Buku Ajar Rangkaian Listrik II Editing

UNIVERSITAS RIAU

i

RANGKAIAN LISTRIK II (Untuk Diploma III) Oleh Iswadi HR,ST.MT

2008

KAMPUS BINAWIDYA PANAM

,

PEKANBARU

28293

Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II

PERSEMBAHAN

ii Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru


KATA PENGANTAR

iii Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru


DAFTAR ISI PERSEMBAHAN ............................................. .................................................................... .............................................. ............................................. ...................... ii KATA PENGANTAR.................................................... ........................................................................... ............................................. ............................... .........iii DAFTAR ISI .............................................. ..................................................................... ............................................... ............................................... ........................... .... iv iv ANALISA ARUS MESH ............................... ...................................................... ............................................. ............................................ .......................... .... 1 Tujuan Perkuliahan........................................ ............................................................... .............................................. .............................................. .......................... ... 1 Latihan Soal Analisis Arus Mesh ............................... ...................................................... .............................................. .................................... ............. 7 ANALISIS SIMPUL .......................................... ................................................................ ............................................ ........................................... ..................... 10 Tujuan Perkuliahan........................................ ............................................................... .............................................. .............................................. ......................... 10 Tegangan simpul ............................................ ................................................................... .............................................. ............................................. ........................ 10 Latihan Soal Analisa Tegangan Simpul ................................................. ......................................................................... ............................. ..... 22 TEOREMA SUPERPOSISI .............................................................. .................................................................................... .................................. ............ 24 Tujuan Perkuliahan........................................ ............................................................... .............................................. .............................................. ......................... 24 Pendahuluan ........................................... .................................................................. .............................................. .............................................. ............................... ........ 24 Penggunaan Teorema Superposisi................................................ ....................................................................... ....................................... ................ 24 Latihan Soal Teorema Superposisi .............................................. ..................................................................... ........................................ ................. 41 TEOREMA THEVENIN ............................. .................................................... .............................................. ............................................... .......................... .. 43 Tujuan Perkuliahan........................................ ............................................................... .............................................. .............................................. ......................... 43

iv Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru

1

ANALISA ARUS MESH M ESH Tujuan Perkuliahan Dapat menyelesaikan rangkaian dc dan rangkaian ac

menggunakan analisa arus mesh.

Analisa arus mesh pada dasarnya adalah pengembangan dari aplikasi hukum Kirchoff. Gambar 31.1 menunjukan sebuah rangkaian dengan sirkulasi arus I 1 I 2 dan I 3 merupakan arus loop tertutup. Arus I 1 I 2 dan I 3 disebut arus mesh atau arus loop.

Gambar 31.1

Pada analisis arus mesh, semua arus loop disusun sedemikian sehingga bersirkulasi pada arah yang sama. Hukum kirchoff ke-2 diterapkan pada tiap-tiap loop, dimana pada rangkaian 31.1 menghasilkan 3 persamaan dengan 3 variabel yang akan diselesaikan untuk mendapatkan I 1 I 2 dan I 3. ke-3 persamaan yang dihasilkan dari gambar 31.1 sebagai berikut: I 1 ( Z 1 + Z 2 ) − I 2 Z 2 = E 1 I 2 ( Z 2 + Z 3 + Z 4 ) − I 1 Z 2 − I 3 Z 4 = 0 I 3 ( Z 4 + Z 5 ) − I 2 Z 4 = − E 2


Arus cabang didapatkan dengan menjumlahkan phasor arus mesh pada cabang. Sebagai contoh, arus yang mengalir pada impedansi Z 2 pada gambar 31.1 adalah (I 1-I 2). Metode analisis arus mesh, disebut terorema Maxwell.

Contoh 1 Gunakan analisis arus mesh untuk menentukan arus yang mengalir pada (a) resistansi 5

Ω,

dan (b) resistansi 1

Ω

pada rangkaian dc pada gambar

31.2 di bawah ini.

Gambar 31.2

Arus mesh I 1 I 2 dan I 3 yang ditunjukan pada gambar 31.2 menggunakan hukum tegangan Kirchoff: Loop 1

(3 + 5) I 1 − 5 I 2 = 4

(1)

Loop 2

( 4 + 1 + 6 + 5) I 2 − (5) I 1 − (1) I 3 = 0

(2)

Loop 3

(1 + 8) I 3 − (1) I 2 = −5

(3)

8 I 1 − 5I 2 − 4 = 0

(1’)

− 5 I 1 + 16 I 2 − I 3 = 0

(2’)

− I 2 + 9 I 3 + 5 = 0

(3’)

Maka

2 Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru


Dengan menggunakan determinan:

I 1

−5

−1 0 9

5

−4

16

−1

9

5

− I 2

= 8

−1 0 9

−4

8

− 5(−5) − 4(143)

I 1

− 547

=

− I 2 140

=

16

−1

−1

9

8(−5) − 4( −45)

495

=

9

− 5 16 8 −5 +5 − 5 16 0 −1

I 2

I 3

0

−1

=

=

− 5 −1

I 3

=

I 1

5

−4

+5

− 5 −1 0

=

9

I 3

− 4(5) + 5(103) −1 = 8(143) + 5(−45)

−1 919

Didapat: I 1 =

547 919

= 0,595 A, I 2 =

140 919

= 0,152 A, I 3 =

− 495 919

= −0,539 A

Arus pada resistansi 5 ohm = I 1 − I 2 = 0,595 − 0,152 = 0,44 A Arus pada resistansi 1 ohm = I 2 − I 3 = 0,152 − (−0,539) = 0,69 A



Contoh 2 Pada rangkaian ac yang ditunjukan pada gambar 31.3 tentukan dengan menggunakan analisis arus mesh, (a) arus mesh I 1 dan I 2 (b) arus yang mengalir pada kapasitor, dan (c) daya aktip yang dikirim oleh sumber tegangan 100 ∠0° Volt.

Gambar 31.3

(a)

Untuk loop I (5 − j 4) I 1 − (− j 4) I 2 = 100∠0°

(1)

Untuk loop 2 (4 + j 3 − j 4) I 2 − (− j 4) I 1 = 0

(2)

Sederhanakan (1) dan (2), didapatkan: (5 − j 4) I 1 + j 4 I 2 − 100 = 0

(1’)

j 4 I 1 + ( 4 − j ) I 2 + 0 = 0

(2’)

Kemudian dengan menggunakan determinan: I 1 j 4

− 100

( 4 − j )

0

I 1

(400 − j100)

=

=

− I 2 (5 − j 4)

− 100

j 4

0

− I 2 j 400

=

=

1 (5 − j 4)

j 4

j 4

(4 − j )

1 (32 − j 21)



Maka:

I 1 =

( 400 − j100) (32 − j 21)

=

412,31∠ − 14,04° 38,28∠ − 33,27°

= 10,77∠19,23° = 10,8∠19,2° A I 2 =

(b)

400∠ − 90° 38,28∠ − 33,27°

= 10,45∠ − 56,73° = 10,5∠ − 56,7° A

Arus yang mengalir pada kapasitor I C = I 1 − I 2 = 10,77∠19,23° − 10,45∠ − 56,73°

= 4,44 + j12,28 = 13,1∠70,12° A

(c)

Daya sumber P = VI 1Cosφ = (100)(10,77) cos(19,23)

= 1016,9 = 1020 W

Contoh 3 Sebuah beban 3 fasa setimbang terhubung bintang ditunjukan pada gambar 31.4. Tentukan nilai arus saluran I R I Y dan I B menggunakan analisa arus mesh.

Gambar 31.4



Dua buah arus mesh I 1 dan I 2 dipilih seperti ditunjukan pada gambar 31.4 Loop 1

I 1 (3 + j 4) + I 1 (3 + j 4) − I 2 (3 + j 4) = 415∠120°

(6 + j8) I 1 − (3 + j 4) I 2 − 415∠120° = 0

Loop 1

(1)

I 2 (3 + j 4) − I 1 (3 + j 4) + I 2 (3 + j 4) = 415∠0°

− (3 + j 4) I 1 + (6 + j8) I 2 − 415∠0° = 0

(2)

Selesaikan persamaan (1) dan (2) menggunakan determinan: I 1

− (3 + j 4) − 415∠120° − 415∠0° (6 + j8)

=

=

I 1

2075∠53,13° + 4150∠173,13°

= =

I 1

3594∠143,13°

=

− I 2 (6 + j 8) − 415∠120° − (3 + j 4) − 415∠0° 1 (6 + j 8)

− (3 + j 4) − (3 + j 4) (6 + j8) − I 2 − 4150∠53,13° − 2075∠173,13° 1 100∠106,26° − 25∠106,26° I 2

3594∠83,13°

=

1 75∠106,26°

Sehingga I 1 = I 2 =

3594∠143,13° 75∠106,26° 3594∠83,13° 75∠106,26°

= 47,9∠36,87° A

= 47,9∠ − 23,13° A

Arus masing-masing saluran I R = I 1 = 47,9∠36,87° A I B = I 2 = 47,9∠ − 23,13° A I Y = I 2 − I 1 = 47,9∠ − 23,13° − 47,9∠36,87°

= 47,9∠ − 83,13° A



Latihan Soal Analisis Arus Mesh

1. Untuk rangkaian yang ditunjukan pada gambar 31.14, gunakan analisa arus mesh untuk menentukan nilai arus I dan daya aktip keluaran dari tegangan sumber. [Jawaban: 6,96 ∠ − 49,94° A ;

]

644 W

Gambar 3.14

2. Gunakan analisa arus mesh untuk menentukan arus I 1 I 2 dan I 3 untuk rangkaian yang

ditunjukan

pada

gambar

31.15.

[Jawaban:

I 1 = 8,73∠ − 1,37° A ;

I 2 = 7,02∠17,25° A ; I 3 = 3,05∠ − 48,67° A ]

Gambar 3.15 3. Untuk rangkaian yang ditunjukan pada gambar 3.16, tentukan arus yang mengalir pada impedansi (4+j3) Ω. [Jawaban: ???].



Gambar 3.16 4. Untuk rangkaian yang ditunjukan pada gambar 31.17, gunakan analisa arus mesh untuk menentukan (a) arus pada kapasitor I C (b) arus pada induktor I L (c) beda potensial pada tahanan 4

Ω,

dan (d) daya aktip total rangkaian. [Jawaban:

(a) 14,5 A (b) 11,5 A (c) 71,8 V (d) 2499 W ].

Gambar 3.17 5. Tentukan nilai arus IR, IY dan IB pada rangkaian yang ditunjukan pada gambar 31.18 dengan menggunakan analisa arus mesh. [Jawaban: I R = 7,84∠71,19° A; I Y = 9,04∠ − 37,50° A; I B = 9,89∠ − 168,81° A].



Gambar 3.18



ANALISIS SIMPUL Tujuan Perkuliahan Dapat menyelesaikan rangkaian dc dan rangkaian ac

menggunakan analisa simpul.

Sebuah simpul dari rangkaian didefenisikan sebagai sebuah titik dimana dua atau lebih cabang bergabung. Jika tiga atau lebih cabang bergabung pada sebuah simpul, maka simpul tersebut disebut simpul prinsip atau jungsi. Pada gambar 31.5, titik 1, 2, 3, 4 dan 5 disebut simpul, dan titik 1, 2 dan 3 disebut simpul prinsip.

Gambar 31.5

Tegangan simpul merupakan tegangan simpul terhadap simpul lain (simpul

referensi). Jika pada gambar 31.5, simpul 3 dipilih sebagai simpul referensi sehingga V 13 diasumsikan tegangan simpul 1 terhadap simpul 3. Sama halnya, V 23 diasumsikan sebagai tegangan pada simpul 2 terhadap simpul 3, dan seterusnya. Namun, dikarenakan tegangan simpul merupakan sebuah tegangan terhadap simpul referensi, maka notasi V 1 untuk V 13 dan V 2 untuk V 23 selalu digunakan dalam berbagai contoh.

Tujuan dari analisis simpul adalah untuk menentukan nilai tegangan pada semua simpul prinsif terhadap simpul referensi (contoh: menentukan tegangan V 1 dan V 2 pada gambar 31.5 ). Jika tegangan tersebut didapatkan, maka arus yang mengalir pada tiap cabang dapat ditentukan.



Hukum arus Kirchoff diterapkan pada simpul 1 dan 2 secara bergirilan pada gambar 31.5 dan dua persamaan dengan dua variabel V 1 dan V 2 didapatkan yang secara simultan dapat diselesaikan menggunakan determinan.

Cabang yang terhubung pada simpul 1 ditunjukan secara terpisah pada gambar 3.16.

Gambar 3.16

Asumsikan bahwa semua arus cabang meninggalkan simpul seperti yang ditunjukan. Karena jumlah arus pada percabangan adalah nol, maka V 1 − V x

+

Z A

V 1

+

Z D

V 1 − V 2 Z B

=0

(1)

Dengan cara yang sama, untuk simpul 2, asumsikan semua arus meninggalkan titik seperti ditunjukan pada gambar 31.7, V 2 − V 1 Z B

+

V 2 Z E

+

V 2 + V Y Z C

=0

(2)

Jika ditulis ulang persamaan (1) dan (2) didapatkan:

⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟V 1 − ⎜⎜ ⎟⎟V 2 − ⎜⎜ ⎟⎟V X = 0 + + Z Z Z Z Z B D ⎠ ⎝ A ⎝ B ⎠ ⎝ A ⎠

(3)

⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎟⎟V 2 + ⎜⎜ ⎟⎟V Y = 0 ⎟⎟V 1 + ⎜⎜ − ⎜⎜ Z Z + Z + Z Z C E ⎠ ⎝ B ⎠ ⎝ B ⎝ C ⎠

(4)

Persamaan (3) dan (4) dapat ditulis dalam admitansi (dimana Y =1/Z ): (Y A + Y B + Y CA )V 1 − Y BV 2 − Y AV X = 0

− Y BV 1 + (Y B + Y C + Y E )V 2 + Y C V X = 0

(5) (6)

Persamaan (5) dan (6) dapat diselesaikan dengan menggunakan determinan. 11 Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru


Contoh 4 Untuk rangkaian yang ditunjukan pada gambar 31.8, tentukan tegangan V AB , dengan menggunakan analisa simpul.

Gambar 3.18

Gambar 31.8 mempunyai 2 simpul prinsip (pada 1 dan B) dan dengan demikian hanya diperlukan 1 persamaan simpul. B digunakan sebagai simpul referensi dan persamaan pada simpul 1 diperoleh sebagai berikut. Terapkan hukum arus kirchoff pada simpul 1: I X + I Y = I V 1

i.e.,

+

V 6

⎛ 1

v1⎜⎜

thus

⎝ V 6

+

V 1

( 4 + j 3)

= 20∠0

⎞ ⎟ = 20 4 + j 3 ⎠⎟ 1

4 − j 3 ⎞ ⎟ = 20 4 2 + 3 2 ⎠ v1 (0.0625 + 0.16 − j 0.12) = 20

⎛ ⎝

v1 ⎜ 0.0625 +

v1 (0.2225 − j 0.12) = 20

v1 =

Dengan demikian

20 (0.2225 − j 0.12)

=

20 0.2528∠ − 28.34 0

v1 = 79.1∠28.34 0 v

Arus yang melalui cabang (4 + j3)Ω , I y = V 1 /(4 + j 3) . Dengan demikian jatuh tegangan antara titik A dan titik B, pada tahanan 4

Ω,

diperoleh: V AB = ( I y )(4) =

V 1 ( 4)

( 4 + j 3)

=

79.1∠28.34 5∠36.87

0

0

( 4) = 63.3∠ − 8.530 V



Contoh 5 Tentukan nilai tegangan V XY yang ditunjukan pada rangkaian gambar 31.9,

Gambar 31.9 Rangkaian tidak memiliki simpul prinsip. Namun, jika titik Y dipiluh sebagai smpul referensi maka sebuah persamaan dapat ditulis untuk simpul X dengan mengasumsikan arus meninggalkan titik X untuk kedua cabang. Maka

Dimana

V X − 8∠90

0

(5 + 4)

⎛ 1

V X ⎜⎜

⎝ 9

+

+

V X − 8∠90

0

=0

(3 + j 6)

⎞ 8 j8 ⎟⎟ = + 3 + j 6 ⎠ 9 3 + j 6 1

⎛ 1 3 − j 6 ⎞ 8 j8(3 − j 6) + = + 2 2 ⎟ 9 3 6 3 + 62 + ⎝ ⎠ 9

V X ⎜

V X (0.1778 − j 0.1333) = 0.8889 +

48 + j 24 45

V X (0.2222∠ − 36.86 ) = 1.9556 + j 0.5333 0

= 2.027∠15.25 0 Karena titik Y adalah simpul referensi, Tegangan

V X = V XY =

2.027∠15.25

0

0.2222∠ − 36.86

0

= 9.12∠52.110 V



Contoh 6 gunakan analisis simpul untuk menentukan arus yang mengalir pada tiap cabang untuk rangkaian yang ditunjukan pada gambar 31.10.

Gambar 31.10

Hanya ada dua simpul prinsip pada gambar 31.10 sehingga hanya 1 persamaan simpul yang diperluka. Simpul 2 sebagai simpul referensi. Persamaan pada simpul 1 I 1 + I 2 + I 3 = 0 V 1−100∠0

0

+

25

V 1

20

+

V 1 − 50∠90

0

10

=0

1 1 ⎞ 100∠90 50∠90 ⎛ 1 + ⎟V 1 − − =0 ⎜ + 25 20 10 25 10 ⎝ ⎠ 0

0

0.19V 1 = 4 + j5

Sehingga tegangan pada simpul 1, V 1 =

4 + j 5 0.19

= 33.70∠51.34 0 V

Atau (21.05 + j 26.32)V Dengan demikian arus pada tahanan 25 I 1 =

=

V 1 − 100∠0

25

0

=

Ω,

21.05 + j 26.32 − 100 25

− 78.95 + j 26.32 25

flowing away from node 1

= 3.33∠161.56 0 A (or 3.33∠(161.56 0 − 180 0 ) A = 3.33∠ − 18.44 0 A flowing toward node 1)



Arus pada tahanan 20 I 2 =

V 1

20

=

33.70∠51.34 0 20

Arus pada tahanan 10

I 3 =

Ω,

= 1.69∠51.34 0 A mengalir dari simpul 1 ke simpul 2. Ω

V 1 − 50∠90 0

10

=

21.05 + j 26.32 − j 50 10

=

21.05 − j 23.68 10

= 3.17∠ − 48.36 0 A away from node 1 (or 3.17∠( −48.36 0 − 180 0 ) = 3.17∠ − 228.36 0 A = 3.17∠131.64 A toward node1)

Contoh 7 Pada rangkaian 31.11 gunkana analisis simpul untuk menentukan (a) tegangan pada simpul 1 dan simpul 2 (b) arus pada induktansi j4

Ω

tahanan 5 Ω dan (d) magnitud daya aktip terdissipasi pada tahan 2,5

(c) arus pada Ω.

Gambar 31.11



(a). Pada simpul 1, V 1 25∠0

0

+

2

V 1

− j 4

+

V 1 − V 2

=0

5

⎛ 1 1 1 ⎞ 25∠0 0 ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ + + ⎟⎟V 1 − ⎜ ⎟V 2 − =0 − j 2 4 5 5 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (0.7 + j 0.25)V 1 − 0.2V 2 − 12.5 = 0

(1)

Pada simpul 2, V 2 − 25∠90 0

2.5

+

V 2

+

j 4

V 2 − V 1

5

=0

⎛ 1 1 1 ⎞ 25∠90 0 ⎛ 1 ⎞ − ⎜ ⎟V 1 + ⎜⎜ + + ⎟⎟V 2 − =0 j 2 . 5 4 5 2 . 5 ⎝ 5 ⎠ ⎝ ⎠ − 0.2V 1 + (0.6 − j 0.25)V 2 − j10 = 0

(2)

Dengan menggunakan determinaan pada persamaan (1) dan (2) diperoleh V 1

=

− 0.2 − 12.5 j10 (0.6 − j 0.25)

− V 2 (0.7 + j 0.25)

− 0.2 =

1 (0.7 + j 0.25)

− 0.2 V 1

( j 2 + 7 . 5 − j 3 . 125 )

=

− 12.5 − j10

=

− 0.2 (0.6 − j 0.25)

− V 2 ( − j 7 + 2 . 5 − 2 . 5 ) 1

( 0 . 42 − j 0 . 175 + j 0 . 15 + 0 . 00625 − 0 . 04 ) V 1

7.584∠ − 8.53

=

0

− V 2 1 = 0 0 − 7∠90 0.443∠ − 3.23

Sehingga tegangan, V 2 =

7∠90

0

0.443∠ − 3.23

0

= 15.80∠93.230 V

(b). Arus pada induktansi j4 Ω diperoleh: V 2 j 4

=

15.80∠93.23 4∠90

0

0

= 3.95∠3.230 A flowing away from node 2

(c). Arus pada tahan 5 Ω diperoleh:



I 5 = I 5 =

=

V 1 − V 2

=

17.12∠ − 5.30 − 15.80∠93.23

0

5 5 (17.05 − j1.58) − (−0.89 + j15.77) 5 17.94 − j17.35 5

24.96∠ − 44.04 0

=

flowing from node 1 to node 2

5

= 4.99∠ − 44.04 0 A (d). Daya aktip yang terdissipasi pada tahanan 2,5 Ω diperoleh: 2

⎛ V 2 − 25∠90 0 ⎞ ⎟⎟ (2.5) P2.5 = ( I 2.5 ) ( 2.5) = ⎜⎜ 2 . 5 ⎝ ⎠ (0.89 + j15.77 − j 25) 2 (9.273∠ − 95.510 ) 2 = = 2

2.5

=

2.5

85.99∠ − 191.02 0 2.5

by de moivre’s theorem

= 34.4∠169 0 W Sehingga magnitud daya aktip terdissipasi pada tahanan 2,5 Ω sebesar 34,4 W.



Contoh 8 Pada rangkaian yang ditunjukan pada gambar 31.12 tentukan tegangan V XY menggunakan analisis simpul.

Gambar 31.12

Simpul 3 diambil sebagai simpul referensi Pada simpul 1, 25∠0 0 =

V 1

4 + j 3

+

V 1 − V 2

5

1 ⎛ 4 − j3 1 ⎞ + ⎟V 1 − V 2 − 25 = 0 ⎜ 5 ⎠ 5 ⎝ 25 (0.379∠ − 18.430 )V 1 − 0.2V 2 − 25 = 0

(1)

Pada simpul 2, V 2 j10

+

V 2 j 20

+

V 2 − V 1

5

=0

⎛ 1 1 1 ⎞ − 0.2V 1 + ⎜⎜ + + ⎟⎟V 2 = 0 ⎝ j10 j 20 5 ⎠ − 0.2V 1 + (− j 0.1 − j 0.05 + 0.2)V 2 = 0 − 0.2V 1 + (0.25∠ − 36.87 0 )V 2 + 0 = 0

(2)

Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan determinan: V 1

− 0.2 0.25∠ − 36.87 0

− 25

=

0

=

− V 2 0.379∠ − 18.43 − 25 − 0.2 0 1 0.379∠ − 18.43

− 0.2

− 0.2 0.25∠ − 36.87 0



V 1

6.25∠ − 36.87 0 1

=

=

− V 2 1 = − 5 0.09475∠ − 55.30 0 − 0.04

0.079∠ − 79.85 0

Tegangan simpul 1, V 1 = Tegangan simpul 2, V 2 =

6.25∠ − 36.87 0 0.079∠ − 79.85

0

5 0.079∠ − 79.85

0

= 79.11∠42.980 V = 63.29∠79.85 0 V

Arus yang mengalir pada cabang (4 + j3)

Ω

adalah V 1 /( 4 + j 3) . Sehingga teganga

antara titk dan simpul 3 adalah: V 1

4 + j 3

( j 3) =

(79.11∠42.98 0 ))3∠90 0 ) 5∠36.87 0

= 47.47∠96.110 V Dengan demikian V XY = V X − V Y = V X − V 2 = 47.47∠96.110 − 63.29∠79.85 0

= −16.21 − j15.10 = 22.15∠ − 137 0 V

Soal 9 Gunakan analisis simpul untuk menentukan tegangan pada simpul 2 dan simpul 3 pada gambar 31.13 dan kemudian tentukan arus yang mengalir pada tahanan 2 Ω dan daya terdissipasi pada tahanan 3

Ω.

Pada gambar 31.13, simpul referensi ditunjukan pada titik A Pada simpul 1, V 1 − V 2

1

+

V 1

6

+

V 1 − 8 − V 3

5

=0

(1) 19

Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru


1.367V 1 − V 2 − 0.2V 3 − 1.6 = 0

Pada simpul 2, V 2

2

+

V 2 − V 1

1

+

V 2 − V 3

3

=0

− V 1 + 1.833V 2 − 0.333V 3 + 0 = 0

(2)

Pada simpul 3, V 3

4

+

V 3 − V 2

+

3

V 3+8 − V 1

5

=0

− 0.2V 1 − 0.333V 2 + 0.783V 3 + 1.6 = 0

(3)

Persamaan (1) (2) dan (3) dapat diselesaikan dengan determinan: V 1

−1

− 0.2 − 1.6 − 0.333 0

1.833

− 0.333 =

0.783

− V 2 = − 0.2 − 1.6 1.367 − 1 − 0.333 0 − 0.2 0.783 1.6

=

1.6

V 3

1.367

−1

− 1.6

−1 − 0.2

1.833

0

− 0.333

1.6

=

−1 −1 1.833

− 0.2 − 0.333

− 0.333

0.783

1.367

−1 − 0.2

Selesaikan untuk V2,

− V 2 − 1.6(−0.8496) + 1.6(−0.6552) −1 = 1.367(1.3244) + 1(−0.8496) − 0.2(0.6996) Karena

− V 2 0.31104

=

−1 0.82093

maka tegangan, V 2 =

0.31104 0.82093

= 0.3789V Arus pada tahanan 2

Ω

= =

V 2

2

=

0.3789 2

= 0.19 A mengalir dari simpul 2 ke simpul

A. Selesaikan untuk V3, V 3

− 1.6(0.6996) + 1.6(1.5057) Karena

V 3

1.2898

=

−1 0.82093

=

−1 0.82093

maka, tegangan V 3 =

− 1.2898 0.82093 20



= −1.571V 2

⎛ V − V 3 ⎞ = ( I 3 ) (3) = ⎜ 2 ⎟ (3) 3 ⎠ ⎝ Daya pada tahanan 3 Ω = (0.3789 − ( −1.571)) 2 = = 1.27W 2

3



Latihan Soal Analisa Tegangan Simpul

1. Tentukan tegangan pada simpul V 1 dan tegangan V AB untuk rangkaian pada gmbar 31.22. [Jawaban: V 1 = 59,0∠ − 28,92° V ; V AB = 45,3∠10,89° V]

Gambar 3.22

2. Tentukan tegangan V PQ untuk rangkaian yang ditunjukan pada gambar 31.23 [Jawaban: V PQ = 55,87∠50,60° V]

Gambar 3.23



3. Gunakan analisa simpul untuk menentukan arus IA IB dan IC yang ditunjukan pada gambar 31.24 [Jawaban: I A = 1,21∠150,96° A ; I B = 1,06∠ − 56,32° A ; I C = 0,55∠32,01° A] 4. Untuk rangkaian pada gambar 3.25 tentukan (a) tegangan pada simpul 1 dan 2 (b) arus pada tahanan 40

Ω

(c) arus pada tahanan 20

aktip yang terdissipasi pada tahanan 10

Ω

dan (d) magnitud daya

Ω.

[Jawaban: (a) V 1 = 88,12∠33.86° V ; V 2 = 58,72∠72.28° V (b) 2,20∠33,86° A (c). 2,80∠118,65° A (d). 223 W ]

Gambar 3.25 5. Tentukan tegangan VAB pada rangkaian 31.26, menggunakan analisa simpul. [ V AB = 54,23∠ − 102.52° V]

Gambar 3.26



TEOREMA SUPERPOSISI Tujuan Perkuliahan Menyelesaikan rangkaian dc dan rangkaian ac menggunakan

teorema superposisi

Pendahuluan

Teorema superposisi berbunyi: Pada beberapa rangkaian yang terdiri dari beberapa impedansi linier dan lebih dari sebuah sumber emf arus resultan yang mengalir tiap cabang merupakan penjumlahan phasor arus yang mengalir pada cabang tersebut jika masing sumber dianalisa secara sendiri, sumber yang lain diganti dengan impedansi internalnya.

Penggunaan Teorema Superposisi

Rangkaian dc yang ditunjukan pada gambar 32.1 akan digunakan untuk mendemonstrasikan aplikasi dasar teorema superposisi.

Gambar 32.1

Untuk menentukan arus yang mengalir pada tiap cabang rangkaian, maka digunakan 6 langkah berikut: i.

Gambar ulang rangkaian asli dengan 1 sumber, misal E2 dihilangkan dan diganti dengan r2, seperti ditunjukan pada gambar 32.2



Gambar 32.2 ii.

Buat label arus pada tiap cabang dan arah arus seperti pada gambar 32.2 dan kemudian tentukan nilainya. Pemilihan arah arus I1 tergantung pada polaritas sumber (mengalir dari sumber positip).

Gambar 32.3 R paralel dengan r2 menghasilkan tahanan ekivalen (5Χ 2) (5 + 2)

=

10 7

= 1.429Ω

Seperti yang ditunjukan pada rangkaian ekivalen pada gambar 32.3, Arus, I 1 =

E 1

( r 1 + 1.429)

=

8 2.429

= 3.294 A

⎛ r ⎞ ⎛ 2 ⎞ Dari gambar 32.2 arus I 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟( I 1 ) = ⎜ ⎟(3.294) = 0.941 A R r 5 2 + + ⎝ ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 5 ⎞ ⎟(3.294) = 2.353 A ⎝ 5 + 2 ⎠

Dan arus I 3 = ⎜



iii.

Gambar ulang rangkaian asli dengan sumber E1 dihilangkan dan diganti dengan r1, seperti ditunjukan pada gambar 32.4.

Gambar 32.4 iv.

Buat label arus tiap cabang dan arah arus seperti ditunjukan pada gambar 32.4 dan tentukan nilainya. R dan r1 paralel dan menghasilkan tahanan ekivalen sebesar: (5 x1) (5 + 1)

=

5 6

Ωor 0.833Ω

Seperti yang ditunjukan pada rangkaian ekivalen gambar 32.5.

Gambar 32.5 Dari gambar 32.5 arus I 4 =

E 2 r 2 + 0.833

=

3 2.833

= 1.059

Dari gambar 32.4

⎛ 1 ⎞ ⎟(1.059) = 0.177 A ⎝ 1 + 5 ⎠

Arus I 5 = ⎜

⎛ 5 ⎞ ⎟(1.059) = 0.8825 A + 1 5 ⎝ ⎠

Dan arus I 6 = ⎜



v.

Superimpose gambar 32.2 pada gambar 32.4 seperti yang ditunjukan pada gambar 32.6

Gambar 32.6 vi.

Tentukan penjumlahan aljabar arus yang mengalir di tiap cabang. Dari gambar 32.6, resultan arus yang mengalir melalui sumber 8 V adalah: I 1 − I 6 = 3,294 − 0,8825 = 2,4115 A

mengalir menjauhi terminal positip

sumber. Resultan arus yang mengalir pada sumber 3 V adalah: I 3 − I 4 = 2.353 − 1.059 = 1.29 A mengalir menuju terminal positip sumber.

Arus resultan mengalir pada tahanan 5

Ω

adalah:

I 2 + I 5 = 0.941 + 0.177 = 1.12 A



Soal 1 Sumber ac 100∠0° V dan tahanan dalam sebesar 25 50∠90° V dan tahanan dalam 10 Ω.

Ω,

Ω,

dan sumber

terhubung secara paralel terhadap beban 20

Dengan menggunkan teorema superposisi, tentukan arus pada beban 20

Ω

dan arus pada tiap sumber tegangan. Rangkaian ditunjukan seperti pada gambar 32.7

Gambar 32.7

i.

Rangkaian digambar ulang dengan sumber 50∠90° V dihilangkan seperti yang ditunjukan pada gambar 32.8

Gambar 32.8 ii.

Arus I1 I2 dan I3 diberi label seperti pada gambar 32.8 100∠0 0 100∠0 0 I 1 = = = 3.158∠0 0 A 25 + (10 x 20) 25 + 6.667 (10 + 20)

⎛ 10 ⎞ 0 0 ⎟(3.158∠0 ) = 1.053∠0 A ⎝ 10 + 20 ⎠ ⎛ 20 ⎞ 0 0 I 3 = ⎜ ⎟(3.158∠0 ) = 2.105∠0 A ⎝ 10 + 20 ⎠ I 2 = ⎜



iii.

Rangkaian digambar ulang dengan sumber 100∠0° V dihilangkan seperti ditunjukan pada gambar 32.9

Gambar 32.9 iv.

Arus I4 I dan I5 diberi label seperti pada gambar 32.9

50∠90 0 50∠90 0 I 4 = = = 2.368∠90 0 A0rj 2.368 A 10 + (25 x 20) 10 + 11.111 ( 25 + 20)

⎛ 25 ⎞ ⎟( j 2.368) = j1.316 A + 20 25 ⎝ ⎠ ⎛ 20 ⎞ I 6 = ⎜ ⎟( j 2.368) = j1.052 A + 10 20 ⎝ ⎠ I 5 = ⎜

v.

Gambar 32.10 menunjukan gambar 32.9 yang disuperimpos dengan gambar 32.8 dan menghasilkan arus seperti yang ditunjukan.

Gambar 32.10

vi.

Arus pada beban 20 Ω, I 2 + I 5 = (1.053 + j1.316) A atau 1.69∠51.330 A 29



Arus

sumber

100∠0° V ,

I 1 − I 6 = (3.158 − j1.052) A

atau

sumber

50∠90° V ,

I 4 − I 3 = ( j 2.368 − 2.105) A

atau

pada

3.33∠ − 18.42 0 A

Arus

pada

3.17∠131.64 0 A

Soal 2 Gunakan teorema superposisi untuk menentukan arus pada tahanan 4

Ω

pada rangakaian 32.11.

G ambar 32.11 i. Hilangkan sumber 20 V dan menghasilkan rangkaian seperti pada gambar 32.12.

Gambar 32.12. ii. Arus I1 dan I2 ditunjukan pada gambar 32.12. tahanan 6 menghasilkan 2,5

Ω

( 6 x 2) (6 + 2)

Ω

menghasilkan 2

menghasilkan 7

paralel dengan 2

Ω

= 1.5Ω , seperti yang ditunjukan pada gambar 32.13 tahanan

seri dengan tahan 1,5

tahan 4

Ω

Ω Ω,

menghasilkan 4

Ω,

dan tahanan 2

tahanan 4

Ω

Ω

paralel dengan

seri dengan tahanan 5

Ω

Ω.



Gambar 3.13 Sehingga arus I 1 =

12 7

= 1.714 A

⎛ 4 ⎞ ⎟(1.714) = 0.857 A + 4 4 ⎝ ⎠

Dan arus I 2 = ⎜

iii. Hilangkan sumber 12 V dari rangkaian asli menghasilkan rangkaian seperti pada gambar 32.14

Gambar 3.14 iv. Arus I I4 dan I5 ditunjukan pada gambar 3.14 dari gambar 32.14, tahana 5 (5 x 4) (5 + 4)

=

20 9

Ω

paralel dengan tahanan 4

Ω

menghasilkan

= 2.222Ω , seperti yang ditunjukan pada gambar 32.15.

Gambar 32.15



Tahanan 2,222 4,722

Ω

Ω

seri dengan tahanan 2,5

paralel dengan tahanan 6

2,642 Ω seri dengan tahanan 2 Sehingga I 3 =

20 4642

Ω

Ω

Ω

menghasilkan 4,722

menghasilkan

( 4.722 x6) ( 4.722 + 6)

menghasilkan 4,642

Ω,

tahanan

= 2.642Ω , tahanan

Ω

4.308 A

6 ⎛ ⎞ ⎟(4.308) = 2.411 A ⎝ 6 + 4.722 ⎠ ⎛ 5 ⎞ I 5 = ⎜ ⎟(2.411) = 1.339 A ⎝ 4 + 5 ⎠ I 4 = ⎜

from figure 32.15

From figure 32.14 v. Superimpose gambar 32.14 dengan gambar 32.12 menunjukan bahwa arus yang mengalir pada tahanan 4

Ω

adalah I 5 − I 2

vi. I 5 − I 2 = 1.339 − 0.857 = 0.48 A mengalir dari B ke A

Soal 3 Gunakan teorema superposisi untuk mendapatkan arus yang mengalir pada impedansi (4+j3)

Ω

gambar 32.16.

Gambar 32.16 i. Rangkaian digambar ulang dengan V2 dihilangkan, sepeti yang ditunjukan pada gambar 32.17



Gambar 32.17 ii. Arus I1 dan I2 ditunjukan pada gambar 32.17. Dari gambar 32.17, impedansi (4+j3) Ω paralel dengan kapasitansi –j10 ( 4 + j 3)(− j10) ( 4 + j 3 − j10)

=

30 − j 40 4 − j 7

=

Ω

menghasilkan impedansi ekivalen:

50∠ − 53.130 8.062∠ − 60.26 0

= 6.202∠7.130 or (6.154 + j 0.770)Ω Impedansi total gambar 32.17 adalah: 6.154 + j 0.770 + 4 = (10.154 + j 0.770)Ω10.183∠4.34 0 Ω

Sehingga arus I 1 =

30∠45 0 10.183∠4.34

0

= 2.946∠40.66 0 A

⎛ − j10 ⎞ ⎟⎟(2.946∠40.66 0 Dan arus I 2 = ⎜⎜ ⎝ 4 − j 7 ⎠ =

(10∠ − 90 0 )(2.946∠40.66 0 ) 8.062∠ − 60.26 0

= 3.654∠10.92 0 Aor (3.588 + j 0.692) A iii. Rangkaian asli digambar ulang dengan V1 dihilangkan, seperti yang ditunjukan pada gambar 32.18



Gambar 32.18 iv. Arus I3 dan I4 ditunjukan seperti pada gambar 32.18. Dari gambar 32.18 tahanan 4

Ω

paralel dengan impedansi (4 + j3)

Ω

menghasilkan impedansi

ekivalen sebesar: 4(4 + j 3) 4 + 4 + j 3

=

16 + j12 8 + j 3

=

20∠36.87 0 8.544∠20.56

= 2.341∠16.310 Ωor (2.247+ j0.657)Ω Impedansi total gambar 32.18 adalah: 2.247 + j 0.657 − j10 = ( 2.247 − j 9.343)Ωor 9.609∠ − 76.48 0 Ω

Arus I 3 = Dan arus

30∠ − 45 0 9.609∠ − 76.48

0

= 3.122∠31.48 0 A

⎛ 4 ⎞ ⎟⎟(3.122∠31.480 ) I 4 = ⎜⎜ ⎝ 8 + j3 ⎠ = (4∠0 0 )(3.122∠31.48 0 ) 8.554∠20.56 0 = 1.426∠10.92 0 Aor (1.436 + j 0.277) A

v. Jika rangkaian pada gambar 332.18 disuperimpose pada gambar 32.17, dapat dilihat bahwa arus pada impedansi (4 + j3) Ω adalah I2-I4 vi. I 2 − I 4 = (3.588 + j 0.692) − (1.436 + j 0.277)

= (2.152 + j 0.415) Aor 2.192∠10.92 0 A Flowing from A to B in figure 32.16

Soal 4 Untuk rangkaian ac yang ditunjukan pada gambar 32.19 tentukan dengan menggunakan teorema superposisi (a) arus tiap cabang (b) magnitud tegangan pada impedansi (6 + j8) Ω dan (c) daya aktip total yang dikirim ke rangkaian.



Gambar 32.19

(a) i. Rangkaian asli digambar ulang dengan E2 dihilangkan, seperti yang ditunjukan pada gambar 32.20.

Gambar 32.20 ii. Arus I1 I2 dan I3 ditunjukan pada gambar 32.20. Dari gambar 32.20, impedansi (6+j8) Ω paralel dengan (2-j5) Ω menghasilkan impedansi ekivalen sebesar: (6 + j8)(2 − j 5) (6 + j8) + ( 2 − j 5)

= (5.123 − j 3.671)Ω



Gambar 32.21 Dari rangkaian gambar 32.21 Arus

I 1 =

5 + j 0 (3 + j 4) + (5.123 − j 3.671)

= (0.614 − j 0.025) A ⎡

⎤ ⎥ (0.614 − j 0.025) Arus j j ( 6 8 ) ( 2 5 ) + + − ⎣ ⎦ = (−0.00731 − j 0.388) A ( 2 − j 5)

I 2 = ⎢

⎡

⎤ ⎥ (0.614 − j 0.025) Dan arus + j + − j ( 6 8 ) ( 2 5 ) ⎣ ⎦ = (0.622 + j 0.363) A I 3 = ⎢

(6 + j8)

iii. Rangkaian asli digambar ulang dengan E1 dihilangkan, sperti ditunjukan pada gambar 32.22.

Gambar 32.22 iv. arus I4 I5 dan I6 ditunjukan pada gambar 32.22 dengan I4 mengalir menjauhi terminal positip sumber (2+j4) V. Dari gambar 32.22, impedansi (3+j4)

Ω

paralel

dengan (6+j8) Ω menghasilkan impedansi ekivalen sebesar: (3 + j 4)(6 + j8) (3 + j 4) + (6 + j8)

= (2.00 + j 2.667)Ω



Gambar 32.23

Dari rangkaian gambar 32.23, Arus

I 4 =

(2 + j 4) (2.00 + j 2.667) + ( 2 − j 5)

= (−0.062 + j 0.964) A Dari gambar 32.22,

⎡

(3 + j 4)

⎤ ⎥ (−0.062 + j 0.964) Arus + j + + j ( 3 4 ) ( 6 8 ) ⎣ ⎦ = (−0.0207 + j 0.321) A ⎡

6 + j8

I 5 = ⎢

⎤ ⎥ (−0.062 + j 0.964) Arus j j ( 3 4 ) ( 6 8 ) + + + ⎣ ⎦ = (−0.041 + j 0.643) A I 6 = ⎢

v. Jika gambar 32.22 disuperimpose dengan gambar 32.20, resultan arus ditunjukan seperti pada gambar 32.24.

vii.

Resultan arus yang mengalir dari sumber (5+j0) V adalah: I 1 + I 6 = (0.614 − j 0.025) + (−0.041 + j 0.643)

= (0.573 + j 0.618) Aor 0.843∠47.16 37 Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru


Resultan arus yang mengalir pada impedansi (6+j8)

Ω

adalah:

I 2 − I 5= ( −0.00731 − j 0.388) − ( −0.0207 + j 0.321)

= (0.0134 − j 0.709) Aor 0.709∠ − 88.92 0 A (b)

Tegangan pada impedansi (6+j8) Ω adalah ( I 2 − I 5 )(6 + j 8) = (0.709∠ − 88.92 0 )(10∠53.130 )

= 7.09∠ − 35.79 0 V (c)

Daya aktip total P yang dikirm ke rangkaian adalah: P = E 1 ( I 1 + I 6 ) cos φ 1 + E 2 ( I 3 + I 4 ) cos φ 2

4 ⎞ ⎛ 0 0 2 2 0 P = (5)(0.843) cos( 47.16 − 0 ) + (v ( 2 + 4 ))(1.440) cos⎜ 67.12 − arctan ⎟ 2 ⎠ ⎝

= .866 + 6.427 = 9.293W correct to one dec.place. = 9.3W Soal 5 Gunakan teorema superposisi untuk menentukan (a) magnitud arus yang mengalir pada kapasitor (b) Beda tegangan pada tahanan 5 terdissipasi pada tahanan 20

Ω

Ω

(c) daya aktip yang

dan (d) daya aktip total yang ditarik dari suplai

untuk rangkaian pada gambar 32.25.

Gambar 32.25 i.

Jaringan digambar ulang dengan sumber

dihilangkan, seperti

yang ditunjukan pada gambar 32.26. ii.

Arus I1 sampai I5 ditunjukan pada gambar 32.26. Dari gambar 32.26, terdapat 2 buah tahanan 8 ekivalen sebesar 4

Ω

terhubung paralel menghasilkan tahanan

Ω.



Gambar 32.26 Sehingga I 1 = I 2 =

50∠0 0 20 + (5( 4 − j 3) /(5 + 4 − j 3)) (4 − j 3) (5 + 4 − j 3)

= 2.220∠2.12 0 A

I 1 = 1.170∠ − 16.32 A 0

⎛ ⎞ 5 ⎟⎟ I 1 = 1.170∠20.55 0 A I 3 = ⎜⎜ ⎝ 5 + 4 − j3 ⎠ ⎛ 8 ⎞ 0 ⎟ I 3 = 0.585∠20.55 A = I 5 ⎝ 8 + 8 ⎠

I 4 = ⎜

iii.

Rangkaian asli digambar ulang dengan sumber

dihilangkan,

seperti ditunjukan pada gambar 32.27.

Gambar 32.27



iv.

Arus I6 sampai I10 ditunjukan pada gambar 32.27. Dari gambar 32.27, tahan 20 Ω paralel dengan 5 Ω menghasilkan tahanan ekivalen sebesar ( 20 x5) ( 20 + 5)

= 4Ω

Sehingga I 6 = I 7 =

30∠90 0 8 + (8(4 − j 3) /(8 + 4 − j 3)) ( 4 − j 3) (8 + 4 − j 3)

= 2.715∠96.52 0 A

I 6 = 1.097∠73.69 A 0

⎛ ⎞ 8 ⎟⎟ I 6 = 1.756∠110.56 0 A I 8 = ⎜⎜ ⎝ 8 + 4 − j3 ⎠ ⎛ 20 ⎞ 0 ⎟ I 8 = 1.405∠110.56 A ⎝ 20 + 5 ⎠ ⎛ 5 ⎞ 0 I 10 = ⎜ ⎟ I 8 = 0.351∠110.56 A ⎝ 20 + 5 ⎠ I 9 = ⎜

(a) Arus yang mengalir pada kapasitor adalah: ( I 3 − I 8 ) = 1.170∠20.55 0 − 1.756∠110.56 0

= (1.712 − j1.233) Aor 2.11∠ − 35.76 0 A (b) Beda potensial pada tahanan 5Ω adalah ( I 2 + I 9 )(5) ( I 2 + I 9 ) = 1.170∠ − 16.32 0 + 1.405∠110.56 0

= (0.629 + j 0.987) Aor 1.17∠57.49 0 A (1.17)(5) = 5.85V

(c) Daya yang terdissipasi pada tahan 20Ω adalah: ( I 1 − I 10 ) 2 (20) ( I 1 − I 10 ) = 2.220∠2.12 0 − 0.351∠110.56 0

= (2.342 − j 0.247) Aor 2.355∠ − 6.02 0 A ( 2.355) 2 ( 20) = 111W

(d) Daya aktip yang dikirimkan oleh sumber 50∠0 0 V adalah: P1 = V ( I 1 − I 10 ) cos φ 1 = (50)(2.355) cos(6.02 0 − 0 0 )

= 117.1W Daya aktip yang dikirimkan oleh sumber 30∠90V adalah:



P2 = 30( I 6 − I 5 ) cos φ 2

( I 6 − I 5 ) = 2.715∠96.52 0 − 0.585∠20.55 0

= (−0.856 + j 2.492) A0r 2.635∠108.96 0 A Sehingga: P2 = (30)(2.635) cos108.96 0 − 90 0 ) = 74.8W

Latihan Soal Teorema Superposisi

1. Dua baterai masing-masing 15 V terhubung secara paralel untuk mensuplai beban sebesar 2

Ω.

Tahanan dalam baterai sebesar 0,5

Ω

dan 0,3

Ω.

Dengan menggunakan teorema superposisi, tentukan arus pada beban dan arus yang disuplai masing-masing baterai. [Jawaban: 6,86 A , 2,57 A , 4,29 A]

2. Gunakan teorema superposisi untuk menenukan magnitud arus yang mengalir pada cabang kapasitip rangkaian yang ditunjukan pada gambar 32.28. [Jawab: 2,584 A ]

Gambar 32.28 3. Sumber ac 20∠90° V dan tahanan dalam 10 dan tahanan dalam 12

Ω

Ω

dan sumber ac 30∠0° V

terhubung secara paralal pada beban 8

Gunakan teorema superposisi untuk menentukan (a) arus pada beban 8

Ω. Ω

(b) arus dari masing-masing sumber [Jawaban: (a)

1,30 A ; (b) 1,58∠120,98° A ; 1,90∠ − 16,49° A ]



4. Gunakan teorema superposisi untuk menentukan arus IX yang mengalir pada tahan 5Ω pada rangkaian gambar 32.29. [Jawab: 0,529∠5,71° A]

Gambar 32.29 5. Untuk rangkaian yang ditunjukan pada gambar 32.30, menggunakan teorema superposisi tentukan (a) Arus yang mengalir pada kapasitor (b) arus yang mengalir pada tahan 2

Ω

(c) beda potensial pada tahanan 5

Ω

dan (d) daya aktip total rangkaian.



TEOREMA THEVENIN

Tujuan Perkuliahan : Dapat memahami dan menggunakan teorema Thevenin

untuk menganalisa rangkaian ac dan dc.

Terorema Thevenin berbunyi: Arus yang mengalir pada tiap-tiap cabang pada rangkaian adalah sama jika cabang terhubung pada sebuah sumber energi listrik, yang emf nya sama dengan beda potensial yang muncul pada cabang jika rangkaian terbuka, dan impedansi dalam nya sama dengan impedansi yang muncul pada terminal cabang rangkaian terbuka apabila semua sumber diganti dengan impedansi internalnya (atau nol).

Teorema di atas secara sederhana bahwa rangkaian yang kompak dengan terminal keluaran AB, seperti ditunjukan pada gambar 33.1(a), dapat diganti dengan sebuah sumber tegangan E secara seri dengan impedansi z, seperti ditunjukan pada gambar 33.1(b). E merupakan tegangan rangkaian terbuka yang diukur pada terminal AB dan z adalah impedansi ekivalen jaringan pada terminal AB saat semua sumber internal emf dijadikan nol. Polaritas tegangan E dipilih sedemikian sehingga arus mengalir melalui impedansi yang terhubung antara terminal A dan B akan memiliki arah yang sama dengan rangkaian asli. Gambar 33.1(b) dikenal dengan rangkaian ekivalen Thevenin.



33.1. Rangkaian Ekivalen Thevenin

4 Langkah prosedur berikut dapat digunakan dalam menentukan arus yang mengalir pada rangkaian dengan menggunakan teorema Thevenin. 1. Hilangkan impedansi Z L pada cabang 2. Tentukan tegangan rangkaian terbuka E. 3. Hilangkan tiap sumber emf dan diganti dengan impedansi dalam (atau hubung singkat untuk impedansi dalam nol), lalu tentukan impedansi Z. 4. Tentukan arus dari rangkaian ekivalen Thevenin seperti ditunjukan pada gambar 33.2

Gambar 33.2 44 Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru


Soal 1 Rangkaian pada gambar 33.3 digunakan untuk mendemonstrasikan prosedur di atas dalam menentukan arus yang mengalir pada tahanan 5

Ω.

Gambar 33.3 Dengan menggunakan prosedur di atas: 1. Tahanan 5 Ω dihilangkan, seperti ditunjukan pada gambar 33.4(a).

Gambar 33.4 (a) 2. Gambar 33.4 (a) digambar ulang seperti ditunjukan pada gambar 33.4 (b)

Gambar 33.4 (b) 45 Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru


Arus I 1 =

E 1 − E 2

=

r 1 + r 2

8−3 1+ 2

5

2

3

3

= or 1

Tegangan rangkaian terbuka E adalah: 1 ⎛ 2 ⎞ E = E 1 − I 1 r 1i.e., E = 8 − ⎜1 ⎟(1) = 6 V 3 ⎝ 3 ⎠

3. Hilangkan tiap sumber emf dihasilkan rangkaian seperti pada gambar 33.5

Gambar 33.5 Impedansi z dilihat dari terminal AB adalah:

Ζ = (1x 2) /(1 + 2) =

2 3

Ω

4. Rangkaian ekivalen Thevenin ditunjukan pada gambar 33.6.

Gambar 33.6 Arus IL adalah:

i L =

E Z L + z

6

=

1 3 = 1.1177 2

5+

3 46



Untuk menghitung arus pada dua cabang lainnya pada gambar 33.3,gunakan teori dasar rangkaian listrik. Dari gambar 33.7, tegangan V = (1.1177)(5) = 5.5885V

Gambar 33.7 Maka V = E 1 − I A r 1 , i.e.,5.5885 = 8 − I A (1) Arus I A = 8 − 5.5885 = 2.41 A Dengan cara yang sama V = E 2 − I B r 2 , i.e.,5.5885 = 3 − I B (2) Arus I B =

3 − 5.5885 2

= −1.29 A

Soal 2 Gunakan teorema Thevenin untuk menentukan arus yang mengalir pada impedansi (6+j8) Ω pada rangkaian 33.8.

Gambar 33.8 i.

Impedansi (6+j8) Ω dihilangkan, seperi ditunjukan pada gambar 33.9 (a)



Gambar 33.9 (a) ii.

Hitung

tegangan

rangkaian

terbuka

pada

terminal

AB.

Untuk

mempermudah gambar ulang rangkaian 33.9 (a) seperti pada gambar 33.9 (b)

Gambar 33.9 (b) I 1 =

( 5 + j 0 ) + ( 2 + j 4 ) ( 3 + j 4 ) + ( 2 − j 5 )

=

( 7 + j 4 ) ( 5 − j )

Dengan besarnya = 1 . 581 ∠ 41 . 05 Tegangan rangkaian terbuka untuk terminal AB adalah: E = E 1 − I 1 (3 + j 4), i.e., E = (5 + j 0) − (1.581∠41.05 0 )(5∠53.13 0 )

Didapatkan: E = 9.567∠ − 54.73 V 0

iii.

Dari gambar 33. 10 impedansi z dilihat dari terminal AB adalah 48



z =

(3 + j 4)(2 − j 5) (3 + j 4) + ( 2 − j 5)

= 5.281∠ − 3.76 0 Ωor (5.270 − j 0.346)Ω

Gambar 33.10

iv.

Rangkaian Thevenin ditunjukan pada gambar 33.11, besarnya arus IL adalah i L =

E Z L + z

=

9.657∠ − 54.730 (6 + j8) + (5.270 − j 0.346)

Maka arus pada impedansi (6+j8) i L =

9.657∠ − 54.730 13.623∠34.18 0

Ω

adalah:

= 0.71∠ − 88.910 A

Gambar 33.11


Buku Ajar Rangkaian Listrik II Editing

Recommend Documents