BOLETIN DE TRIGO.doc

UNIVERSIDAD PERUANA DE INTEGRACIÓN GLOBAL RES. N°099-2007-CONAFU

CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG”

UPIG

Asignatura: Trigonometría Docente:

Sarai Lino Quispe

“Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

Página 1



Turno: ………………..

2013-II “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

TEMA 1: SISTEMA DE MEDICION ANGULAR 1. ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS En trigonometría se consideran ángulos de cualquier valor, por lo que se hace necesario aplicar el concepto de ángulo, supongamos un rayo AB, con origen en A en la figura siguiente:

Si AB empieza a girar; en el sentido de la flecha curva, hasta la posición AC habremos generado un ángulo trigonométrico tal como se muestra.

En trigonometría, describiremos como se consideran los ángulos de cualquier valor, por lo que se hace aplicar el siguiente concepto.

2. ÁNGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS Los ángulos generados en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj se consideran en trigonometría positivos y si generamos ángulos en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj se consideran negativos.


Página 2



Angulo Positivo

Angulo Negativo

Ejm.: Graficar 120º

Ejm.: Graficar –

230º

3. SISTEMA DE MEDIDA Un ángulo  puede ser medido en diferentes sistemas, los más conocidos son sexagesimales, centesimales y radiales. Así: Ejm.:



S. Sexagesimal S. Centesimal S. Radial

45º  50g 

 rad 4

SISTEMA SEXAGESIMAL (S) Llamado Sistema Inglés, es aquel que tiene como unidad a: Un Grado Sexagesimal  1º Dicho sistema divide al ángulo de una vuelta (1 v) en 360 partes iguales y a cada parte se le denomina 1º por lo tanto: 1 vuelta = 360º Sus unidades: “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

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CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG” 

1 minuto sexagesimal  1’



1 segundo sexagesimal  1”

Equivalencia:

1º = 60’ 1’ = 60’’

1º = 3600”

SISTEMA CENTESIMAL (C) Llamado también francés, es aquel que tiene como unidad a: Un Grado Centesimal  1g Dicho sistema divida al ángulo de una vuelta (1 v) en 400 partes iguales y a cada parte se le denomina 1g por lo tanto:

1 vuelta = 400g Sus unidades: 

1 minuto centesimal

 1m



1 segundo centesimal  1s

Equivalencia: g

m

m

s

1 = 100

1 = 100

g

1 = 10 000

s

SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R)


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También llamado circular o internacional es aquel que tiene como unidad a un radian (1 rad). 1 Radian (1 Rad).- Se define así a la medida del ángulo central que subtiende en cualquier circunferencia un arco de longitud igual al radio.

R 1 Radian

O

L

R=L

R Si: L = R   = 1 Rad

Luego:

1 vuelta = 2rad Obs.  (Pi) = 3,141592654…… Pero el valor de  se le atribuye valores aproximados como:  = 3,14 ó  =

22 7

FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN Es la relación que existe entre los números de grados sexagesimales (S), grados centesimales (C), y el número de radianes (R) que contiene un ángulo trigonométrico. En el gráfico tenemos: Sº Cg R rad

 “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

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Recordar:

Entonces:

360º = 400 g = 2rad 180º = 200g = rad

S C R   …………. Fórmula General 180 200 

De donde podemos establecer las siguientes consideraciones: 1

2

S C  9 10

S

180 R 

K

20R 

3

C

200R 

Observación:  De

1

S C  K 9 10



S  9K   C  10K 

Muchas veces conviene utilizar dicha observación por ejemplo: 2S  C 2(9K)  10K 8K  E  CS 10K  9K K

Reducir: E 

 E8

APLICACIONES 1. Expresar en Radianes si se cumple: 3S – 2C = 7 Reemplazando: 3 .

140R = 7



S

180R 



C

200R 

180R 200R  2 . 7  

20R = 1

R=

1 20

2. Expresar en radianes si se cumple: C – S = 4


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CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG” 200R 180R  4  



20R 4 



R=

5R 1 



 5

Conversión Entre Sistemas: Es el procedimiento por el cual la medida de un ángulo se expresa en otras unidades diferentes a la primera. Aplicaciones: 1. Convertir 15º a radianes. Observamos que vamos a relaciona el sistema (S) y (R) entonces utilizaremos una equivalencia donde aparezcan ambos sistemas. 15º x

rad 180º



 rad 12

2. Convertir 80g a sexagesimales.

180º = 200

Utilizaremos la equivalencia. 80 g .

3. Convertir

rad = 180º

g

180º  72º 200 g

3 rad a sexagesimales. 2

Ahora utilizaremos 180º = rad 3 180 rad .  2 rad

3 x 180º  270 º 2


Página 7



TEMA 2: SECTOR CIRCULAR Es aquella porción de círculo limitado por dos radios y un arco de circunferencia De la figura obtiene:

se

A0B Sector Circular LONGITUD DE ARCO ( l) Es aquella en unidades de longitud de un arco de circunferencia, se calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo central y el radio de la circunferencia. Deducción.– Sea la circunferencia con centro en “0” y radio “r” comparando la longitud de arco y el ángulo central como se muestra en la figura siguiente:

Teniendo en cuenta el significado geométrico de 1rad. se tiene: Longitud de Arco l r

Ángulo Central

De donde se obtiene

 rad. 1 rad. . l=.r .

Donde: “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

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l : longitud de arco  : número de radianes del ángulo central r : radio de la circunferencia

Ejemplo: Del gráfico mostrado, calcular la longitud de arco (l), siendo 0: centro. Solución:  Sabemos Convirtiendo l = 6 . 18 que: =30º en rad l = 3 cm l=.r πrad π 30º .  rad  = 30º 180 º 6 ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (S) El área de un Sector Circular se calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo con el radio de la circunferencia elevado al cuadrado dividido entre dos. Deducción.– Comparando simple)

(por

Área de un Sector Circular  r2 S Resolviendo se obtiene: S 

r2 2

también: S

regla

de

tres

Ángulo Central 2 rad.  rad. 

lr 2

S 

l2 2

Ejemplo: “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

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Del gráfico mostrado, calcular el área del sector A0B. 0: centro. Solución:   S = 6 cm2  = 60º . rad   rad 180 º

3  62 S  . 3 2

TEMA 3: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS AGUDOS TRIÁNGULO RECTÁNGULO Se llama triángulo rectángulo al triángulo donde uno de sus ángulos es recto (90º), además recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos. En la figura mostrada:

c : hipotenusa a  b : catetos    : son ángulos agudos Además en el triángulo rectángulo se cumple:  Los ángulos agudos suman 90º .  +  = 90º . 

Teorema de Pitágoras . a2 + b2 = c2 .



La hipotenusa siempre es mayor que los catetos . c>ab .

RAZÓN TRIGONOMÉTRICA “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

Página 10


CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG” La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del ángulo agudo.

Si el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto adyacente (a). Podemos definir las razones trigonométricas de  del modo siguiente:

cateto opuesto al angulo θ b  hipotenusa c

senθ 

cateto adyacente al ángulo θ a  hipotenusa c

cos θ 

tgθ 

cateto opuesto al ángulo θ b  cateto adyacente al ángulo θ a

ctgθ 

catetoadyacente al ángulo θ a  cateto opuesto al ángulo θ b

sec θ 

csc θ 

hipotenusa c  cateto adyacene al á ngulo θ a hipotenusa c  cateto opuesto al ángulo θ b

Ejemplo: Calcule los valores de las seis razones trigonométricas del menor ángulo agudo  en un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 unidades.

Resolución Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos: (8)2 + (15)2 = x2  289 = x2  x = 17

Luego “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

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CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG” 8 17 15 cos   17 8 tg  15

15 8 17 sec   15 17 csc   8

sen 

ctg 

Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53º Las razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.

De los triángulos anteriores se obtiene:

R.T.

Ángulo

30º

37º

45º

53º

60º

sen

1 2

3 5

2 2

4 5

3 2

cos

3 2

4 5

2 2

3 5

1 2

tg

3 3

3 4

1

4 3

3

ctg

3

4 3

1

3 4

3 3

sec

2 3 3

5 4

2

5 3

2

csc

2

5 3

2

5 4

2 3 3

OBSERVACIÓN: LOS VALORES DE

LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN

ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS Siendo  un ángulo agudo se cumple: “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

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csc  

1  sen . csc   1 sen

sec 

1  cos  . sec  1 cos 

ctg 

1  tg .ctg  1 tg

sen 

3 4  csc   4 3

cos  

1  sec   5 5

5 3  tg  3 5

csc  

3 2  sen  2 3

Ejemplo: Si

ctg 

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su sima es un ángulo recto.

En la figura se muestra:  y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º) Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como  y al ángulo opuesto al cateto a como  en consecuencia:

sen 

tg 

b  cos  ; c

b  ctg ; a

cos  

ctg 

a  sen c a  tg b


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CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG” sec 

c  csc  ; a

csc 

c  sec b

Debido a estas relaciones las razones: 

seno y coseno



tangente y cotangente



secante y cosecante

Se llaman co–razones trigonométricas una de la otra Ejemplos: sen40º = cos50º tg80º = ctg10º cos62º = sen28º Ejercicio:

sec20º = csc70º ctg3º = tg87º csc24º = sec66º

si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º <  < 24º, halle 

Resolución Por lo anterior se tiene: (40º + ) + (10º + ) = 90º 2 = 40º  = 20º


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TEMA 4: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Las aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión “Resolver un triángulo” significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo. En esta sección veremos que podemos resolver cualquier triángulo rectángulo si se nos da: I. Las longitudes de dos lados. II. La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo.

1. Conociendo las longitudes de los lados: Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2 respectivamente.

Resolución  Para calcular x, aplicamos el teorema de Pitágoras: (1)2 + (2)2 = x2  x2 = 5 x= 5


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

Para determinar la medida del ángulo , calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2. Por decir: tg = como:

1 2

  = 26º30’ (aproximadamente)

 +  = 90º   = 63º30’

Con la cual el triángulo rectángulo queda resuelto.

2.

A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo Incógnitas x, y 

Cálculo de x:



Cálculo de y:



x = cos  x = a cos a y = sen  y = a sen a

En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º –.

Conclusión:

B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo incógnitas x, y


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CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG” 

Cálculo de x:



Cálculo de y:



x = ctg  x = a ctg a y = csc  y = a csc a

En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .

C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo Análogamente a los triángulos rectángulos anteriores

Ejemplos:




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



Aplicaciones

1.

Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en un punto C en un borde del río y visualizando un punto A situado en el otro borde. Después de girar un ángulo de 90º en C, se desplaza 200 m hacia el punto B, aquí mide el ángulo  y encuentra que es de 20º. ¿Cuál es el ancho del río?

Resolución


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Buscamos la longitud del lado b, conocemos a y , por lo que usamos la relación b

tg = a

b

Reemplazando: tg 20 º  200  b = 200tg20º El ancho del río es (200 tg20º) m 2.

Una cometa se queda atascada en la rama más alta de un árbol, si la cuerda de la cometa mide 12 m y forma un ángulo de 22º con el suelo, estime la altura del árbol encontrando la distancia que hay entre la cometa y el suelo (sen22º = 0,374) Resolución

Graficando, tenemos por condición al problema Sea h la altura a la cual se encuentra la cometa, a partir de la figura vemos que: h

12 = sen22º

 h = 12 sen 22º h = 12(0,374) = 4,488 h = 4,488 m


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TEMA 5: ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES INTRODUCCIÓN Debido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posición de los objetos dando referencias que nos permitan la mayor precisión para ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano al observador y al objeto en observación. Así como también ángulos que nos permitan visualizar determinado punto del objeto en consideración. A continuación enunciaremos algunos puntos que consideramos importantes para el desarrollo del tema: Línea Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada. Línea Horizontal: Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical. Plano Vertical: es el que contiene a toda la línea vertical. Línea Visual: Llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse. ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal. Que parten de la vista del observador. Los ángulos verticales pueden ser: Ángulos de Elevación Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal. “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

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: Ángulo de observación

Ángulos de Depresión Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

: Ángulo de depresión

OBSERVACIÓN: AL

ÁNGULO FORMADO POR DOS LÍNEAS DE MIRA SE DENOMINA ÁNGULO

DE OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD.

: ÁNGULO DE OBSERVACIÓN


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TEMA 6: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL I NOCIONES PREVIAS . SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES y

IIC

+

IC

Donde:

+

– IIIC

x

O

x

: Eje de Abscisas

y

: Eje de Ordenadas

IC

: Primer Cuadrante

IIC : Segundo Cuadrante IIIC : Tercer Cuadrante

–

IVC

IVC : Cuarto Cuadrante O

: Origen del Sistema

Ubicación de un punto y b

Donde: P(a; b)

P

: Punto del Sistema Bidimensional

a

: Abscisa del Punto P

b

: Ordenada del Punto P

(a; b): Coordenadas del Punto P x a “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

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radio vector . Es el segmento de recta dirigido (flecha) que parte del origen hacia un punto cualquier del sistema; su longitud o módulo está representado por “r”. y

(a; b)

Donde: r: Longitud del Radio Vector 2

2

r =a +b |b|

2

r r

+

x 2

|a|

|a| = a

2

Ángulo en posición normal . Es aquel Ángulo Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema bidimensional y su lado inicial descansa en el semieje positivo de las abscisas, mientras que su lado final puede encontrarse en cualquiera de los cuadrantes o coincidir con algún semieje en cuyo caso es llamado ángulo cuadrantal. y

Donde: ,    son las medidas de los ángulos en posición normal



mostrados.

 x

L.I.: Lado Inicial



L.F.: Lado Final

También son llamados ∢s en posición canónica o estándar.

Del siguiente gráfico definiremos las Razones Trigonométricas para un ángulo en posición normal los cuales son independientes del sentido de giro o el número de vueltas que pudiera realizar.

y

(x; y)

sen 

Ordenada



y

“Excelencia Académica para un MundoM Globalizado” .R.V. r

cos   r



tg  x

Abscisa x  M.R.V. r

y Ordenada  Abscisa x

csc  

M.T .V. r  OrdenadaPágina y 23

sec   cot  

M.R.V. r  Abscisa x

Abscisa x  Ordenada y



REGLA DE SIGNOS . C

IC

IIC

IIIC

IVC

sen

+

+

-

-

cos

+

-

-

+

R.T.

tg

+

-

+

-

cot

+

-

+

-

sec

+

-

-

+

csc

+

+

-

-

comprobación . Utilizamos el siguiente gráfico para un ángulo en posición normal de medida “”. y (-; +)

(+; +)

x (-; -)

IC.

x; y  r son positivos entonces todas las divisiones son positivas.

IIC.

sen 

IIIC. tg 

(+; -) IVC.

cos  

y r y

– –



x

 



 

cos = +



  

cot = +

 

sec = +

x   r 

Ejemplo 1

Solución 1

Del siguiente gráfico calcular:

a) Con el par ordenado del dato calculamos “r”:

E 

10 sen  12 cot 

2

2

r = r + (-3)

2




r=

10

Página 24


CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG” y

b) Reemplazamos las definiciones:

 3 

E

x



 1    12   3    10 

10 .  

E = -3 + 4



E=1

(1; -3)

Ejemplo 2

Solución 2

Indicar el signo resultante de la siguiente operación:

IIC

IIIC

IVC

E = sen130º . cos230º . tg330º

E = sen130º . cos230º . tg330º E= + . - . -

Ejemplo 3



E= +

Solución 3

Indicar el cuadrante al que pertenece la

tg = -

{ IIC  IVC }

medida angular “” si:

csc = +

{ IC  IIC }

tg < 0



  IIC

csc > 0


Página 25



TEMA 7: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II Ángulos cuadrantales . Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo siempre tendrá la forma “ n

π ”; n  Z ó “n. 90º”. 2

Ejemplo: Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; …. n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º;

El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos Cuadrantales y su medida. y 90º

180º

x -90º

R. T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES . m∢ 0º, 360º R.T. 0; 2

90º

180º

270º

/2



3/2

sen

0

1

0

-1

cos

1

0

-1

0

tg

0

N

0

N

cot

N

0

N

0

sec

1

N

-1

N

csc

N

1

N

-1

0 = Cero 1 = Uno N = No definido

COMPROBACIÓN . y (0; r)


r 90º x

La división de un número entre 0 (cero) es una operación no Página 26 definida.


CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG” 1.

sen90º 

2.

cos 90º 

3.

tg90º 

y r



r  1 r

x 0   0 r r

y r



r  / 0

r. t. de ángulos coterminales . Si dos o más ángulos son coterminales entonces las Razones Trigonométricas de sus medidas tienen el mismo valor numérico por ende diremos que son iguales.

y

Son ∢s coterminales los que tienen el mismo lado inicial y final.

(a; b)

 x 

R.T.  = R.T. 

COMPROBACIÓN . b a

1.

Por definición: tg 

2.

b Por definición: tg  a

3.

Concluimos que: tg  tg

=


Página 27



TEMA 8: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE La conservación de una razón trigonométrica (r.t) de un ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un ángulo del primer cuadrante se llama: ”reducción al primer cuadrante” También reducir al primer cuadrante un ángulo significa encontrar los valores de las RT de cualquier ángulo en forma directa mediante reglas practicas las cuales mencionaremos a continuación recordando antes que: - Para el Seno: Su Co-Razón es el Coseno. - Para la Tangente: Su Co-Razón es la Cotangente. - Para la secante: Su Co-Razón es la Cosecante. I Regla: “Para ángulos positivos menores a una vuelta.    R . T  9 0      c o  r t     2 7 0      R .T  1 8 0       R T    3 0 6  

¡Importante! - El signo + ó – del segundo miembro depende del cuadrante al cual pertenece el “ángulo a reducir”. -  se considera un ángulo agudo. Ejemplos de Aplicación: 1. Reducir al primer cuadrante: a) Cos 150º

b) Tg 200º

c) Sen 320º

d) Sec 115º

e) Csc 240º

f) Ctg 345º

Resolución: 1a.

Cos 150º = Cos (180º - 30º) = -Cos 30º

“El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir (150º) pertenece al II C, en el cual el coseno es negativo” “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

Página 28



1b. Tg 200º = Tg (180º + 120º) = + Tg 20º. “El signo (+) se debe a que el ángulo a reducir (200) pertenece al III C, en el cual la tangente es positiva”. 1c. Sen 320º = Sen (270º + 50º) = -Cos 50º “El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir (320º) pertenece al IV C, en donde e seno es negativo y se cambia a coseno (Co-razón del seno porque se trabajo con 270º”. 1d. Sec 115º = Sec (90º + 25º) = - Csc (25º) Ojo: También se pudo haber resuelto de la siguiente manera: Sec 115º = Sec(180º - 65º) = - Sec (25º) “Ambas respuestas son correctas, por ser éstas equivalentes” - Csc 25º = - Sec 65º Csc 25º = Sec 65º Ya que:

sen  C os ta g   C tg  sec   C sc Donde:  y  suman 90º Nota: A éste par de ángulos se les denomina “Ángulo Complementarios”. e)Csc 240º = Csc (180º + 60º) = - Csc (60º) ó Csc 240º = Csc (270º - 30º) = - Sec (30º) f) Ctg 345º = Ctg (270º + 75º) = - Tg (75º) ó

Ct 345º = Ctg (360º - 15º) = - Ctg 15º

II Regla: “Para ángulos positivos mayores de una vuelta. Para este caso la medida angular que es mayor a una vuelta () será dividida entre 360º; tomando el resto () de dicha operación como medida angular resultante; manteniéndose la R.T. original, esto es: 

360º



n



 = 360º . n + 



R.T. = R.T. 

También podríamos decir que el #entero (n) de vueltas (360º) se elimina

Ejemplo: Calcular: “tg1223º”

Solución: “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

Página 29


CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG” 1.

Realizamos la operación mencionada. 1223º 360º

supuesto 1223º = 360º . 3 + 143º



1080º 3 143º 2.

tg1223º = tg143º

3.

Observamos que 143º es menor a una vuelta pero falta reducir al primer cuadrante. –

IIC

tg143º = tg(180º - 37º) = - tg37º

 tg1223º  

= -

3 4

3 4

III Regla: para ángulos negativos: Para todo ángulo , se cumple:

s e n   ta g    C tg    C s c   C o s() S e c()

     

sen  ta g   C tg  C sc C os S ec

Nota: Observamos que para el coseno y secante el signo “desaparece” es decir, solo trabajamos con el valor positivo. Veamos ejemplos: Ejemplo de Aplicación Reducir al primer cuadrante: A) cos(-30°)

B) sec(-274°) C) Ctg(-1120°) D( Csc(-2140°)

Resolución: 3a) cos(-30°) = cos(30°) 3b) Sec(-274°) = sec(274°) = Sec(270° + 4°) = Csc4° ó Sec(274°) = sec(360°-86°) = sec86° “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

Página 30


CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG” 3c)

Ctg(-1120) = -Ctg(1120°) = -Ctg(3×360° + 40°) Ctg(-1120°) = -Ctg(40°)

3d)

Csc(-2140°) = -Csc(2140°) =

-Csc(5×306° + 340°)

Csc(-2140°) = -Csc(340°) =

-Csc(270 + 70°) = -[-Sec 70º] = Sec 70º ó

- Csc(340º) = - Csc (360º - 20º) = -[-Csc(20º)]= Csc 20º

TEMA 9: CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I Llamado también circunferencia unitaria, es una circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas y su radio es igual a la unidad. Y

ELEMENTOS

B C.T.

O

: Centro u origen de coordenadas

R

: Radio (R = 1)

A

: Origen de arco

M

: Extremo de arco



: Medida del arco

 A’

 Rad: Medida del ángulo MÔA C.T. : Circunferencia Trigonométrica

M

O

 Rad

A

X

R=1

B’

No olvidar que…

NOTA Los arcos pueden ser positivos, si están generados en el sentido antihorario y negativos si están generados en el sentido horario.

C.T.

B  (+)

A’

A O

(-)

 “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado” B’

Página 31



 : Arco positivo  : Arco negativo

ARCO EN POSICIÓN NORMAL Es aquel arco positivo o negativo que se genera a partir del punto “A” y su extremo final, se

Fíjate que con esto se puede graficar una C.T.

encuentra en cualquier parte de la C.T. Ejemplo 1 : Ubicar en una C.T. los siguientes ángulos e indicar el cuadrante al que pertenecen. a) 60º

b) 90º

c) 150º

d) 225º

e) -30º

90º 60º 150º 180º

0º

O

360º -30º

225º



60º  IC



90º  a ningún cuadrante



150º  IIC



225º  IIIC



-30º  IVC

270º

REPRESENTACIÓN DEL SENO Y COSENO EN UNA C.T. 1.

Seno.- El seno de un arco, es la ordenada del extremo del arco y se representa mediante una vertical trazado desde el eje de abscisas hasta el extremo de arco.


Página 32



C.T.

1

2 180º

Sen 1

Sen 2

0º x 360º

Sen 4

Sen 3

Signo

IC

Sen 1

(+)

IIC

Sen 2

(+)

IIIC

Sen 3

(-)

IVC

Sen 4

(-)

4

3 2.

Sen

90º

270º

Coseno.- El coseno de un arco, es la abscisa del extremo de arco y se representa mediante una horizontal trazado desde el eje de ordenadas hasta el Y

extremo del arco.

90º Cos 1 Cos 2

2 180º

Cos 4

C.T. 3

Cos 3

1 0º 360º

X

4

Cos

Signo

IC

Cos 1

(+)

IIC

Cos 2

(-)

IIIC

Cos 3

(-)

IVC

Cos 4

(+)

270º Ejemplo 2 : Representar en la C.T. a) Sen 30º , Cos 53º

b) Sen 100º , Cos 200º 100º

90º Cos 53º

Sen 100º 180º 200º

c) Cos 315º

53º 30º

Sen 30º

Cos 200º Cos 315º

0º 360º

315º

270º


Página 33



TEMA 10: ANÁLISIS SENO



Y

DE

COSENO

LA

VARIACIÓN

EN

UNA

DEL

C.T. A ver intenta en A ver intenta en los demás los demás cuadrantes, tú cuadrantes, tú puedes. puedes.

VARIACIÓN DEL SENO Y 90º

SENO +1 180º

0º X 360º 1

IC



IIC



IIIC



IVC



0  Sen   1

270º

Si:

  [0º; 360º]



1  Sen   1




(Sen ) (Sen )

mín máx

= 1 = +1

Página 34

Profesor, Profesor, hagamos un hagamos un ejemplo. ejemplo.

UNIVERSIDAD PERUANA DE INTEGRACIÓN GLOBAL Hallar la variación del Seno. Y

RES. N°099-2007-CONAFU

Hallar la variación del Seno.

CENTRO PRE UNIVERSITARIOSi:– “UPIG”   [45º; 60º 90º 60º Si:

De la C.T.: De la C.T.:

45º

Sen 60º

180º

  [45º; 60º

Sen 45º 0º

X

Sen 45º  Sen   Sen 60º Sen 45º  Sen   Sen 60º  Sen    Sen   Sen   [;  Sen   [; 



VARIACIÓN DEL COSENO

Qué fácil, yo, Qué fácil, yo, hago los tres hago los tres siguientes siguientes cuadrantes. cuadrantes.

Y 90º

COSENO 180º

+1

1

0º X 360º

IC



IIC



IIIC



IVC



0  Cos   1

270º

Si:

  [0º; 360º]



1  Cos   1

180º

(Cos )

mín máx

= 1 = +1

Si:   60º; 120º Si:   60º; 120º

90º

C.T.

(Cos )

Hallar la variación del Coseno. Hallar la variación del Coseno.

Y

120º



De la C.T.: De la C.T.: Cos 120º  Cos   Cos 60º Cos 120º  Cos   Cos 60º   Cos     Cos   “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado” 0º Cos   ;  XCos   ;  Cos 120º

Cos 60º

0º

Página 35



NOTA: I.

FLECHA:

Arriba : Abajo :

II.

Repasemos un Repasemos un poco de poco de desigualdades. desigualdades.

 : Creciente  : Decreciente

DESIGUALDADES: PROPIEDADES Si:

a, b, c  R

1.

a  b

2.

a  bc>0

3.

a

2

 0

 

ac  bc ac  bc

INTERVALOS 1. I. Abierto a; b ó a  x  b 2. I. Cerrado [a; b] ó a  x  b 3. I. Semiabierto a, b] ó a  x  b [a, b ó a  x  b


Página 36



TEMA 11:IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEFINICIÓN Son aquellas relaciones que se establecen entre las funciones trigonométricas de una variable. Estas relaciones de igualdad se verifican para todo valor admisible de la variable presente y se clasifican de la siguiente manera: I.

II.

I.T. Recíprocas

I.T. por División

III. I.T. Pitagóricas


Página 37



IV.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES Adicionalmente a las identidades fundamentales, se establecen una serie de relaciones adicionales que se demuestran a partir de las primeras. Van a destacar las siguientes relaciones: 1. tgx + ctgx = secx cscx 2. sec2x + csc2x = sec2x csc2x

3. sen4x + cos4x = 1 - 2sen2x cos2x 4. sen6x + cos6x = 1 - 3sen2x cos2x Los ejercicios sobre identidades son de 4 tipos: a) Demostraciones: Para demostrar una identidad, implica que el primer miembro o viceversa ó que cada miembro por separado se pueda reducir a una misma forma. Ejm: a. Demostrar que : Csc - Ctg . Cos = Sen Resolución: Csc - Ctg . cos = sen 

1  Cos    Cos  Sen Sen  Sen 



1  c o s ² s e n ²   sen sen sen

∴

Sen = Sen. (Demostrado)

b. Demostrar que: cos A cos A   2 sec A 1  senA 1  senA

Resolución Utilizamos artificio:

CosA 1  s e n A . 1  s e n A 1  s e n A

 



cos A 1  s e n A . 1  s e n A 1  s e n A

 

 2 sec A


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CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG” Luego se tendría c o s A 1  s e n A 1  s e n ² A 



c o s A 1  s e n A co s ²A



 





c o s A 1  s e n A 1  s e n ² A 





c o s A 1  s e n A co s ²A



 2 sec A

 2 sec A

1  senA  1  senA  2 sec A cos A



2  2 sec A cos A

∴2 s e c A

 2 s e c A . (Demostrado)

b) Simplificaciones: Lo que se busca es una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y/o auxiliares. Utilizar transforma-ciones algebraicas. Ejms. 1) Simplificar: (2Cos2-1)2 + 4Sen2Cos2 Resolución: (2Cos2-1)2 + 4Sen2 Cos2  (2cos² - 2(2cos²)(1) + 1 + 4sen² Cos²  4cos²cos² - 4cos² + 1 + 4sen²cos²  4cos² [cos² - 1 + sen²] + 1  4cos² [(cos² + sen²) - 1] + 1  4cos² [1 - 1] + 1

∴

4cos²(0) + 1 = 1

2) Simplificar: (1 - cosx) (Cscx + Ctgx) Resolución: (1-Cosx)



1 Cosx     Senx Senx  

 (1-Cosx)

 1  Cosx  Senx

 1  Cos 2 x

Sen x x   Senx Senx Senx “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

Página 39



c) Condicionales: Si la condición es complicada debemos simplificarla y así llegar a una expresión que pueda ser la pedida o que nos permita hallar lo que nos piden. Si la condición es sencilla se procede a encontrar la expresión pedida.

Ejms. a.Si Sen + Csc = a. Calcular el valor de E = Sen2 + Csc2 Resolución Si: sen + Csc = a (Elevemos al cuadrado)  (Sen + Csc) ²= a² Sen² + 2(Sen)(Csc) + Csc²= a² Sen² + 2 + Csc² = a² Sen² + Csc² = a² - 2 E = a² - 2 b.

Si: senx - cosx = m . Hallar el valor de: D = 1 -2senxcosx

Resolución senx - cosx = m (elevemos al cuadrado)  (Senx cosx)² = m² sen²x - 2senx Cosx + Cos²x = m² Sen²x + Cos²x - 2senxcosx = m² 1 - 2senxcosx = m² D = m² “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

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d) Eliminación del Ángulo: Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos hallar relaciones algebraicas en la cual no aparezca el ángulo. Nos ayudaremos de identidades como por Ejem. Tgx.Ctgx = 1 Senx.Cscx = 1 Cosx.secx = 1

Sen²x + cos²x = 1 Sec²x - Tg²x = 1 Csc²x - Ctg²x = 1 Ejm.: 1. Eliminar “” de: Csc = m + n …(1) Ctg = m – n …(2) Resolución:

(Elevamos ambas expresiones al cuadrado)

Csc = n + n Ctg = m – n

Csc2 = (m+n)2 = m2+2mn+n2 (-) Csc2 = (m+n)2 = m2 -2mn+n2 Csc2 - Ctg2  m2  2mn  n2 - (m2 - 2mn  n2 )

1 = 4mn 2. Eliminar “” de: aCos  bSen  Sec.Ctg...( 1 ) aSen  bCos  KSec...( 2 )

Resolución: De la expresión 1 1

Cos

 aCos  bSen  Sec.Ctg  Cos . Sen


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CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG” (por Sen) 

Sen(aCos  bSen) 

1 (Sen) Sen

 aSenCos - bSen2 = 1 …(3)

De la expresión 2 aSen  bCos  kSec  

k Cos

(por Cos) 

Cos(aSen  bSen) 

k (Cos) Cos

 aSenCos - bCos2 = K …(4) Restamos (4) menos (3) aSenCos  bCos 2   k aSenCos  bSen 2   1

()

2 2 b(Cos      Sen   )  k - 1 1

b=x -1 K=b+1 Recomendación: Cuando en un problema de identidades trigonométricas estés frente a esta expresión: E = (senx ± cosx) y se te pide “senx.cosx”, se recomienda que eleves al cuadrado ambos miembros para obtener: E² = (senx ± cosx)² = sen² ± 2senxcosx - cos²x E² = Sen²x + Cos²x ± 2Senx.Cosx E² = 1 ± 2 SenxCosx (Lo que se pide) Identidad Importante: (1 ± sen ± cos)² = 2 (1± sen)(1± cos)

Demostración: Recordemos (a+b+c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab+bc+ac) “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

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(1± sen ± cos)² = 1² + (±sen)² + (±cos)² + 2[1(±sen) + 1(±cos)+(±sen)(±cos)] = 1 + sen² + cos² + 2[1(±sen) + 1(±cos) + (±sen)(±cos) Agrupamos nuevamente

2 + 2[1(±sen)+ 1 (±cos) + (±sen)(±cos)] = 2[1 + (±sen) + (±cos) + (±sen)(±cos)] = 2[(1 ± (±sen) + (±cos(1 + (±sen))] = 2[(1± (±sen)[1 + (± cos)]  (1 ± sen ± cos)² = 2(1± sen)(1 ± cos) ………...(Demostrado)


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TEMA12: SUMA Y DIFERENCIA

OBJETIVO Desarrollar fórmulas que permitan calcular las funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos; para luego aplicarlos en diversos problemas que no son únicamente para reducir expresiones, sino también para el cálculo de valores numéricos de funciones trigonométricas de ángulos desconocidos, así como también en la solución de problemas geométricos. FÓRMULAS A. Para la Suma de dos Ángulos 1. sen(x + y) = senx cosy + seny cosx 2. cos(x + y) = cosx cosy - senx seny 3.

Tg + Tg

Tg(+) = 1  T g  . T g 

B. Para la Diferencia de dos Ángulos 1. sen(x - y) = senx cosy - seny cosx 2. cos(x - y) = cosx cosy + senx seny 3. Tg(-) =

Tg  Tg 1  Tg.Tg

Tomaremos en cuenta para las demás razones trigonométricas que:


Página 44


CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG” 1 T g     1 S e c      C o s     1 C s c      S e n     C tg     

C tg     

1 T g    

S e c     

1 C o s    

C s c     

1 S e n    

APLICACIONES Desarrollaremos los siguientes ejercicios: 1. Calcular: sen75º tenemos que: sen75º = sen(45º + 30º) = sen45º cos30º + sen30º cos45º

2 2

reemplazando: sen45º= operando:

2 2

.

, cos30º=

3 2

1

+2 .

3 2

6 2 4

, sen30º= 2 2

1 2

cos45º=

2 2

=

2. Reducir: E = (sena + cosa) (senb + cosb) operando : E = sena senb + sena cosb + cosa senb + cosa cosb E = sen(a + b)

+

cos(a - b)


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TEMA13: FUNCION TRIGONOMETRICA DE ANGULO DOBLE OBJETIVO Desarrollar fórmulas que permitan calcular las funciones trigonométricas de un ángulo que es el doble del otro.

FORMULAS BÁSICAS (Angulos dobles 2x)

• sen40º =__________ • cos40º = _________ • tg40º = _________ • sen6x = __________ • cos6x = __________ • tg6x = __________ • senx = ___________ • cosx = ___________ • tgx = ___________

m

OBSERVACIONES 1. 1 - cos2x = 2sen2x 2.

3.

1 + cos2x = 2cos2x 1 cos2x  tg2x 1 cos2x

4.

(senx + cosx)2 = 1 + sen2x

5.

(senx - cosx)2 = 1 - sen2x

*

En la medida que apliquemos correctamente las fórmulas, adquiriremos mayores criterios de solución para problemas de este capítulo.


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BOLETIN DE TRIGO.doc

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