efectuado por una fuerZa constante

p

654

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

F a lo largo de una distancia d como W = Fd. Esta fórmula es muy limitada ya que sólo se puede usar si la fuerza se aplica a lo largo de la línea del movimiento. Suponga ahora que un vector PQ representa una fuerza y que su punto de apli­ cación se desplaza a lo largo de un vector PRo Esto se ilustra en la figura 14.22 donde se usa una fuerza PQ para jalar un objeto a lo largo de una recta horizontal de PaR. El vector PQ es la suma de los vectores PS y SQ. Como SQ no contribuye al movimiento horizontal, podemos suponer que el movimiento de PaR se debe unicamente a PS. De acuerdo con (6.12) podemos encontrar al trabajo W multi­ plicando la componente de PQ en la dirección de P R por la distancia IP R 1, es decir

w= lIPQ IcosOllPR I =

PQ ·PR .

.-_F_u_er;/]_º

~

-t'R.,

Q~):~===~Movimiento

Fixura 14.22

Esto nos lleva a la siguiente definición. (14.26)

DEFINICION

El trabajo efectuado por una fuerza constante PQ cuando su punto de apli­ cación se mueve a lo largo del vector PR está dado por PQ . PRo

Ejemplo 6

La magnitud y la dirección de una fuerza constante están dadas por a = 5i + 2j + 6k. Encuentre el trabajo que efectúa la fuerza cuando su punto de aplicación se mueve de P(I, -1, 2) a R(4, 3, -1).

Solución

De acuerdo con el teorema (14.14) el vector en V3 correspondiente a PR es b = (3, 4, - 3). Si PQ es una representación geométrica de a, entonces usando (14.26) vemos que el trabajo efectuado está dado por

PQ . PR

=

a .b

= )5

+8

- 18 = 5.

Si, por ejemplo, las unidades de la longitud están dadas en metros y la magnitud de la fuerza se mide en kilogramos, entonces el trabajo efectuada es 5 kg-m.

14.3 EJERCICIOS I

Complete la demostración de (14.16).

En los ejercicios del 3 al 8 encuentre a 3

a

= ( - 2. 6. 1). b =

O. - J. - 1)

+ b, 5a -

2

Demuestre los teoremas (14.4) y (14.8) para V3 .

4b, a· b, lal, 13al, 1-3al, a - b Y la - bl. 4

a

= ( 1. 2.

-- .~). h

= ;. -

4. O. 1)

VECTORES EN TRES DIMENSIONES

a

+ 4k. h

5

a = 3i - 4j + 2k. b = i + 2j - 5k

6

7

a = i + j. b = - j + k

H a == 2i. b == 3k

=

2i - j

En los ejercicios 9 y 10 dibuje representaciones geométricas de a, b, 2a, -3b, a 9

a == (2.3.4).b ==

~1.

11I

-2.2)

a = - i

f-

2.i

f-

=

¡-k

+b

3k. b

655

14.3

y a-b.

= -

2j

1-

k

En los ejercicios del I1 al 20 encuentre los números pedidos suponiendo que a = (- 2, 3, 1), b = (7,4,5) Y e = (1, - 5,2). 11

a· b

12

b·('

15

(2a + b)· 3e

16

(a -

19

comPh (a + el

20

comp,.e

b)· (b

+ el

'lb + e)

13

a

17

compo b

14

b·la - el

18

comp, e

En cada uno de los ejercicios del 21 al 24 encuentre el coseno de ángulo entre a y b. i - 7j + 4k, b == 5i - k

21

a= -4i+8j-3k,b=2i+j+k

22

a

=

23

a = - 2i - 3j, b = - 6i + 4k

24

a

= (3. -5. -I).b = (2,1, -3)

En los ejercicios del 25 al 30, dados los puntos P(3, - 2, -1), Q(l, 5,4), R(2, O, - 6) Y S( - 4, 1, 5), encuentre las cantidades pedidas. 25 PQ· RS

26

QS· RP

27 El ángulo entre PQ y RS

28

El ángulo entre QS y RP

30

La componente de QR a lo largo de

29 La componente de 31

PS a lo largo de QR

Dados P(8, -3,5), Q(6, 1, -7) Y R(x, y, z), plantee una ecuación en x, y y Z que garantice que PR sea ortogonal a PQ. Dé una descripción geométrica de todos los puntos R que satisfacen esta ecuación.

PS.

32 Pruebe, usando vectores, que P(2, - 3, 1), Q(-5, 1,7) Y R(6, 1,3) son los vértices de un triángulo rectángulo y calcule su área.

En los ejercicios 33 y 34 la dirección y la magnitud de una fuerza están dadas por el vector a. Calcule el trabajo efectuado si el punto de aplicación se mueve de P a Q. 33 a = -i + 5j - 3k; P(4,O, -7),Q(2,4,0)

34

a=(8,0,-4);PI-I,2,5),Q(4,1,0)

35 Una fuerza constante de magnitud 4 tiene la misma dirección que el vector a = i + j + k. Calcule el trabajo efectuado cuando el punto de aplicación se mueve a lo largo del eje y entre

36

Una fuerza constante de magnitud 5 tiene la misma dirección que el eje positivo z. Calcule el trabajo efectuado cuando el punto de aplica­ ción se mueve en línea recta del origen al punto P(I,2,3).

(O, 2, O) Y (O, -1, O).

37 Encuentre c tal que los vectores 3i - j 2ci + 3j + 4k sean ortogonales.

+ ck

y

39 Encuentre un vector ortogonal a (7, -10, 1) Y a (-2,2,3).

38

Determine todos los valores de c tales que los vectores (3c, 1, -4c) y (c. 4, 2) sean orto­ gonales.

40

Encuentre dos vectores unitarios en gonales a a = (-2, -1).

J-í

orto­

656

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALlT1CA EN EL ESPACIO

41 Sea a = 14i - 15j + 6k. (a) Encuentre un vector que tenga la mIsma

dirección y doble magnitud.

(b) Encuentre un vector que tenga la dirección

opuesta y 1/3 de la magnitud.

42

Resuelva el ejercicio 41 para a = (-6, -3,6).

43 ¿Bajo qué condiciones son verdaderas las sigui­

44

Demuestre que la - bl ~ lal - Ibl para todo a, b en Vj. (Sugerencia: Observe que a = b + (a - b) Yuse la desigualdad del triángulo.)

entes afirmaciones?

(a) la· bl

=

lallbl

(b) la + bl

=

45 Demuestre que (a + b) . (a - b) para todo a y b en Vj.

lal + Ibl =

lal 2

-

Ibl 2

46 Generalice (14.22) a cualquier suma finita de vectores.

47 Sean A, B Y C tres puntos en el espacio y sea M el punto medio del segmento de recta Be. Demuestre que AM = i(AB + AC).

48

Use vectores para demostrar que los segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados consecutivos de un cuadrilátero forman un pa­ ra.lelogramo. (Sugerencia: Vea el ejercicio 47.)

49 Demuestre que un cuadrilátero es un paralelo­ gramo si y sólo si sus diagonales se bisecan.

50

Use el producto escalar para demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares.

14.4

ANGULOS y COSENOS DIRECTORES En esta sección introducimos conceptos que son útiles para el estudio de las rectas y los planos en el espacio.

(14.27)

DEFINICION

Los ángulos directores de un vector a = diferente de cero, son los ángulos a, {3 y y comprendidos respectivamente entre los vectores i, j, k Y el vector a. Los cosenos directores de a son cos a, cos {3 y cos y. Los ángulos directores de un vector siempre se mencionarán en el orden específico a, {3, y. Si DA es el vector de posición correspondiente a a, entonces es conveniente medir estos ángulos siguiendo el camino más corto de cada uno de los ejes coor­ denados a DA, como se indica en la figura 14.23 mediante las flechas curvas. Ob­ serve que todos los ángulos directores están en el intervalo [0, 1t]. Los ángulos y los cosenos directores de un vector PQ se definen como los del vector a en V3 co­ rrespondiente a PQ. (14.28)

TEOREMA

Si a, {3 y y son los ángulos directores de un vector a de cero, entonces (l')

cos a =

al {3 a2 a3 í8f' cos = í8f' cos y = í8f'

(ii) cos 2 a + cos 2 {3 + COS2~. = 1. (iii) los ángulos directores de - a son

1t -

a,

1t -

{3 y

1t -

y.

ANGULOS y COSENOS DIRECTORES

14.4

657

z

y

Fi¡:ura 14.23 Demostración. tenemos

Como a es el ángulo entre a e i, de acuerdo con el teorema (14.18), a .í

= ¡allíl cos a.

Por lo tanto

al

= lal cosa o

cosa

0

1 = -.

lal

Las fórmulas para cos p y cos l' se pueden encontrar de manera similar considerando a . j ya· k o usando el corolario (14.19). Para demostrar el inciso (ii) elevamos al cuadrado las expresiones que ob­ tuvimos para los cosenos directores en (i) y las sumamos, obteniendo así

oi

a~

05

lal

lal

lal

lal 2 lal

-+ -+ -= -= 2 2 2 2

I •

El inciso (iii) se deduce del hecho de que los vectores de posición de a y -a se encuentran sobre la misma línea recta. Vemos de (i) del teorema (14.28) que cualquier vector a puede expresar en la forma a = o equivalentemente a

= lal.

Si a =1- O, entonces I

-a lal

=



es decir, los cosenos directores de a son las componentes del vector unitario (I/Ial)a.

Ejemplo 1

Encuentre los cosenos directores de a = <4, - 3, 2>.

658

14

Solución

Como \al =

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITlCA EN EL ESPACIO

J 16 + 9 + 4 = j29, I ¡;¡a = (4/

29, - 3/j29, 2/

29).

Por lo tanto, de la observación anterior a este ejemplo tenemos 4 coscx. = - - , 29

cosfl

-3

=

j29'

cos"I

2

= --o

v Cf9

Ejemplo 2

Suponiendo que todas las componentes de un vector a son positivas y que dos de sus ángulos directores son ex = 60° Y fl = 45°, encuentre y.

Solución

Como cos ex tenemos

1/2 Y cos {3 = )2/2, sustituyendo en (ii) del teorema (14.28) ob-

o equivalentemente

COS

1

f = 1

3

I

4

4

Como las componentes de a son positivas,

cos i' = 1/2

14.4 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del 1 al 4 encuentre los cosenos directores de a, 3a y - 2a. 3

=

<- 2. 1.5)

2 3=(2.-1.-2)

5 Encuentre los ángulos y los cosenos directores

3 =

6

Encuentre dos vectores unitarios tales que sus cosenos directores sean todos iguales.

de i, j Y k.

4j - 3k

+k

3

4

a = 5i

En los ejercicios del 7 al 10 encuentre los cosenos directores de PQ. 7

P(7. -2.41.Q(3.2. -1)

9 P( - 5. U). Q( - 4. 1. - 2)

8

P(-1.5.0).Q(2. -3.3)

10 P(4. - 3. 2). Q(4. - 7. 2)

11 Encuentre un vector cuyas componentes sean todas positivas, cuya magnitud sea 2 y cuyos ángulos directores sean todos iguales.

12 Demuestre que es imposible hallar un vector a que tenga ángulos directores (X = 30° Y P = 30°.

13 Suponiendo que todas las componentes de a son positivas y que cos (X = 1/3 Y cos P = 1/3, encuentre cos y.

14 Suponiendo que dos de los ángulos directores de a son p = 120° Y Y = 60°, ¿qué puede usted decir acerca de (X?

RECTAS EN EL ESPACIO 15 Tres números 1, m y n diferentes de cero, se llaman números directores de un vector a (o PQ) diferente de cero, si son proporcionales a los cosenos directores, es decir, si existe un número positivo k tal que 1 = k cos el,

m = k cos P,

n = k cos y.

(a) Suponga que 1, m y n son números direc­ tores de a y que d = (/1 + m l + nl)1/1. Demuestre que cos el = I/d, cos P = m/d y

cos y = n/d.

(b) Dados los puntos PI(X I , Y1' ZI)

Y

14.5

659

16 Consulte el ejercicio 15. Suponiendo que l., mI' ni Y /1 , m 2 , n 2 son números directores de a y b respectivamente, demuestre lo siguiente. (a) a y b son ortogonales si y sólo si (b) a y b son paralelos si y sólo si existe un número k tal que 1I = kl z , mI = km z y ni = kn2'

Pl(X l , Yl, Zl),

demuestre que X2 - XI' Yl - YI Y Zl son números directores de PI Pl .

-

ZI

17 Suponiendo que a = (al' al' a 3 >Y b = (b l , b l , b 3 >son dos vectores diferentes de cero en V,. demuestre lo siguiente. (i) a y b tienen la misma dirección si y sólo si sus ángulos directores correspondientes son iguales. (ii) a y b tienen dirección opuesta si y sólo si sus ángulos directores correspondientes son suplementarios.

14.5

RECTAS EN EL ESPACIO Si p¡ (x¡. y¡. z.) y P2 (X2, Y2. z2) son dos puntos distintos entonces, según el teorema (14.14), el vector a = (a¡, a 2 , a3) en V3 cuya representación geométrica es p¡P2 está dado por a = (x 2 - Xl' Y2 - y¡, Z2 - z¡). Para encontrar una ecuación de la recta / que pasa por p¡ Y P2 observamos que un punto P(x, y, z) está sobre / si y sólo si p¡p Y p¡P2 son paralelos. Esto se ilustra en la figura 14.24 donde también se muestra el vector de posición OA correspondiente a a. Sabemos de nuestro trabajo en la sección 3 que p¡ P es paralelo a p¡ P2 si Y sólo si p.p = tp¡P2 para algún escalar t. z

y

Figura 14.24

660

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITlCA EN EL ESPACIO

Esta condición se puede escribir en forma algebraica como sigue (x - xI,Y - YI'Z - Zl) = t(al,al,aj) = (alt,alt,ajt).

Igualando las componentes y despejando x, y y

Z

obtenemos

(14.29) donde 1 es un número real. Las ecuaciones en (14.29) se llaman ecuaciones para­

métricas de la recta 1, y la variable 1 se llama un parámetro. Los puntos P(x, y, z)

sobre 1 se obtienen cuando 1 recorre todos los valores reales. Por ejemplo PI corres­

ponde a 1 = O, el punto medio de PI P2 a 1 = 1/2 Y P2 a 1 = l.

Si en la discusión anterior

T = xi + yj +:k

TI = Xli +

y

yd

+ zlk

entonces OP y OPI son los vectores de posición de r y r l respectivamente y PIP rep­ resenta al vector r - r l ' Entonces podemos escribir T - TI = tao

Esto nos lleva a la ecuación vectorial para una recta: T =

Ejemplo 1

ta

+ fl.

Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta l que pasa por PI (3, 1, - 2) Y P2( -2, 7, -4). ¿En qué punto interseca l al plano xy?

Solución

El vector a en Vj correspondiente a PI P2 es a =

<- 2 - 3.7 - 1. - 4 + 2)

=

<-

5.6. - 2).

Según (14.29)

\; = 3 -

5t.

.\

=

1 + 6/.

-2 - 2t.

son unas ecuaciones paramétricas para l. La recta interseca el plano xy en el punto R(x, y, z) tal que Z = - 2 - 21 = O, es decir 1 = - l. Por lo tanto, R es el punto de coordenadas (8, - 5, O). Si a = (al' a2' a 3>es un vector diferente de cero en ~ y PI(X I , YI, Zl) es un punto cualquiera, entonces existe una recta única que pasa por PI y es paralela al vector de posición OA correspondiente a a. En efecto, si P2 es el punto P2(X I + al' YI + a2, ZI + a j ) entonces, como se ilustra en la figura 14.24, les precisamente la recta detenninada por PI P2 . En este contexto nos referimos a l como la recta que pasa por PI yes paralela a a. Concluimos que las ecuaciones en (14.29) son unas ecuaciones paramétricas para l. Si en lugar de a usáramos cualquier otro vector b diferente de cero paralelo a a, obtendríamos la misma recta, ya que en este caso

>

b = ca = (cal' ca2, ca 3

y las ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por PI y es paralela a b son

RECTAS EN EL ESPACIO

14.5

661

donde el parámetro v recorre todos los números reales. Estas ecuaciones deter­ minan la misma recta que (14.29) ya que el punto correspondiente a t se puede obtener tomando v = t/e. Ejemplo 2

Encuentre unas ecuaciones paramétricas para la recta / que pasa por P(5, -6,2) Y esparalelaaa = <1/2,2, -4/3).

Solución

Para no usar fracciones, usaremos el vector b Aplicando (14.29), llegamos a que

= 6. =

x -= 5 + 31, .1' = -6 + 121,

(3, 12, -8) en lugar de a.

: = 2 - 81.

son unas ecuaciones paramétricas para /. Si /1 Y /2 son dos rectas paralelas a los vectores. =
14.5 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 4 encuentre unas ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por PI y P2 • Encuentre (si esto es posible) los puntos en los cuales la recta interseca cada uno de los planos coordenados. PdS. - 2,4). P2 (2. Ó. 1)

2

Pd-3,I,-I),P2 (7.II,-S)

3 Pd2,O.S),P2 (-6,O.3)

4

Pd2, - 2, 4), P2 (2, - 2, - 3)

En los ejercicios del 5 al S encuentre unas ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por P y es paralela a a. 5 P(4.2, - 3). 8 =


7 P(O. O. O), 8 = <0.1. O)

6

P(S,O. -2),8 =

8

P(I,2,3),a

=

<-1, -4.1)

<1,2,3)

9 Suponiendo que x = S - 3/, Y = -2 + 1, z = I + 91 son unas ecuaciones paramétricas de una recta 1, encuentre unas ecuaciones para­ métricas para la recta que pasa por P(- 6, 4, - 3) Yes paralela a l.

10 Suponga que 11 es la recta que pasa por P(5, - 2, 4) Y Q(2, 6, 1) Yque 12 es la recta que pasa por R( - 3, 1, -1) Y S(7, 11, - 8). Encuen­ tre el ángulo entre 11 y 12 ,

11 Encuentre el ángulo entre las dos rectas que tienen ecuaciones paramétricas x = 7 - 2/, Y = 4 + 3/, z = 51 Y x = -1 + 1, y = 3 + 4/, z = I + I respectivamente.

12 Encuentre unas ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por P(4, -1, O) Yes paralela a la recta que pasa por PI (- 3,9, - 2) Y Pi5, 7, -3).

662

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

En los ejercicios del 13 al 16 detennine si las dos rectas dadas se intersecan y en caso afinnativo encuentre el punto de intersección. 13 .\ = I + 21, Y = 1 - 41.: = 5 - 1:.\ = 4 - 1", Y = - 1 + 61",: = 4 +

l'

14 .\"= 1-61,.\'=3+21.:= 1-21:.\"=2+21". .1'=6+1".:=2+1" 15 .\" = 3 + 16

l . .\'

x=2~51

= 2 - 41.: =.1:.\ = 4 - r.y = 3 + v.z = -2

+ 31;

. .I'=6+21.:= -3-21;x=4-31".\'=7+5v,z= 1 +4v

En los ejercicios 17 y 18 demuestre que las rectas dadas se intersecan ortogonalmente. 17 x=2+31 . .\'= -4-21.:= -1 +41:.\" = 6+4L",.\' = -2+2[',z= -3-2[: 18 \=4-1. .1'= -1-1,:=4+31;.\"=3+2r.y= -! +L".:=r

19 Use el producto escalar para hallar la distancia d entre el punto A(2, -6, 1) Y la recta l que pasa por B(3, 4, -2) Y C(7, -1, S). (Sugerencia: Observe que si D es la proyección sobre l, en­ tonces d = IAbl.)

14.6

Los

20

Resuelva el ejercicio 19 para los puntos A(I,S,O), B(-2, 1, -4) Y C(O, -3,2).

PLANOS

Si p¡ Y P2 son dos puntos diferentes, entonces todos los puntos P tales que p¡p es ortogonal a p¡P2 están sobre un plano r que pasa por PI' como se ilustra en la figura 14.25. Llamaremos a p¡P2 o al vector a = (a¡, a 2 , a 3 ) cuya represen­ tación geométrica es p¡P2 , un vector normal a r. Se concluye del teorema (14.20) que P está sobre r si y sólo si p¡P2 . p¡p = 0, o equivalentemente (al ,(/2,(/3)

·(x - XI,V - .",.: - 2 1) = O,

Aplicando la definición del producto escalar obtenemos el resultado siguiente.

o

y

x

Figura 14.25

LOS PLANOS

(14.30)

14.6

663

TEOREMA

Una ecuación del plano que pasa por p¡(x¡, y¡, 2¡) Y que tiene un vector normal a =
+

a2{J' - .\'1)

+ a3(::

- ::1) = O.

Si definimos r = xi + yj + zk

y

r I = xli + y d + z 1k

entonces OP y Op¡ son los vectores de posición de r y r¡ respectivamente y p¡p repre­ senta al vector r - r l ' Esto nos da la siguiente ecuación vectorial para un plano a . (r - r¡) =

O.

Ejemplo 1

Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto (5, - 2, 4) Y que tiene un vector normal a = <1,2,3).

Solución

Aplicando el teorema (14.30) obtenemos 1(x - '5)

+ 2(y + 2) +

3(z - 4)

=

O

que se reduce a

'( + 2y + 3z -

13 = O.

La ecuación del plano que aparece en el teorema (14.30) se puede escribir (14.31)

ax

+ by +

ez

+ d ==

O

donde a = al' b = a 2 , e = a J Y d = -a¡x¡ - a 2 y¡ - a J 2¡. Inversamente, dado (14.31) donde no todas las constantes a, b y e son cero, podemos elegir números Xl' y¡ Y 2¡ tales que ax¡ + bYl + e2¡ + d = O. En consecuencia d = -ax¡ ­ by¡ - ez¡ y sustituyendo en (14.31) obtenemos ax

+ by + cz

- l/XI - hYI - e2, =

O

o equivalentemente a(x

-\tl +

h(y - .1',)

+

e(2 - 21) =

O.

De acuerdo con el teorema (14.30), la gráfica de esta última ecuación es un plano que pasa por P(x 1 , Yl' z¡) y que tiene un vector normal
TEOREMA

La gráfica de toda ecuación lineal ax + by + ez + d = O es un plano con un vector normal
664

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRlA ANALlTICA EN EL ESPACIO

Por simplicidad solemos usar la frase "el plano ax + by + cz + d = O" en lugar de la afirmación más precisa "el plano que tiene ecuación ax + by + éz + d = O". Para poder dibujar la gráfica de una ecuación lineal, tratamos de encontrar la traza de la gráfica en cada uno de los planos coordenados, es decir la recta que es la intersección de la gráfica con el plano coordenado. Para encontrar la traza en el plano xy sustituimos O en lugar de z en (14.31), ya que esto nos da todos los puntos de la gráfica que están en el plano xy. Análogamente, para encontrar la traza en el plano yz o en el plano xz, tomamos x = O o y = O respectivamente en (14.31).

+

+

Ejemplo 2

Dibuje la gráfica de la ecuación 2x

Solución

Hay tres puntos en el plano que se encuentran fácilmente, a saber, los puntos de intersección del plano con los ejes coordenados. Sustituyendo O en lugar de y y de z en la ecuación obtenemos 2x = 12 o x = 6. Por lo tanto, el punto (6, O, O) está sobre la gráfica. Análogamente, sustituyendo Oen lugar de x y de t obtenemos 3y = 12 o y = 4 y por consiguiente el punto (O, 4, O) está sobre la gráfica. De la misma man~ra obtenemos que el punto (O, O, 3) está sobre la gráfica. La traza en el plano xy se encuentra sustituyendo O en lugar de z en la ecuación dada. Esto nos da la ecuación 2x + 3y = 12 cuya gráfica en el plano xy es una recta con abscisa al origen 6 y ordenada al origen 4. En la figura 14.26 se muestran las trazas en los tres planos coordenados.

3y

4z

=

12.

z

y

,-'-

./

,­

I

I I

I

x

Figura 14.26 (14.33)

DEFINICION

Dos planos con vectores normales a y b respectivamente son (i)

paralelos si a y b son paralelos.

(ii)

ortogonales si a y b son ortogonales.

LOS PLANOS

+

665

14.6

+

+2=

°

Ejemplo 3

Demuestre que las gráficas de 2x - 3y - z - 5 = Oy -6x son planos paralelos.

Solución

Según el teorema (14.32) las gráficas son planos con vectores normales a = (2, -3, -1) Yb = (-6,9,3). Como b = -3a, los vectores a y b son paralelos y por consiguiente, según la definición (14.33), también los planos son paralelos.

Ejemplo 4

Encuentre una ecuación del plano + y - 6z + 8 = O.

r que pasa por P(5,

9y

3z

- 2,4) Yes paralelo al plano

3x Solución

Podemos usar el vector a = (3, 1, - 6) como un vector normal a r y por 10 tanto' se puede escribir la ecuación buscada en la forma 3x + y - 6z + d = para algún número d. Si P(5, - 2,4) está en r, entonces sus coordenadas tienen que satis­ facer esta ecuación, es decir 3(5) + (-2) - 6(4) + d = 00 d = 11. Por 10 tanto, 3x + y - 6z + ll = es una ecuación para r.

°

°

El vector i = (1, O, O) es un vector normal al plano yz. Un plano que tiene ecuación de la forma x - XI = (o X = XI) también tiene vector normal i y por consiguiente es paralelo al plano yz (y ortogonal tanto al plano xy como al plano xz). En (i) de la figura 14.27 se muestra una porción de la gráfica de X = JI. Análoga­ mente, la gráfica de y = b es un plano paralelo al plano xz e interseca el eje y en (O, b, O) y la gráfica de z = e es un plano paralelo al plano xy e ínterseca el eje z en el punto (O, O, e) (vea (ii) y (iii) de la figura 14.27).

°

z

z

z

(O, O, e)

..y

(O, b, O) y

y

(a, O, O) x

x x=a

y=b

(i)

(ii)

z=c

(iii)

FiKura 14.27

°

Un plano que tiene una ecuación de la forma by + cz + d = tiene un vector normal a = (O, b, e) y es ortogonal al plano yz ya que a . i = O. Análogamente, las gráficas de ax + by + d = O y de ax + cz + d = O son planos ortogonales al plano xy y al plano xz respectivamente.

+ 5z = 10.

Ejemplo 5

Dibuje la gráfica de la ecuación 3x

Solución

La gráfica es un plano ortogonal al plano xz y que interseca el eje X en el punto (10/3, O, O) y el eje z en el punto (O, O, 2). Observe que la traza en el plano yz tiene una ecuación 5z = 10 y por 10 tanto es una recta paralela al eje y, que interseca

666

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALlTlCA EN EL ESPACIO

el eje z en el punto (O, O, 2). De manera similar, la traza en el plano xy tiene una ecuación 3x = 10 Y es una recta paralela al eje y que interseca el eje x en el punto (10/3, O, O). En la figura 14.28 se muestra una porción de la gráfica incluyendo las trazas en los tres planos coordenados. z

(0,0,2) I I I I I

I L_____________________

•

,,'

y

, ,, ,/

3x

+ Sz ==

10

x

Figura 14.28 Las rectas se pueden describir como intersecciones de dos planos. Si una recta 1 está dada paramétricamente como en (14.29) y si al' a2 Y a3 son diferentes de cero, entonces podemos despejar t de cada una de las ecuaciones, obteniendo \"-X 1

1=---,

.1'-.1'1

:-ZI

1=--,

1=--.

a2

al

a3

Concluimos que P(x, y, z) está sobre 1 si y sólo si x -

(14.34)

XI

Y-

YI

Z -

ZI

La fórmula (14.34) se \lama una forma simétrica para la recta. Considerando las expresiones indicadas por parejas como x III

XI

y

x -

XI

II I

obtenemos una descripción de 1 como una intersección de dos planos, el primero de los cuales es ortogonal al plano xy y el segundo al plano xz. Si alguno de los números al, a2 o a 3 es cero no podemos despejar t de todas las ecuaciones de (14.29). Por ejemplo, si a 3 = O Y a 1a 2 i= Oentonces la tercera ecuación en (14.29) se reduce a Z = ZI Y

es una forma simétrica que otra vez expresa a 1 como la intersección de dos planos. En los casos en que al = O o al = O la situación es similar.

LOS PLANOS

14.6

Ejemplo 6

Encuentre una forma simétrica para la recta que pasa por PI (3, 1, - 2) Y P2 ( -2, 7, -4).

Solución

Como en el ejemplo I de la sección anterior, a

= <-

2 ­ 3,7 - 1. - 4

+ 2)

=

<-

667

5,6, - 2)

es un vector correspondiente a PI P2 Y según (14.29), x = 3 ­ SI,.r = I

+ 61. :

= -

2 ­ 21.

es una representación paramétrica para la recta. Despejando { en cada una de las ecuaciones e igualando los resultados obtenemos la forma simétrica x-3

)'-1

-5

6

z+2 -2 .

Una forma simétrica no es única ya que podemos usar en (14.34) tres números b l , b 2 , b 3 proporcionales a a l ' a 2 , a 3 respectivamente o podemos usar cualquier otro punto sobre I diferente de (XI' YI' ZI)'

Ejemplo 7

Encuentre una fórmula para la distancia h de un punto P(xo, Yo, zo) al plano ax + by + ez + d = O.

Solución

Sea R(x l , YI' ZI) un punto cualquiera en el plano y sea n un vector normal al plano. El vector p =
= Icomp. pi =

Ip '1~ln I

(vea 14.25). Como
Por consiguiente It

=

Ip '1~lnl = la(x o =-~) Jl~2(): ~2 )~~)c~~(Zo-=~I I(axo

+ byo + ezo) + (-ax¡ J a2+ b2+ e2

bYI - czdl

D---------~ P(xo, Yo, zo) I I I I

I I I I I

I

FiKura 14.29

668

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALlTICA EN EL ESPACIO

Como R está en el plano, ax¡ + by¡ + ez¡ + d = O, de manera que d = -ax¡ - by¡ - ez¡ y por lo tanto podemos escribir la fórmula anterior así:

h

+ byo + (Zo + di Ja 2 + b2 + e2 .

= laxo

Ejemplo 8

Encuentre la distancia del punto P( - 6, 2, 3) al plano 4x - 5y

Solución

Según la fórmula que obtuvimos en el ejemplo 7, h=

+ 8(3) )16 + 25 + 64

14( -6) - 5(2)

- 71 -

+

82 - 7

O.

17

=----=.

)105

14.6 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 8 dibuje las gráficas de las ecuaciones dadas. (a)

x= 3 lb)

-2

(e) -- _.

:;

- 6= O

3

2.\-+

6

5x + \ - 4:

\

\'=

+ .::!() = ()

2

(a) x= -4

\=()

(b)

(e) - -

4

.Ix - 2::- 24 =0

5

4r - 2:: - 1::. =0

7

2.\-- r + 5: + 10 = O

II

x +

- 2'3

::=0

\

En cada uno los ejercicios del 9 al 18 encuentre una ecuación del plano que satisface las condiciones dadas. Pasa por P(- 2, 5, - 8) Y tiene un vector normal

Pasa por P(6, -7,4) Y es paralelo a (a) el plano xy; (b) el plano Y2; (c) el plano xz.

10

II

Pasa por P( - 11, 4, - 2) Y tiene un vector normal &=<6,-5,-1).

12

Pasa por P( 4, 2, - 9) Y tiene un vector normal OP.

13

Pasa por P(2, 5, - 6) Y es paralelo al plano 3x - Y + 2z = 10.

14

Pasa por el origen y es paralelo al plano x - 6y + 4z = 7.

15

Pasa por el origen y por los puntos P(O, 2, 5) Y Q(I, 4, O).

16

Pasa por los puntos P(3, 2, 1), Q( -1, 1, - 2) Y R(3, -4, 1).

17

Pasa por P(5, 2, -3) Y es ortogonal a los planos 2x - y + 4z = 7 Y 3y - z = 8.

18

Pasa por P(-4, 1,6) Y tiene la misma traza en el plano xz que x + 4y - 5z = 8.

9

(a) i; (b) j; (c) k.

En los ejercicios del 19 al 22 encuentre una forma simétrica de la recta que pasa por PI y P2 • 19

1'1 (5. -.::!. 4). I'c l'::!. (,. 1)

20

/'¡(.- 3.1. - 1).1'2(7.11. - X)

21

1'¡(4. .::!. --')./'c( -3.2.5)

22

P¡(5. - 7.4l.1'2( - 2. - 1.4)

En los ejercicios del 23 al 26 determine si las rectas dadas (a) son paralelas; (b) son ortogonales; (c) se intersecan.

+ 1)

(x

24

(2x - 3)/6 = U - 4)/( - 1) = (::

25

(x

26

(x -

+

4 = (r

+

23

7)'(-2) = (: - 5) 3:(x - 3)'3 = (r

1)/3 = (r - 3)/( -1) = (:: 3),'5 = (1

+ 6)/(-2)

+ 2);3

+ 1)/2; (x + 3)/( -6) =

+ 5)/2;x/( -4)

(r

=: (-2)

+ 1)j2

= (: -

5)/( -4)

= (r - 4)/2 = (:: - 9)/4

= (: - 2):x;7 = (r -4)/3 = (1 - ::)/5.

En cada uno de los ejercicios del 27 al 30 encuentre la distancia del punto P al plano dado.

27

.Ix -

7r + :: -

5 = O, 1'( L - l, 2)

28

2.\

+ 41

- 5:

+

I

=

0.1'(3. l. - 2)

EL PRODUCTO VECTORIAL 29 4x - 3.:

= 2. P( 5.

- 8. 1)

30

6.1' -.:

=

14.7

669

IO,P(4, 1, -3)

31 Suponiendo que una recta I tiene ecuaciones pa­ ramétricas x = 31 + 1, y = - 21 + 4, Z = 1 - 3, encuentre la ecuación del plano que contiene a I y al punto P(S, O, 2).

32 Encuentre unas ecuaciones paramétricas de la recta que es la intersección de los planos 2x + y + 4z = 8 Y x + 3y - Z = -\.

33 Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto A(I, 2, -3) Ycontiene a la recta que es la intersección de los planos x + 3y - Sz = 10 Y 6x - y + Z = O.

34 Sean a, b y c: tres vectores en J.'í. Demuestre que sus vectores de posición DA, OB Y OC son coplanares si y sólo si e = ma + nb para ciertos escalares m y n.

14.7

EL PRODUCTO VECTORIAL

En esta sección introducimos el producto vectorial (o producto cruz) a x b de dos vectores a y b. A diferencia del producto punto, que es un escalar, esta nueva operación produce otro vector. El producto vectorial se usó primero como una herramienta para los problemas de fisica relacionados con los momentos de fuerzas. Es posible definir a x b geométricamente y luego obtener una forma algebraica mediante la introducción de un sistema coordenado rectangular. Vamos a invertir este proceso y empezaremos con una definición algebraica. Este enfoque oculta la naturaleza geométrica de a x b; sin embargo, simplifica las demostraciones de sus propiedades. Al trabajar con productos vectoriales es conveniente usar determinantes. Un determinante de orden 2 se define como

(/1

(14.35)

1h l

(/2/

G1bJ - uJb l

-­

=

h2

donde todas las letras representan números reales. Por ejemplo

I~-~I =

(2)(5) - (-3)(4) = 10

+ 12

=

22.

Un determinante de orden 3 está dado por (14.36) (/1

Cl

<'J

(/2

(/)

h2

h)

=

I~:

(/31<'1

17),

_1(/1 b,

Esto a veces se llama el desarrollo del determinante a partir del primer renglón. Su valor se puede encontrar aplicando (14.35) a los determinantes de segundo orden en el lado derecho de la ecuación. Ejemplo 1

Solución

Encuentre el valor de

2 -2

-1

1

2

Usando (14.36) y (14.35)

5

3 1,

-4

670

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRlA ANALlTlCA EN EL ESPACIO

2

-1

3

-2

5

1

I

2

-4

15

b

11 (2) -4

1-

-

2

1

= (- 20 - 2)(2) - (8 -

= - 44

+7-

I1 (-1) +

-4

1)( - 1)

1-

+ (-4

2 I

- 5)(3)

27 = - 64.

El producto vectorial (o producto cruz) a x b de los vectores a = (al' a2, a3) y b = (b l , b 2 , b 3 ) se obtiene reemplazando Cl' C2 Y C3 en el lado derecho de (14.36) con los vectores i, j Y k. Así, por definición axb= ¡ al

(14.37)

Ih 2

l' lah¡

l

aJ 1 -

bJ

Una manera conveniente para recordar esta fórmula es usar la notación k

a x b =

(14.38)

(11

(12

aJ

hl

h2

bJ

.

El símbolo en el lado derecho de esta ecuación no es un determinante, ya que el primer renglón contiene vectores en lugar de escalares. En consecuencia no se pueden aplicar a (14.38) las propiedades de los determinantes. La notación de determi­ nantes se usa meramente como una ayuda mnemotécnica para recordar la fórmula (14.37). Con esta advertencia en mente, usaremos (14.38) para encontrar productos vectoriales. Ejemplo 2

Sean a = (2, -1,6) y b = (-3, S, 1). Encuentre a x b.

Solución

Escribiendo

axb=

j

k

2

-1

6

-3

5

I

obtenemos

aXb=I-~ ~Ii-I_~ ~lj+I_~ -~Ik

= (-1 - 30)i - (2 + = -31i - 20j + 7k.

18)j

+ (10

- 3)k

Si a es cualquier vector en V3 , entonces axO=O=Oxa ya que si uno de los vectores en (14.37) es O, entonces cada uno de los determinantes tiene un renglón de ceros. También es cierto que a x a = O para todo a ya que

EL PRODUCTO VECTORIAL

671

14.7

en este caso cada uno de los determinantes en (14.37) tiene dos renglones iguales. El teorema siguiente resalta una importante propiedad del producto vectorial. (14.39)

TEOREMA

El vector a x b es ortogonal a a y a b.

Demostración.

Según el teorema (14.20) es suficiente demostrar que (a x b) . a = O

Y

(a x b) . b = O

>

Si aplicamos la definición de producto escalar a (14.37) y si a =
>

la x h) 'a = 1({2

({J

h2

hJ

I({I

-1({1

= l({)).' - u,h 1 )({1 =

({2hJ({\

=

O.

({J

,17 1

-

h,

-

(({,h, -

-

({.\h 2 ({,

I({, + 1({1

-

({\h'({2

hI

Y b

=

({21({, 17 2

•

+ (({¡!)1 - ({1 h ,)u, + ({"h 1 ({2 + ({l h 2({3 - ({2 h \U, ({J h ,)({2

Por lo tanto a x b es ortogonal a a. Se deja al lector comprobar que (a x b) . b = O. En términos geométricos, el teorema (14.39) implica que si dos vectores a y b diferentes de cero están representados por los vectores PQ y PR con el mismo punto inicial P, entonces a x b se puede representar por un vector PS que es normal al plano determinado por P, Q y R, como se ve en (i) de la figura 14.30. Escribiremos PS =

PQ

x PR.

axh

(¡j)

(i)

Figura 14.30 Se puede mostrar que la dirección de PS se obtiene usando la regla de la mano derecha que se ilustra en (ii) de la figura 14.30. Explícitamente, si e denota el ángulo entre PQ y PR Ysi los dedos de la mano derecha se curvan apuntando en una dirección tal que una rotación de un ángulo Oen esa dirección transformaría a PQ en un vector paralelo a PR, entonces el pulgar extendido apunta en la dirección de PQ x PRo

672

14

Ejemplo 3

Encuentre una ecuación del plano determinado por los puntos P( 4, - 3, 1), Q(6, - 4, 7) Y R(I, 2, 2).

Solución

Aplicando el teorema (14.14),

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALlTICA EN EL ESPACIO

a=(2,-1.6) y b=(-3.5.1). son los vectores correspondientes a PQ' y PRo Por la discusión anterior, el vector a x b es normal al plano determinado por P, Q y R. Del ejemplo 2 sabemos que

a x b

= -

31 i - 20j + 7k.

Usando el teorema (14.30) con PI = P obtenemos la ecuación

+ 3) + 7(: -

- 31 (x - 4) - 20(r

1) = O

que se reduce a - 31 x - 20.1 + 7: + 57

=

O.

El resultado siguiente nos da información acerca de la magnitud de a x b.

(14.40)

TEOREMA

Si IJ es el ángulo entre dos vectores a y b diferentes de cero, entonces

la x bl Demostración. la x

lallblsen 11.

=

Aplicando las definiciones (14.2) y (14.37),

W = la 2 b2

2

+

UJ 1

hJ

= (a2hJ -

Q

la l bl

Jh 2 )2

2 UJ 1

hJ

= (ai

+

a~

hl

a2 ["

h 2

+ (l/lhJ - a h l )2 + (l/l h2 - l/2 b ¡)2

= a~h~ - 2a2aJbJbJ

+ u~h~ +

+ ¡U I j

+ a~b~ + a~h~ - 2U I l/Jh l h J

l/ih~ - 2a 1G 2 b,h 2

+

+ a3)(h~ + b~ + h3)

l/~h~

- (l/¡h¡

+ l11h2 +

l/Jh J )2

Esta última ecuación se puede verificar efectuando las multiplicaciones indicadas. La forma vectorial de esta indentidad es la x

W=

(lallbl)2 - (a . b)2

o, como la x

- (lallbJ)" cos 2 O = (lallbI)2( l - cos 2 (1) = (lallbl)2 sen2 O.

W = (lallbl)2

Finalmente, extrayendo raíces cuadradas obtenemos la x bl = lallblsen O que es lo que queríamos demostrar.

EL PRODUCTO VECTORIAL

(14.41)

14.7

673

COROLARIO

Dos vectores a y b son paralelos si y sólo si a x b = O.

Demostración. Suponga que a y b son dos vectores diferentes de cero. Si (J es el ángulo entre a y b, entonces estos vectores son paralelos si y sólo si (J = 00 (J = n, o equivalentemente sen (J = O. De acuerdo con el teorema (14.40) esto último es equivalente a a x b = O. Si a o b es el vector cero la demostración es trivial. Para interpretar geométricamente la x bl representamos a los vectores a y b por vectores PQ y P R con el mismo punto inicial P. Sea S el punto tal que los seg­ mentos PQ y PR son dos lados adyacentes de un paralelogramo con vértices P, Q, R y S, como se ilustra en la figura 14.31. Una altura del paralelogramo es Ibl sen (J y por consiguiente su área es lallbl sen (J. Comparando esto con (14.40) vemos que la magnitud del vector producto a x b es igual al área del paralelogramo determinado por a y b. En el siguiente capítulo daremos una interpretacion fisica del producto vectorial.

P

Q

a F~~ura

14.31

Ejemplo 4

Encuentre el área del triángulo con vértices P(4, -3, 1), Q(6, -4,7) y R(I, 2, 2).

Solución

De la solución del ejercicio 3 sabemos que a = (2, -1,6) y b = (-3,5, 1) son los vectores correspondientes a PQ y PR respectivamente y que a x b = -3li ­ 20j + 7k. Por lo tanto el área del paralelogramo de lados adyacentes PQ y PR es

la x bl = )961 + 400 + 49 = v'1410. Por lo tanto, el área del triángulo es

tJl4lO.

Los productos vectoriales de los vectores unitarios i, j y k son de particular interés para nosotros. Por ejemplo, usando (14.37) con a = i = (1, O, O) y b = j = (O, 1, O), obtenemos i x j

=

li

I~ .~ -I~ ~

Ij

+

I~ ~ Ik = k.

De la misma manera se pueden demostrar todas las fórmulas siguientes: (14.42)

i x j = k, j x i

=-

j x k

k,

k x j

= i, =-

i x i = j x j = k x k = O.

k x i i,

=j

i x k =-j

674

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALlTlCA EN EL ESPACIO

La demostración se deja como ejercicio. El hecho de que i x j "# j x i demuestra que el producto vectorial no es con­ mutativo. La ley asociativa tampoco se satisface. Por ejemplo,

= i x O = O,

i x (j x j)

mientras que (i x j) x j = k x j = - i.

El teorema siguiente enuncia algunas propiedades importantes del producto vec­ torial. (14.43)

TEOREMA

Si a, by c son tres vectores y m es un escalar, entonces (i)

a x b

=-

(ii) (ma) x b

b x a.

=

m(a x b) = a x (mb).

(iii) a x. (b + c) = a x b + a x c. (iv) (a + b) x e (v) (a x b)· e

+ b x e.

a x e

=

= a ,(b

x e).

(vi) a x (b x e) = (a . c)b - (a . b)c. Todas las propiedades en el teorema (14.43) se pueden demostrar mediante aplicaciones directas (aunque a veces largas) de la definición (14.37). Por ejemplo, si a =
Como al intercambiar dos renglones de un determinante cambia su signo, b

x a = _¡a

2

b2

a31i + la

b3

I

l

a,- k b2

bl

-a x b. Esto demuestra la propiedad (i). Si c =
b3

+ C3

I=

a2(b 3

= (a2b3 =

+ ('3)

{/3(b 2

-

- a3h2)

+

+ ('2)

(a2C) - a)l'2)

\a a31 + la a31 2

,b 2

2

b3

('2

('3

que es igual a la componente en i de a x b + a x c. Se puede usar un procedi­ miento análogo para probar que las componentes en j y en k de a x (b + c) son

EL PRODUCTO VECTORIAL

14.7

675

las mismas que las de a x b + a x e. Esto demuestra el inciso (iii) de (14.43). Las demostraciones de las propiedades restantes se dejan al lector. Terminaremos esta sección con varias aplicaciones geométricas del producto vectorial. Ejemplo 5

Encuentre una fórmula para la distancia d de un punto R a una recta l.

Solución

Sean P y Q puntos sobre 1 y sea () el ángulo entre PQ y PR, como se muestra en la figura. 14.32. Como ti = ¡PR Isen ()

y

IPQ x PR I = IPQ IIPR Isen O vemos que d

I

= --=;-IPQ

x

PR l.

IPQI

p

Q

Figura 14.32

Ejemplo 6

Suponga que PQ. PR Y PS representan tres lados adyacentes de un paralelepípedo rectangular. Demuestre que si a, b y e son los vectores correspondientes en J.j, en­ tonces I(a x b) . el es el volumen del paralelepípedo.

Solución

En la figura 14.33 se ilustra el paralelepípedo. El área de la base es la x bl. Sea ()

a Xb

s

----;;::, -__

-r /

h /

/

/

1

_-- 1 1 / /

/ /

/

/

/1

área de la base

= la x bl Fi¡:ura 14.33

676

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

el ángulo entre e y a x b. Como el vector correspondiente a a x b es perpendicular a la base, concluimos que la altura h del paralelepípedo está dada por h

=

Icllcos (JI.

Es necesario usar el valor absoluto Icos 01, ya que O puede ser un ángulo obtuso. Por lo tanto el volumen V del paralelepípedo está dado por V

=

(área de la base) (altura)

=

la x bllellcos 01

=

I(a x b) ·el.

Ejemplo 7

Encuentre la mínima distancia d entre dos rectas /1 y /2 que no son paralelas ni se intersecan.

Solución

Elija dos puntos PI y QI sobre /1 y dos puntos P2 y Q2 sobre /2 como se ilustra en la figura 14.34. Inferimos que el vector (PI QI

n =

IPIQI

x

X

P2 Q2 )

P2Q21

es un vector unitario ortogonal tanto a PIQI como a P2Q2' (¿Por qué?). Consideremos los planos r l y r 2 que pasan por PI y P2 respectivamente y tales que ambos tienen a n como vector normal. Entonces r l y r2 son planos paralelos que contienen a /1 ya /2 respectivamente. La distancia entre dos planos se mide a lo largo de una recta paralela a la normal común n, como se ve en la figura. Concluimos que d es la distancia mínima entre /1 y /2' Más aún

el = ¡comp. ~ P2 I = In· PI P2 1 I -----I(p¡Q¡ x P2Q2)·P I P2 1. IP1QI x PzQz I

FiKura 14.34

EL PRODUCTO VECTORIAL

677

14.7

14.7 EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 10 encuentre a x b. a = (1, -2,3).b = (2,1. -4)

3

a

= 5i

- 6j - k, b

= 3i + k

5 a=(O.I,2).b=(1.2.0)

= 3i

+

7

a

9

a = 4i - 6j

- j

8k. b

= Sj

+ 2k, b

= - 2i

+ 3j

a = (-5.1. -I).b = (3,6, -2)

4

a = 2i

6

a = - 3i

8

a=(O.0.4).b=(-7.1.0>

10

- k

+ j. b = +j +

- 5j

+

2k

2k, b = ~i - 3j - 6k

a = 3i.b = 4k

12 Suponiendo que a, b y e son los vectores en el ejercicio 11, encuentre

11 Sean a = (2,0, -1), b = (-3,1,0) Y e = <1, -2,4). Encuentre a x (b x e)

2

a x (b - e)

y (a x b) x e.

y a x b­

a x e.

Demuestre que (a x b) . b = O para todos los vectores a y b.

14

Demuestre (14.42).

15 Complete la demostración del teorema (14.43).

16

Demuestre que (a todo a y b.

17 ¿Si a x b = a x e y a # O, se deduce que b = e? Explique su respuesta.

18

Demuestre que para todos los vectores a, b y e

13

a x (b x el

+b

+ b)

x (a - b) = 2b x a para

x (e x a)

+e

x (a x b)

= O.

(Sugerencia: Use (vi) del teorema (14.43).)

En cada uno de los ejercicios del 19 al 22 encuentre (a) un vector ortogonal al plano deter­ minad9 por los puntos P, Q y R; (b) una ecuación del plano que pasa por P, Q y R; (c) el área del triángulo determinado por P, Q y R. 19

P(l, -I,2),Q(0,3, -1),R(3, -4,1)

20

P( -3,O,5),Q(2, -1, -3),R(4, 1, -1)

21

P(4, O, O), Q(O, 5, O), R(O, O, 2)

22

P( -1, 2,0), Q(O, 2, - 3), R(S, O, 1)

23

Sean a =
24 ,

Suponiendo que a, b y e están representados por tres vectores con el mismo punto inicial, demuestre que la . (b x e)1 es el volumen del paralelepípedo que tiene estos tres vectores co­ mo lados adyacentes.

(Este número se llama el triple producto escalar de a, b y e). 25 Dados P(I, -1,2), Q(O, 3, -1) Y R(3, -4,1), use el ejercicio 24 para hallar el volumen del paralelepipedo que tiene a OP, OQ y OR como lados adyacentes.

26 Dados A(2, 1, -1), B(3, 0,2), C(4, -2, 1) y D(S, - 3, O), use el ejercicio 24 para hallar el volumen del paralelepípedo que tiene a AB, AC y AD como lados adyacentes.

.

En los ejercicios 27 y 28 sean /1 la recta que pasa por A y B,y /2 la recta que pasa por C y D. Encuentre la distancia entre /1 y /2' 27 A(l, -2,3), B(2, O, S), C(4.I, -1), D( - 2, 3,4)

28

A(I,3,0). B(O,4,S),C( -2, ~ 1.2),D(S, LO)

678

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALlTlCA EN EL ESPACIO

29 Encuentre la distancia del punto C(2, 1, - 2) a la recta que pasa por los puntos A (3, - 4, 1) Y 8(-1,2, S).

Una recta 1 tiene ecuaciones paramétricas x = 21 + 1, y = -1 + 3, Z = SI. Encuentre la dis­ tancia de A(3, 1, -1) a l.

30

Verifique las identidades en los ejercicios 31 y 32, donde a, b, e y d son vectores arbitrarios. 31

a x (b x e)

= (a . c)b -

(a . b)c

32

(a x b)· (e x d)

=

la. e a·d

b . el b·d

(Este número se llama el triple producto vec­ torial de a, b y e).

14.8

CILINDROS y SUPERFICIES DE REVOLUCION En esta sección y en la siguiente consideraremos ecuaciones en x, y y z cuyas gráficas son fundamentales en el estudio de la geometría analítica. Ya definimos con an­ terioridad el concepto de traza en un plano coordenado. En general la traza de una superficie en cualquier plano, es la intersección de la superficie y el plano. Para encontrar la forma de una superficie a partir de su ecuación, es conveniente estudiar las trazas en los planos paralelos a los planos coordenados.

+

Ejemplo 1

Encuentre las trazas en varios planos, de la superficie cuya ecuación es z = x 2 y dibuje la gráfica de la ecuación.

Solución

Al sustituir O en lugar de x en la ecuación, obtenemos z = y2 Y por consiguiente la traza de la superficie en el plano yz es una parábola con vértice en el origen que se abre hacia arriba, como se muestra en la figura 14.35. Análogamente, al sustituir O en lugar de y, obtenemos z = x 2 y por lo tanto, la traza en el plano xz también es una parábola. Es instructivo encontrar las trazas en los planos paralelos al plano z

y

• Figura 14.35

)'2

CILINDROS Y SUPERFICIES DE REVOLUCION

14.8

679

xy, es decir en los planos que tienen ecuación de la fonna z = c. Sustituyendo e en lugar de z en la ecuación, obtenemos x 2 + y2 = c. Entonces, si e > O, la traza en el plano z = e es un círculo de radio jC. En la figura 14.35 se muestran tres de estos círculos. Si e < O, entonces x 2 + y2 = e no tiene gráfica y en conse­ cuencia ninguno de los puntos debajo del plano xy está sobre la superficie. La traza en el plano xy tiene la ecuación x 2 + y2 = O y por lo tanto consta únicamente de un punto, el origen. Aunque podríamos encontrar las trazas en los planos paralelos al plano xz o al plano yz, las que hemos obtenido son suficientes para describir con precisión la gráfica. Se seguirá de la discusión al final de este capítulo que la super­ ficie en este ejemplo se puede considerar como la superficie generada al girar la gráfica de la parábola z = y2 en el plano yz alrededor del eje z. Esta superficie se llama un paraboloide circuJar o un paraboloide de revolución.

(14.44)

DEFINICION

Si e es una curva en un plano y I es una recta que no está en el plano, entonces el conjunto de los puntos que se encuentran sobre las rectas paralelas a I y que intersecan a e se llama un cilindro. La curva e en la definición (14.44) se llama una directriz del cilindro y cada recta que pasa por e y es paralela a I es una generatriz del cilindro. El cilindro más familiar es el cilindro circular recto, que se obtiene cuando e es un círculo en el plano y I es una recta perpendicular al plano como se ilustra en (i) de la figura 14.36. Aunque el cilindro en la figura está cortado, debe entenderse que las generatrices se ex­ tienden hacia el infinito. No se necesita que la directriz e en la definición (14.44) sea una curva cerrada. Esto se ilustra en (ii) de la figura 14.36 donde e es una pará­ bola. En la discusión siguiente consideraremos únicamente el caso en el que la direc­ triz e está en un plano coordenado y la recta I es paralela al eje coordenado que no está en el plano. Suponga que e está en el plano xy y su ecuación es y = f(x), donde

(i)

FiKura 14.36

680

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRlA ANALITICA EN EL ESPACIO

f

es una función, y suponga que las generatrices son paralelas al eje z. Como se ve en la figura 14.37, un punto P(x, y, z) está sobre el cilindro si y sólo si Q(x, y, O) está en e, es decir, si y sólo si las dos primeras coordenadas x y y de P satisfacen la ecuación y = f(x). Concluimos que la ecuación del cilindro es y = f(x) y por consiguiente es la misma que la ecuación de la directriz en el plano xy. z

p(x, y, z)

r------- ----­

..y

y =f(x)

Figura 14.37 x2

y2

4 +9

Ejemplo 2

Dibuje la gráfica de

Solución.

Sabemos de nuestros comentarios anteriores que la gráfica es un cilindro con gene­ ratrices paralelas al eje z. Primero dibujamos la gráfica de x 2¡4 + y2¡9 = 1 en el plano xy. Esta elipse es la directriz del cilindro. Todas las trazas en los planos para­ lelos al plano xy son elipses congruentes a esta directriz. En la figura 14.38 mos­ tramos una porción de la gráfica. Esta superficie se llama un cilindro elíptico.

=

l.

Se puede mostrar que la gráfica de una ecuación que únicamente contiene las variables y y z es un cilindro cuyas generatrices son paralelas al eje x y cuya traza (directriz) en el plano yz es la gráfica de la ecuación dada. Análogamente, la gráfica de una ecuación que no contiene la variable y es un cilindro cuyas generatrices son paralelas al eje y y cuya directriz es la gráfica de la ecuación dada en el plano xz. Ejemplo 3

Dibuje las gráficas de las ecuaciones siguientes (a) y2 = 9 - z

Solución

(b) z = sen x

(a) La gráfica es un cilindro cuyas generatrices son paralelas al eje x. La directriz en el plano yz es la gráfica de y2 = 9 - z. En (i) de la figura 14.39 se muestra parte de la gráfica. Esta superficie se llama un cilindro parabólico. (b) La gráfica es un cilindro cuyas generatrices son paralelas al eje y y cuya directriz es la gráfica de la ecuación z = sen x en el plano xz. En (ii) de la figura 14.39 se muestra una porción de la gráfica.

CILINDROS Y SUPERFICIES DE REVOLUCION

681

14.8

z

I

I I

I I I I

, /

­---­

I I

I

~111

-JL--­ 1

1

x' y' -+-= 4 9

Y

I

Figura 14.38 z

r

I I

I

I

)----------

I

, I

Y

I

,, I

Y

I

I

x (i) y2 = 9 -

z

(ji) z = senx

Figura 14.39

En el capítulo 13 se definió una superficie de revolución como la superficie generada al girar una curva plana e alrededor de una recta en el plano, llamada el eje de revolución. En la discusión siguiente, e siempre estará en un plano coordena­ do y el eje de revolución será uno de los ejes coordenados. Usaremos el símbolo f(x, y) para denotar una expresión algebraica o trascendente en las variables x y y. En este caso f(a, b) denotará el número que se obtiene al sustituir a en lugar de x y b en lugar de y. Esta notación se discutirá más a fondo en el capítulo 16. La gráfica de la ecuación f(x, y) = O en el plano xy es una curva C. (Aquí estamos interesados únicamentes en la gráfica en el plano xy y no en la gráfica

682

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

tridimensional que es un cilindro). Suponga por simplicidad que x y y son no nega­ tivos para todos los puntos (x, y) sobre e y sea S la superficie que se obtiene al girar e alrededor del eje y. Como se ve en la figura 14.40, un punto P(x, y, z) está sobre S si y sólo si QC\" l' y, O) está sobre e, donde XI = x 2 + Z2. Por consiguiente P(x, y, z) está sobre S si y sólo sif(Jx 2 + Z2, y) = O. Entonces, para encontrar una ecuación para S reemplazamos la variable x en la ecuación de e con x 2 + z 2. Análogamente, si la gráfica de f(x, y) = O gira alrededor del eje x, entonces se puede hallar una ecuación para la superficie resultante, reemplazando y con y2 + Z2. Para algunas curvas que contienen puntos (x, y) donde x o yes negativo, se puede generalizar la discusión anterior sustituyendo ± x 2 + Z2 en lugar de x, o y 2 + Z2 en lugar de y. Cuando, como en el siguiente ejemplo, x o y sólo apare­ cen elevados a potencias pares, entonces no hay necesidad de hacer esta distinción ya que el radical desaparece al simplificar la ecuación.

J

J

J ±J

J

z

y

C: f(x, y) = O

x Figura 14.40

Ejemplo 4

La gráfica de 9x 2 + 4y 2 = 36 gira alrededor del eje y. Encuentre una ecuación para la superficie resultante.

Solución

Se puede encontrar la ecuación deseada sustituyendo x 2 nos da 9(x 2

+

Z2

en lugar de x 2 . Esto

+ Z2) + 4/ = 36.

La superficie se llama un elipsoide de revolución. Se pueden discutir de manera similar las curvas que están en el plano yz o en el plano xz. Por ejemplo, si una curva e en el plano xz gira alrededor del eje z, en­ tonces se puede hallar una ecuación para la superficie resultante sustituyendo Jx 2 + y2 en lugar de x. Si e gira alrededor del eje x sustituimos J y 2 + Z2 en lugar de z. Finalmente observe que las ecuaciones de las superficies de revolución se caracterizan por el hecho de que dos de sus variables aparecen en combinaciones tales como x 2 + y2, y2 + Z2 o x 2 + Z2.

SUPERFICIES CUADRATICAS

+

4x 2

683

14.9

= 16 como una superficie de

Ejemplo 5

Describa la gráfica de la ecuación y2 revolución.

Solución

La ecuación dada se puede obtener a partir de la ecuación y2 - 4x 2 = 16 sustitu­ yendo y2 + Z2 en lugar de y. Por lo tanto la gráfica es la gráfica de la superficie generada al girar la hipérbola con ecuacióny~ - 4x~ = 16 en el plano xy, alrededor del eje x. También podríamos describir la gráfica como la superficie generada al girar alrededor del eje x la hipérbola con ecuación Z2 - 4x 2 = 16 en el plano xz.

Z2 -

J

14.8 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 10 dibuje la gráfica de la ecuación en tres dimensiones.

,

x-

+

\,2

=9

5 x 2 = 9:: 9 -- = (-').

,

_2

= 16

2

1'-

6

x 2 - 4.1' =

10

::

+

()

3

4r 2 + 9:: 2 = 36

7

.1

2

-

,2 = 16

4

x2

+ 5: 2 = 25

8

\'~

= I

= loglox

En los ejercicios del 11 al 16 encuentre una ecuación de la superficie que se obtiene al girar la gráfica de la ecuación dada alrededor del eje indicado. Dibuje la gráfica de la superficie. 11

14

x 2 + 4y 2 z

=

16; eje y

= e-""; eje y

12

15

y2 = 4x; eje x Z2 -

x2

= 1; eje x

13

z

16

xz = 1; eje z

= 4 - y2;

eje z

En los ejercicios del 17 al 20 dibuje la gráfica de la ecuación dada. 17

x 2 + 4)12

+ Z2

=

16.

19 Y - 4z 2 = 4x 2

14.9

4/ + Z2

18

x2

20

x 2 - .1'2

-

+ Z2

=

16

= 1

SUPERFICIES CUADRATICAS En el capítulo 7 mostramos que en dos dimensiones la gráfica de una ecuación de segundo grado en x y en y es una sección cónica. En la geometría analítica en tres dimensiones, la gráfica de una ecuación de segundo grado en x, y y z se llama una superficie cuadrática. En esta sección estudiaremos las ecuaciones canónicas de estas superficies. La gráfica de

(14.45) donde a, b y e son números reales positivos se llama un elipsoide. Las trazas de esta superficie en planos paralelos a los planos coordenados son elipses. Por ejemplo, la traza en el plano xy es la elipse con ecuación x 2/a 2 + y2/b 2 = 1. Análogamente, como se indica en la figura 14.41, las trazas en los planos yz y xz son elipses. En­

684

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRlA ANALITICA EN EL ESPACIO

z

y

Figura 14.41

contremos ahora la traza en un plano arbitrario paralelo al plano xy, es decir en un plano cuya ecuación es de la forma z = k. Sustituyendo k en lugar de z en (14.45) obtenemos la ecuación

Si Ikl > e, entonces 1 - k 2 /C 2 < O y no hay gráfica. Por consiguiente la gráfica de (14.45) está entre los planos z = - e y z = c. Si Ikl < c, entonces 1 - k 2 /C 2 > O y por lo tanto la traza en el plano z = k es una elipse. Análogamente, las trazas en los planos paralelos a los otros dos planos coordenados son elipses, siempre y cuando no intersequen el eje x fuera del intervalo abierto ("':a, a) o el eje y fuera de ( - b, b). Observe que si a = b = e, entonces la gráfica de (14.45) es una esfera de radio a con centro en el origen. La gráfica de (14.46)

se llama un hiperboloide de un manto. Las trazas en los planos xz y yz son hipérbolas con ecuaciones

respectivamente. Las trazas en planos paralelos al plano xy tienen ecuaciones de la forma

donde k es un número real y por lo tanto son elipses. La gráfica de (14.46) se muestra en la figura 14.42. El eje z se llama el eje del hiperboloide.

SUPERFICIES CUADRATICAS

14.9

685

z

x

Figura 14.42

La gráfica de

(14.47)

también es un hiperboloide de un manto; sin embargo en este caso el eje del hiper­ boloide es el eje y. Si el término que contiene a x 2 es negativo y los otros dos son positivos, entonces el eje del hiperboloide coincide con el eje x. La gráfica de x 2 y2 Z2 -2- - -= 1 2 2

a

b

e

se llama un hiperboloide de dos mantos. Las trazas en los planos xy y xz son hipér­ bolas, mientras que las trazas en los planos con ecuaciones de la forma x = k donde Ikl > a son elipses. Dejamos al lector probar que la gráfica de (14.47) tiene la apariencia que se muestra en la figura 14.43. El eje x se llama el eje del hiper­ boloide. Usando signos menos en distintas parejas de términos podemos obtener un hiperboloide cuyo eje es el eje y o el eje z. La gráfica de (14.48)

es un cono cuyo eje es el eje z. La traza en el plano yz tiene la ecuación y2/b 2 - Z2/ C 2 = O. Despejando y, obtenemos y = ±(b/c)z, lo cual nos da las ecuaciones de dos rectas que pasan por el origen. Análogamente la traza en el plano xz consta de un par de rectas que se intersecan en el origen. Las trazas en los planos

686

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRlA ANALlTICA EN EL ESPACIO z

y

x

Figura 14.43 z

y x'

y'

z'

-+---=0 a' b' e'

x

paralelos al plano xy son elipses. (¿Por qué?). La gráfica se muestra en la figura 14.44. Cambiando los signos de los términos en (14.48) obtenemos un cono cuyo eje es el eje x o el eje y. La gráfica de una ecuación de la forma 2

(14.49)

x / -, + -, = ab­

C'Z

se llama un paraboloide. El ejemplo l de la sección anterior es el caso particular

SUPERFICIES CUADRATICAS

14.9

687

de (14.49) en el cual a = b = e = 1. Si e > O, entonces la gráfica de (14.49) es semejante a la que se muestra en la figura 14.35, excepto que si a #- b, entonces las trazas en planos paralelos al plano xy son elipses en lugar de círculos. Si e < O el paraboloide se abre hacia abajo. El eje z se llama el eje del paraboloide. Las gráficas de las ecuaciones

son paraboloides cuyos ejes son el eje y y el eje x respectivamente. Finalmente, la gráfica de la ecuación

y2 x2 - 2 - - 2 = ez

(14.50)

a

b

se llama un paraboloide hiperbólico. En la figura 14.45 se muestra un dibujo típico (en el caso e > O) de esta superficie en forma de silla de montar. Se obtienen otras posiciones del paraboloide hiperbólico al intercambiar los papeles de x, y y z en (14.50). z

y

x

Figura 14.45

Es posible obtener fórmulas para la traslación o rotación de los ejes en tres dimensiones que son análogas a las de dos dimensiones. Estas se pueden usar para demostrar, excepto en casos degenerados, que la gráfica de una ecuación de grado dos en x, y y z es una de las superficies discutidas en esta sección.

9y 2 + 36z 2 = 144 e identifique la superficie.

Ejemplo 1

Dibuje la gráfica de 16x 2

Solución

Dividiendo ambos lados de la ecuación por 144 obtenemos

-

688

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALlTICA EN EL ESPACIO

La traza en el plano xy es la hipérbola x 2/9 - y2jl6 = I cuyos vértices son (±3, O, O). La traza en el plano yz es otra hipérbola z2/4 - y2/16 = I cuyos vértices son (O, O, ± 2). La traza en el plano xz es la elipse x 2/9 + z2/4 = 1. Estas trazas se ilustran en la figura 14.46. Para encontrar las trazas en los planos paralelos al plano XZ, sustituimos y = k en la ecuación dada obteniendo x2

k2

Z2

9 +4 = 1+ \6' Esto demuestra que cada traza en un plano paralelo al plano xz es una elipse. Por ejemplo si k = ± 8 obtenemos x 2/9 + z2/4 = 5 o equivalentemente x 2/45 + z2/20 = l. Estas trazas se muestran en la figura 14.46. Las trazas en los planos paralelos al plano xy o al plano yz se pueden encontrar sustituyendo z = k o x = k respecti­ vamente en la ecuación dada. Dejamos al lector comprobar que en cada uno de estos casos la traza es una hipérbola. La superficie es un hiperboloide de un manto cuyo eje es el eje y. z

y

Fi¡:ura 14.46

+ 4z 2 = x e identifique la superficie.

Ejemplo 2

Dibuje la gráfica de y2

Solución

La traza en el plano xy es la parábola y2 = x. La traza en el plano xz es la parábola 4z 2 = x. Estas trazas se muestran en la figura 14.47. La traza en el plano yz es la gráfica de y2 + 4z 2 = O Y por lo tanto consta de un solo punto, el origen. Para encontrar las trazas en los planos paralelos al plano yz sustituimos x = k en la ecuación dada obteniendo y2 + 4z 2 = k.

Si k < O no hay gráfica. (¿Por qué?). Si k > O la traza es una elipse. Por ejemplo, si k = 9 obtenemos

que es una elipse con semiejes de longitudes 3 y 3/2, como se ilustra en la figura 14.47. El lector debe comprobar que las trazas en los planos paralelos al plano xy o al plano xz son parábolas. La superficie es un paraboloide cuyo eje es el eje x.

SISTEMAS DE COORDENADAS CILlNDRICAS y ESFERICAS

14.10

689

z

Figura 14.47

14.9 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 20 dibuje la gráfica de la ecuación dada e identifique la superficie. 4x 2 + 9.1'2 = 36z

2

8x 2 + 4y 2 + Z2 = 16

3

16x 2 +

4

25x 2 - 225/

5

3x 2 - 4.1'2 - Z2

6

4x 2 + y2

7

x2

8

4/ -

9

9x 2 + 4.1'2

11

2

_ 2

10

16x

13

.v 2 -

16 19

+ 9z 2 = 225

16 y 2 = 4z 2 -

25.1'2

+ lOOz 2 = 200

16x

=

12

25z 2 = 100x 4y 2 - Z2

-

+ 1=O

lool -

25z 2 = 400

= 9z2 + z2 = 36

12

36x

= 9.1'2 + Z2

14

Z2 - x -y2

=1

15

4.1'2

+ 25z 2 + loox = O

16.1'

17

36x 2 - 16.1'2

+ 9z 2 = O

18

41

+ 9z 2 = 9x 2

4y

20

4x 2 + 16y = Z2

9x 2 - Z2 - 9

=O

= x 2 + 4z 2 = x 2 - Z2

14.10

2

SISTEMAS DE COORDENADAS CILlNDRICAS y ESFERICAS El sistema de coordenadas polares se puede generalizar a tres dimensiones de varias maneras. El procedimiento más simple es representar un punto P por una terna ordenada (r, z) donde z es la (tercera) coordenada rectangular usual de P y (1', (J) son las coordenadas polares de la proyección P' de P sobre el plano xy. (Vea la figura 14.48.)

e,

Si las coordenadas rectangulares de P son (x, y, z), entonces podemos usar las fórmulas (14.51)

x = rcosO,

y = rsenO,

tanO =~, x

1'2

=

x2

+ y2

para cambiar de un sistema de coordenadas al otro (vea (13.6) y (13.7». Si k > 0, entonces la gráfica de la ecuación l' = k o equivalentemente x 2 + y2 = k 2 es un cilindro circular de radio k cuyo eje coincide con el eje z. Por esta razón el sistema de coordenadas que acabamos de describir se llama el sistema de coordenadas cilin­

690

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO ::

P(r, fJ, ::)

y p'(r, (J, O)

x

Fi¡:u,.a 14.48

e

dricas. Observe que la gráfica de = k es un plano que contiene al eje z, mientras que la gráfica de z = k es un plano perpendicular al eje z.

Ejemplo 1

Encuentre una ecuación en coordenadas rectangulares para la gráfica de las si­ guientes ecuaciones. Describa las gráficas. (a) z = 1'2 (b) r = 4 sen O

Solución

(a) Según (13.7), z = x 2 + y2 es una ecuación en coordenadas rectangulares para la gráfica de z = r 2 • La gráfica es el paraboloide que se muestra en la figura 14.35. (b) Como vimos en el ejemplo 4 de la sección 13.3, x 2 + y2 = 4y es una ecuación en coordenadas rectangulares para la gráfica de l' = 4 sen (J. La gráfica es un cilindro con generatrices paralelas el eje z. La directriz del cilindro es un círculo de radio 2 en el plano xy con centro (O, 2, O) en coordenadas rectangulares.

Ejemplo 2

Encuentre una ecuación en coordenadas cilíndricas para la gráfica de las ecuaciones siguientes. Describa las gráficas. (a) :2

Solución

=x2

_

y2

(b) :" = x 2

+ .\"

(a) Aplicando las dos primeras ecuaciones de (14.51),

z"

= ,.2 <:OS2 () - ,.2

sen 2 ()

= ,.2(<:OS" () - sen2 O)

o

La gráfica es un cono circular cuyo eje coincide con el eje x. (b) Usando la última ecuación de (14.51) , ,

:- =,.-

o

:

= ±r

La gráfica es un cono circular cuyo eje es el eje z.

SISTEMAS DE COORDENADAS CILINDRICAS y ESFERICAS

691

14.10

También podemos introducir en tres dimensiones otro sistema de coordenadas, el sistema de coordenadas esféricas. En este sistema todo punto P diferente del origen se representa por una terna ordenada (p, (J, 4J), donde p = IMI, (J es el ángulo polar asociado con la proyección P' de P sobre el plano xy y 4J es el ángulo entre el eje z positivo y OP (vea (i) de la figura 14.49). El origen se representa por cual­ quier terna de la forma (O, (J, 4J). El término esféricas surge del hecho de que la gráfica de p = k, cuando k > 0, es una esfera con centro en O. Igual que en las coordenadas cilíndricas, la gráfica de (J = k es un semiplano que contiene el eje z. La gráfica de 4J = k es un semicono con vértice en O excepto cuando 4J = o 4J = n.

°

= Q(O, O. :) .................................

P(p, 8,

_

<1»

P(x, y, z)

P(p, 8.

<1»

_1'

P'(x, y, O)

P'

x

x (i)

(ii)

Figura 14.49

La relación entre las coordenadas esféricas (p, (J, 4J) y las coordenadas r~c­ tangulares (x, y, z) de un punto P se puede hallar remitiéndose a (ii) de la figura 14.49. Usando que x=IOP'lcosO

Y.l'=IOP'lsenO

junto con IOP'1 = IQPI = psencfJ

y

IOQI = pcoscfJ

obtenemos (14.52)

x = psen cPcosO.

r = {)sen cfJsen O.

: = pcos e/J,

También es evidente de la fórmula de la distancia que (14.53)

Ejemplo 3

Encuentre una ecuación en coordenadas rectangulares para p = 2 sen 4J cos describa la gráfica de la ecuación.

(J

y

692

14

Solución

Multiplicando ambos lados de la ecuación por p obtenemos p2 = 2p sen

Ejemplo 4

Suponga que las coordenadas esféricas de P son (4, n13, nI6). Encuentre las co­ ordenadas rectangulares y cilíndricas de P.

Solución

Usando (14.52) con p = 4, (J tangulares

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALlTICA EN EL ESPACIO

= nl3

= nl6

y
obtenemos las coordenadas rec­

x =

4sen~cos~ = 4(~)(~)

Y=

4sen~sen~ 4(~) (f) = /3

z=

4cos~ = 4( f)

=

I

=

=

2J3.

Para encontrar las coordenadas cilindricas observamos que r 2 = x 2 + y2 = l + 3 = 4. Por consiguiente las coordenadas cilíndricas (r, (J, z) de P son (2, n13, 2J"3">.

14.10 EJERCICIOS Cambie de coordenadas cilíndricas a coordena­ das rectangulares. (a) (5, n/2, 3) (b) (6, n/3, - 5)

2 Cambie de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares. (a) (4, n/2, n/6) (b) (1, 2n/3, 3n/4)

3 Cambie de coordenadas rectangulares a coorde­ nadas esféricas. (b) (1, j3, O) (a) (1,1, -2Ji)

4

Cambie de coordenadas rectangulares a coorde­ nadas cilíndricas. (a) (2j3, 2, - 2) (b) (Ji, - Ji, 1)

5 Cambie de coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas. (b) (2, n/4, 51[(6) (a) (4, n/3, n/3)

6

Cambie de coordenadas cilíndricas a coordena­ das esféricas. (a) (Ji, 1[(4, 1) (b) (3, n(3, 1)

En los ejercicios del 7 al 20 describa la grafica de la ecuación dada.

9 (1) = 71/6

8 O= 71/4

7 r=4

r = sen 20

11

r = 4cos O

12

15

4>=()

16 (/1 = 71/2

19 p2 _ 3p + 2 = O

10 p=3

13 p = 4cos ep 17

14 P = sec 4>

18 z = I - r 2

r 2 = cos 20

20 q)2 _ 71
En los ejercicios del 21 al 26 encuentre ecuaciones en coordenadas cilíndricas y esféricas para

las gráficas de las ecuaciones dadas.

21

x 2 + y2

24

x 2 - y2 -

+ Z2 = 4 Z2

= 1

22 25

x2

+ / = 4z

.1'2

+ Z2

=

9

23 3x + y - 42 26

x

2

+ :2 = 9

=

I2

14.11

693

14.11

REPASO

REPASO

Conceptos Defina o discuta lo siguiente Escalar

2

Vectores en V2 y V3

3

Las componentes de un vector

4

Suma de vectores

5

Los múltiplos escalares de un vector

6

El vector cero

7

El vector de posición

8

La magnitud de un vector

9

Vector unitario

10 Angulos y cosenos directores

El producto escalar y sus propiedades

12 El producto vectorial y sus propiedades

11

13 El ángulo entre dos vectores

14 Vectores paralelos

15 Vectores ortogonales

16

17 La desigualdad del triángulo

18 El trabajo efectuado por una fuerza

19 Ecuaciones de una recta

20

21

Cilindros

22 Superficies cuadráticas

23

Coordenadas esféricas

24

La desigualdad de Cauchy-Schwarz

Ecuaciones de un plano

Coordenadas cilíndricas

Ejercicios En los ejercicios del 1 al 10 suponga que a escalares indicados. 4a

+b

2

2a - 3b

6

la - bl

=

2i

+ 5j

yb

= 4i

- j. Encuentre los vectores o

+ b) . (a

2b)

+ i)

3

(a

8

Un vector unitario con la misma dirección que b

-

4

:la ·(5b

5

[al - Ibl

7

El ángulo entre a e i

9

Un vector unitario ortogonal a a

10 El coseno del ángulo entre a y b

Dados los puntos A(5, -3,2) Y B(-l, -4,3) encuentre lo siguiente.

12 Encuentre una ecuación del plano que pasa por

11

(a) d(A, B)

(b) Las coordenadas del punto medio del seg­ mento de recta AB (c) Una ecuación de la esfera con centro en B y que es tangente al plano xz (d) Una ecuación del plano que pasa por B y es paralelo al plano xz (e) Unas ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por A y B (f) Una ecuación del plano que pasa por A y ""-­ tiene un vector normal A B

A(O, 4, 9) Y B(O, - 3, 7) Y que es perpendicular al plano yz.

694

14

LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

13 Encuentre una ecuación del plano que interseca el eje x en el punto (5, 0, O), al eje y en (O, -2, O) Y el eje z en (O, 0, 6).

14

15 Encuentre una ecuación del elipsoide con centro O que interseca el eje x en el punto (8, 0, O), al eje yen (0,3, O) Y al eje z en (0,0, 1).

16

Encuentre una ecuación del cilindro que es per­ pendicular al plano xy y cuya directriz es el circulo en el plano xy con centro C(4, - 3, O) Y radio 5. Encuentre una ecuación para la superficie que

se obtiene al girar la gráfica de la ecuación z = x alrededor del eje z.

En cada uno de los ejercicios del 17 al 27 dibuje la gráfica de la ecuación dada. 17 x~+/+:l-14x+6J'-8:+10=0

184.1'-3:-15=0

19 3x - 5.1' + 2: = 10

20

\' = :l + I

22 x 2 + 4)' + 9z 2 = O

23

Z2 -

26

2

25

Z2 --

4x

2

-

l

= 4

x

4x 2 = 9 -

41

2

+ 2.l + 4z = 16

En los ejercicios del 28 al 44, suponiendo que a = 3i - j - 4k, b e = - i + 6k, encuentre los vectores o escalares pedidos. 28 3a - 2b

29

a, (b - e)

=

2i

21

9x 2 + 4z 2 = 36

24

2x 2 + 4z 2

27

x 2 - 4)'2 = 4z

+ 5j

_

y2

= O

- 2k Y

30

lb + el

34

El coseno d.el ángulo entre a y e

31

Ibl + lel

32 Un vector unitario con la misma dirección que a

33 Los cosenos directores de a 35

a x b

36

a ·(b x e)

37

comPb a

39

a· a

40

a x a

41

(a x e)

43

Un vector que tenga dirección opuesta a la de b y dos veces la magnitud de b.

44

Dos vectores ortogonales a b y a e.

45

Dados los puntos P(2, - 1, 1), Q( - 3, 2, O) Y R(4, - 5, 3) encuentre lo siguiente

46

Encuentre el ángulo entre las dos rectas

+ (e

x a)

(x - 3)/2

(a) Los cosenos directores de PR (b) Un vector unitario ortogonal al plano de­ terminado por P Q y R (c) Una ecuación del plano determinado por P, Q y R (d) Unas ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por P y es paralela a la recta que pasa por Q y R

(x

+

1).'7

38

comp. lb x e)

42

a x (b

+ e)

= (y + 1)/( -4) = (z - 5)/8 Y = (6 - y)/2 = (22 + 7)/( -4).

(e) QP' QR (f) El ángulo entre QP y QR

(g) El área del triángulo con vértices P, Q y R 47

Encuentre unas ecuaciones paramétricas para cada una de las rectas en el ejercicio 46.

48

Investigue si se intersecan las rectas siguientes y en caso afirmativo encuentre su punto de intersección . .'(=2+1. .1'= 1 +1.:=4+71; x= -4+51..1'=2-:'1.:= 1-41.

REPASO 49

Encuentre el ángulo entre las rectas en el ejer­ cicio 48.

14.11

695

50 La posición de una particula en el tiempo l es (l, l sen 1, l cos 1). Encuentre la distancia que recorre la partícula en el intervalo de tiempo

[O, 5]. 51

Suponiendo que las coordenadas rectangulares de un punto P son (2, - 2, 1), encuentre sus coordenadas cilíndricas y esféricas.

52

Suponiendo que las coordenadas esféricas de un punto P son (12,311/4,11/6), encuentre sus coordenadas cilíndricas y rectangulares.

En los ejercicios del 53 al 56 encuentre una ecuación en coordenadas rectangulares para la gráfica de la ecuación dada y describa la gráfica. 53

54

el> = 311/4

r = cos20

55

p sen el> cos (} = 1

56

p2 - 3p

En los ejercicios del 57 al 60 encuentre ecuaciones en coordenadas cilíndricas y esféricas para las gráficas de las ecuaciones dadas.

+ y2 = 1 59 x 2 + y2 + Z2 57

x2

-

2z = O

60

2x

+ ji -

3z

=

4

+2=

O

1

_15

FuNCIONES VECTORIALES

En este capítulo extenderemos la teoría de límites, derivadas e integrales a funciones cuyos rangos constan de vectores en lugar de números reales. Nuestra aplicación principal de estos conceptos será al estudio del movimiento en dos y tres dimensiones. En capítulos posteriores se darán más aplicaciones.

15.1

DEFINICIONES En (1.18) se definió una función como una regla que a cada elemento de un conjunto X le asocia un único elemento de un conjunto Y. Si X es un conjunto de números reales y Y es un conjunto de vectores, entonces la función se llama función con

valores vectoriales o función vectorial, y se denota por símbolos tales como r o

-¡ Si r es una función vectorial, entonces para cada número real t en el dominio X de r, existe un único vector r(t) =
(15.1)

=
para cada número t en X. Inversamente, si f, g y h son funciones de X a IR, entonces podemos definir una función vectorial r por medio de (15.1). En consecuencia, r es una función vec­ torial si y sólo si r(t) puede expresarse en la forma (15.1). En caso de que no se diga explícitamente cuál es el dominio de r se supondrá que es la intersección de los domi­ nios def, g y h.

+

2t 3 j

+

Ejemplo 1

Sea r(t) = 3t 2 i

Solución

Los vectores especificados pueden encontrarse sustituyendo los valores de t apro­ piados. Por lo tanto

(t -

r(l)

2)k. Encuentre r(1), r(2) y r(O).

= 3i + 2j

- k

r(2) = 12i + 16j + Ok

696

r(O)

= Oi + Oj

=

12i + 16j

- 2k = - 2k.

DEFINICIONES

15.1

697

Hay una estrecha relación entre las funciones vectoriales y las curvas en el espacio. Así como en la definición (13.1) se hizo para curvas en el plano, definimos una curva en el espacio o una curva en tres dimensiones, como un conjunto e de ternas ordenadas de la forma (f(t), g(t), h(t»

donde las funciones f, g y h son continuas en un intervalo l. La gráfica de e en un sistema de coordenadas rectangulares es el conjunto de todos los puntos P(f(t), g(t), h(t» que corresponden a las ternas en C. Las ecuaciones x = f(t),

y = g(t),

z = h(t)

donde t está en 1, se llaman ecuaciones paramétricas de C. Las nociones de puntos extremos de una curva, curva cerrada, curva cerrada simple y curva lisa tienen los mismos significados que en el caso de dos dimensiones. Si I = [a, b] y e no se in­ terseca a si misma exceptuando posiblemente el caso P(a) = P(b), entonces puede probarse que la longitud L de e desde P(a) hasta P(b) está dada por

(15.2)

L=

f

J[f'(t)P + [g'(t)] 2 + [h'(t)] 2 dt =

f

dX)2 (dy)2 (dZ)2 ( -dt + -dt + -dt dI.

El lector debe comparar estas fórmulas con (13.17) y (13.18). Consideremos ahora una función vectorial r, donde r(t) =
x

r(t) = (f(t), g(t), h(t»

Figura 15.1

Ejemplo 2

Supongamos que r(t) = a cos t i el vector de posición de r(t).

+

a sen t j

+

bt k, donde t está en IR, y sea OP

(a) Dibuje la gráfica de la curva e que describe el punto P al variar t. (b) Encuentre la longitud de e entre los puntos correspondientes a t = OY t = 21t.

698

15

Solución

= a cos t, y = a sen t, Z = bt son ecuaciones paramétricas de C. Si el punto P(x, y, z) está en entonces P se encuentra en el cilindro circular con ecuación x 2 + y2 = a 2 . (¿Por qué?) Al variar t de O a 21t, el punto P comienza en (a, O, O)

FUNCIONES VECTORIALES

(a) x

e

Yle da una vuelta al cilindro. En otros intervalos de longitud 21t, se producen rizos similares (vea la figura 15.2). Esta curva se llama hélice circular. z

(O, a, brr/2)

y

x

Figura 15.2 (b) La longitud de e entre los puntos correspondientes a t encontrarse por medio de (15.2). Por lo tanto L

=

{2n J a2sen2 t + a2cos 2 e + b 2dt

=

fn Ja

2

+ b2

de = Ja

2

+ b2

tJ:n = Ja

2

+

=

OYt

= 21t puede

b 2rr. 2

Ejemplo 3

Sea r(t) = (2t + I)i + (3t - 4)j - 5tk Y OP el vector de posición de r(t). Des­ criba la gráfica de la curva e que traza P al variar t.

Solución

Se ve que x = 2t + 1, y = 3t - 4, z = -5t son ecuaciones paramétricas de C. Por (14.29), la gráfica es una línea recta que pasa por el punto (1, -4, O) Y es paralela al vector <2, 3, - 5). Como en el capítulo anterior, podemos considerar a V2 como el subconjunto de V3 que consta de todos los vectores cuya tercera componente es O. En este caso (15.1) toma la forma r(t) = f(t)i

+

g(t)j

y al variar t la curva trazada por el punto final del vector de pOS1ClOn OP se localiza en el plano xy. En la sección 15.3 consideraremos el caso en el que t es el tiempo y P es la posición de un punto móvil.

DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES

15.2

699

15.1 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del I al 12, dibuje la gráfica de la curva extremo del vector de posición r(/) al variar 1 según se indica. r(t) = (/,4cos/,9sen/): 1 ~ O 3

r(t) =

5 r(/) = 7

9 11

(1,1 2, ( 3 ): (1

r(l) = ti

2

1 en IR

+ I)í + Ij + 3k; 1 en IR

+ Ij + senlk; 1 en IR

trazada por el punto

2

r(/) = (tan/,scc/,2.>: -rr/2 < 1 < rr/2

4

r(t) = (/ 3,1 2, 1'>: O $ 1 $ 4

6

r(/) = 6senlí

8

r(t) = li

+ 4j + 25coslk; -2TC $ 1 $ 2rr

+ 21j + e'k:leniR

1 en IR

10

r(t) = (1 - 13 ,1'>: 1 ~ O

+ e'senlj; O $ 1 $ rr

12

r(l) = 2cosh li

r(l) = (31,1 - 9( r(l) = e'costí

e

2

);

+ 3 senhlj: 1en IR

En cada uno de los ejercicios del 13 al 18 encuentre la longitud de la curva dada. 13

C={(5I,41 2 ,31 2 ):O$I$2l

14

C={(1 2 ,lsenl,lcost):O$I$ll

15

x = e'COSI, y

=

16

x = 21, Y = 4 sen 31,

17

2

3

x = 31

,)'

15.2

=1,

e', z = e'senl; 0$1 $ 2rr Z

= 61; 0$ 1 $ I

18

x = I - 21

2

,

Z

= 4cos31; O $ 1 $ 2rr

Y = 41, z = 3

+ 21 2 ; O $ 1 $ 2

DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES Los límites de funciones vectoriales pueden definirse como sigue.

(15.3)

DEFINICION

Si r(t)

=


limr(t) =
'-a

'-a

'-a

siempre y cuando f, g y h tengan límite cuando t tiende a a. Si r(t) = f(t)i

+

g(t)j

+

h(t)k, entonces escribimos

~i~r(t) = [~~~I(t)} + [~~~g(t)} + [~i~h(t)}. La definición anterior puede extenderse a límites unilaterales como se hizo en el capítulo 2. Si en (15.3) lim .I(t)

= a lo Jim g(t) = al,

Y

lim hIt)

= ((3

entonces

Intuitivamente tenemos una situación como la ilustrada en la figura 15.3, en la que si OP y OA son los vectores de posición correspondientes a r(t) y a respectiva­ mente, entonces cuando t se acerca a a, OP se acerca a OA, en el sentido de que

700

15

FUNCIONES VECTORIALES

z

x

Figura 15.3 P se aproxima a A. Pueden probarse teoremas sobre límites similares a los del capitulo 2 para funciones vectoriales. Estos teoremas se dejan como ejercicio. También se pueden fonnular los limites de funciones vectoriales en ténninos de t: y J de manera semejante a la de la definición (2.6) (vea el ejercicio 35).

(15.4)

DEFINICION

Una función vectorial r es continua en a si lim r(t)

=

r(a)

Se sigue de esto que si r(t) =
DEFINICION

Si r es una función vectorial, entonces la derivada de r es la función vectorial r' definida por r'(I) = lim ór-O

para todo

t

~ [r(1 + M) -

dI

r(l)]

para el cual el límite existe.

Si adoptamos la convención de que -

1

dI

[r(1

+ dI)

­ r(I)]

=

r(1

+ dI)

- r(l)

dI

entonces la definición (15.5) toma la forma familiar para derivadas introducida en el capitulo 3. El siguiente resultado muestra que para encontrar r'(t) podemos derivar cada componente de r(t).

DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES

(15.6)

TEOREMA

701

15.2

Si r(t) =
= f(t)i

+ g(t)j + h(t)k

donde f, g y h son derivables, entonces r'(t) = <.f'(t),g'(t), h'(t»

Demostración. r'(t)

= .f'(t)i

+ g'(t)j + h'(t)k.

Por la definición (15.5),

= lim ~ [(f(t + ,1t), g(t + ,1t), h(t + ,1t» -
~
= lim ~l-O ,1t

_.
- 11m

<11- 0 , 1 1

- f(t), g(t + ,1t) - g(t), h(t + ,1t) - h(t) > I(I) g(t + ,1t) - g(t) h(t + ,1t) - h(I»

,

,

,11

,11

.

Tomando el límite de cada componente se obtiene el resultado requerido. Si r'(/) existe decimos que la función r es derivable en las derivadas por

l.

También denotamos

d r'(t) = D,r(t) = dt r(t).

Las derivadas de orden superior pueden obtenerse de manera parecida. Por ejemplo (15.7)

r"(e) =
Ejemplo 1 Sea r(/) = (In I)i

+

e- 3l j

+

=f"(I)i

+ g"(I)j + h"(I)k.

1 2 k.

(a) Encuentre el dominio de r y determine dónde r es continua. (b) Encuentre r'(/) y r"(/). Solución

(a) Como In I no está definido para I ::; O, el dominio de r es el conjunto de los reales positivos. Más aún, r es continua en todo su dominio ya que cada una de sus componentes es una función continua. (b) Por (15.6) y (15.7),

+ 2tk + ge- 3'j + 2k.

r'(t) = (l/t)i - 3e- 31j r"(t) = ( -1/t 2)i

Como la definición de r'(/) en (15.5) tiene la misma forma que la dada para f'(x) en el capítulo 3, es razonable esperar que las fórmulas de derivación para funciones vectoriales sean similares a las de las funciones reales. El siguiente teorema afirma este hecho. En los ejercicios pueden encontrarse otras fórmulas de deriva­ ción.

702 (15.8)

15

FUNCIONES VECTORIALES

TEOREMA

Si u y v son funciones vectoriales derivables y e es un escalar, entonces (i)

D,[u(c)

+ v(r)]

+ v'(c).

= u'(t)

= cu'(I). = U(I) 'V'(I) + u'(t) ·v(t).

(ii)

D,[cu(c)]

(iii)

D,[U(I) ·v(t)]

(iv)

D,[u(t) x v'(I)] = u(1) x v'(t)

Demostración. Si escribimos

+ u'(t)

x v(t).

Demostraremos (iii) y dejaremos los otros incisos como ejercicios. +t~(t)j

u(t)

=Idl)i

+Idt)k

v'(1)

= g¡{l)i + g2(C)j + g3(c)k

donde cada l y cada g¡ es una función derivable de t, entonces 3

I

u(t)· V(I) =

j;(t)gj(t).

i= l

En consecuencia, 3

D,[u(t)· v(t)]

I

= D,

3

j;(t)g¡(t)

I

=

i= I

j;:;

D,[};(t)g¡(I)] 1

3

=

I

j::::

[j;(t)g;(t) +,I;'(t)g¡(c») 1

3

=

I

3

¡;(t)g;(t)

i= 1

= u(t) . v'(t)

+

I

};'(I)g¡(t)

i= 1

+ u'(t) . v(t).

Hay una interpretación geométrica interesante para el límite en la definición (15.5). Dada r(t) =
PQ = OQ - OP es una representación geométrica del vector r(1 + ~t) - r(t). Se sigue que (I/~t) PQ es una representación geométrica de (I/~t)[r(t + ~t) - r(1)]. Si ~t > O, en­ tonces (I/~t) PQ es un vector PR que tiene la misma dirección que PQ. Más aún, si O < ~t < 1, entonces (I/~t) > I y IPR I > IPQ I como se ilustra en (ii) de la figura 15.4. Si ~t -+ O+ entonces Q se acerca a P y se ve que el vector PR se aproxima a un vector que se halla en la recta tangente a e en P. Puede hacerse un razona­ miento parecido para el caso en que ~t < O. Es por esto que decimos que r'(1), o cualquiera de sus representaciones geométricas, es un vector tangente a e en P. Por definición, la recta tangente a e en P es la recta que pasa por P y es paralela a r'(/).

DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES

z p

r(t

+ ~t) -

z

r(t)

---!.p

tH

703

15.2 [r(t

+ ~c)

-

r(l)J.~1 >

o

R y

y

x

x (ji)

(i)

Figura 15.4

Para el caso bidimensional r(t) r'(t)

= f(t)i + g(t)j tenemos = f'(t)i + g'(t)j

Si f'(t) #- 0, entonces la pendiente de la recta paralela a r'(t) es g'(t)/f'(t). Esto está de acuerdo con la fórmula (13.4) que se obtuvo para rectas tangentes a curvas planas. Estos comentarios se ilustran en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2

Sea r(t) = 2ti + (4 - t 2 )j, donde -2 ~ t ~ 2. Encuentre r'(t). Dibuje la curva e con ecuaciones paramétricas x = 2 t, Y = 4 - t L, donde - 2 ~ t ~ 2. Ilustre r( 1) Y r'(I) geométricamente.

Solución

Como estamos trabajando en JI;, es suficiente usar un plano xy para representar los vectores. Eliminando el parámetro en x = 2t, Y = 4 - t 2 , obtenemos y = 4 - (X/2)2, que es la ecuación de una parábola. En la siguiente tabla ponemos una lista de las coordenadas de los puntos en e que corresponden a valores enteros de t.

x

-2

-1

O

2

-4

-2

O 2

4

O

.1'

3 4 3 O

La curva e es aquella parte de la parábola que se ilustra en la figura 15.5. Como r(l) = 2i + 3j, el vector de posición correspondiente a r(l) es OP, donde P es el punto sobre e con coordenadas (2, 3). Derivando obtenemos r'(t) = 2i - 2tj. En la figura representamos r'(l) = 2i - 2j por medio de un vector con punto inicial P, para ilustrar así que se trata de un vector tangente a C.

Ejemplo 3

Sea

e la curva con ecuaciones paramétricas x

=

12

-

5, Y

= t J,

Z =

31

+

l

704

15

FUNCIONES VECTORIALES y

x

Figura 15.5

donde 1 está en IR. Encuentre unas ecuaciones paramétricas de la recta tangente a en el punto correspondiente a 1 = 2. Solución

El punto p(t) sobre e que corresponde a 1 es (t2 - 5,/ 3,31 anterior se sigue que si r(t) =
-

S, t 3 , 3t

+ 1)

(e2 - 5)i

=

+

e

1). De la discusión

+ t 3j + (3t +

l)k

entonces r'(t) = <2t,3t 2 ,3) = 2ti

+ 3t 2 j + 3k.

es un vector tangente a e en P(t). En particular, el punto correspondiente a 1 = 2 es P(2) = (- 1, 8, 7) Y r'(2)

=

<4,12,3)

=

4i

+ 12j + 3k.

es un vector tangente. Aplicando (14.29) obtenemos que

x = 4t - 1, Y

=

12t

+ 8,

Z

= 3t + 7.

son unas ecuaciones paramétricas para la recta tangente.

Ejemplo 4

Demuestre que si Ir(/)1 es constante, entonces r'(t) es ortogonal a r(t) para todo

Solución

Por hipótesis r(t) . r(t)

l.

= Ir(IW = c

para algún escalar c. Escribiendo r(t) = <1(/), g(t), h(/», la última ecuación puede escribirse [.f(c)] 2

+ [g(t)jl + [h(c)]2

=

c.

Derivando implícitamente 2((t)I'(t)

+ 2g(t)g'(t) + 2h(t)h'(t)

esto es 2r(t) . r'(t) = O.

=

O

DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES

15.2

705

La conclusión deseada se sigue del teorema (14.20).

El resultado enunciado en el ejemplo 4 es también evidente geométricamente, ya que si Ir(t)1 es constante, entonces cuando t varía, el punto final del vector de posición correspondiente a r(t) se mueve sobre una curva e que se encuentra en la superficie de una esfera con centro en O. El vector tangente a e, r'(t), siempre es ortogonal al radio de la esfera y, por lo tanto, a r(t). También pueden considerarse integrales definidas de funciones vectoriales. Es­ pecíficamente, si r(t) = f(t)j

+ g(t)j + h(t)k

donde f, g y h son integrables en [a, b], entonces por definición

f

(15.9)

r(t)dt =

(f

f(t)d+

(f

+

g(t)dt)j

+

(f

h(t)dt)k.

En este caso decimos que r es integrable en [a, b]. Si R(t) es una antiderivada de r(t) en el sentido de que R'(t) = r(t) para todo t en [a, b], entonces, como en el teorema fundamental del cálculo (5.31),

f

(15.10)

r(t) dt

= R(t)

J: =

R(b) - R(a).

La demostración se deja como ejercicio.

f

r(t) dt si r(t) = 12t 3 j + 4e 21 j

+ (t +

Ejemplo 5

Encuentre

Solución

Encontrando una antiderivada para cada componente de r(t) obtenemos R(t)

1) - I k.

= 3t 4 i + 2e 21j + In (t +

l)k.

Como R'(t) = r(t) se sigue de (15.10) que

f

r(t)dt

= R(2) = (48i = 48i

- R(O)

+ 2éj + In 3k) -

+ 2(e4

-

l)j

(Oi

+ 2j + Ok)

+ In 3k.

Hay una teoría para las integrales indefinidas de funciones vectoriales semejante a la desarrollada para funciones reales. Como las demostraciones de los teoremas requieren únicamente ligeras modificaciones a las demostraciones anteriores, las omitimos. Si R(t) es una antiderivada de r(t), entonces cualquier antiderivada tiene la forma R(t) + c para algún vector (constante) c. Escribimos (15.11)

f

r(t)dt

= R(t) + c,

donde R'(t)

= r(t).

Si se conocen las condiciones a la frontera, entonces se puede determinar el valor de c (vea los ejercicios del 27 al 30).

706

15

FUNCIONES VECTORIALES

15.2 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 4, encuentre (a) el dominio de r y detennine dónde r es continua; (b) r'(t) y rW(t). 1

r(t) = ~i

+ J2=lj

3 r(t) =
+ sen3tj

2

r(t) = (I/t)i

4

r(t) =
En los ejercicios del 5 al 12, (a) dibuje la curva en el plano xy detenninada por las com­

ponentes de r(t); (b) encuentre r'(t) y dibuje representaciones geométricas correspondientes a

r(t) y r'(t) para los valores de t indicados.

3

r(t)

7

r(t)

9

= <-

4

t /4, t 2 ), t

= 2

6

= 4 cos ti + 2 sen tj, t = 371/4 r(t) = tJi + t-Jj,t = l

=
r(t)

8 r(t) = 2 sec ti + 3 tan tj, t = 71/4 10

11 r(t)=<2t-l,-t+4),t=3

12

= t 2 i + tJj, t = -

r(t)

=

r(t)

(5, t J ), t

1

=2

En los ejercicios del 13 al 16 (a) encuentre el dominio de r y detennine dónde r es continua; (b) encuentre r'(t) y r"(t).

13

r(t)

=

tli + tan tj + 3k

13 r(t) = j/i + eltj + tk

14

r(t)

=

Jli + (l/t)j + e-tk

16

r(t)

=

In(1 - t)i + senrj + tlk

En cada uno de los ejercicios del 17 al 20 se dan unas ecuaciones paramétricas de una curva C.

Encuentre ecuaciones paramétricas de la recta tangente a e en el punto P.

17 x

= 2t 3

18

= 4j/,y = t l

19

x

-

l,y

-5t l

= -

+ 3,z = St + 2; P(l, -2,10)

10,z

= 4/t;

P(S,6, 1)

l

20

x=f!,y=te',z=t +4;P(1,O,4)

x=tsent,y=tcost,z=r;P(71/2,O,71/2)

En los ejercicios 21 y 22 encuentre dos vectores unitarios distintos tangentes a la curva en el punto P indicado. 21 x = elt,y = e-',z = t 2 + 4;P(l, 1,4) 22 x = 2 + sen t, y = cos t, z = t; P(2, 1, O) Evalúe las integrales en los ejercicios del 23 al 26. 23

23

f

(6t 2 i - 4tj

"'4

f

o

+ 3k)dl

24

(sen ti - cos rj + tan rk) dt

27 Sean u'(t) = t 2 i + (6t + I)j + St 3 k y u(O) 2i - 3j + k. Encuentre u(t).

26

=

f

(-5ti

+ Sr 3j -

3t 2 k)dr

l

{[re"i + j/j + (12 + l)-lk] dr

28 Sean r'(t) = 2i - 4t 3 j + 6Jlk y r(O) i + 5j + 3k. Encuentre r(t).

DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES 29 Sean u"(I) = 6ti - 12t 2 j + k, u'(O) = i Yu(O) = 7i + k. Encuentre u(t). 31

+ 2j - 3k

Si a es un vector tangente a la curva e en el punto P, entonces el plano oormal a e en P es el plano que pasa por P y tiene vector normal •. Encuentre una ecuación del plano normal a la curva del ejercicio 19 en el punto P(I, O, 4).

33 Suponga que r y s son funciones vectOliales que tienen límites cuando t ..... a. Demuestre lo siguiente (a)

Iim [r(t)

I-a

34 Suponga que una función f y una función vectorial u tienen límites cuando t ..... a. Demuestre que lim f(I)U(t) = [limf(t») [lim u(t»).

,-o

, ..... u

Iim[r(l)·s(t») =limr(t)·lims(t) I-a

(c)

+ ky

Encuentre una ecuación del plano normal a la curva del ejercicio 20 en el punto P(1t/2, O, 1t/2). Consulte el ejercicio 31.

+ s(t») = limr(t) + lims(t)

1--0

(b)

30 Sean r"(t) = 6ti + 3j, r'(O) = 4i - j r(O) = 5j. Encuentre r(t). 32

707

15.2

I-a

1-0

Iim cr(t) = c Iim r(t) donde c es un escalar '-a

I-a

35 Pruebe que lim'_Du(t) = b si y sólo si para todo e > O existe un ¿j > O tal que lu(l) - bl < e siempre que O < It - al < ¿j. Interprete este hecho geométricamente.

36 Suponga que u y v son funciones vectoriales que tienen límites cuando t ..... a. Demuestre que

37 Complete la demostración del teorema (15.8).

38

Demuestre (15.10).

39 Demuestre que si f y u son funciones deriva­ bles de t, entonces

40

Demuestre la regla de la cadena para funciones vectoriales:

D, [[(t)u(t») = f(t)u'(t)

lim [U(l) x v(t») = Iim u(t) x lim v(t).

+ f'(t)u(t).

D,u(f(t)) = r(t)u'(f(t))

siempre y cuando u y f sean derivables y sus dominios sean adecuados. 41

Pruebe que si u, v y w son funciones vectoriales derivables, entonces D, [u(t) . v(t) x w(t») = u'(r)· v(t) x w(t) + u(t)· v'(r) x w(t)

lb)

f f

Pruebe que si u'(t) y u"(t) existen, entonces D,lu(r) x u'(t)] = u(t) x u"(t).

+ u(t) . v(r) x w'(t).

43 Suponga que u y v son integrables en [a, b] Y c es un escalar. Demuestre lo siguiente (a)

42

[u(t) + v(t») dt = cu(t) dt = e

f

f

u(t)dt

+

f

44 Suponga que u es integrable en [a, b] Y e es cualquier vector en J'3. Demuestre que

r

c·u(t)dt = c·

v(r)dt

o

u(t) dt

u(t) = ti + t 2 j + tJk v(t) = sen ti + cos tj + 2 sen tk

46

u(r) = 2ri + 6rj + r2 k v(r) = e-'i - e-'j

u(t)dt.

o

En los ejercicios 45 y 46 encuentre D,[u(t) . v(t)] y D,[u(t) x v(t)]. 45

r

+k

708

15

FUNCIONES VECTORIALES

15.3 MOVIMIENTO EN EL ESPACIO En esta sección introduciremos algunos conceptos necesarios para el estudio del movimiento. Si suponemos que la masa de un objeto está concentrada en su centro de gravedad, entonces podemos reducir nuestro estudio al movimiento de un punto (o una partícula). El movimiento frecuentemente se realiza en un plano. Por ejemplo, aunque la Tierra se mueve por el espacio, su órbita se encuentre en un plano. (Esto se demostrará en la sección 6.) Comencemos por estudiar una partícula que se mueve en un plano coordenado. Para analizar el comportamiento de la partícula, es necesario conocer su posición (x, y) en todo instante. Como en el tiempo t la partícula tiene una posición única, se sigue que las coordenadas x y y son funciones de t. Supondremos que en el tiempo t la partícula se encuentra en el punto P(x, y), donde x = f(t) YY = g(t) para ciertas funcionesfy g. Si r(t) = (f(t),g(t» = f(t)i

+ g(t)j

entonces al variar t, el punto final del vector de posición OP correspondiente a r(t) traza la trayectoria e de la partícula. De la discusión en la sección anterior, se sigue que la recta tangente a e en P es paralela a r'(t) (vea la figura 15.6). La magnitud de este vector es (15.12) y

x

Figura 15.6

Si Po es el punto sobre e correspondiente a t = to Y sify g son funciones lisas, entonces por (13.17) la longitud de arco s( t) de e entre Po y P está dada por s(t)

= F,r'(t)1 dt.

Aplicando (5.33) obtenemos s'(t) = Ir'(t)l; esto es, Ir'(t)1 es la razón de cam­ bio de la longitud de arco con respecto al tiempo. Debido a esto decimos que Ir'(t)j es la rapidez de la partícula. La velocidad de la partícula en el tiempo t se define como el vector tangente r'(t) cuya magnitud es la rapidez. En analogía con (4.31)

MOVIMIENTO EN EL ESPACIO

15.3

709

llamamos al vector r"(I) la aceleración de la partícula en el tiempo 1y lo representamos geométricamente por un vector con punto inicial P. Se puede mostrar que en la mayoría de los casos r"(I) está dirigido hacia el lado cóncavo de e, como se ilustra en la figura 15.6. Ejemplo 1

La posición de una partícula que se mueve en un plano está dada por r(e)

=

(1 2

+ e)í + 13j

donde O S; 1 S; 2. Encuentre la velocidad y la aceleración de la partícula en el tiempo 1. Dibuje la trayectoria de la partícula y represente r'(I) y r"(I) geométrica­ mente. Solución

La velocidad y la aceleración son r'(e) = (2e

En particular, en

1

+

+ 3e 2j

I)í

y

r"(e) = 2i

+ 6ej.

= r'(I)

= 3i + 3j

y

r"(I)

= 2i + 6j.

Estos vectores y la trayectoria de la partícula aparecen dibujados en la figura 15.7. y

o

x

Figura 15.7

Ejemplo 2

Muestre que si un punto P se mueve sobre un círculo con rapidez constante, entonces la aceleración está representada por un vector de magnitud constante y dirigido desde P hacia el centro del círculo. (Este vector se llama el vector de aceleraci6n

centrÍpeta.) Solución

No se pierde generalidad al suponer que el centro del círculo se encuentra en el origen O de un sistema de coordenadas rectangulares. Supongamos que el radio del círculo es a, la posición inicial de Pes A(a, O), y e es el ángulo recorrido por OP en el tiempo t (vea la figura 15.8). El hecho de que P se mueve sobre el círculo con rapidez constante es equivalente a la afirmación de que la razón de cambio del ángulo e por unidad de tiempo (llamada rapidez angular) es una constante w. Esto puede expresarse por medio de la ecuación diferencial de/dI = w, o

710

15

FUNCIONES VECTORIALES y

A(a, O)

x

Figura 15.8

equivalentemente por () = rol + e para algún número c. Como () = O cuando = O, el número e es O; o sea que () = rol. Se sigue que las coordenadas (x, y) de P son

1

x=acoswc,

y=asenwc

y el movimiento de P está dado por r(t) = u cos (I)ci

+ a senwtj.

En consecuencia

r'(t) = -(I)usenwci

+ WUCOS(l)cj

r/l(t) = - (I}u cos wti - (I}a senwcj

y por lo tanto r"(t) = -ro 2 r(t). Si OP es el vector de posición correspondiente a r(l), entonces _ro 2 OP corresponde a r"(t). Esto muestra que la dirección del vector de aceleración es de P hacia O. Como Ir"(t)1 =

Jw a (cos 4 2

2

wt

+ sen 2 (j)t)

=

wa 2

la magnitud de r"(l) es siempre ro 2 a. La discusión anterior puede extenderse fácilmente al caso de una partícula moviéndose en un sistema coordenado de tres dimensiones. Así pues, supongamos que la posición de una partícula en el tiempo t está dada por P(t)

= (J(t), g(t), h(l»

\ donde las funciones f, g y h están definidas en un intervalo l. Si r(t) =f(c)i

+ g(t)j + h(t)k

entonces al variar t, el punto final del vector t5P traza la trayectoria de la partícula. Como antes, la derivada r'(t), si existe, se llama la velocidad de la partícula en el tiempo 1 y es un vector tangente a e en P(l). El vector r"(l) se llama la aceleración de la partícula en el tiempo l. La rapidez de la partícula es la magnitud Ir'(I)1 de la velocidad, y, como en el caso de dos dimensiones, es igual a la razón de cambio de la longitud de arco con respecto al tiempo.

MOVIMIENTO EN EL ESPACIO

15.3

711

Ejemplo 3

La posición de una partícula en movimiento está dada por r(t) = 2ti + 3t 2 j + t 3 k, donde O :S t :S 2. Encuentre la velocidad y la aceleración de la particula en el tiempo l. Dibuje la trayectoria de la partícula e ilustre geométricamente los vectores r'(I) y rN(I).

Solución

La velocidad y la aceleración son r'(l) = 2i

En particular en

1 =

+ 6lj + 31 2 k

y

r"(l) = 6j

+ 6lk.

I la partícula se encuentra en el punto P(2, 3, 1) Y r'( 1)

= 2i + 6j + 3k

y

r"(I)

= 6j + 6k.

Estos vectores y la trayectoria de la partícula aparecen dibujados en la figura 15.9. z

y

x

Figura 15.9

Supongamos que una partícula P gira alrededor del eje z sobre un círculo de radio a que yace en un plano paralelo al plano xy, como se ilustra en la figura 15.10. Además supongamos que la rapidez angular dO/dt es una constante w. El vector w = wk con la misma dirección que el eje z y con magnitud w se llama la velocidad angular de P. Como en el ejemplo 2, el movimiento de P esta dado por r(l) = a cos wli

+ asenwlj + hk,

en donde h es la distancia de la partícula al plano xy. Un cálculo directo muestra que z

y

x

Figura 15.10

712

15

FUNCIONES VECTORIALES ro x r(t) = -wa senwti

+ wacoswtj

= r'(t).

Por lo tanto el vector de velocidad es el producto vectorial (producto cruz) de la velocidad angular y el vector de posición de P. Esto puede generalizarse al caso de la rotación de una partícula alrededor de cualquier recta. Como una última ilustración de cómo se aplican los vectores a los problemas relacionados con el movimiento, supongamos que un proyectil es disparado por un cañón con un ángulo de elevación (x. Si la rapidez inicial es DO, entonces podemos introducir un plano coordenado como en la figura 15.11, donde la boca del cañón está en el origen O y la velocidad inicial Vo tiene dirección (X y magnitud Do. Denotemos por P(x, y) la posición del proyectil después de un tiempo 1 y sea r(l) el vector co­ rrespondiente a OP. Nuestro objetivo es hallar una forma explícita para r(t). Su­ pondremos que la resistencia del aire es despreciable y que la única fuerza que actúa sobre el proyectil es la de la gravedad. Como la aceleración de la gravedad g apunta hacia abajo podemos escribir g = -gj donde Igl = g ~ 9.81 mjseg 2 ~ 32 piesjseg 2• y

P(x, y)

----~

D

x

Figura 15.11

De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton, la fuerza F que actúa sobre un objeto de masa m está relacionada con su aceleración a según la fórmula F = ma. En la situación que estamos considerando, ma = mg, lo cual lleva a la ecuación diferencial vectorial r"(t) = g.

Integrando obtenemos r'(t) = tg

+e

donde e es algún vector constante. Como r'(t) es la velocidad en el tiempo 1 Vo =

r'(O) = e

y por lo tanto r'(l) = tg

+ Yo.

MOVIMIENTO EN EL ESPACIO

15.3

713

Integrando ambos lados de la última ecuación obtenemos r(e) = !e 2 g para algún vector constante d. Como r(O)

+ evo + d

=

r(e) = !e 2 g

O, se sigue que d

=

O. En consecuencia

+ evo

lo cual también se puede escribir

xi

+ yj = _!e 2 gj + e(vocosexi + vosenexj).

Igualando componentes vemos que (15.13)

x = (vo cos ex)e,

y

= -

!ge 2 + (vo senex)e.

Estas son unas ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil. Al eliminar el parámetro obtenemos la ecuación (15.14)

y

-g

= 2 Vo2 cos 2 ex x 2 + (tanex)x.

Esto muestra que la trayectoria del proyectil es parabólica. Para encontrar el alcance, es decir, la distancia d(O, D) de O a D en la figura 15.11, hacemos y = Oen (15.13) y obtenemos e( -tge

+ vosenex) = O.

Por lo tanto el punto D corresponde a e = (2v o sen a)jg. Usando la primera ecua­ ción en (15.13) obtenemos d(O,D)

= (vocosex) (

2vo sen ex ) v~ sen 2ex g = g .

En particular, el alcance tendrá su valor máximo v5 jg si sen 2a = 1, o sea a = 45°. La altura máxima h se alcanza cuando e = (vo sen ex)jg. (¿Por qué?) Sustituyendo en la segunda ecuación de (15.13) obtenemos h = (V5 sen 2 a)j2g.

15.3 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del I al 8 la posición de una partícula que se mueve en un plano está dada por rU). Encuentre su velocidad, su aceleración y su rapidez en el tiempo t. Dibuje la trayectoria de la partícula junto con los vectores correspondientes a la velocidad y la aceleración en el tiempo I indicado.

= 2ti + (4t 2 + I)j, t = l 3 r(t) = (2/t)i + (3/(t + 1»j, t = 2 5 r(e) = sen ei + 4 cos 21j, 1 = n/6 7 r(l) = e 2 'j + e-tj,l = O 1

r(t)

2 4 6 8

+ 3tj, t = l r(l) = Jli + (1 + Jl)j,l = 4

r(t) = cos 2 ti + 2 sen tj, t = 3n/4

r(t) = 2ti + e-"j,l = I

r(t)

= (4

- 9t 2 )i

714

15

FUNCIONES VECTORIALES

En los ejercicios del 9 al 16, r(l) es el vector de posición de una partícula que se mueve en el espacio. Encuentre la velocidad, la aceleración y la rapidez en el tiempo l. Dibuje la gráfica de la partícula junto con los vectores correspondientes a r'(I) y r"(I) para los valores indicados de l. 9 r(l) = cos ti + sen tj + tk; 1 = O, rr/4, rr/2

10

r(l) = 12 i + 13j + Ik; 1 = 0,1,2

11 r(l)

= 12 i + 2Jlj + 4J1 3 k; 1 = 1,4,9

12

r(l)

= 4 sen ti + 2tj + 9 cos Ik; 1 = O, rr/2, 3rr/4

13 r(l)

= e'(cos li + sen Ij + k),1 = O, rr/4, rr/2

14

r(l)

=

I(COS li + sen Ij + Ik),1

=

21i + j + 9t k,t

=

0,11/4,11/2

15 r(l) = (1 + t)i + 2tj + (2 + 3t)k, t = O, 1,2

16

r(t)

17 Demuestre que si una partícula se mueve con rapidez constante, entonces los vectores de velocidad y aceleración son ortogonales.

18

Demuestre que si la aceleración de una partí­ cula en movimiento es siempre O, entonces el movimiento es rectílíneo.

19 Un proyectil es disparado con una rapidez ini­ cial de 1500 piesjseg y con un ángulo de eleva­ ción de 30°. Encuentre: (a) la velocidad en el tiempo 1 (b) la altura máxima (c) el alcance (d) la rapidez con la que el proyectil choca con

el suelo

20

Resuelva el ejercicio 19 para un ángulo de eleva­ ción de 60°.

21 Un "jardinero" de un equipo de beisbol lanzó una pelota una distancia de 250 pies. ¿Si soltó la pelota a un ángulo de 45° con respecto al suelo, cuál fue la rapidez inicial?

22

Un proyectil es disparado horizontalmente con una rapídez de 1800 piesjseg desde una altura de 1000 pies sobre el nivel del suelo. ¿Dónde y cuándo chocará con el suelo?

15.4

2

=

0,1,2

CURVATURA

Una curva plana puede representarse paramétricamente de muchas maneras dife­ rentes. Algunas veces es conveniente usar como parámetro la longitud de arco. Supongamos que una curva e en el plano xy está dada por x = f(s),

y = g(s)

donde las funciones 1 y g son lisas en un intervalo [ y el parámetro s es la longitud de arco medida sobre e desde un punto fijo A. Geométricamente tenemos una situación como la que se ilustra en la figura 15.12 donde a cada s en [le corresponde un único punto P(s) = (/(s) , g(s» que se encuentra a s unidades de A (medidas sobre C). La dirección positiva sobre e está determinada por los valores crecientes de s. Si r(s) =
Derivando con respecto a s obtenemos

CURVATURA

15.4

715

y

e x

Figura 15./2 1=

J [f'(s)F + [g'(S)]

2

= Ir'(s)l.

Denotaremos al vector unitario tangente r/(s) por T(s) y estudiaremos su comporta­ miento al moverse P(s) sobre C. Para cada s sea e el ángulo mínimo no negativo entre i y T(s) como se ilustra en la figura 15.13. Note que e es una función de s. La curvatura K de C en el punto P(s) se define por (15.15)

K=

ID.el

en caso de que D.e exista. Por lo tanto K es el valor absoluto de la razón de cambio de e con respecto a s. En particular, si C es una línea recta entonces e es constante y la curvatura es cero. La curvatura es pequeña en puntos como R y S en la figura 15.13, ya que e cambia lentamente a medida que P(s) se mueve sobre C. La curva­ tura es grande para los puntos Q y V. Entonces, a grandes rasgos, K nos da informa­ ción acerca de qué tan pronunciada es la curva en diversos puntos.

e

x

Figura /5./3

Supongamos que C también es la gráfica de una ecuación rectangular y = h(x), donde la función h es lisa en cierto intervalo. Como y/ = D"y es la pendiente de la recta tangente en P vemos que

., 716

15

FUNCIONES VECTORIALES

(15.16)

tanO=y'

o

O=tan-·y'.

r

Como en la sección 6.7, la función de longitud de arco s puede definirse por (15.17)

JI

s(x) =

+ (y')2 dx

donde a es la abscisa del punto fijo A sobre C. Si y" existe, entonces por la regla de la cadena dO de ds - = - - o DxO = (D,O)(Dxs). dx

dsdx'

En consecuencia (15.18)

Usando (15.16) Y (15.17)

DO = x

y"

1 + (y')2

Sustituyendo en (15.18) obtenemos (15.19)

K = [1

1y"1 + (YYJ 3/2'

La fónnula anterior puede usarse para encontrar K cuando por una ecuación rectangular.

e

esta detenninada

Ejemplo 1

Dibuje la gráfica de y = 1 - x 2 y encuentre la curvatura en los siguientes puntos: (x, y), (O, 1), (1, O), (2, -3).

Solución

La gráfica (una parábola) está dibujada en la figura 15.14. Como y' = -2x y" = - 2, por (15.19) tenemos y (O, 1)

x

(2, -3)

Figura 15.14

y

CURVATURA

K

15.4

717

2

=----,~"'" 2

(1

+ 4X

)3/2'

En particular, en (O, 1) vemos que K = 2; es decir, la dirección del vector tangente cambia a razón de 2 radianes por unidad de longitud de arco. En el punto (1, O), K = 2/( 5)3/2 ~ 0.18, lo que muestra que la curva es menos pronunciada aquí que en (O, 1). Esto puede verse también en la gráfica. Finalmente, en (2, - 3), K = 2/(17)3/2 ~ 0.03. Observe que a medida que x tiende a infinito la curvatura tiende a O.

Ejemplo 2

Solución

Demuestre que la curvatura en cualquier punto de un círculo de radio a es l/a. No se pierde generalidad al suponer que el círculo tiene centro en el origen y ecuación + y2 = a 2. Por derivación implícita se obtiene

x2

2x

+ 2yy' = O, o

y' = -x/y.

En consecuencia y"

=

Sustituyendo en (15.19) y usando el hecho de que x 2 + y2 = a 2, K

la 2 /y 3 1 = [1 + X2/y2] 3/2

la 2 /y 3 1

= ~~-----'-ic--=:-c;=

+ X2)/y2] 3/2 la /y 3 1 1

[(y2

2

(a 2/y2)3!2

a

Si la curvatura de una curva e en el punto P no es cero, entonces el círculo de radio p = l/K cuyo centro se encuentra del lado cóncavo de e y que tiene en P la misma tangente que e se llama el círculo de curvatura de e en P. Su radio p y su centro se llaman el radio de curvatura y el centro de curvatura de e en P, res­ pectivamente. Según el ejemplo 2, la curvatura del círculo de curvatura es I/p, o K, y por lo tanto es la misma que la curvatura de C. Por esta razón puede pensarse que el círculo de curvatura es el círculo que mejor coincide con e en P. Ejemplo 3

Sea e la curva con ecuaciones paramétricas x = (2, Y = (3. Encuentre la curvatura en el punto P correspondiente a ( = 1/2. Dibuje la gráfica de e y el círculo de curva­ tura en P.

Solución

El punto correspondiente a ( = 1/2 es P(1/4, 1/8). Podemos eliminar el parámetro en las ecuaciones dadas notando que ( = yl/3 Y por lo ·tanto x = (2 = y2/3. La gráfica está dibujada en la figura 15.15. La parte encima del eje x es la gráfica de y = X 3 / 2 . (¿Por qué?) Derivando obtenemos

718

15

FUNCIONES VECTORIALES

y'

= ' X1/2

=

y"

y

1 2 iX- /

Si x > Opodemos eliminar el valor absoluto en (15.19) obteniendo iX- I / 2

= [1 + (~XI/2)2]3/2'

K

El lector puede verificar que esto se reduce a K

6

=----,-;~--::---c....._= x 1/2 (4 9X)3/2 .

+

Para encontrar la curvatura en P tomamos x

6

K

=

1/4. Esto nos da

6

96

= (1/4)1 /2(25/4)3/2 = (1/2)(125/8) = 125 ~ 0.77.

El radio de curvatura p en P está dado por I

p

125

= K =% ~

1.3.

El círculo de curvatura está dibujado en la figura. 15.15. y

x

Figura 15.15 No hay una definición de curvatura en el espacio de tres dimensiones análoga a la definición K = ID,el usada en dos dimensiones y es necesario usar un enfoque diferente para definir este concepto. Por supuesto, debemos demostrar después que la nueva definición coincide con la antigua en el caso especial de vectores en el plano. Procedamos como sigue. Supongamos que una curva lisa en el espacio está dada por x

= fes), y = g(s), z = hes)

CURVATURA

15.4

719

donde s es la longitud de arco medida sobre e desde un punto fijo A al punto P(s) = (/(s) , g(s), h(s». Como antes, si r(s) =
(15.20)

N(s)

= 1T'(s)1 T'(s).

El vector N(s) es un vector unitario ortogonal a T(s) y se le denomina el vector unitario normal principal de e en el punto P(s). De (15.20) T'(s) = 1T'(s)IN(s).

El número IT'(s)1 se llama la curvatura de (15.21)

T'(s)

= KN(s),

e en

P(s)

donde K

y se denota

por K. Entonces

= 1T'(s)l.

Para demostrar que esta definición de K se reduce a ID,OI cuando todos los vectores se encuentran en un plano, notemos primero que en dos dimensiones, T(s)

= cos Oi + sen Oj

donde O es el ángulo usado en (15.15). Considerando O como una función de s y derivando obtenemos T'(s)

= -sen OD,Oi + cos OD,Oj = D,O( -sen Oi + cos Oj).

Por lo tanto 1T'(s)1

= ID,OII-sen Oi + cos Ojl = ID,OI

que es lo mismo que (15.15). En la siguiente sección deduciremos una fórmula para la curvatura de una curva en el espacio.

15.4 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 10 encuentre la curvatura en el punto P de cada curva plana. = 2 - x 3 ;P(I,I)

2

Y

= x· ; P( 1,

4

.r = In(x - 1);P(2,O)

5

Y

= sen x;

7

x=I-I,y=j1;P(3,2)

y

9

x = 2senl,y = 3cosl;P(1,3j3/2)

I)

P(rr/2,

1)

8

10

3

Y = ¡,x'; P(O, 1)

6

Y

.\ = 1 + I,.r = 12

.\ = 1• .1' =

=

sec.\; P(rr/3, 2)

+ 41 + J; P( 1, J)

Ji z -=9; P(SA)

Para cada una de las curvas planas descritas en los ejercicios del 1I al 16, encuentre los puntos en los que la curvatura es máxima. 12 Y = coshx

13 9x 2 + 4y 2 = 36

720

15

15 Y = lnx

FUNCIONES VECTORIALES 16

y=senx

En cada uno de los ejercicios del 17 al 20, encuentre los puntos en la curva indicada en los cuales la curvatura es O.

18 Y = tan x

15.5

19

y=senhx

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACION Los resultados de la sección anterior pueden aplicarse al movimiento de una par­ tícula. Supongamos que en el tiempo t la partícula se encuentra en el punto P(x, y, z) sobre la curva e que está dada paramétricamente por x

= f(t),

z

Y = g(t),

= h(t)

donde /", g" y h" existen. Como siempre, representamos por r(t) al vector de posi­ ción OP y s denota la longitud de arco medida sobre C. Supondremos también que s aumenta cuando t aumenta. El vector unitario tangente T(s) introducido en la sección anterior puede expresarse como 1 T(s) = Ir'(t)1 r'(t)

y por lo tanto ds dt

= Ir'(t)IT(s) = - T(s).

r'(t)

Derivando con respecto a t y usando los ejercicios 39 y 40 de la sección 15.2 ob­ tenemos r"(t)

d2 s

ds d T(s) t de

=

-d 2 T(s) t

+ -d -

=

-T(s) 2

d2 s dt

+ --T(s).

ds ds de dt

Según (15.21) esto puede también escribirse r"(e)

=

dde2s T(s) + (dS)2 dt KN(s) 2

donde K es la curvatura de e y N (5) es el vector normal unitario (15.20). Si denotamos la rapidez ds/dt por v y escribimos K = I/p, donde p es el radio de curvatura de e, entonces la fónnula anterior para r"(e) puede escribirse (15.22)

r"(t)

dv

=-

de

T(s)

v2

+ -N(s). p

Esta fórmula expresa la aceleración en ténninos de una componente tangencial dv/dt (la razón de cambio de la rapidez con respecto al tiempo) y una componente

normal r;2/ p. El dibujo en la figura 15.16 ilustra una situación que podría ocurrir.

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACION

r"(t)

721

15.5

e

Figura 15.16

Note que la componente normal depende solamente de la rapidez y de la curvatura (o del radio de curvatura) de la curva C. Si la rapidez o la curvatura es grande (o el radio de curvatura es pequeño), entonces la componente normal de la aceleración es grande. Este resultado, obtenido teóricamente, demuestra el conocido hecho de que un conductor de automóviles debe disminuir su velocidad cuando se acerca a una curva pronunciada. Encontremos ahora fórmulas para las componentes tangencial y normal de la aceleración que dependan solamente de r(/). Primero recordamos que r'(t)

= vT(s).

Tomando el producto escalar de r'(/) con r"'(/) y utilizando (15.22) obtenemos 3

d r , (e)· r"(e) =v -vT(s)· T(s) de

+ -V

p

T (s)· N (s).

Como T(s) tiene magnitud l y es ortogonal a N(s), esto se reduce a r'(e) . r"(e)

dv

dv

= de v = de Ir'(e)l·

Entonces, si Ir'(/)1 t= O (15.23)

dv

r'(e)· r"(e)

de

Ir'(e)1

=

componente tangencial de la aceleración

De manera semejante, si tomamos el producto vectorial de r'(/) con r"'(t) y utilizamos (15.22), entonces r'(e) x r"(e)

dv

= v- T(s)

x T(s)

di

v3

= - T(s) x p

v3

+-

P

T(s) x N(s)

N(s).

Como T(s) y N(s) son vectores unitarios ortogonales, IT(s) x N(s)1 tanto v3 Ir'(e) x r"(e)1 =-. p

=

l Y por lo

722

15

FUNCIONES VECTORIALES

En consecuencia

v2

(15.24)

p

Ir'(t) x r"(t)1

Ir'(t)1

componente normal de la aceleración

Ejemplo 1

La posición de una partícula en el tiempo tes (t, t 2 , ( 3 ). Encuentre las componentes tangencial y nonnal de la aceleración en el tiempo t.

Solución

Tenemos lo siguiente: r(t)

= ti + tlj + t 3 k i + 2tj + 3t 2 k

r'(t)

=

r"(t)

= 2j + 6tk

Ir'(t)1 = (1 + 4t 2 + 9( 4 )1/2. Usando (15.23), vemos que la componente tangencial de la aceleración es

dv dt

4t + 18t 3 (1 + 4t 2 + 9( 4 )1/2'

r'(t) . r"(t) Ir'(t)1

----

Para encontrar la componente normal de la aceleración primero calculamos j 2t O 2

r'(t) x r"(t) = 1

=

k

3t 2 6t

6t 2 ¡ - 6tj + 2k.

Aplicando (15.24), obtenemos

v2 P

1)

(36t 4 + 36t 2 + 4)1/2 = 2(9t 4 + 9t 2 + (1 + 4t 2 + 9( 4 )1 / 2 9t 4 + 4t 2 + 1

Ir'(t) x r"(t)1 Ir'(t)1

1/2

Ejemplo 2

Suponga que un punto P se mueve sobre un círculo de radio a con rapidez constante v. Encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración.

Solución

Como v = ds/dt es una constante, la componente tangencial dv/dt es O. Según el ejemplo 2 de la sección anterior, la curvatura del círculo es l/a. Por lo tanto la componente nonnal de la aceleración (vea (15.24» es v2 /a. Esto muestra que la aceleración es un vector de magnitud constante dirigido de P hacia el centro del círculo (vea el ejemplo 2 en la sección 15.3). Podemos usar (15.24) para obtener una fórmula para la curvatura. Específi­ camente, si una curva está dada paramétricamente por

x

= f(t),

y = g(t),

z = h(t)

sea r(t) = f(t)i

+ g(t)j + h(t)k.

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACION

723

15.5

Podemos considerar e como la curva trazada por el punto final de r(t) al variar t. Como v = Ir'(t)1 y K = l/p, de (15.24) tenemos

K

(15.25)

=

Ir'(t) x r"(t)1

:..........:.~--,;-...:....:..;.

Ir'(t)1 3

Esta fórmula puede usarse también para curvas planas (vea los ejercicios del 23 al 27). Ejemplo 3

Encuentre la curvatura de la cúbica torcida dada por x = t, Y = t 2 , punto (x, y, z).

Solución

Si r(t)

Z

=

t 3 en el

= ti + t 2j + t 3 k

entonces la curva es la misma que se consideró en el ejemplo l. Sustituyendo en (15.25) las expresiones obtenidas en dicho ejemplo para r'(t) y r'(t) x rH(t) ob­ tenemos

15.5 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del 1 al 8, r(t) es el vector de posición de una partícula en el tiempo t. Encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración en el tiempo t.

1 r(l) = t 2i + (3t + 2)j

+ 12j + 21 2 k

4

r(t) = 41i

7

r(t) = 4cosli

+ 9senlj + Ik

+ 51j

2

r(l) = (21 2

5

r(l) = I(COS li

+ sen Ij)

8

r(t) = e'(sen ti

+ cos tj + k)

-

I)i

6

r(l) = cosh li

+ senh Ij

9-16 En cada uno de los ejercicios del 1 al 8 use (15.25) para encontrar la curvatura en el punto correspon­ diente a t de la curva trazada por el punto final de r(l). 17 Una partícula se mueve sobre la parábola y = x 2 de manera que la componente horizon­ tal de la velocidad es siempre 3. Encuentre las componentes tangencial y normal de la acelera­ ción en el punto P(I, 1). Dibuje la trayectoria e ilustre la aceleración como una suma de dos vectores igual que en (15.22).

18

Resuelva el ejercicio 17 cuando la partícula se mueve sobre la gráfica de y = 2x 3 - x.

19 Pruebe que si una partícula se mueve sobre una curva e con rapidez constante, entonces la ace· leración es siempre normal a C.

20

Muestre que si una partícula se mueve sobre la gráfica de y = j(x), donde a :5: x :5: b, entonces en un punto de inflexión la componente normal de la aceleración es O. Ilustre este hecho usando r(l) = ti + l3j.

724 21

15

FUNCIONES VECTORIALES

Muestre que la curvatura en cada punto de la hélice

x = acose,

y=asene,

22

z=be

donde a > O, está dada por K = a/(a 2

Encuentre la curvatura en (x, y, z) de la curva con ecuaciones paramétricas x = a cos e, y = b sen e, z = ee, donde a, b y e son positivos.

+ b 2 ).

En cada uno de los ejercicios del 23 al 26 use (15.25) para encontrar la curvatura en el punto P de la curva plana dada. 23 x=e-e 2 ,y= l-e 3 ;P(O,I)

24

x

=

25 x

26

x

= cos 3 t,y = sen 3 e; P(fi/4,fi/4)

=

2 sen 1, y = 3COSI;P(I,3j3/2)

e - sen e, y

27 Suponga que una curva plana está dada paramétricamente por x = f(e), y y g" existen. Use (15.25) para probar que la curvatura está dada por

=

=

1 - cose; P(rr./2 - 1,1)

g(e), dondej"

K = If'(e)g"(e) - g'(e)I"(e)1 2. ':-[(=-=¡,.e-"(=:-e e»"2-'---+-('-=g":-:',(e-))"'2]"37:./

15.6

LAS LEYES DE KEPLER Después de muchos años de analizar una enorme cantidad de datos empíricos, el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630) formuló tres leyes que describen el movimiento de los planetas alrededor del sol. Estas leyes pueden enunciarse como sigue.

Primera ley de Kepler. La órbita de cada planeta es una elipse con el sol en uno de sus focos. Segunda ley de Kepler. El vector que va del sol a un planeta barre el área a una razón constante. Tercera ley de Kepler. Si el tiempo requerido para que un planeta recorra una vez su órbita elíptica es T, y si el eje mayor de la elipse es 2a, entonces T 2 = ka 3 para alguna constante k independiente del planeta.

Aproximadamente 50 años después, Sir Isaac Newton (1642-1727) demostró que las leyes de Kepler eran consecuencias de su ley de la gravitación universal y su segunda ley del movimiento. Los logros de ambos hombres fueron monumen­ tales, porque estas leyes aclararon todas las observaciones astronómicas que se habían hecho hasta entonces. En esta sección probaremos las leyes de Kepler usando métodos vectoriales. Como la fuerza de gravedad que el sol ejerce sobre un planeta excede por mucho a las ejercidas por otros cuerpos celestes, despreciaremos las demás fuerzas que actúan sobre el planeta. Desde este punto de vista hay solamente dos objetos que tomar en cuenta: el sol y un planeta girando alrededor de él.

LAS LEYES DE KEPLER

15.6

725

Es conveniente introducir un sistema de coordenadas con el centro de masa del sol en el origen O, como se ilustra en la figura 15.17. El punto P representa el centro de masa del planeta. Para simplificar la notación denotaremos el vector de posición P por r en lugar de r(t) y usaremos v y a para denotar la velocidad r'(t) y la aceleración rH(t) respectivamente. A lo largo de toda nuestra discusión no distinguiremos entre vectores representados por segmentos dirigidos y vectores representados por ternas de números reales. z

P(planeta) "­ \ \

\

)'

O(sol)

x

Figura 15.17 Antes de probar las leyes de Kepler, mostraremos que el movimiento del planeta se realiza en un plano. Si r = Irl, entonces u = (I/r) r es un vector unitario que tiene la misma dirección que r. Según la ley de la gravitación de Newton, la fuerza F de atracción de la gravedad que actúa sobre el planeta está dada por

Mm

F = - G2- u r

donde M es la masa del sol, m es la masa del planeta y G es la constante de la gravedad. La segunda ley del movimiento de Newton afirma que F = ma.

Si igualamos estas dos expresiones para F y despejamos a obtenemos a

(15.26)

GM

= --2-U.

r

Esto muestra que a es paralelo a r = ru y por 10 tanto r x a = O. Además, como v x v = O vemos que d dI

dv dI

-(r x v) = r x -

=r

x a

dr x " dI

+-

+ v x v = O.

1 726

15

FUNCIONES VECTORIALES

Se sigue que (15.27)

rxv=e donde e es un vector constante. El vector e jugará un papel importante en la de­ mostración de las leyes de Kepler. Como r x v = e, el vector r es ortogonal a e para todo valor de t. Esto implica que la curva trazada por P yace en un plano, es decir, la órbita del planeta es una

curva plana. Demostraremos ahora la primera ley de Kepler. No perdemos generalidad si suponemos que el movimiento se realiza en el plano xy. En este caso el vector e es perpendicular al plano xy y podemos suponer que e tiene la dirección del eje z positivo, como se ilustra en la figura 15.18. z

e

O'~----r-------" y v

= dtde

--­

x

Figura /5./8 Como r = ru vemos que dr du dr v = - = r-+-u. dI dI dI

Sustituyendo esto en e obtenemos

=

r x v y usando las propiedades del producto vectorial du

dr)

e = ro x ( r de + de u

dr = r 2 ( u x dU) de + rdt"(u x u).

Como u x u = O, esto se reduce a (15.28)

e= r (u x~~). 2

LAS LEYES DE KEPLER

15.6

727

Usando (15.28) Y (15.26) junto con (ii) y (vi) del teorema (14.43) vemos que

axe= ( - ~l~ u) [r (u x~~) ] 2

X

= =

-GM[U x (u x

~~)J

-GM[(U'~~)u - (u'U)~~J

Como lul = 1, se sigue del ejemplo 4 de la sección 15.2 que u . (du/dl) = O. Además U· u = lul 2 = 1 Y por lo tanto la última fórmula para a x e se reduce a a xe

=

a xe

=-

du

d

II t

I

xe

= -('1

GM- = -d (GMu).

También podemos escribir d'l

dt

d

dt

X

e)

y en consecuencia

d

-('1 X

dI'

d

e) = -(GMu). dt

Integrando ambos lados de esta ecuación obtenemos (15.29)

'1 X

e = GMu + b

donde b es un vector constante. El vector '1 x e es ortogonal a e y por lo tanto se encuentra en el plano xy. Como u también se encuentra en el plano xy se sigue de (15.29) que b está en el plano xy. Hasta este punto nuestra demostración ha sido independiente de las posiciones de los ejes x y y. Escojamos ahora un sistema de coordenadas tal que la parte positiva del eje x tenga la misma dirección que b, como se ilustra en la figura 15.19. Sean (r, O) coordenadas polares para el punto P, donde r = Irl. Se sigue que u·b

= lullblcosO = bcosO

donde b = Ibl. Si e = lel, entonces usando (15.27) y las propiedades de los productos escalar y vectorial y también (15.29), ('2

=

e .e

=

(ro)· (GMu + b)

=

(r x '1)' e = r . ('1

= rGM(u· u) + r(u· b) =

rGM

+ rbcosO.

Despejando, de la última ecuación obtenemos

X

e)

728

15

FUNCIONES VECTORIALES z

e y v

x

Figura 15.19

r=----­

+ bcose

CM

Dividiendo el numerador y el denominador de esta fracción entre CM obtenemos p 1 + ecos

(15.30)

r=---­

e

donde p = e 2 /CM y e = b/CM. Del teorema (13.11), vemos que la gráfica de esta ecuación polar es una cónica con excentricidad e y foco en el origen. Como la órbita es una curva cerrada, se sigue que O <' e < I y que la cónica es una elipse. Esto completa la demostración de la primera ley de Kepler. Demostremos ahora la segunda ley de Kepler. Puede suponerse que la órbita del planeta es una elipse en el plano xy. Sea r = f(O) una ecuación polar de la órbita, con el sol situado en el foco O. Sea Po la posición del planeta en el tiempo lo Y sea P la posición del planeta en un tiempo arbitrario 1 ~ lo. Como se ilustra en la figura 15.20,0 0 Y O denotan los ángulos de OPo y OP respectivamente, medidos a partir de la parte positiva del eje x. Por (13.12), el área A barrida por OP en el intervalo de tiempo [lo, lJ está dada por A

=

o1

f

_r 2 de

0,,2

y por lo tanto

Usando este hecho y la regla de la cadena obtenemos

LAS LEYES DE KEPLER

15.6

729

y

x

Figura 15.20

dA de

dA dO d8 de

1 2d8 2 de

-=--=-r -.

(15.31)

Ahora observamos que como r = (r cos 8, r sen puede expresarse en la forma u En consecuencia

e, O), el vector unitario u

= (cos e, sen 8,0).

<

d8 cos e-, dO o ~ -du = - sen 8-, de

= (I/r)r

de

de

.

Mediante un cálculo directo puede probarse que du

u x -

de

de = -k. de

Si e es el vector que se obtiene de la primera ley de Kepler, entonces por (15.28) y la última ecuación,

y por lo tanto (15.32)

d8

e = lel = r 2 -¡¡. Combinando (15.31) y (15.32) vemos que

(15.33)

dA 1 -=-c de 2 es decir, la razón con la que A es barrida por OP es constante. Esto demuestra la segunda ley de Kepler.

730

15

FUNCIONES VECTORIALES

Para probar la tercera ley de Kepler usaremos la misma notación que en las demostraciones de las primeras dos leyes. En particular supondremos que una ecua­ ción polar de la órbita planetaria está dada por

r=

p 1 + ecos O

donde p = c 2 jGM y e = bjGM (vea (15.30». Sea T el tiempo requerido para que el planeta dé una revolución completa alrededor del sol. Por (15.33) el área barrida en el intervalo de tiempo [0, T] está dada por

S11 o2

TdA A= o d(dt=

S

1 cdt ="2 c T.

Esto es también igual al área de la región del plano acotada por la elipse. Se mostró en el ejemplo 4 de la sección 7.3 que A = nab, donde 2a y 2b son las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse respectivamente. En consecuencia 2nab

1

T=--.

2cT= nab, o

e

De nuestro trabajo en la sección 13.4, sabemos que

e

Ja

2

-

b2

= -"---­

a

y por lo tanto

Entonces

Se vio en la demostración del teorema (13.8) (en donde teníamos p p

(l

= ---2 I-e

y por lo tanto

Comop

c 2 jGM, esto se reduce a 2 T2 =

donde k

4n a 3 = ka 3 GM

471 2 ¡GM. Esto completa la demostración.

dI:') que

REPASO

731

15.7

Recuerde que en nuestras demostraciones de las leyes de Kepler supusimos que la única fuerza gravitatoria que actuaba sobre el planeta era la del sol. Si se toman en cuenta fuerzas ejercidas por otros planetas, entonces pueden darse algunas irregularidades en las órbitas elípticas. En efecto, debido a ciertas irregularidades observadas en el movimiento de Urano, el astrónomo británico J. Adams (1819-1892) y el astrónomo francés U. Le Verrier (1811-1877) pudieron predecir la órbita de un planeta desconocido que causaba las irregularidades. En 1846, gracias a sus predicciones, el astrónomo alemán J. Galle pudo observar por primera vez con un telescopio este planeta, al cual más tarde se le llamó Neptuno.

15.7

REPASO

Conceptos Defina o discuta lo siguiente: Funciones vectoriales

2

Límite de una función vectorial

3

Continuidad de una función vectorial

4

Derivada de una función vectorial

5

Vector tangente a una curva

6

Velocidad y aceleración

7

Reglas de derivación para funciones vectoriales

8

Integrales de funciones vectoriales

9

Curvatura de una curva plana

10

Curvatura de una curva en el espacio

11

Círculo de curvatura

12

Radio de curvatura

13

Componente tangencial de la aceleración

14

Componente normal de la aceleración

15

Leyes de Kepler

Ejercicios Sea r(/) =

12¡

+

(41 2

_

1

4

)j.

(a) Dibuje la curva detenninada por las com­ ponentes de r(I). (b) Encuentre r'(I) y rH(/). (c) Dibuje vectores geométricos correspondien­ tes a r'(I) y rH(i) para l = O, l = l Y l = 2.

2

La posición de una partícula que se mueve en un plano está dada por r( t) = (t - sen t)i

+ (1

-

(;Os ( )j.

Encuentre su velocidad, su aceleración y su rapidez en el tiempo l. Dibuje la trayectoria de la partícula junto con vectores geométricos co­ rrespondientes a la velocidad y la aceleración para los siguientes valores de l. (l:) ( = n.2 (a) 1= Ü (b) ( = nA (d) l = 3n/4 (e) ( = n (/) ( = 5n/4 (g) ( = 3n/2 (h) 1= 7n4 (i) ( = 2n

732

15

FUNCIONES VECTORIALES

3 Suponga que una curva e está dada por x = e' sen 1, y = e' cos 1, Z = e', donde O :<;; I :<;; l. Encuentre (a) un vector unitario tangente a P correspondiente a I = O. (b) la longitud de C.

4

La posición de una partícula en el tiempo I está dada por r(t) = 31i

e en el punto

(a) Encuentre la velocidad y la aceleración en el tiempo l. (b) Dibuje la trayecotria de la partícula junto con vectores geométricos correspondien­ tes a la velocidad y a la aceleración en I = l. (c) Encuentre la rapidez en I = l.

e está dada por x = 31 2 + I,y = 41,z = e'-1.Encuentreunaecuación de la recta tangente a e en el punto P(4, 4, 1).

5 Suponga que una curva

6 Sean U(I) = 12 i + 61j + Ik y V(I) = li - 51j + 41 2 k. Encuentre (a) los valores de I para los cuales U(I) y V'(I) son ortogonales. (b) D,[u(l) x V(I)]. (c) D,[u(t) 'V(I)]. (d)

7 Encuentre U(I) suponiendo que U'(I)

+ I"j + 14 k.

=

e-'i - 4 sen 21j

f

(e)

u(l)dl.

+ 3jtk y u(O)

=

-i

+

f

v(l)dl.

2j.

Verifique las identidades en los ejercicios 8 y 9 sin usar las I.:omponentes.

8 D,lu(I)1 2 = 2u(l) . U'(I)

9

D,(u(I)' U'(I) x U"(I)) = U(I)' U'(I) x U"'(I)

En los ejercicios del 10 al 12 encuentre la curvatura en el punto P de la curva dada. 11

x = 1/(1 + 1),.1' = 1/(1 - 1);1'(2/3,2)

En los ejercicios 13 y 14 encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración en el tiempo I suponiendo que el vector de posición de una particula es el que se indica. 13 r(l) = sen 21i + cos Ij

14

r(t) = 31i

+ l.1j + Ik

_16

DERIVADAS PARCIALES

En este capítulo se generalizan los conceptos de límite. continuidad y derivada a funciones de más de una variable. Las aplicaciones incluyen el cálculo de razones de cambio y valores extremos y la aproximación por medio de diferenciales.

16.1

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Una vez más, recordemos que una función f es una correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto X un único elemento de un conjunto Y (vea la de­ finición (1.18)). Si ambos conjuntos X y Y son subconjuntos de IR, entonces f se llama una función de una variable (real). Si X es un subconjunto de IR x IR y Y es un subconjunto de IR, entonces f se llama una función de dos variables reales. Otra manera de enunciar esto es la siguiente. (16.1)

DEFINICION

Sea D un conjunto de parejas ordenadas de números reales. Una función.r que asocia a cada pareja (x, y) en D un número real único, denotado por f(x, y), se llama una función de dos variables. El conjunto D se Barna el dominio de f El rango de f consta de todos los números reales f(x. y), donde (x, y) está en D. En el capítulo 1 representamos geométricamente el dominio y el rango de una función de una variable mediante conjuntos de puntos en una línea recta (vea la figura 1.26). Para el caso de funciones de dos variables, podemos representar el dominio D mediante un conjunto de puntos en un plano xy y el rango mediante un conjunto de puntos en una recta, digamos en un eje w. Esto se ilustra en la figura 16.1, donde se dibujan varias flechas curvas que van de las parejas ordenadas en D a los números que les corresponden en el rango. Para obtener una interpretación física de esta situación imaginemos un objeto plano que tenga la forma de D. A

733

734

16

DERIVADAS PARCIALES w

y

{ex, y)

__- - - r [e a. b)

[Ce, d)

o x

Figura 16.1 cada punto (x, y) del objeto le corresponde una temperatura f(x, y) que se registra en un tennómetro representado por el eje w. Otro ejemplo sería considerar a D como la superficie de un lago y denotar por f(x, y) la profundidad del agua bajo el punto (x, y). Una función de dos variables suele definirse mediante una expresión en x y y que especifica la imagenf(x, y). En tal caso se supone que el dominio es el conjunto de todas las parejas (x, y) para las cuales la expresión tiene sentido, y decimos que f es una función de x y y. Ejemplo 1

Sea x)' -

5

=---= .f ( x.. r )2Fx 2

Encuentre el dominio D del Ilustre D y los númerosf(2, 5)'/(1, 2) Yf( -1,2) como se sugiere en la figura 16.1.

Solución

El dominio D es el conjunto de todas las parejas (x, y) tales que y - x 2 es positivo, es decir, y > x 2 . (¿Por qué?) Por lo tanto la gráfica de D es la parte del plano xy que se encuentra arriba de la gráfica de y = x 2 , como se muestra en la figura 16.2. Sustituyendo vemos que

. .1(2,5) =

(2)(5)-55 2

j

5- 4

Análogamente, f( 1, 2) = - 3/2 y f( - 1, 2) están marcados en la figura 16.2

= -2'

= - 7/2.

Estos valores de la función

A veces se definen funciones de dos variables por medio de fórmulas. Por ejemplo, V = rr,2h es una fónnula que expresa el volumen V de un cilindro circular recto, en función de su altura h y el radio, de su base. Los símbolos, y h se llaman

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

\

(- 1,2)

735

w

y

,, \, D , ,

,

,

, ,

, ,

, , ,,

,,

16.1

f.--y:=x ,,, ,

2

,I

,

(2, S) I

I

(1,2)/

-~

:¡..'

,I

•x Figura 16.2

las variables independientes y V la variable dependiente. Una función f de tres variables (reales) se define como en (16.1), excepto que el dominio D es un subconjunto de IR x IR x IR. En este caso a cada terna ordenada (x, y, z) en D se le asocia un número real único f(x, y, z). Si representamos a D me­ diante una región en un sistema coordenado rectangular de tres dimensiones, en­ tonces, como se ilustra en la figura 16.3, a cada punto (x, y, z) en D le corresponde un único punto con coordenadaf(x, y, z) sobre el eje w. Para obtener una ilustración fisica podemos considerar a D como un objeto sólido y denotar por f(x, y, z) la temperatura en (x, y, z). Como en el caso de dos variables, las funciones de tres variables suelen definirse mediante expresiones. Por ejemplo, xe)'

+

Z2

+l

f(x,y,z) = - - - " ' - - - ­ xysen z

f(x, y, z) _ _---t~ f(a, b, e)

y

o

x

Figura 16.3

736

16

DERIVADAS PARCIALES

determina una función de x, y, z. También pueden definirse funciones de tres variables por medio de fórmulas tales como V = Iwh donde Ves el volumen de un para­ lelepípedo rectangular de dimensiones 1, w y h. Las funciones de cuatro, cinco o más variables se obtienen de manera seme­ jante. Por ejemplo, si un objeto tiene la forma de D en la figura 16.3, podemos denotar por f(x, y, z, t) a la temperatura en un punto (x, y, z) en el tiempo t. Esto define una función de cuatro variables (independientes) x, y, z y t. Como una úl· tima ilustración, un productor puede expresar el costo de producción e de cierto artículo en términos de lo que cuestan el material, la mano de obra, el equipo, la renta, los impuestos y los gastos de mantenimiento. Entonces e es una función de seis variables. Volvamos ahora al caso de una función de dos variables x y y. La gráfica de f es, por definición, la gráfica de la ecuación z = f(x, y) en un sistema coordenado rectangular de tres dimensiones, y por lo tanto, suele ser una superficie S de cierto tipo. Si representamos a D por una región en el plano xy, entonces la pareja (x, y) en D queda representada por el punto (x, y, O). El valor f(x, y) de la función es la distancia (dirigida) del punto (x, y, O) a S, medida sobre la recta paralela al eje z que pasa por este punto, como se ilustra en la figura 16.4. z

y

x

Figura 16.4

=9

- x2

Sea f la función definida por f(x, y) Dibuje la gráfica de ¡:

Solución

El dominio de f puede representarse geométricamente por la colección de todos los puntos del plano xy que se encuentran dentro del círculo x 2 + y2 = 9. La gráfica de f es la porción de la gráfica de la ecuación

z = 9 - x 2

_

-

y2 en D

= {(x, y) :x 2 + y2

Ejemplo 2

:S: 9}.

y2

que se muestra en la figura 16.5. Hemos dibujado, para referencias futuras, trazos circulares sobre la gráfica en los planos z = k donde k = O, 3, 6, 8 Y8.75.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

16.1

737

z

y

x

Figura 16.5.

Trazos circulares están en los planos z = k.

Hay otro método gráfico para describir el comportamiento de una función de dos variables. El método consiste en dibujar en un plano xy las gráficas de las ecua­ ciones f(x, y) = k para varios valores de k. Las gráficas que se obtienen de esta manera se llaman las curvas de nivel asociadas a la función f Es importante notar que cuando un punto (x, y) se mueve sobre una curva de nivel, los valores de la función permanecen constantes. Este método se emplea en el dibujo de mapas topográficos de terrenos montañosos. Por ejemplo, supongamos que f(x, y) denota la altitud (en metros) de un punto (x, y) de latitud x y longitud y. Hemos trazado las curvas de nivel correspondientes a k = 50, 100, 200, 300 Y 400 sobre la colina dibujada en (i) de la figura 16.6. Una persona que camine sobre una de estas curvas permanecerá siempre a la misma altitud. En (ii) de la figura, aparecen las curvas de nivel (bidimensionales) correspondientes a los mismos valores de k. Estas úl­ timas se llaman también curvas de contorno. Representan el panorama que se tiene

k =400 k =300

/,----'

,

k =200 k= 100

k

=

50

(ii)

(i)

Figura 16.6

738

16

DERIVADAS PARCIALES

de una colina vista desde un aeroplano. En los mapas del clima aparecen configura­ ciones semejantes. En esta caso f(x, y) puede representar, por ejemplo, la presión atmosférica en (x, y) y las curvas de nivel se llaman isobaras. Ejemplo 3

Dibuje algunas de las curvas de nivel asociadas a la función f del ejemplo 2.

Solución

Las curvas de nivel son las gráficas de las ecuaciones de la fonna f(x, y) = k, es decir,

o equivalentemente x2

+

y2

= 9 - k.

Estas curvas son círculos, siempre y cuando O s k s 9. En la figura 16.7 di­ bujamos las curvas de nivel correspondientes a k = O. 3, 6, 8 Y 8.75. Note que las curvas de nivel corresponden a las trazas de la gráfica de f en los planos z = k, como puede verse en la figura 16.5. y ~--k=8.75

k=8 k=6 k=3 ........ k =0

x

FiguI'a 16.7

Si f es una función de tres variables x, y, z. entonces por definición, las super­ ficies de nivel asociadas a f son las gráficas de f(x, y, z) = k donde k toma valores reales apropiados. Cuando k toma los valores wo. W I Y W 2 , se generan superficies de nivel So, SI Y S2 respectivamente, como se ilustra en la figura 16.8. Con el pro­ pósito de usarlos más adelante hemos trazados los puntos tipicos Po, PI Y P 2 en So, SI Y S2 respectivamente. Cuando un punto (x, y, z) se mueve sobre una de estas superficies, j{x, y, z) no cambia. Por ejemplo, si f(x. y, z) representa la temperatura en el punto (x, y, z). entonces las superficies de nivel se llaman superficies isotérmicas o isotermas. Si f(x, y, z) representa un potencial, las superficies de nivel se llaman superficies equipotenciales.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

16.1

z

so: f(x, y, z) = Wo

y

x Figura 16.8

16.1 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 8 detennine el dominio de f y el valor de f en los puntos indicados.

+ 2)/x;(3.1).(I.3).(2.0)

{(x,y) = 2x - / ; (-2,5). (5, -2),(0. -2)

2

f(x,y) = (y

3

f(u,L') = Ul'/(u - 21");(2,3),( -1,4),(0.\)

4

f(r,s) = ~ -1.""';(1, 1).(0.4).( -3,3)

5

f(x,y,z)=

25-X 2 _ y 1_:2;(1,-2.2),(-3,O.2)

6

j(x. y. z) = 2

+ tan x + y sen::; (rr/4. 4. rr/6). (O. O, O)

7

f(r, s, v, p) = rs 2 tan

8

f(X.y.1I,l;. 11') =

\l'

l'

+ 4srln p;(3,

In (x -

y) -

1, rr/4,e)

-

x1le' "'; (2.1, 3, 4, -()

En los ejercicios del 9 al 12 encuentre f(x

+ h.y) -

fl·":,)')

y

f(x,y

+ h)

- f(x.y)

h

h

donde h "'" O. 9

11

+ 3.'(

f(x, y) = Xl + /

10

f(x.)') = .1'2

f(x. y) = X)'l + h

12

f(x,y) = xy3

+ 4x l

-

2

En cada uno de los ejercicios. del 13 al 18 describa la gráfica de I

13

f(x,y) = .JI - x 2 - .1'2

16

f(x,y) =

x2 + /

14

f(x,y) = x 2 + l -

17

f(x,y) = 5

\

15

f(x,y) = 6 - 2x _. ]1'

18

f(x,.\') = 4 - x

En cada uno de los ejercicios del 19 al 24 dibuje algunas de las curvas de nivel asociadas al 19

f(x,y) =

l -

x2

20

f(x,y) = 3x - 2.1'

21

f(x,y) = x 2

-

y

739

740 22

16

DERIVADAS PARCIALES 23

J(x, y) = xy

j(x, y) = y - sen x

24

J(x,y)

=

4x 2 + y2

En cada uno de los ejercicios del 25 al30 describa las superficies de nivel asociadas af 25

J(x,y,z) = x 2

28

J(x,y,z)

16.2

=

x2

+ yl + Z2

26

J(x,y,z) =

Z -

x2

+ yl-

29

I(x,y,z) = x 2

+l

Z2

_

y2

27

j(x, y, z) = x

30

f(x,y.z)=z

+ 2y + 3::

LIMITES y CONTINUIDAD Sea f una función de dos variables. A veces es importante estudiar la variación de f(x, y) cuando (x, y) varía dentro del dominio D de f Como una ilustración física, consideremos una placa delgada de metal con la forma de la región D ilustrada en

la figura 16.1. A cada punto (x, y) de la placa le corresponde una temperatura f(x, y) que se registra en un termómetro representado por el eje w. Cuando el punto (x, y) se mueve sobre la placa, la temperatura puede aumentar, disminuir o per­ manecer constante y por lo tanto el punto sobre el eje w que corresponde a j{x, y)

puede moverse en la dirección positiva, en la dirección negativa o permanecer en reposo, respectivamente. Si la temperatura f(x, y) tiende a un valor fijo L cuando (x, y) se aproxima a un punlo fijo (a, b), entonces escribimos (16.2)

lim

f(x, y)

=L

(x.y)-(a.b)

y decimos que f tiende al limite L cuando (x, y) tiende a (a, b). Para precisar más estos comentarios, emplearemos una idea similar a la que usamos para las funciones de una variable en el capítulo 2. Para todo E > O, consideremos el intervalo abierto (L - E, L + E) sobre el eje w. Si (16.2) es cierto, entonces como se ilustra en la figura 16.9, existe un () > O tal que para todo punto (x, y) dentro del círculo de radio () con centro (a, b), excepto posiblemente el punto (a, b) mismo, el número

IV

1.

+ (; l.

~--"'J{x.y)

l. -

E

o [i!TI J{x,y)=I. Ix.rl-Ia,bl

Figura 16.9

LIMITES Y CONTINUIDAD

16.2

741

correspondiente a f(x, y) se encuentra en el intervalo (L - t:, L + t:). Esto es equi­ valente a la afinnación si O < J(x - 0)2 + (y - b)2 < b, entonces If(x, y) - LI

<

t:.

La discusión anterior se puede resumir en la siguiente definición. (16.3)

DEFINICION

Sea f una función definida en el interior de un círculo con centro (o, b), ex­ cepto posiblemente en (o, b) mismo. El límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende (a, b) es L, y se escribe f(x,y) = L

lim (x,y)-(a,b)

si para todo t: > O existe un ¡} > O tal que If(x, y) J(x - 0)2 + (y - b)2 < b.

°<

LI <

t:

siempre que

Consideremos la gráfica de f que se ilustra en la figura 16.4. Intuitivamente, la definición 16.3 nos dice que cuando el punto (x, y, O) se acerca a (o, b, O) sobre el plano xy, el punto correspondiente (x, y, f(x, y)) sobre S se acerca a (o, b, L) (que puede estar o no estar en S). Se puede demostrar que si el límite L existe, es único. Sify g son funciones de dos variables, entoncesf + g,f - g,fg y f/g se definen de la manera acostumbrada, y el teorema (2.11) referente a los límites de sumas, productos y cocientes puede generalizarse a este caso. Por ejemplo, si f y g tienen limites cuando (x, y) tiende a (o, b), entonces se puede demostrar que

[f(x,y)

lim

+ g(x,y))

(x,y)-(a.b)

=

f(x,y)

lim (x.y)-(a.b)

+

lim

g(x,y).

(x,y)-(a.b)

Se dice que una funciónf de dos variables es una función polinómica o un poli­ nomio sif(x, y) puede expresarse como una suma de ténninos de la fonna cxmy., don­ de c es un número real y m y n son enteros no negativos. Una función racional es un cociente de dos polinomios. Como en el caso de una sola variable, se puede demostrar que a veces los límites de tales funciones se pueden calcular sustituyendo directamente en lugar de x y y sus límites. Por ejemplo

Iim

(x 3

-

4xy 2

+ 5y - 7) = 2 3

-

4(2)( - 3)2

+ 5( -

3) - 7

(x,y)-(2, - 3)

= 8 - 72 - 15 - 7 = - 86. El ejemplo siguiente exhibe una función que no tiene límite cuando (x, y) tiende a (O, O).

Ejemplo 1

Demuestre que

¡im (x,y)-(O.O)

Solución

x2 _ 2

x

y2

+y

2

no existe.

Sea f(x, y) = (x 2 - y2)/(X 2 + y2). Entonces f está definida en todas partes ex­ cepto en (O, O). Si consideramos un punto (x, O) sobre el eje x, entonces f(x, O) = 2 2 X /X = 1, siempre y cuando x =i' O. Para todos los puntos (O, y) sobre el ejey

742

16

DERIVADAS PARCIALES

tenemos f(O, y) = - y2/y2 = - 1, siempre y cuando y :1- O. Por consiguiente, todo círculo con centro en (O, O) contiene puntos en los que el valor de f es 1 y puntos en los que el valor de f es - 1, como se ilustra en la figura 16.10. Resulta en­ tonces que el límite no existe puesto que si tomamos e = 1, no existe un intervalo (L - e, L + e) sobre el eje w que contenga a I y a - l. Por lo tanto es imposible encontrar L y <> que satisfagan las condiciones de la definición (16.3). y

w

_--------~[(x,

x

0)=1

o

_ _ _ _ _ _- - -......~ [(O, y) =-1

Figura 16.10

Para ciertas funciones en el capítulo 2 demostramos que limx~af(x) no existía, mostrando que limx~a- f(x) y limx~a. f(x) no eran iguales. En el caso de tales límites unilaterales podemos pensar que el punto del eje x con coordenada x se aproxima al punto con coordenada a por la izquierda o por.la derecha, respectiva­ mente. La situación análoga para funciones de dos variables es más complicada, ya que en un plano coordenado hay una infinidad de curvas (a las que llamaremos trayectorias) a lo largo de las cuales (x, y) se puede aproximar a (a, b). Sin embargo, si el límite de la definición (16.3) existe, entonces f(x, y) debe tener el mismo límite L independientemente de la trayectoria tomada. Esto ilustra la importante regla que enunciamos a continuación. Si los límites de una función a lo largo de dos trayectorias distintas que van al punto P(a, b) son diferentes, entonces el límite def(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) no existe. Ejemplo 2

Resuelva el ejemplo I utilizando la regla anterior.

Solución

Si (x, y) tiende a (O, O) a lo largo del eje x, entonces la ordenada y siempre es igual a cero y la expresión (x 2 - y2)/(X 2 + y2) se reduce a X 2/X 2 o 1. Por lo tanto el límite a lo largo del eje x es l. Por otro lado, si (x, y) tiende a (O, O) a lo largo del eje y, entonces la abscisa x es igual a cero y la expresión (x 2 - y2)/(X 2 + y2) se reduce a - y2/y 2 o -1. Por lo tanto el límite a lo largo del eje y es - l. Como los límites a lo largo de las dos trayectorias consideradas son diferentes, el límite no existe. Por supuesto, podríamos haber escogido otras trayectorias para acercarnos

,

LIMITES Y CONTINUIDAD

al origen (O, O). Por ejemplo si (x, y) se aproxima a (O, O) a lo largo de la recta y entonces

l

x2

-

x2

x2

+ y2 =

4x 2 x 2 + 4x 2 -

-

3x 2

743

16.2

=

2x,

3 5

= 5T =

Y por lo tanto el límite a lo largo de esta recta es - 3/5.

=

x 2y

Ejemplo 3

Sea f(x,y)

Solución

Si (x, y) se acerca a (O, O) a lo largo de cualquier recta no horizontal y = mx que pasa por el origen, entonces, como m "# O,

4

x

+y

2'

Calcule

. hm

(x,y)-(O.O)x

lim

(x,y)-(O,O)

x 2y 4

+y

f(x,y) si este limite existe.

x 2 (mx)

. 2

hm

4

lim

4

(x.y)-(O.O) X

+ (mx) 2 mx 3

(X.y)-(O,O)

+m

X

2

x

2

mx

lim

(x.y)·'(O.O)

2 X

+m

2

o

-m -2 O - O+ - . De acuerdo con esto, podriamos pensar que f(x, y) tiene el limite O cuando (x, y) tiende a (O, O). Sin embargo si (x, y) se aproxima a (O, O) a lo largo de la parábola v = x 2 , entonces

. l 1m

1

-

(X.y)-(O,O) 2

1 -2'

Hemos visto que no toda trayectoria que pasa por (O, O) lleva al mismo valor límite y por lo tanto el limite no existe. Sea R una región en el plano xy. Un punto (a, b) se llama un punto interior de R si existe un circulo con centro (a, b) que contiene únicamente puntos de R. En (i) de la figura 16.11 se muestra un punto interior de R, Un punto (a, b) se llama un punto de la frontera de R, si todo circulo con centro (a, b) contiene puntos de R y puntos que no están en R, como se ilustra en (ii) de la figura 16.11. Supongamos que una función f de dos variables está definida en todo punto (x, y) en una región R, excepto posiblemente en (a, b). Si (a, b) es un punto interior entonces la definición (16.3) se puede utilizar para investigar el limite defcuando

744

16

DERIVADAS PARCIALES l' '---

~-..:::

...

', \

I

a. hJi /

/"

x

(i)

Punto interior de R

(ii)

Punto de la frontera de R

Figura /6./ /

(x, y) tiende a (o, b). Si (o, b) es un punto de la frontera usaremos (16.3) con la res­ tricción adicional de que (x, y) debe estar en R además de estar en el circulo de radio fJ. Así, los teoremas sobre límites se pueden generalizar a los puntos de la frontera. Se dice que una funcíón f de dos varíabies es continua en (o, b) si

lim

f(x,y) = f(a, b)

(x.y)-(a.b)

donde debemos aplicar los comentarios anteriores en caso de que (o, b) sea un punto de la frontera del dominio de f Si una región de R está contenida en el dominio D de f, entonces se dice que f es continua en R si es continua en todo punto (a, b) de R. Si f es continua en R entonces una variación pequeña en (x, y) produce un cambio pequeño en f(x, y). Refiriéndonos a la gráfica S de f (vea la figura 16.4), vemos que si (x, y) está cerca de (o, b), entonces el punto (x, y, f(x, y» está cerca de (o, b, f(o, b». Así pues, la gráfica de una función continua no tiene agujeros ni escalones verticales. Se pueden demostrar algunos teoremas sobre continuidad análogos a los que se probaron para las funciones de una variable. En particular los polinomios en dos variables son funciones continuas en todas partes y las funciones racionales son continuas excepto en los puntos donde el denominador se anula. Los comentarios y las definiciones anteriores acerca de límites y continuidad, pueden generalizarse al caso de tres o más variables. Por ejemplo, sifes una función de tres variables, entonces lím

f(x, y, z)

=L

(x,y•• )-(a,b,c)

(16.4)

signífica que para todo e > O existe un lJ > O tal que

If(x,y, z) - LI < e.

siempre que

0< J(x - a)2

+ (y -

b)2

+ (z

- C)2 < lJ,

Podemos dar una Interpretación gráfica de (l6.4) análoga a la que ilustramos en la figura 16,9. La diferencia aquí es que en lugar del circulo en el plano xy, usamos una esfera de radio lJ con centro en (o, b, e) y hacemos todo en un sistema conrdenado de tres dimensiones (vea el ejercicio 25). Una función f de tres variables es continua en (o, b, e) si lím (x,y,z)-(a,b,c)

f(x,y,z)

= f(a,b,c).

LIMITES Y CONTINUIDAD

16.2

745

Los límites y la continuidad en los puntos de la frontera del dominio de f pueden definirse de manera análoga a como se hizo en el caso de funciones de dos variables. No hay una diferencia esencial en la definición de límite para funciones de cuatro o más variables; sin embargo, en estos casos no damos interpretaciones geométricas (vea el ejercicio 27). En la sección 16.5 discutiremos la composición de funciones de varias variables. Un ejemplo sencillo es el siguiente. Seafuna función de dos variables y g una función de una variable. Entonces se puede definir una función h de dos variables mediante h(x, y) = g(f(x, y)), siempre y cuando el rango de f esté contenido en el dominio de g. Ejemplo 4

Solución

En cada uno de los casos siguientes exprese g(f(x, y)) en términos de x y y, yen­ cuentre el dominio de la función compuesta resultante. (a) f(x, y)

=

(b) f(x,y)

=y

xeY, g(t)

=

+t+1 = sen Jl

3t 2

2

- 4x ,g(t)

En cada caso sustituimos f(x, y) en lugar de t. Así:

=

3x 2 e 2Y

(a) g(f(x, y))

=

g(xe Y )

(b) g(f(x,y))

=

g(y - 4x 2 )

+ xeY +

= senJy

1.

- 4x 2 .

El dominio en el caso (a) es IR x IR yen el caso (b) consta de todas las parejas or­ denadas (x, y) tales que y ~ 4x 2 . El siguiente resultado, que es análogo al teorema (2.31), se puede demostrar para funciones como las del ejemplo 4. (16.5)

TEOREMA

Si una función f de dos variables es continua en (a, b) y una función g de una variable es continua en f(a, b), entonces la función h definida por h(x, y) = g(f(x, y)) es continua en (a, b). Como una ilustración, consideremos el caso (b) del ejemplo 4. La función f es continua en IR x IR y g es continua en los números reales no negativos. Por lo tanto, aplicando el teorema (16.5), vemos que la función compuesta h, definida por

h(x, y) = g(f(x, y)) = sen

Jy

- 4x 2

es continua en todas las parejas (x, y) tales que y - 4x 2 es no negativo, o equivalen­ temente, y ~ 4x 2 .

16.2 EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 10 calcule los límites, si es que existen. . Xl - 2 xJ 11m - - 2 lím (X,y)-(O,O) 3 + xy (x,)'I-(O,O)

-

Xl.\' Xl

+ xl + yl

J'J

746

16

DERIVADAS PARCIALES

2x2 _ y2

3

Iim

2

+ 2y

(..,,)-(0.0) X

4x 2 y

,

5

hm

+y

,

7

xy - 2x -- y

hm

2

(..,,)-(l,2)X

2

+y -

x3

9

2x -

+ y2 x x2 + y2

x 2y

_

Iim (... ,)-(0,0)

+2 4y + 5

+ 5y 2 + 4y2

2xy

-

x4 _ y4

, hm

-2--2 (x,,)-(O,O) X y

+

, 11m

8

3xy

(x,,)-(O,O)

_ y3

2

3x 2

6

-3--3

(... ,)-(0.0) X

X

4

2

5x

4

xy

, 11m

10

+ 2y 4 2

(X",:)-(O,O,O)

X

+ yz + x: 2 2 +y +z

En cada uno de los ejercicios del 11 al 16 discuta la continuidad de la función! 11

f(x,y) = In(x

14

f(x, y, z)

=

+ y - 1)

12

j;; tan z

f(x, y) = xy/(x 2 -yl)

15 f(x, y)

=

fielG'

+ yl -

13

f(x, y, z) = 1/(x 2

16

f(x,y) = J25 - x 2 -yl

Z2)

En cada uno de los ejercicios del 17 al 20 encuentre g(f(x, y)) y detennine el dominio de la función compuesta resultante. 17 f(x,y) = x 2

-

y2,g(t) =

(e2 -

4)/t

18 f(x,y) = 3x

= x + tany,g(z) = Z2 + 1 f(x, y) = x 2 + 2y, g(t) = e'

19 f(x,y)

21 Sean 2

1

-

31,

20

y h(/) = Encuentre g(f(x, y», h(f(x, y» y

f(x,y)

=

+ 2y - 4,g(t)

= In(t

+ 5)

ylnx,g(w) = eW

22 Sean f(x, y, z) = 2x + ye: Encuentre g(f(x, y, z».

y

g(t)

=

12,

f(g(/), h(t»,

23 Seanf(u, v) = uv - 3u + v, g(x, y) = x - 2y Y k(x, y) = 2x + y. Encuentre

24 Seaf(x, y) = 2x + y. Encuentre f(f(x, y),f(x, y»,

f(g(x, y), k(x, y». 25 Dé una interpretación gráfica de (16.4).

26 Demuestre que si el límite L en la definiciónl (16.3) existe, entonces es único,

27 (a) Defina la noción de función de Cuatro varia­ bles (reales). (b) Generalice la definición (16.3) al caso de funciones de cuatro variables.

28 Demuestre que si f es una función continua dos variables y f(a, b) > O, entonces existe círculo e en el plano xy con centro (a, b) que f(x, y) > O para todas las parejas (x, que están en el dominio defy dentro de C.

29 Demuestre directamente, a partir de la defini.­ ción (16.3), que

30 Demuestre directamente, a partir de la defini­ ción (16.3), que si lim(.., ')_(0. b)f(x, y) = L Ysi c es cualquier número real, entonces

la)

lim (x.)')-(a.hl

x = a,

lb)

lim

y = h.

(X •.\'I ...... (u.h)

lim

de un tal y)

c/(x. y) = eL.

(x·Y)-la,h)

16.3

DERIVADAS PARCIALES En esta sección comenzamos el estudio de las derivadas de funciones de varias variables.

DERIVADAS PARCIALES (16.6)

747

16.3

DEFINlCION

Sea f una función de dos variables. Las primeras derivadas parciales de f con respecto a x y y son las funciones fx y 1, definidas como sigue: f(x + h,y) ¡;x (x,y) -1' - 1m h

- f(x,y)

h-O

J,( , x,y)

,

= 11m

f(x,y

+ h) h

- f(x,y)

h-O

siempre que los límites existan. Note que en la definición de f,.(x, y) la variable y permanece fija. Es por eso que se usa la notación para límite de funciones de una variable en lugar de la que se introdujo en la sección anterior. En efecto, si en la definición def,.(x, y) se suprime el símbolo y, entonces se obtiene el límite en (3.6) que define la derivada de una función de una variable. Por lo tanto, para encontrar fx(x, y) podemos considerar a y como un número constante y derivar f(x, y) con respecto a x de la manera acos­ tumbrada. Análogamente, para encontrar fix, y) se fija la variable x y se deriva f(x, y) con respecto ay. Otra notación que se usa frecuentemente para las derivadas parciales es of of fx = ox y fy = ay' Por brevedad, nos referimos a offox o offoy como la parcial de f respecto a x y la parcial de f respecto a y, respectivamente. Si w = f(x, y), podemos escribir fAx,y)

a

ow

a

ow

uy

uy

= oxf(x,y) = ox = w..

h,(.x, y) =:l f(x,y) = -;- = w)..

Ejemplo 1

Encuentre fx(x, y) y I,(x, y) suponiendo que f(x, y) =

Solución

De acuerdo con los comentarios anteriores,

f..(x,y) = 3X 2 y 2 h'(x,y)

= 2x

3

-

4xy

y - 2x

2

X

3

y2

-

2x 2y

+

3x.

+3

•

Es instructivo interpretar la definición (16.6) a través de la ilustración dada al principio de la sección anterior, donde f(x, y) se interpretó como la temperatura de una placa en el punto (x, y). Note que los puntos (x, y) y (x + h, y) se encuentran sobre, una recta horizontal, como se indica en la figura 16.12. La diferencia f(x + h, y) - f(x, y) es el cambio que sufre la temperatura cuando el punto se mueve de (x, y) a (x + h, y) Y la razón

748

16

DERIVADAS PARCIALES y

IV

D

",.--¡-----_J J(x + h, y) __-.,..J(x, y)

x

o

Figura 16.12 f(x

(16.7)

+ Iz, y)

- f(x, y)

Iz es el cambio medio en la temperatura. Por ejemplo, si el cambio de la temperatura es 2 grados y h es 4, entonces esta razón es 1/2; es decir, en promedio, la temperatura cambia a razón de 1/2 grado por unidad de distancia. Tomando el límite en (16.7) cuando h tiende a cero, obtenemos la razón de cambio de la temperatura con respecto a la distancia, cuando el punto (x, y) se mueve en dirección horizontal. Análoga­ mente, f/x, y) mide la razón de cambio de f(x, y) cuando (x, y) se mueve en direc­ ción vertical. Como otra ilustración, supongamos que D representa la superficie de un lago y f(x, y) la profundidad del agua bajo el punto (x, y) en la superficie. En este caso fAx, y) es la razón de cambio de la profundidad cuando el punto se mueve paralelamente al eje x, mientras que h,(x, y) es la razón de cambio de la profundidad en la direc-eión paralela al eje y. Hay una interpretación geométrica interesante de la definición (16.6) en ténninos de la gráfica de f Para ilustrar fy(x, y) consideremos los puntos M(x, y, O) Y N(x, y + h, O). El plano f paralelo al plano yz y que pasa por M y N, interseca a S en una curva C. Si introducimos un sistema coordenado en f y si P y Q son los puntos en e cuyas proyecciones sobre el plano xy son M y N entonces M P = f(x, y), NQ = f(x, y + h) y MN = h. (Vea la figura 16.13.) Resulta entonces que el cociente [j(x, y + h) - f(x, y)]lh es la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q en el plano f. El límite de este cociente cuando h tiende a 0, es decir fy(x, y), es la pendiente de la recta tangente 1a e en P. Análogamente, si C' es la inter­ sección de S con el plano f' paralelo al plano xz y que pasa por M, entoncesf..{x, y) es la pendiente de la recta tangente a C' en P. Las primeras derivadas parciales de funciones de tres o más variables se definen igual que en (16.6). Concretamente, todas las variables excepto una se mantienen constantes y se deriva con respecto a ella. Así, una función f(x, y, z) dada, puede tener tres derivadas parciales fJ<' h, y fr (o equivalentemente oflax, aflay y aflaz). Por ejemplo .

.

lAx, y, Z) = hm h-O

I(x,y,z

+ 11) h

I(x,y,z)

.

DERIVADAS PARCIALES

16.3

749

z

y

x

Figura 16.13 Sif(x, y, z) es la temperatura en el punto P(x, y, z), entoncesf..{x, y, z) es la razón de cambio de la temperatura con respecto a la distancia a lo largo de la recta que pasa por P y es paralela al eje x. Las derivadas parciales h(x, y, z) y Jz(x, y, z) dan las razones de cambio en las direcciones paralelas al eje y y al eje z respectivamente.

Ejemplo 2

Sea w =

X

2

y 3 sen z

+

e;U.

Encuentre aw(ax, aw(ay y aw(az.

ow = 2xy3sen z + ze = ax ow ay = 3x 2 y2 sen z

Solución

-

X

aw az =X2y3cosz + xe X =

Sifes una función de dos variables x y y, entoncesfx y h también son funciones de dos variables y podemos considerar sus primeras derivadas parciales, las cuales se llaman las segundas derivadas parciales de f y se denotan como sigue. O.

.

.

a:..J x = (}x)x = f,x O.

;¡- fx uy

o.

=

.

(f,)y = .

.

- f". = U,,)x OX . =

iJ.

.

a(al) = ox ox

.

. .

1

ox

2

0/ ;--0 uy x

iJ (~/)

;-"

uX

-;¡-

oX

U,l'

°(o/)

;¡-/.. = UJ uy . ... = In .. =;¡-;¡uy uy Si w = f(x, y), podemos escribir

=

2

(o/) ~

iJ

J, ... = 13-y

J... x =

0

2

0

2 /

uX 0,1'

0

2 /

(".\.2 .,

750

16

DERIVADAS PARCIALES

y se puede hacer lo mismo para las otras segundas derivadas parciales. Se puede demostrar que si / tiene segundas derivadas parciales continuas entonces /;ey = h,;e. Esto es cierto para la mayoría de las funciones que aparecen en el cálculo y sus aplica­ ciones, Análogamente, si w = /(x, y, z) y / tiene segundas derivadas parciales continuas, entonces se puede demostrar que el orden de derivación no tiene im­ portancia, es decir, ~,

e

e-II'

('2 \\'

13 2 \\,

?.I'Dx

?."<.oy

('::. ex

D2 \\, (~.I' i'::.

~,

2 \\,

C-II'

e::. ay

ex 8::.

La demostración es muy complicada y no la daremos en este libro. Ejemplo 3

Solución

Encuentre las segundas derivadas de/suponiendo que/(x, y) =

X

3

y2

-

2

Esta función fue considerada ya en el ejemplo 1. Como/Ax, y) = 3X y 2 y f,(x, y) = 2x 3y - 2x 2 , tenemos

/;eAx,y)

+ 3x. 4xy + 3

2x 2 y -

o

= ox (3x 2/ - 4xy + 3) = 6x/ - 4y

o

2 2

/;e).(X,y) = 0/3x y - 4xy

+ 3) = 6x 2 y -

o

/y;e(.X,y)

= ox(2x 3 y - 2x 2) = 6x 2y -

fyy(x,y)

= 0/2x 3y - 2x 2) = 2x 3 .

4x

4x

o

Las terceras derivadas parciales, así como las de orden mayor, se definen de la misma manera. Por ejemplo

:x

fn

o oxf;ey

= f;en = o~ (;~) = :.~ o ( olj )

03f

= f;ey;e = ox oyox = ox oyox'

etcétera. Se puede demostrar que si las terceras derivadas parciales son continuas, entonces el orden de derivación no tiene importancia, es decir,

Pueden darse notaciones y demostrarse resultados similares para funciones de más de dos variables. Por supuesto, se pueden usar letras distintas de x y y. Por ejemplo si / es una función de r y s, entonces se emplean símbolos tales como

.

f,(r, s), '/';(r, s), para denotar las derivadas parciales.

of

02f

1m or' or 2

DERIVADAS PARCIALES

751

16.3

16.3 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 18 encuentre las primeras derivadas parciales de f

2 3

f(r, s) =

F+?

6 f(x,y) = ti' In xy x

9 f(x,y) = xcos­ y

7

f(t, v) = In J(t

10

l

f(x,y) = J4x

f(x,)',z) = xe: - yer'

+ sen

X.\'4 -

f(x,y) = xe>'

8

f(u, w) = arctan (u/w)

-l sec x

I

2xl.l'3

f(r, s, v) = (2r

y

+ u- "

qr+senvw

En los ejercicios del 19 al 24 verifique que w=

- v)

+ y sen x

5

14

15

19

+ V)/(l

3

f(x,y,t)=

17 f(q,v,w)=sen-

f(s,l) = l/S - SIl

tl

Xl _

12

l

4

f(x, y) = (x 3 _ yl)l

+ 4x l

- 3,1'

W Xy

f(r, s, I:,p)

18

f(x, y, z) = xyzeXY '

28

Sea v = y In (Xl +

30

03 w Sea w = X2/(y2 + Z2). Encuentre - - 2 ' ozoy

=

tans

+ fieL" -

16

vcos2p

= wyx '

20

IV = xl/Ix

23

1\'

=

r3

+ 3SYOSl'

Xl

+ y)

cosh ~

.1'

WX)'Z'

27 Sea u = v sec rl. Encuentre

U,v,'

03 w 29 Sea w = sen xyz. Encuentre - - - o

ozoyox

32 Sea w = tan uv

+

Z4).

Encuentre v..)"

2 In (u

+

v). Verifique que

Una funciónf de x y y se llama armónica si o2f1ox 2 + iJ2f1oy2 = O. Demuestre que las funciones definidas en los ejercicios del 33 al 36 son armónicas. 33 /(x, .r)

=

In Jx 2 + .\-:2

34

f(x, y) = arctan (y/x)

35 '/(x,r) = cosxsenhy + senxcoshr

36 f(x,.I') = e-Xcosy + e-"cosx

37 Sea w = cos (x - y) + In (x + y). Demuestre que iJ2 W/ OX l - OlW/iJy 2 = O.

38 Sea w = (y - 2X)3 - ~ 2x. Demuestre que W xx - 4w)" = O.

39 Sea w = e-e" sen ex. Demuestre que para todo número real c.

40

W xx

=

w,

La ley de los gases ideales puede enunciarse como PV = cnT, donde n es el número de moles de gas, Ves el volumen, T es la temper­ atura, P es la presión y e es una constante. Demuestre que

OV oT oP iJT iJP iJV = -1.

752

16

DERIVADAS PARCIALES

En los ejercicios 41 y 42 demuestre que v satisface la ecuación de onda

41

l'=(senakx)(senkt)

42

v = (x - al)4

43 Escriba una lista de todas las segundas derivadas parciales posibles de w = ¡(x, y, z).

44

Sea w límite.

45 Una placa de metal caliente se sitúa sobre un plano xy. La temperatura en el punto (x, y) está dada por T = lO(x 2 + y2)2. Calcule la razón de cambio de T con respecto a la distan­ cia, en el punto P(I, 2), en la dirección (a) del eje x y (b) del eje y.

46

47 Sea

e

¡(x, y, z, /, v). Defina w, como un

=

Suponga que el potencial eléctrico Ven el punto + y2 + Z2). Calcule la razón de cambio de V con respecto a la distancia en el punto P(2, -1, 1) en la di­ rección (a) del eje x, (b) del eje y y (c) del eje z.

(x, y, z) está dado por V = lOO/(x 2

la curva de intersección del paraboloide

48

z = 9 - x 2 - y2 con el plano x = 1. Encuentre

la ecuación de la recta tangente / a e en el punto PO, 2, 4). Dibuje el paraboloide, e y /.

16.4

+ cos(x + al)

e la intersección de la gráfica de z = J36 - 9x 2 - 4y 2 con el plano y = 2. En­ cuentre la ecuación de la recta / tangente a e en el punto (1, 2, Jil\ Dibuje la superficie, e y /. Sea

INCREMENTOS y DIFERENCIALES

Sea f una función de dos variables x y y. Los símbolos ~x y ~y denotarán los in­ crementos de x y y. Debe observarse que aquí ~y es un incremento de la variable independiente y, a diferencia de la situación en (3.26) donde y era una variable de­ pendiente. En términos de esta notación de incrementos, la definición (16.6) se puede escribir

¡;:>: (x,y) =

. f(x + l 1m

~x,y)

A:>:-O

l· f(x,y + 1m

f,( y x,y ) -

Ay-O

- f(x,y)

A

LlX

~y) - f(x,y) A

LlY

•

Si definimos IV = f(x, y) y si x y y se incrementan en ~x y ~y respectivamente, entonces ~w denota el incremento correspondiente de la variable dependiente, es decir, (16.8)

~w =

f(x

+ ~x,y + ~y)

- f(x,y).

Por lo tanto ~ IV representa el cambio en el valor de f cuando (x, y) cambia a (x + ~x, y + ~y). Ejemplo 1

Sea w = f(x, y) = 3x 2 - xy. Encuentre ~w. ¿Cuál es el cambio enf(x, y) cuando (x, y) cambia de (1, 2) a (1.01, 1.98)?

Solución

Usando (16.8) vemos que

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES 6w

16.4

753

= [3(x + 6X)2 - (x + 6x)(y + 6y)] - [3x 2 - xy] = [3x 2 + 6x6x + 3(6x)2 - (xy + x6y + y6x + 6x6y)] -3x 2 + xy = 6x6x + 3(6x)2 - x6y - y6x - 6x6y.

Para encontrar el cambio enf(x, y) que se pide, sustituimos en la expresión anterior x = 1, Y = 2, 6x = 0.01, 6y = -0.02 Y simplificamos, obteniendo así 6w = 0.0605. Por supuesto, este número también puede encontrarse calculando f( 1.0 1, 1.98) - f(l, 2). El teorema siguiente se puede usar para expresar w en términos de las primeras derivadas parciales de f En el enunciado del teorema, '11 y '12 denotan funciones de 6x y 6y, sin embargo, en lugar de usar los símbolos '11 (6x, 6y) y '12(6x, 6y) para denotar sus valores, usamos la notación simplificada '11 Y '12' (16.9)

TEOREMA

Sea w = f(x, y), donde la función f está definida en una región rectangular R = {(x, y): a < x < b. e < y < d} y supongamos queIx y fy existen en R y son continuas en la pareja (xo, Yo) de R. Si (x o + 6x, Yo + .::\y) está en R y 6w = f(x o + .::\x, Yo + 6y) - f(x o, Yo), entonces 6w = fAxo,yo).::\x

+ ,h.(xo,yo)6y + '1, 6x + '12 6y

donde '1, Y '12 son funciones de 6x y 6y que tienden a cero cuando (.::\x, 6y) -> (O, O). Demostradón. La gráfica de R y las parejas que deseamos considerar se ilustran en la figura. 16.14. Primero notamos que el incremento 6w se puede escribir y

d

R

r----------------------l

I

B(Xo, Yo •

+ Ay)

C(xo + Ax. Yo + Ay): • I

I I

I

¡.

¡ A(xo, Yu)

e

•

I I I

I

D(xo + Ax. Yo) 1

~-----------------------~

b

a

Figura 16./4

"'t

754 (16.10)

16

DERIVADAS PARCIALES ~w = [I(xo

+ ~x,Yo + ~y)

+ ~y)] +

- f(xo,yo

[f(xo,yo

+ ~y)

- f(xo,yo)].

Introduzcamos ahora una función g de una variable definida como g(x) = + ~y). Entonces g'(x) = fAx, Yo + ~y). Aplicando el teorema del valor medio (4.12) a g obtenemos

f(x, Yo

+ ~x)

g(xo

donde u está entre se puede escribir f(xo

Xo

y

Xo

+

~x.

+ ~x,Yo + ~y)

- g(xo)

=

g'(u) ~x

Usando la definición de g, esta última ecuación - f(xo,yo

+ ~y) = fAu,yo + ~y) ~x.

Análogamente, si definimos h(y) = f(x o , y) y aplicamos el teorema del valor medio a la función h, obtenemos h(yo

donde v está entre Yo YYo

+

+ ~y)

~y,

f(xo,yo

- "(Yo) = h'(v) ~y

es decir,

+ ~y)

- f(xo,yo)

= h·(xo, v) ~y.

Sustituyendo en (16.10) obtenemos (16.11) Definamos '11 Y '12 por medio de '11

(16.12)

'12

= fAu,yo + ~y) - fAxo,Yo) = fy(xo, v) - fy(xo,yo).

Usando el hecho de que Ix y h. son continuas y notando que u ~ X o y v ~ Yo cuando O Y ~y ~ O respectivamente, vemos que '11 y '12 tienden a cero cuando (~x, L\y) ~ (O, O). Despejando fx(u, Yo + ~y) y fy(x o , v) en las ecuaciones (16.12), y sustituyendo en (16.11) obtenemos

~x ~

~w

=

[lAxo,Yo)

+ '1.]

~x

+

[h.(.xo,Yo)

+ '12]

~y

lo cual completa la demostración del teorema.

Ejemplo 2

Sea w = 3x 2 - xy. Encuentre unas funciones '11 y '12 que satisfagan la conclusión del teoremal (16.9).

Solución

De la solución del ejemplo I tenemos ~w = 6x~x

+ 3(~X)2

- x~Y - y~x - ~x~y

lo cual también se puede escribir ~w

=

(6x - y) ~x

+ (-

x) ~y

+ (3 ~x)(~x) + (-

~x) ~y.

Si definimos '11 = 3~x Y '12 = (- ~x), entonces obtenemos la igualdad en el teo'­ rema (16.9). Note que '11 y '12 no son únicas. En efecto, también podemos escribir

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES ~w

en cuyo caso r¡l = (16.13)

= (6x 3~x

- y)~x -

~y

+

(-x)~y

y

+

(3~x

- ~y)~x

+

16.4

755

O~y

= O.

r¡2

DEFINICION

Sea w = f(x, y). Las diferenciales dx y dy de las variables independientes x y y se definen como dx

=

y dy =

~x

~y,

donde ~x y ~y son incrementos de x y y. La diferencial dHl de la variable depen­ diente w se define por medio de aw

dw

= fAx,y)dx + fy(x,y)dy = ax dx +

aw ay dy.

Usando la conclusión del teorema (16.9) pero reemplazando (xo, Yo) con (x, y), vemos que ~w

- dw

=

r¡¡ ~x

+ r¡2~y

donde r¡l y r¡2 tienden a cero cuando (~x, ~y) -+ (O, O). Por lo tanto, si ~x y ~y son pequeños entonces ~w - dw ~ O, es decir, ~w ~ dw. Este hecho se puede utilizar para estimar el cambio en w correspondiente a un cambio pequeño en x yen y. Ejemplo 3

Sea w = 3x 2 - xy. Encuentre la diferencial dw y úsela para estimar el cambio en w cuando (x, y) cambia de (1, 2) a (1.0 1, 1.98). ¿Qué tan buena es la aproximación obtenida?

Solución

Aplicando la definición (16.13), aw

dw

= (6x Sustituyendo x = 1, y = 2, dx = dI\'

=

En el ejemplo I vimos que

aw

= -a dx + -a dy x y - y) dx

~x

(6 - 2)(0.01) ~w =

+ (-

= 0.01 y

x) dy.

dy

=

.~y

+ (-1)( -0.02)

= -0.02, obtenemos

= 0.06.

0.0605. Por lo tanto el error al estimar ~ w usando

dw es 0.0005.

Ejemplo 4

El radio y la altura de un cilindro circular recto miden 3 cm y 8 cm respectivamente, con un error posible en la medición de ± 0.05 cm. Use diferenciales para estimar el error máximo posible al calcular el volumen del cilindro.

Solución

El volumen V de un cilindro de radio r y altura h es V = 7tr 2 h. Por consiguiente

756

16

DERIVADAS PARCIALES

eV

av

,

elV = -dr + -elil = 2rrril dr + rrr- dil. ail

or

Sustituyendo r = 3, h = 8 Y dr = dh = ±O.OS obtenemos d JI

= 48rr( ± lH)S) + 9rr( ± 0.05) = ± 2.8Srr

~

± 8.9ScmJ

Decir que una función de una variable es diferenciable o tiene una diferencial es equivalente a decir que la función es derivable. Para funciones de dos variables usamos una condición mucho más fuerte, que enunciamos en la definición siguiente: (16.14)

DEFINICION

Sea IV = f(x, y). Decimos que f es diferenciable o que tiene una diferencial en (xo, Yo) si /lw se puede expresar en la forma /lw

IJxo,yo)/lx

=

+ h,(xo,yo)/ly + 1'/1 /lx + I'/l/ly

donde 111 y rlz tienden a cero cuando (/lx, /ly)

~

(O, O).

De acuerdo con el teorema (16.9), si fx y h, son continuas en una región R, entonces f es diferenciable en R. El teorema siguiente demuestra que una función diferenciable es continua. (16.15)

TEOREMA

Si una función f de dos variables es diferenciable en (xo, Yo), entonces fes continua en (Xo, Yo)' Demostración. Comenzamos escribiendo la fórmula para /l IV de la definiciónl (16.14) como sigue: /ll\'

=

LI.~(xo,Yo)

Si ahora tomamos x = Xo /lw

= j(x,y) =

+

/lx

+ IIIJ

/lx

+

y Y = Yo

U;(xo,Yo)

+

+ 112J

/l.\'.

/ly, entonces

/(xo';'o)

[JAxo,Yo) + '11 J (x - xo)

+ U;·(XO,JI O) + 1'/2J (y

Se sigue que lim

[/(x,y) - j(xo,Yo)J

=O

(J.:,).')-(xo,)'ol

o lim (.\:,y) -. (XIl. Yl))

Por lo tanto/es continua en (x o , Yo)'

j(x,y) = j(xo,yo).

- Yo)·

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES

16.4

757

Si fx y fy son continuas en una región rectangular, entonces f es diferenciable y, por consiguiente, continua. Puede demostrarse por medio de ejemplos que la existencia de fx y fy no es suficiente para asegurar que f es continua. La discusión de esta sección puede generalizarse al caso de funciones de más de dos variables. Por ejemplo, supongamos que w = f(x, y, z) dondef está definida en una región apropiada R (como por ejemplo un paralelepípedo rectangular) y supongamos que Ix, h, y fz existen en R y son continuas en (x, y, z). Si x, y y z se incrementan en ~x, ~y y ~z respectivamente, entonces el incremento correspon­ diente 1111'

= j(s

+ ~x,y + l1y, z + M) -

j(x,y,:e)

se puede escribir en la forma 1111' = .lAx,y,z)l1x

+ llx, y, z) l1y + r(x,y,z)l1z + '11 I1s + '1211y + '1311z

donde '11' '12 Y '13 son funciones de ~x, ~y y ~z que tienden a cero cuando (~x, ~y, ~z) --+ (O, O, O). Las diferenciales de las variables independientes x, y y z se definen como dx =

~x,

dy

y la diferencial de la variable dependiente

011'

dw = --dx

(16.16)

ox

= w

~y,

dz =

~z

se define mediante

OW

011'

ay'

oz

+ -dv + -dz.

Podemos usar dw para estimar ~w cuando los incrementos en x, y y z son pequeños. La diferenciabilidad se define igual que en el caso de funciones de dos variables. La generalización al caso de funciones de cuatro o más variables se realiza de manera similar.

Ejemplo 5

Supongamos que las dimensiones (en centímetros) de un paralelepípedo rectangular cambian de 9, 6 y 4 a 9.02, 5.97 y 4.01 respectivamente. Use diferenciales para estimar el cambio en el volumen. ¿Cuál es el cambio exacto en el volumen?

Solución

Si denotamos las dimensiones del paralelepípedo por x, y y z, entonces el volumen es V = xyz, y según (16,16), dV

=

yz dx

+ xzdy + xydz.

Sustituyendo x = 9, Y = 6, z = 4, dx = 0.02, dy = - 0.03 Y dz = 0.01 ob­ tenemos I1V

~

+ 36( -0.03) + 54(0.01) 0.48 - 1.08 + 0.54 = - 0.06.

dV = 24(0.02) =

Por lo tanto el volumen disminuye aproximadamente 0.06 cm 3 . El cambio exacto en el volumen es I1V = (9.02)(5.97)(4.01) - (9)(6)(4)

=

-0.063906.

758

16

DERIVADAS PARCIALES

16.4 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 4 encuentre unas funciones '11 y '12 que satisfagan la definición (16.14). I(x,y) =

41 -

3 f(x•.\') = x J

3xy

+ 2x

2 /(x,y) = (2x _ .1')1

+ .I'J

4

/(x,y) = 2x 1

+ 3.1'

-

xi

w

=

Xl sen)'

En los ejercicios del 5 al 16 encuentre dw. 5 w = x J - x 1y

+ 3.1'1 3x 4

8

W

= ye-

11

w

= x 2 1n (y2 + Z2)

14 w

=

2x

x 2eY:

-

+ ylnz

6

W

=

5x 1

x 1(?"'y

+ 4)' - 3x)'J + (1/.1'2)

9

W

=

12

W

= x 2)'J Z + e- 2:

15

w

=

x 2z

7

+

4yr J - xz 2r

+ 2)'J/2

i) + x tan - 1 Y

10

w

=

In (x 2 +

13

w

=

xyz/(x

16

w

=

x2yJzr-lv4

+ y + z)

17 Use diferenciales para estimar el cambio en f(x, y) = x 2 - 3x J y 2 + 4x - 2.1'3 + 6 cuando (x, y) cambia de (-2,3) a (-2.02,3.01).

18

Use diferenciales para estimar el cambío en f(x, y) = x 2 - 2xy + 3.1' cuando (x, y) cambia de (1,2) a (1.03,1.99).

19 Use diferenciales para estimar el cambio en f(x, y, z) = x 2 z J - 3yz 2 + x- 3 + 2y J/2 Z cuando (x, y, z) cambia de (1, 4, 2) a

20

Use diferenciales para estimar el cambio en w = ,2 + 3sv + 2p 3 cuando, cambia de I a 1.02, s de 2 a 1.99, v de 4 a 4.01 y p de 3 a 2.97.

21 Use diferenciales para estimar ~26.98 )36.04.

22

Use diferenciales para estímar (32.03)2/S/( 1.95)4.

23 Las dimensiones de una caja rectangular cerrada son 3, 4 Y 5 pies, con un error posible en la medición de 1/16 de pulgada. Use diferenciales para estimar el máximo ¿rror posible en el cálculo de (a) el área de la superficie de la caja y (b) el volumen de la caja.

24 Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4 centímetros respectivamente, con un error posible en la medición de 0.02 cm. Use diferenciales para estimar el máximo error posible en el cálculo de (a) la hipotenusa (b) el área del triángulo

25 Una lata de aluminio abierta de forma cilíndrica tiene un diámetro de 7.5 cm y una altura de 10

26

(1.02, 3.97, 1.96).

cm. Use diferenciales para calcular aproxi­ madamente la cantidad de aluminio que tiene la lata, suponiendo que el grueso de las paredes y el fondo es de 0.04 centímetros.

La resistencia total de tres resistencias R J' R 2 Y R 3 conectadas en paralelo está dada por I

I

l

1

R

R1

R2

RJ

-=-+-+-. Las mediciones de R J , R 2 Y R 3 son de 100,200 Y 400 ohms respectivamente con un error máxímo posíble de 1% en cada una. ¿Cuál es el máximo error posible en el cálculo del valor de

R? r1 La gravedad específica de un objeto está dada por s = A/(A - W) donde A y W son los pesos (en kg) del objeto en aire y en agua respectiva­ mente. Las mediciones de cierto objeto dan A = 12 kg Y W = 5 kg con errores máxímos posibles de 30 gramos en el aire y 60 gramos en el agua. ¿Cuál es el máximo error posible en el cálculo de s?

28

La ecuación que relaciona la presión P, el volu­ men V y la temperatura T de un gas confinado es PV = kT, donde k es una constante. Su­ poniendo que P = 0.5 kg/cm 2 cuando V = 750 cm 3 y T = 25°C, calcule aproximadamente el

cambio en P cuando V y T cambian a 780 cm 3

y 23°C respectivamente.

LA REGLA DE LA CADENA

16.5

759

29 La temperatura T en el punto P(x, y, z) de un sistema coordenado rectangular está dada por T = 8(2x 2 + 4y 2 + 9Z 2 )1I 2 • Use diferenciales para estimar la diferencia de temperaturas entre los puntos (6, 3, 2) Y (6.1, 3.3, 1.98).

30 Estime el cambio en el área de un triángulo isósceles cuando los lados iguales aumentan de lOO a 101 y el ángulo entre ellos disminuye de 120° a 119°.

31 Suponga que el cilindro descrito en el ejemplo 4 de esta sección tiene tapa y fondo. Use diferen­ ciales para estimar el máximo error posible en el cálculo del área de la superficie total.

32

16.5

Use diferenciales para estimar el cambio en el área de la superficie del paralelepípedo descrito en el ejemplo 5 de esta sección. ¿Cúal es el cambío exacto del área?

LA REGLA DE LA CADENA Sij, g y k son funciones de dos variables tales que w = f(u, v), u = g(x, y) y v = k(x, y), y si para cada pareja (x, y) en un subconjunto D de IR x IR, la pareja co­ rrespondiente (u, v) está en el dominio de j, entonces w = f(g(x, y), k(x, y» define a w como una función (compuesta) de x y y. Por ejemplo si

w

=

u1

+

u sen v,

u

=

xe 1Y

y

v

=

xy

entonces

El teorema siguiente nos da fórmulas para expresar ow/ox y ow/oy en términos de las primeras derivadas parciales de las funciones g, k Yf En el enunciado del teorema se supone que los dominios se escogen de manera que la función compuesta esté definida en un dominio apropiado D. A cada una de las fórmulas enunciadas en el teorema (16.17) se le llama la regla de la cadena. (16.17)

TEOREMA

Si w = f(u, v), u = g(x, y) y v = k(x, y) donde f es diferenciable y g y k tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces

OW ox ow oy

=

ow ou ou OX

+ a¡; OX

ow ov

ow ou OU oy

ow OV ov oy

-=--+---. Demostración. entonces

Si x se incrementa en ~x y y se mantiene constante (es decir, ~y = O), ~w

(a)

= f(g(x + ~x,y),k(x + ~x,y»

- f(g(x, y), k(x, y».

También

= g(x + ~x,y) ~v = k(x + ~x,y)

~U

(b)

y por lo tanto

- g(x,y) - k(x,y)

760

16

DERIVADAS PARCIALES g(x k(x

+ ~x,y) = g(x,y) + ~u = u + ~u + ~x,y) = k(x,y) + ~v = v + ~v.

Sustituyendo en la ecuación (a),

= J(u + ~u, v + ~v)

~IV

- J(u, 1:).

Como fes diferenciable, podemos escribir ~IV

(c)

ow

= ou

ow

+ a;-~v + '71 ~u + '72~V

~u

donde '71 y '72 son funciones de ~u y ~v que tienden a cero cuando (~u, ~v) -+ (O, O). Más aún, podemos suponer que '71 y '72 son ambas O cuando (~u, ~v) = (O, O), ya que si esto no fuese asi, podrían reemplazarse con otras funciones J.lI y J.l2 con esta propiedad y que fueran iguales a '71 y '72 cuando (~u, ~v) # (O, O). De acuerdo con esto, las funciones '71 y '12 en (c) son continuas en (O, O). Dividiend0 ambos miembros de dicha ecuación por ~x obtenemos ~w

(d)

OIV ~u

OIV ~v

ou ~x

ov ~x

= - - + --+

-

~x

~u

'71~x

~v

+ '72-' ~x

De las ecuaciones (a) y (b) concluimos tim ~ w = OW &,,-0

Si

~x

~x

tiende a O, entonces

tim ~u = ou

ox' ~u

y

&,,-0

~v

~x

ox'

lim ~v = ov.

&"-O~x

OX

también tienden a O y en consecuencia también

'71 y '72 tienden a O. Por consiguiente, si tomamos el limite en la ecuación (d) cuando ~x -+

O, obtenemos OIV

ow OU

OIV OV

OX

ou ox

ov

-=--+--.

OX

La segunda fórmula en el enunciado del teorema se demuestra de manera análoga.

+ e 2l',

Ejemplo 1

Sean IV = u 3

Solución

Aplicando el'teorema (16.17),

u

=

ow ox = (3u 2)(y2)

~;

=

Y v

xy2

+

(3u 2)(2xy)

= x 3 sen y. Encuentre

owjox y owjoy.

2v (2e )(3x 2 seny) = 3U 2y 2 + 6e 2v x 2 sen.\'

+

(2e 2v )x 3 cos y = 6u xy 2

+ 2e 2v x 3 cosv.

Si deseamos expresar estas derivadas parciales en términos de x y y solamente, podemos hacerlo sustituyendo xy2 en lugar de u y x 3 sen y en lugar de v. La regla de la cadena se puede generalizar a cualquier número de variables, como se enuncia en el teorema siguiente.

LA REGLA DE LA CADENA

(16.18)

761

16.5

TEOREMA

Si IV es una función de n variables U¡, U 2 , . . . , Un donde cada U¡ es una función de m variables XI' X 2 , • . . , X m que tiene primeras derivadas parciales con­ tinuas, entonces w es una función (compuesta) de x ¡, X 2 , . . . 'X m y ow

ow oU¡

011' eU2

011' aUn

oX¡

oU¡ oX¡

OU2 oX¡

aUn OX,

- = - - + - - + ... + - ­ para i = 1, 2, ... , m.

Ejemplo 2

Sea w = r 2s + u3 tan Encuentre ow/oz.

Solución

Aplicando el teorema (I6.18),

I

donde r =

X

3

yz 2, s

ow

OIV er

011' es

OIV ou

oz

or OZ

os oz

ou oz

xe YZ , u

x cos y y

I

= Y In z.

011' oc

-=--+--+--+-­ r 2(xye>'=)

oc oz (3u 2 tan e)(O)

= (2rs)(2x yz) + + 3 3 2 Y = 4rsx yz + r xye : + (v y/z) sec 2 e. 3

+ (u 3 sec 2 e)(y/z)

El siguiente caso especial de la regla de la cadena se concluye directamente del teorema (16.18) tomando m = l. (16.19)

TEOREMA

Si

IV

es una función de u ¡ , u 2 ,

Un Ycada U¡ es una función de una variable

.•. ,

e, entonces 11' es una función de I y dw

ow du ¡

OW dU2

ow dU

de

oU¡ de

OU2 dI

aUn de'

- = - - + - - + ... + - ­n

En el teorema (16.19) se usan las notaciones de derivada dIV/dt y duJdl por­ que 11' y las U¡ son funciones de una sola variable t. Esta situación puede aparecer en las aplicaciones en las que IV es una función de varias variables, cada una de las cuales es una función del tiempo l. En tales casos la derivada dw/dt nos da la razón de cambio de w con respecto ... al tiempo.

=

3

12 - 2,

=

Solución

Este problema podría resolverse sin usar la regla de la cadena escribiendo

X

y4

IV

Y

= (t 2

-

51 - 3. Encuentre dw/dt en t

= 1.

Sean

IV

Y x

=

Ejemplo 3

2)3(5t -

3)4

Y encontrando dIV/dt directamente aplicando la regla del producto (3.20). Sin em­ bargo, también podemos aplicar el teorema (16.19), obteniendo así

762

16

DERIVADAS PARCIALES dw ow dx ow dy -=--+-­ dt ox dt oy dt

= (3X 2 y4)(2t) + (4X 3y 3)(5). Si t = I entonces x = (1)2 - 2 = -1, Y = 5(1) - 3 = 2 Y por lo tanto dw -- = 3( - 1)22 4 (2) + 4( - 1) 3 2 3 (5) = 96 - 160 = - 64. dt

Las derivadas parciales pueden usarse para encontrar las derivadas de funciones que están definidas implícitamente. Supongamos, como en la sección 3.6, que una ecuación F(x, y) = O define una función derivable f de una variable x tal que F(x, f(x» = O para todo x en el dominio D de f Si tomamos w = F(u, y), donde u = x y y = f(x),

entonces aplicando el teorema (16.19) y usando el hecho de que w para todo x en D,

=

F(x,f(x»

=

O

dw ow du ow dy -=--+--=0 dx ou dx oy dx

es decir ow ou (1)

+

ow oyf'(X)

= O.

Si ow/oy i= O, entonces (como u = x), f'(x)

= _ (ow)j (ow) = _ FAx,y). ox

oy

Fy(x,y)

Podemos resumir esta discusión como sigue. (16.20)

TEOREMA

Si una ecuación F(x, y) = O define una funcíón implícita derivable f de una variable x tal que y = f(x), entonces dy dx

-= ­

Ejemplo 4

Suponiendo que y

= f(x)

FAx, y) Fy(x,y)'

satisface la ecuación y4

+ 3y ­ 4x 3

-

5x - I

= O,

encuentre y'. Solución

Si F(x, y) es la expresión del lado izquierdo de la e~uación dada, entonces aplicando el teorema (16.20) obtenemos

LA REGLA DE LA CADENA

-12x 2

41 + 3

y' = -

763

12x 2 + 5 4y 3 + 3 .

5

-

16.5

El lector debe comparar esto con el ejemplo 2 de la sección 3.6 que se resolvió usando métodos de funciones de una variable. Dada una ecuación como x2

4.11 3 + 2: - 7

-

O

=

podemos despejar z obteniendo z=

!( -

x2

+ 4.11 3 +

7)

que tiene la forma z

= /(x,y).

De manera análoga al caso de una sola variable, decirnos que la función f de dos variables x y y está definida implícitamente por la ecuación dada. El teorema si­ guiente nos proporciona unas fónnulas para encontrar fx y fy o equivalentemente oz/ox y oz/oy, sin despejar z de la ecuación. (16.21)

TEOREMA

Si una ecuación F(x, y, z) = O define una función implícita diferenciable f de dos variables x y y tal que z = f(x, y) para todo (x, y) en el dominio de f, entonces • oz ox

=-

~.(x,y,z)

oz ay

Fx(x, y, z) FAx,y,z) '

F;(x,y, z)

Demostración. La ecuación F(x, y, z) = O define la función f de tal manera que la afinnacián z = f(x, y) significa que F(x, y, f(x, y» = O para todo (x, y) en el

dominio de f Si definirnos w

=

F(u, v, z), donde u

=

x, v

=

y, z

entonces aplicando la regla de la cadena y usando que w ow ow ou - =- ax ou ox

Como u

ow ou ov ox

ow oz oz ox

+- - +- - =

= x y v = y, tenemos que aw - ( 1) ox

y, suponiendo queow/oz =F O,

+

= f(x. y) = Opara todo (x, y) en D,

ow OW -(O) + ay

oz oz ax

=O

O.

764

16

DERIVADAS PARCIALES

FJx,y,z)

oz = _ (0\\1)/(0\\1) ox ox oz La fórmula para

oz/iJy se puede obtener de manera similar. = ¡(x, y) satisface la ecuación

Suponiendo que z

Ejemplo 5

encuentre

F:(x,y,:)

oz/ax y az/ay.

Si F(x, y, z) denota la expresión del lado izquierdo de la ecuación dada, aplicando el teorema (16.21) obtenemos

Solución

az

2x: 2

ex

+ .\.2

2

2x z - 3z 2 + 4.\"

az

2xy + 4z 2

2x z - 3z 2

(1\,

+ 4.1"

16.5 EJERCICIOS En los ejercicios I y 2 encuentre OIV/OX y ow/oy.

En los ejercicios 3 y 4 encuentre olV¡or y

En los ejercicios 5 y 6 encuentre 5

:

6

: =

+ s)/r.,.

= (r

=

+ v In 11',

111,2

oz/ox y oz/oy.

xcosy, s = y sen x, y,

11 = 2x -

+ 3.1' -

2

x ~

,. = x

8

r = xcosy, x =

9

Encuentre

ap/or suponiendo que

10 Encuentre

as/ay suponiendo que

x.1' ,

1/2 -

11

2\',

n, .1' = 1"2 -

.1'

I\" =

- 2x

+ 2\'

or/ov y or/ol.

+ /-\nl. .1'=

7

2x -

1" =

1" = X -

En los ejercicios 7 y 8 encuentre or/ou, J

ow/os.

1"2 -

In

111

//1

2 [J = 11 COS 1"1\",1/ =

s =

1,.2

tan

xy(""

I Lll", I =

X

1" =

+ .1'2:.

s In .nr. ,. = x

2

I\" =

.\'s +- rsen x.

+ 3.1':.

2 11 = .e , 1" = xr:.

En los ejercicios del 1I al 14 encuentre dw/dt. 11

\\' =

13

11'

=

x

J

r2

-

.\"". X

-

s tan

= 1/(1 1",

+

1),

.1' = I ((

r = sen 21. s =

,

1)

COS 1, l' = 41

14

I\" = xz.rJ:~, x = 21

+

1.

.1' = 31 -

2, : =

51

+4

LA REGLA DE LA CADENA

765

16.5

En cada uno de los ejercicios del 15 al 18 encuentre y' suponiendo que y = f(x) satisface la ecuación dada.

17

6x

+ "M

= 3.1' - 4

En cada uno de los ejercicios del 19 al 22 encuentre oz/ox y oz/oy suponiendo 'lue z = f(x,y)

satisface la ecuación dada.

19 2xz 3 - 3yz2 + X 2y 2 + 4z = O 20 xz 2 + 2x 2y - 4y2z + 3.1' - 2 = O 21 xe P - 2yeXZ + 3ze·
v

2J

Demuestre que si w

f(x, y) y x

=

=

reos

(J,

24

aw ) 2 ( ar 25

+ ~2 ( ow ) 2

(~w) 2 + (aw) 2

=

oe

r

Demuestre que si w = f(x, y) y x = e' cos e' sen e, entonces

(J,

y=

y = r sen (J, entonces

\ ox

02 W ~ 2 ox

ay

Demuestre que si w = f(x, y) = r sen e, entonces

y x

=

r cos

(J.

26

y

02 W

+ ay 2

_

-

_

e

2,(02 W ar 2

02 W )

+ ae2 .

Demuestre que si v = f(x - al) + g(x + al) donde.r y g tienen segundas derivadas parciales, entonces v satisface la ecuación de onda

(Compare esto el ejercicio 42 de la sección 16.3.)

/27 Sin usar la fórmula del coseno de una suma de­ muestre que si entonces \\Ixx -

\\1

= cos (x = O.

+

y)

Demuestre que si w = f(x 2 + y2) entonces y(aw/ax) - x(ow/ay) = O. (Sugerencia: defina u = x 2 + y2).

30

Dadas w, u y v como en el ejercicio 29, de­ muestre que

- y)

\\1)")"

29 Demuestre que si \\1 = f(u, v), v = k(x, y), entonces 2 2 a w = a .I\'(au)2 2 ax ou 2 ax

+ cos (x

28

+ (e'2~ + a

=

g(x, y)

2

)au av au ov ax ox

VI' GU

(011'

U

e

2 !!

11'

Gil'

y

2

a2 W

+ a w(av)2

ay vx

a

2 r

+au-ox -2+ -- vv ox 2 ' /31 Si -.

n resistencias R 1 • R 2 , • .• , R. se conectan en paralelo, entonces la resistencia total está dada por l -=

R

• l

¿-o R¡

j.l

Duemuestre que para i = 1, 2, ... , n, DR ( R)2 aR, = R,

a 2w vu vu a 2w vu av V211' ou av ou ox DI' OV GU ax ay GU ov oy ox 0 2 11' 01' íJ¡- all' a 2u aw v 2v +2 --+---+--­ av eh ay au vyax ov oyax'

-- =2 --+----+---­

ov 2 ox

32

Se dice que una función

f de dos variables es

homogénea de grado n si

f(tx, ey)

= e~r(x, y)

para todo I tal que (Ix, Iy) está en el dominio de f Demuestre que para tales funciones x/~(x,y)

+ yJ;.(x,y)

=

nf(x.y).

(Sugerencia: derive f(IX, Iy) con respecto al),

---------------------------------------,,...------------­ 766 lt

16

DERIVADAS PARCIALES

33

El radio r y la altura h de un cilindro circular recto aumentan a razón de 0.01 cm/min y 0.02 cm/min respectivamente. Use la regla de la cadena para calcular la razón de crecimiento del volumen en el tiempo en que r = 4 cm y h = 7 cm. ¿A razón de cuántos cm 2/min au­ menta el área de la superficie en ese mismo instante?

35

La presión P, el volumen V y la temperatura T de un gas confinado están relacionados por la ecuación PV = cT donde c es una constante. Suponiendo que P y V cambian con el tiempo y sus razones de cambio son dP/dt y dV/dt respectivamente, use la regla de la cadena para encontrar una fónnula para dT/dt. Verifique su respuesta usando los métodos para funciones de una variable.

16.6

34 Los lados iguales y el ángulo entre ellos en un triángulo isosceles aumentan a razón de 0.1 m/h y 2°/h respectivamente. Use la regla de la cadena para calcular la razón de crecimiento del área del triángulo en el instante en que la longitud de los lados iguales es 20 m y el ángulo entre ellos mide 60°.

DERIVADAS DIRECCIONALES Volvamos a la ilustración en la que w = f(x, y) representa la temperatura de una placa en el punto P(x, y). En la sección 16.3 las derivadas parciales fAx, y) y fy(x, y) se interpretaron como las razones de cambio de w con respecto a la distancia cuando el punto P se mueve horizontalmente y verticalmente respectivamente. Esto puede generalizarse como sigue. Sea Q otro punto cualquiera en la placa y sea R(x + L\x, y + Áy) un punto sobre el vector PQ como se ilustra en la figura 16.15. El incremento L\w =f(x

+ L\x,y + L\y)

- f(x,y)

es la diferencia de temperatura entre los puntos P y R, Y la razón y

IV

f(x

Aw

+ Ax, y + Ay)

{ f(x, y)

x

Figura 16.15

o

DERIVADAS DIRECCIONALES

.1w

16.6

767

.1w J(.1X)2 + (.1.1')2

d(P, R)

es el cambio medio de temperatura cuando el punto se mueve de PaR sobre PQ. Por ejemplo, si la temperatura en P es 50° y en R es 51.5°, entonces .1w = 1.5°. Si d(P, R) = 3 cm, entonces la razón media de cambio de la temperatura cuando el punto se mueve de PaR es

d(~~R)

=

0.5 grados por centímetro.

Si la razón.1 w/d(P, R) tiene un límite cuando R tiende a P sobre PQ, es decir, cuando (.1x, .1y) -+ (O, O), entonces el límite se llama la razón de cambio de "' con respecto a la distancia, en la dirección del vector PQ. La discusión anterior se puede usar para motivar el concepto de la derivada direccional de una función f de dos variables en el punto P y en la dirección de PQ. Si la dirección de PQ se especifica por medio de O (vea la figura 16.16), entonces el vector unitario que tiene esa dirección es u =
-

x, Y1

-

y)

=

tu

=


para algún escalar t. Igualando las componentes y despejando XI

=

X

+ t cos O, Y 1 = Y +

t

XI

y

Y1

obtenemos

sen O.

Por lo tanto cualquier punto R en I tiene coordenadas (x

+ t cos

O, y

+ t sen O).

y

/

/ / P(x. y)

x

Figura 16.16

Si ahora definimos .1x

=

t cos O y

.1y

=

t sen O

entonces el incremento en w = f(x, y) correspondiente a los incrementos .1x y .1yes

.. 768

16

DERIVADAS PARCIALES

I1w Si R es el punto (x d(P, R)

+

= f(x + tcose,y + [sene)

I1x, y

+

- l(x,.\).

l1y) en /, entonces

= J(I1X)2 + (l1y)2 = Je 2 cos 2 e + t 2 sen 2 e =

e2

= lel.

Por lo tanto el cambio medio en wes

I1w

f(x

+

tcose,y

+ e sen O)

- l(x.y) ------

lel

d(P, R)

Tomando el límite cuando I -> O obtenemos la razón de cambio dejen la dirección de PQ. La definición siguiente resume la discusión anterior. (16.22)

DEFINICION

Si/es una función de x y y y u =
=1'·

1m t-O

f(x+tcosO,y+esene)-f(x,y)

e

.

Es fácil ver que las primeras derivadas parciales de / son casos parliculares de la derivada direccional. En efecto, si = 0°, entonces u = <1, O) = i, cos = 1, sen = O Y el limite en la definición (16.22) se reduce a

e

e

e

DJ(x,y)

.

= ,-o 11m

f(x

+ e,y) -

Análogamente, si O = rr.j2, entonces u lo lanto

l(x,y)

r

.

= ¡,(x,

..

-r).

=
. f(x, JI D¡.f(x,y) = ~~~

+

r) - I(x,.r)

e ----

.

=

IJ'C,y)·

El teorema siguiente proporciona una fórmula para encontrar algunas derivadas direccionales. (16.23)

TEOREMA

Si / es una función diferenciable de dos variables y u tonces

=
+ /;.(x, y) sen e. -----------------'

DJ(x. y) = j~(x, y) cos ()

Demostración.

Si g es la función de una variable gel)

= f(x +

(COS

I

definida por

e, .1' + r sen 8),

entonces, del leorema (3.7) y de la definición (16.22), resulta que

~.

DERIVADAS DIRECCIONALES , g (O)

.

= hm •-0

g(e) - g(O)

e-

O

16.6

769

= D.f(x,y).

,

Como g(e)

= f(u,

v), donde u

=

x

+

t cos

e, v

=

y+

t sen

e,

se sigue del teorema (16.19) que g'(e)

du

dv

= fu(u, v)d"t + fv(u, v) de

= fu(u, v) cos e + fv(u, v) sen O. Como vimos en la primera parte de la demostración, la derivada direccional es igual a g'(O). Pero si t = O entonces u = x, v = y y obtenemos la fórmula dada en el enunciado del teorema. Ejemplo 1

Sean f(x, y) = x 2 - 4xy y u el vector unitario con ¿Cuánto vale D.f( - 3, 2)?

Solución

Como fAx, y) = 2x - 4y, h(x,y) = -4x

e=

n/3. Encuentre D.f(x, y).

y

u = (cos n/3, sen n/3) = (1/2, j3/2) se sigue del teorema (16.23) que Du f(x, y) = (2x - 4y) (1/2) = (1 -

2j3)x ­

+ (-

4x) (j3/2)

2y.

En particular en el punto P( ­ 3, 2), D./( ­ 3, 2)

=

(1 - 2j3)( - 3) - 2(2)

= 6j3 ­ 7 ~ 3.4.

Podemos usar el teorema (16.23) para expresar las derivadas direccionales como el producto escalar de dos vectores como sigue: D./(x, y) =

(J~(x,

y),f;.(x, y» . (cos

e, sen O)

= (JAx, y), J;.(x, y» . u.

El vector en JI; cuyas componentes son las primeras derivadas parciales de f se designa con el siguiente nombre y notación especiales. (16.24)

DEFINICION

Si f es una función de dos variables, entonces el gradiente de f se define como

Vf(x,y) =(fx(x,Y),h(x,y»

= fx(x,y)i + ;;,(x,y)j.

En las aplicaciones el gradiente Vf(x, y) se denota a veces por grad f(x, y). De acuerdo con la discusión anterior podemos escribir (16.25)

DJ(x,y) = Vf(x,y)'u

770

16

DERIVADAS PARCIALES

es decir, para encontrar la derivada direccional de una función diferenciable f. en la dirección del vector unitario u. se multiplica escalarmente el gradiente de f con el vector u. El símbolo V (llamado "del") es un operador diferencial vectorial y se denota simbólicamente por

V=

.

a .a ax +J-. ay

t-

Tiene algunas propiedades similares a las del operador dJdx. Por si mismo no tiene significado, pero si opera sobre f(x, y) produce (por definición) la función vectorial bidimensional dada en la definición (16.24). Ejemplo 2

Encuentre la derivada direccional de f(x, y) = dirección del vector a = 4i - 3j.

Solución

Usando (16.24) obtenemos Vj(x,.I') = 3x 2 y 2 i

X

+

3

y 2 en el punto P( - 1, 2) Y en la

2x 3 yj.

En particular, en P( -1,2) tenemos Vf( -1,2) = 12i - 4j. El vector unitario

u

=

(~)a = ~(4i lal 5

- 3j) =

~i5 - ~j5 .

tiene la misma dirección que a. Por lo tanto, usando (16.25) obtenemos Duf( - 1,2)

= VIl - 1,2) . u = (12i -

.

4J)'

(4Si

-

48 + "5 12 = 12. sj3 ) = 5"

Supongamos que P(x, y) es un punto fijo y consideremos la derivada direccional D.f(x, y) cuando u = (cos (J, sen (J) varía. Para algunos valores de (J la derivada direccional puede ser positiva (es decir,f(x, y) crece en la dirección de u), o negativa (f(x, y) disminuye en la dirección de u), o puede ser O. En muchas aplicaciones es importante encontrar la dirección en la que f(x, y) aumenta más rápidamente y también calcular la razón de cambio máxima. El siguiente teorema proporciona esta información. (16.26)

TEOREMA

El valor máximo de la derivada direccional D.f(x, y) en el punto P(x, y) es IVf(x, y)1 y se alcanza cuando el vector unitario u tiene la misma dirección que Vf(x, y).

Demostración. Denotemos por y el ángulo entre u y Vf(x, y). Aplicando (16.25) yel teorema (14.18),

DJ(x, y)

= Vf(x . .1') . u = IVf(x.y)llul COS)' = ¡Vf(x,r)1 cos }'.

DERIVADAS DIRECCIONALES

771

16.6

El valor máximo se alcanza cuando cos y = 1; es decir, cuando y = 0, en cuyo caso u tiene la misma dirección que Vf(x, y). Más aún, en esta dirección D.f(x, y) = IVf(x, y)l. Esto completa la demostración. Las derivadas direccionales en tres dimensiones se definen de manera análoga a (16.22). En este caso usamos los ángulos directores a, P y y para especificar la dirección del vector unitario u, como se puede ver en la siguiente definición. (16.27)

DEFINICION

Si f es una función de tres variables x, y y z y u = (cos a, cos P, cos y) es un vector unitario con ángulos directores a, Py y, entonces la derivada direccional de f en la dirección de u se define como -1'

Du f( x,y,z) -

1m

f(x + tcosex,y

+ tcosP,z + lCOSY)

I~O

- f(x,y,z)

l

.

Podemos usar (16.27) para calcular la razón de cambio de f en (x, y, z) en la dirección de u. Igual que en el teorema (16.23), se puede demostrar que si fes difer­ enciable entonces (16.28)

D./(x,y,z) =fx(x,y,z)cosa

+ h.(x,y,z)cosP + r(x,y,z)COS¡.

Más aún, si definimos el gradiente de f(x, y, z) como

(16.29)

Vf(x,y,z) =fx(x,y,z)i

+ J;,(x,y,z)j + r(x,y,z)k

entonces

(16.30)

D.f(x,y,z) = Vf(x,y, z) ,o.

Es fácil demostrar que el teorema análogo al (16.26) es válido en tres dimensiones. Ejemplo 3

Encuentre la derivada direccional de f(x, y, z) = x 2 - yz + Z2 X en el punto P( 1, - 4, 3) en la dirección de P a. Q(2, - 1, 8). ¿Cuál es la razón de crecimiento máxima de f en P?

Solución

El vector en fIJ con representación geométrica PQ es (2 - 1, -1 - (-4),8 - 3) o sea .( 1, 3, 5). Por consiguiente, el vector unitario que tiene la misma dirección que PQ es o

=

1

;;c< 1, 3, 5> v' 35

=

1

;;c(i v' 35

+ 3j + 5k).

Usando (16.29) obtenemos Vl(x,y,z) = (2:<

+ zl)i + (-z)j + (- y + 2z:<)k

772

16

DERIVADAS PARCIALES

y por lo tanto

Vf(I, -4,3) = lli - 3j

+ Iük.

Aplicando (16.30),

DuJ(I, -4,3)

= VJ(l,

-4,3)·u

= (lli - 3j + 10k)·

1

y'

=(

1 ) 35

r:l""C (11 - 9 y'

+ 3j + 5k)

r:l""C(i

35

52fiS SO) = - - ~ 8.8. 35

+

La razón de crecimiento máxima de/en Pes

¡VI(I, -4,3)1

Ejemplo 4

121 + 9 + 100 =

=

230

~

15.2.

Supongamos que la temperatura en el punto (x, y, z) de un sistema coordenado rectangular localizado en el espacio está dada por T = 100/(x 2 + y2 + Z2). (a) Calcule la razón de cambio de T en el punto P( 1, 3, - 2) en la dirección del vector a = i + j + k. (b) ¿En qué dirección a partir de P aumenta más rápidamente la temperatura? ¿Cuál es la razón de cambio máxima de Ten P?

•

Solución

(a) Por definición, el gradiente de Tes (}T

VT= - i (}x

íJT

(}T

ay

az

+ - j + -k.

Como (}T (}x

(x 2

-2oox

aT

-200y

+ y2 + Z2)2'

ay

(x 2 + y2 +

aT Z2)2'

-200z

az

tenemos que VT

-200

= (x2 + y 2 + z 2)2 (xi + yj + zk).

Si denotamos por VT] p el valor de VT en el punto P(l, 3, - 2), entonces VT]p

-200

= 196(i + 3j

- 2k).

El vector unitario que tiene la misma dirección que a es

u=

1 JiY +j +

k).

Usando (16.30) vemos que la razón de cambio de Ten P en la dirección de a es

DERIVADAS DIRECCIONALES

DuT]p

- 200 (1

= VT]p'u = 196

+3-

J3

2)

16.6

773

~ -1.18.

Si, por ejemplo, T se mide en grados y la distancia en centímetros, entonces al alejar­ nos de P en la dirección de a, T disminuye a razón de 1.18 grados por centímetro. (b) La razón de cambio máxima de Ten P se alcanza en la dirección del gradiente, es decir, en la dirección del vector - i - 3j + 2k. La razón de cambio máxima es igual a la magnitud del gradiente, es decir 200 IVTlPl = 196)1 + 9 + 4 : : : : 3.8.

16.6 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 14 calcule la derivada direccional de f en el punto P y en la dirección indicada. 1

f(x,y) = x 2 - 5xy

3

f(x,y)

= arctany/x; P(4, -4),a =

5

f(x, y)

=

7

f(x,y)=xcos 2 y;P(2,n/4),a=(5,I)

9

I(x,y,z)

+ 3y 2;p(3,

-1),8 = n/4 2i - 3j

J9x 2 - 4y 2 - I ;P(3, -2),a

= i + 5j

2

f(x,y) = x 3 - 3x 2y - y3;P(I, -2),8 = 2n/3

4

I(x,y) =x 2 Iny;P(5,1),a = -i+4j

6

f(x,y)

8

I(x,y)=xe 3)';P(4,0),a=<-1,3)

=

(x - y)/(x

+ y); P(2, -I),a = 3i + 4j

= xy3z2;p(2, -I,4),a = i + 2j - 3k

10 I(x,y,z) = x 2 + 3yz + 4xy; P(I,O, -5),a = 2i - 3j + k

11 I(x, y, z) = z 2e-'Y; P( - 1,2,3), a = 3i

+j

- 5k

= Jrysenz;P(4,9,n/4),a =

13 I(x,y,z)

= (x + y)(y + z);P(5, 7, I),a = <-3,0,1)

14 I(x,y,z) = z2 tan - t (x

2i

+ 3j

12 I(x,y,z)

+ y);P(0,0,4),a

- 2k

= <6,0,1)

En los ejercicios del 15 al 18 calcule la derivada direccional de f en P y en la dirección de P a Q. Encuentre la dirección en la que f crece más rápidamente en el punto P y calcule la razón de crecimiento máxima. 15 I(x,y) = x 2e- 2 )'; P(2,0),Q( -3,1)

17 f(x,y,z)

=';;2 + y2 + z2;P(-2,3, I),Q(O, -5,4)

18 ((x,y,z)

= x/y - y/z;P(O,

16 I(x,y) = sen (2x - y); P( -n/3, n/6), Q(O, O)

-1,2),Q(3, 1, -4)

19 Una placa metálica se coloca en un plano xy de tal manera que la temperatura T en el punto (x, y) resulta ser inversamente proporcional a la distancia de P al origen. La temperatura en P(3,4) es 100°. Calcule la razón de cambio de Ten P en la dirección del vector i + j, ¿En qué dirección a partir de P crece más rápidamente T? ¿En qué dirección la razón de cambio es O?

20

La superficie de cierto lago se representa por una región D de tal manera que la profundidad (en metros) debajo del punto correspondiente a (x, y) está dada por f(x,y) = 300 - 2x 2 - 3y 2. ¿Si un niño se encuentra en el agua en el punto (4,9), en qué dirección debe nadar para que la profundidad debajo de él disminuya lo más rápidamente posible? ¿En qué dirección no cam­ bia la profundidad?

774

16

DERIVADAS PARCIALES

21 El potencial eléctrico V en el punto P(x, y, z) en un sistema coordenado rectangular está dado por V = x 2 + 4 y 2 + 9z 2. Calcule la razón de cambio de V en P(2, -1,3) en la dirección de P al origen. Encuentre la dirección en la que la razón de crecimiento de V es máxima en P. ¿Cuál es la razón de crecimiento máxima?

22

Un objeto está situado en un sistema coorde­ nado rectangular de tal manera que la tempe­ ratura T en el punto P(x, y, z) está dada por T = 4x 2 - y2 + 16z 2 . Calcule la razón de cam­ bio de T en el punto P (4, - 2, 1) en la dirección del vector 2i + 6j - 3k. ¿En qué dirección a partir de P aumenta más rápidamente T? ¿Cuál es la razón de cambio máxima en P?

23 Demuestre (16.28).

24

Demuestre que Dkf(x, y, z) = f,(x, y, z).

Sean u = f(x, y) y l' = g(x, y) donde fy g son diferenciables. Demuestre cada una de las identidades en los ejercicios del 25 al 30.

25 V(cu) = e Vu, donde e es constante.

26 V(u + v) = Vu + Vv

27 V(uv) = uVv + vVu

uVv v;éO 28 V (~) = vVu - 2 ' V v

29 V un = nu n- 1 V u para todo número real n.

30 Si w = h(u), entonces Vw = dw Vu.

16.7

du

PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES A LAS SUPERFICIES Supongamos que una superficie S es la gráfica de una ecuación F(x, y, z) = O, donde F tiene primeras derivadas continuas. Sea Po(xo, Yo, zo) un punto en S en el que F x , F y Y F: no son cero simultáneamente. Por definición, una recta tangente a S en Po es una recta tangente a cualquier curva e contenida en S y que contiene a Po. Supongamos que x = f(l), Y = g(l) Yz = h(l) son unas ecuaciones paramétri­ cas para una de estas curvas y sea lo el valor de l que corresponde a Po. Para cada l el punto (f(t), g(t), h(l» está en e y también en S y por lo tanto, F(f(l),g(l), h(l» = O.

Si tomamos IV

=

F(x, y, z),

donde

x

=

entonces usando el teorema (16.19) y que

y = g(t)

f(t), IV

= O para todo

dw

ow dx

ow dy

ow dz

dl

OXdl

oydl

ozdt

+

Z)g'(l)

z = h(l),

y l,

obtenemos

-=--+--+--=0 o FAx, y, Z)f'(l)

~.(x,y,

+

F:(x,y, z)h'(t) = O.

En particular, en el punto Po, FAxo,Yo,zo)!'(to)

+ Fy(xo,yo,zo)g'(to) +

F.(xo,J'o,zo)h'(to) =

La ecuación anterior se puede escribir de manera abreviada como

o.

PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES A LAS SUPERFICIES

775

16.7

donde el símbolo V F]po denota a VF(x o , Yo, zo) y r(t) =
TEOREMA

Sean F(x, y, z) una función con primeras derivadas parciales continuas y Po un punto en la gráfica S de F(x, y, z) = O. Si Fx ' Fy Y Fz no son todas cero en Po, entonces V F]po es un vector normal al plano tangente a S en Po. z

y

x

Figura 16.17 Aplicando el teorema (14.30) obtenemos el siguiente corolario, donde se supone que Fx , Fy Y Fz no son todas cero en (xo, Yo, zo)' (16.32)

COROLARIO

Una ecuación del plano tangente a la gráfica de F(x, y, z) (x o , Yo, zo) es

FAxo,yo,zo)(x - xo) +

Ejemplo 1

~.(xo,yo,zo)(y

=

O en el punto

- Yo) + F:(xo,yo,zo)(z - zo)

Encuentre una ecuación para el plano tangente al elipsoide 4x 2 = O en el punto Po (1, -2,3).

=

+ 9y 2 +

O.

Z2 -

49

776

16

Solución

Si denotamos el lado izquierdo de la ecuación dada por F(x, y, z), entonces

DERIVADAS PARCIALES

=

FAx, y, z)

8x, Fy(x, y, z)

=

18y, F,(x, y, z)

=

8, F}'(l, -2,3)

=

-36, F,(l, -2,3)

2z

y por lo tanto en Po

FAI, -2,3)

=

=

6.

Aplicando el teorema (16.32) obtenemos la ecuación 8(x -

1) -·36(y

+ 2) +

4x - 18y

+

6(z - 3)

=

O

que se reduce a 3z - 49

=

O

Si z = f(x, y) es una ecuación para S, entonces definiendo F(x, y, z) = f(x, y) - z, podemos aplicar el corolario (16.32) para obtener la ecuación del plano tan­ gente a S en (x o , Yo, zo) que resulta ser fAxo,Yo)(x - xo)

+ ¡;,(xo,Yo)(Y

- ~vo)

+ (-I)(z

- zo)

= o.

o, lo que es lo mismo, (16.33) La recta perpendicular al plano tangente a una superficie S en un punto Po se l1ama la recta normal a S en Po. Si S es la gráfica de F(x, y, z) entonces la recta normal queda determinada por el vector 'íl F]po' Ejemplo 2

Solución

Encuentre una ecuación de la recta normal al elipsoide 4x 2 en el punto Po(l, -2,3).

+

9y 2

+

Z2 -

49 = O

Esta es la misma superficie que consideramos en el ejemplo l. Por consiguiente

el vector 'ílF]po = (8, -36,6) es el que determina la recta normal. Usando (14.19) obtenemos las ecuaciones paramétricas siguientes para la recta normal: x

=

I

+ 81, y = - 2 - 361, z = 3 + 6 (

donde ( es un número real. Una forma simétrica para esta recta (vea (14.34» es x-I

8

+ 2 -36

y

z- 3 -6-'

Supongamos quefes una función de x y y y S es la gráfica de la ecuación z f(x, y). El plano tangente r a S en Po(xo, Yo, zo) se puede usar para obtener una inter­ pretación geométrica de la diferencial dz

Como

= fAxo,Yo)!'J.x + };.(XO,}IO) !'J.y.

PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES A LAS SUPERFICIES

el punto P(x o + esté en

~x,

Yo +

16.7

777

Zo + ~z) está en S. Sea z tal que C(xo + ~x, Yo + ~y, z)

~y,

r y consideremos los puntos

A(x o + ~x, Yo + ~y, O) Y B(xo + ~x, Yo + ~y, zo) como se ilustra en la figura 16.18. Como C está en r, sus coordenadas satisfacen la ecuación (16.33), es decir, z - Zo = fAxo,yo)(xo

= f"(xo.Yo)~x

+ ~x - xo) + j~.(xo,yo)(Yo + ~y - Yo) + f,,(xo,yo)~Y = dz.

Por consiguiente, BC = dz. Como BP = ~z

=

- dz

~z,

vemos que

BP - BC

=

CP.

Resulta pues que al usar dz como una aproximación a ~z, se está suponiendo que la superficie S casi coincide con su plano tangente en los puntos cercanos a Po. z

I I I

Y

I

I I I

I

(xo, Yo, O) "" "

x

I

'i A(xo + Llx, Yo + Lly, O)

Figura 16.18

Como una aplicación de la discusión en esta sección, supongamos que un sólido, un líquido o un gas está situado en un sistema coordenado tridimensional de manera que w = F(x, y, z) es la temperatura en el punto P(x, y, z). Si Po(xo , Yo, zo) es un punto fijo, entonces la gráfica de la ecuación F(x,y,z) = F(xo,J'o,zo)

es la superficie de nivel (o isoterma) So que pasa por Po. Note que en todos los puntos de So la temperatura es W o = F(x o, Yo, zo)' Es conveniente visualizar todas las superficies de nivel que pueden obtenerse escogiendo diversos puntos. En la figura 16.8 están dibujadas las superficies de nivel So, SI Y Sl que pasan por los puntos Po, PI Y P1 respectivamente y que corresponden a las temperaturas W o , wl Y W z · Según el teorema (16.31), VF]Po es un vector normal al plano r tangente a So en Po. De acuerdo con el trabajo hecho en la sección anterior, la dirección en la que se obtiene la razón de crecimiento máxima de la temperatura en Po. es ortogonal a

778

16

DERIVADAS PARCIALES

la superficie de nivel que pasa por Po, es decir, dicha dirección es la del vector normal a r. En la teoría eléctrica aparece una situación análoga en donde F(x, y, z) es el potencial en el punto P(x, y, z). Si una particula se mueve sobre una de las superficies de nivel (o equipotenciales), el potencial permanece constante. Igual que en la ilus­ tración anterior, el potencial cambia más rápidamente cuando la partícula se mueve en la dirección ortogonal a una superficie equipotencial, que en cualquier otra di­ rección.

Ejemplo 3

Sea F(x, y, z) = x 2 + y2 + z. Dibuje la superficie de nivel de F que pasa por el punto P(l, 2, 4) Y dibuje un vector con punto inicial P que corresponda a V F]p.

Solución

Las superficies de nivel de F son las gráficas de las ecuaciones F(x, y, z) = c donde c es una constante. En particular, la superficie de nivel que pasa por P(l, 2, 4) es la gráfica de

=

F(x, y, z)

F(l, 2, 4).

Usando la fórmula para F(x, y, z) obtenemos x2

+ .1,2 + :: = (1)2 + (2)2 + 4 = 9

o equivalentemente

La gráfica de esta superficie de nivel es el paraboloide de revolución que está dibu­ jado en la figura 16.19 (compárelo con la figura 16.5). Como VF(x,y,z)

=

2xi

+ 2yj +

k

vemos que VF]p = 2(I)i

+ 2(2)j + k

= 2i

+ 4j + k.

El vector con punto inicial P que representa a V F]p se muestra en la figura 16.19. Como señalamos en la discusión anterior, V F]p es ortogonal a la superficie de nivel. Se puede demostrar un resultado análogo para el caso de funciones de dos variables. Concretamente, dada f(x, y), podemos demostrar que la dirección en que la razón de cambio de f es máxima en Po(x o , Yo), es ortogonal a la curva de nivel e que pasa por Po, es decir, es ortogonal a la recta tangente a e en Po. Por ejemplo, si f(x, y) = 9 - x 2 - y2, las curvas de nivel son círculos (vea la figura 16.7) Ypor lo tanto la razón de crecimiento máxima de fes en la dirección de las rectas que pasan por el origen. (¿Por qué?) Esto corresponde a subir o bajar por la parte más empinada de la gráfica de f dibujada en la figura 16.5. Ejemplo 4

Seaf(x,y) = x 2 + 2y 2. Dibuje la curva de nivel defque pasa por el punto P(3, 1). Dibuje también un vector con punto inicial P, correspondiente a VJJp.

Solución

La curva de nivel de f que pasa por el punto P(3, 1) está dada por f(3, 1), o

PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES A LAS SUPERFICIES

16.7

779

z

x

Figura 16.19

x2

+

2y 2

=

(3)2

+

2(1)2

=

11.

La gráfica es la elipse dibujada en la figura 16.20. El gradiente de f está dado por

Vf(x, y)

=

2xi

+

4yj

y por lo tanto

V.nP

= 2(3)i + 4(1)j = 6i + 4j.

El vector con punto inicial P que representa a VF]p está dibujado en la figura 16.20. Note que este vector es ortogonal a la curva de nivel que pasa por P. y

x

Figura 16.20

780

16

DERIVADAS PARCIALES

16.7 EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 10 encuentre las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la gráfica de la ecuación dada en el punto indicado P,

3

4x l - yl + 3:: 2 = 10; P(2. -3.1)

2

9x 2

:: = 4x 2 +

P( -2. -1.25)

4

z = 4x l - / ; P(5. -8.36)

+ 10=0;P(-5.5.1)

6

x3

8

z = In x)'; P(1/2,2.0)

91'2;

5 xy + 2yz -

.e 2

7

z = 2e" cosy; prO. nI3.1)

9

x = ln (yI2z); P(O, 2,1)

lO

-

-

4y 2

25z 2 = 40; P(4, l. -2)

-

2xy +

Z3

+ 7y + 6 = O; P( 1, 4. - 3)

xyz - 4xz 3 + y3 = 10; P( -1,2.1)

En cada uno de los ejercicios del 11 al 14 demuestre que la ecuación del plano tangente a la superficie cuadrática dada en el punto Po(xo , Yo, zo) puede escribirse de la manera indicada.

II

Xl yl Zl xXo YYo zZo - + -l+ -2 = [ ' -2 + -2+ -2= 1 . a al b e b e

Xl .vI Zl xXo YYo zZo lZ -2 - - + - = 1 ' 2- - -2+ -2= [ a b2 e2 'a b e x2

14

y2

a2 + b 2 = ez;

2xxo

7

2yyo

+

y

= e(z + zo)

15 Encuentre los puntos del hiperboloide x 2 ­ 2y 2 - 4z 2 = 16 en los que el plano tangente es paralelo al plano 4x - 2y + 4z = 5.

16 Sean P(u, O, O), Q(O, v, O) y R(O, O, w) los puntos de intersección de un plano tangente a la gráfica de x 2/3 + y2/3 + z2/3 = a 2/3 con los ejes x, y, y z respectivamente. Demuestre que u 2 + v 2 + w2 = a 2.

17 Demuestre que todas las rectas normales a la superficie de una esfera pasan por el centro.

18 Encuentre los puntos del paraboloide ~­ 4x 2 + 9y 2 en los que la recta normal es paralela a la recta que pasa por los puntos P( - 2, 4, 3) Y Q(5, -1,2).

19 Se dice que dos superficies son ortogonales en uno de sus puntos de intersección P(x, y, z), si sus rectas normales en P son ortogonales. Demuestre que las gráficas de F(x, y, z) = O Y G(x. y, z) = O (donde F y G tienen primeras derivadas parciales continuas) son ortogonales en P si y sólo si

+ y2 + Z2 = a 2 y 2 el conp x + y2 - Z2 = O son ortogonales en todos sus puntos de intersección (vea el ejercicio 19),

v 20 Demuestre que la esfera x 2

En los ejercicios del 21 al 24 dibuje la curva de nivel e de/que pasa por el punto P y dibuje también un vector (con punto inicial P) correspondiente a Vf]p (vea los ejercicios del 19 al 24 de la sección 1). 21

f(.,.y) = .1 2

23 f(x,y) = x

2

-

x 2 ; P(2. 1)

-

r; P( -

3. 5)

22

J(Y. .I)

24

Jlx.\) =

= 3x - 2\; P( -2.1) x\,;

P(3.2)

En los ejercicios del 25 al 30 dibuje la superficie de nivel S de F que pasa por el punto P y dibuje también un vector (con punto inicial P) correspondiente a VF]p (vea los ejercicios del 25al 30 de la sección 1).

MAXIMOS y MINIMOS DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES 25

F(x,y.:) =

.\"2

27

F(x,.\',z) = x

29

F(x.y.:l = x 2

16.8

+ .1'2 +

:1: P(1,5,2)

+ 2.1' + .31': + .1'2:

P(3.4, 1)

P(2,O.3)

26

F(x,y,:) =: -

Xl -

28

F(x.y,z) = x 2

+ .1'2

30

I-'(X.y.:) =:: P(2.3.4)

16.8

781

.1'1; P(2, -2.1) - :2: P(3. -1.1)

MAXlMOS y MINIMOS DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES En todo el resto de este capítulo usaremos el término región rectangular para denotar una región en un plano coordenado que se encuentra dentro de un rectángulo cuyos lados son paralelos a los .ejes coordenados. Si deseamos incluir los puntos de la frontera, usaremos el término región rectangular cerrada. Análogamente al caso de una sola variable, decimos que una función f de dos variables tiene un máximo local en (a, b) sif(x, y) ~ f(a, b) para todas las parejas (x, y) de una región rectangular R que contiene a (a, b). En términos geométricos, si una superficie S es la gráfica de f, entonces un máximo local corresponde a una cima de S, Sify existe entonces, como se señaló en la sección 16.3,fy(a, b) es la pen­ diente de la recta tangente a la curva e que es la traza de S en el plano x = a (vea la figura 16.13). Resulta que sif(a, b) es un máximo local entoncesfy(a, b) = O. Análogamente, fx(a, b) = O. La funciónftiene un mínimo local en (e, d) sif(x, y) ~ f(c, d) para toda pareja (x, y) en alguna región rectangular R que contiene a (e, d). Siftiene primeras derivadas parciales, entonces'éstas deben anularse en (e, d). Los mínimos locales corresponden a simas de la gráfica de f Se puede demostrar que si una función f de dos variables es continua en una región rectangular cerrada R, entonces f tiene un máximo absoluto f(a, b) y un mínimo absoluto f(c, d) donde (a, b) y (e, d) están en R. Esto significa que

(16.34)

f(c, d)

~

f(x, y)

~

f(a, b)

para toda pareja (x, y) en R. La demostración puede hallarse en textos de cálculo más avanzados. Los máximos y mínimos locales se llaman valores extremos (o simplemente extremos) de f Si f tiene primeras derivadas parciales, entonces, según la discusión anterior, las parejas que dan lugar a valores extremos son soluciones de las ecua­ ciones (16.35)

fAx,y)

=O

Por consiguiente, para encontrar los valores extremos comenzamos por resolver simultáneamente las ecuaciones (16.35) Ydespués, de alguna manera, investigamos si la solución corresponde a un valor extremo. Ejemplo 1

Sea f(x, y) = I + x 2 + y2; Encuentre los máximos y mínimos locales de f

Solución

Como fx(x, y)

=

2x

y /y(x, y)

=

2y, las ecuaciones (16.35) son

"'\

782

16

DERIVADAS PARCIALES 2x = O Y 2y = O.

La única pareja que satisface ambas ecuaciones es (O, O) Y por lo tanto f(O, O) es el único valor extremo posible. Más aún, como f(x, y) = I

+

x2

+

y2 > I

si

=

(x, y) "" (O, O),

resulta que f tiene un mínimo local en (O, O). Este hecho puede verse también geo­ métricamente en la gráfica de z = f(x, y) que está dibujada en la figura 16.21. El número f(O, O) es también un mínimo absoluto de! Ejemplo 2

Seaf(x, y) = 4 - x 2 - y2. Encuentre los extremos de!

Solución

Como f,,(x, y) = -2x y fy(x, y) = -2y, las ecuaciones (16.35) son -2x

= O Y -2y = O.

Como en el ejemplo 1, la única pareja que satisface estas ecuaciones es (O, O) Y por lo tanto f(O, O) = 4 es el único extremo posible. Más aún, f(x, y)

= 4 - (x 2 + y2) < 4 si (x, y) "" (O, O)

Ypor lo tanto,ftiene un máximo local 4 en (O, O). El número 4 es también un máximo absoluto de! Esto resulta evidente de la gráfica de z = f(x, y) dibujada en la figura 16.22. z

z

(0,0,4)

y

x

Figura 16.22 Figura 16.21

No todas las soluciones de (16.35) corresponden a valores extremos, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

=

y2 - x 2. Encuentre los extremos de!

Ejemplo 3

Seaf(x, y)

Solución

Como f,..(x, y) = - 2x y fy(x, y) = 2y, el único extremo posible es f(O, O) = O. Pero si y "" O entonces f(O, y) = y2 > O y si x "" O entonces f(x, O) = _x 2 < O.

MAXIMOS y MINIMOS DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES

16.8

783

Por lo tanto cualquier región rectangular en el plano xy que contiene a (O, O), con· tiene también parejas en las que el valor de la función es mayor quef(O, O), así como parejas en las que el valor de la función es menor que f(O, O). Por consiguiente f no tiene extremos. Esto también resulta evidente del dibujo de la gráfica de z = f(x, y) que aparece en la figura 16.23. Debido a la apariencia de esta superficie cerca del punto (O, 0, O), este punto se llama un punto de silla de la gráfica. z

Figura 16.13

El siguiente criterio, que enunciamos sin demostrar, es útil para encontrar los extremos de funciones más complicadas. En cierto sentido es una réplica del criterio de la segunda derivada. El lector interesado en la demostración puede con­ sultar libros de cálculo más avanzados. (16.36)

CRITERIO PARA DETERMINAR LOS EXTREMOS

Sea f una función de dos variables que tiene segundas derivadas parciales continuas en una región rectangular Q y sea g(x, y) = .!xAx, y)fyy(x, y) - [fxy(x, y)]2

para toda pareja (x, y) en Q. Si (a, b) está en Q y fAa, b) = O,fia, b) = 0, entonces:

°

(i) f(a, b) es un máximo local de f si g(a, b) > y fxx(a, b) < O; (ii) f(a, b) es un mínimo local de f si g(a, b) > y fxAa, b) > O; (iii) f(a, b) no es un extremo de f si g(a, b) < O.

°

Note que si g(a, b) > 0, entoncesfxAa, b)fyy(a, b) es positivo y por lo tanto b) Yfy>,(a, b) tienen el mismo signo. Por lo tanto podemos remplazar fxAa, b) en (i) y (ii) por fyy(a, b). El criterio no da información alguna en el caso en que g(a, b) = 0, y es necesario usar un método más directo, como por ejemplo el que se ilustró en los ejemplos 1 y 2.

j~x(a,

784

16

Ejemplo 4

Seaf(x, y) = x 2

Solución

Comofx(x, y) son

DERIVADAS PARCIALES -

4xy

+

y3

+

4y. Encuentre los extremos de!

= 2x - 4y Y fy(x, y) = -4x + 3y 2 + 4, las ecuaciones (16.35) 2x - 4y = O Y

+

-4x

3y 2

+

4 = O.

Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones obtenemos las parejas (4, 2) Y (4/3, 2/3). Las segundas derivadas parciales de f son fxAx, y)

= 2, fx}.(x, y) = -4, fyy(x, y) = 6y

Y por lo tanto g(x, y) = 12y - 16. Como g(4/3, 2/3) = -8 < O, aplicando (iii) de (16.36) concluimos quef(4/3, 2/3) no es un extremo de! Como g(4, 2) = 8-> O Y fxx(4, 2) = 2 > O, aplicando (ii) de (16.36) concluimos que f tiene un mínimo local f(4, 2) = O.

Ejemplo 5

Se desea construir una caja rectangular sin tapa que contenga un volumen de 12 litros. El precio por decímetro cuadrado del material que va a usarse es de $4 para el fondo, $3 para dos lados opuestos y $2 para los otros lados. Encuentre las dimen­ siones de la caja para las cuales el costo es mínimo.

Solución

Sean x y y las dimensiones (en decimetros) de la base y z la altura (también en de­ címetros). Como hay dos lados de área xz y dos de área yz, el costo (en pesos) del material es C

=

4xy

+

3(2xz)

+

2(2yz)

donde x, y y z son diferentes de cero. Como xyz = 12, resulta que z = 12/xy. Sustituyendo en la fórmula para C y simplificando obtenemos 72 48 C=4xy+-+-. x

y

Para determinar los posibles extremos, debemos encontrar las soluciones simultáneas de las ecuaciones Cx

48 -x 2 = O Y

= 4v. -

Cy

= 4x -

72

2'

y

= o.

Estas ecuaciones implican que x 2y

= 12 Y xy2 = 18.

De la primera ecuación vemos que y = 12/x 2 y sustituyendo en la segunda ob­ tenemos

X(I.: 4) =18, 4

o

144= 18x 3 .

Despejando x obtenemos x 3 = 8 o x = 2. Como y = 12/x 2 , el valor correspon­ diente de y es 12/4 o sea 3. Podemos aplicar el teorema (16.36) para demostrar que estos valores de x y y determinan un valor minimo de C. Finalmente, usando z =

MAXIMOS y MINIMOS DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES

16.8

785

12/xy obtenemos z = 12/(2· 3) = 2. Por lo tanto el costo es mínimo cuando las di­ mensiones de la base son 3 y 2 decímetros y la altura mide 2 decímetros. Los lados más largos son los que deben construirse con el material que cuesta $2 por decímetro cuadrado, los más cortos con el que cuesta $3. El contenido de esta sección se puede generalizar al caso de funciones de más de dos variables. Por ejemplo, definimos los máximos y mínimos locales def(x, y, z) de manera análoga al caso de dos variables. Siftiene primeras derivadas parciales, entonces un extremo local de f puede alcanzarse únicamente en un punto en el que fx, fy y fz sean simultáneamente iguales a cero. Es difícil obtener criterios para de­ terminar si un punto tal corresponde a un máximo, a un mínimo o ninguna de las dos cosas. Sin embargo en las aplicaciones a menudo es posible determinar esto analizando la naturaleza física del problema.

16.8 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 16 encuentre íos extremos de f

1(,. .1")

= x 2 -+- 2xy

7

{(x. y) = x 4 + .1'3

9

/(x.y)=exseny

+ ]\,2

+ 32.\ - 9r

+ sen (x + y); O S; x

8

I(x, y) = cos x

+ cos y

10

f(x.y)=xseny

12

I(x.y) = x/(x

+ r)

27!, O S; Y S; 27!

13

I(x,y) = sen x-+- senr

16

(x, y) = x 2

17

Calcule la distancia más corta del punto P(2, 1, - 1) al plano 4x - 3y + z = 5.

18

Calcule la distancia más corta entre los planos 2x + 3y - z = 2 Y 2x + 3y - z = 4.

19

Encuentre los puntos más cercanos al origen sobre la gráfica de xy3z2 = 16.

20

Encuentre tres números reales cuya suma sea 1000 y cuyo producto sea el máximo posible.

21

¿Cuáles deben ser las dimensiones relativas de una caja rectangular abierta con volumen fijo V para que el área de su superficie sea minima?

22

¿Cuáles deben ser las dimensiones relativas de una caja rectangular abierta tal que el área de su superficie A es fija, para que su volumen sea máximo?

23

Encuentre las dimensiones del paralelepípedo rectangular de volumen máximo con caras paralelas a los planos coordenados, que se puede inscribir en el elipsoide 16x 2 + 4 y 2 + 9z 2 = 144.

24

Resuelva el ejercicio 23 para el caso más general de cualquier elipsoide con ecuación x 2 /a 2 + y2/b 2 + Z2/ C2 = 1.

-

6x cos y

S;

+9

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

16.9

787

por V = 8xyz. Deseamos encontrar el valor máximo de V sujeto a la restricción (o condición) 16x 2

+

4y 2

+

9z 2

144 = O.

-

Despejando z de esta ecuación y sustituyendo en la fórmula para V obtenemos V

=

(8xyHJ144 - 16x 2

-

4y 2.

Ahora se pueden encontrar los extremos usando (16.36); sin embargo, este método resulta complicado debido a las manipulaciones involucradas en el cálculo de las derivadas parciales de V. Otra desventaja de este método es que en algunos casos es imposible despejar z. Para problemas de este tipo es más sencillo emplear el método de los multiplicadores de Lagrange. descubierto por el gran matemático frances Joseph Lagrange (1736-1813). Describiremos brevemente el método sin ninguna demostración y luego lo aplicaremos al ejemplo l. En general, supongamos que f y g son funciones de x, y y z y que deseamos encontrar los extremos locales def(x, y, z) sometidos a la restricción g(x, y, z) = O. Supongamos además que podemos despejar z de la segunda ecuación obteniendo z = k(x, y) y que k,fy g tienen primeras derivadas parciales continuas en un do­ minio apropiado. Definimos una nueva función de cuatro variables mediante w = f(x, y, z)

(16.37)

+ ;.g(x, y, z)

donde la variable A. se llama un multiplicador de Lagrange. El resultado de Lagrange dice que los valores de x, y y z que dan lugar a extremos de f se encuentran entre las soluciones simultáneas de las siguientes cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: I

(16.38)

wx=O,

wy=O,

w:=O,

w).=g(x,y,z)=O.

Daremos una demostración parcial de este hecho. Como ayuda para simplificar la notación definamos u = f(x,y,z),

v = g(x,y,z) = 0,

z = k(x, y).

Si consideramos a z como una función de las variables independientes x y y y apli­ camos la regla de la cadena, entonces vemos que en un punto (x, y, z) dondefalcanza un extremo local,

Por consiguiente, si

Uz

,¡.

fx(x,y,z)

= Ux + U:Z x = O

/y(x,y, z)

= uy + u:z = O.

°

entonces Zx

Además, si

Vz

y

Ux

= - ­, Uz

,¡. 0, entonces usando el teorema (16.21) obtenemos Zx

Vx =-­ ,

v:

788

16

DERIVADAS PARCIALES

Igualando las expresiones para

z~

y Zy obtenemos v,,

u. y por lo tanto (16.39)

Estas dos ecuaciones junto con v = O proporcionan un sistema de tres ecuaciones en tres incógnitas cuyas soluciones contienen las ternas (x, y, z) donde la función f toma Sus valores extremos. Adoptamos ahora el punto de vista de los multiplicadores de Lagrange. Si, como hicimos en (16.37), escribimos w = u + AV, entonces, de acuerdo con (16.38), los extremos se alcanzan en las soluciones del siguiente sistema de cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas

+ }.v, uy + },v y u: + },v:

W,.

= u,

= O

Wy

=

= O

w: = W).

=

Suponiendo que las derivadas parciales de las primeras tres ecuaciones obteniendo asi ,

V

V

=

O

=

O.

no son cero, podemos despejar A de

l/x

lly

u:

V.y

l\

V=

1.=--=--=-­

que nuevamente nos da (16.39). Por lo tanto el método de los multiplicadores de Lagrange también proporciona los puntos donde se alcanzan los extremos de f Solución del ejemplo 1

Deseamos calcular el máximo de v

= f(x, y, z) = 8xyz

sujeto a la restricción

g(x, y, z) = 16x 2 + 4 y 2 + 9z 2

-

144 = O.

Comenzamos considerando la ecuación (16.37): W

= 8xyz + A(16x 2 + 4y 2 + 9z 2

-

En este caso las ecuaciones (16.38) son (16.40)

= 8yz + 32xJ. = O

wy = 8xz + 8y}, = O

W: = 8xy + 18zA = O

2 2 W A = 16x + 4y 2 + 9z

Wx

-

144 = O.

144).

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

16.9

789

Multiplicando la primera ecuación por x, la segunda por y, la tercera por z y su­ mándolas obtenemos 24xyz

+ 2J.(16x 2 + 4y 2 + 9z 2 ) = O.

Esta ecuación y la cuarta ecuación en (16.40) implican que 24xyz

+ 2),(144)

=

O,

o

xyz = -121..

Podemos usar esta última relación para encontrar x, y y z. Por ejemplo, comen­ zando con la primera ecuación en (16.40) obtenemos

+ 32x 2 ). ~ O 8( -122) + 32x 2 ), = O - 322(3 - x 2 ) = o. 8xyz

Por consiguiente). = O o x = j3. Podemos rechazar ), = O ya que en este caso xyz = O Y V = 8xyz = O. Por lo tanto el único valor posible de x es j3. Análogamente, multiplicando ambos lados de la segunda ecuación en (16.40) por y obtenemos

+ 8y 2), = O 8( -12).) + 8y 2), = O 82( - 12 + y2) = O 8xyz

JT2

Y por lo tanto y = = 2j3. Finalmente, multiplicando la tercera ecuación en (16.40) por z y usando el mismo procedimiento obtenemos z = 4j3/3. Por lo tanto el volumen que buscamos es V = 8(j3) (2j3) (4f)

= 64)i

Como una ilustración más, supongamos que f(x, y, z) es la temperatura, la densidad de masa, el potencial o alguna otra cantidad escalar en el punto (x, y, z) de un sistema coordenado rectangular. Podríamos desear determinar los puntos sobre una superficie dada en los que f(x, y, z) alcanza un máximo o mínimo local. La versión matemática de este tipo de problema se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 2

Seaf(x, y, z) = 4x 2

+

y2

+

5z 2 • Encuentre el punto sobre el plano 2x

+

3y

+

4z

= 12

en el quef(x, y, z) alcanza su valor mínimo. Solución

Deseamos encontrar el valor mínimo def(x, y, z) sujeto a la restricción g(x, y, z) 2x + 3y + 4z - 12 = o. Si, como en (16.37), definimos w =

4x 2 + y2

+ 5z 2 + 2(2x + 3y + 4z

entonces las ecuaciones (16.38) son

- 12)

=

790

16

DERIVADAS PARCIALES

+ 22 = O = 2y + 32 = O = 10z + 42 = O = 2x + 3y + 4z - 12 = O.

Wx =

wy Wz

W.

8x

Despejando 2 de las primeras tres ecuaciones obtenemos

A.

= -4x = -h = -1Z.

Por consiguiente, para que (x, y, z) corresponda a un extremo local se necesita que y

= 6x y z =

~x.

Sustituyendo en la ecuación w. = O obtenemos

+ 18x + Jf x - 12 = O = 6(5/11) = 30/11 y z =

2x

o x = 5/11. Por lo tanto y (8/5)(5/11) = 8/11. Por lo tanto el valor mínimo se alcanza en el punto (5/11,30/11,8/11). En algunas aplicaciones puede haber más de una restricción. Por ejemplo, consideremos el problema de encontrar los extremos locales de f(x, y, z) con las dos restricciones

g(x, y, z) = O y h(x, y, z) = O. El método de los multiplicadores de Lagrange dice que si definimos W

= f(x, y, z) + 2g(x, y, z) + ¡.ih(x, y, z)

donde). y ¡.i son variables, entonces los valores de x, y y z que dan lugar a extremos de f se encuentran entre las soluciones del siguiente sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas: Wx

= O,

wy

= O, w, = O,

IV.

= O, w" = O

El método de Lagrange también se puede generalizar al caso de funciones de más de tres variables y más de dos restricciones. El lector puede consultar en textos de cálculo más avanzados la discusión del caso general.

Ejemplo 3

Sea e el arco contenido en el primer octante de la curva en que se intersecan el paraboloide 2z = 16 - x 2 - y2 Y el plano x + y = 4. Encuentre el punto de e más cercano y el más lejano al origen. Calcule la distancia mínima y la distancia máxima del origen a C.

Solución

El arco e está dibujado en la figura 16.26. Sea P(x, y, z) un punto arbitrario de C. 2 + y2 + Z2, Deseamos encontrar los valores máximo y mínimo de d(O, P) = lo cual es equivalente a encontrar los extremos de f(x, y, z) = x 2 + y2 + Z2

Jx

sujetos a las condiciones siguientes:

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

16.9

791

x

Figura 16.26

g(X,y,Z)=X 2 +y2+2z-16=0 h(x,y,z) = x

+ y - 4 = O.

Si definimos W

= (x 2 + y2 + Z2) + A(X 2 + y2 + 2z - 16) +

¡.,t(x

+ y - 4)

entonces los valores deseados de x, y y z son soluciones de

= 2x + 2xA + ¡.,t = O w y = 2y + 2yA + ¡.,t = O

Wx

W=

= 2z + 2A = O.

De las primeras dos ecuaciones obtenemos Wx -

wy = 2(x - y) + U(x - y) = O

y por lo tanto (x - y)(1

+ 2) = O.

Concluimos que A. = - I o x = y. Si A = -1, entonces W z = 2z - 2 = O. Por lo tanto z = 1, Y la primera restricción nos da x 2 + y2 - 14 = O. Resolviendo esta ecuación simultáneamente con la del plano x + y - 4 = O, vemos que x = 2 + )3, y = 2 - )3 o x = 2 - )3, y = 2 + )3. Por consiguiente, Pl(2 + )3,2- )3,1)

Y P2 (2 - )3,2+ )3, l)

792

16

DERIVADAS PARCIALES

son puntos en los que puede haber valores extremos de f Las distancias del origen a estos puntos son d(O,P¡) =

ji5 =

d(O,P1 )·

Si x = y, entonces usando las restricciones obtenemos P J (2, 2, 4) Y d(O, P J )

=

2fi· Mirando la figura 16.26 podemos hacer ahora las observaciones siguientes. A medida que un punto se desplaza sobre e de A(4, O, O) hacia B(O, 4, O), su dis­ tancia al origen disminuye de d( O, A) = 4 hasta un mínimo de en PI' luego aumenta a un máximo de en P J , después disminuye nuevamente hasta ji5 en PI y vuelve a aumentar hasta alcanzar el valor 4 en B.

J15

2fi

Para verificar la solución, notemos que

x = 4 - t, Y = t, Z = 4t - t 2, donde O ::; t ::; 4

.r

son unas ecuaciones paramétricas para C. Los valores extremos de pueden en­ contrarse usando métodos para funciones de una variable aplicados a f(x, y, z) = (4 - t)2 + t 2 + (4t - t 2)2. Se deja como ejercicio al lector demostrar que de esta manera se obtienen los mismos puntos.

16.9 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 10 use el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos locales de la función/, sujetos a las restricciones dadas. I(x . .I")

= y2

-

4x,l" + 4x l ; x 2 +.\'2

=

y +::; x 2 + .1 2 + ::2

3

./(X,y.::)

=x +

5

{(x . .1',::)

7

{(x . .1',::)

= x 2 + .1'2 + ::2; .': = x 2 + )"2 + ::2; .\ _

8

f(x,y,::) =::

_\2 -

9

f(x .. I·.::.tl =

.H::/:

/;

x -::

Z ./(x. .I") = 2x 2 + xy - r 2 + y; 2.>.: + 3.1' = l

l

= 25

)' + Z = l Y = 1; .1'2 _

::2 =

4

f(.\, l.::) = x 2 + .\.2 + ::2; .\ + .\ + Z = 25

6

I(x,y,::) = x + 2y - 32; Z = 4x 1 +)"2

I

x + y +:: = 1; x 2 + / = 4 =

2; .1'2

+ (= 4

10 ¡(x, y, z, e) = x 2 + .1'2 + ::2 + (2; x + y + 2:: = 1; 2.\ - :: +

1

= 2; r + 3:: +

21

= - I

+

12

Sea e la recta de intersección de los planos 3x + 2y + Z = 6 Y x - 4y + 2z = 8. Encuentre el punto sobre e más cercano al origen.

13 Se desea construir una caja rectangular cerrada que tenga un volumen de dos litros. Los precios por decímetro cuadrado del material para los lados, el fondo y la tapa son $1.00, $2.00 Y $1.50 respectivamente. Encuentre las dimen­ siones de la caja para la cual el costo es mínimo.

14

Calcule el volumen máximo po ible de una caja rectangular que tiene tres de sus vértices en los ejes positivos x, y y z respectivamente y un cuarto vértice en el plano 2x + 3y + 4z = 12.

11

Encuentre el punto sobre la esfera x 2 + Z2 = 9 más cercano al punto (2, 3, 4).

y2

REPASO

15 Se desea construir un recipiente con tapa en fonna de un cilindro circular recto. ¿Cuáles son las dimensiones relativas para las cuales el volu­ men es máximo si el área de la superficie tiene un valor fijo S?

17-26

16.10

16.10

793

16 Demuestre que el triángulo de área máxima con perímetro dado p es equilátero. (Sugerencia: Note que si los lados son x, y, z y si s = p/2, entonces el área es [s(s - x)(s - y)(s - z)] l/l.)

Resuelva los ejercicios del 17 al 26 de la sección anterior usando el método de los multi­ plicadores de Lagrange.

REPASO

Conceptos Defina o discuta lo siguiente. Función de más de una variable

2

Curvas de nivel

3

Superficies de nivel

4

Límites de funciones de más de una variable

5

Función continua

6

Primeras derivadas parciales

7

Derivadas parciales de orden superior

S

Diferenciales

9

Función diferenciable

10

La regla de la cadena

11

Derivación implícita

12

Derivada direccional

13

El gradiente de una función

14

El plano tangente a una superficie

15

Los extremos de una función de dos variables

16

Multiplicadores de Lagrange

Ejercicios En los ejercicios del I al4 determine el dominio de la función/ f(x. y) = 3

36 - 4x l

+ 9y l

f(x,y, z) = (Zl - Xl _ /) - J'l

2

f(x.y) = In xy

4

f(x, y. z) = sec z/(x - y)

En los ejercicios del 5 al 10 encuentre las primeras derivadas parciales del

5

f(x,y) = xJcosy - yl + 4x

7

f(x, y, z) = (Xl

9

f(x,y,z,e)=xlz

+ /)/(/ + Zl)

6

f(r, s)

= rle'"

S

f(u,

e) = u In (vle)

10

2y+e

V,

l(v, w) =

I,l

cos w

+ w 2 COS

[l

En los ejercicios ll y 12 encuentre las segundas derivadas parciales de f. 11

f(x,y) = xJyl - 3 xy J + x,. - 3y + 2

13

Demuestre que si u = (Xl entonces a2 ulax 2 + a2 111ay 2

+ y2 + Zl)-1/2 + a2 ulaz 2 = O.

12

l(x.y, z) = xle' -,'

14

(a) Suponiendo que w = yJ tan -1 Xl + 2x - y, encuentre dw. (b) Suponiendo que w = Xl sen yz, encuentre dw.

794

16

DERIVADAS PARCIALES

15 Encuentre ~w y dIV suponiendo que w = x 2 + 3xy - y2. Use ~w para calcular el valor exacto y dIV para calcular un valor aproximado del cambio en w cuando (x, y) cambia de ( - 1, 2) a ( - 1.1, 2.1).

16 La ley de Ohm dice que R = E//. Se hacen mediciones de / = 2 amperes y E = 108 volts con errores posibles de 0.01 amperes y 0.2 volts respectivamente. Use diferenciales para estimar el error máximo posible en el cálculo del valor de R.

Use la regla de la cadena para hallar las soluciones en los ejercicios del 17 al 19. 17 Sean s = u 2 v + v 2 w - IV 3 U, U = Y cos x, v = xe- Y y w = y In x. Encuentre os/ox y as/ay.

18 Sean z = Jx 2 + y2, x = re 2sr y y = Ir 2e-'. Encuentre oz/or, oz/OS y OZ/Ol.

19 Sean w = x tan y + y tan z, x = y z = 1/1 2 . Encuentre dw/dl.

Y = e- 21

20 Encuentre la derivada direccional de f(x, y) = ]x2 - y2 + 5xy en el punto P(2, - 1) en la direccion del vector a = -3i - 4j. ¿Cuál es la razón de crecimiento máxima de f(x, y) en P?

21 La temperatura en el punto (x, y, z) está dada por T(x, y, z) = 3x 2 + 2y 2 - 4z. Encuentre la razón de cambio de T en el punto P( - 1, -3,2) en la dirección de P al punto Q( -4, 1, -2).

22 Una curva e está dada paramétricamente por x = 1, Y = 12 , Z = 13 . Suponieñdo quef(x, y, z) = y2 + xz, encuentre D.f(2, 4, 8), donde u es un vector unitario tangente a e en P(2, 4, 8).

23 Encuentre las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la gráfica de 7z = 4x 2 - 2y 2 en el punto P( -2, -1,2).

24 Demuestre que todos los planos tangentes al cono x 2/a 2 - y2/b 2 + Z2/ C 2 = O pasan por el origen.

25

13 ,

Suponiendo que y = f(x) satisface la ecuación x 3 - 4xy3 - 3y + x - 2 = O, encuentre f'(x) usando derivadas parciales.

26

Suponiendo que z = f(x, y) satisface la ecuación x 2y + z cos y - xz 3 = O, encuentre oz/ox y oz/oy.

27 Encuentre los valores extremos de f suponiendo quef(x, y) = x 2 + 3y _ y3.

28 Se desea construir una caja rectangular que contenga un volumen dado. El material que se usa para el fondo cuesta lo doble por decimetro cuadrado que el que se usa para los lados y la tapa. Calcule las dimensiones relativas para las cuales el costo es mínimo.

29 Dada f(x, y) = x 2/4 + y2/25, dibuje algunas de las curvas de nivel asociadas a f y, para un punto P en cada curva, represente Vf] p mediante un vector.

30 Dada F(x, y, z) = z + 4x 2 + 9y 2, dibuje algunas de las superficies de nivel asociadas a F y, para un punto P en cada superficie, represente V F]p mediante un vector.

31 Encuentre los extremos locales de f(x, y, z) = xyz sujetos a la restricción x 2 + 4y 2 + 2z 2 = 8.

32 Use el método de los multiplicadores de La­ grange para encontrar los extremos locales de f(x, y, z) = 4x 2 + y2 + Z2 sujetos a las restric­ ciones 2x - y + z = 4 Y x + 2y - Z = l. Verifique su respuesta usando métodos para funciones de una sola variable.

33

34 Una tolva de un elevador de grano tiene la forma de un cilindro circular recto montado en un cono circular recto de 2 pies de radio. El volumen de la tolva es de 100 pies cúbicos. En­ cuentre las alturas h y k del cilindro y del cono respectivamente, para las cuales el área de la superficie es mínima.

Encuentre los puntos más cercanos al origen en la gráfica de l/x + 2/y + 3/z = 1.

INTEGRALES DOBLES

795

17.1

_17 INTEGRALES MULTIPLES

El concepto de integral definida que se introdujo en el capítulo 5 se puede generalizar afunciones de varias variables. En este capitulo definiremos las integrales dobles y triples y discutiremos algunas de sus propiedades fundamentales y sus aplicaciones.

17.1

INTEGRALES DOBLES Las regiones en el plano xy del tipo de las que se ilustran en la figura 17.1 son de primordial importancia para la definición de las integrales dobles. Aquí g l ' g2 Y 11 1 ,11 2 son continuas en los intervalos [a, b] y [e, dJ respectivamente, gl(x) ~ g2(X) para todo x en [a, b] y hl(y) ~ 11 2 (y) para todo yen [e, dJ. Una región como la de (i) de la figura 17.1 se llamará una región de tipo 1, mientras que una región como la de (ii) de la figura se llamará una región de tipo 11. y

y

x = h 2(y)

a

b (i)

x

x (ii)

Región de tipo 1

Región de tipo 11

Figura 17.1 En lo que resta de este capitulo el símbolo R denotará una región que se puede descomponer en un número finito de subregiones de los tipos 1 y JI. Cada región R de éstas, es un subconjunto de una región rectangular cerrada W. Si dividimos a W en rectángulos más pequeños mediante un número finíto de rectas horizontales y verticales, entonces el conjunto de todas las subregiones rectangulares que están contenidas completamente en R, se llama una partición interior de R. Los rectángulos

796

17

INTEGRALES MULTIPLES y

w .J ) ~

If

\

""<\

.(U j , Vi)

~

....

....

'­

R

J

~- / x

Figura 17.2. Partición interior.

sombreados en la figura 17.2 ilustran una partición interior. Si estas subregiones rectangulares se rotulan R¡, R z , ... , Rn entonces la partición interior es P = {R¡: i = 1, ... , n}. La longitud de la diagonal más larga de los R¡ se denotará por I! PI! Yse llamará la norma de la partición P. Usaremos el símbolo dA¡ para denotar el área de R¡. (17.1)

DEFINICION

Sea

f una función de dos variables definida en una reglOn

{R¡: i

R y sea P = = 1, ... , n} una partición interior de R. Entonces una. suma de Riemann

de f para P es cualquier suma de la forma n

I

j=

f(u¡,v¡)dA¡ 1

donde (lI j , v¡) está en R¡. Es importante notar la semajanza entre esta definición y la que se dio para funciones de una variable en el capítulo 5. En la definición (5.13) evaluamos una función f de una variable en un número Ir¡ del iésimo subintervalo de una partición de [a, bJ, multiplicamosf(w¡} por la longitud dX j de este subintervalo y luego suma­ mos los términos de la formaf(wj)dx j. En el caso presente evaluamos una función f de dos variables en una pareja (u¡, v¡) en la iésima subregión de una partición de R, multiplicamos este número por el área dA¡ de esta subregión y luego sumamos todos los términos de la formaf(u¡, Vi) • dA¡. Ejemplo

Suponga que f(x, y) = 4x + 2y + I y que R = {(x, y): O .:::;; x .:::;; 4, O .:::;; Y .:::;; (16 - x Z )/4}. Sea P = {R¡: i = 1, ... , 7} la partición interior de R determinada por las rectas horizontales y verticales que intersecan los ejes en los puntos de

INTEGRALES DOBLES

17.1

797

y

4

-"",

3

R¡

R2

R3

R4

2

I

'"

Rs R 6 R, I

2

1\ \

3

x

4

Figura 17.3

coordenadas enteras, como se muestra en la figura 17.3. Sea (U¡, Vi) el centro de gravedad de la región R j • Calcule la suma de Riemann (17.1). Solución

Los puntos (u¡, VI) son los siguientes: (1/2, 5/2) en R¡, (3/2, 5/2) en R z , (1/2, 3/2) en R), (3/2, 3/2) en R 4 , (1/2, 1/2) en R s , (3/2, 1/2) en R 6 y (5/2, 1/2) en R 7 • Como el área de cada R¡ es 1, la suma de Riemann es }( 1/2,5/2) . 1 + }(3/2, 5/2) . 1 + f( 1/2,3/2) . 1 + /(3/2, 3/2) . I

+ .1(1/2,1/2)·1 + /(3/2,1/2)·) + f(5/2, 1/2)·1. Esto se simplifica a

8

+ J 2 + 6 + )O + 4 + 8 + 12 = 60.

En el ejemplo anterior, el punto (Ui, v¡) fue el centro de gravedad de R¡. Es importante recordar que al trabajar con sumas de Riemann arbitrarias, se puede elegir cualquier pareja (U¡, Vi) en R¡ (vea el ejercicio 1). Por orevedad, frecuente­ mente denotaremos las particiones interiores de R por P = {R;} sin especificar el dominio de la variable i, y el símbolo 1:¡ querrá decir que sumamos sobre todos los rectángulos R¡ de la partición. La definición siguiente sigue el modelo de la de· finición (5.15). (17.2)

DEFINICION

Seafuna función de dos variables definida en una región R y sea L un número real. La afirmación lim ¿J(u¡, v¡} L\A¡ = L IIPII-O

¡

°

significa que para todo [; > 0, existe un J > tal que si P = {R¡} es una partición interior de R con IIPII < J, entonces

l~f(U¡'V¡)L\A¡ - LI < [; para cualq uier pareja (u¡, v¡) en R¡.

798

17

INTEGRALES MULTIPLES

Intuitivamente, (17.2) afirma que las sumas de Riemann de f se acercan a L a medida que la norma IIPII se aproxima a cero. El número L se llama el límite de las sumas de Riemann. Si el límite existe, entonces es único. La siguiente definición es análoga a (5.16). (17.3)

DEFINICION

Seafuna función de dos variables definida en una región R. La doble integral de/sobre R, que se denota por HRf(x, y) dA, está dada por

ff

f(X,y) dA =

lim If(u¡, v¡) dA¡ IIPII-O

¡

R

siempre y cuando este límite exista. Si existe la doble integral defsobre R, entonces se dice que/es integrable sobre

R. Se puede demostrar que si f es continua en R, entonces.r es integrable sobre R. Si R es la unión de dos regiones ajenas R I y R 2 del tipo que estamos considerando, entonces

f f f(x,y) dA = f f I(x,y) dA + f ff(x,Y)dA.

(17.4)

R

R,

R,

La fórmula anterior se puede generalizar a un número finito cualquiera de regiones. Hay una interpretación geométrica útil de la integrales dobles en el caso en el que f es continua y f(x, y) ~ O en toda la región R. Sea S la gráfica de f y T el sólido que se encuentra debajo de S y encima de R, como se muestra en la figura 17.4. S:z =f(x, y)

z

y

x

R

Figura 17.4

INTEGRALES DOBLES

Si p¡(U¡,

17.1

799

O) es cualquier punto en la subregión R¡ de una partición P de R, en­ es la distancia del plano xy al punto S¡ que se encuentra en S directa­ mente arriba de Pi' El número f(u¡, v¡} ~A¡ es el volumen del prisma con base rec­ tangular que se muestra en la figura 17.4. La suma de todos estos volúmenes es una aproximación al volumen V de T. Como es evidente que esta aproximación mejora a medida que IIPII tiende a cero, definimos V como el limite de las sumas de los números f(u¡, v¡)~A¡. Aplicando la definición (17.3) obtenemos Vi'

toncesf(u¡,

Vi)

(17.5)

V

=

JJf(x,y)dA. R

Es claro que sif(x, y) :::;; Oen toda la región R, entonces la integral doble defsobre R es menos el volumen del sólido que se encuentra encima de la gráfica defy debajo de la región R. Concluiremos esta sección enunciando, sin demostrarlas, algunas propiedades de las integrales dobles. Estas propiedades corresponden a las que dimos en el capitulo 5 para integrales definidas. Suponemos que todas las regiones y las fun­ ciones están restringidas adecuadamente para que las integrales indicadas existan. (17.6)

J J cf(x, y) dA R

(17.7)

= e J Jf(x,Y)dA, R

J J [l(x, y)

+ g(x,y)] dA =

R

(17.8)

si e es cualquier número real

J J f(x,y)dA

+

J J g(x.)") dA

R

Sif(x. y) ;::: Oen toda la region R, entonces

R

JJI(X.)") dA ;::: O. R

17.1 EJERCICIOS Sean f, R Y P como en el ejemplo. Encuentre la suma de Riemann de f para P suponiendo que (u¡, v¡) es (a) el punto en la esquina inferior izquierda de R¡ (b) el punto en la esquina superior derecha de R¡

3 Sea R la región triangular con vértices (O, O), (6, O), (6,12) Y sea P la partición de R determi· nada por las rectas verticales con abscisas al origen 0,1,3,4,6 Y por las rectas horizontales con ordenadas al origen 0,2,5,7,8,12. Supo­ niendo que f(x, y) = x 2y encuentre la suma de Riemann de f para P en el caso en el que (u i , Vi) es el centro de gravedad de R¡.

2 Sean f y R como en el ejemplo y P = {R¡} la partición interior determinada por las rectas horizontales y verticales cuyas intersecciones con los ejes tienen coordenadas 0, 1/2, 3/2, 5/2 y 4. Encuentre la suma de Riemann de f para P suponiendo que (U¡, Vi) es el centro de gravedad de R¡. 4

°

°

Sea R = {(x,y): :s; x :s; 5, :s; y :s; }25 ­ x 2 }. Sea P la partición de R determinada por las rec­ tas verticales con abscisas al origen 0, 2, 3, 4, 5 y por las rectas horizontales con ordenadas al ori­ gen 0, 2,4,5. Suponiendo que f(x, y) = 4 - xy, encuentre la suma de Riemann de f para P en el caso en el que (u¡, Vi) es el punto en la esquina inferior derecha de R¡.

800

17

INTEGRALES MULTIPLES

5 Sea R la región acotada por el trapecio de vértices (O, O), (4,4), (8,4) Y (12, O). Sea P la partición de R determinada por las rectas ver­ ticales con abscisas al origen 0,2,4,6,8, 10,12 Y por las rectas horizontales con ordenadas al origen 0,2 Y 4. Suponiendo que f(x, y) = xy encuentre la suma de Riemann de f para P en el caso en el que (u¡, v¡) es el centro de gravedad de R¡.

6 Sea R la región acotada por el triángulo con vértices (- 4, O), (O, 8) Y (4, O). Sea P la par­ tición de R determinada por las rectas verticales con abscisas al ori6~n - 4, - 2, O, 1, 3,4 Y por las rectas horizontales con ordenadas al origen O, 2,4,6,8. Suponiendo que f(x, y) = x + y, encuentre la suma de Riemann de f para P, en el caso en el que (u¡,v¡) es la esquina superior derecha de R¡.

7 Sean R

8 Sean f y g dos funciones integrables sobre R tales que f(x, y) ¿ g(x,y) para toda pareja (x, y) en R. Use las propiedades de las integrales dobles para demostrar que

= {(x, y) : a :5; x :5;

b, c:5;

y :5;

d} Y

f(x, y) = k para toda pareja (x, y) en R. De­

muestre que la doble integral de f sobre R es igual a k(b - a)(d - e), usando (a) la definición

f f/(X.

(\7.3) y (b) (17.S).

17.2

l)dA 2

ff

g('.I)dA.

Ev ALUACION DE LAS INTEGRALES DOBLES Es prácticamente imposible encontrar el valor de una integral doble directamente de la definición (17.3) excepto en casos muy elementales. Esta sección contiene algunos métodos para la evaluación de integrales dobles basados en el teorema fundamental del cálculo (5.31). Suponga que f es una función de dos variables, continua en una región rec­ tangular cerrada R, como la que se ilustra en la figura 17.5. El símbolo J~ f(x, y) dy significará que x se mantiene fijo y que integramos respecto a y. Esto a veces se \lama integración parcial respecto a y. A cada x en el in tervalo [a, b] le corresponde un único valor de esta integral y por lo tanto obtenemos una función A dada por

J .d

(17.9)

A(x)=

j(x.y)dy.

y

el

-----r---------. R

('

------!--------\

{/

x

Figura 17.5

h

x

EVALUACION DE LAS INTEGRALES DOBLES

Como una ilustración de (17.9), consideremosf(x, y) = x 3 Entonces A(x)

=

J2 (x

3

+ 4.1') dy = x 3 y + 2.1'2

= (2x 3 +

8) - (x 3

+

+

801

17.2 4y, e

= l Y d = 2.

I

2)

= x + 6. 3

Se puede demostrar que la función A definida en (17.9) es continua en [a, b] Y por lo tanto tiene una integral definida que se puede escribir como

f

A(x)dx =

rr

{I(x,y)dyldX.

La expresión en el lado derecho de esta ecuación se llama una integral iterada (doble). Generalmente esta notación se abrevia omitiendo los paréntesis. Así, por defini­ ción,

r

JbJ'I I(x,y)dydx = J'b JI' j(x,y)dy Jdx.

(17.10)

u

e:

ti

r

f¡4 f:¡ (2x + 6x 2y) dy dx.

Ejemplo 1

Evalúe

Solución

Aplicando (17.10) vemos que

{~r f2

(2x + 6X\)dl']dX = J

=

=

J~r2XY + Jy 2y 2T

r

J

dx

[(4x + 12x 2) - (-2s + J y2)] dx

J~ (6.y + 9x 2) dx

= 3x 2 + 3x 3

I

=

234.

Análogamente podemos considerar integrales iteradas de la forma

r

(17.11)

J

J ("

r

Jb j(x, y) llx ely = j J'b j (x, y) elx oJ

ti

(

1

dy.

ti

En este caso prímero integramos con respecto a x (manteniendo y fijo). Después de sustituir como de costumbre los límites b ya en lugar de x, la expresión resultante se íntegra con respecto a y entre e y d. En textos más avanzados se demuestra que las integrales en (17.10) Y(17.11) son iguales. Esto se ilustra en el ejemplo siguien te.

Ejemplo 2

Evalúe

f2 f4 (2x + 6x 2y) dx dy. - J

I

802

17

Solución

Aplicando (17.11) vemos que

INTEGRALES MULTIPLES

f [f I

(2x

+ 6x

2

f fl =f

y) dxJ dy =

[x

I

[(16

=

1

I

+ 2x 3y

2

+

(1 26.1'

= 63 y 2

+

d)'

128.1') - (1

+ 21')J dI'

+ 15) dy

15.1J2 = 234. - I

Las integrales iteradas también se pueden definir sobre regiones no rectangu­ lares. En particular, si f es continua en una región como la que se ilustra en (i) de la figura 17.1, entonces por definición,

f

(17.12)

bSSllX.I j(x . .I') dy dx = fb [SBlIXI j(x. y) dyJdx.

a

'I(-\'/

"

XlIX)

En este caso, después de integrar parcialmente con respecto a y, sustituimos como de costumbre g2(X) y g¡(x) en lugar de y. Después integramos la expresión resul· tante de a a b. Análogamente, si f es continua en una región como la que se ilustra en (ii) de la figura 17.1 entonces definimos

dfhl(Yl f(x,y)dxdy = fd [fhl(Yl f(x,y)dx fe e

(17.13)

h¡(y)

Ejemplo 3

Evalúe

rJo f2X (x 2

3

Jdy.

h¡(y)

+ 4y) dy dx.

x2

Solución

De acuerdo con (17.12), la integral es igual a

2 3 r2[ x 3y + 2y J2Xx' dx Jor [ J2X x' (x + 4)') d)' J dx = Jo 2

=

f

= ~X3

I f' 3

Ejemplo 4

Evalúe

I

Solución

[(2x 4

-

\,2

2,1'cosxdxd)'.

~/6

De acuerdo con (17.13), la integral es igual a

+ 8x 2 )

~X6J:

-

2 33

(x 5

+ 2.'(4)] dx

EVALUACION DE LAS INTEGRALES DOBLES

f 3[fr' 2ycosxdx Jdy = f3 [2ysenx Jr I

n¡h

1

=

f

17.2

803

2

dy

fe/6

(2 yseny2 - y)dy

= -cosy2 _ _1y2 J3 2

= ( - cos 9 -

~)

I

- ( - cos 1 -

~)

= cos 1 - cos 9 - 4 ::;;;; - 2.55 El teorema siguiente indica que la doble integral que se definió en la sección 1, a menudo se puede evaluar mediante integrales iteradas. (17.14)

TEOREMA DE LA EVALUACION DE INTEGRALES DOBLES

(i) Sea R una región de tipo 1 comprendida entre las gráficas de y = g ¡ (x) y y = g 2 (x) donde g ¡ y g2 son continuas en [a, b]. Si fes continua en R entonces

II

f

82

f(x,y)dA

=

Jb

a

(X)

f(x,y)dydx.

8,(X)

R

(ii) Sea R una región de tipo II comprendida entre las gráficas de x = h ¡ (y) y x = h 2 (y), donde h¡ y h 2 son continuas en [c, dJ. Sifes continua en R en­ tonces

II R

f(x,y)dA

=

d

f.h2(Y)

J e

f(x,y)dxdy. h,(y)

Es importante notar que para poder usar (i) del teorema (17.14), la región R debe tener una frontera inferior que conste de la gráfica de una ecuación y = g ¡ (x) y una frontera superior que conste de la gráfica de una ecuación y = g2(X). Para poder usar (ii) R debe tener una frontera izquierda que conste de la gráfica de una ecuación x = h¡ (y) Yuna frontera derecha que conste de la gráfica de una ecuación x = h 2 (y). Aunque la región sea más complicada, frecuentemente es posible dividirla en sub­ regiones del tipo requerido y luego aplicar (i) o (ii) a cada una de estas subregiones. En lugar de dar una demostración rigurosa del teorema (17.14) presentaremos una discusión intuitiva que hace plausible el resultado, al menos para funciones con valores no negativos. Suponga que f(x, y) ~ O en toda la región R de tipo 1 que se ilustra en (i) de la figura 17.1. Denotemos por S la gráfica de/, por T el sólido que está debajo de S y encima de R y por V el volumen de T. Primero con­ sideremos el plano r paralelo al plano yz yque interseca el eje x en el punto (x, O, O), donde a ~ x ~ b. Como se ilustra en la figura 17.6, e denota la traza de S en r. Los puntos P(x, g ¡ (x), O) y Q(x, g2 (x), O) son las intersecciones de r con las fronteras

804

17

INTEGRALES MULTIPLES

z (x, Y. f(x.

y»

y

b

x

FiguI'a 17.6

de R. Y = g¡(x) y y = g2(X), respectivamente. La porción sombreada en la figura es la parte de r que está encima del segmento PQ ydebajo de la superficie S. Sabemos de nuestro trabajo en el capítulo 6 que el área A (x) de la porción sombreada está dada por g2t .\¡

(17.15)

A(x)=

r

.. lo:

I(x,r)dy .

1<-\ I

Como A (x) es el área de una sección típica de T. concluimos de (6.11) que (17.16)

V=

r

A(\:) dx =

.. tI

fb fg2lXI I(x,.\') d.\'d\: . a

~l(.\

I

Usando que V también está dado por (17.5) obtenemos la fórmula de la evaluación en (i) del teorema (17.14). Se puede dar una discusión semejante para el inciso (ii).

Ejemplo 5

Evalúe HR(X 3 + 4y) dA, donde R es la región en el plano xy acotada por las gráficas de las ecuaciones y = x 2 y y = 2x.

Solución

La gráfica de R se muestra en la figura 17.7. Observe que R es una región tanto de tipo 1 como de tipo 11. Si consideramos a R como una región de tipo 1 con frontera inferior y = x 2 y frontera superior y = 2x, donde O :os;; x :os;; 2, entonces según (i) del teorema 17.14.

f

R

rC'(3 + 4y)dA = I.

..

2

o

f2X (x 3 + 4y)dydx. x2

EVALUACION DE LAS INTEGRALES DOBLES

805

17.2

x

Figura 17.7

Sabemos del ejemplo 3 que la última integral es igual a 32/3. Si consideramos a R como una región de tipo 11, entonces la frontera izquierda donde es la gráfica de x = (1/2)y Y la frontera derecha es la gráfica de x = O ~ Y ~ 4. Por lo tanto, de acuerdo con (ii) del teorema (17.14),

JY

ff

¡(X,y) dA = [4

Jo

rJ( JY

(x 3 + 4y) dx dy

112h'

R

fi,

Ejemplo 6

Sea R la región acotada por las gráficas de y = y = J3x - 18 Y Y = O. Suponga que f es continua en R. Exprese HRf(x, y) dA en términos de integrales iteradas usando únicamente (a) el inciso (i) del teorema (17.14). (b) el inciso (ii) del teorema (17.14).

Solución

Las gráficas de y = y y = J3x - 18 son las mitades superiores de las pará­ bolas y2 = x y y2 = 3x - 18. Se muestra la región R en la figura 17.8. (a) Si deseamos usar únicamente el inciso (i) del teorema (17.14), entonces es necesario emplear dos integrales iteradas, ya que si O ~ x ~ 6, entonces la frontera inferior de la región es la gráfica de y = O, mientras que si 6 ~ x ~ 9, entonces la frontera inferior es la gráfica de y = J3x - 18. Sea R¡ la parte de la región comprendida entre x = OY x = 6 Ysea R 2 la parte comprendida entre x = 6 Y x = 9. Entonces tanto R¡ como R 2 son regiones de tipo 1. Por lo tanto, según (17.4) y (i) del teorema (17.14),

fi

806

17

INTEGRALES MULTIPLES y

x

Figura 17.8 f ff(x, y) dA =

Sf.l(X, y) dA + Sf.l(X, y) dA

R

=

f(x,y)dydx + f.9 f$__ I(x,y)dydx. f.o1> f.$ o (, j).<-18

(b) Para usar (ii) del teorema (17.14) despejamos x en función de yen cada una de las ecuaciones dadas obteniendo x

= y2

Y

=

x

y2

+

18

3

1

= _y2 + 6. 3

En este caso sólo necesitamos una integral iterada, ya que R es de tipo 11. Por lo tanto

Sf .

f(x,y)dA=

f.

3f(!¡3)\,'+1>

o

r'

f(x,y)dxdy.

R

Los ejemplos 5 y 6 indican que ciertas integrales se pueden evaluar ya sea usando (i) o (ii) del teorema (17.14). En general la elección del orden de integración dy dx o dx dy depende tanto de la forma def(x, y) como de la forma de R. A veces es muy dificil o hasta imposible evaluar una integral doble iterada dada. Sin embargo frecuentemente, cambiando el orden de integración de dy dx a dx dy o viceversa, podemos encontrar una integral doble iterada que se puede evaluar más fácilmente. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 7

Dada

4 .2 f.o jJY y

COS

x 5 dx dy, cambie el orden de integración y evalué la integral

resultante.

Solución

Como el orden de integración dado es de la forma dx dy, la región es de tipo 11. La frontera izquierda es la gráfica de x = y la derecha, la gráfica de x = 2, donde

JY

EVALUACION DE LAS INTEGRALES DOBLES

17.2

807

y (2,4)

x

Figura 17.9

o~

y ~ 4, como se ilustra en la figura 17.9. Observe que R es también una región de tipo 1 cuyas fronteras inferior y superior están dadas por y = O Y Y = Xl res­ pectivamente donde O ~ x ~ 2. Por lo tanto, de acuerdo con el teorema (17.14),

1f~YCOSX5dXdY = 4

5 f f ycosx dA

s: r' R

=

=

(2

Jo

y2 2

5 ycosx dydx

COS

X5JX' dx

o

4

=

(2 x cosx 5dx

Jo

2

= ~ (2 cosx 5(5x 4 )dx

Jo = ~senx5J2 10

10

o

=

~sen32::::: 0.055. 10

A veces es conveniente considerar la primera integral en (17. 16) como el límite de unas sumas de Riemann. Según (6.11) (17.17)

V=

fb A(x) dx = a

lim /IP'/I-O

L A(u¡) 6x¡ ¡

donde P' es una partición del intervalo [a, b J, U¡ es cualquier número en el iésimo intervalo [x¡ _ l ' Xi J de P' y .:\xi = X¡ - Xi _ l ' Como se ilustra en la figura 17.10, A(u¡} .:\x¡ es el volumen de una lámina L¡ cuya cara es paralela al plano yz y cuya base es una tira de ancho .:\x¡ en el plano xy. Por consiguiente, se puede considerar el volumen V como el límite de una suma de volúmenes de tales láminas.

808

17

INTEGRALES MULTIPLES

z

s: z = f(x,

y)

y

a

-----­ -

X¡-1

_

11· _ _

•

x¡

b

--­

--------­

1--

_

x F~~ura

17./0

La integral iterada en (17.16) también se puede expresar como un límite de sumas. Así, aplicando a (17.15) la definición de la integral definida obtenemos g2 (X)

A(x) =

f

!(x,y)dy=

Iim If(x,t'j)ó.Yj IIP"II-O

gdx)

j

donde para cada x, r es una partición del intervalo [g¡{x), g2(X)], vj es un número en elj-ésimo intervalo [Yj-l' Yj] de r y ó.Yj = Yj - Yj_l' Por lo tanto, para cada U¡ en [a, b]

Iim

A(u¡) =

If(u¡, v)Ó.Yj.

liPil-O

j

Sustituyendo esta suma en lugar de A(u¡) en (17.17) obtenemos lim

V=fbA(X)dX= a

Ir

JIP'II-O ¡

lim

I!(u¡,v)Ó.YJ]Ó.X¡.

IIP'Il-0 j

Si ignoramos los límites en esta fórmula obtenemos lo que se llama una doble suma y se escribe IIf(u¡, Vj)~YJ~X¡' ¡

j

Observando la figura 17.11 nos damos cuenta de que la expresión f(u¡, v) ~Yi ~Xj se puede considerar como el volumen de un prisma de altura f(u¡, v) y cuya base tiene área ~Yj ~x¡, Esta doble suma se puede interpretar como sigue. Manteniendo x fijo sumamos los volúmenes de los prismas en dirección del eje y, obteniendo de esta manera el volumen de la lámina que se ilustra en la figura 17.10. Después se suman los volúmenes de estas láminas en dirección del eje x. En cierto sentido esto es lo que la integral iterada hace, tomando al mismo tiempo el límite cuando las bases de los prismas se contraen a puntos. Esta interpretación suele ser útil

EVALUACION DE LAS INTEGRALES DOBLES z

17.2

809

s: z =f(x, y)

y a

-------

b

x

Figura 17.11

para visualizar algunas aplicaciones de la integral. Para enfatizar este punto de vista a veces escribimos v= Iim 2:2:I(Ui,l)~Yj~Xi= f

(17.18)

1i<1I1~O

donde el símbolo

II~II -+

i

j

bfgZIX) f(x,y)dydx ~I(X)

a

O quiere decir que todas las

~Xi

Y ~Yj tienden a O.

17.2 EJERCICIOS Usando los datos que se dan en los ejercicios 1 y 2 verifique que

f ti

2

f/(S,.I')dJ'dS =

r

fI(S'.I'ld\l/r.

= I.h = 2.c = -I,d = 2:1(s.y) = 12xJ'2 - 8s 3

tI=

-2.h= -I.c=O,d=3:/(S,J') =4.''.1'3 +y

En los ejercicios del 3 al 12 evalúe las integrales dadas. 3

"Jj, J I

I

s2\·drds

4

JI

JO.,. I

.\

I

(3x

+ 2y)dydx 7

8

J: J:

10

f' JI

f' J". o

,­

, (4s - y) ds dr

f2 J.' e"·' drd.\ I

ih

S

.\"'

.\'

'2

(scosJ' - ycosx)dydx

1 - - 2 dx dy o ,. 1+ y

11

J'14 f>«X (y + sen x) dy dx 1(/6

tanx

12

J.,6"4f"O' o

e'"cosxdydx

810

17

INTEGRALES MULTIPl.,ES

En los ejercicios del 13 al18 dibuje la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y exprese JIRf(x. y) dA como una integral iterada (a) usando el inciso (i) del teorema (17.14); (b) usando el inciso (ii) del teorema (17.14). 13 .1'= Jx.x 16 Y =

,\"!.\

= 4. .1'

=O

14

J-;. x = 0. .1' = 2

.1' =

15r=x J .x=0.r=8

= 2..1' = O

En los ejercicios del 19 al 24 dibuje la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Suponga que fes continua en R. Use (17.4) para expresar Rf(x. y) dA como una suma de dos integrales iteradas como las que se usan en (a) el inciso (i) del teorema (17.14); (b) el inciso (ii) del teorema (17.14).

JI

19

8.1' = x J . .1' - .\ = 4. 4.\ + .1' = 9

21

x =

J:' -

r. y = 2\. x

+ .1' + J =

O

23 .1' = ("'. .\' = In\..\ + .1' = l. ,\ + .1' = I + e

20

x = 2,(;. j3x

22

x

24

.1'= senx.l!r = 2.\

+ 21' = 5. x -

=

J¡. .1'

= 2x + 5

y = 2.2x

rJ

+ .1' = - 2

En los ejercicios del 25 al 30 dibuje la región de integración para la integral iterada. 25 28

f

1

r-x~, f(x. y) dI'
1

~

1

_ ,/ol-x­

f - f2I f (X. y ) "

J rr r' .

26 29

f(x.y) dI'
27

lan

'J,

I(x.y)
30

'.'

f(x.y)
r f"hX o

x'!--l

- J

2

1

.;;

- I

I(x. y) dy tix

sf-'nh.x

En los ejercicios del 31 al 36 cambie el orden de integración y evalúe la integral resultante. 31

f f2 1

' rr

Y dy el\

1

37

dI' d\

32

2x

(1

34

e'"

()

35

rf

ff 1

sen x.1 dx dy

rr

33

../1'

o

,\; j16

y

+ x7


36

.1' COS ,\1 dx dI'

rr o

II

4

II

\.~

.\

1 sen y cos ~ \
r

.r

De manera semejante a como se hizo en (17.18), interprete la integral iterada en el inciso (ii) del teorema (17.14) como un límite de dobles sumas.

17.3

AREAS y VOLUMENES La doble integral HR 1 dA se suele denotar por HR dA. Si R es una región de tipo 1 como la de (i) de la figura 17.1, entonces de acuerdo con el teorema (17.14),

II

dA

Jb J81(X) bIglIX) l dydx = y . dx J

=,

a

gllx)

a

gil")

R

lo cual, según (6.1), es igual al área A de R. Esto también es cierto si R es una región de tipo 11 como en (ii) de la figura 17.1. Estos hechos también son evidentes de la

AREAS y VOLUMENES

17.3

811

definición de la integral doble, ya que si f(x, y) = 1 para toda pareja (x, y) 'en R, entonces la suma de Riemann en la definición (17.3) es la suma de las áreas de los rectángulos de una partición interior P de R. A medida que la norma "PII se acerca a cero, los rectángulos cubren más de R y es evidente que el límite de las sumas es igual al área de R. Una integral iterada que se usa para encontrar un área, se puede considerar como un límite de dobles sumas de manera semejante a la que se usó para volúmenes al final de la sección anterior. Especificamente, para f(x, y) = 1, (17.18) se convierte en A=

JJ

b

dA=

J •

R

Jg2IX) dydx= g,cxl

lim ¿¿.1Yj.1x¡. 11611-0 ¡

j

Esta doble suma se puede interpretar como sigue. Primero, manteniendo x fijo, sumamos en la dirección del eje y las áreas .1Yj .1x¡ de los rectángulos desde la gráfica de y = g¡ (x) hasta la gráfica de y = g2(X). Esto nos da el área de la tira rectangular paralela al eje y que se muestra en (i) de la figura 17.12. A continuación barremos la región R sumando las áreas de todas estas tiras desde x = a hasta x = b. El límite de estas doble sumas (es decir la integral iterada) hace esto y al mismo tiempo obliga a todos los .1x¡ y .1Yj a acercarse a cero. y y

I I

I

I I

I

a

I

I I I

Y =g¡(x) :

I

I

b

x

(ií)

Figura 17./2

Ejemplo 1

Calcule el área A de la región acotada por las gráficas de 2y = 16 - x 2 2y - 4 = O.

y x

+

Solución

La región está debajo de la parábola y = 8 - x 2 /2 y encima de la recta y

=

2 - x/2, como se ve en (ii) de la figura 17.12. En esta figura también se muestra un rectángulo típico de área .1Yj .1x¡ y la tira que se obtiene al sumar en la dirección del eje y. Usando una integral iterada tenemos

812

17

INTEGRALES MULTIPLES

4 f8-1-"12)

A

= f -3 2-lxI2)

dydx

3 2

x XJ4 =6x--+6 4 -3

343 12

Usando el inciso (ii) del teorema (17.14) para calcular áreas obtenemos

dfh21),)

A =

ff dA

I

=

lim ¿¿>~~Xi~Yj'

dxdy =

(

R

11611 -

h ¡()')

o

j

i

La doble suma anterior se puede interpretar como sigue. Primero se mantiene fijo y y se suman en dirección del eje x las áreas ~Xi ~Yj de los rectángulos desde la gráfica de x = h 1 (y) hasta la gráfica de x = h 2 (y). Esto nos da el área de una tira rectangular paralela al eje x, como se ilustra en la figura 17.\3. A continuación barremos la región R sumando las áreas de todas estas tiras desde y = e hasta y = d. Como dijimos antes, la integral iterada lleva a cabo esto y al mismo tiempo obliga a todas las ~Xi Y ~Yj a acercarse a cero. y d

.1y { -----­ J

.,.J.......L...1.....L..~.L...J.....I,

x

Figura 17.13 Ejemplo 2

Calcule el área A de la región en el plano xy acotada por las gráficas de x = JI 3, + y = 2 Y Y = O.

X

Solución

La región junto con un rectángulo tipico de área ~Xi ~Yj Y una tira que se obtiene al sumar en dirección del eje x, se muestra en la figura 17.14. Usando una integral iterada obtenemos A

=

ff f dA

=

r:-idXdY

R

=

dy J.oI J2-" )"' x,

AREAS y VOLUMENES

17.3

813

y

x+y=2

x

Figura 17./4 = {

(2 - Y - y3) dy

=

5/4.

El área también se puede calcular usando el inciso (i) del teorema (17.14). Sin embargo, en este caso es necesario dividir R en dos partes mediante una recta vertical que pase por (1, 1). Entonces tenemos A =

IJf; J o

o

dydx +

f2J2-X dydx. 1

o

Podemos emplear la fórmula (17.5) para expresar los volúmenes de ciertos sólidos en términos de integrales dobles que se pueden evaluar usando integrales iteradas. Esto se ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 3

Calcule el volumen V del sólido contenido en el primer octante, acotado por los planos coordenados y las gráficas de las ecuaciones z = x 2 + y2 + I y 2x + y = 2.

Solución

Como se ve en la figura 17.15, el sólido está debajo del para boloide z = x 2 + y 2 + 1 y encima de la región triangular R en el plano xy, acotada por los ejes coordenados y la recta y = 2 - 2x. Aplicando (17.5) paraf(x, y) = x 2 + y2 + 1, tenemos

f

v= J(X 2+ y2 + l)dA. R

Igual que en (17.18) esta integral se puede interpretar como el límite de las dobles sumas

814

17

INTEGRALES MULTIPLES z z = x 2 + y2

+1

y

2

x

y

y=2-2x

x (ii)

(i)

Figura 17.15

¿ ¿ f( u¡, L'j) L1Yj L1x¡ i

j

donde f(u¡, Vj) L1Yj L1x¡ representa el volumen de un prisma como el que se muestra en (i) de la figura 17.15 Y donde primero sumamos en dirección del eje y desde y = O hasta y = 2 - 2x. El dibujo en (ii) de la figura 17.15 muestra la región R en el plano xy junto con una tira que corresponde a la suma en la dirección del eje y. Esto nos da el volumen de una lámina cuya cara es paralela al plano yz. A continuación sumamos los volúmenes de estas láminas en dirección del eje x desde x = O hasta x = l. Usando una integral iterada tenemos V=

JI J2-h o

=

=

JI[

(x 2

+ .1'2 +

l)dydx

()

2 X 1'

o _ -

I + _1'3 +

3-_

L(_\4,3

l'

J2-2-' dx

- o

+ IOx 2- IOx + 14) dx = 11. 3

6

También podemos calcular V integrando primero respecto a x. El lector debe verificar que en este caso la integral iterada es de la forma

AREAS y VOLUMENES (2 t2-Y1I2

V=

Jo Jo

(X

2

+ y:l +

815

17.3

I)dxdy.

Ejemplo 4

Calcule el volumen V del sólido acotado por las gráficas de x 2 Z2 = 9.

Solución

Las gráficas son dos cilindros de radio 3 cuyos ejes se intersecan ortogonalmente. En (i) de la figura 17.16 se muestra la porción del sólido que está contenida en el primer octante. Es suficiente, por simetría, calcular el volumen de esta porción y luego multiplicar por 8 el resultado. En (i) de la figura vemos que el sólido está de­ bajo de la gráfica de z = J9 - y2 Y encima de la región R acotada por los ejes x y y y por la gráfica de x 2 + y2 = 9. Por lo tanto, según (17.5) v= 8

+ y2

= 9 Y y2

+

f f(9 -y2)1/2dA. R

Evaluaremos la doble integral aplicando (ii) de (17.14). En este caso con­ sideramos la integral como un límite de las sumas dobles de los volúmenes de ciertos prismas del tipo que se muestra en (i) de la figura 17.16. Primero sumamos en la dirección del eje x desde x = O hasta x = (9 - y2)1/2. El dibujo en (ii) de la figura 17.16 indica la región R en el plano xy junto con una tira correspondiente

x 2 + y2 = 9

y

3

y

3

x (i)

(ii)

Figura /7.16

x

816

17

INTEGRALES MULTIPLES

a esta primera suma. Esto nos da el volumen de una lámina cuya cara es paralela al plano XZ. A continuación sumamos los volúmenes de estas láminas en dirección del eje y desde y = O hasta y = 3. Usando una integral iterada tenemos V

=8

=

fL 9

->1)1I'

8f[(9 -

=8

f

(9 -l)I/2 dxdy

J:->2)1.2 d.\'

/)1/2 X

(9 - /)dy

=S[9y-~y3J:

144.

También podríamos evaluar la doble integral integrando primero respecto a y; sin embargo el cálculo envuelto al integrar en este orden es mucho más complicado que el que llevamos a cabo antes.

17.3 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del I al 10 dibuje la región acotada por las gráficas de las ecua­ ciones dadas y calcule su área mediante integrales dobles. Interprete cada integral doble iterada como un límite de sumas dobles dibujando un rectángulo típico de área 6yj 6x¡ y la tira rectangular correspondiente a la primera suma.

y = 1/x 2 .)' = -x 2.x = I,x = 2

2

r=

3 y2=-X,x-y=4,)'''''-I.,I'=2

4

x = .1'2,)' - x = 2. Y = - 2, Y = .1

5

y=x,y=3x,x+y=4

6

x - y

X.,I'= -x.X= I.x=4

+ I = 0,7x - y - 17 = 0,2x + )' + 2 = O

7y=e ,y=senx,x=-7!,x=7! X

9

y=x 2,y= 1/(1 +x 2)

11

Calcule el volumen del sólido que está debajo de la gráfica de z = 4x 2 + .1'2 y encima de la región rectangular R en el plano xy de vértices (O, O, O), (O, 1, O), (2, O, O) y (2, 1, O).

8 y = In Ixl,y = O,y = I

10 y=coshx,y=senhx,x= -1,x= 1 12

Calcule el volumen del sólido que está debajo de la gráfica de z = x 2 + 4.1'2 y encima de la región triangular R en el plano xy de vértices (O, O, O), (1, O, O) Y (1,2, O).

En los ejercicios del 13 al 20 dibuje el sólido en el primer octante acotado por las gráficas de las ecuaciones dadas y calcule su volumen.

13

x2

15

14

z=4-x 2,x+y=2,x=0,y=0,z=0

2x+y+z=4,x=0,y=0,z=0

16

r 2 =z.r=x,x=4,z=0

17

Z=X 2 +y2,2x+3y=6,x=0,.l'=0,:=0

18

x

19

z=x),,I'=x,y=l,z=O

20

x 2 +r 1 =16,x=:,y=0,.:=0

z2=9,y=2x.,I'=0.:=0

+

2.1'

+ 5z = 10, x = O, Y = O,.: = O

MOMENTOS Y CENTRO DE MASA En los ejercicios 21 y 22 calcule el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones dadas. 22 J' = x 3 ,y = x",z - x - J' 21 z=x 2 +4,y=4-x 2 ,x+)'=2,z=0 23

Encuentre el volumen del sólido acotado por las gráficas de x 2 + Z2 = a 2 y x 2 + y2 = a 2 donde a > O.

24

817

17.4

= 4,2 =

O

Encuentre el volumen del sólido acotado por la gráfica de X 2/3 + y2 /3 + Z2/3 = a 2/3, donde a> O.

La integral iterada en cado uno de los ejercicios del 25 al 30 representa el volumen de un sólido. Describa el sólido. 25

-2

27

29

26

JI JI-.T'(X2+y2)dydX

trI;

(x

o

Y/4

o

-

rr

28

+ y)dxdy

30

3dydx

I

17.4

JI fJ-X' o

x-I

J - x

Fr" o

r

()

o

l

x2

+ / dxdy

1..

rf"X

dydx

MOMENTOS y CENTRO DE MASA En el capítulo 10 discutimos el primer momento y el centro de masa de l1na lámina homogénea. Usaremos ahora integrales dobles para generalizar este concepto a láminas cuya densidad no es constante. Sea Tuna lámina cuya forma es como la de la región R que se muestra en la figura 17.2 Y suponga que la densidad de área, es decir la densidad por unidad de área en el punto (x, y) está dada por p(x, y) donde p es una función continua en R. Sean P = {R¡} una partición interior de R, (u¡, v¡) un punto en Rj,y T¡ la parte de T corres­ pondiente a R¡. Como p es una función continua, un cambio pequeño en (x, y) ocasiona un cambio pequeño en la densidad p(x, y), es decir, p casi es constante en R¡. Por consiguiente, si IIPI! :::: O, entonces la masa de T¡ es aproximadamente p(u¡, v¡) .1A¡, donde .1A¡ es el área de R¡. La suma L¡p(U¡, Vi) .1A¡ es una aproxima­ ción a la masa de la lámina T. Se define la masa M de T como el límite de estas sumas cuando 11 PI! -+ O. Esto nos da

(17.19)

M

= lim ¿p(u¡,v¡).1A¡ = ffp(X,y)dA. IIPII-O

I

R

Si se supone que la masa de T¡ está concentrada en (u¡, Vj), entonces como se vio en el capítulo 10, el momento de T; con respecto al eje x es el producto v¡p(u¡, v¡) .1A¡. Se define el momento M x de Tcon respecto al eje x como el límite de las sumas de estos términos, es decir (17.20)

M.,

=

lim LL"iÍ i (u¡,L"¡}.1A¡

= fJ"Y¡J(X, y) dA.

IIPII-O i R

Análogamente, el momento M y de T con respecto al eje y es

818 (17.21)

17

INTEGRALES MULTIPLES MI' =

lim

ll¡p(Uj, v¡) ~A¡ = ffX¡J(X,y) dA.

I

IIPII-o ¡

R

Como de costumbre, el centro de masa de la lámina es el punto (x, ji) tal que

_

(17.22)

x

=

M)

_

M-'

,I'=M'

Mx

Ejemplo 1

Una lámina T tiene la forma de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales tienen longitud a. Encuentre el centro de masa suponiendo que la densidad en un punto Q es directamente proporcional al cuadrado de la distancia de Q al vértice V opuesto a la hipotenusa.

Solución

Es conveniente introducir un sistema coordenado como el que se ilustra en la figura 17.17, tal que V esté en el origen y la hipotenusa del triángulo esté contenida en la recta x + y = a. Se muestra en la figura un rectángulo típico de una partición interior P, donde (Uj, vj ) es un punto en este rectángulo. y

x

Figura 17.17

Por hipótesis, la densidad en el punto Q(x, y) está dada por p(x, y) = k(x 2 + y2) para alguna constante k. Aplicando (17.19) Yel teorema (17.14) tenemos que la masa de Tes M

= =

,., +

Iim ¿ /.;(lIj 111'11-0

,

l'j) ~Ai

¡

f f /.;(x 2 + ,I'2)IIA R

MOMENTOS Y CENTRO DE MASA =

k

I

[s2(a - s)

+

17.4

819

~(a - S)3] ds.

El lector puede verificar que esta última integral es igual a ka 4 /6. Análogamente aplicando (17.21), M\ =

lim 11/'11-0

=

ff

¿ UJ'(II; + r;) L'1A¡ i

yk (.y 2

+ .r 2 )dA

R

Se puede mostrar que esto es igual a kas /15. De acuerdo con (17.22), _ ka"/15 2a y=---=­ . ka*/6 5.

Por simetría j = 20/5.

Ejemplo 2

Una lámina tiene la fonna de una región R en el plano xy acotada por las gráficas de x = y2 Y x = 4. Encuentre el centro de masa suponiendo que la densidad en el punto P(x, y) es directamente proporcional a la distancia de P al eje y.

Solución

La región se muestra en la figura 17.18. Como por hipótesis p(x, y) = kx, se con­ cluye, debido a la simetría de la región, que el centro de masa está sobre el eje x, y

(4,2)

x

(4, -2)

Figura 17.18

es decir j = O. Usando (17.19) e integrando con respecto a x, como se indica mediante la tira en la figura 17.18,

820

17

INTEGRALES MULTIPLES

M =

JJ

kx dA = k

R

= k

'2 \2J" J 2 .,' dI" ~

r 2

=.>k

J~

d.l

f2. (16 -

2

2

.Ye!X

1/8 .I")dy = ~-k.

5

2

De acuerdo con (17.21), M y = ffX(kx)dA

=kf2 fX2dXdY

R

=

k

2 ~\3J4 dy = k- f2

5

3

_ 2

3 -2

y'

512

(64 - y6) dy = - k .

7

Por consiguiente _

M)'

x =

M

=

512k 5 -7-' 128k

20

7

=

y por lo tanto el centro de masa es (20/7, O). Si n partículas de masas mi' m 2, ... ,m. están situadas en los puntos (XI' YI)' (x 2 • Y2), ... , (x., Y.) respectivamente, entonces según la definición (10.10) los momentos del sistema con respecto a los ejes X y Y están dados por Mx

=

•

¿ i~

y¡m¡

•

¿

Y My =

1

i~

x¡m¡". 1

Estos números también se llaman los primeros momentos del sistema con respecto a los ejes coordenados. Si usamos los cuadrados de las distancias a los ejes coordena­ dos, obtenemos los segundos momentos o momentos de inercia Ix e Ir del sistema con respecto al eje x y al eje Y respectivamente. Entonces, por definición,

Ix =

•

¿

y?m¡

y Iy =

i= I

•

¿

x?m¡.

i= 1

Este concepto se puede generalizar a láminas usando el procedimiento de límites para integrales dobles. En particular, consideremos una lámina T como la que men­ cionamos al principio de esta sección (vea la figura 17.2). Si la densidad en (x, y) es p(x, y) donde p es continua, entonces es natural definir el momento de inercia Ix: de T con respecto al eje x reemplazando Vi en (17.20) con el cuadrado de Vi' Así (17.23)

1x =

lim

¿ v? p(u¡, v¡) ~A¡ = ff y 2p(x, y) dA.

IIPII-O i

R

De manera análoga el momento de inercia /y de T con respecto al eje y está dado por (17.24)

Ir =

lim ¿u? p(u¡,v¡)~A¡ =

IIPII-O i

J' JX 2p(x,y)dA. R

MOMENTOS Y CENTRO DE MASA

821

17.4

Si multiplicamos P(Ui, Vi) ~Ai por el cuadrado ul' + vl' de la distancia de (u/, Vi) al origen, sumamos estos términos y después tomamos el límite de estas sumas, obtenemos el momento de inercia lo de T con respecto al origen. Así, (17.25)

lo

=

ff

(x 2 + y2)p(X, y) dA.

R

El número lo también se llama el momento polar de inercia de T. Observe que lo = Ix + I y • Ejemplo 3

Una lámina Ttiene la forma del semicírculo que se ilustra en (i) de la figura 17.19. Suponiendo que la densidad en un punto P es directamente proporcional a la dis­ tancia del diámetro AB a P, encuentre el momento de inercia de T con respecto a la recta que pasa por A y B. y

A(-a, O) (i)

B(a, O)

x

(ü)

Figura 17.19 Solución

Introduciendo un sistema coordenado como en (ii) de la figura 17.19, tenemos que la densidad en (x, y) es p(x, y) = ky y, de acuerdo con (17.23), el momento de inercia buscado es

Efectuando la integración obtenemos Ix = 4ka s/15. Los momentos de inercia son útiles en problemas que tratan la rotación de un objeto alrededor de un eje fijo. Por ejemplo suponga que una rueda está girando

822

17

INTEGRALES MULTIPLES

alrededor de su eje. Si una partícula P de masa m está sobre la rueda a una distancia a del eje de rotación (vea la figura. 15.10), entonces el momento de inercia I de P

con respecto al eje es maz. Si la velocidad angular es w, entonces la velocidad v de la partícula, es decir la distancia recorrida por unidad de tiempo es aw. Por definición la energía cinética Ec de P está dada por

En consecuencia (17.26) Si representamos la rueda por un disco plano entonces, introduciendo un límite de sumas, podemos deducir la misma fórmula para la rueda. Esta fórmula también se puede generalizar a láminas de forma no círcular. La energía cinética de un objeto en rotación le dice a un ingeniero o un físico qué cantidad de trabajo se necesita para lograr que el objeto llegue al reposo. Como (17.26) afirma que la energía cinética de una lámina en rotación es directamente proporcional al momento de inercia, concluimos que para w fijo, mientras más grande sea el momento de inercia, más grande será la cantidad de trabajo necesaria para parar la rotación. Si una lámina T de masa M tiene momentos de inercia 1, e I y , entonces el radio de giro y de T con respecto al eje x y el radio de giro x de T con respecto al eje y se definen por las ecuaciones (17.27) Estas fórmulas implican que (x, ji) es el punto en el cual se puede concentrar la masa sin alterar los momentos de inercia de T con respecto a los ejes coordenados. Ejemplo 4

Encuentre el radio de giro con respecto al eje x, de la lámina descrita en el ejemplo 3.

Solución

En el ejemplo 3 vimos que Ix = 4ka 5 ¡15. La masa de Tes ¡'vi =

a

f

...

-¡j

f~ "-l' dI' ds . II

El lector puede verificar que esto nos da M = 2ka 3 ¡3. Aplicando (17.27),

J'=.../l,IM

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES

17.5

823

17.4 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del I al 14 encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y que tiene la densidad indicada. y= 3 y

=

x,x=9,y=0;p(x,y)=x+y x 2, y

=

4. La densidad en el punto P(x,y)

es directamente proporcional a la distancia de P al eje y.

= e-x'.y = O,X = -I,x = l :/,(x.y) = Ixrl

5

Y

7

x =

9

Y = secx,x = -7[/4, x = 7[i4,r = l /2:/,(x.r) = 4

l,y -

x = 2. .1' = -2. .1' = 3;1'(x.'\') = l

2 Y = ft,x = 8,y = O;p(x,r) = y2 4

Y = x 3 , y = 2x. La densidad en el punto P(x, y) es directamente proporcional a la dis­ tancia de P al eje x.

6 y=senx,y=O.x=O.x=n;/J(x.r)=y 8 y=x,.I'=3x.x+r=4:1'(x,.\')=2

10 xy2 = 1..1' = 1..1' = 2;p(x,y) = x 2 +\,2 11 Y = I/x,y = x,x = 2. .1' = O:/,(.x.y) = x

12 x =

13 y=e-",y=O,x=O,x= I:p(x.r)=/

14 Y = Inx,y = O,X = 2;/J(x.r) = l/x

15 Calcule Ix, 1)' e lo para la lámina del ejercicio 1.

16 Calcule Ix, 1)' e lo para la lámina del ejercicio 2.

17 Calcule Ix, 1)' e lo para la lámina del ejercicio 3.

18 Calcule Ix, 1,0 e lo para la lámina del ejercicio 4.

19 Una lámina homogénea tiene la forma de un cuadrado de lado a. Encuentre el momento de inercia con respecto a (a) un lado; (b) una diagonal; (c) el centro de masa

20 Una lámina homogénea tiene la forma de un triángulo equilátero de lado a. Encuentre el momento de inercia con respecto a (a) una altura; (b) un lado; (c) un vértice

21

Encuentre el radio de giro en (a) del ejercicio 19.

22 Encuentre el radio de giro en (a) del ejercicio 20.

23 Encuentre el momento de inercia y el radio de giro de un disco circular homogéneo de radio a con respecto a una recta que contenga a uno de sus diámetros.

24 Una lámina T tiene la forma de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales tienen longitud a, La densidad en un punto P es directamente proporcional al cuadrado de la distancia de P al vértice V opuesto a la hipo­ tenusa. Encuentre el momento de inercia y el radio de giro con respecto a una recta que con­ tenga a uno de los lados iguales (vea el ejemplo

1"'• .1'

= -I,x = 2:I'(x.r) = I

1).

17.5

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES Llamaremos región polar elemental a una región comprendida entre dos rayos que emanan del origen y entre dos arcos de círculo de radios 1'1 y 1'2 respectivamente, ambos con centro en el polo, como se ilustra en la figura 17.20. Si /).() denota la medida en radianes del ángulo entre los dos rayos y /).1' = 1'2 - 1'1' entonces el

824

17

INTEGRALES MULTIPLES

Figura 17.20

área

~A

de la región está dada por ~A

= td ~o - td ~O.

Esta fórmula también se puede escribir ~A

= t(d -

Sea f el radio medio t (r z (17.28)

+

rl

).

d)~o

= t(rz + rl) (rz

- rl)~O.

Entonces ~A

= ¡MM).

Ahora considere una región R como la que se ilustra en (i) de la figura 17.21. R está acotada por dos rayos que forman los ángulos positivos a. y p con el eje polar y por las gráficas de dos ecuaciones polares r = gl«(}) y r = gz«(}), donde gl y gz son funciones continuas y gl«(}) ~ gz({l) para todo () en el intervalo [a., Pl Si se divide a R mediante rayos y arcos circulares como se ve en (ii) de la figura (17.21), entonces la colección de las regiones polares elementales R l ' R z , ...• R n que están totalmente contenidas en R se llama una partición polar interior P de R. La norma

o

o fu) Figura 17.21

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES

17.5

825

IIPII de P es la longitud de la diagonal más larga de las R¡. Si (r j , O¡) es un punto en R¡ tal que r¡ es el radio medio, entonces de acuerdo con (17.28), el área dA¡ de R¡ es r¡dr¡dO¡. Suponiendo que f es una función continua de las variables polares r y O, se puede demostrar que (17.29)

=

lim Z.J(r¡, O¡)r¡ M¡ dO¡

IIpll-o

ffnr, O) dA R

donde la doble integral se puede evaluar como sigue:

Jf

I ¡(r, O) dA =

(17.30)

/1

f

Je2(0)

¡(r, O)r dr dO.

e'
o

R

Es importante notar que el integrando en el lado derecho es el producto de f(r, O) por r. Esto se debe a que dA¡ es igual a r¡dr¡dO¡. A veces es conveniente considerar las integrales iteradas en (17.30) como límites de dobles sumas, de manera análoga a como se hizo al final de la sección 17.2 para coordenadas rectangulares. En este caso primero mantenemos fijo O y sumamos sobre una de las regiones en forma de cuña que se muestra en (ii) de la figura 17.21, desde la gráfica de g¡ hasta la gráfica de gz. Para efectuar la segunda suma barremos la región variando de IX a {J. Desde un punto de vista intuitivo, esto es lo que hace la integral iterada, tomando al mismo tiempo el límite cuando IIPII tiende a cero. Si f(r, O) = I para toda pareja (r, e) en R, entonces la integral (17.30) es igual al área de R. Esto también se deduce de nuestro trabajo en el capitulo 13, ya que al integrar parcialmente con respecto a r, obtenemos la fórmula (13.14).

e

Ejemplo 1

Una lámina tiene la forma de la región R que está fuera de la gráfica de r = a y dentro de la gráfica de r = 2a sen O. Calcule la masa suponiendo que la densidad en el punto P(r, ()) es inversamente proporcional a la distancia de P al polo.

Solución

En la figura 17.22 se muestra la región junto con una tira típica formada por regiones polares elementales que llega desde una frontera de R hasta la otra. Por hipótesis, la densidad f(r, 8) en el punto (r, 8) es kjr donde k es algún número real. La masa M de la lámina es M =

ff R

f

5~'Ó

¡(r, e) dA = ~IÓ

=k

f f

f20""no o

=k

J20seno

5~16

r

rc{6

(kjr)r dr dO

dO

a

5~'6

(2asenO - a)dO

~Ih

= ka

[

- 2 cos f) - f)

= ka[(.j3 -

J

5~6

. Tr¡h

5n/6) - (-

= ka(2j3 - 2n/3).

J3 - n/6)]

826

17

INTEGRALES MULTIPLES y

r = 2a sen 8

8

=

S1T

8=!!­ 6

6

x

Figura /7.22 Se puede demostrar bajo condiciones adecuadas que una integral doble iterada en coordenas rectangulares puede transformarse en una integral doble en coorde­ nadas polares. Primero se reemplazan las variables x y yen el integrando con reos e y r sen e respectivamente. A continuación se reemplaza dy dx (o dx dy) con r dr dO (o r dO dr) y se adaptan los límites de integración a las coordenadas polares. Por ejemplo la fónnula (17.24) para el momento de inercia con respecto al eje y (o al eje polar) de una lámina que tiene la forma de (i) de la figura 17.21 es Iy

(17.31)

=

lt

f a

f'2(9)

(reos fl)2p(rcos e, rsen fl)r dr dO,

1¡(9)

donde p(x, y) es la densidad en (x, y). En el caso especial de la lámina del ejemplo 1, (17.31) tiene la forma

El ejemplo siguiente nos da otra ilustración. Ejemplo 2

Use coordenadas polares para evaluar

Solución.

Evidentemente la región de integración está acotada por las gráficas de y = 2 x 2 y y = 0, como se ilustra en (ii) de la figura 17.19. Reemplazando 2 x + y2 con r 2 y dy dx por r dr de y cambiando los límites de integración tenemos

Ja

a j.J~

f

(X 2 +y2)3/2dydx=

-a' O

in i ar 3rdrdO O

=

()

a; f dO = rr;5.

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES

827

17.S

Las coordenas polares también se pueden usar para evaluar integrales dobles sobre regiones R del tipo que se ilustra en (i) de la figura 17.23. En este caso R está acotada por los arcos de dos círculos de radios a y b con centro en O y por las gráficas de las ecuaciones polares = h¡ (r) y = h 2 (r) donde las funciones h¡ y h 2 son continuas y h¡(r) ~ h 2 (r) para todo r en el intervalo [a, b]. Sifes una función continua de r y e en R, entonces el límite en (17.29) existe y

e

JI

(17.32)

f(r, e) dA

=

e

l

b

Ih2(rl I

•

R

f(r, O)r de dr.

h ,(r)

La integral iterada en (17.32) se puede interpretar como un límite de sumas dobles. En este caso primero mantenemos fijo r y sumamos sobre un arco circular, como se ilustra por la porción sombreada más oscura de (ii) en la figura 17.23. A con­ tinuación barremos R sumando todos los términos correspondientes a las áreas de estas regiones anulares.

0= h 2 (r)

8

•

O

= /¡ I (r)

a

h

•

a

O

b (i i)

( i)

Figura 17.23

Ejemplo 3

Encuentre el momento de inercia polar de una lámina homogénea que tiene la forma de la menor de las dos regiones acotadas por el eje polar, por las gráficas de r = 1 Y r = 2 Y la parte de la espiral re = 1 comprendida entre O = t y e = l.

Solución

En la figura 17.24 se muestra la región junto con algunas regiones polares elemen­ tales. Por hipótesis, la densidad es una constante k. Aplicando (17.25) y nuestras observaciones anteriores tenemos r8

Figura 17.24

=

1

828

17

INTEGRALES MULTIPLES

lo

=

ff

(x

2

+ y2)p(x,y)dA

R

=

=

J2 {lir r krdOdr 2

kf Ir 3

r 0

tlr

.2 7k 2 =kJ r dr=3'

Si f(r, (}) ¿ O en toda una región polar R, entonces se puede interpretar la doble integral HRf(r, (})dA en (17.29) como el volumen de un sólido, de manera se­ mejante a como lo hicimos para coordenadas rectangulares en (17.5) o (17.18). La diferencia principal es que aquí consideramos la gráfica S de z = f(r. ()) en coordenadas cilíndricas. El sólido en cuestión está debajo de la gráfica de S y encima de la región R. Si usamos una partición polar de R, entonces podemos interpretar la expresión f(r¡, (}¡)r¡tir¡!'l()¡ en (17.29) como el volumen de un prisma de altura f(ri' (}¡) Ycuya base tiene área r¡tiritiO¡, como se ilustra en la figura 17.25. El límite de la suma de estas expresiones es igual al volumen. z

s: z =

f(r, (j).

y

x

Figura 17.25

=

4 - x2

Ejemplo 4

Calcule el volumen V del sólido acotado por el paraboloide z el plano xy.

Solución

En (i) de la figura 17.26 se muestra la porción del sólido contenida en el primer octante. Por simetria, basta calcular el volumen de esta porción y multiplicar el

_

y2

Y

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES

829

17.5

z

z = 4 -x 2 -

y

y2

2

r= 2

y

2

x

x (i)

(ii)

Figura 17.26

resultado por 4. Una ecuación del paraboloide dado en coordenadas cilíndricas es z = 4 - r 2 . La región R en el plano xy está acotada por los ejes coordenados y la cuarta parte del círculo r = 2. Esto se ve en (ii) de la figura 17.26 junto con una cuña formada por elementos de una partición polar. Debido a la discusión anterior, tomando f(r, G) = 4 - ,2, tenemos 2

V=4ff(4-r )dA R

=

4

= 4

" f2 fo o (4 2

f f

",2 [

2,.2 - -r

"

=

4

",2

o

r 2 )r e/rdO

4J2 dO

4 o 4 dO

=

160

J"

2

=

8IT,

o

El mismo problema usando coordenadas rectangulares nos conduce a la doble integral siguiente:

R

Después de tratar de evaluar esta última integral, el lector se convencerá de la ventaja que representa el usar coordenadas cilíndricas (o polares) en ciertos problemas.

830

17

INTEGRALES MULTIPLES

17.5 EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al4 use una integral doble para calcular el área de la región indicada.

1 La región interior a uno de los rizos de ,2 = 9 sen 2(}

2

La región interior a uno de los rizos de , 2 cos4(}

3 La región interior a ,. = 2 - 2 cos (} y exterior a

4

La región acotada por, = 3

+

2 sen O

, = 3.

En cada uno de los ejercicios del 5 al 8 encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que tiene la forma y densidad indicadas. 5 La región está acotada por, = 2 cos O; la den­ sidad en P(" /J) es directamente proporcional a la distancia de P al polo.

6 La región está acotada por el rizo de ,2 = a cos 2() con (} entre (} = - n/4 y O = n/4; la densidad en P(', O) es directamente proporcional al cuadrado de la distancia de P al polo.

7 La región está dentro de la gráfica de , = 3 sen O y fuera de la gráfica de , = 1 + sen O; la den­ sidad en P(" /J) es inversamente proporcional a la distancia de P al polo.

8 La región está dentro de la gráfica de ,

= 4 cos O y fuera de la gráfica de , = 2; la densidad en P(" (}) es directamente proporcional a la dis­ tancia de P al eje polar.

9 Calcule el momento polar de inercia de una lámina homogénea que tiene la forma de la región acotada por,2 = a sen 20.

10 Una lámina homogénea tiene la forma de la región R = {(r, O): r - I ~ O ~ 2,. - 1, 1 ~ , ~ 2). Calcule el momento polar de ineréia.

11 Encuentre el momento de inercia y el radio de giro de una lámina homogénea circular de radio a con respecto a una recta que contiene a un diámetro.

12 Encuentre el momento de inercia y el radio de

giro de una lámina homogénea circular de radio a con respecto a una recta tangente.

Evalúe las integrales en los ejercicios del 13 al 16 cambiando a coordenadas polares. .~
2

13 e-'X· ... j'·'dydx 14 (X +y2) 32 dydx

f

(J

-{J

j

JJ u o

()

I

J,J'1=7 e

15

16

17 Calcule el volumen del sólido que está fuera del cilindro x 2 + y2 = 9 Y dentro de la esfera x 2 + y2 + Z2 = 25.

18 Calcule el volumen del sólido que se encuentra dentro del elipsoide 4x 2 + 4 y 2 + Z2 = 16 Y fuera del cilindro x 2 + y2 = 1.

19 Calcule el volumen del sólido acotado por el cono z = r y por el cilindro r = 2 cos O.

20 Calcule el volumen del sólido acotado por el paraboloide z = 4,2, el cilindro r = 3 sen O y el plano z = o.

17.6

J

o

o

.<'+r' t/rt/x

INTEGRALES TRIPLES

Es posible definir la integral triple de una función de tres variables x, y y z de manera semejante a como se hizo en la sección 17.2 para funciones de dos variables. El caso más sencillo ocurre cuando f es continua en toda una región de la forma

INTEGRALES TRIPLES

Q = {(x,y,z):a

~

x

~

831

17.6

b,c ~ y ~ d,k ~ z ~ /}.

Si dividimos a Q en subregiones Q l ' Q2, ... , Qn mediante planos paralelos a los tres planos coordenados, entonces {Q¡ : i = 1, ... , n} se llama una partición P de Q. La norma 11 PII de la partición es la longitud de la diagonal más larga de todas las Q¡. Como se ilustra en la figura 17.27, si Ax¡, Ay¡ y Az¡ son las dimensiones de Q¡, entonces el volumen A Vi de Q¡ es el producto Ax¡Ay¡Az¡. Si (u¡, Vi' w¡) es un punto en Q¡, entonces la suma n

¿

(17.33)

f(u¡, Vi, W¡) A V;

i= t

se llama una suma de Riemann de f para P.

z

Q

y

x

Figura 17.27

El concepto de suma de Riemann para una función de tres variables se define de manera semejante a la de (I7.2) para funciones de dos variables. Si el límite existe se llama la integral triple de f sobre Q y se denota por (17.34)

fff

f(x,y,Z)dV=

lim ¿f(u¡,v¡,w¡)AV;. IIPI/-O ¡

Q

Más aún se puede demostrar que

f f fI(X,y,Z)dV =

Lf f

I(x,y,z)dxdydz,

Q

donde la integral iterada a la derecha se calcula integrando primero respecto a x (manteniendo fijos y y z). El resultado se integra respecto a y (manteniendo fijo z). Finalmente se integra respecto a z. Hay otras cinco integrales iteradas

832

17

INTEGRALES MULTIPLES

que son iguales a la lriple inlegral de f sobre el paralelepípedo Q. Por ejemplo, al integrar en el orden y, z, x, lenemos

f f fnX,y,Z)dV=

ff f

I(x,y,z)dydzdx.

Q

Ejemplo 1

Evalúe

SJJ Q 3 xy 3 z 2 dV donde Q = ¡(x,y,z): -1

Solución

~ x ~

3, 1 ~ Y

~

4,0

~ 2 ~

2}.

De las seis inlegrales ileradas posibles usaremos la siguiente:

4 f3

fI

- I

5.

2

o

3xy 3Z2 dz dx dy

=

f4 f3 xi 2 3J2 dx dy I

- I

o

= f4 f3 8xy 3dx dy I

- I

Las integrales triples se pueden definir también sobre ciertas regiones que no están acotadas por paralelepípedos. Suponga por ejemplo que R es una región en el plano xy que se puede dividir en subregiones de tipo 1 y II Y que Q es la región en tres dimensiones definida por

Q = {(X, y, z):(X, y) está en Ryk1(x,y)

~ z ~ k 2(x,y)}

donde las funciones k ¡ Y k 2 tienen primeras derivadas parciales continuas en R. Desde el punto de vista geométrico, la región está comprendida entre las gráficas de z = k¡(x, y) y z = k 2 (x, y) y su proyección en el plano xy es la región R. Si se divide Q en subregiones mediante planos paralelos a los tres planos coordenados, entonces los paralelepípedos resultantes Q ¡, Q2, ... , Qn que están contenidos en Q forman una partición interior P de Q. En el dibujo de la figura 17.28 se mueslra una región Q del lipo bajo consideración junlo con un elemento típico Qj de la partición. Una suma de Riemann defpara P es cualquier suma de la forma (17.33) donde (u j , Vj, w¡) es un punto arbilrario en Q¡. De nuevo se define la integral lriple de f sobre Q como el límite (17.34). Se puede demostrar que si f es conlinua en Q, en­ tonces (17.35)

INTEGRALES TRIPLES

17.6

833

z

Q

z = k¡(x, y)

y

x Figura 17.28

En particular, si R es de tipo 1 como en (i) de la figura 17.1, entonces

IfI

(17.36)

f(x,y,Z)dV

=

r b

J

G

Q

sr,(x) f.k,(X,y)

rdx)

f(x,y,z)dzdydx

kdx,y)

donde el símbolo en el lado derecho se llama integral iterada triple. Esta integral se evalúa mediante integraciones parciales de/ex, y, z) en el orden z, y, x sustituyendo los límites de integración en la forma usual. Análogamente, si R es de tipo 11 como en (ii) de la figura 17.1, entonces

IJI

(17.37)

Q

f(X,y, z) dV

=

rdf.h,b')

J

hdY)

f.k,(X,y)

f(x,y, z) dz dx dy.

k¡(x,y)

Es conveniente considerar la integral iterada en (17.36) o (17.37) como un límite de términos de la forma /(u¡, Vj, W k ).1Zk .1Yj.1x¡, donde primero sumamos sobre una columna de paralelepípedos Qn en la dirección del eje z desde la superficie hasta la superficie superior (con ecuación inferior (con ecuación z = k 1 (x, La integral doble resultante sobre R se evalúa usando los procedi­ z = k 2 (x, mientos que se discutieron en la sección 17.2.

y».

Ejemplo 2

Solución

y»

Exprese SISQ/(x, y, z)dV como una integral iterada, donde Q es la región en el primer octante acotada por los planos coordenados y por las gráficas de z - 2 = x 2 + y2J4 y x 2 + y2 = 1. Como se ilustra en (i) de la figura 17.29, Q está debajo de la gráfica de z = 2 + x 2 + y2J4 (un paraboloide) y encima de la gráfica de z = O (el plano xy). La región R en el plano xy está acotada porlosejes coordenados y porla gráfica dey = JI - x 2 •

834

17

INTEGRALES MULTlPLES z

y

y=Jl7

x

y

y=~

x (í)

(ii)

Figura 17.29

También se muestra en (i) de la figura una columna correspondiente a una suma de paralelepípedos de volúmenes dzkdYjdX¡ en la dirección del eje z. Como la columna se extiende del plano xy (z = O) al paraboloide, el límite inferior de integra­ ción en la integral que está más a la derecha en (17.36) es O y el límite superior es 2 + x 2 + y 2 /4. La segunda y tercera integraciones se efectúan sobre la región R (vea (ii) de la figura 17.29). Por consiguiente la integral (17.36) tiene la forma

J I

r¡¡-::-xT r + 2

oJo

Jo

x2

+ Y'/4

f(x,y,z)dzdydx.

Si f(x, y, z) = I en toda la región Q, entonces la triple integral de f sobre Q se escribe HJQdV y su valor es el volumen de la región Q. Deducimos del ejemplo 2 que el valor de la integral

L{'ft- J: x'

+x' + },2/4

dz dy dx

es el volumen de la región Q que se muestra en (i) de la figura 17.29. Ejemplo 3

Calcule el volumen del sólido contenido en el primer octante, acotado por el plano + z = 4, el cilindro y = x 2 y los planos xy y yz.

y

Solución

El sólido se muestra en (i) de la figura 17.30 junto con una columna correspondiente a una suma de paralelepípedos en la dirección del eje z. Observe que la columna se extiende de z = O a z = 4 - y. La región R en el plano xy se muestra en (ii) de la figura junto con una tira correspondiente a la integración con respecto a y. Aplicando (17.36) con f(x, y, z) = 1 obtenemos

INTEGRALES TRIPLES

835

17.6

z y

4 -io-......,I"""!""..

y

2

x

x (ii)

(i)

Figura 17.30

J,o f4Ix' J,4-o

V= I

2

(2

=

Jo

=

dzdydx

f4 (4 _ y)dydx x'

(2 [4Y _

Jo

= 8x

Y

-

4

~y2J4 2

3

3"X +

dx

x'

5J2

I IO X o

128 15

o

Si usáramos (17.37) entonces la tira en (ii) de la figura (17.30) sería horizontal y

v=

LL';; L 4

4

-

Y

dZdXdYo

El lector puede verificar que el valor de esta integral también es 128/15. Para algunas regiones se pueden evaluar las integrales triples mediante una integral iterada triple en la cual primero se integra con respecto a y o con respecto a x. Así pues, consideremos

836

17

INTEGRALES MULTIPLES

donde las funciones dadas se comportan de manera suficientemente decente. En la figura 17.31 se ilustra la gráfica de una región tal. En este caso se puede demostrar que

ffJ

(17.38)

f(x, y, z) dV

=

,

fi b

a

r

h2

k2

(X)

(X. z)

f(x, y, z) dy dz dx.

h,(x) Jk,(X.Z)

Q

Esta integral iterada debe interpretarse como un límite de sumas triples obtenido al sumar primero sobre una hilera de paralelepípedos en la dirección del eje y desde la superficie izquierda (con ecuación y = k ¡ (x, hasta la superficie derecha (con ecuación y = k 2 (x, z», como se indica en la figura 17.31. Después se evalúa la integral doble resultante sobre la región R en el plano xz.

z»

z y

= k¡(x, z)

I

I

I I

I -~--

Iz=h¡(x) I

,

I

I

I

i

y

I I

a

I I I I

I

I

b

x FiguI'a J 7.3 J

Ejemplo 4

Encuentre el volumen de la región Q acotada por las gráficas de z = 3x 2 , y = OYz

Solución

+y =

Z

= 4 - x2,

6.

Como se ilustra en (i) de la figura 17.32, Q está debajo del cilindro z = 4 - x 2 , encima del cilindro z = 3x 2 , a la derecha del plano xz y a la izquierda del plano t + y = 6. Por lo tanto Q es una región del tipo que se ilustra en la figura 17.31 donde k ¡ (x, z) = O Y k 2 (x, z) = 6 - z. La región R en el plano xz se muestra en (ii) de la figura 17.32. Aplicando (17.38) tenemos

fJJ J t ­ I

V ==

dV =

_1

Q

J4-X'

.h-'

3x'

r

dy dz dx

4

= =

I _1

J

-"

~3x'

I [ 6z -

J

-1

(6 - z)dzdx

1 _z2

2

J4-X l dx 3x

'

INTEGRALES TRIPLES

837

17.6

z z

=

z

4 -x 2

x

y

x (ii)

(i)

Figura 17.32

J I

=

(16 - 20x 2

+ 4x 4 ) dx

_1

304

=-.

15

Si usamos otro orden de integración, tenemos que usar varias integrales triples. (¿Por qué?) Por último, si Q es una región como la que se ilustra en la figura 17.33, donde las funciones /1 y /2 tienen primeras derivadas parciales continuas en una región apropiada R en el plano yz, entonces

JJJ

'2(y.=J

f(x,y,z)dV=

JJ[I

]

f(x,y,z)dx dA.

' ,(y. =)

R

Q

En la integral doble iterada, dA se reemplaza con dz dy o dy dz. z

y

x

Figura 17.33

838

17

Ejemplo 5

Resuelva el ejemplo 3 integrando primero respecto a x.

Solución

Remitiéndonos a (i) de la figura 17.30, integrar primero respecto a x corresponde a sumar primero sobre una hilera de paralelepípedos que se extienden desde el plano yz (x = O) hasta el cilindro (x = jY). La región R en el plano yz está acotada por los ejes y y Z y por la recta y + z = 4. En consecuencia,

INTEGRALES MULTIPLES

r r JorJY dx dydz. V = Jo Jo 4

4

'"

El lector puede comprobar que el valor de esta integral es 128/15. Si tomamos como variable de integración en la segunda integral a z en lugar de y, la integral iterada que obtenemos es 4

V

=

4-' J

11

o

l/Y

()

dxdzdy.

o

No es difícil generalizar la definición de integral múltiple a funciones de cualquier número de variables. En el ejercicio 28 se le pide al lector definir

f f f fI(X,y,z,r)dW

(17.39)

u donde u

17.6

=

{(x, y, Z,I): a :::;; x :::;; h,c :::;; Y :::;; d, m :::;; z $ 11, P $ 1 :::;; q l.

EJERCICIOS

Evalúe la integral del ejemplo l usando cinco órdenes de integración diferentes del que se usó en la solución.

2

Sea Q = ((x, y, z) : 1 O ~ z ~ 3}. Evalúe

III

(.x

~

x ~ 2, -1 ~ Y ~ O,

+ 2\ + 4:) ti Ji

IJ

de seis maneras diferentes. En los ejercicios del 3 al 6 evalúe las integrales dadas.

3

r'

J'oI .. 2

5

J··'·'.Ydyd:d.Y

I +x X

I

I'S-'I" 1

I I .'S·'·J 2.Y\d:cl\dx - I

4

:

6

-:d.l'd.Yd:

x +:

I.J S.1I' II'; (2x +.r + ::)dxd:dr .2

(J

()

11

I

En los ejercicios del 7 al 10 dibuje la región Q acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y exprese HJQf(x, y, z) dV como una integral iterada de seis maneras diferentes.

7

x

2r

-j.

J::

= 6: \' = 0. .1' = O.: = ()

8

x~

+rl

=

9.:: = U.: = 2

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES

17.7

839

En los ejercicios del 11 al 20 dibuje la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y use una integral triple para calcular su volumen.

+ ::2 =

=4

: + .'(2 = 4, .1' + :: = 4, Y = O, ;: = O

12

,,2

13

.\' = 2 - z2,y = :2,,, + : = 4,,, =

°

14

::=4\·2,::=2,x=2,x=0

+ z = 2,,, = O

16

::=,,2+r2,r+::~2

17 :=9-,,2,::=0,.1'=-1,.\'=2

18

:: = e'"

15 .1'2 + ::2 = L.'( +

.1'

4, .1'2

+

11

".,1'

=

::2

J\.,\

=

2.,1'

= O,;: = ()

20 r=x 2 +;:2,::=,,2.::=4.r=0

Cada una de las integrales iteradas en los ejercicios del 21 al 26 representa el volumen de una región Q. Describa Q.

JI JJ4-= J.J dxdyd:

21

(J

24

JI -=

rf\

22

I

o

2

r'd::d\dX

f J.FJ 4- dy d" d:

25

o

28

f2 2.YJ·\+)·d::dYdX o o

f

x2

f J:~L:~~~2dYdXd::

27 Defina el limite de sumas de Riemann para funciones de tres variables.

17.7

23

x

:\

26

f fJ:~=~~~,dXdYd:

Defina (17.39).

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES Si un sólido tiene la forma de una región tridimensional Q, y la densidad en (x, y, z) está dada por p(x, y, z) donde p es una función continua en Q, entonces, como en (17.19), la masa está dada por

(17.40)

M= fffp(X,y,z)dV. Q

Si una partícula de masa m se encuentra en el punto (x, y, z), entonces se definen sus momentos con respecto a los planos xy, xz y yz como zm, yrn y xm respectiva­ mente. El procedimiento usual de sumas de Riemann nos conduce a definir los momentos de un sólido respecto a los planos coordenados como sigue:

M,y = f f f zp(x,y,z)dV Q

(17.41)

M.\=

=

f f f yp(x,y,z)dV Q

M y = = f f f xp(x,y, z) dV. Q

Por ejemplo, si {Q;} es una partición de Q y T¡ es la parte del sólido correspondiente

840

17

INTEGRALES MULTIPLES

a Q¡, entonces la masa de T¡ es aproximadamente p(x¡, y¡, z¡)A V¡ donde (Xi, Yi' z¡) es un punto en Q¡. El momento de T¡ respecto al plano xy es aproximadamente igual a z¡p(x¡, Y¡, z¡)A V¡. Sumando todos estos momentos y tomando el límite de las sumas, obtenemos la primera integral en (17.41), Las demás integrales se pueden motivar de forma semejante. El centro de masa es el punto (x, j, Z) donde _

(17.42)

M y= M'

x=-­

Si Q es homogénea, entonces la función p es constante y por lo tanto se cancela en (17.42). Por consiguiente el centro de masa de un sólido homogéneo únicamente depende de la forma de Q. Igual que en dos dimensiones el punto correspondiente para sólidos geométricos se Barna centro de gravedad. Ejemplo 1

Un sólido tiene la forma de un cilindro circular recto de altura h y cuya base tiene radio a. Encuentre el centro de masa suponiendo que la densidad en cualquier punto P es directamente proporcional a la distancia de P a una de las bases.

Solución

En un sistema coordenado como el de la figura 17.34 el sólido está acotado por las gráficas de x 2 + y 2 = a 2, z = O Yz = h. Por hipótesis la densidad en (x, y, z) es p(x, y, z) = kz para algún número k. Evidentemente el centro de masa está sobre el eje z y por lo tanto es suficiente encontrar z = M X}./ M. Más aún, debido a la simetría del sólido ya la forma de p, basta calcular M y M xy para la porción del sólido contenida en el primer octante y multiplicar por 4 el resultado. Usando (17.40) tenemos M

fo'lal-x

= 4J: = 4k

l

J:

kzdzdydx

f

af~h2 -dydx o o 2 a x 2 dx = 2kh 2 (11:;2) = k11:/;2 2.

= 2kh 2J: J a 2 z

z=h

y

x Figura 17.34

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES

17.7

841

Usando ahora (17.41) obtenemos M xy

=

45:

=

4k

f/a'-x'

s:

z(kz)dzdydx

af.~h3

f.o

= 4kh

3

3

-dydx 3

o

f.a Ja 2 _ x 2 dx o

3

2

= 4kh (1t: ) =

3

k1t~3a2.

Por último, de acuerdo con (17.42), _

M xy

k1th 3a 2

M

3

2 k1th a

2h

Z=--=---'-22 =­

3.

Por lo tanto el centro de masa está sobre el eje del cilindro a 2/3 de su altura. En el ejemplo siguiente plantearemos las integrales necesarias para la solución; es decir expresaremos las integrales en forma iterada pero no las evaluaremos. En efecto, esto sería una tarea casi imposible de realizar. Ejemplo 2

Solución

Un sólido tiene la forma de la región contenida en el primer octante acotada por las gráficas de 4 - z = 9x 2 + y2, y = 4x, z = O Y Y = O. Suponiendo que la densidad en el punto P(x, y, z) es proporcional a la distancia de P al origen, plantee las integrales necesarias para calcular x. La región se muestra en la figura 17.35. Por hipótesis la densidad en (x, y, z) es = k(x 2 + y2 + Z2)1 /2 para algún número k. Usando (17.40) y (17.41)

p(x, y, z)

z

z = 4 - 9x 2 _

y2

y

x

Figura 17.35

842

17

INTEGRALES MULTlPLES

vemos que M y Myz están dados por BIS

f.

M).z = f.

M=

f~13

o

BIS f~/3

f.4-9X2_y2

xk(x 2 +

y2 + Z2) 1/2 dz dx dy.

o

)'/4

De acuerdo con (17.42),

Z2)1/2dzdxdy

o

rl4

o

f.4-9X2_Y2 k(X 2 +y2+

x=

Myz/M.

Si una partícula de masa m se encuentra en el punto (x, y, z), entonces su dis­ tancia al eje z es (x 2 + y2)1 /2 y se define su momento de inercia l. respecto al eje z como (x 2 + y2)m. Ahora considere un sólido T que tiene la forma de una región Q y densidad p(x, y, z) en (x, y, z). Como antes, sea {Q¡} una partición de Q y elija cualquier punto (x¡, y¡, Z¡) en Q¡. Si T¡ es la parte del sólido correspondiente a Q¡, entonces el momento de inercia de T¡ respecto al eje z es aproximadamente igual a (x? + y¡2) p(x i , Yi' z¡)~ V¡. Definimos el momento de inercia de T respecto al eje z como el límite de la suma de estos términos: (17.43)

Iz

=

fff

(x

2

+ y2)p(x,y,z)dV.

Q

Análogamente se definen los momentos de inercia respecto a los ejes x y y como (17.44)

Ix

=

fff Q

(y2

+ z2)p(x,y,z)dV, I y =

fff

(x

2

+ z2)p(x,y,z)dV.

Q

Si un sólido de masa M tiene momento de inercia I respecto a cierta recta, entonces se define el radio de giro como el número d tal que 1 = Md 2 • Esta fórmula implica que el radio de giro es la distancia a la recta en la cual se podría concentrar toda la masa del sólido sin alterar su momento de inercia.

Ejemplo 3

Calcule el momento de inercia y el radio de giro respecto al eje de simetría del sólido descrito en el ejemplo l.

Solución

El sólido se muestra en la figura 17.34. Por hipótesis, p(x, y, z) = kz. Usando (17.43) Y la simetría del sólido, tenemos

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES =

r

[X 2) a 2 -

2kh 2

x2 + t)(a 2 -

2 X )3J

17.7

843

dx.

o

Esta última integral se puede evaluar usando una sustitución trigonométrica o una tabla de integrales. El resultado es Ir = knh 2 a 4 /4. Si d es el radio de giro, entonces d 2 = Ir/M. Usando el valor de M que calculamos en el ejemplo 1, tenemos 2 24 d 2 = krrh a . 2 =a _ krrh 2 a 2 2 4 Por lo tanto d = a/.j2 ~ O.7a. Esto quiere decir que el radio de giro es aproxi­ madamente 7/10 del radio del cilindro.

Ejemplo 4

Un sólido homogéneo tiene la forma de la región Q acotada por las gráficas de 4x 2 - y2 + Z2 = O YY = 3. Plantee una integral triple para calcular el momento de inercia con respecto al eje y.

Solución

La región es parte de un cono elíptico y se muestra en la figura 17.36. Observe que la traza del cono en el plano xy es la pareja de rectas x = ± y/2. Si denotamos la densidad por k y luego aplicamos (17.44), obtenemos

ly =

f3fY/2 o

-y/2

f~

(x 2 + z2)k dz dx dy.

-.jy l -4x 1

También podríamos calcular I y multiplicando por 4 el momento de inercia de aquella parte del sólido contenida en el primer octante. Así (3

I y = 4 Jo

el2 JorJY1=4XT(x Jo

2

+ z2)k dz dx dy.

z

4x 2 -

y2

+ Z2 = O y=3

y

x Figura 17.36

844

17

INTEGRALES MULTIPLES

17.7 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del I al 4 plantee, mas no evalúe, las integrales que se necesitan para encontrar el centro de gravedad del sólido dado. El sólido contenido en el primer octante, aco­ tado por los planos coordenados y las gráficas de z = 9 - x 2 y 2x + y = 6. 3 El sólido acotado por las gráficas de y 4x

2

+

9z 2 , Z

= x 2, Z

=

l YY

=

= O.

2 El sólido acotado por las gráficas de z y = x 2 , y = x 3 y Z = O.

=

x 2,

4 El sólido contenido en el primer octante, aco­ tado por los planos coordenados y las gráficas de x 2 + Z2 = 9 Y y2 + Z2 = 9.

S La densidad en un punto P en un sólido que tiene la forma de un cubo de lado a es directamente proporcional al cuadrado de la distancia de P a una esquina fija del cubo. Encuentre el centro de masa.

6 Sea Q el tetraedro acotado por los planos coorde­ nados y el plano 2x + 5y + z = 10. Encuentre el centro de masa suponiendo que la densidad en el punto P(x, y, z) es directamente proporcional a la distancia de P al plano xz.

7 Sea Q el sólido acotado por el paraboloide x = y2 + 4z 2 y por el plano x = 4. Suponiendo que la densidad en (x, y, z) está dada por p(x, y, z) = x 2 + Z2, plantee, mas no evalúe, las integrales que se necesitan para encontrar el centro de masa.

8 Sea Q el sólido acotado por el hiperboloide y2 _ x 2 - Z2 = I yel plano y = 2. Suponiendo que la densidad tn (x, y, z) está dada por p(x, y, z) = X 2y 2 z 2, plantee, mas no evalúe, las integrales necesarias para encontrar el centro de masa.

9 Calcule el momento de inercia de un cubo homogéneo de volumen a 3 con respecto a una recta que contenga a una de las aristas. ¿Cuál es el radio de giro?

10 Calcule el momento de inercia con respecto al eje z del tetraedro descrito en el ejercicio 6. ¿Cuál es el radio de giro?

En los ejercicios del Il al 16 plantee la integral para el momento de inercia con respecto al eje z del sólido indicado.

+

II El sólido acotado por las gráficas de z = 36 ­ 4x 2 - 9 y 2 Y z = O; p(x,y, z) = z.

12

El cilindro acotado por las gráficas de 4x 2 2 y2 = a , z = O Y z = h; p(x, y, z) = I + z.

13 Una esfera de radio a con centro en el origen;

14

El cono acotado por las gráficas de x 2 + 9y 2 2 Z2 = O Y z = 36; p(x, y, z) = x + y2.

16

El sólido homogéneo acotado por el elipsoide

p(x, y, z) = x

2

+ y2 +

Z2.

15 El tetraedro homogéneo acotado por los planos coordenados y la gráfica de x/a + y/b + z/e = 1, donde a, b y e son positivos.

17.8

­

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS y ESFERICAS

A veces se pueden expresar las integrales triples en términos de coordenadas cilín­ dricas. El caso más sencillo se da cuando una función de r, () y z es continua en una región de la forma

Q = {(r, (),z):a

~ r ~

b,c

~

()

~

d,k

~ z ~ /}.

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS y ESFERICAS

17.8

845

Primero dividimos a Q en subregiones Ql' Q2' ... , Qn que tienen la misma forma que Q, usando las gráficas de las ecuaciones r = a¡, (J = c¡ y Z = k¡, donde a¡, c¡ y k¡ son números en los intervalos [a, b], [c, d] y [k, 1] respectivamente. En la figura 17.37 se muestra una subregión típica Q¡, rotulada adecuadamente, donde f¡ es el radio medio de la base de Q¡. El volumen ~ JI¡ de Q¡ es el producto del área de la base f¡~r¡~(J¡ por la altura ~z¡. Así

z

y

Figura 17.37

Si (r¡, Vi, z¡) es cualquier punto en Q¡, entonces la integral triple de f sobre Q está dada por fff

f(r,(J,Z)dV=

lim IIPII-O

¿f(r¡,(Ji,zi)~V; i

Q

donde la norma ¡¡PII es la longitud de la diagonal más larga da las Q¡. Es más, se puede demostrar que f f fI
Lf

fI(r,O, z)rdrdOdz.

Q

Hay otros cinco órdenes posibles de integración para esta integral iterada. Las integrales triples en coordenadas cilíndricas se pueden definir sobre regiones aún más complicadas usando particiones interiores. Por ejemplo, se puede demostrar que si R es una región polar del tipo que se discutió en la sección 17.5 y si Q = {(r, (J, z): (r, (J)

está en R y k 1 (r, (J)

~

z

~

k 2(r, (J)},

donde las funciones k 1 Y k 2 tienen primeras derivadas parciales continuas en R, entonces

f[f::~~~)I(r'O'Z)dZJdA.

f f ff(r,O,z)dV= f Q

R

846

17

INTEGRALES MULTIPLES

En particular, si R es una región como la que se ilustra en la figura 17.21, entonces

fff

(17.45)

f(r, e, z) dV

=

i f"(8) Jk"'.U) r P

,(,.8)

o

Q

k

f(r, e, z) r dz dr de.

,'(8)

La integral iterada en (17.45) se puede interpretar como un limite de sumas triples, sumando primero sobre una columna de subregiones Q¡ en dirección del eje z desde la superficie inferior (con ecuación z = k 1 (r, O» hasta la superficie superior (con ecuación z = k 2 (r, O» (vea la figura 17.38). La segunda suma se efectúa sobre una hilera de estas columnas manteniendo fijo () y variando r. En esta etapa hemos sumado sobre una rebanada de Q, como se muestra en la figura 17.38. Por último barremos Q haciendo variar f) de el a (3. z

z = k¡(r, 8)

y

x

Figura 17.38

Ejemplo 1

Un sólido tiene la forma de la región Q que está dentro del cilindro r = a, debajo de la esfera r 2 + Z2 = 4a 2 y encima del plano xy. Encuentre la masa y el momento de inercia I z , suponiendo que la densidad en el punto P es proporcional a la distancia de P al plano xy.

Solución

En la figura 17.39 se muestra la región Q junto COn una columna correspondiente a una suma en la dirección del eje z. Como la densidad en el punto P(r, O, z) está dada por kz para algún número (fijo) k, la masa M se puede calcular aplicando (17.45) con f(r, z) = kz, Por lo tanto

e,

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS y ESFERICAS

17.8

847

z

y

x

Figura 17.39 M

=

f 2~fa f~ kzrdzdrd() o

= -k

o o

f2~·fa Z2 rJ~ drdO

2 o

o

o

k f.2~ fa (4a 2r-r 3 )drd()

=-

2

O

O

= -k f.2~ 2a 2 r 2 2

-

O

14 _r 4

Ja dO O

4 4 = 7a k f2~ d() = 7a nk. 8 O 4 Para calcular 1 empleamos (17.43) y usamos coordenadas cilíndricas obteniendo así 1= = =

{2~

f:

{J4a'-" r2kzrdzdrd()

~ J.2~ fa r 3 Z2J 2

O

O

J4a

= -k f.2~ fa (4a 2r 3 2

O

' - " dr dO

O Ó

-

r 5 )drdO

5a nk =-o

O

6

También se pueden considerar las integrales triples en coordenadas esféricas. Suponga que una función f de p, () y 4> es continua en una región de la forma

Q = {(p, (),4»:a

s

p

s b,c s

f)

s

d,k

s 4>

sI}.

De nuevo dividimos a Q en subregiones Ql, Q2,' .. ,Q. que tienen la misma forma que Q, mediante las gráficas de ecuaciones de la forma p = a¡, f) = c¡ y 4> = k¡o

848

17

INTEGRALES MULTIPLES

En la figura 17.40 se muestra una subregión Qi típica. Se deja como ejercicio mostrar que si f1 V¡ denota el volumen de Qj, entonces (17.46) donde (Pi' 0i,
fff

(17.47)

f{p, O.
=

a

rff

f{/I, O,
Hay otros cinco órdenes de integración posibles. También se pueden usar coorde­ nadas esféricas para integrales sobre regiones más complicadas, usando particiones interiores. En este caso se tienen que ajustar adecuadamente los límites de inte­ gración en (17.47). Ejemplo 2

Encuentre el volumen y el centro de gravedad de la región Q acotada superiormente por la esfera P = a e inferiormente por el cono
Solución

En la figura 17.41 se muestra la región Q. El volumen V está dado por V=

=

f~ 2"

Jo

1" s:

p2 sen e/> d/u/e/> dO

Jm -a

sen e/> de/> dO

3

o 3

z z p=a

y

y

x x

Figura 17.40

Figura 17.41

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS C1LINDRICAS y ESFERICAS

= -u

17.8

849

3 J2" [ - cos (/J JI» dO

3 o 3

_o

J2" (1

= -u

3

-

dO

COSI11)

o

2rra 3

= -3-( 1 -

COS

111).

Por la simetría de la región, el centro de gravedad está en el eje z. Si (x, y, z) son las coordenadas rectangulares de un punto, entonces de acuerdo con (14.52), z = p cos 4>. En consecuencia, M,y

=

JJJz dV

f" L' l'

=

Ji

COS

4)1,2 sen

4> dl )(l4> dO

Q

=

2"J'" a4 4> cos 4> d4> dO Jo o -sen 4

= -u

4

J2n -sen 1 4> JI» dO 2

4

(l

2

4

= -a sen 2 111

8

1

o

4

2

dO = -rru sen 2 m. o 4 "

El centro de gravedad tiene las coordenadas rectangulares (O, O, i), donde _

z

M...

3

V

8

= -'-' = -a(1 + cosm).

La letra p que se usa en las coordenadas esféricas no debe confundirse con la función de densidad. En problemas en los cuales se usan tanto coordenadas esféricas como una función de densidad, debe emplearse un símbolo diferente para denotar la densidad.

17.8 EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 10 use coordenadas cilindricas. 1 Encuentre el volumen y el centro de gravedad , del sólido acotado por las gráficas de z = x 2 + y2,

x2 +

y2

2

Encuentre el volumen y el centro de gravedad del sólido acotado por las gráficas de x 2 + y2 _ Z2 = O Y x 2 + y2 = 4.

4

Un sólido homogéneo está acotado por las gráficas de z = , y z = ,2. Encuentre (a) el centro de masa (b) el momento de inercia con respecto al eje z

= 4 Y z = O.

3 Encuentre el momento de inercia de un cilindro circular recto homogéneo de altura h y cuya base tiene radio a, con respecto a (a) el eje del cilindro (b) un diámetro de la base

850

17

INTEGRALES MULTIPLES

5

La densidad en un punto P de un sólido es­ férico de radio a es directamente proporcional a la distancia de P a una recta fija 1 que pasa por el centro del s0lido. Encuentre la masa del sólido.

6

Encuentre la masa del sólido en forma de cono, acotado por las gráficas de z = r y z = 4, suponiendo que la densidad en un punto P es directamente proporcional a la distancia de P al eje z.

7

Encuentre el momento de inercia respecto a la recta 1 del sólido descrito en el ejercicio 5. ¿Cuál es el radio de giro?

8

Encuentre el momento de inercia respecto al eje z del sólido descrito en el ejercicio 6. ¿Cuál es el radio de giro?

9

Sea Q = {(x, y, z): I ~ z ~ 5 _ x 2 _ y2, x 2 + y2 ~ I}. Suponiendo que la densidad en el punto P(x, y, z) es directamente proporcional a la distancia de P al plano xy, encuentre la masa y el centro de masa de Q.

10

Encuentre la masa y el centro de masa del sólido que está en el interior tanto del cilindro x 2 + )'2 - 2y = O como de la esfera x 2 + y2 + Z2 = 4, suponiendo que la densidad en el punto P(x, y, z) es directamente proporcional a la distancia de P al plano xy.

12

Repita el ejercicio 2.

Encuentre el momento de inercia del hemisferio en el ejercicio 11, con respecto a su eje.

14

Encuentre el momento de inercia con respecto a un diámetro de 1a base de un sólido homogéneo en forma de liemisferio de radio a.

15 Calcule el volumen del sólido que está encima del cono Z2 = x 2 + y2 y dentro de la esfera x 2 + y2 + ;:2 = 4z.

16

Calcule el volumen del sólido que está dentro de la esfera x 2 + y2 + Z2 = l Y fuera del cono Z2 = x2 + y2.

17 Calcule la masa del sólido que está dentro de la esfera p = 2 Y fuera de la esfera p = 1, suponiendo que la densidad en un punto P es

18

Una cáscara esférica homogénea tiene radio in­ terior a y radio exterior b. Encuentre su momento de inercia con repecto a una recta que pasa por el centro.

20

Interprete (17.47) como un limite de sumas triples.

En los ejercicios del ll al 18 use coordenadas esféricas.

11 Encuentre la masa y el centro de masa de un sólido en forma de hemisferio de radio a, suponiendo que la densidad en un punto P es directamente proporcional a la distancia de P al centro de la base. 13

directamente proporcional al cuadrado de la distancia de P al centro de las esferas. 19 Compruebe (17.46) tratando a Q¡ como si fuese un paralelepípedo.

17.9

EL AREA DE UNA SUPERFICIE En el capítulo 13 dedujimos dos fórmulas para calcular el área de una superficie de revolución (vea (13.22) y (13.25)). Ahora discutiremos un procedimiento para encontrar el área de una superficie como la que se ilustra en la figura 17.4. Suponga que f(x, y) ~ O en cierta región R en el plano xy y que f tiene primeras derivadas parciales continuas en R. Sea S aquella parte de la gráfica de f cuya proyección en el plano xy es R. Para simplificar la discusión supondremos que ningún vector normal a S es paralelo al plano xy. Nuestro objetivo es definir el área A de S y en­ contrar una fórmula que se pueda usar para calcular A.

EL AREA DE UNA SUPERFICIE

17.9

851

Sea P = {R;} una partición interior de R, donde las dimensiones de R¡ son ÓX¡ y Óy¡. Escojamos un punto (Xi' Yi' O) en cada R¡ y denotemos por Bi(x¡, Y¡, f(x i , Yi» al punto correspondiente en S. Consideremos ahora el plano tan­ gente a S en B¡. Sean óT¡y óSi las áreas de las regiones que se obtienen en el plano tan­ gente y en S respectivamente, al proyectar R i verticalmente hacia arriba (vea la figura 17.42). Si la norma IIPII es pequeña, entonces óT¡ es aproximadamente igual a óSi y ~¡ óT¡ es aproximadamente igual al área A de S. Como esperamos que la aproxi­ mación mejore a medida que IIPII se acerca a O, definimos A como

(17.48)

A =

Iim l>~ 7;.

IIPII-O

i

z

y (x¡. Y¡. O)

.---~

x

Figura 17.42 Con el objeto de encontrar una fórmula para calcular A en términos de una in­ tegral, denotemos por (x¡, Y¡, O) a la esquina de R¡ más cercana al origen. Sean a y b los vectores con punto inicial B¡(xi , Yi' f(x¡, y¡}), tangentes a las trazas de S en los planos y = Y¡ Y X = Xi' respectivamente, como se ilustra en la figura 17.43. Usando la interpretación geométrica de las derivadas parciales que se vio en la sección 16.3, sabemos que las pendientes de las rectas determinadas por a y b en estos planos son fx(x¡, y¡) y h(x¡, Y¡) respectivamente. Concluimos que (17.49)

a b

= Óx¡i + fAx¡,y¡).1x¡k = Óy¡j + ¡;,(.X"¡, y¡) .1y¡k.

El área óT¡ del paralelogramo determinado por a x b

a y b es la x bl. Como

j

k

= .1x¡

O

f.~(Xi'y¡).1X¡

O

.1y¡

/JX"¡,y¡) .1y¡

852

17

INTEGRALES MULTIPLES

z

y (Xi' Y¡. O)

L 7

Lll¡

i:ly¡ X

Figura 17.43 tenemos que (17.50) Por consiguiente (17.51) donde ~Xi~Yi = AA¡. Si tomamos el límite de las sumas de los AT; como se indica en (17.48) y aplicamos después la definición de la integral doble, obtenemos (17.52)

A =

ff

J(jJX,y»)2 + (/;.(X,y»2 + 1 dA.

R

Esta fórmula también se puede usar cuando f(x, y) 5 Oen R.

Ejemplo 1

Sea R la región triangular en el plano xy cuyos vértices son (O, 0, O), (O, 1, O) Y (1, 1, O). Calcule el área de la superficie de aquella parte de la gráfica de z = 3x + y2 que se encuentra encima de R.

Solución

La región R está acotada por las gráficas de y = x, x = O Y Y = I (vea la figura 17.44). Tomando f(x, y) = 3x + y2 y aplicando (17.52) obtenemos A =

ff R

J3 2 + (2y)2

+ 1 dA

EL AREA DE UNA SUPERFICIE

853

17.9

y

(O, 1)

., (1,1)

~

x

Figura 17.44

f =f =

J:

(10

+ 4y2)1/2 X dy

(10

+ 4y 2) Il2 y dy

1

+ 4y2)3/2 JI

= -(lO

12

o

14

312

-

10

3 2 /

= ----­

12

Ejemplo 2

Encuentre el área de la superficie de aquella parte de la gráfica de z = 9 - x 2 _ y2 que se encuentra encima del plano xy.

Solución

La gráfica se muestra en la figura 16.5. De acuerdo con (17.52), A

=

fJ

J 4.\2

+ 4 y 2 + I dx dy

R

donde R es la región en el plano xy acotada por el círculo x 2 + y2 = 9. Usando coordenadas polares para evaluar la integral doble obtenemos

1 f: 2n

A =

(4r 2 + 1)1/2 r drdG.

Dejamos al lector mostrar que A = n(37 312

-

1)/6.

Se pueden dar fórmulas semejantes a (17.52) en los casos en que S tiene pro­ yecciones apropiadas en los planos yz o xz. Así, si S es la gráfica de una ecuación y = g(x, z) y su proyección en el plano xz es R¡, entonces A

=

Jf

J(gAx,

Z»2

+ (gAx, Z)2 + 1 dx dz.

Se puede dar otra fórmula semejante en el caso de que S esté dado por x

=

h(y, z).

854

17

INTEGRALES MULTIPLES

17.9 EJERCICIOS Calcule el área de la superficie de aquella parte de la gráfica de z = y + x 2/2 que se encuentra encima de la región en el plano xy que tiene forma de cuadrado y cuyos vértices son (O, O, O), (1, O, O), (1, 1, O) Y (0,1, O).

2 Calcule el área de la reglOn en el plano z = y + 1 que está contenida dentro del cilindro x 2 + y2 = 1.

3 Suponga que a, b, c y d son positivos. Encuentre el área de la región en el plano x/a + y/b + z/c = 1 que se obtiene al cortar el cilindro x 2 + y2 = d 2 con dicho plano.

4 Plantee una integral para calcular el área de la superficie de la parte de la esfera x 2 + y2 + Z2 = 4 que se encuentra encima de la región en el plano xyen forma de cuadrado cuyos vértices son (1,1,0), (1, -1,0), (-1,1,0) Y (-1, -1,0).

5 Encuentre el área de la superficie de aquella parte de la esfera x 2 + y2 + Z2 = a 2 que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y2 - ay = O.

6 Encuentre el área de la superficie de la parte del cilindro y2 + Z2 = a 2 que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y2 = a 2 .

7 Calcule el área de la superficie que se obtiene al cortar el paraboloide z = x 2 + y2 con el plano z = l.

8 Sea R la región triangular en el plano xy cuyos vértices son (O, O, O), (O, 2, O) Y (2, 2, O). Calcule el área de la superficie de aquella parte de la gráfica de z = y2 que se encuentra encima de R.

9 Calcule el área de la superficie de aquella parte de la gráfica de z = xy que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y2 = 4.

10 Calcule el área de la superficie de aquella parte de la gráfica de z = x 2 - y2 que está contenida en el primer octante y se encuentra dentro del cilindro x 2 + y2 = 1.

17.10

REPASO

Conceptos Defina o discuta lo siguiente Particiones interiores

2 Sumas de Riemann

3 Integral doble

4 Integral doble iterada

5 Evaluación de integrales dobles

6 Areas y volúmenes usando integrales dobles

7 El centro de masa de una lámina

8 Los momentos de inercia de una lámina

9 El radio de giro

10 Integrales dobles en coordenadas polares

11 Integral triple

l2 Integral triple iterada

13 Evaluación de integrales triples

14 Aplicaciones de las integrales triples

15 Integrales triples en coordenadas cilindricas y esféricas

16 El área de una superficie

REPASO

17.10

855

Ejercicios En los ejercicios del 1 al 6 evalúe las integrales dadas. (l

...:'

Jf - I

.\"

2

(x"-21')dl'tix +

j'"j'I".r~tiXdl' 1.1'

I

I

3 rf+lrdOdr

4

5

J" JI J). ()

.,JI'

x/.: 3 dx d.: dI'

6

;

J' (.\' + .:)

j>O J"

o

1

.

dr ti., d.:

x

J"o J"() 1

4

J""'' 4> Ji" sen ¡p dI' ¡hp dO o

En los ejercicios del 7 al 10 exprese Jhf(x. y) dA como una integral iterada. donde R es la región acotada por las gráficas de las funciones dadas.

8 9

r"=4+x.r"=4-x

x2

-

.1'2 = 4,.1' = 4,.1' = O

- x" + 4. .1' = :lx"

10.1'

Cada una de las integrales en los ejercicios 11 y 12 representa el área de una región R en el plano xy. Describa R. 11

fl j','d.,

dI'

En los ejercicios 13 y 14 cambie el orden de integración y evalúe la integral resultante. .. 3

13

o

Jo J.\"

1;;

.. 'J

j j

14

.1''' - x' dx dr y:

('XI)'

d.r dx

En los ejercicios 15 y 16 encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y tiene la densidad que se indica.

= x, y = 2x, x = 3; la densidad en el punto P(x, y) es directamente proporcional a la dis­

15 Y

tancia de P al eje y.

16

= x, X = 4; la densidad en el punto P(x,y) es directamente proporcional a la distancia de P a la recta cuya ecuación es x = - l.

y2

17 Una lámina tiene la forma de la región que está dentro de la gráfica de r = 2 + sen y fuera de la gráfica de r = 1. Calcule la masa suponiendo que la densidad en el punto P(r. O) es inversa­ mente proporcional a la distancia de P al polo.

18 Calcule el área de la región acotada por el eje polar y las gráficas de r = eO y r = 2, donde

19 Use coordenadas polares para evaluar

20 Calcule Ix. Iy Y lo para la lámina acotada por las gráficas de y = x 2 y y = x 3 , suponiendo que la densidad en el punto P(x, y) es directa­ mente proporcional a la distancia de P al eje y.

e

O<

e<

In 2.

856

17

INTEGRALES MULTIPLES

21 Una lámina homogénea tiene la fonna de un triángulo rectángulo cuyos lados tienen longi­ tudes a, b y a 2 + b 2 respectivamente. En­ cuentre el momento de inercia y el radio de giro con respecto a la recta que contiene al lado de longitud a.

22 Una lámina tiene la forma de la región com­ prendida entre dos circulos concéntricos de radios a y b respectivamente, donde a < b. Suponiendo que la densidad en un punto P es directamente proporcional a la distancia de P al centro, use coordenadas polares para encontrar el momento de inercia con respecto a una recta que pasa por el centro.

23 Calcule el volumen del sólido que está debajo de la gráfica de z = xy2 y encima del rectángulo en el plano xy cuyos vértices son (1, 1, O),

24 Exprese JHaf(x, y, z) dV como una integral iterada de seis maneras diferentes, donde Q es la región acotada por las gráficas de y = x 2 + 4z 2 y Y = 4.

J

(2,1, O), (1,3, O) Y (2, 3, O).

25 Use integrales triples para encontrar el volumen y el centro de gravedad del sólido acotado por las gráficas de z = x 2 , Z = 4, Y = OYY + Z = 4.

26 Plantee una integral triple para calcular el mo­ mento de inercia respecto al eje z del sólido acotado por las gráficas de z = 9x 2 + y2 y Z = 9, suponiendo que la densidad en el punto P(x, y, z) es inversamente proporcional al cua­ drado de la distancia de P al punto (O, O, - 1).

27 Plantee una integral triple para el momento de inercia respecto al eje y del sólido acotado por las gráficas de x 2 - y2 + Z2 = 1, Y = OYY = 4, suponiendo que la densidad en el punto P(x, y, z) es directamente proporcional a la distancia de P al eje y.

28 Un sólido homogéneo está acotado por las gráficas de z = 9 - x 2 - y2, x 2 + y2 = 4 Y z = O. Use coordenadas cilíndricas para encon­ trar lo siguiente. (a) La masa (b) El centro de masa (c) El momento de inercia con respecto al eje z

29 Un sólido tiene la fonna de una esfera de radio a. Use coordenadas esféricas para encontrar la masa suponiendo que la densidad en el punto P es directamente proporcional a la distancia de P al centro.

30 Calcule el área de la superficie de la parte del cono z = (x 2 + y2)1/ 2 que está dentro del cilindro x 2 + y2 = 4x.

_18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

Los conceptos que introducimos en este capítulo tienen muchas aplicaciones en las ciencias jlsicas. Después de discutir los campos vectoriales y definir la integral de línea. consideraremos teoremas de evaluación y determinaremos condiciones para la independencia de la trayectoria. Luego demostraremos el teorema de Green para regiones planas elementales. Este importante resultado conecta las integrales de línea con las integrales dobles. Después fijaremos nuestra atención en la divergencia y el rotacional de un campo vectorial, introduciremos la noción de integral de superficiey discutiremos dos de los principales teoremas del cálculo vectorial: el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes. El capitulo termina con un estudio de las transformaciones de coordenadas, los jacobianos y los cambios de variables en integrales múltiples. .

18.1

CAMPOS VECfORIALES En muchas aplicaciones, a cada punto K de una región se le asocia un único vector con punto inicial K. La totalidad de dichos vectores se llama un campo vectorial. El diagrama en (i) de la figura 18.1 ilustra el campo vectorial determinado por una rueda que gira alrededor de un punto fijo. A cada punto de la rueda le corresponde un vector de velocidad. A un campo vectorial de este tipo se le llama un campo de velocidades. Otros ejemplos de campos de velocidades son los determinados por el flujo de agua o por el viento. Por ejemplo, (ii) de la figura 18.1 podría inter­ pretarse como un dibujo de algunos vectores de velocidad asociados a las partículas de un fluido en movimíento. Los dibujos de este tipo solamente muestran unos cuantos vectores del campo. Es i.mportante recordar que hay un vector asociado acoda uno de los puntos de la región considerada. Otros campos vectoriales comunes son los campos de fuerza que aparecen en el estudio de la mecánica y la electr'ítidad. En los campos de las ilustraciones dadas supusimos que los vectores son indepen­ dientes del tiempo. Estos campos se llaman campos vectoriales estacionarios y son los únicos que estudiaremos en este capítulo.

857

858

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

(i)

(ii)

rueda giratoria

Figura 18.1.

flujo de agua

Campos de velocidad.

Si introducimos un sistema coordenado rectangular y denotamos por F(x, y, z) al vector asociado al punto K(x, y, z), entonces, como las componentes de F dependen de las coordenadas de K, podemos escribir (18.1)

F(x,y,z) = M(x,y,z)i

+

N(x,y,z)j

+

P(x,y,z)k

donde M, N Y P son funciones de x, y y z. Inversamente, toda ecuación de este tipo determina un campo vectorial. Así pues, un campo vectorial puede definirse como una función vectorial F cuyo dominio D es un subconjunto de IR x IR x IR y cuyo rango es un subconjunto de V3 . Consideremos el siguiente caso especia!. Si el dominio es una región plana y el rango es un subconjunto de V2 , entonces un campo vectorial (en dos dimensiones) está dado por (18.2)

F(x,y) = M(x,y)i

+

N(x,y)j

donde M Y N son funciones de x y y. Por conveniencia usaremos indistintamente los términos "campo vectorial" y "función vectorial". Las funciones discutidas en el capítulo 16, que asocian un número a cada punto K, se llamarán funciones es­ calares. Ejemplo 1

Describa el campo vectorial F dado por F(x, y)

Solución

Si r = xi

+

=

-yi

+

xj

y j es el vector de posición del punto K(x, y), entonces r . F(x, y)

=

-xy

+

xy

=

O.

Por lo tanto F es siempre ortogonal al vector de posición r y, por consiguiente, es tangente al círculo de radio 11'1 con centro en el origen. Más aún,

CAMPOS VECTORIALES

IF(x,y)1

=

Jy

2

+

X

2

18.1

859

= Irl

y por lo tanto la magnitud de F(x, y) es igual al radio de este círculo. Resulta que F (x, y) tiene la apariencia del campo de velocidades ilustrado en (i) de la figura 18.1, donde el centro de rotación coincide con el origen.

Ejemplo 2

Sea r = xi + yj + zk el vector de posición del punto K(x, y, z). Entonces decimos que un campo vectorial F es un campo del tipo del de la gravedad si c

F(x, y, z)

e

= Irl 3 r = Irl 2 u

donde e es un escalar, r :1: O Y u = (l/Irl)r es un vector unitario con la dirección de r. Describa F suponiendo que c < O. Solución

Como r = xi

+

yj

+

zk, obtenemos

F(x,y,z)

= ( 2

C

2 23/2(xi+yj+zk) x +y +z)

que se puede expresar en la forma (18.1). Sin embargo, es más fácil analizar los vectores del campo usando la fórmula dada. Como F (x, y, z) es un múltiplo escalar negativo de r, la dirección de F(x, y, z) es hacia el origen O. También IF(x,y,z)1

Icl

= ¡;vlr l =

Icl Irf

y por lo tanto la magnitud de F(x, y, z) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de O al punto (x, y, z). Esto significa que cuando K(x, y, z) se aleja del origen, la longitud del vector F(x, y, z) disminuye. En la figura 18.2 están dibu­ jados algunos vectores típicos del campo. z

\

\

~

I

,\1/

//o~

1 \ x Figura 18.2.

~

--

y

, "

Campo del tipo del de la gravedad

860

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

Los campos del tipo ilustrado en el ejemplo 2 aparecen frecuentemente en las aplicaciones. Por ejemplo, si una partícula de masa M se coloca en el origen, entonces la fuerza de atracción, debida a la gravedad, que ejerce sobre una partícula de masa m colocada en K(x, y, z) está dada por (18.3)

donde G es la constante de la gravitación universal, r es el vector de posición de K y u = (I/Irl)r. En la teoría de la electricidad también aparecen campos de este tipo. Usando el gradiente de una función escalar f de dos o tres variables, pueden obtenerse algunos tipos importantes de campos vectoriales. Por ejemplo, si w f(x, y, z), entonces como en (16.29) Vw

=

JAx,y,z)i

+ !y(x,y,z)j + .IJx,y,z)k.

De nuestro trabajo en el capítulo 16 sabemos que la dirección de Vw en cualquier punto K es ortogonal a la superficie de nivel asociada a f que pasa por K. Más aún, la magnitud de Vw es igual a la razón de cambio máxima de.r en K. Si un campo vectorial F es el gradiente de una función escalar, es decir, si F(x,y,z)

= Vf(x,y,z)

para alguna f, entonces F se llama un campo vectorial conservativo y f(x, y, z) se llama el potencial en K. La función f se llama la función de potencial para F. Los campos vectoriales del tipo del de la gravedad son conservativos. En efecto, si F es el campo dado en el ejemplo 2, entonces F(x,y,z) =

v( ~c)

donde r = Irl = (x 2 + y2 + Z2)1/2. La verificación de este hecho se deja al lector (vea el ejercicio 11). En las aplicaciones la función de potencial de un campo vectorial conservativo F se define como una función p tal que F(x, y, z) = - Vp(x, y, z). En vista de esto, la función de potencial del campo en el ejemplo 2 sería p (x, y, z) = Ve/r. Volveremos a discutir los campos conservativos más adelante en este capítulo. Si un campo vectorial F se describe como en (\8.1) o (\8.2), podemos definir límites, continuidad, derivadas parciales e integrales múltiples usando las com­ ponentes de F(x, y, z) de manera similar a como se hizo en el capítulo 15 para funciones vectoriales. Por ejemplo, para derivar o integrar F(x, y, z), derivamos o integramos cada una de sus componentes. Pueden demostrarse los teoremas acostum­ brados. Así, F es continua si y sólo si sus funciones componentes M, N Y P son continuas, etcétera.

18.1 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 10 dibuje un número suficiente de vectores F(x, y, z) para ilustrar la pauta que siguen los vectores del campo F. l

F(x.y) = xi - yj

2

F{x.y)=-xi+yj

INTEGRALES DE LINEA

18.2

861

3

F(x,y) = 2xi + 3yj

4

F(x,y) = 3i + xj

5

F(x,y) = (x 2 + y2)-1/2(xi + yj)

6

F(x,y,z) = xi + zk

7

F(x,y,z) = -xi - yj - zk

8 F(x,y,z) = xi + yj + zk

9

F(x,y,z) = i +j + k

10

F(x,y,z) = 2k

Demuestre que si F es el campo vectorial del ejemplo 2, entonces F (x, y, z) = V(- elr), donde

12

Encuen tre una función de potencial para el campo vectorial dado por (18.3).

11

r

=

Irl.

En cada uno de los ejercicios del 13 al 20 encuentre un campo vectorial conservativo que

tenga el potencial dado.

13

f(x,y, z) = x 2 - 3y2 + 4z 2

15

f(x, y, z) = xe 2 )' cos z

14 16

j(x, y, z) = In xyz

19

f(x,y,z) = í(x 2 + y2

18

f(X.y)=y2 e -Jx

21

Suponiendo que F está dado por (18.1), dé una definición de lim

F(x,y,z)

=

22

a

(X,)'.z) -. (.\"0. )'0. %0)

análoga a la definición (15.3). Dé una definición

con f. y b para este límite. ¿Cuál es el significado

geométrico del límite?

18.2

f(x,y,z)

+ Z2)

= sen

(x 2 + l

+ Z2)

17

f(x,y) = arctan (xy)

20

f(x,y) = x

+ y

Suponiendo que F está dado por (18.1), dé una definición de la noción de continuidad en (xo, Yo, zo), análoga a la definición (15.4). ¿Cuál es el significado geométrico de una función vecto­ rial continua?

INTEGRALES DE LINEA El concepto de integral de línea es una generalización natural de la integral definida S:f(x) dx estudiada en el capítulo 5. Recordemos que en ese caso comenzamos di­ vidiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos de longitudes ~XI' ~X2' . . . , ~x". Después escogimos un número W¡ en cada subintervalo y tomamos el límite de las sumas de Riemann 1:J(Wi)~Xi cuando todos los ~Xi tendían a cero. Para funciones de varias variables se puede llevar a cabo un proceso similar. Por ejemplo, sij{x, y) está definida en una curva plana finita e, podríamos comenzar dividiendo e en n subarcos de longitudes ~Sl' ~S2' ... , ~s". Después de elegir un punto (u¡, v¡) en cada subarco podríamos considerar el límite de las sumas r.J(u¡, Vi)~S¡ cuando todos los ~Si tienden a cero. El mismo procedimiento podría llevarse a cabo para una función de tres variables definida en una curva en el espacio. Precisemos ahora estos comentarios. Supongamos que una curva está dada paramétricamente por

e

(18.4)

x = g(t), y = h(t), donde a ~ t ~ b

Y las funciones g y h son lisas en el intervalo [a, b]. Consideremos f(x, y) donde f es continua en una región D que contiene a C. Sean A y B los puntos de e deter­ minados por los valores del parámetro a y b respectivamente. Diremos que la di­ rección positiva de e es aquella determinada por el crecimiento del parámetro t. Tomemos una partición del intervalo [a, b] eligiendo

862

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

u=

/0

<

<

/1

/2

< ... < /. = b.

JC:/:,

Esto nos lleva a una división de e en subarcos donde P;(x¡, y¡} es el punto en e correspondiente a t¡. Como en la figura 18.3, sean [\x¡ = X¡ - X¡ - l ' [\y¡ = Y¡ - Y¡-I Y denotemos por [\s¡ la longitud del subarco~. La norma 11[\11 de la división de e es, por definición, el máximo de los [\s¡. y

Y¡

v¡

Y¡-I

X¡-l

U;

X¡

x

Figura 18.3 Ahora escogemos un punto Q¡(u¡, v¡} en cada ~,como se ilustra en la figura 18.3. Para cada i, evaluamos la función f en (Uj, Vj), multiplicamos este número por [\s¡ y formamos la suma

.

I

(18.5)

I(u¡,I'¡}!lSj.

i= I

Si, como en la definición (5.15), esta suma tiende a un limite L cuando n ..... 00 y 11 [\11 ..... 0, que es independiente de la partición de [a, b] Y de los puntos Q¡, en­ tonces L se llama la integral de línea de f sobre e de A a B y se denota por (18.6)

f

I(x,y)ds

=

e

lim II(u¡,r;¡}!ls¡.

II~II-O

¡

El término integral de línea puede ser confuso. Seria más descriptivo llamar a (18.6) integral de curva. Si deseamos especificar los extremos A y B de la curva e, entonces en lugar de (18.6) podemos escribir

f

f(x,y)ds.

INTEGRALES DE LINEA

863

18.2

Cuando se usa esta notación, debe tenerse en mente la curva C, excepto en ciertos casos que consideraremos más adelante, en los que la integral de línea tiene el mismo valor para todas las curvas que van de A a B. Se puede demostrar que sifes continua en D, entonces el límite en (18.6) existe y es el mismo para todas las representaciones paramétricas de C. Más aún, la integral se puede evaluar como sigue: (18.7)

fcJ(x,Y)dS

=

ff(g(t),h(t))J[g'(t)F

+ [h'(t)Fdt

es decir, sustituimos las ecuaciones paramétricas x = g(t), Y = h(t) de C en lugar de x y y y reemplazamos ds con la expresión indicada que contiene el radical. La forma de la raíz es una consecuencia de la discusión acerca de la longitud de arco en el capítulo 13 (vea (13.17». Vale la pena notar que si C es un intervalo en el eje x, entonces As¡ = Ax¡, V¡ = O para todo i y (18.6) se reduce a una integral definida del tipo considerado en el capítulo 5. La definición (18.6) se puede generalizar a curvas más complicadas. En particu­ lar, supongamos que C es una curva lisa por partes, en el sentido de que puede ex­ presarse como la union de un número finito C l' C 2' . . . , Cn de curvas del tipo dado en (18.4), donde el punto final B¡ de C¡ es el punto inicial A i + 1 de C¡+ 1 para i = 1, 2, ... , n-l. En este caso la integral de línea de f sobre C se define como la suma de las integrales de línea sobre cada una de las curvas Cj • Ejemplo 1

Evalúe

O :$; t Solución

Sc x y 2 ds :$;

donde C tiene ecuaciones paramétricas x

= cos t,

y

=

sen t y

n/2.

La curva C es la parte del círculo unitario con centro en el origen que se encuentra en el primer cuadrante. Aplicando (18.7),

fe

xy2 ds

=

f"/2 cos t se~ tJsen2 t

+ cos 2 t dt

o

=

J:/

2 sen2 t cos t dt

=~se~tJ:/2 ~. Se pueden demostrar algunas propiedades de la integral de línea similares a las que se obtuvieron para la integral definida en el capítulo 5. Por ejemplo, se puede demostrar que invirtiendo la dirección de integración el signo de la integral cambia, que la integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de cada función, etcétera. Para obtener una interpretación geométrica de (18.6), supongamos quef(x, y) ;;:: O en D y consideremos la gráfica S de la ecuación z = f(x, y) en un sistema coordenado rectangular de tres dimensiones. Como ~lustra en la figura 18.4, f(u j , v¡}As j es el área de una tira vertical con base 1:-1 P; en el plano xy y altura f(u¡, v¡}. El límite de la suma de estos términos es el área de la parte del cilindro con directriz C y generatrices paralelas al eje z, que se encuentra entre el plano xy y S.

864

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

y

x

Figura 18.4

Podemos obtener una aplicación elemental de la integral de línea (18.6) con­ siderando la curva como un alambre delgado con densidad variable. Si el alambre se representa por medio de la curva e en la figura 18.3 y si la densidad en el punto (x, y) está dada por f(x, y), entonces f(u j , v¡}Lls¡ es aproximadamente igual a la masa Llm¡ de la parte del alambre comprendida entre P¡-l Y Pi' La suma I~m¡

= If(u¡,¡;,)~s¡ i

i

es, por lo tanto, aproximadamente igual a la masa total M del alambre. Para definir M tomamos el límite de estas sumas, obteniendo así M

=

J~

f(x . .\') lis.

e

Los momentos M x Y M y del alambre con respecto a los ejes x y y respectivamente, se definen de manera análoga a como se definieron los momentos de láminas en (17.20) y (17.21). Concretamente

Mx =

I[)J(ll¡,r,)~s¡ =

Iim i1:'II-O

i

(18.8) My =

lim

II:'II~O

IuJ(II¡,V¡}~Si

Como en (17.22), el centro de masa

(18.9)

=

¡

_

r yf(x,y)ds

Je

r xf(x,y)ds.

Je

U', .0 del alambre está dado por M

_

.'vl

y x x=-, y=-.

M

.'vl

INTEGRALES DE LINEA

18.2

865

Los momentos de inercia también se pueden definir de la manera acostumbrada (vea el ejercicio 25). Ejemplo 2

Un alambre delgado se dobla en la forma de un semicírculo de radio a. La densidad en el punto P es directamente proporcional a la distancia de P a la recta que pasa por los extremos del alambre. Encuentre el centro de masa del alambre.

Solución

Si introducimos un sistema coordenado tal que la forma del alambre coincida con el semicírculo superior de radio a con centro en O, entonces x

= a cos l.

)' =

l/

sen 1;

O::; I ::; n.

son unas ecuaciones paramétricas para C. Por hipótesis, la densidad f está dada por f(x, y) = ky para alguna constante k. Por lo tanto la masa del alambre es A1

=

f

kyds

e

= f.~kasenIJalsenl1 + a 2 cos 2 1dl o

=

r

Jo

ka(senl)adl

1]:

2

=- ka cos

= 2k0

2

.

Según (18.8), Mx

=

J e

ykyds =

f.~ ka 3 sen 2 1dI o

21 = ka 3 J~ 1--- -cos -dI

2

o

3[-1

1 ] o~ = 21rrka 3.

= ka "2/ - 4sen 21 Por consiguiente, según (18.9), _

.\!t,

v= -

1\1

o

}nka 3

1 4

= --, = -na 2ka-

~

0.8a.

Como evidentemente x = 0, vemos que el centro de masa está en el eje y, aproxi­ madamente a 4/5 de la distancia del eje x a la parte más alta del semicírculo. Se pueden definir otros dos tipos de integrales de línea usando ~Xi Y ~Yi en lugar de ~Si en (18.6). Estas se llaman la integral de línea de/sobre e con respecto a x y y respectivamente. Así, por definición,

J J

f(x,y)dx =

(18.10)

e

f(x,y) dy =

e

Si deseamos especificar los extremos A como

lim 'If(u¡, v¡)¿lx¡ II~II-O

i

lim 'If(u¡, V¡)~Yi'

II~II-O

i

y B de e escribimos estas integrales de línea

866

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

r

ll

f

~ f(x,y)dx

f(x,y)dy.

y

Si e está dada paramétricamente por x = g(/), Y = h(/), donde a ~ I ~ b, en­ tonces estas integrales se pueden evaluar sustituyendo g(/) y h(/) en lugar de x y y respectivamente, tomando dx = g'(/)dl, dy = h'(/)dl Y usando a y b como límites de integración.

Se

Se

Ejemplo 3

Evalúe f(x, y)dx y f(x, y)dy suponiendo que f(x, y) de la parábola y = x 2 entre A(O, O) y 8(2, 4).

Solución

Unas ecuaciones paramétricas para lo tanto dx = dI, dy = 21 dI Y

e

son x

2

r x/ dx = Jor t Je

f

xy 2 dy

e

=

5

dt =

=

=

Y

xy2 y que

2

donde O ~

1 ,

I ~

2. Por

~t6J 2 32 6 o 3'

5 I

1,

e es la parte

=

2 ]

2 5

256 7

2

t ·2tdt =_t 7 o 7 o

Si e es la gráfica de una ecuación rectangular y = g(x) donde a entonces unas ecuaciones paramétricas para e son

~

x

~

b,

x = 1, Y = g(/), donde a ~ I ~ b.

Las integrales de línea en (18.10) pueden evaluarse como sigue: rI(x,y)dX =

J(

fb f(t,g(t))dt = fba I(x,g(x))dx el

iI(X,y)d y =

f

f(/,g(t))g'(t)dt =

f

f(x, g(x))g'(x) dx.

Esto demuestra que para curvas dadas en la forma rectangular y = g(x) donde a ~ x ~ b, pode:nos evitar las ecuaciones para métricas sustituyendo directamente y = g(x), dy = g'(x) dx y usando a y b como límites de integración. Así, en el ejemplo 3, donde y = x 2 , podríamos haber escrito

i f

xy2 dx =

e

e

xy2 dy

=

, x(x 4) dx = ­32

5.o

f

2

o

3

256

x(x 4 )2x dx = - ,

7

En las aplicaciones, a menudo aparecen integrales de línea en esta combinación:

J(.r M(x,y)dx + Jre N(x,y)dy donde M y N son funciones continuas en un dominio D que contiene a C. Esta suma se puede escribir en forma abreviada como sigue:

INTEGRALES DE LINEA

L

M(x,y)dx

+

867

18.2

N(x,y)dy.

Si C está dada paramétricamente por x = g(t), y = h(t), donde a ~ t ~ b, en­ tonces la integral se puede evaluar sustituyendo expresiones apropiadas en términos de t en lugar de x, y, dx Y dy como se hizo anteriormente. Ejemplo 4

Evalúe Sexy dx + x 2 dy suponiendo que (a) C consta de segmentos rectos que van de (2, 1) a (4, 1) Y de (4, 1) a (4, 5). (b) C es el segmento recto que va de (2, 1) a (4, 5). (c) C está dada paramétricamente por x = 3t - 1, Y = 3t 2

Solución

-

2t; 1 ~ t ~ 5/3.

(a) Si dividimos C en dos partes C 1 y C 2 como se muestra en la figura 18.5, en­ tonces C1:x

C 2: x

= t,y = 1; 2~1~4 = 4, Y = 1; l ~ 1 ~ 5.

son unas ecuaciones paramétricas para estas curvas. La integral de línea sobre C puede expresarse como una suma de dos integrales de linea, la primera sobre C 1 y la segunda sobre C 2 . En C I tenemos dy = 0, dx = dt y por lo tanto

r

xydx

+ x 2 dy

JC 1

=f

41

(\)dl

+

2

°=~12J4 = 2

6.

2

En C 2 tenemos dx = 0, dy = dt y por lo tanto

i

2

xydx + x dy

=

e,

fS 0+

16dl

=

161JS = 64.

1

I

Por consiguiente la integral de línea sobre C es igual a 6 + 64, o sea 70. (b) La gráfica de C está dibujada en (ii) de la figura 18.5. Como y = 2x - 3, donde 2 ~ x ~ 4, es una ecuación rectangular para C, podemos escribir

L

xydx

+ x 2 dy =

{4

x(2x - 3)dx

y

y

J("')

+ x 2 2dx

=

l4

(4x 2

-

3x)dx

=

I~O = 56~.

y

/(,.,)

ji" ')

el

(2, l)el

(4, 1)

x (i)

(2, 1)

(2, 1)

x (ii)

Figura 18.5

x (iii)

868

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

(c) La gráfica de Ces parte de una parábola (vea (iii) de la figura 18.5). Como dx = 3dr y dy = (6r - 2)dr, la integ~al dada es igual a 5/3

f

.

(3t - 1)(3r 2

1

-

2t)3dt + (3t - 1)2(6t - 2)dt.

Se deja como ejercicio al lector demostrar que el valor de esta integral es 58. Otro método de solución consiste en usar la ecuación rectangular y = (1/3)(x 2 - 1) de la parábola, donde 2 ::s;; x ::s;; 4. En este caso obtenemos la siguiente integral:

f

e

xydx

+ x 2 dy =

f4 x -(x 1 2

3

2

- 1 )dx

+

(2 )

x 2 - x dx = 58.

3

En el ejemplo anterior obtuvimos tres valores diferentes para la integral de línea sobre tres trayectorias diferentes de (2, 1) a (4, 5). En la sección 3 consideraremos integrales de línea que tienen el mismo valor sobre todas las curvas que van de un punto fijo A a otro punto fijo B. De dichas integrales diremos que son independientes de la trayectoria. Si una curva e en tres dimensiones está dada paramétricamente por x=g(t),

y=h(t),

z=k(t)

donde las funciones g, h y k son lisas en el intervalo [a, bJ, entonces podemos definir integrales de línea de una función f de tres variables de manera similar a las de una función de dos variables. En este caso, en lugar de (x¡, y¡) y (u¡, v¡) usamos (x¡, y¡, z¡) y (u¡, Vi' \V¡) como las coordenadas de p¡ y Q¡ respectivamente (vea la figura. 18.3). En lugar de (18.6) ahora tenemos

f

f(x,y,Z)dS= Iim ¿f(u¡,v¡,w¡jÓs¡.

e

11611-0

r

¡

Esta integral se puede evaluar usando la fórmula f(g(l), h(!), k(!))J(g'(!))2

+

(h'(t))2

+

(k'(t))2 dt.

En el caso de tres dimensiones, además de las integrales de línea con respecto a x y y hay una integral de línea con respecto a z, la cual está dada por

f

e

j(x,y,z)dz =

Iim ¿f(u¡,u¡,lv¡lM¡ 1I.l1l-0

i

donde óZ¡ = Z¡ - Zi-1' Como en el caso de dos dimensiones, estas integrales frecuentemente aparecen en la forma

fe M(x,y,z)dx + N(x,y,z)dy + P(x,y,z)dz donde M, N Y P son funciones de x, y y z que son continuas en una región que con­ tiene a C. Si e está dada en forma paramétrica, entonces esta integral de línea puede evaluarse sustituyendo x, y y z como se hizo en el caso de dos variables.

INTEGRALES DE LINEA

Ejemplo 5

869

Evalúe Lyzdx

donde

+ xzdy + xydz

e es la cúbica torcida x=t,

Solución

18.2

y=t 2 ,

O~t~2.

Z=t 3 ;

Sustituyendo x, y y z y usando dx = dI, dy = 21 dI, dz = 31 2 dl, obtenemos

1

1 2

2

5

t dt

+ 21 5 dt + 3t 5 dt =

5

6t dt

J:

= t6

= 64.

Una de las aplicaciones físicas más importantes de la integral de línea está relacionada con los campos de fuerza. Supongamos que la fuerza que actúa en el punto (x, y, z) está dada por el campo vectorial F(x,y,z)

= M(x,y,z)i +

N(x,y,z)j + P(x,y,z)k

donde las funciones M, N Y P son continuas en un dominio adecuado. Nuestro objetivo es calcular el trabajo realizado cuando el punto al que se aplica la fuerza F(x, y, z), se mueve sobre una curva e, donde e está dada paramétricamente por x

=

g(t), Y

=

h(t), z

=

k(t); a ~ 1 ~ b.

Comencemos por dividir e como se ilustra en la figura 18.6, donde para cada i, P; Y Q¡ tienen coordenadas (Xi' Yi, z;) Y (Ui' Vi' IV;) respectivamente. Si la norma IIL\II es ~queña, entonces el trabajo hecho por la fuerza F(x, y, z) a lo largo del arco lf- ¡ P¡ es aproximadamente igual al trabajo L\ u-¡ efectuado por la fuerza cons­ tante F(ui , Vi' IV i ) cuando el punto al que se aplica, recorre el segmento p;-¡p;. Si L\x¡ = x¡ - x¡_¡, L\y¡ = Yi - Y¡_¡ Y L\z¡ = z¡ - z¡_¡ entonces p;-¡p¡ corres­ z

y

x

Figura 18.6

870

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

ponde al vector ~xii + ~y¡j el trabajo ~ W; está dado por

+

~zjk

de V3 . De acuerdo con la definición (14.26),

+ l1y¡j + l1z¡k)

l1w¡ = F(uj, Vj, 11';). (l1x¡i

= M(u¡,v¡,w¡)l1x¡ + N(u¡,v¡,w¡)l1Yi + P(u¡,v¡,w¡)l1z El trabajo Wefectuado por F a lo largo de

=

W

e es,

j •

por definición,

lim ¿MV; 11

~II-O

i

es decir (18.11)

W

=

fe

M(x,y,z)dx

+ N(x,y,z)dy + P(x,y,z)dz.

En dos dimensiones hay una situación similar. En este caso, si el campo de fuerza está dado por F(x.yl =\I(x.r)i +­ .Y(\,rlj

y e es una curva plana finita lisa por partes, entonces el trabajo efectuado cuando el punto al que se aplica la fuerza F(x, y) se mueve a lo largo de e es (18.12)

IV =

f

.'vI(X·Yldx

+

:V(x,y)dy.

e

Es interesante interpretar (18.11) desde el punto de vista vectorial. Si definimos r(t) = xi

+Ij

+ :k

donde x = g(t), Y = h(t), Z = k(t), entonces r(t) es el vector de posición del punto Q(x, y, z) en C. Si s denota la longitud de arco medida a lo largo de e, entonces como en la sección 15.4, un vector unitario T(s) tangente a e en Q está dado por T(s)

el ds

= -r(l) =

elx dI d: - j + --=--j + --k. ds d.1 dI

Los vectores r(r), F(x, y, z) y T(s) se ilustran en la figura 18.7. La componente tangencial de F en Q es F(x,y,:)·

Tls)

dx = .'vI(x,},:) ­

ds

+

dI'

N(x,y, Z) --=-­

ds

+

el:

P(s,y, z)-.

ds

La fórmula (18.11) se puede entonces reescribir asi: (18.13)

W =

f

F(x,y,z)·T(s)ds

e

es decir, el trabajo realizado cuando el punto al que se aplica F(x, y, z) se mueve a lo largo de C. es igual a la integral de línea de la componente tangencial de F a lo largo de C. A veces es conveniente abreviar F(x, y, z) escribiendo F, T(s) escribiendo T y escribir formalmente

dr

= dxi

+ dyj + d:k

=

Tds.

INTEGRALES DE LINEA

18.2

871

f(x. Y. z)

z

Q(x. Y. z)

B

y

x

Figura 18.7

Con esta convención respecto a la notación, (18.11) Y (18.13) se pueden escribir así:

w=

(18.14)

f

F· dr

e

=

f

e

F· Te/s.

La misma fónnula puede usarse para abreviar (18.12). Intuitivamente podemos considerar que F . dr representa el trabajo cuando el punto al que se aplica la fuerza se mueve a lo largo del vector dr tangente a C. El símbolo de integral representa el límite de unas sumas de estos elementos de trabajo. Ejemplo 6

Un campo de fuerza del tipo del de la gravedad F está dado por F(x,y,z)

=

"

-3 r

Irl

Encuentre el trabajo hecho por F cuando el punto al que se aplica se mueve a lo largo del eje x de A (1, O, O) a B(2, O, O). Solución

Denotemos por

e el segmento recto

AB. Como

k .• 2 2 31 (X1 + YJ x +y +z) 2

F(x,y,z) =

(2

+ zk),

usando (18.14) concluimos que W =

donde

e

f

e

F·dr

=

f

c(x

2

k 2

, 312(xdx

+ y + r)

+ ydy + zdz),

está dada paramétricamente por x = t, Y = O, z = O para l :::;; t :::;; 2.

872

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

Sustituyendo en la integral anterior y simplificando, W =

fl (e~edt = fl ~de e 1

)3 1 _

1

=

2

_~.r e

J

1

k 2

Las unidades de W dependen de las que se usan para la distancia y para la fuerza.

18.2 EJERCICIOS En los ejercicios 1 y 2 evalúe las integrales de linea Je/(x, y) els, Ief(x, y) dx y suponiendo que C está definida paramétrieamente como se indica.

f(x.y) = x J + y: x

=

= r J : OSI S 1

Icf(x, y) ely

= xy2/5;

= ir. y = e52 : OSI

2

/(x,y)

3 Evalúe Ie6x2y dx + xy lÚ' donde C es la gráfica dey = x J + l de(-1,0)a(I,2).

4

Evalúe y dx + (x + y) dy donde e es la gráfica de y = .\2 + 2x de (O, O) a (2,8).

5 Evalúe Idx - y) dx + x dy donde C es la gráfica de y2 = x de (4, -2) a (4,2).

6

Evalúe Iexy elx + x 2y J ely donde C es la gráfica de x = yJ de (0,0) a (1,1).

7 Evalúe Iexyelx + (x + y) dy para las curvas siguientes. (a) C consta de los segmentos rectos de (O, O) a (1, O) Y de (1, O) a (1,3). (b) C consta de los segmentos rectos de (O, O) a (O. 3) Y de (0,3) a (1,3). (e) C es el segmento recto de (O, O) a (1,3). (d) e es la parte de la parábola y = )x2 de

8

(O. O)

a

le

3e. y

S I

k

Ic
2 Evalúe + .1'2) elx + 2x ely para las curvas siguientes. (a) C consta de los segmentos rectos de (1, 2) a (1,8) Y de (1,8) a (-2,8). (b) C consta de los segmentos rectos de (l. 2) a (- 2,2) Y de (- 2,2) a (- 2,8). (e) es el segmento recto de (1, 2) a (-2,8). (d) Ces la gráfica dey = 2x 2 de (1, 2) a (-2,8),

e

(1, 3).

x

x,: elx + (y + ,:) dy + dz donde e está dada por x = el, y = e-l. z = e 2 '; OSISI.

9 Evalúe

X

10

Evalúe Ieyelx + z dy + x el,: donde C está dada por x = sen 1, Y = 2 sen 1, Z = sen 2 1: O S r s rrj2.

m:

II Evalúe ~: ó: (x + y + z) dx + (x - 2y + 3z) dy + (2x + y - z) di: para cada una de las siguientes curvas de (O, O, O) a (2, 3, 4). (a) C consta de tres segmentos rectos, el primero es paralelo al eje x, el segundo paralelo

al eje y y el tercero paralelo al eje z.

(b) C consta de tres segmentos rectos, el primero es paralelo al eje z, el segundo paralelo

al eje x y el tercero paralelo al eje y.

(c) C es un segmento recto.

12

Evalúe I:l.4.:.t~: (x - y) dx + (y - z) (Zy + xdz donde la curva C que va de (1. -2,3) a (- 4, 5, 2) es del tipo descrito en las partes (a), (b) y (c) del ejercicio 11.

13 Evalúe JeXI'z ds donde C es el segmento recto de (O. O, O) a (1,2,3)

14

Evalúe Ic
15 Un alambre delgado se coloca en un plano coordenado de t¡¡1 manera que su forma coin­ cide con la parte de la parábola y = 4 - x 2 . que se encuentra entre (-2,0) y (2,0). Encuentre la masa y el centro de masa suponiendo que la densidad en el punto (x, y) es directamente proporcional a su distancia al eje y.

16

La forma de un alambre delgado colocado en un plano coordenado coincide con la gráfica de y = 1- x 2 de (-1,0) a (0.1). Encuentre la masa y el centro de masa suponiendo que la densidad en el punto (x, y) es directamente proporcional a su distancia al eje x.

°

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Generalice las definiciones de masa y centro de masa al caso de un alambre en tres dimensiones.

18.3

873

18

Un alambre de densidad uniforme tiene la forma de la hélice x = a cos /, y = a sen /, z = b/, donde O :;:; / :;:; 31t. Encuentre la masa y el centro de masa del alambre (vea el ejercicio 17).

19 Sea F(x, y) = xy 2 i + x 2yj. Evalúe F· dr a lo largo de las curvas descritas en los incisos del (a) al (d) del ejercicio 7.

20

Sea F(x, y) = (2x + y)i + (x + 2y)j. Evalúe feF. dr a Jo largo de las curvas descritas en Jos incisos del (a) al (d) del ejercicio 8.

21 La fuerza que actúa sobre el punto (x, y) en un plano coordenado está dada por

22

La fuerza que actúa sobre el punto (x, y) en un plano coordenado está dada por

17

fe

F(x, y)

=

4r W'

donde r

=

xi

F(x, y) = (x 2

+ yj.

Calcule el trabajo efectuado por F sobre un punto que se mueve a lo largo de la gráfica de y = x 2 de (O, O) a (2,4).

Calcule el trabajo efectuado por F sobre un punto que se mueve a lo largo del semicírculo superior x 2 + y2 = a 2 de (- a, O) a (a, O).

23 La fuerza que actúa en un punto (x, y, z) de un sistema tridimensional es F(x, y, z) = yi

+ y2)i + xyj.

24

Resuelva el ejercicio 23 suponiendo que F(x, y, z) = eXi

+ eYj + e"k.

+ zj + xk.

Calcule el trabajo efectuado por F(x, y, z) sobre

un punto que se mueve a lo largo de la curva

x = /, Y = /2, Z = /3 de (O, O, O) a (2,4,8).

25 Un alambre delgado de densidad variable se representa por medio de una curva e en el plano xy. Defina los momentos de inercia Ix e Iy con respecto a los ejes x y y respectivamente. Calcule Ix e Iy para el alambre del ejercicio 16.

26

Calcule los momentos de inercia Ix e 1, para el alambre del ejercicio 15.

27 Un cable delgado de densidad variable se repre­ senta por medio de una curva en tres dimen­ siones. Defina sus momentos de inercia con respecto a los ejes x, y y z.

28

Dado el alambre del ejercicio 18, encuentre su momento de inercia con respecto el eje z (vea también el ejercicio 27).

29 Demuestre que si un campo de fuerza F de siempre es ortogonal trabajo efectuado por

30

Demuestre que si una fuerza constante e actúa sobre un objeto mientras éste da una vuelta sobre un círculo, entonces el trabajo realizado por e sobre el objeto es O.

objeto se mueve en un manera que su velocidad a F(x, y, z), entonces el F sobre el objeto es O.

18.3 INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA

Una curva lisa por partes que conecta dos puntos A y B a veces se llama una trayec­ toria de A a B. Obtendremos ahora unas condiciones bajo las cuales una integral de línea es independiente de la trayectoria, en el sentido de que si A y B son dos puntos fijos arbitrarios, entonces la integral de línea toma el mismo valor a lo largo de cual­ quier trayectoria que vaya de A a B. Demostraremos los resultados para integrales de línea en dos dimensiones. Las demostraciones para el caso de tres dimensiones son similares y las omitimos.

874

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

A lo largo de toda esta sección supondremos que las regiones que consideramos son conexas. Esto significa que cualquier par de puntos en la región se puede unir mediante una curva lisa por partes toda la cual yace en la región. Supondremos también que para cualquier punto A en una región plana D existe un círculo con centro en A contenido en D. Una región de este tipo se llama una región abierta. El teorema siguiente nos proporciona el resultado fundamental de que si una fun­ ción vectorial F es continua en D entonces la integral de línea JcF . dr es indepen­ diente de la trayectoria si y sólo si f es conservativo. (18.15)

TEOREMA

Si f(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j es continua en una región abierta y conexa D, entonces la integral de línea Jcf . dr es independiente de la trayectoria si y sólo si f (x, y) = Vf(x, y) para alguna función.f Demostración. Supongamos que la integral es independiente de la trayectoria. Sea (x o , Yo) un punto fijo en D. Definamos f por medio de (x.}')

f(x,y) =

f

f·dr

(X(J.Y())

donde (x, y) es un punto arbitrario en D. Como la íntegral es independiente de la trayectoria,f depende solamente de x y y y no de la trayectoria C de (xo, Yo) a (x, y). Escojamos un círculo en D con centro (x, y) y sea (x l ' y) un punto dentro de este círculo tal que XI =1 x. Sea C I una trayectoria cualquiera de (x o , Yo) a (XI' y) Ysea C 2 el segmento horizontal de (XI' y) a (x, y), como se ilustra en (i) de la figura 18.8. y

y (x ¡, y)

(x, y)

(x, y)

(x, y¡)

(xo, Yo)

x

x

(i)

(ii)

Figura 18.8

Podemos escribir f(x,y) =

r

J, f·dr + CI

f

f·dr

f(XI.}') =

C,

Como la primera integral no depende de x,

(X".YO)

f·dr

+

f 1x ,},) (X,.Y)

f·dr.

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA

(}

-f(x,y)

ex

. (} J1X,YI = o+ F . dr.

ex

+

Escribiendo F . dr = M(x, y)dx a lo largo de C 2 , obtenemos

875

18.3

(X,.y)

N(x, y)dy y usando el hecho de que dy = O

e

e J(X,YI

- f(x,y) =;0x (jX

M(x,y)dx.

(X,.y)

Como y se mantiene fijo al derivar parcialmente con respecto a x, podemos pensar en el integrando como una función de la variable x únicamente, Aplicando (5.33) obtenemos

a

ex f(x,y) = M(x,y).

Análogamente, si escogemos la trayectoria mostrada en (ii) de la figura 18.8 y derivamos con respecto a y, obtenemos

a .

ayf(x,y)

=

N(x,y).

Esto demuestra que Vf(x, y) = F(x, y). Inversamente, supongamos que existe una funciónftal que F(x, y) Entonces M(x,y)i

=

Vf(x, y).

+ N(x,y)j = fx(x,y)i + ./y(x,y)j

y por lo tanto M(x, y)

= fx(x,

y)

Y N(x, y) = fy(x, y).

Por consiguiente, si A(x l , YI) y B(X2' Y2) están en D, entonces LF.dr = LfAx,y)dX + f,(x,y)dy

donde C es cualquier trayectoria de A a B. Si C es lisa y está dada paramétricamente por x = g(t), Y = h(t) donde tI ::::; t ::::; t 2 , entonces, sustituyendo en el integrando y usando el teorema (16.19), llegamos a

r F·dr = J'21, [fAg(t),h(t))g/(t) + fy(g(t),h(t))h/(t)]dt.

Je

Aplicando (16.19) y el teorema fundamental del cálculo obtenemos

1 e

'2

F·dr =

J

d

-[f(g(tl,h(t))]dt /, dt

= f(g(t2),h(t2)) - f(g(t¡},h(t¡}) =

f(X2'Y2) - f(xI ,y¡}.

Por lo tanto, el valor de la integral de línea depende únicamente de las coor­

876

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

denadas de A y B Y no de la trayectoria e, que es lo que deseábamos demostrar. La demostración puede generalizarse al caso de curvas lisas por partes, dividiendo e en un número finito de curvas lisas. El teorema (18.15) se puede generalizar a integrales de línea en tres dimensiones. La demostración se deja como ejercicio. Es conveniente enunciar (18.15) en la siguiente forma equivalente en la que no intervienen vectores. (18.16)

TEOREMA

Si M Y N son funciones continuas en una región abierta y conexa, entonces la integral de linea ll

f

.\1(x,y)dx

+ N(x,y)dy

-1

es independiente de la trayectoria si y sólo si existe una función f tal que

01

-=M

ex

Y

o/ ::;ey

= N.

Si se puede encontrar la función f indicada en (18.16), entonces

. el

di = ::;-dx ex

01

+ -;-dy = :\If(x,y)dx + N(x,y)dy, LY

y el trabajo realizado anteriormente nos permite escribir (18.17)

IX2.Y2l

f

(X¡.}l¡)

M(x,y)dx + N(x,y)dy =

f(X2.Y2l

df = f(X2,Y2) - f(x¡,y¡} (x 1.Y¡)

donde (x l' Y 1) Y (X2, Yz) son las coordenadas de A y B respectivamente. Esta fór­ mula es análoga al teorema fundamental del cálculo (5.31). En términos de campos de fuerza conservativos, (18.17) implica que el trabajo efectuado a lo largo de cualquier trayectoria e de A a B es igual a la diferencia de potenciales entre A y B. Si e es una curva cerrada, es decir, si A = B, entonces el trabajo realizado al recorrer e es O. Se puede demostrar que un resultado inverso a éste también es cierto, específicamente, si ScF . dr = O para cualquier curva cerrada simple e, entonces la integral de línea es independiente de la trayectoria y por 10 tanto el campo es conservativo. Estos hechos son muy importantes en las aplicaciones, ya que muchos de los campos vectoriales que aparecen en la naturaleza (tales como los campos del tipo del de la gravedad) son conservativos. En términos fisicos, si una partícula recorre una curva cerrada en un campo de fuerza conservativo y si no hay pérdida de energía debido a la friccíón, entonces el trabajo efectuado es O. Esto es también una consecuencia de la ley de conservación de la energía. Supongamos que F es un campo vectorial conservativo con una función de potencialf, es decir, F(x, y) = V¡(x, y). Si A (x l ' Y1) es un punto en el que el potencial es O y si B(x, y) es otro punto cualquiera, entonces como en (18.17),

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECfORlA

f~ F·dr =I(x,y) -

18.3

877

I(x¡,y¡) =I(x,y).

Esto demuestra que el potencial en cualquier punto B es igual al trabajo necesario para ir de un punto de potencial cero al punto B. Esta descripción es análoga a la de la energia potencial en la fisica clásica, según la cual la energía potencial es la que tiene un cuerpo en virtud de su posición. El resultado siguiente proporciona información adicional acerca de la inde­ pendencia de la trayectoria. (18.18)

TEOREMA

Si M(x, y) y N(x, y) tienen primeras derivadas parciales continuas en una región abierta conexa D, y si

1.

M(x,y)dx

+

N(x,y)dy

es independiente de la trayectoria en D, entonces

oM

oN ex'

¿ly Demostración.

Según el teorema (18.16) existe una función I tal que

al

al

M=­ y N = ay' ox

Por consiguiente

oN iJx'

Del teorema (18.18) se infiere que si iJ MjiJY ,;, iJ NjiJx, entonces la integral de línea indicada no es independiente de la trayectoria. La afirmación inversa del teorema (18.18) es falsa. Sin embargo, se puede demostrar que si D es una región simplemente conexa, en el sentido de que toda curva simple cerrada e en D encierra solamente puntos de D (es decir, la región no tiene "hoyos"), entonces la condición oMjiJy = iJNjox implica que la integral de línea es independiente de la trayectoria. Ejemplo 1

Sea F(x, y) = (2x + y3)i + (3 xy 2 diente de la trayectoria y evalúe

+

4)j. Demuestre que ScF . dr es indepen­

5(2.3)

F·dr.

(0.1)

Solución

Según el teorema (18.15) o (18.16), la integral es independiente de la trayectoria si existe una función (de potencial) I tal que IAx, y) = 2x

+

y3

y /y(x, y) = 3 xy 2

+

4.

878

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

Si integramos (parcialmente) f:c(x, y) con respecto a x obtenemos f(x,y) = x 2 + xl + k(y) donde k es una función que depende solamente de y. Derivando esta expresión con respecto a y y comparando el resultado con f/x, y) = 3xy 2 + 4 vemos que /y(x,y)

Por consiguiente k'( y)

=

3xy 2 + k'(y)

= 4, o k( y) = 4y + f(x,y)

=

=

3xy 2 + 4.

e para alguna constante c. Por lo tanto

2

x + xl + 4y + e

define una función del tipo deseado. Aplicando (18.17), (2.3) f(2.3) d(x 2 + xy3 + 4y) (2x + y3)dx + (3xl + 4)dy = f (0.11 (0.1) (2.3)

= x2

+ xy3 + 4y

J

(0.1)

= (4

Ejemplo 2 Solución

+ 54 +

12) ­ 4 = 66.

Demuestre que J~x2y dx + 3xy 2 dy no es independiente de la trayectoria. Sean M = x 2y Y N = 3xy 2. Entonces

eM ey

-=x

Como eM/ey (18.18».

=1=

2

y

eN

-~- =

ox

2

3y .

eN/ex, la integral no es independiente de la trayectoria (vea

En muchas aplicaciones se necesita encontrar un potencial f para un campo vectorial conservativo F dado. En el ejemplo I determinamos f para un campo de dos dimensiones. La solución del ejemplo siguiente ilustra un método que se puede usar en tres dimensiones. Ejemplo 3

Sea F(x, y, z) = y2 cos xi + (2y sen x + e 2z )j + 2ye 2z k. Demuestre que JcF . dr es independiente de la trayectoria y encuentre una función de potencial f para F.

Solución

La integral es independiente de la trayectoria si existe una función diferenciable f de x, y y z tal que Vf(x, y, z) = F(x, y, z); es decir, si (a)

f~(x,y,z)

= y2cos x

f;,(x,y,z)

= 2ysenx + el:

fz(x,y,z)

=

2ye 2z .

Si integramos parcialmente f:c(x, y, z) con respecto a x obtenemos (b)

f(x,y,z)

=

y2 sen x + g(y,z)

para alguna función g de y y z. Derivando con respecto a y y comparando con la expresión para 1;, en (a) obtenemos

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA

fy(x, y, z)

879

18.3

= 2y sen x + gy(y, z) = 2y sen x + e 2z

y por lo tanto

gy(y, z) = e 2z .

Integrando con respecto a y obtenemos g(y, z) = ye h + k(z)

donde k depende solamente de z. Por consiguiente, de la ecuación (b), f(x,y,z) = y2 senx + ye 2Z + k(z). Derivando con respecto a z y usando la expresión para!. en (a), fz(x, y, z) = 2ye h + k'(z) = 2ye 2z . Resulta que k'(z)

Oo k(z)

= e para alguna constante c. Por lo tanto

f(x,y,z) = y2 senx + ye h + e

define una función de potencial para F.

18.3 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 10 determine si fe F . dr es independiente de la trayectoria o no. Si lo es, encuentre una función de potencial/para F.

= (3x 2r

F(x.y)

3 F(x.yl

+

2)i

+ (x" +

4\"\)j

e"i + 13 - eX senr)j

=

5

F(x. .1') = 4xy"i + 2xy"j

7

F(x. .1'.:) =

9

F(x. .\'.:) = 3.d + 11 - 6y:")j + (4x 2

(y

sec 2 x -- :e")i + tan xj - e" k -

2xr 2 )i

+

2

F/x.y) = (6x 2

4

F(x.y) = (x 2 +\,1)-1 2(

6

F(x.y) = r"cosxi - 3y l senxj

8

F(x.)'.:) = (r

-

+

(2x l y

-yi

+

+ 5)j

xj)

:)i + (x + :)j + (x + y)k

9/z 2 )k

En cada uno de los ejercicios del II al 14 demuestre que la integral de línea es independiente de la trayectoria y calcule su valor. IJ.,)

11

f f

'1.1l: 12)

(yl

+

2xy) elx

+

(Xl

+

2xy) el)'

12

l-

13

f

e"

sen y elx + e" cos y ely

10.01

t - 1,2)

2,1,.11

2z 2 ) d.x

(6 xy J

+

(yz +

lldx

+ 9X 2 y 2 el)'

+

(4xz

+

11 ¡Jz

11.0,11 I-1. 1 '11

14

J

+ (x: +

I)ely

+

(xy + I)dz

I'¡.O,JI

15 Suponga que una fuerza F(x, y, z) está dirigida hacia el origen y su magnitud es inversamente proporcional a la distancia de (x, y, z) al origen. Demuestre que F es un campo vectorial con­ servativo y encuentre una función de potencial para F.

16

Suponga que una fuerza F(x, y, z) está dirigida en dirección opuesta al origen y su magnitud es directamente proporcional a la distancia de (x, y, z) al origen. Demuestre que F es un campo vectorial conservativo y encuentre una función de potencial para F.

880

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

17 Demuestre que si JcM(x, y, z)dx + N(x, y, z)dy + P(x, y, z)dz es independiente de la trayectoria y M, N y P tienen primeras derivadas parciales continuas entonces

cM

~N

?y

("lx '

~M

¡P

iN

¡P

tz

ex

tz

ty

18 Demuestre el teorema análogo al (18.15) para integrales de línea en tres dimensiones. Use el ejercicio 17 para demostrar que las siguientes integrales de línea no son independientes de la trayectoria.

II.2 ..11

19

J

IO.I';O

2xytlx + (x 2

+ z2)dy + .l'zdz

20

(0.0,0)

J

(,.1'

cos: tlx + x(',1 cos: dI'

+ x('!' Sén: ti:

( 1.0,0)

18.4 EL TEOREMA DE GREEN Recordemos que una curva plana e es lisa si se puede representar paramétricamente por x = g(t), Y = h(t) donde g' y h' son continuas en un intervalo [a, b J y no se anulan simultáneamente, excepto posiblemente en a o b. Si A

= (g(a),h(aj) = (g(b),h(b)) = B,

entonces se dice que e es una curva lisa cerrada. Si además (g(t¡), h(t¡» "# (g(t 2 ), h(t 2 » para cualquier par de números t ¡, t 2 en (a, b), entonces e no se cruza a si misma entre A y B Yse llama una curva simple. Los círculos y las elipses son ejem­ plos comunes de curvas lisas cerradas simples. Una curva lisa por partes cerrada simple consta de una unión finita de curvas lisas C¡ tales que cuando t recorre [a, bJ, el punto P(t) obtenido mediante la representación paramétrica de e, traza C ex­ actamente una vez, excepto que P(a) = P(b). Una curva de este tipo encierra una región R del plano, de la cual es su frontera. La dirección positiva de e es tal que R se encuentra a la izquierda de P(t) cuando P(t) traza C en esa dirección. Esto se ilustra en la figura 18.9, donde las flechas indican la dirección positiva a lo largo de C. El símbolo

A~

:te

M(x,y)dx

+

N(x,y)dy

Figura 18.9

EL TEOREMA DE GREEN

881

18.4

denotará una integral de línea a lo largo de una curva lisa por partes cerrada simple e donde la integración se realiza recorriendo la curva una sola vez en la dirección positiva. El siguiente teorema, nombrado en honor del fisico matemático inglés George Green (1793-1841), muestra la relación que existe entre la integral de línea alrededor de e y una integral doble sobre R. Para simplificar el enunciado, se usan los símbolos M, N, oM/ay y aN/ox para denotar los valores de estas funciones en (x, y). (18.19)

TEOREMA DE GREEN

Sea e una curva lisa por partes cerrada simple y sea R la región que consta de e y su interior. Si M Y N son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en una región abierta D que contiene a R, entonces

aN

P,e. M dx + N dy = ff (-~ex

OM) --;- dA. vy

R

Demostración Parcial. Demostraremos el teorema para una región R que es tanto de tipo 1 como de tipo 11. En este caso podemos escribir R

=

[(x,y): (/ S; x S; b,gdx) S; y S; g~(x);

y

R = ¡(x, y): e S; y S; d, IIdy) S; x S; h~tr);

donde las funciónes gl' g2, h l Y h 2 son lisas. En la figura 18.10 aparece una ilus­ tración de una región de este tipo. Basta demostrar que se satisface cada una de las siguientes igualdades

t..

(a)

ffCM 8¡dA

M dx = -

R

fe

(b)

N dy =

ff~:

dA

R

y

y

a

h

x

(i)

x (ii)

Figura 18.10

882

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

ya que al sumarlas obtenemos la conclusión deseada. Para demostrar (a) nos remitimos a (i) de la figura 18.10 y notamos que C consta de dos curvas C I y C 2 que tienen ecuaciones y = gl(x) y y = g2(X) respectiva­ mente. La integral de línea ~cM dx puede escribirse así:

1

M dx

'fc

=

=

=

f

M(x,y)dx

l

M(x,g¡{x))dx

f

M(x,g¡{x))dx -

c,

~h

+

f

c,

+

M(x,y)dx

fa M(X,gl(X))dx b

f

M(X,gl(X))dx.

Aplicando (i) de (17.14) obtenemos

aM

fbfg2(X)aM

ss ay

-dA =

-dydx

a

R

b

=

f

g,(xI

ay Jg2(X)

M(x,y)

a

=

f

dx g,(x)

[M(X,g2(X)) - M(x,gl(X))] dx.

Comparando esta última expresión con la que obtuvimos para ~c M dx obtenemos (a). La fórmula en (b) puede demostrarse de manera similar haciendo referencia a (ii) de la figura 18.l0. Esto se deja como ejercicio. Aunque no lo demostraremos, el teorema de Green es válido para regiones del tipo ilustrado en la figura 17.1, en las que parte de la frontera consta de seg­ mentos de recta horizontales o verticales. El teorema se puede generalizar al caso en el que R es una unión finita de tales regiones. Por ejemplo si R = R I U R 2 donde la frontera de R I es C I u C; y la frontera de R 2 es C 2 u Cí, como se ilustra en la figura 18.ll, entonces

f'S(~N x

-

aaM ) dy dx = ! Y

,M dx + N dy

JCIUC 1

R1

SS ( ~Nx -

M

aa

y

) dydx

=!

,Mdx

+ Ndy.

JC2 U C2

R,

La suma de estas dos integrales dobles es igual a la integral doble sobre R. Ahora observamos que la integral de linea a lo largo de C; en la dirección indicada en la figura 18.11 es igual a menos la integral sobre C; ya que las curvas son la misma pero sus direcciones son opuestas. Resulta que la suma de las dos integrales de línea se reduce a una integral de línea a lo largo de C I u C 2 , que es la frontera C de R. Por lo tanto

EL TEOREMA DE GREEN

883

18.4

Figura 18.11

8N

!

OM)

ox - oy' dydx=ycMdx+Ndy. SS ( R

Podemos proceder ahora a generalizar el teorema, al caso de una unión finita, mediante inducción matemática. La demostración de la versión más general del teorema de Green está fuera del alcance de este libro.

Ejemplo 1

Use el teorema de Green para evaluar 'cSxy dx + x 3 dy, donde e es la curva cerrada que consta de las gráficas de y = x 2 y y = 2x, entre los puntos (O, O) Y (2, 4).

Solución

La región R acotada por e se ilustra en la figura 17.7. Aplicando (18.19) con M(x, y) = Sxy y N(x, y) = x 3 , vemos que

*.

Sxydx

+x

3

dy = S S[:x (x

3

:v(SXY )] dA

) -

R

=

J2fh

(3x 2

o x'

=

J,(2 3x 2 y o

Sx)dydx

-

J. dx

Sxy

2x

x

28 IS Por supuesto, la integral de linea también se puede evaluar directamente.

Ejemplo 2

Use el teorema de Green para evaluar la integral de línea

i. donde Solución

e es la elipse 4x 2 + 9y 2

2xydx

+ (x 2 + y2)dy

= 36.

Sea R la región acotada por C. Aplicando (18.19) con M(x, y) = 2xy + y2 obtenemos

x2

y

N(x, y) =

884

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

f.

2

2xye/x + (x + /)e/y =

ff (~x

- 2x)e/A

R

=

ff

Oe/A = O.

R

Ejemplo 3

Evalúe

j:e donde

Solución

e es la frontera

(eX' + y) e/x + (x 2 + tan -

I

fi) dy

del rectángulo con vértices (1, 2), (5, 2), (5,4) Y (1, 4).

La región R acotada por e está dibujada en la figura 18.12. Aplicando el teorema de Green vemos que la integral de línea es igual a

ff

(2x - l)e/A =

ff

(2x - l)e/xe/y

R

=

=

=

f[x

f

2 -

xI

e/y

20 e/y

20Y):

=

40.

El lector llegará a apreciar profundamente el teorema de Green al intentar evaluar directamente la integral de línea en este ejemplo. y

e

(5,4)

O

(5,2)

(1,4)

(1,2)

x

Figura 18.12 El teorema de Green se puede usar para deducir una fórmula muy útil e in­ teresante que sirve para calcular el área A de una región R acotada por una curva lisa cerrada simple C. Por un lado, si tomamos M = OY N = x en (18.19) obtenemos

EL TEOREMA DE GREEN

A

=f

f dA

18.4

885

= ~c x dy.

R

=

Por otro lado, si tomamos M

-y y N

=

A= ffdA=

O, resulta que

-~/dX.

R

Podemos combinar estas dos fórmulas para A sumando ambos lados de las dos ecuaciones y dividiendo por 2. Esto nos da (18.20)

Ejemplo 4

Solución

t Se x dy -

A =

Y dx.

x2 Use (18.20) para encontrar el área de la elipse a 2

+

Unas ecuaciones paramétricas para la elipse son x O :s; 1 :s; 2n. Sustituyendo en (18.20) obtenemos A

I{'ln

=2Jo =~

12n

ab

= -

b 2 = l.

=

a cos 1, y

=

b sen l, donde

(acosl)(bcoSl)dt - (bsent)(-asent)dt

2 + sen2 t)dl

ab(cos t

f2n

2 o

y2

dt

ab

= -(2n) 2

=

nabo

El teorema de Green se puede generalizar a una región R que tiene hoyos, siempre y cuando se integre a lo largo de toda la frontera manteniendo la región R a la izquierda. Esto se ilustra en la figura 18.13. Se puede demostrar que la in­ tegral doble sobre R es igual a la suma de las integrales de línea a lo largo de C l y C 2 en las direcciones indicadas. La demostración consiste en hacer un corte en R como se ilustra en la figura y entonces notar que la suma de las dos integrales de línea a lo largo de la misma curva pero en direcciones opuestas, es cero. Un argu­ mento similar se puede usar para el caso en que la región tiene varios hoyos. Usaremos la observación anterior en la solución del siguiente ejemplo.

Figura 18.13

i

886

18

Ejemplo 5

Sean C I y C 2 dos curvas lisas por partes cerradas simples que no se intersecan y que encierran el origen. Demuestre que si M = - y/(x 2 + y2) y N = x/(x 2 + y2), entonces

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

rc . IVl dx + N dy =!K, 1\1 dx + N dy.

! Solución

Sea R la región que se encuentra entre C I y C 2 . Tenernos una situación similar a la ilustrada en la figura 18.13, donde O está adentro de C 2' De acuerdo con los comentarios previos a este ejemplo,

a1\1) dA, r~c • 1\1 dx + N dy + ~C2~ 1\1 dx + N dy = SS (eN ax - i;; R

donde O indica la dirección positiva a lo largo de C 2 con respecto a R. Corno (x 2 +/)(I)-x(2x) (x 2 + y2)2

aN ax

a1\1

y2 _ x2 (x 2

+ .1'2)2

ay

la doble integral sobre R es cero. Por consiguiente

!

re.

1\1 dx

+ N dy

_1

=

'ft.,

1\1 dx

+ N dy.

Corno la dirección positiva a lo largo de C 2 con respecto a su interior R 2 es opuesta a la indicada en la última integral, tenernos

!

r

c•

1\1 dx

+ N dy

=!

r

c,

1\1 dx

+ N dy

que es lo que queríamos demostrar. Ejemplo 6

Sea l F(x, r) = - , - - , ( - ri . :x- + r .

+ xj)

demuestre que

J F. dr = 't.

2n

para toda curva lisa por partes cerrada simple que encierra al origen. Solución

La integral de línea tiene la misma forma que las que considerarnos en el ejemplo 5. Por lo tanto, si escogernos un círculo C I de radio a con centro en el origen que esté contenido dentro de C, entonces del ejemplo 5 tenernos que

j.e F· dr •j'(', F· dr. =

Como x = acost,

y

=

asent;

O~ t

~

2n,

EL TEOREMA DE GREEN

son unas ecuaciones paramétricas para

re F. dr = 1,h', x

1,

f

=

l.

2-

2

dx

-asenl 2

a

o

=

Y

+y

{l. (serr

I

el' +

887

18.4

tenemos que 2

x

x +y

(-asent)dl

+ cos 2 1) dI =

2

dy

+

acosl - - 2-(acosI)dl

a

{l.

dI = 2rr.

El teorema de Green tiene consecuencias de gran trascendencia en las matemáticas avanzadas. Esto es cierto especialmente en el área llamada variable compleja, tema que es fundamental para muchas aplicaciones importantes en las ciencias fisicas y la ingenieria.

18.4 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 10, utilice el teorema de Green para evaluar las integrales de línea. tdx2 + y)dx + xy 2dy, donde cerrada determinada por y2 = entre (O, O) Y (1, -1).

e X

es la curva Y Y = -x

3 tcx2y2dx + (x 2 - y2)dy, donde e es el cua­ drado con vértices (O, O), (1, O), (l. 1) Y (O, 1). 5 texy dx + (y + x)dy, donde unitario con centro en (O, O).

e

es el circulo

2 tdx + y2)dx + (1 + x 2)dy, donde e es la curva cerrada determinada por y = x 3 y y = x 2 entre (O, O) Y (1, 1). 4

fi

y dx + dy, donde e es el triángulo con vértices (1, 1), (3, 1) Y (2, 2).

te

6 te eX sen y dx + eX cos y dy, donde elipse 3x 2 + 8y 2 = 24.

e

es la

7 tcxy dx + sen y dy, donde e es el triángulo con vértices (1, 1), (2, 2) Y (3, O).

8 tetan - IX dx + 3x dy, donde e es el rectángulo con vértices (1, O), (O, 1), (2, 3) Y (3, 2).

e

10 tdx 2 + y2 )dx + 2xy dy, donde e es la frontera de la región acotada por las gráficas de y = y = OY x = 4.

9

te y2(l

+

X 2)-ldx

es la gráfica de

X

213

+ 2y tan -1 x dy, + y21 3 = l.

donde

fi,

En los ejercicios II y 12 use (18.20) para calcular el área de la región acotada por la curva que tiene las ecuaciones paramétricas dadas. 1Z

x

= (/ COS [.

e

y = (/ sen (: O ::; [ ::; 2n

Ellos ejercicios 13 y 14 use (18.20) para calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas. 13

r=4x".r=16x

15

Demuestre la fórmula (b) de la demostración parcial del teorema de Green

16

Use el teorema de Green para demostrar que si F(x, y) es un campo vectorial de dos dimen·

siones y J~ F . dr es independiente de la trayec· toria en la región D, entonces te F . dr = O para cualquier curva lisa por partes cerrada simple en D.

888 17

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

Sea R la región acotada por una curva lisa por partes cerrada simple e en el plano xy. Use el teorema de Green para demostrar que el centro de gravedad (x, .jí) de R está dado por I

5.­ =

.

-~ x 1 dr.

2.4 fe

.

I

18

.

¡. = - -­ ¡ r~ dx. 2A 1c · .

Suponga que una lámina homogénea de densi­ dad k tiene la forma de una región en el plano xy acotada por una curva lisa por partes cerrada simple C. Demuestre que los momentos de iner­ cia con respecto a los ejes x y y están dados por k •

1. =

,

donde A es el área de R. 19

Use el ejercicio 17 para encontrar el centro de gravedad de una región en foOlla de semicírculo con radio a.

18.5

20

-

-·1 r 3 dx, 3 Je

k •

1r = - ·j·1

.

3

:te

.\.3

ch.

Use el ejercicio 18 para calcular el momento de inercia de un disco circular homogéneo de radio a, con respecto a un diámetro.

DIVERGENCIA y ROTACIONAL El operador diferencial vectorial V en tres dimensiones se define como

a

V = i-

ex

a

e

ey

ez

+ j::;- + k-;;-.

Por sí mismo no tiene ninguna utilidad; sin embargo si se aplica a una función escalar f produce el gradiente de f dado por

. el'.

grad[ = V} = ::;'-1 ex

0. el + -;;-J + -;;-k. ez

el'

Usaremos ahora V como un operador sobre las funciones vectoriales. La mayor parte del trabajo en esta sección consiste en manipulaciones algebraicas. El signi­ ficado físico de las funciones que definimos, lo discutiremos en las siguientes secciones de este capitulo. Supongamos que una función vectorial F en tres dimensiones está dada por F(x,y,z) = .W(x,y,z)i

+

N(x,y.z)j

+

P(x.y,z)k

donde M, N, Y P tienen derivadas parciales en alguna región. El rotacional de F, denotado por rot F o V x F, se puede definir como el desarrollo (basado en el primer renglón) del determinante siguiente:

(18.21)

rot F =VxF=

j

k

N

P

a e e ex cy ez 1\1

La notación del rotacional en forma de un determinante es ambigua porque el primer renglón consta de vectores, el segundo de operadores diferenciales parciales y el tercero de funciones; sin embargo es una forma muy útil de recordar la com­ plicada fórmula

DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

(18.22)

18.5

889

VxF= (OP - - -aN). 1 + (aM - - - ap). J + (ON - - -iJM) k. ay az az ex iJx ey El rotacional de F determina un campo vectorial en tres dimensiones que tiene aplicaciones importantes en la fisica. La divergencia de F, denotada por div F o V . F se define como

iJM div F = V . F = ex

(18.23)

eN eP +oy az'

+-

La razón por la que se usa el simbolo V . F es que la fórmula de div F se puede obtener efectuando formalmente el producto escalar de V y F. Note que div F es una función escalar.

Ejemplo 1

Encuentre V x F

y

V· F para la función vectorial

F(x,y,z) Solución

=

xy2z4j + (2x 2y + z)j + y3 z2k.

Para simplificar la notación, usaremos los simbolos V x F y V . F para denotar los valores de estas funciones en (x, y, z). Aplicando (18.21), (18.22) Y (18.23) ob­ tenemos

k

j

a VxF= ex xy2z4

a az y3 z 2 = (3 y2z2 ­ l)i + 4xiz 3j + (4xy - 2xyz4)k.

V· F

a

a ay (2x 2y + z)

a

a

= ox (xy 2 Z 4) + ay (2x 2y + z) + az (y3 Z 2) = y2 z4 + 2x 2 + 2iz.

Se pueden demostrar varias propiedades algebraicas interesantes del rotacional y la divergencia de las funciones vectoriales. En el ejemplo siguiente veremos una

propiedad que es análoga a la regla de la derivada de un producto. En los ejercicios al final de esta sección se enuncian otras propiedades.

Ejemplo 2

Demuestre que si f y F son una función escalar y una vectorial, respectivamente, que tienen derivadas parciales, entonces

V· [fF] = f[V· F] Solución

Si escribimos F = Mi entonces

+ Nj +

+ [Vf]· F.

Pk, donde M, N Y P son funciones de x, y y z,

fF = fMi + fNj + fPk. Aplicando (18.23),

890

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

v·

.

a.

[jF] = -;:,-(j M)

ox

e.

a

+ -a (fN) + -;-U P) y

uZ

.aM af .aN af .ap ef = j - +-M + j - + -N + j - +-P. ax ax ay ey az az Rearreglando los términos obtenemos

J

. = j '[CM aN ap] [af ef af v· [jF] -~- + -" + -;;- + -;:,-M + -'-N + -P ox

oy

= f[v· F] +

oz

ox

ay

az

[vf]· F.

Note que el coeficiente de k en la fórmula (18.22) para V x F tiene la misma forma que el integrando de la integral doble en el enunciado del teorema de Green (18.19). Por consiguiente, si

F(x,y)

M(x,y)i + N(x,y)j + Ok

=

y consideramos el vector tangente T

dx. ds

= -1

dy.

dz

+ -J +-k ds e/s

a e, donde s representa la longitud de arco, entonces la conclusión del teorema de Green (18.19) se puede escribir así (18.24)

~cF'Tds= ff(VXF).kdA. R

Como (V x F)· k es la componente de rot F en la dirección del eje z, la llamaremos la componente normal (a R) de rotF. En palabras, (18.24) se puede expresar así: la integral de línea de la componente tangencial de F a lo largo de e tomada una sola vez en la dirección positiva. es igual a la doble integral sobre R de la componente normal de rot F. El resultado análogo a éste en tres dimensiones es el teorema de Stokes, el cual se discutirá en la sección 8. Finalmente, definimos el operador diferencial lap como

a

e

x

uy

2

V

2

= V· V =

2

a~ +::l2 +

a -a z-,. 2

Este operador actúa sobre una función escalar f(x, y, z) y produce otra función escalar llamada el laplaciano de f Así por definición, (18.25)

.

2

a~

a~

a~

x

oy

z

lapj=Vf=a~+-;;-Z+-a2'

Las funciones que satisfacen la ecuación de Laplace V 2f y son muy importantes en las aplicaciones físicas.

=

O se llaman armónicas

INTEGRALES DE SUPERFICIE

891

18.6

18.5 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 4 encuentre V x F F(.\.r.;:) =

J

x 2;:i -+-\.2\j -+-

F(x. y.;:) = 3xy;: 2 i +

.1

2

(.1

sen;:j

+ j"

y

V· F.

~;:)k

x('2'k

=

2

F(.\.y.;:)

4

F(.\ . .I'.;:) =

2

()X + .I)i +\T 2 ;:j -t- .c k y-'

In;:i

'1- X('lj _. (.\'2

+

~;:)k

Verifique las identidades enunciadas en los ejercicios del 5 al 8.

5

V x (F + G) = V x F -+- V x G

6

V·(F+G)=VF+VG

7

V x UF) = 1("1 x F) + (V/) x F

8

V· (F x G) = (V x F) G - (V x Gl' F

Verifique las identidades enunciadas en los ejercicios del 9 al 12. suponiendo quefy F tienen segundas derivadas parciales continuas. 9

rot gradf = O

II rot (gradf

+

10 div rot F

rot F) = rot rot F

=

O

12

div gradf = lapf

l3 Demuestre que si r = xi + yj + zk entonces V . r = 3. V x r = O Y Vlrl = r/lrl.

14

Demuestre que si r = xi + yj + zk y a es un vector constante. entonces rot (a x r) = 2a.

15 Demuestre que el rotacional y la divergencia de

16

Sea r = xi + yj + zk y r = Irl. Demuestre que si F(x. y. z) = (c/rk)r. donde e es una constante y k es un número real positivo, en­ tonces el rotacional de F es O. (Sugerencia,' Use el ejercicio 7.)

18

Demuestre que si f y g son dos funciones esca­ lares que tienen segundas derivadas parciales, entonces

un campo vectorial de tipo gravitacional son cero.

17

Demuestre que si un campo vectorial F es con­ servativo y tiene derivadas parciales. rot F = O.

lap(/I() = f lapg

+g

lapf

+

2(grad j) . (grad g). Demuestre que las funciones definidas en los ejercicios 19 y 20 satisfacen la ecuación de Laplace.

19 f(x,y.z) = (x 2 + y2 +

::2)-12

20 /(x,y.z) = ax 2 + hy 2 + c:: 2. donde a + h + (' =

18.6

o.

INTEGRALES DE SUPERFICIE Las integrales de línea se evalúan a lo largo de curvas. Las integrales dobles y triples se definen sobre regiones en dos y tres dimensiones, respectivamente. También es posible considerar la integral de una función sobre una superficie. Por sencillez limitaremos nuestra discusión al caso de superficies con buen comportamiento y nuestras demostraciones quedarán a nivel intuitivo. Pueden hallarse presentaciones más rigurosas en tratados avanzados de cálculo.

892

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

Si la proyección de una superficie S sobre un plano coordenado es una región del tipo que consideramos para integrales dobles, entonces decimos que S tiene una proyección regular sobre dicho plano coordenado. Supongamos que S es la gráfica de z = f(x, y) donde S tiene una proyección regular R sobre el plano xy y que f tiene primeras derivadas continuas en R. En el capítulo anterior definimos el área A de S. Podemos usar un método semejante para definir la integral de una función g(x, y, z) sobre S, donde g es continua en una región que contiene a S. Emplearemos la notación usada en la sección 17.9. En particular, como se ilustra en la figura 17.42, tiS¡ y ti T¡ denotan las áreas de las porciones de S y del plano tangente a S en B¡(x¡, y¡, z¡}, respectivamente, cuyas proyecciones sobre el plano xy son los rectángulos R¡ de una partición interior P de R. De manera análoga a las definiciones de todas las integrales previas, evaluamos g en B¡ para cada i y forma­ mos la suma L¡g(X¡, y¡, z¡}tiS¡. Por definición, la integral de superficie de g sobre S está dada por

ff

(18.26)

g(X,y,Z)dS =

lim Ig(x¡,y¡,z¡)ti1; IIPII~O ¡

s

donde el limite de las sumas se define en la forma habitual. De manera semejante al desarrollo de (17.52), esta integral puede evaluarse por medio de la fórmula (18.27)

ff s

g(x,y, z)dS =

ff

g(x,y,f(x,y))Ju,(X,y))2

+ U;.(X,y))2 +

IdA.

R

Observe que si g(x, y, z) = l en toda la superficie S, entonces (18.27) se reduce a (17.52) y por lo tanto la integral de superficie es igual al área de la superficie S. Podemos obtener una aplicación fisica elemental si consideramos una hoja delgada de metal que tiene la forma de S. Si la densidad en (x, y, z) es g(x, y, z), entonces (18.27) es la masa de la hoja. El centro de gravedad y los momentos de inercia pueden calcularse empleando los métodos que usamos para sólidos en el capitulo anterior. Ejemplo 1

Evalúe SSsx 2 z dS donde S es la porción del cono Z2 = x 2 entre los planos z = l y Z = 4.

Solución

Como se muestra en la figura (18.14), la proyección R de S sobre el plano xyes el anillo acotado por los círculos con centro en el origen y radios 1 y 4. Si escribimos la ecuación de S en la forma

+

y2 que se encuentra

entonces fAx, y) = (x 2 /yZ)1/2

Y jy(x,y) = (x2 /y2)1/Z'

Aplicando (18.27) y notando que la raíz se reduce a

.j2 obtenemos

INTEGRALES DE SUPERFICIE

18.6

893

x

Figura 18.14

ff

x 2zdS

s

=

ff

2 2 + y2)1/2j2dxdy.

X (X

R

Usando coordenadas polares para evaluar la integral doble,

ff

x 2z dS

= L2~

r 4

(r 2 cos 2 O)r ,/2r dr dO

s =

r2~ 2 j2 Jo cos

OsrJ4 dO 1

= 1023j2 r2~ 1 + cos 20 dO

Jo

5

2

= 1023j2[e + ~sen20J2~ 10

=

2

o

1023j2rc : :; 909.0. 5

Como antes, supongamos que S es la gráfica de z = f(x, y), donde S tiene una proyección regular R sobre el plano xy y f tiene primeras derivadas parciales continuas en R. Consideremos un vector unitario (18.28)

n = cos (Xi

+ cos j3j + cos yk

894

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

normal a S donde ex, (J, y son los ángulos directores de n. Como se ilustra en la figura 18.15 escogemos el vector normal a S que apunta hacia arriba, es decir, aquel para el cual 0° ::; y ::; 90°. Si B¡, a y b son como se muestra en la figura 17.43, entonces 1

n = la x bl a )( b.

z

s: z =f(x, y)

y

x Fíxura 18.15 Aplicando (17.50) Y (17.51) Y abreviando !x(x¡, y¡} y h.(x¡, y¡} por /~ y j~. obtenemos (18.29)

n

=J

l

f~

+ f; +

l

(-!xi -

hj + k).

Comparando (18.29) con (18.28) vemos que

cos" =

1

}'2x + f2y

-~===::;;:==

I

+

1

y por lo tanto si y es agudo, (18.27) se puede escribir como (18.30)

ff s

g(x,y,z)dS =

ff

g(x,y,f(x,y)) secy dxdy.

R

Análogamente, si una ecuación para S es y = h(x, z) donde h tiene primeras de­ rivadas parciales continuas y S tiene una proyección regular R I sobre el plano xz (vea (i) de la figura 18.16), entonces

INTEGRALES DE SUPERFICIE

G

895

18.6

z

z

----~-n

R¡ .

(3

____

s: y

= h(x,

z)

/

/ /

/

/

/

y

y

x (ii)

(i)

Figura 18.16

f f g(x,y,z)dS

=

f f g(x,h(x,z),z)sec{Jdxdz.

s

Esta integral se puede evaluar por medio de una fórmula parecida a (18.27), usando h en lugar de f y z en lugar de y como sigue: f f g(x,y,z)dS

=

f fg(X,h(x,z),Z)

(h x (X,Z))2 + (h:(X,Z))2 + I dxdz.

s

Análogamente, si S está dada por x = k(y, z) donde k tiene primeras derivadas parciales continuas y tiene una proyección regular R z sobre el plano yz (vea (ii) de la figura 18.16), entonces f f g(x,y,z)dS s

=

f f g(k(y,z),y,z)secrxdydz. R,

Esta integral se puede evaluar como sigue: f f g(x,y,z)dS s

=

f f g(k(y,z),y,z)J(k¡,(y,Z»2 + (kz(y,Z»2 + I dydz. R,

Hs

Ejemplo 2

Evalúe (xzjy)dS, donde S es la parte del cilindro x = .1'2 que se encuentra en el primer octante entre los planos z = O, z = 5, Y = I Y Y = 4.

Solución

La superficie S está dibujada en la figura 18.17, en la que para mayor claridad hemos usado una unidad diferente a lo largo del eje x. Como la proyección de S sobre el plano yz es el rectángulo con vértices (O, 1, O), (O, 4, O), (O, 4, 5) y (O, 1, 5), podemos usar la fórmula anterior a este ejemplo con k(y, z) = yZ, como sigue:

896

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

z (O, 1,5)

----------11 (0, 4,5) /1

/

/

I

/

I

/

I I I

I 1 I I

I I I I

I

1(0,4, O) /

y

/ /

/

I

I

/

x

Figura 18.17

JJ Y dS J4 XZ

=

I

s

= = =

f.5 yl z o Y

rs: 1

4y 2

yz

J4

(2y)2

41 +

Y

=-')52 J4 J'

4y 2

+

+ 0 2 + l dzdy

l dz dy

[72J5

l -2 o dy

+

I dy

1

=

2 5 , + 1) 24 .

-(4~.·-

25

= -24

[65 3/2

-

3'J4 1­

I

5 312 ]

::::c

5342 . .

De (17.51) vemos que

T;

= sec~' L\x¡ L\y¡

es decir, el área sobre el plano tangente puede hallarse multiplicando el área de R¡ por sec y. Esto nos motiva para definir la diferencial de área dS de una superficie como dS = sec / clx dy.

donde dx dy es el área de R¡. En las aplicaciones podemos considerar a dS como

INTEGRALES DE SUPERFICIE

18.6

897

el elemento de área sobre una superficie S que se proyecta sobre una región rec­ tangular en el plano xy de área dx dy. De manera semejante, para las integrales de superficie correspondientes a (i) y (ii) en la figura 18.16 escribimos dS=sec{ldxdz

y

dS=sec'J.dyd:

respectivamente. En algunos casos podemos considerar integrales de superficie en las que aparece una función vectorial F, donde F(x,r,:) =\l(x,r,:)i + .V(x,.I',:)j + P(.\,r,:lk

y M, N Y P son funciones continuas. Si n es el vector unitario normal (18.28), en­ tonces F(x, y, z) . n se llama la componente normal de F en el punto (x, y, z). Por definición, la integral de superficie de la componente normal de F sobre S está dada por

ff

(18.31)

F· n tlS =

ff

s

(.H cos 'J. + N cos {J

+ P cos ~.) dS

s

donde hemos usado los símbolos de las funciones para denotar sus valores en (x, y, z). Si S tiene proyecciones regulares R, R 1 Y R z sobre los planos xy, xz y yz respectivamente y a, {l y )' son agudos, entonces (18.31) se puede escribir como (18.32)

ff

F·ndS =

f

fWd.l'd:

+

f

fVd\d:

+

ff

R,

R,

.~.

Pdxdy

R

donde hemos empleado las tres formas para dS que introdujimos anteriormente. Para dar significado fisico a (18.31), supongamos que S está sumergida en un líquido que tiene un campo de velocidades F(x, y, z). Sea dS un pequeño elemento de área de S. Si F es continua, entonces es casi constante sobre dS y, como se ilustra en la figura 18.18, el volumen de líquido que atraviesa dS en una unidad de tiempo z

y

x

Figura 18.18

898

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

es aproximadamente igual al volumen de un cilindro cuya base tiene área dS y cuya altura esF . n.SidVdenotaelvolumendeestecilindro,entoncesdV = F· ndS. Como dV representa la cantidad de líquido que atraviesa dS por unidad de tiempo, la integral de superficie (18.31) es el volumen de líquido que atraviesa a S por uni­ dad de tiempo. En este contexto se llama el flujo de F a través de S o sobre S. Asi, por definición, (18.33)

el flujo de F a través de S =

ff

F . n dS

s

Esta terminología se usa también para campos vectoriales arbitrarios. Se pueden definir integrales de superficie so'Jre superficies cerradas como esferas, elipsoides, etc. En este caso, si escogemos n como el vector normal que apunta hacia el exterior, entonces el flujo a través de S mide el flujo neto que sale de la superficie por unidad de tiempo. Si la integral en (18.33) es positiva, entonces el flujo que sale de S excede al flujo que entra a S y decimos que hay una fuente de F dentro de S. Si la integral es negativa, entonces el flujo que entra a S excede al flujo que sale de S y decimos que hay un sumidero dentro de S. Si la integral es O, entonces el flujo que entra es igual al flujo que sale, es decir, las fuentes y los sumideros se equilibran mutuamente. Ejemplo 3

Sea S la parte de la gráfica de z = 9 - x 2 - y2 en la cual z ~ OY sea F(x, y, t) 3xi + 3yj + zk. Calcule el flujo de F a través de S.

Solución

La gráfica está dibujada en la figura 16.5. De acuerdo con (18.29), el vector normal unitario que apunta hacia arriba en el punto (x, y, z) de S es n=

2xi

=

+ 2yj + k . +I

J4x 2 + 4.1'2

Por lo tanto el flujo de F a través de S es

6x + 6/ + dS. ff F.ndS = ff J4x + 4/ + I 2

Z

2

.\

S

Aplicando (18.27)

ff

F· n dS =

s

ff ff

(6x

2 + 6.1'2

+9-

x

2 - .1'2) dx dy

R

=

(5x 2

+ 5.1'2 + 9)dxdy

R

donde R es la región circular en el plano xy acotada por la gráfica de x 2 Usando coordenadas polares obtenemos

ff .\

F·ndS =

f" f

(5r 2 + 9)rdrdO = 5671t 2

~ 890.6.

+

y2

=

9.

INTEGRALES DE SUPERFICIE

18.6

899

18.6 EJERCICIOS

En los ejercicios del 1 al 4, evalúe Hsf(x, y, z)dS. f(x, y, z) = x 2 ; S es la mitad superior de la esfera x 2 + y2 + Z2 = a 2.

2 f(x, y, z) = x 2 + y2 + Z2; S es la parte del plano z = y + 4 que está dentro del cilindro x 2 + y2 = 4.

3 f(x, y, z) = x + y; S es la porción del plano 2x + 3y + z = 6 que se encuentra en el primer octante.

4 f(x, y, z) = (x 2 + y2 + Z2)112; S es la parte del paraboloide 2z = x 2 + y2 que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y2 = 2y.

En cada uno de los ejercicios del 5 al 8 plantee, mas no evalúe, la integral de superficie dada usando una proyección de S sobre (a) el plano yz; (b) el plano xz. 5 Hsxy2ZJdS; S es la parte del plano 2x + 3y + 4z = 12 que está en el primer octante.

6 SJs(xz + 2y)dS; S es la parte de la gráfica de y = x J entre los planos)' = 0, y = 8, Z = 2 Y z = O.

7 Hs(x 2 - 2y + z)dS; S es la parte de la gráfica de 4x + y = 8 acotada por los planos coorde­ nados y el plano z = 6.

8 JJs(x 2 + y2 + z2)dS; S es la parte de la gráfica

9 Interprete Hsf(x, y, z)c/S geométricamente, suponiendo que f es la función constante f(x, y, z) = e, donde e > O, y S tiene una pro­ yección regular sobre el plano xy.

10 Demuestre que una integral doble JJRf(x, y)dA

de x 2 + y2 = 4 que se encuentra en el primer octante y está acotada por los planos coorde­ nados y el plano x -t z = 2.

del tipo considerado en el teorema 17.14 es un caso especial de una integral de superficie.

En los ejercicios del lI al 14 calcule HsF . n dS, donde n es el vector unitario normal a S que apunta hacia arriba. 11 F = xi + yj + zk; S es la mitad superior de la esfera x 2 + y2 + Z2 = al.

12 F = xi - y j; S es la parte de la esfera x 2 + y2 + z2 = a 2 que se encuentra en el primer oc­ tante.

2i + 5j + 3k; S es la parte del cono z = + y2)112 que está dentro del cilindro

14 F = xi + yj + zk; S es la parte del plano 3x + 2y + z = 12 acotada por los planos x = 0, y = 0, x = 1, y = 2.

13 F

=

(x 2

x2

+ y2

=

l.

15 Demuestre que si S está dada por z = f(x, y), entonces (18.31) puede escribirse como

fJ

F . n dS

s

=

ff(-·\1I~ R

Nj; -+- p) dx dI'.

16 Suponga que un embudo de metal tiene la forma de la superficie S descrita en el ejemplo 1 (vea la figura 18.14). Suponiendo que las longitudes se expresan en centímetros y que la densidad por unidad de área en el punto (x. y, =) es Z2 gm/cm 2 , calcule la masa del embudo. Usando métodos análogos a los empleados en el caso de los sólidos, encuentre el centro de gravedad del embudo. Calcule el momento de inercia del embudo con respecto al eje :.

900

18

18.7

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Uno de los teoremas más importantes en las aplicaciones del cálculo vectorial es el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss en honor de uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, Karl Friedrich Gauss (1777­ (855). El teorema se refiere a una superficie S que es la frontera completa de una región acotada Q. En esta sección el vector n en (18.28) denotará el vector unitario normal a S que apunta hacia afuera. Al vector n lo llamaremos el vector unitario normal exterior a S. En la figura 18.19 aparecen dibujadas una superficie S de este tipo y varias posiciones típicas de n.

n

z

x

Figura 18.19

Si una función vectorial F está dada por F(x,y, z) = .\1(x,y. z)i

+

N(x.y, z)j

+

P(x,y, z)k

donde M, N Y P tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces se satisface la igualdad que se enuncia en el teorema siguiente. (18.34)

EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

ff s

F . n dS

=

Jff

V . F dV

Q

En las aplicaciones fisicas esta fórmula dice que el flujo de F a través de S es igual a la triple integral de la divergencia de F sobre Q. Usando (18.31) Y (18.23) podemos escribir (18.34) sin utilizar vectores como (18.35)

ff s

(Mcosa

+ Ncos{J + Pcos()dS

=

fff (oc~ + ~; + ~~) Q

dV.

EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

18.7

901

Para demostrar (18.35) basta demostrar que

ff.WCOSCldS= fffaa~dV Q

f f NcospdS = f f f~; dV s

Q

f f PCOSi,dS = f f f~: dV. .~

Q

Las demostraciones de estas tres fórmulas son esencialmente iguales y por lo tanto sólo demostraremos la tercera. Más aún, como es muy dificil demostrar el teorema para superficies generales, vamos a restringir la forma de Q y S. Concretamente, sea R una región en el plano xy que satisface las condiciones del teorema de Green y supongamos que la proyección de Q sobre el plano xy es R y que Q se encuentra entre dos superficies cuyas ecuaciones son z = fl (x, y) y z = /2 (x, y) donde /1 y /2 tienen primeras derivadas parciales continua~ y /1 (x, y) S /2 (x, y) para todo (x, y) en R. Como se ilustra en la figura 18.20, la superficie S que encierra a Q consta de una superficie SI como base, una superficie S2 como tapa y una superficie lateral S3' z

y

l :I I

C)

I

I

R

x Figura 18.20

En S3 tenemos que y = 90° Y por lo tanto cos y = O. Por consiguiente

f f PcosydS = f f PcosydS + f f PcosydS. S

s,

S2

902

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

Aplicando (18.30),

ff

PcosydS =

f f P(X,y,f2(X,y)) dx dy. R

S2

Como las fórmulas para las integrales de superficie en la sección 6 se demostraron bajo la suposición de que n apunta hacia arriba, y como el vector unitario normal exterior n a SI apunta hacia abajo, es necesario cambiar el signo de la expresión en el lado derecho de (18.30) cuando apliquemos esta fórmula a SI' En efecto, se puede encontrar una fórmula para n en SI tomando el vector en (18.29) pero con el signo cambiado. Con esto en mente vemos que

ff

Pcos)'dS = -

ff

s,

P(x,y,f¡(x,y))dxdy

R

y por lo tanto

ff

PcosydS =

s

ff

[P(X,y,f2(X, y)) - P(x,y,f¡(x,y))]dxdy

R

=

ff[f

hIX.y¡ap

]

-dz dxdy

J ,(x.y)

az

R

que es 10 que queríamos demostrar. No es dificil extender nuestra demostración al caso de una unión finita de regiones del tipo anterior. Las demostraciones de las fórmulas para HsM cos (J, dS y HsN cos fJ dS se hacen de manera parecida, siempre y cuando Q y S estén apropiadamente restringidas. Ejemplo 1

Sea Q la región acotada por las gráficas de x 2 + y2 = 4, z = O Y :: = 3. Sean S la frontera de Q y n un vector unitario normal exterior a S. Use el teorema de la divergencia para evaluar HsF . n dS, suponiendo que

F(x, y, z) = x 3¡

Solución

+ y3 j + z3k.

La superficie S y algunas posiciones típicas de n están ilustradas en la figura 18.21. Como

v .F

=

3x 2 + 3y 2 + 3z 2 = 3(x 2

+ y2 + Z2)

usando el teorema de la divergencia (18.34) obtenemos

ff s

F· n dS

=

3

fff

(x

2

+/ +

Z2)

dV

Q

Es conveniente usar coordenadas cilíndricas para evaluar la integral triple. Así,

EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

18.7

903

z

z=3

n

I I

",.,,­

_--1--./ I /,.. ..... ,

./

./

1././',

----~--~---~--r-,/

,

./ I

y

,

"

t

x

Figura 18.21

ff

1 2

F . n dS = 3 fo2.

fo3 (r 2 + z2)r dz dr dO

s

r Jor = 3 Jo 2n

h

2 [

2

JJ

=3 o

Z3 + 3lJ3 o'drdO

2

o (3r +9)rdrdO

3 I 2n[3 _r 4 o 4

f r = 3 Jo

=

2 r z

9 J2 dO + _;2 2

h

o

11

30dO = 900

2

Jo

•

=

l80n.

Podemos usar el teorema de la divergencia para obtener una interpretación física de la divergencia de un campo vectorial. Comencemos por recordar el teorema del valor medio (5.29) que dice que si una función f de un.a variable es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces existe un número e en (a, b) tal que

f

f(x)dx = f(c)L

donde L = b - a es la longitud del intervalo [a, b]. Se puede demostrar un re­ sultado análogo para integrales triples. Concretamente, si una función f de tres variables es continua en una región esférica Q, entonces existe un punto A(u, v, w) en el interior de Q tal que

ff f Q

f(x,y,z)dV = f(x,y,z)JAV

904

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

donde Ves el volumen de Q y f(x, y, Z)]A denota f(u, v, w). Este resultado a veces se llama el teorema del valor medio para integrales triples. Se infiere que si F es una función vectorial con primeras derivadas parciales continuas, entonces

fffV.FdV=V.F],V Q

y por lo tanto, aplicando el teorema de Gauss (18.34), vemos que

f f F ·ndS V . F] I =

-,S::-'-V-­

donde S es la frontera de Q. El cociente en el lado derecho se puede interpretar como el flujo de F por unidad de volumen, a través de la esfera. Ahora consideremos un punto arbitrario P y supongamos que F tiene primeras derivadas parciales con­ tinuas en una región que contiene a P en su interior. Sea Sk la superficie de la esfera de radio k con centro en P. De la discusión anterior sabemos que para cada k existe un punto Pk dentro de Sk tal que

ff V. F]

donde

~

=

--=S",-'

P,

F ·ndS _

V¡.

es el volumen de la esfera (vea la figura 18.22).

n

Sk~"­ Figura 18.22

Si ahora hacemos tender k a cero, entonces Pk

ff (18.36)

div F]p

=

-+

P y obtenemos

F ·ndS

lim s, V. k-·Q

k

es decir, la divergencia de F en P es el límite del flujo por unidad de volumen, a través de una esfera con centro P, cuando el radio de la esfera tiende a cero. En particular,

EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

18.7

905

si F representa la velocidad de un fluido incompresible, entonces div F]p se puede interpretar como la razón de ganancia o pérdida del fluido por unidad de volumen en P. De acuerdo con los comentarios al final de la sección 6, esto quiere decir que existe una fuente o un sumidero en P según si div F)p > O o div F)p < O. Si el fluido es incompresible y no hay fuentes ni sumideros, entonces no puede haber ganancia ni pérdida de fluido dentro del elemento de volumen v,. y por lo tanto en cada punto P éiM div F

=

ox

eN

+ ay +

cP

cz

=

O.

Esta fónnula se llama la ecuación de continuidad para fluidos incompresibles. La formulación de la divergencia como el límite dado en (18.36) se puede aplicar también a otros conceptos físicos tales como el flujo magnético o eléctrico, ya que estos entes tienen muchas características similares a las de los fluidos. Ejemplo 2

Sea Q el paralelepípedo rectangular acotado por los planos coordenados y las gráficas de x = 1, Y = 2 Y z = 3. Sea F(x,y, z) = 2e- zi + xy2j + zJk, X

Use el teorema de la divergencia para calcular el flujo de F a través de la frontera Sde Q. Solución

De acuerdo con el teorema de la divergencia (18.34),

f5

F ·udS

=

s

JJ5(-2e-

X

2 z + 2xy + 3z )dV

Q

f 50 50J 2

=

(-2e- X z

+ 2xy + 3z 2)dzdydx.

El lector puede verificar que el valor de esta integral es 60 + 18e- 1 ~ 66.6. Si F representa la velocidad de un fluido o un gas, entonces el hecho de que la integral es positiva nos dice que el flujo hacia afuera de Q excede al flujo hacia adentro. Por lo tanto las fuentes dentro de Q exceden a los sumideros. Ejemplo 3

Suponga que una superficie S fonna la frontera completa de una región Q del tipo considerado en la demostración del teorema de la divergencia, y suponga que el origen O es un punto en el interior de Q. Demuestre que para un campo del tipo del de la gravedad dado por F = (qjrJ)r donde q es una constante, r = xi + yj + zk y r = Irl, el flujo de F a través de S es 4nq, independientemente de la fonna de Q.

Solución

Como F no es continua en O el teorema de la divergencia no se puede aplicar di­ rectamente; sin embargo, podemos proceder como sigue. Sea SI una esfera de radio a con centro en O contenida en Q (vea la figura 18.23), y sea Q1 la región que se encuentra afuera de SI Y dentro de S. Como F tiene derivadas parciales continuas en Ql ' podemos aplicar (18.34) obteniendo así

.. 906

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL z

y

Figura 18.23

fff v·

F dV =

ff

F· n dS

+

ff

F· n dS.

s

Se puede demostrar que para un campo F del tipo del de la gravedad, V . F = O (vea el ejercicio 15 en la sección 5) y por lo tanto

ff

F . n dS = -

ff

F· n dS.

s,

Como la normal exterior a la superficie SI es 1

n = --r r

y r = a en SI' tenemos

ff

F·ndS= -

s

ff (~)r. (-~r)dS s,

=

=

ff r~

(r . r) dS

ff ~

dS

EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Ejemplo 4

18.7

907

Sea Q la reglon acotada por el cilindro z = 4 - x 2 , el plano y + z = 5 Y los planos xy y xz. Sea n =
ff

[(x 3

+ e-Ysenz)cosel + (x 2 y + tan- I z)cosP + jYsecxcosy]dS.

s

Solución

La región Q está ilustrada en la figura 18.24. Sería increíblemente dificil evaluar la integral directamente; sin emhargo, usando la forma (18.35) del teorema de la divergencia podemos obtener su valor evaluando la triple integral

2 2 f f f (3x + x )dV. Q

Remitiéndonos a la figura 18.24 y usando (17.38), vemos que esta integral es igual a

f4-X2f.S-Z 4x2dydzdx = f2 f4-x f -2JO o -2JO 2

= f2

2

4X2 (5 _ z)dzdx

2

[20x 2z - 2X 2Z 2J4-X dx o

- 2

= f~2 (48x 2 4608

= 35

~

4x

4

-

6

2x )dx

131.7.

z

z

=

4 -x 2

y

x

Figura 18.24

18.7 EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 4 use el teorema de la divergencia para evaluar es un vector unitario nonnal exterior a S. 1 F = Y sen xi + y2 z j + (x + 3z)k; S es la fron­ tera de la región acotada por x = ± 1, y = ± 1, z = ± 1.

Hs F . n dS, donde n

2 F = y)ezi - xyj + x arctan yk; S es la frontera de la región acotada por los planos coordenados y el plano x + y + z = l.

908

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

3 F = (x 2 + sen yz)i + (y - xe-z)j + z2k; S es la frontera de la región acotada por las gráficas de x 2 + y2 = 4, x + z = 2, z = O.

4 F = 2xyi + z cosh xj + (Z2 + y sen - 1 x)k; S es la frontera de la región acotada por las gráficas de z = x 2 + y2 y Z = 9.

En los ejercicios del 5 al8 verifique (18.34) para el campo F y la superficie S dados. 5 F

+

= Z2

xi

+ yj + zk;

= a

7 F = (x

2

+

S es la gráfica de x 2

+ y2

6

F = x 2i + y2j + z2k; S es la frontera del cubo acotado por los planos coordenados y los planos x = a, y = a, z = a.

y)k; S es

8

F = Irl 2 r, donde r = xi + yj + zk: S es la gráfica de x 2 + y2 + Z2 = a 2.

10

Use el teorema de la divergencia para demostrar que si una función escalar f tiene segundas de­ rivadas parciales continuas entonces

.

z)i

+

(y

+

la frontera de la región Q = {(x,y,z):O:5; y2

z)j

+

(x

+ z2:5;

+

1,0:5; x:5; 2}.

Hs

9 Demuestre que si F . ndS = O para toda superficie cerrada del tipo considerado en el teorema de la divergencia. entonces div F = O.

Q

oS

donde Dof es la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario normal n exterior aS.

En los ejercicios del I1 al 16 suponga que S y Q satisfacen las condiciones del teorema de la divergencia. 11 Demuestre que si f y g son funciones escalares con segundas derivadas parciales continuas, en­ tonces

12

2 f f f (fV g - gV 2/)dV

fffUV2g+V¡'Vg)dV= ffuvg).ndS. s

Q

(Sugerencia: Use la identidad en el ejercicio 11 junto con la identidad correspondiente que se obtiene al intercambiar fy g.)

14

Demuestre que si r = xi + yj + zk y Ves el volumen de Q, entonces

s

s

15 Demuestre que si F tiene segundas derivadas parciales continuas entonces

ff s

rot F'ndS = O.

f f (f"Vg - gV/)· n dS. s

f f f F·FdV = f f fF·ndS. Q

=

Q

(Sugerencia: Tome F = fVg en (18.34).)

13 Demuestre que si F es un campo vectorial con­ servativo con potencial f y si div F = O, en­ tonces

Demuestre que si f y g son funciones escalares con segundas derivadas parciales continuas, en­ tonces

16

Demuestre que si a es un vector constante en­ tonces

ffa

·ndS = O.

s

Una integral de superficie (o triple) de una función vectorial se define como la suma (vectorial) de las integrales de superficie (o triples) de cada una de las componentes de la función. Con esto en mente demuestre los resultados en los ejercicios 17 y 18, donde S y Q satisfacen las condiciones del teorema de la divergencia.

EL TEOREMA DE STOKES

17

f f F x ndS

=

-

s

f f f v x FdV

18

s

=

Q

(Sugerencia: Aplique el teorema de la divergen­ cia a fe donde e es un vector constante arbi­ trario.)

19 Demuestre que si F es ortogonal a S en cada punto (x, y. z) entonces

f f f rol F dV

20

Demuestre que si r es el vector de posición de Irl entonces

(x. y, z) y r =

f f frdV f f(gradrl)ndS.

O.

=

Q

18.8

909

ff1ndS= fffVldV

Q

(Sugerencia: Aplique el teorema de la divergen­ cia y el ejercicio 8 de la sección 18.5 a e x F, donde e es un vector constante arbitrario.)

18.8

s

Q

EL TEOREMA DE STOKES En (18.24) enunciamos la siguiente versión vectorial del teorema de Green: te F . T ds =

ff

rot F . k dA

R

donde la curva plana e es la frontera de R. Este resultado se puede generalizar al caso de una curva lisa por partes cerrada simple e en tres dimensiones que constituye la frontera de una superficie abierta S. El dibujo en la figura 18.25 ilustra un caso particular en el que S es la gráfica de z = f(x, y), donde f tiene primeras derivadas parciales continuas y la proyección el de e sobre el plano xy es una curva que en­ cierra una región R del tipo considerado en el teorema de Green. En la figura, D representa un vector unitario normal a S que apunta hacia arriba. Tomamos como dirección positiva a lo largo de e aquélla que corresponde a la dirección positiva z

lc

T

I

I

I

I

b

CI

Figura 18.25

y

910

Ul

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

a lo largo de el' El símbolo T denota un vector unitario tangente a e que apunta hacia la dirección positiva. Sea F una función vectorial que tiene derivadas parciales continuas en una región que contiene a S. Entonces se satisface el siguiente teorema, nombrado en honor del físico matemático inglés G. Stokes (1819-1903). (18.37)

TEOREMA DE STOKES

fe F· T ds = SS rot F . n dS s

En palabras, este resultado se puede enunciar como sigue: la integral de línea de la componente tangencial de F tomada a lo largo de e una vez en la dirección positiva. es igual a la integral de superficie de la componente normal de rot F sobre S. Por supuesto, la integral de línea también se puede denotar por tcF . dr, donde r es el vector de posición del punto (x, y, z) en C. Para poder considerar superficies abiertas más generales que la ilustrada en la figura 8.25 es necesario definir lo que se entiende por una superficie orientada S y por la dirección positiva a lo largo de e, de una manera apropiada. La demostración del teorema de Stokes es dífícil y no se acostumbra estudiarla en un primer curso de cálculo. El lector interesado en la demostración debe consultar textos más avanzados.

Ejemplo 1

Sea S la parte de la gráfica de z = 9 - x 2 - y2 en donde z ~ O Y sea e la traza de S en el plano xy. Verifique el teorema de Stokes en este caso para la función vectorial F = 3zi + 4xj + 2yk.

Solución

Deseamos demostrar que las dos integrales en (18.37) tienen el mismo valor. La superficie es la misma que consideramos en el ejemplo 3 de la sección 6 (vea también la figura 16.5), donde encontramos que

+ 2yj + k J4x + 4y 2 + 1 2xi

n = --¡;==;;:===:;=== 2

Según (18.21)

rot F

=

j a ay 4x

a - ax 3z

k

a

2i

+ 3j + 4k.

+

6y +' 4

=

az 2y

Por consiguiente

SSs

rot F· n dS

4x

=

SSs V 4x fA

2

+ 4v+1 .

dS.

Usando (18.27) para evaluar esta integral de superficie obtenemos

SS rotF·ndS= SS(4X+6Y +4 l dxd y s

R

EL TEOREMA DE STOI\ES

18.8

911

donde R es la región en el plano xy acotada por el círculo de radio 3 con centro en el origen. Cambiando a coordenadas polares obtenemos

f f rot F·ndS = f~ J: (4rcosO + 6rsenO + 4)rdrdO s

= f~ =

J:

[r 2 (4cosO + 6 senO) + 4r]drdO

f~ (36 cos O + 54 senO + 18)dO

= [36 sen O -

54cosO +

180J:~ = 36rr.

La integral de línea en (18.37) puede escribirse como pF:TdS

=

i

F·dr

=

Pe 3zdx + 4xdy + 2ydz

donde C es el círculo en el plano xy con ecuación x 2 + y2 = 9. Como z = O en C, esto se reduce a

Pe F·dr = ~e 4xdy. Usando las ecuaciones paramétricas de C, x = 3 cos t, y = 3 sen

~e F· dr = L2~ 36cos = 18

f

2

1,

obtenemos

dI

lf

(1

+ cos 2e) de = 36rr

que es el mismo valor que el de la integral de superficie. Podemos usar el teorema de Stokes para obtener una interpretación fisica de rot F de manera parecida a como usamos el teorema de la divergencia para dar la interpretación de div F en (18.36). Sea P un punto cualquiera, sea Sk un disco circular de radio k con centro en P y sea Ck la circunferencia de Sk (vea la figura 18.26).

Figura 18.26

912

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

Aplicando el teorema de Stokes (18.37) Yel teorema del valor medio para integrales dobles obtenemos (18.38)

L.

F·Tds =

ff

rot F·ndS = [rot F·n]p.(nk

2

)

s.

donde Pk es algún punto en

Sk'

Por lo tanto

[rot F· n ]P. = -k11

n

Si k tiende a cero, entonces Pk

......

f

c.

P y por lo tanto

. I [rot F·n]p = Itmk2 k-O n

(18.39)

F· T ds.

f

F·Tds.

Ck

Si F es el campo de velocidades de un fluido, entonces la integral de línea en (18.38) se llama la circulación alrededor de Ck y mide la tendencia media del fluido a moverse o circular por la curva. De (18.39) inferimos que [rot F . n]p nos proporciona in­ formación acerca del movimiento del fluido a lo largo de la circunferencia de un disco circular perpendicular a n, cuando el disco se contrae a un punto. Como [rot F . n]p alcanza su valor máximo cuando n es paralelo a rot F, concluimos que la dirección de rot F en P es aquélla para la cual la circulación a lo largo de la frontera de un disco perpendicular a rot F toma su valor máximo, cuando el disco se contrae a un punto. A veces rot F . n se llama la rotación de F alrededor de ñ, debido a que está relacionado con la tendencia del campo vectorial a girar alrededor de P. Con el propósito de señalar otra relación entre rot F y los aspectos rotacionales o giratorios del movimiento, consideremos el caso particular en el que un fluido está girando uniformemente alrededor de un eje, como si fuese un cuerpo rígido. Si fijamos nuestra atención en una sola partícula P del fluido, entonces nos encontramos con una situación como la ilustrada en la figura 15.10, donde r = xi + yj + zk es el vector de posición de P y ro = W l i + W2j + w 3 k es la velocidad angular (constante). Si denotamos la velocídad dr/dt por F entonces, igual que en la sección 15.3,

De acuerdo con (18.21),

rot F =

e ox

j

k

e

a

oy

az

Usando el hecho de que ro es un vector constante podemos verificar que rot F = 2w¡i + 2Wlj + 2o).Jk = 2<0. Esto demuestra que la magnitud de rot F es igual al doble de la velocidad angular y que la dirección de rot F es a lo largo del eje de rotación.

EL TEOREMA DE STOKES

18.8

913

El concepto de una regiÓn simplemente conexa se puede generalizar a tres dimensiones; sin embargo, la definición usual requiere de propiedades de las curvas y las superficies que se estudian solamente en textos más avanzados. Para nuestros propósitos diremos que una región D es simplemente conexa si toda curva cerrada simple e eo D es la frontera de una superficie S que satisface las condiciones del teorema de Stokes. En regiones de este tipo cualquier curva cerrada simple puede contraerse continuamente a un punto en D sin cruzar la frontera de D. Por ejemplo la región dentro de una esfera o de un paralelepípedo rectangular es simplemente conexa. La región dentro de un toro (una superficie en forma de rosca o de cámara neumática) no es simplemente conexa. Usando esta definición, que es muy restric­ tiva, podemos demostrar el resultado siguiente.

(18.40)

TEOREMA

Si F(x, y, z) tiene derivadas parciales continuas en una región simplemente conexa D, entonces rot F = Osi y sólo si 'e F . dr = Opara toda curva cerrada simple e en D. Demostración.

Si rot F = O, entonces según el teorema de Stokes (18.37),

i.

F . dr

=

ff

rot F· n dS

=

O.

s

Inversamente, supongamos que la integral de línea indicada es O para toda C. Si rot F "Í' Oen algún punto P, entonces debido a la continuidad, existe una subregión de D que contiene a P en la cual rot F :F O. Si en esta subregión escogemos un disco circular del tipo ilustrado en la figura 18.26, donde n es paralelo a rot F y tiene la misma dirección, entonces

i,.

F· dr

=

ff

rot F· n dS > O,

s.

lo cual es una contradicción. Por consiguiente, rot F = O en D. Si rot F = .') en D, entonces la circulación alrededor de toda curva cerrada e es O(vea (18.38». Esto significa también que la rotación de F alrededor de cualquier vector unitario n es O. Por esta razón este tipo de campos vectoriales se llaman irrotacionales.

Anteriormente señalamos que si F es continua en una región apropiada en­ tonces el hecho de que la integral de línea F . dr se anule en cualquier curva cerrada simple es equivalente a que la integral de línea J~ F . dr de un punto A a un punto B sea independiente de la trayectoria. Más aún, según el teorema (18.15), la independencia de la trayectoria es equivalente a que F = Vf para alguna función f(es decir, F es conservativo). Combinando estos hechos con el teorema (18.40) obtenemos las siguientes condiciones equivalentes para que un campo vectorial sea conservativo, suponiendo que F tiene primeras derivadas parciales continuas y que la región es simplemente conexa.

fe

914

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

(a)

F

= 'VI

(b)

Se F· dr es independiente de la trayectoria

(c)

Se F· dr = O para toda curva cerrada simple e

(18.41)

'VxF=O

(d)

=

(3x 2

+

2xyj - 3z 2k. Demuestre que F es conservativo.

+

Ejemplo 2

Sea F(x, y, z)

Solución

La función F tiene derivadas parciales continuas en IR x IR x IR. Como

y2)i

i

k

ex

ay

a az

3x 2 + .1'2

2xy

- 3: 2

a

'V x F=

'0

~

= (O - O)i

+ (O

- O)j

+ (2y

- 2y)k = O,

de acuerdo con (d) de (18.41), F es conservativo. En las matemáticas avanzadas y las aplicaciones es útil estudiar las parejas de campos vectoriales F y G que tienen la forma F(x,y)

= p(x,y)i + u(x,y)j

G(x,y) = u(x,y)i - r(x,y)j

donde las funciones u y v tienen derivadas parciales continuas. Note que F(x, y) y G(x, y) son ortogonales en todos los puntos ya que

F .G =

VII -

111' =

O.

Más aún, se puede demostrar que, bajo restricciones adecuadas (vea el teorema (18.18», F y G son ambos conservativos si y sólo si

au cv ax av

(18.42)

y

au ay

Estas ecuaciones en u y v son las famosas ecuaciones de Cauchy-Riemann que se utilizan frecuentemente en el estudio de las funciones de variable compleja. De (18.42) inferimos que

82 u ex

2

?2 L~

e"1'

ax t:y

cy?'x

y por lo tanto

Análogamente, se puede demostrar que

,1

-

c2 u e/

TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS

18.9

915

Es decir, u y v satisfacen la ecuación de Laplace y por lo tanto son funciones armónicas (vea (18.25».

18.8 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del I al 4 verifique el teorema de Stokes para el campo F y la superficie S dados.

3

F = y 2 i + Z2 j + x 2 k; S es la parte en el primer octante del plano x + y + z = l.

2

F = 2yi - zj + 3k; S es la parte del paraboloide z = 4 - x 2 - y2 que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y2 = l.

F = zi + xj + yk; S es el hemisferio (a 2 _x2 _ y2)1/ 2 •

4

F

z

=

x 2i

z = (x 2

+ y2j + z2k; S es la parte del cono

+

y2)1/2

que se encuentra debajo del

plano z = l. 5 Use el teorema de Stokes para evaluar ~cF . dr donde F = (3z - sen x)i (y3 _ cos z)k y e es la curva x = cos 1, y = sen 1, z = 1; O ~ I ~ 27[.

6 Use el teorema de Stokes para evaluar ~cF . dr donde F = yzi drado con vértices (O, O, 2), (1, O, 2), (1, 1, 2), (O, 1, 2).

(x 2

+

e>')j

+

+ xyj + zxk y e es el cua­

7 Use el teorema de Stokes para evaluar JJsrot F . o dS donde F = 2yi S es la parte del paraboloide z = 4 - x 2 - y2 para la cual z ~ O.

+ e' j

8 Use el teorema de Stokes para evaluar Hs rot F . o dS donde F = xy 2 i S es el triángulo con vértices (1, O, O), (O, 2, O), (O, O, 3).

Demuestre las identidades en los ejercicios del 9 al 11 suponiendo que condiciones del teorema de Stokes. 9 ~cf'ilg' dr = Hs('i1f x 'ilg). odS, dondefy g son funciones escalares.

+

+

- arctan xk y

yz2 j

+

zx 2k y

e y S satisfacen las

10 §c(a x r) . dr = 2a· Hso dS, donde a es un vector constante.

11 §c jdr = JJso x 'ilfdS, donde.r es una función escalar (Sugerencia: Consulte el ejercicio 18 de la sección 15.7.)

12

Use (b) de (18.41) para demostrar que el campo vectorial F dado por F(x, y, z) = yi + (x + e')j + (1 + ye')k es conservativo.

13 Demuestre que si u y v tienen derivadas parciales continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy­ Riemann (18.42), entonces ¡: satisface la ecua­ ción de Laplace.

14

Sea o el vector unitario normal exterior a una esfera S. Demuestre usando (a) el teorema de la divergencia y (b) el teorema de Stokes, que si F tiene primeras derivadas parciales continuas dentro de S yen S, entonces Hs rot F . odS = O.

18.9

TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS En las secciones anteriores estudiamos muchos tipos diferentes de funciones es­ calares y vectoriales. Consideremos ahora una función T tal que su dominio y su rango son subconjuntos de IR x IR. Así, a cada pareja ordenada (x, y) en el dominio,

916

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

le corresponde una única pareja ordenada (u, v) en el rango tal que T(x, y) = (u, v). Podemos representar T geométricamente como se ilustra en la figura 18.27, donde el punto (u, v) en el plano uv corresponde al punto (x, y) en el plano xy. Como es costumbre, llamamos a (u, v) la imagen de (x, y) bajo T. v

y

(x, y)

(u, v)

x

u

Figura 18.27.

T(x, y)

=

(u, v).

Como cada pareja (u, v) está determinada por (x, y), resulta que u y v son fun­ ciones de x y y; es decir (18.43)

u

= f(x, y),

v

= g(x, y)

donde f y g tienen el mismo dominio que T. Llamaremos a las ecuaciones (18.43), o a la función T, una transformación de coordenadas del plano xy al plano uv. Dada la transformación de coordenadas (18.43), tomemos una partición de una región en el plano uv determinada por rectas verticales u = C I , U = C 2 , U = C), .•• y rectas horizontales v = dI, V = d2 , V = d), .... Las curvas de nivel correspon­ dientes de f y g, es decir u = f(x, y) =

Cj

,

v = g(x, y) = d j

donde i = 1, 2, 3, ... y j = 1, 2, 3, ... , determinan una partición curvilínea de una región en el plano xy. La figura 18.28 ilustra cuatro curvas de cada tipo, aso­ ciadas a cierta transformación T. y

v=

d4 t:

=d3 • /.J

V

= d2 V

= di

d4 d3 d2 dI

x

U

CI

(i)

C2

('3

(ii)

Figura 18.28

('4

TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS

917

18.9

Lamaremos a las curvas u = f(x, y) = c¡ y v = g(x, y) = dj en el plano xy, las curvas u y las curvas v respectivamente. Por supuesto, el tipo de curvas que se obtiene depende de la naturaleza de las funcionesfy g. El ejemplo siguiente ilustra el caso en el que las curvas ti y las curvas v son iíneas rectas. Ejemplo 1

Sea T la transformación de coordenadas definida por

u = x + 2y,

v = x - 2y.

(a) Encuentre las imágenes de (O, 1), (1, 2) Y (2, -3). (b) Dibuje en el plano uv las rectas verticales u = 2, u = 4, u = 6, u = 8 Y las rectas horizontales v = - 1, v = 1, v = 3, v = 5. Dibuje las curvas u y las curvas v correspondientes en el plano xy. Solución

(a) Para encontrar las imágenes de las parejas ordenadas dadas, usamos la fórmula T(x, y)

= (u, v) = (x + 2y, x - 2y).

-2),

T(I,2)

Esto nos da T(O, 1)

= (2,

= (5,

-3),

T(2, -3)

= (-4,8).

(b) Las rectas verticales y horizontales en el plano uv están dibujadas en (ii) de la figura 18.29. Las curvas u en el plano xy son las rectas x

+ 2y = 2,

x

+ 2y = 4,

x

+ 2y = 6,

x

+ 2y = 8

Ylas curvas v son las rectas x - 2y

=

-1,

x - 2y

= 1,

x - 2y

= 3,

x - 2y

=5

que se ilustran en (i) de la figura. v

y

u

(ii)

li)

Figura 18.29 La transformación T en el ejemplo I es uno a uno en el sentido de que dos parejas ordenadas diferentes en el plano xy tienen imágenes diferentes en el plano uv (vea el ejercicio 13). En general, si T es una transformación de coordenadas uno a uno, entonces invirtiendo la correspondencia obtenemos una transformación

918

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

T- 1 del plano uv al plano xy l1amada la transformación inversa de T. Podemos especificar T- 1 por medio de ecuaciones de la forma x = cfy(u, v),

y

= if¡(u, v).

Note que T compuesta con T- 1 o viceversa, es una función identidad. Ejemplo 2

(a) Encuentre la transformación inversa de la transformación T definida en el ejemplo l. (b) Encuentre la curva en el plano uv cuya imagen bajo T- 1 es la elipse x 2 + 4 y 2 = 1.

Solución

(a) La transformación T está dada por

+ 2y,

u= x

v = x - 2y.

Sumando estas dos ecuaciones obtenemos u u - v = 4y. Por lo tanto T- 1 está dada por

x

=

!(u

+ v

= 2x. Restando obtenemos

+ v), y = t(u - v).

(b) Usando las dos ecuaciones anteriores vemos que los puntos (u, v) cuyas imágenes bajo T- 1 satisfacen x 2 + 4 y 2 = 1 deben satisfacer la ecuación

[!(u

+ V)]2 + 4[!(u - v)f = 1.

Esto se reduce a

u2

+ v2

= 2.

Resulta que x + 4 y 2 = 1 es la imagen bajo T en el origen en el plano UV. 2

Ejemplo 3

del círculo de radio

Sea P(x, y) un punto en el plano xy, diferente de (O, O). Definimos l'

(18.44)

-1

=

Jx

2

+

l'

J2 con centro

y () como sigue:

y2

() = el mínimo ángulo no negativo entre la parte positiva del eje x y el vector de posición OP. Entonces l' y () son coordenadas polares de P. Los enunciados en (18.44) definen una transformación de coordenad~s T del plano xy al plano (rectangular) rO. (a) Di­ buje en el plano rO (rectangular) las gráficas de l' = 1, l' = 2, l' = 3, Y O = 1/2, O = 3/2, O = 5/2. Dibuje las curvas l' y las curvas O correspondientes en el plano xy. (b) Encuentre T- 1.

Solución

(a) Note que debemos excluir los puntos (1', O) del plano rO tales que l' :s; O, O < O o O 2 2IT. (¿Por qué?) Las gráficas deseadas están dibujadas en la figura 18.30. (b) No es dificil demostrar que T es uno a uno (vea el ejercicio 14). Las fórmulas de las coordenadas polares conocidas

x =

l'

cos O,

definen la transformación inversa T-

1.

y = r sen ()

TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS

919

18.9

o 3

o=~ 2

2 ! r

2

1

3

(ii)

(i)

Figura 18.30

La discusión en esta sección se puede generalizar a tres dimensiones. Así, una transformación de coordenadas T de una sistema coordenado xyz a un sistema coordenado uvw está determinada por tres ecuaciones de la forma ti

= I(x, y, z),

v

= g(x, y, z),

w

= h(x, y, z)

donde las funciones f, g y h están definidas en una región R. En este caso los planos u = Cj, v = dj, w = ek , donde Cj, dj, ek son números reales, determinan superficies u, superficies v y superficies w en el sistema coordenado xyz (vea los ejercicios 15 y 16).

18.9 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del l al 10 sea T una transformación de coordenadas del plano xy al plano uv definida por las ecuaciones dadas. (a) Describa las curvas u y las curvas v. (b) Si T es uno a uno, encuentre ecuaciones x = r/J(u, v), y = "'(u, v) que especifiquen a T- 1 • 11

4 7 10

= 3x, v = 5y

2 u=e",v=eY

u = 5x - 4y, v = 2x u= x 11

2

+ 4/. v =

4x

+ 3y 2 _

y2

5 8

= )'/(x z + yZ), v = x/(x 2 + /),

x2

11

3

= 2x + y, v = xy

u= x

+ y,

v= x

2

-

6 y

9

u = x - y, v = 3y u= x

3

=x

2

11

, V -

=

X

+

2x

+y

.1'2, V

= 2xy

+ y2 =F O

11 Sea TIa transfonnación definida en el ejercicio l. Encuentre la imagen del rectángulo con vérti­ ces (O, O), (O, 1), (2, 1) Y(2, O). ¿Cuál es la imagen del círculo unitario x 2 + yZ = I?

12 Sea T la transformación definida en el ejerciciO'

13 Demuestre que la transformación T del ejemplo I es uno a uno.

14

3. Encuentre la imagen del triángulo con vérti­ ces (O, O), (O, 1), (2, O). ¿Cuál es la imagen de la recta x + 2y = I? Demuestre que la transformación T del ejemplo 3 es uno a uno.

920

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

En los ejercicios 15 y 16 sea Tia transfonnación indicada, del sistema coordenado xyz al sistema coordenado uvw. Encuentre las superficies u. las superficies l' y las superficies w. Si Tes uno a uno determine T- l. 15

u

= 2x

+ y.

18.10

l' =

Y

+ z.

IV

= X

+ J' + z

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MULTIPLES En la sección 5.6 desarrollamos un método para hacer un cambio de variables en una integral definida f(x)dx. Bajo condiciones adecuadas, si x = g(u), entonces dx = g'(u)du y

S:

f

f(x) dx =

f

f(g(u»g'(u) du

donde a = g(c) y b = g(d). En esta sección obtendremos una fórmula análoga para un cambio de variables en una integral doble SSR F(x, y)dA. En particular, supongamos que (18.45)

x

= f(u, v),

y = g(u, v)

dondefy g tienen segundas derivadas parciales continuas. Estas ecuaciones definen una transfonnación de coordenadas T del plano uv al plano xy. Si usamos (18.45) para reemplazar x y y en la integral doble, entonces el integrando se convierte en una función de u y v. Nuestro objetivo es encontrar una región S en el plano uv cuya imagen bajo T sea R, como se ilustra en la figura 18.31, y tal que

fI

F(x,y) dA =

fr

F(f(u, v), g(u, u) dA .

.\'

11

(i i )

(i)

Figura 18.31

Para realizar un cambio de variables en una integral doble, es necesario imponer restricciones apropiadas a las regiones y a las funciones involucradas. Concrete­ mente supondremos que R consta de todos los puntos que están dentro o sobre

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MULTIPLES

18.10

921

una curva lisa por partes cerrada simple e, y que Ftiene primeras derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a R. También supondremos que T es una función uno a uno de una región S del plano uu sobre la región R, y que S está acotada por una curva lisa por partes cerrada simple K cuya imagen bajo Tes C. También impondremos la condición de que cuando (u, u) trace K una vez en la dirección positiva, el punto correspondiente (x, y) trace e una vez, ya sea en la dirección positiva o en la negativa. Es posible debilitar estas condiciones, pero eso queda fuera del alcance de este libro. La función que definimos a continuación se usará en los cambios de variables. Dicha función lleva el nombre del matemático C. G. Jacobi (1804-1851).

(18.46)

DEFINICION

Si x = f(u, u) y y = g(u, u), entonces el jacobiano de x y y con respecto a u y v, denotado por o(x, y)/o(u, u), está dado por ox

-

o(x,y) o(u, u)

ox

-

ou oy

ou oy

-

-

ou

=

ox oy oy ox ou ou - ou ou·

ou

En el teorema siguiente todos los símbolos tienen el significado que se les dio anteriormente, y se supone que las regiones y las funciones satisfacen las condiciones que impusimos en la discusión anterior. En el enunciado del teorema usamos las notaciones dx dy y du dv en lugar de dA, para que no haya confusión respecto a la región de integración.

(18.47)

TEOREMA

Si x

= f(u,

v), y

JJ

=

g(u, u) es una transformación de coordenadas, entonces

F(x, y) dx dy

=±

JJ

F(f(u, u), g(u, u»

:~:: ~; du du.

s

R

Al trazar (u, u) la frontera K de S una vez en la dirección positiva, el punto correspondiente (x, y) traza la frontera e de R una vez; si lo hace en la di­ rección positiva entonces se escoge el signo + y si lo hace en la direCCión negativa entonces se escoge el signo

Demostración. Comencemos por escoger G(x, y) de manera que oG/ox = F. Aplicando el teorema de Green (18.19) con G = N obtenemos (18.48)

JJ R

F(x,y)dxdy=

JJ :'([G(x,y)]dXdY=~G(x,Y)dY, R

e

922

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

Supongamos que la curva K en el plano uv está dada paramétricamente por

u

=

cjJ(t), v

=

ljJ(t), donde a ~ t ~ b.

De acuerdo con nuestras suposiciones sobre la transformación T, x

(18.49)

= f(u,l')

=

f(cjJ(t),ijJ(t»

y == g(lI, l') = g(cjJ(t), I~(t» donde a ~ t ~ b, son unas ecuaciones paramétricas para la curva e en el plano xy. Por lo tanto, podemos evaluar la integral de línea 'cG(x, y) dy en (18.48) sustitu­ yendo formalmente x y y. Para simplificar la notación definimos

G(t) = G(f(yI¡(t), tI/(I», g(ep(t),I//(I»). Aplicando la regla de la cadena a y en (18.49) obtenemos

dy oy du oy dl' oy, oy, dI = ou dI + ov de = ou cjJ (t) + oV I~ (t). Por consiguiente

~G(X,y) dy = ~G(t) ;; dt e

e

=

f G(t{:~cjJ'(t)

+

:~'V(t)Jdt.

Como du = cjJ'(t)dt Y dv = ijJ'(t)dt, podemos considerar esta última integral de linea como una integral de linea a lo largo de la curva K en el plano uv. Así,

1

(18.50)

'JG(x,y) dy = e

1

oy

ay

± JG au drl + G av dl' K

donde para simplificar la notación hemos usado G como una abreviación de G( /(u, v), g(u, v». Si al variar t de a a b, (u, v) traza K en la misma dirección que (x, y) traza e, entonces elegimos el signo +. Si (u, v) traza K en la dirección contraria a la dirección en que (x, y) traza e, entonces eligimos el signo -. La integral de línea en el lado derecho de (18.50) tiene la forma

~K M du + N dv donde

ay

N = G-;-. (,1'

Aplicando el teorema de Green (18.19) obtenemos

i·

. .\1 du

• K

+ N dr

=

JJ (tN

-,,- - (1/V[) dll ['1/

{

r

c!r

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MULTIPLES

=

al)'

oC ay

aly

Oy)

+ - - - C--- - CII DI' CII el' el: GU c'r vu JJ (C-(]C

18.10

923

dlldl'

s

=

y iJCOX OCoy)(y - + - - -- (acax - - + OCUy)u - - - ] dll dI' ('X c'u i).r f'u ~u ax ou ay au {' u

JJ[( s

=

cC

JJ ¿'x -

(rlX ay ay ux ) - - - - - - dudu uu al' au ou .

s

Usando que obtenemos

oc/ax

f·

junto con la definición del jacobiano (18.46),

= F(x, y),

( M
+

JJ

N dI: =

K

r» ('(x,y) ,-- du du. c(u, t')

fU(II. d. g(u.

S

Combinando esta fórmula con (18.48) y (18.50) obtenemos el resultado anhelado. Ejemplo 1

Evalúe

JJe

lY' - xl· (y + xl


R

donde R es la región en el plano xy acotada por el trapecio con vértices (O, 1), (O, 2), (2,0)y(I,0).

Solución

+

Como en el integrando aparecen y - x y y

u = y - s,

u=

x, es conveniente definir

.r + x.

Estas ecuaciones definen una transformación T del plano xy al plano UU. Para aplicar el teorema (18.47) necesitamos usar la transformación inversa T- l. Para encontrar T- 1 despejamos x y y de las ecuaciones anteriores obteniendo así x

=

-i(u - u),

)'

=

~(r

+ u).

El jacobiano de esta transformación del plano uu al plano xy es

a(.\',y)=I-t -il= -~-~=-~ ~

a(u,v)

t

4

4

2'

La región R está dibujada en (i) de la figura 18.32. Para determinar la región S en el plano uv correspondiente a R, notamos que los lados de R están sobre las rectas x = O,

Y = O,

x

+ y = 1, x + v

=

Usando las ecuaciones para las transformaciones T y Tcorrespondientes en el plano uv son

u = u,

u=

- 11,

U =

1,

l'

= .,

2. 1,

vemos que las curvas

924

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL y

v (-2,2) . - - - - + - - - - . . , ( 2 , 2)

(0,2)

s (O, !)

(1, !)

x+y=! (1, O)

(2, O)

u

x

(ii)

(i)

Figura 18.32

respectivamente. Estas curvas forman la frontera de la región en forma de trapecio S ilustrada en (ii) de la figura 18.32. Se deja al lector verificar que los puntos interiores de S corresponden a los puntos interiores de R y que cuando (u, v) recorre la frontera de S una vez en la dirección positiva (en el sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj), el punto correspondiente (x, y) recorre la frontera de Runa vez en la dirección negativa (en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj). Aplicando el teorema (18.47),

ffetrx)/(}'+xldXdy= --

J2 f~,.eu/v( -~)dUdV

R "2 [ = -1 J

2

1

=­

2

J" _

du

-1'

f2 v(e-e-I)dv I

I = -(e

2

ve(u/vl

t

[l/J2

- e- 1) 2

I

3

I ) =-(e-e4 .

Ejemplo 2

Evalúe

"f e

J

-(X'

+ .,,')

d x dy

R

donde R es la región en el plano xy acotada por el círculo x Solución

Las fórmulas de las coordenadas polares

x = r cos O,

y y = r sen O

2 + y 2 = a 2.

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MULTIPLES

18.10

925

determinan una transformación del plano rO (rectangular) al plano xy, donde

o(x,y) a(r,O)

=Icoso

-rsenO

sen e

rcose

1= r.

La transformación definida en (18.44) envía el rectángulo S en el plano rO acotado por r = O, r = a, O = OYO = 27t, sobre R. Más aún, cuando (r, O) recorre la frontera de S una vez en la dirección positiva, el punto correspondiente (x, y) recorre la frontera de R una vez en la dirección positiva. Por lo tanto, aplicando el teorema (18.47),

JJe-(X'+Y')dxdy = fo2~ J: eR

r2

rdrdO

.

= 12~ o

-~e-r'Ja 2

1 = - _(e-a' -

=

dO

o

2 7t(1 - e-a').

1)27t

La teoría que hemos desarrollado se puede generalizar a integrales triples. Dada una transformación x

= f(u, v, w), y = g(u, v, w), z

= h(u, v, w)

de un sistema coordenado uvw a un sistema coordenado xyz, definimos el Jacobiano a(x, y, z)/a(u, v, w) de la transformación como

ox ou oy ou oz ou

o(x, y, z) o(u, v, w)

ox ov oy ov oz ov

ox ow ay ow oz ow

Si R Y S son regiones correspondientes en los sistemas coordenados xyz y uvw, entonces bajo restricciones apropiadas

fJJ

(18.51)

F(x, y, z) dx dy dz =

R

±

JJJ

o(x, y, z) G(u, v, w) o(u, v, w/u dv dw

S

donde G(u, v, w) es la expresión que se obtiene sustituyendo x, y, z como funciones de u, v, IV en F(x, y, z). Como una ilustración, consideremos las fórmulas de las coordenadas esféricas (14.52).

x = p sen4J cosO

= p sen 4J sen e z = pcos4J.

y

926

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

Se puede demostrar (vea el ejercicio 17) que o(x,y,z) _ ~( d,. e) -

(18.52)

e P,\f',

2

d,.

p sen \f'.

Por lo tanto (18.51) toma la forma

fff

(18.53)

F(x,y, z) dx dydz

= ±

fff

G(p, 0, cP)p2 sen cjJ dp dcjJ de

s

R

que está de acuerdo con la fórmula (17.47), que obtuvimos de manera intuitiva.

18.10 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 4 encuentre el jacobiano o(x, Y)/O(II,

,\ = tl 2

-

l' 2.

Y

= 2L11'

2

En los ejercicios 5 y 6 encuentre 5 \'

= 211 + 31'

-

11'•

(~(x, y, ::)/c(u, ~',

.r = r- 5\1', :: =

ti

!:),

x

= e" sen r, y = e" cos r

11').

+ 411'

En cada uno de los ejercicios del 7 al 10 use el cambio de variables indicado para expresar la integral como una integral doble sobre una región S en el plano u~, (No evalúe la integral.) 7

9

IIR(Y -

x)dx dy; R es la región acotada por y = 2x, y = 0, x = 2; x = 11 + 1', y = 2~.

fJ(~

8

2

-1- .\; ) dx

d)'; R =

{(X, r): .:2 + .\9 ~ I};

x

JI R(3x

- 4)') tix dy; R es la región acotada por y = 3x, 2.1' = x, x = 4; x = l/ - 2r, y = 311 - ~,

= 211. l' = 31'

R

10

.fIl/x)' dx dI'; R es la región acotada por y = 2~, x = O,)'

=

O; x

=

11

2

-

1'2,'.1'

=

2ul'

En cada uno de los ejercicios del 11 al 16 evalúe la integral dada haciendo el cambio de variables indicado. HR(X - y)2 cos 2 (x + y)dx dI': R es la región acotada por el cuadrado con vértices (O, 1), (1. 2), (2. 1), (1, O); u = x - y, r = x + y,

12

13 HR(X 2 + 2y 2)dx dy; R es la región acotada por las gráficas de xv = l. xy = 2, Y = x. y = 2x; x = u/v, y = r,

14

11

15

xdxdl': J'j'2.r+ r - 2x R

R es el trapecio con vértices (- 1, O), (- 2, O), (O, 4), (O. 2); 11 = Y - 2x, L' = 2.1' + x,

fJ'sen.ry+x - x dxdy; 1/

R es el trapecio con vértices (1. 1). (2, 2), (4, O), (2, O); l/ = Y - x, u = )' + x. LfR(4x - 4v + 1)-2
16J'J(: ~'" <) ",,1, R

R es el triángulo con vértices (O, O). (4, O), (4, 2); u

=

y/2,

l'

=

x - 2y.

REPASO

18.11

927

17 Verifique (18.52).

18 Use el teorema (18.47) para deducir una fórmula para F(x, y, z) dx dy dz en términos de una transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas cilindricas.

19 Demuestre que si la transformación de coorde­ nadas x = f(u, v), y = g(u, v) es uno a uno, entonces

20 Dada la transformación x = ¡(u, v), y = g(u, v) y la transformación u = h(r, s), v = k(r, s), demuestre que

HJR

a(x,y) a(u, v) ----=1. a(u,v) a(x,y)

a(x,y) a(u, v)

(Sugerencia: Use la sugerencia en el ejercicio

(Sugerencia: Use la siguiente propiedad de los determinantes:

a

lc 18.11

bllp di r

a(x,y)

o(u, v) a(r, s) = a(r, s) . 19.)

ql=lap+br aq+b:>l) s cp+dr cq+ds'

REPASO

Conceptos Defina o discuta lo siguiente. Campo vectorial

2

Función vectorial

3

Función escalar

4

Campo del tipo del de la gravedad

5

Campo vectorial conservativo

6

La integral de linea

7

Aplicaciones de la integral de linea

8

Independencia de la trayectoria

9

El teorema de Green

10 La divergencia

11

El rotacional

12 Integrales de superficie

13

El teorema de la divergencia (teorema de Gauss)

14

El teorema de Stokes

15

Transformaciones de coordenadas

16

Jacobianos

17

Cambio de variables en integrales múltiples

Ejel'cicios En los ejercicios del l al 4 dé una descripción geométrica del campo vectorial F. F(x, y) = 2xi + yj 3

F(x,y.z) = -k

5

Encuentre un campo vectorial conservativo en dos dimensiones para el cual ¡(x, y) = y2 tan x sea una función de potencial.

2 F(x,y.z) = xi

+ yj + k

6 Encuentre un campo vectorial conservativo en tres dimensiones para el cual ¡(x, y, z) = lo(x + y + z) sea una función de potencial.

928

18

TEMAS DE CALCULO VECTORIAL

Dados los puntos A(l, O) Y B( -1,4), evalúe la integral de línea

f

y2 dx + xydy

e

e es la curva descrita en cada uno de los

donde

7

9 11

ejercicios del 7 al 10.

e está dada e es el

e consta de los segmentos de recta de A al punto

8

paramétricamente por x = 1 - (, y = (2; O ~ ( ~ 2.

D(-I, O) Y de Da B.

10

segmento de recta de A a B.

e es

la gráfica de y = 2 - 2x 3 de A a B.

Evalúe Sexy ds, donde e es la parte de la gráfica de y = x 4 entre (-1,1) Y (2,16).

Dados A (O, O, O) YB(2, 4, 8) evalúe Jex dx + (x + y) dy curva descrita en cada uno de los ejercicios 12, 13 Y 14. 12

e

14

e está dada paramétricamente por x = (, y =

+ (x + y + z) dz

consta de tres segmentos rectos, el primero paralelo al eje z, el segundo paralelo al eje x y el tercero paralelo al eje y.

15 Evalúe JeF . dr donde F(x, y) = (x + y)i x = cos (, y = sen (; -7t ~ ( ~ O.

+

13

(2, Z

(x - y)j

=

donde

e consta del

e es la

segmento de recta de A a B.

(3.

y

e tiene ecuaciones paramétricas

16 La fuerza F en un punto (x, y, z) en tres dimensiones está dada por F(x, y, z) = xyi + y2 z j + xz 2k. e es el cuadrado con vértices Al (O, 1, 1), A 2( - 1, 1, 1), A 3 ( - 1, - 1,1) Y A 4 ( 1, - 1, 1). Calcule el trabajo efectuado por F cuando su punto de aplicación se mueve a lo largo de una vez en la dirección determinada por el crecimiento de los subíndices de A j •

e

Demuestre que las integrales de línea en los ejercicios 17 y 18 son independientes de la trayec­ toria y encuentre sus valores. (2.31

17

f

(1

(2.1.31

(x

+ y)dy + (y + y)dy

18

f

(8 y 3

+

:2) dx

- 3: tly + (2.x:: - 3y) d:

(0.0.0)

1)

19 Demuestre que si F(x, y, z) = 2xe 2Y i + 2(x 2e 2" + y cot z)j - y2 csc 2 Z k, entonces S~ F . dr

es independiente de la trayectoria. Encuentre una función de potencial f para F.

Use el teorema de Green para evaluar la integral de línea ~exy dx la curva descrita en cada uno de los ejercicios 20, 21 Y 22. 20

e es la curva cerrada determinada por y Y y - x = 2 entre (-1, 1) Y (2,4).

22

e es el circulo con ecuación x 2 + y2

24

Demuestre que si f y g son funciones escalares de tres variables entonces

v . (fVg)

=

fV 2 g

+

=

Vf· Vg.

=

x2

1.

21

+ (x 2 + y2) dy

donde

e es el triángulo con vértices (O. O), (1, O) Y(0,1).

23 Sea F(x, y, z) = X 3 z 4 i cuentre div F y rot F. 25

e es

+ xyz2j + x 2y 2k.

En­

Evalúe Hsxyz dS. donde S es la parte del plano z = x + y que se encuentra encima de la región triangular en el plano xy cuyos vértices son, (O, O, O). (1, O, O). (0,2. O).

REPASO 26

Evalúe HsX 2 z 2 dS donde S es la mitad superior del cilindro y2 + Z2 = 4 que se encuentra entre

27

929

18.11

Sea Q la región acotada por el cilindro + y2 = 1 Y por los planos z = OYz = l. Sea F = x 3i + y3j + z3k. Use el teorema de la F . dS, donde S divergencia para calcular es la frontera de Q y n es el vector unitario normal exterior a S.

x2

x=Oyx=1.

Hs

28 Verifique el teorema de la divergencia para el campo vectorial F = 2.xi + yj - zk y la super­ ficie S que es la frontera del paralelepipedo

acotado por los planos x = ± 1, y = ± 2,

n

z = ±3.

Verifique el teorema de Stokes para la función vectorial F y la superficie S dadas en los ejercicios 29 y 30. F = y2j + 2xj + 5yk y S es el hemisferio z = (4 - x 2 _ y2)1/2.

30

F = (x + y)j + (y + z)j + (x + z)k y S es la región acotada por el triángulo con vértices (1, O, O), (0,1, O) Y (O, 0,1).

31 Sea T la transformación del plano xy al plano uv dada por u = 2x + 5y, v = 3x - 4y. En­ cuentre: (b) las curvas v. (a) las curvas u. (c) r 1 (d) o(x, y)jo(u, v). (e) la imagen de la rect::l ax + by + e = O. (1) la imagen del circulo x 2 + y2 = a 2.

32

Evalúe la integral

29

J,(1 o

f2- Ye(x -

y)/(x

+ )'1

dx dy

y

usando el cambio de variables u v = x

+

y.

=

x - y,

_19

ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuación d(ferencial es una ecuación én la cual intervienen derivadas o diferenciales. Si solamente aparecen las derivadas de una función de una variable. entonces la ecuación diferencial se llama ordinaria. Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales. El objetivo principal de este capítulo es desarrollar métodos para resolver ciertos tipos básicos de ecuaciones d(ferenciales ordinarias. La intención de esta discusión no es hacer una disertación sobre este tema. sino más bien servir como una introducción a esta área tan vasta e importante de las matemáticas.

19.1

INTRODUCCION Una ecuación de la forma

(19.1)

F(x,y,y',y", ... ,yln) = O

donde F es una función de n + 2 variables, y es una función de x y ylk) denota la k-ésima derivada de y con respecto a x, se llama una ecuación diferencial ordi­ naria de orden n. Las ecuaciones siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de órdenes 1, 2, 3 Y 4 respectivamente.

Si en (19.1) F es un polinomio, entonces por definición, el grado de la ecuación diferencial es el máximo exponente asociado con la derivada de orden mayor yln). Los grados de las ecuaciones diferenciales anteriores son 1, 1,4 Y2 respectivamente. Si una funcionftiene la propiedad de que al sustituir f(x) en lugar de yen una ecuación diferencial, la expresión resultante es una identidad para todo x en cierto

930

INTRODUCCION

19.1

931

intervalo, entonces f(x) (o f) se llama una solución de la ecuación diferencial. Por ejemplo, para todo número real C ((x)

= x2 + C

es una solución de la ecuación y' = 2x, ya que al sustuir f(x) en lugar de y obtenemos la identidad 2x = 2x. Llamamos a x 2 + C la solución general de y' = 2x, ya que toda solución es de esta forma. Ejemplo 1

Sean C l y C 2 dos números reales cualesquiera. Demuestre que I(x)

=

C,e sx + C 2 e­ sx

es una solución de y" - 25 y = O. Solución

Como

y I"(x)

tenemos que f"(x) y" - 25y = O.

=

25C l e 5x

+ 25C 2e- s" = 25I(x)

25f(x) = O. Esto demuestra que f(x) es una solución de

La solución que se da en el ejemplo 1 se llama la solución general de y" - 25y = O. Observe que la ecuación diferencial es de orden 2 y que la solución general contiene dos parámetros arbitrarios C l y C 2 • En la defin;ción rigurosa de una solución general interviene el concepto de parámetro independiente que se estudia en cursos más avanzados. Se puede demostrar que las soluciones generales de ecuaciones diferenciales de orden n contienen n parámetros independientes C l , C 2 , ••. , Cn' Una solución particular se obtiene asignándole valores específicos a los parámetros. Algunas ecuaciones diferenciales tienen soluciones que no son casos particulares de la solución general. Estas soluciones, llamadas soluciones singulares no se discuti­ rán en este libro. Ejemplo 2

Encuentre la solución particular de y' = 2x que satisface la condición y = 5 si = 2.

x

Solución

Como mencionamos antes, la solución general de y' = 2x es de la forma y = x 2 + c. Si queremos que se satisfaga la condición dada, es necesario que 5 = 4 + C o sea C = 1. Por lo tanto la solución particular deseada es y = x 2 + 1. Las condiciones como las que se propuso en el ejemplo 2, se llaman condiciones a la frontera para la ecuación diferencial. Si la solución general contiene un pará­ metro, es suficiente una condición a la frontera para hallar una solución particular, Si la solución general contiene dos parámetros como la del ejemplo 1, se necesitan dos condiciones a la frontera para poder encontrar soluciones particulares. Si in­ tervienen más de dos parámetros, se pueden hacer afirmaciones semejantes.

932

19

ECUACIONES DIFERENCIALES

Las soluciones que consideramos expresan y en función de x explícitamente. Las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales se expresan en forma implícita. En este «aso se usa la derivación implícita para verificar la solución, como se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 3

Demuestre que x 3

+

x 2y - 2y 3 = (x 2

Solución

-

e es una solución implícita de

6y 2 )y'

+ 3x 2 + 2xy

=

o.

Suponiendo que y = ¡(x) satisface la primera ecuación, obtenemos por derivación implícita

+ 2xy + x 2y' - 6y 2y' = O 2 2 (x - 6.1'2)/ + 3x + 2xy = O.

3x 2

Por lo tanto y

= ¡(x)

o

satisface la ecuación diferencial.

El tipo más simple de una ecuación diferencial es el que se puede escribir en la forma 1\1(X) + N(y)y' = O

(19.2)

donde M Y N son funciones continuas. Si y M(x)

¡(x) es una solución, entonces

=

+ N(f(x))I'(x)

=

o.

Si f' es continua, entonces tomando la integral indefinida de ambos lados de la ecuación obtenemos f\1(X)dX + f N(f(x))I'(x)dx =

e

o equivalentemente f:\1(x)dx+ fN(y)dY=C.

Esta última ecuación es una solución (implícita) de (19.2). Un artificio útil para recordar este método, es escribir (19.2) en la forma .\1(x)

dy

+ N(y)dx

= O

y luego pasar a laforma diferencial siguiente: (19.3)

M(x)dx

+ N(y)dy = o.

Después se halla la solución integrando formalmente. Se dice que la ecuación (19.2) es separable, ya que, como se indica en (19.3), se pueden separar las variables x y y.

INTRODUCCION

Ejemplo 4

933

Resuelva la ecuación diferencial

+ 6x +

2xy

Solución

19.1

(x 2 - 4 )y' = O.

La ecuación dada se puede escribir

+

2x(y

3)

+

(x 2

-

dI' 4)-'--

dx

O.

=

Suponiendo que (y + 3)(x 2 - 4) "# O, podemos dividir ambos lados de la ecuación anterior por este producto, y expresarla en la forma (19.3) como sigue: 2x -2- d x x - 4

1

+ --dy Y

+3

=

O.

Por lo tanto, la ecuación dada es separable. Integrando obtenemos Inlx 2

+ Inly + 31 lnl(x - 4)(y + 3)1 -

41

2

=

C I -o

=

CI'

Esto también se puede escribir l(x 2

-

4)(y

+ 3)1 = él =

C2.

Se puede demostrar que la solución es (x 2 -4)(y+3)=C

donde C es cualquier número diferente de cero. Así, la solución, en forma explícita, es y

C

= -,-- 3. x- - 4

Como supusimos que (x 2 - 4)(y + 3) "# O, nos falta analizar el caso y = - 3. Sustituyendo directamente en la ecuación dada, vemos que y = - 3 es una solución. En conclusión, la solución es y = C/(x 2 - 4) - 3, donde C es cualquier número real. Note que si C "# O la solución correspondiente no está definida en x = ± 2.

Como las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales contienen pará­ metros arbitrarios, las gráficas de estas soluciones constituyen una familia de curvas. Por ejemplo, la solución y = x 2 + C de la ecuación y' = 2x, nos da una familia de parábolas como las que se ilustran en la figura 19.1. Inversamente, sipartimos de la ecuación de una familia de curvas, entonces derivando implícitamente ob­ tenemos una ecuación diferencial llamada ecuación diferencial para la familia.

Ejemplo 5

Encuentre una ecuación diferencial para la familia de parábolas definidas por y Cx 2 , donde C es un número real diferente de cero.

=

934

19

ECUACIONES DIFERENCIALES

x

Figura 19.1

Solución

La familia consta de todas las parábolas con vértice en el origen y foco eo el eje y, como las que se ilustran en la figura 19.2. Derivando la ecuación dada obtenemos y' = 2Cx y por lo tanto y = Cx 2 = (Cx)x = (h')x.

Por consiguiente

2y - y'x = O.

y

x

Figura 19.2

INTRODUCCION

es una ecuaclOn diferencial para la familia. Tomando y' forma diferencial 2ydx - xdy

935

19.1

= dy/dx obtenemos la

= O.

Decimos que una ecuación en x y y que contiene dos constantes arbitrarias define una familia de curvas de dos parámetros. Se usa una terminología semejante en caso de que haya más de dos constantes. Para encontrar una ecuación diferencial para una familia de curvas en la que intervienen varios parámetros, es necesario derivar la ecuación de la familia varias veces. Ejemplo 6

Encuentre una ecuación diferencial para la familia de curvas de dos parámetros dada por y = C I cosx

Solución

+ C z senx.

Derivando dos veces obtenemos y'

= -C I senx + C z cosx

y" = - C I

COSX -

C z senx.

Comparando esto con la ecuación dada vemos que

y"

= -

y" + y

o

y,

=

O.

Esta es una ecuación diferencial para la familia.

19.1 EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios. del l al 8 demuestre que y es una solución de la ecuación diferencial dada.

3 Y = e"(C¡ cosx

+ C I senx); y" - 2/ + 2y = O

5

y = CX- I/3 ; 2xy 3 dx + 3xIyId.l' = O

7

yI - x 2

-

xy

=

C; (x - 2y)y'

+ 2x + y =

O

2

y=Ce- Jx ;/+3y=O

4

Y

6

y=CX 3;x 3y"'+x I y"-3xy'-3y=O

8

XI - y2

= (C I + C I x)e- 2x ; =

y" + 4y' + 4y

=O

C; yy' = X

En cada uno de los ejercicios del 9 al 14 encuentre una ecuación diferencial que tenga la solución general dada. 9

12

yI = x 3

+C

y=C 1X 3 +C I X

En los ejercicios del l S al 18 encuentre una ecuación diferencial para la familia de curvas in­ dicada. 15 Todas las rectas no verticales que pasan por el origen

16 Todos los circulos con centro en el origen

936

19

ECUACIONES DIFERENCIALES 18 Todas las parábolas cuyo foco y vértice están sobre el eje x

17 Todos los círculos con centro en el eje x

En los ejercicios del 19 al 32 resuelva las ecuaciones diferenciales. 19

xdy - ydx = O

21

2ydx

+ (xy + 5x)dy = O

+ y2)dx + (1 + x 2)dy = O

20

(1

22

(xy - 4x)dx yx 2)dy

+

+

(x 2y

+ (x + xy2)dx = O

23

y' = x - 1 + xy - y

24

(y

2S

r+ 2Y dx - eh-Ydy = O

26

cosxdy - ydx = O

27

y(1

28

x 2y' _ yx 2 = y

29

xtany - y'secx = O

30

xy

32

senycosxdx

31

+ x 3 )y' + x 2 (1 + y2) = O 2

eYsenxdx - cos xdy = O

+ y)dy = O

+ y'r'lny = O + (1 + sen 2 x)dy = O

En cada uno de los ejercicios del 33 al 40 encuentre la solución particular de la ecuación

diferencial, que satisface las condiciones a la frontera dadas.

JY = xJy; x = 9, Y = 4

332y2l=3y-y';x=3,y=1

34

py' -

3S

xdy-(2x+ l)e-Ydx=O;x= l,y=2

36

sec2ydx - cos 2 xdy = O; x = Tt/4, Y = Tt/6

37

(xy+x)dx+J4+x 2 dy=0;x=0,y=1

38

xdy-JI="7dx=O;x=l,y=!

39

cotxdy-(I +y2)dx=0;x=0,y= 1

40 csc y dx - eX dy = O; x = O, Y = O

19.2

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Las ecuaciones diferenciales separables que consideramos en la sección anterior son casos particulares de la ecuación de primer orden dy

P(x,y)

+ Q(x,y) dx = O

donde P y Q son funciones de x y y. Frecuentemente expresamos esta ecuación en términos de diferenciales como sigue: P(x,y)dx

+ Q(x,y)dy = O.

En esta sección restringiremos nuestra atención a las ecuaciones llamadas exactas, que se definen a continuación.

(19.4)

'DEFlNICION

Si P y Q tienen primeras derivadas continuas, entonces P(x,y)

dy

+ Q(x,y) dx = O, o

P(x,y)dx

+ Q(x,y)dy = O

es una ecuación diferencial exacta si y sólo si

ap

aQ

ay

ax'

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Ejemplo 1

937

19.2

Demuestre que la ecuación diferencial (3x 2 y - 2y 3 + 3)dx + (x 3

6xy 2 + 2y)dy

-

=O

es exacta. Solución

Sea P(x, y)

=

3x 2 y - 2y 3

+ 3 y

Py(x,y)

Q(x, y)

= 3x

2

-

=

x3

-

6 xy 2 + 2y. Vemos que

6y 2 = QAx,y).

Por consiguiente, de acuerdo con la definición (19.4), la ecuación es exacta. (19.5)

TEOREMA

Si P(x, y) + Q(x, y)y' = O es una ecuación diferencial exacta, entonces existe una función F de x y y tal que aF

ax

=P

y aF = Q

ay'

Demostración. Sea (Xl' Yl) un punto en el dominio de P y de Q. Definamos la función F mediante F(x,y)

=

r

P(t,y)dt

+

XI

Dejamos como ejercicio demostrar que FAx, y)

fY Q(x¡,t)dt. YI

=

P(x, y) y que Fy(x, y)

=

Q(x, y).

El resultado siguiente es el teorema fundamental de existencia para las solu­ ciones de las ecuaciones diferenciales exactas. (19.6)

TEOREMA

Una ecuación diferencial exacta P(x, y) + Q(x, y)y' = O tiene una solución de la forma F(x, y) = e donde e es una constante y F es una función de x y y tal que F" = P y F y = Q. Más aún, para cualquier F con estas propiedades y cualquier constante e, F(x, y) = e es una solución. Demostración. Aplicando el teorema (19.5) sabemos que existe al menos una fun­ ción F tal que F" = P y Fy = Q. Completaremos la demostración probando que y = f(x) es una solución de la ecuación diferencial dada, si y sólo si F(x,f(x» = e para alguna constante C. Aplicando la regla de la cadena D,.F(x,f(x))

= FAx,f(x») + Fy(x,f(x»f'(x)

D,.F(x,f(x))

= P(x,f(x») + Q(x,f(x))I'(x).

o equivalentemente

Si y = f(x) es una solución de la ecuación diferencial, vemos que D" F(x,f(x» = O Ypor lo tanto F(x,f(x» = e para alguna constante C. Inversamente, si F(x,f(x» = e, entonces D"F(x, f(x» = O, es decir

938

19

ECUACIONES DIFERENCIALES 0= P(x,f(x))

+ Q(x,f(x))j"(x)

y esto significa que !(x) es una solución de la ecuación diferencial dada. El ejemplo siguiente ilustra un procedimiento para encontrar la solución = C mencionada en el teorema (19.6).

F(x, y)

Ejemplo 2

Resuelva la ecuación diferencial (3x 2 y - 2)'3

Solución

+ 3)dx + 1-\;3

-

+ 2y)dy

6X)'2

O.

=

En el Ejemplo 1 vimos que esta ecuación es exacta, en consecuencia, según (19.6), existe una función F tal que

+3 + 2y,

F,(x,y) = 3x 2y - 2y 3 ¡'~,(x,y) =

x

3

6xy 2

-

Integrando FAx, y) con respecto a x obtenemos

= x 3y

F(x,y)

- 2xy 3

+ 3x + g(y)

donde g es una función de y, Concluimos que Fy(x,y)

=

x3

-

6xy 2 + g'(y),

Comparando esta ecuación con la fórmula para F/x, y) que tenemos al principio, vemos que g'(y) = 2y Y por consiguiente g(y) = y2 + C I . Sustituyendo esto en la fórmula de F(x, y), obtenemos F(x,y)

x 3 y - 2xy 3

=

+ 3x + y2 + el'

Por lo tanto, de acuerdo con el teorema (19,6) x 3 y - 2xy 3

+

3x

+ y2 =

e

es una solución de la ecuacion diferencial, donde la constante C I se incluye en la constante C. Esta solución se puede comprobar por derivación implícita.

Ejemplo 3

Resuelva la ecuación diferencial 2xseny - ysenx

sujeta a la condición a la frontera y

Solución

Sean P(x, y)

=

2x sen y -

y sen x

~,(x,y)

=

+ (x 2 cosy + cosx)y'

=

n/6 cuando x

y

Q(x, y)

2xcosy - sen x

= =

= x

2

=

O

n/2.

cos y

+

cos x. Vemos que

Qxlx,y)

y por consiguiente la ecuación diferencial es exacta, De acuerdo con el teorema (19,5), existe una función F tal que FAx,y) = 2xseny - ysenx Fy(x, y) = x 2 cosy + cos x,

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

939

19.2

Integrando F..(x, y) con respecto a x, obtenemos F(x,y)

= x 2 seny + ycasx

-1- g(y)

donde g es una función de y. En consecuencia ~.(x,y) = x 2 eos)'

+ casx + g'(y).

Comparando esto con la otra expresión para F}.(x, y), vemos que g'(y) = O Y por lo tanto g(y) = Cl' Aplicando el teorema (19.6) sabemos que

+ ycosx

x 2 sen y

e

=

es una solución de la ecuación diferencial dada, donde otra vez la constante C l se incluye en C. Finalmente, la condición a la frontera implica que

o C = rr 2 /8. Por lo tanto la solución particular que se pide es

,

2

x seny + ycasx

rr­

=

S'

19.2 EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 14 resuelva las ecuaciones diferenciales dadas, (2x + r)tlx + (2.1' +x)tlr = O

+ 3.x\!)tix -

+

(1 - 2xI'

4

(2x - 3x 1 r)li.x + (1 +

6

r 1 e" + 4.1' + (2ye' + 4x)r' = O

8

(1'ln1'

+

2.1' -

211 In 11) ti 11 + (1I1n1'

x 3 )ilr

+

10

(x! + 2xy - /)y'

12

Y cos x tlx + (sen x - sen y) ti)'

14

(

=

lI)tl1'

=O =O

1 + y.

(

=O

- 1---, + tan

1+

5

(x 2 cosy + 4)')y' + 2xsenJ' = -5

7

eXI'(xr + 1) tix + (x 2 ex )' + 2)') tiy

x·

1.1')

=

(sen /1 + 2rcos/l)tlr + r(sen2/1- rsenO)i!O

1I

le -.' cos y - 2x) tlx t e -, senl' tly = O

13

(x - .l'x-

I

+

111.1')

+

(.\j'

I -

O

En los ejercicios del 15 al 18 encuentre una solución de la ecuación diferencial que satisfaga las condiciones a la frontera dadas.

8x)tix + (3X 1 y l + 5)ti.l' = O; Y = -1 cuando.\ = 2

15

(2.'(1'.1 +

16

(x 2 e>' + 3e' ).1" + (2xt'Y + 3ye') = O; Y = O cuando x = I

17 18

' \'('_x

(.

+

(xcosx

1 ' ) tll' + (r-('-' , , - 1 )tlx :"_, 1 + 4.1'-' .

senx

+ r)tix

+ (sen ,1'

= O:

x = O. l' .

=O

1

9

-y! - 2xy + x 2

X -, +, .1'- - 1)Y' +

(2xy + y3¡tix

3r! - 2x 3y)til' = O

3

(Xl

+ (Xl + 3/x)dy = O

2

=

1/2

+ x)ilr = O: x = nj6. y

= ni3

Inx)y' = O

=O

940

19

ECUACIONES DIFERENCIALES

19 Complete la demostración del teorema (19.5).

Demuestre que la ecuación diferencial separable

20

(19.2) es un caso particular de

+

P(x, y)

dy

Q(x, y) dx = O.

19.3 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

Se dice que una función f de dos variables es homogénea de grado n si

(19.7)

f(ex, (y)

= e"f(x, y)

para todo e > Otal que (tx, ty) está en el dominio de! Por ejemplo, si f(x,y) = 2x~ - \2.1'2

+

5\.1'.1

entonces fes homogénea de grado 4, ya que /(1\,11') = 2(lx)~

-

(1\)2(11')2

+ 5(1x) (1\,).1

\2/ + 5xy.1) =

= 1~(2x~ -

I~f(x,y).

Análogamente, si

entoncesfes homogénea de grado -2, ya que . _ f(lx,ey) -

z

2

l

ex +

' ze

tX/ly _

- e

I-y

- 2 .

j(x,y).

Una ecuación diferencial homogénea es una ecuación que se puede escribir en la forma (19.8)

P(x,y)dx

+ Q(x, y) dy = O

donde P y Q son funciones homogéneas del mismo grado. Las ecuaciones de este tipo se pueden convertir en ecuaciones separables haciendo la sustitución (19.9)

y

=

xv, donde v

=

g(x)

para alguna función g. Para comprobar este hecho, derivamos (19.9), obteniendo así dI"

= r tlx + x ch.

Sustituyendo xv en lugar de y en (19.8) obtenemos P(x,xv)dx + Q(x,xv)(vdx + xdv)

=

Si P y Q son funciones homogéneas de grado n, entonces

O.

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

= xnP(l,v)

P(x,xv)

y

Q(x,xv)

19.3

941

= xnQ(l,v).

Sustituyendo esto en la ecuación diferencial anterior y dividiendo ambos lados por x n , obtenemos

o.

P(I,v)dx + Q(l,v)(vdx + xdv) =

Esta ecuación se puede escribir en la forma separable

~dx+

(19.10)

x

Q(I,v) dv=O, P(l,v) + vQ(I,v)

siempre y cuando los denominadores sean diferentes de cero. Hemos demostrado que si y = xv es una solución de (19.8), entonces ves una solución de (19.10). Inver­ samente, si v es una solución de (19.10), entonces invirtiendo nuestro argumento, vemos que y = xv es una solución de (19.8). No es recomendable memorizar la forma (19.10). Es mejor recordar la sustitución y = xv que se usa para simplificar la ecuación homqgénea. También se puede usar la sustitución x = vy para resolver la ecuación.

Ejemplo 1

Resuelva la ecuación diferencial

+ x 2dy = O.

(y2 _ xy)dx

Solución

Sean P(x, y) = y2 - xy Y Q(x, y) = x 2. Entonces P y Q son funciones homo­ géneas de grado 2. Por lo tanto la ecuación diferencial es homogénea y hacemos la sustitución y = xv,

dy = v dx + x dv.

Esto nos lleva a la siguiente cadena de ecuaciones. 2 2 2 2 (X V - x v) dx + x (v dx + x dv) 2 2 2 X (V - v)dx + x (vdx + xdv) (v 2 - v) dx

+ v dx + x dv v 2 dx + xdv I

-dx x

I

+ -dv 2 v

Integrando obtenemos I

Inlxl - -

=

V

Cl·

Como v = y/x, esta última ecuación es equivalente a x Inlxl - y

Sea

el

In ICI. Entonces

=

Cl·

=

O

=

O

=

O

=

O

=

O

942

19

ECUACIONES DIFERENCIALES

==~,

Inlxl-lnlCl

In

O

121 =~.

Esto se puede escribir x/C = eX/Yo x == Ce x / y. También se puede encontrar la solución en forma explícita. Ejemplo 2

Resuelva la ecuación diferencial

xcot~) dy + ycot~dx = y y

(y Solución

O.

La ecuación es homogénea de grado l. En este caso es conveniente usar la sustitu­ ción x = vy, ya que entonces cot (x/y) se reduce a cot v. Así pues hacemos la susti­ tución x

= vy,

dx == v dy + y dv

obteniendo

(y - vycot v)dy + ycot v(vdy + ydv) = O. Dividiendo ambos lados por y y simplificando llegamos a (1 - vcot v)dy

+ cot v(vdy + ydv) = O dy + ycot vdv = O.

Separando las variables e integrando obtenemos 1

-dy + cotvdv == O Y

= C¡ == In ICI

In Iy sen vi = In lel

In Iyl + In ¡sen vi

y sen v = C.

Como v == x/y, x

ysen- = C. y es una solución de la ecuación dada.

19.3 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 10 resuelva las ecuaciones diferenciales dadas.

(x

3

+

3y) dx

+ x dy

=

O

(ysen~x + xcos tx ) dx - xsen~dy = x

O

2

(2x - y)dx

4

xZdy

+ (y2

+

(x

+ 2y)dy == O

- xy)dx = O

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN x J j(4x J

y'

9

(Y+#-/)dx=xdy

-

943

3x 2 y)

7

=

19.4

10

(x

+ y)dx

=

(x - y)dy

En los ejercicios del 11 al 14 resuelva las ecuaciones diferenciales dadas mediante la sustitución x = vy. 11

2xydx

13

3ydx

+ (y2

- x 2 )dy = O

+ (x + 2y)dy = O

12

y 2 dx+x(x-y)dy=O

14

dx-(y-Ix+tany-Ix)dy=O

En los ejercicios 15 y 16 demuestre que las ecuaciones dadas son homogéneas y exactas y re­

suélvalas.

15

(x

+ 3y)dx +

(3x - 2y)dy = O

16

(x 2 + y2)dx

+ 2xydy = O

19.4 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la fonna (19.11)

y'

+ P(x)y = Q(x)

donde P y Q son funciones continuas. Si Q(x) = O para todo x, entonces (19.11) es separable y podemos escribir 1 ,

-y = -P(x) y

siempre que y '# O. Integrando obtenemos In Iyl = -

f P(x)dx + In ICI.

Expresamos la constante de integración en la forma In ICI para poder escribir la última ecuación como sigue: In Iyl - In ICI = In

f

P(x)dx

I~I = - fP(x)dx r = e-JP(x)dx e

ye! P(x)dx

= c.

Ahora observamos que D x [yeJP(X)dX]

= y'e!P(X)dX + P(x)ye!P(x)dx = eJP(x)dx[y, + P(x)y].

Por consiguiente, si multiplicamos ambos lados de (19.11) por eíp(X) dx podemos escribir la ecuación resultante como

1

944

19

ECUACIONES DIFERENCIALES

Dx[yei"lxldx] = Q(x)elPlxldx. Esto nos da la solución (implícita) de (19.11) siguiente:

yei "(x)dx

(19.12)

=

f

Q(x)ei "(x)dx dx

+ D.

Si despejamos y de esta ecuación obtenemos una solución explícita. La expresión eí,,(X) dx se llama un factor de integración de (19.11). Hemos demostrado que al mul­

tiplicar ambos lados de (19.11) por esta expresión, llegamos a una ecuación cuya solución es (19.12).

+

+

Resuelva la ecuación diferencial x 2 y'

Solución

Para poder encontrar un factor de integración, primero expresamos la ecuación diferencial dada en la forma (19.11) en la cual el coeficiente de y' resulta ser 1. Al dividir ambos lados por x 2 obtenemos

5xy

,5

Y + -y x

=

3x 5 =

°

Ejemplo 1

-3x

donde x #- O.

3

que es de la forma (19.11) con P(x) = 5/x y Q(x) = -3x 3 • De acuerdo con la discusión anterior, el factor de integración que necesitamos es

°

Si x > entonces Ixl 5 = x S , mientras que si x < 0, entonces Ixl S = -x s . En ambos casos, al multiplicar los dos lados de la primera ecuación por Ixl s obtenemos

xSy'

+ 5x 4 y = -3x 8 o

D..(xSy) = -3x 8 •

Por lo tanto

o equivalentemente

es una solución. La ecuación de Bemoulli (19.13)

y'

+ P(x)y = Q(x)y",

donde n #- 0, es una generalización de (19.11). Es obvio que y = Si y #- 0, podemos dividir ambos lados por y" obteniendo (19.14)

°es una solución.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Sea

IV

19.4

945

= yl- •. Entonces

y por lo tan to I y-.y' = --IV'. I-n

Sustituyendo esta expresión en lugar de y-.y' en (19.14) obtenemos I 1-11

--IV'

+

P(x)w

=

Q(")'

Esta ecuación diferencial lineal de primer orden se puede resolver usando el método del factor de integración. U na vez hallado IV, la solución de (19.13) se puede expresar como y I -n = IV (y Y = O).

Ejemplo 2

Resuelva la ecuación diferencial

Solución

Esta es una ecuación de BernoulJi de la forma (19.13) con n = 3. Al multiplicar ambos lados de la ecuación por y - 3 Y hacer la sustitución w = y 1 - . = y - 2 ob­ tenemos y-3 y ' + 2x-

- tI\" w'

ly-~

= xb

+ 2" -

I IV

=

+ 4x-

I

= -2x 6 .

\\I

,,6

Como el factor de integración para la última ecuación es efl -

4 / x )dx

=

e- 4 ¡"lx l = c i "I.<1-4 =

1,,1- 4

= x- 4

escribimos

En consecuencia x- 4 w = _jx 3

Finalmente, como

IV

+C o

w = _~X7

+ Cx 4,

= y- 2, la solución de la ecuación dada es

y-~=_~X7+CX4

o

(_~X7+CX4)y~=l.

19.4 EJERCICIOS En los ejercicios del I al 26 resuelva las ecuaciones diferenciales dadas.

4

y'

+ .rcolx = cscx

2

y' - 3y = 2

5

xy' + y + x

=

eX

3

xy' - 3.1'

6

xy'

=

X

S

+ (1 + x)y

= 5

946

19

+

ECUACIONES DIFERENCIALES

7

Xl ely

(2xy - eX) elx = O

9

y' + yeot x = 4x l cscx

11

(y sen x - 2)elx + cosxdy

13

(x 2 eosx

15

xy' t- (2 + 3x)y = xe- 3.'

17

xy' -

19

(2xy - Xlyl)dx + (1 + x 2 )ely

21

x - I y'

23

tan x ely + (y - sen x) elx

25

+ 3x r = Xl + e-x'

.1"

+ v)elx

- xdy

8

=

+ y tan x

10

y'

= sen x

14

y' + y = sen x

16

(x

18

xy' + 2y = 4X 4 y 4

20

y' + y =

22

y' - 5y

24

cos x ely - (y sen x + e - X) dx

26

y'

=O

= O

r = x 3 y"' + 2y

x l ely+(x-3xy+ l)dx=O

=O

3

=O

2

+ 4)y' + 5y

=

/e

=

x 2 + 8x + 16

x

eS x

+ ytanx

=O

= cos 3 x

En los ejercicios del 27 al 30 encuentre la solución particular de la ecuación diferencial, que satisface las condiciones a la frontera dadas. r

= x 2 + x; x = 1, Y = 2

27

x\.' -

29

xr' + r + xr = e - x;

19.5

X

= I . r = O

28

y'+2y=e- 3x ;x=O,y=2

30

y' + 2xy - e - x' = x;

X

= O. r =

l

APLICACIONES En la fisica las ecuaciones diferenciales son indispensables. Ya consideramos en este libro algunas aplicaciones elementales en las cuales intervienen leyes de crecimiento exponencial, movimiento, geometría, economía y otras. Al volverse más dificiles los problemas, las ecuaciones diferenciales correspondientes se vuelven más com­ plicadas y con frecuencia es necesario calcular aproximaciones a las soluciones mediante computadoras. En esta sección daremos varios ejemplos más para ver cómo se pueden aplicar las ecuaciones diferenciales. El estudiante interesado puede encontrar ejemplos adicionales en los textos de ecuaciones diferenciales o en libros avanzados de in­ geniería o fisica. En una sección anterior usamos la antiderivada para obtener las leyes del movimiento de un cuerpo en caída libre, suponiendo que se puede despreciar la resistencia del aire (vea el ejemplo 5 en la sección 4.9). Esta suposición es válida para objetos pequeños que se encuentran cerca de la superficie de la Tierra; sin embargo hay muchos casos en los que la resistencia del aire se tiene que tomar en cuenta. En efecto, la fuerza de fricción a menudo aumenta a medida que la rapidez del objeto aumenta. En el ejemplo siguiente obtendremos la ley del movimiento de un cuerpo en caída libre suponiendo que la resistencia debida al aire es directamente proporcional a la rapidez del cuerpo.

Ejemplo 1

Se deja caer un objeto de masa m desde un globo. Calcule la distancia que cae en los primeros / segundos, suponiendo que la resistencia debida al aire es directamente proporcional a la rapidez del objeto.

APLICACIONES

Solución

19.5

947

Introducimos un eje vertical con dirección positiva hacia abajo y origen en el punto desde el cual se deja caer el objeto, como se ilustra en la figura 19.3. Queremos en­ contrar la distancia s(/) del origen a la posición del objeto en el tiempo l. punto desde el cual se suelta el objeto

01 /

sU)

m~ Figura 19.3 Sabemos de nuestro trabajo anterior que la velocidad del objeto es v = s'(/) y que la magnitud de la aceleración es a = dv/dl = s"(I). El objeto es atraído por la Tierra con una fuerza de magnitud mg, donde g es la aceleración de la gravedad. Por hipótesis la fuerza de resistencia debida al aire es kv para alguna constante k. Esta fuerza tiene dirección opuesta al movimiento. Concluimos que la fuerza F sobre el objeto es mg - kv, y está dirigida hacia abajo. Como la segunda ley de Newton dice que F = ma = m(dv/dl), llegamos a la ecuación diferencial siguiente: dv mdI

(19.15)

=

mg - kv

o equivalentemente

dv

=

(g - ~v) dI.

Si denotamos por e a la constante k/m, podemos escribir la ecuación anterior en la forma separable

~=dl.

g - cv

Integrando ambos lados obtenemos l --ln(g-cv)=l+D

e

para alguna constante D. Esto también se puede escribir en la forma In (g - cv) = - c(t

o

+ D)

948

ECUACIONES DIFERENCIALES

19

Si

1

O, entonces v = O Y por lo tanto g = e -eD. Por consiguiente g - ev

= ge-e,.

Despejando v obtenemos g _ ge- C1 v = =--~--

e

o, como v = s'(1)

S '(1) -- -g -

e

g -c' . -e e

Integrando ambos lados de esta ecuación, vemos que

5(1)

= ~I + g2e-cr + E. e

e

La constante E se puede encontrar tomando g

O = 0+ 2" + E,

1

= O. Como s(O) = O, obtenemos

o

e

g e2•

E= - ­

En consecuencia, la distancia que recorre el objeto al caer durante los primeros segundos es 5 ( 1)

g

g -cr

e

e

= -1 + -e 2

1

g

- -. e2

Es interesante comparar esta fórmula para S(/) con la que se obtiene al despreciar la resistencia del aire. En ese caso (19.15) se reduce a dv/dl = g, y se sigue que s'(1) = v = gl. Integrando ambos lados llegamos a la fórmula S(/) = -!g12 que es mucho más sencilla que la que se obtiene tomando en cuenta la resistencia del aire.

Ejemplo 2

Un circuito eléctrico sencillo consta de una resistencia R y una inductancia L co­ nectadas en serie, como se ilustra en el esquema de la figura 19.4. donde E es una R

L

Figura 19.4

APLICACIONES

19.5

949

fuerza electromotriz constante. Si en el tiempo t = O se cierra el interruptor, en­ tonces según las leyes de la electricidad, para I > O la corriente i satisface la ecuación diferencial di

L dt

Exprese i como función de Solución

+ Ri =

E.

l.

La ecuación dada se puede escribir como di R E - +-i=­

L

dt

L

que es de la forma (19.11). Multiplicando ambos lados por el factor de integración

obtenemos di é R / L ), _

dt

R E + _éR/Lj'i = _e(R/L),.

L

L

En consecuencia

Como i = O cuando I = O, deducimos que ecuación anterior obtenemos

e

= -E/R. Sustituyendo esto en la

E

R Finalmente, multiplicando ambos lados por i

= ~[1 R -

e-(R/L)t,

e-(R/L)'J

obtenemos

.

Observe que cuando I tiende a infinito, i tiende a E/ R, que es la intensidad de la corriente cuando no hay inductancia. En el ejercicio II se pide encontrar una fórmula para i en el caso en el que la fuerza electromotriz está dada por E sen wl donde w es una constante. Una trayectoria ortogonal a una familia de curvas es una curva que interseca ortogonalmente a cada una de las curvas de la familia. Restringiremos nuestra discusión a curvas en un plano coordenado. Por ejemplo, dada la familia y = 2x + b de todas las rectas de pendiente 2, cada recta y = - O/2)x + e de pendiente - 1/2 es una trayectoria ortogonal. Decimos que dos familias de este tipo son mutuamente ortogonales. Otro ejemplo es el de la familia de todos los círculos con centro en el origen y la familia de todas las rectas que pasan por el origen.

950

19

ECUACIONES DIFERENCIALES

Al aplicar las matemáticas a la física, frecuentemente aparecen familias mutua­ mente ortogonales. En la teoría de la electricidad y el magnetismo, las líneas de fuerza asociadas a un campo dado son trayectorias ortogonales a las curvas equi­ potenciales correspondientes. También las líneas de flujo que se estudian en aero­ dinámica e hidrodinámica son trayectorias ortogonales a las llamadas curvas equipotenciales de velocidad. Por último, en el estudio de la termodinámica, el flujo de calor a través de una superficie plana es ortogonal a las curvas isotermas. El siguiente ejemplo ilustra un procedimiento para encontrar las trayectorias ortogonales a una familia de curvas. Ejemplo 3

Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de elipses x 2 dibuje varios miembros de cada una de las familias.

Solución

Derivando implícitamente la ecuación dada obtenemos 2x

+ 6yy'

=

O,

o

v':= .

+ 3y 2 =

e y

\

-~.

3y

Por lo tanto la pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) sobre una de las elipses es y' = -xI3y. Si dyldx es la pendiente de la recta tangente a una trayectoria ortogonal correspondiente, entonces tiene que ser igual a menos el recíproco de y'. Esto nos da la siguiente ecuación diferencial para la familia de trayectorias ortogonales:

dy

3y

dx

x y

\ I \

I I

/ I

I

I

-1'

L-+'_+_~'

x

,

, I

I

Figura 19.5.

­ \

~,r----+_.-.-\

I I

I

\

\

I

\

I

\

Trajectorias ortogonales

APLICACIONES

19.5

951

Separando las variables, dy dx -=3-. y x

Integrando y poniendo la constante de integración en la forma In Ikl obtenemos In

Iyl =

31n Ixl

+ In Ikl =

In

Ikx 3 1.

Concluimos que y = kx 3 es una ecuación para la familia de trayectorias ortogonales. En la figura 19.5 se muestran varios miembros de la familia dada y también (con curvas discontinuas) las trayectorias ortogonales correspondientes.

19.5 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 8 encuentre las trayectorias ortogonales a las familias de curvas dadas y dibuje varios miembros de cada familia. x2

_

y2 = e

2

xy = e

6 Y = ee- x

y2

=

7

x2

+ y2

5

y2 = ex J

9

La ecuación diferencial p dv + ev dp = O des­ cribe el cambio adiabático del estado termodi­ námico del aire donde p y v son la presión y el volumen respectivamente y e es una constante. Encuentre p como función de v.

10

Resuelva el ejemplo 2 en el caso en el que la fuerza electromotriz es E sen (J)I, donde E y w son constantes.

12

Resuelva el ejemplo 1 en el caso en el que la resistencia debida al aire es directamente pro­ porcional al cuadrado de la rapidez del objeto.

14

11

13

ex

3

=

2cx

4

Y = cx 2

8

x2

+ y2 - 2cy =

O

La ecuación dQ

g

+ = E dI e describe la carga Q de un condensador de capacidad e durante un proceso de carga en el que intervienen una resistencia R y una fuerza electromotriz constante E. Suponiendo que la carga es O cuando I = O, exprese Q como función de l. R

La ecuación di i dE de e de describe un circuito eléctrico que consta de una resistencia R y una capacidad e conectadas en serie. Exprese i como función de I suponiendo que i = Ío cuando I = O Y (a) E es constante; (b) E = Eo sen wl donde Eo Yw son constantes.

R-+-=­

Un objeto de masa 111 se mueve en línea recta y está sujeto a una fuerza dada por F(/) = e- I , donde I es el tiempo. Una fuerza de fricción cuya magnitud es igual al doble de la rapidez del objeto, se opone al movimiento. Encuentre una fórmula para v en cualquier tiempo I > O, suponiendo que v = Ocuando I = O.

952

19

19.6

ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Sean fl'/2' ... ./~ y k funciones de una variable que tienen todas el mismo dominio. Entonces una ecuación de la forma (19.16)

in)

+ !¡(x)i n -

II

+ ... + !n- ¡(X)y' + ¡n(X)Y

= k(x)

se llama una ecuación diferencial lineal de orden n. Si k(x) = O para todo x, entonces la ecuación se llama homogénea. Observe que aqui la palabra homogénea tiene un significado distinto al que le dimos en la sección 3. Si k(x) i= O para algún x, entonces se dice que (19.16) es no homogénea. Se puede encontrar un análisis a fondo de (19.16) en los libros de texto de ecuaciones diferenciales. Aqui nos restringiremos a ecuaciones de segundo orden en las cuales fl y j~ son funciones constantes. En esta sección consideraremos el caso homogéneo y en la siguiente el caso no homogé­ neo. La ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es de la forma (19.17)

y"

+ by' + cy

=

O

donde b Y c son constantes. Antes de tratar de encontrar soluciones particulares de esta ecuación, demostraremos el siguiente resultado. (19.18)

TEOREMA

Si Y = f(x) y y = g(x) son soluciones de y" para todos los números reales C 1 y C 2

+

by'

+

ey

O, entonces

es una solución. Demostración.

Por hipótesis j"(x) g"(x)

+ hf'(x) -t- e/(x) + hg'(x) + eg(x)

=

O

=

O.

Si multiplicamos la primera de estas ecuaciones por C I , la segunda por C 2 y después las sumamos, obtenemos [CLI"(x)

+ Cl[((x)] +

b[Ctf'(x)

+

C 2 g'(x)]

+ c[C}(x) +

C 2 g(x)]

=

o.

Por lo tanto C 1 f(x) + C 2 g(x) es una solución. Se puede demostrar que si las solucionesfy g en el teorema (19.18) son tales que f(x) i= Cg(x) para todo número real C, y si g(x) no es idénticamente cero, entonces C 1 f(x) + C 2 g(x) es una solución general de y" + by' + ey = O. Así, para encontrar la solución general, es suficiente encontrar dos soluciones f y g con las propiedades mencionadas y luego usar (19.18).

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

19.6

953

En nuestra búsqueda de una solución de (19.17), usaremos y = e mx como m una solución de prueba. Como y' = me mx y y" = m 2 e m X, inferimos que y = e .< es una solución de y" + by' + cy = O si y sólo si

o, como e mx i= O, si y sólo si m2

(19.19)

+ bm + c

O.

=

La ecuación (19.19) se llama la ecuación auxiliar de y" + by' + cy = O. Esta se puede obtener a partir de la última ecuación, sustituyendo m 2 en lugar de y", m en lugar de y' y l en lugar de y. En los casos simples se pueden hallar las raíces de la ecuación auxiliar (19.19) por medio de una factorización. En general, aplicando la fórmula cuadrática, vemos que las raíces de la ecuación auxiliar son (19.20)

- h 111=

± -J h 2

----¡

-

¡-o .

Por consiguiente, la ecuación auxiliar tiene dos raíces distintas mi Y m2, O una raíz doble m, O dos raíces complejas conjugadas, dependiendo de si b 2 - 4c es positivo, cero o negativo respectivamente. El teorema siguiente es una consecuencia de la observación que se halla a continuación del teorema (19.18). (19.21)

TEOREMA

Si las raíces mi Y m 2 de la ecuación auxiliar son reales y distintas, entonces la solución general de y" + by' + cy = O es

= O.

Ejemplo 1

Resuelva la ecuación diferencial y" - 3y' - 10y

Solución

La ecuación auxiliar es m - 3m - 10 = O o sea (m - 5)(m + 2) = O. Como las raíces mI = 5 Ym 2 = -2 son reales y distintas, concluimos del teorema (19.21) que la solución general es

(19.22)

2

TEOREMA

Si la ecuación auxiliar tiene una raíz doble m, entonces la solución general de y" + by' + cy = O es

Demost,.ación. Usando (19.20) con b 2 - 4c = O, obtenemos m = -b/2 o 2m + b = O. Como m satisface la ecuación auxiliar, y = emx es una solución de la ecuación diferencial. De acuerdo a la observación que sucede a la demostración del

954

19

ECUACIONES DIFERENCIALES

teorema (19.18), es suficiente demostrar que y = xe mx también es una solución. Sustituyendo xe mx en lugar de y en y" + by' + cy = O obtenernos

+ m 2 xe mx ) + b(mx~X + emx ) + cxe mx = (m 2 + bm + c)xe mx + (2m + b)e mx = Oxe mx + Oemx = O

(2me mx

que es lo que queríamos demostrar. Ejemplo 2

Resuelva la ecuación diferencial

Solución

La ecuación auxiliar m - 6m + 9 = O, o equivalentemente (m - 3)2 = O, tiene la raíz doble m = 3. Por io tanto, de acuerdo con el teorema (19.22), la solución general es

y" - 6y'

+ 9y

=

O.

2

y = C¡e h + C 2 xe 3x = e 3x (C¡ + Czx). También podernos considerar ecuaciones diferenciales de segundo orden de la forma ay"

+ by' + cy = O

donde a t:- l. Podernos reducirlas a la forma (19.17) dividiendo por a. Sin embargo, generalmente es más sencillo usar la ecuación auxiliar am 2

+ bm + c

=

O

corno se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 3 Solución

Resuelva la ecuación diferencial6y" - 7y' La ecuación auxiliar 6m

2

-

7m

+

+ 2y =

O.

2 = O se puede factorizar corno sigue:

(2m-I)(3m-2)=0.

Por lo tanto las raíces son mi = 1/2 y m 2 = 2/3. Aplicando el teorema (19.21), vernos que la solución general de la ecuación dada es

y

= C¡e x / z

+

C 2 e 2x / 3 ,

El último caso a considerar, es aquel en el cual las raíces de la ecuación auxiliar m 2 + bm + c = O de y" + by' + cy = O son números complejos. Recuerde que los números complejos se pueden representar por expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales, e i es un símbolo que se puede manipular de la misma manera que un número real y que tiene la propiedad adicional de que i 2 = - l. Se dice que dos números complejos a + bi y e + di son iguales, y escribimos a + bi = e + di, si y sólo si a = e y b = d. Las operaciones de suma, resta, mul­ tiplicación y división se definen como si todas las letras representaran números reales, con la convención adicional de que cada vez que aparezca i 2 se sustituya por - l. Por

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

19.6

955

ejemplo, las fórmulas para la suma y la multiplicación de dos números complejos + bi y c + di son

a

(a

+ bi) + (e + di) = (a + e) + (b + d)i (a + bi)(e + di) = (ae - bd) + (ad + be)i.

Podemos considerar a los números reales como un subconjunto de los números complejos, identificando el número real a con el complejo a + Oi. Un número complejo de la forma O + bi se abrevia por bi. Los números complejos aparecen con frecuencia en la solución de ecuaciones de la forma ¡(x) = O, donde ¡(x) es un polinomio. Por ejemplo, si únicamente se admiten raíces reales, entonces la ecuación x 2 = -4 no tiene solución. Sin embargo, si se admiten números complejos como raíces, entonces la ecuación tiene la solu­ ción 2i, ya que (2;)2

= 2 2i 2 = 4( -1)

También -2i es una solución de x 2 = -4. Como i 2 = - 1, a veces usamos el símbolo

j=I3 = fi3i,

2

= -4.

,

J""=i en lugar de i y escribimos

+ J=25 = 2 +

j25i = 2

+ 5i

etcétera. Las raíces de una ecuación cuadrática ax 2 + bx + e = O, donde a, b y c son números reales y a "# O, están dadas por la fórmula cuadrática

x

=

-b ± Jb 2 '2a

4ae

-

.

Si b2 - 4ac < O, entonces las raíces son números complejos. Por ejemplo, si apli­ camos la fórmula cuadrática a la ecuación x 2 - 4x + 13 = O obtenemos

x=

4

+ -

J 216 -

52

=

4

+ J=36 - 2

=

24 + 6i = 2 ± 3i.

Por lo tant~ esta ecuación tiene las dos raíces complejas 2 + 3i y 2 - 3i. El número a - bi se llama el conjugado del número complejo a + bi. Vemos en la fórmula cuadrática, que si una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene raíces complejas, entonces éstas son conjugadas una de la otra. Se deduce de la discusión anterior que si la ecuación auxiliar m 2 + bm + e = O en (! 9.19) tiene raíces complejas, entonces éstas son de la forma 21

=

s + ti

y

22

=

S -

ti

donde s y t son números reales. Podemos suponer, de acuerdo con el teorema (19.21), que en este caso la solución general de la ecuación díferencial y" + by' + cy = O será

es decir (19.23)

956

19

ECUACIONES DIFERENCIALES

Para poder manejar estos exponentes complejos, es necesario generalizar algunos conceptos del cálculo para incluir funciones cuyos dominios sean conjuntos de números complejos. Como un desarrollo completo de este tema está más allá de nuestras pretensiones en este libro, únicamente esbozaremos aquí las ideas prin­ cipales. En el capítulo 12 vimos que ciertas funciones se pueden representar mediante series de potencias. En particular, de acuerdo con (12.43), (12.44) Y (12.45),

x2

x"

2!

n!

tr=l+x+-+···+~+···

sen x

=x-

COs X

=

x3

X5

X2"+ 1

- + - - ... + (-1)" 3! 5! (2n x2

X

4

+

I)!

+ '"

2 X "

1 - - + - - ... + (- 1)"-- + ... 2! 4! (2n)!

para todo número real x. No es difícil generalizar las definiciones y los teoremas del capítulo 12 a series infinitas en las cuales intervienen números complejos. Como esto es verdadero, definimos e", sen z y cos z para todo número complejo z como sigue: Z2

z"

2!

n!

f!=l+z+-+···+-+··,

(19.24)

Z3

Z5

3!

5!

z - - + - - ... + (-1)"

sen z

=

cosz

= 1-

Z2

Z2"+ 1

(2n

Z4

+

I)!

+ ...

Z2"

- + - - ... + (-1)"-- + .... 2! 4! (2n)!

Usando la primera fórmula en (19.24) obtenemos e

Como ¡2

-

iz

I ,1·3

= 1+

= .

e lZ

.

(IZ)

¡, ¡4

(iZ)2

(iZ)3

(iZ)4

(iZ)5

2!

3!

4!

5!

+ - - + - - + - - + - - + ...

= 1, ¡s = i, etcétera, vemos que Z2

= I + iz - - 2!

Z3

i--

3!

Z4

Z5

4!

5!

+ - + i - - ...

lo cual también se puede escribir en la forma .

lZ

(

e = I-

Z2 Z4 2T + 4!

- ."

)

+i

(

Z -

Z3 Z5 ) 3T + 5! - ... .

Usando las fórmulas para cos z y sen z en (19.24) obtenemos el importante resultado siguiente.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

(19.25)

19.6

957

FORMULA DE EULER

Para todo número complcjo z e iz = cos z

+ i sen z.

Se puede demostrar que las leyes de los exponentes son válidas para los números complejos. También se pueden generalizar las fórmulas para derivadas que obtuvi­ mos en este libro a las funciones de una variable compleja z. Una de estas fórmulas es Dze kz = ke kz , donde k es un número complejo. Se puede demostrar que la solu­ ción general de y" + by' + cy = O, cuya ecuación auxiliar tiene las raíces s ± ti, está dada por (19.23). Esta solución también se puede expresar como sigue:

+ C 2 é s - ti = C¡e'X+lxi + C 2 e,x-Ixi = C¡e'Xe,xi + C 2 e,x e -Ixi

y=

C¡é'+/il x

)X

o equivalentemente (19.26) Esto se puede simplificar aún más, usando la fórmula de Euler. En concreto, de (19.25) dcducimos que ei1x

e-

i1x

= costx + isentx, = costx - isentx

de lo cual inferimos

costx

(19.27)

ei1X _ e- ilx sen tx = --2-i

=----

--o

2

Si tomamos C¡ = C 2 = 1/2 en (19.26) y usamos (19.27), obtenemos la solución particular y = e Sx cos tx de la ecuación yU + by' + cy = O. Si tomamos C¡ = - C 2 = i/2, obtenemos la solución particular y = es.< sen tx. Esto es una demos­ tración parcial del teorema siguiente. (19.28)

TEOREMA

Si la ecuación auxiliar m 2 + bm + e = O tiene las raíces complejas distintas s ± li, entonces la solución general de yU + by' + ey = O es

+ C 2 sen Lx l.

y = eSX (C ¡ cos tx

Ejemplo 4

Resuelva la ecuación diferencial yU _ lOy'

Solución

Las raíces de la ecuación auxiliar m 2

-

+

41y

10m

+

=

O.

41 = Oson

1 958

19

ECUACIONES DIFERENCIALES

m =

10 +

-

JIOO -

164

2

=

10 +

-

J -64 = ---10 + 8i = 5 + 4i. 2

2

­

Por lo tanto, aplicando el teorema (19.28), vemos que la solución general de la ecuación diferencial es

19.6 EJERCICIOS En los ejercicios del l al 22 resuelva las ecuaciones diferenciales dadas. \' "

- 5.1" + 6.1 = O ,

2

r " - r - 2.1' y" + 4.1"

='

O

4

.1' "

+ 6)' + 8.1' = O

5

7

l' "

- 4.1' +y=O

8 6y " - 7y' - 3)' = O

10

4.1''' + 20y' + 25)' = O

11

+ 4.1' == O

8r" + 21' - 15.1' == O ,

13

9.1' " - 24.1" + 16y = O

14

4.1' " - 8y + 7)' == O

16

2)' " + 7.1' =0

17

)'

"

- 2r + 2y == O

19 y " - 4y' + I3r = O 21

el 2 y el)' - + 6- + 2r = O dx 2 elx .'

3

r " - 3.1" =0

6

Y" - 4r + 4r = O

9

l' "

12

+ 2fi.y' + 2r == U

, y " + 4)' +y=O

15

2y " - 4.1' +

18

.r " - 2y + )y = O

20

Y" +4=0

22

el 2 y dx 2

l'

= O

ely 2- + 6r == O dx "

En los ejercicios del 23 al 30 encuentre la solución particular de la ecuación diferencial, que satisface las condiciones a la frontera dadas. 23

y" - 3y'

+

24

y" - 2y'

+y

25 y"

+y

2y = O; Y = O Y y' = 2 cuando x = O = O; Y = l Y y' = 2 cuando x = O

= O; Y = I Y y' = 2 cuando x

=

O

26 y" - y' - 6y = O; y = O Y y' = l cuando x = O 27

y" + 8y' + 16y = O; Y = 2 Y y' = l cuando x = O

28

y"

+

5y = O; Y

=

4 Y y' = 2 cuando x = O

d~ ~ 29 - 2 - 2-

+

~ 5y = O; Y = O Y - = l cuando x = O dx

d2 y dy 30 - 2 - 6-

+

13 JI

dx

dx

dx

dx

19.7

=

dy

O· Y = 2 Y- = 3 cuando x = O

.'

dx

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS En esta sección estudiaremos ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, es decir ecuaciones de la forma

(19.29)

y"+by'+cy=k(x)

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS

959

19.7

donde b Y c son constantes y la función k es continua. Para esto es conveniente usar los operadores diferenciales D y D 2 que se definen para y = f(x) como

y D 2 y = y" = j"(x).

Dy = y' = j'(x)

También usaremos el operador diferencial lineal L

= D 2 + bD + c

donde por definición L(y) = (D 2

+ bD + c)y

=

D2 y

+ bDy + cy

=

y" + by'

+ cy.

Usando esta notación, podemos escribir (19.29) en la forma abreviada L(y) = k(x). Es fácil demostrar que para todo número real e, (19.30)

L(Cy)

Sean Y1 = f1 (x)

=

CL(y).

y Y2 = f2(X). Entonces podemos demostrar que

(19.31) Llamaremos ecuación complementaria a la ecuación homogénea L(y) = O que co­ rresponde a la ecuación diferencial (19.29) L(y) = k(x). Suponga que yp es una solución particular de L(y) = k(x) y que Ye es cualquier solución de la ecuación complementaria. Como L(yp) = k(x) y L(Ye) = O, tenemos que

+ Ye) = L(yp) + L(Ye) = k(x) + O = k(x) lo que quiere decir que yp + Ye es una solución de (19.29). Más aún, si L(yp

y

= f(x) es

cualquier otra solución de L(y) = k(x), entonces L(y - yp)

= L(y)

- L(yp)

= k(x)

- k(x)

= O.

Por consiguiente y - yp es una solución de la ecuación complementaria. Esto de­ muestra el siguiente teorema.

(19.32)

TEOREMA

Si yp es una solución particular de la ecuación diferencial L(y) = k(x) y si Ye es la solución general de la ecuación complementaria L(y) = O, entonces la solución general de L(y) = k(x) es y = yp + Ye'

Depués de usar los procedimientos de la sección. anterior para hallar la solución general Ye de L(y) = O, de acuerdo con el teorema (19.32), lo único que necesitamos para encontrar la solución general de L(y) = k(x) es determinar una solución particular yp de esta última ecuación. Ejemplo 1

Resuelva la ecuación diferencial y" - 4y = 6x - 4x 3 .

960

19

ECUACIONES DIFERENCIALES

Solución Examinando la ecuación dada, observamos que yp = x J es una solución particular. La ecuación complementaria es yO - 4y = O. Aplicando (19.21), vemos que la solución general es

Entonces, según el teorema (19.32), la solución general de la ecuación no homogénea dada es

En la mayoría de los casos no se puede hallar una solución particular de (19.29) de manera tan sencilla como en el ejemplo l. Pero se puede aplicar el método de la variación de parámetros que explicaremos a continuación. Dada la ecuación L(y) = k(x), sean YI y Y2 las expresiones que aparecen en la solución general y = C I Y¡ + C 2Y2 de la ecuación complementaria L(y) = O. Por ejemplo, YI y )'2 podrían estar dadas por YI = em,x y Y2 = em2X como en (19.21). Ahora intentemos encontrar una solución particular de L(y) = k(x) que tenga la forma

(19.33) donde u = g(x) y v = h(x) para algunas funciones g y h. La primera y la segunda derivadas de yp son Y~ = (Uy'1

+

vY~)

+

(U'Yl

+

V'Y2)

y; = (uy'[ + vyD + (U'y'1

+

v'Y~)

Sustituyendo estas expresiones en L(yp) minos. obtenemos

(19.34)

L(y p ) = u(y'(

+

+

+

by'1

b(U'Yl

+

cy¡}

V'Y2)

+

(U'YI

+

y;:

+

by;

+

v(y~

+

by~

+ ('.1'2)

+

V'Y2)'

=

+

+

(U'Yl

+

V'Y2)"

cYp y rearreglando los tér­

(U'y'1

+

v'y~).

Como YI y Yz son soluciones de y" + by' + cy = O, entonces los primeros dos términos en el lado derecho de (19.34) son cero. Por lo tanto, para obtener L(y) = k(x), es suficiente elegir u y r tales que

(19.35)

U'YI

+ V'Y2

u'y'¡

+

=

O

u'y~ = k(x).

Se puede mostrar que este sistema de ecuaciones siempre tiene una pareja única de soluciones u' y r'. Ahora se pueden encontrar u y r integrando, y usando (19.33) se halla Y1,.

+

y = cot x.

Ejemplo 2

Resuelva la ecuación diferencial yO

Solución

La ecuación complementaria es y" + y = O. Como la ecuación auxiliar 111 2 + l = O tiene las raíces ± i, la solución general de la ecuación homogénea y" + y = Osegún el teorema (19.28) es y = el cos x + C 2 sen X. Como en la discusión anterior tomemos YI = cos X Y Yz = sen x. Entonces el sistema (19.35) es

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS

19.7

961

+ v' sen x = O -u' sen x + v' cosx = cotx. u' cos x

Resolviendo este sistema obtenemos

u' = -cosx, v

,

= csc x

- sen x.

Integrando estas expresiones (y omitiendo las constantes de integración) llegamos a !I

= -

sen x,

v

=

In Icsc x - cot xl

+ cos x.

Aplicando (19.33), vemos que yp = - sen x cos x

+ sen x In Icsc x - cot xl + sen x cos x

o yp

= sen x In Icsc x - cot xl.

es una solución particular de la ecuación dada. Finalmente, usando (19.32), vemos que la solución general de y" + y' = cot x es

y = C l cosx

+ C 2 senx + senxlnlcscx - cotxl.

Dada la ecuación diferencial L(y) =y"

+ by' + cy =

enx

donde e nx no es una solución de L(y) = O, es razonable suponer que existe una solución particular de la forma yp = Aenx:, ya que e nx es el resultado de aplicar y" + by' + cy a cualquier solución de la ecuación diferencial dada. Esto nos sugiere usar Ae nx

como una solución de prueba para la ecuación dada y tratar de encontrar el valor del coeficiente A. Este procedimiento se llama el método de los coeficientes inde­ terminados y se ilustra en el ejemplo siguiente.

+

= eh.

Ejemplo 3

Resuelva la ecuación diferencial y"

Solución

Como las raíces de la ecuación auxiliar m + 2m - 8 de la ecuación complementaria + 2y' - 8y = O son 2 y -4, inferimos de la sección anterior que la solución general de la ecuación complementaria es

2y' - 8y 2

y"

y, = C le 2x:

+ C 2e- 4x .

De acuerdo con los comentarios anteriores, buscamos una solución particular de + 2y' - 8y = eh, de la forma yp = A e 3x:. Como y; = 3A e 3x: y y; = 9A e 3x:, al sustituir esto en la ecuación dada obtenemos

y"

9Ae 3x

+ 6Ae 3x

_

8Ae 3x

= e 3x .

Dividiendo ambos lados por e3x: llegamos a 9A

+ 6A

- 8A = 1,

o

A =

3

i.

Por lo tanto yp = (lf7) e x:, y según el teorema (19.32), la solución general es y = C¡e h

+ C 2 e- 4X + ie 3x .

962

19

ECUACIONES DIFERENCIALES

A continuación enunciamos, sin demostrarlas, tres reglas para encontrar so­ luciones de prueba de las ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. El lector puede consultar los textos de ecuaciones diferenciales, si quiere estudiar este tema más extensamente. (19.36)

TEOREMA

(i) Si y" + by' + ey = eftX y n no es una raíz de la ecuación auxiliar m 2 + bm + e = O, entonces existe una solución particular de la forma ftx Ae . (ii) Si y" + by'

=

yp

m

2

+

ey

=

xe ftX y n no es una raíz de la ecuación auxiliar

+ bm + e = O, entonces existe una solución particular de la forma + Bx)e ftx .

yp = (A

(iii) Si y"

+ by' + ey = e'X sen tx

y"

+ by' + cy = e'x cos tx

o y s + ti no es una solución de la ecuación auxiliar m 2 entonces existe una solución particular de la forma yp = Ae'Xcos tx

+ bm + e = O,

+ Be'X sen tx.

Ejemplo 4

Resuelva la ecuación y" - 3y' - 18y = xe 4x .

Solución

Como las raíces de la ecuación auxiliar m 2 - 3m - 18 = O son 6 y - 3, sabemos de la sección anterior que la solución general de la ecuación y" - 3y' - 18y = Oes y = C\e 6x

+ C 2 e- 3x .

Como 4 no es una raíz de la ecuación auxiliar, se sígue de (ii) de (19.36), que existe una solución particular de la forma Yp

= (A + Bx)e 4x .

Derivando obtenemos

y; = (4A + 4Bx + B)e4x

y; = (16A + 16Bx + 8B)éx. Sustituyendo esto en la ecuación diferencial dada llegamos a (16A

+

16Bx

+ 8B)é X -

3(4A

+ 4Bx + B)e 4X

- 18(A

que se reduce a -14A

+ 5B

- 14Bx = x.

Por lo tanto yp será una solución, siempre y cuando - 14A

+ 5B

= O Y

-14B = 1.

+

Bx)e 4X

=

xe 4x

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS

19.7

963

Esto nos da B = - 1/14 Y A = - 5/196. Por consiguiente

1)4 x e x = T4

5

Yp = ( - 196 -

-

1

196(5

+

14x)e

4

x.

Aplicando (19.32) concluimos que = C¡e 6x

y

+ C 2 e- 3x

-

rh-(5 + 14x)e 4x .

es la solución general.

+

= sen x.

Ejemplo 5

Resuelva la ecuación y" - lOy'

Solución

En el ejemplo 4 de la sección anterior hallamos la solución general

Ye

41y

= e 5x (C¡ cos 4x +

C 2 sen 4x)

de la ecuación complementaria. La ecuación dada es de la forma (iii) de (19.36) con s = OY t = 1, Y por lo tanto sabemos que existe una solución particular de la forma YP

=

A cos x

+ B sen x.

Entonces

y; = - A sen x + Bcosx

y;'=

-Acosx - Bsenx,

Sustituyendo esto en la ecuación dada obtenemos - A cosx - Bsenx

+ lOA sen x - IOBcosx + 41 A cos x + 41 B sen x

=

sen x

que se puede escribir en la forma (40A - 10B)cosx

+ (lOA + 40B) sen x = senx.

Por consiguiente Yp será una solución siempre y cuando 40A - 10B = O

Y

lOA

La solución de este sistema de ecuaciones es A yp

=

1 4 170cOS X + 170 senx

+ 40B

=

= l.

1/170 y B

=

4/170. Por lo tanto

1

= 170(cOSX + 4 sen x)

y la solución general es

19.7 EJERCICIOS Resuelva las ecuaciones diferenciales dadas en los ejercicios del I al 10, usando el método de variación de parámetros. 1 y"

+y

= tan x

2

y"+y=secx

964

19

ECUACIONES D!FERENCIALES

4y"+3y'=e- 3x

7 y" - 9.1' d2 y dx

=

5

y" -' y = eX cos x

e 3x

8y"+y=senx

dy

9 -2- 3 - - 4.1' dx

=

d2 y

dy

dx

dx

10 - -2 - = x + 1

2

Resuelva las ecuaciones diferenciales dadas en los ejercicios del 11 al 18, usando coeficientes indeterminados.

+ 2.1' = 4e-"

12

y"

5 sen x

15

y" - y = xe 2x

II

y" - 3y'

14

y"

17

d2 y dy - 2 - 6dx dx

19

Demuestre (19.30)

+y =

19.8

+

13 y" + 2y'

+ 6y' + 9.1' = e 2x

13y = eXcosx .

16

y"

=

cos2x

+ 3y' - 4.1'

= XI!

18

d2 y dy

- 2 - 2- + 2.1' = e-\ sen 2x

dx dx

20

Demuestre (19.31)

x

SOLUCIONES EN SERIE DE ECUACIONES DIFERENCIALES Se vio en el capitulo 12 que una serie de potencias La"x" determina una función ftal que y = I(x) =

(19.37)

(lo

+ (lIX + a2x2 +

(lJx

J

+ a4x4 + ...

para cada x en el intervalo de convergencia. Más aún, se pueden encontrar repre­ sentaciones en serie para las derivadas de ¡; derivando término a término (19.37). Así, Xi

y'

=

al

+ 2a2x + 3a3x2 + 4a4x3 + ... =

¿

na"x"-I

n=l

(19.38)

Xi

¿

y" = 2a2 + 3· 2(l3X + 4· 3a4x2 + ... =

ti:;::

n(11 -

l)a"x"- 2

2

etcétera. Las series de potencias se pueden usar para resolver ciertas ecuaciones diferenciales. En este caso, la solución frecuentemente se expresa como una serie infinita y se llama una solución en serie de la ecuación diferencial.

Ejemplo 1

Encuentre una solución en serie de la ecuación diferencial y' = 2xy.

Solución

Si la solución está dada por y = La"x", entonces y' esto en la ecuación diferencial obtenemos

,,= I

Xl

00

rt)

¿

IW"X,,-1 = 2x

¿

,,=0

= Lna"x"-I y sustituyendo

CI"X" =

¿

2a"x"+

l.

,,=0

Es conveniente cambiar la serie en el lado izquierdo, de manera que aparezca en ella la misma potencia de x que en la serie de la derecha. Esto se logra reemplazando n con n + 2 y empezando la suma con el índice n = - l. Así,

SOLUCIONES EN SERIE DE ECUACIONES DIFERENCIALES

965

19.8

00

OC>

I

(n

+ 2)an+2 Xn +1

=

I2a nx n+1 n=O

n~-l

o al

+

2a2S

+ ... +

(I!

+ 2)a"+2X,,..-1 + ...

+ '" + 2a n x" + 1 + ....

= 2aox

Comparando los coeficientes correspondientes, vemos que al = OYque (n + 2)a n +2 2a n para todo n ¿ O. Por consiguiente los coeficientes estan dados por al

O

=

y

a,,+2

=

2 --a" si I! + 2

11

¿

O.

En particular

etcétera. Se puede mostrar que si n es un entero positivo impar, entonces a n = O Yque si n es un entero positivo par, entonces a 2n = (\/n!)a o . Por lo tanto la solución en serie es y =

f: a"x

n=O

n

=

aO(1

+ x 2 + ~X4 + ... + ~S2" + ... ). 2!

I!!

x2

Se sigue de (12.45) que la solución en serie del ejemplo l es y = a oe • En efecto, esta solución se puede hallar directamente de la ecuación y' = 2xy, usando el método de separación de variables que se discutió en la sección 1. Sin embargo, el objetivo del ejemplo l no es encontrar la solución de la manera más sencilla posible, sino más bien ilustrar el procedimiento para hallar soluciones en serie. En muchos casos es imposible encontrar la suma de Ianx n y se tiene que dejar la so­ lución en forma de serie. Ejemplo 2

Resuelva la ecuación diferencial y" - xy' - 2y = O.

Solución

Sea y = Ianx n. Sustituyendo las expresiones (\9.38) para y' y y" en la ecuación dada, obtenemos

I

I!(I! -

n=2

1)a nx n- 2

-

x

I

n 1 n -

lIa S

-

n=1

2

I

anx n = O

n=O

o equivalentemente

I

n=2

n(1I - l)a nx n- 2 =

ro

I

n=()

nanx n +

1.'

I

n=O

2a nx n.

Ahora transfonnamos la serie en el lado izquierdo, de manera que aparezca en ella x n en lugar de x n - 2. Esto se logra sustituyendo n + 2 en lugar de n y comenzando la suma con el índice n = O. Esto nos da

966

19

ECUACIONES DIFERENCIALES 00

¿

+ 2)(n +

(n

l )an+Zxn =

n=O

00

¿

(n

+ 2)anx n.

n=O

Comparando los coeficientes correspondientes, vemos que (n + 2)a n , es decir

+

2)(n

+

l )an + Z

=

(n

Si n toma los valores 0, l. 2, ... , 7, obtenemos los coeficientes siguientes: az = ao

Q4

=

l a6 =5'a 4 =

3."5 ao

l

l

7

3·5·7

as

l l as =-a) = - a l 4 2·4

l l 3az = 3ao

l

l

a7

l

='6 as = 2.4.6al

l l a9=-Q7= al 8 2·4·6·8

= -a6 = - - a o

En general aZ n

=

l ao. l . 3 ... (2n - 1)

az n+ 1 =

Por lo tanto se puede expresar la solución y infinitas: Y = ao l [

+

¿ 'XJ

n=II·3 ..

=

l

l al = --al' n 2 . 4 ... (2n) 2 n!

I:anx n como una suma de dos series

l Zn ] X ·(2n-l)

+ al

001 Zn X +I n=o2 nn ! '

¿ __

19.8 EJERCICIOS Encuentre una solución en serie para cada una de las ecuaciones diferenciales dadas en los ejercicios del l al 12.

yU

+y = O

2

)'

4

yU

+ 2xy' + y = O

5

d2 y ely

-x - + 2y= O 2 dx dx

7

(x

+ l)y' =

8 y' = 4x 3y

10

yU _ xy

=

3y

x4

11

u

- 4)' = O

(x 2 - l)yU

+ 6xy' + 4y = -4

u 3 .\' - 2xy = O

6

y d2 dx 2

9

yu - y = 5x

12

yU

+ x 2v = O ­

+ y = eX

REPASO

19.9

19.9

967

REPASO

Conceptos Discuta algunos métodos para resolver los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales. Separables

2

Exactas

3

Homogéneas

4

Lineales de primer orden

5

De Bernoulli

6

Lineales de segundo orden

Ejercicios Resuelva las ecuaciones diferenciales dadas en los ejercicios del l al 40.

2 (2xy - I)dx + (x 2 + 2y)dy = O

=O (3x - y)dx + (x + y)dy = O y2 _ ye- X + (e-X + 2xy + 3)y' = O xl!" dx - csc x dy

3 5

4 y' + 4y = e-x

6 (x 2y + x 2 )dy + ydx = O

8 (x 2 + y2) - xy/ = O

7 ytanx + / = 2secx 9 yj1=7'/ =

Jl=7

11

(2xsenY - ycosy) dx

13

x/ - 2y

x

x

10 (2y + x 3 )dx - xdy = O

Y + xcos-dy =O

12

x

= X 3y3

(ycosx - 2x)

+ (senx + 2y)/ = O

14 y" + / - 6y = O 16 y" - 6/ + 25y = O

15 y" -8/+16y=0 d2 y

y dy 17 d2 2 _2 =0 dx dx

18 - 2 = y + senx dx

20 y" - / - 6y = e 2x

19 y" -y=e"senx sec 2 y dx

21

= j1=7' dy -

X

sec 2Y dx

22 (2x - yx- I + Iny)dx + (xy-I -Inx + I)dy = O 23

/ + y = e4x

24

y"

+ 2/ = O

26 xl!" dx - (x + I)y dy = O 28

(3x 2 - 2xy 2 + I)dx

+

27 xy' + y = (x - 2)2

(y2 - 2x 2y)dy = O

31 33

(!,,+Ydx-cscxdy=O

36

y"

38

y'" = O

+ y' + y =

25 y" - 3/ + 2y = e'x

d2 y - 2 dx

34 y"

X 29 y" - y' - 20y = xe­ dy

+ 5- + 7y dx

=

O

+ 10y' + 25y = O 37

eX eos x 39

y'

+ y ese x

= tan x

35

cot x dy

(y - 2e- 2x seny)dx

= (y -

eos x) dx

+ (e- 2x cosy + x)dy =

O

APENDICE

_1 INDUCCION MATEMATICA

El método de demostración matemática llamado inducción matemática se usa para mostrar que ciertas proposiciones son verdaderas para todos los enteros positivos. Por ejemplo sea Pn la proposición

para cada entero positivo n, donde x y y son números reales. Entonces P¡ representa la proposición (xy) I = Xlyl, ~ es (xy)2 = X 2y 2, ~ es (xy)3 = X 3y 3, etcétera. Es fácil probar que PI' P2 Y P3 son proposiciones verdaderas. Sin embargo, como el conjunto de enteros positivos es infinito, es imposible probar la validez de Pn para todo entero positivo n. Para dar una demostración es necesario usar el axioma (1.1) siguiente. (1.1)

AXIOMA DE LA INDUCCION MATEMATICA

Suponga que un conjunto S de enteros positivos tiene las dos propiedades siguientes: (i) S contiene al entero l. (ii) Siempre que S contiene al entero positivo k, S contiene también a k + l. Entonces S contiene a todos los enteros positivos. El lector no debe vacilar en aceptar (1.1). Si S es un conjunto de enteros que satisface la propiedad (ii), entonces siempre que S contiene un entero positivo cualquiera k, también tiene que contener el siguiente entero k + l. Si S además satisface la propiedad (i), entonces S contiene a 1, y por consiguiente, según (ii) S contiene a I + 1, o sea a 2. Si aplicamos (ii) otra vez, vemos que S contiene a 2 + 1, o sea 3. Entonces, S tiene que contener a 3 + 1, o sea 4. Continuando de esta manera, podemos argumentar que si n es cualquier entero positivo fijo, entonces n está en S, ya que procediendo paso a paso como acabamos de hacerlo, en algún momento llegaremos a n. Aunque este argumento no demuestra (1.1), al menos lo hace plausible. Usaremos (1.1) para demostrar el principio siguiente.

Al

A2

INDUCCION MATEMATICA (1.2)

EL PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA

Suponga que a cada entero positivo n se le asocia una proposición Pn • En­ tonces Pn es verdadera para todo n si se satisfacen las dos condiciones siguientes: (i)

PI es verdadera

(ii)

Siempre que k es un entero tal que Pk es verdadera, entonces Pk+ I es verdadera.

Demostración. Suponga que se satisfacen (i) y (ii) de (1.2). Sea S el conjunto de todos los enteros positivos n tales que Pn es verdadera. Por hipotésis PI es verdadera, en consecuencia I está en S. Por lo tanto S satisface la propiedad (i) de (1.1). Siempre que un entero positivo k está en S, por la definición de S, Pk es verdadera y, según la hipotésis (ii) de (1.2), Pk + I también es verdadera. Esto significa que k + I está en S. Hemos demostrado que si k está en S, entonces k + I también está en S. Por consiguiente se satisface la propiedad (ii) de (1.1). Por lo tanto, de acuerdo con (1.1) S contiene todos los enteros positivos; es decir, p" es verdadera para cada entero positivo n.

Existen variaciones del principio de inducción matemática. Una de ellas aparece en (1.9). En la mayor parte de nuestro trabajo la proposición Pn estará dada como una ecuación en la que interviene n, tal como en nuestro ejemplo (xy)n = xnyn. Al aplicar (1.2) se deben seguir siempre los dos pasos siguientes: Paso (i) (1.3)

Paso (ii)

Demuestre que PI es verdadera Suponga que Pk es verdadera y demuestre que Pk + I es verdadera.

El paso (ii) suele ser muy confuso para el estudiante principiante. No hay que demos­ trar que Pk es verdadera (excepto para k = 1). Lo que hay que demostrar, es que si Pk es verdadera, entonces la proposición Pk+ I es verdadera. Esto es todo lo que hace falta según (1.2). La suposición de la veracidad de p,. se suele llamar la hipótesis de inducción. Ejemplo 1

Demuestre que para todo entero positivo n, la suma de los primeros n enteros posi­ tivos es n(n + 1)/2.

Solución

Para todo entero positivo n, sea Pn la proposición

(1 . 4)

11(11 + 1) 1+2+3+"'+11=--­ 2 donde se entiende (por convención) que cuando n :5: 4 el lado izquierdo consta de 11 sumandos. Por ejemplo, para n = 2, P2 es 1+2=

2(2 + 1) 2 '

o

3=3.

1

Para n

= 3,

A3

P3 es 1

Para n

INDUCCION MATEMATICA

+2+3=

3(3 ;

6 = 6.

o

1).

= 5, Ps es 1+2

+3+4+5=

5(5 + 1) . 2 ' o 15 = 15.

Queremos demostrar que Pn es verdadera para cada n. Aunque es instructivo comprobar (1.4) para varios valores de n, como ya lo hicimos, esto no es necesario. Unicamente hay que seguir los pasos (i) y (ii) de (1.3). (i) Si sustituimos n = 1en (1.4), entonces el lado izquierdo de la ecuación es igual a 1 y el lado derecho es 1(1 ;

1) que también es igual a 1. Esto demuestra que PI

es verdadera. (ii) Suponga que Pk es verdadera. La hipótesis de inducción es (1.5)

1+2+3+···+k=

k(k

+

2

1)

.

Nuestro objetivo es demostrar que Pk+ 1 es verdadera, es decir, 1+ 2

(1.6)

_(k+l)[(k+l)+I]

+ 3 + ... + (k + 1) -

2

.

La hipótesis de inducción nos da una fórmula para la suma de los primeros k enteros

positivos. Por lo tanto podemos encontrar una fórmula para la suma de los primeros + 1 enteros positivos, sumando (k + 1) a ambos lados de (1.5). Haciendo esto, y simplificando obtenemos k

1+2

+ 3 + ... + k + (k + 1) =

k(k k(k

+

1)

+

1)

2

+ (k + 1) + 2(k +

1)

2

k

2

+ 3k + 2 2

(k

+

I)(k

+ 2)

2 (k

+

I)[(k

+

1)

+

1]

2

Hemos demostrado que Pk + I es verdadera; esto completa la demostración por inducción matemática. Las leyes para los exponentes también se pueden demostrar por inducción matemática. Para poder aplicar (1.3) usaremos la siguiente definición de exponentes.

A4

INDUCCION MATEMATICA (1.7)

DEFINICION

Si x es cualquier número real, entonces (i)

(ii)

Xl

=

X

si k es un entero positivo para el cual x k está definido, entonces x k + 1 = x k . X.

Una definición como (1.7) se llama una definición recursiva. En general, si un con­ cepto está definido para todo entero positivo n de manera que para el caso n = I está dado, y se sabe cómo obtener cualquier caso para n > I del caso anterior, entonces la definición es una definición recursiva. Por ejemplo, según (i) de (1.7) tenemos que Xl = x. Aplicando a continuación (ii) de (1.7) obtenemos x2 =

Xl + I

=

=

Xl. X

X .

x.

Como ya está definido x 2 podemos usar (ii) otra vez (para k .'(3

= x2+

I

= x 2

.X

2) obteniendo

= (x . x) . x.

Esto define x y por lo tanto podemos volver a usar (ii) de (1.7) para obtener x 4 . Así, 3

X

4

3 1 =X + =x 3

·x= [(x·x)·x]·x.

Observe que esto concuerda con la formulación de X" como un producto de X por sí mismo n veces. Se puede demostrar (por inducción matemática) que (1. 7) define a X" para todo entero positivo n.

=

Ejemplo 3

Sea x un número real. Demuestre que x m tivos m y n.

Solución

Sea m un entero positivo cualquiera. Para cada entero positivo n, sea p" la proposición

(1.8)

•

x"

x- m • x" = x'" +

x m +" para todos los enteros posi­

1/ •

Usaremos (1.3) para demostrar que p" es verdadera para todo entero positivo n. (i) Para demostrar que PI es verdadera usamos (i) y (ii) de (1.7) como sigue: = xm+

I

que es la fórmula (1.8) para n = 1. Por lo tanto PI es verdadera. (ii) Suponga que Pk es verdadera. Entonces la hipótesis de inducción es x,. . x k

= X,. + k.

Queremos demostrar que Pk+ 1 es verdadera, es decir

Procedemos con la demostración como sigue, escribiendo las razones de cada paso a la derecha de éste.

1

xm

. Sk + 1

= X m . (Sk . X)

(ii) de (1.7)

=

(ley asociativa en iR)

(Sin. X k ) . S

A5

INDUCCION MATEMATICA

= Xm+k·X

(hipótesis de inducción)

=s(m+k)+1

(ii) de (1.7)

= X",+(k+ 1)

(ley asociativa para los enteros)

Según (1.3) esto completa la demostración por inducción. Considere un entero positivo J y suponga que a cada entero n ~ J se le asocia una proposición Pn . Por ejemplo, si J = 6, entonces las proposiciones se numeran P6 , P7 , Pa etcétera. Se puede generalizar el principio de inducción para cubrir este caso. Igual que en el caso anterior se usan dos pasos. En concreto, para probar que las proposiciones Pn son verdaderas para n ~ J, usamos los pasos siguientes. (i') Demuestre que (1.9)

~

es verdadera,

(ii') Suponga que Pk es verdadera para k ~ J y demuestre que Pk+ I es verda­ dera.

+

Ejemplo 4

Sea a un número real diferente de cero tal que a > - 1. Demuestre que (1 I + na para todo entero n ~ 2.

So[udón

Para todo entero positivo n sea Pn la desigualdad (1 + > 1 + na. Observe que PI es falsa ya que (1 + a) = 1 + (1 )(a). Sin embargo podemos demostrar que Pn es verdadera para todo n ~ 2 usando (1.9) con J = 2. (i') Observamos primero que (1 + a)2 = 1 + 2a + a 2. Como a =1 0, tenemos que a 2 > y por lo tanto I + 2a + a 2 > I + 2a. De aquí deducimos que (1 + a)2 > I + 2a, y por lo tanto P2 es verdadera. (ii') Suponga que p", es verdadera para k ~ 2. Entonces la hipótesis de inducción es

a)n

>

ar

°

(1

+ al > 1 + ka.

Queremos demostrar que Pk+ I es verdadera, es decir que (1 +a)k+1 > 1 +(k+ I)a.

Como a > - 1, tenemos que a + I > 0, y por lo tanto no cambiará el sentido de la desigualdad en la hipotésis de inducción al multiplicar ambos lados por (1 + a). Por consiguiente (1

+

a)k(1

+

a)

> (1

+

ka)(1

+

a)

que se puede reescribir de la forma (1

+ a)k+ 1

> 1 + ka

(l

+ a)k+ I

> 1 + (k

+ a + ka 2

o equivalentemente

+

l)a

+ ka 2 •

A6

INDUCCION MATEMATICA

Como ka 2 > O tenemos que 1 + (k

+

l)a

+ ka 2 >

1 + (k

+

l)a

y por lo tanto (1

+ a)k+ 1 >

1 + (k

+

l)a.

Por consiguiente Pk+ 1 es verdadera. Esto completa la demostración.

EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del 1 al 18 demuestre que la fórmula dada es verdadera para todo entero positivo n.

+4 +6 +

1

2

3

1+3

5

2

7

1 + 2·2

8

(-1)

9

1

+ 2n =

+5+

+ (2n

2

1+4

- 1) = n 2

4

3

+9+

15

+

6

2

+6+

18

+ ... + 2·3"-1 = 3" -

n

- 3) = 2(5n - 1)

+ 7 + 12 + ... + (5n

2

+

1

+ 3.2 2 + 4.2 3 + ... + n ·2" - 1 = 2

3

+ (-1) + (-1) + ... + (-1)"

22

+

32

n(n

2

+ .. ·+n =

111

11

- + - + - + ... +

12

--+--+--~

13

3

15

17

1 ·2

1

2·3

3·4

1

n(3n - 1)

+ 1)

n(n

1

+

1)(2n 6

1 n(n

+

1)

-+ ... +

;(3" -

+

+ (3n

- 2) =

+ (6n

2

- 3) = 3n 2

1

1 + (n - 1)·2" (-1)" - 1 2

1)

n

1·2·32·3·43·4·5

+ 32 + 33 + ... + 3" =

=

+7+

=-­

n

+ l

1

n(n+l)(n+2)

n(n

+ 3)

=--...,.--­

4(n+l)(n+2)

14

13 + 3 3 + 53

n < 2"

16

1 + 2n

1 + 2 + 3 + ... + n < i(2n + 1)2

18

SiO < o < b,

1)

$

+ ... + (2n

- 1)3 = n 2 (2n 2

3" entonces

W"+l < W".

Demuestre que las proposiciones en los ejercicios del 19 al 22 son verdaderas para todo entero positivo n. 19 3 es un factor de n 3

-

n

+

3.

20

2 es un factor de n 2

+ n. +

21

4 es un factor de 5" - 1.

22

9 es un factor de 10"+ 1

23

Use inducción matemática para demostrar que si o es cualquier número real mayor que 1, en­ tonces o" > 1 para todo entero positivo n.

24

Sea o #- l. Demuestre que 1

3 . lO"

+ o + 0 2 + ... + 0"-1

para todo entero positivo n.

+

5.

o" - 1 0-1

=-­

-

1)

A7

INDUCCION MATEMATICA

Sea a un número real. Demuestre que (a m )" m y n.

2S Sean a y b dos números reales. Use inducción matemática para demostrar que (ab)' = a'b' para todo entero positivo n.

26

27 Use inducción matemática para demostrar que a - b es un factor de a' - b' para todo entero positivo n. (Sugerencia: Observe que aH ¡ - 11'+1 = at(a - b) + (a t - bt)b.)

28

29 Sean z un número complejo y f su conjugado. Demuestre que z' = Z' para todo entero posi­ tivo n.

30

Sean z l' Z2, . . . z, números complejos. De­ muestre que para todo entero positivo n Z l Z2 . . . Z, = Z.Z2' .. z,

31 Demuestre que

32

Demuestre la ley distributiva generalizada

log(a¡a2" . a,) = loga.

~

= a( I - r") l - r

35 Sean a y b dos números reales y n un entero positivo. Demuestre que

a" - b'.

~

=

= ab.

+ ab 2 + ... + abo

2, donde a y cada b¡ son números

Demuestre que a + (a + ti) + (a =

para todo entero positivo n, donde a y r son números reales y r :1 l.

+ a"- 2b + ... + ab'-2 + b'-I)

+ b 2 + ... + b,)

para todo n reales. 34

+ ar + ar2 + ... + ar" - 1

(a - b)(a"-¡

a(b.

2, donde a¡ es un

33 Demuestre que

Demuestre que a + b es un factor de 2 - . + b ' - ¡ para todo entero positivo n.

a2'

+ loga2 + ... + loga,

para todo entero positivo n número real positivo.

a

a m, para todos los enteros positivos

+ 2d) + .... + [a + (n (n/2)[2a + (n - l)d]

- I)d]

donde n es cualquier entero positivo, y a y d son números reales.

APENDICE

_II

TEOREMAS SOBRE LIMITES

E INTEGRALES DEFINIDAS

Este apéndice contiene las demostraciones de algunos de los teoremas enunciados en los capítulos 2, 3 Y5. Parte de la numeración corresponde a la de estos capítulos. ([1.0)

TEOREMA SOBRE LA UNICIDAD DE LOS LIMITES

Si f(x) tiene un límite cuando x tiende a a, entonces este límite es único. Demostración. Suponga que lim<~(J(x) = L¡ Ylimx~a.r(x) = L 2 donde L ¡ =f- L 2 . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que L¡ < L 2 . Sea f: > O tal que ¡; < 1(L 2 - L¡) Yconsidere los intervalos abiertos (L¡ - /l, L¡ + 1;) y (L 2 - 1;, L 2 + e) sobre la recta coordenada /' (vea la figura lI.I). Como e < ! (L 2 - L¡) estos dos in­ tervalos no se intersecan. Según (2.7) existe D¡ > Otal que si x está en (a - D¡, a + D¡) y x =f- a, entoncesf(x) está en (L¡ - D, L¡ + e). Análogamente existe D2 > Otal que si x está en (a - D2 , a + D2 ) y x =f- a, entoncesf(x) está en (L 2 - 6, L 2 + D). Esto se ilustra en la figura lI.1 donde se muestra el caso en el que b ¡ < b2 . Si escogemos un x que está tanto en (a - D¡,a + D¡) como en (a - D2 ,a + ( 2 ),entoncesf(x) está en (L¡ - 6, L¡ + e) pero también en (L 2 - e, L 2 + e), lo cual contradice el hecho de que estos intervalos no se intersecan. Por lo tanto es falsa nuestra suposición y en consecuencia L¡ = L 2 . También se puede dar una demostración estrictamente algebraica de este resultado.

--+----~-t------___1!-~----+------

l'

.. I

Figura 11.1

A8

11

(2.11)

A9

TEOREMAS SOBRE LIMITES E INTEGRALES DEFINIDAS

TEOREMA

Si lim~~af(x) = L Y limx~ag(x) = M, entonces

+ g(x»)

(i) Iim [f(x)

(ii) Iim [f(x) 'g(x») "i) l'1m f(x) (U1 x~ .. g(x)

= L

+M

= L .M

L. = -M' sIempre y cuan d o M

" 'O .

Demostración. (i) De acuerdo con (2.6) tenemos que demostrar que para todo > O existe ¿j > O tal que

6

(11.1)

si O < Ix - al <

¿j,

entonces If(x)

+ g(x)

- (L

+

M)I <

6.

Primero escribimos (11.2)

I/(x)

+ g(x)

- (L

+ M)I =

+ (g(x)

l(.f(x) - L)

- M)I.

Aplicando la desigualdad del triángulo (1.5), I(/(x) - L)

+ (g(x)

- M)I ~ I/(x) - LI

+ Ig(x)

- MI.

Combinando esta última desigua'l.dad con (11.2) obtenemos

(11.3)

I/(x)

+ g(x)

- (L

+

M)I ~ I/(x) - LI

+ Ig(x)

- MI·

Como Iimx~af(x) = L Y Iimx~ag(x) = M, podemos hacer arbitrariamente pe­ queños los números If(x) - LI Y Ig(x) - MI escogiendo x suficientemente cercano a a. En particular los podemos hacer menores que 6/2. Por lo tanto existen ¿j I > O y ¿j2 > O tales que

al <

¿jI

entonces If(x) - LI < 6/2, y

si O < Ix - al <

¿j2

entonces Ig(x) - MI < 6/2.

si O < Ix (11.4)

Si ¿j denota el menor de los números ¿jI y ¿j2' entonces siempre que O < Ix - al < ¿j, se satisfacen las dos desigualdades en el lado derecho de (11.4). En consecuencia, si O < Ix - al < ¿j, entonces combinando (11.4) y (11.3) tenemos que I/(x)

-j-

g(x) - (L

+

M)I <

6/2 + 6/2 = 6

que es la conclusión deseada (11.1). (ii) Primero mostramos que

(11.5)

si k es una función y si limx~ak(x) = O, entonces limx~af(x)k(x) = O. Como limx~af(x) = L, se deduce de (2.6) (con 6 = 1) que existe ¿jI > O tal que si O < Ix - al < ¿jI' entonces If(x) - LI < I y por lo tanto también

A 10

11

TEOREMAS SOBRE LIMITES E INTEGRALES DEFINIDAS

II(x) - L + LI

lf(x)1 =

S;

II(x) - LI + ILI <

1+

ILI·

En consecuencia (11.6)

si O < Ix - al < b¡, entonces II(x)k(x)1 < (1

=

Como Iim x _ ak(x)

O, para todo

¡;

> Oexiste b2 > Otal que

si O < Ix - al < b 2 ,

(11.7)

+ ¡LI) Ik(x)l·

entonces

Ik(x) -

01

¡;

< --o 1 + ILI

Si b denota el menor de los números b¡ y b 2 , entonces siempre que O < Ix - al < b se satisfacen las desigualdades (11.6) y (11.7) Y en consecuencia .

¡;

Ij(x)k(x)1

< (1 + ILI) ' - - . 1

+ ILI

Por lo tanto si O < Ix - al < b,

entonces

If(x)k(x) - 01

<

¡;

lo cual demuestra (11.5).

Ahora considere la identidad

(11.8)

f(x)g(x) - LM

= f(x) [g(x)

- M]

+

M [f(x) - L].

Como lim x _ a [g(x) - M] = O, se sigue de (11.5) con k(x) = g(x) - M, que limx_af(x)[g(x) - M] = O. Además limx_aM[f(x) - L] = O Y por lo tanto deducimos de (11.8) que Iim x _ a [f(x)g(x) - LM] = O, es decir que limx_af(x)g(x) = LM. (iii) Es suficiente demostrar que Iim x _ a I/(g(x)) = l/M, ya que, una vez hecho esto, el resultado deseado se puede obtener aplicando (ii) al producto f(x) . l/g(x). Considere (11.9)

-

1

1g(x)

-

- 1 1=1

M

M - g(x) I 1 = ---Ig(x) - MI. IMllg(x)1

g(x)M

Como Iim x _ a g(x) = M, existe b¡ > O tal que si O < Ix - al < b¡, entonces I g(x) - MI < IMI/2. En consecuencia para todo x con esta propiedad,

+ (M - g(x))1 S; Ig(x)1 + 1M - g(x)1 < Ig(x)1 + IMI/2

IMI = Ig(x)

y, por lo tanto

IMI

2

< Ig(x)1

Sustituyendo esto en (11.9) obtenemos

o

1

2

Ig(x)/

IMI

--<-o

11

TEOREMAS SOBRE LIMITES E INTEGRALES DEFINIDAS

2 . que O < Ix - al < 01' ~ - 1 - -1 I < --zlg(x) - MI, sIempre M IMI

(11.10)

1g(x)

M, se deduce que para todo e > O

Usando otra vez el hecho de que limx_ag(x) existe ~z > O tal que

(11.11)

si O < Ix -

al <

~z,

Si ~ denota el menor de los números (11.1 O) Y (11.11). Por lo tanto si O < Ix -

al

entonces ~1

<~,

lo que significa que lim x _ a l/(g(x» (2.20)

A 11

y

~2

IMl 2

Ig(x) - MI < -2-e.

entonces se satisfacen las dos igualdades

entonces

1_

1 _ -

g(x)

~I
= l/M.

TEOREMA

Si a > O y n es un entero positivo o si a < O y n es un entero positivo impar, entonces

Demostración. Suponga que a > O y que n es un entero POSitIvO cualquiera. Tenemos que demostrar que para todo e > O existe ~ > O tal que si O < Ix - al <~,

entonces

I~ - ~I < e

o equivalentemente (11.12)

si -D < x - a < ~, x "# a,

entonces

-e < ~ - ~ < e.

Es suficiente demostrar (11.12) para e < :ja, ya que si bajo esta condición existe un ~ entonces se puede usar el mismo número ~ para valores más grandes de e. Por consiguiente, en lo que resta de la demostración, consideraremos que :ja - e es un número positivo. Las desigualdades de la lista siguiente son equivalentes:

-e <,y-¡-fi
~-e<~ <~+e (~- e)" < x < (~ + e)" (~ - e)" - a < x - a < (~

- [a - (~ - e)"] < x -

+ e)" - a a < (~ + e)" - a.

Si ~ denota el menor de los dos números positivos a - (:ja - e)" y (:ja + e)" - a, entonces siempre que - ~ < x - a < ~, la última desigualdad de la lista es verda­ dera y por lo tanto también lo es la primera. Esto nos da (11.12).

A12

11

TEOREMAS SOBRE LIMITES E INTEGRALES DEFINIDAS

Suponga ahora que a < Oy que n es un entero positivo impar. En este caso - a y ~ son ,positivos y se deduce de la primera parte de la demostración que lim ~=f-a.

-x ...... -o

> O existe

°

si O < I-x - (-a)1 <

o,

Por lo tanto, para cada

t:

> O tal que entonces 1" -x -

y!=ai

<

t:

o equivalentemente si O < Ix - al <

o,

entonces

I~ - ~I <

t:.

Estas últimas desigualdades implican que limx_a~ = ~. (2.23)

EL TEOREMA DEL EMPAREDADO

Si f(x) ::5: h(x) ::5: g(x) para todo x en un intervalo abierto que contiene a a, excepto quizás para x = a y si limx_af(x) = L = limx_ag(x), entonces limx_ah(x) = L. Demostración.

(11.13)

°

Para todo

t:

> O existen 01 > O y 02 > O tales que

si O < Ix - al < 01'

entonces

if(x) - LI <

t:,

si O < Ix - al < 02'

entonces

Ig(x) -

LI <

t:.

Sea el menor de los dos números 01 y 02' Entonces siempre que O < Ix - al < se satisfacen las dos desigualdades en el lado derecho de (II .13), es decir -t:
y

°

-e
Por consiguiente si O < Ix - al < 0, entonces L - e < f(x) y g(x) < L + t:. Como f(x) ::5: h(x) ::5: g(x), se concluye que si O < Ix - al < 0, entonces L - t: < h(x) < L + e, o equivalentemente Ih(x) - LI < e, que es lo que queri­ amos demostrar. (3.7)

TEOREMA

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a a, en­ tonces j'(a) = lim f(x) - f(a) x-a X - a

si este limite existe. Demostración.

Suponga que lim f(x) - f(a) X - a

x-a

=L

11

Al3

TEOREMAS SOBRE LIMITES E INTEGRALES DEFINIDAS

para algún número L. De acuerdo con la definición de límite (2.6) esto significa que para todo e > O existe /j > O tal que SI.

O < Ix - al <

Sea h = x-a. Entonces x = a si O < Ihl <

/j,

/j,

+

I

entonces ".((x) - f(a) - L < e. x-a h y la última afirmación se puede escribir If(a

entonces

+ h~

- f(a) _ LI < e

lo que quiere decir que . f(a [1m

+ h)

h

h-O

- f(a) _ L

-.

Sin embargo, de acuerdo con la definición (3.4) este límite es igual af'(a) y en con­ secuencia L = f'(a). Esto nos da la fórmula que aparece en la conclusión del teorema. Recíprocamente, si f'(a) existe entonces, invirtiendo los pasos de la demostración anterior, llegamos al límite deseado. (3.36)

LA REGLA DE LA CADENA

Sean y = f(u) y u = g(x) y suponga que las derivadas D.y y Dxu ambas existen. Entonces la función compuesta definida por y = f(g(x» tiene una derivada dada por

Demostración. Primero usamos (3.28) que dice que si y = f(x) y ~x ~ O, en­ tonces el valor absoluto de la diferencia entref'(x) y el cociente ~y/~x es pequeño. Como esta diferencia depende de la magnitud de ~x, la representaremos por ,,(~x). Entonces para cada ~x "" O

"(~X) = ~~ -

(a)

j'(x).

Note que ,,(~x) no representa el producto de " por ~x, sino el valor en función" definida por (a). Aplicando (3.27) vemos que (b)

Iim

~x-O

"(~X) =

lim

~x-O

[~y

L1X

-

j'(X)]

~x

de la

= o.

La función" sólo se definió para valores de ~X diferentes de cero. Es conveniente extender la definición de " a ~x = O, tomando ,,(0) = O. Entonces se concluye de (b) que" es continua en O. Multiplicando ambos lados de (a) por ~x y arreglando los términos obtenemos (c)

~y =

j'(x) ~X

Esta ecuación es verdadera tanto para

+ ,,(~x)· ~x ~x

"" O como para

~x =

O. Como

A14

11

TEOREMAS SOBRE LIMITES E INTEGRALES DEFINIDAS

f'(x) .'\x

=

dy, concluimos de (c) que .'\y - dy = I](.'\x) . /}.x.

(d)

Consideremos ahora la situación planteada en la hipotésis del teorema donde y

=

y u = g(x).

I(u)

Si g(x) está en el dominio de.!: podemos escribir y

= f(u) = l(g(x»,

es decir, y es una función de x. Si le damos a x el incremento .'\x, entonces le corres­ ponde a u un incremento .'\11 y a su vez a y un incremento .'\y. Así .'\11

= g(x + .'\x)

.'\y = l(u

- g(x)

+ .'\u) - l(u).

Como DuY existe, podemos usar (c) con u como la variable independiente para

escribir .'\y = /,(u).'\u

(e)

donde

1]

+ 1](.'\u) ·.'\u

es una función de .'\u, y donde, de acuerdo con (b),

Iim I](.'\u)

(1)

= O.

<1u-O

Más aún, 1] es continua en .'\u = O Y (e) es verdadera para .'\u ambos lados de (e) por .'\x obtenemos .'\y -

.'\x

=

f

I.'\U

(u) .'\x

=

O. Dividiendo

.'\U

+ I](.'\u) . -. .'\x

Si ahora tomamos el límite cuando .'\x tiende a cero y usamos el hecho de que . .'\y 11m - = DxY .'\x

<1x-O

Y

vemos que DxY

= F(u)Dxll +

lim '1(.'\11)· Dxll. <1x-O

Como /,(u) = DuY podemos completar la demostración demostrando que el límite indicado en la última ecuación es igual a cero. Para lograr esto, primero observamos que, como g es derivable, también es continua y por lo tanto lim [g(x

+ .'\x) -

g(x)]

=

O

En otras palabras, .'\u tiende a O cuando .'\x tiende a obtenemos

o.

<1.• -0

o equivalentemente

Iim .'\u = O.

<1x-O

Usando esto junto con (1)

11

TEOREMAS SOBRE LIMITES E INTEGRALES DEFINIDAS

A15

lim r¡(L1u) = lim r¡(L1u) = O L\x-O L\u-O

(g)

lo cual demuestra el teorema. (El hecho de que IimL\x_or¡(L1u) = Otambién se puede probar mediante un argumento del tipo e. b usando (2.6).) (5.22)

TEOREMA

Si f es integrable en [a, b] Y k es un número real cualquiera, entonces kf es integrable en [a, b] Y

f

f

=k

kf(x) dx

f(x) dx.

Demostradón. Para k = O, el resultado se deduce de (5.21). Suponga entonces que k #­ O. Como f es integrable, existe algún número / tal que S:f(x)dx = /. Sea P una partición de [a, b]. Entonces cada suma de Riemann Rp para la función kf es de la forma L¡kf(w¡)L1x¡, donde IV i está en el i-ésimo intervalo [X¡_I' xJ de la partición. Queremos demostrar que para todo e > Oexiste b > O tal que siempre que IIPII < J,

I~ kf(w¡) L1Xi -

(11.14)

para todo W i en [X i ­ I , xJ. Sea e' = b > O tal que siempre que IIPII < b,

kI I < e

e/lkl. Entonces como fes integrable existe

I~ f(w¡) L1x¡ - 1 I < c'

c/lkl·

=

Multiplicando ambos lados de esta desigualdad por tanto lim ¿)I(w¡) L1x¡ IIPII- o

(5.23)

= kI

=

k

Ikl, obtenemos (11.14). Por lo

fb I(x) dx.

i

Q

TEOREMA

Sify g son integrables en [a, b], entoncesf + g es integrable en [a, b] y

f Demostración. tales que

[f(x)

+ g(x)] dx

=

f

I(x) dx

+

f

g(x) dx.

De acuerdo con la hipótesis existen dos números reales /1 e /2

fI(X)dX=II

y

f

g(X)dX=I 2 •

Sean P una partición de [a, b] Y R p una suma de Riemann arbitraria para f asociada a P, es decir

+

g

A 16

11

TEOREMAS SOBRE LIMITES E INTEGRALES DEFINIDAS

(11.15)

Rp =

I

[f(w¡) + g(w¡)] ~x¡

donde W¡ está en [x¡_ 1, x¡J para cada i. Queremos demostrar que dado e > Oexiste o > O tal que si IIPII < o, entonces IR p - (11 + /2)1 < e. Usando (i) de (5.2) podemos escribir (11.15) en la forma Rp

=

If(w¡)~x¡

+ Ig(W¡)~Xi'

Rearreglando los términos y usando la desigualdad del triángulo (1.5), tenemos

IR p (11.16)

-

(/1 + /2)1 = 1(~f(II'¡)~X; - /1) + (~g(Wi)~Xi ~ l~f(IV;)~X;

-

/11 + l~g(Wi)~X;

-

/2)1

/21·

Comofy g son integrables, para e' = e/2 existen 0 1 > Oy O2 > Otales que siempre que IIPII < 0 1 y I¡PII < O2 ,

l~f(W¡)~X; (11.17)

y

/11 < ¡;'

l~g(W¡)~Xi - /21

=

1;/2,

=

e/2

< e'

para todo Wi en [Xi _ l' x¡J. Si odenota el menor de los dos números o1 y O2 , entonces siempre que 1I PII < o se satisfacen las dos desigualdades en (Il.17) y por lo tanto se sigue de (11.16) que

que es lo que queríamos demostrar. (5.25)

TEOREMA

Si a < e < b y f es integrable tanto en [a, e] como en [e, b] entonces f es integrable en [a, b] Y f.r(X)dX =

Demostración.

f

f(x)dx +

f

f(x)dx.

De acuerdo con la hipótesis existen dos números reales /1 e /2

tales que (11.18)

ff(X)dX = /1

Y

fI(X)dX = /2'

Sean PI una partición de [a, e], P2 una partición de [e, b] Y P una partición de [a, b]. Denotemos por R p" R p2 Y R p a cualesquiera sumas de Riemann asociadas a PI' P2 Y P respectivamente. Tenemos que demostrar que para todo e > O existe o > O tal que si IIPII < oentonces IR p - (11 + /2)1 < e.

11

TEOREMAS SOBRE LIMITES E INTEGRALES DEFINIDAS

A17

Sea e' = e/4. Entonces según (11.18) existen dos números positivos ÓI y tales que si IIPdl < ó I y IIP2 11 < Ó2 , entonces

()2

(11.19)

Si (j denota el menor de los números (jI y ()2' entonces siempre que IIPI¡ < Ó, se satisfacen las dos desigualdades en (11.19). Más aún, como / es integrable en [a, e] y en [e, b], es acotada en estos intervalos y por consiguiente existe un número M tal que 1/(x)1 ::; M para todo x en [a, b]. Supongamos ahora que (j además de las condiciones anteriores también tiene la propiedad de que (j < e/4M. Sea P una partición de [a, b] tal que II PII < (j. Si los números que determinan a P son

entonces existe un intervalo semiabierto único de la forma a c. Si R p = Lí'~ I /(w¡)ó,x¡ podemos escribir R p =

¿

x k ] que contiene

n

• - 1

(11.20)

(X k - I '

¿

+

f(w¡)Ó,x,+ f(w.)Ó,x.

f(w¡)ó,x¡.

i= I

Sean PI la partición de [a, e] determinada por {a. XI' . . . , X k _ l' e} y P2 la partición de [e, b] determinada por {e, X k , . . • , X n _ l ' b}. Considere las sumas de Riemann • - I

R p,

¿

=

f(w;)Ó,x¡

+ f(e)(e -

X._I)

i= I

(11.21)

n

Rp ,

=

¿

+

f(c)(x. - e)

¡~.

+

I(w;)

Ó,Xj.

I

Usando la desigualdad del triángulo y (11.19) tenemos I(R p1

+

Rp,) - (JI

+ / 2 )1

+ (R p, - / 2 )1 1,1 + IR p, - 12

= I(R p, - 1,)

(11.22)

:s; IR p, -

1

< e/4 + e/4

=

e/2.

De (11.20) Y(11.21) se deduce que IR p - (R p1

+

Rp,)1

=

If(w') - {(c)1 ó,x•.

Usando la desigualdad del triángulo y las propiedades de IR p - (R p,

(1I.23)

+

Rp,)1 :s; {lf(w.)1 :s; (M

siempre que IIPII < que IR p - (JI

(j.

+

(j

obtenemos

+ 1/(e)1} ó,x.

M) ·e/4M = e/2

Aplicando nuevamente la desigualdad del triángulo vemos

+ 12 )1 =

IR p - (R p,

:s; IR p - (R p1

+ +

+ (R p, + Rp,) - (JI + 12 )1 Rp,)! + I(R p + R p,) - (JI + 12)1 Rp,)

¡

De esto, de (11.23) y de (11.22) concluimos que siempre que IIPII <

(j,

A 18

JI

TEOREMAS SOBRE LIMITES E INTEGRALES DEFINIDAS

IR p

-

+ 12)1 <

(/1

&/2

+ &/2 = &

para toda suma de Riemann R p • Esto completa la demostración. (5.27)

TEOREMA

Sifes integrable en [a, b] y sif(x) ~ Opara todo x en [a, b], entonces

f

f(x) dx c. O.

Demostración. Damos una demostración indirecta. Sea J~f(x)dx = 1 Y suponga que 1 < O. Considere cualquier partición P de [a, b] Y sea R p = LJ(w;}th¡ una suma de Riemann arbitraria asociada a P. Como f(w¡} ~ O para todo W¡ en [X¡_I' Xi], concluimos que R p ~ O. Sea & = -(1/2). Entonces, de acuerdo con (5.15),

IR p

-

II <

&

= -(//2).

si IIPII es suficientemente pequeño. Se sigue que R p < 1 - (1/2) = 1/2 < O, lo cual es una contradicción. Por lo tanto es falsa la suposición 1 < O y tenemos que 1 ~ O.

APENDICE

----ÜI

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Sea U el círculo unitario con centro en el origen en un sistema coordenado rectangular y sea A el punto de coordenadas (1, O). Si / es cualquier número entre O y 2n, en­ tonces existe exactamente un punto P(x, y) sobre U, tal que la longitud del arco AP medida a partir de A en la dirección opuesta a la del movimiento de las manecillas del reloj, es /. (Vea la figura HI.l.) De manera más general, si / es cualquier número real no negativo, entonces se obtiene un único punto P sobre U midiendo la dis­ tancia / sobre U,a partir de A, en el sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj. Es evidente que si / > 2n, entonces es necesario recorrer U más de una vez para llegar a P. Por ejemplo, si / = 3n, entonces las coordenadas de P son ( - 1, O). También podemos asociar a todo número real negativo / un punto P sobre U, midiendo sobre el círculo a partir de A, una distancia 1/1 en la dirección del movi­ miento de las manecillas del reloj. El punto P que hallamos de esta manera, se llamará el punto sobre U correspondiente al número real /. Como el perímetro de U es 2n, el punto correspondiente a / + 2n, / + 4n, / - 2n y en general a / + 2nn donde n es un entero, es el mismo que el punto correspondiente a /. y

A(I, O)

x

Figura /l/./ Podemos usar el círculo U para definir las funciones trigonométricas. Estas funciones se denominan seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente, y se denotan por sen, cos, tan, ese, sec y cot respectivamente. Si / es un número

A19

A2ü

III

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

real, entonces el valor que le asigna la función sen a t se denota ya sea por sen(t) o por sen t. Usamos una notación similar para las otras cinco funciones. (111.1)

DEFINICION

Si ! es cualquier número real y P(x, y) es el punto sobre U correspondiente a t, entonces sen (

=

l

y

CSCI = -

Y l

(si y i= O) (si x i= O)

cos I

=

x

secl

tan 1

=

~ (si x i= O)

x cot 1 = - (si y i= O) Y

X

=-

x

Como el punto P(x, y) correspondiente a t es el mismo que corresponde a 2rrn para cualquier entero n, resulta que los valores de las funciones trigo­ nométricas se repiten en intervalos de longitud 2rr. Decimos que una función f con dominio X es periódica, si existe un número real positivo k tal que f(t + k) = f(t) para todo 1 en X. Desde el punto de vista geométrico esto significa que la gráfica de f se repite a medida que las abscisas de los puntos recorren intervalos sucesivos de longitud k. Si existe un número positivo k minimo con esta propiedad, entonces éste se llama el período de f Se puede demostrar que las funciones seno, coseno, cosecante y secante tienen período 2rr, mientras que las funciones tangente y cotan­ gente tienen periodo rr. Concluimos de (I1 I.l) que t

(111.2)

+

l

CSCI = ­ sen t'

sen I tanl = - ­

COS l'

sect

l

cotl

= --, COSI

l

= --, tan

I

COSI

cotl = - ­ sen I

siempre y cuando los denominadores no sean iguales a cero. Las siguientes fórmulas son consecuencia del hecho de que si P(x, y) está sobre U, entonces x 2 + y2 = l. (1II.3)

(lIlA)

sen 2 t tan 2 t

+ cos 2 t +l

=

l

= 2

sec t

(1II.5)

A menudo es conveniente usar ángulos al trabajar con las funciones trigono­ métricas. Los ángulos se generan al rotar alrededor de su extremo O, un rayo /1 que se encuentra en un plano, llevándolo a una posición dada por un rayo /2' Los rayos /[ y /2 se llaman el lado inicial y el lado final respectivamente y O se llama el

III

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

A2!

vértice del ángulo. La posición usual de un ángulo e se obtiene cuando el vértice es el origen de un sistema coordenado rectangular y el lado inicial es el eje x positivo. En este caso e se genera rotando el eje x alrededor del origen en el plano xy. Si la rotación se efectúa en el sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj, se dice que e es un ángulo positivo, mientras que si se efectúa en el mismo sentido del movimiento de las manecillas del reloj, se dice que e es un ángulo negativo. Sea U el círculo unitario con centro en O. Entonces, a medida que el eje x gira y llega a la posición final, su punto de intersección con U recorre cierta distancia t hasta llegar a la posición final P, como se ilustra en la figura 111.2. De acuerdo con la discusión anterior, P es el punto correspondiente al número real t. Por lo tanto es natural asignarle a e la medida t. Si hacemos esto, decimos que e es un ángulo de t radianes y escribimos e = t. En particular, si e = 1, entonces e es un ángulo que subtiende un arco de longitud uno del círculo unitario U. y

u

Figura JI/.2

La medida en radianes de un ángulo se puede encontrar usando un círculo de radio arbitrario. Concretamente, si e es un ángulo central de un circulo de radio r y si e subtiende un arco de longitud s, donde O ~ s ~ 2nr, entonces sabemos de la geometría plana que la medida de e en radianes está dada por

e =-.sr

(111.6)

También se puede mostrar que el área A de un sector de un círculo de radio r, determinado por un ángulo central que mide e radianes es (111.7)

Si el ángulo e se genera por la mitad de una rotación completa en el sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj, entonces e = 180 0 • Sin embargo la medida en radianes de e es n. Esto nos da la relación básica 180 = n radianes. Las siguientes fórmulas son equivalentes a ésta. 0

10 = n/180 radianes

y

I radián = (l80/nt.

A22

11I

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Efectuando las divisiones indicadas llegamos a que 10 :::::: 0.01745 radianes y I radián:::::: 57.296 0 • La tabla siguiente nos muestra la relación entre las medidas en radianes y en grados de varios ángulos que se usan frecuentemente. Radianes

n/6

n/4

n/3

2n/3

n/2

3n/4

5n/6

n

Grados Para ciertas aplicaciones es conveniente cambiar los dominios de las funciones trigonométricas de un subconjunto de IR al subconjunto de ángulos. Esto se puede lograr mediante la definición siguiente. (01.8)

DEFINICION

e

Si es un ángulo cuya medida en radianes es t, entonces el valor de toda fun­ ción trigonométrica en es igual al valor de ésta en t.

e

e

e

Se concluye de (111.8) que sen = sen t, cos = cos t, etcétera, donde t es la medida de e en radianes. Por conveniencia usaremos la expresión funciones tri­ gonométricas sin importarnos si el dominio consta de números reales o de ángulos. Los valores de las funciones trigonométricas en un ángulo se pueden determinar mediante un punto arbitrario sobre el lado final de como se indica en el teorema siguiente.·

e,

(01.9)

e

TEOREMA

Sea e un ángulo en la posición usual, en un sistema coordenado rectangular y sea P(x, y) cualquier punto diferente de O sobre el lado final de e (vea (i) de la figura (111.3). Si d(O, P) = r, entonces se satisfacen las siguientes relaciones: sen

e=

~ r

x cose =r y

tanO =- (si x #- O) x

e = y-r

(siy #- O)

=-

r x

(si x #- O)

x cote =-

(si y #- O)

cse

sece

y

Se puede demostrar mediante triángulos semejantes, que las fórmulas dadas en (111.9) son independientes del punto P(x, y) que se elige sobre el lado final de e. Observe que si r = 1, entonces (111.9) se reduce a (111.1). Un ángulo agudo e se puede considerar como un ángulo de un triángulo rec­ tángulo. Denotaremos las longitudes de la hipotenusa, del lado opuesto y del lado ·Vea E. W. SwoKowski, Fundamentals 01 Algebra and Trigonometry, cuarta edición (Boston: Prindle, Weber & Schmidt, 1978) pág. 256.

III

A23

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

r

y

8

p

op

x

x P(x, y)

(ii)

(i)

Figura 11/.3

adyacente por hip, op Yady respectivamente. Si introducimos un sistema coordenado rectangular como en (ii) de la figura 111.3, vemos que las longitudes del lado ad­ yacente y del lado opuesto a e son la abscisa y la ordenada respectivamente, de un punto P sobre el lado final de e. En consecuencia, según (111.9), sen

e =

(III.IO)

cose

op hip

h' csce = ~ op

tan e = °dP a y

ady hip

h' sece = ~ ady

ady cote = ­ op

=­

Las fórmulas en (HI.! O) son útiles en los problemas que involucran triángulos. Las fórmulas de la (HI.2) a la (HI.5) se llaman las identidades trigonométricas fundamentales. A continuación presentamos otras identidades referentes a las fun­ ciones trigonométricas. (UI.ll)

(1II.12)

FORMULAS PARA EL NEGATIVO DE UN ANGULO

sen(-u)= -senu,

cos(-u)=cosu,

tan(-u) = -tanu

csc ( - u) = - cscu,

sec ( - u) = sec u,

cot ( - u) = - cot u

FORMULAS PARA LA SUMA DE DOS ANGULOS

sen (u

± v) = sen u cos v ± cos u sen v

cos(u ± v) = cosucosv += sen u sen v tan u + tan v tan (u + v) = ­ -

(I1I.13)

1 += tan u tan v

FORMULAS PARA EL DOBLE DE UN ANGULO

sen 2u = 2 sen u cos u

cos2u = cos 2 u - sen 2 u = I - 2 sen 2 u = 2cos 2 U

2 tan u tan 2u=--~­ I - tan 2 u

-

1

A24

III

(11I.14)

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

FORMULAS PARA LA MITAD DE UN ANGULO

u 2

1 - cosu

sen 2 -

cos 2 ­

2

u 1 - cos u = sen u 2

1

+ cos u 2

sen u

tan-

(11I.15)

u 2

1

+ cos u

FORMULA PARA LOS PRODUCTOS

+ v) + sen (u tEsen (u + v) - sen (u tEcos(u + v) + cos(u -

sen u cos v = ·irsen (u sen 1;

=

cosucosr

=

COS 11

sen u sen r =

(111.16)

tE cos (u

- v) - cos (u

v)] v)] v)]

+ v)]

FORMULAS DE FACTORIZACION sen u cos u

1I::¡: 2

+ sen v =

V

2 cos - - sen

-

u+v

+v --=-­ 2

U

u-v

+ cos v = 2 cos -2- cos -2­ v+u

v-u

cos u - cos v = 2 sen -2- sen -2­

EJERCICIOS Verifique los datos en la tabla de radianes y grados que precede a (111.8).

2 Verifique (I1I.4) y (111.5).

3 Encuentre el cuadrante que contiene al lado final de (J cuando (a) sec (J < O y sen (J > O. (b) cot (J > O y ese {) < O. (e) cos {) > O y tan {) < O.

4

Calcule los valores de las demás funciones trigo­ nométricas suponiendo que (a) sen I = -4/5 Y cos I = 3/5. (b) csc I = J13/2 y cot I = -3/2.

5 Sin usar tablas, encuentre los valores de las funciones trigonométricas correspondientes a cada uno de los números reales siguientes

6

Encuentre las medidas en radianes correspon­ dientes a las medidas en grados dadas.

8

Un ángulo central {) subtiende un arco de círculo que mide 20 cm. ¿Suponiendo que el círculo tiene un radio de 2 metros, cuál es la medida de (J en radianes?

(a) (e)

97[/2 (b) - 57[/4 O (d) 117[/6

7 Encuentre las medidas en grados correspon­ dientes a las medidas en radianes dadas. 9n/2, - 2n/3, 7n/4, 5n, n/5.

III 9

A25

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Encuentre los valores de las seis funciones trigo­ nométricas en O, suponiendo que O está en la posición usual y que satisface las condiciones dadas. (a) El punto (30, -40) está en el lado final de O. (b) El lado final de O está en el cuadrante 11 y es paralelo a la recta 2x + 3y + 6 = O. (e) O = _90°.

10

Encuentre cada uno de los valores siguientes sin usar tablas. (a) (d)

tan 150° (e) eot (7Tr/4) (1)

eos 225° (b) see (4Tr/3) (e)

sen ( - Tr/6) ese (300°)

Verifique las identidades en los ejercicios del l1 al 36.

13 sen Osec O = tan O

=1

11

cosOsecO = 1

12

14

sen ex eot ex = cos ex

cscx 15 - - = cotx secx

17

(1 + cos~)( l - cos ex) = sen 2 ex

18

cos 2 x(sec 2 x - 1) = sen 2 x

19

cos 2 1 - sen 2 1 = 2 cos 2 1 - 1

20

(tan O + cot O) tan O = see 2 O

22

1 - 2sen 2 x = 2eos 2 x - 1

24

(1 - sen 2 1)(1 + tan 2 e) = l

21

sen

e

tan~cot~

cose sec e

-+-=1 ese e

23

(1 + sen :x)(1 -

25

see f3

27

esc 2 O -1 + tan 2 (}

29

sen~)

1

= -2- see :x

- cos f3 = tan f3 sen p

26

= eot 2 (}

eot f3 sec f3

16

= cse f3

senw + cosw cos \V

- = 1 + tan \V

28

sen x + eos x eot x = cse x

sen e(ese e - sen c) = cos 2 e

30

cot e + tan 1 = ese 1see 1

31

, In e •n ,

32

elnl..... '1

33

Incotx

34

In sec O = -lneosO

35

-lnlsecO - tan 01

36

Inlcscx - cotxl

= tan 1 =

-In tanx

= InlsecO +

tanOI

= lsen II =

-lnlcscx + eotxl

En cada uno de los ejercicios del 37 al 48 encuentre las soluciones de la ecuación dada, que se encuentran en el intervalo [0, 21l) Y también encuentre la medida en grados de cada solución. 37

2 cos 3 O - ros O = O

39

senO

41

2 cos 3 1 + eos 2 e - 2 cos 1 - I

43

sen P + 2 eos 2 f3

45 47

= tan e

=l 2 sec u sen u + 2 = 4 sen u + 2 cos 2 !O - 3 CflS O = O

=O

sec 1/

38

2 eos IX + tan

40

esc s (} - 4 esc e = O

42

cosxcot 2 x = eosx

44

cos 2x + 3 cos x + 2

46

sen 2u

48

sec 2x ese 2x = 2 esc 2x

~

= see ~

=O

= sen 11

En los ejercicios del 49 al 52 encuentre los valores exactos sin usar tablas ni calculadoras. 49

cos 75°

50

tan 285°

51

sen 19SO

52

csc Tr/8

A26

11I

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Suponiendo que Oy 1/> son dos ángulos agudos tales que cse O = 5/3 Ycos 1/> números pedidos en los ejercicios del 53 al61.

53

sen (O

+ 1/»

+ 1/»

=

8/17, calcule los

54

eos (O

55

tan (O - 1/»

56 sen(c/J-O)

57

sen 21/>

58

cos 21/>

59

tan 20

60

sen

0/2

61

tan 0/2

62

Exprese cos (ex

63

Exprese cada uno de los productos siguientes como una suma o una diferencia. (a) sen 7¡ sen 4¡

+ fJ +

y) en ténninos de funciones trigonométricas de ex,

(b)

<:os(1I4)cos(-1I¡6)

(e)

6 cos Ss sen J\

64

fJ

y y.

Exprese cada una de las sumas siguientes como un producto. (a) sen811 + sen 2/1 (b) eos JIi - cos 81i (e) sen(1 4) - sen (( 5)

APENDICE

~

TABLAS

TABLA I.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Radianes

Sen

Tan

COl

COS

I 2 3 4

.000 .017 .035 .052 .070

.000 .017 .035 .052 .070

.000 .017 .035 .052 .070

57.29 28.64 19.081 14.301

1.000 1.000 .999 .999 .998

1.571 1.553 1.536 1.518 1.501

90 89 88 87 86

5 6 7 8 9

.087 .105 .122 .140 .157

.087 .105 .122 .139 .156

.087 .105 .123 .141 .158

11.430 9.514 8.144 7.115 6.314

.996 .995 .993 .990 .988

1.484 1.466 1.449 1.431 1.414

85 84 83 82 81

10 11 12 13 14

.175 .192 .209 .227 .244

.174 .191 .208 .225 .242

.176 .194 .213 .231 .249

5.671 5.145 4.705 4.331 4.011

.985 .982 .978 .974 .970

1.396 1.379 1.361 1.344 1.326

80 79 78 77 76

15 16 17 18 19

.262 .279 .297 .314 .332

.259 .276 .292 .309 .326

.268 .287 .306 .325 .344

3.732 3.487 3.271 3.078 2.904

.966 .961 .956 .951 .946

1.309 1.292 1.274 1.257 1.239

75 74 73 71

20 21 22 23 24

.349 .367 .384 .401 .419

.342 .358 .375 .391 .407

.364 .384 .404 .424 .445

2.747 2.605 2.475 2.356 2.246

.940 .934 .927 .921 .914

1.222 1.204 1.187 1.169 1.152

70 69 68 67 66

Cos

COl

Tan

Sen

Radianes

Grados

Grados

O

72

(La tabla I continúa en la página siguiente.)

A27

A28

IV

TABLAS

TABLA I

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS (continuación)

Grados

Radianes

Sen

Tan

Cot

Cos

25 26 27 28 29

.436 .454 .471 .489 .506

.423 .438 .454 .469 .485

.466 .488 .510 .532 .554

2.144 2.050 1.963 1.881 1.804

.906 .899 .891 .883 .875

1.134 1.117 1.100 1.082 1.065

65 64 63 62 61

30 31 32 33 34

.524 .541 .559 .576 .593

.500 .515 .530 .545 .559

.577 .601 .625 .649 .675

1.732 1.664 1.600 1.540 1.483

.866 .857 .848 .839 .829

1.047 1.030 1.012 .995 .977

60 59 58 57 56

35 36 37 38 39

.611 .628 .646 .663 .681

.574 .588 .602 .616 .629

.700 .727 .754 .781 .810

1.428 1.376 1.327 1.280 1.235

.819 .809 .799 .788 .777

.960 .942 .925 .908 .890

55 54 53 52 51

40 41 42 43

.643 .656 .669 .682 695

.839 .869 .900 .933 .966

1.192 1.1 50

44

.698 .716 .733 .750 .768

1.072 1.036

.766 .755 .743 .731 .719

.873 .855 .838 .820 .803

50 49 48 47 46

45

.785

.707

1.000

1.000

.707

.785

45

Cos

Cot

Tan

Sen

Radianes

Grados

l.lll

7

IV

TABLA 11.

A29

TABLAS

FUNCIONES EXPONENCIALES x

e"

e-X

x

e-'

e-X

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

1.0000 1.0513 1.1052 1.1618 1.2214

0.9512 0.9048 0.8607 0.8187

2.50 2.60 2.70 2.80 2.90

12.182 13.464 14.880 16.445 18.174

0.0821 0.0743 0.0672 0.0608 0.0550

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

1.2840 1.3499 1.4191 1.4918 1.5683

0.7788 0.7408 0.7047 0.6703 0.6376

3.00 3.10 3.20 3.30 3.40

20.086 22.198 24.533 27.113 29.964

0.0498 0.0450 0.0408 0.0369 0.0334

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70

1.6487 1.7333 1.8221 1.9155 2.0138

0.6065 0.5769 0.5488 0.5220 0.4966

3.50 3.60 3.70 3.80 3.90

33.115 36.598 40.447 44.701 49.402

0.0302 0.0273 0.0247 0.0224 0.0202

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95

2.1170 2.2255 2.3396 2.4596 2.5857

0.4724 0.4493 0.4274 0.4066 0.3867

4.00 4.10 4.20 4.30 4.40

54.598 60.340 66.686 73.700 81.451

0.0183 0.0166 0.0150 0.0136 0.0123

1.00 1.10 1.20 1.30 1.40

2.7183 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552

0.3679 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466

4.50 4.60 4.70 4.80 4.90

90.017 99.484 109.95 121.51 134.29

0.0111 0.0101 0.0091 0.0082 0.0074

1.50 1.60 1.70 1.80 1.90

4.4817 4.9530 5.4739 6.0496 6.6859

0.2231 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496

5.00 6.00 7.00 8.00 9.00

2.00 2.10 2.20 2.30 2.40

7.3891 8.1662 9.0250 9.9742 11.0232

0.1353 0.1225 0.1108 0.1003 0.0907

10.00

1.‫סס‬OO

148.41 403.43 1096.6 2981.0 8103.1 22026.0

0.0067 0.0025 0.0009 0.0003 0.0001 0.‫סס‬OO5

A30

IV

TABLA III.

TABLAS

LOGARITMOS NATURALES .0

.\

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

0* 1 2 3 4

0.000 0.693 1.099 \.386

7.697 0.095 0.742 1.131 1.4\1

8.391 0.182 0.788 \.\63 1.435

8.796 0.262 0.833 1.194 1.459

9.084 0.336 0.875 1.224 1.482

9.307 0.405 0.9\6 \.253 1.504

9.489 0.470 0.956 1.28\ 1.526

9.643 0.53\ 0.993 1.308 1.548

9.777 0.588 \.030 \.335 1.569

9.895 0.642 \.065 1.36\ \.589

5 6 7 8 9

1.609 1.792 1.946 2.079 2.197

í.629 1.808 1.960 2.092 2.208

1.649 1.825 1.974 2.\04 2.219

1.668 \.841 1.988 2.116 2.230

1.686 1.856 2.001 2.\28 2.241

1.705 1.872 2.015 2.140 2.251

1.723 \.887 2.028 2.\52 2.262

1.740 1.902 2.041 2.\63 2.272

1.758 1.917 2.054 2.\75 2.282

1.775 \.932 2.067 2.\86 2.293

10

2.303

2.313

2.322

2.332

2.342

2.35\

2.36\

2.370

2.380

2.389

11

*Reste 10 cuando n < 1; por ejemplo, In 0.3:::0 8.796 ­ \0 = -1.204.

APENDICE

_v

ALGUNAS FORMULASDELAGEOMETRIA

La notación que se usa más frecuentemente es la siguiente.

r = radio = altura

h

b (o a) A

e

=

longitud de la base

=

área = perímetro del círculo

V = volumen S = área de una superficie curva

B

=

área de la base

A continuación damos unas fórmulas para calcular el perímetro de un círculo, algunas áreas, algunos volúmenes y las áreas de algunas superficies curvas. Triángulo

A = thh

Círculo

A

Paralelogramo

A = hh

Trapecio

A

Cilindro circular recto

v=

e=

= nr 2 ,

2nr

= tea + h)h

nr 2 h,

= tnr

2

Cono circular recto

V

Esfera

v = ~m·3,

Prisma

V = Bh

Pirámide

v = tBh

h,

S = 2nrh

s = nrJ? + h 2

S

= 4nr 2

A31

1

RESPUESTAS A LOS EJERCIDOS IMPARES CAPITULO 1 Ejercicios J.J, págillQ 9

>

>

1 (a) (b) < (c) = (d) (e) = (f) < 3 (a) 3 (b) 7 (c) 7 (d) 3 (e) 22/7 - 'TT (f) -1 (g) O (h) 9 5 (a) 4 (b) 8 (c) 8 (d) 12 7 (17/5,00) 9 [-2,(0) 11 (-00,-3) U (2,00) 13 (5, (0) 15 (-4/5,3] 17 [-3.1) 19 (-00,7/2) 21 (9.7.10.3) 23 [5/3,3] 25 (-00,1/25) U (3/5,00) 27 (-2.1/3) 29 (-00,-4] U [-1/2,(0) 31 (-00,-1/10) U (l/lO, (0) 33 [-2/3.7/2) 35 lal = i(a - b) + bl < la - bl + lbI. Entonces lal - Ibl < la - b¡.

Ejercicios J.2, págillQ J9

15,(4,-1/2) 9

3

y'26.(-1/2.-9/2) 11

5 5.(-11/2,-2)

,

7

35 15

13

\'

11,

I

-----~-

l'

11 :

-+--T

x

,

17

19

-1-~

x

25

.Y

21

27

f

*"

----+-+

29 x

23

-:::4

x

x

31 Círculo de radio 4, centro en el origen 33 (x - 3)2 + (y + 2)2 = 16 35 x 2 + y2 = 34 37 (x + 4)1 + (y - 2)1 = 4 39 (x - 1)2 + (y - 2)2 = 34 41 (-2,3),3 43 (-3,0),3 45 (I/4,-1/4),..;I6/4

A32

A33

RESPUESTAS Ejercicios 1.3, pdgina 18 14 3 La pendiente no existe, 5 Las pendientes de los lados opuestos son iguales.

7 Sugerencia: Demuestre que los lados opuestos son paralelos y que dos lados adyacentes son

perpendiculares.

9 (-12,0) 11 x - 2y - 14 = O 13 3x - 8y - 41 = O 15 x - 8y - 24 = O

19 5x + 2y - 29 = O 21 5x - 7y + 15 = O 17 (a) x = 10 (b) Y = -6 23 x + 6y - 9 = O; 3x - 5y + 5 = O; 4x + y - 4 = O; (15/23, 32/23) 27 m = -1/2, b = O 29 m = O, b = 4 31 m = -5/4, b 25 m = 3/4, b = 2

= S

y

x

33 m

= 1/3, b = -7/3

35

k = -3

37

x/(3/2)

+ y/(-3)

=

39

1

r<

lo r>2

y

Ejercicios 1.4, pdgina 37

1 2, -8, -3, 6V2 - 3 3 (a) 3a 2 - a + 2 (b) 3a 2 + a + 2 (c) -3a 2 + a - 2 (d) 3a 2 + 6ah + 3h 2 - a - h + 2 (e) 3a 2 +' 3h 2 - a - h + 4 (f) 6a + 3h - 1 5 (a) a 2/(1 + 40 2 ) (b) a 2 + 4 (e) l/(a 4 + 4) (d) 1/(a 2 + 4)2 (e) I/(a + 4) (f) I/Va2 + 4 7 13 19 35

[5/3, col 9 [-2,2] 11 Todos los números reales a excepción de 0.3. y -3 9/7. (a + 5)/7. IH 15 19, a 2 + 3, todos los números reales no negativos 17 IR Sí 21 No 23 Sí 25 No 27 Impar 29 Par 31 Par 33 Ninguno de los dos Ninguno de los dos

14, 10,

37 (-00,00); (-00,00)

39 (-00,00); {-3}

41

(-00,00); (-oo,4J

y

!'

.,

43 [-2,2J; [0,2] y

45

(-00,4) U (4,00); (-00,0) U (0,00)

47

(-00,4) U (4,00); (0,00) y

x

A34

RESPUESTAS

49 (-00,00); [0,00)

51

y

(-00,0) U (0,00); {-I,I}

53

(-00,4]; [0,00)

y

55 (-00,00); {l,-l}

57

y

(-00,00); [-5,5]

)'

59

\/

y

61 Si -1 < x < 1, entonces hay dos puntos diferentes con abscisa x en la gráfica. Ejercicios 1.5, pá,iffll 42

1 3x 2 + 1/(2x - 3); 3x 2 - 1/(2x - 3); 3x 2/(2x - 3); 3x 2 (2x - 3)

3 2x; 2/x, x 2 - 1/x 2 , (x 2 + 1)/(x 2 - 1) 5 2x 3 + x 2 + 7; 2x 3 - x 2 - 2x + 3;

5 4 3 2 3 2x + 2x + 3x + 4x + 3x + lO, (2x - x + S)/(x 2 + x + 2)

7 98x 2 - 112x + 37; -14x 2 - 31 9 (x + 1)3; X 3 + 1 11 3/(3x 2 + 2)2 + 2; 1/(21."4 + 36x 2 + 14) 13 y2x 2 + 7; 2x + 4 15 5,-5 17 l/x 4 , l/x 4

19 X, x 21 No; los coeficientes de x 5 puede ser uno el negativo del otro 25 Sugerencia: Consideref(x) = Hf(x) +f(-x)J + Hf(x) -f(-x)].

Ejercicios 1.6, págiffll 46 5 9

r'(x) r l (x)

= =

13 rl(x) =

< <

(x - 8)/11 7 r 1 (x) =~. donde O x 6

(x 2 + 2)/7, donde x ;;;. O 11 rl(x) = <;(7 - x)/3

(x1/ 5 - 8)1/ 3 15

17 f- 1 (x) = (x - b)/a; una función constante no tiene inversa. La función identidad es su propia inversa. 19 S¡/(x) = x 2 , entonces/no es uno-a-uno y por lo tanto no tiene una función inversa.

Ejercicios de repaso 1.7, páliffll 47

1 (-00, - 3/5) 3 [3.495,3.505] 9 (a) 12 (b) (1/2,5/2) (c) 7 11 13

5 (1,3/2)

7 (-5,1/3) U (7/5,00) 17

RESPUESTAS

A35

19 (x+4)2+(y+3)2=81 21 (5,-7);9 23 6x-7y+24=0 25 x=-4 27 (-00.0) U (0.1) U (1.00) 29 El intervalo abierto (5. 7) 31 (a) 1/0 (b) 1/2 (c) I (d) 1/\12 (e) I/VJ=X (O - 1/y'x+I (g) 1/yQ+! (h) 1/(x + 1). 33 35

~ 37 x 2 + 4 +

y2x + 5: x 2 + 4 -

V2x2 + 13

V2X+S; (x 2 + 4)V2X"+5 ; (x 2 + 4)/V2X+S : 2x + 9:

39 r'(x) = (5 - x)/7

CAPITULO 2 Ejercicios 2.1, págilUl 55 5 17/13 7 32 9 2x 11 12 13 No existe 1 4 3 1/9 15 No existe 17 (a) lOa - 4 (b) y = 16x - 20 19 (a) 3a 2 (b) y = 12x - 16 21 3: y = 3x + 2 23 -l/a 2 ; x + 4y - 4 = O 29 (3,9)

Ejercicios 2.2, págilUl 61 3 Dado E, escoja b $ E/9

Dado e, escoja i5 $ e/5 7 Dado c, puede ser un número positivo cualquiera.

Dado c. escoja b $ 4, Dado E, escoja b $ c

Todo intervalo (3 - 0,3 + (i) contiene números para los cuales el cociente es igual a l. y otros números para los cuales el cociente es igual a - l. . 13 I/(x + 5) puede ser tan grande como se quiera escogiendo x suficientemente cercano a - 5. 15 Hay muchos ejemplos. Un ejemplo esf(x) = (x 2 - l)/(x - 1) donde x "" 1 Yf( 1) = 3. 17 Cada intervalo (a - O, a + o) contiene números tales quefe,,) = OYotros números para los cuales f(x) = l. 1 5 9 11

o

Ejercicios 2.3, págllUl 69 1 9 23 37

- 13 3 50 - 20 5 -2 7 O 15 11 -7 13 1/12 15 8 17 -23 19 2 21 72/7 -2 25 -l/8 27 O 29 -810 31 -64 33 -108 35 -1/4 Si a < Oy r = m/n donde m y n no tienen divisores comunes entonces n tiene que ser un entero impar.

A36

RESPUESTAS

1

Ejercicios 2.4. pQfiNl 74 1 4 3 -6 5 3 7-1 17 6; 4 19 -1; 1/11; no existe

9

1 21

11 1/8 13 (-lr- 1; (-Ir

15

No existe 25 1;

n o; o

o

Ejercicios 2.5, IJdriNl 83 11 {x: x "" 3/2,x "" -I} 13 [3/2,00) 15 (-00, -1) U (1,00) 17 {x: x "" -9} 19 {x: x "" O,x "" I} 21 [-5,-3] U [3,4) U (4,5] n. 25, 27 Es discontinua en cada enteron. 29 fes discontinua en todo intervalo abierto que contiene al origen. 31 No. limx_Jf(x) no existe.

35 e =

{!W'=l

37

e

= y'w -

2

Ejercicios de reJHISo 2.6, IJdrúuz84 1 13 3 -4 - y'J4 5 7/8 7 32/3 9 No existe 11 3 13-1 15 40 3 17 -3/16 19 -1 21 -6 25 IR 27 [-3,-2) U (-2,2) U (2,3) 29 Es discontinua en 4 y -4 31 Es discontinua en Oy en 2 33 e = 1/';-;;

CAPITULO 3 Ejercicios 3.1, páfÜUl91 1 -3a 2

3 1/2y'a 5 (a) 11.8, 11.4, 11.04, 11.004 cm/seg (b) 11 cm/seg (e) (-3/8,00) (d) (-00, -3/8) 7 48 pies/seg, 16 pies/seg, -16 pies/seg. La altura máxima se alcanza en I = 7/2 seg. Cae al suelo en 9 Sif(t) = al + b, entonces V(I) = a. seg con velocidad de -112 pies/seg.

I

=7

Ejercicios 3.2, IJdrlNl 97 1 O 3 9 5 8 - IOx 7 -I/(x - 2)2 9 3L2V3X+1 11 -7/2P 13 6x 2 -4 15 2a 17 -12/n 3 19 -1/(a+5)2 23 Sugerencia: Calcule las derivadas por la derecha y por lo izquierda en x = n 25 Sif(x) = ax + b, entonces/'(x) = a es de grado O. Sif(x) es de grado 2,j'(x) es de grado l. Sif(x) es de grado 3,/,(x) es de grado 2.

Ejercicios 3.3, ptirúuz 105 1 1'(x) = 20x + 9 3 1'(5) = -1 + 85 - 205 3 5 g'(x) = IOx 4 + 9x 2 - 28x 7 h'(r) = 18r 5 - 21r 2 + 4, 9 f'(x) = 23/(3x + 2/

9d

11 h'(z) = (-27z 2 + 12z + 70)/(2 13 1'(x) = 9x 2 - 4x + 4 3 3 15 F'(/) = 21 - 2/1 17 g'(x) = 416x - 195x 2 + 64x - 20 19 G'(II) = 611 2/(11 3 + 1)2 2 2 3 21 1'(x) = -(1 + 2x + 3x )/(1 + x + x + x )2 n g'(z) = 72z 5 - 64z 3 - 18z 2 - 70z - 7 2S K'(s) = (-4/81)5- 5 27 h'(x) = 10(5x - 4) 29 1'(1) = (6 - 201 - 21/ 2 )/5(2 + 71 2 )2 donde 1 "" O 31 M'(x) = 2 - 4/x 2 - 6/x 3 3 33 y' = (-3x + 2)/x 3S y' = 120x - 49 39 y' = (8x - l)(x 2 + 4x + 7)(3x 2 ) + (8x - 1)(2x + 4)(x 3 - 5) + 8(x 2 + 4x + 7)(x 3 - 5) 41 (a) y = 5 (b) 5x + 2y - 10 = O (e) 4x - 5y + 13 = O 43 (a) 2/3, -2 (b) O, -4/3 45 (a) (- 00, -5) Y(2, x) (b) (- 5,2). La velocidad es cero en I = - 5 yen I = 2. 47 (a) I (b) -3 (e) -4 (d) II (e) -1/25 49 (0,1); (1,2); (3,22) SI 16y - 40x + 99 = O 53 Y - 9 = 2(x - 5), el punto de tangencia es (1, 1); Y - 9 = 18(x - 5), el punto de tangencia es (9,81).

Ejercicios 3.4, IJdriNl 112 1 -0.72 5 (a) 6y

=

3

-1.89/98.01

(6x

+

5)6x

+

~

-0.019 (b) dy = (6x + 5)dx

3(6x)2

(e) dy - 6y = -3(6x)2

RESPUESTAS

7 (a) ~y = -~x/x(x + ~x) (b) dy = -dx/x 2 (e) dy - ~y = _(~x)2/x2(x + ~x) 9 (a) -9~x (b) -9~x (e) O 11 (a) 3x 2 ~x + 3x(~x)2 + (~.x)3 (b) 3x 2 ~x (e) -3x(~xi - (~x)3 17 0.96n; 0.015; 1.5%

ln"-"

19 30 cm); 30.301 cm) 21 Area ~ 3301.661; error máximo ~ 11.459; error medio error porcentual ~ 0.347% 23 l/SOn ~ 0.00637 25 - I

TI 0.92; 0.92236816

29 dA '" 1",g;ón
~

~

0.00347;

'--v-----"-v-­ ,)

AS

Ejercklos J.5, ¡Hig11Ul 117 1 3(x 2 - 3x + 8)2(2x - 3) 3 -4O(8x - 7)-6 5 -(7x 2 + 1)/(x 2 - 1)5 7 j'(x) = 5(8x 3 - 2x 2 + x - 7)4(24x 2 - 4x + 1) 9 P(v) = 17,000 (17v - 5)999 11 s'(/) = -2(41 5 - 3/ 3 + 2/)-3(20/ 4 - 9/ 2 + 2) 13 N'(x) = 32x(6x - 7)3(8x 2 + 9) + 18(8x2 + 9)2(6x - 7)2 que se reduce a (6x - 7)2(8x 2 + 9)(336x 2 - 224x + 162) 15 g'(z) = 6( z 2 - 1/z2)5(2z + 2/z 3 )

17 k'(u) = -20(u 2 + 1)3/(4u - 5)6 + 6u(u 2 + 1)2/(4u - 5)5 que se reduce a (u 2 + 1)2(4u 2 - 30u - 20)/(4u - 5)6 19 j'(x) = 124x(3x 2 - 5)/(2x 2 + 7)3 5 2 21 G'(s) = -6(s-4 + 3s- + 2)-7(-4s- - 6s- 3) 23 h'(x) = 200(2x + 1)9[(2x + 1)10 + 1]9 25 P(/) = 2(21 + 1)(21 + 3)2(24/ 2 + 261 + 3) 27 (a) y - 81 = 864(x - 2) (b) (1, 1), (1/2, O), (3/2, O) 29 (a) y - 1 = 20(x - 1) (b) (1/2, O) 4 2 9 3 dw dwdz 31 dy = 100x - 3x + 1) (4x - 6x)dx, ~y """ 0.2 33 ds = dz ds 35 dw/ds = (3z 2 + 2/z 2)5(i + 1)4 2s 37 -0.02 39 15 45 x + 2y - 5 = O 49 64x - 16y - 7 = O 51 (4x 3 + 4x)/(x 4 + 2x 2 + 5) 47 4x - 2y - 3 = O Ejercicios J.6, pátilUl 123 1 ¡(x) = -(2/5 )x 2 + 2x 5 11 17 21 25 27

+ 4/5, IR 3 ¡(x) = ~, [-4,4). (Hay otras respuestas.) x + y'x, [0,00) 7 ¡(x) = 1 - 2y'x + x, [O, 1] 9 y' = -8xjy y' = -(6x 2 + 2xy)/(x 2 + 3i) 13 y' = (IOx - y)/(x + 8y) 15 y' = _y3/x 3 y' = _(2 xy3 + 4y + 1)/(3x2y 2 + 4x - 6) 19 y' = (4x 2 + 3x - 1)(8x + 3)/4y(y2 - 9)3 4x - y + 16 = O Z3 y + 3 = (-36/23)(x - 2) Si Y = f(x), entonces [f(x)]2 + x 2 = -1, que no es posible. (a) Hay una infinidad de funciones implícitas (b) Una,f(x) = O, con dominio x = O 29 0.09 ¡(x)

=

Ejercicios J. 7, ¡Higlna 126 1 j'(x) = (2/3)x- 1/ 3 + 6xl/ 2 ~ P(v) = -5u 4(u 5 - 32)-6/5 11

1~ 19 21 23

25

3

k'(,)

=

8,2(8,3

+ 27)-2/3

9 pez) = 150 - I/z{rz 5 2 2 g'(w) = (w + 4w - 9)/2w / 13 M'(x) = (8x - 7)/2y4x 2 - 7x + 4 1'(/) = -48//(91 2 + 16)5/3 17 H'(u) = -1/2Y(3u + 8)(2u + 5)3 k'(s) = 16(s 2 + 9)1/4(4s + 5)3 + ,s(4s + 5)\s2 + 9)-3/4 2 h'(x) = 9x (x 2 + 4)5/3 (x 3 + 1)-2/5 + IOx (x 2 + 4)2/3 (x 3 + 1)3/5 5 3 g'(z) = -3ij2z + 3/2 (3z + 2i + 2/(3....¡rzTI-{j(2z + 3)2) 1'(x) = 6(7x + x 2 + 3)5(7 + x/yx 2 + 3) 27 2x + y'3y - 1 = O 7 j'(x)

29 y - 5 = (-33/24)(x + 8) 31 35 y' = (l2yxy + y)/(6yxy - x)

=

(4,2) 37 y'

1/...;2X

=

-y;r;

33 y' = (I8x 5/ 3y2/3 + y)/(12x 2/ 3y5/3 - x)

A37

A38

RESPUESTAS

39 dy = 2(6x + 11)-2/3 dx 41 4 + (1/48) ~ 4.02 43 45 60rr cm 1 ; error máximo:::: 1.50!l; error porcentual::: 0.8%

-0.24

Ejercicios 3.B, página J19 1 j'(x) = 12x 3 - 8x + I.r(x) = 36x 2 - 8

3 H'(s) = 1/3{;? - 4/s 3, H"(s) = -2/9W + 12/s4

5 g'(z) 7 k '(r)

=

3/2y'3Z+f, g"(z) = -9/4V(3z + 1)3

9 j'(x) = x(x 2 + 4r-1/2, r(x)

= 20(4r + 7)4, k "(r) = 320(4r + 7)3

= 4(x 2 + 4) -J/2

11 D;y = 120x 2 + 18 13 D;y = 594/(3x + 1)4 15 D;y = -270(2 - 9x)-8/3 17 y" = (2 xy 3 - 2x 4 )/y5 19 y" = 10(/ - ]xy + x 2)/(2y - ]x)3 21 j'(x) = 6x 5 - 8x 3 + 9x 2 - I,r(x) = 30x 4 - 24x 2 + 18x,j'''(x) = 120x 3 - 48x + 18, f(4)(x) = 360x 2 - 48,¡<5}(x) = 720x,j(6)(x) = 720 23 j(fI}(X) = (-ltn!/x fl + I ,¡(Il}(I) = (-I)"n! 25 El grado de l' es n - 1, el de f" es n - 2, ... , el de pn) es O. Como(ln) es una función constante, toda derivada de orden superior a n es cero. 29 0.14 31 D;y = r(g(x))(g'(x))2 + j'{g(x))g"(x)

Ejercicios de repaso 3.9, página 13J 5 g'(I) = 3/V61+5 I f'(x) = -24x/(3x 2 + 2)2 3 f'(x) = 6x 2 - 7 2 7 *<7z - 4z + 3)-2/3(14z - 4) 9 -144x/(3x 2 - 1)5 11 -2(/ - y- 2 3(2y + 2y-3) 5 4 2 2 13 (l2/5)(3x + 2rl/ 15 4(8s - 4)3(72s - 108s + 16s)/(I - 9s 3 )5 17 (x 6 + 1)4(3x + 2)2(99x 6 + 60x 5 + 9) 19 ~(7y - 2)-2(2y + 1)-1/3 - 14(7y - 2r 3(2y + 1)2/3 21 2x[(x 2 + 2)(x 2 + 3) + (x 2 + l)(x 2 + 3) + (x 2 + 1)(x 2 + 2)]

r

23

I

2Vx + VX + 0

20 + 1 )

(1

+

40 VX + VX

+ 2{2(2x + 3)-213 - ~(2x + 3)103(3x + 2)-1/2 1/(3x + 2) 215 27 g'(z) = 3(9z 513 - 5z 3/ 5 )2(15=2/3 - 3Z- ) 29 k'(s) = (95 - 1)3(108s 2 - 139s + 39) 31 j'{1<.') = -53/2 (21\' + 5)(711' - 9)3 33 y' = (4x/ - 15x 2)/(12/ - 4.\,2y ) 35 y' = !/VX(3W + 2) 37 9x - 4y - 12 = O 39 x - y + 4 = O 41 y' = -2x- 3 - x- 2; y" = 6x- 4 + 2x- 3; y'" = -24x" 5 - 6x- 4 43 y" = 5(/ - 4xy - x 2)/(y - 2x)3 45 j(I/}(x) = n!/(I - x)I/+1 47 0.06V3.0.015 25 [i(3x

49 -0.57

CAPITULO 4 Ejercicios ".J, página /40 15;-3

31;-3

5 (a) Como.f'(x) = 1/(3x l13 )J'(O) no existe. Si a #- O, entonces.f'(a) #- O Por lo tanto Oes el único número crítico del El número/COl = O no es un extremo local ya que/ex) < Osi x < Oy f(x) > Osi x > O. (b) Los hechos de que O es el único número crítico y que hay una recta tangente vertical en (O, O) se obtienen como en la parte (a). El número ¡(O) = O es un mínimo local ya que /(x) > Osi x #- O. 7 Hay un número crítíco O, pero /(0) no es un extremo local ya que f(x) < /(0) si x < O y ¡(x) > f(O) si x> O. La función es continua en todo número a ya que Iím x -. a f(x) = j(a). Si O < x, < X 2 < 1, entonces f(x 1) < f(x 2 ) y por lo tanto no hay máximo o mínimo en (O, 1). Esto no contradíce (4.4) por que el intervalo (O, 1) es abierto. 9 3/8 11 5/3 y -2 13 2 15 4 Y -4 (O no es) 17 0,1517, Y 5/2 19 ninguno

21 Sil(x) = ex + dy e #- O, entonces.f'(x) = e#- O. Por lo tanto no hay números críticos. En [a, b] la

función tiene un extremo absoluto en a y uno en b.

RESPUESTAS

23 Si x

A39

= 11 es un entero, entoncesf'(n) no existe. Por otra parte,f'(.1.') = Opara todo x # n. + bx + e y a # O, entoncesf'(.1.') = 2a.1.' + b. Por lo tanto - b/2a es el único número

25 Sif(x) = ax 2

crítico de! 27 Comof'(x) = n.1."- I , el único número crítico posible es x = O, y/(O) = O. Si n es par entonces/(x) > O si x # O Y por lo tanto Oes un mínimo local. Si n es impar, entonces Ono es un extremo ya que/(x) < Osi x < Oy /(x) > Osi x > O.

Ejercicios 4.1, págilUl 144 1 f no es derivable en el número Oen el intervalo ( - 1, 1). 3 / no es continua en [ - 1, 4]. 5 e = 2 7 e= O 9 e = 2 11 e = 2 13 f no es derivable en x = O. 15 e = 2 17 e = (2 - j7)/3 19 Si/(x) = ex + d. entoncesf'(x) = e para todo x. Además,f(b) - f(a) = (cb + d) - (ea + d) = c(b - a) =

j'(x)(b - a).

21 Si/es de tercer grado, entoncesf'(x) es un polinomio de segundo grado. Por lo tanto, la ecuaciónf(b) - f(a) = f'(x)(b - a) tiene a lo más dos soluciones Xl y x 2 . Si/es de grado 4, haya lo más tres soluciones. Si fes de grado n, haya lo más 11 - l soluciones.

Ejercicios 4.3. págilUl 151 1 Máximo:.f( -7/8) = 129/16; creciente en (-00, -7/8]; decreciente en [-7/8,00)

3 Máximo:/( -2) = 29; mínimo:j(5/3) = -548/27; creciente en (- 00, -2] Y [5/3, co); decreciente en

[ -2,5/3]

5 Máx:f(O) = 1; mín:/( -2) = -15; mín:.f(2) = -15; creciente en [-2, O] Y [2,00); decreciente en

(-oc, -2]y [O, 2] 7 Mín:f(-I) = -3; creciente en [-1, 00); decreciente en (-00, -1]

1 3 5 7

y y

I

I

., ~

10

9 Máx:f(O) = O;mín:f(-j) =I(j) = -3; creciente en [-j),0] y[j), (0); decreciente en ( - 00, - fi] y [O. fi] 11 Máx:f(7/4) ~ 42; mín:.f(O) = 2; mín:.f(7) = 2; creciente en [O, 7/4] Y [7, oc); decreciente en (- 00, O] Y [7/4, 7]. 13 Máx:.f( -1) = -4; mín:/(l) = 4; creciente en (- 00, -1] Y[1, 00); decreciente en [ -1, O) Y(O, 1] 15 Máx:.f(3/5) ~ 0.346; mín:.f(l) = O; creciente en (- 00,3/5] y [1, 00); decreciente en [3/5, 1] 9 11 13 15

t'

V ­

,

f\ 17 Máx:f(-j) = (6 21 Ninguno

3)1/3: min:/(j) = _(6j)1/3

19 Máx:.f( -1) = O; min:f(5/7) = -9 3 12 4 /77

1\40

RESPUESTAS

En los ejercicios 23 y 25 se muestra primero el máximo absoluto y después el minimo absoluto.

23 (a) j(-7/8) = 129/16;j(l) = -6 (b) j(-7/8) = 129/16;j(-4) = -31 (c) j(O) = 5; j(5) = -130 25 (a) j(-I) = 20;j(l) = -16 (b) j(-2) = 29;j(-4) = -31 (c) j(5) = 176; j(5/3) = -548/27 27 (vea el dibujo abajo) 29 Máx: 1'( - 1) = 8; mín: 1'( 1) = - 8;f' es creciente en (- 00, - 1] Y [1, (0); decreciente en [ - 1, 1]. 27 29

31 a

= 3/4, b = O, e

=

-9/4, d

=

1/2

Ejercicios 4.4, pátina 160 En los ejercicios del I al 27, la concavidad hacia arriba o hacia abajo se señalan por CU o CD, respectivamente. PI denota un punto de inflexión. 1 Máx:f(1/3) = 31/27;min:f(I) = 1. CDen(-oo, 2/3);CU en (2/3, (0); la abscisa del PI es 2/3.

3 Min:f(l) = 5; CU en (- 00, O) Y(2/3, (0); CD en (0,2/3); las abscisas de los PI son Oy 2/3.

5 Máx:f(O) = O(por el criterio de la primera derivada): mín:f( -)2) = f()2) = -8. CU en

( - 00, y (0); CD en las abscisas de los PI son ± 7 Máx:f(O) = 1; min:f( -1) = j(l) = O. CU en (- 00, -1/)3) Y(1/)3, oc); CD en (-1/)3, 1/)3); las abscisas de los PI son ± 1/)3. .

-J6i5) (J6i5,

1

(-J6i5, J6i5);

J6i5.

3 5 7 J'

9 No hay ningún extremo local; CU en (- 00, O); CD en (O, (0); PI en (O, - 1) 11 No hay ningún máximo o mínimo. CU en (- 00, - 3) y (3, (0); CD en (- 3, O) y (0,3); las abscisas de los PI son ±3. 13 Mín:f(-I) = -1/2;máx:f(l) = !.CUen(-)3,O)y()3,oo);CDen(-oo, -)3)y(O,)3);las abscisas de los PI son O, ±)3. 15 Máx:f( - 4/3) ~ 7.27; mín :f(0) = O; eD en ( - 00, O) Y(O, 2/3); CU en (2/3, ce); PI en (2/3, 1O,yT2/3). 9 11 13 15

,r

~.

90

10

A41

RESPUESTAS

17 Mín:f( - 2)

~

-7.55. CU en (- 00, O) Y(4, (0); CD en (O, 4); las abscisas de los PI son Oy 4.

17

19

~

21

23

..

27 Sif(x) = ax 2 + bx + c. entonces!"(x) = 2a. (a) CU si a > O (b) CD si a < O, 29 Sifes de grado n, entonces!" es de grado n - 2. Ejercicios 4.5, página 174

1 5/2 3 - 7/3 5 1 7 O 9 5/2 11 - 1 13 Y = 4 15 Ambos límites son igual es al cociente de los coeficientes de x n en f(x) y g(x), Si fes de grado menor que el grado de g, entonces ambos límites son O. 21

00; -00;

x

=

4; Y

23

O

=

00; -00;

x = -5/2;

25

-00; -00;

31

x

x = -8; y

=

O

y=O

27

para a =-1; para a = 2; x x=2,y=2

"!L ~¡L ­ 1-;--+--4----. l·

I I

,, I I

,

33

35

29

-00, 00

00, -00

x

=

4,y

x

=

-1,

para a = O; para a = 3; x 3,y = O

00, -00 00, 00

x

=

=

iL

==''--'---'--;-:

,, ,,I

O,

: J"L =

-3, x

=

1, Y =

"

,,

''

--- -l-- L=---­

x

,, ,,

=O

00 o - 00, dependiendo de si los coeficientes principales defy g son del mismo signo o de signos opuestos, respectivamente. 37 (-2, O) 39 (4/3.3) Y(-4/3,3)

A42

RESPUESTAS

Ejercicios 4.6, págillQ /83

1 20, - 20 3 Lado de la base = 2 decímetros; altura = 1 decímetro 7 Longitud de la base = fia, altura = a/ 9 32n:a J /81 5 5)5 pies ~ 11.2 pies 11 Radio de la base = altura = 1/':';; I3 7.5 cm 17 2a/j3 de ancho, 2J2a/j3 de espesor 19 (1,2) 21 500 23 difS;/e SI + .(/S2) 25 15/2 m por 15/7 m 27 No puede tener parte cilíndrica. El tanque debe ser una esfera de radio Y3/2n: 29 (a) Use 36.j3/(2 + .j3) ~ 16.71 cm para el rectángulo (b) Use todo el alambre para el rectángulo 3117.20m 334/(6 3) m de ancho, (6 - 2./3)/(6 - .j3)mdealtura;(18 - 6.j3)/(6 - .j3)mdealtura 3575 375fl2m,5/12m,5/6m

,./2

Ejercicios 4.7, página /9/

1 (a) 16-2/.1 cm/mi n (b) 3617 em 3/min (c) (6)41/3 71 cm 2/min

3 En (pulsaciones por minuto)/segundo: (a) 7 (b) 15 (e) 23

5 (a) 3200n: cm 2 /seg (b) MOOn: cm 2 /seg (e) 96007! cm 2 /seg

En los ejercicios del 7 al 15 [a, b] denota el intervalo de tiempo de

I

= a hasta I =

b.

7 ['(1) = 61 - 12, a(t) = 6. El punto se mueve a la izquierda en [O, 2] Y a la derecha en [2, 5].

9 ['(1) = 31 2 - 9, a(!) = 61; a la derecha en [ - 3, -.j3]; a la izquierda en [ - J3, J3]; a la derecha en

[.j3, 3]

11 r;(I) = 1 - 4/1 2 , a(l) = 8/1 3 ; a la izquierda en [1, 2]; a la derecha en [2,4]

I3 1'(1) = 81 3 - 12/. a(!) = 241 2 - 12; a la izquierda en [-2, - 3/2); a la derecha en [-j372, O]; a la

izquierda en [O. j372J; a la derecha en [j372, 2]. 15 1'(1) = 31 2 • a(l) = 61; a la derecha en [0,4) 17 r;(1) = 144 - 321. a(l) = - 32; r(3) = 48, a(3) = - 32. Altura máxima = 324 pies. Cae al suelo en I = 9 19 a(2) = -6. a(3) = 6; v( 10/3) = 44/3 21 -0.12unidades/m 23 dr/dc = 1/(27!) 259/5 27 dT/dl = C/jT,donde Ces una constante 29 V = 2400s - 2005 2 + 45 3; dV/d5 = 2400 - 4005 + 12s 2 Ejercicios 4.8, págillQ /97

1 -3 336/8 ~ -6.9 m/seg 3 5/3.24n: m/min 5 IOn m/seg, 3/7 m/seg 11 Aumenta a razón de 5 pulg 3/ min I3 500/ 3 cm/min 9 10/3 pies/seg 17 -4

3/600

~

25 19.6 m/seg

-0.215 em/min

27 (50

19 n: m/seg

21 11/1600ohms/seg

+ 9)2)500/2 706 + 225ji km/hora

7 -0.093025n: m 3 /hora

15 10 unidades/seg

23 128/357! em/min

29 -9/7! cm/hora

Ejercicios 4.9, página 204 1 3x) - 2x 2 + 3x + e

7 11 15 21 25 29 35

3 x 4/2 - x 3/3 + 3x 2/2 - 7x + e 5 -(1/2x 2 ) + 3/x + e 2 413 2x)/2 + 2 x +C 9 9x /J - (l/8)x + 7x + e

(8/9)x 9/ 4 + (24/5)x 5/ 4 - x-) + e I3 3x 3 - )x2 + x + e

(24/5)x 5/3 - (l5/2)x 2/J + e 17 (1O/9)x 9/ 5 + e 19 x)/3 + x 2/2 + x + C, (x =1= 1)

2 j(x) = 4x) - 3x + x + 3 23 j(x) = (2/3)x) -.x 2/2 - 8x + 65/6

5(1) = -1) + 12 - 51 + 4 27 S(I) = -4.91 2 + 5001. La altura máxima es s(5OO/9.8) ~ 12,755.1 m

2 (a) 5(1) = -161 - 161 + 96 (b) I = 2 (e) 80 pies/seg 33 a(t) = 2 m/seg 2

F = (9/5)C + 32 37 V = 21)/2 + (1/8)1 2 + 2

l/ 2

Ejercicios 4./0, págillQ 212

(a) 806

C(IOO)

(b) c(x) = (800/x) + 0.04 + 0.0002x; C(x) 0.08 (e) 0.84 (d) x = O

=

=

0.04 + 0.0004 x; c(IOO)

=

8.06;

RESPUESTAS

3 (a) 11,250 (b) c(x) = (250/x) + lOO + 0.OOlx 2; C(x) C(IOO) = 130 fe) 107.5 (d) x = O 5 16

=

100

A43

+ 0.003x 2; c(lOO) = 112.50;

Las respuestas a los ejercicios del 7 al 13 indican valores de la función en x. 7 (800/3) - (4/3)x; -4/3; (SOO/3)x - (4/3)x 2; (SOO/3) - (S/3)x; lOO unidades a 133.33 9 4 x; -1/20; 4x - x 32 ; 4 - (3/2)0; 7 unidades a 1.35 11 (a) (SOO - h)/ 400 - x (b) 6158.39 (e) 2y"400 - x 13 (a) 300 _]x2 (b) 2000 (e) 300 - x 2 15 (a) -1/10 (b) 50.\ - (x 2/10) (e) 48x - (x 2/IO) - 10 (d) 48 - (x/5) (e) 5750 (f) 2 17 (a) ISOOx - 2x 2 (h) 1799x - 2.01x 2 - 1000 (e) 100 (d) $158.ROO 19 3990 unidades. $15.420.10 21 p(\) = 150 - (x/ID); R(x) = 150x - (x 2/IO) 25 C(x) = 20x - (0.UI5/2)x2 + 5.0075; 9S6.26 27 R(x) = x)/3 - 3.\2 + ISr. g'(x) = (h/3) - 3

Ejercicios de repaso 4. /J, página 1U Tangente:)' + 3 = - (30¡23)(x - 2); normal: y + 3 = (23/30)(x - 2) Horizontal en x = - 3/2; vertical en x = - l. x = - 2 5 1)/3

Máximo local fíO) = 1; creciente en ( - Y•• O]; decreciente en [O. x)

Máximo local/((4 + ./7)/3) y mínimo local/((4 - /7)/3); creciente en [(4 - J7)/3. (4 + ./7)/3].

decreciente en (- :r.. (4 7)3] Y [(4 + . . x); la abscisa del punto dc inflexion es x = 4/3; cóncava hacia arriba en (- x. 4,3) y cóncava hacia abajo en (4/3. x). 11 Máximo localf(~/20) = 400; creciente en (- %. J 20]. decreciente en [J 20. y.). Las abscisas de los puntos de inflexión son x = O Y x = 2. Concavidad hacia arriba en (O. 2); hada abajo en ( -
1 3 7 9

(J6T -

/h/3.

7

9

11

JOO

200

100

13 s(t) = -4.9/ 2 - 101 + 300:1'(5) = -59r,~ '?g;/ "= (-10 + ...;5980)/9.8 ~ 6.87seg 15 (x 2/2)(r 4 + x 2 - 1) +17 (10/131\1" - (10/21).\2110 + 7 19 J(x) = (9/28)x .1 - (5/2)x2 + (25/4)x - 169/14 21 y"2a 23 Radio del semicirculo = 100/n m. lado largo del rectángulo = 100 m 25 - 2250/n cm/mi n 27 -30J5 km¡hora 39 y = 1/3. x = 5/3. x = -Sí)

e

_nJl iL_

I

_

e

A44

RESPUESTAS

CAPITULO 5 Ejercicios 5.1, pagÚUl225 ¡ -5 3 34 5 40 3 2 15 (4n - 12n + Iln)/3

7 510 17 28

13 (2n 3 + 12n 2 + 4On)/6 21 78 23 18 25

9 500 19 125/3

19/4

Ejercicios 5.2, pdglllO 233 1 1.1, 1.5, 1.1,0.4,0.9; IIpll = 1.5 3 0.3, 1.7, 1.4,0.5,0.1; IIpll = 1.7 5 (a) 40 (b) 32 (e) 36 7 49/4 9 79 11 f!1 (h 2 - 2x + 5)dx 3 13 fo4 27TX(1 + x ) dx 15 -14/3 17 30 19 25 21 %/4 23 625/4 25 Cualquier función no acotada. Por ejemplo,f(x) = l/x, g(x) = I/~, h(x) = ese x. No hay contradicción porque el intervalo en (5.19) es cerrado. Ejercicios 5.3, pdgillO 238 1 30

3

19 f~3f(x)dx

-12

21

5 2 7 78 frhf(x)dx

9 29

-291/2

11

-140/3

13

215/6

Sugerencia: -1J(x)1 <;; f(x) <;; If(x)1

Ejercicios 5.4, pagillO 242 1 V3 ,33 5 {l15/4 7'YSO-3 9 ayI6-7T 2/4 11 Sif(x) = k en [a. b]. entonces J~f(x)dx = k(b - a) = f(c)(b - a) para todo c en [a, b], puesto que f(c) = k.

Ejercicios 5.5, pagÚIQ 248 3 265/2 1 -18 15 13/3 17 -7/2 31 6 37 z = 16/9

5 5 7 31/256 9 20/3 19 O 21 10/3 23 53/2 39 {!574 41 (a) 3/2

11 25

352/5 13 8v'J + 16

- 37/6 29 l/x

Ejercicios 5.6, pdgillO 255 1 (3x + 1)5/15 + C 3 $(/ 3 - 1)3/2 + C 5 -1/(4(x 2 - 4x + 3)2) + C 2 7 -j(I - 25 )2/3 + C 9 + 3)5 + C 11 14/3 13 O 15 1/3 7 17 (l/7)x + (3/5)x 5 + x 3 + x + C 19 (5/12)(8x + 5)3/2 + C 21 5/36 23 (a) (x + 4)3/3 + CI (b) x 3/3 + 4x 2 + 16x + C2, donde C2 = CI + 64/3 25 (2/3)(0 + 3)3 + CI' (2/3)x 3/ 2 + 6x + 18xl/ 2 + C2, 18 + CI = C2 3 29 l/yx + x + 5 31 I 33 14/3 35 z = V3 37 544/225

HVü

Ejercicios 5.7, pagillO 263 1 (a) 1.41 (b) 1.39 9 (a) 8.65 (b) 8.59

3 (a) 0.88 (b) 0.88

Ejercicios de repaso 5.8, pdgillO 163 1 70 3 11/4 5 -10 7 3/5 9 11 -(1/16)(1 - 2x 2 )4 + C 13 V8 - V3 ~ 17 ]x - x 2 - (5/4)x 4 + C 19 52/9 21 23 -x- 2 + h- I + C 25 y 4 + 2y 2 + 1 +

V

5 (a) 0.39 (b) 0.39

1/6 1.10 15 -2/(1 + v'X) + C (1/6)(41 2 + 21 - 7)3 + C C 27 O 29 416/15

A45

RESPUESTAS

6

CAPITULO Ej~rcicios

1

6.1, págifUl 274

17/6

3

y

33/2

5

y

32/3

7

"

32/3

x JC

9 9/2

13

y

2

15

1/2

x

17

19

8

16/3

y

x

21 Seaf(x) = J9 - (x - 4)2 en [1, 7]. Entonces A = limIlPII_o:E¡ 2f(w¡)L1x¡. Como la región está acotada por un circu10 de radio 3, A = 97[. 23 El límite es igual al área de la región bajo la gráfica de y = 4x + 1 de Oa l. A = 3. 25 El límite es igual al área de la región a la izquierda de la gráfica de x = 4 - y2 Ya la derecha del eje y entre y = OYY = 1. A = 11/3 27 El área A de {(x,y): 2 x 5, O y x(x 2 + 1)-2}, A = 21/260 29 El área A de {(x,y): I y 4, O x (5 + yy)/yy), A = 13

< < < <

Ej~rclcios

< < < <

6.2, págifUl 285 3

1 2.,,/3

5 512.,,/15

2." y

y

x

7 6%/15 y

9

64V2.,,/3

11

72.,,/5

J\46

RESPUESTAS

13 (a) 51271/15

(b) 8327T/15

(e) 12871/3

15 V = 71 f~2 [(8 - 4x)2 - (8 - x 3 )2)dx

+ 71 fl [(8 - x 3 )2 - (8 - 4x)2)dx 17 V = 71 fl [(y - 1)2 - (2 - ~)2)dy 19 V 21

V

VI - /)2 -

71 f~1 [(5 + = ~7Tr2h 23

=

V

(5 - v'I7)2)dy

= 207r J~I ~dy

= ~7Th(rI2 + rl + r¡ r2)

25 El límite de las sumas es igual al volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje x la región entre y = x 2 y y = x 3 , O ~ X ~ 1. V = 2n/35.

Ejercicios 6. J, P61i1Ul 190

1

12871/5

3

24-rr/5

9

7271

y

5

13571/2

.

_I'-+-+-+-++----­

7

51271/5

15 V = 271 J~8 (8 - y)(y/4 - yl/3)dy + 271 Jo8 (8 - y)(yl/3 - y/4)dy 17 V = 271 Jri (2 - x)(x - x 2 )dx 19 V = 4Jr J~¡ (5 - x)~dx 25 El limite de las sumas es igual al volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje y la region entre y = x y y = X 2, O ~ x ~ l. El volumen es n/6. 11 (a) 1671

(b) 64-rr/3

Ejercicios 6.4, P61i1Ul194 1 16a 3/3

3

128/15

5 2a 2 h/3

7

13

12871/15

4

Ejercicios 6.5, pápuJ J01 1 (a) 128/3 pulg.-libras (b) 64/3 pulg.-Iibras 3 1"1 = 31"1 9 (a) 500n kg-m (b) IIOOn kg-m 11 125/4 kg-m 13 (a) 3k/lO dina-em (b) 9k/40 dina-em (k es una constante) 17 W = gm¡m 2 "/6400(6400 + h) 19 36.85

5 2.916

X

10 7 gm-em

7 4635 kg-m

15 575(1;2 - 1/,y40) ::: 12.55

Ejercicios 6.6, P61i1Ul J07 1 (a) 13.5 kg (b) 45 kg 3 (a) 9 3 kg (b) 9 3/8 kg 9 13,921.875 kg 11::: 1896296 kg 13 4500 libras

5 320 libras

7 625.000 kg

Ejercicios 6. 7, páti1Ul J 11

+ (16/81»3/2 ~ 7.29 3 (8/27)(10 3/ 2 - (13 3/ 2/8» ~ 7.63 13/12 9 353/240 11 s = .ff} V(53/4) - 21/ + 9y 4 dy 13 6 s = (x 2/ 3 + ~)3/1 - (1 + 3)3/2; tu = (J/27)[(9(1.1)2/3 + 4)3/2 - 13 3/ 2 ) ~ 0.1196;

1 (4 7 15

+ (16/81»3/2

- (1

ds = vD/30 ~ 0.1202

17

ds = yT7(0.1) ~ 0.412, d(A,E) =

yO. 178 1 ~ 0.422

19 8.61

l\47

RESPUESTAS Ejercicios 6.8, pdgllUl 319

1 3 5 7

(a) $49.54 (b) $96.30 (c) $137.50 (d) $170.37 10 3 / 5 años::::: 3.98 años::::: 4 años (redondeado al mes más cercano) (a) 9«601)2/3 - 1) R:< 632 min (b) 9((301)2/3 - 1) R:< 395 min Minutos: (a) 18.16 (b) 66.22 (el 115.24 (dl 197.12

EJercklos de re¡HlSo 6.9, .p6g1fU1 320

1 64/3

3

5V5/6

5

1077

)'

7

3",/5

y

x

9 (a) 1152",/5 (b) 54", (c) 1728",/5 11 (373/2 - 103/ 2)/27 ~ 7.16 13 4320n kg-m 15 1500 kg 17 nl5 19 Hay dos posibilidades. Se podría obtener el sólido girando alrededor del eje x la región bajo y = x 2 entre x = O Y x = l. También se puede obtener el sólido girando alrededor del eje y la región bajo y = ix 3 de x=Oax=1.

CAPITULO 7 Ejercicios 7.2, pdgllUl 331

1 5 9 13 17

V(O,O); F(O, -3); y = 3 3 V(O,O); F(-3/8,0); x = 3/8

V(O,O); F(O, 1/32); y = -1/32 7 V(-I,O); F(2,0); x =-4

V(2, -2); F(2, -7/4); y = -9/4 11 V(-4,2); F(-7/2,2); x = -9/2

V(-5,-6); F(-5,-97/16);y = -95/16 15 V(O, 1/2); F(0,-9/2);y = 11/2 Igualando y' = 2ax + b a cero. se obtiene la abscisa del vértice x = -bI2a. Sea x = ay2 + by igualar x' = 2ay + b = O, se obtiene - bl2a como la ordenada del vértice. 19 y2 = 8x 21 (x - 6)2 = 12(y - 1) 23)x2 = -4y 25 16.875 cm del vértice 31 (a) 8/3 (b) 2", (c) 16TT/5 33 200/3 libras 27 y = 2x 2 - 3x + 1

+

Ejercicios 7,3, pdgllUl 3J7 1 V(±3,O); F(±V5,O) 3 V(O,±4); F(O,±2V3) 5 V(O,±V5); F(O,±V3) 2 7 V(±1/2.0); F(±V2I/IO,O) 9 x /64 + i/39 = 1 11 4x 2/9 + i/25 = 1 2 13 8x /81+y2/ 36= 1 15 {(2,2),(4,1)} 172J3metros 19 y-3=(5/6)(x+2) 21 (±V3,3/2) 23 (4/3)TTab 2 25 (a) 864 (b) 216V3 27 2a/Ví Y 2b/Ví

Ejercicios 7.4, página 343 1 V(±3,0), F(±Jf3,O),y

= ±2x/3

3 V(O, ±3), F(O, ±Jf3), Y = ±3x/2

7 V(±I,O), F(±V2,O), y = ±x

±(V5/5)x 11 V(O,±V3), F(O,±2),y = ±V3x

5 V(O, ±4), F(O, ±2V5), y = ±2x 9 13 15 21 25 27

V(±5,O), F(±JjO,O), y = 15y 2 - x 2 = 15 x 2/9 - y2/ 16 = 1 17 y2/21 - x 2/4 = 1 19 x 2/9 - i/36 = 1 {(O, 4), (8/3,20/3)} 23 Las hipérbolas conjugadas tienen las mismas asíntotas. (y - I) = (-4/5)(x + 2) (±2V2, -6) 29 5x - 6y - 16 = O 31 "'b 2[y0 2 + b 2 (b 2 - 20 2) + 20 3 ]/30 2

c. Al

A48

RESPUESTAS

Ejercicios 7.5, ptígl1UJ 348 1 Parábola; vértice (- 1, 5), foco (1, 5)

3 Elipse; centro (4,2), vértices (1,2) Y (7, 2), puntos extremos del eje menor (4, 4) Y (4, O)

5 Hipérbola; centro (- 5, 1), vértices (-9, 1) Y (- 1, 1), puntos extremos del eje conjugado (- 5, 6) Y

(-5, -4) 7 Elipse; centro (- 5,3), vértices (- 5,2) Y (- 5,4), puntos extremos del eje menor (-11/2,3) Y (-9/2,3) 9 Hipérbola; centro ( - 3, 1), vértices ( - 7, 1) Y(1, 1), puntos extremos del eje conjugado ( - 5, O) Y (15, O) Elipse; centro ( - 3, 1), vértil:es ( - 7, 1) Y (1, 1), puntos extremos del eje menor ( - 3, 4) Y ( - 3, - 2)

Elipse; centro (5,2), vértices (5, 7) Y (5, - 3), puntos extremos del eje menor (3, 2) Y (7, 2)

Parábola; vértice (-!, -25/16), foco (-í, 7/16)

Hipérbola; centro ( - 2, - 5), vértices (- 2, - 2) Y ( - 2, - 8), puntos extremos del eje conjugado (4, - 5) Y

11 13 15 17

(-8, -5)

19 Hipérbola; centro (6, 2), vértices (6, 4) Y (6, O), puntos extremos del eje conjugado (O, 2) Y (12, 2)

21

23

y

25

y

y

(l, 6)

11, -4) (-2, -1)

29 8 x - y - 26 = O

Ejercicios 7.6, página 353 Las respuestas siguientes contienen ecuaciones en x' y y' que son el resultado de una rotación de ejes. 1 Elipse, (x')" + 16(y')2 = 16 3 Hipérbola,4(x')2 - (y')" = I 5 Elipse, (x')" + 9(y')" = 9 7 Parábola, (y')" = 4(x' - 1) 9 Hipérbola,2(x')2 - (y')" - 4y' - 3 = O 11 Parábola, (x')" - 6x' - 6y' + 9 = O 13 Elipse, (X')2 + 4(y')2 - 4x' = O 15 Esquema de demostración: Se puede mostrar que en (7.28) y (7.29), B" - 4AC = (B')2 - 4A'C. Para una rotación de ejes apropiada se obtiene B' = OY(7.29) tiene la forma A'(X')2 + C(y')" + D'x' + E'y' + F' = O. Excepto en los casos degenerados, la gráfica de la ecuación anterior es una elipse, una hipérbola o

una parábola dependiendo de si A'e > O, A'C < O o A'[" = O. respectivamente. Pero, si B' = O, entonces B 2 - 4A C = - 4A' C y en este caso la gráfica es una elipse, una hipérbola o una parábola si B" - 4AC < O, B" - 4AC > O, o B 2 - 4AC = O. respectivamente.

Ejercicios de repaso 7.7, ptígi1UJ 353 Parábola; F(l6, O); VeO, O) 3 Elipse; F(O. ±.j7); VeO. ±4) 5 Hipérbola; F(±2~2. O); V(±2, O) Parábola; F(O, -9/4); V(0.4) 9 Hipérbola: vértices (- 5,5) Y (- 3,5); focos (-4 ± J10/3, 5) 9y" - 49x" = 441 13 x 2 = -40y 15 4x 2 + 3y" = 300 17 y2 - 81x 2 = 36

Elipse; centro ( - 3, 2). vértices ( -6, 2) Y(O, 2), puntos extremos del eje menor ( - 3, O) Y( - 3.4)

21 Parábola; vértice (2, -4), foco (4, -4)

23 Hipérbola: centro (- 4, O), vértices ( - 7, O) Y( - 1, O). asíntotas y = ± (x + 4)/3

1 7 11 19

25 2

±

2"2

27 64n/3

29 Parábola; (y')2 - 3x'

=

Oes una ecuación de la parábola después de una rotación de ejes apropiada.

RESPUESTAS

A49

CAPITULO 8 Ej.rclcios 8.1. páglfUl 362

9/(9x + 4) 3 -15/(2 - 3x) 5 -3x 2/(7 - 2x 3)

7 (6x - 2)/(3x 2 - 2x + 1) 9 (8x + 7)/3(4x 2 + 7x) 13

~(I

15 _!(_1_2 + 1) 17 x (1n x) 21 2x 2x 3(x 2 - 1) 3(x 2 + 1)

+ _1_)

2x y1DX 19 _x 1_8_ x 2 + 1 9x - 4

5

2~

x

23

1 + In x

11

7 + 2 6+ 3

x

1

y.;r=I

25

2 (2x - I)y x(3y + l)

27 (y2 - xy Iny)/(x 2 - xy In x) 29 y = 8x - 15 31 Las gráficas coinciden para x > O; sin embargo, la gráfica de y = In(x 2 ) contiene puntos con abscisas negativas. 33 (1, 1), (2, 4 + 41n 2) 35 0.6982 37 v(t) = 21 - 4/(1 + 1); a(l) = 2 + 4/(1 + 1)2. Se mueve a la izquierda en [0,

IJ ya la derecha en [1, 4]. 39 1,1/5,1/10,1(100,1/1000; la pendiente tiende a cero; la pendiente crece sin cota alguna. Ejeclclos 8.2. página 369

-5e- h

6xe 3x2

7 evx+J /(2y'x+1)

5 eh/~ X 2 x

11 e (x + 1) - 2xe 13 12(e4x _ 5)2 e4x 9 (x 2 + 1)2 (eX + e- x )2 - (eX - e- x / 4/( X -x)2 17 2 o e +e (eX + e-X) eX eX e2x _ e- 2x 19 e- 2x 2 In x) 21 - - - - 23 eX + I eX - 1 (eh + e 2x)\!In(e 2x + e 2x) 3x 2 - ye xy 6x - e Y 25 I (porx O) 27 29 xy xe + 6y 3y 2 + xe Y b 31 y = (e + 3)x - e - I 33 = In «e - eO)/(b 35 (I/2, e) 37 Minimo:f( -1) = -e- I ; decreciente en (- 00, -1), creciente en (-1, oc); concavidad hacia arriba en (- 2, (0), hacia abajo en (- 00, - 2); punto de inflexión en ( - 2, - 2e- 2) 39 No hay ningún extremo local; decreciente en (-00, (0); concavidad hacia arriba en (-00,00); no hay ningún punto de inflexión. 37 39 43 1,2 45 1,2,-2 41 0.03 e ~ 0.082, 2.800 y 3

O-

>

e

a»

x

Ejeciclos 8.3. páglfUl 376

1 7 13 19 27

(1/2)ln(x 2 + 1) + C 3 (1/3)lnlx 3 + II+c 9 (1/2)x 2 + (1/5)e5x + C 2e + C 21 eX + 2x x 2 +x-4Inlx-3i+C

vx

fJ

(-1/5)lnI7 - 5xl + C 5 (l/2)lnlx 2 - 4x + 91 + C (1/2)(1n9-ln3),o Inv/3 11 4(ln6-ln5),o 4In(6/5) 15 (1/2)(10 x)2 + C 17 (-1/4)(e- 12 - e- 4 ) - e-x + C 23 In(e X + e-X) + C 25 -I/(x + 1) + C 29 4 31 In2+e- 2 -e- 1 ~0.46 33 n(1-e- l )

35 (1 - e-6 )/3 37 (a) ~ dx (b) Si j(x) = ~, entonces L ~ (1/1O)[j(O) + 2j(0.2) + 21(0.4) + 2j(0.6) + 2j(0.8) + j{l)] (c) L ~ 2.0096

A50

RESPUESTAS

39 (5x + 2)2(6x + 1)(150x + 39)

41

(l9x 2 + 20x - 3)(x 2 + 3)4 2(x + 1)3/2

2 8 12 J)~ 2 4 43 [ 3(2x + 1) + (4x _ 1) + (h + 5) Vd + I (4x - 1) (3x + 5) 2

45 [3): 2 + 2(6}_ 7)JV(3x + 2)y'6x - 7

47

49

-2/(3 - 2x)

Ejercicios 8.4, página 384

7'1n 7

3 8

7 53x - 4 3 In 5

x1

+

9

5 (4x 3 + 6x)/ln IO(x 4 + h

1

(2x In 8) 2

-(x +

15

O~ol/xln

10 + 2xlOl/x x

(_6_ - _2_)/ln 5 6x + 4 2x - 3

13

30x (h 2 + 2)ln 10

21

(x + I>'(x: I + In(x + O) X

27 (l/In 2)ln(2 + 1) + C 33 In 10 In IloglOxl+C

29 35

2

+ 1)

3

2x (ln 7)7..[7+9

11

vx + 4

17

9

I/(x In xln 10)

19 ex e - I + e·t l

23 (1/(3 In JO»10 3X + C 25 (-1/(2 In 3))3-x + C 5- 2 _ 5-4 2 x1 2 In 5 31 3 In 2 + C

l/In 2 - 1/2

l

37 Tangente: y - 3 = 3(1 + In 3)(x - 1); nonnal: y - 3 = -(3(1 + In 3)r (x - 1)

41 Las gráficas son simétricas respecto a la recta.r = x.

y- 10'"

Ejercicios 8.5, página 390 1 q(l) = 5000(~)'/lO; 45000; 10 In lO/In 3 ::: 21 horas 3 p = (28/29)4(140)

5 En abril del año 2090 7 5 In 9.5/1n 3.8 ::: 8.43 minutos

9 Tenemos que determinar i tal que en I = 0, Ri + L(di/dl) = y i = 1. Procediendo de una manera

parecida a la solución del ejemplo 3, obtenemos (l//) di = (- R/L) dI; In i = (- R/L)I + C y

i = 1'('1'1- R 1.\1. Como i = / en I = 0, i = /1' - R,:L

11 Escribimos P(l + r/m)m, = P«l + r/m)m l ')". Sea h = r/m. Entonces h -+ cuando 111 -+ X y por lo tanto

°

°

Iim P((l + r/m)m/,)" = tim P((l + h)l/ h )" = Pe". h-O

m-oc

17 (a)-ln2/IOO(b)-ln2/1000(c)-ln2/c

19 $14,310.84

Ejercicios 8.6, página 396 1 (x 2

7 11 13 15

17

3)/2, [j5, 5]; x 5 l/x, (O, x); -1/x 2 2 -In (O. 1]; -1/2x -Inx 9 In(x + + 4) - In2: ii-L l/~ Jes creciente ya quef'(x) = 5x 4 + 9x 2 + 2 ~ 2 > O. La pendiente es 1/16. J es creciente porque f'(x) = 4e 2x/(e 2 ., + 1)2 > O. La pendiente es l. ComoJes decreciente en (- ce, O] y creciente en [O, x), no tiene función inversa. Si restringimos el dominio deja un subconjunto de uno de estos intervalos, entoncesftendrá U.1a inversa. fes creciente en (- x, O] y decreciente en [O, a:.). Si restringimos el dominio a un subconjunto de uno de estos intervalos, entonces[- 1 existe. -

x,

Jx

RESPUESTAS

Ejercicios de repaso 8.7, pági1lQ 396 1 -2(1 + Inll - 2xl) 3 12/(3x + 2) + 3/(6x - 5) - 8/(8x - 7)

-4x/(2x 2 + 3)[ln(2x 2 + 3)J2 7 2x 9 (In 10)IO X log x + JOx/x In 10

X1 (l/x)(2 In _\')x 1nx 13 2x(l - x 2 )e l 15 2- 1/
5 11 17 25 31 37

47 (a) r(x) > O, y por lo tanto/es creciente (b) In(J~ - 1), ~JX(jX - 1) (c)

Y.r

existe y tiene dominio [4, ~).

I

4,1

49 La cantidad disuelta en cualquier tiempo (1 horas) despues de la 1:00 P.M. es 10(1 - 2 -'/3). (a) 2.21 horas (aproximadamente 6:14 P.M.) (b) 10(1 - 2 -7/3) ~ 8.016 kg

CAPITULO

9

Ejercicios 9./, página 403 1 1

3 O

5 2

7 I

9 O

11 3/7

131

15 No existe

17 No existe

19 No existe

Ejercicios 9.1, página 4// 3 8 eos(8x + 3) 5 (1/2.¡x=1) sel: (y!X=l) lan (y!X=l) 7 -(3x 2 - 2)ese 2(x 3 - 2x) 2 9 -6x sen 3x 11 -6 eos 3x sen 3x 13 -5x 2 ese 5x eot 5x + 2x ese 5x

3 3 5

15 3 tan x see x + 2 tan x see x 17 5(sen 5x - eos 5x)4(5 cos 5x + 5 sen 5x) -4(1 - sen4x)sen4x + 4 eos 24x 4 2 2 19 -9 eot (3x + l)ese (3x + 1) 21 2 'o 1 4 (1 - sen4x) - sen x Jx 2 -ese x eot x - ese 2x 25 e- see 0 3 -h _ r: 2 tan 2x 27 In see 2x 23 ese x + cot x ' o -ese x 20 - e tan V x 29 6 tan 2 2x see 22x - 6 tan 2x see 3 2x 31 -3 ese 3x{(x 3 + I)cot 3x + x 2 J1(x 3 + 1)2 33 x'cnx leos x In x + (I/x)sen xJ 35 y' = 6 see 23x tan 3x,y" = 18 see 4 3x + 36 see 23x tan 2 3x 4 , sec 2 x " 2 I sec x 37 y' = x sen x, y" = x cos x + sen x 39 y = 2vftiIlX ,y = see xy'tan x - 4 _~3 tan x vtan x 41 scny/(I -- x cosy) 43 (eXeosy - eY)/(exseny + xe Y ) 45 Máx: f('I7"/6) = f('I7"/6 + 2'17") = 30/2; mín: f(5'17"/6) = f(5'17"/6 + 2'17") = -30/2 47 Máx:f('I7"/4) = -e- 1t/ 4/V2 "'" 0.32,f('I7"/4 + 2'17") = e-'hr/4/V2 ~ 6 X 10- 4; min: f(5'17"/4)

45

y

=

-e -S1t/4/V2 "'" -0.OI4,f(5-n-/4 + 2'17") 47

=

e-3.251t/V2

~ -3 X 10-5

y

-,

49 Tangenle: y - 1 = 30(x - '17"/6}, normal: y - I = (-1/30Hx - '17"/6) 51 ± rrj30 m 53 200n/9 111, seg 55 S'(/) = - 6 sen 2/, S"(/) = - 12 eos 2/. El punlo oscila entre 3 y - 3, completando un ciclo cada n unidades de tiempo. 57 2n(l 2/3)

A5!

1

A52

RESPUESTAS

Ejucklos 9.J, pd,JNI 417

1 (-1/4)eos 4x + e 3 (1/3)see 3x + e 5 (I/3)(Inlsee 3xl + Inlsee 3x + tan 3xl) + 7 (I/2)lnlsee 2x + tan 2xl + e 9 (-1/2)cot(x 2 + 1) + e 11 (I/6)sen6x + e 13 (I/2)tan 2 x]ó/4

17 (1/2)sen 2 xC/6 23 eX + sen eX + 31

In(~~

= =

e

15 (I/2)(lnjsee 2x + tan 2xl- sen 2x) +

1/2 -1/8

25

19

_e

Inlx + eos xl +

cosx

+

e

e

21

:) = In(3 + 2y'1) = 2 In (1 +

0)

e

tan x + see x~1

27 (1/2)lnI2 tan x + 1I +

e

e

=

0 -

y'2 + 1

29 2

33 217"\!3

39 (a) L = 50/2 + cos 2xdx (b) Si f(x) = VI + eos 2x. entonces L ~ ('IT/24)(j(O) + 41('IT/8) + 2f('IT/4) + 41(3'IT/8) + f('IT/2)] (e) L ~ 1.91

vII

Ejercicios 9.4,

J'áIiM 411

1 (a) 'IT/3 (b) -'lT/3 3 (a) 'IT/4 (b) 3'IT/4 5 (a) 'IT/3 (b) -'lT/3 11 'IT - V5 13 O 15 Indefinido 17 -24/25 19 x/fi2+1 31 eot - l,X = y si y sólo si eot y = x, donde O < y < n. Ejercklos 9.5, pd,ÚIII 417 3

1

7 1/2 9 4/5 21~/2

-e- x

- e-x aresee e-x

9x - 30x + 26 2yx y¡=x e 2x - 1

2x 3 9 _9(1 +eos-13x)2 11 2x 7 - - 4 + 2x are tan x 2 4 2 I+x VI - 9x (1 + x )aretan x 2 13 -1 15 x 17 1 - 2x aTetan x (sen-1x)\/I=-? (x 2 - I)vx 2 - 2 (x 2 + li 1 6 19 (1/2yx)see- yx + 1/2yxvx--=I 21 (1 - x )-1/2(3In 3)x23·rcsenxJ 23 (tan x)·rClanX[eot X see 2x aretan x + (In tan x)/(I + x 2 )] 2

3

5

25 (yeX-sen-'Y-2x)/[h-eX]

v..

27 'IT/16

29 'IT/12

vx

31 -aretan(cosx) + e 33 2 aretan + e 35 sen- 1(e x /4) + e 37 (I/6)see- l (x 3/2) + e 39 (1/2)ln(x 2 + 9) + e 41 (1/5)see- l (e x/5) + 45 ± .14/149 radianes 47 dO/dI = - 2500/29 radianes/hora 49 2J13O m 53 Tangente: y - n/6 = (2/13)(x - 3/2), normal: y - n/6 = (- 13/2)(x - 3/2) 55 Concavidad hacia arriba en (- 00, O); concavidad hacia abajo en (O, 00) 57 (ne 2 /2) - (n 2 /4) - (n/2) ::::: 7.57 59 2n/27 km/seg

e

43 4'IT/3

Ej.,.cklos 9.6, páfÚUl4J5

2 155 cosh 5x 17 (l12v'X) (yx sech yx + tanh vX>

2 2 19 - 2x seeh x [(Xl + 1) tanh x + IJI (x 2 + 1)2 21 3 x 2 senh x 3

23 3 eosh2x senh x h 2 25 2 eoth 2x 27 -eh seeh x tanh x + 3e seeh x 29 -seeh x/(tanh x + 1)2 y(e x - eosh xy) 31 33 2 cosh yx + e 35 Inlsenh xl + e (x eosh xy - eX) 37 (I/2)senh 2x + C(o (I/2)cosh2 x + e, o (1/4)senh 2x + e) 39 (-1/3)sech 3x + e

41 (I/9)tanh 3 3x + e 43 (-1/2)lnll - 2 tanh xl + e 47 (ln(2 + 0).0). (ln(2 - 0).-0) 51 )'

45

(-r

+ cosh 3)/3

i\53

RESPUESTAS Ejercicios 9. 7, página 439

7

9

y

y

,, , ,, "

X

,,

11 5/y25x 2 + 1

13

15 2x/(2x 2 - x 4 ) 19 4/(YI6x 2 - 1 cosh-14x) 21 (1/3)senh- I (3/5)x + cosh-1ex/4 + e 27 (-1/6)sech -1(x ' /3) + e

1/(2yxyx=I)

17 -lxi/xP+! + senh-' (l/x) 23 (J/14)lanh- I (2/7)x + e 25

Ejercicios de repaso 9.8, página 439 I -(6x + I)sen Y3x 2 + x/2V'h-:2;-+~x 5 7 9 13 17 23

29 33 37

e

3 5(sec x + tan x)\sec x lan x + sec 2x) 2 2x arcsec x + 2x/~ [12(h + 7)3 sen - 15x - 5(3x + 7)4(1 - 25x 2)-1/2]/(sen- 15x)2 (cos xr+1[ln cos x - (x + J)tan x] 11 (2x - 2 sech 4x tanh 4x)/y2x 2 + sech 4x -6 col 2x 15 -(2 + 2 sec 2x tan x)/(2x + sec 2x)2 -sen xecO$x - e senx(cos x)~-I 19 -5e- 5x senh e- 5x 21 O/3)x- 2/ 3

2 2x 2 2x h 2arClln2x(2ln 2)/(1 + 4x ) 25 _6e- sen e- cos e27 -2xe- X2 (csc 2x 2 + col x 2)

2 [-(COl x + J)csc x col x + csc x(csc x + 1)]{(COI x + 1)2 31 - x/yx 2(1 - x 2)

2 2 3 sec (sen 3x)cos 3x 35 4(tan x + tan - x)3[sec x + 1/(1 + x 2)]

2 I/{I + x )!1 + (tan-1xi] 39 -e-X(e-Xcosh e-x + senh e-X)

41 (cosh x - senh x)-2, o e2x 43 2x/~ 45 (J/5)cos(3 - 5x) + e

47 2 tan Vi + e 49 {I/9)lnlsen 9xl + (1/9)lnlcsc 9x - col 9xl + e

51 -Inlcos e X¡ + e 53 -(1/3)col 3x + (2/3)lnlcsc h - col 3xl + x + e 55 (1/4) sen 4x + e 57 (J/18)ln(4 + 9x 2 ) + e 59 -~ + e 61 (1/2)senh x 2 + e 63 .,,/3 65 (1/3)(1 + tan x)3 + e 67 -ln12 + col xl + 69 cosh(Jn x) + e 71 (J/2)sen- 1(2x/3) + e 73 -(1/3)sech- I I2x/31 + e 75 (J/25)Y25x 2 + 36 + e 77 Máx: j(.,,/2) = j(5.,,/2) = 3 y j(3.,,/2) =1(7.,,/2) = -1; mín:j(7.,,/6) =j{I97r/6) =j{Il.,,/6) =j(23.,,/6) = -3/2; tangente:

y - (1/2) = 2V3(x - .,,/6); normal: y - (J/2) = (-1/2y'j)(x - .,,/6)

77 y

x

79 (4/15,sen- I (4/5», (-4/15,sen- I (-4/5) 81." 83 (.,,/4) - 0.01{1 +.,,) 85 Concavidad hacia arriba en (- 1, 1) 87 - 1/2)3 radjseg (o - )3/6 rad/seg)

CAPITULO 10 Ejercicios 10.1, págilul #7

1 -(x + l)e-x + e 3 e 3x [(x 2/3) - (2x/9) + (2/27)] + e

5 (1/2S)cos Sx + (1/5)x sen 5x + e 7 x sec x -lnlsec x + tan xl +

e

e

1\54

RESPUESTAS

9 (x 2 - 2)sen x + 2x cos x + C 11 x tan- I x - (1/2) In (1 + x 2) + C 13 (2/9)x 3/ 2(3 In x - 2) + C 15 -x cot x + Inlsen xl + C 17 -!e-X(cos x + sen x) + C 19 cos x(1 - In cos x) + C 21 !(sec x tan x + Inlsec x + tan xl) + C 25 17/4 27 (l/40400)(2x + 3)I()o(200x - 3) + C 23 (1/3)(2 - 0 ) 4x 31 x(ln x)2 - 2x In x + 2x + C 29 (e /41)(4 sen 5x - 5 cos 5x) + C 3 35 2 cos 0 + 20 sen 0 + C 33 x cosh x - 3x 2senh x + 6x cosh x - 6 senh x + C 37 x cos-~x - 'v~ + C 43 eX(x s - 5x 4 + 20x 3 - 6Ox 2 + 120x - 120) + C 45 217 47 (17/2)(e 2 + 1) 49 (62.517)/4 = 12517/8

Ejercicios 10.2, PÓlilUl 452 1 sen x - (Ij3)sen 3x + C 3 (Ij8)x - (I/32)sen 4x + C

S

3 5 (I/5)cos x - (1/3)cos x + C 7 (1/8)(~x - 2 sen 2x + sen 4x + ~ sen32x) + C 9 tan 4 x + ~ tan 6 x + C I I ! sec s x - ! sec 3x + C 13 !tan Sx-!tan 3x+tanx-x+C 15 ~sen3/2x-'sen7/2x+C 17 tan x - cot x + C 19 2/3 - 5/60 21! sen 2x - ~ sen 8x + C 23 3/5 25 (-1/5)cot S x-(1/7)cot 7 x+C 27 -lni2-senxi+C 29 -1/(1 + tan x) + C 31 17 2/2 33 5/2 m

i

!

Ejercicios 10.3, PÓlilUl 458

2sen-l(x/2)-!x~+C

7 13

-~ +

C

3

!lnlV9+?-3\+c

-x/~ +

9

C

~ sen- I (2x/3) + (x/2)V9 - 4x 2 + C

11 15

4~2(tan-l~

1/{2(16 - x 2

17 (I/243)(9x 2 + 49)3/2 - (49/81)(9x 2 + 49)1/ 2 + C 21 (1/2)x 2 + 81nlxl- 8x- 2 + C 31 0 + (1/2)ln(2 + 0) ~ 2.96

35 j{x)

= ~-

4

5 Vx2-25/25x+C

6 + 36 : x 2 ) + C

»+ C

19 {3 + 2x2}\/;r-~/27x3 + C

29 25TT(0 - In{0 + 1» ~ 41.849 33 17ab

tan-l(~/4)

37 -V25 + x 2/25x + C

39

-~/x + C

Ejercicios 10.4, pógilUl 464 3

1 31nlxl + 21nlx - 41 + C, o Inlxl {x - 4)2 + C (x + 1)4¡x _ 3\

3 4lnlx+ li-5Inlx-21+ Inlx-31+c,0 In Ix-2I S +C

5 61nlx - I1 + 5/(x - 1) + C

7

3

31nlx - 2[ - 21nlx + 41 + C, o In Ix - 21 + C

(x + 4)2

2

9 21nlxl-Inlx-2i+4Inix+21+C,0 In

x (x + 2)4 Ix-2i

+C

I Ix + liS I 11 51nlx+II----31nlx-51+c,o L n - -3 - - - + C x + I Ix _ 51 x + 1 13 5ln/xl -

~

x

+

~

2x 2

- _1_3 + 41nlx + 31 + C

3x

1 7 3

15 61n1x - 31 - 2(x _ 3) + (5/6)lnlx + 31 - 2(x + 3) + C

17 31nlx + 51 + In(x 2 + 4) + (l/2)tan- l (x/2) + C, o (n(x 2 + 4)lx + 5\3 + (1/2)tan- l {x/2) + C 19 In

f!H

2+ 1

-2--

x + 4

2

+! tan- l {x/2) + C

21

In(x 2 + 1) - 4/(x 2 + 1) + C

23 (x /2) + x + 21nlxl + 21nlx - I1 + C, o (x 2 + 2x)/2 + ln{x 2 - x)2 + C 3 25 (x /3) - 9x - (1/9x) - (I/2)ln{x 2 + 9) + (728/27)tan- 1(x/3) + C

A55

RESPUESTAS

27 21nlx + 41 + 6(x + 4)-1 - 5(x - 3)-1 + + Inlx - 11 + x 2 + e

31 (3/2)ln(x 2 + 1)

e

29 21nlx - 41 + 21nlx + I1 - (3/2)(x + 1)-2 + 39 (17/27)(4 In 2 + 3) ~ 0.672

37 (J/2)ln 3

Ej.rcklos 10.5, J1d6ÚUl468

+e 3 sen-1(x - 2)/2 + e

2 l 5 -2Y9 - 8x - x - 5sen- (x + 4)/5 + e

7 (lj3)lnlx - 11- (lj6)ln(x 2 + x + 1) - (lj0)tan- 1(2x + 1)/0 + 9 (Ij2)[tan- l (x + 2) + (x + 2)/(x 2 + 4x + 5)] + e 1 (Ij2)tan- l (x - 2)/2

+ 3)/4yx 2 + 6x + 13 + e 15 (lj3)ln 2 + 217/60 ~ 0.8356

e

(2/3yt)tan- I (4x - 3)/3yt + e 17 17 In(1.8) + (217/3)(tan- 1j - 17/4) ~ 0.8755

11 (x

13

Ejercicios 10.6, J1d611Ul 471

+ 9)7/3 - (27/4)(x + 9)4/3 + e 3 (5/81)(3x + 2)9/5 - (5/18)(3x + 2)
1 (3/7)(x

9

~

tan-

IyX ~

2 +

e

11

e + e x )3/2 + e

(5/9)(x + 4)4/5(x - 5) +

l3 (2/7)(1 + e x )7/2 - (4/5)(1 + e x )5/2 + (2/3)(1

15 eX - 4 In(e X + 4) + e 17 2 sen y'x+4 - 2y'x+4 cos y'x+4 19 -lj4(x - 1)4 - lj5(x - 1)5 + e, o (1 - 5x)/20(x - 1)5 + e

21

-.2... tan- I (2

o

tan(x/2) + 1) + 0

Ejercklos 10.7, J1d6ÚUl 473 2 + y4 + 1 y4 + 9x 2 - 2 In 3x 1

e

23

Inll + tan (x/2)1 +

e

+

e

I

25! In Itan(x/2) + 2 + 5 2 tan(x/2) - 1

9x21 + e

3 -(x/8)(2x 2 - 80)~ + 96 sen- l (x/4) + e

5 -(2/135)(9x + 4)(2 - 3x)3/2 + e

7 (-ljI8)sen 53x cos 3x - (5/72)sen 33x cos 3x - (5/48)sen 3x cos 3x + 5x/16 + 9 (-I/3)cot x csc 2x - (2/3)cot x + e 11 (lj2)x 2 sen- 1x + (Ij4)x~ - (Ij4)sen- 1x + e 13 (Ij13)e- 3x (-3 sen 2x - 2 cos 2x) + e 15 V5x - 9x 2 + (5/6)cos-I(5 - 18x)/5 + e 17 4Jr-s In

I~;~: ~ 1+ e

e

19

(Ij4)(2e

2x

-

l)cos-1e

x

-

e

(lj4)eX~ +e

Ej.rcklos 10.8, J1d611Ul 482 I -27, -46, x = -23/7, Y x = 4/5, Y = 2/7

3

y

= -27/14

5 x = 17/2, Y = 17/8

7

x = -lj2,y = -3/5

y

e

e

A56 9

RESPUESTAS

x=

l/In 2,)' = tan- I (3/4)/81n 2

11

x = (3e- 2 )' = (1 -

1)/2(1 - e- 2). - e- 2 )

e- 4 )/4(1

J.'

I

X

15 x = O,.y = 4a/3rr. si la región está acotada por el eje x y la mitad superior del círculo con centro en (O. O). 17 .f = O,.y = - 20a/3(8 + rr.). La región está situada verticalmente con el origen (O, O) en el centro del CÍrculo. 19 .f = O, j = 4b/3rr..

Ejercicios 10.9, página 488 1 x= 21n2 3 x= (e 2 + 1)/2(e 2 - 1) 5 .f= 25/48 8 9 Ji = (7e + 1)/8(3e 4 + 1) 11 .Y = 1/(100 In 2) 13 JI 17 (a) 576rr. (b) 288rr. 19 (4a/3rr.,4a/3rr.)

=

7 j= 27/8 3b/8 15 .Y

=

(rr. + 2)/16

Ejercicios de repaso 10.10, página 489 1 (x 2/2)sen- 1x - (1/4)sen- 1x + (x/4)~ + C 3 2 In 2 - I

7 (1/5)sec sx + C 9 x/25Vx2 + 25 + C

5 (l/6)sen 3 2x - (l/1O)sen 52x + C 11 2 In 12 15 In

~ I+ ~ + C

(x+ 3/(x2 + 9)2 + -1 tan _x '- + C 5

13 2 In Ix - 11 - In Ixl -

x 2+ C (x - 1)

_x-2

17 -V4 + 4x - x 2 + 2 sen 1_ _ + C

vIS

Ix - 31 3 3 3 3 3 19 3(x + 8)1/ + In[(x + 8)1/ - 2J2 - In[(x + 8)2/3 + 2(x + 8)1/ + 4J 6 _dx+8)1/3+ 1 C - v'3 tan v'3 +

4

21 (l/13)e 2x (2 sen 3x - 3 cos 3x) + C

27

3 - x2 + !x 3

3x -

~ _!

2x

4

23! sen x -

lnlxl- 23 Inlx + 21 + C 4

t sen6 x +

C

25

-~

+ C

29 2 tan- l (x l/ 2 ) + C

31 Inlsec eX + tan eXj + C 33 rh[lOx sen 5x - (25x 2 - 2)cos 5xJ + C 3 2 35 ~ cos 7/2 x - ~ cos f x + C 37 + e x )3/2 + C 3 2 2 39 (1/16)[2xV4x + 25 - 251n(2x + V4x + 25)] + C (l/3)tan x + C 43 -x csc x + Inlcsc x - cot xl + C 45 -(1/4)(8 - x 3 ) + C 47 2 cos ~ + 2VX sen + C 49 (l/2)e 2x - eX + In(1 + eX) + C 2 5 2 3/2 51 (2/5)x / - (8/3)x + 6 x l/ + C 53 (1/3)(16 - )3/2 - 16(16 - x 2 )1/2 + C 2 55 (1 I/2)lnlx + 51- (l5/2)lnlx + 71 + C 57 x tan- 15x - (l/1O)lnll + 25x 1 + C 59 e1anx+C 61 (I/y3)lnly3x+V7+5x21+C 63 (-1/5)cot 5x - (!/3)cot 3x - cot x - x + C

W

4'1

vx

65 (I/5)(x 2 - 25)5/2 + (25/3)(x 2 - 25)3/2 + C 67 x 3/3 - (1/4)tanh 4x + C 69 (-1/4)x 2e- 4x - (l/8)xe- x - (1/32)e- 4x + C 71 3sen- l (x + 5)/6 + C 73 (-1/7)cos 7x + C 7518Inlx-21-9Inlx-II-5Inlx-31+C 77 xJsen x + 3x 2cos x - 6x sen x - 6 cos x + sen x + C (-l/x)V9 - 4x 2 - 2 sen- I (2x/3) + C 81 24x - (lO/3)lnlsen 3x1 - (1/3)cot 3x + C -In x - 4/\IX + 4 In(1 + \IX) + C 85 -2v'1 + cos x + C -x/2(25 + x 2) + (1/1O)tan- 1(x/5) + C 89 (l/3)sec 3x - sec x + C 2 l In(x + 4) - (3/2)tan- (x/2) + (7/y3)tan- 1 (x/y3) + C 93 (l/4)x 4 - 2x 2 + 41nlxl + C 95 (2/5)x 5/ 2 In x - (4/25)x 5/ 2 + C

79 83 S7 91

A57

RESPUESTAS

'J7 (3/64)(2x + 3)8/3 - (9/20)(2x + 3)5/3 + (27/16)(2x + 3// 3 + e 2 99 (I/2)ex (X 2 - 1) + e 101 217 2 103 In(2 + 0)

105 x = 3/5,y = 12/35 107 x = 8/3 109 Y = (1 - 7e- 6 )/8(1 - 4e- 3 )

CAPITULO 11 Ejercicios JJ.l, páKINl 497

1 15 27 41

1/2 3 1/40 No existe 2/5 29 00 No existe

9 -1/2 11 -1/2 13 1/6 21 1 23 O 25 No existe 39 3/5 35 2 37 No existe 47 No existe 45 No existe

5 3/13 7 O 17 1/3 19 00 31 O 33 00 43 No existe

49 2

Ejercicios 11.1, págIno 501

13 e5 15 10305070 9 1 11 O 19 No existe 21 e 2 23 2 25 O 27 1 29 1 39 1/3

33 No existe 35 e 37 No existe

31

17 1

1/2

Ejercklos JJ. 3, páglNl 506

1 3 3 Diverge 13 Diverge 15 O

5

Diverge 7 1/2 9 - 1/2 11 Diverge Diverge 19 Diverge 21 17 23 In 2 25 (a) No existe (b) 17 27 (a) 1 (b) 17/32 29 (a) n < -1 (b) n -1 31 Hay muchas respuestas posibles; por ejemplo:f(x) = x,f(x) = sen x,f(x) = x 7 + x, etcétera. 33 4 . 10 5 millas/libra 17

Ejerckios 11.4, páK/1Ul 511 I 6 3 Diverge 5 J3 17/2 15 Diverge 25 O 27 (a) 2 (b) ex) Ejercicios JJ.5, páKlNl 511

1 sen x 3

= 1-

Vi =

~ (x _1)

>

Diverge 7 Diverge 9 3{/4 11 Diverge 17 -1/4 19 Diverge 21 Diverge 23 Diverge 29 No se pueden asignar valores ni al área ni al volumen. 31 n > - 1 2

+

s~~ z (x _1)4,

donde z está entre x y n/2.

2 + !(x - 4) - l!,¡(x - 4)2 + sb(x - 4)3 - tlBZ-7/2(x - 4)4, donde z está entre x y 4.

5 tan x = 1 + 2(x -

i) + 2(x - i Y+ ~ (x - ir + 130 (x - ir + gJ~) (x- i 6

4

2

2

t

4

donde z está entre x y n/4 y g(z) = 16 sec z + 88 sec z tan z + 16 sec z tan z.

7 l/x = (-1/2) - (1/4){x + 2) - (Ij8)(x + 2)2 - (Ij16)(x + 2)3 - (Ij32)(x + 2)4

+ 2f,dondezestáentrexy -2.

- (1/64)(x + 2)5 +

z-\x

9 tan

_1

x

=

2 1 1)2 . 4 + 2(x - 1) - 4(x - 1 + 3z - 213( x) - 3 1 , donde z esta entre 1 y x.

3(1 + z )

z z

17

1 1 2 1 3 1 4 ze + 5e 5 11 xe X =-e+2e(x+l) + 3e(x + 1) +8e(x+l) + 120 (x+I),dondezestáentrexy-1. . 13 In(x + 1) = x - !x 2 + !x 3 - !x 4 +

x5

5 t donde z está entre Oy x.

5(z + 1)

x x x x senz 9 • 15 cos x = 1 - 2! + 4! - 6! + 8! - ~ x , donde z esta entre x y O.

2

4

6

8

17 e2x = 1 -ir 2x + 2x 2 + ~x3 + ~x4 + ~x5 + /se 2z x 6, donde z está entre x y O.

1\58

RESPUESTAS

19 I/(x - 1)2 = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x4 + 6x 5 + 7x 6 /(z - 1)8, donde z está entre O y x. 1 + 2z 2 3 5/2 x , donde z está entre Oy x.

21 arcsen x = x +

6(1 - z2) 23 j(x) = 7 - 3x + x 2 - 5x 3 + 2x4

25 0.9998 27 2.0075 31 0.223, error :( 0.0002 29 0.454545, error :( 0.o00ooo5 33 0.8660254, error:( (8.1)(10- 9) 35 5 decimales ya que IR 3 (x)1 ~ 4.2 x 10- 6 37 3 decimales 39 4 decimales EJucicios 11.6, pági1Ul 525

1 1.2599 13 -1,1.35

3 0.5641

15

5

-0.64

1.3315 17 2.71

1.2927

7

9

1.5572

11

±3.34

13

e

Ejucicios de repaso 11.7, pági1Ul 526

1 (1/2)ln2 15 Diverge

58/3

300

17

19

Diverge

27 (a) In cos x = In

0

I~ (sec4 z + 2 sec 2 z tan 2 z)(x

(b) yx=I

O

9

-9/2

11 Diverge

-00

21

e8

23 ",/2

25

Diverge

0 __I_(x _:'l'.) _ ~(x _ ~)2 __4_(x _ :'l'.)3 2

-

7

6

-

~)

4

3

6

90

6

,donde z está entre x y 1[/6.

1 + i(x - 2) - k(x - 2)2 + ~(x - 2)3 - tis(x - 2)4 + ~(z - I)-9/2(x - 2)5,

=

donde z está entre x y 2. 29 0.4651 (con n = 3,IR 3 (x)1 :( 1.6 X 10-6)

31

2.5170

CAPITULO 12 Ejercicios 12.1, pági1Ul 536

1 1/5, 1/4,3/11,2/7; 1/3

3

3/5, -9/11, -29/21, -57/35; -2

5 -5, -5, -5, -5; -5 7 2, 7/3, 25/14, 7/5; O 9 2/y'fO, 2/y'i3, 2/y'T8, 2/5; O 11 3/10, -6/17,9/26, -12/37; O 13 1.1, \.01, 1.001, 1.0001; 1 15 2, O, 2, O; el limite no existe 17 O 19 ",/2 21 No existe 23 O 25 No existe 27 No existe 29 e 31 O 33 1/2 35 Dos de las muchas respuestas posibles son:

a = {2n si 1 < n :( 4 ; n (n - 4)a si n ;;;, 5

an = 2n + (n - I)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(a - 10)/24.

Ejercicios 12.2, pdgi1Ul 544

1 9 19 29

Converge, 4 3 Converge. 0/h/5 + 1) Diverge 11 Converge 13 Converge Diverge 21 Converge 23 Converge

1/2

35

23/99

37

16181/4995

39

5

Converge, 37/99 Diverge 17 Diverge 27 30 metros

15 25

7 Diverge Diverge Diverge

EJucicios 12.3, pdgi1Ul 554

1 Converge

11 Converge 21 Diverge

3

Diverge

13 Converge 23 Diverge

5

Diverge 7 Diverge 9 Diverge 17 Converge 25 Converge 27 Converge

15

Converge 19 Converge 29 Converge

RESPUESTAS

31 Converge 41 Converge

33 43

35 45

Converge Converge

A59

37 Converge 39 Converge

47 Converge si k > 1, diverge si k ~

Diverge Converge

Ejercicios 11.4, pQgiNl 558 3 Converge 5 Diverge 13 0.368 15 0.305 17

1 Converge

11 Converge

7

Converge

316

19

9

Diverge

7

Ejercicios 11.5, pQglNl 564 1 Condicionalmente convergente

7 13 19 27 35

Absolutamente convergente Absolutamente convergente Absolutamente convergente Absolutamente convergente Absolutamente convergente

3 Absolutamente convergente 5 Absolutamente convergente 9 Divergente 11 Absolutamente convergente 15 Condicionalmente convergente 17 Absolutamente convergente 21 Absolutamente convergente 23 Divergente 25 Divergente 29 Absolutamente convergente 31 Divergente 33 Convergente 37 Divergente

Ejercicios 11.6, pQglNl 570

1 [-1, 1) 3 (-2,2) 5 (-1,1] 7 [-1,1) 9 [-1,1] 11 (-6,14)

13Convergentesóloenx=O 15 (-2,2) 17 (-00,00) 19 [17/9,19/9)

21 (-12,4) 23 (O, 2e) 25 (-5/2,7/2] 27, = 3/2 29, = l/e

Ejercicios 11.7, pQgiNl 575

n I

~:=oxn, -1 x l 3 ~~I nx - , -1 x 1 :lO 3n 9 -1-x-2~~2Xn,-I
< < < <

< <

Ejercicios 11.8, pQgiNl 581

~(-lr x 2n 3 ~ ~xn n=O (2n)! n=O n! 00 (-lr3 2n + 1 2n+2 9 n~o (2n + I)! x ,00 11 (_1)"

00

13

15

n~O y'2 (2n +

n (x (-:2I n=O 2

~

21 2 + 20 (x 23

~ + ~(x 6

0

25 -(Ile)

31 0.4864

+

( 7T)2n+1 I)! x - 4

2r

+

~ ~xn+2,

n~O n.

(-lr2 2n - 1 2n (2n!) x, (_I)n ( 7T)2n y'2 (2n)! x - 4

00

+ n~O

n~1

(In 1,0)n x n n=O n.

x -

~ 1 x 2n + 1 n=O (2n + I)! '

7

00

00

00

l +

~

17

n 7(

5

19

00

r

2 en=O n.

~

(x + I)n

i Y+ 23f (x - ir + ...

D+ _2_(x - !i + _8_(x _ !)3

(1/2e) (x

30

90

+ 1)' +

33 0.4484

35

(1/3e) (x

0.1689

+ 1)' +

(1/8e) (x

+ 1)'

271.6487

290.7468

A60

RESPUESTAS

Ejercicios /2.9, p/lKiM566

1 (a) 1 +!x +

J2

(_1)"-1 1 ·3· 5 ~~~~2n - 3) x n , 1

n~2

(b) 1 - !x 3 -

1·3·

\~~?n -

00

3 I - n~1 (-In(n + l)(n + 2)x

n

3)x 3n , 1

00

,

1

5 2+

l· 3 . 5· .. (2n - 1) 2n+\ 1 7 x + ~ ~ 2n n.'(2n + 1) x • n=1

bx + 2 n~2 (-1)"-

t 2 . 5 . S ... (3n

3"Síl n !

- 4) n x •S

9 O.50S

Ejercidos de repaso /2.10, p/lKiM 566

1 15 21 27 35 47

O 3 No existe 5 5 7 Divergente 9 Convergente 11 Divergente l3 Divergente Convergente 17 Divergente 19 Divergente Absolutamente convergente 23 Condicionalmente convergente 25 Absolutamente convergente Convergente 29 Convergente 31 Condicionalmente convergente 33 Convergente Convergente 37 Divergente

~ (_l)n+1 2n-1 ~-(2)'x

n= I n .

51 1+ 'x + 2 n~2 55 2

+x -

4

4

~ (_1)"2 2n 2n+1 ,00 ~(2 ),x ,00 n=O n + 1 . 1 n (_l)n- l ·4· 7 ~~)3n - 5) x , 1 53 e2 n~o (~Ir(x + 2)"

+ ~ n=2

CAPITULO

49

(_l)n-II. 3·5·· ·(2n - 3)(x - 4)" 2 3n - 1n!

57

0.IS9

59

1.002

13

Ejercicios lJ.1, p/I,iNl 595

1 Y

= 2x + 7

3 Y

=x-

y

5 x

2

=i

- 6y + 4

7 y =

y

1/x 2

y

L 13 Y = In x y

15 Y =

l/x y

y

y

x x

x

RESPUESTAS

19

y=~

A61

23 Lisa

21 Lisa por partes

"

25

.Y

el: Parábola x = yZ

C,: la parle de C, (1, 1) Y (1, - 1)

cn:-t.I . .

y

e,:

----·x

' '-+-I

" C,,: la mirad inferior de el

la mitad superior de C,

e>c1uyendo (O, O) .Y

27 (a) P se mueve en dirección opuesta al movimiento de las manecillas del reloj, alrededor del círculo x 2 + y 2 = l de (1, O) a (-1, O). (b) P se mueve en dirección del movimiento de las manecillas del reloj alrededor del círculo x 2 + y2 = l de (O, 1) a (O, -1). (c) P se mueve en dirección del movimiento de las manecillas del reloj alrededor del círculo x 2 + y2 = l de (-1, O) a (1, O). 29 x = (X 2 - XI )1", Y = (Y2 - Y1 )1" + Y., son ecuaciones paramétricas para 1si n es cualquier entero positivo impar.

Ejercicios l3.2, J'ál1Nl 599 l 51/4 7 -2e- 3 9 -~tanl 11 4x-y=49 y - l = m(x - 4) donde m = 1/(12 ± 8y'2) Tangentes horizontales en (16, -16) Y(16, 16); tangente vertical en (O, O). Tangentes verticales en (O, O) Y(-3,1); no hay tangentes horizontales; d 2 y/dx 2 = (1 - 31)/1441 3/2 (1 - 1)3 sen 1/(1 - cos 1); horizontal cuando 1 = (2n + 1)1[; vertical cuando 1 = 2n1[; la pendiente es I cuando 1 = 1[/2 + 2n1[, donde n es un entero.

12 13

15 17 19

3

Ejercicios l3.3, l'árlNl 606 1 3

9

11

5

7

13

15

A62

RESPUESTAS

17

19

21

23

. x

25 r = -3 sec O 27 r = 4 29 r = 6 csc O 31 r 2 = 16 sec 20 33 x 2 2 35 x + y2 - 6y = O 37 x + / = 4 39 / = x 4/(1 - x 2 ) 41 y2/9 - x 2/4 = I 43 x 2 - / = I 45 Y - 2x = 6 47' y2 = I - 2x 33 y 35 37 y 39

47

45

43

5

=

t

-e;

Ejercicios 13.4, página 612 1 Elipse; vértices (3/2, 7(/2) Y (3,37(/2): focos en (O, O) Y (3/2.37(/2)

3 Hipérbola; vértices ( - 3, O) Y (3/2. n); focos en (O. O) Y(- 9/2, O)

5 Parábola; vértice (3/4, O); foco (O, O)

7 Elipse; vértices ( -4, O) Y( - 4/3, 7(); focos (O. O) Y(- 8/3, O)

9 Hipérbola (con excepción de los puntos (± 3, O); vértices (6/5, n/2) y ( - 6, 37(/2). focos (O. O) Y

( - 36/5. 37(/2) 11 17 23 31 35

9x 2 + 8y 2 + 12y - 36 = O 13 / - 8x 2 - 36x - 36 = O 15 4y 2 = 9 - l2x 2 3x + 4/ + 8x - 16 = O 19 4x 2 - 5/ + 36y - 36 = O, Y i' O 21 r = 2/(3 + cos O) r = 12/(1 - 4 sen O) 25 r = 5/(1 + cos O) 27 r = 8/(1 + sen O) r = 2/(1 + cos O), e = 1, r = 2 see O 33 r = 4/(1 + 2 senO), e = 2, r = 2 ese O r = 2/(3 + cos O), e = 1/3, r = 2 see O

Ejercicios 13.5, página 617 1 17 3 3-TT/2 15 2-rr + 90/2

5 17/2 7 3317/2 17 40 - 4'11/3 19

21 1I sen -1 (1/4) + 377/4 - y'T5/4

23

9 (e" - 1)/4 517/24 - 0/4

4/0

25

11

8

64Ví/3

Ejercicios 11.6, página 621 1 r,[34J / 2 -125) 3 Ví(e 1r/ 2 -1) 11 2 13 1Oy'16 + 210(5 + y'16) 19 Ví - 0/2 + In(2 + 0 ) - 10(1 +

51n12+01 15 17 2/8

Ví)

7 483/32

RESPUESTAS Ejercicios 13.7. págilUl 615

1 (87T/3)(17 3/2 - 1) 3 117T/9 5 (7T/27)(145 3/ 2 - 103/ 2 ) 9 5367T/5 JI 2...ji7T(2e'1t + 1)/5 13 1287T(2...ji - 1)/3 15 7r{20 + In(2 + 0) - ...ji - In(1 + ...ji)] 19 %2 a 2 21 IÜ7T 25 %2 ab 7 64lto J /3

I287T/5

17

Ejercicios de repaso 13.8. págilUl 616

1 Y = 2(x - 1) - tj(x - 1),3

3 Y =

e-x!,

-2e- 1

5

ló'

(b)

7 (x 2 + y2)3/2 9

(x 2

=

+ y2)2 +

,dI

6(x2 _ y2) 8xy = O

11

3x ­

y

2y = 6 y

y

x

x

15 x 2 + y2

= 2(yx 2 + y2 + x)

17 x 2 + y2 = I

19

8x 2

21 r = 2 cos () sec 28 27 (7T/2}tsenh 2 + 2)

+. 9y 2 +

16x - 64 = O y

y

23 29

2 25...ji + In (1 + ...ji) «2...ji7T)/5)(e 2 (2 cos I + sen 1) - 2]

CAPITULO 14 Ejercicios 14.1, página 638 11 (3,1), (1,-7), (13,8), (3,-32)

13

15 4i - 3j, -2i + 7j, 19i - 17j, -11i + 33j 19 -3i+2j,3i+2j,-15i+8j,15i+8j

(-15,6), (1,-2), (-68,28), (12,-12) 17 -2i -- 5j, -6i + 7j, -6i - 26j, -26i + 34j 21 (4,7) 21 (-6,0) 25 (9,-3)

33 5 35 V4f 37 18 39 (a) (-8/17)i + (15/17)j (b) (8/17)i - (15/17)j 41 (a) (2/Vi9,-5/Vi9) (b) (-2/V29,5/Vi9) 43 (a) (-12,6) (b) (-3,1.5) 45 (24/V65)i - (42/V65)j 31 3...ji

1\63

A64

RESPUESTAS

Ejercidos 14.1,

JHi6/M 6#

1 (a)Vffi4 (b)(3,1,-I) 3 (a)y'53 (b)(-I/2,-I,I) 5 (a) 0 (b)(I/2,1/2,I/2)

7 (2, 5, 1), (-4,2, - 3), (-4,5, 1), (2,2, - 3), (-4,5, -3), (2,2, 1)

9 SU1(erencia: Muestre que d(A, B)2 + d(A, C)2 = d(B, C)2; 3J2t2

11 x 2 + y2 + z2 - 6x + 2y - 4z + 5 = O 13 4x 2 + 4;;2 + 4z 2 + 40x - 8z + 103 = O 15 (a) x 2 + + z2 + 4x - 8y + 12z + 52 = O (b) x 2 + + z2 + 4x - 8y + 12z + 40 = O (e) x 2 + + z2 + 4x - 8y + 12z + 20 = O 17 C(-2, 1, -1); 2 19 C(4,0, -4); 4 21 C(O, -2,0); 2 23 6x - 12y + 4z + 13 = O; un plano 25 (a) un plano paralelo al plano xy (b) un plano paralelo al plano xz (e) el plano yz 27 Todo punto interior y todo punto sobre la superficie de una esfera de radio I con centro en el origen. 29 Los puntos dentro de y sobre un paralelepipedo rectangular con centro en el origen y con lados de longitudes 2, 4 Y 6. 31 Todo punto dentro de y sobre un cilindro circular recto de radio 1 y con eje vertical en el eje z, excluyendo los puntos del eje z. 33 Los puntos interiores a la esfera de radio 2 con centro (2, 1, O).

i i

i

Ejercklos 14.3, ¡Hjf/nQ 654 3 5 7 15 27 31 35 39

<1.3.0), <-22,42,9), -25, V41, 3V41, 3V41, <-5,9,2), y'i1O

4i - 2j - 3k, lIi - 28j + 30k, -15, y®, 3y®, 3y®, 2i - 6j + 7k. V89

i+k,5i+9j-4k,-I,yI2,3y12,3y12,i+2j-k,y16 11 3 13 -12

-159 17 -3/V30 19 O 21 -3/034 23 6/13 25 74 eos-I(37/y3081) ~ 48.20° 29 -82/V\26 -2(x - 8) + 4(y + 3) - 12(z - 5) = O. Un plano que pasa por P. 33 -12/0 37 3/10

YI~89

(32,23,6)

41

(a) 2a

=

28i - 30j + 12k (b)

-!a =

-(lt)l + 5j - 2k

43 (a) Si a y b tienen la misma dirección o direcciones opuestas. (b) Igual que en (a)

Ejercklos 14.4, ¡HjfINl 658 1 -2/j3ó, 1/j3ó, 5/j3ó para a y 3a; 2/j3ó, -1/j3ó, -5/j3ó para -2a.

3 O, 4/5, - 3/5 para a y 3a; O, -4/5, 3/5 para - a.

5 Para i: O, 7T/2, 7T/2; 1, O, O. Para j: 7T/2, O, 7T/2; O, 1, O. Para k: 7T/2, 7T/2, O; O. O, 1.

7 -4/V57 , 4/V57, -5/V57 9 I/V26,0, -5/V26 11 <2/0.2/0,2/0)

13

Vt /3

Ejercicios 14.5, pqúul661

I 3 5 9 15

x = 5 - 31, Y = -2 + 81, z = 4 - 31; (1,26/3, O), (17/4,0,13/4), (0,34/3, -1)

x = 2 - 81,y = O, z = 5 - 21; (-18,0,0), (0,0,9/2), (recta contenida en elplanoxz)

x = 4 + (1/3) 1, Y = 2 + 21, z = - 3 + (1/2) I 7 x = 0, y = 1, z = x = -6 - 3s,y = 4 + s, Z = -3 + 9s II eos-I(15/2Vf7T) ~ 55° 13 (5,-7,3)

No se intersecan 17 Se intersecan en (2, -4. -1) 19

°

J54Tl/3J1O

Ejercklos 14. 6, pfI,/nQ 668 9 (a) z = 4 (b) x = 6 (e) y = -7 II 13 3x - y + 2z + 11 = O 15 20x - 5y + 19 (x - 5)/3 = (y + 2)/(-8) = (z - 4)/3 23 (a) No (b) Sí (e) No 25 (a) No 29 3 31 6x + Ily + 4z = 38 33 71x

6x - 5y - z + 84 = O

2z = O 17 Ilx - 2y - 6z - 69 = O

21 (x - 4)/(-7) = (z + 3)/8; y = 2

(b) No (e) Sí, en (8, O, 1) 27 7/V59

- 15y + I7z = -10

RESPUESTAS Ejerckios 14.7, pápuI 677

1 (5,10,5) 3 -6i - 8j + 18k 5 (-4,2, -1) 7 11 (12. -14,24),(16, -2, -5) 13 (a x b)·b = a·(b x 17 No. a x (b - e) = Onos dice que b - e es paralelo a a. (b) 13x + 7y + 5z - 16 = O (e) 9VJ/2 21 (a) c(5i + 4j + 10k) donde e =F O (b) 5x + 4y + 10z = 27 89/V5TI 29 "';474/17

-40i b)

+ 15k

9 O

= a·O = O

19 (a) 131 + 7J + 5k 20

(e)

v'f4T

2S

16

Ejerckios 14.8, págilUl683

1

3

7

9

5

'.,

11 x 2 + z2 + 4y2 = 16

13 z = 4 - x 2 15 y2

+ z2

i

_ x2 = 1

y y

17

19

y y

Ejerckios 14.9, póg/1Ul 689

1 5 11 15

Paraboloide; eje en el eje z 3 Hiperboloide de un manto; eje en el eje z Hiperboloide de dos mantos; eje en el eje x 7 Cono; eje en el eje x 9 Elipsoide Hiperboloide de un manto; eje en el eje x 13 Hiperboloide de dos mantos; eje en el eje y Paraboloide; eje en el eje x 17 Cono; eje en el eje y 19 Paraboloide hiperbólico

Ejercicios 14.10, página 692

1 5 9 13 17 19 23 2S

(a) (0,5,3) (b) (3, 3j3, - 5) 3 (a) (jIO, n/4, cos- 1 ( - 2/¡S») (b) (2, nj3, n/2) (a) (2yIi, n/3, 2) (b) (1, n/4. - )3) 7 x 2 + y2 = 16. Un cilindro circular 2 2 z = J3x + 3y 2. Medio cono 11 x + y2 = 4x. Un cilindro circular x 2 + y2 + z2 = 16x 2/(x 2 + y2) 15 El eje z ­ Un cilindro. La directriz es un lemniscato y las generatrices son paralelas al eje z. Esferas de radios 1 y 2 con centros en el origen. 21 r 2 + z2 = 4. p = 2 3r cos 8 + r sen 8 - 4z = 12, P(3 sen Ifl cos 8 + sen Ifl sen 8 - 4 cos Ifl) = 12 r 2sen 28 + z2 = 9, p2(sen 21fl sen 28 + cos 21fl) = 9

A65

A66

RESPUESTAS

Ej~rcicios d~ r~paso

14.11, pdgúul 693

1 12i + 19j 3 -8 5 V29 - Vf7 7 tan- I (5/2) 9 (1/V29)(51 - 2j) 2 JI (a) 08 (b) (2,-7/2,5/2) (c) x + y2 + z2 + 2x + 8y - 6z + 10 = O (d) Y = -4 (e) x = 5 + 61, y = -3 + 1, z = 2 - 1 (f) 6x + y - z - 25 = O 13 6x - 15y + 5z = 30 15 x 2/64 + //9 + z2 = I 17 La esfera con centro (7, -3,4) Yradio 8. 19 El plano que interseca al eje x en (10/3, O, O), al eje yen (O, - 2, O), al eje z en (O, O, 5). 21 Un cilindro eliptico con generatrices paralelas al eje y. 23 Un hiperboloide de un manto; eje en el eje x. 25 Un hiperboloide de dos mantos; eje en el eje z. 27 Un paraboloide hiperbólico. 2936 31 y'TI+V'J7 333/V26,-1/y'26,-4/V26 35221-2j+17k 37 9/y'TI 39 26 41 O 43 -41 - 10j + 4k 45 (a) I/v1;. -2//6, 1//6 (b) (ljy'66)(1,4,7) (c) x + 4y + 7z - 5 = O (d) x = 2 + 71,y = -1 - 71, z = 1+31 (e) 59 (f) cos-I(59/'I!3745) "'=:: 15.4° (g) V66 47 x = 3 + 21.y = -1 - 41, z = 5 + 81; x = -1 + 71,y = 6 - 21, z = (-7/2) - 21 49 cos-I(-25/y'2295) "'=:: 121.46° 51 (2V2.-7T/4, 1), (3.-7T/4,cos-I(lj3)) 53 z = - J(x 2 + y2 + z2)/2. La mitad inferior de un cono. 55 x = 1. Un plano 57 r = 1, p2 sen 2cf> = 1 59 r 2 + z2 - 2z = O, p - 2 cos cf> = O

CAPITULO 15 Ej~rcicios 15,1,

página 699

1 Hélice elíptica ,

~-

, , '\y;. ,

T1-"

,

-;-.

, ):\:

I11 {

;/

,_

:

I

=

3

v~ /)J----+-­ "

,, ,

I

7

9

13 5[4Vf7 + In(4 + Vf7)Jl4 Ej~rcicios

5 Parábola en el plano z

3 Cúbica torcida

"'=::

23.23

11

17

7

15.1, pdgina 706

1 (a) Es continua en todo su dominio [1, 2] (b) r'(/) = (lj2)(I - 1)-1/2 1 - (1/2)(2 - 1) 1/ 2 j , r"(I) = (-1/4)(1 - 0- 3/2 1 - (1/4)(2 _ 1)-3/2 j 3 (a) Es continua en todo su dominio {I: 1 # rr/2 + nrr} (b) r '(1) = (sec 21.21 + 8), r "(1) = (2 sec 21 tan 1.2) 5 (b) r'(I) = (-1 3 .21), r(2) = (-4,4), r'(2) = (-8,4) 7 (b) r'(I) = -4 sen li + 2 cos Ij, r(37T/4) = -2V2i + y'2j, r'(37T/4) = -2V2i - V2j 9 (b) r'(I) = 31 2 i - 31- 4 j; r(l) = 1 + j, r'(l) = 31 - 3j 11 (b) r'(/) = 21 - j; r(3) = 51 + j

RESPUESTAS 5

,.

7

9

y

i\67

11 "f!t 11

13 (a) Dominio = {t: t '" rr/2 + krr., k un entero cualquiera}, r es continua en D. (b) r'(t) = 21i + sec 2lj; r "(t) = 2i + 2 sec 2t tan tj 15 (a) t ;> 0,1 ;> O (b) (Ij20)i + 2e 2/j + k, (-1/4t0)i + 4e 2/j 17 x = I + 61, y = -2 - IOt, Z = 10 + 81 19 x = I + s, y = s. z = 4 21 ±(1/0)<2,-1,0) 23 16i - 8j + 6k 25 (1 - 1/y'2)i - (1/y'2)j + (1/2)ln 2k 27

(~+ 2)i + (31 2 + 1 -

3)j + (21 4 + I)k

29 (1 3 + t + 7)i - (t 4 - 2t)j + (1 2/2 - 31 + I)k 45 (1 + 5( 2)sen 1 + (31 + 21 3)COS 1,

31

x +y - I = O

[(1 3 + 41)sen 1 - 12 COS I]i + [(31 2 - 2)sen 1 + (1 3 - 21)cos IU + [-31 sen 1 + (1 - 12)COS I]k

Ejercicios J5.J, P4tilUl 7JJ

Las respuestas para los ejercicios del 1 al 7 están en el orden r'(t), r"(t), Ir'(/)I, r'(o), r"(o) donde o es el tiempo indicado. 2i + 81j, 8j, 2yl + 16t 2 , 2i + 8j, 8j ~------::--

, 4, 6 - 1/4 9 1l' (, 2­ 3 2-2.1 - - - '3 2 J , JI + - - 3 J , 4 + - - 4 ' -2 1 - jJ, 2 1 + 9J 1 (t + 1) /" (1 + 1) 1 (1 + 1)

5 ros li - 8 sen 21j, -sen li - 16 cos 2/j, y'-co-s""21 +-64-se-n""2­21 , (..j3/2)i - 4..j3j, -~i - 8j

7 2i/i - e-/j, 4e 2/i + e-/j, y4e4 / + e 2/, 2i - j, 4i + j 9 -sen li + cos Ij + k, -cos ti - sen Ij, y'2 11 2/i + (1/0)j + 60k, 2i - (Ij2y?)j + (3/0)k, y4/ 2 + (1/1) + 361 13 e'(cos 1 - sen I)i + e'(cos 1 + sen I)j + e/k, -2e/ sen li + 2/ cos Ij + e/k, ..j3e/ 15 i + 2j + 3k, 0, yI4 19 (a) 750y3i + (-gl + 750)j (b) (1500)2/ 8g ~ 8,789 pies (c) (1500)\(3/2g::::: 60,892 pies (d) 1500 pies/seg 21 40 5::::: 89.4 pies/segundo Ejercicios 15,4. pá,ilUl 7J9

1 6/103/ 2 13 (0,±3)

3 2 5. 1 7 2/17 3/ 2 9 48/(21)3/2 11 (In y'2.I/y'2) 15 (y'2/2,-(lj2)ln 2) 17 (±y'2,-20) 19 (O, O)

Ejercicios 15,5, página 71J

1 4//(41 2 + 9)1/2, 6/(41 2 + 9)1/ 2 3 61(1 2 + 2)/(1 4 + 41 2 + 1)1/2,6(1 4 + 12 + 1)1/2/(1 4 + 41 2 + 1)1/ 2 5 1/(1 + ,2)1/2, (2 + 12)/(1 + 12)1/2 7 -65 sen 1 cos 1/(16 sen 21 + 81 COS 21 + 1)1/2, 9 6/(41 + 9)3/2 (81 sen 2t + 16cos 2t + 1296)1/2/(16sen 21 + 81 cos 2t + 1)1/ 2 2 2 4 2 1 + 1)1/ / 3(1 + 4/ + 1)3/2 2 2 13 (2 + 1 )/(1 + 1 )3/2 15 (81 sen 21 + 16 COS 21 + 1296)1/2/(16 sen 21 + 81 17 36/0, 18/0 23 O 25 48/(21)3/2

11 2(1 4 +

COS 21 +

Ejercicios de repaso J5.7, P4tilUl 751

1 r'(I)

=

2/i + (81 - 4/ 3 )j, r"(/)

=

2i + (8 - 12/ 2)j

3 (a) (lj..j3)(i + j + k)

1)3/2

A68

RESPUESTAS

(b) 0 (e - I) ~ 2.98 S x = 4 + 61, y = 4 + 41, z 11 108/82 3/ 2

7 -e-ti + 2 cos 21j + 21 3/ 2k 13 (sen 1 cos 1 - 8 sen 21 cos 21)/(4 cos 2 21 + sen 21)1/2, (2lcos 21 cos 1 + 2 sen 21 sen (1)/(4 cos 221 + sen 21)1/2

= 1 + 1

CAPITULO 16 EJ~rclclos

16.1, JJáK/IUI 739

3 {(u, v): u i= 2v}; -3/2,4/9, O S {(x,y,z): x 2 + / + z2 25}; 4,20 7 {(r,s,v,p): v i= 'IT/2 + n'IT,p > O}; 3 - 'IT 9 2x + h, 2y + h 11 / + 3, 2xy + xh 13 La mitad superior de la esfera x 2 + y2 + 15 El plano que interseca a los ejes x, y, y z en 3, 2, Y6 respectivamente. 17 El plano z = 5. 19 21 23 1 R X R; -29,6, -4

<

25 El origen y todas las esferas con centro en el origen. 29 El eje z y todo cilindro circular cuyo eje es en el eje l. EJ~rclclos 16.1,

1 11 15 17

Z2

=

l.

27 Todo plano con vector normal (1, 2, 3).

JJáK/IUI 745

- 2/3 3 No existe S No existe 7 No existe 9 O

Es continua en {(x, y): x + y > 1} 13 Es continua en (x, y, l) si x 2 + y2 =F Z2

Es continua en {(x, y): x > O, -1 < y < 1}

(x 4 - 2x 2/ + y4 - 4)/(x 2 - y2); {(x,y): y i= ±x}

19 x 2 + 2x tan y + tan 2y + 1; {(x,y): y i= 'IT/2 + k'IT,k un entero cualquiera}

x2 21 e + 2y , (x 2 + 2y){x 2 + 2y - 3), e2t + 21 2 - 61

23 (x - 2y){2x + y) - 3(x - 2y) + (2x + y)

27 (a) Se reemplazan las parejas ordenadas con cuádruplos ordenados (x, y, l, 11'), donde x, y, l, 11' E iR.

(b) ¡im lx . p . w)-I •• b. c.d) f(x, y, l, 11') = L significa que para cada 1: > O existe algún b > O tal que si O < (x - a)2 + (y - b)2 + (l - C)2 + (11' - d)2 < fJ, entonces If(x, y, l, 11') - Lt < 1:.

JJáK/IUI 751 1 fx(x,y) = 8x 3y 3 - y2,.&(x,y) = 6x 4y 2 - 2xy + 3

Ejercicios 16.3,

3 fr(r,s) = r/~ ,fs(r,s) = s/y;z+?

S fx(x,y) = e Y + cos x, '&(x,y) = xe Y + sen x

7 ¡;(I,V) = -V/(1 - v 2),fv(I,V) = 1/(1 2 - v 2)

9 fAx,y) = cos(x/y) - (x/y)sen(x/y),'&(x,y) = (x/y)2 sen (x/y)

11 fr(r,s,l) = 2re 2s cot 1,j,(r,s, l) = 2r 2e 2s cot 1,¡;(r,s,/) = -r 2e2s csc 21 13 !.(x,y,z) = (/ + z2)X ln ( / + z2),.&(x,y,z) = 2xy(y2 + z2)X-I,/z(x,y,z) 15 fx(x,y,z) = e Z - yex. .&(x,y,z) = -ex - ze-Y,/z(x,y,z) = xe z + e-Y

!

17 !q(q, v, 11') 25 18 xy2 + 43 wxx ' wxy '

=

2xz(/ + z2)x-1

= v/2yqv y'l='QV, fv(q, v, 11') = (q/2yqv ,¡I=qV) + 11' cos IIW, f..,(q, v, 11') = V COS IIW 16y3z 27 12 sec rl(sec 2rl + tan 2rl) 29 (1 - x 2y2z2)cos xyz - 3xyz senxyz wxz ' WYX ' Wyy ' WYZ ' wzx ' wZY ' Wzz 4S 200,400 47 x = 1, Y = 1, z = -41 + 12

RESPUESTAS

Ejerckios 16.4, páfÜUl 758 Hay otras respuestas correctas a los ejercicios 1 y 3 (vea el ejemplo 2). 1 111 = -36Y, 112 = 46y 3 111 = 3x6x + (6x)2, 112 = 3y6y + (6y)2 5 dw = (3x 2 - 2xy)dx + (6y - x 2)dy 7 dw = 2x senydx + (x 2cosy + 3yl/2)~ xy xy 2 3 9 dw = (x y + 2x)e dx + (x e - 2{-3)dY 11 dw = 2x In(y2 + z2)dx + (2x 2y/(y + z2»dy + (2x 2z/(y2 + z2»dz

13 dw 15 17 23 29

yz(y + z) d xz(x + z) d xy(x + y) dz 2 x + 2[Y+ 2

~+y+~

~+y+~

~+y+~

dw = (2xz - z2 /)dx + 41 3dy + (x 2 - 2xzl)dz + (I2yl 2 - xz 2)dl Aproximadamente 7.38 19 Aproximadamente 1.87 21 Aproximadamente 18.006 (aH pie 2 (b) 47/192 pie 3 25 11.19 cm 3 de aluminio 27 Error máximo es :::: .0116 2.96 31 1.71t pulgadas 2

Ejerckios 16.5, p/lf/1Ul 764 1 aw/ax = 2u(sen v)3x 2 + u2(cos v)y2, aw/ay = -12u(senv)y2 + 2u 2(cos v)xy 3 aw/ar = (u/yu 2 ~ v 2 )e-s - (vhl;;2-+~')s2e-r, aw/as = -(u/~)re-S + (v/yu 2 + v 2 )2se- r 5 az/ax = (ljv)cosy + (ljv)y cos x - 2(r + s)/v 2, az/ay = (ljv)(-x sen y) + (I/v)sen x + (r + s)/v 2 7 ar/au = (3x 2 - y2) + (3 - 2xy)(-Iju), ar/av = (3x 2 - y2)ln 1 + (3 - 2xy)(2v), ar/al = (3x 2 - y2)(V/I) + (3 - 2xy)(-Ij/) 9 ap/ar = (2u cos vw)(sxye rs ) - (u 2w sen vw)(s/r) - (vu 2sen vw)sen x 11 dw/dl = [-3x 2/(1 + 1)2] - [3y2/(1 + 1)2]

13 dw/dl = 4r sen 1 cos 1 + tan v sen 1 - 4s sec 2v 15 y' = -(6x 2 + 2xy)/(x 2 + 3y 2)

17 y'

=

-(6+ 20 0 )/( 0 __ 3) = 12yxy+y 20 6yxy - x

19 az/ax = -(2z 3 + 2xy2)/(6xz 2 - 6yz + 4), az/ay = 21 az/ax = _(e Yz - 2yze XZ + 3yze xY )/(xye Yz - 2xye XZ az/ay = -(xzeY~ - 2e xz + 3xzeXY)/(xye Yz - 2xye XZ 33 dV/dl :::: 2.76 cm 3 /min; dA/dI:::: 1.44 cm 2 /min 35

-(2x 2y - 3z 2)/(6xz 2 - 6yz + 4) + 3e xy ) + 3e xy ) dT/dl = (v/c)(dp/dl) + (p/c)(dv/dl)

Ejerckios 16.6, págiIUl 773 1 13 19 21

-10/,;2 3 -1/8yr3 5 67/8y26 7 1j2y126 9 1604 11 15e- 2/v'33 -12/ViO 15 -28y126 , 4i - 8j, V80 17 -25/04....¡Fí, (lj04)(-2i + 3j + k), 1 -28/,;2, -12i - 16j, c(4i - 3j) para todo c #- O -178/04, 4i - 8j + 54k, '1/2996 ~ 54.8

Ejerckios 16.7, pá,ilUl 780 1 16(x - 2) + 6(y + 3) + 6(z - 1) = O; x = 2 + 16/, y = -3 + 61, z = 1 + 61 3 l6(x + 2) + 18(y + 1) + (z - 25) = O; x = -2 + 16/,y = -1 + 18/, Z = 25 + l. 5 4(x + 5) - 3(y - 5) + 20(z - 1) = O; x = -5 + 4/,y = 5 - 3/, z = 1 + 201 7 x + 0(y - ?T/3) + (z - 1) = O; x = I,y = (?T/3) + 01, z = 1 + 1 9 -x + (lj2)(y - 2) - (z - 1) = O; x = -I,y = 2 + (1/2)/, z = 1-1 15 (8V2/V5. 2V2/0, -2,;2/0), (-8,;2/0, -2,;2/0,2,;2/0) '. ,

A69

A70

RESPUESTAS

21

23

J'

.1'

25

29

27

J'

x

Ejercicios 16.8, pági1l4 785

Las respuestas siguientes se refieren a máximos y mínimos locales. 1 Mín:f(O,O) = O 3 Mín:f(l,-I) = -1 5 Mín:f(1/2,-1/4) = 1/4 7 Mín:f(-2,V3) = -48 - 6V3 9 No hay extremos 11 Mín:f({/2,2{/2) = 12/{/2 13 Máx:f('IT/3,'IT/3) = 3V3/2; min:f(5'IT/3,5'IT/3) = -3V3/2 15 En el punto (O, O)fno alcanza ni un máximo ni un mínimo. 17 1/j26 4 19 (±2/.yl2, ±i\i, ±2 2/ 12) 21 Base cuadrada; la altura es igual a la mitad de la longitud de un lado de la base. 23 6/fi, 12/fi, 8/fi 25 1,4/3,4 27 La altura es 2 3 4000 cm; la base mide .y4000 cm por .y4000 cm Ejercicios 16.9, pági1l4 792

Min:f(1/0.2/V'S) = O =f(-1/0,-2/0); máx:f(2/0.-1/0) = 5 =f(-2/0,1/0)

Min:f(-5/V3,-5/V3.-5/V3) = -5/V3; máx:f(5/V3.5/V3.5/V3) = 5/V3

Mín:f(l/3,-1/3, 1/3) = 1/3 7 Mín:f(O,-I,O) = l

Mín:f(I,2/V3,-1,8/3) = -16/3V3; máx:f(I,-:-2/V3,-1,8/3) = 16/3V3

(6/VJ,9,9/VJ,9,12/VJ,9) 13 Base cuadrada con lado = 20/7.,y49cm;altura = 5,y49cm.

15 La altura es dos veces el radio.

1 3 5 9 11

Ejercicios de repaso 16.10, pági1l4 793

<

1 {(x,y): 4x 2 - 9/ 36} 3 {(x,y): z2 > x 2 + y2}

2 5 f.(x,y) = 3x COS y + 4, ,&(x, y) = - x 3sen y - 2y

7 j.(x,y,z) = 2x/(y2 + z2); J;,~X,y,z) 2= 2y(z2 - x 2 ) / ( / + z2)2;

fz(x,y,z) = _(x 2 + /)2z/CY + z2)

9 fx(x,y.z,/) = 2xzy2y + 1,./y(X,y,z,/) = x 2z/y2Y + /,fz(x,y,z,/) = x 2 y2y + l,ft(x,y,z,/)

= x 2z/2y2y + /

11 fx.{x.y) = 6x/ + 12x 2,,&y(x,y) = 2x 3 -218xy,!\),(x,y) = px 2y - 9/

15 t.w = (2x + 3y)t.x + (3x - 2y)t.y + (t.x) + 3t.xt.y - (t.y) ;

dw = (2x + 3y)dx + (3x - 2y)dy; t.w = -1.13, dw = -1.1

17 as/h = (2uv - w3)(-y sen x) + (u 2 + 2vw)e-Y + (v 2 - 3w 2u)(y/x),

as/ay = (2uv - w3)cos x + (u 2 + 2vw)(-xe-Y ) + (v 2 - 3w 2u)ln x

19 dw/dl = (tany)3/ 2 + (x sec 2 y + tan z)(-2e- 21 ) + y sec 2z(-2/1 3) 21 -14/y'4T

23 -16(x + 2) + 4(y + 1) - 7(z - 2) = O; x = -2 - 16/, y = -1 + 4/, z = 2 - 71

25 f'(x) = (3x 2 - 4y3 + 1)/(12xy 2 + 3) 27 Mín:f(O,-I) =-2

RESPUESTAS

29,·

31

Min:j(-yI873,-073,-V4/3) =j(-yI873,073,V4/3) =j(yI873,-073,V4/3) j( yI873 ,073, -V4/3) = -8073; máx: j( yI873, 073, V4/3) = j( -yI873. -073, V4/3 = j( -yI873, 073, -V4/3) =j(yI873,-Vfl3.-V4/3) = 8/3y'3 =

33 Si a = 1

+ 22 / J + 32 / J , entonces el punto es (a, 2 1/3 a , )I/Ja).

CAPITULO 17 Ejercicios 17.1, págilUl 799 1 (a) 39

(b) 81

3

1769.13

5

240

Ejercicios 17.1, pIlgilUl 809 1 Ambas son -36 3 163/120 5 36/5 7 (4e - e4 )/2 11 17/24 + In[3/yI2(y12 + 1)] + 1/y12 - 1/2 ~ 0.2087

9

13 (a) f 04 fo0 j(x,y)dydx (b) fo2 f;~j(x,y)dxdY 2

15 (a) f 0 f,8,j(x,y)dydx 17 (a) fJ f;\11 j (X,y)dydx 13

19 (a)

(b)

(b)

(b)

56 5;~llj(X,y)dxdY 15 "

17

Ji2 f9~+4~j(X,y)dydx + f 24 f'\/s' j(x,y)dydx

(5 (2y1 .1 () ( b ) JI J(9-y)/4j x,y dxdy

21 (a)

J08 fl'j(x,y)dxdy

yl

., ( ) + J5(8 f,2 y':'4 j x,y dxdy

f~, f~;'_Jj(x,y)dYdx + Ji J f~;::~j(x,y)dydx

f--l f-V;¡ j(x,y) dx dy + J-.!2 fyfFY j(x,y) dx dy

23 (a) fJ Ji~'xj(x,y)dydx + Jie Ji~:e-x j(x,y) dy dx (b) fJ Ji~yj(x,y)dxdy + ft Ji~;('-Yj(x,y)dxdy

(e 2 + 1)/4

A71

A72

RESPUESTAS

19

21 y

y

x

x x

25

27

29 y

x

yl 31 f02 fó/ 2 e dxdy

35

O JiO2 Jix3

,/

y

V 16

+ x 7

x

= (e4 - 1)/4 dydx

=

8/ 7

Ejercicios 17.3. pá,INl 816 1 17/6 3 33/2 5 2 7 e'lr - e-'Ir

9 2(tan- 1aI/ 2 - a3 / 2/3) donde a = (-1 + 0)/2 11 34/3 13 18 15 16/3

17 13/2 19 1/20 21 423/20 23 1603/3

25 El sólido está debajo del paraboloide z = x 2 + y2 y encima de la región en el plano xy acotada por las

gráficasdey = x - I,y = I - x 2,x = -2yx = 1. 27 El sólido está debajo del plano z = x + y y encima de la región en el plano xy acotada por las gráficas de

x = y/4, x = y, y = O, YY = 4. 29 El paralelepípedo rectangular acotado por los planos z

= O, z = 3, x = O, x = 4, Y = - 1, YY = 2.

Ejercicios 17.4. páKiNl813 1 3 5 7 9 11 13

M M

= 2349/20, x = 1290/203, Y = 38/29

= 8k (k es una constante de proporcionalidad), x = O, Y = 8/3

= (1 - e- 2 )/4, X = O, Y = 4(1 - e- 3 )/9(1 - e- 2) ~ 0.46

M M = 115/6, x = 20/23, Y = 1/2

M = 4 In(y'2 + 1) - 4In(y'2 - 1) - 'TI' ~ 3.9, Y = (l6 - 'TI')/4M ~ 0.8, x = O

M = 4/3, x = 21/16, Y = (3 + 12 In 2)/32 ~ 0.35 M = (1 - e- 3 )/9 ~ 0.106, x = (l - 4e- 3 )/3(1 - e- 3 ) ~ 0.28, Y = 9(1 - e- 4 )/I6(1 - e- 3 ) ~ 0.58

15 l. = 35 (31/28), Iy = 37 (19/8), lo = 35 (1259/56) 17 Ix = 64k,ly = 32k/3, lo = 224k/3

19 (a) pa4/3 (b) pa4/12 (e) pa4/6(P = densidad) 21 a/0 23 pa 4'!T/4. a/2

Ejercidos 17.5. pá,tNl 830 1 9/2 3 90/2 - 'TI' 5 M = 32k/9, x = 6/5. Y = O

7 M = 2k(0 - 'TI'/3), x = O,y = (270 - %)/(240 - 8'lT) ~ 2.1 9 pa 2'!T/8

4 11 pa 'T1'/4, a/2 13 ('!T/2)(1 - e-al) IS In(y'2 + 1) 17 256 '!T/3 19 64/9

RESPUESTAS Ejercicios 17.6,

}\73

pá6/NJ 838

3 -1/12 5 513/8

7 f06 fJ6-x)/2 fJ6-x-2 y )/3 j(x,y,z)dzdydx f¿ f06- 2y fJ6-x-2y )/3 j(x,y,z)dzdxdy

f 06 f02

.ro6- x )/3 fJ6-x-3z)/2 j(x,y,z)dydzdx

.ro

6- 3z)/2 f06-2y-3z j(x, y, z)dx dy dz

.. f.3/2 f y9 -4x 2 r9-4X2_y2j( 7

-3/2 -y9-4x2 JO

X,y,Z

fi .J06-3z fJ6-x-3z)/2 j(x,y,z)dydxdz f¿ j(}6-2y )/3 f06- 2y-3z j(x,y, z) dx dz dy f3 f~Y9'='¿ r_9-4xLy2j( )d dxd -3 -h/9-y2 JO x,y,z Z y

)dzdydx

¡-9f~~ fy9-z-4x2 j(

3/2 r_9-4x2fY9-z-4X2 j( )dydzdx f.-3/2 JO -y9-z-4x2 x,y,z

JO

( ) dxdzdy 3 JO r9-y2 f~YJ-Z-y2 f -3 _~ 9-z-y 2 jx,y,z

f_~ F i f~YJ-Z-Y\ _~ 9-z-y j (x,y,z ) dxdydz

¡-9 JO

_~y'9=Z

-y9-z-4x2

)d dxdz x,y,z y

11 128/5 13 32/3 15 2~ 17 108 19 1/70 21 La región encima del rectángulo con vértices (2, O, O), (2, O, 1), (3, O, O) Y(3, O, 1) Yentre las gráficas de y = ~yy = j4=Z. 23 Q es la región debajo del plano z = x + y y encima de la región en el plano xy acotada por las gráficas de

y = x 2 , y = 2x, x = O, Y x = 2. 25 Q es la región acotada por el paraboloide z = x 2 + y2 y los planos z = I Y z = 2.

Ejercicios 17. 7, págilUl 1U4

Jg-x

I Sea J = g J~-2x f(x, y, z) dz dy dx. Para encontrar M, M xy , M w Myz, sustituya 1, z, y, y x, sucesivamente, en lugar def(x, y, z). 2 2 3 Sea J = 1 g2 + 92 f(x, y, z) dz dy dx y haga uso del método sugerido en la respuesta del ejercicio 1.

5 x = y = z = 7a/12

4 4 2

2 7 M = f0 L~72 f_\í;~~;2 (x + z2)dydzdx, x = f 0 L~72 f_YJ;~~;2 x(x + z2)dydzdx/M. Las integrales y y ftienen el mismo límite que x, pero los integrandos son y(x 2 + Z2) y z(x 2 + Z2),

Hx

J:

respectivamente. 9 2pas/3 (.Iflj)a ,

2

V.L/ ~

fiy36-4x2 r36-4x2_9y2 (x 2 -3 -iy36-4x2 JO

11 1 == f3 z

+ y2)zdzdydx

13 1z - f~a fyJ2¡X2 fyaLxLy2 (x 2 +y2)(x 2 +y2 + z2)dzdydx _ a -x 2 -ya2_x2_y2 15 /z -. fó fob(l-x/a) foc{l-x/a-y/b) (x 2 + y2)pdzdydx Ejercicios 17.8, pdg/lUllU9

1 8~; ~ -= O, Y - O, 1 ==.4/3

3

(a) ~a4 k/2

2 h2)

(b) ~a2 k ( a4" + T (k == densidad)

4

5 h 2 a /4 7 h 2 a6/8, a/V1 9 M == 91rk, ~ == y == 0,1 == 9/4 4 11 ka n/2 (donde k es la constante de proporcionalidad); el centro de masa está a una distancia 2a/5 de la base, medida a lo largo del eje de simetría 13 2na 6 k/9 15 8n 17 124nk/5 Ejercicios 17.9, pd,ilUl 854

1 (0 + 2 In(1 + yj) - In 2)/2 3 ~cd2

7 w(5 3/2 - 1)/6 9 2w(5 3/2 - 1)/3

Ejercicios de reptlSo 17.10, p/IgIIUI 854 II Restáacotadaporlasgráficasdex = eY,x =y3,y = -I,yy = l. l3 fi foy'; ye- X2 dydx = (1 - e- sl )/4 15 M = 9k (k es la constante de proporcionalidad), x = 9/4, Y = 27/8 17 27Tk 19 7Ta J/6 3 21 kab /12 (k = densidad), b/J6 23 13 25 V = 256/15; x = O, ji = 8/7, Z = 12/7

27 f04 fVi"+? fJJ+yL X2 k(x 2 + z2)3/2 dzdxdy

-VJ+Y!

_yl+yL x 2

29

M

= ha 4

A74

RESPUESTAS

CAPITULO 18 Ejercicios 18.1, p/lgina 860 1

3

5 ,\ ,

I \

...., ..... ~ .....' -

1 I

9

,. ,."

,.

"-­ I~ ....

"1 \....

-: " 1I

7

I

Ii \

­

........­

\ \

, /

,. ,. ",.

/

/ ,.~-­ l' ,/" /

,.

13 \J f(x,y,z) = 2xi - 6(j + 8zk 17 F(x,y) = (1 + x 2/)- (yi + xj)

15 F(x,y,z) = e 2ycos zi + 2xe 2ycos zj - xe 2Y sen zk 19 F(x,y, z) = xi + yj + zk

Ejercicios 18.2, p/lgina 872 1 21. 14, 14(2V2 - 1) 3 34/7 5 -16/3 7 (a) 15/2 (b) 6 (e) 7 (d) 29/4

4 9 (3e + 6e- 2 - 12e + 8e 3 - 5)/12 11 (a) 19 (b) 35 (c) 27 13 3V14/2

15 M = k(17 3/ 2 - 1)/6: x = O, Y = (17 5/ 2 - 41)/(10(17 3/ 2 - 1» ~ 1.67 19 9/2 para todas las 21 O 13 412/15 25 1< = 4k/3, Iy = 2k/3 trayectorias 27 Si la densidad en (x, y, z) esJ(x, y, z), entonces I~ = fe ( / + z2)f(x,y, z)ds, ~.. = S. (x 2 + z2)f(x,y,z)ds. 1: = S. (x 2 + /)f(x,y,z)ds.

Ejercicios 18.3, p/lgina 879 1 Si.j(x.y) = x 3y + 2x + y4 + e 3 No 5 No

7 Si,f(x,y,z) = y tan x - ze x + e 9 Si,j(x,y,z) = 4x 2z + y - 3/z 3 + e 11 14 13 -31 2 15 Si F(x,y,z) = (-c/lrI )r, donde e> O, entonces f(x,y,z) = -e In r = -(c/2)ln(x 2 + y2 + z2). Ejercicios 18.4, p/lgina 887 3 2/3 1 -7/60 19 x = o,y = 4a/3'1T

5

7;

7 3

9 O

13

128/3

Ejercicios 18.5, página 891

+ x 2 j + /k, 2xz + 2yx + 2

- / cos zi + (6xyz - e 2z )j - 3xz 3 k, 3yz 2 + 2y sen z + 2xe 2z

1 i 3

Ejercicios 18.6, p/lgina 899 4 1 27Ta /3 3 5 3y 4 4 5 (a) f U / (6 - 3y/2 - 2z)/z3(VI9/2)dzdy 6 2z (b) f0 x(4 - 2x/3 - 4z/3)2(VI9/3)dxdz

Jt

ft-

8

6

7 (a) f 0 f 0 (4 - 3y + y2/ 16 + z)Vf7 /4 dz dy 6 (b) f~ f 0 (x 2 + 8x - 16 + z)Vf7dzdx

RESPUESTAS

A75

9 El valor de la integral es igual al volumen de un cilindro de altura e, con generatrices paralelas al eje z, y 11 2rra J 13 3rr cuya base es la proyeccion de S en el plano xy. Ej~rcicios

1 24 Ej~rcicios

lB. 7, página 907 5 Ambas integrales son iguales a 4rra J

3 20rr

7 Ambas integrales son iguales a 4rr

18,8, página 915

3 Ambas integrales son iguales a rra 2

1 Ambas integrales son iguales a - l Ej~rcicios 18.9,

5O

7 -8rr

página 919

I (a) Rectas verticales; rectas horizontales (b) x = 11(3, Y = v/5

3 (a) Rectas x - y = e y 3y + 2x = d, donde e y d son constantes arbitrarias (b) x = 3/511 + 1/5v,

y = -2/511 + 1/5u

5 (a) Rectas 2x + y = e e hipérbolas xy = d (b) No es uno-a-uno

7 (a) Elipses x 2 + 4y 2 = e e hipérbolas 4x 2 - y2 = d (b) No es uno-a-uno

9 (a) Hipérbolas x 2 - y2 = e y xy = el (b) No es uno-a-uno 11 El rectángulo con vértices (O, O), (6, O), (6, 5), (O, 5); la elipse u 2 /9 + v 2 /25 = l 15 Planos con ecuaciones de las formas 2x + y = e, y + z = d, x + y + z = k, x = 11' - V, Y = u + 2u - 211', Z = - u - l' + 211' Ej~rcicios

18.10, página 926 2 1 4u + 4v 2 3 2u(vu - l)e-(2u+v)

v'G2 2 9 J-lf_\/I_V I

13

J/ f:/f

(2 U

5

11 f~,

2

+v )6dudv

(u 2v- 3 + 2v) dv du = 15/8

Ej~rcicios d~

3

~\// --, 7 __ ~""'-.--'

I1 19 23 29

n

15 f2 f!~/2 ~ ! dv du 4

~

.. ~

~

=

n

sen 2

9/4

~ ~

y2 sec 2 xi + 2y tan xj

(1025yf1025 - 17v1f7)/144

~

~

//~ =

J¡J

repaso 1B.n, página 927

1

5 F(x,y)

7 foz f02 - U (v - u)2 dv du 2 !u cos 2 v dv du = ! + sen 6 -

-6

7 13

70

1(x,y, z) = x 2 e 2y + i cot z + e 21 3x 2z 4 + xz 2 , (2x 2y - 2xyz)i + (4x 3 z 3

~

-56/5 15

9

O

-40/3 17 25/2

1/6 2xy2)j

+ yz2k 25 0/5 27 51T/2 Ambas integrales son iguales a 8rr 31 (a) Las rectas 2x + 5y = e (b) Las rectas 3x - 4y = d (e) x = (4/23)u + (5/23)v, y = (3/23)u - (2/23)v (d) -1/23 (e) (40 + 3b)u + (5a - 2b)v + 23c = O (f) 25u 2 + 28uv + 29v 2 = 529a 2 -

CAPITULO 19 Ej~rcicios

19.1, página 935

9 2yy' = 3x 2 11 xy' = y In y 13 yU - 2.1" + y = O 15 xy' - y = O Y =C,C*0 y y=O 17 yyU + .1"2 + l = O 19 Y = Cx 21 x 2

ie

1 A76

RESPUESTAS

X2 T1 y2 = C(l + x 3)-2/J - I 23 Y = -1 + Ce / 2- x 25 y = -(1/3)ln(3C + 3e- X) 31 seex+e-Y=C 29 eosx+xsenx-ln~enyl=C 33 y2 + In y = 3 x - 8 3~ y = In(2x + In x + e2 - 2) 37 Y = 2e2-y4+x2 - I 39 tan-1y - Inlsee xl = 17/4 19.2, JNV/NI 939 2 1 x + xy + i = C 3 x - x 2y + x 3y2 - y3 = C 5 x 2sen y + 5 x + 2y 2 = C xy 2 9 ,sen (J + ,2eos (J = C 11 e-Xeosy + x 2 = C 7 xe + i = C 13 x 2/2 - y In x + x In y = C 1~ x 2y 3 + 4x 2 + 5y = 7 17 4y 2e 2x - 8x + In(l + 4y 2) = I + In 2

Ej~klos

Ej"clclos 19.3, JNV/NI 942 1 x 4(l + 4yx- l ) = C 3 x eos(y/x) = C 5 In x = (2/.y3)tan- I «2y - x)/.y3x) + C 9 In x = sen-I(y/x) + C 7 In«y/x) - 1) - 3 In «3y/x) - 1) = In x 2 + C 2 11 y(1 + x y-2) = C 13 Iny2 + (3/2)ln«2x/y) + 1) = C 15 x 2/2 + 3xy - y2 = e E)"cklos 19.4, JNV/NI 945 1 Y = (1/4)e2x + Ce- 2x 3 y = (x 5/2) + Cx 3 5 y = (l/x)ex - (1/2)x + C/x 2 3 7 y = (eX + C)/x 9 y = (4/3)x ese x + C ese x 11 y = 2 sen ~.¡fj C eos x 3X 13 y = x sen x + Cx 15 y = + )e17 y = (_ x; +

G~

[-w

~)

x2 19 Y = + x 2)tan- 1x + x/2 + C(l + x 2 1 21 y = 3/2 + Ce­ J 23 y = (l/2)sen x + C/sen x 25 y = 1/3 + (x + C)e-x 27 y = x(x + In x + 1) 29 Y = e-x(l - x- I )

>r

Ejn'Clclos 19.5, pq/nQ 951 1 Y = k/x 3 2x 2 + i = k 5 2x 2 + 3i = k 7 x2 + i 11 i = [E/(R 2 + w 2L 2)](R sen wl - Lw cos wl + Lwe-(R/L)I) 13 s = (l/c)ln(e 2VBc' + 1) - (Vi/c)1 - (In 2)/c, donde e = k/m

= ky

9 p

=

kv-l/e

Ej"clclos 19.6, pág/nQ 958 1 Y - Cl e2x + C2e 3x 3 y = Cl + C2e3x 5 y = C¡e- 2x + C2xe­ 2x 7 Y'" Cl e(2+v'J)x + C2 e(2-v'J)x 9 y = C¡e-y'Íx + C2xe-y'Íx 11 y ... C¡e- 5X/ 4 + C2 e3x/ 2 4x 3 4x 3 13 y = Cl e / + C2xe / 1~ y - Cl e(2+y'Í)x/2 + C2e(2-Ví)x/2 17 y - Cl eXcos x + C 2e x sen x 19 y = Cl e2x sen 3x + C2e 2xeos 3x 21 y - CI e(-3+.,¡'7)x + C2 e(-3-.,¡'7)x 23 Y'" 2e2x - 2e x 1S y ... cos x + 2 sen x 27 y ... (2 + 9x)e-4x 29 y "'" eXsen 2x/2 Ej,rclclos 19.7, p6g11UI 963 1 Y = CI sen x + C2 eos x - eos x Inlsee x + tan xl 3 y = (CI + C2x + x 4/12)e 3x x ~ y = CI eX + C2e- + (2/5)ex sen x - (1/5)ex cos x 7 y = (Cl + x/6)e 3x + C2e­ 3x 4x x 2x 9 y = Cl e + C2 e- - (1/2) 11 Y = Cl eX + C2e + (2/3)e-x 13 y = CI + C2e- 2x + (1/8)sen2x - (1/8)cos 2x 15 y = CI eX + C2 e- x + (l/9)(3x - 4)e 2x 17 y = e3x (C l cos 2x + C2 sen 2x) + (1/65)(7 cos x - 4 sen x)ex

RESPUESTAS Ejercicios /9.8. ¡MtlNI 966

~ (-Ir 2n ~ (-Ir 2n+I( ) 1 Y-DO ¿. (2)'x +°1 n-O ¿. (2 I)'x = 0ocosx + 01 sen x n=O n. n + .

n

_ [ 00 2 (3n - 2)(3n - 5)· . ·7 ·4· 1 3nJ 3y-ool+~ () X n=1 3n!

n ~ 2 (3n - 1)(3n - 4)··· S . 5· 2 3n+IJ

+01 [ X + ¿. X n=1 (3n + I)! 5 Y --

00

(1

7 Y = 0o(x

-

X

2) + 01 [ X

-

~ (2n - 3)(2n - 5),,·5, 3· 1 2n+IJ ¿. () X n=1 2n + 1 !

+ 1)3

00 Xn 00 (_x)n

9 y = -5x + 00 ~ 1" + 01 ~ - , - = -5x + 00e x + 01 e-x

n=O n. n=O n.

11 Y = 00 n~o (n + l)x 00

2n

+ 01 n~O 00

(2n+3) 2n 1 -3- x + +

n~1 00

(n + l)x

2n

Ejercicios de repaso /9.9. ¡M,INI 967

(I/J3)tan- l (y/'0x) + (J/2)ln(3x 2 + y2) = C xy2 + ye- X + 3y = C 7 y = 2 sen X + C eos X 9 + sen- I x = C 2 4 3 x sen(y/x) = C 13 y = (Cx- - 2x /7)-1/2 15 y = (CI + C 2 x)e 4x

y = CI + C 2 e 2x 19 y = C I eX + C 2 e- x - (I/5)eX(sen x + 2 eos x) sen-Ix y/2 - (sen 2y)/4 = C 23 y = Ce- x + e4x /5 y = C I eX + C 2 e 2x + e 5x /12 27 y = (x - 2//3x + C/x y = CI e 5x + C2 e- 4x + «l/lOS) - (1/IS)x)e-'<

1 sen

5 11 17 21 25 29

X -

X

eos

X

+

e-Y

= C

3

VI="?

-JI-=-? -

31 y = e-(5/2)x(CI eos '0x/2 + C2 sen "0x/2) 33 eX(sen x - eos x) + 2e-Y 2x 35 y = eos x/2 + C see x 37 xy + e- seny = C 39 y = (Inlsee x + tan xl - x + C)/(ese x - eot x)

APENDICE

= C

ID

Ejercicios ¡Mglna AU 3 (a) II

(b) III

(e) IV

El orden en los ejercicios 5 y 9 es: sen, eos, tan, ese, see, col.

5 (a) 1,0,-,1,-, O (b) -J2/2, --J2/2, -1, -J2, --J2,-1 (e) O, 1,0,-, 1,- (d) -1/2, '0/2, -'0/3, -2, 2'0/3, -'0

7 SIO°, -120°, 315°, 900°, 36°

9 (a) -4/5, 3/5, -4/3, -5/4, 5/3, -3/4

(b) 203/13, -301/13, -2/3, 03/2, -01/3, -3/2 (e) -1, O, -, -1, --, O 37 '17/2, ).,,/2, '17/4, 3'17/4, 5'17/4, 7'17/4; 90°,270°,45°, 135°,225°,315° 39 0, '17; 0°, ISO° 41 0, '17, 2'17/3, %/3; 0°, ISO°, 120°,240° 43 '17/2, 7'17/6, 11'17/6; 90°, 210°, 330° 45 '17/6,5'17/6, '17/3, 5'17/3; 30°, 150°,60°,300° 47 '17/3, 5'17/3; 60°,300° 49 y2 - 0/2 or (y'6 - -J2)/4 51 -y2 - '0/2 o (V2 - V6)/4 53 84/S5 55 -36/77 57 24O/2S9 59 24/7 61 1/3 63 (a) (1/2)cos 3t - (1/2)eos lIt (b) (1/2)cos(u/12) + (1/2)eos(5u/12) (e) 3 sen Sx - 3 sen 2x

A77

INDICE

Abscisa, 11

Abscisa al origen, 15

Abscisas u ordenadas al origen,

15

Aceleración, 188, 709, 710

componente normal de la, 720

componente tangencial de la,

7W Aceleración centrípeta, 709

Angulo, All

Angul0 entre dos vectores, 649,

652

Angulos directores, 656

Antiderivada, 199

Aproximaciones, 110, 517

Arco, longitud de, 312

Area, 217, 221, 265

Area de una superficie, 850

diferencial de la, 896

Asíntota

horizontal, 163

vertical, 169

Asíntotas

horizontales, 161, 163

de un hipérbola, 340

verticales, 161, 163

Bernoulli. ecuación di ferencial

de, 944

Binomio, teorema del, 99

Cadena, regla de la, 114, 759

Cambio de variable(s), 251, 921

Campo

conservativo, 860

de fuerzas, 857

irrotacional, 913

de tipo gravitacional, 859

vectorial, 857

de velocidades, 859

Campo vectorial

conservativo, 860

estacionario, 857

irrotacional, 913

Cardioide,603

Cáscara cillndrica, 287

Catenaria, 430

Cauchy, fórmula de, 493

Cauchy-Riemann, ecuaciones de,

914

Cauchy-Schwarz, desigualdad de,

651

Cavalieri, teorema de, 295

Centro de curvatura, 717

Centro de gravedad

de una región plana, 479

de un sólido, 484, 840

Centro de masa, 475, 817

de una lámina, 479, 818

de un sistema de partículas,

476

de un sólido, 818, 840

de un sólido de revolución, 484

Cicloide, 593

Cilindro, 679

eliptico, 680

parabólico, 680

Circulación, 912

Circulo, ecuación de un, 17

Circulo de curvatura, 717

Circulo unitario, 17

Coeficientes indeterminados, 961

Combinación lineal, 637

Comparación, criterio de, 550,

551

Completitud, 536

Componente normal de la

aceleración, 7W

Componente tangencial de la

aceleración, 720

Componentes de un vector, 631,

638,645

A79

ASO

INDlCE

Concavidad, 151, 153

hacia abajo, 152

hacia arriba, 152

Condición a la frontera, 931

Cónica, ecuación polar de una, (IJ7

Cónica degenerada, 323

Cónicas, 322

Conjugado de un número

complejo, 955

Conjunto, 5

Conjuntos, intersección de, 5

Cono, 585

Constante de integración, 249

Continuidad

de una función, 75, 744

de una función vectorial, 700

en un intervalo, 77

Convergencia

absoluta, 559

condicional, 560

de una integral impropia, 502

intervalo de, 568

de una serie infinita, 538

Coordenada, 2

Coordenada x, 11, 640

Coordenada y, 11, 640

Coordenada Z, 640

Coordenadas

cillndricas, 689, 844

esféricas, 691, 844

polares, 600

Correspondencia uno a uno, 1, 32

Cosenos directores, 656

Costo, función del, 206

Costo marginal, función del,

206

Costo medio, 206

Cota superior, 532

Cota superior mlnima, 535

Crecimiento, ley de, 386

Crecimiento logístico, 391

Criterio de comparación, 550,

551

Criterio de la primera derivada,

147

Criterio de la raíz, 563

Criterio de la razón, 561

Criterio de la secunda derivada,

156

Cuadrante, II

Cuádrica, 683

Cuerda focal, 332

Curva

cerrada, 590

cerrada simple, 590

dirección positiva de una, 880

ecuaciones paramétricas de

una, 590, 697

en el espacio, 697

gráfica de una, 589

lisa, 592

lisa por partes, 592, 863

longitud de una, 617, 697

plana, 589

Curva de crecimiento de

Gompertz, 389

Curva de nivel, 737

Curvas cónicas, 322

Curvas de contorno, 737

Curvatura, 715, 719

centro, circulo y radio de, 717

Decrecimiento, ley de, 386

Definición recursiva, A4

Del (V), 769, 888

Delta (11), 107

Demanda, función de la, 209

Demanda marginal, función de

la, 209

Depreciación, 314

método de la linea recta, 314

Derivación

implícita, 121

logarítmica, 375

Derivada(s)

de un cociente, 103

definición de, 92

por la derecha, 92

direccional, 768, 771

de una función compuesta, 114

de una función constante, 98

de una función implícita, 121

de una función inversa, 394

de funciones vectoriales, 700

de una integral, 245, 249

por la izquierda, 92

laterales, 92

de orden superior, 127

parcial, 747, 749

de potencias, 100

de un producto, 102

como una razón de cambio,

186, 190

y su relación con la

continuidad, 96

de una serie de potencias, 571

de una suma, 103

INDICE

Descartes, René, 10

Desigualdad de Cauchy-Schwarz,

651

Desigualdad del triángulo, 4, 651

Desigualdades, 2

Desigualdades equivalentes, 7

Determinante, 669

Diferencial

coma una aproximación, 110

definición de, lOS, 755, 757

de la longitud de arco, 312

Diferencial del area de una

superficie, 896

Dina, 295

Directriz

de un cilindro, 679

de una parábola, 323

de una sección cónica, 007

Discontinuidad, 75

Discontinuidad infinita, 169

Distancia dirigida, 344

Divergencia

de un campo vectorial, 889,

904

criterio para la, 541

de una integral impropia, 502

de una serie infinita, 538

teorema de la, 900

Dominio de una función, 30

Dominio de una variable, 6

e, el número, 365, 382

Ecuación auxiliar, 953

Ecuación de 8ernoulli, 944

Ecuación de un circulo, 17

Ecuación complementaria, 959

Ecuación diferencial

de 8ernoulli, 944

condiciones a la frontera, 931

definición de, 202, 930

exacta, 936

grado de una, 930

homogénea, 940, 952, 958

lineal,952

lineal de primer orden, 943

lineal de segundo orden, 952

no homogénea, 952

ordinaria, 930

separable, 386, 932

solución de una, 931

solución particular de una, 931

solución en serie de una, 964

solución singular de una, 931

Ecuación de Laplace, 890

Ecuación lineal, 27, 663

Ecuación de onda, 752

Ecuación polar de una cónica,

«J7

Ecuación de la recta dados un

punto y su pendiente, 26

Ecuaciones de Cauchy-Riemann,

914

Ecuaciones equivalentes, 7

Ecuaciones paramétricas, 590

Ecuaciones polares de las

cónicas, 007

Eje conjugado de una hipérbola,

340

Eje mayor de una elipse, 334

Eje menor de una elipse, 334

Eje polar, 600

Eje de revolución, 275

Eje transversal de una hipérbola,

340

Eje x, 11

Eje y, 11

Eje Z, 640

Ejes

coordenados, 2

rotación de, 349

traslación de, 344

Elemento, 5

imagen de un, 30

Elemento de un cilindro, 679

Elipse, 332

ecuación polar de una, 007

eje mayor de una, 334

eje menor de una, 334

excentricidad de una, 007

focos de una, 332

vértices de una, 334

Elipsoide, 682, 683

Emparedado, teorema del, 69,

534

Energia cinética, 822

Energia potencial, 877

Enteros, I

positivos, I

Epicicloide, 596

Error

medio, 111

porcentual, 112

en la regla de Simpson, 261

en la regla del trapecio, 258

relativo, 112

Escalar, 628, 630

Esfera, 643

A81

A82

INDICE Estimaciones

por medio de diferenciales, 110

por medio de la fórmula de

Taylor, 517

Euler, fórmula de, 957

Excentricidad, 607

Exponencial, 364, 378

Exponencial natural, 364

Exponentes, leyes de los, 355

Extremos de una gráfica, 308

Extremos de un intervalo, 5

Factor de integración, 944

Flujo, 898

Flujo de inversión neta, 315

Foco(s)

de una elipse, 332

de una hipérbola, 338

de una parábola, 323

Forma de la ecuación de una

recta dadas su pendiente y

su ordenada al origen, 27

Forma simétrica de la ecuación

de una recta, 666

Formas indeterminadas, 492

Fórmula de Cauchy, 493

Fórmula cuadrática, 955

Fórmula de la distancia, 12, 642

Fórmula de Euler, 957

Fórmula de Maclaurin, 520

Fórmula del punto medio, 13,

643

Fórmula de Taylor, 516

Fracciones parciales, 459

Fuente, 898

Fuerza, 295

constante, 295

ejercida por un líquido, 304

resultante, 629

Fuerzas, campo de, 857

Funcion(es), 30, 33

acotada, 232

algebraica, 40

armónica, 751, 890

cociente de, 39

compuesta, 40

constante, 32, 134

continua, 75, 744

de costo, 206

del costo marginal, 206

creciente, 134

cuadrática, 39

decreciente, 134

de la demanda, 209

de la demanda marginal, 209

derivable, 92

derivada de una, 92

diferencia de, 39

diferenciable, 92, 701, 756

discontinua, 75

dominio de una, 30

de dos variables, 733

escalar, 858

exponencial, 366, 378

exponencial natural, 364

extremos locales de una, 136

de la ganancia, 210

gradiente de una, 769, 770

gráfica de una, 33, 736

hiperbólicas, 429

homogénea, 765, 940

identidad, 32

impllcita, 120

del ingreso marginal, 209

del ingreso total, 209

integrable, 231

inversa, 43

inversas de las funciones

hiperbólicas, 436

inversas de las funciones

trigonométricas, 418

limite de una, 57

lineal, 39

lisa, 308

lisa por partes, 312

logarltmica, 356, 380

logaritmo natural, 356

de la longitud de arco, 312

máximo entero, 36

máximos y mlnimos de una,

135

máximos y minimos locales

de una, 136

no definida, 32

número critico de una, 138

periódica, A20

polinomio, 39, 741

de la posición, 89, 188

de potencial, 860

de potencias, 381

producto de, 39

promedio de una, 249

racional, 40, 741

rango de una, 30

suma de, 38

trascendentes, 40

trigonométricas, A19

INDICE

de tres variables, 736

uno a uno, 32

valor de una, 30

valor máximo de una, 135

valor medio de una, 249

valor mlnimo de una, 135

valores extremos de una, 135

valores extremos locales de

una, 136

con valores vectoriales, 696

vectorial, 858

de la velocidad, 188

Funciones trigonométricas, A 19

derivadas de las, 404

gráficas de las, 406

integrales de las, 413

inversas, 418

Gauss, Karl Friedrich, 900

Generatriz de un cilindro, 679

Gompertz, curva de crecimiento

de, 389

Gradiente de una función, 769,

770

Grado de un polinomio, 39

Gráfica

de un conjunto, 5

de un conjunto de parejas

ordenadas, 14

de una ecuación, 16

de una función, 33, 736

Green, teorema de, 881

Hélice, 698

Hipérbola, 338

Hipérbolas conjugados, 343

Hiperboloide, 684, 685

Hipocicloide, 596

Hooke, ley de, 297

Imagen de un elemento, 30

Inclinación de una recta, 22

Incrementos, 107

Independencia de la trajectoria,

868, 873

Indice de la suma, 217

Inducción matemática, Al

Inercia, momento de, 820, 842

Inercia, momento polar de, 821

Ingreso marginal, función del,

209

Ingreso total, función del, 209

Integración (vea también

Integral)

constante de, 249

fórmulas de, cubiertas

interiores

por fracciones parciales, 459

indefinida, 249

inversión del orden de, 806

limites de, 231

por el método de sustitución,

251

numérica, 256

parcial, 459

por partes, 442

regla para las potencias, 250

de series de potencias, 571

por sustitución trigonométrica,

453

variable de, 249

Integral iterada

doble, 801, 803

triple, 831

Integral triple, 831

en coordenadas cillndricas, 844

en coordenadas esféricas, 847

iterada, 833

Integral(es) (vea también

Integración)

aproximaciones numéricas

para, 256

cambio de variable en, 251,

921

criterio de la, 546

definida, 230

derivadas de, 245, 249

doble, 798, SOl

impropia, 502

indefinida, 249

iterada, SOl, 831

de linea, 862

múltiple, 795

propiedades de la, 234

signo de (J), 231

de superficie, 892

tabla de, cubiertas interiores

teorema del valor medio, 240

triple, 830

Integrales dobles, 798

teorema de la evaluación de,

S03

iteradas, 801, S03

Integrales múltiples, 795

cambio de variables en, 921

A83

A84

INDlCE Integrando, 231

Intersección de conjuntos, 5

Intervalo

abierto, 5

cerrado, 6

de convergencia, 568

infinito, 6

semiabierto, 6

Intervalos, 5

Isobaras, 738

Jacobiano. 921. 925

Kepler, leyes de, 724

Lagrange, multiplicadores de,

787

Lámina, 478

homogénea, 478

momento de una, 478, 818

Laplace, ecuación de, 890

Laplaciano, 890

Leibniz, Gottfried Wilhelm, xvi

Ley de crecimiento, 386

Ley de decrecimiento, 386

Ley de Hooke, 297

Ley de refracción de Snell, 413

Leyes de los exponentes, 355

Leyes de Kepler, 724

Leyes de los logaritmos, 355

Leyes de Newton, 712, 725

I'HOpital, regla de, 494

L1mite(s)

por la derecha, 71

de una función, 57, 162,741

de una función vectorial, 700

inferior, 72

de integración, 231

por la izquierda, 72

laterales, 71

de una sucesión, 530

de las sumas de Riemann, 230,

798

teoremas sobre, 62-69

Limite superior, 231

Linea, integral de, 862

Llnea(s) recta(s), 20

Logaritmo natural, 356

Logaritmos

leyes de los, 355

naturales, 356

Longitud de arco, 309

diferencial de la, 312

Longitud de una curva, 308, 617

Longitud de un segmento recto, 4

Maclaurin, fórmula de, 520

Maclaurin, serie de, 577

Magnitud de un vector, 628,

631,645

Masa, 818

Máximo, 135, 781

Máximo absoluto, 136, 781

Máximo entero, función, 36

Máximos y mlnimos de una

función, 135, 781

Máximos y mlnimos locales, 136

Mayor que, 2

Medida de un ángulo en

radianes, All

Menor que, 2

Método de la linea recta para

representar la depreciación,

314

Método de Newton, 522

Método de sustitución, 251

Mlnimo, 135, 781

Mlnimo absoluto, 136, 781

Momento(s)

de inercia, 820, 842

de una lámina, 478, 818

de una partlcula, 474

polar, 821

de un sistema de partlculas,

476

de un sólido, 818, 840

de un sólido de revolución,

484

Momento polar de inercia, 821

Movimiento armónico, 412

Movimiento armónico simple,

412

Movimiento rectilineo, 88

Multiplicador de Lagrange, 787

Múltiplos escalares de un vector,

631

Newton, leyes de, 712, 725

Newton, método de, 522

Newton, Sir Isaac, xvi

Nivel, curva de, 737

Norma de una partición, 277,

796,831

INDICE Notación de suma, 217

Número complejo, conjugado de

un, 955

Número critico, 138

Número irracional, 1

Número racional, 1

Números complejos, 954

Números directores, 659

Números reales, 1

negativos, 2

positivos, 2

Octante, 641

Onda, ecuación de, 752

Operador diferencial, 97

Operador diferencial lineal, 959

Orden de una derivada, 128

Orden de una ecuación

diferencial, 930

Ordenada, 11

Ordenada al origen, 15

Ordenadas, suma de, 429

Origen, 1, 11,640

p-serie, 544

Pappus, teorema de, 488

Parábola, 16, '323

Paraboloide, 679, 686

hiperbólica, 687

Parámetro, 590, 660

Pareja ordenada, 10

Partición, 227, 831

interior, 795, 797, 832

norma de una, 227, 796, 831

polar, 825

regular, 232

Partfcula, momento de una, 474

Pendiente, 20

Plano coordenado, 11

Plano tangente, 775

Plano xy, 11, 640

Plano XZ, 640

Plano y z, 640

Planos, 662

ortogonales, 664

paralelos, 664

Pol1gono

circunscrito, 221

inscrito, 220

Poligono rectangular

circunscrito, 221

inscrito, 220

Polinomio, 39

cero, 39

grado de un, 39

Polinomio de Taylor, 517

Polo, 600

Porcentaje del error, 112

Potencial, 860

Potencias, regla de las, 99, 116

para antiderivación, 201

para integración indefinida, 250

Potencias, series de (ver Series de

potencias)

Presión de un liquido, 302

Prismatoide, 295

Producto

escalar, 648, 649

interior, 648

punto, 648, 649

vectorial, 669

Promedio, 249

Propiedad de completitud, 536

Punto de la frontera, 743

Punto de inflexión, 155

Punto interior, 743

Punto silla, 783

Radianes, medida de un ángulo

en, All

Radio de convergencia, 568

Radio de curvatura, 717

Radio de giro, 822, 842

Radio medio, 286, 824

Raiz, criterio de la, 563

Ramas de una hipérbola, 340

Rango de una función, 30

Rapidez, 188, 709, 710

Rapidez angular, 709

Razón, criterio de la, 561

Razón de cambio

la derivada como una, 187,

191

instantánea, 187

media, 187, 190

Razón media de cambio, 187,

190

Razones de cambio relacionadas, 193

Reales, 1

Recta coordenada, 2

Recta tangente

a una curva, 702, 774

pendiente de la, 86

vertical, 173

A85

A86

INDICE Recta(s)

ecuación vectorial de una, 660

ecuaciones de las, 26, 27, 660

en el espacio, 659

inclinación de una, 22

inclinada, 676

normal, 119, 776

ortogonal, 661

paralela, 24, 661

pendiente de una, 20

tangente, 86

Rectas ortogonales, 661

Rectas perpendiculares, 24

Región

abierta, 874

conexa, 874

frontera de una, 803

bajo una gráfica, 220

polar, 824

rectangular, 781

simplemente conexa, 877, 913

Regla de la cadena, 114, 759

Regla del cociente, 103

Regla de I'Hopital, 494

Regla de las potencias, 99, 116

para antiderivación, 201

para integración indefinida,

250

Regla del producto, 102

Regla de Simpson, 259

error en la, 261

Regla del trapecio, 257

error en la, 258

Residuo en la fórmula de Taylor,

517

Restricciones, valores extremos

con, 787

Revolución

solidos de, 275

superficie de, 622

Riemann, limite de las sumas de,

230, 798

Riemann, suma de, 228, 796, 831

Rolle, teorema de, 142

Rosa de cuatro pétales, 604

Rotación de ejes, 349

Rotacional de un campo

vectorial, 888, 912

Sandwich, teorema del, 69, 534

Sección, 291

Secciones cónicas, 322

Segunda derivada, 127

Serie

absolutamente convergente,

559

alternante, 555

armónica, 412, 542

binomial, 581

condicionalmente convergente,

560

geométrica, 539

de Taylor, 577

Serie(s) infinita(s), 537

absolutamente convergente,

559

agrupar los terminos de una,

553

alternante, 555

armónica, 542

binomial, 583

condicionalmente convergente,

560

convergente, 538

criterio de comparación para,

550,551

criterio de la integral para, 546

criterio de la raíz para, 563

criterio de la razón para, 561

divergente, 538

dominante, 550

geométrica, 539

de Maclaurin, 577

p-,549 de potencias, 565

rearreglar los términos de una,

553,563

suma de, 538

suma parcial, 538

de Taylor, 577

Series de Maclaurin, 577

Serie(s) de potencias, 565, 567

derivación de, 571

integración de, 571

intervalo de convergencia de

una, 568

radio de convergencia de una,

568

representación de funciones

por medio de, 571

Simetria, 326, 334

criterios de, 326, 334, 606

Simpson, error en la regla de,

261

Simpson, regla de (ver Regla de

Simpson)

INDlCE

Sistema coordenado, 10, 640

cartesiano, 10

derecho, 640

izquierdo, 640

rectanlZular. 10

Sistema de particulas, momento

de un, 476

Snell, ley de refracción de, 413

Sólido, momento de un, 818, 840

Sólido homogéneo, 478

Sólido de revolucción, 275

Solución

de una desigualdad, 7

de una ecuación, 15

de una ecuación diferencial,

202

Stokes, teorema de, 910

Subconjunto, 5

Subintervalo, 6

Sucesión, 528

acotada, 535

límite de una, 530

monótona, 535

de las sumas parciales, 538

Sucesión infinita, 528

acotada, 535

límite de una, 530

monótona, 535

Suma doble, 808

Suma de ordenadas, 429

Suma parcial de una serie, 538

Suma de Riemann, 288, 796, 831

Suma de una serie infinita, 538

Sumidero, 898

Superficie

área de una, 850

cuádrica, 683

diferencial del área de una,

896

integral de, 892

isoterma, 738

de nivel, 738

de revolución, 622

Superficies equipotenciales, 738

Sustitución, método de, 251

Sustitución trigonométrica, 453

Taylor, fórmula de, 516

Taylor, polinomio de, 517

Taylor, residuo en la fórmula de,

517

Taylor, serie de, 577

Teorema del binomio, 99

Teorema de Cavalieri, 295

Teorema de la divergencia, 900

Teorema del emparedado, 69,

534

Teorema fundamental del

cálculo, 243

Teorema de Oreen, 881

Teorema de Pappus, 488

Teorema de Rolle, 142

Teorema del sandwich, 69, 534

Teorema de Stokes, 910

Teorema del valor intermedio, 82

Teorema del valor medio, 143

para integrales definidas, 240

para integrales triples, 904

Tercera derivada. 127

Término

de un polinomio, 39

de una serie, 537

de una sucesión, 528

Terna ordenada, 639

Toro, 488

Trabajo, 295, 654, 869

Transformación de coordenadas,

916

Trapecio, regla del (vea Regla

del trapecio)

Traslación de ejes, 344

Trayectoria, 742

independencia de la, 868, 873

ortogonal, 949

Traza, 664, 678

Triple producto vectorial, 678

Unión de conjuntos, 5

Valor

absoluto, 3

en la frontera, 202

de una función, 30

máximo, 135, 781

medio, 249

minimo, 135, 781

Valor intermedio, teorema del,

82

Valores extremos

de una función, 135, 781

locales, 136, 781

con restricciones, 787

A87

A88

INDICE Variable, 6

cambio de, 251, 921

dependiente, 31, 735

independiente, 31, 735

de integración, 249

muda, 231

Variación de parámetros, 960

Vector(es)

ángulo entre dos, 649, 652

ángulos directores de un, 656

bidimensional, 630

cero, 631, 645

componentes de un, 631, 638,

645,653

cosenos directores de un, 656

con direcciones opuestas, 635,

646

en dos dimensiones, 630

iguales, 628

libre, 628

magnitud de un, 628, 631,

645

con la misma dirección, 635,

646

multiplicación por un escalar

de, 630

múltiplo escalar de un, 631

el negativo de un, 631, 645

normal,662

ortogonales, 650, 652

paralelos, 635, 647

perpendiculares, 652

de posición, 645, 653

producto cruz de, 670

producto escalar de, 648

producto interior de, 648

producto punto de, 648, 652

producto vectorial de, 670

punto inicial de un, 628

punto final de un, 628

resta de, 634

suma de, 629

en tres dimensiones, 645

tridimensional, 645

triple producto escalar de, 677

triple producto vectorial de, 678

unitario, 637, 648

Vector normal que apunta hacia

arriba, 894

Vector unitario normal principal,

719

Velocidad, 88, 90, 187, 708, 710

Velocidad angular, 711

Velocidad media, 88

Velocidades, campo de, 857

Vértice

de una elipse, 334

de una hipérbola, 340

de una parábola, 16, 324

Volumen, 277

TABLA DE INTEGRALES Fonnas básicas f u dv = uv - f

3

f~

=

V

2 fU" du

du

In lul + C

f

4

e" du

= _I_ u..

I

n+1

=

+ C. n '! - I

e" + C

5 fa" du = _I_ a" + C Ina

6 f sen u du = - eos u + C

7 feos u du = sen u + C

8 f see 2 u du = lan u + C

9 f ese 2 u du = - col u + C

10 f see u lan u du = see u + C

11 f ese u cOl u du = - ese u + C

12 flan u du = In Isee ul + C

13 f eoludu = Inlsenul + C

14 f see u du = In lsee u + lan ul + C

15 f ese u du = In lese u - col ul + C

16

I

du

u

17 f -2 - -2 = - lan - , - + C a + u a a 19

f~

a 2 - u 2

=

f

C

_

I

du

18

~ In ¡uu -+ al + C a

~ =sen-'~+ u2 a

ya 2

u

=-see-'-+C

f

fU-;~:2 :2~1:lu -:1 + C

20

u 2 - a2

2a

u+ a

2a

Fonnas que involucran Val + u 1 21

u

f

-

a

~

2

a 2 + u! du = - ~2 + - In ¡u + va2 + u21 + C

2

2

22fu2~dU = ~(a2 8

+

2U2)~ - ~Inlu +.,p-+;JI + 8

2 23 ,)7;2 - - -+-u d u =.,p-+;J - aln f u I

la + .,p-+;JI +

25 27

du

f .,p-+;J

du I ~+ = - - In f u.,p-+;J a 1 u

I

du (a 2

+

u

- -2 - - - - +

U 2 ))/2 -

fiT+

a

I

u!

~ 2 + u21+ C 24 f Ja 2+ u du = - .,p-+;J + Inlu + -;a 2

C

a 2 + u21+ C

- - - = In lu +

29 f

u

C

al + C

2

u 2 u du

u

2

26

f

u ~

a ~ 2 2 ~ = - -; a + u - -In lu + -; a + u 1+ C a 2 + u2 2 _ _ 2

21

f

du = U2~

p

+ u

2

a u

2

+

C

e

Fonnas que involucran Val - u1 30

32

f

2 --u a u Ja 2 - u 2 du = -~ +'-sen-'- + C 2 2 a

f~ du= ~_alnla+~I+c

2 34f ~ u du =-~~+~sen-I~+C 2

36f u -;a~= 2 _u 2 2

37

f

(a 2

2

f

4

u 8

a II

u2~du = -(2u 2 - a2)~ + -sen- I

-~~-sen-'~+c

33 f 7 du=

3sf u~ du =_~lnla+~21+c a

u

--~-~+C au

u

-

a

31

~3a4u

u 2)312 du = - -(2u 2 - 5a 2)-; a 2 - u 2 + -sen-' - + C 8 II a

38 f

du (a 2

-

u 2 )3/2

u

=

a2~

+C

u + C a

-

Formas que involucran a + bu 47 48 49

udu

f _. +- f f __ a

I

=

,(a + bu - a In la + bul) + h

I

d_u_ u(a + hu)

(a

= ~ In¡_u_1 + e

u du = - -a- + I In la + hui + + bu)' h'(a + hu) h'

57 f

2

u du Ja + hu

= - , (hu -

du u

a + hu

3h

= -I

fi

= f u"

.;;;+

In I

-

2a)

J- a + hu

a

fi

+h.¡

--

I

+ C. si a > O

du

=

-

f _~_

u'(a + hu)

f

du ---uta + hu)'

=_ =

58

f

f

"l

u' du

---=- = ,¡;; + hu

I a(a + bu)

= 2

(5h

I

-

u

.

+ (,

si a < O

59

2,(3hu - 2a)(a + hu))' + 15h j(Ma'

+-¡;;.

du

a -1- hu du h(2n - 3)f --- -----a(n _ I)u"-' - 2a(n - 1) u" 'J;;+hu

u" du

­

a +-/;;, = - ----

­

u

F+-h~ -

211" J(~

+

e

+ 3h'u' - 4ahu)Ja + /111 du ufi

u

u" I f du 61 a +- hL~

I

I

.;;;+ hu J- f - - - dll = 2 a + hu + a

f fi--,-

- a

I

I a + bu _ + (' In a' l u

U

I

e

+ h In u + bu + (w

54 f u'¡;;¡ h-;'du

56

2na f 2u"(a + hu)) , hu du = b(211 + 3) - h(211 +3)

62 f ~~

52

-~ - ~a In la + hUI) + e

a + bu + I

e

a + hu

a + bu - Ja

., ---lanj -a

e 50

a + bu

a

f~,= ~(a + hu (a + bu) h

55 f

60

e

- - - = - J (la + hu)' - 4a(a + hu) + 2a' In la + huI] + a + hu 2h

51 f

53

bu U' du

h

-1-)

-

I

-

u

bu 211a h(2-;;+-(-) - h(2n ~ 1)

+ du a

J'

_ hu ­

+

hu

u"

I

du

J~--I--hu

Formas trigonométricas 63 fsen 2 udu

=

~u

64 f cos 2 udu = 1u + 1sen2u +

e

-1sen2u +

65

f tan 2 u du = tan u - u +

67

fsen)udu = -1(2 +sen 2 u)cosu +

69 flan)

u du =

~ tan 2 u

! sec u lan u

73

-~sen'-'

75

Jlan'

66 f cot 2 u du

+

e

68

e

+ In Icos ul +

71 f sec) u du = fsen'udu =

e

! In Isec u

e

u du = _1- tan' n - I

f

J

83 fucos u du

SS f u" cos u du

=

-

cos (a - b)u

86 sen' u cos m u du

cos (a + b)u

-

2(a - b)

cos u + u sen u +

= u"

f

=

sen' -

=

-

'en"

I

I U

e

n+m m U cos -

'

1 U

n - 1 + --

f

n+m

1

~ COSO -

I U

e e

1n ¡sen ul +

! In Icsc u -

+

n - 1 sen u + - n -

=

Jcos'· 2 u du

sen(a - b)u 2(a - b)

= -u"cosu

+ nf

+

sen(a + b)u 2(a

+

h)

e U,-I

cosuelu

sen' - 2 u cos m u du

m - 1 f

+ - - 'ien'ucosm- 2 udu

n+m

I U

n+m

Formas trigonométricas inversas

f

87 sen - 1 U du 89 f tan 91 93

f f

I U

=

u ,cn- I u +

~

+

e

88 f cos·

du = u tan - , u - lln (1 + u 2) +

u 2u2 - I u cos - I U elu = - - - cos' , u -

4

e

- u2

4

90 +

e

J + J 5', J. 1 _ 1/2 ! .. , d~ J. I + u

I [ U"'SCIl-'U- f u"~I elu . u'sen-1udu=-n + I si I _ u 2

94 f u' cos· , u elu = _I_[U"' n + 1 95f u'tan-' udu

I

= _I_[u'. I " + 1

cos -

I U

tan- I u - f

du

92

f f

n -# - 1

n -# - 1

" ¡' -

1

I U

du = u cos - , u -

I - 1/2 +

e

2U2 - I uv/I . 1/' ---,en- I u + 4 4 U2 + 1 u u tan - , u du = --2-tan - I U - - + e 2

u'en-' udu

=

e

col ul +

I

n-I

82 f u sen u du = scn u - u cos u +

84 f u"senudu

cos m

-1 COl 2 u -

8O f cos au cos bu du

e

scn u-n f u" - 1 sen u du =

+

2(a + b)

e

-=..:... col"· u - f col"· 2 u du 78 f cse" u du = -=..:... col u CSC"- 2 u + n - 2 f CSC'- 2 n - 1 n - 1

76 f col' u du =

77fsec'udu = _1-lanusec'-2u + n - 2fsec'-2 u d u " - 1 n - I sen(a + h)u sen(a - b)u 79 senausenbudu = + e 2(a - b) 2(a + b)

8 1 sen au cos bu du

col u - u +

-1 cse u col u

. J COSO u du =

74

flan' - 2 U du

I U -

=

72 f csc J u du =

ucosu + n: I fsen'-2 u d u

-

f cos) udu = 1(2 + (;QS2 u)senu +

70 f COI) u du + lan ul +

=

e

+

U

e

du

Fo"""s exponenciales y logarítmicas

I

96

tlI

'-senbudu =

I

100

= ~(au

u'-du

- I¡'- + C

97

, ' - ,(asenbu - bC05bu)

a +b

+ C

99

In u dI' = u In u - u + C

102 I-'-du

I I

u'('-du =

~u"'- - ~I u'-''-du

('""

- 2 - - 1 (a cos bu + bsenbu) + C a + ¡, u"" u"lnudu = ---1[ln + 1)lnu - IJ + C

'-cos bu dI' =

(n

+

1)

In IIn 1'1 + C

=

uln u

101

I

Fo"""s hiperbólicas

I 105 I I I I

103 senh u dI'

=

cosh u + C

lanh u dI' = In cosh u

104

+C

106

+C

107

sech u dI' = lan - I Isenh 1'1

109

sech ' udu = lanh 1'+ C

111

sech u tanh u dI' = - sech u + C

108 110

I I I I I

cosh u dI' = senh u + C colh udu = In Isenh 1'1 + C csch u dll = In Itanh !1I1 + C csch 2

11

dI' = -colh

112 csch ucolh udu

1'+

C

= -csch

1'+

C

Fo"""s que involcuran V lau - u 2

I I I 116 I I 113

J2Du -

114

u,j2au -

lIS

117

118I 119

120

dI' =

U

~ a J2Du

_

1"

+

~ cos-

1

(a : u) + C

al2cos-' (a-a­ - u) +C

1

1"

J2au -

1"

J2au -

1"

u

1"

dI' J2au -

1"

udu ¡:¡;;;;_.

1"

J

1'2 dI' J2au -

I

1'2

21" - al' - 3a 6 ,j2au -

dI' = ,j2au dI' = =

1"

2J2au -

cos-.(~)

(a -

1"

_ I -

(u

1'2

u)

COS

u)

(a -a- + C

+C

a

1"

+

acos-'(~)

+ 3a)

= ----J2au 1"

1'2+

+ acos- I -a- + C

U

= -J2au -

dI'

uJ2ua -

dI' =

2

{/

1'2

+

+C

3a 2

(a - u)

2

{/

-CQS-I

--

+C

J2au - 1"

----+C all

Esta obra se terminó de imprimir en mayo de 1985.

en los talleres de LITOGRAFICA INGRAMEX, S.A.

Centeno 162, Col. Granjas Esmeralda,

México 13, D.F.

con geometr(a anal(tica

•

-..

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