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u I Resuelto
Cálculo Quinta edición ■ Más de mil problem as resueltos ■ Explicaciones concisas de todos los conceptos del cálculo ■ Consejos sobre el uso de graPicadores
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Frank Ayres, Jr. • E lliott Mendelson
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Quinta edición
Frank Ayres Jr. E x p r o f e s o r y d i r e c t o r del d e p a r t a m e n t o de m a t e m á t i c a s del D i c k in s o n C o lle g e
Elliot Mendelson P r o f e s o r de m a t e m á t i c a s del Q u e en s C o lle g e
Traducción Y e lk a M a r ía G a rc ía P rofesional en Lenguas Modernas E spe cia liza ció n en traducción Universidad de los A n d e s
Revisión técnica Verónica C ó rd o b a M o ra le s Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de M on terrey ( i t e s m )
Me Graw MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • SÄO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO
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Prefacio E l propósito de este libro es ayudar a los estudiantes a com prender y utilizar el cálculo. Todo se h a hecho con el fin de facilitar la com prensión del m ism o, especialm ente a los estudiantes con antecedentes lim itados en m atem áticas o para aquellos que han olvidado su entrenam iento en m atem áticas. L os tem as incluyen todos los m ateriales de los cursos estándar en cálculo elem ental e interm edio. L a exposición directa y concisa típicas de las S eries de S chaum se han am pliado en un gran n úm ero de ejem plos, seguidos po r m uchos problem as resueltos cuidadosam ente. A l seleccionar estos problem as se h a intentado anticipar las dificultades que norm alm ente afronta el principiante. A dem ás, cada capítulo concluye con un grupo de ejercicios com plem entarios con sus soluciones. En esta quinta edición se han increm entado el núm ero de los problem as resueltos y de los com plem entarios. A dem ás, se h a hecho un gran esfuerzo por tratar puntos delicados del álgebra y de la trigonom etría que pueden confundir al estudiante. E l autor considera que un a gran parte de los errores que los estudiantes com eten en el curso de cálculo no se deben a una deficiencia en la com prensión de los principios del cálculo sino a su d ebili dad en el álgebra o en la geom etría que estudiaron en bachillerato. Se recom ienda a los estudiantes a que no pasen al siguiente capítulo sino h asta estar seguros de dom inar los tem as del capítulo que están estudiando. U na buena prueba para determ inar ese dom inio es resolver adecuada m ente los problem as com plem entarios. E l autor agradece a todas las personas que le han escrito para enviarle correcciones y sugerencias, en p arti cular a D anielle Cing-M ars, L aw rence Collins, L. D. D e Jonge, K onrad D uch, Stephanie, H apps L indsey O h y Stephen T. B. Soffer. Tam bién se agradece al editor, C harles Wall, por su apoyo y p aciencia en la elaboración de esta edición. E llio t M endelson
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Índice de contenido 1
S iste m a s de c o o rd e n a d a s lineales. V a lo r a bsolu to . D esigualdades
01
U n sistem a de coordenadas lineales / Intervalos finitos / Intervalos infinitos / D esigualdades P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
2
S iste m a de c o o rd e n a d a s rectan gulares
09
E jes de coordenadas / C oordenadas / C uadrantes / F órm ula de la distancia / Fórm ulas del punto m edio / D em ostraciones o pruebas de los teorem as geom étricos Problem as resueltos Problem as com plem entarios
3
R ectas
18
Inclinación de una recta / E l signo de la pendiente / P endiente e inclinación / E cuaciones de rectas / L a ecuación punto-pendiente / E cuación punto-intersección / R ectas paralelas / R ectas perpendiculares Problem as resueltos Problem as com plem entarios
4
C írc u lo s
29
E cuaciones de los círculos / E cuación estándar de un círculo Problem as resueltos Problem as com plem entarios
5
E c u a c io n e s y sus gráficas
37
L a gráfica de una ecuación / Parábolas / E lipses / H ipérbolas / Secciones cónicas P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
6
F u n c io n e s
49
Problem as resueltos Problem as com plem entarios
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Contenido
7
Lím ites
56
L ím ite de una función / L ím ites p o r la derecha y p o r la izquierda / Teorem as sobre lím ites / Infinito P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
8
C o n tin u ida d
65
F unción continua P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
9
72
La derivada N otación delta / L a derivada / N otación p ara derivadas / D iferenciabilidad P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
10
Reglas para derivar fu n cio n e s
78
D erivación / Funciones com puestas. L a regla de la cadena / Form ulación alternativa de la regla de la cadena / Funciones inversas / D erivadas superiores P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
11
D erivación im plícita
89
Funciones im plícitas / D erivadas de orden superior P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
12
R ectas tan g en tes y norm ales
92
Á ngulos de intersección P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
13
Teorem a del valor medio. F u n c io n e s c recie n tes y de crecientes
97
M áxim o y m ínim o relativos / Funciones crecientes y decrecientes P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
14
V a lo re s m á x im o s y m ínim os N úm eros críticos / C riterio de la segunda derivada p ara extrem os relativos / C riterio de la prim era derivada / M áxim o y m ínim o absolutos / M étodo tabular p ara h allar el m áxim o y el m ínim o absolutos P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
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104
Contenido
15
Trazo de curvas. Co n c a vid a d . S im etría
118
C oncavidad / Puntos de inflexión / A síntotas verticales / A síntotas horizontales / Sim etría / Funciones inversa y sim etría / Funciones pares e im pares / S ugerencias p ara trazar el gráfico de y = f x ) Problem as resueltos Problem as com plem entarios
16
Repaso de trig o n o m e tría
129
M edida del ángulo / Á ngulos dirigidos / Funciones seno y coseno Problem as resueltos Problem as com plem entarios
17
D erivación de fu n c io n e s trig o n o m é tr ic a s
138
C ontinuidad de cos x y sen x / G ráfica de sen x / G ráfica de cos x / O tras funciones trigonom étricas / D erivadas / O tras relaciones / G ráfica de y = tan x / G ráfica de y = sec x / Á ngulos entre curvas Problem as resueltos Problem as com plem entarios
18
F u n c io n e s trig o n o m é tr ic a s inversas
151
L a derivada de sen-1 x / Función coseno inversa / F unción tangente inversa Problem as resueltos Problem as com plem entarios
19
M o v im ie n to s rectilíneo y circu la r
160
M ovim iento rectilíneo / M ovim iento bajo la influencia de la gravedad / M ovim iento circular Problem as resueltos Problem as com plem entarios
20
Razones
166
Problem as resueltos Problem as com plem entarios
21
D iferenciales. M é to d o de Newton
172
L a diferencial / M étodo de N ew ton Problem as resueltos Problem as com plem entarios
22
179
A n tid e riv a d a s L eyes de las antiderivadas Problem as resueltos Problem as com plem entarios
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Contenido
23
187
La integral definida. Á rea bajo una curva N otación sigm a / Á rea bajo una curva / Propiedades de la integral definida P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
24
195
Teorem a fu n d a m e n ta l del cálcu lo T eorem a del valor m edio para integrales / Valor prom edio de un a función en un intervalo cerrado / T eorem a fundam ental del cálculo / C am bio de variable en una integral definida P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
25
202
E l lo g a ritm o natural E l logaritm o natural / Propiedades del logaritm o natural P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
26
210
F u n c io n e s exponenciales y log arítm icas Propiedades de ex / F unción exponencial general / Funciones logarítm icas generales P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
27
218
Regla de L’ H ôpital R egla de L’hôpital / Tipo indeterm inado 0 ■^ / Tipo indeterm inado ^ - ^ indeterm inados 0 0 , ^ 0 y 1“ P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
28
/ Tipos
C r e c im ie n to y d e c re c im ie n to exponencial
2 26
V ida m edia P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
29
A p lic a c io n e s de in te gra ción I: Á re a y longitud de arco
231
Á rea entre una curva y el eje y / Á rea entre curvas / L ongitud de arco P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
30
A p lic a c io n e s de in te gra ción II: volum en F órm ula del disco / M étodo de w asher / M étodo de capas cilindricas / D iferencia de la fórm ula de capas / F órm ula de la sección transversal (fórm ula de las rebanadas) P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
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240
Contenido
31
Técn icas de in te gra ción I: in teg ra ció n por partes
255
Problem as resueltos Problem as com plem entarios
32
Técn icas de in te gra ción II: in tegran do s t rig o n o m é t r ic o s y su s titu c io n e s trig o n o m é tric a s
262
Integrandos trigonom étricos / Sustituciones trigonom étricas Problem as resueltos Problem as com plem entarios
33
Técn icas de in te gra ción III: in te gra ció n por fr a c c io n e s parciales
275
M étodo de fracciones parciales Problem as resueltos Problem as com plem entarios
34
Técn icas de in te gra ción IV: su s titu c io n e s misceláneas
284
Problem as resueltos Problem as com plem entarios
35
Integrales im propias
289
L ím ites de integración infinitos / D iscontinuidades del integrando Problem as resueltos Problem as com plem entarios
36
A p lic a c io n e s de la integ ra ció n III: área de una su p erficie de revolución
297
Problem as resueltos Problem as com plem entarios
37
R e presen ta ció n pa ra m étrica de curvas
303
E cuaciones param étricas / L ongitud de arco p ara una curva param étrica Problem as resueltos Problem as com plem entarios
38
Cu rvatu ra
308
D erivada de la longitud de un arco / C urvatura / E l radio de curvatura / E l círculo de curvatura / E l centro de curvatura / L a evoluta P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
39
317
V e c t o r e s en un plano E scalares y vectores / Sum a y diferencia de dos vectores / Com ponentes de un vector / Producto escalar (o producto punto) / Proyecciones escalar y vectorial / D erivación de funciones vectoriales P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
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Contenido
40
M o v im ie n t o curvilíneo
328
V elocidad en el m ovim iento curvilíneo / A celeración en el m ovim iento curvilíneo / C om ponentes tangencial y norm al de la aceleración P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
41
335
Co o rd e n a d a s polares C oordenadas polares y rectangulares / A lgunas curvas polares típicas / Á ngulo de inclinación / Puntos de intersección / Á ngulo de intersección / L a derivada de la longitud de arco / C urvatura P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
42
348
S u c e s io n e s infinitas Sucesiones infinitas / L ím ite de un a sucesión / Sucesiones m onótonas P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
43
3 56
Series infinitas Series geom étricas P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
44
Series c o n t é rm in o s positivos. C riterio de la integral. C riterios de c o m p a r a c ió n
362
Series con térm inos positivos P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
45
Series alternadas. C o n v e rg en cia a bso lu ta y c o nd icio na l. C riterio del razón
371
Series alternadas P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
46
379
Serie de p otencias Serie de potencias / C onvergencia uniform e P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
47
Series de Taylor y de M a clau rin . Fó rm ula de Taylor c o n residuo Series de Taylor y de M aclaurin / A plicaciones de la fórm ula de Taylor con residuo P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
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392
Contenido
48
401
Derivadas parciales Funciones de varias variables / L ím ites / C ontinuidad / D erivadas parciales / D erivadas parciales de orden superior Problem as resueltos Problem as com plem entarios
49
D iferencial to ta l. D iferencia b ilid a d / Reglas de la cadena
410
D iferencial total / D iferenciabilidad / R eglas de la cadena / D erivación im plícita P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
50
422
V e c t o r e s en el espacio C osenos directores de un vector / D eterm inantes / Vector perpendicular a dos vectores / Producto vectorial de dos vectores / Triple producto escalar / Triple producto vectorial / L ínea recta / E l plano P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
51
S u p e rfic ie s y curvas en el e spacio
437
P lanos / E sferas / Superficies cilíndricas / E lipsoide / P araboloide elíptico / C ono elíptico / P araboloide hiperbólico / H iperboloide de u na h o ja / H iperboloide de dos hojas / R ecta tangente y plano norm al a una curva en el espacio / P lano tangente y recta norm al a una superficie / Superficie de revolución P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
52
Derivadas direccion ales. V a lo re s m á xim os y m ín im o s
448
D erivadas direccionales / V alores m áxim os y m ínim os relativos / V alores m áxim os y m ínim os absolutos Problem as resueltos Problem as com plem entarios
53
D erivación e in teg ra ció n de vectores
456
D erivación vectorial / C urvas en el espacio / Superficies / E l operador V / D ivergencia y rotacional / Integración / Integrales de línea (curvilíneas) P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
54
Integrales dobles e iteradas
470
L a integral doble / L a integral iterada Problem as resueltos Problem as com plem entarios
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Contenido
55
C en tro id es y m o m e n to s de inercia de áreas planas
477
Á rea p lana p or integración doble / C entroides / M om entos de inercia P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
56
In te gra ción doble a plicada al volum en bajo una superficie y al área de una superficie curva
485
P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
57
494
Integrales triple C oordenadas cilíndricas y esféricas / L a integral triple / C álculo de integrales triples / C entroides y m om entos de inercia P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
58
M asas de densidad variable
506
P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
59
E c u a c io n e s diferen ciales de p rim er y segu n d o orden
512
E cuaciones diferenciales separables / Funciones hom ogéneas / Factores de integración / E cuaciones de segundo orden P roblem as resueltos P roblem as com plem entarios
A p é n d ic e s
523
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Sistemas de coordenadas lineales. Valor absoluto. Desigualdades Un sistema de coordenadas lineales U n sistem a de coordenadas lineales es una representación gráfica de los núm eros reales (R) com o puntos en una línea recta. A cada núm ero le corresponde uno y sólo un punto, y a cada punto le corresponde uno y sólo un núm ero. Para establecer un sistem a de coordenadas lineales en un a recta es necesario: 1. seleccionar cualquier punto de la recta com o el origen y asignar a ese punto el núm ero 0 ; 2 . determ inar un a dirección positiva en la recta e indicarla m ediante una flecha; 3. tom ar una distancia fija com o unidad de m edida. Si x es un núm ero positivo, el punto correspondiente a x se obtiene avanzando un a distancia de x unidades a partir del origen en dirección positiva. Si x es negativo, el punto correspondiente a x se h alla desplazándose u na d istancia de - x unidades desde el origen en dirección negativa (fig. 1.1.) P or ejem plo, si x = - 2 , entonces - x = 2 y el punto correspon diente queda a 2 unidades del origen en dirección negativa.
----------1--------- 1---- 1---- 1---- 1---- 1--------- 1---- 1---- 1— I----1---------- H--------1---------► -4
- 3 -5/2
- 2 -3/2
-1
0
1/2
1
V2
2
3^
4
Fig. 1.1. E l núm ero asignado a un punto po r un sistem a de coordenadas se denom ina coordenada de ese punto. En adelante, se hablará com o si no hubiera distinción entre un punto y su coordenada. A sí, al m encionar, p o r ejem plo, el “punto 3” se entenderá el “punto con coordenada 3” . E l valor absoluto Ixl de un núm ero x se define com o sigue: [x x = |-x
si x es cero o un núm ero positivo si x es un núm ero negativo
Por ejem plo, I4I = 4, I-3I = - ( - 3 ) = 3 y I0l= 0. O bserve que si x es un núm ero negativo, entonces - x es positivo. Así, IxI > 0 para todo x. L as propiedades siguientes se cum plen para cualesquiera núm eros x y y. (1.1)
I-xI = IxI Cuando x = 0, I-xI = I-0I = I0I = IxI. Cuando x > 0, - x < 0 y I-xI = - ( - x ) = x = IxI. Cuando x < 0, - x > 0 y I-xI = - x = IxI. (1.2 ) Ix - yI = Iy -x I E sto se sigue de (1.1), ya que y - x = - ( x - y). (1.3) IxI = c im plica que x = ±c. Por ejem plo, si IxI = 2, entonces x = ± 2. P ara la dem ostración se supone que IxI = c. Si x > 0, x = IxI = c. Si x < 0, - x = IxI = c; entonces x = - ( - x ) = - c . (1.4) IxI2 = x2 Si x > 0, IxI = x y IxI2= x2.Si x < 0, IxI = - x y IxI2 = (-x )2 = x2. (1.5) IxyI = x • IyI Por (1.4), IxyI2 = (xy)2 = x2y2 = IxI2IyI2 = (IxI ■IyI)2. C om o los valores absolutos son no negativos, al obtener la raíz cuadrada queda IxyI = IxI ■ IyI.
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CAPÍTULO 1
o ( 1.6 ) v 7
Sistem as de coordenadas lineales
I— I = -¡4 si y * o I y I lyl 7 P or (1.5), lyl| x | = |y ■y | = lxl. Se divide entre lyl.
(1.7)
lxl = lyl im plica que x = ±y S uponga que lxl = lyl. Si y = 0, lxl = lOl = 0 y p o r (1.3) se obtiene x = 0. Si y ^ 0, entonces por (1.6) se tiene que I— I = ■ —- = 1 I y I lyl 1
( 1.8 )
(1.9)
A sí, po r (1.3) x/y = ±1. P or tanto, x = ±y. Sea c > 0. Entonces, lxl < c si y sólo si - c < x < c (fig. 1.2). Suponga que x < 0; entonces lxl = x. A sim ism o, puesto que c < 0, - c < 0 < x. E n consecuencia, lxl < c si y sólo si - c < x < c. A hora suponga que x < 0. E ntonces lxl = -x . Tam bién, x < 0 < c. A dem ás, - x < c si y sólo si - c < x. (A l m ultiplicar o dividir un a desigualdad p o r un núm ero negativo se invierte la desigualdad.) Por ende, lxl < c si y sólo si - c < x < c. Sea c > 0. E ntonces lxl < c si y sólo si - c < x < c (fig. 1.2). E n este caso el razonam iento es sim ilar al de (1.8). |x |s c
\x\
------------- • ---------------- 1------------------• ------------► —c 0 c
------------- O---------------- 1----------------- O------------► —c 0c Fig. 1.2
( 1.10) -lxl < x < lxl Si x > 0, x = lxl. Si x < 0, lxl = - x y, p o r tanto, x = -lxl. ( 1.11) lx + yl < lxl + lyl (desigualdad triangular) P or (1.8), -lxl < x < lxl y -lyl < y < lyl. A l sum ar se obtiene -(lxl + lyl) < x + y < lxl + lyl. Entonces, por (1.8) lx + yl < lxl + lyl. [En (1.8) se rem plaza c p o r lxl+ lyl y x p o r x + y.] E n un sistem a de coordenadas dado sobre una recta, sean P 1 y P 2 los puntos sobre ésta que tienen coorde nadas x j y x 2 (fig. 1.3). E ntonces (1.12)
lx1 - x 2 l = P 1P 2 = distancia entre P 1 y P 2 . E sto resulta claro cuando 0 < x 1 < x 2 y cuando x 1 < x 2 < 0. C uando x 1 < 0 < x 2 y adem ás se representa el origen con la letra O, entonces P 1P 2 = P 1 O + O P 2 = ( -x 1) + x 2 = x 2 - x 1 = lx2 - x 1 l = lx1 - x 2 l.
C om o caso especial de (1.12), cuando P 2 es el origen y (x2 = 0): (1.13) lx1l = distancia entre P 1 y el origen. P2 P1 ------------------------------------ 1---------------------------------------------1----------------------x2 x1 Fig. 1.3
Intervalos finitos Sea a < b. E l intervalo abierto (a, b) se define com o el conjunto de todos los núm eros que hay entre a y b, es decir, el conjunto de todos los x tales que a < x < b. Se usará el térm ino intervalo abierto y la notación (a, b) tam bién p ara todos los puntos entre los puntos con coordenadas a y b en un a recta. O bserve que el intervalo abierto (a, b) no contiene los p u n to s extrem os a y b (fig. 1.4). E l intervalo cerrado [a, b] se define com o el conjunto de todos los núm eros que hay entre a y b o iguales a a o b, es decir, el conjunto de todos los x tales que a < x < b. C om o en el caso de los intervalos abiertos, se utiliza la m ism a term inología y notación de los puntos en un a recta. O bserve que el intervalo cerrado [a, b] sí contiene am bos puntos extrem os (term inales) a y b (fig. 1.4).
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----------- • • --------- ► a b Intervalo cerrado [a, b]: a < x < b
Por intervalo sem iabierto se entiende un intervalo abierto (a, b) ju n to con uno de sus puntos extrem os. H ay dos de esos intervalos: [a, b) es el conjunto de todos los x tales que a < x < b y (a, b] es el conjunto de todos los x tales que a < x < b
Intervalos infinitos S ea S ea S ea S ea
(a, ^ ) el conjunto de todos los x tales que a < x. [a, ^ ) el conjunto de todos los x tales que a < x. (-ro, b) el conjunto de todos los x tales que x < b. (-ro, b] el conjunto de todos los x tales que x < b.
Desigualdades Toda desigualdad — com o 2x - 3 > 0 o 5 < 3x + 10 < 16— determ ina un intervalo. R esolver un a desigualdad significa determ inar el intervalo correspondiente de los núm eros que la satisfacen. EJEMPLO 1.1.
Resuelva 2x - 3 > 0. 2x - 3 > 0 2x > 3 x >!
(Sumando 3) (Dividiendo entre 2)
Así, el intervalo correspondiente es ( f , EJEMPLO 1.2.
Resuelva 5 < 3x + 10 < 16. 5 < 3x + 10 < 16 - 5 < 3x < 6
(Restando 10)
- 3
(Dividiendo entre 3)
Así, el intervalo correspondiente es (—| , 2 ]. EJEMPLO 1.3.
Resuelva -2 x + 3 < 7 -2 x + 3 < 7 -2 x < 4 x > -2
(Restando 3) (Dividiendo entre -2 )
(Observe que cuando se divide entre un número negativo la desigualdad se invierte.) Así, el intervalo correspon diente es ( - 2, ^ ).
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Describa y represente los intervalos siguientes y exprese su notación de intervalos: a) - 3 < x < 5; b) 2 < x < 6; c) - 4 < x < 0; d) x > 5; e) x < 2; f 3x - 4 < 8; g) 1 < 5 - 3x < 11. a)
Todos los números mayores que -3 y menores que 5; la notación de intervalos es (-3 , 5): ---------------- O------------------------- O------------------------ ► -3
5
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Sistemas de coordenadas lineales
Fig. 1.4
CAPÍTULO 1
----------- o ----------------------- o --------- a b Intervalo abierto (a, b): a < x < b;
CAPÍTULO 1
Sistem as de coordenadas lineales
b)
Todos los números iguales o mayores que 2 y menores o iguales que 6: [2, 6]:
c)
Todos los números mayores que - 4 y menores o iguales que 0: ( - 4, 0]: -O - 4
d)
Todos los números mayores que 5: (5, ^): -O5
e)
Todos los números menores o iguales que 2: ( - ^ , 2]:
2
f
3x - 4 < 8 equivale a 3x < 12 y, por consiguiente, a x < 4. Así, se obtiene ( - ^ , 4]:
4
g)
1 < 5 - 3x < 11 - 4 < -3 x < 6 —2 < x < -4
(restando 5) (dividiendo entre -3 ; observe que las desigualdades se invierten).
Por ende, se obtiene (—2 -f) : ------------------ O------------------------ O--------------- ► -2
4/3
Describa y represente los intervalos determinados por las desigualdades siguientes: a) Ixl < 2; b) Ixl > 3; c) Ix - 3I < 1; d) Ix - 2I < 8 > 0; e) Ix + 2I < 3; f ) 0 < Ix - 4I < 8 > 0. a)
Por la propiedad (1.9), esto equivale a - 2 < x < 2, que define el intervalo abierto (-2 , 2). -O----------------------- O-2
b)
2
Por la propiedad (1.8), IxI < 3 equivale a - 3 < x < 3. Al tomar las negaciones, IxI > 3 equivale a x < -3 , o bien, x > 3, lo que define la unión de los intervalos ( - ^ , -3 ) y (3, ^ ).
------------ O--------------------O-------------------- ► -3
c)
3
Por la propiedad (1.12), se dice que la distancia entre x y 3 es menor que 1, lo que equivale a 2 < x < 4. Esto define el intervalo abierto (2, 4). -O------------------ O2
4
Cabe también observar que Ix - 3I < 1 equivale a -1 < x -3 < 1. Al sumar 3 se obtiene 2 < x < 4. d)
Esto indica que la distancia entre x y 2 es menor que 8, o que 2 - 8 < x < 2 + 8, lo que define el intervalo abierto (2 - 8, 2 + 8). Este intervalo se denomina vecindad 8 de 2: -O ---------------1---------------- O— 2-S
2
2 + S
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e)
lx + 21 < 3 equivale a -3 < x + 2 < 3. Al restar 2 se obtiene -5 < x < 1, lo que define el intervalo abierto (-5, 1): --------------o --------------- o --------------►
f)
1
La desigualdad lx - 4l < 8 determina el intervalo 4 - 8 < x < 4 + 8. La condición adicional 0 < lx - 4l dice que x ^ 4. Por tanto, se obtiene la unión de los dos intervalos (4 - 8, 4) y (4, 4 + 8). El resultado se denomina vecindad 8 de 4: — O-------------------O------------------O--- ► 4-S
3.
4
4+ 5
Describa y trace un diagrama de los intervalos determinados por las desigualdades siguientes: a) 15 - xl < 3; b) l2x - 3l < 5; c) 11- 4 xl < 2. a)
Como l5 - xl = lx - 5l, se tiene que lx - 5l < 3, equivalente a -3 < x - 5 < 3. Sumando 5 se obtiene 2 < x < 8, que define el intervalo [2, 8]:
b)
l2x - 3l < 5 equivale a -5 < 2x - 3 < 5. Sumando 3 se obtiene - 2 < 2x < 8; entonces, al dividir entre 2 resulta -1 < x < 4, lo que define el intervalo abierto (-1 , 4): -o------------------------------ o -1
c)
4
Como l1 - 4xl = l4x - 1l, se tiene que 14x —1 < 2 , que equivale a —1 < 4 x —1 < 2. Al sumar 1 se obtiene 2 < 4 x < 3 . Dividiendo entre 4 se obtiene 1 < x < f , que define el intervalo ( , §): -O-----------------------O 1/8
4.
3/8
Resuelva las desigualdades siguientes y trace la gráfica de las soluciones: a) 18x - 3x2 > 0; b) (x + 3)(x - 2) (x - 4) < 0; c) (x + 1)2(x - 3) > 0. a)
Sea 18x - 3x2 = 3x(6 - x) = 0; se obtiene x = 0 y x = 6. Hay que determinar el signo de 18x - 3x2 en cada uno de los intervalos x < 0, 0 < x < 6 y x > 6 para establecer dónde 18x - 3x2 > 0. Observe que es negativo cuando x < 0 (ya que x es negativo y 6 - x es positivo). Se vuelve positivo cuando se pasa de izquierda a derecha por 0 (puesto que x cambia de signo, pero 6 - x sigue siendo positivo) y se vuelve negativo cuando pasa por 6 (ya que x sigue siendo positivo, pero 6 - x cambia a negativo). Por ende, es positivo cuando y sólo cuando 0 > x < 6. ------- O----------------------- O--------► 0 6
b) Los puntos críticos son x = -3 , x = 2 y x = 4. Advierta que (x + 3)(x - 2)(x - 4) es negativo para x < -3 (pues cada uno de los factores es negativo) y que cambia de signo cuando pasa por cada uno de los puntos cruciales. Por tanto, es negativo para x < -3 y para 2 < x < 4: ---------O------------------------------------------------ O------------------ O-----------------------3
c)
2
4
Observe que (x + 1)2 siempre es positivo (salvo en x = -1 , donde es 0). Por tanto, (x + 1)2(x - 3) > 0 cuando y sólo cuando x - 3 > 0, es decir, para x > 3: O 3
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Sistemas de coordenadas lineales
-5
CAPÍTULO 1
o
CAPÍTULO 1
o 5.
6.
Sistem as de coordenadas lineales
Resuelva Í3x - 71 = 8. Por (1.3), Í3x - 71 = 8 si y sólo si 3x - 7 = ±8. Entonces hay que resolver 3x - 7 = 8 y 3x - 7 = - 8. Se obtiene x = 5 o x = —3. 2x + 1 Resuelva ----------- > 3. x+ 3 Caso 1: x + 3 > 0. Al multiplicar por x + 3 se obtiene 2x + 1 > 3x + 9, lo que se reduce a - 8 > x. Sin embargo, como x + 3 > 0, es probable que x > -3 . Entonces este caso no tiene solución. Caso 2: x + 3 < 0. Al multiplicar por x + 3 se obtiene 2x + 1 > 3 + 9. (La desigualdad se invierte porque se multiplicó por un número negativo.) Esto resulta -8 < x. Puesto que x + 3 < 0, se tiene que x < -3 . Luego, las únicas soluciones son -8 < x < -3.
7.
Resuelva | 2
- 3| < 5.
La desigualdad equivale a —5 < 2 —3 < 5. Se suma 3 para obtener - 2 < 2/x < 8, y se divide entre 2 para obtener -1 < 1/x < 4. Caso 1: x > 0. Se multiplica por x para llegar a - x < 1 < 4x. Entonces, x > 4 y x > -1 ; estas dos desigualdades son equivalentes a una sola desigualdad: x > 4. Caso 2: x < 0. Se multiplica por x para obtener - x > 1 > 4x. (Observe que se invirtieron las desigualdades al multiplicar por un número negativo x.) Entonces, x < 1 y x < -1 . Estas dos desigualdades equivalen a x < -1. Por ende, las soluciones son x > 4 o x < -1 , la unión de dos intervalos infinitos y (_ ^ , - 1). 8.
Resuelva Í2x - 51 > 3. Se soluciona primero la negación Í2x - 5Í < 3, la cual equivale a -3 < 2x - 5 < 3. Se suma 5 para obtener 2 < 2x < 8 y se divide entre 2 para obtener 1 < x < 4. Como ésta es la solución de la negación, la desigualdad original tiene la solución x < 1 o x > 4.
9.
Resuelva x2 < 3x + 10. x2 < 3x + 10 x2 - 3x - 10 < 0 (x - 5)(x + 2) < 0
(restando 3x + 10)
Los números cruciales son - 2 y 5. (x - 5)(x + 2) > 0 cuando x < - 2 (ya que tanto x - 5 como x + 2 son negativas); resulta negativa cuando pasa por -2 (ya que x + 2 cambia de signo) y luego se vuelve positiva cuando pasa por 5 (ya que x - 5 cambia de signo). Así, las soluciones son - 2 < x < 5.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 10. Describa y trace la gráfica del conjunto determinado por cada una de las condiciones siguientes: a)
-5 < x < 0
b)
x<0
c) e)
-2 < x < 3
d)
x> 1
Íx Í < 3
f)
ÍxÍ > 5
g)
Íx - 21 < 1
h)
Íx - 3Í > 1
i)
0 < Íx - 21 < 1
j)
0 < Íx + 3Í < 1
k)
Íx - 21 > 1
Respuestas:
e) -3 < x < 3; f) x > 5 o bien, x < -5 ; g) -| < x < 5 ; h)x > - 2 o bien, x < -4 ; i) x ^ 2 y 1 < x < 3; j) —13 < x < —11; k) x > 3 o bien, x < 1
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11. Describa y trace la gráfica del conjunto determinado por cada una de estas condiciones: I 3x - 71 < 2
b)
I 4x - 1I > 1
c)
x - 2 <4 3
d)
<4 x
e)
2+ - > 1
f )
<3
Respuestas:
a) 3 < x < 3 ; b) x > - o bien, x < 0 ; c) - 6 < x < 18; d) x < —-| o bien, x > -2-; e) x > 0 o bien, x < -1 o bien, - 3 < x < 0 ; f ) x > 3 o bien, x < —|
12. Describa y trace la gráfica del conjunto determinado por cada una de las condiciones siguientes: a) x(x - 5) < 0 b)(x - 2)(x c)
6) > 0
(x + 1)(x - 2) < 0
d ) x(x - 2)(x + 3) > 0 e)
(x + 2)(x + 3)(x + 4) <
f)
(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 3) > 0
0
g) (x - 1)2(x + 4) > 0 h) (x - 3)(x + 5)(x - 4)2 < 0 i)
(x - 2)3 > 0
j) k)
(x + 1)3 < 0 (x - 2)3(x + 1) < 0
l)
(x - 1)3(x + 1)4< 0
m) (3x - 1)(2x + 3) > 0 n) (x - 4)(2x - 3) < 0 Respuestas:
a) 0 < x < 5; b) x > 6 o bien, x < 2; c) -1 < x < 2; d) x > 2 o bien, -3 < x < 0; e) -3 < x < - 2 o bien, x < - 4; f ) x > 2 o bien, -1 < x < 1 o bien, x < - 3; g) x > - 4 y x ^ 1; h) -5 < x < 3; i) x > 2; j) x < -1 ; k) -1 < x < 2; l) x < 1 y x ^ -1 ; m) x > 3 o bien, x < —2; n) | < x < 4
13. Describa y trace la gráfica del conjunto determinado por cada una de las condiciones que siguen: a) b) c) d) e) f) g) h)
x2 < 4 x2 > 9 (x - 2)2 < 16 (2x + 1)2 > 1 x 2 + 3x - 4 > 0 x 2 + 6x + 8 < 0 x2 < 5x + 14 2x2 > x + 6
i) 6x2 + 13x < 5 j) x3 + 3x2 > 10x Respuestas:
a) - 2 < x < 2; b) x > 3 o bien, x < -3 ; c) - 2 < x < 6; d) x > 0 o bien, x < -1 ; e) x > 1 o bien, x > - 4; f) - 4 < x < -2 ; g) - 2 < x < 7; h) x > 2 o bien, x < —-| ; i) —5 < x < 3 3 ; j) -5 < x < 0 o x > 2
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Sistemas de coordenadas lineales
a)
CAPÍTULO 1
o
CAPÍTULO 1
Sistem as de coordenadas lineales
14. Resuelva: a) d)
-4 < 2 - x < 7 3 x —1
>3
2x + 3
Respuestas:
b) e)
2x —1
<3
c)
>2
f)
x 2 x —1 x
x
<1
x+2 x
<2
x +2
a) -5 < x < 6; b) x > 0 o bien, x < -1 ; c) x > -2 ; d) —10 < x < —-|; e) x < 0 o bien, 0 < x < 1; f ) x < - 4 o bien, x > -1
15. Resuelva: a)
I4x - 51 = 3
b)
Ix + 6I = 2
c)
I3x - 4I = I2x + 1I
d)
Ix + 1I = Ix + 2I
e)
Ix + 1I = 3x - 1
f
Ix + 1I < I3x - 1I
g)
I3x - 4I > I2x + 1I
Respuestas:
a) x = 2 o bien, x = 2; b) x = - 4 o bien, x = - 8; c) x = 5 o bien, x = | ; d) x = —2; e) x = 1; f x > 1 o bien, x < 0; g) x > 5 o bien, x < |
16. Pruebe: a) Ix2I = IxI2 b) IxnI = IxIn para todo entero n c) ixi= 4 x d) Ix - yI < IxI + IyI e) Ix - yI > IIxI - IyII [Sugerencia: en e), pruebe que Ix - yI > IxI - IyI y Ix - yI > IyI - IxI.]
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Sistema de coordenadas rectangulares
Ejes de coordenadas E n un plano P, se escoge un par de rectas perpendiculares. Si un a de ellas es horizontal, entonces la otra será vertical. L a recta horizontal se designa com o eje x y la vertical com o eje y (fig. 2.1). y
-------- ",b
1 1P(a, b)
-
r
-
i 3 i 2 1 i -2
i -1 O -1
“
i 1
i 2
i 3
i 4
i 5
| \a 1
Fig. 2.1 A hora se tom a un sistem a de coordenadas lineales sobre el eje x y uno sobre el eje y que satisfacen las co n diciones siguientes: el origen de cada sistem a de coordenadas es el punto O, donde se cortan los ejes. E l eje x está orientado de izquierda a derecha y el eje y de abajo arriba. L a p arte del eje x con coordenadas positivas se denom ina eje x positivo y la p arte del eje y con coordenadas positivas se designa eje y positivo. D ebem os establecer una correspondencia entre los puntos del plano P y pares de núm eros reales.
Coordenadas C onsidere el punto P del plano (figura 2.1). L a recta vertical que p asa p o r P corta el eje x en un único punto; sea a la coordenada de este punto sobre el eje x . E l núm ero a se denom ina coordenada x de P (o la a bscisa de P ). L a recta horizontal que pasa por P corta el eje y en un solo punto; sea b la coordenada de este punto sobre el eje y. E l núm ero b se denom ina coordenada y de P (o la ordenada de P ). A sí, todo punto P tiene un p ar único (a, b) de núm eros reales asociado con él. A su vez, cada par (a, b) de núm eros reales está asociado con un punto único en el plano. L as coordenadas de varios puntos se indican en la figura 2.2. E n aras de la sim plicidad, se han lim itado a enteros.
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Sistem as de coordenadas rectangulares
CAPÍTULO 2
y
(-3, 7)<
• (5, 4) (3, 3) (-4, 2)1 (6, 0) -4 -3 -2 -1 0 -1
2 3
4
5
6
-2 -3 (-3, -4) |
(0, -4) >(4, -4)
-4 -5
Fig. 2.2 EJEMPLO 2.1. En el sistema de coordenadas de la figura 2.3, para hallar el punto correspondiente a las coorde nadas (2, 3) se comienza en el origen, se desplaza dos unidades a la derecha y luego tres unidades hacia arriba. y 4
3
• (2, 3)
2
> (-4 , 2)
1
_L -4 (-3 , - 1 ) *
-2
-1
0
2
3
-1
-2
Fig. 2.3 Para encontrar el punto de coordenadas (-4 , 2) se empieza en el origen, se desplaza cuatro unidades a la izquierda y luego dos unidades hacia arriba. Para hallar el punto con coordenadas (-3 , 1) se comienza en el origen y se desplaza tres unidades a la izquierda y luego una hacia abajo. El orden de estos desplazamientos no es importante. Por ejemplo, el punto (2, 3) también puede encontrarse em pezando en el origen y avanzando tres unidades hacia arriba y luego dos a la derecha.
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II
I
( - , +)
(+ , +) (-1 , 2 )»
2
• ( 3 , 1) _L_
-3
_L_
-2
(-2 , - 1 ) *
J _______ L
_L_
-1
x
0 -1
-2
• (2, - 2 )
III
IV
(-, -)
(+ , - )
Fig. 2.4 L os puntos sobre el eje x tienen coordenadas de la form a (a, 0). E l eje y consta de los puntos con coordenadas de la form a (0 , b). D ado un sistem a de coordenadas, es habitual referirse al p unto con coordenadas (a, b) com o “el punto (a, b)” . Por ejem plo, se puede decir que “el punto (0, 1) queda sobre el eje y” .
Fórmula de la distancia L a distancia P1 P2 que hay entre los puntos P 1 y P 2 con coordenadas (x1, y1) y (x2, y2)
en un
sistem a de coorde
nadas (fig. 2.5) se obtiene m ediante la siguiente fórm ula de la distancia:
PP2=V (x1- x2) 2+( y - y2) 2
Fig. 2 .5
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(2 .1)
Sistemas de coordenadas rectangulares
S uponga que se h a establecido un sistem a de coordenadas en el plano E ntonces todo el plano ^ , salvo los ejes de coordenadas, puede dividirse en cuatro partes iguales, denom inadas cuadrantes. Todos los puntos con am bas coordenadas positivas conform an el prim er cuadrante, llam ado cuadrante I, en la esquina superior d e recha (fig. 2.4). E l cuadrante II consta de todos los puntos con coordenada x negativa y coordenada y positiva. L os cuadrantes III y IV tam bién se presentan en la figura 2.4.
CAPÍTULO 2
Cuadrantes
CAPÍTULO 2
Sistem as de coordenadas rectangulares
P ara observar esto, sea R el punto donde la recta vertical que p asa p o r P 2 corta la recta horizontal que pasa po r P j. L a coordenada x de R es x 2 , lo m ism o que p ara la de P 2. L a coordenada y de R es y 1 , la m ism a que la de P j. P or el teorem a de Pitágoras, (PJP2) 2 = (PJR ) 2 + (P2R )2. Si A 1 y A2 son las proyecciones de P j y P 2 sobre el eje x, los segm entos P JR y A 1A 2 son lados opuestos de un rectángulo, de m anera que PJR = A 1A 2 . Pero A 1A 2 = Ixj - x2l po r la propiedad (1.12); p o r consiguiente, PJR = Ix 1 - x2l . D e igual form a P2 R = lyj - y 2I . Por tanto, (PjPz)2 = Ixj - x2l2 + lyj - y2I2 = (xj - x2)2 + ( y - y2)2. M ediante la raíz cuadrada se obtiene la fórm ula de la distancia. (Puede observarse que la fórm ula tam bién es válida cuando P j y P 2 quedan en la m ism a recta vertical u horizontal.) EJEMPLO 2.2. a)
La distancia entre (2, 5) y (7, 17) es V(2 - 7)2+ (5 - 17)2 = V (-5 )2 + ( -1 2 )2 = V2 5 + 1 4 4 = V Í69 = 13
b)
La distancia entre (1, 4) y (5, 2) es V(1 - 5) 2+ ( 4 - 2 )2 = yj( - 4)2 + (2)2 = V Í6 + 4 = V20 = S ^ / 5 = 2V5
Fórmulas del punto medio E l punto M(x, y), que es el punto m edio del segm ento que une los puntos P 1(x1, y 1) y P 2(x2, y2), tiene las coor denadas (2 .2 )
x =
A sí, las coordenadas de los puntos m edios son los prom edios de las coordenadas de los puntos extrem os o term inales (fig. 2 .6). y
Fig. 2.6 P ara observar esto, sean A, B , C las proyecciones de P 1, M y P 2 en el eje x. L as coordenadas x de A, B y C son x 1, x y x2. E n virtud de que las rectas P 1A , M B y P 2C son paralelas, los cocientes P M / MP 2 y A B / B C son iguales. E ntonces, P M = MP 2 y A B = B C . C om o A B = x - x y B C = x - x
1
1
2
1
x - x j = x2 - x 2 x = Xj + x2
2 (La m ism a ecuación es válida cuando P 2 está a la izquierda de P 1, caso en el que A B = x1- x y B C = x - x 2). D e form a sim ilar, y = (y1 + y2)/2.
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El punto medio del segmento que une (2, 9) y (4, 3) es ^2 + 4, 9 + 3j = (3, 6).
b)
El punto intermedio entre (-5, 1) y (1, 4) es 2~ , “ “2“ ) = (_ 2 ,7).
Demostraciones o pruebas de los teoremas geométricos D em ostraciones de los teorem as geom étricos pueden darse m ás fácilm ente usando las coordenadas que m e diante deducciones a partir de axiom as y teorem as derivados con anterioridad. L as pruebas o dem ostraciones m ediante coordenadas se denom inan analíticas, a diferencia de las pruebas a partir de axiom as, que se llam an sintéticas. EJEMPLO 2.4. Pruebe analíticamente que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo equivale a la mitad de la longitud del tercer lado. Construya un sistema de coordenadas de manera que el tercer lado AB quede en el eje x positivo, A sea el origen y el tercer vértice C quede por encima del eje x como en la figura 2.7. y
Sea b la coordenada x de B (en otras palabras, sea b = A B ). Tenga C las coordenadas (u, v). Sean M x y M2 los puntos medios de los lados A C y BC, respectivamente. Por las fórmulas del punto medio (2.2), las coordenadas de Mj son (-2, 2 ) y las de M2 son ( u + b , 2 ) . M ediante la fórmula de la distancia (2.1)
M M =
|PW IK r # i ;
V
=
=
que es la mitad de la longitud del lado AB.
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Demuestre que la distancia entre un punto P(x, y) y el origen es ^ x 2+ y 2. Como el origen tiene coordenadas (0, 0), la fórmula de la distancia da -jix—0 )2+ ( y - 0)2 =y¡x2+ y2
2.
¿El triángulo con vértices A(1, 5), B(4, 2) y C(5, 6) es isósceles? A B = V (1 - 4)2 + (5 - 2)2 = V (- 3)2 + (3)2 =-¡9 + 9 = V l8 A C = V (1 - 5)2+ (5 - 6)2 = y¡( - 4) 2+ (-1 )2^V Tó+T = yfT7 B C =y¡(4 - 5)2+ (2 - 6)2 = y¡(-1 ) 2+ ( - 4)2 ^ 7 1 + ^ ^ 7 1 7 Como AC = B C , el triángulo es isósceles.
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Sistemas de coordenadas rectangulares
a)
CAPÍTULO 2
EJEMPLO 2.3.
CAPÍTULO 2
3.
Sistem as de coordenadas rectangulares
¿El triángulo con vértices A(-5, 6), B(2, 3) y C(5, 10) es un triángulo rectángulo? AB = y¡{-5 - 2)2+ (6- 3)2 = y¡(-7 )2 + (3)2 = V49 + 9 = V58 A C = 4 (- 5 - 5)2 + (6 -1 0 )2 = y¡ (-1 0 )2 + ( - 4 ) 2 = V100 +16 = VTT6 B C = y¡( 2 - 5)2 + ( 3 - 10)2 ^ ( - 3 ) 2 + (-7)2 = V9 + 49 = V58 Como AC2= AB2+ B C 2, el inverso del teorema de Pitágoras dice que AABC es un triángulo rectángulo, con un ángulo recto en B; de hecho, como A B = BC, A A B C es un triángulo rectángulo isósceles.
4.
Pruebe analíticamente que si las medianas de dos lados de un triángulo son iguales, entonces esos lados son iguales. (La mediana de un triángulo es un segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.) En AABC, sean M Ty M 2 los puntos medios de los lados A C y BC, respectivamente. Construya un sistema de coordenadas de manera que A sea el origen, B se sitúe en el eje x positivo y C quede por encima del eje x (fig. 2.8). Supón que A M 2 = B M T. Debe probar que A C = BC. Sea b la coordenada x de B, y sean (u, v) las coordenadas de C. Entonces, por las fórmulas del punto medio, M Ttiene coordenadas (2, f ) y M 2 tiene las coordenadas (-^2^ , v ). Por tanto, AM =
/ M
7 ÍÍT
y
BMT
Como A M 2 = B M t ,
Por consiguiente, (u +4b) +-4- = (u 4 b) + -4- y, en consecuencia, (u + b)2 = (u - 2b)2. Así, u + b = ±(u - 2b). Si u + b = u - 2b, entonces b = -2 b y, por tanto, b = 0, lo que es imposible porque A * B. Por tanto, u + b = - (u - 2b) = - u + 2b, de donde 2u = b. Ahora B C = y¡(u - b)2 + v 2 = y¡(u - 2u)2 + v 2 =•>/(-u)2 + v 2 = >/u 2 + v 2 y AC = -7u2 + v 2 . Por tanto, AC = B C . 5.
Halle las coordenadas (x, y) del punto Q sobre el segmento de recta que une P T(1, 2) y P 2(6, 7), tal que Q divida el segmento en la razón 2:3, es decir, tal que P1 Q /Q P2 = J-. Sean las proyecciones de P T, Q y P 2 sobre el eje x AT, Q ’ y A2, respectivamente, con coordenadas 1, x y 6, correspondientemente (fig. 2.9). Ahora ATQ ' /Q 'A 2 = PTQ/QP 2 = f . (Cuando dos rectas son cortadas por tres
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CAPÍTULO 2
Sistem as de coordenadas rectangulares
10. Si (2, 2), (2, - 4) y (5, 2) son tres vértices de un rectángulo, halle el cuarto vértice. Respuesta:
(5, - 4)
11. Si los puntos (2, 4) y (-1, 3) son vértices opuestos de un rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas (es decir, a los ejes x y y), halle los otros dos vértices. Respuesta:
(-1, 4) y (2, 3)
12. Determine si los siguientes tríos de puntos son vértices de un triángulo isósceles: a) (4, 3), (1, 4), (3, 10)
b) (-1 , 1), (3, 3), (1, -1 )
c) (2, 4), (5, 2), (6, 5)
Respuestas: a) no; b) sí; c) no.
13. Determine si los siguientes tríos de puntos son los vértices de un triángulo rectángulo. Con los que formen el triángulo, calcule el área de éste. a) (10, 6), (3, 3), (6, - 4 )
b) (3, 1), (1, -2 ), (-3 , -1 )
c) (5, -2 ), (0, 3), (2, 4)
Respuestas: a) sí, área = 29 u2; b) no; c) sí, área = -j- u2
14. Halle el perímetro del triángulo con vértices A(4, 9), B (-3, 2) y C(8, 5). Respuesta: 7>/2 + V170 + 2V53
15. Encuentre el o los valores de y para los que (6, y) equidista de (4, 2) y (9, 7). Respuesta:
5
16. Halle los puntos medios de los segmentos de recta con los siguientes puntos extremos o terminales: a) (2, -3 ) y (7, 4) Respuestas:
b)
( 5 , 2 ) y (4, 1)
a) ( 2 ^ ); b) (^j7 , 2 ) ; c)
c)
( ^ , 0) y (1, 4)
2^
17. Halle el punto (x, y) tal que (2, 4) sea el punto medio del segmento de recta que une (x, y) y (1, 5). Respuesta:
(3, 3)
18. Determine el punto equidistante de los puntos A (-1, 7), B (6, 6) y C(5, -1). Respuesta:
("^ J,
)
19. Pruebe analíticamente que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equidistante de los tres vértices.
20. Demuestre analíticamente que la suma de los cuadrados de la distancia de cualquier punto P a dos vértices de un rectángulo es igual a la suma de cuadrados de sus distancias a los otros vértices.
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23. Pruebe analíticamente que los segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados opuestos del cuadrilátero se bisecan uno a otro.
24. Pruebe que las coordenadas (x, y) del punto Q dividen los segmentos de la recta P 1 (x1, y¡) a P 2 (x2, y 2) en la razón rj:r2 y están determinadas por las fórmulas = r x2 + r, x y r1 + r;
y = r y2 + y r +f
(Sugerencia: use el razonamiento del problema 5.)
25. Halle las coordenadas del punto Q en el segmento P lP 2 tal que P1Q/QP2 = y , si a) P 1 = (0, 0), P 2 = (7, 9); b) P , = (-1, 0), P 2 = (0, 7); c) P , = (-7, -2 ), P 2 = (2, 7); d) P , = (1, 3), P 2 = (4, 2). Respuestas:
a)b) ( - -J7 , 1 4 ); c) ( - 5 ,2j8); d) ( i p i 2 )
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Sistemas de coordenadas rectangulares
22. Pruebe analíticamente que la suma de los cuadrados de las medianas de un triángulo es igual a tres cuartos de la suma de los cuadrados de los lados.
CAPÍTULO 2
21. Pruebe analíticamente que la suma de los cuadrados de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales.
Rectas
Inclinación de una recta L a inclinación de una recta se m ide p o r un núm ero llam ado p en diente de la recta. S ea X una recta y P 1 (x 1 , y j) y P 2(x2, y2) dos puntos de X . L a pendiente de X se define com o el núm ero m = X r —x r . L a pendiente es el cociente de un cam bio en la coordenada y y el correspondiente cam bio en la coordenada x (fig. 3.1).
P ara que la definición de pendiente cobre sentido es necesario com probar que el núm ero m es independiente de la elección de los puntos P j y P 2. Si se selecciona otro par, digam os P 3(x3, y3) y P 4(x4, y4), debe resultar el m ism o valor de m. E n la figura 3.2 (véase pág.19), el triángulo P 3P 4T es sem ejante al triángulo P 1 P 2Q; por tanto, QP2 = T U o y2 - yj = y4 - y3 P1Q P3T 0 x2 - xj x4 - x3 A sí, P j y P 2 determ inan la m ism a pendiente que P 3 y P 4. EJEMPLO 3.1. La pendiente de la recta que une los puntos (1, 2) y (4, 6) de la figura 3.3 (véase pág.19) es 6—j =fPor tanto, cuando el punto sobre la recta se mueve tres unidades a la derecha, avanza cuatro unidades hacia arriba. Además, la pendiente no se ve afectada por el orden en el que se dan los puntos: y—6=- 3 = 3 En general, x2- x = y - y2.
El signo de la pendiente E l signo de la pendiente tiene significado. P or ejem plo, considere una recta X que asciende a m edida que va h acia la derecha, com o en la figura 3.4(a). Puesto que y2 > yj y x2 > x j, se tiene que m = > 0. L a pendiente de X es positiva. A hora considere una recta X que b aja a m edida que va h acia la derecha, com o en la figura 3.4(b). Ahí, y2 < y j, en tanto que x2 > x j, por lo que m = < 0 . L a p en d ien te de X es negativa.
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4
[ p CAPÍTULO 3 R ectas
Fig. 3.3 S ea la recta ^ horizontal, com o en la figura 3.4(c). A hí y1 = y2, de m anera que y 2 - y 1 = 0. A dem ás, x2 - x1 ^ 0. P or tanto, m = =0. La p endiente de X es cero. L a recta X es vertical en la figura 3.4(d), donde se observa que y2 - y1 > 0, m ientras que x2 - x 1 = 0. Por consiguiente, la expresión no está definida. La p en d ien te no está definida p a ra una recta vertical X . (A veces esta situación se describe diciendo que la pendiente de X es “infinita” .)
y
y
£ P2(x2, y2)
>,
• P2(x2, y2)
^ " P i(xi> yi) x
►-X (d)
(c) Fig. 3 .4
Pendiente e inclinación Se considera cualquier recta X con pendiente positiva que p ase por un punto P 1 (x 1 , y1) com o la recta m ostrada en la figura 3.5. Se escoge un punto P 2(x2, y2) en X de m anera que x2 - x1 = 1. E ntonces, la pendiente m de X es igual a la distancia AP2. A m edida que se inclina la recta, AP2 aum enta sin lím ite, com o se m u estra en la figura 3.6(a). A sí, la pendiente de X aum enta sin lím ite a p artir de 0 (cuando X es horizontal) a + ^ (cuando la recta es vertical). M ediante un razonam iento sim ilar, en la figura 3.6(b) se m uestra que a m edida que la pendiente negativa de la recta se inclina, la pendiente decrece a partir de 0 (cuando la recta es horizontal) a - ^ (cuando la recta es vertical).
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CAPÍTULO 3
Rectas
y
Fig. 3 .5 y
(b)
(a) Fig. 3 .6
Ecuaciones de rectas S ea (£ una recta que p asa por un punto P 1(x1, y1) y tiene pendiente m, com o se m u estra en la figura 3.7(a). Para cualquier otro punto P(x, y) sobre la recta, la pendiente m es, por definición, el cociente de y - y 1 y x - x1. Así, p ara todo punto (x, y) en X , m =
y —y x —x
(3.1)
A la inversa, si P(x, y) no está en la recta % com o se presen ta en la figura 3.7(b), entonces la pendiente y-x 1 de la recta P P 1 es diferente de la pendiente m de X ; por tanto, la ecuación (3.1) no es válida p ara los puntos que no están en X . A sí, la recta X consta sólo de los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación (3.1). E n este caso se dice que X es la gráfica de la ecuación (3.1).
(a)
(b) Fig. 3 .7
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Ecuación punto-intersección Si se m ultiplica la ecuación (3.1) por x - x1 se obtiene la ecuación y - y1 = m (x - x 1), que puede reducirse p ri m ero a y - y 1 = m x - m x 1 y luego a y = m x + (y1 - m x1). S ea b el núm ero y1 - mx1. Entonces, la ecuación para la recta X se vuelve y = mx + b
(3.2)
L a ecuación (3.2) produce el valor y = b cuando x = 0, así que el punto (0, b) está en X . Por ende, b es la coordenada y de la intersección de X y el eje y, com o se m uestra en la figura 3.8. E l núm ero b se denom ina la intersección de X con el eje y, y la ecuación (3.2) recibe el nom bre de ecuación p u n to -in tersecció n de X . y
EJEMPLO 3.3.
La recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4, 9) tiene pendiente
m
= 9- 3= 6 4 -2 2
3
Su ecuación punto-intersección tiene la form a y = 3x + b . C om o el punto (2, 3) está sobre la recta, (2, 3) debe satisfacer esta ecuación. L a sustitución d a 3 = 3(2) + b, de la que resu lta que b = - 3 . A sí, la ecuación p unto-intersección es y = 3x - 3. O tro m étodo para hallar esta ecuación consiste en escribir una ecuación p u n to -p en d ien te de la recta, com o y-2 = 3. L uego se m ultiplica p or x - 2 y se sum a 3, con lo que resu lta y = 3x - 3.
Rectas paralelas Sean X 1 y X 2 rectas paralelas no verticales y A 1 y A2 los puntos en los que X 1 y X 2 cortan el eje y, com o en la figura 3.9(a). A dem ás, sea B 1 una unidad a la derecha de A1 y B 2 un a unidad a la derecha de A 2. Sean C1 y C2 las intersecciones de las verticales que pasan p o r B 1 y B2 con ^ 1 y ^ 2. A hora, el triángulo A 1B 1C1 es congruente con el triángulo A 2B 2 C 2 (por el teorem a de congruencia án g u lo -lad o -án g u lo ). P or ende, B xCl = B 2 C2 y B P endiente de ^ 1 =
c
1 1=
B C ^ 2 = pendiente de
A sí, las rectas paralelas tienen p endientes iguales.
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R ectas
EJEMPLO 3.2. a) La recta que pasa por el punto (2, 5) con pendiente 3 tiene una ecuación punto-pendiente x-2 = 3. b) Sea ¡£ la recta que pasa por los puntos (3, -1 ) y (2, 3). Su pendiente es m = 3- i- 1*1 = = - 4. Dos ecuaciones punto-pendiente de % son = - 4 y y—| = - 4.
CAPÍTULO 3
La ecuación punto-pendiente L a ecuación p u n to -p en d ien te de una recta X es to d a ecuación de la fo rm a (3.1). Si la pendiente m de X es conocida, entonces cada punto (x1, y1) de X d a un a ecuación p u n to -p en d ien te de X . P or tanto, hay infinitas ecuaciones p u n to -p en d ien te p ara X . L a ecuación (3.1) equivale a y - y1 = m (x - x 1).
CAPITULO 3
r 2 »
Rectas
y
%
(b) Fig. 3 .9 R ecíprocam ente, supón que dos rectas diferentes X 1 y X 2 no son paralelas y se hallan en el punto P , com o en la figura 3.9(b). Si X 1 y X 2 tuvieran igual pendiente entonces serían la m ism a recta. Por tanto, X 1 y X 2 tienen pendientes diferentes. Teorema 3.1.
Dos rectas no verticales distintas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.
EJEMPLO 3.4. Halle la ecuación punto-intersección de la recta !£ que pasa por (4, 1) y es paralela a la recta M que tiene por ecuación 4x - 2y = 5. Al despejar y en la última ecuación se observa que M tiene la ecuación punto-intersección y = 2x - | . Por tanto, M tiene pendiente 2. La pendiente de la recta paralela !£ también debe ser 2, de manera que la ecuación punto-inter sección de !£ presenta la forma y = 2x + b. Puesto que (4, 1) queda en !£, se puede escribir 1 = 2(4) + b. Por ende, b = - 7 y la ecuación punto-intersección de !£ es y = 2x - 7.
Rectas perpendiculares E n el problem a 5 se debe probar lo siguiente. Teorema 3.2.
Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1 .
1 Si m 1 y m 2 son las pendientes de las rectas perpendiculares, entonces m 1 m 2 = - 1 . E sto equivale a m 2 = ------- ; m. po r tanto, las pendientes de rectas perpendiculares son cada una la recíproca negativa de la otra.
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Halle la pendiente de la recta de ecuación 3x - 4y = 8. Trace la recta. ¿Los puntos (6, 2) y (12, 7) están en ella? Al resolver para y en la ecuación se obtiene y = -f x - 2. Esta es la ecuación punto-intersección; la pendiente es f y la intersección con el eje y es - 2. Al sustituir 0 por x se observa muestra que la recta pasa por el punto (0, -2 ). Para trazar la recta se necesita otro punto. Si se remplaza x por 4 en la ecuación punto-intersección resulta y = - |(4 ) - 2 = 1, de manera que (4, 1) también queda sobre la recta, como se presenta en la figura 3.10. (También es posible hallar otros puntos sobre la recta si se sustituye x por un número diferente de 4.) Para probar si (6, 2) queda sobre la recta, se sustituye x por 6 y y por 2 en la ecuación original 3x - 4y = 8. Los dos lados resultan diferentes; por tanto, (6, 2) no está sobre la recta. El mismo procedimiento demuestra que (12, 7) queda en la recta.
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- ^ 23^ CAPÍTULO 3
y
R ectas
Fig. 3 .1 0
2.
Fig. 3 .1 1
La recta ¡£ es la mediatriz del segmento de recta que une los puntos A (-1, 2) y B(3, 4), como se muestra en la figura 3.11. Halle una ecuación para ¡£. ¡£ pasa por el punto medio M del segmento AB. Por las fórmulas del punto medio (2.2), las coordenadas de M son (1, 3). La pendiente de la recta que pasa por A y B es
= 4 = 2. Sea m la pendiente de ¡£. Por el
teorema 3.2, -j m = - 1 , donde m = -2. La ecuación punto-intersección para ¡£ tiene la forma y = -2 x + b. Como M(1, 3) queda en ¡£, se tiene que 3 = -2(1) + b. Por ende, b = 5 y la ecuación punto-intersección de ¡£ es y = -2 x + 5. 3.
Determine si los puntos A(1, -1 ), B(3, 2) y C(7, 8) son colineales, es decir, si se hallan en la misma recta. A, B y C son colineales si y sólo si la recta A B es idéntica a la recta AC, lo que significa que la pendiente de A B es igual a la de AC. Las pendientes de AB y A C son 2---1) = § y 8---1) = § = f . Por tanto, A, B y C son colineales.
4.
Pruebe analíticamente que la figura obtenida al unir los puntos medios de los lados consecutivos de un cuadrilátero es un paralelogramo. Coloque el cuadrilátero con vértices consecutivos A, B, C y D en un sistema de coordenadas de manera que A sea el origen, B quede en el eje x positivo y C y D queden por encima del eje x (fig. 3.12 en la siguiente página). Sea b la coordenada x de B, (u, v) las coordenadas de C, y (x, y) las coordenadas de D. Entonces, por la fórmula del punto medio (2.2), los puntos medios M 1, M 2, M3 y M4 de los lados AB, BC, CD y DA tienen coordenadas (-|, o), (^+^, |) , (x^ , 2+2 ) y (x , 2), respectivamente. Hay que mostrar que M 1, M 2, M3 y M4 es un paralelogramo. Para hacerlo, basta probar que las rectas M 1M 2 y M 3M 4 son paralelas y que las rectas M 2M 3 y M 1M4 también lo son. Se calcula entonces las pendientes de tales rectas: V - 0 2 0 Pendiente (M 1M 2) = u +b b '2 2 y+v
Pendiente (M 2M 3) =
V '2 x+u _ u+b 2 2
y - y+v - v 2 2 = 2 Pendiente (M 3M 4) = x - x+u - u_ 2 2 2
V =v U u 2
2
y 2 x- b 2
y x- b
Pendiente (M 1M 4) = 2 - 0
y x- b
Puesto que la pendiente de (M 1M 2) = pendiente de (M 3M 4), M 1M 2 y M 3M 4 son paralelas. Como la pendiente (M2M3) = pendiente de (M1M4), M2M3 y M 1M4 también son paralelas. Por tanto, M 1M2M3M4 es un paralelogramo.
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CAPÍTULO 3
Rectas
y
x
5.
Pruebe el teorema 3.2. Suponga primero que ¡£l y !£2 son rectas perpendiculares no verticales con pendientes m 1 y m2. Debe demostrar que m 1 m 2 = -1 . Sean M l y M 2 las rectas que pasan por el origen O y que son paralelas a ¡£l y !£2 como se observa en la figura 3.13(a). La pendiente de M l es m y la pendiente de M2 es m2 (por el teorema 3.1). Además, M l y M 2 son perpendiculares, ya que ¡£l y !£2 son perpendiculares.
Fig. 3 .13 Ahora, sea A el punto M l con coordenada x igual a 1, y sea B el punto en M 2 con coordenada x igual a 1, como se presenta en la figura 3.13(b). La ecuación punto-intersección de M l es y = m 1x; por tanto, la coordenada y de A es m1, ya que su coordenada x es 1. De igual forma, la coordenada y de B es m 2. Por la fórmula de la distancia (2.1), OB = J (1 - 0 )2 + (m2 - 0 )2 = 7 1 + OA = 7(1 - 0)2 + (m 1 - 0)2 = J 1 + m 2 B A = ^(1 - 1)2 + (m2 - m J 2 = J (m 2 - m J 2 Entonces, por el teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo BO A, BAA = ü B 2 + OA 2 o
(m2 - m 1)2 = (1 + m^) + (1 + m f) m2 - 2m 2m1 + m 2 = 2 + m2 + m2 m2m 1 = - 1
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6.
Pruebe que si a y b no son ambos cero, entonces la ecuación ax + by = c es la ecuación de una recta y, recíprocamente, toda recta tiene una ecuación de esa forma. Suponga que b ^ 0. Entonces, si se despeja y en la ecuación ax + by = c se obtiene la ecuación puntointersección y = (-a/b) x + c/b de una recta. Si b = 0, en consecuencia a ^ 0, y la ecuación ax + by = c se reduce a ax = c; esto equivale a x = c/a, la ecuación de una recta vertical. Recíprocamente, toda recta no vertical tiene una ecuación punto-intersección y = mx + b, la cual equivale a -m x + y = b, una ecuación de la forma deseada. Una recta vertical tiene una ecuación de la forma x = c, la cual también es una ecuación de la forma requerida con a = 1 y b = 0 .
7.
Demuestra que la recta y = x forma un ángulo de 45° con el eje x positivo; es decir, el ángulo BOA en la figura 3.15 tiene 45°. y
Sea A el punto sobre la recta y = x con coordenadas (1, 1). Se traza una perpendicular AB al eje x positivo. Entonces, AB = 1 y OB = 1. Por tanto, el ángulo OAB = ángulo BOA, ya que son los ángulos de la base del triángulo isósceles BOA. Por consiguiente, el ángulo OBA es recto: Ángulo OAB + ángulo BOA = 180° - ángulo OBA = 180° - 90° = 90° Puesto que el ángulo BOA = ángulo OAB, cada uno tiene 45°.
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R ectas
y
CAPÍTULO 3
Ahora, recíprocamente, suponga que m lm 2 = -1 , donde y m 2 son las pendientes de las rectas no verticales ¡£l y ^ 2. Entonces, ¡£l no es paralela a ^ 2. (De lo contrario, por el teorema 3.1, m1 = m2 y, por tanto, m2 = - 1 , lo que contradice el hecho de que el cuadrado de un número real nunca es negativo.) Debe mostrarse que ¡£l y !£ 2 son perpendiculares. Sea P la intersección de ¡£l y !£ 2 (fig. 3.14). Sea ¡£3 la recta que pasa por P que es perpendicular a !£v Si m3 es la pendiente de ^ 3, entonces, por la primera parte de la demostración, m 1m3 = -1 y, por consiguiente, m1m3 = m1m2. Como m1m3 = -1 , entonces m1 ^ 0; por tanto, m3 = m2. Como !£ 2 y ¡£3 pasan por el mismo punto P y tiene la misma pendiente, entonces deben coincidir. Puesto que ¡£l y ¡£3 son perpendiculares, ¡£l y !£ 2 también lo son.
CAPÍTULO 3
8.
Rectas
Pruebe que la distancia d de un punto P (x 1 , yj) a una recta ¡£ con una ecuación ax + by = c está dada por la , Iax + by - cl fórmula d = — , . . . Va2+ b2 Sea M la recta que pasa por P y es perpendicular a ¡£. Entonces, M corta a ¡£ en algún punto Q de coordenadas (u, v) como se muestra en la figura 3.16. Claramente, d es la longitud P Q , de manera que si se puede hallar u y v, entonces resulta posible calcular d mediante la fórmula de la distancia. La pendiente de !£ es -a/b . Por el teorema 3.2,’ la 1pendiente de M es b/a. Así, la ecuación_ punto-pendiente de M es xy- X yjj = ab . 1 Luego, u y v son las soluciones del par de ecuaciones au + bv = c y v _ y = b . Tediosos cálculos matemáticos ofrecen la solución 1 u=
ac + b2x 1+ aby1 a 2 + b2
bc —abx 1 —a2yj y
La fórmula de la distancia junto con cálculos adicionales da, d = PQ =y¡ (Xj —u )2 —(yj —v )2 =
Iax1 + by 1 — cl -r a 2 + b2 v<
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 9.
Halle una ecuación punto-pendiente para la recta que pasa por cada uno de los siguientes pares de puntos: a) (3, 6) y (2, -4 ); b) (8, 5) y (4, 0); c) (1, 3) y el origen; d) (2, 4) y (-2 , 4). Respuestas:
10. Halle a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
a) X—3 = 10; b) X— 5 = 5
c) X :_y = 3; d) 2 — 2 = 0.
la ecuación punto-intersección de cada recta que:
Pasa por los putos (4, -2 ) y (1, 7) Tiene pendiente 3 e intersección con el eje y igual a 4 Pasa por los puntos (-1, 0) y (0, 3) Pasa por (2, -3 ) y es paralela al eje x Pasa por (2, 3) y sube 4 unidades por cada unidad que aumenta en x Pasa por (-2, 2) y baja 2 unidades por cada unidad que aumenta en x Pasa por (3, -4 ) y es paralela a la recta con ecuación 5x - 2y = 4 Pasa por el origen y es paralela a la recta con ecuación y = 2 Pasa por (-2, 5) y es perpendicular a la recta de ecuación 4x + 8y = 3 Pasa por el origen y es perpendicular a la recta de ecuación 3x - 2y = 1 Pasa por (2, 1) y es perpendicular a la recta de ecuación x = 2 Pasa por el origen y es bisectriz del ángulo entre los ejes positivos x y y
Respuestas:
a) y = -3 x + 10; b) y = 3x + 3; c) y = 3x + 3; d) y =-3 ; e) y = 4x - 5; f y = -2 x - 2; g) y = 4 x — ir ; h) y = 0; i) y = 2x + 9; j) y = —f x ; k) y = 1; l) y = x
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CAPÍTULO 3
11. a)Describa las rectas que tienen ecuaciones de la forma x = a. b)Describa las rectas que tienen ecuaciones de la forma y = b. c) Describa la recta de la ecuación y = -x.
Halle las pendientes y las intersecciones con el eje y de las rectas que tienen las ecuaciones siguientes: i) y = 3x - 2; ii) 2x - 5y = 3; iii) y = 4x - 3; iv) y = -3 ; v) y+ f = 1.
b)Encuentre las coordenadas de un punto distinto de (0, b) en cada Respuestas:
una de las rectas del inciso a).
ai) m = 3, b = -2 ; ii) m = -f; iii) m = 4, b = -3 ; iv) m =0, b = -3 ; v) m = - -f, b= 2; bi) (1, 1); ii) ( - 6, -3 ); iii) (1, 1); iv) (1, -3 ); v) (3, 0)
13. Si el punto (3, k) está en la recta con pendiente m = - 2 y pasa por el punto (2, 5), halle k. Respuesta:
k=3
14. ¿El punto (3, -2 ) está en la recta que pasa por los puntos (8, 0) y (-7 , - 6)? Respuesta:
sí.
15. Utilice las pendientes para determinar si los puntos (7, -1 ), (10, 1) y (6, 7) son los vértices de un triángulo rectángulo. Respuesta:
sí lo son.
16. Utilice las pendientes para determinar si (8, 0), (-1 , -2 ), (-2 , 3) y (7, 5) son los vértices de un paralelogramo. Respuesta:
sí lo son.
17. ¿En qué condiciones son colineales los puntos (u, v + w), (v, u + w) y (w, u + v)? Respuesta:
siempre.
18. Halle k de manera que los puntos A(7, 3), B (-1, 0) y C(k, -2 ) sean los vértices de un triángulo rectángulo con ángulo recto en B. Respuesta:
k= 1
19. Determine si los pares de rectas siguientes son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.
7. = x y 2 -
f g)
y =■3x + 2 y y = 3x - 2 y =: 2x - 4 y y = 3x + 5 3x - 2y = 5 y 2x + 3y = 4 6x + 3y = 1 y 4x + 2y = 3 x = 5x + 4y = 1 y 4x + 5y = 2 x = -4 = y y 3
a) b) c) d) e)
Respuestas:
a) paralelas; b) ninguna de las dos; c) perpendiculares; d) paralelas; e) perpendiculares; f) ninguna de las dos; g) paralelas
20. Trace la recta determinada por la ecuación 2x + 5y = 10. Establezca si los puntos (10, 2) y (12, 3) pertenecen a esa recta.
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R ectas
12. a)
CAPÍTULO 3
Rectas
21. ¿Para qué valores de k tendrá la recta kx - 3y = 4k las propiedades siguientes: a) pendiente 1; b) intersección con el eje y de 2; c) pasa por el punto (2, 4); d) es paralela a la recta 2x - 4y = 1; e) es perpendicular a la recta x - 6y = 2? Respuestas:
a) k = 3; b) k = —-§; c) k = - 6; d) k = -|; e) k = -18.
22. Describa geométricamente las familias de rectas a) y = m x - 3 y b) y = 4x + b, donde m y b son números reales cualesquiera. Respuesta:a) rectas con intersección con el eje y = 3; b) rectas con pendiente 4.
23. En el triángulo con vértices A(0, 0), B(2, 0) y C(3, 3), halle las ecuaciones para a) la mediana de B al punto medio del lado opuesto; b) la mediatriz del lado BC, y c) la altura de B al lado opuesto. Respuestas:
a) y = -3 x + 6; b) x + 3y = 7; c) y = - x + 2
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Círculos
Ecuaciones de los círculos Para que un punto P(x, y) esté en el círculo con centro C(a, b) y rad io r, la d istancia P C debe ser igual a r (fig. 4.1). P or la fórm ula de la distancia (2.1), P C = y¡(x - a ) 2 + (y - b )2 P or consiguiente, P está en el círculo si y sólo si (x - a ) 2 + (y - b )2 = r 2
(4.1)
L a ecuación (4.1) se denom ina ecuación estándar del círculo con centro en (a, b) y radio r. y /
-Nr
Fig. 4 .1 EJEMPLO 4.1. a) El círculo con centro (3, 1) y radio 2 tiene la ecuación (x - 3)2 + (y - 1)2 = 4. b) El círculo con centro (2, -1 ) y radio 3 tiene la ecuación (x - 2)2 + (y + 1)2 = 9. c) ¿Cuál es el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación (x - 4)2 + (y - 5) = 25? Por (4.1), ésta es la ecuación del círculo con centro en (4, 5) y radio 5. Se dice que ese círculo es la gráfica de la ecuación dada, es decir, el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación. d) La gráfica de la ecuación (x + 3)2 + y2 = 2 es el círculo con centro en (-3 , 0) y radio V2.
Ecuación estándar de un círculo L a ecuación estándar de un círculo con centro en el origen (0, 0) y rad io r es x2 + y2 = r 2
(4.2)
P or ejem plo, x 2 + y 2 = 1 es la ecuación del círculo con centro en el origen y rad io 1 . L a gráfica de x2 + y2 = 5 es el círculo con centro en el origen y radio y¡5.
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CAPÍTULO 4
Círculos
L a ecuación de un círculo algunas veces aparece disfrazada. Por ejem plo, la ecuación x2 + y2 + 8x - 6y + 21 = 0
(4.3)
(x + 4 )2 + (y - 3)2 = 4
(4.4)
resulta ser equivalente a
L a ecuación (4.4) es la ecuación estándar de un círculo con centro en (-4 , 3) y radio 2. L a ecuación (4.4) se desarrolla a partir de (4.3) m ediante un proceso denom inado com pletar el cuadrado. E n térm inos generales, el proceso im plica h allar el núm ero que debe agregarse a la sum a x2 + A x p ara obtener un cuadrado. A quí se observa que í x +Aj = x 2 + A x + (j J . P ° r tanto, en general, se debe agregar (Aj a x2 + A x p a ra o b te ner el cuadrado í x +A-l. obtener un----------------cuadrado de~ „v x2 +. ™ 8x se sum a f^2 8-), o sea, 16. E l resultado, 2 J ' P or ejem plo, para r -----------------x2 + 8x +
16, es igual a (x + 4 )2.É ste es
el proceso de com pletar el cuadrado.
C onsidere la ecuación (4.3) original: x2 + y2 + 8x - 6y + 21 = 0. Con el fin de com pletar el cuadrado en x2 + 8x se sum a 16. P ara com pletar el cuadrado en y2 - 6y se sum a
6j , lo que d a 9. Pero com o se agregaron 16 y 9 al
m iem bro (lado) izquierdo de la ecuación, tam bién deben sum arse al m iem bro derecho, con lo que se obtiene (x2 + 8x + 16) + (y2 - 6y + 9) + 21 = 16 + 9 E sto equivale a (x + 4 )2 + (y - 3)2 + 21 = 25 y al restar 21 de am bos m iem bros se llega a (4.4). EJEMPLO 4.2.
Considere la ecuación x2 + y2 - 4x - 10y + 20 = 0. Al completar el cuadrado se obtiene (x2 + 4x + 4) + (y2 - 10y + 25) + 20 = 4 + 25 (x - 2 )2 + (y - 5)2 = 9
Entonces, la ecuación original es la de un círculo con centro en (2, 5) y radio 3. El proceso de completar el cuadrado puede aplicarse a toda ecuación de la forma x2 + y2 + A x + B y + C = 0
(4.5)
p ara obtener ' Aj2 í B j 2 „ A2 Bn x + 2 J +[y+ 2 J + C = T +X Aj 2 í B j 2 A2 + B 2 - 4C x + 2 J + [ y + 2 J = ---------4---------
(4.6)
H ay tres casos que dependen de si A2 + B 2 - 4 C es positivo, cero o negativo. C aso 1: A2 + B 2 - 4 C > 0. Aquí, (4.6) es la ecuación estándar de un círculo con centro en f - y - f ) y radio ■Ja 2 + b 2 - 4C
2
C aso 2: A2 + B2 - 4 C = 0. U na sum a de cuadrados de dos cantidades es cero si y sólo si cada un a de las can A
B
tidades es cero. P or tanto, (4.6) equivale a la conjunción de las ecuaciones x + j = 0 y y + y = 0 en este caso, y la única solución de (4.6) es el punto (- y - B ]. Así, la gráfica de (4.5) es un solo punto, que puede considerarse un círculo degenerado de radio 0 . C aso 3: A 2 + B2 - 4C < 0. L a sum a de dos cuadrados no puede ser negativa, de m anera que en este caso (4.5) no tiene solución. Se puede dem ostrar que todo círculo tiene un a ecuación de la form a (4.5). Si su centro es (a, b) y su radio es r, entonces su ecuación estándar es (x - a )2 + (y - b)2 = r2 A l desarrollar se obtiene x 2 - 2ax + a2 + y 2 - 2by + b2 = r2, o x 2 + y 2 - 2 a x - 2 by + (a 2 + b2 - r2) = 0 .
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CAPÍTULO 4
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Identifique las gráficas de a) 2x2 + 2y2 - 4x + y + 1 = 0; b) x2 + y2 - 4y + 7 = 0; c)x2 + y2 - 6x - 2y + 10 = 0.
Círculos
a)
Primero divida entre 2, para obtener x 2 + y2 - 2x + 2 y + 1 = 0. Luego complete los cuadrados (x2- 2 x + 1) + (y 2+ 1 y + i ) + 2 = 1 + 16 = 17 (x - 1)2+ (y = 1 )2 = 17 - 1 = 17 - 8 = _9_ (x 1) + (y = 4 ) = 16 2 = 16 16 = 16 Por tanto, la gráfica es el círculo con centro (1, --4) y radio f.
b)
Complete el cuadrado: x2 + (y - 2 )2 + 7 = 4 x2 + (y - 2 )2 = - 3 Puesto que el miembro derecho es negativo, no existen puntos en la gráfica.
c)
Complete el cuadrado: (x - 3)2 + (y - 1) 2 + 10 = 9 + 1 (x - 3)2 + (y - 1)2 = 0 La única solución es el punto (3, 1).
2.
Halle la ecuación estándar del círculo con centro en C(2, 3) que pasa por el punto P (-1 , 5). El radio del círculo es la distancia CP = V( 5 - 3)2 + (-1 - 2)2 =y¡22 + (-3 )2 = V4 + 9 = V H de manera que la ecuación estándar es (x - 2)2 + (y - 3)2 = 13.
3.
Halle la ecuación estándar del círculo que pasa por los puntos P(3, 8),2(9,6) y R(13,-2). Prim er m étodo: el círculo tiene una ecuación de la forma x2 + y2 + A x + By + C = 0. Sustituya los valores de x y y en el punto P para obtener 9 + 64 + 3A + 8B + C = 0 o 3A + 8B + C = -7 3
(1)
Un procedimiento similar para los puntos Q y R da las ecuaciones 9A + 6B + C = -1 1 7
(2)
13A - 2B + C = -173
(3)
Se elimina C de (1) y (2) al restar (2) de (1): -3A + B = 22
(4)
-10A + 10B = 100 o -A + B = 10
(5)
- 6A + 2B = 44
o
Se elimina C de (1) y (3) al restar (3) de (1):
Se elimina B de (4) y (5) al restar (5) menos (4), con lo que se obtiene A = - 6.Se sustituye este valor en (5) para hallar que B = 4. Luego se resuelve para C en (1): C = -87. Así, la ecuación original para el círculo es x 2 + y2 - 6x + 4y -8 7 = 0. Al completar los cuadrados se obtiene (x - 3)2 + (y + 2)2 = 87 + 9 + 4 = 100 Por ende, el círculo tiene centro (3, -2 ) y radio 10. Segundo método: la mediatriz de cualquier cuerda de un círculo pasa por el centro de éste. Por tanto, la mediatriz ¡£ de la cuerda PQ cortará la mediatriz M de la cuerda QR en el centro del círculo (fig. 4.2).
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CAPÍTULO 4
Círculos
La pendiente de la recta PQ es —1 Luego, por el teorema 3.2 la pendiente de ¡£ es 3. Asimismo, ¡£ pasa por el punto medio (6, 7) del segmento PQ. Luego, una ecuación punto-pendiente de ¡£ es y—6 = 3 y, por tanto, su ecuación punto-intersección es y = 3x - 11. De igual forma, la pendiente de la recta QR es - 2 y, por consiguiente, la pendiente de M es y. Puesto que M pasa por el punto medio (11, 2) del segmento QR, tiene una ecuación punto-pendiente de j —tí =2, lo que da la ecuación punto-intersección y = ^ x —7 y se puede escribir 3x — 1 1 =
1 x— |
de lo que se obtiene que x = 3. Por tanto, y = 3x - 11 = 3(3) - 11 = -2 Luego, el centro se halla en (3, -2 ). El radio es la distancia entre el centro y el punto (3, 8): ^ ( —2 —8)2 + (3 —3)2 =y¡ (—10)2 =V2üÓ = 10 Así, la ecuación estándar del círculo es (x - 3)2 + (y + 2)2 = 100. 4.
Halle el centro y el radio del círculo que pasa por P(1, 1) y es tangente a la recta y = 2x - 3 en el punto Q(3, 3) (fig. 4.3).
Fig. 4 .3
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_1 x + _
Q
resulta x = -1 . Por tanto, y = - x + 4 = 5, y el centro C del círculo es (-1 , 5). El radio es la distancia PC = V(-1 - 3)2 + (5 - 3)2 = V16 + 4 = V20 . La ecuación estándar del círculo es, entonces, (x + 1)2 + (y - 5)2 = 20. 5.
Halle la ecuación estándar de todo círculo que pase por los puntos P(1, -1 ) y Q(3, 1) y sea tangente a la recta y = -3x. Sea C(c, d) el centro de uno de los círculos, y sea A el punto de tangencia (fig. 4.4). Entonces, puesto que CP = CQ, se tiene que CP 2 = CQ2
o (c - 1)2 + (d + 1)2 = (c - 3)2 + (d - 1)2
Desarrollado y simplificado se obtiene ( 1)
Fig. 4 .4 Además, CP = CA y por la fórmula del problema 8 en el capítulo 3, CA = 3 Jc 0 . Si establecemos la igualdad CP 2 = CA2 resulta (c - 1)2 + (d +1)2 = (3c1+)d) . Al sustituir (1) en el miembro derecho y al multiplicarlo por 10 se obtiene 10[(c - 1)2 + (d + 1)2] = (2c + 2)2,
de donde
3c2 + 5d2 - 14c + 10d + 8 = 0
Por (1) se puede remplazar d por 2 - c para obtener 2c2 - 11c + 12 = 0 o (2c - 3)(c - 4) = 0 Por tanto, c = f o c = 4. Entonces (1) da dos soluciones: c = f-, d = 1 y c = 4, d = -2 . Como el radio CA = estas soluciones producen radios de ecuaciones estándar son
y
= >/Í0. Por ende, hay dos círculos de ese tipo y sus
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Círculos
_x+ 4 = _
CAPÍTULO 4
La recta ¡£ perpendicular a y = 2x - 3 en (3, 3) debe pasar por el centro del círculo. Por el teorema 3.2, la pendiente de ¡£ es - y. Por consiguiente, la ecuación punto-intersección de ¡£ tiene la forma y = - y x + b . Como (3, 3) está en ¡£, tenemos que 3 = - y (3) + b; por ende, b = f y la ecuación de ¡£ es y = - t x + f . La mediatriz M de la cuerda PQ de la figura 4.3 también pasa por el centro del círculo, de manera que la intersección de ¡£ y M será el centro del círculo. La pendiente de PQ es 1. Entonces, por el teorema 3.2 la pendiente de M es -1 . Luego, M tiene la ecuación punto-intersección y = -x + b '. Como el punto medio (2, 2) de la cuerda PQ es un punto en M , se tiene que 2 = -(2 ) + b'; por ende, b' = 4 y la ecuación de M es y = -x + 4. Debes hallar la solución común de y = - x + 4 y y = —1 x + f . Si se establece la igualdad
CAPÍTULO 4
(x _ 3 ) + (y _ 2 ) = 5
Círculos
y (x - 4)2+ ( y + 2)2 = 1 0
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 6.
Halle las ecuaciones estándar de los círculos que satisfagan las condiciones siguientes: a) b) c) d) e) f)
Centro en (3, 5) y radio 2. Centro en (4, -1 ) y radio 1. Centro en (5, 0) y radio -y/3. Centro en (-2, -2 ) y radio 5 ^ 2 . Centro en (-2, 3) y que pasa por (3, -2). Centro en (6, 1) y que pasa por el origen.
Respuestas:
7.
2)2 = 50;
x2 + y2 + 16x - 12y + 10= 0 . x2 + y2 - 4x + 5y + 10=0. x2+ y 2 + x - y + = 0. 4x2 + 4y2 + 8y - 3 = 0. x2+ y 2 - x - 2y + 3 =0. x 2 + y2 + ^¡2 f - 2 = 0.
Respuestas:
a) círculo con centro en ( - 8, 6) y radio 3VIÜ; b) círculo con centro en (2, - -f) y radio y; c) círculo con centro en ( - y,y) y radio ^ ; d) círculo con centro en (0, - 1) y radio y; e) gráfica vacía; f círculo con centro en (-V 2 / 2,0) y radio V5/2.
Halle las ecuaciones estándar de los círculos que pasan por a) (-2 , 1), (1, (1,1 + V3); c) (6, 1), (2, -5 ) y (1, -4 ); d) (2, 3), ( - 6, -3 ) y (1, 4). Respuestas:
9.
(y+
Identifique las gráficas de estas ecuaciones: a) b) c) d) e) f
8.
a) (x - 3)2 + (y - 5)2 = 4; b) (x - 4)2 + (y + 1)2 = 1; c) (x - 5)2 + y2 = 3;d) (x + 2)2 + e) (x + 2)2 + (y - 3)2 = 50; f (x - 6)2 + (y - 1)2 = 37
4) y (-3 , 2); b) (0,1), (2, 3)
a) (x + 1)2 + (y - 3)2 = 5; b) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4; c) (x - 4)2 + (y + 2)2 = 13; d) (x + 2)2 + y2
¿Para qué valores de k el círculo (x + 2k)2 + (y - 3k)2 = 10 pasa por el punto (1, 0)? Respuesta:
k = 13 o k = -1
10. Halle las ecuaciones estándar de los círculos de radio 2, tangentes a ambas rectas x = 1 y y =3. Respuestas:
(x + 1)2 + (y - 1)2 = 4; (x + 1)2 + (y - 5)2 = 4; (x - 3)2 + (y - 1)2 = 4; (x - 3)2 + (y - 5)2 = 4
11. Halle el valor de k, de manera que x2 + y2 + 4x - 6y + k = 0 sea la ecuación de un círculo de radio 5. Respuesta:
k = -12
12. Halle la ecuación estándar del círculo que tiene como diámetro el segmento que une (2, -3 ) y (6, 5). Respuesta: (x - 4)2 + (y - 1)2 = 20
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y
= 25.
Respuesta:
(x - 3)2 + (y + 4)2 = 25 o (x + 3)2 + (y + 4)2 = 25
Respuesta:(x - 3)2 + (y + 1)2 = 41
15. Halle la ecuación estándar del círculo con centro (3, 5), tangente a la recta 12x - 5y + 2 = 0. Respuesta:(x - 3)2 + (y - 5)2 = 1
16. Halle la ecuación estándar del círculo que pasa por el punto (1, 3 + V2") y es tangente a la recta x + y = 2 en (2, 0). Respuesta: (x - 5)2 + (y - 3)2 = 18
17. Pruebe analíticamente que un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto (fig. 4.5).
18. Halle la longitud de una tangente que va de (6, -2 ) al círculo (x - 1)2 + (y - 3)2 = 1 (fig. 4.6). 7 y
Fig. 4 .6 19. Halle las ecuaciones estándar de los círculos que pasan por (2, 3) y son tangentes a ambas rectas 3x - 4y = -1 y 4x + 3y = 7. Respuesta:
(x - 2)2 + y2 (y - 8) = 25 y ^x - 5 j
^y - ^ j = 1
20. Halle las ecuaciones estándar de los círculos que tienen sus centros en la recta 4x + 3y = 8 y son tangentes a ambas rectas x + y = - 2 y 7x - y = - 6. Respuesta:
(x - 1)2 + y 2 = 2 y (x + 4)2 + (y - 8)2 = 18
21. Halle la ecuación estándar del círculo concéntrico con el círculo x2 + y2 - 2x - 8y + 1 = 0 y es tangente a la recta 2x - y = 3. Respuesta:(x - 1)2 + (y - 4)2 = 5
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Círculos
14. Halle la ecuación estándar del círculo que pasa por los puntos (8, -5 ) y (-1 , 4) y cuyo centro se encuentre en la recta 2x + 3y = 3.
Respuesta:
CAPÍTULO 4
13. Halle la ecuación estándar de todo círculo que pase por el origen, tenga radio 5 y cuya coordenada y de su centro sea - 4.
CAPÍTULO 4
Círculos
22. Halle las ecuaciones estándar de los círculos que tienen radio 10 y son tangentes al círculo x 2 + y2 = 25 en el punto (3, 4). Respuesta:
(x - 9)2 + (y - 12)2 = 100 y (x + 3)2 + (y + 4)2 = 100
23. Halle las distancias máxima y mínima del punto (7, 12) al círculo x2 + y2 + 2x + 6y - 15 = 0. Respuestas: 24.
22 y 12
Sean % 1 y ^ 2 dos círculos que se interesecan y están determinados por lasecuaciones x2 y x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0. Para todo número k * -1 , muestra que
+ y2 + A1x + B y + C1 = 0
x2 + y2 + A 1x + B 1y + C1 + k(x2 + y2 + A2x + B 2y + C2) = 0 es la ecuación de un círculo que pasa por los puntos de intersección % y ^ 2. Demuestra, recíprocamente, que cada uno de los círculos puede representarse por una de tales ecuaciones para un k conveniente. 25.
Halle la ecuación estándar del círculo que pasa por el punto (-3 , 1) y que contiene los de los círculos x2 + y 2 + 5x = 1 y x2 + y 2 + y = 7.
puntos de intersección
\2 Respuesta (usa el problema 24): (x + 1)2 + (y + 1^0) = yó69 26. Halle las ecuaciones estándar de los círculos que tienen centros en la recta 5x - 2y = -2 1 y son tangentes a ambos ejes de coordenadas. Respuestas: 27.
(x + 7)2 + (y + 7)2 = 49 y (x + 3)2 + (y - 3)2 = 9
a) Si dos círculos x2 + y2 + A 1x + B y + C1 = 0 y x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0se cortan en dos puntos, halle una ecuación de la recta que pasa por sus puntos de intersección. b)
Pruebe que si dos círculos se cortan en dos puntos, entonces la recta que pasa por sus puntos de intersección es perpendicular a la recta que pasa por sus centros.
Respuestas:
a) (A 1 - A 2)x + (B1 - B 2)y + (C1 - C2) = 0
28. Halle los puntos de intersección de los círculos x2 + y2 + 8y - 64 = 0 y x2+ y2 - 6x - 16 = 0. Respuesta:
(8, 0) y ( ^ 5 , 24 ).
29. H alle las ecuaciones de las rectas que pasan por (4, 10) y son tangentes al círculo x2 + y2 Respuesta: 30.
31.
4y - 36 = 0.
y = -3 x + 22 y x - 3y + 26 = 0.
( c g = calculadora graficadora). Utilice una graficadora para dibujar los círculos de los problemas 7(d), 10, 14, y 15. (Nota: puede ser necesario resolver para y, es decir, despejar y.)
(CG) a) Utilice una graficadora para sombrear el interior del círculo con centro en el origen y radio b)
Usa una graficadora para sombrear el exterior del círculo x 2 + (y - 2)2 = 1.
32. (CG) Utilice una graficadora para representar las desigualdades siguientes: a)
(x - 1)2 + y2 < 4; b) x2 + y2 - 6x - 8y > 0.
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3.
Ecuaciones y sus gráficas
La gráfica de una ecuación L a gráfica de una ecuación que tiene com o únicas variables x y y consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación. EJEMPLO 5.1. a) ¿Cuál es la gráfica de la ecuación 2x - y = 3? La ecuación equivale a y = 2x - 3, o sea, la ecuación punto-intersección de la recta con pendiente 2 e intersección con el eje y de -3. b)
¿Cuál es la gráfica de la ecuación x2 + y2 -2 x + 4y - 4 = 0? Al completar el cuadro se observa que la ecuación dada equivale la gráfica es el círculo con centro (1, -2 ) y radio 3.
a la ecuación (x - 1)2+ (y + 2)2 = 9. Por tanto,
Parábolas C onsidere la ecuación y = x2. Si se sustituyen algunos valores de x y se calculan los valores asociados de y se o b tienen los resultados tabulados en la figura 5.1. E s posible ubicar los puntos correspondientes com o se m uestra en la figura. Tales puntos sugieren una curva pronunciada, que pertenece a la fam ilia de curvas llam adas p a rá bolas. E n especial, las gráficas de las ecuaciones de la form a y = ex2, donde c es una constante diferente de cero (no nula), son parábolas, igual que otras curvas obtenidas a p artir de ellas m ediante traslaciones y rotaciones. y ,.
.
i
-10 x 3 2 1 0 -1 -2 -3
y 9 4 1 0 1 4 9
I
- 8
\ (-x, y) \
-6
\ \
~ -4
\
/(-x , y)
•
2/ V
-3 -2 -1
1 0 1
i i 2 3
i
i
^
Fig. 5.1 E n la figura 5.1 se observa que la gráfica de y = x2 contiene el origen (0, 0), pero sus dem ás puntos quedan po r encim a del eje x, ya que x2 es positivo salvo cuando x = 0. C uando x es positivo y crece, y tam bién crece sin lím ite. Por tanto, en el prim er cuadrante la gráfica se m ueve h acia arriba sin lím ite a m edida que avanza hacia la derecha. C om o (-x )2 = x2, se tiene que todo punto (x, y) está en la gráfica en el p rim er cuadrante; luego, el punto (-x, y) tam bién está en la gráfica en el segundo cuadrante. Así, la gráfica es sim étrica respecto al eje y. E l eje y se denom ina eje de sim etría de esta parábola.
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CAPÍTULO 5
Ecuaciones y sus gráficas
Elipses P ara trazar la gráfica de la ecuación J- + yr = í , de nuevo se calculan algunos valores y se ubican los puntos correspondientes, com o se m uestra en la figura 5.2. L a gráfica sugerida por esos puntos, que tam bién se dibuja en la figura, es un m iem bro de la fam ilia de curvas denom inadas elipses. X2 V2 E n particular, la gráfica de una ecuación de la form a ^ + J i = í es un a elipse, igual que toda curva obtenida de ésta m ediante traslación o rotación. O bserve que, a diferencia de las parábolas, las elipses están acotadas. D e hecho, si (x , y ) está en la gráfica de -9 - + V4- = í , entonces -9- < -9 + y- = í , y, p o r tanto, x2 < 9. E n consecuencia, - 3 < x < 3. L uego, la gráfica queda entre las rectas verticales x = - 3 y x = 3. E l punto que se sitúa m ás a la d erecha es (3, 0), y el que queda m ás a la izquierda es (-3 , 0). C on un razonam iento sim ilar se dem uestra que la gráfica queda entre las rectas horizontales y = - 2 y y = 2, y que su punto m ás bajo es (0, - 2 ) y el m ás alto es (0, 2). E n el prim er cuadrante, com o x crece de 0 a 3, y decrece de 2 a 0. Si (x, y) es cualquier punto en la gráfica, entonces (-x , y) tam bién está en la gráfica. Por tanto, ésta es sim étrica respecto al eje y . D e m anera sim ilar, si (x , y ) está en la gráfica, tam bién lo está (x , - y ) y, por ende, la gráfica es sim étrica respecto al eje x . y
x
y
3 2
0
í
0 -í -2 -3
± fV T = ±í ± 3v r = ± í ±2 ± 5V T ±§V 5 0 Fig. 5.2
C uando a = b, la elipse O1 + y- = í es el círculo con la ecuación x2 + y2 = a 2, es decir, un círculo con centro en el origen y radio igual a a . P or ende, los círculos son casos especiales de elipses.
Hipérbolas C onsidere la gráfica de la ecuación Jr = í . A lgunos de los puntos en esta gráfica se tabulan y se ubican en la figura 5.3. Estos puntos sugieren la curva que se m uestra en la figura, la cual es un m iem bro de una fam ilia de curvas denom inadas hipérbolas. L as gráficas de las ecuaciones de la form a X-[ = í son hipérbolas, com o lo son todas las curvas obtenidas de éstas m ediante traslaciones o rotaciones. y
Fig. 5.3
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CAPÍTULO 5
Ecuaciones y sus gráficas
2.
Trace la gráfica de la ecuación y = - x 2. Si (x, y) está en la gráfica de la parábola y = x2 (fig. 5.1), entonces (x, -y) está en la gráfica de y = -x 2, y viceversa. Así, la gráfica de y = - x 2 es el reflejo de la gráfica y = x 2 en el eje x . El resultado es la parábola mostrada en la figura 5.6.
3.
Trace la gráfica de x = y2. Esta gráfica se obtiene de la parábola y = x 2 al intercam biar los papeles de x y y . La curva resultante es una parábola con el eje x como eje de simetría y su “nariz” en el origen (fig. 5.7). Un punto (x, y) está en la gráfica de x = y 2 si y sólo si (y , x ) está en la gráfica de y = x 2. Como el segmento que une los puntos (x , y) y (y , x ) es perpendicular a la recta diagonal y = x (¿por qué?) y el punto medio , x^+yj de ese segmento está sobre la recta y = x (fig. 5.8), la parábola x = y2 se obtiene de la parábola y = x2 por reflexión en la recta y = x. y
Fig. 5.7
Fig. 5.8
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5.
Halle la longitud del lado recto de la parábola 4py = x2. La coordenada y de los puntos extremos (terminales) A y B del lado recto (fig. 5.9) es p. Entonces, en estos puntos, 4p2 = x2 y, por tanto, x = ±2p. Así, la longitud A B del lado recto es 4p.
6.
Halle el foco, la directriz y la longitud del lado recto de la parábola y = 2 x2; también trace su gráfica. La ecuación de la parábola puede escribirse como 2y = x2. Por ende, 4p = 2 y p = y. Por consiguiente, el foco queda en (0, y), la ecuación de la directriz es y = - 2 y la longitud del lado recto es 2. La gráfica se muestra en la figura 5.10. y
7.
Sean F y F' dos puntos distintos a una distancia 2c uno del otro. Demuestre que el conjunto de todos los puntos P(x, y) tales que PF + P F ' = 2a, con a > c, forman una elipse.
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Ecuaciones y sus gráficas
Sea ¡£ una recta y F un punto que no está en ¡£. Demuestre que el conjunto de todos los puntos equidistantes de F y ¡£ es una parábola. Se construye un sistema de coordenadas tal que F quede en el eje y positivo y el eje x sea paralelo a ¡£ y a medio camino entre F y ¡£ (fig. 5.9). Sea 2p la distancia entre F y ¡£. Entonces, ¡£ tiene la ecuación y = -p y las coordenadas de F son (0, p). Considere un punto arbitrario P(x, y). Su distancia a ¡£ es ly + pl y su distancia a F es -Jx2 + (y - p)2 . Así, para que el punto sea equidistante de F y ¡£ es necesario que ly + pl = J x2 + (y - p )2 . Al elevar al cuadrado da (y + p )2 = x2 + (y - p )2, de donde se obtiene que 4py = x2. Ésta es una ecuación de una parábola con el eje y como su eje de simetría. El punto F se denomina fo co de la parábola, y la recta ¡£ se llama directriz. La cuerda AB que pasa por el foco y es paralela a ¡£ se conoce como lado recto (latus rectum). La “nariz” de la parábola en (0, 0) es su vértice.
CAPÍTULO 5
4.
CAPÍTULO 5
Ecuaciones y sus gráficas
Construya un sistema de coordenadas tal que el eje x pase por F y F', el origen sea el punto medio del segmento FF ' y F quede en el eje positivo x. Entonces, las coordenadas de F y F ' son (c, 0) y (-c, 0) (fig. 5.11). Luego, la condición PF + P F ' = 2a equivale a .^(x - c)2 + y2 + y¡(x + c)2 + y 2 = 2a.
y
Después de reorganizar y elevar al cuadrado dos veces (para eliminar las raíces cuadradas) y realizar las operaciones indicadas se obtiene (a2 - c2)x2 + a2y2 = a 2(a2 - c2)
(5.1)
Puesto que a > c, a 2 - c > 0. Sea b = Va2 - c2 . Entonces (5.1) se transforma en b2x2 + a 2y2 = a 2b2, lo que puede reescribirse como Or + fr = 1, es decir, la ecuación de una elipse. Cuando y = 0, x2 = a 2; entonces la elipse corta el eje x en los puntos A '(-a, 0) y A(a, 0), llamados los vértices de la elipse (figura 5.11). El segmento A A se denomina eje mayor; el segmento OA se llama eje semimayor y tiene una longitud de a. El origen es el centro de la elipse. F y F ’ son los fo co s (cada uno es un foco). Cuando x = 0, y2 = b2. En consecuencia, la elipse corta el eje y en los puntos B'(0, -b ) y B(0, b). El segmento B'B se conoce como eje menor; el segmento OB recibe el nombre de eje semimenor y tiene una longitud de b. Observe que b = Va2 - c2 < Va2 = a . Por ende, el eje semimenor es más pequeño que el semimayor. La relación básica entre a, b y c es a2 = b2 + c2. La excentricidad de una elipse se define como e = c/a. Advierta que 0 < e < 1. Además, e = s¡a2 - b2 /a = -j1 - (b/a)2 . Así, cuando e es muy pequeña b/a está muy cerca de 1, el eje menor se aproxima en tamaño al eje mayor y la elipse está cerca de ser un círculo. Por otra parte, cuando e está próximo a 1, b/a se aproxima a cero, el eje menor es muy pequeño en comparación con el mayor, la elipse resulta muy “plana”. 8.
Identifique la gráfica de la ecuación 9x2 + 16y2 = 144. La ecuación equivale a x2/16 + y2/9 = 1. Así, la gráfica es una elipse con eje semimayor de longitud a = 4 y eje semimenor de longitud b = 3 (fig. 5.12 en la página siguiente). Los vértices son (-4 , 0) y (4, 0). Como c = Va2 - b2 = V16 - 9 = V 7, la excentricidad e es c/a = -Jl /4 = 0.6614.
9.
Identifique la gráfica de la ecuación 25x2 + 4y2 = 100. La ecuación equivale a x2/4 + y2/25 = 1, una elipse. Como el denominador de y2 es mayor que el denominador de x2, la gráfica es una elipse con el eje mayor sobre el eje y y el eje menor sobre el eje x (fig. 5.13 en la página siguiente). Los vértices quedan en (0, -5 ) y (0, 5). Luego, como c = Va2 - b2 = V2l , la excentricidad es V2T/5 = 0.9165.
10. Sean F y F ' puntos distintos, a una distancia de 2c uno del otro. Halle el conjunto de todos los puntos P(x, y) tales que \PF - P F ' = 2a, para todo a < c.
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CAPÍTULO 5
y
Ecuaciones y sus gráficas
Fig. 5.12
Escoja un sistema de coordenadas tal que el eje x pase por F y F' con el origen como el punto medio del segmento FF ' y con F en el eje x positivo (fig. 5.14). Las coordenadas de F y F ' son (c, 0) y (-c, 0). Entonces, la condición dada equivale a yj(x - c)2 + y2 - yj(x + c)2 + y2 = ± 2a. Después de las operaciones necesarias para eliminar las raíces cuadradas se obtiene (c2 - a 2)x2 - a 2y2 = a2(c2 - a 2)
( 1)
Como c > a, c2 - a 2 > 0. Sea b = -Vc2 - a2 (observe que a 2 + b2 = c2). Entonces (1) se vuelve b2x2 - a 2y2 = x2 y2 a 2b2, lo que se reescribe como = 1, la ecuación de la hipérbola. Cuando y = 0, x = ±a. En este caso la hipérbola corta el eje x en los puntos A '(-a, 0) y A(a, 0), denominados vértices de la hipérbola. Las asíntotas son y = ± a x. El segmento A'A se llama eje transverso. El segmento que une los puntos (0, -b ) y (0, b) recibe el nombre de eje conjugado. El centro de la hipérbola es el origen. Los puntos F y F ' se llaman focos. La excentricidad se define como e = a = ^ a-+b- = J 1+( a )2. Como c > a, e > 1. Cuando e está próximo a 1, b es muy pequeño respecto a a y la hipérbola tiene una “nariz” muy puntiaguda; cuando e es muy larga, b es muy larga respecto a a y la hipérbola resulta muy “plana” .
y
Fig. 5 .1 4
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CAPÍTULO 5
Ecuaciones y sus gráficas
11. Identifique la gráfica de la ecuación 25x2 - 16y2 = 400. x2 __ y2 Esta ecuación equivale a 16 25 = 1, que es "la ecuación de una hipérbola con el eje x como su eje 16 25 transverso, los vértices (-4, 0) y (4, 0) y las asíntotas y = ± f x (fig. 5.15). y
x
12. Identifique la gráfica de la ecuación y2 - 4x2 = 4. La ecuación equivale a y- _ = 1, que es la de una hipérbola, con los papeles de x y y intercambiados, de manera que el eje transverso es el eje y, el eje conjugado es el eje x y los vértices son (0, -2 ) y (0, 2). Las asíntotas son x = + y y o, de forma equivalente, y = ±2x (fig. 5.16). 13. Identifique la gráfica de la ecuación y = (x - 1)2. Un punto (u, v) está en la gráfica de y = (x - 1)2 si y sólo si (u - 1, v) está en la gráfica de y = x2. Por tanto, la gráfica deseada se obtiene de la parábola y = x2 moviendo cada punto de la parábola una unidad a la derecha (fig. 5.17). TJ , . , (x _ 1)2 (y _ 2)2 14. Identifique la grafica de la ecuación — 4---- +-^—9— - = 1. Un punto (u, v) está en la gráfica si y sólo si el punto (u - 1, v - 2) está en la gráfica de la ecuación x2/4 + y2/9 = 1. Entonces la gráfica deseada se obtiene al mover la elipse x2/4 + y2/9 = 1 una unidad a la derecha y dos y
Fig. 5.1 6
Fig. 5.17
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16. Identifique la gráfica de la ecuación y = x2 - 2x. Al completar el cuadrado en x se llega a y + 1 = (x - 1)2. Con base en los resultados del problema 15, la gráfica se obtiene mediante una traslación de la parábola y = x2 de manera que el nuevo vértice es ( 1, - 1) [observe que y + 1 es y - (-1)], como se muestra en la figura 5.19. y
Fig. 5.18
17. Identifique la gráfica de 4x2 - 9y2 - 16x + 18y - 29 = 0. Mediante factorización se tiene que 4(x2 - 4x) - 9(y2 - 2y) - 29 = 0, y luego al completar el cuadrado en x y en y se produce 4(x - 2)2 - 9(y - 1)2 = 36. Al dividir entre 36 se obtiene
(x - 2 )2 (y - 1)2 4 9
= 1. Según los resultados
del problema 15, la gráfica de esta ecuación se obtiene trasladando la hipérbola ^ = 1 dos unidades a la derecha y una unidad hacia arriba, de manera que el nuevo centro de simetría de la hipérbola sea (2, 1) (fig. 5.20). y
Fig. 5 .20
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Ecuaciones y sus gráficas
15. ¿Cómo se relaciona la gráfica de una ecuación F(x - a, y - b) = 0 con la gráfica de la ecuación F(x, y) = 0? Un punto (u, v) está en la gráfica de F (x - a, y - b) = 0 si y sólo si el punto (u - a, v - b) está en la gráfica de F(x, y) = 0. Entonces, en la gráfica de F (x - a, y - b) = 0 se obtiene al mover cada punto de la gráfica de F(x, y) = 0 a unidades a la derecha y b unidades hacia arriba. (Si a es negativo, se mueve el punto lal unidades a la izquierda. Si b es negativo, se mueve el punto Ibl unidades hacia abajo.) Tal movimiento se denomina traslación.
CAPÍTULO 5
unidades hacia arriba (fig. 5.18). El centro de la elipse queda en (1, 2), el eje mayor se sitúa sobre la recta x = 1 y el eje menor queda sobre la recta y = 2.
CAPÍTULO 5
Ecuaciones y sus gráficas
18. Trace la gráfica de la ecuación xy = 1. Algunos puntos de la gráfica se tabulan y se ubican en la figura 5.21. La curva sugerida por esos puntos se muestra como una línea punteada. Puede demostrarse que esta curva es una hipérbola con la recta y = x como eje transverso, la recta y = - x como eje conjugado, los vértices ( - 1, - 1) y ( 1, 1) y los ejes x y y como asíntotas. De igual forma, la gráfica de toda ecuación xy = d , donde d es una constante positiva, es una hipérbola con y = x como eje transverso, y = - x como eje conjugado y con los ejes de coordenadas como asíntotas. Tales hipérbolas se denominan hipérbolas equiláteras. Pueden mostrarse como rotaciones de hipérbolas de la forma x2/a2 - y2/a 2 = 1. i 1 4 -T | x
y
3 2 1 1/2 1/3 1/4 -1/4 -1/3 - 1/2 -1 -2 -3
1/3 1/2 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 - 1/2 -1/3
3
-i \ 2 * \ \
1 -4 -3 l i -------------0
l
-2
i
• ..
«v
_
-1
1 1
'X 1»
i 2
T ----------- ^ 3
- -1 \ \
- -2 i\ . - -3 1 1 T - -4
Fig. 5.21
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 19. a) i)
En una misma hoja de papel, trace las gráficas de las parábolas siguientes: y = 2x2
ii)
y = 3x2
iii) y = 4x2
iv)
y =2x2
v)
y = 1 x2
b)(CG = calculadora graficadora) Utilice una graficadora para comparar las respuestas del inciso a).
20. a)
En una misma hoja de papel, trace las gráficas de las parábolas siguientes e indique los puntos de intersección:
i)
y = x2
b)
(c g )
ii)
y = - x2
iii)
x = y2
iv) x = - y 2
Utilice una graficadora para comprobar las respuestas del inciso a).
21. Trace las gráficas de las ecuaciones
siguientes:
a)
y = x3 -1
b)
y = (x - 2)3
c)
y = (x + 1)3 -2
d)
y = -x 3
e)
y = -(x - 1)3
f
y = -(x - 1)3 + 2
22. (CG) U tilice una graficadora para responder el problem a 21.
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o
> -o
23. Identifique y trace las gráficas de las ecuaciones siguientes: a)
y 2 - x2 = 1
b) 25x2 + 36y2 = 900
c)
d)
xy = 4
e) 4x2 + 4y2 =
1
f)
8x = y2
g)
10y = x2
h) 4x2 + 9y2 =
16
i)
xy = -1
j)
3y2 - x2 = 9
Respuestas:
24.
(c g )
2x2 - y 2 = 4
a) hipérbola, eje y como eje transverso, vértices (0, ±1), asíntotas y = ±x; b) elipse, vértices (± 6, 0) focos (+VTT, 0); c) hipérbola, eje x como eje transverso, vértices (±V2 , 0), asíntotas y = ± x-Jlx; d) hipérbola, y = x como eje transverso, vértices (2, 2) y ( - 2, - 2), ejes x y y como asíntotas; e) círculo, centro (0, 0 ), radio y; f) parábola, vértice (0, 0), foco (2, 0), directriz x = - 2; g) parábola, vértice (0, 0), foco (0, f), directriz y = —-|; h) elipse, vértices (±2, 0), focos (± f V 5 ,0 ) ; 0 hipérbola, y = - x como eje transverso, vértices ( - 1, 1) y ( 1, - 1), ejes x y y como asíntotas; j) hipérbola, eje y como eje transverso, vértices (0, ±y¡3), asíntotas y = ±xV 3x/3.
U tilice una graficadora para trazar las gráficas del problem a 23.
25. Identifique y trace las gráficas de las ecuaciones siguientes: a) 4x2 - 3y2 + 8x + 12y - 4 = 0
b) 5x2 + y2 - 20x + 6y + 25 = 0
c)
x2 - 6x - 4y + 5 = 0
d) 2x2 + y2 - 4x + 4y + 6 = 0
e) 3x2 + 2y2 + 12x - 4y + 15 = 0
f)
(x - 1)(y + 2) = 1
g) xy - 3x - 2y + 5 = 0 [Sugerencia: compare con el inciso f)] h) i) 2x 2 - 8x - y + 11 = 0 Respuestas:
26.
(c g )
4x2 + y2 + 8x + 4y + 4 = 0
j) 25x2 + 16y2 - 100x - 32y - 284 = 0
a) gráfica vacía; b) elipse, centro en (2, -3 ); c) parábola, vértice en (3, -1 ); d) un solo punto (1, -2 ); e) gráfica vacía; f) hipérbola, centro en (1, -2 ); g) hipérbola, centro en (2, 3); h) elipse, centro en (-1, 2); i) parábola, vértice en (2, 3); j) elipse, centro en (2, 1).
U tilice una graficadora para trazar las gráficas del problem a 25.
27. H alle el foco, la directriz y la longitud del lado recto de las parábolas siguientes: a)
10x2 = 3y
Respuestas:
b)
2y2 = 3x
c)
4y = x2 + 4x + 8
d)
8y = -x 2
a) foco en (0, -Jy), directriz y = —-40, lado recto 10; b) foco en (-1,0), directriz x = —8, lado recto 3 c) foco en (-2, 2), directriz y = 0, lado recto 4; d) foco en (0, -2 ), directriz y = 2, lado recto 8.
28. H alle la ecuación para cada parábola que satisfaga estas condiciones: a) Foco en (0, -3 ), directriz y = 3 c)
Foco en (1, 4), directriz y = 0
b) d)
Foco en (6, 0), directriz x = 2 Vértice en (1, 2), foco en (1, 4)
e) Vértice en (3, 0), directriz y = 0 f)
Vértice en el origen, eje y como eje de simetría; contiene el punto (3, 18)
g) Vértice en (3, 5), eje de simetría paralelo al eje y; contiene el punto (5, 7) h) Eje de simetría paralelo al eje x, contiene los puntos (0, 1), (3, 2), (1, 3) i) Lado recto (latus rectum) es el segmento que une (2, 4) y (6, 4), contiene el punto (8, 1) j) Contiene los puntos (1, 10) y (2, 4), el eje de simetría es
vertical, el vértice está en la recta 4x - 3y = 6
Respuestas: a) 12y = - x 2; b) 8(x - 4) = y2; c) 8(y - 2) = (x - 1)2; d) 8(y - 2) = (x - 1)2; e) 8(x - 3) = y2; f) y = 2x2; g) 2(y - 5) = (x - 3)2; h) 2 (x —-f-) = —5(y —■§)2; i) 4(y - 5) = - (x - 4)2; j) y - 2 = 2(x - 3)2 o bien, y —^ = 26 (x —§ )2.
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m o g o o 3
CAPÍTULO 5
Ecuaciones y sus gráficas
29. H alle la ecuación para cada elipse que satisfaga las condiciones siguientes: a) Centro
en el origen, un foco en (0, 5) y longitud del eje semimayor, 13
b) Centro en el origen, eje mayor sobre el eje y ; contiene los puntos (1,2^3) y (y , VT5) c) Centro en (2, 4), foco en (7, 4), contiene el punto (5, 8) d) Centro en (0, 1), un vértice en (6, 1), excentricidad y e) Focos en (0, ± y ), contiene el punto (y, 1) f
Focos (0, ±9), eje semimenor de longitud 12
n _____ . . . . R w p m sfá s.
., *2, y2 _ *2 , y2 ( x - 2)2 , (y - 4)2 1 , ^ x2 , (y - 1)2 a) 144 + 169 1; b) 4 + 16 1; c) 45+201; 36 20 2 2 144 + 225
1
e)
^ , 9y2_ 25
1
30. H alle una ecuación para cada hipérbola que satisfaga las condiciones que siguen: a) Centro en el origen, con x como eje transverso; contiene los puntos (6, 4) y (-3 ,
1)
en el origen y un vértice en (3, 0); una asíntota es y _ y x
b) Centro
c) Tiene asíntotas y _ ± V 2x, contiene el punto (1, 2) d) Centro en el origen, un foco en (4, 0), un vértice en (3, 0) Respuestas: a)
5 x2
y2 x2 y2 y2 x2 y2 - ^ _ 1 ; b) ^ - ^ _ 1 ; c)- x2 _ 1; d) ^ - yr _1
31. H alle una ecuación de la hipérbola que conste de todos los puntos P(x, y) tales que \PF - PF'\ = 2>/2, donde F _ (V2 ,V2 ) y F ' = (-V 2 ,-V 2 ). Respuesta:
xy = 1
x2 y2 2 32. (CG) U tilice una graficadora para trazar la hipérbola -9 - ^ 4 _ 1 y con asíntotas y = ± 3 x.
33. (CG) U se una graficadora para trazar las elipses x2 + 4y2 = 1 y (x - 3)2 + 4(y - 2)2 = 1. ¿Cómo se obtiene la últim a gráfica a partir del prim ero?
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Funciones
Se dice que una cantidad y es una fu n c ió n de otra cantidad x si el valor de y queda determ inado p o r el valor de x. Si f sim boliza la función, entonces la dependencia de y en x se indica m ediante la fórm ula y = f x ) . L a letra x se denom ina variable independiente y la letra y variable dependiente. L a variable independiente tam bién recibe el nom bre de argum ento de la función y la variable dependiente valor de la función. Por ejem plo, el área A de un cuadrado es un a función de la longitud s de un lado del cuadrado, y esa fu n ción puede expresarse m ediante la fórm ula A = s2. E n este caso, s es la variable independiente y A la variable dependiente. E l dom inio de una función es el conjunto de núm eros al que puede aplicársele la función, es decir, el co n ju n to de núm eros que se asignan a la variable independiente. E l rango de un a función se refiere al conjunto de núm eros que la función asocia con los núm eros del dom inio. EJEMPLO 6.1. La fórmula f x ) = x2 determina una función f por medio de la cual a cada número real x se asigna su cuadrado. El dominio consta de todos los números reales. Se puede observar que el rango comprende todos los números reales no negativos. De hecho, cada valor x2 es no negativo. Recíprocamente, si r es cualquier número real no negativo, entonces r aparece como un valor cuando la función se aplica a -Jr, como r = (V r )2. EJEMPLO 6.2.
Sea g la función definida por la fórmula g(x) = x2 - 4x + 2 para todos los números reales. Luego, g(1) = (1)2 - 4(1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1
y g (-2) = (-2 )2 - 4(-2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 También, para cualquier número a, g(a + 1)2 - 4(a + 1) + 2 = a 2 + 2a + 1 - 4 a - 4 + 2 = a 2 - 2a - 1. EJEMPLO 6.3. a) Sea la función h(x) = 18x - 3x2 definida para todos los números reales x. Entonces, el dominio es el conjunto de todos los números reales. b) El área A de cierto rectángulo, uno de cuyos lados tiene longitud x, se calcula con A = 18x - 3x2. Tanto x como A deben ser positivas. Ahora, al completar el cuadrado se obtiene A = -3(x2 - 6x) = -3 [(x - 3)2 - 9] = 27 - 3(x - 3)2 Como A > 0, 3(x - 3)2 < 27, (x - 3)2 < 9, |x - 3| < 3. Por ende, -3 < x - 3 < 3, 0 < x < 6. Luego,la función que determina A tiene en su dominio el intervalo abierto (0, 6). La gráfica de A = 27 - 3(x - 3)2 es la parábola que aparece en la figura 6.1. A partir de la gráfica se observa que el rango de la función es el intervalo semiabierto (0, 27). Así, la función del inciso b) está dada por la misma fórmula que la función del inciso a), pero el dominio de la primera es un subconjunto apropiado del dominio de la segunda.
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CAPÍTULO 6
^ 5»
Funciones
A
x
L a g r á f i c a d e u n a fu n c ió n
EJEMPLO 6.4. O b serve que f
x)
=
f
s e d e f in e c o m o la g r á f ic a d e la e c u a c ió n
y = f x ).
a) C o n s id e r e la fu n c ió n f x ) = |x|. S u g r á f ic a e s la d e la e c u a c ió n y = |x| y s e in d ic a e n la f ig u r a 6 .2 . x c u a n d o x > 0, m ie n tr a s q u e f x ) = - x c u a n d o x < 0. E l d o m in io d e f c o n s t a d e t o d o s lo s n ú m e r o s
(En general, si una función está dada p o r una fórm ula, si no se dice lo contrario, se supondrá que el dominio consta de todos los números para los que se define la fó rm u la .) E n la g r á f ic a d e la f ig u r a 6 .2 s e o b s e r v a q u e e l r a n g o d e la fu n c ió n c o n s t a d e t o d o s lo s n ú m e r o s r e a le s n o n e g a t iv o s . (En general, el rango de una función es el conjunto de coordenadas y de todos los puntos de la gráfica de una función. ) b ) L a f ó r m u la g(x) = 2 x + 3 d e f in e u n a fu n c ió n
r e a le s .
g, c u y a
g r á f ic a e s la d e la e c u a c ió n
y = 2x +
3, q u e e s la lín e a r e c t a c o n p e n d ie n t e 2 e in t e r s e c c ió n c o n e l e je
E l c o n ju n t o d e t o d o s lo s n ú m e r o s r e a le s e s ta n to e l d o m in io c o m o e l r a n g o d e
y en
3.
g.
y
x
EJEMPLO 6.5.
S e a u n a fu n c ió n
g
d e f in id a d e e s ta m a n e ra :
x
g(x) = • Ix +1 U n a fu n c ió n e x p r e s a d a d e e s ta fo r m a ¿ e s tá
si 2 <
x< 4
si 1 <
x<
2
definida p o r casos. O b s e r v e
q u e e l d o m in io d e
g
e s e l in t e r v a lo c e rra d o
[ 1 , 4 ].
E n una rigurosa aplicación de las m atem áticas, un a función f se define com o un conjunto de pares ordenados tales que si (x, y) y (x, z) están en el co n ju n to f, entonces y = z. Sin em bargo, esta definición oscurece el signi ficado intuitivo de la noción de función.
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CAPÍTULO 6
PROBLEMAS RESUELTOS
a)
e)
2.
f (2a) =
2a - 1 4 a2 + 2
x+ h- 1 x+ h- 1 (x + h)2 + 2x2 + 2 hx + h2 + 2
f (x + 3) Si f (x) = 2x, demuestre que: a) f (x + 3) - f (x - 1) = 15f (x), y b) f (x _ 1) = f (4). a)
3.
f (x + h) =
c)
f (x + 3) - f (x - 1) = 2x+3 - 2x-1 = 2x (23 - | ) = f f (x)
b)
f (x + 3) = 2 - 3 = 24 = f (4) f (x - 1) 21-1 2 f (4)
c)
y=
Determine los dominios de las funciones: a)y = y¡4 - x2 1 d) y = x2 - 9
b) e)
y = Vx2 - 16 x y= x2 + 4
1 x -2
a) Como y debe ser real, 4 - x2 > 0, o bien, x2 < 4. El dominio es el intervalo - 2 < x < 2. b) Aquí, x2 - 16 > 0, o bien, x2 > 16. El dominio consta de los intervalos x < - 4 y x > 4. c) La función se define para cada valor de x excepto 2. d) La función se define para x * ±3. e) Como x2 + 4 * 0 para todo x, el dominio es el conjunto de todos los números reales. 4.
Trace la gráfica
de la función definida como sigue: f x ) = 5 cuando 0 < x < 1
f x ) = 10 cuando 1 < x < 2
f(x) = 15 cuando 2 < x < 3
f(x) = 20 cuando 3 < x < 4, etc.
Determine el dominio y el rango de la función. La gráfica se muestra en la figura 6.3. El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos y el rango es el conjunto de enteros 5, 10, 15, 20, ... y 25
o----------
20
o - -
15 10
oo-
50-x Fig. 6.3
5.
Se requieren 2 000 pies de alambre para cercar un terreno rectangular. Si una de las dimensiones del terreno es x (en pies), exprese su área y (en pies cuadrados) como función de x y determine el dominio de la función. Como una dimensión es x, la otra es y (2000 - 2x) = 1000 - x . Entonces el área es y = x(1 000 - x) y el dominio de esta función es 0 < x < 1 000.
6.
Exprese la longitud l de la cuerda de un círculo de radio 8 como función de su distancia x del centro del círculo. Determine el dominio de la función.
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Funciones
x -1 halle: a) f(0 ); b) f ( - 1 ) ; c) f(2 a ); d) f(1/x); e) f ( x + h). x2 + 2 0 -1 -1 - 1 2 f (0)= b) f (-1) = 1 + 2 0+2 3
Dada f (x) =
«
______
>
CAPÍTULO 6
Funciones
En la figura 6.4 se observa que yZ = V64 - x2, de manera que Z= 2V64 - x2 . El dominio es el intervalo 0 < x < 8.
7.
De cada esquina de un cuadrado de hojalata de 12 pulgadas de lado se retiran pequeños cuadrados de x (pulgadas) de lado y los extremos se doblan para formar una caja abierta (figura 6.5). Exprese el volumen V de la caja (en pulgadas cúbicas) como función de x y determine el dominio de la función.
Fig. 6.5 La caja tiene una base cuadrada de lado 12 - 2x y una altura de x. Entonces, el volumen de la caja es V = x(12 - 2x)2 = 4x(6 - x)2. El dominio es el intervalo 0 < x < 6. A medida que x crece sobre su dominio, V aumenta por un tiempo y luego decrece. Por consiguiente, entre las cajas que pueden construirse hay una con un volumen más grande, digamos, M. Para determinar M es necesario ubicar el valor preciso de x en el que V deja de aumentar. Este problema se estudiará en un capítulo posterior. Si f(x) = x2 + 2x, halle f (a + h —
e interprete el resultado.
f (a + h) - f (a) = [(a + h)2 + 2(a + h)] - (a2 + 2a) = 2—+ 2 + h h h En la gráfica de la función (fig. 6.6), localice los puntos P y Q cuyas abscisas respectivas son a y a + h. La ordenada de P es f(a ) y la de Q es f(a + h). Entonces f (a + h) - f (a) _ diferencia de ordenadas ■= pendiente de PQ h diferencia de abscisas y
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S e a fx ) = x2 - 2x + 3. Evalúe a)f(3); b )f(-3 ); c)f(-x ); d) f( x + 2); e) f( x - 2); f) f( x + h); g )f(x + h) - f(x); h) f (x + h) - f (x) h a) f(3) = 32 - 2(3) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6
Funciones
b) f - 3 ) = (-3 )2 - 2(-3) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18 c) f (-x ) = (-x )2 - 2(-x) + 3 = x2 + 2x + 3 d) f x + 2) = (x + 2)2 - 2(x + 2) + 3 = x2 + 4x + 4 - 2x - 4 + 3 = x2 + 2x + 3 e) f x - 2) = (x - 2)2 - 2(x - 2) + 3 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4 + 3 = x2 - 6x + 11 f ) f( x + h) = (x + h)2 - 2(x + h) + 3 = x2 + 2hx + h2 - 2x - 2h + 3 = x2 + (2h -
2)x + (h2 - 2h + 3)
g) f x + h) - f x ) - [x2 + (2h - 2)x + (h2 - 2h + 3)] - (x2 - 2x + 3) = 2hx + h2 f (x + h) - f (x) = h(2x + h - 2) = 2x + h - 2 h) h h
2h = h(2x + h - 2)
10. Trace la gráfica de la función f (x) = -J4 - x2 y hace su dominio y su rango. La gráfica de f es la de la ecuación y = V4 - x2. Para los puntos de esta gráfica, y2 = 4 - x2; es decir x2 + y2 = 4. La gráfica de esta última ecuación es el círculo con centro en el origen y radio 2. Como y = V4 - x2 > 0, la gráfica deseada es la mitad superior de ese círculo. En la figura 6.7 se muestra que el dominio es el intervalo - 2 < x < 2, en tanto que el rango es el intervalo 0 < y < 2. y
x
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 11. Si f x ) = x2 - 4x + 6, halle a) f(0); b) f(3); c) f - 2 ) . Demuestre que f (£) = f © y f( 2 - h) = f(2 + h). Respuestas:
a) -6 ; b) 3; c) 18
x -1 12. Si f (x) = halla a )f(0); b)f(1); c )f(-2 ). Demuestre que f | x x +1 Respuestas:
- f ( x) y f ( - 1
a) -1 ; b) 0; c) 3
13. Si f x ) = x2 - x, pruebe que f x + 1) = f - x ) .
14. S if x ) = 1/x, demuestre que f (a) - f (b) = f ^
15. Si y = f (x) = 4 x + r5 , pruebe que x = f ( y)
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CAPÍTULO 6
9.
f (x )'
CAPÍTULO 6
Funciones
16. Determine el dominio de cada una de las funciones siguientes: a)
y = x2 + 4
e)
y=
b)
y = Vx2 + 4
2x (x - 2)(x + 1)
Respuestas:
c)
y = Vx2 - 4
_1 f)
y=
g)
2
x2 - 1 y = x2 + 1
d)
y=
x x+3
h)
y=
^
x
a), b) y g) todos los valores de x; c) |x| > 2; d) x * -3 ; e) x * -1 , 2; f) -3 < x < 3; h) 0 < x < 2
17. Calcule f ( a + h)— f ( a ) en estos casos: h a)
f (x) = -----cuando a * 2 y a + h * 2 x -2
b)
f (x) = Vx - 4 cuando a > 4 y a + h > 4
c)
f (x) = x + 1 cuando a * -1 y a + h * -1
Resp“
-1 1 1 a) (a - 2 Xa + h - 2 ) ; b) Va + h - 4 W a - 4 ; C' (a + « < + h + 1)
18. Trace las gráficas de las funciones siguientes y halle sus dominios y rangos: b)
a) f x ) = - x 2 + 1
f (x) = i
Ix - 1
s i0 < x < 1
[2 x
si 1 < x
f)
m -
= f(x )
c) f(x) = [x] = el mayor entero menor o igual que x x2 _4 e) f (x) = 5 - x 2 d) f (x ) = x - 2 g) h) f(x) = 4/x [x j ) f(x) = x - |x|
k)
i) si x > 0
f (x) = j si x < 0
Respuestas:
19.
(c g )
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
dominio, todos los números; rango, y < 1 dominio, x > 0; rango, -1 < y < 0 o bien, y > 2 dominio, todos los números; rango, todos los enteros dominio, x * 2; rango, y * 4 dominio, todos los números; rango, y < 5 dominio, x > 0; rango, y < 0 dominio, todos los números; rango, y > 0 dominio, x * 0; rango, y * 0 dominio, x * 0; rango, {-1, 1} dominio, todos los números; rango, y < 0 dominio, todos los números; rango, y > 0
Utilice una graficadora para comprobar las respuestas del problema 18.
para las funciones f que siguen:
20. Evalúe la expresión f ( x + h)—f ^
b) f (x) = -j 2 x d) f (x) = x3 - 2
a) f(x) = 3x - x2 c) f(x) = 3x - 5 Respuestas:
a) 3 - 2x - h;
b)
2 yj 2( x + h) + \ 2 x
■=------ ; = ;c)3;d)3x2 + 3xh + h2
21. Halle una fórmula para la función f cuya gráfica conste de todos los puntos que satisfacen cada una de las ecuaciones siguientes (es decir, resuelva para y en cada ecuación): a)
x5y + 4x - 2 = 0
b)
2+ y x = 2- y
c)
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4x 2 - 4xy + y2 = 0
2_ 4 a) f (x) = ---- ^ X
CAPÍTULO 6
Respuestas:
2 (x _ 1) b) f (x) = — —i— c) f(x) = 2x x+1
a)
[x + 2 f (x) = <¡ x
Respuestas:
23.
(c g )
si —1 < x < 0 si 0 < x < 1
b) g(x) =
[2 _ x s i 0 < x < 2[ x2 —4 . ^ c) h(x) =
a) dominio = (-1 , 1], rango = [0, 2) b) dominio = (0, 2) u [3, 4), rango = (0, 3) c) dominio y rango = conjunto de todos los números reales
Compruebe las respuestas del problema 22 con una graficadora.
24. En cada uno de los casos que siguen, defina una función que tenga el conjunto 3 como dominio y el conjunto $1 como rango: a) % = (0, 2) y $1 = (1, 7); b) % = (0, 1) y $1 (1, ^ ). Respuestas:
a) una de las funciones es f(x) = 3x + 1;
b) una de las funciones es f (x) =
—. 1—x
25. a) Pruebe el criterio de la recta vertical: un conjunto de puntos en el plano xy es la gráfica de una función si y sólo si el conjunto interseca toda recta vertical, a lo sumo, en un punto. b) Determine si cada conjunto de puntos en la figura 6.8 es la gráfica de una función. Respuesta:
Sólo (b) es la gráfica de una función.
Fig. 6 .8
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six = 2
Funciones
22. Trace la gráfica de estas funciones y halle su dominio y su rango:
Límites
Límite de una función Si f es una función, entonces se dice que A es el lím ite de f (x) cuando x se aproxim a a a si el valor de f (x ) se acerca arbitrariam ente a A cuando x se aproxim a a a. E n n otación m atem ática esto se expresa así: lím f (x) = A x^a Por ejem plo, límx^ 3 x2 = 9, ya que x2 se aproxim a arbitrariam ente a 9 a m edida que x se aproxim a a 3 tanto com o se desee. L a definición puede plantearse en lenguaje m atem ático m ás preciso de la m anera siguiente: límMa f (x) = A si y sólo si, para cualquier núm ero positivo seleccionado 5, aunque sea pequeño, existe un núm ero positivo e tal que siem pre que 0 < lx - al < 5, entonces f (x) - Al < e . L o fundam ental de la definición se ilustra en la figura 7.1. D espués que se h a seleccionado e [es decir, d es pués de seleccionar el intervalo ii)], 5 se puede h allar [o sea, el intervalo i) puede determ inarse] de m odo que siem pre que x T a está en el intervalo i), p o r ejem plo en x0, e n to n c e sf(x ) está en el intervalo ii), e n f ( x 0). Es im portante señalar que el que límMa f(x ) = A sea verdad no depende del valor de f (x) cuando x = a. D e hecho, f (x) ni siquiera necesita estar definida cuando x = a. x0 - o ----------- O------------O------------ ► x a —8 a a +8
f(xo) ------o ------------------------------------------- O— ►- f(x) A —e A A+e
(i)
(ii) Fig. 7.1
EJEMPLO 7.1. lím x — 4 = 4, aunque — — x^2 x - 2 ^
4
no está definida cuando x = 2. Como x- 2
x2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = x- 2 x- 2 se observa que
4
2
se aproxima a 4 cuando x se aproxima a 2.
EJEMPLO 7.2. Usemos la definición precisa de límite para demostrar que lím x ,2(4x - 5) = 3 lím (4 x - 5) = 3. Sea x--^2 e > 0. Se debe producir un 8 > 0 tal que siempre que 0 < lx - 2l < 8, entonces l(4x - 5) - 3l < e . En primer lugar, observe que l(4x - 5) - 3l = l4x - 8l = 4 lx - 2l. Si se toma 8 como e /4, entonces siempre que 0 < lx - 2l < 8, (4x - 5) - 3 = 4lx - 2l < 48 = e .
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A continuación se explicará qué son los lím ites laterales de f (x ) cuando x se aproxim a a a p o r el lado derecho o po r el izquierdo. P or lím Ma- f(x ) = A se entiende que f está definida en algún intervalo abierto (c, a) y f(x )
cuando x se aproxim a a a p o r la derecha. Si f está definida en un intervalo a la izquierda de a y en un intervalo a la derecha de a, entonces la afirm ación lím x^ a f (x ) = A equivale a la conjunción d e las dos afirm aciones lím x^ a- f(x ) = A y límMa+ f(x ) = A. M ás adelante verá ejem plos donde la existencia del lím ite por la izquierda no im plica la existencia del lím ite por la derecha y a la inversa. Cuando una función está definida sólo en un lado de un punto a, entonces lím Ma f(x ) = A es idéntico al lím ite lateral, si existe. P or ejem plo, si f(x) = 4 x , entonces f está definida sólo a la derecha de cero. Por tanto, com o límx^ 0+ y[x = 0 tam bién escribim os límx^ 04 x = 0. C laro que límM (r J x = 0 no existe, y a que 4 x no está definida cuando x < 0. É ste es un ejem plo en que la existencia de un lím ite lateral no im plica la existencia de un lím ite del otro lado. C om o otro ejem plo interesante, considere la función g(x) = V1/x, que está definida sólo para x > 0. E n este caso, límM0+ VTTx no existe, ya que 1/x aum enta m ás y m ás sin lím ite cuando x tiende a cero p o r la derecha. Por consiguiente, lím x^ 0 \[l/x no existe. EJEMPLO 7.3.
v2 tiene ti & ntíifxra I^ _ La función f(x) = ^ 9 - x2 elI 1intervalo -3á < < -v x << á3 í'^tnri como íiAmmiA dominio. Vi Si aa (es cualquier número
del intervalo (-3, 3), entonces l í m ^ ^ 9 - x2 existe y es igual a ,J9 - a 2. Ahora considere a = 3. Sea x que tiende a 3 por la izquierda; entonces l í m ^ ^/9 - x 2. Para x > 3, ,J9 - x 2 no está definida, ya que 9 - x2 es negativa. Por tanto, límx^ 3V9 - x 2 = límx^ 3- y/9 - x 2 = 0. De igual forma, l í m ^ ,/9 - x2 = límx^ 3+ ,J9 - x 2 = 0.
Teoremas sobre límites L os teorem as siguientes son intuitivam ente claros. L as dem ostraciones de algunos de ellos están dadas en el problem a 11. Teorema 7.1.
Si f(x) = c, una constante, entonces lím f( x) = c. x^a
Para los cinco teoremas siguientes, se supone que lím f (x) = A y lím g(x) = B. x^a x^a Teorema 7.2.
lím c •f(x ) = c lím f(x ) = cA. x^a x^a
Teorema 7.3.
lím [ f (x) ± g(x)] = lím f (x) ± límg(x) = A ± B. x^a x^a x^a
Teorema 7.4.
lím [ f (x)g(x)] = lím f (x )•límg(x) = A •B. x^a x^a x^a
Teorema 7.5.
í f ( xiN lím f (x) lím ; { = l? a ( ^ x^a I g(x) I lim g(x)
Teorema 7.6.
lím d f ( x) = nilím f ( x) = 4 á , si t f A está definida. x^a \ x^a
A a , si B ^ 0. B
Infinito Sea lím f (x) = +°° que significa que cuando x tiende a a, a la postre f (x) poco a poco se vuelve m ayor que cualquier núm ero p o si tivo previam ente determ inado, po r grande que fuere. E n este caso, f( x ) tiende a + ^ cuando x se aproxim a a a. M ás exactam ente lím Ma f( x ) = + ^ si y sólo si p ara cualquier núm ero positivo M existe un núm ero positivo 5 tal que siem pre que 0 < lx - al < 5, entonces f (x) > M.
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Lím ites
se aproxim a a A cuando x se acerca a a por valores m enores que a, es decir, cuando x tiende h acia a p o r la iz quierda. D e igual form a, lím Ma+f(x ) = A significa que f está definida en algún intervalo (a, d) y f( x ) tiende a A
CAPÍTULO 7
Límites por la derecha y por la izquierda
CAPÍTULO 7
Lím ites
D e igual modo, lím f (x) = +°o x^a significa que, cuando x tiende a a, a la postre f (x) se vuelve m enor que cualquier núm ero negativo previam ente asignado. E n tal caso, se dice que f (x) tiende a - ^ cuando x tiende a a. Sea lím f (x) = -oa x^a lo cual significa que cuando x tiende a a, f(x )l progresivam ente se vuelve m ayor que todo núm ero positivo previam ente asignado. P or tanto, lím Ma f(x ) = ^ si y sólo si lím Ma f(x )l = + ^ . E stas definiciones se extienden a los lím ites por la derecha y p o r la izquierda. EJEMPLO 7.4.
a) lím -^ = 400 x2
b) lím , «1 (x - 1)2
c) lím 1 = ~ «0 x
EJEMPLO 7.5. a) lím 1 = +°°- Cuando x tiende a 0 por la derecha (es decir, por medio de números positivos), 1/x es positivo y poco a poco se vuelve mayor que cualquier número previamente asignado. b) lím 1 = ^>0. Cuando x tiende a 0 por la izquierda (es decir, mediante números negativos), 1/x es negativo y poco a poco se vuelve menor que cualquier número previamente asignado. L os conceptos de lím ite ya m encionados pueden extenderse de form a obvia al caso en que la variable tiende a +ro o -ro. Por ejem plo, lím f (x) = A x— significa que f (x ) tiende a a cuando x ^ +<», o, en térm inos m ás exactos, dado cualquier e positivo, existe un núm ero N tal que siem pre que x > N, entonces f (x) - Al < e . Se pueden dar definiciones sim ilares p ara las afirm aciones l r n ^ f ( x ) = A, f (x ) = + ~ , f( x ) = - ^ , límx^a f(x ) = - ^ y f(x ) = + ~ .
EJEMPLO 7.6.
lím 1 = 0 y x '
lím |2 + -1 ) = 2. x2 I
Advertencia: cuando l í m ^ f(x ) = utilizarse.
y l í m ^ g (x) = ± ^ , los teoremas 7.3 a 7.5 no tienen sentido y no pueden
Por ejemplo, lím ^ r = +®° y lím ^ - = +°o, pero lím 1 ^ = lím x2 =0 .1—0 1 /x x— 0 Nota: se afirma que un límite, como l í m ^ f(x ) o límx^+„ f(x ), existe cuando el límite es un número real, pero no cuando el límite es + ^ , - ^ o ^ . Por ejemplo, como límx^ 2 = 4, se dice que límx^ 2 existe. Sin embargo, aunque límx^ 0 4r = +“ , no se dice que límx^ 0 -1 existe.
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Compruebe los siguientes cálculos sobre límites: a) b) c)
lím 5x = 5lím x =5 • 2 = 10 x— >2 x— >2 lím (2x + 3) = 2lím x + lím3 = 2 • 2 + 3 = 7 x— — 2 x— — 2 x— — 2 lím (x 2- 4 x + 1 )= 4 - 8 +1 = - 3 x— >2
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—- 7y.
1^3 x + 2
= 1
Lím ites
iím (x- 2 ) , lím x , 0 = lím(x + 2) 5 x^3 e) lím x2 ~ 4 = 4 ~ 4 = o e) X™ x2 + 4 4+4 0
CAPÍTULO 7
x_ 2
d) J
f)
límV25 - x 2 = /lím (25 - x2) =V 9 = 3 x^4 y [Nota: de estos problemas no infiera que lím f(x ) siempre seaf(a).] 2 C x^a g) lím x ~ 25 = lím (x - 5 ) = -10 x^ - 5 x + 5 J^ -5 V 7 2.
Compruebe los cálculos siguientes sobre límites: a) lím 2 x ~ = lím 7—, x Z 4 , , = lím —^ = i ' x^ 4 x2 - x - 1 2 x^ 4 (x + 3 )(x - 4 ) x^4 x + 3
7
La división entre x - 4 antes de pasar al límite es válida porque x ^ 4 cuando x ^ 4; por tanto, x - 4 nunca es cero. ^ x3 - 2 7 (x - 3)(x2 + 3x + 9 ) ,, x2 + 3x + 9 9 b) x m ( x- 3) ( x+ 3) )= üm? x + 3 = 2 c) lím (x + h) - x 2 = lím x 2+ 2 hx + h2- x2 = lím 2 h x+ h— = lím (2x + h) = h^0 h h^ 0 h h^ 0 h h^ 0
2x
Aquí, y de nuevo en los problemas 4 y 5, h es una variable, de manera que puede pensarse que se está tratando con funciones de dos variables. Sin embargo, el hecho de que x sea variable no tiene relevancia en estos problemas; por el momento, x puede considerarse una constante. „ d)
4 - x2 ( 4 - x2)(3 + Vx2 + 5) ( 4 - x 2)(3 + V x2 + 5 ) ,, „ , r lim ------ , = lim — v — -— , y = lím ----------^ -----2--------- ¿ = lim (3 + y¡x 2 + 5) = 6 x^ 2 3 - VX2 + 5 x^ 2 (3 - V x 2 + 5 )(3 + Vx2 + 5) x^ 2 4_x x^ 2
e) lím X + X722 = lím (x 7 1)(x ^ 2) = l í m = ^ ; no existe límite (x 1) x— ^1 (x 1) x— ^1 x 1 3.
En los siguientes problemas a) a c), puede interpretar lím como lím o lím , sin importar cuál de los dos sea. Compruebe los límites. , 3x- 2 3 - 2/x 3 - 01 a) lím ñ— 9x r+ñ7 =9 lím + 7/x n 9. +n /0 = n , n = 3t b) lí b) ^
6x2 + 2x +1 5x2 - 3 x + 4
lí
6 + 2/x +1 /x26 + 0 + 0 6 5 - 3/x + 4/x2 = 5 - 0 + 0 = 5
, c)
x2 + x - 2 1/x + 1/x2 - 2/x 3 0 } í m L - x = r = X ^L 4 - 1/x3 = 4 = 0
d)
2x 3 2x lím —2— ¡- = lím 2x - = x2 + 1 x“ -~ 1 + 1/x2
e) 2x 3 e)lím —^— T = lím x2 +1 f)
g)
-¡—
_
— oo
2x T T 2 = +oo 1 + 1/x2
/1 - 7 - _2 _5_ = +oo ya que x x 4 + x5 y , 7 2 5 lím 1----------4 -y4 ^---A -y-55 = (1 - 0 - 0 + 0) = 1 y lím x5 = +oo A v y ( 7 2 5 _1íit^ (x5- 7 x 4 - 2x +5) = jím ^ x 511 - j - j j + j | = -°°, ya que lím (x 5- 7 x4- 2x + 5) = lím x ‘
X
Hm (1 - 7 - j 2 + 155) = (1 " 0 - 0 + 0) = 1 y ^ 4.
=—
Dado f(x) = x2 - 3x, halla lím f (X + ^ — f(X ) Como f(x ) = x2 - 3x, se tiene que f (x + h) = (x + h)2 - 3(x + h) y lím f (x + h) - f (x) = lím (x 2 + 2hx + h2 - 3x - 3 h )- (x 2 - 3x) = lím 2hx + h2 - 3h h^0 h h^0 h h^0 h = lím (2x + h - 3) = 2x - 3 h^0
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CAPÍTULO 7
Dado f (x) = \l5 x + 1, halla cuando x
5.
Lím ites
> --5
lím f (x + h) ~ f (x) = lím V5x + 5h +1 -/5x + 5h +1 + V5x +1 h~>° h -v/5x + 5h +1 + V 5x +1 _ iím (5x + 5h +1) - (5x +1) h^ 0 h(y¡5x + 5h + 1 + V 5x + 1) 5 -----, 5 = lím . = ,-------h^° \ 5 x + 5h +1 + v 5x +1 2>/5 x +1 6.
a)
b)
En cada uno de los casos siguientes, de a) a e), determine los puntos x = a para los cuales cada denominador es cero. Luego observe qué pasa con y cuando x ^ a- y cuando x ^ a+ y comprueba las soluciones dadas. (c g
= calculadora graficadora) Compruebe las respuestas del inciso anterior) con una graficadora.
a)
y = f (x) = 2/x; el denominador es cero cuando x = 0. Cuando x ^ 0-, y ^
b)
y = f (x) = (x + 3x i- 2) • El denominador es cero para x = -3 y x = 2. Cuando x ^ - 3 -, y ^ - ^ ; cuando x ^ -3+, y ^ + ^ ; cuando x ^ 2-, y ^ - ^ ; cuando x ^ 2+, y ^ + ^ .
c)
y = f (x) = (x +x2-(3- 1) • el denominador es cero para x = - 2 y x = 1. Cuando x ^ - 2 -,y ^ - ^ ; cuando x ^ - 2+, y ^ + ^ ; cuando x ^ 1-, y ^ + ^ ; cuando x ^ 1+, y ^ - ^ . +3 y = f(x ) = (x + 2- (3 1) • el denominador es cero para x = 3.Cuando x ^ 3-, y ^ + ^ ; cuando x ^ (x 3) y ^ + ^. y = f (x) = (x +x2-(3~x)• el denominador es cero para x = 3. Cuando x ^ 3-, y ^ + ^ ; cuando x ^ 3 +
d) e)
cuando x ^ 0+, y ^ + ^ .
y —> —^ . 7.
Para cada una de las funciones del problema 6, determine qué sucede con y cuando x ^
y x ^ + ^.
a)
Cuando x ^ ± ^ , y = 2/x ^ 0. Cuando x < 0, y < 0. Por tanto, cuando x ^ - ^ , y ^ 0-. De igual forma, cuando x ^ + ^ , y ^ 0+.
b)
Al dividir el numerador y el denominador de (x+3- x1-2) entre x2 (la más alta potencia de x en el denominador) se obtiene 1/x - 1/x2 (1 + 3/x)(1 - 2/x) Por tanto, cuando x ^ ± ^ , y ^ ___ 0 ^ 0 ___ = 0 = 0 y (1 + 0)(1 - 0) 1 0 Cuando x ^ - ^ , los factores x - 1, x + 3 y x - 2 son negativos y, por consiguiente, y ^ 0-. Cuando x ^ + ^ , tales factores son positivos, por lo que y ^ 0+.
c) Similar a b). d) (x+x2- (3)2 1) = - 6 x ~+9 = 1+6/x+9/x2, después de dividir el numerador y el denominador entre x2 (la potencia más alta de x en el denominador). Por consiguiente, como x ^ ± ^ , y ^ 1+0~0 = j- = 1. El denominador (x - 3)2 siempre es no negativo. Cuando x ^ - ^ , tanto x + 2 como x - 1 son negativos y su producto es positivo; por tanto, y ^ 1+. Cuando x ^ + ^ , tanto x + 2 como x - 1 son positivos, igual que su producto; por ende, y ^ 1+. e) (x+x2-(3- x) = - x2x- x3+ 2 = - x1-_13+/x2/x, después de dividir el numerador entre x (la potencia más alta de x en el denominador). Cuando x ^ ± ^ , 2/x y 3/x tienden a 0, y - x - 1 se aproxima a ± ^ . Luego, el denominador se acerca a 1 y el numerador tiende a ± ^ . Cuando x ^ - ^ , x + 2 y x - 3 son negativos y 1 - x es positivo; entonces, y ^ + ^ . Cuando x ^ + ^ , x + 2 y x - 3 son positivos y 1 - x es negativo; por ende, y ^ - ^ .
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Analice la función del problema 4 del capítulo 6 cuando x ^ a- y cuando x ^ a+ cuando a es cualquier entero positivo. Considere, como caso típico, a = 2. Cuando x ^ 2-, f(x ) ^ 10; cuando x ^ 2+, f(x ) ^ 15. Entonces,
9.
Utilice la definición precisa para demostrar que lím (x 2 + 3x) = 10. x^2 Sea e > 0. Observe que (x - 2)2 = x2 - 4x + 4, y entonces x2 + 3x - 10 = (x - 2)2 + 7x - 14 = (x - 2)2 + 7(x - 2). Por tanto, l(x2 + 3x) - 101 = l(x - 2)2 + 7(x - 2)1 < lx - 2I2 + 7lx - 21. Si se selecciona 8 como el mínimo de 1 y e /8, entonces 82 < 8 y, por consiguiente, 0 < lx - 2I < 8 implica l(x2 + 3x) - 10I < 82 + 78 < 8 + 78 = 88 < e .
10. Si lím g(x) = B ^ 0, demuestre que existe un número positivo 8 tal que 0 < lx al < 8 implica lg (x)l > ^ x^a 2 Con e = lBl/2 se obtiene un 8 positivo tal que 0 < lx - al < 8, y entonces lg(x) - Bl < lBl/2. Ahora, si 0 < lx - al < 8, entonces lBl = lg(x) + (B - g(x))l < lg(x)l + lBl/2 y, por consiguiente, lBl/2 < lg(x)l. 11. Suponga que i) lím f (x) = A y ii) lím g(x) = B. Pruebe: x^a x^a a) lím [f (x) + g(x)] = A + B b) lím f (x)g(x) = AB x^a x^a
. c) lím x^a g( x)
A si B ^ 0 D
a) Sea e > 0. Entonces, e /2 > 0. Por i) y ii), existen 8j y 82 positivos tales que 0 < lx - al < 8j implica que lf (x) - al < e /2 y 0 < lx - al < 82 implica que lg(x) - Bl < e /2. Sea 8 el mínimo de 8j y 82. Entonces, para 0 < lx - al <8, lf (x) - Al< e /2 y lg(x) - Bl < e /2. Por consiguiente, para 0 < lx - al < 8, f (x) + g(x) - (A + B)l = l(f (x) - A)l + (g(x) - B)l < lf (x) - Al + lg(x) - Bl < f + f = e b) Sea e > 0. Escoja e * como el mínimo de e /3 y 1 y e /(3lBl) (si B ^ 0), y e /(3lAl) (si A ^ 0). Observe que (e * )2 < e * , ya que e * <1. Además lBle* < e /3 y A le* < e /3 . Por i) y ii), existe un 8j y un 82 positivos tales que 0 0. Entonces, B 2e /2 > 0, por lo cual existe un 8j positivo tal que 0 < lx - al < 8j implica que lg(x) - Bl < B p - . Por el problema 10, existe un 82 positivo tal que 0 < lx - al < 82 implica que lg(x)l > lBl/2. Sea 8 el mínimo de 8j y 82; entonces 0 < lx - al < 8 implica que 1 = lB - g(x)l ^ lBl2 e 2 lB llg(x)l ^ 2 ' lBl2 B
1 g(x)
12. Pruebe que para cualquier función polinomial f(x ) = a x + an_lxn- 1 + _ + a x + a 0, lím f (x) = f (a) x^a Esto se deduce de los teoremas 7.1-7.4 y el hecho obvio de que lím x = a. 13. Pruebe las generalizaciones siguientes de los resultados del problema 3. Seanf(x) = anx n + a n-1xn-1 + ...+ ajx + a 0 y g(x) = bkxk + bk-1xk-1 + ... + b1x + b 0 dos polinomios a)
lím f -(x ) = x^±- g( x) bk
si n = k
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Lím ites
lím f (x ) no existe. En general, el límite no existe para todos los enteros positivos. (Sin embargo, observe que x— >2 lím f (x) = lím f (x) = 5, ya que f (x) no está definida para x < 0.) x^ 0 x^ 0+
CAPÍTULO 7
8.
CAPÍTULO 7
14.
b)
lím f (x) = 0
si
n
<
k
c)
lím f (x) = g( x)
si
n
>
k.
d)
lím f (x) = +00 x g( x)
si
n
>
k
Sea
M
c o n s ig u i e n te ,
^ -^
< ¿
15.
[ E l s ig n o c o r r e c to e s e l d e a nb k( - 1 ) n-k.]
< S3 < S<
S e a e c u a lq u ie r n ú m e r o p o s it iv o , y s e a
Sea
M
¿ y . P o r ta n to , lx_12l3 > lM l = -
- 1
M
1 x +1
1 x +1
c u a lq u ie r n ú m e r o p o s it iv o . S u p o n g a q u e x >
E v a lú e : a ) lí m — ; b ) lí m — ; c ) ->0_ x
M
+ 1. E n t o n c e s , x r y > x -
0x lxl lim — = lim 1 = 1 x^0+ x x^0+ lxl = - x ; p o r ta n to , lím — = lím - 1 = -1 x^0_ x x^0_ lxl lxl y a q u e lím — ^ lím — x^0~ x x^0+ x
C u a n d o x > 0 , lxl = x ; p o r e n d e ,
b)
C u a n d o x < 0 , lxl
c)
lxl lím — x^0 x
n o e x is te ,
M
x
\ím — -
a)
E v a lú e lo s lím it e s s ig u ie n te s :
a)
lím ( x 2 - 4 x ) x^2
b)
lím ( x 3 + 2 x 2 - 3 x - 4 )
c)
(3x - 1)2 lím x^i (x + 1)3
d)
x m íriP
e)
lím x2~ 1 x^ 2 x 2 - 1
f)
m x2- 4 lím xLXÍ x 2 - 5x + 6
g) 6J
lím x2 + 3x + 2 x^ - 1 x 2 + 4 x + 3
h) 7 i)
lím x2~ 2 x^2 x 2 - 4 lím ,x ~ 2 =■ x^ 2 ~Jx 2 - 4
^
ím 4 x^2 x 2 - 4
k)
M . P ero
= 1/e . S u p o n g a q u e x > M . P o r ende,
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 16.
e l m is m o s ig n o .)
.
x +1
c)
an y bk t ie n e n
c u a lq u ie r n ú m e r o n e g a t iv o . S e s e le c c io n a 8 p o s it iv o e ig u a l a l m ín im o d e 1 y m -. S u p o n g a q u e x
< 2 y 0 < lx - 2l < 8. E n t o n c e s , l x - 2l3
b)
s i y s ó lo s i
; b ) lím = 1; c) lím = + c». y x^+~ x + 1 'x ^ + ~ x - 1
P r u e b e q u e a ) lím / * 3 = M y x^ 2- (x - 2)3 a)
(E s
Lím ites
lím (x + h)3 ~ x3 h^ 0 h
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= x >M .
(x - 2 )3 < 0. P o r
lím -
x
CAPÍTULO 7
l)
1
x- * 1 J x 2 + 3 - 2
Respuestas:
E v a lú e lo s lím it e s s ig u ie n te s :
a) b)
7x 9 - 4 x 5 + 2x - 1 3 lím x^+^ - 3 x 9 + x8 - 5x2 + 2x lím
14x3 - 5x + 27 x4 +10
c ) lím 2x 5 + c) x™ d) lím d) x
12 x + 5 7x 3 + 6
~ 2x 3 + 7 ^ 5x 2 - 3x - 4
e)
lím (3x 3 - 25x 2 - 12x - 17)
f)
lím (3x 3 - 25x 2 - 12x - 1 7 )
X^-o-o g )
lím (3x 4 - 25x 3 - 8)
Respuestas: 18.
- 4 ; b ) 0; c ) 4r; d ) 0; e) ■}; f) - 4 ; g ) ^ ; h ) -4-; i) 0; j ) ^ , n o e x i s t e e l lím it e ; k) 3 x 2; l) 2.
Lím ites
17.
a)
a) — -J; b)
0; c ) + ^ ; d ) - ^ ; e) + ^ ;
f)
- ^ ; g) + ^
E v a lú e e s t o s lím ite s :
a)
lím x^+^
2x + 3 4x - 5
b)
lím x^+^
2 x 2 +1 6 + x - 3x2
c)
lím x^+^
x x2+ 5
d)
lím x^+^
x 2 + 5x + 6 x +1
e)
lím x^+^
f)
lím x^+^
g)
lím x— ^
x+3 3x - 33x - 33x + 3~x
Respuestas:
a) -j;
b) - -|; c) 0; d)+ ^ ; e)0; f) 1; g) -1
19. Halle lím f (a + h — f ( a ) para lasfuncionesf de los problemas 11, 12, 13, 15 y 16a, b, h.^0 h Respuestas: y 20.
(c g )
d, g) del capítulo 6.
11) 2a - 4; 12) —^ r y ; 13) 2a - 1; 15) — .. 270 2 ; 16a) 2a, b) , a , d) 7— + ^ 2, g) — — — . J (a+ 1)2 ’ ; ; (4a —5)2’;J yfa r + 4 (a + 3)2(a 2
Investigue el comportamiento de ( )_ íx f ( x ) [x +1
si x > 0 si x < 0
cuando x ^ 0. Trace una gráfica y compruébela con una graficadora. Respuesta:
lím f (x) = 0; lím f (x) = 1; lím f (x) no existe. x^0+ x^0- x^ü
21. Utilice el teorema 7.4 y la inducción matemática con el fin de probar que lím x n = an para todos los enteros positivos n.
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+ 1)2
CAPÍTULO 7
Lím ites
22. Para f (x) = 5x - 6, halle 8 > 0 tal que, siempre que 0 > lx - 41 < 8, entonces f (x) - 141 < e , cuando a) e = tí) e = 0 .001. Respuestas:
y
a) y0-; tí) 0.0002.
23. Utilice la definición precisa de límite para probar que: a)
lím 5x = 15
tí)
lím x 2 = 4
c)
lím (x 2 - 3x + 5) = 3
x^3
x^2 x^2
24. Use la definición para probar: a) lím — = ™ J x^ 0 x b)
lím x . = ^ x^ 1 x - 1
c)
tfm x^+^
d)
lím x +1 x
TA~—T1 = 1 2
25. S eanf(x), g(x) y h(x) tales que 1) f(x ) < g(x) < h(x) para todos los valores en ciertos intervalos a la izquierda y a la derecha de a, y 2) l í m ^ f(x) = l í m ^ h(x) = A. Pruebe que l í m ^ g(x) = A. (Sugerencia: para e > 0, existe 8 > 0 tal que siempre que 0 < lx - al < 8, entonces f (x) - Al < e y lh(x) - Al < e y, por consiguiente, A e < f(x ) < g(x) < h(x) < A + e ).
26. Pruebe que sif(x) < M para todo x en un intervalo abierto que contiene a a y que si lím f (x) = A, entonces a < M. 1 x^a (Sugerencia: suponga que a > M. Escoja e = (A - M ) y llegue a una contradicción.)
27. (CG) Utilice una graficadora para confirmar los límites encontrados en los problemas 1d, e,f), 2a, b, d), 16 y 18.
28. a) b)
29. a) b) 30.
Demuestre que lím (x x—>+°
x2 y2 h Demuestre que la hipérbola —r ~ fci = 1 se aproxima arbitrariamente a la asíntota y = ^ x cuando x tiende a « ¡x ^ 3 _ J 3 i-----r— Halle lím ^ ---------- -—. (Sugerencia: multiplique el numerador y el denominador por v x + 3 + v 3.) x^ 0 x (CG) Utilice una graficadora para confirmar el resultado del inciso a).
Sea f(x) = yfx - 1si x > 4 y f (x) = x2 - 4x + 1 si x < 4. Halle a)
b)
lím f(x ) x^4 +
Respuestas: 31.
x 2 - 1 ) = 0. (Sugerencia: multiplique y divida entre x + >/x 2 - 1 .)
lím f(x ) x^4
c)
lím f(x) x^4
a) 1; tí) 1; c) 1
Sea g(x) = 10x - 7 si x > 1 y g(x) = 3x + 2 si x <1.Halla a)
lím g(x) x— +
Respuestas:
tí)
lím g(x)
x—
a) 3; tí) 5; c) no existe
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c)
lím g(x)
x—
Continuidad
Función continua U na función se define com o continua en x0 si se cum plen las tres condiciones siguientes: 1. 2. 3.
f ( x 0) está definida lím f (x)existe
x^x0
lím f (x) = f (x0)
x^x0
P or ejem plo, f ( x ) = x2 + 1 es continua en 2 y a que límx^ 2f(x ) = 5 = f (2 ) . L a prim e ra condición im plica que una función puede ser continua sólo en los puntos de su dom inio. Entonces, f (x) = V 4 - x 2 no es continua en 3 porque f ( 3 ) no está definida. Sea f una función definida en un intervalo (a, x0) a la izquierda de x0 y un intervalo (x0, b) a la derecha de x0, o am bos intervalos. Se dice que f es discontinua en x0 si f no es continua en x0, es decir, si fallan una o m ás condiciones de las tres condiciones indicadas no se cum ple. EJEMPLO 8.1. a) f(x) = j - j es discontinua en 2 porquef(2) no está definida y también porque lím f(x ) no existe (ya que lím ,^ f (x) = ^ ) , como se muestra en la figura 8.1.
Fig. 8 .1 b) f(x ) = X -2 es discontinua en 2 porquef(2 ) no está definida. Sin embargo, límx^ 2f(x ) = lím x^ 2 (x+2) ( 2 ) = lím x^ 2 (x + 2) = 4, de manera que se cumple la segunda condición. Se dice que la discontinuidad en 2 del ejem plo 8.1b) es rem ovible porque si se redefiniera la función f en x = 2 com o 4, entonces la función redefinida g sería continua en 2. O bserve que g(x) = x + 2 p ara todo x. Las gráficas de f(x ) = J - J y g(x) = x + 2 son idénticas salvo en x = 2 , donde la p rim era tiene un “hueco” (fig. 8 .2). E lim inar la discontinuidad consiste sim plem ente en llenar ese “hueco” .
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CAPÍTULO 8
Continuidad
y
L a discontinuidad en 2 en el ejem plo 8.1a) no es rem ovible. A l redefinir el valor de f en 2 no cam bia el hecho de que límM2 x l no existe. Tam bién se dice que la discontinuidad de una función f en x0 es rem ovible cuando f ( x 0) está definida y al cam biar el valor de la función en x0 produce un a función que es continua en x0. EJEMPLO 8.2.
Defina una función f de la manera siguiente:
En este caso límx^ 2 f(x) = 4, pero f(2 ) = 0. Por tanto, la tercera condición no se cumple, de modo que f tiene una discontinuidad en 2. Pero si se cambia el valor de f en 2 por 4, entonces se obtiene una función h tal que h(x) = x2 para todo x, y h es continua en 2. Por consiguiente, la discontinuidad de f en 2 es removible. EJEMPLO 8.3. Sea f la función tal que f (x) = x para todo x * 0. La gráfica de f se muestra en la figura 8.3. f es discontinua en 0 porque f(0 ) no está definida. Además, lím f (x) = lím — = 1 x^0+ x
y
x^0+
lím f (x) = lím — = - 1 x^0- x
x^0-
Luego lím M0- f(x ) * lím x^ 0+f(x). Por tanto, la discontinuidad de f en 0 no es removible. L a clase de discontinuidad que aparece en el ejem plo 8.3 se denom ina discontinuidad de salto. E n general, una función f tiene una discontinuidad de salto en x0 si tanto límM0- f(x ) com o límx^ 0+f(x ) existen y límM0- f(x ) * lím x^ 0+f(x). Tal discontinuidad no es rem ovible.
1<
>-1
Fig. 8.3. EJEMPLO 8.4.
La función del problema 4 del capítulo 6 tiene una discontinuidad de salto en cada entero positivo.
Las propiedades de los límites conducen a las propiedades correspondientes de continuidad.
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La función constante h(x) = c para todo x es continua en todo x0. c f es continua en x0, para cualquier constante c. (Recuerde: c f tiene el valor c ■f(x) para cada argumento x.) f + g es continua en x0. f - g es continua en x0. fg es continua en x0. f/g es continua en x0 si g(x0) * 0. 4 f e s continua en x0 si ^ f (x0) está definida.
Estos resultados provienen de los teoremas 7.1 a 7.6. Por ejemplo, c) se cumple porque lím ( f (x) + g(x)) = lím f (x) + lím g(x) = f (x0) + g (x 0) x^x0
Teorema 8.2.
x^x0
x^x0
La función identidad I(x) = x es continua en todo x0.
Esto se deduce del hecho de que lím x = x0. x—>x0
Se dice que una función f es continua en un conjunto A si f es continua en todo punto A . A dem ás, si tan sólo se dice que f es continua, significa que f es continua en todo núm ero real. L a idea intuitiva original tras la noción de continuidad suponía que la gráfica de un a función continua era “continua” en el sentido intuitivo de que era posible trazarla sin levantar el lápiz del papel. Por consiguiente, la gráfica no podría contener ningún “hueco ” o “salto” . Sin em bargo, la definición p recisa de continuidad va m ás allá de tal noción intuitiva original; algunas funciones continuas m uy com plicadas no podrían dibujarse en una h o ja de papel. Teorema 8.3.
Toda función polinomial f(x ) = anxn + an_1x n - 1 + ...+ a 1x + a 0
es continua. É sta es una consecuencia del teorem a 8 .1(a-e) y del teorem a 8 .2 . EJEMPLO 8.5. Como un caso del teorema 8.3, considere la función x2 + 2x + 3. Observe que, por el teorema 8.2, la función identidad x es continua y, por tanto, por el teorem a 8.1(e), x2 es continua, y por el teorema 8.1b), - 2x es continua. Por el teorema 8.1a), la función constante 3 es continua. Finalmente, por el teorema 8.1c), x2 - 2x + 3 es continua. Teorema 8.4. Toda función racional H(x) = gx), dondef(x) y g(x) son funciones polinomiales, es continua en el conjunto de todos los puntos en los que g(x) * 0 . E sto proviene de los teorem as 8 .1 (f y 8.3. C om o ejem plos, la función H (x) = es continua en todos los puntos excepto 1 y - 1 , y la función G (x) = x + y es continua en todos los puntos (ya que x2 + 1 nu n ca es 0). Se debe utilizar una noción especial de continuidad respecto a un intervalo cerrado [a, b]. E n prim er lugar, se dice que una función f es continua a la derecha en a si f ( a) está definida, existe lím Ma+ f(x ) y límMa+f(x ) = f (a). Se dice que f es continua a la izquierda en b s if ( b ) está definida, existe lím Mb- f(x ) y lím Mb- f(x ) = f(b ). Definición. f es continua en [a, b] si f es continua en cada punto de un intervalo abierto (a, b), f es continua a la derecha en a y es continua a la izquierda en b . O bserve que si f es continua en [a, b], no depende de ningún valor de f , fuera de [a, b]. Tam bién advierta que cada función continua (es decir, una función continua en todos los núm eros reales) debe serlo en cualquier intervalo cerrado. E n especial, toda función polinom ial es continua en todo intervalo cerrado. Se pretende analizar en profundidad ciertas propiedades sobre las funciones continuas que se utilizarán, pero esas dem ostraciones van m ás allá del objetivo de esta obra.
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Continuidad
a) b) c) d) e) f) g)
Suponga que f y g son continuas en x0. Entonces:
CAPÍTULO 8
Teorema 8.1.
CAPÍTULO 8
Continuidad
Teorema 8.5. Teorema del valor intermedio. Si f es continua en [a, b] y f (a ) * f(b ), entonces, para todo número c en tre f(a) y f(b ), existe por lo menos un número x0 en el intervalo abierto (a, b) para el cu a lf(x 0) = c. L a figura 8.4a) es una ilustración del teorem a 8.5, y a que en ella se m uestra que la continuidad a lo largo del intervalo es esencial p ara la validez del teorem a. E l resultado siguiente es un caso especial del teorem a del valor interm edio.
y
b) f(x) = 0 tiene tres raíces entre x = a y x = b Fig. 8 .4 y
y
X b) f(x) = 0 no tiene raíz entre x = a y x = b Fig. 8 .5 Corolario 8 .6 . Si f es continua en [a, b] y f(b ) tiene signos opuestos, entonces la ecuación f(x ) = 0 tiene al menos una raíz en el intervalo abierto (a, b) y, por consiguiente, la gráfica de f corta el eje x por lo menos una sola vez entre a y b (fig. 8.4b)). Teorema 8.7. Teorema del valor extremo. máximo M en el intervalo.
Si f es continua en [a, b], entonces f toma un valor mínimo m y un valor
C om o ilustración del teorem a del valor extrem o observa la figura 8 .6a), donde el valor m ínim o m ocurre en x = c y el valor m áxim o M en x = d. E n este caso, tanto c com o b están den tro d el intervalo. P or o tra parte, en la figura 8 .6b) el valor m ínim o m ocurre en el punto extrem o x = a y el valor m áxim o M dentro del intervalo. P ara com probar que la continuidad es necesaria p ara que el teorem a del valor extrem o sea verdadero, considere la función cuya gráfica se presenta en la figura 8 .6 c). E xiste discontinuidad en c dentro del intervalo; la función tiene un valor m ínim o en el punto extrem o izquierdo x = a , pero la función no tiene valor m áxim o.
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CAPÍTULO 8
Discontinuidad no removible en x = 0
a)
f (x) = x
b)
x -1 (x + 3)(x - 2) (x + 2)( x - 1) f (x) = (x - 3)2
c)
Discontinuidades no removibles en x = -3 y x = 2
f (x) =
Discontinuidad no removible en x = 3 Tiene una discontinuidad removible en x = 3. [Observe que x3 - 27 = (x - 3)(x2 + 3x + 9).] También tiene una discontinuidad no removible en x = -3
d) f (x) =
e)
f (x) =
4 - x2 3 - \[ x
Tiene una discontinuidad removible en x = ±2. Observe que 4 - x2 3 +yx ^= 3 + 4 x 3 - y ¡ x 2 + 5 3 + ■>/x2 + 5
x2+ x - 2 (x - 1) 2 g) f (x) = [x] = el mayor entero < x h) f (x) = x - [x] i) f (x) = 3x3 - 7x2 + 4x - 2 f)
í0 {2
Tiene una discontinuidad de salto en cada entero Tiene una discontinuidad no removible en cada entero Un polinomio no tiene discontinuidades
s ix = 0 si x * 0
x x2
si x < 0 si 0 < x < 1
2- x
si x > 1
I 2.
Tiene una discontinuidad no removible en x = 1
f (x) =
... fr , J) f (x)
Continuidad
Discontinuidad removible en x = 0
Sin discontinuidades
Demuestre que la existencia de lím f (x)
f (a + h) - f (a) implica que f es continua en x = a. h
lím f(x )(f (a + h) - f (a)) = lím í f (a + h
f (a) • h
lím f (a + hh - f ( a ) . lím h = lím f (a + h¡ ~ f (a) • 0 = 0 x^h h x^h x^h h Pero lím ( f (a + h) - f (a)) = lím f (a + h) - lím f (a) = lím f (a + h) - f (a ). x^h x^h x^h x^h Por tanto, lím f ( a + h) = f ( a ) . Observe que lím f ( a + h) = lím f(x ). Así, l í m f (x) = f(a ). x^h x^h x^h x^h 3.
Pruebe el teorema 8.8. Por la continuidad de f en c, lím f (x) = f (c ). Si se toma e = f ( c)/2 > 0, existe un 8 positivo tal que 0 < Ix - c| x^h < 8 implica que f (x) - f(c)| < f (c)/2. La última desigualdad también es verdadera cuando x = c. Luego, |x - c| < 8 implica f (x) - f (c)| < f(c)/2. Esta última implica que -f(c)/2 < f(x ) - f(c ) < f(c)/2. Al sum arf(c) a la desigualdad de la izquierda se obtiene f (c)/2 < f(x).
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 4.
Determine las discontinuidades de las funciones siguientes y establezca por qué la función no es continua en tales puntos. ( c g ) Compruebe las respuestas representando la función en una graficadora. a)
f (x) = x 2-x3+x2- 10
^ )
fr \ - \ x + 3 f | x 2 +1
s ix > 2 si x < 2
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c) f (x) = \x \- x
f (x ) = j
y
g) f(x ) = x3 - 7x x2 + 3x + 2 x2+ 4x + 3
ft)
f (x) = x 2 - 5x + 6
j)
f (x) = f
Continuidad
e)
CAPÍTULO 8
«71*
- 4
Respuestas: a)
Discontinuidad removible en x = -2 . [Observe que x2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5).]
b), c), g) d)
Ninguna
Discontinuidad de salto en x = 0
e) Discontinuidades removibles en x =
±1
f) Discontinuidades removibles en x =3, x = -5 . [Observe que x2 + 2x - 5 = (x + 5)(x - 3) y x3+ x2 - 17x + 15 = (x + 5)(x - 3)(x - 1).] h) Discontinuidad removible en x = 2 y discontinuidad no removible en x = 3 i) Discontinuidad removible en x = -1
y discontinuidad no removible en x = -3
j)
Discontinuidad removible en x = 2 y discontinuidad no removible en x = -2
k)
Discontinuidad removible en x = 1 y discontinuidad no removible en x = -1
5.
Demuestre que f(x ) = Ixl es continua.
6.
_ 4 x _ 21 Si la figura 8.5a) es la gráfica de f (x) = —— x = 7 y que allí c = 10.
7.
Pruebe: si f es continua en el intervalo [a, b] y c es un número en (a, b) tal q u ef(c) < 0, entonces existe un número positivo 8 tal que, siempre que c - 8 < x < c + 8, entonces f (x) < 0 . (Sugerencia: aplique el teorema 8.8a -f.)
8.
Trace las gráficas de las funciones siguientes y determine si son continuas en el intervalo cerrado [0, 1]: a)
b)
c)
d) f (x) = 1 si 0 < x < 1
Respuestas:
a) Sí; b) No, no es continua a la derecha en 0; c) Sí; d) No, no está definida en 0; e) No, no es continua a la izquierda en 1.
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7-, demuestre que existe una
La derivada
Notación delta S ea f una función. E s usual asignarle a x cualquier argum ento d e f, y a y el valor correspondiente de f . Por tanto, y = f(x ). C onsidere cualquier núm ero x0 en el dom inio de f . Sea Ax (se lee “delta x”) un pequeño cam bio en el valor de x, de x0 a x0 + Ax, y sea Ay (se lee “d elta y”) el cam bio co rresp o n d ien te en el v alor de y, p o r lo que Ay = f ( x 0 + Ax) - f ( x 0). E ntonces la razón Ay _ cam bio en y _ f (x0 + A x) - f (x0) A x ~ cam bio en x ~ Ax se denom ina tasa o razón de cam bio prom edio de la fu n c ió n f en el intervalo que va de x0 a x0 + Ax. EJEMPLO 9.1. Sea y = f(x ) = x2 + 2x. Se empieza en x0 = 1, cambia x a 1.5. Entonces Ax = 0.5. El cambio corres pondiente en y es Ay = f (1.5) - f(1 ) = 5.25 - 3 = 2.25. Por tanto, la tasa de cambio promedio de y en el intervalo que hay entre x = 1 y x = 1.5 es ^ = ^ 5 - = 4.5.
La derivada Si y = f (x) y x0 está en el dom inio de f , entonces, p o r la tasa de cam bio instantánea de f en x0 se entiende el lím ite de la tasa p rom edio de cam bio entre x0 y x0 + Ax cuando Ax se aproxim a a 0: lím = lím f (x» + Ax:> ~ f W Ax^ü Ax Ax^0 Ax siem pre que este lím ite exista. Tal lím ite se denom ina derivada de f en x0.
Notación para derivadas C onsidere la derivada de f en un punto arbitrario x en su dom inio: lím = lím f (x + A x) - f (x) Ax^0 A x Ax^0 Ax E l valor de la derivada es una función de x y se indicará m ediante cualquiera de las expresiones siguientes:
D y = d x = y ' = f '( x ) = & = í x f (x>= “ 5 ü E l valor f ( a ) de la derivada de f en un punto específico a en ocasiones se indica m ediante dy dx
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1.
Dada y = f (x) = x2+ 5x - 8, halle Ay y Ay/Ax cuando x cambia a) de x0 = 1 a x 1= x0 + Ax = 1.2, y b) de x0 = 1 a x 1 = 0.8. a)
b)
Ax = x 1- x0 = 1.2 - 1 = 0.2 y Ay = f (x 0 + Ax) - f ( x 0) = f (1.2) - f(1 ) = -0 .5 6 - (-2) = 1.44. Entonces, Ay _ 1 4 4 _ 7 2 Ax 0.2 ; .2 Ax = 0.8 - 1 = -0 .2 y Ay = f(0.8) - f(1 ) = 3.36 - (-2) = -1.36. Luego, ^ = 6.8.
Geométricamente, Ay/Ax en a) es la pendiente de la recta secante que une los puntos (1, -2 ) y (1.2, -0.56) de la parábola y = x2 + 5x - 8. En b), es la pendiente de la recta secante que une los puntos (0.8, -3.36) y (1, -2 ) de la misma parábola. 2.
Las leyes de la física indican que si un cuerpo (es decir, un objeto material) cae libremente a una distancia de i pies en t segundos, entonces i = 16t2. Halle As/At cuando t cambia de t0 a t0 + Ai. Utilice el resultado para encontrar As/At cuando t cambia: a) de 3 a 3.5, b) de 3 a 3.2, y c) de 3 a 3.1. Ay _ 16(t0 + A t) 2 - 16t02 _ 32t 0A t + 16(A t) 2 = 32t0 +16 At A t~ At At a)
Aquí, t0 = 3, At = 0.5 y As/At = 32(3) + 16(0.5) = 104 pies/segundo
b)
Aquí, t0 = 3, At = 0.2 y As/At = 32(3) + 16(0.2) = 99.2 pies/segundo
c)
Aquí, t0 = 3, At =
0.1, y As/At = 97.6 pies/segundo
Como As es el desplazamiento del cuerpo del tiempo t = t0 hasta t = t0 + At, A ^ = desplazam iento = velocidad promedio del cuerpo en el intervalo de tiempo At tiempo t-t-tHalle dy/dx, con y = x3 - x2 - 4. Encuentre también el valor de dy/dx cuando a) x = 4, b) x = 0, c) x = -1 . y + Ay = (x + Ax)3 - (x + Ax)2 - 4 = x3 + 3x2(Ax) + 3x(Ax)2 + (Ax)3 - x2 - 2x(Ax) - (Ax)2 - 4 Ay = (3x2 - 2x)Ax + (3x - 1)(Ax)2 + (Ax)3 = 3x 2 - 2x + (3x - 1)Ax + (Ax) 2
= lím [3x 2 - 2x + (3x - 1 ) A x + ( A x) 2 ] = 3x 2 - 2x
a) a)
^ dx
= 3(4)2 - 2(4) = 40 x=4
b)
I
= 3(0)2 - 2(0) = 0 x=0
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c) c)
¿y = 3(-1)2 - 2(-1) = 5 dx x=-1
La derivada
PROBLEMAS RESUELTOS
CAPÍTULO 9
Diferenciabilidad U na función es diferenciable en un punto x0 si la derivada de la función existe en ese punto. E l problem a 2 del capítulo 8 dem uestra que la diferenciabilidad im plica continuidad y que lo contrario es falso, com o se m uestra en el problem a 11.
CAPÍTULO 9
4.
La derivada
Halle la derivada de y = f(x ) = x2 + 3x + 5. Ay = f ( x + Ax) - f(x ) = [(x + Ax)2 + 3(x + Ax) + 5] - [x2 + 3x + 5] = [x2 + 2xAx + (Ax)2 + 3x + 3Ax + 5] - [x2 + 3x + 5] = 2xAx + (Ax)2 + 3Ax = (2x + Ax + 3)Ax Ax Por tanto,
5.
dx
= 2x + A x + 3 = lím (2x + Ax + 3) = 2x + 3. Ax^0
Encuentre la derivada de y = f (x) =
~ ~ 2
en x = 1 y x = 3.
. . 1 1 (x - 2) - (x + A x - 2) Ay = f (x + A x )- f (x) = (x + A x )- 2 - x ^ 2 = ( x - 2)(x + A x - 2) -A x (x - 2)( x + A x - 2) Ay _ -1 Ax (x - 2)(x + Ax - 2) Entonces,
ÉL = lím ________ —I_______ = __ —I dx Ax— >o (x - 2)(x + Ax - 2) (x - 2)2 .
En x = 1 Í L = — —1— = -1 En x = 3 — = __ —1__ - - 1 En x = 1, dx ( 1 - 2)2 1. En x = 3, dx = (3 - 2)2 = 1. Halle la derivada de f (x) = ^ - 4 . . , 2(x + A x) - 3 f (x + A x) = 3(x + A x) + 4 a ■, .^í \ 2x + 2 A x - 3 2x - 3 f ( x + Ax) - f (x ) = 3x + 3 Ax + 4 - 3x + 4 (3x + 4)[(2 x - 3) + 2 A x] - (2x - 3)[(3 x + 4) + 3 A x] (3x + 4)(3x + 3 A x + 4) (6 x + 8 - 6 x + 9)A x 17 A x (3x + 4)(3 x + 3 A x + 4) (3x + 4)(3x + 3 A x + 4) f (x + A x) - f (x) = _________ 17________ Ax (3x + 4)(3x + 3 Ax + 4) f '( x ) = lím ------------- ^ ^ f (x) £ —1o (3x + 4)(3x + 3 Ax + 4) 7.
---(3x + 4)2
Halle la derivada de y = f (x) = V 2x + 1. y + Ay = (2 x + 2 A x + 1)1/2 Ay = (2 x + 2 A x + 1)1/2 - (2 x + 1)1/2 r,o oa ,m/2 im/2i (2x + 2 Ax + 1)1/2 + (2x + 1)1/2 = [(2 x + 2 A x + 1)1/2 - (2x + 1)1/2] ^ -----¡r-r-------¿m— ^ v / v / (2x + 2 A x + 1)1/2 + (2x + 1)1/2 (2x + 2 A x +1) - (2 x +1) = 2A x (2 x + 2 A x + 1)1/2 + (2x + 1)1/2(2 x + 2 A x + 1)1/2 + (2x + 1)1' Ay = ____________ 2____________ A x (2x + 2 A x + 1)1/2 + (2x + 1)1/2 dy = ,, ____________ 2____________ = 1 dx ~ AÜ™ (2x + 2 Ax + 1)1/2 + (2x + 1)1/2 = (2x + 1)1/2
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CAPÍTULO 9
8.
Encuentre la derivada de f(x ) = x 1/3. A nalice/'(0). f (x + Ax) = (x + Ax)1/3
_ [(x + Ax)1/3 - x 1/3][(x + Ax)2/3 + x1/3(x + Ax)1/3 + x 2/3] (x + Ax)2/3 + x 1/3(x + Ax)1/3 + x2/3 f (x + Ax) - f (x) = ______________ 1______________ Ax (x + Ax)2/3 + x1/3(x + Ax)1/3 + x2/3 f ,(x) = ^
(x + Ax)2/3 + x1/3(x + Ax)1/3 + x2/3 = ~3x23
La derivada no existe en x = 0 porque allí el denominador es cero. Observe que la función f es continua en x = 0 . 9.
Interprete dy/dx geométricamente. En la figura 9.1 se observa que Ay/Ax es la pendiente de la recta secante que une un punto arbitrario pero fijo P(x, y) y un punto próximo Q(x + Ax, y + Ay) de la curva. Cuando Ax ^ 0, P permanece fijo mientras Q se mueve a lo largo de la curva hacia P, y la recta PQ gira alrededor de P hacia su posición límite, la recta tangente P T a la curva en P. Así, dy/dx da la pendiente de la recta tangente en P a la curva y = f(x). y
Por ejemplo, el problema 3 señala que la pendiente de la cúbica y = x3 - x2 - 4 es m = 40 en el punto x = 4; esto es, m = 0 en el punto x = 0; y m = 5 en el punto x = -1. 10. Halle ds/dt para la función del problema 2 e interprete el resultado. # = 32t0 +16 A t. Por tanto,= lím (32t0 +16 At) = 32t0 At 0dt At^0
0' 0
Cuando At ^ 0, As/At da la velocidad promedio del cuerpo para intervalos de tiempo At cada vez más cortos. Entonces puede ds/dt considerarse como la velocidad instantánea v del cuerpo en el tiempo t0. Por ejemplo, en t = 3, v = 32(3) = 96 pies/segundo. En general, si un objeto se mueve en línea recta y su posición sobre la recta tiene la coordenada s en el tiempo t, entonces su velocidad instantánea en el tiempo t es ds/dt (consulte el capítulo 19).
11. H allef'(x) cuandof(x) = |x|. La función es continua para todos los valores de x. Para x < 0, f(x ) = - x y f '(x) = lím ~ (x + Ax) ~ (~ x) = lím = ^ x = lím - 1 = -1 Ax^0 Ax Ax^0 A x Ax^0
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La derivada
f (x + Ax) - f (x) = (x + Ax)1/3 - x1/3
CAPÍTULO 9
La derivada
De igual forma, para x > 0, f(x ) = x, y f '(x) = lím (x + 4 x) ~ x = lím ^ = lím 1 = 1 Ax^0 Ax Ax^0 Ax Ax^ 0 tn n ^ n l' f (0 + Ax) - f (0) „ ÍAxi En x = 0,f ( x ) = 0 y iímc — Ax = Cuando Ax ^ 0-, 4 ^ , . , . Ax derivada no existe en x = Puesto que la función
=^ = ~1 ^ -1- Pero cuando Ax^ 0+, ^ = ^ P x = ~1 ^ - 1 - Por tanto, la „ Ax Ax Ax 0. es continua en 0, sedemuestra que la continuidad no implica diferenciabilidad.
para la función de a) problema 3 y b) problema 5. Compruebe que e ^ 0 cuando Ax ^ 0.
12. Calcule e =
e = [3x2 - 2x + (3x - 1)Ax + (Ax)2] - (3x2 - 2x) = (3x - 1 + Ax)Ax
b) ;
- ( x - 2) + (x + Ax - 2) = 1_ ^ = _________________________ ^1______ -1 _ (x - 2)(x + Ax - 2) (x - 2) 2(x - 2)2(x + Ax - 2) (x - 2) 2 (x + Ax - 2) _
a)
Ambos tienden a cero cuando Ax ^ 0. 13. Interprete geométricamente Ay = Ax + e A x del problema 12. En la figura 9.1, Ay = R Q y Ax = PR tan Z T P R = RS; así, eA x = SQ. Para el cambio Ax en x a partir de P(x, y), Ay es el cambio correspondiente en y a lo largo de la curva, mientras que dx Ax es el cambio correspondiente en y a lo largo de la tangente PT. Como su diferencia eA x es un múltiplo de (Ax)2, tiende a cero más rápido que Ax, y dx Ax puede utilizarse como una aproximación de Ay cuando |Ax| es pequeño.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 14. Halle Ay y Ay/Ax, dado a) b) c)
y = 2x - 3 y x cambia de 3.3 a 3.5 y = x2 + 4x y x cambia de 0.7 a 0.85 y = 2/x y x cambia de 0.75 a 0.5
Respuestas:
a) 0.4 y 2; b) 0.8325 y 5.55; c) -3- y - ^
15. Halle Ay, dado y = x2 - 3x + 5, x = 5 y Ax = -0.01. Entonces, ¿cuál es el valor de y cuando x = 4.99? Respuesta:
Ay = -0.0699; y = 14.9301.
16. Indique la velocidad promedio (repase el problema 2), dado a) s = (3t2 + 5) pies y t cambia de 2 a 3 segundos. b) s = (2t2 + 5t - 3) pies y t cambia de 2 a 5 segundos. Respuestas:a) 15 pies/segundo; b) 19 pies/segundo
17. Encuentre el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su radio se incrementa: a) de r a r + Ar pulgadas; b) de 2 a 3 pulgadas. (Vale la pena recordar que el volumen de una esfera se obtiene con la fórmula V = -4n r 3.) Respuestas:
a)
3
n [ r 2 + 3rA r + (Ar)2]Ar pulg3; b) ^ 6 n pulg3
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y = 4x - 3 y = 1/x2
tí) e)
y = 4 - 3x y = (2x - 1)/(2x + 1)
c) y = x2 + 2x - 3 f) y = (1 + 2x)/(1 - 2x)
g)
y =4 x
h)
y = 1 /y[x
i) y = ^/T+~2x
j)
y = 1/V 2 + x
ResPuestas:
a) 4 ; tí) - 3 ; c) 2(x + 1); d) -2 /x 3; e) (2x + ^ ; f) (1 _ 4,x)2 ; g)
; h) -
^ s¡\ + 2x ;
j) _ 2(2 + x)3/2 19. Halle la pendiente tangente a las curvas siguientes en el punto x = 1 (repase el problema 9): a)
y = 8 - 5x2
Respuestas:
tí)
y =x r r
c)
x+3
a) -1 0 ; tí) -1 ; c) _ -8
20. (CG) Utilice una graficadora para comprobar las respuestas al problema 19. (Trace la curva y la tangente que se encontró.)
21. Busque las coordenadas del vértice (es decir, el punto crítico) de la parábola y = x2 - 4x + 1, aprovechando que, en el vértice, la pendiente de la tangente es cero (relea el problema 9). ( c g ) Compruebe la respuesta con una graficadora. Respuesta:
(2, -3)
22. Halle la pendiente m de las tangentes a la parábola y = -x 2 + 5x - 6 en sus puntos de intersección con el eje x. Respuestas:
en x = 2, m = 1; en x = 3, m = -1
23. Cuando un objeto se mueve en línea recta y su coordenada sobre dicha recta es s en un tiempo t (donde s se mide en pies y t en segundos), halle la velocidad en el tiempo t = 2 en los casos siguientes: a)
s = t2 + 3t
Respuestas:
tí) s = t3 + 3t2
c)
s = Vt + 2
a) 7 pies/segundos; tí) 0 pies/segundos; c) ^ pies/segundos
24. Demuestre que la tasa instantánea de cambio de volumen V de un cubo respecto a su lado x (medido en pulgadas) es 12 pulg3/pulg cuando x = 2 pulgadas.
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La derivada
a) d)
CAPÍTULO 9
18. Halle la derivada de cada una de las funciones siguientes:
Reglas para derivar funciones
Derivación R ecuérdese que una función f es diferenciable (o derivable) en x0 si existe la derivada f ( x 0 ). Se dice que una función es diferenciable en un conjunto si lo es en cada punto de ese m ism o conjunto. Si se afirm a que una fun ción es diferenciable significa que lo es en todo núm ero real. E l proceso de hallar la derivada de un a función se denom ina diferenciación. Teorema 10.1. Fórmulas de derivación. En las fórmulas siguientes se presupone que u, v y w son funciones diferenciables en x; también se presupone que c y m son constantes. 1. d x (c) = 0 (La derivada de una constante es cero.) 2. d x (x) = 1 (La derivada de la función identidad es 1.) 3. díx (cu) = cdx (Derivada de una constante por una función.) 4. ddx (u + v + '" ) = d x + d x + " ' (Regla de la suma.) 5. d x (u - v) = d x ~ d x (Regla de la diferencia.) 6. ddx (uv) = u
+ v d e (Regla del producto.)
v d u - u dv 7. d (u ) = —d x v 2—— siempre que v ^ 0 (Regla del cociente.) 8. d (1 ) = — 1r siempre que x ^ 0 . dx x x 9. ~djx(x m) = m xm— (Regla de potencias.) Observe que la fórmula 8 es un caso especial de la fórmula 9 cuando m = -1 . Las demostraciones aparecen en los problemas 1 a 4. EJEMPLO 10.1. Dx(x3 + 7x + 5) = Dx(x3) + Dx(7x) + Dx(5) = 3x2 + 7Dx(x) + 0 = 3x2 + 7
(Regla de la suma.) (Reglas de potencias y fórmulas 3 y 1.)
(Fórmula 2.)
Todo polinomio es diferenciable, y su derivada puede calcularse mediante la regla de la suma, la regla de poten cias y las fórmulas 1 y 3.
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CAPÍTULO 10
Funciones compuestas. La regla de la cadena L a fu n c ió n com puesta f ° g de las funciones g y f se define así: ( f ° g)(x) = f (g(x)). L a función g se aplica prim ero y luego f ■g se denom ina fu n c ió n interna y f fu n c ió n externa. f ° g se conoce com o la fu n c ió n com puesta de g y f. Sea f(x ) = x2 y g(x) = x + 1. Entonces: ( f ° g)(x) = f (g(x)) = f (x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 (g ° f)(x) = g f (x)) = g(x)2 = x2 + 1 Así, en este caso, f ° g ^ g ° f. C uando f y g son diferenciables tam bién lo es su com puesta f ° g. H ay dos procedim ientos p ara h allar la derivada de f ° g. E l prim er m étodo consiste en calcular una fórm ula explícita p ara f (g(x)) y derivarla. EJEMPLO 10.3.
Si f(x ) = x2 + 3 y g(x) = 2x + 1, entonces: y = f (g(x)) = f (2x + 1) = (2x + 1)2 + 3 = 4x2 + 4x + 4 y
= 8x + 4
Por tanto, Dx( f ° g) = 8x + 4. El segundo método para calcular la derivada de una función compuesta se basa en la regla siguiente.
Regla de la cadena D x(f (g(x))) = f ( g ( x ) ) ■g'(x) E ntonces, la derivada de f ° g es el producto de la derivada de la función externa f (evaluada en g(x)) y la d e rivada de la función interna (evaluada en x ). S e presupone q ue g es diferenciable en x y qu e f es diferenciable en g(x). EJEMPLO 10.4.
En el ejemplo 10.3, f ( x ) = 2x y g (x) = 2. Así, por la regla de la cadena, D f g ( x ) ) ) = f( g ( x ) ) ■g'(x) = 2g(x) • 2 = 4g(x) = 4(2x + 1) = 8x + 4
Formulación alternativa de la regla de la cadena S ea u = g(x) y y = f (u ) . Entonces, la función com puesta de g y f es y = f ( u ) = f g ( x ) ) , y se tiene la fórm ula dy = É L d j i dx du dx EJEMPLO 10.5.
(R eg la d e la cadena.)
Sea y = u3 y u = 4x2 - 2x + 5. Así, la función compuesta y = (4x2 - 2x +
5)3 tiene la derivada
d x = d u d x = 3U2(8x - 2 ) = 3(4x 2 - 2x + 5)2(8 x - 2 ) A dvertencia: en la formulación alternativa de la regla de la cadena, = dxdu, la y de la izquierda representa la fun ción compuesta de x, mientras que la y de la derecha señala la función original de u. Asimismo, las dos ocurrencias de u tienen significados diferentes. Esta confusión de notación se compensa con la simplicidad de la formulación alternativa.
Funciones inversas D os funciones f y g tales que g (f(x)) = x y f (g(y)) = y son fu n c io n es inversas. E stas funciones invierten el efecto una de la otra. D ada una ecuación cualquiera y = f x ) , se puede h allar un a fórm ula p ara la inversa de f d espe jando x en la ecuación en térm inos de y .
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Reglas para derivar funciones
EJEMPLO 10.2.
CAPÍTULO 10
Reglas p ara d e riv a r funciones
EJEMPLO 10.6. a) S eaf(x) = x + 1. Al despejar x en la ecuación y = x + 1 se obtiene x = y - 1. Entonces la inversa g d ef está dada por la fórmula g(y) = y - 1. Se observa que g invierte el efecto de f y f invierte el efecto de g. b) S eaf(x) = -x. Al despejar x en y = - x se obtiene x = -y. Por tanto, g(y) = -y es la inversa d ef. En este caso, la inversa de f es la misma función que f . c) Sea f ( x ) = yjx. La función f está definida sólo para números no negativos, y su rango es el conjunto de los números no negativos. Si se despeja x en y = y[x se obtiene x = y2, de manera que g(y) = y2. Como g es la inversa de f , g está definida sólo para números no negativos, ya que los valores de f son los números no negativos. [Puesto que y = f(g(y)), si se permitiera que g se definiera para números negativos, se tendría -1 = f ( g ( - 1)) = f ( 1) = 1, que es una contradicción.] d) La inversa d ef(x ) = 2x - 1 es la función g (y ) = y + 1 .
Notación L a inversa de f se denota f 1. E sta notación no debe confundirse con la notación exponencial p ara elevar un núm ero a la potencia - 1 . El contexto generalm ente indica cuál es el significado específico. N o toda función tiene función inversa. Por ejem plo, la función f (x ) = x2 no posee un a inversa. C om o f ( 1 ) = 1 = f (-1 ), una función inversa g tendría que satisfacer g(1) = 1 y g(1) = - 1 , lo cual es im posible. [Sin em bargo, si se restringe la función f (x) = x2 al dom inio x > 0, entonces la función g(y) = J y sería un a función inversa de f.] L a condición que una función f debe satisfacer p ara tener un a inversa es que sea uno a uno, es decir, que para todo x 1 y x2, si x 1 ^ x2, entonces f ( x 1) ^ f ( x 2). D e m anera equivalente, f es uno a uno si y sólo si, p ara todo x 1 y x2, si f ( x 1) = f ( x 2), entonces x 1 = x2. EJEMPLO 10.7. Demostremos que la función f(x ) = 3x + 2 es uno a uno. Suponga que f ( x 1) = f (x 2). Entonces, 3x1 + 2 = 3x2 + 2, 3x1 = 3x2, x 1 = x2. Por tanto, f es uno a uno. Para hallar la inversa de dicha función, se despeja x en y = 3x + 2, y se obtiene x = y--2. A s í,f-1 (y) = y—2 . (En general, si se puede despejar x en y = f(x ) en términos de y, entonces se sabe que f es uno a uno.) Teorema 10.2. Fórmula de la diferenciación para funciones inversas. Sea f uno a uno y continua en el intervalo (a, b). Entonces: a) El rango de f es intervalo I (posiblemente infinito) y f es creciente o decreciente. Además, f 1 es continua en I. b) Si f es diferenciable en x y f ( x 0) ^ 0, entonces f 1 es diferenciable en y0 = f (x 0) y (f -1)/(y0) = f j —). Esta última ecuación a veces se escribe 0 dx = _ 1_ dy dy dx donde x = f -1(y). Para la demostración, véase el problema 69. EJEMPLO 10.8. a) Sea y = f(x ) = x2 para x > 0. Entonces, x = f -1(y) = y[y. Como dy = 2x, entonces dy = 2x = ^^y • Por ende, D y( ( y ) = . [Observe que éste es un caso especial del teorema 8.1(9) cuando m = y.] b) Sea y = f(x ) = x3 para todo x. Entonces, x = f -1(y) = 3 y = y1/3 para todo y. Como = 3x2, entonces = 3^ 3. Esto se cumple para todo y ^ 0. [Advierta que f -1(0) = 0 y f ( 0 ) = 3(0)2 = 0.]
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Reglas para derivar funciones
Notación f '« ,
Segunda derivada
y",
f " (x),
Tercera derivada
y'",
f "'(x),
n-ésim a derivada
y (n),
f (n)(x),
dy dx ’ d d
y',
Dxy D y
d 3y dx3 ’
D 3J
d d
P rim era derivada
Dny
PROBLEMAS RESUELTOS Demuestre el teorema 10.1 (1 a 3): 1. -d -(c) = 0; 2. -d -(x) = 1; 3. d - ( c u ) = c 4——■ d'tX d',— d^— Recuerde que d f (x) = lím f ( - + Aa—)— d— A-^0 A— 1.
d c = lím = lím 0 = 0 d— A— ^0 A— A— ^0
2. d (—) = lím (—+ A—) ~ —= lím A— = lím 1 = 1 d— A— ^0 A— A— ^0 A— A— ^0 3.
d (Cu) = Um cu(—+ Aa—) - cu(—) = Um c u(—+ Aa—) - u(—) d— A— ^0 A— A— ^0 A— = c lím U(—+ A—) - u(—) = c du a— ^0 A— d—
Demuestre el teorema 10.1 (4, 6 y 7): a 4.
d i n +i v +i— \) -¡-(u d— d—
d—
dv = —¡- +du ^ —i+—
d dv du 6. —¡-(uv) = u-¡—+ v - ¡ d— d— d— v d u _ u dv 7.
d——(^ ) =
d—v 2— ~
siempre que v * 0
4.Basta probar esto sólo para dos sumandos,
u y v.
CAPÍTULO 10
Derivadas superiores Si y = f( x ) es diferenciable, su derivada y ' tam bién se denom ina prim era derivada de f . Si y ' es diferenciable, su derivada se llam a segunda derivada de f . Si esta segunda derivada es diferenciable, entonces su derivada se denom ina tercera derivada d e f, y así sucesivam ente.
S e a f(—) = u + v; entonces,
f (—+ A — ) - f (—) _ u(— + A — ) + v (—+ A—) - u(—) - v(—) A— _ A— _ u(—+ A — ) - u(—) + v(—+ A— ) - v (—) A— A— Al tomar el límite cuando A—^ 0 se obtiene - d -(u + v) = ^ + 4 ^ . d— d— d— 6. Sea f ( —) = uv. Entonces, f (—+ A— ) - f (—) _ u(—+ A— )v(—+ A—) - u(—)v(—) A— _ A— _ [u(—+ A— )v(—+ A—) - v(—)u( —+ A— )] + [v(—)u(—+ A— ) - u(—)v(—)] A— = u(—+ A—) v(—+ A— —- v(—) + v(—) u(—+ Aa— .) - u(—)
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CAPÍTULO 10
Reglas p ara d e riv a r funciones
Al tomar el límite cuando Ax ^ 0 se obtiene d (rn) = u(x) d v (x) + v( x)
= udx +v%
Se observa que lim u(x + Ax) = u(x) porque la diferenciabilidad de u implica su continuidad. Ax^0 7.
Sea entonces, f (x) = u J v
v(x)
,
u(x + Ax) _ u(x) f (x + Ax) - f (x) _ v (x + Ax) v(x) _ u(x + Ax)v(x) - u(x)v(x + Ax) Ax _ Ax _ Ax(v(x)v (x + A x)} [u( x + Ax)v (x) - u( x)v( x)] - [u( x)v (x + Ax) - u( x)v( x)] Ax[v( x)v (x + Ax)] .
y para i , ^ 0,
3.
d
v ( ) u(x + Ax) - u(x) _ (x ) v (x + Ax) - v(x) ______ Ax_________ ____________ Ax_ v (x)v (x + Ax)
u(x)) ~- uu (x)d d liA vv (x w )dd fr u(x w d x v(x) v (x ) (x )- d x \( v* })~dx ^[v( x)]dx
vv ~ d x~ - uu ~dx dv
Demuestre el teorema 10.1 (9): Dx(xm) = mxm 1, cuando m es un entero no negativo. Aplique inducción matemática. Cuando m = 0, Dx(xm) = Dx(x0) = Dx(1) = 0 = 0 x x 1 = mx“-1 Se presupone que la fórmula es verdadera para m . Entonces, por la regla del producto, Dx(xm+1) = Dx(xm x x) = xmDx(x) + xD x(xm) = xm x 1 + x x mx m-1 = x™+ mxm = (m + 1)xm Por tanto, la fórmula se cumple para m + 1.
4.
Demuestre el teorema 10.1 (9): Dx(xm) = mx™-1, cuando m es un entero negativo. Sea m = -k, donde k es un entero positivo. Entonces, por la regla del cociente y el problema 3, Dx (xm) - Dx (x- k) - Dx (
)
xkDx (1) - 1 • Dx(xk ) (x k)2
x k •0 - kxk-1 x 2k
-yk-1 - - k ^ ï T - ~ kx ~k-1 - m x m -1 x 2k 5.Derive y = 4 + 2x - 3x2 - 5x3 - Sx4 + 9xs. d t - 0 + 2(1) - 3(2x) - 5(3x2) - S(4x3) + 9(5x4) - 2 - 6x - 15x2 - 32x3 + 45x4
6.
Derive -/y - 1-Y + -3 -+ - x 1 + 3x 2 + 2x 3. x ~Yx2 2 x-vO dx
7.
-
- x~2 + 3(-2x~3) + 2 (-3 x ~4) - - x~2 - 6x~3 - 6x~4 - — ^ - — 4 x2 x3 x4
Derive y = 2x1/2 + 6x1/3 - 2x3/2. d y - 2 (2 x - 1/2) + 6 ( 1 x -2/3) - 2 (2 x 1/2) - x ~1/2 + 2 x ~2/3 - 3 x 1/2 - J L + ^
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- 3x 1/
Derive y = - - J - - X L = 2 x ~1/2 + 6 x ~1/3 - 2x ~3/2 - 4 x ~3/4. Xl/ 2 X 3 X3/2 X^'
(
1 —22 ( -- 22 X-»2) + 6 ( - 3
x - 4» ) - 2 ( - 2 X- ' 2) - 4 ( - 4 x -2» )
..HA
Derive y = ^ 3 x 2 — 7^ = (3x2)1/3 - (5x) 1/2. V 5x ^ = 1 (3 x2)-2/3 (6 x) - {- 1 ^(5 x)-3/2 (5) = __ 2x + ____ 5____ = 2 + ___ 1___ dx 3 (3x ) (6x) \ 2 j (5x) (5) (9x4)1/3 + 2(5x)(5x)1/2 ^ 2x^5!
10.
Demuestre la regla de la cadena de potencias: Dx(ym) = mym-lDxy. Ésta es sencillamente la regla de la cadena, donde la función externa es f(x ) = xm y la función interna es y.
11. Derive s = (t2 - 3)4. cirlí^nq rde l<^mtpn/'icic Por la regla de laa r* cadena potencias, =_ 4 (t2 - 3)3(2t) = 8t( t2 - 3)3. dt 12. Derive a) z — (fl2 J^y 2)2 = 3(a 2 - y 2) 2; &) f (x) —V X2 + 6x + 3 —(x 2 + 6x + 3)1/2. a)
% —3(-2)( a 2 - y 2)-3 ^ ( a 2 - y 2) —3 (-2 )( a 2 - y 2)-3( -2 y ) — 12y dy 7 d^v 7 7 7/ (a 2 - y2)3
tí)
f '( x) = 1{ x 2 + 6x + 3)-1/2 d (x2 + 6 x + 3) = i (x2 + 6 x + 3)-1/2(2x + 6) = ■ x + 3 dx -y/x2 + 6 x + 3)
13. Derive y = (x2 + 4)2(2x3 - 1)3. Utilice la regla del producto y la regla de la cadena de potencias: y = (x2 + 4)2d (2x3 - 1)3 + (2x 3 - 1)3 d (x2 + 4 )2 = (x2 + 4 )2(3)(2x3 - 1)2 d ( 2 x 3 - 1 ) + (2x3 - 1)3(2)(x2 + 4 )d (x 2 + 4) = (x2 + 4 )2(3)(2x3 - 1)2(6x 2) + (2x3 - 1)3(2)(x2 + 4)(2x) = 2x(x2 + 4)(2x3 - 1)2(13x3 + 36x - 2) 14. Derive y = 3 - 2x . 7 3 + 2x Utilice la regla del cociente:
y
(3 + 2x) d x (3 ~ 2x) ~ (3 ~ 2x) d x (3 + 2x) = (3 + 2x )(-2) - (3 - 2x)(2) -1 2 (3 + 2x)2 (3 + 2 x)2 (3 + 2 x)2
15. Derive y = - x x y/4 - x 2 (4 - X2)1/2' dy — (4 - x 2)1/2d X (x 2) - x 2 d X (4 - x 2)1/2 — (4 - x 2)1/2(2x) - (x 2)(j)(4 - x 2)- 1/2(-2 x ) 4 - x2 4 - x2 dx —(4 - x 2)1/2(2x) + x3(4 - x 2)- 1/2 (4 - x 2)1/2 — 2x(4 - x 2) + x3 — 8x - x3 4 - x2 (4 - x 2)1/2 (4 - x 2)3/2(4 16. Halle
, dado x = y^/1 - y2 .
La regla del producto, d y = y • 2 (1 - y 2) - 1/2(- 2y ) + (1 - y 2)1/2 =
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x 2)3
Reglas para derivar funciones
—- A X-3/2 - -2¿/X-4/3 +I JA 3X-5/2 +i JA 3 X-7/4 _ - __1_____+ 3 + 3• A ..án I _ < n
9.
CAPÍTULO 10
8.
CAPÍTULO 10
Reglas p ara d e riv a r funciones
Por el teorema 10.2, dy _ 1 dx dx /dy
V1- y2 1 - 2y 2
17. Halle la pendiente de la recta tangente a la curva x = y2 - 4y en los puntos donde la curva corta el eje y. Los puntos de intersección son (0, 0) y (0, 4). Se tiene que dy = 2y - 4y, por tanto, ^ = ddbJdy = 2y - 4 • En (0, 0) la pendiente es - -4, y en (0, 4) la pendiente es -4-. 18. Derive la regla de la cadena: Dx(f{g(x))) = f'(g (x) ■g'(x)). Sea H = f ° g. Sea y =g(x) y K = g(x + h) - g(x). También, sea F(t) = f (y+ f (y) - f ' (y) para t ^ 0. Como lím ^o F (t) = 0,sea F (0)= 0. Entonces, f ( y + t) - f( y ) = t(F (t) + f /(y)) para todo t. Cuando t = K, f (y + K) - f (y) = K (F (K) + f'(y)) f (g(x + h)) - f (g(x)) = K (F (K) + f (y ) ) Por tanto, Ahora,
H ( x + h ~ H ( x ) = K (F (K ) + f '( y )) lím K = lím g ( x + hh— g ( x ) = g '( x ) h^0 h h^0 h
Como lím K = 0, lím F (K) = 0. Entonces, h^ 0 h^ 0 H \x ) = f W ( x ) = f '(g(x))g'(x).
, dado y _ 4 ^ 1 y « _ 3 x 2 + 2. 7 « 2+ 1 J dy _ 4u du ~ (u2 + 1)2 y Entonces,
19. Halle
dx
du _ 2x = 2x dx 3(x2 + 2)2/3 3u2
dy _ dydu _ 4u 2x _ dx du dx (u2 + 1)2 3u2
8x 3u(u2 + 1)2
20. Un punto se mueve a lo largo de la curva y = x3 - 3x + 5 de manera que x _ 2 y[t + 3, donde t es tiempo. ¿A qué tasa cambia y cuando t = 4? Hay que hallar el valor de dy/dt cuando t = 4. Primero, dy/dx = 3(x2 - 1) y dx/dt _ 1/(4>/F). Por tanto, dy _ d y d x _ 3( x 2 - 1 ) dt dx dt 4 yft Cuando t = 4, x _ y%/4 + 3 _ 4, y d - _ 3(4(2) ^
unidades por unidad de tiempo.
21. Un punto se mueve en el plano de acuerdo con las ecuaciones x = t2 + 2t y y = 2t3 - 6t. Halle dy/dx cuando t = 0, 2 y 5. Como en la primera ecuación es posible despejar t y este resultado puede sustituirse por t en la segunda ecuación, y es una función de x. Se tiene dy/dt = 6t2 - 6. Como dx/dt = 2t + 2, al aplicar el teorema 8.2 se obtiene dt/dx = 1/(2t + 2). Entonces, §
_ n
_ 6( t2 - 1) * ^
_ 3(t - 1)
Los valores requeridos de dy/dx son -3 en t = 0, 3 en t = 2 y 12 22. Sea y = x2 - 4x y x _ V 2t2 +
1.Halle dy/dt cuando t _ V2". £dx - ^2(x - ^2) yy £dt ( 2 t 2 + 1)1/2
Entonces,
, , ^ dy _ d y dx _ 4 t(x - 2) dt dx dt (2 t 2 + 1)1/2
Cuando t ^ V 2 , x _ yf5 y ^
~ 2) _ ^ 52 (5 - 2 ^ 5 ).
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en t = 5.
f ( x ) = 3x2 + 6x - 8, f" (x ) = 6x + 6, f" '( x ) = 6 y todas las derivadas de orden superior son cero.
Reglas para derivar funciones
24. Investigue las derivadas sucesivas d ef(x ) = x4/3 en x = 0. f '(x) = f x 1/3 y f = (0) = 0 f "( x ) = - 4 x -2/3 = 9 4 3 - y / " ( ° ) no existe
f n)(°) no existe para n > 2. 25. Sea f (x) = y —x = 2(1_ x) '• Halle la fórmula para f (n)(x). f (x) = 2( - 1)(1 - x)-2( - 1) = 2(1 - x)-2 = 2( 1!)(1 - x)-2 f"(x ) = 2( 1!)(-2)(1 - x)-3( - 1) = 2(2!)(1 - x)-3 f " ( x ) = 2(2!)(-3)(1 - x)-4(-1) = 2(3!)(1 - x)-4 lo que sugiere q u e f (n)(x) = 2(n!)(1 - x) (n+1). Este resultado puede establecerse mediante inducción matemática demostrando que si f k)(x) = 2(k!)(1 - x)-(k+1), entonces f (k+1)(x) = - 2(k!)(k + 1)(1 - x)-(k+2)( - 1) = 2 [(k + 1)!](1 - x)-(k+2)
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 26. Demuestre el teorema 10.1 (5): Dx(u - v) = Dxu - Dxv. Respuesta:
Dx(u - v)= Dx(u + (-v)) = Dxu + Dx(-v) = D x u + D x ((-1)v) = Dxu + (-1)D x v = Dxu - D x v por el teorema 8.1 (4, 3)
En los problemas 27 a 45, halle la derivada.
27. y = x5 + 5x4 - 10x2 + 6
Respuesta: d y = 5x(x3 + 4 x 2 - 4)
28. y = 3x1/2 - x3/2 + 2x~1/2
Respuesta:
dx
=
Wx
3r - - -|V x - 1/x3/2
Respuesta: ^ = — 3- --- 3^ dx x x
30. y = s¡2x + 2yjx
Respuesta: y ' = (1 + s [ 2 ) /j2 x 1 1/2 , 2t2/3 Respuesta: f ' ( t ) = - - ------—
32. y = (1 - 5x)6
Respuesta: y ' = -3 °(1 - 5x)5
33. f (x) = (3x - x3 + 1)4
Respuesta: f ( x ) = 12(1 - x2)(3x - x3 + 1)3
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CAPÍTULO 10
23. Demuestre que la funciónf(x) = x3 + 3x2 - 8x + 2 tiene derivadas de todo orden y hállelas.
CAPÍTULO 10
34. y = (3 + 4x - x2) 1
Reglas p ara d e riv a r funciones
Respuesta: y'= (2 - x)/y
35. d = 3r + 2 2r + 3
Respuesta: y ' =
36. y = ( 1 + 7 )’
5x4
6 (1 + x )
37. y = 2x2V 2 - x
Respuesta: y ' = x(8^ 5x)-
38. / (x) = W 3 - 2x2
Respuesta: / '(x) = 3 - 4 x2 V3 - 2x 2
39. y = ( x - 1)Vx2 - 2x + 2
Respuesta: ^ = 2x 2 - 4 x + 3 dx V x2 - 2x + 2
w Vi - 4w 2
dz 1 Respuesta: -íp- = dw (1 - 4w 2)3/2
40. z =
41. y = J Ï + J x
1
Respuesta: y ' =
4yfxy¡ 1 + Vx 42. / (x ) = J -
x- 1 x+1
Respuesta: / '(x) =
1 (x + 1)V x 2 - 1
43. y = (x2 + 3)4(2x3 - 5)3
Respuesta: y ' = 2x(x2 + 3)3(2x3 - 5)2(17x3 + 27x - 20)
44. s = t 2 + 2 3 - 12
Respuesta: ^ = — 10t 2 1 dt (3 - 12)2 4
45 y =( w
Resp uesta: y '= ' "
36x2(x3 - 1)3 35 (2x3 + 1)5
46. Para cada una de las funciones siguientes, calcule dy/dx por dos métodos y compruebe que los resultados son iguales: 1 a) x = (1 + 2y)3 b) x = 2 +y En los problem as 47 a 50, use la regla de la cadena para hallar d jy . -1 47. y = -u— 1 , u = Vx 7 u+1
Respuesta: d y = —¡=— 1— 1 dx 4 x (1 + J x f
48. y = u3 + 4, u = x2 + 2x
Respuesta: d y = 6x 2(x + 2)2(x + 1)
49. y = \ l 1 + u , u = 4 x
Respuesta: véase el problema 42.
50. y = yfû, u = v(3 - 2v), v = x2
Respuesta: véase el problema 39.
L dy dy du dv ¡Sugerencia: - f - = - i h —,— -¡-. \ ° dx du dv dx
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CAPÍTULO 10
En los problem as 51 a 54, halle la derivada indicada. 51. y = 3x4 - 2x2 + x - 5; y '"
Respuesta: y '" = 72x
Respuesta: y(4) =
105 vía,. j
Reglas para derivar funciones
52. y = —^j—; , yy(4) ■\¡x
— . ,—;9/2 16x
53. f (x) = s¡2 - 3x 2 ; f ' ( x )
Respuesta: f " (x) = -
54. y = -j x - 1 ; y "
ResPuesta: y = 4 ^4 : ^
_ 36x 2)3/
En los problem as 55 y 56, halle una fórm ula para la n-ésim a derivada. Resp uesta: y (n) = (-1 )
55. y = ^2-
[ n +1)!]
3" (n!) 2Respuesta: f (n)(x) = (-1)" (3x + 2)"+
56. f (x) =
57. Si y = f(u ) y u = g(x), demuestre que a)
d2 i = dy_^ d u + d h l d u Ÿ dx2 du dx2 dx 2 du2 \ dx )
b)
d3 y dx 3
= dy ^ d3 u + 3 d Í y . d u , du + d i / d u Ÿ du dx 3 du 2 dx 2 dx du3 \ dx )
58. A partir de ^ r dy
^ y
derive
dy 2
=
(y )3
y d x = 3(y"( 2 ~ y Y " . J dy 3 (y )5
En los problem as 59 a 64, determ ine si la función dada tiene inversa; si la tiene, halle una fórm ula para la inversa f -1 y calcule su derivada.
59. f( x ) = 1/x
Respuesta: x = f -1(y) = 1/y; dx/dy = -x 2 = -1 /y 2
60. f (x) = 1 x + 4
Respuesta: x = f -1(y) = 3y - 12; dx/dy = 3.
61. f (x) = V x - 5
Respuesta: x = f _1(y) = y2 + 5; dx /dy = 2y = 2V x - 5
62. f(x) = x2 + 2
Respuesta: no tiene función inversa.
6 3 f( x ) = x3
64. f (x )= t + t
Resp uesta: x = f -1(y) = tfy ; d y =
Respuesta: x = r 1(y)= - y + s d y = - y - 2 ?
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= 1 y~2/3
CAPÍTULO 10
Reglas p ara d e riv a r funciones
65. Halle los puntos en los que la función f(—) = I—+ 21 es diferenciable. Respuesta:
Todos los puntos excepto —= -2
66. (CG) Utilice una graficadora para trazar la gráfica de la parábola y = —2 y la curva y = I—2 - 2—I. Halle todos los puntos de discontinuidad de la última curva. Respuesta:
—= 0 y —= 2
67. Halle una fórmula de la n-ésim a derivada de las funciones siguientes: a) f (—) = Respuestas:
— — 2
'; b) f (—) = V—.
a) f (n)(x) = (_ 1)n+1 (x +2)n+1 b) f (n)( x) = ( - 1)n+1 3 ' 5 ' 7 ' " 2n ' (2n
3)x~ (2n-1)/2
68. Encuentre la segunda derivada de las funciones siguientes: a) f (x) = 2x - 7 c)
f (x) = x + 4
2 Respuestas: a) 0; b) 6; c) (x + 4)3 ; d)
b) f (x) 3x2 + 5x - 10 d)
f ( x) = V 7 - x
1 1 44 (7 (7 __ xr)3/2 )
69. Demuestre el teorema 10.2. Respuesta: a)
Sugerencias: use el teorema del valor intermedio para demostrar que el rango es un intervalo. Que f es creciente o decreciente se deduce por un argumento que utiliza los teoremas del valor extremo y del valor intermedio. La continuidad de f -1 se deriva entonces con facilidad. 11= __ 1 f - 1(y) _ f - 1( yo) = y _ yo f (f -1(y )) _ f (f - 1( y o))f ( x ) _ f ( x o) f - l(y) _ f - l(y0) x _ xo
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Derivación implícita Funciones implícitas U na ecuación f (x, y) = 0 define a y com o una función im plícita de x. E l dom inio de esa función im plícitam ente definida consta de las x p ara las que existe un a única y tal q u e f(x , y) = 0. EJEMPLO 11.1. a) Se puede despejar y en la ecuación xy + x - 2y - 1 = 0, para obtener y = para x ^ 2. b)
. Esta función está definida
La ecuación 4x2 + 9y2 - 36 = 0 no determina una función y única. Si se despeja y en la ecuación se tiene que y = ± -f% /9 -x 2. Hemos de considerar que la ecuación define implícitamente dos funciones, y = W 9 - x2 y y = - x 2. Cada una de estas funciones está definida para Ixl < 3. La elipse determinada por la ecuación original es la unión de las gráficas de las dos funciones.
Si y es una función definida im plícitam ente p o r un a ecuación f (x, y) = 0, la derivada y ' puede hallarse de dos form as: 1. 2.
Se despeja y en la ecuación y se calcula y ' directam ente. Salvo p ara ecuaciones m uy sencillas, este m étodo resu lta casi siem pre im posible o im práctico. Se considera y com o función de x, se derivan am bos m iem bros de la ecuación original f(x , y) = 0 y se d es p eja y ' en la ecuación resultante. E ste proceso de derivación se conoce com o derivación implícita.
EJEMPLO 11.2. a) Halle y', dado xy + x - 2y - 1 = 0. Por derivación implícita, xy'+ yDx(x) - 2y' - Dx(1) = Dx(0). Así, xy' + y - 2y' = 0. Al despejar y ' se obtiene: y' =. En este caso, en el ejemplo 11.1a) se demuestra que es posible remplazar y por 1—| y hallar y' en términos sólo de x. Resulta evidente que también hubiera sido fácil derivar y + 1—| mediante la regla del cociente. Sin embargo, en la mayoría de los casos, no se puede despejar y o y ' en términos sólo de x. b)
Dado 4x2 + 9y2 - 36 = 0, halle y ' cuando x = >/5. Por medio de la derivación implícita se tiene que 4Dx(x2) + 9Dx(y2) - Dx(36) = Dx(0). Así, 4(2x) + 9(2yy') = 0. [Observe que Dx(y2) = 2yy' por la regla de la cadena de potencias.] Al despejar y ' queda y' = -4x/9y. Cuando x = -J5, y = ± y . Para la función y correspondiente al arco superior de la elipse [consulte el ejemplo 11.1b)], y = - -f- y y ' = - ^ 5 / 3 . Para la función y correspondiente al arco inferior de la elipse, y = - f y y ' = —y/ 5 / 3 .
Derivadas de orden superior L as derivadas de orden superior pueden calcularse m ediante derivación im plícita o p o r un a com binación de derivación directa e im plícita. EJEMPLO 11.3.
En el ejemplo 11.2a), y ' = 2 + ^ • Entonces, y" . D , ( / ) ■ D , (
1 + y V ( 2 - x ) y - - (1 + y)(-1) )= (2 - x)2
_ (2 - x)y ' + 1 + y _ (2 _ (2 - x)2 _
X) ( 2 - x ) + 1 + y _ 2 + 2y (2 - x)2 _ (2 - x)2
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CAPÍTULO 11
D erivación im plícita
EJEMPLO 11.4. Halle el valor de y" en el punto (-1, 1) de la curva x2y + 3y - 4 = 0. Se deriva im plícitam ente respecto a x dos veces. Prim ero, x2y ' + 2xy + 3y' = 0, y luego x2y " + 2xy' + 2xy' + 2y + 3y" = 0. Se podría despejar y ' en la prim era ecuación y luego despejar y " en la segunda ecuación. Sin em bargo, com o sólo se desea evaluar y " en el punto particular (-1 , 1), se sustituye x = - 1 , y = 1 en la prim era ecuación para hallar y = -i, y luego se sustituye x = - 1 , y = 1 y y = 1 en la segunda ecuación p ara llegar a y " - 1 - 1 + 2 + 3y" = 0, de lo que se obtiene y " = 0. E ste m étodo evita cálculos algebraicos confusos.
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Halle y', dado que x2y - xy2 + x2 + y2 = 0. D x (x2y) - D x (xy2) + Dx(x2) + Dx(y2) = 0 x2y' + yD x (x2) - xDx(y2) - y 2Dx(x) + 2x + 2yy' = 0 x 2y' + 2xy - x(2yy') - y2 + 2x + 2 yy' = 0 (x2 . y
2
xy + 2 y)y' + 2 xy - y2 + 2x = 0
y2 - 2 xy - 2 x x 2 - 2 xy + 2 y
Si x2 - xy + y2 = 3, encuentre y ' y y".
2.
D x (x2) - Dx(xy) + D x (y2) = 0 2x - xy' - y + 2 yy' = 0 2x —y Por tanto, y ' = ----- ^r~ . Entonces, 7 x - 2y y
, , = (x - 2y)Dx (2x - y) - (2x - y)Dx (x - 2y) (x - 2y)2 = (x - 2y)(2 - y') - (2x - y)(1 - 2yQ (x - 2y)2 _ 2x - xy' - 4 y + 2 y y '- 2x + 4xy' + y - 2yy' _ 3 x y '- 3 y _ (x - 2y)2 _ (x - 2y)2 3x ( 2x ~ y 3y ^ x - 2y ) _ 3x(2x - y) - 3y(x - 2y) _ 6(x2 - xy + y2) _ (x - 2y)2 _ (x - 2y)3 _ (x - 2y)3 18 (x - 2y)3
3.
Dado x3y + xy3 = 2, halle y' y y " en el punto (1, 1). M ediante doble derivación implícita queda x3y ' + 3x2y + x(3y2y') + y3 = 0 y
x3y " + 3x2y' + 3x2y/ + 6xy + 3xy2y" + y/[6xyy/ + 3y2] + 3y2y' = 0.
Al sustituir x = 1 y y = 1 en la primera ecuación se obtiene y ' = -1 . Entonces, si se remplaza x = 1, y = 1 y y' = -1 en la segunda ecuación se obtiene y " = 0.
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CAPÍTULO 11
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 4.
Halle y" dado a) x + xy + y = 2; b) x3 - 3xy + y3 = 1.
5.
Encuentre y', y", y '" en a) el punto (2, 1) en x2 - y2 - x = 1; b) el punto (1, 1) en x3 + 3x2y Respuestas:
6.
, ,, 2(1 + y) , , ,, 4 xy a) y = ^ + x)2 ; b) y = ~ (y 2 _ x)3 • xy 2 + 2y3 = 0.
a) -|, - - 5-, ^5; b) 1, 0, 0.
Halle la pendiente de la tangente en un punto (x0, y0) de a) b 2x 2 + a 2y2 = a 2b2; b)b2x2 c) x3 + y3 - 6x2y = 0 . Respuestas:
6
,b2x0 , , b 2x0 . 4x0y0 a ) -----y ° ; b) 2 0 ; c) - 0 0 a 2y / a 2y / y02 - 2x02
a 2y2 = a 2b2;
- x2 0
7.
Demuestre que las tangentes a las curvas 5y - 2x + y3 - x2y = 0 y 2y + 5x + x4 - x3y2 = 0 se cortan en el origen en ángulos rectos.
8.
a) El área total de la superficie de una caja rectangular con base cuadrada de lado y y altura x está dada por S = 2y2 + 4xy. S es constante. Halle dy/dx sin despejar y. b)
El área total de la superficie de un cilindro recto de radio r y altura h está dada por S = 2nr 2 + 2nrh. S es constante. Calcule dr/dh.
Respuestas:
9.
a ) ----- +— ; b) x +y ’ 2r + h
En el círculo x2 + y2 = r2, demuestre que
y"
[1 + (y ')2]3'
10. Dado S = Kx(x + 2y) y V = n x 2y, demuestre que dS/dx = 2n(x - y) cuando V es una constante, y dV/dx = - n x (x - y ) cuando S es una constante.
11. Deduce la fórmula Dx(xm) = mx m -1 del teorema 10.1(9) cuando m = p/q, donde p y q son enteros diferentes de cero. Se presupone que xp/q es diferenciable. (Sugerencia: sea y = x°/q. Entonces, y q = xp. Ahora puede utilizar la derivación implícita.)
12.
( c g ) Emplee derivación implícita para hallar una ecuación de la recta tangente a -Jx + yfy = 4 en (4, 4) y compruebe su respuesta en una graficadora.
Respuesta:
y = - x + 8.
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Derivación implícita
Respuestas:
Rectas tangentes y normales E n la figura 12.1a) se presenta un ejem plo de la gráfica de un a función co n tin u a/. Si P es un punto de la gráfica que tiene abscisa x, entonces las coordenadas de P son (x, / ( x )). S ea Q un punto cercano que tiene la abscisa x + Ax. E ntonces las coordenadas de Q son (x + Ax, / ( x + Ax)). L a recta P Q tiene pendiente / ( x ( x ) . Cuando Q se aproxim a a P a lo largo de la gráfica, las rectas P Q se acercan m ás y m ás a la recta tangente T de la gráfica en P (fig. 12.1b)). Por tanto, la pendiente de P Q se aproxim a a la pendiente de la tangente. Así, la pendiente de - f (x) la tangente es lím Al^ 0 f (x + Ax) , que es la derivada f'(x ). Ax y
y
À
À
-x (a)
x (b)
Fig. 12.1 Si la pendiente m de la tangente en un punto d e la curva y = /( x ) es cero, entonces la curva tiene un a ta n gente ho rizontal en ese punto, igual que en los puntos A, C y E de la figura 12.2. E n general, si la derivada de / es m en un punto (x0, y0), la ecuación p u n to-pendiente de la tangente es y - y0 = m (x - x0). S i/ es continua en x0, pero l í m ^ x0f ( x ) = ^ , entonces la curva tiene un a tangente vertical en x0, así com o en los puntos B y D de la figura 12.2. y
x
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L os ángulos de intersección de dos curvas se definen com o los ángulos form ados p o r las rectas tangentes a las curvas en su punto de intersección. P ara determ inar los ángulos de intersección de las dos curvas: 1.
Se resuelven sim ultáneam ente las ecuaciones de las curvas p ara h allar los puntos de intersección.
2.
Se determ inan las pendientes m1 y m 2 de las rectas tangentes a las dos curvas en cada punto de intersección.
3.
Si m 1 = m2, el ángulo de intersección es 0°, y si m 1 = -1 /m 2, el ángulo de intersección es 90°; de lo contrario, el ángulo de intersección ^ puede hallarse con la fórm ula m, - m 2 ------ ta n á = r 1 + m1 m 2
^ es el ángulo agudo de intersección cuando tan ^ > 0 , y 180° - ^ es el ángulo agudo de intersección cuando tan ^ < 0 .
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a y = f(x ) = x3 - 2x2 + 4 en (2, 4). f ( x ) = 3x2 - 4x. Así, la pendiente de la tangente en (2, 4) es m = f ( 2 ) = 4, y una ecuación de la recta tangente es y - 4 = 4(x - 2). La ecuación punto-intersección es y = 4x - 4. Una ecuación de la recta normal en (2, 4) es y - 4 = - 4 ( x - 2). Su ecuación punto-intersección es y=- x +9 .
2.
Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a x2 + 3xy + y2 = 5en (1, 1). Por diferenciación implícita, 2x + 3xy' + 3y + 2yy'= 0, de manera que, y'= . Entonces la pendiente de la tangente en (1, 1) es -1 . Una ecuación de la tangente es y - 1 = -(x - 1). Su ecuación punto-intersección es y = - x + 2. Una ecuación de la recta normal es y - 1 = x - 1, o sea, y = x .
3.
Halle las ecuaciones de las rectas tangentes con pendiente m = - - | a la elipse 4x2 + 9y2 = 40. Por derivación implícita, y' = -4x/9y, de manera que en el punto de tangencia (x0, y0), m = - 4 x0/9y0 = -■§■. Entonces, y0 = 2x0. Como el punto está en la elipse, 4x¡¡ + 9y¡¡ = 4 0. Entonces, 4 x¡¡ + 9(2x0)2 = 40 . Por tanto, x¡¡ = 1 y x0 = ±1. Los puntos requeridos son (1, 2) y (-1, -2). En (1, 2), una ecuación de la recta tangente es y - 2 = - -2(x - 1). En (-1, -2 ), una ecuación de la recta tangente es y + 2 = - %(x + 1).
4.
Halle una ecuación de las rectas tangentes a la hipérbola x2 - y2 = 16 que pasen por el punto (2, -2). Por derivación implícita, 2x - 2yy' = 0 y, por tanto, y' = x/y, de manera que en el punto de tangencia (x0, y0), la pendiente de la tangente será x0/y0. Por otra parte, como la tangente debe pasar por (x0, y0) y (2, -2 ), la pendiente es xr+ i. Así, = —+ 7.. Por tanto, ^ - 2x0 = y¡ + 2- 0. Luego, 2x0 + 2y0 = x2 - y2 = 16 , lo que da x 0 + y0 = 8 y, en consecuencia, y0 = 8 - x0. Si se sustituye 8 - x0 por y0 en x2 - y2 = 16 y se despeja x0, se obtiene x0 = 5. Luego, y0 = 3; por ende, una ecuación de la recta tangente es y - 3 = -|(x - 5).
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Rectas tangentes y norm ales
Ángulos de intersección
CAPÍTULO 12
L a recta norm al a una curva en uno de sus puntos (x0, y0) es la recta que p asa por ese punto y es perpendicular a la tangente en ese m ism o punto. R ecuérdese que un a perpendicular a un a recta con pendiente m diferente de cero tiene pendiente -1 /m . P or tanto, si m ^ 0 es la pendiente de la tangente, entonces y - y0 = -(1 /m )(x - x0) es una ecuación punto-pendiente de la recta norm al. Si la tangente es horizontal, entonces la norm al es vertical y tiene la ecuación x = x0. Si la tangente es vertical, entonces la norm al es horizontal y tiene la ecuación y = y0.
CAPÍTULO 12
5.
Rectas tangentes y norm ales
Halle los puntos de tangencia de las rectas tangentes horizontal y vertical a la curva x2 - xy + y2 = 27. y —2x Por derivación implícita, 2x - xy' - y + 2yy' = 0, donde y ' = -jy— — ■ Para las tangentes horizontales la pendiente debe ser cero. Entonces, el numerador y - 2x de y' debe ser cero, lo cual da y = 2x. Al sustituir 2x por y en la ecuación de la curva se tiene x2 = 9, de modo que los puntos de tangencia son (3, 6) y (-3, - 6). Para las tangentes verticales la pendiente debe ser infinita. Así, el denominador 2y - x de y' debe ser cero, lo cual da x = 2y. Al remplazar x en la ecuación de la curva se obtiene y2 = 9. Por consiguiente, los puntos de tangencia son (6, 3) y ( - 6, -3).
6.
Halle las ecuaciones de las rectas verticales que cortan las curvas a) y = x3 + 2x2 - 4x + 5 y b) 3y = 2x3 + 9x2 3x - 3 en puntos donde las tangentes a las dos curvas son paralelas. Sea x = x0 una de tales rectas. Las tangentes en x0 tienen pendientes: Para a): y' = 3x2 + 4x - 4; en x0, m 1 = 3x2 + 4 x0 - 4 . Para b): 3y' = 6x2 + 18x - 3; en x0, m2 = 2x2 + 6x0 - 1. Como m x = m2, 3x2 + 4x0 - 4 = 2x2 + 6x0 - 1. Entonces x2 - 2x0 - 3 = 0 , (x0 - 3)(x0 + 1) = 0. Por tanto, x0 = 3 o x0 = -1 . Así, las rectas verticales son x = 3 y x = -1.
7.
a) Demuestre que la ecuación punto-intersección de la tangente con pendiente m ^ 0 a la parábola y2 = 4px es y = mx + p/m. b) Demuestre que una ecuación de la recta tangente a la elipse b2x2 + a 2y2 = a 2 b 2 en el punto P 0 (x0, y0) sobre la elipse es b2x0x + a2y 0y = a2b2. a) y' = 2p/y. Sea P 0(x0, y0) el punto de tangencia. Entonces, y2 = 4 p x 0 y m = 2p/y0; por ende, y0 = 2p/m y x0 = 4 y2 /p = p /m2. La ecuación de la recta tangente es y - 2p/m = m(x - p/m 2), lo que se reduce a y = mx + p /m . b 2x b2xn b) y ' = —bjr a2y . En P 0, m = - a-b^/0. Una ecuación de la recta tangente es y - y0 = - a / 0 (x - x0), la cual se reduce a b 2x0x + a 2y0y = b 2x l + a 2y2 = a 2b 2 [porque (x0, y0) satisface la ecuación de la elipse].
8. Demuestre que en el punto P 0(x0, y0) de la hipérbola b2x2 - a 2y2 = a 2b2, la recta tangente biseca el ángulo incluido entre los radios focales de P 0. En P 0 la pendiente de la tangente a la hipérbola es b 2x 0/a 2y 0 y las pendientes de los radios focales P 0F ' y P 0F (fig. 12.3) son y0/(x0 + c) y y0/(x0 - c), respectivamente. Ahora
ta n a =
b2x0 _ y0 a 2y0x0 + c (b2x2 - a 2y2) + b 2cxo yo 1 + b2 x0 a 2yo xo + c
a 2b2 + b2cx0
( a 2 + b 2) Xoyo + a 2cyoc 2Xoyo + a 2cyü
b 2(a 2 + cx0)
cyü(a 2 + cxo )
como b 2xo2 - a 2y2 = a 2b 2 y a 2 + b2 = c2, y
tan ß =
yo x o-c
1 + b 2Xo
b 2x o
a 2 yo yo
b 2 cxo - (b2x2 - a 2y2) _ b 2 cxo - a 2 b 2 _ b 2 (a2 + b 2) Xoyo - a 2cyo _ c2Xoyo - a 2 cyü ~ cyo
Entonces, a = P porque tan a = tan p. y
Fig. 12.3
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b2 cyo
Uno de los puntos de intersección de las curvas a) y 2 = 4x y b) 2x2 = 12 - 5y es (1, 2). Halle el ángulo agudo de intersección de las curvas en ese punto. Para a), y' = 2/y. Para b) y' = -4x/5. Entonces, en (1, 2), m 1 = 1 y m 2 = - - 5-. Luego, 15
Así, ^ ~ 83° 40' es el ángulo agudo de intersección. 10. Halle los ángulos de intersección de las curvas a) 2x2 + y2 = 20 y b) 4y2 - x2 = 8. Al despejar simultáneamente se obtiene y2 = 4, y = ±2. Entonces, los puntos de intersección son (±2>/2, 2) y (± 2 ^ 2 , - 2). Para a), y ' = -2x/y, y para b), y' = x/4y. En el punto (2>/2", 2), m 1 = -2*j2 y m2 = -4-y/2. Como m m 2 = -1 , el ángulo de intersección tiene 90° (es decir, las curvas son ortogonales). Por simetría, las curvas son ortogonales en cada uno de sus puntos de intersección. 11. El cable de suspensión de un puente está unido a pilares de soporte que distan 250 pies uno de otro, y cuelga en forma de una parábola con el punto más bajo a 50 pies por debajo del punto de suspensión. Halle el ángulo entre el cable y el pilar. Tome el origen en el vértice de la parábola, como en la figura 12.4. La ecuación de la parábola es y = 6 b x 2 y y' = 4x/625. En (125, 50), m = 4(125)/625 = 0.8000 y 0 = 38° 40'. Por ende, el ángulo requerido es 0 = 90° - 0 = 51° 20'. y
x
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 12. Examine las rectas tangentes horizontales y verticales de x2 + 4xy + 16y2 = 27. Respuestas:
tangentes horizontales en (3, - f ) y (-3 , f). Tangentes verticales en (6, - -4) y ( - 6, - -4) .
13. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a x2 - y2 = 7 en el punto (4, -3). Respuesta:
4x + 3y = 7 y 3x - 4y = 24.
14. ¿En qué puntos de la curva y = x3 + 5 es surecta tangente: a) paralela a la recta 12x - y = 17;b) perpendicular a la recta x + 3y = 2? Respuestas:
a) (2, 13), (-2, -3 ); b) (1, 6), (-1 , 4).
15. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a 9x2 + 16y2 = 52 que sean paralelas a la recta 9x - 8y = 1. Respuesta:
9x - 8y = ±26.
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Rectas tangentes y norm ales
ta n 0 = 1 + m1m2
CAPÍTULO 12
9.
CAPÍTULO 12
Rectas tangentes y norm ales
16. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la hipérbola xy = 1 que pasan por el punto (-1 , 1). Respuestas:
y = (2-J2 - 3)x + 2y¡2 - 2; y = - ( 2 ^ 2 + 3)x - 2*j2 - 2.
17. Para la parábola y2 = 4px, demuestre que una ecuación de la tangente en uno de sus puntos P(x0, y0) es y0y = 2p(x + x0).
18. Para la elipse b 2x 2 + a 2y2 = a 2b2, demuestre que las ecuaciones de sus rectas tangentes de pendiente m son y = m x ± V a 2 m 2 + b 2.
19. Para la hipérbola b 2x 2 - a 2y2 = a2b2, demuestre que a) una ecuación de la recta tangente en uno de sus puntos P(x0, y0) es b2x0x - a 2y0y = a 2b2; y b) las ecuaciones de sus tangentes con pendiente m son y = m x ±y¡a2m 2 - b 2.
20. Demuestre que la recta normal a una parábola en uno de sus puntos P biseca el ángulo formado por el radio focal de P y la recta que pasa por P y es paralela al eje de la parábola.
21. Pruebe que toda tangente a una parábola, con excepción del vértice, corta la directriz y el lado recto (producido si es necesario) en puntos equidistantes del foco.
22. Demuestre que la cuerda que une los puntos de contacto de las tangentes a una parábola trazada desde cualquier punto sobre su directriz pasa por el foco.
23. Pruebe que la recta normal a una elipse en cualquiera de sus puntos P es bisectriz del ángulo comprendido entre los radios focales de P .
24. Demuestre que a) la suma de las intersecciones con los ejes coordenados de toda tangente a
O bserve en la figura 13.3 un ejem plo en el que hay exactam ente un punto de éstos. Se advierte que el coro lario 13.3 proviene del teorem a de Rolle si f(x ) = g(x) - g(a). y
Fig. 13.3 Teorema 13.4. Ley de la media o teorem a del valor medio.1 Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y dife renciable en el intervalo abierto (a, b). A sí, existe al m enos un punto x 0 en (a, b) p ara el cual f (b) ~ f (a) = f ,(x ) b- a f (Xo) .
O bserve la figura 13.4. E n el problem a 7 se presenta la dem ostración. E n térm inos geom étricos, la conclusión indica que existe algún punto dentro del intervalo donde la pendiente f (x0) de la recta tangente es igual a la pendiente (f(b ) - f(a ))/(b - a) de la recta P 1 P 2 que une los puntos (a, f( a ) ) y (b, f (b)) de la gráfica. E n ese punto la tangente es paralela a P 1P 2, ya que sus pendientes son iguales.
X
1 La ley de la media también se denomina Teorema del valor medio para derivadas.
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P uede ver una dem ostración en el problem a 13. A dvierta que el teorem a del valor m edio es un caso especial cuando g(x) = x. Teorema 13.6. Teorema del valor medio de orden superior. S i/ y sus primeras n - 1 derivadas son continuas en [a, b] y / (n)(x) existe en (a, b), entonces hay al menos un x0 en (a, b) tal que f (b) = f (a) + Ä ( b - a) + ^ ^ ( b - a )2 + ••• f (n-1)(a) f (n)(X ) + V l f ( b - a )n-1 + ^ ^ ( b
( 1) - a)n
(Para obtener una demostración, repase el problema 14.) Cuando b se remplaza por x, la fórmula 1 se vuelve f (x) = f (a) + f - j f ) ( x - a) + A ^ ( x - a ) 2 + (2) +^
( x - a)n-1 + f n(< Xo) (x - a)n
para algún x0 entre a y x. En el caso especial cuando a = 0, la fórmula (2) se vuelve ^ f '( 0 ) f "(0) 2 f (x) = f (0) + x + ^ 2 \ x + (3) + f (n-1)(0) xn-i + f (n)(xo) xn + ( n - 1)! x + n! x para algún x0 entre 0 y x.
Funciones crecientes y decrecientes U na función/ es creciente en un intervalo si u < v im plica qu e/ ( u) < / ( v) p ara toda u y v en el intervalo. D e igual form a, / es decreciente en un intervalo si u < v im plica q u e / ( u) > / ( v) p ara toda u y v en el intervalo. Teorema 13.7. a) Si/ ' es positiva en un intervalo, entonces/ es creciente en ese intervalo. b) S i/ ' es negativa en un intervalo, entonces / es decreciente en ese intervalo. Para obtener la dem ostración, repase el problem a 9.
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Halle el valor de x0 enunciado en el teorema de Rolle paraf(x) = x3 - 12x en el intervalo 0 < x < 2>/3 . Observe que f (0) = f(2>/3) = 0 . Si f ( x ) = 3x2 - 12 = 0, entonces x = ±2. Luego, x0 = 2 es el valor enunciado.
2.
¿Se aplica el teorema de Rolle a las funciones a) f (x) = x - ! x , y b) f (x) = x - 1 x en el intervalo (0, 4)? x 2 x+2 a) f(x ) = 0 cuando x = 0 o x = 4. Como f tiene una discontinuidad en x = 2, un punto en [0, 4], el teorema no se aplica.
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Teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes
/ (b) ~ / (a) = / ' ( x0) g (b) - g (a ) g '^ ) •
CAPÍTULO 13
Teorema 13.5. Teorema del valor medio extendido.Se presupone q u e/(x ) y g(x) son continuas en [a, b] y diferenciables en (a, b). También se presupone que g'(x) ^ 0, para toda x en (a, b). Entonces, existe al menos un punto x0 en (a, b) para el que
CAPÍTULO 13
Teorem a d e l valor m edio. Funciones crecientes y decrecientes
b) f(x ) = 0 cuando x = 0 o x = 4. f tiene una discontinuidad en x = -2 , un punto que no está en [0, 4]. Además, f (x) = (x2 + 4x - 8)/(x + 2)2 existe en todo punto excepto cuando x = -2 . Así, se aplica el teorema y x0 = 2(>/3 - 1) , la raíz positiva de x2 + 4x - 8 = 0. 3. Halle el valor de x0 enunciado en el teorema del valor medio cuando f(x ) = 3x2 + 4x - 3 y a = 1 y b = 3. f (a ) = f(1 ) = 4, f(b ) = f(3 ) = 36, f ( x 0) = 6x0 + 4 y b - a = 2. Así, 6x0 + 4 = = 16. Por tanto, x0 = 2. 4. Determine un valor x0 enunciado en el teorema del valor medio extendido cuando f(x ) = 3x + 2 y g(x) = x2 + 1, en [1, 4]. Se debe hallar x0 de manera que f (b) ~ f (a) = f (4) - f (1)= 1 4 - 5 = 3 = f W = _3_ g(b) - g(a) g(4) - g(1) 17 - 25 g '(x 0) 2x 0 ' Entonces, x0 = -5-. Demuestre el teorema 13.1: si f tiene un extremo relativo en un punto x0 en el q u e f (x0) está definida, entonces f (x>) = 0 . Considérese el caso de un máximo relativo. Como f tiene un máximo relativo en x0, entonces para un |Ax| suficientemente pequeño, f (x 0 + Ax) < f (x 0), de modo que f ( x 0 + Ax) - f ( x 0) < 0. Luego, cuando Ax < 0, f (x0 + Ax) - f (x0) _ 0 Así ---------- Ax-----------> ° . Así ,-( v . lím f ( x 0 + * » - f W Ax^0" Ax
>0
Cuando Ax0 > 0, f (x0 + Ax) f (x0) < 0 . Por tanto, 0 Ax f (xp + A x ) - f (xp) f '( x 0) = l í m ^ - 0-----' J 0 Am0 Ax . lím f x Ai^0+
+y - f W Ax
<0
Como f ( x 0) > 0 y f ( x 0) < 0, entonces f ( x 0) = 0. 6.
Demuestre el teorema de Rolle (teorema 13.2): si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y si f (a ) = f(b ) = 0, entonces f ( x 0) = 0 para algún punto x0 en (a, b). Si f(x ) = 0 a lo largo del intervalo cerrado [a, b], entonces f ( x ) = 0 para toda x en (a, b). Por otra parte, si f(x ) es positivo (negativo) en algún punto en (a, b), entonces, por el teorema del valor extremo (teorema 8.7), f tiene un valor máximo (mínimo) en algún punto x0 en [a, b]. Ese valor máximo (mínimo) debe ser positivo (negativo) y, por consiguiente, x0 queda en (a, b), ya que f (a ) = f ( b) = 0. Entonces, f tiene un máximo (mínimo) relativo en x0. Por el teorema 13.1, f ( x 0) = 0.
7.
Demuestre el teorema del valor medio (teorema 13.4): sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Entonces, existe por lo menos un punto x0 en (a, b) para el cual f}f
- f '( *0 ). Sea F (x) = f (x) - f (a) - f (bb - f (a) (x - a ) .
De esta manera, F (a) = 0 = F (b). Luego, el teorema de Rolle se aplica a F en [a, b]. Por tanto, para algún x0 en (a, b), F '(x 0) = 0. Pero F '(x) = f '(x) - f (bb I f ( a ) . Así, f '( x » - f (b) I f (a) = 0.
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^
CAPÍTULO 13
Demuestre que si g es creciente en un intervalo, - g es decreciente en ese mismo intervalo. Se presupone que u < v. Entonces, g(u) < g(v). Por ende, -g (u ) > -g(v).
9.
Demuestre el teorema 13.7: a) si f es positiva en un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo. b) Si f es negativa en un intervalo, f es decreciente en ese intervalo. a) Sean a y b dos puntos cualesquiera en un intervalo con a < b. Por el teorema del valor medio, para f ^ a a = f 7(x 0) algún punto x0 en (a, b). Como x0 está en el in te rv a lo ,f (x0) > 0. Entonces, ^
>0 .
Pero a < b; por consiguiente, b - a > 0. L uego,f(b) - f (a ) > 0. A sí,f(a ) < f(b ). b) Sea g = -f. Entonces g' es positiva en el intervalo. Por el inciso a), g es creciente en el intervalo. Entonces, f es decreciente en el intervalo.
10. Demuestre quef(x) = x 5 + 20x - 6 es una función creciente para todos los valores de x. f ( x ) = 5x4 + 20 > 0 para toda x. Entonces, por el teorema 13.7a), f es creciente en todos los puntos.
11. Pruebe quef (x) = 1 - x3 - x7 es una función decreciente para todos los valores de x. f ( x ) = -3 x 2 - 7x6 < 0 para toda x ^ 0. Por tanto, por el teorema 13.7b), f es decreciente en todo intervalo que no contenga 0. Observe que si x < 0 ,f(x ) > 1 = f (0), y si x > 0 ,f (0) = 1 > f(x). Luego, f es decreciente para todos los números reales.
12. Demuestre que f(x ) = 4x3 + x - 3 = 0 tiene exactamente una solución verdadera. f(0 ) = -3 y f(1 ) = 2. El teorema del valor intermedio extendido establece que f(x ) = 0 tiene una solución en (0, 1). Como f ( x ) = 12x2 + 1 > 0, f es una función creciente. Por tanto, no puede haber dos valores de x para los cuales f(x ) = 0.
13. Demuestre el teorema del valor medio extendido (teorema 13.5): sif(x ) y g(x) son continuas en [a, b] y diferenciables en (a, b),y g'(x) ^ 0 para toda x en (a, b), entonces existe al menos un punto x0 en (a, b) para el cll„l f (b ) - f (a ) _ m cual g (b ) - g (a ) - g '(x0). Supóngase que g(b) = g(a). Por el teorema generalizado de Rolle, g'(x) = 0 para alguna x en (a, b), lo que contradice la hipótesis. Entonces, g(b) ^ g(a). Sea F (x) = f (x) - f (b) - g (b) - f (g (g(x) - g(b)) g'(x)
De acuerdo con el teorema de Rolle, existe x0 en (a, b) para el cual f '(x 0) - g(b) _ g(a) g '(x0) = 0 .
14. Pruebe el teorema del valor medio de orden superior (teorema 13.6): si f y sus primeras n - 1 derivadas son continuas en [a, b] y f (n)(x) existe en (a, b), entonces hay al menos una x0 en (a, b) tal que f (b) = f (a) + « ( b
- a) + f ^ i b
- a )2 + ••• + ^ - ^ ( b - a )(n-1) + ^ ^ ( b
- a )n
(1)
Sea K una constante definida por f (b) = f (a) + - a) + f r 0 ) (b - a )2 + ••• + ^ ^ ^ ^ ( b - a )(n-1) + K (b - a)n y considere que F (x) = f (x) - f (b) + ^ ( b
- x) + f ^¡x ) (b - x )2 + ••• + ™
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(b - x)n 1 + K (b - x)n
(2)
Teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes
8.
En consecuencia, F (a) = 0 = F (b) y F '( x) = f '(x) - g (b) _
L 0 l2
Teorem a d e l valor m edio. Funciones crecientes y decrecientes
CAPÍTULO 13
Ahora F (a) = 0 por (2), y F (b) = 0. Por el teorema de Rolle, existe x0 en (a, b) tal que f " ' (x ) F '( x 0) = f '(xa) + [f " (x 0)(b - x a) - f '( x0)] + f - (- 0) (b - x 0)2 - f "(x 0 )(b - x .) 2!
f (n)(x ) f (n-i)( x ) f (_ a)(b - ^ r 1(b - x ) - 2 - Kn(b - x0)n 1 (n - 2)! (n - 1)! f (n)(x0) (b - x0)n 1- Kn(b - x 0)n 1 = 0 (n - 1)! Entonces, K =
f (n)( x p) 0 y (2) se vuelve (1). n!
15. S if ( x ) = 0 para toda x en (a, b), en to n cesf es constante en (a, b). Sean u y v dos puntos cualesquiera en (a, b), con u < v. Por el teorema del valor medio, existe x0 en (u, v) para el cual f (v) ~f (u) = f ( x 0). Por hipótesis, f (x0) = 0. Entonces, f(v ) - f ( u) = 0 y, por consiguiente, f(v ) = f ( u).
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 16. S if (x) = x2 - 4x + 3 en [1, 3], halle un valor prescrito por el teorema de Rolle. Respuesta:x0 = 2.
17. Halle un valor enunciado por el teorema del valor medio, dado: a)
y = x3 en [0, 6].
Respuesta: x 0 = 2>/3 .
b)
y = ax2 + bx + c en [x1, x2].
Respuesta: x 0 = -j(x¡ + x2) .
18. S if ( x ) = g'(x) para toda x en (a, b), demuestre que existe una constante K tal que f (x) =g(x) + K para toda x en (a, b). [Sugerencia: Dx(f(x) - g(x)) = 0 en (a, b). Por el problema 15, existe una constante K tal que f(x ) - g(x) = K en (a, b).]
19. Halle un valor x0 prescrito por el teorema del valor medio cuandof(x) = x2 + 2x - 3, g(x) = x2 - 4x + 6 en el intervalo [0, 1]. Respuesta:
-j.
20. Demuestre que x3 + p x + q = 0 tiene a) una raíz real si p > 0, y b) tres raíces reales si 4p3 + 27q2 < 0.
21. Pruebe que f (x) = a^ + no tiene ni un máximo relativo ni un mínimo relativo. (Sugerencia: utilice el teorema
22. Demuestre quef(x) = 5x3 + 11x - 20 = 0 tiene exactamente una solución real.
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-^ 103^
b)
¿Dónde son crecientes y dónde decrecientes las funciones siguientes? Trace las gráficas. (c g )
Compruebe las respuestas del inciso anterior mediante una graficadora.
i) f (x) = 3x + 5
Respuesta: decreciente en todas partes.
iii) f (x) = x2 + 6x - 11
Respuesta: decreciente en ( - ^ , -3 ), creciente en (-3 , + ^).
iv) f (x) = 5 + 8x - x2
Respuesta: creciente en ( - ^ , 4), decreciente en (4, + ^).
f (x) = V 4 - x 2
Respuesta: creciente en (-2 , 0), decreciente en (0, 2).
vi) f (x) = |x - 2 | + 3
Respuesta: decreciente en ( - ^ , 2), creciente en (2, + ^).
vii) f (x) = x 2 - 4
Respuesta: decreciente en ( - ^ , -2 ), (-2, 2), (2, + ^ ); nunca creciente.
( c g ) Utilice una graficadora para estimar los intervalos en los q u ef(x ) = x5 + 2x3 - 6x + 1 es creciente y los intervalos en los que es decreciente.
25. Para las funciones siguientes determine si es aplicable el teorema de Rolle. Si lo es, halle los valores anunciados. a) f (x) = x3/4 - 2 en [-3, 3]
Respuesta: No; no diferenciable en x = 0.
b) f (x) = |x2 - 4| en [0, 8]
Respuesta: No; no diferenciable en x = 2.
c) f(x ) = |x2 - 4| en [0, 1]
Respuesta: N o .f(0 ) ^ f(1 ).
d)
Respuesta: Sí. x0 = 5 - Vó .
f (x) = x2 - - x5- 4 en [-1, 4]
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Teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes
ii) f (x) = -7 x + 20
v)
24.
Respuesta: creciente en todas partes.
CAPÍTULO 13
23. a)
14 Valores máximos y mínimos
Números críticos U n núm ero x0 en el dom inio de f tal que f (x0) = 0 o f ( x 0) no esté definido se llam a núm ero crítico de f. R ecuérdese (teorem a 13.1) que si f tiene un extrem o relativo en x0 y f ( x 0 ) está definida, entonces f ( x 0) = 0 y, po r tanto, x0 es un núm ero crítico de f . Sin em bargo, observe que la condición f (x0) = 0 no garantiza que f tenga un extrem o relativo en x0. Por ejem plo, si f (x) = x3, entonces f (x) = 3x2 y, p o r consiguiente, 0 es un núm ero crítico de f , pero f no tiene un m áxim o relativo n i un m ínim o relativo en 0 (fig. 5.5). EJEMPLO 14.1. a)
Sea f(x ) = 7x2 - 3x + 5. Entonces, f ( x ) = 14x - 3. Al igualar f ( x ) a cero, f ( x ) = 0, y resolver se llega a que el único número crítico de f es -¡j. Sea f(x ) = x3 - 2x2 + x + 1. Entonces, f ( x ) = 3x2 - 4x + 1. Al despejar f ( x ) = 0, se halla que los números críticos son 1 y 4-. 2 2 Sea f(x ) = x2/3. Entonces, f '(x) = 3 x~1/3 = 3^1^ . Como f (0) no está definida, 0 es el único número crítico de f.
b) c)
E s indispensable h allar algunas condiciones que perm itan concluir que una función f tiene un m áxim o o un m ínim o relativo en un núm ero crítico dado.
Criterio de la segunda derivada para extremos relativos Supóngase que f (x0) = 0 y que f ' ( x 0 ) existe. Luego, si i)
f ' ( x 0 ) < 0 , entonces f tiene un m áxim o relativo en x0
ii)
f ' ( x 0 ) > 0 , entonces f tiene un m ínim o relativo en x0
iii)
f ' ( x 0) =
0 , entonces se ignora qué p asa en x0.
E n el problem a 9 se proporciona una dem ostración. Para ver que el inciso iii) es válido se consideran tres funciones: f(x ) = x4, g(x) = - x 4 y h(x) = x3. C om o f (x) = 4x3, g'(x) = -4 x 3 y h'(x) = 3x2, 0 es un núm ero crítico de las tres funciones. C om o f ' ( x ) = 12x2, g "(x ) = -1 2 x 2 y h"(x) = 6x, la segunda derivada de las tres funciones es 0 en 0. Sin em bargo, f tiene un m ínim o relativo en 0, g tiene un m áxim o relativo en 0 y h no tiene un m áxim o ni un m ínim o relativo en 0 . EJEMPLO 14.2. a)
Considere la función f(x ) = 7x2 - 3x + 5 del ejemplo 1a). El único valor crítico fue 14. Como f ' ( x ) = 14, f X t f ) = 14 > 0. Entonces, el criterio de la segunda derivada dice que f tiene un mínimo relativo en -jj. b) Considere la función f(x) = x3 - 2x2 + x + 1 del ejemplo 1b). Observe que f ' ( x ) = 6x - 4. En los números críticos 1 y y, f" (1 ) = 2 > 0 y f ' ( 3 ) = 2 > 0. Por tanto, f tiene un mínimo relativo en 1 y un máximo relativo en 3 c) En el ejemplo 1c), f(x ) = x2/3 y f ( x ) = -f x~1/3. El único número crítico es 0, donde f no está definida. Por tanto, f " ( 0) no está definida y el criterio de la segunda derivada no es aplicable.
Si no se puede utilizar o resulta inconveniente el criterio de la segunda derivada, ya sea p orque la segunda derivada es 0 o porque no existe o es difícil de calcular, se pu ed e aplicar el criterio siguiente, sin perder de vista que f ( x ) es la pendiente de la tangente a la gráfica de f en x.
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-^ 105^ CAPÍTULO 14
Criterio de la primera derivada Supóngase que f ( x 0) = 0. C aso {+, -}
C aso { -, +} Si f es negativa en un intervalo abierto ju sto a la izquierda de x0, y positiva en un intervalo abierto ju sto a la derecha de x0, entonces f tiene un m ínim o relativo en x0 [fig. 14.1(b)]. C asos {+, +} y {-, -} Si f tiene el m ism o signo en intervalos abiertos ju sto a la izquierda y ju sto a la derecha de x0, entonces f no tiene un m áxim o ni un m ínim o relativo en x0 [fig. 14.1(c-d)]. P ara ver una dem ostración del criterio de la prim era derivada, repase el problem a 8.
x
x
(a)
()
x
x0 (d)
(c) Fig. 14.1
EJEMPLO 14.3. Considere tres funciones f(x ) = x4, g(x) = -x 4 y h(x) = x3, ya analizadas. En su número crítico 0, el criterio de la segunda derivada no resulta aplicable porque la segunda derivada es 0. Entonces, se intenta el criterio de la primera derivada. a)
f ( x ) = 4x3. A la izquierda de 0, x < 0, y así, f ( x ) < 0. A la derecha de 0, x > 0, por lo que f ( x ) > 0. Luego, se presenta el caso {-, +} y f debe tener un mínimo relativo en 0 . b) g'(x) = -4x3. A la izquierda de 0, x < 0, implica que g'(x) > 0. A la derecha de 0, x > 0, y entonces g'(x) < 0. Luego, aparece el caso {+, -} y g debe tener un máximo relativo en 0. c) h'(x) = 3x2. h'(x) > 0, a ambos lados de 0. Entonces, se tiene el caso {+, +} y h no presenta un máximo ni un mínimo relativo en 0. Existe un punto de inflexión en x = 0. Puede comprobar estos resultados en las gráficas de las funciones.
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Valores máximos y m ínim os
Si f es positiva en un intervalo abierto inm ediatam ente a la izquierda de x0, y negativa en un intervalo abierto ju sto a la derecha de x0, entonces f tiene un m áxim o relativo en x0 [fig. 14.1(a)].
CAPÍTULO 14
Valores m áxim os y m ínim os
Máximo y mínimo absolutos U n m áxim o absoluto de una función f en un conjunto S ocurre en x0 en S si f(x ) < f ( x 0) p ara toda x en S. Un m ínim o absoluto de una función f en un conjunto S ocurre en x0 en S si f (x) > f (x0) p ara toda x en S.
Método tabular para hallar el máximo y el mínimo absolutos S ea f continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). P or el teo rem a del valor extrem o, se sabe qu e f tiene un m áxim o y un m ínim o absolutos en [a, b]. A quí se proporciona un m étodo tabular p ara determ inar qué son y dónde ocurren (fig. 14.2). x
f (x)
c2
f (C1) f(c 2)
Cn a b
f (Cn) f (a) f (b)
c 1
Fig. 14.2 Prim ero se hallan los núm eros críticos (si los hay) c1, c2, . .. de f en (a, b). Segundo, se anotan estos núm eros en una tabla, ju n to con los puntos extrem os a y b del intervalo. Tercero, se calcula el valor de f p ara todos los núm eros de la tabla. Entonces: 1. 2.
E l valor m ás grande de estos valores es el m áxim o absoluto de f en [a, b]. E l valor m ás pequeño de estos valores es el m ínim o absoluto de f en [a, b].
EJEMPLO 14.4.
Halle el máximo y el mínimo absolutos de f(x ) = x3 - x2 - x + 2 en [0, 2].
f ( x ) = 3x2 - 2x - 1 = (3x + 1)(x - 1). Por tanto, los números críticos son x = - -3 y x = 1. El único número crítico en [0, 2] es 1. En la tabla de la figura 14.3 se observa que el valor máximo de f en [0, 2] es 4, el cual se alcanza en el punto extremo derecho 2, y el valor mínimo es 1, alcanzado en 1. x
f (x)
1 0 2
1 2 4
Fig. 14.3 E s evidente p or qué el m étodo funciona. P or el teorem a del valor extrem o, f alcanza valores m áxim os y m í nim os en el intervalo cerrado [a, b]. Si cualquiera de tales valores ocurre en un punto extrem o o term inal, ese valor aparecerá en la tabla, y com o en realidad es un m áxim o o un m ínim o, aparecerá com o el valor m ás grande o m ás pequeño. Si se asum e un m áxim o o un m ínim o en el punto x0 dentro del intervalo, f tiene un m áxim o o un m ínim o relativo en x0 y, según el teorem a 13.1, f ( x 0) = 0. A sí, x0 será un núm ero crítico y aparecerá en la tabla, de m anera que el valor m áxim o o m ínim o correspondiente f ( x 0) será el m ás grande o el m ás pequeño en la colum na de la derecha. Teorema 14.1. Supóngase que f es una función continua definida en un intervalo J. El intervalo J puede ser un intervalo finito o infinito. Si f tiene un extremo relativo único dentro de J, entonces ese extremo relativo también es un extremo absoluto en J . P ara explicar el porqué de lo anterior, observe la figura 14.4, donde se supone que f tiene un extrem o único, un m áxim o relativo en c. C onsidere cualquier otro núm ero d en J. L a gráfica se m ueve h acia abajo a am bos lados
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y
Fig. 14.4
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Localice los máximos o mínimos absolutos de las siguientes funciones en sus dominios: a) y = -x 2; b) y = (x - 3)2; c) y = V 25 - 4 X2 ; d) y = V X - 4 . a)
y = -x 2 tiene un máximo absoluto (que es 0), cuando x = 0, ya que y < 0 cuando x ^ 0. No tiene mínimo relativo, puesto que su rango es ( - ^ , 0). La gráfica es una parábola que se abre hacia abajo, con vértice en (0, 0). b) y = (x - 3)2 tiene un mínimo absoluto, 0, cuando x = 3, pues y > 0 cuando x ^ 3. No tiene máximo absoluto, pues su rango es (0, + ^ ). La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba, con vértice en (3, 0). c) y = V 25 - 4 x 2 tiene en 5 su máximo absoluto, cuando x = 0, ya que 25 - 4x2 < 25 cuando x ^ 0. 0 es su mínimo absoluto, cuando x = -f. La gráfica es la mitad superior de una elipse. d)
2.
y = V x - 4 muestra a 0 como su mínimo absoluto cuando x = 4. No tiene máximo absoluto. Su gráfica es la mitad superior de una parábola con vértice en (4 , 0) y x como su eje de simetría.
Sea f (x) = 3-x3 + -j x 2 - 6x + 8 . Halle a) los números críticos d e f; b) los puntos en los que f tiene un máximo o mínimo relativo; c) los intervalos en los que f es creciente o decreciente. a) f ( x ) = x2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2). Al despejarf ( x ) = 0 se obtienen los números críticos -3 y 2. b) f" (x ) = 2x + 1. L u e g o ,f'(-3 ) = -5 < 0 y f '( 2 ) = 5. Así, por el criterio de la segunda derivada,f tiene un máximo relativo en x = -3 , donde f ( - 3 ) = 4p Por el criterio de la segunda derivada, f tiene un mínimo relativo en x = 2, donde f (2) = -3. c) Considere f ( x ) = (x + 3)(x - 2). Cuando x > 2, f ( x ) > 0. Para -3 < x < 2, f ( x ) < 0. Para x < -3 , f ( x ) > 0. Así, por el teorema 13.7, f es creciente para x < -3 y 2 < x, y decreciente para -3 < x < 2. En la figura 14.5 se muestra un dibujo de parte de la gráfica de f. Observe que f no tiene máximo ni mínimo absolutos.
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Valores máximos y m ínim os
de c. D e esta m anera, si f( d ) fuera m ayor q u e f(c ), entonces, p o r el teorem a del valor extrem o p ara el intervalo cerrado con puntos extrem os c y d, f tendría un m ínim o absoluto en algún punto u entre c y d. (u po d ría no ser igual a c o a d.) Por consiguiente, f tendría un m ínim o relativo en u, lo que contradiría la hipótesis de que f tiene un extrem o relativo sólo en c. Es posible am pliar este argum ento al caso en el que f tiene un m ínim o relativo en c aplicando el resultado que se acaba de obtener p ara -f.
CAPÍTULO 14
-----4107^
CAPÍTULO 14
Q oak -
Valores m áxim os y m ínim os
y
x
3.
Sea f( x ) = x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4. H alle a) los núm eros críticos d e f; b) los puntos en los que f tiene un extrem o relativo; c) los intervalos en los que f es creciente o decreciente. a)
Sea f (x) = 4x3 + 6x2 - 6x - 4. Es claro que x = 1 es un cero de f (x). A l dividir f (x) entre x - 1 se obtiene 4x2 + 10x + 4, que se factoriza 2(2x2 + 5x + 2) = 2(2x + 1)(x + 2). A sí, f (x) = 2(x - 1)(2x + 1)(x + 2), y los núm eros críticos son 1, - -y, y -2 .
b)
f " ( x ) = 12x2 + 12x - 6 = 6(2x2 + 2x - 1). M ediante el criterio de la segunda derivada, se h alla i) en x = 1, f " ( 1 ) = 18 > 0, y existe un m ínim o relativo; ii) en x = - -1, f "(--1 ) = - 9 < 0 , de m anera que hay un m áxim o relativo; iii) en x = - 2 , f " ( - 2 ) = 18 > 0, que señala un m ínim o relativo.
c)
f ( x ) > 0 cuando x > 1, f ( x ) < 0 cuando - -j < x < 1, f ( x ) > 0 cuando - 2 < x < - -2, y f ( x ) < 0 cuando x < - 2 . Por tanto, f es creciente cuando x > 1, o bien, - 2 < x < - -j, y d ecreciente cuando - -j < x < 1 o x < -2 . L a gráfica aparece en la figura 14.6.
y
x
4.
A nalice los extrem os relativos de f (x) =
^ ^ y h alle los intervalos en los que f es creciente o decreciente.
f( x ) = (x - 2)-1, de m anera que f ( x ) = -( x - 2)-2 = - (x _12)2. E ntonces, f nunca es 0 y el único núm ero donde f no está definida es 2, que no se en cuentra en el dom inio de f . P or tanto, f no tiene núm eros críticos. A sí, f no tiene extrem os relativos. O bserve q u e f (x) < 0 p ara x ^ 2. L uego, f es decreciente para x < 2 y p ara x > 2. E xiste una d iscontinuidad no rem ovible en x = 2. L a gráfica se m uestra en la figura 14.7.
y
Fig. 1 4.7
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5.
L ocalice los extrem os relativos de f(x ) = 2 + x2/3 y los intervalos en los que f es creciente o decreciente.
y
6.
U tilice el criterio de la segunda derivada p ara analizar los extrem os relativos de las funciones siguientes: a) f (x) = x(12 - 2x)2; b) f( x ) = x 2 + ^ a)
f ( x ) = x(2)(12 - 2 x )(-2 ) + (12 - 2x)2 = (12 - 2x)(12 - 6x) = 12(x - 6)(x - 2). E ntonces, 6 y 2 son los núm eros críticos. f " ( x ) = 12(2x - 8) = 24(x - 4). L uego, f " ( 6 ) = 48 > 0, y f " ( 2 ) = - 4 8 < 0. Por tanto, f tiene un m ínim o relativo en x = 6 y un m áxim o relativo en x = 2.
b)
f '( x) = 2 x -
xp0 = 2 1x x 2125 J. E ntonces, el único núm ero crítico es 5 (donde x3 - 125 = 0). f "(x) = 2 +
500/x3. C om o f ' ( 5 ) = 6 > 0, f tiene un m ínim o relativo en x = 5.
7.
D eterm ine los extrem os relativos de f (x) = (x - 2) 2/3 2 f '( x) = 3 x — 2 )2 3 . A quí, 2 es el único núm ero crítico. C om o f (2) no está d e fin id a ,f" (2 ) no estará definida. E ntonces, debe in tentarse con el criterio de la p rim era derivada. Para x < 2, f (x) < 0, y para x > 2, f (x) > 0. A sí, se tiene el caso { -, +} del criterio de la p rim era derivada, y f tiene un m ínim o relativo en x = 2.
8.
D em uestre el criterio de la p rim era derivada. S e a f (x0) = 0. C onsidérese el caso {+, -} : si f es positiva en un intervalo abierto inm ediatam ente a la izquierda de x 0 y negativa en un intervalo abierto inm ediatam ente a la derecha de x 0, entonces f tiene un m áxim o relativo en x 0. El teorem a 13.8 p erm ite observar que f es positiva en un intervalo abierto ju sto a la izquierda de x0, f es creciente en ese intervalo, y que f es negativa en un intervalo abierto ju sto a la d erecha de x0, f es d ecreciente en ese intervalo. P or tanto, f tiene un m áxim o relativo en x0. El caso { -, +} p rocede del caso {+, - } aplicado a -f. E n el caso {+, +}, f será creciente en un intervalo alrededor de x0, y en el caso { -, -} f será decreciente en un intervalo alrededor de x0. E ntonces, en am bos casos f no tiene m áxim o ni m ínim o relativos en x0.
9.
D em uestre el criterio de la segunda derivada: si f( x ) es diferenciable en un intervalo abierto que contiene un valor crítico x0 de f , y f ' ( x 0) existe y f ' ( x 0) es positiva (negativa), entonces f tiene un m ínim o (m áxim o) relativo en x 0. Sea f "(x 0) > 0. E ntonces, p o r el teorem a 13.8, f es creciente en x0. C om o f ( x 0) = 0, esto im plica que f es negativa cuando está p róxim a y a la izquierda de x0, y f es positiva cuando está p róxim a y a la derecha de x 0. En consecuencia, se tiene el caso { -, +} del criterio de la p rim era derivada y, p o r tanto, f tiene un m ínim o relativo en x0. E n la situación opuesta, donde f ' ( x 0) < 0, el resultado que acaba de com probar se aplica a la función g(x) = -f(x ). A sí, g tiene un m ínim o relativo en x0, y, p or consiguiente, f tiene un m áxim o relativo en x0.
10. E ntre los núm eros reales positivos u y v cuya sum a resu lta en 50, h alle la selección de u y de v que haga su producto P lo m ás grande posible. P = u(50 - u). A quí, u es cualquier núm ero positivo m enor que 50. Pero tam bién se puede perm itir que u sea 0 o 50, ya que en tales casos, P = 0 que, con certeza, no será el valor m ás grande posible. E ntonces, P es
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Valores máximos y m ínim os
f '( x ) = 2 x-1/3 = -3X03 ■E ntonces, x = 0 es un núm ero crítico, ya que f (0) no está definida (pero 0 se halla en el dom inio d e f ) . O bserve q u e f (x) tiende a ^ cuando x se aproxim a a 0. Si x < 0 ,f (x) es negativa, p o r lo que f es decreciente. C uando x > 0, f (x) es positiva y, p o r tanto, f es creciente. L a gráfica se p resen ta en la figura 14.8. f tiene un m ínim o absoluto en x = 0.
CAPÍTULO 14
------------- 4 109^
CAPÍTULO 14
Z 110+
Valores m áxim os y m ínim os
una función continua u(50 - u), definida en [0, 50]. P = 50u - u2 tam bién es siem pre diferenciable, y dP /du = 50 - 2u. dP/du = 0 resu lta en un núm ero crítico único u = 25. P or el m étodo tabular (figura 14.9), se observa que el valor m áxim o de P es 625, cuando u = 25 (y, p o r tanto, v = 50 - u = 25).
u
P
25 0 50
625 0 0
Fig. 14.9 11. D ivida el núm ero 120 en dos partes tales que el producto P de una p arte y el cuadrado de la otra constituya un m áxim o. Sea x una parte y 120 - x la otra. E ntonces, P = (120 - x)x2 y 0 < x < 120. C om o dP /d x = 3x(80 - x), los núm eros críticos son 0 y 80. C on el m étodo tabular se h alla P (0 ) = 0, P (8 0 ) = 256 000 y P (120) = 0. P or tanto, el valor m áxim o ocurre cuando x = 80, y las partes requeridas son 80 y 40.
12. U na hoja de papel p ara un cartel debe tener 18 pies cuadrados de área. Los m árgenes superior e inferior han de ser de 9 pulgadas, y los m árgenes de los lados, de 6 pulgadas. ¿C uáles deberían ser las dim ensiones de la hoja para m axim izar el área im presa? Sea x una dim ensión m edida en pies. E ntonces 18/x es la otra dim ensión (fig. 14.10). L a única restricción en x es que x > 0. El área im presa en pies cuadrados es A = (x - 1) - f ) y dx = 18 - 3
3/4
18 /x
1/2
x Fig. 1 4 .1 0 A l resolver dA /d x = 0 se obtiene el núm ero crítico x = 2>/3 . C om o d 2A /d x 2 = -3 6 /x 3 es negativa cuando x = 2>/3 , el criterio de la segunda derivada indica que A tiene un m áxim o relativo en x = 2>/3 . C om o 2^/3 es el único núm ero crítico en el intervalo (0, + ^ ) , el teorem a 14.1 establece que A tiene un m áxim o absoluto en x = 2>/3 . E ntonces, un lado m ide 2>/3 pies y el otro m ide —1V = 3 v 3 pies. (2V3) ’ r
13. A las 9
a m , el barco B se encuentra 65 m illas al este del barco A. El barco B navega hacia el O este a 10 m illas p o r hora y A hacia el Sur a 15 m illas p o r hora. Si continúan en sus cursos respectivos, ¿cuándo estarán más cerca el uno del otro y cuán cerca (fig. 14.11)? Sean A0 y B 0 las posiciones de los barcos a las 9 a m , y A t y B t sus posiciones t horas m ás tarde. L a distancia recorrida en t horas p or A es de 15t m illas, y p o r B, de 10t m illas. L a distancia D entre los barcos está determ inada p or D 2 = (15t)2 + (65 - 10t)2. Entonces,
2 D dDD = 2(15t)(15) + 2(65 - 10t)(-1 0 ); p or tanto, d - = 325tD 65° .
Fig. 1 4 .1 1
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14. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal cuya base circular tenga una capacidad de 64 pulgadas cúbicas. Halle sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor sea a) una lata abierta y b) una lata cerrada. Sean r y h el radio de la base y la altura en pulgadas, respectivamente, A la cantidad de metal y V el volumen del contenedor. a)
Aquí V = nr2h = 64, y A = 2nrh + nr2. Para expresar A como función de una variable se despeja h en la primera relación (porque es más fácil) y se sustituye en la segunda, se obtiene ^ + nr2= 1 a + nr2 n r2 r
b)
y f - — i # + 2*r . l l l í z 6 !
:
dr
r 2r ¿
y el número crítico es r = 4 / ^ ñ . Entonces, h = 6 4 / n r 2 = 4 / -^n. Luego, r = h = 4 / ^ ñ pulgadas. Ahora dA / d r > 0 a la derecha del número crítico, y dA / d r < 0 a la izquierda de éste. Así, por el criterio de la primera derivada se tiene un mínimo relativo. Como no hay otro número crítico, dicho mínimo relativo es un mínimo absoluto. Aquí de nuevo V = n r 2 h = 64, pero A = 2nrh + 2 KT2 = 2rtr(64/rtr2) + 2 KT2 = 128/r + 2ftr2. Entonces, H A — 138 + 4 * r . 4 (” -*2- 32) dr r2 r2
y el número crítico es r = 2 -^4 / n . Luego, h = 6 4 /n r 2 = 4 -^4 / n . Por consiguiente, h = 2 r = 4 ^ 4 /n pulgadas. Como en el inciso a ), es posible demostrar que se ha hallado un mínimo absoluto. 15. El costo total de producir x radios por día es S(^ x 2 + 35x + 25) y el precio por unidad para la venta es $(50 - 1 x). a) ¿Cuál debería ser la producción diaria para obtener una utilidad total máxima? b) M uestre que el costo de producir un radio es un mínimo relativo de esa producción. a) La utilidad sobre la venta de x radios por día es P = x(50 - 2 x) - ( j x 2 + 35x + 25) . Entonces, dP/dx = 15 3x/2; al resolver dP/dx = 0 se obtiene el número crítico x = 10. Como d 2P /dx2 = - f < 0 , el criterio de la segunda derivada muestra que se ha hallado un máximo relativo. Como x = 10 es el único número crítico, el máximo relativo es un máximo absoluto. Luego, la producción diaria que maximiza la utilidad es de 10 radios por día. b)
El costo de producir un radio es C = 4 x + 35x + 25 = 1 x + 35 + — . Entonces, = 1 - 2 5 ; al resolver ^ x 4 x dx 4 x2 dC/dx = 0 se obtiene el número crítico x = 10. Como d 2 C/dx 2 = 50/x3 > 0 cuando x = 10, se ha hallado un mínimo relativo. Puesto que hay sólo un número crítico, éste debe ser un mínimo absoluto.
16. El valor del combustible que consume una locomotora es proporcional al cuadrado de la velocidad y cuesta $25 por hora para una velocidad de 25 millas por hora (mi/h). Otros costos ascienden a $100 por hora, sin tener en cuenta la velocidad. Halle la velocidad que minimiza el costo por milla. Sea v la velocidad requerida y C el costo total por milla. El costo del combustible por hora es kv2, donde k es una constante por determinar. Cuando v = 25 mi/h, kv 2 = 625k = 25; por tanto, k = 1/25. C=
costo en $/h = v 2/25 + 100 = v + 100 velocidad en mi/h v 25 v '
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Valores máximos y m ínim os
Al resolver dD /dt = 0 se obtiene el número crítico t = 2. Como D > 0 y 325t - 650 es negativo a la izquierda de 2 y positivo a la derecha de 2, el caso (-, +) del criterio de la primera derivada indica que t = 2 produce un mínimo relativo para D . Como t = 2 es el único número crítico, el teorema 14.1 implica que existe un mínimo absoluto en t = 2. Tomando t = 2 en D2 = (15t)2 + (65 - 10t)2 da D = 15^13 millas. Por tanto, los barcos están más cerca a las 11 a m , a 15VT3 millas de distancia uno del otro.
CAPÍTULO 14
----- ^
CAPÍTULO 14
Valores m áxim os y m ínim os
Entonces, dC —1 - 100 —(v - 50)(v + 50) dv 25 v2 25v2 ' Puesto que v > 0, el único número crítico relevante es v = 50. Como d 2C/dv2 = 200/v3 > 0 cuando v = 50, el criterio de la segunda derivada indica que C tiene un mínimo relativo en v = 50. Como v = 50 es el único número crítico en (0, + ^ ), el teorema 14.1 establece que C tiene un mínimo absoluto en v = 50. Así, la velocidad más económica es 50 millas por hora. 17. Un hombre en un bote de remos situado en P (fig. 14.12) a 5 millas en línea recta del punto A más cercano a una costa, desea llegar al punto B, a 6 millas de A a lo largo de la costa, en el tiempo más corto. ¿Dónde debería desembarcar si puede remar a 2 millas por hora y caminar a 4 millas por hora?
Fig. 1 4.12 Sea C el punto entre A y B donde el hombre desembarca, y sea A C = x. La distancia remada es PC = \ l 25 + x 2 y el tiempo necesario para remar es tl dapfdif = ^2S2+x . La distancia caminada es CB = 6 - x, y el tiempo que se necesita para caminar es t2 = (6 - x)/4. Por tanto, el tiempo total necesario equivale a t —tj + t2 —
25 + x • 2
+ 6 A x . Entonces, 4 ^ — 4
dx
,—x 2yf25
x2
El número crítico obtenido de la igualdad 2x - >/25 + x 2 —0 es x —4>/3 ~ 2.89. Luego, debería desembarcar en un punto aproximado de 2.89 millas de A hacia B. (¿Cómo se sabe que este punto da el tiempo más corto?. ') 18. Un campo rectangular, uno de cuyos bordes limita un río que corre en línea recta, será cercado con alambre. Si no se necesita cercar a lo largo del río, muestra la cantidad mínima de alambre que se precisaría si la longitud del campo es dos veces su ancho. Sea x la longitud del campo y y su ancho. El área del campo es A = xy. El alambre necesario es F = x + 2y, y dF/dx = 1 + 2 dy/dx. Cuando dF/dx = 0, dy/dx —- 1 También, dA/dx = 0 = y + x dy/dx. Entonces, y - 1 x —0 y x = 2y, como se requiere. Para ver que se ha minimizado F, observe que dy/dx = - y 2/A y M —2 —2 í - 2 1 —- 4 y ( - 1 ) —2 y > 0 cuando ^ —- , dx2 dx2 ^ A dx 1 A\ 2/ Adx 2 Ahora use el criterio de la segunda derivada y la unicidad del número crítico. 19. Halle las dimensiones de un cono circular recto de volumen mínimo V que puede circunscribirse en una esfera cuyo radio es 8 pulgadas. Sea x el radio de la base del cono, y y + 8 la altura de este último (fig. 14.13). De los triángulos rectángulos semejantes AB C y AED se tiene que x — y+8 8 —V 7 T 6 Í
y por tanto x2 — 64( y + 8) 2 ^ por ^ x — y2 - 64 .
También n x 2(y + 8) — 64n(y + 8)2 dV — 64n(y + 8)(y - 24) 3 3(y - 8) . Entonces, dy
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3(y - 8)2
.
^ 113^ CAPÍTULO 14
A
Valores máximos y m ínim os
El núm ero crítico relevante es y = 24, de m anera que la altura del cono es y + 8 = 32 pulgadas y el radio de la b ase es 8 \/2 pulgadas. (¿C óm o se sabe que el volum en se ha m inim izado?)
20. H alle las dim ensiones del rectángulo de área m áxim a A que p uede inscribirse en la p arte de la paráb o la y 2 = 4 p x que interseca la recta x = a. Sea P B B 'P ' de la figura 14.14 el rectángulo, y (x, y) las coordenadas de P . E ntonces,
y
Fig. 1 4.14
A = 2 y ( a - x ) = 2 y [ a - 4 p ) = 2ay -
y % = 2 a - | p r-
A l resolver dA/dy = 0 se obtiene el núm ero crítico y = -,j4ap /3 . L as dim ensiones del rectángulo son 2y = ^ 3 ap y a - x = a - (y 2/4p) = 2a/3. C om o d 2A /dy 2 = -3 y /p < 0, el criterio de la segunda derivada y la unicid ad del núm ero crítico garantizan que se ha hallado el área m áxim a.
21. H alle la altura del cilindro circular recto de volum en m áxim o V que p uede inscribirse en una esfera de radio R (fig. 14.15).
Fig. 1 4 .15
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CAPÍTULO 14
Valores m áxim os y m ínim os
Sea r el radio de la base y 2h la altura del cilindro. Según la geometría, V = 2 n r 2h y r 2 + h 2 = R 2 . Entonces, j V = 2 n ( r 2 j h + 2 rh )
y 2r + 2 k j h = 0
dV De la última relación jhh = - r , entonces,= 2n\ —-V- + 2rh I. Cuando V es un máximo, dr h r2 = 2h2.
dV = 0, del cual dr
Así, R2 = r2 + h2 = 2h2 + h2, de manera que h = R A/3 y la altura del cilindro es 2 h = 2 R />/3 . El criterio de la segunda derivada puede utilizarse para verificar que se ha hallado un valor máximo de V. 22. La pared de un edificio se apuntalará mediante una viga apoyada sobre una pared paralela de 10 pies de altura, situada a 8 pies del edificio. Halle la longitud L de la viga más corta que puede utilizarse. Observe la figura 14.16. Sea x la distancia del pie de la viga al pie de la pared paralela, y sea y la distancia (en pies) del piso a la parte superior de la viga. Entonces, L = ^J(x + 8)2 + y2 .
y
Fig. 1 4 .1 6 También, de triángulos semejantes, 1 0 = x + 8 y, por tanto, y = 10(x + 8)
por consiguiente,
L = yj (x + 8)2 + 100(x + 8)2 = ^ x ^ V x 2 +100 dL = x[(x2 + 100)1/2 + x(x + 8)(x2 + 100)-1/2] - (x + 8)(x2 + 100)1/2 = x2
dx
x3 - 800 x 2V x 2 + 100
El número crítico relevante es x = 2-^100. La longitud de la viga más corta es 23^3°0 + 8 ^ 1 0 000 + 100 = (^100 + 4 )3/2 pies El criterio de la primera derivada y el teorema 14.1 garantizan que en realidad se ha hallado la longitud más corta.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 23. Analice cada uno de los valores máximos y mínimos relativos mediante el criterio de la primera derivada. a ) f (x) = x2 + 2x - 3 b ) f (x) = 3 + 2x + x2 c ) f (x) = x3 + 2x2 - 4x - 8 d) f (x) = x3 - 6x2 + 9x - 8 e)
f (x )
= (2 - x ) 3
Respuesta: x = -1 produce el mínimo relativo -4 . Respuesta: x = 1 produce el máximo relativo 4. Respuesta: x = -3- produce el mínimo relativo - 45T6; x = -2 produce el máximo relativo 0 . Respuesta: x = 1 produce el máximo relativo -4 ; x = 3 produce el mínimo relativo - 8. Respuesta: ni máximo ni mínimo relativos.
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-^ 115^
g) f (x) = (x - 4)4(x + 3)3
i) f (x) = (x - 1)1/3(x + 2)2/3
24. Analice las funciones del problema 23a-f) para determinar, mediante el criterio de la segunda derivada, valores máximos o mínimos relativos.
25. Demuestre que y = (a¡ - x)2 + (a2 - x)2 + ... + (an - x)2 tiene un mínimo absoluto cuando x = ai + a
26. Analice los valores máximos y mínimos absolutos en el intervalo dado: a) b) c) d)
Respuesta: Respuesta: Respuesta: Respuesta:
y = -x 2 en - 2 < x < 2 y = (x - 3)2 en 0 < x < 4 y = V 25 - 4 x 2 en - 2 < x < 2 y = V x —4 en 4 < x < 29
máximo máximo máximo máximo
(= (= (= (=
0) 9) 5) 5)
en x en x en x en x
= = = =
0. 0; mínimo (= 0) en x = 3. 0; mínimo (= 3) en x = ±2. 29; mínimo (= 0) en x = 4.
27. La suma de dos números positivos es 20. Halle los números si: a) su producto es un máximo; b) la suma de sus cuadrados es un mínimo; c) el producto del cuadrado de uno y el cubo del otro es un máximo. Respuestas:
a) 10, 10; b) 10, 10; c) 8, 12.
28. El producto de dos números positivos es 16. Halle los números cuando a) su suma es mínima; b) la suma de uno y el cuadrado del otro es mínima. Respuestas:
a) 4, 4; b) 8, 2.
29. Se va a construir una caja rectangular abierta con extremos cuadrados para que tenga una capacidad de 6400 pies cúbicos, a un costo de $0.75/pie cuadrado para la base y $0.25/pie cuadrado para los lados. Halle las dimensiones más económicas. Respuesta:
20 x 20 x 16.
30. Una pared de 8 pies de altura dista 3 f pies de una casa. Halle la escalera más corta que llegue del piso a la casa cuando se inclina sobre la pared. Respuesta: 15 -5 pies. 8 31. Una compañía ofrece el siguiente plan de cargos: $30 por mil pedidos de 50 000 o menos, con un descuento de 37-jc por cada millar que esté por encima de los 50 000. Halle el tamaño del pedido que consiga que los recibos de la compañía sean un máximo. Respuesta :
65 000.
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Valores máximos y m ínim os
h) f (x) = x3 + 48/x
CAPÍTULO 14
Respuesta: x = 0 produce el máximo relativo 16; x = ±2 produce el mínimo relativo 0 . Respuesta: x = 0 produce el máximo relativo 6912; x = 4 produce el mínimo relativo 0; x = -3 produce nada. Respuesta: x = - 2 produce el máximo relativo -3 2 ; x = 2 produce el mínimo relativo 32. Respuesta: x = - 2 produce el máximo relativo 0 ; x = 0 produce el mínimo relativo - ^ 4 ; x = 1 produce nada.
4)2 (x2
= ()x f(
f)
CAPÍTULO 14
Valores m áxim os y m ínim os
32. Halle una ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 4) que corta, en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima. Respuesta:
4x + 3y - 24 = 0.
33. ¿En qué punto del primer cuadrante de la parábola y = 4 - x2 la recta tangente, junto con los ejes coordenados, determinan un triángulo de área mínima? Respuesta:
( 2>/3/3, 8/3).
34. Halle la distancia mínima del punto (4, 2) a la parábola y2 = 8x. Respuesta:
2y[2 .
35. a) Analice los valores máximos y mínimos de y en 2x2 - 4xy + 3y2 - 8x + 8y - 1 = 0. b) respuesta para a) con una graficadora. Respuesta:
36.
Verifique la
a) máximo en (5, 3); b) mínimo en (-1 , -3).
( c g ) Halle el máximo y el mínimo absolutos d ef(x ) = x5 - 3x2 - 8x - 3 en [-1, 2] con precisión de tres cifras decimales.
Respuesta:
37.
(c g )
máximo 1.191 en x = -0.866; mínimo -14.786 en x = 1.338.
Una corriente eléctrica, cuando fluye en una bobina circular de radio r, ejerce una fuerza F = (x2k ry 2 en un imán pequeño ubicado a una distancia x sobre el centro de la bobina. Demuestre que F es máxima cuando x = 2 r.
38. El trabajo realizado por una célula voltaica de fuerza electromotriz constante E y resistencia interna constante r al pasar una corriente estacionaria por una resistencia externa R es proporcional a E 2R /(r + R)2. Demuestre que el trabajo realizado es máximo cuando R = r.
39. Una recta tangente se dibuja a la elipse -fj + yg- = 1, de manera que la parte intersecada por los ejes coordenados es un mínimo. Demuestre que su longitud es 9.
40. Un rectángulo está inscrito en la elipse 400 + 22s = 1 con sus lados paralelos a los ejes de la elipse. Halle las dimensiones del rectángulo de a) área máxima y b) perímetro máximo que pueda inscribirse de esta manera. Respuestas:
41.
a) 2 0 ^ 2 x 15^2 ; b) 32 x 18.
Halle el radio R del cono circular recto de volumen máximo que pueda inscribirse en una esfera de radio r. (Recuérdese: el volumen de un cono circular recto de radio R y altura h es -j n R 2 h .) Respuesta:
R = § r~j2 .
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43. Demuestre que una carpa cónica de volumen dado necesitará la cantidad mínima de material cuando su altura h es y[2 por el radio r de la base. [Advierta primero que el área de la superficie A = n(r 2 + h2).]
44. Demuestre que el triángulo equilátero de altura 3 r es el triángulo isósceles de área mínima que se circunscribe en un círculo de radio r.
45. Determine las dimensiones de un cilindro circular recto de máxima área de superficie lateral que puede inscribirse en una esfera de radio 8. Respuesta:
h = 2r = 8 V 2 .
46. Investigue la posibilidad de inscribir un cilindro circular recto de área total máxima (incluidos su pico y su base) en un cono circular recto de radio r y altura h .
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Valores máximos y m ínim os
Respuestas:a) R = -| r ; b) R = -2r .
CAPÍTULO 14
42. Un cilindro circular recto está inscrito en un cono circular recto de radio r. Halle el radio R del cilindro si a) su volumen es un máximo; b) su área lateral es un máximo. (Recuérdese: el volumen de un cilindro circular recto de radio R y altura h es nR 2h y su área lateral es 2nRh.)
Trazo de curvas. Concavidad. Simetría
Concavidad D esde un punto de vista intuitivo, el arco de una curva es cóncavo hacia arriba si tiene la form a de una taza [fig. 15.1a)] y que es cóncavo hacia abajo si tiene la form a de una cúpula [fig. 15.1b)]. Sin em bargo, es posible una definición m ás precisa. U n arco es cóncavo h acia arriba si p ara cada x0, el arco queda p o r encim a de la tangente en x0 en algún intervalo abierto alrededor de x0. D e igual m odo, un arco es cóncavo h acia abajo si p ara cada x0, el arco queda p or debajo de la tangente en x0 en algún intervalo abierto alrededor de x0. L a m ayor parte de las curvas son com binaciones de cóncava h acia arriba y cóncava h acia abajo. Por ejem plo, en la figura 15.1c) la curva es cóncava h acia abajo de A a B y de C a D, pero cóncava h acia arriba de B a C.
D
(a) Cóncava hacia arriba
(b) Cóncava hacia abajo
(c)
Fig. 15.1 L a segunda derivada de f indica la concavidad de la gráfica de f Teorema 15.1. a) b)
Si f ' ( x ) > 0 p ara x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba para a < x < b. Si f " ( x ) < 0 p ara x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo p ara a < x < b.
R epase la dem ostración en el problem a 17. EJEMPLO 15.1. a)
Sea f( x ) = x 2. E ntonces, f (x ) = 2x, f '( x ) = 2. C om o f '( x ) > 0 p ara toda x, la gráfica de f es siem pre cóncava hacia arriba. E sto se debe a que la gráfica señala una paráb o la que se abre hacia arriba.
b)
Sea f (x) = y = V 1 —x 2 . D e ahí que y 2 = 1 - x2, x 2 + y 2 = 1. E ntonces, la gráfica es la m itad superior del círculo unitario con centro en el origen. M ediante derivación im plícita se obtiene x + y y ' = 0 y, en consecuencia, 1 + y y " + (y ') 2 = 0. A sí, y " = -[1 + (y 0 2]/y. C om o y > 0 (excepto en x = 1), y " < 0. P or tanto, la gráfica siem pre es cóncava hacia abajo, es decir, que es lo que cabía esperar.
Puntos de inflexión U n punto de inflexión en una curva y = f (x ) es un punto en el que la concavidad cam bia, de m anera que la curva resulta cóncava hacia arriba en un lado y cóncava h acia abajo en el otro lado del punto. Entonces, si y " existe
[^118^ -------------
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en un intervalo abierto que contiene a x 0, entonces y " < 0 en un lado de x 0 y y " > 0 en el otro lado. P or ende, si y " es continua en x 0, entonces y " = 0 en x 0. E sto desem boca en el teorem a siguiente. Teorema 15.2.
Si la g ráfica de f tiene un punto de inflexión en x0 y f " existe en un intervalo abierto que contiene
EJEMPLO 15.2.
b)
c)
Sea f( x ) = x3. E ntonces, f ( x ) = 3x2, f ' ( x ) = 6x. A sí, f ' ( x ) < 0 para x < 0, y f ' ( x ) > 0 para x > 0. P or tanto, la gráfica de f tiene un punto de inflexión en x = 0 (fig. 5.5). O bserve que f ' ( 0 ) = 0, com o lo determ ina el teo rem a 15.2. Sea f( x ) = x4. E ntonces, f ( x ) = 4x3, y f ' ( x ) = 12x2. A l resolver f ' ( x ) = 0 resu lta x = 0. Sin em bargo, la gráfica de f no tiene un punto de inflexión en x = 0. Es cóncava hacia arriba en todos los puntos. C on este ejem plo se m uestra que f ' ( x 0) = 0 no im plica necesariam ente que hay un punto de inflexión en x 0. Sea f (x) = -j x 3 + -Jx 2 - 6 x + 8 . A l resolver f ' ( x ) = 2x + 1 = 0 se halla que la gráfica tiene un punto de in flexión en ( - 2 , tj- ) . O bserve que éste es en realid ad un punto de inflexión p orque f ' ( x ) < 0 p ara x < —J y f ' ( x ) > 0 p ara x > - -J (fig. 14.5).
Asíntotas verticales U na recta vertical x = x 0 tal que f (x) tiende a o a - ^ cuando x se aproxim a a x 0, desde la izquierda o desde la derecha, se denom ina asíntota vertical de la gráfica de f Si f(x ) tiene la form a g(x)/h(x), donde g y h son funciones continuas, entonces la gráfica de f tiene un a asíntota vertical x = x 0 para toda x 0 tal que h(x 0) = 0 (y g(x 0 ) * 0).
Asíntotas horizontales U na recta horizontal y = y 0 se denom ina asíntota horizontal de la gráfica de f si lím f (x) = y 0 o lím f (x) = y0. Así, la gráfica se aproxim a a una asíntota horizontal cuando se m ueve cada vez m ás a la izquierda o a la derecha. EJEMPLO 15.3. a)
Sea f( x ) = 1 • E ntonces, la gráfica de f tiene una asíntota vertical en x = 0, a la que se aproxim a tanto p or la derecha com o p o r la izquierda. L a recta y = 0 (o sea, el eje x ) es una asíntota horizontal tanto en la izquierda com o en la derecha (fig. 5.21).
b)
S e a f(x ) = x—j. E n consecuencia, x = 2 es una asíntota vertical de la gráfica d e f, a la que se aproxim a tanto desde la derecha com o desde la izquierda. L a recta y = 0 es una asíntota horizontal, a la cual se aproxim a tanto en la izquierda com o en la derecha (fig. 14.7).
c)
Sea f( x ) = (x -x1)(x2+3) . E ntonces, la gráfica de f tiene asíntotas verticales en x = 1 y x = -3 . L a recta y = 0 es una asíntota horizontal, a la que se aproxim a tanto en la izquierda com o en la derecha.
d)
S e a f(x ) = x—f . P or consiguiente, la gráfica de f tiene una asíntota vertical en x = 3, a la que se aproxim a desde la izquierda y desde la derecha. L a recta y = 1 es una asíntota horizontal, a la cual se aproxim a tanto p o r la iz quierda com o p or la derecha.
Simetría D os puntos P y Q son sim étricos respecto a una recta l si l es la m ediatriz del segm ento de recta que une P y Q [fig. 15.2a)]. D os puntos P y Q son sim étricos respecto a un p unto B si B es el punto m edio del segm ento que une P y Q. U na curva es sim étrica respecto a una recta l (respectivam ente, al punto B) si, p ara cualquier punto P en la curva, existe otro punto Q en la curva tal que P y Q sean sim étricos respecto a l (respectivam ente, al punto B ) [fig. 15.2b-c)]. Si una curva es sim étrica respecto a una recta l, entonces l se denom ina un eje de sim etría de la curva. Por ejem plo, toda recta que pase por el centro de un círculo es un eje de sim etría de éste.
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Trazo de curvas. Concavidad. Sim etría
a x0 y f " es continua en x0, entonces f ' ( x 0) = 0.
a)
CAPÍTULO 15
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CAPÍTULO 15
Trazo de curvas. Concavidad. S im etría
Q
p\
(a)
Q
(b)
(c)
Fig. 15.2
(-x, y)
t (x, y) 1 1 1 1
(x, y)
,(x, y)
1 1 i( x , -y)
(a)
(b)
^
(-x -y)
(c)
Fig. 15.3 L os puntos (x, y) y (-x, y) son sim étricos respecto al eje y,y los puntos (x, y) y (x, -y ) son sim étricos respecto al eje x. L os puntos (x, y) y (-x, -y ) son sim étricos respecto al origen [fig. 15.3a-c)]. C onsidérese la gráfica de una ecuación F (x, y) = 0. Entonces: i) ii) iii)
L a gráfica es sim étrica respecto al eje y si y sólo si F (x, y) = 0 im plica que F (-x , y) = 0. L a gráfica es sim étrica respecto al eje x si y sólo si F (x, y) = 0 im plica que F (x , - y) = 0. L a gráfica es sim étrica respecto al origen si y sólo si F (x, y) = 0 im plica que F (-x , -y ) = 0.
EJEMPLO 15.4. a) b) c)
L a parábola y = x2 es sim étrica al eje y. L a parábola x = y2 es sim étrica respecto al eje x. x 2 y2 x 2 y2 U n círculo x 2 + y2 = r 2, una elipse + ^ 2 = 1 y una hipérbola —2 ~ ^ 2 = 1 son sim étricas respecto al eje y, al eje x y al origen.
EJEMPLO 15.5. U n p u n to P (a, b) es sim étrico al p u n to Q (b, a) resp ecto a la recta y = x. P ara com probarlo, prim ero se observa que la recta P Q tiene p endiente - 1 . C om o la recta y = x tiene pen d ien te 1, la recta P Q es p erpen dicular a la recta y = x. A dem ás, el punto m edio del segm ento que une a P y a Q es ( ) , que está en la recta y = x. P or tanto, la recta y = x es la m ediatriz de dicho segm ento.
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Funciones inversa y simetría D os curvas C1 y C2 son sim étricas una con la otra respecto de una recta l si, p ara cualquier punto P en u na de las curvas, el punto Q que es sim étrico a P resp ecto a l se h alla en la o tra curva (es decir, si al “reflejar” una de las curvas en la recta l, el resultado es la otra curva).
Para verlo, sean (a, b) que estén en la gráfica de f . E ntonces, f( a ) = b. Por ta n to ,f -1(b) = a, o sea, (b, a) está en la gráfica d e f -1. E n el ejem plo 15.5, (a, b) y (b, a) son sim étricos respecto a la recta y = x. EJEMPLO 15.6. a) b)
S if(x ) = 2x, entonces f -1(x) = y x . Por tanto, las rectas y = 2x y y = -j x son sim étricas respecto a la recta y = x. Sea C 1 la paráb o la que es la gráfica de la ecuación y = x 2, y sea C 2 la paráb o la que es la gráfica de la ecuación x = y 2. E ntonces C 1 y C 2 son sim étricos respecto a la recta y = x, puesto que la ecuación x = y 2 proviene de la ecuación y = x 2 al in tercam biar x y y .
Funciones pares e impares U n a función f es p a r si p ara to d a x en su dom inio - x tam bién está en su d o m inio y f (-x ) = f (x ). A la una función im par si para toda x en su dom inio - x tam bién está en su dom inio y f ( - x ) = - f (x).
vez, f es
EJEMPLO 15.7. C ualquier polinom io de la form a 3x 6 - 8x 4 + 7, que supone sólo potencias pares de x, determ ina una función par. T odo polinom io, com o 5x 9 + 2x 5 - 4x 3 + 3x, que im plica sólo potencias im pares de x, determ ina una función im par. U na función f es par si y sólo si su gráfica es sim étrica respecto al eje y . D e hecho, supóngase que f es par y (x, y) está en su gráfica. Entonces, y = f(x ). L uego, y = f ( - x ) y, por consiguiente, (-x , y) está en la gráfica. Así, la gráfica es sim étrica respecto al eje y . L o contrario se deja com o p roblem a [el problem a 16a)]. U na función f es im par si y sólo si su gráfica es sim étrica respecto al origen. D e hecho, supóngase que f es im par y (x, y) está en su gráfica. A sí, y = f (x). Por tanto, - y = f (-x ), y p o r consiguiente, (-x , -y ) está en la gráfica. A sí, la gráfica es sim étrica respecto al origen. L o contrario se deja com o problem a [el problem a 16b)].
Sugerencias para trazar el gráfico de y = f (x) 1. C alcule y ' y, si es conveniente, y ". 2. U tilice y ' p ara hallar cualquier núm ero crítico (donde y ' = 0, o y ' no está definida y y está definida). D eterm ine si estos núm eros críticos producen un m áxim o o m ínim o relativos m ediante el criterio de la segunda o de la prim era derivada. 3. U tilice y ' p ara determ inar los intervalos en los que y es creciente (cuando y ' > 0) o decreciente (cuando y ' < 0). U tilice y " para determ inar dónde la gráfica es cóncava h acia arriba (cuando y " > 0) o cóncava h acia abajo (cuando y " < 0). V erifique los puntos donde y " = 0 p ara determ inar si son o no puntos de inflexión (si y " > 0 en un lado y y " < 0 en el otro lado del punto). 5. B usque las asíntotas verticales. Si y = ^ , existe un a asíntota vertical x = x0 si h(x0) = 0 y g(x0) ^ 0.
4.
6 . B usque las asíntotas horizontales. Si lím f ( x ) = y0, entonces y = y0 es un a asíntota horizontal a la dere cha. Si lím f (x) = y0, entonces y = y0 es una asíntota horizontal a la izquierda. 7. D eterm m e’el com portam iento de “al infinito” . Si lím f (x) = +°° (respectivam ente, - ^ ) , entonces la curva se m ueve hacia arriba (respectivam ente, h a c ia a b a jo ) sin lím ite a la derecha. D e igual form a, si lím f (x) = +°° (respectivam ente, - ^ ) , po r consiguiente, la curva se m ueve h acia arriba (respectivam ente,
x—^
8. 9.
hacia abajo), sin lím ite a la izquierda. H alle las intersecciones con el eje y (es decir, donde x = 0) y las intersecciones con el eje x (o sea, donde y = 0). Indique los puntos pico, donde y ' tiende a un valor desde la izquierda y a otro valor desde la derecha. U n ejem plo es el origen en la gráfica de y = Ixl.
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Trazo de curvas. Concavidad. Sim etría
Teorema 15.3. C onsidérese cualquier función f uno a uno y su función in v e rs a f -1. E ntonces, las gráficas de f y f -1 son sim étricas una con la otra respecto de la recta y = x.
CAPÍTULO 15
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CAPÍTULO 15
^ 122^ -
Trazo de curvas. Concavidad. S im etría
10. Indique toda cúspide, donde y ' tiende a desde am bos lados o donde y ' se aproxim a a - ^ desde am bos lados. U n ejem plo es el origen de la gráfica y = >/w . 11. Halle toda asíntota oblicua y = m x + b tal que lím (f (x) - (m x + b)) = 0 o lím (f (x) - (m x + b)) = 0. Una X— x—x asíntota oblicua es la que no es vertical ni horizontal.
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Halle la concavidad y los puntos de inflexión de y = 3 x - 10x3 - 12x2 + 12x - 7. Se tiene que y ' = 12x3 - 30x2 - 24x + 12 y " = 36x2 - 60x - 24 = 12(3x + 1)(x - 2) Sea y " = 0 y se resuelve para obtener los posibles puntos de inflexión posibles x = - -3 y 2. Entonces: Cuando x < —-j
y " = +, y el arco es cóncavo hacia arriba.
Cuando - 3 < x < 2
y " = - , y el arco es cóncavo hacia abajo.
Cuando x > 2
y " = +, y el arco es cóncavo hacia arriba.
Los puntos de inflexión son (—-y,—"2T2) y (2, -6 3 ), ya que y " cambia de signo en x = - -3 y x = 2 (fig. 15.4). y
Fig. 15.4 2.
Analice la concavidad y los puntos de inflexión de y = x4 - 6x + 2 y trace la gráfica. Se tiene que y " = 12x2. Por el teorema 15.2, el posible punto de inflexión está en x = 0. En los intervalos x < 0 y x > 0, y " es positiva, y los arcos en ambos lados de x = 0 son cóncavos hacia arriba. El punto (0, 2) no es un punto de inflexión. Sea y ' = 4x3 - 6 = 0, y se halla el número crítico x = ^ 3/2 . En este punto y " = 12x2 > 0 y se tiene un mínimo relativo por el criterio de la segunda derivada. Como existe sólo un número crítico, hay un mínimo absoluto en este punto (donde x ~ 1.45 y y — 3.15 (fig. 15.5). y
Fig. 1 5 .5
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------------- 4 123^ A nalice la concavidad y los puntos de inflexión de y = 3x + (x + 2)3/5 y luego trace la gráfica.
Fig. 15.6 4.
Si f "(x0) = 0 y f '" (x 0) ^ 0, entonces hay un punto de inflexión en x0. C om o f " '(x 0) = 0, f " '(x 0) es o positivo o negativo. Por ta n t o ,f " es creciente o d ecreciente en x0. C om o f "(x0) = 0, f " tiene signos opuestos a la izquierda y a la d erecha de x0. E ntonces, la curva tendrá concavidad opuesta en los lados de x 0 y habrá un punto de inflexión en x 0.
5.
H alle las ecuaciones de las tangentes en los puntos de inflexión de y = f( x ) = x4 - 6x3 + 12x2 - 8x. E xiste un punto de inflexión en x = x 0 cuando f ' ( x 0) = 0 y f " ( x 0) ^ 0. A quí, f ( x ) = 4x3 - 18x2 + 24x - 8 f" ( x ) = 12x2 - 36x + 24 = 12(x - 1)(x - 2) f " ( x ) = 24x - 36 = 12(2x - 3) Los posibles puntos de inflexión están en x = 1 y x = 2. C o m o f " ( 1 ) ^ 0 y f" '( 2 ) ^ 0, los pun to s (1, -1 ) y (2, 0) son puntos de inflexión. En (1, -1 ), la p endiente de la recta tangente es m = f (1) = 2 y su ecuación es y = y 1 = m (x - x 1) o y + 1 = 2(x - 1) o y = 2x - 3 En (2, 0), la p endiente es f (2) = 0 y la ecuación de la recta tangente es y = 0.
6.
7.
T race la gráfica de y = f( x ) = 2x3 - 5x2 + 4x - 7. f ( x ) = 6x2 - 10x + 4, f " ( x ) = 12x - 10, y f ”\ x ) = 12. A hora, 12x - 10 > 0 cuando cuando xx > ^ fI ,, y 12x - 10 < 0 cuando x < -f. P or tanto, la gráfica de f es cóncava hacia arriba cuando x > -f y es cóncava hacia abajo cuando x < -f. L uego, hay un punto de inflexión en x = -f. P uesto que f ( x ) = 2(3x2 - 5x + 2) = 2(3x - 2)(x - 1), los núm eros críticos son x = -f y x = 1. P uesto que f " ( f ) = —2 < 0 y f " ( 1 ) = 2, existe un m áxim o relativo en x = -f (donde y = - 1 7 ~ -5 .9 6 — 5.96) y un m ínim o relativo en x = 1 (donde y = - 6 ) (fig. 15.7). x2 T race la gráfica de y = f (x) = x —T y = x2 4 + 4 = rL _ 4 + _ 4 = x + 2 + —- _ . L uego, y ' = 1 - ( 4 2)2 y y " = - 8 7 x- 2 x - 2 1 x - 2 * 1 ~ 1 x - 2 - ^ * b ”' J} ( x(x- -2)2)2 2 J -7/ / _ ( xi - 2 ) 3 ' A l resolver y ' = 0 se obtienen los núm eros críticos x = 4 y x = 0. C om o f " ( 4 ) = 1 > 0 y f " ( 0 ) = - 1 < 0, hay un m ínim o relativo en x = 4 (donde y = 8) y un m áxim o relativo en x = 0 (donde y = 0). C om o y " nunca es 0, no hay puntos de inflexión. L a recta x = 2 es una asíntota vertical. L a recta y = x + 2 es una asíntota oblicua en am bos lados, p orque en la curva, y - (x + 2) = ^ 0 cuando x ^ (fig. 15.8).
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Trazo de curvas. Concavidad. Sim etría
y ' = 3 + 5(x +32)2/5 y y " = 25(x~+2)7'5 . El posible punto de inflexión está en x = -2 . C uando x > - 2 , y " resulta negativa y el arco es cóncavo hacia abajo. C uando x < - 2 , y " es positiva y el arco es cóncavo hacia arriba. Por tanto, existe un punto de inflexión en x = - 2 , donde y = - 6 (fig. 15.6). C om o y ' > 0 (excepto en x = -2 ) , y es una función creciente y no hay extrem os relativos.
CAPÍTULO 15
3.
CAPÍTULO 15
Trazo de curvas. Concavidad. S im etría
Fig. 15.7
8.
T race la gráfica de g (x ) = 2x3 - 9x2 + 36.
g ' (x ) = 6x2 - 18x = 6x (x - 3) y g " (x) = 12x - 18 = 6(2 x - 3). E ntonces, los núm eros críticos son x = 0 (donde y = 36) y x = 3 (donde y = 9). C om o g " (0) = - 1 8 < 0 y g " (3) = 18 > 0, existe un m áxim o relativo en x = 0 y un m ínim o relativo en x = 3. A l igualar g " (x ) = 0 se obtiene x = f , donde existe un punto de inflexión, ya que g "( x ) = 6(2 x - 3) cam bia de signo en x = -| . g (x ) ^ + ^ cuando x ^ + ^ , y g (x ) ^ - ^ cuando x ^ - ^ . C om o g (-1 ) = 29 y g (-2 ) = - 1 6 , el teorem a del valor interm edio im plica que hay un cero x0 de g entre - 1 y -2 . (U na graficadora m uestra x0 — 1.70.) Éste es el único cero p o rq u e g es creciente hasta el punto (0, 36), decreciente desde (0, 36) hasta (3, 9) y luego creciente desde (3, 9) (fig. 15.9).
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^ 125^ CAPÍTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Sim etría
9.
x2 T race la gráfica de y = (x - 2)(x - 6 ) . H ay asíntotas verticales en x = 2 y x = 6.
y
_ 2x (x - 2)(x - 6) - 2 x 2(x - 4) _ 8x(3 - x) (x - 2)2(x - 6)2 (x - 2)2(x - 6)2
y
_ (x - 2)2(x - 6)2(24 - 16x) - 8x(3 - x)(2)(x - 2)(x - 6)(2x - 8) (x - 2)4(x - 6)4 = 8(2x 3 - 9x 2 + 36) (x - 2)3(x - 6)3
L os núm eros críticos son x = 0 (donde y = 0) y x = 3 (donde y = -3 ). Los cálculos dem uestran que y "(0 ) > 0 y y "(3 ) < 0. P or tanto, hay un m ínim o relativo en x = 0 y un m áxim o relativo en x = 3. C om o y ^ 1 cuando x ^ ± ^ , la recta y = 1 es una asíntota horizontal tanto en la izquierda com o en la derecha. Si y " = 0, entonces se obtiene g (x) = 2x3 - 9x2 + 36 = 0. P or el resultado del problem a anterior (el 8), se advierte que se tiene un punto de inflexión único x0 — 1.70 (donde y ~ 0.10) (fig. 15.10).
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CAPÍTULO 15
^ 126^
Trazo de curvas. Concavidad. S im etría
10. T race la gráfica de y2(x2 - 4) = x4. y 2 = x *_4 . E ntonces, y = ± x2 ^ . L a curva existe sólo p ara x2 > 4, es decir, para x > 2 o x < - 2 , m ás el punto aislado (0, 0). L a curva es sim étrica respecto a am bos ejes coordenados y al origen. Por ello, a p artir de este m om ento se considera sólo el p rim er cuadrante. Entonces, x 3 - 8x 4 x 2 + 32 y = (x 2 - 4 )3/2 y y _ (x 2 - 4 )5/2 El único núm ero crítico es 2\¡2 (donde y = 4). C om o y " > 0, la gráfica es cóncava hacia arriba y existe un m ínim o relativo en ( 2V 2 , 4 ). Las rectas x = 2 y x = - 2 son asíntotas verticales. El resto de la gráfica en otros cuadrantes se obtiene m ediante reflexión en los ejes y en el origen. Se advierte que tam bién existe una asíntota oblicua y = x, ya que y2 - x 2 = x4/(x2 - 4) - x2 = 4/(x2 - 4) ^ 0 cuando x ^ ± ^ . P or sim etría, y = - x asim ism o es una asíntota (fig. 15.11).
y
Fig. 1 5 .1 1
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 11. A nalice las funciones del problem a 23a-f) del capítulo 14. R esp u esta s: a) N o hay punto de inflexión; cóncava hacia arriba en todas partes. b) N o hay punto de inflexión; cóncava hacia abajo en todas partes. c) Punto de inflexión en x = _-f; cóncava hacia arriba p ara x > _-f; cóncava hacia abajo p ara x < _-f. d) Punto de inflexión en x = 2; cóncava hacia arriba p ara x > 2, cóncava hacia abajo p ara x < 2. e) Punto de inflexión en x = 2; cóncava hacia abajo p ara x > 2, cóncava hacia arriba p ara x < 2. f Punto de inflexión en x = ± 233 ; cóncava hacia arriba p ara x > y x < - 233 , cóncava hacia abajo para _^ < x <
12. D em uestre: s if(x ) = ax3 + bx2 + cx + d tiene dos núm eros críticos, su prom edio es la abscisa en el punto de inflexión. Si hay sólo un núm ero crítico, es la abscisa en el punto de inflexión.
13. A nalice y trace las gráficas de las ecuaciones siguientes: a)
x y = (x2 - 9)2
Respuesta:
sim étrica respecto al origen, asíntota vertical x = 0, m ínim o relativo en (3, 0), m áxim o relativo en (-3 , 0), sin puntos de inflexión, cóncava hacia arriba p ara x > 0.
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-^ 127^
^
c)
y = x2 +2 7 x Respuesta: asíntota vertical x = 0, mínimo relativo en (1, 3), punto de inflexión en ( - ^ 2 ,0 ) , cóncava hacia arriba para x < -Z [ 2 y x > 0 . d)
y3 = 6x2 - x 3
Respuesta:
máximo relativo en (4, 2 ^ 4 ), mínimo relativo en (0, 0), donde hay una “cúspide”, punto de inflexión en (6, 0), cóncava hacia arriba para x > 6, asíntota oblicua y = - x + 2 a la izquierda y a la derecha. x2
e) y = 1 + x - j Respuesta: asíntota vertical x = 1, máximo relativo en (0, 1), mínimo relativo en (2, 5), cóncava hacia arriba para x > 1 y hacia abajo para x < 1, no hay puntos de inflexión, creciente para x < 0 y x > 2, decreciente para 0 < x < 1 y 1 < x < 2, asíntota oblicua y = x + 2. f y=x r r Respuesta: Simétrica respecto al origen, máximo relativo en (1, -j), mínimo relativo en (-1 , - y) creciente -1 < x < 1, cóncava hacia arriba en - >/3 < x < 0 y x > >/3, cóncava hacia abajo en x < -y¡3 y 0 < x < \f3 , puntos de inflexión en x = 0 y x = ±V3, asíntota horizontal y = 0 en ambos lados. g) y = W x ^ l Respuesta:
definida para x > 1, creciente, cóncava hacia arriba para x > 4 y hacia abajo para x < -5-, punto de inflexión en (-5-, ^a/S).
h)
y=x^2 - x
Respuesta:
máximo relativo en x = f , creciente para x < f , cóncava hacia abajo para x < 3, punto de inflexión en (3, -3 ). 2 2
"v ■>.= x +1 li y x2 Respuesta: asíntota vertical x = 0, asíntota horizontal y = 0 en ambos lados, mínimo relativo (-2 , - -4 ), creciente para - 2 < x < 0 , cóncava hacia arriba -3 < x < 0 y x > 0, punto de inflexión en (-3, - -f-), y ^ + ^ cuando x ^ 0.
14. Demuestre que toda función F (x) que esté definida para toda x puede expresarse de una y sólo una forma como la suma de una función par y una función impar. [Pista: sea E (x) = -2(F(x) + F ( - x)).]
15. Halle una ecuación de la nueva curva Cj que se obtiene cuando la gráfica de la curva C con una ecuación x2 - 3xy + 2y2 = 1 se refleja en a) el eje x, b) el eje y, c) el origen. Respuestas: a) x2 - 3xy + 2y2 = 1; b) igual que a); c) el mismo C.
16. a) Si la gráfica d e f es simétrica respecto al eje y, demuestre quef es par. b) Si la gráfica d ef es simétrica respecto al origen, entonces demuestre quef es impar. [Pista: para a), si x está en el dominio d ef, (x, f(x )) está en la gráfica y, por tanto, (-x, f(x)) está en la gráfica. Entonces, f(- x ) = f(x).]
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Trazo de curvas. Concavidad. Sim etría
simétrica respecto al eje y, asíntotas verticales x = ±1, mínimo relativo en (0, 0), máximos relativos en (± V 2 - 4 ) , sin puntos de inflexión, cóncava hacia arriba para Ixl < 2.
CAPÍTULO 15
*)
Respuesta:
CAPÍTULO 15
Trazo de curvas. Concavidad. S im etría
17. D em uestre el teorem a 15.1: a) Si f ' ( x ) > 0 p ara x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba p ara a < x < b. b) Si f ' ( x ) < 0 p ara x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo p ara a < x < b. [Para a), sea x 0 que p ertenece a (a, b). C o m o f" (x 0) > 0, f es creciente en algún intervalo abierto I que contiene a x0. Sea que x esté en I y x > x0. P or el teorem a del valor m edio, f( x ) - f ( x 0) = f(x * )(x - x0) p ara algún x* con x 0 < x* < x. C om o f es creciente, f ( x 0) < f (x*). E n to n c e sf(x ) = f (x*)(x - x0) + f ( x 0) > f (x0)(x - x 0) + f ( x 0). Pero y = f (x0)(x - x0) + f ( x 0) es una ecuación de la tangente en x0. U n argum ento sim ilar funciona cuando x < x 0. L uego, la curva queda p o r encim a de la recta tangente y, p o r tanto, es cóncava hacia arriba.]
18.
( c g ) U tilice una graficadora p ara trazar la gráfica d e f( x ) = x 3 - 3x 2 + 4x - 2. D em uestre analíticam ente q u e f es creciente y que existe un punto de inflexión en (-1 , 3). U se la calculadora p ara trazar la gráfica de f -1 y y = x, y observe que las gráficas de f y de f -1 son sim étricas respecto a y = x.
19.
Trate de dibujar la gráfica de y = 3_ 3x 2+ 5 p o r m étodos estándar y luego use la graficadora p ara obtener inform ación adicional (com o la ubicación de toda asíntota vertical). (c g )
x2
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16 Repaso de trigonometría
Medida del ángulo L a unidad tradicional para m edir los ángulos es el grado. U n a rotación com pleta la form an 360 grados. Sin em bargo, una unidad diferente, el radián, es m ás útil en cálculo. C onsidérese un círculo de radio 1 con centro en el punto C (fig. 16.1). Sean CA y CB dos radios p ara los que el arco A B del círculo tiene un a longitud de 1. E ntonces, un radián se tom a com o la m edida de un ángulo central ACB. A /
\
Fig. 16.1
Si u es el núm ero de grados en un ángulo AC B , entonces la razón de u a 360° es igual a la razón de A B con la circunferencia 2rc. C om o A B = 1, u/360 = 1/2rc y, p o r consiguiente, u = 180/rc. Así, 1 radián =
g rad o s.
( 1)
Si n m ide aproxim adam ente 3.14, entonces 1 radián equivale a aproxim adam ente 57.3 grados. A l m ultiplicar la ecuación ( 1) po r rc/180, se obtiene: 1grado = 1 ^ 0 radianes
(2 )
E n la tabla de la figura 16.2 se m uestra el equivalente en radianes de algunas m edidas im portantes en g ra dos. A hora tóm ese cualquier círculo de radio r con centro O (fig. 16.3). S ea Z D O E que contiene 0 radianes y sea i la longitud del arco D E. L a razón de 0 al núm ero 2 n radianes en un a rotación com pleta es igual a la razón de i a toda la circunferencia 2nr. Entonces, 0/2rc = s/2nr. Por consiguiente, i = rd
(3)
« L29J
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CAPÍTULO 16
Grados
Repaso de trig onom etría
Radianes
30
6"
45
4
60
3"
90
2
E
180 270
3^ ~Y
360
2^
Fig. 16.2
Ángulos dirigidos Si se piensa que un ángulo es generado p o r una rotación, entonces su m edida se contará com o positiva si la rotación va contra el sentido de las m anecillas del relo j y negativa si la rotación avanza en el sentido de las m anecillas del reloj. O bsérvese, por ejem plo, ángulos de n /2 radianes y - n /2 radianes en la figura 16.4. Se per m iten ángulos de m ás de una rotación com pleta. E n la figura 16.5, por ejem plo, se m uestra un ángulo que va en sentido contrario a las m anecillas del reloj, generado p o r una rotación com pleta m ás otro cuarto de rotación, lo que produce un ángulo de 2 n + n /2 = 5n/2 radianes, y un ángulo de 3n radianes producido por giro y m edio en dirección contraria a las m anecillas del reloj.
-2
----radianes 2 (-90°)
radianes
5^ — radianes
(90°) Fig. 16.4
+3^ radianes Fig. 16.5
Funciones seno y coseno C onsidérese un sistem a de coordenadas con origen en O y un p unto A en (1, 0). Se ro ta la flecha OA p o r un ángulo de 0 grados hacia una nueva posición O B . E ntonces (fig. 16.6): 1. 2.
cos 0 está definido com o la coordenada x del punto B. sen 0 está definido com o la coordenada y del punto B.
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EJEMPLO 16.1. Si Si Si Si
0 0 0 0
= = = =
ft/2, la posición final B es (0, 1). P or tanto, cos (ft/2) = 0 y sen (ft/2) = 1. ft, entonces B es (-1 , 0). Por ende, cos n = -1 y sen n = 0. 3ft/2, entonces B es (0, -1 ). A sí, cos (3ft/2) = 0 y sen (3ft/2) = -1 . 0 o 0 = 2ft, entonces B es (1, 0). P or tanto, cos 0 = 1 y sen 0 = 0, y cos 2ft = 1 y sen 2 n = 0.
Se observa que estas definiciones coinciden con las definiciones tradicionales en el caso de un ángulo agudo de un triángulo. Sea 0 un ángulo agudo de un triángulo rectángulo D E F y sea A O B G un triángulo sem ejante con hipotenusa 1 (fig. 16.7). C om o los triángulos son sem ejantes, B G / B O = E F / E D , es decir, B G = b /c y, de igual form a OG = a /c . E ntonces, cos 0 = a/c y sen 0 = b/c. E sto es lo m ism o que las definiciones tradicionales: „ lado adyacente a lado opuesto c o s 0 = — T-.— ~r--------- y sen B = -r-.— -r--------hipotenusa hipotenusa Fig. 16.7
E
Lado opuesto, b
c
adyacente, a
A hora es p osible utilizar los valores obtenidos de la trig o n o m etría del b ach illerato [véase el p ro b lem a 22a-c)]. E n la tabla 16.1 se m uestran los valores m ás útiles. P rim ero se presentan algunas consecuencias sim ples de las definiciones. (16.1) cos (0 + 2 k ) = cos 0 y sen (0 + 2 k ) = sen 0 . E sto se cum ple porque una rotación com pleta adicional de 2 n radianes im plica regresar al m ism o punto. Tabla 1 6 .1 0 G ra d o s
cos 0
se n 0
0
1
0
n /6
30
-v/3/2
1/2
tc/4
45
V2/2
V2/2
tc/3
60
1/2
-J3/2
n /2
90
0
1
n
1 oo o
R a d ia n e s
-1
0
3^/2
270
0
-1
0
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Repaso de trigonom etría
a) b) c) d)
CAPÍTULO 16
-----4131^
CAPÍTULO 16
(16.2) (16.3)
Repaso de trig onom etría
cos ( - 0) = cos 0 y sen ( - 0) = -s e n 0 (fig. 16.8). sen2 0 + cos2 0 = 1 [De acuerdo con la notación tradicional, sen2 0 y cos2 0 significa (sen 0)2 y (cos 0)2.] E n la figura 16.6, 1 = OB = ^Jc o s 20 + sen26 por el problem a 1 del capítulo 2. (16.3) im plica que sen2 0 = 1 - cos2 0 y cos2 0 = 1 - sen2 0 . y
( - , +)
(+, +)
(-, -)
(+, - )
Fig. 16.9 (16.4) (16.5)
E n los cuatro cuadrantes, el seno y el coseno tienen los signos que aparecen en la figura 16.9. P ara cualquier p unto A (x, y) diferente del origen O, sea r su distancia del origen, y sea 0 la m edida en radianes del ángulo desde el eje x positivo a la derecha OA (fig. 16.10). E l par (r, 0) se denom ina coordenadas p o lares de A. E ntonces, x = r cos 0 y y = r sen 0 (repase el problem a 8).
P ara la derivación de fórm ulas m ás com plicadas se dependerá del resultado siguiente: (16.6) (16.7) (16.8)
(16.9)
cos (u - v) = cos u cos v + sen u sen v C onsúltese la dem ostración en el p roblem a 11. cos (u + v) = cos u cos v - sen u sen v S ustituya v po r - v en (16.6) y use (16.2). cos (n/2 - v) = sen v y sen (n/2 - v) = cos v R em place u por n /2 en (16.6) y utilice cos (n/2) = 0 y sen (n/2) = 1,lo cual resu lta en cos (n/2 - v) : sen v. E n esta fórm ula, sustituya v por (n/2 - v) p ara obtener cos v = sen (n/2 - v). sen (u + v) = sen u cos v + cos u sen v Por (16.6) y (16.8), sen (u + v) = cos [n/2 - (u - v)] = cos [(n/2 - u) - v] = cos (n/2 - u) cos v + sen (n/2 - u) sen v = sen u cos v + cos u sen v.
(16.10) sen (u - v) = sen u cos v - cos u sen v R em place v p or - v en (16.9) y utilice (16.2). (16.11) cos 2 u = cos2 u - sen2 u = 2 cos2 u - 1 = 1 - 2 sen2 u S ustituya v po r u en (16.7) para obtener cos 2u : cos2 u - sen2 u. U se sen2 u = 1 - cos2 u y cos2 u = 1 - sen2 u para obtener las otras dos form as. (16.12) sen 2 u = 2 sen u cos u R em place v p or u en (16.9). (16.13) cos2 ( 2 ) = 1 + c2os u cos u = cos 2 •2
= 2 co s2( 2 I- 1
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-^ 133^ CAPÍTULO 16
po r (16.11). A hora se resuelve p ara co s21 ^
Repaso de trigonom etría
(16.14) sen2 N r = 2)
2
P or (16.3) y (16.13) 2( u \ „ , ( u \ „ 1 + cos u 1 - cos u =^ T ~ sen2 [ 2 ) = 1 - cos2 [ 2 ) = 1--------— (16.15) a) (Ley de cosenos). E n todo triángulo A A B C (fig. 16.11), c2 = a 2 + b 2 -
2
ab cos 0
Para ver una dem ostración, repase el problem a 11 a). b) (Ley de los senos) sen A = sen B = sen C a ~ b ~ c donde sen A es sen (Z B A C ), y de igual form a p ara sen B y sen C.
Fig. 1 6 .11
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CAPÍTULO 16
Repaso de trig onom etría
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
2.
3.
Convierta las medidas siguientes de grados en radianes: a) 54o; b) 120o. 3
a)
54o = 5 4 1180 radianes = 1 0 n radianes.
b)
120° = 1201180 radian ;s |= - y
radianes.
Convierta las medidas siguientes de radianes en grados: a)radianes; b) 5 ^ radianes; c) 2 radianes. a)
2=^radianes = 2 p |
b)
^ r a d ia n e s =
c)
2 radianes = 2 1
grados J = 72°. - ^ g r a d o s J = 150°. grados J = | J g 0 J .
a) En un círculo de radio r = 3 centímetros (cm), ¿qué longitud de arco i a lo largo de la circunferencia corresponde al ángulo central 0 de ft/6 radianes? b)
En un círculo de radio r = 4 pies, ¿qué ángulo central corresponde a una longitud de arco de
8 pies?
Se sabe que i = r 0, donde 0 se mide en radianes.
4.
a)
s = 3 (n )=
b)
0 = | r ) = 4 = 2 radianes.
centímetros.
¿Cuáles rotaciones entre 0 y 2n radianes tienen el mismo efecto que las rotaciones con las medidas siguientes? a)
11p-radianes; b) 405°; c) - ^ radianes; d) - 5 n radianes.
a)
^
b)
405° = (360 + 45)°. Por consiguiente, la rotación equivalente es 45°.
c)
- -y + 2 n = -^-. Entonces, la rotación equivalente es
= 2 n + 3 ^ . Así, la rotación equivalente es ^
radianes.
radianes.
d) - 5 n + 6 k = K. Así, la rotación equivalente es n radianes. 5.
Halle sen 0 si 0 es un ángulo agudo tal que cos 0 = -5 . Por (16.3), (y)2+ sen2 6 = 1. Luego, sen2 6 = -9 y, por tanto, sen# = ± f . Como 0 es agudo, Entonces, sen# = f .
6.
sen 0 es positivo.
Demuestre que sen (n - 0) = sen 0 y cos (n - 0) = -co s 0. Por (16.10), sen(ft - 0) = sen n cos 0 - cos n sen 0 = (0) cos 0 - (-1) sen 0 = sen 0.Por (16.6), cos (n - 0) = cos K cos 0 + sen n sen 0 = ( - 1) cos 0 + (0) sen 0 = -c o s 0.
7.
Calcule estos valores: a) sen 2ft/3; b) sen 7ft/3; c) cos 9n; d) sen 390°; e) cos 3ft/4; f cos ft/12; g) senft/8; h) sen 19°. a)
Por el problema 6, sen -2^ = sen|tf - y J = sen y = -y 3-.
b)
Por (16.1), s e n ^ = sen(2n + n )= sen n = ^ j - .
c)
Por (16.1), cos 9 k = cos (n + 8 n) = cos n = -1.
d)
Por (16.1), sen 390° = sen (30 + 360)°= sen 3 0°= 1 .
e)
Por el problema 6, c o s y ^ = cos( k - y J = - c o s y = ~ ^ 2 r .
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-^ 135^ n in n\ n n , n n 1 V 2 , J 3 J 2J 2 + -J6 cosy^- = cos I Tj- —-¡-I = cos-^-cos-¡- + sen-^-sen-¡- = ------^L12 \3 4/ 3 4 '^ “ 3 ^ “ 4 2 2 2 2 4
g)
P or (16.14), se n 2( ^ ) = 1 ~ cos?(^ / 4 ) = 1 ~ (V 2 /2 ) = 2
h)
8.
. C om o
1 /2 ^ 7 2 es positivo y, p o r consiguiente, sen-g- = —— 2------•
19° no p uede expresarse en térm inos de ángulos m ás com unes (com o 30°, 45°, 60°), de tal form a que cualquiera de las fórm ulas sea aplicable. E ntonces debe usarse la tabla de los senos que se encuentra en el apéndice A , la cual da 0.3256; ésta es una aproxim ación correcta a cuatro cifras decim ales.
D em uestre el resultado de (16.5): si (r, 0) son coordenadas polares de (x, y), entonces x = r cos 0 y y = r sen 0. Sea D el p ie de la perp en d icu lar que va de A(x, y) al eje x (fig. 16.12). Sea F el punto en el rayo OA a una distancia unitaria del origen. E ntonces, F = (cos 0, sen 0). Si E es el p ie de la p erpendicular que va desde F hasta el eje x, p o r consiguiente O E = c o sd y F E = se n 6 . C om o A A D O es sem ejante al A F E O (por el criterio A A ), se tiene que: O D = 0 a = A D , e s d e c ir, OE OF FE ’ ’ c o s0
r 1
sen # '
P or tanto, x = r cos 0 y y = r sen 0. C uando A(x, y) está en uno de los otros cuadrantes, la dem ostración puede reducirse al caso donde A está en el p rim er cuadrante. C uando A está en el eje x o en el eje y , el caso es m uy fácil.
9.
H alle las coordenadas rectangulares del punto con coordenadas polares r = 3, 0 = ft/6. Por (16.5), x = r c o s 6 = 3 co s n = 3 - ^ r y y = r sen d = 3sen-n = 3^1 ) = 3 .
10. H alle las coordenadas polares del punto (1, -v/3). Por (16.5), r 2 = x 2 + y 2 = 1 + 3 = 4. E ntonces, r = 2. P or ende, c o s0 = — = 1 y sen # = — = ^ 3 . Luego, a n r 2 r 2 d= 3 .
11. a) a)
D em uestre la ley de cosenos [16.15a)]. b) D em uestre la ley de los senos [16.15b)]. O bserve la figura 16.11. Tom e un sistem a de coordenadas con C com o origen y B en el eje x positivo. Entonces, B tiene las coordenadas (a, 0). Sean (x, y) las coordenadas de A. P or (16.5), x = b cos 0 y y = b sen 0. Por la fórm ula de la distancia (2.1), c = -J (x — a )2 + (y —0 )2 = y¡ (x — a )2 + y 2
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Repaso de trigonom etría
0 < nn < - 3 , sen
p o r tanto, s e n = W 2
CAPÍTULO 16
^ f)
^ 136^
______
CAPÍTULO 16
Repaso de trig onom etría
P or consiguiente,
c 2 = (x - a ) 2 + y 2 = (b cos 0 - a ) 2 + (b sen 0) 2 = b 2 cos 2 0 - 2 ab cos 0 + a 2 + b 2 sen 2 0
[Á lgebra: (u - v) 2 = u 2 -
2
uv + v 2].
= a 2 + b 2 (cos 2 0 + sen 2 0) - 2 ab cos 0 = a 2 + b 2 - 2ab cos 0 [por (16.3)]. b)
O bserve la figura 16.13. Sea D el p ie de la perp en d icu lar que va de A al lado BC, y sea h = AD . Entonces, sen B = A D / A B = h/c . L uego, h = c sen B y así el área de AABC = ^ (b a s e x a ltu ra ) = -J ah = -J ac sen B (verifique que esto tam bién se cum ple cuando Z B es obtuso). D e igual form a, -J bc sen A = área de AABC
= -ja b sen C . P or tanto, -J ac sen B = \ bc sen A = -J ab sen C. A l dividir entre -Jabc se obtiene la ley de los senos.
A
Fig. 1 6.13 12. P ruebe la iden tid ad (16.6): cos (u - v ) = cos u cos v + sen u sen v . C onsidérese el caso en que 0 < v < u < v + n (fig. 16.14). P or la ley de cosenos, B C 2 = 12 + 12 - 2(1)(1) cos ( Z BO C ). A sí, (cos u - cos v ) 2 + (sen u - sen v ) 2 = 2 - 2 cos (u - v ) cos 2 u - 2 cos u cos v + co s 2 v + sen 2u - 2 sen u sen v + sen 2v = 2 - 2 cos ( u - v ) (cos 2 u + sen 2 u) + (cos 2v + sen 2v ) - 2(cos u cos v + sen u sen v ) = 2 - 2 cos (u - v ) 1 + 1 - 2(cos u cos v + sen u sen v ) = 2 - 2 cos (u - v ) cos u cos v + sen u sen v = cos (u - v ) Todos los casos pueden derivarse del caso anterior.
Fig. 1 6 .1 4
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------------- ^ 137^
13. C onvierta las m edidas siguientes de radianes en grados: a) 4 radianes; b) n /1 0 radianes; c) 11n/12 radianes. a) (720/n)°; b) 18°; c) 165°.
14. C onvierta estas m edidas de grados en radianes: a) 9°; b) 75°; c) (90/n)°. R espuestas:
a) n /2 0 radianes; b) 5n /1 2 radianes; c) 1/2 radián.
15. R em ítase a la notación de la figura 16.3. a) Si r = 7 y 0 = n /1 4 , h alle s; b) si 0 = 30° y s = 2, halle r. R espuestas:
a) n /2 ; b) 12/n.
16. H alle el ángulo de rotación entre 0 y 2 n que provoca el m ism o efecto que las rotaciones siguientes: a) 17n/4; b)
375°; c) - n /3 ; d) -7 n /2 .
R espuestas:
a) n /4 ; b) 15°; c) 5n /3 ; d) n/2.
17. E valúe: a) cos (4n/3); b) sen (11n/6); c) cos 210°; d) sen 315°; e) cos 7 5 ° ;f sen 73°. R espuestas:
a) —-2; b) - -i; c)
; d) ; e ) 'E 3 1 ; f ) aproxim adam ente 0.9563.
18. Sea 0 un ángulo agudo y sen # = -4. E valúe a) cos 0 ; b) sen 2 0 ; c) cos 2 0 ; d) cos -f. Respuestas:
a)
4
;b) ^
8
; c) 7 ; d) V s + W Ü . 8
4
19. Sea 0 un ángulo en el tercer cuadrante (n < 0 < Respuestas:
) y c o s 0 = - 3-. H alle a) sen 0 ; b) cos 2 0 ;c) sen
( q ).
a) — -3 ; b) -t7 ; c) (3 ^ 1 0 ) . 5 25 10
20. En AA B C , A B = 5, A C = 7 y cos( Z A BC ) = -5. H alle BC . Respuesta:
A ~ J l.
21. D em uestre la identidad sen 0 = 1 ~ c o s2 ^ . co s0
se n 20
22. D erive los valores siguientes: a) s e n = c o s =
'; b) s e n ^ = c o s ^ = "1 ; c) se n -3 = c o s = :^ .
[Sugerewc/as: a) O bserve un triángulo rectángulo isósceles AABC . b) C onsidere un triángulo equilátero A A B C de lado 1. L a recta A D que va de A al punto m edio D del lado B C es p erpendicular a BC . P or ende, B D = -|. C om o sen -3 = c o s -f- = —^ A B D co ntiene f radianes, c o s(^ /3 ) = B D / A B = (1/2)/1 = -j. Por (16.8), sen (n / 6) = cos(n/2 - n / 6) = cos (n/3). c) sen 2(^ /3 ) = 1 - co s 2(^ /3 ) = 1 - \ = 7 . E ntonces, sen (tf/3 ) = 4 y sen (tf/3 ) = -| (n / 6 ) = sen (n/3) p or (16.8).]
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Repaso de trigonom etría
R espuestas:
CAPÍTULO 16
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
Derivación de funciones trigonométricas
Continuidad de cos x y sen x E s claro que el cos x y el sen x son funciones continuas, es decir, que p ara todo 9, lím cos (9 + h) = cos 9
y lím sen (0+ h) = sen0
h^0
1
h^0
P ara com probarlo, observe en la figura 17.1 que cuando h se aproxim a a 0, el punto C tiende al punto B. Por tanto, la coordenada x de C [que es cos (9 + h)] tiende a la coordenada x de B (que es cos 9), y la coordenada y de C [que es sen (9 + h)] tiende a la coordenada y de B (que es sen 9).
Para hallar la derivada de sen x y cos x se necesitan los lím ites siguientes: (17.1) (17.2)
lím sen ^ = 1 0^0 U l í m 1 ~ co s e = 0 e^ü a
P ara ver una dem ostración de (17.1), revise el problem a 1. A p artir de (17.1), (17.2) se deriva de la m anera siguiente: 1 - cosQ _ 1 - cos 9 1 + cos 9 _ 1 - cos2 9 9 9 1 + c o s # 0(1 + c o s 0 ) sen20 _ sen 9 _ sen 9 9(1 + co s0 ) 9 1+ co s# ' Por tanto, l í m
i t e = lím ^ m i. h m - ^ e n ^ = 1. , ^ ^ = 1 = 1.0 = 0 6 6 e^0 1 + costf 1+ cos0 1 +1
-------------------
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------------- ^ 139^ Dx (sen x) = cos x
(17.4)
Dx (cos x) = - s e n x
CAPÍTULO 17
(17.3)
Dx(cosx) = D x | s e n ^ - x jj = c o s ^ - x j- (-1 ) = - senx
Gráfica de sen x C om o sen (x + 2n) = sen x, sólo se debe construir la gráfica p ara 0 < x < 2n. A l igualar D x (sen x) = cos x = 0 y observando que cos x = 0 en [0, 2n] cuando y sólo cuando x = n/2 o x = 3 n/2, se hallan los núm eros críticos n/2 y 3 n/2. C om o D^(sen x) = Dx (cos x) = - sen x, y -s e n (n/2) = - 1 < 0 y -s e n (3 n/2) = 1 > 0, el criterio de la segunda derivada im plica que existe un m áxim o relativo en (n/2, 1) y un m ínim o relativo en (3 n/2, -1 ). Puesto que Dx (sen x) = cos x es positivo en el prim er y cuarto cuadrantes, sen x es creciente p ara 0 < x < n/2 y para 3 n/2 < x < 2n. E n virtud de que D x2(senx) = - s e n x es positivo en el tercer y cuarto cuadrantes, la gráfica es cóncava hacia arriba p ara n < x < 2n. Así, hab rá un punto de inflexión en (n, 0), así com o en (0, 0) y (2n, 0). Parte de la gráfica se m uestra en la figura 17.2.
Gráfica de cos x O bsérvese que sen (n/2 + x) = sen (n/2) cos x + cos (n/2) sen x = 1 • cos x + 0 • sen x = cos x. A sí, la gráfica de cos x puede trazarse m oviendo la gráfica de sen x en n/2 unidades a la izquierda, com o se m uestra en la figura 17.3.
Fig. 17.3
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Derivación de funciones trigonom étricas
Para ver una dem ostración de (17.3), repase el problem a 2. A p artir de (17.3) se puede deducir (17.4), con la ayuda de la regla de la cadena y (16.8), de esta m anera:
CAPÍTULO 17
D erivación de funciones trigonom étricas
L as gráficas de y = sen x y y = cos x constan de ondas repetidas, y cada una de ellas se extiende p o r un inter valo de longitud 2rc. L a longitud (periodo) y la altura (am plitud) de las ondas pueden cam biarse al m ultiplicar el argum ento y el valor, respectivam ente, por constantes. EJEMPLO 17.1. Sea y = cos 3x. L a gráfica se m uestra en la figura 17.4. C om o cos 3(x + 2ft/3) = cos (3x + 2n) = cos 3x, la función es de p eriodo p = 2ft/3. Por tanto, la longitud de cada onda es 2^/3. E l núm ero de ondas sobre un intervalo de longitud 2 n (correspondiente a una rotación com pleta del rayo que d eterm ina el ángulo x) es 3. Este núm ero se d enom ina la fre c u e n c ia f de cos 3x. En general, p f = (longitud de cada onda) x (núm ero de ondas en un intervalo de 2n) = 2n. P or ende, f = 2n/p.
Fig. 17.4 Para toda b > 0, las funciones sen bx y cos b x tienen una frecuencia b y un periodo 2n/b,
EJEMPLO 17.2. y = 2 sen x. L a g ráfica de esta función (fig. 17.5) se obtiene de la de y = sen x al duplicar los valores de y. El p eriodo y la frecuencia son sim ilares a los de y = sen x, es decir, p = 2 n y f = 1. L a am plitud, es decir, la altura m áxim a de cada onda, es 2.
Fig. 17.5 EJEMPLO 17.3 En general, si b > 0, entonces y = A sen bx y y = A cos b x tienen periodo 2n/b, frecuencia b y am plitud IAI. En la figura 17.6 se presen ta la gráfica de y = 1.5 sen 4x.
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^ 141^ CAPÍTULO 17 Derivación de funciones trigonom étricas
Fig. 17.6
Otras funciones trigonométricas T angente
tan x = sen x cos x
C otangente co t x = cos x _ 1 sen x tan x Secante C osecante
sec x =
1 cos x
1 cosec x = senx
Derivadas (17.5)
Dx (tan x) = sec2 x
(17.6)
Dx (cot x) = - cosec2 x
(17.7)
Dx (sec x) = tan x sec x
(17.8)
Dx (cosec x) = - cot x cosec x
P ara obtener las dem ostraciones, repase el p roblem a 3.
Otras relaciones (17.9)
tan2 x + 1 = sec2 x ta n 2 x + 1 = sen22x + 1 = sen2 x +2co s2 x = - V = sec2 x co s2 x co s2 x co s2 x
(17.10)
tan (x + n) = tan x y cot (x + n) = cot x
E ntonces, tan x y cot x tienen un periodo n. R epase el problem a 4. (17.11)
tan (-x ) = - ta n x y cot (-x) = - cot x tan ( - x) = senl( x ) = - s e tix = - sen x = - tan x, y de igual form a p ara cot x c o s (-x ) cos x cos x J
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b1
CAPÍTULO 17
D erivación de funciones trigonom étricas
Gráfica de y = tan x C om o tan x tiene un periodo n, basta determ inar la gráfica en -rc/2, n/2). Puesto que tan (-x ) = - ta n x, hay que trazar sólo la gráfica en (0, n/2) y luego reflejarla en el origen. C om o tan x = (sen x)/(cos x), hab rá asíntotas verticales en x = n/2 y x = - ^ /2 . P or (17.5), D x (tan x) > 0 y, p o r tanto, tan x es creciente. D i (tan x) = Dx (sec2 x) = 2 sec x(tan x sec x) = 2 tan x sec2 x . A sí, la gráfica es cóncava hacia arriba cuando tan x > 0, es decir, p ara 0 < x < n/2, y existe un punto de inflexión en (0, 0). A lgunos valores especiales de tan x se indican en la tabla 17.1 y la gráfica aparece en la figura 17.7. P ara un ángulo agudo 9 de un rectángulo, ta n 0 - se n Q _ lado opuesto ^ lado adyacente _ lado opuesto cos0 hipo ten u sa ' hipotenusa _ lado adyacente
Tabla 1 7 .1 x
ta n x
0
0
n 6
f
~ 0.58
n 4
1
n 3
V 3 ~ 1.73
Fig. 1 7.7
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------------- ^ 143^
no hay puntos de inflexión y la curva es cóncava h acia arriba p ara - n /2 < x < n/2. L a gráfica se m uestra en la figura 17.8.
Fig. 17.8
Ángulos entre curvas Por el ángulo de inclinación de una recta no vertical L se entiende el ángulo a m ás pequeño que se form a en sentido contrario al de las m anecillas del reloj desde el eje x positivo a la recta (fig. 17.9). Si m es la pendiente de L, entonces m = tan a . [Se com prueba en la figura 17.10, donde se considera que la recta L ' es paralela a L y, po r consiguiente, tiene la m ism a pendiente m . E ntonces, m = (sen a - 0)/(cos a - 0) = (sen a)/(co s a ) = tan a .]
Fig. 17 .9
Fig. 1 7 .1 0
P or un ángulo entre dos curvas en un p unto de intersección P se entiende el m ás pequeño de los dos ángulos com prendidos entre las tangentes a las curvas en P (repase los problem as 17 y 18).
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Derivación de funciones trigonom étricas
D 2 (sec x) = D x (tan x sec x) = tan x(tan x sec x) + sec x (sec2 x) = sec x (tan 2 x + sec2 x)
CAPÍTULO 17
Gráfica de y = sec x C om o sec x = 1/(cos x ), la gráfica tendrá una asíntota vertical x = x 0 p ara todo x 0 tal que cos x 0 = 0, es decir, para x = (2n + 1)n/2, donde n es cualquier entero. Igual que cos x, sec x tiene un periodo de 2n, y se puede centrar la atención en ( -n , n). N ótese que |sec x| > 1, com o |cos x| < 1. A l ser Dx (sec x) = tan x sec x = 0, se hallan los núm eros críticos en x = 0 y x = n, y el criterio de la prim era derivada establece que existe un m ínim o relativo en x = 0 y un m áxim o relativo en x = n. C om o
CAPÍTULO 17
D erivación de funciones trigonom étricas
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Pruebe (17.1): lím sen ^ = 10^0 U Como : sen|^, se debe considerar sólo 0 > 0. En la figura 17.11, sea 0 = Z A O B un ángulo central pequeño positivo de un círculo de radio OA = OB = 1. Sea C el pie de la perpendicular trazada desde B hasta OA. Obsérseve que OC = cos 0 y CB = sen 0. Sea D la intersección de OB con el arco de un círculo con centro en O y radio O C. Entonces, Área del sector COD < área de ACOB < área del sector AOB
Fig. 1 7 .1 1 Nótese que el área del sector COD = ^ 6 cos2 6 y el área del sector AOB = 2 6 . [Si W es el área de un sector determinado por un ángulo central 0 de un círculo de radio r, entonces W/(área del círculo) = 0/2ft. Así, W /nr 2 = Q/2n y, por tanto, W = y 6 r2.] Entonces, 2 9 cos2 Q < “2 sen Q cos < 4r &
Al dividir entre ^ QcosQ > 0 se obtiene cose < ^
Cuando 0 tiende a 0+, cos 0 ^
1, 1/(cos 0) ^
1 c o s#
1. Por tanto,
1< l í m ^ < 1
0^0
<-
d
U
A sí
lím S ^ 1
0^0 o
Pruebe (17.3): Dx (sen x) = cos x. Aquí se utilizarán (17.1) y (17.2). Sea y = sen x. Entonces, y + Ay = sen (x + Ax) y Ay = sen(x + Ax) - sen x = cos x sen Ax + sen x cos A x - sen x = cos x sen Ax + sen x (cos Ax - 1)
dx
= lím = lím (cos x sel¡!^x + sen x co s^ x - 1) A« 0 Ax am 0\ Ax Ax ) = (cos x) Aun seAAx + (senx) Hm cos^ ^ ~ 1
= (cos x )(1) + (sen x)(0) = cos x 3.
Demuestre a) Dx (tan x) = sec2 x (17.5); b) Dx (sec x) = tan x sec x (17.7). ^ a)
d dx(
^=
d í sen x \ = cos x cos x - sen x (-sen x) x)
= cos 2 x + sen2x = 1 = cos 2x cos 2x
d x \ cos x )cos 2 x
2x
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-^ 145^ D erivando am bos lados de (17.9), tan 2 x + 1 = sec2 x, m ediante la regla de la cadena se obtiene 2 tan x sec2 x = 2 sec x Dx(sec x). P or tanto, D x (sec x) = tan x sec x. Pruebe (17.10): tan(x + n) = tan x. sen (x + K) = sen x cos n + cos x sen n = -s e n x cos (x + K) = cos x cos n - sen x sen n = -c o s x Entonces, tan (x + n ) = Sen((x + 7t\ = - ^ x = ^ = tan x co s( x + n ) - cos x cos x
5.
D eduzca tan ( u - v ) = -t a n u - ta n v
1 + tan u tan v
tan (u - v ) = sen (u - v) = sen u cos v - cos u sen v ( ) cos (u - v) cos u cos v + sen u sen v sen u
sen v
cos u— cosv (divida el numerador y el denominador entre cos u cos v 1 + sen u sen v J co su cosv tan u - tan v 1 + tan u tan v
6.
Calcule las derivadas de las funciones siguientes: a ) 2 cos 7x; b) sen3 (2x); c) tan (5x); d) sec (1/x). a)
D x (2 cos 7x) = 2(-sen 7x)(7) = -1 4 sen 7x
b) D x (sen3 (2x)) = 3(sen2 (2x))(cos (2x))(2) = 6 sen2 (2x) cos (2x) c) D x (tan (5x)) = (sec2 (5x))(5) = 5 sec2 (5x) d)D x (sec (1/x)) = tan (1/x) sec (1/x)(-1/x2) = -(1 /x 2) 7.
tan (1/x) sec (1/x)
Halle todas las soluciones de la ecuación cos x = 2 Al resolver (^)2 + y2 = 1, se observa que los únicos puntos en el círculo unitario con abscisa 1 son (■, ^ ) y ( 2, - ^ T ) . Los ángulos centrales correspondientes son n/3 y 5^/3. Éstas son, entonces, soluciones en [0, 2k]. Como cos x tiene periodo 2k, las soluciones son n/3 + 2kh y 5n/3 + 2ftn, donde n es cualquier número entero.
8.
Calcule los límites siguientes:a ) lím sen 5 x ; x^0 2x
b) lím sen 3 x ; x^0 sen 7x
a) a)
lím sen5x = l í m 5 sen5x = l lím se n u = 1 (1) = i1™ 2x ^ 2 5x 2^-50 u 2(1)
b) 7
l í m ® ^ = l í m ® ^ • - % - ■3 = 3 lím ® ® “ l í m ^ x^0 sen 7x x^0 3x sen 7x 7 7 u^ 0 u u^ 0 sen u
c) lím tan x x^0 x
5 2
= 3(1)(1) = 7 c)
lím ‘a n x = lím senx x^ 0 x x^ 0 x cos x
= lím senx • lím - L x^0 x u— >0 cos x
= (1)(-1 )=1 9.
Sea y = x sen x. Halle y'". y ' = x cos x + sen x y" = x(-sen x) + cos x + cos x = - x sen x + 2 cos x Y " = -x cos x - sen x - 2 sen x = -x cos x - 3 sen x
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Derivación de funciones trigonom étricas
4.
CAPÍTULO 17
b)
CAPÍTULO 17
^ 146^ -
D erivación de funciones trigonom étricas
10. Sea y = tan2 (3x - 2). Halle y". y ' = 2 tan (3x - 2) sec2 (3x - 2) • 3 = 6 tan (3x - 2) sec2 (3x - 2) y " = 6[tan (3x - 2) • 2 sec (3x - 2) • sec (3x - 2) tan (3x - 2) • 3 + sec2(3x - 2)sec2 (3x - 2) • 3] = 36 tan2 (3x - 2) sec2 (3x - 2) + 18 sec4 (3x - 2) 11. Sea y = sen(x + y). Halle y'. y ' = cos (x + y) • (1 + y') = cos (x + y) + cos (x + y) • (y'). Al despejar y' . y
cos( x + y) 1 - cos( x + y)
12. Sea sen y + cos x = 1. Halle y". cos y •y ' - sen x = 0. Entonces y'=
y
cos y
cos y cos x - sen x(-sen y) •y ' = cos x cos y + sen x sen y • y' cos2 y cos2 y = cos x cos y + sen x sen y (sen x)/(cos y) = cos x c o s2y + sen2x sen y cos2 y cos3 y
13. Un piloto se dirige a un sitio en la Tierra frente a él. Si el avión, a 2 millas de altura, vuela a 240 millas/hora (mi/h), ¿cuán rápido debe girar el visor cuando el ángulo entre la trayectoria del avión y la línea de la visual es de 30°? (Fig. 17.12.) ^
dt
De la última ecuación,
dt
= -2 4 0 m i/h y x = 2 c o t 0 J
= -2 co se c26 ^ . Así, -2 4 0 = - 2 (4 ) d^ cuando 0 = 30° dt dt -d ^ = 30 rad/h = 2 ^ grados /s 240 mi/h
14. Trace la gráfica d e f(x) = sen x + cos x. f(x) tiene un periodo de 2 p Por tanto, se debe considerar sólo el intervalo [0, 2n]. f ( x ) = cos x - sen x, y f "(x) = -(sen x + cos x). Los números críticos ocurren donde cos x = sen x o tan x = 1, x = k/4 o x = 5ft/4. f " (n / 4 ) = - ( V 2 / 2 + V 2 /2 ) = —y¡2 < 0 . Entonces, existe un máximo relativo en, x = n /4 , y = V2". f " (5 ^ /4 ) = - ( - V 2 /2 —>/2 /2 ) = y¡2 > 0 . Es decir, se presenta un mínimo relativo en x = 5 n /4 ,y = -y [ 2 . Los puntos de inflexión ocurren cuando f " (x) = -(sen x + cos x) = 0, sen x = -co s x, tan x = -1 , x = 3^/4 o x = 7^/4, y = 0 (fig. 17.13).
Fig. 1 7 .13
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-^ 147^
y
Como f tiene un periodo 2 n sólo debe considerarse [-n , n], y como f es par, únicamente debe prestarse atención a [0, k]. Los números críticos son las soluciones en [0, k] de sen x = 0 o 2 cos x - 1 = 0. La primera ecuación tiene soluciones 0 y n , y la segunda equivale a c o s x = y, la cual tiene la solución n/3 . f '( 0 ) = 1 > 0; entonces, hay un mínimo relativo en (0, 0). f ' ( f t ) = 3 > 0; luego, existe un mínimo relativo en (n, -2). f " f = - - f < 0 ; por tanto, hay un máximo relativo en (f , j ) . Hay puntos de inflexión entre 0 y f y entre f y p que pueden hallarse mediante la fórmula cuadrática para resolver 4 cos2 x - cos x - 2 = 0 para cos x utilizando después una tablas de cosenos o una calculadora para aproximar x (fig. 17.14).
Fig. 1 7.14
16. Halle los extremos absolutos def(x) = sen x + x en [0, 2p|. f ( x ) = cos x + 1. Sea f ( x ) = 0, con lo que se obtiene cos x = -1 y, por tanto, el único número crítico en [0, 2 p es x = p. Se tabula p y los dos puntos extremos 0 y 2 p y se calculan los valores d e fx ):
2
x
fx )
K
n
0
0
n
2
n
Por consiguiente, el máximo absoluto 2 p se obtiene en x = 2p, y el mínimo absoluto 0 en x = 0. 17. Halle el ángulo en el que las rectas %
y = x + 1 y % 2: y = —3 x + 5 se cortan.
Sean a 1 y a 2 los ángulos de inclinación de % 1 y % 2 (fig. 17.15), y sean m1 y m 2 las pendientes respectivas. Entonces, tan a j = mj = 1 y tan a 2 = m2 = -3 . a 2 - a j es el ángulo de intersección. Ahora, por el problema 5,
'■ a 2
ta n a , - ta n a , m2 - m, _3_ i a i) _ 1 + tanoij t a n a 2 _ 1 + m 1m 2 ~ 1 + (-3)(1) = — = 2 -2 2
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Derivación de funciones trigonom étricas
f ' ( x ) = (sen x)(-2 sen x) + (2 cos x - 1)(cos x) = 2(cos2 x - sen2 x) - cos x = 4 cos2 x - cos x - 2
CAPÍTULO 17
15. Trace la gráfica d e f x) = cos x - cos2 x. f ( x ) = -se n x - 2(cos x)(-sen x) = (sen x)(2 cos x - 1)
CAPÍTULO 17
^ 148^
D erivación de funciones trigonom étricas
D e una calculadora graficadora se obtiene a 2 - a ¡ ~ 63.4°.
18. H alle el ángulo a entre las parábolas y = x 2 y x = y 2 en (1, 1). 2 —(—) —3 , las p endientes en (1, 1) son 2 y i . P or tanto, t a n a = 1 + 2 (2i ) = "2 = 4 .
C om o Dx (x2) = 2x y Dx (>/x) =
E ntonces, m ediante una calculadora graficadora se aproxim a a a 36.9°.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 19. D em uestre que cot (x + n) = cot x, sec (x + 2n) = sec x y cosec (x + 2n) = cosec x.
20. H alle el periodo p , la frecuencia f y la am plitud A de 5 sen (x/3) y trace su gráfica. Respuesta: p = 6 n , f = 3 , A = 5
21. E ncuentre todas las soluciones de cos x = 0. R espuesta: x = (2n + 1)-^ p ara todo entero en n.
22. H alle todas las soluciones de tan x = 1 R espuesta:
x = (4n + 1)-^ p ara todo entero en n.
23. T race la gráfica de f (x) = 2 - e n x 2
R espuesta:
cos X
.
véase la figura 17.16.
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-^ 149^ CAPÍTULO 17
25. Halle y'. a) b) c) d) e)
y y y y y
f)
y = coS x
Respuesta: Respuesta: Respuesta: Respuesta: Respuesta: Respuesta:
= sen 3x + cos 2x = tan (x2) = tan2 x = cot (1 - 2x2) = x2 sen x
y ' = 3 cos 3x - 2 sen 2x y ' = 2x sec2 (x2) y ' = 2 tan x sec2 x y ' = 4x cosec2(1 - 2x2) y' = x2 cos x + 2x sen x y ' = ~ xsen x ~ cos x
26. Evalúe: a) l í m ^ ; x^o sen bx
Respuestas:
b) lím 7 x^o xsen2(3x) a) b ; b ) -9
27. Si x = A sen kt + B cos kt, demuestre que
d 2x = —k 2x . d t2
28. a) Si y = 3 sen (2x + 3), demuestre que y" + 4y = 0. b) Si y = sen x + 2 cos x, demuestre que y ''' + y" + y' = 0.
29. i) Analice y dibuje lo siguiente en el intervalo 0 < x < 2n. ii) (CG) Comprueba las respuestas del inciso anterior con una graficadora. a) b) c) d) e)
y = is e n 2 x y = cos2 x - cos x y = x - 2 sen x y = sen x(1 + cos x) y = 4 cos3 x - 3 cos x
Respuestas:
a) b) c) d) e)
máximo en x = n/4, 5^/4; mínimo en x = 3^/4, 7^/4; punto de inflexión en x = 0, nl2, n, 3^/2. máximo en x = 0, p mínimo en x = n/3, 5^/3; punto de inflexión en x = 32° 32', 126° 23', 233° 37', 327° 28'. máximo en x = 5^/3; mínimo en x = k/3; punto de inflexión en x = 0, n. máximo en x = n/3; mínimo en x = 5^/3; punto de inflexión en x = 0, n, 104° 29', 255° 31'. máximo en x = 0, 2^/3, 4^/3; mínimo en x = n/3, n, 5^/3; punto de inflexión en x = n/2, 3n/2, n/ 6 ,5 n /6 ,7 n /6 , 11n/6.
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Derivación de funciones trigonom étricas
24. Deduzca la fórmula tan(u + v) = tan u + tan v 1 - tan u tan v
CAPÍTULO 17
D erivación de funciones trigonom étricas
30. Si el ángulo de elevación del Sol es 45° y decrece a i radianes p o r hora, ¿a qué velocidad se alarga la som bra proyectada en el suelo p or un poste de 50 pies de altura? R espuesta:
25 pies/hora.
31. U se la derivación im plícita para h allar y': a) tan y = x2; b) cos (xy) = 2y. R espuestas:
n
a) y
^ 2 , y sen (xy) = 2x cos2 y; b) y = — ----------------- -. 2 + x sen (xy)
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18 Funciones trigonométricas inversas L as funciones seno y coseno, adem ás de otras funciones trigonom étricas, no son uno a uno, por lo que no tienen funciones inversas. Sin em bargo, es posible restringir el dom inio de las funciones trigonom étricas de form a tal que se vuelvan uno a uno. E n la gráfica de y = sen x (fig. 17.2) se m uestra que en el intervalo - n /2 < x < rc/2 la restricción de sen x es uno a uno. D e esta m anera, se define sen-1x com o la función inversa correspondiente. E l dom inio de dicha función es [-1 , 1], el cual es el rango de sen x. Así, 1. 2. 3.
sen-1 (x) = y si y sólo si sen y = x. E l dom inio de sen-1 x es [-1 , 1]. E l rango de sen-1 x es [-rc/2, rc/2]. L a g ráfica de sen-1 x se ob tien e de la g ráfica d e sen x p o r reflex ió n en la rec ta y = x (fig. 18.1).
y
2 y = sen-1 x Fig. 18.1
EJEMPLO 18.1.
En general, sen -1 x = el núm ero y en [-ft/2 , ft/2] tal que sen y = x. E n particular, sen -1 0 = 0,
sen -1 1 = rc/2, sen -1 (-1 ) = -rc/2, sen~'(y) = n / 6 , sen-1(V 2 /2 ) = n / 4 , sen~'(>/372) = n /3 . T am bién, sen-1( - - j) = n / 6. En general, sen -1(-x ) = -s e n -1 x, ya que sen (-y ) = - s e n y.
La derivada de s e n 1 x S ea y = s e n 1 x. C om o sen x es derivable, s e n 1 x es derivable p o r el teorem a 10.2. A hora, sen y = x y, en to n ces, por derivación im plícita, (cos y)y ' = 1. P or tanto, y ' = 1/(cos y). Pero cos2 y = 1 - sen2 y = 1 - x2. Así, cos y = +V 1 - x 2 . Por definición de s e n 1 x, y está en el intervalo [-rc/2, rc/2] y p o r consiguiente, cos y > 0.
« L51J
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CAPÍTULO 18
^ 152^
E ntonces, cos y = V 1 - x 2. Por ende, y ' =
. 1
Funciones trigonom étricas inversas
. Así, se h a dem ostrado que x
(18.1)
Dx (s e n 1 x ) =
1 V i—
2
Función coseno inversa Si se restringe el dom inio de cos x a [0, rc], se obtiene una función uno a uno (con rango [-1 , 1]). P or ello, es posible definir cos-1 x com o la inversa de esa restricción. cos-1 (x) = y si y sólo si cos y = x. E l dom inio de cos-1 x es [-1 , 1]. E l rango de cos-1 x es [0, rc].
1. 2. 3.
L a gráfica de cos-1 x se m uestra en la figura 18.2 y se obtiene m ediante reflexión de la gráfica de y = cos x en la recta y = x . y
Fig. 18.2 U n argum ento sim ilar al anterior p ara (18.1) dem uestra que (18.2)
Dx (cos-1 x) = — t = = V1 - x 2
Función tangente inversa A l restringir el dom inio de tan x al intervalo (-rc/2, rc/2) se obtiene una función uno a uno (con rango en el conjunto de todos los núm eros reales), cuya inversa es tan-1 x. Entonces: 1. tan-1 (x) = y si y sólo si tan y = x. 2. E l dom inio de tan-1 x es (— +^>), 3. E l rango de tan-1 x es (—rc/2, rc/2). EJEMPLO 18.2. En general, tan-1 x = al número y en (-n /2 , ft/2) tal que tan y = x. En particular, tan-1 0 = 0, tan-1 1 = rc/4, tan - 1(V 3) = n /3 , tan -1( ^ / 3 ) = n / 6 . Como tan(-x) = -ta n x, se sigue que tan-1 (-x) = -ta n -1 x. Por ejemplo, tan-1 (-1) = -ft/4. L a gráfica de y = t a n 1 x aparece en la figura 18.3. Se obtiene de la gráfica de y = tan x reflejada en la recta y = x. N ótese que y = n /2 es una asíntota horizontal a la derecha y y = -rc/2 es una asíntota horizontal a la iz quierda.
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------------- ^ 155^
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
1
Demuestre (18.5): Dx (sec 1x) = x>/x2 - 1 Sea y = sec-1 x. Entonces, sec y = x y, por derivación implícita, tan y sec y (y ') = 1. Ahora, tan2 y = sec2y - 1 = x2 - 1; así, tan y = ± x 2 - 1 . Por definición de sec-1 x, y está en [0, ft/2) o en [ft, 3ft/2) y, por consiguiente, tan y es positiva. Por ende, tan y = Vx 2 - 1. Entonces, 1 1 y = -------------- — i Jtan y sec y xV x2- 1
En los problemas 2 a 8, halle la primera derivada y '. 2.y = sen-1 (2x - 3). Por (18.1) y la regla de la cadena, y' =
3.
4.
1
Dx (2x - 3) =
V1 - (2 X - 3)2
y = cos 1 (x2). Por (18.2) y la regla de la cadena, y ' = -
2
1
4 12 x - 4x2- 8
y¡3x - x 2 - 2
1 Dx(x)2 = - y¡1 - (x 2)
2x
4
y = tan-1 (3x2).
f6x 9 x4
1 Por (18.3) y la regla de la cadena, y ' = ~ 1 + (3x 2)2 Dx(3x2) =
? = cot-1 (
)
1 +í )
Por (18.4) y la regla de la cadena, 1 1+
D
1+ x 1- x
x'
2 (1 - x)2 + (1 + x)2
6.
(1 - x) - (1 + x ) ( - 1) (1 - x)2
1+ x 1+ ( l i x \1 - x 1 1+ x2
y = W a 2 - x 2 + a 2sen 1( ^ 1
1
— = 24 a 2 -y/1 - (x /a)2 a
y ' = x [-j(a 2 - x 2) 1/2(-2 x )] + (a 2 - x 2)1/2 + a 2 -
7.
y = x cosec 1( 1 ) W 1 - x 2 para 0 < x < 1.
y =x
1
1
P V x :2
+ cosec 11X) + "2 ( 1 _ x 2)1/2( -2 x ) = cosec 1|- X1
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Funciones trlgonom étrlcaslnversas
arc sen x = sen-1 x , arc cos x = cos-1 x , etcétera.
CAPÍTULO 18
L as selecciones aparentem ente arbitrarias de los dom inios p ara las funciones trigonom étricas inversas se hicieron a fin de obtener fórm ulas sim ples para las derivadas. N o debe confundirse la notación para las funciones trigonom étricas inversas con notación exponencial. Por ejem plo, sen-1 x no es lo m ism o que (sen x)-1. P ara evitar la posibilidad de tal confusión, se puede utilizar la siguiente notación alternativa en las funciones trigonom étricas inversas:
CAPÍTULO 18
8.
Funciones trigonom étricas Inversas
y = a b t a n 1(a tan x ) '
--------- D (—tan x | ¡K ^ \a I 1 + | a tan x
y = ab
,
1 a sec2 x — 2 = —sec2x a— a 2 + —2 tan2 x a a 2 + b 2tan2 x
1 a 2 cos2 x + —2 sen2x 9.
Sea y2 sen x + y = tan-1 x. Halle y '. Por derivación implícita, 2yy'sen x + y 2 cos x + y ' = i ^ 2. Por tanto, y '(2 y sen x + 1) = i ^
2
- y2 cos x y entonces, 1 - (1 + x 2) y2 cos x y = 1 + x 2 (2y sen x + 1)
10. Evalúe a) sen1(^ > /2 /2 ); b) cos-1 (1); c) cos-1 (0); d) cos 1(^); e) tan 1(^>/3); f) sec-1 (2); g) sec-1 (-2). a)
sen ‘( -V 2 / 2) = - seir1(V2 /2 = - ■^/4
b)
cos- 1 ( 1) = 0, puesto que cos (0) = 1 y 0 está en [0, ft]
c)
cos- 1 (0) = k / 2 , ya que cos (ft/2) = 0 y (ft/2) está en [0, ft]
d)
cos- K i) = * /3
e)
tan-1‘( - ^ 3 ) = - tan-1^N/3) = - n / 3
f)
sec-11(2) = rc/3, ya que sec |
3j
1 cos(tf/3)
1 1
2 2
g) sec-1 ( -2) = 4ft/3, porque (4 ^ / 3) ==
1 = 1 = 2 cos(4^/3) - 4n 2
11. Demuestre que sen 1x + cos 1 x = -y. Dx(sen-1 x + cos-1 x) =
- = 0 ' Entonces, por el problema 15 del capítulo 13, sen 1x + cos 1x es a/ 1 - x 2
\ / 1 -■
n
una constante. C om o sen -10 + cos-10 = 0 + — = — , esa constante es -y. 2 2 2
12.
a) D em uestre sen(sen-1(y))= y; b) determ ine sen-1 (sen n ); c) pruebe que sen-1 (sen x) = x si y sólo si x está en [ - t ó , tc/2]. a)
E sto resulta d irectam ente de la definición de sen-1 (y).
b)
sen-1 (sen n ) = sen-1 0 = 0.
c)
sen-1 y es igual al núm ero x en [-ft/2, ft/2] tal que sen x = y. A sí, si x está en [-ft/2 , tc/ 2], sen-1(sen x) = x. Si x no está en [-ft/2, tc/ 2], entonces sen-1 (sen x) ^ x, ya que, p or definición, sen-1(sen x) debe estar en [-tc/2, %I2],
13. E valúe a) cos(2sen-1(f)); b) sen(cos-1(-1-)). a)
P or (16.11), cos(2sen-1( |) ) = 1 - 2sen2(sen-1(f)) = 1 - 2 ( f ) 2 = 1 - y, = -JJ.
b)
sen2(cos-1( - | ) ) = 1 - c o s2(cos-1( - f ) ) = 1 - ( - f ) 2 = P or tanto, sen(cos-1( - -f)) = ± V 7 /4 . Puesto que cos-1( - -f) está en el segundo cuadrante, sen(cos-1( - |-)) > 0 . E ntonces, sen(cos-1( - f ) ) = V 7 /4 .
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-^ 157^
tan 0 = tan[«> + * ) - « = “ f + ++ - ‘“ ‘ l = ^ r 1 + tan(0 + 0 ) ta n 0 1 + (18/x )(6/ x )
Funciones trigonométricas Inversas
y x 2 + 108
Fig. 18.7 Entonces, Q = tan
12x 2 +108 / y
de_ 12( - x 2 +108) dx x4 + 360x 2 +11664
El número crítico x = 6>/3 ~ 10.4. Por el crítico de la primera derivada, esto resulta en un máximo relativo. El observador debería pararse aproximadamente a 10.4 pies frente a la pared.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 15. Evalúe a) sen 1(--v/3/2); b) cos 1(>/3/2); c) cos 1(--v/372); d) tan 1( - y f3 /3 ) ; e) sec 1^V2); f Respuestas:
a)
b)
c) ^ ; d)
16. Demuestre que tan- 1x + co r 1x =
e) - |; f ^
.
En los problem as 17 a 24 halle y '.
17. y = sen-1(3x)
Respuesta:
3
.
■J\— —9 x I
18. y = cos-1(^1 x)
Respuesta: —^
^ 2
19. y = M r 1(f )
1
20. y = sen-1 (x - 1)
Respuesta:
21. y = x2cos-1(x )
Respuesta: 2 x I cos 1( — i t - ¡ =
y¡2x — x 2
l
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U )
v x ^4
CAPÍTULO 18
14. El borde inferior de un mural de 12 pies de altura está situado a 6 pies por encima de los ojos de un observador. De acuerdo con el supuesto de que la vista más favorable se obtiene cuando el ángulo subtendido por el mural y los ojos es un máximo, ¿a qué distancia de la pared debería pararse el observador? Sea 0 el ángulo subtendido y x la distancia desde la pared. De la figura 18.7, tan (0 + 0) = 18/x, tan 0 = 6/x,
sec 1(^V 2).
CAPÍTULO 18
22. y = i
x
x2 R esp u e sta : — -------- ^-3— (a - x )
^ - sen - 1( x - a)
V a2- x2
Respuesta: 2 \¡ 2 a x - x 2
23. y = (x - a )y¡2 a x- x 2 + a 2sen - 1 ( x - a )
24. y = ^ x 2- 4 + ^ s e c - 1(^ x ) 7
x2
2
Funciones trlg onom étrlcaslnversas
Respuesta: , , 8 r x V x 2- 4
V2 7
25. P rueba las fórm ulas (18.2), (18.4) y (18.6).
26. Sea 9 = cos Respuestas:
1(-7). H alle a) sen 0; b) cos 0; c) tan 0; d) co t 0; e) sec 0; f cosec 0; g) cos 20; h) sen 20. a) ^ T 5 ; b) -7; c) 3 2 5 ; d) ^ j f 5 ; e) 2 ; f) ^ f 5 ; g) -
h)
27. Sea 0 = sen-1( - -5). H alla a) sen 0; b) cos 0; c) tan 0; d) cot 0; e) sec 0 ;f ) cosec 0; g) cos 20; h) sen 20. Respuestas:
a) - - f ; b) 2 f ^ ; c) - -y ^ ; d) - 2 ^ 6 ; e) 5 1 2 ; f) - 5 ; g) -^ f ; h) - 42c6
28. D em uestre ta n 2 0 = . 2 ta n ? „ . 1 - ta n 2 6
29. E valúe a) co s^ e n -1 ^ ) ) ; b) tan(sec- 1(-fX; c) sen(cos- 1(-5) + sec 1 4 ); d) cos -1 ^cos 3 ^ . Respuestas:
a) -^H7 ; b)
; c) :!2 j L + "!~[05 ; d) ^
30. H alle el dom inio y el rango de la fu n ció n f x ) = sen(sec -1 x). Respuesta:
dom inio Ixl > 1; rango (-1 , 1)
31. a) ¿Para qué valores de x es verdadero tan -1 (tan x) = x? b) (C G ) C om prueba la respuesta del inciso anterior con una graficadora p ara trazar la gráfica de y = tan -1 (tan x) - x . Respuesta:
a)
< x < -y
32. Se desea colocar una luz d irectam ente sobre el centro de un sitio circular de 3 0 pies de radio, a una altura tal que el b o rd e reciba la m áxim a ilum inación. H alle la altura si la intensidad I en cualquier punto del borde es directam ente p ro porcional al coseno del ángulo de in cid en cia (ángulo entre el rayo de luz y la vertical) e inversam ente p roporcional al cuadrado de la distancia de la fuente. (Sugerencia: sea x la altura requerida, y la distancia de la luz al punto del borde, y 0 el ángulo de incidencia. E ntonces, I = k c o s^ = —^ — k^ n y2 (x 2 + 900) Respuesta: 15>/2 pies
.)
33. D em uestre que sen 1 x = tan 1| p ara Ixl < 1. A n alice qué sucede cuando Ixl = 1.
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-^ 159^
R espuesta: 0.6435
respuestas a los incisos anteriores con una graficadora. Respuestas:
a)
; b) y¡1 + 4 x 2
36. P ruebe a) sec-1 x = co s-1 ( 1 ) para x > 1; b) sec-1 x = 2 n - cos-111 J p ara x < -1 . [La fórm ula del inciso a) se cum ple en general p ara Ixl > 1, si se h u biera definido sec-1 x com o la inversa de la restricción de sec x p ara (-rt/2 , ft/2). Sin em bargo, si se hubiera hecho esto, la fórm ula para Dx(sec-1 x) habría sido 1/(IxI Vx 2 - 1 ) en lugar de la fórm ula m ás sim ple 1/(x%/x2 - 1).]
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Funciones trigonométricas inversas
35. a) H alle sec (tan-1(y)); b) d eterm ine la fórm ula algebraica p ara sec (tan-1 (2x)). c) (C G ) C om pruebe sus
CAPÍTULO 18
34. (CG ) E valúe sen '(y ) m ediante una calculadora graficadora.
Movimientos rectilíneo y circular
Movimiento rectilíneo E l m ovim iento rectilíneo es el de un objeto en línea recta. Si existe un sistem a de coordenadas en esa recta y s representa la coordenada del objeto en cualquier instante t, entonces la posición del objeto está dada p or una función s = f( t) (fig. 19.1). — -
i----------------------------------- 1------ 1------------------------ 1------------------------ 1------------------------ 1------------------------
2 - 1 0 1 2 3 Fig. 19.1
L a posición en un m om ento t + At, m uy cercano a t, es f ( t + At). L a “distancia” que recorre el objeto entre el instante t y el instante t + At es f ( t + At) - f(t). E l tiem po que el objeto h a recorrido es At. E ntonces, la velocidad m edia durante este periodo de tiem po es f (t + A t) - f (t) At (O bsérvese que la “distancia” puede ser negativa cuando el objeto se m ueve a la izquierda a lo largo del eje s. A sí, la velocidad m edia puede ser positiva, negativa o cero.) C uando At tiende a cero, esta velocidad m edia se aproxim a a lo que se conoce com o velocidad instantánea v en el tiem po t. Entonces, * = lím f (t + A ) - f (t) = f '( t ) At^0 At J ’ Por tanto, la velocidad instantánea * es la derivada de la función de la posición s, es decir, * = ds/d t. E l signo de la velocidad instantánea v indica en qué dirección se m ueve el objeto a lo largo de la recta. Si v = ds/dt > 0 en un intervalo de tiem po, entonces, por el teorem a 13.7a), se sabe que s debe ser creciente, es decir, el objeto se desplaza en dirección de s creciente a lo largo de la recta. Si v = ds/dt < 0, entonces el objeto se está m oviendo en la dirección de s decreciente. L a rapidez instantánea se define com o el valor absoluto de la velocidad. A sí, la rapidez indica cuán rápido se m ueve el objeto, pero no su dirección. E n un autom óvil, el velocím etro señala la rapidez instantánea a la que se desplaza el auto. L a aceleración a de un objeto que se m ueve en línea recta está definida p o r la razón a la que cam bia la v e locidad, es decir, la derivada de la velocidad: = d v = d 2s a = d t = d t2 EJEMPLO 19.1. Sea la posición de un automóvil en una autopista dada por la ecuación s = f(t) = t2 - 5 t , donde s se mide en millas y t en horas. Así, la velocidad v = 2 t - 5 millas por hora (mi/h) y su aceleración a = 2 mi/h2. Por tanto, su velocidad es creciente a una razón de 2 millas por hora por hora.
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-^ 161^
2
3
Fig. 19.3
Movimiento bajo la influencia de la gravedad Si un objeto ha sido lanzado hacia arriba o hacia abajo, o tan sólo a partir de un estado de reposo, y la única fuerza que actúa sobre él es la gravitacional de la Tierra, el m ovim iento rectilíneo resultante se denom ina caída libre. A l colocar un sistem a de coordenadas en un a recta vertical sobre la que se m ueve un objeto, se considera que este eje s se dirige hacia arriba (fig. 19.4) y que el nivel de la T ierra (la superficie del planeta) corresponde a s = 0. Según la física, la aceleración a es una constante aproxim adam ente igual a - 3 2 pies/s2. (En el sistem a m étrico, esta constante es -9 .8 m /s2.) O bserve que la aceleración es negativa porque la fuerza de la gravedad de la Tierra hace que la velocidad se reduzca. dv C om o - t - = a = - 3 2 se tiene que: dt (19.1) (19.2)
v = v0 - 32t donde v0 es la velocidad inicial cuando t 0.* A hora, v = d¡S , p o r lo tanto, s = s0 + v0t - 16t2 donde s0 es la p osición inicial, el valor de s cuando t = 0 . s
Tierra
*
De hecho, Dt(v 0- 32t) = -3 2 = D¡v. Entonces, por el problema 18 del capítulo 13, v y v0 - 32t difieren por una constante. Como v y v0 - 32t son iguales cuando t = 0, tal diferencia constante es 0. En efecto, Dt(s0 + v0t - 16t2) = v0 - 32t = Dts. Entonces, por el problema 18 del capítulo 13, s y s0+ v0t - 16t2 difieren por una constante. Como s y s0+ v0t - 16í2 son iguales cuando t = 0, esa diferencia constante es 0.
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Movimientos rectilíneo y circular
EJEMPLO 19.2. Supóngase que un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación s = f(t) = (t - 2)2, donde s se m ide en pies y t en segundos. (La gráfica de f aparece en la figura 19.2.) Entonces, v = f ( t ) = 2(t - 2) pies/s y a = 2 pies/s2. Para t < 2, v < 0 y el objeto se mueve a la izquierda (fig. 19.3). Para t > 2, v > 0 y el objeto se mueve a la derecha. El objeto cambia de dirección en t = 2, donde v = 0. Nótese que si bien la velocidad v es 0 en el momento t = 2, el objeto se está moviendo en ese instante, no está en reposo. Cuando se dice que un objeto está en reposo significa que su posición es constante durante todo un intervalo de tiempo. i
CAPÍTULO 19
C uando un objeto que se m ueve en línea recta cam bia de dirección, su velocidad v = 0. U n cam bio de direc ción ocurre cuando la posición 5 llega a un extrem o relativo, y esto sucede sólo cuando ds/dt = 0. (Sin em bargo, lo contrario es falso; ds/dt = 0 no siem pre indica un extrem o relativo. U n ejem plo es s = t3 en t = 0.)
M ovim ientos re ctilín e o y circular
CAPÍTULO 19
Movimiento circular E l m ovim iento de una partícula P a lo largo de un círculo queda com pletam ente definido p o r la ecuación 0 = f(t), donde 0 es el ángulo central (en radianes) barrido en el instante t p o r un a recta que une a P con el centro del círculo. L as coordenadas x y y de P están dadas p o r x = r cos 0 y y = r sen 0. dO P or velocidad angular ra de P en el instante t se entiende - d f ■ P or aceleración angular a de P en el instante t se entiende d - = d ^ .
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta según la ley s = cabo de 2 segundos.
t3 - 2 t. Determina su velocidad y aceleración al
v = d f = 2 12 - 2; por tanto, cuando t = 2, v = -|(2 )2 - 2 = 4 pies/s. a = d y = 3 t ; por consiguiente, cuando t = 2, a = 3(2)= 6 pies/s2. 2.
La trayectoria de una partícula que se mueve
en línea
recta está dada por s = t3- 6t2 + 9t + 4.
a) Halle s y a cuando v = 0. b) Halle s y v cuando a = 0.
c) d) e)
¿Cuándo s es creciente? ¿Cuándo v es creciente? ¿Cuándo cambia la dirección del movimiento? Se tiene que v = j j t = 3 t2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3),
a =^
= 6(t - 2)
a) Cuando v = 0, t = 1 y 3. Cuando t = 1, s = 8 y a = - 6. Cuando t = 3, s = 4 y a = 6. b) Cuando a = 0, t = 2. En t = 2, s = 6 y v = -3 . c) s es creciente cuando v > 0, es decir, cuando t < 1 y t > 3. d) v es creciente cuando a > 0, es decir, cuando t > 2. e) La dirección del movimiento cambia cuando v = 0 y a * 0. Del inciso a) se tiene que la dirección cambia cuando t = 1 y t = 3.
3.
Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la ecuación s = f( t) = t3 - 9t2 + 24t. a) ¿Cuándo s es creciente y cuándo decreciente?
b) ¿Cuándo v es creciente y cuándo decreciente? c ) Halle la distancia total recorrida en los primeros 5 segundos de movimiento. Se tiene que v=
= 3 t2 - 18t + 24 = 3(t - 2)(t - 4),
a =^
= 6(t - 3)
a) s es creciente cuando v > 0, es decir, cuando t < 2 y t > 4.
s es decreciente cuando v < 0, es decir, cuando 2 < t < 4. b) v es creciente cuando a > 0, es decir, cuando t > 3. v es decreciente cuando a < 0, es decir, cuando t < 3. c) Cuando t = 0, s = 0 y el cuerpo está en O. El movimiento inicial es a la derecha (v > 0) durante los primeros 2 segundos; cuando t = 2, el cuerpo está s = f ( 2) = 20 pies de O. Durante los siguientes 2 segundos, se mueve a la izquierda, después de los cuales está a s = f(4) = 16 pies de O . Luego se mueve a la derecha y después de 5 segundos de movimiento está s = f(5) = 20 pies de O. La distancia total recorrida es 20 + 4 + 4 = 28 pies (fig. 19.5).
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-^ 163^ CAPÍTULO 19
20
4 4 Fig. 19.5 Una partícula se mueve en una recta horizontal a i = f( t) = t 4 - 6t3+ 12t2 a) b) c)
¿Cuándo es creciente la rapidez y cuándo decreciente? ¿Cuándo cambia la dirección del movimiento? Halle la distancia total recorrida en los primeros 3 segundos de movimiento. Aquí, v = j j t = 4 t 3 - 18t 2 + 24 t - 10 = 2(t - 1)2(2 t - 5),
a)
b) c)
10t + 3.
a = d - = 12(t - 1)(t - 2)
v cambia de signo en t = 2.5, y a cambia de signo en t = 1, t = 2. Para t < 1, v < 0 y a > 0. Como a > 0, v es creciente. Como v < 0, la rapidez |v| = - v es decreciente. Para 1 < t < 2, v < 0 y a < 0. Como a < 0, v es decreciente. Puesto que v < 0, la rapidez |v| = - v es creciente. Para 2 < t < 2.5, v < 0y a > 0. Como en el primer caso, la rapidez es decreciente. Para t > 2.5, v > 0 y a> 0, v es creciente. Como v > 0, la rapidez |v| = v es creciente. La dirección del movimiento cambia en t = 2.5, ya que por el criterio de la segunda derivada i tiene un extremo relativo allí. Cuando t = 0, i = 3 y la partícula está 3 unidades a la derecha de O. El movimiento es hacia la izquierda hasta que t = 2.5, después de lo cual está a -jg- unidades a la izquierda de O. Cuando t = 3, i = 0; la partícula se ha movido -jg- unidades a la derecha. La distancia total recorrida es 3 + -27 + 17 = i r unidades (fig. 19.6). O
3
|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ,
27/16 Fig. 19.6 5.
U na piedra, lanzada verticalm ente hacia arriba con una velocidad inicial de 112 pies/segundo (pies/s), se m ueve de acuerdo con la ecuación i = 112t - 16t2, donde i es la distancia del punto de partida. C alcule a ) la velocidad y la aceleración cuando t = 3 y cuando t = 4, y b ) la m áxim a altura alcanzada. c ) ¿C uándo estará a 96 pies de altura? Se tiene que v = d i / dt = 112 - 32t y a = dv / dt = -3 2 . a ) En t = 3, v = 16 y a = -3 2 . L a p iedra está subiendo a 16 pies/s. E n t = 4, v = -1 6 y a = -3 2 . L a p iedra está cayendo a 16 pies/s. b) En el punto m ás alto del m ovim iento, v = 0. A l d espejar v = 0 = 112 - 3 2 t resulta en t = 3.5. E n ese instante i = 196 pies. c) Sea 96 = 112t - 16t2, lo que resu lta en t2 - 7 t + 6 = 0, de donde t = 1 y 6. A l cabo de 1 segundo de m ovim iento la p ied ra se halla a una altura de 96 pies y está subiendo, pues v > 0. A l cabo de 6 segundos se encuentra a la m ism a altura pero está cayendo, ya que v < 0.
6.
U na partícula ro ta en sentido contrario al de las m anecillas del reloj a p artir del reposo, de acuerdo con t3 6 = 50 - t , donde 0 está en radianes y t en segundos. C alcule el desplazam iento angular 0, la velocidad angular ff) y la aceleración angular a al cabo de 10 segundos. 9
7.
50
=£
- 1 = 10 rad,
dt
a == 3 2 - 1 = 5 rad/s, 50
a =^ ^ = 6 ra d /s2 d t 50 5
E n t = 0, se lanza una p iedra desde un edificio de 1024 pies de altura. ¿C uándo toca el suelo la p ied ra y qué velocidad? D eterm ine tam bién la rapidez en m illas p o r hora.
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con
Movimientos rectilíneo y circular
4.
CAPÍTULO 19
M ovim ientos re ctilín e o y circular
C om o s 0 = 1024 y v0 = 0, la ecuación (19.2) se vuelve s = 1024 - 16t2, y el tiem po en el que la p iedra golpea la tierra es la solución de 1024 - 16t2 = 0. Esto se red u ce a t2 = 64, lo que da t = ±8. C om o el m ovim iento ocurre cuando t > 0, t = 8. L a ecuación (19.1) es v = -3 2 t, lo que resulta en v = -3 2 (8 ) = -2 5 6 pies/s cuando t = 8, es decir, el m om ento en el que la p iedra choca con la tierra. (La velocidad es negativa p o rq u e la p ied ra se está m oviendo hacia abajo.) L a rapidez es 256 pies/s. P ara cam biar a m illas p o r hora se realiza lo siguiente: x pies p or segundo = 60x pies p o r m inuto = 60(60x) pies p o r hora
= 3520g0x m illas p ° r h o ra = 1 2 x m illas p o r h o r a . Luego,
(19.3) x pies p o rse g u n d o s= -22x m illasp o r hora. En especial, cuando x = 256, se obtiene 174-jj m illas p o r hora. Si se dispara un cohete verticalm ente hacia arriba desde tierra con una velocidad inicial de 192 pies/s, ¿cuándo alcanza su altura m áxim a y cuál es esa altura? T am bién establezca cuánto tarda en llegar a tierra nuevam ente y con qué rapidez lo hace. Las ecuaciones (19.1) y (19.2) son v = 192 - 32t y s = 192t - 16t2. A la altura m áxim a, v = 0 y, por tanto, t = 6. Esto significa que se tom a 6 segundos p ara llegar a la altura m áxim a, que es 192(6) - 16(6)2 = 576 pies. El cohete regresa a nivel del suelo cuando 0 = 192t - 16t2, es decir, cuando t = 12. En consecuencia, tardó 6 segundos para llegar al suelo nuevam ente, m ism o tiem po al que em pleó p ara alcanzar la altura m áxim a. L a velocidad cuando t = 12 es 192 - 32(12) = -1 9 2 pies/s. Entonces, su rapidez final es la m ism a que su rapidez inicial.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 9.
D em uestre que si un objeto se m ueve en línea recta, su rapidez es creciente cuando su velocidad v y su aceleración a tienen el m ism o signo, y su rapidez es decreciente cuando v y a tienen signo opuesto. (Sugerencia : la rapidez S = |v|. C uando v > 0, S = v y dS / dt = dv / dt = a . C uando v < 0, S = - v y dS / dt = - dv / dt = -a .)
10. U n objeto se m ueve en línea recta de acuerdo con la ecuación s = t3 - 6t2 + 9t, en unidades de pies y segundos. D eterm ine su posición, dirección y velocidad, así com o si su rapidez es creciente o decreciente cuando a ) t = 2 ; b ) t = 2; c) t = -2; d) t = 4. Respuestas : a ) s = Tfft pies; m ovim iento a la d erecha con v = 15 pies/s; rapidez decreciente. b) s = i r pies; m ovim iento a la izquierda con v = - -f- pies/s; rapidez creciente. c ) s = 8 pies; m ovim iento a la izquierda con v = - f- pies/s; rapidez decreciente. d) s = 4 pies; m ovim iento a la derecha con v = 9 pies/s; rapidez creciente. 11. L a distancia de una locom otora respecto de un punto fijo sobre una vía recta en el instante t es 3 f - 44t3 - 44t2. ¿C uándo va en reversa?
Respuesta :
3< t< 8
12. E xam ina, com o en el problem a 2, cada uno de los siguientes m ovim ientos en línea recta: a ) s = t3 - 9t2 + 24t; b) s = t3 - 3t2 + 3 t + 3; c) s = 2t3 - 12t2 + 18t - 5; d) s = 3 f - 28t3 + 90t2 - 108t.
Respuesta :
los cam bios de d irección ocurren en t = 2 y t = 4 en a ), no hay cam bios en b ), en t = 1 y t = 3 en c ) y en t = 1 en d ) .
13. U n objeto se m ueve verticalm ente hacia arriba desde el suelo de acuerdo con la ecuación s = 6 4 t - 16t2. D em uestre que ha perdido la m itad de su velocidad en los prim eros 48 p ies de ascenso.
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------------- ^ l 65^
15. U na rueda gira 0 radianes en t segundos de m anera que 0 = 128t - 12t2. E ncuentre la velocidad y la aceleración angular al cabo de 3 segundos.
Respuestas :
ff) = 56 rad/s; a = - 2 4 rad /s 2
16. Se lanza una p iedra en un pozo de 144 pies de profundidad. ¿C uándo tocará la p iedra el fondo del pozo? Respuesta :
después de 3 segundos
17. ¿C on qué rapidez, en m illas p or hora, un objeto lanzado desde lo alto de un edificio de 10 pisos tocará el suelo? S upóngase que cada piso del edificio tiene 10 pies de altura.
Respuesta :
5 4 1y m i/h
18. U n autom óvil se m ueve p o r una autopista recta. Si su posició n está dada p o r s = 8t3 - 12t2 + 6 t - 1, con s en m illas y t en horas, ¿cuál es la distancia que recorre de t = 0 a t = 1? Respuesta :
2 m illas
19. R esponda a la m ism a pregunta que en el problem a 18, excepto que s = 5 t - t2 y el auto va de t = 0 a t = 3. Respuesta :
6.5 m illas
20. Se lanza una p iedra en línea recta desde el suelo. ¿C uál es su velocidad inicial, en pies p or segundo, si golpeó el suelo después de 15 segundos?
Respuesta :
21.
240 pies/s
( c g ) Sea la posición s de un objeto que se m ueve en línea recta dada p o r la ecuación s = t 4 - 3t2 + 2t. U tilice una graficadora p ara calcular cuándo cam bia de dirección el objeto, cuándo se m ueve a la derecha y cuándo a la izquierda. T rate de h allar las fórm ulas exactas correspondientes.
Respuesta :
cam bia de dirección en t = -1 .3 6 6 0 , 0.3660 y 1. El objeto se m ueve a la izquierda p ara t < -1 .3 6 6 0 y para 0.3660 < t < 1. Los valores exactos de t en los que el objeto cam bia de dirección son 1 y - 1 J 2
22.
( c g ) U n objeto se m ueve en línea recta de acuerdo con la ecuación s = 3 t - t2. O tro objeto avanza a lo largo de la m ism a recta de acuerdo con la ecu ació n s = t3 - t2 + 1. U tilice la calc u lad o ra g raficad o ra p a ra calc u lar a ) cuándo ocupan la m ism a posición y b ) cuándo tienen la m ism a velocidad. c ) E n el instante en que alcanzan la m ism a posición, ¿se están m oviendo en la m ism a dirección?
Respuestas : a ) 0.3473 y 1.5321; b) t = ±1; c) direcciones opuestas en am bas intersecciones.
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Movimientos rectilíneo y circular
Respuestas : a ) 240 pies p or encim a de la calle, 32 pies/s hacia arriba; b) -1 2 8 pies/s.
CAPÍTULO 19
14. Se lanza una b o la verticalm ente hacia arriba desde el b o rd e de un tejado que está a 112 pies de altura, de tal form a que eventualm ente caiga a la calle. Si se m ueve de m odo que la distancia s del tejado en el instante t está dada p o r s = 9 4 t - 16t2, halle a ) la posición de la bola, su velocidad y la dirección del m ovim iento cuando t = 2, y b) su velocidad cuando golpea la calle (s en pies, y t en segundos).
Razones Si una cantidad y es una función del tiem po t, la razón de cam bio de y respecto al tiem po está dada p o r dy/dt. C uando dos o m ás cantidades, todas funciones del tiem po t, están relacionadas p o r un a ecuación, la relación de sus razones de cam bio puede hallarse derivando am bos lados de la ecuación. EJEMPLO 20.1. U na escalera de 25 p ies rep o sa sobre una p ared vertical (fig. 20.1). Si la b ase de la escalera re s b ala y se aleja de la b ase de la p ared a 3 pies/s, ¿cuán rápido b aja la p arte superior de la escalera cuando la base de la m ism a está a 7 p ies de la pared?
y
Fig. 2 0.1 S ea x la distancia de la base de la escalera a la b ase de la pared, y sea y la distancia de la parte superior de la escalera a la base de la pared. C om o la base de la escalera se aleja de la b ase de la p ared a un a razón de 3 pies/s, dx/dt = 3, hay que hallar dy/dt cuando x = 7. Por el teorem a de Pitágoras, x2 + y2 : (25)2 = 625
( 1)
É sta es la relación entre x y y. A l derivar am bos m iem bros respecto a t se obtiene „ dx „ dy _ 2 x d + 2-v í = 0 C om o dx/dt = 3, 6x + 2y dy/dt = 0, donde 3 x + y ‘í
=o
(2)
É sta es la ecuación deseada p ara dy/d t. A hora, p ara este problem a en particular, x = 7. A l sustituir x por 7 en la ecuación (1) se tiene 49 + y2 = 625, y2 = 576, y = 24. E n la ecuación (2), al rem plazar x y y p o r 7 y 24 se obtiene 21 + 24 dy/dt = 0. Por tanto, dy/dt = - ¡7- C om o dy/dt < 0, se concluye que la parte superior de la escalera resbala po r la pared a una razón de j pies/s, cuando la b ase de la escalera está a 7 pies de la base de la pared.
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^ 167^
El gas escapa de un globo esférico a razón de 2 pies3/min. ¿Cuán rápido decrece el área del globo cuando el radio es de 12 pies? Una esfera de radio r tiene el volumen V = n r 3 y superficie S = 4nr2. Por hipótesis, dV/dt = -2 . Ahora, dV/dt = 4rt r 2 dr/dt. Entonces, - 2 = 4rt r 2 dr/dt, por tanto, dr/dt = -1/(2rt r 2). Además, dS/dt = 8 %r dr/dt. Por consiguiente, dS¡dt = - 8 k r¡ 2 %r2 = - 4 /r . Así, cuando r = 12, dS/dt = -1 2 = - j . Es decir, la superficie está decreciendo a una razón de y pies2/min.
2.
De un depósito cónico sale agua a una razón de 1 pulg3/s. Si el radio de la base del depósito es de 4 pulgadas y la altura de 8 pulgadas, determine la razón a la que el nivel del agua desciende cuando está a 2 pulgadas de la parte superior. (La fórmula para el volumen V de un cono es ^ n r 2 h , donde r es el radio de la base y h es la altura.) Sea r el radio y h la altura de la superficie del agua en el instante t , y sea V el volumen del agua en el cono (fig. 20.2.) Por triángulos semejantes, r /4 = h /8, donde r = 2 h .
Entonces, V = 1 n r 2h =
n h 3. Así,
= ? n h 2d - .
Por hipótesis, dV/dt = -1 . Luego,
_ 1 = -Lnfl2 d . ;1° que resulta en d h = _ 4 .
Ahora, cuando el nivel del agua está a 2 pulgadas de la parte superior del depósito, h = 8 - 2 = 6. Por tanto, en ese momento, dh / dt = —-9^, y, entonces, el nivel del agua está bajando a una razón de pulg/s. 3.
La arena que cae de un ducto forma un montículo cónico cuya altura es siempre igual a -3 del radio de la base. a) ¿Cuán rápido se incrementa el volumen cuando el radio de la base es de 3 pies y aumenta a una razón de 3 pulg/min? b) ¿Cuán rápido aumenta el radio cuando está a 6 pies y el volumen se incrementa a una razón de 24 pies3/min? Sea r el radio de la base y h la altura del montículo en el instante t. Entonces, h=4 r 3
4.
y V = 1 n r 2h = 4 n r 3. Por ende, 3 9 dt
a)
Cuando r = 3 y dr/dt = 7, dV/dt = 3% pies3/min.
b)
Cuando r = 6 y dV/dt = 24, dr/dt = 1/(2ft) pies/min.
= 4 nr2 3 dt
El barco A navega hacia el sur a 16 millas/hora, y el barco B, situado a 32 millas al sur de A, navega hacia el este a 12 millas/hora. a) ¿A qué razón se acercan o separan al cabo de 1 hora? b) ¿Después de 2 horas? c) ¿Cuándo dejan de acercarse y a qué distancia se encuentran en ese momento?
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Razones
1.
CAPÍTULO 20
PROBLEMAS RESUELTOS
CAPÍTULO 20
Razones
Sean A 0 y B 0 las posiciones iniciales de los barcos, y A t y B t sus posiciones t horas más tarde. Sea D la distancia entre ellos t horas más tarde. Entonces (fig. 20.3): D 2 = (32 - 16t)2 + (12 t)2 y 2 D dD = 2(32 - 16 t ) ( - 16) + 2(12 t )(12) = 2(400 t - 512).
A
A
B
B Fig. 20.3
Por tanto,
dt
= 400t ~ 512 D
a)
Cuando t = 1, D = 20 y d D = -5 .6 . Se acercan a 5.6 millas/hora.
b)
Cuando t = 2, D = 24 y d D = 12. Se alejan a 12 millas/hora.
c) Dejan de acercarse entre sí cuando d D = 0, es decir, cuando t = -400 = 1.28 h, momento en el que están a D = 19.2 millas de distancia. 5.
Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a una razón de 2 pulgadas/s, mientras que los otros dos lados se acortan de tal forma que la figura sigue siendo un rectángulo con área constante A = 50 pulg2. ¿Cuál es la razón de cambio del perímetro P, cuando la longitud de un lado creciente es de a) 5 pulgadas? b) ¿10 pulgadas? c) ¿Cuáles son las dimensiones cuando el perímetro termina de decrecer? Sea x la longitud de los lados que se alargan, y y la longitud de los otros lados, en el instante t. Entonces, P = 2(x + v), f a)
- 2(f
+f
f
= xf
+y jx - 0
y
d - = 2(2 - 4) = - 4 pulgadas/s (decreciente)
Cuando x = 10, y = 5 y d x/d t = 2. Entonces, 10 dV + 5(2) = 0 . Por tanto, d y = -1
c)
A = x, =» ,
Cuando x = 5, y = 10 y d x/d t = 2. Entonces, 5 d t + 10(2) = 0 . Luego, d "= - 4
b)
),
y
= 2(2 - 1) = 2 pulgadas/s (decreciente)
El perímetro dejará de crecer cuando dP / dt = 0, es decir, cuando dy / d t = - dx / d t = -2 . Entonces, x (-2) + y(2) = 0, y el rectángulo es un cuadrado de lado x = y = 5 ^ 2 pulgadas.
6.
El radio de una esfera es r cuando el tiempo es t segundos. Halle el radio cuando la razón de cambio del área de la superficie y la razón de cambio del radio son iguales. El área de superficie S = 4ft2; por tanto, d S /d t = 8n r dr/dt. Cuando d S /d t = dr/dt, 8n r = 1 y el radio r = 1/8ft.
7.
Un peso W está atado a una cuerda de 50 pies de longitud que pasa por una polea en un punto P, a 20 pies sobre el suelo. El otro extremo de la cuerda está amarrado a un camión en un punto A, a 2 pies del suelo, como se muestra en la figura 20.4. Si el camión se aleja a una razón de 9 pies/s, ¿cuán rápido sube el peso cuando está a 6 pies sobre el suelo?
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-^ 169^ CAPÍTULO 20
P
Razones
Fig. 20 .4 Sea x la distancia que ha subido el peso, y y la distancia horizontal desde el punto A, donde la cuerda está amarrada al camión, a la recta vertical que pasa por la polea. Se debe hallar dx/dt cuando dy/dt = 9 y x = 6. Ahora y2 = (30 + x)2 -(18)2 y d L = 3 0 ± i tic y dt Cuando 8.
x
= 6, y = 18>/3 y dy/dt = 9. Entonces, 9 =
+ 6 d ;' de donde d
—
pies/s.
Un foco L está suspendido a H pies sobre la calle. Un objeto de h pies de altura en O , directamente bajo la luz del foco, se mueve en línea recta a lo largo de la calle a v pies/s. Determine la fórmula de la velocidad V del extremo de la sombra reflejada por el objeto en la calle a t segundos (fig. 20.5). r£
Fig. 20 .5 Después de t segundos, el objeto se ha movido a una distancia vt. Sea y la distancia de la punta de la sombra desde O . Por triángulos semejantes, (y - vt)/y = h/H . Por tanto, Hvt
y= H - h
■ vV = — dyt = Hv y, en consecuencia, dt H - h
1
1 - (h /H )
Entonces, la velocidad de la punta de la sombra es proporcional a la velocidad del objeto, ya que el factor de proporcionalidad depende de la razón h/H. Cuando h ^ 0, V ^ v, mientras que cuando h ^ H, V ^ + ^ .
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 9.
Un recipiente rectangular tiene 8 pies de longitud, 2 pies de ancho y 4 pies de profundidad. Si el agua fluye a una razón de 2 pies3/min, ¿cuán rápido sube a la superficie cuando el agua tiene 1 pie de profundidad?
Respuesta:
1 pies/min
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CAPÍTULO 20
Q yüá -
Razones
10. U n líquido fluye dentro de un tanque cilíndrico vertical de 6 pies de radio a una razón de 8 pies3/m in. ¿Cuán rápido sube a la superficie?
Respuesta :
pies/m in
11. U n h om bre de 5 pies de altura cam ina a una razón de 4 pies/s. Si se aleja de la luz de un foco que está a 20 pies p o r encim a de la calle, a ) ¿a qué razó n se m ueve la p u n ta de la som bra? b) ¿A qué razón cam bia la longitud de la som bra?
Respuestas : a ) 16 pies/s; b) y pies/s
12. U n globo sube verticalm ente sobre un punto A del suelo a una razón de 15 pies/s. U n punto B del suelo queda a 30 pies de A. C uando el globo está a 40 pies de A, ¿a qué razón cam bia su distancia de B?
Respuesta :
12 pies/s
13. U na escalera de 20 pies de longitud se apoya contra una casa. Si el p ie de la escalera se aleja de la casa a una razón de 2 pies/s, halle con qué velocidad a ) la p arte superior de la escalera se resb ala p o r la pared, y b ) dism inuye la pen d ien te de la escalera cuando el p ie de la m ism a está a 12 pies de la casa. Respuestas : a ) -2 pies/s; b) ^ pies/s
14. D e un tanque cónico de 3 pies de radio y 10 pies de p rofundidad se saca agua a razón de 4 pies3/m in. ¿C uán rápido b aja el nivel cuando la p rofundidad del agua es de 6 pies? ¿C uán rápido dism inuye el radio de la superficie del agua?
Respuestas : 100/81ft pies/m in; 10/27ft pies/m in
15. U na barcaza, cuya cubierta está 10 pies p o r debajo del nivel del puerto, es arrastrada m ediante un cable atado a la cubierta que p asa p o r un aro situado en el puerto. C uando la lancha está a 24 pies de distancia y se aproxim a al puerto a f pies/s, ¿a qué velocidad se está tirando del cable? (D esprecie cualquier com ba en el cable.)
Respuesta :
13 pies/s
16. U n niño ha elevado una com eta a una altura de 150 pies. Si la com eta se aleja h orizontalm ente del niño a 20 pies/s, ¿a qué velocidad está soltando la cuerda cuando la com eta está a 250 pies de él?
Respuesta :
16 pies/s
17. U n tren que p arte a las 11:00
a m viaja hacia el este a 45 m illas/hora, m ientras que otro, que sale a m ediodía del m ism o punto, viaja hacia el sur a 60 m illas/hora. ¿A qué velocidad se separan a las 3 p m ?
Respuesta :
105>/2/2 m illas/hora
18. U n foco está en el extrem o superior de un poste de 80 pies de altura. Se deja caer una b o la desde un punto situado a 20 pies del foco y a su m ism a altura. Si se considera que la b o la cae de acuerdo con la ecuación s = 16t2, ¿con qué velocidad se m ueve la som bra de la b o la en el suelo 1 segundo m ás tarde?
Respuesta :
200 pies/s
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19. El barco A está a 15 millas al este de O y se mueve hacia el oeste a 20 millas/hora; el barco B está a 60 millas al sur de O y se mueve hacia el norte a 15 millas/hora. a) ¿Se acercan o se alejan después de una hora y a qué razón? b) ¿Después de 3 horas? c) ¿Cuándo están más cerca el uno del otro? a) acercándose, 115A./82 millas/hora; b) separándose, 9V 10/2 millas/hora; c) 1 h 55 minutos
20. El agua se está fugando a una razón de 10 pies3/min de una cisterna agrietada, cuya forma es la de un cono de 16 pies de profundidad y 8 pies de diámetro en la parte superior. Cuando el agua tiene 12 pies de profundidad, se observa que el nivel del agua sube a 4 pulgadas/min. ¿A qué razón se está fugando el agua? Respuesta:
(10 - 3n) pies3/min
21. Una solución pasa por un filtro cónico de 24 pulgadas de profundidad y 16 pulgadas en la parte superior, hacia una vasija cilíndrica de 12 pulgadas de diámetro. ¿A qué razón sube el nivel de la solución en el cilindro si, cuando la profundidad de la solución en el filtro es de 12 pulgadas, su nivel cae a una razón de 1 pulgada/min? Respuesta:
-4 pulgadas/min
22. El petróleo de un buque cisterna se está fugando en forma de una película circular sobre la superficie del agua. Si el radio del círculo aumenta a una razón de 3 metros por minuto, ¿a qué velocidad se incrementa el área del círculo cuando el radio es de 200 metros? Respuesta:
1200p m2/min
23. Un punto se mueve sobre la hipérbola x2 - 4y2 = 36, de forma tal que la coordenada x aumenta a una razón constante de 20 unidades por segundo. ¿A qué razón cambia la coordenada y en el punto (10, 4)? Respuesta:
50 unidades/s
24. Si un punto se mueve por la curva y = x2 - 2x, ¿en qué punto cambia la coordenada y dos veces tan rápido como la coordenada x ? Respuesta:
(2, 0)
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Razones
Respuestas:
CAPÍTULO 20
---------------
Diferenciales. Método de Newton Si una función f es diferenciable en x, entonces f ( x ) = lím Al^ 0 Ay/Ax, donde Ay = f x
+ Ax) - f x ) . Por tanto,
para los valores de Ax cercanos a 0, Ay / Ax estará próxim o a f (x). E sto se escribe con frecuencia com o Ay/ Ax ~ f ( x ) , donde Ay ~ f (x) Ax
(1)
f ( x + Ax) ~ A f x) + f ( x ) A x
(2)
E sto im plica que
L a fórm ula (2) puede utilizarse para aproxim ar valores de u na función. EJEMPLO 21.1. E stim e el v alo r de V 6 . 2 . S ea f ( x ) = \ [ x , x = 16 y Ax = 0.2. E n to n ces, x + Ax = 16.2, f (x + A x) = 7 1 6 2 y f (x) = V 6 = 4 . C om o f '(x ) = D x (x 1/2) = 1 x -1/2 = 1/(2> /x) = 1 /(2 V Í6 ) = £ , la fórm ula (2) se vuelve, 7 1 6 2 - 4 + i ( 0 . 2 ) = 4.025 (E sta aproxim ación no es válida sino hasta tres cifras decim ales. P ara cuatro cifras decim ales el valor correcto es 4.0249, que p uede com probarse en una calculadora graficadora.)
EJEMPLO 21.2. E stim e el valor de sen (0.1). En este caso, f x ) = sen x, x = 0 y A x = 0.1. E ntonces, x + A x = 0.1, f x + A x) = sen (0.1) y f x ) = sen 0 = 0. C om o f ( x ) = cos x = cos 0 = 1, la fórm ula 21.2 da sen (0.1) ~ 0 + 1(0.1) = 0.1 El valor real es 0.0998, corregido a cuatro cifras decim ales. O bserve que el m étodo utilizado p ara este problem a m uestra que sen u p uede aproxim arse en u para los valores de u cercanos a 0.
U na lim itación de la fórm ula (21.2) consiste en que no se tiene inform ación sobre cuán buena es la aproxi m ación. P or ejem plo, si se busca que la aproxim ación sea correcta en cuatro cifras decim ales, no se sabe cuán pequeño debería escogerse Ax.
La diferencial E l producto del m iem bro derecho de la ecuación (21.1) se llam a diferencial de f y se representa m ediante df.
Definición L a diferencial d f de f se define por d f =f \x)Ax
^ 172^
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----------------
f ( x + Ax) - f ( x) ~ d f
(3)
es f ( x ) . P or ende, f '(x) = R T / PR = R T / Ax . L uego, R T = f '(x )A x = d f . P ara todo Ax pequeño, Q es próxim o a P en la gráfica y, po r tanto, R T ~ RQ, es decir, d f ~ f ( x + Ax) - f x ) , que es la fórm ula (21.3).
Fig. 21 .1 C uando la función f está dada po r una fórm ula, digam os f x ) = tan x, entonces suele escribirse d f com o d(tan x ). P or consiguiente d (tan x) = d f = f ( x ) A x = sec2 x A x D e igual form a, d(x3 - 2x) = (3x2 - 2)Ax. E n especial si f x ) = x, d x = d f = f ( x ) A x = (1)Ax = Ax C om o dx = Ax, se obtiene d f = f ( x ) d x . C uando Ax ^ 0, la división entre Ax resu lta en df/dx = f ( x ) . C u a n d o fx ) se escribe com o y, entonces d f se escribe com o dy y se obtiene la notación tradicional dy/dx p ara la derivada. Si u y v son funciones y c es constante, entonces las fórm ulas siguientes son fácilm ente derivables: d(c) = 0
d(cu) = c du
, d(uv) = u d v + v du
d(u + v) = du + d v ,(u\ v du - u d v dI 1= ------ ---------
Método de Newton Supóngase que se sabe que x0 está próxim o a una solución de la ecuación f x) = 0
(4)
d onde f es u n a función derivable. E ntonces, la rec ta tan g en te ^ a la g ráfica d e f en el p u n to con coordenada x = x0 ordinariam ente cortará el eje x en un punto cuya coordenada xj está m ás pró x im a a la solución de (4) de lo que lo está x0 (fig. 21.2).
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Diferenciales. Método de Newton
E sta fórm ula se ilustra en la figura 21.1. L a recta X es tangente a la gráfica de f en P ; entonces, su pendiente
CAPÍTULO 21
O bsérvese que d f es una función de dos variables, x y Ax. Si Ax es pequeña, entonces la fórm ula (1) se vuelve
4173^
CAPÍTULO 21
D iferenciales. M étodo de N ew ton
U na ecuación punto-pendiente de la recta ^ es y - f x o ) = f ( x o ) ( x - xo) ya que f ( x 0) es la pendiente de
Si ^ corta el eje x en (xj, 0), entonces 0 - f(xo) = f ( x o ) ( x j - xo) x _ x - _ f (x0) Xl Xo f' (Xo)
Si f '(x 0) * 0, Por tanto,
Xl
Xo
f (x0) f'(X o)
A hora se aplica el m ism o razonam iento, pero com enzando con xj en lugar de xo. E l resultado es un núm ero x2 que debería ser m ás próxim o a la solución de (4) que x j, donde x2 = x j - f ( x 1 ) l f ( x 1). Si se repitiera este p ro cedim iento, se obtendría una secuencia de núm eros xo, xj, x2,..., xn,... determ inada p o r la fórm ula Xn+1
f (x n) Xn Y ( X n)
(5)
E sto se conoce com o el método de Newton p ara h allar cada vez m ejores aproxim aciones a un a solución de la ecuación f x ) = o. Sin em bargo, el m étodo no siem pre funciona (algunos ejem plos de las dificultades que pueden presentarse se m uestran en los problem as 23 y 24). EJEMPLO 21.3. 2x y (5) se lee
Es posible aproximar y/3 aplicando el método de Newton a la función f x ) = x3 - 3. Aquí, f ( x ) =
Xn+1
Xn
x2 - 3 2 X n
2x 2 - (x 2 - 3) 2
xn
x2 + 3 2
xn
(6)
Sea 1 la p rim era aproxim ación xo, ya que se sabe que j < -J3 < 2 . S ustituyendo sucesivam ente n = o, 1, 2,... en (6)*, se obtiene 13+ 3 = 2 X2 = 2 2 + 1 = 7 = 175 2(2) 4 X3 =
X4 =
(1 75) 2 + 1 2(i 75) = 1.732142857 (1.732142 857)2 + 3 = 1.732 050 81 2(1.732142 857) (1.732 050 81)2 + 3 = 1.732 050 808 2(1.732 050 81)
6
(1.732 050 808)2 + 3 = 1.732 050 808 2(1.732 o5o 8o8)
Com o la calculadora dio x6 = x5, no se puede ir m ás allá, y se h a obtenido la aproxim ación V3 ~ 1.732 o5o 8o8, que de hecho es correcta p ara el núm ero indicado de cifras decim ales. Los cálculos son tan tediosos que debería utilizarse una calculadora, preferentemente programable.
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^ 175^ CAPÍTULO 21
PROBLEMAS RESUELTOS U tilice la fórm ula (2) p ara aproxim ar: a) -^124; b) sen 61o. Sea f (x) = -^124, x = 125 y Ax = - 1 . E ntonces, x + Ax = 1 2 4 ,/(x + A x) = ^ 1 2 4 y f (x) = ^1 2 5 = 5. C om o ( x) = ^D ((xx1/3)) = 13 xx32/3 = 1------------------1--------f/ f (x) (125)2/3 3 5 2 =751 •
= -1 -
L a fórm ula (2) resu lta en -^124 ~ 5 + M 0(_1) 5 - 75 = 35r~ 1.75A V= —-J 75 4 .9 8 6 7 . (C on cuatro cifras decim ales, la respuesta correcta p uede m ostrarse com o 4.9866.) b)
S e a / x ) = sen x, x = k /3 y Ax = ft/180. E ntonces, x + Ax = 61°, f ( x + Ax) = sen 61° y f (x) = >/3/2 . C om o f '( x) = cos x = c o s (^ /3 ) = y , la fórm ula (2) da sen61° ~
+ ( 2 ) ( 1 8 0 ) ~ 0.8660 + 0.0087 = 0.8747
(Para cuatro cifras decim ales, la respuesta correcta p uede m ostrarse com o 0.8746.)
2. A proxim e el cam bio en el volum en V de un cubo de lado x si el lado se aum enta
1%. En este caso, Ax es 0.01x, f( x ) = V = x3 y f ( x ) = 3x2. P or la fórm ula (1), el increm ento es aproxim adam ente (3x2)(0.01x) = 0.03x3. (E ntonces, el volum en aum enta 3% aproxim adam ente.)
3. H alle dy p ara cada una de las funciones siguientes y = f(x): a)
y = x3 + 4x2 - 5x + 6. dy = d(x3) + d(4x2) - d(5x) + d(6) = (3x2 + 8x - 5) dx
b)
y = (2x3 + 5)3/2. dy = i (2 x 3 + 5)1/2d (2 x 3 + 5) = f ( 2 x 3 + 5 )1/2(6 x 2dx) = 9x 2(2 x 3 + 5)1/2dx
c)
x3 + 2 x +1 y=x2+ 3 ' dy
( x 2 + 3 )d( x 3 + 2 x + 1 ) - (x3 + 2x + 1)d (x 2 + 3) ' (x 2 + 3)2 (x 2 + 3)(3x2 + 2)dx - (x 3 + 2x + 1)(2x) d x = x 4 + 7 x 2 - 2x + 6 dx (x 2 + 3 ) 2 (x 2 + 3)
d)
y = cos2 2x + sen 3x. dy = 2 cos 2xd (cos 2x) + d(sen 3x) = (2 cos 2 x )(-2 sen 2x dx) + 3 cos 3x dx = - 4 sen 2x cos 2x dx + 3 cos 3x dx = (- 2 sen 4x + 3 cos 3x) dx
4.
U tilice diferenciales para h allar a)
dx
:
x y + x - 2y = 5. d(xy) + dx - d(2y) = d(5) xd y + y d x + d x - 2 dy = 0 (x - 2)dy + (y + 1)dx = 0 dy _ _ y + 1 dx~ x _ 2
b)
2x _ 3 ^ = 8 . y x ydx - xdy^
3^ xdy - y d x ^ _ ^
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Diferenciales. Método de Newton
a)
CAPÍTULO 21
D iferenciales. M étodo de N ew ton
2x2(y d x - x dy) - 3y2(x dy - y dx) = 0 (2x2y + 3y3)dx - (2x3 + 3y2x)dy = 0 dy _ y (2 x 2 + 3 y 2) _ y d x ~ x (2 x 2 + 3 y 2) _ x c)
x = 3cos 0 - cos3 0, y = 3sen 0 - sen 30. d x = (-3 se n 0 + 3sen3 0)d0, dy = (3cos 0 - 3cos 30)d0 dy _ c o s Q - co s3 0 dx -s e n 6 + sen30
A proxim e las raíces (reales) de x3 + 2x - 5 = 0. T race las gráficas de y = x3 y y = 5 - 2x en los m ism os ejes; observe que debe h aber una raíz, la cual queda entre 1 y 2. Se aplica el m étodo de N ew ton, con x0 = 1. E ntonces, f(x ) = x3 + 2x - 5 y f ( x ) = 3x2 + 2. L a ecuación 5 se vuelve 3 3 x,3 + 2x - 5 2x3 + 5 n+1 n 3xn2 + 2 3xn2 + 2 E ntonces, x 1= 7 = L4 x 2 ~ 1.330 964 467 x3 ~ 1.328 272 82 x4 ~ 1.328 268 856 x5 ~ 1.328 268 856 U na calculadora da la resp u esta 1.328 2689, exacta p ara el núm ero indicado de cifras. P or tanto, la respu esta obtenida m ediante el m étodo de N ew ton es correcta hasta al m enos siete cifras decim ales.
6.
A p r o x i m e la s r a íc e s d e 2 c o s x - x 2 = 0.
x y y = x 2, o b s e r v e q u e h a y d o s r a íc e s r e a le s , p r ó x im a s a 1 r e s u n a r a íz , la o tra r a íz e s - r . ) S e a p lic a e l m é t o d o d e N e w t o n x 2 y f ( x ) = - 2 s e n x - 2 x = - 2 ( x + s e n x ) . L a e c u a c ió n (5 ) s e v u e lv e
A l t r a z a r la s g r á f ic a s d e
y
= 2 cos
la fu n c ió n 2 c o s x - x 2 e s p a r, si E n t o n c e s , f(x) = 2 c o s x -
x
y - 1 . (C o m o c o n x 0 = 1.
2cos x n_nn- xn2xn 2 + 2(xn senxn + c os x n) n___ n_______ ny x + 1i______ n_____________________• n+1~ n 2 x n + sen x n ~ 2(xn + senxn)
E n to n ce s x j ~ 1 .0 2 1 8 8 5 93 x 2 ~ 1 .0 2 1 6 8 9 9 7 x 3 ~ 1 .0 2 1 6 8 9 9 5 4 x 4 ~ 1 .0 2 1 6 8 9 9 5 4 U n a g r a fic a d o r a p r o d u c e 1 .0 2 1 6 9 , c o r r e c to p a r a e l n ú m e r o in d ic a d o d e c if r a s d e c im a le s , d e m a n e r a q u e la r e s p u e s t a o b t e n id a m e d ia n t e e l m é t o d o d e N e w t o n e s p r e c is a a l m e n o s c o n c in c o c if r a s d e c im a le s .
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 7.
U tilice la fórm ula (2) para aproxim ar a) ; b) ^ 1 0 2 0 ; c) cos 59°; d) tan 44°. Respuestas:
8.
a) 2.031 25; b) 3.996 88; c) 0.5151; d) 0.9651.
U tilice la fórm ula (1) para aproxim ar el cam bio en a) x 3 cuando x cam bia de 5 a 5.01; b) — cuando x cam bia de 1 a 0.98. x
Respuestas: a) 0.75; b) 0.02
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Una placa circular se dilata por la acción del calor de manera que su radio se incrementa de 5 a 5.06 pulgadas. Calcule el incremento del área. Respuesta: 0.6n pulgadas2 ~ 1.88 pulgadas2.
Respuestas: a) 80n pulgadas3; b) 16k pulgadas2.
11. La velocidad adquirida por un objeto que cae libremente una distancia h pies a partir del reposo está dada por v = \¡64.4h pies/s. Calcule el error en v debido a un error de 0.5 pies al medir h como 100 pies. Respuesta:
0.2 pies/s.
12. Si un aviador vuela alrededor del mundo a una altura de 2 millas sobre el ecuador, calcule cuántas millas más recorrerá que una persona que viaje a lo largo del ecuador. Respuesta:
12.6 millas.
13. Se desea medir el radio de un círculo y se va a calcular su área. Si el radio puede medirse con una precisión de 0.001 pulgadas y el área debe tener una aproximación de 0.1 pulgadas2, calcule el radio máximo para el que puede utilizarse este proceso. Respuesta:
16 pulgadas.
14. Si p V = 20 y p se mide como 5 ±0.02, calcule V. Respuesta:
V = 4 ±0.016.
15. Si F = 1/r2 y F se mide como 4 ±0.05, estime r. Respuesta:
r = 0.5 ±0.003.
16. Calcule el cambio en la superficie total de un cono circular recto cuando a) el radio r permanece constante mientras la altura h cambia en poca cantidad Ah; b) la altura permanece constante mientras el radio cambia muy poco Ar. Respuestas:
a) nrh Ah/V r 2 + h 2 ; b) n
/ h2 + 2 r2 , 2 r ^ A r. Vr 2 + h 2
17. Halle dy para: a)
y = (5 - x)3
b)
y =^
c)
y = cos-1(2x)
Respuesta: ^
d)
y = cos(bx2)
Respuesta: - 2 b x sen (bx 2 )dx.
sen x y
~
Respuesta: -3 (5 - x)2dx. D . x cos x - senx , Respuesta: ------------2-------- dx. -2 4 2 dx.
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Diferenciales. Método de Newton
10. El radio de una bola de hielo se reduce de 10 a 9.8 pulgadas. Calcule la reducción en a) el volumen; b) el área de la superficie.
CAPÍTULO 21
9.
CAPÍTULO 21
D iferenciales. M étodo de N ew ton
18. H alle dy/dx en los ejem plos siguientes, p or m edio de diferenciales: a)
2xy 3 + 3x 2y = 1
Respuesta: -
b)
xy = sen(x - y)
Respuesta: c o s ( x - y) - y .
++ x )
c o s ( x - y) + x
19. (CG ) U tilice el m étodo de N ew ton para h allar las soluciones a estas ecuaciones, con cuatro cifras decim ales:
a) x 3 + 3x + 1 = 0
Respuesta: -0 .3 2 2 2 .
b)
x - cos x = 0
Respuesta: 0.7391.
c)
x 3 + 2x 2 - 4 = 0
Respuesta: 1.1304.
20. (CG ) A plique el m étodo de N ew ton p ara aproxim ar con cuatro cifras decim ales:
a)
-V3
b)
^
21. a)
Respuesta: 1.3161. Respuesta: 3.0098.
247
C om pruebe que el m étodo de N ew ton p ara calcu lar s[ r de la ecuación x n+1 = 1 ^ x n
b) (C G ) A plique el inciso a) para aproxim ar y[5 con cuatro decim ales.
Respuesta:b) 2.2361. 22. (CG ) D em uestre que x 3 + x 2 - 3 = 0 tiene una sola solución en (1, 2) y aplique el m étodo de N ew ton para aproxim ar hasta cuatro decim ales.
Respuesta:
1.1746.
23. D em uestre que el m étodo de N ew ton no funciona si se aplica la ecuación x 1/3 = 0, con x 0 = 1.
24. P ruebe que el m étodo de N ew ton no da aproxim aciones a las soluciones de las ecuaciones com enzando con los valores iniciales dados y explique p or qué no funciona en tales casos.
a) x3 - 3x 2 + 3x + 2 = 0, con x 0 = 1. b) x 3 - 3x 2 + x - 1 = 0, con x 0 = 1. Vx - 2
I
para x > 2 , con x 0 = 3.
- V2 - x
para x < 2
25. (CG ) A proxim e p utilizando el m étodo de N ew ton p ara h allar una solución de cos x + 1 = 0.
Respuesta:
3.141 592 654. (O bserve cuánto d em ora la resp u esta para estabilizarse.)
26. (CG ) U tilice el m étodo de N ew ton para calcular la única solución positiva de cos x = 2 .
Respuesta:
1.029 866 529.
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siguientes,
Antiderivadas Si F'(x) = f(x ), entonces F se denom ina una antiderivada de f. EJEMPLO 22.1. x3 es una antiderivada de 3x2, pues Dx(x3) = 3x2. Pero x3 + 5 también es una antiderivada de 3x2 ya que Dx(5) = 0. (I) (II)
En general, si F (x) es una antiderivada d ef(x ), entonces F (x) + C también es una antiderivada d ef(x ), donde C es cualquier constante. De igual forma, si F (x) es una antiderivada de f(x ) y si G(x) es cualquier otra antiderivada de f(x ), entonces G(x) = F (x) + C, para alguna constante C.
La propiedad (II) se desprende del problema 13 del capítulo 18, ya que F'(x) = f(x ) = G'(x). De las propiedades (I) y (II) se observa que, si F (x) es una antiderivada de f (x), entonces las antiderivadas de f (x) son precisamente tales funciones de la forma F (x) + C, para una constante arbitraria C. Notación.
J f (x) d x denotará cualquier antiderivada d ef(x ). En esta notación,f(x) se denomina el integrando.
Terminología.
Una antiderivada J f (x) dx también se denomina una integral indefinida.
Más adelante se proporcionará una explicación de la notación peculiar J f (x) dx (incluida la presencia de la dife rencial dx). EJEMPLO 22.2.
a) J x d x = -2x 2 + C ; b) J - s e n x d x = c o sx + C .
Leyes de las antiderivadas
Se observa que D x (a J f (x) dx j = aDx | J f (x) dx j = a f (x ). L ey 6.
J (f (x) + g(x)) dx = J f (x) + dx + J g ( x) dx. Se observa que D x ( J f (x) dx + J g(x) dx j = D x ( J f (x) dx j + Dx ( J g ( x) dx j = f (x) + g(x).
L ey 7.
J (f (x) - g(x)) dx = J f (x) dx - J g(x) dx. Se observa que D x ( J f (x) dx - J g(x) dx j = D x ( J f (x) dx j - D x ( J g(x) dx j = f (x) - g(x).
«
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79J
CAPÍTULO 22
A ntiderivadas
EJEMPLO 22.3. a) b)
J t f x dx = J x 1/3dx = x /
3
+ C = I x 4/3 + C
por la ley (4).
J -1 dx = J x~2dx = - - - + C = - 1 + C por la ley (4). x J 1 x
j
c)
J 7 x3dx = 7 J x3dx = 7 1^ J + C = i x4 + C por las leyes (5) y (4).
d)
J (x 2 + 4) dx = J x 2dx + J 4 dx = 3 x3 + 4x + C
e)
J (3x6 - 4x) dx = J 3x6dx - J 4 x d x = 3 j x6 dx - 4 J x d x = 3 (y x 7) - 4 (3 x 2) + C = f x 7 - 2x2 + C .
EJEMPLO 22.4.
por las leyes (6), (4) y (2).
Las leyes (3) a (7) permiten calcular la antiderivada de todo polinomio. Por ejemplo, J (6x8 - 1 x 5 + 7x4 +-J3)dx = 6 (3 x9) - 3 (3 x6) + 7 (3 x 5) + >/3x + C = 3 x 9 - 3 x 6 + y x 5+-J3x + C
L ey 8.
F ó rm u la a b re v ia d a I J ( g ( x ) ) rg' ( x) dx =
P ara la com probación, Dx
(g (x )) r+1 + C p ara todo n ú m ero rac io n al r * - 1.
(g (x )) r+1j = j + i D x[(g(x)) r+1] =
(r + 1)(g(x)) rg '(x ) = (g (x )) rg '(x ) p o r la
regla de la cadena p ara potencias. EJEMPLO 22.5.
J (3 x3 + 7)5x 2 dx = -6(irx3 + 7)6 + C .
Para comprobarlo, sea g(x) = (3 x 3 + 7) y r = 5 en la fórmula abreviada I. EJEMPLO 22.6.
J (x 2 + 1)2/3x d x = 4 J (x2 + 1)2/32xdx = 2 (513 )(x 2 + 1)5/3 + C = 130 (x2 + 1)5/3 + C .
En este caso, se tuvo que insertar un factor de 2 en el integrando para poder utilizar la fórmula abreviada I. L ey 9.
M é to d o d e su stitu c ió n J f (g(x))g'(x) dx = J f (u) du
donde u se sustituye por g(x) después de evaluar el lado derecho. L a “sustitución” se realiza en el lado izquierdo con u = g(x) y du = g'(x)dx. (Para ver una justificación, repase el problem a 21.) EJEMPLO 22.7 a)
Halle J xsen (x2) dx. Sea u = x2. Entonces du = 2x dx. Luego, x d x = 3 d u . Por sustitución J x sen (x2)dx = Jsen u (2)du = 3 (-eos«) + C = -3 c o s ( x 2) + C
b)
Halle
J sen(x/2)d x .
Sea u = x . Entonces du = 3 dx. Por tanto, dx = 2 du. Por sustitución, J sen ( 2 ) dx = J (sen u)2 du = 2 Jsen udu = 2 (- cos u) + C = -2 c o s ( ) + C N ótese que la fórm ula abreviada I es un caso especial del m étodo de sustitución, con u = g(x). L a v entaja de la fórm ula abreviada I es que evita el tedio de realizar la sustitución.
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- 4 181: :
sen x d x = - cos x + C
Antiderivadas
cos x d x = sen x + C sec2 x d x = tan x + C tan x sec x d x = sec x + C cosec2 x d x = - cot x + C cot x csec x d x = - co sec x + C 1 d
= sen-1 x + C
1 dx = tan 1x + C 1+ x2 1
dx = sec-1 x + C
V x2- 1 dx = sen 1í x 1+ C
p ara a > 0
-~y-1— 2 dx = —tan 1{ — | + C a2+ x 2 a ^a
p ara a > 0
-v/fl2 - x
dx = — sec-1 í — I + C x%/x2 -
p ara fl > 0
PROBLEMAS RESUELTOS En los problem as 1 a 8, evalúe la antiderivada. 1.
J x6dx = 1 x7 + C
2.
J^
[Ley (4)]
= J x~6dx = 3 5 x~5 + C = - 5 x
5
+C
[Ley (4)]
J t f z dz = J z1l3dz = ^-13 z413 + C = f(-^ z )4 + C dx = J x~2l3dx =
x 113 + C = 3 ^ x + C
[Ley (4)] [Ley (4)]
J ( 2 x 2 - 5x + 3) dx = 2J x 2dx - 5J x d x + J 3 dx = 2(-yx3) - 5(2 x 2) + 3x + C = f x3 - -5x 2 + 3x + C 6.
[Leyes (3)-(7)]
J (1 - x) 4 x dx = J (1 - x)x112dx = J (x112 - x3l2)dx = J x 112dx - J x312dx = 3 ^ x312 -
5 ^ x 512 + C
= 2 x312 - f x 512 + C = 2x3l2(3 - I x) + C
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CAPÍTULO 22
L as fórm ulas conocidas p ara las derivadas de funciones trigonom étricas y de funciones trigonom étricas inversas dan las fórm ulas siguientes para las antiderivadas:
[Leyes (4) y (7)]
CAPÍTULO 22
^ 182^ 7. J (3s + 4)2ds = J (9s2 + 24s + 16) ds = 9 ( | s3) + 2 4 ( | s 2) + 16s + C = 3s3 + 12s2 + 16s + C
[Leyes (3)-(6)]
Obsérvese que hubiera sido más fácil por medio de la fórmula abreviada I: J (3s + 4 )2ds = | J (3s + 4 )23 ds = | ( | ( 3 s + 4)3) + C =(i)(3 s + 4)3 + C
8.
J x + 5 x ~ 4 dx = J (x + 5 _ 4 x - 2) dx = i x 2 + 5 x - 4 | - T-x - 1J + C
[Leyes (3)-(7)]
= \ x 2 + 5x + 4 + C
Use la fórmula abreviada I en los problemas 9 a 15. 9.
J (s3 + 2)2(3s2) ds = 1 (s3 + 2)3 + C
10. J (x3 + 2)1/2x 2dx = | J ( x 3 + 2)1/23x2dx = | (^ ^ ( x 3 + 2 )3/2) +C = K x 3 + 2)3/2 + C
1 J . J ( í x V dx = 8 J ( x 3 + 2)_33x2dx = i ( _ L ( x 3 + 2)_2) + C = _^3
12. J
+C
x2d x ^ = 1 J (x3 + 2)_1/43x2dx = i ( 3 4 (x3 + 2)3/4) + C = f (x3 + 2)3/4 + C
13. J 3x%/1 - 2x 2 d x = - 1- J - 4 x *J1 - 2x 2dx = - -4 J - 4x(1 - 2x2)1/2d x = - } ( 3 ^ ( 1 - 2x 2)3/2 J + C = --2(1 - 2 x 2)3/2 + C 14. J ^1 - x 2x d x = --2 J (1 - x 2)1/3(-2 x ) dx = - 1 ( 4 73(1 - x 2) 4/3) + C = - -3(1 - x 2)4/3 + C
15. Jsen2 x cos x d x = J (senx)2cos x d x = ■j(senx)3 + C = 3 sen3x + C En los problemas 16 a 18, aplique el método de sustitución. 16. f J
dx.
vx
Sea u = \ j x = x 1/2. Entonces, du = 2 x~y ld x . Luego, 2 du = —^ d x . Así, vx J cosV x dx = 2J c o s u d u = 2sen u + C = 2sen(>/7) + C 17. J x s e c 2(4x2 - 5 ) d x . Sea u = 4 x 2 - 5. Entonces, du = 8x dx, y 1 du = x d x . Así,
J x sec2(4 x 2 -
5) d x = -5-J sec2 u d u = -5-tan u + C = |ta n ( 4 x 2 - 5) + C
18. J x V x + 1 d x . Sea u = x + 1. Entonces, du = dx y x = u - 1. Luego,
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A ntlderlvadas
^ 183^ CAPÍTULO 22
J x 2V x + 1 dx = J (u - 1)2Vw du = J (u 2 - 2u + 1) u 1/2du = J (u 5/2 - 2u3/2 + u 1/2) du = -2u 7/2 - 2(-f)u5/2 + 1 u 3/2 + C
= 2(x + 1)3/2[ | ( x + 1)2 - 5 (x + 1) + U + C
19. Se lanza una p iedra desde el suelo hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies/segundo (pie/s). a ) ¿C uándo alcanza su m áxim a altura? b) ¿C uál es la m áxim a altura? c) ¿C uándo toca el suelo? d) ¿C uál es la velocidad cuando llega al suelo?
v = J —32 dt = - 3 2 t + Cj Sea t = 0, y se observa que C 1 = v0, la velocidad inicial en t = 0. E ntonces, v = - 3 2 t + v0. P or consiguiente,
Sea t = 0, y se observa que C 2 = s 0, la posició n inicial en t = 0. P or tanto, s = - 1 6 t 2 + v0t + s 0 E n este problem a, s 0 = 0 y v 0 = 64. Entonces,
v = - 3 2 t + 64, s = - 1 6 t 2 + 64t a ) A la altura m áxim a, d - = v = 0 . A sí, —32 t + 64 = 0 y, p o r ende, t = 2 segundos. b) C uando t = 2, s = -1 6 (2 )2 + 64(2) = 64 pies, la altura m áxim a. c) C uando la p ied ra llega al suelo, 0 = s = - 1 6 t2 + 64t. A l dividir entre t, 0 = - 1 6 t + 64 y, p or tanto, t = 4. d) C uando t = 4, v = -3 2 (4 ) + 64 = - 6 4 pies/s.
20. H alle la ecuación de la curva que pasa p or el punto (3, 2) y que tiene p endiente 5x2 - x + 1 en cada punto (x, y ). C om o la pen d ien te es la derivada, dy / dx = 5x2 - x + 1, entonces
C om o (3, 2) está en la curva, 2 = -f (3)3 - 1 (3)2 + 3 + C = 45 - f + 3 + C . P or consiguiente, C = --§-. P or tanto, la ecuación de la curva es
21. Justifique el m étodo de sustitución: J f (g(x))g'(x)dx = J f (u) d u . A quí, u = g(x) y du/dx = g'(x). Por la regla de la cadena, D x ( J f ( u ) du ) = D u (J f ( u ) d u ) • j u = f (u ) •% = f (g (x)) •g '( x )
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS E n los p ro b lem as 22 a 4 4 , evalúe la an tid eriv ad a indicada.
Respuesta:
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2 x 1/2(1 + f
x + f x2) + C
Antiderivadas
= 2 u 3/2( | u 2 - -f u + y) + C
CAPÍTULO 22
^ 184^
23.
^ + n x) d x (x + 1)
Respuesta:
24.
co s3 x d x
Respuesta:
ysen 3 x + c
25.
sen y dy cos2 y
R esp u e sta :
sec y + C
26.
1 + d o x (Sugerencia: m ultiplique el num erador y el d enom inador p or 1 - cos x.)
x+ 1 + C
x +1
JLT Lvo A
Respuesta:
- c o t x + cosec x + C
27.
(tan 2 x + sec 2 x )2d x
Respuesta: tan 2x + sec 2x - x + C
28.
dx 2 •n/4 - x 2
/ x )+ ) C Respuesta: s^e n- 11(2
29.
9 +'x 2
R espuesta:
30.
-J25 ^*16 2 Respuesta:
31.
A ntlderlvadas
4
9
-ytan -1 ( 3 ) + C
(Sugerencia: factorice 16 fuera de radical.) ^-sen 1 (4=^) + C
(Sugerencia: factorice el 4 del d enom inador o haga la sustitución u = 2x)
Respuesta: | t a n -1 (—^ ) + C
32.
dx (Sugerencia: factorice el 4 del radical o haga la sustitución u = 2x) x v 4x2- 9
— 1
Respuesta:
33.
34.
x 2dx
36.
37.
38
6 (Sugerencia: sustituya u = x3)
1
3x3
Respuesta: í-sen 1(x 3) + C
/ o n / n ' / i v i r ' in • sustituya cnctitn \T ‘:> ut i = — - v 2^ (Sugerencia: x 2)
x4 d+x3
35.
^ s e c -1 (—^ ) + C
4 x 2 ^ 3x A x2 +1
sec x tan x d x 9 + 4 se c 2x r (x + 3) dx
vr>t i / o cf//-V3 fQn 1Respuesta: [ ^ —V3
R espuesta:
y c o s 1(x r ) + C
3 Y2 J A d x Respuesta: 2
^ - - 4 x + 4 tan-1 x + C
Respuesta:
-g-tan 1( 2 s|3c x ) + C
Respuesta:
->/1 - x 2 + 3sen 1x +
r >/1 - x 2
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^ ^ t a n 11 — 3 — I + C
C
-^ 185^ ^ 5 5 tan -1 ^ (x +
dx 4 0 ' -W 20 + 8x - x 2
R espuesta:
sen - 1( x - 4 ) + C
R espuesta:
y tan - 1( 2^
R espuesta:
sen - 1( x + 6 ) + C
R espuesta:
- \ I 5 - 4 x - x 2 + sen - 1( x 3 2 ) + C
R espuesta:
- V 4 x - x 2 + 4sen - 1( x - 2 ) + C
R espuesta:
-2(x - 2)5/2 + C
R espuesta:
-
R espuesta:
2y¡x + 3 + C
48. j* J 3x - 1 dx
R espuesta:
-2(3x - 1)3/2 + C
49. J V 2 ^ 3 x dx
R espuesta:
- -2(2 - 3x)3/2 + C
50. J (2 x 2 + 3 )1/3x d x
R espuesta:
16 (2 x 2 + 3)4/3 + C
51. J .JT+ y y3 dy
R espuesta:
-6(1 + y 4)3/2 + C
R espuesta:
-
53. J (x - 1)2x dx
R espuesta:
4 x 4 - -f x 3 + 1 x 2 + C
54. J (x 2 - x )4(2 x - 1 ) dx
R espuesta:
-y(x2 - x )5 + C
41. J
dx 2x 2 + 2x + 5 dx
42. j -v/28 - 12x - x 2 43. J
44. J
x +3 >/5 - 4 x - ; x+2
dx
dx
j +q
1) + C
-v/4x - x
E n los problem as 45 a 52 u tilice la fórm ula abreviada I.
45. J (x - 2)3/2dx
46' J ( A ?
47 Ji m
52. J
x dx (x 2 + 4 )3
1 2( x - 1)2
C
1 4 (x 2 + 4 )2
C
E n los problem as 53 a 64 u tilice cualquier m étodo.
r
55. I
(x +1) dx
Á J y¡x2 + 2 x - 4
Respuesta: yjx2 + 2 x -
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4 +
C
Antiderivadas
Respuesta:
CAPÍTULO 22
dx 3 9 J x 2 + 10x + 30
CAPÍTULO 22
•( i + 4 X ) 2 56. J (" ' dx yfx
A ntiderivadas
R espuesta:
f (1 + •Jx )3 + C
R espuesta:
y x 5/2 - j-x 3/2 - 4 x 1/2 + C = 2 x 1/2( £ x 2 - £ x - 2) + C
58. J sec3 x ta n 3 x dx
R espuesta:
£ sec3 x + C
59. Jc o s e c 2 (2x) dx
R espuesta:
- 2 cot 2x + C
60. J x sec2(x 2) dx
R espuesta: -jta n (x 2) + C
61. J tan 2 x d x
R espuesta:
tan x - x + C
62. J cos4x sen x dx
R espuesta:
- y c o s5x + C
63. J - dx y¡5 - x 2
R espuesta:
sen 11 x '{ 5 | + C
■(x + 1)( x - 2)
dx
57
sec2 x d x 64- i i - 4 t an2 x
R espuesta: ^sen 1(2 ta n x) + C
65. Se lanza una p iedra hacia arriba desde el b o rd e de un edificio, a 120 pies de altura, con una velocidad inicial de 96 pies/segundo (pie/s). a) ¿C uándo alcanzará su altura m áxim a? b) ¿C uál será su altura m áxim a? c) ¿C uándo to cará el suelo? d) ¿C on qué rapidez llegará al suelo? R espuestas:
a) t = 3 s; b) 264 pies; c) 6 + 2 6 6 ~ 7 .0 6 s; d) -1 2 9 .9 8 pies/s
66. U n objeto se d esplaza sobre el eje x con aceleración a = 3 t - 2 p ies/s2. En el instante t = 0, está en el origen y se m ueve con una velocidad de 5 pies/s en dirección negativa. a) H alle una fórm ula p ara su velocidad v. b) E ncuentre la fórm ula p ara su posició n x. c) ¿C uándo y dónde cam bia de dirección? d) ¿En qué instantes se m ueve hacia la derecha? R espuestas:
a) v
= -ft 2 - 2 t - 5 ; b) x = 2 13- 12 - 5 t ; c) 2
3
d) t > 2 + ' f 3 4 3
o t < 2 - 'J'3 4 3
67. U n cohete lanzado hacia arriba desde el suelo regresa a éste 8 segundos (s) m ás tarde. a) ¿C uál fue la velocidad inicial? b ) ¿C uál fue su m áxim a altura? R espuestas:
a) 128 pies/s; b) 256 pies
68. En una vía recta, un conductor frena cuando el auto va a 55 m illas p or hora (m i/h). Los frenos pro d u cen una desaceleración constante de 11 p ies/s 2. a) ¿C uándo p arará el auto? b) ¿C uánto se desplazará después de haber presionado los frenos? R espuestas:
a) 5 segundos; b) 137.5 pies
69. H alle la ecuación de la curva que p asa p o r el punto (3, 7) y que tiene p endiente 4x 2 - 3 en (x, y).
Respuesta:
y = f x3 -
3 x - 20
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La integral definida. Área bajo una curva
Notación sigma L a letra griega m ayúscula X (sigm a) representa la sum a repetida. EJEMPLO 23.1. 5
a)
j
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
j =1 3 b)
X
(2i + 1 ) = 1 + 3 + 5 + 7 .
i=0 10
c)
X i 2 = 2 2 + 3 2 + ••• + ( 1 0 ) 2. i=2 4
d)
X
cos
jn = co s^
+ cos2 ^ + cos3^ + cos4 ^ .
j=1 E n g e n e r a l, si f e s u n a fu n c ió n d e f in id a e n lo s e n te r o s y s i
n
y
k
s o n e n te r o s ta le s q u e
n
>
k,
e n to n c e s :
X f (j ) = f (k) + f (k + 1) + ••• + f (n) j=k
Área bajo una curva S upóngase que f es una función tal q u e f x ) > 0 p ara to d a x en el intervalo cerrado [a, b]. Su g ráfica es una curva que queda sobre o po r encim a del eje x (fig. 23.1). Se tiene la idea intuitiva del área A de la región ^ bajo la gráfica, encim a del eje x y entre las rectas verticales x = a y x = b . Se esp ecificará un m étodo p ara evaluar A . Se escogen los puntos x 1, x2,..., xn-1 entre a y b. S ea x0 = a y x n = b. L uego (fig. 23.2), a = x0 < x 1 < x2 < ... < xn-1 < x n = b E l intervalo [a, b] se divide en n subintervalos [x0, x1], [x1, x2],..., [xn-1, xn]. L as longitudes de estos intervalos se sim bolizan con A1x, A2x,..., Anx. Por tanto, si 1 < k < n, Ak x = xk - xM
4 '187^
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CAPÍTULO 23
La In te g ra l definida. Á re a bajo una curva
Se trazan los segm entos de recta vertical x = x k desde el eje x h asta la gráfica, con lo que se divide la región ^ en n franjas. Si AkA representa el área de la franja k-ésim a se obtiene A = X A kA k=1 E s posible aproxim ar el área AkA de la m anera siguiente: se selecciona cualquier punto x* en el subintervalo k-ésim o [xk-1, xk]. Se traza el segm ento de recta vertical que va desde el punto x* sobre el eje x h asta la gráfica (obsérvense las líneas punteadas de la figura 23.3); la longitud de este segm ento es f (x*). E l rectángulo con b ase Akx y altura f (x*) tiene el área f (x*) Akx, que es aproxim adam ente el área AkA de la franja k-ésim a. Por tanto, el área total A bajo la curva es aproxim adam ente la sum a X f (x*) A kx = f (x*) A1x + f (x*) A2x + • • • + f ( x *) Anx k=1
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(1)
-^ 189^ CAPÍTULO 23 La integral definida. Área bajo una curva
L a aproxim ación m ejora cada vez que se divide el intervalo [a, b] en m ás y m ás subintervalos y cuando las longitudes de éstos se hacen m ucho m ás pequeñas. Si las aproxim aciones sucesivas pueden hacerse tan p ró x i m as a un núm ero específico com o se desee, entonces ese núm ero se representará por pb f f (x) dx •Ja y se denom inará la integral definida de f desde a h asta b. E se núm ero no existe en todos los casos, pero sí existe, b po r ejem plo, cuando la función f es continua en [a, b]. C uando I f (x) dx existe, su valor es igual al área A bajo a la curva.* b E n la notación I f (x) dx, b se denom ina límite superior y a se llam a límite inferior de la integral definida. a P ara cualquier función (no necesariam ente no negativa) f en [a, b], pueden definirse las sum as de la form a (1) sin utilizar la noción de área. Si hay un núm ero al que puedan aproxim arse tales sum as tanto com o se desee, a m edida que n se vuelve m ás y m ás grande y cuando el m áxim o de las longitudes A kx tiende a 0, entonces ese b núm ero se representa por I f (x) dx y se denom ina integral definida de f en [a, b]. b a C uando í f (x) dx existe, se dice que f es integrable en [a, b]. a b Supóngase, sin verificación, que I f (x) dx existe p ara toda función f que sea continua en [a, b]. Si se desea b a evaluar I f (x) dx b asta hallar el lím ite de una secuencia de sum as (1) p ara las cuales el núm ero n de subinter a valos tiende a infinito y las longitudes m áxim as de los subintervalos se aproxim an a 0. EJEMPLO 23.2.
Demuéstrese entonces que rb I 1 dx = b -< Ja
Sea a = x0 < x 1 < x2 < ... < xn-1 < x n = b una subdivisión de [a, b]. Entonces, una suma correspondiente (1) es n n ^ f (x*)A kx = ^ A kx (porque f(x) = 1 para toda x) Ü=1 Ü=1 =b- a b Como toda suma de aproximación es b - a, I 1 dx = b - a. a *
La integral definida también se denomina integral de Riemann de f en [a, b], y la suma (1) se conoce como la suma Riemann paraf en [a, b].
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(2)
La In te g ra l definida. Á re a bajo una curva
CAPÍTULO 23
O tro argum ento sería utilizar el hecho de que la región que está bajo la gráfica de la función constante 1 y í*b por encim a del eje x, entre x = a y x = b, es un rectángulo con base b - a y altura 1 (fig. 23.4). Entonces, I 1 dx, el área de dicho rectángulo, es b - a. ■y 1
1
b
a
x
Fig. 2 3 .4
pb
EJEMPLO 23.3.
Calcula I xd x . Ja Sea a = x0 < x 1 < x2 < ... < xn+1 < x n = b una subdivisión de [a, b] en n subintervalos iguales. Luego, cada Akx = (b - a)/n. Represente (b - a)/n mediante Ax. Entonces, x1 = a + Ax, x2 = a + 2 Ax y, en general, xk = a + k Ax. En el k-ésimo subintervalo, [xk-1, xk], escoge x* como el extremo (terminal) derecho xk. Así, una suma de aproximación (1) tiene la forma n n f (xk) A kx = ^ xk* A kx = ^ (a + k Ax) A x k=\ k=1 n n n = ^ (a Ax + k(Ax)2) = ^ a Ax + ^ k(Ax)2 k=1 k=1 k=1 = n(a Ax) + (Ax)2 ¿ k = n ( a ^ ) + (^
)2 (
= a(b - a) + 1 ( b - a )2 n ± 1
Aquí se ha utilizado el hecho de que ^ k = n(n_+ 1) (repase el problema 5). í =1
Ahora, cuando n ^ ^ , (n + 1)/n = 1 + 1/n ^
1 + 0 = 1. Por tanto, el límite de las sumas de aproximación es
a(b _ a) + ^ (b _ a )2 = (b _ a) (a + b _ a ) = (b _ a) ( a 2 b ) = ^ (b 2 _ a 2) /•b Luego, I x d x = K b 2 - a 2) . Ja
b E n el capítulo siguiente se presenta un m étodo p ara calcular Ja f (x) dx que evitará el tipo de cálculo tedioso utilizado en este ejem plo.
Propiedades de la integral definida b b I c f (x) dx = c I f (x) dx a a
(3)
n b Esto resulta del hecho de que una sum a de aproxim ación ^ c f (x* ) A kx para í c f (x) d x es igual a c veces la suma k=1 a •A rb de aproxim ación > f (x*) A kx para I f (x) dx, y la m ism a relación se cum ple para los límites correspondientes. k a k=1 b b J - f (x) d x = - f f (x) d x (4) a a É ste es el caso especial de (3) cuando c = - 1 . f ( f (x) + g(x)) dx = \ hf (x) dx + J g ( x ) dx •*a Ja Ja
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(5)
-^ 191^
(6)
C om o f x ) - g(x) = f x ) + (-g(x)), esto se sigue de (5) y (4). Si a < c < b, entonces f es integrable en [a, b] si sólo y si es integrable en [a, c] y [c, b]. A dem ás, si f es integrable en [a , b ], í f (x) dx = í f (x) dx + í f (x) dx Ja Jc Jc
(7)
E sto es obvio cuando f x ) > 0 y se interpretan los integrales com o áreas. E l resultado general se obtiene de observar las sum as de aproxim ación correspondientes, aunque el caso en el que uno de los subintervalos de [a, b] que contiene c requiera algún razonam iento adicional. b Se h a definido I f (x) dx sólo cuando a < b. Se puede am pliar la definición a todos los casos posibles de la a m anera siguiente: a i) f f (x) dx = 0 a a b ii) I f (x) dx = - \ f ( x ) dx cuando a < b b a E n particular, siem pre se tiene que: í f (x) dx = - f f (x) dx p ara todo c y d Jc Jd
(8)
Se puede com probar de inm ediato que las leyes (2) a (6), la ecuación (7) y el resultado del ejem plo 3 son válidos para lím ites superior e inferior arbitrarios en las integrales.
PROBLEMAS RESUELTOS 1.S eaf x ) < 0 para toda x en [a, b]. Sea A el área entre la gráfica d e f y el eje x, desde x = a hasta x = b (fig. 23.5). D em uestre que £ f (x) dx = - A .
y
x
Fig. 23 .5 Sea B el área entre la gráfica de - f y el eje x, desde x = a hasta x = b. P or sim etría, B = A. Pero
<»b <»b í f (x) d x = - í f (x) d x p o r (4). Ja Ja C om o
í - f (x) d x = B í f (x) dx = - B = - A
a
a
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La Integral definida. Área bajo una curva
í (f (x) - g(x)) dx = J f (x) dx - J g(x) dx •*a Ja Ja
CAPÍTULO 23
n b E sto es resultado de que una sum atoria ^ (f (x*) + g(x*)) Akx p ara J (f (x) + g(x)) dx es igual a la sum atoria n n k=1 b ab Y f (x*) Akx + Y g(x*) Akx de sum atorias de aproxim ación p ara í f (x) dx y í g(x) dx. k=1 k=1 a a
CAPÍTULO 23
2.
La In te g ra l definida. Á re a bajo una curva
C onsidere una función f que, entre a y b, asum e tanto valores positivos com o negativos. Por ejem plo, sea su
fb Ja
gráfica com o la de la figura 23.6. E ntonces, I f (x) dx es la diferencia entre la sum a de las áreas p o r encim a del eje x y p or debajo de la gráfica y entre la sum a de las áreas debajo del eje x y p o r encim a de la gráfica. En el caso de la gráfica m ostrada en la figura 23.6,
b
Ja f (x) d x = (A 1 + A + A5) - (A 2 + A 4)
Para com probarlo, aplique (7) y el problem a 1:
í f (x) d x = í 1f (x) dx + í 2f (x) dx + í 3f (x) d x + í 4f (x) dx +í f (x) d x = A 1 - A2 + A3 - A4 + A5 Ja Ja Jc1 Jc2 J€3 Jc4 3.
Sean f y g integrables en [a, b]. D em uestre lo siguiente:
b a
a)
Si f (x ) > 0 en [a, b], entonces I f (x) d x > 0.
b)
Si f (x ) < g(x) en [a, b], entonces I f (x) d x < 1 g (x) d x .
c)
Si m < f (x ) < M para toda x en [a, b], entonces m (b - a) < 1 f (x) d x < M (b - a ) .
a)
C om o toda sum a de aproxim ación ^ f (x*) A kx > 0 , resu lta que
b a
b a
b a
n k=1 b a
I f (x) d x > 0
/•b
i*b
b) g(x) - f (x ) > 0 en [a, b].E ntonces, p o r a ), I (g(x) - f (x)) dx > 0 . P or (6), I g (x) dx - I f (x) dx > 0 . Por Ja Ja Ja consiguiente, í bf (x) d x < í bg (x) dx
a
a
b b b b c ) P or b), I m d x < 1 f (x)d x < 1 M d x . Pero p o r (2) y (3) Im d x = m a a a a b b I M d x = M I 1 d x = M (b - a ) . En consecuencia, a a
b a
I 1 d x = m (b - a) y
m (b - a) < í f (x) d x < M (b - a)
a
4.
E valúe í x 2 d x . 0 É sta es el área b ajo la parábola y = x2 desde x = 0 hasta x = 1. D ivida [0, 1] en n subintervalos iguales. L uego, cada Akx = 1/n, en el k-ésim o subintervalo la sum a de aproxim ación (1) es
l
/
sea x* el extrem o derecho k /n . P or consiguiente,
«>A,. -z (f ) ( ! ) - k -.
A hora, k 2 = n (n + l >(2n + 1> (revise el problem a 12). P or tanto, TÍ 6
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----------------
/ «> A* - ¿
- 1 (^
)(^
)
1
E ntonces, las sum as de aproxim ación tienden a + 0)(2 + 0) = y , cuando n ^ ^ . P or ende, I x 2 d x = 3 . En el capítulo siguiente se deducirá un m étodo m ás sim ple p ara o btener el m ism o resultado.
5.
D em uestre la fórm ula ^ k = n (n _+ 1) u tilizada en el ejem plo 3.
k=1 A l invertir el orden de los sum andos en
n k = 1 + 2 + 3 + ••• + (n - 2) + (n - 1) + n
k=1 se obtiene
n k = n + ( n - 1) + ( n - 2) + ••• + 3 + 2 + 1
k=1 A l sum ar las dos ecuaciones se obtiene
n 2 ^ k = (n + 1 ) + (n + 1 ) + (n + 1 ) + • • • + (n + 1 ) + (n + 1) + (n + 1) = n (n + 1)
k=1 porque la sum a en cada colum na es n + 1. P or tanto, al dividir entre 2 se obtiene j ^ k = n (n +1)
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 6.
4 5 C alcule: a ) ^ 3 dx; b) J x dx; c)
Respuestas:
7.
1 3x2 d x .
a ) 3(4 - 1) = 9; b) ^ ( 5 2 - ( - 2 ) 2) = 2 -; c) 3(1) = 1
H alle el área bajo la parábola y = x 2 - 2x + 2, p or encim a del eje x y entre x = 0 y x = 1.
Respuesta: 1 - 2[y (12 - 0 2)] + 2(1 - 0) = -f
8.
f6 E valúe J (3x + 4) d x .
Respuesta:
9.
3 ( ( |) ( 6 2 - 2 2)) + 4(6 - 2) = 64
3 Para la función f graficada en la figura 23.7, expresa J f (x) dx en térm inos de las áreas A 1 , A 2 y A 3
c
Respuesta: A j - A2 + A3 4
10. D em uestre que 3 < J x 3 dx < 192 [Sugerencia : rep ase el problem a 3c).]
11. E valúe J Respuesta:
- x 2 dx . (Sugerencia: halle el área correspondiente p o r razonam iento geom étrico.) ft/4
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La Integral definida. Área bajo una curva
. 1 ( 1 + I 1 (2 + i ) 6\ n¡ n
CAPÍTULO 23
|
4193^
CAPÍTULO 23
La In te g ra l definida. Á re a bajo una curva
12. U tilice la inducción m atem ática p ara dem ostrar la fórm ula X k 2 = n (n + 1)(2n + 1 del problem a 4 (C om pruébelo cuando n = 1 y luego dem uestre que, si se cum ple para n, se cum ple p ara n + 1.)
13. E valúe a) ^ cos b) ^ (4 j +1); c) ^ 4 j; d) ^ 2j 2 ;=0 R espuestas:
j=0
j=i
j=i
a) ■3 + - J 3-;. b) 15; c) 20 200; d) 4218 2 6
14. Sea la gráfica de f entre x = 1 y x = 6 com o el de la figura 23.8. E valúe J f (x) dx. R espuesta:
1 - 3 + 1 = - -f
y
2
1-
-1
-2 -
Fig. 2 3.8 rb 15. Si f es continua en [a, b], f x ) > 0 en [a, b] y f x 0) > 0 p ara algún x 0 en [a, b], dem uestre que I f (x) d x > 0. [Sugerencia: p or la co ntinuidad d e f, f (x) > 2 f (x0) > 0 para toda x en algún subintervalo [c, d]. U se la fórm ula (7) y el problem a 3a , c ).]
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Teorema fundamental del cálculo
Teorema del valor medio para integrales S ea f continua en [a, b]. A sí, existe c en [a, b] tal que Ca i—f ( x)dx = (b - a) f (c) Jb
(24.1)
Para com probarlo, sean m y M los valores m áxim os y m ínim os de f en [a, b]. Se aplica entonces el problem a 3 c) del capítulo 23 para obtener rb 1 rb ----- I f (x) dx < M m(b - a) < 1 f (x) dx < M (b - a) y, por consiguiente, m Ja b —a Ja 1 c— L uego, por el teorem a del valor interm edio, t ----- I f (x) dx = f (c) p ara algún c en [a, b]. b — a ¿a
Valor promedio de una función en un intervalo cerrado S eaf definida en [a, b]. C uando f puede asum ir infinitam ente m uchos valores en [a, b], no es posible h ab lar de prom edio de todos los valores de f. M ás bien, se divide [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud b~a Ax = . Se selecciona un punto arbitrario x* en el £-ésim o subintervalo, de m an era que el prom edio de los valores f (xj"), f (x2*) ,..., f (x ¡) es f (xi ) + f (x2) + — + f (K ) _ 1 f (r,) n n fk=1- f (xk) C uando n es grande, este valor es un buen estim ado “del valor prom edio de f en [a, b]” . Sin em bargo, com o n = bb - a A x,
1
n Í f (xP = k=1
Í
f (x^)A x k=1
b C uando n ^ ^ , la sum a de la derecha tiende a I f (x) d x . D e ahí surge la definición siguiente. a 1 rb D efinición. E l valor promedio de f en [a, b] es -r— - I f (x) dx. b — a Ja S ea f continua en [a, b]. Si x está en [a, b], entonces í f (t) dt es una función de x, y: a Dx ( J 7 (t) d t ) = f (x)
(24.2)
E n el problem a 4 hallará una dem ostración.
« L95J
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CAPÍTULO 24
Teorem a fu ndam ental del cálculo
Teorema fundamental del cálculo Sea f continua en [a, b] y sea F (x) = J f (x) dx, es decir, F es una antiderivada de f . Entonces, b f f (x) dx = F (b) - F (a) a
(24.3)
O bsérvese que por (24.2), í f (t) dt y F(x) tienen la m ism a d e riv a d a ,fx ). P or tanto, com o se advierte en el a (•x problem a 18 del capítulo 13, hay una constante K tal que I f ( t ) dt = F (x ) + K . C uando x = a, se obtiene a F (a) + K = J f (t) dt = 0 lu e g o , K = - F ( a ) a Por tanto, í f (t) dt = F ( x ) - F (a ). C uando x = b, se tiene a b \ f (t) dt = F (b ) - F (a ) a b L a ecuación (24.3) brinda una form a sim ple de calcular I f (x) dx cuando se puede h allar un a antiderivada a b F de f . L a expresión F (b) - F (a ) a la derecha de 24.3 a m enudo se abrevia com o F (x )]a. E ntonces, el teorem a fundam ental del cálculo puede escribirse com o sigue: £ f (x) dx = J f (x) dx ]a
EJEMPLO 24.1. i)
<»b L a com plicada evaluación de I x d x en el ejem plo 23.3 del capítulo 23 p uede sustituirse p or la siguiente, que Ja es m ás simple: Ja x d x = -j x 2]b a = -írb2 - 1 a 2 = y ( b 2 - a 2)
ii)
Los cálculos tediosos de J x 2dx del problem a 4 del capítulo 23 pueden rem plazarse p or J0 x 2 d x = I x 3 ]0 = i 1 3 - -jü 3 = 1
í*b 1 lb 1 iii) En general, J x rd x = ^ + 1 x r+1= ^ + 1 (br+1 - a r+1) p ara r * - 1
Cambio de variable en una integral definida A l calcular una integral definida m ediante el teorem a fundam ental se requiere una antiderivada j f (x) dx. En el capítulo 22 se observó que una sustitución de un a nueva variable u algunas veces es útil al h allar J f (x) dx. C uando la sustitución tam bién se hace en la integral definida, los lím ites de integración deben sustituirse por los valores correspondientes de u . EJEMPLO 24.2.
E valúa J ^ 5 x + 4 dx.
Sea u = 5x + 4. E ntonces, du = 5 d x . C uando x = 1, u = 9, y cuando x = 9, u = 49. P or tanto, C9 .--------- /*49 /— 1 1 /*49 J V5x + 4 dx = J Vu -f du = 1 J = f ( u 3/2 =
u 1/2 du
(por el teorena fundamental)
(49 3/2 - 93/2) = )3 - (V9) 3]
= 15(7 3 - 3 3) = 15(316) = 62 C onsulta la ju stificació n de este m étodo en el problem a 5.
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-^ 197^ CAPÍTULO 24
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
ftf/2
Evalúe I
f 7T/2
t^/2
/
'TT\ ^
sen 2x cos x d x = | sen 3xJ0 = 1 (sen ^ I - (sen0) 3 = 3rd3 - 0 3) = 3
2.
Halle el área bajo la gráfica de f (x) = ^
2 , por encima del eje x, y entre 0 y 1.
El área es ¡ 0 j==¡ dx = sen-1 (f ) = sen-1 (j ) - sen^(0) = -f - 0 =
3.
Halle el valor promedio de f ( x) = 4 - x2 en [0, 2]. El valor promedio es ^
4.
£ f (x) dx = i J02(4 - x 2) dx = 2 (4x - f
) ^ = |[ ( 8 - f ) - (0 - 0)] = 3
Demuestre la fórmula (24.2): Dx | J f (t) dt J = f (x ) . /*x Sea h(x) = I f ( t ) d t . Entonces: Ja /•x+Ax h(x + Ax) - h(x) = If (t) dt - I f (t) dt a a
rx
/•x cx+Ax rx = j f (t) dt + j f (t) dt - j f (t) dt a x a
(por 23.7)
rx+Ax = j f (t) dt x = Ax •f (x*)
p ara algún x* entre x y x + A x (p o r el teorem a del valor m ed io p ara integrales)
» , h(x + Ax) - h(x) . Así, —----- -^x----= J (x ) y, por consiguiente,
..
Dx I f f (t) dt )= Dx (h(x)) = lím h(x + A X \Ja Ax^0 Ax
h(x) = lím f (x*) Ax^0
Pero cuando Ax ^ 0, x + Ax ^ x y, por ello, x* ^ x (como x* está entre x y x + Ax). Entonces, f es continua, lím ^ ^ 0f (x ’) = f(x). 5.
b Justifique un cambio de variable en una integral definida en el siguiente sentido preciso. Dada I f (x ) dx, sea x = g(u) donde, cuando x varía de a a b, u crece o decrece de c a d (véase la figura 24.1 para el caso en que u es creciente). Demuestre que i»b f f ( x ) dx = f f(g(u))g'(u) du Ja Jc (El lado derecho se obtiene al sustituir g(u) por x, g'(u) du por dx, y cambiar los límites de integración desde a y b hasta c y d.)
Fig. 2 4 .1
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Teorema fundamental del cálculo
sen2 x cos x d x . 0 J sen 2 x cos x d x = ^ sen3 x por la fórmula abreviada I. Así, por el teorema fundamental,
Teorem a fu ndam ental del cálculo
CAPÍTULO 24
Sea F (x) = J f (x) dx, es decir, F'(x) = f(x). Por la regla de la cadena, D u( F(g(u))) = F ' (g(u)) •g ' (u) = f (g(u))gf(u)
Así,
J f (g(u))g'(u) du = F (g (u )
Entonces, por el teorema fundamental, -d d f f (g(u))g'(u) du = F (g(u))] = F(g( d)) - F(g(c)) Je c = F(b) - F(a) = í bf (x) dx a 6.a)
a a Si f es una función par, demuestre que, para a > 0, a > 0, J f (x) dx = 2J f (x) d x . a b) Si f es una función impar, demuestre que, para a > 0, a > 0, I f (x) dx = 0. J-a Sea u = -x. Entonces, du = -dx, y /•0 /*0 /*0 /*a I f (x) dx = I f (—u)(—1) du = - I f (-u ) du = I f (-u ) du J-a 0 A l rescribir u como x en la última integral queda: 0 a j f (x) d x = í f ( - x) d x (*) <¡-a J0 Luego, ra /*0 ca J f (x) d x = J f (x) d x + J f ( x ) d x (p o r(23.7)) «>-a J-a J0 a a = J0 f ( - x) dx + J0 f (x) dx (por(*))
a) b)
= J0 f ( - x) + f (x ) dx [por (23.5)] a a a Si f es p a r,f(-x ) + f(x ) = 2f(x); luego í f (x) dx = \ 2 f (x) dx = 2 j0 f (x) dx . J-a J0 J0 Si f es im p ar,f(-x) + f(x ) = 0; luego I f (x) dx = 1 0 dx = 0 1 1 dx = 0 . J-a J0 J0
Regla del trapecio b- a por medio de n ’
a)
S eaf(x) > 0 en [a, b]. Divida [a, b] en n partes iguales, cada una de longitud Ax =
b)
los puntos x1, x2, ^ , xn-1. [fig. 24.2a)]. Demuestre la siguiente regla, llamada regla del trapecio: í n—1 [ f (x) d x ~ ^ r f ( a ) + 2 ^ f (x k) + f (b ) V k=1 y 1 Use la regla del trapecio con n = 10 para aproximar í x 2 d x . 0 El área de la franja que está sobre [xk-1, xk] es aproximadamente el área del trapecio ABCD en la figura 24.2b), y A x ( f (x k 1 ) + f (x k)) .* (Recuérdese que x0 = a y xn = b.) Entonces, el área bajo la curva se aproxima por la suma de las áreas de trapecios.
a)
{[ f ( x ü) + f c g ] + [f x ) + f (x 2)] + _ + [f (x n_,) + f (x n)]} =[f ( a ) + 2 nr f (x k) + f (b)]
> C B
íW-i)
x
f (xk)
A
D
xk
x k-1 (b)
Fig. 24.2 *Recuérdese que el área de un trapecio de altura h y bases b1 y b2 es -1 h(b1 + b2).
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-^ 199^ CAPÍTULO 24
Con n = 10, a = 0, b = 1, Ax = ^ y xk = 10 se obtiene
b)
í
9
2
^
í
9
lo x2 dx ~ 2 0 02 + 2k^iT0o + 12 = 2 0 J\100 k=\ k2 + 1J, k-1
(por el problem a 12 del capítulo 23)
= 0.335 El valor exacto es i [por el ejemplo 24.1ii) anterior].
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS En los problemas 8 a 22, utilice el teorema fundamental del cálculo para evaluar la integral definida. 8.
(2x2 - x3) dx
Respuesta:
I dx
Respuesta:
1Q 9
Respuesta:
2
(-y -
- n x2
10.
11.
x3
4 dx 14x 3^/4 sen x d x
n/2 2
Respuesta:
(2 + x ) dx
Respuesta:
6
13.
(2 - x )2 dx
Respuesta:
8 -3
14.
(3 - 2 x + x 2) dx
Respuesta:
9
^(1 - 12) t dt
Respuesta:
--4-
(1 - u )yfü du
Respuesta:
-1 5
Respuesta:
26
Respuesta:
4°
dx
Respuesta:
2
~4x ) 2 dx
Respuesta:
^0-
12.
15.
2
16.
17.
8 i-------V1 + 3 x dx
2
18.
x 2( x 3 + 1) dx
19.
3_ 1 o.
20.
x(1
x
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Teorema fundamental del cálculo
20 i 0 q ( 2 8 5 ) + 1
CAPÍTULO 24
í
x dx 4 Vx2 - 1 5
Respuesta:
6
Respuesta:
4
24. J (x 3 - x 5) dx
Respuesta:
0
25. J ^sen ^ d x
Respuesta:
0
Respuesta:
2
21
1*2^ t 22. I s e n ^ dt J0 2
Teorem a fu ndam ental del cálculo
En los problemas 23 a 26, utilice el problema 6 a, b). ! dx dx 2 3 í 2x 2 + 4 2
ftf/2
26. |
J-ff/2
cos x dx
27. Pruebe Dx ( £" f (t) d t) = - f (x).
28, Demuestre Dx i r “ f (t) d t ) = f (g( x))g'(x) - f (h( x))h'(x). En los problemas 29 a 32, use los problemas 27 y 28 y la fórmula (24.2) para hallar la derivada indicada. 29. Dx í
sen t dt
30. Dx ( Jx° t 2 dt /•senx Jo t 3 dt
( 32. Dx | J
cos t dt
Respuesta:
sen x
Respuesta:
-x 2
Respuesta:
sen3 x cos x
Respuesta:
4 cos 4x - 2x cos x2
33. Calcule el valor promedio de las funciones siguientes en los intervalos indicados. a)
f (x) = t f x en [0, 1]
Respuesta:
f (x) = sec2 x on 0 — 3 c) f(x) = 3x2 - 1 en [-1, 4]
Respuesta:
d) f x ) = sen x - cos x en [0, ft]
Respuesta:
b)
Respuesta:
34. Utilice el método de cambio de variable para hallar J
5. 6 3 /3
n 12
•\/2 x + 3 x dx.
58 Respuesta: ^5-
35. Un objeto se mueve a lo largo del eje x durante un periodo de tiempo T. Si su posición inicial es x 1 y su posición final es x2, demuestre que su velocidad promedio fue de x2 j ^ .
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-^ 201^
para x < Q E valúe í
j ( x) _ { c o sx J (x) [1 - x
1 r3+A
R espuesta:
-j
R espuesta:
3-
J-*/2
5 3 n dx. x + 7
38. (Regla del p unto medio) En una sum a de aproxim ación (23.1) ^ f (x j)A kx, si se selecciona x¡ com o el punto k=i m edio del k-ésim o subintervalo, la sum a se obtiene p o r la regla del punto medio. A plique la regla del punto medio p ara aproxim ar I x 2 dx, m ediante una división en cinco subintervalos iguales, y com pare con el resultado 0 exacto de ^ . R espuesta:
0.33
39. ( Regla de S im pson ) Si se divide [a, b] en n subintervalos iguales, donde n es par, la siguiente sum a de b aproxim ación p ara I f (x) dx, a b 3na [ f (x ,) + 4 f (X ) + 2 f ( x ) + 4 f (X ) + 2 f (x4) + ••• + 4 f (xn-1)
+ f (x„)]
se obtiene p o r la regla de Sim pson. Salvo p o r el prim ero y en el últim o térm inos, los coeficientes constan de 4 y 2 alternados. (L a idea b ásica es u tiliz a r p aráb o las com o arcos de a p ro x im ació n en lu g ar de segm entos de recta com o en la regla del trapecio. L a regla de Sim pson g eneralm ente es m ucho m ás p recisa que la regla del punto m edio o la reg la del trapecio.) A plica la regla de Sim pson para aproxim ar a) J x 2 d x y b) J sen x dx, con n = 4, y com para los resultados con las respuestas obtenidas p o r el teorem a fundam ental. R espuestas:
a) £ , que es el núm ero exacto; b) -^ (2 a /2 + 1) ~ 2.0046 com parado con 2.
40. C onsidere I"0 x 3 dx. a) D em uestre que el teorem a fundam ental da la respuesta -44. b) (CG ) C on n = 10, aproxim e (con cuatro cifras decim ales) la integral p o r las reglas del trapecio, del punto m edio y de Sim pson. R espuesta:
regla del trapecio: 0.2525; del punto m edio: 0.2488; de Sim pson: 0.2500.
41. Evalúe: a)
lím — ic o s — + c o s— + ••• + c o s — \ n\ n n n )
b) ’
lím n^+~ 6n sec2 ( 6 n ) +sec2 ( 2 6 n ) + - • • +sec2 ((n - — ) 6 n )+ *
R espuestas:
42. a) b)
rft/6 „13 1 Cn a) (a) — ^ cos x d x = 0; (b) ^ sec2 x dx = - 3
2 x U se una sustitución p ara evaluar J 1 ^ + 1 dx (con ocho cifras decim ales). (CG ) U tilice una graficadora p ara calcu lar la integral de a).
R espuestas:
(a) i ( 2 - y [ 2 ) ~ 0.39052429; (b) 0.39052429 pft/4
43. (CG ) C alcule ^ R espuesta:
xsen3(tanx) d x (con cuatro cifras decim ales).
0.0262
44. (CG ) C onsidere J x 3 x 5 + 2 x 2 - 1 dx. C alcule (con seis cifras decim ales) su valor m ediante las reglas del trapecio y la de Sim pson (am bas con n = 4) y com pare con el valor dado p o r una graficadora. R espuestas:
regla del trapecio: 3.599492; de Sim pson: 3.571557; calculadora graficadora: 3.571639
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Teorema fundamental del cálculo
37. E valúe lim ^ - I h^Q h *3
f (x) dx. para x > Q.
CAPÍTULO 24
36. Sea
El logaritmo natural L a form a tradicional de definir un logaritm o, logab , es referirlo com o el núm ero u tal que au = b . P or ejem plo, logi0100 = 2 porque 102 = 100. Sin em bargo, esta definición tiene un vacío teórico. E l defecto consiste en que no se h a definido todavía au cuando u es un núm ero racional, por ejem plo, -v/2 o n. E ste vacío puede llenarse, pero ello necesitaría un desvío.* Tam bién se po d ría tom ar un m étodo distinto que a la postre resultaría en d e finiciones lógicam ente irrefutables de las funciones logarítm icas y exponenciales. U n a desventaja tem poral es que la m otivación para la definición inicial no será obvia.
El logaritmo natural Ya está fam iliarizado con la fórm ula f x r+1 J x rdx = +C
(con r ^ - 1 )
E l problem a sigue siendo determ inar qué sucede cuando r = - 1 , es decir, encontrar la antiderivada de x-1. E n la figura 25.1 se m uestra la gráfica de y = 1/í, p ara t > 0. Se trata de un a ram a de la hipérbola. P ara x > 1, la integral definida
JT> es el valor del área que está bajo la curva y = 1/t y por encim a del eje t, entre t = 1 y t = x .
Definición
Í x -1d t p ara x > 0„ 1t L a función ln x se denom ina logaritmo natural. L as razones p ara llam arlo logaritm o se aclararán posterior m ente. P or (24.2), (25.1)
Dx (ln x ) = x p ara x > 0
En algunos textos de cálculo tan sólo se ignora esta dificultad. Se considera que au está definida cuando a > 0 y u es cualquier número real y que las reglas exponenciales usuales son válidas.
^ 202^ -------------
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------------- ^ 203^
(25.2) ln1=0, porqueln1=•*[1 1t dt = 0 (25.3) Six >1, entonceslnx >0 Í íx j1d t representaunárea, oporelproblema15del capítulo23. (25.4) Si 00y, porconsiguiente, porelproblema15del capítulo23, J1j1d t > 0. (25.5)a) Dx(ln1Ixl)=-1 x parax ^0 b) J - ^ dx = lnIxl+C parax^0 El argumento essimple. Parax >0, Ixl=x y, entonces, Dx (lnIxl)=Dx (lnx)= 1/xpor(25.1). Parax <0, Ixl= - x y, entonces, D x (ln Ixl) = D x (ln ( - x)) = D u(ln u ) D x ( u)(regladelacadena, con u = -x>0) =(y ~u Jl (- 1) =- -ulu=xl EJEMPLO 25.1.
Dx
(lnI3x+2I)= -jDx(3x+2) 3
(Regladelacadena)
3x + 2
(25.6)
ln u v = ln u + ln v
N ótese que
1 D x (ln (ax)) = — Dx (ax)
(por la regla de la cadena y (25.1))
= — (a) = — = D (lnx) ax x x P or tanto, ln (ax) = ln x + K p ara alguna co n stan te K (por el p ro b lem a 18 del capítulo 13). C uando x = 1, ln a = ln 1 + K = 0 + K = K. E ntonces, ln (ax) = ln x + ln a. A l sustituir a y x p o r u y v se obtiene (25.6). (25.7)
ln ^ u j = ln u - ln v E n (25.6), se rem plaza u por V-.
(25.8)
ln 1 = - l n v E n (25.7), se sustituye u po r 1 y se utiliza (25.2).
(25.9)
ln(xr) = r ln x p ara todo núm ero racional r y x > 0. r 1 Por la regla de la cadena, D x (ln (x r)) = — (rxr-1) = ^ = D x (r ln x). Entonces, p o r el problem a 18 del capítulo 13, ln(xr) = r ln x + K para alguna constante K. Cuando x = 1, ln 1 = r ln 1 + K. C om o ln 1 = 0, K = 0, lo que resulta en (25.9).
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El logaritmo natural
Propiedades del logaritmo natural
CAPÍTULO 25
Portanto, el logaritmonaturaleslaantiderivadadex-1,perosóloenel intervalo(0, +^). Acontinuaciónse construiráunaantiderivadaen(25.5)paratodox ^0.
CAPÍTULO 25
EJEMPLO 25.2. (25.10)
E l logaritm o n a tu ra l
ln ^ 2 x - 5 = ln (2 x - 5)1/3 = <1ln(2x - 5).
ln x es una función creciente. D x (ln x ) = x > 0 como x > 0. Ahora se utiliza el teorema 13.7.
(25.11)
ln u = ln v implica que u = v. Ésta es una consecuencia directa de (25.10). Si u ^ v, entonces u < v o bien, v < u y, por consiguiente, ln u < ln v o ln v < ln u.
(25.12)
2 < ln 2 < 1
El área bajo la gráfica de y = 1/t, entre t = 1 y t = 2, y por encima del eje t, es mayor que el área y del rec tángulo con base [1, 2] y altura -2. (fig. 25.2). También es menor que el área 1 del rectángulo con base [1, 2] y altura 1. (Un argumento más riguroso utilizaría los problemas 3c) y 15 del capítulo 23.)
Fig. 25.2 (25.13)
lím ln x = +°° x— Sea k cualquier entero positivo. Entonces, para x > 22k, ln x > ln (2 2k) = 2k ln 2 > 2 k ( |) = k por (25.10) y (25.9). Entonces, cuando x ^ + ^ , ln x excederá a la postre a veces excede todo entero positivo.
(25.14)
lím ln x = —oo x^0+ Sea u = 1/x. Cuando x ^ 0+, u ^ + ^ . Por tanto, lím ln x = lím ln | \ = lím - ln u (por (25.8)) x— >0+ u— Vu J u— = - lím ln u =- oo u—
(25.15) F órm ula abreviada II: J
(por (25.13))
dx = ln lg(x)l + C
Por la regla de la cadena y (25.5a), D x (lnlg(x)l) = g —) g ' ( x ). EJEMPLO 25.3. 2x a) J x2 + 1 dx = lnlx2 + 1l + C = ln ( x 2 + 1) + C
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----------------
1.
2.
3.
Evalúea) Jtanxdx; b)Jcotxdx; c)Jsecxdx. •_senxdx a) í tanxd x =í --- dx =- í cosx cosx =_lnIcosxI+C porlafórmulaabreviadaII. =-ln sec1x +C =-(-lnIsecxl)+C =lnIsecxl+C (25.16) J tanx d x = lnIsecx l+ C PorlafórmulaabreviadaII. b) ícotx d x =fcosxdx = lnlsenxI+C senx (25.17) J cotx d x = lnlsenxl+ C cx+tanx c) J secx d x = J secxse secx+tanx'dx sec2x+secxtanxdx =lnlsecx+tanxl+C PorlafórmulaabreviadaII. =J secx+tanx (25.18) J secx d x = lnIsecx+ tanx l+ C (CG)Calculeel valordeln2. Unagraficadoradaunvalordeln2~0.6931471806. Másadelantesehallaráotrométodoparacalcularln2. (CG)Tracelagráficadey=lnx. Unagraficadoraentregalagráficamostradaenlafigura25.3. Nótesequepor(25.10), lnxescreciente. Por (25.13), lagráficacrecesinlímitealaderecha, ypor(25.14)elejenegativoyesunaasíntotavertical. Como D2(lnx)=Dx(x-1)=_x-2=_- 1 <0 lagráficaescóncavahaciaabajo. Por(25.13)y(25.14), el teoremadelvalorintermedio, elrangodelnxesel conjuntodetodoslosnúmerosreales.
Fig. 2 5.3
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El logaritmo natural
PROBLEMAS RESUELTOS
CAPÍTULO 25
El signodel valorabsolutoseeliminóporquex2+1>0. Enelfuturo, seharáestosinmencionarlo explícitamente. b) fJ x3x3dx+ 5=3 1J x3 [ 3 x dx = 1 ln Ix 3 +51 +C 3 +5
4205^
CAPÍTULO 25
4.
H a lle
a) „ b)
E l logaritm o n a tu ra l
a ) DI(ln(x4 + 7 x )); b ) D x ( ln ( c o s 2 x )); c ) Dx(cos ( ln 2 x )).
i 4 x3 + 7 D x (ln (x 4 + 7x)) = 4 _ (4x 3 + 7) = 4 + , x x 4 + 7x x 4 + 7x n „ 1 2 sen 2 x D x (ln (c o s2 x )) = ^ o s ^ ( - sen2x)(2) = ^ ^ c o s 2x = - 2 tan 2 x
c)
5.
D x (cos (ln 2x)) = (-se n (ln 2x)) i -1 1 (2) = _ sen (ln 2x) 2x J x
H alle las antiderivadas siguientes. U se la fórm ula abreviada II cuando sea posible. J 3- f e d x ;
dx;
a)
J 8 x ^ 3 dx ;
a)
f 0 1 0 dx = 1 |~0 8 0 dx = 1 ln i8 x - 31 + C J 8x - 3 8 J 8x - 3 8
b)
1 3 x ¡x~- 2 d x = <6132 4 - 2 d x = 1 lni3x8 “ 2i + C
c)
1l ^
b)
c)
í T O
í x 2 - 4 x + 5 dx
d x = í ~x 2 + 5 d x - í x T 5 dx
- 1 J1Í
5*
- 4 ; / r tan"‘ ( 7 ?
= ^2 ln (x 2 + 5) - ^ ^ t a n - 1^ d)
d)
j +C
C o m plete el cuadrado en el denom inador: I — — x-$ d x = I ^ 7 7 ^ x —4 x + 5 Sea u = x - 2, d u = dx. Í t ----- x 2— 7 dx = í u2+ 2 du = f 2u . du + f 72 J ( x - 2)2 + 1 J u2 +1 J u2 +1 Ju 2 +1
— Td x. (x —2) + 1
du
= -yln (u 2 +1) + 2 ta n -1 u + C = y ln (x 2 - 4 x + 5) + 2 ta n _1( x - 2) + C
6.
D erivación logarítm ica. Halle la derivada de y =
x(1 - x 2) 2
(1 + x 2)1/2 ' Primero se obtienen los logaritmos naturales irales de los l valores absolutos de ambos miembros: ln lyl = ln
x(1 - x 2) (1 + x 2)b
= ln lx(1 - x 2)2l - ln l(1 + x 2)1/2l
= ln ixi + ln 1(1 - x 2)2i - | l n (1 + x 2) = ln ix i + 2ln i1 - x 2i - ^ ln (1 + x 2)
Ahora se obtienen las derivadas de ambos lados: 1 , 1 2 ^ 1 1 ^ 1 4x 77y y x + 1 - x 2 (~ 2x) “ T 2 1 T+ xm2 (2x) = tx ~ 1 - x 2
y =y
7.
1 x
x 1+ x 2
4 x x ^x(1 - x 2)2 ( 1 4 x 1- x 2 1 + x 2 ) (1 + x 2)1/21 x 1 - x 2
x 1+ x
Demuestre que 1 —1 < ln x < x —1 para x > 0. (Cuando x ^ 1, las desigualdades estrictas se cumplen.) Cuando x > 1, 1/t es una función decreciente en [1, x] y entonces su mínimo en [1, x] es 1/x y su máximo es 1. Así, por los problemas 3c) y 15 del capítulo 23, 1 |-x 1 —(x - 1 ) < ln x = 1 - d t < x - 1 x Ji t
luego,
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1 1 — < ln x < x - 1 . x
-^ 207^
1 f* 1 fi 1^ —(1 - x ) < ln x = I - d t = I I - - d t < - 1 (1 - x ) x J1 t Jx\ t i
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 8.
Halle las derivadas de las funciones siguientes. a)
y = n(x + 3)2 = 2 ln(x + 3) 2 y = x+3
Respues b)
y = ln(x + 3))2
Respues a:y' = 2 ln ( x + 3)c)
y=
y=
x
3x 2- 4 (3) - 4x - 3x 6- 4
y = n sen 5x
Respues a: f)
x+3
1 1 3 x2 2x y ' = —— - (3x2) + —— r ( 2 x ) = y x 3 + 2 (3x ^ x 2 + 3 (2x) x 3 + 2 ' x 2 + 3 x .4 = ln x4 - ln (3x - 4 )2 = 4 ln x - 2ln (3x - 4) (3x - 4 )2
Respues a: y ' = 4 e)
2 ln (x + 3)
n [( x3 + 2 )( x2 + 3 )] = ln ( x3 + 2 ) + ln ( x2 + 3)
Respues a: d)
1 x+3
y ' = ---- cos( 5x)( 5) = 5cot 5x y sen5x
y = n (x + 4 1 + x 2 )
Respues a:
1 + i( 1 + x 2)-1/2(2 x )1 + x(1 + x 2)- 1/2 (1 + x 2)L
y =■
x + (1 + x 2)L
x + (1 + x 2)1/2 (1 + x 2)L
x2
V3 - x 2 = ln (3 - x 2)1/2 = y ln (3 - x 2) 1 1 x Respues a: (-2x) = y 2 3 - x2 3 - x2 g)
y=
h)
y=
ln x - x
Respues a:
y' = ln x
i)
y = n(ln(tan x)) . tan x + cot x Respues a: y = ln (tan x )
9.
Halle las antiderivadas siguientes. Use la fórmula abreviada II cuando sea posible. a ) í 7 x dx 1 Respuesta: 7 ln Ix I + C r
b)
x8
J
Respuesta:
dx
^9ln Ix 9- 1I + C
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El logaritmo natural
Por tanto, 1 - ^ < ln x < x - 1 . Cuando x = 1, los tres térm inos son iguales a 0.
CAPÍTULO 25
Para 0 < x < 1, - j es creciente en [x, 1]. Entonces, por los problem as 3c) y 15 del capítulo 23,
CAPÍTULO 25
Q cak -
c)
[ ^ ± 1 dx x Respuesta: use la fórmula abreviada I: |-(ln x + 3)3/2 + C dx 1 x ln x Respuesta: , e)
ln Ilnxl + C
r sen3x , J I ^ o ¡ 3 l dx
Respuesta: * f
1 ln I1 - cos3xl + C
f 2x4 - x 2 , j — x5—
Respuesta: g)
í
x 2 - ln Ixl + C
'-n^dx
Respuesta: dx
r h)
y(ln x)2 + C
J ^ x o ^ /x )
Respuesta:
10.
- 2 ln I1 - - J x I + C
U tilice la derivación logarítm ica p ara calcular y ' . a)
y = x 4y¡2 - x 2 5
Respuesta: y ' = x 4y¡2 - x 2 ( — -
l x
b)
7 2 ^ 2
Vx2 + 7
Respuestay _-
y' = y[
"
x T I
V x 2 + 3 cos x (3x - 5)3
Resp uesta : »
2 | = 4 x 3V 2 - x 2 2 x i
X
_ (x - 1)5^ x + 2 y_
c)
.
y' = y^
- tan x - 3 x 3 5 j
J2x + 3
ResP uesta:
3y y = - 4x 2 _ 9
11. E xprese en térm inos de ln 2 y ln 3: a ) ln(37); b) ln -^y. Respuestas:
a ) 7 ln 3; b ) ln 2 - 3 ln 3
12. E xprese en térm inos de ln 2 y ln 5: a ) ln 50; b) ln-1-; c) ln>/5; d) ln 4 0 • Respuestas:
a ) ln 2 + 2 ln 5; b) - 2 ln 2; c)
ln 5; d) -( 3 ln 2 + ln 5)
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E l logaritm o n a tu ra l
-^ 209^
R espuesta:
H alle el valor prom edio de — en [3, 5]. R espuesta:
15.
1n 5
A plique la derivación im plícita para h allar y': a) y3 = ln (x3 + y3); b) 3y - 2x = 1 + ln xy. R espuestas:
a) y ' =
2 x2 3— —; b) y ' = y 3x + — y 2 (x 3 + y 3 - 1 ) 7x 3y - 1
16. E valúe lím 1 ln 2 + h . h-^0 h 2 R espuesta:
2
17. C om pruebe la fórm ula Jc o s e c x d x = 1n Icosec x - co tx l + C.
2 18. (CG ) A proxim e ln 2 = J } d t con seis cifras decim ales p or a) la regla del trapecio; b) la regla del punto m edio; c)
la regla de S im pson, en cada caso con n = 10.
R espuestas:
a) 0.693771; b) 0.692835; c) 0.693147
19. (CG ) A plique el m étodo de N ew ton p ara aproxim ar la raíz de x2 + ln x = 2 a cuatro cifras decim ales. R espuesta:
1.3141
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El logaritmo natural
14.
1n 2
CAPÍTULO 25
13. H alle el área bajo la curva y = 1 y sobre el eje x, entre x = 2 y x = 4.
Funciones exponenciales y logarítmicas E n el capítulo 25 aprendió que el logaritm o natural ln x es un a función derivable creciente cuyo dom inio es el conjunto de todos los núm eros reales positivos y su rango el conjunto de todos los núm eros reales. C om o es creciente, es una función uno a uno y, por tanto, tiene un a función inversa, la cual se denom ina ex.
Definición ex e s
la in v e r s a d e ln x.
Se deduce que el dom inio de ex es el conjunto de todos los núm eros reales y su rango el conjunto de todos los núm eros reales positivos. C om o ex es la inversa de ln x, la gráfica de ex puede obtenerse por reflexión de la de ln x en la recta y = x (fig. 26.1).
E sta notación puede resultar confusa. N o debería presuponerse de la notación que ex es un a p o tencia ordi n aria de una base e con exponente x. A unque m ás adelante es este capítulo se hallará que esto es cierto, todavía no se sabe.
Propiedades de e* (26.1) (26.2) (26.3)
ex > 0 para todo x E l rango de ex es el conjunto de todos los núm eros reales positivos. ln (ex) = x elnx = x L as propiedades (26.2) y (26.3) se deducen de que ex y ln x son inversas una de la otra.
^ 210^ -------------
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(26.4)
(26.5)
ex es una función creciente. S ea u < v. C om o u = ln(eu) y v = ln(ev), ln (eu). Pero com o ln x es creciente, eu < ev. [Si ev < eu, enton ces ln (ev) < ln (eu).] Dx(ex) = ex
( f -1)' (y) = f f ü ) ) , EJEMPLO 26.1.
es d ecir,
Dy(ey) = V ¡ y = ey
Dx(e senx) = D u(e u)Dx( u) (R egla de la cadena, con u = sen x) = eu(cos x) = e senx (cos x)
(26.6)
J ex dx = ex + C
EJEMPLO 26.2.
P ara h allar J xex‘ dx, sea u = x 2, du = 2x d x .E n to n ces, J xex2dx = ^ J e“du = ^2
(26.7)
+ C = ^ ex2 + C
J e~xdx = - e -x + C S ea u = -x , du = - dx. E ntonces, J e~xdx = - J eudu = - e u + C = - e ~ x + C.
(26.8)
e0 = 1 Por (26.3), 1 = eln 1 = e0.
eu+v = euev ln(eu+v) = u + v = ln(eu) + ln(ev) = ln(euev) p o r (25.6). Por tanto, eu+v = euevp orque ln x es una función uno a uno. eu (26.10) eu-v = (26.9)
Por (26.9), eu-vev = e(u-v)+v = eu. A hora se divide entre eu. (26.11) e- = Se rem plaza u por 0 en (26.10) y se aplica (26.8). (26.12) x < ex p ara todo x. Por el problem a 7 del capítulo 25, ln x < x - 1 < x. Por (26.3) y (26.4), x = elnx < ex. (26.13) lím ex = x— E sto se deduce de (26.4) y (26.12). (26.14) lím ex = 0 x—^ S ea u = -x . C uando x ^ - ^ , u ^ ^ y p o r (26.13) eu ^
+ ^ . E ntonces, p o r (26.11),
ex = e~u = -1eu ^ 0. A hora puede aclararse el m isterio de la letra e en la expresión ex.
Definición Sea e el núm ero tal que 1n e = 1. C om o 1n x es una función uno a uno que va del conjunto de todos los núm eros reales positivos al conjunto de todos los núm eros reales, debe h aber exactam ente un núm ero x tal que ln x = 1. E se núm ero se d enom ina e.
Com o, por (25.12), ln 2 < 1 < 2 ln 2 = ln 4, se sabe que 2 < e < 4. (26.15) (CG ) e ~ 2.718281828 E ste cálculo puede obtenerse con u na graficadora. M ás tarde se indicará cóm o aproxim ar e con cualquier grado de precisión.
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Funciones exponenciales y logarítmicas
S ea y = ex. E ntonces, ln y = x. Por derivación im plícita, —y ' = 1 y, p o r tanto, y' = y = ex. P ara ver un y 1 argum ento m ás riguroso, s e a f x ) = ln x y f _1(y) = ey. N ótese que f '( x) = ^ • P or el teorem a 10.2b),
CAPÍTULO 26
-----4211^
Funciones exponenciales y logarítm icas
CAPÍTULO 26
A hora se puede dem ostrar que la notación ex no está errada, es decir, que ex en realidad es una poten cia de e. Prim ero, esto puede probarse para los x enteros positivos m ediante inducción m atem ática. [De hecho, por (23.6), e = eln e = e1. A sí, por (26.9), en+1 = ene 1 = ene p ara todo n entero positivo y, p o r tanto, si se supone m e diante hipótesis inductiva que en representa el producto de e p o r sí m ism o n veces, entonces en+1 es el producto de e po r sí m ism o n + 1 veces.] Por (26.8), e0 = 1, lo que corresponde a la definición estándar de e0. Si n es un entero positivo, e~n ordinariam ente se definiría m ediante 1/en, lo cual es idéntico al valor de la función d ad a por (26.11). Si k y n son enteros positivos, entonces la p o tencia ek/n se define ordinariam ente com o A hora, de hecho, por (26.9), el producto ek/nek/n. ek/n, donde hay n factores, es igual a e k/n+k/n+...+k/n . ek. Así, el valor de la función ekkn es idéntico a la raíz n -é sim a de ek. E n fracciones negativas, de nuevo se aplica (26.11) p ara ver que el valor de la función ex es idéntico al valor especificado p o r la definición com ún. Por ende, el valor de la función ex es la potencia usual de e cuando x es cualquier núm ero racional. C om o nuestra función ex es continua, el valor de ex cuando x es irracional es el lím ite deseado de e r p ara los núm eros racionales r que tienden a x. L a gráfica de y = ex aparece en la figura 26.2. P or (26.13), la gráfica crece sin lím ite a la derecha y, por (26.14), el eje x negativo es una asíntota horizontal a la izquierda. C om o D 2(ex) = Dx(ex) = ex > 0, la gráfica es cóncava hacia arriba en todas partes. L a gráfica de y = e~x tam bién se m uestra en la figura 26.2. Se obtiene de la gráfica de y = ex por reflexión en el eje y. (26.16) ex = lím (1 + f )n Para ver una dem ostración, repase el problem a 5. (26.17) e = lím (1 + n) n É ste es un caso especial de (26.16) cuando x = 1. Se puede utilizar esta fórm ula p ara aproxim ar e, aunque la convergencia a e resulta m ás bien lenta. Por ejem plo, cuando n = 1 000, se obtiene 2.7169, y cuando n = 10 000, se tiene 2.7181, que es correcto sólo con tres cifras decim ales. y
X
Función exponencial general S ea a > 0. E ntonces es posible definir ax com o sigue:
Definición aX_ eXlna N ó t e s e q u e e s to c o n c u e r d a c o n la d e f in ic ió n d e
ex,
ya qu e cu an d o
a
=
e , ln a
= 1.
(26.18) Dx(ax) = (ln a) ax. D e hecho, Dx(ex ln a) = D u(eu)Dxu (R egla de la cadena con u = x ln a) = e u (ln a) = ex ln a(ln a) = ax(ln a) EJEMPLO 26.3.D x(2x) = (1n 2) 2x.
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^ 213^ CAPÍTULO 26
(26.19) J axdx = - ^ a ax + C É sta es una consecuencia directa de (26.18).
Funciones exponenciales y logarítmicas
EJEMPLO 26.4. f 10x = -¡-^¡-1 0 x + C ln 10 Se pueden derivar las propiedades comunes de las potencias. (26.20) a 0 = 1 a 0 = e 0 lna = e0 = 1 (26.21) au+v = auav
P or (26.21), au-vav = a(u-v)+v = au. A hora, se divide entre av. (26.23) a - v =
-1
Se rem plaza u por 0 en (26.22) y se usa (26.20) (26.24) auv = (au)v ( au)v = e ln(a“) = e (m(lna)) = £(wv)lna = (26.25) (ab)u = a “bu
R ecuérdese que Dx(xr) = rxr-1 para núm eros racionales r. A hora se puede dem ostrar la fórm ula p ara todo núm ero real r . (26.26) Dx(xr) = rxr-1 C om o x r = er lnx, D x(xr) = D x(er lnx) = D u(eu) Dx(u)
(R eg la de la cad en a con u = r ln x)
Funciones logarítmicas generales S ea a > 0. Se desea definir una función logax que desem peñe el papel del logaritm o tradicional p ara la base a.
(26.27) y = loga x equivale a ay = x , y = loga x ^ y ^ E ntonces, la base a .
y y
ln x
= -¡— ^
ln(ay) = ln x ^
y ln a = ln x ln a
ay = x
( ^ es el sím bolo de si y sólo si.)
función logarítm ica general con b ase
a
(26.28) a log*x = x
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es la inversa
de la función exponencial general con
CAPÍTULO 26
Funciones exponenciales y logarítm icas
(26.29) logfl(ax) = x E sto se deduce de (26.27). Véase el problem a 6. L as propiedades usuales de los logaritm os pueden derivarse con facilidad. V éase el problem a 7. N ótese que loge x =
= ln x. P or ende, el logaritm o natural resu lta ser un logaritm o en el
sentido usual, con base e.
PROBLEMAS RESUELTOS 1.Evalúe a) ln(e3); b) e7ln2; c) e(ln3) 2; e) 1u.
2.
a)
ln(e3) = 3, por (26.2)
b)
e7ln2 = (eln2)7 = 27 = 128, por (26.24) y (26.3)
c)
e (ln3)- 2
d)
1u = e ui" i = gu(0) = g0 = 1, por (26.8)
c) d)
4.
3
H alle las derivadas de a ) e 3x +1; b) 5 3x ; c) 3xIt; d ) x 2e x. a) b)
3.
eln 3
= e-r = e L, por (26.10)
D x(e 3x+1) = e 3x +'(3) = 3e 3x +1, p o r la regla de la cadena D x(53x) = D u(5u)D x(u ) (regla de la cadena con u = 3x) = (ln 5 )5 u (3), p o r (26.18) = 3(ln 5) 5 3x D x(3x n) = 3(rcxTC-1) = 3rcxTC-1, p o r (26.26) D x(x 2 e x) = x 2D x(e x) + e xD x(x 2 ), p o r la regla del producto = x 2e x + e x(2x ) = xe x(x + 2 )
H alle las antiderivadas siguientes: a) J 3(2 x) d x ; b) J x 2e x¡d x . a)
J 3 ( 2 x) dx = 3 J 2x dx = 3 j " 2 2 x + C = j " 2 2 x + C
b)
Sea u = x 3, du = 3x 2 d x . Entonces, J x 2e x dx = -3 J e udu = 3 e u + C = 3 e x + C
D espeje x en las ecuaciones siguientes: a ) ln x 3 = 2; b) ln(ln x) = 0; c) e 21-1 = 3; d ) e x - 3e-x = 2. E n general, ln A = B equivale a A = e B, y e c = D a C = ln D. a) b)
ln x 3 = 3 ln x. P or tanto, ln x 3 = 2 da 3 ln x = 2, ln x = f , x = e 2/3. ln (ln x) = 0 equivale a ln x = e 0 = 1 , que a su vez equivale a x = e 1 = e.
c)
e 2x- 1 = 3 equivale a 2x - 1 = ln 3, y luego a x =
d)
M ultip liq u e am bos lados p o r e x: e 2 - 3 = 2e x, e 2 - 2e x - 3 = 0. Sea u = e x, con lo que se obtiene la ecuación cuadrática u 2 - 2u - 3 = 0; (u - 3)(u + 1) = 0, con soluciones u = 3 y u = -1 . P or tanto, e x = 3 o e x = -1 . El últim o resultado es im posible, ya que e x siem pre es positiva. En consecuencia, e x = 3 y x = ln 3.
1.
n Demuestre (26.16): eu = lím | 1 + — n Sea an = | 1 +— . Entonces, n 1 n 1 ln an = n ln Jl1 + n ) = u
ln (1 + u /n) - ln1 u /n
ln (1 + u /n) - ln1 es un cociente de diferencia para Dx(ln x) en x = 1, con Ax = u/n. u /n Cuando n ^ + ^ , u/n ^ 0. Entonces, ese cociente de diferencia tiende a D x(ln x )|x1 = (1 /x )x1 = 1. Por tanto, lím ln a n = u(1) = u. Entonces, lím a n = lím e taan = e u. La expresión
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-^ 215^
7.
Deduzca las propiedades siguientes de loga x: a)
Funciones exponenciales y logarítmicas
Demuestre (26.28) alog«x = x y (26.29) loga(ax) = x. Al sustituir loga x por y en (26.27) se obtiene a logax = x. Al remplazar ay por x en (26.27) se obtiene y = loga(ay).
CAPÍTULO 26
6.
loga 1 = 0. loga 1 = ln a _ ln a _ 0 . loga a = 1. ln a loga a = -¡— = 1 a ln a loga uv = loga « + loga V. ln uv ln u + ln v ln u lnv loga uv = - ----- = — =--------- = -— + -— = loga u + loga v Da ln a ln a ln a ln a
b)
c)
d)
loga u = loga u - loga v . Se remplaza u en c) por ^ .
f)
loga (ur) = r loga u. ln(ur) r ln u loga(ur) = T H O “ = T ñ a = rlo g a u
g)
Dx (loga x ) =
•
Dx (log ax ) = Dx f £
] = i í r a Dx(ln x ) = ¿
1
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 8.
C a l c u l e la s d e r iv a d a s d e la s fu n c io n e s s ig u ie n te s :
II
^3
R espuesta:
y ' = 5e 5x
b) y = e *™3x
R espuesta:
y ' = 3 sec 2(3x) etan3x
c) y _ g -x cosx
R espuesta:
y ' = -e~ x (cos x + sen x)
d) y = 3-x2
R espuesta:
e) y = sen -1(e x )
R esp u est„:
y ' = - 2x(ln 3 )3 -x2 ex y . ^ - 2-.
y = ee
R espuesta:
y ' = ex+e'
g) y = x x
R espuesta:
y ' = x x (1 + ln x)
R espuesta:
y ' ' ln 1 0 3x-2 - 5
R espuesta:
1 3 2x + C 2 ln 3 3
f
h) y = lo g io(3x 2 - 5)
9.
H a lle la s a n tid e r iv a d a s s ig u ie n te s :
43 _ on e1'x
b) J
dx
R espuesta:
c ) J (ex + 1)3e xdx
R espuesta:
d) J d \ J J ex + 1
R espuesta:
e 1/x
-
+
C
(e x + 1)4 + C 4 +C
x
- 1 n ( ex + 1 ) +
' 3
Respuesta:
- 2 e1/x2 + C
R espuesta:
- 2 e ~x2+2 + C
* /• -x2+2 f ) 1e xdx
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C
Funciones exponenciales y logarítm icas
CAPÍTULO 26
^ 216^ g)
| (e x + 1)2dx
Respuesta:
1 ~2x 2
h)
J (e x - x e) dx
Respuesta:
x
i)
| e 22xx _++ 55 dx
Respuesta:
C exdx
j)
Respuesta:
x e
•n 1 (ex)
^ V 1 - e2x | x 3(5 x4+1) dx
k)
1
Respuesta:
„
4
s
x
ol
Respuesta:
dx
*
l)
2 ^ 1 0 ^ x )2 + C = ^n2 0 (1°8io x )2 + C
10. (Funciones hiperbólicas) Defina ex - e~ senh x = -
c ° s h x =-
tanh x =
senh x cosh x ’
sec h =
1
cos hx
Deduzca los resultados siguientes: a) b) c) d) e) f) g) h)
Dx(sen h x) = cos h x y Dx(cos h x) = sen h x. Dx(tan h x) = sec h2 x y Dx(sec h x) = -sec h x tan h x. cos h2 x - sen h2 x = 1 sen h(x + y) = sen h x cos h y + cos h x sen h y. cos h(x + y) = cos h x cos h y + sen h x sen h y. sen h 2 x = 2 sen h x cos h x. cos h 2x = cos h2 x + sen h2 x = 2 cos h2 x - 1 = 2 sen h2 x + 1. (CG) Trace la gráfica de y = 2 cos h(x/2)(denominada “catenaria”) y halle su punto mínimo.
Respuesta: (0, 2) 11. Despeje x en las ecuaciones siguientes: Respuesta: Respuesta:
■y ln2 e -1/4
c) ln(ln x ) = 2 d) ex - 4e~x = 3 e) ex + 12e-x = 7
Respuesta: Respuesta: Respuesta:
f
5x = 7
Respuesta:
g) h) i) j) k)
log2(x + 3) = 5 log2 x2 + log2 x = 4 log2(24x) = 20 e-2x - 7e~x = 8 xx = x 3
Respuesta: Respuesta: Respuesta: Respuesta: Respuesta:
e e2 2 ln 2 2 ln 2 y ln 3 ln7 = log 5 29
2 = b) ln(x4) = -1
12. Evalúe a) lím h^o
eh - 1 , h
b ) lím
^ 16 5 -3 ln 2 1y 3
eh - 1
h-^0
Respuestas: a) 1; b) 0 13.
/•ln2 e X fe1 2 + ln x Evalúe a) I —— ^ dx; b) I dx J o ex + 2 J1 x
Respuestas: a) 1n -5- ; b) f 14. (CG) Aplique el método de Newton para aproximar (con cuatro cifras decimales) una solución de
Respuesta:
0.5671
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= —.
-^ 217^ CAPÍTULO 26
15. (CG ) U se la regla de Sim pson con n = 4 p ara aproxim ar J e x2/2 d x a cuatro cifras decim ales. R espuesta:
0.8556
a)
S i s e in c r e m e n t a c o n t in u a m e n t e un año, y
b) S i
r por
Pert/100 d ó la r e s
r p o r c ie n t o t años.
a n u a l, d e m u e s t r e q u e
P
r 00n
s e c o n v ie r t e P e r/100 d ó la r e s d e s p u é s d e
después de
c ie n t o s e in c r e m e n t a c o n tin u a m e n t e , ¿ e n c u á n t o s a ñ o s s e d u p lic a r á c ie r t o m o n to d e d in e r o ?
c ) ( c g ) C a l c u l e c o n d o s c if r a s d e c im a le s c u á n t o s a ñ o s t o m a r ía d u p lic a r c ie r t a c a n t id a d d e d in e r o si se in c r e m e n t a c o n t in u a m e n t e a 6 % a n u a l. d ) ( c g ) C o m p a r e e l r e s u lta d o d e in c r e m e n ta r c o n tin u a m e n te a 5 % c o n e l o b te n id o a l in c r e m e n ta r u n a v e z a l añ o.
Respuestas: b) 1 0 0 Qn 2 ) ~ c ) d)
a p r o x im a d a m e n t e 1 1 . 5 5 a ñ o s ;
d e s p u é s d e u n a ñ o u n d ó la r s e v u e lv e 1 .0 5 d ó la r e s c u a n d o s e in c r e m e n t a u n a v e z a l a ñ o , y
a p r o x im a d a m e n t e 1 .0 5 1 2 d ó la r e s c u a n d o s e in c r e m e n t a c o n tin u a m e n te .
17.
H a lle ( l o g 10e )
Respuesta: 18.
21.
1
a:
3 l o g a 2 + lo g a 4 0 - l o g a 16
l o g a 20
( c g ) C a l c u l e l o g 2 7 c o n o c h o c ifr a s d e c im a le s .
Respuesta: 20.
10
E s c r ib a c o m o u n s o lo lo g a r it m o c o n b a s e
Respuesta: 19.
• ln
2 .8 0 7 3 5 4 9 2
D e m u e s tr e q u e l o g b x = ( lo g a x ) ( lo g b a ).
( c g ) T r a c e la g r á f ic a d e
y = e~x2/2. I n d iq u e lo s e x t r e m o s a b s o lu to s , lo s p u n t o s d e in f le x ió n , la s a s ín to ta s y
c u a lq u ie r s im e tr ía .
Respuesta:
m á x im o a b s o lu to e n (0 , 1 ) , p u n to s d e in f le x ió n e n x = ± 1 , e l e je x e s u n a a s ín to ta h o r iz o n t a l a la iz q u ie r d a y a la d e r e c h a , s im é tr ic a r e s p e c t o a l e je y .
22.
D ado
exy -
x + y 2 = 1 , h a lle
R espuesta: 23.
(c g )
dx
p o r d e r iv a c ió n im p líc it a .
1 - y e xy 2 y + x e xy
ex —e T race la gráfica de y = sen hx = ------2—
R espuesta:
ln( e x + e~x ) + C
? e _e 24. E v a lú e \ - ----- — dx. j ex + e x R espuesta:
ln ( e x + e~x ) +
C
25. A p liq u e la d eriv ació n lo g arítm ica p ara h a lla r la d eriv ad a de y = x3/x. R espuesta:
3y(1 —^ x)
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Funciones exponenciales y logarítmicas
n ( 16. Si se paga interés a r p o r ciento p o r año y se aum enta n veces al año, entonces P dólares se vuelven P | 1 + después de un año. Si ni ^ + ^ , se dice que el interés se com pone co ntinuam ente (es decir, se trata v de interés com puesto).
Regla de L’ Hôpital f (x) L os lím ites de la form a lím g - ) pueden evaluarse m ediante el siguiente teorem a en los casos indeterminados donde tanto f x ) com o g(x) tienden a 0, o am bas tienden a + ^ .
Regla de L’hôpital S if x ) y g(x), o am bas tienden a 0, o am bas tienden a ± ^ , entonces, lim
f ( x) f '(x ) , - = lím ,, x g(x) g (x)
A quí, “lím ” equivale a lím ,
lím ,
lím ,
lím ,
lím
x —>+<»
x —>—œ
x^a
x^a+
x^a~
Si desea consultar un esbozo de la dem ostración, repase los problem as 1, 11 y 12. Se considera, en el caso de los tres últim os tipos de lím ites, que g'(x) * 0 p ara x que esté suficientem ente próxim o a a, y en el caso de los prim eros dos lím ites, que g'(x) * 0 para los valores de x suficientem ente grandes o suficientem ente pequeños. (Las afirm aciones correspondientes sobre g(x) * 0 se siguen del teorem a de Rolle.) EJEMPLO 27.1.
C om o ln x tiende a cuando x tiende a + ^ , la reg la de L ’H ôpital im plica que lím i n x = l í m l f = h ? i = 0 x—+» x x—+» 1 x—+» x
EJEMPLO 27.2.
C om o ex tiende a + ^ cuando x tiende a + ^ , la reg la de L ’H ôpital im plica que lím x = lím - x = 0 x—+» e x x— — +™ ex
EJEMPLO 27.3.
Se sabe, p o r el problem a 13 a ) del capítulo 7, que lím 3 x 2 + 5x - 8 _ 3 x™ 7 x 2 - 2x + 1 7
Puesto que 3x 2 + 5 x - 8 y 7x 2 - 2x + 1 tienden a + ^ cuando x tiende a + ^ , la regla de L ’H ôpital indica que lím 3 x 2 + 5x - 8 = lím 6x + 5 i™ 7 x 2 - 2x + 1 14x - 2
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-^ 219^
lím 6x + 5 = l í m A = A = 1 xi+i 14x - 2 xi+I 14 14 7 Como tan x tiende a 0 cuando x tiende a 0, la regla de L ’Hôpital implica que lím ta n x = ^ s e ç ix = lt o _ J _ = 1 = 1 x^o X x^o 1 x^o COS X 1
Tipo indeterminado 0 ■œ Si f{x) tiende a 0 y g{x) tiende a ± ^ , no se sabe cóm o determ inar lím f x )g ( x ) A veces este pro b lem a puede transform arse para conseguir que la regla de L’H ôpital sea aplicable. EJEMPLO 27.5. Cuando x tiende a 0 desde la derecha, ln x tiende a - ^ . Entonces, no se sabe cómo hallar lím x 1n x. x^0 ~ Pero cuando x tiende a 0 desde la derecha, 1/x tiende a +<^>. Así, por la regla de L ’Hôpital,
lim x ln x = xi0+
ln x 1/x lim -r-¡— = lim 2 = lim - x = 0 xi0+ 1/x xi0+ - 1/x2 xi0+
Tipo indeterminado œ — œ S if x) y g(x) tienden a ^ no se sabe qué sucede con lím ( fx ) - g(x)). E n ocasiones el problem a puede transfor m arse en un problem a tipo L’H ôpital. EJEMPLO 27.6.
lim ( cosecx - 1 ) es un problema de este tipo. Pero lim ( cosec x - 1 1= lim (— ------— x^ 0 \ x ¡ x^0 \sen x xx i
x^0 x se n x
y 1_cos x Como x - sen x y x sen x ambos tienden a 0, se aplica la regla de L ’Hôpital y se obtiene l i m ---------- ----------. Aquí, J }x^0 x cos x + sen x M tanto el numerador como el denominador tienden a 0 y por la regla de L ’Hôpital resulta l í m _______ senx_________= ___ ° ___= 0 = 0 x^0 - x sen x + cos x + cos x 0 +1 +1 2
Tipos indeterminados 00, œ0 y
1
Si lím y es uno de estos tipos, entonces lím (ln y) será del tipo 0 ■ ln x En lim xsenx, y = x senx, es del tipo 00 y no se sabe qué sucede en el limite. Pero y = sen x ln x = x^0+ cosec x y ln x y cosec x tienden a ± ^ . Entonces, por la regla de L ’Hôpital, EJEMPLO 27.7.
1/x sen2x sen x sen x lim ln y = lim -------—------ — = lim - —— — = - l i m --------------x^0+ 7 x^0+ - cosec x cot x x^0+ x cos x x^0+ x cos x = - lim x^0+
x
lim tan x = -(1)(0) = 0 x^0+
Aquí se utilizó el hecho de que lím((senx)/x) = 1 (problema 1 del capítulo 17). Ahora, como lím ln y = 0, x^0 x^0+ lím y = lím elny = e0 = 1 x^0+ x^0+
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Regla de L'Hôpital
EJEMPLO 27.4.
CAPÍTULO 27
y otra aplicación de la regla señala que
CAPÍTULO 27
EJEMPLO 27.8.
Regla de L 'H ô p ita l
En lím llnxlx, y = llnxlx es de tipo ^ 0, y no es claro qué pasa en el límite. Pero ln y =x lnlln xl =
y tanto ln lln xl como 1/x tienden a + ^ . Entonces, por la regla de L ’Hôpital se obtiene lím ln y = lím (—1 ) / ( - ) = lím x^o* J x^o* \ x l n x / / \ x 2 ) x^o*
ln x
= 0,
ya que lím -¡-L = o. x^0+ ln x
Por tanto,
lím y = lím elny = e0 = 1 x^0+ x^0+
ln x EJEMPLO 27.9. En lím x 1^ - 1), y = x 1^ 1) es de tipo 1“ y no puede verse qué sucede en el límite. Pero ln y = --------- j x— >1 x 1 y tanto el numerador como el denominador tienden a 0. Entonces, por la regla de L ’Hôpital se obtiene 1/x lím ln y = lím = 1. Por tanto, lím y = lím elny = e 1= e x—1 x—1 1 x— >1 x— >1
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Demuestre la forma siguiente ° de la regla de L’Hôpital: Sean f(x) y g(x) son diferenciables, g'(x) ^ 0 en algún f '( x) intervalo abierto (a, b) y lím f (x) = 0 = lím g ( x ). Entonces, lím , ( ) existe, x—a+ x—a+ x^ a+ g (x) lím m = lím n g x^a* g(x) x^a* g (x) Como lím f (x) = 0 = lím g( x ), se considera que f(a) y g(a) están definidas y que f(a) = g(a) = 0. Al x—a+ x—a+ remplazar b por x en el teorema del valor medio extendido (teorema 13.5) y utilizando el hecho de quef(a) = g (a) = 0 se obtiene f ( x ) = f (x ) - f (a) = f /(x0) g(x) g(x) - g(a) g^ 0 ) para algún x0 con a < x0 < x. Entonces, x0 ^ a+ cuando x ^ a+. Por tanto, lím m = lím x^a* g(x) x^a* g (x) También se puede obtener la forma ° de la regla de
L’Hôpital para lím (simplemente por ser u = -x ), y
entonces los resultados para lím y x^a+ lím dan la forma 0 0 de la regla de L’Hôpital para x^a llm . 2.
ln x (ln x\n )ñ Por los ejemplos 1 y 2 se sabe ya que lím —— = 0 y lím — = 0. Demuestre además que lím — - — = 0 ■ n x^+^ x x^+^ e x^+^ x lím x —= 0 para todo n entero positivo. x^+^ e
Use la inducción matemática. Considere estos resultados para un n > 1. Por la regla de L’Hôpital, lím
(ln x)n+1 ----- — = lím
------
,, (n + 1)(ln x )n(1/x), (ln x )n T— - = (n +1) lím ----------- — = (n + 1)(0) = 0
De igual forma, lím x -x- = lím (n + 1 1 x = (n + 1) lím x x- = (n + 1)(0) = 0 x^+^ e x^+œ e x^+œ e 3.
Aplique la regla de L’Hôpital una o más veces para evaluar los límites siguientes. Compruebe en todos los casos que se cumplen los supuestos apropiados. , a)
lím x + sen2x l1™ x - sen2x '
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-^ 221^ CAPÍTULO 27
lím 1 + 2 c o s 2 x _ 1 + 2(1) _ _ 3 Se ob tien e M i _ 2 œ s 2 x " 1 - 2(1) " 3
b)
iím « L z i . x^ 0+ x 2
Regla de L'Hôpital
■X = l^l ílím m ^ Se obtiene x^0 lím+ 2f2 x-X = x^0+ x ~V = +“ por el ejemplo 27.2. c) lím ex + e~x - 2x 2 - 22 . x^0 sen2 x - x 2 Se obtiene lím 0 e ~ e — ~ 2x = lím e~ e . x^02sen x cos x - 2 x x^0 sen 2 x - 2 x M ediante la aplicación repetida de la regla de L’Hopital se obtiene: ex + e-x _ 2 ex - e-x lim ^ ^----- =- = lim X^0 2co s2 x - 2 x^o -4 sen 2 x lím e x + e ~x = 1 + 1 = _ 2 = _ 1 ü o -8 co s2 x -8 (1 ) 8 4
d)
lím . x^ n* Vx - n Se obtiene lím , /ro/cosx U/21 = lím 2 (x - ^ ) 1/2 cosx = 0. x^x+ 1/[2(x —K) J x^x+
e)
lím ]n s e n x . y x^o+ ln tan x ^ (cosx)/(senx) ^ Queda lím^ (sec2 x)/(tan x) =
f) J
4 1 cos4 x = 1
lím ^ o ^ . x^o cot2x El uso directo de la regla de L’Hôpital lím ~ cosec' x , = -4lím , 2 cos2e c x (cot x) ^0 - 2 cosec (2x) 4 x^o (cosec (2x))(cot 2x) lleva a límites aún más complicados, pero, si cambia de cot a tan, se obtiene l í m ^ í f = l í m t ^ = lím 2sec^ 2x) = 2 lím co2s' \ = 2± = 2 x^o cot2x x^o tan x x^o sec2 x x^o cos2(2x) 1
g)
lím x 2ln x. x^0+ Éste es del tipo 0 . ^ . Entonces, la regla de L’Hôpital puede aplicarse de la siguiente manera: lím = lím 1/x: 3 = lím - Ax 2 = 0 x^0+ 1/x2 x^0+ - 2 /x 3 x^0+ 2
h)
lím (1 - tan x) sec 2x. x^n/4 Éste es del tipo 0 . ^ . Sin embargo, es igual a lím 1 ~ tan x = lím ~ sec2 x = ^ = 1 x— ^TT/4 cos 2x x— m/4 -2 sen 2 x -2 ^ Aquí se utilizó el valor cos
i)
=
lím ( — - x 1 ). x^o\ x ex - 11j1 Éste es del tipo ^ - c», pero resulta igual a lím ^ ~x1 ~ x = lím xex ~ 1 , = lím ex ^o x (ex- 1) x^o xex + ex - 1 x^o xex
j)
+ 2ex
=0
lím (tan x)° x^(n/2 )~ Éste es del tipo ^°. Sea y = (tan x)cosx, entonces ln y = (cos x)(lntan x) = -lntan x sec x
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-1
0 + 22
lím(cosec x - cot x). x^0 Éste es del tipo ^ - ^ , pero resulta igual a lím L X - - “ M . )= lím 1 = lím ^ x^o\sen x sen x I x^o sen x x^o cos x
k)
j
- 1
CAPÍTULO 27
^ 222^
Regla de L 'H ô p ita l
P or tanto, lím ln y = x^(n!2) x^(n/2) í\
/)
lím ln ta n x = lím (sec 2 x /ta n x )/(s e c x ta n x ) = lím c° s x = 0 = 1 SeC X x^(n/2) x^(n/2) Sen X 1
i y¡2 + x lím —------x^+^ x
v \¡2 + x 2 x - = lim —--------- y se está girando en un círculo. P or ende, la regla de L’H opital no 2 s[ 2 - x es de uso alguno. Pero, 2 s [ ï- x lím - = lím = xlímj —x 2+ 1 x x^+» Se obtiene lím
= ^0+1 = i
4.
H aga una crítica sobre el siguiente uso de la regla de L’Hopital: lím
x^2 x 3 - 3 x 2 + 3x - 2
x^2 3 x 2 - 6x + 3
x^2 6x - 6
x^2 6
L a segunda ecuación es un uso incorrecto de la regla de L’H ôpital, ya que lím (3 x 2 - 2x — 1) = 7 y lím (3x2 - 6x + 3) = 3. E ntonces, el lim ite correcto seria -3. x^2
5.
(cg ) Trace la gráfica de y = xe~ x = x . V éase la figura 27.1. Por el ejem plo 2, lím y = 0. E ntonces, el eje x positivo es una asíntota horizontal. C om o lím e~x = +°°, lím y = —<*>. y'= e~x ( 1 - x )
y y " = e~x (x - 2 ) . E ntonces, x = 1 es un núm ero crítico. Por
el criterio de la segunda derivada, existe un m áxim o relativo en (1, 1/e) p orque y " < 0 en x = 1. L a gráfica es cóncava hacia abajo p ara x < 2 (donde y " < 0) y cóncava hacia arriba p ara x > 2 (donde y " > 0). (2, 2/e2) es un punto de inflexión. L a graficadora proporciona los estim ados 1/e ~ 0.37 y 2/e2 ~ 0.27.
(cg ) Trace la gráfica de y = x ln x. V éase la figura 27.2. L a gráfica está definida sólo p ara x > 0. C laram ente, lím y = +®°. P or el ejem plo 5, lím y = 0. C om o y ' = i + ln x y y " = i/x > 0, el núm ero crítico en x = 1/e (donde y ' = 0) resulta, p o r el criterio
x^0+
de la segunda derivada, un m ínim o relativo en (1/e, -1 /e ). L a gráfica es cóncava hacia arriba en todas partes.
y
x
Fig. 27 .2
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^ 223^ CAPÍTULO 27
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS D em uestre que lím x nex = 0 p ara todo x entero positivo.
8.
H alle lím xsen — . x— x R espuesta:
9.
Regla de L'Hopital
7.
n
T race las gráficas de las funciones siguientes: a) y = x - ln x; b) y = ^nx~ ; (c) y = x 2ex R espuesta:
véase figura 27.3
(c)
Fig. 27.3
10. E valúe los lím ites siguientes: a)
lím x 4 ~ 256 = 256 x^4 x - 4
b)
lím x 4 - 256 = 32 x^4 x 2 - 1 6
c)
c)
lím x 2 - 3x = i xSs x 2 - 9 2
d)
lím e ~ e = e2 x^2 x - 2
e)
lím x x = ~ 1 x^ o 1 - ex
f
lím e ~ 1 = 1 x^o ta n 2 x 2
h)
cos x - 1 1 l í m ----- -------T = —r x^o c o s2 x - 1 4
i)
lím x^o
,, k)
2 ta n -1 x - x , lím ^ = 1 x^o 2x - sen 1x
l)
l í m l ^ c2x = 4 x^o ln sec x
n)
lím c o s2 x I cos x = x^o sen2 x
0)
, ln (2 + x) £) lim — -— \—- = 1 6 x^-1 x +1 Qx Ox 1 j)
x m j - s x - = 2 ln 2
, m ) llm0 x^ 0
lncos x 1 7x2 = ~ ñ 2
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------— sen x
l í m ^ =o
x^+~ V x
=4
CAPÍTULO 27
s
Regla de L 'H ô p ita l
lím c sc ó x = i csc 2x 3
, q)
5x + 2 ln x . x1!?! x + 3 ln x _
r
lím
lím i n c o t x = o i^o+ ecsc x
t) t)
lím x^
u
lím (ex - 1)cos x = 1 x^0
x
lím cosec n x ln x = - 1 / n x— >1
a
lím
d
lím (-i-1-------- ^ W - - 2 x^ 1 \l n x x - 1/ 2
ex + 3x3 = 1 4ex + 2x24
lím x 2ex = 0
w)
lím e tanx sec 2 x = 0
z)lím (x - s e n 1x ) cosec3 x = - 1 x^o
o \x
c')
sen x
lím |-=V - -
lím x cosec x = 1 x^0
lím (sec3 x - tan3 x) = ^ ln x ___ 1_ =0 x 4x I
f ’)
x«m ^+»l
lím (cos x)1/x = 1
i')
lím (ex + 3x)1/x = e4 x^0
lím (sen x - cos x )tanx = 1/e
í)
lím ( tan x)cosx = 1
=-1
lím (1 + 1/x )x = e
6
o ')
ex +1
■= 0
1
lím x x = 1 x^0+ lím (1 - e~x )ex = 1 /e
m
lím x tan2” = e~2/% x— >1 lím
lím 3 ^ = 0 x^+^ 3
x^+0+ x
-= 0
1n 1000 / ) lím i x - = 0
x—
x
x
x
ex (1 - ex ) 1 - ex lím = lím lím = 1 0 (1 + x )ln(1 - x ) x^ 0 1 + x x^ 0 (1 - x )
11. Compruebe el diagrama de la demostración de la forma -0- de la regla de L’Hopital en + ^ . Sean f(x) y g(x) son derivables y g'(x) ^ 0 para todo x > c, y lím f (x) = 0 = lím g(x). Entonces,
• f (x ) si lím J ,) : x^+- g ( x )
existe
f(x) ,, f (x ) lím ^ = lím J ,, , x^+» g( x ) x^+» g ( x )
Demostración: sea F(u) = f(1/u) y G(u) = g(1/u). Entonces, por el problema 1 para a ^ 0+ y con F y G en lugar de f y g, lím i ® = lím F M = lím F M g (x ) i ™ G (u) G '(u )
i™
= lím
0+ (g'(1/u) - (—1/u2))¡S0+ g'(1 /u )
xlímm» g ' (x )
12. Llene los vacíos en la demostración de la forma — de la regla de L’Hôpital en el caso lím . (Los otros casos se 0 ^ x^a+ obtienen fácilmente como en la forma -g-.) Sean f(x) y g(x) derivables y g'(x) ^ 0 en algún intervalo abierto (a, b) y que lím f (x ) = = lím g (x ). Entonces, x^a+ x^a+ iz = lim Jf ,) ( x ') si■ K x^a+ g (x)
existe, ,.lim f (x ) = ,, lim fJ '(x ,) í) x^a* g(x) x^a* g (x)
Demostración: Sea e > 0 y se escoge c de manera que IK - (f'(x)/g'(x)i < e /2 para a < x < c. Sea d en (a, c). Sea a < y < d. Por el teorema del valor medio extendido, existe un x* tal que y < x* < d
y
f (d ) - f (y) = f '( x *) g(d ) - g ( y) g '( x ’ )
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Entonces, K K
f (d ) - f (y ) ,e y entonces K
\ ( f (J )
- g(d)- g(y) <2 y ent0nces’ K -[{g(y)-
f (d) Vf, g(d)^ VI1- gy)
,e 2
13.
(CG) En los casos siguientes intente hallar el límite por métodos analíticos y luego compruébelo calculando el límite en una graficadora: a)
lím x 1'x ; x^0+ b ) lím x 1'x ;
Respuesta:
0
Respuesta:
1
(1 - cos x)x; c ) lím x^0
Respuesta:
1;
Respuesta:
d)
d)
14.
lím (Vx2 +3x - x I
X— >+»'
!
La corriente en un circuito con resistencia R, inductancia L y fuerza electromotriz constante E en el instante t está dada por i = r (1- e~Rt/L). Obtenga una fórmula para calcular i cuando R está muy próxima a cero. Respuesta:
L
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Regla de L'Hôpital
Ahora se tiene que y ^ a+. Como g(y) ^ y f(d ) y g(d) son constantes, f(d)/g(y) ^ 0 y 1 - g(d)/g(y) ^ 1. Así, para y próximo a a,
CAPÍTULO 27
-----4225^
Crecimiento y decrecimiento exponencial Considéreseunacantidady quevaríaconel tiempoyque | = ty paraalgunaconstantek . SeaF (t)=y/ekt. Entonces, porlaregladel cociente,
(28.1)
0=0
d F = ektD ty - y D tekt = ektky - y e ktk = dt e2kt e2kt e2kt
Portanto, F (t)debeserunaconstanteC . (¿Porqué?)Entonces, y/ekt =C y, porende, y =Cekt. Paraevaluar C , seat =0.Así,y (0)=C e0 =C (1)=C .Si sedesignay (0)pory0,entoncesC =y0 ysehaobtenidolaformageneral delasoluciónalaecuación(28.1): y =y ekt (28.2) Si k >0, entoncesy crece exponencialm ente yk eslaconstante de crecim iento. Si k <0, entoncesy decrece exponencialm ente yk eslaconstantededecrecim iento. Laconstantey0 sedenominavalor inicial. un tn Delproblema2delcapítulo27sesabequeu^+rc lím— = 0 . A sí, cu an d o k >0, lím—rr =0. L uego, unacantidad e t^+c* e quecreceexponencialmentelohacemuchomásrápidoquecualquierpotenciadet .Enmuchosprocesosna turales, comoel crecimientobacterianooel decrecimientoradiactivo, lascantidadesaumentanodisminuyen aunarazónexponencial. 0
Vida media
Considéresequeunacantidady deciertasustanciadecreceexponencialmente, conundecrecimientoconstante k. Seay0lacantidadenel instantet =0. ¿EnquémomentoT quedarásóloalamitaddelacantidadoriginal? Por(28.2) sellegaalaecuacióny =y 0ekt. Portanto, enel instanteT, i ye =y üekT i =ekT ln(i) =ln(ekT)=k T - ln2=k T (28.3) T = - ^
^ 226^
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(28.4)
PROBLEMAS RESUELTOS
LavidamediaT delradioes 1690años. ¿Cuántoquedarádeungramoderadiodespuésde1000años? De(28.3), k =--lT2 =— 16^90ylacantidadderadioestádadapory=y0e~(ln2)t/1690.Seobservaquey0 =1, porloqueal sustituir 1000 port seobtiene y =e (ln2) 1000/1690 e 0.6636gramos e Así, quedaránaproximadamente663.6miligramosalcabode1000años. 2.
3.
4.
Si 20%deunasustanciaradiactivadesapareceenunaño, hallesuvidamediaT. Supongaqueeldecrecimiento esexponencial. Por(28.2), 0.8y0 =y0k(1)=y0ek.Entonces, 0.8=ek, dondek =1n(0.8)=ln(y) =ln4- 1n5. De(28.4), ln2 T = - ln2 . ln5- ln4 -3.1063años. Supongaqueelnúmerodebacteriasenuncultivocreceexponencialmenteconunaconstantedecrecimiento de0.02, coneltiempomedidoenhoras. (Aunqueelnúmerodebacteriasdebeserunenterononegativo, el supuestodequeelnúmeroesunacantidadcontinuasiempreparecellevaralosresultadosqueseverifican experimentalmente.) a) ¿C uántasbacteriasestaránpresentesdespuésde1horasieran1000inicialmente? b) Dadaslasmisma1000bacteriasiniciales, ¿encuántashorashabrá100000bacterias? a) De(28.2),y=1000e002 ~1000(1.0202)=1020.2~1020 b) De(28.2), 100 000 =1000e0 02t 100 =e0 02t ln100 =0.02t 2 ln10 =0 .02t (com oln100 =ln(10)2 =2 ln10) t =100ln10~100(2.0326) =203.26horas Nota: aveces, enlugardedaruncrecim ientoconstante, comok =0.02, sedaunarazóndecrecimiento correspondienteporunaunidaddetiempo(enestecaso, 2%porhora). Estonoesmuyexacto. Unarazónde crecimientoder%porunidaddetiempoesaproximadamentelomismoqueunvalordek =0 .0rcuandor es relativamentepequeña(porejemplo, r <3). Dehecho, conunarazóndecrecimientoder%,y=y0 (1+0.0r) despuésdeunaunidaddetiempo. Comoy=y0ekcuandot =1,queda1+0.0r=ek y,porconsiguiente, k =ln(1+0.0r). E stoespróximoa0.0r, yaqueln(1+x)~xparaxpequeñaspositivas. (Porejemplo, ln 1.02~0.0198yln1.03~0.02956). Porello, ennumerosostextosseinterpretaconfrecuenciaunarazónde crecimientoder%comok =0 .0r. Siunacantidady creceodecreceexponencialmente, halleunafórmulaparaobtenerel valorpromediodey duranteelintervalo[0,bl. Pordefinición, el valorpromedioyav=^1 , Jfby dt = j k1 Jfbky dt (dondek eslaconstantedecrecimientoo decrecimiento). Por(28.1), ky = y,porende, yav=- 1 J dt. Porelteoremafundamental delcálculo, b dy 1 i o d t ^ = y(b) ~ y(0)=y(b)_y. L uego, y =b k (y(b)- y) ,
av
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,
Crecimiento y decrecimiento exponencial
NótesequeelmismovalorT seobtieneparatoda cantidadoriginaly 0. T recibeelnombredevida media de lasustancia. Serelacionaconlaconstantededecrecimientok por laecuación(28.3). Porello, si seconoceel valordek odeT esposiblecalcularel valordelaotra. Además, nótesequeen(28.4), k <0, asíqueT >0. El valordek puedeobtenerseporexperimento. Paraunvalorinicialdadoy0 yuntiempopositivoespecífico t0, seobservael valordey , sesustituyeenlaecuación(28.2) ysedespejaoresuelveparak .
CAPÍTULO 28
-----4227^
CAPÍTULO 28
5.
Silapoblacióndeunpaíses 1oomillonesdepersonasycreceexponencialmenteconunaconstantek =ln2, calculeconexactitudlapoblacióndentrodecincoaños. Por(28.2), lapoblacióny =yoekt =1o8 (ln2)5 =1o8( ln2)5 =1o8(25)=32(1o8). Portanto, lapoblaciónllegará a3.2milesdemillonesdepersonasencincoaños. V id a m e d ia d e l c a rb o n o . C iertoisótopo14Cdecarbonosepresentaenlosorganismosvivosenuna proporciónfijadelcarbonoordinario. Cuandoelorganismomuere, su14Cdecreceexponencialmenteysuvida mediaesde573oaños. Considéresequeunapiezadecarbónvegetalprovenientedeunincendioforestal se encontróenunacuevaycontienesólo9%de14Cesperandoenuntrozodemaderadeunárbol vivo. (Estacifra seobtienealmedirlacantidaddecarbonoordinarioenelpedazodecarbónvegetal.) ¿Hacecuántosequemó lamaderaparaformarelcarbónvegetal? Si eslacantidadde14Cpresenteeneltrozodecarbónvegetal, setieneque =yoekt. Lacantidadpresente eso.o9 o = o T,donde esel tiempotranscurrido. Entonces, o.o9= T,ln(o.o9)=kx, =(ln(o.o9))/ .Como lavidamediaT =573oyk =(ln2)/T =-(ln2)/573o, seobtiene 573oi— ln(o.o9) 573o(ln1o¡so------- ln9) 199o6 años T=---ln2 ln2 L e y d el e n fria m ie n to d e N e w to n . L arazóndecambiodelatemperaturadeunobjetoesproporcional ala diferenciaentretemperaturadel objetoyladelmedioquelorodea. Supongaqueunrefrigeradorsemantieneaunatemperaturaconstantede45°Fyquesecolocaunobjeto contemperaturade8o°Fdentrodeél. Silatemperaturadelobjetocaede8o°Fa7o°Fen15minutos, ¿en cuántotiempolatemperaturadelobjetobajaráa6o°F? Seau latemperaturadelobjeto. Entonces, porlaleydelenfriamientodeNewton, du/dt =k(u - 45)para algunaconstantek (negativa). Sea =u - 45.Así, dy/dt =du/dt =ky. Entonces, por(28.2), =yoekt. Comou tieneinicialmente8o°F, o =8o- 45=35.Así,y =35 cuandot =15, u =7oyy =25. Portanto, 25=35 15 , 5=7 15 y,porconsiguiente, 15k = ln(y)= ln5- ln7. Entonces, k = (ln5 - ln7). Cuandolatemperaturadel objetoesde6o°F,y =15. Porende, 15=35 ,3=7ekt, 3=7ekt y,porconsiguiente,kt = ln(y)= ln3- ln7. Entonces, f ln3- ln7 1Cln3- Tln 7 on nn„,n in . t t = ------ =15^— —ñ ~ 3/.//2/ m utos k ln5- ln 7 Enconsecuencia, senecesitanaproximadamente22.7727minutosparaquelatemperaturadelobjetobajede 7o°Fa6o°F. Interéscompuesto: Supongaquelosahorrosdeunacuentagananinteresesaunatasader% anual.Alcabode unaño, unacantidaddeP dólaressevolveríaP (1 + )dólares, ydespuésdet añosseconvertiráP (1 + ) dólares. Noobstante, si secalculaelinterésn vecesal añoenlugardeunavezal año, entoncesencada periodolatasadeinteréssería( / )%;despuésdet años, habránpasadont detalesperiodosyelmontofinal seríaP (1+ 1oon ) .Sin ^ +ra,entonceselinteréssecompone continuamente. Entalcaso, lacantidadfinalsería e
6.
C recim iento y decrecim iento exponencial
e
y
y
y
7.
y ek
T
ek
T
y
y
y
e
k
e kt
e
15
k
ekt
8.
r n
límP(1 + 1oon1 =P
n^+~ \
n t
oo
1 n
=Peoo1rt por(26.16)
Sedepositan1oodólaresenunacuentadeahorrosquepagaunatasadeinterésde4%anual. Despuésde cincoaños, cuántohabráenlacuentasi: a) ¿E l interéssecalculaunavezal año? b) ¿El interéssecalculatrimestralmente(esdecir, cuatrovecesporaño)? c) ¿E l interéssecomponecontinuamente? a) 1oo(1.o4)5 ~121.6653dólares b) 1oo(1.o1)2°~122.o19odólares c) 1ooeoo4(5)=1ooeo2 ~122.14o3dólares www.FreeLibros.me
k
------------- ^ 229^
9.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Uncontenedorconcapacidadmáximade25000insectostieneinicialmente1000deellos. Silapoblación creceexponencialmenteconunaconstantedecrecimientode(ln5)/10insectospordía, ¿encuántosdíasestará llenoelcontenedor? Respuesta : 20días Lavidamediadelradioesde1690años. ¿Cuántoradioquedaráde32gramosderadioalcabode6760años? Respuesta : 2gram os Siunapoblacióncreceexponencialmenteyseincrementaaunarazónde2.5%poraño, hallelaconstantede crecimientok . Respuesta : ln1.025~0.0247 Unasolucióndeaguasaladacontieneinicialmente5librasdesalen10galonesdelíquido. Siel aguafluyea razónde2 gal/minylamezclafluyealamismarazón, ¿cuántasalhabráalcabode20 minutos? Respuesta : d - = - 2 ^ 1 0 j .C uandot =20, S =5e-1 ~1.8395lb Losinsectosdeuncercadocrecenexponencialmentedeformatalquesupoblaciónseduplicaencuatrohoras. Despuésde12horas, ¿cuántasvecesaumentaráelnúmeroinicialdeinsectos? Respuesta : 8 (CG)Silapoblaciónmundialen1990fuedede4.5milesdemillonesdepersonasycreceexponencialmente conunaconstantedecrecimientok =(ln3)/8, calculelapoblaciónmundialenlosañosa ) 2014, b)2020. Respuestas :a ) 111.5m ilesdemillones; b)277.0milesdemillones (CG)Siuntermómetroconunalecturade65°Fsesacaal airedondelatemperaturaesde25°Fconstante, la lecturadecrecea50°Fen2.0minutos. a) H allelalecturadeltermómetrodespuésdeunminutomás. b) ¿Cuántotiempomástranscurrirá(despuésde3.0minutos)paraqueeltermómetromarque32°F? ApliquelaleydelenfriamientodeNewton. Respuestas :a ) 45°F ; b)aproximadamente4.4minutosmás (CG)Bajointeréscompuestocontinuoaunarazónder%poraño; a ) ¿C uántotomaenduplicarseunacantidaddedineroP ? b) S iunacantidadP seduplicaennueveaños, ¿cuántoesr?
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Crecimiento y decrecimiento exponencial
10.
Supóngasequeenunareacciónquímicaciertasustanciasedescomponeaunarazónproporcional alacantidad presente. Considerequeunacantidadinicial de10000gramossereducea1000gramosencincohoras. ¿Cuántoquedarádeunacantidadinicialde20000gramosdespuésde15horas? Respuesta : 20gram os
CAPÍTULO 28
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
CAPÍTULO 28
C recim iento y decrecim iento exponencial
Si r =8, ¿cuántodebedepositarseahoraparaquehaya$100000en17años? Respuestas: a) 100 _69.31 .^) aproximadamente7.7;c)aproximadamente$25666 c)
18.
19.
20.
21.
Unobjetoseenfríade120°Fa95°Fenmediahoracuandoestárodeadoporaireaunatemperaturade70°F ApliquelaleydelenfriamientodeNewtonparahallarsutemperaturaalcabodemediahoramás. Respuesta : 82.5°F Siunacantidaddedineroquerecibeuninterésde8%anual sedescomponecontinuamente, ¿cuáleslatasade rendimientoanualequivalente? Respuesta: aproximadamente8.33% ¿Cuántosetomaendecrecer90%deunelementoradiactivocobalto60, si suvidamediaes5.3años? Respuesta: aproxim adamente17.6años Unasustanciaradiactivadecreceexponencialmente. Si secomienzaconunacantidadinicial dey0,¿cuálesla cantidadpromediopresentedurantelaprimeravidamedia? Respuesta: 2ln2
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Aplicaciones de integración I: Área y longitud de arco
Área entre una curva y el eje y Ya se h a expuesto el procedim iento para h allar el área de un a región com o la que se m uestra en la figura 29.1, lim itada por debajo por el eje x, por encim a por un a curva y = f x ) , y que queda entre x = a y x = b. E l área es
pb
la integral definida I f (x) dx. Ja
Fig. 2 9 .1
A hora, considérese la región que aparece en la figura 29.2, lim itada a la izquierda p o r el eje y, a la derecha po r una curva x = g(y), y que queda entre y = c y y = d. E ntonces, p o r un argum ento sim ilar al del caso m ostrado fd en la figura 29.1, el área de la región es la integral definida I g (y )dy. Jc y
Fig. 2 9 .2
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^ 232^
__________
EJEMPLO 29.1.
CAPÍTULO 29
Aplicaciones de integración I:Á r e a y longitud de arco
Considere la región limitada a la derecha por la parábola x =4 - y 2, a la izquierda por el eje y, y
por encima y por debajo por y =2 y y =-1 (fig. 29.3). Entonces, el área de esta región es fundamental del cálculo, se tiene que
I2(4- y2)dy. Por el teorema
(4y- 8y3)]2=(8- 3)- (-4- (-3))=12 - ■ §■=12 - 3 =9 y
Área entre curvas Seanf y g funciones continuas tales que g(x)
Fig. 2 9 .4
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-^ 233^
Ja
+ 1m
I)) dx = J ( f (x) - g(x)) dx Ja
y
x
EJEMPLO 29.2. Halle el área A de la región 3t bajo la recta y = 2 x + 2, por encima de la parábola y =x2 y entre el eje y y x = 1 (véase la región sombreada de la figura 29.7). Por (29.1),
dx = | 1 x 2 + 2 x —1 x3 0
) —(0 +0 —0 ) = — +— —— =— =| i + 2 —í )' —(0 + 0 0) 12 + 12 12 12
Longitud de arco Seaf diferenciable en [a, b]. Considere la parte de la gráfica def de (a, f(a)) a (b, f(b)). Halle una fórmula para la longitud L de esta curva. Divida [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud Ax. A cada punto xk en esta subdivisión le corresponde un punto (Pk(xk, f(x k)) en la curva (fig. 29.8). Para los n grandes, la suma p p + p p ++ p p = M)-1! T Mr 2 T T r n—1 r n
la longitud de la curva.
y p¿_irp k—1r kk de las longitudes de los segmentos de recta Pk-1Pk es una aproximación a k=1
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Aplicaciones de Integración I:Área y longitud de arco
A = J ((f(x)) + Im I)—(g(x)
CAPÍTULO 29
Ahora se estudiará el caso general (fig. 29.5), en el que una o ambas curvas y =fx ) y y = g(x) pueden que dar por debajo del eje x. Sea m < 0 el mínimo absoluto de g en [a, b]. Se elevan ambas curvas ImI unidades. Las nuevas gráficas, que se muestran en la figura 29.6, se hallan sobre el eje x y comprenden la misma área A que las gráficas originales. La curva superior es la gráfica de y =fx ) + Iml, en tanto que la inferior es la de y = g(x) + Iml. Por tanto, por el caso especial anterior,
CAPÍTULO 29
Aplicaciones de integración I:Á re a y longitud de arco
Por la fórm ula de la distancia (2.1),
Pk-1 Pk
=V(xk- xk-1)2 +(f(x k)- f (x k-J )
2
A hora, x k - xk-1 = Ax, y por el teorem a del valor m edio (teorem a 13.4)
) (
(
f (x k - f Xk_1 ) = x k - x k- 1 ) f
,(x*)=(Ax)f ,(x*)
p ara algún x * en (xk-1, x k). Luego,
=V (Ax )2 +(A x )2(f '(x *))2 =y¡ (1+(f ' (x* )) )( A x )2 = y¡ 1 + (f , ( x l )) 24 {K x )2 = J 1 + (f '( x* A x
Pk- A
2
))2
E ntonces,
¿A - A =¿V 1 +(f '(x*))2A x fc=1 L a sum a de la derecha es una sum a de aproxim ación p ara la integral definida siguiente, cuando n ^ + ^ , se obtiene la fó rm u la de la longitud de arco:
(
L = J 7 1 + f '( x ) ) 2 d x = J 7 1 + -¡a -¡a
Por (29.2), como
(29 .2)
y x =| ^x, ' = f
1/2
(y") dx = J
= 4 J 05 (1+ 4
■ N/1 + (f '( x ))2dx. P or con
Halle la longitud de arco L de la curva y = x3/2 de x = 0 a x = 5.
EJEMPLO 29.3.
L = J 0>/1 +
(yO2dx
J
2
x)
— _ ^ ff 4 9 \3 /2 _ “ 2 n U ^
1/2 (f
^
1
+i
xdx
) d x = f f (1 + 4
l3 /2 \ _ 1 J ~
8 ^ 343 8
2l\
_ L) ~
x)
3
(por la fórmula abreviada I y el teorema fundamental del cálculo)
335 27
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^ 235^
1.
2
3
2.
Halleel áreadelaregióncomprendidaentrelascurvasy =senx yy =cosx dex =0ax =k /4 (fig. 29.10). Lascurvasseintersecanen(n/4, y¡2 /2), y0
I
J0
3.
(cos x - sen x) dx = (senx + cos x)
0
-\4 *4-1 0 1)-n -1 - (
+
Halleel áreadelaregiónlimitadaporlasparábolasy =6x - x2 yy =x2 - 2x . Aldespejarx en6x - x2 =x2 - 2x seobservaquelasparábolassecortancuandox =0yx =4, esdecir, en (0, 0)y(4, 8)(fig. 29.11). Completandoel cuadrado, laprimeraparábolatienelaecuacióny =9- (x - 3)2; porconsiguiente, suvérticeestáen(3, 9)yseabrehaciaabajo. Deigual forma, lasegundaparábolatienela ecuacióny =(x - 1)2 - 1;enconsecuencia, suvérticeestáen(1,-1) yseabrehaciaarriba. Observequela primeraparábolaquedaporencimadelasegundaenlaregióndada. Por(29.1), el árearequeridaes í 4((6x - x 2) - (x 2 - 2x))dx = í 4(8x - 2x 2)d x = (4x 2- 2 x3) f = (64 - ^ l 8 ) = -64 J0 J0 3 J0 33
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Aplicaciones de Integración I:Área y longitud de arco
Halleel árealimitadaporlaparábolax =8 +2y - y , elejey ylasrectasy =-1yy =3. Observe, completandoelcuadrado, quex =-(y2 - 2y - 8)=-((y - 1)2 - 9)=9- (y - 1)2 =(4- y)(2+y). Portanto, elvérticedelaparábolaes(9, 1)ylaparábolacortaelejey eny =4yy =-2. Sedeseasaberel área delaregiónsombreadadelafigura29.9, dadapor 1 92 )- (-8 +1- -1) =-3£ (8 + 2y - y2)dy = (8y + y2 - -j-y3) =(24+9- 9
CAPÍTULO 29
PROBLEMAS RESUELTOS
A plicaciones de Integración I:Á r e a y longitud de arco
CAPÍTULO 29
Fig. 2 9 .1 1
4.
Halle el área de la región limitada por la parábola y2 =4x y la recta y = 2x - 4. Despejando lasecuaciones simultáneamente se obtiene (2x - 4)2 = 4x, x2- 4x + 4 =x, x2 - 5x +4 =0, (x - 1)(x - 4) =0. Por tanto, las curvas se cortan cuando x = 1 o x =4, es decir, en (1, -2) y (4, 4) (fig. 29.12). Nótese que ninguna de las curvas está por encima de la otra en toda la región. En consecuencia, es mejor tomar y como variable independiente y rescribir las curvas como x = -4y 2 y x = y (y + 4). La recta siempre está a la derecha de la parábola. El área se obtiene integrando a lo largo del eje y: 14 *
14 *
J_2( t ( y +
4) - 1 y2)dy = i
J 2(2y + 8 - y2) dy
=I (y2 +8y - jy 3)]l = K(16 +32 - f ) - (4 -16 +f)) = 9
Fig. 2 9 .1 2
5.
Determine el área de la región que se halla entre la curva y =x3 - 6x2 + 8x y el eje x. Como x3 - 6x2 + 8x =x(x2 - 6x + 8) =x(x - 2)(x - 4), la curva corta el eje x en x = 0, x = 2 y x = 4. La gráfica es similar a la curva mostrada en la figura 29.13. (Aplicando la fórmula cuadrática a y' se encuentra que los valores máximo y mínimo ocurren en x = 2 ±f\/3 .) Como la parte de la región con 2
i-4
T
l4
í (x- 6x +8x)d x - *í2(x - 6x +8x)dx = (|x - 2x +4x2)J - (|x - 2x+4x 1=4+4=8 *0 3
2
3
2
4
3
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o
4
3
2
-^ 237^ CAPÍTULO 29 Aplicaciones de integración I:Área y longitud de arco
Fig. 2 9 .1 3 4
Observe que si hubiera cometido el error de calcular simplemente la integral I (x3 - 6x 2 +8x) dx, se hubiera obtenido la respuesta incorrecta, que es o. o Establezca el área encerrada por la curva y 2 =x 2 - x 4. La curva es simétrica respecto a los ejes de coordenadas. Por tanto, el área requerida es cuatro veces la parte que yace en el primer cuadrante (fig. 29.14). En el primer cuadrante, y = y/x 2 - x4 = W 1 - x 2 y la curva corta el eje x en x = o y x = 1. Entonces, el área requerida es 4 £ W 1- x 2 dx =- 2 ( 1 - x 2)1/2(-2x) dx = - 2 ( )(1 - x2)3/2 ]o
(por la fórmula abreviada I)
=- f (o - 13/2) =-3(-1) = 4
lle la longitud de arco de la curva x = 3y3/2 - 1 de y = o a y =4. Se pueden invertir los papeles de x y de y en la fórmula de la longitud de arco (29.2): L dx mo d y L= 8.
^ I Y dlx^~
. 1 +1 9 1/2 V Vd y ) =2y1/2, oJ o4V1+11oydy = ío4(1+i 1y)1/2(J4L)dy = 8r(l) (1+41y)3/2^4 = 243((82)3/2 - 13/2)=-213(8^^782- 1)
Halle la longitud de arco de la curva 24xy =x4 +48 de x = 2 a x = 4. y = 14 x3 + 2x -1. Portanto, y ' = 1 x 2 - 2/x2. Entonces, (y') 2 = x4 - 1 +x^r 2 1 + ( y / )2 = é1^ x4 + i + "3T= í ir x2 + ~ r r
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=I
dy.
CAPÍTULO 29
^ 2 38^
A plicaciones de integración I:Á r e a y longitud de arco
Porconsiguiente, L
=J2>/1+(y')1 dx =J2^i1x2 +x2rj dx =J^(8x 2 +2x2)dx =(-24x3 - 2x- )]2 =(8 - 1 )-(*- 1)=17
9.
Determinelalongituddearcodelacatenariay = i (ex/a + e x/a) dex=0ax=a. y ' = 1 (ex/a + e~x/a) y,porende, 1+(y') =1 +|(e x a - 2 +e- x a )=i(ex/a +e~ x a )2 Entonces, a L = 2 J o“ (ex a + e ~x a)dx = 2(ex/a - e-x/a) = 2 (e- e-0 2
2/
/
2/
/
/
0
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 10.
Halleel áreadelaregiónquequedaporencimadelejexydebajodelaparábolay=4x- x2. Respuesta:
11.
Establezcael áreadelaregiónlimitadaporlaparábolay=x2- 7x+6,elejexylasrectasx=2yx=6. Respuesta:
12.
32
-56-
Determineel áreadelaregiónlimitadaporlascurvasdadas. a ) y =x2,y=0,x=2, x=5 b) y=x3,y=0,x=1,x=3 c ) y =4x - x2,y =0,x =1 ,x =3 d ) x=1 +y2,x=10 e) x =3y2 - 9,x =0,y =0,y=1 f) x =y2 +4y,x=0 g) y=9- x2,y=x+3 h ) y=2 - x2,y=-x i) y =x2 - 4,y =8 - 2x2 j ) y =x4 - 4x2,y =4x2 k ) y=ex, y=e ~x,x=0,x=2 l) y =ex/a +e ~x/a, y =0,x=± a m ) xy =12,y=0,x=1,x=e2 1 n ) y=1 +x 2,y=0,x=±1 o ) y =tanx, x=0,x=3 p)
y
= 25 - x 2, 256x = 3y2,16y = 9x2
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39
Respuesta Respuesta
20
Respuesta
22 3
Respuesta
36
Respuesta
8
Respuesta
32 3 125 6 9
Respuesta Respuesta
2
Respuesta Respuesta Respuesta :
32 52V2 e2 + 1 e2-
2
e -1 a e
:2 Respuesta : 24 Respuesta
Respuesta:
3
Respuesta:
-
Respuesta
:
2ln2 98 3
-^ 239^
14.
: Respuesta : Respuesta : Respuesta : Respuesta : Respuesta : Respuesta
(10
17 12
14 -2 e2 4 / ln 9V
(CG)Calculelalongituddearcodelacurvay=senxdex=0ax=n conunaexactituddecuatrodecimales. (ApliquelaregladeSimpsonconn =10.) Respuesta : 3.8202
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Aplicaciones de integración I:Área y longitud de arco
) y3 =8x 2 dex =1 ax =8 b) 6xy =x4 +3dex =1ax =2 /3 c ) 27y2 =4(x- 2)3 de(2, 0) a(11, 6> d) y = 1 x 2 - -4lnx dex=1 ax=e n n e ) y =lncosxdex = ^ ax = -4 f) x2/3 +y2/3 =4dex=1ax=8
a
CAPÍTULO 29
13. H a lle la lo n g itu d del arco ind icad o de las curvas siguientes.
CAPÍTULO 30
A plicaciones de integración I I : volumen
y
Método de washer S u p ó n g a se q u e 0 < g (x) < f( x ) p a ra a < x b. C o n sid e re la re g ió n e n tre x = a y x = b q u e q u e d a e n tre y = g(x) y y = f x ) (fig. 30 .6 ). E n to n c e s, el v o lu m e n V d e l só lid o d e re v o lu c ió n o b te n id o a l g ira r e sta re g ió n so b re el e je x se o b tie n e c o n la fó rm u la (F ó rm u la d e w asher)*
V = n f [ ( f (x ))2 - (g (x ))2 ]d x
Ja
y
x
Fig. 3 0 .6
Cb Ja
L a ju stific a c ió n es clara. E l v o lu m e n d e se a d o es la d ife re n c ia d e d o s v o lú m e n e s, lo s v o lú m e n e s n I (f (x ))2dx d el só lid o d e rev o lu c ió n g e n e ra d o a l g ira r e n to rn o al e je x la re g ió n q u e se h a lla d e b a jo d e y = f x ) , y e l v o lu m en
b
^ I (g (x ))2d x d e l só lid o d e rev o lu c ió n p ro d u c id o a l g ira r a lre d e d o r d e l e je x la re g ió n q u e se e n c u e n tra d eb ajo
a
d e y = g(x). U n a fó rm u la se m e jan te V = n \ d [(f (y ))2 - (g ( y ))2 ]d y
Jc
(F ó rm u la d e w a sh er)
se c u m p le c u a n d o la re g ió n q u e d a e n tre d o s cu rv a s x = f (y ) y x = g (y ) y e n tre y = c y y = d , y se g ira e n to rn o al e je y. (S e su p o n e q u e 0 < g (y ) < f ( y ) p a ra c < y < d.)
*
La palabra washer (arandela) se usa porque cada delgada franja vertical de la región que se gira produce un sólido parecido a una parte de las cañerías llamada arandela.
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^ 243~^ CAPÍTULO 30
[16 - (4x) ]dx = ^0256- 16x ]dx = ^256x- -yx )] =^(512-
V=
2
2 2
4
5
2
j=l0^
Método de capas cilindricas C onsidérese el sólido de revolución obtenido al g irar en torno al eje y la región ® en el prim er cuadrante entre el eje x y la curva y = f x ) , y que yace entre x = a y x = b (fig. 30.7). E ntonces, el volum en del sólido está dado por
í*b
í*b
V = 2 n \ x f (x) d x = 2 n \ xy d x Ja Ja
(Fórm ula de capas cilindricas)
E n el problem a 10 se ofrece la justificación de esta fórm ula. U na fórm ula sim ilar se cum ple cuando los papeles de x y y se invierten, es decir, la región ® en el prim er cuadrante entre el eje y y la curva x = f y ) , y que queda entre y = c y y = d, gira alrededor del eje x V = 2 n \ y f (y) dy = 2 n \ y x dy Jc Jc
EJEMPLO 30.4. Gire en torno del eje y la región que está por encima del eje x y por debajo de y = 2x2, y entre x = 0 y x = 5. Por la fórmula de capas cilindricas, el sólido resultante tiene el volumen
2
n j o xy dx = 2 n j o x(2x2) dx = 4 n ^ x 3dx = ^ ( x 4)]0 = 625^
O bserve que el volum en hubiera podido calcularse m ediante la fórm ula de washer, pero el cálculo hubiera sido un tanto m ás com plicado.
Diferencia de la fórmula de capas S ea 0 < g(x) < f x ) en un intervalo [a, b] con a > 0. Sea ® la región del prim er cuadrante que está entre las curvas y = f x ) y y = g(x) y entre x = a y x = b. E ntonces el volum en del sólido de revolución obtenido al girar ® alrededor del eje y se obtiene con
í*b V = 2 n I x ( f (x) - g(x)) dx
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(D iferencia de la fórm ula de capas)
Aplicaciones de Integración II: volumen
EJEMPLO 30.3. Considere un sólido de revolución obtenido al girar en torno al eje x la región limitada por las curvas y = 4x2, x = 0 y y = 16 (la misma región que en la figura 30.5). Aquí la curva superior es y = 16 y la inferior, y =4x2. Así, por la fórmula de washer,
CAPÍTULO 30
A plicaciones de Integración I I : volumen
E sto se deduce obviam ente de la fórm ula de capas cilindricas, ya que el volum en requerido es la diferencia de los dos volúm enes obtenidos m ediante la fórm ula de capas cilindricas. N ótese que un a fórm ula sim ilar es válida cuando los papeles de x y y se invierten. EJEMPLO 30.5. Considere la región del primer cuadrante limitada por encima por y = x2, por debajo por y = x3 y que queda entre x = 0 y x = 1. Cuando se le gira en torno al eje y, esta región genera un sólido de revolución cuyo volumen, de acuerdo con la diferencia de la fórmula de capas, es 2 ^ J ox( x 2 - x 3) dx = 2 ^ J o( x3 - x4) dx = 2 n | 4 x4 - 5 x 5
‘ -
/1 \4
1\ n 5 ] - 10
Fórmula de la sección transversal (fórmula de las rebanadas) S upóngase que un sólido queda por com pleto entre el plano perpendicular al eje x en x = a y el plano p erpen dicular al eje x en x = b. P ara cada x tal que a < x < b, supóngase que el plano perpendicular al eje x en ese valor de x corta el sólido en una región de área A (x) (fig. 30.8). E ntonces, el volum en V del sólido está dado por fb V = I A(x) dx Ja
(Fórm ula de la sección transversal)1
E n el problem a 1 1 se ofrece una com probación.
Fig. 3 0 .8
EJEMPLO 30.6. Suponga que la mitad de un salami de longitud h es tal que una sección transversal perpendicular al eje del salami, a una distancia x del extremo O, es un circulo de radio *Jx (fig. 30.9). Por tanto, el área A(x) de la sección transversal es n (^ fx ) 2 = n x . Asi, con la fórmula de la sección transversal se obtiene
V = í A(x) dx = í n x d x J0
J0
= -?
2
x2
Fig. 3 0 .9
t
Está fórmula también se conoce como la fórmula de las rebanadas porque cada área de corte transversal A(x) se obtiene cor tando el sólido en rebanadas.
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-^ 245^
1.
n J , y 2 d x = 4 0 ^ x 2 d x = Eh ¡r (I x3)
2.
(113)=1 n r 2h
h /•h <*h = n \ y2d x = n l r 2d x = n r 2x = n r 2h 0 0 0
Determineel volumendeunaesferaderadior . Laesferasegeneraalgiraralrededordelejexlaregiónquesehallaentreel semicírculoy = y¡r2- x 2 yel ejex, entrex=-r yx=r [fig. 30.2c)]. Porlasimetríarespectoalejeysepuedeemplearlapartedelaregión comprendidaentrex =0yx =r yluegoduplicarelresultado. Así,porlafórmuladeldisco, el volumendela esferaes V = 2 n joy 2dx = 2nj^ (r 2
4.
=
Determineel volumendeuncilindrodealturah yradior. Elcilindrosegeneracuandosegiraentornoalejex laregiónqueyaceentrelarectay =r yelejex ,entre x=0yx=h [fig. 30.2b)]. Porlafórmuladeldisco, el volumendelcilindroes V
3.
0
- x2)dx = 2n (r2x- 1x3)]r =2n (r3- -T-)=2 n ( 2 r3)=3 nr3
Sea3t laregióncomprendidaentreelejex, lacurvay=x3 ylarectax=2(fig. 30.10). a) H alleel volumendel sólidoobtenidoalgirar^ entornoalejex. b) Determineel volumendelsólidoobtenidoalgirar^ alrededordelejey. y
x
Fig. 3 0 .1 0
a)
Conlafórmuladeldiscoseobtieneel volumen V
=
y 2 dx =(x 3) 2dx = n
x 6d x = y x
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Aplicaciones de integración II: volumen
Halleel volumendeunconodealturah, cuyabasetieneradior. Elconosegeneraalgirarentornoalejexlaregiónquesehallaentrelarectay = r x yel ejex, entrex=0 yx=h [fig. 30.2a)]. Porlafórmuladeldisco, el volumendelconoes
CAPÍTULO 30
PROBLEMAS RESUELTOS
CAPÍTULO 30
^ 246^ b)
(P rim era solución) C on la fórm ula de capas cilindricas resu lta el volum en
V
=
2nJoxy dx = 2nJox(x3)dx = 2nJox4dx = 2 n ( -^x5) =64=n
(Segunda solución) A l integrar a lo largo del eje
V
5.
A plicaciones de integración I I : volumen
yy
u tilizar la fórm ula de w asher se obtiene el volum en
=^r 22)2 dy = K Í Á 4 _y2/í]dy= K {4y ~ 5y553) =^(32 _(i)32)=6í5^
H alle el volum en del sólido obtenido al girar alrededor del eje y la región que está en el prim er cuadrante dentro del círculo x2 + y2 = r2 y entre y = a y y = r (donde 0 < a < r) (fig. 30.11). (El sólido es una “tapa p o lar” de una esfera de radio r.)
Fig. 3 0 .1 1 A l integrar a lo largo del eje y , al usar la fórm ula del disco se obtiene el volum en
V=
6.
x 2dy = x j ( r 2 - y2) dy = n { r 2y - 1 y 3 )]^ = f r3 - ( r 2a - 1 a 3)) = -3 (2 r 3 - 3 r 2a + a 3)
H alle el volum en del sólido obtenido al girar en torno al eje y la región que se encuentra en el prim er cuadrante y está lim itada p o r arriba, p o r la parábola y = 2 - x2 y p o r debajo, p or la paráb o la y = x2 (fig. 30.12)
Fig. 3 0 .1 2
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-^ 247^
V = 2n J
2
2
3
2
4
Considerelaregión^ acotadaporlaparábolay=4x2 ylasrectasx=0yy=16(fig. 30.5).Encuentreel volumendel sólidoobtenidoalgirar^ entornoalarectay=-2. Lasolucióndeesteproblemasereducealcasodeunarevoluciónentornoalejex. Sesubelaregión 3t verticalm enteaunadistanciade2unidades. Estocambia3t enunaregión3t* acotadapordebajopor laparábolay=4x2 +2, alaizquierdaporelejey, yporencimaporlarectay=18(fig. 30.13). Entonces, el sólidoderevoluciónoriginal tieneelmismovolumenqueel sólidoderevoluciónobtenidoalgirar^ * alrededordel ejex. Elúltimovolumenseobtienemediantelafórmuladewasher: V = ^ J q2(182 - (4 x 2 + 2 ) 2) dx = f t j q2(256 - 16x 4 - 16x 2 - 4 ) dx = n{252x - y x 5 -
8.
f x )| = (504 - y 2 - “ )= 3
Comoenelproblema7, considéreselaregión^ acotadaporlaparábolay=4x2ylasrectasx=0 yy=16(fig. 30.5). Halleelvolumendel sólidoobtenidoalgirar^ entornodelarectax=-1.
Fig. 3 0 .1 3
Pararesolveresteproblema, sereducealcasodeunarevoluciónsobreelejey. Semuevelaregión^ ala derechaunadistanciaequivalentea1unidad. Estoconviertea^ enunaregión^ acotadaaladerechapor laparábolay=4(x- 1)2,porencimapory=16yalaizquierdaporx=1(fig. 30.14). El volumendeseado eselmismoqueelobtenidocuandosegirai%*alrededordelejey. Elúltimovolumenseobtuvomediantela diferenciadelafórmuladecapascilindricas: V = 2x ¡ 3 x(16- 4(x- 1) )dx = 2x ¡ 3 x(16- 4x +8x- 4)dx 2
= 2n j ¡
2
(16x- 4x + 8x - 4x)dx = 2^ ( 8x - x + f x - 2x2)] 3
2
2
= 2 ^ [(7 2 - 81 + 72 - 1 8 ) - ( 8 - 1 + f - 2 ) ] = ^
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4
3
3
Aplicaciones de integración II: volumen
7.
x((2-x )- x)dx = 4^Jq(x - x)dx = 4n{ 1 x - j x ) =4n{ ^ - j ) = n
CAPÍTULO 30
Lascurvasseintersecanen(1, 1). Porladiferenciadelafórmuladecapascilindricas, el volumenes
CAPÍTULO 30
A plicaciones de integración I I : volumen
y
Fig. 3 0 .1 4
Justifique la fórmula del disco V
fb
= n I ( f (x ))2dx.
Se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud Ax = b -^
a
(fig. 30.15).
Considere el volumen Vi obtenido al girar la región 3 tt por encima del i-ésimo subintervalo en torno al eje x. Si m¡ y M¡ son el mínimo absoluto y el máximo absoluto def en el i-ésimo intervalo, entonces Vi queda entre el volumen de un cilindro de radio mi y altura Ax y el volumen de un cilindro de radio M¡ y altura Ax. Luego, n m 2Ax
V
- M i2.
(Se ha supuesto que el volumen de un cilindro de radio
r y altura h es n r 2h.) Por consiguiente, por el teorema del valor medio intermedio para la función continua
f(x))2, existe un x* en el i-ésimo subintervalo tal que ^ n
n
“x = (f (x*))2 y, por ello, V¿ = n ( f (x*))2A x.
Haciendon ^ +^ , seobtienelafórmuladel disco.
V = X V = n ^ ( f (x*))2Ax
Ax a
Entonces,
x
x
Fig. 3 0 .1 5
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b
x
-^ 249^
y* (x*).
(x*)
j
(x*)- n x h f (x*)=n f (x*)(x2- x]_x) =n f (x*)(x¿- xi_1)(xi +xw)=n f ( x*)(2x*)(Ax)=2 n x *f (x*)(Ax) n b L uego, el V total se aproxim a p or 2 n S x *f (x*)A x , el cual tiende a 2^ í x f (x)dx cuando n ^ + ^ . ¿a x x 2f
b
11. Justifique la fórm ula de la sección transversal: V = I A (x) dx.
a
Se divide [a, b] en n subintervalos iguales [xi-1, x j, y se elige un punto x * en [xi-1, x j. Si n es grande, A x es pequeño y la pieza de sólido entre x i-1 y x¿ estará p ró x im a a un disco (no circular) de grosor A x y área de base
n
A (x *) (fig. 30.17). E ste disco tiene el volum en A (x *) Ax. E ntonces, V se aproxim a m ediante ^ A( x *) Ax, que
rb a
tiende a I A (x) d x cuando n ^
i=1
+ ^. y
Fig. 3 0 .1 6
Fig. 3 0 .1 7
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Aplicaciones de integración II: volumen
Se divide [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud A x (fig. 30.16). Sea 3 tt la región por encim a del i-ésim o subintervalo. Sea x* el punto m edio del i-ésim o intervalo. El sólido obtenido al 2 g irar la región ^ en torno al eje y es aproxim adam ente el sólido obtenido al g irar el rectángulo con b ase A x y altura =f E ste últim o sólido es una capa cilíndrica, es decir, queda entre los cilindros obtenidos al g irar los rectángulos con la m ism a altura f y con base [0, xi-1] y [0, x . P or tanto, tiene volum en
CAPÍTULO 30
rb a
10. Justifique la fórm ula de capas cilíndricas: V = 2 n I x f (x) dx.
CAPÍTULO 30
12.
A plicaciones de integración I I : volumen
Un sólido tiene una base circular con radio de 4 unidades. Halle el volumen del sólido si cada sección plana perpendicular a un diámetro fijo en particular es un triángulo equilátero. Se toma el circulo como en la figura 30.18, con el diámetro fijo sobre el eje x. La ecuación del circulo es x2 +y2 = 16. La sección transversal A B C del sólido es un triángulo equilátero de lado 2y y área A(x) =V3y2 =V3(16 - x2). Entonces, por la fórmula de la sección transversal, V = y¡3 J44(16 - x2) dx = /3
13.
Un sólido tiene una base una forma de un elipse con eje mayor 10 y eje menor 8 . Determine su volumen si cada sección perpendicular al eje mayor es un triángulo isósceles con altura 6 . Se toma la elipse como en la figura 30.19, con la ecuación -2—+ = 1. La sección A B C es un triángulo isósceles con base 2y, altura 6 y área A(x) = 6y = 6 (—-\/25- x2). Por tanto, V = 44J S«y/25- x 2dx = 60tf 2
Fig. 3 0 .1 8 (N ótese q ue ¿ V 25 - x 2d x es el área de la m itad sup erior del circul° x2 + y 2 = 25 y, p ° r tan to , es ig ual a 25^/2.)
2
Fig. 3 0 .1 9
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 14.
Considere la región R acotada por la parábola y2 = 8x y la recta x = 2 (fig. 30.4). a) Determine el volumen del sólido generado al girar ^ en torno al eje y. b) Halle el volumen del sólido generado al girar ^ alrededor de la recta x = 2. Respuestas: a) i 28^; b) 256^
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-^ 251^
alrededor de la recta y = 6 . Respuesta:
1408^
con 0 < b < a. Respuesta:
2n 2ab2
17. Considere la región ^ acotada por y =-x2 - 3x + 6 y x +y = 3. Halle el volumen del sólido generado cuando 3t gira en torno a:
a) El eje x.
b) La recta x = 3.
;b)
Respuestas: a)
En los problemas 18 a 26, determine el volumen generado cuando la región indicada gira en torno a la recta dada. Aplique la fórmula del disco.
18. La región acotada por y = 2x2, y =0 y x =5, en torno al eje x. Respuesta:
2500n
19. La región acotada por x2 - y2 = 16, y =0 y x = 8, alrededor del eje x. Respuesta:
20. La región acotada por y =4x2, x =0 y y = 16, en torno a y = 16 (fig. 30.5). Respuesta:
21. La región acotada por y2 =x3, y =0 y x = 2, alrededor del eje x. Respuesta:
4n
22. La región acotada por y =x3, y =0 y x = 2, en torno a x = 2. Respuesta:
23. La región dentro de la curva y2 =x4(1 - x2), en torno al eje x. 4 Respuesta: -35 ~
24. La región dentro de la elipse 4x2 + 9y2 = 36, alrededor del eje x. Respuesta:
16n
25. La región dentro de la elipse 4x 2 + 9y 2 = 36, alrededor del eje y . Respuesta: 24n
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Aplicaciones de Integración II: volumen
16. Encuentre el volumen del toro (rosquilla) generado cuando el círculo (x - a)2 +y2 = b2 gira en torno al eje y,
CAPÍTULO 30
15. Establezca el volumen del sólido generado al girar la región ubicada entre el eje x y la parábola y =4x - x2
CAPÍTULO 30
^ 252^
A plicaciones de integración I I : volumen
26. La región dentro la parábola x = 9 - y2 y entre y =x - 7 y el eje y, en torno al eje y. Respuesta: 963^ En los problemas 27 a 32, halle el volumen del sólido generado por el giro de la región indicada en torno a la recta dada. Aplique la fórmula de washer.
27. La región acotada por y = 2x2, y =0, x =0 y x =5, en torno del eje y. Respuesta:
625n
28. La región acotada por x2 - y2 = 16, y =0 y x = 8, alrededor del eje y. Respuesta: 128V 3rc 29. La región acotada por y =x3, x =0 y y = 8, alrededor de x = 2. Respuesta: 14j4^ 30. La región acotada por y =x2 y y =4x - x2, en torno al eje x. Respuesta:
31. La región acotada por y =x2 y y =4x - x2, en torno a y = 6. Respuesta:
32. La región acotada por x = 9 - y 2 y y =x - 7, alrededor de x =4. Respuesta: 153^ En los problemas 33 a 37, determine el volumen del sólido generado por el giro de la región indicada alrededor de la recta dada. Use la fórmula de capas cilindricas.
33. La región acotada por y = 2x 2, y =0, x =0 y x =5, en torno ax = 6 . Respuesta:
375n
34. La región acotada por y =x 3, y =0 y x = 2, alrededor de y = 8. Respuesta: 320^ 35. La región acotada por y =x 2, y =4x - x 2, en torno a x =5. Respuesta:
^4^
36. La región acotada por y =x2 - 5x + 6y y y = 0, alrededor del eje y. Respuesta:
5n
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-^ 253^
Respuesta:
369 ^
38. La región acotada por y = e~x2, y = 0, x = 0 y x = 1, alrededor del eje y.
Respuesta:
ft(1 - e-1)
39. La región acotada por y = 2x2, y = 2x + 4, en torno a x = 2.
Respuesta:
27n
40. La región acotada por y = 2x, y = 0 y x = 1, alrededor del eje y.
Respuesta:
4^ -3
41. La región acotada por y = x2 y x = y2, en torno al eje x.
Respuesta:
3~ 10
42. La región acotada por xy = 4 y y = (x - 3)2, alrededor del eje x.
Respuesta:
^7 ^
43. Halle el volumen del tronco de un cono cuya base inferior tiene radio R, la base superior de radio r y la altura
es h. Respuesta:
3 n h (r 2 + rR + R 2)
44. Un sólido tiene una base circular con radio de 4 unidades. Halle su volumen si todo plano perpendicular a
un diámetro fijo (el eje x en la figura 30.18) es a) un semicírculo; b) un cuadrado; c) un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa en el plano de la base. Respuestas: a)
; b) 1 0 2 4 ; c) ^
45. Un sólido tiene una base en forma de elipse con eje mayor 10 y eje menor 8. Determine su volumen si toda
sección perpendicular al eje mayor es un triángulo rectángulo isósceles con un cateto en el plano de la base. Respuesta:
-64 °
46. La base de un sólido es la región que ubicada en el primer cuadrante y está acotada por la recta 4x + 5y = 20 y
los ejes coordenados. Halle su volumen si toda sección plana perpendicular al eje x es un semicírculo. Respuesta: 47. La base de un sólido es un círculo x2 + y 2 = 16x , y toda sección plana perpendicular al eje x es un rectángulo
cuya altura es el doble de la distancia del plano de la sección al origen. Determine su volumen.
Respuesta:
1024a:
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Aplicaciones de integración II: volumen
En los problemas 38 a 42, halle el volumen generado por el giro de la región indicada alrededor de la recta dada. Use el método más apropiado.
CAPÍTULO 30
37. La región acotada por x = 9 - y2, y = x - 7 y x = 0, alrededor de y = 3.
CAPÍTULO 30
48.
A plicaciones de integración I I : volumen
Laseccióndeciertosólidocortadoporunplanoperpendicularalejex esuncírculoconlosextremosdeun diámetroqueyaceenlasparábolasy2 =4x yx2 =4y.Hallesuvolumen. Respuesta:
49.
280 Laseccióndeciertosólidocortadoporunplanoperpendicularalejex esuncuadradoconextremosdeuna diagonalenlasparábolasy2 =4x yx2 =4y.Establezcasuvolumen. Respuesta:
50.
15
Seperforaunhoyoconradiode1unidadenunaesferacuyoradioequivalea3unidades; elejedelhoyoesel diámetrodelaesfera. Halleel volumendelaparterestantedelaesfera. Respuesta: 64W 2
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Técnicas de integración I: integración por partes Si u y v son funciones, al aplicar la regla del producto se obtiene
D x (uv) = u V + v u ' que puede reescribirse en térm inos de antiderivadas de la m anera siguiente: uv = J uv' d x + J v u ' dx A hora, J uv' dx p u ed e escrib irse com o J u d v y J v u ' dx p u ed e re p rese n tarse com o J v d u .f E n to n ces, uv = J u d v + J v d u y, por tanto, J u d v = uv - J v d u
(Integración p o r partes)
E l propósito de la integración por partes es rem plazar una integración “difícil” J u d v p o r un a integración “fácil” J vdu. EJEMPLO 31.1.
Halle Jx ln xd x .
Para utilizar la fórmula de la integración por partes hay que dividir el integrando x ln x dx en dos “partes” u y dv, de modo que se pueda hallar fácilmente v por integración y también resulte fácil hallar J v du. En este ejemplo, sea u = ln x y dv = x dx. Entonces, se tiene que v = 2 x 2 y se observa que du = — dx. Luego, al aplicar la fórmula de la integración por partes resulta: J x ln x d x
= J u d v = uv -
J v d u = (ln x)(y x2) - J
^x 2(1 d x )
= 1 x 2 lnx- y J x d x = -jx2 ln x-- 4 x2 + C = 4 x 2(2ln x - 1) + C L a integración por partes puede ser m ás fácil de aplicar si se form a un rectángulo com o el siguiente p ara el ejem plo 1:
f
u = ln x
dv = x d x
du = —dx x
v = y x2
Juv' dx = \u dv, donde, después de la integración de la derecha, la variable v se remplaza por la función correspondiente de x. De hecho, por la regla de la cadena Dx(ju dv) = Dv(ju dv) ■Dxv = u ■v'. Por ende, Ju dv = Juv’ dx. De igual forma, Jv du = Jvu' dx.
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4255J
CAPÍTULO 31
Técnicas de Integración I: Integración por partes
E n la prim era fila se colocan u y dv; en la segunda, los resultados de calcular du y v. E l resultado deseado de la fórm ula de integración por partes uv - J v du puede obtenerse si se m ultiplica prim ero la esquina superior izquierda u por la esquina inferior derecha v, y luego se resta la integral del producto v du de las dos entradas v y du en la segunda fila. EJEMPLO 31.2. Halle J x e x dx. Sea u = x y dv = e*. Ahora se esquematiza en un rectángulo como éste u=x du = dx Luego,
J xexdx = uv - J v du = xex - J ex dx = xex - ex + C = ex
EJEMPLO 31.3.
dv = exdx v = ex
Halle J ex
(x- 1)+ C
cosxdx.
Sea u = e y dv = cos x dx. Con ello se elabora el rectángulo u = ex du = ex dx Entonces,
dv = cos x d x v = sen x
J ex cos x dx = uv - J v du = ex sen x - J ex senx dx
(1)
Ahora se tiene el problema de hallar J ex sen x d x , que parece ser tan difícil como la integral original J ex cos x dx. Sin embargo, se intenta hallar J exsenx dx mediante otra integración por partes. Esta vez, sea u = ex y dv = sen x dx. u = ex du = ex dx Así,
dv = sen x dx v = - cos x
J ex sen x dx = - e x cos x - j - e x cos x dx = - e x cos x + J ex cos x dx
Al sustituir lo anterior en la fórmula (1) resulta: | excos x d x = exsenx - ( - ex cosx + | ex cosx d x) = ex sen x + ex cos x - 1 ex cos x dx Sumado J ex cos x dx en ambos lados se obtiene 21 ex cos x dx = ex sen x + ex cos x. Entonces, | ex cos x d x = 2 (ex sen x + ex cos x) Se debe sum ar una constante arbitraria: | ex cos x dx = -2(exsen x + ex cos x) + C O bserve que p ara resolver este ejem plo se necesitó de la aplicación iterada de la integración por partes.
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-^ 257^
1.
u =x2
dv = xex dx
du = 2x d x
Portanto,
v = 2 ex'L
Jx3ex2dx =-jx2ex2 - Jxex2dx =1 xex2 - -2 ex + C = -2 e x2(x -1) +C 2
2
DetermineJ ln(x2 +2)dx. Seau =ln(x2+2)ydv =dx
Así,
J
ln(x2 +2)dx = x ln(x2 +2)- 2J x 2 +2 dx =
3.
xln(x + 2)- 2j(l 2
)
x 22+ 2 dx
=x
ln(x + 2)- 2x+ ^V^2 tan - 1 [ y/2 y 1
I+ C
=x
(ln(x + 2)- 2)+ 2V2 tan-
^+C
2
2
1
ResuelvaJlnxdx. Seau =lnxydv =dx xd
d
= v
lnx du = — dx x u=
v = x
2.
Jlnxdx = x lnx- J1dx = x lnx- x+C = x(lnx- 1 )+C 4.
ResuelvaJxsenxdx. Setienentresopciones: a) u =xsenx, dv =dx;b) u =senx, dv =xdx;c) u =x, dv =senxdx. a) Seau =xsenx, dv =dx. E ntonces, du = (senx+xcosx)dx, v =x, y Jxsenxdx = x ■x senx- Jx(senx+xcosx)dx Puestoquelaintegralresultantenoestansimplecomolaoriginal, estaopciónsedescarta. www.FreeLibros.me
Técnicas de Integración I: Integración por partes
HalleJx3ex2dx. Seau =x2ydv = xex dx. Observequev puedeevaluarsemediantelasustituciónw =x2.(Seobtiene v =-2Jewdw = 2 ew = 1 ex 2.)
CAPÍTULO 31
PROBLEMAS RESUELTOS
Técnicas de Integración I: Integración por partes
CAPÍTULO 31
b)
Sea u = sen x, dv = x dx .E ntonces, du = cos x dx , v = -j x 2 y j x sen x dx = 2 x 2 sen x - J -2 x 2
cos
x dx
C om o la integral resultante no es tan sim ple com o la original, esta opción tam bién se descarta. c)Sea u = x, dv = sen x dx .
Jx
5.
E ntonces du = dx , v = -c o s x y sen x dx = —x cos x —J
- cos x dx = —x
cos x
+ sen x + C
H alle í x 2 ln x d x .
dx x3 Sea u = ln x, dv = x 2 dx . E ntonces, du = — , v = - 3- y í x 2 l n x d x = x p l n x - í x i- — = 4 p l n x - 1 í x 2dx = 4 p l n x - 1 x 3 + C J 3 J 3 x 3 3J 3 9
6.
R esuelva J s e n xdx. Sea u = sen -1 x, dv = dx
u = sen - 1 x du =
P or tanto
dv = dx
. 1 -dx
ísen -1 x dx = x sen -1 x -J [V T, ^xx 7
v=x
dx
J
= x sen -1 x + \ J 1 _ x 2)~1/2( - 2 x ) dx
= x sen -1 x + y (2(1 - x 2)1/2) + C
(por la fórm ula abreviada I)
= x sen -1 x + (1 - x 2)1/2 + C = x sen 1 x + V 1 - x 2 + C
7.
R esuelva J tan -1 x dx. Sea u = tan -1 x , dv = dx
dx
1 2 dx 1 +x 2
dv
du =
=
u = tan 1x
v= x
Por ende, ítan-1 x d x =x tan-1 x - L x 2 dx = xtan-1 x - i L 2x 2 dx J 1 +x 2 ^ 1 +x 2
J
= x tan-1 x - 2 ln(1 +x2) +C
8.
Halle J sec3x dx. Sea u = sec x, dv = sec2 x dx u = sec x du = sec x tanx d x
dv = sec2 x d x v = tan x
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(por la fórmula abreviada II)
4 259^ CAPÍTULO 31
Asi,
J sec3x d x = sec x tanx - J sec x tan2 x dx = sec x tanx - J sec x(sec2 x - 1) dx
Técnicas de integración I: integración por partes
= sec x tanx - J sec3 x dx +J secx dx = sec x tanx - J sec3 x d x +ln Isec x + tanx I
9.
Por consiguiente,
2 J sec3 x d x = sec x tanx +ln Isec x + tan x I
Asi,
J sec3x d x = -j(sec x tan x +ln Isec x + tanx I) + C
Halle J x 2sen x d x . Sea u = x2, dv = sen x dx . Asi, du = 2x dx y v = -co s x. Entonces,
Jx 2sen x d x = - x 2 cos x ~ j ~2x cos x d x = - x 2 cos x + 2 J x cos x d x Ahora se aplica la integración por partes a J x cos x d x , con u = x y dv = cos x dx , con lo que se obtiene | x cos x = x sen x - J"sen x dx = x sen x + cos x | x 2 sen x dx = - x2 cos x + 2(x sen x + cos x) + C
Por tanto,
10. Halle J x3e2xdx.
Sea u = x3, dv = e21dx . Entonces, du = 3x2 dx , v = 2 e2x
y
J x 3e2xdx = 1 x 3e2x - f J x 2e2xdx Para la integral resultante, sea u = x2 y dv = e2x dx . Entonces, du = 2x dx , v = 1 e2x y J x3e2xdx =
-2
x 3 e2x - f | y x 2e2x - J xe2xdx j =
-2
x 2 e2x - 7 x 2e2x + -| J xe2xdx
Para la integral resultante, sea u = x y dv = e2x dx . Entonces, du = dx , v = 1 e2x y fI x^ec2 xUX d x— _12 x3e2x e2 x t 1 ^ 21 xe^x__1 1 34 xe^x_ ^ ^ _3^ ^x 2K 2 ^[ ^e^xdx\_ UA I —1 ^x^e^x_3 ^ K ^x^2 eK2 x T AC 3 e 28x
11.
Derive la siguientefórm ula reducción para J sen“ x d x . “ xdxSea
u=
sen“ 1x y
dv =
sen x
1 ísen"-2 x s e nx c o s x + m— m m
dx u = sen"-1x du = (m - 1)senm-2 x dx
dv =sen x dx
v =- cos x
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+C
Técnicas de Integración I: Integración por partes
CAPÍTULO 31
Jsenmx d x =-cos xsen“-1 x+(m- 1)Jsen“-2xcos2xdx = - cosxsen“-1x+(m- 1)Jsen“-2 x(1 - sen2x)dx =- cosxsen“-1 x+(m- 1)Jsen“-2 xdx - (m - 1)Jsen“-2xdx Portanto, m Jsen“x d x = - cosxsen “-1x+(m - 1)Jsen“-2xdx yaldividirentrem seobtienelafórmularequerida. 12.
Apliquelafórmuladelareduccióndelproblema11 parahallarJsen2xdx. Cuandom =2setiene r 2 senxcosx , r 0 J sen2 xd x = ---------- 2------+ 1 J sen0 xdx senxco sx , r, , ---2-- +i J1 dx senxcosx x „ x- senxcosx „ =---- 2-- +2 + C =---- 2---- +C =
13.
Aplique la fórmula de la reducción del problema 11 para hallar J sen3 x dx. Cuando m = 3 se obtiene r
3
sen2 x cos x
2
r
J sen3 x d x = -----------3-------- +
f J sen x d x
sen2 x cos x , „ =------- 3------- f cos x + C cos x (2 +sen2x) + C 3
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
Enlosproblemas 14a21, uselaintegraciónporpartesparacomprobarlasfórmulasindicadas. 14.
x cos x d x = x sen x + cos x + C
15.
x sec2 3x dx = 4-x tan3x - irlnisec x I+C
16.
cos l 2 x d x = x cos l 2x - ÿ\/l - 4x2 + C
17.
x
18.
x2
19.
x 3sen xdx = - x 3cos x + 3 x 2sen x + 6x cos x - 6sen x +
tan x d x = - (x +l)tan x- ÿx + C 1
j
2
1
e x dx =^- e x(x + x+-)+ C 3
3
3
2
2
C
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■4261^
2 1.
CAPÍTULO 31
20. J
xsen' (x2)d x = 1 x 2 sen' (x2)+ £ \ / 1- x4 + C
22. Demuestre que
r2 n
x
Técnicas de integración I: integración por partes
r ^ d x = - ln x ± i + c x2 x
senn x d x = —2—% para algún entero n positivo.
23. Demuestre la fórmula de reducción siguiente:
fsecnxd x = tanxn^- 1 x+ n - 1 Jísecn-2 xdx
J
24. Aplique el problema 23 para hallar J R espuesta:
y
sec4 xdx.
tanx(sec2x+ 2)+ C
25. Pruebe la fórmula de reducción:
J
1_(___ x +r dx (a + x )n2n - 2 ( (a +x )n-J(a +x )n-1 J 2
2
2
2
1
2
|
2
x2
a+x j + — tan +x a ay)+ C
26. Aplique el problema 25 para hallar I
J(
22 \
R espuesta:
(—
f
a
)
dx.
1—
xn+1
27. Demuestre J x n ln x d x = (n + ^ 2 [(n +1) (ln x -1 )] + C para * -1.
28. Pruebe la fórmula de reducción I"x neíad x = 1 x neax - — I"x n 1eaxd x . a a
29. Utilice el problema 28 y el ejemplo 31.2 de este capítulo para demostrar que J x 2e xd x = e x (x 2 - 2 x + 2) + C.
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Técnicas de integración II: integrandos trigonométricos y sustituciones trigonométricas
Integrandos trigonométricos
. Considérenselasintegralesdelaforma, J senk x cosnx d x ,conk yn enterosnonegativos. Tipo 1. A l menos uno de entre senx y cosx se presenta en una potencia impar . Entonces es factiblela sustitucióndeunafunciónporlaotra. EJEMPLO 32.1. J sen3 x cos2 xdx. Seau =cosx .Entonces, du =-senx dx .Portanto, J sen3xcos2x d x =J sen2xcos2xsenx d x =J (1 - cos2x)cos2xsenxdx =-J(1 - u 2)u2 du =J(u4 - u 2)du =yu5 - Ju3 +C =ycos5x- 1cos3x+C 1
EJEMPLO 32.2.
J sen4xcos7x d x .
Seau =senx .Entonces, du =cosx dx y J sen4 xcos7x d x =J sen4xcos6xcosx d x =J u4(1- u 2)3du =J u4(1- 3u2 +3u4 - u6)du =J (u5 - 3u6 +3u8 - u10)du = -g -u6 - 3 u 7 +yu9 - IXu11 +C = -¿sen6x- ysen7 x+^sen9x-11sen11x+C EJEMPLO 32.3.
J sen5xdx.
Seau =cosx .Entonces, du =-senx dx y
£26¡w
----------------
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-^ 263^
= - J (1 - u 2)2du = - J (1 - 2u2 + u4) du
= - y co s5 x + -2cos3 x - cosx + C
Tipo 2. A m bas potencias de
lasidentidades
senx y cosx son pares. Estosiempresuponeuncálculomástediosomediante 1 +cos2x cos22x=---» -- ysen2 x=- 2 -1 cos2x
EJEMPLO 32.4.
J cos2x sen4x dx = J (cos2 x)(sen2x)2 dx xv \ / 11-- c cos x ) dx =j /11++ccos 2°s22x 2°s22x 2
_ J^1 +cos 2x
1- 2 cos2x +cos2 2x J ^x
= -1 J (1(1 - 2 cos2x + cos2 2x) + (cos2x)(1 - 2 cos2x + cos2 2x)) dx = -8 J (1 - 2 cos2x +cos2 2x +cos2x - 2 cos2 2x +cos3 2x) dx
= 1 J (1 - cos2x - cos2 2x +cos3 2x) dx = 1 1J 1 dx - J cos2x dx - J cos2 2x d x + J cos3 2x d x j
= 8 (x - se2 x - J 1 + c° s4x dx + J(cos2x)(1 - sen2 2x)d x ) - ^|x +sen44xJ + Jcos2x dx - 1 J u 2 d u | [donde u = sen 2x] _ U x _ sen2x _ x _ sen 4x , sen 2x _ 1sen3 2x \ , c Mx 2 2 ^ 2 2 3 1 1/x ^2
sen4x 8
sen* 2x 1 ,^ 6
x _ sen4x _ sen* 2x 16 64 48 2.
C
Considérenselasintegralesdelaformajtan4x secn x d x ,conk yn enterosnonegativos. Caberecordarque sec2x =1 +tan2x. Tipo 1. n es par. sesustituyeu =tanx.
EJEMPLO 32.5.
J tan2x sec4 xd x .
Sea u = tan x, du = sec2x dx. Entonces, J tan2x sec4 x d x = J tan2 x (1 + tan2x)sec2 x d x = J u 2(1 + u 2) du = J (u4 + u 2) du = 1 u 5 + 1 u 3 + C = ^tan5 x +1 tan3 x + C
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Técnicas de integración II: integrandos trigonom étricos
= —(u - -fu3 + y u 5) + C
CAPÍTULO 32
J sen5x dx = J sen4 x sen x dx = J (1 - cos2x)2 sen x dx
^ 264^
__________
CAPÍTULO 32
Técnicas de Integración I I : Integrandos trigonom étricos
nes impar y kes impar: sesustituyeu =secx. EJEMPLO 32.6. Jtan3x secx d x . Seau =secx,du =secx tanx dx . Entonces, Jtan3x secx dx = Jtan2x secx tanx dx =J(sec2x -1)secx tanx dx =J(u 2 - 1)du = j u3 - u +C = 1sec3x - secx +C Tipo 2.
Tipo 3.
nes impar y kes p a r . Estecasogeneralmenterequiereuncálculotedioso.
EJEMPLO 32.7.
Jtan2x secx dx =J(sec2x - 1)secx d x =J(sec3x - secx )dx 2(secx tanx +lnIsecx +tanx I)- lnIsecx +tanx l+C (porelproblema8 delcapítulo31) =^(secx tanx - lnIsecx +tanx l)+C 3. ConsidérenseintegralesdelaformasenJA x cosB x dx, JsenA x senB x dx, yJcosA x cosB x dx . Senecesi taránlasidentidades senA x cosBx = 1 (sen(A+B)x +sen(A- B)x) senA x senBx = 1 (cos(A- B)x - cos(A+B)x) cosA x cosBx = 1 (cos(A- B)x + cos(A+B)x) =
EJEMPLO 32.8.
Jsen7x cos3x dx = (sen(7+3)x +sen(7- 3)x)dx = (sen10x +sen4x )dx = ^ (- 1 0 ^ 10x - j cos4x )+ C = --40 (2 cos10x + 5cos4x )+ C EJEMPLO 32.9.
Jsen7x sen3x dx = (cos(7- 3)x +cos(7+3)x )dx = J7 (cos4x - cos 10x )dx = 7 (j sen4x —^r0 sen1 0x )+ C = ^ (5sen4x - 2sen10x )+ C EJEMPLO 32.10.
Jcos7x cos3x dx = J-^(cos(7- 3)x +cos(7+3)x )dx = J-Tt(cos4x - cos 10x )dx = 2 (:4 sen4x + T1^ sen1 0x )+ C = (5sen4x + 2sen10x )+ C Sustituciones trigonométricas
Haytresclasesprincipalesdesustitucionestrigonométricas. Enseguidaseexplicacadaunamedianteunejem plotípico. dx
EJEMPLO 32.11. R esuelva
x
2^/4+x2
Sea x = 2 tan 0, es decir, 0 = tan-1(x/2). Así, dx = 2 se c 2 d d d y >/4 +
x= 2
4
4 + 4 tan 2 6 = 2>/l + tan 2 6 = 2yfsëc 26 = 2 Ísec0!
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-^ 265^
+
_ f_
2 se c 2 0 d 0
J 4 ta n 2 0 (2 sec 0)
_4 J i e a 0 T _4 J ^ _4 J (sen0)_«-(sen0 )- ) +C _ - - ¿ 0 + C
2 c o s0
d0
A hora debe evaluarse sen 0. M étodo analítico:
sen 0 =
ta n 0 sec 6
x /2
x
>/4 + x 2/2
V4 + x 2 '
M éto d o geom étrico: traza el trián g u lo rectán g u lo que ap arece en la fig u ra 32.1. C on b ase en él o b serv e que sen0 = x a / Í + x 2 . (N ótese que tam bién se cum ple para 0 < 0.) dx J x 2V 4 + x 2
Por tanto,
4x
+C
x
2 Fig. 3 2 .1 E ste ejem plo ilustra la regla general siguiente:
EstrategiaI.S i 4 a 2 + x 2 se p re s e n ta e n u n in te g rad o , p ru e b e a u sa r la su stitu c ió n x = a ta n 0. EJEMPLO 32.1 2 . H alle J
dx x 2y¡9 - x 2
Sea x = 3 sen 0, es decir, 0 = sen-1(x/3). E ntonces, d x = 3 cos 0 d 0 y y¡9 - x 2 = y/ 9 - 9sen2 0 = 3>/sen20 = 3>/cos2 0 = 3!cos0! P or definición de la inversa de seno, - n /2 < 0 < n /2 y, p o r consiguiente, cos 0 > 0. A sí, c o s0 = Icos0I = V9 - x 2/ 3 . A hora, f
dx f 3 cos 0 d 0 x 2V9 - x 29 sen2 0 (3 cos 0 )
1 1 í cosec2 0 d e 9 J
1 = - ± cot 9 + C = - ± ^ Z + C = - - k 9 9 sen 0 9
x/3
i V 9T 99 x
2
-+ C
E ste ejem plo ilustra el m étodo general siguiente:
EstrategiaII.S i y /a 2 - x 2 se p re s e n ta en u n in te g ra d o , p ru e b e u sa r la su stitu c ió n x = a sen 0. 2
EJEMPLO 32.13. R e sue lva J
¡ dx V x2 - 4 '
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Técnicas de integración II: integrandos trigonom étricos
f dx J x^4 x2
CAPÍTULO 32
Por definición de la tangente inversa, -n /2 < 0 < n/2. A sí, cos 0 > 0 y, por tanto, sec 0 > 0. Luego, sec 0 = Isec 0 I= %/4 + x 2/ 2 . P or ende,
CAPÍTULO 32
^ 266^
Técnicas de integración I I : integrandos trigonom étricos
Sea x = 2 sec 0, es decir, 0 = sec 1(x/2). Entonces, dx = 2 sec 0 d d y ■Jx2 - 4 =V4sec2 0 - 4 = Wsec2 0 -1 = Wtan2 0 = 2!tan0!
Por definición de la inversa de secante, 0 está en el primer o tercer cuadrante y, por consiguiente, tan 0 >0. Entonces, tan9 = itan0! =Vx 2 - 4 /2. Ahora, f
x2 4
. _ f 4 sec2 0(2 sec 0 tan0) ,fí J 2 tan0 = 4J sec3 0d0= 2(sec 0 tan 0 +ln isec 0 + tan 0! + C) (por el problema 8 del capitulo 31)
=2
y¡x2 - 4
2 2
ln -Vx 2 - 4 + C 2
W x2 - 4 ■ 2 ln 2
W x2 - 4 + 2
+C
2ln|x+ Vx - 4 + K donde 2
K =C-
2ln2
Este ejemplo ilustra el método general que sigue:
EstrategiaIII.
Si Vx 2 - a 2 se presenta en un integrado, trate de usar la sustitución x = a sec 0 .
PROBLEMAS RESUELTOS En los problemas 1 a 23, compruebe las soluciones dadas. Recuerde las identidades sen2u = ÿ (1 - cos2u) cos2u -2(1 + cos2u) sen2x = 2 sen x cosx 1.
J sen2x d x
= J ÿ (1 - cos2x) dx = ÿ(x - ÿsen2x) + C = -j(x - senx cos x) +C .
2.
J
3.
J sen3 x dx = J sen2x
cos2(3x) dx = J ÿ (1+ cos 6x) dx = 2 (x
+ 1 sen6x) +
C.
sen x dx = J (1 - cos2 x) sen x dx
= J senx d x + J cos2 x(-sen x) dx = —cos x +-3cos3x + C
4.
(por la fórmula abreviada I).
J sen2x cos3x d x = J sen2x cos2x cos x d x = J sen2x (1 - sen2x)cosx dx = J sen2x cos x d x
= ÿsen3x -
- J sen4x cos x d x
ÿsen5x +
C
(p o r la fó rm u la abreviada I).
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5.
Jsen3(3x)cos5(3x)dx =J(1 - cos2(3x))cos5(3x)sen(3x)dx =Jcos5(3x)sen(3x)dx - Jcos7(3x)sen3xdx
6.
J
cos313 J dx = J ^ 1- sen2^3 JJ c o s ^ d x =J^1 - sen213JJcos3 dx =Jcos-j dx - Jsen213 Jc o s^d x =3sen-|-- 3jsen213 =
3 ^ 3
Jdx
3sen3 - 31sen313 J+C (porlafórmulaabreviadaI)
=3sen-x- sen3^3 J+C 7.
Jsen4x d x =J(sen2x)2dx =4J(1- cos(2x))2dx =1J1dx - 2Jcos(2x)dx +^Jcos2(2x)dx =^x- ^sen(2x)+1J(1+cos4x))dx =-4x- i4sen (2x)+£(x+^sen(4x))+C =-3x- jsen (2x)+ sen(4x)+C
8.
9.
Jsen2xcos2x d x = 4 Jsen2(2x)dx = 8 J(1 - cos(4x))dx = 8 (x- isen(4x))+ C = -8x- i2sen(4x)+ C Jsen4(3x)cos2(3x)dx = J(sen2(3x)cos2(3x))sen2(3x)dx =-1Jsen2(6x)(1 - cos(6x))dx =-1Jsen2(6x)dx - -1Jsen2(6x)cos(6x)dx j -J - cos(12x))dx - 4gJsen2(6x)(6 cos(6x))dx = 11 6(x-12sen(12x))- -^sen3(6x)+C (porlafórm ulaabreviadaI) =16x- Tksen(12x))- -^-sen3(6x)+C J sen3xsen2 xdx = J (cos(3x- 2x)- cos(3x+ 2x))dx =-2J(cosx- cos5x))dx =i (senx- ysen5x)+C = j senx- sen5x)+C = 6 (1
10.
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Técnicas de Integración II: Integrandos trigonom étricos
=-■3Jcos5(3x)(-3sen(3x))dx +73Jcos7(3x)(-3sen(3x))dx = -y-g-cos6 (3x)+11cos8(3x)+C (porlafórm ulaabreviadaI) =^2(3cos8 (3x)- 4cos6 (3x))+C
CAPÍTULO 32
-----4267^
__________
11.
CAPÍTULO 32
J sen3x cos5x dx =
Técnicas de integración I I : integrandos trigonom étricos
J y (sen(3x - 5x) + sen (3x + 5x)) dx
= 1 J (sen(-2 x) + sen (8x)) dx = 1 J ( - sen(2 x) + sen (8 x)) dx = y (ycos(2x) - -1cos(8 x)) + C = -4cos(2 x) - 16cos(8x) + C
12. J cos4 x cos2 x dx = 2 J (cos(2 x) + cos(6x)) dx
= -2(y sen(2 x) + 6sen(6x)) + C = ysen(2x) +12 sen(6x) + C
13. J> /1 - cos x dx = y¡2 J sen | x J dx | por sen21 J = 1 ~ ^os x j
= y¡2 |- 2 c o s (x J| + C = -2 yj2 co s(x J + C
r .,
„
„ /^ r
^ /3 x \ ,
14. J (1 + cos3x)3/2 dx = 2y¡2 J cos3l ^ l dx
16. J tan4 x d x
n l3 x \ 1 + cos(3x) puesto que cos2l ^ l = ------- 2------
=J tan2x tan2x d x =J tan2x(sec2 x - 1) dx = J tan2 x sec2 x d x - J tan2 x dx = -3tan3 x - J (sec2 x - 1)dx
(por la fórm ula abreviada I)
= 3 tan3 x - (tan x - x) + C
= -3tan3 x - tan x + x + C
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------------- á 26^
19. J
tan3(3x)sec4(3x)dx = J tan3(3x)(1+ tan2(3x))sec2(3x)dx = Jtan3(3x)sec2(3x)dx +Jtan5(3x)sec2(3x)dx =< 31tan4(3x)+£6 tan6(3x)+C = tan4(3x)+ tan6(3x)+C
cot3(2x)dx = J cot(2x)(cosec2(2x)- 1)dx = --4cot2(2x)+^lnIcosec2(2x)l +C J cot4(3x)dx = J cot3(3x)(cosec2(3 x)- 1)dx =Jcot2 (3x)cosec2(3x)dx - Jcot2(3x)dx = - cot3(3x)- J(cosec2(3x)- 1 )dx = - i9cot3(3x)+-3cot(3x)+x+C Jcosec6xdx = cosec2x(1 +cot2x)2dx = Jcosec2xdx +2 Jcot2xcosec2xdx +Jcot4 xcosec2xdx =— cotx- -jcot3x- ycot5x+C J cot3 xcosec5xdx = J cot2xcosec4 cosecxcotxdx = J(cosec2x- 1)cosec4 xcosecxcotxdx =Jcosec6xcosecxcotxdx - Jcosec4xcosecxcotxdx = - 7 cosec7 x+ycosec5x+C
20. J
21.
22.
23.
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Técnicas de Integración II: Integrandos trigonom étricos
18.
CAPÍTULO 32
tan5x d x =J tan3xtan2x d x =J tan3x(sec2x-1) dx = J tan3 xsec2x d x - J tan3dx = 4 tan4 x- J tanx(sec2x- 1)dx (porlafórm ulaabreviadaI) =£tan4 x- J tanxsec2x d x +J tanxdx =14tan4 x- -2tan2x+lnIsecxl +C (porlafórmulaabreviadaI) J sec4(2x)dx =J sec2(2x)sec2(2x)dx =J sec2(2x)(1 +tan2(2x)dx =J sec2(2x)dx +J sec2(2x)tan2(2x)dx =-2tan(2x)+£J tan2(2x)(2 sec2(2x))dx =j- tan(2x)+y 1tan3(2x)+C (porlafórmulaabreviadaI) =j- tan(2x)+■£tan3(2x)+C
17. J
Técnicas de integración I I : integrandos trigonom étricos
CAPÍTULO 32
24. R esuelva J
y¡9 -
-v/9- 4x2 dx. x
4x =2^J9 - x .Entonces, seax =- sen0.Luego, d x = cosQdQ y 9- 4x 9- 9sen = 3 cos 2
2
|
f
V
2 = V
2e
^
20 =
3!cos !=3cos 0
0
P or tanto, V9 - 4 x 2
r co s 2 Q rm = n f 1 - sen 2 Q dx==J f 3 c o sQ (|c o sQ ) d d = 3 JJ-cos-QQdQ = 3 J-d d senQ J senQ ^*sen0
= 3 J(c o se c Q - sen Q) dQ = 3 ln lc o s e c Q - co t Q \ + 3 Q cos + C Pero,
cosec0 = s e í é = í
cos© _ y/9 - 4 x 2/3 _ V9 - 4 x 2 c o t0 = s e n e " 2 x /3 2x
y
E ntonces,
í
■s¡9 - 4 x 2 dx = x
25. R esuelva Sea
3ln3 - V 9x- 4 x 2
+ y¡9 - 4 x 2 + K
donde À" = C - 3 ln 2
dx - W 9- 4 2
x= fta n Q
x
(fig. 32.2). E ntonces, d x = f s e c 2 Q y y¡9- 4
x2 = 3 s e c e . Por consiguiente,
■2sec2 QdQ
_! J W 9 + 4x2 =J r(-|tanQ)(3secQ) = 3 Jcosec QdQ = -3 lnlcosec Q - cotQ! + C
=
-g-lnV9 + 4xx 2 - 3
K
V 9 - 4x:
3
Fig. 3 2 .2
26. H alle J
(16 - 9 x 2)3 -d x. x6
f
Sea x = i sen 0 (fig. 32.3). E ntonces, dx = cosQdQ y V 1 6 - 9 x 2
•(16 -
=4 c o s e . Por tanto,
f
9 x 2) 3/2 (6 4 c o s 3 6)(j^cos6d 6)
4026sen6e = 2 4 3 J c o t 4 e c o s e c 2 e d e = - ^ 4 3 co t 5 e + c 16 243 (16 - 9 x 2)5/2 . C _ _ 1 (16 - 9 x 2)5/2 , C ' 80 243x5 + C “ 80 x5 + C
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-^ 271^ CAPÍTULO 32
27. H alle l~
_ r_
x 2dx
x 2 dx
-v/ x- xJ-siJ1- (x- l)
J . h2 v _
Sea
x-
1 = sen
2
2
0 (fig.
0d0 y *J2x - x 2 =
32.4). E ntonces, dx = cos
cos0 . Por tanto,
r +sen0) c o s0 d 0 cos0 =J(1 +sen0)2d0 =J(f+2 sen0 - -jcos20 )d0 =f 0 - 2cos0 -i4sen20 +C = -| sen 1(x - 1) - 2yj 2x - x 2 - ^2(x - 1)>/2x - x 2 + C =-| sen- 1(x - 1) - 2(x + 3)yj2x - x 2 +C
_ r x 2d x _ r (1 W 2 x - x2 J
2
x—1
Fig. 3 2 .4 dx
dx
(4x2 - 24x+27)3/2J(4(x- 3)2 - 9)3/2 ' Sea x- 3=fsec0 (fig. 32.5). E ntonces, d x = fsec0 tan0 d0 y yj4 x2 - 24x+2 7=3tan0. Luego, r dx |--|sec0 tan0 d0 = 1 181 J c o s e c 0 c o t0 d 0
28. R esuelva f-
J(
27 tan3 0
(4 x 2 - 24x + 27)3,
18
=- 118cosec0+C=-1x3 9 *J4x2 - 24 x + 27 V4x2- 24x + 27 3 Fig. 3 2 .5 .
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 29. J
30.
cos2x d x = 1 x + y sen2x + C
Jsen32x dx = -6cos32x - ^ cos2x + C www.FreeLibros.me
C
(de la figura 32.5)
Técnicas de Integración II: Integrandos trigonom étricos
Fig. 3 2 .3
CAPÍTULO 32
^ 272^ sen4 2 xd x =
Técnicas de integración I I : integrandos trigonom étricos
4-x- r sen4 x+ -¿-sen 8x+ C
cos4-jx d x = x+ ysenx+ Ij-sen2x+ C sen7
xdx = + cos x- i cos x+ cos x7
5
3
x
cos + C
cos6-jxdx = 16x+ y senx+ ^ sen2x- 34 sen*x+ C sen2 xcos5 x d x = ysen3 x - f s e n 5x + ysen7 x + C
sen3 x cos2 x d x = y cos5 x - I c o s 3 x + C
sen3xcos3x d x = -48cos3 2x - 1 6 cos 2x + C
sen4xcos4x dx = (3x- sen4x+jsen8x+C sen 2xcos 4 x dx = i c o s 2x - -A-cos 6x + C
x
x
cos 3 cos 2 dx = ^sen
x x
x+ 10sen5 x+ C
x Ij-sen6 x+ C
sen 5 sen dx = -5-sen 4 -
1----------------------------- —
1 - sen x
» t il A T T ;
2
dx = - f c o t 5/3 x + C
x
cos44 x dx = cosec sen
x- 4-cosec x+ C 3
3
x(cos3 x2 - sen3x2) dx = ^ (s e n x2 + cos x2)(4 + sen2x2) + C tan 3 x d x = + ta n 2
x
x
x+ lnlcos xl + C x 3sec 3x+ C
tan 33 sec 3 dx = i sec3 3 -
tan3/2 x sec4 x dx = | tan5/2 x + f tan9/2 x + C
tan4 x sec4 x dx= + tan7 x + -r tan5 x +
C
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-^ 273^ CAPÍTULO 32
50.
cot x d x = - + cot x- lnlsenxI+ C
51.
cot xcosec xdx = -jCot x-^cot x+ C
52.
cot3xcosec3xdx =-1cosec5x+■}cosec3 +C
53.
cosec4 2xdx = - + cot 2x- -6cot3 2x+ C
54.
( ) dx = \tan x 3tan x- tan—x+ C
55.
cosecx dx = - senx- cosecx+ C
56.
tanx >Jsecxdx = 2^secx+ C
57.
(4- x2)3/2 4J 4 - x2
2
3
4
4
4
^
6
Técnicas de Integración II: Integrandos trigonom étricos
58.
3
- V 3
cot3x
dx
x
x
-dx =
+C
5ln5-V25-: W25- x + C x 2
59.
dx x 2\ / a 2 - x 2
60.
-v/x2 + 4dx = -jxVx2 + 4+ 2ln(x+ Vx 2 + 4)+ C
61.
x dx (a2 - x2)3/2 Va2 - x2
62.
-v/x2- 4dx=-2Wx2- 4- 2ln|x+Vx2 - 41+C
63.
Vx2 +a 2-d x =
-+ C
2
x
4
, „2 , a Va^+ x2 -aa+ C +x
/„2
x T T a 2 + a l^ a 3
64.
x 2dx (4 - x 2)5/2
12(4 - x 2)3
65.
dx (a 2 + x 2)3/2
x +C a 24 0 F + x 2
66.
dx x 2 y/9 - x
67.
y/x2- 1 6
a2+ x2 + a
-+ C
2
9x
=2 W
-+ C
x 2 - 16 + 8ln|x
+ -Jx 2 -
16| +
C
2
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^ 274^
__________
CAPÍTULO 32
68. J x3V a 2 - x 2 dx = 5 (a 2 -
69.
70
71
x 2)5/2 - O- ( a2 - x 2)3/2 + C
f . dx = ln ( x - 2 + V x 2 - 4 x + 1 3 ) + C J V x2 - 4 x +13 f
70
Técnicas de integración I I : integrandos trigonom étricos
dx
_
x- 2
J(4 x - x2)3/2 - 444^
, C
C
f dx _ _Ltan- ^ x ) + x +C . j (9 +x 2) 2 54 tan U / + 18(9 +x 2) + C
Enlosproblemas72y73, apliqueprimerointegraciónporpartes. 72.
j x se n -1 x d x = - i(2 x 2 - 1)sen-1 x + 4 x*J 1 - x 2 + C
73.
J x co s-1 x d x
=
4 (2x 2 -
1)cos- 1x - - 4 xV 1 -
x2 + C
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Técnicas de integración III: integración por fracciones parciales r N (x) E n este capítulo se expondrá un m étodo general p ara h allar las antiderivadas de la form a | d - ) d x, donde N (x ) N (x) y D (x ) son polinom ios. U na función de la form a d ( x) se denom ina fu n c ió n racional. [N(x) es el num erador y D (x ) el denom inador.] A guisa de ejem plo considere r x -1
.
jx3 +^-,dx
yy
r x3- x ,
+
¡I — x -TT2 dx
S upónganse dos restricciones, pero n ing u n a de ellas lim ita la ap licabilidad de este m étodo: i) el prim er coeficiente (el coeficiente de la potencia m ás alta de x) en D(x) es +1; ii) N (x ) es de grado m enor que D(x). Un coeficiente N(x)/D(x) que satisfaga ii) se denom ina función racional p ro p ia . O bserve que las restricciones i) y ii) no son esenciales.
(x)( es — 2x3 ConsidéreseelcasodondeND(x) £----r.AMquí,laFprimerarestricciónnosesatisface. Sin 5x 8 +3x - 4 embargo, seobservaque EJEMPLO 33.1.
,
,
f
2x3 -----dx . _ 2x = 11 ff ------ 2x3------dx 5x8 + 3x - 4 dx 5 J x8 + f x - 4
Laintegraldelladoderechosatisfacelasrestriccionesi)yii). (x (x))2x52x EJEMPLO 33.2. Considereelcasodonde:ND(x) s+ x27++, 307 .Aquí,lasegundarestricciónnosatisface. Perosepuede rO ( eesx +3 dividirN(x)entreD(x): 5 2 2
2x5 + 7 _ 2 x3 — + 18x + 7 x2+ 3 2x 6x + x 2 + 3
Portanto, í 2x ^1 2
dx -
2x - 3xJx+[ +3 4
2
2
2
Jx18x++37 dx 2 2
yelproblemasereduceaevaluarJr1£28x++37dx, lacual satisfacelasrestricciones. U n polinom io es irreductible si no es el producto de dos polinom ios de grado menor. Todo polinom io lineal ( ) = ax + b es irreductible autom áticam ente, y a que los polinom ios de grados m e nores que f (x ) son constantes y f (x ) no es el producto de dos constantes. A hora considérese cualquier polinom io cuadrático ( ) = 2 + bx + . Entonces,
fx
gx ax
c
g(x) es irreducible si y sólo si b 2 - 4ac < 0.
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CAPÍTULO 33
^ 276^
Técnicas de integración I I I : integración p o r fracciones parciales
P ara com probar esto, sea g(x) reducible. E ntonces, g(x) = (A x + B )(C x + D ). Por consiguiente, x = -B /A y x = - D /C son raíces de f x ) . C on la fórm ula cuadrática
x
x
-b
±Vb2- 4ac 2a
se deberían obtener tales raíces. Por tanto, b2 - 4 ac no pued e ser negativa. C onsidérese recíprocam ente que b2 - 4 ac > 0. A sí, con la fórm ula cuadrática se obtienen dos raíces de g(x). Pero si r es u na raíz de g(x), se tiene que g(x) es divisible entre x - r.* Por consiguiente, g(x) es reducible. EJEMPLO 33.3.
a) x2+4esirreductible, yaqueb2- 4ac=0- 4(1)(4)=-16< 0. b)x2+x- 4esreducible, yaqueb2- 4ac=1- 4(1)(-4)=17>0. Se considerará sin prueba alguna la siguiente propiedad equitativa de los polinom ios con coeficientes reales. Teorema 33.1. TodopolinomioD(x)con1comocoeficienteprincipalpuedeexpresarsecomoproductodefacto reslinealesdelaformax- a ydefactorescuadráticosirreductiblesdelaformax2+bx +c. (Sepermitelarepetición defactores.) EJEMPLO 33.4.
x - 4x=x(x2- 4)=x(x- 2)(x+2) b) x3+4x=x(x2 +4) (x2+4esirreductible) c) x4- 9=(x2- 3)(x2+3)=(x- V3)(x+V3)(x2 +3) (x2+3esirreductible) d) x3- 3x2- x+3=(x+1)(x- 2)2 a) 3
Método de fracciones parciales C onsidere que se desea evaluar J D (^ ) dx, donde D (x ) es un a función racional pro p ia y D(x) tiene 1 com o coeficiente principal. Prim ero se escribe D(x) con producto de factores lineales y cuadráticos irreductibles. E l m étodo dependerá de esta factorización. Se considerarán varios casos; en cada uno de ellos se explicará prim ero el m étodo por m edio de un ejem plo y luego se p lanteará el procedim iento general. C aso I D(x) es un producto de factores lineales distintos.
ResuelvaJfx2dx- 4. Enestecaso, D(x)=x2- 4=(x- 2)(x+2). Seescribe 1 A, B (x- 2)(x+2) x- 2 x+2 SupóngasequeA yB sonciertasconstantes, quesedebenevaluar ahora. Seeliminanlosdenominadoresmultipli candoambosladospor(x- 2)(x+2): 1=A(x+2)+B(x - 2) (1) Primerosesustituyexpor-2en(1): 1=A(0)+B(-4)=-4B. Entonces,B =— -y. Luego, sesustituyexpor2en(1): 1=A(4)+B(0) =4A.EnestascondicionesA = -j .Portanto, 1 = _1 1 (x- 2)(x+2) 4x- 2 4x+2 EJEMPLO 33.5.
* En general, si un polinomio h(x) tiene r como raíz, entonces h(x) debe ser divisible entre x - r.
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-^ 277^
- í ( 47^ -
I TI )* - -4ln|x- 2'-* ln'*+ 2'+ C = |(ln!x- 2 !- lnix+ 2!)+ C =í-lnxx -+ 22 + C 1
Resuelva J (x + 1) dx J x 3 + x 2 - 6x x +1
Al factorizar el denominador se obtiene x(x2 +x - 6) = x(x - 2)(x + 3). El integrando es x x — 2)(x +3). Se re presenta de la forma siguiente: x +1
x (x - 2)(x + 3)
=A , B x
x- 2
, C
x- 3
Se eliminan los denominadores multiplicando por x(x - 2)(x + 3): x + 1 =A(x -2)(x + 3) +Bx(x + 3) + Cx(x - 2)
(2)
Sea x = 0 en (2): 1 =A(-2)(3) +B(0)(3) + C(0)(-2) =- 6A. Luego, A = - i . Sea x = 2 en (2): 3 =A(0)(5) +B(2)(5) + C(2)(0) = 10B. Por ende, B = 1^ Sea x =-3 en (2): -2 =A(-5)(0)+B(-3)(0) + C(-3)(-5) = 15C. Entonces, C = - 5 . ________ 2 - ^ ) dx f (x + 1) dx = f (- 1 1 + J x3 + x 2 - 6x J l 6 x + 10 x + 2 15 x + 3 ¡ ax
Asi ^
= --6 ln! x !+ 1 j-ln! x + 2! - 1 f ln! x + 3! + C R e g la g e n e r a l p a r a el c a s o I A Se representa el integrando com o una sum a de térm inos de la f o rm a ------- p o r cada factor lineal x - a del dex- a nom inador, donde A es una constante desconocida. Se despejan las constantes. A l integrar se obtiene un a sum a de térm inos de la form a A ln !x - a!. Observación: supóngase sin prueba alguna que el integrando siem pre tiene un a representación de la clase re querida. Todo problem a en particular puede com probarse al final del cálculo. C a s o II D(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se presentan m ás de un a vez. EJEMPLO 33..7.
Halle J j 3x + 5)dx . J x3 - x2 - x -+1
Primero se factoriza el denominador* x3 - x2 - x + 1 = (x + 1)(x - 1)2 Luego, se representa el integrando —5—3x +5---- como una suma, de esta forma: x 3 - x2 - x +1 3x +5 x 3 - x2 - x +1
A
x +1
,
B
x -1
,
C
(x - 1)2
* Al tratar de hallar los factores lineales de un denominador que es un polinomio con coeficientes integrales, se prueba cada uno de los divisores r del término constante para ver si es una raíz del polinomio. Si lo es, entonces x - r es un factor del polinomio. En el ejemplo dado, el término constante es 1. Sus dos divisores, 1 y -1, resultan ser raíces.
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Técnicas de integración III: integración por fracciones parciales
EJEMPLO 33.6.
í
CAPÍTULO 33
“ •
CAPÍTULO 33
Técnicas de integración I I I : integración p o r fracciones parciales
Seobservaqueparaelfactor(x- 1)estoocurredosveces, yquehaytérminostantocon(x- 1)comocon(x- 1)2en eldenominador. Ahoraseeliminanlosdenominadoresmultiplicandoambosmiembrospor(x+1)(x- 1)2: 3x+5=A(x- 1)2+B(x +1)+C(x+1) (1) Seax=1.Entonces, 8 =(0)A+(2)(0)B+(2)C=2C.Luego, C =4. Seax=-1. Entonces, 2=(4)A+(0)(-2)B+(0)C=4A.Portanto,A =-. ParahallarB secomparanloscoeficientesdex2 aambosladosde(1). Alaizquierdaes0yaladerechaesA +B. Portanto,A +B =0. ComoA =-,B =-y.Entonces, 3x+5 = ____+4 __ L_ x - x - x+1 2 x+1 2 x- 1 (x- 2) Portanto, j
j
3
J
2
2
x(-xx+ 5)f +1 =* t o Ix+1I-+lnIx- 11+4 j ■
PorlafórmulaabreviadaI, í (X^ =í (x- 1)_dx =-(x- 1)_=2
Entonces,
1
Jfx 33(3-xx+25-)xd +1 = -j2lnix+11- -2^lnix - 11- 4x-1 11 +C =ilnj^+jf 2 ix- 11 —-r x- 1 +c
EJEMPLO 33.8.
Resuelva Jx(x3(x+-1)2dx)2'
Serepresentaelintegrando 3(X+^^^2 delaformasiguiente: (x + 1) A + _B + C _+ + E x 3(x - 2) 2 x + x 2 + x 3 + x - 2 + (x - 2) 2
Losdenominadoresseeliminanmultiplicandoporx3(x- 2)2: x+1=Ax2(x- 2)2+Bx(x - 2)2+C(x- 2)2+Dx3(x- 2)+Ex3 Seax=0. Entonces, 1=4C.Así, C = ^ Seax=2. Portanto, 3=8E.Luego, E = 3. Secomparanloscoeficientesdex. Entonces, 1=4B- 4C.ComoC = ^, B = -j. Secomparanloscoeficientesdex2.Entonces, 0=4A- 4B+4C.ComoB = ^yC = ^, A = :¡-. Secomparanloscoeficientesdex4.Entonces, 0=A +D. ComoA = ^ , D = - j . Así, e
x_3(J xx±- 2)2^ = 1 1 + 1
1 +1 1 - 1 4
^x 2+x324_^ x34x_- 28 (x- 2)2
(x+1)dx = 41 l n l x I ^1 - 1! -1^ 1- V ^ l1n I x 2x
x3( x - 2)2
x
8 x2
- 2 I--3 4 8.
4x+1 3 1 +C 8x2 8 x- 2
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1
+C
^ 279^
C a s o III
esunproductodeunoomásfactorescuadráticosirreductiblesdistintosyposiblementetambiénalgunos factoreslineales(quepuedenpresentarsemásdeunavez).
D(x)
R e g la g e n e r a l p a r a el c a s o III
LosfactoreslinealessemanejancomoenloscasosIyII. Porcadafactorcuadráticoirreductiblex2 +bx +c se colocauntérminox2A+x bx+fi+cenlarepresentacióndel integrando. El integrando se representa de esta forma: (x —1) = A + Bx + C + Dx + E x( x2 + 1)(x2 + 2) x x2 + 1 x2 + 2 Se eliminan los denominadores multiplicando por x(x2 + 1)(x2 + 2) x - 1 = A(x2+ 1)(x2 + 2) + (Bx + C)x(x2 + 2) + (Dx + E)x(x2 + 1) Se multiplica a la derecha: x - 1 = (A + B + D)x4 + (B + E)x3 + (3A + C + D)x2 + (2C + E)x + 2A Al comparar los coeficientes se obtiene: 2A = -1 ,
2C + E = 1,
3A + C + D = 0,B + E =0,A+ B + D =0
Por tanto, A = —1 y, en consecuencia, C + D = -|, B + D = 2 . De las dos últimas ecuaciones, C - B =1. De 2C + E = 1 y B + E = 0, se obtiene 2C - B = 1. Ahora, de C - B = 1 y de 2C - B = 1 se llega a C = 0.Por tanto, de C - B = 1, B = -1 . Entonces, de B + D = 2 se obtiene D = -|. Finalmente, de B + E = 0, E = 1. Así, (x - 1 )
x( x2 + 1)(x2 + 2)
____ x 2 x x2 + 1
+ 1 3x + 2 2 x2 + 2
Por tanto,
Ahora,
(por la fórmula abreviada II)
Además,
Por consiguiente,
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Técnicas de Integración III: Integración por fracciones parciales
Paracadafactorlinealrepetido(x- r) quesepresentak vecesenel denominador, seutiliza A A — +-—A ^r)2 +••-+7(x— x r (x— — r) comopartedelarepresentacióndel integrando. Cadafactorlineal queocurre sólounavezsemanejacomoenel casoI.
CAPÍTULO 33
R e g la g e n e r a l p a r a el c a s o II
CAPÍTULO 33
^ 280^
Técnicas de Integración I I I : Integración p o r fracciones parciales
Caso IV D(x)
esunproductodeceroomásfactoreslinealesyunoomásfactorescuadráticosirreductibles.
Regla general para el caso IV
LosfactoreslinealessemanejancomoenloscasosIyII. Porcadafactorcuadráticoirreductiblex2 +bx +c que sepresentealak-ésimapotencia, seinsertacomopartedelarepresentacióndel integrando: A 1x +B 1 A 2x+B 2 A kx +Bk x 2 +bx +c (x 2 +bx +c)2 (x2 +bx +c)k EJEMPLO 3 3 .1 0 .
Halle f-2f 2+ 3r dx. J (x2 +1)2
Sea 2x +3 = A x +B + Cx +D . Entonces, (x2 +1)2 x2 +1(x2 +1)2 2x2 + 3 = (Ax +B)(x2 + 1) + Cx +D =Ax3 +B x2 + (A + C)x +(B + D) Se comparan los coeficientes: A = 0, B = 2, A + C = 0, B +D = 3. Por tanto, C = 0, D = 1. Así, r 2x2 +3 . _ f (x2 +1)2J x2 +1
2
J (x2 +1)
=2 tan 1x +
, 1 „ , dx J (x2 +1)2
En la segunda integral, sea x = tan 0. Entonces, •sec2 8 d6 f . 2 1 .. 2 dx = f sec 4 , = (cos20 dB =2 ( 6 +sen0 cos0 ) J (x2 +1)2J sec4 0 J 2 =1(e +
tm e
2 ltan20 +1 / 1H) = 2 ( tan-1; x2 +1
' 2x 2 +3 , = 5 tan-1 x + 1 (x2 +1)2 =2 tan x + 2 x 2 +1
Así,
x +C
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Resuelva f x ---- x--x—1 dx. J
x - x
El integrando es una fracción impropia. Por división,
x4 - x3 - x- 1 = x - x +1 x3 - x2 x3 - x2 Se escribe
=x -
x +1
x2(x- 1)
r +1 A R C y se obtiene x2(x- 1)x= —x+2 -^r +—x-^-r 1 x + 1 = A x ( x - 1) +
B(x -
1) +
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Cx2
-^ 281^
r x4 - x3- x - 1
2. Halle
'
Sea
x dx (x + 2)(x + 3). ( x + 2)( x + 3)
x+2
x+3
. Se eliminan los denominadores:
x = A(x + 3) + B (x + 2) Sea x = -2 . Entonces, - 2 = A. Sea x = -3 . Entonces -3 = -B . Luego, B = 3.
f
1 1 2)(x 3)=- 2 —x+2dx+3 —x+dx3 =—2lnlx+ 2 1+3lnlx+31+C = —ln((x +2) )+ln(lx+3I) + C (x +3 ) = ln +C
x dx I? — J (x + +
-7 7
2
3
3
(x + 2)2
3. Resuelva J
Sea
x2 + 2 -dx. x(x + 2)(x - 1)
x2 + 2 _ A . B x (x + 2)( x —1) x x+2
C . Se eliminan los denominadores: x —1'
x2 + 2 = A(x + 2)(x - 1) + Bx(x - 1) + Cx(x + 2) Sea x = 0; entonces 2 = -2A. Luego, A = -1 . Sea x = -2 ; entonces 6 = 6B. Luego, B = 1. Sea x = 1; entonces, 3 = 3C. Luego, C = 1. Por tanto,
f
I"
í
-— Tzdx =- 1 dx + — dx + — dx JJxx JJ xx + + 22 J Jx x- - 11
x(x + 2)(x c-- 1)1)
= —lnl x I + lnl x + 2I + lnl x - 1l + C = ln 4. Resuelva
Sea
(x + 2)(x - 1) +C x
x3 +1 - dx. (x + 2)(x - 1)3
x3 + 1 (x + 2)(x -
A 1)3
B x+2
C D 3. Se eliminan los denominadores: x - 1 (x - 1)2 (x 1)3'
x3 + 1 = A(x - 1)3 + B (x + 2)(x - 1)2 + C(x + 2)(x - 1) + D (x + 2)
.
Sea x = -2 ; entonces, - 7 = -27A. Luego A = ^ Sea x = 1; entonces 2 = 3D. Luego, D = -f Ahora se comparan los coeficientes de x3. Así, 1 = A + B, ya que A = ^7. y B = . Se comparan los coeficientes de x2. Entonces 0 = -3A + C, ya que A = ^7, y C = 7 .
Entonces, 1
(x+23)(+x—1)3 dx =271 x+ 2 dx +f íx— I dx +1 í O— ! ? 27 ln l x + 2l + 20 ln l x
11
9 x - 1
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3
dx
+31
(x ^ 1 ) 2 C
dx
Técnicas de Integración III: Integración por fracciones parciales
= 1 x 2 + 2lnlxI - 1 - 2 ln lx -11 + C = 1 x 2- 1 + 2 ln +C 2 x 2 x x -1
CAPÍTULO 33
Para x = 0, 1 = -B y B = -1 . Para x = 1, 2 = C. Para x = 2, 3 = 2A + B + 4C y A = -2 . Entonces,
CAPÍTULO 33
5. H alleJ x 3 + x 2 + x + 2 d x x 4 + 3 x2 + 2
Técnicas de integración I I I : integración p o r fracciones parciales
.
x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 1)(x2 + 2). Se escribe x 3+ x2 + x + 2 _ A x + B . C x + D y se obtiene x 4 + 3x2 + 2 x 2 + 1 x 2+ 2 x3 + x2 + x + 2 = (Ax + B )(x 2 + 2) + (Cx + D )(x2 + 1) = (A + C)x3 + (B + D )x 2 + (2A + C)x + (2B + D) P or consiguiente, A + C = 1, B + D = 1, 2A + C = 1 y 2B + D = 2. A l d espejar sim ultáneam ente se obtiene A = 0, B = 1, C = 1 y D = 0. E ntonces, r x3 + x 2 + x + 2 d x = r 1 d x + r dx J x 4 + 3 x 2 + 2 d x i x 2 + 1 d x + J ;x 2 + 2 = tan -1 x + | l n ( x 2 + 2) + C
6. H alle ' x 5 - x 4 + 4 x 3 - 4 x 2 + 8 x - 4 -dx. (x 2 + 2)3 j l , , x 5 - x 4 + 4 x 3 - 4 x 2 + 8x - 4 = A x + B , C x + D , E x + F . E ntonces, Se escribe (x 2 + 2)3 _ x2 + 2 (x 2 + 2)2 (x2 + 2)3' x5 - x4 + 4x3 - 4x2+ 8x - 4 = (Ax + B)(x2+ 2)2 (Cx + D )(x2 + 2) + E x + F = Ax5 + Bx4 +
(4A + C)x3 + (4B + D )x2 + (4A + 2C + E )x
+ (4B + 2D + F) de donde A = 1, B = - 1 , C = 0, D = 0, E = 4, F = 0. A sí, la integral dada es igual a
' (x - 1 ) dx
. f xdx f xdx f dx + 4J ( I 2 2 2 F 3 J - J + 4J
xdx
P or la fórm ula abreviada II,
r xdx 1 r 2 x dx 1. , , í J 2 -+ 2 = ^ i F + 2 = ^2ln(x + 2) y po r la fórm ula abreviada I, 1
xdx
I (F+V=^í(*2+2)-’(2' )d s =^J<--2)('2 +2)-2 =-iíF+I)1 E ntonces,
4 4 ( 2)
f x 5- x 4 + x3 - x 2 + 8x x2 + 3
J
4d x = i ]n(x2 + 2) V2 tan-1/ x \ 1 d x = 2 ln(x + 2 )- 2 tan (V 2 ) - (x2 +2)2 + C
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS E n lo s p ro b le m a s 7 a 2 5 e v alú e la s in te g ra le s dadas. ln x - 3 + C x+3
.x . 4 = ln(x+ 1X1 - 4| I+c
í x2
i
f
x 2- 3x - 1 x 3 + x 2 - 2x
j
l
dx=
ln
4
x12(x + x -1
2)3/2
+C
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-^ 283^ dx x 2 + 7x + 6
+C
- 8 dx = x + ln|(x + 2)(x - 4)4| + C
xdx
Técnicas de integración III: integración por fracciones parciales
1 1 í x2 -
x +1 =4ln 5 x +6
CAPÍTULO 33
10. j
. n
2
= lnl x - 21--------=- + C 12. J --------y ^2 x- 2
(x- 2)
2
1
13. J (1 -_x )3 dx = - 1 x2 - 3x - l n ( 1 - x ) 6- y
14.
J
15.
I"x +x +2x +3 dx = l W x 2 + 3 + t a n 1x + C J (x 2 + 1)(x2 + 3)
16.
J
dx = ln x3 + x
18.
x
Vx2 +1 + C
x4 - 2x3 + 3x2 - x + 3 dx x3 - 2x2 + 3x
■ 2x3 dx
17.
-+ C
=
1
, . 2 .. 1 = ln(x + 1)+ x n
x 2+ ln
x +C Vx2 - 2x + 3
^ +C
J
2x3 + x 2 + 4 dx = ln (x 2 + 4)+ 1 tan 1(x ) + +C (x2 + 4)2 ^ ln(x ' 4)1 2 tan \ 2 / ' x 2 + 4
19- Jí x3 + +x 1); - 21 dx = l ^ V x ^ n - 12ta n -1 x2- x2 1 ^+1^ - + C (x2 1)2 20. J x4 + 8x3 - x 2 + 2x + 1 dx = ln (x2 + 3)(x3 + 1)
tan
(x + 1)2
21. 1 (x x + 5)(x 2 +x2x + 3) * = W x 2 + 2x + 3 ^ ; 52 tan-‘ í
+C
+C
23.
__ dx __ = _ L + 1 ln e - 3
24. J
1 +cos2x cosx(1 +cos2x) =ln cosx + C
e2x - 3ex
3ex
r(2 +Effl e J 1+tan e 2 y 3
9
e de=
e
(Sugerencia:seaex =u.) (Sugerencia:
lnl1 +tane i+^tan^3 , V3
+C
V5t a n- ‘
' x 6 + 7x5 + 15x4 + 23x2 + 25x - 3 dx = 1 3 - + ln x2 + * (x2 + x + 2)2(x2 + 1)2 x 2 + x + 2x 2 +1 x 2 + x + 2
22.
25.
^
2x - 1 V3
seacosx=u.) +C
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+C
Técnicas de integración IV: sustituciones misceláneas I.
Se presupone que en una función racional una variable se remplaza por uno de los radicales siguientes: 1.
^ ax + b . Entonces, la sustitución ax + b = z n producirá una función racional (repase los problemas 1 a
3). 2.
.yjq + p x + x 2 . Aquí, la sustitución q +p x + x2 = (z - x)2resultará en una función racional (consulte el
problema 4). 3.
-s/q + p x -
x2 = s j(a + x )(f i - x). En este caso, la sustitución q + p x - x2 = (a + x)2z2 producirá una
función racional (problema 5). II. Se presupone que en una función racional algunas variables se remplazan por sen x, por cos x o por ambas. Entonces, la sustitución x = 2 tan z resultará en una integral de una función racional de z.
^
Ello se debe a que 2z senx = ,1----+z22 ,
1
+z2 + 1 z2
(Repase el problema 6 para ver una derivación de las primeras dos ecuaciones.) En el resultado final, se sustituye z por tan (x/2) (repase los problemas 7 a 10).
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Resuelva
dx xy¡ 1 - x
Sea 1 - x =z2. Entonces, x = 1 - z2, dx =-2z dz y
r
dx
J W ^ /1 1--
r
x
r
=_9 r_ ddz z )z 1- z2
f -2 - 2zzadzz J (1 -- z2)z 2 J (1
J
-
Por integración por fracciones parciales se obtiene: -2 Í A 2.
Resuelva
1 +z + C . Por tanto, [— dx 1
" - ln 1 - z
, +C JW- x= ln 1+V1—
dx
(x - 2)Vx +2
Sea x + 2 =z2. Entonces, x =z2 - 2, dx = 2z dz e fr 2 zz adzz = f dx dz J (x - 2)>/x +2 J z(z2 - 4) J z2 - 4
^ 284^
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1
-=z2,--2dz2r,,
cos x
dx = 234.1) (
-^ 285^ CAPÍTULO 34
P o r integración p o r fracciones parciales queda: 2 f dz 2J z 2- 4
dx
H a lle r
J xxi/2 1/2 _
zz+
ln
2
2 + 2
C = 2 ln
Vx +2 —2 >/x +2 +2
+ C
,,1/4 ' x
dx =
S e a x = z 4. E n t o n c e s ,
4 z 3 dz e
r 4z3 dz - J z2 - z
dx
4 r z2 dz 4J z - 1
"
1 dz =4í (z2 z~_11+ 1dz =4J (z - 1)(z +1 +1.d z = 4JII\ z + 1 +■ z - 1 z -1 = 4 ( - 2 z 2 + z + l n l z - 11) +
4.
C = 2yfx
+ 4 ^ x + 4 ln ( - V x - 1) +
C
dx
H a lle
- xV x2+ x + 2 S e a x 2 + x + 2 = ( z - x ) 2. E n t o n c e s 2
xX = z12+- 2 2z , dx 2 ++ z2+z)2) = z2+ +Xz++221+ dx = 2(z(1 2 dzJ x 2 + x ,+ 2VX 2 (z2 +z +2 )
e
dx W x2+ x + 2
“ 1J zz22 -- (22 zz2+ 2 2 +)z z + + 2 1 + 2z
dz =
21
1
L a e c u a c ió n
R e s u e lv e
r
2f
2d z = J z2- 2
—^ln 72
z2^- 2 " J Ö ln
i - f i +C
1 + 2z
ln ■ n/2 Vx 2 +
5.
x
+
2 + x + >/2
+C
1 - f i + C s e o b t u v o m e d ia n t e in t e g r a c ió n p o r f r a c c io n e s p a r c ia le s .
xdx
J (5 - 4 x - x 2)3/2 '
S e a 5 - 4 x - x 2 = (5 + x ) ( 1 - x ) = ( 1 - x ) 2z 2. E n t o n c e s ,
x
e
z2 — 5 = t ----- t , 1 + z2 xdx
r
12z dz
j
dx =
-s/5 — 4 x — x 2 = (1 — x ) z =
(1 + z 2) 2
z2- 5 12z rr_1 + z2 (1 + z2) 2
_
J (5 - 4 x - x 2) 3/2 _ J
d z = 18 i f 1 "
2 16 z3
1dz
(1 + z 2)3
18 1
6.
2z
D a d o z = t a n ( 2 ), e s d e c ir , x = 2 tan
lz,
z H—
1 + cos x = co sJ x \ = 2
5 - 2x
+
C
^ 5 - 4x - x2
m u e stre q u e
se n x = , 2 z 2 1 + z2
Com o
1+ C —
z>
cos U /
= 1 — z2 cos x = 1 + z2
y
1 s e c 2(x /2 )
=
1 1 + t a n 2( x / 2 )
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=
1 1 + z2
6z 1 + z2
Técnicas de Integración IV: sustituciones m isceláneas
3.
=^
Q ask-
Técnicas de integración IV : sustituciones m isceláneas
CAPÍTULO 34
a l d e s p e ja r c o s x s e o b t ie n e c o s F J
2 1 +- z 2
1—z2 11 ++ zz 22
x = -,--------------------------------- 2 — 1 = .T a m b ié n ,
x \ ^ í v i^ = 0 t a n ( x / 2 ) = 2 t a n ( x / 2) = 2 z se n x = 2 se n ( 2 j c o s ( x / 2 ) = 2 2/ s e c 2( x / 2 ) 1 + ta n 2 ( x / 2 ) 1+ z
7.
dx
R e s u e lv a
l+ s e n x - c o s x
S e a x = tan -1 z. M e d ia n t e la s e c u a c io n e s ( 3 4 .1 ) s e tie n e q u e
f____ dx ____ = f____ ________dz
i
1 + sen x - co sx
J 1+
2z 1+ z2
1 - z2 1 +z 2
- í a f t y - J ( 1- TTz )dz - >"|Z|- 111 11+z|+C- ^ 1 + z +C = ln
8.
ta n ( x /2 )
1 +tan(x/2 )
+
C
dx
H a lle ^
3 - 2cos x S e a x = 2 tan -1 z. P o r m e d io d e la s e c u a c io n e s ( 3 4 .1 ) , r e s u lta
2
• 1+
z2
*
=• w
-ir “
- (W5 1 +C 1
=^^tan— 11(V5tan (i/5 tan(% ( 2 j)|j .+ C
9.
R e s u e lv e ^
dx
2 + cos
x
S e a x = 2 tan 1 z. A l u t iliz a r la s e c u a c io n e s ( 3 4 .1 ) r e s u lta
2
• i + f c l = 1^
dz = 1 3 ¡Ü r = Í 1
10.
R e s u e lv e
3 tan-' (;z r)
+ C = ^ t a n - . ( f t a n (f j) +C
+z
dx 5 + 4sen x
S e a x = 2 tan -1 z. M e d ia n t e la s e c u a c io n e s ( 3 4 .1 ) s e o b t ie n e
2 11 + z2 +z 2 J 5 + 4, 2 z z2 1 + z2
r ___ dx dx___ =_ rr
J 5 ++4 s e n xx
dz = fr dz JJ 5
2
dz
+ 8z + 5 z 2
J
11.
U s e la s u s t it u c ió n 1 - x 3 = z 2 p a r a r e s o l v e r L a s u s t it u c ió n d a
x3 =
1 -
z 2, 3x 2 dx
J x 5>/1- x 3dx
= - 2z
.
dz e
J x ¡y¡1 - x 3dx = J x V 1 - x 3 (x 2 dx ) = J (1 - z 2)z (- -2 z d z ) = - 2 J (1 - z 2)z 2 dz (í - í ) + C -
45 (1 -
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+ 3 x J) + C
-^ 287^ CAPÍTULO 34
12. U s e x =
1 para hallar xx4 x - dx.
L a s u s t it u c ió n r e s u lt a e n
dx = - dz/z2, y¡x - x 2
=
Vz - 1/z e
- J z ^ Sea
z-
1 =
s2. E n to n c e s ,
- J z y fz ^ l dz = - J(s2 + 1)(s)(2sds) = - 2 (^5 + =- 2 (z -
13.
dz
1)5/2 5
, (z -
1)3 3
+
) +C
C = -2
(1 - x )5/2
5 x 5/2
(1 - x )3
+
3 x 3/2
x 1'2+ x 1'3
u = x 1/6,
a s í q u e x = u 6,
dx = 6 u 5 du, x 1/2 = u 3 y x 1/3 = u2; e n t o n c e s ,
s e o b t ie n e
J u u + d ^ = 6 j ur+n du = 6 J( u 2- u + 1 - ^ + 1 ) du = 6 (33 u3 - 2 u2 +u = 2 x 1/2 - 3 x 1/3 + x 1/6 - ln Ix 1/6 + 11 + C
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS En los problemas 14 a 39, evalúe la integral dada.
14. J ^+xx dx = 24~x - 2 tan - \/x +C 1
dx
15. 1 \/x (1 + 4 x )
= 2ln(1 + 4 x ) + C
dx
16. 1 3 +V x +2 : = 2N/ x +2 - 6 ln(3 +V x +2 ) +C .
+
17 J 1
dx = - x +|[V3x 2 - ln(1 +A/3x+2)] + C
18. 1-v/x2 - x + 1
= ln
19.
r= 2 ta n \>J x 2 + x - 1 + x) + C
dx
dx
- W x 2 +x - 1
20. f
-
dx = sen 1(^ J y¡6 + x - x 2 \
j
V
C
dx
H a lle
Sea
21.
+
5
)+C I
i r i d x = - (4 x ~ x )3/2 + c 6x
x
dx
2 2. 1 (x + 1 ) 1/2 + (x + 1 ) 1/4 = 2(x + 1)1/2 - 4(x + 1)1/4 + 4ln(1 + (x + 1)1/4) +
C
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ln lu
+ 1| ) + C
Técnicas de integración IV: sustituciones m isceláneas
Vz ~ 1 /_ dz ]
CAPÍTULO 34
Q aak-
23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.
-
a dx _ _JLtan i- tan 1 2 tan(x/2 ) +i—1 + C + C senx J 3 J3
2+
1 - 2 sen x
dx
-
2-4 3
-
2 +>/3
3 t a n 4rx + 1
_ 4ln 4
tan -y x + 3
5 +3senx se n x
_
C
+
dx
V 2
1 + s e n 2x
4
n
"
4 x dx _ - 2 4 x
33.
(gx _ 2)gx
34.
sen xco sx 1 - cos x
ex + 1
x 2V 4
H 3 “
cos
dx = ex -
x2
4x
-+
(Sugerencia:
(Sugerencia:
C
C
dx - _ - - ¡ ^ + 1 ta n -1 ( 2 ) + x 2( 4 + x 2) 4x 8
37.
y¡1 + 4 x d x
sea
e
+ 1 = z.)
sea co s x =
z.)
s e a x = 2/z.)
C
4 ( 1 + 4 x ) 5/2 - 3 (1 + 4 x )3/2 + c _____
2 41+ x
3(1- x2)-(5 +4x)V1 - x 2
341+x - 4 1
dx
-V-1/2 x x 1/5 + 1
s e a x = 1/z.)
(Sugerencia:
C
(sugerencia:
36.
39.
C
u C
+ ln (1 - c o s x ) +
-s/4 -
_
C
+ 2 sen > /x +
3 ln (e x + 1 ) +
dx = c o s x
- x2
4x
C
(j ) ) + C
sen- 1 í ' 2x
= -
1
dx
2 42 242
_ ln 1 + t a n +x +
x
- >
t a n 21 x + 3 -
ln
t a n 2 -2 x + 3 +
dx 1 + sen x + c o s
sen
5tan(x/2) +3 +c 4
1^ -1
2
dx W3x 2 + 2 x -
38.
C
---------- dx-------- = ln lta n -2 x - 1 + C se n x - c o s x - 1 1 2 1
32.
35.
tan-y x tan-y x
3
3 + 5sen x
30. 31.
Técnicas de integración IV : sustituciones m isceláneas
dx _ 10[-¡3 x 13/10 -
( Sugerencia : s e a
Jj- x 11/10 +19 x 9/10 -
C
7 x 7/10 +
i x 1/2 - ■}x 3/10 + x 1/10 -
-
tan 1(x 1/10)] + C
u = x 1/10.)
Ítt/33 — 2xdx sen
-------- y c o m p a r e e l re s u lta d o
c o n e l v a lo r o b t e n id o p o r lo s m é t o d o s p r e s e n t a d o s e n e s t e c a p ít u lo .
41.
( C G ) U s e u n a g r a fic a d o r a p a r a a p r o x im a r ( c o n o c h o c ifr a s d e c im a le s ) e l v a lo r o b t e n id o p o r lo s m é t o d o s p r e s e n t a d o s e n e s t e c a p ít u lo .
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I4— ,dx
y c o m p a r e e l r e s u lt a d o c o n
Integrales impropias Cb Ja
Para definir una integral definida I f (x) dx es suficiente que a y b sean números reales y quef (x) sea continua en [a, b]. Se deben estudiar ahora dos clases de integrales, denominadas integrales impropias .
Límites de integración infinitos a) í
Ja
f (x) dx = lím í f (x) dx c^+ttJ a
Véase los problemas 1 a 3 y 5 a 6 . b) [ f (x) dx = lím í f (x) dx J -ro
c—$—^ J c
Véase el problema 4. c)
J
f (x) dx
=J
f (x) dx +
J
f (x) dx
Esto siempreque existan ambos límites a la derecha (véase el problema 7).
Discontinuidades del integrando a ) Si f es continua en [a, b] pero discontinua desde la derecha en a , entonces í*b
pb
I f (x) dx = lím I f (x) dx
Ja
u ^ a +J u
Véase el problema 16. b ) Si f es continua en [ a , b ] pero no es continua desde la izquierda en b, entonces
í f (x) dx = lím í f (x) dx
Ja
u^ b~¿ a
Véase los problemas 9, 10, 12, 14 y 15. c) Si f es continua en [ a , b ] excepto en el punto c en ( a , b), entonces i»b
fu
pb
I f (x) dx = lím I f (x) dx + lím I f (x) dx
Ja
u ^ c~ J a
u ^ c + Ju
siempre que ambas integrales a la derecha existan. Véase los problemas 11 y 13. Cuando el límite definido como una integral impropia existe, entonces la integral es convergente . En el caso opuesto, la integral es divergente . Si la integral es divergente, entonces es igual a (respectivamente -^) si el límite que define la integral impropia tiende a +^ (correspondientemente, -«).
-^ 289^
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CAPÍTULO 35
In te g ra le s im propias
PROBLEMAS RESUELTOS r+M 1
Resuelva I1 —rdx. x2 r+M 1 Cc 1 1 —r dx = lím —r dx = lím ---Ji x2 c^+^J 1 x2 c^+~ x = l m - (C - 1j = - (0 - 1 ) = 1 Nota: la integral
dx puede interpretarse como el área de la región bajo la curva y = 1/x2 y por encima del
eje x, para x > 1. Entonces, una región infinita (en el sentido de no ser acotada) puede tener un área finita.
2.
Resuelva
f+M1 —dx. J1 x f4~ 1 ?C 1 — dx = lím —dx = lím lnx J1 x 1x c^+^ = lím - (ln c - 0) =
es decir, la integral diverge hacia + ^.
3.
f+M 1 Demuestre que I ~ ^ d x converge para p > 1 y diverge hacia + ^ para p < 1. J1 x p r+M 1 ^ 1 1 1 I — dx = lím I — dx = lím ^---------—_ J1 x p 1 xp 1 —p x p
Sea p > 1. Entonces, se tiene que lím —z r p (c 1 —_ —= 1__ (0 - 1) = p _ 7— f+M 1 Por el problema 2, ya se sabe que J x d x diverge hacia + ^ . S eap < 1. Entonces,
!™l i _ p (c1 —- _)= Jím r _ p (c_~p - — ) = + ~ , ya que _ - p > 0
4.
Resuelva
/•O
I erxdx para r > O. J erxdx = lím J erxdx = lím ^ e " = 1 lím (1 - erc) = 1 (1 - O) = | ^ r r r c— y—
+~
Í
jo
1 —;--- -rdx . x2 + 4 í —A —7 dx = lím í J o x2 + 4 m +»J o
6. Halle íO+ e xsenx d x . Jo
e x sen x d x = lím í e x senxdx c^+^J o = lím (—1 e x(senx + cos x))
O
(por integración por partes)
= lím [(—y e c(senc + cos c)) + ÿ]
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-^ 291^ CAPÍTULO 35
Cuando c ^ + ^ , e-c ^ 0, mientras que sen c y cos c oscilan entre -1 y 1. Por tanto, lím e c(sen c + cos c) = 0 y, por consiguiente, J e~xsen xd x = 1
Integrales impropias
f+" dx = f+ 7. Resuelva J-» ex + e~x J -
exdx e2x +1 P exdx e"dx = lím Jc e"dx Je e2x +1 ™ Je e2x + 1 e° du —;— 7 1 u2 + 1
(por la sustitución de u = ex) L
yc = lím tan-1 u I = lím (tan-1 (ec) - tan-1 (1))
= !“ (tan-1(ec ) - f ) = § - f = f De igual forma, fü exdx _ y fü exdx J-» e2x + 1 _ c™ Jc e2x + 1 = lím í 1 du = lím tan 1u ecu2 + 1 = lím ^
- tan-1 (ec)J =
- lím tan-1 (ec) = -^ - 0 =
Luego, f+" dx = f exdx J-» ex + e~x J0 Jt e2x + 1
Í
■j :
exdx e2x +1
n . n = n 4 + 4 = 2
8. Determine el área de la región que queda a la derecha de x = 3 y entre la curva y =
21 1 y el eje x
El área es |~ dx = lím f c dx J3 x2 - 1 c™ J3 x2 - 1 = 21 lím ln x x+— 1J1 T (por integración de fracciones parciales)
=
lím I ln ----- t-- ln+1 = 1 lím I ln 1 - (1/c) - ln + c +1 2 1 + (1/c)
= Jr (ln 1 + ln2) = ^
9. Evalúe }^í 3 9
dx - x2
El integrado es discontinuo en x = 3. Entonces, f3
dx = Knl fu dx v 9 _ x2 u^3 *■(
dx
= lím ^sen 1 1u J - sen 1 üj = lím ^sen 1 13 J_ ü = sen 1 1 = -72
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CAPÍTULO 35
10. OMenga J
In te g ra le s im p ro p ia s
, ^
El integrado es discontinuo en x = 2 í21d lím í = “^ lím J0 2 -xLx = U^ 2~J0 7 - x 2- - ln(2 - x) = lím - (ln(2 u— >2
u) -
ln 2)) =
Por tanto, la integral diverge hacia + ^ .
11. Resuelva Jüf4—(x d^- 1)2r . El integrado es discontinuo en x = 1, el cual está dentro de (0, 4) (fig. 35.1).
lím í dx 2 = lím ------L U^1 J0 (x —1) U^1 x —1 = lím - i - ^ - r - (-1)) = l í m - ( - J - f + 1) = +» ) U^1- \U - 1 ) U— >1_ \U - 1 4 dx 4 dx Por tanto, I ------¡T7 es divergente. (No se tiene que considerar lím I J0 (x —1) u^1"^1 +J0 +J0 (x - 1)2 4 dx U dx 4 dx I 7-----convergente, tanto lím . como lím ------deben existir.) h (x - 1)2 u^1-J0 (x - 1)2u^1*Ju ( x^-1+1)2 j U(x - 1)2
---------------------- 7-7 para todo.A fin de que s (x —1)
y
y
x
12. Determine el área de la región comprendida entre la curva y =
x
=■, el eje x, x = 0 y x = 1 (fig.35.2)
El área es |" , x dx = lím |" •'0 ^1 _ r 2 U^r j 0
dx
= lím - 1 |" (1 - x 2)1/2( - 2x) dx u— >1_ 2 Jo = lím - (1 - x2)1/2 I (por la fórmula abreviada I) U^ 1_ J0 = lím - [V 1 -
u
2 - 1 ]=1
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-^ 293^ CAPÍTULO 35
13. Resuelva Joí El integrado es discontinuo en x = 1, que queda dentro de (0, 4).
Integraleslm proplas
lím í ,dx = lím í (x - 1)1/3dx u^1~ v0 3 x —1 u^l~ v0 = lím -|(x - 1)2/3] = lím-|[(u - 1)2/3 - 1] = u— >1 J0 u— >1 Por otra parte, lím í , = lím f (x - 1)1/3dx u^1+J0 ^ x —1 u^1+J0 -|4 = lím-f (x - 1)2/3 I = lím f[7 9 - (u - 1)2/3 - 1] = u— >1+ J0 u— >1+
9
Por tanto, dx r4 ¿ L - = lím í + lím = -f + y x —1 u^1 J0 y x —1 u^ 1+-'u -3/.x - 1
=K # -1)
14. Resuelva /•^/2 I0 sec xdx. El integrado es discontinuo en x = n . rn/2 ru I sec xd x = lím I sec xdx J0 u—n/2- J0 = lím ln(sec x + tan x) TI u— — n/2 J0 = lím_[ln(sec u + tan u) - ln(1 + 0)] u^n/2= lím ln(sec u + tan u) = + » u^n/2-
ya que, Entonces,
15:. Resuelva J0P
lím sec u = +°» y lím tan u = u^nl2~ u^ k!2~ ¡ñu
sec xdx diverge hacia
. cos x dx. \1 - senx
El integrado es discontinuo en x = n . f*/2 cos x dx = lím í u . cos x j0 V1_ senx u^ /2 J0 V1 - senx
dx
u = lím - I (1 - senx)~1/2( - cos x) dx u^ kI2~ J0 = lim _ 2(1 - senx )1/2] = lím - 2[(1 - sen u)1/2 - 1] = 2 u^ kI2 J0 u^ kI2
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CAPÍTULO 35
In te g ra le s im propias
16. Evalúe Jof1x21 dx. El integrado es discontinuo en x = 0.
fi 1 ri i i" I — 2 dx = lím I — 2 dx = lím ---Jo x u^0+ju x u— >0+ x = lím - 11 - —1=
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
17. Evalúe las integrales siguientes: a)
f1 dx _ 2 Jo Vx
b)
f 4-r 1— dx = Jo 4 - x
c)
4 1 dx = 4 Jo: o V4 - x
d)
f4 1 J o(4 T -? x)3 ^ 372 Jo 72 dx = +“
e) ;
2 ,1 dx = k 3-2yf 4 ^ x
f
8 1 a. _ 9 e x * = 2
g)
4 dx Jo (x - 2)273
h)
J-1$ = +~
i)
J^ln xdx = —1
j)
f1x ln xdx = - - ?1 Jo
18. Halle el área de la región comprendida entre la curva indicada y sus asíntotas: 1 a) y2 = „ x4 2; b) y2 = á —A ; c) y2 = 4 - x: x y x(1 - x) Respuestas:
a) 4n; b) 4n; c) 2n
19. Evalúe las integrales dadas: a)
í+“ 1 dxx2t =
d)
6 j;
g) í : j)
JT
dx (4 - x)2 xe x dx = o
1 4
c)
JT x
1 ' ln 2
f)
í:
n = 2
i)
b)
j:
e)
h)
(4 -* x)2 dx
x3e x dx = 6
20. Halle el área de la región comprendida entre la curva indicada y su asíntota: a) y = 28 . ; b) y =x 2 ; c) y = xe-x2/2 7 x2 + 4 y (4 + x2)2 7 Respuestas:
a) 4n; b) -4; c) 2
21. Determine el área de las regiones siguientes: a)
Por encima del eje x, bajo y = 21 4 y a la derecha de x = 3.
b) Por encima del eje x, bajo y =
Respuestas:
1 x(x - 1 ) 2
y a la derecha de x = 2
a) ^ln5; b) 1 - ln 2
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o
e xdx = 1
f +~ e l L dx = 2 j1 4 x e o J xex dx = -1
------------- ^ 295^ Demuestre que las áreas de las regiones siguientes son infinitas: a)
Por encima del eje x, bajo y = 4 1 2 desde x = - 2 hasta x = 2.
b)
Por encima del eje x, bajo xy = 9 y a la derecha de x = 1.
Demuestre que el área de la región en el primer cuadrante bajo y = e-2x es -1, y que el volumen generado al girar dicha región en torno al eje x es - ^ .
24. Establezca la longitud de arco indicado: a) 9y2 = x(3 - x)2, una onda; b) x2/3 + y2/3 = a 2/3, toda la longitud; c) 9y2 = x2(2x + 3), una onda. Respuestas:
a) 4>/3 unidades; b) 6a unidades; c) 2^3 unidades
25. Demuestre que Jaíb—(x —dx— converge para p < 1 y diverge hacia b)p 26.
para p > 1.
Sea 0 < f(x) < g(x) para a < x < b. Considere que lím f (x) = y lím g(x) = (fig. 35.3). No es difícil rb rb rb demostrar que si I g(x) dx converge, entonces I f (x) dx también lo hace y, de forma equivalente, si I f (x) dx b no converge, entonces I g(x)dx tampoco lo hace. Un resultado semejante se cumple para a < x < b, con lím Ja x^a* remplazando a lím . x^>b y
A guisa de ejemplo, considere J 1 dx 4. Para 0 < x < 1, J0 1 - x 1 - x4 = (1 - x)(1 + x)(1 + x2) < 4(1 - x) Como -4 J d
4 1- x
< ^ _ 1 - x4
no converge, tampoco lo hace J 1 dx 4 .
Ahora considere í — dx _ . Para 0 < x < 1 ,-L _ < _1 Como í —L dx converge, entonces í J0 x2 + y[x *¡x x2 + fx x + 0 yjx 2.!x + -Jx \fx bién lo hace.
dx J0 x2 + -Jx
Determine si cada una de las integrales siguientes converge: a)
H
e S ; b) dx ; c)
Respuestas:
27.
f
^
a ) y c) convergen
Sea 0 < f(x) < g(x) para x > a. Considere también que lím f (x) = lím g(x) = 0 (fig. 35.4). No es difícil demostrar +CO +CO x^ + ^ x^ + ^ que, si í g(x) dx converge, í f (x) dx también lo hace (y de forma equivalente, que si í f (x) dx no converge, Ja +Ja Ja entonces í g(x)dx tampoco lo hace). a
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Integralesim propias
23.
CAPÍTULO 35
22.
CAPÍTULO 35
In te g ra le s im propias
y
Como ejemplo, considere í dx _ _ . p ara x > i 1 _ _ < 1 . Puesto qUe t^°dx_ converge. J Jl Vx4 + 2x + 6 Vx4 + 2x + 6 x2 M Ji x2 & entonces í , ^ también lo hace. Jl Vx4 + 2x + 6 Determine si converge o no cada una de las integrales siguientes: a)
dx ia f+” _*2 , . f+" dx P , d ; b) í + e-x2d x; c) í + — h Vx3 + 2x Jl V-x + x
Respuesta:
todas convergen
28. Defina la función gama T (t) = J
x ^ e ^ xdx para t > 0. Puede demostrarse que T(t) es convergente. (Esto se deja
como tarea para el estudiante.) a) Pruebe que T(1) = 1. b) Pruebe que T(2) = 1. (Sugerencia: aplique integración por partes.) c) Pruebe que T(t + 1) = t T(t) para toda t > 0. (Sugerencia: use integración por partes.) d) Use la respuesta del inciso c) para demostrar que T(n + 1) = n! para todo entero positivo n. (Recuerde: n! = 1 2 3 4 ...... n.)
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36 Aplicaciones de la integración III: área de una superficie de revolución Si un arco de una curva gira en torno de una recta que no corta el arco, entonces la superficie resultante se denomina superficie de revolución. Por área de superficie de ta! superficie se entiende el área de su superficie externa. Seaf una función continua en [a, b] que es diferenciable en (a, b) y tal quef(x) > 0 para a < x < b. Entonces, el área de superficie S de la superficie de revolución generada al girar la gráfica def en [a, b] alrededor del eje x se obtiene con la fórmula S = 2 n \a y J X + j d y dx = 2 n \ a f (x)V_ + (f '(x ))2 dx
(36.1)
Véase en el problema __ una justificación de esta fórmula. Hay otra fórmula como la (36.1) que se obtiene cuando se intercambian los papeles de x y de y. Sea g una función continua en [c, d] que es diferenciable en (c, d) y tal que g(y) > 0 para c < y < d. Entonces, el área de superficie S de la superficie de revolución creada por el giro de la gráfica de g en [c, d] alrededor del eje y se obtiene con la fórmula:
_ )dy =
S = l K\ dc x )J + ( ddy
( _+(g,(y))dy
2 K\ d c g yW
2
(36.2)
Asimismo, si una curva está dada por ecuaciones paramétricas x =f(u), y = g(u) (véase el capítulo 37), y si el arco desde u = u_ hasta u = u2 se gira en torno del eje x, entonces el área de superficie de la superficie de revo lución resultante está dada por la fórmula
S= 24: y
jl d x i
+1!
du
(36.3)
En este caso se ha supuesto quef y g son continuas en [u_, u2] y diferenciables en (u_, u2), y que y = g(u) > 0 en [u_, u2]. Otra fórmula de este tipo se cumple en el caso de una revolución en torno al eje y.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.
Determine el área S de la superficie de revolución creada al girar alrededor del eje x el arco de la parábola y2 = 12x de x = 0 a x = 3. Por derivación implícita, ddxx = y-
yJ
- é 29^
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A plicaciones de la integración I I I : á rea de una superficie de revolución
CAPÍTULO 36
Por (36.1) i*3 */y2 +36 (*3 ¡----------= 2n \ -J12x + 36 dx 5 = 2n J\ 0Jy ^ -------dx y J0 =
2.
2 n(8 (12 x +
36)32)]0 = 24(272 - 1)n
Determine el área 5 de la superficie de revolución creada al girar alrededor del eje y el arco de x = y3 de y = 0 a y = 1.
d y = 3y2
y
1+ ^ d y j
=
1+ 9y4 . Entonces, por (36.2)
S = 2n £ x j 1+ 9y4 dy = 2n J^ y^ 1+ 9y4 dy
=
18 J0' (1 + 9y4 ) W ) dy
=
18 ^ (1 + 9y4 )37]0
= ^7(1^V^ - 1)
3.
Establezca el área de la superficie de revolución creada cuando gira en torno al eje x el arco de y 2 +4x = 2 ln y de y = 1 a y = 3. S
4.
=
1+
( % ) dy = 2 ^ 3 y
dy = ^
3 (1 +y2 )dy
= 32 *
H a lle e l á r e a d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c ió n c r e a d a a l g ir a r u n la z o d e la c u r v a 8 a 2y 2 =
a2x2 -
x 4 a lr e d e d o r d e l
e j e x ( fig . 3 6 .1 ) .
Fig. 3 6 .1
A q u í,
P o r tan to
dy = a2x - 2 x3 dx 8 a2y
y
1 + | d x ) 2 = 1 + (a2 - 2x2)2 = (3a2 - 2x2)2 d y ) 8a 2(a2 - x2) 8 a2(a2 - x2)
5 = 2 n [“ 2 J l +í d y Ì dx = 2 n [a x ^ a 2 ** Jo \ Vdx) Jo 2 aV2
30- , 2x 2
2 a^ 2
Va2 - x 2
dx
= -jO i J0 (3a2 - 2x2)xdx =j ^a2
5.
x2 + y2
= 1. E s t a b le z c a e l á re a d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c ió n c r e a d a a l g ir a r e n to rn o a l e je x la e lip s e 1 6 + 4 =
5=
M i y 4 16 4y+x 2 dx = f
dx
4 f x 23 n/64 - 3 x 2 + 32sen-1 ^ ^ 2>/31 2
j
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=8n 1+ 4 ^ n
-^ 299^ H a lle e l á r e a d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c i ó n q u e s e c r e a a l g ir a r a lr e d e d o r d e l e je y =
a
L a s u p e r f ic ie r e q u e r id a s e fo r m a p o r e l g ir o d e l a r c o d e 0 = 0 a 0 =
la h ip o c ic lo id e x = c o s 3 0,
5
y
+ (d ö )
= 9 a 2 c o s 2 0 sen 2 0
%.
S e t ie n e q u e
. E n to n ce s ,
= 2(2n ) Jj 2J B ) 2 + ( % ) de = 2(2ri) J j 2( a se n 30 ) 3 a c o s
12 a2n
= —3a c o s 2 0 s e n 0 ,
0 sen 0
dd
(u n id a d e s c u ad ra d a s)
5
H a lle e l á r e a d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c ió n c r e a d a c u a n d o s e g ir a la c a r d io id e
x
= co s 3 0 - c o s 20, y
= 2 se n 0
- s e n 2 0 a lr e d e d o r d e l e j e x. L a s u p e r f ic ie r e q u e r id a s e fo r m a p o r e l g ir o d e l a r c o d e 0 = 0 a 0 =
do
= -2 se n 0 + 2 sen 2 0 ,
da
n
( fig . 3 6 .2 ) . S e t ie n e q u e
= 2 co s0 -2 co s2 0 ,
y
Fig. 3 6 .2 y 2 + (d ö)
= 8
_ s e n 0 s e n 2 0 - c o s 0 c o s 2 0 ) = 8 (1 - c o s 0 )
E n to n ces,
S = 2^Jo(2sen0 - sen20 )(2V2>/1 - cos0 ) dd = 8y[2 n ^ sen0(1 - cos©)32dd = ^ ^
(1 -
cos©)52 j 0
128n 5
8.
( u n id a d e s a l c u a d r a d o )
D e m u e s tr e q u e e l á re a d e la s u p e r f ic ie d e u n c ilin d r o d e r a d io
ry
L a s u p e r f ic ie s e c r e a c u a n d o s e g ir a a lr e d e d o r d e l e je x la c u r v a 1+ (
~dx J
y
=
r, d e
x = 0 a x = h. C o m o
d-
= 0,
= 1 . E n t o n c e s , p o r ( 3 6 .1 ) ,
rh
S = 2 k ]o rdx = 2n{rx
9.
h e s 2nrh.
a ltu r a
D e m u e s tr e q u e e l á re a d e la s u p e r f ic ie d e u n a e s fe r a d e r a d io
)]h =2nrh r e s ín r 2.
E l á r e a d e la s u p e r f ic ie s e c r e a a l g ir a r e n to rn o a l e je x e l s e m ic ír c u lo
y
= V
r2 - x 2
d e x = - r a x = r. P o r
s im e tr ía , é s t e e s e l d o b le d e l á r e a d e la s u p e r f ic ie d e x = 0 a x = r. C o m o y 2 = r 2 - x 2,
2 yl
=- 2 X
y, p or tanto,
dy dx
x y
—r~ = ----
y
1+1
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f
1
= 1 +xy2J =^ y 2
y
2
Aplicaciones de la integración III: área de una superficie de revolución
d y = 3a sen2 0 c o s 0
7.
x
se n 3 0.
CAPÍTULO 36
6.
A plicaciones de la integración I I I : á rea de una superficie de revolución
CAPÍTULO 36
E n c o n s e c u e n c i a , p o r ( 3 6 .1 )
10.
a ) D e m u e s tr e q u e e l á re a d e la s u p e r f ic ie d e u n c o n o c o n b a s e
b)
ry
a ltu r a in c lin a d a s ( fig . 3 6 .3 ) e s
nrs.
D e m u e s tr e q u e e l á re a d e la s u p e r f ic ie d e l tr o n c o d e u n c o n o c o n b a s e s r 1 y r 2 y a ltu r a in c lin a d a 3 6 .4 ) e s
n(r 1 +
r 2)u . ( O b s e r v e q u e e l
tronco
u
(fig .
s e o b t ie n e a l g ir a r la a ltu r a d e la p e n d ie n t e e n to rn o d e la b a s e
d e l t r iá n g u lo .)
Fig. 3 6 .4 a)
S e c o r ta e l c o n o a lo la r g o d e u n a a ltu r a in c lin a d a y s e a b r e c o m o p a r te d e u n c ír c u lo d e r a d io s ( c o m o s e m u e s tr a e n la fig u r a 3 6 .5 ) . O b s e r v e q u e la p a r te d e la c ir c u n fe r e n c ia c o r t a d a p o r e s ta r e g ió n e s c ir c u n fe r e n c ia d e la b a s e d e l c o n o ) . A h o r a , e l á re a d e s e a d a e n la fig u r a 3 6 .5 ) y e l á re a A
1d e
C o m o e l a rco co rta d o p o r 0 e s
S
b)
=
s e o b t ie n e 0
-
1
nr 1u 1 =
=
r2 n(r 2 -
2nr (la
á r e a d e l c ír c u lo
1e s -2r—( n s 2) = Í
0 s2 .
2
= ------ s------ • A s í , A 1 = n(s - r)s . P o r lo ta n to ,
u n id a d e s a l c u a d r a d o .
'1
u
ns 2 ( e l
2k s — 2n r
D e lo s t r iá n g u lo s s e m e ja n t e s e n la fig u r a 3 6 .4 s e o b t ie n e — = — ta n to ,
la d ife r e n c ia e n tre
u n s e c t o r c ir c u la r c o n á n g u lo c e n t r a l 0. E l á re a A
2%s - 2nr,
ns 2 - n(s - r)s = nrs
S es
'2
-. E n t o n c e s , r 2u 1 = r 1u 1 + r 1u. P o r
-. A h o r a , p o r e l r e s u lt a d o d e l in c is o a), e l á r e a d e la s u p e r f ic ie d e u n tr o n c o e s '1 r 1) u 1 + nr2u = nr1u + nr2u = n(r + r 2)u u n id a d e s a l c u a d r a d o .
1
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nr 2(u 1 +
u)
-^ 301^
S u p ó n g a s e q u e [a , b ] s e d iv id e e n á re a d e s u p e r f ic ie t o t a l
S es
n
xk], c a d a u n o d e lo n g it u d A x = b ^ Sk c r e a d a s p o r lo s a r c o s e n tre lo s p u n to s
s u b in t e r v a lo s ig u a le s . [xk-1,
la s u m a d e la s á re a s d e s u p e r f ic ie
. El [xk-1,
CAPÍTULO 36
11. Esb o ce una com probación de la fó rm ula (36.1).
f x k-1)] y [xk, f(xk)], c a d a u n o d e lo s c u a le s e s a p r o x im a d o p o r e l á re a d e s u p e r f ic ie g e n e r a d a p o r e l s e g m e n t o d e 3 6 .6 , e s to e s , e n v ir t u d d e l p r o b le m a 1 o b ):
f (xk-1 )+f (xk A h ora,
- f (xk
)2 +(Ay )2 = 2n
, d o n d e e l p r o m e d io d e f x k-1) y
v a lo r in t e r m e d io , e s ig u a l a
f
( x * ) p a r a a lg ú n x *
e l t e o r e m a d e l v a lo r m e d io ,
=
f ' (x# )
f (xk-1) + f (xk
f(xk) e s tá
A/ (A x )2 + ( A y )2
e n tre e s to s d o s v a lo r e s y p o r e l t e o r e m a d e l
e n (x k-1, x k). T a m b ié n ,
-J(Ax )2 +
p a r a a lg ú n x# e n (x k-1, x k). E n t o n c e s ,
£ 2n f (x* W 1 +(f ' ( x# ))
S
^
1+ ^
j
A x . Por
s e a p r o x im a p o r la s u m a
Ax
y e s p o s ib l e d e m o s tr a r q u e e s ta s u m a p u e d e r e a liz a r s e a r b itr a r ia m e n te p r ó x im a a P o r ta n to , la ú lt im a e s ig u a l a
(A y )2 =
2 n j f (x
S.
1 + (f
' ( x ) ) 2 d x .f
a
x Fig. 3 6 .6
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS E n lo s p r o b le m a s 1 2 a 2 o , d e t e r m in e e l á re a d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c ió n c r e a d a c u a n d o g ir a e l a r c o in d ic a d o a lr e d e d o r d e l e je in d ic a d o .
12. y
f
=
mx d e
x = o a x = 2; e j e x
Respuesta:
4 mn^l 1 + m 2
En general, puede probarse el resultado siguiente: teorem a de Bliss. Sean f y g son continuas en [a, b]. Se divide [a, b] en subintervalos [xk-1, xk], con a = xo < x1 < . „ < xn < b y sea Akx = xk - xk-1. En cada [xk-1, xk], se escoge x * y x # . Entonces, la suma de la aproximación
^ f (x*)g (x #)A kx puede hacerse arbitrariamente próxima a J f (x)g (x)dx cuando n ^ +~y k=1 a
haciendo que las longitudes máximas de los subintervalos tiendan a o.
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Aplicaciones de la integración III: área de una superficie de revolución
r e c t a e n tre [xk-1, f x k-1)] y [xk, f x k)]. L a ú lt im a e s e l á r e a d e u n tr o n c o d e u n c o n o . E n la n o t a c ió n d e la fig u r a
CAPÍTULO 36
^ 3 02^
A plicaciones de la Integración I I I : á rea de una superficie de revolución
13.
y =3 x3 de x = 0 a x = 3; eje x
Respuesta:n(82-J&2 - 1)/9
14.
y = £x3 de x = 0 a x = 3; eje y
Respuesta:
2 TT [^^>/82 + ln ^9 + V 8 2
15.
Un lazo de 8y2 =x2 (1 - x2); eje x
16.
y =x3/6 + 1/2x de x = 1 a x = 2 ; eje y
Respuesta:
( T 5 +ln 2)n
17.
y = ln x de x = 1 a x = 7; eje y
Respuesta:
^34>/2 +ln (3 +2y¡2
18.
Un lazo de 9y2 =x(3 - x)2; eje y
Respuesta:
2 8 p V 3 /5
19.
Un arco de x = a (0 - sen 0), y = a(1 - cos 0); eje xRespuesta: 64na2/3
20.
x = et cos t, y = e t sen t de t = 0 a t = 2 n , eje x
2 1.
Determine el área de la superficie de una zona cortada en una esfera de radio r por dos planos paralelos, cada uno a una distancia de 2 a del centro. Respuesta:
22.
Respuesta:
2 n V 2(2ep + l)/5
2nar
Determine el área de la superficie de un toro (rosquilla) creada al girar el círculo x 2 + (y - b )2 = a 2 en torno al eje x. Considere que 0 < a < b. Respuesta:
4n2ab
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Representación paramétrica de curvas
Ecuaciones paramétricas Si las coordenadas (x, y) de un punto P en una curva están definidas como funciones x =f(u) y y = g(u) de una tercera variable o parámetro, u, las ecuaciones x =f(u) y y = g(u) se denominan ecuaciones paramétricas de la curva. EJEMPLO 3 7 .1
a)
x y
b)
= c o s 0 y y = 4 s e n 2 0 s o n e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s , c o n p a r á m e tr o 0,d e la p a r á b o la 4 x 2 + y = 4 , y a
que 4x2 +
= 4 c o s 2 0 + 4 sen 2 0 = 4.
x = 11
y y = 4 - t2 e s o tra r e p r e s e n t a c ió n p a r a m é t r ic a , c o n p a r á m e tr o t,d e la m is m a c u r v a .
Nótese que el primer conjunto de ecuaciones paramétricas representa sólo una parte de la parábola [fig. 37.1a)], en tanto que la segunda representa toda la curva [fig. 37.1 b)]. y
Fig. 37.1 EJEMPLO 3 7 .2
a)
L a s e c u a c io n e s x =
r cos
0 y y =
r
s e n 0 r e p r e s e n ta n e l c ír c u lo d e r a d io
r con
c e n tr o e n e l o r ig e n , c o m o x 2 + y 2
= r 2 c o s 2 0 + r 2 s e n 2 0 = r 2 ( c o s 2 0 + s e n 2 0) = r 2. E l p a r á m e tr o 0 p u e d e c o n s id e r a r s e e l á n g u lo d e l e je x p o s itiv o a l s e g m e n t o d e s d e e l o r ig e n h a s ta e l p u n to b)
L a s e c u a c io n e s x =
a + r cos
0 y y =
P
e n e l c ír c u lo ( fig . 3 7 .2 ).
b + r sen
0 r e p r e s e n ta n e l c ír c u lo d e r a d io
r con
c e n tr o e n ( a , b ), y a q u e
(x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 c o s 2 0 + r 2 s e n 2 0 = r 2 ( c o s 2 0 + s e n 2 0) = r 2.
«
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03j
R epresentación p a ram é tric a de curvas
CAPÍTULO 37
y
Supóngase que una curva se define mediante un par de ecuaciones paramétricas x =f(u ) y y =g(u). Entonces, dy d2y la primera y la segunda derivada - y y están dadas por las fórmulas siguientes: (37.1)
Primera derivada dy dx
_( dy \ /(d x \ _^du J/ ^du )
Esto se sigue de la fórmula de la regla de la cadena d - = ~~ r ' d u • du
(37.2)
Segunda derivada
dx du
2 ( d ( dy Y| /dx 2_^du ^dx ) j j du
d y dx
Esto se sigue de la fórmula de la regla de la cadena d - ( d - ]=
■
Longitud de arco para una curva paramétrica Si una curva está definida por ecuaciones paramétricas x =f(t) y y = g(t), entonces la longitud del arco de la curva entre los puntos correspondientes a los valores parámetro t 1 y t 2 es
Esta fórmula puede comprobarse por un argumento semejante al de la fórmula de la longitud de arco (29.2).
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Halleddyx yddx 2 six =t - sent,y =1- cost. d t ryd y = .Por(37.1),t TT „
= 1 - cos
2y
.
sen t
d ( dy ^ _ dt ^ dx ) ~
(1 - c o s
•
Entonces,
t) ( c o s t ) (1 - c o s
_ cos
t-
(se n t ) ( s e n
( c o s 21 + sen 2 1) _
(1 - c o s
t)2
t)
t) 2 cos
t-1 _ t) 2
(1 - c o s
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1 cos
t-1
-^ 305^ CAPÍTULO 37
P o r tanto, p o r (37.2)
d 2y l .l — TT =---- :-- T (l - cos t ) = -^(l--------T dx 2 cos t - 1/ - cos t)2o'
R e s u e lv a d y y d - y s i x = dx dx 2
et c o s
t, y =
et s e n
Representación paramétrica de curvas
.
t.
dx t, . dy ^ „ dy cos t +sen t „ -¡- = et (cos t - sen t) y = et (cos t +sen t ). Por (37.1), - j - = ---- ------ . Entonces, dt J dt y J dx cos t - sen t d ( dy ^_ (cos t - sen t)2 - (cos t +sen t)(- sent - cos t) dt ^dx J (cos t - sen t )2
_ (cos t - sen t )2 + (cos t +sen t)2 _ 2 (cos21 +sen21) (cos t - sen t )2 (cos t - sen t )2 2
(cos t -sen t ) A s í , p o r ( 3 7 .2 ) ,
2y -dr2yf = 7t t et (cos t -sen t)2= dx 2 (cos t - sen t)2 /
I ,, n
-
et(cos t - sen t )
3.
E n c u e n t r e u n a e c u a c ió n d e la t a n g e n te a la c u r v a
d x = 2 —t
2^
4.
y
+ 4 = _j7.
"d" = _+ 2 t_/2 .
Cuando
t=
= 2Vf + _
P o r ( 3 7 .1 ) ,
4, x = 2 y
x =VF , y = t -
y = -2. U n a
t=
e n e l p u n to d o n d e
. E n t o n c e s , la p e n d ie n t e d e la t a n g e n te c u a n d o
e c u a c ió n d e la ta n g e n t e e s
L a p o s ic ió n d e u n a p a r t íc u la q u e s e m u e v e a lo la r g o d e u n a c u r v a e s tá d a d a e n e l tie m p o
t en
q u e -_■(x - 2 ) 2 + ■ _( y - 3 ) 2 = 1 , d e m a n e r a q u e la c u r v a e s u n a e lip s e . D e te r m in e :
t=
ft/3; b ) la r a z ó n d e c a m b io e n tie m p o d e y c u a n d o
t ie m p o d e l á n g u lo d e in c lin a c ió n 0 d e la ta n g e n t e c u a n d o
dy
= 3 sen t y
dy
= 2 c o s t. E n t o n c e s , t a n 0 =
a)
Cuando
t = n>, d x
b)
Cuando
t=
c)
d=
y
^n ,
ta n _1( - | c o t V3 y
=
^2
=
f
cot
t
2^/3.
.
p ie s/ s
dy = 2('—) =
t) .
^
t=
_ p ie s/ s
E n t o n c e s , d^
’ dt
= -,—
4 csc 2 1 + 4 cot t2 1
9 + 4 co t2
1
.
Fig. 3 7 .3
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t=
4 es
y - -7- = —7(x - 2).
p a r a m é t r ic a s x = 2 - 3 c o s t, y = 3 + 2 s e n t, d o n d e x y y s e m id e n e n p ie s y
t ie m p o d e x c u a n d o
4.
t=
t por
la s e c u a c io n e s
s e g u n d o s ( fig . 3 7 .3 ) . O b s é r v e s e
a)
5^ /3;
la r a z ó n d e c a m b io e n
c) la
r a z ó n d e c a m b io e n
Representación p a ram é trlc a de curvas
CAPÍTULO 37
Cuando
t=
j¡¡r = 9 = _ | f -
L u e g o , e l á n g u lo d e in c lin a c ió n d e la t a n g e n te e s d e c r e c ie n t e
a r a z ó n d e f f r a d ia n e s p o r se g u n d o .
5.
D e t e r m in e la lo n g it u d d e a r c o d e la c u r v a - 2 t, £
t
= 3 t2 y ( § ) 2 ♦ ( f
x
= t 2 y y = t3 d e
t=
) 2 = 4 t 2 + 9 t4 = 4 t 2( . + f
0 a t = 4.
t2) .
E n to n ces,
L = J o 2^7f^it7 dt = f
J (1 +ir 12 )1/2( f 1) dt
=11(1 +4 1 2 )3/2]4 = £(37>/37 - 1)
6.
H a lle la lo n g it u d d e u n a r c o d e la c i c lo i d e x =
= 1- cos0, d
j
=sen#
L
y |-d |J + ^
j
0
- sen
=
= 2 J o4sen( f ) d l = -
0
, y = 1 - cos
0
e n tr e
0
0
= 0 y
= 2ft.
(1_ cos0)2 + sen2 0 = 2(1 - cos0) = 4sen2
J. E n t o n c e s ,
= - 4 ( c o s n - cosO) = 8
4cos ( f
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS E n lo s p r o b le m a s 7 a 1 1 , d e t e r m in e a )
7.
x
8.
x =
9.
Respuestas:
a)
Respuestas:
a) t2/(t 2 -
1 ); b ) - 2 t 3/(t 2 - 1 ) 3
x = 2 s e n t, y = c o s 2 t
Respuestas:
a)
t ; b)
10.
x = c o s 3 0, y = se n 3 0
Respuestas:
a) - t a n
11.
x = a ( c o s 0 + 0 s e n 0 ), y = a ( s e n 0 - 0 c o s 0)
Respuestas:
a)
12.
E s t a b le z c a la p e n d ie n t e d e la c u r v a x =
= 2 + t,
t+
y
d y , b) d2 y . dX (IX
1/t, y =
Respuesta:
13.
t+
1
e t cos
2 t, y =
e 2t
2t; b ) 2
- 2 sen
-1
0; b ) 1 / ( 3 c o s 4 0 s e n 0)
tan 0; b ) 1 / (a 0 c o s 3 0)
s e n 2 t e n e l p u n to t = 0.
-2
D e t e r m in e la s c o o r d e n a d a s r e c t a n g u la r e s d e l p u n to m á s a lto d e la c u r v a x = 9 6 t, y = 9 6 t - 1 6 t 2. ( Sugerencia : h a lle
t p ara
Respuesta:
14.
= 1 + t2
e l y m á x im o ) . (2 8 8 , 1 4 4 )
D e t e r m in e la s e c u a c io n e s d e la ta n g e n t e y la n o r m a l d e la s c u r v a s s ig u ie n t e s e n lo s p u n t o s d e t e r m in a d o s p o r e l v a lo r d a d o d e l p a rá m e tro :
a)
x = 3 e t, y = 5 e
b)
x =
a
t en t =
c o s 4 0, y =
Respuestas: a) 3y +
a
0
sen 4 0 en
6 = ^4
5x = 30, 5y - 3x = 16; b ) 2x + 2y =
a, y
=x
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-^ 307^
que la longitud del segmento de la tangente cortada por los ejes de coordenadas es a. Respuesta:
x sen t
+
y cos t = aasen 2t
Demuestre que en el punto donde la curva se corta a sí misma, las dos tangentes son perpendiculares entre sí. J3 Respuesta:
a) t =
; b) t = 0
En los problemas 17 a 20, encuentre la longitud del arco especificado de la curva dada.
17. El círculo x = a cos 0, y =a sen 0 de 0 =0 a 0 = 2n. Respuesta:
2 kü
18. x =et cos t, y =et sen t de t =0 a t =4. Respuesta:
19. x
=
\Í2(e4 - 1)
>/
ln 1+ 12 , y = tan-1 t de t = 0 a t = 1.
Respuesta:
ln(1 + V2)
20. x = 2 cos 0 +cos 2 0 + 1, y = 2 sen 0 + sen 2 0 . Respuesta:
16
21. La posición de un punto en el instante t está dado como x
=
7 12, y = \ (6t + 9)3/2. Determine la distancia que se
desplaza el punto de t = 0 a t = 4. Respuesta:
20
22. Identifique las curvas dadas por las ecuaciones paramétricas siguientes y escriba las ecuaciones para las curvas en términos de x y y: a)
x
= 3t + 5, y =4t - 1
Respuesta: línea recta: 4x - 3y = 23
b) x
= t + 2, y =
t2
Respuesta: parábola: y = (x - 2)2
c)
x
= t - 2, y =t
t ^j
2+ 1 Respuesta: hipérbola: y = —
d) x
= 5 cos t, y
= 5 sen t
Respuesta: círculo: x2 +y2 = 25
23. (CG) Use una graficadora para hallar las gráficas de las curvas parámetricas siguientes: a)
x
= 0 + sen 0 , y = 1 - cos 0 (cicloide)
b) x
= 3 cos3 0, y = 3 sen3 0
(hipocicloide)
c)
= 2 cot 0, y = 2 sen2 0
(bruja de Agnesi)
x
d) x =
(1 + g 3) >y = ^ + 03)
(folio de Descartes)
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Representación paramétrica de curvas
16. Para la curva x = t2 - 1, y = t3 - t, halle los puntos en los que la tangente es a) horizontal y b) vertical.
CAPÍTULO 37
15. Encuentre una ecuación de la tangente en cualquier punto P(x, y) de la curva x =a cos3 t, y = a sen3 t. Muestre
Curvatura
Derivada de la longitud de un arco
Ax y Px y
s
Sea y =f(x ) que tiene una primera derivada continua. Sea ( 0, 0) un punto fijo en su gráfica (fig. 38.1) y sea la longitud de arco medida desde A hasta cualquier otro punto ( , ) en la curva. Se sabe que, por la fórmula (29.2), 2
s
s
si se selecciona para que crezca con longitud de arco de P a . Entonces,
Q
+If * x.Sea Q(x + Ax, y + Ay) un punto en la curva cercano a P. Sea Asla - t i >
2
£ - lím dx amo Ax
= ± , +( $ . y ( dx
y de forma semejante,
Aí , I dx 2 - aJÍO Ay- ±\í +( dy El signo más o menos se obtiene en la primera fórmula según saumente o disminuya al crecer x, y en la segunda fórmula según saumente o disminuya al crecer y. ds dy
x
O Fig. 3 8 .1
fu
gu
Cuando una curva está definida por ecuaciones paramétricas x = ( ) y y = ( ), ds - lím As = ± 1 1 dx ^ du Au - ±\|l du I
dy l du
+1
s
u
Aquí, el signo más o menos se obtiene según aumente o disminuya al crecer .
^ 308^ -
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------------- ^ 309^ CAPÍTULO 38
P ara evitar la repetición de signos am biguos, se supondrá de aquí en adelante que la dirección en cada arco se h a fijado de m anera que la derivada de la longitud de arco sea positiva.
Curvatura
y
Fig. 3 8 .2
C om o fórm ulas de curvatura se obtienen: „ dT At K = - ¡ - = lim ds o As
a^
/_
d 2y dx2 2
(38.1)
o en térm inos de y,
d 2x dy2
K =
i
(38.2)
+(I )
P ara ver una dem ostración repase el problem a 13. K se define a veces com o positiva. Si suponemos esto, entonces el signo de K debería ignorarse en lo sucesivo.
El radio de curvatura E l radio de curvatura R en el punto P sobre un a curva se define m ediante R = -1 , siem pre que K ^ 0.
El círculo de curvatura E l círculo de curvatura, o círculo osculador de u na curva en el punto P , es el círculo de radio R, que se encuentra en el lado cóncavo de la curva y tangente a P (fig. 38.3). y
Fig. 3 8 .3
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Curvatura
L a curvatura K de una curva y = f x ) en cualquier p unto P de ella se define com o la razón de cam bio de la dirección de la curva en P , es decir, del ángulo de inclinación t de la tangente en P , respecto a la longitud del arco s (fig. 38.2). Intuitivam ente, la curvatura indica cuán rápido está girando la tangente. A sí, la curvatura es grande cuando la curva se dobla de form a pronunciada.
CAPÍTULO 38
C urvatura
Para construir el círculo de curvatura, en el lado cóncavo de la curva se traza la línea normal al punto P y en él se tiende un segmento PC de longitud R. El punto C es el centro del círculo requerido.
El centro de curvatura El centro de curvatura para un punto P(x, y) de una curva es el centro C del círculo de curvatura P. Las coorde nadas (a, P) del centro de curvatura se obtienen con
a = x --
2
dy dx >< í
2
í
i +( P = y + d 2y/d x2
d 2y/dx2
o por 2
i
■+( a = x +• d 2x/dy2
dx „ ( dx dy ■+{ T y P =yd 2x/dy2
2
En el problema 9 se brindan más detalles.
La evoluta La evoluta de una curva es el lugar geométrico de los centros de curvatura de la curva dada (problemas 11 y ■ 2 ).
PROBLEMAS RESUELTOS
1.
Encuentre d x en P(x, y) en la parábola y = 3x2.
2.
D e t e r m in e
Com o
dy
y
dy
en
P (x, y)
e n la e lip s e
x2 + 4 y2 =
8.
2x + 8 y d y - 0 , - —-p- y ^ - —— . E n t o n c e s , J dx dx4y J dy x 1 +(d
■.2
i ) - 1 + x 2 - x 2 +16y2 - 32 —3x2 dS - Í32 —3x2 ^dx ) 16y2 16y232 —4x 322—4x * 2dxy Vdx32 — \ 4x2
1 +^ (# dy )) - 1
3.
+^x 2
-
x2
•x|6r - y2l 2 —^ 2 2—y2 y dy yy #2 —
ds Halleen P(x, y) en la curva x = sec 0 y y = tan 0.
dS) = ^ ( dà)
+(
%
) sec2 ^ ta n 26+ sec4 6 = isec0i-\/tan20 + sec20
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-^ 311^ L a s c o o r d e n a d a s (x,
y)
e n p ie s d e u n a p a r t íc u la m ó v il
e s e l t ie m p o e n s e g u n d o s . ¿ A q u é v e l o c id a d s e m u e v e
c) P
s e d e s p la z a a su v e l o c id a d m á x im a y a su v e l o c id a d m ín im a ?
/
a)
Cuando
t=
b)
Cuando
t
c)
Sea
t=
dt
ó
5tc
4 V y
= ^ T 3 p ie s / s .
ds 'i ' d t = ‘ 11+ 3 V4 y
= —
4
S _ ^ _y¡ 1 +3 c o s 2 1 . E n t o n c e s , d
O,
Cuando
dt n/2, n t=
y
0 y ^ , la v e l o c i d a d
d^- _ V
_
3 C ° S t s e n t . A l d e s p e ja r d "
_0
s e t ie n e n lo s n ú m e r o s c r ít ic o s
1 + 3 (1)
y2 =
dy
E n (3 , ó): 1 + | i X
b)
E n (^
e s m á x im a . C u a n d o
1 2 x e n lo s p u n to s:
h =ó. ^r~ dx ^ = óy ’; entonces, a)
_ 2■ p ie s / s
t = n/2
y 3 ^ /2 , la v e lo c id a d
e s m ín im a . L a c u r v a s e m u e s tr a e n la fig u r a 3 8 .4 .
D e t e r m in e la c u r v a tu r a d e la p a r á b o la
3 ): 1
-
P„ , ,
3n/2.
ds _ V 1 + 3 (0 ) _ 1 p ie s / s
-
21 +4 cos2 1 - J T + T c
\
3
= .U+3
f Í -*n
Curvatura
t - J í f H
5.
P e s tá n d a d a s p o r x = c o s t - 1 y y = 2 s e n t + 1 , d o n d e t P a lo la r g o d e la c u r v a c u a n d o a) t = 5 ^ /6 , b) t = 5 ^ /3,
2 |= 2
+( 'dtc"^_ 5
y -dJ2L dx
y
y
2
1 +1 ^ - 1 1^ 1
(3 , 6 );
b) (-f , - 3 ) ; c)
(0 , 0).
ó ^dyL =-^^ = 1 + •‘’2 ^ y 4-4dx2 =y—ór 2 dx y3 K = -- 21/6 3^
= - t 6
dx’ _ 3
a)
e n to n ce s,
K_
•J2
= ^ ^ r.
24
4/3 =
4yß 75
5 3/2 2
c) ;
ÍL J dx
E n (0 , 0 ),
n o e s tá d e fin id a . P e r o
E n c u e n t r e la c u r v a tu r a d e la c i c l o i d e
dy
x= n -
_ L _ 0 , 1 +(d x '\_ 6 ’ ^dy) sen 0 y
y=
1,
’ dy 2
_1
6
y
^ K =- i
1 - c o s 0 e n e l p u n to m á s a lto d e u n a r c o ( fig . 3 8 .5 ).
y
X
Fig. 3 8 .5
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CAPÍTULO 38
4.
CAPÍTULO 38
P a ra d e te r m in a r e l p u n to m á s a lto e n e l in t e r v a lo 0 < x < e n e l in t e r v a lo e s x =
n.
C urvatura
2 k, dy/dO = s e n 0, d e m a n e r a q u e e l v a lo r c r ít ic o n, e l p u n to 0 = n e s u n p u n to m á x im o r e la t iv o y
C o m o d 2y / d 0 2 = c o s 0 < 0 c u a n d o 0 =
c o n s t it u y e e l p u n to m á s a lto d e la c u r v a e n e l in te r v a lo . P a ra h a lla r la c u r v a tu r a , 4 ^ = 1 - cos0 ,
dd
dd
dy_ = dx
= se n # ,
d 2y =d / sen0 \ dd = _ dx d0 1 - cos0 dx
sen 0 1 - cos0 ’
2
\
/
1 (1 -
cos0)2
En 0 = n, d , = 0 , ^ 4 = - 1 y K = _■. dx dx 2 4 J 4
7.
E n c u e n t r e la c u r v a t u r a d e la c i s o i d e y 2(2 - x ) = x 3 e n e l p u n to ( 1 , 1) ( fig . 3 8 .6 ).
x
Fig. 3 8 .6 A l d e r iv a r im p líc it a m e n t e la e c u a c ió n d a d a r e s p e c t o a
x
s e o b t ie n e
- y 2 + (2 - x ) 2 y y ' = 3 x 2
(1)
y
- 2yy' +
(2 -
D e ( 1 ) , p a r a x = y = 1, - 1 + 2 y ' = 3 y
y'' =
8.
3. E n t o n c e s ,
K = 3 / (1 +4 ) 3/2 =3 ^
y' =
+ (2 - x ) 2 ( y ') 2 - 2 y y ' = 6 x
2. D e fo r m a s e m e ja n t e , d e (2 ), p a r a x = y = 1 y
y
= ln
d y =__ E n to n c e s K = dx 2 x2. ,
y y
E l v a lo r c r ít ic o e s , p o r ta n to ,
(2 )
y' =
2, s e t ie n e q u e
/25 .
E n c u e n t r e e l p u n to d e m á x im a c u r v a t u r a e n la c u r v a
dy =1 dx x
9.
x) 2yy"
x =- ^ .
x.
(1
—x +x 2) 3/2
dK = 2 x 2 —1 dx (1 +x 2) 5/2
y
E l p u n to r e q u e r id o e s ^ ^ , _
E s t a b le z c a la s c o o r d e n a d a s d e l c e n t r o d e c u r v a t u r a
C de
la c u r v a y =
f(x)
.
e n u n p u n to P ( x , y ) , d o n d e
y' ^
0
( fig . 3 8 .3 ). E l c e n tr o d e c u r v a tu r a C ( a ,
fi)
q u e d a : ( 1 ) e n la r e c t a n o r m a l e n
P
y (2 ) a u n a d is t a n c ia
e l la d o c ó n c a v o d e la c u r v a . C o n e s t a s c o n d ic io n e s s e o b t ie n e n , r e s p e c t iv a m e n te ,
P- y= D e la p r im e r a ,
a
- x =
-y'(P
- ^ (
a -x )
y
( a - x) 2 + ( f i - y) 2 = R 2 =
- y ) . A l s u s titu ir e n la s e g u n d a s e o b t ie n e
(P ~ y) 2[1 + ( y' ) 2l = [1 "^y^) 2 ]
y , p o r ta n to ,
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p - y = ± 1 +y ,
)
R
de
P
m e d id a h a c ia
-^ 313^
p o r e n c im a d e
ta m b ié n e s + c u a n d o
P, ¡5 - y > 0. E n t o n c e s , y" < 0 .) E n to n c e s ,
10.
y
y"
a
= X - y'[1+(y')2] y
D e t e r m in e la e c u a c ió n d e l c ír c u lo d e c u r v a tu r a d e 2 x y + x + y = 4 e n e l p u n to ( 1 , 1).
A l d e r iv a r s e o b t ie n e 2 y + 2 x y ' + 1 + 4 y ' + 2 x y '' +
y"
= 0. E n ( 1 , 1 ) ,
K
=
y"
y' =
4/3
R
=3^2
a=
- 1 y 1 + (y)
= 2. A l d e r iv a r d e n u e v o s e o b t ie n e
= 5,f =
1
1 +. 2
a )2 + ( y - £¡) 2 = R 2 o (x - f )2 +(y - -f)2 = 2
D e t e r m in e la e c u a c ió n d e la e v o lu t a d e la p a r á b o la En
y' =
0. E n ( 1 , 1 ) ,
= f . E n to n c e s ,
2 j2 '
L a e c u a c ió n r e q u e r id a e s (x -
11.
+ ^
> 0, y c o m o
e l s ig n o a p r o p ia d o e n e s t e c a s o e s + . ( D e m u e s t r e q u e e l s ig n o
Curvatura
P =y
y"
CAPÍTULO 38
P a ra d e te r m in a r e l s ig n o c o r r e c to , n ó t e s e q u e c u a n d o la c u r v a e s c ó n c a v a h a c ia a rrib a ,
C e s tá
y2 =
=5
“ 21“
‘ 4/3
2'
.
1 2 X.
P (x , y):
dy = 6 i +í d i ) 2 = i + 36 =! + 1 dx y j X ' l d x)
1 + y2 + 1x,
dx 2
=- 36 = y3
V3 2x 3/2
E n to n ce s
a =x
■J3Jx
(1 + 3/c) ¡=>— = x +
—
—s/3/2x
^ V 3 (x + 3) „ V — ¿ = 3x + 6
,
V3
y
P =y+ L a s e c u a c io n e s
y, lig a d a s
a = 3x +
6 y
P = - y3/36
1 + 36/ y2 _ y3 + 3 6 y -3 6 / y 3
■ =y
_
y3
36
36
p u e d e n c o n s id e r a r s e e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s d e la e v o lu t a c o n
xy
p o r la e c u a c ió n d e la p a r á b o la , c o m o p a r á m e tr o s . S in e m b a r g o , e s r e la t iv a m e n t e s e n c illo e lim in a r lo s
p a r á m e tr o s . A s í ,
x = (a -
6)/3 y
y=
- ^ 3 6 j8, y a l su s titu ir e n la e c u a c ió n d e la p a r á b o la q u e d a ( 3 6 P ) 2/3 = 4 ( a - 6 )
o
8 1P 2= 4 ( a -6 )3
E n la f ig u r a 3 8 .7 s e p r e s e n ta n la p a r á b o la y su e v o lu ta .
y
Fig. 3 8 .7
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H
‘ 4/32
CAPÍTULO 38
12.
D e t e r m in e la e c u a c ió n d e la e v o lu t a d e la c u r v a
x
= c o s 0 + 0 s e n 0,
y
= se n 0 - 0 c o s 0.
E n P ( x , y):
dQ
=tìcostì,
dQ
= tìsentì,
sec3 tì = QeC a : dx dx 2tìcostì tì
^ = tantì,
E n to n ce s
a = x - tan^3sec. ® = x -tìsentì = costì (sec3 tì)/tì y
/ S&cJ?/a = y +tì costì = sentì rP = yJ + (sec 3 tì)/tì 7 y
a
= cos
0, ¡5 =
sen
0 so n
e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s d e la e v o lu t a ( fig . 3 8 .8 ).
y
x
Fig. 3 8 .8
13.
C o m p r u e b e la f ó r m u la ( 3 8 .1 ) ta n T e s la p e n d ie n t e d e la r e c t a ta n g e n t e y , p o r ta n to ,
¿¿ Y dT dx =tanT - tanT. Entonces Entonces, dds íl édxl j) = dd T í[ dx j ds
d E n c o n se c u e n c ia ,
_d_ ( dy_). dx dx I dx ds
=
2 T . dì.
ds
E sto d a
d 2y dx 2
2
1 2
i +' f
de donde
dT ds
d 2y dx 2 2
i +' i
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dT ds ’
C urvatura
-^ 315^ CAPÍTULO 38
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS E n lo s p r o b le m a s 1 4 a 1 6 , h a lle -4^ y
dx
dy
.
x 2 + y 2 = 25
15.
y 2 = x3
Respuesta:
16.
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3
Respuesta:
ds dx
r,
ds x 4 +
■y2
E n lo s p r o b le m a s 1 7 a 1 8 , e n c u e n t r e
Respuesta:
18.
2 7 a y 2 = 4 (x - a )3
Respuesta:— V ( x
19.
x = t2,
20.
x = 2 c o s t, y = 3 s e n t
y
= c o s t,
22. x
= c o s 3 t,
y
y
t
j
^ _ l y,
1 2x2
+ 2 a)/3 a
= sen 3 t
+ 9 t2
4 + 5cos
Respuesta:
1
Respuesta:
- |s e n 2 t
= sen x en x = 0,
a)
x
=
n
b)
x 2 = 4 a y en x = 0, x =
d)
y = e~x
21
2a
en x = 0
0, V 2 / 2 , -4 > /T 7 /2 8 9 ; b) 1/2a, V 2 / 8 a ; c) 0, - 1 ; d) - 2
D e m u e s tr e : a ) q u e la c u r v a tu r a d e u n a lín e a r e c t a e s 0; b ) q u e la c u r v a tu r a d e u n c ír c u lo e s n u m é r ic a m e n t e e l r e c íp r o c o d e su ra d io .
D e t e r m in e lo s p u n to s d e m á x im a c u r v a t u r a d e
Respuesta:a) x
26.
tsj 4
Respuesta:
= x 3/3 e n x = 0 , x = 1 , x = - 2
Respuestas:
25.
(a /x ) 1/3, -d^ -
H a lle la c u r v a tu r a d e c a d a c u r v a e n lo s p u n t o s d a d o s:
a) y c) y
24.
j 1/3 =
—
Respuesta:
= sen
3y1/3
d -.
= t3
21. x
dy
ds ■
6xy = x 4 + 3
E n lo s p r o b le m a s 1 9 a 2 2 , e n c u e n t r e
= t"n/4 + 9 x , 4 ^ - ^ —
dx
17.
23.
ds
5
= - y ln 2 ; b )
x
a) y
= e 1; b )
y=
1
x3
= -^ / j
H a lle e l r a d io d e la c u r v a tu r a d e
a) x 3 + x y 2 - 6 y 2 = 0 e n (3 , 3). b) x = 2 a ta n 0, y = a ta n 2 0 e n c) x = a c o s 4 0, y = a s e n 4 0 e n
(x , y ) . (x , y ).
Respuestas: a) 5*j5; b ) 2a |sec3 0|; c )
2a(sen4 0 + cos4 0)3/2
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Curvatura
ds
14.
^ 3 16^
__________
27.
CAPÍTULO 38
D e t e r m in e e l c e n tr o d e la c u r v a tu r a d e a ) p r o b le m a 2 6 a ) ; b ) y = s e n x e n u n p u n to m á x im o .
Respuestas:
28.
a)
C ( - 7 8 ); b )
C
(f-0)
E n c u e n t r e la e c u a c ió n d e l c ír c u lo d e c u r v a tu r a d e la p a r á b o la y 2 = 1 2 x e n lo s p u n to s (0 , 0) y (3 , 6).
Respuesta:
29.
Curvatura
(x -
6 ) 2 + y 2 = 3 6 ; (x - 1 5 ) 2 +
(y +
6 ) 2 = 288
D e t e r m in e la e c u a c ió n d e l c ír c u lo d e la e v o lu t a d e y = 2 sen
t+
Respuestas:
a) b2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2; b ) x 2/3 + y 2/3 + a 2/3; c )
x = 2 cos
t+
s e n 2t.
a) (a a ) 2/3 + (b £¡)2/3 = (a 2 -
b 2)2/3; b )
( a + £¡)2/3 + ( a - £¡)2/3 = 2 a 2/3; c) a = y(2cost- cos2t) ,
P = ^_(2sent- sen2t)
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c o s 2t,
Vectores en un plano Escalares y vectores Cantidades como el tiempo, la temperatura y la rapidez, que tienen sólo magnitud, se denominan escalares. Por otra parte, cantidades como la fuerza, la velocidad y la aceleración, que tienen tanto magnitud como dirección, se denominan vectores. Los vectores se representan geométricamente por segmentos de recta dirigidos (flechas). La dirección de la flecha (el ángulo que forma con alguna recta dirigida fija en el plano) es la del vector, y la longitud de la flecha representa la magnitud del vector. Los escalares se denotarán con letras, a, b, c,... en tipo ordinario; los vectores se simbolizarán con letras en negritas a, b, c..., o mediante una expresión OP [donde se considera que el vector va de O a P [fig. 39.1a)]. La magnitud (longitud) de un vector a u OP se representa por lal o por lOPI. Dos vectores a y b son iguales (lo que se escribe a = b) si tienen la misma dirección y magnitud. Un vector cuya magnitud es la de a, pero cuya dirección es opuesta a la de a, se denomina negativo de a y se representa como - a [fig. 39.1a)]. Si a es un vector y k es un escalar positivo, entonces ka se define como un vector cuya dirección es la de a y cuya magnitud es k veces la de a. Si k es un escalar negativo, entonces ka tiene dirección opuesta a la de a y su magnitud es Ikl veces la de a. También se considera que un vector cero 0 con magnitud 0 y sin dirección se define - 0 = 0, 0a = 0 y k0 = 0. A menos que se indique de otro modo, un vector dado carece de una posición fija en el plano, por lo que puede moverse en desplazamiento paralelo como se desee. En particular, si a y b son dos vectores [figura 39.1b)], pueden colocarse de manera que tengan un punto inicial o final común P [figura 39.1c)] o de forma que el punto inicial de b coincida con el punto terminal o extremo de a [figura 39.1d)]. B
P B A
P (a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 3 9 .1
Suma y diferencia de dos vectores Si a y b son los vectores de la figura 39.1b), su suma a + b se obtiene de cualquiera de estas dos formas, ambas equivalentes: 1. 2.
Trazando los vectores como en la figura 39.1c) y completando el paralelogramo PAQB de la figura 39.2a). El vector PQ es la suma requerida. Trazando los vectores como en la figura 39.1d) y completando el triángulo PAB de la figura 39.2b). Ahí el vector PB es la suma requerida.
De la figura 39.2b) se deduce que es posible desplazar tres vectores para formar un triángulo, siempre que uno de ellos sea la suma o el negativo de la suma de los otros dos.
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CAPÍTULO 39
^ 3 18^
Vectores en un plano
B
Q
A
P P (a)
P (b)
(d)
(c) Fig. 3 9.2
Si a y b son los vectores de la figura 39.1b), su diferencia a - b se halla por cualquiera de estas dos formas equivalentes: 1. 2.
De la relación a - b = a + (-b) como en la figura 39.2c ). Trazando los vectores como en la figura 39.1c ) y completando el triángulo. En la figura 39.2d ), el vector BA = a - b. Si a, b y c son vectores, las leyes siguientes son válidas:
Propiedad (39.1) (ley conmutativa) Propiedad (39.2) (ley asociativa) Propiedad (39.3) (ley distributiva)
a +b =b +a a + (b + c) = (a + b) + c k (a + b) = k a + k b
Véase los problemas 1 a 4.
Componentes de un vector En la figura 39.3a), sea a = PQ un vector y sean P M y PN otras dos rectas cualesquiera dirigidas hasta P. Se construye el paralelogramo PAQB. Entonces a = PA + PB y se dice que a se ha resuelto en las direcciones P M y PN. PA y PB se llamarán las componentes de un vector de a en el par de direcciones P M y PN . Considérese el siguiente vector a en un sistema de coordenadas rectangulares [figura 39.3b)], que tiene las mismas unidades de medida en los dos ejes. Se representa con i el vector que va de (0, 0) a (1, 0) y con j el vector que va de (0, 0) a (0, 1). La dirección de i es la del eje positivo x y la de j es la del eje positivo y, y ambos son vectores unitarios, es decir, vectores de magnitud 1 . Desde el punto inicial P y el punto terminal Q de a se trazan las perpendiculares al eje x, que lo cortan en M y N, respectivamente, y al eje y, que lo cortan en S y T, respectivamente. Ahora, M N = aj i, cuando aj positivo, y ST = a2j, con a2 negativo. Entonces: M N = RQ = a1i, ST = PR = a2j, y a = aj í + a2j
(39.1)
(b) Fig. 39.3
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-^ 319^
a.
a
a
0 i j
L a dirección de está dada por el ángulo 9, con 0 < 9 < 2rc, m edido en sentido contrario al de las m anecillas del reloj desde el eje x positivo hasta el vector. Entonces, (39.2)
ta n # = O -
(39.3)
y
con el cuadrante de 9 determ inado por
a
a 1 = l l cos 9, Si
a
a 2 = l l sen 9
a= a 1i + a j y b= b 1i + b 2j, entonces se cum ple lo siguiente:
Propiedad (39.4) Propiedad (39.5) Propiedad (39.6) Propiedad (39.7)
a = b si y sólo si a 1 = b 1 y a 2 = b 2
k a = ka 1i + ka j
a+ b= (a 1 + b 1)i + (a 2 + b 2)j a- b= (a 1 - b 1) i + (a 2 - b 2)j
Producto escalar (o producto punto)
ay bestá definido por ax b= lallbl cos 9
E l producto escalar (o producto punto ) de vectores
(39.4)
donde 9 es el ángulo m ás pequeño entre dos vectores cuando se trazan con un punto inicial com ún (fig. 39.4). Tam bién se define: x = x = 0.
a 0 0 a
B
Fig. 3 9 .4
A partir de las definiciones es posible dem ostrar las propiedades siguientes del producto escalar:
Propiedad (39.8) ( ley conmutativa ) Propiedad (39.9) Propiedad (39.10) Propiedad (39.11) Propiedad (39.12) Propiedad (39.13) ( ley distributiva ) Propiedad (39.14)
axb= bxa ax a= lal2 y |a| = V a• a axb= 0 si y sólo si (a= 0 o b= 0 o aes perpendicular a b) ixi= j xj = 1 y ixj = 0 ax b= (a ji + a j ) x (b ji + b j )= a lb l + a2b 2 ax(b+ c) = axb+ axc ( a+ b) x( c+ d) = axc+ axd+ bxc+ bxd
* No es necesario indicar un par de direcciones (como OM y OT), ya que quedan determinadas por el sistema de coordenadas.
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Vectores en un plano
a
l l =V a 2 +a 2
CAPÍTULO 39
i j
Sean a 1 y a 2 las componentes vectoriales de * L os escalares a 1 y a 2 se denom inarán componentes escala res (o componentes x y componentes y o, sim plem ente, componentes) de .N ótese que = 0 + 0 .
CAPÍTULO 39
^ 3 20^
Vectores en un plano
Proyecciones escalar y vectorial
Enlaecuación(39.1), elescalara1 sedenominaproyección escalar dea sobrecualquiervectorcuyadirección sealadel ejex positivo, entantoqueel vectora1i eslaproyección vectorial dea sobrecualquiervectorcuya direcciónsealadel ejex positivo. Engeneral, paracualquiervectorb noceroycualquiervectora , sedefine a . |b| comolaproyecciónescalar dea enb , y(a . |b | j|b | comolaproybecciónvectorial dea enb (repaseel problema7). Nótesequecuandob tieneladireccióndelejexpositivo, jby=i. Propiedad (39.15) a x b esel productodelalongituddea ylaproyecciónescalardeb ena .D eigual forma, a x b esel productodelalongituddeb ylaproyecciónescalardea enb (fig. 39.5).
Derivación de funciones vectoriales
Considerequelacurvadelafigura39.6sedefineporlasecuacionesparamétricasx=f(u) yy =g(u). Elvector r =xi +yj =f(u ) i +g(u)j queuneelorigenalpuntoP(x, y)delacurvasedenominavector de posición oradio vector deP. Esunafunción deu. [Deaquíenadelante, utilizaremoslaletrar exclusivamenteparalosvectoresdeposición.Así, a =3i +4j esel vector“libre”,mientrasquer =3i +4j esel vectorqueuneel origenconP(3, 4).] Laderivadadu delafunciónr respectoau sedefinecomolím Au^0r(u+AuA)— u ru . El cálculodirectoda: dr =dx . dy . (39.5) du =du 1 du j SeaslalongituddearcomedidadesdeunpuntofijoP0delacurvademaneraquesaumentaconu. Si r es el ánguloqueforma- u conel ej ex positivo, entonces tanr= \(du )| / \ (du I| =dx = lapend ientedelacurvaenP ^ y
x
Fig. 3 9 .6
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-^ 321^
(39.6)
cuyadirecciónesladelatangentealacurvaenP. Esusual representarestevectorconP comosupuntoini cial. Siahoralavariableescalaru setomacomolalongituddearcoi, entonceslaecuación(39.5) sevuelve t =dr =dx i dy j (39.7) =ds =ds 1+ds j Ladireccióndet es r, mientras quesumagnitudes , loqueresultaigual a1. Entonces, t =dr/di esunvector tangente unitario alacurvaenP. Así, t esunvectorunitario, t ydt/di sonperpendiculares(problema10). Serepresentaconnunvectorunita rioenP quetieneladireccióndt/di. CuandoP semuevealolargodelacurvaquesemuestraenlafigura39.7, lamagnitudt permanececonstante; portanto, dt/di midelarazóndecambiodeladireccióndet. Entonces, la magnituddedt/di enP esel valorabsolutodelacurvaturaenP, esdecir, idt/dii =ÍZi, y dt (39.8) ~ r =IK In ds
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Compruebequea+b=b+a. Delafigura39.8, a+b=PQ=b+a. Q
Fig. 3 9 .8
2. Compruebeque(a+b)+c=a+(b+c). Delafigura39.9, PC=PB+BC=(a+b)+c. TambiénPC=PA+AC=a+(b+c).
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Vectores en un plano
ds du
CAPÍTULO 39
Además, dU esunvectordemagnitud
CAPÍTULO 39
Vectores en un plano
C B
Fig. 3 9 .9 3.
Sean
A , B y C, q u e d a n e n u n a r e c ta , x :y, d o n d e x + y = 1, d e m u e s tr e q u e c = xa + yb .
a , b y c tre s v e c t o r e s q u e c o m ie n z a n d e s d e P t a le s q u e su s p u n t o s f in a le s , a
BA
e n la r a z ó n
c = PB + BC = b +
x( a
-
c o m o s e m u e s tra e n la fig u r a 3 9 .1 0 . S i
C b is e c a
O b serve que
C o m o e je m p lo , s i
C b is e c a
a
BA,
e n to n ce s
b ) = xa + ( 1 -
x) b
=
xa
+
yb
c = y ( a + b ) y B C = -j ( a - b ) .
A
Fig. 3 9 .1 0 4.
D e m u e s tr e q u e la s d ia g o n a le s d e u n p a r a le lo g r a m o s e b is e c a n e n tr e sí. S e a n la s d ia g o n a le s q u e s e in t e r s e c a n e n
P Q - B Q , h a y n ú m e r o s p o s it i v o s x y 1 y
x- y=
0. P o r ta n to ,
x= y
= -j , y
Q com o
y t a le s
Q es
que
b =
s e m u e s tr a e n la fig u r a 3 9 . 1 1 . C o m o
x( a
b) -
+
y( a
-
b ) = (x -
y) a
+ (x +
PB = PQ + Q B =
y) b . E n t o n c e s , x + y :
e l p u n to m e d io d e c a d a d ia g o n a l.
C
A
Fig. 3 9 .1 1 5.
P a ra lo s v e c t o r e s
a)
P a ra
a = 3 i + 4 j y b = 2 i - j , d e t e r m in e la m a g n it u d y la d ir e c c ió n d e a ) a y b ; b ) a + b ; c ) b - a .
a = 3 i + 4 j : la l = ^ a l + a2 = sj3 2 + 4 2 = 5 ; t a n 0 = a 2/a1=^3 y c o s 0 = a 1/la l = -f ; e n t o n c e s , 0 e s u n
á n g u lo d e l p r im e r c u a d r a n te y e s 5 3 ° 8 ’ . P a ra
b
=2 i -
j : Ib l = V 4
+ 1 => / f;
ta n 0
=
- ±-y
cos0
= 2 / >/f ; 0 = 3 6 0 ° - 2 6 ° 3 4 ’ = 3 3 3 ° 2 6 ’ .
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------------- ^ 323^ + b = (3i +4j ) + (2i - j ) = 5i + 3j . Entonces, la + b l = V52 + 32 = >/34. Como tan0 = y cosfl =3 54, = 30° 58'. c) b - a = (2i - j ) - (3i +4j ) =- i - 5j . Entonces, Ib - a l =V26. Como tan 0= 5 y cos0 = -1/V26, 0 = 258° 41'. a
0
Demuestre que la mediana a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base (fig. 39-12, donde la l = Ib l).
Del problema 3,como m biseca la base, m =1 (a +b ) . Entonces, m • (b - a ) = y (a + b ) • (b - a) = 2 (a • b - a • a + b • b - b • a ) = -y (b • b - a • a) = 0
Por tanto, la mediana es perpendicular a la base. 7.
Si b es un vector no cero, descompón un vector a en componentes a 1 y a 2, paralelo y perpendicular, respectivamente, a b . En la figura 39.13 se tiene que a = a 1 + a 2, a 1 = cb y a 2 x b = 0. Por tanto, a 2 = a - a 1= a - cb . Además, a2
x b = (a - cb )x b =
a
a •b
x b - clb l2 = 0, donde c = ^
a i = cb =
El escalar a
8.
•
i^
b
y
a2= a -
2
cb
. Entonces, =a -
es la proyección escalar de a en b . El vector la •vjb-j
^
b
es la proyección vectorial de a en b .
Descomponga a =4i + 3j en las componentes a 1 y a 2, paralela y perpendicular, respectivamente, a Del problema 7, c =
= 12i+ 3 =■j. Entonces, ai = cb =^ +f. j
y a2 = a -
a 1 =-
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^ +f j
b
= 3i +j .
Vectores en un plano
6.
CAPÍTULO 39
b)
CAPÍTULO 39
9.
a
i j Por la propiedad 39.12, ax b= f1(u)i +f2(u)j) x (g1(u)i +g2(u)j) =
Vectores en un plano
j b
Si =f 1(u )i +/2(u) y =g1(u) +^2(u) , muestre que j u (a ' b) = j u ' b + a ' l u '
d (a . b)=f g + fd g L + f g d« ( du g1 f1 du du g2
1 +f g
- Entonces,
+ f dgi. f 2 du
=f # g +df2g l + í f ^ + f ^ y du g1 du g2) f du f2 dw =( "dur1+d r •>) (g1i+g 2j ) + + j )
- ( I t 1+| f j)
=d a .b +a .db du du
10. Si a=f1(u)i +f2(u)j es de magnitud constante diferente de cero, muestra que a •d a = 0 y, por tanto, cuando no es cero, ay son perpendiculares. du du Sea lal = c. Entonces, ax a= c2. Por el problema 9, ddu (a • a ) = ddua ' a + a ' dduT = 2 a ' dduT = 0 E n to n ce s ,
a •4 a = 0 .
du
11. D a d o r = ( c o s 2 0) i + ( s e n 2 0)j , p a r a 0 < 0 < n/2, h a lle t . P u e s t o q u e d c o s 20 = - 2 c o s 0 s e n 0 = - s e n 2 0 y -d|^ sen2 0 = 2 s e n 6 c o s 6 = se n
26,
la e c u a c ió n ( 3 9 .5 ) d a
= - (s e n 2 0 ) i + (sen 2 0 ) j
E n c o n s e c u e n c i a , p o r la e c u a c ió n (3 9 .6 )
ds dd
dr dd
d r dr V dd dd
p o r la p r o p ie d a d 3 9 .1 2 . E n t o n c e s ,
t _ d r _ d r dtì = ___L_ i +
ds dtì ds
^ 2
; V 2 J.
12. D a d o x = a c o s 3 0, y = a se n 3 0 , 0 < 0 < n /2, h a lle t y n c u a n d o 0 = k /4. S e t ie n e q u e
r = a ( c o s 3 0) i + a ( s e n 3 0)j . E n to n c e s , = - 3 a ( c o s 2 0 )(se n 0 ) i + 3 a ( s e n 2 0 ) ( c o s 0 ) j
y
=
= 3a s e n t ìc o s t ì
P o r tanto,
1= § = n
=-(costì)i+(sentì)j y § = ((sentì)i+(costì)j) f 1
1
3a c o s t ì I +
3 a sentì-*
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-^ 325^ CAPÍTULO 39
En 0 =
n/4, t = — ^ i-
72
i
72J
dt _ V2 i
7 2
di
3a
3a
;
jJ ^ i _
L dt i£I ds' 72
_
3a
72'
S e a n P ^ , y j y P 2(x 2, y 2) d o s p u n to s d is tin to s s o b r e la r e c ta . E n t o n c e s , a x j +
byj + c =
0 y ax2 +
by2 +
c =
0. A l r e s ta r la p r im e r a y la s e g u n d a s e o b t ie n e a(x2 - x j) + b(y2 - y j ) = 0
(1)
A h o ra a (x 2 - x j) +
b(y2 -
y j ) = ( a i + b j ) x [ f e - x j) i + (y 2 - y j) j ]
= P o r ( j ) , e l la d o iz q u ie r d o e s c e r o . E n t o n c e s ,
a x P jP 2
a e s p e r p e n d ic u la r (n o r m a l) a la re c ta .
14. U s e m é t o d o s v e c t o r ia le s p a r a h a lla r:
a)
L a e c u a c ió n d e la r e c t a q u e p a s a p o r P j (2 , 3) y e s p e r p e n d ic u la r a la r e c t a x + 2 y + 5 = 0.
b)
L a e c u a c ió n d e la r e c t a q u e p a s a p o r P j (2 , 3) y P 2(5 , - j .) . T o m e P ( x , y ) c o m o o tro p u n to e n la r e c t a re q u e r id a .
a)
(y - 3) j e s p a r a le la a s e o b t ie n e x - 2 = e q u iv a le n t e , 2 x b)
a = i + 2j e s n o r m a l a la r e c t a x + 2 y + 5 = 0. E n t o n c e s P jP = (x - 2 ) i + a s i (x - 2 ) i + ( y - 3) j = k( i + 2j ) p a r a a lg ú n k e s c a la r . A l ig u a la r lo s c o m p o n e n t e s
P o r e l p r o b le m a j 3 , e l v e c t o r
kyyy- j =
3 = 2k. S i s e e lim in a k , s e t ie n e la e c u a c ió n r e q u e r id a y - 3 = 2 ( x - 2 ), o e l 0.
S e t ie n e P jP = (x - 2 ) i + (y - 3) j y P jP 2 = 3 i - 4 j . A h o r a a = 4 i + 3 j e s p e r p e n d ic u la r a P jP 2 y , p o r ta n to , a P jP E n t o n c e s , 0 = a x P jP = (4 i + 3 j ) x [(x - 2 ) i + (y - 3) j ] y , d e fo r m a e q u iv a le n t e , 4 x + 3 y - j 7 = 0.
15. E m p le e m é t o d o s v e c t o r ia le s p a r a h a lla r la d is t a n c ia d e l p u n to P j (2 , 3 ) d e s d e la r e c t a 3 x + 4 y - j 2 = 0. a = 3 i + 4 j p e r p e n d ic u la r a la a x A P j = ia i IA P ji c o s 0 = ia id. P o r
E n u n p u n to c o n v e n ie n t e s o b r e la r e c t a , c o m o A ( 4 , 0 ), s e c o n s t r u y e e l v e c t o r r e c ta . L a d is t a n c ia r e q u e r id a e s
d = IA P ji c o s
0 e n la fig u r a 3 9 T 4 . A h o r a
ta n to ,
d_
a • A Pj _ (3 i + 4 j ) • (—2 i + 3 j ) _ —6 + j 2 _ 6 ia i 555
16. E l trabajo r e a liz a d o p o r u n a fu e r z a e x p r e s a d a c o m o v e c t o r b a l m o v e r u n o b je t o a lo la r g o d e l v e c t o r a se d e f in e c o m o e l p r o d u c t o d e m a g n it u d b e n la d ir e c c ió n d e a y la d is t a n c ia q u e s e d e s p la z ó e l o b je t o . H a lle e l tr a b a jo r e a liz a d o a l m o v e r u n o b je t o a lo la r g o d e l v e c t o r a = 3 i + 4 j s i la fu e r z a a p lic a d a e s b = 2 i + j . E l t r a b a jo r e a liz a d o e s ( m a g n it u d d e
b e n la d ir e c c ió n d e a ) x ( d is t a n c ia m o v id a ) = (i b ic o s 0) ia i = b x a = (2 i + j ) x (3 i + 4 j ) = !0
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Vectores en un plano
13. D e m u e s tr e q u e e l v e c t o r a = a i + b j e s p e r p e n d ic u la r a la r e c t a ax + by + c = 0.
Vectores en un plano
CAPÍTULO 39
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 17. ab c D a d o s lo s v e c t o r e s
18.
,
y
a
d e la fig u r a 3 9 .1 5 , c o n s tr u y a : a ) 2 ; b ) - 3
b a b a b ; c)
+ 2
; d)
+
- c; e)
a b c - 2
+ 3 .
D e m u e s tr e q u e la r e c t a q u e u n e lo s p u n to s m e d io s d e d o s la d o s d e u n tr iá n g u lo e s p a r a le la a la d e l t e r c e r la d o y e q u iv a le a la m ita d d e su lo n g it u d ( fig . 3 9 .1 6 ) .
19. a, b, c, d Si
s o n la d o s c o n s e c u t iv o s d e u n c u a d r ilá t e r o ( fig . 3 9 .1 7 ) , p r u e b e q u e
sean
P
Q dos
y
v é r t ic e s n o c o n s e c u t iv o s .) E x p r e s e
PQ
a b c d +
+
+
= 0
(Sugerencia:
d e d o s fo r m a s .
Fig. 3 9 .1 5
20.
D e m u e s tr e q u e si s e u n e n lo s p u n to s m e d io s d e lo s la d o s c o n s e c u t iv o s d e u n c u a d r ilá t e r o c u a lq u ie r a , e l c u a d r ilá t e r o r e s u lt a n t e e s u n p a r a le lo g r a m o ( fig . 3 9 .1 8 ) .
Fig. 3 9 .1 8
21.
a b
U s e la fig u r a 3 9 .1 9 , d o n d e l l = I l e s e l r a d io d e u n c ír c u lo y p r u e b e q u e e l á n g u lo in s c r it o e n u n s e m ic ír c u lo e s u n á n g u lo r e c to .
C
'
-a
p
Fig. 3 9 .1 9
22.
H a lle la lo n g it u d d e c a d a u n o d e lo s v e c t o r e s s ig u ie n t e s y e l á n g u lo q u e fo r m a n c o n e l e je b) -
i j +
; c)
i + yf3 j ; d ) i -
>/3j
Respuestas: a) >/2, Q= i n ; b ) ■J2, 6= ^ ;
c) 2,
Q=
; d) 2,
6= -y
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x
p o s itiv o :
a)
i j +
;
^ 327^
25. E scriba cada uno de los vectores siguientes en la form a a i + bj: a) b) c) d) e)
El vector El vector El vector El vector El vector
Respuestas:
que une el origen con P (2 , -3 ). que une P ¡(2, 3) a P 2(4, 2). que une P 2(4, 2) a P1(2, 3). unitario en la d irección de 3i+ 4j. con m agnitud 6 y d irección 120°.
a ) 2i - 3j; b) 2i - j ; c) - 2 i + j; d) i + f j ; e) - 3 i + 3\¡3 j
26. A plique m étodos vectoriales p ara d educir la fórm ula de la d istancia entre P j(x j, y j y P 2(x 2, y 2).
27. D ados 0 ( 0 , 0), A(3, 1) y B (1, 5) com o vértices del paralelogram o OAPB, h alle las coordenadas de P.
Respuesta:
(4, 6)
28. a ) D eterm ine k de form a que a = 3i + 2j y b = i + kj sean perpendiculares. b) E scriba un vector perpendicular a a = 2i + 5j.
29. D em uestre las propiedades (39.8) a (39.15).
30. D eterm ine la proyección vectorial y la p royección escalar de b en a, dado: a ) a = i - 2j y b = - 3 i + j; b) a = 2i + 3j y b = 10i + 2j.
Respuestas:
a) - i + 2j, - ^ 5 ; b) 4 i + 6j, 2 V U
31. D em uestre que tres vectores a , b , c, después de desplazam ientos paralelos, form arán un triángulo siem pre que: a ) uno de ellos sea la sum a de los otros dos, o b ) a + b + c = 0 .
32. Pruebe que a = 3i - 6j, b = 4 i + 2j y c = - 7 i + 4 j son los lados de un triángulo rectángulo. C om pruebe que: el punto m edio de la hipotenusa equidista de los vértices.
33. H alle el vector unitario tangente t = dr/ds, dado: a ) r = 4i cos 0 + 4 j sen 0 ; b) r = e0i + e-ej; c) r = 0i + 0 2j.
Respuestas:
a ) - i sen 0 + j cos 0; b)
e fli -
e
flj , c) i + 2 6 j
-J e20 + e -2e ;
V I+ 4 02
34. a ) D eterm ine n para la curva del problem a 33a); b) calcule n p ara la curva del problem a 33c); c) encuentre t y n dadas x = cos 0 + 0 sen 0 y y = sen 0 - 0 cos 0.
Respuestas: a) = i
cos 0 - j sen 0; b)
- 26
VT+ 4 0 2"
i ,
1 VT+ 4 0 2
j ; c) t = i cos 0 + j sen 0 , n = - i sen 0 + j cos 0
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Vectores en un plano
24. A plique la ley de los cosenos en triángulos p ara obtener a • b = Ialibi cos 6 = y (ia l 2 + ib!2 - Icl2).
CAPÍTULO 39
23. D em uestre que si se obtiene u al girar el vector unitario i en sentido contrario al de las m anecillas del reloj en torno del origen hasta el ángulo 0, entonces u = i cos 0 + j sen 0.
Movimiento curvilíneo
Velocidad en el movimiento curvilíneo Considere un punto P (x , y ) que se mueve a lo largo de una curva con las ecuaciones x =f (t) y y = g (t), donde t es el tiempo. A l derivar el vector de posición se obtiene r = xi + yj
(40.1)
dr dx, dy. V = d = d 1+d j = ^x1+Vyj
(40.2)
respecto a t, se obtiene el vector velocidad
dx
v=
dy
=d • La magnitud de vse denomina rapidez y está dada por |v|=yj v-v =,Jív2 +v2=ddst La dirección de ven P está en la tangente a la curva en P, como se muestra en la figura 40.1. Si r representa la dirección de v(el ángulo entre vy el eje x positivo), entonces tan r= v y/ vx, y el cuadrante es determinado por vx = |v|cos r y v y = |v| sen r.
donde x d t y v y
y
Fig. 4 0 .1
Aceleración en el movimiento curvilíneo A l derivar (40.2) respecto a t se obtiene el vector de aceleración: d
v
dt
d2
d 2x
.
d t2
r
W
1 + d 2 J - axl + a yj
d 2y
^ 328^ -
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(40.3)
-^ 329^ CAPÍTULO 40
yagnituddeaseobtienecon dondeax =yday2x =-^2 •Lda2m
y
X
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Porlaecuación(39.7),
v=dr =dr di =t ds ~ dt ~ ds d t ~
Entonces,
(40.4)
dt
= d v= d 2s d t ds = d 2s d t í ds a= dt = dt2+dt dt = d t 2+dsl dt 2
=‘d s +K'níÍ
2
(40.5)
por(39.8). Laecuación(40.5)descomponeel vectoraceleraciónenP alolargodelosvectorestangenteynormal. Las componentessellamana1yan, respectivamente, yparasusmagnitudessetieneque , , 1 í ds \2 IvI2 d 2s Ia I= d t 2 y Ianl =R I dt ) = R dondeR eselradiodecurvaturadelacurvaP (fig. 40.3). Envirtuddequelal2=a2+a~y2ut=Ta2 a 2tun+ an, seobtiene ’ a2 a2=IaI2- a2 comosegundaformadedeterminar\an\.
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Movimiento curvilíneo
Ladirección0deaestádadaportan^=ay/ax,yel cuadranteesdeterminadoporax =|a| cos0yay =|a| sen0 (fig. 40.2).
CAPÍTULO 40
M ovim iento curvilíneo
Fig. 4 0 .3
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
A n a lic e e l m o v im ie n to d e s c r ito p o r la s e c u a c io n e s
x
2 n t, y = 3 a) t = £ ;
= cos
2 n t. t = -f .
sen
d ir e c c ió n d e lo s v e c to r e s d e v e lo c id a d y a c e le r a c ió n c u a n d o
b)
E l m o v im ie n to e s a lo la r g o d e la e l ip s e 9 x2 + y 2 = 9 . C o m e n z a n d o (e n
t
D e te r m in e la m a g n itu d y la
= 0 ) e n (1 , 0 ), e l p u n to e n
m o v im ie n to r e c o r r e la c u r v a e n s e n tid o c o n tr a r io a l d e la s m a n e c illa s d e l re lo j:
r = x i + yj = v= a
a)
En
t
d
=
r
(co s
2nt) i +
= v Xi + v yj = = a
xi + a yj v
= -1:
ta n
(2 ^ sen 2
n t ) i + (6 n
= - ( 4 ^ 2c o s 2 ^ t)i
cos
2n t ) j
-
( 1 2 ^ 2s e n 2 ^ t ) j
y
a
= - 2 ^ 2i - 6 > / 3 ^ 2j
V v T = V (- ^ n
)2
= -y ¡ fn i + 3 ^
|vi =
2 n t) j
(3 sen
T= y
=-^
j
co sT
+
(3 n )2
=-p Vx r = -
= 2 y/3 n
2
L u e g o , T = 1 20°.
ia i = >/a “ a = y¡(- 2n 2)2 + (- 6>/3n2)2 =4 -J lri2 tanrn= — = 3^3, co sffl= * ax 'a |
=-------\= 2^7
E n to n c e s , 0 = 2 5 9 ° 6 ’. b)
v
E n t = i2:
=2n 2i +6s¡3 n 2j tanr =->/3cosT =-j
= V 3fli - 3^j
=
iv i 2 j3 n ,
y a
5^
P o r ta n to , T = 4 ^ .
ia i = 4 y [ l n 2, tan^ = 3>/3, cos^ =
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2-Jl
-^ 331^ CAPÍTULO 40
Entonces, 0 = 79° 6'.
Movimiento curvilíneo
x
Fig. 4 0 .4
U n p u n to r e c o r r e e n s e n tid o c o n tr a r io a l d e la s m a n e c illa s d e l r e lo j e l c ír c u lo x 2 +
a
H a lle T, | |, y 0 en :
a)
y2=
6 2 5 a v e l o c id a d
|v
| = 15.
e l p u n to (2 0 , 1 5 ) y b ) e l p u n to ( 5 , - 1 0 \ / 6 ) . A p o y e su la b o r e n la fig u r a 4 0 .4 .
A l u t iliz a r la s e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s x = 2 5 c o s 0 y y = 2 5 s e n 0 s e tie n e q u e e n
r = ( 2 5 c o s 0 ) i + (2 5 sen
P(x, y):
6 )j
v = d f = [ ( - 2 5 sen 0 ) i + ( 2 5 c o s 0 ) j ] ^
=(-15
s e n 0 ) i + 1 5 c o s 0 )j
a = dVV = [(“ 1 5 c o s 0 ) i - ( 1 5 s e n 0 ) j ] d | = ( - 9 c o s 0 ) i - (9 sen 0 ) j ya que a)
|v|
E n e l p u n to (2 0 , 1 5 ) ,
senfl =
v = - 9 i +12j ,
3 5.
= - f ,
la l = 9,
cosT
= -y.
ta n ^ = f ,
x=
E n to n c e s
cos
y.
12 6 o 5 2 '
E n to n c e s
(p= 2 1 6 o 5 2 '
E n e l p u n to (5, - 1 0 > / ó ) , s e n # = — 2 >/6 y c o s 0 = y . L u e g o ,
v = 6Vó i + 3j , a =
3.
=
f y c o s # = y . A s í,
ta n r
a = - 3r i - f j , b)
ddÑL
= 1 5 e q u iv a le a u n a r a p id e z a n g u la r c o n s t a n t e d e
-9
ta n T =
i + 1 8 V 6 j,
Vó /12 ,
la l = 9 ,
cosx
= y-v/ó.
ta n ^ = -2 V ó ,
E n to n c e s
c o s (p = - y .
t=
11o 3 2 '
E n to n c e s (p=1 0 1 0 3 2 '
Una partícula se mueve sobre el arco del primer cuadrante de x2 = 8y de manera que vy = 2. Halle |v | , T, |a | y 0 en el punto (4, 2). Al utilizar las ecuaciones paramétricas x = 40, y = 202, se tiene que r = 4 ei + 2 e 2j
y
d e .i + 4 ^>d d j.
v = 4^
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dt
CAPÍTULO 40
Como v = 4 d d r = 2 y y
dt
J dt
20
M ovim iento curvilíneo
se obtiene v = -§ i + 2j
y
a ~
>
En el punto (4, 2), Q = 1. Entonces, v = 2 i + 2j , a = -i,
Iv l = 2 >/2,
la l = 1,
ta n T = 1,
ta n ^ = 0,
co s T = -2 ^ 2.
Por tanto, x = \ n
c o s ^ = - 1. Por ende y = K
Determine las magnitudes de las componentes tangencial y normal de aceleración para el movimiento cos t y y = e t sen t en cualquier instante t .
x
= e‘
Se tiene: r = x i + y j = ( e t cos t) i + (e t sen t)j v = e t (cos t - sen t) i + e t (sen t + cos t)j a = - 2 e t (sen t)i + 2 e t (cos t)j
Entonces, |a | = 2et. También,= Ivl = 'I 2 et y Iat I = dt
dt
= ^¡2é . Finalmente,
Ian I = ^ Ia I2 - a 2t = y f í e t
Una partícula se desplaza de izquierda a derecha a lo largo de la parábola y = x 2 con rapidez constante 5. Determine la magnitud de las componentes tangencial y normal de la aceleración en (1, 1). d 2s Como la rapidez es constante Iat I = d t2 = 0 . En (1, 1), y' = 2x = 2 y y" = 2. El radio de curvatura en (1, 1) (1 + (y 0 2)3/2 = 5n/5 es, entonces, R = Iy " I 2 Por tanto, IanI = IR^ = 2>/5 . 6 . La fuerza centrífuga F (en libras) ejercida por una partícula en movimiento de peso W (en libras) en un punto
de su trayectoria está dada por la ecuación F = W lanI. Halle la fuerza centrífuga ejercida por una partícula que pesa 5 libras en los extremos de los ejes mayor y menor cuando realiza la trayectoria elíptica x = 20 cos t , y = 15 sen t , con medidas en pies y segundos. Sea g = 32 pies/s2.
En este caso se tiene: r = (20 cos t)i + (15 sen t)j v = (-20 sen t)i + (15 cos t)j a = -20(cos t)i - 15(sen t)j
Entonces, %1 , = — I 1v t 1I = — V -400sen21 r \\ o v il i + 1 225 w cos21 ¡3 i j j
dt
yy
, o
d
=
—
175sen t cos 1
1-------------------------------------------------------
>/400 se n 21 + 2 2 5 c o s 21
En los extremos del eje mayor ( t = 0 o t = K): Ia I = 20 ,
Ia. I =
d 2s = 0, dt 2
IanI = >/202 - 02= 20
y
F = ¡52(20) = f libras
/ n 3n \ En los extremos del eje menor 11 = - f o t = - f ): |a| = 15, |at|= 0,
|an| =
15 y F = -32(15) =
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^
libras
-^ 333^
y
x
a) Se despeja en la primera ecuación t = v cos y y se sustituye en la segunda: y = v0— x— s e n y - 1 g \ — x— | = x ta n w - 2gx 2— 7 0 v0c o s y r 26 l v0c o s y ) r 2 v jc o s2^ b) Se despeja t en y = v01 sen y —y g t2 = 0 y se tiene t = 0 y t = (2v0 sen y)/g. Para la última, se obtiene
Rango = x = v0c o s y
, ■
^ ^
dx
2v0se n y
v^sen 2 y
g
g
2v 2 co s2 w , = — ^~ g ------- = 0 ; p or tanto, cos 2 y = 0 y y = -4 ^ .
c)
Para que x sea un m áxim o,
d)
Para v0 = 500 y y = -j -n , x = 250>/2t y y = 250 \¡ 2t —16t2 . Entonces, vx = 250>/2
y
v y = 2 5 0 7 2 —3 2 t
C uando t = 5, vx = 2 5 0 7 2 y v y = 2 5 0 7 2 —160 . L uego, ta n T = vy = 0.5475 . E ntonces, t = 28° 4 2 ' y Iv l = ^ v ^ + vy; = 403 p ie s/s
8.
Un punto P se mueve en un círculo x = r cos f5, y = r sen ¡i, con rapidez constante v. Demuestre que si el radio vector de P se mueve con velocidad angular (Oy aceleración angular a , a) v = rw, y b) a = r7ffl4 + a 2 . a) vx = - rs e n ^ d d ^ = -r© senj3 Entonces,
y vy = r cosfi ^
= r n c o s fi
v = -\¡v 2 + vy2 = 7 ( r 2sen2 + r 2 cos2 fi ) a 2 = r®
b) a x = d L=_ r® c o s ^ d d f _ r senf i d - = ~ r a 2 cos p ~ r a senfi dv , dp ay = ~djtL = ~ m senf i d r + r cosfí d - = - m 2 sen¡i+ r a cos
Luego,
a = ^ a 2x+ aj = 7 r 2(ffl4+a2) = r7 ffl4+a 2
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Movimiento curvilíneo
Sean las ecuaciones del movimiento de un proyectil x = v0t cos y , y = v 0t sen y —j g t2, donde v0 es la velocidad inicial, y es el ángulo de proyección, g = 32 pies/s2, y x y y están medidos en pies y t en segundos. Determine a) la ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares; b) el rango; c) el ángulo de proyección para el rango máximo, y d) la rapidez y la dirección del proyectil después de 5 segundos de vuelo si v0 = 500 pies/s y ¥ = 45° (fig. 40.5).
CAPÍTULO 40
7.
CAPÍTULO 40
M ovim iento curvilíneo
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 9.
D eterm ine la m agnitud y la d irección de la velocidad y la aceleración en el instante t, dados: a ) x = e', y = e2t - 4 e t + 3; en t =
0
R espuesta: a ) i vi _ -v/5, T = 296° 34'; |a| = 1, 0 = 0
b) x = 2 - t, y = 2t3 - t; en t = 1
R espuesta:
b ) ivi _ > /2 6 , T = 101° 19'; |a | = 12,
c) x = cos 3t, y = sen t; en t _
R espuesta:
c ) i v i _ >/5, T = 161° 34'; ia i_ -\/4 l, 0 =
R espuesta:
d ) i vi _ V 2, X = -j ^ ; |a |= 2,
d)
x = e ' cos t,
y=
e ' sen t; en t = 0
-j K 353° 4 0 '
y
10. U na partícula se m ueve sobre el arco del p rim er cuadrante de la paráb o la y 2 = 12x con vx = 15. H alle vy, |v| y % y a x, a y, |a|, y 0 en (3, 6 ). R espuesta: vy = 15, i vi _ 15>/2 , x = -j n ; a x = 0, a y = -7 5 /2 , |a | = 75/2, 0 = 3 ^ /2
11.
U na partícula se m ueve a lo largo de la curva y = x3/3 con vx = 2 en todo m om ento. H alle la m agnitud y la dirección de la velocidad y la aceleración cuando x = 3. R espuesta:
12.
ivi _ 2>/82, t = 83° 4 0 ’; |a| = 24, q = - j n
U na partícula se m ueve alrededor de un círculo de 6 pies de radio a una rapidez constante de 4 pies/s. D eterm ine la m agnitud de su aceleración en cualquier posición. R espuesta:
\a\ = 0, |a| = |a n| = 8/3 p ies/s 2
13. D eterm ine la m agnitud y la d irección de la velocidad y la aceleración, así com o las m agnitudes de las com ponentes tangencial y norm al de aceleración en el instante t, p ara el m ovim iento: a) x = 3t, y = 9 t - 3t2; en t = 2 b) x = cos t + t sen t, y = sen t - t cos t; en t = j R espuestas: a ) ivi _ 3>/2 , t = 7 ^ /4 ; |a| = 6 , 0 = 3 ^ /2 ; iat I _ ian I_ 3 V 2 ; b) |v| = i, t = i; iai ^ 7 2 , 0 = 102°18’;
\a \
= |a„| = j
14. U na partícula se m ueve a lo largo de la curva y _ -j-x2 —-4 de m anera que x _ - j t 2, para t > 0. H alle vx, vy, |v| y T, a x, a y, |a| y 0 ; |at| y |a„| cuando t = 1 . R espuesta:
vx = 1, vy = 0, |v| = 1, T = 0; ax = 1, a y = 2, iai _ ->/5, 0 = 63°26’; |a t| = 1, |a n| = 2
15. U na partícula se m ueve a lo largo de y = 2x - x 2 con v x = 4 en todo m om ento. C alcule las m agnitudes de las com ponentes tangencial y norm al de aceleración en la posició n a ) ( 1 , 1 ) y b) ( 2 , 0). R espuestas: a ) |a t| = 0, |a n| = 32; b) ia ti _ 64 / -\/5, i a ni _ 32\/5
16. Si una partícula se m ueve en un círculo de acuerdo con las ecuaciones x = r cos w r , y = r sen w r , dem uestre que su rapidez es rar.
17.
D e m u e s tr e q u e si u n a p a r t íc u la s e m u e v e c o n r a p id e z c o n s t a n t e , e n t o n c e s su s v e c t o r e s v e l o c id a d y a c e le r a c ió n s o n p e r p e n d ic u la r e s y r e c íp r o c a m e n t e p r u e b e q u e si su s v e c t o r e s v e lo c id a d y a c e le r a c ió n s o n p e r p e n d ic u la r e s , e n t o n c e s su r a p id e z e s c o n s ta n te .
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Coordenadas polares La posición de un punto P en un plano puede describirse por sus coordenadas (x, y) respecto de un sistema de coordenadas rectangulares. Su posición también puede determinarse al seleccionar un punto fijo O, especifi cando la distancia dirigida p = OP y el ángulo 0 que forma OP con una semirrecta fija OX (fig. 41.1). Éste es el sistema de coordenadas polares. El punto O se denomina polo y OX, eje polar.
Fig. 4 1 .1
A cada par de números (p , 0) le corresponde un punto único. Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, (1, 0) y (1, 2p describe el mismo punto en el eje polar y a una distancia 1 del polo. Ese mismo punto también co rresponde a (-1, p ). [Cuando p es negativo, el punto correspondiente a (p , 0) se obtiene de esta forma: el eje polar OX se gira 0 radianes (en sentido contrario al de las manecillas del reloj si 0 es positivo, y en el sentido de las manecillas si 0 es negativo) hasta una nueva posición OX' y luego se mueve lp unidades en la semirrecta opuesta a OX'.] En general, un punto P con coordenadas polares (p , 0 ) también puede describirse por (p , 0 ± 2n P ) y (-p , 0 + (2n + 1)p ), donde n es cualquier entero no negativo. Además, el polo mismo corresponde a (0, 0), con 0 arbitrario. EJEMPLO 4 1 .1 .
E n la f ig u r a 4 1 . 2 s e m u e s tr a n v a r io s p u n to s y s u s c o o r d e n a d a s p o la r e s . O b s e r v e q u e la s c o o r d e
n a d a s p o la r e s d e l p u n to
C so n
^ 1 , J.
Una ecuación p o la r de la forma p =f ( 0) o F( p , 0) = 0 determina una curva, que consta de todos los puntos que corresponden a los pares (p , 0) que satisfacen la ecuación. Por ejemplo, la ecuación p = 2 determina el círculo con centro en el polo y radio 2. La ecuación p = -2 determina el mismo conjunto de puntos. En general,
f)
( 1, 0 )
Fig. 4 1 .2
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«
35j
CAPÍTULO 41
Coordenadas polares
una ecuación p = c, donde c es una constante, determ ina el círculo con centro en el polo y radio lcl. U n a ecu a ción 0 = c designa la recta que pasa p o r el polo y que se obtiene al girar el eje polar c radianes. Por ejem plo, 0 = n/2 es la recta que p asa p o r el polo y es perpendicular al eje polar.
Coordenadas polares y rectangulares D ados el polo y el eje polar, se establece un sistem a de coordenadas rectangulares donde el eje polar es el eje
x positivo y el eje y es perpendicular al eje x en el polo (fig. 41.3). A sí, el polo se halla en el origen del sistem a rectangular. Si un punto P tiene coordenadas rectangulares (x, y) y coordenadas polares (p, 0), entonces, x = p cos 0 y y = p sen 0
(41.1)
E stas ecuaciones im plican p = x2 + y2 y ta n # = ^
(41.2)
EJEMPLO 4 1 .2 . Considérese la curva polar p = cos 0. Al multiplicar por p se obtiene p 2=p cos 0. Por tanto, x2 +y2 =x se cumple para las coordenadas rectangulares de los puntos sobre la curva. Ello equivale a x2 - x +y2 = 0, y al completar el cuadrado respecto a x se obtiene (x - y)2+y2= í" . Por consiguiente, la curva es el círculo con centro en (-j,0) y radio 2 Nótese que cuando 0 varía de 0 a n/2, el semicírculo superior se traza de (1, 0) a (0, 0), y luego cuando 0 varía de 7T a n el semicírculo inferior se dibuja de (0, 0) de vuelta a (1, 0). Todo este trayecto se traza una vez más cuando 0 varía de p a 2p . Como cos 0 tiene un periodo de 2p , se ha descrito completamente la curva. EJEMPLO 4 1 .3 . Considérese la parábola y = x2. En coordenadas polares, se obtiene p sen 0 = p 2 cos2 0 y, por consiguiente, p = tan 0 sec 0, que es una ecuación polar de la parábola.
Algunas curvas polares típicas a)
C ardioide: p = 1 + sen 0 (fig. 41.4a).
b)
C aracol: p = 1 + 2 cos 0 (fig. 41.4 b).
c)
R osa con tres pétalos: p = cos 3 0 (fig. 41.4c).
d)
Lem niscata: p 2 = cos 2 0 (fig. 41.4d).
E n un punto P sobre una curva polar, el ángulo y que va del radio vector O P a la tangente P T a la curva (fig. 41.5) se calcula con la fórmula: dd Xa n V = P-d~p= J ' , donde
p. dp p =
/ a-t (4 1 3 )
P ara ver una dem ostración de esta fórm ula, véase el problem a 1. L a tangente y es m uy im portante en las coordenadas polares, sim ilar a la de la pendiente de la tangente en las coordenadas rectangulares.
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CAPÍTULO 41
4337^
Coordenadas polares
(d) Fig. 4 1 .4
Angulo de inclinación E l ángulo de inclinación t de la tangente a una curva en un punto P (p , 9) de ésta se encuentra dado por: tan
t
p c o s 6 + p ' sen # = — ------ --------------77 - p s e n ö + p ' cosö
. . . .. (41.4)
Para leer una dem ostración de esta ecuación véase el problem a 4.
Puntos de intersección A lgunos o todos los puntos de intersección de dos curvas polares p = f 1(9) y p = f 2(9) (o ecuaciones equivalentes) pueden hallarse despejando
m
=¡2(9)
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(41.5)
CAPÍTULO 41
Coordenadas polares
Fig. 41.5 Determine los puntos de intersección de p = 1 + sen 0 y p = 5 - 3 sen 0. Al hacer 1 + sen 0 =5 - 3 sen 0 se obtiene sen 0 = 1. Entonces, p = 2 y 8 = - j . El único punto de intersección es ^ . Nótese que no es necesario indicar el número infinito de los otros pares que designan el mismo punto. Como un punto puede representarse por más de un par de coordenadas polares, la intersección de dos curvas puede contener puntos para los cuales ningún par de coordenadas polares satisfaga (41.5). EJEMPLO 4 1 .4 .
Determine los puntos de intersección de p = 2 sen 2 0 y p = 1. La solución de la ecuación 2 sen 20 = 1 es sen 28 = -j y, por tanto, dentro de [0, 2p ), 8 = f | , -ff , 1f2L, t í t Se han hallado cuatro puntos de intersección: (1, U), (1, -ff), (1, i 3?) y (1, ^y). Pero el círculo p = 1 también puede represen tarse como p = -1. Ahora, despejando 2 sen 20 = -1 se obtiene sen 28 = --f , por lo que 8 = f§, ffr, f f y 2^. Así, se obtienen cuatro puntos más de intersección (-1, ^f), (-1, f f r), (-1, -fr) y (-1, i^). Cuando el polo es un punto de intersección, puede no aparecer entre las soluciones de (41.5). El polo es un punto de intersección cuando existe 0 y 02 tal que/ 1(01) = 0 =f 2(02). EJEMPLO 4 1 .5 .
Determine los puntos de intersección de p = sen 0 y p = cos 0. De la ecuación sen 0 = cos 0 se obtienen los puntos de intersección l^ , n ) y (-j^,5^. Sin embargo, ambas curvas contienen el polo. En p = sen 0, el polo tiene coordenadas (0, 0), mientras que en p = cos 0, el polo tiene coordenadas (0, -j). EJEMPLO 4 1 .6 .
Determine los puntos de intersección de p = cos 20 y p = cos 0. De la ecuación cos 20 = cos 0 y observando que cos 20 = 2 cos20 - 1 se obtiene 2 cos2 0 - cos 0 - 1 = 0 y, por consiguiente, (cos 0 - 1)(2 cos 0 + 1) =0. Así, cos 0 = 1 o cos 8 = -y. Luego, 0 =0, ^f, ^, lo que resulta en los puntos de intersección (1, 0), (- 2 ,2^) y (- -2 ,4^). Pero el polo también es un punto de intersección, que aparece cuando EJEMPLO 4 1 .7 .
(0, -j) en p = cos 20 y cuando (0, ^ ) en p = cos 0.
Ángulo de intersección El ángulo de intersección, f, de dos curvas en un punto común P(p, 0) que no sea el polo está dado por tan - tan y/ 2 tan^= (41.6) 1+tan tan ^2 donde y y y2 son los ángulos que van desde el radio vector OP hasta las rectas tangentes respectivas de las curvas en P (fig. 41.6). E sta fórm ula proviene de la identidad trigonom étrica para tan ( y - y ) , ya que f = y - y2. C2
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-^ 339^ CAPÍTULO 41
Determine los ángulos (agudos) de intersección de p = cos 2 0 y p = cos 0. Los puntos de intersección se hallaron en el ejemplo 7. También se necesita tan y y tan y2. Para p = cos 0, con la fórmula (41.3) se obtiene tan y = -c o t 0. Para p = cos 20, la fórmula (41.3) resulta en tan y 2 = - -jc o t2 0 . EJEMPLO 4 1 .8 .
En el punto (1, 0), tan y = -c o t 0 = ^ y de igual forma, tan y 2 = ^ . Entonces y 1 = y 2 = -2- y, por tanto, f = ^ " ^ j , ta n y 1 = "^^g3- y ta n y 2 = —^6 ". Entonces, por (41.6),
ta n ^ -
(V3/3) + (a/3 /6 ) T^(I76)
3 ^ " T "
y, por consiguiente, el ángulo agudo de intersección f = 46° 6 '. Por simetría, éste también es el ángulo agudo de intersección en el punto
1 , -4^ J .
En el polo, en p = cos 0, el polo está dado por Q = n . En p = cos 20, el polo está dado por 0 = -? y 0 = “ T" Así, 2 K en el polo hay dos intersecciones y el ángulo agudo es de -4 en ambas.
La derivada de la longitud de arco La derivada de la longitud de arco está dada por % donde p diente.
=> = +P
(41.7)
, dp dQ y se entiende que s aumenta con 0. En el problema 20 se presenta la demostración correspon
=
Curvatura La curvatura de una curva polar está dada por K
p 2 +2 (p ' ) 2 - p p " [ p 2 +(p ' ) 2]372
(41.8)
En el problema 17 se presenta la demostración respectiva.
|PROBLEMAS RESUELTOS Deduzca la fórmula (41.3): ta n y =
| =
donde p ' d ^ .
En la figura 41.7, Q (p + Ap, 0 + A0) es un punto en la curva próximo a P. Con base en el triángulo rectángulo PSQ, „ sen A0 psen A0 _ psen A0 _ SP A0 tan A = S P = SQ OQ - OS p + A p - p co s A0 p(1 - cos A0) + Ap 1 - cos A0 AP p A0 " A0 Cuando Q ^ P a lo largo de la curva, A 0 ^ 0, OQ ^ OP, PQ ^ P F y Z Ä ^ A y .
Fig. 4 1 .7
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Coordenadas polares
En el punto
0.
CAPÍTULO 41
Cuando AO ^ 0,
A0
Coordenadas polares
^ 1 y 1 T i?A d ^ 0. Entonces, Ae
tanw , ^Idd , n = ^p 4drpr = Alím fl^otan2= dp En los problemas 2 y 3 use la fórmula (41.3) para determinar tan y para la curva dada en el punto indicado.
2.
p
= 2 + cos En
0=
6 en
y ,
0 = y
p = 2+
( fig . 4 1 .8 ) .
-2 = f ,
p ' = - sen d = - ^ 3 -
y
tan^
=
=~ ^
y
Fig. 4 1 .8
3.
p
= 2 sen 3 6 en 0 = y En 0
= -|, p= 2 - ^
( fig . 4 1 .9 ) . =
V 2 , p ’ = 6 cos3 0
=
6
j
=
- 3 >/2
y ta n ^ = - ^ =
y
4.
p c o s d + p ' sen0 Compruebe la fórmula (41.4): tan T = -p se n 0 + pcosd De la figura 41.7, t = y + 0 y tanw + tan0 tanT = tan(^ + 0) = 1 - t a n ^ t a n 0 :
pcos0 +
sen0
-d ^ -c o s 0 -p s e n 0 5.
dp
cos0 dd sen0 1- P d p cos0
p c o s 0 + p ' sen0 - p s e n 0 + p ' cos0
Demuestre que si p = f(O) pasa por el polo y O1 es tal que f(O 1) = 0, entonces la dirección de la tangente a la curva en el polo (0, O1) es O1 (fig. 41.10). En (0, O1), p = 0, y p = f ( O x). Si p * 0 ta n T =
p c o s 0 + p 'sen 0 _ 0 + / '( 0 1)sen 0 1 _ . - p s e n 0 +p' co s0 0 + f (01)co s0 1 an 1
Si p = 0 ,
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-^ 341^ CAPÍTULO 41
tanT = lím = tan0j A^fl1f (0)cos0 1 y
Coordenadas polares
Fig. 4 1 .1 0 En los problemas 6 a 8, determine la pendiente de la curva indicada en el punto dado.
6.
p = 1 -co s 9 en 0 = ^ (fig. 41.11)
En 0 = f , sen
9=
1,
cos
9=
0,
p
p '=
= 1,
sen
9=
1
y
tan, La^ 7.
pcosd + p ' sen 0 = 1■ 0 +1 •1 = , -psen0+p'cos0 -1 •1+1 •0 1
p = cos 3 9 en el polo (fig. 41.12). Cuando p = 0, cos 3 9 = 0. Entonces 30 = -y, 3 ^-, ^
2’ 2 ’ 2
y 0 = 4-, -y, 5^-. Por el problema 5, tan T = 1A/3 , ^ y
6’ 2’ 6
y
Fig. 4 1 .1 2
8.
pQ = a en 0 = -^.
En 0 = -?-, 2 , cos0 = y, p = — y p = —S r = ~92. Entonces, 3 sen0= = 2 2 K n J^ 02^2 ta n T =
pcos0 +p'sen0 _ -psen0+p' cosö "
3^/3 y¡3n + 3
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CAPÍTULO 41
9.
Coordenadas polares
Investigue p = 1 + sen 0 para las tangentes horizontales y verticales (fig. 41.13).
En P(p, 0): anT
_ (1 + senQ)cosQ + cosQsenQ _ —(1+ senQ)senQ + cos2 Q
cosQ(T + 2senQ) (senQ + l)(2 sen Q —1)
Se establece cos 0(1 + 2 sen 0) = 0 y al resolver para (despejar) x se obtiene Q = ^|-, 3 ^ , 7^- y Tjp". 3 7Z K 5 7Z También se establece (sen 0 + 1)(2 sen 0 - 1) = 0 y al despejar se obtiene 6 = - ^ , -g- y —^-. Tt TT Para 6 = ^ existe una tangente horizontal en (2, -y). Para 6 = 7 ^ y TT^- hay tangentes horizontales en | j , Para 0 = -6 y 5 ^ hay tangentes verticales en | 2 ,
y | 2 , j p J.
J y |2 ,
3K Para Q = - ^ , por el problema 5, existe una tangente vertical en el polo.
10. Demuestre que el ángulo que forma el radio vector a cualquier punto de la cardioide p = a ( l - cos 0) con la curva, es la mitad del que forma el radio vector con el eje polar. En cualquier punto P (p, 0) sobre la cardioide p = a sen
0
tan f .
y
Entonces, y = y Q . En los problemas 11 a 13, determine los ángulos de intersección del par de curvas dadas.
11. p = 3 cos 0, p = 1 + cos 0 (fig. 41.14).
Fig. 4 1 .1 4
Al despejar 3 cos 0 = 1 + cos 0 para los puntos de intersección se obtiene (3 , -^ ) y (3 , 5F ). Las curvas también se intersecan en el polo. U 3 ' U ^ Para p = 3 cos 0 : p ' = -3 sen 0
y
tan yj = -c o t 0
Para p = 1 + cos 0: p ' = -sen 0
y
ta n y 2= _ T ^ e n ir^
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-^ 343^
simetría, en | 3 ,
, -33J y, por
es ^6.
12. p = sec2y 0, p = 3csc2y 0 .
Al despejar sec2^ 0 = 3 cosec2-j 0 para los puntos de intersección, se obtiene 14 , j y 14 , 4 r \ . Para p = s e c 2y 0 : Para p = 3 c o s e c 2y En 0 =
= s e c 2 -j 0 t a n y
p' 0
:
p'
=
-
3cosec
tan y = 1/^/3 , tan^ 2 = -\¡ 3 y
son ortogonales en
6
y y
0
2- j 0
c o t "20
= c o t -20
ta n y ta n y
2=
- ta n
20
-2 ^ , las curvas son ortogonales. De igual forma, las curvas
= -3-.
13. p = sen 26, p = cos 6*(fig. 41.15).
Las curvas se intersecan en los puntos l ^ r , Para p = sen 2 # Para p = cos 6
p ' = 2 cos 2 6 p ' = -se n 6
En 0 = -6 tan y í" ^ ,
) es
J y(-" 2 , y y
y el polo.
tan y = y ta n 2 0 tan y 2 = - cot 6
= >/3 / 2 , tan y 2 = —V3 y tan q\= - 3 \Í 3 . El ángulo agudo de intersección en el punto
tan-^ ^ = 79o6 '. De igual forma, en 0 = tan y = - ^ 3 / 2 , ta n y 2 = >/3 y el ángulo de
intersección es tan— 13 y¡3 . En el polo, los ángulos de intersección son 0 y -^. y
Fig. 4 1 .1 5 di
En los problemas 14 a 16, determine d g en el punto P(p, 6). 14. p = cos 26
p ' = - 2 sen 20 y d ^ = ^ P 2 + (P ')2 = Vcos2 20 + 4sen2 20 = -\/1 + 3sen2 20 15. p(1 + cos 6) = 4
Derivando se obtiene - p sen p =
P
6
+ p'(1 + cos 6) = 0. Entonces,
p sen 0 1 + co s 0
4 se n 0 (1 + cos 0 ) 2 y
=
4yf2 ds _ i n2 , ( n ,) 2 _ dd v P (P ) - ( 1 + cos0 ) 3
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Coordenadas polares
En el polo, un diagrama o el resultado del problema 5 muestra que las curvas son ortogonales.
CAPÍTULO 41
En 0 = _y , t a n y = —1>/3 , ta n y 2 = —^¡3 y t a n ^ = . El ángulo agudo de intersección en
CAPÍTULO 41
16. p = sen3 ^-3J (También evaluar d ^ en 0 = p ' = sen 21 0 c o s 1 0y
Coordenadas polares
.) d k = V sen6i ® + sen4| 0 c o s 21 B = sen 21 0
dB
En 0 = | ^ , ds /d 0 = sen 2 4- ^ = -4
17. Compruebe la fórmula (41.8): K =
p 2 + 2(p ') 2 - p p '' r 2 , 2,3/2 [p 2 + (P' )2]3
Por definición K = dS-. Ahora, r = 0 + y y, por tanto, _d r = d0 + = d0 + d B = d B | 1 + ¿V ds ds ds ds dB ds ds ^ dB
donde ^ = tan- 1
j . También
dy _ [(p ') 2 - p p ''] /( p ') 2 _ ( p ' ) 2- p p " . entonces 1 + d ^ = , . ( P ')2 ~ PP" = p 2 + 2( p ')2 ~ p p ” dB ~ 1 + (p / p ') 2 “ p 2 + (p ' )2 * entonces 1+ d B 1 p 2 + (p ') 2 p 2 + (p ' )2
Así K - dB f 1 + d p ) _ 1 + d y / d B s1, ds y dB J dsIdB
1 + d y /d B ^ p 2 + ( p ') 2
_
_
p 2 + 2 ( p ') 2 - p p '' [p 2 + ( p ') 2]3/2
18. Sea p = 2 + sen 6 Determine la curvatura en el punto P(p, 6 ).
K=
p 2 + 2(p ' ) 2 - p p " _ (2 + sen0) 2 + 2 cos 20 + (sen0)(2 + sen0) [p 2 + (p ' ) 2]3/2 [(2 + sen 0 ) 2 + cos 20 ]3/2
19. Sea p(1 - cos 6 ) = 1. Determine la curvatura en 0 =
TT
6(1 + sen0) (5 + 4sen 0 ) 3
4n
y B = —^ .
P ' = (1 - eos0 )2 y P ' = (1 - co s0)2 + (L -c o s ö )3 ; entonces K = sen3 00
En 0 - 7 K
= Í7
JJ
=
f
* en 8 ’ I
T
K
= (
f ) ’=
3f
•
= -Jp 2 + ( p ')2 . dB Sea p una función de 0. De x = p cos 0 y y = p sen 0 se obtiene dx/d0 = - p sen 0 + (cos 0) p ’ y dy/d0 = p cos 0 + (sen 0) p ’. Por tanto,
20. Compruebe la fórmula (41.7):
( )
= [P2sen2 0 + (P ' )2 cos2 0 - 2 p p ' sen0cos0]
y
) = [p 2 cos2 0 + (p ' )2sen2 0 + 2p p ' sen0 cos0 ] Así, H
) 2- ( d H ) 2+
(% )
2-
P
2+
( P ' )2
Como s crece con -d - > 0 y se obtiene la fórmula (41.7). dB 21. Para p = cos 20, determine -d - en
0 = -?-. (Supóngase, como es usual, que s aumenta con 0.) , dB 4 p ' = d g = - 2 s e n 2 6 . Por la fórmula (41.7),
d | = ,/cos2 (20) + 4 sen2(20) = >/1+ 3sen2(20) = V 1+ 3sen2(^/2) = 2
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-^ 345^
E n los problem as 22 a 25, d eterm ine tan y para la curva dada en los puntos indicados.
Respuesta : - 3 ; 3>/2 - 1
23. p = a(1 - cos 0) en 0 = ft/4, 0 = 3ft/2
Respuesta: V 2 - 1; -1
24. p (1 - cos 0 ) = a en 0 = ft/3, 0 = 5ft/4
Respuesta: - ^ 3 / 3 ; 1+ V 2
25. p 2 = 4 sen 2 0 en 0 = 5 rc/12, 0 = 2rc/3
Respuesta: —1>/3 ; -v/3
E n los problem as 26 a 29, d eterm ine tan r p ara la curva dada en el punto indicado.
26. p = 2 + sen
0
en
0
= ft/6
Respuesta: —3>/3
27. p 2 = 9 cos 2 0 en 0 = ft/6
Respuesta : 0
28. p = sen 3 ( 0/3) en 0 = rc/2
Respuesta: —>/3
29. 2p (1 - sen 0) = 3 en 0 = ft/4
Respuesta: 1 + >/2
30. Investigue p = sen 2 0 para h allar las tangentes horizontales y verticales. Respuesta :tangentes horizontales en: 0 = 0, n , 54° 44 ', 125° 16', 234° 44', 305° 16'; tangentes verticales en 0 = rc/2, 3rc/2, 35° 16', 144° 44', 215° 16', 324° 44'. E n los problem as 31 a 33, d eterm ine los ángulos agudos de intersección de cada p ar de curvas.
31. p = sen 0, p = sen 20
32.
p = V 2 sen
0 , p 2=
cos
Respuesta : f = 79° 6 ' en 0 = ft/3 y 5ft/3; f = 0 en el polo
20
33. p 2 = 16 sen 20, p 2 = 4 cosec 20
Respuesta: f = ft/3 en 0 = ft/ 6 , 5ft/6; f = ft/4 en el polo
Respuesta: f = ft/3 en cada intersección
34. D em uestre que cada p ar de curvas se cortan en ángulo recto en todos los pun to s de intersección. a ) p = 4 cos 0, p = 4 sen 0 c ) p 2 cos 2 0 = 4, p 2 sen 2 0 = 9
b) p = e0, p = e d) p = 1 + cos 0 , p = 1 - cos
0
35. D eterm ine el ángulo de intersección de las tangentes a p = 2 - 4 sen 0 en el polo. Respuesta:
2n/3
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Coordenadas polares
22. p = 3 - sen 0 en 0 = 0, 0 = 3ft/4
CAPÍTULO 41
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
Coordenadas polares
CAPÍTULO 41
36. Determine la curvatura de cada una de estas curvas en P(p, 9): a) p = e9; b) p = sen 9, c) p 2 = 4 cos 29, d) p =
3 sen 9 + 4 cos 9. Respuesta: a) 1/(V2efl), b) 2; c) fV c o s2 0 ; d) -f 37. Determine
ds
para la curva p = a cos 9.
Respuesta: a ds
para la curva p = a(1 + cos 9).
38. Encuentre ^
Respuesta:
aV 2 + 2cos0
39. Supóngase que una partícula se mueve a lo largo de una curva p = f(9 ) con su posición en cualquier instante t
dada por p = g(t), 9 = h(t). a) M ultiplique la ecuación | -djfiJ = P 2 + (P ')2 obtenida en el problema 20 por | J « 2 = (d )2 - p ( d
)2 + ( f ) 2
b) a p^-a.- de
para que resulte t
• obteng»
se"
^
y
En los problemas 40 a 43, determine todos los puntos de intersección de las ecuaciones indicadas.
40. p = 3 cos 9, p = 3 sen 9
Respuesta: (0,
41. p = cos 9, p = 1 - cos 9
Respuesta: (0, 0), |
42. p = 9, p = p
Respuesta: ( p
p), ( - p - p
43. p = sen 29, p = cos 2 9
Respuesta: (0, 0), ( :^
,(2n +
0),
( ^ ' !!222 , " 4 )
-3 j
,
|^ ^
1 )n
,
_
) para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5
44. (CG) Trace las curvas de los problemas 40 a 43, determine sus gráficas en una graficadora y compruebe las
respuestas a los problemas 40 a 43.
45. (CG) Trace las gráficas de las ecuaciones siguientes y luego compruebe las respuestas con una graficadora:
a) p = 2 cos 4 9 d) p = 2(1 - cos
b) p = 2 sen 5 9 2
9
g) p = 2 - sec 9
e) p = 1 + c o s 0
c) p 2 = 4 sen 29 1
f) p 2 =Q
h) p = -^
[En los incisos g) y h) busque las asíntotas.] 46. Cambie las siguientes ecuaciones rectangulares en ecuaciones polares y trace las gráficas:
a) x2 - 4x + y 2 = 0 d) x = a
b) 4x = y2 e) y = b
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“3"
c) xy = 1 f) y = mx +
b
Respuestas: a) p
= 4 cos
O,
b) p
= 4 cot
Oc o s e c
O c) p 2 = sec O c o se c O d) p = a sec O e) p = b co sec
O,
_______________________
f
o = _________b J) K sen0- m co s0
( C G ) C a m b ie la s s ig u ie n te s e c u a c io n e s p o la r e s e n c o o r d e n a d a s r e c t a n g u la r e s y lu e g o tr a c e la g r á f ic a . H a g a la c o m p ro b a c ió n c o n u n a c a lc u la d o ra g ra fic a d o ra :
Respuestas:
48.
a) x 2 +
( y - c ) 2 = c 2, b ) y =
x
t a n ( ^ / x 2+
V p? + P
Ip 1 -
C uando 6l — 0
Respuesta: d)
y2) ,
p
= O, c ) p = 7 s e c
O.
c) x = 7
2 - 2P 1P 2c o s ( 0! - 02)
= O2, ¿ a c u á n t o s e s i m p l i f i c a l a d i s t a n c i a ? E x p l i q u e p o r q u é .
C uando
R esp u esta : c)
= 2 c s e n O, b )
D e m u e s t r e q u e l a d i s t a n c i a e n t r e d o s p u n t o s c o n c o o r d e n a d a s p o l a r e s ( p 1, O1) y ( p 2, O2) e s
a)
b)
a) p
p 2I 2=
Tt
f
, ¿ c u á l e s e l r e s u lta d o a l u s a r la fó r m u la ? E x p liq u e la im p o r ta n c ia d e l r e s u lta d o .
+ pf
D e t e r m i n e l a d i s t a n c i a e n t r e l o s p u n t o s c o n c o o r d e n a d a s p o l a r e s ( 1 , 0 ) y ^1 , y j .
Respuesta:
49. a)
S ea
O= a
f
u n a fu n c ió n c o n tin u a ta l q u e
O = fb,
a
<
O< p .
Sea
A
e l á re a d e la re g ió n a c o ta d a p o r la s re c ta s
1 2
í p 2d 6 . (Sugerencia: Ja d iv id a [ a , f ] e n n p a r te s ig u a le s , c a d a u n a ig u a l a AO. C a d a s u b re g ió n r e s u lta n te tie n e u n á re a a p ro x im a d a a
b)
D e te rm in e e l á re a d e n tro d e la c a rd io id e
c)
E s ta b le z c a e l á re a d e u n p é ta lo d e la r o s a c o n tre s p é ta lo s ,
p
= cos
=
f(0 ).
> 0 p a ra
=
y la c u rv a p o la r
p
f(d )
A
y
D e d u z c a la fó rm u la
í ( f ( 0 ))2d d =
1 2
f A 0 ( f ( 0 * ) ) 2, d o n d e 0 * e s t á e n e l i - é s i m o s u b i n t e r v a l o . )
p
= 1 + sen
O.
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30. (Sugerencia:
K
in te g re d e - —
K
a — .)
Coordenadas polares
47.
CAPÍTULO 41
-----4347^
Sucesiones infinitas
Sucesiones infinitas U n a su c e sió n in fin ita (s n) es u n a fu n c ió n c u y o d o m in io es el c o n ju n to d e e n te ro s p o sitiv o s; s n es el v a lo r d e e sta fu n c ió n p a ra u n e n te ro n p o sitiv o d a d o . A v e c e s se in d ic a (s n) c o n só lo e s c rib ir lo s p rim e ro s té rm in o s d e la su c e sió n s 2, s 3, . . . , s n. .. E n e ste c a p ítu lo se c o n sid e ra rá n só lo las su c e sio n e s e n la s q u e lo s v a lo res s n sean n ú m e ro s reales. EJEMPLO 4 2 .1 a
) 7
( — ) e s la s u c e s ió n
b
)
( (1
c)
\n /
1, 1,
4 -, i , 2 3
. . . , —, ...
n
) ) e s la s u c e s ió n Í , — , — , . . . , Í n , . . .
{ n 2) e s l a s u c e s i ó n d e c u a d r a d o s 1 , 4 , 9 , 1 6 , . . . , n 2, ...
d
)
(2 n )
e
)
( 2n -
e s la s u c e s ió n d e e n te ro s p o s itiv o s p a r e s 2 , 4 ,
6, 8,
. ,
2 n ,.
1) e s la s u c e s ió n d e e n te ro s im p a r e s p o s itiv o s 1, 3 , 5 , 7 , .
Límite de una sucesión Si (sn) es u n a su c e sió n in fin ita y L es u n n ú m e ro , e n to n c e s q u e lím n^ +„ sn = L si sn se a p ro x im a a rb itra ria m e n te a L c u a n d o n c re c e sin lím ite. D e sd e u n p u n to d e v is ta m á s p re c iso , lím n^+„ sn = L sig n ific a q u e p a ra to d o n ú m e ro re a l p o sitiv o e > 0, h a y u n e n te ro p o sitiv o n 0 ta l q u e, c u a n d o n > n 0, se tie n e lsn - Ll < e . P a ra ilu stra r lo q u e e sto sig n ifica, se c o lo c a n lo s p u n to s L, L - e y L + e e n u n a re c ta n u m é ric a (fig. 4 2 .1 ), d o n d e e es alg ú n n ú m e ro re a l p o sitiv o . A h o ra, si se c o lo c a n lo s p u n to s s 1, s 2, s 3, . . . en la re c ta n u m é ric a , ta rd e o te m p ra n o h a b rá u n ín d ic e n 0 ta l que sn0, sn0+1, sn0+2, Sn0+3, • • • y to d o s lo s té rm in o s su b sig u ie n te s d e la su c esió n q u e d a rá n d e n tro d e l in te rv a lo (L - e , L + e ). ^1
s2
sm
sm + 1
I------1------------ 1---------
L +e
L
Fig. 4 2 .1 Si lím n^ +„ sn = L, e n to n c e s la su c e sió n (sn) co n verg e a L. S i e x iste u n n ú m e ro L ta l q u e (sn) co n v erg e a L, e n to n c e s (sn) es convergente. C u a n d o (sn) n o es co n v e rg e n te , e n to n c e s es d iverg en te. EJEMPLO 4 2 .2 .
( —\ es convergente, p o rqu e lím n^ +„ -1 = 0. P ara com probarlo, se observa que
\n /
n
1
n
p uede aproxi1
m arse arbitrariam ente a 0 haciendo a n lo suficientem ente grande. Esto se explica al observar que j ^ = 0.1, j0 q = 0.01, 1000 = 0.001 y así sucesivam ente. P ara com probar que la definición p recisa se satisface, sea e un núm ero positivo
cualquiera. Se tom a n 0 com o el entero positivo m ás pequeño m ayor que — . E ntonces — < n 0. P or tanto, si n > n 0,
i
1
1
e
e
i
entonces n > — y, p o r consiguiente, — < e . A sí, si n > n 0 l— - 0l < e . C on esto se com prueba que lim n^ +„ — = 0 .
^
n
n
^ 348^
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n
------------- ^ 349^ <2 n )
e s u n a s u c e s ió n d iv e rg e n te , y a q u e
lím „^+„ 2 n * L
p a ra c a d a n ú m e ro re a l L . D e h e c h o ,
CAPÍTULO 42
EJEMPLO 4 2 .3 .
2n
a u m e n ta a rb itra ria m e n te c u a n d o n c re c e .
S e e sc rib e lím n^ +„ sn = + ^ si sn se v u e lv e a rb itra ria m e n te g ra n d e c u a n d o n crec e . E n ta l caso , ( sn> d iv e rg e a
S u cesio n esin fin ita s
+ro. D ic h o co n m a y o r p re c isió n , lím n^ +„ sn = + ^ si y só lo si, p a ra c u a lq u ie r n ú m e ro c, sin im p o rta r c u á n g ra n d e sea, e x iste u n n ú m e ro p o sitiv o n 0 ta l q u e, c u a n d o n > n 0, se tie n e q u e sn > c . D e ig u a l fo rm a, se e sc rib e lím n^ +„ sn = si sn se v u e lv e a rb itra ria m e n te p e q u e ñ o c u a n d o n cre c e . E n tal caso , d iv e rg e a - ^ . M e jo r d ich o , lím n^ +„ sn = - ^ i y só lo si, p a ra c u a lq u ie r n ú m e ro c , sin im p o rta r cu án p e q u e ñ o sea, ex iste u n e n te ro p o sitiv o n 0 ta l q u e, c u a n d o n > n 0, se tie n e q u e sn < c . S e e sc rib irá lím „^+„ s n = ^ si lím „^+„ Isnl = +00, es d ecir, la m a g n itu d d e s n c re c e a rb itra ria m e n te c u a n d o n crece. a) lím „ ^ +„
EJEMPLO 4 2 .4 .
2 n = + ® °; b )
lím „ ^ +„
(1 - n ) 3 = ;
c), la s u c e s ió n n o c o n v e rg e a + ^ n i a - ^ .
EJEMPLO 4 2 .5 . 1 y - 1.
L a s u c e s ió n ( ( - 1 ) n) e s d iv e r g e n te , p e r o n o d iv e r g e a + ^ n i a - ^
n i a ^ . S u s v a lo re s o s c ila n e n tre
U n a su c e sió n ( s„> e stá a c o ta d a p o r e n cim a si h a y n ú m e ro c ta l q u e s n < c p a ra to d o n y se e n tie n d e q u e (s„) e stá a c o ta d a p o r d e b a jo si e x iste u n n ú m e ro b ta l q u e b < s n p a ra to d o n . U n a su c e sió n (s„> e stá a c o ta d a (lim i tad a) si e stá lim ita d a tan to p o r e n c im a c o m o p o r d e b a jo . E s c la ro q u e u n a su c e sió n ( s„> e stá a c o ta d a si y só lo si h a y u n n ú m e ro d ta l q u e lsnl < d p a ra to d o n . EJEMPLO 4 2 .6 .
a ) L a s u c e s ió n (2 n ) e s tá a c o ta d a p o r d e b a jo (p o r e je m p lo , p o r 0 ), p e r o n o e s tá a c o ta d a p o r e n
c im a . b ) la s u c e s ió n ( ( - 1 ) n) e s tá a c o ta d a . O b s e r v e q u e ( ( - 1 ) n) e s - 1 , 1, - 1 , . . . E n to n c e s , l( - 1 ) n l < 1 p a r a to d a n.
Teorem a 4 2 .1 .
T o d a la s u c e s ió n c o n v e r g e n te e s a c o ta d a .
E n el p ro b le m a 5 se p re s e n ta u n a d e m o stra c ió n . E l re c íp ro c o d e l te o re m a 4 2 .1 es falso . P o r e je m p lo , la su c e sió n < (-1 ) ") es a c o ta d a p e ro n o c o n v erg en te. L a s o p e ra c io n e s a ritm é tic a s e stá n d a r so b re su c e sio n e s c o n v erg e n te s re s u lta n e n su c e sio n e s co n v e rg e n te s, c o m o lo d e m u e stra n lo s re s u lta d o s sig u ie n tes in tu itiv a m e n te o b v io s. Teorem a 4 2 .2 .
l í m n ^ +„ s n = c y l í m n ^ +„ t n = d . E n t o n c e s :
a)
l í m n ^ +„ k = k , d o n d e
b)
l í m n ^ +„ k s n = k c
c)
lím ^ + » (S
n
+ tn ) = c + d
d)
lím ^ + » (S
n
- tn ) = c - d
e)
lím n ^+ ~ ( s n tn ) = c d
f
lím
n^ +„
(sn /tn )
=
,
k
e s u n a c o n s ta n te .
d o n d e k e s u n a c o n s ta n te .
c /d
s ie m p re q u e d *
0
y tn *
0
p a r a to d o n .
P a ra v e r la s d e m o stra c io n e s d e lo s in c iso s c)y e ), re p a s e e l p ro b le m a 10. L o s sig u ie n te s h e c h o s so b re su c e sio n e s so n in tu itiv a m e n te claro s. Teorem a 4 2 .3 .
S i l í m n ^ +„ s
y s n * 0 p a r a to d o n , e n to n c e s lí m
X
n^+” Sn
P a ra v e r u n a d e m o stra c ió n , c o n su lte e l p ro b le m a 7. Teorem a 4 2 .4 a)
S i la l > 1 , e n t o n c e s l í m
n^ +„
a
n =
^
.
E n p a r t i c u l a r , s i a > 1 , e n t o n c e s l í m n ^ +„ a n = + ° ° . b)
S i lrl < 1 , e n t o n c e s l í m n ^ +„ r
n
= 0.
E n el p ro b le m a 8 p u e d e c o n su lta r la s d e m o stra c io n e s resp ectiv as.
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=
0.
c)
lím „ ^ +„ ( - 1
)n(
CAPÍTULO 42
TEOREMA 42.5. (Teorema del sándwich o teorem a de intercalación.)
Sucesiones infinitas
lím ^ +„ s = L = lím ^ +„ u n y ex iste un
entero m tal que s n < tn < u n p ara todo n > m , entonces lím n^ +„ tn = L . P a ra v e r u n a d e m o stra c ió n , re p a s e el p ro b le m a 1 1 .
Corolario 42.6.
Si l í m ^ +„ un = 0 y hay un núm ero m tal que ltnl < lunl p ara todo n > m, entonces l í m ^ +„ tn = 0.
Ésta es una co nsecuencia del teorem a 42.5 y el hecho de que lím n^ +„ a n = 0 eq uivale a l í m ^ +„ lanl = 0.
EJEMPLO 42.7. lím n ^ + ™
—
n
lím n ^ +„ ( - 1 ) ^ ^ = 0 . P ara com probarlo, use el corolario 42.6, observando que
( - 1) ^ n2 ^
=0.
Teorem a 4 2 .7 . Sea f una función continua en c y sea lím n^ +„ s n = c , donde todos los térm inos sn están en el d o m inio de f E ntonces l í m ^ ^ f (sn) = f (c). V éase el p ro b le m a 33. E s e v id e n te q u e si u n a su c e sió n co n v e rg e o n o , n o se v e rá a fe c ta d a si se b o rra n , su m an o a lte ra n u n n ú m ero fin ito d e té rm in o s e n su c o m ie n z o . L a c o n v e rg e n c ia d e p e n d e d e q u é su c ed e “ en el la rg o p la z o ” . E s n e c e sa rio a m p lia r la n o c ió n d e su c e sio n e s in fin ita s al c a so d o n d e se p e rm ite q u e el d o m in io d e u n a su c e sió n se a el c o n ju n to d e en te ro s n o n e g a tiv o s o c u a lq u ie r c o n ju n to q u e c o n ste d e to d o s lo s e n te ro s m a y o re s o ig u a le s q u e u n e n te ro fijo. P o r e je m p lo , si se to m a el d o m in io c o m o e l c o n ju n to d e en te ro s n o n eg ativ o s, e n to n ces (2 n + 1 ) in d ic a ría la su c e sió n d e e n te ro s im p a re s p o sitiv o s, y ( 1 / 2 ” ) re p re se n ta ría la su cesió n , 1 ,-2 , 1 , 1 , . .
Sucesiones monótonas a)
U n a su c e sió n (s n) e s n o d e c re c ie n te si s n < s n+1 p a ra to d o n.
b)
U n a su c e sió n ( s n) e s crecien te si s n < s „+1 p a ra to d o n.
c)
U n a su c e sió n (s n) e s n o crecien te si s n > s n+1 p a ra to d o n.
d)
U n a su c e sió n (s n) e s d e c re c ie n te si s n > s n+1 p a ra to d o n.
e)
U n a su c e sió n es m o n ó to n a si e s n o d e c re c ie n te o n o c recien te.
C la ra m e n te , to d a su c e sió n c re c ie n te e s n o d e c re c ie n te (p e ro n o re c íp ro c a m e n te ), y to d a su c e sió n d e c re c ie n te es n o c re c ie n te (p e ro n o rec íp ro c a m e n te ). EJEMPLO 4 2 .8 . a ) L a sucesión 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, ... es no decreciente, pero no creciente. b ) - 1 , - 1 , - 2 , - 2 , - 3 , - 3 , - 4 , - 4 , ... es no creciente, pero no decreciente. U n a p ro p ie d a d b á s ic a e im p o rta n te d e l siste m a d e n ú m e ro s re a le s e stá d a d a p o r el sig u ie n te re su lta d o . Su d e m o s tra c ió n v a m á s a llá d e l o b je tiv o d e e sta o b ra. Teorem a 4 2 .8 .
T oda sucesión m onótona acotada es convergente.
H a y v ario s m é to d o s p a ra m o s tra r q u e u n a su c e sió n (s n) es n o d e c re c ie n te , c re cie n te , n o c re c ie n te o d e c re c ien te. E n e l c a so sig u ie n te , la p ro p ie d a d (s n) es c recien te. M é to d o 1: D e m u e stre q u e s n+1 - s n > 0. EJEMPLO 4 2 .9 .
C onsidere s„n= ■ . E ntonces, s n+. = 4n +1 n+1 s
n+1
+-.1\ = 4(ra +1) + 1
+ 3 . Por tanto, 4n + 5
— s = 3n + 3 — 3n = ( 12 n 2 + 15n + 3) —( 12 n 2 + 15n) n 4n + 5 4^ + 1 (4 n + 5)(4« + 1) =
3
(4n + 5)(4n +1)
-> 0
ya que 4 n + 5 > 0 y 4n + 1 > 0. M é to d o 2: C u a n d o to d o sn > 0, d e m u e stre q u e sn+1/sn > 1.
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3«
Use el mismo ejemplo s« = 4 « + 1 anterior,
EJEMPLO 4 2 .1 0 .
sn+i = ( 3« + 3 ) /( 3« ) = 3« + 3 4 « + 1 = 12« 2 + 15« + 3 > , sn \ 4n + 5 / / \ 4n + 1 / 3n 4 n + 5 12n 2 + 15n ’
M étodo 3: H alle una fu n c ió n diferenciable f( x ) tal que f ( n ) = sn, pa ra todo n, y dem uestre que f \x ) > 0 para todo x > 1 (y, p o r tanto, que f es una fu n c ió n creciente pa ra x > 1). 3n 3x Considere de nuevo s n = -¡— — . Sea: f ( x ) = . , . Entonces f '(x) = « 4n + 1 J y ' 4 x + 1 J K J (4 x + 1 ) 2
EJEMPLO 4 2 .1 1 .
3
>
0
para todo x. ^
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
En cada una de las sucesiones siguientes, escriba la fórmula para el término n-ésim o y determine el límite (si existe). Supóngase que n = 1, 2, 3,... 1 1 1 1 2, 4 , 6, 8,
c) c)
1
e)
se n -y , s e n
a)
s« = i
b)
sn
-
1,
1
1
-
2 , 3 ,
. . .
1 1
1 6,
. . .
sen 3 ^ , sen
2p ,
-
4 , 5 ,
p,
; Hmm. ¿
=
lím
- «
b) b)
1 2 3 4 2, 3, 4, 5, ...
d)
0.9, 0.99, 0.999, 0 .9 9 9 9 ,.
f)
f
s e n - ^ , . ..
(2 )2, ( 3 )‘ ( 4 ) , , . . .
0. t
= lím
( 1- ^
r )
=
1-
lím
=
1- 0 = 1
c)
n +1’ . n +1 n +1 n +1 (- 1)«+1 , (-1)«+1 s = -— -— ; lím -— -— = 0. Esto es intuitivamente claro, pero también puede aplicarse el teorema 42.3 a n n la sucesión ((-1 )n+1n), como lím (-1)«+1n = .
d)
s« = 1 - 1 1 «; l ^ f 1 - T ¿n ) = 1 - I l n i W
= 1 “ 0 = 1.
Nótese que lím -r1« = 0 en virtud del teorema 42.4b). 10
2.
e)
s = senn n . Obsérvese que la sucesión consta de repeticiones del ciclo 1, 0, -1 , 0 y no tiene límite. « 2
f)
*■=
b
r ) ‘ ; ,“ m . ( « r
1)
" - f i d
1+
H
e
p ™ ( 2 6 J 7 ''
Evalúe límn^ +„ sn en los casos siguientes: a) s« = a)
5« 2 - 4« + 13 3« 2 - 95« - 7
b)
sn =
8«2 - 3 2« + 5
c)
3« + 7 «3 - 2« - 9
5 5x2 _4 x +13 Recuérdese que lí m ^ +„ 3x 2— 9^ — 7 = 3 por el problema 13 del capítulo 7. Así, 5«2 _ 4 « + 13 5 límn^ +„ 3« — 95«— 7 = 3 . Un resultado semejante se cumple cuando sn es un cociente de los polinomios del mismo grado.
b)
8x 2_ 3 8«2 _ 3 — 5 = por el problema 13 del capítulo 7. Entonces, lím ^ +„ ^ ^ = + ^ . 2x ^ 5 2« ^ 5 Un resultado semejante se obtiene cuando s n es una función racional cuyo numerador tiene un grado Recuérdese que lí m ^ +„
mayor que el denominador (y cuyos primeros coeficientes son del mismo signo). c)
Recuérdese que lí m ^ +„ x ^ l x 9 = 0 por el problema 13 del capítulo 7. Así, límn^ +„ « ^ « 2« 9 = 0. El mismo resultado se cumple cuando s n es una función racional cuyo denominador tiene grado mayor que el numerador.
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S u cesio n esin fin ita s
ya que 12n2 + 15n + 3 > 12n2 + 15n > 0.
CAPÍTULO 42
-----4351^
CAPÍTULO 42
3.
S ucesionesinfinitas
Para cada una de las sucesiones siguientes, determ ine si es no decreciente, creciente, no creciente, decreciente o ninguna de las anteriores. L uego determ ine su lím ite, si existe. a s 5n 2 h o _ _1 _ a) n 7n 3 s n 2n C) S n = 3
= +x -> 5x - 2 ^ t w.-(7 x +3)(5) - ^(5xx -+ 32)(7) a) Sea f (x) - 7 x + 3 . E ntonces, f ( x ) )2
29 - (7 x -|-3 )2 > 0
P or tanto, f( x ) es una función creciente y, p o r ende, (sn) es una sucesión creciente. b)
Sea f (x)
-
. E ntonces, f '( x) = ------y f x)2
=1
x
^ ^ 2
C om o ln 2 > -j [por (25.12)], x(ln 2) > 2 > l, cuando x > 2. L uego, 1 - x(ln 2) < 0 cuando x > 2 y, p o r tanto, f ( x ) < 0 cuando x > 2. E n to n c es,f(x ) es d ecreciente p ara x > 2, y ello im plica que sn es decreciente p ara n > 2. N ótese que s 1 - y - s 2 . A sí, ( s j es no creciente. A hora se halla el lím ite. P or la regla de L’H opital,
xlím — >+»2 = xlím — >+»t¡— (ln 2)2 c)
4
y, de esta m anera,
lím n = 0 n^+™ 2
" S ^ = ( 3^ ) / ( 3 -) = 13 < 1 . P or tanto, (sn) es decreciente 1
/ 1 \n
n^+^3 = nlím^+^I\3 )1 = 0 n t 1 •' 1 •3 •5 •7 . . . ( 2 n - 1) D em uestre que la sucesión s n - 2 4 6 g— (2n) es convergente. El teorem a 42.4b) indica que lím
4.
=0
D e acuerdo con el teorem a 42.8, (sn) es acotada, com o 0 < sn < 1. A hora se d em ostrará que ( s j es decreciente. O bserve que
- 1 •3 •5 •7 •••(2n +1) - s 2n +1
s s i 5.
D em uestre el teorem a 42.1: toda sucesión convergente (sn) es acotada. Sea lím n ^+„ s n = L . Se tom a e = 1. E ntonces, hay un entero positivo n 0tal que, siem pre que n > n 0, se tiene que ls n - Ll < 1. Por ende, p ara n > n 0, m ediante la d esigualdad triangular lsn l =
se obtiene
l(s n - L) + Ll < lsn - Ll + ILl < 1 + ILl
n
Si se tom a M com o el m áxim o de 1 + lLl y ls1l, ls2l, ls3l, . . . , ls l , se obtiene lsn l < M p ara todo n. A sí, acotada.
D em uestre que la sucesión
(sn) es
es divergente.
P uesto que 2 - - 1 ' 2 ' 2 ' ' ' 2 - 2 3 4 . .
2 > 2 para n > 4, la sucesión no es acotada. E ntonces, p or el
teorem a 42.1, la sucesión no p uede ser convergente. P ruebe el teorem a 42.3: si lím n^ +„ sny sn * = 0 p ara todo n, entonces lím „^+„ - 1 = 0. C onsidere todo e > 0. C om o lím ,^ +„ s n = ^ , existe algún entero positivo m tal que, cuando n > m, !snI > ^
8.
y, p or tanto,
-1 - 0 Sn
P ruebe el teorem a 42.4: a) si lal > 1, entonces l í m ^ ^
1
E ntonces,
lím — = 0 S„
a n = ^ ; b) Si lrl < 1, entonces lím „^+Mr n = 0.
a)
Sea M > 0 y sea lal = 1 + b. Entonces, b > 0. A hora laln = (1 + b)n = 1 + nb + ... > 1 + n b > M cuando n > M^-.
b)
Sea a = 1/r. C om o lrl < 1, lal > 1. P or el inciso a), p o r el teorem a 42.3, lím ,^ +„ rn = 0 .
lím „^+„ a n = ^ . P or tanto, lím n^ +» ( 1 ) = “ . E ntonces, r
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9.
D em uestre:
- = 0.
lím n^ +„ 2 n = ^ p o r el teorem a 42.4a). A sí, lím n^ +„ - 1 = 0 p or el teorem a 42.3.
Sea s n = c y lím n ^+- tn = d . c)
lím n ^ + „ (s n + t n ) = c + d . Sea e > 0. E ntonces existen enteros OTj y m 2 tales que lsn - cl < e /2 p ara n > m 1 y ltn - dl < e /2 p ara n > m2. Sea m el m áxim o de m t y m2. E ntonces, para n > m, lsn - cl < e /2 y ltn - dl < e /2. P or lo tanto, p ara n > m,
ÍOn + tn) - (c + d )l = e)
ÍOn - c)+ (tn - d )l < !ín - cl + \tn - d\ < - | + ^| = e
lím n ^ +„ (sntn) = cd. C om o (s n) resulta convergente, es acotada, p or el teorem a 42.1 y, p o r tanto, hay un núm ero positivo M tal que lsn l < M p ara todo n. Sea e > 0. Si d * 0, existe un entero m 1 tal que lsn - cl < e /2ldl para n > m 1 y, p o r consiguiente, ldllsn - cl < e /2 para n > m 1. Si d = 0, entonces se p uede seleccionar m 1 = 1 y, sin em bargo, se tendría ldllsn - cl < e /2 p ara n > m 1. Tam bién existe un m 2 tal que ltn - dl < e /2M p ara n > m2. Sea m el m áxim o de m 1 y m2. Si n > m, \sntn - cd! = ÍSn (t n - d) + d(S n - c)Í < ÍSn (t n - d)Í + ld(Sn - c)l
11. D em uestre el teorem a de intercalación: si lím n ^ +„ s n = L = lím n ^ +„ Mn y existe un entero m tal que s n < tn < u n, p ara todo n > m, entonces lím tn = L . Sea e > 0. E xiste un entero m ¡ > m tal que ls n - Ll < e / 4 y lun - Ll < e / 4 para n > m ¡. A hora supóngase que n > m 1. C om o s n < tn < u n, ltn - s n l < lu n - s n l. Pero ÍUn
- = Í(U n- L ) +(L - Sn)Í ^
ÍUn “
LÍ + ÍL
~< '
A sí, Ítn - s nÍ < e /2. P or tanto, Ítn - L Í
= Ítn - SnÍ + (^ n " L ) Í < Í t n -
S j
+-
L Í< ^ + |
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS E n los problem as 12 a 29, determ ine p ara cada sucesión (s n) si es acotada o no y si es no decreciente, creciente, no creciente o decreciente. Indique asim ism o si es convergente y, si es p osible, establezca su lím ite. (Nota: si la sucesión tiene un lím ite finito, debe ser acotada; en cam bio, si tiene un lím ite infinito, debe ser no acotada.)
Respuesta: no decreciente, creciente p ara n > 2; lím ite
R espuesta: acotada; sin lím ite
14. ( 3 n~)
Respuesta: creciente, lím ite + ^
Respuesta: creciente p ara n > 10; lím ite + ^
16.
(¥ )
Respuesta: decreciente para n > 3; límite 0
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S u cesio n esin fin ita s
10. Pruebe el teorem a 42.2c) y e).
CAPÍTULO 42
4353^
CAPÍTULO 42
i7 .
<-2(1+ ( - i r
(
18. (ln
ln n
r
Sucesiones infinitas
Respuesta: acotada; sin lím ite
1»
>
R esp u e sta : decreciente; lím ite 0
f On Respuesta: no creciente; decreciente p ara n > 2; lím ite 0
19
Respuesta: d ecreciente para n > 3; lím ite 1
20 . {nfñ)
21
R esp u e sta : creciente; lím ite 3 ( &
22
23.
)
R esp u e sta : creciente, lím ite 1
(°os í )
/ 4n + 5 \ \ n 3 - 2n + 3 /
R esp u e sta : decreciente; lím ite 0
R esp u e sta : lím ite 0
25. ^ v n n - a
26.
R esp u e sta : decreciente; lím ite 0
>
2n 3n - 4
R esp u e sta : decreciente; lím ite 0
27. ( n s e n - ^
28. y /n 2
1 +1
Respuesta: creciente, lím ite n
Respuesta: creciente, lím ite + ^ - n
Respuesta: creciente; lím ite + ^
29. ( n -
En los problem as 30 a 32, en cuentre la fórm ula p lausible para una sucesión cuyos prim eros térm inos están dados. D eterm ine el lím ite (si existe) de la sucesión.
3n
30
1 3 9 27 81 30. 1 2 ’ 4 ’ 6 ’ 8 ’ ' ' '
31. - 1 , 1, - 1 , 1, - 1 , 1 ,...
32.
y , '7 , J 7 ", 2 , T ^ ,
...
Respuesta: s n = ^ n —1) ; el lím ite es
Respuesta: s n = (- 1 )n; sin lím ite
Respuesta: s n =
^
—2 ; decreciente, el lím ite es f
33. D em uestre el teorem a 42.7. [Sugerencia: sea e > 0. E scoja S > 0 tal que, p ara x en el dom inio de f para el cual lx - cl < S se tiene que lf (x) - f(c )l < e . S eleccionar m de m anera que n > m im plique lsn - cl < 8.]
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-^ 355^ 1 /n p
=
1
p a r a p > 0. (Sugerencia: np/n = e^ ln n)/n.)
R espuesta:
decreciente, el lím ite es 1
36. (CG ) U se una graficadora p ara analizar s n = com portam iento de la sucesión. R espuesta:
p ara n = 1 a n = 5. Luego d eterm ine analíticam ente el
p ara n = 1 hasta n = 10. L uego determ ine analíticam ente el
d ecreciente p ara n > 7; el lím ite es 0
37. D em uestre que lím n^ +„ a n = 0 equivale a lím n^ +„ lanI = 0.
38. Si sn > 0 p ara todo n y lím n^ +„ s2 = c , pruebe que lím n^ +„ sn = -\/c .
39. (CG ) D efina s n p o r recursión de la siguiente m anera: s 1 = 2 y s n+1 =
1(
2^ I s n + — I p ara n > 1.
a) U se una graficadora p ara calcular s n para n = 2 , . , 5. b) D em uestre que si lím n^ +„ s n existe, entonces lím n^ +„ s n = V 2. c) D em uestre que lím n^ +„ s n existe.
40. D efina sn p o r recursión de la siguiente m anera: s 1 = 3 y s n+1 = -j(sn + 6 ) p ara n > 1. a) b) c) d)
D em uestre que sn < 6 para todo n. D em uestre que (sn) es creciente. D em uestre que lím n^ +„ s n existe. E valuar lím n^ +„ s n.
R esp u esta :
d) 6
41. P ruebe el teorem a 42.2, incisos a), b), d) y f).
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S u ce sio n e sin f initas
35. (CG ) U se una graficadora p ara analizar s n = ,n + = -v/íñ 4 + n com portam iento de la sucesión.
CAPÍTULO 42
34. D em uestre que l í m ^ ^ v
Series infinitas Sea(sn) unasucesióninfinita. Sepuedeformarlasucesióninfinitadesumas parciales (sn) comosigue: 51=s, 5 =s1+s2 5 =s1 +s2 +s3 2
3
Sn
=s1+s2+••• +sn
Generalmentesedesignalasucesión(sn) mediantelanotación ^l Sn =s1+s2+'" +sn +'" Losnúmeross1,s2,. . . , sn, . . . sedenominarántérminos delaserie. Si S esunnúmerotal quelímK^+„Sn =S, entonceslaserieXSn converge yS recibeel nombredesuma de laserie. Casi siempreserepresentaS medianteXsSi noexisteningúnnúmeroS tal quelímK^+„ Sn =S, entonceslaserie^ Sn diverge. Si límK^+„ Sn =-^ , la seriedivergea+^ yseescribeXsn =+°°. Deigual forma, si límK^+„Sn =-^, entonceslaseriedivergea-^ yseescribeXsn = n=1
n=1
s 1 = 1 , s 2 = - 1 , s 3 = 1 , s 4 = - 1 y a s í s u c e s iv a S 1= 1 , S 2 = 1 + ( - 1 ) = 0 , S 3 = 1 + ( - 1 ) + ( 1 ) = 1 , S 4 = 1 + ( - 1 ) + ( 1 ) + ( - 1 ) = 0 y c o n t in ú a n a lte r n a d o u n o s y c e r o s . P o r c o n s ig u ie n t e , lím K^ +„ S n n o e x i s t e y la s e r ie d iv e r g e ( p e r o n o EJEMPLO 4 3 .1 .
C o n s id e r e la s u c e s ió n ( ( - 1 ) n+'). L o s t é r m in o s s o n
m e n te . P o r ta n to , la s s u m a s p a r c ia le s c o m ie n z a n c o n
a
o - ^ ).
Series geométricas
ar
C o n sid e re la su c e sió n ( n-1>, q u e c o n sta d e lo s té rm in o s a, ar, a r 2 , a r 3 , ... L a serie X ”-1 se d e n o m in a serie g e o m é tric a c o n ra zó n r y p r im e r té rm in o a . S u e stá d a d a p o r
ar
Sn = a + a r + M u ltip liq u e p o r r:rS n = a r + R este: P o r tan to ,
ar2 + — + arn-1
ar2 + — + a r n-1 + a r n S n - rS n = a - a r n (1 - r)S n =
a(1 - -) a(1 - rn) t
1- r
^ 356^
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n- é s im a su m a p a rc ia l S n
A h o ra to d o d e p e n d e d e la ra z ó n r. S i lrl < 1, e n to n c e s lím n^ +„ r° n = 0 [p o r el te o re m a 4 2 .4 b )] y, p o r co n sig u ien te, lím n^+ „ S n = a /(1 - r). S i lrl > 1, e n to n c e s lím n^+„ r n = ^ [p o r e l te o re m a 4 2 .2 a )] y, p o r tan to , lím n^+„ S n = ^ . (U n a ex c e p c ió n b a la d í se p re s e n ta c u a n d o a = 0. E n e ste caso , to d o s lo s té rm in o s so n 0, la serie c o n v e rg e y su su m a es 0.) E sto s re s u lta d o s se re s u m e n en seguida.
Series infinitas
Teorem a 4 3 .1 .
Dada la serie geométrica ^ a r n-1:
a)
Si lrl < 1, la serie converge y tiene suma 1 —r
b)
Si lrl > 1 y a ^ 0, la serie diverge a ^ .
EJEMPLO 4 3 .2 . Tómese la serie geométrica ^ ( t ) ' 1-1 con razón r = -j y primer término a = 1: 1+ T+i +
1
+ ••■
1 1 Por el teorema 43.1a), la serie converge y tiene suma -¡— = — = 2. Así, V (D 1^ = 2. 1 —(^ ) 2 n= 1 S e p u e d e m u ltip lic a r u n a serie £ s n p o r u n a c o n sta n te c p a ra o b te n e r u n a n u e v a serie ^ c s m y se p u e d e n su m ar d o s series ^ s n y ^ t n p a ra o b te n e r u n a n u e v a serie ^ ( s n + tn). Teorema 4 3 .2 .
Si c ^ 0, entonces ^ c s n converge si y sólo si X s n converge. Además, en el caso de convergencia, X csn = GX sn n=1
n=1
P a ra o b te n e r e ste re su lta d o , d e n ó ta s e p o r T n = c s 1 + cs 2 + ... + cs n la n - é s im a su m a p a rc ia l d e la se rie ^ c s n. E n to n c e s, T n = cS n es la n -é s im a su m a p a rc ia l d e ^ s n. L u e g o , lím n n „ T n e x iste si y só lo si e x iste lím n n „ Sn y, cu a n d o lo s lím ite s ex isten , lím n^ +„ T n = c lím n n „ S n. E sto re s u lta p o r el te o re m a 4 3 .2 . Teorem a 4 3 .3 .
Supóngase que dos series ^ sn y ^ J n convergen ambas. Entonces, su suma ^ ( s n + t j también
converge y X (sn + tn) = X sn + X tn n=1
n=1
n=1
P a ra c o m p ro b a rlo , se a n S n y T n la n - é s im a su m a p a rc ia l d e ^ s n y X t n, re sp e ctiv a m e n te. E n to n c e s, la n - é s im a su m a p a rc ia l Un d e ^ ( sn + tn) se o b se rv a fá c ilm e n te c o m o S n + T n. L u e g o , lím n^+„ U n = lím n^+„ S n + lím n^+„ T n. E sto re s u lta p o r e l te o re m a 4 3 .3 . C orolario 4 3 .4 .
Supóngase que dos series X s n y X tn ambas convergen. Entonces, su diferencia ^ ( s n - tn) tam
bién converge y X (sn - tn) = X sn “ X tn n=1
n=1
n=1
E sto se d e d u c e d ire c ta m e n te d e lo s te o re m a s 4 3 .2 y 4 3 .3 . S ó lo o b sé rv e se q u e ^ ( s n - tn) e s la su m a d e ^ s n y la serie X ( - 1 )t n. T eorem a 4 3 .5 .
Si ^ sn converge, entonces lím n^ +„ s n = 0 .
P a ra co m p ro b a rlo , se a ^
CAPÍTULO 43
-----4357^
sn = S. E sto sig n ific a q u e lím n^ +„ S n = S, d o n d e , c o m o es u su a l, S n e s la n -é s im a
n=1
su m a p a rc ia l d e la se rie . T a m b ié n se tie n e q u e lím n^ +„ S n-1 = S . P e ro s n = S n - S n-1. E n to n c e s, lím n^ +„ s n = lím n^+„ S n - lím n^+„ S n-1 = S - S = 0. C orolario 4 3 .6 . (Teorema de divergencia.)Si lím„^+„ sn no existe o lím„^+„ sn *■0, entonces X s n diverge. É s ta e s la c o n se c u e n c ia ló g ic a in m e d ia ta d e l te o re m a 4 3 .5 .
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CAPÍTULO 43
EJEMPLO 4 3 .3 .
S eries infinitas
La serie y + f + f + -f- +— diverge.
A quí, s n = i n r i . C om o lím „ ^ +„
= 2 * 0 , el teorem a de divergencia im plica que la serie diverge.
E l re c íp ro c o d el te o re m a 4 3 .5 n o e s v álid o: lím K^+„ sn = 0 n o im p lic a q u e ^ m e d ia n te e l e je m p lo sig u ien te. EJEMPLO 4 3 .4 . C onsidere la fam osa serie arm ónica ^ -3 sum as parciales de esta serie: S 2=
8=
s
4+ 5
> 1+ S
+ 3 + 4 + "5 +— . A hora analice las siguientes
1
+ 1 +
2
+
1!
> S4+
1
+
1!
+
1!
+
1
= S 4+
+— 1— 1 — 1— 1 — 1— 1 — 1— 1 — 1— 1 — 1— 1 —— 10 11 12 13 14 15 16
9
+— +— +— +— +— +— +— +— =
S
1 8 = S4 + 2
2
+1
= S
+ 2 > 1+ 1 + 4 + 2 = 1+ 2 + 2 = 1+ 2
—
—
6 S8 >
+
1+ 2
s4 = 1+ 2 +
s
= 1
sn co n v erja. E sto se m u e stra
8
16
16
16
16
16
16
16
16
S
S8
+1 2
> ‘+2 Si se continúa de esta form a se obtendría S■ „ > 32 ^ 1a +. 42,, S, u 64 > 1 + f y, en general, S2k > 1 + k /2 cuando k > 1. E sto significa que lím„_ S n = + ^ y, p o r lo tanto, la serie diverge. Pero observe que lím„^+„ s n = lím„^+„ 1/n = 0. O bserva ció n : la c o n v e rg e n cia o la d iv e rg e n c ia n o se v e a fe c ta d a p o r la a d ic ió n o e lim in a c ió n d e u n n ú m ero fin ito d e té rm in o s a l c o m ie n z o d e u n a serie. P o r e je m p lo , si se b o rra n lo s p rim e ro s k té rm in o s d e u n a se rie y la su m a d e lo s té rm in o s b o rra d o s e s c, e n to n c e s c a d a n u e v a su m a p a rc ia l Tn te n d rá la fo rm a Sn+k - c. (P o r eje m p lo , T 1 e s S k+1 - c.) P e ro lím K^+„ (Sn+k - c) e x is te si y só lo si lím K^+„ Sn+k e x iste , y lím K^+„ Sn+k e x is te si y só lo si lím K^+„ Sn ex iste. N o ta ció n : su ele re s u lta r ú til tra ta r la s se rie s e n la s q u e lo s térm in o s d e (Sn> tie n e n ín d ic e s e n te ro s n o n e g a ti vos: s0, s 1, s2, s3, . . . . E n to n c e s, la s su m as p a rc ia le s Sn ta m b ié n c o m e n z a ría n c o n S 0 = s0, y la su m a d e u n a serie c o n v erg e n te se re p re se n ta ría c o m o ^
sn.
n=0
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
D eterm ine si la serie 1 + ¿ es convergente. 5 5 2 53 É sta es una serie geom étrica con razón r = -f y el p rim er térm ino a = -f. C om o Irl = |f | < 1 . El teorem a 43.1a) a_ = 1/5 = 1/5 = 1 dice que la serie converge y que su sum a es 1 a r = j — ( 1 / 5 ) = 4 /5 = 4 r A nalice la serie —L + _ L _ + _ L _ + _ L _ _|— JL
^
^
I
I
p ara h allar la convergencia.
,1
El n -é s im o térm ino es — 1 , -n . E sto es igual a 1 -----1—r . P or lo tanto, la n -é s im a sum a parcial n • (n + 1) & n n +1 ^ S = ^ +^ +^ +^ + . + ____ 1___ S 1 .2 2 •3 3• 4 4• 5 n • (n +1) + l± = (1 - 2 ) + (2 - —) + (2 - ? ) + (4 - J ) + •••+ ( n n +1 =1 -
n+ 1
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Así, lím S = lím (1-1—¡-1=1 - 0 = 1. En estas condiciones, la serie converge y su suma es 1. n^+^ n \ n + 1/ 3.
a) La serie resultante es una serie geométrica 16 ++— con razón y. Converge a 1 1/ y 2) = 17-6 = 1 . Observe que esto es lo mismo que S - (1 + \ + -4 + 8) = 2 - (x ) = 8 . b) La nueva serie es 3 + 2 + 5 + 1 + \ + -4 + -8 +16 +— . Las nuevas sumas parciales son las antiguas más (3 + 2 + 5). Como las sumas parciales antiguas convergen a 2, las nuevas convergen a 2 + 10 = 12. Entonces, la nueva serie resulta convergente y su suma es 12.
4.
Demuestre que la serie 1 + + -8 + H +— diverge. 2 n —1 1 1 Aquí, sn = ^ n — = 1 — . Como lim = 0, resulta que lim sn = 1 - 0 = 1 ^ 0. Así, por el teorema de 2 2 n^+^ 2 n^+^ divergencia, la serie diverge.
5.
Analice la serie 9 - 12 + 16 - -64 + ^ ----- para hallar la convergencia. Ésta es una serie geométrica con razón r = —— 4. Como Irl = y > 1, el teorema 43.1b) indica que la serie diverge.
6.
E valúe j r
,
= 1 - ~1 + 1 + 1 + 1 6 — • .
n=0
É sta es una serie geom étrica con razón r = — y el p rim er térm ino es a = 1. C om o Irl = 1 < 1 , la serie a 9/10 1 2 converge y su sum a es j —y = 1 —(—1/ 2 ) = 3/2 = 3 .
7.
D em uestre que el decim al infinito 0 .9 9 9 ... es igual a 1. 0.999 • •• = 1 0 + 1 0 0 + 109)0 H— . É sta es una serie geom étrica con el p rim er térm ino a =
^0 y razón r = ^0.
P or tanto, converge a la sum a . a = 9/11.0 „ ' = 9/10 = 1. 1 —r 1 —(1/10) 9/10 8.
A nalice la serie j —3 + y y +
+7^
H— .
A quí, s n = ^ ----- ----------7T-. O bserve que 77;----- — n r = 1 P 1 , — ~ 1 , ) . P or tanto, la n -é s im a sum a M n (2 n —1)(2 n + 1) M (2 n —1)(2 n + 1) 2 \ 2 n —1 2 n + 1 ) parcial S n es 1/1
1 \ , 1/1
1 \ , 1/1
1\ ,
2 \1
3/
5j
lj
2 \3
2 \5
, 1Í
1
1
2 \2 n - 1 2n + 1)
\
1 /1 __
2\
2n +1
Entonces, lím Sn = -j. Luego, la serie converge a -j. 9.
Analice la serie 3 +
+ ^ 3 + 4^3 +— .
sn = n¡3 = 3yn = e(ln3)/n . Luego, lím sn = e 0 = 1 ^ 0 Por el teorema de divergencia, la serie diverge. 10. Analice la serie 113 +1-
+^
+— .
Esta serie se obtiene de la serie armónica al borrar los primeros nueve términos. Como la serie armónica diverge, entonces este serie también lo hace. 11. (P a r a d o ja d e Z e n ó n ) Aquiles (A) y una tortuga (T) tienen una carrera. T arranca 1000 pies adelante, pero A
corre a 10 pies/s, mientras que T sólo a 0.01 pies/s. Cuando A alcanza el punto de partida de T, T ha avanzado una distancia corta, etcétera. Zenón decía que A nunca alcanzaría a T. Demuestre que sí lo hará. Cuando A llega al punto de partida de T han pasado 100 segundos y T se ha movido 0.01(100) = 1 pie. A recorre ese pie adicional en 0.1 segundos, pero T se ha movido 0.01(0.1) = 0.001 pies más. A necesita 0.0001
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Series infinitas
Se sabe que la serie geométrica 1 + 1 + ^ + 8 + ^ +— converge a S = 2. Analice la serie resultante cuando a) sus primeros términos se suprimen; b) los términos 3, 2 y 5 se agregan al comienzo de la serie.
CAPÍTULO 43
------------- 4 359^
CAPÍTULO 43
S eries infinitas
segundos para reco rrer esa distancia, pero T, entre tanto, se ha m ovido 0.01(0.0001) = 0.000001 pies, etcétera. El lím ite de la distancia entre A y T tiende a 0. El tiem po im plicado es 100 + 0.1 + 0.0001 + 0.0000001 + ..., que es una serie geom étrica con p rim er térm ino a = 100 y razón r = 1/1000. Su sum a es a
1- r
100 1 - (1/1000)
_
100 9 9 9 /1000
_
100000 999
lo que constituye un poco m ás de 100 segundos. L a parad o ja surge de la división artificial del hecho en infinitam ente m uchos pasos cada vez m ás y m ás cortos.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 12. A nalice cada una de las series geom étricas siguientes. Si la serie converge, halle su suma. a)
4 - 1 + -4 -
b)
1+1 + £ + f + ■
+•
R espuesta:
S = 16
R espuesta:
D iverge
R espuesta:
S=f
R espuesta:
S= e
-1
13. U na b o la de caucho cae de una altura de 10 pies. C uando golpea el suelo, rebota hacia arriba tres cuartos de la altura anterior. ¿C uál es la distancia total reco rrid a p o r la b o la antes que se detenga? R espuesta:
70 pies 1
1
14. A nalice la serie
n (n + 4)
15. A nalice la serie y
1 n (n + 1)(n + 2)
1 1 ■52 ■63■7
1 1 ■2 ■3
1 2 ■3 ■4
1 3 ■4 ■5
S = -4
R espuesta:
16. E valúe X sn cuando s n es la siguiente:
n=1 b)
a) 3-n; R espuestas:
1 2)
’
a) 7 ; b ) f ; c ) -f1 ; d )
1
n (n +
1 c) n (n + 3)
d)
(n + 1)!
17. D em uestre que cada una de las series diverge: a)
3 + ■j + ■j + i + ■
d)
e + j r + -§7 + -§4 +•
c) C)
1 +^ +^ 2 + V2 + 7
18. E valúe lo siguiente: a)
X (i
+
7 ¡r
)
b)
y
4 n
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c)
2n+ 1 1 n2(n +1)2 n=
y
2
+^ _ + 72
-^ 361^ X 2n + 3 n X r n
e)
n=0
g)
f)
h)
(_ l)n
i)
Z-i 52n n=l
23n X 3 n=l
Series infinitas
n 2- 3 n=l n 2 + n + 2
y
-
n X
n=l
n=l
^
j)
V 21 ^ 3n
CAPÍTULO 43
d)
X i n=l
R espuestas:
a) -^t; b) +ra; c) l; d) ^r; e) l; f ) + ^ ; g) + ^ ; h) - 26; i) 8 ; j)
19. (CG ) E n los p roblem as l a 6 , use una calculadora en las prim eras diez sum as parciales y determ ine con cuántas cifras decim ales es correcta la décim a sum a parcial de la sum a de la serie.
20. (CG ) a) Si Ixl < l, ¿cuál función está representada p o r X x n = 1 + x + x 2 + x 3 +— ? n=0 b) U se una graficadora p ara graficar l + x + x 2 + x 3 + ... + xr en el intervalo ( - l , l) y com pare la gráfica con la de la función en el inciso a). R espuesta:
a)
l l
- x
21. En cada punto siguiente, determ ine los valores de x p ara los cuales converge la serie indicada; luego halle la función representada p or la sum a de la serie para tales valores de x. a) E ( 3 x ) n
n=0
b) E (x - 2) n
n=0
c) S Í 2 )
n=0
'
d) E
R espuestas: a) lx l < 1 , 1 \ ; b) 1 < x < 3 — ; c) lx l < 2, 2 — x ; d) - 1 < x < 3, 2 3 1 —3 x 3 —x 2 x 3 x
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n=0
( ^
Series con términos positivos. Criterio de la integral. Criterios de comparación Series con términos positivos Si to d o s lo s té rm in o s d e u n a se rie ^ s n so n p o sitiv o s, e n to n c e s la se rie se d e n o m in a serie p o sitiv a . P a ra u n a se rie p o sitiv a ^ s n, la su c esió n d e su m as p a rc ia le s (S n) e s u n a su c e sió n c re c ie n te p o rq u e S„+1 = S n + s«+1 > S n. C o n e sto se lle g a a l sig u ie n te re su lta d o útil. Teorem a 4 4 .1 .
U na serie positiva ^ sn converge si y sólo si la sucesión de sum as parciales (sn) es acotada.
P a ra co m p ro b a rlo , o b se rv e p rim e ro q u e si ^ s n co n v erg e, en to n c e s, p o r d e fin ic ió n , (S n) co n v erg e y, p o r tanto, p o r el te o re m a 4 2 .1 , (S n) es a c o ta d a . R e c íp ro c a m e n te , si (S n) es a c o ta d a . P o r el c o n tra rio , si (S n) e s a c o ta d a, e n to n ces, c o m o ta m b ié n e s c re c ie n te , p o r e l te o re m a 4 2 .8 se d e d u c e q u e (S n) co n v erg e, es d ecir, ^ s n converge. Teorem a 4 4 .2 . (Criterio de la integral.)
Sea ^ s n una serie positiva y seaf(x) una función continua positiva decre
ciente en [1, + ^ ) tal que f( n ) = sn p ara todo entero positivo n. Entonces: X s « converge si y sólo si J
f (x) d x converge.
D e la fig u ra 4 4 .1 se o b se rv a q u e J f (x ) d x < s 1+ s 2 h------k s n_1 = S n_1 . S i ^ s n co n v erg e, e n to n c e s (S n) es a c o tad a; a sí J f (x ) d x se rá a c o ta d a p a ra to d o u > 1 y, p o r ta n to , J f (x ) d x co n v erg e. R e c íp ro c a m e n te , d e la fig u ra n (•n f (x) d x y, p o r c o n sig u ie n te , S n f (x ) d x s 1. E n esta s c o n d ic io n es, .+» 1 .+» n J1 si f (x) d x co n v erg e, e n to n c e s S n f (x ) d x s 1 y en c o n se c u e n c ia ( S n) se rá a c o ta d a . A sí, p o r e l te o re m a
Í
^
4 4 .1 ,
<|
+
co n v erg e, c o n lo q u e se d e m u e s tra el te o re m a 4 4 .2 .
^ 362^
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+
-^ 363^ ln n
CAPÍTULO 44
v
EJEMPLO 44.1.
diverge.
Sea f (x) - -~x~ . Ahora,
Por tanto, por el criterio de la integral ^ 2, EJEMPLO 44.2.
U = lím y ((ln u )2 - 0) = + "
- diverge.
^ - 1- converge.
Sea f (x) = x1“. Ahora í
Jl
\
x
dx = lím í \ d x = lím - — = lím - (— - l) = 1 u— >+^ Jl x u— >+^ x _i U— >+^\ U
/
Así, por criterio de la integral V ^ —1 converge. O b serva ció n : el c rite rio d e la in te g ra l p u e d e e x te n d e rse fá c ilm e n te al c a so en q u e el lím ite in fe rio r d e la in te g ra l se c a m b ia d e 1 a c u a lq u ie r e n te ro p o sitiv o .
Teorema 44.3. (Criterios de comparación.) Sean ^ a n y ^ b n dos series positivas tales que existe un m entero positivo para el cual a k < b k para todo entero k > m. Así: 1. Si ^ b n converge, entonces ^ a n también converge. 2. Si ^ a n diverge, entonces ^ b n también diverge. S e p o d ría a su m ir e n la d e d u c c ió n d e l te o re m a 4 4 .3 q u e m = 1, y a q u e la c o n v e rg e n c ia n o se v e a fe c ta d a al b o rra r u n n ú m e ro fin ito d e té rm in o s a l c o m ie n z o d e u n a serie. O b se rv e ta m b ié n q u e e l n u m e ra l 2 d e la lista de a rrib a es u n a c o n se c u e n c ia ló g ic a d el n u m e ra l 1. P a ra p ro b a r e ste ú ltim o , su p ó n g a se q u e ^ b n co n v erg e. S ea B n = b 1 + b 2 + ... + b n la n -é s im a su m a p a rc ia l p a ra ^ b n, y se a A n = a 1 + a 2 + ... + a n la n -é s im a su m a p a rc ia l p a ra ^ a n. E n to n c e s, A n < B n, p u e s a k < b k p a ra to d o k. C o m o ^ b n c o n v erg e, se d e d u c e p o r el te o re m a 4 4 .1 que la su c e sió n (B n) es a co ta d a . E n v irtu d d e q u e A n < B n, p a ra to d o n, se d e d u c e q u e la su c e sió n (A n) e s aco ta d a. E n to n c e s, p o r el te o re m a 4 4 .1 , ^ a n co n v erg e. E sto d e m u e s tra e l te o re m a 44.3.
EJEMPLO 44.3. T
Sea a n -
1
— —
O
c o n v e rg e .
1 5 y b n - — . Así, an < bn para toda
n2 + 5
comparación, Y
EJEMPLO 44.4. 1
n
1
. Por el ejemplo 2, ^ — converge. Entonces, por el criterio de
-5 c o n v e r g e .
Y 3, + 5 diverge. 1
Sea an - y bn - 3n + 5 . Ahora, an < bn n > 5. (Para comprobarlo, observe que ^
-
1
3
1
n + 5 equivale a 3n + 5
< 4 n , que equivale a 5 < n .) Recuérdese que la serie armónica ^ — diverge (por el ejemplo 4 del capítulo 43). Por 1 n x "1 1 diverge por el teorema 43.2. El criterio de comparación implica que ^ 3n + 5 diverge.
E
A v eces, c o m o e n e l e je m p lo 4 4 .4 , e s p re c iso re a liz a r m a n io b ra s c o m p lic a d a s p a ra a p lic a r e l c rite rio de c o m p aració n . E l re s u lta d o sig u ie n te b rin d a u n a h e rra m ie n ta m u c h o m á s flex ib le.
Teorema 44.4. (Criterio de comparación por paso al límite.)
Sean ^ an y ^ bn dos series positivas tales que
L - Slím a n existe y 0 < L < + ^ . Entonces, Y \an converge si y sólo si Y '.bn converge. *!_X+" f) n— n
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Series con términos positivos
f+" ^ d x = lím fU^ d x = lím -2 (ln x ) 2 Jl X U— — +" Ji X U—— +"
CAPÍTULO 44
S erles con térm inos positivos
S u p ó n g a se q u e ^ b n c o n v erg e. S e a c u n n ú m e ro p o sitiv o ta l q u e L < c. E n to n c e s e x iste u n e n te ro p o sitiv o m ta l q u e a n/b n < c p a ra to d o n > m . P o r tan to , a n < cbn p a ra to d o n > m . P e ro c o m o ^ c b n co n v erg e, X cbn tam b ién lo h a c e . P o r c o n sig u ie n te , p o r el c rite rio d e c o m p a ra c ió n ^ a n co n v erg e. R e c íp ro c a m e n te , si ^ a n c o n v erg e, enb 1 to n ces, \ b n ta m b ié n lo h a c e . (D e h e c h o , lím n^+„ -ar = l > 0 y e s p o sib le e m p le a r e l m ism o tip o d e a rg u m e n to n q u e se a c a b a d e dar.) EJEMPLO 4 4 .5 .
£
3 n ^ —35— 2 4 diverge.
C uando se trata con los cocientes de polinom ios, una reg la práctica es ignorar todo salvo los prim eros térm inos. 3n 2 3 1 1 En este caso, se tiene -7—3 = 7 ■ . Se intenta una com paración p o r paso al lím ite con — . A hora lím
3 n 2 - 5n + 4 / 1 7n3 + 2 ) n
= lím 3 n 3 - 5 n 2 + 4 n _ 3 7 7n3 + 2
C om o ^ 1 diverge, el criterio de com paración p o r paso al lím ite dice que ^ EJEMPLO 4 4 .6
£
5n 2 ^ - 4n2 + 7
3—7 ^ — 2 4 diverge.
C° nVerge'
M ediante la regla práctica dada en el ejem plo 44.5 respecto a los prim eros térm inos, se observa que
=n f =— =2.
E ntonces, se intenta una com paración p o r paso al lím ite con —12-: 5n - 2
lím
= lím
6 - 4 —2 + 7 ,
5n 3 - 2 n 2 V n6 - 4 n 2 + 7
Se divide el n um erador y el d enom inador entre n 3. N ótese que en el denom inador se obtendría -V —6 —4 —2 + 7 = —^ >/—6 —4 —2 + 7 = . ¡1 —-4 r + Jf7 V —4 —6
—3
El resultado sería lím 1P or tanto, com o se sabe p o r el ejem plo 44.2 que \ V 5—- 2 que ^ n 6 - 4 —2 + 7 COnVerge.
4 + n4
“7 r x6
converge, el criterio de com paración p o r paso al lím ite im plica n
PROBLEMAS RESUELTOS C onsidere la serie ^ -— y , d onde p es una constante. Se trata de la denom inada serie p. Entonces: —p converge. b)
Si p < 1, la serie ^ -—p diverge. Podría suponerse que p ^ 1, ya que se conoce que la serie arm ónica ^
diverge. T am bién podría
suponerse q u e p > 0; si p < 0, lím ^ - —p ^ 0 y el teorem a de divergencia im plica que la serie diverge. Se aplica el criterio de la integral con f (x) = 1/x p . (f x ) es positiva y d ecreciente en [1, + ^ ) .) A hora, r+ ~
I
Ji
1 —p dx = xp
=
1
lím Id x = l í m u^+~ J i x —
x 1- — -p — u^+~
f 1 Y + f 1—— 1—— J
lím
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1-
—
-u
-^ 365^
p
p
> 1. E n t o n c e s ,
- 1 > 0 y . A s í l í m ^ , u }~p = l í m ^ +„
P o r e l c r ite r io d e la in te g r a l X
p
< 1. E n t o n c e s , 1 -
la integral E
^
' n
p
0'
L u e g o , lím ^ ^
j
= p
^
.
c o n v e rg e .
~p
> 0 y l í m n^ +„ u
11p
+°° .
=
f M1_p 1^ L u e g o , l í m n^ +„ ^ 1 — p - ^ — p J = + c » y p o r e l c r i t e r i o d e
diverge.
p
En los p roblem as 2 a 7 determ ine la convergencia en las series dadas.
2.
1+
- ^
+ - L
4 3
S
+ - L + •••. V 7
11
s n=
i
V
=
2n
. Sea f
(x ) =
—1
,
V
2x
=■. —1
E n [1, +
í +" , 1 dx = l í m í “ . dx = \¡ 2 x - 1 ^ + » J1 V 2x - 1
^
) , f (x ) > 0 y f es decreciente.
1 í “ ( 2x
lím
-
1)
^ i
u = lím
|(
2) ( 2x
-
1)1/2
1
= l í m ( ( 2u u—>+^
1) 1/2 - 1)
= +<~
E n consecuencia, la serie diverge p o r el criterio de la integral.
1
1
3 + 2 < _3 . n +2 n
1
n
es convergente, ya que es una se rie p c o n p = 3 > 1. Por tanto, p o r el criterio de
com paración, S n + 2 es convergente.
4.
1+
— + — + — 2! 3! 4!
sn = i
O bserve que n|y = n (n —1)1----- 3~2 “ 2 — 1 para n - 2. C om o ^
convergente (con razón r = -j), ^ n 5
5.
e
s
una serie geom étrica
es convergente p o r el criterio de com paración.
2 + 3 + 4 + -5 2 + 2T + 3T + 43"
sn= n
+31 . U se n
la com paración p o r paso al lím ite con " -+ 1 / 1 n^+- n / n lím
=
n - = -¡y . n
n
lím
n^+-
=
1
n
Se sabe que E n " converge. E ntonces, p or el criterio de com paración p o r paso al lím ite, E n„3 ^converge.
6.
1+
+ 3 - + i jT + • • • . s n = nn . A hora, n n = n •n 1 • • •n ^ i 1— 1 y E 2^
p o r el criterio de com paración, E 7 1+ 2 2 + 1 + 3 2 + 1 + 4 2 + 1 + • • • 7 1+ 2 3 + 1 + 3 3 + 1 + 4 3 + 1 +
es una serie geom étrica convergente (r = ^ ) , Entonces,
converge.
.
n 2 +1 n2 1 s n = n 3 + 1 . U se la com paración p o r paso al lím ite con —f = p •
lím
2 + 11/1 = lím 4 ^ = 1 n3 + 1 // n n^+» n3 + 1
n
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Serles con términos positivos
b)
=
CAPÍTULO 44
a)
S eries con térm inos positivos
CAPÍTULO 44
E—1 diverge. E ntonces, p o r el criterio de com paración p or paso al lím ite n
n 2+ 1 jX - s t t A v erg eV
8.
1
2 ln 2
.
1
3 ln 3
1
.
4 ln 4
s = —. — está definida para n > 2 . n n ln n ^
u r
J2
x
= lím (ln (ln u) - ln (ln 2 )) = + ^
= lím í u- d ^ - = lím ln (ln u ) u^ + ~ J 2 x ln x u^ + ~
ln x
P or tanto, la serie diverge p o r el criterio de la integral. 9.
¿ C u á n to s té rm in o s d e X 5 / 1 0 3) ?
“ T b a s ta n p a r a o b te n e r u n a e x a c titu d d e d o s c ifra s d e c im a le s (e s d e c ir, u n e r r o r < n
S i se u tiliz a n
k
té r m in o s , s e r e q u ie r e q u e e l e rro r
u Y
- Y
z - 'n 2
-1 = Y 4 f < í -1 d x = lím n2 n2 h x2
"
1
=
<
í -1 dx = lím - 1 u—+» Jk x 2 u—+» x
= lím - ( — - -k u— — +™ \ u k
= _ J_
103
k
200
P or tanto, 200 < k. E ntonces, es suficiente u tilizar 201 térm inos de la serie. (Puede em p lear una graficadora 201 — p ara h allar X _ 2 “ 1.64.)
10. S u p ó n g a s e q u e X s n c o n v e r g e e n v ir tu d d e l c r it e r io d e la in t e g r a l a p lic a d a a f (x ) y , p a r a c a d a r e s id u o ) ,
Rk d e s p u é s
de
k
n
, e l e r r o r (o
t é r m in o s s e d e f in e c o m o +~
k
+-
E s - - S Sn. n=1 n=1
E n to n ces
R
= X -= k+1
^n < J k
f( x ) dx.
X- 1 H a lle u n a c o t a e n e l e r r o r c u a n d o X — 2" e s a p r o x im a d a p o r lo s p r im e r o s c in c o té r m in o s 1 1
+ — + — + — + — = 5269 « 1 4636 + 4 + 9 + 16 + 25 3600 E l erro r
R55 <
í J5 x 2
dx =
4- = 0 .2 . 5
11. S u p ó n g a s e q u e ^ s n y ^ c n s o n s e r ie s p o s it iv a s , ^ c n c o n v e r g e y s n d espu és d e
k
p a r a to d o
-
. E n to n ce s e l e rro r
Rk
t é r m in o s e s
+-
ií
X s- - X s- = X s- ^ X n=1
-=1
n=k+1
n=k+1
c-.
1 ¿ P o r lo m e n o s c u á n to s té r m in o s s e n e c e s it a n p a r a c a lc u la r X -5 + . c o n u n e r r o r < 0 .0 0 0 0 1 ? n=1 E n e ste ca so s
n
=
n
E n t o n c e s , s e n e c e s it a
, y + 1 J
c
n
=
n5
E s s u fic ie n t e te n e r X < 0 .0 0 0 0 1. A h o r a , X " k+1 , n5 " k+1 T, n= n=
< 0 .0 0 0 0 1 = —0 0 1 ) 0 0 . D e fo r m a e q u iv a le n t e , 10 0 000 < 4
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k4
n
< í
Jk x 5
, 2 5 000 <
dx = -—t . 4k4
k4k ,
> 13 .
-^ 367^ CAPÍTULO 44
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS P a r a lo s p r o b le m a s 12 a 4 3 , d e te r m in e s i la s e r ie c o n v e rg e .
13. I
14
I
14.
1
15. i
16. I
17.
1)
n (n +
n
1) ( n
(n +
+
2)
n n
2 +1
in
2n < (n + 1 )(n + 2 ) ( n + 3 )
1
( 2n +
"
n
1)2
18.
19. I
20 . I
3 -1
n
R espuesta:
c o n v e rg e ; c o m p a ra c ió n c o n ^
R espuesta:
d iv e rg e ; c o m p a r a c ió n p o r p a s o a l lím ite c o n ^
R espuesta:
d iv e rg e ; c o m p a r a c ió n p o r p a s o a l lím ite c o n ^
R espuesta:
c o n v e rg e ; c r ite rio d e la in te g ra l
R espuesta:
co n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o
a l lím ite c o n ^
-n r
R espuesta:
co n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o
a l lím ite c o n ^
-“ 2
R espuesta:
co n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o
a l lím ite c o n ^
n "
n 3'
—f
3
ln n
R espuesta:
c o n v e rg e ; c o m p a r a c ió n p a s o a l lím ite c o n ^
R espuesta:
d iv e rg e ; te o r e m a d e d iv e rg e n c ia
R espuesta:
d iv e rg e ; s e r ie p , p = 1 < 1
23. S ±
R espuesta:
c o n v e rg e ; c o m p a ra c ió n c o n ^
24. y ^
R espuesta:
d iv e rg e ; c o m p a r a c ió n c o n ^
jln^n_
R espuesta:
d iv e rg e ; c o m p a r a c ió n c o n ^
n
R espuesta:
d iv e rg e ; c o m p a r a c ió n p o r p a s o a l lím ite c o n
R espuesta:
d iv e rg e ; c r ite r io d e la in te g ra l
n
2 1. x »
2+ 2
sen
(n )
22. E J
Vn
v»
25. I
26. I
I T + Tl n n
n
+1
;V 3 n -
27.
I
1
1
2
n -
Serles con términos positivos
12 . I
2
n ln n ¿ (ln n )
( p a r a n “ 3)
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2 -T , n - 2
— 372-
S erles con térm inos positivos
CAPÍTULO 44
« ln «
28.
^
29
—
29
(ln ( l n « ) ) 2
3+
3 21/3
3 31/^
+
15
1+ +
+ +
19
1 +
2
3
1 1) 2 ;
+
3 +... 41/3 T • 3 s n = « 73; d i v e r g e ;
s e rie p ,
p
+
2 3
2
1 .4
s n = 4« ^ 3 ;
1 .5 .6
■ 4
■ 5
3 ■ 4 ■ .3 2 3 .3 3
2
.22
2 +
.23
3
+
3
4 +
1 +
2
+
2
3 +
« («
+
5 . .34 X""' c o n v e rg e ; c o m p a r a c ió n p o r p a s o a l lím ite c o n ^
.24 X""' 1 c o m p a ra c ió n c o n ^ y
5
) ; d iv e rg e ; c o m p a r a c ió n p o r p a s o a l lím ite c o n ^
4^ + 5""
sn =
(«
« + 1) « ;
1
X""' c o n v e rg e ; c o m p a ra c ió n c o n ^
+1
R espuesta: s n =
1+
l^
4
32 +
R espuesta:
38.
c o m p a r a c ió n p o r p a s o al lím ite c o n
1 •3 + 2 •4 + 3 •5 + 4 • 6
R espuesta: s n = 36
4
1
|
1 s n = —2« ; c o n v e r g e ; “n n 2 n ’
R espuesta:
35 35.
4
^
d iv e rg e ; c o m p a r a c ió n p o r p a s o a l lím ite c o n
1 . 6 .7 .8
«+1 s n = « 3n ;
R espuesta:
2
(n 2)/ 2 ; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n c o n ^
X "1 —y
1
5 + 1 0 + 1 7 +•• • ■
R espuesta: s n = « 2+_1 3o
2 +
39
5 + 5•
+ 5•
R espuesta:
; d iv e rg e ; c o m p a r a c ió n p o r p a s o a l lím ite c o n ^
2 •4 •6 +
+
8
1
= y < 1
1 R espuesta: s n = ( « + 1) ( « + 2) --------- ( 2 n ) '; c o n v e r g e ;
33.
X"'' «"
c o n v e rg e ; c o m p a r a c ió n p o r p a s o a l lím ite c o n ^
+— 1—++ . . . . + 13
R espuesta:
32.
c o n v e rg e ; c r ite r io d e la in te g r a l
+
R espuesta:
31
R espuesta:
> 3)
+ — +___ 1___ i___ 1___ + . . . 4 2 + 7 2 + 102 + 132 + .
R espuesta: s n = (3« 30
n
(p a ra
8 • 11 s n
+ 5•
2 •4 •6 •8
8 • 11
1
,
•14 + • ”
= C 2Q 4----- . . (2«,) . ; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n c o n ^ ( - | ) n 5 . 8 ......... ( 2 + 3 « )
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1
1 3 -
1
^ «y
^ 369^]
2
10
+ ...
d
68
30
CAPÍTULO 44
40. 3 + _^ + I L +
'
R espuesta: s n = 2 n ++n; converge; com paración p o r paso al lím ite con ^ ■n-2
Series con términos positivos
3 + 10 + 2 L + _6^ + 2 + 24 + 108 + 320 + " ' . R espuesta: s n = ^ _+n2¡ ; diverge; com paración p o r paso al lím ite con ^ 1 1 2 -----1-3----------1 4 -----—-----h ••• 42. --- ------1----- — 2 2 - 13 2 - 24 2 - ^ 5 2 - 4 s n = (n
R espuesta:
43.
+ 1 2 3 - 12 + 3 3 -
R espuesta: s n =
44.
n + 1) 2—
n ’
diverge; com paración p or paso al lím ite con
1
^
n
^
n ir
+ 1 + 1 + ... 2 2 + 4 3- 3 2 + 5 3- 4 2 + . (n
+ 113 —n 2; converge; com paración p o r paso al lím ite con
(C G ) E s tim e e l e rro r c u a n d o : +^ 1
S S
a)
3n
+
1
e s a p r o x im a d a p o r la s u m a d e s u s p r im e r o s s e is té rm in o s .
3 3
e s a p r o x im a d a p o r la s u m a d e s u s p r im e r o s s e is té rm in o s .
n=1
4 n=1 4
b)
1
— +
R espuestas:
45.
(C G )
a)
a)
0 .0 0 0 1 ; b ) 0 .0 0 0 0 9
C a lc u le e l e r r o r c u a n d o la s e rie g e o m é tr ic a
^
2
"e s
a p r o x i m a d a p o r la s u m a d e s u s p r im e r o s s e is
té r m in o s . b)
¿ C u á n to s té r m in o s s o n s u fic ie n te s p a r a c a lc u la r la s u m a s i e l e r r o r p e r m is ib le e s 0 .0 0 0 0 5 ?
R espuestas:
46.
(C G )
a)
a)
0 .0 4 1 ; b ) 16
¿ C u á n to s té r m in o s e s s u f ic ie n te a p r o x im a r
S S
"V
1 —4
c o n u n e r r o r < 0 .0 0 1 ?
n=1 n
1
+^
b)
c)
D e te rm in e u n lím ite e n e l e r r o r s i s e a p ro x im a
¿ C u á l e s la a p r o x im a c ió n a
S
~
p o r la s e x ta s u m a p a rc ia l
n=1 n
~ r p o r la s e x ta s u m a p a r c ia l, c o r r e g id a a c u a tro c ifra s d e c im a le s ?
n=1 n
R espuestas:
47.
a)
1 ; b ) 0 .0 0 1 5 ; c ) 1 .0 8 1 1
(C G ) S e a S n la n -é s im a s u m a p a rc ia l 1 + 2
+---------+ - i
d e la s e r ie a r m ó n ic a d iv e rg e n te .
a)
D e m u e s tr e q u e ln (n + 1) < S n < 1 + ln n.
b)
S ea
c)
D e m u e s t r e q u e ( E n) c o n v e r g e . S u l í m i t e s e r e p r e s e n t a c o n y y s e d e n o m i n a l a c o n s t a n t e d e
d)
U se u n a g ra fic a d o ra p a ra a p ro x im a r
En=
S n - l n n . D e m u e s t r e q u e ( E n) e s a c o t a d a y d e c r e c i e n t e .
E 999 a
o c h o c ifra s d e c im a le s .
Respuestas: d) 0.57771608 (de hecho, y ~ 0.57721566).
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Euler.
CAPÍTULO 44
48. (E xtensión del criterio de com paración p or paso al lím ite.) Supóngase que D em uestre a) b)
S erles con térm inos positivos
n y ^ tn son series positivas.
lím — = 0 y Y tn converge, entonces Y 'sn tam bién lo hace.
n^+” tn
lím -n = n^+~ tn
y ^ í n diverge, entonces 'Y s n tam bién lo hace.
49. A plique la extensión del criterio de com paración p o r paso al lím ite p ara determ inar si X R espuesta:
converge; use ^
50. S upóngase que
^
y
(ln n )4 3
converge.
el problem a 4 8 a ).
sn es una serie positiva y l í m ^ ^ n sn existe y es positivo. D em uestre que X s n diverge.
(Sugerencia: com pare p o r paso al lím ite con Y ( j - ) . )
51. S upóngase que ^ sn y ^ tn son series convergentes positivas. D em uestre que ^ sn tn converge.
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Series alternadas. Convergencia absoluta y condicional. Criterio del razón
Series alternadas U n a serie cu y o s té rm in o s so n a lte rn a tiv a m e n te p o sitiv o s y n e g ativ o s e s u n a se rie a lte rn a d a . S e p u e d e e sc rib ir d e la fo rm a X ( - 1 )n+1a n =
a . - a 2 + a 3 - a 4 + a 5 - ...
d o n d e a n so n to d o s p o sitiv o s. Teorem a 4 5 .1 . Teorema de las series alternadas. S e a X c e s i ó n (a n) e s d e c r e c i e n t e ; 2 . l í m n an= 0 . E n to n c e s : I. II.
X
( - 1 ) n + 1a
Si
A ne s
n
( - 1 ) n+ '
an u n a
s e rie a lte rn a d a . S u p ó n g a s e q u e :
1.
la s u
c o n v e rg e a u n a s u m a A .
la n - é s im a s u m a p a rc ia l y
Rn= A
-
A nes
e l e r r o r c o r r e s p o n d i e n t e , e n t o n c e s IR n l <
a n+.
(e s d e c ir, e l
e r r o r e s m e n o r e n m a g n itu d q u e e l p r im e r té r m in o o m itid o ).
a 2n+.
C o m o ( ü —) e s d e c r e c i e n t e ,
A
E n to n c e s , la s u c e s ió n
=
2n+2
(A 2n) A
>
a 2n+2
( ü 1
-
a 2n+.
y, p o r ta n to ,
ü 2)
+
( ü 3
-
+
=
A 2 n + ( a 2 n+ 1
ü 4)
-
a 2n+2
> 0 . E n to n c e s ,
a 2n)
+ ( ü 2n -1 -
a 2 n+ 2 )
-
>
+ ( ü 2n+1 - ü
2n+2)
A 2n> 0
e s c r e c ie n te . T a m b ié n ,
2n =
a
, -
(ü 2
a
-
3) -
(ü 4
Ü5
-
) (ü 2 --2 -
I.
P o r t a n t o , ( A 2n) e s a c o t a d a . L u e g o , p o r e l t e o r e m a 4 2 . 8 ,
ü^
(A 2n)
- j)
-
ü 2-
<
ü ,
c o n v e rg e al lím ite L . A h o ra A
2n+ .
= A
2n
a 2n+ . .
+
P o r c o n s ig u ie n te ,
^ A s í p u e s , lím
H. Rm < ü
= ( a 2n+1 - a 2n+1.
( ü 2 -+ 5
n^ +„
2n+2)
A n= L
y , p o r ta n to ,
+ ( ü 2n+3 -
a 2n+4)
P a r a ín d ic e s im P a re s , R
- a
2n+6)
+ •••> - Ü
2n + 2.
2 n +1
A 2n + ^
A2n+1 = X
( - 1 ) n + Ta
+ '"> 0 y R = -(a
P o r t a n t o , IR ^
2n+2
+ T
<
2n
- ü
c o n v e rg e .
n
= ü
2n+1
2n+3)
ü 2- + 2 .
ü2n+1 = L + 0 = L
- ( ü 2n+2 - ü
2n+3)
- ( ü 2 n+ 4 - ü 2n+ 5) - " < ü 2 n + .. P o r t a n t ^
0 y R 2n+1 k, IR * I < a k+ . .
- ( ü 2n+4 - ü 2n+5) - " <
A s í, p a ra to d o
= -ü
2n+2
+ ( ü 2n+3 -
a 2n+4)
IR 2 n I +
«
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71J
CAPÍTULO 45
EJEMPLO 45.1.
S erles alternadas
La serie armónica alternada 1_ 1 + 1 _ 1 + 1 _ 1 1 2 3 4 5 6
+ ...
converge en virtud del teorem a de la serie alternada. P or el num eral II de ese teorem a, la m agnitud IRnI del error después de n térm inos es m enor que n + 1 • Si se desea un error m enor que 0.1, es suficiente tom ar
+ 1 < 0.1 = 110 ,
que equivale a 10 < n + 1. E ntonces, n > 9. A sí, debe usarse A, = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1 8 7 9 ~ 0 7456 A 1 2+ 3 4 + 5 6+ 7 8+
Definición.
92520
C onsidérese una serie arbitraria E s ,
E s n es ab solutam ente convergente si ^ l s nl es convergente. E s n es condicionalm ente convergente si es convergente pero no absolutam ente convergente.
EJEMPLO 45.2.
La serie arm ónica alternada ^ ( - 1)n+1 1 es co ndicionalm ente convergente.
EJEMPLO 45.3
La serie ^ ( - 1)n+1 n ' es absolutam ente convergente.
Es necesario enunciar dos resultados significativos sobre la convergencia absoluta y condicional. E n adelante, p o r reorganización de una serie se entenderá una serie obtenida de una serie dada m ediante la reorganización o reo r denam iento de sus térm inos (es decir, cam biando el orden en el que se presentan los térm inos). 1.
Si
es absolutam ente convergente, entonces toda reorganización de E s n es convergente y tiene la m ism a
sum a que E * , 2.
Si ^ s n es co ndicionalm ente convergente y si c es cualquier núm ero real o + ^ o - ^ , entonces hay una reorga nización de
con sum a c.
Teorema 45.2.
Si una serie es absolutam ente convergente, entonces es convergente. E n el problem a 1 p uede verse la dem ostración. O bserve que una serie positiva es absolutam ente convergente si y sólo si es convergente. El siguiente es probablem ente el m ás útil de todos los criterios de convergencia.
Teorema 45.3. El criterio de la razón. 1.
Si lím
•V i
2.
Si lím
•
Sea E s n una serie cualquiera.
= r < 1 , entonces E s n es absolutam ente convergente.
n+1 = r y (r > 1 o r = + ^ ) , entonces ^ s n, diverge. n
•
3.
Si lím
= 1 , entonces no se puede deducir ninguna conclusión sobre la convergencia o divergencia de E sn .
Para ver una dem ostración, rep ase el problem a 14.
Teorema 45.4. El criterio de la raíz.
Sea ^ s n una serie cualquiera.
1.
Si Si lím n lsnl = r < 1, entonces V s n es absolutam ente convergente. n^ + ^ V
2.
Si lím n lsnl = r y (r > 1 o r = + ^ ) , entonces £ . s n es absolutam ente divergente.
3.
Si lím n lsnl = 1, entonces no se puede deducir ninguna conclusión sobre la convergencia o divergencia de V s n. En el problem a 15 p uede ver una dem ostración.
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-^ 373^
la s e rie c o n v e rg e a b s o lu ta m e n te .
2 2n I 4 ~ n n ~. E n t o n c e s , l í m n^ +„ ^ I s n I = l í m ^ t - “ = 0 - P o r e l c r i t e r i o d e l a r a í z ,
DemuestrequesiEsn esabsolutamenteconvergente, entoncesesconvergente. 0
Sn
^
3 «?•
1)
( - )
n
n
e
+ i
+
“
+ i
e
2
e
i
s
34•
'
e
n
x
e
1
1-
1
,
1
,
1
=(-1 )n+ — ~ Como(—¡= ¡ esunasucesióndecreciente, laserieconvergeenvirtuddelteoremadeseries (-1)n +11-^. alternadas. Peros i esdivergente, yaqueesunaseriep conp =-1 <1. sn
vV nn
1_ 1 + 1
_
1 8
\ v n /
+ ...
. Laserie1-2 +4 - i +--esunaseriegeométricaconrazónr =-y.ComoIrI<1,convergey,portanto, la seriedadaesabsolutamenteconvergente. 2
1_ 2 1 3
4
+ _3 _ 4 + 32
+ ...
33 +
=(-1)n+13 -1.Seaplicaelcriteriodelarazón: lím SnSn+1 n3+1n n n +1 -13 Entonces, Snn+1 3<1 Portanto, laseriedadaesabsolutamenteconvergente. 1_2 1 . 3 1 _ 4 _1 2 3' 23 4' 33 5 ' 43 n 1 n n+ 1n 1 “3.P resteatencióna I I. sn n 3 Entonces I Iconvergeporcomparación conlaseriep convergente2 “-.Portanto, laserieesabsolutamenteconvergente. sn
S
n
3
s
=
2 _ 3 3
(- 1)
1
4 ' 2
+
, 4
^
1 _ 5
1
6
' 4
5 ' 3
sn
I
I =
+
y “
<
“
t
.
^
sn
n+ 11 sn =(-1 +11. ObserveM que(\nn + + 1 •— )esunasucesióndecreciente^Icxo\(x moD+2I)x, x/ +.1 )<0)I.Por v )n7 +1 nn + 2n 2 n/ tanto, laseriedadaesconvergenteporelteoremadeseriesalternadas. Sinembargo, sn>1 1“ •Entonces, 2 Isn Idivergeporcomparacióncon2 “.Esdecir, laseriedadaresultacondicionalmenteconvergente. I
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I
Series alternadas
PROBLEMAS RESUELTOS
CAPÍTULO 45
E
CAPÍTULO 45
2 _ 21 + 2 3! + sn=
25 _
21 +
...
. 22n - 1 ( - 1 ) n+1( 2« — 1) ! . Se aplica el criterio de la razón: 5!
7! +
+
22n 1
s
( 2n +
s sn
P or tanto, lím
n
4 23 + 1
10 . - k -
2
S erles alternadas
0 y,
=
22n
1) 7
( 2« -
1) !
( 2n +
4 1) ( 2n )
p o r c o n s ig u ie n te , la s e r ie e s a b s o lu ta m e n te c o n v e rg e n te .
9 16 33 + 1 4 3 + 1 1 «2 2 I «2 \ «3 + 1. C om o ( 3 + 1 ) es una sucesión d ecreciente p ara
s n = (-1 )
n >
2, la serie dada converge p o r el
teorem a de series alternadas. L a serie ^ ls « i es divergente p or la com paración p o r paso al lím ite con ^ « . Por tanto, la serie dada es co ndicionalm ente convergente.
2
4 43 + 1
3 33 + 1
2 23 + 1
11. -k -
s n = ( - 1)n+1 « 3«+ 1 . X ls«l es convergente p o r la com paración p or paso al lím ite con X « r - P or ello, la serie dada es absolutam ente convergente.
12.
1 ___________ 1 1 _J______ 1•2 sn =
2 • 2 2 T 3 • 23
4 • 24
_± ( - 1 )n+1 - 1 - . Se n 2n
aplica el criterio de la razón: s (n
A sí, lím
13.
X
( - 1)
s = sn
2
<
1
1 1 + 1)2n 1/ « 2 n
+
1 n+1 2
. Entonces, la serie dada es absolutam ente convergente.
n+1__n_ (n +
1) ! '
Se aplica el criterio de la razón: s
A sí, lím
s sn
= 0
1)3 + 2) Y
(n + (n
(n
n3 + 1) !
\
1 n +1 n j \n + 2
. P or tanto, la serie dada es absolutam ente convergente.
14. Justifique el criterio de la razón (teorem a 45.3) a) Sea lím s
= r < 1 . Se selecciona t tal que r < t < 1. E ntonces, existe un entero m tal que si n > m,
< t. P or tanto, lsm+1l ^ tlsm1,lsm+2l ^ tlsm+1l ^ t2|sm1,
-
lsm J ^
Pero X ^ l s J es una serie geom étrica convergente (con razón t < 1). L uego, p o r el criterio de com paración, X ls«l converge. A sí, ^ s « es absolutam ente convergente. b) Sea lím Sn+1 = r
sn
S Al
sn+1 > t. P or tanto, sn
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-^ 375^
18 18
1+ 1+
)2/
n '
1 1 + 1 2 1 + 1-2-3-4 +. . 1 . 3 + 1 . 3 . 5 + 1 •3 •5 • 7 +
(n +1)! ___ n!____ = n +1 "=___ 135....n___ (2n-1)' Entonces, - n±L ________ 1•35...(2n+1)/ 135.... (2n-1) =2n+1' Así, lím ss n =1 <1. Portanto, laserieconvergeporelcriteriodelarazón.
í
1199 22 + +3214+ +43— 42 + +54— 43 Así, lím ss n 20. 1 +
11 r . ín+1 í n +2 1 \ h n +1 1 \ 1 n(n+2) ín =— n -4 4^n . Entonces,—=(—¡- )/(— 411 )=-4-----4 (n+1)2 ' =4 <1. Portanto, laserieconvergeporelcriteriodelarazón.
22 +1 . 32+1 . 42 +1 . 23 +1+33 +1+43 +1+•' S"
= n2 + 1 n3 + 1
Tuego 1 ±L=(n+1)2 +1 ' sn (n +1)3+1/ n3 +1
n 2+1
=((n+1)2 +1)(n3+1) ((n+1)3+1)(n2+1)'
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Serles alternadas
=
(n +
CAPÍTULO 45
Porconsiguientelimsn = ™ y,porelteoremadedivergencia, ^]sn diverge. c) Considere'V1. lím s =lím 1:+-1)1M 1n =límn +1 =1.Enestecaso, laseriediverge. Ahora n considereV—n22 2 lím ss n =lím 1 1 Enestecaso, laserieconverge. 15. Justifiqueel criteriodelaraíz(teorem a45.4). a) Supóngasequelím n^+„ =r <1.Seseleccionat demaneraquer m. Portanto, lsnl m. Porconsiguiente,E¡sJ convergepor comparaciónconlaseriegeométricaconvergente^tn.Entonces, Esn esabsolutamenteconvergente. b) Supóngasequelímn^+„"JÍsJ = r yr >1or =+^. Seseleccionat demaneraque1t paran > m. Entonces, lsnl>tnparan > m. Comolím^n»tn = +°°, lím^^sn = ^. Por consiguiente, porelteoremadedivergencia, Esn diverge. c) Considere^ 1 yEn". Enamboscasos, límn^+„ =1.(Nótesequelímn^+„n-n =límn^+„e -1 n)/n=1). Enlosproblemas 16a22, apliqueelcriteriodelarazónparaprobarlaconvergenciadelasseries. 12 3 4 16. 3+32+3^+34' sn+1 =n +1 n =1 n +1 Entonces, lím s 3< 1 n^+ s n sn 3 n+1 / 3n 3 n ' Así, laserieconvergeporelcriteriodelarazón. 17 1 +2 +3!+4! 17. 3+32 +33 +34 " +1 =(n+1)! /n! =n +1 sn =3! E ntonces, sn sn 3n+1 3n 3 s Luego, lím s n =+00 ylaseriedivergeporelcriteriodelarazón.
CAPÍTULO 45
S eries alternadas
í
= 1 . P or ende, el criterio de la razón no arroja conclusión alguna. Sin em bargo, la X""' 11 com paración p o r paso al lím ite con ^ nn m uestra que la serie diverge. E ntonces, lím
í
2 1. S
n3" <(n + 1)! ' i
s í
1 = ( n + 1)3 ( n + 2)!
í
/
(n +
n
1) !
n
/ +
2
n 3= n n ^+ »
n
= 0+
1—
.
E n to n c e s ,
P or tanto, la serie converge p o r criterio de la razón.
s n+1 = (n + 1)n+1 / n n / n + 1 /■ , i m / i = ( 1 +— I . sn (n + 1) ! / n ! \ n )
í E n to n c e s ,
\
n '
lím
ín
=e>1
P or tanto, la serie diverge p o r el criterio de la razón.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS En los problem as 23 a 40, determ ine si la serie alternada indicada es absolutam ente convergente, condicionalm ente convergen e o divergente.
23. X (
24. X ("
) n +1
1 n!
) n +1
1
in+i
n
ln n
1 2n -1
) n +1
R esp u e sta : co ndicionalm ente convergente
1
)
Respuesta: divergente
V3
1
29. S (
32. X ( -
Respuesta: co ndicionalm ente convergente
3n + 1
27. X ("
31. E (
Respuesta: divergente
n +1
26. X (
3° . S (
R esp u e sta : co ndicionalm ente convergente
ln n
25. X ("
28. X (
R esp u e sta : absolutam ente convergente
( 2n -
R esp u e sta : absolutam ente convergente 1)2
n+1_____ 1______ V n (n +
n+1
1 (n +
1)2
1 n2 + 2
R esp u e sta : co ndicionalm ente convergente
1)
Respuesta: absolutam ente convergente
Respuesta: absolutamente convergente
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lím
-^ 377^
Respuesta: condicionalm ente convergente
35. X (-1 )
Respuesta: absolutam ente convergente
n4 + 2 4
36. X ( - ‘)n+1n (44
Respuesta: absolutam ente convergente
n2- 3 37. X ( - ‘)n n 2 + n + 2
Respuesta: divergente
38. X ( - ‘)n
n +1 2n
Respuesta: absolutam ente convergente
3
Respuesta: absolutam ente convergente
39. X (- 1 )n+1 2 ^
40. £
c o sn n n2
Respuesta: absolutam ente convergente
41. (CG) ¿C uántos térm inos de ^ (- 1 )n+1 - 1 serán suficientes p ara o btener una aproxim ación dentro de 0.0005 de la sum a real? D eterm ine la aproxim ación. Respuesta:
n = 6 : 1 4 4 ~ 0.632
42. (CG ) ¿C uántos térm inos de ^ (- 1 )n+1
1), b astarán p ara o btener una aproxim ación de la sum a real con
un error < 0.001? D eterm ine tal aproxim ación. Respuesta:
n = 3; 0.842
43. (C G ) ¿C uántos térm inos de ^ ( - 1 )n+1 ^ bastarán p ara o b ten er una ap roxim ación de la sum a real con un error < 0.001? D eterm ine la aproxim ación. Respuesta:
n = 1000; 0.693
En los problem as 4 4 a 49, determ inar si la serie converge.
44. X
45.
I
( n !)2 ( 2n)!
Respuesta: convergente
( 2n)! ..
Respuesta: divergente
46. X (in 2 )n
47.
s
n
Respuesta: divergente
Respuesta: convergente
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Series alternadas
34. £ (- 1 )n+1 — n n2 +1
CAPÍTULO 45
R esp u e sta : absolutam ente convergente
( n !)2
CAPÍTULO 45
S eries alternadas
4n
48.
Respuesta: convergente
X (n + 2 )n
49. X (
Respuesta: divergente
—)
50. D eterm ine si ^ ( - 1 ) n+1(Vn + 1 - y f ñ ) es absolutam ente convergente, condicionalm ente convergente o divergente. R esp u e sta :
co ndicionalm ente convergente
En los problem as 51 y 52, d eterm ine el núm ero de térm inos que bastan p ara aproxim ar la sum a de la serie indicada con precisió n de cuatro cifras decim ales (es decir, con un error < 5/105) y calcule la aproxim ación.
51.
52.
+”
1
n=1
n
(CG ) £ ( - 1 ) n+1
(CG ) ^ ( - 1) n+1-(2------ —T
n=1 53.
Respuesta: n = 6 ; 0.9721
R espuesta: n = 4; 0.8415
''
^
Sea IrI < 1 a)
D em uestre que ^ p r n = f + 2 r 2 + 3T3 + 47a + ... converge.
b)
D em uestre que X n f n = (1 f )2 .(Sugerencia: sea S = r + 2 r 2 + 3T3 + 4f* + ", m ultiplique esta ecuación n=1 ^ ' p o r r y reste el resultado de la ecuación original).
c)
D em uestre que Y
=1
= 2-
n
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Serie de potencias
Serie de potencias U n a serie in fin ita ^
x
a n( - c )n = a 0 + a 1 ( x - c) + a 2 ( x -
n=0
c) 2 +• • •
(4 6 .1)
se d e n o m in a se rie d e p o te n c ia s e n x en to rn o a c c o n c o e fic ie n tes (a„>. U n c a so e sp e c ia l e im p o rta n te
^ a nx n =a +a1x+a2x2+— 0
(4 6 .2 )
n=0
es u n a serie d e p o te n c ia s e n to rn o a 0 . P a ra u n v a lo r d e x d ad o , la se rie (4 6 .1 ) co n v erg e o d iv erg e. P o r ta n to , (4 6 .1 ) d e te rm in a u n a fu n c ió n f cu yo d o m in io es e l c o n ju n to d e to d o s lo s x p a ra lo s c u a le s (4 6 .1 ) co n v erg e y c u y o v a lo r f x ) c o rre sp o n d ie n te es la su m a d e la serie. N ó te se q u e (4 6 .1 ) co n v e rg e cu a n d o x = c. EJEMPLO 4 6 .1 .
La serie de potencias en torno a 0 ^ x n = 1 + x + x 2 + •••
n=0 es una serie geom étrica con razón r = x. A sí, converge para lxl < 1 y su sum a es 1 - —. E ntonces, el dom inio de la función correspondiente es un intervalo en torno a 0 . T eorem a 4 6 .1 . S upóngase que la serie de p o ten cias ^ a n(x - c ) n co n v erg e p ara x 0 ^ c. P or tanto, converge absolutam ente p ara todo x tal que lx - cl < lx0 - cl (es decir, p ara todo x que esté m ás próxim o a c que x0). R epase el problem a 4 para ver una dem ostración.
T eorem a 4 6 .2 .
P ara una serie de p otencias ^
a n(x - c ) n, uno de los tres casos siguientes es verdadero:
a)
C onverge p ara todo x.
b)
C onverge p ara todo x en un intervalo abierto (c - R 1, c + R 1) alrededor de c, pero no fuera del intervalo cerrado [c - R 1, c + R 1].
c)
C onverge sólo para x = c . P or intervalo de convergencia de ^
a n(x - c ) n se entiende:
E n el caso a): ( - ^ , + ^ ) E n el caso b): (c - R 1, c + R 1) E n el caso c): {c}
«
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79J
CAPÍTULO 46
P or radio de convergencia de ^
S e rie de potencias
an(x - c )n se entiende:
En el caso a) En el caso b) R 1 En el caso c) 0 N ota: en el c a so b), si la se rie d e p o te n c ia s n o co n v e rg e e n n in g u n o d e lo s p u n to s fin ale s d e su in te rv a lo de co n v e rg e n c ia e n u n o o e n a m b o s p u n to s fin ales, d e p e n d e d e la se rie dada. P a ra v e r u n a d e m o s tra c ió n d e l te o re m a 4 6 .2 , re p a s e el p ro b le m a 5. EJEMPLO 4 6 .2 .
La serie de potencias V (x - 2 )n _ . = (x -
n=1
(x - 2)2 2) + 2
(x - 2)3 3
es una serie de potencias en torno a 2. Se utiliza el criterio de la razón p ara h allar el intervalo de convergencia
n+1 Sn
lx - 2ln+ n +1
lx - 2ln n
n +1
Entonces, lím
lx - 2l .
n+1= lx -
Sn
2l.
E n to n ces, p o r el c riterio de la ra z ó n , la serie co n v e rg e ab so lu ta m e n te p a ra lx - 2l < 1. L a ú ltim a d esig u ald ad eq u iv ale a - 1 < x - 2 < 1, q u e a su vez e q u iv ale a 1 < x < 3. P o r tanto, el in terv alo de co n v erg en cia es (1, 3) y el
1K~1)n/ n ], lo que co n v erge p o r _(1/n ), la serie arm ónica
radio de co n v erg en cia es 1. E n el p u n to term in al x = 1, la serie se co n v ierte en
el teo rem a de series alternadas. En el p u n to term in al x = 3, la serie se co n v ierte en £ divergente. E nto n ces, la serie d e p o ten cias co n v erg e p ara 1 < x < 3.
EJEMPLO 4 6 .3 .
La serie de potencias
n£_0x a _ 1 + x + § + 1
-+■ ■■
es una serie en torno a 0. (R ecuérdese que 0! = 1.) Se u tiliza el criterio de la razón: s sn
lxln (n + 1)! /
lxl" n!
lxl n + 1'
E ntonces, lím
s sn
=
0.
A sí, p o r el criterio de la razón, la serie converge (absolutam ente) p ara todo x. Su intervalo de co nvergencia es (- ^ , + ^ ) y su radio de convergencia es ^ .
EJEMPLO 4 6 .4 .
L a serie de potencias
£ n ! x n _ 1 + x + 2! x 2 + 3 !x 3 + ■■■
n_0 es una serie de potencias en torno a 0. Se utiliza de nuevo el criterio de la razón:
sn
(n + 1)! lxln+1 - _ (n + 1) lxl. n!lxln
E ntonces, lím
sn
=+
excepto cuando x = 0. A sí, la serie converge sólo para x = 0. Su “ intervalo” (degenerado) de convergencia es {0} y su radio de convergencia es 0 .
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Convergencia uniforme Sea f u n a su c e sió n d e fu n c io n e s, to d a s d e fin id a s e n u n c o n ju n to A. S e a f la fu n c ió n d e fin id a en A . E n to n c e s, f n) converge u n ifo rm e m e n te a f en A si p a ra to d o e > 0 e x iste u n en te ro m p o sitiv o ta l q u e p a ra c a d a x en A y to d o n > m , f n(x) - f x ) l < e .
a (x - c ) nconverge p ara x 0^ c y d < lx0- cl, entonces la sucesión de -^^n=0 n a n(x ~ c ) n, co n v erg e u n ifo rm em en te a ^ 0a n(x ~ c ) n en el in terv alo q u e consta
Si una serie de p otencias X
._
sum as p arciales (Sk(x)), d onde Y
de todos los x tal que Ix - cl < d. P or tanto, la co nvergencia es u niform e en cualq u ier intervalo estrictam ente dentro del intervalo de co n v erg en cia. Se rem ite al lector a libros m ás avanzados p ara h allar una dem ostración de este resultado.
Teorema 46.4. Si (fn) converge u niform em ente a f en un conjunto A y cada f n es continuo en A, entonces f es continuo en A . E n el problem a 6 se o frece una dem ostración.
L a función definida p o r una serie de potencias ^ a n(x ~ c ) n es contin u a en todos los puntos dentro de su intervalo de convergencia. n0 E sto se d educe de los teorem as 46.3 y 46.4.
Corolario 46.5.
Teorema 46.6. Integración de series de potencias. X
S ea f la fu n ció n d e fin id a p o r u n a serie de p o te n c ias
a,n(x ~ c ) n en su intervalo de co nvergencia (con radio de convergencia R 1). Entonces:
J f (x ) d x = Y a n ('x n=0
a)
— + K
Ix - cl < R 1
p ara
(46.3)
donde el intervalo de convergencia de la serie de p otencias en el m iem bro derecho de la fórm ula (46.3) es el m ism o que el de la serie original. K es una constante de integración arbitraria. N ótese que la antiderivada de f se obtiene p o r integración térm ino a térm ino de una serie de potencias dada. b)
Si a y b están en el intervalo de convergencia, entonces:
b cb
^
£ f (x )d x = Y
(x - c )n
(46.4)
a„-------- n +1
rb Ja
A sí, I f (x )d x se obtiene p o r integración térm ino a térm ino. U na dem ostración del teorem a 46.6 debe consultarse en un libro m ás avanzado.
Teorema 46.7. Derivación de serie de potencias. X
S ea f la fu n c ió n d e fin id a p o r u n a se rie d e p o te n c ias
cin(x ~ c ) n en su intervalo de convergencia (con radio de convergencia R 1). E n to n ces,fes derivable en ese intervalo y
f '(x ) = ¿ na n(x -
c ) n_1
p ara
lx - cl < R 1
(46.5)
n=0 P or consiguiente, la derivada f se obtiene m ediante derivación térm ino a térm ino de la serie de potencias. El intervalo de convergencia de la serie de potencias del m iem bro derecho de la fórm ula (46.5) será el m ism o que para la serie de potencias original. P ara una dem ostración, el lector debe rem itirse a textos m ás avanzados.
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Serie de potencias
Teorema 46.3.
CAPÍTULO 46
-----4381^
CAPÍTULO 46
^ 3 82^ EJEMPLO 46.5.
S e rle de potencias
Y a se sabe, p or el ejem plo 46.1, que p ara Ixl < 1,
ZT~ = X
1- x
x
n=
1+ x + x
2+
x
3+
••• + x
n+
•••
(46.6)
n=u
A hora, D x (y 1 x ) = (1 1x) 2 . E ntonces, p o r el teorem a 46.1, (1 _1x ) 2 = 1
+ 2 x + 3x2+••• +
= ^ n x n~l = ^
(n
n x n 1+ • • • para Ixl < 1
+ 1) x n
n=1 EJEMPLO 46.6.
Se sabe que 1 +« 1-= ^ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ••• + x n + ••• n=0
para Ixl < 1
Se rem plaza x p o r - x (lo cual es perm isible, ya que I-x I = Ix I < 1). El resultado es - r ^ = S ( —x ) n = S ( —1) nx n = 1—x + x 2 —x 3 + ' ' ' n=0 n=0
(46.1)
P or el teorem a 4 6 .6 a ), se p uede integrar térm ino a térm ino:
JA
+ K - S ( - - ) - -n n=1
= S (—« ‘ ^ n=0
+K
p*ra w < 1
n ln
|1 + x| = S
n=1
( —1 ) n- - x _
n
+ K p ara
Ixl < 1
C on x = 0 y observando que ln 1 = 0, se advierte que K = 0. T am bién se observa que p ara Ixl < 1, se tiene que -1 < x < 1, 0 < 1 + x < 2 y, p o r consiguiente, I1 + xl = 1 + x. P or tanto,
l n (1
+ x) = S
( —1 ) n— 1—
p a r a Ix l < 1
n=1 = x —2 x 2 +
1
x 3 —1 x 4 + ' "
(46.8)
El criterio de la razón m uestra que esta serie converge. Si se rem plaza x p o r x - 1 se obtiene ln
x=
(-
1) n- 1( x— 5^—
p ara Ix - 1I < 1(46.9)
n=1 Se observa que Ix - 1l < 1 equivale a 0 < x < 2. A sí, ln x es definible p or una serie de potencias dentro de (0, 2).
Teorema 46.8. Teorema de Abel.
Supóngase que la serie de potencias ^
a n( x - c ) n tiene un intervalo finito de
convergencia Ix - cl < R 1 y sea f una función cuyos valores en ese intervalo están dados p o r tal serie de potencias. Si la serie de potencias tam bién converge en el punto term inal de la d erecha b = c + R 1 del intervalo de convergencia, entonces lím x^ b- f x ) existe y es igual a la sum a de la serie en b. El resultado análogo se cum ple en el punto term inal de la izquierda a = c - R 1. Si desea consultar una dem ostración, la encontrará en libros m ás avanzados.
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------------- ^ 383^ CAPÍTULO 46
EJEMPLO 46.7.
Esta es una continuación del ejemplo 46.6. Por la fórmula (46.8)
p ara lxl < 1
E n el punto term inal de la d erecha x = 1 del intervalo de convergencia, la serie de potencias se convierte en la serie arm ónica alternada convergente
+” X
n=1
1 (- 1) « - 1 - 1 = 1 - 1
+
1 +1
+ •••
Por el teorem a de A bel, esta serie es igual al lím ln (1 + x ) = ln 2 . Entonces, X— >1_ ln 2 = 1 - 1 + ,3 - -L + ...
EJEMPLO 4 6 .8 .
(46.10)
E m piece de nuevo con 1 1----- = X x n = 1 + n=0
x
+
x
2+
x3
para lxl < 1
H--- h x n
Se rem plaza x p o r - x 2 p ara obtener
1
1 + 2 = X ( - 1)nx 2n = 1 1+ x n0
=
x
2+
x
4-
x
6 + •••
(46.11)
C om o l-x2l < 1 equivale a lxl < 1, (46.11) se cum ple para lxl < 1. Ahc A hora, p or el teorem a 46.6a), la antiderivada tan 1 x de — ’ pue de obtenerse m ediante integración térm ino a 1+ x 2 térm ino:
t a n -1 xx
•J-, r 2n+1 = X ( _ 1) n 2- + 1 +
K
p a ra lx l <
1
n=0 = K +x -
x 3 + ■}x 5 - 1 x 7 +•••
A quí, K es la constante de integración. Si x = 0 y se observa que tan -1 0 = 0, se deduce que K = 0. P or tanto, v 2n+1 tan -1 x = X (_ 1)n £« + 1 = x n=0
x 3 + 5 x 5 - 7 x 7 + •••
(46.12)
E n el punto term inal de la d erecha x = 1 del intervalo de convergencia, la serie en (46.12) se convierte en
£n=0 (- 1)- 2- n
- 1 - -3+ * - + + "
la cual converge en virtud del teorem a de las series alternadas. E ntonces, p o r el teorem a de Abel,
1
-■}
+ 1 - y + • • •= lím ta n - 1(x) = tan -1 1 = n x^1 4
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(46.13)
Serie de potencias
= -
ln (1 + x ) = X ( - 1)« 1 ~ n1
S e rie de potencias
CAPÍTULO 46
^ 384^
derivación térm ino a térm ino (teorem a 46.7),
n !
converge p ara todo x. Sea
f (x )
'V"' Tn =
=
n
- para todo x. Por
n 0
= 1
n=1 v
^
=
n 0
f '( x )
O bserve q u e f(0 ) =
Xn
E
x n ^ f (x) n=0
1. P or consiguiente, p or la fórm ula (2 8 .2 ),f x ) = ex. Así,
ex
=
¿
Para todo x
nT
=
(46.14)
n 0
PROBLEMAS RESUELTOS D eterm ine el intervalo de convergencia de la serie de potencias
f
= (x -
^
2)
+
n=1
2
e identifique la función representada p o r esta serie de potencias. A plique el criterio de la razón: lx -
sn
n
2ln+ +1
2ln
lx -
n +1
n
lx -
2l .
L uego,
lím
s sn
= lx -
2l
-
P or tanto, el intervalo de convergencia es lx - 21 < 1. (Esto equivale a -1 < x - 2 < 1, que a su vez equivale a 1 < x < 3.) En el punto term inal de la derecha x = 3, la serie es la serie arm ónica divergente, y en el punto term inal izquierdo x = 1, la serie es la negativa de la serie arm ónica alternada convergente. P or tanto, la serie converge p ara 1 < x < 3. ( x —2) n — . P or el teorem a 46.7, h '(x ) = ^ ( x - 2 ) n_1. E sta es una serie geom étrica con Sea h (x ) = n=1 n=1 1 1 1 prim er térm ino 1 y cociente (x - 2); entonces, su sum a es ^ — ( ^ — 2) = 3— x ' P or ende, h ' (x) = 3 1 x • Por ende, h (x) = J
l3 - xl + C A hora,
=_
(2 - 2) n = 0 n n=1
y
- lnl3 - 2 l+ C = 0.
A sí, C = 0
A dem ás, com o x < 3 en el intervalo de convergencia, 3 - x > 0 y, p o r consiguiente, 13 - xl = 3 - x. P or tanto, h(x) = -ln (3 - x). En los p roblem as 2 y 3, d eterm ine el intervalo de convergencia de la serie dada y el com portam iento en los puntos term inales (si hay alguno).
n=1 A plique el criterio de la razón: s sn
lx ln (n +
lx ln
1)2
lx l . ■
En consecuencia,
( n + T )2
lím
s sn
= lxl.
P or tanto, el intervalo de convergencia es lxl < 1. E l radio de convergencia es 1. E n x = 1, se obtiene la serie p convergente con p = 2. E n x = - 1 , la serie converge p o r el criterio de series alternadas. A sí, la serie converge para - 1 < x < 1 .
r¿x±Tn=(x+1)+(x±TH +(x±Tü V2 n/3 =T vn www.FreeLibros.me
-^ 385^
s sn
J x + VT _ / y jn + 1 /
lx +
1ln
4ñ
I n n+1
V
lx
s
^+rc s n
P or tanto,
+ 11.
lim
n
= lx +
1l.
4.
D em uestre el teorem a (46.1). C om o ^ an(x 0 - c)n converge, lím n^ +„ a n (x 0 - c)n = 0 p o r el teorem a (43.5). P or tanto, hay un núm ero positivo M tal que lanl lx0 - cln < M para todo n, p or el teorem a (42.1). Supóngase que lx - el < lx0 - el. Sea E ntonces, la„llx - eln = la„llx0 - e lnr n < M r n
r = _rx — < 1. lx0 - el
nn 0
L uego, ^ lan(x - e )nl es convergente p o r com paración con la serie geom étrica convergente ^ M r n . A sí, 2 a n(x - e )n es absolutam ente convergente.
5.
D em uestre el teorem a (46.2). Sólo es posib le aquí un argum ento m uy intuitivo. S upóngase que ninguno de los casos a ) y e) se cum ple. C om o el caso a ) no se cum ple, la serie de potencias no converge p ara algún x ^ e. C om o el caso e) no se cum ple, la serie converge para algún x ^ e. El teorem a (46.1) im plica que hay un intervalo (e - K , e + K ) alrededor de e donde la serie converge. E l intervalo de convergencia es el m áxim o de dicho intervalo. [M ediante el teorem a (46.1), se tom a el “m ínim o lím ite superior” R 1 de todo K tal que la serie converge en (e - K, e + K). E ntonces, (e - R 1, e + R 1) es el intervalo deseado.]
6.
D em uestre el teorem a (46.4). Supóngase que x está en A y e > 0. C om o (f n) converge uniform em ente a f en A , existe un entero positivo m tal que si n > m , entonces f n ( y ) - f j ) l < e /3 p ara todo y en A . C om o f m es continua en x , existe 8 > 0 tal que p ara todo x * en A , si lx * - x l < 8, luego lfm(x *) - f m (x )l < e /3. P or tanto, si lx * - x l < 8,
l f (X ) -
f ( x ) l = l( f ( x
) - f m (X ) ) + ( f m ( X ) - f m ( x ) ) + ( f m ( x ) - f ( x ) ) l
^ l f ( x *) - f m (x > )l + lf m ( X ) - f m ( x ) l + lf
m( x )
“ f (x )l
< 3 + 3 + 3
E sto p ru eb a la contin u id ad de f en x . rb /*b Si (f n) converge uniform em ente a f en [a, b] y cada f n es continuo en [a, b], entonces I f (x) d x = lím I f (x) dx Ja n ^ + rc J a Supóngase que e > 0. E xiste un entero positivo m tal que si n > m, entonces if (x) _ f (x)| < _ todo x en [a, b]. Por tanto, Jba lf n(x) - f (x)l d x < e . E ntonces, J
bf ( x ) d x -
a
J
bf n( x ) d x =
a
f
a
(x )
- f ( x ) ) d x < [* l f n( x )
a
- f(x )l
dx : < e
p ara n > m
8 . D em uestre que la fu n c ió n f definida p o r una serie de potencias es continua en su intervalo de convergencia
(corolario 46.5). f ( x ) = lím n^ +„ S n (x) y la convergencia es uniform e p or el teorem a (46.3). C ada S n(x), que es un polinom io, es continuo. P or tanto, f es continuo p o r el teorem a (46.4).
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Serie de potencias
A sí, el intervalo de convergencia es lx + 11 < 1, lo cual equivale a - 1 < x + 1 < 1, lo que a su vez equivale a - 2 < x < 0. El radio de convergencia es 1. En el punto term inal (o punto extrem o) de la derecha x = 0 se obtiene la 1 ( — 1) n serie p divergente / ,—¡ = . En el punto extrem o x = - 2 se obtiene la serie alternada V — 7= - , la cual converge n=1 "Vn n=1 ' J n p o r el teorem a de series alternadas. A sí, la serie converge p ara - 2 < x < 0.
CAPÍTULO 46
Aplique el criterio de la razón:
S e rie de potencias
CAPÍTULO 46
9.
x E ncuentre una serie de potencias en torno a 0 que represente la función 1 + x 2 . ¿En qué intervalo es válida la representación? P or la fórm ula (46.11), 1 +1 2 = £ (—1)nx 2n para lxl < 1. P or tanto, n=0 1+
x:
- = E (—1) nx 2n+‘ p ara lxl < 1
n_0
L a serie diverge en am bos puntos term inales x = 1 y x = -1 . En los p roblem as 10 y 11, aplique el criterio de la razón p ara determ inar el intervalo de convergencia e indique qué sucede en los puntos term inales (si hay alguno).
s n+1 _ (n + 1) lxln+1 / n lxln _ n + 1 ) lxl 10 n+1 1 10 n n ) 10 sn
P or tanto,
lím s n+1 sn
_|x | _
10 '
E ntonces, el intervalo de convergencia es lxl/10 < 1, o sea, cuando lxl < 10. E ste es el intervalo de convergencia. L a serie diverge en am bos puntos term inales ±10.
11. £
(x - n ) n. s
(n + 1) lx - n \n+l / n lx - n l n _ n + 1 lx - nl
P or tanto,
sn
lím
s sn
lx - n \ 3 '
A sí, el intervalo de convergencia es lx - ftl < 3. L a serie diverge en am bos puntos term inales. ( n !)2 x 12 v x ' . ( 2n ) ¡
12. E ncuentre el intervalo de convergencia de ^ A plique el criterio de la razón: s sn
((n + — ^
1) ! ) 2 lx ln+1 / ( n ! ) 2 lx ln ( n + 1) 2 .. A m— _ ------- 7T l x l -.m -------(2n + 2) ! / (2n ) ! (2n + 2)(2n + 1)
^ P or tanto,
s lím n^+. s n
_]xL
4
.
E ntonces, el intervalo de convergencia es lxl < 4.
13. E ncuentre una serie de potencias en torno a 0 que represente
1 - x 3'
1
E m piece con j — y = ^ x n p ara lxl < 1. R em place x p o r x 3 1 3 = E x 3n 1- x 3
lxl < 1
p ara
(ya que lx3l < 1 equivale a lxl < 1). Se m ultiplica p o r x: x _ 1_ x 3
\ ' x3n+1
x
para
lx l < 1
En los p roblem as 14 a 16, h alle las fórm ulas sim ples p ara la función f(x ) representada p o r la serie de potencias indicada. 14
x + x + x + 2! + 3! + 4! + • • ' Sea f (x) _ E
1 (n
n +
1) !
■
x f (x ) _ E
(nx ++i ) !
n_1 ^
_ E
n_0
- 1-
x
Por tanto, f (x) _ ex - 1 - x
x
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_
ex-
1- x
-^ 387^ CAPÍTULO 46
15. 1 x3 + -6 x6 +1 x9 Sea f (x) _ £ x n . L ueg o f '( x) = £ x 3n_1 = :
n_1
n=1
f (x) _ - - 3 ln (1 - x 3)
lxl < 1.
para
16. x + 2x 3 + 3x 5 + 4x 7 + ■■■ El criterio de la razón m uestra que la serie converge p ara lx l < 1. Sea g( x) _ x + 2 x 3 + 3 x 5 + 4 x 7 + ■■■_ £ n x 2n-1
n=1 Entonces, 2g(x) _ £ 2 n x 2n 1. P or ende, al obtener las antiderivadas,
n_1 í* 2 2 J g (x )d x _ K + £ x 2n _ K + 1 x 2
(ya que £ x 2n es una serie g eo m étrica con co ciente x 2).
n_1
n_1
A hora se deriva: 2 g(x) _ Dx (y - t x 2 ) _ (1 - x 2)2 ,
17. (CG ) A proxim e
g(x) _ (1 - x 2)2
para lxl < 1
f1/2 ln (1 + x)
----- x ----- dx con una p recisión de dos cifras decim ales (es decir, con un error < 5/103).
Por la fórm ula (46.8), ln (1 + x) _ x - j x 2 + -j x 3 - 4 x 4 +— p ara lxl < 1, entonces ln (1 + x) y y 2 y 3 ^ ( - 1)nx n — x -------------_ i - 2 x 3+ 1 x 2 - 14 x 3 + ■■■_ £ - — t n ’— +1 n_0 Por el teorem a (46.6b), 1/2 J . » t a a + x dx = £ ( z U I j : n+1 ( - 1) n 1 Jo x "n=0 n + 1 n + 1 0 =n! 0■„v(n + 1)72 2 n 1
=
+
que es una serie alternada convergente. A fin de obtener una aproxim ación con error m enor que 5/103, se debe h allar n tal que el p rim er térm ino o m itid o -----1— _5 _ __L. A sí, hay que obtener 200 < (n + 1)22n+j. P or ensayo y error se m uestra que (n + 1) 2 2 n+1_ 10 3 200v; ^^4 n > 3. P or tanto, se pueden u tilizar los térm inos correspondientes a n = 0, 1, 2: — 2
— +— — _ 65 ~ 0 45 1672 144 ° .45
E sta resp u esta se confirm a m ediante una graficadora, con la que se obtiene 0.44841421 com o una aproxim ación.
18. E ncuentre la función definida p o r £ 2 nx n.
n_0 E sta es una serie geom étrica con razón r = 2x y p rim er térm ino 1. P or tanto, converge para l2xl < 1, es decir, p ara lxl < y su sum a es 1 2J 1 - 2x ' 19. H alle el intervalo de convergencia de £ A plique el criterio de la razón:
xn ln (n + j ) .
n_1 lxln+j / lxln _ ln (n + 1) lxl ln (n + 2 ) / ln (n + 1) ln (n + 2)
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Serie de potencias
E sta es una serie geom étrica con cociente x3. E ntonces, converge p ara lx3l < 1, que equivale a lxl < 1. Por x2 /• x 2 tanto, f '( x ) = i A' x 3 p ara lxl < 1. Por consiguiente, f ‘( xx) 2= J ^ A x 3dx = - j ln 11 - x 3l+ C . Pero, f( 0 ) = 0, por lo 1 - x3 que C = 0. A sim ism o, 1 - x 3 > 0 p ara lxl < 1. P or tanto,
S e rle de potencias
CAPÍTULO 46
= Ixl. Por tanto, el intervalo de convergencia está dado por Ixl < 1. (Para
P o r l a r e g l a d e L ’H o p i t a l , l í m
1 x = 1, s e tie n e q u e S n=1
-------- 1--------, q u e c o m o s e s a b e , e s d i v e r g e n t e . P a r a x = - 1 , s e o b t i e n e l a s e r i e a l t e r n a d a l n ( n + 1)
( - 1) n 1 l n ( n + 1)
20.
A p ro x im e i
c o n u n e r r o r m e n o r q u e 0 .0 0 0 1 .
P o r la f ó r m u l a ( 4 6 .1 4 ) ,
e
x
= S ■^n!
1
p a r a to d o x . P o r ta n to , r
n=0
e
= e
—
= S
- — r~ n!
n=0
* ->
P o r e l t e o r e m a d e l a s e r i e a l t e r n a d a , s e b u s c a e l n m í n i m o t a l q u e 1 /n ! < 0 .0 0 0 1 = 1 /1 0 0 0 0 , e s d e c i r , 1 0 0 0 0 < n !. P o r e n sa y o y e rro r se m u e stra q u e n >
1, . . .
,
8.
E n to n c e s , s e d e b e n u tiliz a r lo s té r m in o s c o r r e s p o n d ie n te s a n = 0 ,
1: 1—1
1
— 1 + — ---------- — + — ------------ 1— = 103 ~ 6 24 120 120 5040 280
+1 2
0
3619
(U n a g r a f ic a d o r a d a la r e s p u e s ta 0 .3 6 1 8 1 9 4 4 1 2 , c o r r e g id a c o n d ie z c ifra s d e c im a le s .)
21
0x
A p r o x i m e f e ~ 2d x c o n d o s c i f r a s d e c i m a l e s d e p r e c i s i ó n , e s d e c i r , c o n u n e r r o r < 5 / 1 0 3 = 0 . 0 0 5 . Jo P o r la f ó r m u la (4 6 .1 4 ) ,
e
x
= S
n
x — ■p a r a t o d o x . ‘ !
P o r ta n to ,
— =0
e
2 x — = S
^
( — 1)
—
n=0
x
n
p a r a to d o x.
‘ !
P o r e l te o r e m a ( 4 6 .6 b ) ,
J 0e - x2d x = £ ■
( _ 1) n x
n=0
n !2n
2n+1 +1
= 1
( ~ 1) n n !
1 2n +1
S e p u e d e a p l i c a r e l t e o r e m a d e l a s s e r i e s a l t e r n a d a s . L a m a g n i t u d d e l p r i m e r t é r m i n o o m i t i d o ( 2— +
1) — ¡
d e b e r í a s e r < 0 .0 0 5 = 1 /2 0 0 . E n to n c e s , 2 0 0 < (2 n + 1 )n ! P o r e n s a y o y e r r o r s e m u e s t r a q u e n > 4 . P o r ta n to , se d e b e r í a n u t i l i z a r lo s p r i m e r o s c u a t r o t é r m i n o s , e s d e c ir , lo s c o r r e s p o n d i e n t e s a n = 0 , 1, 2 , 3: 1 — 1 + —— = — 3 + 10 42 -
~ 0 143 35
1
(U n a g r a f ic a d o r a d a la a p r o x im a c ió n 0 .1 4 6 8 2 4 1 3 , c o r r e g id a c o n o c h o c if r a s d e c im a le s .)
22.
E n c u e n tr e u n a e x p a n s ió n d e s e rie d e p o te n c ia s p a r a —
1 x
+
3
1 1 = 1 ( x / 3) + 1 ■P o r
la f ó r m u la ( 4 6 .1 ) , j
+ -3
e n to rn o a 0.
1 ^1— = S ( —1) nx n = 1—x + x 2 —x 3 + n=0
P o r ta n to ,
( x / 31 )
v
Luego,
x
+
:+3
= ¿SS -( —1 - ’) — \ (3^ ) ‘ =
1
n= 0
= S
(-1 )n
^ (
n=0
—1J) - 33 "-
par a l x l < 3
n=0
L a s e rie d iv e rg e e n x = ± 3 .
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p a '=
<1
'
p a r a Ixl <
1.
-^ 389^
1 x
Por la fórm ula (46.7), -r-1— 1+ x
= ^— - 1— t t - . 1+ ( x - 1)
1)
=X
( - 1 ) n( x
-
X
1 )n
( - 1 ) nx v
n p ara lx l < 1. P or tanto,
p ara
|x - 1 < 1
^
Serie de potencias
1 = 1 + (1 -
=
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS E n lo s p ro b le m a s 2 4 a 3 1 , d e te rm in e e l in te rv a lo d e co n v e rg e n c ia d e la se rie d e p o te n c ia s in d icad a.
24. X « x n
E
Respuesta: - 1 < x < 1
x — —— « ( « + 1)
Respuesta: - 1 < x < 1
E «x5«n
R espuesta: - 5 < x < 5
x2n « ( « + 1) ( n + 2)
E E
Respuesta: - 1
x«+1
----- - --------R espuesta: ( l n ( n + 1) ) 2
30. X
31. X
(x
<
x
<
1
-1 < x < 1 1
29. X 1+ «
Respuesta: - 1 < x < 1
~ 24 )
Respuesta: 3 < x < 5
Respuesta: -
2
32. E xprese e~2x com o una serie de potencias en torno a 0. Respuesta:
X
n=00
( ~ 1) n 2n
n
«!
33. E xprese e x/2 com o una serie de potencias en torno a 2. Resp uesta:
X 2n(en ! ) ( x -
2 )n
n=0 34. E xprese ln x com o una serie de potencias en torno a 2.
)n+1 1) -+1 — 2- r ~ ( x
(-
Respuesta:
ln 2 + X
n=1 «2«
- 2 )n
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CAPÍTULO 46
23. Encuentre una expansión de serie de potencias para 1 en torno a 1.
1
< x < -J
CAPÍTULO 46
S e rie de potencias
35. (CG ) E ncuentre ln (0.97) con una p recisión de siete cifras decim ales. (Sugerencia: use la serie de potencias p ara ln (1 - x) en torno a 0 .) R espuesta:
-0 .0 3 0 4 5 9 2
36. ¿C uántos térm inos deben u tilizarse en la serie de potencias p ara ln (1 + x) en torno a 0 p ara h allar ln 1.02 con un error < 0.00000005? R esp u e sta :
tres
37. (CG ) U se una serie de potencias p ara calcular e 2 con exactitud de cuatro cifras decim ales. Respuesta:
0.1353
f 1/2 dx 38. (CG ) E valúe J ^ dx 4 con p recisión de cuatro cifras decim ales. R esp u e sta :
0.4940
E n lo s p ro b le m a s 39 y 4 0 , d e te rm in e el in te rv a lo d e c o n v erg e n c ia d e la se rie in d ica d a.
»1 xn
39. Y
Respuesta:
n r
n=1 n n
Respuesta: x = 0
40. Y 1 0 n x n n=0
41. E xprese
x
(-^ , +^)
= e ^ — com o una serie de potencias en torno a 0.
Resp uesta:
X1 Y
y 2n 72ñT
n=0 ^
''
Cx 2 42. E ncuentre una serie de potencias en torno a 0 para la función de distribución norm al J e^t /2dt.
( —1) n
Respuesta:
I
n=0
n !( 2)n)
v 7
x 2n+1 2n + 1
43. E ncuentre una expansión de la serie de potencias en torno a 0 p ara
Respuesta:
2Y
x 2n+1 2n + 1
n=0 44. (CG ) A proxim e tan -1 -2 con precisió n de dos cifras decim ales.
Respuesta:
0.46
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1+ x
ln ^
^
•
-^ 391^
(x )
= =0 ^
existe, entonces V ^
46. E ncuentre una fórm ula sim ple p ara la fu n ció n f(x ) rep resen tad a p o r V
V a nx n p ara Ixl < r, donde r n 0 a nr n
no necesita converger.
n 2x n .
=
n1 _
R esp u esta :
x ( x + 1) (1 x )3
■^
xn
47. E ncuentre una fórm ula sim ple p ara la fu n c ió n fx ) rep resen tad a p o r y j ( ~2 ( n n=2
Respuesta:
48. a)
x ) 2=
D em uestre que
D em uestre que 3
V
'
nx
n para lxl > 1. (Sugerencia: use el ejem plo 46.5.)
- 1 )x
x)
n=2
n p ara lxl < 1. [Sugerencia: prim ero divida la serie entre x, integre,
factorice x, u tilice el inciso a) y luego derive.]
d)
'
n=1
2x 2 V n (n
=
(
c)
r 1) n
x + (1 - x) ln (1 - x)
^ b)
-
D em uestre que
E valúe V
n=1
n
x.( x =
V
^
'
n 2x
n p ara lxl < 1. n=1
y £ V
n=1
Respuesta: d) 2 y 6
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Serie de potencias
es el radio de convergencia de la serie de p otencia y l í m f 1 x^ r~ (Sugerencia: analizar f ( x ) = y + x •)
f (x ) =
CAPÍTULO 46
45. D em uestre que el recíproco del teorem a de A bel no es válido, es decir, si
Series de Taylor y de Maclaurin. Fórmula de Taylor con residuo
Series de Taylor y de Maclaurin
Seaf unafuncióninfinitamentederivableenx =c, esdecir, lasderivadasf sitivon. Laserie de Taylor para f en torno a c eslaseriedepotencias
rí)(c)
existenparatodoenteropo
Xan(x - c)n = a0 +aj(x- c)+a2(x- c)2+• n=0
f«(0) dondean =-— n!!—paratodon. Observequef 0)setomacomolafunciónf ensí, demodoquea0 =f(c). Laserie de Maclaurin para f eslaseriedeTaylorparaf entornoa0, esdecir, laseriedepotencias Xanx n =a0 +ajx+a2x 2+• n=0
f (-)( 0 )
donde a n = — « — paratodon. EJEMPLO 4 7 .1 . La serie de M aclaurin p ara sen x. Sea f (x ) = sen x . E ntonces f'( x ) = cos x,
f " (x) = -s e n x f " ( x ) = -c o s x C om o / 4)(x) = sen x, las derivadas adicionales repiten este ciclo de cuatro funciones. C om o sen 0 = 0 y cos 0 = 1, (—1)* f (2k)(0) = 0 y f (2k+1)(0) = (-1)*. P or tanto, a 2k = 0 y a 2k+1 = (2* + 1) ! . E ntonces, la serie de M aclaurin p ara sen Y ( ~ 1) x 2k+1 = x j- ^ ( 2 k + 1 ) ! x x
_
xL + 3 L
x ! _ 5!
xL 7
+
r
U na aplicación del criterio de la razón m uestra que esta serie converge para todo x. N o se sabe que sen x sea igual a su serie de M aclaurin. Lo dem ostrarem os m ás adelante. EJEMPLO 4 7 .2 .
H alle la serie de M aclaurin p ara f ( x ) =
1 1— x'
3•2 f,(x )= f4( x) _ 4 1 (x) (1
,
f "( •3 - 2 - x )5 ,
x
)
=
, f" '( x) = (1
f5( x) _ 5 -4 •3 - 2 f (x) (1 - x )6
^ 392^ -
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- x r
-^ 393^
S
= (1
¡ —¿ ) n+1 . P o r t a n t o ,
x n . E n e s te c a s o , y a se s a b e q u e
1—x
an =
f (n )( 0 ) —¡— = 1 p a r a t o d o n , y l a s e r i e d e M a c l a u r i n p a r a
1—x
es
e s i g u a l a s u s e r i e d e M a c l a u r i n p a r a Ixl < 1.
n=0
"
Si f (x )
=
S
b n(x
—c ) n p a r a
"=0
to d o n . E n p a r tic u la r , s i f ( x )
a lg ú n x * c , e n to n c e s e s ta s e rie e s la s e rie d e T a y lo r p a r a
=
b nx n p a r a a l g ú n x * 0 , e n t o n c e s e s t a
e s d e c ir,
s e rie e s la s e rie d e M a c la u r in
n=0
" ¡
p ara
S
f,
f.
S u p ó n g ase q u e f (x )
=
S
b n( x
—c ) n p a r a
a lg ú n x * c. E n to n c e s ,
f(c )
= b 0. P o r d e r i v a c i ó n t é r m i n o a t é r m i n o ( t e o -
"=0 r e m a 4 6 . 1 ) f ' ( x ) = ^ n b n ( x - c )"-1 e n e l i n t e r v a l o d e c o n v e r g e n c i a d e ^ n=0 d e n u e v o se o b tie n e f " ( x ) = ^
n ( n - 1 ) b n ( x - c ) n~2 . E n t o n c e s ,
f'( c )
b n( x - c ) n. P o r ta n to ,
f( c )
n=0 = 2 b 2y , p o r c o n s i g u i e n t e , b 2 =
= b 1. D e r i v a n d o
f
—=0 D e r iv a n d o n u e v a m e n te s e o b tie n e f '" ( x ) =
f b3—
(c) 3J
"'
^ n (n — =0
- 1 ) ( n - 2 ) b n( x - c ) n~3 . L u e g o
f" (c )
" (c )
2 2 ¡
.
= 3 ! b 3y , p o r c o n s i g u i e n t e ,
. Ite ra n d o e s te p r o c e d im ie n to s e o b tie n e
f (n)(c) b = -— n n!
par a todo n > 0
A sí, la serie es la serie de T aylor para f .
EJEMPLO 47.3.
Y a se sabe p o r la fórm ula (46.8) que
= —
ln (1 + x) = S (—1)n 1 ~
p ara Ixl < 1
n1
Por tanto, p o r el teorem a 41.1, la serie ^ (- 1 )n~1 — debe ser la serie de M aclaurin p ara ln (1 + x). N o es necesario n=1 pasar por el laborioso proceso de calcular la serie de M aclaurin para ln (1 + x ) directam ente a partir de la definición de la serie de M aclaurin.
EJEMPLO 47.4.
Si f (x) = 1 —^ , d eterm in e f 41)(0).
1 x” Se sabe que 1------= ^ x n p ara Ixl < 1. P or tanto, p o r el teorem a 41.1, el co eficiente de x", o sea 1, es igual a f (n)(0) x —=0 f (41)( 0) f — (-0) . E ntonces, p ara n = 41, 1 = (4 1 ) ¡ y, p or c o n sig u ie n te ,f(41)(0) = (41)!.
Teorema 47.2. Fórmula de Taylor con residuo.
Sea f una función tal que su (n + 1)-ésim a derivada f n+1) existe en (a , P). S upóngase tam bién que c y x existen en (a , P). E ntonces, existe algún x* entre c y x tal que f " ( c) f (n)(c) f (n+1) ( r*) f (x) = f (c) + f '(c )(x —c) + f 2T ¿ ( x —c )2 + ' ' ' + f — “ H x —c )n + f (n + 1 )! ) ( x —c )n+1 JL f (t)(c) = S f r f ) (x —c ) k + R —(x)
f (n+1)(x* ) A quí, R (x) = (x —c )n+1 se denom ina el térm ino residuo o el error. nW (n + 1)! v y E l teorem a 41.2 p uede deducirse del teorem a 13.6 (el teorem a del valor m edio de orden superior).
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(41.1)
Serles de Taylor y de Maclaurin. Fórmula de Taylor con residuo
Teorem a 4 7 .1 . f (n)( c ) bn = -— ^ p a ra
CAPÍTULO 47
O b s é r v e s e e l p a t r ó n : f (n)( x )
S erles de Taylor y de M a clau rln . Fórm ula de Taylor con residuo
CAPÍTULO 47
^ 394^
A p lica cio n es de la fórmula de Taylor con residuo I. M uestra de que ciertas funciones están representadas por su serie de Taylor m ediante la dem ostración de que lím R n ( x ) = 0 A partir de la fórm ula de Taylor (47.1), » Rn (x ) = f (x) - X k=0
f (k)(c) ( x - c )k
Si lím „^+„ R n (x) = 0 entonces
» f (k)(c) +2 f (k)(c) to Xx - c)k = X ¿ - j P - í x -
f(x ) = I
c)k
es decir, f(x ) es igual a su serie de Taylor. dn
xn
O bservación: lim —i = 0 para todo d. P ara com probarlo, recuérdese que X "ni converge p ara todo x. Por n^ +™ xn n=0 ende, por el teorem a (43.5), lím n — = 0 p ara todo x. ni sen x es igual a su serie de Maclaurin. Cuando f x ) = sen x, entonces toda derivada f n)(x ) es cualquiera de éstas: sen x, cos x, -se n x o -co s x y, por consiguiente, lf (n)(x )l < 1. Así, EJEMPLO 4 7 .5 .
R » (x )i=
(n + 1)!
l ( x —c ) n+11 Por la observación anterior, límn^ +„ —( —— j ) — = a su serie de Maclaurin:
0
. Por tanto, lím n^ +„ R n( x )
= 0
. Por consiguiente, sen
se n x = X ( 2j + 1.)! x 2k+1= x - f r + f r - ^7t + ••• k=0 ^
x
es igual
(4 7 .2)
II. Valores de aproxim ación de funciones integrales U se una cota en R n(x) para obtener un a cota en el error cuando se aproxim a la sum a de u na serie infinita m ediante una sum a parcial. Aproxime e con cuatro cifras decimales, es decir, con un error < 0.00005. El resultado preliminar + i x— es e < 3. Para comprobarlo, nótese que, como e x = X —7, n=0 n • EJEMPLO 4 7 .6 .
e = e1 = X -1 = 1 +1 + — + — + — + — + • • ■ e e X n=0 n i 1 + 1 + 2i + 3i + 4i + 5i +
< 1 + 1 + 1 \-- 1---\------------1--\------------ 1-\ ••• < 1 + 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +
1+ X
2n
1 + 1-
( 1/
2)
1+ 2
3
Ahora, para la fu n c ió n fx ) = e *, se desea hacer la magnitud del error R n(1) < 0.00005. Por la fórmula de Taylor con residuo, con x = 1, f (n+1)( x )
ir» (1)i = (n + 1)!
donde 0 < x* < 1
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-^ 395^
3 (n + 1)! -< 0.00005,
^es decir,
. <000 , (n + 1—+ )! - n20
< e1= e
6 0 0 0 0 < (n + 1 )!.
=
n0
(1 +
S upóngase que r ^ 0. Entonces,
x)r = 1+ £ r(^lX^2_(^n ± i)xn paralxl< 1 n=1 , r(r2- !1x2 ) +2— r(r- 31f--)(r- 2)x33+ • • • = 1+ rx + ----
(47.3)
Se aplica el criterio de la razón a la serie dada:
Sn+1 Sn
r(r -
1)(r- 2)• • • (r- n)x n+‘ / r(r- 1)(r - 2)• • • (r- n + 1)x n (n + 1)!
n!
A sí, lím
n
s (r - n )x = lím n +1 n sn
= 1x l
P or tanto, la serie converge p ara lx l < 1. Para ver un esbozo de la dem ostración de que la serie es igual a (1 + x )r repase el problem a 31. N ótese que si r es un entero positivo k, entonces los coeficientes de x n p ara n > k son 0 y se obtiene la fórm ula binom ial
(1 +
EJEMPLO 47.7.
x )* = £
k!
n
n=0 n !(k - n)!
R edefina VT + x com o una serie de potencias en torno a 0. E sta es la serie b inom ial p ara r = 2 = 1 + - f x + ( 1/ 2 )2- 1 /2 ) x 2 + ( 1/ 2) ( - 13 2 )(-3 /2 ) x 3 + (1 /2 )(- 1 /2 )( -3 /2 ) (-5 /2 ) x4 + 4! x 1
(47.4)
128'
EJEMPLO 47.8.
1
E ncuentre una extensión de la serie de potencias en torno a 0 para V
1-
x
Se tom a la serie b inom ial para r = - - j, y luego se rem plaza x p o r -x: 1
—
, - 1 / ^ ^ ^ , ( - 1 /2 ) ( - 3 /2 ) (_ x )2 + ( - 1 /2 ) ( - 3 /2 ) ( - 5 /2 ) ( x )3 + 1+ — x) + ^ ' 1! ^ ' 2! 1 -3 -5 ••• ( 2n - 1) n + ---------- prn-------- x n + •• n ! 2n
= ! . f 1+ £
1'3 5 (2n - 1) x n 2 - 4 -6 ••• ( 2n) X
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(47.5)
Serles de Taylor y de Maclaurln. Fórmula de Taylor con residuo
8 1
P or ensayo y error se m uestra que se cum ple para n > 8 . E ntonces, se p uede u tilizar la sum a parcial ^ _ f ~ 1.7183.
Teorema 47.3. La serie binomial.
CAPÍTULO 47
C om o D x(ex) = ex, f n+V)(x) = ex p ara todo x. Por tanto, f n+V)(x*) = e . E ntonces e es una función creciente, e X < 3 < e 1 = e < 3. A sí, |R n(1)| < . C om o se desea hacer del error < 0.00005, b asta tener (n + 1)!
S eries de Taylor y de M a clau rin . Fórm ula de Taylor con residuo
CAPÍTULO 47
Si f (x) _ £ a nx n p ara
Teorem a 4 7 .4 .
lxl < R y y g (x) _ £ b nx n para lxl
n_0n
£ cnx n para lx
f (x)g(x) _
< R 2, entonces
n_0
n_0
< m ínim o (R y, R 2), donde cn _ £ a kb n-k.
k_0 P uede consultar una dem ostración en una obra m ás avanzada. El teorem a 4 7 .4 g arantiza que si f y g tienen exten siones de series de potencias, entonces tam bién las tiene su producto.
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
E ncuentre una extensión de serie de potencias en torno a 0 p ara cos x . Se sabe p o r el ejem plo 47.5 que sen x _
(- 1) k (2 k + j)!
^ £
x
2k+j _
x
r
- 3
3
+
x5
x7
+ ...
p ara todo x.
k_0 E ntonces, p o r el teorem a (46.7), es posib le derivar térm ino a término: cos x _
2.
(( -- i1)) k k x 2k _ - ( x k y x 2k _
£
(2k)! x
E ncuentre una serie de potencias en torno a U se la identidad de
sen
x
_ cos
(x
3.
£
+ •••
p a ra to d o x .
p ara sen x.
n ). E n consecuencia, p o r el problem a 1,
-
(-l)W ^ -
sen x
,1 -- -Tjy xx L2 ++ x 4 -- -xr 6 , 1 2! 4! 6!
n \ 2k
1/
i
n
\2 + 1
/
4
n
2 )1
(2 k ) !(x
2 ! (x
2 ) + 4 ! (x
Sea f x ) = tan- 1x. E valúe / 38)(0). Se sabe p o r la fórm ula (46.12) que ( - 1) n+ i = x - j x
3+
jx
5-
y x
7
p a r a lxl <
1
n=0 f (38)(A )
P or tanto, p o r el teorem a (47.1), el coeficiente de x 38 en esta serie de potencias es igual a 1-±¿L. Pero el coeficiente de x 38 es 0. E ntonces, / 38)(0) = 0. (3 8 )! 4.
H alle las extensiones de la serie de potencias en torno a 0 p ara las funciones siguientes: a)
cos(x2)
a)
+ ^ ( 1\k co sx _ £ x 2k p o r
b)
b)
Ü
x e "2
c) /
el problem a 1. P or ende,
c o s ( x 2) _ £
x 4k.
(2 k )!
Se sabe que ex
(2 k )!
4^ xk _ £ 4 j
. E ntonces,
e ~ 2x = ^
_ ( - 1) k 2k -— A — x k
. P or tanto,
2x — X 1 (( ~j 1 x e ,--2x ) ) k22kx,.fc+i k+1v— (V~ 1) n- 12n-1 xe U x ¿n=1 (vn - 1)! k=0 k ! c)
1/ ^ 1 + x
i\k
n
E sta es la serie b inom ial p ara r _ - y . 1/ V
T T T _ i -
3
x + ( -
1/ 32(!- 4
/3 ) x 2 + ( - 1 /3 ) ( - 4 !3 )(-7 /3 ) x 3
+ (-1 /3 )(-4 /3 )(-7 /3 )(-1 0 /3 ) , + + ------------------------ 41------------------------ x + • • • •
( - 1 ) n(1 .4 .7 • •• ( 3 n - 2)) 3 nn! x n_1
_ 1 +£
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2 )•••
-^ 397^ E ncuentre los prim eros cinco térm inos de la serie de M aclaurin p ara ex(sen x). M étodo 1: s e a f x ) = e (sen x). Entonces, f '( x) = ex(senx + co sx ),
y
f (5) (x) = —4 e x (sen x + cos x )
f (n)( 0) p — , se obtiene a 0 = 1, a 1 = 1, a 2 = 1, a 3 = y, a 4 = 0 y a 5 = —30 . A sí, x3 ex(sen x ) = x + x 2 + ^
M étodo 2 ex(senx) = (1 + x +
x3
x5 + •••
+ y - +---- ) ( x —~3j + y j--------). Si se m ultiplica de acuerdo con la regla resultado anterior. Por ejem plo, c 5 = 24 —t2 + 120 = —30.
expuesta en el teorem a (47.4), se obtiene el m ism o
6.
f ' " (x) = 2 ex (cos x —se n x )
x5
Se sabe que sen x = x —y f + y j-------- . ¿Para qué valores de x al aproxim ar sen x p o r x se pro d u ce un error de < 0.005? Ix l f (3)(x*) IR2( x)l = -— -— x 3 < 6 . (A quí, l/ 3)(x)l < 1, ya q u e f (3) es - cos x.) P or tanto, se requiere lxl3/6 < 0.005, que 3! equivale a lxl3 < 0.03. E ntonces, se quiere lxl < ^ 0 .0 3 ~ 0.31.
7.
Si se aproxim a sen x p o r x —3 - p ara lxl < 0.5, ¿cuál es un lím ite en el error? C om o sen x es igual a una serie alternada p ara todo x , el error será m enor que la m agnitud del prim er térm ino om itido, en este caso lxl5/5!. C uando lxl < 0.5, el error será m enor que 1 2 0 (0.5 )5 ~ 0.00026.. 1sen x ^ x d x con un error m enor que 0.005.
Í Por tanto,
k+
(—1) x2 1 _ x sen x _ ! (2 k + 1 ) ! x
k_0
sen x
Por consiguiente, £ se^ x dx _ ¿
-v-3 v5 v7 — i x ___x 3! 5! 7!
( _ i ) k x 2k _ 1 _ x + x _ x _ ! ( 2 k + 1)! x _ 1 3! + 5! 7! '
(2k + \) ! J0 x2k d x _ ¿
_
k0
( _ 1)k x 2ki1 1 ( 2 k + 1)! 2 k + 1
1 ( _ 1) k ( 2 k + 1)! 2 k + 1
k_0
_ !
1 1 - < 0.005 o, de form a equivalente, E sta es una serie alternada. Se debe h allar k de m anera que (2k + 1)! 2k + 1 200 < (2k + 1)!(2k + 1). E sto resulta verdadero p ara k > 2. P or ende, se n ecesita 1 — 118 = ~ 0.9.
9.
H alle una serie de potencias en torno a 0 p ara sen 1x. Por la fórm ula (47.5), 1____ — r
••• ( 2n - 1) 1 , Y 11- -33 - -55 •••(2 1+ ^ 1 22 - 44 66•.•.•. ( 2n )
p ara lxl < 1
1 - 33 '5 - 5 ••• ( 2n - 1) ^ "(2 2 - 4 - 6 • • • ( 2n )
para lt < 1
Remplace x por t2 1
_
1,
y
+ ¿
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Serles de Taylor y de Maclaurin. Fórmula de Taylor con residuo
f (4) (x) = - 4 e x(sen x), Por tanto, com o a n =
= 2 ex (cos x ),
f " (x)
CAPÍTULO 47
5.
S eries de Taylor y de M a clau rin . Fórm ula de Taylor con residuo
CAPÍTULO 47
Entonces, para lx l < 1, 1 -3 -5 ••• ( 2n - 1) x 2n+1
sen 1 x
2 - 4 - 6 ••• ( 2 n)
tí
2n + 1
10. H alle la serie de M aclaurin p ara las funciones siguientes: a) sen (x3); b) sen 2x. R ecuerde que si una función tiene una extensión de la serie de potencias en un intervalo en torno a 0, entonces esa serie es la serie de M aclaurin de la función. + 1 (—1) k (—1) k a) senx = V ^ —^ - r x 2k+1para todo x. P or tanto, sen(x3) = V ^ x 6k+3 y esta es la serie de M aclaurin s ( 2 k + 1)T á ( 2 k + 1)T para sen(x3).
+“ =
( b) sen2x =
^ (—1)k+122*—1 = V — rrP\\-x 2k p o r el problem a 1. E ntonces, la serie de ir (2* ) T
(— 1) k 22k
(v1- V k0
2
( 2k)T
( - 1) * +12 2k- \ , 2t x 2k.. M aclaurin p ara sen2 x es £ i z 1(2k yi
11. D eterm ine los prim eros cuatro térm inos no cero (no nulos) de la serie de M aclaurin p ara f(x ) = sec x . Sería m uy tedioso calcular las derivadas sucesivas. M ejor, com o sec x cos x = 1, se p uede p roceder de form a diferente. S upóngase que x = V a nx n. E ntonces,
n=0 V
V.n=0 a
+ a 1x + a 2 x
a .x
- ) ( V { —g J \ k =0 ^ '
+ a 3x
+•••)
(1 —
r x
^
2k =1 J
+
24
—
72Q
+ •••) =
1
A hora se “m ultiplica” , se com paran coeficientes en am bos m iem bros de la ecuación y se despeja an a0 =
1,
a1 =
0,
a2 =
4;
ai =
0;
0;
a 4 = -24; a 5 =
a 6 = -720
Entonces, can —11-1, 5 xx 4 +, ^ 6 1 x 6 sec xv = + 1 xx 2 +T 2x 124 x 720' O tro m étodo consiste en efectuar una “división larga” de 1 entre
1- x p +
-
^x)0 ^------
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 12. E ncuentre la serie de M aclaurin p ara las funciones siguientes: a) sen (x5); b) -¡------ 5 ; c) cos 2 x. 1+ x 5 R espuestas:
a) ^
( - 1) * . 10k+5 . ( 2 k -h 1)T x 10*+5;
M V
b) E
^ 5n . ( _ 1 ) nx 5n ;
c)
!+V 1+
V
— 1x
( —1) k22k "
( 2 k) •
13. H alle la serie de T aylor para ln x en torno a 2. R espuesta:
ln 2 + V (—1)n—1 (x. 22^
14. D eterm ine los prim eros tres térm inos diferentes de cero de la serie de M aclaurin para a) ser[x ; b) ex cos x. ex
Respuestas:
a) x - x2 + y x3 H— ; b) 1+ x — y x3 + •
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-^ 399^ CAPÍTULO 47
15. Calcule los primeros tres términos diferentes de cero de la serie de M aclaurin para tan x. R espuesta:
x + 3 x3 + i | x5 +—
R espuesta:
x + 6 x3 + 20 x 5 +— K
1K
(
K\1
17. Halle la serie de Taylor para cos x en torno a -3 . [S ugerencia : use una identidad para cos I 3 + 1x - "3 11.] R espuesta:
± £
( $
( x - f ) 2k -
(x - f
f
f
/*1/2 tan f1/2 tanx 11xx dx ; o i e n c i a s ppara a r a aaproximar p ro x im a r J ' 18. (CG) Use la serie de potencias Respuesta:
0 .4 8 7 2
j*1/2 ln(1 + x) ^ — dx correctamente con cuatro cifras decimales.
19. (CG) Use la serie de potencias para aproximar J
Respuesta:
0.4484
20. (CG) Use la serie de potencias para aproximar ^ 1 + x 2dx correctamente con cuatro decimales.
Respuesta:
1.0948
21. (CG) ¿Cuál es un límite en el error si se aproxima ex por 1 + x + \ x 2 para Ixl < 0.05? (Puede utilizar e005
<
1.06.)
Respuesta:
0.0000221
22. (CG) ¿Cuál es un límite en el error si se aproxima ln (1 + x) por x para Ixl < 0.05?
Respuesta:
0.00125
23. (CG) Use la serie de Taylor para sen x en torno a -73 a fin de aproximar sen 62° correctamente con cinco cifras
decimales. Respuesta:
0.88295
24. (CG) ¿En qué intervalo puede seleccionar el ángulo si los valores de cos x se calcularán empleando tres
términos de su serie de Taylor en torno a -73 y el error no debe exceder de 0.00005? Respuesta:
x
3
< 0.0669
25. (CG) Use la serie de potencias para calcular con una precisión de cuatro cifras decimales: a) e 2; b) sen 32°; c)
cos 36°. Respuesta:
a) 0.1353; b) 0.5299; c) 0.8090
26. (CG) ¿Para qué rango de x se puede:
a) Remplazar ex por 1 + x + -jx 2 si el error permisible es 0.0005? b) Sustituir sen x por x - -1x3 + 120x5 si el error permisible es 0.00005? Respuesta: a) Ixl < 0.1; b) Ixl < 47°
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Series de Taylor y de Maclaurin. Fórmula de Taylor con residuo
16. Calcular los primeros tres términos diferentes de cero de la serie de M aclaurin para sen-1 x.
CAPÍTULO 47
S erles de Taylor y de M a clau rln . Fórm ula de Taylor con residuo
27. U se la serie de potencias p ara evaluar a) lim n^ 0- — | — ; b) lim „^0 R espuestas:
,cosx
a) 1 ; b) -2
28. (CG ) U se la serie de potencias para evaluar: í*k/2 a)
(1 -
i s e n 2x ) ~1/2dx
(con precisió n de tres cifras decim ales).
b) J c o s* J x d x (con precisió n de cinco cifras decim ales). c)
f 1/2 dx I i------(con precisió n de cuatro cifras decim ales). o 1+ x '
R espuestas:
a) 1.854; b) 0.76355; c) 0.4940
29. (CG ) U se la serie de potencias para aproxim ar la longitud de la curva y = y x 3 de x = 0 a x = 0.5, con precisión de cuatro cifras decim ales. R espuesta:
0.5031
30. (CG ) U se la serie de potencias para aproxim ar el área com prendida entre la curva y = sen(x2) y el eje x de x = 0 a x = 1 , con p recisión de cuatro cifras decim ales. R espuesta:
0.3103
31. D em uestre que la extensión de la serie b inom ial en el teorem a (47.3) es correcta.
[Sugerencia: sea y = 1 + ^ -r(- —
— n — —— n + 1) x n. U se la derivación térm ino a térm ino p ara h allar la
serie p ara d - y dem uestre que d - = 1 + —• L uego, derive y = (1 + x )r. U se “ variables separables” ; I d = I r d x .] dx dx 1+ x y 1+ x
32. R edefina el polinom io f x ) = x 4 - 11x 3 + 43x 2 - 60x + 14 com o una serie de potencias en torno a 3 y halle f (x ) dx.
R espuesta:
1.185
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Derivadas parciales
Funciones de varias variables Si se asigna un número real z a cada punto (x, y) de una parte del plano xy, se dice que z es dada como una función, z =f(x, y), de las variables independientes x y y. El conjunto de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen z =fx , y) es una superficie en espacio tridimensional. De forma semejante pueden definirse las funciones w = f(x, y, z,...) de tres o más variables independientes, aunque no se tenga ninguna representación geométrica. Hay un número notable de diferencias entre el cálculo de una y de dos variables. Sin embargo, el cálculo de las funciones de tres o más variables difiere sólo levemente del de las funciones de dos variables. El estudio aquí se limitará, fundamentalmente, a las funciones de dos variables.
Límites Por un disco abierto con centro en (a, b) se entiende el conjunto de puntos (x, y) dentro de una distancia fija de 8 a (a, b), es decir, una distancia tal que ^/(x - a )2 +(y - b)2 < S. Por disco borrado (arandela) en torno a (a, b) se entiende un disco abierto sin su centro (a, b). Seaf una función de dos variables y supóngase que hay puntos en el dominio def próximos arbitrariamente a (a, b). Decir quefx, y) tiene límite L cuando (x, y) tiende a (a, b) significa intuitivamente quefx, y) puede aproximarse arbitrariamente a L cuando (x, y) está suficientemente próximo a (a, b). Más exactamente, ( lím f (x, y) = L (xy)^(ab) si, para todo e > 0, existe un 8 > 0 tal que para todo (x, y) en el dominio de f y en el disco borrado (arandela) de radio 8 alrededor de (a, b), fx , y) - Ll < e . Esto equivale a afirmar que para todo e > 0 existe un 8 > 0 tal que 0 <^(x - a)2+ (y - b)2
Al utilizar estas leyes estándar para los límites se observa que lím
3xy2
1
_ 3(3)(1) xy| = "T fT^T +t (3)(1) = f +i = f
En algunos casos estas leyes estándar no son suficientes. 3xy2 0 Demuestre que lím 2 2 = 0. Con las reglas sobre límites generales se obtendría 0, que es indeterminado. (x,y)^(0,0)x +y 0 Por ello, es necesario un argumento más evolucionado. Supóngase que e > 0. Ahora, EJEMPLO 4 8 .2 .
3xy2 - 0 x2 +y2
2 3xy2 =31xl < 3 1x l < 3^1x2 + y 2 < 35 = x2 +y 2 x2 +y2
si se selecciona 8 = e /3 y se supone que 0 < 7 x 2 + y 2 < 8 .
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CAPÍTULO 48
x
—
D erivadas parciales
y
Demuestre que lím— “V no existe. ( , )^(0,0)x + y x 2 —y2 x2 Sea (x, y) ^ (0, 0) a lo largo del eje x, donde y = 0. Entonces —— —y = — = 1. Entonces, el límite a lo largo del x y x r, r, r, x 2 —y2 y2 eje x es 1. Ahora sea (x, y) ^ (0, 0) a lo largo del eje y, donde x =0. Entonces x2+y2 = -y y =-1. Luego, el límite a
xy
EJEMPLO 4 8 .3 .
lo largo del eje y es -1. Por tanto, no puede haber límite común cuando 1 tiende a (0, 0) y el límite no existe. ( x 2 —y2^2 lím—= — ^ no existe. ( , (0,0) x 2 y2J x 2 _ y2 2 Aquí no se puede utilizar el mismo argumento que el del ejemplo 48.3, porque ——^ tiende a 1 cuando (x, Vx +y ) y) tiende a (0, 0) tanto a lo largo del eje x como del eje y. Sin embargo, si (x, y) tienden a (0, 0) a lo largo de la recta ¡ x2 —y2 \2 ¡ x2 —x 2 \2 ¡x2 - y2 \2 y =x. Entonces, ( x2+y2 ) = (x2+x 2 ) = 0. Por tanto, ^ ^ ü a lo largo de y = x. Como esto es diferente EJEMPLO 4 8 .4 .
Demuestre que
xy^ ^ +
X
del límite 1 aproximado a lo largo del eje x, no existe límite cuando (x, y) ^ (0, 0).
Continuidad Sea f una función de dos variables y se supone que hay puntos en el dominio de f arbitrariamente próxi mos a (a, b). Entonces f es continua en (a, b) si y sólo si f está definida en (a, b), lím f (x , y ) existe, y lím f (x , y ) = f (a , b ). (x' y)" (ab) (x, y)^(a, b)
Se dice quef es continua en un conjunto A si f es continua en cada punto de A. Esta es una generalización para dos variables de la definición de continuidad para las funciones de una varia ble. Las propiedades básicas de las funciones continuas de una variable (teorema 8.1) se transfieren fácilmente a dos variables. Además, todo polinomio en dos variables, tales que 7x - 3xy - y 4 + 2xy + 5, es continuo en todos los puntos. Toda función continua de una variable también es continua como una función de dos variables. Las nociones de límite y continuidad tienen generalizaciones obvias a funciones de tres o más variables.
5
3
2
Derivadas parciales Sea z =fx , y) una función de dos variables. Si x varía mientras que y permanece fija, z se vuelve una función de x . Entonces, su derivada respecto a x lím f (x + A x ,y ) - f (x ,y ) Ax^ü
Ax
se denomina la (primera) derivada parcial def respecto a x y se denota con f x (x, y) o
of .
De igual forma, si y varía en tanto que x se mantiene fija, la (primera) derivada p a rcia l def respecto a y es f (x y) = & = f = lím f (x , y + Ay) ~ f (x, y) f y( y ) dy dy aJ^g Ay
Seafx , y) =x2sen y. Entonces f x(x, y) = 2x sen y y f y(x, y) =x2cos y. Se observa que, cuando se calcula fx, a y se le trata temporalmente como una constante, y cuando se calcula fy, a x se le trata temporalmente como una constante. Las derivadas parciales tienen interpretaciones geométricas simples. Se considera la superficie z =f (x, y) en la figura 48.1. Por el punto P(x, y, z), existe una curva APB que es la intersección con la superficie del plano que pasa por P paralelo al plano xz (el plano determinado por el eje x y el eje z). De igual forma, CPD es la curva que pasa por P y que es la intersección con la superficie z =f x, y) del plano que pasa por P paralelo al plano yz. Cuando x varía y y se mantiene fija, P se mueve a lo largo de la curva APB, y el valor de dz en (x, y) es la pendiente de la recta tangente a la curva APB en P . De igual forma, cuando y varía mientras x se mantiene fija, P se mueve a lo largo de la curva uz en (x, y) es la pendiente de la recta tangente a la curva CPD en P. CPD, y el valor de -=y EJEMPLO 4 8 .5 .
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-^ 403^ CAPÍTULO 48
z
Derivadas parciales de orden superior 07 Se pueden extraer las derivadas parciales respecto a x y y de ^ para llegar a d2z „ , , d i dz dx2 “ fxx ( x y) ~ d x \ dx De igual forma, de
y
52z _ f (x y) _ d i dz f yx(x, y) d y\ dx dy dx
dz se obtiene dy dy 2
= f (x y) = A í f c f yy( x y) dy\ dy
3x\ 5y
dx dy
Teorema48.1.
Supóngase quef xy yf,xexisten y son continuas en un disco abierto. Entonces, f xy =f yx en cada punto del disco. En el problema 30 se presenta una demostración.
EJEMPLO48.6.
Compruebe el teorema 48.1 parafx , y) =x2(sen yx). fx(x, y) = x2(cos yx)(y) + 2x(sen yx) = x[xy(cos yx) + 2sen yx] f y(x, y) = x2(cos yx)x + x3(cos yx) f yx(x, y) = x[x(y(-sen yx)(x) + cos yx) + 2(cos yx)(x)] = x2[-xy sen yx + 3 cos yx] f xy(x, y) = x2(-sen yx)(y) + 3x2cos yx = x2[-xy sen yx + 3 cos yx]
Las derivadas parciales también pueden definirse para funciones de tres o más variables. Se cumple un análogo del teorema 48.1 para dos ordenamientos cualesquiera de los subíndices dados. Nótese que las derivadas parciales pueden no existir cuando los límites requeridos no existen.
PROBLEMASRESUELTOS ( x' —, 'y 4 Como se aplican las leyes de límite estándar, los límites son: 2 a) 2(3)(2)4 - 7(3)2(2)2= 96 - 252 =-156; b) ^cos
2.
x2 Evalúe) lím (x,y)^(0,0) x 2+y2 C uand o (x , y ) ^
2
(0, 0) a lo largo del eje y , x = 0 y x 2 + y 2 = 0 ^
0.
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Derivadas parciales
y
CAPÍTULO 48
2
Cuando (x, y) ^ (0, 0) a lo largo del eje x, y = 0 y 2 2 Por tanto, el límite no existe. X y Evalúe
xy lím (x,y)^(0> 0^ x 2 +y2
Cuando Ixl = \[x 2 < ^ x 2 +y2
D erivadas parciales
2 ^ = 1^ x2
1.
xy
La función f (x, y) _+y) es continua en todos los puntos salvo en (0, 0) y en la recta y =-x, donde no está definida. ¿Puede definirse f(0, 0) de manera que la nueva función sea continua? sen(x ^y) ^ Cuando (x, y) ^ (0, 0), x +y ^ 0 y, por consiguiente, — ^ 1, ya que lím
u = j . Entonces, si
f(0, 0) = 1, la nueva función será continua en (0, 0). Así que la discontinuidad original era removible. En los problemas 5 a 9, halle las primeras derivadas parciales. z = 2x2 - 3xy + 4y2. . 4x - 3y. Al tratar y como una constante y derivando respecto a x resulta d z = Al tratar x como una constante y derivando respecto a y resulta dz =—3x +8 y .
6.
z _ n +r . y x Al tratar y como una constante y derivando respecto a x se obtiene Al tratar x como una constante y derivando respecto a y resulta
dy
2
dx
y y
x
. x2 .
z = sen(2x + 3y).
8.
=3cos(2x +3y)
| | = 2cos(2x +3y)
y
y2 1 +x 2y4
y
dz _ dy
^x = ex2 (2 x +y)
y
dz _ xgx'2 dy '
z = tan-1(x2y) + tan-1(xy2). dz dx z=
2 xy _____ 1 +x4y2
x2 1 +x4y2
,
2 xy
1 +x 2y4
+xy.
10. El área de un triángulo está dada por K =ÿ ab sen C . Cuando a = 20, b = 30 y C = 30°, determine: a) La razón de cambio b) La razón de cambio c) La razón de cambio
de K respecto a a, cuando b y C son constantes. de K respecto a C, cuando a y b son constantes. de b respecto a a, cuando K y C son constantes.
a) I l = 3 b senC = i(30)(sen30°) = f b) | C = -2ab cos C = i(20)(30)(cos30° ) = 150^ 2K c) b= asenC
db
da
2K
a 2sen C
2(1/2 ab senC) a2senC
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-^ 405^
11. x2+y2+z2= 25. [Ésta es la ecuación de una esfera de radio 5 y centro en (0, 0, 0).]
Derivadas parciales
Se deriva implícitamente respecto a x, tomando y como una constante, para obtener: 2x +2z
= 0. Por tanto, = - x dx dx z Se deriva implícitamente respecto a y, tomando x como una constante: 2y + 2z
dy
= 0.
Por ende,
^ =-— dy z
12. x2(2y + 3z) +y2(3x - 4z) +z2(x - 2y) =xyz. Se deriva implícitamente respecto x: 2x(2y +3z) +3x2^ +3y2 - 4y2+ 2z(x - 2y) ^ +z2 = yz +xy ■ 2 . ,2 . Al resolver para -^2- se obtiene: =- 4'2y +6xz +3y +z---- yz—. dx dx 3x2- 4y2+ 2xz - 4yz - xy Se deriva implícitamente respecto a y: 2x2 +3x2i —+ 2y(3x - 4z) - 4y2^ + 2z(x - 2y) i —- 2z2 = xz +xy i — Al resolver para
dy
se obtiene:
= —2x2 +6xy—8— z——-----— . dy 3x2- 4y2+ 2xz - 4yz - xy
13. xy +yz +zx = 1. Al derivar respecto a x se obtiene y + y -4z-+ x -4z-+z = 0; por tanto, ^ J J dx dx
= - —h-r . * dx x + y
Al derivar respecto a y seobtiene x +y Í—+ z + xÍ—= 0; por tanto, ^y = -
14. Considérese x y y como variables independientes. Encuente ^
x*y. cuando x =e2r cos 0, y =e3r sen 0.
Primero se derivan las relaciones dadas respecto a x: 1 = 2e2r cos0
dx
- e2rsen0 ^ dx
y
Luego se resuelven simultáneamente para obtener 4^ = 2r, 6 Ahora se derivan las relaciones dadas respecto a y: 0= 2e2r cos#-^ - e2rsen#-^ dy dy
y
0 =3e3rsen0-^r +e3r costf-^ dx dx ,
y 4^ = — 2r ^sen^2 ^ . ^ dx e2r (2 +sen20)
J dxe2r (2 +sen20)
1=3e3rsen#-^ +e3r cos0-4^ dy dy
Entonces, se resuelve simultáneamente para obtener = 3r,/sen^ ^ F dy e3r (2 +sen2Q) 3 dy
y
= %r,2cos^9^ . e3r(2 +sen2Q)
15. Determine las pendientes de las tangentes a las curvas que cortan en la superficie z = 3x2+4y2- 6 los planos que pasan por el punto (1, 1, 1) y son paralelos a los planos xz y yz. El plano x = 1, paralelo al plano yz, interseca la superficie en la curva z =4y2- 3, x = 1. Entonces, dz = 8y =8(1) = 8 es la pendiente requerida. El plano y = 1, paralelo al plano xz, interseca la superficie en la curva z = 3x2+ 2, y = 1. Entonces, d7 -^x = 6x = 6 es la pendiente requerida.
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CAPÍTULO 48
En los problemas 11 a 13, encuentre las primeras derivadas parciales de z respecto a las variables independientes x y y.
CAPÍTULO 48
D erivadas parciales
En los problemas 16 y 17, encuentre todas las segundas derivadas parciales de z y compruebe el teorema 48.1.
16. z = x2 + 3xy + y 2.
"\2
I - 2x+3y,
dx 2
d 2z _ _ ^ (d z ) _ 2 dx \ dx ) 2,
d 2z = _ ^ (d z ) = 3 3y dx 3y\ 3x/
f - 3x - 2y,
9y 2
d2z _ ] L ( d z \ - 2 dy \ dy ) 2,
d2z = j L í dz \ = 3 dx dy dx \ 9y/
?J2
Observe que " z = ° z . dy dx dx dy
17. z = x cos y - y cos x. dz_ = cos y + ysenx, dx d2z
i? - i
(f ) - y c°s x
d íd z \
a y lx = ay (ax )=- seny+sen x dz = - x seny - cos x, dy
i
- 1 (f ) - - x cos y
d2z d í d z)
a x t = ax ( ay )= - seny+sen x "\2
?J2
Observe que " z = ° z . dy dx dx dy
18. S e a f x , y, z) = x cos (yz). Halle todas las derivadas parciales de primero, segundo y tercer orden. f x = cos (y z ), f xx = 0, f y x = - z sen(yz),
fzx = - y sen(yz) fxy = - z sen(yz)
f y = -xz sen(yz), f y y = -xz2 cos(yz), fzy = -x(zy cos(yz) + sen(yz))
fxz = - y sen(yz) f z = -xy sen(yz), f =-xy2cos(yz), f =- x ( zy cos(yz) + sen(yz)) Observe que f =f y f =f zx y f yz =f zy f =0 f = f =0 f = f =0 yz
xy
yx
jx x x
xz
jx x y
f xyy =
jx y x
- z 2 c o s ( y z ) ,
^
jx x z
jx z x
fxyz =fxzy=-(zy cos(yz) + sen(yz))
f xz = - y 2cos(yz) sen (yz), f = 0,f = f = - z2cos(yz) f yxz = f yzx = - ( yz cos(yz) + sen(yz)) f = f = -x (-z 2y sen(yz) + z cos(yz) + z cos (yz))
f yyy = ^
yyz
yxx
yxy
yyx
yzy
= xz(zy sen(yz) - 2cos(yz)) fyzz = -x (-y 2z sen(yz) + 2y cos(yz)) = xy(z sen(yz) - 2cos(yz)) fzzz = xy3 sen(yz),
fzxx = 0,
f zxy =f zyx =- ( zy cos(yz) + sen(yz ))
f zxz = f zzx = - y2 cos(yz) f zyy = -x (-z 2y sen(yz) + 2 z cos(yz)) = xz(zy sen(yz) - 2cos(yz)) fzyz = fzzy = -x (-zy 2 sen(yz) + y cos(yz) + y cos (yz)) = xy(zy sen(yz) - 2cos(yz)) Observe que, en el tercer orden, dos reordenamientos cualesquiera de subíndices serán iguales. Por ejemPlo, f xyz = f xzy = f yxz = f yzx = f zxy = f zyx = - ( zy cos(yz) + sen(yz)).
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- # 407^
x
Entonces,
b) t
32 z dx2
^2z
-^ 2
x
=-e cos y
32 z = 0. dy2
- ì (e” ’ >, & " ì (e" ’ 1
§ - «e*"), f í - i( * " ’ )
xy
Entonces, -Í-2 +4-2 = e + ^0. dx2 dy2 o Ì - 2*, i f
- 2
t - - 2 y, t - - 2 ? 2y ? 27 Entonces, +-^-y = 0. dx2 dy2
PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS En los problemas 20 a 24, evalúe los límites dados.
20.
lím
x 2y —2^ ——
5 Respuesta: - "3
21. (x,y)^ lím - i — (0,0) x2 +y2
Respuesta: sin límite
3xy 22. (x,y“lím 0 2 J 2 “(0,0) 2 x2 +y2
Respuesta:
xy2 23. (x,y)^ lím —t (0,0)x +y
sin límite
Respuesta:sinlímite
x2+ y2 24. (x,y)^(0 lím —¡= = ,0^ x 2 +y2 +4 - 2
Respuesta:
4
25. Determine si cada una de las funciones siguientes puede definirse en (0, 0) de manera que sean continuas: a) y2 a) x 2 +y2
b) x - y b) x +y
Respuestas: a) no; b ) n o ; c)
sí;
c ) x3 +y3 c) x 2 +y2
d) no.
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d) x +y d) x 2 + y2
Derivadas parciales
^z ■ ^y=-e seny,
?27 = 0:
CAPÍTULO 48
19. Determine si las funciones siguientes son soluciones de la ecuación de Laplace ?27 a) z = excos y b) z =-2(ex +y) c) z =x2- y2 ^7 ^2z a) = ex cos y, = excos y
CAPÍTULO 48
26. Para cada una de las fun cion es
z siguientes, determ ine ^
y -jjy-.
= 2x +3y;
Respuesta:
b) z = 4 - y y2 x2
n t dz . 9zt . =—2x 1 Respuesta: ^dxr1= ,-y 2y r H— 3----- 2 r 2 x3 dy y3 x2
c) z = sen 3x cos4y
Respuesta:
)
^ = 3cos 3x cos4y; -jjy =-4sen 3x sen4y
Respuesta: ^ = ,~y , ; ^ = 2x 2 dx x 2+y2 dy x 2+y2
e) x2- 4y2+ 9z2= 36
Respuesta:
§ = -9 z ;|
f) z3- 3x2y + 6xyz = 0
Respuesta:
dz == 2 y(x - z), dz = x(x - 2z) dx z2+2xy ’ dy z2+2xy
g) yz +xz +xy = 0
Respuesta: ^ dx x + y dy
2 2 27. Para cada una de las funciones z siguientes, halle -^4-, °z dx2 dy dx a) z = 2x2- 5xy +y2
Respuesta:
b) z = 4y2 - 4x2
Respuesta:
= - -6y-;
c) z = sen3x cos4y
Respuesta:
= ~9z ;
a) Si z =
x- y
=Z
=- x ^ -zx+y
2 2 °z y . dx dy dy2
=4; dx2' ’ 9x 9y
9y dx
= _5 ; 4-y = 2 u ’ 9y2 = 2( x3 _ y3 ) ; íly2= f r
=-¿jy^x = ~12cos 3x sen4y;
=-16z
y2- x2 ay2(x2+y2)2 ’ dxdy~ dyd x~ (x2+y2)2
d) z = tan-1 (x i y )
28.
= 3x +2y
a) z =x2+ 3xy +y2
d) z = tan-1( x 1( í
D erivadas parciales
d2z , demuestre que x2■ ^x^+2xy d2z +y 2d2z - 0. dx dy J dy2 ?27
^27
b) Si z = e^cos py y p = ±a, demuestre que -^x^+-^y^= 0. ^2* ^2z c) Si z = e^t(sen x + cos y), demuestre que +-^-4- = ^ r-. 7 M 9x2 9y2 3t I ^2z I ^2z d) Si z = senax senby senktva2 +b2, demuestre que = k 2^
^2z \ + - y f j.
29. Para la fórmula de los gases (p +V i )(v - b) =ct, donde a, b y c son constantes, demuestre que dp _ 2 a(v - b) - (p +a /v2)v3 dv v 3(v - b) ’ dt _ v - b dp c ’
dv cv 3t(p + a/v2)v3 - 2a(v - b) dp dv dt _ _ 1 dv dt dp
30. Complete la representación siguiente de una demostración del teorema (48.1). Supóngase quef xy y f yx existen y son continuas en un disco abierto. Entonces, demuestre quef xy(a, b) =f yx(a, b) en cada punto (a, b) del disco. Sea Ah= (f(a + h, b + h) - f (a + h, b)) - f(a, b + h) - f(a, b)) para h suficientemente pequeño y ^ 0. Sea
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------------- ^ 409^
Por un argumento semejante utilizando Áh = f(a + h, b + h) - f(a, b + h)) - (f(a + h, b) - f(a, b)) y el teorema del valor medio, se obtiene Ah
h*^0 m -rir = f■'x (a, b) h2
yx
31. Demuestre que el teorema (48.1) ya no se cumple si se elimina el supuesto de continuidad paraf y yf
. Use la
función siguiente: [ xy< f - y 2) sid ,y )*(0,0) f (x, y) =x2 +y2 10 si (x, y) = (0, 0) [Halle las fórmulas paraf ( x , y) y f y(x, y) para (x, y) * (0, 0); evalúef( 0 , 0) y f y(0, 0) y luego f,(0, 0) y f yX(0, 0).]
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Derivadas parciales
Aft = V f xy(a*, b*) y l í m = (a. Km ,^4 (a*, b ) = 4 (a b)
CAPÍTULO 48
F(x) =f(x, b + h) - f(x, b). Entonces, Ah =F(a + h) - F(a). Aplique el teorema del valor medio para obtener a* entre a y a + h, de manera que F(a + h) - F(a) =F '(a )h = fj.(a*, b + h) - f.(a*, b)]h, y aplique el teorema del valor medio para obtener b* entre b y b + h de manera quef x(a , b + h) - f.(a*, b) =f xy(a , b*)h. Entonces,
49 Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadena
Diferencial total Sea z =f(x , y). Sean Ax y Ay números cualesquiera. Ax y Ay se denominan incrementos de x y y, respecti vamente. Para estos incrementos de x y y, el cambio correspondiente en z, que se representa como Az, está definido por Az =f ( x + Ax, y + Ay) - f(x, y)
(49.1)
dz = I x A x +| y Ay = f x (x, y)A x +f y (x, y) Ay
(49.2)
La diferencial total dz está definida por:
dz dz Nótese que si z =f (x, y)=x, entonces ^ = 1 y = 0 y, por consiguiente, dz = Ax. Entonces, dx = Ax. De igual forma, dy = Ay. Por tanto, la ecuación (49.2) se convierte en dz _ ^ ^ d x +|zdy _ f x (x, y) dx +f y (x, y) dy
(49.3)
Notación: dz también se denota df. Estas definiciones pueden extenderse a funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si u =f(x, y, z), entonces se obtiene: du , du , du , du _ ^ ¡-d x + ^ ¡-d y +^¡-d z dx dy dz _ f x (x, y, z) dx + f y (x, y, z) dy +f z (x, y, z) dz EJEMPLO 4 9 .1 . Sea z =x cos y - 2x2+3. Entonces, ^ = cos y —4x y z es dz = (cos y - 4x) dx - (x sen y) dy.
=- x sen y. Así, la diferencial total para
En el caso de una función deuna variabley =f(x), se utilizó el principio de aproximación Ay ~f'(x) Ax = dy para estimar los valores def. Sin embargo,en el caso de una función z =f(x , y) de dos variables, la función f debe satisfacer una condición especial para hacer buenas posibles aproximaciones.
^ 410^
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Diferenciabilidad Se dice que una función z =f (x, y) es diferenciable en (a, b) si existen las funciones e 1y e 2tales que Az = f x (a, b) Ax +f y (a, b) Ay + g1A x +g2 Ay
(49.4)
lím & = lím g9 = ü (Ax,Ay)^(ü,ü) 1 (Ax,Ay)^(ü,ü) 2 Nótese que la fórmula (49.4) puede escribirse como A z = dz + e1Ax +g2 Ay
(49.5)
Se dice que z =f (x, y) es diferenciable en un conjunto A si es diferenciable en cada punto de A. Como enel caso de una variable, la diferenciabilidad implica continuidad (véase elproblema 23). EJEMPLO 4 9 .2 . Observe que z =f(x, y) =x + 2y2es diferenciable en todos los puntos (a, b).Note también que f x(x, y) = 1 yf y(x, y) =4y. Entonces,
Az =f (a + Ax, b +Ay) —f (a, b) =a +Ax + 2(b +Ay)2 —a —2b2 = Ax +4bAy + 2(Ay)2 = f x(a, b) Ax +f y (a, b) Ay + (2 Ay) Ay Sea £j = 0 y e 2= 2 Ay. Definición. Por conjunto abierto en un plano se entiende un conjunto A de puntos en el plano tales que cada punto de A pertenece a un disco abierto que está incluido en A .
Un ejemplo de conjunto abierto es un disco abierto y el interior de un rectángulo.
Teorema 4 9 .1 . Supóngase q u ef(x , y) es tal que f x y f y son continuas en un conjunto abierto A. Entonces, f es diferenciable en A .
En el problema 43 se presenta la demostración.
Sea z = f (x, y) = J 9 —x2 —y2. Entonces, f = . x y f = , y . Por el teorema J y V JxV9 —x 2 —y 2 y V9 —x 2 —y 2 (49.1), f es diferenciable en el disco abierto de radio 3 y centro en el origen (0, 0) (donde los denominadores de f x y f y existen y son continuos). En ese disco, x2 + y2 < 9 tómese el punto (a, b) = (1, 2) y evalúe el cambio Az cuando se mueve de (1, 2) a (1.03, 2.01). Por tanto, Ax = 0.03 y Ay = 0.01. Aproxime Az por EJEMPLO 4 9 .3 .
dz = f x (1,2) A x + f y (1,2) Ay = — K0.03) + —^ . O ! ) = —0.025
La diferencia real Az es ^ 9 —(1.03)2 —(2.01)2 —V9 —1 —4 ~ 1.9746 —2 = —0.0254..
Reglas de la cadena La regla de la cadena (2 ^ 1) Sea z =f(x, y), donde f es diferenciable, y sea x = g(t) y y = h(t), donde g y h son funciones diferenciables de una variable. Entonces, z =f(g(t), h(t)) es una función diferenciable de una variable y dZ _ dX d ^ dy_ dtdx dt + dy dt
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(49
6) '
Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadena
y
CAPÍTULO 49
-----4411^
D ife re n c ia l to tal. D lferenclabllld ad. Reglas de la cadena
CAPÍTULO 49
dz
A dvertencia: nótese el doble significado de z, x y y en (49.6). E n -~ü, z significa f (g( t), h( t)), en tanto que
dz
dz
dz
dx
en ^ x y gy >z significa f (x, y). E n x es una variable independiente, m ientras que en - ^ , x significa g( t). D e igual form a, y tiene dos significados. P ara dem ostrar (49.6) observe prim ero que, por (49.4),
Az =-dx Ax +-^—Ay +£1Ax + g 2 Ay Entonces, A z _ dz A x dz Ay Ax At dx A t + dy A t + G' A t
Ay A t'
+ & 2
Si Ai ^ 0, se obtiene
dzdz dx
dz dyx
x
dz dx
dz dy
1 Í = T x i í + T y i í +0(A x)+0(A-y)= ax n r + t— i í (N ótese que g y h son diferenciables y po r ello continuas. P or consiguiente, com o At ^ 0, Ax ^ 0 y Ay ^ 0 y, po r tanto, e 1 ^ 0 y A2 ^ 0.)
EJEMPLO 49.4.Sea z =xy +sen x y sea x =t2y y =cos t. Observe queip = y +cosx y y = , xa .yAdemás, - - - — dr-- = , 2t ^ fnn^mn de t, t z = t2 2cos t y d y =- sent. Ahora, como función t + sen2 (t2). dt —
CAn f
A V ií'v r Q
í '^ t n r i
t
—
f
_l_ o í * n
( f ^
Por la fórmula (49.6), dd^ _ (y +cosx )2t +x (-sent) _ (cost +cos(t2))2t - 12sent En este ejemplo en particular, puede comprobar el resultado calculando Dt(t2cos t + sen (t2)).
La regla de la cadena (2 ^ 2) Sea z =f (x, y), donde f es diferenciable, y sea x = g(t, s) y y = h(t, s), donde g y h son funciones diferenciables. Entonces, z =f(g(t, s), h(t, s)) es una función diferenciable y dz _ dz dx dz dy dt dx dt + dy dt
y
dz _ dz dx dz dy ds dx d s + 5y
ds'
Aquí, como en la regla de la cadena anterior, los símbolos z, x y y tienen dos significados obvios. Esta regla de la cadena puede considerarse un caso especial de la regla de la cadena (2 ^ 1). Por ejemplo, dz considerarse una derivada ordinaria — , porque dz la derivada parcialpuede s se trata como una constante. Por dt, fe á ^z consiguiente, la fórmula para en (49.7) es la misma fórmula para en (49.6). Sea z = ex sen y y x = ts2y y = t + 2s. Ahora, -§x = exseny ,= s2, ^ dx
EJEMPLO 4 9 .5 .
tanto, por (49.7)
e cosy y ^ = 1. Por Ót ót
dz 2 at = (ex sen y)s2+ (ex cos y) +ex (s2sen y + cos y) =ets (s2sen(t +2s) +cos (t +2s)) De igual forma, dz
2
= 2 (e sen y)ts + 2 (ex cos y) = 2 ex (ts sen y + cos y) = 2 ets (ts sen(t +2s) +cos (t + 2 s))
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Las generalizaciones de la regla de la cadena (49.47) se cumplen para los casos (m ^ n), donde z =f(x, y,...) es una función de m variables y cada una de ellas es una función de un conjunto de n variables.
Supóngase que la ecuación F (x, y, z) = 0 define z implícitamente como función de x y y. Entonces, por la regla de la cadena (3 ^ 2), si se derivan ambos miembros de la ecuación respecto a x se obtiene dF dx + dF dy + dF dz _ ^ dx dx dy dxdz dx Como dx _ i dy _ 0 dF 5F dx y dx ’dx + dz dx
0
„ . ...dF dF dz „ T .d F De igual forma, -=- = 0. Luego, si ^ 0, dy dz dy dz dz _ _ d F /d x dz _ dx dF/d z y dy „
U-
,1
U-
dz
Fx
dz
Esto también puede escribirse como ^ = _ F
(40
dF /dy dF/d z
'
Fy
y dy = _ Fr
EJEMPLO49.6.
La ecuación xy +yz3 +xz = 0 determina z como función de x y y. Sea F (x, y, z) =xy +yz3 +xz. Como Fz =x + 3yz2, Fx =y +z, y Fy=x +z3, (49.8) implica que dz _ y +z dx _ x +3yz2
y'
dz = _ x +z3 9y x +3yz2
PROBLEMASRESUELTOS En los problemas 1 y 2 determine la diferencia total.
1.
z =x3y +x2y2 +xy3 Se tiene
-jjy = 3x2y +2xy2 +y3 y-jy- = x3 +2x2y +3xy2 d7 y Entonces,dz = d x d x + dfy dy = (3x2y +2xy2 +y3) dx +(x3 +2x2y +3xy2) dy
2.
z =x sen y - y sen x
Se tiene
^ =seny - y cos x
Entonces,
3.
y
-|y- = x cos y - senx
dz = ^dx^dx + ^1^ = (seny —y cos x) dx +(x cos y —senx) dy
Compare dz y Az, dado z =x2 + 2xy - 3y2. Í|x = 2x +2y También,
y
-jy- = 2x - 6y. Entonces
dz = 2(x +y) dx + 2(x - 3y) dy
A z = [(x +dx)2 + 2(x +dx)(y + dy ) —3(y +dy)2] —(x2 + 2xy —3y2) = 2(x +y) dx + 2(x —3y) dy +(dx )2 + 2 dx dy —3(dy)2
Así, dz y Az difieren por (dx)2 + 2 dx dy - 3(dy)2.
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Diferencial total. Dlferenclabllldad. Reglas de la cadena
Derivación implícita
CAPÍTULO 49
-----4413^
CAPÍTULO 49
D ife re n c ia l to tal. D lferenclabllld ad. Reglas de la cadena
4.
Aproxime el área de un rectángulo de dimensiones 35.02 por 24.97 unidades. dA dA Para las dimensiones x por y, el área A =xy, de modo que dA = ^d^dx + ^ y dy = ydx +x d y . Con x = 35, dx = 0.02, y = 25 y dy =-0.03 se tiene A = 35(25) = 875 y dA = 25(0.02) + 35(-0.03) =-0.55. El área es aproximadamente A + dA = 874.45 unidades cuadradas. El área real es 874.4494.
5.
Calcule la variación en la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 6 y 8 pulgadas cuando el cateto más corto se alarga 1 pulgadas y el más largo se encoge -8 pulgadas. Sean x, y y z los catetos menor, mayor y la hipotenusa del triángulo, respectivamente. Entonces, z= [zr+ yr z V ^
dz = dx
xdz = ’ dy
ydz = dz dx + dz dv = x d x +y dy , dx + dy
6 (—) +8 (—i) 1 Cuando x = 6 , y = 8 , dx = 4 y dy =—1, entonces dz = ^ — — = 2g pulgadas. Por tanto, la hipotenusa se alarga aproximadamente 23- pulgadas. V 6 +8
6.
E2
La potencia consumida en una resistencia eléctrica se calcula con P = R watts. Si E = 200 voltios y R = 8 ohmios, ¿cuánto cambia la potencia si E disminuye en 5 voltios y R en 0.2 ohmios? Se tiene que dP _ 2E dP _ _ £ ! dp _ 2 E dE _ E ^ dfí dE R , 9RR2, dP R R2 Cuando E = 200, R = 8 , dE = -5 y dR =-0.2, entonces dP = 2(200) (_5) _(200)(_0.2) =_250 +125 = _125 La potencia disminuye aproximadamente 125 watts.
7.
Las dimensiones de un bloque rectangular de madera son 10, 12 y 20 pulgadas, con un posible error de 0.05 en cada una de las medidas. Determine, aproximadamente, el máximo error en el área de superficie del bloque y el porcentaje de error en el área producido por esos errores en las medidas individuales. El área de superficie es S = 2(xy +yz + zx); entonces, dS =d xd x +dy dy +ídzdz = 2(V +z) dx + 2(x +z) dy + 2(y +x) dz El máximo error en S ocurre cuando los errores en las longitudes de los lados son del mismo signo; por ejemplo, positivos. Así, dS = 2(12 + 20)(0.05) + 2(10 + 20)(0.05) + 2(12 + 10)(0.05) = 8.4 pulgadas2
El porcentaje de error es (error/área)(100) = (8.4/1120)(100) = 0.75%.
8.
En la fórmula R =E/C, determine el máximo error y el porcentaje de error si C = 20 con un posible error de 0.1 y E = 120 con un posible error de 0.05. Aquí, dR = ^ dE + dC = 1 dE — dC dE dC C C2
El error máximo ocurrirá cuando dE = 0.05 y dC =-0.1; entonces, dR =°0|5' —^i20(—0.1) = 0.0325 es aproximadamente el error máximo. El porcentaje de error es
R
(100) = -0 ° 325(100) = 0.40625 = 0.41%. 8
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-^ 415^ Dos lados de un triángulo miden 150 y 200 pies, y el ángulo que forman es de 60°. Si los posibles errores son 0.2 pies al medir los lados y 1° en el ángulo, ¿cuál es el máximo error posible en el cálculo del área?
Aquí, = 2 y sen0 ,1 xsen#,
-jjA =1 x y cos0
y dA = -2y senOdx + \ x sentfdy +-yxy co sd d d
Cuando x = 150, y = 200, 0 = 60°, dx = 0.2, dy = 0.2 y dd = 1° =ft/80, entonces, dA = y(200)(sen60°)(0.2) +i(150)(sen60°)(0.2) +i(250)(200)(cos60°)(n/180) = 161.21 pies2
10. Halla dz/dt, dado z =x2 + 3xy + 5y2; x = sen t, y =cos t. Como = 2x +3y,
se tiene que
^
= 3x + 10y,
d - = cos t , -df =- sent
d =d a d 7 +dfydb = ^ x +3y)cos t - (3x +10y) sent
11. Halla dz/dt, dado z =ln(x2 +y2); x = e-t, y =et. Como dz = 2x dz = 2y dx = _„-t dx x 2 +y 2, dy x 2 +y 2, dt ,
se tiene que
= et dt
=-^-d- + ^ r dr = 22x 2 (-e-t) + 22y 2 et = 2 'y e2 xe2 dx dt dy dt x 2 +y 2 x 2 +y2 x 2 +y2
dt
12. Encuentre dz-, dado z =f(x, y) =x2+ 2xy +4y2, y =eax. d i = fx +f y % = (2x +2y) +(2x +8)aeax = 2(x +y) +2a(x +4y)e“
13. Halle a) p í yb) dy-,
dado z =f(x, y) =xy2 +yx2, y = ln x.
a) Aquí x es la variable independiente: i
= f + § i =(y2+2xy)+(2xy+x 2 ) 1 =y2+2xy+2y+x
b) Aquí y es la variable independiente: dy = ^dxdy +^y = (y2 +2xy)x +(2xy +x2) =xy2 +2x 2y + 2xy +x 2
14. La altura de un cono circular recto es de 15 pulgadas y crece a razón de 0.2 pulgadas por minuto (pulg/min). El radio de la base mide 10 pulgadas y disminuye a razón de 0.3 pulg/min. ¿Con qué rapidez está cambiando el volumen? Sea x el radio y y la altura del cono (figura 49.1). De V =y nx 2y, y considerando x y y como funciones de tiempo t, se tiene que V = d V d x + dV É L dt dx dt dy dt =
f^ x y jt
+ x 2 d fe ) = f [2 (1 0 )(1 5 )(- 0.3) + 102(0 .2 )] = - ^
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pulgadas3/min
Diferencial total. Dlferenclabllldad. Reglas de la cadena
A = 2 -xysen#,
CAPÍTULO 49
9.
-^ 417^
dz = _ F l dx Fz
y ^ , dado F (x, y, z) =x2+ 3xy - 2y2+ 3xz +z2= 0.
2x +3y +3zdz = _ F l _ 3x +2z y y
, dado sen xy + sen yz + sen zx = 1.
Sea F (x, y, z) = sen xy + sen yz + sen zx - 1; entonces, dF = y cosxy +zcoszx,= xdF cosxy +zcosyz,
dF = y cosyz +x coszx
ydz _ dF/d x _ y cosxy +z cos zxdz _ _ d F fd y _ x cos xy +z cos yz dx dF/d zy cosyz +x cos zx ’ dy dF/dz y cosyz +x cos zx
21. Sean u y v están definidas como funciones de x y y por las ecuacionesf (x, y, u, v) =x +y2+ 2uv =0 y g(x, y, u, v) =x2- xy +y2+ u2+ v2= 0 halle a) | | y ^ ; b) ^ y ^ . a ) Al derivarf y g parcialmente respecto a x se obtiene
1 + 2v | u + 2 u d v _ 0
dx
dx
y
2x - y + 2u |u + 2v ^ = 0 dx
Al resolver estas relaciones simultáneamente para ^ y ^ du = v + u(y - 2x) dx 2(u2 - v 2)
y
dx
se tiene que
d v = v (2x - y) - u dx 2(u2 - v 2)
b) Derivando f y g parcialmente respecto a y seobtiene 2y + 2v-du + 2ud v _ 0 dy
Pntonces Entonces,
dy
dy
_ u(x - 2y) + 2vy 2(u2 - v2)
y y
-x + 2y + 2 u-^u + 2v ^ dy
dy
=0
y_ v(2y - x) - 2uy y dy 2 (u2 - v2)
22. Dado u2- v2+ 2x + 3y = 0 y uv +x - y =0, encuentre a) ■ ^u ,, ■^u , ^ dx dx dy
y b) dy
du du dv dv
.
a ) Aquí x y y se consideran variables independientes. Al derivar parcialmente las ecuaciones dadas respecto a
x se obtiene 2u |u - 2v ^ + 2 = 0 dx
dx
y y
v | u +u ^ v +1= 0 dx
dx
Se resuelven estas relaciones simultáneamente para obtener ■ ^u =— u¡ +v y = v~ u dx u2 +v 2 dx u2 +v 2 ' Al derivar parcialmente las ecuaciones dadas respecto a y se tiene 2u|u - 2v +3 = 0 dy dy
y
v | u +u ^ ~ 1= 0 dy dy
Se resuelven simultáneamente para llegar a ■ ^u = 02v2~ 3u2. y -^v - 2u +3v 9y 2(u2 +v 2) dy 2(u2 +v2)' fc) Aquí u y v se consideran variables independientes. Se derivan parcialmente las ecuaciones dadas respecto a u y se obtiene 2u +2-dx +3-^_ 0 du du
y
v +| x - - ^ _ 0 du du
Entonces, 3x _ du
2u +3v
y9y _ 2(v - u) 5
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du
5'
Diferencial total. Dlferenclabllldad. Reglas de la cadena
20. Use la derivación implícita [fórmula (49.8)] para hallar
3x - 4y dx Fz 3x + 2z
CAPÍTULO 49
19. Use la derivación implícita [fórmula (49.8)] para hallar ^
CAPÍTULO 49
D ife re n c ia l to tal. D lferenclabllld ad. Reglas de la cadena
Se derivan las ecuaciones dadas respecto a v y se obtiene - 2v + 2-Íx +3-^y = 0 dv dv Entonces,
^ = 2v ~3u 3v 5
y y
u +-dx —-dy = 0 dv dv
^y = 2u(uc+v) ov 5
23. Demuestre que la diferenciabilidad de z =f(x, y) en (a, b) implica quef es continua en (a, b). De (49.4), Az = (fx(a , b) + e.) Ax + (fy(a, b) + e 2) Ay, donde lím e = lím e = 0. Por tanto, AxA y AxA y ,
y
(
,
2
) ^ ( 0 ,0 )
(
,
) ^ ( 0 ,0 )
Az ^ 0 cuando (Ax, Ay) ^ (0, 0), lo que implica quef es continua en (a, b).
PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS 24. Halle la diferencia total de las funciones siguientes: a) z =xy3+ 2xy3 b)
Respuesta: dz = (3x2+ 2y2) dx + (x2+ 6y2) dy x d y - yd x Respuesta: d 6 = - .-2 . ,,2
d= tan 1^y )
x2+y2
c) z =ex2-y2 d)
Respuesta: dz =
2z(x dx - y dy) y (ydx - xdy) Respuesta: dz = (x2+y2)3
z =x(x2+y2) 1/2
25. Use diferenciales para aproximar a) el volumen de una caja con base cuadrada de lado 8.005 y altura 9.996 pies; b) la diagonal de una caja rectangular de dimensiones 3.03 por 5.98 por 6.01 pies. Respuestas: a) 640.544 pies3; b) 9.003 pies
26. Aproxime el máximo error posible y elporcentaje de error cuando z se calcula mediante la fórmula dada: a) z = rn^h; r = 5 ± 0.05, h = 12 ± 0.1 b) 1/z = 1/f+ 1/g; f =4 ± 0.01, g = 8 ±0.02 c) z =y/x; x = 1.8 ± 0.1, y = 2.4 ± 0.1
Respuesta: 8.5k; 2.8% Respuesta: 0.0067; 0.25% Respuesta: 0.13; 10%
27. Halle el porcentaje máximo aproximado de error en: a) a = 3 g/b si hay un error posible de 1%en la medida de g y y% de error en la medida de b. (Sugerencia: lnra =-3(lng - lnb); -d^-
Respuesta:
0.005
'
“
{dg__ ab V dg = 0 0 1 ; db = 0 .0 0 5 .) 4 g b / g ' b
b) g = 2 s/t2 si hay un posible error de 1% en la medida de s y ^% de error en la medida de t. Respuesta:
0.015
28. Encuentre du/dt dado: a) u =x2y3; x = 2t3, y = 3t2 Respuesta: 6xy2t(2yt + 3x) b) u =x cos y +y sen x; x = sen 2 t, y = cos 2 t Respuesta: 2(cos y +y cos x) cos 2t - 2(-x sen y + sen x) sen 2t c) u =xy +yz +zx; x = e’, y = e-t, z = et + e-t Respuesta:
(x + 2y + z)et-(2x +y +z)e-t
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29. En cierto instante el radio de un cilindro circular recto mide 6 pulgadas y aumenta a razón de 0.2 pulgadas por segundo (pulg/s), mientras que la altura es de 8 pulgadas y decrece a razón de 0.4 pulg/s. Determine la variación respecto al tiempo, a) del volumen y b) de la superficie en ese instante.
CAPÍTULO 49
-----4419^ Respuesta:a) 4.8 k pulg3/s; b) 3.2 k pulg2/s
x = 2 + 3t, y = t2 + 4 con x y y expresados en pies y t en minutos. ¿Cómo cambia la distancia de la partícula al origen cuando t = 1? Respuesta:
5 //2 pies/minuto
31. Un punto se mueve a lo largo de la curva de intersección de x2 + 3xy + 3y2 = z2 con el plano x - 2y + 4 = 0. Cuando x = 2 y aumenta a razón de 3 unidades por segundo (unidades/s), encuente a) cómo cambia y, b) cómo cambia z y c) la rapidez del punto. Respuestas:
a) creciendo a 3/2 unidades/s; b) creciendo a 75/14 unidades/s en (2, 3, 7) y decreciendo en 75/14 unidades/s en (2, 3, -7 ); c) 6.3 unidades/s
32. Halle dz/ds y dz/dt dado
33.
a) z = x2 - 2y2, x = 3s + 2t, y = 3s - 2t
Respuesta
6(x - 2y); 4(x + 2y)
b) z = x2 + 3xy + y2, x = sen s + cos t, y = sen s - cos t
Respuesta
5(x + y) cos s; (x - y) sen t
c) z = x2 + 2y2, x = es - et, y = es + e‘
Respuesta
2(x + 2y)es; 2(2y - x)e'
d) z = sen(4x + 5y), x = s + t, y = s - t
Respuesta
9 cos(4x + 5y); -cos(4x + 5y)
e) z = exy, x = s2 + 2st, y = 2 st + t2
Respuesta
2
a)
Sean u = f(x , y) y x = r cos 0, y = r sen 0; demuestre que
du \2 , í d u \2_ ¡ d u f , t dx) +U y j " U r j + r 2\d e b)
exy[tx + (s + t)y]; 2 exy[(s + t)x + sy]
2
Sean u = f( x , y) y x = r cosh s, y = r senh s; pruebe que
d u \2 _ (du_\2_ (du_\2__ LÍ
34.
"\2
i ?J2
a)
Si z = f ( x + ay) + g(x - ay), demuestre que -^-2 = - 1 - b-Z-. (Sugerencia: escriba z = f(u ) + g(v), u = x + ax, v = x - ay.) dx a &y
b)
Sea z = xnf (y/x); demuestre que x dz/dx + ydz/dy = nz.
c)
Sea z = f(x , y) y x = g(t), y = h(t); demuestre que, sujeto a las condiciones de continuidad, jjp t = f xx (g ' )2 + 2 f xyg'h ' + f yy( h )2 + f xg" + f yh "
d)
Sea z = f(x , y); x = g(r, s), y = h(r, s); demuestre que, sujeto a las condiciones de continuidad, f r f = f x (g r) 2+ 2 f xygrK +f yy( hr) 2+f x8 rr + f yhr r
? 2z
= L S rSs +f xy(g rh s +SsKr) +f yyKrKs +f x 8rs +f yKr S
Íl2! = f xx (8 s)2 + 2 f xygshs + f yy(Ks )2 + f xgss + f yK
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Diferencial total. Dlferenclabllldad. Reglas de la cadena
30. Una partícula se mueve en un plano de manera tal que en el instante t su abscisa y su ordenada están dadas por
D ife re n c ia l to tal. D lferenclabllld ad. Reglas de la cadena
CAPÍTULO 49
35. U na función f( x , y) se llam a homogénea de orden n s i f ( tx, ty) = tnf (x, y). [Por ejem plo, f( x , y) = x 2+ 2xy + 3y2 es hom ogénea de orden 2 ;f( x , y) = x sen (y/x) + y cos (y/x) es hom ogénea de orden 1.] D e riv e f(tx , ty) = tnf(x , a t y rem place t por 1 p ara dem ostrar que xf x + yf y = nf . C om pruebe esta fórm ula m ediante los dos ejem plos dados. Ver tam bién el problem a 34b).
y ) respecto
36. Si z = Q(u , v ), donde u = f( x , y) y v = g(x, y), y si ^ a) a)
t f u . t f u _ d 2v , d v _ 0 a x 2+ ay 2 _ a x 2 + a y 2 _ 0
y
b) b) a x 2 + ay 2
= - - j V , dem uestre que
, ( M 21 i U x j + l a x j j U «2 + a v 2
37. E ncuentre dx y d y ', dado a) 3x 2+ 4y 2- 5z 2= 60
Respuesta:
| | = f z ;|y = ^
b) x 2+ y 2+ z 2+ 2xy + 4yz + 8zx = 20
Respuesta:
^
= 4 +^ 2 4.z ’ ^
c) x + 3y + 2z = ln z
Respuesta:
| |
=
d) z - e- co S (y + z)
R esp u esta:
£
- j + e_ se ^ y + ^ ; |
e)
=~ 4 ~ +V2+
^
1^ 2 2 ; | v = 1 - %
-
sen(x + y) + sen(y + z) + sen(z + x) = 1
R espuesta: "
= _ cos (x + y) + cos (z + x ) ; dz = _ c o s ( x + y) + cos (y + z) 3x cos (y + z) + cos (z + x ) ’ 3y cos (y + z) + cos (z + x )
38. E ncuentre todas las prim eras y segundas derivadas parciales de z, dado x2+ 2yz + 2zx = 1. Re snuestap :
x + z . dz x + y ; dy
dz -
dx
= ___ . (Pz = x - y + 2 z . d 2z = x + 2z . (Pz = ______2z __ x + y ; dx 2 (x +y )2 ; 3x 3y (x +y )2; 9y 2 (x +y )2
39. Sea F (x , y, z) = 0; dem uestre que - | y ^ ^
=-
1.
40. S e a f(x , y) = 0 y g(z, x) = 0; dem uestre que J y ^g
~
=
■
41. H alle las prim eras derivadas de u y v respecto a x y y y las prim eras derivadas parciales de x y y respecto a u y v , dado 2 u - v + x2+ xy = Respuesta:
0,
u + 2v + xy - y2=
0.
= -5(2y - 3 x ); | v = 4 y ~ x ;
| | = - - 5 ( 4 x + 3 y ); | | = 1 ( 2 x - y ) ; ^
dx
_
du
4y - x
,
dy _
2 (x 2 - 2x y - y 2) ’ du
y-
2x
, dx _
3x
2 ( x 2 - 2xy - y 2) ’ d v
-
2y
. dy _
2 (x 2 - 2xy - y 2) d v
-4 x -
3y
2 (x 2 - 2 xy - y 2)
42. Sea u =x +y +z, v =x2+y2+z2, y w =x3+y3+z3. Demuestre que dx _ du (x -
yz
dy
y)(x - z) ’
dv
3z
x +z
2(x - y)(y - z)’
_
3w
1 3(x - z)(y - z)
43. R ellene los vacíos en la representación siguiente de una dem ostración del teorem a (49.1). Suponga q u e f (x, y) es tal que f x y f son continuas en un conjunto abierto E xiste x* entre a y a +
f (a y existe y* entre
A . M uestre
q u e f es diferenciable en
Ax tal que +
Ax, b) -
f { a , b) = f j x * , b)
Ax
b y b + Ay tal que f ( a + Ax, b + Ay) - f (a
+
Ax, b) = f ( a
+
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Ax, y*) Ay
A.
- # 421^
Az =f (a +Ax, b + Ay) - f(a, b) = f (a +Ax, b) - f(a, b)] + [ f (a +Ax, b +Ay) - f(a +Ax, b)]
Sea e 1 =f x(x*, y) - f x(a, b) y e 2=f y(a +Ax, y*) - f y(a, b). Luego, Az =f x(a, b) Ax +f y(a, b) Ay + e 1 Ax + e 2 Ay Para mostrar que e 1 ^ 0 y e 2 ^ 0, use la continuidad def x y f y.
44. Muestre que la continuidad def(x, y) no implica diferenciabilidad, aunquef x y f
existan. Use la función
tt ■ . í 2x— 2 si (x, y) ^ (0,0) f (x, y) = x2 +y2 [0 si (x, y) = (0,0) [Sugerencia: muestre quef no es continua en (0, 0) y, por consiguiente, no es diferenciable. Muestre la existencia def x(0, 0) y f y(0, 0) por un cálculo directo.]
45. Encuentre una funciónf(x, y) tal quef x(0, 0) =f y(0, 0) =0, yf no es continua en (0, 0). Esto muestra que la
xy existencia de las primeras derivadas parciales no implica continuidad. [Sugerencia: defina f (x, y) = 2 2 para (x, y) * (0, 0) yf(0, 0) = 0.] x +y
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Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadena
= f x(x*, b) Ax +f ,(a +Ax, y*)Ay
CAPÍTULO 49
Entonces,
Vectores en el espacio Igual que en el plano (véase el capítulo 39), un vector en el espacio es una cantidad que tiene magnitud y di rección. Tres vectores a, b y c, que no estén en un mismo plano ni sean paralelos y que comiencen de un punto común, forman un sistema de giro a la derecha (dextrógiro) o tríada si c tiene la dirección en la que avanza un sacacorchos al girarlo por el ángulo más pequeño en la dirección de a hacia b, como se indica en la figura 50.1. Nótese que, visto desde un punto en c, la rotación sobre el ángulo más pequeño de a a b se verá en sentido contrario al de las manecillas del reloj. z
Fig. 50.1
Fig. 50.2
Seleccionemos un sistema de coordenadas rectangular derecho (dextrógiro) en el espacio y sean i, j y k los vectores unitarios a lo largo de los ejes positivos x, y y z, respectivamente, como en la figura 50.2. Los ejes de coordenadas dividen el espacio en ocho partes denominadas octantes. Por ejemplo, el prim er octante consta de todos los puntos (x, y, z) para los que x > 0, y > 0 y z > 0. Como en el capítulo 39, todo vector a puede expresarse como
1 2 3
a =a i +a j +a k
Si P(x, y, z) es un punto en el espacio (figura 50.2), el vector r que va desde el origen O hasta P se denomina vector de posición de P y se puede escribir como r = OP = OB + BP = OA + AB + BP = xi + yj + zk
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(50.1)
------------- ^ 423^
ka = ka ji + ka 2 j + ka 3 k p ara k cualquier escalar
j
j i
Vectores en el espacio
a = b si y sólo si a = b j , a2 = b2 y a3 = b3 a ± b = ( a ± b )i + a ± b2)j + ( a3 ± b3>k a ■b = iaiibi cos 0, donde 0 es el ángulo m ás pequeño entre a y b i ■i = j ■j = k ■k = 1 e i ■j = j ■k = k ■i = 0 iai = -s/a • a = 4 a j + a 2 + a 2 a ■b = 0 si y sólo si a = 0 o b = 0 o a y b son perpendiculares D e (50.1), tenem os que iri = ^ / r 7 7 = y¡x 2 + y 2 + z 2
(50.2)
com o la distancia del punto P(x, y, z) al origen. Tam bién, si P 1 (x 1 , y 1 , z1) y P 2 (x 2 , y 2 , z2 ) son dos puntos cuales quiera (fig. 50.3), entonces
j
j
j
j
j
P 1P 2 = P B + B P 2 = P A + A B + B P 2 = (x2 - x )i + (y2 - y )j + (Z2 - Z )k y iP,P2i(x2 - x j)2 + (y 2 - y j)2 + (z2 - Zj)2
(50.3)
es la fórm ula ya conocida p ara la distancia entre dos puntos (véanse los problem as j a 3). z
Cosenos directores de un vector
j
3
Sean a = a i + a j + a k vectores que form an los ángulos a , ¡3 y 7, respectivam ente, con los ejes positivos x, y y z, com o se indica en la figura 50.4. D e i ■a = iiiiai cos a = iai cos a , j ■a = iai cos ¡3, k ■a = iai cos 7
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CAPÍTULO 50
E l álgebra de vectores expuesta en el capítulo 39 se cum ple aquí sólo con los cam bios que la diferencia en dim ensiones requiere. Por ejem plo, si a = a ji + a 2 j + a3k y b = b 1 i + b 2 j + b3k, entonces,
Vectores en e l espacio
CAPÍTULO 50
^ 424^ se obtiene
i.a a , cosa=iar=iai’
o i .a a 2 cos^=Tar=iai’
k .a a 3 cos^=Tar=iai
É stos son los cosenos directores de a. Com o co s2 a + co s2 fí + co s2 y = -
1 1“ 2 1“3 = 1 lal2
el vector u = i cos a + j cos ¡3 + k cos y es un vector unitario paralelo a a.
Determinantes Se supone que se conocen bien los determ inantes de 2 x 2 y 3 x 3. E n particular,
a c
b = ad - bc d
y
a
b
c
d
e h
f =a h i
g
e
d f - b i g
f i
+c
d
e
L a expansión del determ inante de 3 x 3 va “a lo largo de la prim era fila” . E sto es igual a las expansiones apropiadas a lo largo de las otras filas y hacia abajo en las colum nas.
Vector perpendicular a dos vectores Sean a = a ji + a 2 j + a 3k y b = b ti + b 2 j + b3k dos vectores no paralelos con punto inicial com ún P. M ediante un cálculo sencillo puede dem ostrarse que
c=
a2 b 2
a3 b3
i+
a3 b3
a, b
j +
a,
a2
b
b 2
i i k a,
a2
a3
bi
b2
b3
(50.4)
es perpendicular (norm al a) tanto a a com o a b y, p o r ende, al plano de estos vectores. E n los problem as 5 y 6 se dem uestra que Icl = lallbl sen 9 = área de un paralelogram o con lados a y b no paralelos Si a y b son paralelos, entonces b = k a y con (50.4) se dem uestra que c = 0; es decir, c es el vector cero. El vector cero, por definición, tiene m agnitud 0 y dirección sin especificar.
Producto vectorial de dos vectores Se tom a a = a ji + a 2j + a 3k y b = b ji + b 2 j + b3k con punto inicial P y represéntese con n el vector unitario norm al al plano de a y b, dirigido de form a tal que a, b y n (en ese orden) form en una tríada derecha (dextrógira) en P , com o en la figura 50.5. E l producto vectorial o producto cruzado de a y b se define com o a x b = iaiibi sen 6 n
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(50.6)
------------- Í
Enlafigura(50.5), si seinvierteel ordendeayb, entoncesndeberemplazarsepor-n; entonces, bxa=-(axb) (50.9) Losejesdecoordenadasseescogieroncomounsistemaderecho(dextrógiro), deloquesesigueque ixj =k j xk=ikxi =j j xi =-k kxj =-i ixk=-j (50.9) Enelproblema8sepruebaqueparatodovectora, byc, laleydistributiva (a+b)x c=(axc)
+(bxc)
(50.10)
Almultiplicar(50.10) por-1yalutilizar(50.8) seobtienelaleydistributivacorrespondiente cx(a+b) =(cxa) +(cxb)
(50.11)
(a+b)x(c+d) =axc+axd+bxc+bxd
(50.12)
Entoncestambién,
y
a x b = “1
2
3
b1
b2
b3
(Véanse los problemas 9 y 10.)
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(50.13)
Vectores en el espacio
Fig. 50.5
CAPÍTULO 50
donde9 denuevoesel ángulomáspequeñoentreayb. Así, axbesunvectorperpendiculartantoaacomo ab. Enelproblema6semuestraquelaxbl=iaiibisen9 eseláreadelparalelogramoquetieneaybcomolados noparalelos. Siaybsonparalelos, entonces 9 =0on yaxb=0. Así, ixi =j xj =kxk=0 (50.7)
25j
CAPÍTULO 50
Vectores en e l espacio
Triple producto escalar
b c
a b c
En la figura 50.6, sea 9 el ángulo menor entre y y sea 0 el ángulo más pequeño entre y x . Denótese con h la altura y con A el área de la base del paralelepípedo. Entonces, el triple producto escalar es, por defi nición,
a ■(bx c) = a■ibiici sen 6 n= iaiibiici sen 6 cos 0 = (lal cos0)(lbiici sen 0) = hA = volumen del paralelepípedo Puede demostrarse (véase el problema 11) que a2
a a • (b x c) =
a3
c
(50.14)
b3 = (a x b) • c C3
b 2 C2
Fig. 50.6 Además c,
c•(axb)= a
1
bi
C2 C3 fl2 a 3 b2
=
b3
a2 a3 b2 b c1 C2 C3
a1
3 =a•(bxc)
en tanto que b1 b2 b3
b•(axc)=a1
a2
a3 =-
c1
C2
C3
a1 a 2
a3
b2
b3
=-a •(bxc)
c1 C2 C3
De igual forma se tiene que
a•(bxc)=c•(axb)=b■(cxa)
(50.15)
a•(bxc)=-b •(axc)=-c •(bxa) =-a •(cxb)
(50.16)
y
a bxc a bxc axb c a bxc a b xc a b
ab c
a bxc
De la definición de ■( ) como un volumen se sigue que si , y son coplanares, entonces ■ ( )= 0 y a la inversa. Los paréntesis en ■( )y ( ) ■ no son necesarios. Por ejemplo, ■ puede interpretarse sólo como ■ ( ) o ( ■) . Pero ■ es un escalar, así que ( ■) no tiene sentido (véase el problema 12).
a b xc
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a bxc
CAPÍTULO 50
6.
a b ab
Halle el área de un paralelogramo cuyos lados no paralelos son y . De la figura 50.11, h = I l sen 0 y el área es h = l l = i ii i sen0.
b
Vectores en e l espacio
a 7. Sean a1y a2, respectivamente, las componentes de a, paralela y perpendicular a b, como se indica en la figura 50.12. Demuestre que a2x b= ax by a1x b= 0. Si 0 es ángulo entre ay b, entonces la1l = lal cos 0 y la2l = lal sen 0. Como a, a2y bson coplanares, a2x b= la2llbl sen 0 n= lal sen 0 lbln= lallbl sen 0 n=ax b Como a1y b son paralelos, a1x b= 0. 8. Demuestre que (a+ b) x c= (ax c) + (bx c) En la figura 50.13, el punto inicial P de los vectores a, by cestá en el plano de papel, en tanto que sus puntos terminales se hallan por encima de este plano. Los vectores a1y bson, respectivamente, las componentes de ay bperpendiculares a c. Entonces, at, bj, a1+ bj, a1x c, bj x cy (at + bj) x ctodos están en el plano de papel.
Fig. 50.11
En los triángulos PRS y PMQ, RS lb 1x c l lb j llc l lb j l MQ ~PR~ la 1x c l “ la ild _ la j _ P M
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- # 431^
(a j + b j) x
c
= (a j x c ) + (b j x c )
i 9.
j
k
Cuando a = a1i + a2j + a3k y b = b1i + b2j + b3k , demuestre que a x b = a1 a2 a3 bi b2 b3 Se tiene, por la ley distributiva a x b = (a 1i + a2j + a3k ) x (b 1i + b 2j + b3k ) = a 1i x (b1i + b2j + b3k ) + aj x (b 1i + b2j + b3k ) +a3k x(b 1i + b2j + b3k ) = (a1b2k - a 1b3j ) + (-a2b1k + a2b3i ) + (a3bj - a3b2i ) = (a2b3- a3b2)i - (a 1b3 - a3b 1)j + (a 1b2 - a2b1)k i
j
k
a1 a2 a3 bi b2 b3 10.
Deduzca la ley de los senos de la trigonometría plana. Considere el triangulo ABC, cuyos lados a , b , c son las magnitudes a, b, c, respectivamente, y cuyos ángulos interiores son a, ¡i, y. Tenemos que a +b +c =0 a x b =cx a Entonces, a x (a + b + c ) = a x b + a x c = 0 o b x c=a x b y b x (a + b + c ) = b x a + b x c = 0 o Así, a x b = b x c = c x a, de forma que la lb sen y = ib llc lsen a = ic lla lsen o ab sen y = bc sen a = ca sen sen7
y 11.
sen« sen¡3 b
Sea a = a 1i + a2j + a3k y b = b 1i + b2j + b3k y c = c 1i + c2j + c3k ; demuestre que a • (b x c ) =
bi c,
b2 b3 c2 c3
Por (50.13), i a • (b x c ) = (a 1i
j
k
+ aj + a3k ) b1 b2 b3
i j
i
k
= (a1 + a + a^) •[(b2c3- b ^ + (b3c1 - b c j + ( b c - b2c1) ]
= a1(b2c3- b3c2) + a2(b3c1 - b^) + a3(b1c2 - b2^) = b¡ b2 fc3 c1 c2 c3 12.
Demuestre que a •(a x c) = 0 Por (50.14), a • (a x c ) = (a x a ) • c = 0
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Vectores en el espacio
Por el problema 7, a 1y b 1pueden remplazarse por a y b , respectivamente, para obtener el resultado solicitado.
CAPÍTULO 50
Por tanto, PRS y PMQ son semejantes. Ahora, PR es perpendicular a PM y RS es perpendicular a MQ; por ende, PS es perpendicular a PQ y P S = P Q x c . Así, como P S = P Q x c = P R + R S , tenemos que
CAPÍTULO 50
£ 43# 13.
Para los vectores a , b y c del problema 11, demuestre que a
x (b x c ) = (a • c )b
- (a
Vectores en e l espacio
• b )c .
Aquí i j a x (b x c ) = (a 1i + a 2j + a 3k ) x b1 b2
k
b3 C1 C2 C3
= ( aji + a 2 j + Ü3 k ) x [(b2C3 -
b3C2) i +-
b^ )j +(b c - b2Cj) k ]
i
a. b2c3 - b3c2 b3 c 1 - b 1c3
b1 c 2 - b2Cj
=i ^ b c - Ü2b2C! - ^ 3^ + a ib c ) + j f e b 2C3 - ^3b3C2 - a jb 1c2 + a ^ C j) + k (ajb 3Cj - alblc3- a2b3c2) - ib 1(a 1c 1 + a 2c2 + a 3c3) + jb 2(ajCj + a 2c2 + a 3c3) + k b 3(ajCj + a2c2+ a3c3) - [ic1(a 1b 1 + a 2b2 + a 3b3) + j c 2(ajbj + a2b2 + a 3b3) + k c 3(ajbj + a2b2 + a 3b3)] =(bji + b2j + b3k)(a • c) - (Cji + C2j + C3k)(a • b) =b (a • c) - c(a • b) = (a • c)b - (a • b)c
14.
Si l 1y l2son dos rectas en el espacio que no se intersecan, pruebe que la distancia d más corta entre ellas es la distancia desde cualquier punto en l 1 al plano l2y es paralelo a l {, es decir, demuestre que si P1es un punto en lj y P2es un punto en l2, entonces, aparte el signo, d es la proyección escalar de j 2en una perpendicular común a l1y l2. Sea lj que pasa por Pj(xj, yj, z j en la dirección = a 1i + aj + a3 , y sea l2que pasa por P2(x2, y2, z2) en la dirección = bj + b + b3 . Entonces, j 2= (x2- x^ + (y2- y1) + (z2- zi) y el vector es perpendicular tanto a l 1como a l2. Así,
PP
b i j PP
k i
j
d=
15.
a k
P 1P 2 • ( a x b) ia x b i
k axb
(r 2 - r) •(a x b) ia x b i
Escriba la ecuación de la recta que pasa por P 0(1, 2, 3) y es paralela a a = 2i - j - 4k . ¿Cuáles de los puntos A(3, 1, -1), fi(:j-J9-,4), C(2, 0, 1) se hallan sobre esa recta? De (50.19), la ecuación vectorial es (xi +yj +zk ) - (i + 2j + 3k ) = k (2i - j - 4k ) o (x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k = k (2i - j - 4k )
(1)
Las ecuaciones rectangulares (o cartesianas) son x -1 =y - 2 = z - 3
2
-1
-4
(2)
Al usar (2) es fácil comprobar que A y B están en la recta, en tanto que C no lo está. En la ecuación vectorial (1), un punto P (x, y, z) en la recta se halla dando a k un valor y comparando las componentes. El punto A está en la recta porque (3 - 1)i + (1 - 2 )j + ( -1 - 3 )k = k (2 i - j -4 k )
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-^ 433^ CAPÍTULO 50
cuando k = 1. Igualmente, B se halla en la recta porque - t i + t j + k = k (2 i - j - 4 k )
4
Vectores en el espacio
cuando k = -
. El punto C no está en la recta ya que i - 2j - 2 k = k(2 i - j - 4 k )
para ningún valor de k.
16. Escriba la ecuación del plano que pasa por
a)
P 0(1,
2, 3) y es paralelo a 3x - 2y + 4z - 5 = 0
b)
P 0(1,
2, 3) y P t(3, -2 , 1) y es perpendicular al plano 3x - 2y + 4z - 5= 0
c)
P0(1, 2, 3), P i(3, -2 , 1) y ^ ( 5 , 0, -4 )
Sea P(x, y, z) un punto general en el plano requerido. a)
Aquí a = 3i - 2j + 4 k es normal al plano dado y al plano requerido. La ecuación vectorial de este último es (r - r 0) • a = 0 y la ecuación cartesiana es 3(x - 1) - 2(y - 2) + 4(z - 3) = 0 o
b)
3x - 2y + 4z - 11 = 0
Aquí r T- r 0 = 2i - 4j - 2 k y a = 3i - 2j + 4 k son paralelas al plano requerido, de manera que (r T- r 0)x a es normal a ese plano. Su ecuación vectorial es (r T- r 0) • [(r T- r 0) x a ] = 0. La ecuación rectangular (o cartesiana) es
(r - ro)
i
j
2 3
-4 -2
k
- 2 = [(x - 1)i 4
+ (y - 2)j + (z - 3 )k] • [-2 0 i - 14j + 8k]
= -2 0 (x - 1 ) - 14(y -2 ) + 8(z - 3) = 0 o c)
20x + 14y - 8z - 24 = 0.
Aquí r 1- r 0= 2i - 4j - 2 k y r 2- r 0= 4 i = 2j - 7 k son paralelas al plano requerido, de manera que (r T- r 0) x ( r 2- r 0) es normal a éste. La ecuación vectorial es (r T- r 0) x [(r T- r 0) x (r 2- r 0)] = 0 y la ecuación rectangular (o cartesiana) es i
(r - ro) • 2 4
j
-4 -2
k
- 2 = [(x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3) k ] • [-2 4 i + 6j + 12k ] -7 : 24(x - 1) + 6(y - 2) + 12(z - 3) = 0
o
4x + y + 2z - 12 = 0
17. Halle la distancia d más corta entre el punto P 0(1, 2, 3) y el plano n dado por la ecuación 3x - 2y + 5z - 10 = 0. Una normal al plano es a = 3i - 2j + 5 k . Toma P ¡(2, 3, 2) como un punto convincente en n . Entonces, salvo por el signo, d es la proyección escalar de P 0P j en a . Por tanto,
d = (r1- r0) •a
(i + j - k ) • (3i - 2 j + 5 k )
jai
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= 1^/38
C A P Í T U L O 50
Vectores en el espacio
PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS 18. Encuentre la longitud de a) el vector a= 2i + 3j + k; b) del vector b= 3i- 5j + 9k; c) del vector c, que une Pj(3, 4, 5) con P 2(1, -2 , 3). Respuestas:
a) V Í 4 ; b) V T T 5 ; c) 2 V ñ
19. Para los vectores del problema 18: a)
Demuestre que a y b son perpendiculares.
b)
Halle el ángulo más pequeño entre a y c, y entre b y c.
c)
Determine los ángulos que b forma con los ejes de coordenadas.
Respuestas:
b) 165° 14', 85° 10'; c) 73° 45', 117° 47', 32° 56'
20. Demuestre que i • i = j • j = k• k= 1 e i • j = j • k= k• i = 0. 21. Escriba un vector unitario en la dirección de a y un vector unitario en la dirección de b del problema 18. Respuestas:
F
a) ^ 14 i + 3a/ 14 j + k ; b) 7
14
J
14
j — i ------------ j +
’
; 7 ñ 5
^—k
7 ñ 5 J
7 ñ 5
22. Halle los ángulos interiores P y y del triángulo del problema 3. Respuesta:
P = 22° 12'; y = 9° 16'
23. Para el cubo mostrado en la figura 50.14, determine a) el ángulo entre su diagonal y un lado, b) el ángulo entre su diagonal y una diagonal de una cara. Respuestas:
a) 54° 44'; b) 35° 16' 2
y
Fig. 50.14
24. Demuestre que la proyección escalar de ben a está dada por a^•b .
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^ 435^
e) g)
a x (a x b) = 0
i j
f) a x (b x c) =-2
k
a x (b x c) = 3 - 3 - 14
i j
k
h) c x (a x b) =-11 - 6 + 10
27. Determine el área del triángulo cuyos vértices son A(1, 2, 3), B(2, -1, 1) y C(-2, 1, -1) (Sugerencia: lAB x ACi = dos veces el área.) Respuesta:
5^J3
28. Determine el volumen del paralelepípedo cuyos lados son OA, OB y OC para A(1, 2, 3), B(1, 1, 2) y C(2, 1, 1). Respuesta:
2
29. Sean u=ax b, v=bx c, w= cx a; demuestre que a) uxc=vxa =wxb b) ax u= bx u= 0, bx v= cx v= 0, cx w=ax w= c) ux (vx w ) = [ax (bx c)]2
0
30. Demuestre que (a+ b) x [(b+c) x(c+a)] = 2a x (bx c). 31. Encuentre el menor ángulo de intersección de los planos 5x - 14y + 2z - 8 = 0 y 10x - 11y + 2z + 15 =0. [Sugerencia: halle el ángulo entre sus normales.] Respuesta:
32.
22° 25'
Escriba la ecuación vectorial de la recta de intersección de los planos x +y - z - 5 = 0 y 4x - y - z + 2 = 0. Respuesta:
i
j
k
i j k
(x - 1) + (y - 5) + (z - 1) =k(-2 - 3 - 5 ), donde P0(1, 5, 1) es un punto en la recta.
33. Determine la distancia más corta entre la recta que pasa por A (2, -1, -1) y B (6, -8, 0) y la recta que pasa por C(2, 1, 2) y D(0, 2, -1). Respuesta:
34. Defina una recta que pasa por P 0(x0, y0, z0) como el lugar de todos los puntos P(x, y, z) tales P0Py OP0son perpendiculares. Pruebe que su ecuación vectorial es (r - r0) x r0= 0 35. Halle las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por P0(2, -3, 5) y a) Es perpendicular a 7x - 4y + 2z - 8 = 0
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Vectores en el espacio
26. Dados a =i +j, b =i- 2ky c = 2i + 3j +4k, confirme las ecuaciones siguientes: a) a x b =-2i + 2j - c b) b x c = 6i- 8j + 3k c) c x a =-4i + 4j + k d) (a +b) x (a - b) =4i - 4j + 2k
CAPÍTULO 50
25. Pruebe que el vector c de (50.4) es perpendicular tanto a acomo a b.
CAPÍTULO 50
b) Es paralela a la recta x - y + 2z + 4 = 0, 2x + 3y + 6z=
Vectores en e l espacio
-1 2 = 0
c) Que pasa por P j(3, 6, -2 ) Respuestas: a) x - 2 =
=^
;
b) ^
^
^
c)
36. Halle la ecuación del plano: a i j kb i j k
a) Que pasa por P 0(1, 2, 3) y es paralelo a = 2 + - y = 3 + 6 - 2 . b) Que pasa por P 0(2, -3 , 2) y la recta 6x + 4y + 3z + 5 = 0, 2x + y + z - 2 = 0. c) Que pasa por P 0(2, -1 , -1 ) y P j(1, 2, 3) y es perpendicular a 2x + 3y - 5z - 6 = 0. Respuestas: a) 4x + y + 9z - 33 = 0; b) 16x + 7y + 8z - 27 = 0; c) 9x - y + 3z - 16 = 0
37. Si r0= i + j + k, r1= 2i + 3j + 4 ky r2= 3i + 5j + 7 kson tres vectores de posición,muestre que r0x r1+ r1x r2+ r2x r0= 0. ¿Qué puede decir de los puntos terminales de estos vectores? Respuesta:
son colineales
38. Si P 0, P 1y P 2son tres puntos no colineales y r0, r1y r2son sus vectores de posición, ¿cuál es la posición de r0x r1+ r1x r2+ r2x r0respecto al plano P 0P 1P 2? Respuesta: normal
39.
b)
40.
ax (bx c) + bx (cx a) + cx (ax b) = 0 (ax b) • ( cx d) = (a• c)( b• d) - (a• d)( b• c).
Demuestre: a)
Pruebe: a) las perpendiculares levantadas en los puntos medios de los lados de un triángulo secortan en un punto; b) las perpendiculares trazadas desde los vectores hasta los lados opuestos (prolongados si es necesario) de un triángulo se cortan en un punto.
41. Sean A(1, 2, 3), B(2, -1 , 5) y C(4, 1, 3) tres vértices del paralelogramo ABCD. Halle a) las coordenadas de D; b) el área ABCD y c) el área de la proyección ortogonal de ABCD en cada plano de coordenadas.
Respuestas: a) D(3, 4, 1); b) 2 ^ 2 6 ; c) 8, 6, 2
42. Demuestre que el área de un paralelogramo en el espacio es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las áreas de las proyecciones del paralelogramo sobre los planos de coordenadas.
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Superficies y curvas en el espacio
Planos Se sabe por la fórmula (50.22) que la ecuación de un plano tiene la forma Ax + By + Cz + D = 0, donde Ai + Bj + Ck es un vector no cero perpendicular al plano. El plano pasa por el origen (0, 0, 0) cuando y sólo cuando D = 0.
Esferas De la fórmula de la distancia (50.3), se observa que una ecuación de una esfera con radio r y centro (a, b, c) es
2
2 2
(x - a) 2 + (y - b) + (z - c) = r
Así, una esfera con centro en el origen (0, 0, 0) y radio r tiene la ecuación
2 2 2 2
x +y + z = r
Superficies cilindricas Una ecuación F(x, y) = 0 define ordinariamente una curva ^ en el plano xy. Ahora, si un punto (x, y) satisface esta ecuación, entonces para cualquier z el punto (x, y, z) en el espacio también satisface la ecuación. Por tanto, F(x, y) = 0 determina la superficie cilíndrica obtenida al mover la curva ^ paralela al eje z. Por ejemplo, la ecuación x + y = 4 determina un círculo en el plano xy con radio 2 y centro en el origen. Si se mueve este cír culo paralelo al eje z, se obtiene un cilindro circular recto. De esta manera, lo que ordinariamente se denomina un cilindro es un caso especial de una superficie cilíndrica. De igual forma, una ecuación F(y, z) = 0 determina la superficie cilíndrica obtenida al mover la curva en el plano yz definida por F(y, z) = 0 paralela al eje x. Una ecuación F(x, z) = 0 determina la superficie cilíndrica al mover la curva en el plano xz definida por F(x, z) = 0 paralela al eje y. Dicho con mayor precisión, las superficies cilíndricas definidas antes se denominan superficies cilindricas rectas. Otras superficies cilíndricas pueden obtenerse al mover la curva dada paralela a la recta que no sea perpendicular al plano de la curva.
2 2
EJEMPLO 5 1 .1 . La ecuación z =x2determina una superficie cilíndrica generada al mover la parábola z =x2que queda en el plano xz paralelo al eje y.
Ahora se verán ejemplos de las superficies determinadas por las ecuaciones de segundo grado en x , y y z. Tales superficie se llaman superficies cuadráticas. Para imaginarlas es de gran ayuda la descripción de sus intersecciones con los planos paralelos a los planos de coordenadas. Tales intersecciones reciben el nombre de trazas.
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CAPÍTULO 51
^ 438^
Superficies y curvas en e l espacio
Elipsoide x2
+~ 9 +~4 =1
L as trazas no triviales son elipses (fig. 51.1). E n general, la ecuación de un elipsoide tiene la form a x2 v2 z2 —¡y + y ~t + ^ z = 1 (a > 0, b > 0 y c > 0) a 2 b2 c2 C uando a = b = c se obtiene una esfera. 2
y
Paraboloide elíptico z = x2 + y2 L a superficie queda por encim a del plano xy. L as trazas paralelas al plano xy (para un z fijo positivo) son cír culos. L as trazas paralelas al plano xz o yz son parábolas (fig. 51.2). E n general, la ecuación de un paraboloide elíptico tiene la form a zx 2 y 2 z = ^ + b y ( a > 0, b > 0, c > 0) y las trazas paralelas al plano xy son elipses. C uando a = b , se obtienen un paraboloide circular, com o en el ejem plo dado.
Fig. 51.2
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CAPÍTULO 51
S uperf icies y curvas en e l espacio
y las trazas paralelas al plano xy son elipses. z
y
Fig. 51.5
Hiperboloide de dos hojas z y 4 Véase la figura 51.6. Las trazas paralelas al plano xy son círculos y las otras trazas son hipérbolas. En general, un hiperboloide de dos hojas tiene una ecuación de la forma
=1
7 2 x2 y2 - ^ 2 -T T = 1 (a > 0, b > 0, c > 0)
c2 a
b
y las trazas paralelas al plano xy son elipses. En general, se entiende que las ecuaciones dadas anteriormente para varias superficies cuadráticas, por permuy2 72 x 2 tación de las variables x, y, 7 producen las superficies cuadráticas del mismo tipo. Por ejemplo, _ j ¡2 = 1 también determina un hiperboloide de dos hojas.
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-^ 441^
(51.1)
S uperf icies y curvas en el espacio
y
Fig. 51.6
EnelpuntoP0(x0,y 0,z0)delacurva(determinadapor t =t0), lasecuacionesdelatangenteson x-
x 0 = y - y0 = z (51.2) / / / ylasecuacionesdelplanonormal (elplanoquepasaporP 0 perpendicularalarectatangenteallí)es dx dy dz (51.3) d (x - x0)+d (y - y0)+d t ( z - z0)=0 Véaselafigura51.7. Tantoen(51.2) comoen(51.3) seentiendequeladerivadahasidoevaluadaenel punto P0(véaselosproblemas 1y2).
dx d t ~ dy d t ~ d z dt
Plano tangente y recta normal a una superficie
LaecuacióndelplanotangentealasuperficieF(x, y, z) =0enunodesuspuntosP0(x0,y0,z0)es dF dF \d F a x (x_ xo) + a y (y _ yo)+" & (z “ zo) =0
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CAPÍTULO 51
Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio
Unacurvaenelespaciopuededefinirseparamétricamenteporlasecuaciones x=f(t), y =g(t), z =h(t)
(51.4)
CAPÍTULO 51
Superficies y curvas en e l espacio
y las ecuaciones de la recta normal en P o son
x - x„
y - yo
dF / dx
dF / dy
z - Zo dF / 5z
(51.5)
en el entendido de que las derivadas parciales se han evaluado en el punto P 0 (fig. 51.8) (véase los problemas 3 a 9).
Una curva en el espacio también puede definirse por un par de ecuaciones (51.6)
F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 En el punto P0(x0, y0, z0) de la curva, las ecuaciones de la recta tangente son xdF dy dG dy
x„ dF dz dG dz
ydF dz dG dz
y0 dF dx dG dx
zdF dx dG dx
Zo dF dy dG dy
(51.7)
dF dy dG dy
dF dz dG dz
x 1 ox +
y la ecuación del plano normal es dF dz dG dz
dF dF dx dx dG (y - yo)+ dG dx dx
dF dy (z - zo) = 0 dG dy
(51.8)
En (51.7) y (51.8) se entiende que todas las derivadas parciales se han evaluado en el punto P0 (véase los problemas 10 y 11).
Superficie de revolución Sea la gráfica de y =f(x ) en el plano xy que gira en torno al eje x. Cuando un punto (x0, y0) gira en la gráfica, un punto resultante (x0, y, z) tiene la distancia y0al punto (x0, 0, 0). Entonces, al elevar al cuadrado dicha distancia se obtiene (x0 - x0)2+ y2+ z2= (y,)2= (/fe))2 y, por consiguiente, y2+ z2= (/fe))2 Entonces, la ecuación de la superficie de revolución es y 2 + z2 = (f(x ))2
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(51.9)
-^ 443^
1.
x - x„
y - yp
Z- Z0
dx dt
dy dt
dz dt
/
/
/
Si R (x , y, z) es un punto arbitrario en el plano normal en P0, entonces, como P R y P0P son perpendiculares, la ecuación del plano normal en P 0 es
2.
Encuentre las ecuaciones de la recta tangente y el plano normal a: a)
La curva x = t, y = t2 y z = t3en el punto t = 1.
b)
La curva x = t - 2, y = 3t2+ 1 y z = 2t3en el punto donde atraviesa el plano yz.
a)
En el punto t = 1, o (1, 1, 1), ecuaciones de la tangente,
= 1, d y = 2t = 2 y
x _1 1
(x - 1) + 2 (y - 1) + 3(z - 1) =x + 2y + 3z b)
= 3t2 = 3 . Utilizando (51.2) se tiene, para las
V—1 z_1 = 2 = 3 ; utilizando (51.3) resulta la ecuación del plano normal 6
= 0.
La curva dada atraviesa el plano yz en el punto donde x = t - 2 = 0, es decir, en el punto t = 2 o (0, 13, 16). En este punto, d j = 1, = 6t = 12 y d" = 6 t2 = 24 . Las ecuaciones de la recta tangente son x = y - 13 = zz -16 y la ecuación del plano normal es x + l2(y - 13) + 24(z - 16) =x + l2y + 24z - 540 =0. 1
3.
12
Deduzca (51.4) y (51.5) para el plano tangente a la superficie F (x , y , z) = 0 en el punto P 0(x0, y0, z0). Remítase a la figura 51.8. Sean x =f ( t), y =g(t) y z = h(t) las ecuaciones paramétricas de cualquier curva en la superficie F(x, y, z) = 0 y que pasa por el punto P0. Entonces, en P0, dF dx + c F d y + d F d z dx dt dy dt dz dt
_0
en el entendido de que todas las derivadas han sido evaluadas en P0. Esta relación expresa el hecho de que la recta que pasa por P 0 con números direccionales dx dy dz d t ' d t ' dt " . El primer conjunto de perpendicular a la recta que pasa por P0 que tiene números direccionales ~dF
’
dx d y ’ dz
números direccionales pertenece a la tangente a la curva, la cual queda en el plano tangente de la superficie. El segundo conjunto define la recta normal a la superficie en P0. Las ecuaciones de esta normal son x - xn z - Z0 y - y0 dF I dx dF I dy dF I dz
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Superficies y curvas en el espacio
Deduzca (51.2) y (51.3) para la recta tangente y el plano normal a la curva en el espacio x =f(t), y =g(t), z = h(t) en el punto P0(x0, y0, z0) determinado por el valor t = t0. Remítase a la figura 51.7. Sea P0'(x0 +Ax, y0 + Ay, z0 + Az) determinado por t = t0 +At, otro punto de la curva. Cuando P0' ^ P0 a lo largo de la curva, la cuerda P 0P0’ tiende hacia la recta tangente a la curva en P 0 como posición límite. Un conjunto simple de números direccionales para la cuerda P 0P0' es [Ax, Ay, Az], pero se utilizará Ax A z . Entonces, cuando P0' - •P 0, At - •0 y Ax Ay Az , dx dy dz un conjunto de números At ’ At ’ At J dt ’ dt ’ dt At ’ At ’ At direccionales de la recta tangente en P0. Ahora, si P(x, y, z) es un punto arbitrario en esta tangente, entonces [x - x0, y - y0, z - z0] es un conjunto de números direccionales de P0P. Luego, como los conjuntos de números direccionales son proporcionales, las ecuaciones de la recta tangente en P 0son
CAPÍTULO 51
PROBLEMASRESUELTOS
CAPÍTULO 51
Superficies y curvas en e l espacio
y la ecuación del plano tangente en P0es ^
(x - xo)
(
y - yo) +§ (z - ^ = o
En los problemas 4 y 5, halle las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie dada en el punto indicado.
4.
z = 3x2+ 2y2- 11; (2, 1, 3). Sea F(x, y, z) = 3x2+ 2y2- z - 11 = 0. En (2, 1, 3),
= 6x = 1 2 , = 4y = 4, y-^F = -1 . La ecuación del
plano tangente es 12(x - 2) +4(y - 1) - (z - 3) = 0 o 12x + 4y - z = 25. La ecuación de la recta normal es x _j 2 = y 4 1 =
5.
p.
F(x, y, z) =x2+ 3y2- 4z2+ 3xy - 10yz +4x - 5z - 22 = 0; (1, -2, 1). En (1, -2, 1), ^FF = 2x2+ 3y + 4 = 0,
= 6y + 3x - 10z =-19 y ^ F =_8z - 10y - 5 = 7. La ecuación del
plano tangente es 0(x - 1) - 19(y + 2) + 7(z - 1) = 0 o 19y - 7z + 45 = 0. Las ecuaciones de la recta normal son x - 1 = 0 y y +3 = z - 1 o x = 1, 7y + 19z - 5 - 19 7
6.
= 0.
x2 y2 z2 Demuestre que la ecuación del plano tangente a la superficie — - b ï _ 2 = 1 en el punto P0(x0, y0, z0) es xx0 _ y y t _ 1 ac a2 b2 c2 . dF _ 2x0 d y ==- ~ b r , y = — dF CF' _ _ La 2z0 En P0, S^ f =- t , ecuación del plano tangente es í2 , dy b >
7.
_ x0) _ 2 0 (y _ y0) _ ~z L (z _ z0)=0. 2 T7 t t xx0 yy0 ZZ0 xj2y; 2 z¿ , D , „ . Esto se convierte en —¡0— ----0 =—0-—t t — 0 = 1, ya que P0está en la superficie. a2 b2 c2 a 2 b 2 c2
Demuestre que las superficies F(x, y, z) =x2+4y2- 4z2- 4 = 0 y G(x, y, z) =x2+y2+z2- 6x - 6y + 2z + 10 = 0 son tangentes en el punto (2, 1, 1). Se mostrará que las dos superficies tienen el mismo plano tangente en el punto dado. En (2, 1, 1), | F = 2x - 4, dx y
= 2x - 6 =-2,
-|F = 8y = 8, oy ^ = 2y - 6 =-4,
= 8z =-8 az j GG= 2z + 2 =4
Como los conjuntos de números direccionales [4, 8, -8] y [-2, -4, 4] de las rectas normales de las dos superficies son proporcionales, las superficies tienen el plano tangente común 1(x - 2) + 2(y - 1) - 2(z - 1) = 0 o x + 2y - 2z = 2
8.
Demuestre que las superficies F(x, y, z) =xy +yz - 4zx = 0 y G(x, y, z) = 3z2- 5x +y = 0 se intersecan en ángulo recto en el punto (1, 2, 1). Ha de mostrarse que los planos tangentes a las superficies en el punto son perpendiculares o, lo que es igual, que las rectas normales en el punto son perpendiculares. En (1, 2, 1), dF „ a F =y - 4z=-2,
dF a y =x - z =2,
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dF .0 a z =y - 4x=-2
-^ 445^
dG r -= ¡—=-5, dx
dG -=¡—=i1, dy
^6 /-=¡—3G = 6z = dz
9.
Demuestre que las superficies F(x, y, z) = 3x2+4y2+ 8z2- 36 = 0 y G(x, y, z) =x2+ 2y2- 4z2- 6 = 0 se cortan en el ángulo recto. En cualquier punto P0(x0, y0, z0) sobre las dos superficies = 6x0,= 8y0,y = 16z0; por tanto, [3x0, 4y0, 8z0] es un conjunto de números direccionales para la normal a la superficie F(x, y, z) = 0 en P0. De igual forma, [x0, 2y0, -4z0] es un conjunto de números direccionales para la recta normal a G(x, y, z) = 0 en P0. Ahora, como
Superficies y curvas en el espacio
Un conjunto de números direccionales para la recta normal a G(x, y, z) = 0 es [l2, m2, n2] = [-5, 1, 6]. Como l1l2+ m1m2+ n1n2= 1(-5) + (-1)1 + 1(6) = 0, estas direcciones son perpendiculares.
CAPÍTULO 51
Un conjunto de números direccionales para la recta normal a F(x, y, z) = 0 es [l1, m1, n j = [1, -1, 1]. En el mismo punto,
6(x2 +2y2 - 4z?) - (3x2 +4yg +8z?) = 6(6) - 36 = 0, estas direcciones son perpendiculares.
10. Deduzca (51.7) y (51.8) para la recta tangente y el plano normal a la curva en el espacio C: F(x, y, z) =0, G(x, y, z) = 0 en uno de sus puntos P 0(x0, y0, z0). En P0, las direcciones ~dF_ dF dF. ” y ~dG dG dG ' son normales, respectivamente, a los planos dx dy dz _ dx dy dz _ tangentes de las superficies F(x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0. Como la dirección dF / dy dF / dz dG / dy dG / 3z
dF / dz dF / dx dG / 3z dG / dx
dF / dx dF / dy dG / dx dG / dy
es perpendicular a cada una de estas direcciones, es la de la recta tangente a C en P0. Por tanto, las ecuaciones de la recta tangente son x - xo dF / dy dF / dz dG / dy dG / 3z
y - yo dF / dz dF / dx dG / dz dG / dx
z - zo dF / dx dF / 3y dG / dx dG / dy
y la ecuación del plano normal es dF / dx dF / dy dF / 3y dF / dz , . dF / dz dF / dx (z - zo) = o dG / dy dG / dz (x" xo) + dG / 3z dG / dx (y - yo) + dG / 3x dG / 3y
11. Halle las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva x2+y2 +z2 = 14, x +y +z = 6 en el punto (1, 2, 3). Sean F(x, y, z) =x2+y2+z2- 14 = 0 y G(x, y, z) =x +y +z - 6 = 0. En (1, 2, 3), 4 6 1 1
dF / dF / dz dG / dy dG / 3z
2y 2z 1 1
3F / 3G /
6 2 /I 3F / —4, 1 1 3G /
3F / 3x 3G / 3x
—
3F / 3y 3G / 3y
2 4 1 1
Con [1, -2, 1] como un conjunto de números direccionales de la tangente, sus ecuaciones son x ——1 =y — 2 z —3 —z 0 — . La ecuación del plano normal es (x - 1) - 2(y - 2) + (z - 3) =x - 2y +z = 0 1 -2 1
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CAPÍTULO 51
S uperf icies y curvas en e l espacio
12. Determine las ecuaciones de las superficies de revolución generadas al girar la curva dada alrededor del eje indicado: a) y =x2en torno al eje x; b) y =1 en torno al eje y; c) z =4y en torno al eje y. x 1 +z2=y-; c) x2+z2=16y2. En cada caso, se utiliza una forma apropiada de (51.9): a) y 2 +z2=x4; b) x2
13. Identifique el
lugar geométrico delos puntos (x, y, z) que equidistan del punto (0, -1, 0) y el plano y = 1. Al elevar al cuadrado las distancias se obtiene x2+ (y + 12) +z2= (y - 1)2, donde x2+z2=-4y, un paraboloide circular.
14. Identifique la superficie 4x2- y2+z2- 8x + 2y + 2z + 3 =0 completando los cuadrados. Se obtiene 4(x2- 2x) - (y2- 2y) + (z2+ 2z) + 3 = 0 4(x - 1)2- (y - 1)2+ (z + 1)2+ 3 =4 4(x - 1)2- (y - 1)2+ (z + 1)2= 1 Se trata de un hiperboloide de una hoja con centro en (1, 1, -1,)
PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS 15. Determine las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva dada en el punto indicado: a) x = 2t, y = t2, z = t3; t = 1 Respuesta: x ^2 = y^1 = 1; 2x + 2y + 3z - 9 =0 b) x = tet, y = e , z = t; t = 0
Respuesta:
c) x = t cos t, y = t sen t, z = t; t = 0
Respuesta: x =z, y = 0; x +z = 0
t
x = y ^ 1 = 1 ;
; x +y +z - 1 = 0
16. Demuestre que las curvas a) x = 2 - t, y =-1/t, z = 2t2y b) x = 1 + 0, y = sen 0 - 1, z = 2 cos 0 se intersecan en ángulo recto en P(1, -1, 2). Obtenga las ecuaciones de la recta tangente y el plano normal de cada curva en P. Respuesta:
a)
x
~1 =
y + 1 = z - 2
; x - y - 4z + 6 = 0; b) x - y = 2, z = 2; x +y = 0
17. Demuestre que las rectas tangentes a la hélice x =a cos t, y =a sen t y z =bt se encuentran en el plano xy en el mismo ángulo.
18. Demuestre que la longitud de la curva (51.1) desde el punto t = t0hasta el punto t = t1está dada por
íjifFW W * Halle la longitud de la hélice del problema 17 de t = 0 a t = t1. Respuesta:
sja 2 +
b 2 11
19. Encuentre las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva dada en el punto indicado: a) x2+ 2y2+ 2z2= 5, 3x - 2y - z = 0; (1, 1, 1) b) 9x2+ 4y2- 36z = 0, 3x +y +z - z2- 1 = 0; (2, -3, 2) c) 4z2=xy, x2+y2= 8z; (2, 2, 1)
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------------- « 4^ CAPÍTULO 51
Respuestas: a) x —1 = y „ 1 = z —1 2x + 7y - 8z - 1 = 0; 2/ —8 c) x —2 = y 2, z - 1 = 0; x - y = 0 1 -1
b) x —2 = y 12, y + 3 = 0; x +z - 4 = 0; 1 1
a) x +y + z = 14; (1, -2, 3)
Respuesta: x - 2y + 3z = 14; x —1 = b—y = z —3
b) x +y + z = r ; (x , y 1, z ) c) x + 2z = 3y ; (2, -2, -2)
Respuesta: x1x + y1y + z1z = r2; - —— = y +y1 = - —— o x' 2 y1 z1 Respuesta: x + 3y - 2 z = 0; A-- — = —3— = z—y
d) 2x + 2xy +y +z + 1 = 0; (1, -2, -3)
Respuesta: z - 2 y = 1; x - 1 = 0, y + 2 = z—j 3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
j
i
2
2
2
e) z =xy; (3, -4, -12)Respuesta: 4x - 3y +z = 12; x —3 = — y = z +112
21.
a) Demuestre que la suma de las intersecciones del plano tangente a la superficie x +y +z = a en cualquiera de sus puntos es a. b) Pruebe que la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las intersecciones del plano tangente a la superficie x +y +z = a en cualquierade sus puntos es a. 1 /2
2 /3
2 /3
2 /3
1 /2
1 /2
1 /2
2 /3
22. Demuestre que cada par de superficies es tangenteen el punto indicado: a) x +y +z = 18, xy = 9; (3, 3, 0). b) x +y +z -8x - 8y - 6z + 24 = 0, x + 3y + 2z = 9; (2, 1, 1). 2
2
2
2
2
2
2
2
2
23. Pruebe que cada par de superficies es perpendicular en el punto indicado: a) x + 2y - 4z = 8, 4x - y + 2z = 14; (2, 2, 1). b) x +y +z = 50, x +y - 10z + 25 = 0; (3, 4, 5). 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
24.
Demuestre que cada una de las superficies a) 14x + 11y + 8z = 66, b) 3z - 5x +y es perpendicular a las otras dos en el punto (1, 2, 1).
25.
Identifique las superficies siguientes:
2
2
2
2
= 0,
y c) xy +yz - 4zx = 0
a) 36y - x + 36z = 9. b) 5y = -z +x . c) x + 4y - 4z -6x - 16y - 16z + 5 = 0. 2
2
2
2
Respuesta:
2
2
2
2
a) hiperboloide de una hoja (en torno al eje x); b) paraboloide hiperbólico; c) hiperboloide de una hoja, con centro en (3, 2, -2)
26. Halle la ecuación de una curva que, cuando gira en torno a un eje adecuado, resulta en el paraboloide y
2
+z
2
- 2x = 0. Respuesta:
27.
y =s[2x o z =V2x, en torno al eje x.
Determine la ecuación de la superficie obtenida al girar la curva indicada en torno al ejedado. Identifique el tipo de superficie: a) x =y en torno al eje x; b) x = 2y en torno al eje x. 2
Respuesta:
a) x
= y 2 + z 2 (parabo lo ide c irc u la r);
b) y 2 + z2 = ^
(con o c irc u la r recto).
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Superficies y curvas en el espacio
20. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en el punto indicado:
Derivadas direccionales. Valores máximos y mínimos
Derivadas direccionales Sea P(x, y, z) un punto en una superficie z =f x , y). Por P pasan los planos paralelos a los planos xz y yz, que cortan la superficie en los arcos PR y PS, y cortan el plano xy en las rectas P *M y P *N , como se muestra en la figura 52.1. Observe que P* es la base de P, que es perpendicular al plano xy. Las derivadas parciales |z y |y, evaluadas en P*(x, y) dan, respectivamente, las razones de cambio de z =P*P cuando y y cuando x se mantienen fijas. Dicho de otro modo, dan las variaciones de z en las direcciones paralelas a los ejes x y y. Estas razones de cambio son las pendientes de las tangentes de las curvas PR y PS en P. z
Figura 52.1 Considere ahora un plano que pasa por P, que es perpendicular al plano xy y que forma un ángulo 9 con ele eje x. Se que corte la superficie enla curva PQ y el plano xy en la recta P*L. La derivada direccional defx, y) en P* en la dirección 9 está dada por
dz dz ~ dz ~ dS = dx cosA + ^y sen0
/c q i \
(52.1)
La dirección 9 es la dirección del vector (cos 0)i + (sen 0)j. Con la derivada direccional se obtiene la razón de cambio de z = P*P en la dirección de P*L; esto es igual a la pendiente de la tangente a la curva PQ en P (véase el problema 1).
^ 448^
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-^ 449^
Supóngasequez=fx, y)tieneunvalormáximo(omínimo)relativoenP0(x0,y0,z0). Todoplanoquepasapor P0perpendicularalplanoxy cortarálasuperficieenunacurvaquetengaunpuntomáximo(omínimo)relativo enP0.Así, la derivadadireccio^nfa^ cos0^ f+ s en#dez=fx,y) debeser igualaceroenP0.Enparticular, cuando 0=0, sen0=0ycos9 =1,demaneraque^ =0. Cuando0=^ ,sen0=1y cos0=0,demodoque f =0. Portanto, sellegaal teoremasiguiente. T eorem a 5 2 .1 . Si z =f x , y ) tiene un extremo relativo en P 0(x 0, y 0, z 0) y ^f ^f y J L = 0 en (xq, y e). dy
y
existe en (x 0, y 0), entonces ^f
=0 óx
óy óx
Vale la pena mencionar, sin la demostración correspondiente, las siguientes condiciones suficientes para la exis tencia de un máximo o mínimo relativos. Teorem a 5 2 .2 . Sea z y 0) en el cual f
=f(x, y ) que tiene primera y segunda derivada en un conjunto abierto incluido un punto (x 0,
=0 y f
= 0. Se define A =
= (x,y)tiene
z f
f
j
j
•Supóngase que A < 0 en (x 0, y 0). Entonces:
1 tf +-d d2 unm ín imorelativ oen/(x 0, y0\) si■ -d"^x^ y fT > n0 unm á x imorelativoen(x0, y0) si• d2f +-ddy2fT
Si A > 0, no hay un máximo ni un mínimo relativo en (x0, y0). Si A = 0, no se tiene información.
Valores máximos y mínimos absolutos
Sea unconjuntodepuntosenel planoxy. SedicequeA estáacotado siA estáincluidaenalgúndisco. Por deA enel planoxy seentiendeel conjuntodetodoslospuntosenel planoxy quenoestáenA. Sediceque escerrado si el complementodeA esunconjuntoabierto.
A complemento A
Los siguientes son ejemplos de conjuntos cerrados y acotados. a) Todo disco cerrado D, es decir, el conjunto de todos los puntos cuya distancia al punto fijo sea menor o igual que algún número r fijo positivo. (Nótese que el complemento de D es abierto porque cualquier punto que no esté en D puede ser rodeado por un disco abierto que no tenga puntos en D .) EJEMPLO 5 2 .1 .
b) El interior y el límite de todo rectángulo. Más generalmente, el interior y el límite de toda “curva simple ce rrada”, es decir, una curva que no se interseque a sí misma salvo en sus puntos inicial y terminal.
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Derivadas dlrecclonales. Valores máximos y m ínim os
Valores máximos y mínimos relativos
CAPÍTULO 52
LaderivadadireccionalenunpuntoP* esunafunciónde0. Másadelanteseveráqueexisteunadirección, determinadapor unvector denominadogradiente def enP* (véaseel capítulo53), parael cual laderivada direccional enP*tieneunvalormáximo. Esevalormáximoeslapendientedelatangentemásinclinadaque puedatrazarsealasuperficieenP. Paraunafunciónw =F(x, y, z), laderivadadireccional enP(x, y, z) enladireccióndeterminadapor los ángulosa, p, yestádadapor dF dF dF _ dF - 3- =-=r—cos a +^ — cos li +^—cos y ds dx dy ^ dz Porladireccióndeterminadapora, Pyyseentiendeladireccióndel vector(cosa)i +(cosP)j +(cosy)k.
CAPÍTULO 52
D erivadas dlrecclonales. Valores m áxim os y m ínim os
Teorem a 5 2 .3 . Seafx,
y) una función continua en un conjunto cerrado y acotado A. Entoncesf tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en A. Una demostración del teorema 52.3 remite al lector a textos más avanzados. Para tres o más variables puede deducirse un resultado análogo.
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Deduzca la fórmula (52.1) En la figura 52.1, sea P **(x +Ax, y + Ay) un segundo punto en P*L y denótese por As la distancia P*P **. Supóngase que z =fx , y) posee primeras derivadas parciales continuas y se obtiene, por el teorema 49.1, Az=
Ax +
Ay +e1Ax +e2 Ay
donde e 1y e 2^ 0 cuando Ax y Ay ^ 0. La razón promedio de cambio entre los puntos P* y P** es Az _ d z Ax ,d z ^y , c Ax As As3x As dy As
Ay As
= j x c o s 0 + -|y sen 0 + e 1 c o s 0 + e 2 sen 0
donde 0 es el ángulo que la recta P *P ** forma con el eje x. Ahora, sea P** ^ P* a lo largo de P*L. La derivada direccional en P*, es decir, la razón de cambio instantánea de z, es entonces d z = -5^ c o s e + l ^ sen6 ds dx
2.
dy
Encuentre la derivada direccional de z =x2- 6y2en P* (7, 2) en la dirección a) 0 =45°; b) 0 = 135°. La derivada direccional en cualquier punto P*(x, y) en la dirección 0 es dx
ds
c o s 0 +^
se n 0 = 2 x c o s 0 - 12 y sen 0
dy
7
a) En P*(7, 2) en la dirección 0 =45°, dg = 2(7)(±V2) - 12(2)(*>/2) = -572 b) En P*(7, 2) en la dirección 0 = 135°, dg = 2(7)(- ^V2) - 12(2)(-jV2) = -19>/2
3.Encuentre la derivada direccional de z =ye1en P*(0, 3) en la dirección a) 0 = 30°; b) 0 = 120°. Aquí, dz/ds =ye1cos 0 + e sen 0. a) En (0, 3) en la dirección 0 = 30° dz/ds = 3(1) (-j>/3) +4 =t(3%/3 +1). b) En (0, 3) en la dirección 0 = 120° dz/ds = 3(1) (--j) +y>/3 = t(-3 +->/3).
4.
La temperatura T de una placa circular en un punto (x, y) está dada por T = x2+6y 2 +2 , donde el origen es el centro de la placa. En el punto (1, 2), determine la razón de cambio de T en la dirección 0 = ft/3.
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- # 451^ CAPÍTULO 52
Se tiene que
d T =____64(2x ) cqs0 _____ 64(2y ^ sen0 ds (x 2 +y 2 + 2)2 cosü (x 2 +y 2 + 2)2 senü
5.
= " 69 a + 2 ^
El potencial eléctrico V en un punto (x, y) está dado por V = ln ,J x 2 +y2. Determine la razón de cambio de V en el punto (3, 4) según la dirección del punto (2, 6). Aquí, ds
2 x 2cos0 + 2y 2 sen0 x 2+y2 x2+y2
Como 0 es un ángulo del segundo cuadrante y tan 0 = (6 - 4)/(2 - 3) = -2, cos 0 = -H y [ 5 y sen 0 = 2/V5. ( _ _ L 1_+= Por tanto, (3, 4) en la dirección indicada, ¡ V = ~ 25 \ ^ d j5 ) ^ 25 "25"
6.
V5
Encuentre la derivada direccional máxima para la superficie y el punto del problema 2. En P*(7, 2) en la dirección 0, dz/ds = 14 cos 0 - 24 sen 0. Para hallar el valor de 0para el cual ¡jr ; es un máximo, sea ¡ | ¡¡SJ =-14 sen0- 24 cos 0 =0.. Entonces, tan 6 = —-24=- 12 y 0 es un ángulo del segundo o del cuarto cuadrante. Para el ángulo del segundo cuadrante
Derivadas direccionales. Valores máximos y m ínim os
En (1, 2) en la dirección 0 = | , ¡ T = - i g 8 1 -
sen 0= 12/V193 y cos =-7A/193. Para el ángulo del cuarto cuadrante, sen0 =-12/V 193 y cos 0=7/V193. Como -jñ z ( I= ¡ (_14 sen0- 24 cos 0) = -14 cos 0 + 24 sen0 es negativo para el ángulo del cuarto do \d s¡ do í \ í \ cuadrante, la derivada direccional máxima es = 141 r7— I- 241— i ^ = = 2^/193, y la dirección es dz ^7193) \ VÍ93 ) * 0 = 300° 15'.
7.
Encuentre la derivada direccional máxima para la función y el punto del problema 3. En P*(0, 3) en la dirección 0, dz/ds = 3 cos 0 + sen 0. Para hallar el valor de 0 para el cual ¡ - es un máximo, sea F ds ¡0 \ d s) tan 0 = | y 0 es un ángulo del primer o del tercer cuadrante. Como ¡ 2 1¡ s J= d
1 = -3 sen0 + cos 0 = 0. Entonces,
’
(-3 sen0+ cos 0) = -3 cos 0 - sen0 es negativo para el ángulo del primer
cuadrante, la derivada direccional máxima es ¡ —= 3 3—+ ^ =-J^, y ladirección es 0 =18° 26'. ds V 1q T 1q v j
8.
En el problema 5, demuestre que V cambia más rápidamente a lo largo del conjunto de rectas radiales que pasan por el origen. En cualquier punto (x,, y.) en la dirección 0, , x1 , cos0H— ^ —^sen0. Ahora V cambia más I \ x x?+y? x? +y 2 / 2 + 2) rápidamente cuando d |=--, x1 2 sen0+ , y1 , cos0 = 0 y, entonces, tan 0 = y1 . X\— ^2- = — .Así, ^ d6 \ d s ) x12 +yf x12 +yr 0 es el ángulo de inclinación de la recta que une el origen y el punto (x1, y1).
9.
Halle la derivada direccional de F(x, y, z) =xy + 2xz - y2+z2en el punto (1, -2, 1) a lo largo de la curva x = t, y = t - 3, z = t2en la dirección de z creciente. Un conjunto de números direccionales da la tangente a la curva en (1, -2, 1) es [1, 1, 2]; los cosenos directores son [1^>/6, 1/>/ó , 2/V6 ]. La derivada direccional es dx
c o s a + ^ F cosfi + ^ Z-c o s y = 0 - ^ +5-L- +4 = dy H dz ' Vó V6 V6
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136 6 6
x1/(x12 +y1 2)
x1
CAPÍTULO 52
D erivadas dlrecclonales. Valores m áxim os y m ínim os
10. Analice los valores máximos y mínimos def x , y) =x 2+y 2 - 4x + 6y + 25.
r)f r)f Las condiciones ^ = 2x - 4 = 0 y -^y- = 2y + 6 = 0 se satisfacen cuando x = 2 y y =-3. Como f x , y) = (x2- 4x +4) + (y2+ 6y + 9) + 25 - 4 - 9 = (x - 2)2+ (y + 3)3+ 12
es evidente quef (2, -3) = 12 es el valor mínimo absoluto de la función. Geométricamente, (2, -3, 12) es el punto mínimo de la superficie z =x 2+y 2- 4x + 6y + 25. Claramente,f x , y ) no tiene valor máximo absoluto.
11. Analice los valores máximos y mínimos def x , y) =x3+y3+ 3xy.
r)f r)f Se utilizará el teorema 52.2. Las condiciones = 3(x2+y) = 0 y -=y- = 3(y2+x) = 0 se satisfacen cuando x = 0 y y = 0 y cuando x =-1 y y =-1. d2f d2f d2f En (0, 0), -=-4- = 6x = 0, f =3 y -=¡-4- = 6y = 0. Entonces, dx2 dx dy dy2 J ( _ 3 f ^2_ ( d _ f V 3 f 9 > 0 U x 3y) U x 2 l U y2 1 9 > 0 y (0, 0) no resulta en un mínimo ni un máximo relativo. En ( - 1 , - 1 ) , l í = _ 6,
dx dy
= 3y
i!
dy
= ■ 6 . E n to n ces,
( S y )2- ( ü f Tf^iytW
<0
y
3^ + <0 dx 2 9y2
Por tanto, f(-1, -1) = 1 es el valor máximo relativo de la función. Claramente, no hay valores máximos ni mínimos absolutos. (Cuando y = 0, fx , y) =x3pueden hacerse arbitrariamente grande o pequeño.)
12. Divida 120 en tres partes no negativas tales que la suma de los productos tomados de dos en dos sea máxima. Sean x, y, y 120 - (x +y) las tres partes. La función por ser analizada es S =xy + (x +y)(120 - x - y). Como 0
Ahora, -jx =y + (120 - x - y) - (x +y) = 120 - 2x - y y
í y = x + (120 - x - y) - (x + y) = 120 - x - 2y
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13. Determine el punto del plano 2x - y + 2z = 16 más próximo al origen. Sea (x, y, z) el punto requerido; entonces, el cuadrado de su distancia al origen es D =x2+y2+ z2. Como también 2x - y + 2z = 16, se tiene que y = 2x + 2z - 16 y D =x2+ (2x + 2z - 16)2+z2. Luego, las condiciones dD/dy = 2x +4(2x + 2z - 16) = 0 y dD/dz =4(2x + 2z - 16) + 2z = 0 equivalen a 5x +4z = 32 y 4x + 5z = 32, y x = z = Como se sabe que existe un punto para el cual D es un mínimo, ( f ,-16,42) es ese punto.
14. Demuestre que un paralelepípedo rectangular de volumen máximo V con área de superficie constante S es un cubo. Sean x, y y z las dimensiones. Entonces, V =xyz y S = 2(xy +yz +zx). Pueden despejarse z en la segunda relación y sustituirse en la primera, para expresar V como función de x y y. Es preferible evitar este paso simplemente tratando z como una función de x y y. Entonces, IV -
% -- x z + x y f
§ -0- 2(y+z+x| +>■§), i -0- 2(x+z+xI +yf De las dos últimas ecuaciones,
dx
x+y
y 3£ _ _ x ^ Z _. a i sustituir en las primeras se llega a las dy x+y
condiciones $ X = yz - xy(y +z) = 0 y ^ X = xz - xy(x +z) = 0, las cuales se reducen a y2(z - x) = 0 y x2(z - y) áx J x+y J dy x+y J J J = 0. Así, x =y =z, como se solicitó.
15. Determine el volumen V del paralelepípedo rectangular más grande que puede inscribirse en el elipsoide +y2 +zL = 1 a 2 + b 2 + c2 Sea P(x, y, z) un vértice en el primer octante. Entonces, V = 8xyz. Considere z como una función de las variables independientes x y y dada por la ecuación del elipsoide. Las condiciones necesarias para un máximo son: i x = 8(yz
+
0
y
w = 8(x z + = 0
(1)
De la ecuación del elipsoide se obtiene Oí' +^ d x = 0 y by +^ jjy"= 0. Se elimina dz/dx y dz/dy entre estas relaciones y (1) para obtener dV 8 dx -
c 2x 2y | . j- 0 y
dV 8 (x. c 2xy 2 ) 0 a y - 8 \Xz ~ ~ b 2r 0
y finalmente, x2 _ z2 _ y2 a 2 c2 b 2
(2)
Se combina (2) con la ecuación del elipsoide para obtener x = ^^>/3/3, y = b^3 /3 y z = c \¡3 /3. Entonces, V = 8xyz = ('^'j3/9)abc unidades cúbicas.
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Derivadas dlrecclonales. Valores máximos y m ínim os
Al igualar dS/dx = dS/dy = 0 resulta 2x +y = 120 y x + 2y = 120. La solución simultánea da x =40, y =40 y 120 -(x +4) =40 como las tres partes, y S = 3(402) =4800. Entonces, si el máximo absoluto ocurre en el interior del triángulo, el teorema 52.1 indica que se ha hallado. Aún es necesario revisar el límite del triángulo. Cuando y = 0, S =x(120 - x). Entonces, dS/dx = 120 - 2x y el número crítico es x = 60. El valor máximo correspondiente de S es 60(60) = 3600, que es <4800. Un resultado semejante se cumple cuando x = 0. Finalmente, en la hipotenusa, donde y = 120 - x, S =x(120 - x) y se obtiene de nuevo un máximo de 3600. Por consiguiente, el máximo absoluto es 4800 y x =y =z =40.
CAPÍTULO 52
-----«5^
CAPÍTULO 52
D erivadas direccionales. Valores m áxim os y m ínim os
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 16. Encuentre las derivadas direccionales de la función dada en el punto indicado en la dirección señalada. a) b) c) d)
z =x2+xy + y2, (3, 1), Q = y. z =x3- 3xy + y3, (2, 1), Q =tan~j(f).. z = y + x cos xy, (0, 0), 9 = y. z = 2x2+ 3xy - y2, (1, 1), hacia (2, 1).
Respuestas:
a) \ ( J +5^3); b) 21^13/13;; c) t(1 +V3); d) 11>/575
17. Encuentre la derivada direccional máxima para cada una de las funciones del problema 16 en el punto indicado. Respuestas: a) •v/74; b) 3^10; c) >/2; d) ^26
18. Demuestre que la derivada direccional máxima de V =ln -Jx2+y2 del problema 8 es constante a lo largo de todo círculo x2+y2=r 2.
19. Sobre una colina representada por z = 8 - 4x2- 2y2, encuentre a) la dirección de la máxima pendiente en (1, 1, 2) y b) la dirección de la línea de nivel (dirección para la cual z = constante). Nótese que las direcciones son mutuamente perpendiculares. Respuestas:a) tan-1(^), tercer cuadrante; b) tan-1(-2)
20. Demuestre que la suma de los cuadrados de las derivadas direccionales de z =f(x, y) en cualquiera de sus puntos es constante para cualquier par de direcciones perpendiculares y es igual al cuadrado de la derivada direccional máxima.
21. Dadas z =fx, y) y w =g(x, y) tales que dz/dx = dw/dy y dz/dy =-dw/dx. Si dj y 02son dos direcciones mutuamente perpendiculares, pruebe que en cualquier punto P(x, y), dz/ds1 = dw/ds2 y dz/ds2 = 3w/3s1.
22. Determine la derivada direccional de la función dada en el punto indicada y en la dirección señalada: a) xy2z, (2, 1, 3), [1, -2, 2]. b) x2+y2+z2, (1, 1, 1) hacia (2, 3, 4). c) x2+y2- 2xz, (1, 3, 2), a lo largo de x2+y2- 2xz = 6, 3x2- y2+ 3z = 0 en la dirección de z creciente. Respuestas: a) - t7; b) 6^/^4/7; c) 0
23. Analice los valores máximos y mínimos relativos para cada una de las funciones siguientes: a) b) c) d) e) f)
z =2x +4y - x2- y2-3 z =x3+y3- 3xy z =x2+ 2xy + 2y2 z = (x-y)(1 - xy) z = 2x2+y2+ 6xy + 10x -6y + 5 z =3x -3y -2x3- xy2+ 2x2y +y 3
g) z =xy(2x + 4y +1)
Respuesta: Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta
máximo = 2 cuando x = 1, y = 2 mínimo = -1 cuando x = 1, y = 1 mínimo = 0 cuando x = 0, y = 0 ni máximo ni mínimo ni máximo ni mínimo mínimo =- -J6 cuando x =->/6 /6, y =-J6 /3; máximo =\[6 cuando x =y¡6 / 6, y = - Vó/3.
Respuesta:
máximo =^jg cuando x =--J, y =—
24. Halle números positivos x, y, z tales que b) xyz = 27 y x +y +z es un mínimo d) x +y + z = 12 y xy2z3es un máximo
a) x +y + z= 18y xyz es un máximo c) x +y + z=20y xyz2es un máximo
Respuestas: a) x
=y =
z=
6; b) x = y =
z=
3; c) x = y = 5,
z=
10; d ) x = 2, y = 4,
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z=
6
25. Encuentre el valor mínimo del cuadrado de la distancia del origen al plano Ax +By + Cz +D = 0. Respuesta:D2/(A2+B2+ C2)
b) El volumen de una caja rectangular sin tapa es de 500 pies3. Halle su área de superficie mínima. Respuestas: a) 108 pies3; b) 300 pies2 27. Encuentre el punto en z =xy - 1 más próximo al origen. Respuesta: (0, 0, -1) 28. Encuentre la ecuación del plano que pasa por (1, 1, 2) y que corta el mínimo volumen en el primer octante. Respuesta:
2x + 2y +z = 6
29. Determine los valores de p y q de manera que la suma S de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos (0, 2), (1, 3) y (2, 5) a la recta y =px + q sea un mínimo. [Sugerencia: S = (q - 2)2+ (p + q - 3)2+ (2p + q - 5)2.] Respuesta:
p = f; q = H
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Derivadas direccionales. Valores máximos y m ínim os
26. a) El área de la superficie de una caja rectangular sin tapa es de 108 pies2. Halle su máximo volumen posible.
CAPÍTULO 52
-----«5^
Derivación e integración de vectores
Derivación vectorial Sean
1 2 3 s = igx (t) +jg 2 (t) + kg3 (t) = ig1 +jg 2 + kg3 u = ih 1(t) +jh 2 (t) + kh3 (t) = ih 1 +jh2+ kh 3
r = i/ (t) +jf (t) + k/ (t) = if +j f + k f
vectores cuyas componentes son funciones de una sola variable escalar t, con primeras y segundas derivadas continuas. Es posible mostrar, como en el capítulo 39 para vectores en el plano, que dr ds d d ( r . s) = d • s + r . d
(53.1)
Asimismo, a partir de las propiedades de los determinantes cuyas entradas son funciones de una sola variable, se tiene que i d d d (r X s) = d f g,
i j k i j k Í 2 /3 = f i f 2 S i + f g 2 g3 g 1 g2 g3 g'l dr ds = -77 x s + r x - 7dt dt
j k f f3 g2 g3 (53.2)
u
d r , ... d r . . ( ds \( d d [r. (s x u)]= t ■(s x u)+ r . U x u + r . s x d
l
y
1
(53.3)
Estas fórmulas se pueden verificar desarrollando los productos antes de derivar. De (53.2) se deduce que d
dr
d
[ x(s xu)]=d x(s xu)+r xd (s xu)
dt r
dr
(,
)+r X I(ddsX u j + r xl\ s( X - dtu
=d t X sXu
^ 456^ -
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(53.4)
-^ 457^
Considere la curva en el espacio x =f ( t), y = g(t), z = h(t)
(53.5)
r = xi + yj + zk Como en el capítulo 39,
dr t =~d~ es el vector unitario tangente a la curva. Si Res el vector de posición de un punto
(X, Y, Z ) en la tangente en P, la ecuación vectorial de esta recta es (véase el capítulo 50)
R- r = kt
para una variable escalar k
(53.6)
y las ecuaciones en las coordenadas rectangulares son
- = - = -
X x Y y Z z dx/ds _ dy /d s ~ dz /ds
’
dx dy dz donde d s ' d s ds es un conjunto de cosenos directores de la recta. En la correspondiente ecuación (51.2) se dx dy dz utilizó un conjunto de números directores dt ’ dt ’ dt
’
La ecuación vectorial del plano normal a la curva en P está dada por
R r •t = 0
( - ) donde
(53.7)
Res el vector posición de un punto general del plano.
es un vector perpendicular a t. Si nes un vector unitario con dirección dtDe nuevo, como en el capítulo 39,4ds -, entonces
ds
n
d s = IKl , ds
donde IZl es la magnitud de la curvatura en P. El vector unitario
n IK1Idsdt
(53.8)
se denomina normal principal a la curva en P El vector unitario en P, definido por
b
b= t x n (53.9) recibe el nombre de binormal en P. Los tres vectores t, ny bforman en P una tríada a la derecha (dextrógira) de vectores ortogonales entre sí (véanse los problemas 1 y 2). En un punto general P de una curva en el espacio (fig. 53.1), los vectores t, ny bdeterminan tres planos perpendiculares entre sí: 1. 2. 3.
t n Rr El plano normal , que contiene a ny b, de ecuación (R- r) •t = 0 El plano rectificador , que contiene a t y b, de ecuación (R- r) •n = 0 El plano osculador , que contiene a y , de ecuación ( - ) •b = 0
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Derivación e integración de vectores
donde f(t), g(t) y h(t) tienen primeras y segundas derivadas continuas. Sea el siguiente el vector de posición de un punto general variable P(x, y, z) de la curva:
CAPÍTULO 53
Curvas en el espacio
CAPÍTULO 53
D erivación e integración de vectores
z
Fig. 53.1 E n cada ecuación, R es el vector de posición de un punto general en el plano en particular.
Superficies S ea F (x, y , z) = 0 la ecuación de una superficie (véase el capítulo 51). U n a representación param étrica resulta cuando x, y y z se escriben com o funciones de dos variables independientes o parám etros u y v ; p o r ejem plo,
i
"
3
x = f ( u, v), y = f ( u, v),
z = f ( u, v)
(53.10)
0
C uando u se sustituye po r un valor constante u , (53.10) se convierte en
1o
x = f ( u , v),
"o
3o
y = f ( u , v), z = f ( u , v)
(53.11)
la ecuación de una curva en el espacio (curva u) que está sobre la superficie. D e igual m odo, cuando v se rem plaza por una constante v , (53.10) se convierte en
0
o
x = f ( u , v ),
" o
3 o
y = f (u, v ), z = f ( u, v )
(53.12)
la ecuación de otra curva en el espacio (curva u) sobre la superficie. L as dos curvas se intersecan en un punto de la superficie obtenido al sustituir u = u y v = v , sim ultáneam ente, en (53.10). E l vector de posición de un punto general P de la superficie está dado por
0
0 ¡
"
r = xi + yj + zk = i/ ( u, v) + jf ( u, v) + k f 3 (u, v) Supóngase que (53.11) y (53.12) son las curvas u y v que pasan p o r P . E ntonces, en P ,
i
=
i^
v j
k
v
f l (Uo, ) + i b f 2 (Uo, v ) + l! v f 3(u o, )
es un vector tangente a la curva u, y
|u =¡¿ ¿ i " , ^ + j 5 u f 2(u- v" ) + k T u f >{" ' ^
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(52.13)
- # 459~^
SiReselvectordeposicióndeunpuntogeneral sobrelanormalalasuperficieenP, suecuaciónvectoriales ärx 9r ' (53.15) (R- r) =k ai SiR eselvectordeposicióndeunpuntogeneralenelplanotangentealasuperficieenP , suecuaciónvectorial es (53.16) (R- r) -I® X 1 1=0 (Véaseelproblema3.) El operador V
Enelcapítulo52, laderivadadireccionaldez=f(x, y)enunpuntoarbitrario(x,y)yenunadirecciónqueforma unángulo0conel ejexpositivoseexpresacomo dz d f df ~ r = ^ - cosö +^r- senö ds dx dy
Seescribe cos0+|ysen0=|^if +jf •(icos0+j sen0)
(53.17)
Ahoraa =i cos 0 +j sen0 esunvectorunitariocuyadirecciónformaunángulo0 conel ejexpositivo. El otrofactorenel miembroderechode(53.17), cuandoseescribecomoIi +j I f , indicadaladefinición deunoperadordiferencial vectorial V(del), definidopor ^ '
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Derivación e integración de vectores
Fig. 53.2
CAPÍTULO 53
esunvectortangentealacurvav. Lasdostangentesdeterminanunplanoqueeselplanotangentealasuper ficieenP(fig. 53.2). Evidentemente, unanormal aesteplanoestádadapor dr x^dr •Lanorm al unitaria ala superficieenPestádefinidapor dr dr d n dru Xddrv (53.14) d u Xdv
D erivación e Integración de vectores
CAPÍTULO 53
(53.18)
V _ i dx + j dy E n el análisis vectorial, V = i
+ j se denom ina gradiente de f o g r a d f. D e (53.17) deducim os que la
com ponente de V f en la dirección de un vector unitario a es la derivada direccional de f en la dirección de a. Sea r = xi + yj el vector de posición de P(x, y). Com o d f _ d f dx d f dy ds dx ds dy ds
dx ds
■d f .d f i— + i— i dx + J dy
'd s
ds = ÍVf I cos
y
dr df donde f es el ángulo entre los vectores V f y , se desprende que es m áxim o cuando cos f = 1, es decir, ds dr cuando V f y y s tienen la m ism a dirección. A sí, el valor m áxim o de la derivada direccional en P es ÍVf I y su dirección es la de Vf. (C om párese con el análisis sobre derivadas direccionales m áxim as en el capítulo 52.) (Véase el problem a 4.) P ara w = F(x, y, z), se define _
.d F ,d F i dx + J dy +
dF dz
Y la derivada direccional de F(x, y, z) en un punto arbitrario P(x, y, z) en la dirección a = a 1i + a j + a 2k es dF d r = y F -a
(53.19)
C om o en el caso de funciones de dos variables, IVFI es el valor m áxim o de la derivada direccional de F(x, y, z) en P(x, y, z), y su dirección es la de V F (véase el problem a 5.) C onsidérese ahora la superficie F(x, y, z) = 0. L a ecuación del plano tangente a la superficie en uno de sus puntos P 0(x 0, y 0, z 0) está dada por dF
dF
( x ~ x<)) d x +(y _ y0) = [(x- x0)i + (y - y0)j + (z - Zo)k ]
dF
+ ( z ~ z0) dz .d F dx
.d F dy
, dF dz
=0
(53.20)
en el entendido que las derivadas parciales se evalúan en P 0 . E l prim er factor es un vector arbitrario que pasa po r P 0 en el plano tangente; por tanto, el segundo factor V F, evaluado en P 0, es norm al al plano tangente, es decir, es norm al a la superficie en P 0 (véase los problem as 6 y 7)
Divergencia y rotacional L a divergencia de una función vectorial F = if 1 (x, y, z) + j f 2 (x, y, z) + k f 3 (x, y, z), a veces denom inada del dot, está definida por
liv F = V F = ¿
í +|:f2 + | / 3
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(53-21>
- # 461^ CAPÍTULO 53
L a ro ta c io n a l de una función vectorial F, o de l cross, está definida por
i j F= V x F: d dz'
dyf
d z f 2 Ji + 1 d z f
dx f
k
± dy
d_ dz
f2
f3
d_ d dx f J j +1 dx 'f dx
'
d y f l lk
(53.22)
(Véase el problem a 8.)
Integración L a explicación sobre integración se lim itará a la integración ordinaria de vectores y a las llam adas integrales de línea (curvilíneas). C om o ejem plo de la prim era, sea
F(u) = i cos u + j sen u + au k un vector que depende de la variable escalar u. Entonces,
F'(u) = - isen u + jcos u + a k y
donde
J
F' (u ) du = J (- isenu +jcos u +a k) du = iJ - s e n u du +jj c o s u du + kJa du =icos u +jsenu +au k+c =F(u) +c
ces un vector constante arbitrario de u. A dem ás, í
F
= =F(b) - F(a)
" bF '( u ) du = [ (m) + c] “ a Ju=a (Véanse los problem as 9 y 10.)
Integrales de línea (curvilíneas) C onsidérese dos puntos P 0 y P 1 en el espacio, unidos p o r un arco C . E l arco puede ser un segm ento de un a línea recta o una p arte de una curva en el espacio x = g 1(t), y = g2(t), z = g 3(t), o puede constar de varios subarcos de curvas. E n cualquier caso, supóngase que C es continua en cada uno de sus puntos y que no se interseca a sí m ism a. Considere, adem ás, la función vectorial
F= F(x,y, z) = i/ i(x , y, z) + jf
2
(x , y , z) + f x , y, z),
que en todo punto de una región en torno a C , en particular en todo p unto C , define un vector de m agnitud y dirección conocidas. S e representa por r = xi + yj + zk
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(53.23)
Derivación e integración de vectores
ro t
±
CAPÍTULO 53
D erivación e integración de vectores
el vector de posición de P(x, y, z) en C. La integral
fP 0‘ ( F . d) d = | > . d r
(53.24)
se denomina integral de línea (curvilínea), es decir, una integral a lo largo de un camino C dado. Como ejemplo, sea F una fuerza. El trabajo realizado por ella al mover una partícula sobre dr está dado por (véase el problema 16, del capítulo 39) iF iidr i cos q = F x dr y el trabajo realizado al mover la partícula de P 0 a P 1a lo largo del arco C está dado por f P‘ F . dr CP0 De (53.23) dr = i dx + j dy + k dz y (53.24) se convierte en 1P F . dr = J Pp ( f dx + f2 dy + f dz)
(53.25)
(Véase el problema 11.)
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Una partícula se mueve a lo largo de la curva x =4 cos t, y =4 sen t, z = 6t. Determine la magnitud de su velocidad y su aceleración en los instantes t = 0 y t =2 n. Sea P(x, y, z) un punto en la curva y r =xi +yj +zk =4i cos t +4j sen t + 6kt su vector de posición. Entonces, v
En í = 0:
En í = ^ ^:
= ddrt =-4 i sin í +4j cos í + 6k y
a
= d 2r =- 4i cos í - 4j sen t dt2
v
=4j + 6k
Iv i =V 16 +36 = 2>/Í3
a
=-4i
Ia I =4
v
=-4i + 6k
Iv i = V 16 + 36 = 2-J13
a
=-4i
Ia I = 4
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-^ 463^ En el punto (1, 1, 1) o t =1 de la curva en el espacio x = t, y = t2, z = t3, determine:
r
= ti + t2j + t3k
dr = i + 2 tj + 3t2k dt ds = y¡ 1+4t2 +9t4 dt dr
t
En t = 1, r =i +j + k y t =
^ 4 ( i + 2j + 3k
_ dr _ dr ÉL _ ds dt ds
i + 2 tj +3 t2k ^ 1 +4 t2 +9 t4
).
a) Si R es el vector de posición de un punto general (X , Y, Z) en la recta tangente, su ecuación vectorial es R - r = kt o (X - =)i +(Y - =)j +(Z - =)k =
(i +2j +3k )
y sus ecuaciones rectangulares (cartesianas) son X -1 = Y -1 = Z -1 1 2 3 Si R es el vector de posición de un punto general (X, Y, Z) en el plano normal, se ecuación vectorial es (R - r ) x t = 0 o [( X - 1 ) i + (y - 1 ) j + (Z - 1 ) k ] - ^ = (i + 2j + 3k) = 0
y su ecuación rectangular (cartesiana) es (X - 1) + 2(Y - 1) + 3(Z - 1) =X + 2Y + 3Z -
6
=0
(Véase el problema 2a) del capítulo 51.) b) dt _ dt d¿ _ (-4t - 18t3)i + (2 - 18t4)j + (6t + 12t3)k b) ds dt ds (1 +4t2 +9t4) 2 Wo
r lf
r lc
En t = 1,
dt _ -11i - 8 j +9k ds 98
Entonces,
n =
b =t x n =
1 / 7V
-11i - 8 j + 9k V266
1 dt \K\ ds i
y
dt ds
y
V
1 1 VÍ4>/266 -11
j
k
2 3 -8 9
-v/19
(3i - 3j
+ k)
c) Si R es el vector de posición de un punto general (X, Y, Z) en la normal principal, su ecuación vectorial es R - r =kn, o ( X - 1)i + 2 (Y - 1)j + 3 (Z - 1)k =
k-11i -
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8 j +9k V266
Derivación e Integración de vectores
a) Las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal. b) La tangente unitaria, la normal principal y la binormal. c) Las ecuaciones de la normal principal y la binormal. Se tiene que
CAPÍTULO 53
2.
C A P Í T U L O 53
Derivación e integración de vectores
y las ecuaciones en coordenadas rectangulares son X - 1
= Y -1
-1 1
-
= Z -1
8
9
(X , Y,Z) en la binormal,
Si R es el vector de posición de un punto general kb o 1V
,v
1V
,v
su ecuación vectorial es R - r =
, 3i - 3j +
....
(X - 1)i + (Y - 1)j + (Z - 1)k = k —
k —
y las ecuaciones en coordenadas rectangulares son X -1
= Y -1
3
3.
Halla las ecuaciones del plano tangente el punto P(u = 2, v = 1).
= Z -1
-3
y de
1
la recta normala la superficie x =
2(u + v), y = 3(u - v),z = uv en
Aquí r = 2(u + v)i + 3(u - v)j + uvk, y e n e l p u n to
3r
— =2 i + 3j + u k , du
3r
— = 2 i - 3j + u k dv
P, r = 6i + 3j + 2 k ,
—
du y
=2 i + 3j +
| í x | í =
du
av
9 i - 2j
k
-
, —- = 2 i - 3 j + 2 k
dv
12k
L a s e c u a c io n e s v e c t o r ia l y r e c t a n g u la r ( c a r te s ia n a ) d e la r e c t a n o r m a l so n
r _ r = k^
du
o
x^-
dv
( X - 6 )i + ( Y - 3 ) j + ( Z - 2 ) k = k ( 9 i - 2 j - 1 2 k )
Xy
6
9
+Y - 3 = Z - 2 + -2 - 12
L a s e c u a c io n e s v e c t o r ia l y r e c t a n g u la r ( c a r te s ia n a ) d e l p la n o t a n g e n te so n
(R o
[(X -
y
4 .a )
r ) . (I - x ! v ) - 0
6 )i + ( Y - 3 ) j + ( Z - 2 )k ] • [9 i - 2 j - 1 2 k ]
= 0
9X - 2 Y - 1 2 Z - 24 = 0
E n c u e n t r e la d e r iv a d a d ir e c c io n a l d e f x , y ) = x 2 - 6 y 2 e n e l p u n to ( 7 , 2 ) e n la d ir e c c ió n 0 = b)
H a lle e l v a lo r m á x im o d e la d e r iv a d a d ir e c c io n a l e n ( 7 , 2).
a)
V f= ( i H x + jHy) ( x 2_ 6 y2) = i H x ( x 2_ 6 y2) + j y
( x 2 _ 6 y2)
a = ico s0 + isen0 =
= 2 xi _ 1 2 yj
i + —L j V2
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-Jl
^n
.
^ 465^ CAPÍTULO
E n ( 7 , 2 ), V f = 1 4 i - 2 4 j y
jj
= 7
V2
-1 2 ^ 2 = -5 ^ 2
fc)
E n ( 7 , 2 ), c o n
V / = 1 4 i - 2 4 j , IV / l = >/1 4 2 + 2 4 2 = 2>/193 e s la m á x im a d e r iv a d a d ir e c c io n a l. P u e s t o q u e Vf |V f|
la d ir e c c ió n e s
5.
a) b)
0=
7
=i — 7= V Ï93
12
o s 0 + js e n 0 í = i c o js 0= +i cjsenô V Ï93 J J
3 0 0 ° 1 5 ' ( v é a s e lo s p r o b le m a s 2 y 6 d e l c a p ít u lo 5 2 ).
E n c u e n t r e la d e r iv a d a d i r e c c io n a l d e F ( x ,
y , z ) = x 2 - 2 y 2 + 4 z 2 e n P ( 1 , 1, - 1 ) e n la d ir e c c ió n a = 2 i + j - k .
D e t e r m in e e l v a lo r m á x im o d e la d e r iv a d a d ir e c c io n a l e n
P.
Aquí
y e n ( 1 , 1 , - 1 ) , V F = 2 i - 4 j - 8k .
a) b)
6.
V F x a = (2 i - 4 j - 8 k ) x (2 i + j - k ) = 8 En
P , |V F | = \/84 = ^ V 2 T . L a d ir e c c ió n e s a =
2 i- 4 j
-
8k
a) una b ) la s e c u a c io n e s d e la r e c t a n o r m a l e n P 0, y c ) la e c u a c ió n d e l p la n o
D a d a la s u p e r f ic ie F ( x , y , z ) = x 3 + 3 x y z + 2 y 3 - z 3 - 5 = 0 y u n o d e s u s p u n to s P 0( 1 , 1 , 1 ) , d e te r m in e n o r m a l u n ita r ia a la s u p e r f ic ie e n P 0; t a n g e n t e e n P 0. Aquí
V F = (3 x 2 +
3yz) i + ( 3 x z + 6y 2)j + ( 3 x y - 3 z 2) k
y e n P 0( 1 , 1 , 1 ) , V F = 6 i + 9j .
b)
X —1 Y —1 L a s e c u a c io n e s d e la r e c t a n o r m a l sso o n — 2— = — 3— , Z = 1, L a e c u a c ió n d e l p la n o ta n g e n t e e s 2 (X - 1 ) + 3 ( Y - 1 ) = 2 X + 3 Y - 5 = 0
7.
E n c u e n t r e e l á n g u lo d e in t e r s e c c ió n d e la s s u p e r fic ie s
F 1 = x 2+ y 2 + z2- 9 = 0
y
F 2 = x 2 + 2y2 - z - 8 = 0
e n e l p u n to ( 2 , 1 , - 2 ). S e t ie n e q u e
V F 1 = V ( x 2 + y 2 + z 2 - 9 ) = 2 x i + 2y j + 2 z k
y
V F 2 = V ( x 2 + 2y2 - z - 8) = 2xi + 4 yj - k
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Derivación e Integración de vectores
e s la d e r iv a d a d ir e c t io n a l.
53
V f • a = ( l 4 i - 2 4 j ) •i + J =
Derivación e Integración de vectores
C A P Í T U L O 53
En (2, 1, -2 ) , V F j = 4 i + 2j - 4 k y V F 2 = 4i + 4 j - k. A hora V F 1 • V F 2 = iV F 1iiVF2i cos 0 , donde 0 es el ángulo solicitado. Así, (4i + 2j - 4 k ) • (4i + 4 j - k) = i4i + 2j - 4kii4i + 4 j - ki cos 0 de d onde c o s0 = 199V 3 I = 0.81236, y 0 = 35° 40.
8.
C uando B = xy 2i + 2x2y zj - 3yz 2k , en cuentre a) div B y b) ro t B.
a)
div B = V • B =
3x
'
r d.
d
^
2)' + s dy( 2 x 2y z ) +
= y2 +
xy 2i +
( " 3yz 2
|
2 x 2y z j
- 3 y z 2k j
)
2 x 2z - 6 yz
i
j
rot B = V x B = A
b)
d A
A dy
dx xy 2
d y ( - 3 y z 2)
k
dz
2 x 2y z
- ¿
3z
-3 yz2
i+
( 2 x 2y z )
fz
(x J )
(-
3y z ! )
j s (2 x 2yz) - 3 y (xy 2) . = -(3 z2+
9.
D ado
F (u )
= ui +
(u 2 -
2x 2y ) i
+ (4 x y z +
2 u ) j + ( 3 u 2 + u 3) k , e n c u e n t r e
2x y ) k
a) J F ( u ) du
y b)
J o F (u ) d u .
a) J F ( u ) du = J [ u i + (u 2 - 2 u )j + (3 u 2 + u 3)k] du = i J u du + j J ( u 2 - 2u) du + k J ( 3 u 2 + u 3) du = T i + (u f - u 2) j + (u 3 +
)k + c
donde c = c 1i + c 2j + c 3k con c 1, c 2, c 3 escalares arbitrarios. b)
F (u ) du =
M Í i + í - u 2) j + (u 3 +
1k
10. L a aceleración de una partícula en cualquier instante t > 0 está dada p o r a = = e‘i + e 2‘j + k . Si en t = 0 el desplazam iento es r = 0 y la velocidad es v = i + j , h alla r y v en un instante t cualquiera. A quí v = J a d t = i J e td t + j J e 2td t + k J dt = e t i + -j e 2t j + tk + c En t = 0, se tiene que v = i + 1 j + c 1 = i + j de donde c 1 = 2 j , entonces, v = e ti + -2 (e 2t + 1 )j + tk
y
r = Jv
dt = eti+ ( 7 e2t + -21) j
+ ^ t2k + c 2
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^ 467^] t = 0,
r = i+
1j + c 2 =
CAPÍTULO
En
0 , de donde c 2 = - i - ^ j . A s í,
53
r = ( e t - 1)i + (-4 e 2t + ^ t - 1 ) j + ^2t 2k
F • d r = [(x + y x ) i + (y + x y )j + (z + x y ) k ] • [i dx + j dy + k dz] = (x +
a)
A lo la r g o d e la r e c t a
O C , x = y = z y d x = dy = d z . L a in t e g r a l p o r s e r e v a lu a d a s e c o n v ie r t e e n
W =
b)
y z )d x + (y + x z )dy + ( z + x y )dz
K U , 1) J J (0,0,0)
A lo la r g o d e la c u r v a d a d a , x =
F.
d
r =3
Í (x J0
+
x
2) d x = | ( f
x
r,n 1 2 + x 3) | = 4
L'
2
/J
02
t y d x = d t ; y = t2 y dy = 2 t d t ; z = t3 y d z = 3 t2 d t. E n O , t = 0; e n C , t = 1.
E n to n ce s,
W = f ‘ (t + t 5) d t + ( t 2 + 1 4) 2 t d t + ( t 3 + 13) 3 t 2 d t * 0 =
c)
J ^ t + 2 t 3 + 9 t 5) d t = [-212 + I 14 + 1 1 6 ] = |
De
O a A : y = z = 0 y dy = d z = 0, y x v a r ía d e 0 a 1.
De
A a fi: x = 1, z = 0, d x = dz = 0 , y y v a r ía d e 0 a 1.
De
B a C : x = y = 1 y d x = dy = 0 , y z v a r ía d e 0 a 1.
A h o r a , p a r a la d is t a n c ia d e d is t a n c ia d e
O a A , Wl = J^ x d x = y ; ; p a r a la d is t a n c ia d e A a B , W2= J ^ yd y = y , y p a r a la
B a C , W3= J o ( z + 1) d z = | . A s í , W = W 1 + W 2 + W 3 = f .
E n g e n e r a l, e l v a lo r d e u n a in t e g r a l d e lín e a ( c u r v ilín e a ) d e p e n d e d e l c a m in o d e in t e g r a c ió n . A q u í se e n c u e n tr a u n e je m p lo d e u n a q u e e s in d e p e n d ie n t e d e l c a m in o . E s p o s ib l e d e m o s tr a r q u e la in t e g r a l d e lín e a
J ( f 1d x + f 2dy + f d z ) e s in d e p e n d ie n t e d e l c a m in o si e x is t e u n a fu n c ió n f (x , y , z) t a l q u e d f = f d x + f 2 dy + f 3
c d z . E n e s t e p r o b le m a e l in te g r a n d o e s
(x +y z )dx +(y +x z )dy +(z +x y )dz =d [^(x 2+y 2+z 2)+xyz ] PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 12. E n c u e n t r e d R espuestas:
y
^ “7 ’ d a d o a ) s = (t + 1 ) i + (t2 + t + 1 )j + (t3 + t2 + 1 ) k , y b ) s = i e l c o s 2 t + j e 1 s e n
a ) i + ( 2 t + 1) j + (3 t2 + 2 t + 1 ) k , 2j +
2t +
t2k .
(6 t + 2 )k
b ) e t( c o s 2 t - 2 s e n 2 t) i + e t( s e n 2 t + 2 c o s 2t) j + 2 t k , e t( - 4 s e n 2 t - 3 c o s 2 t) i + e t( - 3 s e n 2 t + 4 c o s 2t) j + 2 k
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Derivación e integración de vecto res
11. D e t e r m in e e l t r a b a jo r e a liz a d o p o r u n a fu e r z a F = (x + y z ) i + (y + x z ) j + ( z + x y ) k a l m o v e r u n a p a r t íc u la d e l o r ig e n O a C ( 1 , 1 , 1 ) , a ) a lo la r g o d e u n a r e c t a O C ; b ) a lo la r g o d e u n a c u r v a x = t, y = t2, z = t3; c ) a lo la r g o d e lín e a s r e c t a s d e O a A ( 1 , 0 , 0 ), A a f i ( 1 , 1 , 0 ), y B a C .
C A P Í T U L O 53
13.
Derivación e integración de vectores
D a d o s a = u i + u 2j + u3k , b = i c o s u + j s e n u , y c = 3 u 2i - 4 u k , c a lc u le p r im e r o a • b , a x b , a • ( b x c ) , y a x ( b x c ) , y lu e g o e n c u e n t r e la d e r iv a d a d e c a d a u n o . E n s e g u id a h a lle la s d e r iv a d a s u t iliz a n d o la s fó r m u la s .
14.
U n a p a r t íc u la s e m u e v e a lo la r g o d e la c u r v a x = 3 t2, y = t2 - 2t, z = t3, d o n d e t e s e l t ie m p o . D e t e r m in e a ) la s m a g n it u d e s d e su v e l o c i d a d y su a c e le r a c ió n e n e l in s ta n te s t = 1; b ) la s c o m p o n e n t e s d e la v e l o c id a d y la a c e le r a c ió n e n e l in s ta n te
Respuestas: 15.
a)
t=
1 e n la d ir e c c ió n a = 4 i - 2 j + 4 k .
|v| = 3a/5 , |a| = 2 \ / i9 ; b ) 6 , 2 2
P o r m e d io d e m é t o d o s v e c t o r ia le s , e n c u e n t r e la s e c u a c io n e s d e la r e c t a t a n g e n te y d e l p la n o n o r m a l a la s c u r v a s d e l p r o b le m a 1 5 d e l c a p ít u lo 5 1 .
16.
Resuelvaelproblema16delcapítulo51empleandométodosvectoriales.
17.
Demuestrequelassuperficiesx=u,y=5u- 3v,z=vyx=u,y=v,z
18.
2
sonperpendicularesenP(1, 2, 1).
Usemétodosvectorialesyencuentrelasecuacionesdelplanotangenteydelarectanormal alasuperficie: a) x=u,y=v, z=uvenelpunto(u, v )=(3, -4). b) x=u,y=v,z=u - v enelpunto(u, v)=(2, 1). Respuestas: a) 4X- 3Y +Z- 12=0, X-4 3=Y+4=Z- 112; - 02, X-42 y- 1 7 - 3 b) 4X- 2Y- Z- X3= =— 2a -= 2
19.
= 4^ v
2
Encuentrelasecuacionesdelosplanososculadoryrectificantealacurvadelproblema2enelpuntodado. b) Hallelasecuacionesdelosplanosnormal, osculadoryrectificantedex=2t- t ,y=t ,z=2t+t ent=1. Respuestas: a) 3X- 3Y +Z- 1=0, 11X+8Y- 9Z- 10=0; b)X+2Y- z=0, Y+2Z- 7=0, 5X- 2Y+Z- 6=0 a)
2
20.
2
2
DemuestrequelaecuacióndelplanoosculadoraunacurvaenelespacioenPestádadapor (R - - >• (t *W ) =°
21.
22.
Resuelvalosproblemas 16y17delcapítulo52utilizandométodosvectoriales. Halle■Iia F u d u ,dado a) F (u)=ui +(3u - 2u)j +3k ;a =0, b=2; b)F (u)=ei +e j + uk ;a =0, b=1 Respuestas: a) 4i +4j +6k ;b) (e- 1 )i + -2 (1- e~2)j + — k (
)
3
23.
2
u
~2“
Laaceleracióndeunapartículaenelinstantetestádadapora =dv/dt=(t+1)i +tj +(t - 2)k .Sient=0, el desplazamientoesr =0ylavelocidadesv =i - k .Hallev yr enelinstantet. 2
Respuesta:
2
v = (j 1 + 1+ 1)i + 3 1 j + (—t — 2t — i) k ; r = (y t + 2 1 + 1)i + i- t j + (-2 t — t — t)k
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------------- « 6^ E n c a d a u n o d e lo s c a s o s s ig u ie n t e s , d e t e r m in e e l t r a b a jo r e a liz a d o p o r u n a fu e r z a F a l m o v e r u n a p a r t íc u la d e
0(0,
0 , 0) a C ( 1 , 1, 1 ) a lo la r g o d e ( 1 ) u n a lín e a r e c t a x = y = z , (2 ) la c u r v a x = t, y = t2,
O
a A ( 1 , 0 , 0 ), d e
A
a
B(1,
F = x i + 2 yj + 3xk.
b)
F = ( y + z ) i + (x + z ) j + (x + y ) k .
c)
F = (x + x y z)i +
(y +
x 2z ) j + ( z +
25.
S i r = x i + y j + z k , d e m u e stre q u e
a)
26.
S i f = / x , y , z) t ie n e d e r iv a d a s p a r c ia le s d e o r d e n d e p o r lo m e n o s d o s , d e m u e s t r e q u e b) V • (V x
f
= t3, y (3 ) la s re c ta s
x 2y ) k .
25
3; b) 3; c)
z
a C.
33 -j4 -,
Respuestas: a)
9
B
d iv r = 3 y b ) r o t r = 0.
= 0 , y c ) V V f = ^ ^ x 2 + ^y2 + 3^2 j f .
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a)
V x V / = 0;
Derivación e integración de vecto res
a)
1 , 0) y d e
53
que van de
CAPÍTULO
24.
Integrales dobles e iteradas
La integral doble
Considereunafunciónz =f(x, y) queescontinuaenunaregiónfinitaR delplanoxy. Ahoradefinaunapartición ^ deR dibujandounarejilladerectashorizontalesyverticales, quedividelaregiónenn subregionesR , R2,.. R n, deáreasA A, A 2A,., A nA, respectivamente(fig. 54.1). Encadasubregión, R k, seleccioneunpuntoP k(xk, y k) ycreelasum a 1
1
l
(,
f x k y k)A kA = f
k=1
(X1,yj)A 1A+ -
(,
(54.1)
+ f Xn yn)A nA
Definael diámetrodeunasubregióncomolamáximadistanciaentredospuntoscualesquieradentrooensu frontera, ydenotecondg, elmáximodiámetrodelassubregiones. Supóngasequeseseleccionanlasparticiones demaneraqued9 ^ 0yn ^ +^. (Enotraspalabras, seseleccionancadavezmássubregionesysehacensus diámetrosmásymáspequeños.)Entonces, laintegral doble def (x,y) sobreR sedefinecomo JJf fe y )dA = lim f (xk , y k)AkA (54.2) k=1
R y
Éstanoesunaafirmaciónsobrelímitesgenuina.Loquelafórmula(54.2)diceenrealidaddiceesqueJJf (x,y)dA R esunnúmerotalque, paratodoe >0, existeunenteropositiv o n 0 tal q u e, p ara to d o n > n ytodaparticióncon n d 9 <1/n0 ,ytodasumadeaproximacióncorrespondiente^ f (x k,y k)AkA,setieneque 0
k=1
A - JJf x y dA Cuandoz=f (x, y) es unnonegativoenlaregiónR, comosemuestraenlafigura54.2, laintegral doble (54.2)puedeinterpretarsecomounvolumen. Todotérminof x k, yk)AkA de(54.1)daelvolumendeunacolumna l
f ( xk, yk) kA
(
,
)
^ 470^ -
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<
e
-^ 473^ CAPÍTULO
z
54 Integrales dobles e itera d a s
y
x = x¡, d o n d e a < x¡ < b , in t e r s e c a la fr o n t e r a d e R en z = f(x , y ) e n e l a r c o UV a lo la r g o d e l c u a l z = f(x¡, y). E l
S e a la s e c c ió n d e e s te v o lu m e n c o r t a d a p o r u n p la n o
S(x¡, g1(x¡)) y T(x¡, g 2(x¡)), y la e s ta s e c c ió n STUV e s tá d a d a p o r
lo s p u n to s á re a d e
s u p e r f ic ie
A ( x ¡) = J
fgo( x¡) í 2 )f g1(x¡)
( x ¡, y )
dy
A s í p u e s , la s á re a s d e la s s e c c io n e s t r a n s v e r s a le s d e l v o lu m e n c o r ta d a s p o r lo s p la n o s p a r a le la s a l p la n o fu n c io n e s c o n o c id a s A ( x ) =
í*g2(x¡) I f Jgl(x¡)
(x , y )
dy
yz
d e x , d o n d e x e s la d is t a n c ia d e l p la n o q u e s e s e c c io n a a l o r ig e n .
D e a c u e r d o c o n la f ó r m u la d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e l c a p ít u lo 3 0 , e l v o lu m e n r e q u e r id o e s tá d a d o p o r í*b
V
f g 2 ( x¡ )
fb
= \ A(x)dx = Ja
Ja
j
J g, ( x
)
Jg1(x¡) '
(x, y)
dy dx
É s t a e s la in t e g r a l ite r a d a d e (5 4 .4 ) E n lo s p r o b le m a s 2 a 6 , c a lc u le la in t e g r a l d e la iz q u ie r d a .
2.
£
J 2dydx =
3.
|
| y ( x + y )d x d y = |
4.
J
5.
J
6
C^/2 M cos 0 /• [ J2 p > d p d e . f
(•2 i*x2+x J 2
Jo [ y ]x2dx =
Jo( x -
[^ x
2+
x 2) d x =
x y ]y y d y = |
i*2. x d y d x
=J Jxy] ^ ^
dx
=J
^x
6y 2d y =
i*2
3+
x
2-
f K I»cos0
J
p sen d d p d d = ] o [ ^ p 2s e n 0 ] |josfld 0
dd=
64 1&
+«^1
+
[ 2 y 3]2 = 1 4
=I
2x3+ 2 x )d x
fK 1 fK
=
£ c o s 2 0 s e n 0 d 0 = [- | c o s 3 0 ] J = ■ }
fK/2 í *0
(6 4 co s4 0 - 4)
40
_
dd
= 10n
0 7.
C a lc u le JJ
dA,
donde
R
e s la r e g ió n e n e l p r im e r c u a d r a n te lim it a d a p o r la p a r á b o la s e m ic ú b ic a y 2 = x 3 y la
R
recta
y = x.
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so n
C A P Í T U L O 54
^ 47#
Integrales dobles e iteradas
L a r e c t a y la p a r á b o la s e in t e r s e c a n e n lo s p u n to s (0 , 0) y ( 1 , 1) q u e e s t a b le c e n lo s v a lo r e s e x t r e m o s d e
x
y
s o b r e la r e g ió n R .
Solución 1 ( F ig u r a
5 4 .5 ) : in te g r a n d o p r im e r o s o b r e u n a fr a n ja h o r iz o n t a l, e s d e c ir , r e s p e c t o a x d e s d e x = y
(la r e c ta ) h a s ta x = y 2/3 ( la p a r á b o la ) , y lu e g o r e s p e c t o a y d e s d e y = 0 h a s ta y = 1 , s e o b t ie n e
J J dA =
10
d x d y = J0 V
'
3-
y) d y = [} y
5/3 -
iy
2] 0 = -¡0
y
Fig. 54.5 Solución 2 ( F ig u r a 5 4 .6 ): in te g r a n d o x 3/2 ( la p a r á b o la ) h a s ta y = x ( la r e c t a ) , y
p r im e r o s o b r e u n a fr a n ja v e r t ic a l, e s d e c ir , c o n r e s p e c t o a y d e s d e y = lu e g o , r e s p e c t o a
U d A = J 0J * « d y d x = ^ ( x - x
x
desde
3/2) d x
x
= 0 h a s ta
= [i x
2-
f x
x
= 1 , s e o b t ie n e
5/2] 0 = 10
R y
Fig. 54.6 8.
C a lc u le JJ
dA
donde
R
e s la r e g ió n e n tre
y
= 2x y
y
= x 2 q u e q u e d a a la iz q u ie r d a d e x = 1.
R I n te g r a n d o p r im e r o s o b r e la fr a n ja v e r t ic a l ( fig . 5 4 .7 ) , s e o b t ie n e
JJR d A = J0 J í dy d x = Jo(2x ■ x2) d x = * y
Fig. 54.7
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y
-^ 475^
R
q u e e s tá p o r d e b a jo d e A B , y
R 2 la
p a r te q u e e s tá p o r e n c im a d e
AB.
E n to n ces,
54
ri íí dA = íí dA + íí dA = Í
Jy/2
+ Ji l i 2Jy/2 jy'/2d X d y =
12 +
^
^
Integrales dobles e itera d a s
y
Fig. 54.8 9.
C a l c u l e J J x 2d A d o n d e
R
e s la r e g ió n e n e l p r im e r c u a d r a n te lim it a d a p o r la h ip é r b o la x y = 1 6 y la s r e c t a s y = x ,
R y =
0,
y x =
8 (fig .
5 4 .9 ) .
y
x
D e la fig u r a 5 4 .9 s e d e d u c e q u e R d e b e s e p a r a r s e e n d o s r e g io n e s , y u n a in t e g r a l ite r a d a d e b e e v a lu a r s e p a ra c a d a u n a d e e lla s . S e a
R 1 la
p a r te d e R q u e e s tá p o r e n c im a d e la r e c t a y = 2, y R 2 la p a r te q u e q u e d a p o r d e b a jo
d e d ic h a r e c ta . E n t o n c e s ,
JJ x 2d A = JJ x 2d A + JJ x 2d A = J J R
R1
y x 2d x d y
+J J
x 2d x d y
R2
= 3 £ ( f
- y 3) dy + 3 í o ( 83 - y 3) dy =
C o m o e j e r c ic io p a r a e l le c t o r , s e p u e d e s e p a r a r
R
c o n la r e c t a
i»4 i*x
JJ x 2d A = J
£ x 2d y d x +
x
448
= 4 y o b te n e r
i»8 16/x
J4Jo
x 2d y d x
R 10 .
C a l c u l e I" I" exldxdy in v ir t ie n d o p r im e r o e l o r d e n d e in t e g r a c ió n . . •*0 J 3y L a in t e g r a l d a d a n o p u e d e s e r e v a lu a d a d ir e c t a m e n t e , p o r q u e I e x d x n o e s u n a fu n c ió n e le m e n t a l. L a r e g ió n R d e in t e g r a c ió n ( fig . 5 4 .1 0 ) e s tá a c o ta d a p o r la s r e c t a s x = 3 y , x = 3 , y y = 0. P a ra in v e r tir e l o r d e n d e in t e g r a c ió n , p r im e r o s e in t e g r a r e s p e c t o a y , d e s d e y = 0 h a s ta y = x/3 , y lu e g o , r e s p e c t o a x d e s d e x = 0 h a s ta = 3. A s í ,
n
3 s ex
CAPÍTULO
C u a n d o s e u t iliz a n la s fr a n ja s h o r iz o n t a le s ( fig . 5 4 .8 ), s o n n e c e s a r ia s d o s in t e g r a le s ite r a d a s . D e n ó t e s e c o n R i la p a r te
r 3 rx/3 , ,-3 d y d x = ^ [ex y]J/3 dx
dxdy =e x
= ^3 J o exxdx = [-6ex2]0 = 16(e9 -
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i)
x
C A P Í T U L O 54
^ 476^
Integrales dobles e Iteradas
y
x
PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS 11.
C a l c u l e c a d a in t e g r a l ite r a d a d e la iz q u ie r d a .
dxdy = 1
b)
a)
£ f
c)
i»4 i»2 J J ( x 2 + y 2)dydx = ^
e)
j
g)
f 1 f x2 J 0 J 0 xeydy d x = t e - 1
í*2 /•y312
x
x y 2d y d x = ^
3
xly2dxdy = f
f
J0 0J x* ( x + y 3 ) d y d x = -60
h)
í
^
Jo
l
L
f ~ yy d x d y =
42
C^l 2 r 2
P dP dd =
Ítt
3
I4 ftan^sec# ^ p 3 c o s 2d d p d d
12.
9
n x2
/•tan- 1(3!2) i»2sec0 ¿)
J 0J 0 (x + y ) d x d y =
J 0p 2 c o s 0 d P d
Í2
^ c 1-cos 0
= ^0
^
p
0= 8
3c o s 26 d p d 6 = 1 9 7
M e d ia n t e u n a in t e g r a l ite r a d a , c a lc u le c a d a u n a d e la s s ig u ie n t e s in t e g r a le s d o b le s . C u a n d o s e a f a c t ib le , c a lc u le la s in t e g r a le s ite r a d a s e n a m b o s ó rd e n e s . a)
x s o b r e la r e g ió n a c o ta d a p o r y = x 2 y y =
b) y
s o b r e la r e g ió n d e la p a r te a )
c)
x2 so b re
d)
1 s o b r e c a d a r e g ió n d e l p r im e r c u a d r a n te lim it a d a p o r 2 y = x 2,
e)
y s o b r e la r e g ió n q u e e s tá p o r e n c im a d e y = 0 a c o ta d a p o r y 2 = 4 x
f
la r e g ió n a c o ta d a p o r
1
y
=
x, y
= 2x , y
x
= 2
s o b r e la r e g ió n e n e l p r im e r c u a d r a n te a c o ta d a p o r y
13 .
Respuesta :
x3
y = 3x, y x + y = 4
x2 =
y y 2= 5 - x 4 - 2y
Respuesta :
35
Respuesta :
4
Respuesta:
f ; -y-
Respuesta :
5
Respuesta :
4
2
E n lo s p r o b le m a s 1 1
a)
a h ), in v ie r ta e l o r d e n d e in t e g r a c ió n y e v a lú e la in t e g r a l ite r a d a re s u lta n te .
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55 Centroides y momentos de inercia de áreas planas
Area plana por integración doble
Sif(x, y) =i, laintegral dobledel capítulo54seconvierteenJJRdA. Enunidadescúbicas, eslamedidadeun volumendeuncilindrodealturaunitaria; enunidadescuadradas, mideel áreaAdelaregiónR. Encoordenadaspolares, f ^ r 2(q: A- JJdA- a JCp,(e) r d r d e dondee =a, e =f p =p (9) yp =p (0) seseleccionancomofronterasdelaregiónR. ‘
R
1
’
2
Centroides
El centroide(x, y) delaregiónplanaRseconsideraintuitivamentedelamanerasiguiente: si sesuponequeR tieneunadensidadunitariauniforme, ysiRestáapoyadadesdeabajoenelpunto(x, y),entoncesRsebalancea (esdecir, R nogiradel todo). Paraubicar (x, y), primeroseconsideralarectavertical x= x . Si sedivideRensubregionesR, ,. . . ,R n, de áreasA,A,.. . ,AnAcomoenelcapítulo54, yseseleccionanlospuntos(xk,yk)encadaRk, entonceselmomento (fuerzarotacional)deRk entornoalanrecta x= x esaproximadamente (xk- xJAkA.Luego, elmomentodeRen tornoa x=x esaproximadamente ^ ( x k- x)AkA.Alhacerlapartición(división)deRcadavezmáspequeña, seobtiene JJ(x- x)dAcomoel momentodeRentornoa x=x . Paranotener rotaciónentornoa x=x, se necesita JJ(x - x)dA=0. Pero R JJ(x- x)dA = JJxdA - JJxdA=JJxdA- x JJdA R
R
R
RR
Portanto, sedebetener JJRx d A = x JJR dA.Deigual formasellegaaJJRy d A = y JJR dA.Luego, el centroideestá determinadoporlasecuaciones JJxdA=x JJdA y JJydA=y JJdA NótesequeJJ dAesigual al áreaAdelaregiónR.
^ 477^
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C A P Í T U L O 55
Centroides y momentos de Inercia
Momentos de inercia Los momentos de inercia de una región plana R respecto a los ejes de coordenadas están dados por h = í f y2dA
y
h = í í x2 dA
R
R
El momento polar de inercia (momento de inercia respecto a una recta que pasa por el origen y es perpendi cular al plano del área) de una región plana R está dado por h, = h + h = í í u 2+y2) dA R
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
D e t e r m in e e l á re a a c o ta d a p o r la p a r á b o la y = x 2 y la r e c t a y = 2 x + 3. A l u t iliz a r la s fr a n ja s v e r t ic a le s ( fig . 5 5 . 1 ) s e o b t ie n e |*3 j*2x+3 |*3 J l( 2 x + 3 - x 2)
A dy dx =
32
dx =
—
u n id a d e s c u a d r a d a s
y
Fig. 55.1 2.
D e t e r m in e e l á re a a c o ta d a p o r la s p a r á b o la s y 2 = 4 - x y
y2 =
4 - 4x.
A l u t iliz a r la s fr a n ja s h o r iz o n t a le s ( fig . 5 5 .2 ) y a p r o v e c h a n d o la s im e tr ía s e o b t ie n e 4-y r2 r 2r 4/ Jo J i-yV4 1-y2/4"d xd y = 2 Jo K4 -
0
= 6 J0 (1 - 1 y 2) dy = 8
y 2) - ( 1 - ^ y 2)i
dy
u n id a d e s c u a d r a d a s
y
x
3.
D e t e r m in e e l á re a e x t e r io r d e l c ír c u lo
p
= 2 e in te r io r d e la c a r d io id e
p
= 2 ( 1 + c o s 6).
D e b id o a la s im e tr ía ( fig . 5 5 .3 ) , e l á re a r e q u e r id a e s d o s v e c e s e l á r e a b a r r id a c u a n d o 6
=
2P
. P o r ta n to ,
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6
v a r ía d e
6
= 0 a
- # 479~^
.
é ) dé
= (n"+ 8) unidades cuadradas
Centroides y m omentos de Inercia
o
2(1+cosé; f n/2 dé = 4 • 1p 2 *I(20c o s é + cos 2 2
55
= 4 s e n é + 1 é + 1 sen 2 é 2 4
f
y
x
4.
Determine el área interior al círculo p = 4 sen 0 y exterior a la lemniscata p = 8 cos 20. El área requerida es igual al doble de la limitada en el primer cuadrante por las dos curvas y la recta 0 = 2 P . Observe en la figura 55.4 que el arco AO de la lemniscata se genera al variar 0 de 0 = p a 0 = P , mientras que el arco AB del círculo se describe al variar 0 de 0 = p a 0 = p \ Esta área debe entonces considerarse dos regiones, una por debajo de la recta 0 = p y otra por encima de la misma recta. Así, f n/4 í*4sené r n/2 í*4sené A = 2 n/6 2V2cos2é p dp d é + 2 p/4 o p dp d é
J
J
J
Cn14
J p/6 (16 sen é -
=
8 c o s 2 é ) dé
J
f n/2
+
J p/4 16 sen é dé
( n + 4yf3 - 4) unidades cuadradas y
Fig. 55.4 5.
Calcule N = J 0 e x2dx (fig. 55.5). (0 e y dy se obtiene C °m ° J o e_x' dx = Jo N 2 = í o e_x2dx í o e_y2 dy = í o ío e
-(x2+y2
dx dy = Í J .
-(x2+y2
'dA
Al cambiar a coordenadas polares (x2 + y2) = p 2, dA = p d p d p resulta f n/2 f+-
N =
Jo Jo
2
f n/2
e -p p dp dé
=Jo
r
~\a
} ™ - \ e -p
121f n/2
d é = 12 JJ o d é = f
o
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CAPÍTULO
Í 0n/2Jf22(p1+cdopsé)d d = 2 J
~
C A P Í T U L O 55
Centroides y momentos de inercia
= 6 x - x 2 y la r e c t a
y
y
6 . H a lle e l c e n t r o id e d e l á re a p la n a a c o ta d a p o r la p a r á b o la
A = JJ dA=j0Jx
P o r ta n to , x =
M
JJ x dA = J 0 J x
Mx =
íí
= 5 ,
y
=
M
= x ( fig . 5 5 .6 ) .
dydx=10<5x- x2) dx=125
My =
y dA = Í
y
x dy dx = J 0 ( 5 x - x 2) dx
05 x6x x y dy í
2 05[<6
dx = 2 í
x
-
x
625 12
i - x 2 ] dx = 6 2 5
2 2
= 5 , y la s c o o r d e n a d a s d e l c e n t r o id e s o n ( , 5 ) .
y
x
7 . D e t e r m in e e l c e n t r o id e d e l á re a p la n a a c o ta d a p o r la s p a r á b o la s
y
= 2x - x 2 y
y
= 3 x 2 - 6 x ( fig . 5 5 .7 ) .
• 2 c 2x-x2 f2 A = í í dA = íI 020Í J3x2 3x2 -x6xdy - 6 dxx= í J0<8x 0 ' - 4x2)1 dx lwl'= ¥ 3
R
1 2 f 2x-x2
í*2
M- y; = JÍ JÍ -x d— A = JÍ 00 Jí 3x2_6xx 3x2-6x" d^y dx = Jí 0 ^<8x - 4x3) dx = t
R
x2
Mx= UR ydA=J0J3x2-6xydydx=2J0[(2x- x2>2- (3x2- 6x)]2dx= -H P o r ta n to
x =
M
= 1,
y
= “X
= — 5, y e l c e n t r o i d e e s (1 , -
4) .
y
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- # 481^
J J
fp/2 (• 1+cos0 dA = 0 J j p d p d0
J
1 f P/2 J 0 [( 1+ cos 0 ) 2 - 12] d 0
p ,8 =
ff f p/2 f 1+cos0 1 f P/2 x dA = J 0 !(p cos 0 p d p d 0 = - 3 0 (3cos 0 + 3cos 0 + cos 0 ) d 0
y JJ
M =
= 2
J
3 ^
3
0 +-rse n
20
)
+ 3sen 0 -
J
sen
3
1
0 + 0 +-rsen 8 4
20
1
+— sen 32
4
0 0
15p + 32 48
Las coordenadas del centroide son ^^iPr+sf, 0 I. y
x
9.
Halle el centroide del área interior a p = sen 0 y exterior a p = 1 - cos 0 (fig. 55.9). ff A = JJ R M
dA
CP/2 f*sen0 1 f p/2 4_ p = J 0 L c ^ p dp d0 = 2 j 0 ( 2 cos0 - 1 - cos2 0 ) d 0 = 4 --P A 4
ff y = JJ x d A = j 0 R
fl/2 f sen0 J 1-cos0 (P co s0 ^
dp
d 0
1 r p/2 3 2 15p - 44 = 3 J 0 ( sen 0 - 1 + 3 c o s0 - 3cos 0) co s0 d 0 48 i»i» = JJ y dA= J 0
i»p/2 /*sen0 J ^ ( p sen 0 ) p dp
d 0
P/2 3p - 4 = 3 J 0 (sen30 - 1 + 3 c o s 0 - 3 c o s2 0 + cos30 ) sen 0 d 0 = 48
Fig. 55.9 Las coordenadas del centroide son | 15p-44
3p-4
I 12(4-P)’ 12(4-p) I'
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Centroides y m omentos de Inercia
A=
55
Determine el centroide del área plana exterior al círculo p = 1 e interior a la cardioide p = 1 + cos 0. De la figura 55.8 se deduce que y = 0 y que x es la misma, bien sea que se calcule para el área dada o para la mitad que está por encima del eje polar. Para esta última área
CAPÍTULO
8.
Centroides y momentos de inercia
C A P Í T U L O 55
^ 482^
10. Halle I x, I e I 0 para el área encerrada por el lazo y2 = x2 (2 - x) (fig. 55.10).
A = U
dA
= 2 j 0 j 0 'JT~ Xdy
dx = 2
j 0 x >/2 'r x
dx
2 3 1 5 0 = 3W 2 = - 4 JjJ (2z2 - z 4) dz = - 4 — z — z .3 5 . ■fi. 15 y
x
donde se ha utilizado la transformación 2 - x = z2. Entonces, I = U y 2 dA = 2 1 0 1 0 ^
y 2 dy d x = f 1 0 x 3 ( 2 - x )3/2dx 0
= - 43 (2f 3
z 2)3
85 12 7 , 2 9 1 11 —z ------z -i— z ------ z 5 7 3 11
z 4 dz = - 3
Iy = U x 2 dA = 2 J 0 J 0x'/^ x 2 dy dx = 2 J 0 x R
A
" 231
1024V2 _ 32 A 315 21A
- 416 231
A
Halle Ix, Iy e I 0 para el área del primer cuadrante exterior al círculo p = 2a y para el interior al círculo p = 4a cos 6 (fig. 55.11). A = J J dA = J p ' 3 J [ [ c°s6p d p d 6 = 2 J 0P/3[ (4 a cos 6 f - (2 a )2']d6 = 2p + 3 Ix =
CC r, CP/3 f4acos6 1 f P/3T “1 0 2a(p sen 6 f p d p d 6 = 1 0 [(4 a c o s 6 ) 4 - ( 2a ) 4 sen26
J_J y2 dA = J
a 2 f p' 3 r = 4 a •*0 I(16cos
T Iy
ff 2 JA x dA
=J J
=J
J
6
4n n - 1)sen
J
6
J
a2 dq
2 n An4 P + 9>/3 44 P + 9>/3 2* d 6 = -------------------------7----f-\ '“ W^ a ■=1—/Tia A 2 ( 2 p + 3y/3)
f p/3 f 4acos^ 0 J 2a (p
I0 = i + i = 20p + 2 1 \/ 3 a 4 = 0 x y 3
-
11.
3465
dx
= - 4 1 2 ( 2 - z 2)3 z2 dz = - 4
I - I + I - 13 312^ J° x y 3465
2 0 4 8 ^ = _6 4
. cos
12 p + 1 1 /3 4 3 (1 2 P + 1 1 /3 ) 2 . dp d 6 = ------- a = 2 ( 2 P + 3 ^ 3 ) a A
^
20p
+
2p +
2
W 3 a 2a
3yf3
y
x
Fig. 5 5 .1 1
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-^ 483^ E n cu e n tre
Ix, Iy e
I 0 p a r a e l á re a d e l c ír c u lo
p
= 2 (sen
0+
cos
0)
CAPÍTULO
12.
( fig . 5 5 .1 2 ) .
C o m o x 2 + y 2 = p 2,
2
f3 P /4 í* 2 (sen 0 +cos0)
= J J ( x 2 + y 2) dA
2
°
Ix =y Iy. P o r
ta n to ,
, x
2
p 2p
0
1 c o s 2 0 - - sen 40 o
= 4 —0 D e a c u e r d o la fig u r a 5 5 . 1 2 ,
J _ p/4 J
4
f 3p/4
dp d0 =
4
J _ p/4 ( s e n
0
+
c o s 0 ) 4d 0
Centroides y momentos de Inercia
3
=
55
2
ff
I
= 6p = 3A
Ix = I y = ^2L0 =2—A
.
y
Fig. 55.12 PROBLEMAS RESUELTOS 13.
14.
15.
U s e la in t e g r a c ió n d o b le p a r a h a lla r e l área:
a)
L im it a d a p o r 3 x + 4 y = 2 4 ,
b)
L im it a d a p o r
x
c)
L im it a d a p o r
x2 = 4y , oy
=
d)
I n te r io r a
= 2 (1 - c o s
0)
£)
L im it a d a p o r
f)
E x t e r io r a
p
p
p
+
y
x
= 2 , 2y =
= tan
0 sec
= 0,
x
+ 4,
x2 +
= 4 e in t e r io r a
p
= 0
y
= 0
16
p=
y
y
2 4 u n id a d e s c u a d r a d a s
Respuesta:
6 u n id a d e s c u a d r a d a s
Respuesta:
—2 u n id a d e s c u a d r a d a s
Respuesta:
6 p u n id a d e s c u a d r a d a s
Respuesta:
-—
= 8 cos
Respuesta:
0
Respuesta :
u n id a d e s c u a d r a d a s 8 ( 2 P + >/— ) u n id a d e s c u a d r a d a s
L o c a l i c e e l c e n t r o id e d e c a d a u n a d e la s á re a s s ig u ie n te s :
a)
El área del problema 13a)
Respuesta: (§, 2)
b)
El área del primer cuadrante del problema 13c)
Respuesta: ( 2 , 5 )
c)
El área del primer cuadrante acotada por y2 = 6x, y = 0, x = 6
Respuesta:
d)
El área acotada por y 2 = 4x , x 2 = 5 - 2y , x = 0
Respuesta: (^49, ^ )
e)
El área del primer cuadrante acotada por x 2 - 8y + 4 = 0, x 2 = 4y , x = 0
Respuesta: ( 4 , 5 )
f)
El área del problema 13e)
Respuesta: ( ' ' / 3 , 5 )
g)
El área del primer cuadrante del problema 13f)
Respuesta: ( 16p +( , — 22-= r \ 2P+3S 2p +3\l3
C o m p ru eb e que -
¡ a [g 2 (0)
- g
2 (0 )]d 0 =
J J f ( x , y ) dA
J
= JJ f
p dp d 0 = J í d A ; lu e g o ,
R
( p cos 0, p sen
0) p
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dp d 0
ded u zca que
)
C A P Í T U L O 55
^ 484^
Centroides y momentos de Inercia
16. Encuentre I x e I y para cada una de las áreas siguientes:
17.
a) El área del problema 13 a)
Respuesta: Ix = 6A; I' = 32 A
b) El área cortada desde y2 = 8x por su lado recto
Respuesta: Ix =
c) El área acotada por y = x2 y y = x
Respuesta: Ix = 14 A ; Iy = 1) A
d) El área acotada por y = 4x - x2 y y = x
Respuesta: I = 452A; I = 1 7 A
E n c u e n tre
Ix e Iy p a r a
Resp uesta:
18 .
H a lle
u n la z o d e
Ix = (16 - ^ ) A ;
I0 p a r a a )
e l la z o d e
0=
p2=
cos
A ; Iy = 42 A
20.
Iy = (16 + 6 ) A
sen 2
$ y b)
e l área e n c e rra d a p o r
0=
1 + cos
0.
Respuesta: a) 3 A ; b ) 24A
19.
a) Sea R la región mostrada en la figura 55.13 que tiene un área A y el centroide (x, y). Si R gira en torno al eje x, mostrar que el volumen V del sólido de revolución resultante es igual a 2 n xA . (Sugerencia: use el método de las capas cilindricas.) b) Demuestre el teorema de Pappus: si d es la distancia recorrida por el centroide durante la revolución [del inciso a)], demueste que V = Ad. c) Pruebe que el volumen del toro generado al girar el disco que aparece en la figura 55.14 en torno al eje x es 2p2a 2b. (Supóngase que 0 < a < b.) y
a
b
x
Fig. 55.13
Fig. 55.14
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56 Integración doble aplicada al volumen bajo una superficie y al área de una superficie curva Seaz=/x, y)oz=f(p , 9)quedefineunasuperficie. El volumenV bajolasuperficie, esdecir, el volumendeunacolumnavertical cuyabasesuperiorestáenla superficieycuyabaseinferiorestáenelplanoxy seobtieneconlaintegral doble V =JJz d A (56.1) dondeR eslaregiónqueformalabaseinferior. El áreaS delaparteR*dela superficiequequedapor encimadelaregiónR estádadapor laintegral doble d fa 2 dxJ ^dy^ z Y
z '
Si lasuperficieestádadaporx =/ y , z) ylaregiónR quedaenelplanoyz, entonces, S
=ÍJJ1+ dy1+Í J +l dz I R H
I
(56.3)
dA
Silasuperficieestádadapory =f (x ,z )ylaregiónR quedaenelplanoxz , entonces dy^2 fdy'2 ^ I +1^ IdA
(56.4)
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
D e te r m in e e l v o lu m e n e n e l p r im e r o c ta n te e n tre lo s p la n o s D e la fig u r a 5 6 .1 s e d e d u c e q u e p la n o
xy.
z
=
x
z=
0 y
z=x
+ y + 2 , e in te rio r a l c ilin d r o x 2 + y 2 = 16.
+ y + 2 v a a in t e g r a r s e s o b r e e l c u a d r a n te d e l c ír c u lo x 2 + y 2 = 1 6 e n e l
P o r ta n to ,
V = JJ zdA = Jo
R
"
(
x+ y+ 2 dydx = £
-- 3(16 - x 2) 3/2 + 8x -
)
(W 16 -
x2 + 8 - ■1 x2 + 2 ^ - x 2)dx
+ W 16 - x2 + 1 6 s e n 1 x
16
=|
+ 8^J unidades cúbicas
^ 485^
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Integración doble aplicada al volumen
C A P Í T U L O 56
2.
D e t e r m in e e l v o lu m e n a c o ta d o p o r e l c ilin d r o
x2 + y2 =
4 y lo s p la n o s
y
+
z=
4 y
z
= 0.
D e la fig u r a 5 6 .2 s e d e s p re n d e q u e z = 4 - y v a a in te g ra rs e s o b re e l c ír c u lo x 2 + y 2 = 4 e n e l p la n o x y . P o r tan to,
r 2 r y 4 -y 2
f 2 py4-y 2
V =J
3.
^J
(4 -
y)dx dy = 2 J(4
- y)d x
dy = 16n
D e t e r m in e e l v o lu m e n a c o ta d o p o r a rrib a p o r e l p a r a b o lo id e
u n id a d e s c ú b ic a s
x 2 + 4 y 2 = z, p o r
d e b a jo p o r e l p la n o
z
= 0, y
la t e r a lm e n te p o r lo s c ilin d r o s y 2 = x y x 2 = y ( fig . 5 6 .3 ). E l v o lu m e n r e q u e r id o s e o b t ie n e a l in t e g r a r
z
=
x 2 + 4 y2 s o b r e
la r e g ió n
R
c o m ú n a la s p a r á b o la s
y2 = x
x 2 = y e n e l p la n o x y . P o r e n d e ,
■Jx V = í
í
J 0J x 2
(x
2+
4 y 2) d y d x = í
J0 L
x 2y +
4
y: 3 ^
dx = 4
u n id a d e s c ú b ic a s
Fig. 56.2 4.
Fig. 56.3
D e t e r m in e e l v o lu m e n d e u n a d e la s c u ñ a s q u e s e c o r ta n e n e l c ilin d r o 4 x 2 + z =
my
y 2 = a2 p o r
lo s p la n o s
z=
0 y
( fig . 5 6 .4 ).
E l v o lu m e n s e o b t ie n e in te g r a n d o z = m y s o b r e la m ita d d e la e lip s e 4 x 2 + y 2 = a 2. P o r c o n s ig u ie n t e ,
a/2 f^a2-4x2 j*a/2 ¡-2 --- 2 ma3 ^ ^ m y d y d x = m ^ [y2]0a -4x dx = —3 — u n id a d e s
Í
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c ú b ic a s
y
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Integración doble aplicada al volumen
subregiones R ^ . .., R n de las áreas AA j,.. AAn, y se representa como AS¡ el área de la proyección de AA¡ sobre *. En dicha i -ésima región de R* se selecciona un punto P¡ y se dibuja el plano tangente a la superficie. El área de la proyección R¡ sobre este plano tangente se denota mediante AT¡. Se utilizará AT¡ como una aproximación del área de superficie correspondiente AS¡.
R
Fig. 56.7 Ahora, el ángulo entre el plano xy y el plano tangente en P¡ es el ángulo g¡ entre el eje z con números directores [0, 0, 1] y la normal, _ f
i
dx ’
dy ’
c o s y¡ =
dz
i
dz
dx ’
dy ’
, a la superficie en Pi. Así,
1
dy
Entonces (fig. 56.8), AT¡ cos gi = AA¡
y AT¡ = sec
AA¡
Por tanto, una aproxim ación de S es ^ A T t = ^ sec^A At , y 2 S = n i m
8.
i s e c ^ -AA - = í í s e c ^ d A = J W ( ^ d z)
+ ( d z J
+ 1d A
Determine el área de la parte del cono x2 + y2 = 3z2 que queda arriba del plano xy y en el interior del cilindro x2 + y2 = 4y. Solución 1: remítase a la figura 56.9. La proyección del área requerida sobre el plano xy está en la región R encerrada por el círculo x2 + y2 = 4y. Para el cono,
dz _ 1 x dx 3 z
2
2
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Integración doble aplicada al volumen
C A P Í T U L O 56
9.
Determine el área de la parte del cilindro x2+z 2 = 16 situada dentro del cilindro x2+y2= 16. En la figura 56.11 se muestra la octava parte del área requerida, donde un cuadrante del círculo x2+y2= 16 es su proyección sobre el plano xy. Para el cilindro x2+z2= 16. = - x 3 x " z
-d Z = 0 e n t o n c e s , dy ^ \ d
y
3
/•4 ^V16-x2
Por tanto,
S =
8 j0 j°
10 .
,
4
V 16 - x
+
1(
M
+ Í |ZY 3y)
/ ^
x r4
dy dx =
32
2
dx = 128
=
“
z2
= ^ ^ 1 6 - x2
“
'
unidades cuadradas
j0
Encuentre el área de la parte de la esfera x 2+y 2+z 2= 16 exterior al paraboloide x 2+y 2+z = 16. En la figura 56.12 se muestra una cuarta parte del área requerida, donde la región R es su proyección sobre el plano yz acotada por el círculo y 2+ z 2= 16, los ejes y y z , y la recta z = 1. Para la esfera, te
d
y=
-
yx yJ ddzr
= -
zx •Entonces, 1 + \(^ )2+ d y/
s- 4Ihl1+ISI A-
Así,
*
^d
z 1) 2=
4
_Z
■>/l6- y2 - z:
x2
^- z2 2. 16 - y2
^d yd z
16—z = 1 6 f .*
11.
sen
dz = 16 I" V l6
02
dz = 8 n unidades cuadradas
.
Encuentre el área de la parte del cilindro x 2+y 2= 6y situada dentro de la esfera x 2+y 2+ z 2= 36. En la figura 56.13 en la siguiente página se muestra una cuarta parte del área requerida. Su proyección en el plano yz es la región R acotada por los ejes z y y y la parábola z2+ 6y = 36; esta última ecuación resulta de eliminar x en la ecuaciones de las dos superficies. Para el cilindro, dx _ 3y
3- y x
dx y
dz
2
_ 0. Entonces,
(I)
i + m
+ i ^
_ x2+ 9 - 6y +y2 _ _ x2
6y - y2
Por tanto,
5 _ 4 í6 í
J0J{
J36- 6y
d zd y = 12 í V 6y - :
j 0 >/y
dy = 144 unidades cuadradas
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- # 491^ CAPÍTULO 56 Integración doble aplicada al volum en
z ¿ + 6 y = 36,
x=O
Fig. 56.13 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 12.
D e te rm in e e l v o lu m e n c o rta d o d e 9 x 2 + 4 y 2 + 3 6 z = 3 6 p o r e l p la n o
Respuesta:
13.
D e te rm in e e l v o lu m e n b a jo
Respuesta:
14.
16.
z
= 9, 3x + 4y = 24, x = 0, y = 0, y
1 4 8 5 /1 6 u n id a d e s c ú b ic a s
8 u n id a d e s
xy
= 4z, y = x, y x = 4.
c ú b ic a s
z
= y.
1 2 5 /3 u n id a d e s c ú b ic a s
1 0 2 4 /3 u n id a d e s c ú b ic a s
D e te rm in e e l v o lu m e n e n e l p r im e r o c ta n te in te r io r a y 2 + z 2 = 9 y e x te r io r a y 2 = 3x.
Respuesta:
19.
9 8 u n id a d e s c ú b ic a s
E n c u e n tr e e l v o lu m e n c o m ú n a lo s c ilin d r o s x 2 + y 2 = 16 y x 2 + z 2 = 16.
Respuesta:
18.
= 3 x s o b re e l á re a d e l p r im e r c u a d ra n te a c o ta d o p o r x = 0 , y = 0 , x = 4 , y x 2 + y 2 = 2 5 .
E n c u e n tr e e l v o lu m e n e n e l p r im e r o c ta n te a c o ta d o p o r x 2 + y 2 = 2 5 y
Respuesta:
17.
z
D e te rm in e e l v o lu m e n e n e l p r im e r o c ta n te a c o ta d o p o r
Respuesta:
= 0.
c ú b ic a s
D e te rm in e e l v o lu m e n e n e l p r im e r o c ta n te a c o ta d o p o r x 2 +
Respuesta:
15.
3 p u n id a d e s
z
2 7 ^ /3 u n id a d e s c ú b ic a s
H a lle e l v o lu m e n e n e l p r im e r o c ta n te a c o ta d o p o r x 2 + z 2 = 16 y x - y = 0.
Respuesta:
64/3 unidades cúbicas
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z
= 0.
^ 492^
_____________
20.
E n c u e n tr e e l v o lu m e n fre n te a x = 0 y c o m ú n a y 2 + z 2 = 4 y y 2 + z 2 + 2 x = 16.
Respuesta:
2 1.
25.
28.
9p u n id a d e s
=
a
sen
e.
9 , a c o ta d o p o r d e b a jo p o r
x2 + y 2 + 4 z =
16 y p o r e n c im a p o r
z=
4.
y2 = 4 z p o r
e l p la n o
z- y
= 2.
c ú b ic a s
645
V = 2 ftjj y p d p d d =
p
= 2 (1 - c o s
0) e n
to r n o a l e j e p o la r.
u n id a d e s c ú b ic a s
p
= sen
0 en
to r n o a c u a lq u ie r a d e lo s e je s .
3 2 ^ /1 0 5 u n id a d e s c ú b ic a s
0,
y y =
x 2 + y 2 = z2 e n 1en
e l in te r io r d e l p r is m a v e rtic a l c u y a b a s e e s e l triá n g u lo
e l p la n o xy.
u n id a d e s c ú b ic a s
H a lle e l á r e a d e la p a r te d e u n p la n o
4 \f3 K
x
+
y
+
z
=
6 en
e l in te r io r d e l c ilin d r o
x2 + y 2 =
4.
u n id a d e s c u a d ra d a s
H a lle e l á r e a d e la p a r te d e la e s fe ra x 2 + y 2 + z2 = 3 6 e n e l in te r io r d e l c ilin d r o x 2 + y 2 =
Respuesta:
31.
2.
8 1 ft/8 u n id a d e s c ú b ic a s
Respuesta:
30.
x 2 + y2 =
D e te rm in e e l á re a d e la p a rte d e u n c o n o
Respuesta:
x2 - y 2 - z2 =
2 ( 3 p - 4 ) a 2/ 9 u n i d a d e s c ú b i c a s
a c o ta d o p o r la s r e c t a s y = x , x =
29.
p 2 + z 2 = a2 y p
E n c u e n tr e e l v o lu m e n g e n e ra d o a l g ir a r u n p é ta lo d e
Respuesta:
z 2 = p 2.
u n id a d e s c ú b ic a s
D e te rm in e e l v o lu m e n d e s c r ito a l g ir a r la c a rd io id e
Respuesta: 27.
8 ^ ( 4 — > /2 )/3
2 y e x te rio r a
E n c u e n tr e e l v o lu m e n c o r ta d o d e l p a r a b o lo id e 4 x2 +
Respuesta: 26.
= 2 y e x te rio r al c o n o
y2 + z2 =
D e te rm in e e l v o lu m e n in te r io r a
Respuesta:
p
u n id a d e s c ú b ic a s
E n c u e n tr e e l v o lu m e n c o m ú n a
Respuesta:
24.
32n/3
E n c u e n tr e e l v o lu m e n in te r io r a
Respuesta: 23.
2 8 p u n id a d e s c ú b ic a s
D e te rm in e e l v o lu m e n in te r io r a
Respuesta:
22.
Integración doble aplicada al volumen
C A P Í T U L O 56
6y .
7 2 ( p - 2 ) u n id a d e s c ú b ic a s
E n c u e n t r e e l á r e a d e l a p a r t e d e l a e s f e r a x 2 + y 2 + z 2 = 4 z i n t e r i o r a l p a r a b o l o i d e x 2 + y 2 = z.
Respuesta: 4p unidades cuadradas
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------------- « 93j Determine el área de la parte de la esfera x2+y2+z2= 25 entre los planos z = 2 y z =4.
Encuentre el área de la parte de la superficie z =xy interior al cilindro x2+y2= 1. Respuesta:
34.
Halle el área de la superficie del cono x2+y2- 9z2= 0 sobre el plano z = 0 e interior al cilindro x2+y2= 6y. Respuesta:
35.
50p unidades cuadradas
Halle el área de la superficie x2+y2- az = 0 que queda directamente sobre la lemniscata 4p = a2cos 29. Respuesta:
37.
3>/Í0# unidades cuadradas
Encuentre el área de la parte de la esfera x2+y2+z2= 25 que está dentro del cilindro elíptico 2x2+y2= 25. Respuesta:
36.
2n(2~j2 - 1)/3 unidades cuadradas
S = 4 JJ-\/4p2+a2p d p dd =
(5 - n )' unidades cuadradas
Halle el área de la superficie x2+y2- z2=4 que queda directamente sobre la cardioide p = 1- cos 9 Respuesta:
8[^ —\Í2 —ln(V2 +1)] unidades cuadradas
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Integración doble aplicada al volum en
33.
20p unidades cuadradas
56
Respuesta:
CAPÍTULO
32.
Integrales triples
Coordenadas cilíndricas y esféricas S upóngase que un punto P tiene coordenadas (x, y, z) en un sistem a de coordenadas rectangulares dextrógiro (derecho). Las coordenadas cilíndricas correspondientes de P son (r, 9 z), donde (r, 9) son coordenadas polares p ara el punto (x, y) en el plano x y . [O bserve el cam bio de notación de (p, 9) a (r, 9) p ara las coordenadas polares de (x, y); fig. 57.1.] Por tanto, se tienen las relaciones x = r cos 9,
y = r sen 9,
r
2 ■x2 + y2,
x
E n coordenadas cilíndricas, una ecuación r = c representa un cilindro recto de radio c con el eje z com o su eje de sim etría. U na ecuación 9 = c representa un plano que p asa p o r el eje z. U n punto P con coordenadas rectangulares (x, y, z) tiene las coordenadas esféricas (p, 9, f), donde p = ÍOPi, 9 es el m ism o que en las coordenadas cilíndricas y f es el ángulo dirigido desde el eje positivo h asta el vector OP (fig. 57.2). E n coordenadas esféricas, un a ecuación p = c representa un a esfera de radio c con centro en el origen. U na ecuación f = c representa un cono con vértice en el origen y el eje z com o su eje de sim etría. L as relaciones adicionales siguientes, deducidas fácilm ente de la figura 57.2 y las ecuaciones anteriores, se cum plen entre coordenadas esféricas, cilíndricas y rectangulares: r = p sen f ,
x = p sen f cos 9,
p 2 : x2 + y2 + z2 y = p sen f sen 9,
z = p cos f
z
Fig. 57.1
Fig. 57.2
^ 494^
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- # 495~^
Comoenelcasodelasintegralesdobles, unaintegraltriplepuedecalcularseentérminosdeintegralesiteradas. Encoordenadasrectangulares, JJJf (x , y, z)dV =JJa ¡•,yy]1(xx) •'pz1((xf ,y(x) , y, z)d z d y d x =Jer1dJxfIx,(y(y)) JIfzzi,(x(x,yy) f..(x, y, z.)dz. dx. dy. ,etcetera 2
dondeloslímitesdeintegraciónseseleccionandemodoqueabarquenlaregiónR. Encoordenadascilindricas, CCC cP 1*^(0 ) í*z2(r,0) JJJf (r , e, z) d v = ¡ a j rm Jzi(r,6) f ( r, e , z)r dzd r de R
dondeloslímitesdeintegraciónseeligenparaabarcarlaregiónR (véaseelproblema23). Encoordenadasesféricas, rrr
r 0 ? ( 0 ) fp?(0>0)
JJJ f ( p , < /> , e ) dv =¡aJ ^ ¡pi(mf ( P, 0 ,
d
)P 2 s e n
$d # de p
R
dondeloslímitesdeintegraciónseseleccionandemodoquecubranlaregiónR (véaseelproblema24). A nálisis de las definiciones: considerelafunciónf (x , y , z), continuasobreunaregiónR deespacioordina rio. Despuésdecortar losplanosx =X yy =hj comoenel capítulo54, sevuelvenacortarestas subregiones medianteplanosz =Zk.LaregiónR ahorasehadivididoenciertonúmerodeparalelepípedosrectangularesde volumenAVjk =A x iAyjA z k yunnúmerodeparalelepípedosparcialesqueseignorarán. Encadaparalelepípedo completoseseleccionaunpuntoP ijk (x i, yj,zk); luegosecalculaf (x , yj,zk)yseformalasuma X f ( x i , yj , zk)AVjk = X f(xi, yj, zk)AxiAy.Azk i= 1 ,...,m i= 1 ,...,m j= 1,.. .,n j= 1 , . , n k=1,.. ,,p k=1,.. ,,p
(5 7.1)
Laintegraltripledefx, y, z)sobrelaregiónR sedefinecomoellímitede(57.1)cuandoelnúmerodeparalele pípedoscreceindefinidamente, deformatal quetodaslasdimensionesdecadaunodeellostiendenacero. Alcalcularestelímite, sepuedesumarprimerocadaconjuntodeparalelepípedosquetienenAixyAypara i yj fijos, com odosdimensionesyconsiderarel límitecuandocadaAkz^ 0. Seobtiene P lím f (x ¿, y í, z k) Akz Atx p^+~“
y
A.y =Jz[ i2f (x i, y í, z)d z Atx A.y
Ahoraestassonlascolumnas, lassubregionesbásicas, del capítulo54; portanto, X f (xi, y i , zk )AV ijk = J JJ f t e y , z) dz d x áy = JJJ f (x, y, z) dz dy dx i=1..m R R P^+" Cl-"n k=1,...,p
m
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Integrales trip les
Cálculo de integrales triples
57
R
CAPÍTULO
La integral triple
Seaf x , y , z ) unafuncióncontinuaenunaregióntridimensionalR.Ladefinicióndeintegraldoblepuedeexten dersedeformaobviaparaobtenerladefinicióndelaintegral tripleJJJ f (x, y, z)dV Sif (x , y , z ) =1, entoncesJJJ f (x- y, z) dV puedeinterpretarseconíolamedidadel volumendelaregiónR.
C A P Í T U L O 57
Integrales triples
Centroides y momentos de inercia L a s co o rd en ad as (x ,
y,
ílí d V = ílí x d V ,
x
Los
centroide de un volumen
z ) del
R
y
R
momentos de inercia de un volumen
JjJd V = Jífy d V , R
z
R
JJJd v=j¡j z d v R
R
r e s p e c to a lo s e je s d e c o o r d e n a d a s e s tá n d a d o s p o r
=JJJ 2+z 2 )d V ,
Ix
s a t i s f a c e n la s r e l a c i o n e s
Iy
(y
R
=JJJ 2+ 2 d V (z
x )
Iz
,
R
=JJJ 2+y 2 d V (x
)
R
PROBLEMAS RESUELTOS C a l c u l e la s in t e g r a le s tr ip le s d ad a s:
a)
í*i
/»í-x /»2-x
Jo Jo
Jo
x y z d z d y d x
f l- x ¡ /»2-x
/•l
= J o J o 1J o
x y 2 (2 -
b)
í
í
í
J0 J0J0
dx
1-x x y z 2 2
= J o1 oí
-
\ x y z d z )dy
x)
z=2- x ^
dy z=o
,
C1- x x y (2 - x [
[
Jo J (
)2
2
dy
dx
2 -¡y=1- x 1
dx =
4
jo
dx =
í (4 x 4 Jo
y=o
1 2 x 2+ 1 3 x 3-
6x 4 +
x 5) d x = - J 3 24o
zr 2s e n 0 d z d r d d rn/2 = 1
1
J0
=
3
J0
z 2 “I2 r ^/2 ,-1 r2se n d d rd 6 = 2 1I r2sen d d r d d
4 -
2 0
J0
[ r 3] 0s e n 0 d
Jo
0=
J0
^ - 2 [ c o s 0 ] J /2 =
-2
C ^C ^/4i»sec^
1
sen
20 d p d ty d d „ „ /4
Í 2.
^
1 *TT
sen ^ d ^ d d = 2j (1-
C a l c u l e la in t e g r a l tr ip le d e
F(x, y, z)
=
z
^V
2 ) dd= (2- ^ n
s o b r e la r e g ió n
R
e n e l p r im e r o c t a n t e a c o ta d o p o r lo s p la n o s y = 0,
z = 0, x + y = 2, 2 y + x = 6 y e l c ilin d r o y 2 + z 2 = 4 ( fig . 5 7 .3 e n la s ig u ie n t e p á g in a .)
P r im e r o s e in t e g r a r e s p e c t o a d esde
x
= 2 -
y
h a s ta
x
z
d esde
z
= 0 ( e l p la n o x y ) h a s ta
= 6 - 2 y , y fin a lm e n t e r e s p e c t o a rrr
r 6- 2y r w4-y¿
í í í Z d V = Jo J 2-y
R
= 2 Jo C
Jo
y
d esde
z = 34 - y 2 y = 0 h a s ta y
<*2 i*6- 2y Z d Z d x d y = Jo l - y
( e l c ilin d r o ) , lu e g o r e s p e c t o a = 2. E s t o r e s u lt a e n
¡
^
^
j„
y2 d x
y(4 - y 2) dx dy = 2 Jo2[(4 - y 2) x j 22=yy
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dy
dy = f
x
- # 497^ CAPÍTULO
z
57
Fig. 57.3 3.
Calcule la integral triple de f(r, 0, z) = r2 sobre la región R acotada por el paraboloide r2 = 9 - z y el plano z = 0 (fig. 57.4). Primero se integra respecto a z, desde z = 0 hasta z = 9 - r2, luego respecto a r, desde r = 0 hasta r = 3, y finalmente respecto a 0, desde 0 = 0 hasta 0 = 2p. Esto resulta en
r2n r3 r9-r2
c rr
J J J r 2d V = J ^
J
J
JT[
4 r
r2n r3 r 2( r d z d r d 6 ) = ^
4
J^ r
3( 9
-
r 2) d r d &
- 6 I "-JT ¥ »-¥ > -*
d
/•4 /»y 16-x2 /»4
4.
Demuestre que las integrales siguientes representan el mismo volumen: a) 4 J J í*4 [2yfz r V4z-x2
J„ Jo
/*4 /*4
fV4Z-y2
dydxdz, y C) 4Jo L 4Jo
dxdzdy■
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J 2+ 2 ^ dz dy dx.
Integrales trip les
y
Integrales triples
C A P Í T U L O 57
a)
A q u í z v a r ía d e s d e z = ^ ( x 2 + y 2) p a r a b o lo id e 4 z = c ír c u lo
h a s ta z = 4 , e s d e c ir , e l v o lu m e n e s tá a c o ta d o p o r d e b a jo p o r e l
x 2 + y 2 y p o r e n c im a p o r e l p la n o z = 4 . L o s r a n g o s d e y y x a b a r c a n u n 1 6 , z = 0 , la p r o y e c c i ó n d e la c u r v a d e in t e r s e c c ió n d e l p a r a b o lo id e c o n
x2 + y2 =
c u a d r a n te d e l e l p la n o
z
= 4 en el
p la n o x y . P o r c o n s ig u ie n t e , la in t e g r a l p r o p o r c io n a e l v o lu m e n c o r ta d o d e l p a r a b o lo id e p o r e l p la n o z = 4. b)
= yj4z - x 2 , e s d e c ir , e l v o lu m e n e s tá a c o ta d o a la iz q u ie r d a p o r e l p la n o x z y 2 = 4 z - x 2. L o s r a n g o s d e x y z a b a r c a n la m ita d d e l á r e a c o r t a d a d e la c u r v a d e in t e r s e c c ió n d e l p a r a b o lo id e y e l p la n o xz , p o r e l p la n o z = 4 . L a r e g ió n
A q u í y v a r ía d e y = 0 h a s ta y
y a la d e r e c h a p o r e l p a r a b o lo id e p a r á b o la
R
x 2 = 4 z, y a ).
= 0, la
e s la d e
A q u í e l v o lu m e n e s tá a c o ta d o p o r d e tr á s p o r e l p la n o y z y a l fr e n t e p o r e l p a r a b o lo id e 4 z = x 2 + y 2. L o s
c)
ran go s de
zy
de
y
a b a r c a n la m ita d d e l á r e a c o r t a d a d e la p a r á b o la
yz , p o r
d e l p a r a b o lo id e y e l p la n o
5.
C a l c u l e la in t e g r a l tr ip le d e F ( p , y
f
= ta n -1 2 y la e s fe r a
p = -46
0, f )
e l p la n o
R
4 . L a r e g ió n
y 2 = 4 z, x a ).
= 0, la c u r v a d e in t e r s e c c ió n
e s la d e
= 1 / p s o b r e la r e g ió n R e n e l p r im e r o c t a n t e a c o ta d a p o r lo s c o n o s 0 = - y
( fig . 5 7 .5 ) .
S e in te g r a p r im e r o r e s p e c t o a p , d e s d e 2 , y fin a lm e n t e r e s p e c t o a
z=
0 desde fff
0 h a s ta
1
p f
c^/2
J I fp d V = í0
= 0 h a s ta =
j
p = ^/6 ,
lu e g o r e s p e c t o a
f , d esde $ = 4
h a s ta
f
= ta n -1
. E s to r e s u lt a en
ctan _12 f>/6
L
L
1
p p 2 sen ^
p #
de
Cn¡2 c tan l 2
=3 |
J0
|
J ^¡4
se n é d é d d
= -3 l lV
6.
1_______L 2 V 5
J
D e t e r m in e e l v o lu m e n a c o ta d o p o r e l p a r a b o lo id e z = 2 x 2 + y 2 y e l c ilin d r o z = 4 - y 2 ( fig . 5 7 .6 e n la s ig u ie n t e p á g in a .) P r im e r o s e in t e g r a r e s p e c t o a z, d e s d e z = 2 x 2 + y 2 h a s ta z = 4 - y 2, lu e g o r e s p e c t o a y, d e s d e y = 0 h a sta y = V2 - x
2 (s e o b t ie n e x 2 + y 2 = 2 a l e lim in a r x e n tre la s e c u a c io n e s d e la s d o s s u p e r f ic ie s ) , y fin a lm e n t e
r e s p e c t o a x , d e s d e x = 0 h a s ta x = -v/2 ( o b t e n id o a l s u s titu ir y = 0 e n x 2 + y 2 = 2 ) p a r a d e te r m in a r u n c u a r to d e l v o lu m e n r e q u e r id o . A s í ,
V = 4 f
J
T
C
i dz dy dx = 4 c
0
^ 4-
y 2) + ( j x
2+
y 2) ] d y d x
2-x
V2 = 4í
j f
4 y - 2 x 2y
-
-2 | -
dx =
16 -3
(2 - x 2) 3/2d x = 4 ^ unidades cubicas
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-^ 501^ CAPÍTULO
a)
E l centroide está en el eje z, y se tiene que
xy
=
Í Í Í z d V = 4 Í n /2 Í “ Í h z r d z d r d J 0 J 0 J hr/a
R
y /V
2^
(h 2r
\1
fol
-
i*n/2
a^ r r 3 \ d r d d = h 2 a 2 £
= -f -h y e l c e n t r o id e t ie n e c o o r d e n a d a s (0 , 0,
fc)
^ = JJJ ( x 2 +y 2) d V =4 C £ Jhr/a( r 2) r
c)
T o m e la r e c t a c o m o e l e je y . L u e g o ,
R
I
y = JJJ ( x 2 + R
=4 J 0
dz d r d
z 2) d V = 4
J0 (
d
1
d=
Integrales trip les
i*n/2 r a í
=
E n to n ce s , z = M
d
JJJ
57
M
n h2
h ).
0 = 110Uh a 4 = 10 a 2V
J^ J^ J
(r
2c o s 2 Q +
z 2) r d z d r d
hr3 - aar4 ) cos2Q +3 (h3r - h -r 4
d
d r d&
= -5nha2(h2 +4 a2) = 3 (h2 +1 a2) V d)
S e a la r e c t a
c
q u e p a s a p o r e l c e n t r o id e p a r a le la a l e j e y .
Iy= Ic+ e)
V (1
h) 2
e
I c = 3 (h ¿+
1
a 2) V
=
& (*
+ 4 a 2) V
S e a d e l d iá m e tr o d e la b a s e d e l c o n o p a r a le lo a l e je y . E n to n c e s ,
I d = I c + V ( 1 h ) 2= t 0 ( h 2 + 4 a 2) V +
10 .
-9 h 2V
-
H a lle e l v o lu m e n
co rta d o e n e l c o n o 0
= n
p o r la e s fe r a
p
=
h 2V = ^ h 2 + 3 a 2) V 2a c o s f
( fig . 5 7 .1 0 ) .
(•(•i»? k I2 c^ /4 i»2acos 0
V
=4 JJJ d V = 4 J0 J0 J0^ s e n ^ d ^ d ^ d 0 R ftf/ 2 f t f /4 3 2 a 3 ^ /2 ^ /4 3 J o J o c o s 30 s e n
ftf
0
d
0
d
0 = 2a 3
/2 d
0=
Fig. 5 7 .10
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f l a 3 u n id a d e s c ú b ic a s
C A P Í T U L O 57
11.
Integrales triples
Localice el centroide del volumen cortado en la hoja de un cono de ángulo en el vértice de 60° por una esfera de radio 2 cuyo centro está en el vértice del cono. Se toma la superficie como en la figura 57.11, de manera que x = y = 0. En coordenadas esféricas, la ecuación del cono es 0 = n / 6 y la ecuación de la esfera es p = 2. Entonces, rrr
V
r^/2 /*^i6 /*2 J0 / „ P W
= ííí dV = 4 J0 R
qo rnil rni6 d = 33- J0 J0 sen0 d 0 dd
0
dP #
= —3- ^^-T “ l ] j „"2d0 = 8 ^ ( - ^ > /3 ) (•(•i» ^ni2 1•k/6 i»2 Mxy = J U z dV = 4 J0 J0 J0 (P c° s 0) P 2 sen0 d p #
dQ
R
<»^i2 <»^i6 = 8j ^ sen 2 q d q d d = n
y z = Mxy iV = iT(2 + V3).
12.
Determine el momento de inercia respecto al eje z del volumen del problema 11. fff / z = JJJ(x
2+
C^i 2 c ni6 y 2)d V = 4 J
/*2 J
J
(p
2s e n 20
)p
2s e n 0
dp d0 d0
R
=
128 j ;i2J 0,ti 6s e n 3 0
#
d^ =
128 ( f
- 1 > /3 ) j
;i2d
=
8T (16 -
9^ )
=
V
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 13.
Describa la curva determinada por cada uno de los pares de ecuaciones siguientes dados en coordenadas cilíndricas: a) r = 1, z = 2; b) r = 2, z = 9, c) Q = -^, r = V2; d) Q = ^ , z = r Respuesta:
a) círculo de radio 1 en el plano z = 2 con centro de coordenadas rectangulares (0, 0, 2); b) hélice en el cilindro circular recto r = 2; c) recta vertical que pasa por el punto de coordenadas rectangulares ( 1, 1, 0); d) recta que pasa por el origen en el plano Q = -^, formando un ángulo de 45° con plano xy.
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Describa la curva determinada por cada uno de los pares de ecuaciones siguientes, dados en coordenadas esféricas. a) p = 1,
57
14.
CAPÍTULO
-----4503^ 0
= p b) Q = ^ , 0 = ^ / 6 ; c) p = 2 ,0 = -j.
15.
Transforme cada una de las ecuaciones siguientes, sean coordenadas rectangulares, cilindricas o esféricas, en ecuaciones equivalentes en los otros dos sistemas de coordenadas: a) p = 5; b) z2 = r2; c) x2 + y2 + (z - 1)2 = 1 Respuestas: a) x2 + y2 + z2 = 25, r2 + z2 = 25; b) z2 = x2 + y2, cos2 0 = 2 (es decir, 0 = ^ / 4 o 0 = 3 ^ /4 ); c) r2 + z2 = 2z, p = 2 cos f
16.
Calcule la integral triple de la izquierda en cada uno de los casos siguientes: 2 1*3 , J2 d z d x d y = 1
n
b) Jo ^2 \ 0! d zd y d x = 2 4 f6 f12-2y f4-2y/3-x/3 í" f12 <*6-x/2 f4-2y/3-x/3 c) I I I x d z d x d y = 144 1=1 I I J0 J0 J0 L ^0 J0 J0 C^/2 r4 f\l16-z2 0^^ d) f f f (16 - r 2)1/2rzdrdO = ^ J0 J^ 0 5 i»2^ [K i»5 e) L Jo Jo P 4sen 0 d p d 0 d 0 = 2500 a;
xdzdydx _
17.
Evalúe la integral del problema 16b) después de cambiar el orden dz dx dy.
18 .
Evalúe la integral del problema 16c), cambiando el orden dx dy dz a dy dz dx.
19.
Encuentre los volúmenes siguientes utilizando integrales en coordenadas rectangulares:
20.
a) En el interior de x2 + y2 = 9, por encima por z = 0 y por debajo por x + z = 4
Respuesta: 36punidades cúbicas
b) Acotada por los planos de coordenadas y 6x + 4y + 3z = 12
Respuesta: 4 unidades cúbicas
c) En el interior de x 2 + y 2 = 4x , por encima por z = 0 y por debajo por x2 + y2 = 4z
Respuesta:
6
p unidades cúbicas
Encuentre los volúmenes siguientes utilizando integrales triples en coordenadas cilindricas: a) El volumen del problema 4. b) El volumen del problema 19c). c) El volumen dentro de r2 = 16, por encima por z = 0 y por debajo por 2z = y
2 1.
Respuesta:
c) 64/3 unidades cúbicas
Respuesta:
(3,■§-,■§-)
Encuentre el centroide de cada uno de los volúmenes siguientes: a) Bajo z2 = xy y encima del triángulo y = x, y = 0, x = 4 en el plano z = 0
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Integrales trip les
Respuesta: a) círculo de radio 1 en el plano xz con centro en el origen; b) semirrecta en la intersección del plano Q = y cono q = ^ / 6 ; c) círculo de radio y¡ 2 en el plano z = y¡ 2 con el centro en el eje z.
C A P Í T U L O 57
b) El problema 19b)
Respuesta: (-j,-|,1)
c) El volumen del primer octante del problema 19a)
Respuesta:
1
64 _
9
Integrales triples
23
1 3 n -
128
^ 1 6 ( n - 1) ’ 8 ( n - 1) ’ 3 2 ( n - 1)
22.
d) El problema 19c)
Respuesta:
e) El problema 20c)
Respuesta:
( - | , 0 , í0 ) (0 , 3 p /4 , 3 p /1 6 )
Determine los momentos de inercia Ix, Iy, Iz de los volúmenes siguientes: a) El del problema 4
Respuesta:
I
x=
I y = t 2-V ; I z = ^ V
b) El del problema 19b)
Respuesta:
I
x=
- jV ; I y = 2 V ; I z = 13 V
c) El del problema 19c)
Respuesta:
I
x=
§ V ;Iy =
d) El cortado de z = r2 por el plano z = 2
Respuesta:
I
= I
= -1 V ; I
18 V
; Iz = f
V
= -y V
23. Demuestre que, en coordenadas cilindricas, la integral triple de una función f(r, 0, z) sobre una región R puede representarse por
CP rn(H) rz-2(r,«)
í í í f (r, d, z ) r d z d r d 6 Ja Jr(6) Jr (6) Jz J z1 (r,6) [Sugerencia: considere, en la figura 51.12, una subregión representativa de R acotada por dos cilindros que tienen el eje z como su eje y de radios r y r + Ar, respectivamente, cortada por dos planos horizontales que pasan por (0, 0, z) y (0, 0, z + Az), respectivamente, y por dos planos verticales que pasan por el eje z formando ángulos 0 y 0 + A0, correspondientemente, con el plano xz. Tome AV = (r Á0) A r A z como una aproximación de su volumen.! z
Fig. 57.12 24.
Demuestre que, en coordenadas esféricas, la integral triple de una función f(p , f, 0) sobre una región R puede representarse por rfi i»0o(0) i»po(0,0) JJ a L r n JJft(0,fl) f (A ^ Jft(fl)
0 )P
2s e n
0 d p #
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dd
-^ 505^
O,
c o n s id e r e , e n la fig u r a 5 7 . 1 3 , u n a s u b r e g ió n r e p r e s e n t a t iv a d e d e r a d io s
p
y
p
+
Ap , r e s p e c t iv a m e n te ,
e je
f
y
f
+
Af ,
a c o ta d a p o r d o s e s fe r a s c o n
O
c o m o v é r t ic e , e l e je
z
com o
r e s p e c t iv a m e n te , y p o r d o s p la n o s v e r t ic a le s q u e p a s a n p o r e l e l p la n o
yz. T om e AV =
(p Af ) ( p se n
f A 0)(Ap ) =
25.
C a m b ie lo s s ig u ie n t e s p u n t o s d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u la r e s a c ilin d r ic a s ;
a)
( 1 , 0 , 0 ,); b ) ( V 2 ,
y¡2 ,
2)
c ) ( - > / 3 , 1, 5)
Respuestas:
a)
( 1 , 0 , 0 ); b ) ^2, ^ - , l j ; c ) ^2, 5 ^ , 5 J
z
y
Fig. 57.13 26.
C a m b ie lo s s ig u ie n te s p u n to s d e c o o r d e n a d a s c ilin d r ic a s a re c ta n g u la re s:
Respuestas: 27.
a ) ^-5-,
a ) ^5, -73-, l j ; b )
^2, - ^6 , o j ; c ) (0, 7 , 1)
5 ^ 3 , l j ; b ) ( V 3 , —1, 0 ) ; c ) (0 , 0 , 1)
C a m b ie lo s s ig u ie n t e s p u n t o s d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u la r e s a e s fé r ic a s :
a)
( 1 , 0 , 0 ); b ) ( V 2 , V 2 , 2) ;
a)
( 1 , 0 , 0 ); b ) (2 , 0 , p ); c ) ^4 , ^ - , ^
c ) ( 1 , —1 , —V 2 )
Respuestas:
28.
(1 , 0 , f ); b )
f
); c) (2 ,
, -3^
C a m b ie lo s s ig u ie n t e s p u n t o s d e c o o r d e n a d a s e s f é r ic a s a r e c t a n g u la r e s :
Respuestas:
29.
a)
a)
(0 , 0 , 1 ); b ) (0 , 0 , - 2 ) ; c ) ( > / 2 ,
V2
, 2 > /3 )
D e s c r ib a la s s u p e r f ic ie s d e te r m in a d a s p o r la s e c u a c io n e s s ig u ie n te s :
a) z
= r 2;
b) r =
Respuestas:
4 cos
0, c ) p
a ) p a r a b o lo id e
cos
f
= 4;
d) p
sen
f
= 4 ; e ) 0 = -^-; f
c ir c u la r ; b ) c ilin d r o c ir c u la r r e c t o (x - 2 ) 2 +
c ir c u la r r e c t o x 2 + y 2 = 1 6 ; e) e l p la n o x y ; f
g ) c ilin d r o
0 = -^; g ) p = 2 s e n
y2=
f
4 ; c ) p la n o
e l c o n o c ir c u la r r e c t o c o n e l e je
c ir c u la r r e c t o x 2 + y 2 = 4
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z = 4 ; d) c ilin d r o z c o m o su e je ;
Integrales trip les
z fo r m a n d o lo s á n g u lo s 0 y 0 + A 0, r e s p e c t iv a m e n te , c o n f Dp D f D 0 c o m o u n a a p r o x im a c ió n d e su v o lu m e n .]
p 2 sen
57
su e je , y lo s á n g u lo s s e m iv e r t ic a le s
R
y p o r d o s c o n o s q u e tie n e n
CAPÍTULO
[Sugerencia: c e n tr o e n
Masas de densidad variable Las masas homogéneas pueden tratarse como figuras geométricas con densidad 5 = 1. La masa de un cuerpo homogéneo de volumen V y densidad 5 es m = 8V. Para una masa no homogénea cuya densidad 5 varía continuamente, un elemento de masa dm está dado por: 1. 8(x, y) ds para una curva material plana (por ejemplo, un trozo de alambre fino). 2. 8(x,y) dA para una placa material bidimensional (por citar un caso, una lámina delgada de metal). 3. 8(x, y) dV para un cuerpo material. El centro de la masa (x , y ) de una placa plana distribuida sobre una región R con densidad 8(x, y) está de terminado por las ecuaciones m x =
M y y my
= M
x, donde M y
=
^
JJ (x , y )x d A R
^
y M x = JJ (x ,y )y d A R
Un resultado análogo se cumple para el centro de masa del cuerpo tridimensional. El razonamiento es semejante al de los centroides expuesto en el capítulo 55. Los momentos de inercia de una masa plana respecto al eje x y al eje y son I = JJ S (x , y )y 2dA y =
JJ *
x
,y )x 2d A . Las fórmulas semejantes con integrales triples se cumplen para cuerpos tridimensionales
S
(por ejemplo, I x = JJJ (x , y , z )(y 2 + z 2) d A .) R
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Encuentre la masa de un alambre semicircular cuya densidad varía como la distancia al diámetro que une los extremos. Tome el alambre como en la figura 58.1, de manera que 8(x, y) =ky. Entonces, a partir de x2+y2= r2 ds =^1 +( de) dx = y dx y
m = Í5(x, y) ds = J k y —dx = kr J dx = 2kr2 unidades y
Fig. 5 8.1
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------------- ^ 507^ E n c u e n t r e la m a s a d e u n a p la c a c u a d r a d a d e la d o
a
si la d e n s id a d v a r ía c o m o e l c u a d r a d o d e la d is t a n c ia a u n
v é r tic e .
k(x2 +
y 2) y
S( x , y ) d A
= J
J
k (x
2+
y 2) d x d y = k J
(-3 a 3 + a y
2)
dy = f ka
Masas de densidad
m = J J
58
T o m e e l c u a d r a d o c o m o e n la fig u r a 5 8 .2 , y s e a e l o r ig e n e l v é r t ic e d e s d e d o n d e s e m id e n la s d is ta n c ia s . E n to n ces § (x , y ) =
CAPÍTULO
2.
4 u n id a d e s
R
variable
3.
r
D e t e r m in e la m a s a d e u n a p la c a c i r c u la r d e r a d io
s i la d e n s id a d v a r ía c o m o e l c u a d r a d o d e la d is t a n c ia a u n
p u n to e n la c ir c u n fe r e n c ia . T o m e e l c ír c u lo c o m o e n la fig u r a 5 8 .3 y s e a A ( r , 0) e l p u n to fijo e n la c ir c u n fe r e n c ia . E n t o n c e s , 8 (x , y ) =
k[(x - r ) 2 + y 2]
y
m = JJ * x ,y ) d A =
2J
J^
k [(x - r ) 2+ y
-
2] d y
dx = f k n r
4 u n id a d e s
R
Fig. 58.3 4.
E n c u e n t r e e l c e n tr o d e m a s a d e u n a p la c a c u y a fo r m a e s s im ila r a lo s s e g m e n t o s c o r t a d o s d e la p a r á b o la 8 x p o r su la d o r e c t o x = 2 , s i la d e n s id a d v a r ía c o m o la d is t a n c ia a l la d o r e c t o ( fig . 5 8 .4 ). A q u í, § ( x ,
x
=
M /m =
y ) = 2 - x y , p o r s im e tr ía ,
m=
JJ
S (x, y) dA =
My =
JJ
S(x, y ) x dA =
y
= 0. P a r a la m ita d s u p e r io r d e la p la c a ,
£ J y ,^ k ( 2 - x )
y 2
dx dy = k J 04^ 2 - yr 4
J^ J ^ k ( 2 - x ) x
dx dy = k J(
"4
3
-6. E l c e n tr o d e la m a s a t ie n e c o o r d e n a d a s ( - f,0 ) .
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+ 128 + 12 8
y
4+
64
^dy =
(
64 k
*
y2
C A P ÍT U L O 58
Q cak -
5.
Masas de densidad variable
E n c u e n t r e e l c e n tr o d e m a s a d e u n a p la c a e n fo r m a d e la m ita d s u p e r io r d e la c a r d io id e
r=
2 ( 1 + c o s 0) si la
d e n s id a d v a r ía c o m o la d is t a n c ia a l p o l o ( fig . 5 8 .5 ).
m
rr
= J J ^ ( r ,0 )
dA =
R
Mx =
CC
J J S(r,
?K i* Í*2 2(i+c°s ( 1+cos0 0))
J J(k r)rd rd 6 =
J
o
J
8)y dA = £
o
(
'
-| k J
_
3J
rn
(1 + c o s 0 ) 2 dd o
=
kn
r K /•2( 1+cos0)
^
(k r)(rsen 0 )r
dr dd
R = 4 k J o* ( 1 + c o s e ) 4s e n 0 d 0 =
My =
cr
J J S(r,
6)x dA =
k r n i»2(1+cos0)
J
J ( k r )( r c o s fl) r
dr dd =
14k^
R
E n to n ces
x
=
M m
= 2 1, 10
y
= M
7
m
= ^ 6 “ ’ y e l c e n tr o d e m a s a t ie n e c o o r d e n a d a s ( 1 ^ , 2 56“ ). 25n J \ 1 0 25nj
?
6.
H a lle e l m o m e n t o d e in e r c ia r e s p e c t o a l e je x d e la p la c a c u y o s b o r d e s s o n u n a r c o d e la c u r v a y = s e n x y e l e je
x,
si su d e n s id a d v a r ía c o n la d is t a n c ia a l e je
x.
/•/• /•n /•senx /•n m = | | 5(x, y) dA = I I ky dy dx = ^k I sen2 x d x = 4 kn R
I x = J J 5(x,y)y2 dA = £ £
(ky)(y2) dy dx = -4k J ^sen4x dx = ^ k n = -3m
>
Fig. 5 8.6
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C A P ÍT U L O 58
Masas de densidad variable
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 9.
D e t e r m in e la m a s a d e
a)
Respuesta: b)
a
U n a v a r illa r e c t a d e lo n g it u d
c u y a d e n s id a d v a r ía c o n e l c u a d r a d o d e la d is t a n c ia a u n e x tr e m o .
■ 3k a 3 u n id a d e s
U n a p la c a e n fo r m a d e tr iá n g u lo r e c t á n g u lo c o n c a te t o s
a y b,
si la d e n s id a d v a r ía c o m o la s u m a d e la s
d is t a n c ia s a lo s c a te to s .
Respuesta: c)
b ) u n id a d e s
U n a p la c a c ir c u la r d e r a d io
Respuesta: d)
kab (a +
2 ka3n
a cuya
d e n s id a d v a r ía c o m o la d is t a n c ia a l c e n tro .
u n id a d e s
U n a p la c a e n fo r m a d e la e lip s e
b 2x 2 + a 2y 2 = a2b 2,
si la d e n s id a d v a r ía c o m o la s u m a d e la s d is t a n c ia s a
su s e je s .
Respuesta: e)
f
kab(a +
b ) u n id a d e s
U n c ilin d r o c ir c u la r d e a ltu r a
by
r a d io d e b a s e
a,
s i la d e n s id a d v a r ía c o n e l c u a d r o d e la d is t a n c ia a su
e je .
Respuesta: f)
U n a e s fe r a d e r a d io
Respuesta: g)
d e n s id a d v a r ía c o m o la d is t a n c ia a u n p la n o d ia m e tr a l fijo .
-2 ka4n u n id a d e s
\ ka ’bn
b
y r a d io d e b a s e
a cu ya
d e n s id a d v a r ía c o m o la d is t a n c ia a su e je .
u n id a d e s
U n a s u p e r f ic ie e s f é r ic a c u y a d e n s id a d v a r ía c o m o la d is t a n c ia a u n p la n o d ia m e tr a l fijo .
Respuesta:
10 .
a cu ya
U n c o n o c ir c u la r d e a ltu r a
Respuesta: h)
-j ka4bn u n id a d e s
2ka3% u n id a d e s
E n c u e n t r e e l c e n tr o d e m a s a de:
a)
U n c u a d r a n te d e la p la c a d e l p r o b le m a 9 c).
Respuesta: b)
U n c u a d r a n te d e la p la c a c ir c u la r d e r a d io e je
a,
s i la d e n s id a d v a r ía c o m o la d is t a n c ia a u n r a d io d e lím it e (e l
x ).
Respuesta: c)
(3 a / 2 n , 3a/2rt)
(3 a / 8 , 3 a ft/ 1 6 )
U n c u b o d e a r is ta
a,
si la d e n s id a d v a r ía c o m o la s u m a d e la s d is t a n c ia s a la s tre s a ris ta s a d y a c e n t e s ( s o b re
lo s e je s d e c o o r d e n a d a s ).
Respuesta: d)
(5 a / 9 , 5 a / 9 , 5 a/ 9 )
U n o c t a n t e d e u n a e s fe r a d e r a d io
Respuesta:
a,
s i la d e n s id a d v a r ía c o m o la d is t a n c ia a u n a d e la s c a r a s p la n a s .
(16a/15ft, 16a/15ft, 8a/15)
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e)
U n c o n o c ir c u la r r e c t o d e a ltu r a
Respuesta:
by
r a d io d e b a s e
a,
si la d e n s id a d v a r ía c o m o la d is t a n c ia a su b a s e .
(0 , 0 , 2 b/5)
CAPÍTULO
-----4511^
58
E n c u e n t r e e l m o m e n t o d e in e r c ia de:
a)
U n a p la c a c u a d r a d a d e la d o
a resp ecto
a u n la d o , si la d e n s id a d v a r ía c o m o e l c u a d r a d o d e la d is t a n c ia a
u n e x t r e m o d e e s e la d o .
Respuesta:
U n a p la c a e n f o r m a d e c ír c u lo d e r a d io
a re sp ecto
a su c e n tr o , s i la d e n s id a d v a r ía c o m o e l c u a d r a d o d e la
d is t a n c ia a l c e n t r o .
Respuesta: c)
-| a2m
U n c u b o d e a r is ta
a re sp ecto
a u n a d e la s a ris ta s , s i la d e n s id a d v a r ía c o m o e l c u a d r a d o d e la d is t a n c ia d e
u n e x t r e m o a d ic h a a ris ta .
Respuesta: d)
35 a 2m
U n c o n o c ir c u la r r e c t o d e a ltu r a
b
y r a d io d e b a s e
a re sp ecto
a su e je , s i la d e n s id a d v a r ía c o m o la
d is t a n c ia a l e je .
Respuesta: e)
a 2m
E l c o n o d e l in c is o
Respuesta:
d,
s i la d e n s id a d v a r ía c o m o la d is t a n c ia a la b a s e .
5 a2m
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variable
b)
175 a 2m
Masas de densidad
11.
Ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden Unaecuacióndiferencialesunaecuaciónquesuponeunafunción, porejemplo, y , deunavariable, digamosx , yderivadasdey odiferencialesdex yy .Algunosejemplossond y +2dy +3y - 1senx +4x =0ydy =(x +2y ) dx .Laprim eraecuacióntambiénpuedeescribirsecomoy "+2y ' +3y - 1senx +4x =0. Elorden deunaecuacióndiferencialeselordendeladerivadadeordenmásaltoqueapareceenlaecuación. Laprimeradelasecuacionesanterioresesdeordendos, ylasegundaesdeordenuno. Unasolución aunaecuacióndiferencial esunafuncióny quesatisfacelaecuación. Unasolución general deunaecuaciónesunafórmulaquedescribetodaslassolucionesdelaecuación. Unasolucióngeneral deuna ecuacióndiferencial deordenn contendrán constantesarbitrarias. Ecuaciones diferenciales separables
Unaecuacióndiferencial separableesunaecuacióndeprimerordenquepuederepresentarseenlaforma f x )dx +g(y)dy =0, loqueequivalea dy=- gy) Unaecuaciónseparablepuederesolverseextrayendolasantiderivadas J f (x) dx + J g(y) dy = C
Elresultadoesunaecuaciónqueimplicaax yay quedeterminaay comounafuncióndex (véaselosproblemas 4a6, yunajustificaciónenelproblema61). Funciones homogéneas
Unafunciónf x ,y )eshom ogénea de grado n sif (1 x , l y ) =In f x ,y ). LaecuaciónM (x , y )dx +N (x , y )dy =0es hom ogénea siM (x , y ) yN (x ,y ) sonhom ogéneasdelmismogrado. Esfácil comprobarquelasustitución y = vx,
dy = v d x + x dv
transformaráunaecuaciónhomogéneaenunaecuaciónseparableenlasvariablesx yv . Factores de integración
Ciertasecuacionesdiferencialespuedenresolversedespuésdemultiplicarporunafunciónapropiadadex yy queproducenunacombinaciónintegrabledetérminos. Talfunciónsedenominafa cto r de integración respecto alasecuaciones. Albuscarcombinacionesintegrablesseobservaque: (i) d (x y ) = x dy +y dx
(ii) d(y/x) = í í t y *
^ 512^
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-^ 513^
1.
D e m u e stre q u e
a) y
=
2ex, b) y
= 3x y c)
s o lu c io n e s d e la e c u a c ió n d if e r e n c ia l y
a)
y
=
"(1 -
C1ex + C 2x , d o n d e x ) + y ' x - y = 0.
C 1 y C 2 s o n c o n s ta n te s a rb itra ria s , so n
2 e d o s v e c e s p a r a o b t e n e r y' = 2 e y y" = 2ex. S u s t i t u y a e n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l p a r a o b t e n e r 2ex(1 - x ) + 2exx - 2ex = 0 . D e r i v e y = 3 x d o s v e c e s p a r a o b t e n e r y' = 3 y y" = 0 . S u s t i t u y a e n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l p a r a o b t e n e r l a i d e n t i d a d 0 ( 1 - x) + 3 x - 3 x = 0 . D e r i v e y = C1ex + C 2x d o s v e c e s p a r a o b t e n e r y' = C1ex + C 2 y y" = C1ex . S u s t i t u y a e n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l p a r a o b t e n e r l a i d e n t i d a d C1 ex( 1 - x ) + ( C1 ex + C2) x - ( C1 ex + C2x ) = 0 . D e riv e y =
la id e n tid a d
b)
c)
L a s o lu c ió n d e c ) e s la
solución general d e
la e c u a c ió n d if e r e n c ia l p o r q u e s a tis f a c e la e c u a c ió n y c o n tie n e
e l n ú m e ro a p ro p ia d o d e c o n s ta n te s a r b itra ria s e s e n c ia le s . L a s s o lu c io n e s
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de
a)
y b ) se d e n o m in a n
soluciones
Ecuaciones d ife ren cia les
PR O B LE M A S RESU ELTO S
59
Ecuaciones de segundo orden
Lasecuacionesdesegundoordenqueseresolveránenestecapítulosondelostipossiguientes: d2 y=f (x) (véaseelproblema23) dx^ ~dxy =f (x,d) (véaselosproblem as24y25) d2 y dx 2 =f (y) (véaselosproblem as26y27) d2 y dy db? +P~dx +0 ^ =R , donde P y Q son constantes y R es una constante o función de x solam ente (véaselosproblemas28a33). Si laecuaciód2 nym2+Pdym +Q =0tienedosraícesm1ym2,entonces^y =C1 emx2+C emix eslasolucióngeneral delaecuación-^xr+P ^ x +Qy=0. Si lasdossonidénticas, demaneraquem t =m2=m,entonces, y =Q e™+C2x e mx =e™(Cj+C2x) eslasolucióngeneral. ^ 2 d Lasolucióngeneral de-^xy+P^y+Qy =0sedenominafu n c ió n com plem entaria delaecuación d2 y dy 1¿ + P i + Qy = R (x) (SU) Sif (x) satisface(59.1), entonceslasolucióngeneral de(59.1) es y=funcióncomplementaria+f(x) Lafunciónf (x) sellamasolución p a rticu la r de(59.1).
CAPÍTULO
Además, d(F) +d(G)+ ... =0resultaenF +G +... =constante(véaselosproblemas 10a14). Lasdenominadasecuaciones diferenciales lineales de prim er orden, +Py =Q ,dondeP yQ sonfuncio nesdexsolamente, tienenlafunción%(x) = e¡Pd comofactordeintegración(véaselosproblemas 15a17). Unaecuacióndelaformad y +Py =Qyn,donden ^0, 1ydondeP yQ sonfuncionesdexsolamente, puede reducirselaformalinealporlasustitución .dy = 1 dz y1n =z, d x ~ 1- n dx (Véaselosproblemas 18y19).
C A P Í T U L O 59
Ecuaciones diferenciales
particulares, ya que cada una puede obtenerse asignando valores particulares a las constantes arbitrarias de la solución general. 2.
De la ecuación diferencial cuya solución general es: ; b ) y = C lx 3 + C 2x +
a)
y
a)
una vez para obtener y ' = 2 C x - 1. Resuelva para y = 2 ( ^~x — ) y sustituya en + 1^ ^ ^ relación dada (solución general) para obtener y = 21 (12— — Ix 2 - x o y ' x = 2y + x .
b)
Derive y = Q x 3 + C 2x + C 3 tres veces para obtener y ' = 3 Q x 2+ C 2, y ' ' = 6 Q x , y ' ' ' = 6 C j .Entonces, y ' ' = xy'" es la ecuación requerida. Observe que la relación dada es una solución de la ecuación y (4) = 0 pero no constituye la solución general, ya que contiene sólo tres constantes arbitrarias.
=
C x 2- x
Derive y =
C 3.
C x 2- x
la
3.
Encuentre la ecuación diferencial de segundo orden de todas las parábolas con eje principal a lo largo del eje x . El sistema de parábolas tiene la ecuación y 2 = A x + B , donde A y B son constantes arbitrarias. Derive dos veces para obtener 2y y ' = A y 2y y ' ' + 2( y ' ) 2= 0. Esta última es la ecuación requerida.
4.
Resuelva dx
+-------- 2 + y x y 2(1 + x
2 2)
=
0 y
2
Aquí x y 2(1 + x 2) d y + (1 + y 3) d x = 0, o 1 + y 3 d y
+ x
1 (1 + x 2) d x
0 con las variables separadas. Luego, la
=
descomposición por fracciones parciales resulta en y 2d y
1+
y
+ dx _
3
x dx
1+
x
x
=
0
2
,
y la integración da 3 ln o
5
d
y3l +
l n Ix l _ -2 l n ( 1
+ x 2) = c
2 ln I1 + y3I + 6 lnlxl - 3 ln(1 + x2) = 6c
d d d de donde
5.
11 +
1
Resuelva
l n x6(1 + y3) 2 l n ( 1 + x 2) 3
dy
6 c x6(1 + y3) 2 e6c C = 6c y ( 1 + x 2) 3 - e = C
1 + y2 = Y+ x 2 .
Separe las variables 1+ ^ 2 = 1+ x • La integración resulta en tan-1 y = tan-1 x + tan-1 C, y entonces y=
t a n ( t a n - 1x
+
t a n - 1C )
=
x_+Qx
6.
Resuelva & = ^ 2 . dx s e n 2x dy dx Las variables se separan fácilmente para obten er----5— = — 5— . 1 1 c o s 2y s e n 2x Por tanto, sec2 y dy = cosec2 x dx y la integración resulta en tan y = -c o t x + C.
7.
Resuelva 2xy dy = (x2 - y2)dx. La ecuación es homogénea de grado dos. La transformación y = vx, dy = v dx + x d v resulta en (2x)(vx) (v dx + x d v ) = (x2 - v 2x)dx o
V
1
=
. Entonces, la integración da _ 1 l n I 1 _ 3 v 2I =
l n Ix l
+ ln C
de donde ln I1 - 3 v 2l + 3 lnlxl + ln C' = 0 o C'' lx3(1 - 3c2)l = 1. Ahora ±C'x3(1 - 3v 2) = Cx3(1 - 3 v 2), y utilizando v = y/x produce C(x3 - 3xy2) = 1.
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-^ 515^ y
CAPÍTULO
8.
y
Resuelva x sen y (y dx + x dy ) + c o s y (x dy - y dx ) = 0 .
sen v(2v dx + x dv) + xv cos v dv = 0
o
senv + v co sv dv + 2 d x = 0 vsenv x Entonces, lnlv sen vi + 2 lnlxl = ln C', de manera que x2v sen v = C y x y sen-^ = C .
9.
Resuelva (x2 - 2y2)dy + 2xy dx = 0. La ecuación es homogénea de grado dos y la transformación estándar resulta en (1 - 2v2)(v dx + x dv) + 2v dx = 0
1- v _ d v + dx v(3 - 2v2) x dv _ 3v
o
=
0
4v dv dx = 0 3(3 - 2v2) + x 0
La integración resulta en j l n lvl + 73ln 13 - 2v2l + ln ixl = ln c , lo cualpuede escribirse como lnlvl + lnl3 - 2v2l + 3 lnlxl = ln C'. Entonces, x3(3 - 2v2) = C y y(3x2 - 2y2) = C.
10 .
Resuelva (x2 + y)dx + (y3 + x)dy = 0. Integre x2 dx + (y dx + x dy) + y3 dy = 0 término a término para obtener y - + xy + y - = C
11.
Resuelva (x + e~x sen y)dx - (y + e~x cos y)dy = 0. Integre x dx - y dy - (e~x cos y dy sen y dx) = 0 término a término para obtener t x 2 - i y2 - e~xsen y = C
12.
Resuelva x dy - y dx = 2x3 dx. La combinación x dy + y ddx sugiere d f y 1 = x d y ~ y d x . Por tanto, multiplicando la ecuación dada por ¿;(x) = ^ 2 se obtiene x dy ^y dx = 2x dx, de donde
y = x2+ C x
13 .
o y = x3 + Cx
Resuelva x dy + y dx = 2x2 y dx. La combinación x dy + y dx sugiere d (ln xy) = x d +
dX. Por ende, al multiplicar la ecuación dada por
t( x , y) = — se obtiene x dy + y dx = 2x dx, de donde lnlxyl = x2 + C. xy xy
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Ecuaciones d ife ren cia les
x sen v(vx dx + x2 dv + vx dx) + vx cos v(x2 dv + vx dx - vx dx) = 0
59
La ecuación es homogénea de grado dos. La transformación y = vx, dy = v dx - x d v resulta en
Ecuaciones diferenciales
C A P Í T U L O 59
14.
R e s u e lv a x
dy
ex)dx =
+ (3 y -
0.
dy
+ 3x2y
x 2ex dx = x 2ex -
2 xex +
M u ltip liq u e la e c u a c ió n p o r ^ (x ) = x 2 p a r a o b te n e r x 3
3y = J
15.
dy dx
+ — y =
xJ
A q u i,
=
2 , J P (x )
¿;( x )
l n x 2, y u n f a c t o r d e i n t e g r a c i ó n e s
X (x ) = x 2 p a r a o b t e n e r x 2 dy +
2ex +
dx.
E s to p r o d u c e
C
2xy dx
6x 5 d x .
=
= e lnx 2 =
x2. M
u ltip liq u e p o r la e c u a c ió n
A s i , l a i n t e g r a c i ó n r e s u l t a e n x 2y = x 6 + C .
d e s p u é s d e m u l tip l ic a r p o r e l f a c t o r d e in t e g r a c i ó n , lo s té r m in o s d e l m i e m b r o iz q u ie r d o d e la
e c u a c ió n re s u lta n te s o n u n a
Nota 2:
xV
6x 3
P( x) =
Nota 1:
dx =
combinación integrable.
e l f a c t o r d e i n t e g r a c i ó n d e u n a e c u a c i ó n n o e s ú n i c o . E n e s t e p r o b l e m a x 2, 3 x 2, - j x 2, e t c . , s o n t o d o s
lo s f a c to r e s d e in te g r a c ió n . P o r ta n to , s e e s c r ib e la in te g r a l p a r tic u la r m á s s im p le d e P ( x )
C=
in te g ra l g e n e ra l, ln x 2 + ln
16.
R e s u e lv a ta n C om o+
x^dy + y =
y c o tx
lu g a r d e la
secx . se tie n e q u e J P ( x ) d x = J c o t x
= cscx
a l m u ltip lic a r p o r
dx e n
l n C x 2.
dx =
l n I s e n x I y X (x ) = e 1"'“5" x ' = I s e n x l. E n t o n c e s ,
¿(x) r e s u l t a sen x ^
dx
+ y c o t x j = sen x c s c x
o
sen x
dy +
y cos x
dx = dx
y la in te g r a c ió n d a
y
17.
— xy =
R e s u e lv a
x
A q u i, P (x ) = - x , J
sen
x
=
x
+
C
.
P ( x ) dx =
--2
x 2y
¿;( x ) = e ~ 2x2. E s t o r e s u l t a e n
e ~2x2dy — xye~2x 2dx =
xe~2x 2dx
y la in te g r a c ió n p r o d u c e
y e ~
18.
= - e “ i x2 + C ,
y = Ce“
-1
d y. + + y„ = = x y 2• R e s u e l v a ifZ
dx
L a e c u a c ió n e s d e la fo rm a y
-2d x
—
dz dx
dy
+
Py = Qyn, c o n n
xe -
+
= 2 . A q u i s e u tiliz a la s u s titu c ió n y 1
= — d z . P o r c o n v e n i e n c i a , s e e s c r i b e l a e c u a c i ó n o r i g i n a l e n l a f o r m a y ~2d y + y
+ z= x o + z x
dx
e-
n=
y 1 = z,
-1 = x ,
y s e o b tie n e
— z = —x
z
x
E l f a c t o r d e i n t e g r a c i ó n e s ¿ ;(x ) = + C . F in a lm e n te , c o m o
z
e'
=
e '
d y
R e s u e lv a d x + y ta n x = y
= e ~x . E l l o r e s u l t a e n
e~xd x - ze~xdx
=
xe~xdx,
de donde
ze-x =
= y _ 1, s e t i e n e q u e
1
19.
O
= x + 1+
Cex.
3
3s e c
x
E s c r i b a l a e c u a c i ó n e n l a f o r m a + y3 ~—y 2t a n+ xy = 2st ae nc xT =. Ls eu ce gTo , Tu ns ee gl ao s uu ss et i tlua c si óu ns t iyt u- c =i ó zn , yv~23— z -m-3 d y — __ 1 —Z d J dx J 6 ’ y ,y dx 2 dx p a r a o b t e n e r ^ y — 2 z t a n x = —2 s e c x .
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-^ 517^ CAPÍTULO
El factor de integración es ¿;(x) = e tanz d = cos2x . Da cos2x dz - 2z cos x sen x dx = -2 cos x dx, de donde
59
z cos2x =-2 sen x + C o cos2x =-2senx + C
20.
Cuando se dispara una bala en un banco de arena, se supone que su desaceleración es igual a la raíz cuadrada de su velocidad de entrada. ¿Cuánto tiempo viajará, si su velocidad de entrada al banco es de 144 pies/ segundo? Sea v la velocidad de la bala t segundos después de entrar en el banco. Entonces, la desaceleración es - d v = -JV , de modo que -d v = - d t y 2 y [ v = - t + C . dt sjv ___ Cuando t = 0, v = 144 y C = 2^144 = 24. Por tanto, 2 yfv = —t + 24 es la ley que rige el movimiento de la bala. Cuando v = 0, t = 24; la bala viajará durante 24 segundos antes de detenerse.
2 1.
Un tanque recibe 100 galones de salmuera que contienen 200 libras de sal en solución. El agua que contiene 1 libra de sal por galón fluye al tanque a razón de 3 galones/minuto; la mezcla se mantiene uniforme por agitación, y sale a la misma razón. Determine la cantidad de sal al cabo de 90 minutos. Sea q el número de libras de sal en el tanque al cabo de t minutos. Entonces, ^SL es la razón de cambio de la cantidad de sal en el instante t. Cada minuto entran en el tanque tres libras de sal, y 0.03q libras salen. Así, = 3 - 0 . 0 3 q . Al reordenar se convierte en 3 -
dq 0 03q
=
_
dt
, y la integración da ln ( 0 .0 3 q - 3 ) 0 .0 3
+ C '
Cuando t = 0, q = 200 y C = 0 o ’ ’ , de modo que ln(0.03q - 3) =-0.03t + ln 3. Entonces, 0.001q - 1 = e~003t y q = 100 + 100e-003t. Cuando t = 90, q = 100 + 100e~27 ~ 106.72 libras.
22.
En ciertas condiciones, la caña de azúcar en agua se convierte en dextrosa a una razón proporcional a la cantidad que no está convertida en ese momento. Si, de 75 gramos en el instante t = 0, 8 gramos se convierten durante los primeros 30 minutos, determine qué cantidad será convertida en 1.5 horas. Sea q la cantidad convertida en t minutos. Entonces, d i = k(75 - q), de donde 7 5 Z— = k d t y la integración resulta en ln(75 - q) =- k t + C. Cuando t = 0, q = 0 y C = 75, de manera que ln(75 - q) =- k t + ln 75. Cuanto t = 30 y q = 8, se tiene que 30k = ln 75 - ln 67; por tanto, k = 0.0038 y q = 75(1 - e00038t). Cuando t = 90, q = 75(1 - e034) ~ 21.6 gramos.
23.
d 2y Resuelva — r r = xex +cos x. dx2
Aquí, d ^ j = xex + cos x. Por tanto,
= J (xex +cos x)dx =xex - ex +senx + Q , y otra integración
produce y =xex - 2 ex - cos x + Cxx + C2. „, ^ , ? d 2y dy Resuelva x 2~dxr 2 r +x^dx = a.
24.
Sea p =
dx
; entonces,
dx 2
=dE. y la ecuación dada se convierte en x2— +xd = a o x d v + v d x =a dx .
dx
dy
dx
x
Entonces, la integración resulta en xp = a ln Ixl + Cj, o x d x = a ln Ixl + Cj. Cuando esto se escribe como dx dx 1 dx dy = a ln Ix l----+C1— , al integrar se obtiene y = ^ a ln21xl + C1ln IxI + C2 .
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Ecuaciones d ife ren cia les
y
Ecuaciones diferenciales
C A P Í T U L O 59
^
dy
S e a p = d x • E n to n ce s ,
2y
d
—x 2 =
d x y la e c u a c ió n d a d a s e c o n v ie r t e e n
L a in t e g r a c ió n r e s u lt a e n x p = - 1 x da y = 1 x
26.
R e s u e lv a Com o
2+
dy- -
,
p dx
A
= - x d x.
= — 2 x + ^ x - , y o tra in t e g r a c ió n
, p u e d e m u lt ip lic a r la e c u a c ió n d a d a p o r 2 y ' p a r a o b t e n e r 2 y 'y " = 4 y y ', y lu e g o
yj2 y 2 +
=
yy ' dx =
4J
ydy
= 2 y 2 + C 1.
,—dy^ =
C 1 , de m odo que
e c u a c ió n d a >/2y + -y/2 y 2 + C
1 = C2e^ ^ .
= d x y ln iV 2 y + ^ 2 y 2 + C 1i = \Í2x + ln C 2. L a ú ltim a
1
R e s u e lv a y " = - yi -3. M u l t ip li q u e p o r 2 y ' p a r a o b t e n e r
2y'y" =
/ ^2 1 , n ( y ) 2 = — -+ C , y2 1
2
O t r a in t e g r a c ió n r e s u lt a e n
R e s u e lv a
ddxy2 + 3 ddx y-
,J1 +
a
2y' — y p . E n t o n c e s , la in t e g r a c ió n p r o d u c e
a
de m odo que 4
C 1y 2 =
C1x
R e s u e lv a
^dx 2 +
3
dy + C 1y 2 - f- V= 1—------------dx
ydy
o , ^ 1 + C 1y 2
y
+ C 2 o ( Q x + C 2) 2 -
C¡y2 =
=- =
, dx
1.
4 y = 0.
A q u í s e t ie n e q u e m 2 + 3m - 4 = 0 , d e d o n d e
29.
s e o b t ie n e
+
2y = 0 .
d x [( y ')2] = 2y'y "
E n to n ce s ,
28.
p
dp
C 2 ln l xi + C 2.
in t e g r e p a r a o b t e n e r ( y ' ) 2 = 4 J
27.
C j , y p o r s u s t it u c ió n d e
2+
dp ,,, .d p , p + x = 0 ° x
x ——+
dx=
m=
1, - 4 . L a s o lu c ió n g e n e r a l e s y =
C1ex +
C 2e -4x.
0.
A q u í , m 2 + 3m = 0 , d e d o n d e m = 0 , - 3 . L a s o lu c ió n g e n e r a l e s y = C j + C 2e~3x.
30.
y+ dx 2- 4 ddx m 2 - 4 m + 13
R e s u e lv a 4 A q u í,
1 3 y = 0. = 0 , c o n r a íc e s
m1 =
2 + 3i y
m2 =
2 - 3 i . L a s o lu c ió n g e n e r a l e s
y = C j e (2+3i)x + C 2e (2-3i)I = e 2x( C 1e 3¿I + C 2e -3“ )
E n v ir t u d d e
que
éa
= cos a x +
i sen
a x , s e t ie n e q u e e 3“ = c o s 3 x +
i sen
3 x y e~3“ = c o s 3 x -
ta n to , la s o lu c ió n p u e d e p la s m a r s e e n la fo r m a y = e 2x[ C 1( c o s 3 x +
i sen
3 x ) + C 2( c o s 3 x -
i sen
3 x)]
= e 2x[ ( C 1 + C 2) c o s 3 x + i( C j - C 2) se n 3x] = e 2x(A c o s 3 x +
31.
R e s u e lv a A q u í,
32.
d—y - 4 -y + 4 y = 0. dx 2 dx m 2 - 4 m + 4 = 0, c o n
R e s u e lv a d ^
dx 2
+ 3dy - 4y =
dx
r a íc e s
m=
P sen
3x)
2 , 2. L a s o lu c ió n g e n e r a l e s
x 2.
D e l p r o b le m a 6, la fr a c c ió n c o m p le m e n t a r ia e s
y
=
C 1ex + C2xe 2x.
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y
=
C1e2x + C2xe 2x.
i sen
3x. P o r
P a ra h a lla r u n a s o lu c ió n e n p a r t ic u la r d e la e c u a c ió n , o b s e r v e q u e e l m ie m b r o d e la d e r e c h a e s R ( x ) = x 2. E s t o in d ic a q u e la s o lu c ió n e n p a r t ic u la r c o n t e n d r á u n té r m in o e n x 2 y q u iz á o tr o s t é r m in o s o b t e n id o s m e d ia n te
Bx +
C , d o n d e s e d e te r m in a r á n la s c o n s ta n te s A ,
P o r ta n to , s e s u s t it u y e y = A x 2 + B x + C , y ' = 2 A x + B , y y ' ' = 2 A e n la e c u a c ió n d if e r e n c ia l p a r a o b te n e r - 4 A x 2 + ( 6A - 4 B ) x + (2 A + 3 B - 4 C ) = x 2
C o m o e s ta ú lt im a e c u a c ió n e s u n a id e n t id a d e n x , s e t ie n e q u e - 4 A = 1 , 6A - 4 B = 0 y 2 A + 3 B - 4 C = 0. 1 3 E s t o r e s u lt a e n A = — 4 , B = — 8
13
1
C = - 32 y y = —4 x
3
2— 8
13
x - 32
e s u n a s o lu c ió n e n p a rtic u la r. A s í , la
1 3 13 s o lu c ió n g e n e r a l e s y = Q e x + C2e —x — 4 x 2 — 8 x — 3 ^ .
33.
R e s u e lv a d y - — A q u í, m 2 -
2dy
2m -
— 3y = co sx . 3 = 0 , d e d o n d e m = - 1 , 3; la fu n c ió n c o m p le m e n t a r ia e s y = C e x + C 2e 3x. E l m ie m b r o
A
d e la d e r e c h a d e la e c u a c ió n d ife r e n c ia l in d ic a q u e u n a s o lu c ió n p a r t ic u la r e s d e la fo r m a P o r ta n to , s e s u s t it u y e y = A c o s x + B s e n x , y ' = B c o s x - A s e n x y
y"
cos
x
+
B
sen
x.
= - A c o s x - B s e n x e n la e c u a c ió n
d ife r e n c ia l p a r a o b t e n e r ( - A c o s x - B s e n x ) - 2 ( B c o s x - A s e n x ) - 3 (A c o s x + B s e n x ) = c o s x
o
- 2 ( 2 A + B ) c o s x + 2 (A - 2 B ) s e n x = c o s x
L a ú lt im a e c u a c ió n d a - 2 ( 2 A + B ) = 1 y A - 2 B = 0 , d e d o n d e A = — 5 , B = — -¡70. L a s o lu c ió n g e n e r a l e s ' 5 B = — 10 . C e x + C 2e 3x — ^ c o s x — y 0 s e n x .
34.
U n a p e s a s u s p e n d id a d e u n re s o r te s u b e y b a ja d e m a n e ra q u e la e c u a c ió n d e m o v im ie n t o s e s d o n d e s e s e l e s tira m ie n to d e l re s o r te e n e l in sta n te t. S i s = 2 y
ds dt
d 2s
+ 1 6 s = 0,
dt
= 1, c u a n d o t = 0 , e n c u e n tre s e n té r m in o s d e t.
A q u í m 2 + 1 6 = 0 r e s u lt a e n m = ±4/, y la s o lu c ió n g e n e r a l e s s = A c o s 4 t + B s e n 4 t. A h o r a , c u a n d o t = 0, s = 2 = A , d e fo r m a q u e s = 2 c o s 4 t + B s e n 4t. A s i m is m o , c u a n d o t = 0 , d s/d t = 1 = - 8 s e n 4 t + 4 B c o s 4 t = 4 B , y e n t o n c e s B = 4 . A s í , la e c u a c ió n r e q u e r id a e s s = 2 c o s 4 t + ^ s e n 4 t .
35.
L a c o r r ie n t e e lé c t r ic a e n c ie r t o c ir c u it o e s tá d a d a p o r h a lle
I
e n t é r m in o s d e t .
d t2
+ 4
dt
d = 3 dt
+ 250 4I = 110 . S i I = 0 y
0 , c u a n d o t = 0,
A q u í, m 2 + 4 m + 2 5 0 4 = 0 d a m = - 2 + 50/, - 2 - 50/; la fu n c ió n c o m p le m e n t a r ia e s e~2t(A c o s 5 0 t + B se n 5 0 t). C o m o e l m ie m b r o d e la d e r e c h a e s u n a c o n s t a n t e , s e e n c u e n t r a q u e la s o lu c ió n p a r t ic u la r e s I = 1 1 0 / 2 5 0 4 = 0 .0 4 4 . A s í , la s o lu c ió n g e n e r a l e s I = e~2t(A c o s 5 0 t + B s e n 5 0 t) + 0 .0 4 4 . A s i m is m o , c u a n d o t = 0 ,
dl/dt =
0 = e~2t[ ( - 2 A + 5 0 B ) c o s 5 0 t - ( 2 B + 5 0 A ) s e n 5 0 t] = - 2 A + 5 0 B . E n t o n c e s ,
B = - 0 .0 0 1 8 , y la r e la c ió n r e q u e r id a e s I = - e 2t(0 .0 4 4 c o s 5 0 t + 0 .0 0 1 8 s e n 5 0 t) + 0 .0 4 4 .
36.
Una cadena de 4 pies de largo comienza a deslizarse desde un techo plano cuando tiene 1 pie colgando desde el borde. Desprecie la fricción y determine a) la velocidad con la que se desliza y b) el tiempo necesario para hacerlo. Sea s la longitud de la cadena que cuelga por el borde del techo en el instante t .
a)
La fuerza F que hace que la cadena se deslice del techo es el peso de la parte que está colgando del borde. Ese peso es de miligramos/4. Por tanto, F = masa x aceleración = ms" = 4 mgs
o
s '' = 4 gramos
M ultiplicando por 2s' se obtiene 2s's" = y gss' e integrando una vez resulta
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(s O
2 = 1 gs 2 + Cv
Ecuaciones d ife ren cia les
2A + 3 (2 A x + B ) - 4 (A x 2 + B x + C ) = x 2 o
59
d e r iv a c ió n s u c e s iv a . S u p ó n g a s e q u e s e r á d e la fo r m a y = A x 2 +
B, C.
CAPÍTULO
------------- 4 519^
C A P Í T U L O 59
C uando t = 0, i = 1 y s ' = 0. P or tanto, C 1 = -
Ecuaciones diferenciales
g y s' = j - J g y / s 2 - 1. C uando s = 4, s ' =
\-\j1 5
g p ies/
segundo. b)
C om o
i ds = T iJ g dt , la integración da ln |s + V s 2 - 1 = - ^ J gt + >/s 2 - 1 1 1
C2 . C uando t = 0, s = 1. E ntonces, C 2
= 0 y ln (s + V s 2 - 1 ) = i j g t . C uando s = 4, t = —^ l n ( 4 + >/Í5) segundos. vg 37.
U n b o te con m asa de 1600 lib ras tiene una ra p id e z de 20 p ies/s cuando su m o to r se d etien e sú b itam en te (en t = 0). L a resisten cia del agua, p ro porcional a la rapidez del bote, es de 200 libras cuando t = 0. ¿Q ué distancia habrá recorrido el b o te cuando su rapidez se red u zca a 5 pies/s? Sea s la distancia recorrida p o r el b o te t segundos después de haberse detenido el motor. L uego, la fuerza F en el bote es
F = ms" = - K s ' de donde s " = - k s ' fuer z a 200 g Para determ inar k, se observa que en t = 0, s ' = 20 y s " = --------- = — 7777^- = —4 . E ntonces, k = —s " / s' = 5. ^ J m asa 1600 5 A hora s " = d " = _ "5 , una integración da ln v = - -5 1 + C 1 o v = C 1e-t/5. C uando t = 0, v = 20. E ntonces, C 1 = 20 y v = djj = 20 e - t /5. O tra integración da s = -1 0 0 e -/5 + C2. C uando t = 0, s = 0; entonces, C 2 = 100 y s = 100(1 - e-/5). Se n ecesita el valor de s cuando v = 5 = 20e-/5, es decir, cuando e -/5 = -3-. A sí, s = 100(1 - 4 ) = 75 pies.
PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS 38.
E s c r ib a la e c u a c ió n d if e r e n c ia l c u y a s o lu c ió n es:
a) y c) y e) y g)
= Cx2+ 1
b)
= Cx2+ C 2
d) f) h)
= C 1 + C 2x +
y = C 1 sen x + C 2cos x
Respuestas:
a) xy' = 2y
39.
C 3x 2
=
0;
2 (y g ) y '' +
y
y = C 2x + C xy = x 3 - C y = C1ex + C 2e 2x = C1ex c o s ( 3 x +
C 2)
1 ) ; b ) y ' = ( y - x y ' ) 2; c ) 4 x 2y = 2 x 3y ' + ( y ') 2; d ) x y ' + y = 3 x 2; e )
y
=
0;
h ) y '' -
2y '
+
10y
=
0
R e s u e lv a a)
b) c) d) e)
y dy - 4 x dx = 0 y 2 dy - 3 x 5 dx = x 3 y' = y 2( x - 4 ) (x - 2
y ) dy + ( y
f)
g) h)
(x 2 + (x +
i)
x (x
1)
= y
(1 -
=
Respuesta: 2 y 3 = 3 x 6 + C Respuesta: x 2 - x y + 2 y = Cx2y Respuesta: xy - y 2 + 2 x 2 = C Respuesta: y 2 + l n lyl = x 3 + C Respuesta: l n lx y l = x + 2 y + C Respuesta: x 2 - y 2 = Cx Respuesta: x 2 - 2xy - y 2 = C Respuesta: y = Ce-y/x
x)
y 2) dx = 2xy dy y ) dy = ( x - y ) dx + y ) d y - y 2 dx = 0
dy - y dx + x e ~ y/x d x dy = ( 3 y + e 2x) d x x 2 y 2 dy = (1 - x y 3) d x
x
l)
+ 4 x ) dx = 0
( 2 y 2 + 1 ) y ' = 3 x 2y x y ' ( 2y -
k)
Respuesta: y 2 = 4 x 2 + C 0
0
Respuesta: ey/x + l n lC x l = 0 Respuesta: y = (C e - 1 ) e 2x Respuesta: 2 x 3y 3 = 3 x 2 + C
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y'"
= 0 ; f ) y '' - 3 y ' +
-^ 521^ L a t a n g e n te y la n o r m a l a u n a c u r v a e n u n p u n to
P(x, y)
s e e n c u e n tr a n e n e l e je x y T y N , r e s p e c t iv a m e n te , y e l
e j e y e n S y M , c o r r e s p o n d ie n t e m e n t e . D e t e r m in e la f a m ilia d e c u r v a s q u e s a t is fa c e n la s c o n d ic io n e s : T P = P S ; b) N M = M P ; c) T P = O P ;
41.
a) xy
=
OP
= C ; b) 2 x 2 + y 2 = C ; c) x y = C , y = C x ; d) x 2 ± y 2 = C
R e s u e lv a e l p r o b le m a 2 1 s u p o n ie n d o q u e e l a g u a p u r a f l u y e e n e l ta n q u e a u n a r a z ó n d e 3 g a lo n e s / m in u to y la m e z c la s a le a l m is m o ritm o .
Respuesta:
42.
1 3 .4 4 lib r a s
R e s u e lv a e l p r o b le m a 4 1 s u p o n ie n d o q u e la m e z c la s a le a u n a r a z ó n d e 4 g a l/m in . (S u g e r e n c ia :
Respuesta:
0 .0 2 lib r a s
E n lo s p r o b le m a s 4 3 a 5 9 , r e s u e lv a la e c u a c ió n in d ic a d a .
Respuesta:
y
Respuesta:
y = e 21 + e -21 +
' d x 2~ = _ 9 s e n 3 x
Respuesta:
y = sen 3 x +
46.
x d í _ 3
dx
+ 4x = 0
Respuesta:y
47.
d y _ £
=
_ x2
Respuesta:
y=
48. x d í _ £ = 8 x3 dx 2 dx
Respuesta:
y = x 4 + C 1x 2 + C 2
49.
dx 2
dxy + 2 y = 0
Respuesta:
y
50.
dx 2 +
dx + 6y
Respuesta:
y =
Respuesta:
y = C 1 + C 2e x
Respuesta:
y
Respuesta:
y = C 1 cos 3x + C 2sen
43.
dx 2
44.
e 2^
45.
= 3x + 2
= 4 ( e 4x +
dx 2
dx 2
51.
dx
_
_ dx2
52.
53.
dx 2
2x
1)
3d
5
dy
= 0
= 0
dx
_
2d
y + y =
dx
d y + 9 y =0
0
=
-j x 3 + x 2 + C1x
+ C2
C1x
+ C2
C1x
+ C2
= x 2 + C 1x 4 + C 2
=
=
x3
x
- 3 + C je x + C 2
C 1ex + C2e 2
C e -2
+ C 2e~3x
C2xex + C2 s e n 3 x
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3x
dq =
4q _ 1 0 ( 0 r d t).
Ecuaciones d ife ren cia les
Respuestas:
d) NP
59
a)
CAPÍTULO
40.
Ecuaciones diferenciales
C A P Í T U L O 59
54.
55.
56.
^ - 2 d - + 5y = 0 dx2 dx J
dx 2
dx 2 +
57. d
58.
59.
- 4£
dx
i +
4y
-
6d
d y -
60.
4 d
dx +
5y = 0
dx +
3y =
6x
+ 23
= e 3x
+ 9y = x + ^
y = cos2x - 2 sen 2
U n a p a r t íc u la d e m a s a
x
m que
Respuesta:
y =
ex ( Q
Respuesta:
y = e2x ( C1 c o s x
Respuesta:
y =
Respuesta:
y = C 1s e n
Respuesta:
y=
Respuesta:
y = Clex + C2e x -
c o s x + C 2 s e n 2x)
C 1e x +
+
C2 s e n x )
C 2e 3x + 2 x + 5
2x + C
2c o s
2 x + ^ - 3-
C 1e 3x + C 2x e 3x + e 2x +
-9 + 27
y c o s 2 x + -f s e n 2 x
s e m u e v e e n u n m e d io q u e o f r e c e u n a r e s is te n c ia p r o p o r c io n a l a la v e l o c id a d e stá
s u je ta a u n a fu e r z a d e a tr a c c ió n p r o p o r c io n a l a l d e s p la z a m ie n t o . D e t e r m in e la e c u a c ió n d e l m o v im ie n t o d e la d 2s ds d 2s ds o p a rtíc u la si e l in stan te t = 0, s = 0, y s' = v 0. (Sugerencia: a q u í m d 2 = ~K ~ k 2s o d -2 - + 2 b d ^ + c s = 0, b > 0.)
Respuesta:
S i b 2 = c 2,
s=
s
=
v0te~bt; si
b 2 < c 2; s =
. V°
e~bt sen V c 2 - b 2t s i b 2 > c 2,
( e ( - &+Vb2- c2)t - e ,^ b - ' l b2- c2)t )
V°
dy J u s t ifiq u e e l m é t o d o p a r a r e s o l v e r u n a e c u a c ió n d if e r e n c ia l s e p a r a b le d x =
6 1. J
f
(x )
dx +
Respuesta:
J g (y )
p ° r in t e g r a c ió n , e s d e c ir ,
dy = C .
s e d e r iv a n a m b o s la d o s J
f
f (x)
(x) + g (y )
d
f
(x)
= 0 . P o r ta n to ,
dx + d
J g (y)
dy = C
= - g (y)
r e s p e c t o a x , lo c u a l r e s u lt a en
y la s o lu c ió n y s a t is fa c e la e c u a c ió n d a d a .
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Fórmulas trigonométricas cos26+sen26=1 cos(6+2P) =cos6 sen(6+2p =sen6 cos(-6) =cos6 sen(-6) =-sen6 cos(u+v)=cosu cosv- senu senv cos(u- v)=cosu cosv+senusenv sen(u +v )=senu cosv +cosu senv sen(u - v)=senu cosv - cosu senv sen26=2sen6cos 6 cos26=cos26- sen26=2cos26- 1=1- 2sen26 26 1+cos6 cos22= 20 1- cos6 sen22=- ^ — cos(Y_^) =sen0; sen(p- 6) =sen6; sen(6+P) =-sen6
senx 1 tanx =-cosx cotx cosx 1 cotx =sen x tanx secx =co1sx 1 cosecx =-sen x tan(-x) =-tanx tan(x+p =tanx 1+tan2x =sec2x 1+cot2x =cosec2x u +tanv tan(u+v)=1tan - tanu tanv u - tanv tan(u- v)=1tan +tanu tanv
sen-0 J=cos0; cos(p- 6) =-cos 9; cos(6+p =-cos6 A Leydeloscosenos: c2=a2+b2- 2ab cos 6 Leydelossenos: sena A senb B senC C
B a
«
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23j
Fórmulas geométricas (A=área, C =circunferencia, V =volumen, S =áreadelasuperficielateral) Paralelogramo Círculo Triángulo Trapezoide b2 w
h b
A
Esfera
S=4nr2
_b_
b
=2(b+b2)h
A=bh
Cilindro
a
=n r 2, C =2nr
Cono
V=nr2h
V
S=2nrh
S=nrs =nr-\/r2+ ¡
^ 524^
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=3 nr2h
