Béton precontraint aux eurocodes

Patrick Le Delliou

BETON PRECONTRAINT AUX EUROCODES

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e beton precontraint est un materiau composite du genie civil permettant de concevoir et de realiser des structures performantes, economiques et elegantes. On en trouve des applications dans tous les domaines de la construction, notamment pour les bgtiments ou la realisation des grands ouvrages d'art. I1 a 6t6 invent6 au debut du X X ' siitcle mais l'6volution recente des performances des materiaux et notamrnent des betons demontre sa modernit6 et elargit encore son champ d'application, seul ou associe aux plus grandes structures metalliques. Apr2s une presentation des caracteristiques des materiaux et des technologies specifiques mises en oeuvre, l'auteur expose les principes de base du fonctionnement du materiau et des structures simples. L'accent est mis sur le comportement physique des sections et des poutres en s'appuyant sur les concepts et les formulations nouvelles des Eurocodes et plus particuliitrement de l'Eurocode 2 consacre au beton.

Patrick Le Delliou, actuellement charge' d ' u n service sptcialist dans le contrdle des grands barrages hydroe'lectriques, a dirigt?, pendant de nombreuses anne'es, des bureaux d'e'tudes de conception et de contrdle d'ouvrages d'art. 11 est professeur de be'ton pre'contraint 2E 1'tcole Nationale des Travaux Publics de 1 tat C ou il assure e'galement le cours consacre' aux barrages.

LE DBETO

Cridits photographiqires : O P. Le Delliou sauf Al.1 (phototheque Freyssinet) et A1.3 (phototheque Campenon Bernard)

@ PRESSES UNIVERSITAIRES DE LYON, 2003

80, Boulevard de la Croix-Rousse - BP 4371 69242 Lyon cedex 04 ISBN 2-7297-0724-7

Patrick LE DELLIOU

BETON PRECONTRAINT AUXEUROCODES

ENTPE PRESSES UNIVERSITAIRES DE LYON

-_I.

_

SOMMAIRE

CHAPITRE I .INTRODUCTION ........................................

9

CHAPITRE I1 .UNITES .SIGNES .NOTATIONS ..................

13

CHAPITRE I11 .DEUX EXEMPLES DE PRECONTRAINTE .

19

CHAPITRE IV .TECHNOLOGIE ............................................. 37

CHAPITRE VI .PERTES DE PRECONTRAINTE ...................

87

CHAPITRE VII .MOMENTS FLECHISSANTS . GENI~ALITES.......................................................................... 119 CHAPITRE VIII .MOMENTS FLECHISSANTS . VERIFICATIONS ....................................................................... 139 CHAPITRE IX .EFFORTS TRANCHANTS ............................. 175 CHAPITRE X .DIFFUSION DE LA P&CONTRAINTE ........ 203

ANNEXE 1 .HISTORIQUE ...................................................... 233 ANNEXE 2 .ORDRES DE GRANDEURS ............................... 239 ANNEXE 3 .BORDEREAU DES PRIX ................................... 243 ANNEXE 4 .LEXIQUE FRANCO.ANGLAIS .......................... 247 TABLE DE s MATIERES .......................................................... 25 1

Le beton precoi~traintfigure aujourd'hui parmi les materiaux les plus utilises dans le domaine de la construction, qu'il s'agisse du bltiment ou du genie civil. Les techniques mises en ceuvre ainsi qu'un fonctionnement mecanique particulier font du beton precontraint un materiau a part entiere. L'objectif premier du cours est de mettre en evidence les principes du fonctionnement ainsi que l'importance de la technologie. Des methodes simplifiees de dimensionnement et de verification sont presentees. En privilegiant la comprehension du comportement du materiau, l'aspect reglementaire est correlativement moins developpe. Lorsqu'il est necessaire d'utiliser certaines formulations, ce sont celles de 1'Eurocode 2 qui ont ete retenues de preference au reglement dit BPEL 9 1 (beton precontraint aux etats limites). Cependant, le cours n'a pas pour objectif d'apprendre le detail du reglement. Certains points importants dans la realite mais non essentiels au regard de la comprehension des phenomenes physiques ne seront pas abordb. On pourra toujours se reporter au reglement lui-mzme. Sont evoques quelques aspects du fonctionnement de structures courantes en beton precontraint qui relevent normalement de la resistance des materiaux mais qui prennent ici toute leur importance compte tenu de la taille des ouvrages ou de leur mode specifique de construction.

CHAPITRE I

-

INTRODUCTION

1) DOMAINE D'EMPLOI L'idee du beton precontraint est presque aussi vieille que celle du beton arme. Son invention proprement dite remonte a 1928. C'est en effet a cette date qu'un ingenieur fianqais, Eugene Freyssinet, depose les brevets qui definissent a la fois le fonctionnement theorique du materiau cc beton precontraint )) et surtout les dispositifs technologiques a mettre en oeuvre. Depuis, le beton precontraint a pris sa place dans la plupart des constructions de genie civil. Dans les ponts routiers par exemple, si les petits ouvrages restent souvent l'apanage du beton arme, on constmit des ponts en beton precontraint des que les longueurs des travees depassent une quinzaine de metres. Du c6te des grandes longueurs, grlce a des technologies et des structures mecaniques specifiques telles que les ponts a haubans, on realise des ouvrages dont les portees ont plusieurs centaines de metres. On trouve aussi du beton precontraint dans le domaine du bltiment (tours de grande hauteur, ou encore poutrelles de plancher) et dans les grands ouvrages de genie civil tels que les plates-formes offshore ou les centrales nucleaires.

2) PRINCIPE DE LA PRI~ONTRAINTE Fondamentalement, on peut concevoir le beton precontraint c o m e une maniere de pallier aux faiblesses du beton lui-mCme. Les qualites du materiau beton sont un faible coQt, la possibilite de le produ-ire a peu pres n'importe oh, son aptitude a etre coule dans des coffrages de formes diverses permettant une certaine expression architecturale, son esthetique (a condition d'y mettre le prix, ce qui n'est malheureusement pas toujours le cas). Mecaniquement, c'est un

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Biton pricontraint aux Eurocodes

matbiau qui ne vieillit pas trop ma1 et qui presente une bonne resistance a la compression. Son dkfaut majeur est une faible resistance a la traction (de toute fagon tres aleatoire). D'ailleurs, la plupart des reglements negligent cette resistance. Dans le beton arm& on se contente de remplacer l'effort de traction qui devrait passer par le bbton fissure par un effort repris en traction par des armatures metalliques ancrees par adherence. Dans le beton precontraint, on cherche a eviter que le beton soit tendu. L'idee fondamentale est donc d'introduire artificiellement dans les structures un systeme de contraintes prbalables qui, ajoutees aux effets des charges exterieures, permettent au beton de rester dans le domaine des compressions. Le principe initial de la precontrainte totale (aucune traction) est aujourd'hui complete par celui de la precontrainte partielle en autorisant certains efforts de traction du beton. La precontrainte du beton permet de concevoir et dessiner des structures beaucoup plus fines et legeres qu'en beton arme. I1 s'agit d'un avantage esthetique mais aussi d'un gain en cofit direct sur la quantite de matiere consomrnee et indirecte par exemple au niveau des fondations. Inversement, les etudes sont beaucoup plus complexes et la realisation plus delicate : l'entreprise doit avoir une qualification plus elevee et fait generalement appel, pour la precontrainte proprement dite, a des societes specialisees.

3) PARTICULARITES DES EUROCODES Le programme d'elaboration des Eurocodes est un vaste chantier entrepris depuis de nombreuses annees. L'Eurocode 2 est un texte relatif a la fois au beton arme et au beton precontraint, en privilegiant d'ailleurs assez souvent le beton arme. I1 comporte des prescriptions generales valables pour toutes les structures. Une deuxieme partie consacree aux ponts en beton fournit des prescriptions qui viennent completer, voire remplacer les regles generales. Conformement a l'habitude anglo-saxonne, les Eurocodes fournissent a la fois des elements d'ordre reglementaire et de simples

Introduction

11

recommandations ou ebauches de methodes d'etudes sans caractere obligatoire.

A la date d'edition de ce livre, l'ensemble de I'Eurocode 2 n'est pas encore totalement acheve n~algreplusieurs versions successives. Certaines formules ou coefficients numeriques utilises pourront donc s'averer errones lors de la parution finale de 1'Eurocode.

Le systeme d'unites utilise est le systkme legal SI. I1 est recommand6 de s'en tenir a un nombre reduit de multiples de ces unites. Les forces seront generalement exprimees en MN, les contraintes en MPa. Si la densite du beton est de 2,5, son poids volumique est de 0,98 1x 0,025 = 0,0245 MN/m3. Malheureusement, dans de nombreux documents, on trouve encore des unites prohibees comrne : la tonne-force (= 0,01 MN) ; le bar (- 0,l MPa) ; le kg/mm2 (= 10 MPa).

2) SIGNES Le calcul des structures precontraintes fait appel aux resultats et formulations de la resistance des materiaux dont les conventions de signe ne sont pas toujours confomes avec celles de la mkcanique des milieux continus. Nous adoptons les conventions generalement admises par l'ensemble de la profession et construites de faqon a donner une valeur numerique positive (( la plupart du temps )). Notamment, pour des poutres horizontales, on convient que : les abscisses (x) sont notees positivement de la gauche vers la droite ; l'axe des ordonnees (y) est dirigC vers le haut ; les contraintes et les deformations du beton sont positives lorsqu'il s'agit de compressions et de raccourcissements (1'Eurocode adopte en theorie une convention inverse pour les deformations tout en retournant les axes pour dessiner les lois contrainte-deformation) ; les contraintes et les deformations des aciers sont positives dans le cas de tractions et d'allongements ;

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BPton prkcontraint aux Eurocodes

un effort extkrieur perpendiculaire a la fibre neutre est positif s'il est dirige dans le sens des ordonnees negatives (le poids est positif !) ; une reaction d'appui est positive si elle est dirigee vers le haut ; un moment flechissant est positif s'il tend a comprimer la fibre superieure d'une poutre et a tendre la fibre inferieure. Le moment a mi-travee, pour une poutre isostatique de longueur 1 soumise a son poids p, vaut +p12/8. Par convention, les courbes de moment flechissant sont representees avec le signe positif dirige vers le bas ;

Fig. 2.1 - MomentflPchissant d'une travPe isostatique

un effort normal dans une section droite est positif s'il tend a comprirner la section ; un effort tranchant, defini comrne la sornrne des efforts situes a gauche d'une section, est positif s'il est dirige vers le haut. Ces conventions sont naturellement arbitraires. Ce qui est important, c'est de pouvoir dire, in fine, si un materiau est tendu ou comprime et indiquer l'orientation la plus probable des fissures.

I1 est exclu, dans ce paragraphe, de reprendre la totalite des formules de la resistance des materiaux. I1 existe pour cela des cours, des abaques, des formulaires, des programmes de calculs (attention aux conventions de signe qui sont souvent celles de la mecanique des milieux continus !). I1 est cependant indispensable de verifier que l'on maitrise les points suivants :

Unit& - Signes - Notations

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la resistance des materiaux est bdtie autour des hypotheses de Navier (les sections droites restent planes) et de Saint-Venant (le comportement est independant du mode exact d'application des efforts). Le chapitre relatif a la difhsion de la prkcontrainte traite de la validite de l'hypothese de Saint-Venant ; une section de beton Ac soumise a un effort normal centre N reqoit une compression uniforme o : o=-N Ac une section de beton soumise a un moment flechissant M reqoit, dans l'hypothese oh le materiau est supposC fonctionner selon la loi de Hook (elasticite lineaire), une contrainte oc(y) telle que : MXY ~ c ( Y=)

7

y est I'ordonnCe comptee a partir du centre de gravite de la section, I est l'inertie calculee autour d'un axe horizontal z passant par le centre de gravite.

Fig. 2.2 - Section transversale d'une poutre

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Bkton prkcontraint aux Eurocodes

une poutre continue sur n appuis simples est soumise a des effets hyperstatiques (reactions d'appuis, moments flechissants). La methode generale utilisee pour calculer les moments hyperstatiques sur appuis consiste a ecrire n-2 cc relations des trois moments )) (les moments d'extremites sont generalement nuls).

Pour des poutres d'inertie I constante et dont li represente la longueur de travee i, les parametres de cette formule sont :

Dans ces expressions, Miso(x) est le moment isostatique regnant sur la travke et E le module dlYoung du materiau.

4) NOTATIONS Les principales notations utilisees par les Eurocodes sont les suivantes : Ac Ap As Ec Ep G M P Q V

= = = = = = = = = =

surface de la section transversale de beton surface des aciers de precontrainte surface des aciers de type beton arme module d'elasticite du beton module dlelasticitCde la precontrainte action permanente moment flechissant force de prkcontrainte action variable effort tranchant

UnitPs - Signes - Notations

e fc fp

=

ft

=

y oc op

=

= =

= =

excentricite de la precontrainte resistance a la compression du beton resistance a la traction des aciers de precontrainte resistance a la traction du beton coefficient partiel de securite contrainte de compression dans le beton contrainte de traction dans l'acier de precontrainte.

Ces valeurs peuvent Ctre affectees d'indices supplementaires. Par exemple, fck est la resistance caracteristique en compression du beton alors que fcm est sa resistance moyenne. Les autres notations seront introduites en tant que de besoin.

CHAPITRE I11 - DEUX EXEMPLES DE PR~CONTRAINTE Deux exemples classiques, avec ou sans l'effet d'un moment flechissant externe, perrnettent d'etablir les bases fondamentales du fonctionnement des structures precontraintes.

Un tirant est une piece prisn~atiqueen beton soumise a un effort de traction N variable. Par commodite, on suppose, dans ce paragraphe, que l'effort N de traction est positif. Bien que peu utilises dans les constructions reelles, on trouve des tirants dans certaines structures telles que les suspentes de ponts bow-string.

1.1 Dimensionnement La precontrainte des tirants est genkralement constituee de c5bles metalliques enfiles dans une gaine, tendus et ancres a leurs extremites. Soit Ap la section des ciibles et Ac la section nette de beton (deduction faite de la section des gaines). On suppose que les matkriaux acier et beton ont un comportement lineaire caracterise par un module d'klasticite note respectivement Ep et Ec. Lorsqu'on met en traction les ciibles (au moyen de verins s'appuyant sur les sections a chaque extremite du tirant), les verins appliquent au beton un effort normal egal a la force P de precontrainte. En ancrant les c5bles aux deux extremites du tirant, on transfere, de fapon permanente, l'action des verins au beton. Lorsque l'effort exterieur N est nul, la force dans les ciibles est egale a P.

20


I1 s'agit de dimensionner P et Ac de faqon que la contrainte o c dans le beton reste comprise entre -ft (resistance a la traction) et fc (resistance a la compression) lorsque N est compris entre 0 et Nmax. En l'absence d'effort exterieur, le calcul des contraintes dans chacun des materiaux est trivial :

Lorsqu'on applique une traction N, le beton se decomprime avec une variation 6oc < 0 et subit un allongement relatif 61 :

avec Ec = module d'elasticite du beton de l'ordre de 40000 MPa. Le cbble, qui est solidaire du beton, subit le m&me allongement et donc une augmentation de contrainte :

avec Ep = module d'elasticite du cdble de precontrainte de l'ordre de 200000 MPa. La force P de precontrainte depend donc de l'effort exterieur N applique. On peut ecrire les relations suivantes :

avec :

D e n exemples de precontrain te

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En eliminant 61/1, on obtient les deux expressions suivantes : GC(N)=

~ P ( N= )

P(N = 0) N -ECX ApEp + AcEc Ac P(N = 0)

+Epx

AP

N ApEp + AcEc

Par consequent, le dimensionnement optimal du beton du tirant, permettant de tirer tout le parti possible de la resistance de ce materiau, resulte de :

d'ou :

-ft=fc-ECX

Ac =

N max ApEp + AcEc

N max -Apx- EP fc+ ft Ec

P(N = 0) = Acxfc

Exemple numerique :

Nmax = 1,6 MN fc = 15 MPa f t = 1 MPa Ep/Ec=5 Ap = 1500 mrn2 On obtient :

22


On montre par ailleurs que la contrainte dans les aciers varie de 925 MPa a 1005 MPa lorsque N varie de 0 a Nmax. 1.2 Variations de contraintes La figure 3.1 represente les variations des contraintes dans l'acier et dans le beton en fonction de N.

Acier

Beton

Fig. 3.1 - Variations des contraintes dans le tirant

Si N depasse la valeur de Nmax, le beton se fissure (sa contrainte devient nulle). La totalite de l'effort est alors repris par les cibles. Le saut de contrainte dans l'acier au moment de la fissuration vaut :

6op=

Nmax AP

-(

Nmax

Ac --xft) AP AP

Apres fissuration, seuls les aciers de precontrainte resistent a la traction ; la contrainte dans les aciers s'ecrit alors simplement :

23

Deux exemples de pricontrainte

Application numerique : avec les memes donnees que precedemment, la brusque augmentation de contrainte au moment de la fissuration vaut 62 MPa. 1.3 Precontrainte et fissuration

Le saut de contrainte au moment de la fissuration constitue un premier danger pour les clbles : on risque de depasser sans prevenir la limite de rupture du cible. En outre, la pente de la courbe op(N) augmente sensiblement (cf. figure 3.1). Une variation de IMN avant fissuration provoque une variation de contrainte dans l'acier de 50 MPa, ce qui est negligeable. Apres fissuration, pour la mCme variation de l'effort exterieur, la tension dans les cbbles varie de 667 MPa soit 13 fois plus. Le risque de rupture par fatigue, nu1 avant fissuration, devient alors important. La fissure ne se refeme pas immtdiatement lorsque N redevient inferieur a Nmax. Dans l'exemple ci-dessus, la remise en compression du beton ne se produit que pour N = 1,5 MN. .

,

1.4 Remarques

1.4.1 Nature des aciers La contrainte dans les clbles de precontrainte est supbrieure aux contraintes usuellement constatees dans les aciers de type beton arme (5 a 6 fois plus).

En effet, au cours du temps, sous l'effet du retrait et de la precontrainte, le 4beton a un raccourcissement relatif pouvant atteindre 7 x 10 . Si le cible dans le beton connait la mCme deformation, sa contrainte chute de :

Si on y ajoute la diminution dans le temps de la contrainte dans l'acier par relaxation (cf. chapitre V), la perte totale de contrainte avoisine 200 MPa. Autrement dit, une precontrainte realisee avec des aciers classiques de 500 MPa de limite elastique et donc reellement tendus a environ

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Bdton precontraint aux Eurocodes

300 MPa deviendrait quasiment nulle au bout d'un certain temps. C'est d'ailleurs sur cette difficulte qu'ont bute les premieres tentatives pour realiser des poutres precontraintes. I1 est donc indispensable d'utiliser des aciers speciaux a haute limite elastique (1 400 a 1900 MPa) pour obtenir une precontrainte efficace et durable. 1.4.2 Calculs en fourchette En beton arme, et sauf quand il y a inversion du signe des efforts, il suffit generalenient d'etudier le comportement des sections sous l'effort maximum. En beton precontraint, les materiaux peuvent tout a fait atteindre leurs limites de rupture aussi bien sous effort minimum que maximum : dans le cas du tirant, la rupture peut aussi se produire a vide par surcompression du beton. En outre, la contrainte dans le beton resulte souvent de la difference entre deux termes representant d'une part les sollicitations extkrieures, d'autre part la precontrainte. Une faible erreur relative sur un des deux termes peut changer notablement le resultat final. L'Eurocode 2 impose, pour les etats limites de service, une verification en fourchette au niveau des efforts et au niveau de la force de precontrainte. 1.4.3 Risque de flambement On peut se demander si une piece en beton precontraint, surtout si sa section transversale est tres faible et sa longueur importante, ne risque pas de flamber sous l'effet des fortes compressions qui lui sont appliquees. Deux cas sont a envisager : Precontrainte (( interieure >> C'est le cas general ; le ciible est situe a l'interieur d'une gaine injectee a l'aide d'un coulis de ciment. Dans cette hypothese, le ciible ne peut pas se deplacer par rapport au beton. Toute deformation du beton entraine une deformation du ciible qui, de ce fait, exerce une poussee s'opposant a la deformation.

Deux exernples de precontrainte

p=poussee au vide s'opposant a la deformation p=PIR

Fig. 3.2 - Flambement contrarie avec pricontrainte in tdrieure

Precontrainte

exterieure

))

Le clble n'est solidaire du beton qu'a ses extremites. Dans ce cas, la force de precontrainte est une force externe et le flambement est possible.

Fig. 3.3 - Flam bement avec prdcon trainte exterieztre

Bdton prdcontraint aru Eurocodes

2) FLEXION SIMPLE On considere une poutre rectangulaire de largeur b connue et de hauteur h indeterminee. La section centrale de la poutre est soumise a un moment flechissant compris entre 0 et Mmax >O. On fait l'hypothese que Mmax est independant de h. On se propose de determiner la force de precontrainte P et la hauteur h de la poutre telles que le beton de la poutre soit soumis a des contraintes comprises entre 0 et fc. On neglige donc sa resistance a la traction.

Le cdble de precontrainte est situe au centre de gravite de la poutre. A vide (M = 0), la section de beton est soumise a une contrainte uniforme o c = PIAc avec Ac = bh. Si le coniportement du beton est elastique et si on conserve l'hypothese de Navier, la contrainte dans le beton s'exprime par la formule generale : N Mxy oc(y) = -+ Ac I

ou y est l'ordonnee du point considere par rapport au centre de gravite, I l'inertie de la poutre (1=bh3/12 pour une section rectangulaire), N l'effort normal applique au beton et M le moment flechissant. Si la poutre est precontrainte, 1'effort normal N applique au beton est egal a la force P de precontrainte. Cette formule etant lintaire en M et y, il suffit de verifier les contraintes dans le beton pour y = *h/2 et M = 0 ou M = Mmax.

M = Mmax

bh

P OIosup=-+ bh

bh' 6Mmax bh2

I fc

Deux exemples de prkcontrainte

Compte tenu de l'hypothese Mmax > 0 qui permet d'eliminer 4 inequations, il reste : (1) h x P 2 6xMmax

(2) h x ~ + 6 ~ ~ lmb xa fxc x h 2 Ces deux inequations peuvent Ctre representees graphiquement dans un plan (P, h).

r

Fig. 3.4 - Reprksentation graphique des limitations de contrainte

I1 existe une plage possible de valeurs (P, h). Pour choisir la meilleure solution, il faudrait avoir, par exemple, le cofit de l'ouvrage en fonction de h et P. Par hypothese, nous retenons la valeur minirnale de h soit :

P=,/3xbxfcx~max Les schemas de contraintes sont alors les su.ivants :


M=Mmax

Fig. 3.5 - Schkmas de contraintes en prkcontrainte centrke

Le cible de precontrainte n'est plus situe au centre de gravite de la poutre. L'excentricite eo du ciible est son ordonnee par rapport au centre de gravite. C'est une valeur algebrique : eo est negatif si le cible est situe sous le centre de gravite, positif au-dessus. La poutre est soumise : a 1'effort normal P apporte par la precontrainte a un moment flechissant total Mt

P

x

eo est appele moment isostatique de precontrainte.

Les contraintes dans le beton s'expriment alors par la formule generale : P Pxeoxy Mxy oc(y) = -+ +Ac I I Lorsque M = 0, on obtient :


29

Les inequations de gauche sont independantes de P et s'ecrivent :

Si le moment exterieur est nul, le clble doit Ctre situe a l'interieur du noyau central (le tiers central pour une poutre rectangulaire). Lorsque M = Mmax, les lirnites de contrainte pour le beton s'ecrivent respectivenient sur la fibre inferieure et superieure de la poutre :

bXh

bxh'

bxhL

Compte tenu de l'hypothese Mmax > 0, il reste en realite 4 inequations :

D'ou le systeme d'inequations deduites : (1) + (2)

6 x Mmax bxh'

i fc


Si on admet encore que la meilleure solution correspond au minimum de h, on obtient : 1

16x Mmax bxfc

h=d

Avec ces parametres, les contraintes dans le materiau beton sont celles indiquees sur la figure 3.6.

Fig. 3.6 - Schkmas de contraintes en prkcontrainte excentrke

Le beton atteint les limites de resistance aussi bien a vide que sous charge maximale. 2.3 Cornparaison des deux solutions

Par un simple excentrement de la precontrainte, il a ete possible de reduire de f i - 1= 42 % les quantitks de bCton et de prkcontrainte.


31

Alors qu'en beton arme la meilleure solution consiste toujours a mettre les aciers ct le plus bas possible )) (pour un moment flkchissant positif), le beton precontraint offre un parametre suppltmentaire qui est la position eo du ciible. La precontrainte et la position du cdble ne peuvent Ctre choisies independarnment l'une de l'autre : pour une valeur de h donnee, si on est amene a choisir une precontrainte P superieure a la valeur minimale, il faut reduire la valeur de eo. La figure 3.6 montre qu'il y a risque de rupture aussi bien a vide qu'en charge : il est toujours necessaire de verifier les sections pour les valeurs extremes des sollicitations. 2.4 Remarques 2.4.1 Surtension des ciibles Les calculs precedents supposent P independant du moment exterieur M : nous avons implicitement neglige les surtensions eventuelles du calcul sous l'effet de la variation de moment (cf. chapitre VII). 2.4.2 Effet du poids propre Le cas de charge M = 0 est tout a fait theorique. En realite, il y a toujours action simultanee du poids propre et de la precontrainte. Considerons une poutre en beton reposant sur le sol. Cette poutre ne subit aucun moment flechissant dQ a son poids propre qui est transmis directement au sol. Appliquons a cette poutre une precontrainte P excentree de eo vers le bas (eo
32


sol. On a donc apparition simultanee de la precontrainte et du moment cree par le poids propre. avant precontrainte

apres precontrainte

Fig. 3.7 - Dkform Pe de la poutre apr2s prkcontrainte

2.4.3 Trace des ciibles Les moments flechissants dus au poids propre et aux surcharges ne sont pas constants tout au long d'une poutre. 11s varient de zero sur les appuis a un maximum M = p12/8 a mi-portee pour une travee independante unifomement chargee. Si P et eo ont ete determines pour equilibrer le moment maximum a mi-travee (figure 3.8), ils risquent de provoquer sur appuis des contraintes exagerees (oc>fc ou oc
Prkcontrainte

Fig. 3.8 - Schkma de contraintes a mi-travke

Resultante

I

Deux exemples de pricontrainte

Precontrainte

33

Resultante o
Fig. 3.9 - Schdma de contraintes aux abouts

I1 est donc necessaire de reduire l'effet de la precontrainte au voisinage des extremites. Pour cela, on peut : faire varier eo en utilisant des traces de ciibles curvilignes ; faire varier P en arretant certains ciibles avant la section d'about. L'adoption d'un trace de cdble curviligne est de mise en ceuvre simple. C'est donc une solution retenue de faqon quasi generale. Elle a cependant deux consequences : dans les zones ou le ciible est incline d'un angle a sur l'horizontale, la force precontrainte etant P, l'effort normal applique sur la section vaut Pxcos(a). La plupart du temps, Pxcos(a) est assez voisin de P, les inclinaisons maximales n'excedant pas dans le cas general 25" (cos (25") = 0,906) ; la composante verticale de P, soit Pxsin(a), due a l'inclinaison des clbles est un effort tranchant qui vient en reduction de l'effort tranchant dZ1 aux forces exterieures. Cette reduction d'effort tranchant peut Stre tres importante (sin(25") = 0,423).

Fig. 3.10 - Pricontvainte inclinke a I'ancrage

34

Bkton prkconhaint aux Eurocodes

I1 est souhaitable que la valeur du moment de precontrainte subisse une variation aussi proche que possible de celle du moment dG aux charges exterieures. Dans les poutres continues, ou le moment change de signe, les ciibles ont un trace qui passe de la fibre inferieure en milieu de travee a la fibre superieure au droit des appuis intermediaires, de sorte a provoquer des moments de signes contraires a ceux des charges exterieures.

Fig. 3.11 - Momentsj'lkchissants et track de ccible

3) BETON ARME ET BETON PRECONTRAINT Malgre l'utilisation de materiaux equivalents, le beton arme et le beton precontraint fonctionnent de faqons radicalement differentes : en beton arme, l'armature passive peut Ctre consideree comme une section fictive de beton dotee d'une resistance a la traction. Un coefficient d'equivalence permet de remplacer la section d'acier par la section correspondante de beton ; en beton precontraint, on introduit avant tout une force dans la section. Cette force est generalement apportee par des cdbles metalliques appeles armatures actives. L'inclinaison de la force et son excentrement par rapport au centre de gravite constituent deux parametres majeurs du fonctionnement d'une section de poutre precontrainte.


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LtEurocode 2, poursuivant en cela les avancees du precedent reglement BPEL 91, permet toutefois un rapprochement de ces deux points de vue griice a la notion de precontrainte partielle prenant en compte la surtension des armatures actives.

CHAPITRE IV

-

TECHNOLOGIE

I1 existe plusieurs familles de methodes pour introduire une force de compression dans les structures en beton. 1.1 Precontrainte par vCrins

Cette technique consiste a introduire des verins (par exemple des verins plats) entre la structure et un massif de reaction. La mise en pression des verins engendre la precontrainte de la structure. A la fm de cette operation, on remplace l'huile dans les verins par un coulis de ciment de maniere a bloquer leur position et a rendre definitive la precontrainte. Elle est tres peu utilisee. On la trouve, par exemple, dans la construction sur cintre des ponts en arc ou elle sert au decintrement. 1.2 Prkcontrainte par prk-tension

Les ciibles de precontrainte sont prealablement tendus sur un banc de prefabrication. On vient ensuite couler le beton directement au contact des ciibles (les cables ne sont pas entoures par des gaines). Apres durcissement du beton, les cbbles sont relbches aux extremites et coupes a leur sortie des poutres. Le raccourcissement des cbbles entraine, par adherence, celui du beton qui est alors comprirne. Cette technique est evidemment adaptee a la prefabrication en usine. La production en serie sur des bancs de fabrication de grande longueur permet de rentabiliser les installations de mise en tension tres coiiteuses. L'etuvage du beton est un moyen d'accelerer son durcissement et d'augrnenter la productivite. Le reglement fournit naturellement des methodes de calculs specifiques a cette technique de mise en tension (par exemple pour le calcul de la longueur de scellement permettant le transfert progressif de l'effort de precontrainte au beton).

38

Bkton pvkcontraint aux Euvocodes

La precontrainte par pre-tension est tres utilisee en bitiment notamment pour la prefabrication des poutrelles de plancher et un peu en genie civil pour les poutres de faible portee ; 30 m semble etre un maximum, ne serait-ce que pour des questions de manutention des poutres et d'encombrement pendant le transport. Sauf dispositions particulibes coiiteuses, le trace des cibles est necessairement rectiligne. En gainant certains cibles aux extremites, on peut faire varier la precontrainte aux abouts des poutres.

1.3 Prkcontrainte par post-tension Le beton est comprime par des cibles ou des barres tendues dont les extremites prennent appui sur le beton par l'intermediaire d'ancrages. Le plus souvent, les cibles sont log& dans des gaines situees a l'interieur du beton. On trouve des structures, et notamment les grands ponts construits depuis une vingtaine d'annees, dont tout ou partie des cilbles sont a l'exterieur du beton sauf, naturellement, aux extremites et au droit de deviateurs destines a donner aux ciibles des traces non rectilignes. Les armatures de precontrainte sont tendues par des verins apres durcissement du beton d'ou le terrne de post-tension. C'est, de tres loin, la technique la plus utilisee en genie civil et c'est la seule qui sera evoquee pour la suite du cours. La reglementation est tres precise quant aux materiels et technologies utilisables sur les chantiers dans le cadre des marches publics. L'ensemble des procedes de precontrainte doit faire l'objet d'une approbation technique europeenne qui comprend notamment les modalitb des contrbles en usine. Les procedes de niise en oeuvre font eux-memes l'objet de stipulations detaillees.

2) ARMATURES Elles sont constituees soit de cibles (relativement) souples, soit de barres. Malgre quelques experiences (fibres de verre ou de carbone...), le materiau de base des armatures est un acier a haute rQistance dont les caractkistiques mecaniques sont precisees au chapitre V.

11s sont formes de fils paralleles ou de torons en acier a haute resistance. Le diametre des fils est choisi parmi les valeurs de la sCrie suivante : 4, 5, 6, 7, 8, 10 et 12,2 mm. Un clble est forme de la juxtaposition de nombreux fils lisses ; on aura par exemple un clble 5407 constitue de 54 fils de 7 mm. Les fils sont crantes, nervures, ondules dans le cas de la pre-tension. Les torons, beaucoup plus fiequemment utilises, sont composes d'un fil central autour duquel s'enroulent six fils de diametre plus faible. Les deux types de torons les plus utilises sont les suivants :

Les chiffres 13 et 15 correspondent a peu pres au diametre exterieur en millimetre des torons. Les surfaces transversales indiquees cidessus correspondent a la section reelle d'acier.

On trouve aussi des torons dits T13 et T15 dont les sections sont respectivement de 93 et 139 mm2. Le cdble proprement dit est luimtme forme de plusieurs torons. Un clble 12T13S est forme de 12 torons de 100 mrn2 ; sa section est de 12 x 100 = 1200 mm2.

Photo 4.1 - Torons de prkontrainte

L'agrement des armatures conceme en outre les caracteristiques propres de l'acier (cf. chapitre V). Les cdbles les plus utilises sont les suivants :


cdbles a fils paralleles 1407 1807 3007 5407

force utile apres pertes force utile apres pertes force utile apres pertes force utile apres pertes

0,4 0,5 0,9 1,7

a a a a

0,55 0,7 1,2 2,l

MN MN MN MN

cdbles forrnes de torons 1T15S 6T13S 12T13S 12T15S 19T15S

forceutileaprespertes force utile apres pertes force utile a p r b pertes force utile apres pertes force utile apres pertes

0,14 0,5 1 1,6 2,6

a a a a a

0,16 0,7 1,3 1,9 3,O

MN MN MN MN MN

On peut aussi trouver des cdbles de tres forte puissance ; par exemple, pour la construction des ponts a haubans, on utilise des cdbles 37T15S ou 55T15S, voire mCme 127T15S. Pour des applications tres specifiques, il existe des torons a 3 fils (utilisation en prk-tension) ou a plusieurs couches de fils peripheriques (a 19,37, 6 1... fils).

2.2 Barres Chaque armature de precontrainte est constituee d'une barre rigide dont le diametre est habituellement compris entre 12 et 36 mrn. I1 s'agit de barres lisses munies de filetages aux deux extremites ou de barres crenelees permettant le vissage d'un ecrou.

Photo 4.2 - Barres de pricon train te

Les forces utiles apres pertes sont comprises entre les valeurs suivantes : Diametre de 12 mrn Diametre de 26 rnm Diametre de 32 rnrn Dian~etrede 36 rnm

0,09 0,3 0,45 0,6

a a a a

0,1 0,45 0,5 1 0,7

MN MN MN MN

Certains procedes proposent des barres encore plus puissantes, jusqu'a 75 rnrn de diametre. Contrairement a ce qui se passe dans certains pays, notarnrnent en Allemagne, les barres de precontrainte sont peu utilisees en France pour realiser une precontrainte permanente. I1 est en effet difficile de trouver des traces de precontrainte harmonieux avec des barres rigides. Elles sont par contre assez utilisees pour des brelages provisoires ou pour des armatures de precontrainte de tres faible longueur.

3) ANCRAGES De nombreux procedes d'ancrage de cibles de precontrainte sur le beton ont ett inventes. Les trois procedes utilises de faqon quasi exclusive fonctionnent par coincement conique, par calage ou par vissage. 3.1 Ancrage par coincement conique C'est le principe d'ancrage adopte par Freyssinet des l'origine. C'est aussi aujourd'hui le procede le plus repandu. 3.1.1 Ancrage a cane L'ancrage est compose : d'un cylindre perce en son centre d'un trou de forme conique ; le bord du trou presente des cannelures presque demi-cylindriques. Cette partie de l'ancrage est dite (( cane femelle )) ; d'un (( c6ne mUe )) presentant a sa peripherie les m&mes cannelures.

42

Btton prtcontraint a m Eurocodes

Chaque fil ou chaque toron est place a l'interieur d'une cannelure. Le verin de niise en tension comprend deux pistons. Le premier realise la mise en tension du cbble. Le second assure son ancrage par enfoncement et blocage du c6ne mble a l'interieur du c6ne femelle. L'ancrage des fils ou des torons est obtenu par coincement entre le c6ne miile et le c6ne femelle. Le rellchement du verin de mise en tension a pour effet de permettre a l'extremite du cbble de repartir vers le beton. Par fiottement, le mouvement du ciible entraine celui du c6ne de blocage, ce qui accroit le coincement. Les premiers ancrages de ce type (pour 1205 - 1207 - 1208) etaient realises en niicrobeton frette. 3.1.2 Ancrage a clavettes L'ancrage comporte une ttte epaisse en acier percee de trous de forme conique. Chaque toron est enfile dans un trou, dans lequel il est, apres mise en traction, coince par des clavettes (deux ou trois en general).

Photo 4.3 - Clavettes

Photo 4.4 - Bloc d'ancrage

La ttte elle-mCme est plaquee sur un dispositif d'appui sur le beton (plaque d'appui et trompette assurant le guidage des torons de la gaine vers l'ancrage). Cette technique est, de tres loin, la plus utilisee actuellement sur les chantiers.

Photo 4.5 - Tromplaque

Les ancrages a coincement conique presentent l'avantage d'un faible encombrement ; en effet, apres blocage du c6ne ou des clavettes, on coupe les fils ou les torons a quelques centimetres derriere l'ancrage. L'encombrement de l'ancrage est donc independant de l'allongement du ciible au cours de sa mise en tension. Par contre, lors du rellchement du ciible par le verin, on constate un lkger glissement du clble dans son ancrage (de 6 a 8 n m pour les ancrages a clavettes), ce qui provoque une perte de tension. 3.2 Calage L'extremite du ciible est equipee, en usine ou sur chantier, d'une ttte d'ancrage qui lui est solidaire. Aprts la mise en tension du clble par le verin, l'effort de prkcontrainte est reporte sur le beton par l'intermediaire de cales (gkneralement en fonne de coquilles demi- cylindriques) disposees entre le beton et la tCte d'ancrage. Le principal procede utilisant ce principe est le systeme BBR. La ttte d'ancrage est formee par un cylindre filete exterieurement et percC de trous ; le cdble est constitue de fils paralleles. Chaque fil est d'abord coupe a longueur avec une precision inferieure au millirnetre, enfile au travers d'un des trous de la ttte d'ancrage. L'extremite du fil est ensuite refoulke a l'aide d'une petite presse, de sorte a realiser un renflement appele bouton. Le bouton vient prendre appui sur les bords du trou.

Btton precontraint aux Eurocodes

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Les ancrages par calage presentent l'avantage d'eliminer presque tout risque de glissement du cdble par rapport a son ancrage ; en general, on tient compte d'un jeu a l'ancrage de 1 mrn. 11s presentent l'inconvenient d'&tre beaucoup plus encombrants que les ancrages a coincement conique, a cause de la surlongueur due a l'allongenient du cdble (l'allongement d'un cdble de 100 m de long est d'environ 600 rnrn,soit 300 mm a chaque extremite). De ce fait, ils ne sont plus guere utilises dans les ouvrages. 3.3 Vis - Ecrou L'armature de precontrainte est pourvue, a chaque extremite, d'une partie filetee et d'un ecrou. La mise en tension est assuree par un verin. Le report de l'effort sur le beton se fait par serrage de l'ecrou jusqu'a sa mise au contact de la plaque d'ancrage. Ce principe d'ancrage est naturellement utilisk pour les barres de precontrainte. 3.4 Autres principes De nombreux dispositifs d'ancrages ont ete mis au point depuis que la precontrainte existe : ancrage par serrage de fils crantes entre des t6les (KA), ancrages par cdbles a bosse (PCB), ancrages par manchons filetes sur cdbles monotorons, ancrages F de SEEE, etc. Ces dispositifs sont soit abandonnes, soit d'une utilisation tres peu courante. On trouve aussi des cdbles a ancrage mort : une extremite du cdble est noyee dans le beton avec mise en precontrainte depuis l'autre extremite. 3.5 Remarques 3.5.1 Coupleurs De nombreux procedes de precontrainte possedent des systemes de (( couplage )) qui permettent (en theorie) d'assurer la continuite de la force de precontrainte entre plusieurs tronqons d'une m&me poutre par raboutage de cdbles. Considerons un premier tronqon de poutre AB. Ce trongon est precontraint par un cible ancre en A et en B. Un cdble BC est raboute en B au cdble AB. On construit ensuite le deuxieme tronqon de poutre BC.

Technologie

gaine

J

capot

b ciible

Fig. 4.1 - Couplage des cables

Le (( coupleur )) B est isole du beton par un capot metallique. Avant la mise en tension du clble BC en B, seul le tronqon AB est prtcontraint. Les isostatiques de compression ont l'allure defmie sur la figure 4.2, le tronqon BC etant, quant a lui, a contrainte nulle.

Fig. 4.2 - Isostatique avec AB pricontraint

On met ensuite en tension le clble BC par son extremitk C. Deux cas extrzmes peuvent alors se presenter : l'effort dti au ciible BC en B est suptrieur a l'effort du cable AB en B ; dans ce cas, il y a decollement de l'ancrage B du cdble AB sur sa plaque d'appui en B. L'ensemble des deux tronqons se comporte (a peu pres) cornme une poutre unique, precontrainte par un seu.1 cable allant de A en C, le diagramme theorique des isostatiques etant celui de la figure 4.3 ;

B Fig. 4.3 - Isostatique aprGs pricontrainte de BC


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l'effort du cible BC en B est tres inferieur a l'effort du cible AB en B. Dans ce cas, l'ancrage B ne peut pas se decoller de sa plaque d'ancrage et continue a transmettre au tronqon AB un effort d'ancrage egal a la difference des tensions en B entre les cibles AB et BC. L'allure du diagramme des isostatiques dans l'ensemble de la poutre est alors representee par la figure 4.4, avec une section B non precontrainte.

B

A

C

Fig. 4.4 - Isostatique avec fonctionnement dkfectueux du coupleur

Dans la realite, on se trouve dans une situation intermediaire. En effet, du fait des frottements (cf. chapitre VI), l'effort en B apporte par le cible BC reste inferieur a l'effort d'ancrage en B du cible AB. De plus, ce que nous venons de voir n'est vrai qu'a une certaine distance de la section B. En effet, la distribution des contraintes dans cette section est fortement perturbee par deux raisons principales : lors de la mise en tension du ciible AB, la section B se deforme. La distribution des contraintes n'est pas celle de la loi de Navier. Le beton du tronqon BC est donc coule sur une section gauchie ; lors de la mise en tension de BC, la section B de AB tend a redevenir plane et provoque une distorsion importante des isostatiques. Dans les cas e x t r k ~ e sla , distorsion des isostatiques est telle qu'elle peut provoquer une fissuration a la phipherie de la piece. La figure 4.5 donne l'allure des deformees de la section B, avant et apres mise en tension des cibles AB et BC ;

1ere mise en tension

Mise en tension de BC

Fig. 4.5 - Dkfomation de la section de couplage

les coupleurs et leur capot sont encombrants : le dianletre d'un capot pour un ciible 12T15S est de 20 cm pour une longueur depassant 1,20 m. La section de couplage est une section singuliere dans laquelle il y a peu de beton (elle est (( pleine de trous ))) et beaucoup d'acier (coupleurs, capots) . Chaque coupleur constitue un point dur qui contribue aussi a devier les isostatiques. A une certaine epoque (jusque vers 1975), on a utilise des coupleurs sans capot. L'ancrage B ne pouvait pas se deplacer par rapport au beton lors de la mise en tension de BC.

Dans un tel cas, il n'y a pas de precontrainte complete de la section de couplage qui peut alors se fissurer si la totalite de l'effort de prkcontrainte est necessaire pour resister aux efforts exterieurs. Compte tenu de ce qu.i precede, il y a lieu : d'eviter l'utilisation des coupleurs autant que faire se peut ; de n'utiliser que des coupleurs munis de capots etanches pour eviter que la laitance du beton ne penetre a l'interieur du capot ; de limiter a 50 % le nombre de clbles couples dans une mdme section ; de prevoir un fort ferraillage passif de la section de couplage. 3.5.2 Armatures de faible longueur Les armatures de faible longueur (1<10m) sont surtout utilisees pour realiser des etriers actifs, des fixations de bossages d'ancrages dans le cas de reparations, des brtlages provisoires sur chantiers.. . La mise en tension de ces armatures exige un soin tout particulier car tout defaut de calage a la mise en tension (rentree de canes ou de clavettes, mauvais accostage d'un ecrou par exemple) entraine des chutes importantes de tension. Considerons une armature de 3 m de long dont la rentree d'ancrage est de 6 rnm. La perte d'allongement relatif due a cette rentree d'ancrage est de 613000 = 2/1000. I1 en resulte une perte de tension de l'ordre de : Fop = 200000 x2 x 10'~= 400 MPa, soit environ 40 % de la tension utile de l'armature.

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Bkton prgcontraint aux Eurocodes

Ce phenomene est d'autant plus important que l'annature est plus courte. Ces problemes se posent surtout avec les ancrages a clavettes (le glissement est alors inherent au principe mEme de l'ancrage) et avec les ancrages de barres a vis et ecrou. Dans ce demier cas, le glissement est, en general, dii a un defaut d'alignenient de la barre et du verin par rapport a l'axe theorique de l'armature qui ne permet pas d'accoster l'ecrou au fond de son logement ; apres relachement du verin, l'ecrou se deplace transversalement provoquant ainsi la perte d'allongement 61.

/' .

L)

I Fig. 4.6 - Mauvais positionnement de I'gcrou

On peut pallier cet inconvenient par une deuxienie mise en tension. Dans le cas des monotorons ancres par clavettes, la deuxieme mise en tension provoque le decollement du c6ne femelle de sa plaque d'appui et on glisse des cales en acier sous le c6ne femelle. femelle que d'ancrage toron

clavette

Fig. 4.7 - Re-tension d'un monotoron

3.6 Dimensions des plaques d'ancrage

Les dimensions des plaques d'ancrage sont specifiques a chaque procede de precontrainte et precisees dans les fiches d'agrement.

Soit D la taille de la plaque, d la distance minimale entre axes des plaques et e la distance minimale entre l'axe de la plaque et le parement le plus proche. On peut retenir les ordres de grandeur suivants : 6 T13S 12T13S 12T15S

D (cm) d (cm) 15 20 2 0 a 2 5 25 a 30 25 a 3 0 30 a 35

e (cm) 10 a 15 15 a 2 0 20 a 2 5

Tableau 4.1 - Disposition des plaques d 'ancrage

Ces dimensions et l'encombrement des verins sont des parametres majeurs pour la conception de l'about des poutres, du nombre et du type de ciibles qu'il est possible d'y ancrer. I1 peut itre eventuellement necessaire d'epaissir les iimes des poutres aux extremites pour y loger les plaques d'ancrage.

4) GAINES Traditionnellement, les cdbles sont a l'interieur du beton. Pour permettre leur mise en tension, il est nkcessaire d'isoler les ciibles du beton, au moins provisoirement. Pour cela, les ciibles sont enfiles dans des gaines que l'on dispose dans les coffiages avant betonnage. Le positionnement de ces gaines dans l'espace est obtenu par fixation sur le ferraillage passif. L'attache des gaines a aussi pour fonction de resister a la poussee hydrostatique exercee par le beton fiais lors de son coulage. Ces gaines doivent presenter les qualites suivantes : elles doivent Ctre resistantes pour ne pas subir des deformations lors du betonnage (choc de vibrateur par exemple) ou pour ne pas ttre endommagees par le frottement du cdble lors de la mise en tension ; elles doivent ttre deformables pour permettre de realiser facilement des traces courbes ; elles doivent Ctre Ctanches pour empCcher toute penetration de laitance lors du betonnage, ce qu.i entraverait l'enfilage ulterieur des cdbles ; elles doivent &treadherentes au beton ;

50


elles doivent &re conques de sorte a limiter au maximum les frottements. 1

En pratique, on utilise deux types de gaines : les gaines h6licoidales : elles sont constituees par une bande de feuillard n~etalliqueformee a fioid, enroulee en helice et sertie. Leur forme crenelee leur permet d'assurer une bonne adherence au beton et le jeu permis par le sertissage leur donne assez de souplesse pour &re mises en forme a la main, afm de respecter le trace theorique des ciibles. Elles sont trempees au plomb, ce qui a pour effet de reduire les fiottements entre la gaine et le ciible. Enfm, elles sont conques de faqon telle qu'une gaine d'un diametre donne peut se visser soit par l'exterieur, soit par l'interieur, sur la gaine du diametre irnmediatement inferieur ou superieur. Ce type de gaine est de tres loin le plus utilise. Cependant, voulant repondre a toutes les exigences, il ne repond vraiment a aucune d'entre elles. I1 constitue le meilleur compromis possible vis-a-vis d'exigences contradictoires.

Photo 4.6 - Gaine hklicoi'dale

les gaines rigides : elles sont constituees de tubes lisses en acier qui peuvent etre cintres a froid a la machine. Les divers elements d'une meme gaine sont raboutes entre eux par des manchons filetes. I1 s'agit d'une solution luxueuse (son prix de revient est tres superieur a celui des gaines helicoidales) qui n'est utilisee que dans quelques cas particuliers :

- le rayon de courbure du trace de ciible est tres faible (inferieur a 6 m en ordre de grandeur),

1

I

-

on a besoin d'une etanchkite quasi parfaite parce que la structure est soumise a un milieu agressif (cas des structures offshore )) par exemple), on a besoin d'obtenir une prtcision d'execution a caractere exceptionnel (cas des structures particulieres telles que les ponts de tres grande portee, les enceintes de centrales nucleaires, etc).

Cornmencent aussi a apparaitre, en precontrainte interieure au beton, des gaines en materiau synthktique crenele.

Photo 4.7 - Gaine crgnelke en PEHD

Le diametre des gaines depend de la section d'acier du clble et de la nature de la gaine. On peut retenir les ordres de grandeur suivants :

6 T13S 12 T13S 12 T15S 19 Tl5S

Diametre interieur (rnm) 55 65 80 100

Tableau 4.2 - Diametve des gaines

Lorsqu'on injecte les gaines avec un coulis de ciment, le diametre inttrieur doit Ctre au rnoins Cgal 1,6 oii Ap est la section transversale du clble afin de garantir une qualite d'execution suffisante.

~4%


5) INJECTIONS Apres mise en tension du cdble, on injecte traditionnellement un coulis de ciment dans la gaine. Ce coulis a deux fonctions theoriques : 1) Proteger le cbble contre la corrosion en empechant l'eau et l'air de venir au contact du cdble et en creant, autour du cbble, un milieu basique lnhibiteur de la corrosion. L'experience niontre que l'injection au coulis de ciment remplit bien le r6le qui lui est assigne, mais c'est sa fonction d'mhibiteur qui est preponderante. En effet, le remplissage des gaines n'est jamais parfait e 3 meme s'il l'etait, le seul retrait du coulis (de l'ordre de 4x 10 ) est suffisant pour permettre les circulations d'eau. De ce point de vue, le r6le du cachetage des ancrages est preponderant.

2) Assurer une cc parfaite adherence )) du cdble au beton de la structure. La deuxieme condition est la consequence des deux idees principales suivantes : il faut empecher tout deplacement relatif du cdble par rapport au beton, de sorte a pouvoir obtenir, sous surcharges, un fonctionnement type beton arrne, ce qui permet en theorie de realiser une petite Cconomie de matiere. Cette condition est a peu pres realisee sous surcharges d'exploitation (avant fissuration), mais c'est le fiottement cdble sur gaine qui joue le r61e essentiel dans le non-deplacement du cdble par rapport au beton ; il faut limiter l'ouverture des fissures si les charges exterieures depassent celles qui ont ete prises en compte dans le calcul. Considerons un cdble parfaitement solidaire du beton de la structure par un phenomene &adherence de type beton arme. Si une charge exterieure provoque une fissuration du beton, cette fissuration sera de tres faible ouverture. En effet, pour une ouverture de fissure donnee, la surtension dans le cdble sera d'autant plus forte que sa longueur libre sera faible ; inversement, a variation d'effort donnee (donc a surtension donnee), l'ouverture de la fissure sera d'autant plus faible que la longueur libre est petite.

Technologie

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Pour illustrer, imaginons deux tirants de longueur 1 constitues d'un beton sans resistance a la traction. Dans le premier tirant, le ciible est solidaire du beton uniquen~enta ses extremites ; dans le second, le clble est parfaitement solidaire du beton tous les 1/10. Soit N l'effort maximal admissible avant traction du beton (N tel que oc = 0). N s'accroit ensuite de 6N. Dans le premier cas, le beton soumis a la traction se fissure. Cette fissuration annule toute contrainte dans le beton ; l'ouverture de la fissure est egale a l'allongement de l'acier, soit :

Dans le deuxieme cas, l'ouverture d'une premiere fissure, situee entre deux points de solidarisation du cable au beton, n'annule pas les contraintes dans le btton des autres tronqons. I1 se forme une fissure dans chaque tronqon. L'ouverture de chaque fissure est egale a l'allongement du ciible dans le tronqon considere, soit : 1 6N 6 1 = x 10 ApEp On a donc remplace une fissure par dix autres, d'ouverture dix fois plus faible, ce qui est btnefique vis-a-vis des risques de corrosion (l'eau a moins de chance de penetrer et l'effet inhibiteur du beton peut mieux s'e ffectuer). Par contre, une fissure tres fine (moins de 0,l mm) peut echapper au visiteur d'ouvrage, alors qu'une fissure plus ouverte a toutes les chances d'ttre reperee et de permettre ainsi au gestionnaire de prendre toute mesure conservatoire (limitation de tonnage par exemple). La formulation du coulis est etudiee soigneusement de faqon a eviter le ressuage et la segregation lors de l'injection. De plus, on utilise des coulis a prise retardee permettant des operations longues d'injection.

BPton pricontraint aux Eurocodes

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6) CACHETAGE Les ancrages des cables sont en general l o g b dans des encoclies afin que la face arriere de l'ancrage soit en retrait d'une dizaine de centimetres par rapport au parement exterieur. Cette encoche est bouchee avec un mortier de maniere a empecher toute entree d'eau a l'interieur des gaines. Pour Ctre efficaces, ces cachetages doivent etre realises avec beaucoup de soin et en utilisant des materiaux nobles (mortier a l'epoxy). I1 y a lieu, chaque fois que cela est possible, de disposer les ancrages dans des zones de la structure ou ils sont a l'abri des venues d'eau (interieur de caisson par exemple). On peut prevoir des dispositions constructives evitant le n~issellementde l'eau. Pour les structures importantes, les ancrages sont disposes sous des capots metalliques etanches qui sont injectes en meme temps que les gaines.

7.1 Rayons de courbure Pour assurer une resistance optimale aux efforts appliques, on est conduit a prevoir des tracb de cibles curvilignes (sauf a proximite immediate des ancrages ou des coupleurs ou le cible est rectiligne sur au moins 50 cm). I1 n'est pas possible de realiser des traces trop compliques prhentant des courbures trop fortes et ce pour deux raisons : les fiottenients des cables sur les gaines sont d'autant plus grands que la courbure est forte ; il faut limiter autant que possible la contrainte dans les fils sous l'effet des courbures. Considerons un fil de diametre 2r cintre suivant un rayon de courbure R. Cette courbure imposee cree, dans le fil, un moment flechissant M et donc une contrainte o sur les fibres extremes du fil :

I

l j

o=*-

Mxr I

Pour un fil de 8 mrn (r = 4 n m ) plie avec un rayon de courbure de 4 m, on obtient :

Cependant, cette contrainte se relaxe en grande partie au cours du temps. C'est pourquoi il n'en est pas tenu compte dans le calcul. De plus, les frottements reduisent la tension dans les zones de fortes courbures. Dans les cas courants, on limite les rayons de courbure aux valeurs minimales suivantes : filsde 7 nun R 2 5m fils de 8 mrnet torons de 13 mm R 2 6 m torons de 15 rnm R 2 8m

7.2 Groupement de clbles En principe, on n'admet pas de mettre des gaines juxtaposees. L'objectif est de perrnettre un betonnage optimal autour des gaines. On peut toutefois, sous reserve de precautions, admettre un groupement horizontal de deux gaines. Entre gaines, on doit respecter les distances suivantes :

Fig. 4.8 - Espacement des gaines

$ designe le diametre de la gaine et dg le diametre du plus gros granulat.

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Beton prkcontraint aux Eurocodes

8) ENROBAGES Pour assurer une bonne protection des gaines et des cdbles contre la corrosion, il est necessaire qu'ils soient isoles de l'atmosphere par une epaisseur suffisante de beton. En outre, il est de mauvaise construction de realiser une piece percee d'un trou dont le diametre est important par rapport a l'epaisseur de la piece. On provoque ainsi des deviations d'isostatiques qui peuvent engendrer des contraintes locales, plusieurs fois superieures a celles calculees en valeur moyenne sur la section nette. Ces deux raisons conduisent a limiter inferieurement l'epaisseur des pieces (bmes, hourdis...) a trois fois le diametre de la gaine.

Fig. 4.9 - ~ ~ a i s s e min u r imale des pieces prkcontraintes

Pour realiser un ouvrage sain, il est necessaire qu'il ne presente ni trou, ni defaut de betonnage tels que segregation, nids de cailloux... Pour cela, il faut que le beton et les vibreurs (sauf dans les cas oh la vibration s'effectue par des coffrages metalliques prevus a cet effet) puissent passer entre les coffrages, les gaines et le ferraillage passif. Dans les cas courants, on a a partir du coffrage :

1

2 cm d'emobage des aciers passifs ; 2 diametres d'aciers passifs (soit de 2 a 3,5 cm) ; 10 cm pour permettre le passage d'un vibreur. L'epaisseur minirnale constructive d'une bme comportant une gaine centree de diametre est donc au minimum de : min

=2~[2+10+(2a3.5)]+@

soit, pour une gaine de 8,s cm @our un cdble 12T15S), une epaisseur minimale d'environ 40 cm. I1 faut considerer les valeurs ci-dessus comme des ordres de grandeur, la difficulte de betonnage dependant d'autres parametres : nombre de gaines disposees dans le m&meplan vertical, hauteur de

1

la poutre ... On peut donc Ctre amene a prevoir des epaisseurs plus faibles ou plus fortes en fonction de chaque cas particulier.

1 I

/

LtEurocode fournit des rdgles tres detaillees pour les enrobages minimaux. Ces regles prennent notamment en compte le type d'exposition (risque de corrosion par carbonatation, par les sels de deverglapage, par l'eau de mer), 1e niveau d'exposition. On calcule d'abord un enrobage egal au diametre du clble (majore de 5 mrn si le plus gros granulat est de diametre superieur a 32 mm), avec une valeur minirnale comprise entre 20 et 50 rnm selon les conditions regnant autour de la piece en beton. Cette valeur est ensuite majoree de 10 mm pour tenir compte des tolerances de pose.

Depuis une vingtaine d'annees, la conception mCnie de la precontrainte a considerablement evolue a cause, en grande partie, des desordres survenus sur certains ouvrages et des reparations qui ont dfi Ctre realisees avec une technologie adaptee. La principale innovation consiste a disposer les ciibles non pas a l'interieur mais a l'extkrieur du beton. D'un point de vue theorique, une telle technologie presente les avantages et inconvenients suivants : Avantages : l'epaisseur des iimes n'est plus conditionnee par la presence des gaines ; les frottements sont tres faibles ; il est possible de remplacer un clble, soit parce qu'il est corrode, soit parce que sa puissance est insuffisante (evolution des surcharges) ; il est possible de surveiller facilement l'etat des ciibles.

le trace des ciibles est obligatoirement une ligne brisee et s'adapte donc moins bien aux efforts exterieurs ; la precontrainte n'est plus une ct force interne )) et peut donc provoquer le flambement de la structure ;

58

Bkton pvkconhaint aux Euvocodes

les ancrages sont excentres par rapport au plan moyen des pieces, ce qui engendre des efforts parasites importants ; les cdbles peuvent Ctre soumis a des phenomenes vibratoires qui peuvent, s'ils ne sont pas empCchb, provoquer leur rupture. Actuellement, le bilan global est positif pour les grands ouvrages, en particulier sur le plan de la qualitt des realisations. Du point de vue technologique, ce type de precontrainte a amene des developpements dans plusieurs domaines : gaines en polyethylene a haute densite raccordees par tliermofusion ; ancrages demontables ou retendables ; dispositifs particuliers anticorrosion : cdbles galvanises, injection des gaines a la cire petroliere injectee a chaud (preferee aux graisses pour des questions de stabilite du produit a teme) ; clbles composes de torons gaines proteges.

Sur certains chantiers, notamment en bdtiment, on recherche une forte industrialisation de la construction. Pamii les coniposants utilises, on trouve des armatures de precontrainte cr prCtes a l'emploi )).Le produit livre sur le chantier comprend : un toron ; une gaine de protection polyethylene souple ; une injection de la gaine par un produit souple de type cire petroliere.

On utilise alors des (( monotorons gaines proteges )). Ces monotorons peuvent aussi Ctre assembles pour former des cdbles servant a la precontrainte d'ouvrages importants. La gaine entourant 1' ensemble des torons est, dans ce cas, injectee au coulis de cimeiit.

Photo 4.8 - Monotoron gain P protkgk

MISE EN TENSION DES CABLES DANS LE SYSTEME BBR - B MCRACES 34. EM (mime m r y e que M, mus avec unc tttc d'ancragc cnfdable).

T i t e d'ancrage Trompette

2. Mise en tension

VCrln

------The de traction

3. Elrt fwl

*.

: *

.

Ancrages du systeme B B R B : Ancrages actifs

: mobile type hi ; enfile mobile type

EM, pour fil isole : type M I , raboute:

type R Ancrages passifs : concentre type fC. noye en eventail type F, pour fil isole type

FI.

BCton prkcontraint aux Eurocodes MIbt t N

1-kNSION DES CABLES DANS LE SYSTEME B B R - V ANCRAGE 7YPE B

I. Ancrqe dam Ic coffngt

-

2. Mise en tension

Ancrages du systeme BBR V Ancrages act& : ancrages mobiles type B : B 106, B 145, B 260 ancrages mobiles avec butee sur injection type J e t type N mimes ancrages pasifs que pour BBR B

TYPES DE Bt1HRt.S

BARRE NERVUREE

Gtissement de I'ecrou en mm

0.5

0.1

Barres nervurees

2.5

1

0.6

T -% -; -. . .,' ,

En reprlse de tenslon

2

, I

ancrage plaque

Barres lisses

. /

A la ire mlse en tension ancrage cloche

---

'

,

I

,

.

yE& 4----- - --

.

,

.

.

i 1 I sous reserve d'une course maxlmale de 60 mm.

' 2 ) cette longueur dolt

etre maloree si la course est suwrieure a

60 r n m

Bdton prdcontraint aux Eurocodes ANCRAGE 1 2 T 15 V

COUPE A-A

I Bande a'etancheite

Cotes en mm I ,

ENTR'AXE ET ENROB ACE (Cotes en cml

Btton prtcontraint aux Eurocodes

ANCRAGE A'D nC15 TORON GAINE

NOTA :

'

Trornplaque a deux etages

" Su~vantnature de I'acter de la lete d'ancrage

'

Tube d'or~glneavant evasement partiel

PROTEGE

"' Conforme a marque NF-PF applicable aux tubes polyethylene.

Annexe 0 - Groupe 4 - Applications industnelies. S r l e pression. Tubes en PE 80. PN 6.3, ivov aussi Annexe 2 Daraaaohe 6) Nc #identification . AFNOR NF 114 - Rev. ~'9-~anvt& 1'995.

Technologie COUPLEUR C' n K 15 UNITE T 15

- TROMPLAQUE

Joint d'efanchiite

SECTION S

15/ COUPLEUR C n K 15

UNITE T 15 - PLAQUE

Joint d'etancheiti

SECTION S

66

Beton pricontraint aux Eurocodes

ANCRAGE FlXE NE n C 15

x coupleur

Technologic

ENCOMBREMENT DES VERINS K

1

1

1:

835 mini

930 mini


ANCRAGE A' n K 15 UNITE T 15 - TROMPLAQLIE

A

B

C

D

71 ANCRAGE A n K 15 UNITE T 15 - PLAQUE

' Avec ploawe oxycoopee el kompefle b e .

E

F

G

H

I X J

T

Les trois materiaux utilises dans les structures en beton precontraint sont : le beton ; les armatures de precontrainte ; les armatures passives.

Le beton est un materiau compose de graviers, de sable, de ciment et d'eau ; il est souvent fabrique sur chantier. Ses caracteristiques physiques et mecaniques dependent de nombreux parametres : nature des constituants ; granulometrie ; dosage en ciment ; dosage en eau ; conditions de mise en oeuvre (vibration) ; conditions thermiques et hygrometriques lors de la prise et dans les premiers jours de durcissement. I1 n'est pas possible de fixer les caracteristiques du beton avec la meme precision et les memes exigences de tolerance que pour un acier. Cependant, les nombreuses etudes qui ont ete effectuees de par le monde ont permis de cerner et de quantifier le r61e des differents parametres et il est possible aujourd'hui, moyennant un minimum d'etudes, d'obtenir des betons de haute performance. Dans certaines regions, il est cependant necessaire d'importer des granulats. Nous n'evoquons ci-aprb que les proprietes des betons de qualite utilises dans les constructions en beton precontraint. La composition de ces betons peut, en premiere approximation, Stre definie de la fagon suivante :

70


ciment : CPA ou CPJ (resistance a la compression de la piite pure comprise entre 45 et 65 MPa), garanti sans chlore ; dosage 400 kg de ciment par metre cube ; granulats (environ 1200 kg/m3 de granulats 5/25) : - granulats roules siliceux ou calcaires de haute qualit& - diametre inferieur a 25 rnm, - forme sensiblement spherique, - proprete contrblee (moins de 2 % de poussiere, vase...) ; sable : sa proprete doit Ctre telle que (( l'equivalent de sable )) soit compris entre 80 % et 95 % . Un beton comprend environ 600 kg/m3de sable 015 ; granularite ttudiee de sorte a obtenir la compacite maxirnale ; dosage en eau voisin de 180 l/m3 ; eau pure (voisine de l'eau potable) ; elimination systematique des chlorures, des sulfates, des composes organiques, etc. En outre, des dispositions doivent etre prises a la mise en euvre pour obtenir un beton de bonne qualite : fabrication du beton a l'aide d'un malaxeur a axe horizontal ; mise en euvre par vibration (interne ou externe) ; coffiages etanches pour limiter au maximum les pertes de laitance ; cure systematique pendant le durcissement pour limiter le retrait ; traitement thermique (etuvage) autorise, mais strictement contrble pour limiter certaines consequences fiicheuses (fissuration, chute de resistance) ; emploi d'adjuvants strictement contrbles.

1.2.1 Resistance a la compression et a la traction La resistance des betons est, en France comrne dans de nombreux pays, defmie par la resistance caracteristique a la compression mesuree sur cylindre a 28 jours conformement aux prescriptions de la norme EN 206. Cette valeur est notee fck. Dans quelques pays (par exemple en Allemagne ou au Royaume Uni), on mesure cette resistance sur cube permettant d'obtenir la valeur de fckcube.

L'Eurocode definit des classes de resistance du beton par un couple de valeurs fck, fckcube. Un beton C40,50 possede une resistance caracteristique de 40 MPa sur cylindre et de 50 MPa sur cube. Les classes de 1'Eurocode vont du beton C 12,15 (non utilise en beton precontraint) a C50,60. Les classes de resistance superieure qui sont indiquees par 1'Eurocode jusqu'au beton C90, 105 relevent des betons a haute performance (BHP) evoques au paragraphe 1.3. Bien que la resistance continue de croitre au-dela de 28 jours (de 15 a 20 % a 90 jours), le supplement de resistance n'est pas pris en compte dans les calculs. Dans le cas, fiequent en beton precontraint, ou l'on met en charge le beton avant 28 jours, il faut definir une resistance caracteristique a (( j )) jours apres coulage du beton. Pour calculer fck('j) en fonction de l'bge j (exprime en jours) du beton, on peut utiliser l'expression suivante :

fck(j) = fck x e s = 0,2 pour les ciments a haute resistance et a durcissement rapide s = 0,25 pour les ciments normaux a durcissement rapide s = 0,38 pour les ciments a durcissement lent.

7

14

21

28

Fig. 5.1 - RPsistance aux jeunes riges d'un bQtonnormal

72

Btton prtconivaint aux Eurocodes

La resistance moyenne a la compression vaut fcm = fck + 8 MPa. Pour un beton de classe inferieure ou egale a C50,60, la resistance moyenne a la traction peut &treevaluee par la formule : fctm = 0,3 x (fck) 2 / 3 . Avec fck = 40 MPa, on obtient par exemple une resistance moyenne a la traction de 3,5 MPa. Les fractiles a 5 % et 95 % autour de cette resistance moyenne sont obtenus en la multipliant respectivement par 0,7 et 1,3 (soit 2,5 et 4,6 MPa pour un beton dont la resistance caracteristique fck est de 40 MPa). 1.2.2 Courbe contrainte-deformation La courbe coi~trainte-deformationd'un beton est tres differente de celle d'un materiau elastique. La figure 5.2 represente l'allure generale de cette courbe sous reserve que le processus de mesure permette d'imposer des deformations croissantes : la partie descendante de la courbe n'apparaissant pas si on mene l'experimentation en augmentant les contraintes. La courbe permet de distinguer deux caracteristiques : la resistance de la traction est tres faible (environ 1/15'"' de la resistance a la compression) ; de plus, les valeurs obtenues par des essais sont nettement plus dispersees que celles de la resistance a la compression ; la courbe contrainte-deformation se compose d'une partie sensiblement rectiligne dans la zone des faibles compressions, puis s'inflechit pour prendre une forme de type parabolique, passe par un maximum pour un raccourcissement voisin de 0,2 % ; ensuite, la courbe s'abaisse t r b legerement. Cet abaissement est dfi a l'apparition des premieres micro-fissures. La rupture a lieu pour un raccourcissement de 0,3 a 0,4 %.

Ma teriaux

Fig. 5.2 - Courbe contrainte-deformation du bkton

Cette courbe peut Ctre exprimee sous une forme analytique du type (loi de Sargin) : oc -fck

kq -q2 l+(k-Z)xq

avec: q = -

EC

E C ~

~ c l =deformation correspondant au sommet de la courbe (de l'ordre de 2,3 %O pour un beton de 40 MPa) k = 1 . 0 5 Ecmx~

Eel fcm

Dans cette derniere expression, Ecm represente le module d'elasticite secant pour une contrainte appliquee de 0,4 fcm. On peut utiliser la formule suivante : Ecm = 22000 x (fcm/10)~'~ avec Ecm et fcm exprimes en MPa. Pour la verification de la resistance des sections, on adopte des diagrarnmes contrainte - deformation simplifies.


74

Pour un beton traditionnel (fck 5 60 MPa), ce diagramme, cornme en beton arme, est de f o m e parabole-rectangle. Avant introduction de coefficients partiels de securite, il est defini par :

o c = fck pour ~ c 52 ECU = 3,5%0

fck

Fig. 5.3 - Loi rhiologique parabole-rectangle

Des expressions analogues, de type non parabolique, sont proposees par le reglement pour les betons a haute performance. 1.2.3 Retrait Au cours du temps, mime en l'absence de contrainte, une piece en beton subit un raccourcissement qu'on appelle le retrait. Cette contraction volumique additionne un retrait de sechage ~ c dti d a une evaporation de l'eau libre contenue dans le beton et un retrait endogene Eca. La valeur de ~ c dest fonction croissante des parametres suivants : teneur en eau du beton ; dosage en ciment et, en general, teneur en elen~entsfins, qui, toutes choses egales par ailleurs, sont lies a la quantite d'eau de gdchage necessaire a une bonne mise en oeuvre ;

secheresse de l'atrnosphere (une atmosphere seche provoque une evaporation rapide et une partie de l'eau n'a pas le temps de se combiner avec le ciment). On lirnite la dessiccation des betons en procedant a la ct cure )) (arrosage des betons pendant leur durcissement) ; minceur des pieces (plus une piece est mince, plus l'evaporation de l'eau est rapide). On peut retenir les ordres de grandeur suivants du retrait final par sechage du beton : Humidit6 relative 40 % 80 %

-

Resistance du beton (MPa) 40 80 0,48 %o 0,31 %o 0,25 %o

0,16 %o

Tableau 5.1 - Dbfomation par retrait de sichage

Le retrait endogene Eca (en %o)en est evalue au temps infmi par la formule :

Les valeurs de ~ c et d Eca indiquees ci-dessus representent le retrait total entre le coulage du beton et un temps infini. L'Eurocode propose des formules permettant le calcul du retrait en fonction du temps et de la minceur des pieces (cf. chapitre VI). 1.2.4 Fluage Si l'on charge une eprouvette en maintenant constant le chargement pendant une longue duree, on constate une deformation instantanee lors de l'application de la charge puis, au cours du temps, un accroissement de la deformation qui se stabilise au bout d'une periode comprise entre 3 et 5 ans. La valeur de la deformation differee depend de divers parametres (composition du beton, ige du beton lors de la mise en charge, valeur de la contrainte appliquee). Dans les cas courants, elle est voisine de deux fois la deformation instantanee. La deformation totale est donc environ trois fois la deformation instantanee.

B Pton prPcon traint aux Eurocodes

76

r

Fig. 5.4 - DPformation d i f f P e par jluage du bPton

Sauf dans certains cas (ponts construits par encorbellements successifs par exemple), seules les deformations instantanees et finales interessent le projeteur : la deformation instantanee est celle que l'on observe lors de l'application des charges (permanentes ou de courte duree d'application) ; la deformation differee est celle que l'on observe au bout de 3 a 5 ans sous l'action des charges permanentes. Par convention, une charge est consideree comme instantanee (donc ne provoquant pas de deformation differee) si sa duree d'application est inferieure a 24 heures. Pour la cornmodite des calculs, on admet que le beton se comporte comme un materiau elastique possedant deux modules d'elasticite : un module instantane decrit par le module secant Ecm (t) ; un module differe Ev (t). Pour un beton charge a l'instant to, on exprirne le fluage a l'instant t par : 1 1 O(t, to) -tE, (t) Ecm(to) Ecm(to)

Si une tres grande precision n'est pas exigee, et pour des taux lirnites de compression du beton, on peut se contenter de definir $(-,to) a partir du tableau 5.2 ci-apres : Age to du bet011 au chargement (jours)

Rayon moyen = 2 A c N (rnm) 50 1 150 1 600 ( 50 1 150 1 600 atmosphere humide atmosphere seche inttrieure) (k&k;r$ = 50 % I

I

kH

Tableau 5.2 - Coeflcient defluage a t

=

-

En cas de besoin (calcul des grands ouvrages construits par phases), le calcul du fluage prend en con-pte : une reponse non proportionnelle au chargement ; une vitesse de fluage qui depend : - de la composition du beton, - de l'hygrometrie an-biante, - des dimensions de la piece, - du taux d'armatures adherentes ; l'histoire du chargement (et du dechargement du beton) en adoptant souvent a cet effet le principe de superposition. 1.2.5 Masse volumique Sauf cas exceptionnel tel que l'utilisation de beton leger ou une densite d'armatures particulierement elevee, le poids volumique du beton est pris egal a 0,0245 MNlm3, soit une densite de 2,5. Le volume est calcule a partir de la section brute des poutres, c'est-adire sans tenir compte de la presence ni des armatures, ni des gaines qui sont, de toute faqon, generalement remplies de coulis d'injection. 1.2.6 Coefficient de dilatation thermique Pour evaluer les efforts et deformations lies aux variations thermiques, on prend en compte un coefficient de dilatation de 10 x K-I.

78


1.2.7 Coefficient de Poisson Le coefficient de Poisson du beton non fissure est de 0,2. Lorsque le beton est fissure, ce coefficient est ramene a 0.

1.3 Betons a haute performance Depuis le debut des annees 80, des progres considerables ont ete accomplis pour ameliorer notablement les caracteristiques mecaniques des betons. On sait, moyennant des formulations adaptees, des contrbles et un suivi de chantier rigoureux, fabriquer de faqon presque courant des betons a haute performance (BHP) dont les resistances normalisees sur cylindre atteignent de l'ordre de 80 MPa. On peut pousser les caracteristiques vers des betons dits a tres haute performance (BTHP) de 120 MPa et au-dela. Par rapport aux betons traditionnels, ces gains de resistances mecaniques necessitent la mise en auvre de trois idees de base : reduire la presence d'eau au strict minimum necessaire a l'hydratation du ciment contenu dans le beton. La perte d'ouvrabilite doit alors &trecompensee par l'emploi d'adjuvants destines a fluidifier le melange a l'etat frais ; maitriser la floculation. La presence d'agglomerats de grains de ciment impose une augmentation de la quantite d'eau, ce qui vient contrarier l'objectif precedent. L'utilisation de produits superplastifiants (defloculants) permettent de mieux repartir les grains de ciment et de limiter la teneur en eau ; optimiser le melange granulaire de faqon a ameliorer sa compacite et la resistance. Ceci est obtenu en ajoutant des particules plus fines que les grains de ciment, notarnment des fbmees de silice qui, de plus, ameliorent la fluidite du melange frais. Pour fabriquer, sur chantier, un beton de 80 MPa de resistance a 28 jours, on a utilise les elements de formulation suivants : CimentCEMI52,5CP2:450kg Fumees de silice : 10 % du poids de ciment EIC=0,3 Superplastifiant HP : 1,7 % Retardateur 0,4 % Superplastifiant THP : 1,2 %.

Avec l'augmentation de la resistance a la compression du beton, le comportement rheologique d'ensemble doit etre adopte, avec notamrnent un module d'Young et un retrait endogene plus eleve. Ce type de beton ne presente naturellement un interet que si la conception des ouvrages ou le mode de construction utilise ces caracteristiques ameliorees. C'est le cas par exemple des ouvrages a precontrainte extbieure pour lesquels le concepteur n'est plus tenu de respecter des epaisseurs constructives minimales. Pour obtenir des g a m e s de rbistance encore plus elevee (on parle alors de BFUP), on fait appel a des betons de fibres. Ce type d'utilisation reste encore du domaine du developpement.

Sous forme de fils, de torons ou de barres, elles sont en acier a haute limite elastique. L'utilisation d'autres materiaux n'en est qu'au stade de la recherche pour des problemes de coGt et de difficulte d'ancrage. On a essaye notamment la fibre de verre (quelques realisations experimentales en Allemagne), le Kevlar ou la fibre de carbone. Les caractQistiques de l'acier relevent de la norme EN 10138.

Les aciers de precontrainte ne presentent pas de veritable palier plastique (cf. figure 5.5). La valeur caracteristique de ~ p est u de l'ordre de 20 %o. L'absence de palier plastique ne permet pas de definir une veritable limite elastique ; aussi est-elle definie de faqon conventionnelle cornrne le point d'intersection de la courbe contrainte-deformation et d'une droite parallele a la droite elastique (de pente Ep) dkcalee de 0,l %.


Fig. 5.5 - Loi contrainte-dkformation d'un acier de prkcontrainte

Les aciers courants utilises pour la precontrainte ont les resistances suivantes : 1400 MPa I fpO.lk I 1600 MPa 1600 MPa I fpk I 1900 MPa La commission d'agrement des armatures de precontrainte a defmi des classes en fonction de fpk et des sous-classes d'armatures. Chaque classe correspond a un couple de valeurs garanties (limite elastique et contrainte de rupture). Les sous-classes correspondent a des valeurs differentes de la relaxation mesuree a 1000 et 3000 heures (cf. paragraphe 2.3). Les barres de precontrainte ont des caracteristiques generalement plus faibles (fpk de 1000 a 1200 MPa). L'Eurocode utilise u.n vocabulaire qui n'est pas compatible avec celui utilise pour l'agrement des armatures de precontrainte. Les classes y sont definies par rapport a l'importance de la relaxation des aciers. 2.2 Module d161asticit6 2.2.1 Module reel Tous les aciers, quelle que soit leur resistance, ont pratiquement le m8me module d'elasticite soit, en moyenne, autour de 200000 MPa. La valeur exacte depend du traitement que connait l'acier au moment

de sa fabrication. Seuls les aciers fortement allies, tels que les aciers inoxydables, ont des modules legerement differents.

2.2.2 Module apparent Si l'on trace la courbe traction-allongement d'un toron, on s'aperqoit que la pente de la partie lineaire du diagramme est inferieure au module de l'acier. Ce phenomene s'explique en considerant que l'allongement d'un toron est la somrne de trois allongements : un allongement elastique 61 = o x 1 / Ep ; une deformation due a l'augrnentation du pas de clblage (ce phenomene est reversible) ; un allongement lie a la iimise en place des fils )) qui se traduit par un resserrement des fils externes autour du fil d'dme. Ce phenomene n'est pas reversible (apres plusieurs mises en tension successives, on constate que le module apparent augmente pour se stabiliser a une valeur toujours inferieure a celle l'acier constituant le toron). Le module apparent depend essentiellement du pas de clblage ; il vaut a peu pres 195000 MPa pour des torons. Lors de la mise en tension de cdbles composes de plusieurs fils ou de plusieurs torons, on constate un phenomene analogue. Le module apparent de deformation du clble est inferieur a celui de ces elements constitutifs (fils ou torons). Ce phenomene est dii essentiellement aux raisons suivantes : lors de l'enfilage, la premiere armature (fil ou toron) prend le chemin le plus court ; elle tend a se plaquer a l'interieur de chaque courbe. Les autres sont obligees progressivement de suivre des chemins de plus en plus longs. De plus, lorsque le clble presente plusieurs deviations dans des plans differei~ts, chaque armature a tendance a s'enrouler autour des precedentes ; lors de la mise en tension de l'ensemble, l'allongement mesure est la sornrne de l'allongement elastique et de ceux dus a la reprise du mou de certaines armatures et au resserrement des armatures les unes contre les autres. Le clble se comporte cornrne un toron a tres grand pas de clblage. I1 n'est pas possible de fixer de faqon precise le module apparent d'un clble, qui depend des parametres suivants :

82


trace du cdble ; nombre d'armatures constituant un cdble ; mode d'enfilage des cdbles ; qualite d'execution. Pour les calculs et a dkfaut de valeurs precises donnees par le fournisseur, on adopte les valeurs suivantes qui ne sont que des ordres de grandeur : barresou fils torons

Ep=205000MPa Ep = 195000 MPa.

2.3 Relaxation

Lorsque l'on tend un fil d'acier a une contrainte elevee, la longueur du fil etant maintenue constante, on remarque, au cours du temps, une diminution de la contrainte dans l'armature. Cette perte de tension, appelee relaxation, depend essentiellement de trois parametres : la qualit6 intrinseque de l'acier. Certains traitements thermiques dits de stabilisation permettent de reduire la valeur de la relaxation ; la tension initiale de l'armature. La relaxation reste faible tant que la contrainte est inferieure a 60 % de la limite elastique. Elle croft ensuite en fonction de la contrainte initiale ; la temperature. I1 s'agit d'un parametre t r b important a prendre notamment en compte pour l'injection des gaines par de la cire, operation qui s'effectue a chaud. Les caracteristiques du comportement en relaxation des armatures de precontrainte sont fournies par le producteur. Le taux de relaxation plOOO est mesure a 1000 h dans des conditions normalisCes d'essai (norme ENl10138). La perte de contrainte par relaxation (en valeur absolue) en fonction du temps t exprime en heures est de la forme :

ou opi est la contrainte initiale p = opilfpk p1000 est le taux de relaxation exprime en %.

Matbriaux

Les parametres k l et k2 dependent de la classe des armatures.

classe 1 fils ou torons ordinaires classe 2 fils ou torons a basse relaxation classe 3 barres

plOOO

kl

k2

8%

5,39

6,7

2,5 % 0,66

9,l

1,98

8

4%

Tableau 5.3 - Parametres des fomules de relaxation

Les valeurs de plOOO indiquees dans le tableau ci-dessus sont des ordres de grandeur. Le fournisseur indique le taux de relaxation correspondant aux armatures. Pour les structures importantes, on utilise presque exclusivement des aciers de classe 2 (torons ou fils a basse relaxation).

2.4 Corrosion Les aciers de precontrainte peuvent subir une forme de corrosion particulibe dite (( fissurante )). Ce type de corrosion ne se produit que sur des aciers soumis a de fortes contraintes de traction. Elle se manifeste par la formation d'une fissure perpendiculaire a la direction des contraintes. Lorsque cette fissure a atteint environ 10 % de la section du fil, on observe une rupture brutale sans aucune striction. Cette forme est tres difficile a detecter (la fissure est pratiquement invisible avant rupture). La rupture se produit pour un effort bien inferieur a celui de la rupture theorique : un fil tendu 0,5 fois son effort de rupture se casse lorsque la fissure atteint entre 5 et 10 % de la section du fil. Ce phenomene de corrosion est encore ma1 explique sur le plan metallurgique. On sait simplement que : les aciers contenant des impuretes (des inclusions de cuivre en particulier) sont tres sensibles ; plus la tension d'un acier est forte et plus le risque est grand ; plus l'atmosphere est agressive et plus le risque est grand ; il semble que l'hydrogene naissant favorise la corrosion fissurante (d'ou l'interdiction de certains plastifiants). Le nombre de ruptures constatees sur des ouvrages en service est quasi nu1 (sauf dans le cas particulier des ponts suspendus et de


84

certains ponts de type VIPP a poutres isostatiques precontraintes construits dans les annees 50). Ceci est vraisemblablement dfi a la tres grande purete chimique des aciers utilises en France.

2.5 Fatigue Si l'on soumet un acier a des variations de contrainte (entre omin et omax), on constate, au bout d'un grand nombre de cycles, une rupture de cet acier sans que la contrainte de rupture n'ait jamais ete atteinte. Ce phenomene est connu sous le nom de fatigue. I1 est encore assez ma1 connu sur le plan theorique, mais on peut determiner experimentalement les parametres qui intervieiment dans la rupture. Le nombre moyen de cycles necessaires pour obtenir la rupture sera d'autant plus petit que la variation de contrainte est grande et que la contrainte moyenne est elevee. I1 existe un grand nombre de representations de ces phenomenes, generalement tracees en imposant un des parametres. Les etudes experimentales realisees par Woehler ont permis de tracer des courbes qui donnent la variation de contrainte admissible en fonction du nombre de cycles et de la contrainte moyenne. La courbe de Woehler correspondaiit aux aciers de precontrainte supposes tendus en valeur moyenne a 0,75 fois la limite elastique de l'acier a l'allure indiquke par la figure 5.6. I1 s'agit bien entendu d'un resultat statistique obtenu apres des essais realises sur un grand nombre d'echantillons. MPa)

I

millions de cycles

Fig. 5.6 - Rgsistance a la fatigue des aciers de prkcontrainte

Le risque de fatigue est pratiquement nu1 tant que 6op < 100 MPa, ce qui correspond au cas du beton precontraint non fissure.

A defaut de donnees experimentales, 1'Eurocode propose de modeliser les courbes S-N d'endornmagement par fatigue par des portions d'exponentielles de la forme : N < N* (do)k1 .N = constante ~ ~ N > N* ( ~ 0.N)= constante Les parametres numeriques de ces formules sont donnes par le tableau 5.4 :

1

Courbe S-N de l'acier de precontrainte utilise pour

Exposant de Ao ( m a ) la contrainte avec N =

1 10'

I Precontrainte par pre-tension

5

1

9

1

185

1 1

Precontrainte par post-tension : 1o6

5

9

185

gaine lo6

5

10

150

1o6

5

7

120

- monotorons sous gaine plastique

- cbbles

courbes sous plastique et cbbles droits

- cbbles courbes sous gaine d'acier

,

Tableau 5.4 - Paramdtres des courbes S-N de l'acier de precontrainte

3) ARMATURES PASSIVES Les caracteristiques mecaniques principales, precisees par la norme EN 10080, des armatures passives sont : sa lirnite elastique caracteristique fyk, generalement de 500 MPa. Si la lirnite d'elasticite n'est pas fortement prononcee, cette valeur est remplacee par fc0.2k d'allongement remanent a 0,2 % ; un module d'elasticite Es de 200000 MPa ; des proprietes d'adherence et d'ancrage ;

86

Beton precontraint aux Eurocodes

un coefficient de dilatation them~iquede 12 x K-' (pour les calculs, on peut, sauf cas exceptionnel, prendre la m&me valeur que pour le beton) ; une resistance suffisante a la fatigue (variation de contrainte de 100 a 150 MPa pour deux millions de cycles) ; une ductilite suffisante correspondant a la deformation sous contrainte maximale ; les trois classes de ductilite sont defmies a partir de deformations de 2,5 %o,5 %O et 7,5 %O sous la contrainte maximale. I1 est possible de modeliser la loi contrainte-deformation des armatures passives par une loi bi-lineaire avec un palier plastique horizontal limite par une deformation de 10 %O (cf. chapitre VIII).

La tension d'une armature de precontrainte en un point et a un instant donne est differente de la tension appliquee au cbble par le verin lors de sa mise en euvre. En effet, se superposent des phenomenes (( instantanes )) de pertes de precontrainte et des phenomenes differes ne se stabilisant qu'au bout d'un temps theoriquement infini : lors de la mise en tension, les pertes sont dues : - aux frottements du cbble sur sa gaine, - au tassement des ancrages, - a la non-simultaneite des mises en tension des differentes familles de cbbles, - a l'activation des charges permanentes pendant les phases de construction ; au cours du temps, s'y ajoutent les effets : - du retrait du beton, - de relaxation des aciers, - du fluage du beton. Les pertes de precontrainte sont calculees avec de tres nombreuses approximations. I1 est donc inutile de chercher une grande precision avec beaucoup de chiffres significatifs.

Dans u11 cbble, la tension est maximale au moment de la mise en tension au niveau des verins. L'Eurocode linlite cette tension au verin au minimum de 0,8 fpk et 0'9 fp0.lk. Les problemes de resistance du cbble sous charges reelles ne peuvent (normalement !) se poser qu'a ce moment. Ceci justifie notarnment le fait qu'il n'y a pas, en service sous surcharge variable, de verification explicite de la resistance du cbble.


88

La tension dans les cables apres ancrage est, en outre, limitee a la plus petite des deux valeurs 0,75 fpk et 0,85 fpO. lk 2.1 Frottements 2.1.1 Frottements en courbe Lors de la mise en tension, le cdble se plaque contre la generatrice interieure de la gaine dans les parties courbes de son trace (le cdble tend a se mettre en ligne droite).

Fig. 6.1 - Position relative du ccible et de la gaine

Du fait du deplacement du cdble sous l'action du verin, se produit un frottement entre le cdble et la gaine qui reduit la tension dans le cdble a partir de son ancrage. Une partie de l'effort P exerce par le verin est equilibree par les fiottements entre A et B et entre C et D et n'est donc pas transmise a l'extremite du cdble. Considerons un tronqon courbe de rayon r et d'angle au centre d a (cf. figure 6.2). Soit p le coefficient de frottement du cdble sur la gaine. P est la tension dans le cdble a cc l'entree )) de la partie courbe. Par projection, sur deux directions perpendiculaires, du bilan des efforts sur le cdble, on demontre que le cdble exerce sur sa gaine une contrainte radiale p = P/r par unite de longueur et une force elementaire de frottement par unite de longueur t = pp = p x P/r. A l'extremite du tronqon, les frottements de la gaine sur le cdble auront equilibre un effort dP tel que dP = -pP x da.

La solution de cette equation differentielle est :

ou Po represente la tension a l'origine de la courbure et P(a) la tension en un point quelconque situe sur le trace a une deviation angulaire a a partir de l'origine.

Pertes de prtcontrainte

Fig. 6.2 - Frottement et rkaction en courbe

L'angle a , en un point donne du ciible, est la deviation angulaire totale de la tangente au cible. I1 est independant de la forme exacte du trace entre l'origine et le point donne, sous reserve de l'absence de pomts d'inflexion intermediaires. Le calcul de a n'irnpose donc pas un trace circulaire. En pratique, si le trace est defmi par une fonction analytique, on calcule a a partir de la derivee de l'equation du trace du ciible. Si le ciible presente des courbes et des contre-courbes, a represente la somme arithmetique des deviations.

Fig. 6.3 - Dtviations successives

Bkton pvkcontraint aux Eurocodes

L'effort en B s'ecrit :

Dans le cas ou le clble presente des courbures successives dans deux plans differents, a represente la sonme arithrnetique des deviations dans les deux plans entre l'origine du clble et le point oh l'on calcule la tension. Si le trace du clble est constitue d'une courbe gauche, on peut calculer a comme la somrne des deviations a x et a y obtenues en projetant la courbe gauche sur deux plans perpendiculaires ; cette methode revient en realite a surestimer legerement la deviation reelle a dans l'espace, et donc a majorer les pertes.

2.1.2 Deviations parasites Dans les zones ou la gaine est rectiligne, il n'y a, en theorie, aucun contact entre le clble et sa gaine, donc aucun frottement. En pratique, une gaine n'est jamais rigoureusement droite ; elle presente des festonnages plus ou moins marques selon la qualite de l'execution. Son trace reel est voisin du trace ci-apres :

Fig. 6.4 - Track vkel des gaines

Le clble frotte sur la gaine au droit de chaque point de contact parasite. Soit k la sornme arithrnetique des deviations angulaires supplementaires par metre de longueur de gaine :

La tension P dans une portion rectiligne du clble, calculee a une longueur x a partir de l'origine, s'ecrit :

Pertes de prkcon trainte

91

Mtme dans les parties courbes, le trace du cdble peut, du fait des imprecisions de construction, s'ecarter du trace theorique ; dans ces zones, il existe des deviations et des fiottements parasites supplementaires. La deviation angulaire a est determinee par le trace du cdble defmi par le projeteur. Les deviations parasites representees par k sont aleatoires et dependent essentiellement de la nature et de la taille de l'armature du type de gaine (plus la gaine est rigide et plus k est petit), du soin apporte a l'execution, de l'intensite de la vibration lors du betonnage ... La tension P d'un cdble en un point quelconque de son trace s'exprime fmalement en fonction de la tension a l'ancrage par la forrnule :

x = abscisse de la section oh l'on calcule P. En theorie, il s'agit de l'abscisse curviligne le long du ciible ; en pratique, on se contente de l'abscisse le long de l'axe longitudinal de la poutre (que la geometric theorique du cdble soit rectiligne ou pas).

A defaut de valeurs plus precises, on peut retenir pour un cdble forme de torons :

En general, yx(a+kx) est faible ; la variation de la tension dans le cdble est une fonction quasi lineaire de l'abscisse. Estirnees lors des phases de projet, les valeurs de y et k peuvent &re contr6lCes lors de l'execution. I1 s'agit en realite d'une vkrification globale a l'echelle de la poutre. Pendant la mise en tension, on mesure d'une part l'allongenient du cdble (recul du verin) en fonction de la force appliquke au verin, d'autre part la force residuelle a l'extremite passive d'un cdble tendu d'un seul cBte (mesure du coefficient de transmission). Avec un nombre suffisant de cdbles de traces differents, la mesure du coefficient de transmission permet de determiner des valeurs convenables, au sens statistique, des parametres y et k.

Bbton prbcontraint aux Eurocodes

2.1.3 Tension d'un cible par ses 2 extremitb Si le cible est tendu par ses deux extremitb, il existe un point dans la zone centrale qui ne subit aucun deplacement. A cet endroit, les tensions s'equilibrent de part et d'autre. Dans le cas frequent ou le trace du cible est symetrique, ce point est situe a mi-longueur. Dans le cas contraire, il est situe a une abscisse telle que les pertes a gauche soient egales aux pertes a droite (les efforts de traction aux verins sont supposb egaux). 2.1.4 Exemple On considere le cible dont le trace est defmi par deux segments rectilignes de 1 m de longueur derrike chaque ancrage, deux raccordements paraboliques et une partie rectiligne horizontale proche de la fibre inferieure de la poutre (cf. figure 6.5).

.

.

Fig. 6.5 - Gbombtrie du ccible

On se propose de determiner la valeur de la tension tout au long du cible avec les hypotheses numeriques suivantes :

a) Force de tension en B (xb = 1) :

b) Force de tension en C (xc = 7) :

Pertes de pricontrain te

c) Force de tension en B' (xb' = 1 depuis l'ancrage droit) :

d) Force de tension en C' (xc' = 6 depuis l'ancrage droit) : PC! = P o x e - P ( ~ XC') ~ +=~729,7 kN e) Position du point fixe D : En D, on doit avoir : PD = P o x e -p(al+k xd)

-

o x e --p(a2+k(1-xd))

Le diagramme des forces de tension apres pertes par frottement dans le ciible a l'allure du diagramme ci-dessous. Ce diagramme est represente sous la forme d'une ligne brisee avec un minimum au niveau du point fixe. La tension aux deux extremites est, par hypothese, egale a la tension initiale aux verins.

Fig. 6.6 - Force dans le crible aprGs.frottenzent

Biton pricontraint a m Eurocodes

2.2 Recul d'ancrage 2.2.1 Formulation Lors du transfert de l'effort de tension du verin a l'ancrage, il se produit un leger mouvement du cdble vers le beton ; ce mouvement depend du type d'ancrage utilise. I1 peut Stre pratiquement nu1 (cas des ancrages vis-ecrou bien centres), negligeable (raccourcissement elastique et leger defaut de calage des ancrages type BBR), ou important (cas des ancrages a coincement conique). Le deplacement g du cdble vers l'interieur de la gaine est gent par les forces de frottement avec celle-ci. A une distance X, la somme des efforts de frottement equilibre la perte de tension due au glissement du cable et il n'y a plus de deplacement de l'armature par rapport a sa gaine. Le tassement d'ancrage ne produit pas de perte de tension audela de la section situee a l'abscisse X. Le frottement cdblelgaine est symetrique : on a la m&meperte par frottement que le cdble se deplace de gauche a droite ou de droite a gauche. Si on admet que les variations de la precontrainte sont lineaires en x, les diagrammes des contraintes dans l'acier, avant et apres tassement d'ancrage, sont represent& par des droites symetriques par rapport a une parallele a l'axe des x. On peut aussi porter en ordomees non plus la tension mais la force dans un ciible ou dans l'ensemble des cdbles en multipliant la contrainte par la section d'acier appropriee.

apres recul I d'ancrage i

Fig. 6.7 - Effet ddn recul d'ancrage

95


En l'absence d'hypothese sur la forme lineaire des courbes, on serait amene a manipuler des fonctions au moins hyperboliques, ce qui alourdirait considerablement les calculs avec une precision finale totalement illusoire. Lors du tassement d'ancrage, un elemeilt de ciible de longueur dx se raccourcit de Wdx). On admet que le comportement de l'acier est elastique et suit la loi de Hook. La perte de contrainte le long de cet element, du fait du recul d'ancrage, a pour valeur :

ou Ap est la section du ciible et SP l'ecart entre la force avant et apres recul d'ancrage. Or, on a evidernment :

1 X

Donc : g =

1 APEP

x

0

X

SP x dx ou encore

g ~ p =~~ pS xPdx 0

L'integrale ci-dessus represente l'aire comprise entre les deux diagrammes de force, avant et apres tassement d'ancrage.


Fig. 6.8 - Dktemination de la longueur intkresske par le recul d'ancrage

Le calcul de X et des tensions dans le cdble s'effectue donc en ecrivant : que les diagrarnmes sont symetriques par rapport a un axe horizontal ; que l'aire comprise entre ces diagrammes est egale a gApEp (ou a gEp si on effectue le calcul en contraintes et non en forces). En general, le trace d'un cdble est compose d'une suite &elements rectilignes et &elements courbes ; le diagramme linearise des tensions, avant blocage de l'ancrage, est donc constitue d'une suite de droites de pentes variables. Pour faire le calcul des pertes par tassement d'ancrage, il faut savoir dans quelle zone se trouve l'abscisse X, qui peut, dans la figure 6.9, Ctre soit entre A et B, soit entre B et C, soit au-dela de C.

Fig. 6.9 - Zones intkresskes par le recul d'ancrage

Pertes de pr6contrain te

97

La methode la plus simple consiste a comparer successivement gApEp aux aires ABA', ABCB'A" ... On determine de cette faqon le tronqon ou se trouve le point X. Par exemple, si X est compris entre B et C, on a : Aire ABA' < gApEp < Aire ABCB'A" 2.2.2 Exemple Le ciible etudie precedemment a une section de 603 mrn2 et il subit un tassement d'ancrage de 5 mm.

Fig. 6.10 - Calcul des surfaces partielles

g = 0,005 m Ap = 603 x 10 "m2 Ep = 200000 MPa (valeur indiquee par le fournisseur) Determination de la zone contenant le point X : Aire ABA' = 800 - 798,4 = 1,6 kN 1,6 < gApEp = 603 kNm L'aire de ABA' est inferieure a gApEp. Donc X est situe au-dela du point B. Aire ABCB'A" = (1) + (2) + (3)


Fig. 6.11 - Calcul de 1 'aireABCB 'A'

(1) = 800 - 798,4 = 1,6 kNm (2) = (798,4 - 721) x 6 = 464,5 kNm (3) = 2 x (798,4 - 72 1) = 154,8 kNm (1) + (2) + (3) = 620,9 kNm 620,9 > gApEp = 603 kNm donc X est compris entre B et C.

Fig. 6.12 - Recul colnpris entre B et C

Pour le calcul de X , posons Y = X - 1 (Y = distance du point fixe E par rapport a B B'). On peut ecrire :

Pertes de prkcontrainte

Les aires (I), (2) et (3) ont pour valeurs (en kN) :

En egalant la surface totale a gApEp, on obtient :

Cette equation du deuxieme degre n'a qu'une racine positive. On obtient donc Y = 5,234 ni et on en deduit :

2.2.3 Tension d'un cible par ses deux extremites I1 peut arriver que la perte par tassement d'ancrage se fasse sentir audela du point fixe du cible dans le cas d'une mise en tension par les deux extremites (milieu du cible si son trace est symetrique). Ce phenomene se produit lorsque les frottements sont faibles et que le tassement d'ancrage est important, par exemple pour les ancrages a coincement conique. C'est, par exemple, le cas des cgbles transversaux qui assurent la precontrainte d'un hourdis de pont. Dans cette hypothese, il y a interet a tendre les cgbles par extremite, l'extremite active etant alternativement a gauche si on a des cibles multiples.

100


Exemple : Soit un cdble symetrique de 20 m de longueur, dont le trace est compose d'une parabole unique et defmi sur la figure 6.13. Le cdble, de Ap = 603 mm2 de section, apportant une force PA a l'ancrage de 800 kN, a les caracteristiques suivantes : p = 0,2 rd-', k = 0,01 rdlm-', g = 10 mm.

Fig. 6.13 - Poutre prtcontrainte par un ccible parabolique

1) Le cdble est tendu par ses deux extremites Le cdble etant symetrique, le point fixe C est au milieu (x = 10 m). On a :

Pour x = 10 m et a= 0,3 rd, on obtient :

Avant tassement d'ancrage, le diagramme des tensions est le suivant, en supposant une variation lineaire entre les ancrages et la mitravee :

I

Fig. 6.14 - Schtma linkarist de la force dans le ccible

101

Pertes de precontrainte

Le clble etant tendu par ses extremites, les tassements d'ancrage ne peuvent se faire sentir au-dell du point C. Deux cas peuvent se presenter : Le tassement de A ne se fait pas sentir au point C. : avant recul

d'ancrage

Fig. 6.15 - Effet d'unfaib le recul

Le tassement (( veut )) se faire sentir au-dela de C, ce qui est impossible compte tenu de la symetrie de la poutre, du clble et de la mise en oeuvre.

Fig. 6.16 - Effet d dn recul important

Pour determiner l'hypothese a retenir il faut cornparer la valeur de gApEp a la surface du diagramme limite (celui oh C et C' sont confondus).


102

Fig. 6.17 - Recul d'ancrage atteignant le milieu de la poutre

Dans cette configuration, on a : S = 10 x (PA- PC)= 10 x (800-738,5) = 615 kNm

Or gApEp = 0,01 x 603 x

x 2 x lo8 = 1206 kNm

On a donc gApEp > S. Le diagramme des tensions, apres tassement d'ancrage, est donc du type defmi par la figure 6.16. L'inconnue n'est plus l'abscisse du point fixe lors du recul d'ancrage mais la perte supplementaire PC-PC'.

Fig. 6.18 - Calcul de l'effet d 'un recul important d 'ancrage

On doit avoir gApEp = Aire ACC'A'

D'ou :


2) Le cible est tendu par l'extremite A seulement Le tassement d'ancrage se fait sentir jusqu'au point D situe a une abscisse X telle que :

Le diagramme des tensions a l'allure suivante :

Fig. 6.19 - Recul important pour un ciible tendu par une seule extrkmitk

Tous calculs faits, on obtient X = 14,29 m. On peut alors determiner la tension en D :

La tension en A, apres tassement d'ancrage, a pour valeur : FAt=2x714,1 - 800=628,3 kN La tension Fc a mi-longueur du cible est reduite apres recul d'ancrage :

La tension FB' a l'autre extremite du cible n'est pas modifiee par le recul d'ancrage :

Btton pricontraint aux Eurocodes

104

Ces tensions sont superieures a celles qu'on obtenait en tendant le cdble des deux c6tes. Si l'on considere une poutre precontrainte par deux ciibles identiques, les diagramrnes su-ivants donnent la valeur des tensions resultantes tout au long de la poutre, dans le cas oh les deux ciibles sont tendus par leurs extremites et dans celui ou un cdble est tendu par son extremite de gauche et l'autre par son extremite de droite :

Fig. 6.20 - Comparaison de la mise en tension par une ou d e u extrkmitis

Les valeurs plus elevees sur la partie droite de la figure 6.20 montrent qu'il y a tout interCt a ne tendre chacun des cibles que par une seule extremite.

2.3 Non simultankitk des mises en tension 2.3.1 Formulation Tres souvent, une poutre comporte plusieurs cibles. Les traces individuels des armatures sont generalement differents mCme si les calculs sont faits uniquement avec le cible cc moyen )). Le ciible moyen equivalent d'un faisceau de clbles a une contrainte egale a la moyenne de chaque unite. Son trace est defini, dans chaque section, par le barycentre des efforts des armatures. Sa section transversale est la moyenne des sections individuelles. Les armatures assurant la precontrainte d'une mCme poutre ne sont pas toutes mises en tension en mCme temps, et ce pour deux raisons :

105

Pertes de prgcontrainte

d'un point de vue econoniique, une mise en tension simultanee exigerait une (( debauche )) de verins sur le chantier. d'un point de vue pratique, l'encombrement des verins est tel qu'il imposerait des distances entre axes d'ancrages tres importantes (les abouts de poutres deviendraient monstrueux). De plus, pour des raisons technologiques, certains ouvrages sont construits phase par phase, ce qui implique des mises en tension successives (ponts en encorbellements, par exemple). Le fait de ne pas tendre en mCme temps tous les cbbles d'une mCme poutre provoque une perte de tension. En effet, une fois le premier cbble tendu et ancre, la mise en tension du deuxieme cbble provoque un raccourcissement du beton. Le premier cbble mis en tension subit la mCme deformation, ce qui provoque une baisse de sa tension. Si la poutre comporte n cbbles, le premier cbble subit l'effet des n-1 cbbles suivants et ainsi de suite. Seul le dernier cbble ne subit pas ce type de perte. Le calcul exact de la perte de precontrainte creee par la nonsimultaneitC des mises en tension est, en theorie, tres complexe. I1 faut calculer le raccourcissement du beton le long des cbbles 1 a j lorsqu'on tend le cbble j+l , puis le long des cbbles 1 a j+l lorsqu'on tend le cbble j+2, etc. Dans certains cas particuliers, la mise en tension d'un cbble peut provoquer l'allongement d'un autre deja tendu, donc une surtension et non une perte de precontrainte. Considerons une poutre, de section transversale Ac et d'inertie I, precontrainte par n cbbles faisant partie de la mCme famille. On suppose que tous ces cbbles developpent la mCme force de precontrainte P et ont tous le mCme trace presentant une excentricite eo dans une section de la poutre.

-

-

-

-

-

-

-

-

Fig. 6.21 - Prkcontrainte par plusieu~scribles

Supposons dans un premier temps qu'on neglige le poids propre. Au niveau du centre de gravite des cbbles, chaque mise en tension engendre sur le beton une contrainte k c .


Le raccourcissement relatif du beton suppose suivre la loi de Hook a pour valeur :

Ec etant le module de deformation instantanee du beton. Les cdbles deja tendus subissent le mCme raccourcissement relatif b donc une chute de contrainte : que le beton ~p = - ~ et

Le premier clble tendu subit une variation de tension du fait des n-1 cdbles suivants. Exprimee en contrainte, sa perte totale sera :

Le deuxieme clble reqoit l'effet des (n-2) suivants, soit :

Apres avoir etendu tous les clbles, on a ainsi :


Si Ap designe la section d'un cbble, la perte totale SP de force de precontrainte pour l'ensemble des cbbles s'ecrit :

Or n x k c representerait la contrainte du beton a l'endroit ou passe (( le )) cbble moyen, si on tendait les n clbles en mCme temps. En valeur moyenne, la perte de tension dans un cbble a donc pour valeur : *=--

o c x-xn-1 2 n

Ep Ec

ou o c = n x 6oc correspond a la contrainte dans le beton suite a la mise en tension supposee simultanee des n cbbles.

2.3.2 Influence des charges permanentes Le calcul precedent est valable en apesanteur. Dans la realite, le poids propre agit sur la poutre pendant la mise en tension. Le calcul exact de ce phenomene est complexe puisqu'il depend du moment precis oh intervient le poids et fait par consequent appel a la rigidite du cintre sur lequel repose la structure lors de la mise en tension : si le cintre est infmiment rigide, la poutre se souleve lors de la mise en tension du premier cbble. Le poids du beton n'a pas d'incidence sur la tension de ce cbble (le verin impose une tension et non un allongement) ni sur celle des suivants ; si le cintre est infmiment souple, le beton n'est pas decolle du cintre lors de la fin de la mise en tension. Le decintrage active le poids du beton qui induit des effets sur la totalite des cbbles. Soit c g la variation de contrainte dans le beton au niveau des cdbles due a la charge permanente (og est generalement negatif).


La deformation du beton due au poids, et donc celle des clbles, est :

Sauf a realiser un calcul complet (assez theorique et sous reserve de connaitre l'ordre exact de mise en tension), on admet que l'effet des charges permanentes appliquees a la mise en tension est intermediaire entre ces deux cas extrzmes. Par consequent, la perte de tension d'un clble s'ecrit :

ou o g est la contrainte dans le beton sous l'effet de la charge permanente existant a cet instant. Dans de nombreux cas, la charge permanente est modifiee apres la mise en tension (ajout des superstructures, mise en precontrainte d'autres familles de clbles...). La variation correspondante d'effort s'applique alors integralement sur tous les clbles. La variation de precontrainte engendree par une mise en tension en plusieurs phases s'ecrit finalement :

1

6oP = - ~ x ~ n -ocpl l ~+ ocp2 c+Ec

2n

2

ou ocpl represente la contrainte du beton au droit du clble moyen sous l'effet des charges permanentes ajoutees lors de la mise en tension et ocp2 cette meme contrainte due aux efforts permanents ajoutes apres cette phase de mise en tension (y compris l'effet d'autres familles de clbles). 2.3.3 Formulation pratique

En pratique, on utilise souvent la formule ci-dessus en remplaqant (n- 1)In par 1.

Pertes de pricontrain te

109

Cette formulation est evidernrnent approchee ; elle revient a evaluer la perte par exces. De plus, elle n'est vraie que si les ciibles sont tres voisins les uns des autres et que l'on peut negliger la difference de contraintes existant dans le beton au droit de deux cibles differents. Bien que relativement grossibe, cette approximation n'a que peu d'irnportance dans la pratique car 6op est toujours petit. 2.3.4 Exemple Considerons le ciible defmi en 2.1.4 dont nous avons calcule les pertes par frottement et par tassement d'ancrage. Apres ces pertes, le diagramme des efforts dans la partie gauche du ciible est le suivant :

Fig. 6.22 - Force dans le cible apr2ssfrottement et recul d'ancrage

Admettons qu'il s'agisse du ciible moyen equivalent de plusieurs armatures actives mises en tension successivement et que les contraintes dans le beton, au droit de ce ciible, soient les suivantes sous l'effet de l'ensemble des cibles tendus en msme temps et du poids propre : o c =~ocg = 6 MPa occ = o c =~8 MPa o c =~10 MPa Ep = 200000 MPa Ec = 35000 MPa I1 n'y a pas de charge permanente appliquee apres la mise en tension.


On en deduit les pertes suivantes :

&PA = 6 q B =--X6

200000 = -17 MPa 2 35000

10 200000 X = -28,6 MPa =-? 35000

Le diagramme des efforts dans le ciible, apres toutes les pertes instantanees, est le suivant :

Fig. 6.23 - Force dans le ccible moyen apr& mises en tension non simultan4es

3.1 Retrait Au cours de son durcissement, le btton subit une diminution de volume appelee retrait (cf. tj V.1.2.3). Ce retrait n'est pas termine lorsque les cdbles de precontrainte sont mis en tension. Soit Aer le

Pertes de pricontrainte

111

raccourcissement (positif) d'une poutre dii au retrait qui s'effectue apres la mise en tension. Les ciibles de precontrainte, solidaires du beton, subissent le mCme raccourcissement que celui-ci ; il s'ensuit une perte de teasion qui a pour expression : Aopretrait = Ep x Asp = -Ep x A&r L'evolution du retrait au cours du temps a fait l'objet d'etudes en laboratoire. Sa valeur, a un instant t, depend de quatre parametres principaux : l'humidite du milieu ambiant ; l'epaisseur des pieces que l'on reprbente, en general, par leur rayon moyen (quotient du double de la section par le perim2tre) ; le rapport E/C du beton ; le pourcentage d'armatures adherentes au beton. Le chapitre V fournit les elements permettant de calculer du retrait fmal du beton. L'evolution du retrait en fonction du temps peut Ctre representee par la courbe suivante :

Fig. 6.24 - Evolution du retrait

I1 faut toutefois noter que cette courbe depend d'autres parametres, tels que la nature des granulats (calcaires ou siliceux, legers ou lourds), les conditions de conservation du beton au jeune ige (etuvage) et les dimensions de la piece. Enfm, il existe des

112


techniques telles que l'essorage qui permettent de reduire et d'accelerer le retrait. Lorsqu'une formulation analytique est indispensable, on peut utiliser l'equation suivante pour des pieces de taille limitee :

ou j est exprime en jours, ho est le rayon moyen de la piece exprime en millimetres (ho = 2AcN ou Ac est la section et U le perimetre), et les parametres ~ c et d eca dont la formulation est donnee au paragraphe V- 1. La part due au retrait endogene ( & a ) atteint rapidement sa valeur limite, ce qui n'est le cas du retrait de sechage qui peut-etre tres long. On note egalement que la part de retrait effectuee entre le coulage du beton et sa mise en precontrainte n'a pas d'effet sur les cbbles. Dans la formule domant la perte par retrait, A&r(t)est donc :

to etant l'bge du beton au moment de la mise en auvre de la precontrainte. La perte de precontrainte par retrait est identique sur l'ensernble de la poutre.

3.2 Relaxation Un cbble tendu a une contrainte opi voisine de sa limite elastique et dont la longueur est maintenue constante, voit sa contrainte diminuer au cours du temps (d'environ 5% pour les bons aciers au bout d'un temps infmi). Ce phenomene appele relaxation depend de trois parametres principaux : la composition chirnique de l'acier ; la cristallographie de l'acier elle-mCme fortement influencee par le mode d'elaboration du fil (trefilage ou laminage) et, surtout, par les traitements thermiques ; la tension a laquelle l'acier est soumis.


113

I1 est relativement facile, en laboratoire, de mesurer la relaxation d'un fil acier ; il en va tout autrement dans un ouvrage en beton precontraint car, d'une part, la contrainte dans l'acier n'est connue qu'avec une certaine approximation et, d'autre part, cette contrainte n'est pas constante dans le temps (effets du retrait et du fluage). On se contente generalement d'exprimer, en fonction de la contrainte opi a la fin de Itoperation de mise en tension, le taux de relaxation a 1000 h (cf. 5 V.2.3). L'evolution de la relaxation en fonction du temps peut &treobtenue par les formules indiquees au chapitre V. On considere que le calcu.1 a 500000 h (environ 57 ans) represente la relaxation a t = -. On obtient ainsi la perte (negative) par relaxation Aopr(t).

Le beton n'est pas un materiau elastique parfait. Soumis a une contrainte constante, il se deforme au cours du temps. Sa deformee differee est environ le double de sa deformee instantanee. Considerons une poutre precontrainte par un cbble de force P(x) (a la fm de l'operation de mise en precontrainte) excentre de eo et a un moment flechissant de charge pemanente M(x). La contrainte dans le btton, au niveau du cbble, vaut :

Ec etant le module de deformation du beton, la defomee instantanee du beton le long du cbble vaut :

Au cours du temps, le beton connait une deformation differee environ egale au double de la deformation instantanee.

Le c2ble a, apres un temps theoriquement infmi, le m2me supplement de deformation que le beton, soit 2 &i. Le


114

raccourcissement differe du ciible equivaut donc a une perte de tension F q f = - 2 x ~ i x E psoit :

Les forrnules du chapitre V permettent d'avoir une evaluation plus precise de K.

3.4 Combinaison des effets diffkrks Le fluage et la relaxation sont mesures en laboratoke selon des procedures normalisees. La relaxation par exemple est defmie cornrne une perte de tension a deformation constante. Dans un ouvrage reel, la deformation des cibles suit celle du beton qui varie dans le temps sous l'effet du retrait et du fluage. On n'a pas tout a fait relaxation des aciers ni fluage du beton mais un couplage entre tous les phenomenes. Ce phenomkne de couplage etait modelise de faqon tres simple par le reglenlent BPEL en ne portant le terme de couplage que sur la relaxation. L'Eurocode propose une formulation malheureusement assez compliquee du phenomene global (pour des gaines injectees au coulis de cirnent). La perte globale de precontrainte, par rapport a opi s'exprime, en fonction du tenips, par la relation : =

- A~r(t) x Ep

+ 0,s x Aopr - a x $(t, to) x (ocg + ocpo)

l+ax*x(l+-eo Ac Ac Ic

2

)x[l+~,~x$(t,to)]

A&r(t)est le retrait en fonction du temps, deduction faite de ~ r ( t 0 ) Ep le module d'elasticite de la precontrainte Ecm le module d'elasticite secant du beton a = EpIEcm Ap la surface de precontrainte Ac la surface de beton Ic l'inertie de la section de beton @@,to)la fonction de fluage en fonction du temps et de l'iige du beton lors de l'application des efforts (cf. chapitre V)

Pertes de pricon trainte

115

ocg la contrainte dans le beton, au niveau des cbbles, due a la charge permanente et aux actions quasi-perrnanentes ocpo la contrainte dans le beton, au niveau des ciibles, sous l'effet de la precontrainte reduite par les pertes instantanees. Aopr la perte due a la relaxation (il s'agit d'une valeur negative). Pour Cviter une resolution par iteration, 1'Eurocode propose de calculer Aopr pour une tension initiale fictive (cf. chapitre V) Cgale a la contrainte dans les ciibles sous une charge d'exploitation partielle. Cette formule resulte visiblement du souci de son concepteur de prendre en compte un maximum de phenomenes physiques. Elle est, a notre avis, inutilement compliquee en masquant l'ordre de grandeur de chacun des phenomenes.

3.5 Exemple Reprenons le ciible defini au paragraphe 2. La tension le long du cdble en fin de construction suit le diagramme represent6 par la figure 6.23. Le retrait du beton, aprk mise en tension, atteint la valeur :

La contrainte dans le beton, le long du ciible, vaut apres pertes instantanees : o c =~ccB= 5 MPa occ = oc, = 7 MPa QCD = 9 MPa Ces valeurs representent, dans la formule generale, la somrne ocg ocpo.

+

L'acier constitutif du ciible a une relaxation de classe 2 (acier a basse relaxation avec p1000 = 2,5 96). La resistance caracteristique du ciible Fpk vaut 1660 MPa. Chute due au retrait Quelle que soit la section, la chute due au retrait s'ecrit :

k p , = -Ep x A&r

6P= - ApEp x A&r

116


Chute due au fluage La chute dans une section doimee est de l'ordre de :

Avec Ec = 35000 MPa, Ep/Ec = 5,7, on obtient :

Chute due a la relaxation seule Les contraintes dans l'acier, apres les seules pertes instantanees, ont pour valeurs :

o p =~1057 MPa OPE =1176MPa qc=1173MPa o p =1151MPa ~

p = 0,637 qp=0,708 qp=0,707 q p=0,693 q

Au point A, et t infmi (equivalent a 500000 h), la perte par relaxation supposke agir seule vaut :

Cette valeur represente 2,9 % de opi x Ap . On aurait de la nGme faqon :

Pertes de prPcon trainte

Un calcul complet avec le terrne de couplage impose la foumiture de donnees supplementaires. Ce calcul, effectue au point A avec des valeurs raisonnables des parametres, permet d'obtenir ~ o ~= m) ( t= -1 25 MPa L'addition simple des pertes differees sans couplage donne au mCme point - 40 - 57 - 31 = -128 MPa. Avec le BPEL, on aurait simplement cumule les pertes de retrait, fluage et relaxation, ce dernier terme etant multiplie par 516. La valeur obtenue est -122 MPa, tres proche de la valeur (( theorique )) reglementaire. Finalement, toutes pertes effectuees, le diagranme des forces de precontrainte par ciible est le suivant :

Fig. 6.25 - Force dans le ccible moyen a t

=

-

Comparaison des pertes et des chutes Le tableau 6.1 resume les valeurs des pertes instantanees et differees en kN dans les differentes sections du ciible.

I Pertes instantanees / I Pertes differees 1 Total des pertes Pourcentage

164,l 70,9 235 29 %

1

162,5 1 90,7 7 1,2 ( 89,5 233,7 180,2 29% 23 %

1 1

92,8 88,9 181,7 23 %

Tableau 6.1 - Pertes globales de precontrainte

/ 1

106,2 101,7 207,9 26 %

1 1

118

Biton pricontraint aux Euvocodes

En ordre de grandeur, le total des pertes est compris entre 180 et 240 kN, soit 25 a 30% de l'effort applique au verin. Ce pourcentage peut Stre reduit en ameliorant la qualite d'execution pour reduire les frottements et en reduisant les tassements d'ancrage.

Les Eurocodes reposent sur un concept general classique de type semi-probabiliste. L'Eurocode 1 (( Bases de calcul et actions sur les structures )) adopte une forrnalisation par la methode des etats limites. Pour chaque situation de projet (en construction, en service.. .), on defmit les differentes actions appliquees a la construction. On distingue ensuite : les etats limites ultimes qui correspondent a la limite : - de l'equilibre statique, - de la resistance, - de la stabilitt de forme ; les etats liniites de fatigue ; les etats limites de service : - de decompression, - de fissuration, - de deformation, - de vibration, - d'ouverture de fissure, A chacun de ces etats limites correspond une ou plusieurs combinaisons d'actions.

I1 faut bien entendu concevoir les Eurocodes comme un tout, la methodologie de verification d'une structure constitute d'un type de materiau etant indissociable d'un systeme de combinaisons d'actions. Le concept de securite, la determination des actions et des combinaisons d'actions constituent un sujet a part entibe, hors de propos du livre. On se contente de donner quelques indications gknerales sur le calcul des sollicitations correspondant aux etats limites ultimes et aux etats limites de service.

120

1.1

Bkton prbcontvaint aux Eurocodes

tats limites ultimes de rCsistance

La combinaison fondamentale pour laquelle doit Ctre verifiee la resistance de la structure est du type :

yp x Pm + e m a x x Gniax + e m i n x Gmin + e l x QkL Dans cette expression, les notations ont la signification suivante :

yp= coefficient applicable a la precontrainte Pm = valeur probable de la precontrainte telle qu'elle resulte du calcul des pertes de tension Gmax et Gmin = valeurs defavorables et favorables des actions de longue duree (poids propre, charge permanente.. .) fimax et F m i n = coefficients appliques aux charges permanentes Qkl = valeur caracteristique d'une action variable yQ1 = coefficient applique a cette action Si necessaire, il faut d'accompagnement.

ajouter des

actions variables dites

Le coefficient yp vaut 1 dans la tres grande majorite des cas. I1 prend la valeur 1,2 dans certaines structures oh la precontrainte est defavorable et peut Ctre consideree comrne une action exterieure (cas de la resistance au flambement d'une poutre a precontrainte exterieure au beton). En general, Gmax et Gmin ont les valeurs probables telles qu'elles ressortent du calcul. Dans certains cas particuliers, on prend des majorations ou des minorations (par exemple pour les revCtements de chaussees). Les coefficients y appliques a Gmax et Gmin valent respectivement 1,35 et 1. Enfm, yQ1 vaut 1,5 dans le cas general. I1 est ramene a 1,35 pour les actions liees au trafic. Lorsqu'on doit prendre en compte une action accidentelle (par exemple l'effet d'un seisme), la sollicitatioi~de calcul est du type :

Moments flkchissan ts - Genkralitks

121

ou A est l'action accidentelle et YzlxQkl est la valeur quasi permanente d'une action variable.

S'y ajoutent, le cas echeant, les autres actions variables d'accompagnement avec leurs valeurs quasi-permanentes. 1.2

tats limites de service

I1 est necessaire d'effectuer des calculs en (( fourchette )) en remplaqant Pm par Pk representant l'une puis l'autre des 2 valeurs caracteristiques de la precontrainte encadrant Pm : Pk sup = 1,l x Pm (1,05 x Pm pour des ciibles non lies au beton) Pk inf = 0,9 x Pm (0,95 x Pm pour des ciibles non lies au beton) Le calcul en fourchette est notarnrnent justifie par le caractere assez approximatif du calcul des pertes de precontrainte. Pour les ponts routiers, 1'Eurocode 1 fournit des modeles tres detaillts de chargement. Par exemple, le modele principal de chargement prevoit, pour chacune des voies de circulation, des superpositions de charges concentrkes (essieux) et de charges reparties. On definit aussi des actions liees a d'autres phknomenes tels que la temperature. A partir de ces actions unitaires, sont constituees les combinaisons d'actions :

quasi-permanentes ; frequentes ; non-frequentes. Les combinaisons indiquees ci-dessus sont celles qui correspondent aux cas des ponts routiers soumis aux surcharges civiles ; pour les autres combinaisons relatives aux charges exceptionnelles sur les ponts routiers ou pour les combinaisons applicables aux autres structures, il convient de se reporter a 1'Eurocode 1. Les coefficients partiels de securite relatifs a l'action d'un ciible de precontrainte sont en outre modules selon que le ciible peut Ctre considere comme adherent ou non au beton, ou dans le cas de la pretension.

Btton prkcontraint aux Eurocodes

2.1 Section brute

On appelle section brute la section de beton en ne tenant compte ni des trous des gaines ni des aciers la traversant (qu'il s'agisse des aciers de precontrainte ou des aciers passifs). Les sections brutes servent a determiner les sollicitations dues au poids propre, les inconnues hyperstatiques des poutres continues et a calculer les fleches des ouvrages. Ce sont aussi les sections utilisees pendant les phases de predimensionnement ; en effet, la precontrainte n'est, a ce stade, pas connue. Le calcul de l'inertie brute fait notamrnent largement appel au theoreme de Huygens. La section brute est notamrnent caracterisee par : une surface Acb ; une position du centre de gravite Yb par rapport a la fibre inferieure de la section ; une inertie Ib par rapport a ce centre de gravite. 2.2 Section nette

On appelle section nette la section brute de beton de laquelle on a deduit les trous des gaines. En pratique, on calcule les caracteristiques suivantes : la section et la position du nouveau centre de gravite en enlevant la section des gaines ; l'inertie par rapport a ce nouveau centre de gravite. Les valeurs Acn, Yn et In se calculent sirnplement a partir des valeurs brutes et, pour chaque gaine, de son diametre ai et de sa position di par rapport a la fibre inferieure : Acn = Acb- z ( n 0 1 24) gaines

gaines

Moments jlichissan ts - Virzjications

141

rapport au mCme point, notamrnent si l'effort normal exterieur est non nul. On choisit souvent soit le centre de gravite de la section, soit le centre de gravite de la precontrainte.

Remarque n O 2 : La dktermination de ES ne presente aucune difficult6 : les aciers passifs, adherents au beton des so11 durcissement, suivent toutes les dtformations de celui-ci. Par consequent, ES = -~c(zs).

En ce qui conceme la deformation de l'acier de precontrainte dans le cas de la post-tension, le cdble et le beton connaissent deux phases distinctes : pas d'adhkence entre le beton et l'acier actif. La force de precontrainte, au mime titre que le poids propre, peut Ctre consideree comrne une force exterieure appliquee a la section nette de beton (completee par les aciers passifs deja adherents). A la fin de cette phase, le beton, a l'endroit ou passe le cbble, a une . force P dans le cdble est alors equivalente a deformation ~ c lLa une contrainte op = P / Ap, correspondant elle-meme a une dkformation initiale ~ p =n~ (~o p ) L'acier . etant normalement dans le domaine elastique, on a sin~plement: P Epm = APEP adherence entre le cdble et le beton apres l'injection de la gaine au coulis de ciment. Les variations de deformation du ciible de precontrainte sont egales aux variations de deformation du beton qui l'entoure. On a donc en definitive, en tenant compte de la difference de convention de signe entre les deux types de materiaux et pour un schema de deformation de la section :

On note habituellement :

Par consequent, la deformation de l'acier de precontrainte vaut :


1.3 Principe de calcul

A l'equilibre, le torseur des efforts internes est egal a celui des efforts extemes : Next = Nint Mext = Mint Calculer une section sous l'effet de (Next, Mext), c'est determiner le schema de deformations de la section (et donc de contraintes sur les materiaux) tel que : Next = Ninf (Einf, E sup) Mext = Minf (Einf, €sup) Connaissant ~ i n et f €sup il est aise de calculer les valeurs de Ninf et Minf. La demarche inverse n'est possible manuellement que pour des lois sirnplifiees contrainte-deformation. En supposant un comportement elastique des materiaux (y compris en traction pour le beton) et Next = 0 pour alleger l'ecriture, on obtient tres facilement la formule classique : P Peoxyn M l x y n M2xyh oc(y) = -+ + + Acn In In Ih ou M1 est la part de moment exterieur sollicitant la structure en m&metemps que la precontrainte et M2 la part de moment mise en oeuvre ulterieurement. M1 comprend le poids propre de la structure, M2 les actions &exploitation variables. Si le beton a un comportement elastique en compression mais n'a aucune resistance a la traction, le calcul des contraintes, classique en beton arme, n'est guere plus complique sous reserve de resoudre une equation polynomiale relative a la hauteur de beton comprime. Le polynome est de degre 3 si la largeur du beton est, au moins localement, constante.

Moments jl&chissants - V&rz$cations

2) ~ ~ R I F I C A T I OAUX N ETATS LIMITES DE SERVICE 2.1 Hypothl?sesde calcul On adopte les hypotheses suivantes : les sections droites restent planes. Les schemas de defom~ations des sections sont donc des fonctions lineaires de l'ordomee y ; les contraintes sont proportiomelles aux deformations. Compte tenu de l'hypothese precedente, cela signifie une variation des contraintes qui est representee par une fonction lineaire de l'ordomee y ; le beton est suppose resister a la traction jusqu'a la valeur -fctrn. Au-dela de cette valeur, l'ensemble du beton tendu est neglige dans les calculs qui doivent Ctre menes en section fissuree ; il n'y a aucun glissement relatif entre le beton et les armatures (sauf dans le cas des cdbles disposes a l'exterieur du beton). 2.2 CatCgories de verification La durabilite de l'ouvrage impose de prendre en compte les conditions d'environnement. Ce parametre intervient notarnment pour defmir une ouverture maxirnale des fissures. Pour les ponts, les documents contractuels relatifs a la construction de la structure doivent indiquer un niveau de justification de A a C, A etant la categorie la plus exigeante. En fonction de cette categorie, sont conduites les verifications relatives a l'absence de traction du beton et a l'ouverture des fissures selon certaines combinaisons de charge : Combinaisons d'actions pour la justification Categorie de non traction du beton de l'ouverture des fissures non frequentes A non frequentes B fiequentes frequentes quasi permanentes C Tableatr 8.1 - Categories de verification a 1'ELS

Les categories D et E prevues par llEurocode 2 ne sont pas utilisees pour les structures precontraintes. Ces differents niveaux de justification doivent s'appliquer a toutes les situations (de construction et aux situations durables) que comait l'ouvrage.

144

Bdton prdcontraint a m Eurocodes

On peut retenir les principes generaux suivants : la categorie A s'applique aux tabliers constitues de voussoirs prefabriques et pour certains ponts ferroviaires ; la categorie B s'applique aux tabliers pousses et aux tabliers en caisson construits par encorbellements successifs ; les ponts a poutre, les ponts dalles relkent de la categorie C. I1 appartient au maitre d'ouvrage de choisir la categorie appropriee. 2.3 Limitation des contraintes

Les limitations de contraintes fixees par la deuxieme partie de 1'Eurocode 2 consacree aux ponts en beton sont les suivantes : la contrainte de traction dans les armatures passives doit, sous combinaisons non-frequentes d'actions, rester inferieure a 80 % de la limite elastique fyk de l'acier ; le beton doit rester partout comprime (non traction du beton) sous le cas de charge indique dans le tableau 8.1 ; la contrainte maximale de compression sur le beton ne doit pas depasser 0,6 x fck sous combinaisons d'actions non-frequentes et en construction. Par ailleurs, si la contrainte du beton lors de la mise en oeuvre de la precontrainte depasse 0,45 x fck, les pertes par fluage doivent &tre calculees en utilisant un modele non lineaire (l'effet du fluage augrnente dans ce cas de faqon exponentielle). Des taux de compression plus eleves peuvent localement Ctre admis sous reserve d'un frettage du beton ; sous combinaisons quasi-permanentes, la contrainte, toutes pertes deduites, dans les armatures de precontrainte, ne doit pas exceder 0,65 fpk. Ces verifications doivent &tre faites avec la plus defavorable des valeurs caracteristiques de la precontrainte (normalement k 10 % autour de la valeur Pm). 2.4 Ferraillage minimum

Un ferraillage minimum est requis dans la zone, d'aire Act, de beton soumis a une contrainte de traction sous l'effet des combinaisons non frequentes d'actions.

Moments Jkchissan ts - Vkrzjications

145

Le taux de ferraillage est calcule separement pour les dmes et les membrures des poutres. Ce taux minimal de ferraillage minimal est donne par l'equation :

Les parametres de cette equation sont les suivants : os est une contrainte de l'acier passif liee au diametre 0 s des aciers passifs :

Tableau 8.2 - Taux de contrainte et diam2tre des aciers

kc est un coefficient numerique dependant de la geometrie : - pour les sections rectangulaires et les dmes : Ned klxbxh21h*xfctm

1

ou Ned est l'effort normal (positif pour une compression) passant dans la zone tendue, h* = min (h,l m) et k l = 1,5 si Ned est une compression ou k l = 2h*/(3h) si Ned est une traction,

- pour les membrures des poutres-caissons ou en T : kc = 0,9 x

Fcr > 0,s Act x fctm

oh Fcr est la force de traction dans la membrure qu'on aurait juste avant fissuration et Act l'aire concomitante de beton tendue ; I

I

k prend en compte la dimension de la section : - k = 1 pour des Bmes de hauteur I 0,30 m ou des membrures de largeur 5 0,30 m, - k = 0,65 pour des Bmes ou des membrures de dimension 2 0,80 m,

146

BPton prPcontraint aux Eurocodes

- pour des dimensions intermediaires, on procede par interpolation ;

61

prend en compte une adherence imparfaite de l'acier de precontrainte au beton :

-

@s est le plus grand diametre des armatures passives @p est un diametre equivalent des armatures de precontrainte Cgal 1,6,/G pour un cable forme de plusieurs torons ou fils 6 est un coefficient numerique qui depend du type et donc de l'adherence de l'armature. En post-tension, ce parametre prend les valeurs suivantes :

1 Type d'armature

1

5

1

acier lisse torons a 7 fils fils nervures banes nervurees Tableau 8.3 - Coeficient

6

Aop est la variation de contrainte dans les armatures depuis l'etat correspondant a la non-deformation du beton au mCme niveau. 2.5 Ouverture des fissures L'ouverture admissible des fissures est un parametre important de la durabilite des ouvrages. La durabilite est aussi fonction de l'exposition de la structure aux agents agressifs. Pour une structure precontrainte, on lirnite l'ouverture des fissures a 0,2 rnm sous l'effet des combinaisons d'actions indiqukes dans le tableau 8.1, et pour une exposition moderee. Pour des conditions plus severes, on impose l'absence de decompression du beton sous ces mimes cas de chargement. La poutre doit avoir un ferraillage passif permettant de respecter cette ouverture maxirnale de fissure. L'Eurocode fournit des regles theoriques con~pliqueespermettant de calculer l'ouverture des fissures. Fort heureusement, il existe des regles minimales concernant le ferraillage qui permettent de faire l'economie de ce calcul un peu fastidieux et esoterique. I1 convient d'abord de dimensionner le ferraillage passif conformement aux regles du paragraphe 2.4. De plus, en fonction de

Moments jl6chissan ts - Vbrzjkations

147

la contrainte dans ces aciers, il faut respecter a la fois un diametre et un espacement maximal des armatures, de fagon a mieux repartir la fissuration et donc a diminuer l'ouverture des fissures. Dans le tableau 8.4 ci-apres, o s est la contrainte dans les aciers passifs, les contraintes etant calculees en section fissuree :

0s ( M P ~ )

160

200

240

280

Diametre maxi (mm)

25

16

12

8

Espacement maxi (mrn)

200

150

100

50

Tableau 8.4 - Minimum deferraillage

2.6 Exemple de vkrification On considere une poutre isostatique de 30 m de portee, dont la section transversale est celle etudiee au chapitre VII. La poutre est precontrainte par 6 ciibles type 12T13 dont le trace est defmi par la figure 8.1.

4

10 m

*4

10 m

*<

10 m

*

Fig. 8.1 - Coupes transversale et longitudinale de la poutre

Les caracteristiques mecaniques de la poutre dans la section centralc qu'on se propose de verifier en categorie B sont les suivantes :

Bkton prkcontraint a m Eurocodes

Fig. 8.2 - Position du centre de graviti

Type brute nette homogene

Section 0,7600 m2 0,7364 m2 0,7642 m2

Inertie V V' 0,397 m4 0,93 m 1,07 m 0,379 m4 0,91 m 1,09 m 0,400 m4 0,94 m 1,06 m

Tableau 8.5 - Caractiristiques mkcaniques de la section

L'ensemble des cables exerce les efforts ci-apres :

a la mise en tension (pertes instantanees effectuees) a x = 15 m :

au temps t = = (toutes pertes effectuees) :

Les caracteristiques mecaniques du beton de la poutre sont : fck = 40 MPa

soit 0,6 fck = 24 MPa et fctm = 3,5 MPa

Les ciibles sont mis en tension alors que le beton est iige de plus de 28 jours. Outre son poids propre, la poutre est soumise a une charge permanente et a une surcharge dont les densites lineiques ont les valeurs ci-dessous : charge permanente 0,02 MNlm ; surcharge 0,027 MNlm.

Moments jlichissants - Vbrifications

149

2.6.1 Fourchette de precontrainte Les deux valeurs caracteristiques sont egales aux valeurs calculCes de la force de precontrainte assorties d'une majoration ou d'une minoration de 10 %. En construction, on obtient P1 = 5,31 MN et P2 = 6,49 MN. Ces valeurs sont portees a 4,77 MN et 5,83 MN en service. 2.6.2 Calcul des moments flechissants A mi-travee, les sollicitations sont, pour chaque action, les suivantes :

poids propre :

charge permanente :

2.6.3 Verification des contraintes a) A la mise en tension Les contraintes extremes, sous sollicitation quasi permanente, ont pour expression : P oinf =-Acn

PeoV' MGV' In In

P PeoV M G V osup = -++ Acn In In

150

Bhton prhcontraint a m Eurocodes

Dans ces formules, In et Acn sont l'inertie nette et la section nette, P la valeur initiale de la precontrainte apres pertes instantanees et eo l'excentricite du cdble depuis le centre de gravite de la section nette (soit - 0,89 m). Pour chaque valeur de la fourchette de precontrainte, on calcule les valeurs de contraintes sur les fibres superieure et inferieure de la poutre :

GSUP

oinf

Poids Propre 5,13 -6,15

Precontrainte -4,14 20,80

Resultante 0,99 14,65

Tableau 8.6 - Contraintes en MPa a la construction avec P

= PI

P=P2 osup oinf

Poids Propre 5,13 -6,15

Precontrainte -5,06 25,42

Resultante 0,07 19,27

Tableau 8.7 - Contraintes en MPa a la construction avec P

= P2

On constate que la contrainte maxirnale dans le beton est satisfaite (19,27 pour 24 admissible) et qu'il n'y a pas de traction dans le beton. Par contre, la contrainte maximale est superieure a 0,45 x fck = 18 MPa : il y a lieu de faire un calcul non lineaire de fluage. b) En service Les contraintes du beton, dues a la precontrainte, sont calculees au temps t = = par une simple regle de trois par rapport aux valeurs deja calculees. Les contraintes dues aux surcharges sont calculees en section homogeneisee. De plus, les combinaisons a prendre en compte sont les suivantes : combinaison non-fiequente : => precontrainte + poids propre surcharge

+ charge permanente +

combinaison frequente : on admet, dans cet exemple, que les surcharges frequentes representent 60 % de l'action des surcharges non frequentes :

=> precontrainte surcharge

+ poids

propre

+ charge

permanente

+ 0,6

x

Les contraintes en service sont resumees dans les tableaux ci-apres :

I Poids Propre G1 Precontrainte Pm Charge permanente G2 QuasipermanentGl+P+G2 Surcharge Q Frequent : Vide+06Q Non frequent : Vide+Q

osup 5,13 -3,72 5,41 6,83 7,25 11,17 14,07

I

oinf -6,15 18,7 -6,48 6,07 -8,18 1,16 -2,ll

Tableau 8.8 - Contraintes en MPa en sewice avec P

= PI

I osup I oinf Poids Propre G 1 Precontrainte Pm Charge permanente G2 Quasi permanent G 1+P+G2 Surcharge Q Frequent : Vide+06Q l ~ o frequent n : Vide+Q

1 1

5,99 7,25 10,34 13,24

1 1

10,22 -8,18 5,31 2,04

Tableau 8.9 - Contraintes en MPa en service avec P

I

(

1

= P2

On verifie que : la contrainte maximale de compression du beton, soit 14 MPa, est largement inferieure au seuil de 24 MPa ; la section reste entierement comprimee sous sollicitations frequentes. 2.6.4 Ferraillage passif Les aciers passifs ont ete negliges pour verifier les contraintes dans le beton et dans les ciibles. Leur prise en compte diminuerait en realite lkgerement les contraintes calculees.

152


En effet, la contrainte niaxiniale, calculee dans le beton pour la phase de construction, est de 19,27 MPa. Elle est equivalente a une deformation EC : &C=--

oc Ecm

19,27 40+8

La contrainte de compression dans les aciers passifs serait donc au plus de :

De la m&mefagon, on peut calculer un majorant pour la contrainte maximale de traction dans les armatures actives, en fibre inferieure sous la combinaison non fiequente. Cette valeur tres faible, soit 12 MPa, justifie d'une part de pouvoir negliger les aciers passifs dans les calculs de contrainte, d'autre part de se dispenser d'un calcul d'ouverture de fissure. En ce qui conceme le ferraillage minimal, la section necessaire en fibre inferieure sous charge non-fiequente est dtfinie par : Asniin = Act x

kcxkxfctm

o s vaut 240 MPa pour des aciers en 0 12 (tableau 8.2) kc est de l'ordre de 0,4 k = 1-0,35~315=0,79 fctm = 3,5 MPa Act est l'aire de beton tendu. Pour des contraintes de 14,07 MPa en fibre superieure et -2,ll MPa en fibre inferieure, la hauteur ht de beton tendu est :

d'ou : Act = 0,26 x 0,6 = 0,156 ni2

Moments jlkchissan ts - Vkrzjications

Finalement : Asmin = 7,18 cm2 Cette section peut Ctre assuree par au moins 7 HA12 en fibre inferieure, espacks de moins de 10 cm. Ce diametre et cet espacement suffisent a garantir tout risque d'ouverture de fissure trop important. Dans le femaillage minimal, on peut compter en theorie une partie de la section d'armature de precontrainte (qui, a mi-travee, est bien dans la zone tendue).

3) V~RIFICATIONAUX ETATS LIMITES ULTIMES 3.1 Hypothkses de calcul Aux etats limites ultimes (ELU), on retient les hypotheses ci-apres :

I

,

les sections droites restent planes jusqu'a rupture. Cette hypothese est verifiee par l'experience, au moins pour les sections soumises a la flexion simple ou composee pour lesquelles l'effort tranchant n'est pas preponderant ; le beton tendu peut Ctre neglige. Cette hypothese est tres bien verifiee, du moins dans les structures courantes ; on connait les lois contrainte-deformation des materiaux. Elles sont du type o = f(&); les caracteristiques mecaniques des materiaux sont modifiees par des coefficients partiels de securite. 3.2 Principe de vkrification d'une section Sous l'effet des combinaisons d'actions aux ELU, les charges exterieures appliquent a la section un moment flechissant Mu et un effort normal Nu. Nu est compte positivement s'il s'agit d'une compression. La methode fondamentale de verification d'une section consiste a determiner le schema des deformations dans la section (par un , tel que les efforts internes Nint et Mint couple de valeurs ~ i n f&sup) equilibrent les efforts exterieurs appliques. La section est verifiee a 1'ELU si les deformations des materiaux sont inferieures aux valeurs

154

BPton priconhaint aux Eurocodes

limites. Cette methode exige des calculs iteractifs et elle n'est pas applicable (c a la main )). Une autre approche consiste a verifier que le point (Nu, Mu) dans un plan (N, M) est interieur au diagramrne d'interaction de la section. Ce diagrarnme est defmi comrne l'enveloppe des points (Nint, Mint) representant les efforts internes associes a toutes les deformations admissibles de la section. Un point situe sur la limite du diagrarnrne d'interaction correspond a la limite de deformation d'au moins un des materiaux (acier ou beton) constituant la section. La figure 8.3 represente le diagramme d'interaction d'une section rectangulaire precontrainte par un ciible situe a proximite de la fibre inferieure.

Fig. 8.3 - Diagramme d'interaction

En realite, il n'est pas utile de tracer l'ensemble du diagramrne d'interaction. I1 suffit de determiner le point de ce diagrarnme correspondant a l'effort Nu applique. Son ordonnee Mr est, pour Nu donne, le moment resistant de la section. La verification consiste alors simplement a montrer que Mu est plus petit que Mr. En theorie, pour une valeur de Nu fixee, le diagramrne d'interaction est defmi par deux valeurs de moment flechissant. Le signe de Mu suffit a determiner le moment resistant a calculer. Pour la suite, on supposera Mu 2 0. Si ce n'est pas le cas, on peut (( retourner la section )) pour retrouver une configuration conforme a cette hypothese.

Momentsjlichissants - Virzfications

3.3 Lois contrainte-dbformation

Pour les betons jusqu'a 50 MPa de resistance caracteristique, la relation entre o c et EC est de la f o m e : o c = f c d x ~ - ( i - ~ pour ~ ] O I ~ c L i c 2 =2 % 0 et o c = fcd

pour ~ c 52 EC I ECU=3,5 %O

fcd prend en compte un coefficient partiel de securite sur la resistance du beton : fck fcd =- x a yc vaut 1,5 pour les combinaisons fondamentales a l'etat limite ultime a est un coefficient prenant en compte la diminution de la resistance sous l'effet des contraintes soutenues. Le parametre a vaut 0,85 pour l'effet d'efforts a long terme (pour une verification en flexion et compression) et 1,O dans tous les autres cas.

Fig. 8.4 - Loi contrainte-diformation du btton

Lorsque l'ensemble de la section n'est pas comprime, il est admissible de remplacer le diagramme parabole-rectangle par un diagramme rectangulaire de contrainte fcd. Ce schema de contrainte

Bkton prkcontraint aux Euvocodes

156

est applique sur une hauteur de beton representant 80 % de la hauteur de beton reellement cornprime. Pour des betons de resistance caracteristique superieure a 50 MPa, la valeur de 80 % est reduite a 91,25 % - fck1400, avec, en outre une diminution du coefficient a . Par ailleurs, la valeur du palier horizontal du diagrarnrne rectangulaire est reduit a 10 % lorsque la largeur de la zone comprimee diminue en direction de la fibre subissant la plus forte compression. 3.3.2 Acier de precontrainte

Le schema contrainte-deformation de l'acier est modelise par une forme bilineaire. La deformation ultime ~ u est k limitee a 20 %o. Le coefficient de securite ys de la figure 8.5 est de 1,15 sauf cas de chargement accidentel.

Fig. 8.5 - Loi contvainte-dkfomzation de I'acier de pricontrainte

A titre de simplification, il est admis de remplacer la branche superieure du diagramme bilineaire par un palier horizontal de valeur 0,9 fpklys (reglementairement sans limite a ~ u k ) .

3.3.3 Acier passif La courbe contrainte-deformation de l'acier passif est, de la nieme faqon, idealisee par un diagrarnrne bilineaire conforme a la figure 8.6 parametre en fonction de la limite elastique fyk de l'acier, du coefficient de securite partiel ys (1,15 sauf pour les combinaisons accidentelles) et de la valeur caracteristique k du rapport entre la contrainte de rupture f? et la limite elastique fy. La deformation limite est fixee a 10 %o.

I

k=( ftlfy)k kx fyklys

E s = 2 0 0 GPa

Fig. 8.6 - Loi contrainte-dkformation de l'acier passf

I

I

I1 est egalement possible de remplacer la deuxieme branche de la courbe par un palier horizontal d'ordonnee fyklys.

3.4 Exemple d'une section rectangulaire Considerons une section rectangulaire de hauteur h et de largeur b, precontrainte par un ciible situe a la distance hp de la fibre superieure. La section du ciible est egale a Ap. On suppose, pour simplifier, qu'il n'y a pas d'aciers passifs.


Fig. 8.7 - Section rectangulaireprkcontrainte

A vide (a l'etat limite de service), les diagrarnmes des deformations et des contraintes sont lineaires, conformement a la figure 8.8 cidessous :

I

obinf

Fig. 8.8 - Dkformations et contraintes a Z'ELS

Les valeurs de Epm et 6 ' ~ psont donc connues. Connaissant les caracteristiques de l'acier, on connait egalement la valeur de la deformation supplementaire 6 " ~ p qui amene l'acier a une defom~ation~ p :u

Les charges d'exploitation appliquent a la section un moment flechissant Mu et un effort Nu, excentre de eN par rapport au ciible. Nous supposons que le moment flechissant est positif (il tend la fibre inferieure qui est voisine du ciible). Dans le cas contraire, il suffirait de retoumer la figure pour se ramener a cette hypothese. Pour effectuer le calcul, il faut d'abord savoir quel est le matkiau

Moments Jl~chissants- V&-zfications

159

qui provoque la rupture (acier ou beton). Pour cela, nous supposons que les deux materiaux atteignent sirnultanement leur deformation ultime. L'equilibre des efforts normaux permet de connaitre quel est le matQiau de resistance insuffisante. On adopte pour les deux materiaux des schemas simplifib de relations entre les contraintes et les deformations.

Si les deux materiaux atteignent simultanement leur deformation ultime, les diagrammes sont les suivants :

Fig. 8.9 - Limite pivot A - pivot B

y=hpx

ECU ECU

+ 8"'p

P = P u = Apx0,9 fpklys R = P - 0,8 x y x b x fcd + Nu = Next - Nint Si R < 0, cela signifie que la possibilite de resistance du beton en compression est surabondante ; la rupture a lieu par les aciers (pivot A). L'equilibre des efforts normaux permet de calculer la bonne valeur de y.

Y=

Pu+N 0,8 x b x fcd

La valeur de y etant connue, on verifie que le moment resistant de la section Mr est superieur au moment applique Mu.


160

Mr = (hp - 0,4 x y) x 0,8 x y x b x fcd Si R > 0, la rupture resulte d'une deformation excessive du beton (pivot B). La deformation de l'acier ep etant inferieure a la deformation lirnite euk. ECU

......................

t

6 "ep

6'~p

EPm

Fig. 8.10 - Fonctionnement au pivot B

Pour ecrire l'equilibre des efforts normaux, il faut savoir si l'acier travaille dans le domaine plastique (P = Pu) ou dans le domaine elastique (P = ApxEpxep) ; pour cela, nous supposons que l'acier atteint sa limite elastique, ce qui pemet de calculer l'effort normal resultant.

Fig. 8.11 - Limite pivot B - acier dlastique

Moments flkchissants - Vkrifications

Ona:

ECU

y=hpx ECU

+ 6"Ep

Si R < 0, l'acier travaille dans le domaine plastique (P = Pe = Pu). Le calcul se conduit comme precidernrnent en ecrivant l'equilibre des efforts nomaux :

Y=

Pu + Nu 0,8 x b x fcd

Mr = (hp - 0,4 x y) x 0,8 x b x fcd Si R > 0, l'acier travaille dans le domaine elastique (P ep). Deux cas sont possibles :

=

Ap x Ep x

la section est partiellement tendue, la section est totalement comprirnee. On determine l'hypothese a retenir en supposant que la contrainte sur la fibre inferieure est nulle (situation limite entre la section partiellement tendue et totalement comprimee). On a alors :

BIton prkcontraint aux Eurocodes ECU

- .....................

:

EPm

~ E P

b

Fig. 8.12 - Limite pivot B - pivot C

6 ~ =p 6 ' ~ -p ECU x

h-hp h

Si R < 0, la section est partiellement tendue et si R > 0, la section est totalement comprimee. Dans le premier cas (beton partiellement tendu et acier dans le domaine elastique), le calcul est un peu plus coniplexe que precedernment ; en effet, l'equilibre des efforts normaux s'ecrit :

y=hpx

Ecu Ecu + 8'Ep

En remplaqant P et y par leur valeur en fonction de F " E ~on , obtient une equation du 2eme degre en 6 " ~ pde la forme :

0,8xbxfcd Nu b =E C U X ( E ~ ~ + ~ ' E ~ - + ) ApxEp ApxEp

Cette equation n'a qu'une racine comprise entre les valeurs imposees a 8"ep :

En effet, les fonctions P = f(8"~p)et Fb n'existe qu'un etat d'equilibre possible.

=

g(y) etant monotones, il

Dans le cas ou R > 0, la section est entierement comprimee. I1 n'est plus possible d'utiliser le diagramme rectangulaire simplifie des contraintes dans le beton. En compression simple (effort normal resultant applique au centre de gravite), l'etat limite ultime est atteint lorsque la deformation du beton (uniforme sur l'ensemble de la section) est egale a ~ c qui 2 correspond au debut du palier plastique. Les experiences de Riisch montrent que l'on risque une rupture sans accroissement d'effort si l'on maintient un raccourcissement ~ c 2 pendant un certain temps. Les diagrammes de deformations d'une section entierement comprimee sont donc compris entre les deux lirnites suivantes : ECU

Fig. 8.13 - Schimas de diformations dans le biton au pivot C

On a EQIECU= 417 (cf. figure 8.4). On admet qu'on atteint l'etat limite ultime lorsque le diagrarnrne des deformations est du type suivant :


Fig. 8.14 - Position du pivot C

Le point pivot C est le point d'intersection des deux diagranmes limites precedents. Les deformations sur les fibres extremes sont liees par une relation du type : Ec sup =

7 E C ~ - E3 h f 4

Le principe du calcul est le mzme : on h i t d'abord l'equilibre des efforts normaux ; on en deduit les deformations des materiaux, ce qui permet de calculer le moment resistant Mr de la section qui est compare au moment reellement applique. La difficulte reside ici dans le fait que les calculs sont beaucoup plus longs par l'utilisation de la loi exacte de la relation contrainte-deformation pour le beton.

3.5 Exemple d'application On vQifie a l'etat limite ultime la section centrale de la poutre etudiee au paragraphe 2.6 avec une precontrainte moyenne de 5,3 MN a t infini. Le beton a une rbistance caracteristique fck = 35 MPa. Le parametre a vaut 0,85. Les 6 ciibles de type 12T13 sont defmis par les valeurs : A p = 6 x 1116=6696mm2 fpk = 1860 MPa fpO.lk = 1675 MPa Ep = 190000 MPa (valeur foumisseur) ~ u= k 20 %O

La combinaison d'actions a prendre en compte est la suivante :

Pn1 = valeur probable de la precontrainte G 1 = poids propre = 0,O 19 MNlm G2 = charge permanente = 0,02 MNIm Q = surcharges = 0,027 MNIm

= 5,3

MN

Les charges d'exploitation Q ayant des durees d'application tres longues, on fixe a 0,85 la valeur du parametre a (cf. paragraphe 3.3.1). Le moment flechissant dCi aux charges exterieures a I'ELU en situation d'exploitation a pour valeur : lL Mext = (1,35 x (GI + G2) + 1,5x Q) x - = 10,48 MNm 8 Les charges exterieures n'engendrent aucun effort normal (N = 0) : Nu = 0 et Mu = Mext = 10,48 MNm 3.5.1 Calculs prelirninaires Les calculs realises a 1'ELS permettent de calculer les valeurs de Epm et 8 ~ : p

Fig. 8.15 - Schema de contraintes a Z'ELS

166


Les contraintes du beton de la poutre sont alors celles de la figure 8.15 ci-dessus (moyennes des resultats avec la fourchette de precontrainte P 1 et P2). 3.5.2 Comment s'effectue la rupture ? La deformation 6 " ~ pqui amene l'acier a rupture est obtenue en calculant :

ocp = 8,145 +

(6,4 1- 8,145) x 0,2 3

= 7,97 MPa

Ecm = 22000 x [(35 + 8 ) / 1 0 ] = ~ ~34000 ~ MPa OCP Ecm On obtient fmalement la valeur lirnite de 6 " ~ p:

Pour determiner le pivot concerne par la rupture, nous supposons que les deux materiaux atteignent leur limite de deformation. La bonne hypothese de rupture depend du signe de l'effort normal resultant. Si les deux materiaux sont a la limite de la rupture, on a les diagramrnes suivants :

Fig. 8.1 6 - Limite pivot A -pivot B

Moments Jkchissan ts - Virzfications

y=hpx

Ecu 375 = 0,33 m = (2 - O , ~ ) X ECU + 6 " ~ p (33 + 15,6)

Fig. 8.17 - Hauteur comprimke du bkton

La rupture a lieu cc par le beton

)),

au pivot B.

3.5.3 Acier plastique ou elastique ? La limite du fonctionnement elastique est obtenue pour une deformation Epe :

La valeur correspondant de 6 " ~ pvaut alors :

A cette deformation correspond une nouvelle hauteur y de beton cornprime :


La valeur de la force passant par le ciible de precontrainte est inchangee. Elle vaut 9,75 MN. La valeur de la force Fc passant en compression dans le beton devient :

Fc = 6,90 MN. La force de compression du beton est inferieure a la force de traction dans l'acier de precontrainte. A rupture, l'acier est donc dans le domaine elastique. 3.5.4 Acier de precontrainte dans le domaine elastique Nous recomrnenqons le calcul en supposant : que l'acier travaille dans le domaine elastique, que la section est partiellement tendue.

Fig. 8.1 8 - Pivot B et aciers tlastiques

Moments fichissants - V&rzfications

Ecu

y=hpx

ECU+~"EP

-

0,0063 0,0035+S~p

En remplaqant y par sa valeur et en ecrivant l'equilibre des efforts, on obtient :

Cette equation du second degre admet deux racines reelles 1,72/1000 et -6,5/1000. La deuxieme solution n'a aucun sens physique puisqu'elle conduirait a y < 0 et a comprimer l'acier de precontrainte. p sa valeur fmale 1,72/1000, on obtient y= 1,21 En remplaqant 6 " ~ par m et Fc=P=7,80 MN. Cornme 6 " ~ p> 0, on verifie que la fibre inferieure est bien tendue. On calcule ensuite :

Mr =11,8 MNm > Mu = 10,48 MNni : la section resiste a I'ELU. 3.6 Remarque

L'application stricte de 1'Eurocode conduit a separer la force de precontrainte en deux parties. La force Pm resultant des calculs de pertes est consideree cornme une force exterieure. Les variations de la force passant dans les aciers de precontrainte sont des forces internes.

170


Lorsque l'equilibre de la section est atteint, il n'est pas tout a fait conforme au reglement d'ecrire, comme nous l'avons fait jusqu'a present : Next

= Fc - P

On devrait, en toute rigueur, poser : Next + P m = Fc - AP avec :

Cette distinction est cependant purement formelle tant qu'il n'y a pas de coefficient ponderateur associe a la force de precontrainte.

La structure est soumise a une combinaison d'actions qui comprend : les actions permanentes ; les valeurs caracteristiques de la precontrainte (h 10 % autour de la valeur probable) ; la valeur frequente (defavorable) de la temperature ; les charges variables de fatigue. Pour les ponts, 1'Eurocode 1-3 defmit plusieurs modeles de charges de fatigue. Ces n~odelessont caracterises par une geometrie des chargements (pour les ponts-routes, par des charges a l'essieu, des distances entre essieux, l'empattement des roues.. .). On defmit aussi le type de trafic, le nombre de voies, le nombre annuel de passages par voie.. . Sous l'effet des sollicitations qui en resultent, les contraintes sur les matbiaux sont calculees moyennant les hypotheses suivantes : les sections droites restent planes ; le beton tendu ne resiste pas a la traction ; le coefficient d'equivalence pour les aciers passifs est egal a 10 ;

Moments jlkchissan ts - Vkrzjications

171

le coefficient d'equivalence pour les aciers de precontrainte est egal a lox 51 (cf. 2.4) pour tenir compte d'une adherence non parfaite avec le beton. 4.2 VCrification a la fatigue des aciers Pour les ponts-routes, sous l'effet des chargements de fatigue, on calcule une variation de la contrainte dans les aciers. Soit AoEC la valeur de cette variation. Une valeur doit Ctre calculee pour l'acier passif, une autre pour l'acier de precontrainte. La contrainte AoEC est traduite en une etendue equivalente de contrainte par un coefficient correcteur h : Aoeq = h x AoEC Le parametre h se presente comme le produit de facteurs de correction tenant compte des parametres suivants : la portee (en fonction du type de ciible) ; le trafic annuel ; la duree de vie de la structure ; le nombre de voies ; la rugosite de la chaussee (pour tenir compte des effets dynamiques). La valeur de l'etendue de contrainte ainsi obtenue est alors comparee a la valeur de contrainte correspondant au point pivot de la courbe d'endomrnagement de l'acier (cf. V.2.5). La resistance a la fatigue des aciers est suffisante lorsque : Aoea I

Ao(N*)

ou v a t vaut 1,5 pour les aciers qu'ils soient de precontrainte ou de beton arme. Dans les cas oh cette methode sirnplifiee ne peut pas Ctre appliquee, on doit verifier que le taux d'endommagement, calcule selon la regle de Palrngren-Miner, est inferieur ou egal a 1.

BPton prkcontraint a w Eurocodes

172

4.3 Verification a la fatigue du beton Pour le beton comprime, on admet que la resistance a la fatigue est suffisante si l'equation ci-dessous est verifiee : o c max fcd, fat

oc min fcd, fat

Les parametres de cette relation sont les suivantes : ocmax est la contrainte maximale de compression d'une fibre sous la combinaison frequente d'actions ; ocmin est la contrainte minirnale sur la mCme fibre ; la resistance fcd,fat est calculee a partir de la formule :

[ -SIX;

fcd, fat = 0,85 x pcc (to) x 1

ou pcc represente la variation de la resistance du beton en fonction du temps (cf. paragraphe V.1.2.1) et to l'iige du beton au moment du premier chargement. La limite figurant a droite de la double inequation est ramenee de 0,9 a 0,8 pour des betons de plus de 50 MPa de resistance caracteristique. La zone de travail autorisee est representee graphiquement sur la figure 8.19.

Fig. 8.19 - Variation admissible de la compression dtr bkton

Moments jlkchissants - Vkrz&ations

Si ocmin est negatif, la relation a verifier devient : oc max I 0,5 x fcd

Pour les ponts-rails, lfEurocode propose des regles de verification beaucoup plus complexes.

CHAPITRE IX

-

EFFORTS TRANCHANTS

1) CALCUL DES EFFORTS TRANCHANTS 1.1 Definition On appelle effort tranchant dans une section droite d'une poutre la composante, perpendiculaire a la fibre neutre, de la sornme de toutes les forces situees a gauche de la section (ou de l'opposee des forces situees a droite). Pour une poutre droite, a plan moyen, chargee dans ce plan, a fibre neutre horizontale et seulement soumise a des forces gravitaires et aux reactions d'appuis correspondantes, l'effort tranchant est la resultante des forces verticales situees a gauche de la section. Par convention, l'effort tranchant est compte positivement vers le haut. Cl

v

r

Ci

ci+l

V

V

V

Cn

V

V

X

RO

Fig. 9.1 - Efforts appliquks a une poutre isostatique

Remarque : l'effort tranchant est discontinu au droit d'une force concentree. Lorsqu'une poutre est soumise a ce type de forces, la resistance de la poutre doit &treverifiee immkdiatement a gauche et

176


a droite du point &application de la force. C'est en particulier le cas des sections ou sont ancres des cibles de precontrainte. 1.2 Calcul des efforts tranchants 1.2.1 Forces exterieures

L'effort tranchant V(x) dC aux forces exterieures (poids propre, charges perrnanentes, charges d'exploitation, etc) se calcule par les methodes habituelles de la resistance des materiaux. Exemples pour une travee independante :

Fig. 9.2 - Exemples de courbes d'effort tranchant

Dans le cas de charge 2, si la charge p, de longueur constante b, se deplace sur la poutre (c'est-a-dire pour a variant de 0 a 1-b), chaque position de p donne un diagramme d'effort tranchant V(x) du type 2. L'enveloppe des diagrarnmes V(x) quand le parametre a varie est appelee (( courbe enveloppe )) de l'effort tranchant sous l'effet de la charge mobile consideree. C o m e pour les moments flechissants, la determination de l'enveloppe est indispensable pour dimensionner ou verifier une section afin de connaitre les valeurs des extremums de l'effort tranchant. L'outil general d'etude des courbes enveloppes des sollicitations V(x) et M(x) sous les charges est la ligne d'influence en chaque point pour la sollicitation consideree.

Efforts tranchants

I.

ligne d'influence en x

Fig. 9.3 - Ligne d'influence a l'effovt tranchant

Les reglements de charges preconisent genkralement, pour obtenir les sollicitations extremes, de disposer les charges mobiles reparties entre zeros des lignes d'influence ; sur la figure 9.3, on obtient l'effort tranchant minimal (negatif) en x en chargeant entre 0 et x et l'effort tranchant maximal (positif) entre x et 1. La longueur d'application des charges reparties, qui peuvent s'exercer sur toute ou partie de la poutre, est alors egale a la distance entre deux zeros consecutifs de la ligne d'influence. La densite de charge est souvent une fonction de la longueur sur laquelle s'appliquent les efforts ; il est alors necessaire d'etudier plusieurs cas possibles de chargement sur la figure 9.4, l'effort tranchant minimal en x dii aux charges variables est obtenu sous l'un des cas de charge a, b ou c.

(c )

x

7

ligne d'influencr en x

Fig. 9.4 - Cas de chargement donnant l ' e f j t tvanchant minimal en x

Pour une poutre isostatique avec une charge repartie q constante et x variant de 0 a 1, les courbes enveloppes d'effort tranchant ont des formes paraboliques.

178


Fig. 9.5 - Enveloppe d'effort tranchant dans unepoutre a une travke

1.2.2 Precontrainte Considerons un ciible faisant un angle a avec la fibre moyenne d'une poutre droite.

Fig. 9.6 - Effet de l'inclinaison de la force de prgcontrainte

L'action P du ciible de precontrainte sur la section peut se decomposer en deux forces : l'une N nomale a la section, l'autre Vpd situee dans le plan de la section et dirigee cc vers le bas )).

Vpd = P x sin(a) N > 0 est une compression : c'est l'effort normal de precontrainte. Compte tenu de l'inclinaison du ciible sur la figure 9.6, Vpd > 0. Vpd represente l'effort tranchant de precontrainte.

Eforts tranchants

179

1.2.3 Effort tranchant reduit L'effort tranchant total V(x) dans une section d'une poutre isostatique s'ecrit, independamment des eventuels coefficients partiels de securite a prendre en compte selon la combinaison de calcul :

avec : Vg(x) = effort tranchant dii aux charges permanentes Vq(x) = effort tranchant dii aux charges variables Vpd(x) = effort tranchant dii a la precontrainte. En fonction du signe de sin(a), l'effort tranchant de precontrainte peut donc Ctre favorable ou defavorable selon qu'il se cumule ou se retranche a celui dii aux forces exterieures. Dans la majorite des cas, il se retranche en valeur absolue et l'effort tranchant total obtenu est appele (( effort tranchant reduit )). 1.2.4 Exemple On considere la poutre console defmie ci-dessous. I1 s'agit de determiner l'allure du diagramme de l'effort tranchant de poids propre et de la comparer a celle du diagramme de l'effort tranchant de precontrainte.

idroitei

parabole

dte

!

parabole atb

parabole

Fig. 9.7 - Gionzetrie de la poutre et du crible

idroit6

Bkton prkconhaint aux Eurocodes

180

Effort tranchant de poids propre Vg(x) :

Fig. 9.8 - Effort hanchant de poids propre

Effort tranchant de precontrainte Vpd(x) : L'effort tranchant isostatique de precontrainte vaut Vpd = Pxsin(a). On suppose, pour simplifier, que P est constante. Dans la realite, P est variable le long du ciible du fait des pertes et chutes de precontrainte. Les angles a etant petits, sin(a) varie quasilineairement entre A et B, C et D, E et I.

Fig. 9.9 - Effort tranchant de prkcontrainte

L'effort tranchant reduit Vg(x)-Vpd(x) resulte alors de superposition de deux courbes 9.8 et 9.9.

la

1.2.5 Remarques 1. Dans l'exemple ci-dessus, la precontrainte compense bien l'effort tranchant dans la partie gauche de la poutre. Son effet est pratiquement nu1 au voisinage irnmediat de l'appui de droite. Ceci a peu d'importance dans la pratique car le beton beneficie localement d'une precontrainte verticale due a la reaction d'appui.

Efforts tranchants

181

2. Certains auteurs pensent qu'au droit d'un ancrage, la precontrainte n'etant pas encore diffusee, il y a lieu d'introduire celle-ci progressivement sous la forme d'un diagrarnme de type parabolique. Pour aller dans le sens de la securite, on verifie les sections situees immediatement a gauche et a droite d'un ancrage, en prenant en compte soit zero, soit la totalite de l'effort tranchant dQau cPble ancre cornme indique ci-dessous.

Theorie

Pratique

Fig. 9.10 - Effort tranchant pour un ccible ancre en travke

3. La precontrainte des poutres hyperstatiques induit des reactions d'appuis supplementaires RH. I1 faut tenir compte de ces reactions dans le calcul de l'effort tranchant. Au total, l'effort tranchant V(x) dans une section a pour expression :

Vg(x)+Vq(x) : effort tranchant dQ aux forces exterieures dans la poutre supposee non precontrainte Pi x sin&) : effort tranchant dii au cPble i traversant la sect~on RHj : reactions hyperstatiques dtappu.issituees a gauche de la section et creees par la precontrainte.

B Pton prkcontraint aux Eurocodes

2) CISAILLEMENTS

Les deformations dues aux contraintes de cisaillement sont tres petites (negligeables devant celles qui resultent des contraintes normales) ; cette particularite a deux consequences importantes pour la securite : une rupture par cisaillement ne previent pas et presente un caractere fragile ; dans un systeme hyperstatique, il n'y a pas de redistribution d'efforts comparable a celle que l'on observe avec les moments flechissants (il n'y a pas de cc rotule )) plastique a l'effort tranchant). C'est pourquoi il y a lieu d'stre tres prudent dans dimensionnement des structures vis-a-vis de l'effort tranchant.

le

2.2 Calcul des contraintes 2.2.1 Rappel La contrainte de cisaillement z, a une ordonnee 6, a pour expression z(6) = V X C L ( ~ ) Ixbw

Fig. 9.11 - Calcul des cisaillements

z : contrainte de cisaillement le long d'un axe 6 (7 est constante le long de cet axe) V : effort tranchant reduit applique a la section I : inertie de la section calculee par rapport a un axe Gz passant par le centre de gravite G et perpendiculaire a V p(6) : moment statique calcule par rapport a l'axe Gz de la partie de la section situee au-dessus (ou au-dessous) de l'axe 6 :

bw : largeur de la section a la cote 6. L'application de cette fomule aux sections couramment utilisees en genie civil montre que la contrainte de cisaillement z est maximale au droit du centre de gravite.

Fig. 9.12 - Variations de la contrainte de cisaillement

En beton precontraint, il faut tenir compte de la presence des gaines qui reduisent localement l'epaisseur utile de l'iime des poutres. ...................................... ......................................

G ..................................................................... ........................................................ .......................................................

OI:_':.

zmax

............................................................ Fig. 9.13 - Effet de la presence d'une gaine

En realite, les gaines sont generalement remplies de coulis d'injection. On admet de tenir compte, d'une certaine faqon, de la

184

Beton precontraint aux Euvocodes

presence de coulis et du cdble a l'interieur de la gaine. Les calculs de cisaillements sont effectues en prenant une largeur nette bw,nom egale a la largeur brute bw diminuee de la moitie du diametre exterieur @ des gaines de precontrainte (ou de la somrne des diametres s'il existe plusieurs gaines a la mime position verticale) :

Pour des gaines non injectees, la largeur nominale devient : bw, noni = bw - 1,2x @ Dans les poutres courantes, en T ou en I, ou l'dme est d'epaisseur constante, T varie peu sur la hauteur de l'iime. Aussi, est-il d'usage de calculer T au centre de gravite en deduisant de son epaisseur bw l'effet des gaines de precontrainte, mCme si ces demieres ne sont pas exactement situees au centre de gravite de la section consideree. I1 s'agit d'une approximation admissible car elle va dans le sens de la securite. I1 serait dangereux de l'appliquer a certaines poutres dont l'dme est d'epaisseur fortement variable (exemple d'une poutre (( bouteille D ).

critique

Fig.9.14 - Poutve (( bouteille w

Dans les poutres non precontraintes (beton arme ou acier), on dissocie generalement le calcul des cisaillements du calcul des contraintes normales. En effet, la valeur de T est maximale au centre de gravite oh la contrainte o est nulle et o est maximale sur les fibres extremes oh z est nul. On admet, en general, que la resistance de la section est globalement assuree si les valeurs maximales de T et o satisfont, independamment l'une de l'autre, aux conditions reglementaires.

185

Efforts tranchants

I1 n'en est pas de meme en beton precontraint puisque la contrainte normale n'est pas nulle au centre de gravite (elle est egale a PIAc). C'est le couple (o,z) qu'il faut prendre en compte pour la verification des cisaillements. Cela a pour consequence que la verification de z au centre de gravite n'est pas toujours la plus defavorable. Dans certaines structures, il faut egalement verifier les sections d'enracinement des iimes sur les membrures supkieures ou inferieures des poutres.

Fig. 9.,I5- Enracinement a"mes/membrures

2.2.2 Contraintes autour d'un point - cercle de Mohr En mecanique des milieux continus, on demontre que le lieu des extremites du vecteur contrainte ( o , ~ autour ) d'un point 0 sur une facette tournant autour de ce point est represente par un cercle dit cercle de Mohr. Lorsque le plan passant par 0 tourne de cp, le ) de -2cp sur le vecteur contrainte represente par le point ( o , ~ tourne cercle de Mohr. Deux plans perpendiculaires dans l'espace correspondent a deux points diametralement opposes sur ce cercle. 2.2.3 Construction du cercle de Mohr Considerons deux plans Ox et Oy, respectivenient parallele et perpendiculaire a la fibre neutre de la poutre. Sur ces plans s'exercent les contraintes suivantes :

Fig. 9.16 - Contraintes autour d'un point

186


L'extremite M du vecteur contrainte sur Oy a pour coordonnees o x et z. L'extremite N du vecteur contrainte sur Ox a pour coordonnees o y et -7. Les plans Ox et Oy faisant un angle de 90°, les points M et N sont les deux extremites d'un diametre du cercle de Mohr.

Fig. 9.1 7 - Cercle de Mohr autour d'un point

On determine aisement les caracteristiques du cercle de Mohr : + OY) Abscisse du centre = (a

Rayon : R~ = z2 + ( Equation du cercle : 4z2 + (20 - ox - oy)' = 4R 2 On en deduit les deux contraintes principales : contrainte principale maximale :

contrainte principale minimale :

187

Efforts tranchants

L'angle 8 que fait le plan sur lequel s'exerce la contrainte principale minimale (generalement une traction) avec le plan Ox est defini par : tan(28) =

21: ox-oy

Cet angle definit par consequent une inclinaison probable des fissures par rapport a la fibre neutre de la poutre. 2.2.4 Courbe intrinseque Soit C le cercle de Mohr representatif de l'etat de contraintes autour d'un point sous une sollicitation donnee. Si on augmente toutes les contraintes dans un mCme rapport de proportionnalite K, on obtient un nouveau cercle de Mohr homothetique du premier. La rupture du materiau se produit en ce point pour une certaine valeur Kr du rapport K. Le cercle de Mohr correspondant, Cr, est dit (( cercle de rupture )). On appelle courbe intrinseque la courbe enveloppe des cercles de rupture tels que Cr. Le cercle de rupture en compression simple et le cercle de rupture correspondant a la traction simple sont tangents a la courbe intrinseque.

compression simple

-ot

<-

courbe intrinseque

Fig.9.18 - Courbe intrins2que du bPton

188


3) ~ ~ R I F I C A T I OAUX N ETATS LIMITES DE SERVICE Contrairement a ses predecesseurs, 1'Eurocode 2 n'impose aucune verification des contraintes de cisaillement du beton aux etats lin~itesde service. En tant que de besoin, on peut verifier les risques de fissuration du beton en se referant aux regles utilisees par le BPEL avec quelques reserves concernant la compatibilite de ces regles avec les cas de chargement. On defmit un domaine de securite interne a la courbe intrinseque de fagon a garder une certaine marge vis-a-vis de la rupture. courbe intrinseque I

domaine de

Fig. 9.1 9 - Domaine de skcuritk (o,Z)

Plusieurs defmitions de la courbe intrinseque ont ete etablies par divers chercheurs. Par exemple, Caquot modelise la courbe intrinseque du beton sous la forme d'une branche d'hyperbole. Une autre formulation possible consiste a chercher une relation entre ox et z representant la contrainte sur une facette telle que le cercle de Mohr correspondant (qui est entierement defini par le couple ox, z quand o y = 0) soit tangent a la courbe intrinseque. Challos et Beteille demontrent que la courbe intrinseque defmie par Caquot est equivalente a une relation ( o , ~representant ) une ellipse. Pour tenir compte de resultats experimentaux et en integrant des coefficients de securite, le BPEL modifie cette formulation indirecte du domaine de securite.

Efforts tranchants

189

Ce domaine est limite par deux courbes ; l'une, dans la zone des faibles compressions longitudinales, limite les risques de rupture par fissuration du beton ; l'autre, dans la zone des fortes compressions, limite le risque de rupture par un exces de compression cumule a l'effet du cisaillement. Ce domaine, dans le cas general ou la contrainte o y sur une facette parallele a l'axe neutre est nulle, est defini par les expressions suivantes dans le cas ou o x 2 0 :

2

7

I 2 ~ - ftk ~ ( 0 , 6 x f c k - ~ ) x ( f t k + - )2ox fck 3

La courbe limite est donc definie par : u.n arc de parabole un arc d'ellipse

si o x I 0,4 fck si o x 2 0,4 fck

Fig. 9.20 - Vkrzfication des cisaillements selon le BPEL

Dans le cas ou o x < 0, ces deux expressions sont remplacees par :

avec : 7 = contrainte de cisaillement

ox = contrainte normale appliquee a la section droite.

190


4.1 Hypothkses de calcul On admet que la poutre se fissure perpendiculairement a la direction de la contrainte principale de traction. Pour eviter la rupture de la piece, il est necessaire de mettre en ceuvre des aciers de couture de ces fissures. Ces aciers sont, la plupart du temps, constitues d'etriers passifs perpendiculaires a l'axe de la poutre et ancres pres des fibres inferieure et superieure de la poutre. Apres fissuration, la poutre peut etre assimilee a une poutre treillis dont les diagonales comprimees sont constituees par les tr bielles )) de beton et les diagonales tendues par les etriers passifs. etriers passifs

fissures

bielles comprimees Fig. 9.21 - Fonctionnement en treillis

Ces etriers sont espaces regulierement de s et les bielles de beton sont inclinees d'un angle 8 sur l'horizontale. En theorie, au moment de l'apparition de la fissure, tan(28) = 2zIox puisque cela correspond a la direction de la facette sur laquelle s'exerce la contrainte de traction la plus importante.

EfJorts tranchants

Asw

Fig. 9.22 - Treillis compose de bielles comprimkes et d'ktriers tendus

La reprise des efforts sur une fissure est assuree par un nombre n d'etriers. Pour determiner ce nombre, il faut d'abord determiner la longueur lb de la fissure selon l'axe de la poutre. Geometriquement, on obtient simplement :

Dans cette formule, Z est la distance separant les membrures de la poutre supposee fissuree ; par simplification, on prend Z = 0,9 x d ou d est la distance entre la fibre comprimee et l'armature tendue (precontrainte ou acier passif) la plus Cloignee. Le nombre d'etriers espacts de s equilibrant une bielle est egal a :

Soit Asw la section d'un cours d'etriers et ost la contrainte dans les etriers. Apres projection des efforts sur une perpendiculaire a l'axe neutre, l'equilibre s'ecrit :

Les contraintes dans les materiaux sont alors :


dans les etriers : ost =

Zx Asw

x s x tan(8)

dans les bielles de beton :

Fig.9.23 - Compression des bielles de bkton

Chaque bielle a pour bw,nom. On a donc : oc =

ct

largeur )) Z x cos(8) et pour epaisseur

2v Fc bw, nom x Z x cos(8) bw, nom x Z x sin(28)

4.2 SCcurite vis-a-vis de la rupture

Lorsqu'on augmente l'effort tranchant applique a une section de poutre, on obtient la fissuration de la poutre pour une contrainte de cisaillement .rr telle que la contrainte principale de traction atteigne la contrainte de rupture du beton. Une fois la fissure formee, les etriers sont mis en traction. La piece est rompue lorsque se produit soit la rupture des etriers en traction, soit l'ecrasement du beton des bielles. Cette approche, qui est la plus satisfaisante sur le plan scientifique, est difficile a mettre en muvre essentiellement par le fait que la resistance du beton a la traction est tres aleatoire (les resultats des mesures sont beaucoup plus disperses que ceux des mesures de resistance a la compression). De plus, la direction reelle de la fissure est influencee par des phenomenes parasites (densite du ferraillage, defaut local du beton, efforts secondaires negliges dans les calculs.. .).

Efforts tranchants

193

0 ultime

0 reel

Fig. 9.24 - Inclinaison des$ssures d'effort tranchant

Le reglement se contente d'une verification globale. L'angle 0 est laisse a l'appreciation du projecteur dans la fourchette :

A l'etat limite ultime, la resistance a l'effort tranchant est egale a la plus faible des deux valeurs Vrd,sy et Vrd,max.

Le premier terme represente la resistance des etriers travaillant a la lirnite elastique reduite par le coefficient ys. fYkx Vrd. sv = Asw x -

z

ou fyk est la limite elastique de l'acier constituant les etriers et ys le coefficient partiel de securite (soit 1,15 sauf combinaison accidentelle). Le deuxieme traduit la limite de la resistance du beton des bielles a la compression.

avec fck en MPa pour fck > 60 MPa, 0,6 autrement. fck fcd = -

avec yc = 1,15

194


K exprime la variation de la resistance au cisaillement en fonction de la compression longitudinale du beton. Si ocp est la contrainte moyenne dans la section : K = 1 + ocp Ifcd K = 1,25 K = 2,5 (1- ocplfcd)

si 0 < ocp I 0,25 fcd si 0,25 fcd < ocp I 0,5 fcd si 0,5 fcd
Par ailleurs, pour assurer une ductilite suffisante, on vkifie que : Asw x fyk

1 I -vl x fcd

Cette derniere condition est justifiee egalement car, a partir d'un certain taux de ferraillage, l'augmentation de la quantite d'etriers n'a pratiquement plus aucune influence sur la resistance a l'effort tranchant. L'Eurocode impose, vis-a-vis de l'effort tranchant, un minimum d'amatures dont au moins 50 % sous forrne d'etriers ou de cadres. Le minimum est donne par : Asw

, 0,08Jfck

Par ailleurs, pour repartir au mieux le ferraillage, on doit respecter un espacement maximal smax de 0,75 d et au plus 40 cm. De meme, l'espacement transversal des armatures de renfort est limite par 0,75 d et 60 cm.

5) EXEMPLE On considere une poutre de section rectangulaire, de hauteur h = l m (d = 0,95 m), et d'epaisseur nette bn = 45 cm. Elle est soumise aux efforts tranchants suivants : charge pemanente = 0,300 MN surcharges = 0,27 MN

195

Efforts tranchants

A l'etat limite ultime, l'effort tranchant est 1,35 x 0,3 + 1,5 x 0,27 = 0,8 1 MN. La contrainte normale au centre de gravite est alors egale a 3 MPa.

Le beton constitutif de la poutre a les caracteristiques suivantes : fck = 40 MPa ; fctm = 3,5 MPa et donc ftk = 0,7 x fctm = 2,45 MPa. La poutre comporte des etriers passifs de 500 MPa de limite elastique. On se propose de verifier les contraintes dans le beton et de determiner les etriers a mettre en oeuvre.

5.1

tats limites de service (calcul de type BPEL) v v - 0,3 + 0,27 = 1,48 MPa z= bw, nomx Z

bw, nomx 0,9d -

-

p

zldml= /O,4 x ftk x (ftk +

zadm2 = ,/2~:k

0,45 x 0,855

2xox ) = 2,09 MPa 3

x(0,hxfck-m)x(ftk

+ 2 x m ) = 3,38 MPa 3

On a bien .r < zadmissible = min(.radml,.radm2) = 2,08 MPa.

5.2

tats limites ultimes

Aux ELU, l'angle Qu, calcule a partir des contraintes, serait :

On prendra fmalement une valeur de 30" soit tan(@)= 0,58.

196

Bdton prdcontraint aux Eurocodes

5.2.1 Limite de resistance du beton

Vrd, max = 0,45 x 0,855 x 0,6 x 26,7 x

sin(2 x 30") x 1,ll = 3,44 MN 2

> 0,81 MN

Le beton des bielles resiste largement a la compression. 5.2.2 Dimensionnement des etriers On doit verifier : vus-

Asw

fyk

x-xzx

1

,

Asw 0,8 1x 1,15x tan(30°) s 500x 0,855 Asw

2 0,00126 m

S

Si l'ttrier est constitue de 4 HA10 (Asw = 3,14 cm2),on obtient alors s 2 25 cm.

Efforts tranchants

Fig. 9.25 - Principe de ferraillage passf

On verifie aussi : Asw x fyk 1 = 1,21 MPa 5 -v x fcd = 6,72 MPa ysx bw,nomxs 2 Le ferraillage minimum d'effort tranchant impose : Asw > O,OS Jfck sxbw,nom fyk

Asw > 0,45x 0,08440 = 0,00046 m s 500 avec s 5 0,75 d = 71 cm et s140 cm Le ferraillage dimensionne a I'ELU et constitue de 4 HA10 tous les 25 cm est donc suffisant.

6) PR~CONTRAINTEVERTICALE Lorsque la resistance des pieces aux efforts tranchants est insuffisante, il est possible de la renforcer par une precontrainte presentant une forte inclinaison sur la fibre neutre (generalement perpendiculaire). Cette precontrainte est assuree par des armatures courtes, tendues entre la fibre superieure et la fibre inferieure et espacees de s'. Ces armatures de precontrainte sont appelees etriers actifs. On introduit ainsi une composante o y de compression sur une facette horizontale )).

198


6.1 Effet sur le cercle de Mohr Cette technique presente deux avantages sur un plan theorique : elle deplace le centre du cercle de Mohr vers les compressions et, de ce fait, elle diminue la contrainte principale de traction ; elle diminue le rayon du cercle de Mohr, donc l'intensite du vecteur contrainte.

cercle avec o

Mohr 0

Fig. 9.26 - Effet d'une contrainte verticale sur le cercle de Mohr

Si o y est assez grand (oy 2 ox), on supprime en theorie toute contrainte de traction dans le plan Ox,Oy ; dans ce cas, le plan Ox,Oy n'est pas le plus defavorable et il faut considerer les deux autres plans de l'espace (Ox,Oz et Oy,Oz). Dans certains cas exceptionnels, on met alors en ceuvre une precontrainte tridimensionnelle.

Fig. 9.2 7 - Cercles de Mohr pour trois plans orthogonaux

199

EfSorts tranchants

Soit P la precontrainte longitudinale et P' l'effort de traction d'un etrier actif incline de a' par rapport a l'axe de la poutre.

Fig. 9.28 - SchPma de pricontrainte verticale

L'ensemble des efforts agissant sur une section donnee conduit aux valeurs de contraintes ci-dessous : au centre de gravite :

2=

VxCL - P' x cos(a') I x b w bwxs'

sur la fibre d'ordonnee y :

Ixbw

bnxs'

\

/

L'orientation theorique 8 du plan presentant la plus grande contrainte de traction est donnee par :

200


6.2 Conditions de skcuritk a I'ELU

Dans le cas ou la poutre comprend des etriers passifs et actifs perpendiculaires a la fibre moyenne et espaces respectivement de s et s'et inclines de a et a' par rapport a la fibre neutre, il convient d'adapter les formules du paragraphe 4.2. On obtient par exemple : Asw Vrd, sy = s

sill a tan(8)

ou P'k est la force a rupture de l'etrier actif. 6.3 Remarques

Les armatures de precontrainte inclinees c o m e les etriers passifs sont, la plupart du temps, verticales meme si cela ne correspond pas a l'optimum theorique. Cela simplifie grandement les calculs et surtout la realisation sur le chantier. Malgre son interst theorique, la precontrainte verticale est resewee aux cas exceptionnels a cause de son coiit (grand nombre d'ancrages), aux difficult& de mise en tension (ciibles de faible longueur avec des risques de pertes importantes par recul d'ancrage) et a la complication &implantation des differents type &armatures (encombrement des etriers actifs, plaques d'ancrages situees sur le passage des armatures transversales).

7) TORSION Le principe de verification d'une poutre precontrainte vis-a-vis de la torsion est tres proche du principe de verification a l'effort tranchant. On verifie que le moment de torsion applique est inferieur au moment rbistant des bielles de beton comprimees et a celui des armatures. L'Eurocode propose par ailleurs une formule permettant de verifier les bielles de beton sous l'effet concomitant d'un effort tranchant et d'un moment de torsion. Cette formule prend notamment en compte

la forme plus ou moins caisson).

((

creuse )) de la section (section pleine ou

Les calculs des st~ucturessoumises a des moments de torsion exigent de definir avec beaucoup de precaution la convention de signe concernant les cisaillements de torsion qui viennent en majoration ou en reduction des cisaillements d'effort tranchant.

CHAPITRE X - DIFFUSION DE LA PR~CONTRAINTE

La diffusion de precontrainte, liee a la mise en auvre de forces concentrees sur le beton, est un phenomene complexe qui ne peut itre traite de fagon precise qu'a l'aide de programmes de calculs sophistiques ou en faisant appel a l'experimentation (essais sur maquette, photoelasticimetrie). La pathologie des premiers ouvrages precontraints apporte aussi nombre de renseignements sur ce phenomene. Les regles ci-apres resultent d'une modelisation simplifiee du raisomement et s'efforcent de cemer la realite au plus pres, tout en conduisant a des calculs simples realisables a la main. Ces regles, valables pour la post-tension, sont a adapter en precontrainte par adherence. La diffusion est un phenomene tridimensiomel. Dans une poutre classique en T ou dans un caisson, l'effort de precontrainte ancre dans l'iime se diffuse d'abord dans l'ime puis dans les membrures superieure et inferieure de la poutre. Par simplification, nous n'examinons ci-apres que ce qui se passe dans un plan vertical de la poutre.

2) SECTION D'ABOUT 2.1 Ancrage centr6

Considerons une piece prismatique, de section rectangulaire (b x h) et un cable rectiligne de force P, ancre au centre de gravite de la section d'extremite.

204


Fig. 10.1 - Section d'about avec un ancrage centre

Dans une section courante de la poutre, la contrainte normale vaut o = P/bh. Cette expression n'est pas applicable au voisinage imrnediat de l'ancrage ; en effet, il existe une zone situee derriere l'ancrage ou les contraintes n'obeissent pas a la loi de Navier. Les formules habituelles de la resistance des materiaux reposent sur le principe de Saint-Venant et ne permettent donc pas de savoir ce qui se passe G pres )) des efforts concentrh que sont les forces de precontrainte sous ancrage. Une zone dite de regularisation permet a la force concentree de se transformer )) en contraintes distribuees selon une loi lineaire. Dans cette zone, le beton est soumis a un systeme complexe de contraintes normales et tangentielles dont certaines doivent &re equilibrees par des aciers passifs, faute de quoi on observe un eclatement et une fissuration du beton lors de la mise en tension. Des etudes theoriques et expkimentales, effectuees en particulier par Guyon, montrent que : la longueur lr de la zone de regularisation est a peu pres egale a la hauteur h de la piece ; les isostatiques de compression s'evasent progressivement a partir de la plaque d'ancrage qu'on peut supposer infiniment rigide ; des efforts importants de traction, perpendiculaires a l'axe du ciible, sollicitent le beton : - immediatement sous l'ancrage (efforts de surface), - a I'intQieur, sous la forme d'un rognon d'eclatement situk dans la deuxieme moitik de la zone de regularisation ; on constate l'existence de contraintes de cisaillement paralleles a l'axe du ciible.

Diffusion de la prkcontrainte

d'eclatement

Fig. 10.2 - Diffusion de la prkcontrainte pour un ancrage centrk

2.2 Ancrage excentre Considerons la mCme poutre que ci-dessus, mais avec un cdble de precontrainte excentre. Le trace des isostatiques n'est plus symetrique.

Fig. 10.3 - Diffusion de la prkcontrainte pour un ancrage excentrk

On constate que le rognon d'eclatement est moins etendu que dans le cas precedent. On peut admettre que la precontrainte se diffuse en deux phases : une premiere phase a l'interieur d'un prisme symetrique de dimensions b x b (b = 2c, c etant la distance de l'axe de l'ancrage a 1'arCte la plus proche), une deuxieme phase, dite d'equilibre general, sur une longueur lr = h.

206

Bdton prdcontraint aux Eurocodes

2.3 ModClisation de I'effet dlCclatement 2.3.1 Cas d'un ancrage centre Le fonctionnement du beton dans la zone de regularisation peut, notamrnent, Ctre modelise grdce a un systeme de bielles et de tirants (modele de Morsch). Pour une force P centree, exercee sous une plaque d'ancrage de dimension ao, on schematise deux bielles de beton comprimees de longueur hl2 selon l'axe de la poutre. Pour Ctre en equilibre, ces bielles mobilisent un effort de traction Fs qui doit Ctre repris par des aciers passifs.

-

P ao-t-

t

. .....,'*.

PI2

-

-

t

t

+<

t

t

1

Fs

Fig. 10.4 - Modilisation par bielles et tirants

Connaissant la geometrie des bielles, on obtient simplement la valeur de Fs en ecrivant l'equilibre du bloc situe au dessus de la ligne Ao Ao' parallele a l'axe de la poutre et passant par le milieu de la plaque d'ancrage. Parallelement a la fibre neutre, la moitie PI2 de l'effort passant dans la plaque d'ancrage au-dessus de AoA'o est equilibree par la compression uniforme du beton sur la hauteur hi2 de la poutre. L'effort vertical Fs est equilibre par un effort de compression du beton, de direction opposee, au point de rencontre des deux bielles. En ecrivant l'equilibre des moments auxquels est soumis le bloc, on determine Fs :

Diffusion de la prkcontrainte

d'ou :

2.3.2 Generalisation Lorsqu'il y a plusieurs ancrages dans la section, on calcule les forces de traction dans les armatures en Ctudiant l'equilibre de la zone de regularisation consideree cornme une poutre << verticale >>. On determine d'abord, pour chaque ancrage, la hauteur b de la zone de beton interessee par cet ancrage ; cette zone est appelee prisme symetrique de l'ancrage. La dimension b est la plus petite des deux valeurs suivantes : la distance a l'ancrage voisin le plus proche ; le double de la distance a la fibre superieure ou inferieure la plus proc he. On construit, sous chaque ancrage, un systeme de bielles et de tirants identiques au cas d'un ancrage centre ; la longueur, selon l'axe de la poutre, des bielles de beton comprime est bl2 (cf. figure 10.5). En utilisant la repartition linkaire des contraintes de compression du beton calculee selon la resistance des materiaux a la fin de la zone de regularisation, on peut, comme precedernment, calculer la force de traction dans le tirant relatif a chaque ancrage. I1 suffit d'ecrire l'equilibre des moments du bloc de beton situe au-dessus de chaque ancrage. Un calcul identique realise a mi-distance entre chaque ancrage permet d'obtenir, a cette cote, l'effort << vertical >> de traction dans le beton (F12 sur la figure 10.5 ci-dessous) et qu'il faut, de la mkme faqon reprendre par des aciers passifs. Les forces Fs de traction, calculees a chaque niveau, sont traduites en section minimale d'aciers As par la relation : As = Fs x ys 1 fyk. Les aciers sont distribues sur une distance longitudinale egale a 0,9 fois la hauteur b de beton interessee par chaque ciible.


Fig. 10.5 - Modklisation de la dzflusion avec ancrages multiples

Pour eviter des armatures de trop faible longueur, on peut adopter, sur toute la hauteur de la poutre, une section d'aciers egale au maximum des sections calculees pour chaque ancrage. Cette modelisation est aisement adaptee pour des ciibles inclines, en tenant compte des cisaillements sur la section de regularisation. Vis-a-vis des efforts de surface, I1 est necessaire de mettre en place un minimum d'aciers passifs egal a 0,15 % de la section de beton. 2.4 Compression du beton sous les plaques d'ancrage

Le beton situe sous les plaques d'ancrage est tres fortement comprime par la force de precontrainte. Si Ao est l'aire de la plaque d'ancrage, la contrainte moyenne d'appui de la plaque sur le beton est :

Diffuon de la prkcontrainte

fck La valeur lirnite est egale a : o c max = k x avec k egal a la plus petite des deux valeurs :

Aoh est l'aire maximale, homothetique de Ao, centree sur le point d'ancrage, qu'il est possible d'inscrire dans l'aire reelle de beton. Le coefficient de securite partiel yc concernant le beton a la valeur habituelle de 1 3 .

3) DIFFUSION VERS L'AMONT

I I I 1 I I I I

Dans de nonibreux ouvrages, il est necessaire d'ancrer des ciibles non seulement a l'about des poutres, mais aussi en milieu de travee. C'est bien entendu le cas pour les ponts en caisson, construits par encorbellements, dans lesquels il est frequent que l'on ancre des ciibles dans des bossages en saillie sur le hourdis inferieur. Lors de la mise en tension d'un tel ciible, le beton situe directement a l'aval de l'ancrage se raccourcit sous l'effet des contraintes de compression. Ce raccourcissement du beton a l'aval provoque, par entrainement, un allongement du beton a l'amont de l'ancrage, et donc sa mise en traction.

i

deformees des

4

1

I

fibres transversales du hourdis

Fig. 10.6 - DSffusion de la prkcontrainte ancrie en hourdis infirieur

Dans le cas d'un hourdis d'epaisseur constante, de longueur infmie et parfaitement encastre sur ses bords, on demontre que la force de precontrainte est transmise aux iimes moitie par compression, moitie par traction. I1 est necessaire de disposer a l'amont des ancrages un ferraillage pennettant de reprendre ces efforts de traction et d'assurer la couture du hourdis sur les iimes. Vers l'aval, le beton reqoit une force

210


concentree ; il faut donc assurer correctement sa diffusion. I1 existe donc une section de regularisation tant a l'aval qu'a l'amont de l'ancrage. Eventuellement, la section de regularisation aval peut, a un moment de la construction, Ctre une section d'about. Les aciers de diffusion de cette zone doivent Ctre dimensionnes avec cette hypothese. C'est notarnrnent le cas pour la construction des ponts par encorbellements. Des verifications complementaires sont necessaires lorsqu'il n'est pas possible de donner aux aciers longitudinaux la longueur voulue, par exemple a proximite d'un joint colle.

4) ZONES D'APPUI SIMPLE D'ABOUT Dans les structures precontraintes usuelles, l'about des poutres est aussi une section d'appui. Aux phenomenes de diffusion de precontrainte, s'ajoute l'impact d'une force concentree verticale correspondant a la reaction d'appui. Deux autres verifications sont necessaires ; elles concernent : l'equilibre de la bielle d'about delimitee par une fissuration partant du nu interieur de l'appui ; si necessaire, il faut prevoir un renforcement des etriers dimensionnes a l'effort tranchant ;

.

......

L

t

Fissuration de la bielle d'about

.. . . . ...

Fig. 10.7 - ~ ~ u i l i bde r ela bielle d 'about

l'equilibre des coins inferieurs delimites par une fissure partant du nu interieur de l'appareil d'appui et rejoignant le coin inferieur de chaque plaque d'appui. Cette condition permet de definir des aciers de couture, normalement horizontaux.

Dgusion de la prkcon trainte

,

Plaque d'ancrage

Rupture du . . -. . coin inferieur >*.

-

Fig. 10.8 - Equilibre d'un coin infkrieur

Ces aciers sont dimensionnes de f a ~ o na limiter l'inclinaison de la resultante sur chacun des plans de glissement potentiel a un angle cp est de l'ordre de atan(213) = 33,7O.

1.1 Inclinaison de la fibre neutre

I

Lorsque la fibre moyenne des poutres n'est pas horizontale, les forces dues a la pesanteur ne sont plus paralleles aux sections droites, mais font avec elles un angle 8. L'angle 8 est aussi l'angle que fait l'horizontale par rapport aux normales aux sections ; il est compte positivement dans le sens trigonometrique a partir de la fibre moyeme.

.............................

I

I

!

Fig. 11.1 - Effet de l'inclinaison de la Jibre neutre

L'effort tranchant V et l'effort normal N s'exerqant sur une section droite sont :

BPton prbcontraint aux Eurocodes

214

H et Q sont respectivement les composantes horizontale et verticale de la resultante des forces exterieures situees a gauche de la section droite, y compris les reactions d'appui. P est la force exercee par la precontrainte agissant sur la section. Si, au lieu de considher la section droite de la poutre, on avait etudie une section verticale, les efforts V et N sur cette section verticale auraient ete :

-

Dans les cas courants, on peut souvent negliger l'effet dQ a l'inclinaison de la pente : cos(8) vaut 0,985 1 pour une poutre inclinee a 10 % sur l'horizontale. On retrouve alors la formu~lehabituelle :

Remarque : connaissant la geometrie du beton, par exemple un caisson d'intrados parabolique, il n'est pas trivial de determiner la fibre neutre qui est, par definition, le lieu des centres de gravite des sections droites (donc perpendiculaires a la fibre neutre). 1.2 Effet Rksal Hourdis supkrieur

......-......... ......................... ........... . . a*..

Fibre moy

~ o u r d i infkrieur s Fig. 11.2 - Caisson de hauteur variable

I I 1

Considerons la section droite d'une poutre caisson de hauteur variable dont les fibres moyennes des hourdis superieur et inferieur font respectivement des angles 8s et 8i avec la fibre moyenne de la poutre. Supposons la section entierement comprimee (cas general en beton precontraint). Les contraintes de compression dues au moment flechissant sont theoriquement normales a la section sur toute la hauteur de la poutre. Toutefois, au voisinage de la fibre inferieure et de la fibre superieure, elles sont cc guidees )) par les traces de l'intrados et de l'extrados qui ne sont pas perpendiculaires a la section. En effet, ces contraintes n'ont evidemment d'existence que dans le beton et pas dans l'atmosphere qui l'entoure. En particulier, dans les hourdis inferieur et superieur relativement minces, on peut admettre que ces contraintes de compression sont cr canalisees )) parallelement aux fibres moyennes de chacun des hourdis.

urdis infk rieur Fibre moyenne

.*.--

-.d.-

Fig. 11.3 - Inclinaison des efforts dans les hourdis

Les forces resultantes des contraintes de compression, Qi dans le hourdis inferieur et Qs dans le hourdis superieur, ne sont pas perpendiculaires a la section et induisent, dans cette section, un effort tranchant dit de Resal : Vresal = Qi x sin(8i) + Qs x sin(8s) Qi et Qs sont positifs si les contraintes o i et o s sont des compressions. 8i et 8s sont comptes de la fibre moyenne de la section vers la fibre moyenne des hourdis et sont positifs dans le sens trigonometrique.

216


L'e ffort tranchant exterieur est equilibre : par l'effort tranchant interne dti aux contraintes de cisaillement agissant sur toute la hauteur de la section (V) ; par l'effort tranchant interne de Resal (Vresal) : Vext = V + Vresal L'effort tranchant, a partir duquel sont calculees les contraintes de cisaillement sur la hauteur de la section, est donc : V = Vext - Vresal C'est pourquoi on parle souvent de reduction de Resal de l'effort tranchant. En fait, dans le cas de la figure 11.3, le hourdis inferieur introduit une reduction d'effort tranchant (Vresal > 0) et le hourdis superieur une augmentation (Vresal < 0). Remarque 1 : 8s est plus grand que 8i dans les zones a intrados tres courbe, donc pres des appuis intermediaires. Dans ces zones, la fibre inferieure est en general tres comprirnee et la fibre superieure peu comprimee. Donc Qi est tres superieure a Qs et fmalement, le produit Qixsin(8i) est largement superieur en valeur absolue a Qsxsin(8s) qui est souvent neglige. Remarque 2 : certains auteurs pensent que l'on peut appliquer le mSme raisonnement sur l'ensemble de la section et donc calculer l'effet Resal en integrant les composantes verticales des resultantes des contraintes de flexion sur toute la hauteur des dmes.

2.1 Pousske dans le plan moyen de la poutre Considkrons une poutre de section constante Ac, courbee selon un arc de cercle de rayon R ; elle est precontrainte par un cible qui suit sa fibre moyenne et exerce une force P constante. Du fait de la courbure, le cdble tendu s'appuie sur le beton et developpe une rkaction centripete, uniformement repartie, dont l'intensite lineaire vaut p = PIR. Cette reaction est appelee poussee au vide.

Complkments

Fig. 11.4 - Pousske au vide pour un ckble centrk

La poutre subit une contrainte de compression uniforme creee par la precontrainte :

Sous l'effet de la courbure, cette contrainte developpe une poussee centrifuge, uniformement repartie, dont l'intensite, par unite de longueur, vaut :

Fig. 11.5 - Rkaction du beton pour un ccible centr-&

Au total, la poussee due a la compression du beton equilibre exactement celle due a la tension du ciible. Une telle poutre, sous le seul effet de la precontrainte, ne subit aucune deformation autre qu'un raccourcissement longitudinal dii a la compression du beton.

2 18


Examinons ce qui se passe dans le sens transversal en considerant un plan de coupure horizontal 6 passant par l'axe du cable.

Fig. 11.6 - Section d'une poutre courbe avec prkcontrainte centrke

Sur ce plan, le cable exerce la poussee p vers le bas. Le beton situe en dessous du plan exerce une poussee dirigee vers le haut egale a ql2, l'autre moitie de la poussee du beton etant equilibree par la partie situee au-dessus du cable. En faisant le bilan des efforts sur le plan 6, on constate que le plan est soumis a un effort de traction egal a q/2= - pl2. I1 existe donc un risque de fissuration le long de 6 ; pour assurer l'equilibre du systeme, il faut disposer des etriers dont la section As par unite de longueur de poutre vaut :

Dans la quasi-totalite des cas, p12 est tres faible et on trouve As = 0. En general, cet effet est neglige et se traduit par une legere surcontrainte dans les etriers d'effort tranchant. Exemple : si P = 4,00 MN et R = 200 m

I1 faut, par contre, se mefier des cas ou R est petit (si P = 4,00 MN et R = 10 m, As = 6 cm2/ml). Considerons la meme poutre, mais avec le cable excentre vers le bas et appliquons lui un moment M qui tend a decomprimer la fibre inferieure.

Complements

Fig. 11.7 - Poutre cintree avec un ccible excentrh

Precontrainte

Moment

Resultante

Fig. 11.8 - Schhma de contraintes

Le fait d'excentrer le ciible et d'ajouter un moment M ne change pas la resultante des efforts appliques a la section qui reste egale a P. Par contre, la resultante des contraintes dans le beton et la force de precontrainte ne sont plus coaxiales. Soit d la distance separant le cgble de la resultante des contraintes.

Fig. 11.9 - Excentrement du ccible et de la resultante des contraintes sur le beton


220

Dans ce cas, le calcul des poussees donne : ciible : p = P/R beton : q = -P/(R+d) Globalement, il y a encore equilibre des poussees. En effet, si les poussees unitaires sont differentes, les longueurs sur lesquelles elles s'appliquent le sont dans le rapport inverse (11 = a x (R+d) et 12 = a " R).

Fig. 11.10 - Longueur d'application de la prkcontrainte et de la force de compression du bkton

La poutre ne subit donc aucune deformation due a la poussee au vide. Dans le sens transversal, la pousske due au beton est presque entierement situee au-dessus du plan 6 passant par le ciible.

Fig. 11.11 - Excentrement du crible et contraintes dans le bkton

Dans ce cas, il faut que les etriers destines a coudre le plan equilibrent la totalite de la poussee ; leur section par unite de longueur vaut donc P/(R x oSadm).

Complkments

22 1

2.2 Cas des poutres-caissons

Soit une poutre-caisson dont le hourdis inferieur a un trace courbe de rayon moyen R.

Fig. 11.12 - Flexion transversale d'un hourdis infPrieur courbe

La poutre est precontrainte par un cible dispose a mi-epaisseur du hourdis. Ce cdble exerce une poussee repartie p = P/R dirigee vers le bas. Sous surcharge maximale, la contrainte de compression du hourdis est pratiquement nulle ; le beton du hourdis n'exerce donc aucune contre-poussee capable de s'opposer a celle du cible. Le hourdis est donc soumis a une charge lineique d'intensite constante equivalente a p = PIR. A l'effort de fissuration selon l'axe 6 a mi-epaisseur du hourdis, se superpose une flexion transversale du hourdis inferieur si le cdble est situe dans le hourdis lui-meme et non au droit des imes. En premiere approximation, on peut supposer que le hourdis est transversalement encastre sur les dmes.

Dans le cas d'un cible unique situe a mi-portee du hourdis, on obtient les efforts suivants par metre de longueur du hourdis. Moments flechissants dans le hourdis inferieur

Fig. 11.13 - Moments dans le hourdis infkrieur pour un ccible


Dans le cas ou n ciibles sont disposes uniformement dans le hourdis, on obtient de la msme fagon :

V V V V V

1

Fig. 11.14 - Moments dans le hourdis infbrieur pour plusieurs cbbles

Dans les deux cas, outre le ferraillage de flexion du hourdis, il faut ajouter des etriers-suspentes dans les iimes pour equilibrer les reactions d'appuis du hourdis. Remarque : on observe un phenoniene analogue, mais en sens inverse, dans certains hourdis inferieurs courbes ne comportant pas de ciible, mais soumis a de fortes compressions. Dans ce cas, c'est la poussee du beton vers le haut qui provoque la mise en flexion du hourdis.

3) GRADIENTS THERMIQUES Une poutre de pont est soumise aux phenomenes thermiques exterieurs. La partie superieure de la poutre subit les effets du soleil et s'echauffe par rayonnement ; elle est donc plus chaude que l'air ambiant, alors que la partie inferieure est a une temperature plus basse. La difference de temperature se trouve, en general, accentuee par le fait que la chaussee, le plus souvent en enrobb, constitue un corps noir qui absorbe le rayonnenient solaire.

W

zone au solei]

*j zone B I'ornbre Fig. 11.15 - Echaufement des tabliers de ponts

Considerons une poutre de section rectangulaire constante, de hauteur h et de longueur 1. Supposons que la loi de distribution des temperatures sur la hauteur de la poutre soit une fonction lineaire de l'ordonnee y. On a pris l'habitude d'appeler gradient thermique l'ecart de temperature 0 entre la fibre superieure et la fibre inferieure.

Fig. 11.16 - Variation linkaire de tempkrature dans la poutre

Sous l'effet de la temperature, la fibre superieure s'allonge de 61s = p x 1 x 0s et la fibre inferieure de 61i = p x 1 x Oi, p etant le coefficient de dilatation du matkriau (soit 10" K-' environ pour le beton). Si la distribution des temperatures est lineaire, une fibre, situee a l'ordonnee y a partir du bas de la poutre, subit une difference d'allongement par rapport a la fibre inferieure de 61(y) = pl0y/h. Les variations d'allongement etant constantes le long de la poutre, la poutre se deforme selon un arc de cercle avec une fleche vers le haut. Si la poutre est isostatique, cette deformee peut s'effectuer librement et n'engendre aucune contrainte parasite. Si la poutre est hyperstatique, les liaisons surabondantes genent sa deformation et introduisent une redistribution des efforts. Considerons une poutre a deux travtes continues et de meme longueur 1. Sous l'effet du gradient thermique seul, la poutre se courbe et se souleve sur l'appui central.

Fig. 11.1 7 - Dkfonnation libre sous Z'effet d dn gradient thermiquepositif


224

Pour imposer a la poutre de rester au contact de l'appui central, il faut exercer, au droit de cet appui, une force F verticale dirigee du haut vers le bas. Cette force est equilibree par deux forces dirigees du bas vers le haut, appliquees au droit des appuis extremes. Si les deux travees sont egales, on a RO = R2 = Fl2 La poutre est alors soumise a un moment flechissant qui, dans une section quelconque de la travee de gauche, a pour expression M(x) = F x x12.

Fig. 1 1.18 - Moments hyperstatiques dus aux gradients thermiques

Le calcul des efforts diis au gradient them~iques'effectue par les methodes habituelles de la resistance des materiaux, par exemple en utilisant le theoreme des trois moments.

Fig. 11.19 - Dkformkes des travhes rendues isostatiques

On a les relations suivantes :

Les travees etant d'inertie constante, on obtient :

Complkments

Les reactions d'appuis dues au gradient thermique ont pour valeur :

Remarques : ce phenomene, dont il n'etait pas tenu compte dans les premiers ponts continus en beton precontraint, a ete l'une des causes des nombreux dbordres constates sur divers ouvrages. Les structures les plus sensibles sont les ponts en caisson. En effet, les deux hourdis ne sont reunis que ponctuellement par les iimes et la structure se comporte comme un vhitable bilame.

Le reglement prevoit deux cas de chargement thermique correspondants a des gradients lineaires de +15OC et -8OC. Les efforts induits, assortis de coefficients de pondkation, s'ajoutent aux combinaisons a 1'ELS. En realite, la distribution des temperatures n'est pas lineaire mais a l'allure representee par la figure 11.20 dans un pont en caisson.

Fig. 1 1.20 - Distribution rkelle de tempkrature

Les mesures de reactions d'appuis montrent que c'est la difference des temperatures, mesurees a mi-epaisseur des hourdis, qui engendre la redistribution des reactions d'appuis. La difference entre la loi de distribution reelle et la loi lineaire engendre des contraintes locales qui sont sans influence significative.

Btton prtconhaint aux Eurocodes

226

4) REDISTRIBUTION DES EFFORTS PAR FLUAGE Le beton n'est pas un materiau elastique. Soumis a une contrainte oc, il subit une deformation instantanee ~i puis, au cours du temps, une deformation differee EV qui, en ordre de grandeur, est egale a deux . propriete a des consequences importantes sur la fois ~ i Cette geonietrie de tous les ouvrages. Elle modifie aussi les efforts dans les structures dont le schema statique en phase de construction n'est pas le schema statique definitif. C'est, bien entendu, le cas des ponts construits par encorbellements, mais aussi de tous les ouvrages construits par phases successives. 4.1 Effets du fluage sur la g6omCtrie

Considerons une poutre formant une seule travee independante ; elle est precontrainte par un ciible dont le trace a l'allure definie par le dessin ci-apres :

Fig. 11.21 - Poutre prtcontraitne par un ccible excenhk

Sur la plus grande partie de la poutre, le cdble est situe au voisinage de la fibre inferieure. A vide, c'est-a-dire de fagon quasi-permanente, les contraintes de compression du beton sont tres faibles en fibre superieure et fortes en fibre inferieure. Au cours du temps, les fibres inferieures se raccourcissent beaucoup plus que les fibres superieures et la poutre se deforme en prenant une fleche vers le haut. La poutre a 35 m de portee, 2 m de haut. Elle est soumise a vide aux contraintes suivantes supposees constantes sur toute la travee : sur la fibre superieure sur la fibre inferieure

ocsup = 0 ocinf = 12 MPa

1

Compliments

227

Le module de deformation instantante du beton est egal a Ec 40000 MPa.

=

Sous l'effet du fluage, la fibre inferieure se raccourcit de 61 = 2oci x 11Ec = 0,021 m, alors que la fibre supkrieure soumise a une contrainte nulle conserve sa longueur. La fleche f prise par la poutre decoule des equations suivantes :

Fig. 11.22 - Diformation de la poutre par jluage

R=-

lxh

61

=3330 m

61 a = - = 0,6" 1

I1 s'agit la d'une deformee importante qui se rencontre sur de nombreux ouvrages de type VIPP constitues de travkes independantes a poutres precontraintes. 4.2 Systkme construit dans le schema statique dCfinitif Dans le cas d'une poutre continue coulee en place, on constate, au cours du temps, un accroissement des deformations sous charges permanentes de la mCme faqon que pour les poutres isostatiques, mais il n'y a pas de redistribution d'effort (les reactions d'appuis restent pratiquement constantes).

228


En effet, la loi de distribution des contraintes tout au long de la poutre tient compte de toutes les liaisons qui sont appliquees a la structure. La deformee de la poutre sous fluage est homothetique de sa deformee elastique. Ce raisonnement neglige l'effet des pertes differees de precontrainte et suppose que le fluage est un phenomene lineaire. Cependant, l'erreur commise est negligeable dans tous les cas courants ; la redistribution d'effort qui en resulterait est, notamment, bien inferieure a l'effet des gradients thermiques. 4.3 Systkme construit dans un schkma statique non definitif

En fm de construction, le beton emmagasine, sous l'effet du poids propre et de la precontrainte, un systeme de contraintes tres different (en valeur et en signe) de celui qu'il aurait subi si la poutre avait ete construite selon le schema defmitif. Sous l'effet de fluage, la poutre se deforme selon la repartition de contrainte qu'elle a (( en memoire D. La deformee qu'elle prendrait est gsnee par les liaisons du schema statique defmitif, ce qui provoque une redistribution des efforts. On peut illustrer ce phenomene avec un exemple reposant sur des hypothbes tres simplificatrices. La loi contrainte-deformation du beton est assimilee a u.ne loi linkaire avec un module du beton pour un chargement de longue duree egal au tiers du module instantane.

Fig. 11.23 - Loi contrainte-deformation instantanee et dzfleree

La structure est constituee d'une poutre de section constante a deux travees en console encastrees sur une pile centrale. La poutre est precontrainte par un ciible centre, qui ne modifie pas la pente des diagrarnrnes de contraintes et, par consequent, ne provoque aucune

Complkments

229

deformee verticale de la poutre a la mise en tension et au cours du temps. Les variations de la precontrainte au cours du temps sont negligees. I1 ne se produit aucun fluage en cours de construction.

A la fin de la construction, la poutre construite par encorbellements se presente sous la forme de deux consoles symetriques par rapport a la pile. Un reglage adequat des coffiages lors du coulage du beton permet d'obtenir une geometrie parfaitement rectiligne a cet instant. On dispose alors un appareil d'appui sous une seule extremite. Cet appui est regle de faqon telle que l'appareil d'appui n'exerce, initialement, aucun effort sur la poutre.

Fig. 11.24 - Poutre console encastrke avec un seul appui

Si p est la densite lineique de poids propre, la courbe representative des moments en fin de construction est la suivante :

I

Fig. 11.25 - Moments en fin de construction

Au cours du temps, le beton flue et la poutre se deforme.

230


La deformee due au fluage de la travee gauche restee en console est egale au double de la deformation elastique d'une console soumise a une charge uniformement repartie. La fleche a l'extremite vaut par consequent au bout d'un temps infini :

Sous l'effet du fluage, la travee droite voudrait prendre la meme deformee que celle de gauche, mais l'appui empeche la deformation. La reaction d'appui qui etait nulle en fin de construction croit et sa valeur au temps infini est celle de la force R qu'il faut appliquer a l'extremite d'une console pour annuler la fleche calculee precedernment.

Fig. 11.26 - Fl2ches par jluage et par rbaction d 'appui

En egalant ces deux valeurs de fleches, on obtient la reaction d'appui au temps t = m :

Avec la valeur classique EvIEc = 113 :

Dans la travee de gauche, la deformation due au fluage n'a pas modifie les efforts et la courbe de moments. Dans la travee de droite, le fluage augmente la valeur de la reaction d'appui d'extremite qui etait nulle en fin de construction, ce qui se traduit par une

modification importante des moments flechissants et des efforts tranchants.

Fig. 11.2 7 - Moments et efforts tranchants apr2ssfluage

Les schemas de la figure 11.28 representent les courbes M et V de la console de droite dans les trois cas suivants : poutre en fin de construction ; poutre apres fluage a t = ; poutre coulee sur cintre dans son schema statique definitif (l'appareil d'appui existe avant l'introduction du poids propre).

Fig. 11.28 - Sollicitations selon trois hypoth2ses de construction

La courbe des efforts apres fluage est situee entre les deux autres. Dans une section quelconque, on a : 2 M(t = -) = Mconsole + -(Mcintre - Mconsole) 3 u a n s cet exemple, la preconrralnre riinrervienr pas puisqueile n'introduit qu'un effort normal centre. Dans le cas oh le clble

232


presente une excentricite, il faut en tenir compte dans les deformations du systeme isostatique. Le moment hyperstatique de precontrainte intervient par ailleurs dans le calcul de la structure hyperstatique coulee sur cintre. Remarques :

Cet exemple est tres grossier et n'a qu'une valeur qualitative. En effet : la loi rheologique du beton est beaucoup plus complexe que celle qui a ete prise en compte (elle n'est ni lineaire, ni reversible) et depend de nombreux parametres et, en particulier, de la resistance (donc de l'bge) du beton lors de la mise en charge et de l'intensite de la contrainte appliquee ; la precontrainte n'est pas constante dans le temps ; elle diminue sous l'effet du fluage, de la relaxation et du retrait ; une partie du fluage s'effectue avant que le systeme ne soit rendu hyperstatique. I1 est pratiquement impossible d'effectuer des calculs manuels approchant la realite avec une bonne approximation. La nieconnaissance ou la sous-estimation de ce phenomene a ete l'une des principales causes de desordres dans les ponts construits phase par phase (en particulier, ceux construits par encorbellements). C'est pourquoi, il est d'usage de prendre en compte la plus severe des conditions ci-apres : resultat d'un calcul thkorique prenant en compte la rheologie du beton ; prise en compte d'un effet forfaitaire, egal a la demi-difference entre les efforts tenant compte du processus de construction sans fluage et les efforts calcules c o m e si l'ouvrage etait coule sur cintre ; contrainte residuelle dans le beton de 1 MPa si les aciers passifs longitudinaux sont continus et de 1,5 MPa si l'ouvrage comporte des joints non ferraillb (voussoirs prefabriques).

ANNEXE 1

-

HISTORIQUE

Le principe mCme de la precontrainte est tres ancien : le cerclage en fer des tonneaux engendre, lors de son refroidissement, un serrage des douelles qui assure l'etancheite.

I

I (

1

Tres rapidement, l'idee de precontraindre le beton est venue aux ingenieurs afin de pallier la faible resistance a la traction de ce materiau. En 1886, P. Jackson depose aux USA les premiers brevets pour cornprimer les chaussies au moyen de banes en acier, tendues a l'aide de vis et d'ecrous. Des travaux similaires sont entrepris en Allemagne par W. Dohring qui, en 1888, depose a son tour un brevet pour la precontrainte de dalles par fils.

I

En 1907, Koenen et Lundt realisent une skrie d'experiences destinees a limiter la fissuration du beton par traction. Toutes ces experiences furent vouees a l'echec a cause de la trop faible compression du beton. En effet, l'effort de compression apporte par la precontrainte etait rapidement annule par les effets conjugues du retrait et du fluage du beton. W. Wettstein en 1919, R. Dill en 1923 utilisent pour la premiere fois avec succes des aciers de haute nuance. En 1927, P. Forber invente des dispositifs permettant le glissement des aciers de precontrainte lors de la mise en tension. C'est Eugene Freyssinet (1879- 1962) qui, le premier, pressent l'importance des phenomenes differes. Freyssinet a l'occasion de suivre, des 1912, les deboires du pont du Veurdre : constitue d'arcs en beton arme a trois articulations, le pont voit sa fleche augmenter dangereusement peu apres la fin de construction. Apres la premiere guene mondiale, il construit plusieurs ponts dont le pont de Plougastel comportant trois travees en arc de 180 m de longueur. En 1926, il decouvre et formalise les phenomenes de fluage et de retrait a la suite d'experiences realisees sur cet ouvrage.


Photo A1.1 - E. Freyssinet (PhotothZque Freyssinet)

En octobre 1928, E. Freyssinet depose son premier brevet de procede de precontrainte.

IiIiEVET D'IN VENrI'I(.)N. Gr. 7 .

- C1. 1.

No 6 8 0 . 5 4 7

Proct5d6 de fabrication de pieces en beton arm6.

Demand6 le 2 octobre 1928, B leh 20m, B Paris. I ) e l i v ~ . C le s n j ; ~ ~ ~ \ 1!)3o. icr - I'ublit! le r e r I I I ~ I 1930. ajou~.~~Ce L'II t!aL:c~lLlol~ 11,: I'a~,t.I [Urebet d'r~~\clltiurl t l o ~ 1.~1 t~lc,l~vrsuce r ~l~o(lifi+e 11i1rla Ini ,111 7 avril I 9 0 2 . 1

I

S

7 ~ l cla lor 4111 S juillut r H'lb

I),L~*CI' 1)lit. 1t.h ; t r n ~ ~ t u rswn \ ~ ~t ~ I I ~ I L ~ En l)rPsviltc invc~ltlolln llour objct une LLU ~nuyeli clc 1011(, diulwrtitif c~c~~lvc-r~;rblt. ~i~cithutlc clc fabrication clc 11ii.c.e~011 1516! f i 1 ~ ~ 1 11011 1 , rj0111~111(.111 H ~llcllt.; ell b A h l ~i ~ r m 4moul43 c t ' n \ , , ~ ~ ~cct e clill~slc I I ~ O U ~ I LIL' 1t.s raicl~r,,Insis c11e01c b Icn y so1111letLro desti~idsA n'6tre eluployes 011 nus ell place q ~ l ' n p r t sleur prise et Icur tlurci*sc.1r1c~11t, i 111, effort d~ traction p11s *>11lnoilu i111l1ur-3;) ri~allllc8iLtlx.t * t c : ... h 1111 u I l c ) n g ~ . ~ uL:ltlt-c~~t L)i~ns l e d 1,1.0crcli.a I~abiluc-Is 011 .ul~lihe qn'ellc. c:o~.rc~porltlrii [I(I tiy tie i ~ n p ~ , ~ ,clu t a ~1116taI. ~t lc bCton pour c.111.obcl I(.> m.111i~t I I I Y . > qut: L t ~ ninm1atul.r~;ri~\+i tend\tes, hollt de 111~;' 0 l ' o l ~1)liLce ditlls r n o ~ ~ sirliq l e cll~'l*llt.sn i c ~ i t t i >111)ir ul\cb tchrljion initiiilc. pc.~rcl~nit 1 i ~ fel.cncc2 ponrvlic dtl clispo5itlfa d'cli~~ricgc3 (lebt~~li., IL t r ; ~ ~ ~ Is1 %~~ ~ I U1)Oton i ~ ~ i ;t ~ p r [~risc, &~ fabricat iou. Jlai~k lit 1)ii:cc. tc~rlilini.~.,Ir Icb

Photo A1.2 - Brevet d 'invention diposk par Freyssinet gond documentaire INPI)

~ S

Historique

Figure A l . 1 - Brevet d'invention dkposk par Freyssinet fond documentaire INPI)

Ce brevet comporte des precisions quant a la technologie de mise en oeuvre et surtout quant au choix des materiaux et notarnment d'aciers susceptibles de supporter des tensions initiales elevees. Freyssinet propose en 1929 l'exploitation de son brevet a la societe Forclum qui construisait des poteaux electriques. En 1933, il realise avec succes le renforcement par precontrainte de la gare maritime du Havre soumise a des tassements differentiels qui n'avaient pas ete pris en compte lors du projet. Parallelement, les recherches concernant la precontrainte se poursuivent a l'etranger. En Allemagne, F. Dischinger en 1934 et U. Finstemalder fournissent les bases de la precontrainte exterieure non adherente. Cette idee se concretise par une premiere application aux ponts en 1937 et 1938. I1 s'agit de ponts a precontrainte par cdbles exterieurs au beton dont on retrouve le principe par exemple a Villeneuve St Georges et Vaux sur Seine (1950 a 1952). Le choix de la precontrainte exterieure vise alors essentiellement a contourner les brevets de Freyssinet : dans le procede utilise par l'entreprise Coignet, la mise en tension est obtenue par deviation du cdble. Le coiit prohibitif des deviateurs en acier ou en beton a condamne cette voie de recherche. En 1940, E. Freyssinet franchit une nouvelle etape avec un procede de precontrainte par cdble et un ancrage par cbne en beton.

236


Apres la guerre, la precontrainte se developpe rapidement grace aux travaux dlAbeles en Grande Bretagne, de Magnel en Belgique, de Leonhardt en Allemagne, de Lin aux Etats Unis, de Frevssinet et Plusieurs ponts, dont le pont de Luzancy, sont construits sur la Marne en 1946 par l'entreprise Campenon Bernard sous la conduite de Freyssinet. Le pont de Luzancy est sans doute le premier exemple d'ouvrage tirant parti de tous les avantages de la precontrainte : le tablier de 55 m de longueur est compose de 3 poutres a bequilles constitutes chacune de 22 blocs prefabriques et solidarises par precontrainte, les poutres etant reunies par des dalles en beton et l'ensemble solidarise par des ciibles transversaux de precontrainte.

Photo A1.3 - Construction du pont de Luzancy (Photothdque Campenon-Bernard)

Des idees nouvelles apparaissent rapidement entre 1948 et 1950 : ancrage par fils boutonnts (BBRV) ; ponts a precontrainte partielle (Abeles) ; ciibles formes de torons (Baur-Leonhardt). F. Leonhardt construit, en 1949 et 1950, les premiers routiers et ponts ferroviaires continus. L'annee 1950 marque une etape importante dans les methodes de realisation des ponts precontraints avec l'utilisation par U. Finstemalder de la technique de construction par encorbellements.

237

Historique

I

Depuis, la precontrainte n'a cesse de se generaliser dans le domaine des ponts (ponts par encorbellements, pont a haubans, ponts a precontrainte exterieure mais aussi ponts-dalles courants), des biitiments ou d'autres structures de genie civil (telles que platesformes offshore, centrales nucleaires...).

Photo A ] . 4 - Viaduc sur Z'ls2re (A49)

ANNEXE 2

- ORDRES DE GRANDEURS

1.1 Bkton

Les caracteristiques mecaniques principales des betons couramment utilises dans les structures precontraintes sont les suivantes : fckde30a50MPa ftk de 3 a 4 MPa Ec de 30 000 a 40 000 MPa 1.2 Acier de bkton arm6

Les parametres de calcul des armatures passives, identiques a celles utilisees dans le beton arme, sont : fyk Es

de 400 a 500 MPa de 200 000 MPa

Les aciers de 400 MPa de limite elastique ne sont pratiquement plus utilises.

1.3 Acier de prkcontrainte

Pour les differents types d'armatures de precontrainte (barres, fils, torons), on peut tabler sur les valeurs numeriques ci-dessous : fpO.l k de 1 400 a 1 600 MPa fpk de 1 600 a 1 900 MPa EP de 190 a 205 000 MPa Tension a l'ancrage < 0,8 fpk et < 0,9 fpOl .k Relaxation a 1000 h de 2,5 % a 8 % de la contrainte initiale.

240

Bkton prkconhaint aux Euurocodes

2) CABLES DE PR~CONTRAINTE Les sections unitaires des armatures les plus courantes sont :

I

Denomination

1

AD(rnrn2)

1

Tableau A2.1 - Sections unitaires

Pour les unites de precontainte fitquernment utilisees, les forces figurant dans le tableau A2.2 sont baskes sur une resistance caracteristique de l'ordre de 1860 MPa et un pourcentage de pertes d'environ 30 % :

Type lT13S 6T13S 12T13S lT15S 6T15S 7T15S 12T15S 19T15S 27T15S 37T15S

Section (mm2) 100 600 1200 150 900 1050 1800 2350 4050 5550

Masse (kglm) 0,8 4,7 9,4 1,2 7,1 8,2 14,ll 22,4 31,8 43,6

Force a Force utile l'ancrage (kN) (kN) 149 100 625 893 1250 17856 160 223 1339 940 1562 1095 2678 1875 424 1 2970 4220 6026 8258 5780

Tableau A2.2 - Forces de prkcontrainte

3) TABLIERS DE PONTS Pour plus de details, on se reportera a un cours de conception des ponts.

Ovdres de grandeurs

3.1 Ponts dalles Hauteur de la dalle : a 1 travee 1/25 a 1/22 a 2 travees 1/28 a 1/28 Ferraillage (par rapport au volume du beton) : aciers passifs 100 a 120 kg/m3 aciers de precontrainte 50 a 70 kg/m3

3.2 Poutres prkcontraines par post-tension

Hauteur des poutres : V17 Ferraillage : aciers passifs 100 a 120 kg/m3 aciers de precontrainte 40 kg/m3

3.3 Ponts construits par encorbellements successifs

Hauteur du tablier : hauteur constante liauteur variable : - sur pile - a la cle

1/25 a 1/20 1/18 a 1/16 1/40 a 1/30

Ferraillage : aciers passifs 110 a 150 kg/m3 aciers de precontrainte 40 a 55 kg/m3

ANNEXE 3

-

BORDEREAU DES PRIX

I1 n'existe pas de faqon normalisee de traiter la precontrainte dans la partie fmanciere des marches (bordereau des prix et detail estimatif). La structure porteuse est generalement remuneree au minimum par quatre prix unitaires : beton (m3) ; aciers de beton arme (kg) ; armatures de precontrainte (kg) ; ancrages (unite). Independarnment des aspects constructifs, le fait d'isoler ce demier poste permet d'optimiser le coiit de la precontrainte en fonction du type de clbles (peu de clbles de forte puissance ou clbles multiples). Les prix (( armatures de precontrainte )) remunerent la foumiture des ciibles et, parfois, l'ensemble de la mise en ceuvre : gaines ; mise en place des gaines ; mise en place des clbles ; injection. Toutefois, le redacteur du marche peut avoir interCt a distinguer plusieurs prix selon le type de clble, d'ancrage. I1 peut egalement &tre prudent d'isoler certains postes particuliers (par exemple utilisation d'un type particulier de gaines dans certaines parties de l'ouvrage). Le tableau A3.1 ci-dessous resume le detail estimatif d'un pont comportant deux tabliers de 500 m de long realists par encorbellements, coules en place et avec une precontrainte mixte (interieure et exterieure). Les prix sont hors taxes et en valeur 2000. 11s peuvent naturellement connaitre de tres fortes fluctuations en fonction de l'entreprise, des caracteristiques de l'ouvrage...


244 No Designation des prix E 1 Prix generaux Installations Etudes Epreuves-Essais-Suivi Confection d'eprouvettes Suivi topographque Epreuves Voussoir d'essai

Unite Quantite

P.U.

Depenses

FT FT

1 1

3000000 2000000

3000000 2000000

U FT FT FT

300 1 1 1

40 600 000 80 000 150 000

12 000 600 000 80 000 150 000

TOTAL El E2 Demolition - Fouilles Remblaiement

5 842 000

TOTAL E2 E3 Fondations profondes Soutenements

1 100 000

TOTAL E3 E4 Appuis TOTAL E4 E5 Tabliers Echaufaudages Coffiages Armatures passives

8 000 000 8 000 000 FT m2 kg

1 18 000 580 000

3300000 200 7,OO

3300000 3600000 4 060 000

Precontrainte interieure Torons 0 15.7 Gaine rigide 12 T 15S Ancrage 12 T15S Ancrage vide 12 T 15S

kg ml U U

140 000 2 000 325 56

18,OO 50 2500 1 500

2520000 100 000 812500 84 000

Precontrainte exterieure Torons 0 15.7 Tube rigide cintre Dispositif anti-vibratoire Ancrage 19 T15S Ancrage vide 19 T 15s Beton B40

kg ml U U U m3

70 000 360 10 40 24 4 000

20 700 800 7 000 3 500 1000

1400 000 262 000 8 000 280 000 84 000 4000000

TOTAL E5 E6 SuperstructuresEquipements TOTAL E6 TOTAL GENERAL H.T.

Tableau A3.1 - Exemple de dttail estimatifsimplzjit

20 500 500

8 000 000 51 442 500

Bordereau des prix

245

I1 s'agit d'un bordereau tres simplifie. Le chapitre E6 est, en realite, decoupk en pres de 50 prix unitaires : dispositif de retenue, corniches, etancheite, joints de tabliers, appuis... La structure porteuse (tabliers) represente seulement 40 % de la depense totale (sauf a repartir le poste (( Prix generaux )) entre les differentes parties d'ouvrages).

i

On note egalement que, sur cet ouvrage, pour un metre cube de beton du tablier, on a utilise 145 kg d'aciers passifs et 52,5 kg d'aciers de precontrainte.

ANNEXE 4 - LEXIQUE FRANCO-ANGLAIS Franqais Acier Acier de beton arm6 Acier de precontrainte Adherence Adjuvant Affaissement Allongement Ancrage Armatures a haute adhbrence Beton Beton arm6 Beton de proprete Beton precontraint Beton prefabrique Beton vibre Betonnage Bielle Ciible Chantier Cirnent Cire Cisaillement Clavette Coffiage Combinaison de charges Composition du beton Construction Contrainte Coulis de cirnent Coupleur

Anglais Steel

Reinforcing steel Prestressing steel Bond Admixture Slump Elongation Anchorage High bond reinforcing bars Concrete Reinforced concrete Bedding concrete Prestressed concrete Precast concrete Vibrated concrete Concreting Strut Cable Construction site Cement Wax Shear Wedge Formwork Load combination Concrete mix Construction Stress Cement grout Coupler

1

248


1 Cure du beton 1 Deformation I Deviateur I Deviation 1 Diffusion 1 Dosage en ciment

1 Concrete curing IDeformation, strain 1 Deviator 1 Deviation 1 Diffusion 1 Cement content

1 1 I I I I

1 Ductilite 1 Durabilite 1 Echaffaudage

1 Ductility 1 Durability 1 Scaffolding

I I I

IShear force 1 Elasticity 1 Concrete cover (Test sample I Serviceability limit state 1 Ultimate limit state 1~ l n k

I I

IEffortnormal tranchant I~lasticite 1 Enrobage 1 Eprouvette I Etat limit ultime I Etat limite de service 1 Etrier

I Normal force

-

m c i t 6 E u e Ferraillage Fibre Fil Fissuration Fleau Fleche Fluage Frottement Frottement parasite de silEe E e braisse Granulat Inertie Injection Loi contrainte-deformation p

p

-

1 Eccentricity 1 Fatigue Reinforcement Fiber Wire Cracking Beam Flexural deflection Creep Friction Wobble friction ( Silica fume I Conduct, duct, sheating 1 Grease Aggregate Intertia Grouting Stress-strain law

I I I 1 1, I

I I

1 1 I

249

Lexique Franco-Anglais

Malaxeur Mise en tension Module Moment Pertes de precontrainte Pile Plan de ferraillage Plaque d'ancrage Plastifiant Pompe a beton Pont a haubans Precontrainte exterieure Prefabrique Prise Procede de precontrainte Recul d'ancrage Relaxation Resistance Resistance a la compression Resistance a la traction Retrait Surface Tablier Teneur en eau Toron Torsion ITravee Verin Voussoir

Mixer Tensionning Modulus Moment Prestressing losses Pier Reinforcement drawing Anchorage plate Plasticizer Concrete pump Cable stay bridge External prestressing Precast, prefabricated Set Prestressing system Seating loss Relaxation Strength Compressive strength Tensile strength Shrinkage Area Deck Moisture content Tendon, strand Torsion Span Jack Segment

.................................................................... INTRODUCTION ...................................

PRI~AMBULE

CHAPITRE I

=

1 .DOMAINE D'EMPLOI ............................................. 2 .PRINCIPE DE LA PR~CONTRAINTE ................... 3 .PARTICULARITES DES EUROCODES ................ CHAPITRE I1 UNITES SIGNES NOTATIONS =

2 .SIGNES

=

=

.....

.....................................................................

4 .NOTATIONS ............................................................ CHAPITRE I11 .DEUX EXEMPLES DE 1 .TIRANT .................................................................... 1.1 .Dimensionnement .............................................. 1.2 .Variations de contraintes ................................... 1.3 .Precontrainte et fissuration ................................ 1.4 .Remarques ......................................................... 2 .FLEXION SIMPLE ................................................... 2.1 .Precontrainte centree ......................................... 2.2 .Precontrainte excentree ...................................... 2.3 .Cornparaison des deux solutions ....................... 2.4 .Remarques ......................................................... 3 .BETON ARME ET BETON P R ~ O N T R A I N T...... CHAPITRE IV .TECHNOLOGIE

..................................

1 .PREAMBULE ........................................................... 1.1 .Precontrainte par verins ..................................... 1.2 .Precontrainte par pre-tension ............................. 1.3 .Precontrainte par post-tension ........................... 2 .ARMATURES .......................................................... 2.1 .Ciibles ................................................................ 2.2 .Barres ................................................................. 3 .ANCRAGES ..............................................................


3.1 .Ancrage par coincement conique ....................... 3.2 .Calage ................................................................. 3.3 .Vis .Ecrou ......................................................... 3.4 .Autres principes ................................................. 3.5 .Remarques ......................................................... 3.6 .Dimensions des plaques d'ancrage ...................... 4 .GAINES .................................................................... 5 .INJECTIONS ............................................................ 6 .CACHETAGE ........................................................... 7 .DISPOSITION DES CABLES DANS LE BETON ... 7.1 .Rayons de courbure ........................................... 7.2 .Groupement de ciibles ....................................... 8 .ENROBAGES .............................................................

CHAPITRE V = MATERIAUX

........................................

I

1- BETON ......................................................................... 1.1.Genkralites .......................................................... 1.2 .Caracteristiques mecaniques ............................... 1.3 .Betons a haute performance ............................... 2 .ARMATURES DE PR~CONTRAINTE................... 2.1 .Resistance .......................................................... 2.2 .Module d'elasticite ............................................. 2.3 .Relaxation .......................................................... 2.4 .Corrosion ........................................................... 2.5 .Fatigue ................................................................ 3 .ARMATURES PASSIVES .......................................

1 .PRJ~IMBULE ........................................................... 2 .PERTES INSTANTAI@ES ...................................... 2.1 .Frottements ......................................................... 2.2 .Recul d'ancrage .................................................. 2.3 .Non simultaneite des mises en tension .............. 3 .PERTES DIFFER~ES............................................... 3.1 .Retrait ................................................................ 3.2 .Relaxation .......................................................... 3.3 .Fluage ................................................................ 3.4 .Combinaison des effets differes ......................... 3.5 .Exemple .............................................................

52

69

Table des matisres

I .NOTIONS D'ETATS LIMITES ............................... 1.1 .Etats limites ultimes de resistance ...................... 1.2 .Etats limites de service ...................................... I

2.1 .Section brute ....................................................... 2.2 .Section nette ....................................................... 2.3 .Section homogene .............................................. 2.4 .Exemple ............................................................. 3 .DIMENSIONNEMENT SIMPLIF& DUNE SECTION .................................................................. 4 .PR~CONTRAINTEDES STRUCTURES HYPERSTATIQUES ................................................ 4.1 .Exeniple ............................................................. 4.2 .Calcul pratique des moments hyperstatiques de precontrainte ...................................................... 4.3 .Notion de cables concordants ............................. 5 .PR~DIMENSIONNEMENTPRATIQUE DES STRUCTURES .......................................................... 6 .ACTION DE LA PRECONTRAINTE ...................... 7 .EUROCODES ET MOMENTS FLECHISSANTS ...

1 .CALCUL DES DEFORMATIONS ET DES CONTRAINTES ....................................................... 1.1 .Hypotheses de calcul ......................................... 1.2 .Bilan des efforts internes ................................... 1.3 .Principe de calcul ............................................... 2 .VERIFICATION AUX ETATS LIMITES DE SERVICE ........................................................... 2.1 .Hypotheses de calcul ......................................... 2.2 .Categories de vkification .................................. 2.3 .Limitation des contraintes ................................. 2.4 .Ferraillage minimum ......................................... 2.5 .Ouverture des fissures ....................................... 2.6 .Exemple de vhification ..................................... 3 .~ R I F I C A T I O NAUX ETATS LIMITES ULTIMES 3.1 .Hypothbes de calcul ......................................... 3.2 .Principe de vkification d'une section ................ 3.3 .Lois contrainte-deformation ..............................


3.4 .Exemple d'une section rectangulaire ................. 3.5 .Exemple d'application ....................................... 3.6 .Remarque ........................................................... 4 .VERIFICATION A LA FATIQUE ........................... 4.1 .Hypotheses ........................................................ 4.2 .Verification a la fatigue des aciers ..................... 4.3 .Verification a la fatigue du beton ......................

157 164 169 170 170 171 172

.................

175

CHAPITRE IX = EFFORTS TRANCHANTS

1 .CALCUL DES EFFORTS TRANCHANTS ............. 1.1 .Definition ........................................................... 1.2 .Calcul des efforts tranchants .............................. 2 .CISAILLEMENTS .................................................... 2.1 .Generalites ......................................................... 2.2 .Calculs des contraintes ....................................... 3 .VERIFICATION AUX ETATS LIMITES DE SERVICE .................................................................. 4 .VERIFICATION AUX ETATS LIMITES ULTIMES 4.1 .Hypotheses de calcul ......................................... 4.2 .Securite vis-a-vis de la rupture ........................... 5 .EXEMPLE ................................................................. 5.1 .Etats limites de service ...................................... 5.2 .Etats lirnites ultimes .......................................... ............................. 6 .P R ~ ~ O N T R A I N TVERTICALE E 6.1 .Effet sur le cercle de Mohr .................................. 6.2 .Conditions de securite a 1'ELU ............................ 6.3 .Remarques ......................................................... 7 .TORSION ..................................................................

1.P ~ A M B U L E ............................................................ 2 .SECTION D'ABOUT ................................................ 2.1 .Ancrage centre ................................................... 2.2 .Ancrage excentre ............................................... 2.3 .Modelisation de l'effet d'eclatement .................. 2.4 .Compression du beton sous les plaques d'ancrage 3 .DIFFUSION VERS L'AMONT ................................ 4 .ZONES D'APPUI SIMPLE D'ABOUT .....................

................................

213

1 .EFFET RESAL .......................................................... 1.1 .Inclinaison de la fibre neutre .............................

213 213

CHAPITRE XI = COMPLEMENTS

Table des mati6res

1.2 .Effet Resal ......................................................... 2 .POUSSEE AU VIDE DE LA P&CONTRAINTE .. 2.1 .Poussee dans le plan moyen de la poutre ........... 2.2 .Cas des poutres-caissons ................................... 3 .GRADIENTS THERMIQUES .................................. 4 .REDISTRIBUTION DES EFFORTS PAR FLUAGE . 4.1 .Effets du fluage sur la geometrie ....................... 4.2 .Systeme construit dans le schema statique defmitif ............................................................... 4.3 .Systen~econstruit dans un schema statique .. non defmitif ......................................................... I

ANNEXES

..........................................................................

1 .HISTORIQUE ........................................................... 2 .ORDRES DE GRANDEURS .................................... 3 .BORDEREAUX DES PRIX .................................... 4 .LEXIQUE FRANCO-ANGLAIS ..............................

Béton precontraint aux eurocodes

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