[Btn122]-Toan Hoc Tuoi Tre Thang 4 - 2017 - Hdg

C thi m http://toanhocbactrungnam.vn/ ậ p nh ật đề thi ớ i nh ấ t t ạ i http://toanhocbactrungnam.vn/

TOÁN HỌ HỌC BẮ BẮC–TRUNG–NAM TOÁN HỌ HỌC TUỔ TUỔI TR Ẻ LẦ LẦN 8

Câu 1:

Câu 2:

Hàm số A. 0 .

ĐỀ THI ĐỀ THI THỬ THỬ THPT THPT QUỐC QUỐC GIA NĂM 2017 Môn: Toán Thờ i gian làm bài: 90 phút

 x4  2 x3  2 x có bao nhiêu điể m cực tr ị? B. 1. C. 2 .

Cho hàm số y 

ax  b cx  d

D. 3 . y

có đồ thị như hình vẽ dướ i.i.

Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  0, b  0, c  0, d  0 . B. a  0, b  0, c  0, d  0 . C. a  0, b  0, c  0, d  0 . D. a  0, b  0, c  0, d  0 .

O

Câu 3:

Đồ thị hàm số y  x2  x 2  3 tiế p xúc với đườ ng ng thẳng A. 0 . B. 1. C. 2 .

Câu 4:

Cho hàm số y 

Câu 5:

1

. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng mộ t tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệ m cận đứng. C. Đồ thị hàm số đã cho không có ti ệm cận ngang. D. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận ngang. 2

y

4 3

Đườ ng ng cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số đượ c liệt kê ở b bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏ i hàm số đó là hàm số nào? A. y  4 

Câu 6:

 2 x tại bao nhiêu điể m? D. 3 .

4

4

B.

.

2

C. y  4 

 4  x .

Giả sử tồn tại hàm số y  f  x  xác định trên bảng biến thiên như sau: x y 



2  0 

1



0

2

2



2 x 4

8

D. y  4 

.

2

1

O 2

4



x 4

16

.

 \ 1 , liên t ục trên mỗ i khoảng xác định và có



0 0 1

1





2 0



  1

y

2





0

Tậ p hợ p t ất cả các giá tr ị c ủa tham số thực m sao cho phương tr ình ình f  x   m có bốn nghiệm thực phân biệt là A.  2; 0  1 . B.  2; 0   1 . C.  2; 0. D.  2; 0 .

Câu 7:

Cho hàm số  x 4  2 x 2 . G ọi  là đườ ng ng thẳng đi qua điể m cực đại của đồ th ị hàm số đã cho và có hệ số góc m . Tậ p hợ p tất cả các giá tr ị của tham số thực m sao cho tổng các kho ảng cách t ừ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến  nhỏ nhất là 1 A. 0 . B.   . C.  . D. 1 .  2

TOÁN HỌC B ẮC–TRUNG TRUNG– –NAM sưu tầ m và biên t ậ p

Trang 1/30 – Mã đề THTT số 478


Câu 8:

Cho hàm số y  x3   2m  1 x 2  1  m x . Tậ p h ợ p tất cả các giá tr ị của tham số m sao cho

đồ th t hị của hàm số đã cho có 2 điểm c ực tr t r ị,ị, đồ ng thời hoành độ điểm c ực đại không nhỏ hơn 1 là 1  1    A.  ;   2 . B.  ;    2;    . 4 4   1 1 C.  ;  . D.  ;   2 . 4 4   Câu 9:

2

Tậ p h ợ p t ất cả các giá tr ị c ủa tham số th t hực m sao cho hàm s ố y 

 x  m2 đạt cực đại t ại x  1

x  1 là:

A.  .

C. 2; 2 .

B. 2 .

D.  .

2  m có đúng hai x  1

x

Câu 10: Tậ p hợ p t ất cả các giá tr ị của tham số thực m sao cho phương tr ình ình nghiệm phân biệt là: A.  0;2 0; 2  .

C. 1; 2  0 .

B. 1; 2  .

D. 1; 2   0 .

Câu 11: Một vùng đấ t hình chữ nhật ABCD có AB  25 km , BC  20 km và M , N lần lượ t là trung điểm c ủa AD , BC . Một người cưỡ i ng ựa xu ất phát t ừ A đi đến C bằng cách đi thẳng t ừ A đến một điểm X thu t huộc đoạn MN r ồi lại đi thẳng t ừ X đến C . Vận t ốc c ủa ngựa khi đi trên phần ABNM là là 15km/h , vận tốc của ngựa khi đi trên phầ n MNCD là 30 km/h . Thờ i gian ít nhất để ngựa di chuyển từ A đến C là mấy giờ ? 2 5 41 4  29 5 A. B. C. D. . . . . 3 4 6 3 Câu 12: Hàm số

 4 

1 2 5 x



có tập xác định là

A.  2; 2  . C. .

B.  ; 2   2;   . D.  \ 2 .

ình x  ln x  1  0 có số nghiệm là Câu 13: Phương tr ình

A. 0 .

B. 1.

C. 2 .

D. e .

để phươngg tr ình Câu 14: Giá tr ị của m để phươn ình 4 x  m.2 x1  2m  0 có hai nghiệm 9 A. m  3 . B. m  4 . C. m  . 2

A.  .

B. 0 .

Câu 16: Nếu a  log 2 3 , b  log 2 5 thì 1 1 1 A. log 2 6 360   a  b . 3 4 6 1 1 1 C. log 2 6 360   a  b . 2 3 6 TOÁN HỌC B ẮC–TRUNG TRUNG– –NAM sưu tầ m và biên t ậ p

,

2

thỏa mãn x1  x2  3 là 3 D. m  . 2

2

 6x . x  4 C.  2; lo D.  2; log 2 6  0 . log 2 6 . x

Câu 15: Tìm tập xác định của hàm số f  x   7  2  6.2  x  x

1

2

1 1 1 B. log 2 6 360   a  b . 2 6 3 1 1 1 D. log 2 6 360   a  b . 6 2 3 Trang 2/30 – Mã đề THTT số 478


1  Câu 17: Tậ p nghiệm của bất phương tr ình ình  x 2   2 

2 x2  x 1

 2 A.  1;   . 2  

1 x

1   x2   là 2   2 B. 0;  .  2 

 2  2 D.  1;    0;  . 2   2  

C.  1; 0  . Câu 18: Đạo hàm của hàm số f  x  

sin x  x là 3 cos x

1 cos 4  sin x 3 cos 2 x 3 A. f   x    1. 3 2 cos x 1 3 cos 4  sin 2 x 3 cos x 3 C. f   x   1 . 3 2 cos x 3

Câu 19: Cho hàm số y 

1 cos 4 x  sin 2 x 3 cos 2 x 3 B. f   x   1. 6 cos x 3

 D. f   x  

3

2

 2

cos 2 x  1

3

cos 2 x 1 co

3 cos x 3 cos x

.

x 2  1  x

. Khẳng định nào đúng? 3 x A. Hàm số đã cho nghịch biến trên  . B. Hàm số đã cho là hàm s ố lẻ. C. Giá tr ị của hàm số đã cho luôn không dương. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang.

Câu 20: Một ngườ i vay ngân hàng 200.000.000 đồng theo hình thức tr ả góp hàng tháng trong 48 tháng. t háng. Lãi suất ngân hàng cố định 0,8%/ tháng. Mỗi tháng người đó phả i tr ả (lần đầu tiên phải tr ả là 1 tháng sau khi vay) s ố tiền gốc là số tiền vay ban đầ u chia cho 48 và số tiền lãi sinh ra t ừ số tiền gốc còn nợ ngân ngân hàng. Tổng số tiền lãi người đó đã tr ả trong toàn bộ quá trình nợ là là bao nhiêu? A. 38.400.000 đồng. B. 10.451.777 đồng. C. 76.800.000 đồng. D. 39.200.000 đồng. Câu 21: Giá tr ị nhỏ nhất c ủa P   log a b

 a  1 là A. 30 .

2 2



  6  lo log b   a

2

  vớ i a , b là các s ố thực thay đổ i thỏa mãn a

b

b

B. 40 .

Câu 22: Nguyên hàm của hàm số y  cos 2 x. sin x là 1 A. cos3 x  C . B.  cos3  C . 3

C. 50 .

D. 60 .

1 C.  cos3  C . 3

1 D. sin 3 x  C . 3

10

6

0

2

Câu 23: Cho f  x  liên t ục trên đoạ n  0;10 thỏa mãn  f  x  dx  7 ;  f  x  dx  3 . Khi đó g iá tr ị c ủa 2

10

0

6

biểu thức P   f  x  dx   f  x  là

A. 10 .

B. 4 .

D. 4 .

C. 3 . 

1

4

0

0

Câu 24: Cho  f  x  dx  2 . Giá tr ị của I   f  cos 2 x  sin x cos xdx bằng A.

1 . 2

B.

1 4

TOÁN HỌC B ẮC–TRUNG TRUNG– –NAM sưu tầ m và biên t ậ p

1 C.  . 2

1 D.  . 4 Trang 3/30 – Mã đề THTT số 478

C ậ p nh ật đề thi m ớ i nh ấ t t ạ i http://toanhocbactrungnam.vn/

Câu 25: Thể tích của vật thể tròn xoay t ạo bở i khi quay hình phẳng giớ i hạn bởi các đườ ng y  x 2  2 x , y  0 , x  0 ,  1 quanh tr ục hoành Ox có giá tr ị bằng 8 7 15 8 A. B. C. D. . . . . 15 8 8 7 Câu 26: Xét hàm số y  f  x  liên tục trên miền D   a; b có đồ th ị là một đườ ng cong C . G ọi S là phần gi ớ i hạn b ở i C và các đườ ng thẳng  a ,  b . Ngườ i ta chứng minh đượ c r ằng diện b

2

tích mặt cong tròn xoay t ạo thành khi xoay S quanh Ox bằng S  2  f  x  1   f   x   dx . a

Theo k ết quả trên, tổng diện tích bề mặt của khố i tròn xoay t ạo thành khi xoay phần hình phẳng 2 x 2  ln x và các đườ ng thẳng  1 ,  e quanh Ox là giớ i hạn bởi đồ thị hàm số f  x   4 2e2  1 4e4  9 4e 4  16e2  7 4 e4  9  .  .  .  . A. B. C. D. 8 64 16 16


x 4

 2m2 x 2  2 . T ậ p hợ p t ất cả các giá tr ị c ủa tham số thực m sao cho đồ th ị

2 của hàm số đã cho có c ực đại và cực tiểu, đồng thời đườ ng thẳng cùng phương vớ i tr ục hoành 64 qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng là 15

 2  C.  ; 1 .  2 

B. 1 .

A.  .

 1  D.  ; 1 .  2 

Câu 28: Diện tích hình phẳng giớ i h ạn b ở i hàm số y  x 2 x2  1 , tr ục Ox và đườ ng thẳng



a b  ln 1  b c

A. 11.

 vớ i a , b , c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của a  b  c là B. 12 .

Câu 29: Cho số phức A.  2; 3 .

C. 13 .

2

1

,

2

D.

1 1  3i  . 10

2

Câu 32: Xét số phức A.

C. 1  3i .

D.  2;3  .

là hai nghiệm phức của phương trình 4 z 2  8 z  5  0 . Giá tr ị của biểu thức

 z 2 là 5 A. . 2 z1

D. 14 .

 2  3i . Điểm biểu diễn số phức liên hợ p của z là B.  2; 3 . C.  2; 3 .

Câu 30: Số phức nghịch đảo của số phức  1  3i là 1 1 A. 1  3i  . B. 1  3i  . 10 10 Câu 31: Gọi

 1 bằng

B.

3 . 2

C. 2 .

D. 5 .

thỏa mãn 2 z  1  3 z  i  2 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

3  z  2 . 2

Câu 33: Tậ p hợp các điểm biểu diễn số phức A. đườ ng thẳng.

1 C. z  . 2

B. z  2 .

D.

1 3  z  . 2 2

thỏa mãn z  2  z  2  5 trên mặt phẳng tọa độ là một

B. đườ ng tròn.

TOÁN HỌC B ẮC–TRUNG–NAM sưu tầ m và biên t ậ p

C. elip.

D. hypebol. Trang 4/30 – Mã đề THTT số 478


Câu 34: Cho số phức A. 3 .

thỏa mãn z 

1 z

 3 . Tổng của giá tr ị lớ n nhất và giá tr ị nhỏ nhất của

B. 5 .

C. 13.

là

D. 5 .

Câu 35: Khối đa diện đề u loại  p; q là khối đa diện có đặc điểm: A. mỗ i mặt là đa giác đều p cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q mặt. B. có p mặt là đa giác đều và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q cạnh. C. có p mặt là đa giác đều và mỗ i mặt có q cạnh. D. có q mặt là đa giác đều và mỗ i mặt có p cạnh. Câu 36: Cho hình chóp S .ABC có kho ảng cách t ừ điểm S đến mặt phẳng  ABC  là 2a và thể tích bằng a3 . Nếu ABC là tam giác vuông cân thì độ dài cạnh huyền của nó là a 6 a 3 A. a 3 . B. a 6 . C. D. . . 2 2

Câu 37: Cho hình hộ p chữ nhật ABCD.ABC D có thể tích bằng 1 và G là tr ọng tâm của tam giác BCD . Thể tích V của khối chóp G. ABC  là 1 1 1 1 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 3 6 12 18 Câu 38: Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông t ại A , AB  a 2 , AC  a 5 . Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm c ủa đoạn thẳng BC . Biết r ằng góc giữa mặt phẳng  SAB  và mặt phẳng  ASC  bằng 60 . Thể tích của khối chóp S .ABC là 5a 3 6 A. . 12

5a 3 10 B. . 12

C.

a3

210 . 24

D.

a3

30 . 12

Câu 39: Cho hình tr ụ có kho ảng cách giữa hai đáy bằng 10, biết diện tích xung quanh c ủa hình tr ụ bằng 80 . Thể tích của khố i tr ụ là A. 160 . B. 164 . C. 64 . D. 144 . Câu 40: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC .AB C  có độ dài cạnh đáy bằ ng a và chiều cao bằng h. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho là 2  2 4a 2   a h A.   h  B. . . 3 3  

 2 4a 2  h2 a2 C.  h   . 3 3  4 3 

3

 h2 a 2  D.    . 3 4 3 

Câu 41: Giá tr ị lớ n nhất của thể tích khố i nón nộ i tiế p trong khối cầu có bán kính R là 4 2 3 1 4 32  R . A.  R3 . B.  R3 . C. D.  R3 . 3 3 9 81 Câu 42: Cho tam giác đều ABC cạnh 1 và hình vuông MNPQ nộ i tiế p trong tam giác ABC ( M thuộc AB, N thuộc AC , P , Q thuộc BC ). Gọi S là phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác ABC nhưng không chứa các điể m thuộc hình vuông MNPQ. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay S quanh tr ục là đườ ng thẳng qua A vuông góc vớ i BC là 810  467 3 4 3 3 4 3 3 54  31 3  .  .  . A. B. C. D. . 24 96 96 12 TOÁN HỌC B ẮC–TRUNG–NAM sưu tầ m và biên t ậ p



Câu 43: Trong không gian vớ i hệ tr ục t ọa độ Oxyz , mặt cầu  S  : x 2  y2  z 2  8 x  4 y  2 z  4  0 có bán kính R là A. R  5 . B. R  25 . C. R  2 . D. R  5 . Câu 44: Trong không gian v ớ i hệ tr ục tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P  đi qua hai điể m A  0;1;0 , B  2;3;1 và vuông góc v ớ i mặt phẳng  Q  : x  2 y  z  0 phương tr ình là

A. 4 x  3 y  2 z  3  0 . C. x  2 y  3 z 11  0 .

B. 4 x  3 y  2 z  3  0 . D. x  2 y  3z  7  0 .

Câu 45: Trong không gian v ớ i hệ tr ục tọa độ Oxyz , cho A  1; 2; 2 , B  3; 2; 0 và

 P  : x  3 y  z  2  0 . Vectơ chỉ phương của đườ ng thẳng  là giao tuyến của  P  và mặt phẳng trung tr ục của AB có tọa độ là: A. 1; 1; 0 . B.  2;3; 2  .

C. 1; 2; 0 .

D.  3; 2; 3 .

Câu 46: Trong không gian v ớ i hệ tr ục t ọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 1; 5 và B  0;0;1 . Mặt phẳng

 P  chứa A , B và song song vớ i tr ục A. 4 x  y  z  1  0 . C. 4 x  z  1  0 .

Oy

có phương tr ình là B. 2 x  z  5  0 . D. y  4 z  1  0 .

Câu 47: Trong không gian v ớ i hệ tr ục tọa độ Oxyz , cho đườ ng thẳng  :

x  1

y



z  2

1 2 M  2;5;3 . Mặt phẳng  P  chứa  sao cho kho ảng cách t ừ M đến  P  lớ n nhất là

A. x  4 y  z  1  0 . C. x  4 y  z  3  0 .

2



và điểm

B. x  4 y  z  3  0 . D. x  4 y  z  1  0 .

Câu 48: Trong không gian vớ i hệ tr ục t ọa độ Oxyz , cho hai điể m A 1;2;2  , B  5;4;4  và mặt phẳng

 P  : 2 x  y  z  6  0 Nếu M thay đổi thuộc  P  thì giá tr ị nhỏ nhất của MA2  MB2 là A. 60 .

B. 50 .

C.

200 . 3

D.

2968 . 25

Câu 49: Trong không gian vớ i hệ tr ục tọa độ Oxyz , cho t ứ diện ABCD có A  2;3;1 , B  4;1; 2 , C  6;3;7 

và D 1; 2; 2 . Các mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện ABCD chia không gian

Oxyz thành số phần là

A. 9 .

B. 12.

C. 15 .

D. 16 .

Câu 50: Trong không gian vớ i hệ tr ục tọa độ Oxyz , cho đườ ng thẳng  :

x  1



y4



z  4

và các 2 1 3 điểm A  2;3; 4 , B  4; 6; 9  . Gọi C , D là các điểm thay đổi trên đườ ng thẳng  sao cho CD 

14 và mặt cầu nội tiế p tứ diện ABCD có thể tích lớ n nhất. Khi đó, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng CD là  79 64 102   181 ; 104 ; 42  . C.  101 ; 13 ; 69  . A.  ; ; B.  D.  2;2;3 .    28 14 28  35 35 35 5 5 5       ----------HẾT---------TOÁN HỌC B ẮC–TRUNG–NAM sưu tầ m và biên t ậ p



BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B D B B C C D C D D A A B B D C D D A D D C B A A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 D B C A B A D C C A B D D A C D A D B D C C A C D GIẢI Câu 1:

 x4  2 x3  2 x có bao nhiêu điể m cực tr ị? B. 1. C. 2 . Hướ ng dẫn giải

Hàm số A. 0 .

D. 3 .

Chọn B. 1 2  2 x3  2 x  y  4 x3  6 x2  2  0  2  2 x 1 x 1  0  x  1 hoặc x   . 2 Bảng biến thiên:

y  x

4

x

1 2 0



– ∞

y 



+∞

1



0



y

Dựa vào BBT, Suy ra hàm s ố có 1 điểm cực tr ị.

Câu 2:

Cho hàm số y 

ax  b cx  d

y

có đồ thị như hình vẽ dướ i.

Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  0, b  0, c  0, d  0 . B. a  0, b  0, c  0, d  0 . C. a  0, b  0, c  0, d  0 . D. a  0, b  0, c  0, d  0 .

O

Hướ ng dẫn giải Chọn D. Dựa vào đồ thị ta có o

o

o

Câu 3:

Tiệm cận ngang y  Tiệm cận đứng x   f  0  

b d

a

 0 nên a và c trái dấu  loại đáp án A và C.

c d c

 0 nên

 0 nên b và

d và c trái dấu (vậy nên a , d cùng d ấu)

d cùng d ấu  loại đáp án B.

Đồ thị hàm số y  x2  x 2  3 tiế p xúc với đườ ng thẳng A. 0 .

B. 1.

C. 2 . Hướ ng dẫn giải

 2 x tại bao nhiêu điểm? D. 3 .

Chọn B.




Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm của đồ thị hàm số y  f  x   x 2  x 2  3 và đườ ng thẳng

 f  x   g  x  ệ ủ ệ phương tr là nghi m c a h ì nh (1). Ta có  0    f  x   g  x   x2  x2  3  2 x  x2  x2  3  2 x  x  1, x  0, x  2   1   3 1  3  x  1 3  x  1, x  2 4 x  6 x  2  4 x  6 x  2 Vậy chỉ có một điểm thỏa yêu cầu bài toán.

y  g  x   2 x . Khi đó

Câu 4:

1

Cho hàm số y 

. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng mộ t tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệ m cận đứng. C. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. D. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệ m cận ngang. Hướ ng dẫn giải Chọn B. Tập xác định: D   ;1 \ 1 2

 1  x y  lim  2    x lim  x  1 x  1  1 Ta có:  nên hàm số có tiệm cận đứng x  1 .  lim y  lim 1  x   2   x 1 x  1 x  1 1  x 1 x 1  lim  lim   nên hàm số có tiệm Ta có lim y  lim 2 x 1 x1 x  1 x1 1  x   x  1 x1 1  x   x  1 cận đứng

1 1

4 

3 1  x x x lim   0 nên hàm số có tiệm cận ngang bằng y  0 . x  x 2  1 x  1 1 2

Ta có lim y  lim x 

Câu 5:

1

Đườ ng cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số y đượ c liệt kê ở bốn 4 phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏ i hàm số đó là hàm số nào? A. y  4  C. y  4 

4

4 2

2

B.

.



x 4

8

.

3

 4  x 2 .

D. y  4 

x 2

x4

 . 4 16 Hướ ng dẫn giả ải

2

O

1

2

Chọn C. + Ta có đồ thị cắt tr ục hoành t ại hai điểm  2;0  và  2;0  nên thay t ọa độ đó vào các hàm số trong đáp án thì loại đáp án D. + Đồ thị không đi qua điể m 1;3  nên thay t ọa độ điểm vào đáp án A, B, C thì loại đáp án B. + Vớ i vẽ vớ i

15  3,75 điều này theo đồ thì là k hông đúng (Theo h ình 4  1 thì y  3,5 ). Do đó loại đáp án A.

 1 thì từ đáp án A ta có y 




Vậy đườ ng cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm s ố trong đáp án C.

Câu 6:

Giả sử tồn tại hàm số y  f  x  xác định trên bảng biến thiên như sau:



x y 

2  0 

1

 \ 1 , liên tục trên mỗ i khoảng xác định và có





0

0 0 1

1





2 0

 



1

y



2



0

Tậ p hợ p t ất cả các giá tr ị c ủa tham số thực m sao cho phương tr ình f  x   m có bốn nghiệm thực phân biệt là A.  2;0  1 . B.  2;0   1 . C.  2; 0. D.  2; 0 .

Hướ ng dẫn giả ải Chọn C. Ta có lim y  lim f  x   1 nên phần đồ thị tương ứng vớ i x  1;   có đườ ng tiệm cận x 

x 

ngang là y  1 . Do đó phần đồ thị này không cắt đườ ng thẳng y  1 . Ta có lim y  lim f  x   0 nên phần đồ thị tương ứng vớ i x   ;1 có đườ ng tiệm cận x 

x

ngang là y  0 . Do đó phần đồ thị này không c ắt đườ ng thẳng y  0 . Dựa vào bảng biến thiên, để phương tr ình f  x   m có b ốn nghiệm thực phân biệt thì đườ ng thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại bốn điểm phân biệt khi 2  m  0 .

Câu 7:

Cho hàm số  x 4  2 x 2 . G ọi  là đườ ng thẳng đi qua điể m cực đại của đồ th ị hàm số đã cho và có hệ số góc m . Tậ p hợ p tất cả các giá tr ị của tham số thực m sao cho tổng các kho ảng cách t ừ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến  nhỏ nhất là 1 A. 0 . B.   . C.  . D. 1 .  2 Hướ ng dẫn giải Chọn D. y  x 4  2 x 2 . TXĐ: D   .  x  0 3 2  y   4 x  4 x  4 x  x  1 , y   0  x  1   x  1 0   1 1  0 0 0     0   y

1

1

Vậy, điểm cực đại của đồ thị hàm số là gốc tọa độ O  0;0 . Các điểm cực tiểu là A  1; 1 và B 1; 1 .

Phương tr ình đườ ng thẳng  thỏa đề bài có dạng


 mx , hay mx  y  0 .


C ậ p nh ật đề thi m ớ i nh ấ t t ạ i http://toanhocbactrungnam.vn/ m 1 m  1 m  1  m  1   2 2 2 m 1 m 1 m 1 2  m 2  1  2  m 2  1 m2  1 0 2 S   2  2.  2  2.  2. m2  1 m2  1 m2  1 Vậy S 2 đạt giá tr ị nhỏ nhất bằng 2 khi m2  1  0 hay m  1 . Vì S  0 nên ta k ết luận đạt giá tr ị bé nhất là 2 khi m  1 S

Câu 8:

 d  A;      d  B;     

S

Cho hàm số y  x3   2m  1 x 2  1  m x . Tậ p h ợ p tất cả các giá tr ị của tham số m sao cho

đồ thị của hàm số đã cho có 2 điểm c ực tr ị, đồng thời hoành độ điểm c ực đại không nhỏ hơn 1 là 1  1    A.  ;   2 . B.  ;    2;   . 4 4   1 1 C.  ;  . D.  ;   2 . 4 4   Hướ ng dẫn giải Chọn C. Tập xác định D   . Ta có y  3x 2  2  2 m  1 x  1  m . Vậy y   0  3x 2  2  2m  1 x  1  m  0 (*)

Đồ thị của hàm số đã cho có 2 điểm cực tr ị  (*) có 2 nghiệm phân biệt  m  1 2     0  4m  7 m  2  0   4 (1)  m  2 Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của (*), sao cho 1  x2 . Ta có bảng biến thiên  1 2  0 0   

 

y

 Vậy x1 là điểm cực đại của hàm số đã cho.

Đặt VT *  f  x  . Yêu cầu bài toán tương đương hai nghiệm phân biệt x1 , trình * phải thỏa 1 

1

2

của phương

 x2 , ngh ĩa là

 f  1  0 m  2    b 2m  1 m  2  m  2 (2)  1      2a 3 1 Từ (1) và (2) suy ra m  . 4 Câu 9:

Tậ p h ợ p t ất cả các giá tr ị c ủa tham số thực m sao cho hàm s ố y 

2

 x  m2 đạt cực đại t ại x  1

x  1 là:

A.  .

B. 2 .

C. 2; 2 . Hướ ng dẫn giải

D.  .

Chọn D. TOÁN HỌC B ẮC–TRUNG–NAM sưu tầ m và biên t ậ p



Tập xác định D   \ 1 . 2

2 x  1  m2  y   . 2  x  1 Hàm số đạt cực đại tại  1 nên cần có y  1  0 , hay 4  m2  0  m  2 .  x  1 x 2  2 x  3 2  Vớ i m  2 ta đượ c: y   ;       y x x 0 2 3 0 2  x  3 . 1  x    Bảng biến thiên: x  3 1 1 0 0 y     0 

 

y

  Quan sát bảng biến thiên ta có hàm s ố đạt cực tiểu tại x  1 . Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán.

0

Câu 10: Tậ p hợ p t ất cả các giá tr ị của tham số thực m sao cho p hương tr ình nghiệm phân biệt là: A.  0; 2 .

B. 1; 2 .

C. 1;2  0 . Hướ ng dẫn giải

2  m có đúng hai x  1

x

D. 1;2   0 .

Chọn D. *Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y  f  x  

x  2

có đồ thị  C  ta được đồ thị như hình bên dướ i.

x  1 x  2

 f  x  có đồ thị  C 1  bằng cách: 1 Phần 1 : Giữ nguyên đồ thị hàm số  C  phần bên phải tr ục tung. Phần 2 : Lấy đố i xứng phần 1 qua tr ục tung. Ta được đồ thị  C 1  như hình bên dướ i.

*Từ đồ thị  C  suy ra đồ thị hàm số y 

x

y

y

1

1 O 2 2

C  : y 

O 1 x

x  2

1

2 2 2

 C1  : y 

2 x  1

x

2

2 O 2

 C2  : y 

x

2 x  1

x

2  f  x  có đồ thị  C 2  bằng cách: x  1 Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị  C 1  nằm trên tr ục Ox . Phần 2: Lấy đố i xứng phần nằm dướ i tr ục Ox của đồ thị  C 1  qua tr ục Ox .

*Từ đồ thị hàm số  C 1  suy ra đồ thị hàm số y 


x



Ta được đồ thị  C 2  như hình vẽ bên trên. Quan sát đồ thị  C 2  ta được phương tr ình

2  m có đúng hai nghiệ m phân biệt khi và x  1

x

m  0 chỉ khi  . 1  m  2 Câu 11: Một vùng đấ t hình chữ nhật ABCD có AB  25 km , BC  20 km và M , N lần lượ t là trung điểm c ủa AD , BC . Một người cưỡ i ng ựa xu ất phát t ừ A đi đến C bằng cách đi thẳng t ừ A đến một điểm X thuộc đoạn MN r ồi lại đi thẳng t ừ X đến C . Vận t ốc c ủa ng ựa khi đi trên phần ABNM là 15km/h, vận tốc của ngựa khi đi trên phầ n MNCD là 30 km/h . Thờ i gian ít nhất để ngựa di chuyển từ A đến C là mấy giờ ? 2 5 41 4  29 5 A. B. C. D. . . . . 3 4 6 3 Hướ ng dẫn giải Chọn A. A

Gọi MX  x  km  vớ i 0  x  25 Quãng đườ ng AX  x 2  102

 thời gian tương ứng

x 2  100

15

 h

M

25 km

B

15 km /h

20 km

X

2

Quãng đườ ng CX   25  x   102 thời gian tương ứng

x 2  50 x  725

30

Tổng thờ i gian f  x   x

f   x  



2

x 2  100

15



30 km /h

h x2

x  25 2

D

C

 50 x  725 vớ i x   0;25 , tìm giá tr ị nhỏ nhất 30

f  x 

, f   x   0  x  5

15 x  100 30 x  50 x  725 4  29 1  29 2 5  1,56 , f  25    2,13 , f  5    1,49 Tính các giá tr ị f  0   6 3 3 2 5 Vậy hàm số đạt GTNN bằng tại x  5 3

Câu 12: Hàm số

 4 

A.  2;2  .

1 2 5 x



có tập xác định là

B.  ; 2   2;   . C. . Hướ ng dẫn giải

D.

 \ 2 .

Chọn A. Hàm số đã cho là hàm lu ỹ thừa vớ i số mũ không nguyên Hàm số xác định khi và ch ỉ khi 4  x2  0  2  x  2 . Vậy TXĐ D   2;2  . Câu 13: Phương tr ình x  ln x  1  0 có số nghiệm là A. 0 .

B. 1.



D. e .



ChọnB. Điều kiê ̣ n x  0 .

 x  0 x  0 Phương trı̀ nh đã cho tương đương vớ ới ó . Do x  0 nên phương trı̀ nh có    x e ln 1   nghiê ̣ m duy nhấất là  e . Câu 14: Giá tr ị của m để phương tr ình 4 x  m.2 x1  2m  0 có hai nghiệm 1 , 2 thỏa mãn x1  x2  3 là 9 3 A. m  3 . B. m  4 . C. m  . D. m  . 2 2 Hướ ng dẫn giải ChọnB. Đă ṭ t  2 x , điều kiê ̣ n t  0 . Phương trı̀ nh đã cho trở ở thàà nht 2  2mt  2m  0 (1). Ta có ó 2 x1  x2  8  2 x1.2 x2  8 . Vâ ̣ y phương trı̀ nh (1) phả ả i có ó hai nghiê ̣ m dương t1 , t 2 sao cho t1.t 2  8 .  m 2  2m  0    0   Điều kiê ̣ n t1  t2  0   2m  0 m4. t .t  8  1 2  2m  8

A.  .

2

 6x . x  4 B. 0 . C.  2; log 2 6 . D.  2;log 2 6  0 . Hướ ng dẫn giải x

Câu 15: Tìm tập xác định của hàm số f  x   7  2  6.2  x  x

2

Chọn D. x 7  2 x  6.2 x  0 22 x  7.2 x  6  0 1  2  6    Hàm số xác định   2 x 2  6 x    x2  2 x   x  0  x  x 4  0  x 4 0       2  x  4 0  x  log 2 6  x  0     x  0  .   x 2 log 6 2    2  x  4 

Câu 16: Nếu a  log 2 3 , b  log 2 5 thì 1 1 1 A. log 2 6 360   a  b . 3 4 6 1 1 1 C. log 2 6 360   a  b . 2 3 6

1 1 1 B. log 2 6 360   a  b . 2 6 3 1 1 1 D. log 2 6 360   a  b . 6 2 3 Hướ ng dẫn giải

Chọn C. 1 1 1 1 1 log 2 6 360  log 2 5.32.23   3  2 log 2 3  log 2 5    a  b . 6 6 2 3 6 1 Câu 17: Tậ p nghiệm của bất phương tr ình  x 2   2 

 2 A.  1;   . 2  


2 x2  x 1

1 x

1   x2   là 2   2 B. 0;  .  2 



 2  2 D.  1;    0;  . 2   2   Hướ ng dẫn giải

C.  1;0  . Chọn D.

   x 2  1  1  2  2 x2  x 1 1 x   x 2  1  1 1 1 1       x2     Do x 2   0x nên  x 2   2 2 2 2  2 2  x  1  1  x     1  0  x 2   1 2   2 2  x  1  1  x    1   x   1 2 x     2   1   1     x  ;     ;     1      2  2    x  1;   2     x  1;0   1    x  0;    1 1    2    x    ;    2 2    x   ; 1  0;    



x   1; 



2  2   0;  2   2 

Câu 18: Đạo hàm của hàm số f  x  

sin x  x là 3 cos x

1 1 3 cos 4 x  sin 2 x 3 cos 2 x cos 4  sin x 3 cos 2 x 3 3 1. A. f   x   B. f   x    1. 6 3 2 cos x cos x 2 1 3 3 cos 4  sin 2 x 3 cos x cos 2 x  1 2 3 cos 2 x 1 3 C. f   x   D. f   x   . 1 . 3 3 2 x x 3cos cos cos x Hướ ng dẫn giải Chọn D.   sin x  Chú ý r ằng  3 cos x   3 2 x   k  . 2 3. cos x   sin x  . 3 cos x  sin x.  3 cos x  sin x    x  1 Ta có f   x    3 3  cos x  cos2 x 3










sin 2 x cos x. cos x  3 2 3cos 2  sin 2 x  3 3 cos 4 x x 3 cos  1  3 2 cos x 3cos x. 3 cos 2 x 3

3cos 2  sin 2 x  3 3 cos4 x 2cos 2 x 1  3 3 cos 4 x   3 2 3cos x. cos x 3cos x. 3 cos 2 x

 

3

2

 2

cos 2 x  1

3

cos 2 x 1



3cos x 3 cos x

sin 2 x cos x. cos x  3 2 3 cos x  1 , học sinh có thể loại k ết quả theo Lưu ý vớ i học sinh: Khi tính đế n 3 2 cos x các sau o Loại đáp án A, vì t ử số trong đáp án A có dấu tr ừ. o Loại đáp án B, vì mẫu số của đáp án B là căn bậc 6 sin 2 x 2 3 o Loại đáp án C, vì t ử số của đáp án C có sin cos x chứ không phải là 3 2 . cos 3


x 2  1  x

. Khẳng định nào đúng? 3 x A. Hàm số đã cho nghịch biến trên  . B. Hàm số đã cho là hàm số lẻ. C. Giá tr ị của hàm số đã cho luôn không dương. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang. Hướ ng dẫn giải Chọn A.

  Ta có y    x   

 x 2 x  1  3  x  1  x .3 .ln 3 2 x  1  32 x x

x

2





1 

x

2





1 x 

x

2

3 x. x 2  1



 1 ln 3

 0  x  

vì x  x 2  1  0 và x2  1  1 vớ i mọ i x   . Suy ra hàm số nghịch biến trên

.

Câu 20: Một ngườ i vay ngân hàng 200.000.000 đồng theo hình thức tr ả góp hàng tháng trong 48 tháng. Lãi suất ngân hàng cố định 0,8% / tháng. Mỗi tháng người đó phả i tr ả (lần đầu tiên phải tr ả là 1 tháng sau khi vay) số tiền gốc là số tiền vay ban đầu chia cho 48 và s ố tiền lãi sinh ra từ số tiền gốc còn nợ ngân hàng. T ổng số tiền lãi người đó đã tr ả trong toàn bộ quá trình nợ là bao nhiêu? A. 38.400.000 đồng. B. 10.451.777 đồng. C. 76.800.000 đồng. D. 39.200.000 đồng. Hướ ng dẫn giải Chọn D. Để thuận tiện trong trình bày, t ất cả các số tiền dưới đây được tính theo đơn vị triệu đồ ng. 200 Số tiền phải tr ả tháng thứ 1:  200.0,8% . 48 Số tiền phải tr ả tháng thứ 2: 200  200  200 200 .0,8% 47. .0,8% .   200    48  48  48 48 TOÁN HỌC B ẮC–TRUNG–NAM sưu tầ m và biên t ậ p



Số tiền phải tr ả tháng thứ 3: 200  200  200 200 .0,8% 46. .0,8% .   200  2.   48  48  48 48 Số tiền phải tr ả tháng thứ 48 200  200  200 200   200  47. 1. .0,8%  .0,8% .  48  48  48 48 Suy ra tổng số tiền lãi phải tr ả là: 200 200 200 1. .0,8%  2. .0,8%  ...  47. .0,8%  200.0,8% 48 48 48 48 1  48  200 200   39, 2 .0,8% 1  2  ...  48   .0,8%. 48 48 2

Câu 21: Giá tr ị nhỏ nhất c ủa P   log a b

 a  1 là A. 30 .

2 2



2

  6  log b   a

  vớ i a , b là các s ố thực thay đổi thỏa mãn a 

b

b

B. 40 .


D. 60 .

Chọn D.

 Ta có P   2 log a b   6  log b  a2 2

Đặt x 

b a

2



a2 a

2

b

2

 .

a 

 1 . Vậy b  a2 x và 2

2 2 2  a x 2  P   2 log a  a x    6  log x a 2  log a x   6 log x  xa  4 log   a   a   2  1  2 2 2  4  2  log a x   6  log x x  log x a   4  2  log a x   6 1   . x log a   2

2

1 Đặt t  log a x  log a 1  0  P  4  t  2   6 1   .  t  2 1 2  Xét hàm số f  t   4  t  2   6 1   , vớ i t   0;   có  t  12  t  1  1  1 f   t   8  t  2  12 1   . 2  8  t  2  . 3 t t t   t   0;   t   0;   t   0;       3  4 3  f   t   0 2t  t  2   3  t  1 2t  4t  3t  3  0 2

t   0;   t   0;    3   t  1.  3 2 2 t t t t      1 2 6 6 3 0 t t t t t t t         2 1 6 1 6 1 3 1 0              Từ đó suy ra f  t   f 1  60 , nên P  60 . Dấu "  " xảy ra  log a  1 nên x  a hay

b a

2

 a  b  a 3.

Câu 22: Nguyên hàm của hàm số y  cos 2 x.sin x là TOÁN HỌC B ẮC–TRUNG–NAM sưu tầ m và biên t ậ p



1 A. cos3 x  C . 3

1 C.  cos3  C . 3 Hướ ng dẫn giải

1 D. sin 3 x  C . 3

B.  cos3  C .

Chọn C. Ta có  cos

2

cos3 x sin xdx    cos xd cos x     C . 3 2

10

6

0

2

Câu 23: Cho f  x  liên t ục trên đoạn  0;10 thỏa mãn  f  x  dx  7 ;  f  x  dx  3 . Khi đó giá trị c ủa 2

10

0

6

biểu thức P   f  x  dx   f  x  là

A. 10 .

B. 4 .

D. 4 .


Chọn B. 10

2

6

10

0

0

2

6

Vì f  x  liên t ục trên đoạn  0;10 nên  f  x  dx   f  x  d x   f  x  dx   f  x  dx 2

10

10

6

0

6

0

2

 P   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  7  3  4 . 

1

4

0

0

Câu 24: Cho  f  x  dx  2 . Giá tr ị của I   f  cos 2 x  sin x cos xd x bằng A.

1 . 2

B.

1 4

1 C.  . 2 Hướ ng dẫn giải

1 D.  . 4

Chọn A. 



4

14 Xét I   f  cos 2 x  sin x cos xd x   f  cos 2 x  sin 2 xd x 20 0

Đặt t  cos 2 x  dt   2sin 2 xdx . Đổi cận: khi

 0  t  1 ; x 



4

 t  0 .

10 11 1 1 I    f  t  dt   f  t  dt  .2  . 41 40 4 2

Câu 25: Thể tích của vật thể tròn xoay t ạo bở i khi quay hình phẳng giớ i hạn bởi các đườ ng y  x 2  2 x , y  0 , x  0 ,  1 quanh tr ục hoành Ox có giá tr ị bằng 8 7 15 8 A. B. C. D. . . . . 15 8 8 7 Hướ ng dẫn giải Chọn A. 4 3 1  x 5 1 1 2 x x  8 2 4 3 2  Ta có S   0  x  2 x  dx   0  x  4 x  4 x  dx     4  4 5  15 4 3 0  Câu 26: Xét hàm số y  f  x  liên tục trên miền D   a; b có đồ th ị là một đườ ng cong C . G ọi S là phần gi ớ i hạn b ở i C và các đườ ng thẳng  a ,  b . Ngườ i ta chứng minh đượ c r ằng diện TOÁN HỌC B ẮC–TRUNG–NAM sưu tầ m và biên t ậ p


C ậ p nh ật đề thi m ớ i nh ấ t t ạ i http://toanhocbactrungnam.vn/ b

2

tích mặt cong tròn xoay t ạo thành khi xoay S quanh Ox bằng S  2  f  x  1   f   x   dx . a

Theo k ết quả trên, tổng diện tích bề mặt của khố i tròn xoay t ạo thành khi xoay phần hình phẳng 2 x 2  ln x và các đườ ng thẳng  1 ,  e quanh Ox là giớ i hạn bởi đồ thị hàm số f  x   4 2e2  1 4e4  9 4e 4  16e2  7 4 e4  9  .  .  .  . A. B. C. D. 8 64 16 16 Hướ ng dẫn giải Chọn D. Cách 1. (Giải tự luận) 2

2 2 x 2  ln x x 2 ln x 1 1 1 1 Ta có f  x      f   x   x    f   x     x    x2  2  4 2 4 4 x 16 x 2  4x  1 Lại có f   x   x   0, x  1; e  , nên f  x  đồng biến trên 1; e  . Suy ra 4 1 f  x   f 1   0, x  1; e . 2 Từ đây ta thực hiện phép tính như sau

 x2 ln x  1 1  1   x2    dx f  x  1   f   x   dx  2    2 4  16 x 2   1 2

b

S

e

2

 2  a

2 e  x2 ln x  2  x 2 ln x   1 1 1   S  2    x  16 x 2  2 dx  2   2  4   x  4 x  dx 2 4     1 1 e  x 2 ln x   1  x   2       dx x 2 4 4    1 e 1 1 1 1 ln x   2   x3  x  x ln x   dx x 2 8 4 16   1  2  I1  I 2  I 3  e

e

Vớ i

 x 4 x 2  2e4  e2  3 1 3 1   I1    x  x  dx      1 2 8  8 16 16   1 e

e

11 2 1 2 1  1  I 2     x ln x  dx   x  2ln x  1   e  1 44 16 16  4  1 e

e

 1 ln x  dx   1 ln 2 x   1 . I 3      1 32 32  16 x  1 Cách 2. e

e

Học sinh có thể tr ực tiế p bấm máy tính tích phân S  2  1

x

2

2



ln x 1 1   1   x2  dx để 2 4 16 2 x  

có k ết quả





x 4

 2m2 x 2  2 . T ậ p hợ p t ất cả các giá tr ị c ủa tham số thực m sao cho đồ th ị

2 của hàm số đã cho có c ực đại và cực tiểu, đồng thời đườ ng thẳng cùng phương vớ i tr ục hoành 64 qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng là 15

B. 1 .

A.  .

 2  C.  ; 1 .  2  Hướ ng dẫn giải

 1  D.  ; 1 .  2 

Chọn B. Tập xác định D  

 x  0  3 2 2 2 y   2 x  4m x  2 x  x  2m  ; y   0   x  2m    2m  Đồ thị của hàm số đã cho có c ực đại và cực tiểu  m  0 1 Vì a   0 nên hàm số đạt cực đại tại x  0 suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số là A  0;2  2 Đườ ng thẳng cùng phương vớ i tr ục hoành qua điể m cực đại có phương tr ình là d : y  2 . Phương tr ình hoành độ giao điểm của  C m  và d là:  x  0  x  0  x  2m 2 x 2  2  2   2  x  2 m 2 2 x m  4   x  2 m  2

4

Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý r ằng hàm s ố đã cho là hàm ch ẵn) 2m

S





2 m

x

2m

4

2

 2m

2 2

x

dx  2  0

x

2m

4

2

 x5 2 2 3  2 m 64 2  m x   10 3 15 0   m  1 64 Ta có S   m  1   15 m  1

 2m m

2 2

x

 x4  dx  2    2m2 x 2  dx  0  2

5

Câu 28: Diện tích hình phẳng giớ i h ạn b ở i hàm số y  x 2 x2  1 , tr ục Ox và đườ ng thẳng



a b  ln 1  b c

A. 11.

 1 bằng

 vớ i a , b , c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của a  b  c là B. 12.


D. 14.

Chọn C. Cách 1 (dùng máy tính): Phương tr ình hoành độ giao điểm x 2 x 2  1  0  x  0 1

Diện tích hình phẳng cần tìm là S   x 2 x 2  1dx vì x 2 x 2  1  0, x   0;1 . 0



C ậ p nh ật đề thi m ớ i nh ấ t t ạ i http://toanhocbactrungnam.vn/ 1

 x

2

x

2

 1dx 

a b  ln

1  b 

c

0

1

Bướ c 1: Bấm máy tính tích phân S   x 2 x 2  1dx  0,4201583875 ( Lưu D) 0

Bước 2: Cơ sở : Tìm nghiệm nguyên của phương tr ình D 



a b  ln 1  b c

 c a



b  ln 1  b D

 (coi

c  f  x  , a  x , b   và

ta thử các giá

tr ị b  ...  5; 4;..0,1;2;3;4..... ) Thử vớ i b  1 : Thử vớ i b  2 : Mode + 7

F  X  



X 2  ln 1  2 D

;

K ết quả: a  3;c  8, b  2

Cách 2 (giải tự luận): Phương tr ình hoành độ giao điểm x 2 x 2  1  0  x  0 1

Diện tích hình phẳng cần tìm là S   x 2 x 2  1dx vì x 2 x 2  1  0, x   0;1 . 0

Đặt x  tan t  dx  1  tan 2 t  dt Đổi cận x  0  t  0; x  1  t 



4







4 sin t 1 1 sin 2 t.cos t Khi đó S   tan t 1  tan t 1  tan t  dt   2 . 2 dt   dt 2 3 t t t cos cos cos 0 0 0  cos t  4

2

2

2

4

2

Đặt u  sin t  du  cos tdt Đổi cận t  0  u  0; t 

S



2 2

u

2

 1  u  0

Ta có H 

2 3

2 2

 0

du 

2 2



4

u 

1  1  u

 1  u  0

1

2

1 du  3 8 1  u 2 

2 3



2 2 2 2

  1  1    du du    3 2  1  u 2   1  u 2    0   

2 2

3

2 2

3  1  u  1 u  1  1 1  0  1  u 1  u   du  8 0  1  u  1  u  du






1 8

1  8

2 2

 1 1 3  1 1      0  1  u 3 1  u 3 1  u 2  1  u 1  u   du   2 2

 1  1 6 0  1  u 3  1  u 3  1  u 2 2  du  

 1  2 1 1      16 1  u  2 16 1  u  2  2 8  0 2 1  2 8



Tính K 

2 2

K



 0

3  2

6

6

 1  u 

2 2

0

6

 1  u  0

2 2

2 2

2 2

2 2

6

 1  u 

2 2

0

du

du

du

3 u d  2 2 1  u 2 

2 2

2

2 2

2  1  u 1 u  3  1 1  0  1  u 1  u   du  2 0  1  u  1  u  du

2 2

 1  1 2 3 1 1 1 u    0  1  u 2 1  u 2 1  u 1  u   du  2  1  u  1  u  ln 1 u  

2   2  3 2  3ln 1  2  0

2 3 2  3ln 1  2  7 2  3ln 1  2    Vậy H  2 8 8 7 2  3ln 1  2  1 Khi đó S   K 8 6 7 2  3ln 1  2  1 3 2  ln 1  2    3 2  3ln 1  2   8 6 8



Câu 29: Cho số phức A.  2;3  .



 2  3i . Điểm biểu diễn số phức liên hợ p của z là B.  2; 3 . C.  2; 3 . Hướ ng dẫn giải

Chọn A. Vì  2  3i  z  2  3i Điểm biểu diễn của

có tọa độ  2; 3 .

Câu 30: Số phức nghịch đảo của số phức  1  3i là 1 1 A. 1  3i  . B. 1  3i  . C. 1  3i . 10 10 Hướ ng dẫn giải Chọn B. 1 1 1  3i 1  2  Ta có  1  3i   1  3i  . 2 z 1  3i 1   3i  10 TOÁN HỌC B ẮC–TRUNG–NAM sưu tầ m và biên t ậ p

D.  2;3  .

D.

1 1  3i  . 10



Câu 31: Gọi

1

,

2

2

là hai nghiệm phức của phương tr ình 4 z 2  8 z  5  0 . Giá tr ị của biểu thức

2

 z 2 là 5 A. . 2 z1

B.

3 . 2

C. 2 .

D. 5 .

Hướ ng dẫn giải Chọn A.

 z  1  1 i 1 2 . Suy ra 2 4 z  8 z  5  0    z  1  1 i  1 2

2



z 2

2

5  . 2

thỏa mãn 2 z  1  3 z  i  2 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 32: Xét số phức A.

z1

3  z  2 . 2

1 C. z  . 2 Hướ ng dẫn giải

B. z  2 .

D.

1 3  z  . 2 2

Chọn D. Giả sử  x  yi có điểm biểu diễn là M  x; y  . Số phức  1 có điểm biểu diễn A  x  1; y  .  i có điểm biểu diễn B  x; y  1 . 2

2

Tacó 2  1  3 z  i  2 2  2  x  1  y 2  3 x 2   y  1  2 2  2OA  3OB  2 AB (1) Mà 2OA  3OB  2OA  2 OB  OB  2 AB  OB (2) .

 x  0 . Khi đó z  i  z  1 Từ (1) và (2) suy ra 2 AB  OB  2 AB  OB  0  B  O   y  1  thỏa mãn z  2  z  2  5 trên mặt phẳng tọa độ là một

Câu 33: Tậ p hợp các điểm biểu diễn số phức A. đườ ng thẳng.

B. đườ ng tròn. C. elip. Hướ ng dẫn giải

D. hypebol.

Chọn C. Trên mặt phẳng tọa độ 0 y , gọi M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi  x, y    . 2

2

Ta có z  2  z  2  5   x  2   y 2   x  2   y 2  5 (1) .

Đặt F1  2;0  , F 2  2;0  khi đó 1  MF1  MF 2  5 suy ra M nằm trên Elip có hai tiêu điểm là x 2 y 2 5 F1 ; F 2 và bán kính tr ục lớ n là . Phương tr ình của elip đó là  1. 25 9 2 4 4

Câu 34: Cho số phức A. 3 .

thỏa mãn z 

1 z

B. 5 .

 3 . Tổng của giá tr ị lớ n nhất và giá tr ị nhỏ nhất của C. 13. Hướ ng dẫn giải

là

D. 5 .

Chọn C. Trướ c hết ta có bài toán t ổng quát: Cho a, b, c là các s ố thực dương và số phức z  0 thỏa mãn az 

b z

 c . Chứng minh r ằng

c 


c 2  4ab

2a

 z 

c  c2

 4ab

2a

.



Dấu đẳng thức xảy ra khi và ch ỉ khi là số thuần ảo. b

Dựa vào dấu đẳng thức xảy ra ta chỉ cần tiến hành giải phương tr ình az   c r ồi lấy tr ị tuyệt z

đối mỗ i nghiệm. Khi đó số dương nhỏ là min z số dương lớ n là max z . Áp dụng k ết quả trên vớ i a  b  1 và c  3 , ta có min z 

3  13 3  13 và max z  . V ậy 2 2

tổng giá tr ị lớ n nhất và nhỏ nhất của z là 13 .

Câu 35: Khối đa diện đề u loại  p; q là khối đa diện có đặc điểm: A. mỗ i mặt là đa giác đều p cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q mặt. B. có p mặt là đa giác đều và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q cạnh. C. có p mặt là đa giác đều và mỗ i mặt có q cạnh. D. có q mặt là đa giác đều và mỗ i mặt có p cạnh. Hướ ng dẫn giải Chọn A. Một khối đa diện lồi được gọi l à khối đa diện đều loại  p; q nếu: a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh. b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. Câu 36: Cho hình chóp S .ABC có kho ảng cách t ừ điểm S đến mặt phẳng  ABC  là 2a và thể tích bằng a3 . Nếu ABC là tam giác vuông cân thì độ dài cạnh huyền của nó là a 6 a 3 A. a 3 . B. a 6 . C. D. . . 2 2 Hướ ng dẫn giải Chọn B. Không mất tính tổng quát, giả sử tam giác ABC vuông cân t ại A . 1 x 2 1 ax2 Đặt x  AB , ta có S ABC  AB. AC  và VS . ABC  SABC . SH  . Vậy 2 2 3 3 VS .ABC  a

3



ax 2

3

 a3   a 3 .

Độ dài cạnh huyền là BC  AB 2  a 6. Câu 37: Cho hình hộ p chữ nhật ABCD.ABC D có thể tích bằng 1 và G là tr ọng tâm của tam giác BCD . Thể tích V của khối chóp G. ABC ' là 1 1 1 1 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 3 6 12 18 D C  Hướ ng dẫn giải Chọn D. Gọi M là trung điểm của BD theo tính 1 A chất tr ọng tâm của G ta có GM  CM B 3 M G 1 1 1 1 1  VG . ABC   VC. ABC  V A. BCC  . .AB. CB.CC  D 3 3 3 3 2 C 1 1 1  AB.BC.CC   V ABCD. ABCD  18 18 18 TOÁN HỌC B ẮC–TRUNG–NAM sưu tầ m và biên t ậ p

A

B



Câu 38: Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông t ại A , AB  a 2 , AC  a 5 . Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm c ủa đoạn thẳng BC . Biết r ằng góc giữa mặt phẳng  SAB  và mặt phẳng  ASC  bằng 60 . Thể tích của khối chóp S .ABC là 5a 3 6 A. . 12

a 3 210 5a 3 10 B. C. . . 12 24 Hướ ng dẫn giải

D.

a3

30 . 12

Chọn D. Gọi H là trung điể m của BC , đặt SH  x,  x  0  . Gắn hình chóp vào hệ tr ục tọa độ vớ i A  0;0;0 , B  a 2;0;0 , C  0; a 5;0  ,

a 2 a 5  a 2 a 5   2 ; 5 ;0  , S  2 ; 2 ; x  như hình vẽ     Ta có:  VTCP của đườ ng thẳng AB là i  1;0;0 ,

H 

S



VTCP của đườ ng thẳng AC là j   0;1;0  .   a AS  

2 a 5   2 ; 2 ; x   

A C

 a 5   VTPT của mp SAB  là  AS , i    0; x;    n1 2   B    a 2   VTPT của mp  ASC  là  AS , j     x;0;   n2 . 2    

a2

 

Có cos60 

n1.n2   n1 . n2



10 4

5a 2 2 2a 2 x  . x  4 4 2

 16 x 4  28 x2 a 2  30 a 4  0  x 

3

a

2



H

1 2

S

do x  0 .

a 3 30 1 1 a 3 1 VS . ABC  SH .S ABS  . . .a 2.a 5  . 3 3 2 2 12 C Cách 2: ( SAB )   SAC   SA , k ẻ BE  SA và GH  BE , suy ra

I

E

G

B H M

  SAC  ,  SAB     GH ,  SAC    HGI  60 . 

7a 2 5a 2 2 Đặt SH  h , ta tính đượ c SA  h  và SP  h  . Vậy 4 4 2

P A

5a 2 a 2 a 2. h  .h 2 S SAB BE SH .HM 4 2 BE     HG  , HI  2 2 SA SM 2 a 7a 2 2 h  h  4 2 Tam giác GIH vuông t ại I có 2




5a 2 a 2 . h  h. IH 3 2 7a 2 2 15a 4 2a 3 4 4 2 h  h  h  .     sin 60  0 HG 2 4 8 4 a2 7a 2 2 2 h  h  4 2 a 3 30 1 Vậy VSABC  AB.AC .SH  . 6 12 a

2

2

Câu 39: Cho hình tr ụ có kho ảng cách giữa hai đáy bằng 10, biết diện tích xung quanh c ủa hình tr ụ bằng 80 . Thể tích của khố i tr ụ là A. 160 . B. 164 . C. 64 . D. 144 . Hướ ng dẫn giải Chọn A. Chiều cao h chính là kho ảng cách hai đáy  h  10 . Diện tích xung quanh hình tr ụ là 2 Rh  80  R  4 là bán k ính đườ ng tròn đáy. Vậy thể tích là V   R 2 h  160 . Câu 40: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC .AB C  có độ dài cạnh đáy bằ ng a và chiều cao bằng h. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho là 2  2 4a 2   a h A.   h  B. . . 3 3   3

 2 4a 2  h2 a2 C.  h   . 3 3  4 3

 h2 a 2  D.  . 3  4 3  Hướ ng dẫn giải





Chọn C. Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đề u. Gọi G, G lần lượ t là tr ọng tâm tam giác ABC và ABC  . Vậy GG là tr ục các đườ ng tròn ngoại tiế p của các tam giác đáy. B A Trong mặt phẳng  AA GG  , k ẻ đườ ng trung tr ực d tại G h trung điểm M của AA và cắt GG ' tại I . C  2 Khi đó ta có IA  IA . M h Mà I  GG  IA  IB  IC  IA  IB  IC  . a 3 I Do đó mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ có tâm là I là bán kính là IA . 2 2a 3 a 3 h IM  GA  , MA  .  3 2 3 2 B A Ta có IA 

IM

2

 MA  2

a2

3



h2

4

G

.

a

C 3

4 3 4  a 3 h2    4a 2 2  h 2 a 2 IA  Vậy thể tích khố i cầu là V  h   .      3 3  3 4  3 3 4 3 

Câu 41: Giá tr ị lớ n nhất của thể tích khố i nón nộ i tiế p trong khối cầu có bán kính R là 4 2 3 1 4 32  R . A.  R3 . B.  R3 . C. D.  R3 . 3 3 9 81 Hướ ng dẫn giải: Chọn D. TOÁN HỌC B ẮC–TRUNG–NAM sưu tầ m và biên t ậ p



Rõ ràng trong hai kh ối nón cùng bán kính đáy nộ i tiế p trong một khố i cầu thì khố i nón có chiều cao lớn hơn thì thể tích lớ n hơn, nên ta chỉ xét khố i nón có chiều cao lớn hơn trong hai khối nón đó. Giả s ử r ằng khối nón có đáy là h ình tròn  C  bán kính r . Gọi x vớ i 0   R là kho ảng cách giữa tâm khố i cầu đến đáy khối nón. Khi đó chiề u cao lớ n nhất c ủa khối nón nộ i tiế p khố i cầu với đáy là hình tròn  C  s ẽ là h  R  x . Khi đó bán kính

R O R r

đáy nón là r  R 2  x 2 , suy ra thể tích khố i nón là 1 2 1 1 1 2 2 r h    R  x   R  x     R  x  R  x  R  x     R  x  R  x  2 R  2 x  3 3 3 6 3 1  R  x  R  x  2R  2 x  32 R3  Áp dụng BĐT Cô -si ta có V   6 27 81 V



Câu 42: Cho tam giác đều ABC cạnh 1 và hình vuông MNPQ nộ i tiế p trong tam giác ABC ( M thuộc AB, N thuộc AC , P , Q thuộc BC ). Gọi S là phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác ABC nhưng không chứa các điể m thuộc hình vuông MNPQ. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay S quanh tr ục là đườ ng thẳng qua A vuông góc vớ i BC là 810  467 3 4 3 3 4 3 3 54  31 3  .  .  . A. B. C. D. . 24 96 96 12 Hướ ng dẫn giải Chọn A. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay S quanh tr ục là đườ ng thẳng AH bằng hiệu thể tích khố i nón khi quay tam giác ABC và thể tích khố i tr ụ khi quay hình vuông MNPQ quanh tr ục là đườ ng thẳng AH . Gọi độ dài cạnh hình vuông là x . Khi đó: MN BC x



AN AC

 1

CN CA

 1

A

A

NP

M

AH

N

x

  1  x  2 3  3 1 3 2 2

B

Q

H P

C B

C

2

x 1 1 3 810  467 3  V   .   .     .x   . 3 2 2 24 2

Câu 43: Trong không gian vớ i hệ tr ục t ọa độ Oxyz , mặt cầu  S  : x 2  y2  z 2  8 x  4 y  2 z  4  0 có bán kính R là A. R  5 . B. R  25 . C. R  2 . D. R  5 . Hướ ng dẫn giải Chọn D. 2

2

Bán kính mặt cầu là R  42   2    1   4   5 .




Câu 44: Trong không gian v ớ i hệ tr ục tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P  đi qua hai điể m A  0;1;0 , B  2;3;1 và vuông góc v ớ i mặt phẳng  Q  : x  2 y  z  0 phương tr ình là

A. 4 x  3 y  2 z  3  0 . C. x  2 y  3 z 11  0 .

B. 4 x  3 y  2 z  3  0 . D. x  2 y  3z  7  0 . Hướ ng dấn giải

Chọn B.   AB   2;2;1 , vectơ pháp tuyến của  Q  là n  1; 2; 1 .  

Vậy  P  có vectơ pháp tuyến là  AB, n    4;3;2  . Phương tr ình mặt phẳng  P  : 4 x  3  y  1  2 z  0 , hay  P  : 4 x  3 y  2 z  3  0 .

Câu 45: Trong không gian v ớ i hệ tr ục tọa độ Oxyz , cho A  1; 2; 2 , B  3; 2; 0 và

 P  : x  3 y  z  2  0 . Vectơ chỉ phương của đườ ng thẳng  là giao tuyến của  P  và mặt phẳng trung tr ục của AB có tọa độ là: A. 1; 1; 0 . B.  2;3; 2  .

C. 1; 2; 0 . Hướ ng dẫn giải

D.  3; 2; 3 .

Chọn D.  Mặt phẳng  P  : x  3 y  z  2  0 có VTPT là n P  1; 3; 1 .





Gọi  Q  là mặt phẳng trung tr ực của AB  mp  Q  có VTPT là nQ  AB   2;0; 2  

 

Ta có    P    Q  nên đườ ng thẳng  có VTCP a   n P ; nQ    6;4;6 cùng phương vớ i vectơ  3; 2; 3 .

Câu 46: Trong không gian v ớ i hệ tr ục t ọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 1; 5 và B  0;0;1 . Mặt phẳng

 P  chứa A , B và song song vớ i tr ục Oy có phương tr ình là A. 4 x  y  z  1  0 . B. 2 x  z  5  0 . C. 4 x  z  1  0 .

D. y  4 z  1  0 .

Hướ ng dẫn giải Chọn C.   Ta có AB   1;1; 4  và tr ục Oy có VTCP là j   0;1;0  

 

Mặt phẳng  P  chứa A , B và song song v ớ i tr ục Oy nên có VTPT n   AB; j    4;0; 1  Khi đó mặt phẳng  P  đi qua B  0;0;1 và VTPT n   4;0; 1 nên có phương tr ình 4 x  z  1  0 .

Câu 47: Trong không gian v ớ i hệ tr ục tọa độ Oxyz , cho đườ ng thẳng  :

x  1

y



z  2

1 2 M  2;5;3 . Mặt phẳng  P  chứa  sao cho kho ảng cách t ừ M đến  P  lớ n nhất là

A. x  4 y  z  1  0 . C. x  4 y  z  3  0 .

2



và điểm

B. x  4 y  z  3  0 . D. x  4 y  z  1  0 . Hướ ng dẫn giải

Chọn C.




Gọi I là hình chiếu vuông góc của M  2;5;3 trên  , H là hình chiếu vuông góc c ủa M trên mặt phẳng  P  .

M

Ta có MH  d  M ,  P    MI . Do đó MH đạt giá tr ị lớ n nhất khi H  I , khi đó mặt phẳng  P  chứa  và vuông góc vớ i MI . 

I    I 1  2t; t ;2  2t  , MI  

MI

H

  1  2t ; 5  t ; 1  2t  .

I

P



   MI .u  0   2t  1 2  t  5   2t  1 2  0  t  1 .



Mặt phẳng  P  qua I  3;1;4  có một vectơ pháp tuyến là MI  1; 4;1 . Phương tr ình mặt phẳng  P  : x  4 y  z  3  0 .

Câu 48: Trong không gian vớ i hệ tr ục t ọa độ Oxyz , cho hai điể m A 1;2;2  , B  5;4;4  và mặt phẳng

 P  : 2 x  y  z  6  0 Nếu M thay đổi thuộc  P  thì giá tr ị nhỏ nhất của MA2  MB2 là A. 60 .

B. 50 .

C.

200 . 3

D.

2968 . 25

Hướ ng dẫn giải Chọn A. 2

2

2

Gọi I  3;3;3 là trung điểm đoạ n AB . Ta có MA  MB  2MI 

AB 2

.

2

Do đó MA2  MB2 đạt giá tr ị nhỏ nhất khi MI   P  . Khi đó MI

 d  I ,  P   

6 3 3 6  2 6 ; AB  42  22  22  24 . 4 1 1 2

Vậy min  MA2  MB 2   2  2 6  



24  2

2

 60 .

Câu 49: Trong không gian vớ i hệ tr ục tọa độ Oxyz , cho t ứ diện ABCD có A  2;3;1 , B  4;1; 2 , C  6;3;7 

và D 1; 2; 2 . Các mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện ABCD chia không gian

Oxyz thành số phần là

A. 9 .

B. 12.


D. 16 .

Chọn C. Ta có 3 đườ ng thẳng chia mặt phẳng thành 7 phần. 3 mặt phẳng chia không gian thành 8 ph ần, mặt phẳng thứ 4 c ắt 3 mặt phẳng trướ c thành 3 giao tuyến, 3 giao tuyến này chia mặt phẳng thứ 4 thành 7 phần, mỗ i phần lại chia 1 phần của không gian thành 2 phần. Vậy 4 mặt phẳng chia không gian thành 8  7  15 phần Câu 50: Trong không gian vớ i hệ tr ục tọa độ Oxyz , cho đườ ng thẳng  :

x  1



y4



z  4

và các 3 2 1 điểm A  2;3; 4 , B  4; 6; 9  . Gọi C , D là các điểm thay đổi trên đườ ng thẳng  sao cho CD 

14 và mặt cầu nội tiế p tứ diện ABCD có thể tích lớ n nhất. Khi đó, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng CD là




79 64 102  A.  ; ;   35 35 35 

181 104 42  B.  ; ; . C. 5 5   5 Hướ ng dẫn giải

 101 ; 13 ; 69  .  28 14 28   

D.  2;2;3 .

Chọn D. + Thể tích t ứ diện ABCD là: 1 V  AB.CD.IE.sin  vớ i IE là đoạn vuông góc chung c ủa AB , CD ;   AB; CD . Rõ ràng 6 V là hằng số không đổ i. 1 3V + Mặt khác: V  Stp .r  r   2 , vớ i r là bán kính mặt cầu nộ i tiế p tứ diện ABCD , S tp 3 S tp là diện tích toàn phần của tứ diện ABCD . Dựa vào  2 , yêu cầu đề bài tương đương vớ i S tp nhỏ nhất. Ta có: 1 Stp  S ACD  S BCD  SCAB  S DAB  S ACD  S BCD  AB.  d1  d2  vớ i d1  d  C; AB  , 2 d2  d  D; AB 







Vì A , B cố định CD  14 nên S ACD  S BCD không đổi. Do đó S tp nhỏ nhất khi và chỉ khi d1  d 2 nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi trung điể m I của CD là là giao điểm của d và đườ ng thẳng vuông góc chung c ủa d và AB . (Xem chứng minh ở phần bổ sung) + Giải bài toán tìm tọa độ 2 điểm của đoạn vuông góc chung ta đượ c I  2;2;3 như sau:

  2  2t  AB   2;3; 5  , AB :  y  3  3t ;   4  5t  





d có VTCP ud   3; 2; 1

 



IE co VTCP u   AB; u d    13;  13; 13 , chọn VTCP là u  1;1;1 .  

I  d 

EI

 I  1  3a; 4  2 a; 4  a  ; E  AB  E  2  2b;3  3b; 4  5b 

  3  3a  2b;1  2a  3b;8  a  5b  

Ta có: EI

3  3a  2b  k a  1  k .u  1  2a  3b  k  b   1 . Suy ra: I  2;2;3 8  a  5b  k k  2   

Bổ sung: Chứng minh nhận định trên bằng bài toán sau: Cho hai đườ ng thẳng chéo nhau d và  và hai điểm C , D thay đổi trên đườ ng thẳng d sao cho CD  2 a (vớ i a là hằng số dương cho trướ c). Gọi d 1 , d 2 lần lượ t là khoảng cách t ừ C , D đến  . Chứng minh r ẳng tổng d1  d 2 nhỏ nhất khi và chỉ khi trung điể m I của CD là giao điểm của d và đườ ng thẳng vuông góc chung c ủa d và  . Chứ ng minh



[Btn122]-Toan Hoc Tuoi Tre Thang 4 - 2017 - Hdg

Recommend Documents