Cálculo 1. Funciones 1.1 Funciones: notación, clasificación y propiedades.- Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado rango, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del rango.
Donde
se dice que f : A ® B (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado rango B). La notación de la función es una manera de escribir funciones que aclara el nombre de la función, de las variables independientes, de las variables dependientes, y de la regla de la transformación.
En el ejemplo a la derecha, f(x) es la variable dependiente, f es el nombre de función, x es la variable independiente, y 3x + 2 es la regla de la transformación. C lasificación
de funciones
C lasificación
de funciones
Funciones algebraicas: En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicaci ón, división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones polinómicas: La s funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio f(x) = a 0 + a 1 x + a 1 x² + a 1 x³ +··· + a n x n Su dominio es
, es decir, cualquier número real tiene imagen
Funciones constantes: constantes : El criterio viene dado por un número real. f(x)= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómicas de primer g rado: f(x) = mx +n Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx +c Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Funciones racionales: racionales : El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Funciones radicales : El criterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. Funciones a trozos : Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones trascendentes: trascendentes : En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se ha lla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Función exponencial: exponencial : Se a a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llama función exponencial de base a y exponente x . Funciones logarítmicas : La función logarítmica en base a es la función inversa de la e xponencial en base a.
C lasificación
de funciones
Funciones algebraicas: En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicaci ón, división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones polinómicas: La s funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio f(x) = a 0 + a 1 x + a 1 x² + a 1 x³ +··· + a n x n Su dominio es
, es decir, cualquier número real tiene imagen
Funciones constantes: constantes : El criterio viene dado por un número real. f(x)= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómicas de primer g rado: f(x) = mx +n Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx +c Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Funciones racionales: racionales : El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Funciones radicales : El criterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. Funciones a trozos : Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones trascendentes: trascendentes : En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se ha lla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Función exponencial: exponencial : Se a a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llama función exponencial de base a y exponente x . Funciones logarítmicas : La función logarítmica en base a es la función inversa de la e xponencial en base a.
Funciones trigonométricas: trigonométricas : La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.
1.2 Dominio, contra dominio, tabulación y graficación.- Dominio de una función: son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado Rango, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s. Contradominio:
Elemento De Una Relación Que Corresponde al Conjunto De Todos Los Valores Posibles De La Variable Dependiente.
Tabulación y graficación: Ejemplos de funciones y de ecuaciones: La siguiente gráfica define una función, línea recta con pendiente (m = 1) que pasa por el origen, la cual es función debido a no existe un elemento del dominio que relaciones dos elementos del rango. El dominio es (-¥, ¥) o lo que equivale a decir que el dominio toma todos los valores sobre la línea recta. El rango de la función o codominio codominio es también el mismo, ya que toma todos los valores en el eje de las Y´s (-¥, ¥). La expresión mediante la cual puede representarse esta ecuación es la siguiente: Y(x)= x (otra forma de expresar este resultado también es la expresión f(x)=x)
Gráfica Esta ecuación no tiene asociado dos elementos del rango con uno del dominio, sin embargo la definición de función no impone ninguna restricción al respecto. Podemos analizar que en este caso el domino es (-¥, ¥). Sin embargo, sabemos que el hecho de que la función sea f(x)=x 2 conduce a que solo el recorrido de la función mande a valores positivos, y por tanto el rango de la función es [0, ¥) La siguiente ecuación no es función y 2 = x Su gráfico es el siguiente: Como es fácil identificar los elementos del dominio (x>0) tienen asociados dos elementos del rango y por tanto no es función.
1.3 Operaciones con funciones
Función Suma Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma esta dada por ( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 1 y h (x) = |x| entonces:
( h + f )(x) = h (x) + f (x) = |x| + 2x + 1 ( h + f )(2) = h (2) + f (2) = |2| + 2 ( 2 ) + 1= 1= 7
Función Diferencia Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia esta dada por ( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x) Ejemplo 2
Si f (x) = 2x 2x + 1, g (x) = x 2 entonces: ( f - g )( x ) = f (x) - g (x) = 2x + 1 - x2 = 1 + 2x - x2 ( f - g )(- 1) = f (- 1) - g (- 1) = 2 ( -1) + 1 - ( -1)2 = -2 + 1 - 1 = - 2
Función Producto Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto esta dada por ( f g ) ( x ) = f (x) g (x) Ejemplo 3
Si g (x) = x 2 y h (x) = x - 2 entonces: ( h g )(x) = h (x) g (x) = ( x - 2 ) x2 = x3 ± 2x2 ( h g )(5) = h (5) g (5) = ( 5 - 2 ) ( 5 )2 = 3 (25) = 75
Función Cociente Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función cociente esta dada por
Ejemplo 4 Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x 2 entonces:
1.
Ejemplo
Sea
,
entonces:
2. Limites 2.1 Concepto y teorema de límites: Concepto:
Es el valor al que tiende a resultado de la operación cuando la variable tiende a un valor predeterminado como es decir que el limite de f(x) cuando x a sea K. Cuando una variable x se aproxima cada vez mas y mas a una constante a, de tal manera que la diferencia x-a, en valor absoluto, puede ser tan pequeña como se quiera, se dice que la constante a es el límite de la variable x. Se expresa: x a o también lim x=a.
Ejemplo: calcula el limite de la función que se da a continuación y tabula con los valores que asignes a la variable independiente, cuando x 2 y !
Se expresa y !
x 2 2 x 3
x 2 2 x 3
x p 2
Solución:
Tabulamos:
Valores por la izquierda x
Valores por la derecha x
y
y
1
0.5
3
no hay
1.9
-1.46
2.1
-2.67
1.99
-1.94
2.01
-2.06
x
2
y
-2
Solución: lim x p 2
x 2 2 x 3
x
2
y
-2
! 2
Conclusión: Cuando f( x) tiende hacia un límite por ejemplo H, a medida que x tiende hacia el
! H
punto a, se expresa en la forma siguiente: lim f x x p a
Teoremas sobre límites: Las proposiciones siguientes permiten resolver los problemas de límites por sustitución directa. A.-el limite de una constante c , cuando x tiende al valor a, es la constante. Ejemplo:
Obtener el límite de 7 cuando x tiende a 2.
lim 7
Esto se expresa así.
x p 2
lim 7 ! 7
Solución:
x p 2
B.- el limite de x cuando x tiende al valor a es a. Ejemplo:
Obtener el límite de x cuando x tiende a 3.
lim x
Se expresa:
x p 3
lim x ! 3
Resolución:
x p 3
C.- el límite de la suma de un número finito de funciones cuando x tiende al valor a, es igual a la suma de sus límites. Ejemplo:
Obtener el límite de
x 2
cuando
lim x 2
Se expresa:
x p 4
lim x 2
Resolución:
x p 4
x
tiende a 4.
! lim x lim 2 ! 4 2 ! 6 x p 4
xp4
D.-
el límite del producto de un número finito de funciones cuando x tiende al valor a, es igual al producto de sus límites. Ejemplo:
Obtener el límite de 4 x
2
cuando x tiende a 5.
lim 4 x
Se expresa:
2
x p 5
lim 4 x 2
Resolución:
x p 5
!
! 100
lim 4 * lim x * lim x ! 4 5 5
x p 5
x p 5
x p 5
E.- el límite del cociente de dos funciones cuando x tiende al valor a, es igual al cociente de sus límites, siempre que el límite del denominador no sea igual a cero. Ejemplo: Obtener el límite de
Se expresa: xlim p2
3 x 4 2 x 1
3 x 4 2 x 1
cuando x tiende a 2.
lim 3 x lim 4 6 4 lim ! ! ! !2 2 x 1 lim 2 x 1 lim 2 x lim 1 4 1 lim 3 x 4
3 x 4
Resolución:
x p 2
x p 2
x p 2
x p 2
x p 2
x p 2
x p 2
NOTA: Recuerda que en los números reales no existe la división entre cero. Si al realizar las sustituciones el denominador es cero, la función puede o no tender hacia un límite. F.- conclusión.
x cuando x p a , obtenemos por
Para calcular el limite de un polinomio entero en sustitución directa el valor de la expresión para 2
Ejemplo: Obtener el límite de 2 x 5 x
lim 2 x 2
Se expresa:
x p3
5 x 2
2 cuando x tiende a 3.
53 2 !
Resolución:
lim 2 x 2 5 x 2 ! 2 3
LIMITES
OTRO TIPO: Cuando la variable
DE
x p 3
x ! a .
2
x
siguientes, en los que A.- cuando x
x p 0
Solución:
x
lim
x p 0
c
2)Limite: lim
x p 0
lim
x p g
lim
x p 0
x
B. cuando x p
x c
2)Limite:
x
c
R
con
g
se obtienen los resultados
c{0
c
c
x
En forma simplificada: 0
!0
Solución:
c
1)Limite:
tiende a cero ó
! 31
p0
1)Limite:
lim
18 15 2
! noe xist e
!0
c
En forma simplificada: c 0
! noe xist e
lim
g;
Solución:
lim
x p g
x c
!g
Solución:
En forma simplificada: g
c
!g
En forma simplificada:
lim
x p g
c
lim
x p g
x
3)Limite:
c
x
Solución:
lim c g
lim c x
x p g
x p g
4)Limite:
c
!0
g
En forma simplificada: cg
!g
Solución:
!g
En forma simplificada: cg
lim c x ! g
lim c x
!0
!g
x p g
x p g
2.2 Límites de las funciones: Polinomiales. Racionales, trigonométricas, logarítmicas, exponenciales: Se analiza el comportamiento de la variable cuando su valor se aproxima a una constante ahora dentro de una función. Ejemplo: Si tenemos la función implícita x-y-2=0 , y queremos analizarla cuando x ponemos entonces en forma explicita: y = x-2
3, la
La variable independiente es x , la dependiente y , tabulamos y asignamos valores a x que se aproximen a 3, por la izquierda y por la derecha. Valores por la izquierda son crecientes
Valores por la derecha son decrecientes
x
y
x
y
2
0
4
2
2.9
0.9
3.1
1.1
2.99
0.99
3.01
1.01
2.999
0.999
3.001
1.001
x
3 y
1
observa
x
3
y
1
Para este ejemplo se dice que el límite de la función y = x-2 cuando x tiende a 3 es 1, se expresa:
x 2 ! 1 lim p x
3
Podríamos continuar analizando el comportamiento de la variable para otro valor que le asignáramos, en este caso cualquiera de los números reales, puesto que no se estableció ningún intervalo para el dominio de la variable.
Cálculo
del límite de funciones polinómicas
Una función polinómica es una función del tipo:
Para estudiar el cálculo de su límite, se distinguirán dos casos:
El límite de una función polinómica en un punto x 0 es igual al valor que toma la función en ese punto:
B.
Límite de una función polinómica en el infinito
El límite de una función polinómica en el infinito es +¥ ó -¥, dependiendo de que el coeficiente del término de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo:
Ejercicio: Solución:
Solución:
8/3, es positivo. Cálculo
de límites de funciones racionales
Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos: Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones:
Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior. Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones.
Se calculan en este caso los límites de cociente.
P ( x )
y Q( x ) como funciones polinómicas y se halla su
Si el denominador se anula en x 0, puede ocurrir que el numerador también se anule en x 0, o que el numerador no se anule en x 0.
Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q( x 0) = 0 y
P ( x 0)
= 0, x 0 es
raíz Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P ( x ) y Q( x ) entre x - x 0 ó bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados. A.2.2. E l límite
Para
d el numer ad or no es cero.
resolver
esta
indeterminación
es
necesario
estudiar
los
límites
laterales
de
la Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite.
Ejercicio: Solución:
Solución:
Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios P ( x ) = x 3 - 2 x 2 - 6 x +12 y Q( x ) = x 2 + 3 x -10. · Descomposición factorial de P ( x ):
·
Descomposición
factorial de Q( x ):
· El límite del cociente
P ( x )/Q( x )
es:
Solución:
· Se simplifican numerador y denominador:
Solución:
· Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el punto x 0 = 3.
Solución:
· Se estudian los límites laterales:
Como los dos límites laterales no coinciden, la función f ( x ) = 1/( x - 1) no tiene límite cuando x tiende a 1.
2.3 Continuidad de funciones: Una función f x es continua en un punto
x
!a
si y solo si lim f x ! f a . x p a
(Es claro que deben existir tanto el limite como f a ). Una función f x es discontinua para x
! a
satisface las condiciones de continuidad. En particular, son funciones continuas: 1) las Polinomiales (sin restricción); P x 2) las racionales (cocientes de dos Polinomiales), salvo cuando el denominador se anula.
¨ P x ¸ ©© ¹¹ ª Q x º
si no
x x
¡
3) y las irracionales siempre y cuando su valor sea un número real.
n
Ejemplo 1):
Determina
si la función f x ! x 2
1
es continua en x
!
5
Analizamos si cumple las condiciones de continuidad
! x
f x
2
1
f 5 ! 5
1) 2)
lim x
2
x p5
2
1 !
5
2
1 !
25 1 ! 26
1 !
25 1 ! 26
lim x 2
3) como se cumple que: Solución: la función f x ! x 2 Ejemplo 2):
Determina
x 1 3
!
4 x 1
3
!
!
x 1 CUMPLE
2 1
x p2
f x
!
2 1 1 3 3
2) lim
Ejemplo 2):
3
!
x 1
Determina
!
f x
3
! f 5
x ! 5
es continua para x ! 2
x 1
3
2 !
1) f
x p 2
es continua para
si la función
f x !
3) lim
1
1
x p 5
3
Entonces la función es continua para x !
2
3
f 2
si la función f x ! 4
x 1
es continua para x ! 1 2) lim 4
1) f 1 ! 4 ! 4 no esta definido 11
!
0
x p1
!
x 1
4 1 1
!
4 no existe límite 0
La función no es continua para x ! 1 Ejemplo 3):
Determina
si la función f x ! 5 x 2 es continua para x ! 3
! 5 x 1) f 3 ! 5 3
!
2) lim 5 x 2
5 3
f x
2
2
!
x p3
59
2
!
!
4 ! s2i
59
!
4 ! s2i
No es necesario continuar el análisis ya que los dos resultados nos dan un numero imaginario; por lo que la función no es continua para x ! 3
2.4 Variación y cambio de funciones: y
Variación Directa
Una variación directa es una relación entre dos variables x y y que puede ser escrita de la forma y = kx , donde k 0. En esta relación, k es la constante de variación .
Para la ecuación y = kx , y varía directamente con x . y
variación conjunta
Una variación conjunta es una relación entre tres variable que puede ser escrita de la forma y = kxz , donde k es la constante de variación. Para la ecuación y = kxz , y varía conjuntamente con x y z . Variación Inversa Una variación inversa es una relación entre dos variables x y y que puede ser escrita de la forma y = k/x , donde k 0. y
Para la ecuación y = k/x , y varía inversamente con x . Variación Combinada Una variación combinada es una relación que contiene variación directa e inversa. y
Las cantidades que varían directamente aparecen en el numerador y las que varían inversamente aparecen en el denominador.
3. Derivadas 3.1 Concepto, definición e interpretación de la derivada: DERIVA D A
Si en la función y ! f x , la razón
( y ( x
tiene un limite cuando ( x
p0
a este limite se le llama derivada de
y con respecto a x . CONCEPTO DE LA DERIVAD A La derivada de una función con respecto a una variable es el limite, del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero. ( y
Se expresa así: D RIVA D A ! lim ¢
( x p 0
( x
Cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene derivada. El valor de la derivada en cualquier punto de una curva, es igual a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto
NOTACION
DE
LA DERIVAD A
La derivada se expresa en cualquiera de las formas siguientes:
Df x
Cauchy
Lagrange.
f d x
yd Lagrange
d y d x
Leibnitz; se lee ³derivada de respecto a x ´.
De
( y dy ! f d x ! yd ; ! lim
donde Df x
dx
( xp0
( x
y con
3.2 Derivada de funciones algebraicas y no algebraicas: 3.3 Reglas y formulas de derivación: (Derivada por los cuatro pasos)
El proceso para obtener la derivada de una función f x , incluye: I. II.
dar un incremento a x . Expresar el incremento correspondiente a y .
III.
Calcular el cociente de ( y .
IV.
Obtener el lim
( x
( y
( x p 0
.
( x
Procedemos en la forma siguiente: en la función sustituimos x por x ( x y desarrollamos. También debemos expresar el incremento de y . II. Restamos algebraicamente de la función incrementada la función inicial, y desarrollamos. III. Dividimos el incremento de la función ( y , entre el incremento de la variable independiente ( x , y desarrollamos. IV. Calculamos el limite del cociente anterior, cuando ( x p 0 ; el limite que obtenemos es la derivada que tratamos de obtener . Ejemplo: Aplica la regla general de la derivación y calcula la derivada de la función: y ! 3x 2 4 I.
y ( y ! 3 x ( x
I.
y ( y ! 3 x y ( y ! 3 x
II.
2
2
2
( x 4 6 x( x 3( x 4
y ( y ! 3 x 2 y
4
2
2 x( x
2
6 x( x 3 (x
2
= 3 x 2
4
4
2
( y ! 6 x( x 3 (x ( y
III.
( x
( y ( x
IV.
lim
( x p 0
!
6 x( x ( x
2
3 ( x ( x
! 6 x 3( x
( y ( x
! 6 x
Como por definición:
La solución queda:
lim
( y
( xp0
( x
dy dx
!
d y d x
! 6 x
Este resultado se puede expresar con cualquiera de las notaciones. También en la forma siguiente que se utiliza para indicar la operación que se requiere para obtener la derivada respecto a x
d d x
(3 x
2
4) ! 6 x;
Esto se lee ³derivada de 3 x 2
4 con respecto a
x
es igual a 6 x ´.
Ejemplo: Aplica la regla de los cuatro pasos para calcular la derivada de la función
I.
II.
y ( y !
y ( y y ( y !
III.
x
!
( x
x
x ( x 1
x ( x
x x ( x
!
x x ( x
x
! x x ( x x 2 x( x
( x 2
( y
1
1
1
!
y !
x( x
( x
x
2
x( x
( x
!
( x 2
( x x x( x
!
1
x
2
x(x
1
IV.
lim
( y
( x p0
!
( x
1
x
2
x( x
!
1
x 2
Esto lo podemos expresar así:
d y d x
O también:
¨ 1 ¸ ! 1 ; © ¹ dx ª x º x 2 d
£
1 ¨ 1 ¸ ¹! 2 x ª x º
f ©
;
!
1
x 2
y d !
1
x
2
;
! 1
f d x
x 2
Ejemplo: Aplica le regla de la derivación y calcula la derivada de la función 3 I. y ( y ! x ( x x ( x 2
y ( y
3
( x x ( x 2
2
! x 3 x ( x 3 x ( x
2
3
2 3 3 3 2 II. y ( y y ! x x 3 x ( x 3 x ( x ( x x x ( x 2 2
( y
! 3 x 2 ( x 3 x ( x
( y
III. ( x ( y ( x
IV.
2
!
( x
3
(x
( x ( x
3 x 2 ( x 3 x ( x
2
3
( x
! 3 x 2 3 x( x ( x 1
lim
( x p 0
lim
( x p 0
2
( y ( x ( y ( x
! 3 x 2 3 x 0 0 1 2
! 3 x 2 1
dy dx
! 3x 2 1
Ejercicios: Aplica la regla de la derivación y calcula la derivada de la función.
y ! 3 5 x
y !
4
x
2
2
y ! x 3 x 2
3.4
Derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas:
DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES (trigonométricas) Ahora consideraremos funciones como
sen2 x ; 3 x ; log 1 x 2
que se llaman funciones trascendentes
para distinguirlas de las funciones algebraicas. Son funciones trascendentes los siguientes operadores de tu calculadora que representan las operaciones x
llamadas trascendentes: e ,
ln x , sen x , cos x ,
tan x
1
1
, sen x , cos x ,
tan
1
x (y las funciones hiperbólicas,
operadas con el botón HYP). La función
y
ejemplo: y
! x 3
n
! x
la función inversa es: x
!
La función y
es algebraica: se llama función potencia, siendo n un número constante cualquiera. Por
! 3 y
x
n es trascendente: se llama función exponencial.
y ! 3 Por ejemplo:
x
;
la función inversa es:
x ! log 3 y
FORMULAS DE DERIVADAS TRASCENDENTES
1)
d d x
loga u
!
loga e u
y
du
3)
4)
5)
d d x
d
ln u
!
d x
7)
u
u
a !a
u
d x
d
e
u
!e
d x
d d x
!
u
ln a
1
u
y
d d x
d x
12) arccos u
d d x
tan u ! sec
2
u
d x
8)
d d x
cot u ! csc
2
u
B
2
dx 1 u
2
d x
d u
du d x
9)
d d x
sec u ! tan u sec u du
14) arc cot u
! dx 2 1 u
d x
du
du 10)
d d x
csc u ! cot u csc u
senu ! cos u du
du
u u
u
d x 2
3)
loga An ! n loga A
4)
log a n
A
!
1
d x
16) arc csc u !
1u
2
du
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
! log a A log a B
d x
15) arc sec u !
d x
du
d x
1) loga A B ! log a A loga B
A
!
du
A.- reglas fundamentales de los logaritmos de cualquier base:
loga
1 u
d u
d x 13) arctan u
11) arc senu !
2)
dx
!
du
du
d x
DERIVA D AS DE
d u
cos u ! senu du
d x
du
2)
6)
loga n
u
2
1
B.- En las propiedades generales de los logaritmos se indica que: en todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es uno. Toda ecuación que contiene a la incógnita como exponente se le llama exponencial. Ejemplo:
x
2
! 625
5
x log 5 ! log 625 2 @ x !
log 390625 log 5
!8
Toda ecuación que incluye el logaritmo de una función de la variable se le llama ecuación logarítmica.
log
log5 x 3
Ejemplo:
5
x!2
El numero e se utiliza en matemáticas para el estudio de diferentes fenómenos: físicos, económicos, biológicos y sociales; es un numero irracional que se expresa así: e ! 2.718281828 y que se obtiene de: m
¨1 1 ¸ ! © ¹ lim 1 m ! e ! 2.718281828 lim m º !g ª p 1
cuando m ! R
m
m
m
0
El sistema de logaritmos vulgares, decimales o de Briggs es de base 10. Cuando se emplea este tipo de logaritmos se acostumbra omitir el número 10 de la base en la escritura abreviada del logaritmo de un número. Los logaritmos naturales, neperianos o hiperbólicos fueron inventados por Neper. Emplean en lugar de la base 10 el número e , y se rigen por las propiedades generales y fundamentales de los logaritmos de cualquier base. Para distinguir los logaritmos vulgares de los naturales, cuando la base no se indica, se usa:
log u ! log a u
Para los vulgares.
loge u ! ln u ! Lu
Para los naturales. DERIVA D A DE
log u
Sea y ! log a u , en donde u ! f x
Como y y u están en función de x , cuando x se incrementa, entonces: y ( y , u (u , de donde:
I. y ( y ! log a u (u
II. ( y ! loga u (u loga u Conforme a la segunda de las reglas fundamentales de los logaritmos: log a
Ponemos:
A ! u (u B ! u
¨ u (u ¸ ¹ ª u º
de donde: ( y ! log a ©
A B
! loga A log a B
al segundo miembro lo multiplicamos por
(u u
; lo dividimos entre
podemos multiplicar por el recíproco del divisor):
III.
( y
u
!
( x
(u
¨ u (u ¸ ¹ ª u º
loga ©
( y !
(u
¨ u (u ¸ ¹ ª u º
log a ©
( recordemos que para dividir
u
(u
u
u
(u
(u u( x
Conforme a la tercera de las reglas fundamentales de los logaritmos: log a A ! n log a A n
u
u
Como:
( y
u
!
(u
( x
¨ u (u ¸ ¹ ª u º
log a ©
Descomponemos
(u
u( x
(u u( x
!
¨ u (u ¸ ¹ ª u º
log a ©
(u
(u
Queda:
u( x
( y ( x
¨ u (u ¸ ¹ ª u º
! log a ©
(u
(u u( x
u
¨ u (u ¸ ! log © ¹ ( x ª u º ( y
:
(u
a
1 (u
u
( x
u
como:
¨ u (u ¸ (u
© lim p ª (u
IV.
0
lim ! log a e ( x p 0
¹ º
u 1
u
!e (u
lim p ( x ( x
De
donde:
0
d dx
d y
!
d x
log a u !
loga e
du
u
d x
log a e d u u
dx
3.5 Derivación implícita y de orden superior: Sea f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primer a d eriv ada de f ; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primer a d eriv ada se le denomina segunda d eriv ada de la función primitiva f . Del mismo modo, la derivada de la segunda d eriv ada se llama tercer a d eriv ada de f , y así sucesivamente hasta la enésima d eriv ada.
Funciones implícita Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.
Derivadas de funciones implícitas Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que: x'=1. En general y'1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:
3.6 Aplicaciones de la derivada: y ! log a
3 x
3
y ! log a y d !
3 x 1
! log a
x
log a e 3
d 3 x
1
!
d x
y ! lnln x
! ln
y d ! 4
2
!
log a e 3
x
y ! lna x 3
y
3 x
log a e 3
x
! y d
x
a
e
!
3 log a e
y d !
1
ax 3
x
!
d ax 3 dx
1
ax 3
a
y d !
a
a x 3
ln x 1
ln x
!
d ln x dx
y
1 ¨ 1 d x ¸ ¨1 © ¹! ln x ª x dx º ln x ©ª x
y d !
y ! L 1 3x
1
! ln x 2 1
x 2
y ! ln 1 3 x 3
3
yd!
1
3 x 1
3
d x 2
!
d x
d 1 3 x dx
3
x
3 x
y ! ln ax 3
y ! lnx 2
¨ 3 ¸ ! 3 log © 2¹ 2 3 x ª x º
log a e
!
1
x 2
1
d 1 ¸¹ ! 1 ¨© 1 ¸¹ y ! x ln x º ln x ª x º
1
3 x 3 x 1
1
2
3
! y d
1
x 2
y d !
3 x 2
1 3 x
3
1 x
y ! L
y
1 x
¨ 1 x ¸ ¹ ª 1 x º
! ln ©
y d !
¨ 1 x ¸ ¹ ª 1 x º !
d ©
1
¨ 1 x ¸ © ¹ ª 1 x º
¨ 1 x © © © © ª
1
¨ 1 x ¸ © ¹ ª 1 x º ¨ 1 x 1 x ¸ 1 ©© ¹¹ ! 1 y d ! 2 ¨ 1 x ¸ ª 1 x º ¨ 1 x ¸ © ¹ © ¹ ª 1 x º ª 1 x º d x
d 1 x d x
1 x d 1 x ¸¹
¨ 1 x 1 1 x 1 ¸ ¹! 1 ©© ¹¹ 2 1 x ¹ ¨ ¸ ª 1 x º ¹ © ¹ º ª 1 x º
d x
1 x
2
¨ 2 ¸ 2 2 ©© ¹! ! 2 ¹ 2 ª 1 x º ¨© 1 x 1 x ¸¹ 1 x 1 x © 1 x º¹ ª ! y d
1
x 2
x
y ! e 4 y ! e 4 x
y y ! L x
!
ln x
y d !
1
x
x
d
y d !e
d x
d x
!
4 x ! 4e y d
4 x
¸¹ !
¨ 1 © x ª 2 x
1
d x
4 x ! e 4
d
4 x
º
d x
¨ 1 © x ª 2 x
1 ¸¹ ! º
1
1 ¨ 1 ¸ © ¹! x ª 2 x º 2 x
1
y ! 6
x
y ! 6
! 6
x
y d ! 6 ln 6
y ! ln 1 x y ! L1 x
2
! y d
d x
x
x
dx
ln 6
1
y d ! 6 ln 6 x
2
d 1 x
1
1 x
2
2
21 x ! ! 1 x 1 x 2 1 x
1
2
dx
! y d
2
y ! e 5 x y ! e 5 x
y d !e
5 x ! e 5
d
5 x
5 x
! 5e y d
d x
1 x y ! log 1 x log e d 1 x log y d ! ! y ! log3
3
5 x
3
1 x
dx
3e
1 x
1
yd !
log 3 e 1 x
y ! 5 x y
!
5
x
x
y d ! 5 ln 5
! 5
d x d x
x
ln 5
1
yd ! 5 ln 5 x
2 1 x
2
y d !
1
2 x
y ! ln y ! log
1 x
y d ! y d !
1 x 1
1 x
¨ © 1 x ª 2 1
d
1 x
dx
!
1 ¸¹ !
1
¨ © 1 x ª 2 1
º
1 x
¹
! y d
º
dx
1 x
¨ © 1 x ª 2 1
d 1 x ¸
1
¸ ¹! 1 x º 2 1
1 1 x
y ! e 6
x
y ! e
6 x
y ! e3
y d !e
6 x
y ! e
3 x
! e 6
y d ! 6e 6
3 x ! e 3
y d ! 3e 3
d 6 x
6 x
x
dx
x
y d !e
3 x
d
3 x
x
d x
y ! 2
x
y ! 2
! 2
x
d x
y d ! 2 ln 2 x
dx
Formula:
d
u
e !e
u
du
u
d x
d u
dx
x 3
! 3 x 2
3
sustitución:
e
1
x
! x3
dx
Función:
d
ln 2
yd ! 2 ln 2
Valor de u:
d x
y ! e x
x
resultado: 3
! e x 3 x 2
2 yd ! 3 x
e
x3
2
1
2 1 x
Formula:
Formula:
d dx
d
uv! u d v v d u dx
e
u
dx
dx
d u
! eu
dx
Valor de v :
Valor de u:
Función:
y ! e x
e
x
x
x
v ! e 1
u!e
1
du
dv
x
!e
x
!e
d x
d x
sustitución: resultado:
d
x
x
e e
dx
!
1 !
x
e
x
e
x
x
e
1 e
e
2 x
e
2 x
ex
yd ! 2e 2 e x
Formula: Formula:
d dx
cu! c
Formula:
d u
d
dx
d x
! 8e
e !e
u!e
x
du
d x
8e
¨ ! 8© e ª
d
d x
d x
!e
x
¸ ! 8e x ¹ 2 x º 2 x 1
d x
2
u
Nuevo valor de u:
1
du
2 x
d x
resultado:
x
u !
x
u!
sustitución:
x
du
x
d x
d
u
Valor de u:
Función:
y
u
du
! yd
4e
x
x
!
1
2 x
x
Formula: d
Formula: d
uv ! u dv v du
d x
d x
u
e !e
Formula:
d x
d x
d
d x
u
! dx 2
dx
Función:
x
y !
e
2
! dx d
d u
du
u
Formula: u
n
nu
dx
u
Nuevo valor de u:
x
Nuevo valor de u:
2
x 3
e
u
x 2
!e
d u dx
Valor de u: x 2
u!e du
! e x
u ! x
2
2 x
du
x
x
2
1 u
2 x
!
2
¨ x ©© e d x ª !
2
x
e
2
2
x 2 x 3
x 3
2e
e
2e
33 x
x 3
¸ ¹¹ ! º
x
e
2
!e
u ! x 3 2
2
!e
x 3
3
x
1
!
3
2
2
x 3
x 3
2e
1
!
3 x 3
¨ x ¸ © 2e ¹ ¨ ¸¨ x © 3 ¹ ©© e x ¹¹© 2 xe x © 3 x ¹ ª ºª ª º
du
2e
d x
3
3 x
2
3
2 3
2
¸ ! ¹ 2 x º 1
2
x
2
x 2 x 3
2 xe e
x 3
resultado:
yd !
2e
2 x
2
sustitución: 2
1
Nuevo valor de u:
x 3
dx
2 x
! x
d u
Valor de v :
d v
2
Nuevo valor de u:
dx
v
!
d x
! 2 xe
d x
d
d u
n 1
e
2 x
2 ¸ ¨ © x2 x 3 ¹ © ¹ ª º
2
x 3
2e
33 x
x
2 xe
2 ¸ ¨ © x2 x 3 ¹ © ¹ ª º
2
x 3
e
2 x
!
2 3
x
1
3
4. Integrales. 4.1 Concepto, definición e interpretación de la integral: Concepto: Es el nombre que recibe la antiderivación de una función. Definición:
v
!
dy
Es el signo que indica la integración y el resultado de integrar una expresión diferencial.
v
´ dy ! ´ f t dt
y o ! 1
´ dy ! ´ 2 t
2
y ! 3! 3!
´ d y !´ f t d t ´ d y ! ´ sent d t !
! 2t 2 10t 1
dt y o ! 3
2 t 3 3
5 t 2
2
0
0
3
10 t 1 dt !
t
5 0
2
3
0 0
3
2 t
3
!
dy
! sent
dt
y ! cos t C
1 ! cos 0 C 1 ! 1 C
2
10 t
2
t
C ! 2
¤
y ! cos t 2
¤
0
¤
¤
!3
¤
y !!
v
!
dy dx
2 t 3 5 t 2 3
t 3
´ dy !´ f t dt ´ dy !´ e cos x dx ! e x
! e cos x x
x
v
sen x C
0 ¥
! e sen0 ! 1 0
dy dt
! 4t 3
¥
y1 ! 10
0 ! 1 0
¨ ª
3 ´ dy ! ´ © 4t
¸ ! 4t 4 ln t C ¹dt t º 4
1
y !! t 4 ln t C 10
! 14 ln 1 C 10 ! 1 0 C
C ! 9
y ! t 4 ln t 9
´ d y ! ´ f t d t ´ v!
d y d t
t
! 3e t
yo ! 5
´
y ! 3e
t
t
t 2 2
5 ! 3e 0
t d t ! 3e
t 2 2
C
2
2
C
C ! 2 y ! 3e t
t
C
0
t 2 2
2
t
¥
y ! e x sen x 1
d y ! 3e
1
´ dy ! ´ f t dt
y ! e sen x C x
yo ! 0
!
5 ! 3 0 C
cos t C
4.2 la integral definida:
La integral definida se representa por . es el signo de integración.
a límite inferior de la integración. b límite superior de la integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x , e indica cuál es la variable de la función que se integra. 1. El valor de la i ntegral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero .
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la i ntegral definida se descompone como una suma de dos int egrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una f unción es igual a la constante por la integral de la función.
Def inición
1: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de
f de a a b, que se indica =
es el número:
[f(x0) + f(x1) + f(x2) + ««««««««« + f(xn±1)] D x o bien
= donde x 0 = a, xn = b y D x = . (la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [x i-1, xi] con i = 1, .., n) Def inición
2 : Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integr al d ef ini da d e
f de a a b, que se indica =
es el número:
[f(x1) + f(x2) + f(x3) + ««««««««« + f(x n)] D x
= donde x 0 = a, x n = b y D x = . (la función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [x i-1, xi] con i = 1, .., n) Def inición
3: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integr al d ef ini da d e
f de a a b, que se indica =
es el número:
[f(t1) + f(t2) + f(t3) + ««««««««« + f(t n)] D x
= donde x 0 = a, x n = b y D x = . (la función se evalúa en cualquier punto t i de cada subintervalo [x i-1, xi] con i = 1, .., n)
4.3 integración de funciones:
Sustituyendo estos valor es en (1), se obtiene:
( F ig .1) Sustituyendo estos valor es en (1), se obtiene:
4.4 Reglas y formulas de la integración: Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la integral de x = ½·2 x es ½ x 2, y de forma similar x m dx = x m+1/(m + 1) para cualquier m -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln| x | es la integral de x -1 = 1/ x para cualquier x 0). La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas (ver la tabla).
Tablas de integrales. La integración es un proceso que debe pensarse siempre como una derivación inversa. Una fórmula de derivación, leída en sentido inverso, es una fórmula de integración. Así, si la derivada de x 2 es 2x , se dirá que x 2 es la integral de 2x Calcula las formulas de las siguientes funciones. Después, escribe las integrales correspondientes. (Observa el ejemplo, notando la presencia de C, la constante de integración)
x dx d
2
8 x
! 2 x
x ! 3 x dx d
3
2
u
d u
2
´ 2u d u ! u
u
u
du
´ 3 x d x ! x
2
! 2
d
d
´ 2 x 8dx ! x
8
d du
n
! nu
u
du
1
!
2
1
u
12
1
!
2
2u
?
¨ x 2 8 ¸ ? x 32 x A x 2 ©© ¹¹ !! d x ª x 3 º x 32 d
!
2
C
2
C
!
1
x
6 x
2
8
x 3
2
!
x 2
n
C
1
1
!
2 1
2
2
2
n 11
¸ 1 ¨ 1 u ¸d u ! 1 ¨© u © ¹ ´ ª 2 º 2 ©ª 2 1 º¹¹ ! 2 2u
1
u
1
v
2 x
3
nu
n 1
d
u !
8 x C
´ nu ! n 1 1 ! u
n 1
2
A
! x 3 p
d v dx
!1
u
! x 2 8 p
d u dx
1
2
u
1
2
!
u C
! 2 x
¨ x 2 6 x 8 ¸ x 3 d dx u 1 ¨ v d dx u d dx ¸ u © ¹ ¹ ! ! ! 2 ¹dx v C ´ © x 32 ¹dx x 32 ª v º ª º
8 1
u
v
u
! ´ ©©
? x 32 x A ? x ! x 3
6 x 8
x 3
2
2
2
A! x
8 1
2
8
x 3
C
Di si las siguientes integrantes han sido correctamente calculadas (para lo cual usa el pro ceso inverso, derivación).
A) x 3 6 x 2 ´
b) x 6 ´
4 x
2
3
2
1 d x ! x 12 x x C
x
d !
x 6 6
8 x C
! y d
x x
d d
6 x
´ os x d x ! sen x C y d! c
1 e) dx ! ln x C y d ! ´ x x
cos
x
12 x
2
8 !
6
x5
x !
5
c) sen x dx ! cos x C y d! sen x ! sen x ´ d)
3
8
3 x 2
24 x 1
mal
mal
bien bien bien
´ x 5 x 2
f )
g)
d !
x 3 2
2
5
3
2
´ x x x 3 x 2
1
6 d !
3
2
6
C y d !
2
¨ 3 ¸ 2 x 2 © ¹ ª 2 º 3
! C y d
2 x 1
5
2
!
2 x x 2
mal
5
¨ 3 ¸ 1 x 2 2 6 2 x ! x x 6 © ¹ ª 2 º 3 1
bien
2
h)
mal
´ tan x dx ! sec i)
j)
´ 3 x
4 x
3
e
x
3
x
dx
´ 1 x
e
2
dx
d ! x x
x 2
e
d
x C
´ dx ! 2 ´ x x 2
k)
l)
2
2
d !
x 2
1
e
4
sec x * sec x ! sec x tan x sec x sec x tan x sec x ! 2 sec
C y d !
! C y d
x
2
4x
e
! tan x C y d !
x tan x ! 2
1 cos
2
sen x x cos x
!
2 sen x cos
3
x
bien
3
2 2 x ! 4 x x 2
e
mal
x2
¨ 1 e x ¸ ! e ¹ 2 x x 2 ª º
! © C y d
2
x
bien
2
bien
1
1
2
3 x 2
2
1
x
2
Integración directa. 1. A partir de esta sesión se usará un f ormulario de integración directa el cual deberá traerlo elaborado. u a) a u ´ f du g du d u ! f u g u g) a du ! C ln a b) k d u ! k u C ´ h) n 1 ´ senu d u ! cos u C u n c) ´ u du ! n 1 C i) cos u d u ! senu C
´
d) e) f )
u d u ! k f u C ´ k f d
´
d u u
! ln u C
´ e
u
du ! e
u
C
´
j) k)
d u
´1 u
´
2
! tan 1 u
d u 1 u
2
C
! sen 1u C
Reglas para la integración de funciones logaritmo
Se usan las barras de valor absoluto ya que el dominio de una función logaritmo son los números reales positivos.
En particular,
= 2 ln (x) + c = ln (x 2) + c
En este ejemplo, no es necesario las barras de valor absoluto ya que x 2 no puede ser negativo.
4.5 Integración de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas: Integración de Funciones Trigonométricas Aquí
aprenderemos distintos métodos para integrar expresiones del tipo:
El método más general y que puede aplicarse a todas las integrales de expresiones trigonómetricas (una vez que se han llevadas a la forma arriba indicada) es hacer el siguiente cambio de variables:
Para automatizar el proceso, procederemos a calcular explícitamente los valores ``
,
,
''
en función de
Veamos a que corresponde
,usando la identidad trigonómetrica `` ''
,truco: multiplicar por 1
,
,usando la identidad ``
''
, finalmente usando nuestro cambio de variable.
Por lo tanto ``
'' lo podemos escribir en forma general como ``
Busquemos ahora a que corresponde ``
''
''
,usando la identidad trigonómetrica ``
,usando ``
''
,con un poquito de álgebra y usando el cambio de variable.
Encontramos así la expresión para ``
'' y éste ahora lo podemos escribir como ``
siempre teniendo en cuenta que:
Nos falta obtener la expresión para el `` Teníamos que
.
'':
derivemos esta expresión implícitamnte.
,ahora despejemos
, ya encontramos todos los términos para reemplzar en la integral
Sustituciones ( a usar):
'',
4.6 Aplicaciones de la integral:
y ! x 3 2 x 1 1
« x 4 » « x 4 » x 2 3 2 ! x x x x x 1 dx ! ¬ 2 2 ¼ ¬ ¼ ´0 4 2 4 ½ ½0 1
« 14 » « 04 » «1 » 2 2 !¬ 1 1¼ ¬ 0 0¼ ! ¬ 1 1¼ 0 4 4 ½ ½ ½ 4 !
1
7
1
5
4
3
3
2 ! ! 2 !
4
Evaluación = -1.75 u
2
y ! x 3 x ! x x « x 2 x x d x ! ¬
´ 4
1
1
3
?
« 42 ¼ !¬ 4 ½1 2
3x 3 » 4
2
A ?
4
1
3
» « 12 ¼¬ 4 ½ 2
34
4
3
» ¼ 4 ½
31
4
3
A
! 8 4.76 0.5 0.75 ! 3.24 0.25 2
evaluación = 3.49 u
´ 2
x
x 2 dx
para [0, 1]
« 2 x x 3 » « 2 1 13 » « 2 0 03 » ¼ !¬ 2 x dx ! ¬ ¼¬ ¼ ln 2 3 ½ 0 ln 2 3 ½ ln 2 3 ½ 1
´ ! ?2.885 0.333A ?1.44269 0A! 2.5520 1.44269 ! 1.109u 1
0
x
2
2
v
dy
!
! 2t 2 10t 1
dt y o ! 3
v!
´ d y ! ´ 2 t
3
!
3
! 0 0 0
y
v
!
dx
5 t 2
!
3 2
0
3
3
C
dy
2 t 3
!
2 t 3 3
! e cos x
yo ! 0
5
1 ! cos 0 C 1 ! 1 C
C ! 2
2
10 t
3
2
t C
y ! cos t 2
t C
0
2
0
C
C
3
!!
x
2 t 3
cos t C
y ! cos t C
y o ! 1
10 t 1 d t !
y
! sent
d t
´ d y ! ´ f t d t 2
d y
´ d y !´ f t d t ´ d y ! ´ sent d t !
5 t 2
t 3
´ dy !´ f t dt ´ dy !´ e cos x dx ! e x
x
´ dy ! ´ f t dt sen x C
v
!
dy dt
! 4t 3
1
¨ ª
3 ´ dy ! ´ © 4t
t
y1 ! 10
y ! e sen x C x
y !! t 4 ln t C
! e0 sen0 C 0 ! 1 0 C C ! 1 0
10
! 14 ln 1 C 10 ! 1 0 C
C !
´ d y ! ´ f t d t ´ v
!
d y !
´ 3
t
2
t
e t d t ! 3e
t
2
C
2
! 3e t
dt yo ! 5
t
9
y ! t 4 ln t 9
y ! e x sen x 1
dy
¸ ! 4t 4 ln t C ¹dt t º 4
1
y
t
! 3e
5 ! 3e
0
t
2
C
0
2
2
C
C ! 2 2
y
t
! 3e
t
2
2
5 ! 3 0 C
MATEMATICAS
1. Geometría Basica. 1.1 Rectas y productos notables: LA LINEA RECTA: Es un conjunto in f inito de puntos ordenados siguiendo la misma dirección.
PRODUCTOS NOTABLES: Cuando se manejan repetidamente expresiones algebraicas es muy conveniente aprender algunos productos que aparecen con frecuencia y que facilitan las operaciones; entre los mas importantes se encuentran, Cuadrado de un binomio: (a+b) 2 = a2 + 2ab + b 2 Cubo de un binomio: (a+b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab 2 + b3 Binomios conjugados: (a+b)(a b) = a 2 - b2 Binomios con término común: (x+b)(x+d) = X 2 + (b+d)X + bd Binomios con término semejante: (ax+b)(cx+d) = acX 2 + (ad + bc)x + bd Producto de la forma: (a+b)(a 2 - ab + b2) = a3 + b3 (a-b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3 Ejemplo: Efectuar las operaciones usando productos notables a. (3x
2y2 )3 = (3x)3 - 3(3x)2( 2y2) + 3(3x)( 2y2)2 +( = 27x3 3(9x2)( 2y2) + 3(3x)(2y4) - 8y6 = 27x3 +54x2y2 + 38xy4
b. (6x
2y2)3
8y6
2y)(6x + y3) = (6x) 2 - (2Y3)2 = 36x2 - 4y6
c. (5x + 3)(2x
6) = 10x 2 + ( = 10x2 24x
30+6)x 18
18
1.2 Paralelismo, congruencia y semejanza: Paralelismo: Igualdad de distancia entre todos los puntos de dos o más líneas o planos. Congruencia: Igualdad. Dos numero enteros a y b son congruentes respecto a otro numero m si su diferencia es divisible por m. El divisor m se llama modulo y a y b son residuos del otro según el modulo m. se expresa como a=b ± modulo de m o a = b (mod m). Semejanza:
De
forma idéntica pero con magnitudes diferentes.
