e Tec | Brasil CURSO TÉCNICO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Elizabete Alves de Freitas
CURSO TÉCNICO
01
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Razão, proporção, números proporcionais e divisão proporcional
Elizabete Alves de Freitas
CURSO TÉCNICO
01
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Razão, proporção, números proporcionais e divisão proporcional
Elizabete Alves de Freitas
Governo Federal Ministério da Educação co
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UNIVERSIDADE
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Esse material foi cedido à Universidade Estadual do Maranhão - UEMA pelo Sistema Escola Técnica Aberta do Brasil - e-Tec Brasil, que autorizou sua reprodução para uso exclusivo dos Cursos Técnicos a Distância do Núcleo de Tecnologias para Educação - UemaNet.
á r e v ê V o c . . . i u q p o r a
... em nossa primeira aula, os conceitos de razão , proporção, números proporcionais, divisão proporcional e regra de sociedade , através de uma apresentação do conteúdo recheada de exemplos práticos.
Durante toda a aula, você encontrará atividades que reorçam imediatamente cada conteúdo e, ao fnal da aula, você encontrará uma lista de exercícios com todo o conteúdo estudado nesta aula. Além dos assuntos já citados, em nossa disciplina, você também verá, nas próximas 4 (quatro) aulas, alguns conceitos como operações sobre mercadorias, conversão monetária, operação cambial, capitalização simples e capitalização composta. Seja bem-vindo e bons estudos.
Conhecer razão, sabendo identiicar seus elementos e calcular uma razão entre dois números ou entre duas grandezas.
Objetivos
Conhecer proporção, seus elementos e suas propriedades, utilizando adequadamente essas propriedades para estimar
um valor desconhecido de uma proporção.
Classifcar uma série de números em diretamente proporcional
ou inversamente proporcional a outra série de números e utilizar adequadamente as propriedades da divisão proporcional na resolução de problemas que envolvem regra de sociedade.
1
Matemática fnanceira A01
Para começo de conversa Imagine a seguinte situação:
José e Jorge são dois sócios. Eles investiram os capitais de R$ 3.000,00 e R$ 5.000,00, respectivamente, num empreendimento. No dia do balanço anual, após 10 meses de sociedade, ao repartirem o lucro, Jorge obteve R$ 600,00 a mais que o primeiro. De quanto oi o lucro total do empreendimento?
Para poder responder a esse tipo de pergunta, é preciso entender alguns conceitos que
serão os assuntos de nossa aula. 2
Matemática fnanceira A01
Conhecendo razão, proporção, números
proporcionais e divisão proporcional Vimos, no texto anterior, que ao dividirem os lucros, no balanço geral, Jorge teve um lucro de R$ 600,00 a mais que o de José. Por que isso aconteceu? É simples! Nessa sociedade, cada sócio entrou com quantias dierentes. Lembra que um investiu R$ 3.000,00 e o outro, R$ 5.000,00?
Razão Quando comparamos as duas quantias, podemos escrever uma razão entre elas. Assim,
a razão entre as quantias investidas nesse negócio, ou seja, a razão entre 3.000,00 e R$ 5.000,00 é: R$ 3.000, 00 = 3 . R$ 5.000, 00
5
Lemos essa razão assim: três para cinco. Ela também pode ser escrita no ormato 3:5. A palavra razão vem da palavra ratio, que em latim signifca divisão. Escrever uma razão
entre dois números é escrever o quociente entre eles. De uma orma geral, podemos dizer que
A razão do número a para o número b, em que b é dierente de zero, é o quociente de a por b.
A razão entre a e b, escrita através de notação matemática, é
a b
ou
a : b,
onde
b = 0.
Os números a e b são os termos da razão, em que a recebe o nome de antecedente e b recebe o nome de consequente. 3
Matemática fnanceira A01
Exemplo 1 Na razão 1:7, o antecedente é 1 e o consequente é 7.
Quando o antecedente e o consequente de uma mesma proporção são múltiplos de um mesmo número, podemos dividi-los por esse número e encontrar uma razão mais simples igual à razão dada. A seguir, temos alguns exemplos de razões que podem ser simplifcadas.
Exemplo 2 A razão de 12 para 4 é
12 12 ÷ 4 3 = = = 3 . A leitura dessa razão é três 4 4÷4 1
para um (ou apenas três).
Exemplo 3 A razão entre 5 e 2
5 5 3 5 3 15 1 é 1 = 7 =5· = · = 7 1 7 7 3 2 3 3
ou
15 : . A leitura
dessa razão é quinze para sete.
Podemos estabelecer uma razão entre medidas de duas grandezas. A razão entre duas
medidas, dadas em certa ordem, é razão entre a primeira medida e a segunda medida (sendo esta última dierente de zero). Se as medidas que ormam a razão são de grandezas de mesma espécie devemos apresentá-las em uma mesma unidade. Se em uma razão temos duas medidas de comprimento, por exemplo, devemos apresentá-las em uma mesma unidade. Nesse caso, a razão é um número que não apresenta unidade
de medida. É o caso de uma escala de um mapa, de uma planta de um imóvel, entre outros exemplos.
4
Matemática fnanceira A01
Exemplo 4 A razão entre 20cm e 3m é 20 cm = 20 cm = 20 ÷ 20 = 1 ou seja, é 1 para 15.
3m
300 cm
300 ÷ 20
15
Exemplo 5 A razão entre 15 minutos e 1 hora é, 15 min 15 min 15 15 ÷ 3 5÷5 1 = = = = = , ou seja, é 1 para 4. 1h 60 min 60 60 ÷ 3 20 ÷ 5 4
Se as grandezas que ormam uma razão não são de uma mesma espécie, a unidade dessa razão vai depender das unidades das grandezas do antecedente e do consequente.
Que tal ver mais alguns exemplos?
Exemplo 6 Um torno de madeira, em 5 minutos, produz 3000 rotações. A razão entre o número de rotações e o tempo gasto para produzi-las é 3000 rotac˜ oes = 600 rotações /min . 5 min
A velocidade média desse torno, nesse período, é de 600 rotações /min .
Exemplo 7 O deslocamento diário de 140 quilômetros de casa para a ábrica onde trabalha
é percorrido por um operário em 2 horas. A razão entre a distância percorrida
e o tempo gasto em percorrê-la é
140 km 140 = km/h = 70 km/h. 2h 2
5
Matemática fnanceira A01
Podemos dizer que a velocidade média de seu meio de transporte nesse deslocamento é de 70 km/h.
Proporção Em uma empresa, os dados sobre quais uncionários têm curso completo de inormática,
são os seguintes: Curso de inormática completo
Total de uncionários
Filial
6
8
Matriz
9
12
A razão entre os uncionários que apresentam curso completo de inor mática e o número
total de uncionários, em cada unidade da empresa, é: Filial: 6 = 6 ÷ 2 = 3 8 8÷2 4
Matriz: 9 = 9 ÷ 3 = 3 12 12 ÷ 3 4
Podemos observar que as duas razões são iguais, ou seja, 6 = 9 . Essa igualdade 8
12
também pode ser escrita como 6 : 8 :: 9 : 12. Assim, dados os números 6, 8, 9 e 12, nesta ordem, podemos afrmar que a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre
os dois últimos. A igualdade entre duas razões recebe um nome especial. Dizemos que, nessa mesma ordem, os números 6, 8, 9 e 12 ormam uma proporção.
De uma orma geral, dados quatro números reais e dierente s de zero (a, b,
c e d ), em certa ordem, se a razão entre os dois primeiros or igual à razão a c entre os dois últimos, ou seja, se = , dizemos que os números a, b, c b d e d , nesta ordem, ormam uma proporção.
Uma proporção pode ser escrita na orma a = c ou a : b :: c : d . Em qualquer um b d dos ormatos, sua leitura é a está para b assim como c está para d . No exemplo 7, se escrevemos 6 = 9 ou 6 : 8 :: 9 : 12, a leitura é sempre a mesma: seis está para oito 8 12 assim como nove está para doze.
6
Matemática fnanceira A01
Exemplo 8 A leitura da proporção 2 = 4 é: 2 está para 3 assim como 4 está para 6. 3
6
Termos de uma proporção Se a, b, c e d ∈ ∗ e a = c , dizemos que a, b, c e d são os termos da proporção. Assim:
b
d
a e c são os antecedentes e b e d são os consequentes das razões;
a e d são os extremos da proporção;
b e c são os meios da proporção.
Exemplo 9 Na proporção 2 = 4 , os números 2, 3, 4 e 6 são os termos da proporção. 3 6 Assim:
2 e 4 são os antecedentes e 3 e 6 são os consequentes das razões;
3 e 4 são os meios da proporção;
2 e 6 são os extremos da proporção.
Propriedade fundamental das proporções Para verifcar essa propriedade, devemos realizar algumas operações. a c = , podemos multiplicar os dois lados da igualdade pelo produto dos b d conseqüentes de suas razões, ou seja, multiplicar os dois lados da proporção por bd . a c Ou seja, · bd = · bd , que após a simplifcação é a ·d = b ·c. b d Na proporção
Diante desse resultado, podemos afrmar o seguinte:
Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Aplicando a propriedade undamental, podemos verifcar se duas razões ormam uma proporção ou não. É o que aremos nos exemplos a seguir. 7
Matemática fnanceira A01
Exemplo 10 A expressão 2 = 18 é uma proporção? 7
63
O produto dos extremos é: 2 · 63 = 126 . O produto dos meios é: 7 · 18 = 126 . 2
18
Podemos observar que 2 · 63 = 7 · 18 , logo a expressão = é uma 7 63 proporção.
Exemplo 11 Verifque se os números 11, 15, 22 e 30, não obrigatoriamente nessa ordem,
ormam uma proporção.
Fazendo o produto entre o menor e o maior desses números, temos: 11⋅30 = 330
Fazendo o produto entre os outros dois números, temos: 15 ⋅22 = 330 Assim 11·30 = 15·22, e a proporção 11 = 15 é uma das proporções que 15 30 podem ser ormadas por esses números.
Recíproca da propriedade fundamental das proporções Sejam a, b, c e d , números reais e dierentes de zero, tais que o produto de dois deles seja igual ao produto dos outros dois, isto é: a ·d = b ·c.
Dividindo cada membro da igualdade pelo produto bd , temos que: ad bc = bd bd
Após a simplifcação, temos:
a c = b d
8
Matemática fnanceira A01
Assim, transormamos a igualdade entre dois produtos em uma proporção, como você também verá no exemplo a seguir.
Exemplo 12 Escreva a igualdade 3 ·35 = 7·15 em orma de proporção.
Dividindo ambos os membros da igualdade 3 ·35 = 7·15 pelo produto 35 ·15, temos 3 · 35 = 7 · 15 . 35 · 15
35 · 15
Ao simplifcarmos essa expressão, obtemos a proporção
3 7 = . 15 35
1
Praticando...
1. Escreva a razão mais simples entre a) 120 mm e 4 dm . b) 1,2g e 4 cm 3. d) 4.000.000 habitantes e 1.000 km 2. 2. Indique o antecedente e o consequente em cada uma das razões
a seguir: a) 3 : 20
b) 5
1 12 : 3 5
c)
18 25
3. Indique quais números são os extremos e quais são os meios em cada
proporção a seguir: a) 10 = 30
27
81
b) 1 = 15
8
120
4. Verifque, utilizando a propriedade undamental das proporções, se a expressão 2 = 10 é uma proporção. 13 65
9
Matemática fnanceira A01
Cálculo de um termo desconhecido em uma proporção Em uma proporção, é sempre possível determinar o valor de um dos termos, sendo os outros três conhecidos. Basta aplicar a propriedade undamental das proporções. Observe o exemplo a seguir:
Exemplo 13 Quando aplicamos a propriedade undamental na proporção
3x = 4 · 60 ⇒ 3x = 240 ⇒ x = 240 : 3 ⇒ x = 80.
3 60 , temos: = 4 x
Transformações de uma proporção Podemos escrever uma mesma proporção de várias maneiras, apenas usando os mesmos termos em uma ordem dierente, ou seja, encontrando proporções equivalentes
à proporção dada mudando apenas a ordem dos termos.
Exemplo 14 A igualdade entre as razões, na proporção
3 12 = , se mantém quando 5 20
20 12 = ⇒ 20 · 3 = 5 · 12 = 60; 5 3
alternamos os extremos:
alternamos os meios:
invertemos os termos:
5 20 = ⇒ 5 · 12 = 3 · 20; 3 12
transpomos as razões:
12 3 = ⇒ 12 · 5 = 20 · 3 = 60. 20 5
3 5 = ⇒ 3 · 20 = 12 · 5 = 60; 12 20
Proporções múltiplas Observe as razões 6 e 15 . Após a simplifcação, ambas são iguais a 3 . 7 35 6 15 3 Logo, podemos escrever = = , que é uma proporção múltipla. 14 35 7 14
10
Matemática fnanceira A01
Chamamos de proporção múltipla a toda proporção que envolve uma igualdade entre três razões ou mais. Uma proporção múltipla também pode ser chamada de série de razões iguais. De orma geral: a c m (em que a, b, c ,..., n ∈ ) é uma proporção múltipla. = = ... = b d n ∗
Propriedade fundamental das proporções múltiplas Sendo a proporção
a c m e considerando que cada uma dessas razões é = = ... = b d n
igual a um mesmo número k , esse valor k é chamado de coefciente de proporcionalidade
dessa proporção. Assim, temos: a c m = k, = k, . . . , = k ⇒ a = bk, c = dk, . . ., m = nk b d n
Somando essas igualdades, membro a membro, temos: a + c + . . . + m = bk + dk + . . . + nk a + c + . . . + m = k · (b + d + . . . + n)
Ou seja: a +c +...+ m =k b+ d +...+ n
Assim:
Em uma proporção múltipla, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para seu respectivo consequente.
Veja o exemplo a seguir:
Exemplo 15 Considere a seguinte proporção múltipla: 1 = 3 = 5 = 6 . 5
15
25
30
11
Matemática fnanceira A01
1 3 5 6 1+3+5+6 15 15 ÷ 15 1 = = = = = = . ⇒ 5 15 25 30 5 + 15 + 25 + 30 75 75 ÷ 15 5
Observe que a razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos 1 consequentes é , que é o coefciente de proporcionalidade de todas as 5 outras razões, confrmando assim a propriedade das proporções múltiplas.
Outras propriedades das proporções Considerando a proporção a = c , podemos observar as seguintes propriedades: b
d
I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos consequentes de uma razão. A soma dos antecedentes de uma proporção está para a soma dos seus conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo conseqüente. Ou seja,
+ ou a c = c . b+d
a+c a = b+d c
d
II) Razão entre a dierença dos antecedentes e a dierença dos consequentes de uma razão.
A dierença entre os antecedentes está para a dierença de seus consequentes, assim como cada antecedente está para seu respectivo consequente. Ou seja, a−c a a−c c = ou = b−d
b
b−d
d
III) Razão entre a soma (ou dierença) dos termos de uma razão e seu respectivo
antecedente. A soma (ou dierença) dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim como a soma (ou dierença) dos termos da segunda razão está para seu respectivo antecedente. Assim, a + b = c + d ou a − b = c − d . a
c
a
c
IV) Razão entre a soma (ou dierença) dos termos de uma razão e o seu respectivo
consequente. A soma (ou dierença) entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente, assim como a soma (ou dierença) entre os termos da segunda razão está para seu respectivo consequente. Assim, a + b = c + d ou a − b = c − d . b
d
b
d
Veja a utilização dessas propriedades na resolução dos exemplos a seguir:
12
Matemática fnanceira A01
Exemplo 16 Determine dois números, sabendo que a sua soma é 54 e que a razão entre
eles é 1:2. Como são valores desconhecidos, podemos associar ao número menor a letra x e ao número maior, a letra y .
Através das inormações do problema, podemos escrever: x + y = 54 e x 1 = y 2
Aplicando a propriedade III na proporção x = 1 , temos: x + y = 1 + 2 y
2
x
1
Como x + y = 54 , temos 54 = 3 . x
1
Aplicando a propriedade undamental das proporções e resolvendo a equação resultante, temos: 3 · x = 54 · 1 ⇒ 3x = 54 ⇒ x = 54 ÷ 3 ⇒ x = 18
Para encontrar o valor de y basta substituir o valor de x em qualquer das equações. Substituindo x = 18 na equação x + y = 54, temos: 18 + y = 54 ⇒ y = 54 − 18 ⇒ y = 36
Resposta: Os números procurados são 18 e 36.
Exemplo 17 Determine dois números sabendo que a dierença entre eles é igual a 12 e que o maior está para o menor assim como seis está para cinco. Chamando o número maior de m e o número menor de n , temos que as inormações do problema podem ser escritas como: m – n = 12 e m = 6 . n
5
Aplicando a propriedade IV na proporção m = 6 temos: m − n = 6 − 5 n
5
m
6
Substituindo o valor de m – n e resolvendo 6 – 5, temos: 12 = 1 m
6
Aplicando a propriedade undamental das proporções, temos: m · 1 = 12 · 6. Ou
seja, m = 72.
13
Matemática fnanceira A01
Para calcular o valor de n , basta substituir o valor de m na equação m – n = 12.
Assim: 72 − n = 12 ⇒ −n = 12 − 72 ⇒ −n = −60 ⇒ n = 60. Resposta: Os números procurados são 72 e 60.
Praticando...
2
1. Calcule o valor de x na proporção x = x − 3 . 5 2 2. Reescreva de 4 maneiras dierentes a proporção 2 = 8 . 15 60 3. Determine os valores de x, y e z , sabendo que x + y + z = 80 e x y z = = . 2 4 14 4. Se x – y = 18 e x = 25 , calcule os valores de x e y . y 19
Números proporcionais Quando a variação de uma grandeza provoca uma variação em outra grandeza, dizemos que essas grandezas se relacionam e, de acordo com a relação entre essas grandezas, elas podem ser classifcadas em grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
Os valores numéricos associados a essas grandezas podem ser classifcados como números diretamente ou inversamente proporcionais.
Números diretamente proporcionais Segundo a NR 24, norma do Ministério do Trabalho e Emprego que regula as condições sanitárias e de conorto nos locais de trabalho, cada empresa deve providenciar, por trabalhador, a quantidade de 60 litros de água para o consumo nas instalações sanitárias.
14
Matemática fnanceira A01
Em uma empresa, que obedece a essas normas, oi construída a seguinte tabela: Filial
Filial A
Filial B
Filial C
Filial D
Matriz
Número de uncionários
12
18
20
30
50
Quantidade de água (litros)
720
1080
1200
1800
3000
Note que enquanto uma grandeza aumenta a outra também aumenta e, em cada unidade
da empresa, a razão entre a quantidade de água mínima necessária (litros) e o número
de uncionários é sempre igual a 60. Veja: 720 1080 1200 1800 3000 = = = = = 60. 12 18 20 30 50 Dizemos, então, que as seqüências de números (720, 1080, 1200, 1800, 3000) e (12, 18, 20, 30, 50) são diretamente proporcionais e que o coefciente de proporcionalidade é 60.
Chamando dois valores quaisquer da primeira grandeza de a e a os valores correspondentes na segunda grandeza de b e b , podemos apresentar a proporção: a a ou, alternando os extremos, obtemos: b a = =
b
b
b
a
Ou seja:
Se duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.
As seqüências de números (reais e dierentes de zero) que representam essas grandezas
são ditas diretamente proporcionais.
Exemplo 18 As sequências de números (5, 6, 7) e (25, 30, 35) são diretamente proporcionais? Escrevendo as razões entre os números correspondentes, temos: 5 , 6 25 30 e 7. 35
Todas iguais a 1 , que é o coefciente de proporcionalidade. 5
Podemos afrmar que as seqüências acima são diretamente proporcionais.
15
Matemática fnanceira A01
Exemplo 19 Qual é o coefciente de proporcionalidade entre as sequências diretamente
proporcionais (5, 8, 12) e (40, 64, 96)? Como
5 8 12 1 1 = = = , temos que o coefciente de proporcionalidade é . 40 64 96 8 8
As razões ormadas pelos elementos correspondentes de duas sequências
diretamente proporcionais são todas iguais a um mesmo número e esse número é chamado de coefciente de proporcionalidade.
Números inversamente proporcionais Em um serviço de entregas, um veículo de uma transportadora percorre certa distância
em 6 horas, a uma velocidade média de 40 km/h .
Se sua velocidade média aumentasse para 80 km/h, o tempo que se levaria para percorrer a mesma distância seria reduzido para 3 horas. Ou seja: Velocidade média (km/h )
40
80
aumenta
Tempo de percurso (h )
6
3
diminui
Aumentando em duas vezes a velocidade média, o tempo gasto para azer o mesmo percurso diminui, sendo reduzido à metade. Enquanto uma grandeza aumenta, a outra diminui, ou seja, as grandezas variam em sentido contrário. As grandezas velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.
16
Matemática fnanceira A01
Exemplo 20 As sequências (40, 80) e (6, 3) são inversamente proporcionais. Nesse caso, a primeira sequência é diretamente proporcional aos inversos dos elementos correspondentes na segunda sequência. Ou seja, as sequências
1 1 (40, 80) e ( , ) são diretamente proporcionais. 6 3 Assim: 40 = 80 1 1 6 3 Aplicando a propriedade undamental das proporções, temos: 40 ·
1 1 = 80 · 3 6
A proporção ormada (já simplifcada) é 40 = 80. 3
6
Exemplo 21 Qual o coefciente de proporcionalidade entre as sequências de números inversamente proporcionais (1, 2, 5) e (20, 10, 4)?
Como as seqüências são inversamente proporcionais, temos que: 1 2 5 20 10 4 = = ⇒ 1· = 2· = 5 · = 20 Logo, o coeiciente de 1 20
1 10
1 4
1
1
1
proporcionalidade é 20.
Exemplo 22 Sabendo que as sequências ( m , –4, 1) e (2, n , 4) são inversamente proporcionais, determine os valores de m e n . Considerando as seqüências inversamente proporcionais, temos: m 1 −4 = = . 1 2
1 n
1 4
1
4
A última razão dessa proporção múltipla é 1 = 1 · = 4 , que é também o 1 coefciente de proporcionalidade. 4
17
Matemática fnanceira A01
Igualando cada razão ao coefciente de proporcionalidade, temos: m 2 = 4 ⇒ m · = 4 ⇒ 2m = 4 ⇒ m = 2 1 1 2 n −4 = 4 ⇒ −4 · = 4 ⇒ −4n = 4 , que multiplicado por (–1), é igual a 1 1 n 4n = −4 ⇒ n = −1
Resposta: Os valores procurados são m = 2 e n = –1.
Números ao mesmo tempo diretamente proporcionais a uns e inversamente proporcionais a outros números Considere X uma grandeza proporcional à grandeza A e, ao mesmo tempo, inversamente
proporcional à grandeza C . Se x , a e c são valores correspondentes dessas grandezas, existe uma constante k , dierente de zero, que é o coefciente de proporcionalidade, tal a x 1 = k ⇒ x = ka · ou x = k · que: 1 a·
c
c
c
Então, sendo x 1, a 1, c 1 e x 2, a 2, c 2 valores correspondentes das grandezas X , A e C , temos: x = k · 1
a c
1
ex =k· 2
1
a c
2
2
a c A razão entre esses valores é x = a x k· c k·
1 2
1
1 2
2
a x c = a ⇒ x c
1
1 2
1 2
ou x = a · c 1
1
x
a
2
2
2
c
1
2
Exemplo 23 Calcule o valor de a, b, x e y , sabendo que a sequência (12, 10, 20) é diretamente proporcional a série ( a , b, 5) e inversamente proporcional a (x , 2, y ). Pelas inormações acima, temos que: 12 = 10 = 20 e 12 = 10 = 20 1 1 1 a b 5 x
2
y
18
Matemática fnanceira A01
Desenvolvendo a primeira dessas proporções, temos: 12 = 10 = 20 = 4 = 4 a
b
5
1
12 10 10 5 = 4 ⇒ 4a = 12 ⇒ a = 3 e = 4 ⇒ 4b = 10 ⇒ b = ⇒ b= a b 4 2 12 10 20 Desenvolvendo a segunda proporção , temos: = = 1 1 1 (I) 2 x y 12 10 20 12x 20 20y = = = = ⇒ 1 1 1 1 1 1 x 2 y Assim:
(II)
Igualando duas a duas as razões dessa última proporção, obtemos: 12x 20 20 5 = ⇒ 12x = 20 ⇒ x = ⇒ x= 1 1 12 3 (II) 20 = 20y ⇒ 20y = 20 ⇒ y = 20 ⇒ y = 1 1 1 20 (I)
5 2
Resposta: Os valores procurados são a = 3, b = , x =
Praticando...
5 ey=1 3
3
1. Indique se são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais
as sequências de números: a) (3, 5, 9) e (
1 1 1 , , ) 15 9 5
b) (40, 80, 16) e (2, 1, 5)
2. Determine o valor de m, n, p e r , sabendo que a série de números (9, 15, 27) é diretamente proporcional à série (m, n , 9) e inversamente proporcional à série (3, p, r ).
19
Matemática fnanceira A01
Divisão proporcional e regra de sociedade Agora, vamos pensar um pouco sobre a situação que encontramos no início desta aula?
Exemplo 24 José e Jorge são dois sócios. Eles investiram os capitais de R$ 3.000,00 e R$ 5.000,00, respectivamente, num empreendimento. No dia do balanço anual, após 10 meses de sociedade, ao repartirem o lucro, Jorge obteve R$ 600,00 a mais que o primeiro. De quanto oi o lucro total dessa sociedade
nesse período?”. Investimento (R$)
Lucro (R$)
José
3.000
x
Jorge
5.000
x + 600
A razão entre as quantias investidas deve ser igual à razão en tre os lucros,
3.000 x , ou após a simplifcação da primeira razão, temos = 5.000 x + 600 3 x , onde o produto dos meios é igual a 5·x e o produto dos = 5 x + 600 extremos: 3 · (x + 600) = 3x + 1.800. ou seja,
Aplicando a propriedade undamental das proporções, temos: 5 · x = 3 · (x + 600) ⇒ 5x = 3x + 1.800 ⇒ 5x − 3x = 1.800 ⇒ 2x = 1.800 x = 1.800 ÷ 2 ⇒ x = 900
Para descobrir o valor que cada um dos sócios recebeu, substituímos o valor de x por 900 e encontramos que o lucro de José oi de R$ 900,00 e o lucro de Jorge, R$ 1.500,00.
Essa situação se reere a uma divisão de um número (lucro) em partes diretamente proporcionais a vários outros (ato de criação da sociedade).
Divisão em partes diretamente proporcionais Dividir um número em partes diretamente proporcionais a vários outros é decompor esse número em partes proporcionais a esses números. 20
Matemática fnanceira A01
Vejamos mais um exemplo:
Exemplo 25 Para a realização de um serviço de pintura, oram contratados dois uncionários. Sabendo que um pintor trabalhou 8 horas e outro trabalhou apenas 6 horas, e que, pelo serviço, oram pagos R$ 280,00, calcule o valor que cada um recebeu. Remuneração do primeiro pintor: x Remuneração do segundo pintor: y Soma das partes: x + y = 280 Quando dividimos R$ 280,00 em partes proporcionais ao tempo de trabalho de cada pintor, temos: x = y , que pode ser transormada na proporção: x = 8 . 8
Podemos dizer que:
6
y
6
8+6 280 14 x+y 8+6 280 14 e x + y . = = ⇒ = = ⇒ y 6 y 6 x 8 x 8
Pela propriedade undamental das proporções, temos: 14 · x = 280 · 8 ⇒ 14x = 2.240 ⇒ x = 2.240 ÷ 14 ⇒ x = 160 14 · y = 280 · 6 ⇒ 14y = 1.680 ⇒ y = 1.680 ÷ 14 ⇒ y = 120
Resposta: Um pintor recebeu R$ 160,00 e o outro recebeu R$ 120,00.
Um número também pode ser dividido em partes inversamente proporcionais a vários outros.
Divisão em partes inversamente proporcionais Quando um número é dividido em partes inversamente proporcionais, dizemos que esse número é diretamente proporcional aos inversos dessas partes, como você pode observar no exemplo a seguir:
Exemplo 26 Divida o número 540 em partes inversamente proporcionais 1 , 1 e 1 .
4 6 8 x y z x+y+z Podemos nomear as partes de x , y e z , e afrmar que: = = = . 4 6 8 4+6+8
21
Matemática fnanceira A01
A soma x + y + z = 540 e 4 + 6 + 8 = 18. Assim: x 540 = ⇒ 18 · x = 2.160 ⇒ 18x = 2.160 ⇒ x = 2.160 ÷ 18 ⇒ x = 120 4 18 y 540 = ⇒ 18 · y = 3.240 ⇒ 18y = 3.240 ⇒ y = 3.240 ÷ 18 ⇒ y = 180 6 18 z 540 = ⇒ 18 · z = 4.320 ⇒ 18z = 4.320 ⇒ z = 4.320 ÷ 18 ⇒ z = 240 8 18
Resposta: As partes de 540 que são inversamente proporcionais a 1 , 1 e 4 6 1 são120, 180 e 240. 8
Divisão proporcional composta Um número pode ser dividido ao mesmo tempo em partes diretamente proporcionais a alguns números e em partes inversamente proporcionais a outros.
Exemplo 27 Divida o número 392 em partes diretamente proporcionais a 4, 3 e 2 e, ao 1 1 1 e . 7 5 3
mesmo tempo, em partes inversamente proporcionais a ,
Nesse caso, as partes de 392 (que chamaremos de m, n e p), são diretamente
1
1
1
proporcionais aos produtos 4 · 1 , 3 · 1 , 2 · 1 , ou seja, diretamente 3 7 5 m n p m+n+p 392 proporcionais a 28, 15 e 6. Assim: = = = = = 8. 28 15 6 49 49
Logo: m = 8 ⇒ m = 28 · 8 ⇒ m = 224 28 n = 8 ⇒ n = 15 · 8 ⇒ n = 120 15 p = 8 ⇒ p = 6 · 8 ⇒ p = 48 6
Resposta: Os valores procurados são m = 224, n = 120 e p = 48.
22
Matemática fnanceira A01
Praticando...
4
1. Três amigas compraram, em sociedade, um terreno de R$ 10.000,00. Ana pagou R$ 5.000,00; Paula, R$ 3.000,00, e Renata, R$ 2.000,00. Algum tempo depois, elas venderam o terreno por R$ 30.000,00. Quanto recebeu
cada uma das amigas pela venda do terreno? 2. Três irmãos, de 8, 12 e 28 anos, receberam uma herança para ser dividida
entre eles em partes diretamente proporcionais às suas idades. 3. Uma empresa, em um determinado mês, contratou três uncionários provisórios que oram remunerados com uma verba de R$ 5.200,00,
dividida em partes inversamente proporcionais ao número de altas de cada um. Nesse período, o primeiro uncionário altou 2 dias; o segundo,
3 dias e o terceiro, 4 dias. Ao fnal do mês, quanto recebeu cada um
desses uncionários? 4. Divida 3.500 em partes diretamente proporcionais a 15 , 6, e 4 e, ao 2 mesmo tempo, inversamente proporcionais a 3 , 2 e 2. 2
Uma aplicação da divisão proporcional: a regra de sociedade Regra de sociedade é uma orma de aplicação de divisão proporcional utilizada para a divisão de lucro ou prejuízo entre componentes de uma sociedade. Essa divisão tem como base o capital investido e o período de tempo em que esses capitais oram investidos na sociedade.
São quatro os casos de regra de sociedade. Vejamos as características de cada um deles: 1º. Caso: Capitais iguais e períodos de tempos iguais
Nesse caso, basta dividir igualmente entre os sócios o lucro (ou prejuízo) do período.
23
Matemática fnanceira A01
2º. Caso: Capitais iguais e períodos de tempo dierentes
Como todos os sócios entraram na sociedade com a mesma quantia em dinheiro, basta dividir o lucro (ou prejuízo) em partes diretamente proporcionais ao tempo de sociedade de cada um. 3º. Caso: Capitais dierentes e períodos de tempo iguais
Como todos os sócios têm o mesmo tempo de sociedade, o lucro (ou prejuízo) é dividido em partes diretamente proporcionais ao capital investido
por cada um dos sócios. 4º. Caso: Capitais dierentes e períodos de tempo dierentes
Nesse caso, dividimos o lucro (ou prejuízo) em partes diretamente proporcionais ao produto de cada capital investido pelo respectivo tempo de investimento.
Praticando...
5
1. Três sócios constituíram sociedade e no dia em que iniciaram esse negócio a soma do capital investido oi de R$ 30.000,00. No dia em que apuraram os ganhos dessa sociedade, coube ao primeiro sócio a metade
do que o segundo sócio recebeu, e ao terceiro sócio, o triplo do que recebeu o primeiro. Qual oi o capital inicial de cada um desses sócios? 2. Pedro e Maria montaram uma sorveteria, entrando cada um, na mesma época, com R$ 2.500,00. No dia do balanço anual, oi apurado um lucro de R$ 6.000,00. Quanto deve receber cada um dos sócios? 3. Duas amigas constituíram sociedade com os capitais de R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00. Na divisão dos lucros, a segunda recebeu R$ 7.500,00 a
mais que a primeira. De quanto oi o lucro total dessa sociedade?
Agora, se você já resolveu todas as atividades anteriores e não tem mais dúvida, que tal resolver mais alguns exercícios?
24
Matemática fnanceira A01
1. Estabeleça uma correspondência entre os números que se encontram
em cada item da coluna à esquerda e a razão entre esses números, em cada item da coluna à direita. (a) 12 e 36
( ) 12:9
(b) 60 e 15
( ) 11 para 4
(c) 3 e 2,25
( ) 5 :4
(d) 1,05 e 3,5
( ) 4 para 1
(e) 5
1 e2 2
( )
1 4
1 5
( )
3 10
(f) 4 e 3
s o i c í c r e x E
2. Verifque se a razão 10 é igual à razão 2 . 25 10 3. Calcule a razão entre as seguintes grandezas: a) 15 m e 12 cm b) 20 dam e 3 km c) 1g e 5 kg d) 2 km e 0,5 m 3 4. Calcule o valor de x na proporção
x 2−x . = 5 3
5. Escreva a proporção cujas razões são iguais a 5 para 7 e cujos consequentes sejam 3 e 16.
6. Calcule x e y , sabendo que x + y = 300 e x = 9 . y 11 7. Complete a série B , no quadro abaixo, sabendo que as séries A e B 1 são diretamente proporcionais e o coefciente de proporcionalidade é . 4 A
B
4 6 12
8. Em uma determinada sociedade, quatro sócios investiram R$ 4.200,00, R$ 3.800,00, R$ 9.500,00 e R$7.500,00 . Ao primeiro sócio, no rateio do lucro, coube o valor de R$ 13.000,00. Qual oi o lucro recebido por
cada um dos sócios?
25
Matemática fnanceira A01
Nesta aula, vimos os conceitos de razões e proporções, bem como os seus elementos e propriedades. Também vimos os conceitos de números proporcionais e de divisão proporcional e uma aplicação de divisão proporcional: a regra de sociedade.
Atenção! Se você sentiu difculdade na resolução de alguma atividade ou exercício, releia este ascículo e procure reazer seus cálculos.
1. Escreva o conceito de razão. 2. Dê um exemplo de razão e indique o antecedente e o consequente. 3. Construa uma proporção que tenha coefciente de proporcionalidade 0,5. 4. Como você classifca as grandezas número de dias gastos e o número de operários empregados para a construção de uma casa: diretamente
proporcionais ou inversamente proporcionais? Por quê? 5. Dê um exemplo de duas séries de números diretamente proporcionais
e um exemplo de duas séries de números inversamente proporcionais. 6. Marque V (se verdadeira) ou F (se alsa) cada uma das seguintes
afrmativas: a) ( ) Uma ração é diretamente proporcional a seu numerador. b) ( ) Uma ração é diretamente proporcional a seu denominador. c) ( ) A série (4, 16 e 32) é diretamente proporcional a série (12, 48 e 64). 7. Uma sociedade oi ormada por 3 amigos. Encontre o valor investido por
cada um dos sócios, sabendo que no dia do rateio dos ganhos, o lucro total oi de R$ 50.000,00.
26
Matemática fnanceira A01
Para consulta Razão: Razão entre dois números a e b é o quociente
a de antecedente e b de consequente da razão.
Proporção: Se a, b, c e d ∈ dizemos que ∗
a = 0 . Chamamos ou a : b , onde b b
a c = é uma proporção. b d
Leitura: a está para b assim como c está para d . Termos da proporção: extremos (a e d ) e meios (b e c ). Propriedade undamental: a, b, c e d ∈ e ∗
Proporções múltiplas:
a c a c = ⇒ · bd = · bd ⇒ a · d = b · c . b d b d
a c m (onde a, b, c,..., n ∈ ). = = ... = b d n ∗
Propriedade undamental das proporções múltiplas: a c m a + c + ... + m = = ... = =k ⇒ b d n b + d + ... + n
Outras propriedades das proporções: a+c c I) a + c = a ou = b+d d b+d c
II) a − c = a ou a − c = c b−d b b−d d III) a + b = c + d ou a − b = c − d a c a c IV) a + b = c + d ou a − b = c − d b d b d
Regra de sociedade 1º. Caso - Capitais iguais e períodos de tempos iguais: dividir igualmente entre os sócios
o lucro (ou prejuízo) do período. 2º. Caso - Capitais iguais e períodos de tempo dierentes: dividir o lucro (ou prejuízo) em partes diretamente proporcionais ao tempo de sociedade de cada um. 3º. Caso - Capitais dierentes e períodos de tempo iguais: dividir o lucro (ou prejuízo) em partes diretamente proporcionais ao capital investido por cada sócio.
4º. Caso - Capitais dierentes e períodos de tempo dierentes: dividir o lucro (ou prejuízo) em partes diretamente proporcionais aos produtos (capital investido)x(tempo de investimento) de cada sócio.
27
Matemática fnanceira A01
Referências CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e fnanceira ácil. 11. ed. São Paulo: Saraiva, 1996. MERCHEDE, Alberto. Matemática fnanceira para concursos: mais de 1.500 aplicações.
São Paulo: Atlas, 2003.
Anotações
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Matemática fnanceira A01
CURSO TÉCNICO
02
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Estudando operações sobre mercadorias
Elizabete Alves de Freitas
Governo Federal Ministério da Educação Projeto Gráfco
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS EQUIPE SEDIS
| UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
Coordenadora da Produção dos Materias
Vera Lucia do Amaral Coordenador de Edição
Revisão Tipográfca
Adriana Rodrigues Gomes Margareth Pereira Dias Nouraide Queiroz
Ary Sergio Braga Olinisky Design Instrucional Coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira Design Gráfco
Janio Gustavo Barbosa Jeremias Alves de Araújo Silva José Correia Torres Neto Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
Ivana Lima Revisão de Linguagem Diagramação
Elizabeth da Silva Ferreira Ivana Lima José Antonio Bezerra Junior Mariana Araújo de Brito
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade Revisão das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva Adaptação para o Módulo Matemático
Arte e ilustração
Adauto Harley Carolina Costa Heinkel Huguenin Leonardo dos Santos Feitoza
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
á r e v ê V o c . . . i u q p o r a
...o que é preço de compra e o que é preço de venda de um produto, como resolver
situações com operações sobre mercadorias com lucro (ou prejuízo) sobre o preço de custo e como resolver situações com lucro (ou prejuízo) sobre o preço de venda, além de situações que envolvem o cálculo de descontos ou acréscimos sobre o preço das
mercadorias, inclusive de orma sucessiva. Cada assunto apresentado envolve uma explicação teórica e alguns exemplos,
contemplando também algumas atividades em orma de questões subjetivas. Após todos os conteúdos, segue uma lista de exercícios com questões de múltipla escolha para f xação de conhecimentos, e, no fnal deste material impresso, você
encontrará uma autoavaliação, onde terá oportunidade de avaliar seus conhecimentos sobre os conteúdos apresentados nesta aula.
Objetivo
Saber resolver situações relacionadas a operações com mercadorias que envolvam lucro sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda, prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda, ou ainda, que envolvam
a incidência de descontos sucessivos ou de acréscimos sucessivos.
1
Matemática fnanceira
A02
Para começo de conversa... Pedro tem uma loja de carros. Comprou um automóvel e, com todas as despesas, com pagamento ao antigo proprietário, com documentação e com impostos, gastou R$ 40.000,00, valor que é o preço de custo do carro. Revendeu esse carro no mesmo dia
por um valor 2% maior do que seu preço de custo, ou seja, teve um lucro de 2% sobre o preço de custo do automóvel. Que tal aprender como resolver essa e outras situações que envolvem operações
com mercadorias?
2
Matemática fnanceira
A02
Estudando operações com mercadorias Quando você compra uma mercadoria, paga por ela um determinado preço que é chamado de preço de custo, e quando vende uma mercadoria, estabelece para esse produto um valor correspondente ao produto que é chamado de preço de venda. O preço de custo de uma mercadoria é ormado por todas as despes as que são geradas pela aquisição de matéria prima, pela abricação (inclusive com custos das instalações),
pela estocagem, pelo transporte e pela manutenção desse produto.
Custos de produção + estocagem
+
Custo de manutenção + impostos
+
Custo de transporte
=
Preço de custo
O preço de venda é o valor cobrado ao consumidor e que deve cobrir o custo direto da mercadoria/produto/serviço, as despesas variáveis, como impostos, comissões, etc., as despesas fxas proporcionais, ou seja, aluguel, água, luz, teleone, salários e outros custos. Esse preço de custo deve ainda prever algum lucro.
CUSTOS DIRETOS
DESPESAS VARIÁVEIS (comissões + impostos + ...)
+
+
DESPESAS FIXAS PROPORCIONAIS
=
PREÇO DE VENDA
A compra ou venda de uma mercadoria pode ser eetuada com lucro ou com prejuízo.
Quando o preço de venda é maior que o preço de custo, dizemos que a venda oi eetuada com lucro.
Preço de custo
<
Preço de venda
⇒
V−C=L
3
Matemática fnanceira
A02
Quando o preço de venda é menor que o preço de custo, dizemos que houve prejuízo na operação de venda. Preço de custo
>
Preço de venda
C−V=P
⇒
A esse lucro (ou prejuízo podemos associar uma taxa, que aqui representaremos por i, que pode ser calculada utilizando como reerência o preço de custo ou o preço de venda.
iC x = 100 C
⇒
iC = x% de C ou
iL y = 100 L
⇒
iL = y % de L
Observe que essa taxa pode ser apresentada na orma percentual ou unitária.
Exemplo 1 A taxa i = 10% (escrita na orma percentual) também pode ser apresentada como i = 0,10 (quando escrita na orma unitária).
A taxa i = 3% (escrita na orma percentual) também pode ser apresentada como i = 0,03 (quando escrita na orma unitária). A taxa de 1,5% (escrita na orma percentual) também pode ser apresentada como i = 0,015 (quando escrita na orma unitária).
As situações envolvendo operações com mercadorias que iremos tratar em nossa aula
são as seguintes: 1º. Caso: vendas com lucro sobre o preço de custo; 2º. Caso: vendas com lucro sobre o preço de venda; 3º. Caso: vendas com prejuízo sobre o preço de custo; 4º. Caso: vendas com prejuízo sobre o preço de venda; 5º. Caso: operações com descontos sucessivos e 6º. Caso: operações com acréscimos sucessivos
4
Matemática fnanceira
A02
Para simplifcar a escrita de algumas situações, em nossa aula, vamos representar algumas palavras por uma de suas letras iniciais. O preço de custo será representado por C . O preço de venda será representado por V . O valor do lucro será representado por L. O valor do prejuízo será representado por P .
Vejamos, então, cada um dos casos citados anteriormente:
1º. Caso: Vendas com lucro sobre o preço de custo Quando um comerciante eetua uma venda com lucro sobre o preço de custo, signifca que o preço de venda é superior ao preço de custo e que esse lucro oi comparado com
o preço de custo da mercadoria.
Lembre-se: Na venda de um produto, temos lucro quando o preço de venda é maior que o preço de custo.
Exemplo 2 O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 10,00. Para ser vendida com um lucro de 25% sobre o preço de custo, qual será seu preço de venda? Utilizando as inormações que a questão nos apresenta, temos: = 10, 00 ⇒
e
L = 25% de C ⇒ L = 0, 25 · C
L = 0, 25 · R$ 10 , 00
V = C + L
⇒
⇒
L = R$ 2 , 50
V = 10, 00 + 2, 50
⇒
V = R$ 12 , 50
Ou, resolvendo de uma segunda maneira, podemos escrever: V = C + L
⇒
V = C + 0, 25 · C ⇒ V = (1 + 0 , 25) · C ⇒ V = 1, 25 · C
(eq.1)
Para calcular o valor de V, podemos substituir o valor de C na eq.1 e obtemos:
V = 1, 25 · 10, 00
⇒
V = R$ 12 , 50
Por qualquer uma das ormas de resolução, o resultado encontrado para o valor de venda da mercadoria é de R$ 12,50.
5
Matemática fnanceira
A02
Que tal mais um exemplo?
Exemplo 3 Um comerciante vendeu uma mercadoria por R$ 560,00 para obter um lucro
de 12% sobre o preço de custo. Descubra qual oi o preço de custo dessa mercadoria. Sabemos que: e
L = 12% de C ⇒ L = 0, 12 · C
C + L = 560 ⇒ C + 0, 12 · C = 560 ⇒ C · (1 + 0, 12) = 560 ⇒
C · (1, 12) = 560
⇒
C =
560 1, 12
⇒
C = 500
O preço de custo da mercadoria é igual a R$ 500,00.
Vejamos mais um exemplo:
Exemplo 4 Cada unidade de um determinado produto custou R$ 30,00. Querendo obter um lucro de 20% sobre esse preço de custo, qual deverá ser o preço de
venda, por unidade? C = R$ 30 , 00 e L = 20% de C ⇒ L = 0, 20 · (R$ 30 , 00) ⇒ L = R$ 6 , 00
Lembrando, também, que: V – C = L. Assim: V − 30 = 6 ⇒ V = 6 + 30 = 36 . O preço de venda, por unidade, desse produto é de R$ 36,00.
De uma orma geral, podemos escrever: V = C + L (eq.2) e L = i · C (eq.3),
sendo i a taxa de lucro sobre o preço de custo. Quando substituímos o valor de L da eq.3 na eq.2, temos: V = C + i · C ⇒ V = (1 + i) · C
6
Matemática fnanceira
A02
V = (1+i ) · C é a órmula que relaciona o preço de venda e o preço de custo,
em uma venda com lucro sobre o preço de custo.
Praticando...
1
1. Um comerciante comprou um objeto de R$ 250,00. Desejando ganhar 14% sobre o preço de custo, qual deve ser o preço de venda? 2. Um aparelho de som oi vendido por R$ 480,00. Qual o lucro obtido, sabendo que o mesmo oi calculado como 20% sobre o preço de custo?
2º. Caso: Vendas com lucro sobre s obre o preço de venda Quando afrmamos afr mamos que um objeto oi vendido ven dido com lucro sobre o preço de d e venda, signifca
dizer que o percentual de lucro oi calculado tomando-se como reerência o preço de
venda, ou seja, tomando o preço de venda como 100%.
Exemplo 5 Ruth comprou uma blusa por R$ 40,00 e resolveu vendê-la com um lucro
de 20% sobre o preço de venda. Qual deve ser o preço dessa mercadoria? Sabemos que: V = 40 + L (eq.4) e L = 20% de V ⇒ L = 0, 20 V (eq.5) Substituindo a eq.5 na eq.4, temos: V − 0, 20 V = 40 ⇒ (1 − 0, 20) · V = 40 ⇒
0, 80 · V = 40 ⇒ V = 40 ÷ 0, 80 ⇒ V = 50 .
O preço de venda dessa mercadoria deve ser igual a R$ 50,00.
7
Matemática fnanceira
A02
Observe mais um exemplo:
Exemplo 6 Uma roupa oi vendida, com um lucro de 15% sobre o preço de venda, por R$ 120,00. Qual oi o preço de custo dessa mercadoria? Temos que V = C + L, ou seja, C = V – L (eq.6), onde L = 0,15 · V (eq.7). Assim, quando substituímos a eq.7 na eq.6, temos: C = V − 0, 15 · V ⇒ C = (1 − 0, 15) · V ⇒ C = 0, 85 · V
Substituindo V por R$ 120,00, temos: C = 0, 85 · 120 ⇒ C = 102
O preço de custo dessa roupa oi de R$ 102,00.
De uma orma geral: C = V − L ⇒
e
L = i · V ⇒ C = V − i · V ⇒ C = (1 − i) · V
(1 − i) · V = C ⇒ V =
C
1−i
.
V = C ÷ (1 – i ) é a órmula que relaciona o preço de venda com o preço de custo, quando quando ocorre uma operação de venda com lucro sobre o preço de venda.
Praticando...
2
1. Um produto oi vendido com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Se esse produto oi vendido por R$ 60,00, qual o valor de seu preço de
custo desse produto? 2. Um eletrodoméstico que custou R$ 450,00 oi vendido com um lucro de 10% sobre o preço de venda. De quanto oi o lucro?
8
Matemáticaa fnanceira Matemátic
A02
3º. Caso: Vendas com prejuízo sobre o preço de custo Quando dizemos que uma mercadoria oi vendida com prejuízo sobre o preço de custo, signifca que o preço de venda dessa mercadoria oi menor que o preço de custo, e esse
prejuízo oi comparado ao preço de custo dessa mercadoria.
Lembre-se: Na venda de um produto, produ to, temos prejuízo quando o preço de venda é menor que o preço de custo.
Exemplo 7 Um comerciante vendeu um produto com um prejuízo de 5% sobre o preço de custo. Qual oi o preço preç o de venda dessa mercadoria, mercador ia, se o preço de custo
oi de R$ 40,00? Nesse caso, temos: P = C − V ⇒ V = C − P (eq.8) e P = 5% de C ⇒ P =
5 · C (eq.9). 100
Substituindo o valor de P da eq.9 na eq.8, temos: temos: V = C −
⇒
V =
5 5 100 − 5 ) · C ⇒ V = · C ⇒ V = (1 − · C 100 100 100
95 · C ⇒ V = 0, 95 · C 100
Substituindo o valor de C por R$ 40,00, temos: V = 0, 95 · 40 ⇒ V = 38
A mercadoria oi vendida por R$ 38,00.
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A02
Vejamos mais um exemplo:
Exemplo 8 Um celular oi vendido com um prejuízo de 30% sobre o preço de custo. Se esse produto oi adquirido pelo preço de R$ 300,00, por qual preço oi vendido?
Temos que: (eq.10) e P = 30% de C ⇒ P = 0, 3 · C (eq.11) Substituindo o valor de P da eq.11 na eq.10, temos: V = C − P
V = C − 0, 3 · C ⇒ V = (1
−
0, 3) · C ⇒ V = 0 , 7 · C
Substituindo C por R$ 300,00, temos: V = 0, 7 · 300 ⇒ V = 210
O celular oi vendido por R$ 210,00.
De uma orma geral, podemos escrever: V = C − P e P = i · C , o que nos garante que V = C − i · C ⇒ V = (1 − i) · C , sendo i a taxa de prejuízo
sobre o preço de custo. V = (1 − i) · C é a órmula que relaciona o preço de venda com o preço de
custo em uma venda com prejuízo sobre o preço de custo.
Praticando...
3
1. Um equipamento oi vendido por R$ 22.000,00, com prejuízo sobre o preço
de custo. Determine o preço de custo. 2. Determine o preço de custo de um imóvel que oi vendido por R$ 120.000,00 dando ao proprietário inicial um prejuízo de 10% sobre o preço de custo.
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A02
4º. Caso: Vendas com prejuízo sobre o preço de venda Quando vimos que a inormação de uma venda oi realizada com prejuízo sobre o preço
de venda, signifca dizer que estamos comparando o prejuízo com o preço de venda da mercadoria, em operação comercial que oi realizada por um preço não satisa tório para
o vendedor. Vejamos o exemplo a seguir:
Exemplo 9 Se certo objeto or vendido por R$ 30,00, haverá um prejuízo de 15% sobre o preço de venda. Quanto custou esse objeto? Temos que: V = C − P (eq.12) e P = 0, 15 · V . (eq.13). Assim, quando substituímos a eq.13 na eq.12, temos: C = V + P ⇒ C = V + 0, 15 · V ⇒ C = (1 + 0, 15) · V ⇒ C = 1, 15 · V
Substituindo V por R$ 30,00, temos: C = 1, 15 · 30 ⇒ C = 34, 50 O preço de custo do objeto oi de R$ 34,50.
Que tal mais um exemplo?
Exemplo 10 Uma casa que custa R$ 60.000,00 oi vendida com um prejuízo de 5% sobre
o preço de venda. Qual é o preço de venda do imóvel? Como houve prejuízo, temos P = C – V , ou seja, V = C – P (eq.14). Sabemos que C = 60.000 e P = 0,15 ·V . Substituindo essas expressões na
eq.19, temos: V = 60.000 − 0, 15 · V ⇒ V + 0, 15 · V = 60.000 ⇒
V · (1 + 0, 15) = 60.000 ⇒ 1, 15 · V = 60.000 ⇒ V = (60.000) ÷ (1, 15)
⇒
V ∼ = 52.173, 91.
O preço de venda da casa oi de, aproximadamente, R$ 52.173,91.
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Matemática fnanceira
A02
De uma orma geral, P = C – V e como P = i · V , temos que i · V = C − V ⇒ V + i · V = C ⇒ V · (1 + i) = C ⇒ C = (1 + i) · V é
a órmula para preço de custo em uma venda com prejuízo sobre o preço de venda e onde i é a taxa de prejuízo sobre o preço de venda.
4
Praticando...
1. Calcule o preço de venda de uma mercadoria que custou R$ 50,00 e oi revendida com um prejuízo de 5% sobre o preço de venda. 2. Ao revender uma camiseta por R$ 27,00, Maria teve um prejuízo de 10%
sobre o preço de venda. Qual oi o preço de custo dessa camiseta?
5º. Caso: Operações com descontos sucessivos Quando um produto sore um desconto após o outro, temos uma operação comercial com descontos (ou abatimentos) sucessivos. O valor fnal desse produto será obtido
pelo produto de seu valor inicial pelos atores de desconto. O cálculo do preço B após o desconto sobre o preço A pode ser eito da seguinte orma: B = A − iA · A ⇒ B = A · (1 − iA )
(eq.15).
O cálculo do preço C , após o segundo desconto incidir sobre o preço B , será C = B − iB · B
⇒
C = B · (1 − iB )
(eq.16).
Substituindo o valor de B , da eq.15 na eq.16, temos: C = A · (1 − iA ) · (1 − iB ) , que é o preço do produto após dois descontos consecutivos.
Que tal vermos um exemplo?
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Matemática fnanceira
A02
Exemplo 11 Um produto recebeu um desconto de 10% e logo em seguida um desconto de 5%. De quanto oi o desconto total sobre o produto? Já vimos que o preço de um produto após dois descontos sucessivos pode ser representado pela expressão: C = A · (1 − iA ) · (1 − iB ), sendo iA e iB
as taxas correspondentes aos reeridos descontos. Substituindo i = 10% = 0, 10 e i = 5% = 0, 05 na expressão do valor de C , temos: A
B
C = A · (1 − 0, 10) · (1 − 0, 05) ⇒ C = A · (0, 90) · (0, 95) ⇒ C = A · 0, 855 Como 0, 855 = 1 − 0, 145 , temos C = A(1 − 0, 145) iC = 14, 5%
⇒
iC = 0, 145
ou
.
O desconto real após os dois descontos sucessivos oi de 14,5%.
E se tivermos mais descontos sucessivos? Vejamos mais um exemplo.
Exemplo 12 Uma mercadoria teve descontos sucessivos de 3%, 2% e 8%. Sabendo-se que
seu preço inicial era de R$ 42,00, qual o preço fnal após os três descontos? Utilizando um raciocínio semelhante ao do exemplo anterior, podemos representar o preço inal da mercadoria pela expressão a seguir: D = A · (1 − iA ) · (1 − iB ) · (1 − iC ) D = 42 · (1 − 0, 03) · (1 − 0, 02) · (1 − 0, 08) D = 42 · (0, 97) · (0, 98) · (0, 92) D = 42 · 0, 874552 D = 36, 731184 ⇒ D ∼ = 36, 73
O preço fnal oi de, aproximadamente, R$ 36,73.
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A02
De uma orma geral, podemos escrever a expressão do preço fnal após n descontos através da seguinte expressão: P f = P i · (1 − i1 ) · (1 − i2 ) · (1 − i3 ) · (1 − i4 ) · . . . · (1 − in ), sendo P f e P i os
valores do preço fnal e do preço inicial de um produto.
5
Praticando...
1. Ana Maria pretende vender seu carro pelo valor de mercado que era R$ 20.000,00, porém o valor do automóvel soreu três desvalorizações consecutivas de 3%, 5% e de 6,5%. Qual é o valor de mercado desse
veículo após essas desvalorizações? 2. Bernardo comprou um imóvel por R$ 80.000,00 para revender, mas o valor do imóvel teve decréscimos de 3%, 4%, 5% e 2%, consecutivamente.
Após essas desvalorizações, qual é o valor do imóvel? 3. Uma atura de R$ 6.000,00 sore dois abatimentos sucessivos de 5% e 4%. Qual o valor líquido a pagar?
6º. Caso: Acréscimos sucessivos Quando um produto sore um acréscimo após o outro, temos uma operação comercial com acréscimos sucessivos. O valor fnal desse produto será obtido pelo produto de
seu valor inicial pelos atores de acréscimo. O cálculo do preço B após o acréscimo sobre o preço A pode ser eito da seguinte orma:
B = A + iA · A ⇒ B = A · (1 + iA )
(eq.16).
O cálculo do preço C , após o segundo acréscimo incidir sobre o preço B , será C = B + iB · B ⇒ C = B · (1 + iB ) (eq.17).
Substituindo o valor de B , da eq.16 na eq.17, temos: C = A · (1 + iA ) · (1 + iB ), que é o preço do produto após dois acréscimos consecutivos.
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Exemplo 13 Uma duplicata no valor de R$ 5.000,00 oi paga após o vencimento e, por
isso, sobre seu valor inicial incidiram acréscimos sucessivos de 2% e 3%. Quanto oi pago pela duplicata no ato de sua liquidação? Como os acréscimos oram sucessivos, para o cálculo do valor inal utilizaremos a expressão C = A · (1 + iA ) · (1 + iB ), na qual substituiremos
os valores conhecidos. C = 5.000 · (1 + 0, 02) · (1 + 0, 03) ⇒ C = 5.000 · (1, 02) · (1, 03) ⇒
C = 5.000 · (1, 0506) ⇒ C = 5.253, 00
O valor pago pela duplicata oi de R$ 5.253,00
Que tal mais um exemplo?
Exemplo 14 Um produto que custava R$ 4,00 soreu acréscimos sucessivos de 1%, 2% e 1,5%. Qual é o valor fnal desse produto? Utilizando a expressão D = A · (1 + iA ) · (1 + iB ) · (1 + iC ) para o cálculo do
preço fnal do produto e substituindo os valores conhecidos, temos: D = 4 · (1 + 0, 01) · (1 + 0, 02) · (1 + 0, 015) ⇒ D = 4 · (1, 045653) ⇒ D ∼ = 4, 18
O preço fnal do produto é, aproximadamente, de R$ 4,18.
De uma orma geral, podemos escrever a expressão do preço fnal após n acréscimos através da seguinte expressão: P f = P i · (1 + i1 ) · (1 + i2 ) · (1 + i3 ) · (1 + i4 ) · . . .
·
(1 + in ), onde P f e P i
são os valores do preço fnal e do preço inicial de um produto.
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Praticando...
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1. No ato da liquidação, uma atura de R$ 1.500,00 sore acréscimos sucessivos de 2%, 3% e 5%, por motivo de atraso em seu pagamento.
Quanto oi pago para liquidar a dívida representada por essa atura?
2. O preço de uma mercadoria soreu acréscimos sucessivos de 12% e 5%. Qual oi o preço fnal do produto se seu preço inicial era de R$ 50,00?
Se você já resolveu todas as atividades e não tem mais nenhuma dúvida, que tal resolver a lista de exercícios a seguir? 1 ._ _ _ 2 ._ _ _
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1. Um comerciante comprou um objeto por R$ 48,00. Para incentivar suas vendas, anunciou um preço para esse produto com um prejuízo de 2% sobre o preço de venda. O preço de venda desse produto nessa
promoção oi de a) R$ 54,60. b) R$ 57,60. c) R$ 58,60. d) R$ 64,60.
s o i c í c r e x E
2. Renata comprou um objeto por R$ 52,00. Para obter um lucro de 20%
sobre o preço de venda, deve vendê-lo por a) R$ 62,00. b) R$ 63,50. c) R$ 65,00. d) R$ 68,00.
3. Marina comprou um relógio por R$ 125,00, mas logo depois decidiu vendê-lo. Com um prejuízo de 8% sobre o preço de venda, o preço que
conseguiu receber pelo relógio oi, aproximadamente, de a) R$ 105,68. b) R$ 110,02. c) R$ 115,74. d) R$ 120,03.
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4. Pedro comprou uma TV por R$ 650,00. Para obter um lucro de 30% sobre
o preço de custo, deverá revender esse produto por a) R$ 652,50. b) R$ 654,00. c) R$ 664,50. d) R$ 669,50.
5. Após dois descontos sucessivos de 10% e de 8%, uma atura de R$ 8.000,00 tem o valor líquido a pagar de a) R$ 6.624,00. b) R$ 6.642,00. c) R$ 6.264,00. d) R$ 6.462,00.
6. Por causa do atraso em seu pagamento, uma atura de R$ 5.000,00 sore dois aumentos sucessivos de 10% e 15%. O valor fnal dessa atura é de
a) R$ 6.325,00. b) R$ 6.352,00. c) R$ 6.235,00. d) R$ 6.523,00.
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Nesta aula, você aprendeu o que é preço de venda e o que é preço de cus to
de um produto e como cada um dos seguintes valores: o lucro ou prejuízo sobre o preço de venda, o lucro ou prejuízo sobre o preço de compra; e o preço de venda (ou de custo) dado o percentual de lucro (ou prejuízo) sobre
o preço de venda (ou de custo).
Agora, se você já não tem mais nenhuma dúvida e se já resolveu todas as atividades e exercícios de nossa aula, resolva as questões a seguir.
1. Carol comprou um brinquedo por R$ 80,00 e o revendeu por R$ 104,00.
Qual a taxa de lucro: a) sobre o preço de custo? b) sobre o preço de venda? 2. Anderson vendeu um objeto com um prejuízo de 12% sobre o preço de venda. Sabendo que o objeto lhe custou R$ 558,00, qual oi o valor
apurado em sua venda? 3. Caio vendeu um objeto com 15% de prejuízo e outro objeto com 35% de lucro, ambos sobre o preço de custo. Por quanto vendeu cada um deles,
se cada objeto custou R$ 748,00? 4. Gabriela Pessoa empregou seu capital, sucessivamente, em quatro empresas. Na primeira, lucrou 100% e em cada uma das demais perdeu 15%. Ao fnal das operações, houve lucro ou prejuízo? De quanto?
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Para consulta
Lucro (L) existe em uma venda na qual o preço de venda (V ) é maior que o preço de custo (C ). L = V – C Prejuízo (P ) existe em uma venda na qual o preço de venda (V ) é menor que o preço de custo (C ). P = C – V Sobre C
L = V − C ; L = i · C ; V = 1 + i
Sobre V
L = V − C ; L = i · V ; V =
Sobre C
P = C − V ; P = i · C ; V = (1 − i) · C
Sobre V
P = C − V ; P = i · V ; V =
Com lucro
·
C
C
1−i
Vendas
Com prejuízo
C
1+i
Descontos sucessivos: P f = P i · (1 − i1 ) · (1 − i2 ) · (1 − i3 ) · (1 − i4 ) · . . .
·
(1 − in ) , sendo P f e P i os valores
·
(1 + in ) , sendo P f e P i os valores
do preço fnal e do preço inicial de um produto. Acréscimos sucessivos: P f = P i · (1 + i1 ) · (1 + i2 ) · (1 + i3 ) · (1 + i4 ) · . . .
do preço fnal e do preço inicial de um produto.
Reerências ASSAF NETO, Alexandre. Matemática fnanceira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2002. CÁLCULO do preço de custo e preço de venda. Disponível em:
. Acesso em: 23 set. 2008. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e fnanceira ácil. 11. ed. São Paulo:
Saraiva, 1996. MERCHEDE, Alberto. Matemática fnanceira para concursos: mais de 1.500 aplicações.
São Paulo: Atlas, 2003. SEBRAE/SP. O que é preço de venda?. Disponível em:
fnan%C3%A7as/analplanej/precovenda.aspx>. Acesso em: 23 set. 2008. 20
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CURSO TÉCNICO
03
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Moeda, correção monetária e operações cambiais
Elizabete Alves de Freitas
Governo Federal Ministério da Educação Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS EQUIPE SEDIS
| UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
Coordenadora da Produção dos Materias
Vera Lucia do Amaral Coordenador de Edição
Revisão Tipográfica
Adriana Rodrigues Gomes Margareth Pereira Dias Nouraide Queiroz
Ary Sergio Braga Olinisky Design Instrucional Coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira Design Gráfico
Janio Gustavo Barbosa Jeremias Alves de Araújo Silva José Correia Torres Neto Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
Ivana Lima Revisão de Linguagem Diagramação
Elizabeth da Silva Ferreira Ivana Lima José Antonio Bezerra Junior Mariana Araújo de Brito
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade Revisão das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva Adaptação para o Módulo Matemático
Arte e ilustração
Adauto Harley Carolina Costa Heinkel Huguenin Leonardo dos Santos Feitoza
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
á r e v ê V o c .. . i u q a p o r
... um estudo sobre o que é moeda, inação, deação e correção monetária. Verá também algumas defnições de câmbio, taxas de câmbio e como realizar conversões monetárias e operações cambiais. Você encontrará duas atividades com questões subjetivas, no corpo desta aula, para que pratique o conteúdo recém-estudado e também uma lista de exercícios com questões objetivas com todo o conteúdo abordado neste material para reorçar sua aprendizagem. Ao inal da aula, você pode resolver uma autoavaliação, na qual será possível determinar se é necessário ou não reler esse material e, se achar conveniente, reaça algumas questões.
A seção Para consulta apresenta de orma simplifcada todo o conteúdo apresentado na aula e pode servir de apoio para a resolução das questões.
Saber descrever o signifcado de moeda
Saber defnir o que é câmbio e saber resolver situações que envolvam a conversão de moedas de dierentes países.
Objetivos
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Para começo de conversa... Antigamente, nas primeiras atividades comerciais, não havia moeda. O tipo de atividade comercial utilizada era o escambo, uma simples troca de mercadoria por mercadoria ou de serviço por mercadoria, que originou todas as atividades comerciais que conhecemos hoje. Nesse tipo de atividade comercial, o escambo, o valor da mercadoria dependia apenas da quantidade de tempo ou do trabalho humano que oi necessário para produzi-la. Assim, quem tivesse plantado e colhido mais milho do que osse precisar para si e seu grupo, trocava este excesso com o de outra pessoa que, por exemplo, tivesse caçado mais do que o necessário para si e para os seus.
Essa orma primitiva de comércio oi dominante no início da civilização humana e pode ser encontrada, atualmente, porém, ainda traz certas difculdades, por não haver uma medida padrão entre os elementos a serem trocados. Com a evolução das negociações comerciais, algumas mercadorias passaram a ser mais procuradas do que outras e assumiram a unção de moeda, circulando como elemento padrão trocado por outros produtos e ser vindo para avaliar-lhes o valor. Eram as moedas–mercadorias. O gado, principalmente o bovino, e o sal oram muito utilizados
como moeda–mercadoria, porém havia ainda alguns inconvenientes. 2
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O gado e o sal oram tão marcantes como moedas–mercadorias que se azem presentes até em nosso vocabulário, pois, até hoje, em palavras como pecúnia (dinheiro) e pecúlio (dinheiro acumulado), que derivam do latim pecus (gado); capital (patrimônio), que vem do latim capita (cabeça), e salário (remuneração, geralmente eetuada em dinheiro, realizada pelo empregador por serviço desenvolvido por seu empregado).
Com o passar do tempo, as moedas–mercadorias se tornaram inconvenientes para as transações comerciais, pois havia instabilidade de valor, a dif culdade de racionamento e a perecibilidade, que impedia o acúmulo de patrimônio. Quando o homem descobriu o metal, logo passou a utilizá-lo para abricar seus utensílios e armas anteriormente eitos de pedra e, por apresentar diversas vantagens em relação a outros materiais, esse (o metal) passou a ser utilizado como principal padrão de valor e meio de troca.
Inicialmente, o metal era trocado em seu estado natural, em barras ou sob a orma de objetos. Quando comercializado já manuaturado, exigia aerição de peso e avaliação de seu grau de pureza a cada troca. Depois, ganhou peso determinado e orma defnida
(geralmente em discos circulares), recebendo uma marca com seu valor e também do responsável por sua emissão. Essa medida veio acilitar as negociações, dispensando as constantes pesagens e permitindo uma rápida inormação da quantidade de metal disponível para a troca. Com a evolução do dinheiro, veio a necessidade da criação de estabelecimentos responsáveis pelo depósito e guarda desses bens, que são os bancos. Com os bancos surgiu uma nova atividade fnanceira em que o próprio dinheiro é uma mercadoria.
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Inflação, deflação e correções monetárias O termo inflação signifca queda do poder de compra do dinheiro, ou mesmo o aumento contínuo e generalizado no valor dos preços. In ação zero, ou muito baixa, é uma situação chamada de estabilidade de preços. A palavra inação também é utilizada para signifcar um aumento da oerta de dinheiro, o que pode ser visto como uma das causas de aumento de preços. Externamente, a inação signifca uma desvalorização da moeda local rente a outras e, internamente, ela se caracteriza mais pelo aumento do volume de dinheiro e aumento dos preços. Dois tipos de inação podem ser destacados: a inação de demanda e a inação de custos. A inação de demanda é quando há excesso de procura em relação à produção disponível. Para esse tipo de inação ser combatido, é necessário que a política econômica se baseie em instrumentos que provoquem a redução da demanda agregada. A in ação de custos está associada ao aumento de demanda. O nível da procura permanece e os custos aumentam. Com o aumento dos custos, ocorre uma redução da produção azendo com que os preços de mercado aumentem. As causas mais comuns da inação de custos são os aumentos salariais, o aumento do custo de matéria-prima e a estrutura de mercado (aumento de lucros acima da elevação dos custos de produção por algumas empresas). A inação pode ser medida através de vários índices, entre eles temos o Custo Unitário Básico (CUB), o Índice Geral de Preços (IGP), o Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC), o Índice Nacional do Custo da Construção (INCC), o Índice de Preços no Atacado (IPA) e o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA).
Inação é o oposto de deflação. Deflação caracteriza-se pela redução do nível geral de preços de um país. Pode ser
caracterizada também pela baixa de preços de alguns produtos no mercado de orma não generalizada e não contínua ou quando a moeda em circulação ganha valor relativamente às mercadorias, serviços e moedas estrangeiras. A deação pode ser gerada pela baixa procura de determinados produtos ou serviços ou pela maior oer ta x menor procura e pelo volume de moeda em circulação. Em resumo, a deação é um crescimento negativo dos preços médios.
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Não se deve conundir deflação com desinflação. Desinação = redução do ritmo de alta de preços num processo inacionário. Quando a inação cai de 3% para 2% ao mês, o que ocorre é a desin ação.
Deação = queda dos preços médios. A taxa de inação torna-se negativa. Não é um enômeno avorável, principalmente quando a deação é provocada pelo excesso da capacidade de produção. Quando a taxa de in ação é negativa, o que ocorre é a deação.
Em um processo de deação, os preços acabam caindo sempre que sobram mercadorias por alta de consumidores. E isso causa um eeito dominó: As empresas não conseguem vender como antes, mesmo reduzindo preços, o que reduz o aturamento e o lucro. Para diminuir o prejuízo, elas diminuem o ritmo da produção e a demitem uncionários. Com o desemprego, o consumo cai. Consequentemente, cresce a oerta de serviços e os estoques aumentam.
O processo de deação ainda pode ser agravado, podendo aetar todos os setores da economia.
Exemplo 1 Mesmo reduzindo seus preços, as vendas caem na ábrica de automóveis. Com a redução nas vendas, a ábrica não consegue manter a capacidade de remunerar todos os seus empregados e demite para reduzir o número
de trabalhadores. Sem receber, o trabalhador deixa de trocar algum eletrodoméstico por um
modelo mais novo. Cai a venda de eletroeletrônicos. Para tentar recuperar as vendas, as lojas baixam os preços e, consequentemente, cai a comissão dos vendedores,
que deixam de requentar os restaurantes. Na tentativa de atrair novos clientes, o dono do restaurante az várias promoções, sucessivamente. Porém, seu rendimento fca cada vez mais reduzido e ele tem que adiar a troca de carro.
Para compensar a perda do poder aquisitivo, após um período de inação, se eetua a correção monetária, que é o reajuste periódico de certos preços na economia pelo valor da inação passada.
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Estudando moeda,
câmbio e conversões monetárias Moeda é o
elemento através do qual são eetuados os acordos monetários. Vale aqui destacar que existem dierentes defnições de “moeda”. Em geral, a moeda é emitida e controlada pelo governo do país que o emite, único responsável que pode fxar e controlar seu valor. Hoje em dia, as moedas são mais utilizadas para o pagamento de quantidades de menor valor. O rápido processo de circulação de valores e o grau cada vez maior de complexidade das economias f zeram surgir outras ormas de pagamento, como o cheque e o cartão de crédito, por exemplo.
A palavra moeda tem uma defnição mais abrangente do que o simples objeto de valor padronizado de material metálico, já que envolve mais que apenas o dinheiro (em papel ou metal), mas também o valor depositado em instituições bancárias e as operações que podem ser eitas a partir daí. A moeda é hoje parte integrante da sociedade, controla, interage e participa dela, independentemente da cultura. Sejam quais orem os meios de troca, sempre se tenta basear em um valor qualquer para avaliar outro.
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A operação de troca entre moedas de dierentes países é chamada de Câmbio. No Brasil, os valores em dinheiro são escritos separando-se a parte inteira da parte decimal com o uso da vírgula, porém algumas moedas estrangeiras utilizam um ponto para isso. Para não criar conusão para você, escreveremos todas as moedas
estrangeiras com o mesmo critério adotado para a representação de valores em reais.
Exemplo 2 Digamos que você esteja de viagem para o Canadá e precise comprar dólares canadenses. Para isso, deve levar uma quantia em reais e comprar uma quantia da moeda válida no Canadá em uma instituição autorizada para realizar essa operação.
Para viajar para outro país, uma pessoa deve ter moedas que sejam válidas no país estrangeiro. Uma das coisas que deve providenciar é se dirigir a uma instituição
autorizada e comprar uma quantia na moeda do país de destino. Para que essa troca (ou compra) seja eita, é necessário se ter primeiramente uma inormação: qual é o
tipo de câmbio praticado. Existem vários tipos de câmbio, mas apenas dois são os mais praticados, que são o câmbio fixo e
o câmbio flutuante.
No câmbio fxo, o Banco Central tem a unção de comprar ou vender moeda estrangeira, em geral o dólar, para manter essa moeda a um valor fxo em moeda nacional. No Brasil, até 1999, era praticado o câmbio fxo, ou seja, US$ 1 era equivalente a R$ 1. Hoje, estamos em um regime de câmbio utuante.
Exemplo 3 No câmbio fxo, uma pessoa que quisesse adquirir cinco mil dólares gastaria para isso R$ 5.000,00.
No câmbio utuante, a razão de equivalência entre moedas de dierentes nações se altera de acordo com a oerta e procura do mercado. Para eetuar a troca entre dierentes moedas, deve-se saber a taxa de equivalência entre essas moedas, que é chamada de taxa de câmbio.
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Exemplo 4 Observe o quadro a seguir que apresenta algumas cotações de moedas estrangeiras, em 26 de setembro de 2008*. Moeda
Símbolo
Valor (em R$)
Dólar americano
US$
1,8547
Euro
€
2,70953
Franco suíço
Sw.Fr.
1,70125
Iene japonês
¥
0,017468
(*) Cotações obtidas através da conversão de moedas. Fonte:
. Acesso em: 6 mar. 2009.
A conversão de moedas pode ser eetuada por uma regra de três – recurso já estudado em aulas anteriores, utilizado na resolução de problemas.
Observe o exemplo a seguir:
Exemplo 5 Utilizando a cotação do dólar americano, apresentado na tabela do exemplo 3, calcule quantos reais são necessários para que sejam adquiridos US$ 5.000,00.
Com as inormações cambiais do exemplo 3, podemos escrever a seguinte regra de três:
US$
R$
1,00
1,8547
5.000,00
x
Como as duas grandezas (dólares e reais) são diretamente proporcionais, podemos
ormar a seguinte proporção:
1 5.000
=
1, 8547
⇒ x
= 5.000 · 1, 8547
⇒ x
= 9.273, 5
x
Para se adquirir US$ 5.000,00, seriam necessários R$ 9.273,50. Que tal mais um exemplo? 8
Matemática fnanceira
A03
Exemplo 6 Com 250 reais, quantos dólares americanos pode-se obter, se recorrer à
cotação do exemplo 3?
Basta recorrer a uma regra de três. Observe: US$
R$
1,00
1,8547
x
250,00
Como as duas grandezas (dólares e reais) são diretamente proporcionais, podemos
ormar a seguinte proporção: 1 x
=
1, 8547 250, 00
⇒ x·
1, 8547 = 250, 00
⇒ x
= 250, 00 ÷ 1, 8547
⇒ x ∼ =
134, 79
Poderão ser adquiridos, aproximadamente, US$ 134,79.
Praticando...
1
1. Determine, utilizando o quadro de cotações do
exemplo 3, qual a quantia equivalente, em reais, necessária para se adquirir uma nota de 5 euros. 2. Descubra, utilizando o quadro de cotações do exemplo 3, qual a quantia,
equivalente em reais, necessária para se adquirir € 1.253,00. 3. Um empresário precisa comprar mercadorias no valor de US$ 2.852,00.
Qual é o valor que terá que disponibilizar em reais, quando o dólar estava cotado em R$ 1,82? 4. Um comerciante compra mercadorias no valor de US$ 2.000,00. Com o
pagamento à vista, ele recebe um desconto de 20%. Utilizando o quadro de cotações do exemplo 3, quantos reais ele precisou disponibilizar para esse pagamento?
9
Matemática fnanceira
A03
Essas operações de conversões de moedas podem ser eitas por intermédio de bancos do mesmo país e de países distintos. Quando o câmbio se az entre bancos de mesmo país, é chamado interior ; quando é realizado entre bancos de países distintos, exterior. Quando, nas operações de câmbio, são envolvidos apenas dois bancos, dizemos que o câmbio é direto; quando, entre as instituições envolvidas, há um banco intermediário, dizemos que o câmbio é indireto . Ou seja, quando compramos dólares
canadenses onde negociam apenas dois bancos, um brasileiro e um canadense, o câmbio é direto. Porém, se convertermos os reais disponíveis em dólares americanos e, logo depois, convertermos os dólares americanos em dólares canadenses, dizemos que o câmbio é indireto.
Exemplo 7 Com US$ 2.000,00 posso adquirir quantos ienes japoneses? Primeiramente, precisamos construir uma regra de três para determinar quantos reais equivalem à quantia citada em dólares. Para isso, vamos utilizar as cotações apresentadas no exemplo 3. US$
R$
1
1,8547
2.000
x
Daí, podemos escrever a seguinte proporção: 1 2.000
=
1, 8547
⇒ x
= 2.000, 00 · 1, 8547
⇒ x
= 3.709, 4
x
A quantia disponível em reais é de R$ 3.709,40.
10
Matemática fnanceira
A03
Agora, para calcular a quantia que pode ser adquirida em ienes, construímos uma nova regra de três. R$
¥
1
0,017468
3.709,40
y
Podemos, então, escrever: 1 3.709, 40
=
0, 017468
⇒ y
= 3.709, 40 · 0, 017468
⇒ y
= 64, 7957992
⇒ y ∼ =
64, 79
y
Serão adquiridos, aproximadamente, ¥ 64,79.
2
Praticando...
Converta 12.000 euros em dólares, utilizando a cotação apresentada no exemplo 3.
Utilizando as cotações apresentadas no exemplo 3, complete o quadro a seguir: R$
US$
€
Sw.Fr.
¥
5.000,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00
11
Matemática fnanceira
A03
s o i c í c r e x E
1. Conorme os valores apresentados no quadro de cotações do exemplo
3, a quantia de 1.200 dólares equivalem, aproximadamente, a a) € 821,41. b) R$ 2.300,52. c) ¥ 12.231,48. d) Sw.Fr . 2.080,47. 2. Uma pessoa recebe uma herança de US$ 50.000,00. Essa quantia, pelo
quadro do exemplo 3, é equivalente a a) R$ 68.970,00. b) R$ 72.000,00. c) R$ 86.780,00. d) R$ 92.735,00. 3. Um comerciante rancês compra de uma empresa brasileira mercadorias
no valor de R$ 5.000,00 e recebe um pagamento de mercadorias de uma empresa britânica no valor de € 5.000,00. Considerando as cotações apresentadas no exemplo 3 e a realização apenas dessas duas operações, o saldo do empresário é igual a a) R$ 13.547,65. b) R$ 8.547,65. c) R$ 6.166,35. d) R$ 4.253,35.
12
Matemática fnanceira
A03
Leituras complementares BANCO CENTRAL DO BRASIL. Conversão de moedas . Disponível em:
bcb.gov.br/?TXCONVERSAO>. Acesso em: 6 mar. 2009. Na Internet, em alguns sites, você encontra conversores de moedas. Um desses conversores você encontra em uma das páginas do portal do Banco Central do Brasil. Para utilizá-lo, basta escolher as moedas envolvidas na conversão e digitar o valor com que se quer determinar a cotação sem o uso de vírgulas (para US$ 1,00, escrever 100 no espaço reerente ao valor), como pode ver na tela a seguir, clicando na palavra ‘conversão’.
Nesta aula, você aprendeu o signifcado de moeda, algumas defnições de câmbio e a resolver situações que envolvem a conversão de moedas de
dierentes países.
13
Matemática fnanceira
A03
Se você já resolveu todas as atividades e exercícios desta aula e não tem mais dúvida, resolva as questões que são apresentadas na Autoavaliação a seguir. Se or necessário, releia
a presente aula e reaça as questões.
1. Moeda pode ser defnida como a) produto perecível usado na troca de mercadorias. b) simples troca de mercadoria por mercadoria e de serviço por mercadoria. c) o meio circulante utilizado na aquisição de mercadorias e no pagamento
de serviços. d) produto cujo valor depende apenas do tempo e da quantidade de trabalho
humano necessário para sua produção. 2. Escambo é a) produto perecível usado na troca de mercadorias. b) simples troca de mercadoria por mercadoria e de serviço por mercadoria. c) o meio circulante utilizado na aquisição de mercadorias e no pagamento
de serviços. d) produto cujo valor depende apenas do tempo e da quantidade de trabalho
humano necessário para sua produção. 3. No câmbio fxo, qual a quantia, em dólares, que pode ser adquirida com R$ 52.325,40?
4. No câmbio utuante, com a cotação do dólar a R$ 1,85, qual a quantia,
em reais, equivalente a US$ 25.000,00? Qual a quantia necessária, em reais, para se adquirir uma nota de 20 euros? 5. Qual a quantia, em dólares, equivalente a 60 notas de 20 euros?
14
Matemática fnanceira
A03
6. Uma pessoa recebe 20.000 euros do pagamento de uma herança e
precisa quitar uma dívida de R$ 18.900,00. Responda:
a) Qual o valor da herança, em reais? b) Considerando que oram realizadas as duas operações, qual o saldo do
herdeiro?
Para consulta
Quadro com cotações, utilizado no exemplo 3 Moeda
Símbolo
Valor (em R$)
US$
1,8547
€
2,70953
Franco suíço
Sw.Fr.
1,70125
Iene japonês
¥
0,017468
Dólar americano Euro
(*) Cotações obtidas através da conversão de moedas. Fonte:
. Acesso em: 6 mar. 2009.
Conversão de uma quantia em dólar para uma quantia em reais US$
R$
1
C
B
x
B é a quantia, em dólar, que se quer converter, C a cotação do
dólar, na data de interesse para a conversão e x é o valor em reais que se quer determinar. 15
Matemática fnanceira
A03
Conversão de uma quantia em reais para uma quantia em dólares US$
R$
1
C
xt
D
C é
a cotação do dólar, na data de interesse para a conversão, D é a quantia em reais que se quer converter em dólares e x é o valor em dólares que se quer determinar. Conversão de uma quantia em euros para uma quantia em reais €
R$
1
P
N
x
N é a quantia, em euro, que se quer converter, P a cotação do euro, na data de interesse
para a conversão e x é o valor em reais que se quer determinar. Conversão de uma quantia em reais para uma quantia em euros €
R$
1
P
x
Q
P é a cotação do
euro, na data de interesse para a conversão, Q é a quantia em reais que se quer converter em euros e x é o valor em euros que se quer determinar. Conversão de uma quantia em ienes para uma quantia em dólares ¥
R$
R$
US$
1
M
1
P
J
x
N
y
16
Matemática fnanceira
A03
J é
a quantia, em iene, que se quer converter, M a cotação do iene, em reais, na data
de interesse para a conversão e x a quantia em reais que se quer determinar. N é a quantia em reais calculada na primeira regra de três, ou seja, é o próprio valor de x, e P
é a cotação do dólar, na data de interesse para a conversão. A variável y é o valor, em dólares, que se quer determinar. Conversão de uma quantia em euros para uma quantia em dólares €
R$
R$
US$
1
S
1
W
M
x
V
y
M é a quantia, em euros, que se quer conver ter, S a cotação do euro, em reais, na data de interesse para a conversão, e x é o valor em reais, após a conversão. V é a quantia
em reais calculada na primeira regra de três e W é a cotação do dólar, na data de interesse para a conversão e a variável y é o valor em dólares que se quer determinar.
Respostas Atividade 1
1. Aproximadamente R$ 13,55. 2. R$ 3.395,04 (aproximadamente). 3. R$ 5.190,64. 4. R$ 2.967,52. Atividade 2
1. US$ 17.530,79 (aproximadamente). 2. (em valores aproximados para centésimos) R$
US$
€
Sw.Fr.
87,34
47,09
32,23
51,34
5.000,00
8.506,25
4.586,32
3.139,38
5.000,00
486.961,87
13.547,65
7.304,50
5.000,00
7.963,35
775.569,61
5.000,00
2.695,85
1.845,34
2.939,02
286.237,69
¥
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Matemática fnanceira
A03
Exercícios
1. Opção a. 2. Opção d. 3. Opção b.
Referências CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil . 11. ed. São Paulo:
Saraiva, 1996. MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos : mais de 1.500 aplicações. São Paulo: Atlas, 2003. O CÂMBIO e suas inuências na economia. Nota Técnica , n. 24, maio 2006. Disponível em: . Acesso em: 6 mar. 2009. SOUSA, Rainer. História da moeda. Disponível em: . Acesso em: 6 mar. 2009. WIKIPÉDIA. Deflação (economia) . Disponível em: . Acesso em: 6 mar. 2009. ______. Inflação. Disponível em: . Acesso em: 6 mar. 2009. ______. Moeda. Disponível em: . Acesso em: 6
mar. 2009.
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Matemática fnanceira
A03
Anotações
19
Matemática fnanceira
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Anotações
20
Matemática fnanceira
A03
CURSO TÉCNICO
04
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Capitalização simples, desconto simples e títulos de crédito
Elizabete Alves de Freitas
Governo Federal Ministério da Educação Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS EQUIPE SEDIS
| UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
Coordenadora da Produção dos Materias
Vera Lucia do Amaral Coordenador de Edição
Revisão Tipográfica
Adriana Rodrigues Gomes Margareth Pereira Dias Nouraide Queiroz
Ary Sergio Braga Olinisky Design Instrucional Coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira Design Gráfico
Janio Gustavo Barbosa Jeremias Alves de Araújo Silva José Correia Torres Neto Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
Ivana Lima Revisão de Linguagem Diagramação
Elizabeth da Silva Ferreira Ivana Lima José Antonio Bezerra Junior Mariana Araújo de Brito
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade Revisão das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva Adaptação para o Módulo Matemático
Arte e ilustração
Adauto Harley Carolina Costa Heinkel Huguenin Leonardo dos Santos Feitoza
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
á r e v ê V o c . . . i u q p o r a
N
esta aula, apresentamos o que são juros simples e aremos um estudo sobre alguns procedimentos matemáticos, como o cálculo de juros e de outros elementos do regime de capitalização simples na resolução de algumas
situações, como determinar o capital aplicado, a taxa de juros aplicada, ou o prazo de um investimento ou empréstimo, quando se têm os demais dados envolvidos. Você verá, também, por aqui, o que é um título de crédito, quais são os títulos de
créditos mais utilizados em operações fnanceiras e os tipos de desconto que podem incidir sobre esses títulos no regime de capitalização simples, quando o resgate desse documento é antecipado. O conteúdo, neste material, é apresentado com o apoio de vários exemplos para acilitar a sua compreensão e disponibilizamos, também, ao longo da aula, questões subjetivas
e, ao fnal da aula, questões objetivas em uma lista de exercícios. Na seção Autoavaliação, ao fnal desta aula, você encontrará mais uma oportunidade
para verifcar e redirecionar sua aprendizagem. Na seção Para consulta, disponibilizamos um resumo do assunto estudado nesta aula, que servirá de material de apoio para uma consulta rápida na resolução das questões da presente aula e de outras questões que envolvam os conteúdos aqui desenvolvidos.
1
Matemática fnanceira A04
Objetivos
Saber aplicar raciocínios adequados em operações fnanceiras que levam em conta o valor do dinheiro no tempo, utilizando a capitalização simples.
Saber descrever o que é o regime de capitalização simples.
Saber descrever o que são juros.
Saber descrever o que é juro simples e saber resolver situações que envolvam o cálculo de juros simples ou nas quais seja necessário, no
regime de capitalização simples, determinar a taxa de juros, o prazo da aplicação ou o valor do capital aplicado.
Saber descrever o que é um título de crédito, identifcar os títulos de
créditos mais comuns e calcular descontos em operações fnanceiras.
Para começo de conversa... Quando é necessário pedir emprestado algum valor em dinheiro ou comprar algo utilizando um fnanciamento, é comum haver o pagamento de um valor a mais, além Regime de capitalização
É o processo pelo qual os juros são ormados.
do fnanciado (ou emprestado), reerente ao uso ou “aluguel” do valor envolvido. Esse valor que oi acrescido é o que chamamos de juro. A orma como é calculado esse juro é que defne o regime de capitalização empregado. Existem dois tipos: o regime de juros simples e o regime de juros compostos.
Em nossa aula, estudaremos o regime de juros simples (ou de capitalização simples), fcando o sistema de juros compostos para ser abordado na nossa próxima aula. Vamos começar a nossa aula?
2
Matemática fnanceira A04
Estudando capitalização simples O valor monetário aplicado em alguma operação fnanceira é chamado de Capital (também chamado de Principal, Valor Aplicado, Valor Atual ou Valor Presente). Usa-se, em inglês, o
termo PRESENT VALUE (daí as letras PV nas teclas das calculadoras fnanceiras). Juros é a remuneração que se recebe pela aplicação do Capital em alguma atividade produtiva. Como já comentamos, no regime de capitalização simples (ou de juros
simples), em cada intervalo de tempo, o juro é sempre calculado sobre o capital inicial investido ou tomado por empréstimo. O uso do regime de juros simples é visto no processo de desconto simples de duplicatas
e nas operações de curtíssimo prazo, porém seu uso é bem menos empregado que o do regime de juros compostos. No regime de capitalização composta (ou de juros compostos), em cada intervalo de tempo, o juro sempre é calculado sobre o saldo acumulado até o início do presente intervalo. A maioria das operações que abrangem a aplicação ou o empréstimo de dinheiro emprega o regime dos juros compostos , que são geralmente usados no
fnanciamento de compras em médio prazo (ou em longo prazo), nas compras com cartão de crédito, nas aplicações fnanceiras em Caderneta de Poupança, nos empréstimos
bancários, entre outros exemplos. Porém não detalharemos aqui esse assunto já que o discutiremos na próxima aula. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível para essas operações fnanceiras
são atores para a defnição de um elemento que indica qual deve ser a remuneração. Esse elemento é chamado de taxa de juros.
Juro e taxa de juros são coisas dierentes.
A taxa de juros é um valor (na orma percentual ou na orma unitária) que indica qual
remuneração será paga ao dinheiro emprestado (ou investido) para um determinado período.
Na orma percentual ou na orma unitária, uma taxa de juros sempre apresenta a indicação do período de tempo a que se reere. Observe esses ormatos no exemplo a seguir.
3
Matemática fnanceira A04
Exemplo 1 Observe, no quadro a seguir, alguns exemplos de taxas de juros
apresentadas, cada uma, em dois ormatos dierentes: Forma percentual
Forma unitária
0,3% ao dia ou 0,3% a.d.
0,003 ao dia ou 0,003 a.d.
1,3% ao mês ou 1,3% a.m.
0,013 ao mês ou 0,013 a.m.
17,5% ao trimestre ou 17,5% a.t .
0,175 ao trimestre ou 0,175 a.t .
129,8% ao ano ou 129,8% a.a.
1,298 ao ano ou 1,298 a.a.
Observe que, na apresentação da taxa de juros, na orma unitária, não se escreve o
símbolo % (‘por cento’) e seu valor numérico é igual a um centésimo do valor expresso na taxa percentual. Devemos lembrar que uma taxa de juros de x %, signifca dizer que de cada 100 unidades monetárias (digamos, 100 reais, por exemplo) envolvidas na aplicação f nanceira, serão
pagos x reais de remuneração. Já alamos que o regime será de juros simples, quando o percentual de juros or calculado apenas sobre o capital inicial. Nesse regime de capitalização, não há incidência de juros
sobre juros, em cada período. Para resolver as situações que apresentaremos a seguir, representaremos o capital
inicial emprestado (ou aplicado) pela letra P , a taxa de juros por i e o número de períodos
de tempo por n . A órmula básica utilizada nos cálculos que envolvem juros simples é J
=
P · i · n ,
porém,
nesses cálculos, também podemos utilizar uma regra de três composta , recurso de
resolução de problemas que já aprendemos e utilizamos em aulas anteriores. Observe o exemplo a seguir:
Exemplo 2 Uma dívida de R$ 3.000,00 deve ser paga com juros de 2% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 6 meses. Qual é o valor dos juros que serão pagos?
Lembre-se de que se a taxa de juros é de 2% a.m., signifca dizer que para cada R$ 100,00 da dívida serão pagos R$ 2,00 a cada mês. Assim, podemos
escrever a seguinte regra de três:
4
Matemática fnanceira A04
Capital (R$)
Tempo (meses)
Juros (R$)
100,00
1
2,00
3.000,00
6
x
Essa é uma regra de três composta , e as grandezas envolvidas são diretamente
proporcionais, o que nos permite escrever a seguinte proporção: 100 1 2 = = x 3.000 6 ⇒
x=
⇒
3.000 · 6 · 2 100
2 x
=
⇒
100 1 · 3.000 6
⇒
x = 3.000 · 6 ·
2 x
=
2 100
100 3.000 · 6 ⇒
⇒
100 · x = 3.000 · 6 · 2
x = 3.000 · 6 · 0, 02 ⇒ x = 360 J = P
·
n
·
i
Foram produzidos juros de R$ 360,00. Vemos no cálculo do valor de x , que é o valor dos juros que se queria determinar, que os juros podem ser calculados pelo ‘produto do capital inicial pelo número de períodos de tempo e pela taxa de juros’, ou seja, J = P · n · i ou J = P · i · n . Atenção!
Para utilizarmos a órmula J = P · i · n , a taxa de juros i deve estar na sua orma unitária. Ou seja, se, no enunciado do problema, temos i = 5% a.m., devemos utilizar a taxa unitária i = 0,05 a.m. na órmula. Observe que nas situações anteriores, expressamos a taxa i e o período n , na mesma unidade de tempo, mas nem sempre isso ocorre. Quando a unidade de tempo da taxa e do prazo da aplicação dierem, podemos converter um desses valores para que ambos apresentem a mesma unidade de tempo.
Exemplo 3 Pelo empréstimo de R$ 1.200,00 a uma taxa de 15% a.t ., no período de 2
meses e 15 dias, que juros, no regime de capitalização simples, serão pagos?
Para converter a taxa de 15% a.t. (15% ao trimestre) para uma taxa diária, devemos considerar que o trimestre comercial tem 90 dias, assim: i = 15% a.t. =
15% a.d. ⇒ i = 0, 1667% a.d. 90
(aproximando para 4 casas decimais)
5
Matemática fnanceira A04
i = 0,001667 a.d. n = 2 m 15 d = (2 · 60 + 15) d = (120 + 15) d = 135 d
Logo, J = P · i · n ⇒
J = 1.200 · 0,001667
135 ⇒ J = 270,054
·
⇒
J
≅
270,05.
Os juros pagos pelo empréstimo serão de R$ 270,05.
Observe que é mais ácil transormar trimestre em dias do que o inverso.
Taxas proporcionais Considere duas taxas i e i' (percentuais ou unitárias) correspondentes a dois
períodos de tempo n e n' (em uma mesma unidade de tempo). Se dizemos que i e i' são taxas proporcionais.
i n = i n
,
Exemplo 4 Calcule a taxa mensal proporcional a 48% ao ano. Como 1 ano corresponde ao período de 12 meses, podemos escrever: i
i
⇒
=
n
n
⇒
x 0, 48
=
x = 0, 48 ÷ 12
1 12
⇒
⇒
12
·
x = 0, 48 · 1
⇒
12
·
x = 0, 48
x = 0, 04
A taxa proporcional é igual a 0,04 a.m. (ou seja, 4% a.m.).
Observe que a taxa de juros oi convertida para ter a mesma unidade de
tempo do prazo da aplicação.
6
Matemática fnanceira A04
Exemplo 5 Determine a taxa de juros mensal proporcional à taxa de 1,8% ao dia. O mês comercial é composto de 30 dias, portanto podemos escrever: 1 i
=
n n
⇒
x 30 = 1, 8 1
⇒
1 · x = 1, 8 · 30 ⇒ x = 54
Que tal ver mais um exemplo?
Exemplo 6 Determine os juros a serem recebidos pela aplicação, a uma taxa de 36% a.a., de um capital de R$ 2.500,00, durante 10 meses.
Temos: P = R$ 2.500,00; n = 10 m i = 36% a.a. = 0,36 a.a. = (0,36
÷
12) a.m. = 0,03 ao mês.
J = P · i · n ⇒ J = 2.500 · 0,03 · 10
⇒
J = 750
Os juros a serem recebidos são iguais a R$ 750,00.
Agora, que tal azer algumas atividades sobre o que acabou de estudar?
7
Matemática fnanceira A04
1
Praticando...
1. Qual é o valor dos juros a serem pagos pelo empréstimo, a uma taxa de juros simples de 30% a.a., de R$ 1.200,00, pelo período de 2 anos?
Lembre-se: 30% a.a. = 0,3 a.a. e 3% a.m. = 0,03 a.m.
2. Em um investimento de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3%
a.m.,
no sistema de capitalização simples, qual é o valor dos juros
a serem recebidos? 3. Calcule: (a) a taxa anual proporcional a 12% ao trimestre; (b) a taxa diária proporcional a 15% ao mês. 4. Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 10.000,00, à taxa de 3% a.m., durante 180 dias. 5. Calcule o juro devido pelo empréstimo de um capital de R$ 5.000,00, a uma taxa de 18% a.t ., por um período de 2 meses.
Juro simples comercial e juro simples exato Nos cálculos de juros, em nossa aula, consideramos 1 ano = 360 dias, 1 semestre = 180 dias, 1 trimestre = 90 dias ou 1 mês = 30 dias. Nesse caso, obtemos o que chamamos
de juro simples comercial. A técnica de cálculos que considera os períodos de tempo iguais aos do calendário
(1 ano = 365 ou 366 dias, 1 mês = 28, 29, 30 ou 31 dias,...) calcula o que chamamos de juro simples exato. Porém, mesmo nos juros simples comerciais ou nos juros simples exatos, o cálculo do tempo pode ser exato ou aproximado. Para que o cálculo do tempo seja exato, podemos utilizar uma técnica que utiliza a consulta à Tabela de Cálculo de Tempo (TCT), na seção Para consulta.
8
Matemática fnanceira A04
Determinação de número exato de dias Esse cálculo do número exato de dias pode ser eita de duas maneiras dierentes:
pela contagem direta no calendário, observando o número exato de dias de cada mês;
pelo uso da Tabela de Cálculo de Tempo, para a contagem exata de dias.
Para entender melhor, observe os exemplos a seguir:
Exemplo 7 Um empréstimo de R$ 5.400,00 oi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa oi de 48% a.a., qual o juro total a ser pago?
Temos que P = R$ 5.400,00 i = 0,3% a.d. = 0,0003 a.d. n =
valor desconhecido (em dias).
9
Matemática fnanceira A04
Consultando a TCT, temos:
para o dia 25/11 temos o valor 329;
para o dia 20/07 temos o valor 201.
O número exato de dias entre 20 de julho e 25 de novembro de um mesmo ano é a dierença entre esses dois valores, ou seja: n = 329 – 201
⇒
n = 128 dias.
Assim: J = 5.400 · 0,0003
·
128 ⇒ J = 207,36
São produzidos R$ 207,36 de juros.
Exemplo 8 Em um investimento oi aplicado um capital de R$ 3.200,00, à taxa de 0,5% ao dia, de 14/02 a 20/12 do mesmo ano. Qual oi o valor do juro produzido no investimento? P = R$ 3.200,00 e i = 0,5% a.d. = 0,005 a.d.
Pela TCT, o valor correspondente a 20/12 é 354 e a 14/02 é 45, logo: n = 354 – 45
⇒
n = 309
dias
J = P · i · n ⇒ J = 3.200 · 0,005 · 309
⇒
J = 4.944
Nessas condições, são produzidos R$ 4.944,00 de juros.
Agora, você pode exercitar o que aprendeu na atividade a seguir.
Praticando...
2
1. Quanto oi pago de juro pelo empréstimo de R$ 4.000,00, do dia 25/01/08 a 14/02/08, à taxa de 0,6% ao dia? 2. Calcule o juro a ser pago pelo empréstimo de R$ 5.000,00, do dia 19 de agosto ao dia 18 de outubro do mesmo ano, à taxa de 0,48% ao dia.
10
Matemática fnanceira A04
Em algumas situações é necessário calcular mais do que apenas os juros. Observe o exemplo a seguir.
Exemplo 9 Para pagar um empréstimo de R$ 2.500,00, por 3 meses, a uma taxa de
juros de 5% ao mês pelo regime de juros simples, deve ser paga que quantia
total, em reais? Calculando os juros a serem pagos: J = P · i · n ⇒ J = 2.500 · 0,05 · 3 = 375.
Calculando a quantia total a ser paga: P + J = 2.500 + 375 = 2875.
O valor total a ser pago pela dívida é de R$ 2.875,00.
Em algumas situações, é necessário calcular a soma do valor principal com os juros
produzidos. Quando somamos os juros (J ) ao valor principal (P ), temos um valor chamado
de montante, que representaremos por M . Assim, Montante = Principal + Juros ⇒
M = P + J ⇒ M = P + (P · i · n )
⇒
M = P · (1 + i · n )
Exemplo 10 Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 8.000,00 à taxa de 10,5% a.m. durante 270 dias.
Observe que a taxa i = 10,5% a.m. (ou i = 0,105 a.m.) indica uma unidade de tempo dierente da que está indicada em n = 270 dias. A primeira providência é converter um desses valores para que possamos trabalhar, em i e n , com a mesma unidade de tempo.
11
Matemática fnanceira A04
Considerando 1 mês comercial como 30 dias, temos que: n = 270
÷
30
⇒
n = 9 meses.
Assim: M = P · (1 + i · n ) ⇒ M = 8.000 · (1 + 0,105 · 9) ⇒ M = 8.000 · (1 + 0,945) ⇒
M = 8.000
·
(1,945) ⇒ M = 15.560
O montante é igual a R$ 15.560,00.
Exemplo 11 Qual é o capital que, por empréstimo, por um período de 6 meses, a uma taxa de juro simples de 3,5% a.m. gera uma dívida total de R$ 3.206,50?
Como M = P + J ⇒ 3.206,50 = P · (0,035 · 6 + 1) ⇒
3.206,50 = P · (0,21 + 1)
⇒
⇒
P = (3.206,50)
P = 2650
÷
1,21
⇒
P · 1,21 = 3.206,50
O capital que gera esse montante é de R$ 2.650,00.
Agora, observe o exemplo a seguir:
Exemplo 12 Determine os juros simples e o valor total de uma dívida que se reerem ao empréstimo de R$ 4.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 142 dias.
No sistema de capitalização simples, temos: J = P · i · n . Considerando o ano comercial igual a 360 dias e convertendo a taxa anual de 36% em uma taxa diária, temos: i = 36% a.a. =
36% a.d. = 0, 1% a.d. ⇒ i = 0, 001 a.d. 360
12
Matemática fnanceira A04
Com a taxa e o prazo do empréstimo se reerindo à mesma unidade de
tempo, ou seja, dias, podemos escrever: J = 4.000 · 0,001 · 142 = R$ 568,00
Para o cálculo do total da dívida (ou montante da dívida), temos: M = P + J ⇒ M = 4.000 + 568
⇒
M = 4.568
Os juros simples produzidos no empréstimo oram de R$ 568,00, somando um montante a ser pago de R$ 4.568,00.
Em algumas situações precisamos calcular o valor do capital, em um sistema de
capitalização simples. Veja o exemplo a seguir:
Exemplo 13 Calcule o capital que, aplicado a uma taxa de juros simples de 12% a.m.,
rende R$ 300,00 de juros em 75 dias. Temos que: J = 300, n = 75 dias e i = 0,12 a.m. = 0,004 a.d. Como J = P · i · n , temos: 300 = P · 0,004 · 75
⇒
300 = 0,3 · P ⇒ P = 300
÷
0,03
⇒
P = 1.000
O capital aplicado oi de R$ 1.000,00.
Exemplo 14 Que capital devo aplicar, à taxa diária de 0,12%, para obter juros simples de R$ 151,20, em 35 dias?
Temos: i = 0,12% a.d. = 0,0012 a.d. e n = 35 dias J = R$ 151,20 ⇒
P = 151,20
⇒
P · 0,0012
·
35 = 151,20
⇒
P · 0,042 = 151,20
÷ 0,042 ⇒ P = 3.600
O capital que deve ser aplicado é de R$ 3.600,00.
13
Matemática fnanceira A04
Agora você pode praticar um pouco o que aprendeu.
3
Praticando...
1. Determine o valor do total da dívida contraída pelo empréstimo de R$ 5.000,00, à taxa de 5% a.m., através do regime de juros simples, pelo prazo de 5 meses. 2. Em quantos meses o capital de R$ 3.000,00, à taxa de 45% a.a. produzirá um montante de 3.562,50? 3. Calcule o capital que, colocado à taxa de 4% rende R$ 600,00 de juros.
a.m.,
4. Que importância devo aplicar à taxa de 1,5% 10 meses, juros de R$ 750,00?
durante 5 meses,
a.d.,
para render, em
5. Determine em quantos dias o capital de R$ 5.700,00, aplicado à taxa de 2,5% a.m., produz juros de R$ 14,25.
Nas situações em que é preciso calcular a taxa de juros aplicada, substitua os valores conhecidos, eetue as operações indicadas e isole o valor de i , lembrando sempre que a taxa e o prazo devem estar em uma mesma unidade de tempo. Observe os exemplos.
Exemplo 15 A que taxa mensal o capital de R$ 560,00 rende juros de R$ 67,20, em
4 meses?
Temos: P = R$ 560,00; n = 4
meses e J = R$ 67,20
Como J = P · i · n ⇒ 67,20 = 560 · i · 4 ) 67,20 = 2240 · i 2240 · i = 67,20
⇒
i = 0,03 a.m. (ou seja, i = 3% a.m.).
⇒
i = 67,20
÷ 2240
⇒
A taxa de juros aplicada é igual a 3% ao mês.
14
Matemática fnanceira A04
Exemplo 16 A que taxa anual a importância de R$ 5.200,00 rende, em 9 meses, juros
de R$ 624,00? Convertendo o tempo de 8 meses em ano, temos que: n = (9 ÷ 12) = 0,75
ano.
Os demais dados conhecidos são: P = R$ 5.200,00 J = R$ 624,00 J = P · i · n ⇒ 624 = 5.200 · i · 0,75 ⇒ 624 = 3900 · i ⇒ 3900 · i = 624 ⇒
i = 624
÷ 5.200 ⇒ i = 0,12 a.m. ou i = 12 % a.m.
A taxa aplicada oi de 12% ao mês.
Praticando...
4
1. Qual é a taxa mensal proporcional a 6% ao ano? 2. Qual é a taxa anual proporcional a 0,025 ao dia? (Sendo 1 a = 360 d ). 3. Calcule a taxa diária proporcional a 3,6% ao bimestre. 4. A que taxa oi colocada a importância de R$ 1.300,00 para que, durante 1 ano e 3 meses, rendesse um juro de R$ 260,00?
Cálculo do prazo da operação Em alguma situação podemos ter a necessidade de calcular o prazo da operação (seja essa de empréstimo, fnanciamento ou aplicação fnanceira). Que tal ver alguns exemplos?
15
Matemática fnanceira A04
Exemplo 17 Em quantos dias o capital de R$ 400,00, aplicado à taxa mensal de 3,6%,
renderá juros de R$ 21,60? Temos: P = R$ 400,00 i = 3,6% a.m. = 0,036
ao mês = (0,036 ÷ 30) a.d. = 0,0012 ao dia
J = R$ 21,60, ou seja, 400 · 0,0012 ⇒
n = 21,60
·
n = 21,60
⇒
0,48 · n = 21,60
÷ 0,48 ⇒ n = 45 dias
O prazo da aplicação é de 45 dias.
Exemplo 18 Se a taxa de uma aplicação é de 120% ao ano, quantos meses serão
necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Dobrar o capital aplicado signifca ter um montante igual ao dobro do capital
inicial, ou seja, é M = 2 · P Para desenvolver os cálculos temos i = 120% a.a. = 1,2 a.a. e a expressão do montante que é M = P (1 + i · n ) Substituindo os valores conhecidos, temos: 2 · P = P · (1 + 1,2 · n ) Dividindo ambos os lados da igualdade por P e resolvendo a equação
resultante, temos: 2 = 1 + 1,2 · n ⇒ 2 – 1 = 1,2 · n ⇒ 1 = 1,2 · n ⇒ n = 1 ÷ 1,2 ⇒
n = 0,8333
ano ⇒ n = 10 meses
O tempo de aplicação necessário para duplicar o capital, nas condições
acima, é de 10 meses.
16
Matemática fnanceira A04
Praticando...
5
1. Por quantos meses o capital de R$ 4.000,00 deverá ser aplicado para render R$ 1.200,00 à taxa de 3% ao mês? 2. Por quantos dias devemos aplicar o capital de R$ 5.000,00 para render R$ 875,00, à taxa de 0,5% ao dia? 3. Qual é o prazo de aplicação de um capital de R$ 460,00 para que este renda R$ 49,60 de juros simples, com uma taxa diária de 0,15%? 4. Determine a taxa trimestral que oi aplicada ao capital de R$ 5.000,00, em 36 dias, para produzir R$ 360,00 de juros.
Desconto simples, títulos de crédito e equivalência de capitais Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro a ser paga em uma data utura, é normal que entregue ao credor um comprovante dessa dívida, ou seja, um título de crédito.
Título de crédito
A nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio são os títulos de crédito
Todo o título de crédito tem uma data de vencimento, porém se o devedor or resgatá-lo antecipadamente, deve obter, com essa antecipação, um abatimento que recebe o nome de desconto, que é uma das mais comuns aplicações da regra de juros.
mais utilizados em operações fnanceiras.
No que se reere aos títulos de crédito, o desconto pode ocorrer em qualquer uma das situações a seguir: I – O devedor decide azer o pagamento antes da data predeterminada. Por isso, ele se benefcia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que alta para o vencimento. II – A necessidade, por parte do credor, do dinheiro antes da data predeterminada.
Nesse caso, ele pode vender o título de crédito a terceiros que podem querer um lucro sobre essa operação, correspondente ao valor em dinheiro que antecipa, no tempo que alta para o devedor quitar a dívida, por isso paga um valor menor que a quantia fxada no título de crédito. Nas duas situações há uma dierença entre dois valores. Essa dierença é chamada de desconto. Nas duas situações anteriormente citadas, veremos como descontar um título.
Alguns termos são comuns em operações de desconto: 17
Matemática fnanceira A04
Dia do vencimento: data ixada no título para a realização do pagamento ou
recebimento da aplicação.
Valor nominal: é o valor a ser pago, indicado no título.
Valor atual: é o valor pago
Prazo ou tempo: é o número de dias entre a data na qual se negocia o título e a data
pela antecipação, já com a aplicação do desconto.
de seu vencimento. No desconto pode ser considerado como capital o valor nominal ou o valor atual. Quando é considerado o valor nominal, dizemos que o desconto é denominado de desconto comercial. Quando é considerado o valor atual, o desconto é denominado
de desconto racional. Desconto comercial, desconto bancário ou desconto por fora é o desconto que utiliza
cálculo semelhante ao aplicado no cálculo de juro simples e produzido pelo valor nominal
do título no período de tempo correspondente, à certa taxa fxada. O valor do desconto comercial é dado pela expressão: d = N · i · n , sendo d o valor do desconto, N o valor nominal do título, i a taxa de desconto e n o tempo de antecipação. Valor atual comercial ou valor descontado comercial é o valor dado pela expressão A = N – d ou A = N · (1 – i · n ), em que A é o valor atual do título após a aplicação do
desconto comercial. O desconto comercial só deve ser empregado por períodos de tempos cur tos, pois em prazos muito longos o valor do desconto pode ultrapassar o valor nominal do título.
Exemplo 19 Um título de R$ 5.000,00 vai ser descontado à taxa de 2% ao mês. Faltando 60
dias para o vencimento do título, calcule: (a) O valor do desconto comercial; (b) O valor atual comercial. Temos N = 5 000, i = 0,02 a.m. e n = 60 d = 2 me . O desconto comercial é calculado através da expressão d = N · i · n , logo: d = 5 000 · 0,02 · 2 ⇒ d = 200. O valor atual comercial é calculado através da expressão: A = N – d , logo: A = 5 000 – 200 ⇒ A = 4 800.
O desconto comercial é de R$ 200,00, e o valor atual comercial (valor a ser pago com a antecipação do resgate do título) é R$ 4.800,00. 18
Matemática fnanceira A04
Taxa de juro efetiva A taxa de juro que torna o valor principal A, no período n , igual ao montante N é a taxa que realmente está sendo aplicada na operação de desconto. Essa taxa recebe o nome de taxa de juro efetiva. A expressão que representa a taxa eetiva em uma operação é: if =
d A·n
, em que a taxa i f está com a mesma unidade de tempo que o prazo n , d é o
valor do desconto e A é o valor do capital e N o valor do montante. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 20 Um título de R$ 6.000,00 oi descontado, altando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial oi de R$ 405,00, calcule
a taxa de juros eetiva. if =
d A·n
, onde A = 6000 – 405 ⇒ A = 5595.
Assim: if =
405 5595 · 45
i = 0,0016086 a.d.
⇒ f
ou i f = 0,16% a.d.
Desconto Racional É chamado de desconto racional ou por dentro o desconto que equivale ao juro produzido na aplicação do valor atual do título a uma taxa fxada e durante o tempo correspondente.
A expressão que utilizamos no cálculo do desconto racional é: d r = Ar · i · n
Valor do desconto racional em função do valor nominal Como A = N – d ⇒ Ar = N – d r (eq. 1) e d r = Ar · i · n (eq. 2). Quando substituímos a eq. 1 na eq. 2, temos: d r = (N – d r ) · i · n . (eq. 3) Isolando o valor de d r , temos:
d = r
N · i · n 1+i·n
(eq. 4) que é o valor do desconto racional
descrito em unção do valor nominal do título.
19
Matemática fnanceira A04
Valor atual racional O valor atual racional é dado por Ar = N – d r . Quando substituímos o valor de d r
apresentado na eq. 4, temos Ar = N –
N · i · n
1+i·n
. (eq. 5)
Transormando o segundo termo da eq. 5 em uma só ração, temos: A = r
N · (1 + i · n) − N · i · n 1+i·n
⇒
A = r
N + N · i · n − N · i · n 1+i·n
⇒
A = r
N 1−i·n
Equivalência de capitais Quando é necessário substituir um título por outro (ou outros) com vencimentos
dierentes, pode ser de interesse de alguma das partes envolvidas na operação saber se as duas ormas de pagamento são equivalentes. Problemas desse tipo se reerem à equivalência de capitais diferidos. Dizemos que dois ou mais capitais dieridos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. Para resolver esse tipo de problema, devemos estabelecer uma data que servirá de
reerência para a comparação dos valores atuais dos títulos em questão. Cada um dos valores atuais deverá ser calculado como sendo a dierença entre o valor nominal do documento (N ) e o valor do desconto aplicado (N · i · n ), ou seja: A = N – N · i · n , ou
ainda A = N · (1 – i · n ) No regime de capitalização simples, essa data de comparação deve ser considerada
como a data na qual a dívida oi contraída (ou data zero). Para você compreender melhor esse assunto, observe o exemplo a seguir.
Exemplo 21 Querendo substituir um título de R$ 5.000,00, com vencimento em 90 dias, por outro com vencimento para daqui a 5 meses, ambos descontados à taxa
de 3,5% ao mês, qual deve ser o valor nominal comercial do novo título? Escolhendo o dia de hoje como data zero, com N 1 = 5000, i 1 = 3,5% a.m. ou 0,035 a.m. e n 1 = 90 d = 3 me , como inormações sobre o primeiro título e n 2 = 5 me , como inormação do novo título temos que substituir esses
valores na igualdade A2 = A1, na qual A = N · (1 – i · n ) é a expressão para
calcular o valor atual de cada título.
20
Matemática fnanceira A04
Logo: N 2 · (1 – i 2 · n 2) = N 1 · (1 – i 1 · n 1) ⇒
N 2 · (1 – 0,035
⇒
N 2 · (1 – 0,175) = 5000
⇒
N 2 · 0,825 = 5000
⇒
N 2 · 0,825 = 4475
⇒
N 2 =
4475 0, 825
⇒
·
5) = 5000 · (1 – 0,035 · 3)
·
·
(1 – 0,105)
0,895
N 2 = 5424, 24
O valor nominal do novo título deve ser de R$ 5.424,24.
Praticando...
6
1. Uma duplicata com valor nominal de R$ 3.000,00 oi resgatada 1 mês antes da data do vencimento, à taxa de juros simples de 5% ao mês.
Qual é o valor do desconto comercial? 2. Uma duplicata cujo valor nominal é de R$ 3.000,00 oi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 48% ao ano. Qual o desconto
comercial aplicado?
Se você já resolveu todas as atividades e não resta nenhuma dúvida, resolva
agora essa lista de exercícios a seguir.
21
Matemática fnanceira A04
s o i c í c r e x E
1. O juro gerado pela aplicação de R$ 500,00, à taxa de 15% ao ano, durante 2,5 anos é de a)R$ 187,50. b)R$ 178,50. c)R$ 185,70. d)R$ 158,70. 2. O juro a ser pago pelo empréstimo de R$ 6.250,00, durante 2 trimestres, à taxa de 5% ao semestre, é de a)R$ 351,20. b)R$ 321,50. c)R$ 312,50. d)R$ 302,51. 3. O prazo da aplicação do capital de R$ 5.000,00, à taxa de 36% a.a., para obtermos R$ 3.600,00 de juros comerciais aproximados (1 a = 360 dias) é de a)3 semestres. b)60 meses. c)680 dias. d)2 anos. 4. Pelo empréstimo de R$ 1.200,00, à taxa trimestral de 1,5%, oram pagos R$ 240,00 de juros. O prazo do empréstimo oi de a)40 meses. b)42 meses. c)43 meses. d)48 meses. 5. A taxa mensal proporcional a 60% ao ano, nos juros comerciais
aproximados, é a)0,005. b)0,05.
22
Matemática fnanceira A04
c)0,5. d)5. 6. Um capital de R$ 5.000,00 oi aplicado em 30/05 de um determinado ano, à taxa diária de 0,5%, e resgatado em 12/08 do mesmo ano. Esse
investimento rendeu juros de a)R$ 180,00. b)R$ 1.800,00. c)R$ 18.000,00. d)R$ 118.000,00. 7. O capital que, aplicado em um investimento à taxa mensal de 1,2%, por um semestre, gerou um juro de R$ 144,00, é igual a a)R$ 120,00. b)R$ 1.200,00. c)R$ 1.800,00. d)R$ 2.000,00. 8. O montante resultante da aplicação de um capital de R$ 4.800,00 à taxa diária de 2%, por um período de 75 dias, é igual a a)R$ 12.000,00. b)R$ 10.200,00. c)R$ 9.800,00. d)R$ 9.600,00. 9. Considere uma promissória de R$ 3.000,00, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes do vencimento. O valor do desconto é a) R$ 249,75. b)R$ 247,95. c)R$ 274,59. d)R$ 295,74.
23
Matemática fnanceira A04
Em nossa aula, você aprendeu a descrever o que é o regime de capitalização simples, o que são juros e o que são juros simples. Aprendeu, também, a resolver situações, no regime de capitalização simples, que envolvam o
cálculo dos juros simples, da taxa de juros, o prazo da aplicação ou o valor do capital aplicado.
Agora que você já resolveu todas as atividades e exercícios, verifque sua
aprendizagem com a Autoavaliação que se encontra a seguir.
1. Com suas palavras, descreva o que são juros simples. 2. O que é uma taxa de juros? 3. Associe a coluna da direita com a coluna da esquerda para que sejam eitas correspondências entre as taxas percentuais e unitárias
correspondentes. a) 12,5 % ao
mês
( ) 1,25 ao semestre
b) 12,5% ao
dia
( ) 0,0125 ao dia
c) 1,25% ao
dia
( ) 0,125 ao trimestre
d) 125% ao
ano
( ) 0,125 ao dia
e) 125% ao
semestre
( ) 1,25 ao ano
f) 12,5% ao
trimestre
( ) 0,125 ao mês
4. Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 35.000,00, a uma taxa de 20% ao trimestre, durante 2 anos.
24
Matemática fnanceira A04
5. Considere 1 ano correspondente a 360 dias e complete o quadro abaixo, escrevendo as taxas trimestrais proporcionais a cada uma das
taxas citadas. Taxas unitárias
Taxas trimestrais proporcionais
0,0545 a.m. 0,36 a.a. 0,1 a.m. 0,006 a.m. 1,2 a.a. 0,0024 a.d.
6. Assinale V (se verdadeira) ou F (se alsa) em cada uma das afrmativas
abaixo. a) ( ) O juro produzido pelo capital de R$ 8.000,00, durante 10 meses, à taxa mensal de 1,2% é de R$ 96,00. b) ( ) O montante produzido pelo investimento de R$ 8.000,00, durante 10 meses, à taxa diária de 0,0004 é de R$ 8.960,00. c) ( ) O número exato de dias que transcorre entre 20 de janeiro e 25 de junho de um mesmo ano que é bissexto é de 155 dias. d) (
) Em um ano bissexto, entre 23 de evereiro e 15 de maio,
transcorrem 82 dias. 7. A que taxa anual a importância de R$ 2.000,00 produzirá um montante de R$ 2.600,00, em 6 meses? 8. Um empresário tem dois títulos (um de R$ 12.000,00 e outro de R$ 10.000,00), com vencimentos, respectivamente, para 120 e 150 dias. Sabendo que o banco credor aplica uma taxa de desconto de 42% ao
ano, o devedor deseja substituir esses documentos por um único título com vencimento para 90 dias. Calcule o valor nominal desse novo título.
Para consulta
Fórmulas úteis Considere para as fórmulas a seguir que P é o capital, i é a taxa de juros (na forma unitária) e n o número de períodos (com unidade de temo igual à da taxa de juros).
Juros simples: J = P · i · n
25
Matemática fnanceira A04
Montante: M = P · (1 + i · n ) Capital: P = J ÷ (i · n ) ou P = M ÷ (1 + i · n )
Tabela para contagem de dias (tct) (*) MESES DIAS
Jan.
Fev.
Mar.
Abr.
Mai.
Jun.
Jul.
Ago.
Set.
Out.
Nov.
Dez.
01
1
32
60
91
121
152
182
213
244
274
305
335
02
2
33
61
92
122
153
183
214
245
275
306
336
03
3
34
62
93
123
154
184
215
246
276
307
337
04
4
35
63
94
124
155
185
216
247
277
308
338
05
5
36
64
95
125
156
186
217
248
278
309
339
06
6
37
65
96
126
157
187
218
249
279
310
340
07
7
38
66
97
127
158
188
219
250
280
311
341
08
8
39
67
98
128
159
189
220
251
281
312
342
09
9
40
68
99
129
160
190
221
252
282
313
343
10
10
41
69
100
130
161
191
222
253
283
314
344
11
11
42
70
101
131
162
192
223
254
284
315
345
12
12
43
71
102
132
163
193
224
255
285
316
346
13
13
44
72
103
133
164
194
225
256
286
317
347
14
14
45
73
104
134
165
195
226
257
287
318
348
15
15
46
74
105
135
166
196
227
258
288
319
349
16
16
47
75
106
136
167
197
228
259
289
320
350
17
17
48
76
107
137
168
198
229
260
290
321
351
18
18
49
77
108
138
169
199
230
261
291
322
352
19
19
50
78
109
139
170
200
231
262
292
323
353
20
20
51
79
110
140
171
201
232
263
293
324
354
21
21
52
80
111
141
172
202
233
264
294
325
355
22
22
53
81
112
142
173
203
234
265
295
326
356
23
23
54
82
113
143
174
204
235
266
296
327
357
24
24
55
83
114
144
175
205
236
267
297
328
358
25
25
56
84
115
145
176
206
237
268
298
329
359
26
26
85
116
146
177
207
238
269
299
330
360
27
27
57
86
117
147
178
208
239
270
300
331
361
28
28
58
87
118
148
179
209
240
271
301
332
362
29
29
59
88
119
149
180
210
241
272
302
333
263
30
30
89
120
150
181
211
242
273
303
332
364
31
31
90
212
243
151
304
365
NOTA: (*) Se o ano é bissexto, deve-se aumentar uma unidade ao resultado, caso o mês de
evereiro esteja incluído na contagem. Fonte: Crespo (1996, p. 202).
26
Matemática fnanceira A04
Referências ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil . 11. ed. São Paulo:
Saraiva, 1996. JUROS simples. Disponível em:
php>. Acesso em: 9 mar. 2009. MATEMÁTICA fnanceira: conceitos básicos. Disponível em:
com.br/emedio/fnan.php>. Acesso em: 9 mar. 2009. MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos: mais de 1.500 aplicações.
São Paulo: Atlas, 2003.
Anotações
27
Matemática fnanceira A04
Anotações
28
Matemática fnanceira A04
CURSO TÉCNICO
05
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juros Compostos
Elizabete Alves de Freitas
Governo Federal Ministério da Educação Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
EQUIPE SEDIS
| UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
Coordenadora da Produção dos Materias
Vera Lucia do Amaral Coordenador de Edição
Revisão Tipográfica
Adriana Rodrigues Gomes Margareth Pereira Dias Nouraide Queiroz
Ary Sergio Braga Olinisky Design Instrucional Coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira Design Gráfico
Janio Gustavo Barbosa Jeremias Alves de Araújo Silva José Correia Torres Neto Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
Ivana Lima Revisão de Linguagem Diagramação
Elizabeth da Silva Ferreira Ivana Lima José Antonio Bezerra Junior Mariana Araújo de Brito
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade Revisão das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva Adaptação para o Módulo Matemático
Arte e ilustração
Adauto Harley Carolina Costa Heinkel Huguenin Leonardo dos Santos Feitoza
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
á r e v V o c ê i... u q a r o p
N
esta última aula, você verá um breve estudo que apresenta o que são juros compostos, como calculá-los e como utilizar alguns procedimentos matemáticos
no cálculo do capital, do montante, do prazo ou da taxa de juros no regime de capitalização composta. Verá a aplicação desses procedimentos na resolução de algumas situações do dia a dia, bem como a utilização dos juros compostos no cálculo
de descontos ou em empréstimos. Você verá também uma exposição sobre alguns sistemas de amortização. O conteúdo é apresentado através de diversos exemplos seguidos de atividades (com questões subjetivas), além de uma lista de exercícios (com questões objetivas) ao fnal
de todo o conteúdo. Na seção Autoavaliação, você encontrará mais uma oportunidade para verifcar sua aprendizagem e, se necessário, redirecioná-la. Na seção Para consulta, disponibilizamos um resumo do assunto estudado nesta aula,
que servirá de material de apoio para consultas rápidas na resolução das questões da presente aula e de outras questões que envolvam os conteúdos aqui desenvolvidos.
Analisar alternativas para as aplicações no mercado fnanceiro e pagamento de empréstimos.
Entender o que é o regime de capitalização composta.
Compreender o que são juros compostos.
Resolver situações que envolvam o cálculo dos juros compostos ou, no regime de capitalização composta, determinar a taxa de juros, o prazo da aplicação, o valor do capital aplicado ou o montante produzido.
Objetivo Objetivos
1 Matemática fnanceira A05
Para começo começo de conversa Na aula anterior, anterior, vimos que no empréstimo de dinheiro ou na compra de algum produto
através de um fnanciamento, é comum haver o pagamento de um valor chamado de juro e vimos vimos como são calculados os juros no regime de capitalização simples. Nesta aula, estudaremos o regime de juros compostos (ou de capitalização composta),
mais utilizado nas operações fnanceiras como caderneta de poupança, empréstimos, empréstimos, fnanciamentos, etc.
2 Matemática fnanceira A05
Estudando juros compostos No regime de juros compostos, o juro calculado em cada intervalo de tempo irá compor o capital inicial sobre o qual incidirá o juro do próximo período, como você pode obser var
no exemplo a seguir.
Exemplo 1 Marcos abriu uma caderneta de poupança com um valor de R$ 1.000,00. Considerando uma previsão da taxa de rendimento de 1% ao mês, o capital
inicial de R$ 1.000,00 terá os seguintes rendimentos: Período
Capital (R$)
Juros (R$)
Montante (R$)
1º.
1.000,00
10,00
1.010,00
2º.
1.010,00
10,10
1.020,10
3º.
1.020,10
10,20
1.030,30
4º.
1.030,30
10,30
1.040,60
5º.
1.040,60
10,40
1.051,00
Observe que em cada intervalo inter valo o juro produzido oi somado ao capital, ormando, assim, o montante do período, que é o capital inicial dos juros a serem calculados no próximo período.
Os juros compostos, os mais utilizados, são geralmente aplicados no fnanciamento de compras, nas aplicações fnanceiras usuais como Caderneta de Poupança e nos empréstimos bancários, entre outras situações. A taxa de juros é o elemento que defne qual deve ser o valor da remuneração a ser paga pelo dinheiro recebido por empréstimo ou aplicado em um investimento. Em nossa aula, representaremos o capital inicial (ou valor principal) pela letra de juros por i e o número de períodos de tempo por n .
P ,
a taxa
3 Matemática fnanceira A05
No regime dos juros compostos, como os juros produzidos produzi dos ao fm de cada período passam pass am
a azer parte do capital que servirá de base para cálculo do período seguinte, temos: 1º. Período:
Capital inicial: P 1; Juros: J = P 1 · i · 1 ⇒ J = P 1 · i Montante: M 1 = P 1 + P 1 · i ⇒ M 1 = P 1 · (1 + i ) 2º. Período:
Capital inicial: P 2 = P 1 · (1 + i ) Juros: J 2 = P 1 · (1 + i ) · i · 1 ⇒ J = P 1 · (1 + i ) · i Montante: M 2 = P 1 · (1 + i ) + P 1 · (1 + i ) · i = = P 1 · (1 + i ) · (1 + i ) ⇒ M 2 = P 1 · (1 + i )2
3º. Período: Capital inicial: P 3 = P 1 · (1 + i ) 2
Juros: J 3 = P 1 · (1 + i )2· i · 1 = P 1 · (1 + i )2 · i Montante: M 3 = P 1 · (1 + i )2+ P 1 · (1 + i )2 · i = = P 1 · (1 + i )2 · (1 + i )
⇒
M 3 = P 1 · (1 + i ) 3
4º. Período:
Capital inicial: P 4 = P 1 · (1 + i ) 3 Juros: J 4 = P 1 · (1 + i )3 · i · 1 = P 1 · (1 + i )3 · i Montante:M 4 = P 1 · (1 + i )3+ P 1 · (1 + i )3 · i = = P 1 · (1 + i )3 · (1 + i ) ⇒ M 4 = P 1 · (1 + i )4 ...
–ésimo período: n –ésimo
Capital inicial: P n = P 1 · (1 + i · n )n –1 Juros: J n = P 1 · (1 + i )k – 1· i · 1 = P 1 · (1 + i ) n –1 · i Montante: M n = P 1 · (1 + i )n –1 + P 1 · (1 + i ) n –1 · i = = P 1 · (1 + i )n –1 · (1 + i ) ⇒ M n = P 1 · (1 + i )n
A expressão M = P 1 · (1 + i ) representa o montante acumulado após n períodos de aplicação de um capital inicial onde P é o valor do capital 1 inicial empregado em uma aplicação fnanceira na qual i é a taxa de juros constante para todos os períodos. n
n
O ator (1 + i )n é chamado de ator de capitalização ou ator de acumulação de capital.
4 Matemática fnanceira A05
Atenção: A taxa i deve apresentar a mesma unidade de tempo que o valor de n e pode ser apresentada na orma percentual ou na orma unitária.
Que tal observar mais um exemplo?
Exemplo 2 Qual o montante acumulado na aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de juros
composta de 2% ao mês, por 6 meses? Temos que M 6 = P 1 · (1 + i )6, onde P 1 = 5000 e i = % a.m . ou 0,02 a.m. M 6 = 5.000 · (1 + 0,02)6 ⇒ M 6 = 5.000 · (1,02)6 ⇒
M 6 = 5.000
·
1, 126162419264
⇒
M ≅ 5.630,81
O montante acumulado oi de, aproximadamente, R$ 5.630,81.
Como já temos a expressão que representa o montante, quando or necessário calcular
os juros, simplesmente devemos diminuir o valor principal do montante produzido em um dado período. Assim, para representar os juros produzidos em um período, temos: J n = M n – P 1 ⇒ J n = P 1 · (1 + i )n – P 1 ⇒ J n = P 1 · [(1 + i )n – 1].
5 Matemática fnanceira A05
Veja o exemplo a seguir:
Exemplo 3 Qual é o valor dos juros produzidos na aplicação no regime de capitalização
composta do capital de R$ 6.000,00, à taxa mensal de 1,2%, por 4 meses? Temos que P 1 = 6000 e i = 0,012 ao mês. Assim: J 4 = P 1 · [(1 + i )4 – 1].⇒ J = 6.000 · [(1 + 0,012)4 – 1] ⇒
J 4 = 6.000 · [(1,012)4 – 1] ⇒
⇒
J 4 = 293,225596416
⇒
4
= 6.000 · [1,048870932736 – 1]
J 4 ≅ 293,23
Foram produzidos R$ 293,93 de juros.
Uso de tabela financeira ou de calculadora? Para simplifcar os cálculos quando é preciso calcular o ator de capitalização, oram criadas algumas tabelas financeiras que já trazem calculado o valor do ator de capitalização (1 + i ) para dierentes períodos de capitalização e de taxa de juro. Existem vários ormatos de tabelas fnanceiras, porém nas que apresentamos ao fnal desta aula devem ser lidas da seguinte orma: ( 1º.) localize na coluna da esquerda a n
linha correspondente ao valor de n (número de períodos); ( 2º.) na linha superior, localize a coluna correspondente ao valor da taxa i . No cruzamento dessa linha e dessa coluna,
temos o fator de capitalização procurado. Observe o que acabamos de ver no exemplo a seguir.
Exemplo 4 Determine o ator de capitalização de um investimento no qual oi aplicada a taxa de 2% a.m. durante 5 meses. Como a unidade de tempo da taxa de juros e do prazo da aplicação é a mesma, não haverá conversão de unidades, basta localizar diretamente na
6 Matemática fnanceira A05
tabela fnanceira a célula de interseção entre o número de período n = 5
e da taxa i = 2%. Taxas percentuais (i ) NO. DE PERÍODOS (n )
0,5%
1%
1,5%
2%
2,5%
1
1,005000
1,010000
1,015000
1,020000
1,025000
2
1,010025
1,020100
1,030225
1,040400
1,050625
3
1,015075
1,030301
1,045678
1,061208
1,076891
4
1,020150
1,040604
1,061364
1,082432
1,103813
5
1,025251
1,051010
1,077284
1,104081
1,131408
6
1,030377
1,061520
1,093443
1,126162
1,159693
7
1,035529
1,072135
1,109845
1,148686
1,188686
8
1,040707
1,082857
1,126493
1,171659
1,218403
Observação: Fatores de capitalização utilizando arredondamento para seis casas decimais.
Para 5 períodos de capitalização a uma taxa de 2% (na mesma unidade de tempo), o ator de capitalização procurado é 1,104081.
Na seção Para consulta, temos algumas tabelas de atores de capitalização
que podem ser utilizadas na resolução de outros problemas.
No uso da calculadora, dependendo do tipo desse equipamento, você pode encontrar um valor com maior precisão para o ator de capitalização calculado se obtiver um valor
com um número maior de casas decimais. No caso de uma calculadora científca que tenha a tecla
digite 1,02, a tecla
x^y
ou
y
x
x^y
, digite 5 e, em seguida, a tecla
ou
=
x y
, basta que você
.
7 Matemática fnanceira A05
Você obterá, então, o ator de capitalização com o maior número de casas decimais que sua calculadora puder apresentar no visor. Nesse caso, teremos 1,1040808032 , se a calculadora apresentar 12 dígitos ou mais. Leia o manual de sua calculadora, antes de utilizá-la. Veja agora mais um exemplo.
Exemplo 5 Qual o valor do juro produzido pelo capital de R$ 3.000,00, quando aplicado à taxa de 1,5% ao dia, em 8 dias? Com taxa e prazo de capitalização em uma mesma unidade de tempo, podemos localizar na tabela o ator de capitalização, no cruzamento da linha de n = 8 e na coluna de i = 1,5%, encontramos o ator 1,126493.
Logo, temos: M = 3.000 · 1,126493 ⇒ M = 3379,479 ⇒ M ≅ 3379,48 J = M – P ⇒ J = 3.379,48 – 3.000,00
⇒
J = 379,48
Foram produzidos R$ 379,48 de juros nessa aplicação.
Nos exemplos anteriores, a unidade de tempo na taxa de juros e no prazo do investimento é a mesma. Quando essa unidade de tempo da taxa e do período de aplicação dierem,
você converte uma delas, como no exemplo a seguir.
Exemplo 6 Qual é o ator de capitalização de um investimento com prazo de 2 meses e taxa de 0,5% ao dia? n = 2
meses = 60 dias (no calendário comercial)
Logo, o ator de capitalização passa a ser (1,005)60, que apresentado com um arredondamento para 8 casas decimais será igual a 1,34885015 .
8 Matemática fnanceira A05
Agora, você já pode resolver outras questões. Vamos lá?!
Praticando...
1
Calcule o montante acumulado na aplicação de R$ 2.000,00, por 5 trimestres,
à taxa de 10% ao semestre.
1. Calcule o ator de capitalização de uma aplicação que envolve um empréstimo por 3 meses de um capital à taxa de 0,5% ao dia. 2. Determine o valor de cada ator de capitalização que envolve um empréstimo a juros compostos, a) por um período de 1 ano e 6 meses, a uma taxa de 2% ao mês; b) por um período de 24 meses, a uma taxa de 25% ao ano; c) por um período de 15 meses, a uma taxa de 9% ao trimestre.
Algumas situações não apresentam períodos que estejam contemplados em nossas tabelas fnanceiras. Nesse caso, podemos utilizar as propriedades das potências. Agora,
observe o exemplo a seguir.
Exemplo 7 Calcule o montante de R$ 5.000,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. Como não temos n = 35 em nossas tabelas, encontraremos o ator de capitalização utilizando a seguinte propriedade das potências: (1 + i ) a + b = (1 + i ) a · (1 + i ) b.
Assim, encontraremos M = 5.000 · (1 + 0,035)35 ⇒ M = 5.000 · (1 + 0,035)5 + 30
9 Matemática fnanceira A05
⇒
M = 5.000
·
(1 + 0,035)5 · (1 + 0,035)30
⇒
M = 5.000
·
1,187686 · 2,806794
⇒
M ≅ 16.667,95
⇒
M = 16.667,94969342...
O montante produzido oi de R$ 16.667,95.
A órmula do montante no regime de juros compostos é M n = P 1 · (1 + i )n . Quando precisamos calcular o valor principal ou capital, podemos isolar o valor de P 1. Assim: P 1 · (1 + i )n = M n ⇒ P 1 = M n · (1 + i )– n ou P 1 = M n ÷ (1 + i )n . Que tal ver um exemplo sobre esse assunto?
Exemplo 8 Calcule o valor do capital aplicado à taxa de 3% ao mês, por 5 meses, a juros compostos, que produziu o montante de R$ 4.057,46.
Temos que: M = 4.057,46 , n = 5 meses e i = 3% ao mês = 0,03 a.m .
Substituindo esses valores na órmula do montante, teremos: 4.057,46 = P 1 · (1 + 0,03)5 P 1 = 4.057,46
÷
⇒
1,1592740743
P 1 = 4.057,46 ⇒
÷
(1 + 0,03)5 ⇒
P 1 ≅ 3.500.
Ou seja, o capital inicial oi de R$ 3.500,00.
Em algumas situações temos que calcular o valor do capital. Para isso, usaremos também a expressão do montante nos juros compostos e isolamos o valor de
P (capital
inicial ou principal). Vejamos um exemplo a seguir.
10 Matemática fnanceira A05
Exemplo 9 Determine o prazo no qual, no regime de juros compostos, um empréstimo de R$ 11.000,00, à taxa de 15% ao semestre, pode ser quitado em um único
pagamento de R$ 22.125,00. No enunciado, temos: M = 22.125, P = 11.000 e i = 0,15 a.s . Logo, 22.125 = 11.000 · (1,15)n ⇒ 22.125 ÷ 11.000 = (1,15)n ⇒
(1,15)n = 2,011364.
Comparando com os valores tabelados na coluna de i = 15%, encontramos que o valor mais próximo para o período é n = 5. Logo, o prazo para que o
empréstimo seja quitado em um só pagamento é de 5 semestres.
Que tal resolver algumas questões agora?!
Praticando...
2
1. Calcular o montante de uma aplicação de R$ 4.000,00, à taxa de 2% ao mês, pelo prazo de 32 meses. 2. Determine o total da dívida contraída pelo empréstimo de R$ 12.000,00, à taxa mensal de 1,5% ao mês, pelo período de 3 anos.
11 Matemática fnanceira A05
Taxa nominal
No regime de juros compostos, sempre que a taxa e o período de capitalização apresentem unidades de tempo dierentes, a taxa deve ser considerada taxa nominal e deve ser convertida para a unidade adequada.
Taxa efetiva e taxa nominal Uma taxa é denominada taxa efetiva quando sua unidade de tempo é a mesma que a unidade de tempo do período de capitalização. A taxa nominal tem unidade de tempo dierente da unidade de tempo do período de capitalização. Nesse caso, é necessário azermos a conversão da unidade proporcionalmente.
Para compreender melhor, veja os exemplos a seguir.
Exemplo 10 Um valor capitalizado mensalmente a uma taxa de 3% ao mês é um exemplo
de taxa eetiva. Uma capitalização anual a uma taxa de 120% ao ano é outro exemplo de taxa eetiva. Uma taxa nominal de 18% ao ano, com capitalização mensal, será transormada para eeito de cálculos em 18% ÷ 12 = 1,5 % ao mês.
Exemplo 11 Qual o montante produzido por R$ 5.000,00, aplicado sob juros compostos trimestrais, taxa de 180% ao ano, durante 1 ano? Como 180% ao ano é a taxa nominal, pois a capitalização é trimestral, devemos dividi-la por 4 para transormar em trimestral. ( 180 ÷ 4 = 45% a.t ). Devemos também considerar n = 4 (pois 1 ano = 4 trimestres). M 4 = 5.000 · (1,45)4 = 5.000 · 4, 42050625 = 22.102,53125 ≅ 22.102,53.
O montante é de R$ 22.102,53
12 Matemática fnanceira A05
Taxas equivalentes no regime de capitalização composta São aquelas que, no regime de juros compostos, aplicadas ao mesmo principal, durante o mesmo prazo, produzem os mesmos montantes. Por exemplo, 10% ao mês, sob juros
compostos, é uma taxa equivalente a 21% ao bimestre. Veja o que acontece, quando essas taxas são aplicadas a um capital de 100 reais: 10% ao mês
21% ao bimestre
Capital
Montante
Capital
Montante
1º. Mês
R$ 100,00
R$ 110,00
R$ 100,00
...
2º. Mês
R$ 110,00
R$ 121,00
...
R$ 121,00
Como os capitais e os montantes são iguais, podemos obter as taxas equivalentes através de igualdades geradas pelos atores de correção, elevados aos expoentes convenientes. Ou seja: (1 + i a )1 = (1 + i s )2 = (1 + i t )4 = (1 + i m )12 = (1 + i d )360 ou (1 + i s ) = (1 + i t )4 = (1 + i m )6 = (1 + i d )180 ou (1 + i t ) = (1 + i m )3 = (1 + i d )90 ou (1 + i m ) = (1 + i d )30, i a , i s , i t , i m , i d são as taxas equivalentes para
capitalização anual, semestral, trimestral,
mensal e diária, respectivamente.
Para entender melhor, observe o exemplo a seguir.
13 Matemática fnanceira A05
Exemplo 12 Qual a taxa semestral, equivalente para juros compostos a 3% ao mês? (1 + i s ) = (1 + i m )6 ⇒ (1 + i s ) = (1,03)6 ⇒ (1 + is) = 1,194052 ⇒ (1 + i s ) = 1 + 0,194052
⇒
i s = 0,194052
⇒
i s = 19,4052% .
Logo, este ator corresponde a uma taxa de 19,4052% ao semestre.
Agora, que tal resolver mais estas questões?!
Praticando...
3
1. Qual o valor do montante produzido pela aplicação de um capital de 5.000,00, à taxa de 24% ao ano, ao fnal de 2 anos, com juros capitalizados
trimestralmente?
2. Um banco emprestou a quantia de R$ 12.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal, qual a taxa eetiva anual e qual é o montante a ser devolvido ao fnal dos 2 anos?
3. Qual a taxa trimestral, equivalente para juros compostos, a 242,102% ao ano?
Dierente do que ocorre com os juros simples, os juros compostos têm ampla utilização.
O conhecimento de juros compostos pode ser aplicado no cálculo de descontos compostos, nos cálculos de rendas ou anuidades, nos cálculos de empréstimos, etc.
14 Matemática fnanceira A05
Desconto Composto Quando um fnanciamento tem suas parcelas antecipadas, quando um empréstimo é
saldado antes do prazo previsto em contrato ou quando um título tem seu vencimento antecipado, podemos calcular um desconto. No regime dos juros compostos, os descontos recebem o nome de descontos compostos.
Existem dois tipos de desconto composto:
Desconto comercial ou “por ora” – é calculado tomando-se como reerência o valor uturo dos títulos. É o tipo de desconto composto menos utilizado.
Desconto racional ou “por dentro” – é calculado tomando-se como reerência o valor
atualizado dos títulos. É o tipo de desconto composto mais utilizado. Chamaremos o valor nominal (ou valor uturo) de um título de N , a taxa aplicada de i , o prazo de aplicação de n e o valor atualizado (valor com desconto) de A para escrever a expressão que nos auxiliará no cálculo do desconto por ora. No cálculo do desconto por ora, para o prazo de n períodos de unidades de tempo, a taxa de desconto incide no primeiro período sobre o valor nominal (ou uturo) do título, ou seja, d 1 = i · N .
Título
Título é um documento que representa uma dívida do emitente (devedor) para com o benefciário (credor). Os tipos de títulos de crédito são: cheque, duplicata, letra de câmbio e nota promissória.
A partir do segundo período, o desconto incide sobre o valor atualizado (já com o desconto) do título, ou seja, dk = i · Ak –1, onde k = 2, 3,..., n .
Veja, no quadro a seguir, o cálculo do valor antecipado para um número k de períodos, no qual consideramos a mesma taxa i de desconto para todos os períodos. Períodos de antecipação
Valor do desconto
k = 1
d 1 = i · N
k = 2
d 2 = i · A1
k = 3
k = 4
d 3 = i · A2
d 4 = i · A3
...
...
k = n
d n = i · An –1
Valor atualizado do título A1 = N – d 1 = N – N · i = N · (1 – i ) ⇒ A1 = N · (1 – i ) A2 = A1 – d 2 ⇒ A2 = A1 – i · A1 = A1 ⇒
·
(1 – i ) = N · (1 – i ) 2 · (1 – i )
·
(1– i ) = N · (1 – i )3 · (1 – i )
A3 = N · (1 – i )3
A4 = A3 – d 4 ⇒ A4 = A3 – i · A3 = A3 ⇒
(1 – i ) = N · (1 – i ) · (1 – i )
A2 = N · (1 – i )2
A3 = A2 – d 3 ⇒ A3 = A2 – i · A2 = A2 ⇒
·
A4 = N · (1 – i )4
...
(1– i ) )n –1 · (1 –i ) ⇒ An = N · (1 – i )n ⇒ A = = N · (1 – i n An = An –1 – d n ⇒ An = An –1 – i · An –1 = An –1
·
15 Matemática fnanceira A05
Assim, o valor líquido de um título, de prazo igual a n períodos de unidades de tempo que sore um desconto composto “por ora” é representado pela expressão: An = N · (1 – i )n .
Que tal mais um exemplo?
Exemplo 13 Considere a antecipação em 120 dias do resgate de um título com valor nominal de R$ 3.000,00, com um desconto por ora a uma taxa de 2,5% ao mês. Qual o valor do desconto aplicado? Temos: N = 3.000,00 , n = 120 dias = 4 meses e i = 2,5% ao mês. A expressão para o cálculo do valor do título com a antecipação é: A = N · (1 – i )n A = 3.000 · (1– 0,025)4 = 3.000 × 0,903688 = 2.711,07 d = N – A = 3.000,00 – 2 711,07 = 288,93.
O valor do desconto aplicado é de R$ 288,93.
No cálculo do desconto “por dentro”, observe a semelhança entre o cálculo do desse desconto com o cálculo do juro composto sobre um capital. No cálculo do juro composto temos como representação do montante a expressão: M = P ·
(1 + i )n . No resgate antecipado de um título, o valor uturo (ou valor nominal) é representado pela expressão N = A · (1 + i )n .
O montante M equivale ao valor nominal (ou valor uturo) do título aplicado P equivale ao valor atual do título A.
N ,
o capital
Quando precisamos calcular o valor atual (ou antecip ado) do título, isolamos o valor N de A e obtemos: A = (1 + i) n
Para calcular o desconto racional (ou por dentro), determinamos a dierença entre o valor uturo de um título (N ) e o seu valor atual ( A). Ou seja, N d = N −A ⇒ d = N − (1 + i) r
r
N · (1 + i) ⇒ d = (1 + i)
n
n
r
n
−
N
N · [(1 + i) ⇒ d = (1 + i)
n
r
−
1]
n
Veja o exemplo a seguir. 16 Matemática fnanceira A05
Exemplo 14 Um título tem valor nominal de R$ 50.000,00. Sabendo-se que o seu vencimento é daqui a 5 meses e que a taxa de desconto cobrada é de 3,5%
ao mês, determine o valor do desconto composto racional desse título se osse resgatado hoje. Temos: N = 50.000,00, n = 5 meses e i = 3,5% a. m. ou i = 0,035 a. m. (1 + i )n = (1 + 0,035)5 ⇒ (1 + i )n = (1,035)5 = 1,187686305646875 d =
N · [(1 + i) (1 + i)
d =
9384, 31528234375 1, 187686305646875
n
r
r
−
1]
⇒
n
d = r
⇒
50000 · [1, 187686305646875 − 1] 1, 187686305646875
d = 7901, 34 r
O valor do desconto racional é de R$ 7.901,34.
Agora, que tal resolver as questões a seguir?
Praticando...
4
1. Um título oi resgatado com uma antecipação de 90 dias, à taxa de 3% ao mês, produzindo um desconto no valor de R$ 1.379,77. Determine o valor nominal do título. 2. Calcule o desconto composto por ora de um título de valor nominal igual a R$ 10.000,00, à taxa de 5% ao mês, cujo resgate oi antecipado
por 60 dias.
3. Calcule o valor nominal de um título que oi resgatado ao valor de R$ 3.065,67, à taxa de 3% ao mês, cujo vencimento se daria daqui a 3 trimestres.
17 Matemática fnanceira A05
Empréstimos e sistemas de amortização O primeiro passo para contrair uma dívida ocorre quando alguém necessita de uma quantia e resolve pedir esse valor por empréstimo a um banco (ou outra instituição fnanceira). Esse empréstimo será associado a um prazo para sua quitação. Quem recebe o empréstimo se compromete a pagar o valor recebido mais os juros devidos, no prazo acertado no contrato. Os empréstimos classif cam-se em: ( I ) curto e médio prazo e ( II ) longo prazo. Os empréstimos de curto e médio prazo são todos os saldados em até 3 anos. Os empréstimos de longo prazo são os que têm prazo superior a 3 anos. Os empréstimos de longo prazo apresentam várias modalidades de restituição do principal e dos juros. Esses empréstimos têm suas condições estipuladas previamente
por contrato entre as par tes, ou seja, entre o credor e o devedor.
Amortização
é o pagamento do principal (capital) emprestado realizado, normalmente, de orma periódica e sucessiva durante o prazo de fnanciamento.
Amortização
Quando contraímos uma dívida para quitá-la a médio ou a longo prazo, devemos considerar a incidência de juros compostos e o ato de o valor nominal de cada pagamento ser ormado por uma mistura de pagamento de juros e de amortização do principal, permitindo o uso de várias metodologias para estabelecer a orma de saldar essa dívida. Os sistemas de amortização oram desenvolvidos para serem utilizados em operações de empréstimos e fnanciamentos de longo prazo. Essas operações envolvem alterações
periódicas do principal e incidência de encargos fnanceiros. Uma característica dos sistemas de amortização que iremos estudar é a utilização exclusiva do sistema de juros compostos, incidindo os juros apenas sobre o saldo devedor (montante) apurado no período imediatamente anterior. Quando azemos um investimento, ocorre uma capitalização e quando azemos um fnanciamento, ocorre uma amortização. Uma sequência de depósitos ou de pagamentos de prestações de um fnanciamento recebe o nome de renda. Cada depósito ou prestação é chamado de termo da renda, e o intervalo de tempo entre a realização de dois termos consecutivos é chamado de período da renda. Observe que o período pode ser mensal,
trimestral, semestral, anual etc.
18 Matemática fnanceira A05
Exemplo 15 Quando consideramos a compra de um computador em 6 prestações mensais de R$ 150,00, cada uma das prestações é um termo da renda e o período é mensal.
Quando azemos um fnanciamento ou um empréstimo, chamamos de saldo devedor ou de estado da dívida o valor devido em certo período, imediatamente após a realização
do pagamento relativo a este período.
Praticando...
5
1. Uma pessoa deposita ao fnal de cada mês, em uma fnanceira, durante 4 meses, a quantia de R$ 92,00 . Calcule o montante da renda, sabendo que são pagos juros compostos de 2% ao mês, capitalizados
mensalmente.
2. Uma pessoa deposita R$ 620,00, no fnal de cada mês. Sabendo que esse capital rende juros de 2% ao mês, quanto possuirá em 1 ano e 4 meses?
3. Calcule o valor da dívida que pode ser amortizada por 15 prestações mensais de R$ 8.000,00 cada uma, sendo de 2% ao mês a taxa de juros.
19 Matemática fnanceira A05
Estudaremos alguns sistemas de amortização utilizados na amortização de empréstimos, para que você conheça um pouco sobre esse assunto.
Sistemas de amortização
Um sistema de amortização é o meio pelo qual se paga uma dívida contraída. É eita pelo devedor a escolha da maneira mais conveniente para ele.
Prazo de carência
Principais sistemas sistemas de amortização amor tização Nos sistemas de amortização, o juro será sempre cobrado sobre o saldo devedor, considerando a taxa de juros compostos, sendo que, quando quando não houver pagamento de
uma parcela, teremos a elevação do saldo devedor, pois, nesse caso, haverá o cálculo de juro sobre juro. Pode-se estabelecer, ou não, em qualquer um dos sistemas de amortização, um prazo de carência.
Veja agora os principais sistemas de amor tização:
Chamamos de prazo de carência o período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. Durante esse prazo o devedor só paga os juros.
Sistemas de Amortização Constante – (SAC) Nesse sistema, as parcelas de amortização são todas iguais, mas as prestações têm valores dierentes. Os juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada (na orma unitária) pelo saldo devedor devedor existente no período anterior. anterior. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 16 Considere uma dívida de R$ 10.000,00, saldada em cinco amortizações mensais, a 1,5% ao mês de taxa de juros.
O principal oi emprestado no início do 1º mês e as prestações e os juros serão pagos no fm f m de cada mês, ou seja, sempre sobre o saldo devedor dev edor do
20 Matemática fnanceira A05
período anterior. anterior. A amortização amorti zação é mensal e a prestação é obtida somandose, ao fnal de cada período, a amortização com os juros. Valor da amortização em cada parcela: R$ 10.000 ÷ 5 = R$ 2.000,00. Mês
Saque
Saldo devedor
Amor tização
Juros
Prestação
0
10.000,00
10.000,00 10
-
-
-
1
-
8.000,00
2.000,00
150,00
2.150,00
2
-
6.000,00
2.000,00
120,00
2.120,00
3
-
4.000,00
2.000,00
90,00
2.090,00
4
-
2.000,00
2.000,00
60,00
2.060,00
5
-
-
2.000,00
30,00
2.030,00
Total
-
-
10.000,00
450,00
10.450,00
Sistema Francês - PRICE
Nesse sistema, o devedor devolve o principal mais os juros em prestações iguais entre si. As prestações são fxas, mas as parcelas de amortização são v ariáveis. A dívida fca
completamente quitada na última prestação. Para calcular a prestação P azemos o produto do valor fnanciado pelo coefciente K i · (1 + i) (1 + i) − 1 n
obtido pela expressão k =
n
Considere a seguinte situação.
Exemplo 17 Para a quitação de um empréstimo de R$ 30.000,00, a taxa de 2% ao mês, em 5 prestações (ixas), pelo sistema rancês de amortização (PRICE), temos:
Cálculo do coefciente k : i · (1 + i) (1 + i) − 1 n
k=
⇒
k=
n
⇒ k =
0, 022081616064 0, 1040808032
0, 02 · (1 + 0, 02)5 (1 + 0, 02)5 − 1 ⇒
⇒
k=
0, 02 · (1, 1040808032) (1, 1040808032) − 1
k = 0, 212158
Cálculo do valor de cada prestação: R$ 30.000 · k = R$ 6.364,75
21 Matemática fnanceira A05
Teremos 5 prestações iguais de R$ 6.364,75 e os juros são calculados sobre o saldo devedor do período anterior, como no sistema de amor tização constante.
A amortização será calculada pela dierença entre a prestação e o juro, e o saldo devedor será calculado como sendo a dierença entre o saldo devedor do período
anterior e a amortização do período: Mês
Saque
Prestação
Juros
Amortização
0
30.000,00
1
-
6.364,75
600,00
5.764,75
24.235,25
2
-
6.364,75
484,71
5.880,04
18.355,21
3
-
6.364,75
367,10
5.997,65
12.357,56
4
-
6.364,75
247,15
6.117,60
6.239,96
5
-
6.364,75
124,80
6.239,96
0,00
Total
-
31.823,75
1.823,76
30.000,00
0,00
-
Saldo devedor 30.000,00
Sistema Americano
Nesse sistema de amortização, o devedor paga o capital emprestado, após certo prazo,
em uma única parcela. Quanto à incidência de juros, há duas modalidades:
com a incidência de juros apenas sobre o saldo devedor;
com a incidência de juros sobre o montante (valor emprestado mais juros).
Quanto ao pagamento dos juros, temos duas situações:
o pagamento dos juros pode ser eito durante a carência; o pagamento pode ser eito ao fnal do prazo contratado, juntamente com o valor do empréstimo.
O caso mais comum é aquela em que o devedor paga juros durante a carência. Observe
o exemplo a seguir.
22 Matemática fnanceira A05
Exemplo 18 Considere um f nanciamento de R$ 80.000,00 a ser amortizado ao f nal de 5 meses pelo sistema americano de amortização.
Nesse caso, temos P = 50.000,00 ; i = 1,5% a.m. e amortização no 5º mês. 1ª situação: Com os juros calculados sobre o saldo devedor a cada mês e pagos ao fnal do prazo de amortização. Mês
Saque
Saldo devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
80.000,00
80.000,00
-
-
-
1
-
80.000,00
-
1.200,00
-
2
-
80.000,00
-
1.200,00
-
3
-
80.000,00
-
1.200,00
-
4
-
80.000,00
-
1.200,00
-
5
-
80.000,00
1.200,00
86.000,00
Total
-
80.000,00
6.000,00
86.000,00
2ª situação: Com capitalização dos juros durante a carência e pagamento ao fnal. Mês
Saque
Saldo devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
80.000,00
80.000,00
-
-
-
1
-
81.200,00
-
1.200,00
1.200,00
2
-
81.218,00
-
1.218,00
1.218,00
3
-
81.236,27
-
1.236,27
1.236,27
4
-
81.254,81
-
1.254,81
1.254,81
5
-
81.273,63
80.000,00
1.273,63
81.273,63
Total
-
80.000,00
6.182,71
86.182,71
23 Matemática fnanceira A05
Praticando...
6
1. Considere o pagamento de um fnanciamento no valor de R$ 12.000,00, sem entrada, com prazo de 24 meses, a taxa de 0,5% ao mês, a) no sistema SAC; b) no sistema PRICE; c) no sistema americano de amortização, com pagamento mensal de juros que incidem apenas sobre o saldo devedor.
Agora que você já resolveu todas as atividades, resolva a lista de exercícios a seguir.
24 Matemática fnanceira A05
1. José conseguiu um empréstimo de R$ 20.000,00 para sua empresa que deverá ser pago ao fnal de 1 ano, acrescidos de juros compostos de 0,5%
ao mês. Ao fnal do prazo estabelecido, ele deverá pagar um montante
aproximado, de
a) R$ 20.566,66 b) R$ 20.996,56 c) R$ 21.233,56 d) R$ 22.356,66
s o i c í c r e x E
2. George aplicou certo capital à taxa composta de 1% ao mês. Esse investimento produziu um montante de R$ 4.650,00 ao fnal de 8 meses.
O valor aplicado oi, aproximadamente, de
a) R$ 5.035,29 b) R$ 5.305,29 c) R$ 5.503,29 d) R$ 5.903,29 3. A taxa anual equivalente a 1,3% a.m . é, aproximadamente, de a) 15,6% b) 16,8% c) 18,6% d) 21,3% 4. A taxa eetiva de um investimento capitalizado mensalmente a uma taxa de 21% ao ano é
a) 1,75% ao mês. b) 1,8% ao trimestre. c) 1,9% ao mês. d) 1,95% ao trimestre.
25 Matemática fnanceira A05
5. O prazo necessário para a aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 3% ao mês produzir um rendimento de R$ 2.128,80 é de, aproximadamente, a) 8 meses. b) 10 meses. c) 12 meses. d) 14 meses. 6. Quantas parcelas de R$ 2.000,00, a uma taxa de 0,5% ao mês, devo
depositar em certa operação fnanceira para que possa constituir um capital de R$ 16.282,82?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 7. Um título de R$ 5.000,00 oi resgatado com uma antecipação de 60 dias, à taxa de 3% ao mês. O valor pago pelo título nessa antecipação
do resgate oi igual a
a) R$ 4.563,37 b) R$ 4. 653,37 c) R$ 4. 657,33 d) R$ 4. 675,33 8. Um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00 oi resgatado com uma antecipação de 90 dias, a uma taxa de 1,5% ao mês. O valor do desconto
composto por ora concedido oi igual a
a) R$ 212,46 b) R$ 212,64 c) R$ 221,64 d) R$ 261,24
26 Matemática fnanceira A05
Em nossa aula, você aprendeu a descrever o que é o regime de capitalização
composta e o que são juros compostos. Aprendeu também a resolver situações que envolvam o cálculo dos juros compostos ou, no regime de capitalização composta, determinar a taxa de juros, o prazo da aplicação, o
valor do capital aplicado ou o montante produzido.
Agora que você já resolveu todas as atividades e todos os exercícios, verifque sua aprendizagem com a autoavaliação a seguir, que envolve assuntos desta aula e de aulas anteriores.
1. Qual oi a taxa mensal em que oi aplicado um capital de R$ 150,00, durante 60 dias, para produzir, a juros simples, um montante de R$ 153,00?
2. André investiu R$ 12.000,00, por 5 meses, à taxa de 2% ao mês, sob o regime de juros compostos. Apresente no quadro abaixo o desenvolvimento dessa aplicação. Período
Capital inicial
Juros
Montante
1º. mês 2º. mês 3º. mês 4º. mês 5º. mês
27 Matemática fnanceira A05
3. Qual o montante acumulado na aplicação de R$ 3.000,00, no regime de juros compostos, à taxa de 2,5% ao mês, por 9 meses? 4. Qual é o valor dos juros produzidos na aplicação no regime de capitalização composta do capital de R$ 10.000,00, à taxa mensal de 1,5%, por 10 meses?
5. Qual o montante produzido por R$ 2.500,00, aplicados sob taxa eetiva de 12% ao trimestre, em 15 meses? 6. Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a juros simples de 5% ao mês, triplique de valor? 7. Em um empréstimo realizado no BANCO T. IRA TUDO S.A. oi pago um total de R$ 1.639,09. O prazo da operação oi de 3 meses e a taxa de juros compostos oi de 3% ao mês. Qual oi o valor do empréstimo?
8. O preço de uma mercadoria era R$ 2.800,00, ou então, uma entrada de 20% e mais um pagamento de R$ 2.688,00, após 40 dias, fnanciamento a juros simples. Qual a taxa anual de juros que está sendo cobrada pela loja?
9. Apliquei um capital a juros simples de 4% ao mês, durante 2 meses e, em seguida, reapliquei o montante por 6 meses, a juros simples de 5% ao mês. Qual o capital inicial, se o montante fnal oi de R$ 30.888,00? 10. Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$ 2.700,00, dispondo de R$ 9.000,00 de capital, a que taxa de juro simples quinzenal o capital
deve ser aplicado?
11. O juro e o montante em uma aplicação a juros simples estão entre si, como 4 está para 20. O tempo de aplicação oi de 5 anos. Qual a taxa
anual do investimento? 12. Qual a taxa anual, equivalente para juros compostos, a 20% ao bimestre?
13. Dada a taxa de juros compostos de 9, 2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros compostos equivalente mensal. 14. Considere o pagamento de um fnanciamento no valor de R$ 8.000,00, sem entrada, com prazo de 24 meses, à taxa de 2% ao mês, a) no sistema SAC; b) no sistema PRICE; c) no sistema americano de amortização, com pagamento mensal de juros que incidem apenas sobre o saldo devedor.
28 Matemática fnanceira A05
Para consulta
Fórmulas úteis no cálculo de elementos no regime de Juros compostos Cálculo do montante:
M = P ·
(1 + i )n , sendo
P o
capital inicial; i , a taxa de juros
constante em todos os períodos e n , o número de períodos da aplicação (ou empréstimo).
Cálculo do juro: J = M – P ⇒ J = P · (1 + i )n – P ⇒ J = P · [(1 + i )n – 1]. Cálculo de montante para período n não tabelado: Com a e b valores de n tabelados,
temos: M = P · (1 + i )a + b = P · (1 + i )a · (1 + i )b. Cálculo do capital: P = M n ÷ (1 + i )n ou P = M n · (1 + i )– n Taxas equivalentes: (1 + i a )1 = (1 + i s )2 = (1 + i t )4 = (1 + im)12 = (1 + i d )360
ou (1 + i s ) = (1 + i t )4 = (1 + i m )6 = (1 + i d )180
ou (1 + i t ) = (1 + i m )3 = (1 + i d )90
ou (1 + i m ) = (1 + i d )30
Valor antecipado no desconto composto comercial ou ‘por ora’: An = N · (1 – i )n ; N é o valor nominal do título.
Valor antecipado no desconto composto racional ou ‘por dentro’: A=
N (1 + i)
n
, sendo d r = N – A.
Tabelas de atores de capitalização (1 + i )n
29 Matemática fnanceira A05
Tabela 1 – Fatores de capitalização com taxas percentuais de 0,5% a 4,5%. n
i = 0,5%
i = 1%
i = 1,5%
i = 2%
i = 2,5%
i = 3%
i = 3,5%
i = 4%
i = 4,5%
1
1,005000 1,010000 1,015000 1,020000 1,025000 1,030000 1,035000 1,040000 1,045000
2
1,010025 1,020100 1,030225 1,040400 1,050625 1,060900 1,071225 1,081600 1,045000
3
1,015075 1,030301 1,045678 1,061208 1,076891 1,092727 1,108718 1,124864 1,045000
4
1,020151 1,040604 1,061364 1,082432 1,103813 1,125509 1,147523 1,169859 1,045000
5
1,025251 1,051010 1,077284 1,104081 1,131408 1,159274 1,187686 1,216653 1,045000
6
1,030378 1,061520 1,093443 1,126162 1,159693 1,194052 1,229255 1,265319 1,045000
7
1,035529 1,072135 1,109845 1,148686 1,188686 1,229874 1,272279 1,315932 1,045000
8
1,040707 1,082857 1,126493 1,171659 1,218403 1,266770 1,316809 1,368569 1,045000
9
1,045911 1,093685 1,143390 1,195093 1,248863 1,304773 1,362897 1,423312 1,045000
10
1,051140 1,104622 1,160541 1,218994 1,280085 1,343916 1,410599 1,480244 1,045000
11
1,056396 1,115668 1,177949 1,243374 1,312087 1,384234 1,459970 1,539454 1,045000
12
1,061678 1,126825 1,195618 1,268242 1,344889 1,425761 1,511069 1,601032 1,045000
13
1,066986 1,138093 1,213552 1,293607 1,378511 1,468534 1,563956 1,665074 1,045000
14
1,072321 1,149474 1,231756 1,319479 1,412974 1,512590 1,618695 1,731676 1,045000
15
1,077683 1,160969 1,250232 1,345868 1,448298 1,557967 1,675349 1,800944 1,045000
16
1,083071 1,172579 1,268986 1,372786 1,484506 1,604706 1,733986 1,872981 1,045000
17
1,088487 1,184304 1,288020 1,400241 1,521618 1,652848 1,794676 1,947900 1,045000
18
1,093929 1,196147 1,307341 1,428246 1,559659 1,702433 1,857489 2,025817 1,045000
19
1,099399 1,208109 1,326951 1,456811 1,598650 1,753506 1,922501 2,106849 1,045000
20
1,104896 1,220190 1,346855 1,485947 1,638616 1,806111 1,989789 2,191123 1,045000
21
1,110420 1,232392 1,367058 1,515666 1,679582 1,860295 2,059431 2,278768 1,045000
22
1,115972 1,244716 1,387564 1,545980 1,721571 1,916103 2,131512 2,369919 1,045000
23
1,121552 1,257163 1,408377 1,576899 1,764611 1,973587 2,206114 2,464716 1,045000
24
1,127160 1,269735 1,429503 1,608437 1,808726 2,032794 2,283328 2,563304 1,045000
25
1,132796 1,282432 1,450945 1,640606 1,853944 2,093778 2,363245 2,665836 1,045000
26
1,138460 1,295256 1,472710 1,673418 1,900293 2,156591 2,445959 2,772470 1,045000
27
1,144152 1,308209 1,494800 1,706886 1,947800 2,221289 2,531567 2,883369 1,045000
28
1,149873 1,321291 1,517222 1,741024 1,996495 2,287928 2,620172 2,998703 1,045000
29
1,155622 1,334504 1,539981 1,775845 2,046407 2,356566 2,711878 3,118651 1,045000
30
1,161400 1,347849 1,563080 1,811362 2,097568 2,427262 2,806794 3,243398 1,045000
Tabela 2 – Fatores de capitalização com taxas percentuais de 5% a 9,5% n
i = 5%
i = 5,5%
i = 6%
i = 6,5%
i = 7%
i = 7,5%
i = 8%
i = 8,5%
i = 9%
i = 9,5%
1
1,050000
1,055000
1,060000
1,065000
1,070000
1,075000
1,080000
1,085000
1,090000
1,095000
2
1,102500
1,113025
1,123600
1,134225
1,144900
1,155625
1,166400
1,177225
1,188100
1,199025
3
1,157625
1,174241
1,191016
1,207950
1,225043
1,242297
1,259712
1,277289
1,295029
1,312932
4
1,215506
1,238825
1,262477
1,286466
1,310796
1,335469
1,360489
1,385859
1,411582
1,437661
5
1,276282
1,306960
1,338226
1,370087
1,402552
1,435629
1,469328
1,503657
1,538624
1,574239
6
1,340096
1,378843
1,418519
1,459142
1,500730
1,543302
1,586874
1,631468
1,677100
1,723791
7
1,407100
1,454679
1,503630
1,553987
1,605781
1,659049
1,713824
1,770142
1,828039
1,887552
8
1,477455
1,534687
1,593848
1,654996
1,718186
1,783478
1,850930
1,920604
1,992563
2,066869
30 Matemática fnanceira A05
n
i = 5%
i = 5,5%
i = 6%
i = 6,5%
i = 7%
i = 7,5%
i = 8%
i = 8,5%
i = 9%
i = 9,5%
9
1,551328
1,619094
1,689479
1,762570
1,838459
1,917239
1,999005
2,083856
2,171893
2,263222
10
1,628895
1,708144
1,790848
1,877137
1,967151
2,061032
2,158925
2,260983
2,367364
2,478228
11
1,710339
1,802092
1,898299
1,999151
2,104852
2,215609
2,331639
2,453167
2,580426
2,713659
12
1,795856
1,901207
2,012196
2,129096
2,252192
2,381780
2,518170
2,661686
2,812665
2,971457
13
1,885649
2,005774
2,132928
2,267487
2,409845
2,560413
2,719624
2,887930
3,065805
3,253745
14
1,979932
2,116091
2,260904
2,414874
2,578534
2,752444
2,937194
3,133404
3,341727
3,562851
15
2,078928
2,232476
2,396558
2,571841
2,759032
2,958877
3,172169
3,399743
3,642482
3,901322
16
2,182875
2,355263
2,540352
2,739011
2,952164
3,180793
3,425943
3,688721
3,970306
4,271948
17
2,292018
2,484802
2,692773
2,917046
3,158815
3,419353
3,700018
4,002262
4,327633
4,677783
18
2,406619
2,621466
2,854339
3,106654
3,379932
3,675804
3,996019
4,342455
4,717120
5,122172
19
2,526950
2,765647
3,025600
3,308587
3,616528
3,951489
4,315701
4,711563
5,141661
5,608778
20
2,653298
2,917757
3,207135
3,523645
3,869684
4,247851
4,660957
5,112046
5,604411
6,141612
21
2,785963
3,078234
3,399564
3,752682
4,140562
4,566440
5,033834
5,546570
6,108808
6,725065
22
2,925261
3,247537
3,603537
3,996606
4,430402
4,908923
5,436540
6,018028
6,658600
7,363946
23
3,071524
3,426152
3,819750
4,256386
4,740530
5,277092
5,871464
6,529561
7,257874
8,063521
24
3,225100
3,614590
4,048935
4,533051
5,072367
5,672874
6,341181
7,084574
7,911083
8,829556
25
3,386355
3,813392
4,291871
4,827699
5,427433
6,098340
6,848475
7,686762
8,623081
9,668364
26
3,555673
4,023129
4,549383
5,141500
5,807353
6,555715
7,396353
8,340137
9,399158 10,586858
27
3,733456
4,244401
4,822346
5,475697
6,213868
7,047394
7,988061
9,049049 10,245082 11,592610
28
3,920129
4,477843
5,111687
5,831617
6,648838
7,575948
8,627106
9,818218 11,167140 12,693908
29
4,116136
4,724124
5,418388
6,210672
7,114257
8,144144
9,317275 10,652766 12,172182 13,899829
30
4,321942
4,983951
5,743491
6,614366
7,612255
8,754955 10,062657 11,558252 13,267678 15,220313
Tabela 3 – Fatores de capitalização com taxas percentuais de 10% a 25% n
i = 10%
i = 11%
i = 12%
i = 12,5%
i = 15%
i = 17,5%
i = 18%
i = 20%
i = 24%
i = 25%
1
1,100000
1,110000
1,120000
1,125000
1,150000
1,175000
1,180000
1,200000
1,240000
1,250000
2
1,210000
1,232100
1,254400
1,265625
1,322500
1,380625
1,392400
1,440000
1,537600
1,562500
3
1,331000
1,367631
1,404928
1,423828
1,520875
1,622234
1,643032
1,728000
1,906624
1,953125
4
1,464100
1,518070
1,573519
1,601807
1,749006
1,906125
1,938778
2,073600
2,364214
2,441406
5
1,610510
1,685058
1,762342
1,802032
2,011357
2,239697
2,287758
2,488320
2,931625
3,051758
6
1,771561
1,870415
1,973823
2,027287
2,313061
2,631644
2,699554
2,985984
3,635215
3,814697
7
1,948717
2,076160
2,210681
2,280697
2,660020
3,092182
3,185474
3,583181
4,507667
4,768372
8
2,143589
2,304538
2,475963
2,565785
3,059023
3,633314
3,758859
4,299817
5,589507
5,960464
9
2,357948
2,558037
2,773079
2,886508
3,517876
4,269144
4,435454
5,159780
6,930988
7,450581
10
2,593742
2,839421
3,105848
3,247321
4,045558
5,016244
5,233836
6,191736
8,594426
9,313226
11
2,853117
3,151757
3,478550
3,653236
4,652391
5,894087
6,175926
7,430084
10,657088
11,641532
12
3,138428
3,498451
3,895976
4,109891
5,350250
6,925552
7,287593
8,916100
13,214789
14,551915
13
3,452271
3,883280
4,363493
4,623627
6,152788
8,137524
8,599359
10,699321
16,386338
18,189894
14
3,797498
4,310441
4,887112
5,201580
7,075706
9,561590
10,147244
12,839185
20,319059
22,737368
15
4,177248
4,784589
5,473566
5,851778
8,137062
11,234869
11,973748
15,407022
25,195633
28,421709
16
4,594973
5,310894
6,130394
6,583250
9,357621
13,200971
14,129023
18,488426
31,242585
35,527137
17
5,054470
5,895093
6,866041
7,406156
10,761264
15,511141
16,672247
22,186111
38,740806
44,408921
18
5,559917
6,543553
7,689966
8,331926
12,375454
18,225590
19,673251
26,623333
48,038599
55,511151
31 Matemática fnanceira A05
n
i = 10%
i = 11%
i = 12%
i = 12,5%
i = 15%
i = 17,5%
i = 18%
i = 20%
i = 24%
i = 25%
19
6,115909
7,263344
8,612762
9,373417
14,231772
21,415068
23,214436
31,948000
59,567863
69,388939
20
6,727500
8,062312
9,646293
10,545094 16,366537
25,162705
27,393035
38,337600
73,864150
86,736174
21
7,400250
8,949166
10,803848 11,863231 18,821518
29,566179
32,323781
46,005120
91,591546
108,420217
22
8,140275
9,933574
12,100310 13,346134 21,644746
34,740260
38,142061
55,206144
113,573517 135,525272
23
8,954302
11,026267 13,552347 15,014401 24,891458
40,819806
45,007632
66,247373
140,831161 169,406589
24
9,849733
12,239157 15,178629 16,891201 28,625176
47,963272
53,109006
79,496847
174,630639 211,758237
25 10,834706 13,585464 17,000064 19,002602 32,918953
56,356844
62,668627
95,396217
216,541993 264,697796
26 11,918177 15,079865 19,040072 21,377927 37,856796
66,219292
73,948980 114,475460 268,512071 330,872245
27 13,109994 16,738650 21,324881 24,050168 43,535315
77,807668
87,259797 137,370552 332,954968 413,590306
28 14,420994 18,579901 23,883866 27,056438 50,065612
91,424010 102,966560 164,844662 412,864160 516,987883
29 15,863093 20,623691 26,749930 30,438493 57,575454 107,423211 121,500541 197,813595 511,951559 646,234854 30 17,449402 22,892297 29,959922 34,243305 66,211772 126,222273 143,370638 237,376314 634,819933 807,793567
Tabela 4 – Fatores de capitalização com taxas percentuais de 27,5% a 50% n
i = 27,5%
i = 30%
i = 32,5%
i = 35%
i = 37,5%
i = 40%
i = 42,5%
i = 45%
i = 47,5%
i = 50%
1
1,27500
1,30000
1,32500
1,3500
1,37500
1,40000
1,42500
1,45000
1,4750
1,5000
2
1,62563
1,69000
1,75563
1,8225
1,89063
1,96000
2,03063
2,10250
2,1756
2,2500
3
2,07267
2,19700
2,32620
2,4604
2,59961
2,74400
2,89364
3,04863
3,2090
3,3750
4
2,64266
2,85610
3,08222
3,3215
3,57446
3,84160
4,12344
4,42051
4,7333
5,0625
5
3,36939
3,71293
4,08394
4,4840
4,91489
5,37824
5,87590
6,40973
6,9817
7,5938
6
4,29597
4,82681
5,41122
6,0534
6,75797
7,52954
8,37316
9,29411
10,2980
11,3906
7
5,47736
6,27485
7,16987
8,1722
9,29221
10,54135
11,93175
13,47647
15,1895
17,0859
8
6,98363
8,15731
9,50007
11,0324
12,77678
14,75789
17,00274
19,54088
22,4045
25,6289
9
8,90413
10,60450
12,58760
14,8937
17,56808
20,66105
24,22890
28,33427
33,0467
38,4434
10
11,35277
13,78585
16,67857
20,1066
24,15611
28,92547
34,52619
41,08469
48,7439
57,6650
11
14,47478
17,92160
22,09910
27,1439
33,21465
40,49565
49,19982
59,57280
71,8972
86,4976
12
18,45535
23,29809
29,28131
36,6442
45,67014
56,69391
70,10974
86,38056
106,0484
129,7463
13
23,53057
30,28751
38,79774
49,4697
62,79645
79,37148
99,90638
125,25182
156,4214
194,6195
14
30,00147
39,37376
51,40700
66,7841
86,34512
111,12007
142,36660
181,61513
230,7216
291,9293
15
38,25188
51,18589
68,11428
90,1585
118,72453
155,56810
202,87240
263,34194
340,3144
437,8939
16
48,77115
66,54166
90,25142
121,7139
163,24623
217,79533
289,09317
381,84582
501,9637
656,8408
17
62,18321
86,50416
119,58313
164,3138
224,46357
304,91347
411,95777
553,67643
740,3965
985,2613
18
79,28359
112,45541
158,44765
221,8236
308,63741
426,87885
587,03982
802,83083
1092,0848
1477,8919
19
101,08658
146,19203
209,94314
299,4619
424,37644
597,63040
836,53174
1164,10470
1610,8251
2216,8378
20
128,88539
190,04964
278,17466
404,2736
583,51760
836,68255
1192,05773 1687,95181
2375,9670
3325,2567
21
164,32887
247,06453
368,58142
545,7693
802,33671
1171,35558
1698,68226 2447,53013
3504,5513
4987,8851
22
209,51931
321,18389
488,37039
736,7886
1103,21297
1639,89781
2420,62222 3548,91869
5169,2132
7481,8276
23
267,13713
417,53905
647,09076
994,6646
1516,91784
2295,85693
3449,38666 5145,93210
7624,5895
11222,7415
24
340,59984
542,80077
857,39526 1342,7973 2085,76202
3214,19970
4915,37600
11246,2695
16834,1122
25
434,26479
705,64100 1136,04872 1812,7763 2867,92278
4499,87958
7004,41079 10819,32224 16588,2476
25251,1683
26
553,68761
917,33330 1505,26455 2447,2480 3943,39383
6299,83141
9981,28538 15688,01725 24467,6651
37876,7524
27
705,95170 1192,53329 1994,47553 3303,7848 5422,16651
8819,76398 14223,33167 22747,62501 36089,8061
56815,1287
7461,60154
32 Matemática fnanceira A05
n
i = 27,5%
i = 30%
i = 32,5%
i = 35%
i = 37,5%
i = 40%
i = 42,5%
i = 45%
i = 47,5%
i = 50%
28
900,08842 1550,29328 2642,68008 4460,1095 7455,47896 12347,66957 20268,24763 32984,05626 53232,4640
85222,6930
29 1147,61273 2015,38126 3501,55111 6021,1478 10251,28356 17286,73740 28882,25287 47826,88158 78517,8844
127834,0395
30 1463,20624 2619,99564 4639,55522 8128,5495 14095,51490 24201,43236 41157,21034 69348,97829 115813,8794 191751,0592
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br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos024.asp>. Acesso em: 6 mar. 2009.
33 Matemática fnanceira A05
Anotações
34 Matemática fnanceira A05
Anotações
35 Matemática fnanceira A05
Anotações
36 Matemática fnanceira A05