Bombas de Vacios Teoria

FILTRACIÓN

A

= Área de la sección transversal de la torta filtrante

S

= Superficie específica de las partículas por unidad de volumen de las

5

mismas, que supuestas esféricas se calculará mediante la siguiente expresión: 4 ⋅ π ⋅ R 2 6 = = S 0 = 4 V P ⋅ π ⋅ R3 D p 3 S ext

(2)

Al obtener esta ecuación se ha supuesto que la porosidad es constante sobre toda la torta. Esto no será siempre cierto ya que el espesor de la torta depende de la naturaleza del soporte (incluyendo geometría y estructura de la superficie) y de la velocidad de deposición de las partículas. Las etapas iniciales de la formación de la torta son, por tanto, de gran importancia por las siguientes razones: -

Para una presión cualquiera de filtración, la velocidad de flujo es mayor al comienzo del proceso ya que la resistencia es entonces mínima.

-

Elevadas velocidades de filtración iniciales pueden provocar la obturación de los poros del soporte, causando una resistencia muy alta al paso del flujo.

-

La orientación de las partículas en las capas iniciales puede influenciar de forma apreciable la estructura de toda la torta filtrante. Las tortas filtrantes pueden ser de dos tipos:

-

Tortas compresibles: con este tipo de torta un aumento de la diferencia de presión o de la velocidad de flujo provoca la formación de una torta más densa con una resistencia más elevada.

-

Tortas incompresibles: la resistencia al flujo de un volumen dado de torta no se ve afectada de forma apreciable por la diferencia de presión a través de la torta o por la

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FILTRACIÓN

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velocidad de deposición del material. El valor de ε en la ecuación (1) puede considerarse constante por lo que dicha ecuación queda del siguiente modo: 1 dV A dt

siendo r =

=

− ∆P r µ L

(3)

5 (1− ε ) 2 S 3 ε

3

La ecuación (3) es la ecuación básica de la filtración, siendo r la Resistencia

específica de la torta. Depende de

y de S. Para tortas tortas incompresibles se considera

constante, pero dependerá de la velocidad de deposición, de la naturaleza de las partículas y de las fuerzas existentes entre las mismas.

2.1. RELACIÓN ENTRE EL ESPESOR DE LA TORTA Y EL VOLUMEN DE FILTRADO. El espesor de la torta (L) y el volumen de filtrado (V) se encuentran relacionadas por la ecuación (3), pudiendo obtenerse la relación entre ellas efectuando un balance de materia entre los sólidos presentes en la suspensión y en la torta. La masa de sólidos en la torta filtrante es igual a (1- )∗A∗L∗ρS donde

S es

la

densidad de los sólidos. Por otra parte, la masa de líquido retenido en la torta filtrante será igual a

∗A∗L∗ρS, siendo la densidad del filtrado.





FILTRACIÓN

(1 − ε ) L A ρ S =

7

(V + ε A L )ρ x

(4)

1 − x

es decir,

(1 − x )(1 − ε ) AL ρ S = x V ρ + A ε x Lρ Despejando L y V nos quedan las siguientes ecuaciones:

L

=

V =

x V ρ A ((1 − x )(1 − ε ) ρ S − x ερ )

( ρ S (1 − ε )(1 − x ) − ε ρ x ) A L ρ x

(5)

(6)

Si ν es el volumen de torta depositada por unidad de volumen de filtrado, entonces:

v=

L A

o

V

L

=

vV A

(7)

y de la ecuación (6):

v=

x ρ

(1 − x )(1 − ε ) ρ S − x ε ρ

(8)

Sustituyendo el valor de L en la ecuación (3): 1 dV A dt

=

− ∆P

A

r µ vV

(9)





FILTRACIÓN

dV

=

dt

A2

(− ∆P )

r µ v V

8

(10)

Esta ecuación puede considerarse la relación básica entre (-∆P), V y t. Sin embargo, se debe diferenciar entre los dos posibles tipos de operación: -

Filtración a velocidad constante dV

=

dt

V t

= constante

(11)

de forma que V t

=

A

2

(− ∆P )

r µ v V

(12)

por lo que: t V

=

r µ v A

2

(− ∆P )

V

(13)

En este caso, (-∆P) es directamente proporcional a V.

-

Filtración a presión constante En este caso: V 2

2

=

A2 (− ∆P ) t r µ v

(14)





FILTRACIÓN

9

Así, para el caso de filtración a presión constante, existe una relación lineal entre V2 y t. Este tipo de filtración se adopta frecuentemente en la práctica, pero debe recordarse que la diferencia de presiones normalmente aumenta de forma gradual hasta su valor final: si esto precisa un tiempo t1 durante el que circula un volumen V1 de filtrado, entonces integrando la ecuación (15) resulta la siguiente expresión: 1 2 2 A2 (− ∆P ) (V −V 1 ) = r µ v (t − t 1 ) 2

(16)

es decir: t − t 1 V − V 1

=

r µ v

2 A2 (− ∆P )

(V − V 1 )+

r µ vV 1 A2 (− ∆P )

(17)

Por lo tanto, existe una relación lineal entre V2 y t y entre (t-t1)/(V-V1) y V-V1. Aquí (t-t1) representa el tiempo de filtración a presión constante y V-V1 el correspondiente volumen de filtrado obtenido. Trabajos experimentales realizados sobre el flujo del líquido en condiciones laminares han demostrado que la velocidad de flujo es directamente proporcional a la diferencia de presiones. La que sí es importante en este caso es la resistencia de la tela más las capas iniciales de partículas depositadas ya que éstas últimas no solo forman el verdadero medio filtrante sino que también tienden a obturar los poros de la tela aumentando de esta forma su resistencia. Por lo tanto, generalmente se combina la resistencia de la tela con la de las primeras capas de partículas, suponiendo que ésta corresponde a un espesor L de torta depositada en una etapa posterior.





FILTRACIÓN

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2.2. FLUJO DE FILTRADO A TRAVÉS DEL SOPORTE Y LA TORTA COMBINADOS. Supongamos que la tela filtrante y las capas iniciales de torta son equivalentes a un espesor l de la torta depositada al cabo de un cierto tiempo del proceso. Entonces, si (-∆P) es la caída de presión a través de la tela y la torta combinadas: 1 dV A dt

(− ∆P ) r µ ( L + l )

=

(18)

es decir: dV dt

=

A (− ∆P )

⎛ Vv + l ⎞ r µ ⎜ ⎟ ⎝ A ⎠

=

A2 (− ∆P )

⎛ lA ⎞ v r µ ⎜V + ⎟ ⎝ v ⎠

(19)

Esta ecuación puede integrarse entre los límites t=0, V=0 y t=t1, V=V1 para filtración a velocidad constante, y t=t1, V=V1 y t=t, V=V para una subsiguiente filtración a presión constante. Para el periodo de filtración a velocidad constante: V 1 t 1

=

A2 (− ∆P )

⎛ l A ⎞ v r µ ⎜ V 1 + ⎟ v ⎠ ⎝

(20)

es decir: t 1 V 1

=

r µ v A

2

(− ∆P )

V 1 +

r µ l A(− ∆P )

En el caso de filtración a presión constante:

(

)

(21)







FILTRACIÓN

t − t 1 V − V 1

=

r v 2

2 A (− ∆P )

(V −V 1 ) +

r µ vV 1 A

2

(− ∆P )

+

11

r µ l A(− ∆P )

(23)

Existe, por lo tanto, una relación lineal entre (t-t1)/(V-V1) y V-V1 y la pendiente es proporcional a la resistencia específica, como en el caso de flujo de filtrado a través de la torta filtrante sola, pero la línea ahora no pasa por el origen. La intersección con el eje (t-t1)/(V-V1) permite el cálculo de l, espesor equivalente del soporte, pero no se obtienen resultados reproducibles porque la resistencia depende de la forma exacta en que se ha comenzado la operación. El momento en el que se empieza a medir V y t no afecta a la pendiente de la curva sino únicamente a la ordenada en el origen. Se observará que ya no se obtiene una relación lineal entre t y V2 cuando la resistencia del soporte no es la más importante.

2.3. TORTAS FILTRANTES COMPRESIBLES. Casi todas las tortas filtrantes son compresibles en cierto grado pero en muchos casos ese grado de compresibilidad es tan pequeño que la torta puede considerarse, a efectos prácticos, incompresible. Si la resistencia específica de la torta es función de la diferencia de presión a través de la torta, ésta será compresible. Esta compresibilidad puede





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Debido a la pérdida de energía por rozamiento originadas en el flujo del filtrado a través de la torta, existirá un gradiente de presión en el fluido. Como la fuerza ejercida por el fluido sobre cada partícula es transmitida a las partículas más profundas en la torta, la fuerza de compresión varía desde un mínimo de cero en la superficie libre de la torta hasta un valor máximo en el medio filtrante. La presión de compresión real dependerá de la estructura de la torta y de la naturaleza del contacto entre las partículas pero puede expresarse en función de la diferencia entre la presión en la superficie de la torta P1 y la correspondiente a una profundidad z de la torta Pz así como la porosidad ε en un punto cualquiera es función de la fuerza de compresión en dicho punto, es decir, de la diferencia P1 - Pz. La porosidad disminuye desde la superficie libre hacia el medio filtrante, aumentando la resistencia. Como la resistencia varía con la profundidad de la torta, la ecuación (3) debe expresarse de forma diferencial:

1 dV A dt

=

1 ⎛ dP z ⎞ ⎜− ⎟ r z µ ⎝ dz ⎠

(24)

donde r z es el valor puntual de la resistencia específica. Esta ecuación puede escribirse del siguiente modo: 1 dV

ε

3

1 ⎛ dP ⎞





FILTRACIÓN

dz

= dV

c

(1 − ε z ) ρ S A

13

(26)

Así la ecuación (25) queda del siguiente modo: 1 dV A dt

dV dt

donde r z =

=

=

ε z

3

− dP z ⎞ (1 − ε z ) ρ S A 1 ⎛ − 2

2

5 (1 − ε z ) S 3 ε z ρ S

5 (1 − ε z ) S 2

c

A 2

µ

⎜ ⎝

dz

⎟ ⎠

− dP z ⎞ A2 ⎛ dP z ⎞ ⎛ − ⎜ ⎟= ⎜− ⎟ µ c ⎝ dz ⎠ µ c r z ⎝ dz ⎠

(27)

(28)

5 (1 − ε z ) S 2 3 ε z ρ S

La resistencia específica de la torta, r z , se basa en el flujo del filtrado a través de una unidad de masa de torta depositada sobre la unidad de área, mientras que r se basaba en el flujo a través de un cubo unitario de torta. La comparación de las ecuaciones (3) y (27) muestra que para una torta incompresible: c r = v r

(29)





FILTRACIÓN

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Se ha demostrado que r z es función de la diferencia de presiones P1-Pz pero que es independiente del valor absoluto de la presión. Si suponemos que:

r z

= r ' (P1 − P z )n '

(32)

siendo r ' independiente de Pz. Entonces:

⎛ dP z ⎞ 1 P1 dP 1 (P1 − P2 )1− n' 1 (− ∆P )1− n' ∫P ⎝ ⎜⎜ − r z ⎠⎟⎟ = r ' P∫2 (P1 − P z )n' = r ' 1 − n = r ' 1 − n

P2

(33)

Por lo tanto: dV dt

A2

A2 (− ∆P ) (− ∆P ) = = n' n' V µ c r ' (1 − n')(− ∆P ) V µ c r " (− ∆P )

(34)

siendo r " = (1 − n')r '

dV dt

=

A2 (− ∆P ) V µ c r

donde r es la resistencia media definida por la ecuación (34), es decir:

(35)

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