Analisis komples adalah salah satu mata kuliah di program studi pendidikan matematika. Dalam mata kuliah ini dipelajari segala sesuatu yang berhubungan dengan bilangan kompleks baik itu operasi-operasi yang berlaku, fungsi bilangan kompleks, dan lain-lain. Diantaranya juga dipelajari tentang deret bilangan kompleks. Untuk lebih memahami deret bilangan kompleks beserta teorema dan aturan yang berlaku dalam deret bilangan kompleks itu sendiri maka dosen member tugas pembuatan makalah mengenai deret bilangan kompleks. Oleh sebab itu penulis membuat makalah ini untuk lebih memahami mengenai deret bilangan kompleks sekaligus menyelesaikan tugas dari dosen.
Deret bilangan kompleks merupakan penjumlahan sukusuku pada barisan bilangan kompleks. Deret bilangan kompleks dinotasikan
z
n
z 1 z 2 z 3 ... ... z n ... ...
n 1
dengan suku-suku deret yaitu z 1 , z 2 , z 3 , .
Analisis Kompleks
1
Misalkan,
S 1 z 1
merupakan
jumlah
suku
S 2 z 1 z 2
pertama merupakan
jumlah
dua
S 3 z 1 z 2 z 3
suku pertama merupakan jumlah
tiga
S n z 1 z 2 z n
suku pertama merupakan jumlah n suku
pertama Jika barisn S n mempunyai limit diperoleh jumlah
... z n ... ... tak berhingga z 1 z 2 z 3 ...
Jadi dalam symbol dituliskan lim S n = n
z n
n 1
Kekonvergenan suatu deret ditentukan oleh ada atau
tidak
adanya
limit
barisan
jumlah
bagiannya.
Kekonvergenan deret tersebut disajikan berikut ini :
z n konvergen
- Deret
ke
S jika dan hanya jika
n 1
lim S n S n
-
z n divergen ke
Deret
n 1
S jika dan hanya jika lim S n n
tidak ada.
Analisis Kompleks
2
5i 5i 5i 5i , , ,... dibentuk deret Dari barisan n = 2 4 8 2
5i
2 n 1
n
.
Tentukanlah apakah deret tersebut konvergen atau divergen!
lim S n = n
5i
2 n 1
n
=
1 1 1 1 ... .. . ... .. . 1 2 3 2 n 2 2 2
5i
n 1
Bagian ruas kanan yang didalam kurung merupakan deret geometri dengan suku pertama a hingganya adalah
a 1 r
1
1
2
2
dan r dan jumlah tak
=1.
Maka diperoleh limit lim S n = 5i . Jadi deret n
5i
2 n 1
n
konvergen
ke 5i .
∑ ∑ ∑ ∑
iberikan deret bilangan kompleks ;
(a)
∑ ∑ ∑ ∑|| ∑
dengan
konvergen jika dan hanya jika
konvergen.
(b)
(c)
konvergen,
konvergen.
Analisis Kompleks
konvergen, maka
konvergen
artinya
jika
mutlak,
dan
.
maka
maka
3
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ Misalkan deret
konvergen ke
, sehingga
.
Akan ditunjukan bahwa deret dan deret
konvergen ke
konvergen ke
.
Menurut definisi diperoleh,
Akibatnya diperoleh,
dan
Karena
dan
berturut-turut merupakan
jumlah bagian dari dan
dan
, maka
konvergen.
Misalkan
konvergen ke
Akan ditunjukan
dan
konvergen ke
Karena
.
,
Menurut teorema diperoleh diperoleh
Karena
,
Jadi terbukti bahwa
konvergen.
||∑ ∑
Diberikan bilangan Akan dibuktikan
sebarang.
Berarti terdapat bilangan asli berlaku
konvergen ke
Diketahui
.
konvergen, berarti terdapat bilangan
kompleks sehingga berlaku
Analisis Kompleks
sehingga jika
4
| | | | || ||||| || | Jadi untuk setiap bilangan sehingga jika berlaku
terdapat bilangan asli dan
Menurut ketaksamaan segitiga, diperoleh
Jadi terbukti bahwa
∑ ∑ ∑ Diberikan
deret
dengan
suku-suku
dan
tak
negative
.
(a) Jika L < 1, maka
konvergen
(b) Jika L > 1, maka
divergen
(c) Jika L = 1, maka pengujian gagal (deret dapat konvergen atau divergen)
||
(a) Diberikan bilangan Karena
sebarang.
untuk setiap n, maka L > 0.
Diketahui L < 1.
Dipilih bilangan real r sehingga L < 2 < 1. Kemudian diambil Karena Sehingga jika Diperoleh jika
, terdapat bilangan asli
berlaku
berlaku
atau
Analisis Kompleks
5
|||| ||| ||| || || | ∑||| ∑∑|||| || ∑ ∑ || | | || | | || ………………… (*)
Diambil
sehingga
dari
(*)
diperoleh
………………….
…………………… (**)
Deret
adalah deret konvergen, karena
merupakan deret geometri dengan ratio r < 1.
Dari (**) dan menggunakan uji banding, diperoleh bahwa deret
konvergen.
Deret
berbeda dari deret
dalam
suku pertama.
Jadi deret
konvergen sehingga deret yang
diberikan konvergen mutlak. (b) Karena
,
dan
L
>
1,
maka
.
Hal ini berarti untuk setiap bilangan
terdapat
bilangan
sehingga
jika
berlaku
.
Perhatikan bahwa Diambil
,
jika dan hanya jika
sehingga diperoleh
……………………………
Jadi jika
Analisis Kompleks
, berlaku
.
6
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Akibatnya Karena
.
, diperoleh deret
(c) Misalkan deret
divergen.
,
Diperoleh
Deret untuk
konvergen untuk p > 1 dan divergen
.
Jadi deret
dapat konvergen dan dapat juga
divergen,
sedangkan .
Tunjukkan bahwa deret menggunakan uji ratio.
Misalkan
Diperoleh,
yang
divergen
∑
, maka
memenuhi
konvergen dengan
Jadi menurut uji ratio, diperoleh bahwa deret tersebut konvergen mutlak.
Analisis Kompleks
7
Diberikan deret dengan suku-suku tak negative n z n L .
lim
n
dan
L 1, z n konvergen mutlak n 1 L 1, z n divergen n 1 L 1, uji gagal
n
lim
∑
z n L
n
n 1
2 .n konvergen
Tunjukkan bahwa deret
n 1
n
dengan
menggunakan uji akar .
Berikut
akan
dipaparkan
menggunakan
uji
akar.
Kesimpulan dari uji akar ini sama dengan uji rasio.
lim
n
n
n 1 n
1
= lim
n
2 .n n 1
Perhatikan bentuk jika n maka
n n 1 n
Perhatikan juga bentuk
Analisis Kompleks
1 n 1 n
2 n
di atas,
= 1.
1
n
.
8
Jika n maka
1
n
= , sehingga limit diatas memiliki
bentuk : 1
lim
n
Karena
1 n 1 n
1
1
= x1 = 2 n 2 2
nilai
limitnya
<
0
1,
maka
deret
n 1
2 .n konvergen. n
n 1
Andaikan
z
n
adalah deret suku-suku tak negative dan
n 1
andaikan bahwa fungsi y f x didapat dari pengganti n pada suku umum deret dengan peubah kontinu x, maka
deret
z
n
akan konvergen jika hanya jika
n 1
f x dx juga 1
konvergen. Dari kalkulus :
b
f x dx = lim f xdx a
b
a
Apa bila limit pada ruas kanan bernilai terhingga, maka integral tak wajar tersebut konvergen dan memiliki nilai yang sama dengan limit tadi. Jika tidak maka integral tersebut divergen.
Tunjukanlah bahwa deret
1
n n 1
2
merupakan deret
konvergen dengan melakukan uji integral.
Analisis Kompleks
9
Coba lakukan pengujian dengan uji rasio, maka akan diperoleh hasil perhitungan L 1 , dengan demikian kita tidak
dapat
menentukan
apakah
deret
tersebut
konvergen atau divergen dengan uji rasio. Inilah saatnya menggunakan uji integral. Lihat penjelasan teori diatas mengenai uji integral. Kita ubah notasi n menjadi peubah kontinu x sehingga diperoleh f x
1 x
2
.
Kita lakukan pengintegralan terhadap fungsi kontinu ini
1
x
2
dx
1
1
x1
1 1 0 1 1 1
Integral fungsi ini bersifat konvergen (ada hasilnya) 1 dengan demikian deret konvergen 2 n 1 n
Diketahui suatu deret
n 1 z n
, dengan z n 0
n 1
Andaikan :
lim z n 0 , n
z n 1 z n
Untuk setiap n yang lebih besar dari suatu bilangan bulat
M tertentu,
maka
deret
yang
diketahui
tersebut
konvergen.
Tunjukanlah bahwa deret
n n 1
in 2
i
merupakan deret
konvergen dengan melakukan uji deret berganti tanda.
Analisis Kompleks
10
Kita lakukan uji rasio pada deret diatas
L lim
n
i
n 1
n 1 i 2
Berarti L i
x
n2 i
1.
i
n
lim
n
i n2 i
n 1 i 2
lim
n
in2 1 n 2n 1 i 2
i
Karena L 1 ,
maka kita tidak dapat mengetahui apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Dengan demikian kita harus menggunakan uji lain. Kita uji dengan pembanding sekali lagi, syaratnya harus hati-hati dalam memilih deret pembanding.
-
Untuk kasus ini kita pilih
in
n n 1
2
sebagai deret pembanding.
Namun bagaimana kita menguji deret ini ? coba kita uraikan deret ini
in
n n 1
Tempat
pada
2
i
1
1
4
bagian
l 9
pembilang
1 16
...
berubah
tanda
dari
i,1,i,1 . Dengan demikian uji deret berganti tanda merupakan uji yang paling tepat untuk deret ini. Lihat lagi teorema untuk deret berganti tanda.
Pada deret
in
n n 1
2
yang membuat berganti tanda adalah
i n , dengan demikian pemeriksaan dilakukan terhadap bagian 1 n
2
.
Analisis Kompleks
11
1
lim
Ternyata
n
n
2
0
dan
1
n 1
2
1 n
2
n 1
in n2
konvergen.
Karena
in
n
2
n 1
konvergen, sementara
n 1
in 2
i
untuk setiap
Jika Jika
divergen,
divergen.
dan
Akan dibuktikan
n
,
maka
konvergen.
konvergen mutlak.
adalah barisan jumlah bagian untuk deret
dan
deret
n 1
2
∑|| ∑||
|| |∑| || ∑|| } ∑|∑|||} ∑|||| | | | |
(a) Diketahui Misalkan
i
in
konvergen, maka
konvergen (mutlak) (b)
2
juga konvergen.
||∑|||| ∑||
Diberikan (a)
n 1
n
maka deret
n
in
adalah barisan jumlah bagian untuk
.
Karena
real M sehingga Karena
konvergen, berarti terdapat bilangan .
, diperoleh
untuk setiap
.
Analisis Kompleks
12
} ∑|| || ∑|| |||∑| || ∑|| || ∑ |∑||||| Karena barisan ,
sebagai jumlah bagian dari deret
sehingga
berlaku
untuk
suatu
bilangan real Akibatnya
konvergen.
(b) Diketahui
dan
divergen.
Akan dibuktikan
divergen.
Andaikan deret
konvergen.
Karena deret
sehingga dari (a) diperoleh barisan
konvergen.
∑||
Hal ini bertentangan dengan hipotesis yang diketahui jadi pengandaian di atas salah, haruslah deret divergen.
Ujilah kekonvergenan deret
dengan menggunakan uji banding.
Diketahui: Bentuk umum deret di atas adalah
,
Kita buat fungsi pembandingnya yaitu
∑
Sehingga berdasarkan definisi adalah Kemudian deret
konvergen.
.
∑
Bukti:
gunakan integral, maka:
Analisis Kompleks
13
∫ ∫
∑
Karena banding
(terbukti)
∑
konvergen, maka berdasarkan uji
diperoleh
bahwa
deret
konvergen
juga
Tentukanlah apakah deret bilangan kompleks dibawah ini konvergen atau divergen : 1.
1 2i n n!
n 1
2.
1
nn 1 n 1
3.
3 i 2n 2n! n 1
4.
i
2
n 1
n 1
5.
n 1
1.
n 1
i 2n n
1 2i n n!
Kita lakukan uji rasio dari deret diatas 1 2i n dan 1 2i n 1 z n z n 1 n 1! n! n 1 n 1
Analisis Kompleks
14
n 1 n 1 2i n1 n! 1 2i 1 2i x L : n! 1 2i n n 1 z n n 1 n 1! n 1 n 1! 1 2i 1 2i 1 2i n n! 0 x n n 1.n! 1 2i n 1 n 1 n 1
z n 1
Karena nilai L 0 , maka deret
1 2i n
n 1
n!
adalah deret
konvergen 2.
1
nn 1 n 1
Kita lakukan uji banding dari deret diatas 1 Diketahui z . n
nn 1 n 1
Karena memakai uji banding, kita cari wn dimana
z n wn
.
Dalam hal ini di dapat wn
| | ∑|| ∑ ∑ ∑ || || ∑ Kita cari nilai deret
Karena
(konvergen)
konvergen, maka sesuai teorema uji banding
juga konvergen. Sebab
3.
Kita lakukan uji ratio untuk menyelesaikan soal di atas
Analisis Kompleks
15
∑ ∑ | | ∑ || ∑ ∑ ∑ , berarti
4.
dan maka deret tersebut konvergen.
Kita lakukan uji konvergen mutlak
Deret
Deret di atas merupakan deret ukur yang konvergen ke
Jadi deret 5.
konvergen.
Menurut teorema deret bilangan real yang berayun dengan monoton turun, maka deret tersebut konvergen. Jika ditinjau lebih lanjut deret
Merupakan deret bilangan real yang divergen. Jadi menurut definisi deret
Analisis Kompleks
konvergen bersyarat.
16
Analisis kompleks adalah salah satu mata kuliah di program studi pendidikan matematika. Dalam mata kuliah ini dipelajari segala sesuatu yang berhubungan dengan bilangan kompleks baik itu operasi-operasi yang berlaku, fungsi kompleks dan
lain-lain.
Diantaranya
juga
dipelajari
Deret
Pangkat
kompleks. Pada materi ini akan dibahas deret pangkat yang merupakan dasar dalam pembahasan deret Taylor dan deret Maclaurin. Selanjutnya akan dibahas pula jari-jari dan daerah kekonvergenan suatu deret pangkat.
Deret pangkat adalah suatu deret tak berhingga yang berbentuk:
a
n
( z c) n a0 a1 ( z c) a 2 ( z c) 2 ... a n ( z c) n ...
n 0
Dimana a n (n = 1, 2, 3,...) konstanta kompleks, z variabel kompleks dan c pusat deret. Kekonvergenan deret pangkat pada suatu titik berhubungan dengan kekonvergenan deret bilangan kompleks. Hal ini disajikan pada definisi berikut.
Analisis Kompleks
17
a
Deret pangkat
n
( z c ) n konvergen pada titik z 0 jika
n 0
dan hanya jika a ( z 0 c ) merupakan deret bilangan n
n
n
0
kompleks yang konvergen
Jika deret bilangan kompleks
a n ( z 0 c ) n divergen,
n 0
maka deret pangkat
a n ( z c ) n divergen pada z 0.
n 0
Jika deret pangkat
a
n
( z c ) n konvergen pada setiap
n 0
titik himpunan S, maka dikatakan deret pangkat tersebut
konvergen pada S. Tetapi jika deret pangkat
a n ( z c ) n
n 0
divergen pada setiap titik di S, dikatakan deret pangkat
a n ( z c ) n divergen pada S.
n 0
Jika pusat deret pangkat c = 0, maka deret pangkat
berbentuk
a z
n
n
. Deret pangkat
n 0
a z
n
n
konvergen di
n 0
suatu titik mengakibatkan konvergen mutlak di setiap bilangan kompleks dengan syarat tertentu. Situasi ini disajikan pada teorema berikut.
Analisis Kompleks
18
Jika deret pangkat
n
a n z konvergen di z 0 (
n 0
a n z n
n 0
konvergen) dengan z 0
≠
0,
maka
Deret
pangkat
a z
n
n
konvergen mutlak disetiap nilai z dengan |z| <
n 0
|z 0|.
Diberikan bilangan
sebarang. Karena deret
a n z n
n 0
lim a n z 0 0 . Hal ini berarti terdapat
kovergen, maka
n
n
bilangan asli n 0 sehingga jika n > n 0 berlaku a n z 0
n
.
Untuk setiap bilangan kompleks z, berlaku 0 z z 0 dan akibatnya adalah 0 z z 1 . Oleh karena itu, diperoleh z 0
z 0
a n z n a n z 0 . n
Karena lim a n z 0 n
n
z 0
n
a n z 0
n
z
n
z 0
0 , terdapat bilangan real M >0
sehingga berlaku a n z 0
Analisis Kompleks
z n
n
M . Jadi diperoleh
19
n n0 1
z 0
n n0 1
z
z z 0
n
suatu deret ukur, maka
z 0
n
M z
deret
M
n n0 1
z
M
n n0 1
Karena 0 z 1 dan
a n z n
n
konvergen. Karena
a n z n
n n0 1
0
konvergen, maka
a z
n
n
z
n
M z
n n0 1
0
konvergen. Akibatnya deret
n n0 1
a z
n
n
konvergen. Jadi terbukti bahwa deret
n n0 1
a z
n
n
n 0
konvergen.
Deret
a n z divergen untuk z 1 ( a n z 1 divergen), maka n
n 0
deret
n 0
a z
n
n
divergen
untuk setiap
n 0
z z 1 .
Karena deret
dengan
k
a k z 1 tidak ada. a n z 1 divergen, maka lim n n
n 0
Karena |z| > |z 1 |, diperoleh z 1 . Akibatnya z 1
n 0
an z n
n 0
n
z z an z 1n z 1 n 0 z 1
an z 1 .
Analisis Kompleks
n
n
20
n
z merupakan deret ukur yang divergen, sebab Deret 1 n 0 z
z 1
z
>1. Jadi deret
a z
divergen. Akibatnya deret
n
n
n 0
a n z n divergen.
n 0
Setiap deret pangkat
a
n
n ( z c ) terdapat bilangan tunggal
n 0
yang dinamakan jari-jari kekonvergenan deret
yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: (1) Jika
, maka deret
n 0
dan divergen di z
(2)Jika
a n ( z c) n konvergen di z = c
≠ c.
, maka deret
a n ( z c ) n konvergen
n 0
mutlak untuk setiap z dengan
divergen untuk setiap z dengan |z – c| >
(3)Jika
, maka deret
a
|z – c| <
dan
.
n konvergen mutlak z c ( ) n
n 0
untuk setiap z.
Bilangan
dinamakan jari-jari kekonvergenan deret pangkat
a
n
( z c ) n , sedangkan {z
n 0
daerah kekonvergenan dan |z – c| =
kekonvergen. Kekonvergenan |z – c| =
c: |z – c| < } dinamakan
disebut lingkaran
a n ( z c ) n untuk
z dengan
n 0
silahkan periksa sendiri. Daerah kekonvergenan
Analisis Kompleks
21
a
deret pangkat
n
( z c ) n digambarkan seperti berikut
n 0
ini.
Masalah penentuan daerah kekonvergenan deret pangkat kompleks diperoleh dengan mencari jari-jari kekonvergenan
a
deret pangkat
n
|| ⁄
( z c ) n , yaitu:
n 0
(a) (b)
1.
Tentukan daerah kovergensi dari deret pangkat:
1
n
z n
n 0
Penyelesaian: Misalkan
lim
n
an
an a n 1
1
,
n maka 1
lim
n
lim
n
1
an 1
1 n 1 dan
n
( n 1)
n 1 n
= 1
Analisis Kompleks
22
n z Kekonvergenannya adalah konvergen pada |z| > 1. n 0 n
n z Bila z = 1, maka deret merupakan deret harmonis. n 0 n
n z Karena itu deret divergen. n 0 n
2. Tentukan daerah kovergensi dari deret pangkat: ( z 2) n 3 n n 0 ( n 1) .4 Penyelesaian : Misalkan a n
1 (n 1) .4 3
n 1
dan jari-jari kekonvergenannya
adalah
lim
n
an
(n 2) 3 . 4 n1
lim
an 1
n
lim
n
(n 1) 3 . 4 n
4(n 2) 3 (n 1)
3
= 4
Jadi daerah kekonvergenannya adalah
( z 2) n
(n 1) .4 n 0
3
n
konvergen
pada |z + 2| < 4 dan divergen pada |z + 2| > 4. Sedangkan
deret
( z 2) n
(n 1) .4 n 0
3
n
n 0
1 ( n 3)
3
konvergen pada lingkaran
|z + 2| = 4
Analisis Kompleks
23
1. Tentukan jari-jari kekonvergenan dari setiap deret pangkat
2. berikut :
Tentukan daerah kekonvergenan deret berikut :
Jawaban latihan soal 1.
⁄ ⁄ Menentukan jari-jari :
Analisis Kompleks
24
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
2. Menentukan daerah kekonvergenan deret pangkat
Analisis Kompleks
25
∑ | | | | ⁄ ⁄ | | | |
Jadi daerah kekonvergenannya adalah Konvergen pada
dan
i
divergen pada
i
i
i
Jadi daerah kekonvergenannya adalah i
Konvergen pada i
Analisis Kompleks
dan
divergen pada i
26
f ( x) a0 a1 x a2 x 2 ... an x n …(*)
Polinomial
adalah bentuk sederhana yang menarik untuk diteliti. Salah satunya adalah menyatakan fungsi yang sama kedalam turunanturunannya, sebab harga kofaktor a0 , a1 , a2 ,... an dapat di hitung dari nilai fungsi turunan-turunannya:
f ( x) a0 a1 x a2 x 2 ... an x n
maka :
f (0) a0 1
f 1 ( x) a1 2a2 x 3a3 x 2 ... nan x n 1 ,maka f (0) 11
f 11 ( x ) 2 a2 6a3 x 12 a4 x 2 ... n( n 1) an x n 2 ,maka f f ( 3) ( x ) 6 a3 24 a4 x ... n ( n 1)(n 2) an x n 3
…..…. ()
a1 ……. ()
(0) 2a2 …. (3)
f ( 3) (0) 6a3 ,maka ..(4)
……………………………………………………… da seterusya
f ( n ) ( x) n(n 1)(n 2)... 3.2.1an
+…,aka
f ( n ) (0) n( n 1)(n 2)... 3.2.1.an
.. (n)
Dari persamaan terakhir ini diperoleh kenyataan bahwa an
f ( n ) (0)
berlaku
pada
persamaan
sebelumya:
ke-
n!
(),(),…( -1).
Oleh karenanya polinomial (*) dapat dinyatakan dalam bentuk lain : f ( x) f (0)
f 1 (0) 1!
Gagasan
x
ini
f 11 (0) 2!
x 2
f ( 3) (0)
berkembang
polinomial kedalam suku-suku turunannya,
tapi
Analisis Kompleks
3!
boleh
jadi
x ... 3
f ( n ) (0)
tidak
n!
x n
hanya
……(**)
merubah
yang mengandung turunansembarang
fungsi
dapat
27
diperlakukan sama. Temuan ini sudah barang tentu dengan anggapan bahwa f ( x) kontinu dalam interval [a,b] dan dapat di differensialkan sampai tingkat ke n dalam (a,b) pada x = 0 atau f (0) ada , tepatnya berlaku pada interval dimana (n)
f ( x) konvergen. Karena rumusan tersebut ditemukan oleh Mac Laurin (1698-1746) maka : f ( x) f (0)
f 1 (0) 1!
x
f 11 (0) 2!
x 2
f ( 3) (0) 3!
x ... 3
f ( n ) (0) n!
x n
disebut Sebenarnya deret Mac Laurin ini kejadian khusus dari deret yang dikembangkan Brook Taylor (1685-1731) - salah seorang murid Newton.
Suatu fungsi f ( z ) tidak dapat direpresentasikan dalam dua deret pangkat dengan pusat deret yang sama. Apabila f ( z ) dapat dinyatakan dalam deret pangkat dengan pusat z 0 , maka deret tersebut tunggal. Setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat. Apabila f ( z ) analitik di dalam lingkaran C maka f ( z ) dapat disajikan dalam deret Taylor atau deret MacLaurin bergantung pada pusat deretnya.
Lingkaran C dengan pusat deret z 0
Analisis Kompleks
28
1.
Deret Taylor adalah Deret pangkat
∑ |
| }
yang
analitik
pada
daerah
| | } ∑ Jika
fungsi
f analitik ,
pada
maka
daerah
f(z)
untuk
terbuka setiap
dapat dinyatakan ke dalam deret pangkat
| | }
Diambil lintasan
Karena
Analisis Kompleks
29
*∮∮ ∮ ∮ ∮ + ∮ ∮ ∮ ∮
3
maka,
3
dan
f analitik pada
, maka
dan
Oleh karena itu, diperoleh
Menurut pengintegralan Cauchy, jika
dega
Akan dibuktikan i
Dari persamaan (1), diperoleh
| | | |
Karena f
analitik pada
bilangan real
sehingga
setiap Oleh karena itu diperoleh
Analisis Kompleks
berlaku
maka terdapat
untuk
untuk
setiap
30
Sedangkan untuk setiap
berlaku
| | | | | | ∑
Menurut teorema bahwa
Oleh karena itu diperoleh
dengan
,
Jadi i
Karena
maka i
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2.
Deret Maclaurin merupakan deret Taylor pada saat Z 0 = 0
Analisis Kompleks
31
Fungsi
adalah fungsi utuh, analitik pada
| |
.
Jadi jari-jari kekonvergenan deret MacLaurinnya adalah . Karena
dan
analitik pada
untuk setiap
, diperoleh .
Jadi
.
Dengan demikian deret McLaurin dari
adalah
Analisis Kompleks
32
| | ∑ | |
Jadi terbukti bahwa
si
s
si
s
si
3
s
3
3
s
3
…………………………………
Sehingga
si
s
s
3
si
si
3
3
s
3
si
3
3
si
…………………………………
Sehingga
Analisis Kompleks
33
s
| |
| | ∑ | |
sih
sh
sih
sh
3
3
3
sh
3
sih
sh
…………………………………
Sehingga
3
sih
3
sh
sih
sh
sih
3
3
3
sih
3
sh
sih
…………………………………
Sehingga
Misalkan
sh
. Titik singular dari fungsi
adalah
.
Jadi jari-jari kekonvergenan deret MacLaurin
adalah
jarak dari 0 ke titik singular yang terdekat
Analisis Kompleks
34
| | | |
3
…………………………………
Dengan demikian deret MacLaurin dari
adalah
Jadi terbukti bahwa
3
Misalkan
Analisis Kompleks
.
35
Titik singular dari fungsi
adalah
.
| | | |
Jadi jari-jari kekonvergenan deret MacLaurin
jarak dari 0 ke titik singular yang terdekat
adalah
3
…………………………………
Dengan demikian deret MacLaurin dari
adalah
Jadi terbukti bahwa
Analisis Kompleks
3
36
1.
∑ ∑ ∑ ⁄ ⁄
Tentukan deret Taylor dari
Penyelesaian : f
f
f i
f
i 3
f i
Jadi deret Taylor dari
f i
i i
2. Uraikan
i
disekitar i adalah
f i i
i
f
f i
!
i
f i
3
f
i
f i
disekitar
f
i
i
i
disekitar .
Penyelesaian :
3
3
3
Analisis Kompleks
3 3
3
37
∑ | |
Jadi diperoleh
f
3
3
3. Hitunglah
.
Penyelesaian :
d d
d d
d d
1.
Buktikan bahwa
2. Tentukan deret Taylor dari
i
i
i
e disekitar
3. Uraikan fungsi berikut atau deret Taylor disekitar z yang diberikan f
Analisis Kompleks
e disekitar z = 1
38
1.
3
3
3
f i
i
i
i
i
disekitar
adalah
i
i
i i
e f e 2. f f e f e f e f e f e f f e f e
f
f i i
f
i i
Jadi deret Taylor dari f
e
f
Analisis Kompleks
39
∑ ∑
f
e
f
e
e
Misal fungsi f(z) analitik pada | z – z 0 | < R 0 (lingkaran dengan pusat di z 0 dan jari-jari R ). Maka untuk 0 setiap titik z pada lingkaran itu, f(z) dapat dinyatakan sebagai :
Deret diatas disebut daerah | z – z 0 | < R 0 disebut
di titik z 0 dan atau
deret. Bila f(z) fungsi entire maka daerah keanalitikan deret yaitu : | z – z 0 | < R Bila fungsi f(z) tidak analitik di z = z 0 maka f(z) tidak dapat diperderetkan dalam deret Taylor di z = z 0. Agar f(z) dapat diperderetkan di z = z 0 maka dilakukan
Analisis Kompleks
40
dengan cara membuang titik singular z = z 0 dari daerah | z – z 0 | < R sehingga didapatkan daerah R 1 < | z – z 0 | <
R 2 ( cincin / anulus ) yang merupakan daerah keanalitikan fungsi f(z). Hal ini telah dilakukan oleh Laurent karena Dalam memperderetkan fungsi ke dalam deret Laurent kita tidak menggunakan rumusan di atas, karena kita ingin menghindari dilakukan
perhitungan
dengan
integral
menggunakan
lintasan. bantuan
Untuk
deret
itu
Taylor
maupun deret Mac Laurin yang sudah kita pelajari.
Mengingat akan sifat makalah ini maka dirumuskan masalah sebagai berikut : 1)
Bagaimana
menggunakan
deret
laurent
untuk
menyelesaikan soal? 2)
Bagaimana
menyelesaikan
soal
dari
fungsi
tidak
analitik dengan menggunakan deret laurent?
Berdasarkan
dari
latar
belakang
dan
rumusan
masalah maka penulis dalam makalah ini bermaksud untuk mengenalkan deret laurent dan menyelesaikan soal dengan deret laurent.
Analisis Kompleks
41
Dalam matematika, Deret Laurent dari fungsi f kompleks (z) merupakan representasi dari fungsi yang sebagai
rangkaian
listrik
yang
meliputi
segi
derajat
negatif. Ini dapat digunakan untuk mengekspresikan fungsi kompleks dalam kasus di mana ekspansi deret Taylor tidak dapat diterapkan. Deret Laurent dinamai dan pertama kali diterbitkan oleh Pierre Alphonse Laurent pada tahun 1843. Karl Weierstrass mungkin telah menemukan pertama kali pada tahun 1841 tetapi tidak mempublikasikannya pada saat itu.
Bagaimana
penderetannya
bila
f(z)
fungsi
meromorfik yang gagal analitik di sebuah kutub z = a di dalam daerah konvergensinya? Di dalam sebuah anulus berpusatkan di z = a fungsi f(z) menjadi analitik, karena z = a sudah berada di luar kontur. Daerah kovergensinya menjadi : r < | z-a yang berupa anulus ini, deret fungsi yang dihasilkan tidak hanya berupa deret Taylor (4.2) di atas, tetapi menjadi
Analisis Kompleks
42
lebih umum dengan bentuk:
Suku pertama di ruas kanan tidak lain adalah deret Taylor,dan
suku
keduanya
yang
berupa
polinomial
berpangkat negatif disebut sebagai bagian utama dari deret Laurent. Jadi secara umum deret Laurent terdiri dari dua bagian : deret Taylor dan bagian utamanya. Jadi secara umum deret Laurent
terdiri dari dua
bagian : deret Taylor dan bagian utamanya.
Diberikan C,K dua lintasan tertutup sederhana Int (C)Int (K), A = Ann A,maka untuk setiap z
f ( z )
(C,K). Jika f analitik pada
1
f (t )
2 i t z k
Analisis Kompleks
A, berlaku :
0
dt
1
f (t )
2 i t z c
dt
0
43
Bukti : Diambil lintasan tertutup sederhana L, Sehingga z (L)
A. Menurut teorema
Int
perluasan Annulus diperoleh:
K C
A
1
f (t )
2 i t z
dt
0
k
1
f (t )
2 i t z
dt
0
C
1
f (t )
2 i t z L
dt
0
Sedangkan
1
f (t )
dt 2 i t z 1 f (t ) 1 f (t ) f ( z ) dt dt 2 i t z 2 i t z f ( z )
L
0
k
0
0
c
Terbukti bahwa
f ( z )
1
f (t )
2 i t z k
Analisis Kompleks
0
dt
1
f (t )
2 i t z c
dt
0
44
Diberikan C,L dua lintasan tertutup sederhana dengan C={t: |t-z0|=r} dan K = {t: |t-z0|=R}, dan A = Ann (C,K) = {t : r
≤ |t-z0| ≤ R
maka untuk setiap z
an
1
}. Jika f analitik pada A,
A berlaku :
f (t )
2 i k (t z 0 ) n 1
bn
dan
1
f (t )
2 i C (t z 0 ) n 1
Bukti : Menurut lema 6.5.1 untuk setiap z
f ( z )
1
f (t )
2 i t z
dt
0
k
1
f (t )
2 i t z
A berlaku :
dt
0
c
Pada deret taylor, diperoleh
1
f (t )
2 i t z
0
k
an
dt
1
an ( z z 0 ) n
n 0
f (t )
2 i (t z ) K
dengan
0
n 1
dt
f ( n ) ( z 0 ) n!
akan dicari
1
f (t ) dt Analisis Kompleks 2 i K t z 0
45
1 t z (t z 0 ) ( z z 0 ) ( z z 0 ) (t z 0 ) 1
1
1 ( z z 0 )(1
t z 0 t z 0 2 t z 0 n 1 1 ( (1 ) ..... ( ) z z 0 z z 0 z z 0 z z 0
1 f (t )(t z 0 ) n f (t ) f (t ) f (t )(t z 0 ) ..... n 2 t z z z 0 ( z z 0 ) ( z z 0 )
lim P n lim n
n
1
2
t z 0 n f (t )( ) z z 0
C
t z
z z 0
)
t z 0 n ( ) z z 0 t z 0 1 ( ) z z 0
Oleh karena itu, diperoleh :
dan
t z 0
t z 0 n f (t )( ) z z 0 (t z )
dt 0
akibatnya diperoleh 1 f (t ) n dt b ( z z ) , dengan n 0 2 i K t z n 1
bn
1
2 i
f (t )(t z 0 ) n 1
C
1
f (t )
2 (t z ) C
n 1
dt
0
Terbukti bahwa
1 f (t ) Analisis Kompleks 2 i k (t z 0 ) n 1 an
bn
1
f (t )
2 i C (t z 0 ) n1
46
dan
1.
Buatlah menjadi deret laurent, jika diketahui :
f ( z )
1 z 3
, | z | 3 |
3 z
| 1
Penyelesaian:
1 1
1 1 z . 3 z 3 z 3 1 1 z z
Analisis Kompleks
47
1
( 1) n 3 x
z n 1
n0
2.
3
( 1) ( ) n z n 0 z x
Buatlah menjadi deret laurent, jika diketahui :
f ( z )
1 ( z 2)( z 1)
,1 | z 2 | 4
Penyelesaian:
f ( z )
1 ( z 2)( z 1)
A z 2
B z 1
A( z 1) B( z 2) ( z 2)( z 1)
1 A( z 1) B( z 2)
Untuk z=-2,diperoleh 1=-3A, A=-1/3 Untuk z=1,diperoleh 1=3B, B=1/3 Maka diperoleh,
f ( z )
Analisis Kompleks
1 ( z 2)( z 1)
1
(
1
3 z 1
1 ( z 2)
)
48
Analisis Kompleks
49
1.
Tentukan deret laurent, jika diketahui:
1
f ( z )
( z 1) ( z 2)
a. Deret Laurent untuk 1 z b. Deret Laurent untuk z
2
2
Penyelesaian Latihan Soal 1.
a.
f ( z ) = 1 z 2 1 1 f ( z ) ( z 1) ( z 2)
n 1 1 1 z 1 z 1 1 z n0 z z
1
1
n0
1 n 1
z
1
Analisis Kompleks
n 0
z n 2
n 1
,
z
1
, 1 z
1 1 z 2 2 1 z 2 2 1
1
z n n0 2
, z 2
,
z 2
1 50
Jadi,
f ( z )
1 ( z 1) ( z 2)
n 1
z
n0
b.
f(z) =
1
1 ( z 1)
z n
2
n 0
1 ( z 2)
, 1 z 2 .
n 1
z 2 1
f ( z )
( z 1)
1 ( z 2)
n 1 1 1 z 1 z 1 1 z n0 z z
1
1
n0
1 z
n 1 1 1 1 2 z 2 z 1 2 z n0 z z
n 0
2n
z
1
z 1
,
n 1
1
,
,
2 z
1
, z 2
n 1
z
Jadi,
Analisis Kompleks f ( z )
1 ( z 1) ( z 2)
1 n 1
z
1 ( z 1)
2n n 1
z
,
1 ( z 2) z 2 .
51
Pada bab ini akan membicarakan arti geometri fungsi kompleks. Suatu fungsi dapat dipikirkan sebagai suatu proses bahwa sebagian dari bidang Z dipetakan ke bagian bidang W . Hal ini menjelaskan istilah pemetaan dan transformasi sebagai
Analisis Kompleks
52
nama lain untuk suatu fungsi f memetakan z 0 ke w0 dengan
w0 adalah peta z 0 dibawah f dan z 0 adalah prapeta dari w0 .Keadaan seperti ini yang mendasari pembahasan mengenai transformasi elementer.
Transformasi yang berbentuk
w f ( z ) az b, a, b C
disebut transformasi linear . sebelum membicarakan lebih jauh mengenai
transformasi
linear,
perhatikan
beberapa
gejala
berikut. (1) Misalkan f ( z ) iz dengan z x iy , maka
f ( z ) iz i ( x iy ) y ix, i 1danArgi Fungsi
f ( z ) iz ,
bila
dituliskan
dalam
2
bentuk
pengaitannya diperoleh
z iz x iy u iv y ix Hal ini memperlihatkan bahwa setiap titik (x,y) dibidang Z ditransformasikan oleh f ( z ) iz ke bidang W dititik ( -y,x
), diperoleh dengan rotasi 0, 2 Analisis Kompleks
53
(2)Misalkan f ( z ) 2iz dengan z x iy , maka
f ( z ) 2iz 2i( x iy) 2 y 2ix 2( y ix), 2i 2 dan Arg (2i )
2
Fungsi f ( z ) 2iz bila ditulis dalam bentuk pengaitannya diperoleh
z 2iz x iy u iv 2( y ix) Hal ini memperlihatkan bahwa setiap titik (x,y) dibidang Z ditransformasikan oleh f ( z ) 2iz ke bidang W di titik
di dilatasi oleh 2
(2 y,2 x) diperoleh dengan rotasi 0, factor 2. Secara
umum
fungsi
mentransformasikan z ke bidang W
w f ( z ) az , a 0 dengan cara :
(1) Merotasikan z sebesar Arg a , dan (2)Didilatasi oleh factor a Faktor dilatasi a menentukan jenis transformasi z ke bidang W , yaitu :
Analisis Kompleks
54
(1) Jika a
1,
maka z ditransformasikan ke bidang W dengan
rotasi 0, Arga (2)Jika a rotasi
1,
0, Arga kemudian
factor a (3)Jika a rotasi
maka z ditransformasikan ke bidang W dengan didilatasi ( diperbesar ) oleh
1
1,
maka z ditransformasikan ke bidang W dengan
0, Arga kemudian
factor a Transformasi
didilatasi ( diperkecil ) oleh
1 w az b dapat
dipikirkan
sebagai
dua
transformasi berurutan, yaitu :
s az dan w s b Jadi,
Transformasi
linear
w az b; a, b C
mentransformasikan z ke bidang W dengan cara : (1) Merotasikan z sebesar
0, Arga
(2)Dilatasi oleh factor a (3)Translasi sejauh b b1 , b2 Transformasi linear w az b; a, b C, bila dituliskan dalam bentuk pengaitannya diperoleh seperti berikut:
Analisis Kompleks
55
z rotasi ( 0 , Arga ) dandilatas iolehfaktor a
az
translasisejauhb b ,b az+b 1
2
Contoh : Tentukan peta dari kurva y x oleh transformasi linear 2
w 2iz (1 i Penyelesaian :
Arg (2i) arc cot 0
2
2i 2. Transformasi
dan
w 2iz (1 i ) bila ditulis
dalam bentuk
linear
pengaitannya,
diperoleh 2
R 0 ,
iz z
dilatasiol ehfaktor 2 2iz
translasis ejauh(1i ) 2iz (1 i ) 2 Kurva y x bila ditulis dalam bilangan kompleks z x ix
2
diperoleh (1) z x ix
2
2
R 0,
w x iy
x ' cos 2 sin 2 x ' 2 y sin cos x 2 2
Analisis Kompleks
56
0 1 x 2 = 1 0 x x 2 = x Jadi, z x ix
2
w x 2 ix y 2 iy
Dengan demikian kurva petanya adalah x (2)
y x
2
y 2 didilatasi oleh factor 2, diperoleh
z x 2 ix w 2 x 2 ix
1 2
y 2 iy
x y 2 didilatasi oleh factor 2, petanya
Jadi, kurva
(3)
dirotasi
y 2
Kurva x
adalah x
sejauh 0, 2
1 2
y
2
Kurva x
1 2
y 2 ditranslasi oleh vector (1, -1 )
diperoleh
z 2 x 2 2 xi w 2 x 2 1 i 2 x 1 =
1 2 y 1 1 iy 2 Analisis Kompleks
57
Jadi, kurva x
1 2
2 y ditranslasi oleh vector ( 1, -1 )
petanya adalah
x
1 2
y 12 1
Dari (1), (2) dan (3) diperoleh peta dari kurva y x oleh 2
transformasi linear w 2iz (1 i ) Ke bidang W adalah u
1
(v 1) 2 1 2
Catatan : Misalkan w az , Arg a a dan a
1.
Jika z x iy dan
a a1 a 2 i; x, y, a1 , a 2 R ,
cos a
a1 a
a1 , sin a
a2 a
diperoleh
a 2 dan
az a1 a 2 i x iy = a1 x a 2 y i a 2 x a1 y
a1 x a 2 y = a 2 x a1 y =
Analisis Kompleks
a1 a 2
a 2 x a1 y 58
cos a sin a x = sin a cos a y cos a sin a disebut matriks transformasi rotasi Matriks sin a cos a
0, . Dengan demikian jika z C dirotasi sejauh
0, ,petanya
adalah
cos a sin a x sin a cos a y
Transformasi kebalikan asalah transformasi yang berbentuk
. Untuk mencari peta
dilakukan dengan cara sebagai berikut. Jika diperoleh:
Analisis Kompleks
oleh transformasi
59
Dengan demikian transformasi kebalikan memetakan suatu titik pada bidang-Z dengan modulus sama dengan argumennya
dan
menjadi suatu titik pada bidang W dengan
modulus sama dengan dn argumennya
Selanjutnya akan ditentukan peta dari garis lurus dan
lingkaran di
oleh transformasi kebalikan
Adapun
prosesnya sebagai berikut. 1.
Misalkan persamaan garis lurus di dan
adalah
tak bersama- sama nol ditransformasikan oleh
Namakan
dan
maka:
Sehingga diperoleh
dan
Jika
dan
dinyatakan dalam
dan
maka
Sehingga diperoleh
dan
Jadi peta garis lurus di
oleh transformasi
adalah:
Analisis Kompleks
60
→ Jika
maka petanya berupa garis lurus. Tetapi jika
petanya berupa suatu lingkaran.
Seperti pada gambar di bawah ini:
→
2. Misalkan persamaan lingkaran di
adalah
ditransformasikan oleh
Jika
diperoleh:
maka petanya berupa garis lurus. Tetapi jika
petanya berupa suatu lingkaran.
Contoh:
Analisis Kompleks
61
→ → Tentukan peta dari garis
oleh transformasi
Penyelesaiaan:
Jadi garis
pada bidang-Z dipetakan oleh
bidang-W menjadi lingkaran dengan pusat
ke
dan jari-
jari .
Contoh: Tentukan
peta
transformasi
dari
lingkaran
oleh
Penyelesaiaan:
→ →
Analisis Kompleks
62
Jadi lingkaran
di bidang-Z dipetakan oleh
ke bidang-W menjadi garis
.
Jika a, b, c, dan d konstanta kompleksm maka : w = f(z) =
, untuk ad
. Kita asumsikan c
–
bc
0,
dinamakan
0 guna menghindari persamaan
bilinear berubah menjadi persamaan linnear. Analog dengan transformasi
kebalikan,
maka
transformasi
bilinear
juga
memetakan garis dan lingkarang menjadi garis atau lingkaran. Pemetaan bilinear w = f(z) =
=
merupakan komposisi dari fungsi-fungsi berikut : k(z) = cz + d,
h(z) = ,
z
Jadi,
transformasi
bilinear
merupakan
g(z)
gabungan
=
dari
transformasi linear diikuti dengan transformasi kebalikan dan dilanjutkan dengan transformasi linear sekali lagi.
Analisis Kompleks
63
Jika
sebarang titik pada bidang-Z dan
sebarang
titik
pada
bidang-W ,
maka
terdapat fungsi transformasi bilinear yang memetakan dengan j = 1, 2, 3 adalah :
dengan ad
Analisis Kompleks
– bc
0
64
Analisis Kompleks
65
(TERBUKTI)
1) Carilah transformasi bilinear dari titik
ke titik
Dengan menggunakan teorema 3.a :
Jadi, transformasi bilinear yang memetakan adalah :
Analisis Kompleks
66
2) Tentukan peta I(z) > 0 oleh transformasi bilinear
| | { | | y
y I(z) > Di eser I(z) >
x
Analisis Kompleks
x
67
Jadi, diperoleh lingkaran dengan pusat
dan r =
v v u u
Analisis Kompleks
Di erbesar 2
68
v
v Diputar Di eser
u
u
Berikut ini diberikan cara lain untuk menentukan hasil transformasi oleh w =
Nyatakan z dalam w , sehingga w =
Analisis Kompleks
69
Jadi peta dari I(z) > 0 oleh transformasi w =
adalah
I(z) > 0
Analisis Kompleks
70
1.
Carilah transformasi bilinear yang memetakan berturut-turut 0, 1, dan i ke -1, 0, dan i .
2. Carilah bayangan garis I = di bawah pemetaan w = 3. Carilah bayangan setengah bidang I(z) w =
0 di bawah pemetaan
Analisis Kompleks
71