Menu delle com petenze Alla fine di ogni capitolo, quattro pagine per la Verifica delle competenze: • due pagine di Allenamento, per esempio pagg. G136-G137; • due pagine di Prove (due prove In m ezz’ora sul Tutor e quattro prove In un’ora sulla carta), per esempio pagg. 252-253.
Asse matematico
1. Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico e algebrico rappresentandole anche sotto forma grafica
Abilità
Esempi nel libro
1. Utilizzare le proprietà delle operazioni con numeri naturali, interi e razionali
Al volo Esercizi veloci (es. 182 pag. 26)
2. Usare lettere come simboli e variabili
Associa Esercizi interattivi nell’eBook (es. 35 pag. 230)
3. Operare con espressioni letterali
Caccia all’errore Evitare i tranelli (es. 301 pag. 282)
4. Risolvere equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado
Fai un esempio Se lo sai fare, hai capito (es. 229 pag. 360)
1. Saper individuare e descrivere enti geometrici, proprietà delle figure, luoghi geometrici
Chi ha ragione? Dimmi il perché (es. 51 pag. G25)
2. Disegnare figure ed eseguire costruzioni geometriche elementari con riga e compasso o strumenti informatici
(es. 22 pag. G121) Laboratorio Collegamenti e approfondimenti per attività e ricerche (Geometria dinamica con due parallele e un asse, Matematica al computer, pag. G101)
2. Confrontare e analizzare figure geometriche, individuando invarianti e relazioni
3. Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi
4. Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico
3. Utilizzare misure di grandezze geometriche
Eureka! Una sfida per metterti alla prova (Un ventaglio di angoli, es. 137 pag. G34)
4. Sviluppare catene deduttive nella dimostrazione di proprietà delle figure
Completa Inserisci la risposta giusta (es. 5 pag. G20)
1. Tradurre dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico
INVALSI Dalle prove nazionali (es. 445 pag. 290)
2. Utilizzare il calcolo aritmetico o algebrico per risolvere problemi
Video Immagini in movimento per capire (Un problema con le equazioni lineari, es. 3 pag. 305)
3. Risolvere problemi utilizzando le proprietà delle figure geometriche e delle isometrie
Animazione Interattivamente fra concetti e metodi (es. 4 pag. G48)
4. Risolvere problemi con funzioni, equazioni, disequazioni e sistemi
Vero o falso? Esercizi interattivi nell’eBook (es. 138 pag. 395)
5. Utilizzare in problemi le rappresentazioni grafiche e gli indici della statistica
Laboratorio Collegamenti e approfondimenti per attività e ricerche (Il cuculo imbroglione, Matematica e biologia, pag. 563)
6. Risolvere problemi di natura probabilistica
(es. 45 pag. 563)
7. Risolvere problemi con gli insiemi e gli enunciati
Intorno a noi La matematica di tutti i giorni (L’ascensore, es. 206 pag. 168)
1. Raccogliere, organizzare, rappresentare e analizzare insiemi di dati o enunciati logici
Eureka! Una sfida per metterti alla prova (È l ’ora del caffè, es. 7 pag. 553)
2. Riconoscere relazioni fra variabili
Intorno a noi La matematica di tutti i giorni (La legge de ll’ombrello, es. 165 pag. 399)
3. Rappresentare il grafico delle funzioni
In forma grafica Per visualizzare la matematica (es. 177 pag. 400)
4. Studiare e utilizzare funzioni lineari e quadratiche
You & Maths La matematica in inglese (You g o t thè slope - find a point, es. 125 pag. 393)
5. Valutare l’ordine di grandezza di un risultato e utilizzare approssimazioni
Esempio digitale Esercizi risolti passo passo nell’eBook (es. 250 pag. 132)
6. Calcolare valori medi, indici di variabilità, probabilità
INVALSI Dalle prove nazionali (Martina ha ragione?, es. 44 pag. 562)
7. Elaborare dati con un foglio elettronico
Laboratorio Collegamenti e approfondimenti per attività e ricerche (La valutazione di una verifica, Matematica al computer, pag. 557)
Massimo Bergamini Graziella Barozzi
1 M atem atica m ultim ediale.blu • TEORIA CON VIDEO E ANIMAZIONI • ESERCIZI SULLA MATEMATICA INTORNO A NOI • IL MENU DELLE COMPETENZE
Competenze chiave di cittadinanza
Esempi nel libro
IMPARARE A IMPARARE
L’Animazione della dimostrazione a pag. G46
PROGETTARE
Il Laboratorio Chi ha vinto?, Matematica al computer (pag. 103)
COMUNICARE
L’esercizio Chi ha ragione? (es. 63) a pag. G126
COLLABORARE E PARTECIPARE
il Laboratorio Quanti bam bini nascevano a Londra nel 1700?, Matematica e storia (pag. 561)
AGIRE IN MODO AUTONOMO E RESPONSABILE
Il Laboratorio Obiettivo Ibiza, Matematica ed economia (pag. 330)
RISOLVERE PROBLEMI
Tutti i Laboratori, gli esercizi Intorno a noi, gli esercizi INVALSI (/ cm del m etro, es. 134 pag. G34)
INDIVIDUARE COLLEGAMENTI E RELAZIONI
Il Laboratorio Evoluzione e dim ensioni co rporee, Matematica e biologia (pag. 243)
ACQUISIRE E INTERPRETARE LE INFORMAZIONI
Il Laboratorio Fra ossa e polinom i, Matematica e antropologia (pag. 269)
COMUNICARE NELLE LINGUE STRANIERE
Il Laboratorio European Citizen!, Matematica in inglese (pag. 173) Tutti gli esercizi You & Maths (Ju lie ’s bank account, es. 59 pag. 55)
Prove autentiche per le competenze
Esempi nel libro
Sono problemi in situazioni reali che mettono in gioco conoscenze e abilità: come scelgo e decido di usare ciò che so e ciò che so fare.
Esercizi Intorno a noi (Meno operai e p iù lavoro!, es. 124 pag. 502)
Laboratori (La geom etria d i Euclide p e r le applicazioni pratiche, Matematica e storia, pag. G97)
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [19965] www.zanichelli.it I diritti di elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale su supporti di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e ottici), di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), i diritti di noleggio, di prestito e di traduzione sono riservati per tutti i paesi. L’acquisto della presente copia dell’opera non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce. Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale, con esclusione quindi di strumenti di uso collettivo) possono essere effettuate, nei limiti del 15% di ciascun volume, dietro pagamento alla S.I.A.E del compenso previsto d a ll'a lt 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionati S.I.A.E. o con altre modalità indicate da S.I.A.E. Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico, commerciale, strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali (CLEARedi) Corso di Porta Romana, n.108 20122 Milano e-mail
[email protected] e sito web www.clearedi.org L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale, consultabile al sito www.zanichelli.it/f_catalog.html. La fotocopia dei soli esemplari esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 15%, non essendo concorrenziale all'opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell’editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. Nei contratti di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà di cui all’art. 71 - ter legge diritto d’autore. Maggiori informazioni sul nostro sito: www.zanichelli.it/fotocopie/
Realizzazione editoriale: - Coordinamento redazionale: Giulia Latti, Marinella Lombardi - Redazione: Fabio Bettani, Valentina Franceschi, Isabella Malacari, Damiano Maragno, Roberta Maroni - Collaborazione redazionale: Massimo Armenzoni, Parma - Segreteria di redazione: Deborah Lorenzini - Progetto grafico: Miguel Sai & C., Bologna - Composizione e impaginazione: Litoincisa, Bologna - Ricerca iconografica: Luca Malagoli - Disegni: Graffito, Cusano Milanino Realizzazione dell’eBook: - Coordinamento redazionale: Giulia Laffi - Redazione: Fabio Bettani, Valentina Franceschi, Marinella Lombardi, Isabella Malacari, Roberta Maroni - Progettazione esecutiva e sviluppo software: duDAT s.r.l., Bologna - Revisione: Giulia Tosetti Copertina: - Progetto grafico: Miguel Sai & C., Bologna - Realizzazione: Roberto Marchetti - Immagini di copertina: Artwork Miguel Sai & C., Bologna
Contributi: - Stesura di testi: Paolo Maurizio Dieghi (Statistica); Giuseppe Di Palma, Fiorenzo Formichi e Giorgio Meini (Elementi di informatica) - Revisione dei testi e degli esercizi: Francesca Ferlin, Claudia Piesco, Renata Schivardi, Chiara Severini - Coordinamento della stesura delle schede di Laboratorio e dei problemi per competenze: Luca Malagoli - Stesura delle schede di Laboratorio: Anna Baccaglini-Frank (The airport problem), Silvia Benvenuti (Fra ossa e polinomi, Gli esaflexagoni, Origami, esercizio in più di The airport problem, Il quadrilatero articolato), Daniela Boni (Scambio libri, Tanti calendari, European Citizen!, La garanzia, A ognuno il suo, Il trenino elettrico, La scala), Adriano Demattè (Matematica e storia, Una questione di posizione, 25 secondi netti!, Sulla via dei crucinumeri, Il punto di rendez-vous, Un problema di costi, Rette da un esperimento, Risoluzioni alternative, Corde e canne di bambù), Paolo Maurizio Dieghi (Domanda e offerta, Calcolo dell’IRPEF, Consumo e risparmio, Il cuculo imbroglione, La quotazione dell’oro), Silvia Gerola (traduzione in inglese European Citizen! e The airport problem), Nadia Moretti (La mappa del tesoro), Marta Novati (Le spese condominiali, Obiettivo Ibiza, Il piastrellista, Bimbi in festa!, Il pontile, Calcio a 5), Marta Parroni (Missione umanitaria, Il cartamodello, Il pantografo, esercizio in più di Geometria dinamica con i quadrilateri), Antonio Rotteglia (Matematica al computer con il foglio elettronico e Wiris), Raffaele Santoro (Matematica al computer con software di geometria dinamica), Giacomo Tommei (Approfondimento, Cresci, Hoagy!, Evoluzione e dimensioni corporee, Mobilità sostenibile) - Stesura degli esercizi: Annamaria Bartolucci, Silvana Calabria, Francesca Ferlin, Chiara Francia, Ferdinando Galdi, Lorenzo Ghezzi, Mario Luciani, Domenico Pedullà, Claudia Piesco, Laura Polenta, Monica Prandini, Maria Pia Riva, Chiara Severini - Coordinamento della revisione degli esercizi: Francesca Anna Riccio - Revisione degli esercizi: Silvano Baggio, Angela Capucci, Elisa Capucci, Barbara Di Fabio, Elisa Garagnani, Francesca Incensi, Luca Malagoli, Isabella Malacari, Elena Meucci, Erika Meucci, Monica Prandini, Angela Prinzi, Daniele Ritelli, Elisa Targa - Stesura dei problemi per competenze: Daniela Boni, Paolo Maurizio Dieghi, Maria Falivene, Nadia Moretti, Marta Novati, Marta Parroni - Stesura dei problemi Eureka!: Andrea Betti - Stesura dei box CLIL e degli esercizi in lingua inglese: Anna Baccaglini-Frank - Rilettura dei testi: Francesca Incensi, Marco Giusiano, Luca Malagoli, Francesca Anna Riccio - Realizzazione audio: formicablu s.r.l., Bologna - Redazione e realizzazione dei video: Christian Biasco, Piero Chessa - Stesura degli esempi digitali: Chiara Tannoia, Davide Disanti - Revisione degli esempi digitali: Davide Disanti - Stesura delle animazioni interattive: Davide Bergamini - Revisione delle animazioni interattive: Davide Disanti
Prima edizione: marzo 2014 Ristampa: 5
4
3
2
1
2014
2015
2016
2017
2018
Zanichelli garantisce che le risorse digitali di questo volume sotto il suo controllo saranno accessibili, a partire dall’acquisto dell’esemplare nuovo, per tutta la durata della normale utilizzazione didattica dell’opera. Passato questo periodo, alcune o tutte le risorse potrebbero non essere più accessibili o disponibili: per maggiori informazioni, leggi my.zanichelli.it/fuoricatalogo
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Questo libro è stampato su carta che rispetta le foreste. www.zanichelli.it/la-casa-editrice/carta-e-ambiente/ Stampa: Grafica Ragno Via Lombardia 25, 40064 Tolara di Sotto, Ozzano Emilia (Bologna) per conto di Zanichelli editore S.p.A. Via Irnerio 34, 40126 Bologna
Massimo Bergamini Graziella Barozzi
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ZANICHELLI
< CC
M
LU
Cd LU
o
Il libro a tre strati Come orientarsi nel libro
1
LABORATORIO MATEMATICA INTORNO A NOI Scambio libri, a pagina 28
o in
XIII 1
NUMERI NATURALI
1.
Ordinamento e operazioni
2
16
2.
Proprietà delle operazioni
4
25
3.
Proprietà delle potenze
8
27
4.
Multipli, divisori, MCD, mcm
10
29
5.
Sistemi di numerazione
14
33
Verifica delle competenze
□
36
Nell’eBook: Dalle parole alle espressioni [2:31] Le proprietà dell'addizione e della moltiplicazione [4:03] Proprietà delle potenze [4:10] Sistemi di numerazione [3:54] e inoltre 6 animazioni e 158 esercizi in più
NUMERI INTERI 1.
Definizioni
42
50
2.
Addizione e sottrazione
44
52
3.
Moltiplicazione e divisione
46
57
4.
Potenza
48
60
Verifica delle competenze a pagina 56
□
Nell’eBook: Moltiplicazione e divisione di numeri interi [3:38] Potenze di numeri interi [3:51] e inoltre 6 animazioni e 70 esercizi in più
IV
66
3 LABORATORIO MATEMATICA E STORIA Frazioni e numeri decimali, a pagina 95
ESERCIZI
TEORIA
INDICE
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
1.
Che cos’è un numero razionale assoluto
70
82
2.
Confronto e rappresentazione
73
86
3.
Operazioni
75
88
4.
Numeri decimali
78
94
5.
Proporzioni e percentuali
80
97
Verifica delle competenze
□
104
Netl’eBook: Frazioni equivalenti e numeri razionali [4:06] Addizione e moltiplicazione di frazioni [3:35] Decimali periodici [2:53] Un problema con le percentuali [3:57] e inoltre 10 animazioni e 135 esercizi in più
4
LABORATORIO MATEMATICA ED ECONOMIA Domanda e offerta, a pagina 120
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
1.
Numeri razionali
108
118
2.
Operazioni
110
118
3.
Numeri reali
112
127
A.
Approssimazioni ed errori
113
128
5.
Notazione scientifica e ordine di grandezza
116
131
Verifica delle competenze
n
133
Nell’eBook: P T jT j Insiemi numerici [3:53] e inoltre 8 animazioni e 81 esercizi in più
INSIEMI E LOGICA
LABORATORIO YOU & MATHS European Citizen!, a pagina 173
1.
Insiemi
138
152
2.
Operazioni con gli insiemi
140
156
3.
Enunciati e connettivi logici
144
166
A.
Espressioni logiche e schemi di ragionamento
147
167
5.
Enunciati aperti e quantificatori
150
173
Verifica delle competenze
n
178
Nell’eBook: L'albergo di Hilbert [3:47] Connettivi logici e insiemi [3:35] e inoltre 6 animazioni e 82 esercizi in più
V
6 LABORATORIO MATEMATICA INTORNO A NOI A ognuno il suo, a pagina 207
ESERCIZI
TEORIA
INDICE
RELAZIONI E FUNZIONI
1.
Relazioni
182
194
2.
Proprietà delle relazioni
184
198
3.
Relazioni di equivalenza e d’ordine
187
203
4.
Funzioni
189
207
5.
Piano cartesiano e grafico di una funzione
192
212 216
Verifica delle competenze
□
Nell’eBook: Classi di equivalenza e insieme quoziente [3:33] Funzione inversa [3:35] e inoltre 7 animazioni e 106 esercizi in più
7
LABORATORIO MATEMATICA E BIOLOGIA Evoluzione e dimensioni corporee, a pagina 243
MONOMI
1.
Definizioni
220
228
2.
Addizione e moltiplicazione
222
230
3.
Divisione e potenza
224
237
4.
MCD e mcm
226
244
5.
Problemi e monomi
227
246
Verifica delle competenze
□
250
Nell’eBook: Operazioni con i monomi [4:42] MCD di monomi [2:44] e inoltre 4 animazioni e 116 esercizi in più
Q
POLINOMI
1.
Definizioni
254
264
2.
Addizione e moltiplicazione
257
271
3.
Prodotti notevoli
259
278
4.
Triangolo di Tartaglia
262
288
5.
Problemi e polinomi
263
289
Verifica delle competenze LABORATORIO MATEMATICA E ANTROPOLOGIA Fra ossa e polinomi, a pagina 269
□
Nell’eBook: Un problema con i polinomi [2:42] Moltiplicazione di polinomi [3:01] Interpretazione geometrica del cubo di un binomio [2:21] Dalle parole alle espressioni [2:31] e inoltre 14 animazioni e 243 esercizi in più
VI
294
INDICE
<
cc
o
M O
OC LU
in
9
LABORATORIO MATEMATICA E STORIA Problemi al tempo di Carlo Magno, a pagina 327
EQUAZIONI LINEARI
1.
Che cos’è un'equazione
298
306
2.
Princìpi di equivalenza
300
309
3.
Equazioni numeriche intere
303
312
4.
Problemi ed equazioni
304
318
Verifica delle competenze
□
331
Nell’eBook: F iT rT a Risoluzione di equazioni numeriche intere e princìpi di equivalenza [2:55] n rm
Un problema con le equazioni lineari [3:02]
e inoltre 5 animazioni e 99 esercizi in più
*|Q DISEQUAZIONI LINEARI
LABORATORIO MATEMATICA INTORNO A NOI Mobilità sostenibile, a pagina 356
1.
Disuguaglianze e disequazioni
338
346
2.
Disequazioni numeriche intere
342
350
3.
Sistemi di disequazioni
343
358
4.
Equazioni con valori assoluti
344
362
5.
Disequazioni con valori assoluti
345
364
Verifica delle competenze
□
366
N ell’eBook: Sistemi di disequazioni [3:38] Disequazioni con valore assoluto [3:49] e inoltre 9 animazioni e 82 esercizi in più
ita ____à k___________ " . 4 cm
6 cm
11
LABORATORIO MATEMATICA E STORIA Datemi un punto d'appoggio e vi solleverò il mondo, a pagina 397
FUNZIONI NUMERICHE
1.
Se le variabili sono reali
372
382
2.
Funzione composta e funzione inversa
373
386
3.
Proporzionalità diretta e inversa
374
387
4.
Funzioni lineari
376
392
5.
Funzioni definite a tratti
377
394
6.
Proporzionalità quadratica e cubica
378
396
7.
Funzioni circolari
379
400
Verifica delle competenze n
402
Nell’eBook: Composizione di funzioni [3:23] Proporzionalità diretta [3:51] Proporzionalità inversa [3:36] e inoltre 10 animazioni e 132 esercizi in più VII
I2
MATEMATICA INTORNO A NOI Il piastrellista, a pagina 425
ESERCIZI
TEORIA
INDICE
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
1.
Divisione tra polinomi
408
420
2.
Regola di Ruffini
410
425
3.
Scomposizione in fattori e raccoglimento
411
430
4.
Trinomio speciale
413
434
5.
Scomposizioni con prodotti notevoli
414
436
6.
Teorema del resto, teorema di Ruffini
415
442
7.
Scomporre con il metodo di Ruffini
417
445
8.
MCD e mcm di polinomi
419
453
Verifica delle competenze
□
455
Nell’eBook: L'econonnia della regola di Ruffini [3:06] Scomposizione in fattori del trinomio speciale [3:29] Scomposizione mediante il teorema di Ruffini [3:39] Scomposizione in fattori di un polinomio [2:52] MCD e mcm di polinomi [3:15] e inoltre 13 animazioni e 199 esercizi in più
Hi LABORATORIO MATEMATICA INTORNO A NOI Bimbi in festa!, a pagina 476
13
FRAZIONI ALGEBRICHE
1.
Che cos’è una frazione algebrica
462
466
2.
Proprietà invariantiva e semplificazione
463
469
3.
Operazioni
464
474 488
Verifica delle competenze
□
Nell’eBook: M m T l Addizione e sottrazione di frazioni algebriche [3:33] e inoltre 8 animazioni e 130 esercizi in più
pnpauU»vuLt*»*" r r 0=80%
\l^
EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI Equazioni numeriche fratte
492
496
Equazioni letterali
494
502
Verifica delle competenze LABORATORIO MATEMATICA ED ECONOMIA Consumo e risparmio, a pagina 510
□
Nell’eBook: Equazioni fratte [2:48] Equazioni letterali intere [3:29] e inoltre 7 animazioni e 136 esercizi in più
511
INDICE
< cc
o
M O
OC LU
in
15
LABORATORIO MATEMATICA E FISICA Il pontile, a pagina 521
1. 2.
DISEQUAZIONI FRATTE E LETTERALI Disequazioni numeriche fratte
516
520
Disequazioni letterali
518
526
Verifica delle competenze
□
530
Nell’eBook: Sistema di disequazioni vs disequazione fratta [3:37] e inoltre 5 animazioni e 120 esercizi in più
16 LABORATORIO DI APPROFONDIMENTO La velocità media, a pagina 559
STATISTICA
1.
Rilevazione dei dati statistici
536
552
2.
Serie statistiche
538
554
3.
Seriazioni statistiche
540
555
4.
Areogrammi, ideogrammi, cartogrammi
542
556
5.
Media, mediana, moda
544
558
6.
Indici di variabilità
546
562
7.
Distribuzione gaussiana e campionamento
549
563
Verifica delle competenze
n
564
NelTeBook: Un problema di rappresentazione dei dati statistici [3:12] Distribuzione gaussiana [3:44] e inoltre 6 animazioni e 67 esercizi in più
17
ELEMENTI DI INFORMATICA
56?
1.
Numeri e informazione digitale
570
2.
Problemi e algoritmi
571
3.
Programmare con Python
573
□
Nell’eBook: I tre paragrafi completi, con Teoria ed Esercizi
IX
INDICE
< (Z
o LU
M O
OC LU
in
Gl LABORATORIO MATEMATICA E TOPOGRAFIA La mappa del tesoro, a pagina G36
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
1.
Geometria euclidea
G2
G20
2.
Figure e proprietà
G6
G22
3.
Linee, poligonali, poligoni
G9
G26
U.
Operiamo con segmenti e angoli
G11
G27
5.
Multipli e sottomultipli
GU
G30
6.
Lunghezze, ampiezze, misure
G18
G33 G37
Verifica delle competenze Nell’eBook:
n
Individuazione del punto medio di un segmento [2:05] Costruzione della bisettrice di un angolo [2:12] e inoltre 9 animazioni e 32 esercizi in più
G2 1.
TRIANGOLI Lati, angoli, segmenti particolari
G42
G52
2.
Primo criterio di congruenza
G44
G54
3.
Secondo criterio di congruenza
G45
G57
U.
Proprietà del triangolo isoscele
G4-6
G59
5.
Terzo criterio di congruenza
G48
G62
6.
Disuguaglianze nei triangoli
G49
G66
Gli esaflexagoni, a pagina G52
Verifica delle competenze
□
Nell’eBook: Dimostrazione per assurdo [2:55] Condizione necessaria e condizione sufficiente [3:53] Costruzione della bisettrice di un angolo [2:12] Criteri di congruenza dei triangoli [A-A9] e inoltre 17 animazioni e 29 esercizi in più
X
G69
INDICE
< (Z
O
LU
M O cc LU
in
G3 LABORATORIO MATEMATICA INTORNO A NOI Origami, a pagina G88
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
1.
Rette perpendicolari
G74
G86
2.
Rette parallele
G76
G88
3.
Se le rette sono parallele
G78
G90
4.
Proprietà degli angoli di un poligono
G81
G95
5.
Congruenza di triangoli rettangoli
G83
G100 G102
Verifica delle competenze
Costruzione di una retta parallela passante per un punto [2:18] Rette parallele e trasversali [4:08] Un luogo geometrico: l'asse di un segmento [3:49] e inoltre 18 animazioni e 77 esercizi in più
G 4
LABORATORIO MATEMATICA E TECNOLOGIA Il quadrilatero articolato, a pagina G124
PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI
1.
Parallelogrammi
G106
G120
2.
Rettangoli, rombi, quadrati
G110
G125
3.
Trapezi
G114
G131
4.
Teorema di Talete dei segmenti congruenti
G117
G134
Verifica delle competenze n
G136
Nell’eBook: Sintesi delle proprietà dei parallelogrammi [3:17] Dividere un segmento in parti congruenti [2:07] e inoltre 21 animazioni e 25 esercizi in più
XI
FONTI DELLE ILLUSTRAZIONI 22: Diana Taliun* 23: Nancy Hixson* 28: Skylines* 32 (a): bergamont* 32 (b): nito* 32 (c): hsagencia* 32 (d): Maksim Chaikou* 32 (e): Stephen Finn* 39 (a): oksix* 39 (b): Johan Larson* 41 [a): Loredana Cirstea* 41 (b): Steve Collender* 54: Luis Santos* 55 [a): Yurumi* 55 (b): mexrix* 56 (a, f): Stefan Petru Andronache* 56 (b, g): Eric Isselee* 56 (c, d): Dmitry Kalinovsky* 56 [e): oksana2010* 56 (h): djem* 67 [al: Ljupco Smokovski* 67 (b): vsl* 83 [a): Ljupco Smokovski* 83 (b): PaulPaladin* 85: Mishchenko Mikhail* 95: Kotomiti Okuma* 98: Danny Smythe* 100 (a): szefei* 100 (b): Sashkin* 100 (c): Vania Georgieva* 101 (a): Erik Lam* 101 (b): Africa Studio* 102 (a): Gtranquillity* 102 (b): Volodymyr Krasyuk* 102 (c): silver-john* 103 (a): RT Design Studio* 103 (b): Dmitry Kalinovsky* 105: bitt24* 107 (a): Ivonne Wierink* 107 (b): zstock* 120: Richard Peterson* 130 (a): JeniFoto* 130 (b): Picsfive* 130 (c): Nadjal* 132 (a): Svetlana Privezentseva* 132 (b): Pakhnyushcha* 132 (c): donatas1205* 132 (d): discpicture* 137 (a): Rob Byron* 137 (b): prapass* 137 (c): xpixel* 164: alexjuvelO* 165 (a): homydesign* 165 (b): Oliver Hoffmann* 171: Roman Malyshev* 173: chrupka* 181 : gualtiero boffi* 196 (a): Aptyp_koK* 196 (b): Alexia Khruscheva* 196 (c): pio3* 196 (d): s_oleg* 206 (a): Alexandr Vlassyuk* 206 (b): Feng Yu* 206 (c): Evgeny Karandaev*
XII
206 (d): anaken2012* 207: Vlue* 213: Sabphoto* 243: Juraj Kovac* 246: Khomulo Anna* 247 (a): Michael Dechev* 247 (b): bogdan ionescu* 249 (a): Luis Santos* 249 (b): Piotr Marcinski* 249 (c): DWaschnig* 249 (d): Apriori* 251 : Africa Studio* 253: B Calkins* 268: auremar* 269: Ralf Juergen Kraft* 270: Max Topchii* 278: tairen* 279: vectorlib.com* 284: J Marshall - Tribaleye Images/ Alamy 291 : kornnphoto* 293 (a): Coprid* 293 (b): Alex459* 293 (c): Luis Louro* 297: alexsl / iStockphoto 309 (a): Standret* 309 (b): eans* 326 [a): Matthias Ziegler* 326 (b): ollyy* 326 (c): Tatyana Vyc* 327 (a): Dimitar Sotirov* 327 (b): Elena Butinova* 328: Petr Student* 329 (a): ArchMan* 329 (b): Ingvar Bjork* 330 (a): Piotr Adamowicz* 330 (b): Andrey Bayda* 335: Serghei Starus* 337: Soimule* 347: Luca Pacioli, Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e Proportionalità, c. 3 351 (a): KULISH VIKTORIIA* 351 (b): Ivonne Wierink* 351 (c): imagedb.com* 351 [d): KULISH VIKTORIIA* 351 [e): Anastasiia Markus* 351 (f): Ivonne Wierink* 351 (g): Dontree* 351 (h): Natalia Klenova* 354 (a): daffodilred* 354 (b): Dimedrol68* 354 (c): zirconicusso* 355 (a): CGissemann* 355 (b): Wire_man* 356: gualtiero boffi* 368: VectorPic* 371 (a): Maksim Shmeljov* 371 (b): -V-* 371 (c): Africa Studio* 388: monticelto* 390: daffodilred* 391 : luchschen* 393 (a): Petr Student*
393 (b): Vince Clements* 396: Irena Misevic* 397 (a): JZhuk* 397 (b): dekede* 398: Johnny Adolphson* 399: Naypong* 401 (a): Creation* 401 (b): Mariya Ermolaeva* 401 (c): photka* 405: Prixel Creative* 407 (a): Ivonne Wierink* 407 (b): Margo Harrison* 425: JoLin* 435: vectorlib.com* 461 (a): MARGRIT HIRSCH* 461 (b): Dmitry Melnikov* 476: Kalmatsuy* 491 (a): mmmm* 491 (b): Boris Ryaposov* 501 : Michael Shake* 502 (a): BONNINSTUDIO* 502 (b): any_keen* 510 (a): Ljupco Smokovski* 510 (b): vesna cvorovic* 515 (a): Singkham* 515 (b): eMPe* 521 : Helder Monteiro* 526: Keattikorn* 553: Carlos Romero* 556: Valentyn Volkov* 557: Victoria Kisel* 559 (a): Africa Studio* 559 (b): renkshot* 561 : Irina Rogova* 562 (a): arka38* 562 (b): Chatchai Kritsetsakul* 563: AdStock RF* 565: Yelena Panyukova* 567 (a): Edwin Verin* 567 (b): phloen* 569 (a): Cienpies Design* 569 (b): Sashkin* 570: Maxx-Studio* G21 (a): Christian Weber* G21 (b): Christian Draghici* G23: illusionstudio* G24 (a): CCat82* G24 (b): ajt* G24 (c): Nomad_Soul* G24 (d): Petr Malyshev* G24 (e): Eleonora Kolomiyets* G24 (f): Byjeng* G27: Mega Pixel* G29: ajt* G30: antpkr* G31 : OZaiachin* G34: Gavran333* G35: Vladimir Caplinskij* G36: Globe Turner* G37 (a): PavleMarjanovic* G37 (b): Somchai Som* G38: Yuriy Boyko* G40: FtoridaStock* G52: tukkata*
G53: 501 room* G55 (a): NagyDodo* G55 (b): bloomua* G55 (c): A. Krotov* G55 (d): withGod* G55 (e): mexrix* G56 (a): Jari Hindstroem* G56 (b): Sergiy Kuzmin* G58 (a): donatas1205* G58 (b): Matusciac Alexandru* G61 (a): Kanuman* G61 (b): Calvin Chan* G63: viritphon* G64: LingHK* G65 (a): Andrey_Popov* G65 (b): Jonathan Lewis* G66: In Green* G67: Olha Insight* G68: Marset82* G70: Alexander Tihonov* G71 (a): Hannamariah* G71 (b): Andrey Bayda* G73: almgren* G87: Dmitry Kolmakov* G88 (a): syamsul bahri muhammad* G88 (b): iofoto* G88 (c): Alexandra Lande* G89: Swapan Photography* G94 (a): Dan Kosmayer* G94 (b): clivewa* G96 (a): Gena73* G96 (b): Gwoeii* G98: Jens Ottoson* G100 [al: Mario7* G100 (b): 7yonov* G100 (c): Sarah2* G101 : John Dorado* G120 (a): photka* G120 (b): Igor Petrov* G121 : marekuliasz* G123 [a): Nonnakrit* G123 (b): photka* G124: Hiper Com* G127 (al: telesniuk* G127 (b): PaintDoor* G128: crystalfoto* G129 (a): Mars EvisO* G129 (b): Pavel L Photo and Video* G130: DenisNata* G133 (a): Mauro Carli* G133 (b): Rudy Bagozzi* G135 (a): gualtiero boffi* G135 (b): OZaiachin* G137: Werner Muenzker* G139 (al: Seregam* G139 (b): windu* G139 (c): Sarah2* G139 (d): Eky Studio* G139 (e): idea for life* G139 (f): Arsgera*
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IL LIBRO A TRE STRATI
Matematica multimediale è un libro composto da tre strati, come la torta in copertina: •
il libro di carta, con la teoria e gli esercizi;
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l’eBook multimediale, con video, animazioni, esempi digitali e tanti esercizi in più;
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il Tutor, la piattaforma online che ti aiuta nei compiti a casa, nel ripasso autonomo e nella preparazione alle verifiche.
Nel libro la teoria è disposta su due pagine affiancate e di fianco a ogni regola o de finizione c’è sempre un esempio. Così ritrovi quello che devi sapere nella tua memoria visiva. Gli esercizi sono tutti nuovi; a quelli tradizionali si aggiunge un 10% di esercizi sulla matematica intorno a noi e sulle competenze. Li trovi al posto giusto, lì dove servono. Nell’eBook ci sono molti video e animazioni, per imparare non solo leggendo, ma anche guardando e facendo. Ci sono poi 2000 esercizi in più rispetto al libro di carta, per il recu pero e il consolidamento. Tutti gli esercizi interattivi (associa, vero o falso, scelta multipla) possono essere svolti direttamente al computer o su tablet. Il Tutor contiene tutti gli esercizi del libro. Se sei in difficoltà, a fianco di ciascun esercizio trovi un esempio svolto, un video o un’animazione che ti aiutano a risolverlo. E metà degli esercizi di algebra può essere risolta con il checker, l’assistente che dice subito se un passaggio è giusto o sbagliato. Matematica multimediale è un libro di nuova generazione, che aggiunge ai contenuti ordinati sulla carta le potenzialità del digitale: tante risorse interattive in più per imparare la matematica. Buon lavoro,
Massimo Bergamini
Graziella Barozzi
XIII
IL LIBRO A TRE STRATI
l
LA CARTA 7
Tutta la teoria sottocchio, con paragrafi di due pagine affiancate Esempi vicini alle definizioni
I
MONOMI
3. DIVISIONE E POTENZA DI MONOMI QUOZIENTE DI DUE MONOMI
• eleviamo a esponente n il suo coefficiente;
1
© Esercizi a pagina 00
Si può dimostrare che: (a •b) : (c d) = (a : c) ■(b : d).
<10:5)• (12:3) = 2 -4 = 3 .
Sfruttiamo la proprietà per eseguire una divisione fra monomi: (21
a"
r j Amononial Pisdivisibte byasccord ^ mooomiat 0 if andonty if letters inP are all raisedloa power greater or equattolise corr«spon*n9 pcwers in 0.
Se A e fi sono due monomi, con fi 0, A è divisibile per fi se c solo se ha nella parte letterale tutte le lettere di fi. ognuna con esponente maggiore 0 uguale a quello con cui compare In A.
►
I7ati i monomi A c B, con zi divisibile per fi e fi ^ 0, il quoziente di A diviso fi è un monor
► (11/)'=11'/ *=11/
Esaminiamo come si semplifica un'espressione con tutte le operazio: (4aibic)1:(!6a>bse) + lÓ aW c1: (2abc)2 - 2ab ( - b ) 2-2ac2
4 2, 4 > 3 . 2 = 2. 6xV" non è divisibile per 2 r b perché gli esponenti di b sono 5 < 7.
16a*lfe1:(16a1l?c) + 160* bs£* :(4a2b2e2) - 2ab- b' Zac1 = flfic + 4a*fr-V - 4«rbV =
(2^*):(3xJ) = 12
ISx5)’2 : O x'y);
ìalr'c1:(2nfiIcJ);
(2:3) (X*1:**)
ii | in i
,Tjfimj»;—
'alenin— = -f
POTENZA DI UN MONOMIO
© Esercizi a pagina 00
. ( -f «‘ P ) ‘ = ( -f )‘ ■(« V
= - f a‘ ‘b- ‘ = - f a “ k“
13
I Calcola le seguenti potenze di monomi. (-2 « W ;
(Sxy5) 5;
:
-<-
Semplifica le seguenti espressioni.
H O H B M f l l nii)| rifu u'i'j.fT : (-§-«xJ)s - <- 2 « w : ( - f o V )
(3cs) : ( - ìc5) = |3 : (- 3)]cs >
Per calcolare la potenza di un monomio, sfruttiamo la terza e la quarta proprietà delle potenze.
5 a * / : ( - lO nV ):
2
nella parte letterale ogni lettera ha per esponente la differenza tra gli esponenti con cui la lettera compare in A e fi.
►(6^): (6**) = (6:6)x4~4 = 1;
XIV
SERCIZI PER COMINCIARE Determina, quando esiste, il monomio quoziente delle seguenti dr
il coefficiente è il quoziente dei coefficienti;
. (Sab’)-.<3ab’) =
Laboratori sulla matematica nella storia, nei giochi, nell’informatica
8***>
►(4xJ) ° = 4 V ° = 1
conmi/i
Il risultato è un monomio perché 11 è maggiore di 5, quindi l'esponente del risultato non c negativo. Diamo allora la seguente definizione.
Il quoziente di due monomi uguali è 1; quello di due monomi opposti
Il 20% di esercizi sulla matematica intorno a noi e sulle competenze per imparare a ragionare
—2><
• moltiplichiamo per »»ognuno degli esponenti delle sue lettere.
I.a potenza con esponente 1 di un monomio è uguale al monomio si
Nell'insieme dei monomi la divisione noptfin'operazione interna. Dati due monomi A c fi, possiamo calcolare A : li sokj*^/l è divisibile per fi. Se il monomio A è divisibjjjì^mrmonomio B, diremo che A è multiplo di B.
Esercizi per cominciare, per metterti subito alla prova
(— ►
I.a potenza è un'operazione interna all’insieme dei monomi. La potenza con esponente 0 di un monomio diverso da 0 è uguale a
Verifichiamolo con un esempio numerico: (IO I2):(S 3 )= 120:15 = 8;
Per calcolare la potenza con esponente n di un monomio:
1
H
[-4 V + ( i e ? ) : ( - 2*rV | : ("i"r) + 3 ( - *>V + ■3*’/ : ( Ì
n
o n O p e r a b ili con i monomi Guarda il video sulle dove parliamo di pStet Fornisci esempi per spicgare~p?M*Ajieirimicme dei monomi divisione non
IL LIBRO A TRE STRATI
L’EBOOK ». DIVISIONE E POTENZA DI MONOMI ! TEORIA
!*/)*=
I
Addiziono e moltiplicazione di polinomi
Dove vedi l’icona del tablet, hai a disposizione:
Sempiiflchiamo la seguente espressione,
ì bx(x 1-36) - ^ (x’ -h36’ ) - ^ * ! (2x-l>) + ì x 1( 9 x - i ) .
ÌM-»»)*-i*--‘-U■" - * 5*'caicofiwwinretìctt
180 animazioni
l
i bx1 +■ ^ b * x -
2
2
4
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4
b } - ^ b2x+- ^ b } + ^ x J - - h
2
4
4
4
I*'•<-*!.
PRODOTTI NOTEVOLI CubuOI un Omo ite
«
o | (a + fc) =a* +3a:b +3ab! +b'
Esercizi interattivi
Addiziona e moltiplicazione di polinomi Scmplfica U «cgucneccipreuiaae (a.b e \ ) (3- j a Eicguiuno le raateplkaiiom tra polinomi.
Esempi digitali, risolti passo passo
(3aJ - Sub * 7b:) - [(1 a - b)(c + 2) - <4* - 2>(* - f a)} (3aJ - Sai» + 7*!) - j i a2 + § a - ab - 2b - (ia* - j «r - Ib + | a )) . Tagliano le parerteli tonde. (3as - Sai» ♦ 7*1) - (* «* + * a - ab - 2b - (4a* - \ a 1 - Ib ♦ f «)) ■ Ja: - iab + 7** - [j a1 + * « - jb - 3b - 4*1 + j «! -t- 2 * - j a ]. Serrammo i monomi umili. 3« 2 - Sa* 7*! - [1 «* ♦ 5 a - a* - 2* - 4ai + f a* 3a: - 5a* + 7*} - [3as - 1 a - Se*).
2* - * a] -
Togliano le parerteli quadre. U* Smb » 7*-' (J«2 • a Sa*] 3e2 - Se* + 7* 1 - IJe2 * a ♦ Sib.
Soluzioni dei Laboratori, con proposte di ricerca
Inoltre, 2000 esercizi in più rispetto alla carta ' f
xv
IL LIBRO A TRE STRATI |
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TUT0R -nntr irnlitr V I
vjo comrouar:
Matematica
i ■lui tmaiu
& SEMPLF CA LA SE3UEN“E ESPRESSIONE :i- c n < y - 2 ) - 2 < t + o ;'
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4 4 o '- 6 j * - A-J2 - 1 X
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XVI
COME ORIENTARSI NEL LIBRO Tanti tipi di esercizi ALVOLO
Esercizi veloci Per esempio: esercizi dal 10 al 13, pagina 496.
CACCIA ALL’ERRORE
Evita i tranelli Per esempio: esercizio 73, pagina 311.
CHI HA RAGIONE?
Dimmi il perché Per esempio: esercizio 24, pagina 119.
COMPLETA
M
Q
e u r e k a ! Un forte aumento Quale numero aumenta del 500% quando se ne fa il quadrato?
0
Inserisci la risposta giusta
6
i n 10
[e] 7
Qf] 8
E
5
[Kar.gourou Italia, 2006]
Per esempio: esercizi 12 e 13, pagina 306. EUREKA!
Una sfida per metterti alla prova Per esempio: esercizio 178, pagina 240.
FAI UN ESEMPIO
Se lo sai fare, hai capito
Problem i
Per esempio: esercizi 50 e 51, pagina 267. IN FORMA GRAFICA
Per visualizzare la matematica
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Per esempio: esercizi dal 70 al 74, pagina 88. INTORNO A NOI
in torno a noi
Carlo possiede fi 480 e Francesca ne possiede 150 in meno. Dopo quanti giorni i due ragazzi saran no in possesso della stessa cifra?
La matematica di tutti i giorni________ Per esempio: esercizio 325, pagina 326.
INVALSI
Dalle prove nazionali____________ Per esempio: esercizio 303, pagina 248.
YOU & MATHS
La matematica in inglese Per esempio: esercizio 448, pagina 290.
1rimandi all’eBook 2 ore e 50 minuti di video Per esempio: esercizio 3, pagina 305. ANIMAZIONE
VERO 0 FALSO? TEST
ASSOCIA
ESEMPIO DIGITALE
m
U
180 animazioni interattive
I~a18«2
Per esempio: esercizi 1 e 2, pagina 517.
in 12(4
Esercizi interattivi nell’eBook
n isa2
Per esempio: esercizi dall’ 1 al 4, pagina 496.
Esercizi risolti passo passo nell’eBook Per esempio: esercizio 108, pagina 426.
I rimandi al Tutor L’assistente online di algebra Tutti gli esercizi blu. Per esempio: esercizi dal 610 al 629, pagina 450.
4a
INVALSI 2006
Da un quadra to di lato 4a so no stati ritagliati quattro triangoli rettangoli isosceli come nella figu ra. Quanto vale l’area della parte colorata?
n
14a7
n
a
NUMERI NATURALI 1. ORDINAMENTO E OPERAZIONI NUMERI NATURALI, RAPPRESENTAZIONE, ORDINAMENTO
G
Esercizi a pagina 16
Conosci già i numeri naturali:
0,
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10,
11,
...
Indichiamo il loro insieme con N. I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta orientata, cioè una semiretta sulla quale segniamo con una freccia il verso di percorrenza. All’origine facciamo corrispondere il numero 0. Fissiamo poi un segmento come unità di misura e facciamo corrispondere il numero 1 al punto che dista daU’origine una unità, il 2 a quello che dista due unità e così via.
unità di m isura >
1
0
2
La rappresentazione sulla semiretta fa vedere che l’insieme dei numeri naturali è ordi nato e possiamo sempre confrontare due numeri naturali fra loro. I simboli per indicare le relazioni d’ordine sono:
3 < 5
7 >2
< minore;
4 < 4
8 > 1
> maggiore;
< minore o uguale;
> maggiore o uguale.
Per ogni numero naturale diverso da 0 esistono il precedente e il successivo. II numero naturale 0 ha 1 come successivo, ma non ha il precedente. L’insieme N è discreto: fra due numeri naturali qualsiasi, che non siano consecutivi, esiste un numero finito di numeri naturali.
OPERAZIONI E OPERANDI G
3
precedente di 5
l
>
5 successivo di 5
Esercizi a pagina 17
Con i numeri naturali si eseguono le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplica zione e divisione. I due numeri con i quali si opera, cioè gli operandi, assumono nomi particolari, così come i risultati delle operazioni. Nell’addizione il primo e il secondo operando sono gli addendi, il risultato è la som ma. Nella sottrazione il primo operando è il minuendo, il secondo operando è il sottra endo, il risultato è la differenza. Nella moltiplicazione il primo e il secondo operando sono i fattori, il risultato è il prodotto. Nella divisione il primo operando è il dividendo, il secondo operando è il divisore, il risultato è il quoziente. addendi
/
\ ► 3 + 4 = 7, \
som m a
2
minuendo
differenza
\
/ 1 3 - 2 = 11, \
sottraendo
fattori
/ \ 5-9 = 45, /
prodotto
dividendo
quoziente
\ / 48:6 = 8. \
divisore
In an addition, thè numbers involved are called addends and sum ; in a subtraction, minuend, subtrahend, and difference-, in a m ultiplication, factors and produci-, in a division, dividend, divisor, and quotient.
□
1. ORDINAMENTO E OPERAZIONI
Definiamo anche l’operazione di potenza.
0 Potenza S e a e n sono numeri naturali: • an = a a a a - . . .
a
---------- 11----------
TEORIA
A pow er is thè result obtained by thè repeated multiplication of a naturai num ber by itself.
si legge: « tre a lla q u a rta »
34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81 ----- 11-----
se « > 1; ^
ri volte
U volte
• a0 = 1 se a ± 0;
26° = 1
• a 1 = a.
91= 9
01= 0
Non si definisce 0°. Nella potenza a”, a è la base, n è l’esponente.
^ e s p o n e n te
53 = 125
ESPRESSIONI ©
\
Esercizi a pagina 18
base
Un’espressione con i numeri naturali indica un insieme di operazioni da svolgere in un ordine preciso. Nel calcolo, la potenza ha la precedenza su tutte le altre operazioni. Moltiplicazioni e divisioni hanno la precedenza su addizioni e sottrazioni. Le precedenze possono essere cambiate utilizzando parentesi. Vanno svolti prima i calcoli relativi a operazioni fra parentesi tonde, poi quelli fra parentesi quadre e per ultimi quelli fra parentesi graffe. Per semplificare un’espressione, eseguiamo i calcoli, seguendo le precedenze, e poi la sostituiamo con un’espressione più semplice che ha lo stesso valore. Ripetiamo il procedimento fino a giungere al risultato.
quadre /
\
Nv
\
^ /
tonde g ra ffe
Semplifichiamo l’espressione 4 • [3 + 2 ( 7 - 4 ) ] . 4- [3 + 2- ( 7 - 4 ) ] = 4 - [3 + 2-3] = 4 / \ / p rim a l'o p era zio n e n e lle tonde
p rim a la m o ltip lica zio n e
[3 + 6] = 4- 9 = 36 \ / p rim a l'o p era zio n e n e lle quadre
È anche possibile considerare espressioni letterali, in cui le lettere sono dette varia bili, nome che indica che al posto di ognuna di esse possiamo sostituire numeri che possono cambiare di volta in volta.
va ria b ile /
3a + 1 1 e spressione le tte ra le
ESERCIZI PER COMINCIARE n
u n TffWTflTl Dati i numeri a e b, scrivi in simboli le seguenti espressioni, calcolando poi il loro valore per i valori assegnati ad a e b. a. La differenza fra il cubo di a e il cubo del doppio di b; a — 3, b — 1. b. La somma del triplo prodotto di a e b e del doppio della loro differenza; a — 5, b — 4. c. Il prodotto fra il quadrato della somma di a e b e la somma dei loro quadrati; a — 1, b — 2. Dalle parole alle espressioni Scrivi in simboli l’espressione: «Dati due numeri a e b, al doppio del successivo di a aggiungi il prodotto tra il quadrato del precedente di b e 8». Calcola il valore dell’espres sione per a — 7 e b — lì. Confronta la tua risoluzione con quella proposta nel video. 3
1
U
NUMERI NATURALI
2. PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI
TEORIA
Le proprietà commutativa e associativa possono essere utili nel calcolo a mente. associativa
co m m u ta tiva
associativa
►7 + 8 + 34-2 = 7 + (8 + 3 )+ 2 = 7 + (3+ 8)+ 2 = (7 + 3 )+ (8 + 2) = 10 + 10 = 20 2 ■9 • 5 = (2 • 9) ■5 = (9 ■2) • 5 = 9 • (2 • 5) = 9 • 10 = 90 \ \ \ associativa
co m m u ta tiva
associativa
Vale inoltre la seguente proprietà distributiva.
-< i— UJ
oc Q. O OC 0.
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione Il prodotto di un numero per una somma è uguale alla somma dei prodotti fra il numero e ognuno degli addendi. La proprietà è distributiva a sinistra e a destra a seconda della posizione del fattore rispetto alla somma. a • (b + c) = a ■b + a ■c
d is trib u tiv a a s in istra
(a+ b) c = a c + b c
d is trib u tiv a a destra
5 ( 2 + 3) = 5- 2 + 5- 3
d is trib u tiv a a sin istra
(4+ 5) 2 = 4 2 + 5 2
d is trib u tiv a a destra
►
Se leggiamo una delle uguaglianze che esprimono la proprietà distributiva da destra verso sinistra, abbiamo un raccoglimento a fattore comune:
fa tto re racco lto /
7-3 + 7- 5 = 7 ( 3 + 5)
a b + a c — a (b + c). Valgono inoltre le seguenti leggi di monotonia, per le uguaglianze e per le disugua glianze. Prima legge di monotonia Aggiungendo uno stesso numero naturale ai due membri di un’uguaglianza o di una disuguaglianza, otteniamo un’uguaglianza o una disuguaglianza con lo stesso verso.
\
/
fa tto re com une
4 = 3 + l ~ 4 + 8 = (3+l) + 8 5<2-5+6<2+6
a = b**a + c = b + c; a < b — a + c < b + c; a > b — a + c > b + c. /
\
stesso verso
/ stesso verso
Seconda legge di monotonia Moltiplicando per uno stesso numero naturale diverso da zero i due membri di un’uguaglianza o di una disuguaglianza, otteniamo un’uguaglianza o una disuguaglianza con lo stesso verso.
ESEMPIO
\
12 > 3 — 12 + 7 > 3 + 7
6 = 9 —3 - 6 - 5 = (9 —3) - 5
1 < 2 - 1 -3 < 2-3
Con c ^ 0 :
a=b**ac= bc; a < b ** a ■c < b ■c; a > b + + a c > b c.
\
/
stesso verso
\
8>7-8-3>7-3
/
stesso verso
5
1
NUMERI NATURALI
Proprietà della sottrazione e della divisione La sottrazione può essere definita come operazione inversa dell’addizione: la differenza di due numeri è quel numero che sommato al sottraendo dà il minuendo. ►9 —4 = 5 perché 5 + 4 = 9. è
possibile eseguirla solo se il sot
.
i c-
-4.
0
: 0 non viene definita
non ha risultato in N con b / 0:
a:b = q
►14:2 = 7 perché 7 • 2 = 14. n
5 -8 = ? /
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione: il quoziente fra due numeri è quel numero che moltiplicato per il divisore dà il dividendo. Il divisore deve sempre essere diverso da zero.
9 : 0 non viene definita
perché
d+b=a
In N la sottrazione non è un’operazione interna: traendo è minore o uguale al minuendo.
n
a —b = d
perché
__— perché nessun n u m e ro m o ltip lic a to n m,> 0 y p e r U può dare 9
-— perché
q- b = a
q u a lsia si n u m e ro
moltiplicato per 0 dà 0
Anche escludendo 0 come divisore, in N la divisione non è un’operazione interna. ►23 : 5 non ha risultato in N, perché non esiste un numero naturale che moltipli cato per 5 dà 23. È invece sempre possibile la divisione con resto, in cui la relazione fra dividendo a, divisore b, quoziente q e resto r è la seguente.
perché
a :b = q con resto r *-* a = b q + r
23 = 5-4 + 3.
23 : 5 = 4 con resto 3
Se r = 0, la divisione è esatta e diciamo che a è divisibile per b. Valgono i seguenti criteri di divisibilità. se e solo se divisibili per 2
2
l’ultima cifra è divisibile per 2
t
/ 1320;
3
la somma delle cifre è divisibile per 3
y
3642
4 o 25
n termina con 00 o il numero formato dalle ultime due cifre è divisibile per 4 o per 25
\ 2714; 3+ 6+
A+ 2 =
divisibile per
t
3700; \
2312;
divisibile per U e 25
6
\ 316. 15 e 15 è divisibile per 3
A
7150. \
divisibile per 25
5
termina con 0 o 5
y
290;
375.
9
la somma delle cifre è divisibile per 9
y
2952
2 + 9 + 5 + 2 = 18 e 18 è divisibile per 9
11
la differenza fra la somma delle cifre di posto pari e quella delle cifre di posto dispari (o viceversa) è divisibile per 11
5+0
y
=5 1 / 35607 I \ \ 3 + 6 + 7 = 16
16 - 5 = 11 e 11 è divisibile per 11
ESEM PIO
n è divisibile per ...
2. PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI
TEORIA
ESERCIZI PER COMINCIARE D U E a. (14 + 8) +
Completa le seguenti uguaglianze e scrivi la proprietà applicata.
+ (8 + 9); b. I___ J•(!_ J +2) = 8- 5 + 8 -1___ J; c. 46 = (46 + 1 ___ I) —(18 + 2);
d. (60 + e. (15 + f.
J ) :4 = L : 4 + 8: J )-4 = L J-(15 + 3); : 45 = (270 : 9) : (45 : 1 ___ I).
Le proprietà dell’addizione e della moltiplicazione Lo schema della figura interpreta graficamente la proprietà commutativa della moltiplicazione. Inventa altri schemi grafici che interpretino le pro prietà commutativa e associativa dell’addizione, la proprietà associativa della moltiplicazione, la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. f7 \f? 3 m m Confrontali con quelli che proponiamo nel video. 3 )b B 0 : - ■ t t f f f i ) 5
7
1
NUMERI NATURALI
3. PROPRIETÀ DELLE POTENZE @ Esercizi a pagina 27
(TJl The product of two powers w ith thè same base is a power with that » base and exponent equal to thè sum of thè exponents.
Per le potenze valgono cinque proprietà.
1. Prodotto di potenze con la stessa base Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.
►
53 ■54 = 53+4 = 57
►
125: 123 = 125-3 = 122
►
(43) 2 = 43 2 = 46
►
42 • 52 = (4 • 5)2 = 202
►
62 : 32 = (6 : 3)2 = 22
a'" • a" = am+n 2. Quoziente di potenze con la stessa base Il quoziente di potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti. con a
^
0 e
n
3. Potenza di potenza La potenza di una potenza è una potenza che ha la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti. {am) n = amn 4. Prodotto di potenze con lo stesso esponente Il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi. am• bm = (a - b)m 5. Quoziente di potenze con lo stesso esponente Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha lo stesso esponente e come base il quoziente delle basi. am : bm = (a : b)m,
con
b± 0
e a divisibile per
b
Giustifichiamo le proprietà considerando degli esempi in cui scriviamo le potenze come moltiplicazioni ripetute. Per gli esempi relativi alla seconda e alla quinta proprietà, uti lizziamo la definizione della divisione come operazione inversa della moltiplicazione. ►Prima proprietà 32-33 = ( 3 - 3 ) ( 3 - 3 - 3 ) = 3 ■3 • 3 • 3 • 3 = 3 5 /
2 volte
/
/
3 volte
2 + 3 = 5 volte
►Seconda proprietà 26 : 24 = 26-4 perché 26-4 • 24 = 2(6_4)+4 = 26 T T ~T~ T" T T a : b = q
q
►Terza proprietà
b
4 volte
(23)4 = 23 • 23• 23 •23 = 23+3+3+3 = 23 4
^
4 volte
8
\
prima proprietà
ESEM PIO
am : a" = am~n,
3. PROPRIETÀ DELLE POTENZE
TEORIA
►Quarta proprietà T •23 = (7 • 7 • 7) • (2 • 2 • 2) = (7 •2) • (7 • 2) • (7 •2) = (7 • 2)3 proprietà associativa e commutativa .
.
,
quarta proprietà
►Quinta proprietà / 85: 25 = (8 : 2)5 perché (8 : 2)5• 25 = [(8 : 2) • 2]5 = 85 T T ~T~ T T a : b
=
q
q
b
=
a
Le proprietà valgono anche nei casi in cui la potenza non si può scrivere come molti plicazione ripetuta. Le definizioni di a0 = 1 e a1= a sono state date proprio per fare in modo che valga la seconda proprietà. ►25: 24 = 2 perché 2 •24 = 2 • (2 • 2 ■2 •2) = 25. T T 7 TT T a : b = q
q ■b
=
a
D’altra parte, se vogliamo che valga la seconda proprietà delle potenze: 25: 24 = 25-4 = 21. Confrontando i due risultati, deve essere: 21= 2 .
►34 : 34 = 1 perché 1 ■34 = 34. D’altra parte, se vogliamo che valga la seconda proprietà delle potenze: 34.34 = 34-4 = 30. Confrontando i due risultati, deve essere: 3° = 1.
a0 = 1, con a / 0.
ESERCIZI PER COMINCIARE B 1 Calcola il risultato delle seguenti espressioni, indicando le proprietà delle potenze utilizzate. i. 85: 83.
a. 23 ■22;
c. 913:9n;
e. (23) 2;
g. 24-54;
b. IO3: 53;
d. (125:124) 2;
f. (72) 3:74;
h. (34 : 33)2 • (37: 35) 2;
WfM Applicando le proprietà delle potenze, scrivi il risultato delle seguenti espressioni come potenza di 2, di 3 o di 5. a. 83: 24; KB
b. 255■1252;
c. 1287;
d. 812:93;
e. 2562-643;
f. 163:42.
Applicando le proprietà delle potenze semplifica la seguente espressione: [(413. 48) ; 42] : (43)6+ [(445 : 115) • (162: 43) 13] : 2564.
MM Q P T m Proprietà delle potenze Semplifica la seguente espressione: [(33• 27 • 34)3: 6]/] : 34. Confronta la tua risoluzione con quella proposta nel video. 9
1
NUMERI NATURALI
4. MULTIPLI, DIVISORI, MCD, mcm ® Esercizi a pagina 29
10
U. MULTIPLI, DIVISORI, MCD, mcm
TEORIA
Se scomponiamo in fattori primi due o più numeri naturali: il MCD è il prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta, con Yesponente minore.
il mcm è il prodotto di tutti i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con Vesponente maggiore.
Per calcolare MCD e mcm di 120 e 140, scomponiamo i numeri in fattori primi. Mettiamo poi i fattori in colonna. 120 2
140 2
120 =
23 • 3 • 5
60 2
70 2
140 -
22 ■
30 2
35 5
MCD = 22-
15 3
7 7
5 5
5-7
fattori comuni con l'esponente minore
5
mcm = 23 • 3 • 5-7
fattori comuni e non comuni con l’esponente maggiore
1
1
Il MCD è 20, il mcm è 840. Se due numeri non hanno fattori in comune diversi da 1, diciamo che sono primi tra loro. Il loro MCD è 1 e il loro mcm è il prodotto dei due numeri. ►10 e 21 sono primi tra loro. Algoritmo di Euclide Con un algoritmo descriviamo l’insieme delle istruzioni da eseguire per passare dai dati di un problema ai risultati. Euclide, negli Elementi, descrive un algoritmo per il calcolo del MCD fra due numeri mediante sottrazioni successive. Il metodo si basa sul seguente teorema. Divisibilità della differenza Se due numeri naturali a e b, con a > b, sono divisibili per uno stesso numero c, allora anche a — b è divisibile per c.
130
►
e
40
130 —40 = 90
sono divisibili per 5.
i
è divisibile per 5.
DIMOSTRAZIONE
Se a è divisibile per c, allora a : c — qx — a = qx- c. Se b è divisibile per c, allora b : c = q2 — b = q2- c. Consideriamo la differenza:
a —b = q{ c —q2 c — a —b = (q\ —q2) • c '—
a — b è divisibile per c.
>
raccogliamo c
Dati a e b, con a > b, per il teorema precedente, quando a e b hanno un divisore comune, anche a —b ha lo stesso divisore, quindi, in particolare, possiamo scrivere: MCD(a; b) = MCD(a —b; b),
con a > b. 11
1
NUMERI NATURALI
Nell’algoritmo utilizziamo anche il fatto che il MCD fra un numero e se stesso è anco ra il numero stesso: MCD(a; a) — a. Esaminiamo ora l’algoritmo. MCD con sottrazioni successive Consideriamo a e b, con a > b; calcoliamo a —b\ se a — b = b, allora a — b è il MCD(a; b) e ci fermiamo; altrimenti sostituiamo il maggiore fra i numeri a — b eb al posto di a e il minore al posto di b, e ripetiamo il procedimento precedente, calcolando la differenza.
Calcoliamo MCD(58; 18). 58^—N 8 j ^ 4 0 ! ; —
:40j—
—
40 è maggiore di 18, quindi sostituiam o 40 a 58 22 è maggiore di 18, quindi sostituiam o 22 a 40
sono uguali: ci ferm iam o
i22i — 1 1 8 != 1 4 !;------- 4 è minore di 18, quindi sostituiam o 4 a 18 e 18 a 22
:i8!-:4i= 14;
14-4=10;
1 0 - 4 = 6;
6 - 4 = 2;
4-[2:=:2j.
2 è il MCD. Ecco come abbiamo applicato le proprietà precedenti: MCD(58; 18) = MCD(40; 18) = MCD(22; 18) = MCD(18; 4) = MCD(14; 4) =
\
\
/
4 0 -1 8
5 8 -1 8
\
2 2 -1 8
18-4
MCD(10; 4) = MCD(6; 4) = MCD(4; 2) = MCD(2; 2) = 2
\
\
14-4
10-4
/
6-4
/
4-2
Otteniamo il MCD = 2 quando i due numeri sono uguali. Nell’esempio precedente, da 58 abbiamo tolto 18 per 3 volte fino a giungere a 4: 3 sottrazioni /
/
\
[(5 8 - 1 8 )- 18] - 18 = 4. Queste 3 sottrazioni ripetute equivalgono a dividere 58 per 18, ottenendo 4 come resto. Quindi, utilizzando il teorema della divisibilità della differenza, ma evitando sottrazioni ripetute, diciamo che se 58 e 18 sono divisibili per uno stesso numero, anche 4, resto di 58 :18, è divisibile per lo stesso numero. L’esempio giustifica il seguente teorema. Divisibilità del resto Se due numeri naturali a e b, con a > b, sono divisibili per uno stesso numero c, allora anche r, resto della divisione a : b, è divisibile per c.
130
e
58 :18 = 3 resto 4
40 sono divisibili per 5.
130 : 40 = 3 con resto 10 1
10 è divisibile per 5
Nell’algoritmo di Euclide, per diminuire il numero di operazioni da eseguire, possia mo allora procedere mediante divisioni successive, invece che sottrazioni, e utilizzare i resti ottenuti.
12
[(5 8 -1 8 ) -1 8 ] - 18 = 4
U. MULTIPLI, DIVISORI, MCD, mcm
TEORIA
Calcoliamo MCD(58; 18) con divisioni ripetute. MCD(58; 18) = MCD( 18 ; 4 );
con resto 2
-
MCD(18;4) = MCD( 4 ; 2);
con resto 0
-
MCD(4; 2) = 2.
II
-
00
SUE LU
58: 18 = 3 con resto 4
Abbiamo ottenuto di nuovo MCD(58; 18) = 2. Nell’esempio ci siamo fermati quando abbiamo ottenuto resto 0, perché in questo caso il secondo numero è divisore del primo e quindi è anche il MCD. In generale: MCD(a; b) = b, se r = 0. Una proprietà fra mcm e MCD di due numeri Il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore di due numeri sono legati anche dalla seguente proprietà: m cm («;'’> = m c d Ó U ) ►Consideriamo 84 = 22 • 3 • 7 e 105 = 3- 5- 7. Il MCD, scomposto in fattori, è 3 • 7, e il mcm è 22 • 3 • 5 • 7. Esprimiamo il prodotto dei due numeri, lasciandoli scomposti in fattori: 84-105 = (22-3 -7) (3 -5 -7). Vediamo che 3 7, cioè il MCD, è ripetuto due volte, mentre nel mcm dobbiamo considerarlo una volta sola. Quindi: 22-3-5 7 = (22' 3 ' 7H 3 ' 5 7)
mcm(84; 105)
84-105 MCD(84; 105) ‘
La proprietà permette di calcolare il mcm se si è calcolato il MCD, per esempio con Falgoritmo di Euclide. ►Con Falgoritmo di Euclide abbiamo calcolato che MCD(58; 18) = 2, quindi: mcm(58; 18) = 582 18 = 522.
ESERCIZI PER COMINCIARE
D G
Calcola mcm e MCD di 96, 72, 180.
WtM
Utilizzando Falgoritmo di Euclide, calcola il MCD fra 330 e 90.
B
[990]
Utilizza il mcm o il MCD per risolvere i seguenti problemi. WM Andrea, Bruno e Carlo percorrono un circuito in bicicletta. Andrea fa un giro in 8 minuti, Bruno in 6 e Carlo in 4. In un punto del circuito si trovano insieme. Dopo quanto tempo si ritrovano insieme nello stesso punto? [24 minuti] BiB Un apicoltore ha prodotto 360 vasetti di miele millefiori, 320 di acacia, 200 di castagno. Vuole ottenere il minor numero di confezioni uguali, ciascuna contenente lo stesso numero di vasetti di ognuno dei tre tipi. Quante sono le confezioni? Quanti vasetti di ogni tipo contengono? [40; 9, 8, 5] 13
1
NUMERI NATURALI
5. SISTEMI DI NUMERAZIONE ® Esercizi a pagina 33
In base dieci Di solito scriviamo i numeri naturali utilizzando dieci cifre: 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Il sistema che usiamo è posizionale, perché una cifra ha significato diverso a seconda della posizione che occupa. centinaia
►3035 \
= tremila + trenta + cinque, ovvero:
^ d e c in e m ig lia ia
3035 = 3 • 1000 + 0 • 100 + 3 • 10 + 5 ■1 = 3 • IO3+ 0 • IO2+ 3 • IO1+ 5 ■10°. La scrittura 3035 è dunque un modo sintetico per esprimere la somma dei prodotti dei numeri rappresentati dalle cifre per le potenze di dieci a cui corrispondono, ossia la scrittura in forma polinomiale del numero. Dieci è la base del sistema, che viene detto sistema di numerazione in base dieci.
736 ,----------------
7 ■IO2+ 3 IO1+ 6 10° \
forma polinomiale
In altre basi Possiamo scrivere un numero naturale utilizzando anche come base un qualsiasi numero diverso da dieci. Cosa cambia rispetto alla base dieci? Se, per esempio, scriviamo un numero in base 4, abbiamo a disposizione solo le cifre 0, 1, 2, 3, che sono collegate alle potenze 4°, 41, 42, 43, 44, 45, ... Per distinguere la nuova scrittura da quella in base dieci, la mettiamo fra parentesi e indichiamo, come pedice, la base. ►Scriviamo il numero degli oggetti della figura con: (2 1 3 )4 —
s ' ^e99e: «due uno tre in base quattro»
2 g ru p p i di 16 unità
Le cifre sono collegate a potenze di 4: 2 gruppi da 16 unità, 1 gruppo da 4 unità, 3 unità. 42 41 6° Per passare allora da una base diversa alla base dieci usiamo la forma polinomiale. ►(213)4 = 2 - 4 2+ 1 • 41+ 3 • 4° = 2 • 16 + 4 + 3 = 39
(213)4 e 39 sono due modi diversi di scrivere lo stesso numero.
(301)5
,------V 1- , 3 ■52 + 0 ■51+ 1 ■5° \
forma polinomiale
In una qualsiasi base n, la scrittura 10, che leggiamo «uno zero», indica la base stessa; 100, cioè «uno zero zero», indica un gruppo da n2 unità e così via. ►(10)7 = 1-7 + 0 = 7; U
(100)7 = 1 -72 + 0 -7 + 0 = 49.
5. SISTEMI DI NUMERAZIONE
TEORIA
Se la base è maggiore di dieci, oltre alle solite cifre, usiamo le lettere dell’alfabeto: 0,1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, ... /
/
1
10
11
12
\
13
►(15B)16 = 1 • 16I2 + 5 • 16 + 11 = 256 + 80 + 11 = 347 Da base dieci a base diversa Per passare dalla base dieci a un’altra base usiamo il metodo delle divisioni ripetute. ►Come si scrive 25 in base 3? 8 gruppi di 3 unità
25 : 3 = 8
con
resto
1
8:3 = 2
con
resto
2
2 :3 = 0
con
resto
2
I resti, letti dal basso verso l’alto, sono le cifre del numero in base 3: 25 = (221)3.
ESERCIZI PER COMINCIARE Scrivi i numeri la cui forma polinomiale è la seguente. 0
9 IO2+ 5 ■10;
3 - IO4+ 2 IO3 + 1 10°.
Scrivi i seguenti numeri espressi in base dieci nella base indicata a fianco. 143 in base 2;
H H
8 ■IO5+ 7 • IO4 + 9;
4 • IO2+ 3 • IO3+ 5 10.
\JEB3EBSM Scrivi: a. (10 210)3 in base dieci; b. 3615 in base 4.
U/M 3612 in base 3;
KB
218 in base 5. [(10 001111)2; (1333)5] 1322 in base 4. [(11 221 210)3; (110 222)4]
Sistemi di numerazione Scrivi il nu mero 179 in base 5 e in base 2. Confronta la tua risoluzione con quella proposta nel video.
Scrivi in base dieci i seguenti numeri. D
(11000)2;
■ 3 (312)5;
(200)3;
(10A)12;
(211)4.
(1002)5.
fc 'J Quali numeri naturali rappresentano i numeri (102)3,(102)4,(102)5? Come si scrive invece in base 5 il numero natu rale 102? 15
NUMERI NATURALI
ESERCIZI 1. ORDINAMENTO E OPERAZIONI NUMERI NATURALI, RAPPRESENTAZIONE, ORDINAMENTO l i
@ Teoria a pagina 2
Q VERO 0 FALSO? In una biblioteca è sempre espresso da un numero naturale: a. il numero dei libri presenti.
[v ][ f]
d. il numero di tessera di un utente.
b. il numero delle pagine di un libro.
[v]|T]
e. il rapporto tra il numero dei libri gialli
c. il prezzo di copertina di un libro.
[v ] EEI
e clue^° dei ^bri di storia.
[v]|T] H |T ]
WM Q YOU&MATHS Numbers in words Write thè following numbers in words if they are in digits, and write
them in digits if they are given in words. a. Four hundred and two.
d. 2005.
b. One thousand two hundred three.
e. 43 010.
c. Fifteen hundred twenty four.
f. 10 002.
te É Traduci in simboli le seguenti frasi. a. 8 è maggiore di 1.
c. 7 è diverso da 6.
e. x è minore o uguale a 6.
b. 10 è minore di 12.
d. 5 è compreso tra 2 e 9.
f. a è maggiore o uguale a 15.
Scrivi i numeri naturali n che verificano le seguenti condizioni.
M
Sono minori di 7.
MM 93 < n < 100.
Sono minori o uguali a 6.
KM 22 < n < 27.
KM Sono maggiori di 2 e minori o uguali a 5.
KM 0 < n < 2.
lil
n
n + 1;
cn
13
o
m
00
COMPLETA inserendo i simboli < , > (n e N).
1011____ 1110;
n+ 3
n + 5;
n
COMPLETA inserendo il numero corretto.
Il precedente di 1000 èl____ I.
99____ 10. 7 + tv,
8+ n
n.
BUI Se n è un numero naturale, scrivi: a. il precedente di n + 2; b. il successivo di n + 3;
Il successivo di 77 è I____ I.
16
c. il precedente di n + 1;
Il successivo dii____ Iè 1010.
d. il successivo di n —4;
Il precedente di I____ Iè 1.
e. il successivo del successivo di n + 1
1. ORDINAMENTO E OPERAZIONI
ESERCIZI
Scrivi in ordine crescente e decrescente i seguenti numeri.
O
|pl
22; 202; 2; 20; 1002; 102.
1001; 1010; 1101; 1110; 1011; 1121.
IN FORMA GRAFICA
Rappresenta sulla semiretta orientata i seguenti numeri, scegliendo un’opportuna unità di misura.
BliÉ Per ogni punto indicato scrivi il numero corrispondente.
I T I 1; 5; 12; 16; 7; 8. __ i ? l 0; 1000; 2500; 3000; 500; 250.
> > | A | | | l ^ l 1 [ C < D 0 1
OPERAZIONI E OPERANDI G
Teoria a pagina 2
BEI Scrivi il nome degli operandi e del risultato di ciascuna operazione. a. 7 + 6 = 13
d. 10:5 = 2
b. 7 - 6 = 1
e. 24 = 16
c. 10 5 = 50 COMPLETA
a. 10I
inserendo il segno di operazione.
_ l 2 = 12
b. 10I__ _ l 2 = 20
c. io!
_| 2 = 8
d. 10 L_ _12 = 5
In ciascuno dei seguenti casi, in base alle informa zioni fornite, imposta e risolvi Poperazione corri spondente.
Calcola le seguenti potenze. E3
27; 25;
gl
122; 43; 7°;
52;
53;
132;
62;
l 5;
26.
210;
IO2.
WifM Indica quali, tra i seguenti numeri, sono potenze di 5. 1; 5; 10; 15; 25; 55; 125; 225; 500; 625. BftÉ Tra i seguenti numeri, indica quali sono potenze di 2 e quali sono potenze di 4. 1; 2; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 64; 128; 400. Che cosa noti? B i'l Q
a. b. c. d. e. f.
BflB Sottrazione con minuendo 89 e sottraendo 63; sottrazione con minuendo 18 e differenza 11; sottrazione con differenza 48 e sottraendo 29. B<1 Divisione con dividendo 104 e quoziente 13; divisione con divisore 3 e quoziente 17; divisione con dividendo 105 e divisore 7.
Sia b un numero naturale.
VERO 0 FALSO?
0° = 1 \ b= 1 b° = 1 se b ± 0 1°= \ b b] = b b2> b
E E E E E E
E E E E E E
COMPLETA le seguenti espressioni.
Bfll Potenza con base 6 ed esponente 2; potenza con base 0 ed esponente 11; potenza con esponente 0 e base 13.
g ii
E jQ
gl
6 + L _ l = 10; 8 —L
vero o falso ?
a. Elevare alla terza potenza un numero equivale a moltiplicare quel numero per 3.
34;
1
J
9 + 1_ J — 21;
= 5;
1 0 -L
J = 0.
ìo -L
J = 60;
J 15 = 15;
1____J -5 = 0;
E E
b. Elevando a 0 un qualsiasi numero naturale, si ottiene 1.
E E
c. ( 3 - 3 ) ° = 1
e
d. 03 = 0
E E
e. 42 = 24
E E
f. n2 — 2”, con n e N .
E E
gl gl
e
1____J : 5 = 0;
J —8) : 2 = 1;
(L
J -1 )2 = 4 9 ;
(1—
= 0.
J : 3)7 = 0;
1___ J : 12 = : (1____ ! : 7)5 = 4
2U = 8;
(42: 6 )U = 1 ;
- 0
(1__ J + 7) : 5 = 2;
(1—
12U = 1;
P
__ J
L 2 = 36.
(L____ J - ]L2)3 = 0;
(3 +
J ) 3 = 125.
17
1 p
NUMERI NATURALI Sono dati due numeri di due cifre al e Ab in cui a rappresenta la cifra delle decine del primo numero e b la cifra delle unità del secondo. Sapendo che 23 + Ab = al, quanto vale la somma di a e bì
G
INVALSI 2006
H
15
|T | 16
[T] 17
[
d]
EHI La somma tra due numeri pari consecutivi è 54. Trova i due numeri.
18
i quadrati magici in modo che la somma dei numeri in ogni riga, colonna e diago nale sia costante. Inserisci i numeri da 1 a 9 per il quadrato 3 x 3 e d a l a l 6 per quello 4 X 4 .
COMPLETA la stella magica in modo che nei cerchi compaiano i numeri da 1 a 12, ciascuno una sola volta, e che la somma dei numeri in quattro cerchi allineati in tutti i casi sia 26.
COMPLETA
3
13
00
6 5
4
4
6
7
15
14
1
KfrJ La somma tra un numero e il suo successivo è 45. Trova i due numeri. HlÉ Scrivi tutte le coppie di numeri naturali la cui somma è 6. H I Scrivi tutte le coppie di numeri naturali il cui prodotto è 44.
ESPRESSIONI R lQ
Marco: «Le coppie di numeri naturali la cui differenza è 2 sono molte: per scri verle tutte mi servirà una pagina di quaderno!». Sara: «Non credo ti basteranno tutti i quaderni del mondo...». Tu che cosa ne dici? CHI HA RAGIONE?
O Teoria a pagina 3
YOU & MATHS
Working backwards
a. Write at least 3 expressions that, calculated, give 16. b. Now write 3 more expressions that give 16, making sure to use thè structure a - (b ± c) — 16. TEST Solo in una delle seguenti coppie di espressioni la differente posizione delle parentesi non influisce sul risultato. In quale?
Q
[ a] 5 - (3 + 1 2 :1 6 ); [ b]
80:10 —23;
5-3 + 12:6.
[c] 14 : 2 + 3 • 5 - 4;
8 0 : ( 1 0 - 2 3).
QT| (25 + 4 ) : 4 - 2 ;
14 : 2 + (3 ■5 - 4). 25 + 4 : ( 4 - 2 ) .
Semplifica le seguenti espressioni, osservando come i risultati cambiano in base alla posizione delle paren tesi. E3
22 + 4 8 - 6 - 8 : 2 ;
22 + (48 - 6) • 8 : 2;
P I
2 ■32+ 15 —4 3;
2 ■(32 + 15) - 4 • 3;
|9
7 2 :2 - 32+ l ;
PI
168 : 23+ 6 : 3 —2;
18
72 : (2 - 3)2+ 1;
22 + (48 - 6 • 8) : 2. (2 ■3)2 + 15 - 4 • 3.
7 2 :2 -3 (2+1).
168 : (23+ 6) : 3 - 2;
(168 : 23+ 6) : (3 - 2).
[46; 190; 22] [21; 36; 39] [325; 3; 972] [21; 2; 27]
1. ORDINAMENTO E OPERAZIONI
ESERCIZI
Semplifichiamo l’espressione {[(15 + 16) : 3] • (15 —13) + 24} : 5 + 8°. {[(15 + 6) : 3] • (15 — 13) +
2^} : 5 + 8^ =
^ eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde e le potenze
{[21:3] 2 + 16}:5+ 1 =
^ svolgiamo l'operazione nelle parentesi quadre
{ 7 -2 + 1 6 } : 5 + l =
^ nelle graffe calcoliamo prima il prodotto, poi la somma
3 0 :5 + 1 =
^ eseguiamo la divisione e poi l'addizione
7
IT I
[ 1 3 -(7 + 2)]: 2 + [ 1 0 - 3 (2 + 1) + 5]
[8]
Cfil
{(5 + 11):[17 —(3 + 8 + 4) + 2] + 1} 3
[15]
O
3 + (7 —5) •4 —2 [(15 —5) : 2 —1] : (13 - 2 - 5 + 1 )
[9]
|P
[(10 —2) : 4 + 7 • 2 —(2 + 8 —3)] : (4 + 5) + (14 —8) : 2
[4]
g l
[12 + (13 —4) : 3] : [25 —2 - (15 —4)]
[1]
E1
[(io —7 + 4): 7] (5 -6) —(8 —5) (4 + 10 —6)
[6]
gl
[(29 + 5) :2 + 3] :2 —[(45 —12) : 11 + 7]
[0]
g l
1 + 5- [(17 —2) : 3] - 1 5 ( 9 5 : 5 - 4 - 2 - 7 )
S I
2 7 - { ( 8 - 3 - 4 ) : 5 + [19 —6 + 3 —4 • (7 —5)] -2 + 7}
E !
{[3 + (8 —2 + 7 —1) : (28 : 7)] • [(10 —2 + 7) : (27 : 9) —3
P I
(2° + 1 ° - 4 ) - 2 + [23+ 2 1 : 3 - 4 - 3 + ( 2 - 5 - 7 ) ]
- { 1 2 -
10)
[11] [0] + 1]}:6
[3] [16]
p Q B S n E B B f f l a [(5 —2) : 3 + 2] [4 —(32 - 9)] + [36 : (1 + 11) - 1] P I
24: {[3 (3 + 2 ) - 14] • [16:2 + 3 - 2 - 5 ] +2}
[8]
p i
(5 -4:10) -{ 1 3 - 2 - [(22:2 - 8 ) + (5 + 80:4) -2 3 ]} : (4- 3 - 6 3 :7 )
[1]
g l
{[(22 —3 -7 )+ 5-7]: 18}-{[(5+14:2) —8]-5 —7 + (42: 3 -1 1 )}
[32]
P i
(2 • 4 + 2 —21:7) • 5 + [7 • (1 + 3) : 2 + 4 • 2 + 8] : [36 : (15
[40]
P I
[(5 6 : 2 + 18:3): (20 : 4 —14 : 7)] - {2 10 : 5 + [7 —(8 — 3)]}
[42]
P I
(160 - 10) ■(5 - 3) : [(15 + 6) : (14 : 2)] : {[12—2 —(6 + 3)] ■[39 :3 —(15 - 4)]}
[50]
p i
12:3 + 7- 4 —5- 2 + 23
[30]
p i
32+ 125:5 - 18: 6 + 42: 2 - 1
[38]
p i
72 + IO2 : 2 2 —7 - 5 - 2 —3:1 + 52
[26]
R ii
127:127 + 39:13 + 128: 24 - 3- 22
R I
(23 • 31—2) : 2 + (72 + 51) : (32 —3) — [62 + 5 —(62 + 2)]
—3)•2]
[0] [17]
19
1
NUMERI NATURALI
g l
{23 • (24 —22) : 3 • (5 —3) —7 —[(2 • 3) • (22 + 2) + 2]} • 22
P I
[62
+ 34 —(10 —4) • 5] : [7 + 5 ■32—6 • (8 —2 ■3)]
[1]
E9
(3 •
5 —32) : 3 + 42 • 5 —(81 : 27 + 22) • (62—52)
[5]
g l
72 —23• {22 + 5 —22 ■[32 —23 ■(52 —3 • 23)]}
[9]
E9
(8 + IO2 : 5 : 2 — IO2 : 25 • 2) : 2 + 42 - 20 : 4 •3
[6]
g l
{[(21 : 3)2 —5 ■23] : 3 + 2 • 13 —1} : 22
[7]
R I
1 + [32—7 • (22—3)] : (5 - 3 + 24 —52—4) +
p i
[12 ■3 —2 —(7 —5)] : (5° + 3) ■(32 —7) —(22 + 11 ■3 —52)
[4]
p i
{[12 • (3 —1) + (23 • 31—10) : 7] : (11° + 2 • 6)} —[3 —(3 •21—2° • 3)]
[2]
P I Q
[76]
(13 • 3 + 1):8
[7]
3 + 12 • (42 - 32) + 24 • (23- 8)3- 22 ■[(52 - 8 ■3)2 + 32 • 2]
P i
28 + 100 : {[3 • 2 + 64 : (64 : 8 : 2)2] : 5 + (34 : 27) • 24}
[30]
P I
[23■32 —(52+ 7 • 5) : 2] : 3 —[(9 • 3 —24 : 2) •2 —30]
[6]
P i
{[(72 —32) : 10 —2] • 8 + 33 ■22: 6} : (42 + 1)
[2]
Pg
{[(42 : 3 : 2 + 35 : 5 ■2) : 3 + 25 • 3 : 5 —8] : 2}2—19 •2
f7 1
{[(5° + 3 • 23) : 5]2 + 62 : 4 : 3 —122: 9} : 6 • 2 • 7° —1
[3]
P j
{15 ■{[7 • 8 —(12 : 3)2—24 • 32+ 23• 34]0}5: 5 • 4 + 2 ■32} : 6
[5]
p i
{[(51 —3) : 23—5]7 + (63 : 32 —2 • 3)9 —(72 : 2 : 3 : 4 + 7° —66 :11: 2)n}4 — 1
[0]
P j
[(52+ 23) : 6 + (23 + 3) - 5] : 7 + [2° + 4 + 3
■(11 - 32) - 2]+ (23) 2:
[92 - 3 (52- 3)+ (73)0]
P j
[(9 + 3) • 2 —2° + (6 + 32 • 2 + 1) : (22 —5 • 2
—7)] : 7 —[(11+ 10) : 3
+ (32+ 3°) :2—2 • (2 + 1) —3] [1]
H
{[43—(2 52) —8]2 + (18 : 6 4)2} : (3° 4- 3 • 5 + 80:8 -2)
[5]
P j
{[32 + (22—l ) 3—(17 —2) : 3] ■2} : 6° + (24 • 2 —62) 2: 32 —43—22 • 3
[2]
P j
[12
[0]
P j
{[1+ 22 + 3 + 44 —(42 + 33+ 24 + 1)] : 4 + 32} : 12 + (52 + 25+ 3) : 5
[17]
E9
l 5+ 25+ {(2 + 23: 22 • 5) • [7 • 22 —(33—2 - 11)2]2—60 : 5} : 24
[39]
[11]
+ (32 —l ) 2]:{[29 - ( 5 3- IO2) + (6 + 2 • 5)2] : (22 ■5)- 11}2- (2■32 + 1)
[15]
Dalle parole ai simboli m Q
20
INVALSI 2011 Qual è l’espressione numerica che corrisponde alla frase: «Al 3 aggiungi il prodotto di 5 e 9, poi dividi per 6 e quindi sottrai 2»?
PÀI [3 + (4 + 9)] : (6 + 2)
[c] 3 • (5 + 9) : 6 —2
[U 3 + 5 9 : 6 - 2
[ d] (3 + 5-9) : 6 - 2
1. ORDINAMENTO E OPERAZIONI
ESERCIZI
Traduciamo la seguente frase in espressione e calcoliamone il valore: «Dividi per 6 la differenza tra 28 e il quadrato di 2». O Q_ Z LU
in
«Dividi per 6 la differenza...
-*
(... — ...) : 6
...tra 28...
-
(28 — ...) : 6
...e il quadrato di 2»
-
(28 - 22) : 6
LU
Semplifichiamo l’espressione ottenuta: (28 —22) : 6 = (28 —4) : 6 = 24 : 6 = 4. Traduci le seguenti frasi in espressioni e calcolane il valore. Kftl Sottrai a 15 il rapporto tra 20 e 4.
[10]
H i! Somma a 2 il prodotto tra 8 e 4.
[34]
l i ' l Somma il rapporto tra 16 e 2 con il prodotto tra 5 e 4. [28]
ITiTil eh
Moltiplica per 5 la differenza tra 8 e 6. Somma al risultato il prodotto tra 2 e 4. [18] Moltiplica per 2 il prodotto tra la differenza tra 5 e 4 e il doppio di 6. Dividi il risultato per 8. [3]
ITiH Aggiungi il quadrato di 2 alla somma del cubo di 3 con 5. Dividi poi il risultato per il quadrato di 6. [1]
EH
Dividi il cubo della differenza tra 15 e 11 per il quadrato della somma tra il quadrato e il doppio di 2. [1]
rm
Somma 2 al doppio prodotto tra la somma tra 5 e 4 e la differenza tra 8 e 5. Dividi il risultato per il prodotto tra 4 e 7 ed eleva l’espressione ottenu ta alla quinta potenza. [32]
m
Somma 5 alla differenza tra 15 e 10. Eleva il risul tato alla quarta potenza e poi dividilo per il qua drato del doppio di 10. [25]
ITifl Somma 5 alla metà del rapporto tra 44 e il dop pio di 11. [6] Dai simboli alle parole Traduciamo in parole l’espressione: 1 + 8 : (14 —4 ■3)3. 1 + ...
—
«Somma a l .. .
1 + 8 : (... - .. •)3
—
.. .il rapporto tra 8 e il cubo della differenza...
1 + 8: ( 1 4 - .. )3
—
...tra 14...
1 + 8 : ( 1 4 - 4 - 3)3
—
... e il prodotto tra 4 e 3»
Traduci in parole le seguenti espressioni.
E3
2 + 3-5
ITiTil
1 6 - 1 5 :3
M I 25 : 5 + 22 • 5
nn DD p
(15 : 5 + 32) : 6
ITE!
20 - [23 - 2 • 32]
( 1 5 - 23) -2 + 2
m
[5 + (2 • 3)2:12]2
11 - ( 3 + 2-5 + 2): 5
ng
(82 ■23) 2 —(28 • 32)
Diagrammi ad albero
21
1
NUMERI NATURALI
Scrivi e semplifica le espressioni relative ai seguenti diagrammi ad albero.
IN FORMA GRAFICA
Traduci in un diagramma ad albero le seguenti espressioni e semplificale.
E3
(1 8 -6 ): 4
E1
[ ( 7 - 6 - 2 ) - 3 + 7]-2
EH
[26: (2 -4 + 5)]
E0
(5 - 1) ■2 - (16 + 4) : (9 •2 + 2)
f!S
7 - ( 6 - 2 - 3 ) + 7-2
Problem i
[24: 6 + (5 + 3): 4 ] - 1
intorno a noi
Scriviamo l’espressione che permette di risolvere il problema: «Sandro ha 2 banconote da € 5 e 4 monete da € 2. Si ferma a pranzare e compra 2 tranci di pizza da € 2 ciascuno e una bottiglietta d’acqua da € 1. Nel pagare si accorge di avere in tasca anche altre tre monete da € 1. Quanto denaro resta a Sandro?». trova
2-5 7 ~ 2 banconote da € 5
+
4-2
-O
k m onete da € 2
2 tra n c i da € 2
/
3 1
b o ttig lie tta da € 1
3 m onete da € 1
Semplifichiamo l’espressione: 2 • 5 + 4 • 2 —2-2 —1 + 3 1 = 10 + 8 —4 —1 + 3 = 16. A Sandro restano 16 euro. Risolvi i seguenti problemi scrivendo un’espressione e semplificandola. 10
Una pasticceria vende dei deliziosi amaretti ripieni in confezioni da tre. Quanti amaretti ha venduto in una giornata, considerando i dati in figura? [51]
in iz io giornata,: 2 4 3 a m a r e tti
22
firn,giornata; 64 confezioni
1. ORDINAMENTO E OPERAZIONI
ESERCIZI
EEH Luca si organizza... Luca è in vacanza. Sa che tra un’ora deve uscire con gli amici, quindi pensa: «Ho un sacco di tempo! Posso giocare ai videogiochi per 40 minuti, suonare il basso per un po’, consultare un social network per 5 minuti. Poi farò la doccia in 3 minuti e uscirò». Quanto tempo ha Luca per suonare? tm
Giorgio parte per un’escursione, con la sua borraccia da un litro, assieme all’amico Marco. In base alle seguenti informazioni, quanta acqua rimane nella borraccia di Giorgio? [40 cl]
80 cl inizialo
azjjUuujes 60 cl 0/ (AMCOfonlaMA/
bevente,tìo axzjouo
b&w 20 cl
cele; m e li axzjouocoMarco
Lettere e numeri Calcoliamo il valore dell’espressione letterale (4a —a2)b 1• (2b — 3a) quando a = 3 e b = 5. O QZ LU (J ) LU
(4a - a2)b~l - (2b - 3 a)
-
(4 • 3 - 32)5" 1• (2 • 5 - 3 • 3) = (12 - 9)4 • (10 - 9) = 34 • 1 = 81 v_>
s o s titu ia m o 3 ad a e 5 a b
se m p lific h ia m o l'e sp re ssio n e
Per ciascuna delle seguenti espressioni calcola il valore che si ottiene sostituendo alle lettere i numeri indicati. gH
3ab —2a2 : (b + 1);
a = 2, b = 3.
[16]
gT I
(3a)b + a : (3 + b);
a = l 2 , b = 0.
[5]
g l
a-4b2- 5 b+2:a;
a = 25,b= \.
[95]
E0
3b2 : (a2—1) + (3b — 5a — 2)2 : {b — à)\ a = 2, b = 5.
[28]
gg
5a2b(9a — 7b) : [4(10 + 3b) : b2] — Sab3 : (5a + 4b); a = 4 , b = 5.
g!M
3a(b2— a — 1) —(2a — b)3 : (b + 2) + (8b —a2) : (b —
1);a= 4,b = 3.
[0] [27]
Dalle parole ai simboli Scriviamo la frase seguente in simboli e calcoliamone il valore per a = 3 e b = 2. «Moltiplica la somma tra a e il doppio di b per il successivo del quadrato di a.» «Moltiplica la somma...
-*•
(.. . + •••)
...tra a e il doppio di b...
—
(a + 2 b)
...per il successivo...
—
(a + 2 b) • U + 1)
... del quadrato dia»
—
(a + 2 b) (a2 + D
Sostituiamo i valori a = 3 e b = 2: (a + 2 ■b) (a2 -f i ) - * (3 + 2 - 2 ) -(32+ 1). Semplifichiamo l’espressione: (3 + 2 • 2)- (32+ 1) = (3 + 4) ■(9 + 1) = 7 - 10 = 70.
23
1
NUMERI NATURALI
Scrivi in forma simbolica le frasi seguenti e poi calcolane il valore per i numeri indicati.
IEE1
Sottrai al doppio di n la sua quarta parte; n — 20, n = 28. [35; 49]
ma
Aggiungi al quadruplo di a il quintuplo di b; a = 6 e b = 10, a = 5 e b = 2. [74; 30]
Moltiplica il quadrato della differenza tra a e b per la differenza dei quadrati di a e b diminuita di 2; a = 5 e b = 4, a = 6 e b = 3.
p u n ì :
E D Sottrai il triplo di x dalla terza parte di y; x = 2 e 7 = 30, x = 1 e y — 15. [4; 2]
n s i Moltiplica il prodotto di a e b per il rapporto tra il triplo di a e la metà di b; a — 2 e b — 4, a — l e b = 6. [24; 6]
BEI Dividi la somma tra s e t per il successivo di t; s = 5 e t = 3, s = 1 e t = 9. [2; 1]
MA
FETI
A b aumentato di 2 aggiungi la differenza dei cubi di c e b-, c = 2 e b = 0, c = 4 e B = 3. [10; 42]
Dividi il prodotto tra a e il doppio di b per la somma tra a e il triplo difr;a = lì e b = 0, a = 2 e b = 2. [0; 1]
IB I Dividi la somma tra x e y per la differenza dei quadrati d i y e x ; x = 2 e y = 3 , x = 4 e y — 5. [1; i ]
m
Al quadruplo di x sottrai la differenza tra x e y aumentata di 2; x = 8 e y = 2, x = 10 e y = 8. [24; 36]
Sottrai al triplo prodotto tra a e il suo successivo il quadrato di x; a — 2 e x = 4, a — 5 e x = 5. [2; 65]
MA
Eleva al quadrato la differenza tra il triplo di x e il successivo del doppio di y; x = 2 e y = 1, x = 3 e y = 4. [9; 0]
Dai sim boli a lle parole
Per ogni espressione scrivi la frase che la descrive. p
Q
i m
Ifl'l (n+ l ) 2;
^
( 3
H
i )
IK 'j 2xy —y 3:3;
[a(a— l) ] 3.
Iflll (a3 + x 3)2;
3a:4b + l. (a2 — b2): 2.
D all'im m agine ai sim boli
Scriviamo l’espressione letterale che corrisponde alla misura dell’area colorata e calcoliamone il valore per a = 27, b = 9, c = 18, d = 6. O Q_ Z LU LO LU
[(a + b) ■(c + d)]:2 — (a ■c) :2 area [ABC]
area [ADE]
-
C
[(27 + 9) • (18 + 6)] : 2 - (27 • 18) : 2
a = 27,6 = 9, c = 18,c/ = 6
Calcoliamo il valore dell’espressione ottenuta: [(27 + 9) (18 + 6)] : 2 - (27 • 18) : 2 = [36 •24] : 2 - 486 : 2 = 432 - 243 = 189.
Scrivi l’espressione letterale che corrisponde alla grandezza richiesta e calcolane il valore per i numeri indicati. area (ABC)? area (HBC)? a = 3, b = 5, c = 4. [16; 10] 24
cOb? x = 145°, y = 32°.
[113]
2. PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI
IDEI Q
perimetro (ABCD)? area (EBFD)? a = 4, b = 2. [40; 68]
òb
.
ESERCIZI
H---- eft-
2. PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI © 1 ^ ^ Operazioni interne in un insieme ilftl Q
VERO 0 FALSO?
Considera un numero naturale a diverso da 0.
a. 0 —a è un numero naturale. b. 0 è Telemento neutro della moltiplicazione. c. a —a = 0. COMPLETA
d. e. f. g.
m m E E S E
l a = a l — a. 0 : a è impossibile. a ;a —a. aa è un numero naturale.
S IT I E E S S S S
inserendo il numero corretto (a, b e N).
a. 0 -5 = 1 ____ J; I____ 1-13 = 13;
6 + 1____ 1= 6;
0 + 1____ J= 15.
b. Se a ■2 = 0, allora a = I____ I.
c. Se a b = 0 e a = 7, allora b = I____ I. d. Se a = 0, allora a b = I____I.
Proprietà delle operazioni n
u
INVALSI 2004 Siano m e n due numeri naturali diversi da zero. Se si scambia m con n, quale delle seguen ti espressioni modifica il proprio valore? [X] m + n [][] m ■n He] m" [~d] m° — n°
Indica quali proprietà delle operazioni sono state applicate nelle seguenti uguaglianze. IP
36+ 19 = 19 + 36
ira i ( 4 5 - 15): 3 ==45 :3 —15:3
IP
2 -5 + 1 = 1 + 5 -2
j f t ì 22 • (5 + 4) = 22- 5 + 22-4
p i
23 —5 = (23 —3) —(5 —3)
g ii
(12 -4) -25 = 12- (4-25)
ira i (13 + 25)+ 3 = 13 + (25 + 3)
na
(18 + 4)-2 = 18- 2 + 4-2
ira i 3 15= 15 3
m
88 - 3 • 5 = 88 - 5-3
ira i ( 5 + 1 ) + 8 = 5 + 9
F Z l 81 - 7 4 = (81
ira i (12 + 7 ) + 4 = 4 + (12 + 7)
P
(6 13) : (3 13) =: 6 :3
ira i 1 6 (2 + 5) = (2 + 5) - 16
P
3 - 14 + 3-5 =■3 ■(14 + 5)
ira i (18 + 3): 3 = 18:3 + 3:3
m
1 1 3 5 = 11 • 15
ira i 2 3+ (15 + 2) = (23 + 15)+ 2
p p
1 9 -6 = 2 0 - 7
irai
100:20 = (100:10): (20:10)
0 —(74 —1)
400 : 20 = 40 : 2
25
1
NUMERI NATURALI
[!]□
VERO0 FALSO?
m a
AL VOLO Calcola nel modo più veloce possibi le il risultato delle seguenti operazioni, indican do quali proprietà delle operazioni applichi.
a. (7+ 11) 3 = 11-3 + 7-3
H H
b. 30: (2 + 3) = 30:2 + 30:3
0 B
a. 3 8 + 11 + 16 + 21;
c. 20 —15 = (20 : 5) —(15 : 5)
H H
b. 55 • 57 + 57 ■23 + 57 ■22;
d. 14 + (1 + 6 ) = (14+ 1) + (14 + 6)
H E
e. 25 + 2-6 = 6-2 + 25
H E
c. 28 -50;
TEST Una delle seguenti uguaglianze è falsa (non è stata applicata correttamente la proprie tà invariantiva). Quale? Motiva la risposta.
[ a] 1 0 - 8 = 1 2 - 10
a. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
60:4 = 64:8
b. 3 + 5 + 7 + 9 + 1 1 + 13 + 1 5 + 1 7 c. 12+ 14+ 16+ 18 + 20 + 22 + 24 + 26
Qj] 150:25 = 600:100 un
40-12 50.
ir s i Nelle seguenti addizioni somma il primo addendo con l’ultimo, il secondo con il penulti mo, il terzo con il terzultimo, ... Che cosa noti? Quali proprietà delle operazioni permettono di calcolare la somma finale sommando i vari contributi?
DEI 80:4 = 40:2 H
21100 : 25.
20 -67-5.
d. 1 4 3 -1 5 ;
mu
22 -25.
Sulle orme di Gauss... Osservando il caso a dell’esercizio precedente, prova a scrivere la formula che permette di calcolare la somma dei primi n numeri naturali nei due casi: n pari, n dispari.
Divisione con resto Determina quoziente e resto delle seguenti divisioni. I p ] 15:2; EEQ
34:5;
37:11.
|0 J
COMPLETA la seguente tabella inserendo il numero opportuno. Dividendo
Divisore
46
4
1
Quoziente 1
6
1
1
102:10;
p u d
156:13;
335:25.
VERO0 FALSO? Se x : y = 5 con resto 3, allora:
a. 5 ■x + 3 = y.
I~v1ITI
Resto
b. 5 - y
IH ITI
1
c. anche (x ■2) : (y ■2) = 5 con resto 3.
IH IH
1
+
3 = x.
5
2
d. (x ■4) : (y ■4) = 5 con resto 7.
IH IH
202
1
1
15
7
e. (x : 3) : (y : 3) = 5 con resto 1.
H IH
567
1
1
25
17
f. (x + 5) : (y + 5) = 5 con resto 8.
H IH
Criteri di divisibilità Stabilisci quali dei seguenti numeri sono divisibili per il numero indicato a fianco. P I
166,
720,
:2871,
;3974,
<4516.
2
E J
1560,
2475,
3283,
5554,
i n i 2153,
3927,
4128,
4949,
6216.
3
EB
1151,
2022,
3234,
4481,
g li
1964,
2268,
3302,
5376,
5849.
4
E3
1020,
2200,
3025,
4330,
E3
1036,
1215,
1373,
1442,
2545.
5
26
3. PROPRIETÀ DELLE POTENZE
ESERCIZI
Stabilisci se i numeri 396, 999, 2028, 3950 sono divisibili per 2, 3, 4, 5, 9, 11, 25. INTORNO A NOI Manuel è un po’ distratto e, mentre fa i compiti, cancella in un’espressio ne una cifra scritta male, ma dimentica di riscriverla. Il giorno dopo si accorge della dimenticanza, ma non ricorda la cifra mancante; ricorda solo che il risultato dell’addizio ne è divisibile per 9. Aiuta Manuel trovando la cifra.
1 1 9 5 + 132
-
3. PROPRIETÀ DELLE POTENZE eTeoria a pagina 8 pG
TEST
(2 • 52 • 33) 3 =
E
6 -5 5-36
E
8 -5 6-39
E
2 -5 6-39
E
8 -5 5-36
pG
m\G E
(94 IO4) : (90 902);
m
(22 ■72) : [145 : (284 : 24)];
[34 • (32) 3]3 ; [(35) 2]3. 45 • 255: 55: 205.
le seguenti uguaglianze.
COMPLETA
Quale delle seguenti espressioni rappresenta il doppio di 216?
E
m
INVALSI 2006
217
E
E
416
E
432
La decima parte di IO20 è:
INVALSI 2012
io10.
232
E
E
i 20-
100.
E
P
58 • 5 ^ = 516;
77 • I I7 = 147.
m
46 • I I = 49; (óLI)3 = 66.
P
IO5: 1__I5 = 25;
2 (JJ:2 0 15 = 2011.
EH
125 • 12U = 125;
[(25)l—I]3 = 230.
P
912: 9^-1 = 1;
P
U 7 : 57 = 77; U 30 1130 = 3330.
P
213: 1__I = 33;
io19.
Idilli G TEST Qual è il quadruplo di 230? B
2120
E
260
E
234
E
232
MEI G TEST La quarta parte del cubo di 4 è: E
16.
E
44.
E
4.
E
43.
0 0 G VERO 0 FALSO? E H
b. 53■23 = 106E E
0w 1 0K> II
10 E H
n
d. 62 ■66 = 68
EUREKA! Addizione bizzarra Se 9" + 9" + 9" — 32011, quanto vale n?
CACCIA ALL’ERRORE
a. 53 + 54 = 57
d. 73■23 = 149
b. 810 : 82 = 85
e. 132 • 13° ■134 = 1
c. (65) 2 = 6/
f. 312 —32 •35■34 = 3
E
1005
E
2011
E
1006
E
Nessuno dei numeri precedenti.
E
2010
(n G
TEST
154: 54;
P
(83)2: 46;
P
(115:114)2;
(52) 2 -24. [(211)0]3.
FTÌT1 (5 • 56)2 : (52 • 54)2;
PG E
22 -24.
(133) 4:1310.
[Kangourou Italia, 2011]
N)
p G 7 • 7" = E
Calcola il risultato delle seguenti espressioni, indican do le proprietà delle potenze utilizzate. P
82 • 42 • L J 2 = 642.
HOG
a. 83: 23 = 43 E E c. [(32)°]4 = 0 E E 0H
84 :l__I4 = 84.
T
E
7n+1
E
1
E
7
E
82”
E
82 ”
E
8"2
(8 2) ” =
82+"
gli G 35- n5 = B
(3 • n)25
E
(3 • n ) 5
E
(3 -n )10
E
(3 • n)°
27
1
NUMERI NATURALI
e b q
23+ 26 =
INVALSI 2005
[ a] 29
[¥] 218
[c] 49
MATEMATICA INTORNO A NOI
[ d] 9 • 23
Scambio libri
Considera a, b, c numeri naturali. Indica quali pro prietà delle operazioni e delle potenze giustificano le seguenti uguaglianze. Verifica poi ciascuna di esse per i valori indicati a fianco. W t i a4 :a2 = a2;
a = 2.
B3
a = 2, fc = 3, c = 2.
(,ab)c = abc;
Wftl a2 :b2 = (a2 ■c):(b2 ■c); W[!Ì a2 ■ab ■a3 = a5+b;
a — 3, b = 6, c = 2.
a = 2, b = 3.
Anna, Bianca e Carla organizzano una catena di scam bio libri...
W k U INVALSI 2006 (5 9 : 54) : 53 + 52 = 0 1
\J] 54
[ c ] IO2
►Problema e risoluzione. ►2 esercizi in più.
□
[ d] 50
FHÌ
22 • 23 —24 : 22 + 21
[30]
gB
[(2 + l ) 4 ■27 ■33] : (610 : 68) 3 - 6
[0]
B0
57 : 54 —52 • 5 °— IO2
[0]
B0
(33)6 : (33) 2 - [(32) 7 : (34)2] : (33) 5
[27]
g li
(35 • 32) : 34 + 32 • 3° —37 : 34
[9]
00
53 • [(52) 4 : 5] : [(52) 3 • (52) 2]
g li
(5 • 52) 3 : 57 • 5° —54 : 52
[0]
00
[(23) 3] 3 : {[(42) 3] 2: 4}
BB
(32 • 73) 0 + (63) 2 : 64 —33
[10]
0 0
[(22) 3] 2 : [(25 • 25) : (24 • 2°)] - 82
E0
(26 : 24) • 23 —(53: 53) • (32 ■ 3)
[5]
0 0
[(43 + 62) : (56 : 53: 5) + (2 •33 - 72)]2
B0 B0 E0 B3
[(64 : 34)2 : (142: 72) 3]2
[16]
Wh
{[(82 ■43) : (23) 3] : (322: 83)} : (84 :43: 25)
[(33+ 3°) : 7 + 24] 2 : IO2
[4]
00
(32 - 22) • (252 : 53) + 143: 73: 2 : 4
[26]
(35•25) :63 : (2 •23 :22)
[9]
00
(32) 5 :38 •3 - [(52) 5 :58 :5] 2+ 3 [(54 :5)°] 5
[5]
[(26 : 25) 3 : 22 - 24 —2] : (3 • 5)
[2]
00
{75 • 73: 76 + [2° + (32) 3- 35• 3]5}3: 253
[8]
p i □ m 00 g n
m
[32] [0] [81]
[2]
64“ : (22 42)3 —[( 125: 35) ■4] : 162
(52: 5)2 —[2° ■(83: 42) —(4 • 7 —52) • (34 : 33)] AL VOLO
[1]
(53• 5 • 510 • 512• 56) : (58 • 510 • 512) + [( 187) 2 : 183]0
[2] [26]
g tl
32 + 62: 32 —(4 + 23) : {5 —[(53)2]0 + 143: 73}
gn
(25 • 53)4 : [(IO3: 23)3]2 • 54 —(153) 2 : [(42—13)2]3
[0]
B0
{[(32 + 92) : 32]3• IO2} : {[(43)4 : (42)5—11]1}5— 18°
[31]
B0
[(134:132- 102+ 1) : 7 —7]2 + [(133 • 132) 0]3- {[(13 + 7) : IO]2}2
[25]
g jjj 94 : 34 —{[(32 • 2 —7)3:11] : [22 • 62 —(52 • 22 + 3 • 11)]} g g
28
[(512: 57: 53) • (215: 45: 22) : IO2] • {730 : [(72) 3]4: 492 - 10-7:2}
[12]
[70] [28]
4. MULTIPLI, DIVISORI, MCD, mcm
ESERCIZI
Traduci le seguenti frasi in simboli e semplifica le espressioni applicando le proprietà delle potenze.
FE9
Somma al doppio del quadrato di 2 la metà del rapporto tra il quadrato del cubo di 2 e 32.
FETI
Moltiplica il quadruplo del quadrato di a per il cubo di a e dividi il risultato per il quadrato di b. Calcola il valore dell’espressione per a = 4 e b = 8. [64]
4. MULTIPLI, DIVISORI, MCD, mcm
[9]
© T e o ria a pagina 10
Multipli e divisori
pG
L’intrusa Le seguenti espressioni riguardanti due numeri naturali a e b sono tutte tra loro equivalenti tranne una. Quale? TEST
[ a] H □D QlI
m Q
VERO 0 FALSO?
a. Ogni numero diverso da 0 è divisore ^i 0.
«a è multiplo di b». <
[ v]|T ]
b. q non è divisore di nessun numero. [v][T] c j numeri multipli di 12 sono divisibili per 2 e per 3. EO E] d. Se un numero è multiplo di 7, allora è dispari. [v][T]
VERO 0 FALSO?
a. Se un numero è b . Se un numero è c. Se un numero è d. Se un numero è e. Un numero pari
09
pG
divisibile per 9, lo è anche per 3. divisibile per 4 e per 9, lo è anche per 18. divisibile per 2, i suoi multipli sono divisibili per 4. multiplo di 2 e di 4, allora è divisibile per 8. multiplo di 3 è divisibile per 6.
F79
Scrivi tutti i divisori dei seguenti numeri. 16
25
-
UDITI |~v~| |~f ~| UDITI UDITI UDITI
Scrivi i primi cinque multipli dei seguenti numeri.
66
6
11
15
16
Stabilisci quali dei seguenti numeri sono divisibili per quello indicato a fianco. 466, FZfi 1113,
1308, 2460,
2502, 3115,
5248. 4339.
00
1548,
2124,
2634,
5445.
09
1122,
1458,
2354,
3267.
12
P * i 99
»
FETI
Scrivi i multipli di 6 maggiori di 15, minori di 50 e divisibili per 9.
EMI
EUREKA! Quante cifre! Stabilisci se il numero IO14 —1 è divisibile per 99.
IflV l
Compito per casa Devo svol gere 21 espressioni numerate da 1 a 21 in 3 gior ni. Se il primo giorno svolgo gli esercizi contrassegnati da un numero multiplo di 3 e il secondo gli esercizi contrassegnati da un numero multi plo di 7, quanti esercizi mi rimangono da fare?
p
EUREKA! Numeri e cartoncini Hai 18 car toncini su ciascuno dei quali sta scritto un solo numero: 4 oppure 5. La somma di tutti i numeri sui cartoncini è divisibile per 17. Su quanti car toncini è scritto il numero 4?
INTORNO A NOI
[12]
q
[a]
4
Qf] 5
he] 6
Cd] 7
\T\ 9
[Kangourou Italia, 2010]
29
1
NUMERI NATURALI INVALSI 2011 In un torneo di calcio fra scuole una squadra guadagna 3 punti se vince, 1 punto se pareggia e nessun punto se perde. Una squa dra ha vinto tante partite quante ne ha pareggia te. Quale dei seguenti punteggi non può aver totalizzato la squadra?
B H Q
[ e h q
a
]
24
|T | 28
[c] 30
m U
I~À~| La somma di due numeri primi può essere un numero primo. ITI La somma di tre numeri primi non può esse re un numero primo.
[ E 32
ITI La differenza fra due numeri primi distinti può essere un numero primo.
Numeri pari superstiti! Luca scri ve sulla lavagna tutti i numeri pari consecutivi da 2 a 2010 (compresi). Poi Giovanni cancella tutti i numeri che sono multipli di 3. Quanti numeri rimangono? EUREKA!
[ a]
EUREKA! Una sola è falsa Una sola tra le seguenti affermazioni relative ai numeri primi è falsa. Quale?
ITI II prodotto di due numeri primi non è mai un numero primo.
670 [E 710 [e] 840 [ E 905 \T\ 1005 [Giochi di Archimede, 2010]
MATEMATICA AL COMPUTER
Scomposizione in fattori primi
I numeri di Fibonacci
E 0 Q
Nella successione di Fibonacci:
VERO 0 FALSO?
a. 23 è un numero primo. b. I numeri primi sono tutti dispari. c. Il prodotto tra due numeri primi non è mai un numero primo. d. 2 è il primo numero primo. fa fiii
SE I S E S E S E
Considera l’affermazione «Per ogni numero naturale n, 2" + 1 è un numero pri mo». Mostra con un esempio che l’affermazione è falsa. INVALSI 2011
ogni numero (a parte i primi due 1) è ottenuto dalla somma dei due numeri che lo precedono. Wiris ti aiuta a scoprirne le proprietà. ►Problema e risoluzione. ►6 esercizi in più.
□
Scomponi in fattori primi i seguenti numeri. p
Q
m
a
i i
1500; 312; 7250; 4096.
g li
117; 429; 608; 1728.
g 7 ì 44; 60; 64; 102.
E3
1580; 2040; 2205; 4096.
g l i 52; 72; 85; 98.
gE I 1792; 1815; 5720; 8820.
gTil 120; 169; 208; 759. a
CHECKER
Utilizzando la scomposizione in fattori primi e le proprietà delle potenze, semplifica le seguenti
espressioni. E3
1103 : (121 • 125)
[88]
E3
[(51 •4)3: 682] : 62
[51]
E0
(169 -308): (77 -26)
[26]
EB
682 : (34 8) —45 : (2702:1620)
[16]
Utilizzando la scomposizione in fattori primi, stabilisci se i seguenti numeri sono divisibili per quelli indicati a fianco. gTil 2160;
30
32,24,360,150.
g0
2925;
39,195,1125,1755.
E H 5040;
144,432,560,1680.
U. MULTIPLI, DIVISORI, MCD, mcm
ESERCIZI
Modifica le seguenti scomposizioni in modo che ogni fattore sia la potenza di un numero primo. 8 5;
21 14;
6 -5 -2 ,;
16-24.
34-172;
7 -5 -2 0 .
00
1 5-30-4;
2 11 22;
00
132 693;
121 112 3;
9 33 81;
22-5-100
17-13-26;
493-14.
MCD e mcm
Determina MCD e mcm dei seguenti gruppi di numeri utilizzando la scomposizione in fattori primi. E 3
ALVOLO
00
30, 4;
10, 14, 20;
36, 8;
12, 20, 24;
VHì 6, 12, 15;
14, 6;
EH
65, 130, 910;
00
56, 210, 280, 1680;
33, 22.
jP G
16, 64, 128.
0Q
15, 150, 60;
4, 8, 1300;
00
26, 52, 130;
30, 60, 500;
77, 121.
84, 840, 1080;
ESEMPIO DIGITALE
240, 150, 54. 20, 16, 100. 30, 66, 111.
12, 120, 600, 720.
45, 81, 270, 648;
9, 48, 108, 216, 648.
Determina il MCD dei seguenti gruppi di numeri utilizzando gli algoritmi di Euclide delle sottrazioni successi ve e delle divisioni successive. Determina poi il mcm utilizzando la formula che lo lega al MCD.
00
4, 16;
EH
20, 40;
15, 20; 32, 44;
LABORATORIO
22, 7. 35, 72.
00
56, 70;
0 0
10, 1000;
72, 99; 60, 1500;
45, 300. 5, 1080.
MATEMATICA E STORIA
Divisione e resto nella Firenze del ’300 Paolo dell’Abbaco, matematico, astronomo e poeta italiano del ’300, scrisse il T r a t t a t o d ’A r i t m e t i c a , da cui è ricavato questo pro blema: «Truova uno numero che partito per 2 ne rjmanghj uno, e partito per 3 ne rjmanghj 2, e partito per 4 ne rjmanghj 3, e partito per 5 ne rjmanghj 4, e coxj per insino in 10». a. Ecco come dell’Abbaco risolve il problema (completa il testo): «Moltiplica 2 per 3 che fa 6, 4 per 6 che fa 24, 5 per 24 che fa 120, 6 p e r ...... che f a ........ ,7 p e r ....... che f a ............,8 per .......... che fa ................,9 p e r............... che f a ..................... 10 p e r.................. che f a ..........................Ora puoi dire: ho trovato un numero che diviso per 2 dà resto ..., per 3 dà resto ..., e così per 4, per 5, per 6, fino a 10. E ora dì: sottra endo 1 da quel numero [ne troverò un altro che] diviso per 2 dà resto ..., per 3 dà resto ..., per 4 dà resto ... e così via».
Ambrogio Lorenzetti, Effetti del Buon Governo in città (particolare), affresco su parete (1339 circa), Palazzo Pubblico, Siena.
Il numero che si ottiene col ragionamento di dell’Abbaco non è l’unica soluzione del problema, trovane almeno altre due.
□
► Risoluzione.
► Attività di ricerca: Scuole d'abaco e società.
31
1
NUMERI NATURALI
Problemi sui numeri
ETifl
Siano a e b numeri naturali tali che MCD(a; b) = 4 e mcm(«; b) = 120. Qual è una possibile coppia di valori per a e b 7. Esistono altre coppie di valori possibili?
ETiTÌ
Il MCD di due numeri naturali è 3. Determina il MCD dei due numeri moltiplicati per 5.
MI
MCV(af b) = 10 wocm{co; b) = 210
Problemi m D
co = 30 b= ?
[70]
00
mOMs(co;b) = 360 MCD(co; b) =12
b = 60 E co = ?
[15] [72]
intorno a noi
Filippo si prepara per una gara di triathlon. Si allena nel nuoto ogni 3 giorni, nella corsa a piedi ogni 6 giorni e nella corsa in bicicletta ogni 8 giorni. Se oggi si è allenato in tutti e tre gli sport, tra quan ti giorni gli accadrà di nuovo di allenarsi nei tre sport nella stessa giornata? INVALSI 2010
0 8
CE] 12
[c] 17
[ E 24
m U K s m m m s M Coincidenze Due treni viaggiano sullo stesso percorso; uno di essi completa il tragit to di andata e ritorno in 4 ore, l’altro in 6. Se in questo momento si trovano nella stessa stazione, tra quanto tempo si incontreranno di nuovo nella stessa stazione?
EIE!
Momenti unici Una cometa ha un periodo di 75 anni, un’altra di 100. Se le due comete erano entrambe visibili dalla Terra 100 anni fa, tra quanti anni si potranno rivedere insieme? [200]
m
Super spuntino! In un campeggio estivo è ora di fare merenda. Se gli educatori hanno a disposizione for maggio, salume, pomodoro e insalata nelle quantità indicate, qual è il numero massimo di panini imbottiti uguali che possono preparare? Quante foglie di insalata ci sono in ogni panino? [54; 5]
jjM
In un quartiere di una città, il calendario della raccolta differenziata (carta, vetro e plastica) prevede che la raccolta della car ta avvenga ogni 28 giorni, quella del vetro ogni 21 giorni e quella della plastica ogni 14 giorni. Oggi sono state effettuate le raccolte di carta, vetro e plastica. La prossima volta in cui la raccolta di carta, vetro e plastica verrà fatta contemporanea mente sarà fra I___ Igiorni.
m
INVALSI 2013
u
Dal dottore Loretta si reca ogni 13 giorni in un ambulatorio per una cura. Il giovedì, e solo il giovedì, neH’ambulatorio presta servizio Franco, l’infermiere preferito di Loretta. Sapendo che oggi, giovedì, Loretta è andata all’ambulato rio, tra quanti giorni rivedrà Franco? TEST
[ a]
14 \J] 35 [c] 53
[
d]
65 [T] 91
[Giochi di Archimede, 2012]
32
5. SISTEMI DI NUMERAZIONE
ESERCIZI
5. SISTEMI DI NUMERAZIONE ©Te0 In base dieci Scrivi la forma polinomiale dei seguenti numeri in base dieci. H H 2;
532;
129;
401;
1002.
0 0
909;
11011;
1011;
1111;
2000.
COMPLETA
0 0
I___l-104 + l___I -102 + 6- loU = 10060;
I____I • IO3+ 7 • IO4 + 5 • 10^ + 1___ J = 72051.
| 0 ] 1___l -105+ l___I - IO4 + I____I 102+ 2 -1 0 ^ = 310002;
I___ I ■1 0 ^ + 3 ■10^ + I___ 1-10 + 1___1= 50324.
YOU &MATHS W hat num ber is it? Below are some descriptions of numbers given by a child who is stili learning about decimai positional notation. Rewrite thè numbers in correct decimai positional notation. a. Four units and eleven tens. b. Twenty three hundreds and forty units. c. Two thousands, thirty two hundreds, fifty one units.
Q
In altre basi 00
Indica le scritture non corrette. (5I00)«;
00
(2000)2;
(1012),;
(139),,;
(410),.
Scrivi tutte le cifre che si usano nella numerazione in base 5 e in base 12.
m U
VERO 0 FALSO?
a. In ogni base il numero 10 rappresenta la base.
Q EEI
b. Nella base n < 10 non compare mai la cifra n.
I~v~l 1~f~I
c. In qualunque base a il quadrato della base si scrive 100.
rvUTl
d. Il numero 11 in base a rappresenta il successivo di a.
rvllT I
00
Scrivi in base 2 i primi cinque numeri naturali.
071 Scrivi in base 3 i primi nove numeri naturali.
Scrivi la forma polinomiale dei seguenti numeri.
p i (2)3; (2)4; (2)5; (2)7.
P I
(230)4;
p i (11)2; (11)3; (afe (ii)4.
P I
(1022)4;
(11001)2;
p i (ioi)2; (101)3; (ioo)3; (120)3.
|P
(ABI),6;
(2BA)16;
E U U
a. b. c. d.
(2122)4;
(1011)2;
(1100)2.
(2110)3;
(144)5;
(2001)4.
(1001),.
VERO 0 FALSO?
In un sistema a base 8 si utilizzano come cifre i numeri naturali minori o uguali a 8. 104 non può rappresentare un numero in base 4. In base 3 il numero 3 si scrive 10. In base 16 il numero 100 rappresenta 162.
[v] CE] [v] CE] [~v~l [~f~1 CvICfI 33
1
NUMERI NATURALI
Scrivi in base dieci i seguenti numeri.
m Q
(1011)2; (1111)2-
P i (440)5; (100)5; (411)5.
(2222),; (1020),.
gli (10)12; (AB)12; (1AB),
(321)4; (100)4.
EEQ (1100011)2; (1200)8;
EUREKA! Due basi Del numero naturale x si sa che rispetto alla base a la sua scrittura è 12; rispetto alla base b è invece 23. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa? [~a1 La base a è maggiore della base b. He] La base a può essere 6. m Esistono infinite coppie possibili di basi a e b Q[] Se fr = 4, allora a = 9. che soddisfano le ipotesi.
Da base dieci a base diversa
Scriviamo il numero 147, espresso in base dieci, in base 4. O CL z LU CO LU
4
Eseguiamo divisioni ripetute, mettendo in evidenza i resti, fermandoci quando il quoziente è 0.
^
3
36
4
0
9
4
1
2
4
2
0
I resti, letti nella direzione della freccia, sono le cifre cercate: 147 = (210 3)4.
Scrivi i seguenti numeri espressi in base dieci nella base indicata a fianco. 7,
10,
11,
31,
33,
128.
ESI 5,
16,
18,
22,
33,
40.
6,
12,
17,
19,
21,
44.
P I
0H
25,
11,
27,
100,
30,
126.
boxe, 2
P I
21,
28,
43,
100,
1002.
bone. 3
P i
35,
47,
87,
103,
201.
bene. 4
W ì 52,
67,
93,
104,
1200.
bone. 5
FETI 380,
438,
805,
901,
Da una base a ll'a ltra
BEVI Scrivi in base due i numeri (100)3, (11)4, (10)16, (11)5. COMPLETA EEffl a. ( 1 1 1 ) 2 = d_ TT
"’w' II
f-H
co 0
1)3;
b. (403) 5 = (— '
co
II
0
—1)4;
a. ( 1010 ) 2 - ( L
i- H
34
—
ESI
1— 1 1—H
c. (AB)16 = d—
-J),;
d. (2001)3 = d
)2>
d. (11011)2 = (l
e. ( l l l l ) 2 = d _
)5-
e. (CDA)I6= ( L
)l6> —Da; —1)45
__ J)7; )d-
bene. 2 bene. 3
1020.
bene. 4 base, 5
5. SISTEMI DI NUMERAZIONE
ESERCIZI
Operazioni in a ltre basi
a. Costruiamo la tabella di addizione in base 3 e calcoliamo (221)3 + (20)3. +
0
1
b. Costruiamo la tabella di moltiplicazione in base 3 e calcoliamo (201)3 • (12)3. •
2
0
1
2
0
0
1
2
0
0
0
0
1
1
2
10
1
0
1
2
2
2
10
11
2
0
2 11
7
20 1
•
12
1102 2 O l
io 1 1 2
r
2.2 = 4 -(4 ), o=(11)3
2 + 1 = 3 — (3)10 = ( 10)3
EE3 Costruisci le tabelle di addizione e moltiplicazione in base 4 e calcola: a. (301)4 4- (1002)4; E I0
COMPLETA
b. (103)4 ' (12)4.
le uguaglianze in base 4 utilizzando le tabelle di addizione e moltiplicazione in base 4.
a. 11+1_______ J = 31;
c. 3-1_______ I = 30;
e. 20 :10 =
b. 1 2 - 3 = 1 _______ J;
d. 13-10=1_______ J;
f. I_______ 1:3= 12.
Esegui le seguenti operazioni utilizzando le tabelle di addizione e moltiplicazione della base indicata. REA
1010 + 101, 1100 + 1111 , 1110 + 111 + 1000, n - i o i ,
REA 102+ 122,
1012 + 12,
RETI 13 + 1102,
1312 + 2011,
101 + 1122,
222 101,
1123 + 1033,
13-101,
RETI Costruisci le tabelle di addizione e moltiplicazio ne in base 5 e calcola: a. 12 + 4; b. 12 4; c. 110 + 14; d. 123 -31.
1101 100, 10 11111 .
201-220, 133-201,
20-111.
basti
102-333.
b a s ti
RESI 111 ■10+ n o n - 1 1 REA
[(1001 + 111)-101 - 11] + 110:10
REA [(1111 - n o ) - 10+ (101 + 11) 11] 111
RETI In quale base è stata eseguita l’operazione? 233 + 414 = 1202
REA ( 1 1 11 1 + 10 110) (110 — 11) +110
Semplifica le espressioni.
REA (11010 — 1100) 11 — 110 10 1-11
REH (101 + 10) 110 + 11 10
basti
REE1 [2 (30+ 10 3) - 11 (23)]+ 3
b asti
RETI 21 -22+ [201 (10 + 21) - 2 ]
basti
Esegui le operazioni e poi trasforma il risultato in base 10. P I
(1A3)I6- ( B 2 ) 16+ (129),6
P I
(112)3 (12)3
Semplifica le seguenti espressioni in base 2 e poi tra sforma il risultato in base 10.
PI
(124)3- (100)g+ (117)3
REA (1010 +10 + 11 ) - (111 - 10)
PI
(134)5 — (14)5 + (44)5 ■ (23)5
ESERCIZI IN PIU E 0 - ^ 3 Q su TUTTO IL CAPITOLO
35
NUMERI NATURALI
ESERCIZI IN PIÙ NUMERI NATURALI E OPERAZIONI ©1™ E3J
Scrivi i numeri naturali maggiori o uguali a 13 e minori o uguali a 16.
e b iG
TEST
I numeri naturali minori di 54 e maggiori o uguali a 50:
[~a1 non esistono.
mu
m
^
QT] sono quattro.
E
sono 51, 52, 53.
H
sono infiniti.
VERO 0 FALSO?
a. I numeri naturali maggiori di 6 sono 5.
0 0
b. I numeri naturali minori o uguali a 2 sono 3.
0 0
c. I numeri naturali minori di 6 sono 6.
0 0
d. I numeri naturali maggiori di 5 e minori di10 sono 5.
H E
e. Non esiste un numero naturale minore o uguale a 0.
E H
u
VERO 0 FALSO?
a. Ogni numero naturale ha il precedente e il successivo.
E H
b. Il successivo di un numero è unico.
E H
c. 0 è il precedente di 1.
E H
d. 0 è precedente a 2.
E H
e. 99 è successivo a 98 ed è il successivo di 97.
E H
f. 100 è il precedente di 99 e il successivo di 101.
E H
E B a U YOU &MATHS
Numbers on thè line Place thè following numbers on thè number line below, approximately in thè right positions: 23, 213, 57, 512, 87, 137, 800, 958. 0
1000
In ciascuno dei seguenti casi, in base alle informazioni fornite, imposta e risolvi l’operazione corrispondente. S f l Addizione con 1° addendo 12 e 2° addendo 5; addizione con 2° addendo 27 e somma 119; addizione con somma 132 e 1° addendo 84. M i Moltiplicazione con 2° fattore 50 e prodotto 300; moltiplicazione con 1° fattore 20 e 2° fattore 33; moltiplicazione con 1° fattore 7 e 2° fattore uguale al doppio del primo.
MI
I l 2; E2
MI
Calcola le seguenti potenze: 28;
113;
05;
51;
252;
Scrivi le potenze di 3 comprese tra 0 e 200.
302.
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
NUMERI NATURALI I ESERCIZI IN PIÙ
pQ
TEST
La potenza a0 vale:
[ a] 0 se a / 0. m
u
TEST
[Tj 1 se a / 0.
COMPLETA
[¥] 0 Vn e N .
[c] 1 se w = 0.
|~d~| 1 Vn E N .
le seguenti espressioni.
16:1____ I = 2; EH
[~d~| 1 Va £ N.
La potenza 0" vale:
[TjO sen^O .
m
[c] a Va e N.
15:1
=1;
(4 + 1
) : 3 = 7;
L
2 - 4 = 12.
INVALSI 2013 Nello schema, la somma dei numeri in orizzontale è uguale alla somma dei numeri in verticale. Alcuni numeri sono coperti da simboli. L’affermazione «Al posto della stellina c’è il numero 0» è sicuramente vera? Scegli la risposta e completa la frase.
I | Sì, perché .........................................................................................................
□
No, perché
ESPRESSIONI Traduci le seguenti frasi in espressioni e calcolane il valore. EMI Sottrai al rapporto tra 12 e 4 la differenza tra 5 e 2.
Q H Dividi per 7 la somma tra 23, 8 e il doppio di 9.
[0]
[7]
Scrivi e semplifica le espressioni relative ai seguenti diagrammi ad albero.
[5]
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E3
1
NUMERI NATURALI
EHI
[7] [0 ]
INFORMAGRAFICA Traduci in un diagramma ad albero le seguenti espressioni e semplificale.
EHI
16 —5 2
EQ
EHI
2 • 7 —3 •4
Effl (13 2 + 14) : 5 [(13 —1) :4]
S3
5 - 4 + 3-2
EHI
[27: (5 + 4)] {8 2 —[(3 -4 —2): 5]}
2 + 12:2-3
EHI
2 (15 : 3 —[40 — 6 (5 + 1) — 2 •2]
( 1 1 9 + 1 ) : (25 - 4)
+ 1}
INTORNOA NOI Risolvi i seguenti problemi scrivendo un’espressione e semplificandola.
m
Ogni settimana Cristina fa 12 viaggi in autobus su un percorso urbano e 4 su uno extraurbano. Se il bigliet to urbano costa € 1 e quello extraurbano € 2, quanto spende in un mese? (Considera il mese composto da 4 settimane.) [€ 80]
EHI Un test viene valutato nel modo seguente: ogni risposta corretta vale 3 punti, ogni risposta sbagliata preve de la sottrazione di un punto, mentre ogni risposta non data lascia inalterato il punteggio. Ludovica svolge la prova rispondendo correttamente a 7 domande, sbagliandone 3 e non rispondendo a 2 domande. Che punteggio ottiene? [18] Per ciascuna delle seguenti espressioni calcola il valore che si ottiene sostituendo alle lettere i numeri indicati. IWÌA a + (b ■c)2 —2ab\
a = 3 ,b = 2 , c = 4.
[55]
HlH 6c3 : a ■(b2— c) + 3C;
a = 6, b = 3, c = 2. [65]
Scrivi in forma simbolica le frasi seguenti e poi calcolane il valore per i numeri indicati. 03
Somma a n il suo precedente; n = 3.
03
Somma a n la sua metà; n = 12.
03
Sottrai al triplo prodotto tra il quadrato di a e il doppio di b la somma tra a e 3; a — 3 e b — 2, a — 5 e b — l. [102; 142]
[5]
[18]
0Q
Moltiplica il precedente e il successivo di un numero n; n = 10. [99]
03
Calcola il quadrato della quarta parte di un numero x; x = 20. [25]
E4
0H
Trova la differenza fra il triplo di un numero a e il suo doppio; a = 30. [30]
HTil Calcola la metà del cubo di un numero y; y = 4. ”
[32]
B D Trova la somma tra un numero b, il suo triplo, la sua terza parte e il suo cubo; b = 3. [40]
J5S
Calcola la somma dei cubi di due numeri a e b aumentata di 3; a = 1, b = 3. [31]
HE1 Determina il doppio prodotto tra la differenza dei quadrati di due numeri x e y e il quadrato della loro differenza; x = 4, y = 2. [96]
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NUMERI NATURALI I ESERCIZI IN PIÙ
Scrivi l’espressione letterale che corrisponde alla grandezza richiesta e calcolane il valore per i numeri indicati. I—x—I---------------1—x—I
P
A a
B
BCÌ
C a D
<---------------------------► b
perimetro (ABCD)? area (ABCD)Ì x = 4, a = 3, b = 5.
a = 3, b = 15. [9]
C
B0
[ 20 ;
22]
C? a = 66°, b = 41°.
perimetro (ABCD)? area (ABCD)Ì x = 3, y — 5, z — 5. [26; 32]
[73]
PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI
© T e o rìa spagina*
E H Stabilisci se l’insieme {0, 1, 2, 3, 6} è chiuso rispetto: a. all’addizione;
alla moltiplicazione.
CHI HARAGIONE? Lucia: «Addizione e moltiplicazione sono interne nell’insieme dei numeri pari, ma entrambe non lo sono in quello dei numeri dispari». Giuseppe: «Ti do ragione per i numeri pari, ma secon do me, delle due, solo l’addizione non è interna nell’insieme dei numeri dispari». Chi ha ragione?
m
m U
VERO 0 FALSO? È possibile in N :
a. 7 - 7 . [v][T] m
b.
u
b.
0°.
01X 1
c. 14 : 3. [T jlX
d.
3 5.
0 0
e. 16 : 1. |~v~l|~f ~|
VERO o FALSO? È possibile in N :
a. 18:0.
H E
c- 1 0 - 3 - 4 .
H E
b. 0 :5 .
H E
d. 15:15.
H E
e- 13°.
H E
ASSOCIA a ogni operazione il suo risultato.
B A U 1 -3 :3 a. impossibile [2 1 [ ] 1. 15 0 a. 5
EE3
2. 0 : 3
3. 3 :0
4. 3 : 1
b. 0
c. 1
d. 3
2. 3-5
3. 3 1
4. 15 : 3
b. 0
c. 15
d. 3
COMPLETA la seguente tabella con numeri naturali, quando possibile. a
b
10
2 2
a+ b
a —b
b —a
a b
a :b
b :a
ah
ba
5
3
0 3 2
1 4 5
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1 E5
1
NUMERI NATURALI
nau TEST [a]
Applicando la proprietà invariantiva, la divisione 12 : 8 si semplifica in:
3 : 4.
|T] 3 : 2.
[cj 6 : 2.
|~D~| 8 : 4.
Indica quali proprietà delle operazioni sono state applicate nelle seguenti uguaglianze. g7!l 150 : 25 = (150 : 25) : (25 : 25) W tì 220:5 = (220 -2): (5 -2) m
6 2 - 17 = (62 + 3) - ( 1 7 + 3)
JM
COMPLETA
le seguenti uguaglianze e indica la proprietà applicata.
a. 1 6 - 7 = (I____ 1-6) - ( 7 b. 13 c. I b h
-4 =
d. 5
).
e. (1 1 + 6 )+
_ •(5 - 1_____J).
(5 + 8) = 11-
-(2 + 1
).
= |____ +(6 + 44).
+11-1
U TEST Applicando la proprietà distributiva nell’espressione (3 + 4) • (7 + 8) si ottiene: [a]
3 -7 + 4-8.
[c] 3 (7 + 8) + 4 (7 + 8).
[¥] 3 (7 + 8) + 7- (3 + 4). B il
+5 1 8 =
[5] 3-4 + 7 -8 .
CACCIA ALL’ ERRORE
a. 1750:25:5 = 1750:5 = 350 b. (16 •4) : 2 = (16 : 2) • (4 : 2) = 8 • 2 = 16 c. 45 - (6 - 5) = (45 - 6) - 5 = 34 d. 5 ■(3 ■2) = (5 ■3) ■(5 • 2) = 15 • 10 = 150 e. 30 : (3 + 2) = 30 : 3 + 30 : 2 = 10 + 15 = 25
mu
YOU &MATHS Mental arithmetic Martha is trying to calculate 12 15 mentally and she says: «Ten times fifteen, one fifty, and thirty, one eighty». Write out with numerical expressions thè calculations that Martha was doing and explain why she did or did not get thè right answer.
mu
YOU &MATHS More mental tricks Solve thè same multiplication Martha calculated mentally (12- 15 ) in thè previous exercise using thè distributive property, but this time use thè associative property and describe your thinking with a written numerical expression.
s a
COMPLETA
le seguenti operazioni e indica le proprietà che consentono di velocizzare il calcolo.
a. 315:5 = (300 + 1____ I) : 5 = 300 : 5 + I b. 127+ 12+ 13+ 18 = (127+ 13) + (I c. 13 102 = 13 (100 + I
)= l
d. 20 -12 -5 -4 = (20 -5) -(
f. 2200 : 25 = 8800 : 1 E6
=1
+
)= L
+3 = 63 +30=170
+26 = 1326 )=
e. 35 • 12 - 2 • 35 = 35 • (12 - L
:[
) = 35 • I
-I
= 4800
I = 350
= 88
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NUMERI NATURALI I ESERCIZI IN PIÙ
B 3 Siano a e b due numeri naturali e * l’operazione definita da: a * b = a ■b — 1. a. Calcola 2 * 1 , 1 * 1 , 3 * 5 , ( 2 * 3 ) * 5 . b. Stabilisci se vale la proprietà commutativa, motivando la risposta. c. Trova un controesempio che dimostri che l’operazione * non è interna in N. [a) 1,0, 14, 24; b) sì, ...;c) 0* 1] E J
Siano x e a due numeri naturali e □ l’operazione definita da: x O a — 2 x a + x —a. a. Calcola 5 □ 2, 3D3, [(10 □ 3) - (4 □ 3)] : 7. b. Stabilisci se vale la proprietà commutativa, motivando la risposta.
[a) 23,18, 6; b) no,...]
Stabilisci quali dei seguenti numeri sono divisibili per il numero indicato a fianco. SB
5425, 5800,
7028,
8137, 9622.
2
03
6120,
7053,
7391,
8737,
9384.
3
03
6703, 7700, 9033, 19998, 37933.
11
SB
6075, 6936,
8945,
9066, 9600.
4
03
6375,
25
BTil
2710, 3499,
4088,
4800, 5664.
5
g l i 6739,
m
u
0 5
0 2
9450,
9145.
9990.
9
0 4
OD 8
È dato il numero naturale n = 1135a0.
VERO 0 FALSO?
a. Se
7560, 8310,
8082,
Quale numero devi sostituire alla cifra n affinché il numero 587n sia divisibile per 11 e sia pari?
TEST
E 9 0
6813, 7118,
a= 2, n è divisibile per 11.
|~v~||~f~|
Se
a— 6 , n è divisibile per 4.
|~v~| |~f ~|
c. Se
a= 5, n è divisibile per 9.
|~v~l [~F~|
d. Se
a = 8, n è divisibile per 3 e per 4.
|~v~l [~F~|
b.
PROPRIETÀ DELLE POTENZE
© T e o ria apaginaS
Calcola il risultato delle seguenti espressioni, indicando le proprietà delle potenze utilizzate. 0 3
714:7 12;
0 3
(42) 3: 44;
23-33. (42) 3:(2 3) 2.
BEI (5400: 5300) : [(525) 2]2 • 5; 0 3
(612 : 610) 5 : (62 ■63) 2;
E H Q
INVALSI 2007
[ a] 515
[(311 • 39) : 319]2.
(IO3:10) [(IO2) 3 : IO5].
55 510 = [ b ] 550
[c] 2515
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[o] 2550 E7
1
NUMERI NATURALI
m
u
m D
TEST
II cubo del rapporto tra il quadrato di 10 e il quadrato di 2 è:
|~À~1 la sesta potenza di 5.
[c] la quinta potenza di 5.
[~b~1 la quinta potenza di 20.
[ d] la sesta potenza di 20.
YOU & MATHS Representing powers Look at thè representations below and induce a generai idea for representing first powers, second powers, and third powers respectively.
23= HD 22 =
0
2 •3 =2 +2 +2 =6 Use this idea to represent thè following expressions, and simplify when possible: a. 32 + 32; m
u
TEST
b. 43+ 42;
c. 183 + 2 183;
d. 32 + 3 + 23.
Considera i numeri naturali a, m, n, con a ± 0. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
[~a1 an — am = an~m
[¥] an —am = an:m
|T] a0 ■am — am
[ d] (an)m — an • am
Considera a, b, c numeri naturali. Indica quali proprietà delle operazioni e delle potenze giustificano le seguen ti uguaglianze. Verifica poi ciascuna di esse per i valori indicati a fianco. EVE1 2a + 2c + 2b —2(a + b + c);
Effll {2a + b2) ■b = 2ab + b3;
a — 5, b — 3, c — l.
a = l , b = 2.
[1]
Traduci le seguenti frasi in simboli e semplifica le espressioni applicando le proprietà delle potenze. EMìl Dividi il prodotto tra il quadrato e il cubo di 25 per la quinta potenza di 5.
[55]
Moltiplica il cubo della differenza tra il quadrato di 2 e 1 per il cubo di 5 e dividi il risultato per il quadrato del rapporto tra 30 e 2. [15]
MULTIPLI, DIVISORI, MCD, mcm e Teoria a pagina 10 MULTIPLI E DIVISORI Stabilisci quali dei seguenti numeri sono divisibili per quello indicato a fianco. ETTI
2024, 1092,
3332,
4050,
E9
5061, 6230,
7395,
8265,
8988,
EH
5940, 7154,
7983,
8910,
9567,
ETTI
4416, 5313,
6534,
7755,
8985,
to
1740,
7764.
12
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NUMERI NATURALI I ESERCIZI IN PIÙ
E S U
TEST
Considera il numero 42. Quale tra le seguenti affermazioni è falsai
|~a] Ha esattamente 6 divisori.
E
È divisore di 210.
|~b~| È multiplo di 14.
E
È divisibile per 14.
M I
COMPLETA
inserendo il numero opportuno.
165 = 1____ 1-11 - 11 dividei
21 = 3-1
- L
30 = 3-2-
—I
è un multiplo di è un multiplo di 10.
120 : 4 = I
— 4 è un divisore di
26:13=
—
B a u
e
è divisibile per 13.
VERO 0 FALSO?
a. Se un numero è multiplo di 4 e di 9, allora è divisibile per 36. b. Se un numero è multiplo di 15, allora ammette come divisore 30. c. Se un numero è multiplo di 11, lo è pure il numero che si ottiene scrivendo le sue cifre in ordine inverso. d. 0 ha un solo multiplo e infiniti divisori.
ELEI H E E H E E
EUREKA! Tombola! Una scatola contiene cinque numeri della tombola, tra loro diversi. La sola cosa che sappiamo è che la loro somma è un numero dispari. Quale tra le seguenti affermazioni è sicuramente vera?
E E lQ
[~À~1 Nella cinquina vi sono più numeri dispari che numeri pari. E
Nella cinquina vi è un numero dispari di numeri dispari.
E
Tutti e cinque i numeri sono dispari.
E
Nella cinquina vi è un numero dispari di numeri pari.
E H Scrivi cinque numeri maggiori di 1000 000, multipli di 25 e divisibili per 36. B a u
VERO 0 FALSO?
a. 35 è un multiplo di 3.
E E
b. Un numero pari non può essere multiplo di un numero dispari.
E E
c. Un numero dispari può essere multiplo di 4.
E E
d. Se un numero è divisibile per 5 e per 6, allora è divisibile per 10.
E E
H0 [J YOU&MATHS
Composing and decomposing Describe this diagram with one or more arithmetic
expressions.
m Q
Make it easy to computer distribute! Use thè representation proposed in thè previous exercise to draw a diagram for thè following expression: 2 7 = 1 0 - 3 —1-3. YOU&MATHS
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E9
1
NUMERI NATURALI
mU
INVALSI 2006 Un’urna contiene dieci gettoni numerati da 1 a 10. Prendendone uno a caso, esce un multi plo di tre. Quale fra le seguenti affermazioni è falsai
Il numero uscito può essere anche... [~a1 multiplo di due. INVALSI 2005
|T] quadrato perfetto.
[c] multiplo di quattro.
[ d] numero dispari.
Quale tra le seguenti affermazioni, riferite ai numeri naturali, è falsai
[XI I numeri primi sono infiniti. |~b ~]
Un numero primo è divisibile solo per 1 e per se stesso.
rei I divisori di un numero diverso da zero sono infiniti. |~d~1 Un numero primo maggiore di 2 non può avere 2 come cifra finale. Scomponi in fattori prim i i seguenti numeri. E0
8; 12; 14; 20.
E ] 24; 26; 33; 45.
Modifica le seguenti scomposizioni in modo che ogni fattore sia la potenza di un numero primo. E3
m
6 5;
u
1 2 15;
TEST
22-66;
8-8.
E ]
(2-7)2-14;
216 - 3;
123 312;
4 - 20- 52-23.
Dati i numeri naturali a e b, si sa che a è multiplo di b e b é multiplo di a. Allora:
[a] a > b.
[b]
a < b.
[c
] a = b.
[~d~|
a
= 0 V ò = 0.
MCD E mem
mu
INVALSI 2006 Dati due numeri naturali a e b diversi da 0, se a è multiplo di b, quanto vale il loro minimo comune multiplo?
[a] a - b
mu
TEST
[F] a Sia MCD(36;
n) =
12, con
\jT\ b n E
|~d ] 1
N. Quale tra le seguenti proposizioni è vera?
PÀI L’unico valore possibile per n è 48. [¥] n è certamente minore o uguale a 36. fcl I valori possibili per n sono i multipli di 12 minori di 36. Pp] Esistono infiniti valori possibili per n. Determina il MCD e il mem dei seguenti gruppi di numeri. E I
36, 40, 54;
12, 36, 48;
g l i 38,100,190; E I
TEST
[ a] a. E10
27,225,375;
52 • 20 • 27, 14 • 62 • 252;
mu
28, 140, 392. 66,432,2178.
34 12 IO5, 32 5 66 212.
Siano a e b due numeri naturali, con [T] b.
a < b. IlMCD tra MCD(a; b) e mcm(a;b) è: Pc] MCD(a; b).
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[ d] mcm(a; b).
NUMERI NATURALI
M U
I ESERCIZI IN PIÙ
EUREKA! MCD e mcm Posto che MCD(a; b; c; ...) e mcm(a; b; c; ...) indichino il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo dei numeri naturali a, b, c, ..,., è vero o falso che:
a. MCD(MCD(n; b); c) = MCD(a; b; c)?
m m
b. mcm(mcm(a; b); c) = mcm(a; b; c)?
0 0
c. mcm(a; b) ■mcm(a; c) = mcm(a; b; c)?
s s
Motiva le risposte con esempi. Giuseppe ha tre scatole di biglie colorate così divise: 12 biglie rosse nella prima, 8 biglie gialle nella seconda e 28 blu nella terza. Per giocare utilizzandole tutte deve dividerle in gruppi dello stesso colore, in modo che in ogni gruppo ci sia lo stesso numero di biglie. Qual è il minimo numero di gruppi che si possono costituire in questo modo?
eeq q
TEST
|~À~1 1 E a
[F| 12
[c] 4
[~d~1 24
INTORNO A NOI Patchwork Nonna Ada vuole confezionare una coperta all’uncinetto di 220 x 260 cm2, composta da motivi quadrati. Se vuole fare il minor numero possibile di moduli quadrati, quanto deve misurare il lato di ogni motivo? Quanti moduli dovrà confezionare? [20 cm; 143]
SISTEMI DI NUMERAZIONE
© T e o ria a pagina U
Scrivi la forma polinomiale dei seguenti numeri. E H 58;
E3
318;
297;
701;
450;
3113.
2139;
E U (40)s;
E3
8286.
(101)3;
(200)4;
(201)3;
(210)3; (1001)2;
(44)7. (2002)3.
K'Hl Scrivi i numeri la cui forma polinomiale è la seguente. 2 • IO3+ 5 • IO4 + 2.
105+ 103+ 102+ 1;
Scrivi in base 10 i seguenti numeri.
Scrivi i seguenti numeri nella base indicata a fianco.
E H (20)3;
EH
12,
24,
48,
EH
49,
86,
100,
EH
(200)3,
(20)4;
(41)5.
E3
( 1101)2;
(2100)3;
E a
(A3B)12;
(443)6;
TEST
(1234)5. (1010101)2.
360.
b a s ti
242.
(111010)2,
base, 7
(2044)5.
base,*
II numero (2310)/,, con b > 4, è certamente divisibile per:
|~a] 10.
[ b] 3.
[c] b.
[ d] nessuno dei precedenti.
Esegui le operazioni e poi trasforma il risultato in base 10.
pi
[( 10)2+ (101)2] ■( 11)2
E3
( 220) 3 : [( 10)3 + ( 21)3
[21] (2 ),]
jljl
(42)7 —[(26)7 : (13)7 + (31)7]
[3]
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[(2B)12+ ( 1A) 12—(3)12]: (2)12+ (11 ) 12
[6] [40]
E11
1
NUMERI NATURALI
RIEPILOGO m
u
e s
INVALSI 2011 Solo una delle seguenti opera zioni dà come risultato un numero dispari, mag giore di mille e divisibile per tre. Quale?
[ a] 1000 + 3
[c] 3000:3
[T \ 1000-3
[ d] 3 0 0 0 - 3
U TEST II prodotto tra un numero naturale a e il successivo del suo triplo è: fÀl a ( 3 a + l ) .
[c] a - ( a 3+ l ) .
I b | a • (a + 3 + 1).
| d | a -3 n + l.
u
TEST Se a e b sono due differenti divisori del numero naturale c, puoi concludere che: |~a~| il prodotto ab divide sempre c. |~b ~1 il minimo comune multiplo tra a e b divide sempre c. [~c~| la somma a + b divide sempre c. |~d~| la differenza a — b divide sempre c.
jp U
INVALSI 2012 Si sa che 210 = 1024. Quale fra le sguenti potenze del 10 è quella che più si avvici na a 2/0?
m
[ a] IO24 Se n è un numero naturale dis pari, quale delle seguenti espressioni rappresenta ancora un numero naturale dispari?
E H U
INVALSI 2006
[ a] 4« + 1 [¥ ]
3n
+
1
MI
COMPLETA
\J] IO21
[6] IO7
le seguenti uguaglianze.
a. (63)0 = [(62)U]3
|~c~l n + 1
b. (I
5)2 • I 10 = 1
1
c. (
6)2 = 0
[~d ] n —
\J] IO14
ETiTl Siano x e y due numeri naturali e ☆ l’operazione definita da: x ☆ y —y ■x ■(y + x). a. Calcola 1 ☆ 3 e 2 ☆ 4, (5 ☆ 2) - (3 ☆ 3). b. Vale la proprietà commutativa? Motiva la risposta. c. Stabilisci se l’operazione ☆ è interna nell’insieme dei numeri naturali, nell’insieme dei numeri pari e nell’insieme dei numeri dispari. [a) 12,48, 16; b) sì; c) sì, sì, no] n
ASSOCIA
l’uguaglianza alla proprietà che la giustifica.
a. 6 + 5 - 4 = 4 - 5 + 6
1. Distributiva.
b. 6 •(5 + 4) = 6 • 5 + 6 •4
2. Raccoglimento.
c. 2 •5 + 2 = 2 • (5 + 1)
3. Invariantiva.
d. 18 : 9 = 6 : 3
4. Commutativa.
HTil Scrivi tutti i numeri naturali minori di 100:
00
a. multipli di 8;
Determina i divisori di 140 utilizzando la scom posizione in fattori primi. [1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140]
b. multipli di 16; c. potenze di 4.
00 _
00
E12
Scrivi i multipli di 25 minori di 300 e divisibili per 3. [0; 75; 150; 225] Scrivi i divisori di 120 multipli di 15. [15; 30; 60; 120]
0Q
Spiega perché il prodotto tra un multiplo di 3 e un multiplo di 5 è sempre un multiplo di 15.
00
Trova i numeri naturali n per i quali la divisione 160 : (n2 + 1) è esatta in N.
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NUMERI NATURALI I ESERCIZI IN PIÙ
M Q
INVALSI 2010 L’insegnante dice: «Prendiamo un numero naturale che indichiamo con n. Cosa si può dire del risultato di n(n — 1)? È sempre pari, oppure sempre dispari, oppure può essere qualche volta pari e qualche volta dispari?». Alcuni studenti rispondono in questo modo:
Roberto: «Può essere sia pari che dispari, perché n è un numero qualsiasi». Angela: «È sempre dispari, perché n — 1 indica un numero dispari». Ilaria: «È sempre pari, perché 3 (3 —1) fa 6, che è pari». Chiara: «È sempre pari, perché n e (n — 1) sono numeri consecutivi e quindi uno dei due deve essere pari». Chi ha ragione e fornisce la spiegazione corretta? [~a~1 Roberto.
[ b]
Angela.
[jf] Ilaria.
0H
[(603 : 123 : 5 + 454 : 38: 252) : (24 —3)]4 : 42
00
[(153 : 27)2 : 252] — [(153 : 125) • 24 : 122] 2
0 0
AL VOLO
00
IO2 • [(32 : 7° • 52) : 52 • 32 —2 • 4 • 5 —(83)0] : (22 • 5)
00
2 • 33—[22 • (264 : 134) : (43 : 23) + 32 • 23] : 22
Egl
52 • {[82 • (23• 22) 2] : 162 : 42}2 : 43 — 11 • 32
gg
{[(242) 3]3 : (124) 4 : [(22) 3 25] 2 —2°} • [(254 : 54 - 252) 15 + (253) 2 : (52) 4 : 53]
m
{[(195—193) : 193—(174 —173+ 172) : 172+ 3] 2: 182+ (25 —33) 2}2
00
[( 164 + 124 —84) : 44 —(22) 2] —(52 + 72) + (32 + 22) • 22—[22 • (22) 3+ 33]
[1] [16]
1005 : IO5: 55: 24 + (713 • 5U) : (511 • 712)
[9]
[200] [34] [1]
Verifica con alcuni esempi e giustifica la seguen te affermazione. Il precedente o il successivo di ogni numero pri mo maggiore di 3 è un multiplo di 6.
00
[ d] Chiara.
p
Q
TEST
[40] [2500] [0]
(11010)2 + (H 0 )2 + (1011)2 =
[A ] (11011)2
[C ] (101010)2
□D (101011)2
E
(101101)2
Osserva lo schema, deduci il comportamento delle differenze tra qua drati consecutivi. Calcola, senza svolgere i quadrati, i risultati delle seguenti operazioni: a. 412—402, 1312— 1302;
1
4
b. 252 —232, 1002 —982. [a) 81, 261; b) 96,396]
E lG
9 ^
37 16-9 = 7 16
3 + 4 = 7-
5"
25
6Z
36
*2
49 65-
VERO 0 FALSO?
a. 72 e 175 sono numeri primi fra loro.
BUI
b. [MCD(26; 78; 100)]2 + mcm(50; 75; 125) = 754.
H IZ !
c. (12 • 5 + 4 • 6) • 3 = 3 • (6 •4 + 5 • 12) per la proprietà commutativa dell’addizione.
H Q l!
d.
(10010)2 = 36.
Copyright © 201i Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
HCE E13
1
NUMERI NATURALI
LABORATORIO
MATEMATICA E CALENDARI
Anno bisestile Nel calendario introdotto da Papa Gregorio XIII nel 1582, sono bisestili gli anni multipli di 4 (come era nel precedente calendario giuliano), però i multipli di 100 sono bisestili soltanto se sono anche multipli di 400; per i secoli precedenti resta valido il calendario giuliano. a. Individua quali degli anni indicati a lato sono bisestili. b. Quanti anni bisestili ci sono ogni 400 anni? Quanti anni bisestili ci sono ogni 100 anni? c. Dopo quanti anni i giorni della settimana sul calendario si ripetono nello stesso modo? Quale calendario precedente è uguale a quello del 2015? d. Anche con il calendario gregoriano, permane una piccola discrepanza con l’anno solare: infatti l’anno solare dura 26 secondi in meno dell’anno gregoriano; dato che il calendario gregoriano è partito dal 1582, in quale anno bisognerà sopprimere un giorno?
□
EU
►Risoluzione.
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
2800
2015
2000
1900
1700
1300
1
NUMERI NATURALI
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ►C om petenza 1 (abilità 1,2) D
Q
v e r o o f a ls o ?
D
a. Il MCD di due numeri primi tra loro è il prodotto dei due numeri. [v]|T] b. (53)2 = 253.
HCE
c. 45 : 9 = 40 : 4 per la proprietà invariantiva.
[V] |T]
(io 3)2; 1005; 25• 55; 254-28; 83 1253.
■HÉ Stabilisci qual è il maggiore fra 1005 e 320. inserendo i simboli < , = , > senza calcolare le potenze. COMPLETA
a. 1002l__I322
c. 362l__I 63• 23• 33
b. 16001__I 24- IO2
d. 87l__11283
d. \0n : 5 è un numero naturale per ogni neN .
I T ITI
e. I divisori di 8 sono anche divisori di i6. B
D TEST
H
nnm
MVM Stabilisci se addizione e moltiplicazione sono interne nell’insieme dei multipli di 3.
1
iK l Siano a e b due numeri naturali e * l’operazione definita da: a * b — lab + a —3b.
93• 39: 273: 81 =
35
H] 9
[c] 27
[
d]
a. Calcola 3 * 4 e 4 * 3. Vale la proprietà com mutativa?
Solo una delle seguenti espressioni non ha valore 0. Quale? TEST
S
(2° —4°)7 —03
[ b] (160+ 3°-20) 2—8°-4
[ d] (5° • 5 —l ) 2—24
WM Q INVALSI 2006 Nell’insieme dei numeri natura li, quale delle seguenti espressioni corrisponde a un quadrato perfetto? S
32-23-52
[ b] 32-22-53
b. Trova un controesempio che dimostri che l’o perazione * non è interna in N. [a) 15, 19, no; b) 0 * 1]
ITI [(1- 3 ° ) 0]2
IH
AL VOLO Esegui nel modo più rapido possibile le seguenti operazioni e indica quali proprietà utilizzi.
[c] 32-43-52
a. 20-18-5
0
b. 1 3 7 + 1 1 1 + 9 + 5 + 63
33'4 3'5 2
c. 275 : 25 K B Q TEST II precedente di 4a + 1 è: I a I 4a + 2.
I c 1 3a+ \ .
ITI 4 (a —1) + 1.
|T] 4a.
d. (144 + 32+ 16): (8- 12) IH
Indica quali proprietà delle operazioni per mettono di giustificare le seguenti affermazioni.
INVALSI 2013 Se n è un numero naturale, allo ra il numero n ■{n + 2):
a. Raddoppiare un numero naturale tre volte
[~À1 è sempre dispari,
b. Sommare il triplo di un numero naturale al
Q
n
equivale a moltiplicare il numero per 8. suo doppio equivale a moltiplicare il numero per 5.
è sempre pari.
I~c] è dispari se « è pari, n
è dispari se n è dispari.
INVALSI 2011
IT I 0
L’espressione IO37 + IO38 è
anche uguale a Scrivi i seguenti numeri in ordine crescente. B
H
2075
[ b] IO7
[ c] 11 IO37
QD IO37 38
87; 45; 163; 2562; 644. IH
B
99; 2437; 275; 814; 332.
36
Trova il numero naturale n tale che 330 - 328 - 327 = «327.
[23]
MENU DELLE COMPETENZE ©
H I Trova il numero naturale n che rende vera la seguente uguaglianza: (3” • 92)3 = 274.
Nella seconda pagina della copertina
INVALSI 2007 La somma di tre numeri naturali consecutivi è... PÀI mai divisibile per 3.
[0]
ITTI sempre divisibile per 3. TEST Per quale valore di n E N , se esiste, si verifica che 32+" = (32)"?
I~c1 divisibile per 3 solo se il primo dei tre numeri è pari. [~d~1 divisibile per 3 solo se il primo dei tre numeri è dispari.
i l 'l Q
[ a] n = 1.
T I n = 0.
\J] n = 2.
[T] Nessun valore di n.
| Quanti sono i numeri di tre cifre divisibili sia per 9 che per 10? [10]
K ll Considera il numero 12 □ 5, dove □ indica una cifra incognita. Stabilisci quali cifre è possibile mettere al posto del quadrato affinché il numero sia divisibile per: a. 3;
b.
9;
c. 5;
d.
10;
e. 11;
g l
| Trova il valore di n tale per cui il numero (253•45) : (23• 5") risulti divisibile per 100 ma non per 1000. [4]
f. 33.
[a) 1, 4, 7; b) 1; c) tutte; d) nessuna; e) 6; f) nessuna] COMPLETA
le seguenti uguaglianze.
23 ■2 ^ -25 = 29; (55• 52) : 5 ^ —56; g l
(255:1__I5) : 52 = 125;
E9Q
(113 ■114) : 11^ = 117; (163 : l ó 4 164 = 165.
264 • (132 • 2U) = 266;
(554 :1__I4) : 111—1= 11;
(62-32■1__!2) J 361= 36".
VERO O FALSO? oc
in
ii
(162)2 : (24 • 2°) = 84
c. (IO2)5 : (23 • 53) = IO4 TEST
Stabilisci se la somma IO1+ IO2 + IO3 + ... + IO9 è divisibile per 9.
0 0
d.
( 172 • 22)2 : 342 = 1
0 0
0 0
e. 2512 : (5 ■55) 2 = 52
0 E
0 0
(n E N) g l P 5” : 52 =
B l Q 23+ 23 = H
24
\J] 26
[c] 29
0D] 1
g l P 63: 23 = H
43
\J] 27
|T] 36
Cd] 3
82
s n~2
i n 5n+2
[ b]
5":2
m
5"2
m
32 ” •20
m
62 "
P P ( 3 2-2)« = H
Ì 7 i p 52 + 32 = H
H
QT] 225
[c] 34
Cd] 84
32" ■2”
\J \ 32 "-2 n
v E B a H a S Calcola il valore delle seguenti espressioni. g l
{[(43—42) : 2 —3 • 7] : 3}:5+ 3 - 5 —{[(22) 3]1}2 : (42-43)
[12]
O
22 • 32 • 52 : (123: 63+ 2)2+ (1° + 2° —3° + 4° —5°)
[10]
g l
(63• 65• 28) : (35•45: 124)53+ [(70) 3]5 • (32 • 2° : 3)
[4]
in
[(153: 33)2 • 26] : [(50)4 • 5]|6 —3 • (22 • 5)
[4] 37
1
NUMERI NATURALI
E l
(83: 43 ■25) : (24) 2 + (43• 23)4 : (4 • 43)3—22 • (25) 2
[1]
Bffl
[(36 : 32)3: 22] • [(36 : 22) 3: 3] : 144 —144 : (7° + 52 —32 —2°)
[18]
KE1 (618: 65: 63: 65) • [1220 : 128 : (123)4] : [32 • 24 + (42) 3• (23+ 2° - 32)3]
[54]
Bffl [21: 7 •4 —(23—22) 0 + 26 •22:13 —(6 —22—9 : 32)] : [6 •4 —24 + (32 : 25)4]
[2]
E j
13 - 3 • [81: 33+ (3 • 22- 32)3+ 3] : (25 - 24 + 2) - 2 ■{23- [6 + (52 - 32 - 42) 5] + 3 • 6} : 10
[0]
E j
[16° + 52 — (33—5)] • [2 ■23— (40 : 22 — 3)] — (23+ 22 + 21+ 2°) : (3 • 2°)
[31]
|9
[(23—l ) 2 + (42 —1) : (32 + 6)] —(36:2 —32) + {[92 —(24 —3) —(62 —2)] : 17} • [(43—4) : (120 : 4)]
[36]
E3
{[(72 : 8)7- (32)3]2 : [(75 : 5)10: 255]3}2- (162 : 92) : (95) 2
[2]
E i
{[(62 + 82 + IO2) : (32 + 42 + 52)]3 —2 • 3 • 4} : 23+ (32 • 42 —22 • 52): 11
[9]
E |
{[ 172 —(152 + 82)]4 + 84 : 45 + (34 : 32 —l 2) 2} : [(25—52) 2 —82 : 2]
[4]
E lQ
VERO 0 FALSO?
a. Il mcm di due numeri divisibili per 10 è divisibile per 5. b. Il MCD di due numeri dispari può essere pari. c. mcm(4; 5) = MCD(60; 100). d. Il MCD di due numeri primi tra loro è un numero primo.
[~v H~ f 1
[v]|T] BEH] [v]|T]
Dopo aver determinato MCD e mcm, calcola il valore delle seguenti espressioni. P I
{[mcm(18; 24; 144)] : [MCD(12; 48; 60)]2}9 —MCD(3; 5; 44)
[0]
P I
[MCD(22; 24; 28)] • [mcm(2; 8; 32)] : [MCD(24; 32; 36)]3
[1]
►C om petenza 3 (abilità 1, 2)
Traduci le seguenti frasi in simboli e poi calcola il valore delle espressioni ottenute. P I
Somma al doppio del quadrato di 4 il prodotto fra 3 e il suo successivo.
[44]
H I
Eleva al quadrato la differenza tra il prodotto di 2, 3 e 5 e il cubo di 3.
[9]
m i
Dividi per 13 la differenza tra il quadrato di 20 e il quadrato di 19.
[3]
P I
Moltiplica per il successivo di 5 la differenza tra il doppio di 7 e il prodotto fra 3 e 4.
[12]
H I
Dividi
peril cubo di 3 il quadrato della somma tra il quadrato di 5 e
2.
[27]
m i
Sottrai
a 6il doppio della differenza tra il quadrato di 7 e il prodotto
tra 8 e 6.
m i Somma al doppio prodotto di a e b la metà di a; a = 12, b = 2.
[4] [54]
m i
Dividi
peril quadrato di 4 il prodotto tra il quadrato di a e il doppio
del cubo di b;a =4,b =2.
HH
Dividi
il cubo del quadrato di a per il quadruplo di b e aumenta di 5
il risultato ottenuto;a — 2, b — 8. [7]
m i A quale potenza di 16 equivale il cubo del cubo del doppio di 8?
[16]
[9]
m i Determina la metà del quoziente tra il quadrato del cubo del quadruplo di 256 e il cubo del cubo di 64. [32] 38
MENU DELLE COMPETENZE
Problemi
Nella seconda pagina della copertina
F'T'^ Matteo tiene molto all’ordine del desktop del suo computer. Si accorge che se dispone le icone in colonne da 8 ne avanza una, così come se le dispone in colonne da 5 o da 4. Quante icone ha come minimo sul desktop? [41]
intorno a noi
I f l l Tre amici vanno in pìcczo/ ccui. € 9,00 pizzeria per festeg x3 giare uno di loro bibita^ coi. € 9-,00 che ha vinto una xZ gara. Se due amici axpouv € 2,00 coperto end. € 2,00 decidono di offrire x3 la cena al festeggia sconto € 3,00 to e di ripartirsi equamente il conto riportato a fianco, quanto spendono a testa? [€
Q
20]
W?fM Rebecca vorrebbe comprare delle magliette che costano € 32 l’una. Se ha a disposizione € 136, quante ne riesce a comprare? Con i soldi che le rimangono riesce a comprare 2 paia di calzini uguali. Se in questo modo ha esaurito tutti i soldi a disposizione, quanto ha pagato un paio di calzini? [4 magliette; € 4] INVALSI 2011 Un bastoncino viene prima diviso a metà, poi ognuna delle due metà viene divisa di nuovo a metà, e così via.
g .tl Devo costruire dei segnaposto, quindi prendo un foglio e lo taglio in tre parti uguali. Divido nuovamente ogni parte in tre. Quante volte in totale devo ripetere l’operazione per ottenere 27 foglietti? [3]
primeo suddivisione seconda; suddivisione
gfrl Qual è il numero massimo di braccialetti identici che Martina può confezionare con le perline che ha a disposizione? [45]
Mostra l’operazione che ti permette di trovare il numero di pezzi dopo 10 suddivisioni. gV l Q TEST (201)3 equivale a: H
( 1 1 ) 10- E
( 1 0 0 1 0 ) 2.
m
( 1 1 ) 16.
QT| (2 3 )g .
Osserva le seguenti sequenze ordinate di numeri. Stabilisci la regola che li lega e scrivi i due termini successivi. g i i 0, 2,4,6, 8, 10, 12,... Giovanna va dal parrucchiere a fare la tinta ogni 8 settimane, a tagliare i capelli ogni 6 settimane, a fare la permanente ogni 84 giorni. Se oggi va dal parrucchiere a fare taglio, tinta e permanente, tra quanto farà di nuovo i tre trattamenti insieme? [24 settimane] gftl Gruppi di laboratorio La l a A e la l a B sono costituite rispettivamente da 28 e 30 studenti. Il professore di fisica decide di dividere gli studenti di ciascuna classe in gruppi, in modo che in entrambe le classi i gruppi siano formati dallo stesso numero di studenti. Da quanti studenti sarà costituito al massimo ciascun gruppo? Quanti studenti dovrebbero esserci in meno in l a A per costituire gruppi di 6 ragazzi ciascuno? [2; 4]
H I
1 ,3 ,5 ,7 ,9 ,1 1 ,1 3 ,...
g l
0 ,4 ,8 ,1 2 ,1 6 ,2 0 ,2 4 ,...
gl gl gl gl gl gl
10,20,30,40,50,60,70,... 66,63,60,57,54,51,... 2 ,4 ,8 ,1 6 ,3 2 ,6 4 ,... 0 ,2 ,6 ,1 4 ,3 0 ,6 2 ,... 1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,1 3 ,... 1 ,2 ,2 ,4 ,8 ,3 2 ,...
■rii Sia n un numero naturale. Stabilisci se è possibile determinare il valore della seguente espressione senza conoscere n. (8 + 2« —3)23:{[(5 + 2n)2]2}2 39
1
NUMERI NATURALI
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE TUTgR
PROVAA (10 esercizi)
PROVA B (10 esercizi)
© IN MEZZ’ORA
H 3 5 M 3 ►Com petenze 1. 3
© IN UN’ORA
VERO 0 FALSO?
a. Un numero è divisibile per 21 se è divisibile per 3 o per 7.
E H
b. I multipli di 8 minori di 50 divisibili per 3 sono tre.
E H
c. In una divisione in N , il quoziente è sempre minore ouguale al dividendo.
E E
d. Nessun multiplo di 2 è un numero primo.
E E
Semplifica le seguenti espressioni. D
(12 - 2 • 5) : {[6 + 33 • (7 - 5) - 72] - (3 • 6 - 23)} + 3 • (45 : 9 - 4)
Q
[(22)2 • 24] : (23) 2 + (33) 2 : [(34) 3 : (35) 2]2
E f l Traduci la seguente frase in espressione e calcolane il valore: «Sottrai al prodotto tra il quadrato di 2 e il quadrato di 3 il rapporto tra 45 e la differenza tra 12 e la sua quarta parte». K 3 Determina MCD e mcm dei seguenti gruppi di numeri: a. 4, 25, 33; E I
b. 15, 60, 225.
Scrivi in base dieci i numeri (230)4, (230)5, (230)8. Scrivi poi in base 5 il numero che in base dieci è 230.
PROVA D ►Com petenze 1, 3
© IN UN’ORA
Indica se le seguenti afferma zioni sono vere o false, giustificando le risposte. 88 è: VERO 0 FALSO?
a. la quarta potenza di 48.
E E
b. il quadrato di 212.
E E
c. il cubo di 44.
E E
d. il prodotto fra i quadrati di 16 e di 256. E E e. il quadruplo di 222.
E E
f. il quoziente fra 166 e 4.
E E
D
Scrivi i seguenti numeri in ordine crescente. (92)2;
Q
3 ■272; 95;
162;
182.
Dolcetti pasquali Maria decide di regalare per Pasqua ai suoi amici dei sacchettini di dolciu mi. Compra quindi 100 ovetti al latte, 120 fon denti e 60 torroncini. Qual è il numero massi mo di confezioni uguali che può preparare uti lizzando tutti i dolcetti? Quanti dolcetti ci sono in ogni sacchetto?
WtM Semplifica la seguente espressione. [(92)5: 310 : 93—7 • 3] : 3 : 2 + 183: 93—3 ■[(24)0]8 B
Traduci la seguente frase in espressione simboli ca e poi calcolane il valore per a = 1 e b = 3: «Somma ad a il quadrato del precedente del dop pio di b». 40
a. Scrivi (31)4 in base dieci. Scrivi poi in base 4 il numero che in base dieci è 31. b. Calcola (211)3+ (2012)3 e (120)3• (21)3.
MENU DELLE COMPETENZE
O
Nella seconda pagina della copertina
©
PROVA E ►Com petenze 1, 3
i l
IN UN’ORA
Pasta in più Pongo su una bilancia digitale un recipiente che contiene della pasta e leggo 320 g sul display. Poiché all’improvviso arrivano degli amici, aggiungo della pasta in modo da quadruplicarne la quantità e leggo 740 g. Quanto pesa il recipiente? Risolvi il problema scrivendo un’espressione e semplifi candola. Dati in salvo Tre amici decidono di configurare il loro computer personale in modo che esegua automati camente il backup dei dati. Anna sceglie di salvare i dati ogni settimana, Barbara ogni quattro giorni, Andrea ogni due settimane. Se il primo salvataggio automatico avviene per tutti venerdì 9 agosto, in quale giorno si verificherà di nuovo l’evento? In quale giorno avverrà il primo salvataggio per Andrea e Anna ma non per Barbara?
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INVALSI 2011
Cifre coperte In ciascuna delle seguenti operazioni una delle cifre è coperta.
1. 50 ■ X 22 =
2. 98 X 8 ▼=
3. 143 ▲X 4 =
4. 3 X 25 ♦ 3 =
Rispondi alle domande che seguono mettendo una crocetta per ogni riga.
D
1
2
3
4
a. Quale delle operazioni dà il risultato maggiore?
□
□
□
□
b. Quale delle operazioni dà il risultato minore?
□
□
□
□
c. Quale delle operazioni dà come risultato un numero dispari?
□
□
□
□
Traduci la seguente frase in simboli e calcola il valore dell’espressione ottenuta. «Dividi il cubo del quadrato di 2 per la somma tra il quadrato di 3 e 7.»
PROVA F ►Com petenze 1, 3
© IN UN’ORA
Luci natalizie Un albero di Natale è addobbato con tre file di luci intermittenti, i cui tempi di accensione/spegnimento sono indicati a lato. a. Se le luci partono accendendosi insieme, dopo p ia , A: clccmO;p w 3 s / spenta/pes 5 s quanti secondi si riaccenderanno insieme? pila/ B: &cceAfop w 2 s / spenta. pen 2 s b. Tra la prima accensione comune e la successiva, p ia / C: axxeAa.pen 4 s / spenta. per 2 s quanti intervalli di buio ci sono? Di che durata? c. Se le luci partono in modo che la B si accenda dopo che si è spenta la A e la C dopo che si è spenta la B, sarà possibile che a un certo pun to si riaccendano tutte insieme? Dopo quanto tempo?
41
2
NUMERI INTERI
1. DEFINIZIONI
© Esercizi a pagina 50
fpn Two num bers that have thè same “ m agnitude, d iffe re n t from zero, preceded one by a + sign and one by a - sign, are opposite numbers.
Per ogni numero naturale diverso da zero, consideriamo due numeri relativi, ottenuti dal numero considerato facendolo precedere dal segno + e dal segno —.
Chiamiamo numeri interi i numeri così ottenuti, uniti al numero zero, che non ha segno. Indichiamo con Z il loro insieme. Un numero intero è positivo se ha segno +, negativo se ha segno —. Indichiamo con Z + l’insieme degli interi positivi, con Z _ quello degli interi negativi, con Z q quello degli interi non negativi, cioè i positivi e zero. Diciamo opposti i numeri con segno diverso ottenuti dallo stesso numero naturale. ►+21 e —21 sono opposti.
d isco rd i e opposti /
\
-9
d iscordi / \
-7
Due interi diversi da zero sono concordi se hanno lo stesso segno, discordi se hanno segno diverso.
+9
+12
concordi
/
+8
\ +6
Creiamo una corrispondenza che associ a ogni numero naturale uno e un solo numero intero non negativo e viceversa, cioè una corrispondenza biunivoca fra N e ZJ, facendo corrispondere 0 a 0,1 a + l , 2 a + 2 , 3 a + 3 e così via. Nell’insieme dei numeri interi, i due simboli, con e senza segno, indicano lo stesso numero. ►12 indica sia il numero naturale 12, sia l’intero +12. Chiamiamo valore assoluto o modulo di un numero intero:
se a positivo o zero
• il numero stesso, se è positivo o è zero; • l’opposto del numero, se è negativo. Indichiamo il valore assoluto di a con | a \. Di solito, scriviamo il risultato del valore assoluto senza segno +, servendoci della corrispondenza creata con i numeri naturali. ►I + 5 1= 5,
U2
I 0 I = 0,
I —16 I = 16.
se a negativo
1. DEFINIZIONI
TEORIA
L’insieme Z è ordinato mediante la seguente relazione.
• 0 è maggiore di ogni intero negativo e minore di ogni intero positivo.
0 > —5
• Ogni intero negativo è minore di ogni intero positivo.
- 1 < +2
0 < +9 ESEMPIO
DEFINIZIONE
Relazione d’ordine
►
• Il minore di due interi positivi è quello con il valore assoluto minore.
+ 3 < +7
• Il minore di due interi negativi è quello con il valore assoluto maggiore.
-8
perché 3 < 7
< —6 .
perché 8 > 6
È possibile rappresentare Z su una retta orientata: • fissiamo l’origine, corrispondente a 0, e l’unità di misura; • associamo +1, +2, +3, ... ai punti che distano dall’origine 1, 2, 3, ... unità verso destra; • associamo —1, —2, —3, ... ai punti che distano dall’origine 1, 2, 3, ... unità verso sinistra.
—i---------- 1----------- 1-----------1-----------1-----------1-----------1-----------1-----------1-----------1-----------1-------► -5
-A
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5
L’insieme Z è un insieme: • discreto perché fra due interi c’è un numero finito di interi; • infinito perché ogni intero è seguito da un intero (il suo . . i , . ... . . successivo) e preceduto da un intero (il suo precedente).
[ri] The set of inte9ers is discrete, because between any two integers there is always a finite number of integers, and it is infinite. because every integer has a successor and a precedent.
ESERCIZI PER COMINCIARE O
Scrivi tre numeri interi, uno positivo e due negativi, in modo che due di essi siano opposti. Per ognuno, scrivi il precedente e il successivo. Indica se fra i numeri ottenuti ci sono numeri opposti.
WM
Ordina e rappresenta sulla retta orientata: —2;
+4;
—5;
+7;
+3;
—6.
Scrivi, se esistono, i numeri interi che sono contemporaneamente: a. maggiori di —2 e minori di +4; b. maggiori di —7 e minori di —3; c. maggiori di | —7 1e minori di —3; d. maggiori di —1 e minori di | —5 1; e. maggiori di +1 e minori di | —2 |.
E f l Scrivi tutti i numeri interi a che hanno valore assoluto minore o uguale a 3, ossia: I al < 3 .
43
2
NUMERI INTERI
2. ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
The sum of two integers with thè “ same sign is an integer with absolute value that is thè sum of thè addends' absolute values, and their
%
DEFINIZIONI E PROPRIETÀ ©
Esercizi a pagina 52
same sign.
Addizione 3*5
La somma di due interi concordi è un intero che ha:
z o
M Z LiLU o
• segno uguale a quello degli addendi; • valore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti dei due numeri.
(—3) + (—5) = —8 ^
ESEMPIO
LU
9+12 ^ (+9) + (+ 12) = + 21
The sum of two integers with different signs is an integer with absolute value that is thè difference of thè addends’ absolute values (thè larger minus thè smaller), and thè sign of thè addend whose absolute value is larger.
La somma di due interi discordi è un intero che ha:
7“3 - \ ( - 7) + (+ 3) = —4 1____________ *
• segno uguale a quello dell’addendo con valore assoluto maggiore; • valore assoluto uguale alla differenza tra il valore assoluto maggiore e quello minore.
ESEMPIO
perché 7 > 3
( - 4 ) + (+ 9) = + 5 1_____ * perché 9 > k
Possiamo scrivere le addizioni sottintendendo le parentesi e il segno +. ►( - 8 ) + ( - 6 ) = - 8 - 6 = - 1 4 ;
(-1 5 ) + (+7) = - 1 5 + 7 = - 8 .
In Z l’operazione di addizione è interna: la somma di due numeri interi è sempre un numero intero. Inoltre: • esiste l’elemento neutro, che è lo zero; un numero \
• valgono le proprietà commutativa e associativa.
a + (—a) = 0 Va E Z
La somma di un numero intero e del suo opposto è zero, cioè l’elemento neutro. Questa proprietà si indica anche dicendo che per ogni intero esiste il simmetrico. ►(+ 7) + (—7) = 0
Q
il suo oppos /
The difference of two integers is thè sum of thè first plus thè opposite of thè second.
LU
Z o M
Z Li. LU o
La differenza di due interi è la somma del minuendo con l’opposto del sottraendo:
a —b = a + ( — b).
( —
12) —(—3)
=
( —
12) + (+ 3)
—
►
( + 9 ) - ( + 4 ) = (+9) + ( - 4 ) = + 5
La definizione dice che le sottrazioni si trasformano in addizioni. Per un calcolo più rapido, eliminiamo le parentesi e cambiamo il segno del sottraendo. Uk
=
9
ESEMPIO
Sottrazione
2. ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
►( - 5 ) - ( + 8 ) = - 5 - 8 = - 1 3 ;
TEORIA
(+3) - ( - 7 ) = + 3 + 7 = + 10.
Poiché la sottrazione si trasforma in addizione, in Z possiamo considerare addizione e sottrazione come una stessa operazione, l’addizione algebrica, e chiamare somma algebrica il suo risultato. In Z l’operazione di sottrazione è interna, mentre non lo è in N: infatti, le sottrazioni che non sono possibili in N hanno invece sempre risultato in Z. ►8 —14 = (+ 8) —(+ 14) = (+ 8) + ( - 14) =
6.
In Z la sottrazione gode della proprietà invariantiva, come in N.
ESPRESSIONI O
Esercizi a pagina 56
Esaminiamo con un esempio come procedere per semplificare un’espressione con addizioni e sottrazioni tra interi.
O QX LU C O LU
5 - { 3 - [ 4 + ( - 2 - 7 ) ] } + [ 8 - ( 5 - 9 ) ] - c- 7) — \ eliminiamo le parentesi tonde svolgendo * i calcoli relativi 5 - { 3 - [ 4 - 9 ] } + [8 + 4] + 7 = ^ eliminiamo le parentesi quadre 5 —[3 + 5} + 12 + 7 =
^ eliminiamo le parentesi graffe
5-8+12 + 7 =
^ sommiamo algebricamente
+ 16
ESERCIZI PER COMINCIARE COMPLETA
WM
a. (—3) + (—4) =1— I;
d. (j—
b. ( + 4) + (I— I) = 0;
e. (I—J) —( + 8 ) = —3;
h. (—6) —d— I) = —6;
c. ( - 1 2 ) - ( L I ) = - 2 4 ;
f. (—4) —(I— I) = + 9;
i. (I— I) —(—15) = 0.
J) + (—2) = + 3;
g. (—6) —(— 1) =1— I;
COMPLETA
a
b
c
-2
+3
-1 0
-1
0
+4
a —b + c
a —(b + c)
c + (a —b)
+9 -1
-2
c —(b —a)
+2
-3
-6
M
le seguenti addizioni algebriche:
+5
+5 +7
I yTTffTTTTTff^ Semplifica la seguente espressione: 28 - ( - 15) - { - (+ 2 - 6) - [ - 12 - ( - 19 + 13) - 4] + 54} - ( - 47 + 25 - 8).
45
2
NUMERI INTERI
3. MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE DEFINIZIONI E PROPRIETÀ
The product of two integers is an integer that is positive if thè factors have thè same sign and negative if thè factors have different signs. Its absolute valile is equal to thè product of thè absolute values of thè factors.
O Esercizi a pagina 57
Moltiplicazione Il prodotto di due interi è un intero che ha:
•concordi 7 •2
• valore assoluto uguale al prodotto dei valori assoluti dei fattori.
La regola dei segni della definizione si può esprimere anche mediante una tabella a doppia entrata. Usiamo la regola dei segni in qualche esempio. ►(+ 2) (+5) = + 1 0 ;
(+ 4) • (—1) = —4;
ESEMPIO
( - 3 H - 5) = + 1 5
• segno positivo se i fattori sono concordi, segno negativo se sono discordi;
REGOLA DEI SEGNI
( - 7 ) ■( - 8 ) = + 56
Il segno di moltiplicazione • può essere sottinteso. ►( - 6 ) ( - 8 ) = ( - 6 ) ( - 8 ) = + 48 In Z l’operazione di moltiplicazione è interna. Inoltre: • esistono Yelemento neutro, che è +1, e Yelemento assorbente, che è 0; • valgono le proprietà commutativa e associativa e la proprietà distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione, e vale la legge di annullamento del prodotto. Nel prodotto di più fattori il segno è:
0 è elemento assorbente
/ 0 ■( - 5) = ( - 5) ■0 = 0 legge di annullamento del prodotto /
a - b = 0 se e solo se a= 0 o b= 0
• positivo se il numero di fattori negativi è pari; • negativo se il numero di fattori negativi è dispari. Questo perché possiamo raggruppare a coppie i fattori negativi e ogni coppia fornisce un segno +. ►4 fattori negativi: (—1) (—2) (+ 3) (—2) (—1) = + 1 2 pari
\ /
prodotto positivo
\ /
5 fattori negativi: (—1) (—2) (—3) (—2) (—1) = —12 — prodotto negativo dispari
\ /
\ / un numero
Moltiplicando un numero intero qualsiasi, diverso da zero, per —1, otteniamo il suo opposto. ►(+ 13) (—1) = —13; 46
(—6) (—1) = + 6.
/ a ■(—1) ——a / il suo opposto
3. MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE
TEORIA
Un segno —davanti a una parentesi può essere considerato come la moltiplicazione per —1. Possiamo allora eliminare le parentesi cambiando il segno degli addendi che esse contengono. [pn The quotient of two integers, when it exists, is ►- ( + 3 - 5 + 7) = ( - 1) ( + 3 - 5 + 7) = - 3 + 5 - 7 = - 5 an integer with a positive sign if thè terms have thè sarne sign or with a negative sign if thè terms have different signs. Its absolute value is equal to thè quotient of thè absolute values of thè terms.
proprietà distributiva
Divisione
21:3
Il quoziente di due interi, con il divisore diverso da 0, se esiste, è un intero che ha:
( t 2 1 ):( t 3) = + 7
• segno positivo se divisore e dividendo sono concordi, segno negativo se sono discordi;
-concordi
48:6
• valore assoluto uguale al quoziente dei valori assoluti del dividendo e del divisore.
(t 4 8 ) : ( + 6 ) = - 8
l
-discordi
In
Z
!
l’operazione di divisione non è interna.
►(+ 5) : (—3) non ha risultato in Anche in
Z
perché 5 non è multiplo di 3.
Z,
la divisione gode delle proprietà invariantiva e distributiva a destra.
ESPRESSIONI ©
Esercizi a pagina 59
Esaminiamo un esempio di semplificazione di un’espressione con moltiplicazioni e divisioni tra interi. (+ 3) • {(+ 2) • [(—24) : (—6) —(+ 72) : (—9)]} —[(—5) • ( - 6 ) - (+ 3) • ( -4 )] = (+ 3) • {(+ 2) • [+ 4 —(—8)]} - [+ 30 - ( - 12)] = (+ 3) ■{(+ 2) - (+ 1 2 )} -(+ 4 2 ) = (+ 3) ( + 2 4 ) - ( + 4 2 ) =
") moltiplicazioni e divisioni * nelle parentesi quadre \ sottrazioni nelle parentesi quadre \ moltiplicazione nelle parentesi graffe ^ moltiplicazione
(+ 72) —(+ 42) = + 30
ESERCIZI PER COMINCIARE il
COMPLETA
le seguenti moltiplicazioni e divisioni.
a. (—5) • (—8)
=1_ I;
b.
(L I)
■(+9) = - 6 3 ;
c. ( - 2 6 ) : (-1 3 )
= L ;
d.
(L )
•(- 7) = 0;
e. d— I) (—3) = —9; f. (+ 72) : ( U ) = + 24; g. ( U ) : ( - 5 ) = + l ; h. ( - 7 ) : ( U ) = - 1 ; i. ( U ) : ( - 3) = 0. Moltiplicazione e divisione di numeri interi Dopo aver guardato il video che ti proponiamo, spiega, con tuoi esempi, perché nel prodotto e nel quoziente di interi il segno deve essere definito con la regola data. In particolare, spiega p erché----- = + . n
u
r n
n
Semplifica la seguente espressione:
[(- 1) ■(+ 6) • ( - 14) + (—! ! ) • ( + 4)] : [(+ 12) : ( - 3)] - [ ( - 4) • ( - 36) - 24] : ( - 15). LI
2
NUMERI INTERI
4. POTENZA
rn
The power of an integer is an integer whose sign is negative only if thè base is a negative integer and thè exponent is odd, and whose absolute value is thè valile of thè power with thè same exponent and base thè integer’s absolute value.
DEFINIZIONE E PROPRIETÀ © Esercizi a pagina 60
( - 5 ) 3= - 5 3= -1 2 5
La potenza di un intero è un intero che ha: • segno negativo solo se la base è negativa e l’esponente è dispari;
esponente dispari
( - 7 ) 2 = + 72= + 49
• valore assoluto uguale alla potenza con stesso esponente del valore assoluto della base.
esponente pari
(+ 2)5 = + 25 = + 32 \ /
segno positivo
Dalle definizioni date in
N
e dalla definizione precedente deriva che:
• a0 = +1, con a / 0; • 0° non è definita;
La definizione è stata data in modo che, nel caso di esponente maggiore di 1, anche in Z la potenza possa essere considerata una moltiplicazione ripetuta di fattori uguali alla base. ►5 fetori: ( - 2)5 = ( - 2) ■( - 2) ■( - 2) • ( - 2) ■( - 2) = - 2 5 = - 3 2 ^
dispari
\
/
\
/
4jattori: ( - 2)4 = ( - 2) • ( - 2) • ( - 2) • ( - 2) = + 24 = + 1 6 Pari \ / \ /
PROPRIETÀ DELLE POTENZE In
Z,
come in
N,
© Esercizi a pagina 62
valgono le cinque proprietà delle potenze.
Semplifichiamo un’espressione applicando le proprietà delle potenze.
/ 1. am a" = am+n 2. am:an = am~n con m > n , a # 0 3. (an,)n = am n 4. a" ■bn = {a b)n 5. an:bn = (a :b )n con b ^ 0 e |n| multiplo di \b\
( - 6)3 • ( - 6)2 : ( - 3)5+ (+ 2)8 : (+ 2)6 • 32 - (22)3 =
\ 1a, 2a e 3a proprietà delle potenze
( - 6)5 : (—3)5 + (+ 2)2 • 32 —26 =
^ 4a e 5a proprietà delle potenze
(+ 2 )5+ (+ 6)2—26 =
^ definizione di potenza
+ 32 + 3 6 - 6 4 = +4
48
proprietà delle potenze
4. POTENZA
ESPRESSIONI CON LE POTENZE ©
TEORIA
Esercizi a pagina 64
Semplifichiamo un’espressione con tutte le operazioni tra interi. ( - 4)1• ( - 2)3- (+ 18) : ( - 3)2+ ( - 5)4 : ( - 7)° - (+ 3)4 • ( - 2)2 =
^ potenze
( - 4) ■( - 8) - (+ 18) : (+ 9) + (+ 625) : 1 - (+ 81) • (+ 4) =
^ moltiplicazioni e divisioni
+ 3 2 - 2 + 6 2 5 -3 2 4 =
^ addizioni algebriche
+ 331
Z È UN AMPLIAMENTO D IN Riassumiamo alcune proprietà viste nei paragrafi precedenti. • Fra
Zq
e N c’è una corrispondenza biunivoca.
• I numeri in corrispondenza sono ordinati allo stesso modo e le operazioni in Z sono state definite in modo da «conservare» i risultati ottenuti in N . ► 5 > 3
6+
1 1 +5> +3
1 1 1 (+ 6) + (+ 2) = + 8
• Le proprietà delle operazioni valide in • Rispetto a
N,
4 •
2 = 8
in
Z
►
7 = 28^
1 1 1 (+ 4) (+7) = + 28/ / N
restano valide in
i risultati in N conservano la loro validità se consideriamo i corrispondenti in Z$
Z.
c’è un’operazione in più che è interna: la sottrazione.
3 — 5 1 1 (+ 3) —(+ 5) = —2
non ha risultato in
N ;
ha risultato in Z.
I punti precedenti si riassumono dicendo che Z è un ampliamento di N.
ESERCIZI PER COMINCIARE MM
COMPLETA
quando possibile le seguenti potenze. A volte le soluzioni sono due.
a. ( - 3 ) 3 = U ;
c. (I I)4 = + 16;
e. (+ 4 - 12 + 33)° = l_ l;
g. ( - 2 + 6 - 4 ) ° = U ;
b. (j I)1= + 7;
d. (—2)6 = (I I);
f.
h. ( - 1 - 2 + 2 + 1)° = l_l.
l)5 = + l ;
WM Q B B T 1 Potenze di numeri interi Dopo aver guardato il video, spiega il perché della regola del segno data nella definizione di potenza con esempi tuoi. Semplifica le seguenti espressioni. H Q E J I ! ! 3 H a { ( - 5 ) M - 3 ) M ( 4 - 6 M - 3 - 8 ) ^ 5 M ^ 4 M + 2 ) - ( - 2 ) 3+ 3] + ( - 2 H 3 | : ( - 2 ) 2
M!II!WM!U (- 2 )3- ( - 2)3 (- 2 )<:(—2)5 —[(+ 2)4 (- 2)7]
D
□
2‘)]5
H
□ «!II!W M !U [ - ( - 9)2 • ( - 27)2 ■( - 81)3] : {[(- 3)4] 2 • [(- 135)7 : (+ 15)7]} 49
NUMERI INTERI
ESERCIZI 1. DEFINIZIONI M
FAI UN ESEMPIO
G Teoria a pagina U2
Scrivi una coppia di numeri interi:
a. opposti;
b. concordi;
WM Considera un numero a
G
Z. È possibile che:
a. —a > a 7. E lQ
c. discordi.
b. 2a < a ?
c. a > | —a | ?
vero o falso ?
a. Due numeri interi con lo stesso valore assoluto sono opposti.
r a s
b. Esiste un numero finito di interi con valore assoluto minore di 6.
0 B
c. Ogni numero intero ha un precedente.
r a s
d. Tra due numeri interi, il maggiore è quello che ha valore assoluto maggiore.
0 0
WM
VERO 0 FALSO?
a. 7 = | —7 1
EG EI
b. —6 > —5 COMPLETA
n
c. | —6 1> | —5 1
[ v] [ f]
e. - 7 > - 1 0
d. + 7 > —10
[v]DE]
f. | —7 1> | —10
inserendo per ogni numero n
+3
-5
+ 90
-1 2
00 00
Z Topposto —n e il valore assoluto | n |.
G
0
-1
—n n F - J È vero che due numeri interi, di cui uno è il successivo dell’altro, sono sempre concordi? WM Qual è il maggiore tra due numeri concordi negativi? È vero che il triplo di un numero intero è sempre maggiore del numero stesso? Dati i numeri a, b, c, d appartenenti a Z, con a > b, quale tra le seguenti coppie di valori di ce d rende sicuramente vera la disuguaglianza a + c > b + d ì
J
TEST
[ a] c — l, d — 3.
Q[] c = - l , d = - 3 .
[c] c = —1, d — l.
l l l l a. Quanti sono i numeri interi che hanno valore assoluto minore di 5? b. Quanti sono quelli che hanno valore assoluto maggiore di 5?
ili Scrivi il successivo di ognuno dei seguenti numeri. —7
50
—1
+3
~9
fa
—A/ + 2
06] c = - 2 , d = - 1 .
1. DEFINIZIONI
ESERCIZI
BKi Scrivi il precedente di ognuno dei seguenti numeri. -2
-5
0
+8
2Hs
(V + 4
FAI UN ESEMPIO
BEI Scrivi due numeri discordi che abbiano valori assoluti differenti tra loro e minori di 3. BEI Scrivi due numeri interi con valore assoluto maggiore di 3 e minore di 7. i valore assoluto maggiore di 5: a.
—a < 5
00
d.
b.
a < —4
00 00
c. a > 5 COMPLETA
H
I —4 11 I + 4
g. —a > a
E E
e. | —a | < | —5 1
E E
h.
—a > 0
E E
f. I- a l > 5
0 E
i. 2a < a
c. —| —5 11 I —4
e. —| + 4 11__11- 4
d .-8
f. | —7 11__11—4 |
a. | — 1 2 11__ I —| — 1 1
C.
b. I 8 —I —3 111__ 11 —5 1
d.
CHECKER
ja
E H
E E
in se re n d o u n o d ei s im b o li < , = , > .
a. +40 I 11 —391 b.
a < —6
l_ l-4 5 11__I —9
e. - 4 + 3 l _ l 4 - | —3 |
I 27 —9 11__11 —2 - 32 |
f. | —6 11__1—| —| 7 -“ 2
Semplifica le seguenti espressioni.
| —2 1+| —3 1;
| —8 1—| 3 —11.
_
4• 3 1—| —23 1-1-5*!;
I - 2 P - I - ■212.
Trova i valori di a G Z, se esistono, che verificano le uguaglianze. a | = 8;
—| a \ = 3.
a + 2 1= 5;
11—2u I = 9.
Scrivi tutti i numeri interi a G a.
I a I < 6;
a —3 = 4 ; a
Z
+ 2 = 0;
\ a - l| = 1. — 4 —a + 4 = 0.
tali che: b.
| a < 2;
c. 3 < | a \ < 7. ; +42; —8; —5; 0; +1; +9.
Disponi in ordine crescente i seguenti numeri: —12, +45, + 4 , —200, —14, +79, —80. Disponi sulla retta orientata i seguenti numeri: + 4 , —8 , - 5 , 0, + 3 , —3 ,+ 8 . 3
Rappresenta sulla retta orientata gli opposti dei numeri dell’esercizio precedente.
3
Rappresenta sulla retta orientata: —10; +6; —2; —7; +9; —3.
51
2
NUMERI INTERI
INFORMAGRAFICA
H ll Associa a ciascun punto evidenziato sulla retta orientata il numero corrispondente. ----------------1------- 1------- 1—
•—
• -------1------- 1--------1—
»
i--------1—
m
0
2
i------- 1—
»
i--------1--------1------- 1
m—
i— ►
te i! Osserva il seguente diagramma, in cui sono inseriti i numeri interi a, b, c, d : c
a
b
d
----------------------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 -------------- 1-------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 -------------- 1 ------------ 1 —
►
0 a. Qual è il minimo tra i quattro numeri? , ~ , i.o b. Qual e il mimmo in valore assoluto?
e. Assegna il valore corretto ai numeri a, b, c,
d, supponendo che la distanza tra due tacche rr consecutive valga 1. r „ . . . , f. Quanti sono ì numeri naturali n tali che: a < n < dì
c. Qual è il massimo dei quattro? n d. Qual è il massimo in valore assoluto?
CHI HARAGIONE? Barbara: «Ho trovato due numeri interi x e y tali che x > y e | x | < | y | ». Cristina: «Non è diffìcile: ce ne sono infiniti!». A cosa sta pensando Cristina?
EH
EUREKA! Il passo dell’incerto Pierino deve salire una scalinata composta da più di 1000 gradini. Sale saltando due gradini alla volta (cioè facendo i gradini tre a tre), partendo dalla base della scala (dunque il primo gradino della scala su cui mette piede è il numero 3), ma quando mette il piede su un gradino pari scende di uno per poi continuare la sua salita. Toccherà il gradino numero 699? [Kangourou Italia, 2010]
2. ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DEFINIZIONI E PROPRIETÀ G E lQ
Teoria a pagina UU
p w exmtp+o: +2 + 5 = +7 - 2 - 5 = -7
+ 2 - 5 = -3 -2 + 5= +3
VERO 0 FALSO? a. Il valore assoluto della somma di due numeri interi è uguale alla somma dei valori assoluti.
[V] E
b. La differenza di due numeri concordi dipende dal loro ordine.
[v]|T |
c. La differenza di due numeri discordi è sempre negativa.
E
d. Se la somma di due numeri interi
[V] E
è
positiva, allora i due numeri sono entrambi positivi.
e. Sottraendo da un numero diverso da zero il suo opposto, si ottiene il suo doppio.
E
E
ITI
E £ ] Q VERO 0 FALSO?
b. 5 —| —3 1= + 2
0 0
6
c. - 8 + ( - 7 ) = - l
E H
f. —| —5 1+ 15 | = 0
E B
Q ASSOCIA l’operazione al risultato corretto.
52
ta ta
+ II
d. 13 + (— ! ) - ( + 1) = + 13 i-H
0 0
1 CD +^
a. (—3) —(—3) = —6
a. ( - 3 ) - ( + 4 )
b. ( - 3 ) - ( - 4 )
c. (+ 3) —(+ 4)
d. (+ 3) —(—4)
1. +1
2. +7
3. - 7
4. - 1
2. ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
E 9
ESERCIZI
COMPLETA
a
+1
-3
-5
+8
b
-5
+3
-5
-9
0 +4
-7 0
-8 -1 3
a+b a —b a
b
COMPLETA
P I
P I
a. ( - 5 ) + 4-------\)= + 7
a. (I____ | ) - ( - 8 ) = + 3
b. ( - l ) - d -------- J) = 0
b. (+ 10) + (I____I) = —2
c. (+ 32) + (I____ I) —0
c. (+ 12) —(!------J ) - ( - 6 ) = + 4
d. (I____ I) - ( - 7) = + 1 4
d. ( - 4 ) + (|___ J)—(—15) = —3
e. (I____ I) + (+ 4) = + l
e. (I____ I)—(+ 7) + (—2) —+ 2
Efll a. Quante sono le coppie di numeri interi concordi la cui somma è uguale a +10? b. Quante sono le coppie di numeri discordi la cui somma è +10? E l Q
M
VERO 0 FALSO?
a. ( - 2) - ( - 5) + ( - 1) ——2 + 5 - 1
H IT ]
c. - a - ( - a) = 0
ra ta
b. L’opposto dell’opposto del numero a è a.
[v] [T]
d. | (—8) —(—5) | = 3
0 0
Q
INVALSI 2005
Quale delle seguenti operazioni dà sempre come risultato un numero positivo?
I~À1 La somma di due numeri negativi. IH La differenza tra due numeri positivi. H
La differenza tra un numero negativo e uno positivo.
H
La differenza tra un numero positivo e un numero negativo.
Due numeri a e b sono tali che | a | = 4 e | b | = 7. Calcola i possibili valori di a + b, a — b,
b.
COMPLETA i seguenti quadrati magici. Un quadrato è magico se si ottiene lo stesso risultato quando si sommano i numeri di ciascuna riga o di ciascuna colonna o di ciascuna diagonale.
-7 -5
-6
-1 0
53
2
NUMERI INTERI
151
COMPLETA
a
b
c
-4
+9
-3
+2
(a + b) — c
+7 -1
-6
a — (b — c)
c —a + b
-1 1
+5
+9
-2
-4
EUREKA! Uno meno l’altro In una sequenza di 2011 numeri, il primo è 1 e il secondo è 0; ogni altro termine è uguale alla differenza dei due termini precedenti: il terzo termine è il secondo meno il primo, il quarto è il terzo meno il secondo e così via. Quanto vale l’ultimo termine della sequenza?
Q
E
-2 0 1 0
[U - i
S o
[E i
E
201 1
[Giochi di Archimede, 2011] KV1Q
YOU &MATHS
Problemi
Matching lines Match each sum in line 1 with an equal sum in line 2.
Line 1
3 + (—20)
-2 1 + 2 6
( - 14) + ( - 14)
1 + 13
Line 2
32 + (—18)
-4 2 + 1 4
13 + ( - 8 )
—15 + ( —2)
intorno a noi
M ll Un autobus parte vuoto dal capolinea. A ogni fermata successiva sale e scende il numero di persone indica to in figura. Quante persone sono rimaste sull’autobus, escluso l’autista, dopo la quinta fermata?
H I La temperatura massima di Mercurio raggiunge i 427 °C. Sapendo che sul pianeta la temperatura può varia re di circa 600 °C, quale temperatura minima può raggiungere? Hftl Posiziono su una bilancia digitale un recipiente contenente mezzo kg di pasta. Azzero la bilancia e aggiungo poi pasta fino a leggere sul display 250 g; rimuovo il recipiente e leggo sul display —1303 g. Quanto pesa il recipiente? HKB Un alpinista si trova a una quota di 1500 metri sul livello del mare e sceglie di imboccare un sentiero che, per i primi 2 km, aumenta la sua quota di 850 metri. Percorre poi i successivi 3 km in piano, senza variazio ni di quota, e i seguenti 5 km su un sentiero che, inizialmente, scende di 300 metri di quota, poi risale di 450 metri e infine scende di altri 230 metri. A quale quota si trova l’alpinista alla fine del sentiero? Quanti kilometri di sentiero ha percorso? [2270 m sul livello del mare; 10 km] U tl Più freddo, meno freddo In questi giorni la temperatura varia notevolmente di giorno in giorno. Lunedì il termometro segnava —7 °C. Martedì la temperatura è aumentata di 11 °C. Mercoledì è diminuita di 7 °C. Gio vedì è aumentata di 8 °C. Qual è la temperatura di venerdì se, rispetto a giovedì, è calata di 10 °C? H il Una sbarra di rame, per effetto di variazioni di temperatura, si dilata di 2 mm e poi si contrae di 3 mm. Quanto vale la differenza tra la lunghezza finale e quella iniziale della sbarra? 54
2. ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
EUREKA! Nel 2050 Un aspirapolvere robot può essere comandato a distanza per pulire una scala. È sufficiente premere ogni volta un singolo pulsante, che funziona nel modo seguente: premendo la prima volta, il robot sale un gradino; premendo la seconda volta, il robot sale di due gradini e poi scende di 1; pre mendo la terza volta, sale di 3 gradini e poi scende di 2 e così via. Se all’inizio il robot si trova ai piedi della scala (gradino 0), su quale gradino si trova dopo che il pulsante è stato premuto 10 volte? [gradino 10]
ESERCIZI
MATEMATICA INTORNO A NOI
Tanti calendari Noi usiamo il calendario ma ne esisto no molti altri...
fa
g regoriano,
m.
1 1
r
I segni zodiacali dell'oroscopo cinese.
| ►Problema e risoluzione.
UVJ Ieri con € 68 in tasca ho acquistato l’abbonamento mensile per l’autobus, per € 36. Poi ho incontrato un mio amico, che mi ha restituito € 17 che gli avevo prestato. Successivamente, ho comprato dei guanti a € 12 e un berretto a € 7. Infine, facendo la spesa al supermarket dove avrei dovuto pagare € 26, con la carta fedeltà ho ottenuto uno sconto di € 4. Quanti euro mi sono rimasti? Descrivi la risoluzione del problema mediante un’espressione. [€ 8] 111 Gioco dell’oca Luca e Giulia stanno giocando al gioco dell’oca e Giulia è in vantaggio di 7 caselle rispetto a Luca. Al turno successivo Luca avanza di 5 caselle mentre Giulia, dopo essere avanzata di 2 caselle, è costretta a retrocede re di 8. Dove si trova ora Giulia rispetto a Luca? [—4, cioè 4 caselle indietro]
J
YOU &MATHS
Julie’s bank account Julie opened a bank account on thè 19th of May and she recorded her withdrawals and deposits, but she did not check her account for a week and received a notice on thè 27th of May from thè bank saying she had overdrawn her account. Date
Purpose
Payment
May 19th
Initial deposit
May 24th
Hair cut
$45
May 24th
Book shop
$73
May 26th
Sushi dinner
$24
Deposit $100
a. When did Julie overdraw her account? b. How much does Julie need to deposit to reach a positive balance again? m
u
INVALSI 2006 Sulla cima del Monte Amiata il 5 aprile del 2004, alle ore 6:00, è stata registrata una tempera tura di 5 gradi sotto lo zero; alle ore 13:00 la temperatura era salita di 10 gradi; la misurazione delle ore 21:00 registrava una diminuzione di 12 gradi rispetto alle ore 13:00. Quale delle seguenti espressioni esprime corret tamente la temperatura alle 21:00?
E
( - 5) + (+ 10) + ( - 12)
E (-5)+(-10)-(- 12)
E
( - 5 ) - ( + 1 0 ) + (-1 2 )
E (-5)+(-10)+(+12) 55
2
NUMERI INTERI
MATEMATICA E GIOCHI
LABORATORIO
Una questione di posizione Osserva la seguente rappresentazione della celebre successione di Fibonacci.
«
1
m
, 2
* u
j x
I primi termini della successione sono 1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21,... (rappresentano il numero di c o p p i e di conigli all’inizio di ogni mese). Ogni termine (a partire dal terzo) è la somma dei due che lo precedono. Detto in altro modo: il termine an (con n > 3) viene calcolato in base alla regola an = an- x+ a„-2, dopo aver posto
ax= 1, a2 = 1. a. Qual è il decimo termine della successione di Fibonacci? b. Considera ora la successione così individuata: b x = 4, b2 = 2 , bn = b„-1 — bn- 2- Quanto vale fr10? c. Quanto vale b 2014? ► Risoluzione.
►2 esercizi in più.
Un ascensore parte dal secondo piano, sale di tre piani, scende di due e poi di altri quattro, infine sale di due piani. A che piano è arrivato?
fili Q
INVALSI 2003
I~À~1 Al piano terra. |~b 1
de] Al secondo.
Al primo.
[T] Al quarto.
Qj] Al terzo.
EUREKA! I l m ete o s e ttim a n a le La seguente tabella riporta, giorno per giorno, le variazioni della tempe ratura nel corso di una settimana di un dato luogo rispetto al giorno precedente, alla stessa ora.
Lu
Ma
Me
Gi
Ve
Sa
Do
+ 3 °C
—2 °C
0 °C
+ 4 °C
+ 1 °C
—3 °C
- 1 °C
Sapendo che la temperatura nell’ultimo giorno registrato (domenica) è stata di 22 °C, qual è stata la tem peratura del secondo giorno (martedì)? È possibile che la temperatura nella domenica che ha preceduto il primo giorno registrato sia stata di 19 °C? [21 °C; no, è stata di 20 °C]
ESPRESSIONI G CHECKER
Teoria a pagina 45
Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e sottrazioni.
—(25 —5) + 7 —2 —(—10) —(+ 1)
p □
ESEMPIO DIGITALE
{16 - [7 + ( - 4) + 3] + ( - 2)} - ( - 3) + [7 - ( - 5 + 2)]
+ 1 8 - (24 + 7) + [ ( - 12) + ( - 5)] + 41 - ( - 8)
56
[ - 6]
[+ 19 ]
3. MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE
ESERCIZI
IH
[2 - ( - 3) - (+ 1)] - [51 - 62 - ( - 7)] + [1 - 35 - ( - 15) + 8 - ( - 3)]
IH
+5 —3 —{2 —[15 + (—3) —(—7) + 1] —(37 —13) —(12 —50)}
[+ 6]
+ 5 -{ [7 3 -2 9 + (-5 2 )]+ 6 + (-3 )}
[+10]
R i
{ 2 5 -[1 8 -(-4 )]+ 3 7 -[1 1 + (-2 )]} -1 7 + 4 - ( - 5 )
[+ 23]
R I
-(-5 6 ) + 1 2 -{ -(3 -9 )-[-6 -(1 8 -2 5 )-9 ]+ 3 3 } -(7 2 -8 5 -3 )
[+ 37]
M I Q YOU&maths
[0]
W hich are true? Identify thè equalities that are trae.
a. 166 + ( - 117) = 1 6 6 - 117
Ul WJEI
d.
166 - (5 + 13) = 166 - 5 + 13
\T\U l\
b. 300 —(—92) = 300 + 92
[T|[T]
e. - 3 6 - [ - ( 5 - 3 ) ] = - 3 8
[T][T]
c. 421 - ( 1 7 + 43) = 421 - 1 7 -4 3
\T \{T \
f. 96 - [ - ( - 2 + 3)] = 96 + 1
|T|[T]
3. MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE DEFINIZIONI E PROPRIETÀ G
per Riempie: (+2) ■(+2) =
Teoria a pagina 46
( - 2 ) ■( - 3 ) = +e 0
vero
0 FALSO? Considera a e Z e b e Z.
a. Se a b = 0, allora a : b = 0.
d. Se a = 2 e | b = 6, allora ab = 12.
ta ta
b. Se a : b = 0, allora ab = 0.
ra ta
e. Se a • b = 1, allora a = 1 e b = 1.
ta ta
c. Se ab > 0, allora a : b > 0.
s ta
f. Se a = 8 e a : b = 4, allora b = 2.
ta ta
AL VOLO
E l
( S ) : ( + 4 ) = -2 (+ * ):(-* ) = -2
Calcola, quando è possibile.
EZ9 (-7+16): (+8-10 + 2);
(—5):(—7 + 3 + 4); 0 : (—3 + 5 —2);
[+ 15 : ( - 1) + ( - 3) ( - 5)] : [( - 8) : ( - 6 + 2)];
0 : (—3 + 8);
[ - 2 4 - ( - 4 ) (-2 ) (-3 )]: (-7 ).
0 : [(+ 15) : (—3) + 1]. COMPLETA
E3
m
a. ( - 2 ) •d------- J) = —16;
c. d____ I) •(+ 12) = - 4 8 ;
e. ( + 7)-(i ____ J) = —91;
b. d------J) (+ 15) = + 45;
d. (—4) - (l____ J) = 0;
f. (I____ I) ( + 3 - 8 ) = 75.
a. d------J) : (—6) = + 12;
c. ( - 7 ) : 4------- J) = —7;
e. d------- J) :(—5) = —5;
d. [ ( - 8 4 ) :( - 4)]:d___ J) = - 3 ,
f. ( -5 1 - 3 ) : (I____ I) = + 6.
b. ( L R lH
J) : ( - 8) = 0;
VERO O FALSO?
a* | —x | '| y \ = —| xy |*
0 E
b. Il prodotto di due numeri interi discordi è minore di ciascuno dei due.
[V] |T]
c. —(—a) : (—a) = —1,
|~v~H~f~1
Va e Z.
d. Se il quoziente di due numeri è positivo, allora è positivo anche il quoziente degli opposti.
[v]|T]
e. Se due numeri sono discordi, il loro prodotto è negativo e la loro somma è positiva.
[V] [T] 57
2
NUMERI INTERI Q
Se a + b > 0 e ab < 0, quale delle seguenti affermazioni è vera?
INVALSI 2007
[ a]
a e b sono entrambi positivi.
fin a eh sono entrambi negativi. He] a e b hanno segno diverso, e quello positivo è il più piccolo in valore assoluto. [ d] a e b hanno segno diverso, e quello positivo è il più grande in valore assoluto. COMPLETA
a
b
c
a (-c )
a :b
+4
-9
(~ a ) c
+3
-1 6
+4
-3 2
-9
FAI UN ESEMPIO
+2
+ 36 -2
-1 5
(~ a ) :b
+ 72
+6
-9
-3
Scrivi due numeri interi che hanno:
a. prodotto negativo e somma positiva;
b. prodotto positivo e somma positiva;
c. prodotto negativo e somma negativa.
Determina due numeri interi che hanno prodotto +36 e somma —20. Hftl Trova due numeri interi che hanno prodotto —12 e somma —4. EUREKA! Prodotto nascosto La somma di due numeri interi a e b è + 8. Se al quadruplo del prodotto dei due numeri aggiungiamo 1, otteniamo +49. Trova a e b. [+ 2; + 6]
l i t i Se il prodotto di due numeri a e b è —24, calcola quanto vale il prodotto: a. del triplo di a per l’opposto di b; b. dell’opposto di a con il doppio dell’opposto di b.
[a) +72; b) -48]
l'K i La somma di tre numeri interi a, b, c, con a < b < c, è + 48, il doppio di c è +60, mentre la divisione di b per a dà come risultato —4. Trova i tre numeri. [-6 ; +24; +30] Determina i tre numeri interi che soddisfano tutte le seguenti condizioni. co- b ■o = 0
ce: o = -3
0:2
=
2
[—12; —3; 4]
Se il quoziente di due numeri interi è —1, quanto valgono la somma, la differenza e il prodotto dei due numeri? J EUREKA! Un altro Gauss? Il piccolo Giangauss legge sul suo libro di latino «XV = 15»; allora si chiede: «Quante sono le coppie ordinate distinte (X, V) di numeri interi (eventualmente negativi), il cui prodotto è uguale a 15?» ((2, 1) e (—1, 2) sono, ad esempio, due coppie ordinate distinte di numeri interi). Qual è la risposta corretta? H i
UJ 2
0 4
[5] 6
\J] 8 [Giochi di Archimede, 2011]
58
3. MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE
iiH
COMPLETA
a
b
-1 8
-3
2a ( - b)
(-« ):*
-7
-9
ESPRESSIONI O p i
(a -* ):(-D
+ 288
+ 36
CHECKER
a : ( - 2) b
+6
-2 4
a
ESERCIZI
Teoria a pagina 47
Semplifica le seguenti espressioni.
[(-3 2 ): (-1 6 )] [(+12): (-6 )]
O
[—2(—3) (—4) (+ 6)] : [(—12) (+ 3)]
- 9 [ ( - 6 ) : ( -3 )] ( - ! ) ( + 2)
P
[(- 100): (+25)]: [(+84): (-2 1 )]
P
[(+ 2 5 ): ( - 5 ) ] - [ - ( - 3 ) ] : ( - 5 )
P I
[(+8) ( - 3 ) (+4)]: ( - 6 )
P I
[(+ 4)(—4) (—3)] : [(—8) (+ 3)]
P
[(+50) ( - 6 ) ] : [(-1 5 ) (+4)]
COMPLETA
(t l l
inserendo una volta sola i numeri - 2 , - 3 , —4.
1) - ri- - - - -
b r i- - - - -
1) - ( - 5)] : d------- 1 )} = - 5
COMPLETA
a
b
c
+ 12
-2
-3
-2 5
-3
-7 2
-4
ab — c
(—a) : c + b
+ 70 + 544 -3
-6 CHECKER
(a — b ) c
-1
Semplifica le seguenti espressioni con le quattro operazioni.
P I
[(- 21) : ( - 7)] ( - 3) + [(+ 2) ( - 5) (+ 4)] : ( - 10)
[-5]
P I
[(+ 30) ( - 2) ( - 3) + (+ 4) ( - 5)] : [(+ 5) ( - 8)]
[-4]
ipUE
a .m r m
{k - 22) <- 6)] : (+ 3)} : k - 2) ( - 2)] + <+ 26) : ( - 13)
P I
[(- 12) (+ 3) + ( - 6) (+ 4)] : (+ 10) - ( - 220) : (+ 22)
[+ 4]
PS
1+ 5 -(3 -2 )+ ( 7 - 4 - 8 ) + 2 -(-1 -4 )
[-9]
P I
3 • (6 - 10 + 1) - 4 • (4 + 3 - 5) - 4 • ( - 12 + 3 + 8)
P J
71 - [53 - ( - 7)] + {3 • (18 - 15) + 5 • [2 • ( - 7 + 5)]}
ITÌ73
—48 + [(—2)(—19)] + { [ 1 5 - ( - 8 ) ] + 7- [ ( - 6 ) + 2-2]}
[-13] [0 ]
[ - 1]
59
2
NUMERI INTERI
ITTI
—[24 —(—3)] — [12 + 3 (18 —2 8) —25] —4 : {(—8) — [2 • (—3)]}
[-18]
D B □ B S B E B B B g a -2 1 : ( - 3) + ( - 12) : (+ 6) - ( - l) ( - 6) - ( - 40) : 8 - (+ 4) : ( - 2)
£P
[+ 5 • (—7 + 4 —1) —8 : (—2)] : (1 —5) —(—1)
[+ 5]
P
(2 - 7) - 3 -h (3 -h 9) : 2 - [4 - 2 -h 5 : ( - 1)]
[-12]
P
( - 2)[13 + ( - 8) - ( - 7)] : (+ 3) - [(2 - 23) : ( - 7)] ( - 2 )
P
1 - [25 - ( - 3) ( - 5) + ( - 2) (+ 4)] [(- 6) ( - 7) + 5 ( - 8) - ( - 6)]
P
[4- 12 —7 (2 + 3 —5)]: (—8) + [—15 : ( - 3 ) + 8 • ( - 2 ) - (7+ 1 —4)] : ( - 3 )
[-1]
P
1 ( - 8 ) :[ - 1 0 + 4 -(+ 12): ( + 6 ) - 4 + 7 ( + 2 - 1 1 : 1 1 ) ] - { - [ - ( - 1 ) ] }
[-7]
DB
[(—9)| —121(+ 4)] : [| —6 1(—8)] + | —7 1(—5)
ng
{[| 1 —8 |(+ 3) (+ 4)] : | + 211—23 -| + 2 1}: (+ 7 -| —3 1) —| + 8 —| —1111
[-5]
DO
{[14 : 2 —3 • (4 —1)] (8 —15 + 3) —[42 : (—19 —1 + 14) —(25 : 5 —2 • 8)]} : (—2)
[-2]
[-2] [-15]
[-26]
H O - 6 : ( - 2 ) [ - ( - 3 ) ] - { [ + 5 (+2) —10]: ( + 4 —12) —2 (+- 15) : ( - 6 ) + ( - 8 + 7 - 14 + 20)} : ( - 5 )
[+11]
no
+7 + [—10 + 4 • (—1) : (+ 2) (—3)] —7 (+ 2) : (+ 7) —{+ 2 • [(—5 + 7) : ( - 2) (+ 4)- 1]- 6}
[+17]
P
{[35 : ( - 5) + ( - 49) : ( - 7)] + [28 : ( - 4) - ( - 21) : ( - 3)]} : ( - 7) ( - 2) - [(17 - 2): ( - 3)]
EO
{(12 - 15) : ( - 3) [ - 5 - ( - 5)] - 14 + 17 : ( - 15 - 2) ( - 10 - 4)} : {- [ - ( - 2)] - ( - 1) ( - 3)}
m
{[1 —28 : (—7)] —[1 —15 : (+ 5)] + [1 —(—45) : (—5)] + [1 + 63 : (—9)]} : (—7) + (—3){—[—(—5)(—2)]} [-29]
4. POTENZA DEFINIZIONE E PROPRIETÀ G
per esemplo:
(+2/ = +16 ( + Z f = +8
Teoria a pagina 48
( - 3 / = +8 ( - 3f = -27
Indica il segno delle seguenti potenze. P
( - 3)9, ( - 6)6, (+ 4)15, ( - 9)81, (+ 12)7, ( - 5)20.
m U
P
- [ - ( - 8)]2, - IO8, - [ - ( - 7)3], - 112, - 7 7.
VERO 0 FALSO?
a. Una potenza con base negativa ed esponente pari è positiva.
r a s
b. Una potenza con base negativa ed esponente multiplo di 3 è negativa.
0 0
c. Il quadrato di un numero negativo non è mai negativo.
e
e
d. Il quadrato di un numero dispari è positivo.
e
e
e. Una potenza è negativa solo se la base è negativa e l’esponente è dispari. f. La somma di una potenza con il suo valore assoluto può risultare uguale a zero. m U
VERO 0 FALSO?
a. (—4)6 = —46
60
00 00
e
e
d. ( - 19)2 = 192
00 E H E
b. ( - 1 ) 7 = - 1
r a s
e. (—8) ■(—8) • (—8) • (—8) = —84
c. - I O 4 = - ( - IO)4
E H
f. -1 4 4 = ( - 12)2
E
U. POTENZA
E3U
ESERCIZI
ogni potenza al risultato corrispondente.
ASSOCIA
a. ( - 2 ) '
b. —2A
c.
d. ( - 2 ) 2
1. +4
2. +16
3. -1 6
4. - 4
Calcola le seguenti potenze. P
(—3)3; (+ 2)5; (—4)2; (+ 2)6; (- -5 )1.
P
02; (—l ) 2; (—2)23; 05; 5°; (—11)3°.
E1
(—l ) 17; —l 17; —(—l ) 17; —(—2) 3; - 2 3.
P
(—8 + 5)3 | —8 + 5 13; ( - 6 + 6)°; -6 ° ; ( - 6)°.
03
[ - ( - 2)2] 5 (1 —32)2; (—2 —3)3; (—16 : 8)2.
EEH ( - 5 ) 2; ( - 2 ) 4; ( - 2 ) 7; —(—3)2; ( -
03
le uguaglianze (a volte c’è più di una risposta possibile).
COMPLETA
a. ( - 2)5 = I____ I
c. d____ I)3 = -2 7
e. (I____ I)2 = + 64
b. - 5 ^ = - 2 5
d. —(—6)2 = I____ I
f. (—1)U = —1
COMPLETA
a. (L
le uguaglianze (a volte c’è più di una risposta possibile).
I)2 =+169
c.
b. d— _ J ) 3 = —8 AL VOLO
IM I
J ) 1 = -2 3
e. (1
d . ( L __ I)4 = + 1 6
f.
( L_
_ \) 2 = + 225
Determina il segno del risultato senza eseguire le operazioni.
a. (—3)5 • (—4)6 : (—2)
e. (+ 6)5—(—6)3+ (—6)2(—6)
b.
f. —
- 5 8- ( - 5 ) 4: [ - ( - 3)9]
[—(—8)5]} • {—[—(—5)]7}
c. (— 5)6■(— 7)3■(— IO)8
g. - | - 3 | 5+ ( - | - 4 | ) 3
d. ( - 9)3+ (—9)5+ (—9)7
h. [ - (—3)4(—4)3] • [(—7)2 : (—3)3(—2)5]
COMPLETA
a
la tabella, con a e Z e b e N. -2
+3
-1
b ab
5
-9
4
0 +1
( - a)b COMPLETA
-5
-7
-8
3
-3 2
-a b
ijf l'l
(L
n 1 o\ 4^
(EH
7)1.
-4 9 +1
inserendo i simboli =, 7+
—(—2)51____ I + 2 5
25(—72) I____ I —(—2)5• 72
- 124 • ( - 3 ) 2 1_____ 1124 • 3 2
( - 4 ) 6 : ( - 2 3) I_____ I - (46) : (23)
61
2
NUMERI INTERI
m
COMPLETA
a
IH!
quando è possibile, la tabella.
b
-1
0
0
0
-2
-3
+4
-2
-3
+3
u
EUREKA!
(—2)8 + (+ 2)8 = 0;
P
Ha] (—a)3 > 0 — a < 0
He] —(«)2 > 0 ^ « = 0
[][ ] ( —fl)2 > 0 - » a > 0
[ d] —(a3) < 0 — a > 0
CACCIA ALL'ERRORE
Q
[(- 3)5 : (+ 3)5+ 1]° = + 1 ;
[(—2)3]3 = + 26.
Tra cubi e quadrati Quale deduzione, con a E Z, è falsa7.
PROPRIETÀ DELLE POTENZE IB I
a3b
3bW
CACCIA ALL'ERRORE
- ( - 4 ) 3 . (-4 )2 = —45; m
«2 ( - b)3
«IH
Teoria a pagina 48
Trova l’errore quando c’è.
a. (—4)2 • 52 = + 202
c. —143• 23 = (—28)3
e. —(—2)20 : (—2)15 = + 25
b. (—8)3 : (—8)2 = + 8
d. —72(—5)2 = ( - 35)2
f.
VERO 0 FALSO?
( 43)2 —T 46
Considera a E Z .
a. a5• (—a )3 = a2
0H ]
c. —a4 a3 = (—«)'
rvUTI
e. ( - a 5) : [ ( - a ) 3] = a2 rvllTl
b . a2+ a3- a 5
HHEI
d. a7 - a4 —a3
l~v~l f~F~l
f. ( - a2) 3 = —a6
CHECKER
Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.
P
[(—5)2]3 : [(—5)3 : (—5)2] 4
P
( - 5 ) 2 (-5 )» • ( - 5)3 : ( - 5)4
P
(—6)4 : (—6)2 : (+ 3)2
P
[(+ 4)4 • ( - 3)4] 2 : ( - 2)8
IBI
(—3)4 ^(—3)3 : (—3)®
E]
[(—74)3 : (—7)5] : [(—7)7 : (—7)2]
P Q
U
S E i m
{[(- 2Y‘I V : ( ( - 2)7 ( - 2) 3• [ ( - 2)4]3}
{[(- 108)5 : (+ 12)3] • [(+ 36)3 : ( - 4)3]} : ( - 9)2 m
■9]
COMPLETA
62
m m
2 3) U
=( l __ I2)6
a. (—2)U •(—2)4 = (—2)11
d.
b. (—3)2 • (I__I)2 = 36
e. [(+ 5)1—I •(+ 5)2]3 = (+ 5)15
c. (-7)LI •(+ 7)3 =(l__l7)5
f. (—2)3+ (—2)4 = I__I
(-
U. POTENZA
ESERCIZI
Semplifichiamo, applicando le proprietà delle potenze. a. (—7)4- ( + 7 ) 2 = (+ 7)4■(+ 7)2 = (+ 7)4+2 = (+ 7)6 l-7)4= (+7h
prima proprietà delle potenze
b. (—2)9 • (+ 2)7 : (+ 2)4 = —(+ 2)9 • (+ 2)7 : (+ 2)4 = - ( + 2 ) 9+7~4 = - ( + 2 ) 12 = - 2 12 (-2)9=-(+2)9
prima e seconda proprietà delle potenze
P
[(—3)3]3 (+ 3)7 : [(+ 3)5] 3
[-3 ]
P
- ( + 8 ) 5 ( - 8 ) 3: [ ( - 8 ) 3 (+ 8 )4]
[-64]
P
—
[-8]
P
—[—(—4)a]3 ■[—(—4)3]5 : [—(—4)4]9
P
[(— IO)3 ■(+ IO)4]5 : [—(—IO)8]4 : (—IO)2
(—10]
P
{(+ 5)10 : [(—5)3] 3■[(+ 5)4 - (—5)6]}2 : (—5)20
1+ 25]
P
{[(—11)9- (+ 11)5] :[(—11)7 ■(+ 11)6]}6: [(+ 11)3- (
P
{[(IO)2]7 : [ (2)2 - (—5)2] 3] : [(100)3- (—IO)2]
7)4]2 : [(+ 7)2 ■(—7)2 • 72]
[-49]
11)2]
[+11] [-11
Scrivi le seguenti potenze in modo che abbiano tutte la stessa base. I p l ( - 64)2; (+ 32)5; ( - 4)7; (+ 8)8; ( - 16)5; (+ 4)6.
p i
(9)5; ( - 27)3; ( - 81)4; ( - 9)5; (+ 243)3.
Semplifichiamo la seguente espressione. ( - 128)2 (—4)3 : (— 8)5 : (+ 2)3 = ^
scriviamo le potenze in modo che abbiano la stessa base
( - 27)2• ( - 22)3 : ( - 23)5 : (+ 2)3 =
^
terza proprietà delle potenze
(+ 2)14 • [ - (+ 2)6] : ( - 2)15 : (+ 2)3 =
^
per la regola dei segni:
*
prima e seconda proprietà delle potenze
(+ 2)14• (+ 2)6 : (+ 2)15 : (+ 2)3 = (+ 2)2 = 4
D
CHECKER
Semplifica le seguenti espressioni.
P
(—512)3 : (64)4
[ - 8]
P I
(—5)3 • (—125)6 : (—25)9
P I
(343)2 : (—49) 2
[ + 49]
P I
[( - 4)5 • (—8)3] : [(+ 16)2 • ( - 2)5 • (+ 4)]
p i
( - 16)2 ( - 6 4 ) 2- ( - 256)3
[—422]
P I
[(—3) • (—81)2 • (+27)3] : [(+3)2 • (+27)2]2
P I
(—49)2 : {[(—7)3 • (+ 49)] : (+ 343)}
P I
{[(- 36)3]3 : [(- 3)5• (—2)5]3} : {(- 36)12 : [(+ 6)3] 2V°
[+ 1 2 5 ]
[ - 16] [- 9 ]
[- 4 9 ] [- 2 1 6 ]
63
2
NUMERI INTERI —{[(—121)4 : (+ 1331)2] : (— 11)2}5 + [(—25) • (—5)3 (+ 5)5] :[(—5)3-(+ 5)5] —[(—3)2] 5 : (H- 9)4
!P
E t ] [(—64) (—8)9 ■(+ 8)7] : [(—8)5 ■(+ 8)"] m D
( 4)5 : [(
2 )2]5
[-63]
Scrivendo e cancellando Marta ha scritto sulla lavagna un numero intero pari. Per 12 volte Marta sostituisce il numero scritto sulla lavagna con il suo quadrato aumentato di 5. Con quali cifre può terminare il numero che si trova scritto sulla lavagna alla fine dei calcoli di Marta? EUREKA!
I~a~1 0 oppure 4.
Ed] 4 oppure 6.
EEI 0, 4 oppure 6.
EEI Può terminare con una qualsiasi cifra pari.
I C | 0 oppure 6.
ESPRESSIONI CON LE POTENZE
[Giochi di Archimede, 2011]
© T e o ria a pagina 49
P
[(—23)2 • 25]2 : (—25) 4 + 25 : (—22) 2 + (—180)3 : (+ 45)3
P
{[(- 4)2] V : [(+ 2 )']3- ( - 8)3• ( - 2)3
P
[ ( - 7 ) 8- ( + 7 ) 3: ( + 7 ) 4] : [ ( +7) 6: ( + 7 ) 3 ( - 7 ) 4]
P
{[(- 3)2• (+ 3)3] 2 : [(+ 3)5 • (+ 3)3]} + [(24)8 : ( - 8)8] : [ ( - 3)3] 2
[+18]
P
24 —52 + {[(- 3)2]4 : [(+ 3)3]2} - {(- 2)5 : [ ( - 2)2]2}
[+ 2]
P
[(12)4 • (—12)3]3 : (—12)18 : (4) 3+ 222 • [(—2)3• (+ 2)] : (+ 2)6
[-31]
m
[(—20)3: 52 : (—2)3]2 : (—IO)2 —(—22) 2
P
{[180 : (—22)]3 : (—52) : (—3)4 —3°} : [—(—2)2]
P
[(- 21)2 : ( - 9)]2 : [ - ( - 7)3] - 492 : ( - 7)4
[+ 6]
P
{(—3)3•(+ 3)2■[(—3)3]2} : (—9)5
[+ 3]
P
[-58] [0] [+1]
[0] [-11]
□ B 5 B E E S H H S (43 - 82) 15 - {252 : [ ( - 2)2 + 2°]3 • [69 : (+ 23) 3 : ( - 34) 2]}
P
(—56) : [—252 : (—53)]3• (—l ) 13 —(—73) 2 : (—49)2
P
{[(452)3 : (—5)6 • (3)2] 2 : (—3) 25 + 62} : (—9)°
P
(32)4 • [(48—46) : (—23) 2] : [—53: 52 • 183]
[-216]
P
{—[43• (—4)3] 2} : ( 8)5 : (—2)
[-256]
P
{- [+ 18 : ( - 6)]2}3 : [ ( - 45) : ( - 5)]
[-81]
P
{[(—2)4 • (7)4]2 : (49)4}4 : {[(—16)2 : ( - 2)2]3• [ - 252 : ( - 5)4 + 37 : 35] 3}
[+ 32]
P
67 : {(—2)6 • [(+ 3)2] 3} : {(+ 3)5 : [(—3)2] 2} • (+ 2)3—(+ 4)2 —7°
P
[144 : (—42) : (—3)]4 ■(—2)5: 62' —{11 —[200 —132 —(—3)3] : (+ 2)}
[+16]
P
{[(- 56) : ( - 5)4 + ( - 5 ) ( - 22) - 5°] : [ ( - 3)4 : ( - 3)3]}3• [48 : ( - 2)4]
[+ 24]
P
□
[+ 9]
[-1]
tSSBSESBSS {2 • (32 —5) + [(15 — 1) : (—7)]3 —26 : [(—2)2 • 3 + 40]}2 —[(—52 —3 • 5) : (—2)3]
ffg
( - 3)3 • [(- 92)5 : ( - 332) : ( - 33) 2] : ( - 92') ■{[- (663 : 113)2]3 : [ ( - 62') ■(65) 2 • ( - 36)]}
P
[(- 27)4 : (92)3] 13- {(- 8)3 : ( - 4)4 + 812 : [2° + 25 : (22) 2]7}
64
[+ 76]
[-36] [0]
U. POTENZA
ESERCIZI
00
[—(2563: 323)2] : [—23' • (—2)3• (—22)2] • [(154: 54) • (—32) : 92]
[+ 36]
03
[(+ 16)3 : ( - 8)2 • (+ 4)2 : (+ 2)5 ■(+ 4)] : {(- 32)4 : [ ( - 4)3• ( - 8)4] • ( - 2)}
[+16]
E7ÌT1 {[(+ 243)5 : ( - 81)5] ■( - 3)} : {(- 3)6 : [ ( - 363)4 : (+ 121)4]} + 33' : ( - 32') - 310°
[+ 75]
FTÌT1 [32 - 33 + ( - 2)4]7 : ( - 2)4 + {73 ■( - 7)2 : [( - 4) + ( - 3)]4}n : {- 7° + ( - 3)2- 42 : [5 + ( - 3)]4}9
[+ 41]
03
[812:[315 :(32) 4]}6 :[- 92 ■(34) 2 :812] + [(44 - 26) :(- 24 ■3)] 3- {[72+ 49] :[29 :(22) 4•(- 7)]}
[-66]
00
[(—225)(+ 15)3(—3)2(+ 5)2] : [(—15)2] 3—[(—16)3( - 256)2(+ 512) ( - 8)4] : [ ( - 32)7(+ 4)3(+ 64)]
[-19]
00
{[(- 2)5■( - 7)5] : [(- 2)3■(+ 14)2 • (+ 7)3] - [(+ 36)2 • ( - 6)3] : (+ 216)2}12 : ( - 25)5
[-25]
00
[(+ 25)3(—5)2(—125)2] : [(+ 25)3( - 625)2] -
[+ 26]
00
{[(- 122+ IO2) : (—11) + 6 (—12 + 23) + (—18)3 : (9)3] : (—7) + [(2)4 :
03
{(—5)7 : (—5)3+ [—12 • (—2) —52]3 • [(—6)4 : (—2)4]} : 25 —[ - 14 + 6 (8 —3) + 2 ■(8 —17)]4
0 0
(—8) • {(23) 2 • (—2)7 : (4)5 —9 : [(—5) ■2 + 32] 3} + [(4)3 (3)3 : (— 12)2 + (5 • 2 + 4) : (—7) • 5]3
0 0
[(—363) 4 : (+ 122) 2 • (—43) 2 : (+ 34) 4] : [(+ 272) 2 • (— 183) 4 • ( - 24) 4 : (+ 32) 3 : (+ 273) 3] + ( - 2)2 • 3
IO • (IO)0 - [(+ 15)3 : (+ 3)2] : (+ 5)2}
(—2)3]5 + 25 (2 —30)}2 [+9]
[0] [+15]
Calcola il valore delle seguenti espressioni, dopo aver sostituito alle lettere i valori scritti a fianco. p D
B B D z a a ab — a2 + 2b(a + b) + 3b
M ll —2x + x2y —x(x — 3y) —5y
tv = + /
x = -4
j j l l a2 —lab —b2 — (a + b)(a —b) + ab3 jjfrl —ab[4a + b(3a2 — b2)] + lab — 3 (a3+ b) MM (x —2y)2 + x 2y : xy + 3x(x —y) + x3
b = -2
y =+7 a, = +3
[ - 9]
£ b = -1
j b = +5
tv = -3 x = -2
[ + 3] [+ 6]
y = -3
[0 ]
Traduci in espressioni simboliche e poi calcola il valore. m
Q u a s i Sottraendo il prodotto di —3 e del numero successivo a —3 alla metà della metà di —4, che numero si ottiene?
00
Dividi la differenza tra —8 e +10 per il quadrato di —3.
[-2]
0 3
Addiziona la differenza tra —5 e —7 al prodotto di —6 e +2 e poi sottrai il doppio di —3.
[-4]
FUI
Calcola la differenza tra il prodotto di —5 e —3 e il quoziente tra —110 e +22.
[+ 20]
Traduci in espressioni simboliche e poi calcola il loro valore dopo aver assegnato alle lettere i valori indicati. 0 3
Somma il prodotto di a e b alla differenza tra a e il triplo di b.
FUI Dividi a moltiplicato per 5 per la differenza tra a e b.
E01
tv = +20
tv = -70
b = +2
1 b = -5
Moltiplica il quadrato della differenza tra a e b per il loro doppio prodotto,
tv = -3
[+4] b = -1 f [+ 24]
ESERCIZI IN PIU 0 0
- 0 3 Q SU TUTTO IL CAPITOLO
65
NUMERI INTERI
ESERCIZI IN PIÙ NUMERI INTERI E OPERAZIONI e Teoria a pagina U2 ADDIZIONE E SOTTRAZIONE Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e sottrazioni. B0
( 1 0 - l l ) + ( + 8 - 7 ) - ( 7 - 13 + 2)
E3
+15 —(—5) —(—3 —3) —(1 + 7 + 8) —(+ 1 + 9)
P
- 2 1 + (1 - 9 + 1 3 - l ) - ( 2 + 8 - 1 2 - 8 )
E J
(9 - 1 - 9 +1) + 8 + 3 - (6 + 5 - 7) - (11 - 1 - 1 )
g0
—15 +{—15 + 8 —[4 + 7 —5 —(—7 —8 + 9 ) + 10] —2}
WkU
TEST
Se a E Z —{0}, quale delle seguenti disuguaglianze è sempre verificata?
|~a~] I—a \> —a
[¥] I—a | < 0
[c] —\—a \ > \ —a\
QT] I—a \ > —\a
INTORNO A NOI
M I Il capitale Sabrina apre un conto in banca con un primo versamento di 5600 euro e decide di farvi accre ditare lo stipendio mensile di 1800 euro e addebitare le rate del mutuo di 650 euro mensili. Dopo sei mesi preleva 3730 euro e dopo altri due mesi ne preleva 2710. Qual è il capitale depositato in banca dopo che sono state effettuate tutte le operazioni descritte? [8360 euro]
E33
La lumaca Una lumaca vuole risalire un pozzo profondo 10 m, ma poiché è piuttosto anziana avanza di 4 m ogni mezz’ora e poi fa una sosta di 30 minuti, scivolando all’indietro di 2 m. Quanto tempo impiega per arrivare in cima al pozzo? [3 ore e 30 minuti]
0
ra m
b. | —4 | < - 5
S E
c. Il successivo di —4 è —5.
m m
d. Il precedente di —1 è 0.
m m
EEElQ YOU &MATHS
Quale delle seguenti affermazioni è vera? [TI La somma di due numeri discordi è sempre negativa. [~B~| La somma di due numeri discordi è 0. |~cl La differenza tra due numeri opposti è 0. |~d~1 La somma di due numeri negativi è sempre negativa.
E £ D [ ] TEST
Mental arithmetic Start with thè following numbers. Add 4, subtract 9, add 11 and sub-
tract 14. Starting number
E16
a.
10
b.
25
c.
6
d.
5
Ending number
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
NUMERI INTERI
sau
I ESERCIZI IN PIÙ
YOU&MATHS Digging deeper Generalise thè calculations of thè previous exercise.
a. Write a simple rule that allows you to get from thè starting number to thè ending number. b. What would thè starting number be if thè ending number were 7?
MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE B0
COMPLETA ( - 5 ) ([____ I) (+ 4) = + 140; (
) •(— 2 )
(-6 )= -1 0 8 ;
(+ 3 ) ■(+ 8 ) ■(L
) = + 72;
( — 2 ) - 1— 5 1• (I
) = -6 0 .
Esempi e controesempi Dati due numeri interi a e b qualsiasi, stabilisci se le seguenti relazioni sono sempre vere. Costruisci degli esempi o dei controesempi per ciascuna relazione. EUREKA!
B9
a. \a + b\ = \a \ + \b\
EMI a. |a + fr| —| fr | < a
b. \a — b \< \a \ —\b\
b. | f l | - | ò | > | a - ò |
BB
( - 8 ) - 2 + [13 + 1 —6 - (7 —3)] : (—5) + (—7) •(—2)
[0]
P I
7 • 8 - ( - 7) • ( - 9) + [(2 + 12) : 7] : 2 + 6 ■7 - 5■6
[6]
P I
( 6 - 2 -2)(21 - 3 - 6 ) - [8 (2 + 4) - 6
(3 + 3)]
P I
6 4 :(8 -9 - 7 - 8 ) + ( 4 2 - 9 - 4 ) - 2 - 2 1 : 3
[72] [9]
P I
[7 + (4 - 5 —2 - 11) - (—9) — 1] : [9 ■(—4) : 3 :2 ]
[-4 ]
p i
{5 + (6 • 9 —5 • 12) + 2 ■[4 • (—9 : 3) —5]} : 7
[-5]
m Q
YOU&MATHS Prove it! Prove that thè following statements are true.
a. (5 + 3) (5 —3) = 5 • 5 —3 • 3
b. (4 + 5) (4 - 5) = 4 • 4 - 5 • 5
Which is thè generai rule that holds in this case? Trova due numeri interi che hanno somma 14 e prodotto —72. m Q
[+ 1 8 ;-4 ]
TEST Due numeri interi hanno il prodotto positivo e la somma negativa. I due numeri sono:
r~A~| concordi e positivi. |~b~] discordi e quello col valore assoluto maggiore è negativo. |~c] concordi e negativi. | b~| discordi e quello col valore assoluto minore è negativo. Uffl
EUREKA! Non può essere Dimostra che, dati due numeri interi a e b, con a < f r e | a | ^ l , s e a è u n divi
sore di b, allora a non può essere un divisore di b + 1.
Copyright © 2 0U Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
E17
2
NUMERI INTERI
POTENZA e Teoria a pagina 48 R7Ì CHECKER Semplifica le seguenti espressioni. E 3
| — 4 |3 • ( — 8 ) 3 • ( + 2 ) 3 : ( — 2 ) 9
g T Ì
[ ( | - l | - | - l | - | - l | 5 - | - l | 4) 2 - 8 ] 10: ( - 4 ) 8
gn
[(—5) • 2 —(—7) •| —2 p2 : (| —3 |2 —| 5 |2) 4- 1
[
16] [0]
FETI [(—23) 2 • (3)6 : (—6)6 —(+ 10 + 5 —3 • 22)]2 • (— 162) : ( + 4 ) 5
[ - 1]
EUREKA! Che potenza! L5espressione ((((— 1)")")”...)", dove n E N e l’elevamento alla n-esima poten
m Q
za è ripetuto k volte, vale: PÀI 1, qualunque siano n E N e k E N. H
1 se « è pari, —1 se n è dispari, qualunque sia fc e N .
fcl 1 se k è pari, —1 se k è dispari, qualunque sia « e N . |~d~1 —1, qualunque siano n E N e k E N.
Traduci in espressioni e poi calcola il valore. FEE1 Sottrai al cubo di —3 la somma dei quadrati di —2 e + 2 aumentata di 1. FETI Sottrai al quadrato della somma di 1 e 4 il quadrato della differenza tra —3 e 7, poi aggiungi al risultato il
cubo della somma tra —5 e 3.
mQ TEST
Considera l’espressione: «Sottrai al quadrato della differenza tra « e il doppio dell’opposto di m la somma del quadrato di 3m con il cubo del doppio di n». Quale valore si ottiene per n = —2 e m = + 5?
Ha] —145
[¥] - 9 7
[c] - 1 7
[5] 133
EUREKA! Meno per meno Posto che n E N, il risultato dell’operazione (—1)" • (—1)"+1:
|~a~1 non dipende dal valore di n E N. S
è i
se «
è
pari, —1 se n è dispari.
fcl è sempre positivo, qualunque sia n E N. |~b~l
non
è
calcolabile se
n =
0.
RIEPILOGO VERO 0 FALSO?
a. L’insieme Z è incluso nell’insieme N.
fflm
b. L’insieme Z è chiuso rispetto alla sottrazione.
s a
c. + 6 e —6 hanno lo stesso valore assoluto.
00 00
d. Se due numeri sono concordi, 0 è minore di entrambi. E18
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NUMERI INTERI
D
U
I ESERCIZI IN PIÙ
VERO 0 FALSO?
a. Tra due numeri interi negativi il minore è quello che ha valore assoluto minore.
H H
b. | —12 | —7 = + 1 2 —| —7 |
0 0
c. —52• (—5)2• [—(—5)]2- [—52] 3 = + 512
H E
d.
FETI
Se I a + 2 I = + 2, allora a = 0.
FAI UN ESEMPIO
H E
Giustifica le seguenti affermazioni aiutandoti con esempi. Dati due numeri interi a e b :
a. se a = b, allora an = bn per ogni numero naturale b.
quando n è dispari, se an = bn allora a = b;
c. quando EtiVl
ndiverso da 0;
EUREKA!
nè pari, se a” = b” allora
a | = | b |.
Operazione star Nell’insieme Z è definita l’operazione: a * b = —3ab + (a + b).
a. L’operazione * è interna in Z ? b.
Calcola (—2) * (—3), (—1) * (—4), [(+ 1) * (—2)] * (—5), 0 * (+ 2).
c. Vale la proprietà commutativa? d. È
mU
vero che, se a e b sono numeri interi negativi, allora anche a * b è un numero intero negativo?
TEST
II prodotto del quadrato del successivo di —7 per —6 è:
E (+ 6 4 )(-6 ). | b | +384. E S lG
TEST
E “ 63. | d | +216.
Solo una delle seguenti espressioni ha significato in Z ma
non in N . Quale?
H
(14 —2) : 6 —(17 —3) : 7
E
( 1 8 - 5 ) : 13
E
34 : (9 + 8) —2 - (5 —2)
E
[(23 - 7 + 9) : (11 - 8 + 2)]3
Trova i tre numeri successivi nelle sequenze indicate. W fl + 6 , + 2 , - 2 , - 6 , ...
00
- 2 1 , - 1 5 , - 1 0 , - 6 , ...
00
+5, - 1 0 ,+ 2 0 ,- 4 0 , ...
FEE1 Trova due numeri a e b la cui somma sia +12 e il cui prodotto sia —85.
[+ 17; - 5]
B0
{ ( - 7)° + ( - 5) ( - 7) — (—7 )2 + [ ( - 5)2] °} • { [ ( - 2 )2] 2} 3 : (242 : 32) : [ ( - 336) : ( - 7)] - ( - 42)
P I
[(63• 62) 3 : (—6 )13] 2• {[411 : (—43) 3] 2}° : {[(— 32) 4 : (— 3)7] 2• 2}2
[+4]
p i
{1024 : [(—2)3] 3} 4 • {[153• (— 15)3] 2 : (— 15)10} 2 : [ ( - 6) ( - IO2): ( - 2 0 ) ] 4
[+1]
P I
—36 : (—4) • (—11) —2 • [—(—3 —7) • (—8) —2 • (+ 5) (—2)3] —21 (—3)
[-36]
H ]
[ ( - 58) : ( - 2) - (+ 13) + ( - 4)] : ( - 3) + [2° - (15 : 3 )2] : ( - 2)3
P I
{— 5 + [2 • 3 + 12 (2 — 8 + 6)] : (14 — 3 • 4) + 36 : (2 ■32 —32 — 3)} • 4 • (3— 8 + 4)
p i
[(24 - 20) : 22 + 6 : ( - 3) • 5] : [ ( - 8 + 3) • ( - 16 + 2 • 7) - ( - 12)°]
P I
[26 - ( - 2) + 5] : ( - 3) + ( - 4 )2 : ( - 2)3- ( - 5)
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[0]
[ - 1] [-1 6 ]
[ - 8]
E19
2
NUMERI INTERI
B3
( - 1)- [4 ■5 —(—7) + 23: 2] -{ [1 1 + 7 -5 +
(l
- 6 - 7 ) ] + (-3 )}
[-33]
7 + {16 : 23 + 32 • 4 — [7 —(—5 ■3) + 42 • (—5 + 4)]} —212: 45
[+35]
P3
—[—(—4 —32)] + [(—2)3]5 : (—4 )5 — [—(—2)]3
[+11]
g fl
—32 • [(—2)4 : (—4 )2] 2 + [2 • (—5)]2 + (—3) • (2 —5 + 2 • 5)
[+70]
P I
[(+ 7)3 : ( 7)2]2 - [(— 11)5 :(+
11)4 :( — 11)]3:( —7)
P I
—5 + {(—8 —2 • 6 + 10 ■3) • [4
—7 • 2 —(—2)]} : (4 + 9 —3 • 5 + 7) —3 • (4 —5)
g li
{(— 3) • (—4) : [2 — 5 + 3 • 7 + (— 12) • 2] + (— 5) • [3 + 2 • 5 — 11 + (—2)3]} : ( - 7) + (3 • 22) 0
[ - 3]
E£D
{ [ ( - 5 + 3 )3]2 : ( - 4 )3} 7 - [ - 5 - ( -
[+ 6]
2)3 -
[-7 ]
( - 3 )]2 : ( 12 2 : 2 2)- ( -
2)3 •( -
l
[-18]
)2
m
[(—IO)2]2 : {9 —[13 •(—9 + 21)] —(—7)° + 5 (2 —3)6 •(—2)2 : (2 • IO1)} —[72 —102 + 6 •(—5 + 2)2] (—66) : [(—6)2]3 [+ 103]
gg
- [48: (—4)5- ( - 1 3 - 4 : 2 - 1 2 ) ° + ( - 7 )4 : (—49)2] : (—2)4—{[(—4 2)2: 2 2]2- (-3)° • ( - 3 ) 4} : [ - ( 5 4) : (—5)3]2 [ - 3]
gg
(14 —23 • 2)3 —(112 • 2 —7 • 33 + 133 ■2)° + (—5)2 • 22 —{(—l ) 13 + (—13 + 22 • 3)16 • [112 — IO2 —3 • 7 + (32) 2]} [+11]
gg
{[(+ 6)3]2}2 : (—32 • 22) 5+ (42 • 22)3 : {[(—2)3]2}2 —(—5)6 : (+ 25)2
[+3]
gg
a. Per quali valori di n E N l’espressione [—(—4)"]3 fornisce un numero naturale? b. Nella seguente espressione, per quali valori di n E N si ottiene un numero intero negativo? —[(—7)5] ” • [(—7)4]3
[a)
n
dispari; b)
n
pari]
EUREKA! D ispari m eno pari Sottraendo la somma dei primi 100 numeri (interi) dispari positivi dalla somma dei primi 100 numeri (interi) pari positivi si ottiene:
E aG
[ a] 0.
[¥] 1-
[c] 5050.
[ d] 100.
\T] 10100. [Kangourou Italia, 2010]
Calcola il valore delle seguenti espressioni, dopo aver sostituito alle lettere i valori scritti a fianco. EMU | —a | b — (a2 ■| b | —2a) • b2
|3
b = -4
[-684]
43* ( - 4 ) a : 4 2a + b [ - 5a + ( 14) ‘ * : 7ab - 2a] • [ ( - 3a) 4b : 9 2b]
+=+/
1
b = +2
[-22]
VERO 0 FALSO? Siano a, b due numeri interi distinti.
m Q
a. Se a < b, allora a 2 < b2.
H EE!
c. Se | a | < b, allora a b < a 2.
H E
b. Se a + b < a, allora b < 0.
H E
d. Se | a + b > a, allora b > 0.
S E I
EUREKA! M oduli e m oduli Quale fra le seguenti relazioni non è sempre vera per ogni a, b E Z?
[ a] |
| = | n |" Vn G N.
[ ¥ ] |a - ^ ( = |fl|- |^ |.
E20
[c] 11 a | + 1 11= | a | + 1 |. r~D~|
la i — | ^ | < | a | — \b\.
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2
NUMERI INTERI
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ►Competenza 1 (abilità 1,2) H
Q
vero o falso ?
a. [—12 : (—2)2+ 3]° = + 1
H (T ]
c. Se a2 = b2, allora a = b.
r~v~||~f~|
b. (—6 )2013 > 0
[v ][T ]
d.
Se a3 = b3, allora a = b.
HDITI
WM Trova due numeri interi a e bla. cui somma sia —11 e il cui prodotto sia +28. Calcola quindi la somma tra il doppio del numero minore e il triplo del numero maggiore. [- 7; - 4; - 26] Trova due numeri interi che hanno prodotto —12 e somma —4.
[+ 2; -6 ]
Scrivi le seguenti espressioni come potenze aventi la stessa base e poi disponile in ordine crescente. ■9
- 4 6: ( - 4 ) 2;
B
[ - (52)]3;
D
11 4 2 4 : 2 2 3 + 4 - (— 3 - 5 + 6 + 2) [(— 10) • 2 — 32 : (— 8) + 6 ■(4 — 1 ) ] 2 : (+ 2 )3
[+8]
D
— 3 • {2 2 + 7 : [2 • (9 — 1) + 15 : 3 — 5 2 — 18 : (5 • 2 — 4 )]} + 2 • [ ( — 8) : 4 + 5]
[-3 ]
O
[—24 + 3 - (—4 )] : [+ 6 + (— 14) : (— 5 —2 ) —2 ] — [— 3 —7 + 5 - (—2 )] : (— 2 )2
[ - 1]
D
(—4 )2 + (— 10 ) : (+
[+8]
IT I
[(+ 5)3 : (—5) • 2 + 7 • (13 —2 • 3)] • {[(—4)3 —62 • (—4) + 5 • 24] : IO2}
O
K - 3) 4 : ( 9)
|E 1
—[(—3)4 : (—3)2 + (—2)3 • 3] + {—3 • (12 —42) 2 — [5 • (—2)3 —20] : [ ( - 2)2 • 5]} : 9
IF i
[(+ 2)3 : (+ 2) + (—3)2 : ( - 3) + ( - 2)4 : ( - 2)3] 2 - [(+ 2 - 7)2 —(+ 5 - 3)3 - ( - 3)2]
P I
[24 : (— 8 )]3 [(—45) : (— 32) ] 2 • [(—48) : 6 ]2 : (—60)2 + 152 : (— 5)2— (—4) (+ 6) + 42 : (—7)
g l
( - 15)3: 53— [9 ■4 : (—6) — 14] : 5 ■52+ {[(—202) 4 : (5)8] : (—4 )6 — 23} • (— 2)3
[+9]
p i
(—2 )5• (—2 )2 : {—9 + 3 • (— 12 + 5) + 24 : [(— 3)4 — 53+ 2 • 16]} + (22 • 35 — 122)
[0]
E1
{ [ - 52• ( - 5 )°]2 • ( - 2)8} : [42• ( - 5)2] 2 - { [ ( - 6)3• ( - 6 )2] 3 : ( - 3)4} : 610: 23
[+ 13]
H
{ - [ - ( - 22) 2] 3} : {[50 : ( - 5)2] 3} 3+ { - [ - ( - 32)] 3} 3 : { [ ( - 48) : ( - 24)] 4} 4
[ - 1]
D3
{(- 20)2 : [(—2)4 —(2 • 5)2 —( - 4)3]} : {[11 - ( - 7)2 • 77 : ( - 7)] : 55}
[ - 2]
p i
{[(—6)3 : (+ 3)3 ■(—2)3 —(—2)2] : (92 : 3 —3 • 7)}2 — 11 ■(—3)2 —(—6)2 : 22
[-8 ]
EO
—{[2 —3 5 • (—8) : (12 : 4 + 9°)] : ( - 4 )2}3 • (—2)3 : (—8) — [6 8 (—6)° - 13 • 2] : ( - 11)
[ - 6]
H
[ - ( - 15)3: 53- 23+ 5 • 50]3 : {[(+ 3)4 : ( - 3)3]3■23} - (22'+ 210) : 27 - ( - 3)3+ ( - 2)5 : (+ 2)3
66
- ( 2 5) 3;
- | - 8 4|;
—[(5)2(—5)]2 : (25)2;
5)
[ - ( - 16)3]2; |- 5 |- 2 5 ||;
—64 : (—4 )2 + 5 2 • (+
5 )°
- ( - 32)2;
- 2 23.
- ( 125)3 : (25)4;
[ ( - 5)4]3 : ( - 5)10.
+ (—3 )2 • (—3)
( - 2) • (+ 2)3- 27 : ( - 3)2] 2+ {[52 - ( - 4)] : ( - 7) • ( - 1)}
[-2 ]
[+ 24] [+ 10] [ - 7] [+15]
[-51]
O
MENU DELLE COMPETENZE
Nella seconda pagina della copertina
Calcola il valore delle seguenti espressioni, dopo aver sostituito alle lettere i valori scritti a fianco. I ftl [(b —2a)2 ■(b + 2a)2 — (b2+ 4a 2)2]2: (—lab)
co--1
K1
(4ab — b)3 — (ab —4b)3 —9b3[a2(7a —4) —(4a —7)]
ifll
a4 ■a2■(—a)3 : [—a2] 3— ax2 + x 3
►Com petenza
3
(abilità
a, = - 4
b = -2
& =+ 1
[+16]
[0]
b = -1
x = -2
[-5 6 ]
1, 2)
Traduci in espressioni e poi calcola il valore. Wl!% Eleva alla seconda il quoziente tra il quadrato di —4 e il cubo di —2.
[+4]
Dividi —2 elevato alla terza e poi alla quarta per —4 elevato alla sesta.
[+ 1]
Traduci in espressioni simboliche e poi calcola il loro valore dopo aver assegnato alle lettere i valori indicati. Ft l
Dividi —9 elevato alla a per —3 elevato alla a e poi alla b.
& = +3
Eleva —2 al doppio di b e dividi il risultato per il quadruplo di a.
[- 1]
b = +2
b = +3
[-4 ]
Risolvi i seguenti problemi. m
II postino disorganizzato Un postino deve consegnare alcuni pacchi in una strada. Si ferma alla terza casa, poi avanza di tre case, torna indietro di cinque e avanza ancora di una. A quale casa [alla seconda] arriva? INTORNO A NOI
Grandi menti Archimede nacque nel 287 a.C. e morì all’età di 75 anni; in quale anno? Anche Pitagora visse 75 anni e morì nel 495 a.C.; in quale anno nacque? Talete invece nacque nel 624 a.C. e morì nel 547 a.C.; a quale età? INTORNO A NOI
Ora di pranzo Prendo dal freezer una porzione di lasagne a —18 °C e la metto in forno, aumentandone la temperatura di 230 °C. Prima di mangiarla aspetto che la temperatura diminuisca di 161 °C. Quale temperatura hanno raggiunto le lasagne? [51 °C] INTORNO A NOI
67
2
NUMERI INTERI
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE TU TfR PROVA C
PROVAA
(10 esercizi)
PROVA B
(10 esercizi)
0 IN MEZZ’ORA
►Competenze 1, 3
0 IN UN’ORA
VERO 0 FALSO?
a. La somma tra due numeri discordi è zero.
[v]|T]
b. I numeri interi minori di 4 sono quattro.
[v]|T]
c. Un numero intero a è sempre maggiore di —a.
I~v~lI~f~I
Il quoziente di due numeri discordi è negativo.
[v]I~f 1
d.
Semplifica le seguenti espressioni. { ( - 34) : [ ( - 7) + ( - 10)]}3+ [(+ 9) ( - 4) : ( - 6 )]2 - (+ 7) ( - 3) ( - 2)
{(- 12)5 : [(+ 3)2(—4)2]} : {[(12)5( - 12)3] : [(- 12)3] 2} [ ( - 28) : ( - 7) - 6] ■ 3 - [ ( - 4)2] 6 : [ ( - 4)4( - 4)5] - [ ( - 6) ( - 23 + 4)]
Un inventore ha creato una macchina del tempo. Decide quindi di viaggiare fino al 1630 per conoscere Galileo Galilei e poi di tornare ancora indietro nel tempo di 2383 anni per assistere alla fondazione di Roma. Infine decide di tornare ulteriormente indietro di 61 anni per assistere alla fondazione di Cartagine. In quali anni sono state fondate Roma e Cartagine? Calcola il valore della seguente espressione dopo aver sostituito alle lettere i valori scritti a fianco: —ab2+ 5b + (a : b) 2: 3 + a2 : (— b)
PROVA D U
a = —6, b = —2.
►Competenze 1, 3
TEST
0 IN UN’ORA
II quoziente tra due numeri interi a e b, con b ± 0, è:
I~À1 sempre un numero intero.
[T] uguale a —1 se a e b sono opposti.
[~b1 positivo se a e b sono discordi.
[T] sempre diverso da 0.
WtM Disponi in ordine crescente i risultati delle seguenti espressioni. —| 3 13;
- ( - 4 ) 2;
- ( - 2)2• ( - 2)3;
( - 90)2 : (15)2;
[ ( - 16)4- ( - 2)6( - 32)2]5.
Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.
D D
[(- 7)2(+ 49)2] : [(- 7)2]J - 1[(- 6) 2] V : [(- 36)*)2 - [ ( - 8)2 ■(+ 64)3] : [(+ 4)4(—2)4] 2 5 [(+ 9)2 : ( - 3)3] + [(- 33) : (+ U )]2
WzM Dividi il prodotto fra —11 e il quadrato di —5 per la somma fra il triplo di —15 e il doppio di —5. D
Trova due numeri a e b che hanno somma —10 e prodotto —24. Se a è il minore, calcola: (a : b2)4 + 2 {a — 8b). 68
MENU DELLE COMPETENZE @
PROVA E
Nella seconda pagina della copertina
►Competenze 1, 3
0 IN UN’ORA
INVALSI 2011 P iù due, m e n o u n o Antonio e Giada partecipano a una gara a quiz. Per ogni risposta esatta si assegnano due punti, mentre per ogni risposta sbagliata si toglie un punto. L’esito della gara è il seguente:
• Antonio ha dato 11 risposte esatte e 9 sbagliate; • Giada ha dato 6 risposte esatte e 14 sbagliate. Quali sono i punteggi finali dei due ragazzi? CÀI + 1 3 ;+ 2 .
DE] + 1 3 ; - 2 .
[c] +2; +8.
[p] + 2 ; - 8 .
Brrr...! La temperatura può essere espressa in gradi Celsius (°C) o in kelvin (K), e tra le due temperature vale la seguente relazione: UC= Tk -2 7 3 . a. Qual è la misura in kelvin della temperatura indicata dal termometro come —4 °C? b. Se l’acqua diventa ghiaccio a 0 °C, congela a temperatura più alta l’acqua o l’alcol, che ha una temperatura di congelamento di 158 K? Poca spesa, tanta resa? Nel mese di gennaio sui registri di una ditta ci sono le voci (in euro) segnate nel biglietto. -2 3 4 5 5 +25091
-12 00 -7 5 2
costi d i prodi+zioeie riawo delie, rendite t+uwMtesizione, mAoduMAri spase, dipesticele,
La ditta ha guadagnato o è andata in perdita? Di quanto? PROVA F
►Competenze 1, 3
0 IN UN’ORA
L’escursione termica Il grafico a lato rappresenta l’andamento della temperatura in una località nel corso di 24 ore. a. Individua quali sono la temperatura massima e quella minima e in che orari si sono registrate. Calcola poi l’escursione termica, cioè la differenza tra la temperatura massima e la minima. b.
Calcola le escursioni termiche record nelle seguenti località degli Stati Uniti: 1. Browning (Montana), 23 aprile 1916; massima 7 °C, minima —49 °C; 2. Spearfìsh (Sud Dakota), 22 gennaio 1943; in soli 2 minuti la temperatura passò da —20 °C a 7 °C.
c. Calcola la temperatura minima registrata a Verkhoyansk (Siberia) se la massima escursione termica annuale è stata di 104 °C e la temperatura massima annuale era di 34 °C . d.
1. Nei calcoli che hai svolto l’escursione termica è risultata sempre un numero positivo; è un caso o risulterà sempre così? 2. Il fatto che una località abbia un’escursione termica maggiore di un’altra significa che la prima località ha avuto temperature maggiori?
Nel mondo anglosassone le temperature sono misurate in gradi Fahrenheit: il ghiaccio fonde a 32 °F e l’acqua bolle a 212 °F. In fisica si usano i kelvin: il ghiaccio fonde a circa 273 K e l’acqua bolle a circa 373 K. e. 1. L’escursione termica cambia se viene misurata in gradi Celsius, in gradi Fahrenheit o in kelvin? 2. In quale caso tale valore risulta maggiore? 69
▼
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
3
1. CHE COS'E UN NUMERO RAZIONALE ASSOLUTO fpH A fraction is a n u m b e r defined by tw o non-negative in te g ers: thè denom inato!-, d iffe re n t « than zero, is w ritte n on thè bottom and it indicates how m any equal p a rts a u nit is divided into, w h ile thè n u m e ra to r is on thè top and it indicates how m any equal p a rts to consider.
FRAZIONI O
Esercizi a pagina 82
Ci sono problemi che si risolvono mediante coppie di numeri naturali. Per esempio, se dobbiamo dividere tre pizze fra quattro ragazzi, procediamo tagliando ogni pizza in 4 parti uguali e ne diamo 3 a ogni ragazzo. 3 3 Diciamo anche che ogni ragazzo ha avuto di pizza. è una coppia di numeri naturali in cui il denominatore 4 indica il numero di parti uguali in cui dividere l’unità e il numeratore 3 indica le parti da considerare. ^
Una frazione è una coppia ordinata di numeri naturali, con il secondo diverso da zero.
n u m e ra to re
è una frazione ^
Il primo numero è il numeratore della frazione, il secondo è il denominatore. Una frazione
con m, n E
N,
d e n om in a to re
-Q- non è una frazione
n / 0, è: im p r o p r ia
3
• propria se m < n;
a p p a re n te
• apparente se m e multiplo di n;
10
5
• impropria se m > n e m non è multiplo di n. ^ .fr a z io n i im proprie,, _4
_88 5’ 3’
2 2_ 6’
fra z io n i pro p rie
12 6 ’
77_ 4’
21 7
im p ro p ria
fra zio n i ap p are n ti
Q FRAZIONI EQUIVALENTI G
You can check if tw o fra ctio n s
m ■q = n ■p.
e
sono equivalenti se e
A
- J_
1
— — 2 T 10
Per indicare che due frazioni sono equivalenti usiamo il simbolo 70
and ~ are q
equivalent by ca lcu la tin g thè p roducts m tim e s q and ri tim e s p, and verifying th a t they are equal.
Esercizi a pagina 83
y -----------equ iva le nti
Due frazioni, ~ solo se:
n
2 -4 = 8 -1 non eq u iva le nti
1 -1 0 *2 -4
1. CHE COS’È UN NUMERO RAZIONALE ASSOLUTO
TEORIA
Vale la seguente proprietà. 3 • (5 •7) = 5 • (3 • 7)
21 3 X 3-7 5 ‘ 5-7 35 56 56: 8 7 4 32 \ 3 2 : 8
ESEM PIO
Proprietà invariantiva Moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente.
56 • (32 : 8) = 32 -(5 6 : 8)
DIMOSTRAZIONE Dimostriamo che
m n
m ■p è equivalente a n ■p con p ± 0.
Consideriamo il prodotto fra il numeratore m della prima frazione per il denominatore n ■p della seconda. Se applichiamo le proprietà associativa e commutativa della moltiplicazione fra numeri naturali, p ro p rie tà co m m u ta tiva
m• (n■p) = {m■n) ■p = (n■m) ■p = n■(m■p), v_> p ro p rie tà associativa
p ro p rie tà associativa
otteniamo il prodotto fra il denominatore n della prima frazione per il numeratore m p della seconda frazione, quindi le frazioni sono equivalenti. Dimostriamo che
m :p n : p con p ± 0, sono equivalenti:
m n
p er la p ro p rie tà d im o stra ta
m : p _ (m: p) p _ m
n: p
(n: p) ■p
n '
per la d e fin izio n e di quoziente
Una frazione è irriducibile o ridotta ai minimi termini se numeratore e denomina tore sono primi fra loro. ►
11
8
1
è irriducibile;
6
non lo è.
8 e 6 hanno 2 come d ivisore com une
Chiamiamo semplificazione di una frazione il passaggio da una frazione a una equi valente quando dividiamo numeratore e denominatore per uno stesso numero diver so da zero. Di solito cerchiamo di semplificare fino a ottenere una frazione irriducibile. 90 ►Se consideriamo - r y , il numeratore e il denominatore sono divisibili sia per 2 sia per 3, quindi dividiamo per 6: 90
90:6
12
1 2 :6 .
i l
2
p ro p rie tà in variantiva
6 = MCD(90; 12)
15
in breve: A
71
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI Q
QEsercizi a pagina 86
The n u m b e r set th a t contains a ll equivalence classes of fractio n s is thè set of
absolute rational numbers.
Se consideriamo l’insieme di tutte le frazioni e le raggruppiamo in sottoinsiemi, ognuno dei quali contiene le frazioni fra loro equivalenti, otteniamo una partizione dell’insieme delle frazioni perché: • ogni sottoinsieme non ha elementi comuni con gli altri; • ogni frazione appartiene a un sottoinsieme. Chiamiamo numero razionale assoluto ogni insieme formato da tutte le frazioni fra loro equivalenti.
e un n u m ero razion a le a sso lu to
Indichiamo con Qa l’insieme dei numeri razio nali assoluti.
Per indicare un numero razionale assoluto, possiamo utilizzare una qualsiasi delle fra zioni equivalenti che appartengono all’insieme associato al numero. ►
e -y- sono frazioni equivalenti.
Ognuna può essere scelta per rappresentare lo stesso numero razionale. Per questo utilizziamo il simbolo = e scriviamo
= -yr- : le due frazioni sono
modi diversi di scrivere lo stesso numero razionale.
ESERCIZI PER COMINCIARE MM Indica le frazioni fra: 3_ 2+ 4 5+ 1 5’ 6 ’ 4 -4 ’
WM Semplifica, quando è possibile: 2 0 2+ 2 ’
7 1 0-5 ’
15 3 '
Indica le frazioni proprie, apparenti e improprie fra: 5 6 1 8 6 9 3 15 21 17 7 ’ 4 ’ 5 ’ 2 ’ 3 ’ 4 ’ 2 ’ 6 ’ 30’ 1 1
BUE
72
16 8 ’ 126 147 ’
8 9’ 54 48 :’
25 10 ’ 16 3 ’
7 42 ’ 360 180
15 35
>
30 105 ’
>
56 98 ’
60 80
64 128
E lQ CESI Frazioni equivalenti e numeri razio nali Considera un quadrato e verifica che la par4
■]:!=■ Completa le uguaglianze, se pos sibile, applicando la proprietà invariantiva.
te che corrisponde ai suoi
7 1__1 8 48 ; 27 51 b. -=é~ = — 5 U 5 l_l 35 c. 10 50 ’
ni che corrispondono alla stessa parte? Come chiamiamo l’insieme di tutte queste frazioni? Confronta le tue risposte con le considerazioni proposte nel video.
j 18 d* ~21 " 35 21 49 e- u ' 14 LJ f 12 r* 4
•
è la stessa che
corrisponde ai suoi -ry . Ci sono altre frazio
2. CONFRONTO E RAPPRESENTAZIONE
TEORIA
2. CONFRONTO E RAPPRESENTAZIONE CONFRONTO
» 1
rn Given tw o fra ctio n s — n
p m and — , — q n
O Esercizi a pagina 86
p is less than — if thè product q m p of m tim e s q is less than thè product of ri tim e s p; is gre ater than —
Ordiniamo l’insieme Qa aggiungendo
if thè pro d u ct o fm tim e s p is g re a te r than thè pro d u ct o fn tim e s p.
73
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
RAPPRESENTAZIONE SULLA SEMIRETTA ORIENTATA
r ~ l You can place fra ctio n s on thè n u m b e r line by dividing thè segm ent fro m 0 to 1 in as m any equal p a rts as thè d e n o m in a to r indicates, and then considering as m any p a rts as thè n u m e ra to r indicates.
O Esercizi a pagina 88
Per rappresentare una frazione — sulla semiretta orientata, procediamo come quan do operiamo con le frazioni nei problemi della realtà: • dividiamo l’unità in n parti; • ne prendiamo m. 3
►Per rappresentare y , dividiamo l’unità in 5 parti e ne prendiamo 3, facendo cor3 rispondere a y il punto che è secondo estremo del segmento con primo estremo
e g m e n to di m is u ra 1
1 1
in 0 e con misura y .
se g m e n to di m is u ra | .------------------£ + ■
Analogamente, per rappresentare
y
>dividiamo l’unità in
3
parti e ne prendia
mo 5. In pratica, abbiamo diviso ciascuna delle prime due unità in 3 parti, e di tutte le parti ottenute complessivamente ne abbiamo poi considerate 5.
e g m e n to di m is u ra 2
1
♦----- 1-----
5 3
Se rappresentiamo sulla semiretta orientata delle frazioni equivalenti, otteniamo lo stesso punto: ogni numero razionale è rappresentato da un solo punto.
2
U_ _6_ 8 16 24 5' 1 0 ’ 15’ 3’ 6 ’ 9 1 W 1-----------j — ------------ -— i r 0 1 / 2 3 7 U 21 l ' 8 ’ 12 ’ '■ 2
►Rappresentiamo: 2 5
4 6 ’ 10 ’ 15 ’
7 14 21 4 ’ 8 ’ 12 ’
8
16
3 ’
6
’
24 9
CORRISPONDENZA FRA NUMERI NATURALI E FRAZIONI r y l There is a one to one correspondence between thè n a tu ra i n u m b e rs and thè set of fra c tio n s w ith d e n o m in a to r 1, so a ll n a tu ra i n u m b e rs can be w ritte n as fra c tio n s w ith d e n o m in a to r 1, and vice versa.
Sulla semiretta orientata, i punti corrispondenti ai numeri naturali sono anche quelli dei numeri razionali le cui frazioni ridotte ai minimi termini hanno denominatore 1. C’è una corrispondenza biunivoca fra N e un sottoinsieme di Q a. In Qa, useremo 0, 1,2, 3 ... come modi diversi di scrivere 1
1 1 ’
1 1 ’
1 2 3 3 6 9 T’ 2’ 3’ 1’ 2’ 3’ __________ 1 ____________________ 1 ____ w 2X 3 0X 1 0 0 0 1’ 2’ 3 ’ "■
2 4 6
1’ 2’ 3’ "■
1 1 ’
1 ’
—
ESERCIZI PER COMINCIARE MM _ _
Disponi in ordine crescente y , y , y , y - , y .
WM Disponi in ordine decrescente
4
9
5
4
5
fT » ~2 >confrontando numeratori o denominatori.
K B Rappresenta sulla semiretta orientata y , y , y , - y , y , y , y .
3. OPERAZIONI
3. OPERAZIONI
TEORIA
To add o r subtract fra ctio n s w ith equal denom inators, you can sim ply add o r su b tra c t thè n u m e ra to rs. If thè d e n om in a to rs are not equal, you can tra n s fo rm thè fra ctio n s into equivalent o n e s w ith equal de n om in a to rs.
0
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE © Esercizi a pagina 88
La somma, o la differenza, di due frazioni con lo stesso denominatore è una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma, o la differenza, dei numeratori. Somma e differenza Consideriamo le frazioni con lo stesso denominaa c torejej-. a_ ,
a+c b a —c con a > b
c_
b + b~
6
4 2 4 + 2 5 + 5 5 \ / / stesso denominatore "—
^
6
2
5
'x
6 -2
4 7
7 7 7 \ / / stesso denominatore
Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore, otteniamo la somma o la differenza trasformandole in frazioni equivalenti che abbiano denominatore comune. Conviene considerare frazioni che abbiano per denominatore il mcm dei denomina tori, cioè il minimo comune denominatore. Scriviamo anche:
+ -y 1 : Per eseguire y5 +
j
—
5
3
•2 10 = ~Y2 '
~
i
6
j3_ = ~TT-
12
i, 12 = m c m lò ;4 ]
1 _ + 4
10 + 3 _ 12
11 12
Analogamente: J_
9 -2
3
Quindi:
_7 6 *
v
mcm(2; 3)
_9_ 5 -i
6
1 _
+ 4
10
12 ^
3
12
_
13
6
12 '
MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE
CH The product of tw o fra ctio n s is a fra ctio n w ith thè pro d u ct of thè n u m e ra to rs as n u m e ra to r and thè product of thè d e n o m in a to rs as denom inator.
@ Esercizi a pagina 89
Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei deno minatori. Prodotto Date le frazioni -y e a ■c bd
:
A
A
7 ' 5
3 -2 7 -5
6 35
75
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
Se ci sono fattori in comune fra numeratori e denominatori, è utile anticipare la sem plificazione prima di calcolare i prodotti a numeratore e a denominatore. ►Invece di scrivere 21 25
scriviamo in modo più sintetico:
5 _ 7X '^ 1 6 5^ 2
1_
72 l I ' -
10 ’
5 ^
C
j l 10'
Q
Chiamiamo reciproca o inversa di una frazione - j , con c ^ 0, la frazione Il prodotto di una frazione per la sua reciproca è 1. '1
l ' -
The re c ip ro c a i of a fractio n is a fra ctio n th a t m u ltip lie d by thè o rig in a i one gives 1 as a product. To divide two fra ctio n s you can m u ltip ly thè firs t by thè re cip ro ca i of thè second.
O
i
Come per i numeri naturali, vogliamo che nella divisione fra due frazioni il quoziente sia quel numero che moltiplicato per il divisore dia il dividendo, quindi il quoziente deve essere il prodotto fra il dividendo e l’inverso del divisore. quoziente _2
± _ 2 _
_3_ ' _5_
4
,, perche
p ro p rie tà d e l reciproco
/ ^ _ 5 \ 4 _ 2 / 5
4\ _ 2 1 _ 2 3 ' V4 ' 5 / 3 '1 3’
( 3 ’4 )’ 5
X
dividendo
divisore
Quoziente Date le frazioni -y e ci c b ‘d
con
0:
& d b c
POTENZA
_5_
_5_
11
11
30 77
m o ltip lic h ia m o p e r la frazio n e reciproca
ESEMPIO
/
5_
3
p ro p rie tà associativa
© Esercizi a pagina 90
Anche per le frazioni vogliamo che, per esponenti diversi da 0 e 1, la potenza sia una moltiplicazione ripetuta. ( A \ 5- 2 _
2_ 2_
\ 3/
3 3 3
3
2_
2
2
2
25
3
3 • 3 •3 •3 • 3
2
2
2
35
Diamo allora la seguente definizione.
o M Z Li. LU
□
Potenza U } 2
Data la frazione -y : ► a_ \ n _
an
b ) ~ bn ’
con n
N.
V5 /
12
"
52
144 25
d is trib u ia m o l’esponente
La definizione, per n — 0 e n — 1, fa ottenere gli stessi risultati che abbiamo nei nume ri naturali: / a \° a0 _ 1 _ , 1 lj \ b 1 ~ b°
76
/ aV
\b)
ESEMPIO
LU Z
3. OPERAZIONI
In
Q a valgono
TEORIA
le cinque proprietà delle potenze già esaminate in N . terza proprietà dette potenze
definizione di potenza
_3 x2
3_M°
_3 x6
3 ^
2
2
2
2
"N T prima proprietà-
li 16
seconda proprietà dette potenze
delle potenze
Q , COME AMPLIAMENTO DI N • L’insieme N è in corrispondenza biunivoca con il sottoinsieme di Qa rappresentato dalle frazioni con denominatore 1. • In Qa valgono tutte le proprietà delle operazioni che valgono in N. • Le operazioni definite in Qa «mantengono» la corrispondenza. ► 4 +3 = 7
5 • 6 = 30
a
a
a
a
i
1
1
I
1
i
A + A - A 1
+ 1
a
I
i ris u lta ti dette operazioni s j co rrisp o n d o n o
a
I
A
6 _ 30 l
1
• In Qa possiamo eseguire divisioni come 3 :4 = y : y = y - | - = y , che non era no possibili in N. Escluso lo zero, l’operazione di divisione è interna in Qa, mentre non lo era in N. I punti precedenti si riassumono dicendo che Qa è u n a m p lia m e n to d i N. C’è un’altra proprietà che vale in Qa e non in N: dati due numeri razionali, è sempre possibile trovare un numero razionale che è compreso fra i due. Per esprimere questa proprietà, diciamo che Qa è un insieme denso.
ESERCIZI PER COMINCIARE
D H
BiB
Calcola: 1 1 6 10 ’ Calcola: 6 5 7 ' 21 ’
H 6 1+ 5 ;
8 5 3 ' 2;
11 12
D 55 ' 33 ’
( A ) 2.
\ 3/ ’
M f
V10 ì '
Semplifica: 5 2 '1 3 ' 30 6
20 1 3 ' 10
Semplifica: 2 4 -1( 1 3 : 11 •' 3
11 5
13
(_L
V10 39 \
22 : 2 J
5 1 3 ’ 25
14 8 3 : 3
Addizione e moltiplicazione di frazioni Nel video trovi un’interpretazione geometrica dell’ad dizione e della moltiplicazione di frazioni. Utilizzala per rappresentare graficamente le seguenti operazioni: _2 , _5 _L , _2 A A 9 + 9’ 6 + 5’ 9 7'
DQEBSa
Semplifica:
D Q
Semplifica:
OQE
Considera y e y . Calcola y
+y
36 U A 5 \2 ~ 2
+ 20 nl2
2 \6
2 x3
5
5
r
y
\4
25
H
* + A
5 + 5
125
J_\2
3J +
_4 x8 5
2' v2 " 4 j ’ 3 A f1
3 20
m-
Il risultato è compreso fra y e y ?
4 Considera il risultato al posto di uno dei due numeri, per esempio y , e ripeti il calcolo. Quante volte puoi ripetere questo procedimento? Cosa puoi concludere? 77
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
4. NUMERI DECIMALI A decim ai is a fra ctio n w ith d e n o m in a to !-10 o r a pow er of 10. A decim ai num ber is thè sum of an in te g e r plus decim ats. It can be finite if thè decim a ls are a fin ite n u m b e r o r periodical if a sequence of d e cim a ls is repeated in fin ite ly.
DALLA FRAZIONE AL NUMERO DECIMALE
O
@ Esercizi a pagina 94
Un numero decimale è la somma della sua parte intera con frazioni che hanno le cifre decimali per numeratori e potenze di 10 per denominatori. ►
2,35 = 2 +
_3_
5
235
10
100
100
Data una frazione, possiamo trasformarla in un numero decimale dividendo il nume ratore per il denominatore. Se nella divisione otteniamo un resto uguale a zero, il numero è decimale finito. ►
= 67:50 = 1,34
Se non c’è un resto uguale a zero, i resti sono tuttavia sempre minori del divisore, quindi, prima o poi, incontreremo di nuovo lo stesso resto e otterremo le stesse cifre decimali. Allora, quando il numero non è decimale finito, ha cifre che si ripetono periodicamente: il numero è decimale periodico. Chiamiamo periodo il gruppo di cifre che si ripete. Un numero decimale periodico è: • semplice se le cifre si ripetono subito dopo la virgola; • misto se le cifre si ripetono ma non subito dopo la virgola. Chiamiamo antiperiodo il gruppo di cifre decimali che precede il periodo. periodo ►
4f 11
periodo
= 41:11 = 3,7272... = 3,72;
- jg - = 5 8 :4 5 = 1 ,2 8 8 8 ... =
/
/
a n tip e rio d o
n u m e ro decim a le p e riodico m isto
n u m e ro d e cim a le pe rio d ico sem plice
Frazioni e numeri decimali generati Consideriamo una frazione ridotta ai minimi termini. Se il denominatore, scomposto in fattori primi, contiene:
la frazione genera un numero decimale:
solo potenze di 2 o di 5
finito
solo fattori diversi da potenze di 2 e di 5
periodico semplice
fattori diversi da potenze di 2 e di 5 e potenze di 2 o di 5
periodico misto
22
a.
24
, ;
D-
2\3_ 50 ’
i l c-
9
•
Riconosciamo quale frazione genera un numero decimale finito, un periodico semplice o un periodico misto e otteniamo i numeri decimali generati. 22 _ 11 _ 11 |----- ► potenza di 2 e fa tto re diverso n u m ero d e cim a le -► 1 1 : 1 2 = 0 ,9 1 6 a * 24 _ 12 _ 3 • 22 ----da Pol:enze di 2 e di 5 pe rio d ico m isto s e m p lific h ia m o
78
4. NUMERI DECIMALI
213 50
213 2 • 52
solo potenze di 2 e di 5
TEORIA
numero decimale finito
•2
213 50
213
426
426 (2 • 5):
426 = 4,26 100
potenze di 2 e di 5 con lo stesso esponente
c.
_14
9
14 32
solo fattori diversi da potenze di 2 e di 5
14:9 = 1,5
numero decimale periodico semplice
DAL NUMERO DECIMALE ALLA FRAZIONE ©
Esercizi a pagina 96
Numero decimale finito Un numero decimale finito può essere scritto come frazione in cui il numeratore è il numero senza virgola e il denominatore è la potenza di 10 che ha come esponente il numero delle cifre decimali. 1
►0,24 = j -
0,24 • IO2
0,24 - 100
+ 4 100
10J
100
100
100
24 100
2 cifre
Numero decimale periodico Anche un numero decimale periodico può sempre essere trasformato in una frazione, da cui possiamo pensare sia generato. La regola è piuttosto articolata. Ne diamo una giustificazione nel video che ti proponiamo nell’esercizio 4. Numeri decimali periodici e frazioni In una frazione che genera un numero decimale periodico:
4,52 = 452 - 4 - 448 99 99 T T 2 cifre
• il denominatore ha tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.
ESEM PIO
2 nove
• il numeratore è la differenza fra il numero scritto senza virgola e il numero formato dalle cifre non periodiche;
1 cifra
)
0,258 = T 2 cifre
258 - 2 5 900
1 nove
233 900
2 zeri
ESERCIZI PER COMINCIARE
□ ETTTW ffjriRiconosci quali fra le seguenti frazioni danno origine a un numero decimale finito, periodico semplice o periodico misto e trasformale in numeri decimali: 14 51 Ì6_ a. b. c. 340 15 18
D U E
Semplifica.
0,3 0 ,3 + 0,9
1 -0 ,6 3
0 ,3 + 0 ,5
11
-0 ,4 6
Scrivi in forma decimale il risultato della seguen te espressione. [(2 ,1 3 -0 ,2 ): 1,27]2
[2,25]
Decimali periodici Nel video che ti proponiamo diamo una giustificazione alla rego la di trasformazione di un numero decimale periodico. Dopo aver compreso il metodo nell’e sempio del video, applicalo a 3,12564. 79
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
5. PROPORZIONI E PERCENTUALI PROPORZIONI
© Esercizi a pagina 97
[pn An equality between fra ctio n s can be called a proportion. P ro p o rtio n s have p ro p e rtie s that are derived fro m thè p ro p e rtie s of fractio n s. A fu n d a m e n ta l p ro p e rty of a p ro p o rtio n a : b = c : d is th a t thè product of a and d, thè end te rm s, is equal to thè product of b and c, thè m id dle te rm s.
L’uguaglianza fra due frazioni può essere scritta sotto forma di p ro p o rz io n e . 5_ __20 6 24
5 : 6 = 20 : 24
si legge: 5 sta a 6 come 20 sta a 24
r,
estrem i-
pm edi-|
Nella figura ci sono i nomi che usiamo per indicare i termini di una p ro p o rz io n e .
2 :3 = 10:15 /
La proprietà fondamentale delle proporzioni deriva dalla definizione di frazioni equivalenti. P ro p rie tà fo n d a m e n ta le
'< h
LLJ
C CdL ooCdL
In ogni proporzione il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi.
X
an tece d e n ti
\ conseguenti
7 :9 = 14:18 — ^ ►
_Z. _ u
t 718 = 9 1 4
a :b = c : d ** a ■d = b ■c
ESEMPIO
►
9
—
18
quindi
Le altre proprietà delle proporzioni si possono dimostrare utilizzando la proprietà fondamentale o l’equivalenza tra frazioni.
< h oc
C L o oc a.
a : b = c : d se e solo se: proprietà
12 : 8 = 6 : 4 se e solo se:
(a + b) : a — (c + d) : c (a + b) :b — (c + d) : d
del comporre
(1 2 + 8): 12 = (6 + 4): 6 (1 2 + 8): 8 = (6 + 4): 4
(a — b) : a = (c — d) : c {a — b):b = (c — d): d
dello scomporre (con a > b, c> d)
a : c = b:d d : b — c: a
del permutare
b: a = d: c
dell’invertire
ESEMPIO
Altre proprietà
► (12 —8) : 12 = (6 —4) : 6 (1 2 - 8): 8 = ( 6 - 4 ) : 4
i medi gli estremi
12:6 = 8 :4 4 :8 = 6:12 8:12 = 4 :6
Le proprietà delle proporzioni sono utili per determinare un termine incognito di una proporzione. ►Determiniamo x nella proporzione 22 : 8 = (x + 35) : x. 22 : 8 = (x + 35) : x -* (22 —8) : 8 = (x + 35 - x) : x - 14 : 8 = 35 : x -* 14 •x = 8 • 35 p ro p rie tà d e llo sco m p o rre
80
p ro p rie tà fo n d a m e n ta le
8-35
x = —
= 20
5. PROPORZIONI E PERCENTUALI
PERCENTUALI
© Esercizi a pagina 99
Possiamo scrivere una frazione con denominatore 100 come una percentuale. 13 100
TEORIA
r^ ì A fraction that has 100 as its denominator can « J be w ritten as a percentage.
= 0,13 = 13%
Alcuni problemi caratteristici delle percentuali a. Calcoliamo il 20% di 3600 20
100
3600 = 720.
dividiamo 3600 in 100 parti e ne prendiamo 20
b. Il 15% di A è 180; calcoliamo A: 15 A = 180 A= • 100 = 1200. 100 /
\ per calcolare A dobbiamo dividere 180 in 15 parti e prenderne 100
180 è 15 parti delle 100 in cui è diviso A
c. Quale percentuale di 2300 è 621? 621 2300 = 0,27 = 27%. Problemi come quelli precedenti si possono risolvere anche utilizzando le proporzioni. ►Il 28% di C è 2016. Determiniamo C: 28:100 = 2016: C
-
28 C = 100 2016
-
C = 1002g016 = 7200.
ESERCIZI PER COMINCIARE
IG E X H H
Applicando le proprietà delle proporzioni determina:
a. x nella proporzione 5 : x — 180 : 252; b. x e y, sapendo che a
1
/ = A •3
p
c. il medio proporzionale x fra 12 e 75, ossia x tale
v
□ ■ s m Scorporare PIVA Un negoziante vuole vendere un televisore al prezzo di 260 euro, IVA inclusa. Quale deve essere il prezzo IVA esclusa, nell’ipotesi che l’aliquota IVA per questo tipo di prodotti sia il 22%? Se indichi con S il prezzo senza IVA, con C il prezzo con IVA e con p la percentuale, qual è la formula che permette di calcolare S conoscendo C e pi Stipendio, affitto e altro Lo stipendio lordo mensile del signor Giovanni viene tassato al 25%. Giovanni impiega il 40% dello stipendio netto per l’affitto e l’80% di ciò che resta per le altre spese. Esprimi in percentuale rispetto allo stipendio lordo: lo stipendio netto, la spesa per l’affitto, le altre spese e quanto risparmia. Calcola poi quale percentuale dello stipendio netto rappresenta il risparmio. Q B H T B Un problema con le percentuali Acquistata nei negozi del centro, una borsa prodotta da Laura costa € 200. Per le vendite online, Laura considera due proposte: • Ah, la mode! prevede un prezzo di vendita ancora di € 200; il sito ne trattiene il 30% e versa a Laura la differenza; • BestSellers propone un prezzo maggiorato del 15% rispetto a quello dei negozi, mentre la trattenuta è il 40% del ricavato. Qual è il partner più conveniente per Laura? 81
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
ESERCIZI 1. CHE COS'È UN NUMERO RAZIONALE ASSOLUTO FRAZIONI H Q
©
Teoria a pagina 70
B"B Indica in ogni figura la parte corrispondente alla frazione scritta a fianco.
vero o falso ?
a. Le frazioni -jy e y hanno lo stesso denominatore.
E E
b. y
EE
è una frazione impropria.
c. -y - è una frazione apparente.
SUE!
K B Disegna i segmenti corrispondenti alle frazioni 2 5 1 1 y , ~6y T ’ ~2* del se§mento p Q-
d. In una frazione propria il denominatore
è minore o uguale al numeratore.
P/IITI P
WM
Q
VERO 0 FALSO?
Se PQ è lungo 6 cm, quali sono le loro lunghezze? a. y è una frazione impropria. b. 3 _ q
c. d.
5
_
5
SE
non è una frazione.
SE
Disegna un segmento AB e rappresenta i seg5 3 3 5 17 menti di lunghezza - j y , y , y >y >-jy di
non è una frazione.
SE
indicando se le frazioni sono proprie, improprie, apparenti.
SE
Calcola:
— a = 0 Va e N , a / 0.
a. y di 720 cm;
KB Disegna un segmento AB e poi rappresenta il segmento CD = y AB. Se AB = 32 cm, determi-
-jy
di 2160 m.
c. i y di 130 g;
-jy
di 900 dm.
d. - y di 510 s;
-jy di 90 h.
b.
na la lunghezza di CD. WM Scrivi quale frazione rappresenta ogni zona colo rata della figura. B 'B
y y
di 396 km;
COMPLETA
a. |
dii----- J è 450;
b. y
di
c.
di
d. y di
82
y di 441 kg.
T d'I —
J è 756.
J è 108;
y
dii__
J è 1400.
_ l è 220;
y
dii__
J è 63.
J è 12;
T T dl __ 1è 330.
1. CHE COS’È UN NUMERO RAZIONALE ASSOLUTO
Problemi
intorno a noi
ÉM 65 bambini devono partire per un campeggio, -y di loro raggiungeranno la destinazione stabilita a bordo di un pullman, mentre gli altri verranno accompagnati da alcuni genitori volontari in macchina. Se ogni genitore può trasportare nella sua automobile 4 bambini, qual è il numero mini mo di macchine richiesto? [7]
l [ l l Elisa deve preparare la sua torta preferita. La ricetta per 4 persone richiede 240 g di farina e 160 g di zucchero. Se la farina indicata nella 3 ricetta è i -g- di quella che si trova in dispensa, mentre lo zucchero è i , riuscirà Elisa a fare una torta per 7 persone? [no]
m i Compito in classe L’insegnante di matematica comunica alla classe che nella verifica sulle frazio ni ci saranno 16 esercizi. Di questi -g- sono espres sioni, ~t esercizi di riepilogo degli argomenti pre cedenti e, per finire, dei problemi. Quanti proble mi dovranno risolvere gli studenti? [2]
8 c o rn ò +
4 trombe- + 2 tromboni + 1 tu b a , -
~ deb totale16
4-
I T I Ieri ho fatto degli esercizi di matematica, men tre oggi ne ho svolti 2. La mia compagna di banco ne ha risolti 7 due giorni fa e metà di quelli che le rimanevano ieri pomeriggio. Se a me ne restano [7] da svolgere 12, quanti ne rimangono a lei?
Che fiati! Un’orchestra è composta da una sezione di ottoni come descritto sopra. Quanti sono gli altri elementi dell’orchestra? [33] IH
Per confezionare un dolce occorrono 180 g di
Sul pianeta Xenox il giorno è diviso in 24 parti (le ore del pianeta Xenox) e dura 3 del giorno terrestre.
m j Q
3
zucchero, di cui
vanno mescolati con dei
tuorli d’uovo e il rimanente deve essere frullato con gli albumi. Quanti grammi di zucchero ven [45 g] gono frullati insieme agli albumi?
a salirvi, sapendo che è pieno per i
FRAZIONI EQUIVALENTI Q
?
14
□D 60
[T| 18
\ b ~ d > ~4 >
"45"’ U T ’
"18"’ ~6
co■cb = b ■o 10.
6
20_ ’
12
applicando la definizione di frazioni equivalenti.
COMPLETA
5
[c] 45
70
Indica le coppie di trazioni equivalenti:-j 2 ", -jz">
2
80
[ a]
[sì]
Teoria a pagina
INVALSI 2005
Quanti minuti dura un’o ra del pianeta Xenox?
1K1 Un autobus può contenere 80 passeggeri. Riusci ranno una scolaresca di 16 alunni e 2 insegnanti
a.
ESERCIZI
;
, i4 D. 21
_LJ 6 ;
24
3
16
c.
;
.
A
- J L
a. 4 -
;
e.
3 g “
|_ | 32
1
La proprietà invariantiva
O CL
Z LU U1 LU
Completiamo, se possibile, ogni frazione in modo che sia equivalente a quella data, applicando la pro prietà invariantiva. 2 12 . 35 LJ 2 LI a.
5
|:
D- 21
“
3
;
c
7
•6
2C T2 a< 5 “ l_J
10 * :7
2 _ 12 5 ^ 30 ; •6
, 35 _ I_I b' 21 ^ 3 :7
35 C 5 21 “ 3 ;
2 _ LJ c* 7 ^ 10
.
impossibile.
non esiste un n u m e ro n a tu ra le che m o ltip lic a to p er 7 dia 10
83
•
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
F ili
se possibile, in modo che le frazioni siano equivalenti.
COMPLETA
a.
9
72
5
, _6 _ U
;
_2__ LJ
63 ;
D. y
c. 13
51 5
,
LJ
a* 4
2 ;
A __U
e* 9
f 7 r* 2
108 ;
84 l _ |'
K il Tra tutte le frazioni equivalenti a y trova quella in cui la somma tra il numeratore e il denominatore è 24. WìfM
in modo che tutte le frazioni siano equivalenti.
COMPLETA
2 _ I_ I _ 9
27
4
LI
14
U
U
Trova per quale valore di n 1 /1 Q
YOU &MATHS
l_ l
10
U
54
G N
72 le due frazioni
7
y
YL~f- 5 e — ^— sono equivalenti.
Fractions on thè 0-1 segment
a. Draw a horizontal segment that is 24 squares long, on graph paper. b. Label thè endpoints 0 and 1. c. Put marks on thè 0-1 segment for: • halves;
• thirds;
• fourths;
• sixths.
Which points have multiple labels? Why? Riduzione di una frazione ai m inim i term in i
Riduciamo ai minimi termini la frazione
100 8
Calcoliamo il MCD tra il numeratore e il denominatore e applichiamo la proprietà invariantiva: 100:4 8 :4
ESEM PIO
100
25 '
proprietà invariantiva
2 U
•
= MCD[100; 8)
Possiamo procedere anche scomponendo in fattori primi numeratore e denominatore: f é
100 8
■ 2
52
scomponiamo
25 2
^
•
semplifichiamo
Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni.
p
48 144 ’
26 104 ’
p
176 540 *
13 39 ’
iftl Q
EUREKA!
42 30 ; 36 15 ’
105 200 ’ 154 22 ’
130 39 •
700
E t 490 ;
444 60 •
144 176 ’
wrm WA*m 32 • 53•9 15 26 1
Cifre in gioco Nell’espressione ^ ^ G-I-OCNO^---- --
616 882 ’
812 144 33 64 ’
60 150 ’
625 • 82 26 • 54 ’
990 165 44 ■34 144 • 648
lettera rappresenta una cifra
diversa da zero; lettere uguali rappresentano cifre uguali e lettere diverse rappresentano cifre diverse. Qual è il più piccolo valore intero che questa espressione può assumere? («•» indica il prodotto.)
r~À~l 1
[Al 2
[A 3
[A 5
[A 7
[Kangourou Italia, 2011]
(Nel testo con «cifra» si intende un numero naturale compreso tra 0 e 9.)
84
1. CHE COS’È UN NUMERO RAZIONALE ASSOLUTO
Viva le nonne! Una nonna vuole regalare € 250 ai 4 nipoti dividendo la somma in parti uguali. Una volta fatto il conto, decide di aggiungere denaro in modo da dare a ciascun nipote solo banconote. Qual è la mini ma cifra che dovrà aggiungere complessivamente? Esprimila anche in forma di frazione rispetto al totale.
ESERCIZI
€ 250 + ?
AA A
Bianco e nero In figura è riprodotto un logo disegnato accostando archi semicircolari i cui raggi misurano 2 cm, 4 cm o 8 cm. Quale frazione del logo è ombreg giata?
Q
EUREKA!
H 4-
E
E
E
[Kangourou Italia, 2010]
Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni e sottolinea quelle equivalenti tra loro. 20 24
’
8 10
’
10 12
’
16 20
10 25
’
14 21
’
16 40
’
100 150
YOU &MATHS
KM Q
30 36
’
8 40
’
15 18
’
27 3
■A 9 81
r 81 r’ 27
c
’
p
•
4 io
• E3
21 27
’
14 30 ’
49 63 ’
21 49 ’
35 45 ’
35 75
’
21 45
36 48
’
24 16
36 24
35 28
27 36
45 30
’
40 32
’
’
’
’
Which are equivalent? Identify thè fractions equivalent to 9. 3 d* 27 36 e* 4
a.
12 30
’
18 30
’
9
A
g- 1
81 h. 9 729 i. 81
KM Semplifica, se è necessario, e trasforma le seguenti frazioni in frazioni equivalenti con denominatore 12. 91 26 ;
54 8 ;
125 10 ;
7 4;
4 16 ;
21 14 *
KM Trasforma, se possibile, le seguenti frazioni in frazioni equivalenti con numeratore 30. 7 14 ’ KM
65 39 ’
COMPLETA
33 121 ’
J8_ 9 ’
_15_ 4 ’
JJJ_ 185 *
se possibile, in modo che le frazioni siano equivalenti.
J54 a- 85
, E_ D’ 16
JL32 33
a
;
c
108
L J;
4
e‘ L J
15 105 ;
5 16
1 20 ’
_J>^
98
2
|_ |;
_
f 80 _ L_ ** 48 15*
Riduci le frazioni di ogni gruppo al minimo comune denominatore. _1_
_8_
15
18
1 12 ’
3 8’
5 36 •
2 1 23 1 2 3 28 ’ 21 » 3 ; 10 ’ 35 ’ 8 •
m
B 1 2,
1 12 ’ 7 6’
1 •4 ’
>
5 18 ’
5 2’
4 5’
3 25 •
-33 50 » ^
Riduci le frazioni allo stesso denominatore dopo averle eventualmente semplificate. H I i? 1
6 12 8 ; 56 ;
10 14 ;
2 7;
15 12 •
Il
40 ;
45 ;
_4_ 30 ;
14_ 24 ' 85
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI G
Teoria a pagina 72
Stabilisci se ciascuno dei seguenti insiemi di frazioni rappresenta un numero razionale e in caso affermativo scrivi la frazione irriducibile che lo rappresenta.
wrm
[_8_ Jté J*2_ _16_ =?■ { 1 0 ’ 4 5 ’ 4 0 ’ 20» EVI Q
wrn
1 J*
mrm J_36. _65_ _52_
16_ _96_ _18_ ì [ 9 0 ’ 4 0 ’ 2 4 0 ’ 4 5 ’ ’ j-
(36_
i? 1
104_ 1 } 1 5 ’ 2 5 ’ 3 0 ’ 40 ’ " J *
VERO 0 FALSO?
a. Il numero razionale 2 è rappresentato da tutte le frazioni che hanno il numeratore doppio del denominatore. 2 12 b. Il numero razionale y può essere rappresentato dalla frazione y y .
[v]|T] 0 H
c. Il numero razionale 1 è rappresentato da tutte le frazioni che hanno numeratore e denominatore uguali.
[v]|T]
d. Una frazione è irriducibile quando il MCD tra il numeratore e il denominatore è 1.
1~vH~f 1
2. CONFRONTO E RAPPRESENTAZIONE CONFRONTO G
Teoria a pagina 73
7 13 5 Confrontiamo le frazioni y y , - y , y . Poiché mcm(12; 18; 8) = 72, applicando la proprietà invariantiva, scriviamo le frazioni equivalenti a quelle date con denominatore 72: •6
_7____7 ^ 4 2 12 ^ 72 12
■U
13 18 w 72
72 ;
•6
13 C 52 18 72 ;
5 8^72
5 8
45 72
•9
•u
Ordiniamo le frazioni ottenute, confrontando fra loro i numeratori: 42 ^ 45 ^ 52 . 7 ^ 5 ^ 13 72 < 72 < 72 ’ cluindL 12 < 8 < 18 •
Confronta le seguenti frazioni. 2
J L
42 ’
12 ’
4 21 ;
6 _5_ 30 ’ 15 ’
22 ’
13 33 ’
50 132 ’
i5 70 ’
_2_ 8’
_33_ 140
BCTQ VERO 0 FALSO? 1 . 2 . 11 a- 3 < 7 < 9 •
0 0
c. .2y v 3 v
b. j
0 0
d. y è equivalente a y y .
è equivalente a y y .
9 .
0 0 0 0
Q INVALSI 2007 Quale delle seguenti disuguaglianze è vera? T— H V COI’—'
r-H »— H
0 86
]
i— | 13 . 13 ra T r< T 2
[y. lcj
> J3 . n ^ 10
n n 13 . 12 [U n > n
2. CONFRONTO E RAPPRESENTAZIONE
inserendo uno dei simboli < , =, > .
COMPLETA
m _3_ |
7 — 3’
I O 1— 5 ’ u
5
!□
ESERCIZI
5 — ' z-
4
_9_ 11 1— 1 33 ’
Al 3
43 -E . 50 — 20 ’
^9
13 1— 1 52
10 ’
^
10
J7_ | 3
AL 39 ’
•
4
7 — 8’
^
—
JA
5 17 4 '
—
VERO 0 FALSO?
a. b* “f" <
E lQ
^e
"a "
, fl>b
Cl
Va, fr £ N, a, b # 0.
lE IT I
E rri
d. Se due frazioni hanno lo stesso numeratore, la minore è quella con denominatore maggiore. E
f i l i Q YOU & MATHS
_A / A / 11 m ^" 55 ^" 20 10
r - ,
^E
177 3 10 < ~5| < 20
E
m 5
(ITI ? . 3 . 13 ^E 777 10 < A5 < 20
Less than or greater than 1? Complete thè following with an inequality or equal sign.
1
a. 1Q
o.
e
/
C- T < T T T
Quale fra le seguenti disuguaglianze è quella corretta?
INVALSI 2011
H
n
ZZ
EGEI
b . f - U i
l u
c.
d. - f u i
i
215 U i
40
Scrivi in ordine crescente le seguenti frazioni dopo averle ridotte allo stesso denominatore. m
u
m
m
M
m
j r ,
f ,
- f,
f ,
-f,
2
.
5 6'
11 4 ’
3 14 ’
1 4’
40 9 '
7 15 '
6 5’
15 2
Scrivi in ordine decrescente le seguenti frazioni. A
2*
l i
5 ’
A
A
5*
A
3’
6’
A
4
A’
20 77 ’
1 2’
9 28
4 6 Stefano: «C’è un solo numero razionale fra y y e y y ». Pia: «Direi invece che ce ne sono infiniti...». Tu cosa dici? Motiva la tua risposta. CHI HA RAGIONE?
Per ogni coppia di frazioni, trova almeno una terza frazione compresa tra le due della coppia.
A 8
filli Q
E
il
8
’
A
A
A
7’
;
7;
A
A
15
63 27
E
EUREKA! . i _
i5
s ’
2.
’
E
E
11’
11*
Quale dei seguenti numeri non è compreso tra 2 e 3?
INVALSI 2004
r - i _39 ® 12 7
fy l
l .
9 > A>
4 ’ 8•
E
4
Tra a e b Considera a = y ^ - e b = - y . Dopo aver stabilito se a > b o a < b, trova tre frazioni .
.
.
.
.
.
•
.
,
x, y, z ridotte ai mimmi termini e comprese tra a e b.
a
/
<
, b;
.
253
per esempio x = "gyg". y
—
127
,z
—
85 192
87
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
RAPPRESENTAZIONE SULLA SEMIRETTA ORIENTATA ©
Teoria a pagina 74
IN FORMA GRAFICA
Fractions on thè number line Place thè following rational numbers on thè number line. _3_ A J_ JL 4’ 2’ 3’ 4•
Rappresenta su una semiretta orientata.
itti Q
YOU &MATHS
YOU &MATHS Something’s wrong Philip drew thè following number line. Explain what is wrong and then draw an accurate one containing thè same numbers.
I fIM Q Itti
Scrivi i numeri che corrispondono ai punti. -
A B
C D
E
F
G
i i • i i • i i i • i • i i • i i • i i i •— ►
0
1
■» 0
2
1 2
3. OPERAZIONI
1 3
1 1 4
CO
o
b co
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE © Calcoliamo: a.
+ -^ r ; b. 9 —
Teoria a pagina 75
+ b o
1 1 6
1 12
5 12
co + o b c o -o
7
, cono cot o
.
Trasformiamo in frazioni equivalenti con lo stesso denominatore e poi sommiamo i loro numeratori. 6 0 :1 5
2 7 a* 15 + 20
/
4: 1 /
6 0 :2 0 /
24 73 8 + 21 “ 60 + 60 “
29 60
60
mcm(15; 20) = 60
a
CHECKER
88
Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni.
13 _ 9 4 4 w 4 mcm(1; 4) = 4
13 _ 3 6 - 13 _ 23 4 4 4
3. OPERAZIONI
le seguenti uguaglianze.
COMPLETA
|T| 5,1 __ 1 45 ™ T +n - ^ ;
J__u
’
15 “ | _ r
7
3
1
|ht m
P
1 6
1
4 3
^ 12 I
LJ
, 5
U u
|m 1
7
’
7 18 ;
p
11 60
1 3
00 r-H
1 __ LJ
13 30
l_l |_|
II
rrv
ESERCIZI
MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE @ Teoria a pagina 75 n , 8 Calcoliamo: a.
6
7 + A/
O
A/ ‘ O
Qj
O
A/
d
b
d
b- d '
b ' d
b
o
25 , 21 14 b. :~$~-
Nella moltiplicazione, dopo aver semplificato, moltiplichiamo i numeratori fra loro e i denominatori fra loro. Nella divisione moltiplichiamo il dividendo per il reciproco del divisore. 2
m o ltip lic h ia m o 5
a' }é-Ì2. 3
3
10 9
, 21 14 21 D' 10 : 5 ^ 1 0
3
1
_ 3 4
yS 2
m o ltip lic h ia m o p e r la frazione reciproca
s e m p lific h ia m o
2
Esegui le seguenti moltiplicazioni.
E1 CHECKER 12
50
25
20
3 4
5 14
’
8
6
9
7’
4
7
21
6’
44 9
12 i
r
3 28i r
>
_3_
45 132 ’
3 66 44 ' 15 •
(■ 36
8
36
10
5
25
9
4’
_3_ _7 64 9 *
Scrivi il reciproco dei seguenti numeri. un
- i.
P
6;
9
CHECKER
P
3 •— • J• 2 ’
eh
a
3 1 16 : 2 CHECKER
5
1
3’
5; 1 10 ;
7
9;
12 ’ 8
20
3;
13 ;
□
•
11
7 8; 8-
10.
2+ y;
3; 13 2 ;
-2 + iL . 5 ^ 15 ’
4 5
1 2
(A + 2
Esegui le seguenti divisioni. 1 1 4 :8;
i l ,,
100 25 3 • 6 ,
_3__ 9_.
5 - 10’ 5
28 • 49 ’
2
4 5
7 . 3,
Calcola il valore delle seguenti espressioni. 27 16
4 2 9 '5
15 6 ’
3 _12_\ /_14_ 9_\ 20 11 M 22 ■7 / ’ 2 2 15 • 3
8. JL 9 i o
5 ‘5 z
3 ’
13 26 3 2 • 3 ‘4’
16 6 3 5
25 10 6 • 5
3 7 6 25 ? 1 5 ' ' ’ 5 ' 14 8’ 16;
25 5 2 ‘3‘ JL
16 •
11 l i \ . J L . /c A R r3 33 j- 4 •\ 5 ' 3 ' 20 /
89
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
MATEMATICA E STORIA
► LABORATORIO
Le frazioni nell’antico Egitto Per rappresentare le frazioni del tipo
, gli anti
Ili
chi Egizi sovrapponevano al geroglifico del nu mero n un geroglifico a forma di bocca; ecco alcuni esempi a fianco.
III
III III
II
10
n
100
Alcune frazioni erano denotate da simboli speciali.
3
l1 f
Nel Papiro di Ahmes (noto anche come Papiro di Rhind), risalente circa al 1600 a.C., compaiono tabelle in cui le frazioni e i numeri interi sono espressi come somma di frazioni unitarie o di qualche frazione speciale, come nell’esempio a lato. Nota che abbiamo riportato le frazioni in scrittura moderna e abbiamo usato il segno di addizione, che è entrato nell’uso comune solo dopo il 1500 d.C.!
1 2
-L + J - + J 3 ^ 10 ^ 15
2
1+± + A + J_ + J _ 1 + 5 + 3 + 10 + 30
a. Verifica che il valore di ciascuna delle espressioni della colonna di destra è uguale al valore riportato nella colonna
di sinistra. b. Scrivi le frazioni 3 e 5 come somma di frazioni unitarie, diverse fra loro. 7
c. Scrivi prima il numero 1 e poi la frazione ►Risoluzione.
ITifl
►2 esercizi in più.
come somma di frazioni unitarie o «speciali».
►Attività di ricerca: L'importanza dei papiri.
Trova quale numero, sostituito all’asterisco, rende vera l’uguaglianza: /J f _ J f \ 3 + \ 5 7 / ‘ * - 35 ’
1Calcola: 1 7 12 4 9 ’ 4 4
CHECKER
m
5 1 ’ 5 COMPLETA
18 u 11 u
m
12 U 5 |_ |
3 7’
rrn
4 1__ 1 15 ’U
7’
ITTI
CACCIA ALL'ERRORE
7
a.
. 4
tt
b>
t
:(1 + t ) =
POTENZA CHECKER
P ( ii> P (f )2' 90
6
=
u u
= 27.
8 • 25 “
15 8 •
28
C.
t
’ (1 + 9 )
d.
2 0 -8 o
1
_2 , _4 5 + 3
=
rrn
1 2
ITTI
2 .L 3 •I3
20 “ V = V,
l 7 -. U t \ 5 u )
1—1\ 5. |_ |/ “ 6 ’
19
( 8
\ 3
e. 5- 4-
_5_ 3_ 2 + 4
f.
1 5 2 " 4 ’ 5
u > )’ 4
__ 1
140 + 3 50
z.
= 0
14 + 3
CZVt-At-E N
© Teoria a pagina 76
Calcola le seguenti potenze.
P ( i ) 3;
( l) 2;
P ( i + ! ) 2;
l ~
i l
M
)4
3. OPERAZIONI
DI
CHECKER
ESERCIZI
Semplifica le seguenti espressioni. JQ2 24 • 32 3
(2V (Z { 5/
J -\2
\ 6 • 10 ) ’
Proprietà delle potenze
DI
CHECKER
pG
Semplifica, applicando le proprietà delle potenze.
INVALSI 2003
[ a] IO5
Qual è la millesima parte di IO15? QT] IO12
[c ]
1 0 'ò o °
i n io 18
Espressioni con i razionali assoluti
DI P
CHECKER
4
1-
Calcola il valore delle seguenti espressioni. 21
P T:T+(
[32] 47 36 91
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
[3] 4 5 27 25 [ 2]
-42
1\ 1 7 / 10 2 \2 14 ,5 / - 3 ' 5 252 *3 • 6
92
5 2
2
3
2 3
20 7
16
3. OPERAZIONI
c a
EUREKA!
ESERCIZI
Aguzzare la vista... Considera l’espressione
a. Osserva come si susseguono gli addendi, aggiungine altri tre e calcola il risultato. b. Trova il risultato con 100 e con 1000 addendi.
c. Aumentando ancora il numero di addendi, a quale numero si avvicina il risultato? , i l ,,1 9 9 1999 , ~ a) 7 >b) 10Q e 10Q0 , c) 2
D alle parole ai sim boli
nsG VERO 0 FALSO?
ir a i Calcola la quinta parte della somma tra 1 e il
a. Il doppio di y è y r-.
rVUTI
b. La metà di -y - è y .
r~v~l[~f~1
quadrato di y . ir a i Sottrai a 1 il risultato della divisione tra il cubo di
c. Il quadrato del reciproco di y è - y . rvUTI diyediyèyy
E IT ]
P
EE9
Moltiplica - jy per il cubo di y e sottrai al risultato la somma dei quadrati d i _ ÉT e d i ~ 4 -
12
Dividi y per il cubo della metà di 3 e sottrai - y 7
al risultato ottenuto.
Nei seguenti esercizi, scrivi in simboli le espressioni che proponiamo con le parole. Calcola il loro valore. EH] Calcola la somma del doppio di y con il triplo J_5 di y e sottrai al risultato ~ r . 4
11
-y e il quadrato di y
d. La somma dei quadrati dei reciproci
135
g i i Dividi il quadrato del quadrato di y per il cubo della somma di 1 e y ottenuto. P
e aggiungi 2 al risultato 10
Moltiplica il cubo di -y - per il cubo di y e dividi il risultato per il quadrato di y
93
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
Calcola il valore delle seguenti espressioni dopo aver sostituito i valori indicati. i l
( 2f
a —4 ,
1 3
h = 1 -
_? a
_
’
a ~
b —
C= A
A l quadrato della differenza tra il doppio di un numero e 1 aggiungi il numero stesso. Scritta l’espressione, calcola il suo valore se il , 3 16 n u m e ro e y . y
u n
b
P
c ■ [ ( a 2 : b ■c)
Problemi
: 4 ]3;
a
= -A ^ ,
b
3,
c
-A
To gli 3 a un numero dato e d ivid i il risultato per 9 il doppio prodotto del numero con y y . Scri vi l ’espressione e poi calcola il suo valore se il , 10 1 numero vale y . y
, _ 2 y .
+ J ) : [ 4 ( a + 6)];
a — b + c c
IFZ I
1
IF71
2
intorno a noi
In Italia una famiglia su tre possiede un cane o un gatto. Sapendo che la popolazione è costituita da circa 22 500 000 famiglie, quanti anim ali domestici sono presenti? Q uanti sono i cani se il loro numero è uguale ai y
4
di quello dei gatti?
IFCT In forma! Da un’indagine sulle attività sportive degli studenti di una classe emerge che y ca il nuoto; tra i rim anenti y
gioca solo a calcio, y
solo a pallavolo, mentre 6 ragazzi praticano
altri sport. Da quanti alunni è composta la classe?
ITITI
prati-
[18]
Avvita la vite Con un movimento della mano riesco a far fare y di giro a una vite. Con 4 movimenti della 2 4
mano riesco ad avvitarla per y
della lunghezza. Con quanti giri completi si avvita completamente la vite? [4 giri e mezzo]
im i Che pizza... U n pizzaiolo prepara 24 kg di impasto per una serata e usa metà di questo impasto per le pizze margherita, y per quelle ai funghi e y
per altre varietà. Se per ogni pizza è solito utilizzare 250 g di impasto, [8]
quante pizze potrebbe ancora fare per finire tutto l’impasto?
e b “
U
INVALSI 2005
In una prova di ammissione bisogna superare due test, y
test e y H
dei candidati superano il primo
^
1
di quelli che l’hanno superato passa anche il secondo test. Su 360 candidati, quanti saranno ammessi? [T] 60
40
[c ] 120
QT] 280
4. NUMERI DECIMALI DALLA FRAZIONE AL NUMERO DECIMALE G e b
G
Teoria a pagina 78
VERO 0 FALSO?
a. O gni frazione può essere rappresentata da un numero decimale.
[ v ] IT I
b. 1,5 72 = 1,5 72 7 2 .
[ v] [ f]
c. y
[v][T]
è una frazione che rappresenta un numero decimale finito.
d. y y è una frazione che rappresenta un numero decimale periodico misto.
[V] [T|
e. 6,132 100 = 613,2 l3.
0 0
4. NUMERI DECIMALI
m
u
INVALSI 2004 U n numero decimale è compo sto da 5 cifre e gode delle seguenti proprietà:
m D H
• la cifra delle decine è uguale alla cifra dei centesimi aumentata di 7;
[T] 1,33
p u
Qual è il numero?
p i
292,32
p iu
E
12 300
E E
50
A 4 ’ ma P I ir a
7_
150 ’ y ;
27 ’
6 ;
3 50 ; _9_ 30 ’
14 18 ’ _5_ 9’
12
21
•
J_
11
7 56
5 4 •2 ’
_7 6 ;
A 9 ;
J_ 12 •
A
3 ;
YOU&MATHS Transforming fractions into decimai numbers Before transforming thè fol-
MATEMATICA E STORIA
In Europa, per lungo tempo, si rimase fedeli alle fra zioni, spesso usate assieme ai numeri naturali. Ecco un esempio ricavato dal Liber abbaci di Leonardo Fibonacci detto Leonardo Pisano (ca. 1170-ca. 1250): _3_ 4
10 • 1
_7_ _9_ 10 20 1
_3_ 4
_9_ 10
_13_. 20 1
Ma Stevino...
36 '
’
18 90 '
Frazioni e numeri decimali
_L 20 ’
126 105 •
11
9 50 ’
22 200 *
lowing fractions into decimai numbers, predict thè m axim um number of decimals they could have in their period and explain your reasoning. 181 43 7 ; 6
8
Senza eseguire la divisione, indica per ogni frazione se rappresenta un numero decimale finito, periodico semplice o periodico misto.
10 ’
Trasform a in num eri decim ali le seguenti frazio ni eseguendo la divisione. 3_
Una sola delle seguenti frazioni rappre senta un numero decimale periodico. Quale?
13
7 2 3 •5 ’
7 ;
TEST
3 180
3
1000 ’
3
QT| 696,32
242 44
[5 ] 100 0,013
20 ’
[c] 484,82
[J] 292,12
[c ] 1,3333
1 100 ’
• la cifra delle centinaia è uguale alla cifra delle unità.
H
-y
Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali, senza eseguire la divisione.
• la cifra dei decimi è uguale alla cifra delle decine dim inuita di 6;
m U
I seguenti numeri sono tutti uguali a 1,3 uno. Quale?
TEST tra n n e
• la cifra dei centesimi è 2 ;
• la cifra delle unità è il doppio della cifra dei decimi;
ESERCIZI
Stabilisci il tipo di numero decimale rappresentato dalle seguenti frazioni e trasforma ogni frazione in numero decimale. 2 5 ;
12 25 ; 9 4 ’
8 12 ;
1 2 ; 7 60 ; 7 35 ; 5 18 ;
4 9 ; 18 45 ; 3 24 ; 13 65 ;
11 44 ;
1 6
24
3
22 ;
20
3 40 ;
12 •
7 15 ’
15 60 •
Una veduta de lla città n atale di Stevino (Bruges, in Belgio).
5
□
►Problema e risoluzione. ►Un esercizio in più. ►Attività di ricerca: Scambi culturali.
95
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
DAL NUMERO DECIMALE ALLA FRAZIONE G
Teoria a pagina 79
Trasform iam o in frazioni: a. 1,56; b. 4 ,2; c. 8 ,3 12. numero decimale finito
,4
a. 1,56
—
proprietà distributiva
1
1,56 IO 20 3 10J
! + 5 10 + 6 • ioo ) ' 100
100 + 50 + 6
100
100
156 100
2 cifre
semplifichiamo
numero decimale periodico semplice bU .
A
=
4 :, Z,
39 25 •
vv ^
~ 4-
1 cifra
q
=
4 2 g
numero decimale periodico misto
g
« 7^
_ ”
c.
.
1 cifra
1 nove
8 3 1 2 -8 3 990
2 cifre
_ “
8229 990
2743 330
^
semplifichiamo
2 nove 1 zero
Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni. gn
7,1;
gm
0,06;
6,04;
0H
0,52;
0,52;
mu
44,2;
0,03.
00
1,2 34 ;
1,2 13 .
00
5,71;
0,52.
03
1 1 , 12 ;
7,5;
0,45.
3,6;
3,75.
4,156 ;
4,05.
YOU&MATHS From decimai numbers to fractions Convert thè decimai numbers to fractions in lowest
terms.
b. 2,47;
a. 0,48;
COMPLETA 0 3
d. 0,8;
c. 3,333;
e. 0,2;
f. 0,41.
inserendo uno dei simboli < , = , > .
1 ,2 1__ I
2,6 L I 2 , 66 ;
1,43 L
1,44.
0 0
2 ,39 U 2,4;
3 ,7 U 3 ,7 ;
- j
L
0,777.
Disponi in ordine crescente i seguenti numeri razionali. 0 0
1,3;
4 ;
4 ;
4 -
0,83 ’
E0
2,6;
0,3 ’
3,3;
3
i l 5 •
Rappresenta i numeri indicati su una semiretta orientata. 00
1,4;
5 ’
1,3 2 ;
i l 9
7_ 4 ;
GB
1, 6 ;
i l 5 ’
l i
9 ;
18 25 ’
2,42
Espressioni con i num eri decim ali 0 0
INVALSI 2011 Quale numero si ottiene aggiungendo 1 millesimo a 4,3699?
H 0Q H 0B
TEST Moltiplicare un numero per 4 è la stessa cosa che dividerlo per: 0,25.
\J }
0,4.
[c] 0,5.
QT] 0,2.
INVALSI 2012 Osserva questa moltiplicazione: 17 36 = 6 12. Ora scrivi il risultato delle seguenti m oltiplica zioni. a. 1 7 -3 ,6 =
96
b. 17 -0 ,3 6 = 1
c. 1,7 -3 6 0 =
d. 1 , 7 - 3 ,6 =
5. PROPORZIONI E PERCENTUALI
CHECKER
ESERCIZI
Trasforma i numeri decimali in frazioni e calcola il valore delle seguenti espressioni.
00
4,75 1,6
00
( l,2 ) M ,5 + ( l , 3 - y j : 2
1
32
2,4
5
00
0,36 -2 ,4 + 4,05 : ( 1 ,5 ) 2
00
(0,15 —0,005) •6,6 + - | - •7,2
00
( 3 ,2 + 5,7) 0 ,3 + 2 5 ( 0 ,6 -0 ,6 ) y | -
v m
— —
i —
0,2 -----------
0,2 + 0,9 + 1,9 + 0,3
§31
° , 6 + ^0 , 6 l l- 0 n , 3ì ~ 1,6
03
1 2 . 0,4 1_ 1,7 5 0,2 + U , 1 + 0,4 • 0,3 + 0,5
P
1 ,1 4 8 — y ) -54
22,5
+ 23
[1 1 ]
133
50
0 , 8 7 5 ~ ) 2- 7 , 6 : ( y j | - 3 0
[5]
147 55 11
071
i +
§§S
( l,0 9 -^ -:-^ -)
0 J1
( o ,O Ì4 - y : 0,136 1,5 + 2 ^ 0 ,5
il
0H
( 3 , 6 ~ + 0 ,6 )( o ,5 -y + -^ ^
15
P I
[(0,6)5 •(0,6)3] 2 : [(0,6)2] 7 -
0 3
[(0,2)6 •(0,1 •0,6 •0,6)7] : [(0,2)9] 2 + 4 •0,04
0 ,8 3 - 4 - T + 1 , 6 - 1,8
[1]
2
_9 2 3_
7
[1]
19 110
(0,9)4
00 2
18
24
•0, "1
§P □E333EEBIZB1 0,25 1 1 ,6 -0 ,5 : 7
0 3
2 ,3 -2 1 3 1 ,3 -3 0 : 2
JL
3
INVALSI 2011 U n bicchiere contiene y di litro di acqua. Se si vuole riem pire una bottiglia da 1,5 litri, quanti bicchieri di acqua bisogna versare nella bottiglia?
U na mamma deve somministrare al figlio convalescente 150 mg di vitam ina C ogni giorno. Avendo a disposizione compresse da 0,6 g, quante compresse al giorno deve dare al figlio?
E S G
INVALSI 2008
[~À1 U n quarto di compressa.
He] 2 compresse e mezzo.
ITTI Una compressa.
QT] 4 compresse.
5. PROPORZIONI E PERCENTUALI PROPORZIONI
e Teoria a pagina 80
a ,:: b
- C: d -
fa
■d = b ■o
/ E S S I Determina x nelle seguenti proporzioni.
00
8 : x = 15 : 225
0 0
x :y —
00 03
p j
(12 + x) : 11 = x : 3
18
P I
(x + 5) : 9 = x : 4
x : 0,6 = 6 : 96
P I
x : 6 = ( x + 15) : 11
p i
2 ,7 :x = 2 , 5 : y 5
1
14 : x = 3 5 :10 X
15 0 3
x
2x : 72 = 2 : y
F7T1
( x + 14 ): 14 = 9 :2
§H 1
(x + y ) : x =
1
16
W k
2
00
24 - 16 : 1 2 5 -9
4
3 -
15 8
:
8 — (6 + 2x) : -j"
X .|
I l y
, , + 1
34 •5
84 97
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
Calcola il medio proporzionale tra i numeri assegnati.
FEH
6 e 54;
y
e
2,88 e 2,42.
00
( l+ y ) e(
y
);
3,8 e 15,5.
Determina i valori incogniti nelle seguenti proporzioni applicando le proprietà delle proporzioni. MflÉ I
a :b —
x :y 24
=
8 :14 , con
a + b —
154.
[a =
27 : 1 1 , con x —y = 144.
: a = 15 : £>, con a +
EUREKA!
b =
56-,b
= 98]
[x = 243; y = 99] 32 . _ _4_ a “ 65 >b~ 13
y
Al q u a d ra to Se vale la proporzione
x :y — 7
: 5, con
x2—y 2 —
864, calcola x
_5
e y.
[42; 30]
FEfl
Il rapporto tra due num eri è y e la loro somma è 56. Trova i due numeri. 3
[35; 21]
FETI
f-rv & Trova due numeri il cui rapporto èy
[56; 40]
FETI
D iv id i il numero 210 in due parti proporzionali a 8 e 27.
e che hanno per differenza 16.
[48; 162]
FEE1 D iv id i il numero 600 in due parti che stanno nel rapporto 7 a 5.
[350; 250]
F E n In un triangolo un lato è medio proporzionale tra gli altri due, che misurano in centimetri 24 e 54. Trova il perimetro del triangolo. [114 cm]
Problemi
FETI
intorno a noi
Un budino per 7 Sulla base degli ingredienti indicati a fianco, quali dosi sono necessarie per preparare il budino al cioccolato per 7 persone? [1,75 L; 280 g; 175 g; 210 g; 161 g]
d o ù j M r 4 persone':
1L 160j
Latte, cacao Lev
pcLwe-
100p zucckevo 120p burro 92 p
f a r tiiA
FETI
A passeggio U n turista sta passeggiando per una città. Consultando una mappa in scala 1:7800 scopre che per arrivare alla sua destinazione deve percorrere due vie. Queste nella mappa m isurano rispettivamente 12 cm e 14 cm. Qual è la distanza in metri che deve percorrere? [2028 m]
FEFI
U n frutteto di forma rettangolare, riprodotto su una mappa in scala 1:8000, ha le dim ensioni di 25 cm e 18 cm. Se in ogni ettaro (1 ettaro = 10000 m 2) vengono piantati 420 alberi, quante piante occorrono? [120960]
FEFI
In una carta geografica è indicata la scala 1:250000, cioè 1 cm nella carta corrisponde a 250000 cm nella realtà. Se due paesi distano tra loro 13,8 km, a che distanza si trovano nella carta? [5,52 cm] In un forno con 24 kg di farina si preparano 144 panini del peso di 200 g. Q uanti kg di farina occorrono per confezionare 480 panini del peso di 175 g? [70 kg]
FEfi
98
Pomodori L ’anno scorso due fratelli si sono divisi i pomodori del loro orto in rapporto 4:5. Se quest’anno la produzione è triplicata rispetto a quella dell’anno scorso, in quale rapporto devono dividersi i pomodori affinché il fratello che ne aveva ricevuti meno ne prenda la stessa quantità dell’anno passato? [4:23]
5. PROPORZIONI E PERCENTUALI
ESERCIZI
TEST Sbucciando un’arancia m i accorgo che il suo peso cala da 250 g a 150 g. Se le arance che erano in una cassetta pesano, dopo essere state sbucciate, 6 kg, quanto pesano le bucce che sono state tolte?
B S G
[ a]
m Q
3 kg
[ b]
3,6 kg
[c] 4 kg
I~d1 5 kg
INVALSI 2005 La nonna ha messo da parte la somma di € 165 per fare un regalo ai suoi nipoti Marco e Andrea. Vuole suddividere la somma in modo proporzionale alle età rispettive dei due nipoti, che hanno uno 12 e uno 10 anni. Quale sarà la suddivisione?
H
€ 100 e € 6 5
PERCENTUALI C
00
a. Il 10 0 % di un numero è uguale al suo doppio.
E E
b. Il 2 0 % di 900 è 180.
S E
x è uguale a 0,42 •x.
d. 2 7 % equivale a 0 ,27%. e. Il 3 % del 1 0 % di un numero equivale al 3 0 % di a .
3 8 ’
pQ
S E
1 3 5 ’
INVALSI 2005
7 50 ;
10 ;
11 25 •
A quale delle seguenti percen
tuali equivale la frazione
?
6 0%
|T | 7 2 %
S ] 70%
[5] 8 0%
[ a]
a
E E E E
Trasforma in frazioni irriducibili le percentuali.
COMPLETA
a. Il 2 7 % di I_____I è uguale a 1296.
b. Ili_____1% di 6500 è uguale a 208. c. Il 4 % del 10 % di 200 è uguale a I_____I.
d. Se aumentiamo 284 del 30 % , otteniamo e.
Trasform a in percentuali le seguenti frazioni:
E E
f. Il 5 % del 2 0 % di 400 è uguale a 4. ETTI
[5] € 8 5 e €8 0
Teoria a pagina 81
W.lil Q VERO 0 FALSO?
c. Il 4 2 % di
[T] €9 0 e € 7 5
[ b] € 9 5 e € 7 0
H0
14 % ;
0 ,2 % ;
6%;
0 3
3 1% ;
2 ,4 % ;
12 % ;
pG
YOU &MATHS
3%. 8,4%.
Fractions as percentages
a. M aria gave her friends «three fourths» of her pizza. W hat percentage of her pizza did she distribute?
Se diminuiamo 5400 del 4 ,2% , otteniamo
n z u Indica le percentuali che rappresentano le parti colorate di ciascuna figura.
b. W rite thè following fractions as percentages: 3 4 ’
5 100 ’
1 3 ’
5 4 •
Calcola i valori richiesti.
pG
INVALSI 2005
Quale
percen-
H0
8 % di 850; 7 0 % di 2850;
4 ,8 % di 1276; 6 % di 32.
00
8 % del 1 5 % di 32; 2 0 % di 65;
0,4% di 9827; 1 0 % del 4 2 % di 2000.
gn
Se il 1 6 % di un numero corrisponde a 17 12 , qual è il numero?
pi
Il 14 ,2 % di un numero equivale a 1349. Trova il numero. 99
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
EH
M ftl
Un numero viene aumentato del 1 5 % e poi subisce una dim inuzione del 1 5 % . Si ottiene lo stesso risultato se invece il numero subisce prim a una dim inuzione del 1 5 % e poi un aumento del 1 5 % ? [sì] EUREKA!
Lato per lato I lati di un rettangolo misurano 60 cm e 40 cm. Se entrambi i lati venissero d im in u
iti del 5 % , di quanto diminuirebbe, in percentuale, l’area del rettangolo? Quale sarebbe invece la diminuzione in percentuale dell’area se i lati venissero entrambi dim inuiti di 5 cm? [9,75%; 19,79%]
FOT
EUREKA!
Verde, giallo, bianco Nella figura le parti colorate rappresentano: 11 7
in verde gli -p r dell’area del quadrato; in giallo i - j y dell’area del triangolo.
a. Scrivi quale percentuale del quadrato e quale del triangolo è rappresentata dalla parte non colorata.
b. Calcola il rapporto tra l ’area del quadrato e quella del triangolo. c.
Se il lato del quadrato è 30 cm, quanto m isura l’area del triangolo?
Problem i
intorno a noi
fm
U n automobilista deve percorrere una distanza di 340 km. Sapendo che ha percorso il 7 0 % del tra gitto, quanti kilometri deve ancora percorrere? [102 km]
FUI
U n computer costa € 700. Se viene scontato del 18 % , qual è il suo prezzo finale? A quanto ammonta lo sconto? [€ 574; € 126]
FOT
Sotto esame A un appello di un esame 135 can
Fra La bolletta cresce II prezzo del gas ha subito in un anno tre aumenti del 4 % . Puoi dire che com plessivamente l’aumento è stato del 1 2 % ? [no] F ra
P U
U n capitale di € 12000 è investito in azioni. Ieri la Borsa ha perso il 3 % , mentre oggi ha riguada gnato il 3 % . Il capitale investito è rimasto inva riato? [no] U n negozio di arredamento vende una cucina a € 114 30 , realizzando un utile del 2 7 % . Calcola il costo di produzione della cucina. L ’acquirente riesce poi a farsi scontare ancora € 430. Che guadagno percentuale realizza così il negozio?
FEE1
Shopping! In periodo di saldi Luisa compra in un negozio una gonna a € 27, una maglietta a € 46 e un paio di pantaloni a € 53. Sapendo che ha risparmiato € 54 rispetto ai prezzi originali, qual è la percentuale di sconto applicata? [30%]
100
didati vengono promossi. Sapendo che il tasso di bocciatura è stato del 2 5 % , quanti studenti sono stati bocciati? [45]
ESEMPIO DIGITALE
Sconti elettrici Martina compra una chitarra elet trica a € 650. Dopo qualche tempo decide di rivenderla con uno sconto del 12 % , ma, non trovando acquirenti, abbassa del 1 2 % la cifra già scontata. A quanto rivende la chitarra Martina? Qual è la percentuale di sconto rispetto alla cifra iniziale? [€ 503,36; 22,56%]
25 a) 26,6%; 41,6%; b) -g r; c) 576 cm
FOT
Due amiche stanno programmando una vacanza. Il costo per i biglietti aerei e l’alloggio è mostrato sotto. Poiché prenotano con largo anticipo han no diritto allo sconto indicato. Quanto spendono in totale? [€ 1020,80]
FOT
U n negoziante acquista una m acchina fotografi ca a € 300. Se vuole ricavarne un utile del 2 5 % , a quanto deve rivenderla? [€ 375]
I 'i'M
Una città ha 214 000 abitanti. Si stima un tasso di crescita della popolazione del 2 , 1 % per i prossi m i due anni e dell’1,9 % per l’anno successivo a questi. Calcola la popolazione stimata fra 3 anni. [circa 227 320]
5. PROPORZIONI E PERCENTUALI
► LABORATORIO
ESERCIZI
MATEMATICA INTORNO A NOI
Cresci, Hoagy! Un allevatore cinofilo di «bovari del bernese» sta studiando la crescita di Hoagy, uno degli ultimi cuccioli nati, e per fare questo registra ogni mese il suo peso. All’inizio dello studio Hoagy pesa 15 kg; dopo un mese il peso è aumentato del 20% e questo incremento si registra anche alla fine del secondo mese. a.
Quanto vale l’incremento totale del peso di Hoagy nei due mesi di osservazione, in percentuale?
b. La percentuale ottenuta è inferiore, uguale o superiore alla somma delle due percentuali parziali di ciascun mese? c.
Più in generale, se p% e q% sono le percentuali di crescita nei due mesi, quanto vale la percentuale di aumento complessiva?
s a
In una classe l’8 4% dei ragazzi conosce un’unica lingua straniera, mentre i rimanenti 4 studenti conoscono due lingue. D a quanti studenti è com posta la classe? [25]
EH
Su un cartello in biblioteca c’è scritto: «È possibi le riprodurre per uso personale fino a un m assi mo del 1 5 % di un’opera letteraria». A quante pagine dell’eserciziario, che ne contiene 276, devo rinunciare? [235]
p ] □ E 3 3 3 E E B H H 1 Una ragazza compra una maglietta scontata dell’8 % pagandola € 33,12. Una settimana dopo vede la stessa maglietta scontata del 1 5 % rispetto al prezzo originario. Quanto avrebbe risparmiato se avesse aspettato a comprarla?
EHI Non è tutto oro... L ’oro utilizzato per i gioielli è puro al 750%o, cioè il 2 5 % della lega è costituito da un altro elemento. Se un orafo vuole produrre un gioiello contenente 20 g di oro puro, quanti gram m i di altro materiale deve aggiungere per ottenere la lega? [6,67 g] v m
Vorrei comprare un libro il cui prezzo di coper tina è € 26,50. In una libreria l’ho visto scontato del 9 % , mentre in u n’altra potrei comprarlo usu fruendo di un buono sconto del valore di € 3. In quale libreria m i conviene acquistarlo? [nella seconda libreria]
KTiTil
U n m io amico ha vinto alla lotteria € 2500 e ha deciso di depositare la somma in un libretto di risparm io avente tasso di interesse annuo del 2 % . Dopo un anno esatto preleva € 500. Quanti soldi avrà nel libretto alla fine del secondo anno? [€ 2091]
ETill Organizzazione Devo studiare 60 pagine di storia in tre giorni. Siccome oggi ho tempo, deci do di studiarne il 4 5 % ; dato che dom ani avrò allenamento, riuscirò a studiarne solo 13. Se intendo rispettare i m iei piani, quale percentuale del totale delle pagine devo studiare l’ultimo giorno? [33,3% ] EEB A l supermercato viene applicato lo sconto «Prend i tre paghi due». Che percen tuale di sconto è? N el com prare 8 pacchetti di patati ne, che costerebbe ro € 1,83 ciascuno, quanto si risp arm ia?
M 1 Questi ragazzi... A l padre di Thomas, che per cepisce uno stipendio mensile di € 1750, viene concesso un aumento di € 162. Thom as chiede allora al padre lo stesso aumento percentuale sulla sua «paghetta» settimanale, che è di € 25. Quanto riceverà ogni settimana? [€ 27,31] 101
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
EEB Alcol
test! Se a un uomo adulto si
consiglia di assumere non più di 30 m L di alcol al giorno, determina quanti m L delle bevande a fianco contengono tale quantità di alcol.
[birra: 545,45 mL; vino: 260,87 mL; liquore: 66,67 mL[
ETifi
m
G iovanni si accorge di aver letto 128 pagine del libro che deve leggere per le vacanze. Sapendo che il libro ha 400 pagine, quale percentuale gli manca da leggere? [68%]
Voti
Percentuale
A
I
I
B
I
I
C
1500
1
1 32%
1
1
EEH Per la ristrutturazione di un vecchio casolare ereditato dal padre, a Simone servono € 150 000, di cui possiede il 90%. Per la cifra rimanente si rivolge a due banche, in modo da estinguere il suo debito in un anno: nella prim a dovrebbe pagare un interesse annuo pari al 6 % , nella seconda dovrebbe restituire € 16 250. A quale banca conviene rivolgersi? Qual è il tasso di inte resse applicato dalla seconda banca? [prima; 8,3% ] Calcola quante tasse dovrebbe pagare una perso na, sapendo che le sue entrate complessive sono di € 50 000 all’anno e che la tassazione è progres siva, con le seguenti aliquote: . 2 3 % fino a € 15 000; . 2 7 % da € 15 000 a € 2 8 000; • 3 8 % da € 2 8 000 a € 55 000.
[€ 15 320]
gTin I biglietti per la proiezione di un film costano € 8 per gli adulti, mentre i m inorenni godono di uno sconto. Se sono stati venduti 195 biglietti, di cui 120 ad adulti, per un incasso totale di € 1410, qua le sconto viene praticato ai m inorenni? [25%] 102
EUREKA! Numeri nell’orto U n agricoltore de cide di suddividere in questo modo il proprio terreno:
3
-jj- seminato a grano; del rimanente, il 3 5 % semi nato a mais e il 4 5 % a erba medica. I residui 1800 m 2 verranno utilizzati per l ’orto. Q ual è, in m 2, la superficie totale del terreno coltivabile? E quella seminata a erba medica? [22 500 n r; 4050 m2]
COMPLETA la seguente tabella sulle elezioni com unali di una cittadina di 10 000 votanti.
Partito
ETiTil
ETTI
ETTI A una festa di beneficenza vengono venduti 3560 biglietti al costo di € 5 l’uno. Se il 4 0 % del ricava to viene devoluto all’associazione A , il 2 5 % della cifra rimanente all’associazione 5 e il 4 7 % di ciò che resta all’associazione C, come viene ripartito il denaro? Quale percentuale rispetto al totale rimane per coprire le spese della festa? [A: € 7120; B: € 2670; C: € 3764,70; 23,85%] eto
U n pizzaiolo prepara l’impasto della pizza aggiungendo al peso della farina, misurato in kg, l’8 0 % di acqua, misurata in litri. Quanti litri di acqua utilizza se decide di impastare 3,5 kg di farina? Viceversa, quanti kg di farina può im pa stare utilizzando 3 litri d’acqua? [2,8 L; 3,75 kg] EUREKA! Maratona su Giove Su Giove si corre oggi la Grande Maratona, lunga 2008 kilometri, a cui partecipa l’80% degli abitanti del pia neta. Dopo due kilometri il 9 5 % dei partecipanti si ritira; i restanti 2000 corridori arrivano al tra guardo. Quanti abitanti ha Giove?
B E jQ
[ a] 20000
GU 50000
[ b] 40000
QT] 80000
mu
\J]
100000
U n ’automobile ha un prezzo di listino di 10000 euro. Il concessionario offre uno sconto del 2 0 % ; inoltre un cliente può risparmiare un ulteriore 5 % su tale prezzo scontato se paga in contanti. Quanto è lo sconto complessivo fatto a un cliente che paga in contanti? INVALSI 2006
[ a] 24 %
[ 3 25%
[c] 26 %
[5] 30%
5. PROPORZIONI E PERCENTUALI
pU
INVALSI 2012 Nelle ultime elezioni svoltesi in un Paese europeo è andato a votare il 7 0 % degli aventi diritto al voto. D i questi il 2 0 % ha votato per il partito A . Quale percentuale di aventi diritto al voto ha votato per il partito A ?
[ a] 60%
QT] 50%
[c] 20%
CU 14 %
mu
INVALSI 2003 Marco ha acquistato un libro con lo sconto del 2 5 % e lo ha pagato 24 euro. Qual è il prezzo di copertina del libro?
CÀI 6 euro
CU 32 euro
CU 30 euro
QlI 34 euro
CHI 36 euro
ESERCIZI
MATEMATICA AL COMPUTER
Chi ha vinto? Un foglio elettronico può essere utilizzato per risolvere problemi con le percentuali. Come esempio, impostiamo un foglio di calcolo che riceva il numero di voti ottenuti dalle liste in un’elezio ne di un Consiglio di quartiere e fornisca le percentuali ottenute dalle singole liste e la ripartizione dei seggi. ►Problema e risoluzione. ►4 esercizi in più.
□
La popolazione italiana La figura rappresenta la distribuzione geografica del la popolazione italiana nel 2013.
a. Indica la percentuale degli abitanti al Sud. b. Calcola gli abitanti del Centro e del Nord se al Sud sono 15 799 160. c. Calcola l’ampiezza degli angoli dei settori corrispondenti a Nord, Centro e Sud.
d. Quante persone dovrebbero trasferirsi dal Centro-Sud al N ord per avere un aumento del 2 % circa della popolazione al Nord? [a) 26,42%; b) Centro: 20009080; Nord: 23 991 760; c) Nord: 144,43°; Centro: 120,46°; Sud: 95,11°; d) 479835]
EUREKA! Canestro! Ie ri Filip p o , Gabriele, Luca e M arco si sono allenati con tiri a cane stro e, alla fine, hanno scritto i risultati su un foglio. C h i ha fatto m eglio fra Filip p o , G ab rie le e Luca? M arco ottiene un risultato m igliore di F ilip p o ma peggiore di Gabriele. Q uanti centri ha fatto? [16]
Gabriele,
tir i 25 28
Folca,
26
Marco
19
Filippo
MATEMATICA ED ECONOMIA
Le spese condominiali I proprietari degli appartamenti di un condominio con tribuiscono alle spese di gestione e manutenzione delle parti comuni in proporzione ai millesimi...
centri 21 29 20 e
►Problema e risoluzione. ►2 esercizi in più.
□
ESERCIZI IN PIU ETTI - 0 i0 Q
SU TUTTO IL CAPITOLO
103
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
ESERCIZI IN PIÙ NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI E OPERAZIONI © T e o ria a pagina 70 R id u ci ai m in im i term ini le seguenti frazioni. ETTI
16 24 ’
14 49 ’
72 16 ’
21 9 ’
48 12 •
RETI
64 24 ;
56 16 ;
6 54 ;
15 95 ;
90 18 •
ED
8 •32 6 ’
2 4 - 10 32 >
CEEl “S
38
125• 10 54 •2 31
g4
12 1 33 ’
m
2 2 •32 72 ’
>
315 45 ’
40 2 2 •25 ' 190 76 ’
112 280
2 4 •34 144 •
52 •7 53 ’
CO M PLETA inserendo uno d i questi sim boli < , >, =. rrfj !“
3 I | 4 4 — 5 ’
EEflU
1 2
5 — 11 ;
'
36 | 16 9 — 4 •
} U
40 6 ■
| ;
66 9 ’
A i A 7 — 8‘
TEST Quale tra le seguenti frazioni non è equivalente alle altre?
,— . 120 H 825
i— i 8 ® 55
S crivi in ordine crescente le seguenti frazioni dopo averle ridotte allo stesso denominatore.
p f, p -f. p J-, ERSI
P
1 2’
1 3•
1 8’
1 9 •
4 7 ’
1 2 •
®
| 40 175
. ®
Scrivi in ordine decrescente le seguenti frazioni dopo averle ridotte allo stesso denominatore.
p Tp p -f.
1 2’
6 4 •
4 5’
6 8 •
8 10 ’
7 10
IN TO RN OAN O I Federica compra la lavatrice nuova versando come prim o acconto € 100, che corrispondo4 no ai y F - del prezzo totale. Versa la rimanenza in 5 rate. Quanto deve pagare per ogni rata? [€ 55]
ma EUREKA!
F ra zio n i e assoluti Quale tra le seguenti proposizioni è vera?
|~a ~1 L ’insieme dei numeri razionali assoluti è l’insieme di tutte e sole le frazioni di num eri naturali. cm L ’insieme delle frazioni di num eri naturali è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei num eri razionali assoluti. fc l Esistono infinite frazioni distinte che rappresentano lo stesso numero razionale assoluto. fol Esistono in fin iti num eri razionali assoluti rappresentati dalla stessa frazione.
E22
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NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni.
CHECKER
EEEI
I ESERCIZI IN PIU
4 - i W f 4 2- +1 44 4 - y ; 1 \
15. 9
( 4 -1
0; 1 11 18 ; 30
16
EJ0
i + ^
s a
4
4 -,1
SO
2
8 -( 9 -f
p
j-j-
5 + 10 / ’ 6+
- T ;
+ |
+4
4 - 1 -
1-
t
) + (1 -
) -( 1-
)-
t
12
2+ t M 3+Ì
(t + t )+
; 16
2;
4 -( f + l
15 2
+ 3 ;
t
17 37 3 ; 6
2 - f l - f
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
P
iil+ H '
EOI
43 V ( 42 +1 31 / j — 12
ehi p
u
t
L ) . 3. 3
M
_5_ / 23 4 6
+1) ' t ;
T + T + 4
2 ’
INVALSI 2006
H
Ì '(
3_ , _3_\ 2 + 4 /• 4 •
J-+ 1
' 6;
1 12
2 ^ 3
" * ) *
(-1 )4
Per quale delle seguenti frazioni si deve dividere y + 4 - per ottenere y ?
1
E
E
1
E
1
/ i CHECKER Semplifica, applicando le proprietà delle potenze
P
95 64
(D M lH lH i
EH
Mi
[ 1 ]
E H ] (—3 )2 •
25
10 43 \2
Mi
m
r
16
75 1
4
1
3 ’ 9 ’ 256 A i l i ;1 9’ 8
p i
Semplifica le seguenti espressioni.
CHECKER
n 2_ / j
pj ESI
i + y ) + (tV ' + 3 / j_ y + m
10
mu
ì
a
INVALSI 2006
H 1
4+
10 1 +
i x2
5
9
1 '2 10
215—214 ol3
DEI 2
E
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012
E
>13
E23
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
Calcola il valore delle seguenti espressioni dopo aver sostituito i valori indicati. EU
a 2 + b 2______ 2 a 2b 2
5 (b
4 \( c
+ 2a)
’
c
\
\2 2 ( d + c )
d ì
d —c
c
d =
io ’
1 5 •
INTORNO A NOI
P I
Sulla tratta Bologna-Roma di un treno ad alta velocità, i -4- delle prenotazioni sono con partenza da Bologna, mentre le restanti sono con partenza da Firenze, che è l’unica fermata intermedia. A Bologna salgono tutti i passeggeri che hanno prenotato, mentre a Firenze salgono 20 persone, corrispon2 denti ai -p- delle prenotazioni da Firenze, e scendono dal treno 36 passeggeri provenienti da Bologna. Quanti passeggeri avevano prenotato il treno? E quando il treno giunge a Roma, quanti sono i passeggeri rimasti a bordo? [200; 134]
gg
Due piloti si affrontano in una prova a cronometro. Quando il secondo parte, il primo è a y del percorso. Quando il primo arriva al traguardo, il secondo è a y y - del tracciato. Supponendo che i due piloti procedano con velocità costante, esprimi il rapporto tra le velocità del primo e del secondo pilota in forma di frazione. 15 (S u g g e rim e n to . Ricorda che la velocità è lo spazio percorso per ogni unità di tempo.) 16
M U
INVALSI 200A
Francesca spende y
di quello che ha in tasca per acquistare una maglietta, € 30 per saldare
il conto dell’idraulico. Alla fine le rimangono in tasca € 6. Quanti soldi aveva in tasca Francesca? F~a~1 € 56
[IT] € 63
[T] € 70
X
€ 84
INVALSI 2008
Un padre e i suoi quattro figli si dividono la cifra vinta al Totocalcio in questo modo: al
padre spetta y
dell’intera somma, e il rimanente viene diviso in parti uguali tra i figli. Quale frazione della
M U
somma spetta a ognuno dei figli? [a ]
m
~2
“3"
NUMERI DECIMALI p Q
TEST
E E24
Er ]
[ÌLI
© T e o ria a pagina 78
La frazione generatrice del numero 9 ,125 è:
4553 450 •
E
4502 495 •
E
4517 495
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E
4517 450 •
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
I ESERCIZI IN PIU
Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni. ETCÌ 4,06;
1 ,1 2 1 ;
0 3
0,27;
1,2 7 ;
40,05.
00
2 ,7 .
0,85;
18,4;
70,7.
6 ,12 5 ;
E H I 19,90;
4,204.
Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali. 00
11 5 ;
EHI
7 9;
gl
202 90 •
47 94 ; 14 99 ;
300 81 •
7
7
x2
33 65 ;
34 65 •
EH
10 44 ;
130 14 ’
16 500
1 \°
EHI
y + 6 ,5
P
3,16-^- + 0 ,1 6 - y - l ] : l ,1 6 (0,5 + 0 ,9)2 : 0,375 y
P
5 ,1 2 :
2f
io '2
12
1,25 ( y - 0 , 1
[2] 44 25
Calcola il valore delle seguenti espressioni. 2
1 \ 14
7
/ 3 \3 / 3 \2' _ ^ X 2
4 + 3
gii
i_ + ± 4 + 3
EH
3_\6 / l x4 4 / 'l 4
12
H tW
35 16
I x2 2
9 + 18
J- + J -
6
22
7
_5_ 12
EH] l x2 2
x
1,3
2,6) : 0 ,5 9 2 -2 ,2 4
-Ìy -
CHECKER
[15]
2Ó + T ' + 4 : 1,3
EH3
m
32 65 ;
Trasforma i numeri decimali in frazioni e calcola il valore delle seguenti espressioni.
CHECKER
gn
EH
( l) 3
i ' 3 2
[0]
7 '2 2
1 84 _19_ 24
r
PROPORZIONI E PERCENTUALI e Teoria a pagina 80 PROPORZIONI determina x nelle seguenti proporzioni. EH
7 : x = 42 : 3
00
x : 5 = 9 : 20 x : 27 = 3 : x
00
4 : 22 = 32 : x
EH
25 : x = x : 36
H I
EH
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4 • 3 5 + 6
/' 5 (k 7
\
x) •
X
II co
00
x :9 = 4 :x
E25
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
E 3 1U
EUREKA!
Una è falsa! Se
a
:b
= c
: d , con
a, b
e c num eri naturali, quale tra le seguenti
[a ]
a ■d — b ■c
[ c ] (a + 2c) : c
|T ]
( a — b ) : b = (c — d ) : d
|~d~1
(a
+
d)
:d
— {b + 2 d ) = (c
+
è fa ls a i
:d
b) :b
Calcola il perimetro e l’area del rettangolo a fianco.
[78 cm; 360 cm2] In un trapezio isoscele, che ha il perimetro di 208 cm, le basi sono proporzionali ai numeri 15 e 8, e la loro differenza è 42 cm. Calcola l’area del trapezio. [1932 cm2] B 3
I due quadrati della figura hanno lati a e b le cui lunghezze sono in rapporto 5 a 2. La differenza delle aree dei due quadrati è 336 cm 2. Quanto misurano i due lati?
[20 cm; 8 cm]
a
____ b
INTORNO A NOI
Una signora riceve in eredità € 55 500 e decide di suddividerla tra i due figli, secondo il rapporto 2:3. Il figlio che ha ricevuto la quota maggiore decide di ripartirla in rapporto 2 :1:1 tra sé e i suoi figli. Se per sé tiene la cifra di denaro maggiore, quanto riceve ciascuno dei suoi figli? [€ 8325] Luigi, Matteo e G iovanni si dividono 140 figurine in rapporto 2:3:5. Quante figurine riceverà in più G io van ni rispetto a Matteo? [28]
TEST La mappa di una città è in scala 1:7800. Il viale che collega la stazione alla piazza centrale misura, nella mappa, 10 cm. Quanto è lungo nella realtà il viale?
eeq q
|~a~| 78 m [~b~|
m
10 7800 m
\J ] |~d ]
RESI
128,2 m
780 m
INVALSI 2011 La dimensione di un televisore è la m isura della diagonale dello schermo espressa in pollici (1 pollice = 2,54 cm). N ei televisori di nuova generazione il rapporto tra la larghezza e l’altezza dello scher mo è 16:9.
a. Se la larghezza dello schermo di uno di questi televisori è circa 57,5 cm, qual è all’incirca la sua altezza?
b. Q Da quanti pollici è il televisore? |~a~1 20 pollici (= 50,80 cm). |~b~1 26 pollici (= 66,04 cm). re i 28 pollici (= 7 1,12 cm). [fr] 32 pollici (= 81,28 cm). E26
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NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI I ESERCIZI IN PIÙ
PERCENTUALI INVALSI 2008 D a una lamiera a forma rettangolare viene eliminata la parte non quadrettata come in figura. Quale percentuale della superficie della lamiera è rimasta?
e q iq
|~~a~1 6 0%
[T] 7 0 %
[T] 7 5 %
[jT| 80%
Q E l U INVALSI 2003 Osserva attentamente la figura. Se p è la percentuale dell’area colorata del quadrato (calcolata rispetto all’intera area del quadrato), quale del le seguenti affermazioni è vera? [ а] 5 % \J ]
[c]
< p <
10 %
< p <
15 % <
[б] 2 0 % < |J J 0 3
p >
15 % 20%
p < p <
25%
25%
Trasforma in frazioni irrid u cib ili le seguenti percentuali. 0,02%;
p
10 %
a
10 % ;
INVALSI 2011
82%;
25%.
Per trovare il 2 7 % di 350 si deve
[~a ~] dividere 350 per 27.
f c l m oltiplicare 350 per 27.
|~b~| dividere 350 per 0,27.
fol m oltiplicare 350 per 0,27.
Problemi
intorno a noi
ETCÌ In una classe di 25 studenti, il 56 % passa le vacanze estive al mare, il 16 % in montagna. a. Qual è la percentuale di studenti che non va né al mare né in montagna? b. Quanti studenti vanno al mare? c. Quanti studenti vanno in montagna?
[a) 28%; b) 14; c) 4]
H0
Sapendo che una barra di ferro lunga 10 m può arrivare ad allungarsi al massimo di 6 mm per effetto della differenza di temperatura tra inverno ed estate, calcola la percentuale deH’allungamento massimo. [0,06%]
0 3
La percentuale di grassi contenuti in una merendina è pari al 18 % . Calcola quanti grassi si introducono m an giando due merendine da 40 g Luna. [14,4 g]
0 3
In pizzeria cinque am ici ricevono un conto di € 60. Il cassiere riferisce di aver loro scontato € 3,50. Quale sconto percentuale ha applicato? [5,51%]
0 3
Il grado alcolico del vino è circa 1 1 ,5 % , mentre quello della birra è 5 ,5 % . C ’è più alcol in un bicchiere di vino (200 mi) o in una lattina di birra (330 m i)? [nel bicchiere di vino]
0 3
Una videoteca contiene 3600 film , di cui 980 sono film d’azione. Dei restanti, il 5 5 % è costituito da film com ici, il 2 0 % da film rom antici, il 1 5 % da horror e i restanti sono film d’autore. a. Calcola a quanti film corrisponde ogni percentuale. b. Calcola a quale percentuale, sul totale dei film contenuti nella videoteca, corrispondono i film d’azione. c. Trascurando i film d’autore e i film horror, ricalcola le percentuali, sul nuovo totale, degli altri generi cinematografici. [a) 1441 comici, 524 romantici, 393 horror, 262 d’autore; b) 27,2%; c) 33,28% azione, 48,93% comici, 17,79% romantici]
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E27
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
03
U n ’azienda che produce viti utilizza due diversi m acchinari contemporaneamente. Il prim o produce 10000 viti in 8 ore con una percentuale del 6 % di pezzi difettosi, mentre il secondo produce 4500 viti in 4 ore con una percentuale di pezzi difettosi del 4 % . Q ual è la percentuale di viti difettose prodotte in una giornata lavorativa di 8 ore? [5,05%]
HTil
Su un tavolo quadrato di lato 20 dm è disposto un centrotavola quadrato, come mostrato in figura. Calcola il lato del centrotavola in modo che la superficie coperta del tavolo sia il 3 6 % della superficie totale. [12 dm]
m Q
INVALSI 2012 Una grande azienda nel 2009 aveva 100 impiegati. N ell’anno 2010 il numero degli impiegati è dim inuito del 2 0 % rispetto al 2009, mentre nel 20 11 è aumentato del 2 0 % rispetto al 2010. A l termine dei due anni gli impiegati dell’azienda sono:
[~À~1 d im in u iti del 4 % .
BEI
[¥] d im inu iti del 10 % .
[c] aumentati del 4 % .
[5] aumentati del 10 % .
G iu lio sa che nel negozio A e nel negozio B le bottiglie di olio della marca che preferisce hanno lo stesso prezzo. Sua moglie gli dice che oggi, su quell’olio, nel negozio A fanno l’offerta «compri 3 e paghi 2» e nel negozio B fanno lo sconto del 40%. G iu lio deve comprare 3 bottiglie d’olio. INVALSI 2011
a. In quale negozio gli conviene comprarle?
b. Scrivi come hai fatto per trovare la risposta. m Q
TEST In una località balneare i biglietti dell’autobus venduti a bordo sono aumentati, passando dal prezzo di € 1 a quello di € 1,50. Qual è stata la percentuale di aumento?
1X1 5 0 %
m Q
5%
[c] 3 3 %
[p] 2 0 %
INVALSI 2005 Un negoziante aumenta il costo di un oggetto del 40%. Dopo l’aumento l’oggetto costa € 112 . Quanto costava l’oggetto prim a dell’aumento?
[~a ] € 67,20 HH
[ b]
[jF] € 72,00
[c] € 80,00
[IT] € 84,00
Il tasso di natalità annuo si calcola facendo il rapporto tra il numero dei nati nell’anno e la media della popolazione per quell’anno, moltiplicato per 1000.
Provincia Bologna
Popolazione al 1° gennaio 2010
Popolazione al 31 dicembre 2010
Nati
984342
991924
8 739
Roma
4154684
4194068
40 389
N apoli
3 079 685
3080873
3 2 7 16
[Fonte: www.istat.it] Utilizzando i dati riportati in tabella, calcola: a. i tassi di natalità delle tre province;
b. il numero dei nati maschi nella provincia di Roma, supponendo che il 48,79% dei nuovi nati sia femmina (approssima i risultati a num eri interi); c. la percentuale dei nati maschi nella provincia di Napoli, sapendo che le femmine nate sono 15672. [a) 8,84%o; 9,68%o; 10,62%o; b) 20683; c) 52,1%]
E28
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NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI I ESERCIZI IN PIÙ
RIEPILOGO 0 3
COMPLETA
pu
la tabella.
Frazione
Decimale
7 8
|
u
Confronta il numero 3,25 con le coppie di num eri elencate sotto. In una di esse 3,25 è maggiore del prim o numero e m inore del secondo. In quale?
Percentuale
|
%
0,48
[ a ] 2 e 3.
EH 3 e y .
H y e J f .
E] ^ fe4 .
%
u
75%
m 17 12
INVALSI 2009 D ati nulli, l ’uguaglianza
u
%
u
5,73
%
0 ,12
%
fc l è soddisfatta per ogni coppia di interi positi vi a e b se e solo se c = 1.
%
EH è soddisfatta solamente dalla terna b = 1, c = 1.
2 ~9
|~À~1 è sempre verificata.
Sono date le frazioni:
A
5 ; 8;
JL
40 ;
IL
36 ;
80
81 ;
M
75 '
b. Trasforma in forma decimale, senza esegui
1,9 ;
1,
2 ,72 ;
2,3;
-q y ; 1,6
(1,2 )2.
b. Rappresentali su una retta orientata. 00
Scrivi una frazione compresa tra 1,26 e 1,261 e una compresa tra 0,3 e 0,32.
00
Calcola: ( y - 1 , 2 - 2 % ) di 50.
re divisioni, le frazioni che rappresentano num eri decimali finiti. c. O rdina le frazioni in senso crescente.
a —
a. Trasform a i seguenti numeri in frazioni:
I
a. Indica a quali num eri decimali, finiti o perio dici, sem plici o m isti, danno luogo.
CHECKER
interi positivi non
ITTI è soddisfatta per in fin iti valori di c.
u 1 1
7_
a , b, c
6 4%
u
0 3
INVALSI 2009
[14]
Risolvi le seguenti espressioni. 10 9
22
9 21 7 25 : 5
25 27 Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
E29
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
g n
2
su
_8 9
7
SQ
sa
[1]
su
[37]
B3
[5]
SU
su sa gn
sa EU p
gg gg
13 18
gg
11 18
[0]
gg
E30
1 4
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NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI I ESERCIZI IN PIÙ
gg gg m
\ „ ( f - ° . 6 ) 2: ( T r > 0,16 7 1 (t.s -D -z i + °>6
\ 1 1
[ili
[(2,3 +0,039) : q q j + (0,3)3] 33 1 3 1 L ìoo J
3,6 ( y -2 + 0,53)2
u
x. • 9 , 8 , L espressione q y + y p - +
INVALSI 2011 \T \
7
.
2
si può rappresentare mediante il numero decimale:
98,72.
QT] 9,8072. [c] 0,9872. [5] 0,98072.
Semplifica le seguenti espressioni. E 9
1 + ---------------- ^ 1+ 1+ 1+
13
-, con
H 3I 1 +
x =
2.
1+ 1+
1 + x
Trova il medio proporzionale tra i numeri che si ottengono risolvendo le seguenti espressioni: ,
M U
_ 0,2-0,2 (0,3 •0 ,3 )4 •IO4 + 1
(3-0,55).
INVALSI 2002 Considera la seguente procedura di calcolo: aggiungi a un dato numero 2, m oltiplica quel lo che ottieni per 3, d ivid i il tutto per la somma di 15 e 20. Quale delle seguenti espressioni traduce correttamente i calcoli indicati?
m ^
15 + 20
H
(2 +
+ 2 -3
a ) ■q
y + (2 +
a) ■
r=-i (2 + a ) • 3 ^ 15 + 20 [ d] \T \
[(« + 2) 3] : 15 + 20 (a
+ 2) •q y +
-j q
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E31
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
MATEMATICA INTORNO A NOI
LABORATORIO
Scolarità in Italia La seguente tabella riporta il tasso di scolarità dei ragazzi e delle ragazze iscritti alla scuola media e alla scuola superio re in due anni scolastici di riferimento. Iscritti a scuola 1951/52
2008/09
Medie
37,7% dei maschi 25,3% delle femmine
106,8% dei maschi 104,2% delle femmine
Superiori
12,6% dei maschi 7,7% delle femmine
91,9% dei maschi 93,5% delle femmine
Dati ISTAT. Iscritti per 100 giovani di età teorica corrispondente: 11-13 anni per le scuole medie e 14-18 anni per le scuole superiori. Il tasso assume valori superiori a 100 in presenza di ripetenti, anticipi di frequenza o iscrizione di stu denti non residenti. a. Facendo riferimento all’anno 1951/52 e alla scuola superiore, indica con m e/rispettivamente il numero dei maschi e quello delle femmine iscritti e con M e F rispettivamente il numero totale dei maschi e quello delle femmine di età compresa tra i 14 e i 18 anni. Qual è la formula da usare per calcolare il tasso di scolarizzazione per i maschi e per le femmine? b. In che percentuale è aumentata la scolarizzazione femminile nella scuola superiore dal 1951 al 2008? E quella maschile? c. Possiamo affermare che tutti i ragazzi fra gli 11 e i 13 anni erano iscritti alla scuola media nel 2008/09? d. L’informazione relativa alla scuola superiore nel 2008 significa che le studentesse iscritte sono più numerose degli studenti maschi? ► Risoluzione.
E32
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3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ►Competenza 1 (abilità 1) il Trasform a i seguenti num eri in frazioni e dispo n ili in ordine crescente: 0,52;
54%;
~
Scrivi le frazioni generatrici dei numeri: 0 ,0 4 ;
0 ,4 8;
2 ,3 ;
75%;
8_ 5 ;
(i)H
0 ,0 4;
0 ,4
INVALSI 2004
1_
20
•
E
H
CHECKER
0 ,4 ;
II quoziente di 11 diviso 4 è 2 con resto 3. Quale delle seguenti espressioni è corretta?
Q
-j;
0 ,0 04 ;
1,3 8.
Trasform a i seguenti num eri in num eri decim ali e disponili in ordine crescente:
W M
0 ,4 4 ;
= 2 't
x
4
—2 +
m 4
x
= 2+ 3
,— , I l _ 2 bp] 4 — 3
R iso lvi le seguenti espressioni. + 4 --i
2
+ ■
(t )T (t )4-(t )2
8
9
rj_ l4 [4]
m [30]
16
[impossibile]
104
MENU DELLE COMPETENZE
O
Nella seconda pagina della copertina
[3]
►Competenza 3 (abilità 1, 2) W #M
Aggiungi al quadrato della metà della metà di 3 il
Scacco matto A ll’in i zio di una partita a scacchi metà delle 64 caselle è occupata da pezzi. Se alla ventitreesima mossa la
doppio di K K l Eleva alla quinta potenza la differenza tra y
e1
divisa per y . IZ 1
[1]
M oltiplica per y
il cubo di y
tato ottenuto il quadrato della differenza tra y e la sua metà. 1 18 if li
D iv id i per y
partita finisce e
e somma al risu l
16
delle caselle sono libere, quanti pezzi sono stati catturati? [12] W i'M
L J TEST
Se numeratore e denominatore della
frazione y
il quadrato di un numero e somma
vengono entrambi d im inu iti del
10 % , la frazione:
la metà del numero al risultato ottenuto. Scrivi l’espressione e calcolane il valore se il
I~a1 resta invariata.
,4 numero e y .
|~b~1 aumenta del 10%.
[10
fcl diminuisce del 10%. if ll
Un libro di geometria ha 200 pagine. D i esse, -y y 1 7 hanno una sola figura, y ne ha due, y y
ne
hanno tre o più. Quante pagine sono prive di figure? [20] WXM
A uno studente viene dato da leggere un libro di 216 pagine nel mese di novembre. Dopo una set2 timana ha letto y del libro, 10 giorni dopo gli
UT] dim inuisce dell’1,4 % . in
Due anni fa Gianluca ha depositato € 30 000 in una banca che gli offre un tasso di interesse del 3,6 % annuo netto. U n anno fa G ianluca ha pre levato € 4000, ma oggi versa € 10 000. A quanto ammonterà la somma fra un anno? [€ 39 424,86]
mancano 69 pagine per finirlo. Quante pagine ha letto nei 10 giorni intermedi? [99]
È l i L J VERO 0 FALSO?
500 g di farina; 100 g di strutto;
Una tua lontana zia ti ha lasciato la seguente ricetta per la piadina romagnola: 150 g di acqua; 60 g di lievito; 100 g di latte; 20 g di sale.
a. L ’acqua rappresenta lo 0 ,25 % della piadina.
00
b. Per 50 g di acqua devi usare circa 170 g (arrotondati) di farina. c. Per 300 g di latte devi usare 1,5 kg di farina.
00 00
d. Il latte rappresenta i - y della piadina.
00
105
3
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE rm©R PROVA C
PROVAA
(10 esercizi)
PROVA B
(10 esercizi)
© IN MEZZ’ORA
►Competenze 1, 3
© IN UN’ORA
il a. D isp oni in ordine crescente le frazioni: 3 4 ’
4 5 ;
17 12 ;
9 20 ;
2 3•
b. Indica se rappresentano num eri decim ali finiti, periodici semplici o misti. Semplifica le seguenti espressioni.
O
L ’inflazione in Italia nel 20 12 è stata del 3 % . In una città il prezzo del biglietto urbano dell’auto bus è passato da € 1,10 a € 1,15.
U
Trasform a la frase in un’espressione e poi calcola il risultato: aggiungi al cubo di \ il doppio del 3 7 prodotto di - y per -y y e d ivid i il risultato per il
a. D i quanto avrebbe dovuto aumentare per essere in linea con l’inflazione?
triplo di y y - .
b. Qual è stato invece l ’aumento in percentuale? E con quale maggiorazione rispetto all’infla zione?
PROVA D U
^ 9
D iv id i il numero 124 in due parti proporzionali a 11 e 20 .
►Competenze 1, 3
© IN UN’ORA
D isponi i seguenti numeri in ordine crescente: ■ j;
0,32;
3%;
0,29;
-y ;
13 15 •
VERO 0 FALSO?
W M
i r>^ /
83 /
1
d. 7,54 100 = 754,4
a. 1,8 2 < 44 < 0>5 S E
c. 1 , 5 0 - 0 , 7 0 = 0,80
S E
e. ( 1 )
oc
b. Il 5 % del 4 2 % di 800 è 16,8.
.J i = 4 32
0 0 0 0
Semplifica le seguenti espressioni. [ ( l )8 ( i ) 3H ( i ) T - ( l )2 (
n
f
« “
(1 —0,583)2 l-(0,583)2
(0,3)_8 : (0, 3 )6 0, 3 : 0 , 3
140 19
8 \3 96 ' 47
27 )
( 4
\2
V 81
)
f
1 _ 0,416
Per rifare il tetto della propria casa, il signor Franco concorda di pagare l ’8% della spesa totale subito, i - y del rimanente a inizio lavori e il resto in 12 rate da € 1472. Quanto costa il tetto?
U
106
MENU DELLE COMPETENZE
KM
O
Nella seconda pagina della copertina
In una scuola il laboratorio di fisica e quello linguistico occupano insieme 192 m 2. 7
a. Se il laboratorio linguistico occupa una superficie che è i y
di quella del laboratorio di fisica, qual è il
più grande e di quanto?
b. I professori di fìsica richiedono un ampliamento che prevede l’utilizzo di un locale attiguo di 42 m 2. Che frazione del laboratorio linguistico diventerà così il laboratorio di fisica?
PROVA E D
►Competenze 1, 3
® IN UN’ORA
Dolce problema Quattro am ici si recano in pasticceria e dicono: «Dovremmo organizzare un buffet per una festa con 120 persone e
2
vorremmo offrire una media di 5 pasticcini a testa. Vorrem m o che y dei pasticcini fossero alla crema, y
al cioccolato e la parte rimanente
al caffè». Quanti pasticcini al caffè dovrà preparare il pasticciere? Il pasticciere decide di preparare 10 vassoi uguali; quanti pasticcini alla crema metterà in ogni vassoio?
Duemilaventi In un giornale del 2020 si legge: «Le vendite di autom obili in Italia nel prim o semestre del 2020 sono dim inuite del 15 ,4 % rispetto al 2019 e nel secondo semestre hanno subito u n’ulteriore flessione deH’8 ,3 % rispetto al prim o semestre, ma con una previsione di un leggero aumento dell’1 ,5 % nel 2021». a. Il calo del 2020 è del 2 3 ,7 % ? b. Se nel 2019 sono state vendute 1750 420 auto, quante ne sono state vendute, all’incirca, nel 2020? c. Quante auto si prevede approssimativamente di vendere nel 2021? KM
INVALSI 2012
Investimenti Luigi e Paolo investono la stessa somma di denaro. Dopo il primo anno, la
somma investita da Luigi è aumentata del 10 % e quella investita da Paolo è dim inuita del 5 % . Luigi e Paolo decidono di reinvestire per un altro anno ancora le somme ottenute dopo il prim o anno. Nel secondo anno Luigi perde il 5 % , mentre Paolo guadagna il 10 % . Se Luigi e Paolo hanno investito inizialmente una somma di 1000 euro ciascuno, quanto avrà ciascuno dei due alla fine del secondo anno?
PROVA F
►Competenze 1, 3
<§ IN UN’ORA
Il tasso alcolico Il tasso alcolico nel sangue, misurato in gram m i per litro, è dato da T —
Sa m f v
, dove:
= gram m i di alcol ingerito; densità media del sangue, pari a 1,055 g/ml; m = massa in kilogram m i della persona che ha bevuto; f w = fattore di W idm ark, che indica il rapporto tra peso corporeo e sangue; vale 0,73 per gli uom ini e 0,66 per le donne. ga
ds —
a. Calcola i m illilitri di alcol contenuti in una lattina di birra di 330 m i con gradazione alcolica 5 % (la gradazio ne alcolica di una sostanza rappresenta i m illilitri di alcol contenuti in 100 m i di bevanda, mentre la densità dell’alcol è 0,8 g/ml).
b. Calcola quanti gram m i di alcol sono contenuti nella lattina. c. Determina qual è il tasso alcolico di un uomo di 70 kg e di una donna di 55 kg dopo aver bevuto, ciascuno, una lattina di birra.
d. Se l’uomo beve una seconda birra, come varia il tasso alcolico? Può ancora guidare la macchina? (Il lim ite di legge per potersi mettere alla guida è un tasso alcolico inferiore a 0,5 g/L.) e. Quale dovrebbe essere la massa corporea dell’uomo, come m inim o, perché possa guidare pur avendo bevuto due birre? 107
M
-
■ §
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
1. NUMERI RAZIONALI NUMERI RAZIONALI RELATIVI E LORO RAPPRESENTAZIONE G
Esercizi a pagina 118
Come dai numeri naturali siamo passati ai numeri interi, così dai numeri razionali assoluti possiamo ottenere i numeri razionali relativi. ►
7 8
razionali relativi
razionale assoluto
Chiam iam o opposti i numeri con segno diverso ottenuti dallo stesso numero razio nale assoluto. a In generale, possiamo indicare un numero razionale relativo con + -^ - o con a e b numeri naturali e b / 0. Come negli interi, anche nei razionali relativi abbiamo quindi, oltre allo zero, numeri positivi e numeri negativi.
4 7
+y opposti
J
positivo negativo
I numeri razionali relativi sono detti, più in breve, numeri razionali. II loro insieme si indica con Q . Indichiam o inoltre l’insieme dei numeri razionali positivi con Q +, quello dei numeri razionali negativi con Q “. C ’è una corrispondenza biunivoca fra razionali assoluti e razionali positivi uniti allo zero, se identifichiamo + - ^ in Q con
in Q a.
3 3 ► + _ì T e -y r in Q indicano lo stesso numero. Anche fra numeri interi e numeri razionali con denominatore 1 c’è corrispondenza biunivoca. ► —5 e — r in Q indicano lo stesso numero. Inoltre, il concetto di frazione può essere ampliato se si considerano numeri interi invece che naturali al numeratore e al denominatore. Per ottenere il numero razionale rappresentato da una frazione di questo tipo, scrivia mo davanti alla linea di frazione un solo segno, utilizzando la regola dei segni. +4 __ 4 * -5 “ 5 ’
+3 3 + 2 - + 2 ;
-6 6 - 1 1 - + 11;
-1 2
_
+7
~
12 7*
Come in Z , in Q diamo queste definizioni: • due numeri razionali sono concordi se hanno lo stesso segno, sono discordi se han no segno diverso; • il valore assoluto di un numero razionale è il numero stesso se è positivo o zero, l’opposto del numero se il numero è negativo. 108
Q
Rational num bers
are n u m b e rs th a t can be expressed as fra c tio n s of tw o integers, w ith a non zero denom inator.
1. NUMERI RAZIONALI
CONFRONTO DI NUMERI RAZIONALI G
TEORIA
Esercizi a pagina 118
Rappresentazione su una re tta orientata Per rappresentare un numero razionale +
y
0—
su una retta orientata:
- -
i
• prendiamo come verso positivo quello verso destra;
■ -1
+? - f i . 0. 1
• fissiamo l’origine, corrispondente a 0, e l’unità di misura; • consideriamo il segmento ottenuto dividendo l’unità in
b
parti e prendendone
a;
unità di misura
• associamo a + ^ il punto a destra dell’origine e a — ^ quello a sinistra, con distanza dall’origine uguale alla lunghezza del segmento. Confronto Z e ro
è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo.
S ► — o < 0;
4 0<+n-
J
5 4 3 +9 ------------ 1—*------1------------1—* 1--------------1-
y
-2
Se i numeri sono
d is c o rd i ,
-1
0
+1
+2
il maggiore è quello positivo. _4 6
t-----------I—+------- *2 - 1 0
-< —
2
*—
+1
+—
►
+2
Se invece i due numeri razionali sono c o n c o rd i, per confrontarli, li scriviamo mediante frazioni con lo stesso denominatore e con i segni al numeratore: a numeratore mag giore corrisponde numero razionale maggiore.
77 To compare " ra tio n a l n u m b e rs w ith thè same sign, you can check th e ir relative positions on thè n u m b e r line, o r you can tra n s fo rm th e m into fra ctio n s w ith thè sam e d e n om in a to r and sim p ly com pare th e ir n u m e ra to rs w ith signs.
1 13 Per confrontare i numeri razionali — ^ e — g -, li trasformiamo in frazioni che hanno per denomina tore comune il mcm dei denominatori, scrivendo i segni a numeratore: _ 1 4
-3 12 ;
_ 13 -2 6 6 “ 12 ' 12 = mcm(4; 6)
-2 6
Confrontiamo i numeratori: —26 < —3
12
.
12
13 1 Concludiam o che: — g - < — ^ ,
ESERCIZI PER COMINCIARE ■ I
Rappresenta sulla retta orientata:
12
1 4 ’
-0,5;
3 ;
10 8 ;
+ 2,3;
-0,3.
E f l O rdina e rappresenta sulla retta orientata: a. H
1 2 ’
b. + 2 ,1 ;
ANIMAZIONE
-3 ;
1,5;
1 6;
5 2;
c.
-0,3;
D isp oni in ordine crescente i seguenti numeri:
-2,6;
109
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
2. OPERAZIONI DAI RAZIONALI ASSOLUTI Al RAZIONALI RELATIVI &Esercizi a pagina 118 Per eseguire le quattro operazioni e le potenze nell’insieme dei numeri razionali uti lizziamo le stesse regole studiate per i numeri razionali assoluti e teniamo conto delle regole dei segni viste nei numeri interi: • se l’esponente è pari, la potenza ha sempre segno positivo; • se l’esponente è dispari, la potenza è negativa solo se la base è negativa.
POTENZE CON ESPONENTE NEGATIVO ©
Esercizi a pagina 122
Oltre alle quattro operazioni e alle potenze con esponente positivo, nei numeri razio nali si possono eseguire anche potenze con esponente negativo. Per giustificare la definizione che daremo, partiamo da un esempio. ► In Q calcoliamo 43 : 45, che in Z non è possibile eseguire: a3
A5
4
_
1
14 " 4 ' 45
_
r
~
i
'r i
r i
_
-4
4
1
_ / J_
il ris u lta to , “ r r . a p p a rtie n e a Q
\2
“ 42 “ U / *
D ’altra parte, se vogliamo applicare la seconda proprietà delle potenze, anche se 3 < 5: 4 3
.
4 5
_
4 3 - 5
_
EJ] Apowerwitha 4 - 2
-------a p p lich ia m o am : an = am~n
Confrontando i due risultati, concludiamo che dobbiamo porre:
In generale, le potenze con esponente negativo hanno sempre significato in Q e dia mo la seguente definizione.
J negative exponent is equal to a pow er whose base is thè inverse of thè o rig in a i base and whose exponent is thè sam e exponent as thè o rig in a i one but w ith a positive sign.
Potenza con esponente negativo q~n =
1 q.
con:
q n
numero razionale e numero naturale.
q ±
Esprimendo il numero razionale nella forma ( T ) " = B r j”= ( Ì ) '
0;
:
con«.beZefc#0.
4
110
+ 16 + 81
2. OPERAZIONI
Anche per le potenze con esponente negativo
v a lg o n o le c in q u e p r o p r ie t à
TEORIA
d e lle
p o te n z e .
B ) B ) =B)
=B)"-«*-♦«
v_>
p rim a p ro p rie tà d e lle potenze
2
t H i r = ( t t? ì q u a rta p ro p rie tà de lle potenze
(—2 ) 2 : (—2 ) -3 = (— 2 ) 2-(-3) = ( - 2 ) 5 = - 3 2 seconda p ro p rie tà d e lle potenze
B )]B B
( 7 ) - 1 -.(t
B B =B)=+
25 9
Y
= Ì7 : ^ Y
= 49^ = ^
q uinta p ro p rie tà d e lle potenze
terza p ro p rie tà d e lle potenze
1 E UN AMPLIAMENTO DI Z j> è un ampliamento di Z perché: c’è corrispondenza biunivoca fra Z e il sottoinsieme di Q rappresen tato dalle frazioni con denominatore 1; le operazioni definite in Q hanno le stesse proprietà di quelle definite in Z e mantengono la corrispondenza biunivoca appena descritta; 3 .5
, 2
► "1 + i = + T l
l
l
—3 + 5 = + 2 in Q possiamo eseguire operazioni non possibili in Z , cioè potenze con esponenti interi negativi e divisioni come la seguente. ► < -3 ) :< -4 ) = H M -
t
)=+- B
=
+T
ESERCIZI PER COMINCIARE Semplifica le seguenti espressioni. H 3 ’
n H B B )2 D
V
'-''-s) (+3)+B45):B )T p (- 2 )
n
Calcola: 3 B
(0,5)_5;
( - 4 ) - 3;
^
2
—
21 32
7 12
-1 . ’i i -2
1 \ —2 >
Semplifica le seguenti espressioni, applicando le proprietà delle potenze. -1
6
b c e ix m o
B j g W
l
+
B )
+i ( I)
+ 3— + 2
+ 2 -3' l r - ( + 3 ) - 2
: (52 2 2) -2 —( + 1 )~
:( !) ■
111
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
3. NUMERI REALI
G Esercizi a pagina 127
Consideriamo il triangolo A B C isoscele e rettangolo in C, con i cateti che misurano 1. Applicando il teorema di Pitagora, otteniamo che A B = V 2 . Si può dimostrare che V 2 non è un numero razionale, perché non è possibile rappre sentarlo mediante una frazione. Puoi farlo con il laboratorio di pagina 128.
a b 2= a c 2 + c b 2 AB2 = 1 + 1 = 2
AB = ^2
Chiam iam o numero irrazionale ogni numero che non è esprimibile mediante una frazione, cioè ogni numero che non è razionale. S I numeri irrazionali sono infiniti e corrispondono ai in f in it o d i c ifre e n o n p e rio d ic i.
n u m e r i d e c im a li con u n n u m e ro
► Si può dimostrare che sono numeri irrazionali: • tutte le radici quadrate di numeri naturali che non siano quadrati perfetti; per esempio: V 2 = 1,414...;
V'3 = 1,732...;
V5 = 2,236...;
An irrational number is a number that cannot be written as a fraction. A reai number is a number that is either a rational or an irrational number.
O
• 7C = 3 , 141..., cioè il rapporto fra le misure di una circonferenza e del suo dia metro. Chiam iam o numero reale ogni numero che sia razionale o irrazionale e indichiamo con R l’insieme dei numeri reali.
numeri reai
Anche i numeri irrazionali possono essere rappresentati sulla retta orientata. ► Per rappresentare V 2 sulla retta orientata, costruiamo un triangolo rettan golo e isoscele, come quello iniziale, che abbia un cateto con gli estremi in 0 e 1; riportiamo poi con il compasso la lunghezza della sua ipotenusa sulla retta orientata. Il punto ottenuto è quello che corrisponde a V 2 . Si può dimostrare che i punti della retta e i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca.
ESERCIZI PER COMINCIARE
nOszsma La figura può suggerirti come costruire geometricamente un segmento di m isura v '2 e un segmento di m isura v'3 . Costruisci anche seg menti che m isurino \ 5 e v'6 . h
^ e e e i Insiemi numerici Costruisci uno schema in cui ind ichi gli insiem i num erici che abbiamo introdotto finora e, per ogni insieme, quali operazioni sono interne, fornendo esempi. 112
A
C
U. APPROSSIMAZIONI ED ERRORI
4. APPROSSIMAZIONI ED ERRORI APPROSSIMAZIONI E LORO ERRORI
TEORIA
Q decim als, it can be use ful to approxim ate th e m ; you can do th is by rounding up
Esercizi a pagina 128
o r rounding down
Approssim azioni Per operare con numeri che hanno molte cifre, e in particolare con numeri decimali con infinite cifre, si può utilizzare una loro a p p ro s s im a z io n e .
D i solito, si sceglie l’approssimazione procedendo per arrotondamento. Se la p r i m a c ifra che tr a s c u r ia m o è: • m a g g io re o u g u a le che consideriamo; • m in o r e
di
a
5, approssimiamo per eccesso, aumentando di 1 l’ultima cifra
5, approssimiamo per difetto, confermando l’ultima cifra considerata.
Arrotondiamo alle centinaia 3718: ^ 1< 5
co n fe rm ia m o 7
Arrotondiamo a meno di un centesimo: V'8 = 2,8284...
8>5
3718 ~ 3700 ce n tin aia
f --a u m e n tia m o 2 di 1
2,8284... ~ 2,83
circa u9 uale
ce n tesim i
E rro ri Possiamo valutare l’errore che si ha se al posto di un numero utilizziamo una sua approssimazione. Un prim o modo per farlo è considerare la differenza fra il numero e l’approssimazione, presa in valore assoluto, perché per il calcolo dell’errore non inte ressa se l’approssimazione è per difetto o per eccesso.
E = v —a .
1. Approssimiamo 3800 con 4000. „
i
E i = | 3800 — 4000
^e rro re = 200 ^
assoi uto
ESEM PIO
Dato un numero v e una sua approssimazione a, chiamiamo errore assoluto E il valore assoluto della differenza tra v e a:
The absolute error of an a p p roxim ation, o r roundoff error, is thè absolute value ot thè d iffe re n ce between thè ap p ro xim a tio n and thè exact value.
Q
2. Approssimiamo 12 300 con 12 000. errore E2
= 1 12300 — 12000 = 3 0 0 assoluto
L ’errore assoluto non dice se l’errore commesso è grande o piccolo rispetto al valore approssimato che consideriamo. Per ottenere un’informazione di questo tipo, consideriamo l’errore relativo, definito nel modo seguente.
|73 The relative error of an ap p ro xim a tio n is thè ratio between its absolute e rro r and thè absolute value of thè a p p roxim ation.
113
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
Dato un numero v e una sua approssimazione a, chiamiamo errore relativo e il rapporto fra l’errore assoluto £ e il valore assoluto di a:
e—
1. Approssimiamo 3800 con 4000. . errore relativo e —
200 = 0,05 4000
E
5% /
errore relativo percentuale
a
2. Approssimiamo 12 300 con 12 000.
Consideriamo anche l’errore relativo
percentuale: e- 100.
^e rro re relativo e —
300
12000 = 0,025
2 ,5 % /
errore relativo percentuale
Se confrontiamo gli errori dei due esempi, ci accorgiamo che, pur essendo E 2 > E ìf l’errore relativo della seconda approssimazione è la metà di quello della prima, quindi l’errore commesso rispetto al valore approssimato nel secondo caso è minore.
MISURA, ERRORE ASSOLUTO, ERRORE RELATIVO @ Esercizi a pagina 130 I concetti di e rro re a s so lu to ed e rro re r e la tiv o sono utilizzati anche quando si opera con le m is u re d i g r a n d e z z e fis ic h e . In questo caso l’errore assoluto è la differenza, in valore assoluto, fra il valore vero di una grandezza e la sua misura.
L ’errore relativo è utile per valutare la p re c is io n e della misura.
Abbiamo misurato in metri due lunghezze diverse e ottenuto:
I
lx =
2 ±0,5;
/2 = 40 ± 2.
Se confrontiamo i due errori assoluti, potremmo concludere (sbagliando!) che la prim a misura sia più __ precisa della seconda, perché 0,5 < 2. Confrontiamo invece gli errori relativi: e\
~
= 0,25 — 2 5 % ;
e2 =
=
0,05 = 5 % .
5 % < 2 5 % — la seconda misura è più precisa. 114
U. APPROSSIMAZIONI ED ERRORI
PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI G
TEORIA
Esercizi a pagina 130
Si dimostrano le seguenti regole, utili per calcolare gli errori commessi quando otte niamo le misure di grandezze derivandole, mediante calcoli, da altre misurate diret tamente. Operazioni con le misure ed errori S e a e b sono le misure di due grandezze, Ea ed Eh gli errori assoluti, ea ed eb gli errori relativi: • l’errore assoluto della somma a + b o della differenza a —b è la somma degli errori assoluti: Ea+b
Ea- b
Ea + Eb,
• l’errore relativo del prodotto a b o del quoziente ^ è la somma degli errori relativi: b
&a b
E Cb'
Le misure in centimetri dei lati di un rettangolo sono: Zi = 2,5 ±0,1
e
l2 = 6 ,2 + 0,1.
Calcoliamo il semiperimetro e l’area del rettangolo con i loro errori assoluti: h + l2 = 2,5 + 6,2 = 8,7;
si =h h =6 ,2 -2 ,5 = ^ = - ^ - = 0,04;
• •=
*
si
£;,+/2 = 0 , 1 + 0,1 = 0,2
— il semiperimetro è (8,7 ± 0,2) cm.
15,5;
eh=-f^
~ 0,02;
► Ed = si • e,A -
eA = 0,04 + 0,02 = 0,06.
E!A = 15,5 0,06 ~ 0,9
-
l’area è (15,5 ± 0,9) cm2.
Osserviamo che per una potenza l’errore relativo può essere calcolato con la regola del prodotto, considerando la potenza come moltiplicazione ripetuta. ►Il lato di un cubo è l = (5 ± 0,2) cm. Determiniamo il suo volume. V = P = 53 = 125;
e, = - ^ = 0,04;
= e, + e, + e, = 3e, = 3 • 0,04 = 0,12.
Ev = V ev = 125 0,12 = 15. Il volume del cubo è (125 ± 15) cm3.
ESERCIZI PER COMINCIARE MM Determina l’errore assoluto e l’errore relativo (in percentuale) che si hanno se si arrotondano i seguenti numeri: 1,34 ai decimi;
56,7 alle unità;
3618 alle migliaia;
53 821 alle decine di migliaia.
WfM Le masse di tre oggetti, espresse in grammi, sono: a = 34 ± 0,5; b = 35 ± 0,5; c = 36 ± 0,5. Puoi dire qual è l’oggetto di massa minore e quale quello di massa maggiore? t e i Metti in ordine crescente di precisione: 520 ± 10;
0,3 + 0,01;
1850 ±20;
12,5 ± 0 ,5 .
Le misure in centimetri dei lati di un rettangolo sono: 500 ± 5 e 300 ± 5. Determina l’area del rettangolo e il suo errore assoluto in cm2. M
Dati a — 52 ± 1 e b — 36 ± 1, calcola a + b, 3a, a — b, a ■b, b4, ~r e i loro errori assoluti.
115
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
[771 Scientific notation is a way of w ritin g very large o r very s m a ll num bers. A n u m b e r w ritte n in scie n tific notation is thè product of a n u m b e r between 1 and 10 (excluding 10) m u ltip lie d by a pow er of 10.
Un numero in notazione scientifica è espresso con il prodotto tra: • un numero decimale d maggiore o uguale a l e minore di 10, detto coefficiente;
2,6 IO-3
e
5,4 IO12
sono in notazione scientifica. ►
0,6 - IO2 e
41 IO-3
ESEM PIO
Diamo allora la seguente definizione.
non sono in notazione scientifica perché
• una potenza di 10.
0,6 < 1 e 41 > 10. Per scrivere un numero in notazione scientifica, quando non lo è, dobbiamo spostare la virgola fino a ottenere un numero decimale d tale che 1 < d < 10. Se spostiamo la virgola di n posti: • a sinistra, la potenza di 10 per cui viene moltiplicato d è 10"; • a destra, la potenza di 10 per cui viene moltiplicato d è IO- ". 3240000 = 3,24- IO6 t_____ I virg ola a s in is tra di 6 posti
0,000038 = 3,8 - IO-5 I * virg o la a destra di 5 posti
0
The ord e r of magnitude of a n u m b e r is thè _ , „ closest pow er of 10 t
Se vogliamo confrontare i numeri 2 ,4 1 0 5 e l , 7 1 0 2,di solito quello che ci interessa non sono i due coefficienti, ma gli esponenti delle potenze di 10. Diciamo allora che i numeri differiscono di tre ordini di grandezza, perché una potenza si ottiene dall’altra moltiplicando per IO3, ossia il loro rapporto è IO3. In generale, per confrontare due numeri scritti in notazione scientifica basta spesso confrontare il loro ordine di grandezza. 116
5. NOTAZIONE SCIENTIFICA E ORDINE DI GRANDEZZA
TEORIA
Chiariamo cosa intendiamo per essere più vicino, con un paio di esempi. ►4 è più vicino a 10° = 1 o a IO1= 10? Per rispondere confrontiamo i rapporti
10c
IO1 . , e ~7~> cioè:
— = z2>~’ 5-
-f=4,
4
Per passare da 10° a 4 dobbiamo moltiplicare per 4, per passare da 4 a IO1molti plichiamo per un fattore più piccolo, cioè 2,5. Allora 4 è più vicino a IO1.
2,5
10®,
-sJO 1
— t—
10
►Qual è il valore x ugualmente vicino a l 0 ° e a l 0 1? I due rapporti -y- e —— devono essere uguali, cioè: x :ì = 10 : x
-
x2 = 10 -
x = VlO = 3,16227...
no
io s ^ £
v 10 è vicino al0° tanto quanto a IO1. Per convenzione diciamo che il suo ordine di grandezza è 10°.
-J 0 1
— t-
"fio"
10
Possiamo allora dare questa regola. Un numero, espresso in notazione scientifica con il prodotto d 10", ha ordine di grandezza: . 10"
se
. 10,,+ 1 se
d | < V10 ; \ d > Y 10.
Numero
Ordine di grandezza
1,4 ■IO-9
IO-9
2,1 • IO5
IO5
3,9 - IO7
IO8
4,3 • IO-4
IO-3
ESERCIZI PER COMINCIARE MM Scrivi i seguenti numeri in notazione scientifica: a. 735; d
q
b
b. 42000; b
c. 5;
d. 10;
e. 0,7;
f. 12,4;
g. 0,00021;
h. 16,001;
i. 2,02.
s
a. Scrivi in notazione scientifica: —0,00032 • IO-3;
5242 • 10~9;
250000 • 0,008.
b. Scrivi come numeri decimali: 2,3 IO5; Q
-4 ,6 -1 0 °.
Determina bordine di grandezza dei seguenti numeri: a. 6 IO4;
Q
7,1 • IO-3;
b. 0,3 IO2;
c. 3,5 IO6;
d. 0 ,0 4 -10~5;
e. 4,9;
f. 718 IO3;
g. 0,32 IO9.
I capelli crescono circa 14,4 cm all’anno. Esprimi in metri, utilizzando la notazione scientifica, la crescita mensile e quella giornaliera. [1,2 • IO-2 m; 3,9 IO-4 m] 117
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
ESERCIZI 1. NUMERI RAZIONALI NUMERI RAZIONALI RELATIVI E LORO RAPPRESENTAZIONE COMPLETA
Teoria a pagina 108
t r a s f o r m a n d o i l n u m e r o a s s e g n a to n e lle f r a z i o n i e q u iv a le n t i.
Determina tra quali numeri interi consecutivi è compresa ciascuna delle seguenti frazioni.
CONFRONTO DI NUMERI RAZIONALI Ordinamento COMPLETA
0,83
p
Teoria a pagina 109
in s e r e n d o u n o d e i s e g u e n ti s im b o li : < , = , > .
3 7
p p
Q
-0 ,4 ;
-0 ,0 3
7• — 6’
12 5
-0 ,1 . —2 2 ’ •
Disponi in ordine crescente: 2 • —1• —132- —4 • —12-
—3
P P
-2 ,1 6
_ 13
3 11
-0 ,1 8 ;
P
Disponi 4 1 _ 7 5; 10 ’ 8
6 ;
8
3 0,2 3
2,7. 2 27
3 7•
La retta orientata IN FORMA GRAFICA
Rappresenta sulla retta orientata i seguenti numeri razionali.
10 5 ; P
Q
E1
B
-f;
-
1;
B
B
1
-2 ;
3;
“T
2. OPERAZIONI DAI RAZIONALI ASSOLUTI Al RAZIONALI RELATIVI
©
Teoria a pagina 110
Addizione e sottrazione
SI
CHECKER
Calcola le seguenti somme algebriche. 2
3 118
+
-3 .
2. OPERAZIONI
16 24
16 25
la tabella.
COMPLETA
-3 + 7. 4 + 3•
+ 12
_ 3 +_JL + /__Z.\.
10 + 45
6r
22 _ 3 5 121 4 + 22 ;
\
3 2
JL \+- l- _ l
28 r
24
A>
a\, \ —a , \ a — \
-a-(-b)
a —b
12 16 8 5
+ ìo
-1 + 5 .2 5 2 1 6 10 ^ 3
Se a = — 2 , calcola:
a + b
b
a
fTjl
ESERCIZI
13 6
5 6 ^ —ci , —2 —(—a)\.
CHI HA RAGIONE? Fabio: «La somma dei valori assoluti di due numeri razionali è uguale al valore assoluto della somma». Marinella: «Proprietà vera, ma solo se aggiungi qualcosa». Tu cosa diresti?
A
Semplifica le seguenti espressioni.
CHECKER
-3 -
1 2
1>
( . . 1
r 2+T ~ 6yl - i
1 \ ,/ 3 + ( t " io
23 6
)
2
1 -(-2 + 6 - 4 ~3 + 5 l 9 15
15
7^2
_ 10
5 + ( l9 + l
1 +-T - H -
~3 + _ 2 ~ ( _ 1 + 6 ) + ( 2 ~ ~ w )
3
X _ 1 _ (± _ 7 _ 15 1 l 6 3 3
M oltiplicazione e divisione
v divisioni. 35 m 9 P P P P IH
Esegui le seguenti moltiplicazioni e +
77 4 ' 3;
-2
(
18 25
10
)f
-2
3 .3 9 14
4 27
d’ 2 + 4 COMPLETA
—a • b a : (—b) —(a ■b) + 2
3 8
a
-1
= 1 5 . c
3 ”
+7 3 4
11
-9
6
la tabella. b
3a (—b)
1 a
1 b
a : 2fr
1
3
4 9
+3 1 + 2 2 5
Trova il numero che, sostituito all’asterisco, ren de vera l’uguaglianza.
c- ~ T + T T + 5 = ^T
la tabella.
+4
[-1]
b- 2 + l - T
- ( -
10 3 4 ); ( 7 ( 35 20 28 l 6 ' 145 H - ' 12 > ( 33 : 11
b
11 30
LJ YOU & MATHS (In)equalities Insert parentheses to make each equality true. 3 .3 5 , c_ a* 2 + 5 2 + 5 ~ 3
(+6) : ( - 6 -
COMPLETA
+
( 3 T - ^ ) =(4)=-3
6
_9_./ 32 \ 22 1 35 M: - » ) * / 28 ( - 8) : l 3 >
a
19 14
—-3 - —( + 2 —— ì + —— + — + 1 i4 r z 7 r 2i + i4 + 1
- 4
+8 +T 1
3 2
4 119
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI EUREKA! Strana operazione... Nell’insieme si definisce la seguente operazione: a —b a* b = ab
MATEMATICA ED ECONOMIA
Domanda e offerta
a. Calcola -4- * (—1). b.
Individua quale coppia (a; b) tra le seguenti dà come risultato 0: (—1; —1), (0; —1).
c. È vero che 5 * 5 = 0? In caso affermativo, vero per (c; c), Ve G Q? d.
Verifica se —
* 1 =
1 * —
Un negozio di torrefazione vende caffè in grani. Aumen ti successivi del prezzo a confezione hanno comportato una continua diminuzione della quantità media venduta mensilmente. La matematica può aiutarci a capire meglio che cosa sta succedendo?
è
. g
e. Verifica se c * 1 = (c — 1) * 0 per c = ^ . f. Calcola
+ 2 + f l
* 1. ►Problema e risoluzione. ►Un esercizio in più.
□
______________________ CHECKER
Semplifica le seguenti espressioni.
Espressioni con addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni CHECKER
Semplifica le seguenti espressioni. [2] 1 9
1 5
1 3
1 4
[0] 19 14
[-2] (-8 )
120
2. OPERAZIONI | ESERCIZI
' 4
11 10 11 5 _9_ 16 J_
15 43 90 5 ' 4
11 24
[-1] 27 40
[8]
1 5
4 ..-5 + 1 - 1 ,5 ) - 3 ,6 - 0 ,8 7 5 - ^ -
( - 5,3)
_ i._ _ 2 _ W J .- 2
10
15 / \ 6
2
■37 (1,6 1,5)
z
75 17 10
( - 0 ,7 + 2,3) + - y - ( - | + l , 3 Ì + 1,03 + ( - j - 0,8 - 0,5 + y - l) + ( -
-P
{[(ì w 5 11 3
(W
+ 2,3 — | - 5,6
30 7
-— 3—1 1 — 14 1 ++113 ,5
9 5
0 ,5 - 0 ,4 ^ 0 ,1 6 - 2 ,2 + j
) + ° 4 0,5' 0’4}
y —1,3Ì --y + 3,5 + 1 “ T
0.181 =( i + i
0 ,8 + l6 - 2 ,3
56 2,6 _|__1_ . |o 2 —1 3 ( - 3,2) : 0,16 + -y 1,88 17 [U’Z A,J
!,° 9 —
) 0,1 - 1 + 0,63
1 - y - + 0,2):
11
12
5 17 19
- 3 ,6
0 ,5 - y ) : ( 0 ,5 + y ) + ( 0 ,2 - ^ ) :( 0 ,2 + ^ ) :
17
6 • [(2 - 0,15) • 100 - (16)]}
3 13
121
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
Potenze con esponente positivo o nullo COMPLETA
inserendo uno dei seguenti simboli: < ,= ,> .
RRR
(-IM-IT-
( - i ) 4M - i r >
- R R R
KYBynH Calcola il valore delle seguenti potenze.
I Hf‘(-#
-t ip
HI
P)
16 ’
1 ,3 2 —— . z 2
COMPLETA
P»PP /
IVI
\ _ 27 125 *
CHECKER
-J 3
= _ 64 . 27 ’
12
" f 1= -L
Semplifica le seguenti espressioni.
_ 5 1 \2 / 8 Y _ ( 4 2 + 4 \ 9/ l 3 rsi
36 64
4 -if_ 2 7 V 7
R ) ' R ) “ l(1_7)2:(_6)3)0 11
3 +2 - 4 4 5
-2
6 _ 4W _ _ 5 _ 19 * 5 19
o D E n H H z a a
+1
^
3
[-1] 6/
12
\
3
12 +3
+( - f +5
7 +1V-13 13 + 1 5
+
+2
15
5 _ 1_ 5 4 2 6
H ) 2- H ) ° - R ) 2
1 72
[-7]
+ ( - 3);
+ 5 - z -(-1 7 ) - I — 2 + 2 ):H 3
[0]
)
3
[-1]
25 3 5
2)2 +
1 :1
2 3 6 '4
+ 2 :2
9 x2 7
POTENZE CON ESPONENTE NEGATIVO ® Teoria a pagina 110
/ 5 \-2 / 1 \-3 Calcoliamo: a. (—g I ; b. (- j ) ; c. (—4) Applichiamo ^
j e poi calcoliamo le potenze. 81 25
122
-2
b.
3 = (3)3 = 27
=-(- 4 > - H R ) 2 = + 16
2. OPERAZIONI | ESERCIZI
Calcola le seguenti potenze. -ì 3-3; -3- (—6)-2; - 5 - 2; ( y ) ; l " 11
CHECKER
P
( - i)
4 r 2 / 2 x_3 ; 10 2; IO"3 ; (
i r 3 —2~2
P
(0,2)-3; ( - 4 / ’
2
-4-V 4; (1,16)— 2;
( IH f
2)
ì
P
2
(—0,6)-3; —6-2; ( - 6)~2; -
; ( - 0 ,6 )'
’ 4-2 ’ 7_1 ‘
COMPLETA
_l_ 64 •
jj
) = 1000 ;
M '1
AL VOLO
=0,04; (-0 ,1 ) - 3 _
Senza svolgere i calcoli, indica quali potenze sono positive e quali negative:
a. ( - £ • )"“
b.
( - 2 )-'* ;c. - ( —f ) ” 3;
d. - ^ y ;
e. - 5 - ° ;
f. ( - 5 ) - » .
Disponi in ordine crescente le seguenti potenze.
IT O !]]
B i0 [j
tes t
/_ 3 r 3 / _ 9 r 2 _ \ 4 ) :\ 4 / X
Si
®
CHECKER
2_1 + 3~2 2-2 + 3_1
T
IH -1 2
-3
( ■ £ - * * ) '+ 2“
E0
(3-2 + 3_1) • 2 + 2-2
YOU&MATHS
js
IX y
29
Possible equalities Which of
i~d~i
x-7
[ e] x24 T
IX -JY
100
thè following expressions equals x7
X| y
DOGI
4^1+ 2 '2 + 2 '1 5-2 + 2-2
m
\T y -
Semplifica le seguenti espressioni.
P
D Q Q
INVALSI2005
Xr A
21 ?
m U
INVALSI 2006
5 IO 3 2 ' IO-2
E 25
X 0,25
E 4
□O 0,00025
123
4
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
Proprietà delle potenze '
Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze 7 8
p
1024
-ì
1173 (—2)~4 :(—2)-3:(—2)2;
±_ ±
3
ini
8 ’4
/
P I 1 \
m
( 3 r 4. p r 2. p v 3
4)
-4
1U 1 ;r
IFTil
7 \~2. t 7
UJ.
7
>
v
B H
- i m
1 27
1 \3 / 1 r 8' 5 7 A5 7
"(4)-2 • (—4)-4 • (—4)5;
/_ 9 \3 ( 9 \4 / 8 \7 l 2 7 A 2 7 A 45 7 ‘
10000 _ 41
i-'s u 'iH -ì
64 25 729’ 16
6561 ’
—3-2 : 3-6;
10“4 10“2 : IO-7.
__5 \37_5 \“5.
[8]
A ) 2 (- t )3 (33> ( - 3)5:[(-t ) T :(- 3> 1r 4 2
!\-2 / ! r 5
= 7 ; \6
16 r 3 32
1r 2 2
9-4.9
= 1
z ,z 64 = (B 312.3L = 38. = 75“3. !5 -3:( 3
A) =8i; B) =9-3-
nze che si riducono alla stessa base Semplifichiamo la seguente espressione applicando le proprietà delle potenze. 814 ■9\ • 27-2 • 35j : (9-2 • 2432) = (34)4" ^ 3
(33)- 2-35 : [(32)-2 • (35) 2] =
^ riduciamo alla stessa base
^ terza proprietà delle potenze
316--p- • 3-6 • 35j : (3-4 • 310) = m
(316 • 3“6 • 3~6 • 35) : (3-4 • 310) = 3 16
+ (-6 ) + (-6 ) + 5 .
39_6 = 3^ = 27
3
-
4 + 1 0
_
[p-81;10] 25 4 4 ’3
1PLETA
= 5 6;
57
[7; 16]
r 6l 15 7 1 r 3' 32 7 1 \3' U) . • \ 2/
1 5-2 • 5
3125 1 32 ’ 100
3 ’9
r
ESEMPIO DIGITALE
7
49 1 16 ’ 25
3“4 -7“4 :42“4. 3“4-7“4
7 5 . 7 - 3 .. 77 - 4 7 4 .. 7 7 3.
5 r3
i r 2 io 1
64
5_ j4
\4 i/ 27 \4 / _ 36 \4 P /(_ _ 5 P ^ 25 / V 24 7M' V100 7 ’
124
27
-B B fB r r \-l
8 _ 79 27; 89
3 9 . 3 6
j - a r
^ prima proprietà delle potenze _
^ seconda proprietà delle potenze
2. OPERAZIONI | ESERCIZI
[P
[9:(-3)-3:(27)2]-4:[(-81)-2]-1
.4-2
P rp i
• ( - 8)3• 4~6 :[32—3(— 24)3]
/_ 8 i r 3/2_\2
\
i6 ; V3 y
[-4 ]
Espressioni di riepilogo
125
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
D alle parole ai sim boli
Traduci le seguenti frasi in espressioni e poi calcola il loro valore. D B Moltiplica la differenza dei quadrati di —v 3 e" —2 per il reciproco del quadrato della loro somma. tm m
Dividi — t per il quadrato di (— j j E
m
m
__L 5
1
ed eleva il risultato a —3.
27
r n
Moltiplica il quadrato dell’opposto di ^ per la somma di -y e -y-> poi sottrai al risul1 3 tato il prodotto della differenza tra ^ e 1 per l’opposto di ^
__ 1 1 4 Hftl Aggiungi -j alla somma di -5- con il quoziente tra -5- e 2. Moltiplica poi il risultato per l’opposto di 2.5 5 2 2 BZ3 Sottrai - j al prodotto di -j per la somma tra "E" e il reciproco di 2. Eleva poi al quadrato il risultato e divi diio per
.
Calcola il valore delle seguenti espressioni assegnando alle lettere i valori indicati a fianco. QQ
126
x 1 —y 2 x —y
x =—
1
y
=7
1 20
IFZl
1 *+ 4
x —4 + 1
x=
95 63
3. NUMERI REALI
ESERCIZI
Traduci le seguenti frasi in espressioni e calcola il loro valore dopo aver sostituito alle lettere i valori indicati. IFCT Aggiungi il quadrato della somma di a e b alla differenza tra il quadrato di a e il cubo di b.
Sottrai il quoziente tra il quadrato di b e i di c al prodotto del reciproco del quadra3. to di c con i ~r 5 della somma tra b e l’opposto di c. Dividi poi il risultato per il quadrato del doppio di a. Oy = ~~
o=
KTY1 3 1 4 iliil Moltiplica la somma tra i -y di a e - j di b per i -y di a. Al risultato aggiungi la diciannovesima parte
Os= del quoziente tra la semisomma di a e b e la somma fra a e la sesta parte di b. a,=
3. NUMERI REALI ITSflQ
1 12
1 6
b=— 2
Teoria a pagina 112
VERO 0 FALSO?
a. Un numero razionale è reale.
E IE
b. Un numero decimale illimitato non periodico è un numero irrazionale.
S E
c. Il successivo di n è 7t + 1.
SE
d. Un numero decimale può anche non essere un razionale.
[DB
e. Il quadrato di un numero irrazionale può essere razionale.
B B
TEST
m
Una delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?
Un numero irrazionale è un numero decimale illimitato non periodico.
B Non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia 7. rei Un numero reale o è razionale o è irrazionale. JL Un numero con infinite cifre decimali non nulle è irrazionale. Riconosci i numeri irrazionali fra i seguenti. rm
V ' tt2 ;
E3
7,823;
m
V8;
ip
V
ITTI
EUREKA! Fra 4 e 5 Costruisci almeno un numero reale x non razionale che sia compreso fra 4 e 5. Si può generalizzare il procedimento a una coppia qualsiasi di interi consecutivi? Nel caso, costruisci qualche esempio.
m
7-2; < f l T x\
35 : (3 ■32) ;
FAI UN ESEMPIO
2,43;
2k ; V '3. +
V5 .
( —2 )_2; -j-,
V4 + 9;
V72 + 32;
1 4 9; 1,2457;
f . f j .
Scrivi in forma decimale un numero reale che non sia razionale.
Klil Spiega perché v 2 + 1 e k —1 sono numeri irrazionali.
127
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
APPROFONDIMENTO
LABORATORIO
Che assurdo, Pitagora!
1\ 1
La scoperta che V 2 è un numero irrazionale mise in crisi l’idea di Pitagora che tutto potesse essere ricondotto ai numeri razionali. a. Per la dimostrazione si può sfruttare questa proprietà: se un numero naturale è scomposto in fattori primi, nel suo quadrato i fattori hanno tutti esponenti pari. Verificalo in qualche numero (per esempio 40, 108, 2250) e poi dimostralo. b. Dimostra ora che V 2 non è un numero razionale, ragionando per assur do e prendendo spunto dai frammenti di dimostrazione riportati a fianco.
a,
P
*2
J falso! 2 conesponente, 2 conesponente parò disparò
► Risoluzione.
□ im
►Attività di ricerca: Pitagora nei guai.
Rappresenta sulla retta orientata i seguenti numeri reali.
IN FORMA GRAFICA
—V 3 ;
-3 ,2 ;
-7 t;
-V 1 0 ;
2,1;
2•
Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri reali. E0
-1 ,1 2 ;
0,6;
~ ;
66%;
BEI
V 3.
1 - jt; - 2 V 3 ; y V 2 ; y ; - 2 .
—j K ;
Ordina i seguenti numeri reali in senso crescente. E0
-0,376;
—| ;
-y ;
—^ r - ;
ITU
- 2 " 1- 3
0,43;
-^ p ;
f;
2 V 2 -1 .
APPROSSIMAZIONI ED ERRORI
U.
APPROSSIMAZIONI E LORO ERRORI €> Teoria a pagina 113 B B Q
Quale dei seguenti numeri interi è più vicino al risultato di questa moltiplicazione?
INVALSI 2010
2,98 - 12,84 [
p
a]
i
b
a]
AL VOLO
0,08
26
[c] 39
QT| 45
Qual è il risultato approssimato di 0,215 0,04193?
INVALSI 2002 [
E0
24
[
b]
0,8
[c]
0,09
jjj]
0,009
jT| 0,008
Stabilisci qual è, tra quelli proposti, il risultato corretto delle seguenti operazioni.
10,3-5,2
65,06;
53,56; 42,16.
00
1,1:0,98
1,375;
0,495;
2,075.
(Suggerimento. Arrotonda 10,3-5,2~10-5 = 50.) ____
ITU 0,9-5,43
128
ETTI
6,107;
3,077; 4,887.
10,1-30,2 2,9
105,18;
125,07;
140,14.
U. APPROSSIMAZIONI ED ERRORI
I ESERCIZI
7 a. Approssimiamo per difetto e per eccesso a meno di un centesimo i numeri 31,97 e ^ . Per difetto trascuriamo le cifre successive a quella dei centesimi:
Per eccesso trascuriamo le stesse cifre e aumentiamo di 1 quella dei centesimi:
centesim i
. centesim i
31,97 = 31,9777... ~ 31,97 o X < L/> U
31,97 = 31,9777... ~ 31,98
, centesim i
centesim i
7 / - j = 2,3 = 2,3333... ~ 2,33
7 / - j = 2,3 = 2,3333... - 2,34
b. Arrotondiamo i numeri precedenti a meno di un millesimo. 7 >5 S 31,97 = 31,97777... ~ 31,978 ... . y S m ille s im i
fM
b. 12,568;
per difetto
c.
d. 1,5;
e. -7 ,4 2 .
Arrotonda a meno della potenza di 10 indicata a fianco.
m Q
TEST [
a]
10~3 ;
7,253,
798
10-6 ;
10 3 ;
1000 ’
- 7,
's
4,95731,
M U
ap p ro ssim ia m o per eccesso
Approssima per difetto e per eccesso a meno di un centesimo e a meno di un millesimo i seguenti numeri, a. 2,7352;
EH
/ 3 <5 = 2,3 = 2,3333... ~ 2,333 3 „ . / / m ille s im i ap p ro ssim ia m o 7
Qual è il valore arrotondato alla seconda cifra decimale di 3,146?
3,14
[T| 3,147
QT] 3,15
DO 3,1
Pi babilonese Gli antichi Babilonesi usavano 3 + -g- come valore di K. Arrotonda 71 = 3,1415...
EUREKA!
con un’accuratezza di 0,001 e determina di quanto questo valore differisce in percentuale da 3 + g . Arrotonda il risultato allo 0,01%. _a_ 0,48%
|_bJ 0,50%
|_cj 0,53%
|_eJ 0,55%
1_dJ 0,54%
[USA Louisiana State University High School Math Contest, 2012]
Errore assoluto E B C U S E H B H l Arrotonda i seguenti numeri a meno della potenza di 10 indicata a fianco e calcola l’errore assoluto. 0,0174,
10~3 ;
13 7 »
10~3 | ;
4,58,
10~z I;
5 6’
10~2
M i Calcola l’errore assoluto commesso nel considerare per ciascun numero l’approssimazione per difetto a meno di un decimo.
121,354; 6,5; -y; — g-.
ETCÌ
Determina l’errore assoluto che si commette nel considerare i seguenti numeri decimali finiti al posto di quelli scritti a fianco di ciascuno di essi.
1,2,
—
6
;
1,1666,
—
6
;
0,06,
37 ;
626
1,88,
—
8
;
87,16,
87,16
|.
129
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
E rro re relativo
Considera i seguenti numeri e i loro valori approssimati a fianco. Calcola l’errore relativo percentuale.
p
65,13,
65
;
4480,
0,03486,
4000 ;
0,035 ;
173,4,
170
.
[0,2%; 12%; 0,4%; 2%]
p j B f f l E B B B B l Arrotonda a meno di jqq i seguenti numeri ed esprimi in percentuale l’errore relati-
vo commesso. a. 3,143; n il
b.
c. 2,62;
d. 15,7868;
e. ^ .
È dato il numero 12,56. Approssimalo per eccesso a meno di -Jqq- e per difetto a meno di ~ìqqq Arrotondalo a meno di
.
In ognuno dei tre casi calcola l’errore assoluto e l’errore relativo percentuale.
MISURA, ERRORE ASSOLUTO, ERRORE RELATIVO
Teoria a pagina 114
Metti in ordine crescente di precisione le seguenti misure. BH
739 + 3;
850 + 5;
0,072 + 0,002.
HB
12420 + 20;
BB
0,007 + 0,001;
H0
INTORNO A NOI I lati di una fotografìa e di un portafoto misurano come indicato a lato. Stabilisci se si riesce sicura mente a inserire la fotografìa nel portafoto.
570+ 10; 1532 + 4;
2,100 + 0,005. 16,05 + 0,05.
PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI BH j
ESEMPIO DIGITALE
Teoria a pagina 115
Dati a = 36,3 ± 0,6 e b = 15+ 1, calcola , e a — 2b e determina i corrispondenti
errori assoluti. Dati a = 3,3 + 0,1, b = 4,2 ± 0,2, c = 6,4 ± 0,1, cal cola i risultati delle seguenti operazioni e i corri spondenti errori assoluti.
p 00 B0
a + c;
p g
In un paese di montagna, alle 10 del mattino si rileva una temperatura di (10,5 + 0,5) °C. Alle 2 del pomeriggio la tempe ratura risulta (17,5 + 0,5) °C. Calcola la varia zione di temperatura e il suo errore assoluto.
ah ;
b — c; bc;
, a b -c ;
i
INTORNO A NOI Errori in cartolina Calcola pe rimetro e area della cartolina e i corrispondenti errori assoluti.
a + b — c.
c2. bc a ;
b2+ a.
INTORNO A NOI
[7 °C; 1 °C]
130
m
[(71 ± 2) cm; (292,5 ± 17,6)cm2]
5. NOTAZIONE SCIENTIFICA E ORDINE DI GRANDEZZA
ESERCIZI
5. NOTAZIONE SCIENTIFICA E ORDINE DI GRANDEZZA NOTAZIONE SCIENTIFICA GTeoria a pagina 116
EH
Scrivi i seguenti numeri come potenze di 10. E0
10000;
|P
(1000)_2;
100000 ’
§P
78000;
EH
Quattro miliardi; due milioni e seicentoventimila; dieci millesimi; duecento milioni.
h
^
486000000;
INVALSI 2006
25qQQ .
0,000052;
EH
0,0075 ■IO-2;
m
0,012;
F E T I 0,0003;
ITI 8,035 IO5
y = 45600000,
Scrivi in notazione scientifica il numero I
124,9.
1,4;
0,12 IO7;
8473 • 10“43.
2,02 IO12;
1023.
23 750;
16,2 10~4;
15 IO3.
147,2;
0,02 10“2;
0,15 IO6.
\ E 0,835 IO5
d
0,835 IO3
xy f r a t t o z Riscrivi i seguenti numeri razionali in forma decimale e in notazione scientifica:
x = 0,000000375,
P
250000;
Quale tra le seguenti espressioni ha lo stesso valore di 8,35 • IO4?
|T | 83,5 IO2 EUREKA!
576000;
10~3 IO5 0,001 '
Scrivi in notazione scientifica i seguenti numeri.
e
78,3;
1000 ’ U,UU1‘
(0,001)3 . _ J _ (0,1)-2 ’ 1004 ’
18;
842000000;
z = ,,- L . x -y z '
La massa del pianeta Saturno è 5,68 IO26 kg, quella del pianeta Urano 8,67 • IO25 kg e quel la del pianeta Nettuno 1,02 • IO26 kg. Metti in ordine i tre pianeti da quello di massa minore a quello di massa maggiore. INVALSI 2010
F sn Scrivi in forma decimale i seguenti numeri, espressi in notazione scientifica. 1,27 IO3; V
5,62 : IO-2; - 2 , 4 1 0 4; 7 ,8 M 0 “5.
B3333335 Determina il risultato delle seguenti espressioni ed esprimilo in notazione scientifica.
ecra 26 IO4- 5 IO7 — IO-2
[1,3 io15;
EH
(2 •IO8+ 583 •IO8)•IO-3
[5,85 IO7
EH
52 - IO3+ 0,3-IO4- 7 - IO3
EH
(60 •10“2)■(2 •IO-4)
EH
(1,2 IO3— 19 - IO2)2:(0,07 - IO3) 0,03
E0
(9 •IO4•0,002)2:[(0,3 •IO3)3]2•(— 9 •IO4)2
EJ1
[(1,72 •IO-6)+ (0,3 •IO-5)]:(0,8 •IO4)
[4,8- IO4 [1,2 •IO-4 [2,1•IO2 [3,6 IO-1 [5,9 IO"10
131
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
Problem i
in t o r n o a n o i
Risolvi i seguenti problemi esprimendo i risultati in notazione scientifica. P J
Quanti secondi ci sono nel mese di aprile? [2,6 IO6 s]
P I
Qual c Là
m U
dici nostro pianeta?
YOU&MATHS Licence plates Some States in thè USA, like California, issue some licence pla tes in thè form 3ZMZ254. Each piate starts with a digit followed by three letters and then three more digits. Both thè letters and digits may repeat, so 0MCX111 is a valid number. Which expression equals thè maximum number of licence plates thè state of California can issue using this scheme?
LaJ IO3•264
LcJ IO4•263
E
OD IO7 • 267
IO7
[6,0 IO24 kg]
00
Particelle La massa dell’elettrone è 9,1 10 31 kg. Determina la massa del protone, sapendo che è 1836 volte quella dell’elettrone. [1,67 IO-27 kg]
m
La frequenza cardiaca media di una donna è di 80 battiti al minuto. Anna oggi compie 72 anni. Calcola il numero di battiti che ha fatto il suo cuore dalla nascita a oggi. Dichiarazione Mia sorella Lea ha ricevuto dal suo ragazzo l’anel lo di fidanzamen to a lato. Qual è la massa, in grammi, brMarte, = 0,87 carati del brillante? 1 carato = 2 • 10 4 kg [1,74 IO” 1g]
ORDINE DI GRANDEZZA p O
E
m
a m
Quanti grammi di grassi insaturi sono contenuti in 1 kg di latte? Quanti grammi di grassi sono contenuti in 380 kg di latte?
1 Latteintero: 4%> durarsi, d ia ti M/ v’u 33% 67% grasso grasso insaturi saturi [1,3 10 g; 1,5 IO4 g]
00
Che velocità! La luce viaggia nel vuoto alla velocità di 300000 km/s. Qual è la distanza in metri tra il Sole e la Terra se la luce inviata dal Sole impiega 8 minuti e 20 secondi per arrivare sulla Terra? [1,5 IO11 m]
0 Teoria a pagina 116
Determina l’ordine di grandezza di 51532 e 238 IO3.
Stabilisci l’ordine di grandezza dei seguenti numeri. g in
17,8 IO6;
EB
41;
P
INTORNO A NOI Una formica ha una massa di circa 10 1 kg. Sapendo che una molecola ha una massa dell’ordine di IO-25 kg, di quante molecole circa è fatta la formica?
D
1023;
5000000;
[À] io
-29
0,67 10“2. 0,27 10“5.
[~b[ 10 -21
ESERCIZI IN PIU 00 -00 [JSU TUTTO IL CAPITOLO 132
m
io 21
EB
2~‘;
EH
5;
503 IO2; 1,5 • IO-2;
Tf] 1029
0,035 IO-2. 75 000000.
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
ESERCIZI IN PIU NUMERI RAZIONALI E OPERAZIONI o Teoria a pagina 108 CHECKER
Trasforma i numeri decima^ in frazioni e semplifica le seguenti espressioni. 29 15
P '•H Ì+ tÌt) F E E 1 3,6
mu
[4]
12
VERO 0 FALSO?
2 3 a. — ^ e —2 sono discordi.
S E
d. Pe|rogni razionale a ^ 0 è a > —a.
sm
h I B | _ I-13 b J ^ 4 | - “ TÌ
0 0
e. Sela < —1, allora 4d > —1.
SEI
S E
f. -4-| e — f- sono opposti.
SEI
c0 @ Q
m U
1
0,8 -
4 5
4 5 •
VERO 0 FALSO?
a. La differenza di due numeri razionali opposti è 0.
SEI
b. La somma di due numeri razionali discordi è 0. 8 _5 8 4 A +A +A = 7 + + 7 7 t 7
SEI
b. Il prodotto di un numero razionale per il suo opposto è 1. c. Il quoziente di due numeri razionali concordi è positivo. d. Il reciproco di —8 è + 8. e. Se il prodotto di due numeri è negativo, allora i due numeri sono opposti.
SEI SEI SEI SEI SEI
VERO 0 FALSO?
a. Il reciproco di un numero a è — \ .
SEI
h - 2 3b.
7*
SEI
c. 21 : a* = 2a, con a ± 0.
SEI
7
3
-d. Se a > b > 0, allora — < 4-. a b to 4
SEI
VERO 0 FALSO?
1 a. Il numero razionale a è sempre maggiore di -jp
B 0 □
SEI
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SE]
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI I ESERCIZI IN PIU
3 Trasforma i numeri decimali in frazioni e semplifica le seguenti espressioni. 0,75+ 5 —1 ) : 0,55 : 0,18 EE
EH
° '4B~ 3 + 5
. 0 , 2 - 1 + 1,6
1 - 0 .6 E9
9
10
1,7 + 0,3 —1
«’4
'
Dividere u n o Quale numero razionale è equivalente a
EUREKA!
-1 + 1+ ' 1+ l + 1 RE E]
RE REI
COMPLETA
CHECKER
u 125 ’
(+ -U
i\2
16
7
LJ;
143 274
5
'L_T
Semplifica le seguenti espressioni.
. 1 _ M + 3 /3 9 5 V2 3 X 2 *V2 ^ 4
1_ .
__3
51 + + 23
_3_
1 \ _5_ , _3_ , _3__ 5 i~ 1 0 / ' 3 i~ 2 i~5 10
2
A +± 7^2
[2]
P
[5]
p p
m P P
FRI
EH
l ) 2-
P I
•4^12
3
3 '2 4
1 '5 9 2 : 7
3 _ / 2 + 3 \2 / 7 l 7 + 14 /
4
_ 1 _5 W 1 \4
( > - i - i ) 24 - ( !
4
A ) 2. ( A + A ) + ( X ) 2
3 15
11
6
_5 “4
3 '2 4
X
\ 9 ^ 3T l 3/ 3 _ 6 1 4 5 + 2
! _ Z \. 1 5
1-0,3 3 '- 1 1,2 2
-3 + J_./ _5 4 + 2 -l
y - d +
X ■[9 +
6
(i)
IH 4 -> )-H )2
lL _ ± \+ 2 _ 5 12 3r 3 6
6
8 /T 2 /
31 9
_z_ 12
_A 7
1
2 —2 11 z /Ì \- f 47 - 13 4
i-S-SMSV2
FRI
23
•A + M _ i _
m
22
i +( i H _i H i +12 1 '2 3 7 18 / + \ 4 12
10 “ 2 1 - 6 + 6
(0,2)2- ( - 1,2) (0,1 )_1 ( y )2 -ì [0,4 + 0,2 : (—0,6 ) ] 2 f - (- 0 ,0 1 )
m - ì i )K3+t) + T
- 2
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[1] 13 15
E35
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
W!M Q ^ H
EUREKA!
6
a b ic id i
Se , . ? . — = -T e d+b+c 3 b+c UEÌ - 12
E y
5’ E
a
ar-
= T , allora il valore di -7- è:
11
[USA Louisiana State University High School Math Contest, 2007]
NUMERI REALI E NOTAZIONE SCIENTIFICA © Teoria a pagina 112
Rappresenta sulla stessa retta orientata i numeri reali x che soddisfano le seguenti condizioni. P I
-4< x< -^;
E0
- j j < * < 0;
E i'Ill
— 2 k < x < - j ~;
- \ < x < \ . V2 < x < - y . x < 371—
FOT In figura è rappresentato un cerchio con un diametro di 12 cm all’interno di un quadrato. Stabilisci quali fra le misure delle seguenti grandezze sono numeri irrazionali: a. il raggio del cerchio; b.
il perimetro del quadrato;
c. la differenza tra il perimetro del quadrato e la circonferenza; d.
E36
l’area del cerchio.
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NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI I ESERCIZI IN PIÙ
s a
Calcola la misura dell’ipotcnusa di un triangolo rettangolo ABC, noti i cateti AB e AC nei seguenti casi: a. AB = 6, AC = 8;
b . A B = ì , A C = 3.
Indica se sono numeri reali razionali o no. Parte intera Posto che x sia un numero reale qualsiasi, definiamo parte intera di x, indicata con [x], il maggiore tra gli interi z tali che z < x.
s a
EUREKA!
a. Quanto vale z = [—0,2]? b. È vero o falso che [x] + [y] = [x+y\ per ogni x e y reali?
EEH
AL VOLO
^enza calcolatrice determina il risultato delle seguenti espressioni ed esprimilo in notazione
scientifica. (22 • IO '5) : (0,11 • IO-2) • (32 • IO"4)
00
CHECKER
[6,4 • 1(T4]
Semplifica la seguente espressione ed esprimi il risultato in notazione scientifica.
[(7,3 • IO5) + (37 • IO4)] ■[(8,2 • IO2) - (6,2 - IO2)] s a Q
[2,2- IO8
INVALSI 2011 L’età della Terra è valutata intorno ai 4,5 • IO9 anni. L'Homo Erectus è comparso circa IO6 anni fa. Qual è la stima che più si avvicina all’età che la Terra aveva quando è comparso YHomo Erectus?
fXI 4,5 • IO9 anni.
QF] 3,5 • IO9 anni.
|jF] 4,5 • IO6 anni.
[ d] 4,5 • IO3 anni.
RIEPILOGO P I
□
INVALSI 2004
Che cosa si indica con la scrittu
p n
INVALSI 2004 | Si consideri il prodotto di un numero naturale m / 0 per un numero raziona le positivo. Quale delle seguenti affermazioni è vera, se riferita al prodotto?
ra —a? H
Un numero negativo,
m
L’inverso di a.
fc l L’opposto di a. m
MG
Un numero sempre diverso da 0.
Somma non negativa a, b e c sono numeri reali tali che comunque se ne scelgano due la loro somma è maggiore o uguale a 0. Qua le delle seguenti affermazioni è certamente vera? EUREKA!
[~À1 a b ■c> 0. m
Almeno uno dei tre numeri è 0. Almeno uno dei tre numeri è strettamente minore di 0.
m a , b , e c sono tutti maggiori o uguali a 0.
m
Può essere sia maggiore sia minore di m.
m
È sempre minore di m.
m
È sempre maggiore di m.
m
È sempre minore di 1.
M G
Siano | a e b numeri razionali positivi qualsiasi. Una sola delle seguenti implicazioni è corretta. Quale?
H
TEST
Per ogni a e per ogni n intero positivo, an > a.
[ B Se a > b, allora an > bn per ogni n intero positivo. m
[TI a + b + c > 0.
Per ogni a, se m > n allora (a")m > (a'”)". Per ogni n intero positivo, (a + b)n < an + bn.
[Olimpiadi di matematica italiane, Giochi di Archimede, Gara del biennio, 1996] Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
E37
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI TEST Qual è la rappresentazione decimale del numero 10° + 2 • 10~2 + IO-3?
K ll ll Q
m
[À] 10,21
EUREKA! Un ordine nascosto Considera la seguente sequenza:
[ 3’
__ L _JZ ___5_ _ 3 l _ 2 ’ 9 ’ 4 ’ 15 ’ fl’ "*
U ] 10,021
Trova il termine a.
OD 1,21 s a Q
DO 1,021
gira Trova i valori di n e Z , quando esistono, che rendono vere le uguaglianze.
b. 2" • 2-3" = c. 33-" d n o 3')" = a
E38
'
u
u
;
1 81 1 1000000
Interi, decimali, reali Quale tra le seguenti proposizioni è vera? m La divisione tra due numeri interi può dare come risultati un numero decimale limitato, un numero decimale illimitato periodico o un numero decimale illimitato non periodico. | b ~~| La radice quadrata di un numero intero non è mai un numero razionale. I~cl La radice quadrata di un numero intero positivo e primo è sempre un numero irra zionale. m Un numero reale è sempre un numero deci male illimitato non periodico. EUREKA!
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NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
2 1 \-2
(—2)-1 : ( —
(- 3 )
3
ESERCIZI IN PIÙ
7 18 1+^]
KH-o (-ir-(-i)2
-3
E03 HJ
7 2
13 16 : - T — T :
-2
- 1 + 14
+
2
49
7\
(363)-4■(122)—2•(43)2:(34)2 3 \ - 3 — 23•5 (272)"2•(183)4:(29)4•(32)-3■(273 ) - ( - 1 + 7 )2 : ( 1 + i r
+i r + 2)2^j r + ( - 2 ) - ': ( - 4 )
-2
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ik à )+ (-tM E39
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
1 5
34 45
1 30
(0,4)2 —( y - 0 , 6 - j -)3 + ( - y - - ^ - + 0 ,l)2 ( - y - + y - - | r ) 3] : f ( y )2 + 4 - l , 9 6 - 5 : ( l , 6 ) : ( - 6) ■(0,2916
2 7
+ 0,5Ì : (o,083 — j ) • 1,3 + 0,2
ED - j j : f —y - + 0,16 - 1,083 + 5 1+
2 5 9
(i):
+ 1
1+
1 \
M 2- 1 8 \2 7 Ì ■V2i ;
1 + l _ '5 ') : ' è ‘ .i__ 2 -1 + 2 2 2 J- + 2 2 +z B S G
EUREKA!
H
1,3
1 2 , 3 3 3 1 3 +3
2
Più
o m eno
|T] 1,30
_i_
5 x2 2 :(
(~ 3): 17
13 17
[-15]
\ )2 —(—2)4
Quanto fa 0,60 + 0,70? [T] 1,31
[5] 1,4
[H 1,40
(Suggerimento. Rispondi senza passare alle frazioni generatrici.)
EU
[Giochi di Archimede, 2008]
INVALSI2011 Le dimensioni di una piazza rettangolare di una grande città sono circa 620 m ■120 m. Le stime comparse sui giornali sul numero di partecipanti a una manifestazione che ha riempito la piazza variano da 100000 a oltre 1000 000.
a. Q Sapendo che diverse fotografie scattate durante la manifestazione evidenziano una densità di circa 4 persone al metro quadro, che cosa si può concludere circa l’effettivo numero dei partecipanti? |~À~1 Le stime dei giornali sono tutte errate perché dalle informazioni disponibili i partecipanti non pote vano essere più di 20000. |~~b~1 Una stima ragionevole è circa 300000 partecipanti. [~c~| Ha ragione chi ha parlato di più di un milione di partecipanti. La piazza non può contenere molte persone più di uno stadio, quindi c’erano meno di 150 000 par tecipanti. b. Mostra i calcoli che hai fatto per trovare la risposta. EUREKA!
£
I l p iù v ic in o
UH 7
Quale tra i seguenti numeri è più vicino a ^
El «
t u -5 -
4 + 8
1 [II 10 [USA Louisiana State University High School Math Contest, 2011]
E40
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NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI I ESERCIZI IN PIÙ
LABORATORIO
MATEMATICA E FISICA
Il peso a spasso fra i pianeti La forza di attrazione gravitazionale è una forza che si esercita fra tutti i corpi in quanto dotati di massa. Quando si esercita fra un pianeta e un oggetto, questa forza prende il nome di «peso». L’intensità della forza gravitazionale dipende dalle masse in gioco e dalla loro distanza secondo la legge di gravitazione universale: F -
G
m, •mi d :
G
= 6,67- 10-
n Nm2 kg2
a.
La massa della Terra è di 5,97 • IO24 kg, quella di Andrea di 60 kg e il raggio medio terrestre è di 6371 km. Calcola il peso di Andrea sulla Terra.
b.
La massa di Marte è 0,107 volte quella della Terra e il suo raggio è circa ^ del raggio terrestre. Calcola quale sarebbe il peso di Andrea su Marte.
g
c. 1. La forza di attrazione gravitazionale che Andrea subirebbe sul Sole è 28 volte quella terrestre, mentre il peso di Gaia sul Sole sarebbe di 13 700 N. Calcola il peso di Gaia sulla Terra. 2. Calcola la massa di Gaia.
□
► Risoluzione.
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E41
MENU DELLE COMPETENZE ©
Nella seconda pagina della copertina
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ► Com petenza
I l
1
(abilità
1, 2)
Qual è il numero maggiore tra i seguenti? __2 _ 7 3; 10 ;
WM Q
_ 29 45 ;
Quale delle seguenti disuguaglianze è vera?
INVALSI 2008
16 <
__3 5'
17
l D. , i Z / 16 W + 1 6 < _ 17
| C - i 7 > + i6 16 17
+ 16 < + 17
Disponi in ordine crescente i seguenti numeri razionali, scritti con diverse notazioni: a = 0,00017;
^ = 1,7 IO-4;
1 d = 6250 •
c = 18 • IO-5;
[d < b < a < c] IN FORMA GRAFICA
pQ
Su ciascuna retta orientata disegnata, rappresenta i numeri indicati a fianco.
LJ VER0 0 FALS0? Considera i numeri razionali a e b e indica quali espressioni sono vere.
VERO 0 FALSO?
_ 3 . 0 =0 5 10 U> , 7 5 -5 21 b. — 3-= — •
00
a. Se a < 0, la < a.
r a ta
a tn
b. a = —a se a < 0.
ITI ITI
2 a c. — at •-£ = — 5 >con a ì 0.
0 0
c. a
d. Il reciproco di 0 è 0.
0 0
BlB _J TEST errata.
d.
Solo una delle seguenti uguaglianze è
ra ( 4 )”2=(4 )”3= 2-1
|a +
.
I v II f l
a ■ b = a ■b .
ITI (TI
e. —a-2 < 0, con a ± 0.
0 0
f. a > - a .
TIIT1
tivo quanto vale, nei seguenti casi: a. n = 0;
[ b] ( - 0 , 3 )" 1+ 0,3 = - 3
~\1
=
i l i ! Indica se 0", con n E Z , esiste, e in caso afferma
a Hr=H)2 CU -23 - 1121 +
+
= 1
b. n < 0;
c. n > 0.
Disponi in ordine crescente i seguenti numeri reali.
DI
-0 ,2 5 ;
4%;
25 • IO-3;
4“2;
-0 ,2 5 .
133
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
E3
-0 ,5 1 ; TEST
-0 ,1 6 ;
Dati x = —“§* e y = —
—
K lL J
j
DEEI
b. Ogni numero razionale diverso da zero è minore del suo quadrato.
j
DED
c. a~l < a, Va E Q e a ^ 0.
0 0
d. —a~x =
E H
, quale tra i se
guenti è il numero minore? Q
x -y
LS - ^
US ~y Qj
CS - x y
INVALSI 2005
e.
Le seguenti scritture:
; 0,002; 0,02; 2 • IO-2
9
CHECKER
es
0,002 ®
VaEQea^O.
— a, Va E Q e a # 0.
B j j Quale delle due potenze ( “ 2 ) e ( —2 )
rappresentano lo stesso numero tranne una. Quale? ra
VERO O FALSO?
0 il T>1 O ri
R IO
5%; (—£ )
2 ■10-2
^
Z IT I ’ con
« E N , ha valore maggiore?
°>02
Semplifica le seguenti espressioni. [0 ]
[1] (2_1 • 22• 2~4) 2
1 27
l_ '3 32 ' 5 [ 2]
Calcola il valore delle seguenti espressioni assegnando alle lettere i valori indicati a fianco. x + y —3 xy + 5 3a2 —b a+b
► C om petenza
b = 0,83
3
(abilità
[-1]
1, 2)
Traduci le seguenti frasi in simboli e poi calcola il loro valore. wV% Moltiplica il quadrato del reciproco di ^ per la differenza fra 3 e il prodotto della differenza dell’opposto 1 , 3 32 di - j e 2 per l’opposto di - y . 25 134
MENU DELLE COMPETENZE ©
Nella seconda pagina della copertina
^
127
Somma 2,5 al q
R j l Moltiplica —0,5 per il cubo della sua metà e per il quadrato della quinta potenza del suo quadruplo.
[8]
Traduci le seguenti frasi in espressioni e calcola il loro valore dopo aver sostituito alle lettere i valori indicati.
RI
Calcola il cubo della differenza tra il doppio di a e il risultato della divisione tra la somma della metà di b e del triplo di c e la somma tra a e il doppio di c.
ce = *1
b= ^
4 5 25 Ai - j della somma fra il triplo del quadrato di a e i -g- di b sottrai il doppio della somma fra a e i -yy del ce =
1
.
Z 5
b =—
3
Un motociclista percorre (1440 ± 1) m in (60 ± 1) s. Calcola la velocità media del motociclista e il corrispondente errore relativo percentuale. INTORNO A NOI
Suggerimento, velocità media = fe^po
[24 m/s; 1,74%]
itftl Errori a tavolino Si sono misurati i lati a e b di un tavolo rettangolare con uno strumento avente la sensi bilità di 1 mm, ottenendo: a — 1,283 m, b — 0,755 m. Dopo aver approssimato a e b a meno di 10_1 m, stabilisci quale errore relativo percentuale si compie su ciascuna misura a causa di questa approssimazione e quale errore relativo percentuale si compie calcolando l’area del tavolo con i valori approssimati dei lati invece che con i valori misurati.
► Com petenza U (abilità
5)
Le lunghezze della base e dell’altezza di un triangolo sono (8,4 + 0,2) cm e (3,5 ± 0,1) cm. Trova l’area e il suo errore assoluto. 1(14,7 ± 0,8)cm2] . . 1 . Scrivi -g- in notazione scientifica e dividilo per 2 ■IO5
[6,25 IO-7]
2
KE1 Scrivi in notazione scientifica il cubo di -f- e sommalo a 0,2 ■10 L i,
[8,4 10 2]
Semplifica le seguenti espressioni ed esprimi il risultato in notazione scientifica.
(2,5 ■IO-3) • (0,2 • IO-2)
[5,0 IO-6]
|3
[(8,3 • IO-7) —(0,25 • IO-6)] : (2 • IO-3) [2,9 10 4]
E J
50100;
Stabilisci l’ordine di grandezza dei seguenti numeri. KE1 27;
2 IO4;
420;
0,55 • IO-7.
0,016 IO3;
8,1 10“2.
135
U
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE PROVAA
TUTOR PROVA C
PROVA B
(10 esercizi)
IN MEZZ’ORA
►Competenze 1, 3, U
TEST
0 IN UN’ORA
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
\J \ 71 —3 = 0,14. Di
(10 esercizi)
Ogni numero reale è periodico.
b
c
2 ^ 2 è un numero razionale.
La somma di un numero intero e di un numero irrazionale è irrazionale.
Disponi in ordine crescente:—3,5;
y;
2 33-
15 10 1
——• 2>
15%.
Semplifica le seguenti espressioni.
H —■
W B)‘B)1'|-B)T-BH-tM'(f Il pianeta Saturno ha massa 57 • IO23 kg e volume 0,83 • IO24 m 3. Calcola la sua densità media in kg/m3 e in g/m3, sapendo che la densità è il rapporto tra massa e volume. Esprimi i risultati in notazione scientifica.
PROVA D
►Competenze 1, 3, U
0 IN UN’ORA
VERO 0 FALSO?
'• B f H 10 3
3 '3 5
r a s
I-io -3
0 S
lvjll;
d. - y < —8 10_1
JLlJLl
Semplifica le seguenti espressioni. b m
-3 ,-4
[- > .3 B
) 2- > ] 2- ( 4 B
) 2B
( - 4 j 2 ■( 3 )_2]2 : ( - 2 )-7 + 22 + {[2-3 - l+ i ) +fif(-3 )2
- [ - ( -
t
)2- ( - 0 . 5 ) Ì - ( 4 ) 3- 7 ( l ) 2
(S '1: 32-3)} ' 25 13 18
—34 • ( — l ) 2~ ( 1 ì2 -50 + f - ^ - ) ( - 2 ) 3
La lunghezza di una galleria è misurata dividendola in tre tratti adiacenti. Le misure in kilometri sono: li = 1,3 ± 0,1, l2 = 4,5 ± 0,5, /3 = 3,2 ± 0,2. Calcola la lunghezza della galleria e il suo errore relativo. 7 Traduci in espressione simbolica e poi calcola il risultato: «Somma all’opposto della metà di ^ il prodotto , 2 3 5 ^ tra il quadrato dell’opposto di — k e il cubo di — ^ e dividi il risultato per ^ >>-
136
MENU DELLE COMPETENZE ©
PROVA E E
Competenze 1,3
K l Pentamisure Le misure dei lati di un pentago no, espresse in centimetri, sono: a — 5,7 + 0,1; b = 8,4 + 0,4; c= 12,5 ±0, 5; d = 6,0 + 0,4; e = 5,4 ± 0,6. Calcola le seguenti misure e i loro errori assoluti: perimetro del pentagono; b — a + d; lab. H
® IN UN’ORA
O
l 9 Maggiore o minore? Sommando — 2 al qua
drato del prodotto di 0,6 per il quadrato di 3 si ottiene un numero. Stabilisci se è maggiore o ,. 80 minore di ^ •
Bianchi e rossi Calcola quanti sono i globuli rossi e quanti i bianchi in due litri di sangue. Esprimi i risultati in notazio ne scientifica e indica l’ordine di grandezza.
PROVA F ( ‘
Nella seconda pagina della copertina
ùv 1 cuà: circa, 5 1(f globuli rossi) •
globuli bianchi
Competenze 1, 3
=
0,2% d i quelli rossi
® IN UN’ORA
Viva gli sposi! In una torta nuziale a tre piani il raggio del primo disco è di 18 cm; i raggi del secondo e del terzo disco aumentano, ciascuno, di un terzo rispetto al precedente. a. Calcola il raggio di ciascun disco della torta. b. Calcola la superficie superiore di ogni piano e verifica che il rapporto tra l’area di un piano e quella del piano superiore è un numero periodico. c. Esprimi, con una frazione, l’aumento della superficie di ciascun piano rispetto a quel la del piano precedente. d. 1. Il piano superiore viene suddiviso in 30 fette, quello intermedio in 60 e quello inferiore in 90; alla fine della festa sono rimaste 12 fette del piano superiore, 9 di quello intermedio e 33 di quello in basso. Scrivi, sotto forma di frazione, quanta torta è stata mangiata per ogni piano. 2. Esprimi, sotto forma di frazione, la superfìcie di torta mangiata rispetto alla superfìcie iniziale totale della torta. Puoi affermare che sono stati mangiati poco più dei due terzi della torta?
PROVA G
►Competenze 1, 3
& IN UN’ORA
Quanta sabbia? Supponiamo che lungo una linea lunga 1 mm si possano disporre in fila 10 granelli di sabbia fine. In 1 mm2 saranno quindi contenuti circa 100 di questi granelli di sab bia, mentre in 1 mm3 ce ne staranno un migliaio. a. Quanti granelli di sabbia sono contenuti in un metro cubo? b. Quanti granelli di sabbia contiene una spiaggia larga 100 m, lunga 1 km e con la sabbia che raggiunge una profondità media di 10 m? c. 1. Quanto deve essere lunga una spiaggia del tipo precedente per contenere IO23 granelli di sabbia? 2. Sapendo che le coste italiane sono lunghe circa 8000 km, qual è il rapporto tra la lunghezza di questa ipote tica spiaggia e le coste italiane? d. 1. Dalla chimica sappiamo che in 18 g di acqua sono contenute circa 6,022 • IO23 molecole di acqua. Quante molecole di acqua sono contenute in un litro di acqua? 2. Quante volte il numero di queste molecole è maggiore o minore di quello dei granelli di sabbia della spiag gia del punto c? 137
INSIEMI E LOGICA 1. INSIEMI r u r r A c r i u i
m
n r u r
A
CHE CUb E UN INblEME
I n i A set is a colle ctio n of objects (no? n ecessarily p h y s ic a lo n e s lth a ta re c a lle d e te m e n ts o fth e s e t
-
Esercizi a pagina 152
Un insieme è un raggruppamento di oggetti. Ognuno di questi oggetti è un elemento dell’insieme e diciamo che appartiene all’insieme. Per poter parlare di un insieme, e operare con esso, è necessario sapere con certezza se un qualsiasi oggetto appartiene o non appartiene all’insieme. ►È un insieme: T
.
..
.
. .
.
. ,
sappiamo che gli elementi
«I numeri naturali maggiori di 2 e minori di 7».
sono 3 4 5 4
Non è un insieme: _ .
, , .
«I cinque film migliori nella stona del cinema».
--- ognuno di noi potrebbe indicare elementi diversi
Per descrivere un insieme possiamo fornire la proprietà caratteristica, oppure pro cedere per elencazione, scrivendo tutti gli elementi dell’insieme separati da virgole e fra parentesi graffe. Indichiamo un insieme con una lettera maiuscola; usiamo il simbolo E, «appartiene», per dire che un oggetto è un elemento dell’insieme, e il simbolo che significa «non appartiene», per dire che l’oggetto non è un elemento dell’insieme.
Se A = {a, b, c, d}: ^
fl G A \
Proprietà caratteristica
Elencazione
E0£
Le vocali dell’alfabeto.
V = {a, e, i, 0, u}
e E V; q £ V
I tre fiumi più lunghi che scorrono in Francia.
F = {Reno, Loira, Mosa}
Loira E F; Po £ F.
I numeri pari.
P = {0, 2, 4, 6 ,...}
\ 2<=P; 7( £P.
Se rappresentiamo un insieme per elencazione, ogni elemento deve essere presente una sola volta nell’elenco. L’ordine con cui gli elementi compaiono non ha importanza. Facciamo riferimento ai diversi insiemi numerici usando per ognuno una lettera. N
indica i numeri naturali,
Z
gli interi,
Q
i razionali,
R
i reali.
Rappresentiamo graficamente un insieme con un diagramma di Eulero-Venn o, più brevemente, diagramma di Venn. ►Tracciamo i diagrammi di Venn degli esempi precedenti.
138
appartiene
insieme elemento
non appartiene
1. INSIEMI
TEORIA
Come abbiamo visto negli esempi, esistono insiemi finiti, con un numero finito di elementi, e insiemi infiniti, con un numero infinito di elementi. Utilizziamo una lettera minuscola per indicare un elemento generico di un insieme; inoltre, spesso possiamo scrivere in modo sintetico la proprietà caratteristica nella forma dell’esempio seguente. ►
{x
E
N| v
> 3} indica l’insieme {4, 5, 6, 7, 8, ...}. si legge: «tale che»
Chiam iam o insieme vuoto un qualsiasi insieme che non ha elementi e lo indichiamo con 0 . ► Sono l’insieme vuoto: l’insieme dei quadrati con angoli acuti; l’insieme dei numeri dispari divisibili per 4.
SOTTOINSIEMI
© Esercizi a pagina 154
• Se ogni elemento di B appartiene ad A, diciamo che B è sottoinsieme di A; indichiamo questo con: B Q A . ESEMPIO
Diciam o anche che B è incluso in A. • Se B è sottoinsieme di A e almeno un elemento di A non appartiene a B, diciamo che B è sottoinsieme proprio di A; indichiamo questo con: B c A . Diciam o anche che B è incluso strettamente in A.
BQ A B
perché
C A perché
se x E B , B Q A
allora
x E A;
e, per esempio,
/ E A ma / ( £ B .
Il simbolo jZi indica che un insieme non è sottoinsieme di un altro. Ogni insieme è sottoinsieme di se stesso, ma non sottoinsieme proprio. L ’insieme vuoto è sottoinsieme di un qualsiasi insieme, ma non sottoinsieme proprio. Diciam o anche che, per un insieme A , l’insieme vuoto e l’insieme A sono sottoinsiemi
A C A \____ 0 C A
insieme qualsiasi
impropri. Diciamo che due insiemi A e B sono uguali, e scriviamo A — B , se hanno gli stessi ele menti. A = B se e solo se A ^ B e B ^ A : ogni elemento di A appartiene a B e viceversa.
ESERCIZI PER COMINCIARE B É
Rappresenta per elencazione e mediante diagram m i di Venn gli insiemi: A =
{x
D = {x
E
N| x
< 8},
B — {x
E
N| 6
<
x
< 10}, C =
{x
E
N| x 2 — — 4},
E N| v è pari e x < 2}, E = { x E N| x è dispari e 1 < x < 5}.
Indica se B, C, D,
E
sono sottoinsiemi di A.
L’albergo di Hilbert Per gli insiem i in fin iti valgono proprietà che possono sembrare paradossa li, perché diverse da quelle che siamo abituati a osservare per gli insiem i finiti. Guarda il video che proponiamo e riassum i il suo contenuto. BB
I due insiem i A = { a pe } e B = Scrivi tutti i loro sottoinsiemi.
{ a, p , e }
sono uguali?
139
5
INSIEMI E LOGICA
2. OPERAZIONI CON GLI INSIEMI UNIONE E INTERSEZIONE
pn
Given two sets A and 6, we can consider their union, a set that contains all thè elements of both A and B, or their intersection, a set that contains only thè elements that belong to both sets.
"
© Esercizi a pagina 156
Dati gli insiem i A e B:
• l’unione di A e B è l’insieme
• l’intersezione di A e B è l’insieme A D B degli elementi che appartengono ad A e a B.
U B degli elementi che appartengono ad A o a B; A
Consideriamo, fra i numeri naturali m inori di 10, in A i m ultipli di 2 e in A U B contiene i m ultipli di 2 o di 3.
A fi
B
Au B
B
i m ultipli di 3.
contiene i m ultipli di 2 e di 3.
An B
Inoltre: A U 0 = A ; A n 0 = 0 . Se due insiemi non hanno elementi in comune, la loro intersezione è l’insieme vuoto e diciamo che gli insiem i sono disgiunti. Valgono le seguenti proprietà.
Proprietà commutativa dell’unione: A U B =
BUA.
Proprietà associativa dell’unione: (A U B )U C = A U (B U C ).
Proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione: A U ( B n C) = (A U B ) n (A U C); (A D B ) U C = (A U C) D
(B
U C).
Proprietà commutativa dell’intersezione: A n B
— B nA .
Proprietà associativa dell’intersezione: (A n 5) n c =
a
n
(b
n c ).
Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione: A n
uo
(B
u C) = (A n
B)
u (A n c ); (A u
B)
n c = (A n c ) u
(b
n C).
2. OPERAZIONI CON GLI INSIEMI
TEORIA
Consideriamo: A = {2, 6, 8, 10, 30},
{3, 6, 9, 15, 30}, C = {5, 10, 15, 25, 30}.
B =
Verifichiam o che A fi
(B
U C) = ( A n B ) U ( A n C ) .
Consideriamo:
Consideriamo:
A = {2, 6, 8, 10, 30}, B U C = {3,5, 6, 9, 10, 15 ,25 ,30 }.
A D B —
Quindi:
Quindi:
A D
(A n
(B
{6, 30}, A f ì C = {10, 30}.
U C) = {6, 10, 30}.
B)
U (A fi C) = {6, 10, 30}.
Abbiamo ottenuto lo stesso risultato, quindi la proprietà è verificata. Vediamolo anche con i diagrammi di Venn.
PRODOTTO CARTESIANO
© Esercizi a pagina 159
Dati gli insiem i A e B, il prodotto cartesiano A x B è l’insieme delle coppie ordinate appartiene all’insieme A e b che appartiene all’insieme B.
( a; b ),
con a che
A X B = {(a; b) a G A e b E B} Consideriamo un esempio in cui calcoliamo sia A x ► Se A = {a, h, c} e A X
B
B X A
B =
B
sia
B
x A.
{1, 2}:
= {( a ; 1), (a; 2), (b; 1), (b; 2), (c; 1), (c; 2)}; =
{(1; a), (2; a), (1; fc), (2; è), (1; c), (2; c)}.
Le coppie di A x B sono diverse da quelle di B x A . Per esempio, (fr; 2) E A X £ e (2; b) E £ X A , ma (fr; 2) ^ (2; b). Q uindi B x A sono insiem i diversi, pur avendo lo stesso numero di elementi.
A x B e
In generale, A X B ± B X A : il prodotto cartesiano n o n gode della proprietà com m u tativa. Rappresentiamo graficamente il prodotto cartesiano mediante un diagramma cartesiano. Tracciamo il diagramma cartesiano di O Q. zLU
Ogni coppia del prodotto cartesiano A X B —
{(r;
a),
(r;
b) ,
(r;
c),
(s; a), (s;
in
LU
A x B,
è rappresentata da un punto.
b) ,
(s; c)}
con
A = { r , s } e B = {a, b, c}.
B ì(r;c) ! (s; c) c --------- ---------------------1 1 ì(r; b) !(s; b) b --------- -----------•--------1 1 l(r; a) !(s: a) a ---------- r - — - r — ii ii ■ » r s A
U1
5
INSIEMI E LOGICA
PARTIZIONE DI UN INSIEME
©
Esercizi a pagina 163
empty intersection.
Una partizione dell’insieme A è un insieme di sottoinsiemi di A tale che: • l’unione dei sottoinsiemi è A; • i sottoinsiemi sono disgiunti tra loro; • nessun sottoinsieme è vuoto.
U2
Una partizione di A = {a, {{a, b}, {d, c], {e}}.
b, c, d, e }
è:
2. OPERAZIONI CON GLI INSIEMI
TEORIA
Una partizione è utile per dividere un insieme in sottoinsiemi di elementi che hanno una stessa proprietà. L ’insieme A della figura è stato diviso mediante due partizioni diverse, una relativa al colore dei poligoni, l’altra relativa al numero di lati. A ^ " * -----
A / ---------- «v.
[
Stesso colore:
^
^ J
{{A .♦ }, {VI, i r # } }
\ v
j *
\
Stesso numero di lati:
w J
{ { * ^ } , {♦}, {V,#}}
^
)
\
A
i V
)
/
ESERCIZI PER COMINCIARE COMPLETA le tabelle seguenti considerando come insiem i
n
p
Q
0
P
=
{x \ x
u
p
P
Q
Q
0
0
è divisore di 9} e Q = {2, 9}.
P
Q
0
Dati gli insiemi A =
{x \x
=
n2, con n G N e l < « < 5 } ,
B = {x \x = 3n, con n e
C = {x | x = 2 n, con n G
N e 1 < n < 5}, N e 1 < n < 6},
rappresentali con un diagramma di Venn e determina i seguenti insiemi.
d
bha, Anc,
Q
( B n c ) x (a n B ) , (A d b ) x ( A n c ) , (CnA) x (enfi ),
g l
A -B . B -A .
M
( B u c ) n A , ( c n A ) u A , A u ( B n c ) , (AUB)nc.
( B - C ) - A . C - ( C - A ) .
B - ( C - B ) .
Verifica mediante i diagram m i di V enn che:
A U (B n C) = (A U B) n (A U C). —
n i— a Nella tabella abbiamo indicato quanti studenti, in una classe di 23, leggono gialli, fumetti e romanzi.
a. Quanti studenti leggono fumetti o gialli? b. Quanti gialli o romanzi ma non fumetti? c. Quanti un solo genere?
G ialli, fumetti e romanzi
1
Fumetti
16
Romanzi e gialli
3
Fumetti e gialli
5
Romanzi
8
G ia lli
10
Fumetti e romanzi
4
143
5
INSIEMI E LOGICA
3. ENUNCIATI E CONNETTIVI LOGICI ENUNCIATI LOGICI O
Esercizi a pagina 166
U n enunciato logico, o proposizione, è una frase a proposito della quale possiamo dire con certezza se è vera o falsa. Diciam o anche che a un enunciato logico è possibile attribuire un valore di verità: o vero, che indichiamo con V , o f al so, che indichiamo con F. Per indicare un enunciato usiamo una lettera maiuscola. Sono enunciati logici
Non sono enunciati logici
A: «2 + 2 = 4» B: «Un triangolo ha sei lati.» C: «Lo yen è la moneta europea.» D : «Il 2000 era un anno bisestile.»
«Andiam o al mare?» «Studia!» «Questa minestra è salata.» «Vedrai che ci riusciamo.»
A e D hanno valore di verità V , B e C hanno valore di verità F.
CONNETTIVI LOGICI
© Esercizi a pagina 166
Come con le operazioni tra numeri, con gli enunciati logici si possono eseguire delle operazioni che hanno per risultati altri enunciati. Chiam iam o connettivi logici gli operatori usati. I risultati che si ottengono nelle diverse operazioni possono essere rappresentati mediante tavole di verità. Esaminiam o i connettivi che utilizzeremo. Negazione Dato un enunciato A , la negazione di A è Fenunciato che è vero se A è falso, è falso se A è vero. La indichiamo con A , che leggiamo «non A».
A
A
V
F
F
V
► L ’enunciato A: «Sta piovendo.» ha per negazione: —
_____— e n unciato vero se A è fa lso e fa lso se A è vero
A : «Non sta piovendo.»
Il connettivo si indica anche con N O T , oppure -i. Invece di A , possiamo scrivere N O T A, oppure ~iA. Congiunzione Dati gli enunciati A e B, la congiunzione di A e B è l’enunciato che è vero se A e B sono entrambi veri, altrimenti è falso. Lo indichiamo con A A B , che leggiamo «A e B».
144
A
B
A AB
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
3. ENUNCIATI E CONNETTIVI LOGICI
TEORIA
► Se A: «Oggi studio inglese.» e B : «Oggi studio storia.»: . _ A AB:
_
-
.
______— è vero solo se stu d io sia
«Oggi studio inglese e stona.»
inglese sia storia
Il connettivo A si indica anche con et oppure con A N D . Per esempio, possiamo scrivere A et B, oppure A A N D B. Disgiunzione inclusiva Dati gli enunciati A e B, la disgiunzione inclusiva di A e B è l’enunciato che è falso s e A e B sono entrambi falsi, altrimenti è vero. Lo indichiamo con A V B , che leggiamo « A o B».
B V F V F
A VB
A
B
A VB
V V F F
V F V F
F V V F
A V V F F
V V V F
La disgiunzione inclusiva è quindi vera se a l m e n o uno degli enunciati è vero e, in par ticolare, quando sono veri entrambi. ► Riprendiamo gli enunciati A e B dell’esempio precedente. L ’enunciato A V B: «Oggi studio matematica o storia.» è vero se studio solo mate matica, se studio solo storia, ma anche se studio sia matematica sia storia. Il connettivo V si indica anche con oppure A O R B.
vel
oppure OR. Possiamo quindi scrivere A
vel B,
Nella lingua italiana, anche la congiunzione «e/o» ha la stessa tavola di verità della disgiunzione inclusiva. ► Se leggiamo questo annuncio: «Cercasi segretaria che conosca l’inglese e/o il tedesco.», riteniamo che sia accettata anche una segretaria che conosca entrambe le lingue. Disgiunzione esclusiva Dati gli enunciati A e B, la disgiunzione esclusiva di A e B è l’enunciato che è vero se è A vero e B falso oppure se è A falso e B vero, altrimenti è falso. Lo indichiam o con A V E , che leggiamo «o A o B».
Rispetto alla disgiunzione inclusiva, nella disgiunzione esclusiva escludiamo come vero il caso in cui entrambi gli enunciati siano veri. ► A V B : «Oggi studio o matematica o storia.» è un enunciato falso nel caso in cui io non studi entrambe le materie, ma è anche falso se studio sia matematica sia storia. Il connettivo V si indica anche con a u t oppure X O R . Possiamo scrivere A a u t B, oppu re A X O R B . Nella lingua italiana la «o» viene spesso usata in modo esclusivo, per connettere due proposizioni che si escludono fra loro. ► In «o la va o la spacca», «o la borsa o la vita», «o stai con me o contro di me», la disgiunzione è esclusiva. U5
5
INSIEMI E LOGICA
ESERCIZI PER COMINCIARE Stabilisci quali, tra i seguenti, sono enunciati logici. Per quelli che lo sono, indica il valore di verità. 3
a. «€ 15 è un prezzo basso per una T-shirt.»;
c. «Il doppio di
b.
d. «Marzo ha 30 giorni.».
«24
< 42»;
è 1,5.»;
DQE
Com pila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione, disgiunzione inclusiva, disgiun zione esclusiva, im plicazione materiale, coimplicazione materiale. Dati gli enunciati: A:
«7
a. A V 5 ;
è il quarto numero primo.» e B : «7 è un divisore di 165.», attribuisci il valore di verità a:
b. A
AB;
c. A V B ;
d.
A
^
B;
e. B
~
A.
Considera le seguenti proposizioni tutte vere: A : «sono in vacanza», B : «non lavoro», C: «faccio delle passeggiate», D: «sono al mare». Traduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di verità. n
B ^ C ,
O
AS/B
U6
,
AAC, DAC,
D ^ B ,
AVD,
C ^ B .
A — C.
U. ESPRESSIONI LOGICHE E SCHEMI DI RAGIONAMENTO
TEORIA
4. ESPRESSIONI LOGICHE E SCHEMI DI RAGIONAMENTO ESPRESSIONI LOGICHE ©
Esercizi a pagina 167
Come con le operazioni tra numeri scriviamo espressioni numeriche, così nella logica scriviamo espressioni logiche, utilizzando i connettivi. Nelle espressioni logiche l’operatore che ha la precedenza su tutti gli altri è quello della negazione, seguono poi quelli di congiunzione e disgiunzione, e infine quelli di im p li cazione e coimplicazione naturale. Inoltre, come nel caso delle espressioni numeriche, utilizziamo le parentesi per cambiare l’ordine con cui si eseguono le operazioni e usia mo le lettere, dette variabili logiche, per indicare enunciati generici.
Ordine di precedenza degli operatori logici: - i,
A, V, V, - ,
- .
D i un’espressione logica possiamo compilare la tavola di verità, a partire dai valori di verità delle variabili presenti.
Per ottenere la tavola di verità dell’espressione A V 5 , dopo aver scritto tutte le possibili coppie di valori di verità per A e B, scriviamo la colonna di A , ottenendola da A con la negazione, e poi, guardando le colonne di A e B, scriviamo quella di A V B .
A
B
A
A VB
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
Due espressioni logiche con le stesse variabili sono equivalenti se, per qualsiasi valore di verità attribuito alle variabili, una assume sempre lo stesso valore dell’altra. Per indicare l’equivalenza, usiamo il simbolo = ; per verificarla utilizziamo una tavola di verità.
Verifichiam o con una tavola di verità che (A
A B) V B
= (A V
B ) A B.
Per ottenere (A A B ) V B , ci serve prim a calcolare la colonna di A A B , da utilizzare poi con B. Per calcolare (A V B ) A B , abbiamo bisogno della colonna di A V B . Q uindi dobbiamo compilare la seguente tavola di verità. (AAB)VB (AVB)AB
A
B
A V B
A AB
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
F
Le colonne di (A
A B) V B
e (A
V
V B) A B
V
sono uguali, quindi le espressioni sono equivalenti.
PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI LOGICHE ©
Esercizi a pagina 170
Mediante l’equivalenza di espressioni possiamo scrivere proprietà di cui godono le operazioni logiche. U7
5
INSIEMI E LOGICA
Proprietà commutativa della congiunzione: AB ~
A
B
Proprietà commutativa della disgiunzione: A V S = B V A.
A A.
Proprietà associativa della congiunzione: (A
A B) A
C — A
A
(B
Proprietà associativa della disgiunzione: A
C) .
( A V B ) \ / C = A V ( B V C) .
Proprietà distributiva della congiun zione rispetto alla disgiunzione:
Proprietà distributiva della disgiun zione rispetto alla congiunzione:
A A
A V(BAC) = (AVB)A(AVC).
(B
V C) = (A A B ) V (A A C).
Idempotenza della congiunzione:
Idempotenza della disgiunzione:
A A A = A.
A V A = A.
Negazione della negazione: Leggi di De Morgan:
148
A = A.
l.A A B
— AWB-,
2. A V B = A A B .
A. ESPRESSIONI LOGICHE E SCHEMI DI RAGIONAMENTO
SCHEMI DI RAGIONAMENTO ©
TEORIA
Esercizi a pagina 172
P rem esse e conclusione Esaminiamo il seguente ragionamento. ►
Se ho fame, allora mangio.
A ^ B
H o fame,
A
— Spremesse
quindi m angio.----- -conclusione
con: A:
«ho fame»
B:
«mangio»
B
Nella prim a colonna abbiamo scritto il ragionamento; nella seconda abbiamo tradotto in simboli lo schema di ragionamento, che è indipendente dai particolari enunciati assegnati alle variabili. Il ragionamento dell’esempio è costituito da due premesse, A — B e A , e da una con
clusione. In generale, uno schema di ragionamento può avere più premesse P u P 2, P3, ... Se indichiamo con C la conclusione, lo schema si può scrivere con l’espressione: (Pi A
P2 A
P 3 A ...) -*• C .
Modus ponens Lo schema di ragionamento dell’esempio che abbiamo esaminato si chiama modus ponens. Possiamo scriverlo con l’espressione: [(A
— B)
A A]
—► B —
si legge: A implica B e A implica B
modus ponens /
A -
B
A B
Modus tollens Esaminiam o ora il seguente ragionamento. Se guido, allora ho la patente.
A — B
Non ho la patente,--^ p re m e sse
B
quindi non guido.—
conclusione
con: «guido», B: «ho la patente».
A:
A
Lo schema di ragionamento di questo esempio è detto modus tollens e può essere scritto mediante l’espressione logica:
modus tollens
[(A
B
^
B) A B ]
— A.
Uno schema di ragionamento è valido se e solo se la sua espressione logica è una tautologia.
/ A ^ B
A
ESERCIZI PER COMINCIARE 1 ANIMAZIONE Determina la tavola di verità dell’espressione (A
A B) V
A
V B .
Fai un esempio di applicazione della seconda legge di De Morgan e verifica poi la legge mediante la tavola di verità. Fra le seguenti espressioni, indica quali sono tautologie, quali contraddizioni e quali non sono né tautologie né contraddizioni: A ^ A ; A V E - A ; A — A ; B • — B; A A B ^ B .
DQE
V e rifica che la legge di contrapposizione (A —£>) —( B —A ) è uno schema di ragionamento
valido. 149
5
INSIEMI E LOGICA
5. ENUNCIATI APERTI E QUANTIFICATORI ENUNCIATI APERTI ©
Esercizi a pagina 173
Consideriamo l’enunciato: «x è un numero dispari.», con x e N . Non possiamo dire se è vero o falso fino a quando non mettiamo un numero al posto della variabile x. Per esempio: «6 un numero dispari.» è falso; «3 è un numero dispari.» è vero.
ESEMPIO
ESEMPIO
D i fianco all’enunciato abbiamo indicato il d o m in io , ossia l’insieme in cui scegliere il valore da sostituire. Per enunciati come quello esaminato, diamo la seguente definizione.
CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI ©
Esercizi a pagina 174
Consideriamo un enunciato aperto A(x), con dominio U e insieme di verità A . L ’e nunciato A (x), negazione di A(x), ha come insieme di verità A v , complementare di A rispetto a U. ► Dato il dominio e l’enunciato A(x):
«x
U
della figura, i cui elementi sono alcuni poligoni,
è un triangolo.»,
abbiamo segnato l’insieme di verità A e il suo complementare che è l’insieme di verità di A (x): «x non è un triangolo.». 150
A v
5. ENUNCIATI APERTI E QUANTIFICATORI
Analogamente, considerati due enunciati aperti A ( x ) e B ( x ) , con lo stesso dominio e i loro insiem i di verità A e B\ • l’insieme di verità di
A (x)
• l’insieme di verità di
A
V
B (x)
è
A
TEORIA
U
UB;
(x) A B (x) è A D B.
► Riprendiamo l’esempio precedente e, con A ( x ) : « x è un triangolo.», consideriamo B ( x ) : « x è colorato di arancione.». (x) V B ( x ) : « x è un triangolo o è colorato di arancione.» è vero per gli elementi di A l ) B; A
A (x) A B ( x ) : « x è un triangolo colorato di arancione.» è vero per gli elementi di A fi B.
QUANTIFICATORI ©
r ^ l A universal quantifier is a type of q u a n tifie r th a t is « in te rp re te d as «given any» o r « fo r all». An existential quantifier is a type of q u a n tifie r th a t is in te rp re te d as « th ere exists» o r « th ere is at least one».
Esercizi a pagina 175
Il quantificatore universale serve per affermare che una proprietà è vera per elementi di un insieme. Lo indichiam o con V , che leggiamo «per ogni» o «qualsiasi».
tut ti
gli
Il quantificatore esistenziale serve per affermare che una proprietà è vera almeno in un caso, e dunque che esiste almeno un elemento dell’insieme considerato per cui la proprietà è vera. Lo indichiam o con 3, che leggiamo «esiste un» o «esiste almeno un». Dato l’insieme A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}: « V x E A , x è un numero primo.» è un enunciato falso perché 1, 4 e 6 appartengono ad A , ma non sono prim i; «3 v e A | v è un numero dispari.» è un enunciato vero perché 1, 3 e 5 sono numeri dispari.
ESERCIZI PER COMINCIARE WtM
Ricopia più volte la figura e colora gli insiem i di verità dei seguenti enunciati aperti: A(x), B(x), A(x) A(x)
WfM
V
A
B(x), A (x )
B(x), A
A
(x) V
B(x), A (x )
A
B(x), A (x )
V
B(x), A(x)
A
B(x),
B(x).
Connettivi logici e insiemi Considera 1/ = { ; c e N | 1 < a: < 20}, A ( x ) : « x è un m ultiplo di 2» e è un m ultiplo di 3». Scrivi gli enunciati B ( x ) negazione di A ( x ), D ( x ) congiunzione di A ( x ) e C(x), E ( x ) disgiunzione inclusiva e F ( x ) disgiunzione esclusiva di A ( x ) e C ( x ) . Indica gli insiem i verità A , B, C, D , E , F e scrivi B , D, E, F con operazioni fra gli insiem i U, A , C. C( x) : «x
M
Utilizzando i quantificatori, scrivi in sim boli le seguenti proposizioni e stabilisci il valore della verità.
a. «Ogni numero intero è razionale.»
c. «Esiste un triangolo equilatero che non è isoscele.»
b. «Ogni numero razionale non è intero.»
d. «Ogni quadrato è anche un rettangolo.» 151
INSIEMI E LOGICA
ESERCIZI 1. INSIEMI CHE COS’È UN INSIEME
@ Teoria a pagina 138 KB
Q VERO 0 FALSO? È un insieme:
D
a. i ragazzi della tua classe il cui nome in izia con la lettera M.
SE]
b. le montagne alte del Piemonte.
S S
c. le regioni italiane bagnate dal mare.
SS SS
d. i num eri naturali m inori di 1.
a. a G A;
d. 85 G N;
b. b £ A ;
e .- y ^ Z ;
C. — J G R ;
f.
CACCIA ALL’ERRORE
SE
f. gli studenti con la media alta della tua classe.
sm
{— 1} G {— 1,1, 2}; {7}eN; BB
Indica le scritture form al
COMPLETA
0 G {0};
V 5 «é Q;
14 ^ {13};
{-i}eQ .
inserendo i simboli G,
I~b 1 Le stagioni meno gradevoli.
Considera gli insiem i A e B, costituiti rispetti vamente dai giorni della settimana che iniziano con la lettera m e dalle lettere della parola «m ar tedì». a. m U A d. t U B
[TI I cittadini italiani.
b. m U
ITTI I num eri molto grandi.
c. martedì U
I~a~I I giocatori di calcio bravi.
FAI UN ESEMPIO Fai tre esempi di insiem i e tre di raggruppamenti che non sono insiem i. M oti va le tue scelte.
I simboli e e ^
c.
m n
b. 8 • ( - 1) G A.
0 0
g
0 0
B.
d- Ì ( Ì +Ì 0 c
a. x appartiene ad A . b
non appartiene a B.
SE
e. 3 F ~ 6) e
c. —7 appartiene all’insieme dei numeri interi.
A.
f. il successivo di 11 G B .
E IE
I~ v in
3
d. —12 e y non appartengono all’insieme dei num eri naturali.
152
A
f. a LI A
B
c. ( - 1) •( - 3) G
Scrivi le seguenti frasi in forma simbolica.
b.
e. mercoledì U
B
K B Q VERO 0 FALSO? Dati l’insieme A dei numeri naturali pari, l’insieme B dei divisori di 12 e l’in sieme C = {— 1, 0 , 1, 3}: a. o
W M
-V 8 £Q .
mente non corrette.
e. le definizioni più difficili di questo capitolo.
B B Q TEST Quale dei seguenti è un insieme? M otiva la tua risposta.
KB
Scrivi a parole:
KB
COMPLETA
inserendo G o ^ ,
a. V 3 U R ;
d. - l U Q;
e. — y è un numero reale.
b. —| U Z ;
e. —33 U Z;
f. V l 3 non è un numero razionale.
c. V 4 U Z ;
f. - ( - 2 f U N .
1. INSIEMI
Rappresentazioni di un insieme
R I
RAPPRESENTAZIONE PER ELENCAZIONE La rappresentazione per elencazione dell’insieme A = { x \ x è una lettera della parola «attaccapanni»} è:
Q
ESERCIZI
a. A = { - 1, - 8, - 27, - 64, - 125, . . . }; b.
B =
a.
C =
{11, 12, 13, 14, 15, ..., 100}.
TEST
l~À~l A = {a, t, t, a, c, c, a, p, a, n, n, i}. DI] A = {a, i}.
b. D —
7 9’
6 8’
5 7’
4 6’
3 5’
2 4’
1 ì 3J
{0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...}.
G l ] A = {a, t, c, n}.
R I
Ql I A = {a, t, c, p, n, i}. Rappresenta per elencazione i seguenti insiem i. l il
a. I divisori di 100. b. G li articoli determinativi della lingua italiana.
a.
E —
b. F —
jl,
1 _1 1____1____ \ \ 8 ’ 2 7 ’ 6 4 ’ 1 2 5 ’ 216 J ;
{ 1 , 4 , 7 , 10, 13, 16, 19}.
S crivi in sim boli la proprietà caratteristica, indicata a parole per descrivere i seguenti insiem i.
c. I m ultipli di 4 maggiori di 6 e m inori di 20. MVM
a. Le lettere doppie in «cicciottello».
F i l i a. I numeri razionali che, elevati al quadrato, sono m inori o uguali a se stessi.
b. I num eri p rim i che sono divisori di 60.
b. I p rim i dieci num eri interi negativi dispari.
c. Le cifre del numero 120 102. UÈ 1K 1
L ’insieme dei num eri del tipo: a. 5n, con b.
— ,
c. 1 ~
n
a. I num eri razionali non negativi, b. I num eri naturali d ivisib ili per 11.
E {0, 1, 2, 3, 4};
con « G { m
g
Oyi
n + i > con n
N |2 <
w
< 10};
m i
E {0, 1, 2, 3, 4}.
a. I num eri interi compresi tra —2 e 4, estremi inclusi. b. I m ultipli di 3 m inori di 33.
L ’insieme dei num eri del tipo: a. 2n3, con
n
E {0, 1, 2, 3, 4};
b. 2x3—x, co n x E {x E
Z|
- 4 < x < 3}.
RAPPRESENTAZIONE CON PROPRIETÀ CARATTERISTICA Rappresenta attraverso la proprietà caratteristica i seguenti insiem i. IH
Rappresenta mediante la proprietà caratteristica i seguenti insiem i di num eri naturali.
A i.......... ...............................► 3 4 5 6 7
B *-----•---- •— •---- •--------- ► 0 2 4 6 8
C i..................... ................. ..... 11 13151719
D i— •-«— •— ----------2 3 5 7 11
a. A = {pollice, medio, anulare, indice, mignolo}; b.
B =
{quadri, fiori, picche, cuori};
c. C = {Alpi, Appennini};
DI
m i
RAPPRESENTAZIONE CON DIAGRAMMA DI VENN
IZ1
d. D = {incisivi, canini, premolari, m olari};
IN FORMA GRAFICA Rappresenta con diagram m i di Venn gli insiemi:
e.
A = {i divisori p rim i di 360};
E
= {do, re, si, fa, sol, m i, la}.
| x è una cifra del numero 2021};
a. A = {2, 4, 6, 8, 10};
B = {x
b.
C = {x | x =
B =
{4, 5, 6, 7, 8, 9};
c. C = {9, 12, 15, 1 8 , 2 1 , 2 4} ; f l
1 2’
1 4’
2n,
n E N e l 0 < x < 15};
D = {x | x è una lettera della parola «farfalla»}.
1 8’ 153
5
INSIEMI E LOGICA
I f t l Q VERO 0 FALSO? D al diagramma di Venn si deduce che a. (9 + 12) E A .
S E
b. [1 : (21 - 12 + 1)} e C .
E E
c. ( 2 - 5 — 2) E
E E
d. ( 3 - 8 ) £ A.
E E
e. (9 — 12) §é B .
E E
f. (—2) •(— 3) E C.
E E
■Al Q YOU&MATHS From symbols to numbers
osservando il diagramma di Venn.
COMPLETA
a. j E U .
Consider thè set S =
b.
a. W rite some of thè elements of this set.
U.
y £
U d. U c.
g
{x
E Z | —15 < x < 3}.
b. Draw a reai line and plot all elements of thè
E A.
set. Make sure thè numbers you considered in question a are among thè elements you represented.
B.
e. w, z E Wì fM
B.
.
Q TEST Quale, fra le seguenti scritture, non rappresenta un insieme?
Rappresenta i seguenti insiemi in tutti i modi possibili.
[~a~1 A = { x E N | x è pari}
KUB L ’insieme dei m ultipli di 8 m inori di 46.
DE] A = {(0 ; 1), (3; 4)} fc l A =
{x
11 < x < 10}
I~d1 A = {jc | jc = 4n, KH
E
n
—{x g Z\—5 < x <
A
b.
B = {x
c. C =
{x
E E
N |x N Ix
SOTTOINSIEMI
< 7};
L ’insieme delle lettere della parola «divertente».
H E ! L ’insieme dei num eri interi il cui quadrato è m inore di 10.
> 100}.
© Teoria a pagina 139 A — {x \ x
{ x \ x è una lettera della parola «lava»} Q A
b. {alga}
I l
► f r i L ’insieme dei divisori di 20.
1};
K ki Q VERO 0 FALSO? Considera a.
L ’insieme dei num eri interi con valore assoluto m inore di 4.
N}
Descrivi a parole i seguenti insiem i e poi fornisci le rappresentazioni grafiche e per elencazione. a.
H i
Q A
è una lettera della parola «valanga»}. c. {v, a, n }
sta mia
d. 0 Q
mia mia mia
<£ A
A
e. {n, a, 1, g , v } Q A
IN FORMAGRAFICA D ai una possibile rappresentazione con diagram m i di Venn degli insiem i
A
sapendo che A c B c D e C c D . Kyj Q S
TEST Quale dei seguenti è un sottoinsieme di {x
e N |x =
I~b1 {x E Hill
N | x è un
E N e 10 < n < 14}
m ultiplo di 4}
CACCIAALL'ERRORE y G |o ,y ,lj;
154
2n, n
A = {x
E
N |*
è un numero pari e 2 1 < x < 3 2 } ?
[c] {22, 24, 26, 28, 30, 32}
QT] {22, 24, 26, 28}
Indica fra le seguenti scritture quelle che non sono corrette.
2£N;
{O}G0;
{0} C 0 ;
A C A;
9 e {9};
{6}G {4,6}.
,
B,
C,
D,
1. INSIEMI
mi'M
CACCIA ALL'ERRORE
0 CA;
Individua, fra le seguenti, le scritture non corrette.
{ y } c { o ,y ,l} ;
—2 (jL N;
{0} e N;
N E Q;
B 1 Q AL VOLO Scritture corrette Dati gli insiem i Q = {2, 4,6, 8} e scritture è la sola corretta?
H B i Q
12 £ Q
H Q
e
H
P
VERO 0 f a l s o ?
Dato l’insieme A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}, si ha:
a. { 2, 3, 5} c
a
d.
. [ v] [ f]
A.
0 Q
E B
c. {7}eA.
E H
f. 2 c A .
E H
E V J Q VERO 0 FALSO? Siano A , B e C gli insiem i defi niti rispettivamente dai punti del piano 7T, dai punti della retta r e dai punti del segmento P Q rappresentati sotto. Si ha:
E H
d. C C B. e. C C A.
E H
0 P C Q
E V I Scrivi i sottoinsiemi propri dell’insieme: a. vuoto; B —
{x | x è un punto cardinale}.
b i l l Scrivi i sottoinsiemi propri formati da 2 elemen ti degli insiem i A = {x E R I
N|x
< 4} e
B
= {x E
Z | x2 =
Scrivi i sottoinsiem i propri e im p rop ri dell’in sieme:
b. A = j x E Q | x = c.
B
>« = 1> 2, 3 j ;
= {x | x è una vocale della parola «fiore»}.
E H I —
{bianco, rosso,
U H I Elemento più, elemento meno... Scrivi quale elemento occorre aggiungere o togliere all’insie me A = {x | x è una consonante della parola «graffio»} affinché risulti un sottoinsieme:
Scrivi mediante la proprietà caratteristica tre sottoinsiemi dei num eri natura li A , B e C tali che C C B C A . FAI UN ESEMPIO
a. proprio delfinsiem e della parola «firma»}.
B
b. im proprio dell’insieme
= {x | x è una lettera B =
{f, r, o, g}.
Stabilisci se gli insiemi A, B e C sono sottoinsiemi dell’insieme H e, in caso affermativo, specifica se pro pri o impropri.
inserendo i simboli E , Considera gli insiemi:
§9
A = {x E
N|x
£ = {x
N | 2 <
EHI
A = { - 1 , 0 , 2, 3};
C = 0;
5 = {2,3};
H
COMPLETA
= { - 2 , - 1 , 1 , 2 , 3,4}.
<
5} ;
N | x <3};
C = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
B = {x
e
Z | x2 <9};
a. 2 U A ;
d.
N | x2 =
b. { 2 } U B;
e. B U A ;
—4};
c. 1 U B;
BUC;
g. {0,1 } U A ;
h. 3 U
b
.
f. C U A;
A = {x E N | x è un numero pari};
B = R; C = N; H = Q. G l
x
e
H = { x E Z | —3 < x < 4}. EVJ
e
C , <£, = .
è un divisore di 12};
A = {x
C = {x E
1}.
a. vuoto;
E H
E H I Scrivi tutti i sottoinsiemi di verde}. WMM
12 £ Q
c.
e. {235} C A .
c J e C .
= {x E N | x è pari}, quale tra le seguenti
E H
E B
E H
P
Q.
| - y j C
b. A = {x E N | x = 4n — l,n — 1, 2, 3};
b. {7} C A.
a. A C B. b. B C A.
ESERCIZI
A = {x | x è un poligono}; B = {x | x è un triangolo equilatero}; C = {x | x è un triangolo isoscele};
H
= {x \ x
è un triangolo}.
HE
ragazzi di una classe hanno risposto alla domanda: «Quale musica preferisci: rock o disco?»; 13 hanno scelto il rock, 8 la disco music, 7 nessuna delle due. D a quanti ragazzi è composta la classe? Rappresenta la situazione con un diagramma di Venn. [28] INTORNO A NOI
I
155
5
INSIEMI E LOGICA
2. OPERAZIONI CON GLI INSIEMI GTeoria a pagina 140
UNIONE E INTERSEZIONE
Determina l’unione e l’intersezione di ogni coppia di insiemi, rappresentandole per elencazione e con un dia gramma di Venn. p
Q
3
Si S i WffM
n
m
a
E N | x è dispari a <
A — {x
a.
A
= {x
| x è una lettera della parola «marte»};
b.
A
=
| x è una lettera della parola «varia»};
a. b.
A
=
{x
E N | x < 8};
A
=
{x
E
a.
A = {x
| x è maggiorenne};
b.
A = {x
| x è un colore della bandiera inglese};
a.
A
— { x \ x —5 n , n
b.
A
= {x
{x
N|x
=
B
{x
A
| —1 <
Z
x
G N };
fi B e
A
B = {x \ x ha
B — {x\x — B
=
B
U B , sapendo che A
=
{x \ x
{x | x =
3 n, n
E N e1 <
n <
5}.
è una lettera della parola«cartellina»}. è una lettera della parola «arriva»}.
< 6}. B
= {x E
N |x
è divisore di 18}.
meno di 26 anni}.
60n,
{x \ x
B —
B = {x \ x
è multiplo di 6 e minore di 20};
| x è divisore di 15};
Determina
E
10};
n
B = {x
| jc è un colore della bandiera italiana}.
G N }.
è divisore di 120}. è
l ’insieme dei triangoli isosceli e B quello dei triangoli equilateri.
FAI UN ESEMPIO Fai due esempi di insiem i A e B tali che la loro intersezione sia uguale all’insieme A e la loro unione sia uguale a B. Che relazione c’è tra A e B?
Q
YOU & MATHS
Sketch Venn diagrams Consider thè following sets:
A = { x E N | 0 < x < 3}, and represent:
B
a. A U C ; F ftl
=
{x
G
N |x
> 10 or x < 4}, and C =
{x
G
N |5
< x < 17},
b. 5 fi C .
CHI HA RAGIONE? Anna: «Esiste una sola coppia di insiem i tali che A U B = { x G N | 0 < x < 7 } e A f i B = {1, 2, 3}». Luigi: «...o più di una?». T u cosa ne pensi?
Dopo aver ricopiato più volte la figura, colora i seguenti insiemi. A U C ; ( A U C ) f ì B ; ( A n 5 ) U C. A U (A n
B );
(A n C) U B; (A U B ) O (A U C).
Inserisci negli insiem i A, 10, 12 in modo che sia:
B
e C della figura i num
A U 3 = { 1 , 2 , 4 , 6, 8, 10}; 5 U C = {1 , 2, 4, 8, 12}; A fi B = {1}; £ D C = {4, 8}.
a. AUBUC; Dati gli insiemi A = {x G i seguenti insiemi. ( A UB) n C
156
b. A n B n c .
N | x è pari, x
Ei
<
10}, B = {1, 2, 3}, C = {x G
AU(BDC)
E1
N \ x è multiplo di 3, x < 12}, determina
A H (B U C)
ili
(A
U
Blu
C
2. OPERAZIONI CON GLI INSIEMI
ESERCIZI
Dati gli insiemi A = jx \ x = y , n = 1, 2, 4, 8,10 j, B = j l , y , y , y , y }, C = j y , 1, y , 2, y , 3, y , 4 j, deter mina i seguenti insiemi. P
Ariane
B l
A n (5nc)
p
(AnB)n(AuC)
E l
(AuB)n(Auc)
Dati gli insiemi A = {x \x è una lettera della parola «paura»}, B = {* | x è una lettera della parola «trappola»}, C = {x\x è una lettera della parola «cielo»}, determina i seguenti insiemi.
El
pi
( ADB) U( BnC)
pi
( AUB)fl C
iiìlU
(AD C) Ufi
A UA = 0
E E
insiemi generici.
A nA = A
An 0 = 0
S E m ir i
A U0 = 0
S E
a. A U (A n A) = 1_____J; b. A n ( A U B ) = 1____ 1; c. 0 U (A n A) = 1_____1; d. (A n B) U (B U 0 ) = 1_____1.
VERO 0 FALSO? Siano A e B due insiem i generici tali che A C
Dato A C
B,
con A
(A n B) n
Sia A fi B
—
B-,
e B
S E
COMPLETA le seguenti espressioni i insiemi generici tali che A C B.
0 0
a. A U (A
0 0
b. [(B n 0 ) n (A U B)] D B = ____ 1; c. [(A n B) D (B U 0 )] U B = _____ J.
B.
a. A U B = B b. A D B = B c. A fi (A U B) = A d. B U (A n B) = 0
E M
pi
COMPLETA le seguenti espressioni i
U H I L J VER0 0 FALSO? Sia A un insieme generico.
a. b. c. d.
( AUB) n( BUC)
0 0
DB)
=1
1;
insiemi generici, calcola il risultato delle seguenti espressioni.
(AnB)nA.
EH
[(A D 0) U (B U 0)] n (B —A).
C, con A, B insiemi generici. Calcola il risultato delle seguenti espressioni.
I i7 1
( A u B) n C ;
(Anc)u(Bnc).
liT il
[(Bnc)u0 ]n(cnA)
19
(A fi B) U C;
( AUC)n(BUC).
E 9
[(B n Q u (A n 0)] u [ ( B n 0 ) u ( A n
Per ognuno dei seguenti diagrammi di Venn scrivi, utilizzando i simboli di unione e intersezione, un’espressione che rappresenti la parte colorata.
157
5
INSIEMI E LOGICA
K f ll Considera gli insiem i A = { x \ x è una vocale}, B espressioni: A fi B fi C ; ( A U B ) D C ; ( A fi C) U B;
= A
{b, d, m} e C = {a, b, m, o, p, u}. Calcola i risultati delle U ( B fi C); A fi ( B U C).
[0; {a, b, m, o, u}; {a, b, d, m, o, u}; {a,b, e, i, m, o, u}; {a, o,u}] K ftl Considera l ’insieme A delle 26 lettere dell’alfabeto e l’insieme seguenti tre parole: Roma, Genova, Firenze.
B
costituito dalle lettere che formano le
a. Determina l’intersezione e l’unione dei due insiem i. b. Rappresenta per elencazione il sottoinsieme C di A, sapendo che
B
fi C = {e, o}. C ’è solo una possibile
scelta per C? c. Determina gli elementi del sottoinsieme scelta per D ?
D
di A , sapendo che D f ì A = {a, i, v}. C ’è solo una possibile [a) A U B = A, A n B = B; b) C = {b, e, o}, no; c) D = {a, i, v}, sì]
EUREKA! Blab, blib e blub Supponi che ci siano alcuni «blab», alcuni «blib» e alcuni «blub». Supponi inoltre che tutti i blab siano blib e che alcuni blub siano blab. Sulla base di queste infor m azioni, quali affermazioni X , Y , Z devono esse re v e r e 7.
INTORNO A NOI
K J fl Q
KM Per mari e/o monti Fra i ragazzi di una classe, 15 hanno passato alcuni giorni di vacanza fuori casa, e precisamente: 11 al mare, 6 in montagna. Q uan ti sono stati sia al mare sia in montagna? Quanti hanno usufruito di una sola opzione? [2; 13]
X: Tutti i blab sono blub.
K'itl Una ditta ha effettuato un’indagine sul consumo di due prodotti analoghi. Fra chi ha risposto, il 7 7 % ha dichiarato di utilizzare il prodotto A, il 4 9 % il prodotto B. Determina la percentuale di chi ha dichiarato di utilizzare:
a. solo il prodotto A ; b. sia A sia B; KM
c. solo
Y: A lcu n i blab non sono blub. Z: A lcu n i blib sono blub. I~À~| Solo X. in
B.
Solo Y.
rei Solo z.
[a) 51%; b) 26%; c) 23%]
m
Considera nel piano il quadrato A B C D e una ret ta r parallela ad A B . A l variare delle possibili posizioni di r, determina: A B D r; B C fi r; ( A B U B C U C D U D A ) D r.
Solo X e Y.
IT I Solo Y e Z. [USA University of Maryland High School Mathematics Competition, 2001]
Utilizzando gli insiem i A = {1, 2, 6}, B = {2,3, 5, 7} e C = {2, 3, 6, 9}, verifichiamo la proprietà associativa dell’unione di insiem i scrivendo gli insiem i per elencazione e rappresentandoli con i diagram mi di Venn.
ESEMPIO
Dobbiam o verificare che (A U B ) U C = A U ( B U C).
Primo membro:
(A U B ) U C = {1, 2, 3, 5, 6, 7} U C = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}.
Secondo membro:
A U ( B U C) = A U {2, 3, 5, 6, 7, 9} = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}.
Primo membro
Secondo membro
Au B
Poiché l’insieme ottenuto come risultato è lo stesso, l’uguaglianza è verificata.
158
2. OPERAZIONI CON GLI INSIEMI
ESERCIZI
Utilizzando gli insiemi A = {1, 2,4,6, 8}, B = {2, 3, 5, 7}, C = {1, 3,6, 9,12}, verifica le seguenti proprietà scriven do gli insiemi per elencazione e rappresentandoli con i diagrammi di Venn. H ll
a. Commutativa dell’unione: utilizza A e C.
b. Com m utativa dell’intersezione: utilizza
B e C.
Mtl'M a. Associativa dell’unione.
b. Commutativa dell’intersezione.
ITiTil ITiTÌ
b. Distributiva dell’intersezione rispetto all’unione.
a. Distributiva dell’unione rispetto all’intersezione.
Ripeti gli esercizi precedenti considerando tre insiem i generici A , B, C e utilizzando soltanto i diagram m i di Venn.
PRODOTTO CARTESIANO G
Teoria a pagina 141
Dati gli insiem i A = fx E N | x = 2 n, n = 1 ,2 , 3} e £ = fx G Z 11 x | < 1}, rappresentiamo il prodotto cartesiano A x B per elencazione e mediante un diagramma cartesiano. B
Rappresentiamo A e B per elencazione:
(
A = {2, 4, 6}, B = { - 1 , 0 , 1 } .
(2 ;
Il prodotto cartesiano A x B è l’insieme di tutte le coppie ordinate aventi il prim o elemento che appartiene ad A e il secondo che appartiene a B. A X
2 ; 1]
0)
(4; 1)
(
6 ; 1)
(4; 0)
(
6 ; 0)
! ( 2 1_)__ ' (4^-1 )
{(2; - 1), (2; 0), (2; 1), (4; - 1), (4; 0), (4; 1), (6; - 1), (6; 0), (6; 1 ) } .
B = '— .*
(a; b) I a e 4. fa e fi
Per ogni coppia di insiemi A e B , rappresenta A X B e B X A per elencazione e con un diagramma cartesiano. E 0
A = {0, 1};
P I
A =
EH
A = {2,3,5,7,11};
DB
A = {*};
{a, b,
B = {*,)/}.
c};
ITiTÌ A = {x | x è una lettera della parola «casa»};
iliy j B
= {1}.
B = {1, 2}.
{x\x è
A =
{x
G N | x = 2",
=
{x
E N | x = 3n, n E N , 1 < x < 7}.
B
DB
una vocale della parola «villa»}.
B =
5 = {1, 2}.
A = {1,2, 3};
n
G N, 0 <
n
< 4};
B = { x e A l * 3 < 10}.
Per ogni coppia di insiemi AeB, rappresenta per elencazione (A X B) D (B X A). DB
al
VOLO A = {2, 3, 5};
B = {a, 1}.
DE] A =
{c, a,
s};
B = {a, è, c}.
Rappresenta per elencazione e con un diagramma cartesiano l’insieme A X A.
ITU
A = {0}
P
A =
ITE1 a
{a,
D B A = {(2; 8)} 1}
ir c i
A =
{x
I x è una lettera della parola «aria»}
= 0
Rappresenta per elencazione e con un diagramma cartesiano A x A , B x B , A x B , B x A . I ÌM
A = {0, 1};
B = {x,y,zj.
HM
A = {—1 , 1 } ;
B = {a,b,c}.
159
5
INSIEMI E LOGICA
Per ognuno dei seguenti prodotti cartesiani, scrivi A eS . n n
A X B = {(Maria; Luca), (Maria; Paolo), (Maria; Marco), (Chiara; Luca), (Chiara; Paolo), (C h ia ra; Marco)}.
DQ
A x B {b;
IM ll
{( a ; 1), ( a; 2), (a; 3), (a; 4), (b; 1), 3), (b; 4), (c; 1), (c; 2), (c; 3), (c; 4)}. =
( b;
tp n
Se l’insieme A X B ha 5 elementi, quanti posso no essere gli elementi di A e B?
IW j
INTORNO A NOI II prodotto... che conta! V o r rei spedire una cartolina a mio zio, ma non ricor do il suo numero civico. Ricordo soltanto che è costituito da 2 cifre, che la prim a è pari e la secon da è un multiplo di 5. Quante possibilità ho? (S u g g e r im e n to . Il prodotto cartesiano è l’insieme delle coppie ordinate... ) [8]
2),
Considera un insieme A di n ele menti e un insieme B di m elementi a piacere. V e ri fica se A x B contiene n ■m o n + m elementi. FAI UN ESEMPIO
Considera gli insiemi A = {0, 3}, B = { —2, 0, 3}, C = IFS1 ( A x B ) n ( B x A ) ;
A X (A fi B ) .
EH
{ a, b}, B
Dati gli insiem i A =
a. A X (B U C) = (A X
M Q
B)
fffl
X
(AxB)xC;
(A X Q n (A X
B) .
= {0, 1}, C = {1, 2}, verifica se:
b. A X (B D C) = (A X
U (A X C);
a. A X 0 = A . B — B
e determina i seguenti insiemi.
B)
fi (A X C).
Considera A e B insiem i generici.
VERO 0 FALSO?
b. A x
{x,y}
A.
m in
c. A X A non può m ai avere 8 elementi.
0 0
d. Se A ha
n
00
ne ha 2 n.
DIFFERENZA
@ Teoria a pagina 142
Dati gli insiem i A = { —1, 0, 1, 3} e A —B
00
elementi, allora A X A
B
= { —1, 0, 2, 5, 7}, determiniamo A —B e
B — A.
è l ’insieme degli elementi di A che non appartengono a B:
A —B ~
{1,3}.
In modo analogo: B —A = {2, 5, 7}.
Determ ina
A —B
eB
—A
P
A = {-2,-1,4,5},
IM I
A = {1,8},
con i seguenti insiem i. B = {— 2, 4}.
E ]
B = {0, 3}.
D ati gli insiem i A = {x E N | x < 10}, B = {* G calcola i risultati delle seguenti espressioni.
Z|1 <
E 1 A-B; B-A; A -C ;C -A .
A =
{x
e
N |5
<
B =
{x
e
N |x
è un divisore di 20}.
| x | < 10} e C = {* G
x <
N |*
10},
è un numero p ari e x > 6},
ED B - (C - A); (B - C) - A.
IKfrl D ati gli insiem i A = {x g N | x <2}, B = { x G Z | l < | x | < 2 } e C = {2}, calcola:
a. ( A - C ) X B ; IB I
Dati gli insiem i A =
b. ( B - C ) x A ; {x
a. (A X C ) n ( B x C); 160
c. (A - C) X (B - C).
| x è una lettera di «cane»}, B = {a, b, c} e C = {x | x è una lettera di «Ada»}, calcola:
b. (B X C) - (A X B);
c. (A X B) U (B X C).
2. OPERAZIONI CON GLI INSIEMI
IKM Dati gli insiem i A = {0, 5, 10}, a. E 3
B
= {5} e C = {5, 10, 15}, calcola: b. A x ( B n C ) ;
X ( C — B ) C\ ( A X B ) ;
( A — B)
ESERCIZI
c. (A X
B) -
(A X C).
CHI HARAGIONE? Antonio: «Per favore, prestami il bianchetto: ho scritto A —B anziché
A. . . ». Gloria: «Che pignolo che sei! Fa lo stesso, come per unione e intersezione!». A d Antonio il bianchetto serve?
ALVOLO D ati gli insiem i A =
IKM
{x
G
B —
N | x è m ultiplo di 7}, B = {x G N | a: è m ultiplo di 14} e C =
{x
G
N |x
è pari}, determina: a.
ip U
A U B U C;
b.
c. ( A - B ) U C .
A d B n C ;
Dati i seguenti insiem i, rappresentati mediante la proprietà caratteristica: A = { x G N | x è divisore sia di 48 sia di 32}, B = { x G N | x = 2", n = 0, 1, 2, 3}, C = { x G n — 0, 1 , 2, 3}, determina: ESEMPIO DIGITALE
a. A fi B;
b. ( A - B ) f l C ;
c. C - ( A U B ) ;
D ati g li in siem i A = { x G N | 2 < x < 9 } , B = { x G N | j c è u n divisore d i 18} e C scrivi per elencazione e rappresenta con i d iag ram m i d i Venn i seguenti insiem i.
EB
(AfìB)UC;
EU
(B-A)X(A-C);
IETÌ1 B D (CU A); m
u
(A-fl)UC;
( AnC) f ì ( 5UC) ;
N |x
= 4n,
d. ( C n B ) - A .
= {* G N x = 2n + 1, n < 6},
A - C.
( AUC)nB;
(AnB)x(C-A);
(AUB)fl C.
(C-A)X(A-B);
( AnB)fì (AUC);
(BUC)DA.
INVALSI 2002 Esam ina il diagramma di Eulero-Venn a lato. In base ad esso quale delle seguenti proposizioni è sicuramente vera? 1~À~1 Paolo colleziona barattoli. m
Paolo colleziona barattoli e francobolli.
I~cl Paolo colleziona francobolli ma non barattoli. I~b1 Paolo colleziona farfalle ma non francobolli. I~e 1 Paolo colleziona barattoli, francobolli e farfalle.
DH
Scrivi le espressioni che rappresentano ognuno degli insiem i colorati.
IB I
Osservando il diagramma, scrivi le rappresentazioni per elencazione degli insiemi: A,B,C, A O B , A U B , A - B ,
B - A .
COMPLEMENTARE DI UN INSIEME @ Teoria a pagina 142 Per ogni insieme A , determina il complementare rispetto a ll’insieme u n
U = {x
|x
è
un abitante dell’Italia};
A =
{x
IB I
U — {x \ x è
l’insieme dei poligoni};
A =
{x \ x
lETfl
U =
\ m
17 = {x G
{x G Z 11 x | è pari};
A =
{x \ x
N | a: = 2n + 1, n < 4};
= 2n,
n
U.
| x è un abitante della Puglia}. è l’insieme dei quadrilateri}.
G N }.
A = {numeri prim i m inori di 10}.
161
5
INSIEMI E LOGICA
ITTI
INFO RM AG RA FICA Considera gli insiem i A e B e i loro complementari rispetto a un insieme U di cui sono sottoinsiemi propri. Rappresenta con un diagramma di Venn ognuna delle seguenti situazioni,
a. B C A ;
b. B c A ;
c. A U B
=
0.
U tilizza il diagramma, disegnandolo più volte, per colorare ognuno degli insiem i indicati. Considera i complementari di A e B rispetto all’insieme U. a. A fi B ;
c. A U 5 ;
e. A — B;
b. A f ì B ;
d.
f. A fi B .
A — B;
i r c i Esamina il diagramma di Venn a lato. Sapendo che l’insieme A è costituito dalle persone che parlano inglese, B da quelle che parlano francese e C da quelle che parlano tedesco, colora di: a. rosso l’insieme delle persone che parlano inglese e francese;
b. verde l’insieme delle persone che parlano inglese e tedesco; c. giallo l’insieme delle persone che parlano inglese, ma non francese;
d. rosa l ’insieme delle persone che parlano tedesco o francese, ma non entrambi; e. azzurro l’insieme delle persone che non parlano nessuna delle tre lingue. Per ognuna delle regioni colorate, indica l’espressione che la rappresenta. M odifica il diagramma dell’esercizio precedente in modo che rappresenti la situazione in cui nessuno parla tutte e tre le lingue e chiunque parli il tedesco parli anche il francese.
Dato l’insieme
{* E Z | —3 < x < 6} e gli insiemi 4}, B — { x G N | x è un divisore di 6}, determina e rappresenta con i diagrammi di Venn i seguenti insiemi, dove i complementari di A e B sono rispetto a U. U =
£ Z |x2
A —{x
<
|P
B;
IEE1
( A — B) X
A ;
E !
A —B ;
A p TB;
m
A
(AUB)nA;
X
A —B;
B;
AflB;
AUB.
AUB;
(AfìB)UA.
{a}, { l , a } }
{{«}, 0 }
►Problema e risoluzione. ►6 esercizi in più.
Teoria a pagina U 2
Quale dei seguenti n o n può essere l’in sieme delle parti di un insieme?
E
Wiris può esserti utile per esaminare le proprie tà delle operazioni con gli insiemi. Ti proponiamo alcuni esercizi, iniziando con il complementare di un insieme.
B -A .
mQ TEST
{{1 },
Wiris e gli insiemi
AlTBnA.
INSIEME DELLE PARTI G
E
MATEMATICA AL COMPUTER
[c ] {0 }
E
IPVI A =
| x è un divisore dispari di 36};
B = 0.
ITTI Stabilisci quali, tra i seguenti, sono elementi dell’insieme delle parti di Z .
{{ +, ★ } , {★ }> 0 , { +} }
Determina l’insieme delle parti dei seguenti insiemi e indica il numero dei suoi elementi.
{x
8;
ITTI
{x
| x è m ultiplo di 6}; {0, — 5}; N ; {— 1 : 4}; 0 .
CO M PLETA la tabella, dove sono indicati quanti sono gli elementi di A e di ^ (A ).
A = {9,12};
IEE1
A — {x\x
B = {a, 3, ti}.
è una lettera della parola «sette»};
B = {xeN |*<3}. 162
A ^ (A )
2
3
LJ LJ
LJ
4
LJ
n
32
LJ
128
LJ
2. OPERAZIONI CON GLI INSIEMI
WfX
ESERCIZI
Rappresenta per elencazione l’insieme delle parti di A = {U, fi, x, —}.
IT'frl Dati
A
=
{y, z } e B
= {4, 5, 7}, qual è il numero di elementi di 2P(A) x $*(£)?
PARTIZIONE DI UN INSIEME O FAI UN ESEMPIO
Teoria a pagina 142
Determ ina almeno una partizione dei seguenti insiem i.
c a
L ’insieme dei tuoi compagni di classe.
BH
L ’insieme dei divisori di 40.
EH
N;
E 9
A = {jc G N | 5 <
Q +;
Z.
jc < 1 5 } ;
B = {x
G
N |x
< 10}.
B T ì Trova tutte le possibili partizioni dell’insieme A = {x | x è una lettera della parola «aria»}. Determina almeno tre possibili partizioni dell’insieme dei poligoni.
IF71 Considera l ’insieme una sua partizione: u n
A
B —
={
|x <
a: e N 10}. Scegli fra i seguenti sottoinsiemi di A quelli che costituiscono {1, 3, 5, 7}, C = {0, 2}, D = {0, 10}, E = {0, 2, 4}, F = {6, 8}, G = {0, 1}, H = {9, 10}.
Aiutandoti con i diagram m i di Venn, stabilisci se gli insiem i A —B , zione dell’insieme A U B nei seguenti casi: a. A C
B;
b. A fi
B = B;
B — A, A D B
costituiscono una parti
c. A e B disgiunti.
PROBLEMI CON GLI INSIEMI Dai d iagram m i a lle parole Descriviam o a parole l ’insieme colorato in figura, sapendo che: •
Uè
l’insieme degli studenti di un liceo;
• A è l ’insieme degli studenti che vanno a scuola in autobus; •
B
è l ’insieme degli studenti che sono figli unici;
• C è l’insieme degli studenti che hanno la media del 7. L ’insieme colorato è: (A — C) U ( B fi C). Rappresentiamo l’insieme mediante la proprietà caratteristica: {* è uno studente del liceo | ... .. . x
va a scuola in autobus e non ha la media del 7...
. . . o x è figlio unico e ha la media del 7}.
x
E
U
(A — C ) ... U ( B D C)
A parole: gli studenti del liceo che vanno a scuola in autobus e non hanno la media del 7 oppure che sono figli u n ici e hanno la media del 7. EH
Descrivi a parole gli insiem i colorati nelle seguenti figure, utilizzando gli insiem i dell’esempio.
163
5
INSIEMI E LOGICA
IFE1 N e ll’insieme
U delle carte di un mazzo da scala quaranta (52 carte), considera gli insiem i A = { x \ x è un numero}, B = { x \ x è rossa} e C = [x | x ha valore maggiore di 7}. Descrivi a parole l’insieme colorato in ogni diagramma.
Problemi m U
in t o r n o a n o i
INVALSI 2005 A d un club sportivo sono iscritti 55 soci. 50 giocano a tennis, 20 vanno a cavallo. Sapendo che ogni iscritto pratica almeno uno dei due sport, quanti sono gli iscritti che vanno a cavallo e giocano a tennis?
0
5
[T] 15
[c ] 30
[ d] 35
B E J In una classe di 24 studenti, 10 praticano il nuoto e 8 la pallacanestro. Sapendo che 4 studenti praticano sia il nuoto sia la pallacanestro, quanti studenti nella classe non praticano nessuno dei due sport? Q uanti pra ticano solamente la pallacanestro? [10; 4] IT T I In una piscina, nel mese di settembre, ci sono state 120 nuove persone iscritte. Si sa che 56 persone si sono iscritte solo al corso di nuoto, mentre 37 persone si sono iscritte sia al corso di nuoto sia al corso di acquagym. Quante persone si sono iscritte solo al corso di acquagym? [27]
un
Nella l a B ci sono 18 ragazze e 10 studenti che portano gli occhiali. Sapendo che i ragazzi che non portano gli occhiali sono 7 e le ragazze che hanno gli occhiali sono 5, quanti sono gli alunni della classe? [30]
IF 7 ì Un pizzaiolo effettua un’indagine tra 350 clienti per stabilire quali pizze piacciono di più tra margherita, verdure e marinara. Ottiene i risultati indicati a lato. Sapendo che tutti i clienti hanno espresso almeno una preferenza, calcola quante persone hanno dato la loro preferenza per solo m ar gherita e marinara. Quale pizza ha raggiun to il maggior numero di preferenze?
[126; marinara]
un
iruzrjkerltai v e rd u re , e,
solo verdure< ,
w tarìriara, solo soto
M A r jk e r ù ta ,
Margherita,
e, verdure,
soto
soio verdure, e,
ÌMAriMATCO
M a r in a r a ,
Devono essere istituiti i corsi di recupero per i 146 alunni delle classi prime, e le materie coinvolte sono inglese, matematica e latino. Risulta che: 94 devono partecipare a quello di matematica, 88 a quello di inglese, 73 a quello di latino, 62 a quelli di matematica e inglese, 45 a quelli di matematica e latino, 28 a quelli di latino e inglese, 24 a tutti e tre i corsi. a.
Q uanti alunni dovranno seguire un solo corso di recupero? Q uanti solo matematica? Q uanti solo inglese?
b. Quanti alunni non dovranno seguire il corso di latino? Quanti né il corso di matematica né quello di inglese? [a) 57, 11,22; b) 73, 26] 164
2. OPERAZIONI CON GLI INSIEMI
ESERCIZI
ITITI Vacanza in apnea I membri di un’associazione di subacquei composta da 40 persone vogliono organizzare una vacanza. È loro intenzione soggiornare per una parte del periodo in una località e poi, eventualmente, continuare in un’altra. Il comitato direttivo propone tre alternative: Am alfi, Elba, Lipari. 3 soci disapprova no tutte le proposte; 6 considerano valide tutte e tre le alternative; 7 preferiscono solo Am alfi; 8 solo l ’Elba; 4 A m alfi e Lipari; 3 A m alfi ed Elba; 4 Elba e Lipari. Q uanti preferiscono solo Lip ari? Q uali sono state le due mete prescelte? [5; Amalfi ed Elba]
m & m m m sM
Cosa fai nel tempo libero? A 30 studenti di una classe viene sottoposto un questiona rio in cui si chiede di indicare una o più attività eventualmente svolte nel tempo libero, barrando le caselle di una lista con tre opzioni:
□
leggo libri;
] ascolto musica;
I j guardo la televisione.
Si sa che: • 8 studenti non hanno dato alcuna risposta; • il numero di quelli che leggono è lo stesso di quelli che guardano la televisione e di quelli che ascoltano musica; • solo 4 studenti svolgono tutte e tre le attività; • 5 studenti leggono e ascoltano musica; • 6 studenti ascoltano musica e guardano la televisione; • 7 studenti leggono e guardano la televisione. Q uanti sono gli studenti che hanno dichiarato di impiegare il tempo libero esclusivamente nella lettura? Q ual è il numero totale di caselle barrate nel complesso del questionario? TTifl U n vivaio ha in esposizione vari tipi di piante. 17 di queste sono coltivate in vaso, hanno foglia larga ma non infiorescenze; 15 sono coltivate in vaso, hanno infiorescenze ma foglie non larghe; 5 hanno foglie larghe e infiorescenze ma non sono coltivate in vaso. Sapendo che, tra tutte le piante esposte, 45 hanno almeno due delle caratteristiche citate (foglia larga, infiorescenza, coltivata in vaso), quante sono le piante che le hanno tutte e tre? Sapendo che tutte le piante esposte hanno almeno una caratteristica e che quelle che hanno esatta mente una caratteristica sono 23, quante sono le piante esposte? [8; 68] IEE1 Buongiorno! U n ’indagine commerciale ha fornito i risultati a lato, relativi alle abitudini a colazione di un campione di 100 consuma tori. Q uanti consumatori del campione mangiano solo biscotti? Quanti non mangia no né biscotti né cereali? [42; 22]
15: sue biscotti sue cercali 78: cereali o biscotti 21: sola cereali
ITTI J S M T T t r T O U Matricole che leggono U n ’indagine tra 60 matricole di una grande università di studi economici ha prodotto i seguenti risultati: 19 leggono «Business Week»; 18 leggono «The W all Street Journal»; 50 leggono «Fortune»; 13 leggono «Business Week» e «The W all Street Journal»; 11 leggono «The W all Street Journal» e «Fortune»; 13 leggo no «Business Week» e «Fortune»; 9 leggono tutti e tre. a. Q uanti non leggono nessuna delle tre pubblicazioni?
b. Q uanti leggono solo «Fortune»? c. Q uanti leggono solo «Business Week» e «The W all Street Journal», ma non «Fortune»? [USA Texas A&M, Department of Mathematics, High School Exam, 2000]
165
5
INSIEMI E LOGICA
3. ENUNCIATI E CONNETTIVI LOGICI ENUNCIATI LOGICI G P U
Teoria a pagina 144
VERO0 FALSO? È un enunciato logico:
e. «Paolo è molto carino.»
a. «Lucia è arrivata prima alla maratona.» [v] [T]
[v] [T]
f. «La passeggiata in montagna è stata faticosa.»
[v] [T]
b. «Non è vero che Giove è una galassia.»
[v] |T ]
c. «3 è minore di 0.»
[v ][T |
g. «Che buono! Che ricetta hai seguito?»
[V] |T]
d. «A che ora ci incontriamo questa sera?» [v] [T]
h. «Il quadrato è un particolare rombo.»
[V] [T]
Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di verità.
ITITI
a. «Tutti i m ultipli di 4 sono anche m ultipli di 16.» b. «L’uguaglianza N .»
x2—
ITTI a. «La disuguaglianza
6 non è m ai verificata in
può non essere
b. «Il massimo comune divisore fra due numeri pari è un numero pari.» c. «Il Sole è un satellite del pianeta Terra.»
d. « L ’opposto di 4 è
d. «Venere è una stella.»
e. «Il prodotto cartesiano tra insiem i è com m u tativo.»
e. «Il rettangolo è un particolare parallelogram ma.»
COMPLETA
0
verificata in N .»
c. «Il prodotto di due num eri dispari è sempre un numero pari.»
ITTI
7 + x >
le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veri.
a. «Il numero I____ I è maggiore di 0.»
b. «L’uguaglianzaI__________________ I è sempre verificata in Q .» c. «I num erii__________________ I sono i divisori di 42.»
d. «Il numero I____ I è pari e m ultiplo di 7.» e. «O gni
CONNETTIVI LOGICI
ha tre angoli congruenti.»
© Teoria a pagina 144
EED Scrivi ognuno dei seguenti enunciati nella forma di due distinti enunciati legati da un connettivo logico. a. «Il numero 28 è pari ed è divisibile per 7.»
b. «Oggi è giovedì o è venerdì.» c. «Le lettere “a” e “i ” sono vocali.»
d. «Il numero dei tuoi anni è maggiore o uguale a 14.» im
Date le seguenti proposizioni, scrivi per ciascuna la sua negazione. a. «Il rettangolo è un particolare quadrato.»
b. «Il numero 18 è un m ultiplo di 3 e 9.» c. «Il numero 14 non è pari.»
d. «L’esagono regolare ha sei angoli uguali.» e. «Non tutti i num eri p rim i sono dispari.» 166
4. ESPRESSIONI LOGICHE E SCHEMI DI RAGIONAMENTO
im
ESERCIZI
Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte, costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici. Riscrivile in sim boli, indicando con una lettera maiuscola ogni componente.
a. «Torino è una città piemontese ed è stata la prim a capitale d’Italia.» b. «I palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basket.» c. «Il numero 7 è positivo ed è un numero primo.»
d. «U n numero o è pari o è 42.» e. «I giorni dell’anno sono 365 o 366.» f. «O vado al mare o sul Monte Bianco.» g. «Il numero 2 è minore di 3 e metà di 4.» e h
INVALSI 2013
q
Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni è vera o falsa.
a. Se un numero è m ultiplo di 9, allora è m ultiplo di 3.
c. U n numero è m ultiplo di 5 se e solo se è m ultiplo di 10.
E H
b. U n numero è m ultiplo di 6 solo se è pari.
H E
d. Se un numero è pari, allora è E H
EH
m ultiplo di 4.
Considera le proposizioni A: «3 > 9», B: «3 è un numero primo.» e C: «9 = 32». Traduci in parole le seguenti proposizioni e attribuisci a ciascuna di esse il valore di verità. EB
A;
6VA;
ir a
Considera gli enunciati A: «Laura ha 18 anni.» e B: «Laura ha la patente.». In quali casi gli enunciati e A V B sono veri e in quali falsi? E A A B ?
ir a
Sono dati gli enunciati A: «16 è un m ultiplo di 4.» e B: «16 è una potenza di 2.». Determina gli enunciati A A B , A V B , A V B , A A B e indicane il valore di verità.
im
Dati gli enunciati A: «15 è m ultiplo di 10.», B: «15 è m ultiplo di 3.» e C: «15 è m inore di 14.», determina gli enunciati A V B , A A C , B S / C , ~ B , B A C , A V C , C e indicane il valore di verità.
A AB;
B;
AVC.
KB
A -
B;
B
- A;
A - B;
C
~
B;
C -B .
A AB
4. ESPRESSIONI LOGICHE E SCHEMI DI RAGIONAMENTO ESPRESSIONI LOGICHE Q
Teoria a pagina 147
Dati gli enunciati A , B e C , traduci in parole le espressioni che li seguono. im
A : «Vado in vacanza in montagna.», B: «Leggo m olti libri.», C: «Vado in vacanza al mare.». A A B; A A B ; A A B ; A A B ; C A B ; C A B ; A A C ; A V C .
im
A: «Il numero 56 è pari.», B: «Il numero 56 è divisibile per 7.», C: «Il numero 56 è il risultato di 7 •8. ». A AB AC;
B AC ;
(AAB)VC; A A C ;
(A A B ) A C .
i m i A: «Com pro il giornale.», B: «Com pro il pane.», C: «Com pro un paio di scarpe.». A V C ; A VB ; C V B ; A VB ; ( A V C ) A B .
futi A: «Telefono a Marco.», B: «Non vado al corso di musica.», C; «Studio storia.». A AB;
B A C ;
A A C ;
(A A B) A C ; C A B ; A A B ; A A B ;
( A A B ) A C.
167
5
INSIEMI E LOGICA
Dati gli enunciati A: «Oggi fa caldo.», B: «Oggi piove.», C: «Esco con l’ombrello.» e D: «Vado a scuola in biciclet ta.», traduci in parole le seguenti espressioni.
00
A -B ;
C - > B;
D
-
A;
00
C -> A .
A ~
D;
B -*D ;
( A A D ) ~ C ;
D
-* (B
V
A).
Scriviam o in sim boli l’espressione «Se 187 = 1 1 1 7 , 1 8 7 non è un numero prim o ed è m ultiplo di 11.», indicando con una variabile logica ogni enunciato componente. A: «187 = 11 • 17»
5: «187 è un numero primo.»
C: «187 è m ultiplo di 11.»
«Se 187 = 1 1 - 1 7 (allora) 187 non è un num ero prim o ed è m ultiplo di 11. »
T_____.____IX"
—
negazione
congiunzione
implicazione m ateriale
In simboli: A — (B A C).
Riscrivi in simboli le seguenti espressioni, indicando con una variabile logica ogni enunciato componente.
00
a. «Luisa va al mare ma non fa il bagno.» b. «Oggi vedo Stefano e lo invito a cena.»
0 0
a. «Il cubo è un solido, ha otto facce e le sue facce sono quadrati.»
b. «Il numero 6 non è divisibile per 4 ed è pari.»
c. «M aria non legge giornali e non guarda la tele visione.»
d. «Il numero
7
c. «Non è vero che o porti la pizza o non partecipi alla festa.»
non è razionale, è positivo e
d. «18 è m ultiplo di 9, divisore di 36 ma non è
maggiore di 1.»
divisibile per 5.»
e. «Luca deve risolvere un problema, portare fuo ri il cane, telefonare a Rita e a Paolo.»
INTORNO A NOI L’ascensore Negli ascensori di solito è presente un’etichetta con una frase sim ile a quella indicata a lato. Individua tre proposizioni P, Q, R in modo da poter scrivere l ’avviso come espressione in cui P, Q e R sono legate con connettivi logici. Qual è l’espressione in sim boli?
pQisa
I
m m Quando ulula e quando abbaia Sono date le proposizioni:
A : «Il m io cane abbaia.»; B:
NON POSSONO USARE L’ASCENSORE PERSONE MINORI DI 12 ANNI SE NON ACCOMPAGNATE.
C: «Piove.»;
«La luna è piena.»;
D: «Il m io cane ulula.».
Utilizza le variabili logiche e i connettivi adeguati per rappresentare schematicamente le seguenti proposizioni: a. «Se la luna è piena, il m io cane o abbaia o ulula.»;
b. «Che piova o che la luna sia piena, il m io cane abbaia.»; c. «Se il mio cane ulula allora la luna è piena e se piove allora il mio cane abbaia.».
Espressioni e valori di verità Date le proposizioni A: «63 è un m ultiplo di 7.», B: «3 è un divisore di 63.» e C: «63 è un numero pari.», stabiliamo il valore di verità d i : A A B , B V C , B V C — A. Costruiam o la tavola di verità.
A
B
c
A AB
A AB
B
C
B VC
BMC
BMC-* A
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
63 = 7 • 9 63 : 3 = 21
168
63 non è un numero pari
4. ESPRESSIONI LOGICHE E SCHEMI DI RAGIONAMENTO
ESERCIZI
Dati gli enunciati A: «5 è maggiore di 6.», B: è un numero intero.» e C: «I numeri multipli di 2 sono pari.», traduci in parole e stabilisci il valore di verità di ciascuna delle seguenti espressioni. m
A AB;
BAC;
AV
B;
A V C ; A AB.
00
CVA;
A V C ; A AB; B V C ;
B AC.
Dati gli enunciati A: «5 < 7», B: «Febbraio è il primo mese dell’anno.», C: «Febbraio è il mese con più giorni.» e D: «7 è un numero primo.», traduci in parole e stabilisci il valore di verità di ciascuna delle seguenti espressioni. g n
AAC; BVD;
DVB.
C A D ;
0Q
A V B; A A D ; C V B ;
BAC.
Dati gli enunciati A:«La somma di 2 e 3 è 5.», B: «Il prodotto di 2 e 3è 8.» e C: «2 è maggiore di 3.», esprimi a parole le seguenti espressioni indicate in forma simbolica. Attribuisci poi a ciascuna il valore di verità.
00
AVC;
BVC;
AVB;
A AB;
00
AVB.
AVC;
B V C ; A AC; BAC; BAC.
Dati gli enunciati A: «18 è un multiplo di 6.», B: «6 non è un divisore di 24.» e C: «9 è un numero primo.», attri buisci a ciascuno di essi il valore di verità e poi determina il valore di verità dei seguenti enunciati.
00
00
A ; B ; C ; A A B; (A A B ) A C .
A A C; B A C ;
(A A C )A B .
Attribuisci il valore di verità alle seguenti espressioni, a partire da quello delle proposizioni A, B, C.
00
A : « ±
A VB; 0Q
BAC;
A~VC;
A A C;
AVBVC.
A: «1 2 1 1 1 è un m ultiplo di 11.», B: «66 è un m ultiplo di 6.», C: « 12 1 1 1 e 66 sono p rim i tra loro.». A VB;
00
è un quadrato perfetto.», B: «21 è un numero prim o.», C: «7 è un divisore di 28.».
BVC;
AAC;
AABVC;
AVBVC;
A V B A C.
A: «I giorni dell’anno sono 300.», B: «I mesi dell’anno sono 13.», C: «I giorni della settimana sono 7.». AVBVC;
AVCVB;
A V BAC;
AABVC;
AVBVC;
A A B A C;
A V BAC.
Attribuisci il valore di verità agli enunciati A: «5 è un numero pari.», B: «-|- è un numero razionale.», C: «15 = l 5» e poi stabilisci il valore di verità delle seguenti espressioni.
00
A VB; A V (B A C ); A V (B V C ).
00
AV(BVC); AV(BVC); (AVB)VC; (AVB)AC.
W il Dati gli enunciati A: «- f - ■ 5 = 1», B: «5° = 1» e C: « 2 6 = 83», traduci in parole i seguenti enunciati e attribu isci a ciascuno di essi il valore di verità. A -B ; A «C ; B - (A V C); ( B V A ) - ( A A C ) ; C-[(A VB)~C]. ^ □ E H B E E H S a Attribuisci il valore di verità ad A, B e C, quindi determina il valore di verità delle espressioni indicate. A: «12 ha sei divisori.»;
B: «14 e 27 sono p rim i tra loro.»;
a. ( A A C ) - * B;
b. ( A V C ) A B ;
C: «O gni triangolo isoscele è acutangolo.»,
c. A - ( B A C ) .
Attribuisci il valore di verità ad A, B, C, quindi determina il valore di verità delle espressioni indicate. A: «7 è un divisore di 2870.»; B: «9185 è un multiplo di 11.»; C: «6303 è divisibile per 6.».
00
A AB;
00
( A V B ) A C ; A V [(A VB) A C] V (B — A) A A — B .
AVB; AAC; AAC;
B A C ; A - B; B — A.
169
5
INSIEMI E LOGICA
Espressioni e tavole di verità
Date due proposizioni generiche A e B, costruiamo la tavola di verità dell’espressione A
B
A
BAA
A V (B A A)
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
tu tti i possibili casi per A e B
A
V (B A A).
aggiungiamo le colonne A e B A A
Per ciascuna delle seguenti espressioni, costruisci la tavola d i verità considerando
A e B
proposizioni generiche.
FECI
A AB;
A AB;
A AB;
AVB;
AVB.
P
A - B;
A - B;
A - B;
A - B.
FETI
A VB;
A VB;
A VB;
A VB;
AVB.
FETI
A -B ;
A ~B;
A -B ;
A ~B
FETI
A AB;
(A A A ) A B ;
A A (A AB);
(A A B ) A B .
FETI
AVB;
(AVA)VB;
AV(AVB);
(AVB)VB.
FETI
(AAA)VB;
A A (A V
B) ;
(AV B) AB;
A W (B A B ) .
Per ciascuna delle seguenti espressioni, costruisci la tavola di verità considerando A e B e C proposizioni generiche. m
u m
B0
m
m
rm
s M
(AVB)AC;
AA(BVC);
(A -fi)V(C -A ).
BV(AAC);
AV(BAC);
(A~C)A(C~B).
VERO 0 FALSO? Considera A e B proposizioni
u
B 3
A A (5 V C);
(B — C) V A;
B 3
B A (C A
(AVC)A(BAC);
B SD
generiche. a.
Se A è falsa, allora anche A è falsa.
a. [ v ] [ f]
A);
A -BVC.
VERO 0 FALSO? Se A «- B è falsa, allora A e B non sono entrambe vere o entrambe false. [v][T ]
b. Se A A B è falsa, allora o A o B è falsa, [v][T ]
b. A — B è falsa se e solo se A è vera.
[v][T]
c. A V B è vera se e solo se A e B non sono entrambe vere o entrambe false, [v] [T]
c. A — B non può essere falsa se A è falsa.
[v ]|T ]
d. Se A e B sono false, allora (A V B) A (A VB) è falsa.
d. A • — B è vera se e solo se anche A e B [ v ] IT I
PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI LOGICHE
lo sono.
@ Teoria a pagina 147
Enuncia le seguenti proprietà delle operazioni logiche e verificaie utilizzando una tavola d i verità.
FETI
Negazione della negazione.
ETTI
Com m utativa della disgiunzione.
FETI
Idempotenza della disgiunzione.
FBI
Associativa della congiunzione.
170
(A -B )A C .
m in
4. ESPRESSIONI LOGICHE E SCHEMI DI RAGIONAMENTO
00
Distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione.
17S
Distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione.
ESERCIZI
Equivalenze Verifichiam o che
V (B V A ) = (B A A) V B. Possiamo procedere in due modi.
B
• Com piliam o la tavola di verità.
O CL Z LU IO LU
A
B
A
BVA
B VA
BV(BVA)
B
BAA
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
(B
AA) V B
colonne uguali
Le colonne relative alle due espressioni sono uguali, quindi le espressioni sono equivalenti. • U tilizziam o le proprietà delle operazioni logiche per passare da un’espressione all’altra attraverso espressioni equivalenti. negazione della negazione b v
(b v ! ) = 5 v (b a I ) ' = ' b v ( 5 a a ) = ( B A A ) V B . v_>
2a legge di De Morgan
commutativa della disgiunzione
V erifica le seguenti equivalenze utilizzando il metodo che preferisci.
MATEMATICA INTORNO A NOI
00
(A V B) A A = A V (A A B)
La garanzia
00
BA(BVA) = BV(BAA)
W A
AABVB=AVB
00
AW ( BAB) = A A B AV(BAA) =
g n
A V
(A A
A volte, la logica può aiutarci a capire meglio le clau sole di un certificato di garanzia... B)
► Problema e risoluzione. ►3 esercizi in più.
□
(A V B ) A (A V B ) = (5 A A) V (A AB)
U tilizzando le tavole d i verità, verifica le seguenti equivalenze. gTl
B A A = A ^ B
E 1
(B A A )
V (A
AB)
= A V£
0Q
A -
(B
-
C) = (A A
B)
-
TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI @ Teoria a pagina 148 ra si
AL VOLO
Stabilisci se le seguenti espressioni sono tautologie o contraddizioni.
a. B V ( B A B ) ;
b. (A V A) A (A A A );
c. C ~ C ;
d. A ~ A .
171
C
5
INSIEMI E LOGICA
U tilizzando le tavole di verità, stabilisci quali, fra le seguenti, sono tautologie e quali contraddizioni. FEU
BA(BVA);
A A A — B;
| P
(B -B )-B ;
FEfl
Senza utilizzare le tavole di verità, individua fra le seguenti proposizioni una tautologia e una contraddizio ne; spiega il tuo ragionamento. Verifica poi le tue risposte compilando le tavole di verità.
[(A
(AVB)A(AVB);
B) -
(A VB)-A VB. A) -
A;
(B V B ) — (A A A);
SCHEMI DI RAGIONAMENTO G P
U
TEST
(B A C) A (C A B ) .
Quale, fra i seguenti,
non
(A V B) — (B A A);
(AVA) ~ B AB.
Teoria a pagina 149
è un ragionamento valido? «Se non accordo la chitarra, non suono.»
[~a 1 Suono, quindi accordo la chitarra.
[T] Accordo la chitarra, quindi suono.
l~in Se suono, allora accordo la chitarra.
[b] Non accordo la chitarra, quindi non suono.
FEE1 Perché i seguenti ragionamenti non sono validi? a. «Se un cane abbaia, allora non morde. Quel cane non abbaia, allora morde.» b. «Se l ’acqua non bolle, la pasta non cuoce. L ’acqua bolle, allora la pasta cuoce.» f M
Il seguente ragionamento è valido: mostralo con l ’aiuto di un diagramma di Venn. «O gni m ultiplo di 12 è m ultiplo di 6.» «O gni m ultiplo di 6 è m ultiplo di 3.» «O gni m ultiplo di 12 è m ultiplo di 3.»
Riconoscere uno schema Riconosciamo lo schema applicato in: «Se un numero è una potenza di 3, allora non è pari.»; «Un numero è pari, quindi non è una potenza di 3.». Scriviamo in simboli: A: «Un numero è una potenza di 3.>
B: «Un numero è pari» jL
O QzLU
«Se un numero è una potenza di 3, allora non è pari.» «U n numero è pari, ... ---------------- VT-----------
A - B B
LO LU
...q u in d i... .. .non è una potenza di 3.»
A
Lo schema di ragionamento è: [(A — B) A B] — A . Poiché B è la negazione di B (B = B), lo schema è il modus tollens.
Riconosci g li schemi d i ragionamento applicati scrivendo ognuno d i essi in forma sim bolica. EH
172
«Se non hai il biglietto dell’autobus, prendi la multa.» «Non prendi la multa, quindi hai il biglietto dell’autobus.»
5. ENUNCIATI APERTI E QUANTIFICATORI
LABORATORIO
ESERCIZI
YOU & MATHS
European Citizen! The Treaty on thè functioning of thè European Union «organises thè functioning of thè Union and determines thè areas of, delimitation of, and arrangements for exercising its competences» (art. 1). Look for thè Treaty on thè Internet, read articles 20 and 22, and then formalize thè contents of thè two articles using thè logicai connectives to put thè following atomic propositions together. a: «being a Citizen of thè Union» b: «holding thè nationality of a Member State S of thè Union» c: «residing in a Member State S of thè Union» d: «having thè right to move and reside freely within thè territory of thè Member States» e: «having thè right to vote at municipal elections in thè Member State S» /: «having thè right to stand as a candidate at municipal elections in thè Member State S» g: «having thè right to vote in elections to thè European Parliament» h: «having thè right to stand as a candidate in elections to thè European Parliament» ►Solution.
►2 more exercises.
F7TI «Se arrivi in ritardo, non entri a teatro.» «A rriv i in ritardo, quindi non entri a teatro.» «Se passo col rosso, m i ferma il vigile; se m i fer ma il vigile, pago.» «Se passo col rosso, pago.»
E731
«Se penso, allora sono.» «Se non sono, allora non penso.»
V M
ingrasso non entro nei pantaloni; se non entro nei pantaloni, devo rifare il guardaroba.» «Se ingrasso, devo rifare il guardaroba.»
f M
«Se ho il foglio protocollo a righe, c’è il tema.» «Non c’è il tema, quindi non ho il foglio proto collo a righe.» «Se lavo i vetri, piove; se piove, i vetri si sporca no.» «Se lavo i vetri, i vetri si sporcano.»
F77Ì
«Se
W fl
«Se sono bassa, salgo sulla sedia.» «Sono bassa, quindi salgo sulla sedia.»
ETCÌ Ragionare per 2 «Se un numero è naturale, allora è intero; se un numero è intero, allora è razionale.» «Se un numero non è razionale, allora non è naturale.» E H I A p p lica il modus ponens, il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti pre messe. a. «Se un rombo ha gli angoli congruenti, allora è un quadrato.» b. «Se in ogni materia la media dei m iei voti è maggiore o uguale a 6, vengo promosso.»
5. ENUNCIATI APERTI E QUANTIFICATORI ENUNCIATI APERTI E INSIEME DI VERITÀ ETTI Dato l’enunciato aperto
A(x):
«8 <
seguenti valori di x: 5, - 5- , 0,
~z~.
x»,
@ Teoria a pagina 150
attribuisci il valore di verità alle proposizioni che si ottengono per i
173
5
INSIEMI E LOGICA
Dato il dom inio U indicato, per ognuno dei seguenti enunciati aperti rappresenta, mediante un diagram m a di Venn, l ’insieme d i verità. Ind ica poi qualche elemento d i 17 per il quale l’enunciato non risulta vero.
ESI
A (x ): «x è un divisore di 12.» B ( x ):
fffl
«x è un m ultiplo di 9.»
U = {x
A(x): «x è un rettangolo.» B ( x ):
E N I x < 20}
U
«x è un rombo.»
è l’insieme dei quadrilateri.
Per ognuno dei seguenti enunciati aperti, scegli un dom inio U appropriato e in d ivid u a un suo elemento che rende vero l ’enunciato e uno che lo rende falso; scrivi le proposizioni per tali elementi.
gBI
A(x): «x è un m ultiplo pari di 3.» B(x):
EZ3
ESU A(x): «x è una persona con la patente.»
«x è un quadrato perfetto.»
B(x):
A(x): «x è un numero il cui valore assoluto è maggiore di 3.» B(x):
«x è una frazione im propria.»
CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI G
mu
EE3
«x è un felino.»
A(x): «x è una verdura verde.» B(y):
«Il fiume Po attraversa la regione y . »
C ( z ):
«z è un monte italiano.»
Teoria a pagina 150
Considera due enunciati aperti A(x) e B ( x ) , definiti sullo stesso dom inio m i di verità A e B, rispettivamente. L ’insieme di verità di: VERO 0 FALSO?
a. A (x) A B (x) è A U B
r a s
d. A (x) A jB (x) è A —B .
0 0
u.
0 0
A b.
0 0
A
(x) V
(x) è A U B .
m cE
e. A (x) è A
c.
A
(x) A B (x) è A D B .
m cE
f. A(x) è
B U G
TEST
e aventi insie
.
b.
B
U
La parte colorata del diagramma di Venn è l’insieme di verità di:
l~A~l A ( x ) V £ ( x ) .
[c]
I~b 1 A ( x ) A B ( x ) .
Cd] A ( x) V £ ( x).
A {x)A B (x).
Rappresentare insiemi di verità Consideriam o i tre enunciati aperti A(x): «x è un numero pari.»,
B(x): «x
è un m ultiplo di 5.», C(x): «x è un m ultiplo di 4.».
e come dom inio 17l’insieme N dei num eri naturali m inori o uguali a 20. Rappresentiamo con un diagramma di Venn l’insieme di verità: a. dei tre enunciati;
b.
di A( x)
A B (x)
A C(x) e di A( x) VB( x ) .
' A(x) v B(x) vera in A u B
ve ra in A n B nC
174
5. ENUNCIATI APERTI E QUANTIFICATORI
Per ogni terna A ( x ) , B { x ), C(x), dato il dom inio tà: a. dei tre enunciati; b. degli enunciati C ( x ) , è un poligono equilatero.»; poligoni.
eh i
A (x ): «x
FETI
A (x ): «x
è un uomo.»;
@ |
A (x ): «x
è un erbivoro.»;
B(x): «x
indicato, rappresenta con d iag ram m i d i Venn l ’insieme di veri A (jc) V B ( x ) , A (x) A C (x ), A ( x ) W C (x ), [ A (x) V C(x)] A B (x).
U
B(x): «x
è un rettangolo.»;
C ( x ):
è una donna.»; C(x): «x è suocera.»;
B ( x ): « x
ESERCIZI
è un carnivoro.»;
C ( x ): « x
«x è un quadrato.»;
U
U
è l’insieme dei
è l’insieme delle persone.
è un onnivoro.»;
U
è l ’insieme degli anim ali.
Per ogni coppia d i enunciati, dato il dom inio U indicato, rappresenta in forma grafica l’insieme d i verità dei due enunciati. Co n i d iagram m i ottenuti, verifica le leggi d i De Morgan. A (x ): «x
Firn
A(x):
ESB
A (x ): «x
è un m ultiplo di 3.»;
«x è un maggiorenne.»; è un triangolo.»;
B ( x ):
«x è un divisore di 81.»;
B(x): «x
è uno studente.»;
è un pentagono.»;
B(x): «x
U
U
U = {x
E N | x < 30}.
è l’insieme delle persone.
è l’insieme dei poligoni.
QUANTIFICATORI G Teoria a pagina 151 p Q
INVALSI 2003
Quale delle seguenti affermazioni è f a l s a ?
l~À~l A lcu n i m ultipli di 4 sono anche m ultipli di 8.
QD A lcu n i num eri pari non sono m ultipli di 8.
I~b 1 Tutti i m ultipli di 8 sono anche m ultipli di 4.
[ e] A lcu n i num eri pari sono m ultip li di 8.
I~c1 Tutti i num eri pari sono fra i m ultipli di 8.
m
u
INVALSI 2006
Quale delle seguenti proposizioni è vera?
FÀ1 O gni numero intero divisibile per 3 è divisibile per 9. [~b ! O gni numero intero divisibile per 4 è divisibile per 2. I~c1 Se il prodotto di due num eri interi è divisibile per 5, ognuno dei due interi è divisibile per 5. HTl Se la somma di due num eri interi è divisibile per 5, ognuno degli addendi è divisibile per 5.
P
U
INVALSI 2006
Osserva le seguenti figure.
□• vv O
MATEMATICA E STORIA Venn, Eulero o Leibniz? B
C
O
□
A
•
□
▲
Quale delle seguenti affermazioni
è f al sa ?
1~a1 N on tutti i quadrati sono bianchi. rìTl Qualche triangolo è nero.
I due diagrammi della figura rappresentano la stessa situazione riguardante gli insiemi B e C...
fc l Alm eno un cerchio è nero. E
N on tutti i cerchi sono bianchi.
I I ► Problema e risoluzione. ^ ►Un esercizio in più. ►Attività di ricerca: Logica, studi millenari.
175
5
INSIEMI E LOGICA Indica per ogni enunciato il suo valore di verità.
m .ì
a. V x e Z , x + 3 = 0. b. 3
x
G N |x
c. 3
x
G {rette del piano} | x è parallela a una retta r data.
è
un numero primo.
d. V x G Z , x 2 > 0. eeq
U
TEST
x G U,
m
Dato il dom inio U composto dalle figure del piano e l ’enunciato A (x ): «x è un quadrilatero» con quale enunciato è falso?
Vx G
U, x
è un quadrilatero.
I~b] Vx G A , x è una figura del piano. fc l 3 x G (7 | x è un quadrilatero. 3 x G A | x è una figura del piano.
[~d ]
T rad uci in sim boli le seguenti proposizioni e stabilisci il valore d i verità. E H I «Esiste un numero naturale che non ha il successivo.»
EHI
«Ogni quadrato è un rettangolo.»
E E 3 «Per ogni numero razionale esiste il reciproco.»
FISI
«Esiste un numero reale che non è razionale.»
E ra
«Per ogni numero intero esiste l’opposto.»
Trad uci in parole le seguenti proposizioni e stabilisci il valore d i verità. F ili «Vx
g
Z , x 2 > x»
K 7 1 «3 x G N, x2 > x»
EHI
«3 x G {x G N | x è un divisore di 15} | x è pari.»
EHI « V x G { x G N | x è m ultiplo di 10} | x è divisibile per 5.»
EHI
«3 x G {x | x è un poligono regolare di lato 6} | x ha perimetro 40.»
Scriviamo le proposizioni che si ottengono dall’enunciato A (x): «x è m inore del suo doppio.» utilizzando i quantificatori V e 3 nell’insieme universo U dei num eri interi. Stabiliamo il valore di verità delle proposizioni ottenute. quantificatore
proposizione
V
Vx G
U, x <
3
3x G
U
2x
I x < 2x
valore di verità F ------ per esempio, -3 e Z ma -3 > 2 • (-3) V ------ per esempio, 2 e Z e 2 < 2 - 2
Per ognuno dei seguenti enunciati, scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori V e 3 e stabilisci il corrispondente valore d i verità.
ETiTil 176
U = {x
G N | x è m ultiplo di 8}; A(x): «x è un numero pari.», £(x): «x è un divisore di 16.»,
B
(x).
5. ENUNCIATI APERTI E QUANTIFICATORI
è un felino};
è una lince.»,
B ( x ):
e h
u = { x \x
g ira
U = { x \ x è una figura piana di area 16}; A(x): tangolo di dim ensioni 2 e 8.».
EUREKA!
e e q
Esiste
ni
A(x): «x
«x
«x è un quadrupede.»,
è un quadrato.»,
B(x): «x
ESERCIZI
B(x).
è un cerchio.», C (x ): «x è un ret
Sia l’insieme N dei numeri naturali l’insieme in cui si considera la variabile x. L ’e-
spressione «Non esiste alcun numero naturale risultato x stesso»
che, moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi, dia come
n
di quale tra le seguenti proposizioni logiche è la traduzione? Tale proposizione è vera o falsa?
PÀI 3 n e N (3x G N
\ n ■x —
x)
[¥] V h
g
N J
x e
N ii'X = x
[c] 3 «
g
N Vx
g
N,N'X =
x
Sono date le proposizioni: A : «O g n i pagina del libro ha una figura.»; B:
7* «Esiste una pagina del libro in cui
non
compare il colore blu.».
Scriviam o la loro negazione: A : «Esiste una pagina del libro che B
non
ha una figura.»;
: «In ogni pagina del libro compare il colore blu.».
Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazione.
ETifl
«O gni tavolo ha quattro gambe.» «Non esiste un m ultiplo di 5 che non termina per 0.»
EH
«Tutti i num eri naturali sono interi.»
EH
«Esiste un numero naturale che è m inore del suo cubo.»
HHIZI
INVALSI 2012
Quale tra le seguenti frasi è la negazione della proposizione «Tutti i num eri naturali sono
dispari.»? |~a~| Tutti i num eri naturali sono pari. |~b ]
Nessun numero naturale è dispari.
m
Alm eno un numero naturale non è dispari.
|~p~| Qualche numero naturale è dispari.
ESERCIZI IN PIU MI - 103Q SU TUTTO IL CAPITOLO 177
INSIEMI E LOGICA
ESERCIZI IN PIÙ INSIEMI ©Teoria a pagina 138 E H H U VERO 0 FALSO?
a. 6 e N b. —3 E
H E
6£Z
H E
e.
d .-^£ Z
0 0
f. - y E Q H E
C.
N H E
ii e
Q
H E
e R
H E
h .V 2 £ R
H E
g.
ii
Rappresenta per elencazione i seguenti insiem i.
EITil a. {x| x è un numero primo di due cifre minore di 50}; b.
Rii
a. {x | x è un continente}; b.
0H
{x | x è il nome di un giorno della settimana che ha sette lettere}.
{x E Z | x è un numero dispari e —20 < x < —13}.
a. {x | x è una lettera della parola «caraffa»}; b.
mQ
{x | x è una materia che studi}.
—
Consider thè set A {x E N | x > 10}. Write out in words thè meaning of thè symbols which are written in set-builder notation. YOU&MATHS
mQ TEST H
F ro m sym b o ls to w o rd s
Dato l’insieme
x |x
A
={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}, la proprietà che caratterizza i suoi elementi è:
è un numero primo.
[TI x | x
è un numero primo maggiore o ugualea2.
fcl x | x
è un numero pari minore di 4 oppure dispari minore di 30.
ITI x | x
è un numero primo minore di 30.
Rappresenta i seguenti insiem i in tutti i m odi possibili.
EIE! L’insieme delle potenze di 2 comprese tra 5 e 65. > KÌU L’insieme dei numeri naturali il cui reciproco è
ETF1 L’insieme dei quadrati dei numeri naturali compresi fra 3 e 6, inclusi 3 e 6.
maggiore di -g-.
p
u
E42
TEST
È infinito l’insieme:
E
delle cellule del tuo corpo.
E
delle molecole presenti in un bicchiere d’acqua.
E
delle rette perpendicolari a una data.
E
dei num eri naturali m inori di IO18. Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
INSIEMI E LOGICA
f ìh
I ESERCIZI IN PIÙ
Individua quali insiem i, fra i seguenti, sono l’insieme vuoto. a. Le vocali della parola «aiuto». b. G li italiani nati prim a del 1850. c. I numeri naturali maggiori di 2 e m inori di 3. d. I poligoni con meno di tre lati. e. Il maggiore fra i num eri - y e y p
FOT
Scrivi un esempio di insieme:
FAI UN ESEMPIO
a. di num eri interi e infinito;
b. di num eri razionali e finito.
Rappresentali in tutti i modi possibili.
FOT
La scrittura A = 0 indica l’insieme vuoto. Per ché la scrittura A — {0} non è equivalente?
FOT
Indica se ognuno dei seguenti insiem i è finito, infinito, vuoto. a. I num eri p rim i pari.
E H U
TEST
È vuoto l ’insieme:
b. L ’insieme dei punti di una retta. c. I num eri naturali compresi tra 0 e 1, estremi esclusi.
[~À~1 dei numeri p rim i m ultipli di 6. |~b ~]
FOT ™
dei m ultipli di 5 d ivisib ili per 6.
d. I m ultipli di 15 m inori di 100.
|~c1 dei divisori di 18 maggiori di 10.
e. I num eri interi di due cifre.
[~d~| dei divisori di 7.
f. I m ultipli di 3. g. I num eri reali compresi tra 1 e 2.
Q uali dei seguenti insiem i sono finiti? Q uali in finiti?
h. I divisori di 1800.
a. I numeri naturali maggiori di 1. b. Le frazioni comprese fra 0 e 1. c. I numeri naturali m inori di
1 000 000 000 000 000 . d. I punti di un segmento.
FOT
Dati gli insiem i A = { x \ x è un poligono}, B = { x | x è un quadrato}, C = { x | x è un parallelogramma}, D — { x | x è un rombo}, E — { x | x è un triangolo scaleno}, indica le relazioni di inclusione stretta tra di essi.
Stabilisci se g li in siem i im propri.
FOT
A, B
e C sono sottoinsiemi delPinsieme
A — {x
E N | x è un numero pari};
B = {x
E N | x = 6 n , n E N };
C =
E N | x è m ultiplo di 12};
{x
H = {x \x è
pari
e x = 3n,n E
FOT
e, in caso affermativo, specifica se propri o
H
Stabilisci quali dei seguenti insiem i sono uguali tra loro.
N }.
A
= {x | x è una lettera della parola «casella»};
B =
{a, c, e, 1, s};
C = {x | x è una lettera della parola «calesse»};
FOT
A — {x
E N | * è divisore di 10};
=
{x
E N | x 2 < 16};
C =
{x
E N | x < 9} ;
B
H = {xG N i x
<
D
= {scale}.
10}.
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E43
5
INSIEMI E LOGICA
OPERAZIONI CON GLI INSIEMI • t**..,**™ E 2 J Utilizzando la figura a lato, scrivi per elencazione: a. A U J3;
d. ( £UC) n A;
b. A n C;
e. (A n
U C.
B)
c. AUC;
Per ognuno dei seguenti diagram m i di Venn scrivi, utilizzando i sim boli di unione e intersezione, un’espressione che rappresenti la parte colorata.
e e h q
VERO 0 FALSO?
a. Se A ,
B, C
sono tre insiem i non vuoti tali che
C Q B Q A,
allora: (A U B ) fi C =
B.
b. La parte colorata in figura è B D (C fi A).
c. Se A = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
B =
{2, 3, 5, 7}, C = {1, 3, 5, 7, 9}, allora A fi
B
D C = {3, 5}.
{ x | x è un parallelogramma}, B — { x | x è un poligono con le diagonali congruenti}, allora A U B = { x | x è un rettangolo}.
H E H E
H E
d. Se A =
EEE1
Dato il seguente prodotto cartesiano, scrivi A e B. B X A -
eebQ
{(2;
EUREKA
numero
n
a),
(2;
e),
(2;
i ),
(2; 0), (2;
u),
(4;
a),
(4;
e),
(4; /), (4; 0), (4;
u)}.
Q uanti sono? Siano A e B due sottoinsiemi finiti di un insieme U, contenenti rispettivamente un e un numero m di elementi. Quale tra le seguenti proposizioni è f a l s a i
1~a~1 L ’insieme A X
B
contiene
H
L ’insieme A U B contiene
[~c~]
Se A l ) B
pTl Se A fi
E44
H E
B
n ■m n + m
elementi. elementi.
contiene
n
+
contiene
k
elementi, allora (A —B ) U ( B
m
elementi, allora A fi
B
= 0. —A)
contiene
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n + m — 2k
elementi.
INSIEMI E LOGICA
KKH f j VERO0 FALSO? Considera l’insieme B
=
A
I ESERCIZI IN PIÙ
costituito dalle vocali della parola «aggiustamento» e l’insieme
{ u, v}.
H E
g. A x (A -
b. {a, i] C A
H E
h.
c. u E A n B
H E
i. 0 E SP(A)
00 mia
d.
A
fi
H E
j. A —B ha 4 elementi
00
e.
B
E 9>(A)
H E
k. A -
mia
f.
B
C 9>(A)
H E
a. {u} E
B
A
è un sottoinsieme di A
KKM Spiega perché gli insiemi zione dell’insieme
A
I = {x E
B
B)
=
(A
U B) x
B
X 0 = 0
B
= (A fi
B)
UA
E 0
= {x E N 2 < x < 7 } , B = {x E Z | x < 1} e C = {2} non costituiscono una partiZ I —1 < x < 8}. Come potresti modificare l’insieme A per avere una partizione di 7?
INTORNO A NOI
EEQ Venti
squadre di calcio partecipano a un campionato con partite di andata e ritorno e ciascuna squadra incontra tutte le altre squadre. Quante partite saranno giocate in tutto? Quante dovrebbero essere le squadre affinché il numero totale di partite sia 132? [380; 12]
RETI A lla partenza di un volo per Buenos Aires salgono 350 passeggeri.
118 fra loro hanno la cittadinanza ame ricana, 138 italiana, 173 argentina, 48 hanno la doppia cittadinanza italiana e argentina, 27 sia americana sia argentina e 19 sia americana sia italiana. Inoltre, nessun passeggero ha tutte e tre le cittadinanze. Indica quanti passeggeri: a. hanno più di una cittadinanza;
b. hanno solo una cittadinanza; c. hanno solo la cittadinanza argentina; d. hanno solo la cittadinanza italiana;
[a) 94; b) 241; c) 98; d) 71; e) 15]
e. non hanno nessuna delle tre cittadinanze considerate.
LOGICA e Teoria a pagina 144 ENUNCIATI E CONNETTIVI LOGICI eh q q
TEST
Solo una delle seguenti frasi è un enunciato logico. Q uale?
|~a~| «Strano esercizio!»
[c] «Quale esercizio?»
|~b~| «La risposta a questo esercizio è la C.»
[5] «Questo esercizio non m i piace.»
KEfil Q
VERO 0 FALSO?
È un enunciato logico:
a. «Oggi vieni a giocare a calcio con noi?» b. «15 è un multiplo di 2.» c. «La mia borsa è molto voluminosa.» d. «Corri!» e. «Tutti i poligoni hanno 4 lati.» f. « 1 0 : 5 = 2» g. «Per favore, sii puntuale.» h. «Che cosa farai per il tuo compleanno?» Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di m atem atica di Massim o Bergam ini e G raziella Barozzi
H H H H H H H H
E E E E E E E E
E45
5
INSIEMI E LOGICA EUREKA!
C h i è il colpevole? Tre imputati di un delitto, Aldo, Bruno e Carlo, rilasciano le seguenti dichia
razioni: Aldo: «Non sono colpevole»; Bruno: «Il colpevole è Carlo»; Carlo: «Il colpevole è Aldo». Se sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso, chi è il colpevole? Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte, costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici. Riscrivile in sim boli, indicando con una lettera maiuscola ogni componente.
s s
a. «Se un numero è prim o, allora ha esattamente due divisori.» b. «Se M C D (12 ; 28) = 4, i due num eri sono pari.» c. «Un rombo è un quadrato se e solo se ha tutti gli angoli retti.» d. «Se un numero è m ultiplo di 88, allora è pari.» e. «Il reciproco di un numero esiste se e solo se il numero è diverso da 0.» f. «Vado a scuola in bicicletta se e solo se il cielo è sereno.» g. «Se 3 < 5, allora 4 - > 4 -.»
ESPRESSIONI LOGICHE E SCHEMI DI RAGIONAMENTO R iscrivi in sim boli le seguenti espressioni, indicando con una variabile logica ogni enunciato componente.
s s
a. «Se non pianto la tenda e piove, il sacco a pelo si bagna.» b. «Se r è parallela a s e s è parallela a
t,
allora r è parallela a
t.»
c. «Un poligono è regolare se e solo se è equiangolo ed equilatero.» d. «Se vai in palestra, non ci vediamo e non fai i compiti.» e. «Il libro è tuo se e solo se l’arancione non è il tuo colore preferito.» f. «Se un numero non è pari o non è divisibile per 5, allora non è vero che termina con un numero pari o con 5.» g. «Se un angolo non è acuto, è ottuso o retto.»
m
u
YOU & MATHS Fro m words to sym bols W rite thè sentences below in terms of thè following: r: strawberries are ripe along thè path; b : snails have been seen in thè area; w: walking on thè path is safe.
a. Strawberries are ripe along thè path and snails have not been seen in thè area. b. Snails have not been seen in thè area, and walking on thè path is safe, and strawberries are ripe along thè path. c. If strawberries are ripe along thè path, then walking is safe if and only if snails have not been seen in thè area. d. It is not safe to walk along thè path, snails have not been seen in thè area, and thè strawberries along thè path are ripe. s s
Considera le seguenti proposizioni: A: «Sabato telefono a Ugo.»; finisco il lavoro.»; D : «Sabato guardo la T V .» . a. Traduci in parole le proposizioni: AVD; BAC; BVB; AXC;
D -C ;
B ~
C;
B:
AVB;
«Sabato Ugo m i telefona.»; C: «Sabato
(D -C)A A ;
b. T rad uci le seguenti proposizioni composte in simboli. «Sabato, se Ugo m i telefona finisco il lavoro e non guardo la T V .» «Sabato finisco il lavoro o guardo la T V e non telefono a Ugo.» «Sabato, se Ugo non m i telefona io telefono a Ugo e finisco il lavoro.» «Sabato, o telefono a Ugo o m i telefona lu i e finisco il lavoro.» E46
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(AAB)A(CAD).
INSIEMI E LOGICA
I ESERCIZI IN PIÙ
Espressioni e tavole di verità EU
CACCIA ALL’ERRORE
Esam ina la seguente tavola di verità e scopri in essa almeno cinque errori.
A
B
C
A ^ B
CVA
CWB
(CVA) - (CVB)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
TEST
Dato l’enunciato «Non è vero che —2 non è un numero pari.», quale dei seguenti è equivalente?
EZ9Q
(A -
B)
-
[(CVA) - (CV£)]
|~a ] « —2 non è un numero pari.»
rei « —2 è un numero pari.»
H
|~d 1 « —2 non è un numero non pari.»
«Non è vero che —2 è un numero pari.»
E flil Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e, in caso affermativo, indicane il tipo. «Se il triangolo è rettangolo, applico il teorema di Pitagora.» «Il triangolo è rettangolo, quindi applico il teorema di Pitagora.» B f lQ
YOU & MATHS A m agician lo gician Imagine that a logician puts four cards on thè table in front of you. Each card has a number on one side and a letter on thè other. On thè uppermost faces, you can see A, P, 8, and 5. He claims that if a card has a vowel on one side, then it has an even number on thè other. How many cards do you have to turn over to check this? YOU & MATHS Is it a v a lid argum ent? Form alize thè following arguments by writing truth tables for thè premises and conclusion. Then determine whether thè arguments are valid.
E H U
a. Either Christian isn’t stupid and he is lazy, or he’s stupid. Christian is stupid. Therefore, Christian isn’t lazy. b. The fisherman and thè policeman are not both innocent. Either thè fisherman is lying or thè policeman is innocent. Therefore, thè fisherman is either lying or guilty.
ENUNCIATI APERTI E QUANTIFICATORI m Q
L ’enunciato aperto A(x): «x — 1 è un numero naturale.», con x 6 N , s i trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi; quale? TEST
Ha ]
Sostituendo a x il valore —1.
[~b~1
Sostituendo a x il valore 1.
fc l Sostituendo a x il valore 0. E EH
L ’insieme di verità coincide con l ’insieme universo.
Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le proposi zioni ottenute con i quantificatori risultino: FAI UN ESEMPIO
a.
entrambe vere;
b. entrambe false.
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E47
5
INSIEMI E LOGICA EUREKA!
Dati in
U
Appartiene o no? Considera la rappresentazione insiemistica a lato. gli enunciati aperti
A (x ): «x appartiene ad A.»,
B ( x ): « x
appartiene a B. »,
rappresenta per elencazione gli insiem i verità dei seguenti enunciati: a.
b. A( x) VJ3( x) .
A (x ) A B(x);
Qual è il valore di verità della proposizione
A(h)ì
[a)
EESQ TEST
Che cosa significa la scrittura « V x E
[~a~~| M olti num eri interi [~b~]
Ogni numero intero
x x
verificano verifica
x2+
x2+
Z ,A (x )» ,
se A ( x ) :
«x2
{d, e}\
b)
{a, b, c, h, i , f , g };
falso]
+ 3 > 0»?
3 > 0.
3 > 0.
fc l Esiste almeno un numero intero x che verifica x 2 + 3 > 0. [TI Non esiste alcun numero intero x che verifica E0 U
TEST
3 > 0.
Osserva il diagramma di Venn. Quale enunciato
|~À~| O gni elemento di |~b~]
x2+
B
è falso?
è elemento di A .
Qualche elemento di A è elemento di
|~c~l Ogni elemento di A è elemento di
B.
B.
fp] Alm eno un elemento di A è elemento di
B.
Trasforma ciascuno dei seguenti enunciati aperti in proposizioni utilizzando i quantificatori V e 3: A(x): « x è un mammifero.»; B ( x ) : « x è un divisore di 24.»; C ( x ) : « x è un poligono regolare.». a. Per ciascuna delle sei proposizioni ottenute, individua un insieme universo per cui essa risulti vera e uno per cui risulti falsa. b. La proposizione 3 x | A (x) nell’insieme universo dei cani risulta vera o falsa? c. Individua un sottoinsieme di
U
= {0, 1, 24, 48} in cui, V x , B(x) risulti vera e uno in cui risulti falsa.
d. Considera l’insieme dei triangoli; qual è il suo sottoinsieme più grande in cui, V x , la proposizione C(x) risulta vera? EUREKA! C a v a lie ri e fu rfan ti Nel paese di Oz, oltre alle persone norm ali (che possono mentire o dire la verità), vivono cavalieri (che dicono sempre la verità) e furfanti (che mentono sempre). Una strana legge impone che in ogni m atrim onio i coniugi siano entrambi norm ali, oppure uno cavaliere e l’altro furfante. A rrivati alla villetta bifam iliare dei coniugi Allegri e Bianchi, chiedete se il sig. Bianchi, che è assente, è un cavaliere, ottenendo risposta affermativa sia dalla sig.ra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri. Che cosa potete concludere riguardo ai sig. Bianchi?
E H U
[TI II sig. Bianchi è un cavaliere.
r~B~1 II sig.
Bianchi è un furfante.
fc l II sig. Bianchi è normale. fe l È impossibile che le risposte date siano quelle riportate. [TI Non potete concludere nulla. [Olimpiadi di matematica italiane, Gara di 2° livello Biennio, 2003]
E48
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INSIEMI E LOGICA
I ESERCIZI IN PIÙ
RIEPILOGO Insiemi VERO 0 FALSO?
e u q
Sia
S
l’insieme degli studenti delle classi prim e della tua scuola. D ati gli insiem i
A — {x
E S | a; partecipa solo al corso pomeridiano di fisica},
B = {x
E S | x partecipa solo al corso pomeridiano di francese},
C = [x E S | x partecipa al corso pomeridiano di fisica o di francese o a entrambi}, D
=
{x
E SI x partecipa al corso pomeridiano di fisica e di francese}:
a. se C f l
D
= C , allora C =
D.
s t a
b. A E C .
E E
c.
C C.
s t a
d. D C C .
s t a
B
EEE1 Dati gli insiem i A = { x E N | x è prim o}, B = {x E N | x < 20} e C = {x E N | * è pari}, rappresenta per elencazione l ’insieme (A n B ) - c . Detto A il complementare di A rispetto a N , rappresenta l’insieme A fi B .
e. se C ha 12 elementi e A ne ha 5, allora C —A ne ha 7.
ta ta
f. se A ha 6 elementi e B ne ha 5, allora A U B ne ha 11.
ta ta
ETTI Siano A l ’insieme delle coppie ordinate ( a; b) , dove a, b e { x E N | x < 3} e tali che a < b, e C l ’insieme delle coppie ordinate (c; d ), dove c, d E N e sono tali che c ■d è un numero pari. Determina A fi B .
ETTI Esam ina i seguenti diagram m i di Venn. Individua, nell’insieme dei num eri naturali, dei sottoinsiemi in fin i ti A , B, C per i quali si verifichino le situazioni rappresentate. a
b
c
Sia A l’insieme dei m ultipli di relazioni tra A e B è corretta?
B S D
TEST
[a] A = B
n
0 A H B = 0
d
E N , e sia B l’insieme dei m ultipli di I n . Quale tra le seguenti
[c]AU£ = N
|~d ] B E A
ETS1 Scrivi le espressioni che rappresentano la parte colorata in ognuno dei diagram m i seguenti.
ETTI Spiega perché non è possibile trovare due insiem i A e B, non disgiunti, tali che (A U B ) —B
— A.
Kf'VI Dati gli insiem i A =
{x,y }, B =
{ - 1, 0, 1}, C =
{a, x ] ,
verifica la validità dell’uguaglianza (C - A) x
B
= (C x
B) -
(A x
B).
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E49
5
INSIEMI E LOGICA
Considera g li insiem i: A = {1, 3, 5}, £ = {0, 2, 4}, C = {0}, V erifica le seguenti afferm azioni.
00
Ax£cAxD;
03
[(A U B ) U C] X C = (A x C) U { B
00
[(AnB)UC] X CU (A X
00
D
= {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
A X C (£ B X C .
B) ±
x
C) U ( D
x
C)
[(CfìB)UA] X C
Siano R , S e T rispettivamente l ’insieme dei punti della retta r, quello dei punti della retta s e quello dei pun ti della retta t. Se le tre rette appartengono allo stesso piano, come può risultare A f ì £ n C ? E ( A U £ ) n C ?
Logica
00
Stabilisci quali tra le seguenti sono proposizioni logiche e attribuisci a ciascuna di esse il valore di verità. a. A: «Nessun numero primo è pari.» b. £ : «La montagna è più rilassante del mare.»
s a
La negazione della proposizione « A B C è un triangolo equilatero» è l’enunciato « A B C è un triangolo scaleno»? Com e m ai?
00
Scrivi in sim boli le seguenti proposizioni. «Un numero è divisibile per 6 se e solo se è divisibile per 3 e per 2.» e «Un rombo è un quadrato se ha tutti gli angoli congruenti.».
c. C: «Il triplo di 3 è 6.» d. 0D
D
: «Luisa ti ha chiamato?»
R iscrivi in forma simbolica le seguenti proposi zioni composte, indicando ogni componente con una variabile logica. Attribuisci poi a ciascu na di esse il valore di verità. A: «49 è un numero prim o oppure il triplo di 2 è 6.» £ : «49 non è un numero prim o se e solo se il tri plo di 2 è 6.» C: «O 49 è un numero prim o o il triplo di 2 è 6.» D: «49 non è un numero prim o e il triplo di 2 è
sa
COMPLETA la seguente tavola di verità inseren do l ’espressione corretta scelta fra: (A -B )V C, (A -B )A C, (A — £ ) V C , ( A V I ) - C.
I
I
A
B
C
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
6 .»
F
V
V
F
«49 è un numero prim o se il triplo di 2 non è 6.»
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
V
E:
Trad uci in parole le proposizioni composte indicate e attribuisci a ciascuna d i esse il valore d i verità. 00
A: «36 è un quadrato perfetto.»; A A £ V C;
00
A: «Il quadrato ha tre tangolo.». (A V £) A £ ;
0 fl
£VC;
B A C;
«12 è un numero prim o.»; C: «Un numero pari è divisibile per 4.».
A A lV C ; angoli.»;
£VC;
A: «92 = 18»; £ : «12 A A £ VC;
E50
AV(lAC);
B:
A A£ V C ;
A - £;
A ** C ;
£ : «L’esagono regolareha
AV(£A£);
CA(£V£);
(AV£)VC;
= 6 2»; C : « 4 + 2 / 6 » . A
A l;
A -C ;
(AV£)~C;
£-(A A C).
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B
-
C.
tutti i lati uguali.»;C:«Il quadrato non è un C«(AV£).
INSIEMI E LOGICA
I ESERCIZI IN PIÙ
TEST Quale delle seguenti è equivalente alla proposizione: «Se un numero è divisibile per 18, allora è divisibile per 2 e per 3»?
E H Q
|~a~| «Se un numero non è divisibile per 18, allora non è divisibile per 2 e per 3.»
H
«Se un numero è divisibile per 2 e per 3, allora è divisibile per 18.»
fc l «Se un numero non è divisibile né per 2 né per 3, allora non è divisibile per 18.»
DO «Se un numero non è divisibile per 2 o per 3, allora non è divisibile per 18.» Colpevole (V) o non colpevole (F)? Due poliziotti stanno svolgendo le indagini sull’assassinio della signora Bianca e sono giunti a restringere il numero dei sospettati a quattro: A, B, C e D. Aiuta i p o li ziotti a trovare i due colpevoli, sapendo che dagli interrogatori è risultato che: se B è colpevole, D non lo è; se C è colpevole, anche B lo è; se il colpevole è A o B, C è coinvolto come com plice; se D è colpevole, anche A lo è.
Km
EUREKA!
EUREKA!
e u q
T:
«Se
D im m i la verità Considera la seguente im plicazione materiale:
P allora
Q»,
dove P e Q sono proposizioni. Supponendo che mente vera? |~a ] L ’enunciato «Se Q allora
P»
T
è vero.
[T] L ’enunciato «Se non-Q allora non-P» è vero.
|~b~] L ’enunciato «Se n o n-P allora non-Q » è vero.
m
u
sia vero, quale tra le seguenti afferm azioni è certa
QT] L ’enunciato «Se Q allora P» è falso.
VERO 0 FALSO? a. \ n G N
L> «
4 J
=
J_1
1 2 ’ 3J
b. { x G N I * + 5 = 0} = {—5}
5x
E H
c. | x G N
E H
d. |l a G N |\ « G
a
—5
= 21 = 0
= oj =
{b
G N | b 2 = 0}
E H E H
EHH Le proposizioni A , B, C hanno come valore di verità rispettivamente V , V , F. Determina il valore di verità di: a. A A B;
b. A V P ; c.
A
— B;
d . C ^ B; e.
A V C;
f. B ~ C ; g. (A -
B ) -+
( C - B);
h. ( A V A ) - ( C V C); i. (A A B) A (A A C); j. A ETiEl
(B V C).
COMPLETA A
la seguente tavola inserendo i valori di verità e gli operatori mancanti. B
V
A AB
V F
F
lB
A VB
F F
F F
Al
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B
V F
V V
A
V V
V
F
E51
5
INSIEMI E LOGICA
Stabilisci se i seguenti ragionam enti sono v a lid i e, in caso affermativo, indicane il tipo. EEH «Se suona il telefono, rispondo.» «Non rispondo, quindi non suona il telefono.» eh 3
«Se accendo il forno, non avvio la lavastoviglie; se non avvio la lavastoviglie, i piatti restano sporchi.» «Se accendo il forno, i piatti restano sporchi.»
BEH «Se il gatto miagola, ha fame.» «Se il gatto non ha fame, non miagola.»
EUO vero o falso ? a.
Vx
E {multipli di 3}, la somma delle cifre del numero x è divisibile per 3.
b.
3 x
E {multipli di 10 }| x termina con una cifra diversa da 0.
c.
3 x
E {pentagoni}\ x ha 6 angoli.
mm sta mm mm mm
d. V j c e N , j c > 0. e.
3 x
E
Q\ x >
0.
KMH Utilizzando i quantificatori V e valore di verità. U =
N;
A (x ): «x
3,
trasforma gli enunciati in proposizioni e attribuisci a ciascuna di esse il
è positivo.».
INTORNO A NOI
Per scegliere quali lib ri acquistare, il bibliotecario di una scuola chiede agli alunni di esprimere una prefe renza tra romanzo storico, romanzo giallo e racconti. I 300 alunni hanno dato le seguenti preferenze: 18 solo per il romanzo storico; 55 per il romanzo giallo e per i racconti; 46 per il romanzo storico e per quello giallo, ma non per i racconti; 86 per i racconti e per almeno un altro genere; 25 per tutti e tre i generi; 200 per almeno uno fra il romanzo storico e il romanzo giallo; 250 per almeno uno fra il romanzo giallo e i racconti. Q uanti alunni hanno espresso una sola preferenza? Q uanti due preferenze? A quanti non piace nessuno dei tre generi? Qual è il genere preferito? [136; 107; 32; racconti]
RETI
D i che gruppo sei? Il gruppo sanguigno di una persona è determinato dalla presenza o assenza di antigeni, come riportato nella tabella a lato. Da un’inda gine su un gruppo di persone canadesi risulta che: 90 presentano l’antigene A, 24 l’antigene B, 170 l’antigene Rh, 6 gli antigeni A e B, 77 gli antigeni A e Rh, 20 gli antigeni B e Rh, 5 tutti e tre gli antigeni, 30 non hanno l’antigene Rh. a. Determina quante persone hanno partecipato all’indagine e ripartiscile tra i vari gruppi sanguigni. b. I gruppi sanguigni costituiscono una partizione degli intervistati? [a) 200, A+: 72, A": 12, B+: 15, B- : 3, AB+: 5, AB- : 1, 0+: 78, 0- : 14; b) sì]
E52
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A
B
Rh
A+
sì
no
sì
A-
sì
no
no
B+
no
sì
sì
B-
no
sì
no
AB+
sì
sì
sì
AB-
sì
sì
no
+ o
EU
no
no
sì
O-
no
no
no
5
INSIEMI E LOGICA
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ►C om petenza 1 [ab ilità 2,
3)
| ►Co m p ete n za U (abilità 1]
Insiemi i l
N e ll’insieme N dei numeri naturali, considera il sottoinsieme A costituito dai m ultipli di 2 e il sottoinsieme B costituito dai m ultipli di 3. Rap presenta mediante la proprietà caratteristica:
A fi f>;
A - B ;
W M
Dati gli insiem i A , composto dai numeri natura li divisori di 20, B , composto dai num eri interi pari m inori di 20, e C, composto dai m ultipli di 3, determina (A —B ) x (A D C).
(A U f i ) - A .
Scrivi le espressioni che rappresentano la parte colorata in ognuno dei diagram m i seguenti.
Considera l’insieme 17 = {* E N | * < 20} e g li insiem i A = { * G N | x è un divisore d i 20}, B = {x G N 1 1 < JC < 6} e C = {1, 2, 3, 5, 7 ,11}. Calcola il risultato delle seguenti espressioni, considerando i complementari rispetto a U e aiu tandoti con un diagram m a d i Venn. E 9
AUB;
A fi C;
A n 5 ;
AUC.
Q
BUC;
CU B;
A fi C ;
AnC.
D
B-A;
A-B;
(AUC)-B;
D
( A — B)
X ( C — B);
(A-C)X(C-A).
g ii ( A n B f ì C ) x ( A - C ) ; KM
Determina A,
B, C
(A U B )
X (B -A ).
tali che:
A X A = {(a; a ) , ( a ; b ), (a ; c), (b; a), (b; b) , (b; c), (c; a ) , (c; b) , (c; c)}, B D C = {a, e}; A fi B = { a } , B — A = {e, i, o, u} , B U C = {a, e, i, m , o, r, u}.
Tutte le inform azioni fornite sono necessarie per determinare i tre insiem i? Motiva la risposta.
(AnB)UC.
D ati A , B e C insiem i qualsiasi, verifica le seguenti uguaglianze utilizzando un diagram m a d i Venn.
B E I Com pila la tavola di verità delle proposizioni (A V B ) A B e ( B V A ) - C .
I TI
b
BM
H
C-(AUB) = (C -A)D (C -B)
n (A - c) = (A n B )
-
(B
n c)
B E I Sapendo che A, B e C sono enunciati semplici con valori di verità rispettivamente F, V , V , sta b ilisci i valori di verità delle seguenti espressioni. a. A
AB;
b. A VC; B
VC;
d. C 178
e A ->• B sono
B E I Stabilisci se (C V C ) A (C A A) è una tautologia o una contraddizione.
Logica
c.
Stabilisci se le proposizioni A V equivalenti.
B;
e.
U tilizzando i quantificatori V e 3, trasforma gli enunciati in proposizioni e attribuisci a ciascuna di esse il valore d i verità.
A —B ;
f. (A A C) -
B;
g. (A A C) V B ; h. (A V 6) A C.
BfiB
U
= Q;
BEJ
{quadrilateri}; quattro angoli.». U —
A (x ): «x
è una frazione apparente.». A(x):
«x
ha quattro lati e
MENU DELLE COMPETENZE
►Com petenza 3 (ab ilità 7)
Q
Nella seconda pagina della copertina
►C om petenza U (abilità 1)
INTORNO A NOI Per l’organizzazione di una vacanza, un gruppo di 7 am ici si è diviso in 3 gruppi: il prim o si occupa delle prenotazioni (P), il secondo del cibo (C) e il terzo degli spostamen ti (S). Rappresenta tramite un diagramma di Venn come si sono divisi i compiti, sapendo che:
S U C = {Ada, Beatrice, Carlo, Daria, Enrico, Filippo}; S fi C = {Ada, Daria}; S U P = {Ada, Beatrice, Carlo, Daria, Enrico, Giacom o}; S t l P = {Ada}; P U C = {Ada, Daria, Filippo, Giacomo}.
É l ' l Durante una giornata, il 2 5 % dei clienti di un negozio ha comprato delle camicie, il 4 5 % solo pantaloni, il 7 5 % ha acquistato pantaloni, il 3 5 % più di un tipo di indumento, il 1 5 % sia giacche sia pantaloni ma nessuna camicia, il 5 % ha acquistato giacche, camicie e pantaloni. Deter m ina la percentuale di clienti che ha acquistato: a. due tipi di capi; b. solo camicie; c. solo giacche.
K ll Amici di click Per una ricerca di mercato viene sottoposto ai ragazzi di una classe prima un questionario sull’utilizzo di tre apparecchi: computer, tablet, smartphone. Dalle risposte si ricava che tutti i ragazzi fanno uso almeno di uno strumento e precisamente: 18 ragazzi hanno il computer; 19 il tablet; 13 lo smartphone; 11 il computer e il tablet; 8 il tablet e lo smartphone; 9 il computer e lo smartphone; 7 tutti e tre gli apparecchi. Determina quanti studenti hanno: a. lo smartphone e il computer, ma non il tablet; b. solo lo smartphone.
[a) 2; b) 3; 29]
Q uanti sono gli studenti della classe? WÌM Da Torino a...? Una nuova compagnia ferro viaria vuole investire su una nuova tratta estera. Esegue un’indagine su un campione di 100 per sone per conoscere la loro preferenza fra le tratte Torin o-Tolosa (T T ), Torino-Praga (TP) e T o rino-Barcellona (TB). 7 persone hanno dato la loro preferenza per tut te le tratte, 27 per T T e T P , 12 per T T e T B , 20 solo per T B , 52 per T T , 45 per TB . 3 persone non hanno dato nessuna preferenza. Indica quante persone hanno dato la preferenza per:
m i Tifo a pedali Su un tratto in salita del percorso del G i r o d ’I t a l i a vengono intervistati alcuni tifosi e viene chiesto loro chi preferiscono tra Cavendish, Evans e N ibali. Tutti hanno espresso almeno una preferenza. C i sono 62 persone che sostengono Evans, 52 Cavendish, 25 persone che tifano solo per N ib a li, 23 solo per Cavendish ed Evans, 22 per N ib ali e Cavendish, 12 solo per N ib ali ed Evans. Coloro che tifano per tutti e tre sono 15. Indica quante persone:
a. tifano solo per Evans;
a. T B e TP, ma non per T T ;
b. tifano solo per Cavendish;
b. TP; c. T T e TP , ma non per TB;
c. tifano per Nibali e Cavendish, ma non per Evans;
d. T B e T T , ma non per TP;
d. hanno espresso più di una preferenza;
e. la sola TP;
e. sono state intervistate.
f. una sola tratta.
[a) 12; b) 7; c) 7; d) 57; e) 101]
[a) 13; b) 52; c) 20; d) 5; e) 12; f) 52]
179
5
INSIEMI E LOGICA
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE TUT0R
PROVAA
PROVA C ►Com petenze i l
Considera
(10 esercizi)
© IN UN’ORA
A)
U (A - C);
generici insiem i tali che b. ( P fi Q) D
R;
© IN MEZZ’ORA
1, 3
b. ( C -
P, Q , R
a. ( P U Q ) f l KB
PROVA B
Dati gli insiem i A = { x E N | x è un divisore di 8}, C = { a: g N | j c < 5}) rappresenta per elencazione: a. A U P U C ;
BB
(10 esercizi)
(R
-
B — {x \ x
è una cifra del numero 8424} e
c. ( C n P ) x P . P
C Q C
R
. Calcola:
P).
Considera il diagramma di Venn in figura. a. Scrivi u n ’espressione che rappresenti l’insieme colorato in verde. b. Colora di giallo l’insieme A c . c. Supponendo che non siano vuoti, stabilisci se i due insiem i verde e giallo costituiscono una partizione dell’insieme B U C .
KB
Rappresenta per elencazione l’insieme delle parti di A =
KB
In una classe di 28 studenti, 11 hanno conseguito la patente A l , 17 il P E T o la patente A l , 3 l’E C D L e il P E T , 4 l’E C D L e la patente A l , 2 solo l’E C D L e il P E T , 3 il P E T e la patente A l, 2 solo l’E C D L . Indica quanti stu denti: a. non hanno alcun certificato;
PROVA D ►Com petenze KB
{x \ x
è una lettera della parola «ozio»}.
b. li hanno tutti e tre;
c. hanno un solo certificato.
1, 3
© IN UN'ORA
Date le proposizioni A: «13 è la metà di 28.», B: «13 = 20 —7» e C: «13 è un numero dispari.», scrivi a paro le le seguenti espressioni e attribuisci a ciascuna di esse il valore di verità. a. A V C ;
b. C V A ;
c. ( A V B ) ^ C ;
d. C «-
(B
A A).
BB
Stabilisci se le espressioni ( P V Q ) A Q e P A Q sono equivalenti.
B iB
Stabilisci se (A V
KB
Stabilisci quali dei seguenti ragionamenti sono valid i e, in caso affermativo, indica lo schema di ragiona mento. Considera come premessa comune a tutti e tre i casi la proposizione seguente: «Se vado in gita scolastica, porto la m acchina fotografica.».
B)
A
(B
V A) è una tautologia o una contraddizione.
a. «N on vado in gita scolastica, quindi non porto la macchina fotografica.»; b. «Se non porto la m acchina fotografica, non vado in gita scolastica.»; c. «Vado in gita scolastica, quindi porto la m acchina fotografica.». KB
Dati gli enunciati A ( x ): « x è un m ultiplo di 7 divisibile per 3.» e B ( x ) : « x è un m ultiplo di 14.», scegli un possibile insieme universo U e rappresenta con un diagramma di Venn gli insiem i di verità di A ( x ) , A( x) V B (x) e A ( x ) A B (x).
KB
N e ll’insieme universo U proposizioni l’enunciato esse.
180
— {x
E N | x è una potenza di 4}, utilizzando i quantificatori V e 3, trasforma in ha 8 come cifra delle unità.» e attribuisci il valore di verità a ciascuna di
A (x ): «x
MENU DELLE COMPETENZE
PROVA E ►Com petenze i l
Nella seconda pagina della copertina
1, 3
$
Questione d i geni In una scuola ci sono 200 bam bini. Ciascuno di loro può avere o non avere i lobi delle orecchie attaccati (O), la fossetta sul mento (F), le lentiggini sul volto (L). Si sa che: 25 hanno solo O, 33 solo F, 67 solo una delle tre caratteristiche, 59 solo due di esse (di cui 15 hanno O e L, 18 hanno L e F), 128 hanno alme no uno dei tre tratti. Indica quanti bambini: a. hanno tutte e tre le caratteristiche;
c. «Se studio inglese, esco per fare commissioni oppure se non studio inglese, aiuto a riordinare la casa.»; d. «O studio inglese ed esco per fare commissioni o se non studio inglese, non suono la batteria.». KB
Considerato come dominio
b. hanno solo le lentiggini;
U = { x < = N |0 < x < 10}
c. non hanno alcuna caratteristica;
e dati gli enunciati aperti A (x): « x è
Dovere e piacere Date le proposizioni A: «Studio inglese.», B : «Esco per fare commissioni.», C: «Suono la batteria.», D: «Aiuto a riordinare la casa.», scrivi in simboli le seguenti espressioni e per ognuna compila la relativa tavola di verità: a. «Se studio inglese e aiuto a riordinare la casa, allora suono la batteria.»;
PROVA F ►Com petenze
IN UN’ORA
b. «Se aiuto a riordinare la casa, allora o esco per fare commissioni o suono la batteria.»;
d. ne hanno più di una. W M
Q
B (x): «x è
multiplo di 3», multiplo di 2»,
a. scrivi per elencazione gli insiemi di verità di A , B, A , B e rappresenta con un diagramma gli insiemi U , A e B ; b. scrivi gli enunciati aperti relativi ad A A B , A V B , A A B , A V B e, per elencazione, i loro insiemi di verità.
1, 3
e> IN UN’ORA
ZTL Nella z o n a a tra ffic o l i m i t a t o di una certa cit tà possono circolare liberamente moto, m otorini e veicoli elettrici o ibridi; i ' £ £ jjl veicoli a benzina di tipo almeno Euro 1 possono accedere a pagamento; per i veicoli a benzina di tipo Euro 0 o per quel li più lunghi di 7,5 m (anche se ib rid i o elettrici) il divieto è totale. Le telecamere di sorveglianza non rico noscono i veicoli ibridi. Negli insiem i a lato, per sem plici tà consideriamo solo motori a benzina o di tipo elettrico o ibrido. a. Rappresenta in un unico diagramma di Venn gli insiem i
A4 = {moto e, m otorini} I = {veicolò ib rid i}
E = {veico li elettrici} L - {veicolò^pica l u n g h i d i 7 ,5 m } B
=
{ a u t o oc b e n z in a * d i tip o a lm e n o E u ro 1}
BO T
=
=
{ a u t o oc b e n z in a * d i tip o E u ro 0 }
{ v e ic o li ric o n o s c iu ti d a l l e te le c a m e r e } A L = {v e ic o lò a d accesso lib e ro }
A P = {veicolò a d accesso apagam ento}
M , I , E, L , B, BO, A L , A P .
b. Nella rappresentazione precedente inserisci l’insieme T. c. Determina quali veicoli comprendono i seguenti insiemi: a p h b o
, E
n r,
in T , B
u b o
,
rn
a l
, m u
/
u
e
.
d. Determina quali operazioni tra gli insiem i elencati danno come risultato i seguenti insiemi: {veicoli ad accesso libero non riconosciuti dalle telecamere}; {veicoli che non possono accedere alla zona}; {veicoli non a benzina ad accesso libero riconosciuti dalle telecamere}.
181
RELAZIONI E FUNZIONI 1. RELAZIONI
A relatio n can be defined as a m apping of e le m e n ts fro m a set A onto ele m e n ts of a set B.
DEFINIZIONE DI RELAZIONE ©
Esercizi a pagina 194
Dati gli insiem i A e B, non vuoti, diciamo che è definita una relazione da A a B se è indicato un procedimento che associa elementi di B a elementi di A. A è l’insieme di partenza della relazione, B è l’insieme di arrivo. ► Dati gli insiem i A = {1, 2, 4, 8,10} e a ^ A e b G B e la relazione 91: a
91
b
— a è il quadrato di
B
= {—2, — 1, 0, + 1, + 2}, consideriamo
b.
se e solo se
A lcuni elementi di A sono in relazione con elementi di 19 1-1;
1 9 1 + 1;
491-2;
491+2;
201-2;
\ b,
10 010;
...
\
è in relazione con
Se a 91
altri no. In simboli:
B,
diciamo che
non è in relazione con b
è immagine di a e che
a
è controimmagine di
immagine
b.
► N ell’esempio precedente —1 è immagine di 1, 4 è controimmagine sia di —2, sia di + 2 . In una relazione 91 da A a B, le coppie (a; dotto cartesiano A x B.
b) ,
con a 91 ù, sono un
s o t t o i n s i e m e del p r o
Data una relazione da A a B, chiamiamo:
• dominio il sottoinsieme di A degli elementi che hanno almeno una immagine in
B;
• codominio il sottoinsieme di B degli elementi che sono im m agini di elementi di A. ► N ell’esempio precedente: codominio di 91.
D =
{1, 4} è il dominio, C = {—2, — 1, + 1, + 2} è il
Una relazione è definita in un insieme se l’insieme di partenza e l’insieme di arrivo coincidono. ► Se A è l’insieme degli studenti di una classe, un esempio di relazione in A è: v 91 y — x è più alto di y. In una relazione definita in un insieme A , le coppie in relazione sono un sottoinsieme di A X A .
RAPPRESENTAZIONE DI UNA RELAZIONE ©
Esercizi a pagina 194
Per una relazione, possiamo utilizzare le rappresentazioni caratteristiche del prodotto cartesiano, alle quali aggiungiamo il d i a g r a m m a a fre c c e . 182
\
ia - 1 \
controimmagine
1. RELAZIONI
I TEORIA
Consideriamo A — {4, 5 , 6 } , B — {1,2, 3} e la relazione 9 1 d a A a B : a 9 l b —-a — b è dispari. Abbiamo le seguenti rappresentazioni. Elencazione
Diagramma a frecce
Scriviamo l'insieme delle coppie in relazione, che indichiamo con 2li, elencando tutte le coppie (a; b), con a e A e b e 6, tale che a 2/1. b.
Per ogni coppia (a; b), con a 2/ 1. b, disegniamo una freccia che parte da a e termina in b.
91 = {(4;1), (4; 3), (5; 2), (6; 1), (6; 3)}
Tabella a doppia entrata
Diagramma cartesiano 1
Scriviamo gli elementi di A nella prima colonna, quelli di B nella prima riga e segniamo le caselle delle coppie in relazione.
u
X
5 6
2
3
Rappresentiamo gli elementi di A sulla semiretta orizzontale, quelli di B sulla semiretta verticale e segniamo i punti delle coppie in relazione.
X X
X
X
Nel caso di una r e l a z i o n e d e fin ita i n u n i ns i e me , possiamo effettuare la rappresentazio ne, oltre che nei modi precedenti, anche con un grafo. Disegniamo dei punti, detti nodi del grafo, e una freccia per ogni coppia in relazione. Se un elemento è in relazione con se stesso, la freccia parte e arriva nello stesso punto, quello deH’elemento. ► Nella figura c’è il grafo di
=
RELAZIONE INVERSA ©
{ ( a ; c ), (b; b),
(c; d ),
Data una relazione 91 dall’insieme A all’insieme la relazione inversa 91-1 dall’insieme B all’insieme A è la relazione tale che: 91_1 a •— a 91 b,
con
a E A
e
(d; a ) } in
A.
Esercizi a pagina 197
B,
b
(d; c ),
a
91 b •— a è la metà di
b
ha come relazione inversa: b
91_1 a
** b è
il doppio di a
b e B.
In una relazione e nella sua inversa dominio e codominio sono scambiati.
ESERCIZI PER COMINCIARE B i Dati gli insiemi A = {—2, — 1,0},
B = {— 1, 0, + 1, + 2} e la relazione a 9 l b ~ a ■b > 0 , con a G A e b G B , scrivi tutte le coppie in relazione, il dominio e il codominio. In ogni coppia indica l’immagine e la controimmagine.
n
n
w
sibile per M
Dati gli insiemi A = {6, 7, 9, 10} e B — {2, 3, 5} e la relazione 91, da A a B, rappresenta la relazione nei modi possibili.
i i b,
Scrivi le relazioni inverse delle seguenti, definite in N : a 91 <- a = Ab; a <3 l b ~ a = b —7-, a ^ R b a è il successivo di
b;
a
91 b •— a è divi
a 91 b •—a è multiplo di
b.
183
6
RELAZIONI E FUNZIONI
2. PROPRIETÀ DELLE RELAZIONI PROPRIETÀ RIFLESSIVA E ANTIRIFLESSIVA © Esercizi a pagina 198
A relation defined in a set A is reflexive if every element of A is mapped to itself.
S
Proprietà riflessiva
In un insieme di amici:
Una relazione 2/1 definita in un insieme A è riflessiva se ogni elemento di A è in relazione con se stesso:
x & y ** x è coetaneo di y \ è riflessiva
x<3l x, V x E A.
x *31y ** x è più anziano di y \ non è riflessiva
Possiamo stabilire se una relazione è riflessiva osservando le sue rappresentazioni. Esaminiamo un esempio, con A = {a, b, c}.
Elencazione
Grafo
-
3i =
Ci sono tutte le frecce che partono e arrivano nello stesso elemento.
o
{(a; a ) ,
(a ; b), (b; b), (c; c), (c; a ) } .
o
Sono presenti tutte le coppie in cui gli elementi sono uguali.
Tabella a doppia entrata Tutte le caselle della diagonale sono segnate.
2n
a
b
a
x
X
Diagramma cartesiano Tutti i punti della bisettrice sono segnati.
b
'x
b c
c
X
c
X
Proprietà antiriflessiva Una relazione 3i definita in un insieme A è antiriflessiva se ogni elemento di A non è in relazione con se stesso: Ajflx, V
Nelfinsieme degli abitanti di un palazzo: x^ky ** x è padre d iy W'
A.
è antiriflessiva
x< 3 ly — x ha la stessa madre di y \ non è antiriflessiva
Ci sono relazioni che non sono né riflessive né antiriflessive. ►La relazione del grafo della figura: • non è riflessiva, perché b^fib; • non è antiriflessiva, perché, per esempio, atfl a.
184
A
2. PROPRIETÀ DELLE RELAZIONI
TEORIA
PROPRIETÀ SIMMETRICA E ANTISIMMETRICA © Esercizi a pagina 199 Proprietà simmetrica A re la tio n defined in a set A is sym m etric if, w henever an e le m e n t x is relate d to y, it is also tru e th a ty is relate d to x.
Una relazione 3i definita in un insieme A è simmetrica se, per ogni coppia x e y di elementi con x in relazione con y, anche y è in relazione con x: se x 31 y, allora y 3 lx .
Nell’insieme dei residenti in Italia: x 3 t y ** x è concittadino d iy ^
è s im m e tric a
x 3 l y ~ x è più giovane d iy \ non è s im m e tric a
Possiamo stabilire se una relazione è simmetrica osservando le sue rappresentazioni. Elencazione
3i =
{( a ;
b), ( b; a ) ,
Grafo ( a;
P er ogni fre c c ia da un p rim o
c), (c; a)}.
elem ento a un secondo, c'è P er ogni coppia (x; y) p re se n te , c'è anche la coppia (y; x).
anche la fre c c ia dal secondo al prim o .
Tabella a doppia entrata
a
b
c
X
X
P er ogni c a se lla segnata, c'è la ca se lla s im m e trica ris p e tto a lla
Diagramma cartesiano P er ogni p unto segnato, c ’è il
a
p unto s im m e trico ris p e tto a lla b is e ttric e .
diagonale. b
X
c
X
\
Proprietà antisimmetrica Una relazione 3i definita in un insieme A è antisimmetrica se, per ogni coppia x e y di elementi diversi tra loro con x in relazione con y, y non è in relazione con x: se x 3 iy , allorayijfix, con x ^ y.
Nell’insieme degli studenti di una classe: x 3 ìy •—x è nel banco davanti a quello di y è a n tis im m e tric a
x 3 iy «- x è nel banco di fianco a quello di y \ non è a n tis im m e tric a
Ci sono relazioni che non sono né simmetriche né antisimmetriche. ►La relazione del grafo della figura: • non è simmetrica, perché d 3 ic ma ctfld; • non è antisimmetrica, perché b3i d e d 3ib.
185
6
RELAZIONI E FUNZIONI
PROPRIETÀ TRANSITIVA ©
Esercizi a pagina 200
f^l A relatio n defined in a set A is transitive if, w h e n e ver an e le m e n t x is relate d to y and y is related to z, then x is also related to z.
In un insieme di person e: x^ky ^k
e- tra n sitiva x & y
se a :
0 1
y
ey
0 1
z, allora x
0
f
« x è nato prima di y
ESEMPIO
Una relazione definita in un insieme A è transitiva se o g n i volta che v è in r e la z io n e c o n y e y è i n re la z io n e con z, è vero che x è in relazione con z:
• — x è zio di y
\
z.
non è tra n sitiva
Fra le rappresentazioni di una relazione, soltanto il grafo fornisce informazioni imme diate per capire se una relazione è transitiva. La relazione è transitiva: da a si può arrivare a c in modo indiretto (a 0f b e b 91 c) o diretto (a 0f c).
► a
•
La relazione n o n è transitiva: per esempio, da b si può arrivare ad a in modo indiretto (fr 0f c e c 01 a), ma non in modo diretto (b la ).
c
ESERCIZI PER COMINCIARE n
Q e m Nell’insieme A — {a, b , c, d} sono date le seguenti relazioni. Stabilisci di quali proprietà godono. a. 0t
W/M
=
{(a; a ) ,
(a ; b) ,
(b; b) , (b; d ),
(c; c),
(d; d ) , (d;
c)}
Esamina, inventando esempi di relazioni definite nell’insieme A — {a , b, c, d } , le particola rità delle rappresentazioni mediante grafo, tabella a doppia entrata e diagramma cartesiano quando una relazione gode delle proprietà: a. riflessiva;
b. simmetrica.
E l Individua le proprietà di cui godono le seguenti relazioni.
<31
a
a
X X
c
X
X
X
d X
X
d
186
c
b
C*c
c
b
X
d
3. RELAZIONI DI EQUIVALENZA E D'ORDINE
TEORIA
3. RELAZIONI DI EQUIVALENZA E D’ORDINE Esercizi a pagina 203
Una relazione definita in un insieme è una relazione d i equivalenza se è rifle s s iv a , si m m etrica e transitiva.
Nell’insieme degli studenti di una città: x£Ji y
— x e y sono nella stessa scuola
ESEM PIO
RELAZIONE DI EQUIVALENZA ©
\ è di equivalenza x£Jly ~
x
conoscey
\ non è di equivalenza perché non è tra n s itiv a
Consideriamo un esempio neU’insieme delle rette del piano. ►
x £R y ~
x è
parallela a y
una relazione di equivalenza, perché è riflessiva (ogni retta è parallela a se stessa), simmetrica (date due rette a e b, se a / / b , allora b / / a ) e transitiva (date tre rette a, b e c , se a / / b e b / / c , allora a / / c ).
è
CLASSI DI EQUIVALENZA E INSIEME QUOZIENTE G
Esercizi a pagina 204
Nella figura è rappresentata una relazione di equivalenza. L’insieme A = {a, b, c, d, e, /} è diviso dalla relazione in tre sottoinsiemi costituiti da elementi in relazione. In generale, data una relazione di equivalenza, definita in un insieme A , se conside riamo tutti i sottoinsiemi di A , ognuno contenente gli elementi fra loro equivalenti, abbiamo che: • ogni sottoinsieme non è vuoto; • presi due sottoinsiemi qualsiasi, essi non hanno elementi in comune; • l’unione dei sottoinsiemi è l’insieme A . Diciamo allora che la relazione di equivalenza ha generato in A una p a r t iz io n e . Ognuno dei sottoinsiemi degli elementi in relazione è una classe d i equivalenza e l’insieme dei sottoinsiemi, cioè l’insieme delle classi di equivalenza, è detto insiem e
classi di equivalenza
quoziente.
►Nella relazione della figura precedente l’insieme quoziente è: {{a}, {b, d } , {c, Ognuno dei suoi tre elementi, { a } , {b} e {c, e , j ) , è una classe di equivalenza.
e,f}}.
Se dividiamo gli elementi di un insieme in base a una proprietà che genera una par tizione, abbiamo ottenuto una c la s s ific a z io n e : ogni classe è un insieme di elementi equivalenti. ►Gli animali vertebrati possono essere classificati con la partizione della figura. I sottoinsiemi sono le classi di equivalenza e, per esempio, da questo punto di vista, un cane e un gatto sono equivalenti, perché entrambi sono mammiferi. 187
6
RELAZIONI E FUNZIONI
RELAZIONE D'ORDINE ©
Esercizi a pagina 205
Una relazione definita in un insieme è una re la zio n e d ’o rd in e se è antisimmetrica e transitiva. È d’ordine: • la rg o
Nei numeri naturali: x2Ky — x > y \ è d 'o rd in e largo
se è anche riflessiva;
• s tre tto
x^Jiy •—x > y \
se è anche antiriflessiva.
è d 'o rd in e s tre tto
Vediamo un esempio collegato al modo di archiviare file in un computer.
Alice
►Nei computer di Alice e di Bob i file sono archiviati in cinque cartelle secondo gli schemi della figura. I percorsi descrivono la relazione di ordine stretto: x 271jy -* la cartella * contiene la cartellay.
Bob
O -L ,
r^ ^ L i |b | |d
IZ L
Nell’esempio, ognuna delle cartelle del computer di Alice è confrontabile con tutte le altre. Per esempio, b contiene d. In casi come questo, parliamo di ordine totale e il per corso è lineare. Invece, nel computer di Bob, alcune cartelle non sono in relazione con altre. Per esempio, b non contiene d e d non contiene b. In casi come questo, diciamo che c’è un ordine parziale. Una re la zio n e d’ordine 271 in un insieme A è:
ordine totale
o lin e a re se, presi due elementi a e b di A, oa27lbob27Ia;
• d ’o rd in e to ta le
• d ’o rd in e p a rzia le
se non è d’ordine totale.
<
ordine parziale
ESERCIZI PER COMINCIARE
n n ifBBi Nell’insieme A = {a, b, c, d, e,f\ fai un esempio di relazione 271 di equivalenza, rappresentandola mediante grafo, tabella a dop pia entrata e diagramma cartesiano. Indica le classi di equivalenza.
WfM Stabilisci se la relazione definita in A = {Terra, Via Lattea, sistema solare, universo}: a ‘di b ** a è meno vasto di b è d’ordine. In caso affermativo, specifica se largo o stretto, totale o parziale e ordina gli elementi.
Fai almeno due rappresentazioni grafiche delle seguenti relazioni che descriviamo mediante elencazione. Indica per ognuna se è una relazione di equivalenza e, in caso affermativo, le classi di equivalenza. a.
271 = {(a; e), (b; b), (c; c), (c; d ) ,
(d; d ), (e; e), (e; a ) } .
b. 271 = {(a; a ) , (b; b), (b; c), (c; c), (c; b), (c; d ) , (d ; d ) , (d ;c)}. c. 271 = {(1; 1), (1; 4), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (4; 1)}. WM
C lassi d i e q u iva le n za e in s ie m e q u o z ie n te
Individua le classi di equivalenza e l’insieme quoziente.
188
Fai almeno due esempi di relazioni di equivalenza.
U. FUNZIONI
4. FUNZIONI
0
TEORIA
A function fro m set A to set B is a relatio n
th a t m aps/4 onto B such th a t every e le m e n t of A is mapped onto only one e le m e n t of B.
DEFINIZIONI
© Esercizi a pagina 207
Una relazione dall’insieme A all’insieme B è una fu n z io n e se a ogni elemento di A associa un solo elemento di B.
La relazione è una funzione: da ogni elemento di A parte una sola freccia.
La relazione non è una funzione: c’è un elemento di A che non è in relazione.
Indichiamo una funzione con una lettera minuscola (di solito,/, g, scrittura del tipo: /
: A -*■ B.
La relazione non è una funzione: a un elemento di A corrispondono due elementi di B.
h...)
e con una
y = f(x) = x 2 A = f(—2 )
------ si legge: « f è una fu n zio ne da A a B» A = f|2 )
Se una funzione/fa corrispondere a un elemento x di A un elemento y di B, diciamo che y è im m a g in e di x e x è c o n tro im m a g in e di y. Per indicare che y è immagine di x, scriviamo: y =f(x). Il d o m in io di una funzione da A a B è l’insieme A, il c o d o m in io è il sottoinsieme di B costituito dagli elementi che sono immagini degli elementi di A.
9= im m a g in e
\
c o n tro im m a g in e
Chiamiamo fu n z io n e n u m e ric a una funzione in cui dominio e codominio sono insiemi di numeri. Particolari funzioni numeriche sono quelle che possono essere descritte mediante una cioè un’espressione algebrica che lega gli elementi del dominio a quelli del codominio. espressione a n a litic a ,
►y = 2x + 3,
con xy y
E
N.
La variabile del dominio è detta v a ria b ile in d ip e n d e n te , quella del codominio v a ria b ile d ip en de n te. ^ v a ria b ile in d ip e n de n te
►y —x2 ^
v a ria b ile dipendente
Se una funzione numerica ha dominio e codominio che sono sottoinsiemi di R, dicia mo che è una fu n z io n e reale d i v a ria b ile reale.
189
6
RELAZIONI E FUNZIONI
FUNZIONI SURIETTIVE, INIETTIVE, BIIETTIVE © Esercizi a paqina 210
0
A function from set A to set 6 is surjective if for every element of B there is at least one element of A that is mapped onto it.
Una funzione da A a B è suriettiva se o g n i elemento di B è l’immagine di a l m e n o un elemento di A .
in ogni elemento di B arriva almeno una freccia
ESEMPIO
Funzione suriettiva
f è suriettiva
In una funzione suriettiva da A a B, il codominio coincide con B. Per rendere suriet tiva una funzione che non lo è basta restringere al codominio il suo insieme di arrivo. ► La funzione da N a N y = l O x non è suriettiva, perché, per esempio, 14 non fa parte del codominio. Tuttavia, se consideriamo la stessa funzione da N all’insie me dei naturali con zero come ultima cifra, la funzione è suriettiva. [7^1 A function from set A to set B is injective if for every element of B
“ there is at most one element of A that is mapped onto it; in other words, an injective function never maps two distinct elements of A onto thè same element of B.
due frecce vanno sempre in due distinti elementi di B
Una funzione è iniettiva se o g n i elemento del suo codominio è immagine di u n solo elemento del dominio. g è in ie ttiv a
Consideriamo due esempi di funzione numerica, da ►
ESEMPIO
Funzione iniettiva
co d o m in io
Z a Z.
è iniettiva perché, per esempio, + 4 è immagine sia di —2, sia di + 2 . iniettiva perché ogni y che è il cubo di un numero intero è immagine di un solo x. Per esempio, + 27 è immagine di + 3, —27 è immagine di —3 e così via. y — x 1 non y — x3 è
A function that is injective and surjective is called bijective.
ESEMPIO
0
Una funzione biiettiva da A a B è anche detta corrispondenza biunivoca o corrispon denza uno a uno, perché a o g n i elemento di A corrisponde u n solo elemento di B e o g n i elemento di B è immagine di u n solo elemento di A .
190
U. FUNZIONI
FUNZIONE INVERSA G
I
TEORIA
Esercizi a pagina 211
La relazione inversa di una funzione / : A ^ B è ancora una funzione se e solo s e /è biiettiva. In questo caso, diciamo che/am m ette la funzione inversa, che indichiamo con f ~ 1. La funzione inversa / _1 ha come insieme di partenza B e come insieme di arrivo A: f ~ \ B -*• A . ► La funzione/, da Q a Q ,
y — 2x
è biiettiva. La sua inversa
f~ l
è
y — -ir .
y = 2x, con x £ Q e y £ Q
ESERCIZI PER COMINCIARE H
W M
□ E J H S f f l l Considerata la funzione y =f(x) = —x2 + 4, con x, y E Z , —2 < x < 2 e 0 <
< 5, rap presenta la funzione mediante un diagramma cartesiano e un diagramma a frecce. Scrivi il codominio e indica le controim m agini dei suoi elementi.
Considera gli insiem i A = { x G N | x < 4 } e B = { y G Z | —2 < ^ < 5 } e l a relazione SU che associa x E A a
y E B *+ y = x — a. Qual è l ’im m agine di 0? E la controimmagine di 2? b. Rappresenta SU con un diagramma cartesiano e dimostra che è una funzione. c. Indica il codominio C della funzione.
B U E
^ 3 Per ognuna delle relazioni da A a B rappresentate nei seguenti diagram m i cartesiani, indica se la relazione è una funzione e, in caso affermativo, se è suriettiva e iniettiva.
Stabilisci se ognuna delle funzioni rappresentate dai seguenti diagram m i è iniettiva, suriettiva, biiettiva.
| Q P H T B Funzione inversa Fai almeno due esempi di funzione invertibile. In generale, quali caratteristi che deve avere una funzione per essere invertibile? 191
6
RELAZIONI E FUNZIONI
5. PIANO CARTESIANO E GRAFICO DI UNA FUNZIONE PIANO CARTESIANO
© Esercizi a pagina 212
Per rappresentare una funzione reale di variabile reale utilizziamo il piano cartesiano. Descriviamolo riferendoci alla figura. L’asse delle ascisse, o asse x , e l’asse delle ordinate, o asse y , sono due rette perpendi colari, che si incontrano nell’origine O. Entrambi gli assi sono orientati, su di essi è fissata un’unità di misura, l’origine corri sponde a zero ed è possibile rappresentare su ognuno degli assi un qualsiasi numero reale. C ’è corrispondenza biunivoca fra i punti del piano e le coppie del prodotto cartesiano R xK :
• a ogni coppia di numeri reali • a ogni punto
P
( x P; y P)
corrisponde un punto
corrisponde una coppia
yA
coordinate
K
ordinata
\
P(2; 3)
3- J 2-
P;
1
( x P; y P).
-
-U
Diciam o che x P è l’ascissa e y P è l’ordinata di P o anche che P ha coordinate x P e y P. Indichiam o il punto con P ( x P; y P), che leggiamo: P d i c o o r d i n a t e x P e y P. ► Nella figura è rappresentato il punto P(2; 3).
ascissa
Chiam iam o quadranti i quattro angoli retti in cui il piano cartesiano è diviso dagli assi; ordiniamo i quadranti come in figura. Se un punto ha:
y> 1 secondo quadrante
• ascissa e ordinata positive, appartiene al prim o quadrante;
prim o quadrante
• ascissa negativa e ordinata positiva, appartiene al secondo quadrante; 0
• ascissa e ordinata negative, appartiene al terzo quadrante; terzo quadrante
• ascissa positiva e ordinata negativa, appartiene al quarto quadrante.
GRAFICO DI UNA FUNZIONE 0
X
quarto quadrante
G Esercizi a pagina 213
The graph of a function f is thè set of ordered pairs (x, y) in which y = f[x).
Data una funzione reale di variabile reale y = f ( x ) , chiamiamo grafico della funzione l ’insieme di tutti i punti del piano cartesiano che rappresentano le coppie (x; y ) della funzione.
Rappresentiamo p e r p u n t i , in modo approssimato, il grafico di
y —
y % 2 — 5.
Costruiamo una tabella, assegnando a x alcuni valori e determinando i corrispondenti valori di y mediante l’espressione analitica. Le coppie ottenute sono le coordinate di punti del grafico. Tracciamo la linea del g r a f i c o p r o b a b i l e che passa per tutti i punti trovati.
192
5. PIANO CARTESIANO E GRAFICO DI UNA FUNZIONE
ANALISI DI UN GRAFICO
TEORIA
© Esercizi a pagina 21A
Un grafico cartesiano fornisce in modo immediato informazioni. In particolare, data una relazione da R a R , se è noto il suo grafico, possiamo capire se è una funzione. Se immaginiamo di far scorrere nel piano una retta parallela all’asse y , essa interseca sempre il grafico di una funzione in un solo punto.
Il grafico non rappresenta una funzione: ci sono valori di x a cui corrispondono più valori di y.
Il grafico rappresenta una funzione: a ogni valore di x corrisponde un solo valore di y.
ESERCIZI PER COMINCIARE Yà
a. Date le coordinate (2; 3), segna il punto siano.
P
corrispondente nel piano carte-
b. Dato il punto Q segnato in figura, determina le sue coordinate. c. Insieme ai punti precedenti, rappresenta indica i quadranti in cui si trovano.
R ( — 3;
1), S (— 1; —3), T(4; —2) e
5' 3Q
2' V
0
W tM
k
1
2 3
4- 5 x
Rappresenta per punti il grafico delle seguenti funzioni: a.
y — 4x;
b.
y
——y x — 5;
c.
y ——y
x 2+ l.
193
RELAZIONI E FUNZIONI
ESERCIZI p w etw tp w :
1. RELAZIONI
W M
Dati gli insiemi A — {a , b, c , d , e } e B — {a , b, c , f } , indica quali fra i seguenti insiem i indicano rela zioni definite da A a B.
<31 4,
db b
10312
WM Q VERO0 FALSO? Considera gli insiem i A = { - 2, 0 ,1, 2, 3, 4, 9} e B = {0, 1, 4, 9, 25, 81} e la relazione da A a B: a 3 ì b * * b è il quadrato di a.
{ ( a ; b ) , (d ; c), (e; f ) , (c;
012 =
{ ( a ; a ) , (b; c ), (a ; e), ( c; a ) }
a. —2 non ha immagine.
rV U T I
013 =
{ ( b ; f ) , (d ; c), (f; a ) }
b. ì^ii.
m in
014 =
{ ( a ; c ),
c. 9013.
S E
d. Il codominio è {0, 1, 4, 9}.
S E
e. Esistono due elementi che non hanno immagine.
[v][T]
f. 01 è un insieme formato da cinque coppie.
[v ]m
(c;
a),
(e ; f ) ,
c)}
(d ; b ) }
Sono dati A = { — 3, —2, 0 ,1} e 5 = 1—1, —2, 4, 5}. Scrivi le coppie delle seguenti relazioni da A a B. —
a
a 3 i 2b * * a a 3 i 3b
-*• a
è il precedente di
b;
è non maggiore di
b;
+ b > 2.
B
Dati gli insiem i A = {4 ,6 ,7 ,12 } e B = {0,6,8, 5} e la relazione 01: a 3 i b * * la somma d i a e b è m ultipla di 4. b. Scrivi le controim m agini di 8. c. Qual è il dom inio di 01?
Dati gli insiemi
A
=
j —
y, +
4,
—-y ,
o |
CHI HA ragione? A = { 1 , 2, 3, 4, 5}, B = { a , 01 è la relazione da A a B: 01 = {(1; b ) , (3; a ) , (3; b ) , (4; a), (4; c)}.
b, c}
e B —j y , —y , —3 j , per ciascuna delle relazioni seguenti, definite da
a B, scrivi le coppie e determina dominio e codominio.
BB
01:
a 3 ib
• —a — b > 0
BB
01:
a 3 ib
«- a < b
RAPPRESENTAZIONE DI UNA RELAZIONE
B iÉ
I~b 1
a3ib ~ a < b
m
a3ib ~ a > b
fbl a3ib ** a > b 194
01:
a3 tb ~ a + b >
1
G Teoria a pagina 182
B 'B Q TEST Dati A = {1, 4, 5, 11} e B = {1, 3, 8, 11}, indica quale delle seguenti relazioni, definite da A a B , è rappresentata dal diagramma carte siano in figura.
Ha} a3ib •—a < b
e
G iu lia: «Esistono elementi di A che hanno alme no una immagine, quindi A è il dominio». Giuseppe: «O gni elemento di B ha almeno una controimmagine, quindi B è il codominio». C h i non ha capito bene una delle definizioni?
a. Scrivi le im m agini di 12.
A
8
è
0 11 =
a 3 iib
KB
*
b
£012,
G Teoria a pagina 182
DEFINIZIONE DI RELAZIONE i l
B = {2 , 3, 4 }
A = { 7, 8, 1 0 }
*01
8
3 1
1
4
5
11 A
1. RELAZIONI
Dati A — {1, 3, 8, 9} e definita da A a B, a ^ b Rappresentiamo
B
B — {n G **
N |4 <
la somma
< 8}, rappresentiamo in tutti i modi possibili la relazione 91, e b è divisibile per 3.
n
d ia
per elencazione:
ESERCIZI
B — {n G.
N |4 <
n
< 8} = {4, 5, 6, 7}.
Rappresentiamo ora 91 per elencazione: 91 = {(1; 5), (3; 6), (8; 4), (8; 7), (9; 6)}.
ESEM PIO
Otteniamo le coppie anche con le altre rappresentazioni.
DIAGRAMMA A FRECCE
DIAGRAMMA CARTESIANO
TABELLA A DOPPIA ENTRATA A
3
9
6
7
X
1
8
5
X X
X X 1
3
8
9
A
Dati A = {a B Z \ — 4 < a < 1} e 6 = { & e N | / j < 3}, rappresenta le seguenti relazioni, definite da A a B, per elencazione e con un diagramma cartesiano. Il
a& b ~ a + b > —2
a tflb
it M
ll« i
-*• a >
b
Rappresenta la seguente relazione per elencazio ne, con un diagramma cartesiano e con una tabella a doppia entrata.
Rappresenta 91 per elencazione, con un diagram ma a frecce e con una tabella a doppia entrata.
a ^ Iib
• —a b > 0
a*3lb
<-
\a \> b
Dati A = {1, 3,4,6,8} e B = {2, 3,4,5}, rappresenta le relazioni seguenti, definite da A a B, per elencazione e con un diagramma a frecce. T I
a!3ìyb +-> a è
MVM
a tfljb
IH
Rappresenta la relazione 91 da A a B per elenca zione e con un diagramma cartesiano.
<-
a
+
doppio di b
b
è un numero dispari
<31
1
2
a b
4
X X
c d
3
X X
X
195
6
RELAZIONI E FUNZIONI
Dati A — {a G N | a < 10 A a pari} e B — {b (E N 2 < b < 5}, rappresenta le seguenti relazioni con un dia gramma a frecce e con un diagramma cartesiano. Scrivi poi dominio e codominio di ciascuna di esse. B l'J
a^Jìxb
—a
M I
Inserisci gli elementi grafici mancanti nelle tre figure in modo da rappresentare in tre m odi diversi la stessa relazione. Scrivi le coppie mancanti in ognuna delle rappresentazioni. 2
2/t
è m ultiplo di 5
+ b
u
6
F4H
a^Ji2^ * * b
è la metà di
a
8
X
a b
X
c
X
X
d
Rappresenta in tutti i modi possibili le seguenti relazioni definite da A a B. p
a
r
a
a ^ ìib * * a b
m
aS k b
«-
a :b
è un numero dispari,
è un numero intero, A — {a
€E N | 0 <
ha lo stesso numero di cifre di
a^b
** a3
a^b
• — a è un sesto di
b,
b2, A =
a
A
= j —y , + 2, 0, —- y j ,
< 4},
e N |2 <
B — {b
{3, 2, 5, 1},
B =
b
B
= j+ 4 , —y , + y , — l} .
< 5}.
{0, 4, 10}.
A = jó , —y , 12, l j , 5 = {72, 6, + 1, — 1, 36}.
Grafi Per ciascuna delle relazioni seguenti definite in A, traccia il grafo che le rappresenta. p
o
n
n
céSlb
-*■
a
+
b
è un numero pari m inore di 20,
a^fib
- - a - b > 0 , A = { —1, + 3, —y , —y j .
3
a!3 ib
• —a -I-
3
a tflb ~ a :b è
3
d&b •— a ha lo stesso ordine di grandezza di b,
b
A = {a
€E N | 6 <
a
< 11}.
è un numero pari, A = { a e N | 2 < a < 5 } . un numero naturale, A = j —y , 2, —2, —4 j . A
= {tre m ilioni, 14 •IO5, 0 ,1 1
IO4, IO3}.
a<3ib — a* < 0, A = {— 1, —2, —250, - 435, - 8}. INTORNOANOI
196
a^fib
— a ha un numero di zampe doppio rispetto a quello di
b,
con A rappresentato in
1. RELAZIONI
1 1
ESERCIZI
Rappresenta con un diagramma cartesiano le relazioni rappresen tate dai grafi.
I t t i Rappresenta con una tabella a doppia entrata le relazioni dei grafi.
RELAZIONE INVERSA
G Teoria a pagina 183
Data una relazione 271, stabilisci se:
fefrj La tabella a doppia entrata in figura rappresenta la relazione inversa 271_1 di una relazione 271. Scrivi le coppie di 91 e di 2/1-1.
a. esiste sempre la relazione inversa 27l_1; b. la relazione 27l_1, se esiste, è unica.
Hf',l
Data la relazione 2/1 rappresentata in figura, scri vi le coppie di 271 e di 271_1.
Dati gli insiem i A = {1 ,2 , 3, 6}, { ( a ; b ) | a ( b + 1) = 6}:
B = {n
G N |n
<
2T1
a
1
X
2
X
k
X
b
c
X
d
X
X
5} e la relazione, definita da A a B,
271 =
a. scriviamo le coppie di 271 e 271_1; b. esprimiamo mediante proprietà l’insieme di 271_1;
ESEM PIO
c. indichiam o dom inio e codominio di 271 e 271_1 e rappresentiamo le due relazioni con un diagramma a frecce. a. Rappresentiamo B per elencazione: B = {0 ,1, 2, 3, 4, 5}. M oltiplichiam o ogni elemento a G A per il successivo di ogni elemento b e 13 ; se il prodotto è 6, la coppia ( a ; b) G 2/1. Per esempio, la coppia (1; 5) G 2/1 perché 1 •(5 + 1) = 6, mentre (1; 0) C 2/f perché 1 •(0 + 1) ^ 6. Otteniamo: 2ft = {(1; 5), (2; 2), (3; 1), (6; 0)}. Q uindi: 2 /t-1 = {(5; 1), (2; 2), (1; 3), (0; 6)}. b. La relazione inversa, definita da c. Relazione 2/1 Dom inio: D = { 1 ,2 , 3, 6} Codom inio: C = {0, 1, 2, 5}
B
ad A , è 2/f-1 = {(fr; a) | a { b + 1) = 6}, con
b
G
B
e
a
G A.
Relazione 2/1_1 Dom inio: D ’ = {0, 1 ,2 , 5}. Codom inio: C ' = { 1 ,2 , 3,6}.
197
6
RELAZIONI E FUNZIONI
Dati gli insiemi A = {1,4,10,9,3} e B = {2,5,3,8,1}, per ognuna delle relazioni seguenti, definite da A a B, scrivi le coppie di di e di~ x, esprimi mediante proprietà l’insieme di di~l , indica dominio e codominio di di e di d i-1 e rappresenta le due relazioni con un diagramma a frecce. di — {(a; b )\a = 2b] di 9
—
{(a; b) | a + 3b
=
di — {(a; b) b —a > 0} 12}
di = {(a; b) a è il quadrato di &}
d i= ^ (a ;b ) - y è una frazione im propria j di —
a+b ,
di = {(a; b) afe > 20} di — {(a; b) a > b}
r
j(a ; b ) —2— e una trazione apparente
di = {(a; £>) a = b + 2}
di = {(a; b) | a —b = 0}
2. PROPRIETÀ DELLE RELAZIONI
di, cU^iAÙtay d i A, è reflexsiavi se,:
PROPRIETÀ RIFLESSIVA E ANTIRIFLESSIVA
x d i x, V x E A .
© Teoria a pagina 184
Stabiliamo se vale la proprietà riflessiva o quella antiriflessiva per le seguenti relazioni nelFinsieme A = { 1 ,2 ,3 } . a. d i ! = {(1; 1), (1; 3), (2; 2), (3; 2), (3; 3)}
b. di2 A 3
c. d i3
%
1
2
3
X
3 1
2
3
1.
X
1 2
d.
3*0 X
A
a. dii è riflessiva perché contiene tutte le coppie del tipo (a; a), con a e A , ovvero: (1; 1), (2; 2), (3; 3). b. di2 non è riflessiva perché, se osserviamo i punti della bisettrice, non contiene la coppia (3; 3); non è antiriflessiva perché contiene le coppie (1; 1) e (2; 2). c. d i 3 è antiriflessiva perché, se osserviamo le caselle della diagonale, nessuna di esse è occupata.
d. di4 è riflessiva perché ogni nodo è collegato a se stesso.
m
test Quale di queste relazioni, definite nell’insieme
u
Z dei num eri interi, è riflessiva?
l~À~l adib « a è maggiore di b. IT I adib «- a è maggiore o uguale a b + 1.
rei adib — a è minore di b. m
adib <- a è minore o uguale a b.
E i ' l LJ TEST
ab
<
0 definita in N .
ab
<
0 definita in Z .
fc l adib — ab
<
0 definita in A = {a E Z | a < —2}.
m
<
0 definita i n A = { a e Z | —3 < a < 4 } .
s
adib
I~b 1 adib
198
Quale di queste relazioni è antiriflessiva? —
adib ~ ab
2. PROPRIETÀ DELLE RELAZIONI
ESERCIZI
Stabilisci se le seguenti relazioni godono della proprietà riflessiva o della proprietà antiriflessiva, m otivando la risposta. H l l N e ll’insieme degli abitanti della regione Piemonte:
a H ib * * a
abita nella stessa città di
M i
N ell’insieme
dei rettangoli:
m i
N e ll’insieme
A
=
{1,
4;
m i
N e ll’insieme
A
=
{a ,
b, c, d }:
g l
N ell’insieme
A
=
{1,
2, 4, 6}: 91 = {(1; 2), (2; 4), (4; 1), (6; 4)}.
a H ib * * a
b.
e b hanno la stessa area. a }: H i —
{(1; 1), (1;
a),
91 = {(a; a), (a;
PROPRIETÀ SIMMETRICA E ANTISIMMETRICA © Teoria a pagina 185
(4; 4), (4; 1),
d ),
(a ; c), ( b\
(a ; a ) } .
b),
(c;d ) } .
91, d e f u ù t f o u v A, è smwietviaL re-.x 91 y, allora;y Hi x.
Stabiliamo se vale la proprietà simmetrica o quella antisimmetrica per le seguenti relazioni nell’insieme A = {a , b, c}.
a. 9fcj = {(«;
b ) , (b; b ) , {b; a ),
b. 9l2
(a; a ) , (c; c)} ^3
a
a b
b
c
X
X
X
c
a. 91 ! è simmetrica perché l’unica coppia costituita da due elementi diversi è (a ; b ) e 911 contiene anche (b; a ) .
b. 9l2 è antisimmetrica perché per ogni punto della relazione non esiste il punto a esso simmetrico rispetto alla bisettrice. c. 913 n o n è simmetrica perché la casella (a; c) è occupata, ma non lo è la casella simmetrica rispetto alla diagonale (c; a ) ; n o n è antisimmetrica perché sono occupate sia la casella (a; b ) sia la sua sim m e trica rispetto alla diagonale (b ; a ) .
d. 9l4è simmetrica perché per ogni freccia che collega un nodo a un altro c’è anche la freccia che colle ga il secondo al primo.
199
6
RELAZIONI E FUNZIONI
m i Q TEST Quale di queste relazioni è simmetrica? E
a3 tb ** a G b
m i LJ TEST Quale di queste relazioni, definite in un insieme di persone, è antisimmetrica?
nell’insieme delle parti di un
insieme. E
a 3 ib
«-
a
ha più capitoli di
b
nell’insieme dei
libri. E
a 3 lb
• — a — b > 2 nell’insieme Z .
E
aSftù — a +
b
< 3 nell’insieme Z .
E
d 3 ib
— a è cugino/cugina di
E
a 3 ìb ** a
E
a 3 lb
— a è genitore di ù.
E
a 3 ib
« a è fratello/sorella di ù.
è parente di
b.
b.
Stabilisci se le seguenti relazioni godono della proprietà simmetrica o di quella antisimmetrica. HH
N ell’insieme delle figure piane:
a3 tb
«-
a
H V 1 N ell’insieme degli studenti di una classe: I t il i N e ll’insieme degli abitanti di una città:
ha perimetro minore di a 3 ib
a 3 ib
a
è vicino di banco di
— a è cugino/cugina di
KÉ
N e ll’insieme
m i
N ell’insieme A = {1, 2, 3, c}, 3 i = {(1; 2), (2; c), (c; 1), (2; 3)}.
mÉ
N ell’insieme A = {3, a, ù}, Sft = {(a; a), (3; a),
A =
{ a , b, c, d }, 3 i =
b.
{ ( a ; a ) , (b; c ),
b.
b.
(c; c), (c; ù), (d ; a)}.
(b; a ) ,
(a; 3), (a; ù)}.
A
a
3ij cLejudta, tiv A, è tramutiva, se,: re-x 3 ly e,y 3ìz,, allora, x 3iz.
PROPRIETÀ TRANSITIVA O Teoria a pagina 186
Stabiliamo se vale la proprietà transitiva per le seguenti relazioni nell’insieme A = {1, 2, 3,4}. a.
3 ìx =
{(1; 1), (1; 2), (2; 4), (2; 3), (2; 2)} &3
1
2
3
4
X
X
X
1
ESEMPIO
2 3
X
4
a.
< 3 l l non
b.
3 i2
è transitiva perché, per esempio, 1 3 i { 2 e 2 3 l x4 ma 10^4 ((1; 4) <£ 3 i x).
è transitiva perché, se consideriamo t u t t i i casi del tipo a 3 i 2b, b 3 i 2c: e l2ft23; A 3 l 2\ , \ 3 l 2\ e 4<3i2l 4 3 l 2l , l 3 i 23 e 4<3l23.
\ 3 i 2l , \ 3 i 23
c.
è transitiva perché, se consideriamo t u t t i i casi del tipo a 3 i 2b, b 3 i 3c: e 22ft33; 22ft32, 2 3 i 24 e 22ft34; 227l33, 3 & 34 e 22ft34.
2 3 l 32 , 2 3 ì 23
d.
200
3 i4 non
è transitiva perché, per esempio,
2 3 i 43 , 3 3 l 44
ma 20^4 (non c’è la freccia che collega 2 a 4).
2. PROPRIETÀ DELLE RELAZIONI
Quale di queste relazioni è transitiva?
TEST
Q uale delle seguenti relazioni 31 in un insiem e di persone non soddisfa la p rop rie tà transitiva?
F 'V l [_J TEST
ESERCIZI
PÀI a3ib * * a I b nell’insieme delle rette di un piano.
I~a 1 a3ib «- a è fratello germano di b.
[~b 1 a3ì,b
Ufi a3ib •—a è figlio di b.
**
a + b > 0 nell’insieme Z .
f c l a3lb «- a ha meno zampe di b nell’insieme degli anim ali.
I~c~l a3ìb ** a è discendente di b.
[ 3 a3lb «- a è padre di ù in un insieme di per sone.
I~d~I a3ib ** a è coetaneo di b.
Stabilisci se le seguenti relazioni godono della proprietà transitiva. WffM
N e ll’insieme degli studenti di una classe: a3ib •—a ha preso un voto più alto di b.
F 'fll N ell’insieme degli abitanti di un palazzo: a3tb
**
a abita allo stesso piano di b.
N ell’insieme A = {1, 2, 3}: 3i = {(1; 2), (1; 3), (2; 3), (3; 2)}. É ill
N ell’insieme A — {a, b, c, d }:
3i
— {(a; b), (d ; c), ( c; b), (b; c), (a; c)}.
H i N e ll’insieme A = {1, 3, b}: 3i = {(3; b), (1; 3), (3; 1), (b; 1), (1; 1)}. 3i
a
b
c
X
a
d X X
b c d
X
c
Riepilogo sulle proprietà delle relazioni Individua le proprietà delle seguenti relazioni definite nell’insieme A = {a, b, c}.
l:IH
In un insieme di studenti, la relazione 31: a3ib — a frequenta la stessa scuola di b.
P I
3t =
È li
E9
91 = {(c; a), (c; ù), (b; a)).
In un insieme di persone, la relazione 3i: a3ìb « a è nato nello stesso mese di b.
{(a; a),
( a ; b ) , (b; b ) , (c; b ),
(c; a), (c; c)}.
PUBSBEBBffl!! = {(a; ù), (b; a), (a; c), (c; b), (c; a), (fc; c)}.
Individua le proprietà delle seguenti relazioni definite nell’insieme N . p i
3 ì:a 3 ìb
lif r l
3 i\ a 3 ib
<-
• — a è potenza di
a è
il doppio di
b.
1 /1 3i — {(a; a)}. m i 3i = {(a; a), (a; ù), (ù; ù)}.
a + b
è dispari.
lìt i
31: a 3 i b
Individua le proprietà delle seguenti relazioni nel l’insieme indicato.
E 3
3 i : a 3 i b * * ab
H ll
N e ll’insieme delle rette del piano, la relazione di perpendicolarità.
|? 1
3 i:a 3 ib
• — a è divisore di
E 9
3 i: a 3 ib
«-
m i
In un insieme di persone, la relazione 3i: a3ib * * a ha età non minore di b.
EH
3 i: a 3 ìb
• —a
ab
b.
= 25. b.
< 6.
< b.
201
6
RELAZIONI E FUNZIONI
Individua le proprietà delle seguenti relazioni nell’insieme A indicato. i i V l N ell’insieme A = {0, 2, 6, 10}, la relazione 91: a9ib — a + b è divisibile per 4.
FUI N e ll’insiem eA = j —2, — 1,0 , y , y j , la relazione 91: a9ìb — ab > 0. FU
N ell’insieme A = {3, 7, 9, 18, 19, 28, 35, 36}, la relazione 9t: a9ib «- a è divisibile per fc.
KfrJ N ell’insieme A = {5, 18, 365,9740}, la relazione ro delle cifre di b.
9i: a 9 ib
— il numero delle cifre di a è maggiore del num e
Individua le proprietà delle seguenti relazioni.
b
fc 'i'l
202
EUREKA! Triangoli in relazione Considera l ’insieme
{triangoli del piano} e in T la relazione 9t: tl9it2 ** t] e t 2 hanno almeno una coppia di lati ordinatamente congruenti. Quale, tra le proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva, è verificata per 9iì Se la stessa relazione fosse defi nita nell’insieme T ' = {triangoli isosceli}, quali proprietà avrebbe? T —
3. RELAZIONI DI EQUIVALENZA E D'ORDINE
ESERCIZI
3. RELAZIONI DI EQUIVALENZA E D’ORDINE relfozioHA d i / rìfUtsÌAnb,
RELAZIONE DI EQUIVALENZA G Teoria a pagina 187 ITiTI
/
Q uali delle seguenti relazioni, definite nelTinsieme delle parole della lingua italiana, sono di equivalenza e quali non lo sono?
s u w K e t r i a t>
/ traMAut'urtb.
a. Avere lo stesso numero di lettere.
c. Avere una lettera in comune.
b.
d. Differire per una sola lettera.
Essere una l’anagramma dell’altra.
Stabiliamo se la relazione 91: a & b • —a equivalenza. La relazione 9f è:
è
alto come
b,
nell’insieme dei dipendenti di un’azienda, è di
• riflessiva (ogni dipendente è alto come se stesso); • simmetrica (se transitiva (se
•
a
a
è alto come
è alto come
b,
allora
bebé
b
è alto come
alto come
c,
a);
allora
a
è alto come c).
Concludiam o che la relazione 91 è di equivalenza. Stabilisci se le seguenti relazioni sono d i equivalenza.
ITiTI
N ell’insieme degli studenti della tua classe, 91: aSfib — a eb hanno lo stesso numero di applicazioni sul tablet.
r in
In N , 91: a9lb ** a è un divisore di b.
i m i In N , 91: a’dib • — a eb divisi per 4 danno lo stesso resto. i m i In Z , 91: aidlb
**
la differenza tra a e b è divisibile per 4.
1111*1 In N , 91: fl9ìb —a è la metà di b. illM
ITiTI ITiTI
r in
In
A — { a , b,
c}: 91 = {( a ; a ) ,
( a ; c ),
(b ; b ) , (c; c), (c;
b),
(c; a ) ,
(b;
c)}.
FAI UN ESEMPIO Fornisci almeno tre esempi di relazioni di equivalenza. Indica quali di questi grafi rappresentano una relazione di equivalenza.
Indica quali dei seguenti diagram m i cartesiani rappresentano una relazione di equivalenza. A
ITTI
Indica quale di queste tabelle rappresenta una relazione di equivalenza.
A a a
d a
b
a
c
X
b c
b
d
<3i
1
2
X
1
X
X
2
X
X
X X
X
3 X
4
3
4 X
X X
X
b
203
6
RELAZIONI E FUNZIONI
CLASSI DI EQUIVALENZA E INSIEME QUOZIENTE @ Teoria a pagina 187 d d q
VERO 0 FALSO? Considera una relazione di equivalenza 271, definita in A, tale che l ’insieme quoziente Q di
91 sia costituito da quattro classi di equivalenza: Q = {A b A 2, A 3, A 4}. BEEI
d. A 1 D A 2 = 0 .
rV U T I
b. A 3 e Q .
[ v] [ f]
e. A 1 U A 2 U A 3U A 4 C Q.
IT U T l
c. A 4 C A .
0 0
f. Se
IT I IT I
a. Se
a
E A ly allora a^B A 4.
a
e A 4, allora
a
e A.
Verifica che le seguenti relazioni sono di equivalenza e determina per ognuna di esse le classi di equivalenza e l’insieme quoziente. p
Q
i a
m
In A = {4, 13, 14, 16, 22, 32, 43, 63}, 271: a9lfr
la somma delle cifre di a è uguale alla
somma delle cifre di b.
ITE1 Nell’insieme degli studenti della tua scuola, 271: a^fib •—a è in classe con b. DB
In A = j l , 6 , 6 ~ \ 5 •3-1 , 6 ^
I ìH
In A =
{a
E Z | —8 < a < 9},
0,0 27}, 271: aZflb
271: aSIib — a
eb
~ a
= b.
hanno lo stesso valore assoluto.
ITTI In N , 91: a^ b ** a e b d ivisi per 6 danno lo stesso resto. In A = {6, 12, 26, 46, 52, 63}, 271: a $ l b — a
P
i i t i l In A =
m
{a
e N 11 <
a
< 7}, 91: a 9 i b ~
hanno la stessa cifra delle unità.
e b
a + b
+ 1 è dispari.
EUREKA! È un’equivalenza? Per ciascuna delle seguenti relazioni, indica se si tratta di una relazione di equi
valenza. In caso affermativo, specifica il numero delle classi di equivalenza che costituiscono l’insieme quoziente. a. Nell’insieme A = {rette del piano}, 271: r27!s •—r e s hanno almeno un punto in comune. b. N ell’insieme A = {— 1 , 1 } , 27ì:
x£Jly * * x ■y =
c. N e ll’insieme A = Z , 271: x £ fly «-
(x
1.
—y ) è un m ultiplo di 2.
d. Nell’insieme A = N —{0}, 271: x£Jly •—x è un divisore d i y . Determina le classi di equivalenza e l’insieme quoziente delle seguenti relazioni di equivalenza.
C ,
204
3. RELAZIONI DI EQUIVALENZA E D'ORDINE
IFS1
COMPLETA La tabella seguente rappresenta una relazione di equivalenza nelLinsiem e { a , b, c, d , e}, ma sono state dimenticate otto crocette. Dove vanno inserite? Determ ina le classi di equivalenza. 2/t
a
a
X
b
b
c
d
P
Considera 91 definita in A = {1, 2, 3, 4, 5} dalla tabella seguente. a. Rappresentala con un grafo.
b. Verifica che è una relazione di equivalenza. c. Scrivi le classi di equivalenza.
e
2il
1
X
1
X
X
2
3
2
X
X
X
X
u
5
c
X
3
d
X
A
X
X
5
X
X
e
IM I
ESERCIZI
EUREKA! Equivalenze fra sei In una stanza ci sono sei persone, Anna, Bice, Bruno, Chiara, Carlo e Andrea. Considera i seguenti possibili insiem i di sottoinsiemi dell’insieme S avente per elementi i loro nomi: A =
{{n E
S | n inizia per B},
{n E
S | n ha 4 lettere},
{n E S \ n
=
{{n E
S | n inizia per A},
{n E
S | n inizia per B},
{n E
C =
{{n E
S | n ha 4 lettere},
{n E
S | n ha 5 lettere},
{n E
S | n ha 6 lettere}};
maschile},
{n E
S | n è femm inile},
{n E
S | n inizia per C }}.
B
D = {{n B S \ n è
è m aschile}};
S | n inizia per C }};
In quali casi tale insieme di sottoinsiemi può essere l’insieme quoziente di una relazione di equivalenza su S? Motiva la risposta e in caso affermativo esprim i la relazione con una proprietà.
RELAZIONE D'ORDINE
redazione d ’ordUw: twtUiMMidrlcas, / trMubtunh.
@ Teoria a pagina 188* •
y
Stabiliamo se la relazione $1: adfìb — a è m ultiplo di b, nell’insieme A = {4, 6, 10, 12, 24, 28} è d’ordine. In caso affermativo ordiniam o gli elementi di A e stabiliamo se 271 è di ordine largo o stretto, totale o parziale. La relazione 91 è: • riflessiva, perché ogni numero è multiplo di se stesso; • antisimmetrica, perché se a è m ultiplo di b, con m ultiplo di a (per esempio: 12916 ma 6 $ll2 );
a d b ,b
non è
• transitiva, perché, comunque si scelgano tre numeri, se a è m u l tiplo di b e b é m ultiplo di c, allora a è m ultiplo di c (per esempio: 249112, 12914 e 24914). D i conseguenza, poiché 91 è antisimmetrica e transitiva, è una relazione d’ordine; poiché 91 è anche riflessiva, è una relazione di ordine largo. Inoltre 91 è di ordine parziale, poiché esistono degli elementi a e b distinti di A non confrontabili, ovvero tali che a ^ ì b e btfla (per esempio: 4 ^ ì 6 e 6 $ 14 ).
28
O rdiniam o infine gli elementi di A come nello schema a fianco.
10
205
6
RELAZIONI E FUNZIONI
Stabilisci se le seguenti relazioni sono relazioni d’ordine nell’insieme assegnato. In caso affermativo ordina gli elementi dell’insieme e specifica se le relazioni sono di ordine largo o stretto, totale o parziale. O lk /1
INTORNOANOI N ell’insieme A dei recipienti della figura, 2/1: a2/lfr • —a è più capiente di
US
b.
In A = {acqua, vapore, ghiaccio}, 2/1: a2/lfr * * a ha temperatura maggiore o uguale a In
P
A —
ig lll In
A
=
{a
G N 1 15 <
fcgli In
A
=
{a
G N |0 <
9t
a
a
X
b c
b.
{minuto, secondo, ora, anno, decennio, secolo, giorno}, 2/1: a ^ b • — a ha durata maggiore di
I n A = { a G N | l < a < 19}, 2/1:
EEB
b
c
X
X
a < a
-*• a è il triplo di
a^b
< 9}, 2/1: cffltb
91
a
X
a
X
**
b
b.
M C D (a ; ù) = 1.
c
EEU A
d X
b
X
X
X
c
X
X
X
d
X
X d
E0
b.
b.
45}, 2/1: a t f l b • —a è sottomultiplo di
d
X
d
0 3
m
^
A
d
FAI UN ESEMPIO Fornisci tre esempi di relazioni d’ordine, specificando per ognuna se è di ordine largo o stretto, totale o parziale. EUREKA! I primi cento N e ll’insieme A = {x
g
N |0 <
x
< 99} dei p rim i 100 num eri naturali, considera
le seguenti relazioni. < 3 l l : x £ l ì xy * *
cifra delle decine di
x
> cifra delle decine di y ;
0 i 2: x 9 i 2y
3x
> 2y ; 27l3: x 0 l 3y — x 2 >
Q uali tra queste sono relazioni d’ordine? Si tratta di ordine totale o parziale?
Stabilisci quali delle seguenti relazioni sono relazioni d’ordine. Per quelle che lo sono, specifica se sono di ordine largo o stretto, totale o parziale.
c 206
A
y 2.
U. FUNZIONI
EUREKA! Che ordine? Co nsidera l ’insiem e
IM I
Z — {0} dei num eri interi non n u lli e la rela
zione x 0 iy
<3l:
MATEMATICA INTORNO A NOI
A ognuno Usuo
-* x è divisore di y .
Verifica che si tratta di una relazione d’ordine. L ’ordine è stretto o largo? Parziale o totale?
ESERCIZI
616
Per classificare i libri di una bibliote ca il metodo più adottato è la «classi ficazione decimale Dewey», il cui cri terio di base è quello di identificare l’argomento del libro con un numero di tre cifre...
'
1S4
; V
355 757 075
|—| ► Problema e risoluzione. ►4 esercizi in più.
EE9
Considera il diagramma di V enn e le relazioni definite in {A, B, C, D , E , F}: d 3 l\b ** a
C b;
a U i 2b ~ a Q b .
a. Rappresenta b. Stabilisci se
e (3i2con un grafo.
e 2ft2 sono relazioni d’ordine e, in caso afferma tivo, specifica se sono di ordine stretto o largo, totale o parziale.
m \ì
INTORNOA NOI Serata tra amici Quattro am ici, Lucia (L), M ario (M), Piero (P) e Carla (C), si sfidano a un gioco in cui si vince o si perde. Il grafo in figura rappresenta la relazione: a d ib
• — a ha perso contro
b.
a. Quante partite ha vinto ciascun giocatore? b. Stabilisci se la relazione è d’ordine e, in caso affermativo, se di ordine totale o parziale, largo o stretto.
f u n z i o n e , d n A co B:
4. FUNZIONI DEFINIZIONI
&ogni elemento d i A eutocico u n soio e l e m e n t o d i B.
® Teoria a pagina 189
TEST Solo una delle seguenti relazioni Sft è una funzione. Quale? Sft associa:
m Q
[~À~1 a ogni persona il proprio coniuge.
[T] a ogni classe della tua scuola i suoi studenti.
[~b 1 a ogni padre il proprio figlio.
Cd] a ogni persona il proprio padre.
Indica quali delle seguenti relazioni rappresentano una funzione. IT O
Hi
associa a ogni insegnante la classe in cui insegna.
IT O
<3i
associa a ogni persona residente in una città il suo indirizzo di residenza.
Ui
associa a ogni parola della lingua italiana la lettera iniziale.
m
associa a ogni giorno del mese di marzo 2013 i nati in quel giorno.
ITO ITO
207
6
RELAZIONI E FUNZIONI
EH
vi
associa a ogni giorno del mese di marzo 2013 il numero dei nati in quel giorno.
W ì
Dati
A =
{a , b, c}
eB =
{d , e , f \ ,
la relazione
=
{ ( a ; d ),
( b ; f ), (c;
e)}.
Dati A = {a G N | 1 < a < 4 } e E = { f r e N | f r < 3}, indica quali delle seguenti relazioni da A a sso n o funzioni. E lU
ÉEVI
cédlb ~ a + b = A.
a 'd ib * * a
è il successivo di
b.
FETI
cédìb - a < 2 b .
Indica quali relazioni rappresentate dai seguenti diagrammi rappresentano funzioni.
a
b
c
d
IEE1 Indica quali delle seguenti relazioni sono funzioni da Q a Q . a. Sft associa a ogni * il suo reciproco.
m Q
b.
9i
associa a ogni x il suo quadrato dim inuito di 8.
c.
9i
associa a ogni x il reciproco del suo quadrato.
YOU& MATHS Is it a function? Consider thè rule «subtract 6 from thè input and divide by 3» defined in thè set of integers. W hich of thè following statements are true? a. The rule is a function because each input gives exactly one output.
b. The rule is not a function because thè input 12 has two images: 2 and —2. 2 c. The rule is not a function because thè input 4 has output —
•
d. The rule is a function because each input gives a positive output. m D
VERO 0 FALSO? a. Il codominio di una funzione non coincide con l ’insieme di arrivo.
r a s
b. Data una funzione /:
A — B, B è
0 0
c. Data una funzione /:
A — B, A
d. Il codominio di una funzione /:
[03
è detto dom inio d i/. A
— B è un sottoinsieme proprio di
COMPLETA osservando il diagramma. a. Il codominio della funzione è
b. Il dom inio della funzione è c. Le controim m agini di
d
sono
d. L ’im m agine di 3 èl_______ I. 208
detto codominio d i/. B.
00 00
U. FUNZIONI
ESERCIZI
D B U VERO0 FALSO? Il diagramma rappresenta una funzione. a. Il dom inio della funzione è A
b. Il codominio della funzione coincide con c. L ’im m agine di
r a s
— {a , b, c, d, e}.
0 0
B.
00 00 00
è 5.
b
d. Esistono due elementi del dom inio la cui im m agine è 5. e. 3 non ha controimm agini.
IEE I
COMPLETA considerando gli insiem i
Considera la funzione / : Q — Q che associa a ogni x il suo triplo e calcola f ( x ) quando:
e B = {1, 2, 3, 4} e la funzione / : A — B rappresentata dal dia gramma.
A =
{ a , b, c, d }
x =
P I
f(a )
=
U, f ( b )
=
b . y t J ) = 2, f ( \ — I)
U,
=
4
f(c ) =
, f U
)
U, f ( d )
=
,
Dato l’insieme A
a.
0
= { —1>—y>0, l>y}>
considera la funzione / : A — Z definita dalla legge f ( x ) = 4x2 — 1.
U.
=3.
Trova il codominio d i/.
c. Il codom inio è C = I_______ I.
IM I Dati gli insiem i y
=
x =
m
A —
. 2 •Calcola
{— 3, — 1, 0,1, 2} e
f(x )
B — j — 1,
0,1, - y , y , y
j,
considera la funzione / :
A
— B tale che
quando:
-3
Co nsidera la funzione / : /(x ) = —x 2 —x, con
A
A
— B tale che
= {— 3, —2, — 1 , 0 , 1 } e
B
=
{y
E Z | —6 <
y
< 1}.
Calcola / ( — 3), / ( —2), / ( — l) ,/ ( 0 ) , /( l) . D a quanti elementi è costituito il codom inio? iT'Ki Data la funzione / : Z — Z tale che
y
= —x 3 + 2x 2 —x — 1, calcola / ( —2), / ( — l) ,/( 0 ) ,/( l) .
IT'LI Data la funzione / : Q — Q tale che y = —y x 2 + 2x + 3: a. calcola / ( - 2 ) , / ( - y ) , / ( 0 ) , / ( y ) ; b. trova 4 /(2 _1) - y / ( 2 ) .
YOU&MATHS Fo u r functions Consider thè following four functions: /(x ) = 3x + 1,
h (x ) —
x 3 + 1, g(x) = 3x + 2,
k (x ) — 2x +
7.
a. Jean chooses one of these functions. W hen she uses thè number 1 as an input, she gets 2. W h ich function did she choose? b. Bruce chooses one of these functions. W hen he uses thè number 3 as an input, he gets 13. W hich function did he choose?
209
6
RELAZIONI E FUNZIONI COMPLETA le seguenti tabelle relative alle fun zioni indicate a fianco.
0
/: N — N y
=
4x
+ 1
7
/ : Z —Z y — x 2 — 4x
y
/:
X
3x—
2
4
U
u U u
-3
-2
0
1 3
1 2
- ì
1
/(2 ) = I— I; /(4 ) = I— I;/(3 ) = I— I. Il codominio è I_____I. La controimmagine di 4 è I_____I.
2
u u u u
y
A
COMPLETA
usando il diagram ma della funzione.
u u U u
5
y
1
lf,Vi
L ’im m agine di 5 èl_____I.
MQ
INVALSI 2011 Nelle prime due colonne di un foglio elettronico sono state calcolate alcune coppie di valori (x ; y ) di una funzione. Quale tra le seguenti è la funzione di cui sono stati calcolati i valori (x ; y ) 7.
[ a] [ b]
Cc ] [ d]
pU
y
a
vie + 1
y = V x y —
~
1 -I- V
EUREKA!
1
I
x
Quanto vale? Sia / : R — R una funzione tale che
f(x )
+/( ^ _
x
)=
x
C
y 0
1
= v 7* — 1
y =
B
x
1
2 5
2
10
3
17
U
26
5
37
6
Per ° g ni
x
diverso da
0 e da 1. Qual è il valore d i/(2 )?
si
ffl i
s i
E t
si
[USA University of South Carolina: High School Math Contest, 2006]
FUNZIONI SURIETTIVE, INIETTIVE, BIIETTIVE
6 Teoria a pagina 190
Stabilisci se ognuna delle funzioni rappresentate dai seguenti diagrammi è suriettiva, iniettiva, biiettiva.
H f ll Q H
TEST
Quale delle seguenti funzioni tra
f(a ) =
1,
[T] /( a ) = 3, 210
{a , b, c]
f(c ) =
1.
[c]
f(a
f ( b ) = 2, f(c ) =
3.
Ql I
f(a ) =
f(b ) =
1,
) = 1, 1,
3,
2.
f ( b ) = 2,
2.
f{b ) =
U. FUNZIONI
ESERCIZI
Rappresenta con un diagramma a frecce le seguenti funzioni / : A — B e poi stabilisci se sono suriettive, iniettive, biiettive. { 4, 5, 6, 7, 11}, B = {12, 10, tale che x è divisore di y .
EH
A =
m i
A =
fcifll
A = Z ,B = Z e y = f(x
m i
A = N , B = N e j/ = /(x ) tale plo di x .
I l|li
m
77} e y = f ( x )
A =
EH
A = {2, 4, 5, 1}, B che y è il doppio di
{0, 1, 2, 3}, B — {0, 12} e /d e fin ita da: {(0; 12), (1; 0), (2; 12), (3; 0)}. ) tale ch e y è l’opposto di x. chey
{Capodanno, Natale, Epifania, Ognissanti, Santo Stefano}, B = {novembre, dicembre, gen naio} e /c h e associa a ogni festività x E A il mese y E B in cui ricorre.
e h
= x
{0, 8, 2, 6} e — 1.
EH
A = {26, IO4, 53, 2000}, B = { y G N | y < 5 } e y = f ( x ) tale c h e y è il numero di cifre di x d im i nuito di 1.
EUREKA! Iniettiva? Considerata una generica funzione / dall’insieme A all’insieme seguenti affermazioni sono vere o false.
a
x E
A associa uno e un solo
b. La fu n zio n e /è iniettiva se, per ogni a / e A ,
f(a ) = f(b )
B,
indica se le Evi IT I
y E B.
=> a = fr.
Evi IT I
c. La fu n zio n e /è iniettiva se e solo se/re alizza una corrispondenza biunivoca tra il dom inio A e il codominio.
EH
tale
è il quadru
A = { x E Z | —2 < x < 2}, B = {0, 1, 2} e / c h e associa a ogni x il suo valore assoluto y .
a. La fu n zio n e /è iniettiva se a ogni
y = f(x )
[V] [T]
Analizza le relazioni rappresentate dai seguenti diagram m i cartesiani, indica se sono funzioni e, in caso affermativo, stabilisci se sono suriettive, iniettive, biiettive.
d
FUNZIONE INVERSA
A
d
A
d
A
d
A
G Teoria a pagina 191
E T E lG VERO 0 FALSO? a. O gni funzione invertibile è una funzione biiettiva.
r a s
b. Il dom inio della funzione inversa / - 1 coincide con il codom inio della fu n z io n e /
E H
c. La funzione / : Z — Z , la cui legge è
raizi
y — x +
2, è invertibile.
d. La funzione /: N — N , la cui legge è / = x + 2, non è invertibile.
EH
E H
Individua tra le seguenti rappresentazioni le funzioni e le funzioni invertibili.
211
6
RELAZIONI E FUNZIONI
Indica se le relazioni seguenti da A a B sono funzioni e, in caso affermativo, se sono invertibili. 1 0 3 A = { 2, 3, 4},
B =
{ - 4 , — 5, —6},
<31: t f J l y -
x + y = -
IRSI
A = {xE
IM I
A = {—8, + 3,0, —2, — 1},
EU
A = {IO3, 1, IO2, IO- 1 }, B = {0,1, 10~2, 100, 10, 1},
P I
A = { 3 “ 1, 5 - 3 - 2, —- | , 1 , 3 } ,
P I
A = { - 7 , - 10, 5,7},
N \ x <
5}, 6
=
{14, 17,8, 1 1 , 5 } ,
B =
B =
B
271: x%
{0, —3, 2, 8, 14},
«7=
271: x271y -
3x + 5.
271: x27ì y «271: x27ty
y
è l’opposto di x.
~ y è
il 1 0 % di x.
271: x2fty - 7 = x.
= {-0 ,6 ,0 ,5 ,y ,y},
{23,98,47},
2.
y
= x 2 - 2.
5. PIANO CARTESIANO E GRAFICO DI UNA FUNZIONE PIANO CARTESIANO n n u
G Teoria a pagina 192
VERO O FALSO?
a. L ’ascissa del punto
P(—
7; 9) è 9.
I~v~l I~f~I
b. Il punto A (—2; — 1) si trova nel I V quadrante.
[v]Q j]
c. Se un punto si trova sull’asse y , ha ascissa uguale a 0.
I~v~l I~f~1
d. I punti con coordinate entrambe positive appartengono alI quadrante.
[v ]|T ]
e. Il punto
[v]
2; —- y ì ha ordinata m inore di quella di
Q (l;
—y Y
Rappresenta nel piano cartesiano i seguenti punti. P )
A ( - 4; 1), 6 (0; 3), C(5; 2), D (2 ; - 3), F ( - 3; - 3).
P I
A ( — 10; 5), jB(0; 25), C(8; 15), D (10 ; — 30), F ( 0 ; - 10).
E 3
a
il' H
Disegna il triangolo di vertici: A (1; — 1), 6(4; 0), C (3; 2).
(—
—2 ), * ( — § - ; - y ) ,
c
( 4 ;-|) ,
d
( -|-; 5 ), £ ( 2 ; - 4 ) .
i l ' / l Rappresenta il quadrilatero di vertici: A (—2; 0), 6(3; —4), C (7; 0), D ( l ; 6). f I7 1 D educi dai dati indicati nella figura le coordi nate dei punti A , 6, C, D, 6, F, G. Trova l’area della figura.
212
ieh
Scrivi le coordinate dei vertici dei poligoni rap presentati nella figura.
5. PIANO CARTESIANO E GRAFICO DI UNA FUNZIONE
E H I Un rettangolo ha tre vertici di coordinate tice D .
GRAFICO DI UNA FUNZIONE
A
(— 3; 2),
B (\;
ESERCIZI
1 ). Trova le coordinate del quarto ver-
2), C ( l ;
© Teoria a pagina 192
Traccia per punti i grafici delle seguenti funzioni. 0 3 y ——
23 X +,
o ^
3x -4
y = -
WlM y — ~ ~2 X + 3
m i
y = -jj-x + 2
0 3
7 = x - 5
0 3
y — 4x+ \
Mi f i
y = —x
0 3
Data la funzione y = — 4 x 2 + 2 x , indica quale dei seguenti punti appartiene al suo grafico:
A ( - 1; 2),
P
y = 2x
v m
y
03
7 = yx + 1
|jflH
y
= —2x + 8
=
— ^ x
g ii
y — x2
MM
y
jjk É
y — x 2 —1
+ 4
= —2x 2
y —
x3
0 7 1 Q uali tra le seguenti funzioni hanno il grafico che passa per il punto
- y )?
B (2 ; - 12), c ( y ; o), £>(-j-; -L).
Quale dei punti P(0;
a. 7 = 3x + 3 ,
c. 7
b. 7 =
d. 7 = —8x 3 + y .
2x2 + 1 ,
= —4x —- y ,
1), Q(l;-j ), R ( - l ; 0), s ( — §-; - 2 ), T(0; - 1 )
appartiene al grafico di
03
—2
03
y — x +
^
?
P
C
Considera la funzione / : A — B rap presentata dal diagramma a frecce della figura. TEST
Considera la funzione / : R — R che fa corri spondere a un numero la sua metà aumentata di 3. Scrivi l’espressione analitica d i/e rappresenta la graficamente nel piano cartesiano. Calcola /(4 ),/(0 ), / ( —• y ì e in d icali nel grafico. Eviden zia poi nel grafico i punti che hanno entrambe le coordinate negative.
03
Considera la funzione / : R — R che fa corri-
2
La sua espressione analitica è:
[ a] 7 = 2x + 1 .
[T]
[ b] 7 = x 2 - I - 1 .
QT)
y = T + 1 y —
x 3 — 3.
spondere a un numero i - y del suo quadrato.
a. Scrivi l’espressione analitica d i / b. Traccia il grafico della funzione.
MATEMATICA INTORNO A NOI
c. Evidenzia nel grafico i punti di ascissa 0, 5, - 5 , - 1 .
25 secondi netti!
d. Esistono punti con ordinata negativa?
03
Considera la funzione / : R — R che fa corri spondere a un numero il suo opposto dim inuito di 7.
L’aula di Mario si trova lungo un corridoio che collega la scala princi pale con la scala secondaria. Mario impiega 25 secondi per per correre l’intero corridoio...
a. Scrivi l’espressione analitica d i / b. Traccia il grafico della funzione. c. Calcola / ( - 7 ),/(7 ),/(0 ), / ( y ) > / ( — j ) .
► Problema e risoluzione. ►3 esercizi in più.
□
213
6
RELAZIONI E FUNZIONI
ANALISI DI UN GRAFICO
® Teoria a pagina 193
Riconoscere le funzioni Stabilisci se ciascuno dei seguenti grafici rappresenta una funzione. In caso affermativo, indica il codom inio. p
Q
ALVOLO
214
i
m
5. PIANO CARTESIANO E GRAFICO DI UNA FUNZIONE
m \
ESERCIZI
Q uali grafici rappresentano una funzione? In caso affermativo, determinane il dom inio e il codominio.
Funzioni iniettive, suriettive, biiettive
Per ognuna delle seguenti funzioni da R in R determina il codominio e stabilisci se sono iniettive, suriettive, biiettive.
PO
bsseeeh si
ESERCIZI IN PIU m\ -
[ J SU TUTTO IL CAPITOLO
215
RELAZIONI E FUNZIONI
ESERCIZI IN PIÙ RELAZIONI
©Teoria a pagina 182
Le coppie di una relazione 91 definita da A a B sono:
m
( a;
—1), ( b ; 2), (c; 1), (a; 1), (d ; 2).
a. È possibile determinare gli insiem i A e B 7. b. Q uali sono le im m agini di
a
e c? E le controim m agini di 2?
F R I Considera la relazione 91: n9tb — n è m ultiplo di
con n E A = {4, 12, 15, 25} e
b
G 5 = {2, 3, 4, 16}.
a. Scrivi le coppie della relazione. b. Determina il dom inio e il codominio di 91. Sono dati gli insiem i —a + b > 0.
VMÌA
A — {a
G
Z j — 3 < a < 2}
e
B — {b
g
Z \ —ì < b < 2 }
e la relazione 9f da
A
a
B:
a ’Sfib
a. Scrivi le coppie della relazione. b. Indica il dom inio e il codominio di 91. sa
Considera la relazione 91: — n è preda di
aftfib
con
a
GA
=
b,
{mosca, topo, gazzella, puma} e
b
GB
=
{gatto, leone, ragno, rana}.
a. Scrivi le coppie della relazione. b. Indica il dominio e il codominio di 9L Sono dati gli insiemi A = j —3,
2, —
e B = {—2, —3,1}. Per ciascuna delle relazioni seguenti definite da
AaB, scrivi le coppie e determina dominio e codominio. BH
m
9lp a S M
0
B 3
9f2: a^fi2b - (2a) - b > 0
II diagramma cartesiano rappresenta una relazione da X
TEST
u
- a b<
Y 5 U
3 2
2
[ aJ
x > y
|~B~1 X >
E54
3
V
U
X
fc~|
x + y >
0
[~d~|
x + y >
0
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—
{2, 3, 4} a
Y —
{2, 3, 4, 5}. Quale?
RELAZIONI E FUNZIONI
FETI n
I
ESERCIZI IN PIÙ
INVALSI 2008
nel grafico?
J
E
x+
E
x + y — 4
E
y
4y
5
4'
=x —4
3
I
II
X
............
1
? ............
2
v
E
y
= 4
............
1
f
1
..............
............ J
_______ à k_______
1
0
F E ! il|J ASSOCIA
Oj a ogni relazione la sua rappresentazione, con
a. uSftfr • — a è la metà di b.
a^Jib ~
c. d.
a
a^Jib
• — a è il successivo di
b
a $ lb
• —a +
b
3
l
5
x
"
E A = {1, 2, 4, 5, 7} e
b
E £ = {2, 3, 6, 8, 10}.
b
il successivo di
b è
a
2
< 8
{(4; 3), (7; 6 )}
1.
\
b
2
3
6
1
X
X
X
2
X
X
4
X
X
5
X
a\
8
10
7
D ati A = { 1 , 3 , 4 , 6 , 8} e U = { 2 ,3, 4, 5} , rappresenta le relazioni seguenti, definite da A a B , per elencazione e con un diagram m a a frecce.
FETI
—
a è il successivo di b
Fflil
a !3 Ì2 b ^ a b è
un numero dispari
D ati A = { a £ N | 2 < a < 4} e 5 = {è G Z 111)| < 2 }, rappresenta le seguenti relazioni per elencazione e con una tabella a doppia entrata.
EHI
a tflib
a è
minore di 3 b
E33
a ^ b
la differenza fra a e £> è 4
in modo da rappresentare in tre m odi diversi la stessa relazione. S crivi le coppie m ancanti in ognuna delle rappresentazioni. COMPLETA
<31
X
y
z
t
1 2 3 4
X
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E55
6
RELAZIONI E FUNZIONI
$1
1
2
4
X
c d
X
k
X
X
Rappresenta la relazione Sft da A a B per elencazione e con un diagramma cartesiano. 91
a
1
X
b
2 X
X
4
D
c
X
3
m
5
X
b
09
3
TEST Dato il grafo a lato, la relazione STi a esso associata può essere definita nel modo seguente: x 3 ly
— una freccia parte da x e arriva a y .
Quale delle seguenti tabelle a doppia entrata corrisponde al grafo?
Per ciascuna delle relazioni seguenti definite in 09
09 09
a $ ib
«
a ^ ib
— a ha lo stesso numero di lettere di
a = b - \
A,
traccia il grafo che le rappresenta.
, A = { y , —y , - 1, 2 , 1 , y } . b, A —
{matita, gomma, penna, colla, colore}.
Rappresenta per elencazione le relazioni rappresentate dai grafi seguenti.
RELAZIONI E FUNZIONI
PROPRIETÀ DELLE RELAZIONI m
TEST La relazione
u
atflb
—
a
supera in altezza
b
I
ESERCIZI IN PIÙ
© T e o ria apagina184
di 5 cm, definita in un dato insieme di persone, è:
[~a~1 simmetrica.
[c] transitiva.
|~b~1 riflessiva.
[5] antisimmetrica.
Stabilisci se le seguenti relazioni godono della proprietà riflessiva o della proprietà antiriflessiva, motivando la risposta.
A
EU
°Jl
a
a
X
b
c X
b
c
c d
d
X X
X X
X
a
EU
Indica in quali delle seguenti relazioni, definite nell’insieme quella antiriflessiva. a. Sft = {(a; a),
( a ; c), (b; b ) , (d ; c ),
(c; c),
A =
{a , b, c, d } ,
vale la proprietà riflessiva o
(d; b )}
m.
a
a b
b
c
d
X
X
X X
c d
X
X
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E57
6
RELAZIONI E FUNZIONI
FEU Indica in quali delle seguenti relazioni, definite nell’insieme quella antiriflessiva, a .<31
=
A
= {1, 2, 3, 4}, vale la proprietà riflessiva o
{(1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 4)} 1 1
2
X
3
X X
X
FEE1 Stabilisci se le seguenti relazioni godono della proprietà simmetrica o antisimmetrica. A a
a
a
X
d
c
d X
X
b c
b
X
X X
Stabilisci se le seguenti relazioni godono della proprietà transitiva.
C
E58
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4 X
X
2
A
3
RELAZIONI E FUNZIONI
RELAZIONI DI EQUIVALENZA E D'ORDINE
I
ESERCIZI IN PIÙ
© Teoria a pagina 187
Stabilisci se le seguenti relazioni sono di equivalenza. FETI In A =
{q, b, p , n,
P I
{ a , b,
In A = (b;
o}, 271: a $ l b
**
1, 7}, 271 = {(a;
a),
è possibile accostare la lettera (a; 1),
(b; b ) , (b;
a
alla lettera
b
7), (1; 1), (7; 7), (1; 7), (7;
nella lingua italiana. a),
(a;
b),
(1;
a),
(7;
b),
(a; 7),
a)}-
F flil Stabilisci se questi grafi rappresentano una relazione di equivalenza.
H a
COMPLETA inserendo i sim boli opportuni. Considera 271 relazione di equivalenza, definita in A , avente come insieme quoziente l’insieme Q costituito da due classi di equivalenza A j e A 2.
a. A i I_____IA 2 = A
b. A i
A 2 —0
c. A i
Q
d. A
A2
Verifica che le seguenti relazioni sono di equivalenza e determina per ognuna di esse le classi di equivalenza e l’insieme quoziente. H a In A =
{a
G
N |0 <
a
<
5}, 271: a & b •— 3 a e 3 b hanno lo stesso numero di cifre.
ro si N e ll’insieme degli angoli del piano, 271: a & b «
a
è congruente a 7?.
Stabilisci se le seguenti relazioni sono relazioni d’ordine nell’insieme assegnato. In caso affermativo ordina gli elementi deH’insieme e specifica se le relazioni sono di ordine largo o stretto, totale o parziale. WM N ell’insieme delle parti di A = {1, 2, 3}, 271: a2ftfr • —a C 0 3
N e ll’insieme degli abitanti di un paese, 271:
W'Til N e ll’insieme A = {8, 2,4, 5}, 271: 0 3
a ^ Iib
a ^ ib
b.
• —a è parente di
b.
— a è divisore di 7?.
Stabilisci quali delle seguenti relazioni sono relazioni d’ordine. Per quelle che lo sono specifica se sono di ordine largo, stretto, totale o parziale.
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E59
6
RELAZIONI E FUNZIONI
FUNZIONI
©Teoria a pagina 189
WftH Sono dati gli insiem i
| —2 < x < 3} e .B = {y e
A = {x E Z
a. Rappresenta il diagramma a frecce della funzione / :
A
N 11
<
y <
6}.
— B definita da
y —
x 2 + 2 e individuane il codo-
m inio.
b. Scrivi gli elementi che hanno due controimm agini. Rappresenta con un diagramma a frecce le seguenti funzioni /: ve, biiettive.
E3J
A
E39
A
so
A =
w
A
\
B 3
s a
= { a , f , q, alfabetico.
o,
r},
B
= {r, s, v, p ,
b,
g} e /c h e associa a ogni
= {bicicletta, automobile, triciclo, monopattino}, B = {x ro di ruote di x. {3, 6, 8, 1 2 } ,
= {x
E
N |0
B =
A
— B e poi stabilisci se sono suriettive, inietti-
x E A
e
la lettera
successiva a x nell’ordine
N | ì < x < 4} e / = / ( x ) tale che y è il num e
{3,4, 2 , 1 , 5 , 6 } e /c h e associa a ogni diametro x di un cerchio il raggio di quel cerchio.
< x < 4},
B =
{7i,
2n, 4n,
I òti, 97i} e
y =f(x)
tale
c ìie y
è l’area del cerchio di raggio x.
Analizza le relazioni rappresentate dai seguenti diagram m i cartesiani, indica se sono funzioni e, in caso affermativo, stabilisci se sono suriettive, iniettive, biiettive. B
B
a
b
Indica quali delle seguenti funzioni da Q a Q sono funzioni biiettive.
a. /asso cia a ogni x il suo triplo aumentato di 10 . b. /asso cia a ogni x il suo valore assoluto. c. /asso cia a ogni x l ’opposto dim inuito di 3.
Individua tra le seguenti rappresentazioni le funzioni e le funzioni invertibili.
E60
y E B
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RELAZIONI E FUNZIONI
I
ESERCIZI IN PIÙ
Indica se le relazioni seguenti da A a B sono funzioni e, in caso affermativo, se sono invertibili. 0 f l A = { 1 , 0 , 3 , —1}, B = {125, 1 , - 1 , - 2 7 } , g71
A =
{x
d i: x d i y
E Z | - 2 < x < 3}, B = {4, 1, 0,5, 2 5 % , 2},
-
y
=
91:
(2x
- l ) 3.
~ y
= 2 X.
PIANO CARTESIANO E GRAFICO DI UNA FUNZIONE ©Teoria a pagina 192 Yi
INVALSI 2003 Quale fra i seguenti elenchi rappresenta quello delle coordi nate dei punti della figura? 1 3 A = ( - 3; 2)
B = ( 2;
[c] A = (2; - 3)
B = (
3)
2; - 3)
C = (3; — 2)
D = (2
D#
;-3)
cT A?
A = (2; — 3)
= (3; 2)
II O
[ b]
B
C.
D = ( - 2; 3)
C = (2; — 3)
D = (2 ; - 3 )
IjD A = (2; — 3)
B
= (2; 3)
C = ( - 2; 3)
D = ( - 3; 2)
CU A = (2; — 3)
B
= (3; 2)
C = (2; 3)
D = ( - 2; 3)
k •B
321-
0 |I 1| 1| w * t i l t -4 -3 -2 -!_•]. 1 2 3 x -2-
•
-3-
A
-U-
Traccia per punti i grafici delle seguenti funzioni. 3
FETI
y = 3 x -3
EftKI
y — —x1+ 4
0 3
y = - 2 x
M iil
y — x + 3
FETI
y — 2x2—
8
0 3
y = ^-x3
EM I Data la funzione A ( 2 ; 0 ),
EflU
B (-
y =
— j=----------1, indica quali tra i punti seguenti appartengono al suo grafico:
3; 0), c ( l ;
D ( -
1; - 2 ),
E -
TEST Q uali dei seguenti grafici rappresentano delle funzioni? fA~|
b, c
e d ma non
a.
[ bJ
b e d
ma non
e c.
fcl
a,b
e d ma non c.
E c e r f ma non
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a
a e b.
E61
-j) .
6
RELAZIONI E FUNZIONI Stabilisci se i seguenti grafici rappresentano una funzione e, in caso affermativo, determinane il dom inio e il codominio.
YOU & MATHS
Is i t th è g ra p h o f a fu n c tio n ? For each of thè following pictures determine whether it can
be interpreted as thè graph of a function.
E62
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RELAZIONI E FUNZIONI
b u g
I
ESERCIZI IN PIÙ
YOU & MATHS In je c tiv e , s u rje c tiv e o r b ije c tiv e ? For each of thè following graphs determine whether thè function it represents is injective, surjective, or bijective.
RIEPILOGO RELAZIONI B U G
INVALSI2006
[A] (—2; —3) M ÌA
Quale delle seguenti coppie di num eri verifica la relazione GLI ( —3; 2)
[c \
2x — 3y = — 5 ì
(2; - 3 )
E
(2; 3)
Considera gli insiem i A = {a E Z | —2 < a < 2} e B = {—4, — 1, 4 ,5 ,9 }. Rappresenta in tutti i m odi possibili la relazione da A a B: 31: a 3 l b <- b supera di 2 il triplo di a.
Ei'itl Sono dati gli insiem i A = { « e N | a < 4 } , 5 = { h e N | f r < 18} e le relazioni da A a B: 3 i i ‘. a 3 i i b «-» a è il precedente di b; 3 l 2: a 3 i 2b +-> b = a 2 + 1; 3 l 2: a 3 l 3b — b = 2 a + 3. Rappresenta ogni relazione per elencazione e scrivi per ognuna la relazione inversa. F ra
Considera gli insiem i A = {3, 5, 6}, B = {1, 2, 6} e le tre relazioni da A a B: <- m cm (a; b) — a; 3 ì 2: a 3 i 2b ^ a < b; 3 l y . a 3 ì 2b — a — b è uguale a 1 oppure 3. Rappresenta per elencazione e con un diagramma cartesiano ciascuna relazione e verifica che costituiscono una partizione di A x B . 3 ii. a 3 ll b
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3 ii, 3 l2
e 27l3
E63
6
RELAZIONI E FUNZIONI
H a
Considera gli insiemi A = { a e N | 3 < a < 6 } , B = {pera, ribes, kiwi, ananas, mela} e la relazione da A a — a è il numero di lettere di b.
B
31: a 3 i b
a. Scrivi le im m agini di 4. b. Esistono elementi che non hanno controim m agini? Dati gli insiem i 3l: a 3 lb
a
A =
e la relazione, definita da A a B,
0 , 1,
è il reciproco di
b,
elenca le coppie della relazione e rappresentala con un diagramma a frecce, indicando dom inio e codom inio. Trova poi la relazione inversa evidenziando dom inio e codominio. V i'ì/ i Considera gli insiem i A = j l , 2,
-y j,
B = {b G Z \ — l
< b < 2 } e h relazione, definita da A a B,
31: a 3 i b * * a = 2 b~ 1.
a. Rappresenta in tutti i modi possibili la relazione. b. Trova il dom inio e il codominio di
3 i.
c. Scrivi l ’im m agine di 1 e la controimmagine di 2. Ei'iH Dati gli insiem i
A =
{2, 4, 5, 6, 12} e B = {8, 9, 12, 16}:
a. rappresenta per elencazione e con un diagramma cartesiano le relazioni, definite da A a B, a 3 l xb — b = a + 6, a 3 i 2b -*■ b = 4 a , a 3 l 3b -*■ b < a + 2;
3 i u 3 i 2, 3 l 3:
b. determina dom inio e codominio di ogni relazione;
c. trova 3 i\ U VERO0 FALSO?
p Q
a 3 lb
«-
b
fi 3 i2, (31 { U 3 i2) fi Sono dati A = j y ,
è il 2 0 % di
(3ii
U 3 i3).
53, 25, l j ,
B =
{1, 5~2, 5 2, 5 1, 5} e la relazione, definita da A a B,
a.
a. Il dom inio è D =
1, 53, 2 5 |.
b. Il codominio coincide con
|~y1l~F~| H E
B.
C. y S f t l .
0
d. 252715.
m iT l
e.
[V] [T]
E noQ
3i
è formata da cinque coppie.
0
VERO 0 FALSO?
a. Se una relazione non è riflessiva, allora è antiriflessiva. b. Una relazione è transitiva quando se
b 3ic
e c 3 t a allora
E H H H
a 3 ib .
c. Se una relazione è antisimmetrica, allora se si verifica che essere b = a.
a 3 ib
e b 3 l a deve necessariamente H H
d. La relazione rappresentata dal grafo aO
O '
è riflessiva e transitiva.
E64
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H H
RELAZIONI E FUNZIONI
EHDU VERO 0 FALSO?
I
ESERCIZI IN PIÙ
definita in un insieme A.
Considera una relazione
a. Se 91 è simmetrica, allora si ha aAfib e ^91a per ogni a ,b E A.
H E
b. Se aAJìa per ogni a E A, allora 91 è riflessiva.
[Y][T]
c. Se esistono due elementi a e b d i A tali che a^ib ma b^fìa, allora 91èantisimmetrica.
[Y] |T ]
d. Se esiste a E A tale che a91a, allora 91 è riflessiva.
[Y] [T]
e. Se esistono tre elementi a, b, c di un insieme A tali che aAkb, b ^ c e a91c,allora 91 è transitiva.
[Y] [T]
Studia le proprietà delle seguenti relazioni. Kllfrl 91: aAJlb •—ab — 2 — 10, definita in A = {a E N | a < 8}. ETiEl 91: a9U? — la differenza tra a e il 5 0 % di b è un numero naturale, definita in A 00
—
{2, 10, 6, 8}.
Individua le proprietà delle relazioni delle figure.
E m ù
TEST
La relazione rappresentata dal grafo in figura è di ordine:
|~À~| totale largo.
[c] parziale largo.
|~b~1 parziale stretto.
[ d] totale stretto.
Stabilisci se le seguenti sono relazioni di equivalenza o d’ordine. Per le relazioni di equivalenza indica l’insieme quoziente, per le relazioni d’ordine precisa se sono di ordine stretto, largo, parziale, totale. 00
In N , 91: a ^ b • — a e b terminano con la stessa cifra.
ETifl
In A
= {sottomultipli di 36}, 91: a^Jib
** a
Birci In
A =
{libro, capitolo, pagina, frase},
KllVI In
A —
jq^r>
1,3 ,1,5, yyy, -g y -j,
è sottomultiplo di
91: aAfib
91: a!3 ib
b.
«- a ha un numero di consonanti m inore o uguale a a
e
b
b.
rappresentano frazioni che, ridotte ai m in im i term i
ni, hanno lo stesso denominatore. MHI In A = | — ij-, — 3, 0 ,1,
B ill In A 0 3
=
In A =
2 J-, 91: a9M? ~ a eb sono concordi.
{viale, aiuola, ciao, ago, hip, ora, relazione}, 91: {2~\
2 ~ \ 1, 2, 2 2}, 91:
a<3lb ~
aSJlb
—
a
ha meno vocali di
b.
y > 2.
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E65
6
RELAZIONI E FUNZIONI
00
A
A
A
a
b
c
u
TEST
Solo una delle seguenti relazioni è di ordine stretto totale. Indica quale.
pQ
TEST
La relazione Sft, definita neH’insieme {1, 2, 4, 7, 14, 28},
m
E66
xSfly * * x
è diverso da y
Ha ] di equivalenza.
rei di ordine stretto totale.
|~b~| riflessiva e transitiva.
[~d~| di ordine stretto parziale.
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ex
divide y è:
RELAZIONI E FUNZIONI
ETCÌ
I
ESERCIZI IN PIÙ
Disegna i diagram m i di Venn in modo che il grafo in figura rappresenti le rela zioni definite in {A, B , C, D } : a $ l\b
« flC fc ;
a ^ b
** a D
b.
ETTI Considera la relazione
$1:
a $ lb
= | 5 -2 , (0 ,2)2, 3-2 , 6-2 •4, 4 % ,
A
<-
a
e
b
rappresentano lo stesso numero razionale, definita in
0,1 J. Stabilisci se la relazione è di equivalenza e, in caso affermativo,
determinane classi di equivalenza e insieme quoziente. EEOT È dato l ’insieme
A = {a
a. Scrivi gli elementi di
E N |a
= 5n
+ 1, con « < 5 , « G N}.
A.
b. Data la relazione Sft in A: a & b «- a + b è un m ultiplo di 3, rappresentala per elencazione e con un grafo.
c. Analizza le sue proprietà, specificando se si tratta di una relazione di equivalenza o d’ordine. EM I È dato l’insieme A = {% E N | * =
3n —
8, con 2 <
n <
5,
n
G N }.
a. Rappresenta l’insieme A per elencazione. b. Data la relazione Sft in A: a ^ k b « a — b è un numero naturale, rappresentala per elencazione e tramite
un diagramma cartesiano. c. Analizza le sue proprietà, specificando se si tratta di una relazione di equivalenza o d’ordine.
FUNZIONI E H Q
Solo una delle relazioni seguenti
TEST
non
è una funzione. Quale?
|~a ] La relazione che associa a un libro il suo titolo. |~b~| La relazione che associa a un libro il suo numero di pagine. |~c~| La relazione che associa a un libro i colori della copertina. r~b~| La relazione che associa a un libro il numero dei colori della copertina.
ESSI
Date le seguenti relazioni, definite negli insiem i indicati, stabilisci quali rappresentano funzioni e, in caso affermativo, specifica se sono suriettive, iniettive, biiettive. 9ti
9t2
B 8 7
&3
1
a
X
2
c
5
d e
1
2
3
4
4
5
X
b
6
3
X X
X
X
A
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E67
6
RELAZIONI E FUNZIONI
EU
CO M PLETA ogni tabella relativa alla funzione indicata.
/ : Z —Z y
= —2x
+ 2
/: Q-Q 1+ X y = ~ i r -
/: Q -Q 7 = * 2 —4 x
EU
X
-2
-1
7
u
u
X
-3
7
u
X
-4
7
U
0
1
2
7
5 3
5
11 2
1 5
2
5 2
u
-T
0
u
u
- 1
-1
I
I
I
U
I
I
I
Data d i , definita da A a B, con A = {tre, uno, cinque, otto, nove} il numero y G B delle lettere che compongono la parola x:
eB —
{3 ,1 ,6 ,4 ,5 } che associa a ogni
x G A
a. rappresenta in tutti i m odi possibili la relazione; b. stabilisci se è una funzione e, in caso affermativo, specifica se è iniettiva, suriettiva, biiettiva;
c. indica il codominio.
mu TEST
Solo una delle seguenti affermazioni riferite alla funzione/rappresentata in figura è vera. Quale?
Fa I II codominio d i/ è H
B.
È suriettiva.
fc l È invertibile. |~b~l È iniettiva.
V ER O0FA LSO ? a.
Data una fu n zio n e /: A — B , se A è un insieme finito e ha un numero di elementi maggiore rispetto a quello di B, a llo ra /n o n può essere iniettiva.
H H
b. Se una fu n zio n e /: A — A è iniettiva e A è un insieme finito, a llo ra /è anche suriettiva.
H E
c. Se una fu n zio n e /: A — A è iniettiva e A è un insieme infinito, a llo ra /è biiettiva.
H E
d. La funzione inversa di una funzione data è sempre biiettiva.
H E
EU
Se A è l ’insieme dei punti del piano a e d i è la relazione che associa a ogni punto P di a il suo punto sim metrico P ' rispetto a una retta r fissata, studia d i indicando se è una funzione e in caso affermativo indica se è suriettiva, iniettiva, biiettiva.
EU
Considera A = {5, 8, 3, 7, 10}, B = {28, 40, 32, 20, 12} e la relazione x G A il perimetro y del quadrato di lato x. Stabilisci se è una funzione e, in caso affermativo:
d i,
definita da A a
B,
che associa a ogni
a. specifica se è suriettiva, iniettiva, biiettiva, invertibile; b. scrivi il codominio.
RETI
D a ta /: N — N che associa a ogni x la somma / dei fattori p rim i di
x,
calcola:
a ./(8 8 ),/(15 ),/(7 ); f/( 2 0 ) + |/( 3 0 )
E68
/(4 ).
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[a) 17, 8, 7; b) 3]
RELAZIONI E FUNZIONI
I
ESERCIZI IN PIÙ
EEO C o n sid e ra /: N — N, che associa a ogni x il prodotto y delle cifre di x. a. C a lco la/(10 2) e/(99).
b. Trova almeno tre controim m agini di 1. c. Verifica
chefè
una funzione.
d. Se x è un numero di quattro cifre, qual è il più grande valore di x tale che
f{x ) =
5? E tale che
f(x )
= 0?
[a) 0,81; d) 5111,9990] E S U
ESSI
VERO 0 FALSO?
a. I punti di ordinata nulla si trovano sull’asse y .
H E
b. I punti che si trovano sull’asse x hanno coordinate del tipo (a; 0).
H H
c. Se le coordinate di un punto
H E
P
sono entrambe negative, allora
P
appartiene al IV quadrante.
d. U n punto che ha ascissa negativa e ordinata positiva si trova nel II quadrante.
H E
e. Il punto (x ; y ), con
H E
xy
Considera la fu nzione/: opposto.
> 0, si trova nel prim o quadrante.
R —R
che fa corrispondere a un numero la somma tra il suo quadrato e il suo
a. Scrivi l ’espressione analitica d i / b. Traccia il grafico della funzione. c. C a l c o l a / ( l ) , / ( - 2 ) , / ( - 3 _1), / ( y ) -
Stabilisci se i seguenti grafici rappresentano delle funzioni da nio e indica se la funzione è iniettiva, suriettiva, biiettiva.
R a R . In caso affermativo, determina il codomi-
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E69
6
RELAZIONI E FUNZIONI
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ►Competenza U (abilità 1, 2) 1 B Q INVALSI 2007 È data la tabella di valori a lato. D a quale delle seguenti relazioni è rappresentata? [X \
f il
y = x + 2
y — x2+ 2
X
0
1
2
y
2
3
6
[c]
Eb] 7 =
y — 2x + 2
2x2— 2
INVALSI 2004 Com e si può esprimere nelFinsieme dei num eri interi la relazione «il doppio di y è il num e ro che precede x»?
Q
[ a]
te É
EH
y = 2 x + l
2y = x —
1
EH
Considera gli insiem i A = {— 6, —2, — 1, 2, 5, 7}, b è potenza di a.
B =
Ed]
2 y ——x — 1
y = 2 (x —
1)
{1, 2, 4, 36 ,125, 625} e la relazione da A a B
2/1: d 3 l b «-
a. Determina le coppie della relazione e rappresentala con un diagramma a frecce. b. Trova il dom inio e il codominio di
2/1.
c. Scrivi le im m agini di 5 e —1 e le controim m agini di 4. S tu d ia le p ro p rie tà d elle seguenti re la z io n i. In d ic a in o ltre se sono re la z io n i d i e quivalenza e, in caso a ffe rm a tiv o , l ’insiem e quoziente.
2/1, e 9 i 2 definite in
A —
{1, 2, 3, 4}. < 3i2
1
1
X
2
2 X
X
25 nell’insieme
d
A =
{— 5, — 3, 0, 4, 3}.
O
2/t = {(1; 2), (2; 3), (3; 2), (1; 3), (2; 1), (3; 1)} definita
B 1É
TEST
(c; c), (d ; d ) ,
(b-, b ) ,
(a;
b )}
definita in
A
=
{a , b, c, d }.
in A = { 1 ,2 ,3 } .
Solo una delle seguenti relazioni è di equivalenza. Indica quale. Dato A = {—7, —4, —2, 3, 4, 5, 6}:
EÀ]
a^b
—a
— b >
EH
aS k b
—a
eb
0.
=
[T]
sono discordi.
Considera la relazione 2Ti: A
a^b
EH —a e
| 5 -2, (0 ,2)2, 3-2, 6-2 •4, 4 % ,-^ -, 0,1
j.
b
a^ftb
a +
d 3 lb
«->• a b
b
è un numero pari.
è un numero pari.
rappresentano lo stesso numero razionale, definita in
Stabilisci se la relazione è di equivalenza e, in caso affermativo,
determinane classi di equivalenza e insieme quoziente.
ili
INTORNO A NOI
In v io in c o rs o ... Il grafo in figura rappresenta la relazione:
a^Jib • — a ha inviato dati a b, definita nell’insieme dei computer di un labora torio. Studia le proprietà della relazione e stabilisci se è una relazione d’ordine.
216
d }.
X
2/1 = {(a;
Q
c,
4
W fM
a ) , (b; a ) ,
{a , b,
X
U
b2 =
3
A =
X
3
t e B 2/1: a2Jib — a 2 +
271, e 2l ì 2 definite in
M ìÉ
MENU DELLE COMPETENZE
1K 1
NeH’insieme
A —
O
Nella seconda pagina della copertina
{(—4 )2, 2 -3, 162, (—2 -2) 2, (22) -3}, considera le relazioni:
27/: aSfixb •—8a —b < 0, 27/: «27/6
**
ah è un numero naturale.
a. R iscrivi gli elementi di A , calcolando le potenze. b. Rappresenta
27/ e 27/ con un diagramma cartesiano.
c. Studia le proprietà di ciascuna relazione e indica quale delle due è una relazione d’ordine, specificando se è di ordine largo o stretto, parziale o totale.
►Competenza 3 (abilità 4] D ate le seguenti re la z io n i, d e fin ite n e g li in s ie m i in d ic a ti, s ta b ilis c i q u a li rappresentano fu n z io n i e, in caso a ffe rm a tiv o , specifica se sono s u rie ttiv e , in ie ttiv e , b iie ttiv e .
<311 B
&3
3 i2
h
a
b
1 2
c
d
X X
3
X
U
X
5
d
il i
e
X
A
27/: a27/h -*• b è il numero di consonanti di a; a G A = {ruota, albero, gatto, pirata}, b 27/: a27t2^ -*• b è la terza parte di a; a G A = {66,3, 9, 2 1}, b G B = { 1 ,7 , 3, 22}. 27/: a27/h — b è il successivo di a; a E A = { a G N | a < 3}, b G B = {fr E N | b < 4}.
G B =
{2
,3}.
Dati un insieme A di 13 persone e l’insieme M dei mesi dell’anno, la relazione, definita da A a M , che associa a ogni persona il suo mese di nascita:
■HI Q
TEST
in
non è una funzione.
he] è una funzione invertibile.
I~b~1 è una funzione iniettiva. ■ fi
hp] non è una funzione iniettiva.
C o n sid e ra /: A — B , con A = { x G N | 3 < x < 1 2 } e B = { y G N | 2 < y < l l } , che associa a ogni numero prim o che precede x.
x G A
a. T ro v a /(4 ),/(5 ),/(7 ).
b. Scrivi il codominio d i/. c. Verifica
chefè
una funzione e stabilisci se è suriettiva, iniettiva, biiettiva.
D eterm ina dom inio e codom inio delle seguenti funzioni e stabilisci se la relazione inversa è una funzione. ■ EJ
xSJly
■ HI
xf3 ty
y
«
=
y =
2x,
con
x
numero naturale.
x4, con x numero intero.
IH
xSfiy
«-
F ili
xSJiy
—y
y
è opposto di x, con x numero intero. =
(x — l ) 2, con
x numero intero.
WiM a. Rappresenta con un diagramma a frecce la relazione Sft, definita da A a B , con A = { 1 ,2 , 3,4 , 5},
B =
{3,6, 1 1 , 18 ,2 7 ,6 6 , 83}, 271 = {(1; 3), (2; 6), (3; 11), (4; 18), (5; 27)}.
b. Verifica che è una funzione e indica se è suriettiva e iniettiva.
c. Trova la legge che definisce la funzione. d. Indica il codominio e trova quali elementi occorrerebbe aggiungere ad A affinché Sft, sia biiettiva.
217
il
6
RELAZIONI E FUNZIONI
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE TUTgR PROVA C
(10 esercizi)
PROVAA
PROVA B
(10 esercizi)
►Competenze 3, U
0 IN UN’ORA
K l Sono dati gli insiemi E Z | —3 <
A =
{a
B =
{0,2, 3 , - 3 , - 1 }
a <
H 2},
è di equivalenza. In caso affermativo, trova classi di equivalenza e insieme quoziente.
• — a è l’opposto di fr.
a. Rappresenta
Stabilisci se le relazioni della figura sono relazio ni d’ordine o di equivalenza. Se sono di equivalenza, determina l ’insieme quo ziente; se sono d’ordine, specifica se di ordine largo o stretto, totale o parziale.
in tutti i modi possibili.
b. Determina la relazione inversa 9 l_1. c. Trova dominio e codominio di 91 e di 91_1. W M
Stabilisci se la relazione 91, definita in N , a9lb — a e b danno lo stesso resto se d ivisi per 5,
e la relazione, definita da A a B, a^b
0 IN MEZZ’ORA
Individua le proprietà delle relazioni 91! e 9l2:
9 /: a9/fr <- il quadrato della somma di
a
e
b
è
maggiore di 20, in A = {1, 3, 4};
9l2 = {(1; 1), (1; 2), (3; 4), (3; 3), (2; 4), (1; 4), (2; 2), (4; 4)}, in A = { 1 , 2 , 3, 4}.
PROVA D
H
►Competenze 3, A
0 IN UN’ORA
Individua le proprietà della relazione 91: a $ l b * * a b è un numero dispari maggiore o uguale a 15, nell’insieme A = {3, 8, 7, 5}.
D
Dati gli insiem i A
=
{x
E Z \ —2 < x <
3},
B = { 4, 2 , y , - j , 1 6 , l , - | - , 8 } W M
Stabilisci se le relazioni 9 / e 9 l2 sono relazioni d’ordine o di equivalenza nell’insieme assegnato. Se sono di equivalenza, determina l’insieme quo ziente; se sono d’ordine, specifica se di ordine largo o stretto, totale o parziale. 9 / : d d i i b <- a e b hanno la stessa cifra delle deci ne, in A = {53, 27, 1 1 2, 44, 22, 72}. 9 l2: a 9 l2fr — a ha meno lati di drato, triangolo, pentagono}.
K fl
b,
in A = {qua
Indica se la seguente funzione da A a B è suriettiva, iniettiva, biiettiva. / : A — B , con A = { x G N | x < 4 } e B = { j c g N | 2 < j c < 9}:
y —f{x) •—y è il doppio del successivo di x. 218
e la relazione 9f, da A a B ,
x£ky
— y = 22-x:
a. rappresenta 91 con un diagramma a frecce e spiega perché è una funzione;
b. indica il codom inio C della funzione. ■ 9
Dati A = { 1 , 0 , - 2 , - 1 , 3 } eB =
{ 2,
-4 ,-10 , -7 ,-13 },
considera la fu n zio n e /: A — B la cui espressione analitica è y — — 7 + 3 x . a. Rappresenta la funzione con un diagramma a frecce.
b. Determina il codominio della funzione. c. Stabilisci se la funzione è suriettiva, iniettiva, biiettiva, invertibile.
MENU DELLE COMPETENZE
PROVA E
i l
Nella seconda pagina della copertina
►Competenze 3, U
0 IN UN’ORA
Studia le proprietà delle seguenti relazioni. Indica inoltre se sono relazioni di equivalenza e, in caso affer mativo, determina l’insieme quoziente.
a KB
O
b
c
Sono dati A = {2, 3, 5, —2, —3 }, 9t,: a9t,fr
~
b = a 2,
d
{4, 6, 9, 25, 10} e le relazioni definite da A a
B =
9 l2: a9t2b
** b =
B:
2a.
a. Rappresenta 91, e 9t2 Per elencazione e con un diagramma cartesiano.
b. Trova i dom ini D, e D 2 e i codom ini C, e C 2 di
e di 9t2. Calcola D, D
D 2
e C, n C 2.
c. Stabilisci se 9f, e 9 l2 sono funzioni e, in caso affermativo, indica se sono suriettive, iniettive, biiettive. KB
a. Rappresenta per punti nel piano cartesiano la fu n zio n e /:
R — R tale che
y ~~~
2X+
4.
Indica se la fu n zio n e /è iniettiva, suriettiva, biiettiva.
b.
c. C a lco la/(0 ),/ ( —2 ),/ ( 2 _1),/(8). Evidenzia nel grafico i punti le cui coordinate (x;y) sono tali che x;/ > 0. Cosa cambierebbe se fosse
d.
xy
> 0?
e. Indica nel grafico i punti di ascissa negativa. PROVA F E
K l
0 IN UN’ORA
Studia le proprietà delle seguenti relazioni 91, e 9t2 definite in A = { 1 ,2 , 3,4, 5}. Indica inoltre se sono rela zioni di equivalenza e, in caso affermativo, l ’insieme quoziente. s/q 1
4 5
3
4
5
X X
2 3
2
X
1
KB
Competenze 3 ,4
X
X X
X
X
X X
X
X
Considera gli insiem i A = { a e N | a < l l } , . B = { f r e N | 0 < f r < 3 } e l e relazioni 9f, e 9f2da A a B: 9f,: a9l,b — a diviso per b dà resto 2; 9t2: a ^ b ~ a diviso per b dà quoziente 2 e resto 0. a. Rappresenta le due relazioni e determina b.
KB
Determina la relazione inversa di
91, U 9l2e 91, f i 9f2.
9f2, indicandone dom inio e codominio.
a. Verifica che la relazione, definita in A = { a e N | 3 < a <
12}, a9lh — a e b, se d ivisi per 6, danno lo stesso resto, è una relazione di equivalenza; determina classi di equivalenza e insieme quoziente.
b.
Stabilisci se la relazione, definita in A, a'ZJlb •>-+ a è divisore di b , è una relazione d’ordine; in caso afferma tivo, specifica se l’ordine è largo o stretto, parziale o totale.
c. Stabilisci se la relazione, definita da (A — {12}) ad A, tivo, indica se è suriettiva, iniettiva, biiettiva.
a^hb
—b
—a
= 1, è una funzione; in caso afferma
219
MONOMI 1. DEFINIZIONI
f^ ì
A m o n o m ia i is a product of nu m b e rs and powers of variables, w ith positive in te g er exponents.
DEFINIZIONE DI MONOMIO
© Esercizi a pagina 228
Utilizzare lettere al posto dei numeri è utile per esprimere proprietà matematiche. ►
a - b = b ■a , V a , b E
R : proprietà commutativa della moltiplicazione.
Consente di scrivere relazioni per risolvere problemi matematici o della realtà. ► L ’area s i di un triangolo in funzione della misura si
b
della base e h dell’altezza è:
= - y fr/l.
► Come calcoliamo lo sconto S sul prezzo percentuale è r % ?
p
di un prodotto quando lo sconto in
V
S = 1 00 Negli esempi precedenti abbiamo utilizzato espressioni in cui le lettere sono solo fat tori all’interno di moltiplicazioni. Queste sono le espressioni più semplici che incon treremo e sono alla base di tutto il calcolo letterale. Le chiamiamo m o n o m i . 5 2 A ltri esempi di monomi sono espressioni come 6 x y 2, 4 a ~ y b , — y a 2 b 2, che conten gono solo moltiplicazioni fra numeri e potenze, con esponente naturale, di lettere. Sono monomi: 9a b ; W
Non
sono monomi:
2 a 2;
3
a + b;
U n monomio è scritto in fo rm a n o rm a le quando è espresso come prodotto di un solo fattore numerico, il co e fficie n te , e una o più potenze letterali con lettere tutte diverse fra loro, la p a rte letterale .
lxy. 2x
ESEM PIO
U n m o n o m io è un’espressione letterale in cui compaiono soltanto m oltiplicazioni fra numeri e potenze di lettere con numeri naturali per esponenti.
x ~ ly ~ 2.
coefficiente
\
\
Osserviamo che, nella definizione di monomio, abbiamo escluso addizioni, sottrazio ni e divisioni fra lettere (o fra numeri e lettere), ma non che queste operazioni siano presenti nel coefficiente. Q u in d i espressioni come (5 + 3 ) x sy , (6 —2 ) a b 2, ( y : 4 sono monomi.
parte letterale
Tutti i numeri sono monomi. ► 2 si può scrivere come 2 x ° (con quindi è un monomio.
x ^ 0)
0 è il m o n o m io n u llo . Se il coefficiente è 1, può essere sottinteso. ►
a 2b
220
è un monomio con coefficiente 1.
oppure 2 a Qb°x° (con
a , b, x ±
0) e così via,
0°
\
non è un numero + x Ay 5 \ coefficiente: 1
1. DEFINIZIONI
GRADO DI UN MONOMIO G in f o r m a n o rm ale
TEORIA
Esercizi a pagina 229
diamo queste definizioni. 2
Il g ra d o d i u n m o n o m io ris p e tto a u n a le tte ra è l’esponente che la lettera ha nel monomio.
- y a 3b c 2
[>
Il g ra d o (com plessivo) d i u n m o n o m io è la somma dei gradi rispetto a tutte le lettere del monomio.
è di grado 3 rispetto ad
a,
grado 1 ESEMPIO
Per i monomi
I
rispetto a b, grado 2 rispetto a c. Il grado del monomio è 6, infatti 3 + 1 + 2 = 6.
U n numero diverso da 0 è un monomio di grado 0. 0 non ha grado perché si può scrivere come 0 = 0x° = Ox8 =
...
Esercizi a pagina 229
Due m onom i sono:
/
s im ili
4b3c
• s im ili, se hanno la stessa parte letterale, quando sono in forma
^ ESEM PIO
MONOMI SIMILI, OPPOSTI, UGUALI G
O x2 =
—9bì c
normale;
►
— a
9 b 3c
• o p p o s ti, se sono sim ili e hanno coefficienti opposti;
^ o p p o s ti
uguali
(6 + 3) b ì c
• u g u a li, se sono sim ili e hanno lo stesso coefficiente.
ESERCIZI PER COMINCIARE B 1
Indica fra le seguenti espressioni quali sono m onomi e quali no. Motiva la risposta. —9;
x z 2;
a ~ l b 2;
fl3b2 -
W fM
y
2 a — 3;
-i a. - 1 jx y
2xaxy;
2 a;
—y ;
12;
b. 2a + x ;
10~ xa i x .
2a 3x y 4 ;
- d ( a 3 + fc4);
4
a 2m n .
1 ,
— y-a x;
E fl
°
fctB Indica il grado complessivo e il grado rispetto a ciascuna lettera dei m onom i dell’esercizio 2.
—
Ix y z ;
- j a b 2;
X
— ìya^bc-,
5 a 2 bc;
a
;
-2 —;
y
a2b°;
Indica il coefficiente e la parte letterale dei seguenti m onomi. a x 2y
D
B tB T ra le seguenti espressioni individua i monomi, evidenziando quelli con lo stesso grado. —x 4;
x*z.
in modo da rendere vere le seguenti
COMPLETA
affermazioni.
ciascun m onom io in modo che abbia il grado indicato a fianco.
a. 5 oU éJJ
2a
b. I__ I J - l c U è opposto a ~ j x 2y ì c;
COMPLETA
b,
1° grado;
— Txby
-, 4° grado;
2 a 4 b 2x
stesso grado di
~ ^ x 2y
z4, 8° grado.
c. I__ I a 6y ;
d. 4 m
è simile a -y f r 3* 2;
è uguale a 2 a b 2a 3-,
b
n
p
e. —7 a J b U J
è simile a —2 m 3n 2p 4 ; è simile a 3 b 5.
221
7
MONOMI
2. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE SOMMA E DIFFERENZA DI MONOMI SIMILI ®
Esercizi a pagina 230
N ell’insieme dei m onomi l’addizione n o n è un’operazione interna. Espressioni come 5 a + 2 b, in cui i m onomi non sono sim ili, non possono essere sem plificate in modo da ottenere un monomio. Sono espressioni che studieremo nel pros simo capitolo, che tratta i polinomi. Se invece i monomi sono sim ili, nell’addizione otteniamo come risultato un monomio simile a quelli dati, utilizzando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, letta come raccoglimento. La so m m a di due o più m o n o m i s im ili è un monomio che ha:
<—I O CD
9a ^
• per coefficie nte la somma dei coefficienti;
LU
Cd
• la stessa p a r t e
2a + 3a —
Dato un insieme di m onomi sim ili, l’addizione è u n
a c + b c = (a + b )c d is trib u ia m o un fa tto re
^ ra cco g lia m o a
(9 —2 + 3)a = 1 0 fl
le tterale.
racco g lia m o un fa tto re
è un m on o m io s im ile a 9 a ,-2 a . 3a
o perazio ne inte rn a.
M onom i opposti hanno per somma 0. ►
7xy2 +
(— 7 x y 2)
0 è l’e l e m e n t o ►
7 x 3+
neutro
0= 0+
=
(7 — 7 ) x y 2 = 0x y 2 = 0
dell’addizione fra monomi.
7x 3 —7x2
Come abbiamo visto per i numeri relativi, anche nel caso dei monomi la sottrazione può essere considerata come un’addizione con l’opposto del sottraendo. La differenza fra due m onom i è data dalla somma del primo monomio con l’opposto del secondo. ► 4 a 2 b —(— 5 a 2b )
— 4 a 2b
+ 5 a 2b
—
(4 + 5 ) a 2 b
—
9a 2 b.
X s 4 -(-5 )
U n’espressione contenente solo addizioni e sottrazioni di monomi può quindi essere ricondotta a un’a d d i z i o n e a lg e b ric a .
4 a 2 + ( ^ f b — 5ab^j — ( a 2 — - ^ b ^ J + 5 a b
= 4a 2 + v_>
^ f b — 'fó b — a 2 + ^ b + ^ e tf
e lim in ia m o le p a rentesi
PRODOTTO DI MONOMI ©
3a 2 +
so m m ia m o i m onom i s im ili
Esercizi a pagina 233
Per ottenere il prodotto di due o più monomi, poiché tutti i termini sono legati da moltiplicazioni, possiamo applicare più volte la proprietà associativa e quella com m u tativa, per avvicinare i coefficienti e le potenze con ugual base. Applichiam o poi la prim a proprietà delle potenze, a m ■a n = a m+ n.
222
=
b
il ris u lta to non è un m on o m io
2. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE
Il p ro d o tto di due o più monomi è un monomio in cui: • il
coefficie nte
^
è il prodotto dei coefficienti;
• nella p a r t e le t t e r a le ogni lettera ha per esponente la somma degli esponenti con cui la lettera compare nei fattori.
3x4 •5 x 3 =
^ p ro p rie tà co m m u ta tiva e associativa
(3 •5) (x4* 3) =
^ am•an= am+n
I
TEORIA
15x4 + 3= I5 x 7
Il prodotto fra due m onom i è sempre un monomio, quindi nelfinsieme dei monomi la moltiplicazione è u n o p e r a z i o n e i n t e r n a . N ell’insieme dei monomi, 1 è Y e l e m e n t o
della moltiplicazione.
neutro
► 2a3 1 = 1 2a3 = 2a3 N ell’insieme dei monomi, 0 è V e l e m e n t o
as so rb e n te
della moltiplicazione.
► 3 / •0 = 0 •3 / = 0 Il procedimento impiegato per ottenere il prodotto è lo stesso che utilizziamo per ridurre in forma normale un monomio che non lo è. ► Riduciamo in forma normale a - ^ ù ^ a 3:
-3V (a •a 3) •b 3 =
a ~ y b 23 a 3 —
~ y a 4 b 3.
Vediamo un esempio di come si procede per semplificare un’espressione con addizio ni di monomi sim ili e m oltiplicazioni di monomi.
y 4 + 2y
(—y
+
5y ) — ( y 2 —3y 2) y 2
=
y 4 + 2 y ■4 y
c a lco lia m o le som m e ne lle parentesi
— (—2y 2) y 2 =
y4+
8y 2 +
ca lco lia m o i p ro d o tti
2y4
=
3y4 +
8y 2
so m m ia m o i m on o m i s im ili
ESERCIZI PER COMINCIARE Sem plifica le seguenti espressioni. 2 a 2b — 3 a 2b;
4xy3+
— ìp a + a — ~ y a ;
4 a 2 —^
ù ) —
2 x 2 ( — 3 x 3);
(—2 x y 3);
xy2— (
+
-y
—y x
5 a 4 b 2 — (+ 2 a 4 b 2);
y
2);
b3 — ^5b3 —
6 x 5y
b 3^;
— (— 3 x 5y ) . ~yx —
(—0,5 jc).
b — a 2 — (— 5 a b )
- 4 a b - 2 a b 2;
a x { — 2x — 2x) + 2 x {— 3ax)
+
— ( 2 a b )(— 4a);
x {3 a — 7 a)
[3a 2 + b ] - 5 a b 2 - 5 a b 2.
(—x ) — (— 3 x 2) a
[— 3a x 2]
QQBBSES9 (-yx^+y*2^ --§-*y3) ( ~ 12x2y ) + ( - x 3y - - y x3y ) ( - x2y4) ~ x4y5 O p e ra z io n i con i m o n o m i Utilizzando degli esempi, spiega perché nell’insieme dei m onom i la
m oltiplicazione è u n’operazione interna, mentre l’addizione non lo è. Può aiutarti guardare il video che proponiamo sulle operazioni fra monomi, nella prim a e nell’ultim a parte.
223
7
MONOMI
3. DIVISIONE E POTENZA QUOZIENTE DI DUE MONOMI G Si può dimostrare che:
Esercizi a pagina 237
( a ■b ) : (c ■d ) = ( a : c) ■ ( b : d ) .
Verifichiam olo con un esempio numerico: (10 ■ 12) : (5 •3) = 120 : 15 = 8;
(10 : 5) ■ (12 : 3) = 2 •4 = 8. r ^ l A m o n o m ia i P is divisible by a second m o n o m ia l Q if and only if thè le tte rs in P are a ll raised to a pow er g re a te r or equal to thè co rre sp o n ding pow ers in Q.
Sfruttiamo la proprietà per eseguire una divisione fra monomi: (2 1a n) : (7 a 5)
=
( 2 1: 7) •(a11 : a5) = 3a11-5 = 3 a 6 .
(a - ò) : [ c-d] = (a : c) • [b : d)
am : an = am' n, con m > n
Il risultato è un monomio perché 11 è maggiore di 5, quindi l’esponente del risultato non è negativo. Diam o allora la seguente definizione.
N Z LiLU O
4 a ° b 4c2 è
Se A e B sono due monomi, con B ± 0, A è d ivisib ile per B se e solo se ha nella parte letterale tutte le lettere di B , ognuna con esponente maggiore o uguale a quello con cui compare in B.
*■
divisibile per - 3 a 2b*c2 perché gli esponenti delle lettere a , b, c sono 5 > 2, 4 > 3 , 2 = 2. 6 x 3b 5 n o n è divisibile per 2 x r b 7 perché gli esponenti di b sono 5 < 7.
ESEMPIO
z o
N ell’insieme dei monomi la divisione n o n è u n ' o p e r a z i o n e i n t e r n a . Dati due monomi A e B, possiamo calcolare A : B solo se A è divisibile per B. Se il monomio A è divisibile per il monomio B, diremo che A è m ultiplo di B.
— I O O LU Cd
• il coefficiente è il quoziente dei coefficienti; • nella parte letterale ogni lettera ha per esponente la differenza tra gli esponenti con cui la lettera compare in A e B.
(2x6) : ( 3x2 )
—
^
(a •
( 2 : 3 ) -
x2) =
\
a* *
(x 6 :
b) : ( c ■d] =
► _ 2 _ r 6 - 2 -------2 _ 3 X -
4
3X
Il quoziente di due m onomi sim ili è uguale al quoziente dei loro coefficienti. ► (8a b 2) : (3 a b 2) = (8 : 3 ) a l ~ l b 2~ 2 = y II quoziente di due m onomi uguali è 1; quello di due monomi opposti è —1. ► (6x4) : (6x4)
=
(6 : 6)x4~4 = 1;
(3c5) : ( - 3c5) = [3 : ( - 3)] c5~ 5 = - 1 .
POTENZA DI UN MONOMIO @
Esercizi a pagina 238
Per calcolare la potenza di un monomio, sfruttiamo la terza e la quarta proprietà delle potenze. ►
[ a - b - c ) n = a n - bn - cn
224
(a5) 2 ( b 6) 2 = ^ - a 5 2b6 2 = ^ -a " > b 12
l - j a sb6J = 1 - j J (am)n = amn
^bri n
(a : c) • (ò : d)
ESEM PIO
<
Dati i m onomi A e B , con A divisibile per B e B ^ 0, il quoziente di A diviso B è un monomio in cui:
3. DIVISIONE E POTENZA
I
TEORIA
ESERCIZI PER COMINCIARE D eterm ina, quando esiste, il m onomio quoziente delle seguenti divisioni fra monomi. B 1
\ 2 a 3b
: (—4 a b ) ;
W fM
- ^ x n y 3 : ( ^ x 6y y ,
KB
Calcola le seguenti potenze di monomi. (—2 a 3bc2) 2;
\ 5 x 3y 2 : ( 3 x 4y ) ;
3 a b 5c2 : ( 2 a b 2c2) ;
y a 8; / : (— \ 0 a 7y 6);
(5
( —y x 2)/3) ;
5 a 4x y 7 : ( 7 a 2x y 5) .
\ 3 a 4 b 9 : { \ 3 a 5b 10);
( ^ a b 2c^j
;
— 2 x 8 b 6 c2 :
—(—4x 3y t ) 2\
4 x 4 b 2c ) .
—( - j - a 2b c 3) ;
—( —y a 3cy) .
Semplifica le seguenti espressioni. y
WM
□ ANIMAZIONE \x y
a 3b
(—
•[ y
a 2x 3)
a 2 b 2 : (2a)|
—(5a &b 9 — a 8 b 9) : ( — ^ -a 5b5) + y a 7b6 :
a b 2 ■y a 2 b^j
: ( y a x 3) — (— 2 a 3x 2) 3 : ( y a 5x 5^ —
+ ( y x 3/ ) : ( - 2 x / ) 2 : ( y y ) + 3 ( -
x ) 2y
+ y x 3/
:( y x /j - y x
[x + 6x2y]
U O perazioni con i m onom i Guarda il video sulle operazioni fra m onom i nella parte centrale, dove parliam o di potenze e divisioni. Fornisci esempi per spiegare perché nell’insieme dei m onom i la potenza è un’operazione interna, mentre la divisione non lo è.
225
7
MONOMI
6. MCD E mcm Q Esercizi a pagina 2Uk fpn The greatest common factor (GCF) of tw o o r m ore m on o m ia ls is a m o n o m ia i th a t has thè highest possible degree am ong a ll thè fa cto rs of thè m onom ials.
Il massimo comune divisore (M C D ) di due o più monomi è un monomio con il grado massimo possi bile che è divisore di tutti i monomi. Nel calcolo del MCD di monomi, prendiamo:
Calcoliam o M C D (6 a 3b 3c2; 4 a 2b4c; 3 a b 2).
- il numero 1 se qualche monomio non ha coefficiente intero; < _i o o LU
- il M C D dei valori assoluti dei coefficienti se sono tutti interi;
3
2
.
22
a3
b3
c2
a2
b4
c
a
b2
a
b2
m e ttia m o in colonna i c o e fficie n ti (scom posti in fa tto ri) e le le tte re dei m onom i
►
ce.
• come parte letterale: il prodotto delle lettere comuni a tutti i monomi, ognuna presa con l’esponente m inim o.
3
M CD =
L
co e fficie n te :
ESEMPIO
• come coefficiente:
n el MCD: • co e fficie n te : MCD dei c o e fficie n ti • le tte re co m u n i con esponente m in im o 1
The least common m u ltip le (lem) of tw o o r m ore m on o m ia ls is a m o n o m ia i th a t has thè low est possible degree am ong thè m on o m ia ls th a t are divisible by a ll of thè o rig in a i m onom ials.
O Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più monomi è un monomio con il grado m inim o possibile che è divisibile per tutti i monomi.
Calcoliam o
m c m ( 6 a 3b 3c2; 4 a 2b4c;
come coefficiente: 2
- il numero 1 se qualche monomio non ha coefficiente intero; - il mcm dei valori assoluti dei coefficienti se sono tutti interi; • come parte letterale: il prodotto di ciascuna delle lettere presenti in almeno uno dei monomi, ognuna presa con l’esponente massimo.
3
a3
b3
a2
b4
a
b2
a3
b4
3 a b 2).
m e ttia m o in colonna i c o e fficie n ti e le le tte re dei m onom i ESEM PIO
Nel calcolo del mcm di monomi, prendiamo:
22
►
3 mcm = 12
n e l m cm : • co e fficie nte : m cm dei c o e fficie n ti • tu tte le le tte re con esponente m assim o
L - 22-3
ESERCIZI PER COMINCIARE MCD di m onom i Dopo aver guardato il video che proponiamo, fai le stesse considerazioni, ma
B i
riferite al mcm, con le stesse coppie di m onom i del video. n
Q a.
226
m
w
- 1 0 x ’y
i Determina il M C D e il m cm dei seguenti m onomi. >\
2 x 4y ;
- 4 x 2y 3.
b. y
a 10b 8c 6;
8a 4b 2;
12 a 6b6c6.
5. PROBLEMI E MONOMI
5. PROBLEMI E MONOMI
© Esercizi a pagina 246
ESEM PIO
Osservando i dati della figura (le misure sono espresse in centimetri) e dopo alcuni calcoli, Luca afferma di poter dire rapidamente il valore dell’area per qualsiasi valore di x assegnato. Perché? L ’area s i della figura può essere calcolata sommando le aree di tre rettangoli, due con altezza x e basi rispettivamente 3,1 e 5,6, e uno di altezza 1,3 e base x: si =
3, I x
si =
lOx.
+
5,6x
+
l,3 x
TEORIA
31 __ £ 13
1> 5 5,6
^ so m m ia m o i m on o m i s im ili
L ’area è, in cm2, dieci volte il valore di x; quindi, fissato un valore di x , si può determinare immediatamente l’area invece di dover calcolare separatamente le tre aree e poi sommarle.
ESERCIZI PER COMINCIARE B i Esprim i in funzione di a il perimetro di un trian golo isoscele di base 8a e con il lato uguale ai -g- della base.
U tilizza le indicazioni poste a fianco della figura e scrivi il perimetro e l’area del trapezio in fun zione di a. Determina il perimetro per:
Tre am ici gestiscono insieme un archivio di foto online. La cartella di Chiara contiene il triplo del le foto di Luigi, mentre ha il doppio delle foto di Maria. Esp rim i il numero di foto dell’archivio complessivo in fun zione del numero, foto indicato con x , di quelle di Luigi. --------- 1 C hiara
Luigi
--------- 1 M aria
KB
W M
Indica con a , b, c le misure delle dim ensioni di un parallelepipedo e sfruttando la m oltiplica zione fra m onom i dimostra che, se ognuna delle dim ensioni raddoppia, il volume diventa 8 volte più grande. Se ogni dimensione dim inuisce del 10 % , di quale percentuale dim inuisce il volume? Dati due num eri a e b , dimostra che la differenza fra il quadrato del doppio del loro prodotto e il prodotto dei loro quadrati è equivalente al triplo del quadrato del prodotto.
Considera l’arco A B quarta parte di una circon ferenza di raggio 2 a e centro O e la semicirconfe renza A O con centro nel punto medio^ di A O . Dim ostra che le due parti colorate hanno la stessa area. Hanno anche lo stesso perimetro?
227
MONOMI
ESERCIZI 1. DEFINIZIONI DEFINIZIONE DI MONOMIO G D
Q
Teoria a pagina 220
v e r o o f a ls o ?
T, . 3a 2 b a. L espressione — ^— non e un monomio.
EH
b. Nel m onomio x 2y i il coefficiente è un numero qualunque.
E H
c. L ’espressione y
EH
a n~ 4
è un monomio solo se n
G
N e n > 4.
d. In un m onomio non possono comparire lettere con esponente negativo. TEST
Solo una delle seguenti espressioni
l~À1 6
[~b~1 4
non
EH
è un monomio. Quale? H 1— 1 — xy
2a b 2
H
Fra le seguenti espressioni sottolinea i monomi.
P P P n
by
9 ;
1
,
1
4 a + 2b,
2
c2;
2 x { — z);
5°x3;
0 a 2b;
L ’espressione
8 a nx n
x 2y a
’
3 x -2 '
Ox2;
8 ~ ' b c 2;
(12-8
( 2 — 2 ) ° y 3;
2.
— 4 2a c 2 ;
4 è un monomio per ogni valore di
X3
) 2 b °;
n
6 —6
e N ? Motiva la tua risposta.
Trova per quali valori n G N le seguenti espressioni sono monomi. D
yx";
O
4a6”;
9 b4n;
— a 2y n~ 2;
- j b n+u,
( -3
n)
a n~ l b 2n;
a n~ 5-,
y * ' ,+3/ ' - 4;
2 x ~ n+x\
-
6 a " b * c n~ K
2
Indica quali delle seguenti espressioni sono monomi e, tra i monomi, sottolinea quelli che sono scritti in forma normale. 2 3 m Ln :> n -2L. -^ -ab b ; — x 2 f ( { ) ') ; “ 2a ’ ( t ) a2x; 2 • iH l
228
6a —6;
— 2- a 3b ( — 8) a b ;
3y 3t 3x2 ( ~ i )■
5
’
- p 2q 4
1. DEFINIZIONI
GRADO DI UN MONOMIO G H IP
Teoria a pagina 221
VERO 0 FALSO?
a. Il monomio 2 a ha grado 0.
H v im
b. I m onomi x 3y e a 2b2 hanno lo stesso grado.
[v ]|T ]
c. Nel monomio
d. Il monomio
7 a 2x y 3 il
3 4a 2b 3 ha
e. Il monomio
grado rispettoalla lettera
b
è 0.
IH
-
x 2c 3;
25;
ÉM
— | - x 4a y ;
IH
34o 3x ;
EH
( 4 -)
H T im
7rr3 ha grado 3.
IT I IT I
3a; - y x 7;
— ~ ^ Q X 2y 3z ;
y 3z 2 ;
-9
2 5a 2b 3;
a.
25 lo
~ ^ x 2;
- r r m An z.
2x y z ;
a b a 2c.
6y 3;
a 4x 8;
BH
Scrivi tutti i possibili m onom i di terzo grado nel le variabili a e b con coefficiente 6.
fa i
Se il m onom io 3 4x 2y i z n è di settimo grado, quan to vale n i
2 2
5 -V ;
- a 4y c 2;
a 3y ;
| Scrivi tutti i m onom i di decimo grado nelle tre variabili a , b, c, con coefficiente 1, in cui l’espo nente di b è il doppio di quello di a.
ab.
Disponi i seguenti monomi in ordine decrescente: a. secondo il grado complessivo; b. secondo il grado rispetto alla lettera y . - 2 a 2x y 2;
I~ v im
grado 9.
Indica il grado complessivo e il grado rispetto a ciascuna lettera dei seguenti monomi.
Ili
ESERCIZI
m i a. Per quali valori di
m e n
l’espressione
9a. ~ ^ a m~ 2 b nx
E3 G E333EEBSZSSS 9v / ; 3xyz2; K ll
4j^z3;
; i z7;
25.
Trova n B N in modo che il monomio di settimo grado.
2 a x 3y n sia
MONOMI SIMILI, OPPOSTI, UGUALI m Q
è un m onomio? b. Se n = 3, per quale valore di grado 10?
m
il monomio ha
@ Teoria a pagina 221
VERO 0 FALSO?
a.
------- 1 - ) x y .
0 B
b. Due m onom i uguali sono sim ili e viceversa.
0 0
~^xy è
il monomio opposto di
c. Due m onom i sim ili possono avere grado diverso.
00
d.
00
e 4 j ~b sono m onom i sim ili.
Due m onom i di prim o grado sono sempre sim ili? m i
Due m onom i di grado uguale e con coefficienti opposti sono opposti?
m i
Due m onom i opposti possono non essere sim ili?
m i
Quando due m onom i sim ili sono uguali?
m i
Due m onomi sono opposti se e solo se sono sim ili?
229
7
MONOMI
Sottolinea i monomi simili nei seguenti gruppi. Per ogni monomio scrivi il suo opposto (n E N). WilM —4 a; H ll
y x y 2z ;
tll
2 a"b;
i 1! ^
Trova x,
- j ^ b a n;
b. uguale a y
FAI UN ESEMPIO
2 2 y / x
9 a 2b n;
a x ~ 2 b 3y~ x
■
9
xz;
N in modo che il monomio y
E
a. sim ile a 2 a 4b2;
Itfrl
— z x y 2;
— a 2b n;
ax2
—2 a x >
2 3a ;
—2 x y 2;
y
1 2
'->3
y a x 2;
a 2nb.
sia:
b ì0.
Scrivi un esempio di:
E J Q
VERO 0 FALSO?
a. tre m onom i con le stesse lettere e lo stesso grado, ma non sim ili tra loro;
a. 3 a b x e —3 a b y sono m onom i opposti,
[v][T]
b. Il grado di 2 2x 2y 5z è 8.
b. m onom i opposti con due lettere e grado 4;
c. y
c. un monomio in cui ci sono un esponente —1 e un esponente 0;
d. y a 2xa&x3 è di grado 2 rispetto ad a.
d. un m onomio con una linea di frazione;
e.
e. m onom i sim ili di grado 0.
f. Il numero 0 è un monomio di grado 0. rv U T I
Hvl IT I
e —25 sono m onom i sim ili.
6 a 4b
e
—6 a b 4
rV U T I
sono m onom i opposti.
H D IT I
2. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE yer etempio:
SOMMA E DIFFERENZA DI MONOMI SIMILI @ Teoria a pagina 222 r a u
1. 3 x y + 2 x y
a.
2.
b. 5x 2y 2
3 x 2 + 2y 2 2 x 2y 2
4 . 3 x + 2y
KM
COMPLETA
a.
7 a 2b +
b.
~^a
c.
6ax —
+ 2x3 =
7x3
a ciascuna espressione il suo risultato.
ASSOCIA
3. 3x 2y 2 +
Sx?
3 x + 2y
c.
5x y
d.
3 x 2 + 2y 2
inserendo dei monomi in modo da rendere vere le uguaglianze.
(I______I) — —3 a 2b; d.
—(I______J)= — a ; (I______I) =
Sax-,
xy3
+ d______I) — 0;
e. - y I_____ I + (j______I) = f. I______I + - | - x 3 = ~ $ x 2;
g.
2 x 2;
h.
I_____ I —(—2 a y 2) — \b x —
i. —(I
= — 9 a y 2;
(I______I) =
I) —(— \ 2 a b )
~^bx;
— — Sab.
Calcola la somma e la differenza dei seguenti monomi. ~2 ~b4y .
i
a.— ì^xyz; — ^ x y z ;
b. 8 a2x; —23a2x;
c. ~ j x 2y; —
d. —10b4y;
KiH
a.7x5; —12jc5;
b. 1,3ab; - y ab;
c. —0,5x4; —0,25x4;
d. —4 m 2p; — m 2p .
230
2. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE
it t 'l Considera l’insieme A dei m onom i sim ili al monomio - 3 x y 2. Verifica mediante esempi che l’operazione di addizione: 1. 2. 3. 4. 5.
ESERCIZI
In successione Gabriella scrive una successione di 10 numeri (eventualmente negati vi), in modo che ciascun numero della successio ne, dal terzo in poi, sia la somma dei due che lo precedono. Il primo numero della successione è 34, mentre l’ultimo è 0. Quanto vale la somma di tutti i numeri della successione?
P i i L J EUREKA!
è interna, gode della proprietà associativa, ammette l’elemento neutro, è tale che ogni elemento ammette opposto, è commutativa.
H
-3 4
H o
|T | 22
I H 68
\T \
88
[Giochi di Archimede, 2011]
Espressioni con addizioni e sottrazioni Semplifichiamo le seguenti espressioni ,2
ESEM PIO
a. — —( —3 a + 4 y a —6x2 +
6x2
—2
2 13 +, 0 2 x ------y
a + 6x2
—6 x 2
-fx " /'
P
+ xn - ( - 2 x nf
CHECKER
3
+
x2
~ x
' ~
^ e lim in ia m o le p a rentesi tonde
=
^ so m m ia m o alcu n i m on o m i s im ili
a =
^ e lim in ia m o le p a rentesi quadre
^ so m m ia m o i m on o m i s im ili
— 4x~
+ 2xn) - ( - xny n)
x ny n + x n + 2 x ny n —2 x n +
2 “b 6
/I m13y a
e N , nell’esempio b):
+ 2x2 —~^ra =
2 7 -2 6 , , 1 ------- 2------ a —4 x ~ ~ ^ a
-y
13
—
x 2 ——y a
3 a —- y a +
a
b.
+ x
(n
n.,n _ vn _ 1 1 x y —X = - y x
^ e lim in ia m o le p a rentesi tonde
xny n = /
^ so m m ia m o i m on o m i s im ili
_ vn —X
Semplifica le seguenti espressioni. Le lettere a esponente rappresentano numeri naturali.
It i
y —-y
y+y;
P I
y X 2 + 2 a 3 —y A 2 + y - X 2 — 3*3
P I
a
K 1
— Sb + 6 b — 4 b + 2 b — 9 b
[ ~ m
P I
2xy +
[ x y - z]
P I
y
E 1
—3f — (—4f) + 7 f + 2f — 5f + (— 3f) — (— t)
+ 4a +
-y f lb —y -a fr + -y a fr + y -« b ;
2x + a +
^— 2 X ) ~
6a — 2x + a —
[x 2 — X 3]
(—y x +
4 x y + 2 z — 5x y — z — 2 z
-ab2—
ab2+
a 2b +
a c 4 — ( — ~ ^ a c 4 + a c 4^.
a 2b + - ^ a b 2 + - ^ a 2b
6ax —- y ax — (—3 aa ) — (—8a;c)+ ( — yflAM
-
a
[a 2b]
[3t] [18ax]
231
7
MONOMI i + i 3 ^ 3 0,6 b y 2x y
+ 1
— b y — \ 2 b y — -| - b y \
&
m
m
m
ax— if t i
—
s M
x
—
8
3
.
2 p
2
- aa 2)
2.
62
7x
[762]
y a x j + ax2
+ y x 3 — 15x + (—x) + y x 3 +
— 10 — a b 2 +* 42- a b 2)
b
3 49
+
- T m+T" + 2a 2b j
~ k-ab 2 - i — r a b 2
10
x]
+ y£> + y f r
0 ^a
az2 +, y15- a
+ 3 a -(-^ r ] - ( - 4 ) - 4 - f l
+ 0,3a2 —
0,2 b + ~ ^ b
5 2 , 17 ,
— b
+ ~ 6 b
5
■ ^ g ~ a y 3 — { — 2 a y 3) + A~2a 2y 2 — - y a y 3 — f — y a ^ 3j
io ( - 3) _ 38 x y - ( - 2 2) x 3- ( y j
—
(1 ,2 x y
f
1
% ay
2 2
i e a y
,
—3x 2y —y20 -x y
— x y ) — x 2y
xy + [ - ( - llx y )]
[ - 4x3]
(~ 3 )2(+ 3 )5 (_9)3
-P + I —
(—2 ')T‘ T P ^
P ^ + 2r ^ + 6 \ 2 -
3 / +
32
[6p2g]
P 4
y a ' 1- -jyfl" + ( y a2" - 3a2" ) - y a " - y a2" _3_ ._1_ M+1 2 2 7
2x
T a
2
,
b.
232
2 a 2*
+
1- y
( - a 2*)
3 „ 16
)ax + 6a*
y a j + (I____ I) = 10a;
- ^ x 2y — A — 2 x 2 +
c. 3 a 2 b
__1_ VM+1 8x
1 - 6a*]
inserendo dei m onom i in modo da rendere vere le uguaglianze.
COMPLETA
a. 6a —2 a
— a2” 10 a
- y 1 + x") + ( 4 * " + 1 - ~"+1
T fl
ax2
[4x2]
3x2
a 2b — ( — r ? r a 2b
0,3x2y — ( l,6 x y ) + (— l,5 x y ) + ( —y x 2jyj — (0,5 x y ) ( ~ 2 ) 3x 3 +
+
[ax
Ax3
1 2 7 2\ - T f l - T fl /
+ a
a2y 2
[0]
+ 2x y )]
0,5 m —f y n j —-|-m — (— ra) + y «
2 ,3 a 2 + 4" a 2
KJ
-5
y x — (—2 x ) + (—2x3) +
x +
-y 3r a- 2 2 -—(
(—Ax y
- j h
f y -a x 2 —ax2j + ax —
[—2 x 3 — (— 3x3)] +
( —y n j
[ l fc3+l]
y —j y j - ( - x y ) + (-jx + xyj —j y + ^jx-(2xy)
y
— i r a b 2 — ( —- x r a 2 b ) — (
T
—
S b 2)]
ax
ax
9x + x 2 —
1,25 m
(—A b 2 +
b3 ~ 4 b 3
2
— (—0,3 b y )
— [5x — (+ 3x)] — [—2 x
7b2 + [ \ l b 2 —
m
7 b ,) +
(I____ I)
— ( — \ a 2b + A a2b ) +
+ x 2y
+ 2x 2 = —4;
(I____ I) = 5a2fr;
d. 2x3 —( 2 y
- ~ jy
—b — A a—
f. -
j + (I____ I) + y x 3 + y y
[(I____ I)
+ b ] + 5 a — a + b;
- ( ~ 5 p 3 - ^ ò P 3) ~ P 3 +
d—
J) =
2P
= x 3;
2. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE
p e r ts m ifu o :
PRODOTTO DI MONOMI G Teoria a pagina 222 F 'V l Q
TEST
Solo una delle seguenti uguaglianze
ESERCIZI
(2 x ? ) ■ ( 3 x 3)
è falsa .
= 6x5
Quale?
Ha I y x 2(— 8x) = —4x3
He] 12 a ( — ~ ^ b x \ ( — b ) — 9 a b 2x
I~b ~| y
Hp] ~ ^ x 3y ( — ~ f x l y \
2
- y a f r j = — 9 a 3b 2
=
—
\ ~ x 5y
CHI HA RAGIONE? Stefano: «Il prof di mate vuole che cerchiamo una proprietà sul grado del prodotto di due m onomi. Io dico che il grado del prodotto è la somma dei gradi dei due m onomi». Alice: «E allora il pro dotto di due m onom i sim ili è un monomio di grado doppio». Hanno ragione entrambi. Spiega perché.
Considera l ’insieme B dei m onom i che contengono la sola variabile a. Verifica che la m oltiplicazione è u n’operazione interna in B , che è associativa e commutativa.
Scrivi in forma normale i seguenti monomi. y
3 x 7 xy;
-y )
a b e a 4;
87 ( —
2 x 2 ^— ~ ^ ) a x ;
6b 4 c2 ( - ~ ^ ) b ;
x 2 ( - ~ ^ \ y x 3x y ;
Eseguiamo le seguenti m oltiplicazioni a. ( - 2 fli2) ( - | f l 2) ( + y i 47 ) =
T ) y 2z2( - T / y z -
(n G
N , nell’esempio b).
j=
( — f a t 2) ■
+ j f l 1+2t2+4j = y
j m t n _ ^m+n
s e m p lific h ia m o pensando i c o e fficie n ti m o ltip lic a ti fra loro
b. ^ y x 2"j(—6a2x)(—xnan) = (-^-x2n\(—fi3a2x)(—x nan) —+ 3a n+ 2g2n+ l + n _
CHECKER
(+ 5 /)
( - 6« 2) ( - y a ); 10 x y 2);
( + - j j . * 2) ( - ^ “* 4); —
(0, 6 a b c ) [ — | - a 3b);
(—0 , 3 a sx 4) ( 9 a x y ) .
axy ) m >
(_ 6^5) " jy
( - 12b 4) ( ^ y ab4);
— |-b c 2j ( — 10 a);
iffl (— 6x) (—2x) (—x);
( ~ ^ x y 2z ) { ^ - y z 2) .
a b 2\ [ - ^ a b e j ;
— ■i ~
a 2b
2^ 3n + l
( — y - f l 4b2c ) ( -y ^ -f l& 4c5).
(~ 2 y );
—
y
^^n +
Esegui le seguenti moltiplicazioni. Le lettere a esponente rappresentano numeri naturali.
(—4x) ( + 2x);
2 x y (—
a 3t 6y
2 x ( — x 2y )
(—j
(—x 2);
(42ay2) (—4a3) (2~3;/3);
b 2.
x 2^ ( - 2 7 y x ) ( - y 2).
(—x y)x 2y ( —y 2x).
— a 2 ( — b 2) a b 2{ — a 2b ) .
233
7
MONOMI
( - l,2 x 8) ( — | - X 4)(2 x 3);
(—- ^ m 2n3^ —-^j-mn2z ^ ( - ^ m 3n z jS;
a6na2an;
m Q
( —^-af2j( —4t4)
a213^.
(—2x 2,'y2) (—3x2" y ) | + - | - x ' ' / )j.
—4
E 9
(—2A:3)^ ^ -A : j(l,5 A :8).
(—
LLn ^2/i Jj3m+ n
xn+lx 2x 2nx; j x 2" y 2' j ( - j x " + 2 ;y "'j
- ( - ^ - a 3”+1) ( - " y - f l ”+2)(5fl7+").
YOU &MATHS
A mysterious volume What is thè volume of a parallelepiped with dimensions that are twice, three times, and four times a given length a?
COMPLETA
COMPLETA
J_„4
4 k)([
) = —a 4x ; —2 a 2x 5;
) =
■ (L
2y 2(1
b.
)(—4x4v3) = — i - x 6y8; )(—-§ -a 3fr4) - - r - a 6h6. 3 / 4
)(L
abc ) = a4b5c6;
c.
d. — j x 4)(l____ Ix 3y )
— 6 x 9y 2;
e. | —^ n 2t j(10n f 3) = l _____ \n4t
CACCIA ALL'ERRORE
e. (a —4a) (2x + x) = 2ax —4ax;
a. 3x4 •5 x 2 = 15x8;
b. 2x2(4x) =
8 x 2;
c. — ì ^ a b 3 ( 8 b )
d. E lU
2 x y(4 xy)
f. an an = a"2;
= 4 a b 4;
g. a2n ■a2 — a4n;
= 8x y ;
YOU & MATHS
h. a" • a = an.
Pyramids of products Complete thè pyramids below so that each box contains thè pro
duci of thè two boxes below it that touch it.
*50zazk 4k
3k
234
Z
3k*
1 0 *3
10%
5*
5a
2. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE
ESERCIZI
Espressioni con moltiplicazioni Semplifica le seguenti espressioni. Le espressioni a esponente rappresentano numeri naturali.
CHECKER
81 —x 2 +
2 11 —a
\ x
( x y — 6 x y ) 2 x 3( - j r y
—
—2 y \ ;
(— 2x) (— 3y) —6 y (—2 x ) a2+
—x 3y
(a 4 —4 a 4) (a 2 — 3 a 2 +
T a );
—9a 3 ( — a b —
a 2) .
~ 3b
+ 4 ( — x) (—y) — 2 ìx y
(—4 a) (+ 3a) + a (— 7a) + 3 a (—2a) + 2xy^ —y
x 2j + 6x2^— y x y j —
— f- ( -
[- ~ 3 x ì y \
( - 27 ) ( 3 / ) - 4 /
(-/)(3a3 —\
2x3 —y - x
[i/] 7 ■
a { — a 2) + ( — 3"fl2ì ( —a ) + - T r a ( — 6 a 2) — a 3
2xy ) + \
y ( - x2)y
a 2 — y1 a 2 — 4y a 2 m ill |3r?3^—- y b j
+ ab
+\
-y a-
9 2 y x 27
( - f y) + \ x2( - y 7
y -a fr2j ( — 8a3) — (—a 2fr2) (4a2)
[0]
[5a 2 — (—a 2)]|^—y - a j — b { — 8a4 + 2 a 4)
[3fl4&] [—7 x 3y 2]
liti! (“io - * 3 + 2x3 — 0,3x3j ( — 5y 2) — ( y - — ìj(3x3y 2) — - y - x y 2^— y x 2 + -yx " W i
y9* 3y 3
y-JC2f—y-XK3) + ^1—y-jx3jv3— yxyY—jy x2y2j —2x3y3
E 3 Q E 3 3 3 E E 0 I H H ( - l - ^ ^ 2- ( - y - a j ( + ^ 2) + ( - 3 - y - ) ( - y a ^ 2) + ( - ^ & ) ( - 3 a ^ ) - 2 f l ^ 2 IllM
—^—y x 2y 4 + - y x 2;/4 —- y x ^ Y — y x j + (—2 x 2y ) (— 3 x y 3) +
Epl
( - ^ x y 2 + ^ ) x y 2 - j c ì x y 2) ( - y x3y
+
i j
* 3> ') ( - is * ) + ( -
lllfl
-y X 2^ —y x y j + -y X 2;^ —y x y j —-y X 2;/^—y x y j (—3"^)
IM I
— 3 a b 3(^— y
a b j + 2 ab3( — y a f r j —y -a fr3^— y afrj (— 5afr)
x 2y —
3 x y 2) { +
(2 x
x 2y ^ { —
2r
10x)^—y
) ( - y 2y )
—3~*3>'2)
ÌÌIH
x 4 b 3 — ^— y
- b x ^ — 3 4 ^ 2x
+ ^ y - 29/ —y -x jy + 0, lx y Y + ~ ^ ~ * y 2) + ( — f"x ) ( —^ ^ 7 ' ) { — 5'*2)"1"
x 2b )^ —
x 2 b 2 ^ - x 4b2( - 2 b + ±
li» (— x+4 -xì(— 4x2+^-x2 )— (-i-xì(— 3x2 )—X22 +, yx
15 3 4
~Yx y 5
3
j x y
3
3*y]
l-
— y a f r 2j ( - 6a 2 b 3) —y - a 3b 5
ÉIUll ^— y 4- 0 ,2 j( —x 3jy2) + (1,3 —0,2)^— y x 3jy2j + (0,3x3y 2 + l,2 x 3y 2) (—0,3) UlVI (—0,5x;/ + 0, 1 3xy) ( —
y2
- y 1x 33 —X
7 3 2 ~6x y
j ) X 2y 3
13
b3x 4
103 12
235
7
MONOMI
IIE I
2 x 2 — 2 x 2( ^ a x — ~^ax^j +
HHi
jl jH
(—2 a b x ) { b x
—^
a
2
b
— - ^ b x \ + a b 2x 2
+
ab
25 4 ~ v w y
D9
- - ^ a 3b - ( - ± a 3b - ± a 3b
17 21,2 2
- ( 2 a4b)
~2~ab x
+ a4fr2
J 2 b - ± b ) + ^ b - b
W ? ]
—j a mb2^j(— ab) + (—amb2){a2bn+x) —5ambn( —j a 2b3^j
iljj
(a"_1x ) ( —x) (a x 2) — 2 a nx 2 ( — | - x 2j
IH1
+ ( — ^ - x ^ 2 a x 2 — y a x 2)
45 .3 + ( - 2 ) 3y f ( - / f 2) + y / f ( - 6f)2( - y j ) F I ) 7^
l
U
^ x + -^ x ^ (A x )
(—a) + [3a —"2”)(—bx) —- ja b x (—2abx)
I
p
4 ^—
YOU & MATHS
[a m+2b n+3]
[4a"x4]
(— fl"*4) + [— 2 a 2x 2 ( — a n~ 2x 2) + a ”*4]
Represent this A piece of rope
p
Q
YOU & MATHS
Mix up thè monomials Use thè
is cut into two pieces: one piece is y thè length of
following m onomials to write:
thè second piece. Represent thè total length
a* an addition that gives 4x5;
of thè rope w ith a m onom iai with an integer
b. a m ultiplication that gives 24x9.
coefficient.
4*2.
EUREKA!
Uno e uno solo Esiste un monomio
~ è - x 2y 3 + 2 x 2y 3 =
y
A
x5;
3x2;
6x2;
2x5;
3x5.
tale che la seguente uguaglianza sia verificata?
x y ■A + - y x y ■A .
In caso affermativo, tale monomio è unico?
Semplifica le espressioni seguenti, dove A , B e C sono i monomi: U H
5 A - ( B - 4 B ) - A ;
4A ( - B ) - j C .
jjg
- ( - y C + c ) + 3A £;
(9A — A ) ( 3B) —
m
Calcola perim etro e area della figura u tilizza n do i dati in d icati e sapendo che D E = E C e
6C.
A D = BC.
A =
—^
x y , B = ^ x y 2, C — ~ x 2y 3.
E 9
- y C + (12 A jB + C )2 A +
[0 1
3 C ( l V C + l lA f i ) +
p
INVALSI 2011 In un prato (rettangolo più grande) è stata costruita una piscina (rettango lo più piccolo) come vedi in figura.
D
6AB.
3AB.
La superfìcie di prato rimasta è:
[66a-, 192a2]
236
l~À1
S a 2,
[ b]
6 a 2.
[c] 9a.
[ d] 3 a.
3. DIVISIONE E POTENZA
ESERCIZI
3. DIVISIONE E POTENZA QUOZIENTE DI DUE MONOMI G E 3 Q
y e r esem pio:
Teoria a pagina 224
10xw : (2 x ) = 5x8
VERO 0 FALSO?
a. Il monomio
3 a lb2
è divisibile per il monomio 8a 4b.
0 0
b. Il quoziente di due monomi simili non è un monomio.
S E
c. Il monomio 16a 2x 4y è multiplo di 4 a x 2y 2.
00 00
d.
— a b 2c
è il quoziente di (—a 3b 3c) : (a 2b ).
e. Il quoziente di due monomi opposti è sempre -1. FRI Spiega perché il monomio y im
a 3b 4 c
S E
è divisibile per 2a 2b4, mentre non lo è per
- a 4 b 8.
CACCIA ALL’ERRORE
a.
9x8
: 3x4 = 3jc2
b. y n 5fr2 : ^
+
c.
- = f y - y ì a 5fr2a3
( - 0 ,5 /
b 8)
d. 2x4 :2 x4jk=
: (0, 2 y 2 b 8) = - 0 , 2 5 jk
Eseguiamo, quando possibile, le seguenti divisioni ( n e N , nell’esempio c). a.
La divisione non è possibile perché l’esponente di x nel dividendo è minore di quello nel divisore.
2 5 a 5x : ( 5 a 3x 2) esponente:
^-------esponente:
2
1
La divisione è possibile perché gli esponenti nel dividendo sono maggiori o uguali a quelli corrispondenti nel divisore.
b- I T p y :( —J P V ) o Qz ut LinU
v_^ ^m .
^m n
Deve essere 3 n > n, sempre vera, e n + 1 > 2 , vera solo se n > 1: la divisione è possibile se n > 1.
c. (—2 a i n b'l + l) : (—6 a nb 2)
(—2fl3”b n+1)
CHECKER
:
6 a nb 2) = — ] t - ( - - j g - \ a 3n~ nb n + 1 ~ 2 =
Esegui, se possibile, le seguenti divisioni.
BH
EED
- y x 5/ z 8 : | - y x 5/ z 6); 2
y
IKKI — ^
4
x y z
y a 2”h”- 1
3
a 4b2c
1 2 2
/
: y
x
y
Z
a 2 b 2c j ;
2 a 8b 4
3 a 2b ) ;
f —y fl5^7c2ì :
( y x 3/ z t 8J : ( y X 3/ z f 7). y a4b8 :
y n5^5c2j ;
y a 4fr8);
a sx 2y : ( 3 a 5x ) .
y fr2x 3 : ( y box).
237
7
MONOMI
IKKl IKM
a 3, b 2c4 :
( — j r x 2m+1y n + A : ( — y
IK k l
cxy :
J)= + 2 b;
(I____I) : ( - j x 3y z 2^j = — 3x 2y 2;
3x y).
(—4 a m + 4 b n + 3 c2) : (2 a 2 b 3c ), con m, n E N.
jem+1/ !+ 1j;
a. (—6a 3fr2c):(l____
COMPLETA
d.
— y - x 3y 2 :
a b 2c3^;
b. (1_____ l):(0 ,4 a 3frc2) = + - | - b 2c;
e. — | - a 3fr2 : (I____ I) — y a 2b;
c. (I_____ I) :( —8b2x 2) —3a2x;
f. (I_____ lx 3y 2) : (12l_____ I) = —y x y .
Espressioni con divisioni v E 3 E 3 1 3 Semplifica le seguenti espressioni. Le espressioni a esponente rappresentano numeri naturali. IKM
( ~ ^ a 2b2 — y
Mi gl»!
a 2fr2j : (— 5 a b +
y x 3)'2j : ^3x2y 2 +
- ^ - x 2y
—y a b ; —y x
j9r f2 z2 2
x5y 5z3—~yx 5y 5z3^j : ( y x 2jy2 —- | x y | : (—yxyz + yx^z)
yya3b—yya3b^:(— yab^J+yya3+yya3
P
(15 x 3) ( - | x ) - 4x4 (3x) -
BEI
{ ("6 b)("5 fc2)
IMI
a ^ b 3 : (a3b)
3 2 2X 5
+ 9a6b4 : ( 3 a 4 b 2) + 10 a 4 b 3 : ( 2 a 2b) ( y x 6/ )
E 9
14
13
■ ( - b ì) + b \ [ i b - ( - 4 b ) ] - - ~ b ì
E9
gH
( — l x 3y 2 +
2 a b );
:
( y x 4y )
+
[9a2b2]
y ( - x )2y + y x 4y : (2x2)
( y x 2/ ) : ( y x y ) + y x ( 2 y - 6 y ) : ( y x ; )
[-1]
( 1 6 o W ) : (2a3b2) - (16a4b4c4) : (2 ab2) : (2a2c2) + (2a4b4c2) (2a3b2) : (a6fr4)
it t il
— ^ - a 2b 5y . ( — j a
b — a b ^ — ^— 2 a 2 b :’ + - ^ - a 2 b 5y . ( a b )
[8afr2c2]
— 9”^4) } : ( — g~a )
[3]
i f f l —a4b2 : b + a4b2 : (—a) — a4b3 : (a2b) + (a2b){ab) + a2{a2b) + a2b(— b) : (~^3~fl) + 1— 2 a 4 : (a2) + y a2| : (—a) + 2 ^ y
W lk
1EU y a k 2” —^ y an+1b2n+2^ : ( f IE V 1
aj
li*] ['2 ab2”]
[{xn+3x3n+l) : x 4 + {x3n+l\ x2n~})x3n~2] : xn
im a m
[2X3”) y e r esem pio:
Teoria a pagina 224 (4 e $ )2
=
1€ cS
VERO 0 FALSO?
b. ( - x 5) 2 —x 10
0 0
e. ( bn) n = b2n
c. (— a :2) 5 — — x 7
0 0
f.
y
d. ( a2b 3)4 = a6b/
il
0 0
T
(a3)3= a6
a.
238
a —
[- 2a2b2]
a - y )
POTENZA DI UN MONOMIO G
b2
(n E N)
H E S E S E I
3. DIVISIONE E POTENZA
Calcoliamo le seguenti potenze
ESERCIZI
E N , negli esempi b e c).
(n
2n-2
I
a. (—2 a 4) 3 = (—2 )3 ■ (a4) 3 = —Sa (aò)n = anbn
b.
( - j x ny 2nf
2ny
,4«
(am)n = amn
+ c.
= ( - j J ( x n) 2 ( y 2n) 2 = \ x
( - l) " ( k 2) " ( c T ( d ',3)" = < " ^
( ~ b 2cnd nì) n =
pari
b 2nc"2d n4 se n è
2 4 — b 2ncn d n s e n e
dispari
(cn)n = cn n = c"2; (dn3)n = d"3 " = drì‘‘
Calcola le seguenti potenze (n, m,
CHECKER
E I
(a4)4;
G N).
p u m
( -3 c 5)2.
{ - 2 b ) 3;
( -3 x ) 3;
x
( -4 a 3)2;
[(-2 x y 2)2]3;
(3 a b 2x ) 2. E 3
p i
( - 2 a2) 2 ;
-I
~±m-
[ - ( - 2 X 4)3]2;
[—(—32c3)2]3.
(--2 a)3.
(3 a b c ) 3;
( - 2 y z 2) 4;
[(-3 a )3]2;
-2
n sn
—
7/( 2
—
1
X2P ;
- [ - ( x 2)3]3;
[ - | ( / ) 4f -
( b2y 3z s)7.
l ^ a b c 3J ;
in i p i
- ( - 6 x 3y )2;
- ( - 0 , 2 p 2q ) 3;
rPTi
( — l ~ a b 2) ;
(8x 5b 7c3) 2;
[ -( a 2/c)3]3.
- ( - j a ’ lr 'f-,
in j
> ( -3
( — ^ a ')
IT V j (—p 3)”;
( ~ 5 a 2b 2) 2.
( 3 x h,y ' m ) ' \
( ~ a 2) 2n;
con « pari. [ ~ { - x y ) n] n\
con n dispari.
Trova, se possibile, i monomi i cui quadrati sono i seguenti monomi (n E N). IT-frl
~ ^ a 2y 8;
0,25 b ì2x 8;
9 x 2y 6z 9;
81 a 6b4.
ÌT»f1
a 6nb 4c12n;
\ 6 x 4n\
4x,r ;
y2(”+4).
Trova, se possibile, i monomi i cui cubi sono i seguenti monomi (n 6 N). p i
- a 6/
L * 15/ 2’ ;
2;x6^ 2;
gH
x 9";
— f25~a3(”+1);
Sx6".
IT'YJ Quale m onom io elevato al cubo è uguale al quadrato di — g - x 3y 6?
Riconosci tra i seguenti monomi quelli che sono quadrati e quelli che sono cubi di altri monomi. IT'lil x8;
tifili
12 5 a6b18;
CHI HA RAGIONE?
(—
—a30b12;
64p 6q 4.
ÌTV1
—x 12;
m 4n 8;
_L
— a6bì2c3.
Q uali tra le seguenti potenze non sono state calcolate correttamente?
= — y - n 3;
—
2ax2) 2 = 4a2x 4;
( — ì^cdb}
= ~ ^ a n b6‘,
[— 2fl — (—2a)]° = 1.
Èva: «Sono tutti sbagliati!». Luca: «Uno solo è giusto». C h i ha ragione? ieh
COMPLETA ( p ^ b 3x ^ j -
le seguenti uguaglianze. x 12'’
(2 a
b2j - ^ =
I
Ia 4b8;
(j
\x
y 4j- ^
=
~ y ^ x ì0y 8.
239
7
MONOMI
G B
COMPLETA
p
fl12= (U )2= ( U ) 3
D
INVALSI 2012 Un arco di cubi L’arco m ostra to in figura è formato da sei cubi di lato L e da un parallelepipedo di dimensioni L, L, 4L.
64x6y 18 — (I__I)2 = (I__I)3 f l 24^>30 — ( |___ | ) 2 = (|___| ) 3
729xn t6 = (I__I)2 = (I__I)3
pU
Maths is easier Translate from words into mathematical symbols: YOU & MATHS
a. thè square of a3; b. thè cube of x 2y;
Si vuole dipingere l’arco; quanto misura la super ficie da colorare?
c. thè square of thè cube of p 4q 2.
[ a] 42L2 Esprimi il perim etro e l’area della figura, sapen do che il lato del quadrato maggiore è il triplo del lato del quadrato m inore.
m
40L2
[c] 38L2
Qf| 36L2
Scrivi i seguenti monomi sotto forma di potenze con il massimo esponente.
p
a12b6;
- y 12b24;
Ts*
- aì2b6;
81 a ’
co
P
J - a s.
32x10y 15;
hf
P
X
2x
\J]
1
16
4
a
•
- p Hq28
EUREKA! Un forte aumento Quale num ero aumenta del 500% quando se ne fa il quadrato?
i l l i
0 6
[0
10
\T \7
Ql] 8
[T] 5
[Kangourou Italia, 2006]
LABORATORIO
MATEMATICA E GIOCHI
Sulla via dei crucinumeri Il monomio S a indica un numero naturale multiplo di 8 : sostituendo ad a i valori 0, 1,2, ... otteniamo, rispettivamente, 0, 8 , 16,... In modo simile, 25 è un numero del tipo S a + 1, perché lo possiamo scrivere come 8 3+ 1. a. Scegli i tre numeri del tipo 8 a + 1 fra 56, 65, 77, 81 e 97. b. Scrivi altri tre numeri del tipo S a + 1. c. Scrivi ora tre numeri naturali del tipo 7b + 6 , tre del tipo d 1 e tre del tipo 3m■2 " . Esercizi come questi sono basati sul calcolo dei valori assunti da monomi, e da loro somme, per particolari valori assegnati alle lettere. Possono esserti utili se vuoi risolvere c r u c i n u m e ri, come quello che proponiamo qui a fianco.
□ 240
►Risoluzione.
►3 esercizi in più.
O r iz z o n t a l i
1. a 2; 3. 2"; 4.
Ì0h +
1;
6 . Sa; 7. 21+ 9. 10a; 10 . Ì O k + 2. V e r tic a li 1.7&; 2 . 5-(24)4; 3. d 2; 4. q *; 5. 25b; 6 . 2«2 + 1; 8 . a2- 1; 9. 3 q ■2 r .
3. DIVISIONE E POTENZA
IT T I
ITU
COMPLETA
ESERCIZI
COMPLETA
(a3bLJ)2 = a b6
0,1(1__I x " ^ ) 3* —_ o , 8 x &15, c o n « e N .
(—m
— (— a 2bc
2n
(+-jx
4) J
= — m 6 n 12
/ ) J= i
) 2n = \__IflUii-lc6”,
con n E N .
f-y * 2j 3ì (I____ I) 3 = —2 x 7y 6z 9
d__la—b2c—) 3 = —27a9b—cn - j a b 2 (\— \ ) 2 = ^
ITITI
q
O7 b A
COMPLETA
p G - y ( -
=
2
8
p*q4
INVALSI 2007
L’espressione 16a xob è è il qua
drato di... r~A~l
d _ J a U fc > 3 )3 = _ - I f l 3t LJ
4 a 3b 5
I~b 1 -8 a5fr3
—y (—3a J&LI) 3 = I__ \a9b 3
ITI
[— (— a - ^ ) 2] 3a = I__ la 13fr18
ITI - 4 a5fr3
8 a 5b }
Espressioni con tutte le operazioni v
Semplifica le seguenti espressioni. Le lettere a esponente rappresentano numeri naturali. ^— y a 3fr5j : (0,3a6fr8);
l u ti
(
—ì^abc^j
^— ^ a 5b7 1
~2 x
: [ 2 ( a b c ) 2];
2
■ ^ b h - ^ a b h
3 3 2
- y x y
y
1
1 0 3 {[(a2^3) 2]2} : [ ( a b 2) 4]2 ;
: ( ^ a 7b9c^j .
5 3
- ^ x y
_L , l
1
i
3 2
6
J_
abc’ i
8
5
y
[ a 8b 8; 1 6 x8jy4]
j x y
IM I (—4a 3fr4) 2 : [2a 3 b2 : (3a2)]
[54a3fr2]
p I
i fl4^2
[ i a2b){j f
p p
)
: { - k ab2) -
B *,)5 (3fl3b)4: (-yafr)(-6fr)2j
[0 ]
1MH |2a£>3 + (— 15fr5) (-y a 3) : [—(afr)2]j : (-y fr)
[25afr2]
Ilil
[1
pG IM I
a 7 + ( - y a 4 b)
—y a £ r) : [ a 2 b è : (—2 fr2) 3]
ESEMPIO DIGITALE
3 ~ 5 xy
5*
«4(
(12fr3c2)^— y b c j ' { ^ b ^ j —3c3[b4c : ( —6b)2]
ll'Zi (3a2) 3 : ^—y a j —a (a12 : a7) + (—9) 4a + (—5a3) 2
3
0 0
a 5]
2
36 ^ [24a6]
241
■£( v z ) \ - \ eq ev z ( o z ) OJ 4^
I XtO V to
I ON K> 4 » U i
1 0
\
V tO
$
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K > |\© <3to
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X
5 |a
U>
00
(z°z<ìzv):z[i{° -) -ìiiz^ -) -\ilSv -) - ] Z - iiziPz^ -)y\z°zclzv\ ) :MzDSzv)]
3
+
'-------' | Ul w au> u> to <3 to aOl + <3-
OJ <31 oj|> — * a a-to
xU "> i a U> s tO
tO
T
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O
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a-
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o <3-
I
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X %
o
3
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a
2
[^ 9 1 ]
a a-
~9~a-
[* W * ]
V M + z t f - ) x + -/*Z ( / * * ) ^ x : z( ^ - ) +
+ U \ A (* q\ A ( * a* - k - ■ ^ M M i s a g f i erra U 4 | - ì x - J u -un
i
u > |to
a aa to <3-
ir a
4^ a -
f— i ©
a -
X N
©
<3* to
1 oo a x
to a
7 MONOMI
ir a
3. DIVISIONE E POTENZA
{~2xy 2')
MM
ESERCIZI
T1 x /2 l
3*)3 :( — \~x2y) + - ^ x 1y i —(5xy)2- ^ y :(~^~xy
B E I \ (' \ % y2) : ("2y) ~{ \ xy){~~5) 2x) _ [(■ xi)2■(5>0] MM
(—
[0 ]
[—5a2]
+ (— a)2(4ab2) :[~zrab) — (6ab)2 : (—2b)2
ffil
y k 3 + (3&2c) ( - 2^ 2c2) : ( - y I?3) + ( - | è ) ( t ^ C)
F31 ffB
y ( —xy2) (0 , 5x2_yz —l,2x 2 ;/z)3z : [(0 , 6 xz_y2)°(—x 4 y 4 z2)], con x ^ ( ~ ~ s ay 2)
2ay) :
6ay3) - { - [ ( - a)2( - y 2) ] 2}2 : ( - - y ,a 3/ )
/ 7 2 Wftl 5 [(xyz2) 3 : (x y z ) 2] (—x a 5) 2 : (—7x 2) + —2 -a'xz : (7 -a xz 1
7
3
0
, / /
: ( t ^ c) 0
,z /0.
20
- y * 2)'2
<-7*)(i
jW j —(—x) ^— | - f l5x 3j : (a2x) + - y t f 3x 2 —| — ^-a2x 2j :
[—
+ (—ax)^— ì^ax
3
9
3
■ |( iT
4
—a \ —
t i '■{{^ 2 a ,")2 ■[ l ^ 2”) 2]} “ T
t
} ( t - 1 ) lfl"
\2
- j a mbn+ì EUREKA!
n E
3
[0 ]
2amb2" - am( 4 b "
T
b 9
F 7 I]
ai0xyz4
[(—x y ) m] 2 —[(x2 y )2]m: (3x2m) —0 ,3(xmy m) 2
m u w m s m m M
F771
2 2
(M
WXÌ (3a2b2c)n : (4a2bc)n
E0
[—x2y2z2
Monomio o no? Data l’espressione
\n—2/ -2
y a b 2j
( ' 4
\3
(a 4 fr8)3, esistono dei valori di
N per i quali rappresenta un monomio? In particolare, per n = 5 si ottiene un monomio? Se sì, quale? n > 4;-g-a6b12
EST!
EUREKA! Valore di verità Determina, se esiste, il valore di n E N tale che risulti verificata la seguente uguaglianza: (ab2ci ) 2n+ x: (abc) = bc2. [n = 0]
► LABORATORIO
MATEMATICA E BIOLOGIA
Evoluzione e dimensioni corporee In natura tutti gli organismi viventi (compreso l’uomo) necessitano di un equili brio tra il metabolismo interno e l’ambiente esterno in cui vivono. Negli animali, per esempio, le branchie e i polmoni sono mezzi che permettono di aumentare la superfìcie di scambio dei fluidi con l’esterno; molti altri fenomeni metabolici, per esempio il consumo di ossigeno, dipendono invece dal volume dell’organismo. a. Alla luce di quanto detto, secondo te, perché non esistono formiche giganti?
b. In modo simile, perché non possiamo rimpicciolire un uomo di 20 volte, se non con la fantasia?
►Risoluzione.
►3 esercizi in più.
243
7
MONOMI
h *
1
5 3 0
e
b
Teoria a pagina 226
VERO O FALSO?
a. Il m onomio 4x4ab2 è divisibile per 3x2b.
E B
b. 7abc è divisore di \ a 2b2ci .
S E
c. I m onomi 2a, ~rb, 5c non hanno un divisore comune.
B B
d. 6 a5x è multiplo di 2a5x.
S E
e. a'b 3 è multiplo dei m onom i 2a4, ~^ab, 3 b2.
0 0
TEST Uno solo dei seguenti m onom i è divi sore di 15x2yz3. Indica quale.
G
53
[~a~I 3xy2
Scrivi tutti i divisori con coefficiente 2 di ciascu no dei seguenti monomi. 4 a2b; 6xyz;
8p2q2.
[ I] y
5 3
I~c1 5x 3y
xy;
[~D~I 15x2Z4 E 3 Q
Scrivi tre divisori di ciascun monomio.
I seguenti m onom i sono tutti multipli di 2a2x tranne uno. Indica quale. TEST
53
ab4;
12c’d;
Individua tre multipli di ciascuno dei seguenti monomi. 2 x2y 2z; a4b2;
I~À~I ~^a2x
[c ] 8ax
ITI 4a2x4
|T ] - j a 4x 2
15k2x2.
3ax*;
Per ogni coppia di monomi scrivi tre divisori comuni. jfV tj 3x2y 2t;
P I
12xy2.
16 a3b;
4ab2c.
Per ogni coppia di monomi scrivi tre multipli comuni. ffl'l 2ax2;
5aixy.
MAW xyz;
y 3t.
Calcola il MCD dei seguenti monomi. M ll 15abc;
6b4;
9 bc5.
-2 x 2y 2;
16xy4;
4yz.
Calcola il mcm dei seguenti monomi.
WfA 2a3x;
-a x 3y;
FAI UN ESEMPIO
Inserisci un possibile monomio che renda vere entrambe le uguaglianze.
WM
3y 2t.
MCD(6a4x 2y 2; I I) = 2a2y;
M fl M CDCv^f; I I) = xy2;
244
P J
\ f ;
m c m i^ -x y 3; 1 Ij = xy4z2.
mcm( 1 2 a 2 fr;l
I) = 36a3bcz.
8pq;
12q4.
- abc2.
U. MCD E mcm
ESERCIZI
Dati i monomi A e B, determina almeno un monomio C che verifichi entrambe le condizioni scritte a fianco. MVI A - 2x2y;
MCD(A; B; C) = xy.
B — 3x3y3; 0 0
A= -
0 0
mcm(A; B; C) — 6x3y3.
MCD(A; B; C) = wV.
6 u 9v 4;
B — — 3 w7i^;
A = p4q3;
MCD(A; B; C) = p3q.
B = — 2p7qr2;
mcm(A; B; C) = 10p7q3r3.
0 0
mcm(A; B; C) — 12n9v5f.
A = 4xz3;
MCD(A; B; C) = 2z.
B = 6 /z ;
mcm(A; B; C) = 24x27 5z3.
Tutte uguali! Il num ero a è un intero positivo tale che la somma
EUREKA!
a + 2a + 3a + Aa + ... + 9 a è un num ero in cui tutte le cifre sono uguali. Qual è il minimo valore di ai [Kangourou Italia, 2004]
Calcola MCD e mcm dei seguenti monomi. x3;
x2\
x7.
0 0
2a;
b;
6a.
0B
4 a2b;
2a\
a6b4c;
ab2c;
B S D
TEST Quali sono il MCD e il mcm dei m ono mi 2a2x e 4 ay2x i
Ha ] MCD = 1 e mcm = 4a2xy2.
EEfl 3x2;
0 0
4 ab;
0 0
15x y
P Q
5xz;
0 0
WM 6x2y;
K'TI xm;
071
6x2z.
EUREKA! Gira e rigira Due atleti A e B, partiti nello stesso istante e dallo stesso punto, percor rono a velocità costante una pista circolare; A percorre 10 giri in n minuti, B 3 giri in m minuti.
y a 3b4x2;
a 3;
• Dopo quanti secondi dal via, come minimo, A e B si ritrovano insieme al punto di partenza? (Suggerimento. Esprimi con m onom i i tempi di percorrenza di un giro, in secondi, per entram bi gli atleti, quindi ricava il minimo tempo in cui entrambi compiono un num ero intero di giri...)
2V,,3 6 a2 xy
-1j x 2y 33.
y -ex 2; 2
9aixy;
x f l5*2;
1 -g-axy;
c 3 xy;
4a:
ITI MCD = x e mcm = 8 a3x2y2.
25yz.
ESEMPIO DIGITALE
6
a4bc2.
2 a3b2; 4 arb3.
WÌA - \ a 6b2x3;
0
I~c1 MCD - a2x e mcm - 4 a3y 2x2.
5x4.
12yz2;
K l l - y xy2;
0
3ab3.
x3;
W ìl Sxy3;
[~b 1 MCD = 2 ax e mcm = 4 a2xy2.
y a 4bx5.
• Se la pista ha raggio pari a r metri, esprimi con m onomi le distanze in metri percorse da entrambi nel tempo determinato in precedenza. [60nm; A: 20nrm, B: 6nrn\
-3 c2y.
f l 2^ ;
f l ^ 4.
0 0 3xy3;
2X2"1;
x'1)/2;
x2y3.
3xm/, con m E N. 071
Dati i m onom i 2x 2y z 2, 8xynz, 3x my 2z: a. trova per quali valori di n, m E N hanno lo stesso grado; b. con i valori trovati calcola MCD e mcm.
EUREKA! C’è solo un modo? Dati due monomi, entrambi con coefficiente 1, si sa che il loro mcm è a2bc3 e il loro MCD è ac. È possibile determinare i due m onom i in modo univoco? In caso affermativo, ricavali, altrimenti determina tutte le possibili coppie che soddisfano le ipotesi. [no; a c, a 2b c 3; ac3, a 2bc; a b e , a 2c}; a b e 3, a 2c]
245
7
MONOMI
5. PROBLEMI E MONOMI ©Teoria a pagina 227 D alle parole ai sim boli S c riv i in s im b o li le espressioni che p ro p o n ia m o con le
EH
parole.
ED
Il quadrato di un num ero a moltiplicato per il doppio di un num ero b.
EH
Il triplo prodotto dei cubi di due num eri x e y .
EH
Il prodotto fra il doppio prodotto di due numeri a e b e il quadrato di c.
EH
EH
Il quadrato del prodotto tra la metà di x e il qua druplo di y è uguale al quadruplo del prodotto dei quadrati di x e y .
EZI Scrivi e semplifica l’espressione che rappresenta la somma dei due num eri indicati sotto. decine
u nità
decine
(W m
JC
K
unità
2
Il quadrato del prodotto di a con il cubo del suo opposto.
EH
Dividi il doppio prodotto dei cubi di a e b per il triplo del quadrato dell’opposto di a. Che cosa ottieni?
Scrivi l’espressione che indica la somma tra un num ero e il suo triplo moltiplicata per la metà del num ero iniziale.
e h
Dati due numeri, uno il doppio dell’altro, dividi il quadrato del prodotto dei due numeri per il quadruplo del cubo del primo.
EH
Scrivi il prodotto tra il quadrato di un num ero per il cubo del doppio di un secondo num ero e dividi il risultato per il doppio prodotto dei due numeri.
EH
Moltiplica il cubo di un num ero per il triplo di un secondo num ero e dividi il risultato per il prodotto dei due numeri.
S c riv i in s im b o li le u g u a g lia n ze che p ro p o n ia m o con le p a ro le e v e rific a ie .
EH
Dati due numeri a e b, se si divide la somma tra il cubo del loro prodotto e il prodotto dei loro cubi per il quadrato del loro prodotto, si ottiene il doppio prodotto dei due numeri.
EH
Se al cubo di a sottraiamo il cubo del suo oppo sto e dividiamo il risultato per il doppio del qua drato di a, otteniamo a.
Problem i geom etrici S c riv i le fo rm u le p e r calcolare le m is u re delle grandezze rich ie ste in d ic a n d o q u a li sono m o n o m i.
perimetro area
perim etro area
6x
perimetro area
246
5. PROBLEMI E MONOMI
ESERCIZI
E rg In un rettangolo la base supera di 10a il triplo dell’altezza che vale 2 a. Trova il perim etro e l’area. [36a; 32a2] perimetro area
superfìcie totale volume
a. Considera il quadrato della figura, esprimi l’a rea di ciascuna delle due sue parti colorate e calcola il loro rapporto. b. Se si raddoppia l’altezza del trapezio e si dimezza la sua base minore, cambia il rappor to tra le aree delle due parti colorate?
3y
superfìcie totale volume diametro di base = 16a o
altezza = ^ del raggio di base
Esprimi il perim etro e l’area totale della figura in funzione di a. EEH In un rettangolo la base è 6y e l’altezza è ~ ry • a. Quanto vale il lato del quadrato che ha la stes sa area del rettangolo? 3 b. Se aumentiam o la base del rettangolo di - ^ y e l’altezza di yyy, di quanto aumenta l’area del rettangolo? [a) 4y; b) 5f]
E rg Area del trancio di pizza triangolare.
E rg Considera il parallelogramma rappresentato in figura e determina l’area della parte colorata e l’area totale della figura.
2L1
7
MONOMI
BQ
EQ
Esprimi in funzione di r il perim etro e l’area del la parte colorata della figura, indicando se le espressioni trovate rappresentano dei monomi.
ehb
U
INVALSI 2006
Da un quadra to di lato 4a so no stati ritagliati quattro triangoli rettangoli isosceli come nella figu ra. Quanto vale l’area della parte colorata?
Un rombo, in cui la somma delle diagonali è 34a e la differenza è 14a, è la base di una piramide retta alta tre volte il lato di base. Esprimi il volu me della piramide con un monomio.
a
a
I~a 1 8a 2 I~b 1 12 a 2
[1560fl3]
l~cl 14a2
ETiTil
3a
E
2a
2a
Un pannello di legno di forma rettangolare viene ritagliato come in figura.
ETifl
Un trapezio rettangolo ha la base maggiore che è cinque volte la base m inore di lunghezza a e l’al tezza che è il triplo della base minore. Determina area e perim etro del trapezio. [9x2; I4x]
§ p U
TEST Se / è la misura del lato del quadrato evidenzia to, come si espri me l’area dell’intera figura con un m ono mio in cui compare la lettera /?
a. Trova perim etro e area della figura in funzio
ne di a. b. Se la base del pannello misura 48 cm, qual è
l’area della sagoma? c. Che percentuale del pannello iniziale rappre senta la parte colorata? Eli11 Q EUREKA! U n r a p p o r to U n triangolo equi latero e un quadrato hanno lo stesso perim e tro. Q uanto vale il rapporto tra la lunghezza di un lato del quadrato e quella di un lato del triangolo? m
4
m
4
m
i
m
i
m
ETiFI
La semicirconferenza AB rappresentata in figu ra ha raggio a; la semicirconferenza OB ha cen tro nel punto medio di OB. Determina a quali m onom i corrispondono l’area e il perim etro del la parte colorata.
m
{ i
[S
il1
m -f-p m
j
[Giochi di Archimede, 2007]
15a2
00
EUREKA! O rig in a le e co p ia d i co p ia Una fotocopiatrice produce una copia dell’originale ingrandita in modo tale che il rapporto tra cia scun lato della copia e il corrispondente lato dell’originale è pari a k. L’originale ha forma ret tangolare e area S. Se la prim a copia viene a sua volta fotocopiata, quale m onomio esprime l’area S2 della seconda copia? Se l’operazione di fotocopiare la copia viene ripetuta n volte, quale m onomio esprime l’area Sn dell’n-esima copia?
[S2 = Sk4; S„ = Sk2"]
248
5. PROBLEMI E MONOMI
ESERCIZI
Lamine Se si aum entano le misure S a e \5 b di una lamina metallica, la prim a del 25% e la seconda del 4%, che variazione subisce la sua area? E H Q
Una scala di m onomi In figura è rappresentata la sezione di una scala, formata da n gradini uguali, ciascuno di altezza * e larghezza 2x. Quali m onom i esprimono il perim etro 2p e l’area S della figura? EUREKA!
[ a] 2p - 3nx,
S = 6nx2.
GÈ] 2p = 6nx,
S = (2 n + l ) x 2.
He] 2p = 6nx,
S = n{n + l ) x 2.
Qj] 2p = 4nx,
S —{n2 + \ ) x2.
Problem i
j— r 2 X .T x
in t o r n o a n o i
! ! □
ESEMPIO DIGITALE Fra inte _________ ressi e tasse Investendo in banca una quota di x euro per un anno, si ottiene un interesse del 3%. Sul capitale riscosso si paga però una tassa dello 0,5%. Quale cifra avranno a dispo sizione a fine anno Angelo, Paola e Gianni, con gli investi menti indicati?
RITI
Un orologio viene venduto in uno Stato a 30 monete e il rapporto tra il valore della moneta e quello dell’eu ro è 0,9. Se fra 6 mesi l’orologio costasse 40 monete e il rapporto tra il valore della m oneta e quello dell’euro fosse diminuito di 0,1, che variazione subirebbe il prezzo di una quantità pari a * orologi? [aumento di 5 x euro]
FOT Approfittando di uno sconto, M arta acquista il triplo delle vaschet
te di gelato comprate la settimana precedente. Questa seconda vol ta, avrà speso di più o di meno? sabato 6 luglio: costo x sabato 13 luglio: sconto deb 40%
3
p
Matteo ha x fumetti. Ne vende i y , però il giorno dopo ne acquista dei nuovi in num ero pari al triplo di quelli rimasti. Quanti ne deve ancora acquistare per raddoppiare il num ero iniziale di fumetti? 2
i y del numero iniziale B H G
EUREKA! Più bionde che biondi In una classe gli alunni biondi sono il 40% del totale, m entre i restanti sono castani. Tra tutti gli alunni biondi, il 75% sono femmine. Sapendo che nella classe il num ero di fem mine è uguale al num ero di maschi, qual è la percentuale di maschi castani sul totale degli alunni della classe?
[
a
]
20%
\J] 25%
[c ]
30%
QT]
40%
\T\ 50% [Giochi di Archimede, 2012]
ESERCIZI IN PIU EIH" E5JQ
su TUTTO IL CAPITOLO
249
MONOMI
ESERCIZI IN PIÙ DEFINIZIONI e Teoria a pagina 220 KIH Fra le seguenti espressioni sottolinea 1i monomi.
-x2yx;
3;
4a~2bx2;
x
a°b°;
9
Eia Trova per quali valori n E N le seguenti espressioni sono monomi. \ x 2n;
- 4 a y n~10;
0,2 an+l;
3,2 x ny n~4;
- ( j - J an~2b2n;
-2 an+1b"-\
00
Trova n E N in modo che il monomio - y axiy 2n sia di ottavo grado.
m
Sottolinea i m onomi simili nei seguenti gruppi. Per ogni monomio scrivi il suo opposto (n E N ) . ,n+ 1 .
-x 2n;
8
1 ytì +3 . 3x ’
jc" +2;
7
HIS1 Determina i valori di m, n e p affinché le coppie di m onomi seguenti siano simili. a.
-a 4b2;
b. 2 ab2c2;
2an+2bm. -a 'lbm~lcp+2.
ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE
e T e o n a a p a g na2 2 2
SOMMA E DIFFERENZA DI MONOMI SIMILI ETCÌ
Calcola la somma e la differenza dei seguenti monomi, a. 2 bc2;
— \ b 2c\
b. ^ - t 4;
- 0,814.
Espressioni con addizioni e sottrazioni a
CHECKER
S e m p lifica le seguenti espressioni.
jjWH ?>x-\-9x — &x + 4x — 2x
[6 x\
E S I 2u + 1la + 8 u — 3a + 4 a
[22 a]
E33
[ 8 aé>]
ab + 2 ab + 3ab + ab + ab
x2y + 3x 2y — (— 12x 2y) — 6x 2y + (—7x 2y)
E70
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[3x 2y]
MONOMI I ESERCIZI IN PIU
Y ìl\ 2a2bz — (—4a2b2) + 9a2b2— (+ 11 a2b2) — 14a2b2 2
x
2
+
6
—a3+
x
2
—
4x2 + 3 x
ab2—^
+ y x 2j — ^ — y x 2j
[ 1 2 x 2l
+ -ya fr2— [— (—ab2)]
y a-
2
2
5 2 4 fl
EMI -^-a2 + 6ab + - ^ b 2+ (^-^-a2 + -^-a2\ + - j - b 2 EH
(—xy) + -j~xy
i
—10a2b2]
xy
-fe
2
fx y )-^ -(-S x y )
3
[6ab] 1
1
3 5
o 8xy
PRODOTTO DI MONOMI EH
Scrivi in forma normale i seguenti monomi. 2,3 abbai —
(—9 ) a 2x ( —a ) y x 5;
-abea2.
/ E B 3 3 J J ] Esegui le seguenti moltiplicazioni di monomi. Le lettere a esponente rappresentano numeri naturali. KKIH (+ 3 x )(—4x);
(+ 2 x )(—3y 2).
(—2ab2) (—Sab).
M i! (—4a2) (+ 3a2); KKftl (+ 2ab2)(—2a3b2);
(+ 3x2y) (—3x2y 2).
T 6 x b c )(4 -b > c
E H
( - 4 y •331 3 — ^-x2y 2z^j(— 9xyz2)f-^-xy
KKH (—2 a”) (—8 a); g g EH
4xny 2) (xy")
( - 0 , 3 bx+1c )(+ -jb x+2c3Y ~ c x);
( - 3 ~ 1ayb2x) ( - 3 a xbx) ( - 4 a x).
COMPLETA
( = a 2fr8)(—4a bc ) = ^ - a :’b c2; jP
a2b"(I
P 6H6>
) = an+3b2n, con n E N;
—3a"bn — 1
j = y a2n+]bn+2, con n e N.
Espressioni con m oltiplicazioni
v / ^ J i l à ì ^ S ^emP ^^ca KM1 (2x2 + 8x2) (x — 2x); KKfrl (b3+ b3) (a — 8a);
seguenti espressioni. 2y 2(y2 + y 2) (y —y ).
3a2(a2 + 2a2 + 3a2) (a + 2a).
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E71
7
MONOMI [—2x2]
p i
2x2+ (— 3x) (—4x) — 8 (—2x) (—x)
p i
3x 2y + x (—x) (—y) + x 2(—y)
p i
(2 a 3 —a3) — (a 2 —2 a2) (—a) + 1
p i
(3afr + 5afr + 2ab) (2afr) — (2a) (2fr) (ab)
p i
(8x 3 —3x3 —6x3) + (9x 3 —2x3 —6x3)
[3x2jk' [ 1] [16a2frr [0 ]
ETTI 16jcy — (2 x) (67 ) + 8x7 — (6x) (2y)
[0 ]
p i
(t
P I
(0, lac) (a3c + 9a3c) + (—a2) ^ - ^ - a c
P i
^
P I
( ~ y + i y ) ( - y ^ v ) + ( “ 3x 2y + \ x2y ) { ~ ^ y 2) ~ ( ~ 5 x - * ) ( - y xy3+
RETI
(0 ,16aè>2 —0,5ab2) (—6 a£>) —| — ^-ab2^(—0,25ab) + 0 , 9 — \^ab2\ ( — 5a)
xz ) ( t t z
) - ( “ T )V
+ (- 5 r ) ( - | / ) - y V
— (3a2^2) (—
[ 2
— j^-ac j
[^-a 4c2
+ -^-afr3(3a3 —4a3)
DIVISIONE E POTENZA ©1 ^
x y 2]
[3 a 4 fc3]
^ - f l 2fo3
3^224
QUOZIENTE DI DUE MONOMI V
Esegui, se possibile, le seguenti divisioni. 18x2y 2 :(9xy);
EH1I
EEEI 36a2b : ( —4a); EHM I6x4y 5 : (4x2y 3);
72xyz : (2xyz);
CHECKER
24ab3:(b2). 9x3y 3:
3x2y 2).
20a4b3 :(— 5a2b). 88a2b2c2 : (— 1labe).
Semplifica le seguenti espressioni. Le espressioni a esponente rappresentano num eri naturali.
EHM (6a3b3+ 1la 3fr3) : (ab2);
( 8 x 37 2 + 4x3y 2) : (xy).
EKfl (a2b5+ 8a2b:>) : (a2b3+ 2a2b3);
(x2y + 9x2y) : (5xy).
[17a2b; 12x2y] [3b2; 2x]
EHVI (6a3b4 + 12 a3b4) : (3ab2) — (7a4b3+ 3a4b3) : (5a2b)
[4a2b2]
EH1H ( 8 xy) (2 x 3y 3) : (4x 2y 2) + (21 x 4y 4 + 11 x4y 4) : (8x2y 2)
[8x2y2]
EHV1 (ab2c2 —ab2c2 + ab2c2) : (bc) — (a4b3c2) : (a3b2c) EQ9 (xy2) : (y) + (x2y) : (x) + ( - x 2) ( - y 2) : (xy)
t /Z
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[0 ] [3xy]
MONOMI | ESERCIZI IN PIÙ
POTENZA DI UN MONOMIO Calcola le seguenti potenze, con n, m G N, distinguendo, se necessario, i casi n pari e n dispari. EED ( - * ) 2";
(~x2n)2;
E9
(~x2)n.
(- 3 a2bc)2n;
(5any mf n.
E H Riconosci tra i seguenti monomi quelli che sono quadrati e quelli che sono cubi di altri monomi. 0,000 ly 4;
49 a*b10;
- x 9y 6.
Quali monomi, elevati al quadrato, 25 sono equivalenti rispettivamente a —^ - x 2y 4 e TEST
100 z
Kf
COMPLETA
(ab
)2 = a2b4
x8y 6 —
'
2
H
| — 'j ) xy 2 e T o z ik-
(aLJfrcI—) 3 = a3b3c6
®
- j x y e J ò z3k-
64x 2y 4 — (1
®
81 * y e 10000 z k •
®
9 xy2 e 100 z3/c-
xy
)2
Espressioni con potenze e di riepilogo V
S e m p lifica le seguenti espressioni.
Kf
(16a2c4) 2 : (8c&).
Kf»YI (—3x 2yzi ) 2 : (.xyz2)2;
(2a4b3c2) 2 : {labe) 3.
m :l (—9a3b3) : ( 3 a 2b2); Kf'VJ (3xz)3(3y)3;
(20x5^ 3z2) 2 : (—5x10y4).
(—5y)3(5y;c)2.
KMll 2 (a3)2 —(a2) 3 —(—a)6 + (2a2 + 8 a2) 2 : a 4
[100]
M I! (x2) ( —x 2) 2 : ( x2) + (3x — 6 x + 7x)2 ■x 2
[17x4]
00
b4(b5 : b2) 2+ ( - b)2( - b)5( - b) 3 + (b2) 3( - 63) 2 : b2
[3bì0]
(xy) 4 : (x2y 2) + (—xy2 + 9xy2) 2 : (x2y 2) + (—xy) 5 : (xy)3
[64y2]
YÙUl —(8ab)2 : ab + b(6a + l a) + (b + 2b)(—a + 2a )3 : a2
[—48 ab]
K lfll (xyz) 3 : z2+ (4xyz) 3 : (z + 4z + 3z)2
[2x3y3z\
EMI 2 (ab)4 : (—ab)2 +
a4b6 : [4(—u)2(—fr2) 2] + [òa —a —-y a — 7a ^ - ^- a b 2^
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— a2b2
E73
7
MONOMI
P
y
P I P I
fr ) ( -
2
a)
4
+ [ - ( - f l ) 2] 2 ( - fc)
2
a'
i> ) ( -
2
)V f e
[5a 4 b 3]
) 2
REIl
-a2b3 j : (^~y$ab j —(—y a k 2 j
1
M -
[ I 6 x 8y 4z 12]
+ - y a 2 — a 4 : (— à )‘
2 a
45
a £>2
REE1
- ( y
(x2yz3) 4 — [(—X2) 2(—z )]2(—yz2) 3(—yz4) + (— 3x2y ) 2{ -yZ
RETI
REFI
3
5a
2 a 3b : (a —3a)2 + 3^-^-ab —ab^
[ 3 a 2b 2]
("~ a2b)2, con a ^ 0, b ^ 0.
(3a2k — 5a2k )2 —[ y a k 3—( — y a 3k2) : ( - y a 5k) + -ya k y - r y 2 —[-^-xy^3y —(y$x2y )
:(— I
43 15
^2a2 —y a 2)
2xy2)3j+ (3ry2) 2 : (2xy)2
x ) ] : [ ( y x2)'3) : (—
[a4b 2]
^ -a 4b 2
[ 2 y 2}
REA
( y a 3k — 2a3k) : (2a2 —7a2) 2 + ( — y a k 2)^5a —y y a j —[(-y a k 3) : i~Y^) + ("5"a —~Ya ) ^ k 2)
a 2b 2
REE!
2x y - 3x2( ^ x y ~ j y x y ) - j r - y ( - j x ) + ^~x3y
i7xy\
ETTI
( l l _1a 2k — y a 2k) (ak2 +
REA
y
ak2) ( y a
—
2a)
+
(ak
—y
ak)
:
(a4k2) + ( y a k 3 — ak3) : ( y a 2k5)
( 2 x y - ^ x y ^ : [ ^ - y - 4 y ) - (0,5x - 0,3x)2 + (y % + - y y * ) ( y * + J $ x ) | ( y a 2k —y a 2k) : ( y a k —3_1ak) + 3 y ( 3 a 2 —3_1a 2) —[2a2b2 —y - a 2k2) : ( y a 2k3) j : ( y a )
gg
( y r y 2j (2x)3 — ( y x y 3) 2x2 — (2x2y 3) 2 : (4xy3)ì — [x3y 2 : (— 3x)]3
RETI
(- y a 2k2) :^3a( — y a 2k) + (a2b)2 : (4ab) —( — y a k 2) : ( y a k ) + 42a k ( y a 4k ) ’ (~7fa4)
[ b]
\x 4 [- 6 ] j x 6y 6
[0 ]
RIEPILOGO V i CHECKER Semplifica le seguenti espressioni. E li!
0,3m2(—m2n) —[ — y « )(—ra4) + y ra2(—m2a) + 3 (— y m 2n) : ( y
-9m 4n]
EMI [—xz2(4x) — (—3z2)2x2} 2 : [x (—z )]3— (—x5z3) : [(—x 2) (—z )]2 + (x3z2) 2(—xz3) 3 : ( — y;»c:2z3)
[-19xz]
P I
-5x3/ 1]
y y ( “ 3x)4( - 5x y 3) 2 : [ ( - y ) 2(~ 2x)3+ ( x y ) ( - 7x2)/)]
EMI | l + j j [ 8 ak 3 : (2 k) 2 ] ( y a k ) j : (—y a ) j j , con a ± SS
SS
fc /4
0
,b±
0
[— (—x y ) 2] 3[-y x2(—y ) + ~Y6x y (—4^)] : ( - § - / )
1 _ (t
x )2( - ^
)2+t (^ )2 _
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[4] [ - x 10]
[0]
MONOMI I ESERCIZI IN PIU
Epa
Y ^ b c 3
KfrUl {3x + g n
: (—3a 2) 2 (7a b 2 c ) : ( y a c 2)
—3fr2( —
[IH
+ (—2 x y ) 2 ( — a;)]3 : (—a:4;/3) 2} : (—2 x )
[-2]
<( y j 'z 3) ( - 1 4 y z ) :( - 2 ) :[ d z 3) 3:(21z2) + y - ( - ^ z ) 3( - z ) 4]}
h i]
[ 5 x 3y 2
EH -f y * 2 -
3 ( ~ y x y / - ( - f - * y ) ( - T * ) + (“ T H i - ! * 2)
E4IÌI {[—6 a 2 b 3 —(2 a )2(—3 b 3)
— 4 a b ( a b 2) +
[ b 2y ~
b
2y 2\
[indeterminata]
(—2 a 2 b ) (—b ) 2] 2 a b } 0
MiVA
( 2 x y 2) 3 ( 3 x 2y ) 2 : ( 6 x y ) 2 — [ ( 2 y 2) 4
4 y 2)](^ —g-^ 5)
EH
{ 3 a 3b
:(y -a b )
[_4a2]
EH
{ [ - ( p 3
[0 ]
- [ ( - 2 b ) 2 { - 5a ) 3 : (2 0 a b ) ] ( -
a)}
[t x5H
EH EH
-7 l
( — |-a2b3j : ( y a f r 2) — 5 a (— y f l 2fr) : ( y fl)'^
+ ( y t f b 2 — y a f r 2) : [a (— fr)3]
EH
—( —|- a 5+ y a 5)j : (0,5u3) 2(-|-« 2fr) — (—a)2(a4b) + ^
EH
—15fr6 + | y a 4b j : ( — ^ fl4) ( — \ a ) + y f l 2(—fr2) 3+ [—2a2fr : (u2b)] 2(—fr)6( y
EH
: ( — ^” a6^) y
167 36
ab
T a‘ b
- a 2b 6
32 2 6 -75x y
d > ,2)3( - | x )2 + ^ - (^ 3)2- ( - T x>')2[ T y (- ^ )2r + 1 1 ( T x>’)2( ^ - )
OH
( - i f l 2fe)2 + ( - ^ - « 3b2)2:(-| -flf> )2]5 : ( - y f l 2fe)S -
QQ
( — Y ^ b 2^
— | - a 2 fr2c ) ( y a f r c )
: ( — a£>)2 y
37 270
- ( | - f l 3i>2) : ( - 4 - )
( 3 a b ) 3 ( — ^ - b 4 c6) | — ( — §~)
f l3 ( — a ) 2
25 5 12 a 3 5
EH
| (l,5 rK )2( 0 , l) _2( y ^ 3)
EH
4,5£>3 + ( - 3& ) ( y & ) V
EH
( y ) _1fl|3 : (3«)2 + {[(a2b3) 5 : (a5b)] 2 — [9a5(— F ) 2] 2}°{a 3^ : [ ( - a ) ( - a2b)} + b4 : [ ( - b)2]2},
: ( - 5 x ) 2J :( l,3 ) x y
2)f: [ ( - 3 F ) 2( - 2k)3] + (2fr)2 -
a 6b3
T * 7
2,5{0,05(—b2)4 : [ - (0,5fc)2]3}
[9b 2}
con a, b ^ 0 . [3a + 2]
U t iliz z a le p r o p r ie tà d e lle p o te n z e e i l c a lc o lo co n i m o n o m i p e r s e m p lific a re le s e g u e n ti e s p re s s io n i
(n G N).
EH
—26” : (22”) — (28 • 23)" : 27” + 4(22) 2"
EH [25+"(22)"] :[(- 2")3(- 2)3] + [2,!+3(—23)2]:[(- 22)322+”] EH
[4" • 4(2”) 2] : 2 2 + 42”+2 : (—2)4 + 2 [(43”+ 1• 4") : (42n+ 1)]
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[42"+1]
E75
7
MONOMI
H I !
JÌ_ ytì+
1
. _(.
+
( x nx ) 2
8
m
x 2n+1 —-J-xx2n
|-= ^ + ( t -
tf
(x', +3-x2") : (x3)
(x6" : x 2" ) - ( - y ) x 2nx 3n( - x")2 + ( - 2) - 3(x2”) 6 : (x5) "
w
( - | « 4"x’)2 : ( - | - a " x 4)3
BUI
[4]
4x2n
H\ 2
(-a ) + - z - ( - o
( - 3«")
3
2
(a 2"
) 4
[ - 9 a 5n+2]
(—3)_2(a3”) 2
Calcola MCD e mcm dei seguenti monomi. Vfkl 12a"b2n; 5a2nb3n; 6 ab'1, con n E N , n > 0. x2 "f8";
20xny ntn;
E3
8
g g
3a2mbm+1;
2a2m+1b;
x7ny nt3n, con « e N . 4bm; 6amc, con m G N.
Determina a, fo G N in modo che il massimo comune divisore tra i m onom i x2ay bz 3 e x /'z fo+1 sia z2. [a =
0
;
=
1
]
[ 2 3 Dati i m onomi A = 3a66 e 5 = a3b3, determina un m onomio C, sapendo che il massimo comune divisore di A, B, C è M = ab e che, indicato con m il loro minimo comune multiplo, si ha:
m:
■M j = 6 (ab2) 2b.
INTORNO A NOI
REI Due negozi di telefonia hanno attivato le seguenti promozioni per l’acquisto di un telefono cellulare di ulti ma generazione, che di listino costa x euro. Nel negozio A il cliente avrà il 20% di sconto sul prezzo del telefono, m entre nel negozio B il cliente avrà il 15% di sconto sul prezzo del telefono e il 10% di sconto sul costo della prim a ricarica. Mario decide di acquistare il telefono e di ricaricare il suo credito di -jq - del prezzo intero del telefono direttamente al negozio. a. In quale negozio gli conviene fare l’acquisto?
b. Di quanto differisce la spesa effettuata nei due negozi? c. Qual è il prezzo del telefono se Mario, acquistandolo presso il negozio con l’offerta più conveniente, risparmia € 40? a) A ; b) qqjQ-*; c) € 200
JSSk
Durante le vacanze natalizie, la gioielleria di un centro commerciale ha guadagnato € 100 in meno del triplo del guadagno del negozio di abbigliamento che, a sua volta, ha guadagnato la quinta parte della somma guadagnata dalla profumeria. Esprimi, mediante un’espressione algebrica, la somma guadagnata comples sivamente dai tre negozi. se x = guadagno profumeria: -j=-x —100 4x
REI Considera il quadrato rappresentato in figura. a. Esprimi in funzione della variabile x l’area della regione colorata.
b. Come cambia l’area se i lati del quadrato raddoppiano? c. E se si dimezzano? a) 10x2; b) 40x2; c) -|-x 2
E76
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MONOMI I ESERCIZI IN PIÙ
E J
EUREKA! B u c h i al cu bo Al centro di ciascuna faccia del cubo in figura, di lato L, viene disegnato un quadrato di lato
"2 ", centrato rispetto alla faccia e con i lati paralleli agli spigo li del cubo; quindi vengono eliminati dal cubo stesso i paral lelepipedi a base quadrata che hanno per basi le coppie di quadrati disegnati su facce parallele del cubo. Esprimi con opportuni m onomi il volume del solido ottenuto e la sua superficie totale. V = \ l\ S = ^-L 2
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E77
7
MONOMI
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ►Competenza 1 (abilità 2, 3) COMPLETA
y a 3b j
indicando quale operazione è stata eseguita.
j(-^-a 3fr) = - y
(—xz)[__l(—xz) = 0
( - j a y j ^ l f a Y ) ==
- 7 V )U (-T V ) =
1
~ ^ a 3bx^j\___I( ~ ^ ~ a b A = - ^ a 4 b 3x
Verifica le uguaglianze svolgendo separatam ente i calcoli nei due membri. 15a2 : ( - 5a) - 5 a - (9 ab2) 2 : ( - 3b)4 = [ ( - ab) ( - a2) ( - b) 3] : (ab4) + ( - 2a)3 : a2 9x8 :
CHECKER
1
= 9x(3x2) 7 : (3x3) 3
Semplifica le seguenti espressioni.
~2x 2(—xy) + x ( —3x 2y) + x y( —4x2) —2y(—7x3)
~g x( —4x 2y) + (— l , 2 x ) ( — ^ x 2y \ —
{[( " f" ) (—2^) } : (—fl4) 2( — g"^3) + —
(—fl3^) 2+
a3b2
a4b2^j : [ y a f r ( —a3fr)‘
( y ai>4 ) 2 : (-jLflf,) + {-2 -(fc3) 2[(- a) ( - fe)] + ( - 7« ) ( y b4 ) 2 : ( - 6 )}
[2b]
-rya b 7
{ { [ T a2(,3_(_ fli,) 2( — f *’) ] : [(- a ) ( - i 1)]}2}5 : {[3«3(— i>)4 — 2 (— ab3) ( - a2b)]P
[abs]
lOax — [(2a)23 (—ax2) 3 : (—6a3x 3) ] 2 : (a3x s) + ( ^ a ^ —
[5a x ]
(2x2y ) 3: [ ~ - j x y } - ^ ( y x 2)
1
- 2(2x2)2(-~ ^-y}
a4b5(—ab) : ( ^ - a 5b4^ —(—b) 2j [ —u2b + y a2fr+ y (—a) 2frj + ( —y a) b7j : ( —4 )3
- ( y x y 2) : ( - y x y ) ( - * ) - y ( - / ) ( - xy) 2 (x3) 3 : ( - x 3/ (3ab2) 2(0,3ab)3- [ ( - a )3( - 9c) (3‘ ^ c ) : ( - a2c)2] " V
4
~2 x y
2a - (3a)2 : ( y « ) ]+ [ y b2 ~ ( y b2j : (2b2)\ - (2a)4 : ( - a )3+ ( f fr2)' : ( ^ 4)
250
[ 8 x 3y ]
) 2
+ ( - | x 3)
: [ - ( - a)]} { { [ ( - bc) 2] 3 : c6} b]
io - b2 9 0
[0 ]
26 27 ' [0 ]
{(3x)2 + [(xy3)2 : y 6]}21 ( - 0, lx)2+ [0,5x 2y 2 : ( - y ) 2] - (0,4) 2x3 : (^ y -) x J
[26x6]
y [ a ( - a + 2 - ( - a )4 : ( - fl)3)][(a 5fc4) 2 : ( - a2b)3 : ( - a2) 2 : ( - b)3) {c4 : [a4kc : ( - « )3 : ( - ab))}
[a b 2c 3]
MENU DELLE COMPETENZE @
Nella seconda pagina della copertina
U tiliz z a le p ro p r ie tà d e lle p o te n ze e i l c a lc o lo co n i m o n o m i p e r s e m p lific a re le s e g u e n ti e spressio ni
(n e N).
ITI
[(3*2)"]":(3T ^ 2
+2n +
3”
(3”)" + (32) "35" : (—3'1) 3
1-34"]
h\4 34+w [34(33”) 2 : (34” + 1)1 (—3”) + 5n 32 3 -3
[3”+3]
[42(2»)28« : ( - 4»+2) + 2(2tt) 3] (2 • 82" : 43”) n\ 3
(~ a”)
[ —2 3tt+1]
—34a ”(—a 2n) V
H-------- v—
’
-----------------( — 2 a 2” ) 4 • ( a 4n)
+ |(3a2")2:a2”](a6)”
►Competenza 3 (abilità 1, 2,
1 ^
[ ~ 6 a 4n]
) .{a )
U)
Indicando con A l’area e con P il perim etro della figura a lato: quale tra le seguenti coppie di uguaglianze è vera?
L J INVALSI 2004
[ a]
A - 13x2; P - \6x.
|T ] A = lCbc2; P = \6x.
[c]
A - 36x2; P - \Ax.
[ d] A = 10x2; P = 14*.
Quale delle seguenti espressioni rappresenta un num ero intero che è contem poraneamente un cubo e un quadrato se a e x sono num eri naturali qualsiasi?
Q
INVALSI 2006
f~A~l —64a6*12 Q
INVALSI 2004
[ b] a6*4
[c] 64a6* 12
Cd] 64a8*6
Se S è l’area di un quadrato di lato a, l’area del quadrato di lato 2a è espressa d a ...
0 8 S
0 4 S
|T ] 3S
[ d\ 2 S
2
Dati i m onom i A — -gXiy 2z e B = —3xy4, determ ina il loro massimo comune divisore M, il loro minimo comune multiplo m e verifica che A ■B è un monomio simile al prodotto di M per m. Considera i m onom i aixb4, ab2c4, b5cy, con
x,
y
e N.
a. Trova i valori di * e y in modo che i tre m onomi abbiano lo stesso grado. b. Con i valori d i x e y trovati calcola il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo.
c. Scrivi un quarto monomio in modo che il massimo comune divisore sia b e il minimo comune multiplo resti invariato. d. Scrivi un quarto m onomio in modo che il massimo comune divisore resti invariato e il minimo comune multiplo sia a5b5c5. i^ " l Grazie a un buono acquisto, Catia riceve un ulteriore sconto del 20% sul prezzo dei jeans, già scontato per saldi. Qual è lo sconto complessivo? Quanto pagherà Catia? p rezzo d i
Lutino: x
sc o n to sa ld i/. 3 0 %
251
7
MONOMI
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE TUTOR PROVA C 0
PROVAA
(10 esercizi)
(10 esercizi)
PROVA B
© IN MEZZ’ORA
►Competenze 1, 3
© IN UN’ORA
COMPLETA
y x4 3x(l_I) ~
3
( - 9x2yz) (I------ 1) - y x 3yz4;
— — x 4;
" * 9) ( l___\ x 2^
)
=
8
d___J m
x ^ y 6;
8
n 5) : ( —
6
m
n ) — - ^ m 2n
.
S e m p lific a le se gu en ti espressioni.
4a2— 4a2(— ax + 3ax) —6 (—2a + 3
—2x(a3—5«3)
—2 (— 5 by) (— 2è’3jy) + 8 b6y 4 : (— 2fr2>’2) —y fr4(— 9y 2)
(—3x3) 3
x 2) 3— [(2xy2) ■(x2y ) 3]: ( y x 2 —y x 2) • (18y5)
Trova MCD e mcm dei seguenti monomi. 4x2y 2;
6xy2z;
18xyr’z3.
E f l Esprimi la seguente frase utilizzando i m onomi e semplifica l’espressione trovata. Dati due numeri, moltiplica il cubo del prim o per il doppio del quadrato del secondo e dividi il risultato per il quadrato del prodotto dei due numeri. PROVA D
►Competenze 1, 3
© IN UN’ORA
VERO 0 FALSO?
a. Il m onomio 2x4y 2 è divisibile per —9x 4y.
0 0
b. Il quoziente di due m onom i è sempre un monomio.
00 00
c. (a2'1) 4 : (—a4) 2" = —1,
con n E
N.
d. Il mcm di 2 a2 e - ^ a b è a2b.
00
e. I monomi —y (x3) 2y 4 e x5(y2)2 sono simili.
00
S e m p lific a le se gu en ti espressioni.
{ - 3 [ - ( - r r ) 3] 2- ( — | * 2y 2) } : ( - 2 x 2y ) 3+ ( - y y ) + [ ( - x 2y 3) 2 : (2xy)3]: x (—2ab)3+ ( —a b + - ^ - a b j —(-^-a2b3'j : ^ y a£>3—2afr3) + 2 6 ^ -y -ì
( - 3x)3[ ( - x n) 2:(3x2n)} (—x)3 :
: ( y 0 2x^
1—[—(—2 x ) 2] 3 : (—x)2, con n e N .
BrB Trova MCD e mcm dei seguenti monomi. a. 12a3*4;
3 a2y;
9a2x3.
b. 6 b4;
-jr a 2b3c; 2
In un rettangolo la base è Sa e l’altezza supera i y
12a4c2. 1
della base di y a.
a. Calcola perim etro e area del rettangolo. b. Se la base e l’altezza aum entano di a, come variano perim etro e area del rettangolo?
252
MENU DELLE COMPETENZE O
PROVA E
Nella seconda pagina della copertina
►Competenze 1, 3
0 IN UN’ORA
La tassa smaltimento rifiuti Un Comune, per calcolare l’am m ontare della tassa annua di smaltimento rifiuti residenziale, tiene conto dei seguenti elementi: • la superficie dell’appartam ento e il num ero di persone che lo abitano (conteggiando € 1,20 al m etro quadrato e a persona); • l’eventuale presenza del giardino (conteggiando € 0,35 al metro quadrato). a. Scrivi la formula per il calcolo della tassa. b. Quanto paga Davide, che vive da solo in un appartam ento di 45 m 2 senza giardino? E Sandra e Cinzia, che vivono assieme in un appartam ento simile? c. Gli am m inistratori valutano che il num ero degli abitanti influisce troppo nel calcolo della tassa, quindi scon tano € 0,30 al m etro quadrato (dell’appartam ento) e a persona per i nuclei di almeno due persone. Qual è la nuova formula? Quanto pagheranno Sandra e Cinzia con il nuovo computo? d. Per quelle abitazioni che rim angono vuote almeno 4 mesi all’anno (come nel caso delle seconde case abitate solo durante le vacanze), è prevista un’ulteriore riduzione del 15% della sola quota appartam ento. Qual è la nuova formula? Quanto pagheranno, alla fine, Sandra e Cinzia, se abitano l’appartam ento per 5 mesi all’anno? PROVA F
►^Competenze 1, 3
L’aiuola Un giardiniere deve inserire in un parco varie aiuole, tutte con la forma della figura ma di dimensioni diverse. Per calcolare il perimetro, indica con a la misura del lato più lungo e tiene conto che i lati corti misurano tutti un terzo del lato più lungo e che gli angoli sono retti. a. Esprimi il perim etro dell’aiuola in funzione di a.
© IN UN’ORA O O
O o
O
Q
o O u O O
o o o °o
b. Esprimi l’area dell’aiuola in funzione di a. Lungo il bordo deve piantare dei fiori distanti 40 cm l’uno dall’altro e in m odo tale che in ogni vertice ci sia una piantina. c. Quante piantine gli servono se la m isura del lato lungo, in metri, è a = 6? d. Esprimi in funzione di a il num ero delle piantine necessarie a completare il contorno. Quale caratteristica deve avere a perché la distribuzione delle piantine sia regolare? PROVA G
►Competenze 1, 3
0 IN UN’ORA
Il pannello Un gruppo di studenti, per il laboratorio d’arte, costruisce un pannello quadrato ispirato alle Composizioni di M ondrian. a. Scrivi la formula che fornisce l’area del quadrato in funzione delle suddivisioni interne indicate (le linee nere hanno spessore trascurabile). d a La scuola mette a disposizione le vernici acriliche: 2 vasetti da 125 mi di bian co, un vasetto da 500 mi di rosso, un vasetto da 60 mi di verde, un tubetto da 20 mi di giallo e un tubetto da 20 mi di nero. Ogni vasetto da 500 mi costa € 14, il vasetto da 125 mi costa € 6,50, il vasetto da 60 mi costa € 4,70 e il tubetto da 20 mi costa € 2,20. In media con 1 kg di vernice si copre (con due mani) una superficie di 4 x 3 m 2. b. Stabilisci se il colore a disposizione è sufficiente per completare l’opera, qua lora le lunghezze siano a = 1 m, b = 2,5 m, c = 0,5 m, d = 2 m. c. Qual è il costo delle eventuali vernici aggiuntive da comprare?
253
POLINOMI 1. DEFINIZIONI
A p o ly n o m ia l is an expression m ade up of m onom ials, called te rm s . It contains le tte rs and num bers. L e tte rs are com bined using alg e b ra ic sum and m u ltip lica tio n , but not division.
Esercizi a pagina 264
Un p o lin o m io è una somma algebrica di monomi. Ognuno dei monomi che compongono il polinomio si dice te rm in e del polinomio.
2
4x3 + -^ a x 5 è un polinomio.
ESEM PIO
DEFINIZIONE DI POLINOMIO ©
r^ ì
a2 2a 4 + 3a 1Ie —r~ non sono polinomi.
I m onomi sono un sottoinsieme dei polinomi. Infatti, ogni monomio può essere visto come la somma di se stesso con il monomio nullo, quindi è un polinomio. ►3ab2 — 3ab2 + 0. p o lin o m i
Anche ogni numero, essendo un monomio, è un polinomio. 0 è il p o lin o m io n u llo . Un polinomio è r id o tto a fo rm a n o rm a le (o, brevemente, r id o tto ) se i suoi termini sono monomi in forma normale e non ci sono monomi simili. ► 5x3 — 3x + 2 è un polinomio ridotto a forma normale, 7a2ba + ab2a e 6y4 —2y + y 4 non lo sono.
Un polinomio ridotto si chiama b in o m io se ha due termini, tr in o m io se ne ha tre, q u a d rin o m io se ne ha quattro. ► xr —y 2 è un binomio; a2 + 2a + 1 è un trinomio; y 3— 3xy2 + 3x 2y —x3 è un quadrinomio.
I coefficienti dei monomi di un polinomio ridotto sono i c o e ffic ie n ti d el p o lin o m io . II termine costituito soltanto da un numero è il te rm in e n o to . ►Il trinomio 4 b2c2 + bc — 3 ha coefficienti 4,1, -3. Il termine noto è -3. Due polinomi ridotti a forma normale sono: • u g u a li se sono composti dagli stessi termini, • o p p o s ti se uno è composto dai termini opposti dell’altro.
►Rispetto a 6x4 + 2x3—5x + 1: il polinomio 2x3 — 5x + 1 + 6x4 è uguale; il polinomio — jc —2x3+ 5x — 1 è opposto. 6
254
4
TEORIA
ESEMPIO
1. DEFINIZIONI
Un polinomio è om ogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado. ►3x3y —x2y 2 è omogeneo, a3b2 —7a2b non lo è. Rispetto a una lettera, un polinomio è: se ha i termini disposti in modo che gli esponenti di quella lettera siano decrescenti o crescenti;
• o rd in a to
se i suoi termini hanno tutte le potenze di tale lettera, da quella con espo nente massimo a quella con esponente 0 (termine noto).
ord in a to
_________
3x4 —~yx + 1
• c o m p le to
►Rispetto alla lettera %il polinomio 5x3y + x2y 2 + xy3 è ordinato (in ordine decre scente), ma non completo (manca il termine noto); il polinomio 6 + ax2 + bx è completo rispetto a x, ma non ordinato.
POLINOMI COME FUNZIONI ©
x —5c +,
1
~ ^x
2
co m p le to
Esercizi a pagina 267
Ogni polinomio in una variabile è una funzione della lettera che contiene. Il dominio di una funzione polinomiale è R . ►Il polinomio P (x) = x3 —4x è una funzione nella variabile x. Possiamo calcolare i valori del polinomio al variare di x: P(5) = 53- 4 - 5 = 105; P(2) = 8 — 8 = 0; I
P(0) = 0 - 0 = 0;
J > (|) =
P ( - 1) = - 1 + 4 = 3; -
valori che annullano un polinomio si chiamano z e ri del polinomio. ►0 e 2 sono zeri di P(x) del precedente esempio.
Un polinomio con più lettere è una funzione delle variabili che contiene. In particolare, un polinomio con due lettere è una funzione con dominio R x R . ►Q(a; b) — 2a + 3b è funzione di a e b: Q (l; —2) = 2 1 + 3 (—2 ) = - 4 ;
q
(- |-;-g-) = 2 - j + 3 -g- =
...
Principio di identità dei polinomi
• Se due polinomi P e Q sono uguali, allora senz’altro le corrispondenti funzioni poli nomiali P(x) e Q(x) assumono lo stesso valore per qualsiasi valore attribuito a x. • Viceversa, si può dimostrare che, se due funzioni polinomiali P(x) e Q(x) assumono valori uguali per qualsiasi valore di x, cioè sono la stessa funzione, allora i polinomi corrispondenti sono uguali. 255
8
POLINOMI
TEOREMA
In sintesi, vale il seguente principio. P r in c ip io d i id e n tità d ei p o lin o m i
Due polinomi P eQ , nella variabile x, sono uguali se e solo se le corrispondenti funzioni polinomiali P(x) e Q(x) assumono valori uguali per qualsiasi valore attribuito a x.
ESEM PIO
Vogliamo che A (x) — ax2 + (a + 2) x + 3 e B (x) = 3x2 + 5x + b — 7 siano la stessa funzione. Quali valori devono avere a e b7. I polinomi devono essere uguali, quindi, considerando i coefficienti di ognuna delle potenze di x:
a — 3, a + 2 — 5, b — 7 — 3, relazioni verificate per
a = 3 e b = 10.
ESERCIZI PER COMINCIARE WlM Fra le seguenti espressioni indica i polinomi e scrivi gli opposti di quelli ridotti a forma normale. - y x 2 + 4x;
y —2x + 3y;
a —2 ’
7a;
b2 — b~2;
12;
ab2a2 — 1;
a1— 1;
U n p ro b le m a co n i p o lin o m i II p ro getto di una villetta con un solo piano ha la pian ta della figura. 6
2
2
5b + a
3 + 5;
WM Indica il grado di ciascuno dei seguenti polinomi e sottolinea quelli omogenei. 3u2 + a4 + 2;
5 + x —y;
4x 3— 9y3;
6;
1 — b3;
5ab + a2;
a x + a 2x 2— 3;
a
x 3+ ^ x 2y.
D
B B 0 3
b
P(x) = 5x2 + 2 x —9 e Q(x) = x3 + 15, per quale o quali fra i valori
b5y + b2y 2 —y 3;
si ha P(x) = Q(x)?
WM Ci sono valori di h e k per cui le funzioni polino miali P(y) = 4y5+ (k + 2)y3+ y e
WM Dato P(b) = b2 — 3b + 1, calcola Q (y)
P (1),P (-1).P (3), p (-ì-),
p(
Indica gli eventuali zeri trovati.
256
f ), P(0,1).
a
Date le funzioni
x = —2, x — 0, x — 1
a2x 2 + 2a x y + y 2.
b
2
x 3y —4xy2 + 5;
6 —~j-aAb + a2b2 —- y a3b3—ab4;
2
a e b sono le misure in m etri di due lunghezze. Per disporre di almeno 150 m 2, possiamo sceglie re a = 2 e b = 3? E a = 1 e b = 4? D
K B Rispetto a ciascuna lettera, scrivi il grado e indica se il polinomio è completo e/o ordinato.
a
= (h +1 )y5+ 6y 3+ hy
sono uguali? Motiva la risposta.
2. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE
TEORIA
2. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DI POLINOMI ®
Esercizi a pagina 271
L’addizione fra polinomi si basa sulla regola della somma di monomi simili. Come abbiamo visto per i numeri relativi e per i monomi, la sottrazione viene trasfor mata in addizione, considerando l’opposto del sottraendo. < _l oo LU OC.
Dati due polinomi, la loro: • so m m a è la somma algebrica dei termini del primo polinomio con quelli del secondo; • d iffe re n z a è la somma del primo polinomio con l’opposto del secondo.
addizione
ESEM PIO
(~^y +
X 2\ +
(—x 2+ 1 + y ) = \
'
- j y + x 2~ x 2+ l + y = -------
—
so ttra zio n e
—
-
e lim in ia m o * le p a re n te si
(a4 — 3a2) —Ì2a
\ so m m ia m o i * m on o m i s im ili
a4 -
—
=
a2+
^ 3
f l2 -
2a
+
a2 ~ ^ ~ a 4 =
4
n ca m b ia m o * i segni n so m m ia m o i V m on o m i s im ili
a4 — 2a2 — 2a
Sommando o sottraendo polinomi, otteniamo sempre dei polinomi: l ’addizione è una operazione interna nell’insieme dei polinomi, mentre non lo è in quello dei monomi.
MOLTIPLICAZIONE DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO @ Esercizi a pagina 273
REGOLA
Il p ro d o tto d i u n m o n o m io p e r u n p o lin o m io è la somma dei prodotti del monomio per ognuno dei termini del polinomio.
ESEM PIO
La moltiplicazione di un monomio per un polinomio si basa sulla proprietà distribu tiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.
(—8 ax) ■(9a
—
= (—8 ax) ■9a + (—8 ax) ■( —f"* 3) = " 72a2x + 6ax4
a p p lic h ia m o la p ro p rie tà d is trib u tiv a
m o ltip lic h ia m o i m onom i
Poiché vale la proprietà commutativa, la regola è la stessa se il primo fattore è il poli nomio e il secondo è il monomio: (a + b) ■c - c ■(a + b) - ac + bc. ► ( x 3 — 2 y ) ■(— 4x y ) = — 4x 4y +
8
x y 2.
MOLTIPLICAZIONE DI POLINOMI ©
Esercizi a pagina 275
Per moltiplicare fra loro due polinomi, utilizziamo la proprietà distributiva più volte. ► (a + c) ■(b + d) = a ■(b + d) + c ■(b + d) = ab + ad + cb + cd d is trib u ia m o (b + d)
d is trib u ia m o a e c
257
8
POLINOMI
Il prodotto fra due polinomi è la somma dei prodotti di ognuno dei termini del primo polinomio per ognuno dei termini del secondo.
(3x + y ) ■(x — 2y ) — 3x ■x + 3x ■(—2y ) + y ■x + y ■(—2y ) — 3x2 —6xy + xy —2y2 — 3x2 —5x y —2y 2 ogni te rm in e d e l p rim o p o lin o m io p e r ogni te rm in e del secondo
m o ltip lic h ia m o i m on o m i
so m m ia m o i m on o m i s im ili
ESERCIZI PER COMINCIARE Semplifica le seguenti espressioni. ab —
1 1
a2b + 4cib2^ + { ^ a b —ab2 + - ^ a 2b^j
y ab + - ^ a 2b + 3ab2
WM (9a5—a4 + la 2 —7a) —(5 a5 — a4 + 4 a2— 5a + 2)
[4 a 5 - 4 a 3 +
D
COMPLETA
y r y ) • ( —2 a x + y y 2 —2 );
a2- 2 a - 2 ]
[ 6 x s — 2 x 2y 2 +
B tB 5x5— [(x 2y 2 —8) — (2y 3— 3x 2y 2 + x 5) —y 3] + (2x 2y 2 — 3y3) WM a3b(a2 + ab4);
2
8]
{ ^ a + 2ab —y c 2W y a ^ c j.
(|_____ \ ) - ( 3 a - 2 a 3b + \_____ J ) = l _____I - 12a 5b 2 + 3a2^.
Completa l’uguaglianza algebrica e, se x > 0 e y > 0, interpretala geometrica mente, utilizzando l’uguaglianza fra le aree dei rettangoli.
x +...
5
y {I____ I + 5 ) = xy +
Semplifica le seguenti espressioni. WM 2a{a —2b) + ab(3a + 1) — 3a2(b — 1) —a(2a — 3b)
[3a2]
- j b x ( x + 3b) ~ ^ ( x 3+ 3b3) - ~ ^ b 2( 2 x - b ) + y x 2( 9 x - b)
KÉ
Moltiplicazione di polinomi (2x + a2) (— 3y — 5a);
■ H Q E x m m
Completa l’uguaglianza algebrica e,
(a + 1) • (2a — 1). y + ...
s e x > 0 e j y > 0 , interpretala geometricamente. (x + 1____ l)(j____ I + 7) = xy + 1____ I + 3y + 1____ I. i l i
COMPLETA
(4x2 + I____ I) • (I____ I - x) = 12X2y 2 ~ l
+ I____ I — xy.
Semplifica le seguenti espressioni. [ 5 a 3 —9 a 2 +
mVM a2{3a — 1) + (a —4 )(2a2 — 1) + a B U I (a + b) (a2—ab + b2) + (a — b) (a2+ ab + b2) ■ aQ E
258
9
~ a x [ 2 a 2x — { l a 2 + 1) {x —a) — a] +
4]
[2a 3} —x V y^ aa 22++ a )
~32a x 3
3. PRODOTTI NOTEVOLI
TEORIA
3. PRODOTTI NOTEVOLI QUADRATO DI UN BINOMIO O
Esercizi a pagina 278
Per calcolare il quadrato di un binomio utilizziamo il fatto che è il prodotto del bino mio per se stesso.
(A
+
B)2 — (A + B)(A + B) ^
A 2 + AB + AB + B2 =
— \ m o ltip lic h ia m o J i b inom i
)
(7H The square of a binomial is thè sum of “ thè squares of each te rm plus twice thè product of thè te rm s.
so m m ia m o i m on o m i s im il
A 2+ 2AB + B2
(3x2 + 5y ) 2 = doppio prod o tto ESEMPIO
Il q u a d ra to d i u n b in o m io è uguale alla somma dei quadrati dei due termini e del loro doppio prodotto.
(3x2) 2 + 2 - 3 x 2-5y + (5y ) 2 =
(A + B ) 2 — A 2 + 2 A B + B2
q u a d ra ti dei due te rm in i
9x4 + 30x 2y + 25y 2
Possiamo applicare la regola anche quando uno dei due termini è negativo o lo sono entrambi. ► (4 —a ) 2 = [4 + (—a)] 2 = 42 + 2 - 4 - (—a) + (—a)2 = 16 — 8 a + a2
(A —B)2 = A 2— 2AB +
la d iffe re n za è uguale alla som m a con l'opposto
► (—y —6b)2 = ( ~ y ) 2 + 2 ■( - y ) • ( - 6 b) + ( - 6 b)2 = f + l 2 b y + 36b2
{—A —B)2 = (A +
SOMMA DI DUE TERMINI PER LA LORO DIFFERENZA @ Esercizi a pagina 281 (A + B) (A - B) =
\ m o ltip lic h ia m o * i b inom i
A 2- AB + A B - B2
\ e lim in ia m o i * te rm in i opposti
The sum of two terms times thè difference of thè firs t te rm m in us thè second equals thè difference of thè square of thè first te rm minus thè square of thè second.
0
A 2 —B2
(A + B) (A - B) = A 2 - B2
(x + 7y) {x — 7y) — x 1 — (7y ) 2 — x 2 —49y 2 ESEMPIO
< _i o o LU CC
Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale alla differenza tra il quadrato del primo termine e il quadrato del secondo.
se la d iffe re n za precede la som m a, la regola non cam bia, p e r la p ro p rie tà co m m u ta tiva de lla m o ltip lica zio n e
259
8
POLINOMI
CUBO DI UN BINOMIO
© Esercizi a pagina 285
Calcoliamo il cubo di un binomio utilizzando la formula del quadrato di un binomio. (A + £ )3 = \ calcoliamo * il quadrato
(A + B) (A + B ) 2 — (A + B) ( A 2 + 2 A £ + B2) =
• •
^ moltiplichiamo •
A 3 + 2 A 2£ + AB2 + A 2B + 2AB2+ B3 = \ sommiamo
2 i termini simili
The cube of a binomial equals thè sum of thè fo llo w in g : thè cube of thè fir s t te rm , three times thè p ro d u ct of thè square of thè fir s t te rm and thè second, three times thè p ro d u ct of thè fir s t te rm and thè square of thè second, thè cube of thè second te rm .
S •
A 3 + 3 A 2B + 3A B 2 + B3
Il cu bo d i u n b in o m io è uguale alla somma di: • cubo del primo termine; • triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo; • triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo; • cubo del secondo termine. (A + B )3 = A 3 + 3 A 2B + 3 A B 2+ B3
(2 a + y ) 3 = (2a)3+ 3 • (2 a)2-y + 3 -2 a- y 2+ y 3 = 8a3+ \2a2y + 6ay2+ y 3
Utilizziamo la regola anche se uno dei due termini è negativo o lo sono entrambi. (A —B)3 =
► (x2 —2 )3 = [x2 + (—2 )]3 = = (x2) 3+ 3 • (x2) 2 • (—2) + 3 • x 2 • ( - 2 ) 2+ (—2)3 = x6 - 6x4 + 12x2 - 8 ► ( - b - 5)3 = ( ~ b ) 3 + 3 • (—b)2- ( - 5 ) + 3 • ( - b ) ■( - 5 ) 2 + ( - 5 ) 3 =
A 3 — 3 A 2£ + 3 A £ 2 — B3 ( — A — £ ) 3 = — (A + £ ) 3
= —b3— 15b2—75b— 125 = - ( b 3+ 15b2 + 75b + 125)
QUADRATO DI UN TRINOMIO
® Esercizi a pagina 286
Per calcolare il quadrato di un trinomio, possiamo considerarlo costituito dalla som ma di due addendi: il primo termine e la somma degli altri due. (A
+
B + C)2 =
\ applichiamo la 2 proprietà associativa
\ sviluppiamo
[A + (£ + C ) ] 2 =
2 il quadrato
A 2 + 2A (£ + C) + (£ + C )2 =
\ calcoliamo il prodotto 2 e il quadrato
A 2 + 2 A £ + 2 A C + B2+ C2 + 2BC =
A 2 + B2 + C2 + 2AB 260
+
2AC + 2BC
^ riordiniamo
The square of a trinomial equals thè sum of thè squares of thè te rm s plus thè sum of thè doubles of thè p roducts of each te rm w ith thè te rm s fo llo w in g it.
pn
3. PRODOTTI NOTEVOLI
TEORIA
Il quadrato di un trinom io è uguale alla somma dei quadrati dei tre termini e dei doppi prodotti di ogni termine per ognuno di quelli che lo seguono.
< —I O o LU Cd
( A + B + C )2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2 A B + 2 A C + 2 B C
o Qz LU CO
( x —3 y —2)2 = x 2 + (—3y ) 2 + (—2 )2+ 2 x (—3y) + 2 x { — 2) + 2(—3 j) ( —2) —
= x 2+ 9jy2 + 4 —6xy —4x + 12y
LU
ESERCIZI PER COMINCIARE Calcola i seguenti prodotti notevoli. U G E E E E B H O +lf ;
(y3+ x4)2; ( - j a - 8 ) ; Q
a +b
(a -5 b )h
( - a 3+ 2)2.
(2 - 3*) (2 + 3 x);
t 3+ - j- ) ( - j- - fc 3); ( - 1 + / H 1 + / ) ; (—c5— 5) (— c5+ 5). B
Q
t S E B
M
O
+ a r -,
( b - l ) 3;
(x2 - y 2) 3; ( ~ - j + y ) WM
(2 a + b + l ) 2;
( x — 3 y + 2 ) 2;
W/M
Interpretazione geom etrica del cubo di un binom io
(^— a + - y —2 Ì .
Interpreta geometricam ente le form ule dei prodotti notevoli utilizzando le seguenti figure. B Q
Semplifica le seguenti espressioni. / :ia ig g g j=
(a + 2 )2— (2a — l ) 2+ 3a(a —4)
EH
( y + 3 ) 2- ( y + 3 ) ( y - 3 ) - 6 ( y + 3 )
■ H G B B B 9
[3 —4a] [0]
(^ + 2)3- iy + 3 ) i y - 3 ) - 2 ( y - 2 ) 2- ( 2 y - 1 - y 2) 2- y 2( - y 2 + 5 y - 3)
BiKl 5 (—2x2) 2 + [ ( x —y ) ( x + y ) —3(x2 —y 2)] ■(2x2+ 2y2) — l ó ( ~ ^ y 2 —x 2^J 1K I (2x + y — l ) 2 — (2x + y + l ) 2 —4x(x —2) + y ( 4 + y)
[16x2y2] [ - 4 x2+ y2]
261
8
POLINOMI
4. TRIANGOLO DI TARTAGLIA O Esercizi a pagina 288
Il triangolo di numeri della figura è noto come tria n g o lo d i T a rta g lia , soprannome del matematico italiano Niccolò Fontana (1499-1557), che lo utilizzò nei suoi studi. riga
coefficienti [pn T a rta g lia i triangle is useful for
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
calculating thè n -th pow er o f a binomial. Each row starts and ends with 1; thè other numbers are obtained by adding thè pair of consecutive numbers in thè row above.
1
Ci siamo fermati alla riga 4, ma è possibile scrivere una qualsiasi riga n tenendo conto che il primo e l’ultimo numero di ogni riga sono uguali a l e che ogni numero diverso da 1 di una riga si ottiene come somma dei due che sono nella riga precedente, nella stessa colonna e in quella che la precede.
1 3
3
1
V S - 'S ' c c c
1
4
6
4
Il triangolo di Tartaglia serve per calcolare la potenza (A + B)n con qualsiasi esponente n e N . Vediamo un esempio. Calcoliamo (2x + y ) s. Basandoci sulla riga 4, scriviamo la riga 5 del triangolo: 1
4
v 1
6
v C
5
4
s C1
0
1
v C1
0
C
5
Y
(A + B)5 è uguale a un polinomio omogeneo e completo in A e B, di quinto grado, ordinato secondo le potenze decrescenti di A, che ha per coefficienti i numeri trovati: (A + B)5 — A 5+ 5A 4B + 10A3B2 + 10A2B3+ 5AB4 + Bs
il primo e l'ultimo coefficiente del polinomio sono uguali a 1
Nella potenza richiesta abbiamo A = 2x e B = y , quindi: (2 x
+ y )5 = =
( 2 x ) 5 + 5 ( 2 x )4y 3 2 x 5 + 80 x 4y
+ \0(2x)2y 2 +
1 0 (2 x )2y 2+ 5 ( 2 x)yA+ y s =
+ 80 x3y 2+ 4 0 x2y 3+
10 xyA+
y5
ESERCIZI PER COMINCIARE Calcola le seguenti potenze di binomi. n
(2
H
(a-2b)4
+ x
)4
B U EKSE&9 (2aj- 4 )’ 262
(a2 — b2) 5 Cx - y
) 6
(x+ y)7
1
5. PROBLEMI E POLINOMI
TEORIA
ESERCIZI PER COMINCIARE i l
D a lle
p a ro le
a lle
e sp re ssio n i T ra
sforma la seguente frase in espressione algebrica, poi calcola il valore per a = 7 e b = 11. Dati due num eri naturali a e b, al doppio del suc cessivo di a aggiungi il prodotto tra il quadrato del precedente di b e 8. W M
D ati due num eri a e b, d im o stra che la differenza fra il cubo della loro somm a e la somma dei loro cubi è uguale al
triplo del loro prodotto m oltiplicato per la loro somma. E l
U n terreno agricolo a forma rettangolare ha dim ensioni x e y . Il proprietario decide di ampliare l’area coltivata aumentando del 10 % ognuna delle sue dim ensioni. Calcola perimetro e area del nuovo terreno in funzione di x e y. Il perimetro aumenta del 10 % ? E l ’area? Motiva le risposte. [2,2(x + y); 1,21xy; sì, ...;n o ,...]
263
POLINOMI
ESERCIZI 1. DEFINIZIONI DEFINIZIONE DI POLINOMIO @ Teoria a pagina 254 Q
TEST
Quale delle seguenti espressioni
non
è un polinom io?
2
\T\
[¥]
2x
-p
i
ITI
1
+ a y -
a
CHI HA RAGIONE? Susanna: «L’insieme dei polinom i e quello dei m onom i sono disgiunti». Ugo: «No, quel lo dei m onom i è un sottoinsieme dell’insieme dei polinom i». T u cosa ne dici? Spiega perché.
KB
T ra le seguenti espressioni indica i polinom i. a. - 3 ; b. 2 a T 4 + 1;
WM H
x 2y + x
“p
- j x - y ,
3 ~ ] a 4 + b;
2 2y2 — xy
x2;
2 ^ r + y;
- j t 2;
x
VERO OFALSO?
00 00 00
a. Il polinom io nullo è un polinom io in cui tutti i term ini hanno coefficiente 0. b. U n trinom io è la somma di tre m onom i non sim ili.
c. Il numero 5 non è un polinomio. 1
7
00
d. —3x y 2 + ~ x - x 2y + 3x y 2 + 3x 2y — ~ ^ - x 2y è il polinom io nullo.
Q
Q
TEST
Quale dei seguenti polinom i è ridotto a forma normale?
I~a 1 2 a 3y —- j - y a 3
IT
—6 x 2 +
x 4 + 2 x 2 —1
R id u c i i seguenti p o lin o m i a fo rm a n o rm a le e in d ic a q u a li d i questi sono m o n o m i, b in o m i, tr in o m i, qua
[T
B 'B
4axa2+ 2ax2— x
T
— bc2 + 2 c b 2
Trova n E N in modo che ~^x3y
—
2x2+ 5x"~4:
a. abbia il termine noto;
d rin o m i.
b. sia un trinom io.
KB
2a
3+
—x + ^ a ;
ax;
\ + a
— 2 a x + 3;
ilj a 2 — 4 a x + x 2;
Trova n E N in modo che x 4y 5 — 3x 4y n+2 + xn:
~ ^ a x a 2 + ^ a 3x .
a. abbia il termine noto uguale a 1; BB
- y a 2a — a ; 3 a 2 — a 2;
5a3 + 2; 2 — 8;
7a — 2 b + - ^ c ; x4—x3—
b. sia un binom io.
H i Q
1.
TEST
L ’opposto del polinom io
—x2 + 2 ax —y 2 è: B iB
4xy — 5x2 + 3xy 3 a 4;
264
2 a 5x —
+ 2;
~2 a ? x a \
3 y — 9 + 2 x — a 2;
(—a3) 3 +
a6+
(—a 2) 3.
T
x 2— 2ax —y 2.
ITI —(x2—2ax + y 2).
T
—y 2 +
IT I
x l — 2 a x + y 2.
2 a x — x 2.
1. DEFINIZIONI
y i
V erifica se i polinom i
2 x 2 + 4 x 4 —y
EUREKA!
x 2 —3 x 4 e
di —
x4+
y
x2+
y
x 4 —x 2
sono uguali.
Q uale n? Stabilisci per quali valori a 2 b n+] + a b 2n~ 2 + b 2:
N l’espressione a n +
a. è un polinom io; b. è un polinom io omogeneo;
Per quale valore di h e k G Z i due polinom i —2x2 + 3x —4 e k x + h x 2 + 2 h sono opposti?
1K 1
n G
ESERCIZI
c. è un polinom io non ridotto a forma normale. [a) n > 1; b) nessuno; c) n = 1]
| Considera i polinom i ( a — \ ) x 2 + b x — c — 4 e 6 x 2 — 2 x — 1 e indica per quali valori di a, b,
c G Z: a. sono uguali; b. sono opposti.
GRADO DI UN POLINOMIO
G Teoria a pagina 255
Determiniamo il grado complessivo e il grado rispetto a ogni lettera del polinomio 8a 2b 4 —2 a b i Determ iniam o il grado di ogni monomio: /
8
+ b 2 + a 5.
ha grado 1+3 = 4 ha arado 5
a 2 b 4 — 2 a b 3 + b 2 + a 5.
ha grado 2 ha grado 2 + 4 = 6
Il grado complessivo è il maggiore tra i gradi dei suoi term ini, cioè 6. Il grado relativo alla lettera a è l’esponente maggiore con cui compare, quindi 5. Analogamente quello rispetto alla lettera b è 4.
D e te rm in a i l g ra do com plessivo e q u e llo re la tiv o ris p e tto a o g n i le tte ra dei p o lin o m i seguenti. ~ ^ x 5y 2 — 3 x
+
2y4
E
lO
VERO 0 FALSO?
a. Il polinom io x 4 + 2 a 2x y è di quarto grado.
+ a x 3y
+ 2a [V] |T]
b. U n polinomio di grado zero non esiste, [v][T ]
Bill 4afr2—6a2b + 4b3
c. Il grado di un polinom io è determinato dalla lettera che ha l ’esponente maggiore. [v] |T]
Bl'B
5x 3y t
d. I polinom i a x stesso grado.
if ll
y
B E J - y x 2/ 4 — 3x y 5 + 6y 3
— 2 x y 21 + 4
| Determina
a 5 b 4 — 6 a b 2c — 7
+ a
e
perquale
b2 +
1 hanno lo [v ]|T ]
n G
N
il
polinom io
a nx n + 2 a x n + 1 —a3b n :
+
x n,
con
n G
N.
W iM
a x n + x n+2 + a 2x n + ì
WXM
Q uali dei seguenti polinom i sono omogenei?
a. ha grado 8; b. ha grado 4.
a. x + y ;
b.
a 3 + 2 a 2 + a — l;
x t 4 + t 5 — x 2 t 2;
con
n G
a 2, +
2 3;
2 5 a 2 —2 5 .
Può avere grado 2?
x ny 2 + x n+2 — 3 a x n,
N. 265
8
POLINOMI TEST Quale dei seguenti polinom i omogeneo?
Q
I~À1 2 a 2b IT I WlM
de] —a y
— b 2a + a b c
x 4y + 2 x 5 + x 2y 3
r4
do]
non
è
ifti
in modo che i polinom i siano omo
COMPLETA
genei. 2x 4 — a
+ 2 a x + l
+ a 2x 2 —a 3x
Trova per quali valori di h, k E N il polinom io a 2 b 3 + 5 a b h + 2 b k+2 risulta omogeneo.
x + 2 a 2y ^ ~ a 4 ;
3 x 5 — - ^ x y L-^
7 a 2b + 5a
iftl
—4yl—I + 2 x 2y 3;
—2 ab
+ ~ ^ - b 3.
Scrivi due trinom i omogenei di terzo grado nelle variabili x e y. FAI UN ESEMPIO
R icon osci fra i seguenti p o lin o m i q u e lli o rd in a ti, sp e cifica n d o ris p e tto a quale le tte ra .
id i
- ^ a b 4 — - ^ a 2b + - ^ a 4b 5 — 7 a 7 b\
it ili
~ ^ x y 3z — 4 x 2y 2z 3 + ~ ^ x y z ;
t 3x
+
2 t 2x 2 — t 4 .
— b 4 + b 2y + 2 b 3y 3.
O rd in a i seguenti p olino m i secondo le potenze decrescenti d i y. I li
2 y 3 — y 5 + 2 y — y 2;
É f ll
x y 2 + 6 x 2y
+
a 3y + a 2y — ^ y y 4 + a y 2.
2x5 — 6y2 — x;
a 2 + a 2y
+ 1.
O rd in a i seguenti p olino m i rispetto a ciascuna lettera secondo le potenze decrescenti. id i
- j - a x 3 + x 4 + a 2 + 2 o 3x ;
it ili
2 x y + x 3 + x 2y 2 .
ciy6 — 3 x 3y 3 + 4 a x 2y — 6 ;
id i
x 2+ y 2 — 2x + y
it il
x y z 2 — x 2 + 3 y 2;
— 1;
2 a 2b — 7 b s + 2 a b 4.
a 2b 2 + a b 3 + a 4 .
a 6 bc2 — 3 a 2b 2 + 4 c 3.
Ind ica se i seguenti p o lino m i sono completi rispetto a ogni lettera che v i compare. In d ivid u a i p olino m i omogenei. —k 2x 2 +
B ÌM
kx
fe lli
~2 a 3x
141 Q
id 'i
2
—2 a x 3 +
— 6a
I seguenti polinom i sono tutti completi tranne uno. Quale?
VERO 0 FALSO?
141 Q
a. U n polinom io completo di terzo grado è un trinomio.
rata
b. U n polinom io omogeneo è completo almeno rispetto a una lettera.
rata
c. Se un polinom io è ordinato è anche completo.
rata
TEST
PÀI m
~t J x
x
2 — 2 + 4x
2+ 9
del - | - jc3 — 3 x [U 3 x —2
d. Un polinom io di prim o grado è
266
5 a 3y
x5 + 2 x 3y 2 —8x 2y 3
a 2x 2 — 4 a 4
sempre omogeneo.
a 2y 2 + a 4 + y 4 +
rata
+ 2 x 2 —5
1. DEFINIZIONI
Q
1.
E l[]
Dati i polinom i
TEST
3x 2y — 4 x y 2,
5 x 3 —4 x y 5 + y 6,
2.
Ha ] s o n o t u t t i d i t e r z o g r a d o .
[J] 1 e 3 sono omogenei. He] 2 e 3 sono ordinati rispetto a x, secondo le potenze crescenti.
COMPLETA i seguenti p olino m i in modo che siano completi rispetto a ciascuna lettera pre sente. a 4 — 2a
2 a 4x 2 +
+
a
—4a 2+
6 a x ^ —a
y 2+ 3 x 2+ 2 x
1;
t2 — x t ;
x + 2 a 3x 3 — 3;
M I
x
H i
—2y 2x + y 4.
3 + 2 x 2 + xy;
6 —3 x +
b. 3 è un polinom io di grado 0.
Hv IH f]
c. O gni polinom io di quarto grado con una sola lettera, se è completo, ha quattro term ini.
[v]HEI
[v]HE]
Scrivi un polinom io omogeneo di quarto grado nelle variabili a e b che sia ordinato rispetto alle potenze crescenti di b e che sia completo.
4 x n~ 2 + 3 x 3 +
2 y x 2 — x 3.
+ 8jc2, con
n
E N.
Trova, se esistono, per quali valori di Scrivi un esempio di:
FAI UN ESEMPIO
[v]HE]
Éifrl Considera l’espressione
a 2x + a 3 + a x 2.
x 3— 5x + 2x2 + \\
PvIHf]
i d l l Scrivi un polinom io ordinato e completo di quinto grado rispetto alla lettera a e di grado zero rispetto a qualunque altra lettera.
+y.
x 2y 3
ha grado 1.
FAI UN ESEMPIO
Ind ica q uali dei seguenti p olino m i sono omogenei, completi e ordinati rispetto alla lettera x.
felil
a + ab
d. Se in un polinom io in a e b il grado è dispari sia rispetto ad a sia rispetto a b, allora il grado del polinom io è sicuramente pari. e. U n binom io con una sola lettera può essere omogeneo e ordinato.
Hd] 2 e 3 sono completi. VMM
VERO 0 FALSO?
a. Il polinomio
3. 5x y 2 — 4 x 3:
ESERCIZI
n
si ha:
a. un polinom io;
a. trinom io, nelle lettere a e b, omogeneo e ordi nato rispetto a entrambe le lettere;
b. un polinom io di grado 5;
b. quadrinom io, nella lettera x , completo e ordi
d. un trinom io;
c. un polinom io completo;
nato;
e. un binom io;
c. binom io omogeneo di quarto grado;
d. quadrinom io completo sia rispetto a
f. un polinom io di grado 3. b
sia
[a) n > 2; b) n - 6; c) n - 2; d) n - 3; 5; e) n = 4; f) n = 2; 3; 4]
rispetto a x.
POLINOMI COME FUNZIONI
&Teoria a pagina 255
Con una variabile Dato il polinom io assume per x = 2 ,
P(x) = —2x2— x
Sostituiamo alla
il valore indicato:
x
+ 1, calcoliamo P (2), P ( - l ) , P(0), ossia il valore che il polinom io
x = — l e x = 0.
P (2) = —2 ( 2 ) 2 — (2) + 1 = —9; P ( - 1) = - 2 ( - l ) 2 - ( - 1) + 1 = 0; P(0) = - 2 ( 0 ) 2 - (0) + 1 = 1. Per o g n i p o lin o m io calcola i v a lo ri ric h ie s ti.
P I
P(x) = 2 x - 3 ;
P(4), P ( — ì- ) .
E I
P(a) = —fl3 + y a 2 - 1;
P ( -2 ) , P ( y ) .
267
8
POLINOMI
Ifti
A (x )
ijT 'l
P (x ) = —4 x 2 + 6x;
= x4 + x 2 — x;
A (—
1), A (2 ).
P ( —2), p f y ì .
□
B ( y ) = - / + ^ y 2+ y;
CTI
A ( t ) = t“ - - ^ t 2 + 2 ;
B(O),
b
(—
).
j
A ( - 2 ) , A ( y ) , A ( - 1).
E sp rim i perimetro e area delle seguenti figure in funzione d i x e trova il loro valore per i valori d i x indicati. 2x
PUESBEBEBBI
x = 2, x = 5, x = 0,4.
v = 1, x = 4, x = 0,5.
o Aa = y133 2~p = -!3 y x +i 3; y x, ; y19
C T
INTORNO A NOI
A fine mese
a. Scrivi lo stipendio di Luca in funzione di x. b. Calcola quanto riceve nei mesi di gennaio, febbraio e dicembre, in cui ha ricavato dalle vendite rispettivamente € 7500, €8200 e € 11000. c. Per avere uno stipendio di € 2500, quanto dovrebbe rica vare dalle vendite?
s tip e n d io m e n s ile d i Luxscv. fisso € 4 0 0
+
1 2 % d e i f ic a v o x d e l le v e n d it e m e n s i li
[b) € 1300, € 1384, € 1720; c) € 17500] 3
Q
TEST
Se P(x) per x = —1 vale - 3 , quale potrebbe essere P(x) tra i seguenti polinom i?
I~a 1 2x 2 + x Q
S Q [ a]
TEST
[¥] 3x2 + 6x
QT] 3x2 —3x —3
Per il polinom io P(a) = y u 3—y a 2 + 2, i valori P(2) e P (-4 ) sono:
7 6 e |. TEST
[c] —x 4 —2x —3
d ] 2 e 10.
[c] 2 e -2 2 .
m
6e
Uno dei seguenti polinom i assume valore 3 per x = 0 e valore 2 per x = 1. Quale?
x 2 + 2x
+
3
|jF] x 2 —2x
+
3
[T] x 2 + 2x
—
3
IT I x 2 — 2x
—
3
Dato il polinom io P(x) = x3 —4x2 + x + 6, verifica se P (2) = P ( 3). Dati
A
(x) = x 3 —4x + 6 e
B
(x) = —x 2 + x +
a
+ 6, trova per quale valore di
Dato il polinom io P(x) = —2x4 —x 3 + 1, calcola Dato Q
268
A (a) —
TEST
y3
,2
a2+ a
P{a)
e P (-x ).
— 1, calcola A(2), A ( -a ) , A(2a).
a
si ha
A
(— 1) =
B
(2).
[5]
[ - 2fl4—fl3+ 1; —2x4 + x3+ 1] 7; y a2—a — 1; 6a2+ la — 1
Data la funzione polinomiale P(x) = 3x3 — 2x2 + x — 5, qual è l’espressione della funzione P ( —x)?
1~a 1 P ( —x) = —3x3 —2x2 —x —5
[c] P ( —x) = —3x3 + 2x2 —x — 5
T I P ( —x) = —3x3 + 2x2 —x + 5
QT] P (—x) = —3x3 —2x 2 + x — 5
1. DEFINIZIONI
► LABORATORIO
ESERCIZI
MATEMATICA E ANTROPOLOGIA
Fra ossa e polinomi Il corpo umano rispetta, approssimativamente, determinate proporzioni: un adulto molto alto avrà presumibilmente un femore abbastanza lungo, mentre un bambino molto pic colo avrà una tibia molto corta. Sostituendo le lunghezze di tibia, omero, radio e femore nelle seguenti formule, puoi ottenere una stima dell’altezza H, in pollici, della persona corrispondente. Osso
Maschi
Femmine
Tibia (t)
H = 32,2 + 2,4f
H = 28,6 + 2,5t
Omero (o)
H = 29,0 + 3,0o
H = 25,6 + 3, lo
Radio (r)
H = 31,7 + 3,7r
H = 28,9 + 3,9 r
Femore (f)
/ = 0,449H - 12,05
/= 0 ,4 3 2 H - 10,44
a. Converti le formule in modo da usare le lunghezze in centimetri (1 pollice = 2,54 cm). b. Usa la lunghezza approssimata al centimetro del tuo radio, della tua tibia e del tuo omero per stimare la tua altezza. Ti aspetti che il valore previsto da (almeno) una delle formule coincida con la tua altezza reale? Perché? c. In una fattoria abbandonata viene rinvenuta una tibia umana lunga 18 pollici. Pensi che si tratti dell’osso di una donna o di un uomo? Perché? d. Da alcuni reperti un antropologo stima che l’altezza di una persona fosse di 165 cm. Poco distante rinviene un femore lungo 18 cm. Ritieni che l’osso appartenga alla stessa persona? Perché?
□
►Risoluzione.
F i l i Dato il polinom io
►Un esercizio in più.
P(x) — x —
6, calcola P (1 — a ) —P (5).
f r l l Dato
P(x) = x 4 + 3x3+ 2x2—
171 Dato
P ( a ) = a 5 - ^ - a 2 + 2a + 2,
171
EUREKA! a.
►Attività di ricerca: Bones.
[-a -
1, calcola P(0) + P ( - l ) + P(2) - P (-3 ).
4]
[28]
calcola P(0) + P ( - 1) + P ( l ) + ^ j P ( - 2).
P di 1
Dim ostra che, per ogni polinom io P ( x ) nella sola variabile del polinomio.
x,
P ( l) è uguale alla somma dei coefficienti
b. Sapendo che nel polinom io A ( x ) la somma dei coefficienti è —2, determina la somma dei coefficienti di B ( x ) = [A(x)]3 + 2 [ A ( x ) ] 2 — x 2 + 2 . [b) 1] Per ciascuno dei seguenti p o lin o m i, in d ic a se i v a lo ri s c r itti a fia n c o sono z e ri del p o lin o m io .
O
x3+ 3x2 —x — 3;
-1 ,0 ,3 .
P
a3— 4a2 + 2 a — 1;
-1 ,0 ,2 .
E ]
a3- 3 a - 2 ;
0 ,1 ,2 .
Determina a nel polinomio —4x3 —x 2 + a + 1 in modo che —1 sia un suo zero, rispetto alla variabile x. [-4]
Con due variabili O Q21 LU U ì LU
Dato il polinomio P ( x ; y ) — x 2y —x y 2 + x — 1, calcoliamo P ( — 1; 2) sostituendo —1 a x e 2 a / :
P ( — 1; 2) = (— l ) 2 ■ 2 — (— 1) •(2 )2 + (— 1) — 1 = 4.
Analogamente, per P(3; 0):
P(3; 0) = (3)2 •0 —3 •0 + 3 — 1 = 2.
269
8
POLINOMI
Per o g n i p o lin o m io calcola i v a lo ri ric h ie s ti.
E 1
P ( x ; y ) = - 3 x 2y + Y
E 1
P(x; y) =
É jlB
P ( a ; b)
—j x
=
3
P ( - 2 ; 3), P(0; 2).
x + ~ ~y’
2;
y 2+ ~ ^ x y -
2ab — 3 a 2 +
-|-b ;
P ( - 1; 0), P (2; - 1). P ( — 1; — 1), P(2; — 3).
Scrivi i due polinom i che esprimono il perimetro e l’area della figura e tro va i valori che assumono per x —
12 e
y —
x = 0,6 e x = 8e
5,
y =
y =
x = 3e
y —
x = 3,5 e
0,2,
x - 0,3
y
2, = 0,5,
e y =
0,2.
3.
i i i
1*1
H frl Scrivi il polinom io che esprime l ’area della figura e trova il suo valore per
INTORNO A NOI
y
Tempo libero
a. Scrivi una funzione polinom iale con due variabili che esprima la spesa mensile di Giorgio per i suoi svaghi.
^ t e m i l i d i GLorjLo: € 8 0 j^ey U z ì ó n i c h it a r r a ,
b. Determina la spesa se Giorgio va 4 volte al cinema e € 8
6 in piscina. c. Se può disporre in tutto di € 170 e va 3 volte in p isci na, quante volte può andare al cinema?
j r e r o j n l ingresso
cinem a, € 6
p e r o p n i irujrerso p is c in a ,
Principio di identità dei polinomi l iM
Dati i polinom i
P
(x) = - y x 4 —- y x 3 + 3x2 e Q (x) = x 3 + 2x2 —8 x, trova per quali tra i valori x = —1,
x = 0, x = l e x = 2 s ih a P(x) = Q (x). l& 'l Verifica che per i polinomi x = 1, x = 2, si ha A (x ) = l iM
feVJ
Considera i polinom i
(x)
B(x).
2x3 + x 2 —2x + 3 e B (x) — x 6 — 2x5 + x 2 —2x + 3, se x = —1, x = 0, Puoi concludere che i polinom i sono identici? [no]
— x4 —
P(x) = —x i + - ^ a x 2—
12 e Q(x) = —x 3 + -c -x 2 — 12.
Per quali valori di
a
Per quali valori di
k i polinom i A (x) = x 5 —(k + 2 )x 2 + 9 e B ( x )
ii H l Per quali valori di stessa funzione?
270
A
[0; 2]
a
sono identici?
e b i polinom i
P ( x ) = (a +
3 )x 2 —7x —a
—
—
9 + 8x2 + x 5 sono identici?
1 e Q(x) = 2x 2 +
(b —
[-
1 0
]
4)x rappresentano la [a = - l , b = - 3]
2. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE
ESERCIZI
2. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DI POLINOMI G Itti Q
Teoria a pagina 257
VERO O FALSO?
a. La somma di due polinom i non è mai un monomio.
[V] |T]
b. Se due polinom i sono opposti, la loro differenza è il polinom io nullo.
[V] [T]
c.
a —
(— b
I~v~l I~f~I
+ 2c) — a + b + 2c .
d. Sommando due polinom i dello stesso grado si ottiene un polinom io dello stesso grado.
[V] IT I
i f l l (x 2— 2a) + (—y — x 2)
[-2a-y]
K i
( - a + 2) - (4 - 2a)
P
(x4- 8 x + l) + ( 3 x - 1 - x 4)
K f li
(2x4 — 3x2+ x —
ÉZl
( y a + 2b^j — (— y a — b^j
P
[a - 2] [-5x]
5) + (—x 4 +
6x3— 4x + x +
1)
[x4 + óx3 - 3x2- 2x - 4] [4a + 3b]
i i y 2~~6 y ) ~ ( y + i y 2+ 4 )
P I
( ó - ^ | - x + 0,9x4) - ( 0 , 5 + 0 , l x - ^ - x 4)
Ifrl
(o,3xy + y a) + (2xy —y a + 2 Ì
FU
(a" —
4) —(
\ a n + a n+l —
4^, con
5x
5 X+' 2
\ y xy —2a + 2j n
G N.
- y a n - a n+l
COMPLETA E l'l
(3 a2 + 1__ I) + (I__ I — x) — —2a2 + x
ITiTil
(p -
2t)
-
illìl
(LJ +1_I) = -6p
(\
J+ l
I + - j - j —( x 2 +
2y
+ 1
\ ) = y y + 4
illM (—x2+ x) + (l_l+l \ )=yx2+ 3x
Espressioni
—{ a
+ 2b) + \
(2 a 6) 2 : (2 a 3) 3 +
- b - - y j - ( 2 b - a )
J = \ calcoliamo le potenze e 2 togliamo le parentesi tonde
a — 2 b + \ 4 a 12:
—a — 2b
+1y
— a — 2b
+
8a 9 +
a 3+
y a — 2 b — 3b V a
—b
— 2— 2 b
—3 b — -^ r + a
~ 3b —
+ f lj =
+ a
\ sommiamo i monomi simili
* ed eseguiamo la divisione ^ togliamo le parentesi quadre
sommiamo i monomi simili e togliamo le graffe
= —5 b
271
8
POLINOMI Semplifica le seguenti espressioni (n e N ) .
illM
(2x2 — 5 y 3 — x y ) + ( 1 l x 2 +
j[lM
(3 x 2y
IllK l
(x
E 0
(0 ,25a2 + y ^ 2 - l , 5 ) - ( y ^ 2 + ^ - a 2 - ^ - )
— 5 x y 2 + 7 x 2y )
—2) + (x2 —
3x
y 3 —2 x y )
+ (6x y 2 — 3x 2y
+ 4) + (2x2 +
— (6 x 2 — 9y 3 + — xy2+
[7x2+ 5y3—4xy]
xy)
1)
[7x2y + 1] [3X2]
2 x — 2)
•2a2 + y b 2+ ^
P (■ t* 2-t*2+ 2x +tHt*“_ 5*2_1Ht*+Ìr) HH:i 5x5 — [ x 2y 2 — 8 — (2y3 — 3 x 2y 2 +
P
^ 14
a 3b +
a 3b 2 —
x 5) — y 3]
a 4 b + - ^ a 3b^j —
+
( 2 x 2y 2 — 3y 3)
a3b2—y x 3
3a2 —^ a 2 —- j a + 4 j + -^ -a 2 —a —^5a2 —-g-a —6 —4a2j
1111
(2x5 + 3y5) — {— x 5 + (5x4jy — 2x5 +
P
-3
l iM
^— J
m
[-
( 5 a + 7 b) +
(2 a
3 b)
2 x y 4)
[ ( 2 x 2y ) 2
UHI
ab —
jlllfl
^x2 — ~ y x ^ —
HM
[x2 —x y + (2x y
l iM
[(—3x)5 : (3x)4] 2 — (6x —y )
— [— 5x5 — ( x 4y
^ a 2 —y a + 2
— 2x y 4 +
3y5)]}
[2 b]
(—9a2) +
- y a 2b4
a 2b 4]
: (—x )3 — (5x + 1)] + (8x 2y 2 + 4x2y 2) : (3x)
(2 a b ) 2 + [(3a2fr)3 — b ( 2 a 3b ) 2 —2 a 6 b 3] : (7 a 4 b)
—a2b2j
— ~yab
2 x- +
3x + -^ -x 3 —(”^"X2 + 7x + x3) + (—2x3) 2 : (2x)' —
x 2)] — { x y — [2xy + —
(xy
—x 2)]} + x 2
[(3x)2 — (2x + 3y ) ]
U H —[(—2x)2 —(—y ) 3] + |(xy2) 3 :
+
(8y
—
[—9x + I2y]
5x)
-xy) —[x2y3—2y3+ 3x(—x) —(—xy) (—xy2)]j
fffl
-
(-
2a n+ a"+
[—x2 + 9jv3] [2x2" + 4x2]
( - x n + 2x2) - (2 + 2x2 - 6x")
E 9
2x
[3xy]
IMH x2" —{(—x)2 —[3x2 + (—2x) (—x)] + (—x”)3 : x"} m
[-6x4y]
+ Sb]
3 a b 2) ] 2 — [ ( 2 a b 2) 2 -
a ^ 2) ~
« B B T O U 3x +
a i
-
[6x5—2x2y 2+ 8]
x 3 — ~ y a 4 b^J
UHI
a -
30 * + 1
[5x" - 2]
*) - ( 4 a n + - j a ' ?+ 1 ) + 2a" + ~1r a- n+ 1 4
Dato il polinom io P(x) = 4x2 —4x + 1, calcola P ( —x ) +
P(2x)
—P ( l) e semplifica l’espressione ottenuta. [20x2 —4x + lj
IF H
272
Dato il binom io
P ( y ) = —y +
3, calcola
P(2y) — P (y —
1) e semplifica l ’espressione ottenuta.
\ - y - 1]
2. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE
ESERCIZI
Dati i polinomi A = a2+ a — l, B = a4— a, C = 2a2— 1, determina e semplifica le espressioni. [p j
m
A - B - [ C - ( B
u
+
2)]
E J
[— a2+ a + 2]
-(A -
Chi ha ragione? L ’insegnante chiede: «Se
INVALSI 2011
C)
-
(C
+A -
B)
+ 2]
[a4 - 2 a 2 - 3 a
« è un numero naturale qualsiasi, cosa si ottiene
addizionando i tre num eri 2 n + 1, 2 n + 3 e 2 n + 5?». M ario afferma: «Si ottiene sempre il triplo di uno dei tre numeri». Luisa risponde: «Si ottiene sempre un numero dispari». G iovanni dice: «Si ottiene sempre un m ultiplo di 3». C h i ha ragione?
E Solo Mario.
I~a~1 Tutti e tre.
m
u
E Solo Luisa.
E Solo Giovanni.
Il più grande di undici La somma di undici num eri consecutivi è p . A llora il più grande di tali
EUREKA!
num eri vale: + 5.
E
E
il
+ 5.
E
- y + io .
E
+io.
E
+ io .
[Kangourou Italia, 2011]
MOLTIPLICAZIONE DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO G Teoria a pagina 257 3) ") ( ~ x y z■
4
■ 3x 2y 2 +
CHECKER
lo — ~ ^yz +
ij^Tlì
2 ( — a + 2b);
IM I
x ( x + l) ;
xy2 per ogni termine del polinomio
,,5
-y ( 4 b
— c).
B0
x 3( x 2 — 2 x
3 b 2x 3 +
+ 1).
IKM
y b 2);
4 b 4x — b)
* 2( - * - i ) -
fcjftl a3(a —a 2 b) ;
x ( — x 2 + x).
ESEMPIO DIGITALE
(bx4 —
3
o
Esegui le seguenti moltiplicazioni.
—4 ( x + y);
IKM
^ moltiplichiamo
+
~ ^ x y 4 — 6 x 4y
Ik i'l
p u
^
f c - ( b + c ) = co - b
-
x y 3( 2 x y -
— 6 b ( ~ ^ x — - y l ? 3).
2 x 2y ( p j y
- j x 2y 2 -
x y z ( x + y + z).
- ^ - x 3y 2^.
(— 2 b 3x 2)
P (3 IK l!l ( 1 , 6 x 2y ) (0,6 x z 2 — 0,3 y 2 — 0,06xyz) Ijty i
an{— 2
IM ll
- ì y x 2n{ 2 x — x n +
—
a");
—a x n{x2n — a x ); 4);
con
n
G N.
( a 2 + a — a n) ( — a 3);
con « e N .
273
8
POLINOMI
COMPLETA 1^ 1
I_____I) = I_____I +
2 a 3x ■ ( a x +
i UfA I____ l^-yafr+l____ ij = —
1EK1 I___ l/l___ I + y
W lt
Data la funzione P ( a ) = —a 3 — 2a 2 + 1, verifica se P (2a) — P ( — a ) = 3 a 2( 3 a 3- 2 ) .
P
TEST Sono dati i polinom i (x) = 3 x 2 — 7 x — l e B ( x ) = 2 x 3 — 5 x 2 — 1. L ’espressione C ( x ) = 2 x ■A (x) — 3 ■B (x):
a 4x 5
C
a 3b4 + a 4b5
A
+ 1j = 6a3+ 2a2b + L
l~À~|
non
è un polinomio.
[ f] è il polinom io C(x)
IH 1 y x 2yf____I + y + y -ì = x-3y + 1____l + L
— x2-2 x 3 -3 .
[c] è il polinom io C (x) = x3 —x 2 + 2x — 3. Cd] è il monomio C(x) =
m
u
TEST Quale delle seguenti espressioni equivalente al polinom io x 2y + x 2 + x y 2 ? I~À1
x (x y + y 2+ x)
m
y
fc l
x 2 ( y 3-
[~ol
y 2 (x2 3- x )
E J Q
(x2 3-
TEST
non
p Q
YOU & MATHS Increasing diameters The length of a circumference is measured in metres. How m uch does it increase if its diameter increases by a metre? A nd by a kilometre? W hat happens when thè diameter doubles?
p U
YOU & MATHS A yellow rectangle W rite an expression that represents thè area of thè rectan gle and sim plify it. Then write an expression for its perimeter and sim plify it as well.
x y ) 3- x 2
1) +
xy2
+
x2
Individua l’uguaglianza
errata.
[~À1 2a (a3 — a 2 — 1) = 2a 4 —2a3 —2a —x 2y { x
I~b ~|
+ y ) = — x 3y
l~cl y-fry(8 c + 2fr2) = I~d1 —x ( y
—
5) = —x y
+ x 2y 2 3x
4 b y c + b 3y +
5x
x + 10
v ■ 4ÌT4H IH !! Sem plifica le seguenti espressioni IM I
3x
(2y — x )
fctifrl
a b ( a 3- b)
— y
+
(2x2 —
x) —
3 (— 2 x 2y
(n E
N ).
3- x y — x 2)
^ -y
—^ )(— 6fc) +
2 a ( 2 a — 3 b) —
Bkltj ^— j x y ^ j [ 3 x 2 3- (12x y3) : (—4x y ) ] IKT.1 2 a b (a 2 — IW I
[4a b 2 — 6b2]
274
—2 a b
9 [a(a
3-
x y )(—x y 2)
( - 0 , 3 ) _1 l,2 a h 2 —( — j
[—5a2]
x |—6xy(— ^ -x) —y 3
( b 2 —a 2) 3- b 2 ( a b — a 2) 3- a 2 ( b 2 — a b )
a [ ( 3 — x ) ( a 2x )
[4x 3y - x 2y 2]
— b) — b ( b — a ) ]
f — ^-x2j{ ( —2x) [5xy — (4xy)2 : (8y)]} + (—2y ) (3x4 —x 5)
iU ll —a x 2 { — BEI
b 2)
[4x 2y 3- 4 xy]
3 a ( b 2 — a b ) — 2 b ( 3 b — a 2)
Bkfrl (—2x y )(x 2 — 2 x y + - y x y2) —2x (x y2 — 3 x 2y ) + ^3x —y IM I
x 2.
è
+ (— 2ax )2]} + 2 (a x )4 — x 3[— a 4( l — x)] a J ( — b) — a b ( l , l b — 0 , 2 a )
[2x3y] [3a 2b
—
3a b 3]
[—x4y] [4a 4x i + 4t?4x4] — } $ ab2 — a 2b
2. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE
EH
[(2p q ) 2 ( p
- q ) + 2 p q ( p 2q + 2p q 2) ]
3 2
: (2p ) 3
ITTI (—2a)^—b2—-^ab + 5b ^ (^ ab ^ —(—3b)2^~ja3,—~^-a2+ ~p^a2b^j
a2b3 —2a3fr2
- j y a(4n —3 a 2 ~ 18 a 2b) + -g-fr2 —- y ( —- y fr) — 3afr + -^-fl2 —( —- y a) + C 3
y x y ( x 2 + y / - y ) - y / ( ^ * y - ^ ) - x 2( y A y + ^ ) + ^ A y ( 3 - / )
IT I1
a nx 2( a 3x n +
jj|
( a 2n) n+
xa") +
ESERCIZI
(J^ab
+
)(—a )
[2afc]
1
- j x y ’ — f X 4+ y r
[3x3a2n]
2 x ( — a nx ) 2 — a i x 2( a x ) n
1 : ( a n) 2n+ 1 + (a"+3) 2 : (a2)" + 2 - a 2
[«"]
IH1 [(2',+3) 2(22" -1) 2] : [ ( - 22m) 323] + [(2”) 1+M: (2")"] : 2"
[ - 1]
MOLTIPLICAZIONE DI POLINOMI @ Teoria a pagina 257
((X + b )
• (ù
+ <5^) —&
• G - \ - A / ‘ ( À/ - k- b' G- >r b ' ( b
(x + 2) (x2 —x —4) (2x — 1) =
> moltiplichiamo ogni termine del primo polinomio ^ per ogni termine del secondo
(x3 —x 2 —4x + 2x2 —2x — 8) (2x — 1) =
^ sommiamo i monomi simili
(x3 + x 2 — 6x — 8) (2x — 1) =
^ ripetiamo il procedimento
2x4 —x 3 + 2x3 —x 2 — 12 x 2 + 6x — 16x + 8 2x4 + x 3- 13x2 - 10x + 8
CHECKER
Esegui le seguenti m oltiplicazioni (n £ N ) .
ITVI
(a — 3 ) { 2 a —
m
( x - 5 ) ( x - l );
ir v i
{ 2 a b x — a) ( a 2 —
tifili
1);
( x + l ) ( x —4). (a2 — 3) (3 —4a). 3);
(b —4)(fr2 + 2).
—-^-^(3a2 + 12);
(x 2 —“2")(2a + 4x).
P
( 0 ,0 4 x - l) ( 2 5 x + ^ - ) ;
m
(3 ~ l a + 1) (3 - 6fl);
I1K 1
^0,3« ~ “|'^ ) ( 1 2 f l —0,61?); —x (x 2 + 4 x ) ( x — 1);
(9a2 + 27) (0,2a - 0,4).
(63 + 62 - 2) ( b - fr2 + 3).
(y —
(x2 + 2x — 1) (x — 1). 1) ( y
+
1111
( a 2 —a ) ( a 2 + a ) ( a 4 + a 2);
IM I
—6(x2 + 3 x ) ( —1 —-g -x )(—x + 1);
1) ( y 4 +
( b 4 — b) b 2 ( b
y2+
1).
+ 1).
( a 2 — b 2)
(— b 2 -
a 2)
(—a 4 +
b 4) .
275
8
POLINOMI
m
(a2r>— 2) (a" + 3);
[a3" + 3a2n - 2a" - 6 ; y 2n+1 - 7 + / " - y n]
( y + y n)(y2n~ 1).
IMI a{an~2 + 1 ) (a —a 2) (1 + a), con n > 2.
[a" —a"+2 + a2—a4]
D Z lU TEST Qual è il risultato del prodotto tra i polinomi 2a + b e a —2bì I~a1 2a2— 2b2
[ b] 2a2 — 3ab — 2b2
|T] 2az —3ab + 2b2
Sem p lificale seguenti espressioni ( n ,
v
m
HTl 2a2 + 3ab — 2b2
E N ).
ITTI (2a —5) (a —1) + (3a + 4) (2a + 1) —3
[8a2 + 4a + 6]
Ili il (x4 —2x) (x2 + 1) —(x3—3y) (x3+ 3y) + 2x —9y 2
[x4 —2x3]
ÌI»Kl x [2y —(—x2 + xy —3)y —x 2y + x{y2 —x)] + x3
[5xy]
IESI (~2 a — 3j^ y ci + 1j + (2a + 4 ) ^ y a —6 j + 27 + y a^l + y a j
[a2 — Ila]
p Q E S S E J H Z a a (3a2 —5ab + 7fr2) —|^ y a —b^{a + 2) —(4a —2)(b —-^-aj 8
ll'Ki (x + y —- j \ ( —xy) — (2x —y + 1)(—3x) + x(y2 + xy —6x — 3)
yx7
ItiM X3( —J - X + l ) + y X 2( y X 2- X + 3 ) - x ( | x - 5 )
-x3 + 5x
ll?yj —| - a 2fr(2a + b) + (—3a2) (a + b) (—fr) —a b [ ^ a b —y )
ab 2 T x
itili! y{3 —xy)(3 + x) —y(9 —x2y) + x(3jy —2)(y —y ì lliM [2a(a —b) + b{2a — 3fr)]|3fr(a — b) — 6 a ( y b + y
ITJ1 m
[9b4 -
b - b(3b2- ^ - y 2^J+ y(l,5b - 0 , 3 y ) ( ^ j y - b^j-(b - ^ j y ^ t f b 2+ y 2) (a —1) (2a + 1) + (—a) 2+ ( 5 a + l ) ( —a ) + ^ —
■(—
^
l a 2 —y a
MÌA 5(x —3) (2x + 1) —4x(x —5) —(—12x + 6) (—x) — —x ( y x — l) —- y IM I —6afr + ( y a — b ^ b ii'Z I (4a + 2 b 2 +
ITU
a)
a) +
5a(b +
11
19
2
2
[ y a 2 + 5a]
1) — (—a 2 — b 2) a)
—0,5a + (b —a) (0,2 + a) — {2a + l ) ( —b — 0,5a) —y
&
2^
3ab —0,2 a + y
(x - _y) |[ 18 (x2;/)3 - 7 (3x2y ) 2 + ( - 2y) 3x6] : ( y x6y ) - xy J + y 2(2y - 3x)
I M I y (—a
276
—y
—f y a + b)(— 2 a + 1) + 3(£> + 2 )(—a) — £>(2b — 1 -
E3
111 !
4 a4)
+
1) +
(a2 — 2ab +
b 2 {b
+
2a) + a + b
[(2 a
— b ) ( a + b) — 3 a b ]
b 2) ( a 2 + a b + b 2) + a b ( a 2 + b 2) +
(—2 a )3^ y
—2 ( —a )2fr a
—y
bj
— a 3b
2 fl+ 2 [ - a 4 + b4]
2. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE
fcl' H
(1 + X 2 — x ) (1 — X 2 — x ) + (1 + x ) (1 — X 2)
Mini (x + 3y ) (x — 3y ) (x4 + 9x 2y 2 + 81 y 4) b ) ( c b — b 2c 2)
+
— { — [ ( — x ) 2] 2 + ( — x ) 3}
(— 3y 2) 2 (— 81 y 2 +
[2 - x]
[x6 - 9 x / ]
x)
m i
3a b 2 { b
EH
( 0 , 2 5 x - 3 y ) ( y x + 3 > ' ) ( y r x 2 + 9;/2) - ( y x ) - [ 9 / ( 1 - 9y) - (3y2) 2 : y
— c2) —
(2 a +
—
1) +
cb [ 2 a — b { b c —
abcJ
MIEI {(3a2fr3) 3 : [(aM )2fl2fe — 10a4fr9]} •{a [(a + 2 ) (2a — 1) —2 a ( a
+
[3 a 6 3]
+
\ra3b2—ab3
MIEI
( a n+ l
K lf l
x (x")3 + (x" + 2) ( 1 —x) + x (xM+ 2x2") + (x” + x 2'1) (x2" —2x'J) x —2 ( 1 —x)
0 0
3 a n+m
a"
[-3] [ - 3 a 4 + 6 a 3]
- ^ ~ a 2b2 + (
a) (a
3]
1)]}
WlM
+
—j a
ESERCIZI
b ^ a 2 b — ( 2 a 2 — 3 b ) ( 4 ^ a + b^j — ( — \ a ^ ]
—a ”+1) + (a2 — 1) (1 + a 2") + (a")2
+
- j a m)
+
- ja
2n( -
4 a m)
[2fl2 - 1] [x4,, + 1 +x"]
- y a 2m •( - | a ” - 9)
[3 a 2m]
Milli 2 ( —x " y 2) 2 + [ —2x2,'(—^ 3) 2 + y x ( x ” + 2^)J —y x ' ,+1 EH
EUREKA!
T r in o m i s p e cia li Ilaria afferma che per m oltiplicazioni del tipo
(x + 5)(x + 2),
(x + 3)(x —7),
( x —l) ( x —6),
il risultato è sempre un trinom io di secondo grado in cui un coefficiente è 1 e gli altri due si ottengono con particolari operazioni fra i due num eri che compaiono nei fattori della moltiplicazione. a. Indica e giustifica la regola scoperta da Ilaria. b. Applicala per calcolare i tre prodotti proposti. 1 Considera i polinomi A — x 3 — 2 x , B = y x + l , C = x 2 + 2x. Semplifica le seguenti espressioni.
00
2B (A — C) —
00
4C
[x4 + x3 - lOx2 - 16x]
jj M
Con P(x)
— 2 x — x 2,
MM Dato il polinom io
calcola
00
C (A + B ) - A
(A + C)
[x 5 + 2 x 4 — y x 3 — 2 x 2 + 4xj
P (—
P(a) — a —
2) •
e semplifica l’espressione ottenuta.
3, calcola P (1 — a )
■P ( — a )
—P(9).
{2B + C) -
2 A (B -
1)
[x 3 + 3 x 4 + 5 x 3 + 4 x 2]
[-8x + 2x2] [a 2 + 5a]
Problemi Esprimi con un polinomio ridotto le seguenti grandezze geometriche.
00 00
Il perimetro e l’area di un rettangolo di lati
4a +
3e
a
+ 7.
L ’area di un trapezio con base minore x + 4, base maggiore doppia della m inore e con altezza che supera di 6 la base maggiore. 277
8
POLINOMI
HH
Il perimetro e l’area di un rombo di lato 2 y + 4 , con la diagonale minore che supera di 5 la metà del lato e la diagonale maggiore doppia della minore.
a. Calcola l’area in funzione di
HH
La superficie e il volume di un parallelepipedo rettangolo a base quadrata di lato 3 x e con altezza ~1^ x — o 2.
b. Se a - 2,2 m, quanto spende il signor Ferri per sostituire la pavimentazione con un parquet che costa € 90 + IV A (10 % ) al m 2?
B 0 C
EUREKA! Sommare 1 a uno Quattro numeri positivi a, b, c, d sono tali che a < b < c < d . Devi sommare 1 a uno di essi in modo che, m ol tiplicati fra loro i tre num eri rim asti inalterati e quello aumentato di 1, il prodotto ottenuto sia il più piccolo possibile. A quale dei quattro numeri devi sommare 1?
I~À1
a
I~c1
c
m
b
un
d
IT I
b
oppure
c
g g
A blue shape W rite an expression for thè area of thè shape and sim plify it. YOU&MATHS
3x + 2 x- 1 2x + 1
x+1
a.
[11 a2 - 1 0 a - 1;€ 2993,76]
[Kangourou Italia, 201 11 ip U
INTORNO A NOI Rifare il parquet La figura rap presenta la pianta di una stanza dell’apparta mento del signor Ferri.
EUREKA! Più 1 e meno 2 U n parallelepipedo rettangolo ha spigoli che m isurano x , y e z . E sp ri m i con un polinom io ridotto la differenza dei volum i V 1 e V 2 dei parallelepipedi che si ottengo no rispettivamente aumentando di 1 e d im i nuendo di 2 ogni spigolo del parallelepipedo di partenza. [3xy + 3xz + 3yz — 3x —3y — 3z + 9]
[4x2 + 2x\
3. PRODOTTI NOTEVOLI QUADRATO DI UN BINOMIO p
TEST
Q
[X l
1a I
E 3 3 Q
[ b] —x 2 — y 2 +
Uno solo dei seguenti trinom i
a2+ u +
I~b ]
non
2xy.
[T]
x 2 + y 2 — 2xy.
[T |
( x + y ) 2.
è il quadrato di un binom io. Indica quale.
4x 2 + 2 x +
l~cl 4 y 2 +
2y + 1
VERO 0 FALSO?
a. ( a — 2 ) 2 = ( — a + 2 ) 2 b. ( 3 x + y ) 2 = 9 x 2 + y 2 c. —
278
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(—x —y ) 2 è uguale a:
x 2 + y 2.
TEST
G Teoria a pagina 259
(x + l ) 2 = ( — x — l ) 2
S E ]
d. ( a 3 + 3 ) 2 = a 9 + 9 + 6 a i
0 0
S
S
e. (2b — y ) ( y — 2b) = — (2b — y )
S
f. ( 2 x + 2 z ) 2 — 2 ( x + z ) 2
00 00
S
3. PRODOTTI NOTEVOLI
ESERCIZI
Sviluppare quadrati di binomi Calcoliamo i seguenti quadrati di binomi, applicando (A +
a. i a — 2") = a2~ P a
+
B )2
= A2±
2 A B + B 2:
= a2- a + ~ ^ ;
b. (x 3 + 3 a ) 2 — (x3) 2 + 2 •x 3 •3 a
(3a ) 2 — x6 + 6ax3 + 9a2;
+
c. (x —x")2 = x^ —2 •x •x" + (x'1) 2 = x2 —2x"+1+ x2".
P
U
I n th è c lo u d Determine thè correct
YOU & MATHS
answers choosing from thè cloud. (x — 1 ) 2 = (9 + x )2 = (9x — l ) 2 = l_______ I
Calcoliamo (3x —2y 2) (—3x + 2y 2). (3x — 2 y 2) (— 3x + 2y 2)
' — (3x
— 2^ 2) 2 = —(9x 2 — 12x ^ 2 +
4 y 4) = — 9 x 2 +
12 x y 2 — 4y 4
osserviamo che [A - B)[-A +B} =-[A - B)[A - B] = -[A - B)2
P VMi
Calcola i seguenti quadrati di binom i e prodotti particolari (n,
CHECKER (b +
4)2;
(2 a
EU3 ( y x y - c ) ;
— x ) 2;
3 )2.
(a —
(x 2 - 4 ) 2.
( -4 -y /) ;
MAH
( a — 8 b ) 2;
BD
(—
+
m
E N ).
(a 2x 2 + -|-c ) ; ( y + y f l 2x ) ;
(y3 - 3 )2.
P □ EESEEHBH! (x 3 —3h)2;
( 0 , 6 a 2 — 5 y ) 2;
EW I (8p 4 —
t ) 2;
WK1 (0,3x 2 +
(2_ 1x + 3 y ) 2;
[ ó a 2 — ~ ^ a b 2^j
3 a b ) 2;
B0
( / - 2 a 3) 2;
EST] (4" —4)2;
;
(—4 a f r c + l) 2. (3x + 4 )(— 3x —4).
(m + 4 )(—4 — m);
W fil (2 a —x) (x —2 a);
( x — 1 ) ( 1 —x);
(0,5a —l,5 h ) 2; (x” —2x 2) 2;
(3x” - 4 •2") (4 ■ 2" -
(2y + 0,25a2) 2. ^ - a 3—
.
(5x 3 - 4 / ) ( 4 / - 5x3).
(a" + 2 ) 2.
FETI (2 • 5" + 52'7)2; (—1 + bm+3) 2; g g
EKEI (— 3y2 + 2b)(3y2 — 2b); (x2 — y 2) 2; (h 3c —- y )
( l —-|-a x ) .
( — y 4 — 2 a b ) 2;
3 x n) ;
( 2 - 2 " ) 2.
(7 " - 3xM) (3x" -
f ) .
279
8 m
POLINOMI
I~a 1
m U
|T | a = 2
(fl -
b) 2 =
b =
3
b —6
[c]
( a + b)2
Per quali valori di
INVALSI 2005 a = 2
b) 2 +
[I]
2a2 + 2b2
[T\
pQ
(a +
INVALSI 2005
U
a, b, c
Ed] 0
4 ab
vale l’uguaglianza
2x2+
6x + 5 =
c - 4
fc l a = 2
b -
c -5
\j[\ a = 2
b
3
+
b)2+
c?
= -4 1 c= y
c
3 = -y
W hat is m issing ? W rite thè binom ial that is missing.
COMPLETA
a. (]_____I)2 = 14 a2 + a 4 + 49
g n
x 4 — 6 x 2y 2 +
pi
y a 2 + 6a b
pi
4 a 4 b 6 — a 3, b / +
YOU&MATHS
a(x
inserendo u n m o n o m io in m o d o da o tte -
nere lo sviluppo del quadrato d i un binom io (« G
N).
b. (I_____I)2 = x 10 —6 x 5 + 9 c. d---------- J Sostituendo, n e ll’espressione (« 2 + l) ( n —2), il numero naturale « con il suo successivo, si ottiene:
H B U
TEST
[~À] (n2 + 2n + 2) (n — 1).
pi
+
+ - ^ c r b 2c2 + 4 y 2
pi
I 6 - 7 + I_____1
pi
X4 — ~^x2+
pi
4 — 9a2+
P j
4a2',+1 +
pi
2 2« _|_ 2«+2 + |__
(2 possibili risposte)
[~b1 (« 2 + 2 )(« —3).
ITI (n2 + n + 2) (n —3). f i l (n2 + 2 )(« + 1).
L
COMPLETA W M
(j______I + 1 _______I)2 =
4 x 6 + y 6 + 4 x 3y 3
EH
d____ I - I_____ I)2 =
9 x 8 ~ I 2 x 4y 2 +
g fl
d____l+ l____ l)2= 25n2+ b2+ IOab
M fJ
4 /
pi
G ra n d i n u m e ri Calcola il valore dell’espressione EUREKA!
pi
a 2n +
+ u6 + y _l
+ x4+
a2
(3 possibili risposte) (4 possibili risposte)
9x 6
(2014 + a )2 —2 (20 14 + a)(2014 —a) + (2014 —a )2 per AL VOLO
a =
1 e per
a
= 2000.
[4; 16 •IO6]
Calcola le seguenti potenze.
Wffll 982 { S u g g e r i m e n t o . 982 = (100 —2)2 = 1002 + ... )
p i
1052
0 9
m
95 2
no2
Determ ina il valore delle seguenti espressioni.
gg
3 1 2 + 292
gg
(3 6 — 3 5) 2
gg
4 12 + 5 1 2 + 6 12
gg
(28 —27) 2 (25 —26) 2
280
[16]
3. PRODOTTI NOTEVOLI
ESERCIZI
E |1
(210 —2 ) 2 + [(—2 )6] 2 —2 4(1 + 28) 2 + 2 15: 4 —4
[-16]
g g
34(35 — 1) + (33 + 36) 2 — [(35 — l ) 2 — (— 32) 3] — 35(2 + 37)
[-82]
m \
( a x + y ) 2 + ( x — a y ) 2 — ( x 2 + y 2) ( a 2 +
g li
-4 8 + [ 4 ( x - ì) ) 2- ( 5 x
l 'MjfA
( y 2 — x y ) 2 — ( x 2 — 2 x y ) 2 + ( 2 x 2 + 2 x y ) 2 — 3 x 3( x
EM I (2a — b ) 2 —
gZI
+
\2ab
[x2 - ( x - l ) 2] 2 -
5 3
4 (a
— b) ì
+
(b — a)
)]2- 4
x (x
4 (a
[-I6x]
+
+ 4y )
[x 2y 2 - 2 x y 3 + y 4]
[4a 2 +
b)2
+ l) + 3
g a
( y
P
(xn — 2 ) 2— (xn+
g fl
[(a" + 1) ”+ 1 : ( a " ) n+2
g g
(2 a 2) 2 + [fl4"(a '1_2) ” _2] : ( a n) n, con n > 2 .
+
[6
— x n) 2]
[~2x"]
l ] 2 — 2a
[a2 + 1]
SOMMA DI DUE TERMINI PER LA LORO DIFFERENZA ©
[5a4]
Teoria a pagina 259
Calcoliamo: a. (5 —2 a ) (5 + 2 a ) ; b. (— b + 3) ( b + 3); c. a. (5 - 2 a ) (5 + 2 a ) = 25 - 4a2.
O QzLU
[ -1 9 /]
+ 2 b 1) 2 + ì b 2 { y b - 2 ) + ( b 2 + l ) 2 + ( b 2 - 2 b ) 2 - ^
l ) 2 + 5 — [ ( x n — 3 )2 — ( 1
\ \ \ A B A
\ B
b2]
[~4 x 2]
2 y ) 2 — 3(1 + y ) 2
2 / — ((1 — 2 y ) 2 ~ 4 y 2] 2 — y 4
—
[ - x 2 - y 2]
2)2+ 9(x + 2)2
+
[2(x-
2)
(A + B)(A - B) = A2 - B2
( — \ ^ x — S y ^ S y — - y a;).
b. ( -
\ \ A2 B2
b
+ 3) ( b + 3) = (3 -
b)
(3 +
b)
= 9 - b2.
applichiamo la proprietà commutativa
in
LU
c.
( - X x - & y ) ( & y - X x ) = ( - X x - $ y ) ( - X x + 8y) = y x 2- 6 Y .
\
\B
A p
u
d)(d —
CHECKER
a
\B
\A2
\B2
YOU & MATHS A little trick Calculate these products in your m ind. Be careful: they require a little trick! Can you figure it out?
a. (5 +
p
\A
n
a
5);
b.
(a + k)
(—k +
Calcola i seguenti prodotti (n E m
(2x + b)(2x—
a b);
M EI (a4 + a2) (a2 — a4);
(ab
— 3) (3 +
ab);
(3a + 7b)(3a — 7b); (x2 —
1) ( x 2 + 1);
a);
c. (— b
+
13) (— 13 — b).
N). V + l) H r -l) ;
( -
x 2 - y 3) ( - x 2 + y
3).
(1 —x ) ( l + x ) . (~y~x ~
+
281
8
POLINOMI
EQ
(—4ax —y){4 a x
EpJ
— y);
*7 , 1 . " T + T a J;
4
a)(a
( 5 p 2q —
2
(3~!x - 2_1y) (3- 1 x + 2 ~ ' y ) ;
E3
( y f l 2frc —y f l& 2V - | - f l 2frc+ y f lf r 2);
p i
(fl —
p i
(9ax — p ) ( — 9ax — p);
EHI
(fl2" — b ) (a2" + b);
ED
(an- b 2)(an + b2)(a2n + b4);
m
[(— fl”) 2 +
M U
+
b\
a
);
a
+ 5 ' ~7\
E 0
(— b 2 — 8) ( b 3 - 8).
+ 5 p 2q ) ;
2
5) ;
( 0 , 2 / - 2) ( 0 , 2 / + 2);
(y x
fl
3 )(
(6 + 3x) (3x — 6).
(—4a — fr4) (—4a + fr4).
~ y)(~2x + y )’
y 2 + x * ) { x * + y 2) .
(x" — 1) (x" + 1). (3"+1
+ 1)(3 " +1 -
1).
(«" — 1 ) ( a " + 1).
No blanks, please! F ili in thè
ED
CACCIA ALL'ERRORE
blanks.
(2 a — b) (—2 a — b) = —4 a 2 —b 2
a. (5 +
a)
b. (x +
U)(U
c.
(5 — a ) =
U 2 — U 2;
(— x — y ) (y
— 1) = x2 — 1;
( b + 2>){b —
d. ( - 5 +
U)(U
(5fl +
( y f l 3- l ) ( y f l 3+ l) = ~9 fl9 - 1
2 b ) ( 5 d ____ I)
= 25 a 2
-
K 7 1 (6x — b )(l____ I) =
b2 —
36x2
x M )(2 J—^— aM )
VERO 0 FALSO?
a. (2fl — 3 b) (3fl + 2 b)
Ab2
(3fl + y)(l____ I) = y 2 — 9 a 2
m
= y 2—x2
- y ) = 2 5 - y 2.
E S Q
K ' i i (2fl!—^+
—x)
(x4 —4) (x4 + 4) = x 16- 16
U ) = U 2 — 9;
COMPLETA
EH
fl + 3 )•
( 2 / - 0 ,5y) ( 2 / + 0 ,5y).
(x —4y) (4y + x);
( 3x + y V — y + 3 x j;
[(— fl")2 — b];
YOU & MATHS
(
— 6a2 —
6b 2
E H ]
b. (8x — 1) (1 + 8x) = 64x2 — 1
m m
c. (—2 a — 1) (1 — 2 a ) = — (1 —4fl2)
m m
d. (1 —x) (1 + x) (1 + x 2) = 1 —x4
E E
e- ( 4x -
E E
= 4 a 6 — x8
d_____I + I_____|)d_____I - 1_____I) =
a4 -
t
)(4a: +
t
) = 4x2“ T
y6
f. (fl — 1 ) (fl + 1 ) ( fl 2 — 1 ) = (fl 2 — l )2
m
(i___ i- t3)(i___ i+1___ i) = - *u
p i
( x + l ---------- l) ( y y l---------1 ) = ^ \
AL VOLO
g. (3y3 — 1) (1 — 3y3) = 9y9 — 1
y 2~ x 2
Calcola i seguenti prodotti.
P I
98 102 (S u g g e r i m e n t o . 98 - 102 = (100 - 2)(100 + 2) = ...)
EH
26 -34
EH
85 -7 5
EH
109 91
EH
6 1-5 9
Determina il valore delle seguenti espressioni. ETiTIl 922 — 82
0 3
762— 242
HD
692— 1
0Q
262- 162
H 3
322
EE EE
3. PRODOTTI NOTEVOLI
g g
ESERCIZI
(37 — 1 ) ( 3 ' + 1 ) + 1 _ (3, _ 1) ( 3 , + 1) [1]
0 0
[4 + (210 - 2) (210 + 2)] : (—2 )7 + 3 •2 7( - 2 2) 3
[ - 215]
I due termini non sempre sono monomi
Calcoliam o
—x
+
y)(~\a ~
y)-
x ~
[A - B] [A +B) =A2- B2
raggruppiamo (p2a
—x
+ y){~2a — x ~ y ) =
\
X
\
A
CHECKER
x ) —y
Y a ~
{~2a ~ x
B
=
—y2
\
A
calcoliamo il quadrato di binomio
B
=
~ ^ a 2+ x 2— ax — y 2
\
\
[ x 2 + 2x +
1 —y 2; 1 6 a 2x 2 +
A2
B2
Calcola i seguenti prodotti.
B iM
( x + 1 — y ) ( x + l + y);
B if i
( a 2 — 2 x — b)
(2x
( 4 a x - y + t) ( 4 a x — y — t ).
+ b + a 2);
H 0 Q E S H E E B f f l H { 3 z ~~2 + fc)(3 z - f c - y ) ; B in i
(a + b — 9 ) ( a — b +
BiM
(x
+ y + z —
1) (x
9);
+ y —z
a 4 —4x2 — b2 — 4xb ;
a + b2 — 1 ^ + - ^ - a — b2 + i y
(y2 — y — l ) ( y 2 + y +
+ 1);
(x4 — x 2 +
x
y 2 —8ax y — t2
a 2 — b4 — 1 + 2 b2
(x3- 2 x 2+ 1)(1 - 2 x 2- x 3).
1).
[ a 2 - b2 -
— 1) { x 4 +
x2—x —
81 +
I8b; y 4 - y 2 -
1+
2y]
1).
[x2+ 2xy + y 2—z2— 1 + 2z; x8 —3x4 + 2x3—x 2+ 1]
BMH Ì2a + - | - + c — d j^ 2a —- y + c + d j;
(a3 —a2 — a
—
2 ) (a3 + a2— a
+
2).
4 a 2 + c2 + 4 ac
Bjfll Q
YOU & MATHS
C a n you sim p lify this? Fu lly sim plify (1 + x) (1 +
x 2)
b2
— y —d 2 +
(1 +
x 4)
b d\ a 6 — 3a 4 — 3a 2 — 4
(1 + x8) (1 —x ) .
[USA Texas A&M University Math Contest, 2012] CHECKER
Sem plifica le seguenti espressioni
Bftfrl (2 a 2 +
b ) (2 a 2 — b)
BftBl (— 1 +
ab)
B
(—x + 2) (4 +
(2 +
x)
(4a 4 +
(— 1 —a b )
b 2) ;
( a 2b 2 +
x 2) +
(x2 +
4y 2)
(n G
(x —
N ).
2y )
(x + 2y ) (x4 + 16y 4) .
1) — (2 a 2b 2 + 3) (3 — 2 a 2b 2)
(3 x
—
+
[1 6 a 8 -
256/]
b 4; x 8 -
[3a4b4]
8
4) ( 3 x + 4) — (2x2 + 5) (— 5 + 2x2)
[ - 5x4+ 9x2 + 25]
11
(x + l) ( x 4 + l) ( x 2 + l ) ( x - 1) - 2 ( x 4- 1,3) - (x4 - l ) 2 Bfrfll {[ (x2 —y 2) 2 +
2 x 2y 2]
(x4 —y 4) +
2 x 4y 4}
+ (x —y ) 2 (x +
Bftfrl [(— 3y 2 — x 2) (x2 —3y 2) ] 2 —2 (1 — 3x2/ ) (1 +
3 x 2y 2)
y ) 2 (x2 + y
— (—x 2) 4
]
2) 2
[2x«] [ 81/
-
283
2]
8
POLINOMI
K M
( x — 2y ) 2 ( x + 2y ) 2 — ( x 2 + x y — y 2) ( x 2 — x y + y 2) + ( — 3 x y ) 2 — 2 y ( — x y 2 + 8 y 3 + x 2y )
g li
a 2( a 2 +
4) — (1 —2 a 2) (1 + 2 a 2) —4 a 2 ( a — 3) (a + 3) — ló ( l - y ) 2( l
+ - j J
jtìtUl 2^x2y —-ip ^ x 2y + "2") —x3(xy2 + 2) —2 x (—x — 1) (x — 1) —8 (—2x 2) 2^ - y ) KKII (—y m
O
t s
+
3a ) ( — y
m
s
m
—
3a )
m
— - j a ( — 9a +
24) + (a —y
+ 2)
(a
+ y —
2) —4 ( y
—
1)
[y4] [48n2—17] [—■ - y —2x —x4y2J
[—5a2—8a]
(2ax + 3fl3) 2 + 4a2( x —y a + l ^ - ^ - a + x —l j — 3x (—2 a 2) 2 —a 4(3a —1) ( 3 a + l)
4a2+
KKK1 (x —2) (—x —2) (—x 2 —4) (x4 + 16) —x 2(x3 — 1) (x3 + 1)
[x2—256]
EH
[2a12—a6]
(2a6 — 1) (2a6 + 1) —2
[ a 2(a
KKkl 9x2 + y (-^ -y —x j — (3x —y REM
4b + (o ,4 a + ~ ^ b ^ 0 , 4 a ~
jjKM
+ 2j
—2) (a + 2) + 4a2] 3 + (1 —a 3) ( l + a 3) +
1)(3 x + y — 1) + y ( x + 2)
[ i r 2+ i ]
[2ù2—4]
- y fr)+ (1 ,2 5 b + l)(fr —4) + ( “5'^ —
27 2 80 *
(x — 5y)(x + 5y) — (4_1x —4y) (4_Ix + 4y) — 6y2
(2 + a M ) ( l - a 2”) + 2 (l + a " ) ( l - a") - ( - a")3+ ( a " + y V - |- - a") + 5 ( - f l " ) : E 3
(x',+ 1 +
a n)
(xn+1 - a") + 3x2 + x 2 (2 - x") ( x n + 2) - (2x - a") (2x +
► LABORATORIO
17 + n"
a ”)
MATEMATICA E STORIA
Polinomi, non solo con i simboli I simboli dell’algebra che hai imparato a usare in questo libro non sono poi così antichi: hanno circa 400 anni. Si ritiene però che l’origine dell’algebra risalga a più di 4000 anni or sono. Come si poteva fare algebra mille e più anni fa? È semplice: usando le parole! Nel Medioevo, la parola «cosa» denotava una variabile di cui cercare il valo re. Oggi tu potresti indicarla con x. «Censo» invece era «cosa» elevata alla seconda potenza, che tu potresti indicare con x2. La seguente frase è tratta dall’opera Al-kitab al muhtasarfi hisab al-jabr wal-mugabale di al-Khuwarizmi, un matematico arabo del IX secolo:
Moltiplica dieci meno una cosa per se stesso,... a. Rappresenta quanto richiesto da al-Khuwarizmi utilizzando il simbolismo moderno, in due modi:
• scrivi il binomio che lui chiama «dieci meno una cosa», moltiplicalo per se stesso e semplifica; • utilizza la regola del quadrato di binomio. Confronta ora i risultati che hai ottenuto con la seguente soluzione proposta da al-Khuwarizmi:
...fa cento più un censo meno 20 cose. b. Scrivi le frasi che al-Khuwarizmi avrebbe potuto usare per indicare (1 —x) (1 —x) e il corrispondente risultato.
□ 284
►Risoluzione.
►Un esercizio in più.
►Attività di ricerca: I simboli: perché proprio nel Seicento?
[3x2
3. PRODOTTI NOTEVOLI
CUBO DI UN BINOMIO
Teoria a pagina 260
(A + B f = A 3 + 3AZB
+
ESERCIZI
3AB2+ B3
Calcoliam o ( y 0 — ù2) applicando (A —B ) 3 = A 3 — 3 A 2 B + 3 A B 2 —B 3: ( y « —fr2) = (_3_fl) — 3 ^ y a )
( b 2) + \ ^ ~ a j] ( b 2) 2 — ( b 2) 3 =
= y ^ - a3 —y a2 b 2 +
Q
CHECKER
ci2b 2 + 2 a b 4 — b 6 =
2 a b 4 — b6.
Calcola i seguenti cubi d i b ino m i
(n
E N , n > 0).
§H3 (fl + 3)3; (2 + x)3.
00
|I1 I
{^3a2b2 —
00
(2m — l)3;
( y p -f ) .
00
(— ab3 + l ) 3;
§51
(x3- y 3) 3;
(a 2 - y ) .
0 0
(fl" + fl>,+1)3; ( l - x ' !)3
(0,3 —3n2) 3.
00
(3" — 3 )3;
(2" —2 2")3
00
(1_____ J)3 =
J +
00
(y X -
00
(2Ù2 + __
HM1 (xy + x )3;
COMPLETA
ESI
;
(L_ _l)3 =
a6
+ 3 a 4b2
3x4
+
—
C alcola nel m o d o p iù ra p id o le seguenti espressioni.
§03
(2 a
- - 1 ) 3(2 a + l ) 3
0 0
(l +
KMH
00
+
L
__ — 4X2 +
( x ~ l ) 3( x + l ) 3(x2 + l ) 3
KKIJ (x —y ) 3(x +
y ) 3 (x2 +
y 2) 3
S e m p lifica le seguenti espressioni. (a
+
b ) 3 — (a
-
b)3—
6b ( a
— b)2 —
12 b2(a
[8 b3]
— b)
EMI (a2 + b2) 3 — (a3 — b3) 2 + 4a3b3 — 3a2b2(a + b )2 Efitl
+ 3 b6
+
12 a 2x 2
__ 1j —
3b3
+
—
+ 3x8 - L
II
8 a 3x 3
+ b6 +
AL VOLO
v
(—2 + y 3) 3.
CO
_J)3 =
(L_
(1 - y ) 3.
i seguenti c u b i d i b in o m i.
E H I (L_ J ) 3 = 1 0 0
(3 x 2y + 2xy2) 3.
( p 2 - q ) 3:
(a
+
b)3—
(a — b ) 3 — 2 b
[(a + b ) 2 +
(a +
b)
(a — b)
[0] +
(a — I?)2]
[0]
285
8
POLINOMI
Effll (3 -
x)3-
2x{x—
3) (9 +
9 [(x —y ) 3 —x y 2\
x) -
(x +
3)3+ (—2 x ) 2( x
— ( x — 2y ) 3 — ( 2 x — y
+
2)
[ - 4x2] [ - 9x 2y \
)3
(a + 2 b Y ~ ( - 2 b + a Y - 3 b ( - 2 a ) 2+ { - 2 b ) 3 E 0 P
( lU
[b]
y Y ( l + y Y + ( l + y zY + ( - y 2Y : [ - j y 2) + - j ( 3 y - 4 )
[(a + bY - (a - bY - 2b3]2 =
test
I~b 1 4b3
I~a 1 0
EHQ
[8 b3]
n
[ c ] 3 6a4b2
3 6 a 2b2 + 4 b 6 — 2 4 a b 4
Dati due numeri, a e b , se si sottrae al cubo della loro somma il triplo prodotto tra il loro prodotto e la loro somma, qual è il risultato? TEST
I~a~| a 3 +
[¥] a3 — b 3
b3
QUADRATO DI UN TRINOMIO G
He]
(a — b)3
m
Teoria a pagina 260 (A
Calcoliam o
(-ja
+
( 4 y a + b — ab^j
a 3 — 2 a 2b — 2 a b 2 + b 3
applicando (A +
B +
C )2 =
+
B
—A
+
B? + C? -\- 2AB
+
2AC
+
2BC
A 2+ B 2+ C 2+ 2 AB + 2 A C + 2BC:
b—ab^) = ^ a ) + (b)2 + (—ab)2 + 2 •-y a b + 2 •- y a ( —ab) + 2b{—ab) = = - ^ a 2 + b 2 + a 2b 2 + a b — a 2b — 2 a b 2.
Calcola i seguenti quadrati d i trin o m i (« e N ).
CHECKER
KT'VJ (3 x
P
+ y + z ) 2;
( a - 2 b + 4 y -,
p
u
l s
a
m
(x2 + x + 2 ) 2; jM I
( ^ j x - y + 4 );
00
(an-
COMPLETA
(4 a
IM I
+ 2 + 3 x ) 2.
(2 -X -6
ay)\
( ^ x y + x — 7 y 2^j
p
-a b
( a 2 — ^ y + b 2^j
.
( y r 2- 5 xy + ^ y 2^)
2 ) 2.
IM I
{ a 3 — a 2 — a ) 2;
P
(— 3 —x 3 — y 3) 2;
0 0
t _____] +
+ 1_____I)2 = I_____I + I_____I + I_____I + I_____I + 2x4 +
2x~
l _____J + l_____I)2 = ^ a 2 + f r 2 + 4 + l_____J + l ____ 1 +
EET1 (3x3 + I_____ I - 1_____ I)2 - 9x6 + I_____ I + 16 + 12 x3y - I____ I - L
286
+ - ^ b 2 ^j
(3 x + y - S ^ y ) K
( 2 x — y 3 + 4 c 2)
(
[a2n + a2+ a4n- 2 a n+ì + 2aìn - 2a2n+u, x 4 +
i seguenti q u a d ra ti d i tr in o m i.
(x4 + x 2
V)*-,
^3 —4 b
i
a + a 2n) 2; ( x 2 + x 2n -
EM I
+
;
3
a +
2
x 4" + 4 +
b -
\2 3j
2xln+2 - 4x2- 4x2"]
3. PRODOTTI NOTEVOLI
K iill ^1_____I —I_____I + - y j — 4 x 2 + I_____I + I_____I — 2 0 x y
y Kllftl
+ 2x —
ESERCIZI
I__
Sem plifica le seguenti espressioni. [Aa2 + 9 b 4]
( 2 a + a b + 3 b 2) 2 — a ( 3 a b + Ab 2) — a b ( a + a b + 8 b + 6 b 2)
KHK1 (a3 + 2 a x + x3) 2 — (x3 —a 3 + 2 a x ) 2 — (2a)3(ax + y ì
[4a3x3 —2a3]
U lt i ( y a 2 + x2 —x ) — (x —x2 —a 2) 2 —a 2[ x ( l —x ) + - | - a 2] KM<1
(a — x — y )
KHM (3x —2y
y — a)
+ (x —y —a ) 2 +
1 ) 2 + (2x —y
+
ETÌP3[] TEST I~a~1
(x +
+
2) (—2 +
Ay
(x —a )
[0]
2x) —x (5x — Sy
y —
[-«']
—
2)
[ 3 / - 3]
(a + b — c ) 2 — (a + b ) 2 — (b — c ) 2 =
Hb]
a 2 + b 2 — 2bc
[c]
— b2 — 2ac
b2 + 2ac
[ d]
• - a
2
Espressioni con i prodotti notevoli v B IW
l Sem plifica le seguenti espressioni
E N ).
(n, m
K1HH y x ( 3 —x) + 3 ( x + 1) (x — 1) —x ( x — 1 ) 2 + ( x — l ) 3 —y ( 7 x — 8) HHV1 jy - [ ( 2 x —y ) 2 +
(x — 2 y )2 — (x + y ) 2 +
HWH a3(l —a ) + (1 + a ) 3— 3(2 —a ) 2 +
— 2 b ) 2 — (3 a
+
(z —x )3 — 3 (x —y ) (y b)
(3 a
b)2—
(2 a
— b ) 2 + 7a 2 + b2 — A (a
KVJ1 1 + (3x + 2 a ) 2 + (3x + KViH Km
— b}[b
+ “2') +
2a)
— z) (z —
[8a3]
b)2
+
—
(3x +
b)2+
3y
[8x3] [ I 2 0 a 2b2 + 2 5 b 4]
+ 1 ) 2 + 6 (x +
3 (— b
—a —
y)
2) ( a — b
(3x —2 a ) — ( l + 3x + a )2 + 2 (3x +
b2 — (a —
2 ) ( a + 2) —(4 —- y a 2j —
a) —
[-
— 2) — 12b
(3x)2
~~”4”)
~l~ 2 -5
( x —y 3—3 ( x —y 2 ( x + y + 3 ( x —y ( x + y 2 —( x + y 3—(—2x2y 3 : (— 2 _1x 3) 2
Elmi (3xy +
y 2)
(3x y —y 2) — [(x — 3y )
( x + y ) — x 2] 2 —
[ -4 x 3y
x) — (—2x )3
— b ) ] 2 + I 2 a b 2( \ 0 b — 2 a)
EVIA (x + 2 y )2 + (3x —y 2 — (x + 2y (x —2y ) KOTfl (2 a +
(a
+
[17a - 19]
[(—x + y 2 —( x + y 2] [(—x + y 2 + (—x + y ( x + y + ( x + y 2] + i 2x y
+ b) ( a — b ) 2 +
3 ( a — b)
1 —a 2) 2
kv/ i
{y — z )3+
3 (a
(a +
(a — b)3+ (a
Kl'^1 [(3 a
b) 3+
3 ) ( a — 3) +
(a +
[x6 + / ]
y 2)
KV1I
KVK1 (x —y 3 +
+
l O x / j — 3 x 2y 2 ( x 2 +
[ I * 2]
6y 2 (x —y ) 2
20x y - 1] [12] [6ax —a 2]
[ -H [24/] [ - x2/ - 16 /]
287
8
POLINOMI
P I
a 2 —- y
+ a2) —( y - a 2 — a b } + - y a 2(10fr2 + a 2)
P I
—2 ( 1 —x )3 + (4 —x) (x + 4) + 4 ^ y - — 3 x } + (2 +
P I
( - j x - y )
EH
y -a
—( y ~a
g g
— b}
—
(2 ^ 2 + - y - ì +
gg
y
gg
(5 a
gg
y6+
gg
(a — 2 ) 2( a +
B0
(—x 2 —y ) (—x 2 +
Rjj
(x +
B0
(—2 a 2) 2x
B0
—x 2) 2 + [(—2x3) 3 : (2x4) 2] (13x —2)
x }(^ b —
— b)2+
(5 a
x)
+
^3a + y -f r)
— (^3a
—y - b )
[ ( a 2 ~ 2 b ) ( a 2 + 2 b) — 3 a 2 b]
( ^ y b 2 + x 2} ^ b 2 —x 2)
— b ) ( b + Sa) — (b
+ 5a ) 2 +
+
5 (a
2 ) 2 —[ a y)
—-y
+ (2 x
b ) 2 — 5 (a
—y ) 2 — (x2 + — 4 a 2(y ^ x
ì ( a + - y ì —( a 2 + 4) ( a —y )2—
y2—
[(a 2 +
[a3- 1 ]
[—25a4b2]
2 b ) 2 — b ( 8 b + a 2)]
—
] - iM [25a2- F |
—b ) 2
— x)
(x +
[ /]
y)
2 ) (a + 2) + f y - +
[—7a2+ 32]
a 2}
(2x)2( l —x) (1 + x) + (—x —y ) 3 — 5x4 + 3xy(^x
2 )2 —4(x
+ y ) 2+
(2 x y
+ 2 ) 2 — (y
—l ) 3+
+ y +
y 2( — 3 + y ) —
{|(x" -
( - x” - / ) -
m
{ — [ ( — ^ ) 2] m} 3 + (1 —
EH
[a5(a"+2)"_2] : (a")" + (a"+1) ”+1 : (a n+2) n, con
(xn+ y
n) 2] x n -
2
[ - 3 y]
I
— a 2)(a 2 + - y x ) — (2a3 + ax )2 + 7^— y a x )
m
[—x3 —jy3]
1
(x —-y ì —y - (x2 + 3x) —(—3x)3+ x2(6 —x) (x + 6) —(3x + 1)3 y n)
11 2 TP'
+ (a — l ) 3 —3 a ( l —a )
—20^— ì y b } : (— b ) 2
(x2 —y 2) 3 — (x3 —y 3) 2 + 2y 3 (y 3 — x 3) — 3 (—x y ) 2 ( y
y ) 2(x
[x4 + 2x + 19]
- ~ ^ ( x + 3 y ) ( x - 3 y ) - ( p j x + 2y} - ^ ( 2 x - y ) ( 2 x + y ) - - j x ( - 6 y - x )
+ b}
+
x
[a4+ y f l 3b|
1 ? 2 —4 * *
[—1 —9x]
( - x ”) 3} : ( - y x 2")
[4 /] [-
b3m) 2 + {b2n ~ l ) 3 - 3 ( b n - b 2n) ( bn + fc2" ) - ( b 3n) 2 n
> 2.
2 b 3m\
[2a\
4. TRIANGOLO DI TARTAGLIA ©Teoria a pagina 262 v
K q ll+ q a + E Sviluppa le potenze dei seguenti b inom i con il triangolo d i Tartaglia
f f il P I
( a - b ) 4:
( x + 2 ) 4;
EH'I ( a + 1 ) 6;
(1 — 3p)5. (2a —
x ) 4.
(a3+
l ) 4.
t ) 7;
(n
E 3
(x 2 -
E 1
( y y + 2 ) 5;
( 1 - 0 8.
EtM
{ a x 2 — y 3) 4 ;
{p — q ) 6 .
G N ).
(0,6 + a 2) 5.
W f\
(x2 + x )6; (a — 2a3) 5.
[x12 + 6xn + 15x10+ 20x9+ 15x8+ 6x7 + x6; a* —10a7 + 40a9 — 80a11+ 80a13—32a15]
HB
(a" + l ) 4; (x2,! - l ) 5.
[a4" + 4a3" + 6a2n + 4rt" + 1; x10" - 5x8" + 10x6" - 10x4" + 5x2" - 1]
288
5. PROBLEMI E POLINOMI
nomi.
B73
J —2y)4 — x4 — I____ Ix3y + I_
p i
+ a)5 = — 32x10 + 80ax8 —L
1
1
y4
1
2
1
J + l___ J - l __ J + l___ 1
1
3
3
M
1
4
e
■
xy3 +
x 2y 2
J)5 =- a 5 -
bei
H
■
)4 = a 8—4a6y + 6a4y 2—4a2y 3+ y4
[53
_ l - l ____J- 32
■
Semplifica le seguenti espressioni.
CHECKER
g li
( x - 2 ) 4- ( x + 2 ) 4 + 4 x ( 2 x - 1 )(1
B ill
(1 +
a ) 4(a
[ - 68x]
+2x)
+ 2) —2 ( 1 + a ):>
[—a 5 — 4a4—6a3 —4a2 —a]
gli [()/ - 1)(y + 1)]4- (1 + y 2)4 + 8/(1 - y 2)2
[ - 1 6 /]
E 0
2 ( p 2 + q ) 2 - ( p + q ) 4 - 2 ( q + p 2) 2 + q 2( 4 p + q )
bui
(1 —x ) 4 — (1 —x )5 + (1 —x )3 —x 3(x2 —4 x
[—p4+ 6p4q + 2q2—2q2—8p2q]
5)
+
[1 —2x —x2]
Solo un coefficiente Qual è il coeffi ciente del termine con parte letterale x 3y 4 nello sviluppo di (4x - 3y 2Y ì [5760] EUREKA!
[Furman University Wylie Mathematics Tournament, 2008]
JSH
Qual è il coefficiente del termine di quarto grado nello sviluppo di
BEI
Scrivi, senza sviluppare la potenza del binom io, il terzo termine di (— a — b ) s. [ - 10a3b2] E 0
ESERCIZI
^ 3y2 —
j ?
—- y
Che coefficiente ha il monomio che ha parte let terale a4x8 nello sviluppo di ( a 2x — x 2) 5? [-10]
Calcola, senza sviluppare la potenza del bino mio, il coefficiente del terzo termine di (o
1
(2 -~ 6
\6 x
I-
20 1 [ 3 \
J
5. PROBLEMI E POLINOMI ©Teoria a pagina 263 Parole ed espressioni Trasforma le seguenti frasi in espressioni algebriche ed esegui i calcoli.
b h Dato un numero
m
A lla differenza dei cubi di due num eri x e y sot trai il cubo della differenza e al risultato aggiungi il triplo prodotto dei due num eri moltiplicato per la loro somma. [ 6x2y]
B E I Aggiungi al prodotto della somma di due num e ri a e b per la loro differenza il doppio del qua drato dell’opposto di b. [a2 + b 2]
JSS
Verifica che, aggiungendo all’opposto della som ma dei quadrati di due num eri il quadrato della loro somma, si ottiene il doppio prodotto dei due numeri.
a, alla differenza tra il cubo del suo successivo e il cubo del suo precedente sot trai 2. [ 6a2]
289
8
POLINOMI
EH
Calcola la differenza tra l’opposto di un numero a e il prodotto tra il numero stesso, il suo prece dente e il suo successivo e al risultato aggiungi il [a3] doppio del cubo di a.
EH
Verifica che, se al quadrato della somma di due numeri si sottrae il quadrato della differenza, si ottiene il quadruplo del prodotto dei due numeri.
E H Q INVALSI 2005 Quale delle seguenti relazioni algebriche può essere descritta con la frase: I l c u b o d i u n n u m e r o , a u m e n t a t o d i 2, è u g u a le a l q u a d r a t o d e lla d iffe r e n z a t r a lo stesso n u m e r o e 2? [T I
x 3+
ITI
(x
2 = (x — 2 ) 2
+ 2)3 =
x 2— 2
[c]
(x + 2 ) 3 = (x — 2 ) 2
[T]
x3+
2=
x 2— 2
Problemi geometrici Calcola il perimetro e l’area delle figure esprimendo il risultato con un polinomio ridotto a forma normale.
pU YOU&MATHS
School overview The figure represents an overview of a school with a courtyard. W rite and sim plify an expression for thè area of thè courtyard.
school 2x - 4
pG ESEMPIO DIGITALE
U n triangolo rettangolo ha i cateti che m isurano 5 a e 2a + 1. Se si aumenta il prim o di 3a + 2 e si dim inuisce il secondo di a , qual è la differenza tra la seconda e la prim a area?
x- 1
Se si trasforma il quadrato della figura in un rettangolo, aumentando la base di a + 1 e dim inuendo l’altezza di a + 1, l ’area resta uguale? E il perimetro?
W fì
3x + 5
[7x2 + 6 x - 29] p
G
INVALSI 2007 In un triangolo rettangolo un cateto supera l’altro di 3 cm. Indicando con x la m isura in centimetri del cateto minore, quale tra le seguenti espressioni rappresenta l’area del triangolo? e
E E
E
[no; sì]
EH
3a + 6
a+2
x + ( x + 3)
x
4a + 8 2a + 4
x - (x + 3) HA
2 ■( x + 3)
3a + 6 -A-
/
a+2 AH
/
/
2 x ■( x — 3 )
In un rettangolo la base supera di y plo dell’altezza, che m isura e l ’area in funzione di h.
h.
il quadru
Trova il perimetro 10h + 1; y h + 4h2
290
2a + 3
Esprim i perimetro e area delle due figure con polinom i ridotti, verificando che i perimetri sono uguali. Calcola la differenza tra la seconda e la prim a area e il valore che questa differenza assume quando i perimetri m isurano 64 cm. [2p = 16a + 32, A x = l l a 2 + 44a + 44, A 2 = 14 a 2 + 56 a + 56; 48]
5. PROBLEMI E POLINOMI
ESERCIZI
Trova l’area delle zone colorate nelle seguenti figure esprimendole come p olino m i ridotti.
Il lato di un quadrato che m isura a + 2 viene aumentato di 2a + 1. Esprim i con un polinom io ridotto di quanto aumentano il perimetro e l’area.
m
INTORNO A NOI
V acanze in c o rn ic e Laura vuo
le inserire una foto scattata in vacanza in una cornice di legno larga x. a. Trova l’area della cornice in funzione di x.
[ 8 a + 4 ; 8 a 2 + 14a + 5]
b. Se x = 5 cm e il costo della cornice è di € 4,50
al dm 2, quanto spende? c. Dato che la foto è molto nitida, Laura pensa di farla ingrandire raddoppiandone le dim en sioni. Se usa lo stesso tipo di cornice, la spesa relativa raddoppia rispetto alla precedente? Nel trapezio in figura la base minore è la metà del lato obliquo A D e la base maggiore supera di 2 il triplo della base minore. a. Trova l ’area A del trapezio in funzione di x. b. Se x = 8, quanto vale A ?
[a) x2 + 3x; b) 88] 36 cm EW!j
INTORNO A NOI
Adesso c h i paga? Una vetrata
si è rotta. Trova l’area della finestra in funzione di a; calcola il suo valore per a - 1,5 dm. Quanto si spende a sostituire il vetro se il costo è € 2 8 al m 2 (tu ~ 3,14)?
l 'I o 2 + 74ci + 14 +
8jiu2+ ~2 7T+ 4kci ;
(287 + ^ -
tt)
dm2; € 101,90
[a) A(x) = 4x2 + 120x; b) € 31,50; c) no] P
U
ESEMPIO DIGITALE In un parallelepipedo ret tangolo uno spigolo di base m isura 2 a + 4, l’altro spigolo supera di 1 la metà del prim o e l’altezza è la somma dei due spigoli di base. Trova il volume V ( a ) ed esprim ilo come polino m io ridotto. Calcola V ( à ) per a = 0 e per a = 1.
ETCÌ Le dim ensioni di un parallelepipedo rettangolo m isurano 2 a + 1 , 4 a , a - 2, con a > 2. Se ciascu na di esse viene aumentata di 2, di quanto aumentano la superficie e il volume del paralle lepipedo? Esprim i il risultato con polinom i ridotti. [56a + 16; 28 a 2 + 14a]
291
8
POLINOMI
Trova il perimetro e l’area del rettangolo colorato.
[6a + 2b —81; 6al + 2 b l - 1212]
09
Il lato di un cubo m isura
a.
Se viene aumentato di 2, qual è l’aumento della superficie totale e del volume? [24a + 24; 6a 2 + 12a + 8]
Il rettangolo della figura ha la base e l’altezza che m isu rano 8y e 4 x . a. Trova l’area A della zona colorata. 2y
b. Determina il valore di A quando x = 4 e y = 3.
[a) 15xy — 4x2 — 2y; b) 110] E 9
In un parallelepipedo rettangolo uno spigolo è uguale alla somma degli altri due e, di questi, uno supera di il doppio dell’altro. Indicato con x lo spigolo minore, esprim i con un polinom io il volume del solido. [6x3 + 5kx2 + k2x]
k
Problemi numerici Due num eri naturali hanno prodotto 84 e som ma 19. Trova la somma dei loro quadrati. [193] 10
]
gnu ESEMPIO DIGITALE
La somma di due numeri naturali è 27 e quella dei loro quadrati è 369. Trova il loro prodotto. [180]
Considera un numero naturale x , aggiungi 2 al suo doppio e calcola il quadrato del numero ottenuto. Verifica che si ottiene il quadruplo del quadrato del successivo del numero x.
Dim ostra che il prodotto di due num eri dispari è dispari, mentre la somma è un numero pari.
eh La somma dei p rim i due num eri dispari è 1 + 3 = 2 2 e quella dei p rim i tre è 1 + 3 + 5 = 32. Adesso, supponendo che la somma dei p rim i n — 1 num eri dispari sia ( n — l ) 2, calcola la somma dei p rim i n. (S u g g e r im e n to . L ’n-esim o numero dispari vale 2 n — l.) [n2]
E E 3 Aggiungi al prodotto di tre numeri naturali con secutivi il numero intermedio. Cosa trovi? V e ri fica la proprietà con alcuni esempi.
292
EH
Sapendo che la somma dei p rim i n num eri dispa ri vale n 2, esprim i con un polinom io la somma dei p rim i k num eri dispari maggiori di 20. [k2 + 20 k\
EH
Verifica che, se si somma a un numero naturale di due cifre il numero ottenuto scambiando la cifra delle unità con quella delle decine, si ottiene sempre un m ultiplo di 11.
5. PROBLEMI E POLINOMI
Problemi
E3
intorno a noi
Tazze e bicchieri U n ’azienda produce bicchieri e tazze di plastica e sostiene, mensilmente, i costi indicati in figura. Considera il mese di 30 giorni commerciali, indica con y la spesa giornaliera complessiva e con x il numero di oggetti prodotti in un giorno. Scrivi il polinomio che esprime y.
EH
I 1 2 0 0 spetto f u t a , m e n o ila
€ 0 ,1 0 a, p a z z o p ro d o tto r r
EUREKA!
A g ra d o n i Una piramide a gradoni è
formata da n parallelepipedi rettangoli a base qua drata sovrapposti, ciascuno alto 1 metro. Il primo gradone ha spigolo di base n metri, il secondo di (n - 1) metri e così via fino all’ultimo, che è un cubo di spigolo 1 metro. Esprim i come polinomio ridotto la superfìcie esterna totale della piramide (esclusa la faccia della base che poggia sul terreno).
I €
Q u a n te ru o te ? In un parcheggio sono presenti
automobili, biciclette, scooter. Si contano 15 biciclette in più rispetto agli scooter, mentre le auto sono il triplo delle biciclette. Indicando con x il numero degli scooter, quante ruote si hanno in tutto? [210 + 16x] VlkW
[y = 0,1 Ox + 40]
|S u g g e r im e n to .
EWI A ciascuno il suo Una somma di lOx euro viene divisa fra tre am ici: il prim o riceve x euro e il secondo ottiene una quota che supera di
4a
i
3
E Y ij
- y - x - 4 « ; 1 0 0 , 260, 640
€ 1500
[3n 2 +
2 n]
EUREKA! R icavo e c o n tr ib u ti Una ditta pro duce e vende automobili. Il ricavo realizzato dal la vendita di ciascuna automobile è di € 6000, al quale si aggiunge un contributo statale per ogni
a. Qual è, in media, il ricavo mensile totale della ditta? Esprim ilo sotto forma di polinomio. b. D i quanto aumenterebbe tale ricavo medio
mensile se si vendesse un’automobile in più nel corso dell’anno?
b. Quanto spende in un anno l ’azienda se ha 20 dipendenti?
€ 1200
numeri
mero di automobili vendute in un anno.
a. Indicata con y la spesa mensile complessiva e con x il numero di dipendenti, scrivi il polino m io che descrive y.
P e r azojouo & tu r a :
^ .j
n
automobile venduta pari a € -jqq -, dove x è il n u
Cuscinetti U n ’azienda che produce cuscinetti deve affrontare i costi m ensili indicati in figura.
P e r o jn à dìpoHÀervt^:
La somma dei p rim i
naturali positivi è
della prima. Quanto riceve il terzo? Se x = 100 e a = 50, quali sono le tre quote?
EZ3
ESERCIZI
a) — -— x2 + 500x • b) —-—x + ^00001 ; 1200 ’ ; 600 1200 EH
A u m e n ti In una impresa di costruzioni lavora
no n dipendenti con uno stipendio medio m en sile di € 1300. Il consiglio di amministrazione decide di incrementare il personale del 4 % e inoltre aumenta lo stipendio del 2 % a tutti. Scrivi in funzione di n l’aumento di spesa annuale sostenuto dall’azienda. [948,48n]
[a) 7 = 1200 x + 1500; b) € 306 000]
ESERCIZI IN PIU E D " E S 1Q SU TUTTO IL CAPITOLO
293
POLINOMI
ESERCIZI IN PIU DEFINIZIONI e Teoria a pagina 254 ED
Riduci i seguenti polinom i a forma normale e indica quali di questi sono monomi, binom i, trinom i, quadri nomi. (—a x 2) 2 — 2 a 2x 2 +
EB
-------- 2 ( x n) 2 —
( 3 a ) 2x 4 ;
Determina per quale valore di normale.
n
G
N
( x 2) n — x 2l1 + l + 2 ,
il polinom io —2x3 + 8y
con n G~N .
— 6yzn
2 è un binom io e riducilo a forma
Determ ina il grado complessivo e quello relativo rispetto a ogni lettera dei p olino m i seguenti. E 0
a2+ b
E 3
6 x y 2 + 2y +
MiM
x + y + y2
EW1
a 2 + 2ab + b2
EH
4n + 4a 4 +
EU
Trova n G N in modo che il polinom io a ognuna delle lettere.
ED
Trova per quale valore di
ab
+
3x y
u 4b
n
G
a 3x n + 2 b x n + ] +
3 a 2 b nx 3 abbia grado 9. Poi indica il grado rispetto
N i due polinomi 2an+Ax" — 3a3, +
a2x 5 e 6b2y
+
2y 3 + b*y3 hanno lo stesso grado.
K'Jll Trova per quale valore di n G N il polinom io —an+1y 2 — 23x 3y 4 + a2n~ l è omogeneo. Indica se i seguenti polinom i sono completi rispetto a ogni lettera che v i compare. Individua i polinom i omogenei. K 'H
E3
a ' l b + a n~ xb 2 + b'l + 1 ,
- 2 a n ( a 2) " +
- j (a")2-
con n G N , « > 0 .
y
a n(
-
a")
+
K'M
a 2" (a") a + a n +
x
" + x n~ l + x " ~ 2 +
g
N ,h >2.
a7
Semplifica l’espressione e poi calcola per quale valore di n G a. un polinom io di grado 7;
2, con «
N
si ha:
b. un polinom io di grado 10;
c. un polinom io con il termine noto.
Scrivi i polinom i ottenuti in ordine decrescente rispetto ad a.
[a)
n
= 0; 1; 2; b)
n
= 3; c)
n
= 0]
Per ogni polinom io calcola i valori richiesti. EB
P(t)
= y t 3- ^ - f 2 + 8; P ( - 3 ) .
p i
P ( x ) = x 3+ x2+ l ;
REI
F(a)
= a2- 4 a 3- y f l ; F ( 0 ) , F ( 0 , 2 ) , F ( l ) .
m \
P (a;b) = - 2 a - A b \
P(0; 1), P(3; - 2).
EH
P(a) = a2+ a +
P I
P(x;y) = x + 2 + y ;
P ( l ; 10), P(5; - 6).
EB
P(x) = x2 +
1;
P(l ), P ( - 5 ) .
W A
P(x-, y ) = x 2 + 2 x + y ;
REI
P(a) = a3 — 8;
P(2), P ( - 2 ) .
ETTR1 P(a;l7) = - a 2 + ^ + 262;
t/O
1;
P(2), P ( - 1).
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P(2), P ( — 3).
P(2; 1), P ( —1; 4). P ( l ; — 1), P ( — 1; 3).
POLINOMI
ETTgl Considera il polinom io KtM Dato
P(x; y
Hlf'1 Dato
P ( a ; b; c) — a 2b
P ( x ) = x 2 — x + 3,
) = — j - x 3 + 3x y +
— y 2,
calcola
bc — l a b e ,
calcola
calcola
P(b)
e P (-b).
P ( 2 ; y ) , P ( — x; P { 2;
— 1),
| ESERCIZI IN PIÙ
[b 2 - b +
3; b 2 +
b
+ 3]
P ( — x; — y ) .
0; — 1), P ( l; 2; 0),
P { 0;
ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE
— 1; —3).
© T e o ria a pagina 257
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE v /K !H 3 !H ?M Sem p lificale seguenti espressioni (n G N ). 0H
2n +
MUil
{ x — x 2) — ( x — 2 x 2) —
0 3
(2a
H Til
(4 x 2 + 2x) — (2x + 3x2 —
UH
(3 a b 2 —
00
—a2 — (2 a — 1) + (2a2 —2a) + 2
HH
8fr2 + (9fr2 + 2a) + (2n2 - 2 a
HM
{3x2 — x) —
(—x )
[ x 2 + x]
+ a) — (a2 — 1) — (1 —2 a 2)
(a2 b + 00
— 5a)
( a 2 — 2 a 2) + ( 3 a
(4ab -
a)
[a2 +
10 + 1)
[x2 +
— (2a b 2 — a + 5a b ) + 6a b
[18fr2+ 2 a2l [1O x 2+ 1]
—a b 2)
a b 2) + ( a b — a 2 b) + ( a b
a b 2 —- | - a
(ìOb -
2 — ab^j
[2 ab ]
I2b + I5ab)
[b]
—~ ^ a2) + ( \
—
a b2 ~
-y « 2+
~ w ab
!P (*+ t / + z3)-[(t * - t / + T z3H Ì* -W > ,2+ T z3) 03 EHI
_
b
3
1 _
2
m
— Ì2m +
\
liMM a” 2 ■ a 2n+1 + (a4"+3 : a n + 5 ) c ra i
5 X + 4 Z
Jal- (\bl+ T c*)]-{-[-( T c<- T fc2)+ y fl3]} m +
,3 m + 1 .
s,n—2
an 2+ 2 a
( a 5n
3]
[a2 — 4 a +
(— 1 —x —7 x 2)
b + Uab) -
9]
[ a b 2 4- ab ]
b 2)
+
3a]
-\-b]+ 2
/
■a ,
3:an
3m +
con
b]+ J
(-^ -+
V 3
[b 2]
m —b
m)
6
/
[2A3" - 1]
n > 2.
*), con « > 2.
[3a4"_1]
MOLTIPLICAZIONE Esegui le seguenti m o ltip licazio n i. Kttti —2 a ( a
+ 2b);
KM1 —3 b ( b
+ a);
HWI
2 x ( x 2 + l — x);
x ( x 2 + 2x).
4 a { a + 4 a 2).
— b 2 {b — b 3).
W .1
a b ( a + b 2 + c );
kTfrl —2 x y { y HWH
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+ x)\
—6 x 2 ( x a { a b 2 4-
— 6 a b 2 { l — a 2 b) ;
x (xy
— 2x3+ x ).
1). +
y 2 + x 2y ) .
E79
8
POLINOMI
Ufti'l (—0,8 a 2b c 3) { ^
a b c
— y a 2b2c2 + y y f r 3c j.
2a3fr2c4+ y a 4fr3c5 —y a 2b4c4
\ /K 3 !H 3 !H H Sem plifica le seguenti espressioni (n G N ). ERTI 6(x +
x)
y 2) - 5 ( y 2 +
[x + 7 2]
SD
2 a ( 3 a + b) — ( 6 a 2 + a b )
UHM
x 2 (x
UHM
+ 1 ) + 9x ( x +
S 0
[ab]
8 (a2 -
a + 2) -
2(9b2-
2a(4a
-
2)
7 a 2) + l S b 2( a 2 -
[-4 a + l6 ]
[18a2fc2 - 14a2]
ì)
[10x3 + 10x2]
x 2)
a — b ) | — y -« f r 2j
S S
—3 a ( y b )
+ - ^ - b [ 2 a 2b
—y b
— 3 a b 2)
+
[2a2b2 - 662]
lab 2
UHM 2an{^ - a n~1+ -Lan —|-an+ A—ya2"- 'fy + y a—a2j, con n > 1.
[ 0]
v 2n + 1-,2« +1 A /
ERA ( ± - x ny 2n+l)[(3xn+ì + 5yn- 1) - ( 5 x n+l- 3 y n- 1) ] - 2 x ny 3n, con « > 1.
Esegui le seguenti m oltiplicazioni (n E N ). ERE! ( x - 2 ) ( x + l ) ; S S
(a + 1 ) (a + 1).
(2x + 2 ) ( x - l ) ;
(b + 2b) (b
+ 4).
00
(4x + 2) (7 + 1);
( y + l ) ( x + 2).
0fl
( l - a 2) ( l - a ) ;
(É>2 -
UEM (a" 1 + 2a" 2) (4a 2 —a” —8a), con n > 2.
— 1) (1 —a ) +
m
E N ).
+ 2) (a + 3)
{a
00
(fr2 + 1) (— fr) + (— b + 1) (1 — b 2)
gEl
x(x + l) ( x + 2) + ( x - l ) ( x - 2 )
Utfil
(ab
[la + 5] [ - b2- 2 b + \ ] [x3+ 4x2—x + 2]
+ 1 ) ( a b —a 2b2) + (a 2b 2 —afe) ( a b + 1)
UMI (x +
y) ( 1
—x)
+
[0 ]
( 1 —y) ( 1 —x)
[1 - x 2]
Utfil
( a c — c + a ) ( a c 2 + a 2c) — ( a c — a 2c) ( a 2 —c2)
UEV1
b 2( 1
—c) +
UHM {(x + y P I
(a -
p i
( y x 2
— z)
(
1 —a )
(x +
y
(a
+
— b)
z) —
[a4c + a3c2]
( b — c) — ( a b — ac ) ( b — a ) + ( a c — bc)
[(x —y +
b 3) ( a + b 3) — b 4 ( a — b 2)
- (1
z)
(x —y
- b ) a 2-
— z)
(~
( 1 — b)
[ab - abc]
+ 4xy] —2x2} 2 — 3x4
\a ] 'b
[x4] 4 - a2b
+ a (-b )4
2 3 +i oSxz 2 — 10 _i_i —-yar ^-x + 1
+ 2 ) ( — 3x + 12) + ( - y x + l ) ( - 1 + x) ( - 1 - x) - (24 - 3x)
UHM |yx2+y)(0,6x + 0,3) —y(x + 1)(x—1) —(x2—y)(ti,4x + yj + 0,5y UHM ( y f l - y l?)(-- Y a) ~
to U
1 ).
[—a 2"-1 —2a2n~2 + 4a,1+1 —16a',_1]
\ / V » jik H ^ n i Sem plifica le seguenti espressioni (n, [ jjjjj
\)(ab +
+
-
---- yfr)(a + 2fr) + y ( — a)2+ y f l
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0,1
10
1 2 —^rX
~9~xy ~ - 9
41 20
ab
POLINOMI
gg
-g-xy2 + j-^-xy — [0,3x y 3 + 0,5>'(2xy2—0,6x)]j •(0,25 x
t«W»l
( a n + b") ( a n — b) — (a nb — b" + 1) (
gg gg
1+
b n~ l) ,
con
+ 10) + (2x" — 5x'!_1) (4 x 2 + 3x) — 5 x n +
2x"(7x
n >
—y)
I ESERCIZI IN PIÙ
5 2 x Ly 24
— l,3xy4
1.
[a2n
4 x n~ 3( x n + l — 2 x 5) ,
con
x 2y i
+ b 2n -
n > 3.
2 a nb]
[ 4 x 2n~ 2]
EUREKA! Fra quelli di grado pari N e ll’insieme Px dei polinom i nella sola variabile x contenenti, nella forma normale, solo m onom i di grado pari, considera i polinom i P i ( x ) di grado 2 n e P 2( x ) di grado 2 m, con n, m
N.
E
a.
Pi ( x )
+
b.
Pi(x)
■P 2 { x ) appartiene a
P2 ( x )
appartiene a
Px?
Px?
G iustifica le risposte.
[a) sì; b) sì]
PRODOTTI NOTEVOLI e Teoria a pagina 259 QUADRATO DI UN BINOMIO Calcola i seguenti quadrati d i b inom i e prodotti particolari
00
(x + l ) 2; ( f l - 2 ) 2;( x
P J
(b
+ l ) 2;
(— a +
(a -
b ) 2;
E
N, n
> 0).
+ 2 ) 2.
00
( a + I O ) 2; ( b 2 + 7 ) 2; ( a 2 + b 2) 2 .
4 )2;( b + 3 )2.
p j
(a 2 + l ) 2; ( b 2 + 8)2; (a2 -
(5 —a ) 2; (—a
HT»yi
(b
—a ) 2; (6 — b ) 2;( 2 a +
W»M
(x
+
2 y ) 2;
(n
W1
— b ) 2.
(xy
+ l ) 2; ( x
+ y x ) 2; ( x y z
b 2) 2.
+ l )2
UT»VI (xz + l ) 2; (1 —x y ) 2; (2 —2x;y)2
b ) 2.
(2x —9)2; (3x + 1 ) 2.
kf'tl
g n
(an-
g g
(3" + 2")2; (—3a" —a"+2) 2; (5x
g n
(4 •5" + 3) ( - 4 •5" - 3); (x3n + / , + 1) ( -
x 3n- y n + l).
g g
(2x 5m- 4") (4" - 2x5"); (3x 4 -
3 x 4).
00
/!■ !![ 4
a 2" ) 2; ( x n + ì + 4 x n) 2; ( 2 x n + ^ - x ny ) .
+
a 4n; x 2n+2 + 8 x 2 n + l +
[9"+ 2 -6 ”+ 4";
y - x n) 2 .
y 3n) (y 3n -
a 2n - 2 a ìn
( x z + y ) 2; ( z — x y ) 2; ( x y + x z ) 2.
16x2";
9 a 2" + a 2n+4 + 6 a 2n+2;
4 x 2n + x 2ny
^ x 2ny 2
25x 2y 2 - 10x n+ì y
[ - 1 6 •52" - 24 •5" - 9; [ - 4 x l0n + 4 ■4 " ■x 5n -
+j
+ x 2n
- x 6n - 2x 3ny n+1y 2n+2
16"; - 9 x 8 +
6 x 4y 3n- y 6"
Semplifica la seguente espressione:
\ xf- (~b+T *)2]2 Tx+T*+} 'T “ (x+wì-
{[(+
[4x 6y 4
CO M PLETA 0 3 (I_____ + l
)2 = 4a2 + 1 + 4
§9 (
)2
=
x 2-
2x
a
EZJ <
+
)2 = b 2 + 9 + 6 b
+1
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E81
8
POLINOMI
COMPLETA SB
b2 +
SB SB
inserendo un m onomio in modo da ottenere lo sviluppo del quadrato d i un binom io.
L
4+
I
SU
9JT + 9 +
a 2 + b2 + \
SD
107 + 25 + 1
4x2 + 1 + 1
s a
16a2 + 9 + 1
SOMMA DI DUE TERMINI PER LA LORO DIFFERENZA v'WmKHflTM Calcola i seguenti prodotti
(n £ N).
[p j
(a + 1 ) (a — 1);
(x -2 )(x + 2 );
( - b - 7 ) ( - b + 7).
M iti
(b — 6 ) ( b + 6);
(y — 3 ) ( 3 + y ) ;
(9 + x ) ( x — 9).
0 3
(-
SB
(2a + 1) (2a
SB
(l-2 b )(l+ 2 b );
Utili
( 3 a + b) ( 3 a
H ftl
(b + 2 a )
m i
(l+ x y )(x y —
s u
( x y + x z ) (—x y + x z ) ;
m i
(— 2 + x ) ( 2 + x);
SB
(a3 - 0 , 3 ) (a3 + 0,3);
S 3
( -8 a + -y ) ( 8 a + - y ) ;
m
— \ 6 x 2 (^x — y y
i
l+ y )(y +
1);
( x - 8 ) ( x + 8);
1);
(2 +
—
— b) ;
(— b
(-
2b)
(—4 x (x +
(1 +
(— 3 y
x 2)
( 1 —x y z );
xyz)
(—9 +
— 4x);
(1 +
( x 2 - \ - y ) ( y — x 2);
(x2 -
( 5 - a ) ( a + 5).
(2b + a) (a — 2b).
3 z ) ( x — 3z);
[ \ t 4-
6 a) (6 a +
9).
(1 —x 2).
(y2 +
4) (4 —y 2).
( 2 x 2 + y 2) ( — y 2 + 2 x 2) .
0,6) ( - x 2 - 0,6); 2 ) ( -y
t4 -
( l , 5 a 2b
2 );
- 0,5) ( l,5 a 2fe + 0,5).
(2x6-
y
)(2x6 +
y).
— l ) ( ; c + - y y + l ì — ( 2 x — 1 ) ( — 2 x — 1 ) ( 1 + 4.x2) — ( — 6 x ) 2y 2 — 16.x2 ( l + 3y )
SB
U 6” + 4 ) ( - x 3'i - 2 ) ( - x 3,! + 2); (|_____lai
( 2 a n - x 3n)
+1
(-
[-
1]
2 a n - x 3").
[(2a)" — fr3] [(2a)” + fr3]. b
l)(l
-I
) = 0 ,16 a8- 4 l ? 12
Sem plifica le seguenti espressioni.
AL VOLO
SB
( a - l ) ( a + l) ( a 2 + 1)
S B
(b
mi
(x +
E82
1);
2x +
+ 3y)
( x H - y 2n+1) ( x n + y 2n+1);
COMPLETA
(3 + y )(3 -y ).
(4 —2 b ) \
SB
ETCÌ
- 2);
1) ( -
2x -
(4 +
+ 2a);
1);
3x) (3x
( ~ b + l ) ( \ + b) .
—3 ) ( b 2) ( x
+
3) ( b 2 + 9)
—
2) —x 2 + 4
[a 4 - l ]
SB
(a +
2) (a
[b4 - 81]
mi
(xy
+ A)(xy
M iM
(x + y ) (x — y ) — (x + 2y) (x
[0]
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— 2)
[a4-16}
(4 + a 2)
— A)
+ \ 6 + x 2y 2 —2y )
[ 2 x 2y 2\
[ 3y2]
POLINOMI
I ESERCIZI IN PIÙ
CUBO DI UN BINOMIO
\A [P I
(a —
0 3
[2b
0ÌQ
(4 —2Z?)3; (—3 —3fe»)
l ) 3; (2 — b y .
+ l ) 3;
{2b
MlHl (—2
+ 5)3.
0 3
(
)3 = a 6 — 1
+ 3 a 2—1
p
(
)3 = 8 - 1 2 x 2 +
l
EH
(
)3= L
b2 + 6 b -
-1 2
—x'
a 3b 3 — L_
1+ 1
)3 = 1 - |
—1
+1
- I)3 =
—64b6
(N 1
p
)3 =
- /
+
a3- 9a2+ 2 7a - 27
)3 =
)3 = 1 2 5 - 7 5 / + I
1
<
03 (1 03 (1 03 (I 03 (1 03 (L
II
8x 3+ 12 x 2 + 6x + 1
p
l ) 3.
( a nb n - 2 b ) 3; ( \ ~ x 2nJ .
CO
J )3 =
(L
x + y ) 3; ( x y +
i seguenti cubi d i binom i.
COMPLETA n n i
N).
Calcola i seguenti cubi d i b inom i (n E
CHECKER
- 12 a 2 +
QUADRATO DI UN TRINOMIO Calcola i seguenti quadrati d i trin o m i
R I CHECKER
r.WH
{2x +
1 —y ) 2; (x + 3 + y ) 2.
g li
( 2 - a - b ) 2; (a + 2 + 2b)2.
IM A
(2x +
0 3
( 5 - 2 x - l ) 2; (x + 6 + 3y ) 2.
g fl
( l , 3 t + x — 0 , 3 t 2) 2 ; ( ì , 2 5 a
1+
+
fW I
; ( —4 a +
-^ a 2-
t4 +
(2 +
x + x y ) 2.
-y tx —-^-t3 —-yx f2; -y |-a 2 +
1
+
\ b 2+
-a —
ab — b
2 a 3) .
g C T ( 2 - x " - * 4")2; ( y f c 2m + 6m- 4 ) 2.
------ 4 a iy z 2 + 2 a y 2z ì — a 2y z 3; 1 6 a 2 +
4 + x2" +
^ 7
a 4 + 4 a 6 — 2 a 3 — a 5j
x 8n - 4x" - 4 x 4n + 2 x 5"; - j b 4"' + bìm -
3b2m - 8b"' + 16
i seguenti quadrati d i trinom i.
COMPLETA
Utili (I___ I + 1 frU
(
J+
0 3
(2a
+
+1
)2 = 9x2 +
l______ + |_____ ) 2 + 1)2 =
+
1+
+1 +
—3y + 2 z )2 = L
03 (
+2 b +
)2 = 9a2+ I
—4 y
)2 = \
+ \
y 2+
6xy + 6 x + 2y
= a 2 + 4 b 2 + 4 + 4a b + 4 a + 8b
Mti
(
( 4 a — b — a b ) 2;
+ 1 —0 , 5 b ) 2.
4 a 2y 2z 2 + a 4z 2 +
i m
> 0).
0 3 ( - 7 + 6x - y ) 2; (4x + 8 - 3y)2.
2 y ) 2 ; ( 3 x — 2 + 3 y ) 2.
[ l a y z — a 2z
m
fW I (—4a + 3 + 2b)2; (3a + 2 —2b )2.
-y^-t2 + x 2 +
ry jil
N, n ,
E
(n, m
+ 9 y 2 + 4z2 —
+
+ 16 y 2 +
8ab +
I +4xz
+4b — \
+ Ì 2 a b + 18a + L — Ì6xy
+
4xz
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—8 y z
E83
8
POLINOMI
Espressioni con i prodotti notevoli Sem plifica le seguenti espressioni. EM I 2 (x S 3
+
2) (x —2) — (x — 2 )2 + x (2 —x)
[ - 12 +
[-36 ]
(3 —a) (—a — 3) — (a + 3 )2 + 3(2a —6)
[—28x —2x2]
f'ffill (x — 8)2 — { x —2 )3 — 8(9 + x 2) + x 2(x — 1)
—l ) 3+
l ) 2 + x (2 x
(x
m \ì
4 ( a + b) ( a — b) + (2 a + 2 b — l ) 2 — 4 (2 a 2 + 2 a b + b )
fitti
(4x —
fttt
(a
fttl
{x + y —
VUUi
(2 x
fttl
(a + 2 b ) 2 — a ( a
VW\
(a — 2 b ) z —
1 ) (4x
1) — ( 4 x
+
—
1)
m ‘I
+
(x —
1 —y ) 2 +
+
(y —
l ) 2 + 8 x (l
[1
+ 2 ) 2 — (y
+ y ) 3— Sx(x —
0 2
(
t
+
1 ) (x
+
[ -
[2 x y
l) 2
[ 4 6 -1 ]
2 { a — 2 b) {c — 1) + ( c — \ ) 2 — ( a — 2 b — c + ì ) 2
* 2 ~y
y)_ 2
(t x2+
t
^ )2 + ( y
t
[0 ]
xÌ
~
RIEPILOGO m Q
a ogni m oltiplicazione il suo risultato.
ASSOCIA
(a— 3 ) 2(a — 3)
a.
b . (3 — a ) ( a
c.
1. 9a —27 —a 3 + 3a2 —
3)
3 )3
2. —ci2 + 9a2 —2 7 u + 27 3.
a4+
d . ( a — 3) (3 + a ) (a + 3) (3 — a)
4.
a 3 —9a 2 + 2 7 a — 2 7
e. (a 2 — 3 a
5. - a 4 - 81 + 18 a2
— (a —
Q
+
l) 2
1 l a 2 —6a 3 — 6 a
VERO 0 FALSO?
a. (— 3 a + b.
d.
b)
(3a — b)
= —(3 a — b)2
( x 2 — y 2) ( — y 2 — x 2) — y 4 — x 4
c. (2 b
E84
+ 3) ( a
+ c ) 2 = 4 b 2 + c2 + 2 bc
x6+ x4+
= (x3 + x 2) 2
+ 4]
[6ry2 + 8x]
— y ( 1 2 x 2 + y 2)
4b) — {2b —
1]
[11 ab]
—2 ) 2 + 4(2x + 2)
1)
-4a-S b ]
— y)
3 b ) 2 + (b — a) (b + a) — 5 b ( 2 b — a)
2 ) 2 —( x
6x]
mm sta m m
tata
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+
1
POLINOMI
E H Q
I ESERCIZI IN PIÙ
VERO 0 FALSO?
a.
(a3—2 ) 2 =
b.
( a — b + c ) ( a + b — c) — a 2 — b 2 — c2
a9 +
EE
4 —4 a 3
H E
c. ( - 3 a 2+ l ) 3=-27a8+ 27a4- 9 a 2+ l
H E
d. C i sono tre errori in: [a
—2x +
yì
=
a2— 4x2+
1 —4 ax +
2a
Calcola e semplifica l’espressione (A — B ) ( A
m i
HE
—4x
— B ) (A
+
B) —
(A +
B ) 3, + 4 A 2B s e A = x 2 + \ e B [~4x4 +
Posti
m
x — — y e B
A =
=
1
1.
8x3 - 8x2 + 8x - 4]
semplifica:
— y — x,
( 3 £ - 2 A ) ( 3 B + 2A) + 12A B + 4A (A + 1) — (2A +
4 A 2.
3B )2+
[ 2x - 4y\
ra s i Sviluppa le potenze dei seguenti binom i con il triangolo di Tartaglia ( « ( x n — x ) 4; h . a n +
= x —
y)
X 4" _
4xìn+l + 6x2n+2_ 4 ^
N ):
e
+ 3 + * 4 . 3 2 f l 5« + 4 0 f l 4H +
2 0 f l 3» + 5 (J2n+ J - f l " + ^ y
rvM Senza calcolare lo sviluppo di ^ y x —2 , sei in grado di determinare il coefficiente del termine che ha parte letterale x 3y 2? E di quello che ha per parte letterale x y 4?
EUREKA! D ue alla enne Giustifica il fatto che la somma degli elementi della n-esim a riga del triangolo di Tartaglia è 2 n, ovvero:
rv p i
n =
a
[5; 40]
0 —
1
= 2°
n
= 1
—
1+ 1
= 21
n
= 2
—
1+ 2 + 1
= 22
Sem plifica le seguenti espressioni.
CHECKER
f'Vfl
( 1 2 a 5b 3 :
3 a 3b 2 —
P I
( - y ) { ( - ° . 6 * )2 ( y y - 2 5 / 2) -
P
- i xi-W Y
m i
4 x y 3( x 2 — 1)
i m
y (2 ~ l a 2 b 3) 2 + ^— Y
2ab)^a
+ y j + (1 — a b )
+ (— 12xy) (4 ~ l x + a ^ 2)
[3y(0,2x2 —
—
(x + y
+
rr.Kl
( a — b + 3c) ( a + b — 3c) +
3fr)2] —( — x)2—
( ---- Y
x )
(2 x 2y
[4a2
— xy) (x y
2.a2b 4) +
( a — 3 c)2 +
(6 a +
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+
b 4) 2
-
2 ab + 1
[3x 4f
- 3 /]
I
x5y 3
l-3 x -> ]
f
a3b‘
+ l)
— (2y
2 b) ( a
+ 2xy2)
0,5 a 3( —
}(* + 6) —x3| y
z ) 2 + (x + y — z ) 2 + (x — y — z ) 2 — 2 (x + y ) (x — z) (a — b ) 2 +
1
3^ )]|(x 2 + 1)
3 ~ ly — 6 ~ 1x y ) ( x — y ) —
f'T'liI j[ x 2(x — 1) —x ( x 2 + 1)] 2 —X2( l + r»T»yi
é a 6b 2 : i f a 4b 2 ) +
+ z)2
c)
[x2 - y 2 + 2z 2]
[9a 2 + 8bc]
E85
8
POLINOMI
H a
(b -
i m
j y [(x +
2 c ) 3 + ( b + 2c) ( b + 2 c ) 2 —
y + z)2+
(x
—y + z )2+
(3 b 2c ) 2 : y fr3c (—x
+
(2b
(x
+ y + z)2+
— 3c)
(bc
+ y — z)2—
— b 2)
[9bc2 -
4(x + 7 ) 2] j + 3x y z 2 [
b2c]
^ z 2—y xy) z° — - x 3y 3
r.T.T.1
3) — 9
(~YX ~
r.T.YJ (2 a b
+
a 2) 3 -
rr.m (x 2y
— 3y
+
(0,25x2+
3x) 3a )
4 a 3b 2( 2 b +
x — y 2) ( x 2y -
—
-
x2f-jyx2~ 9j(x + + 5 b) +
a 5( a
1) +
2“
[9x3] [5a 5b]
4 a 5b
3 y — x + y 2) — ( x — y 2) ( x + y 2) — ( 3 y
—x 2y ) 2 + (x —^ 2 +
\ ) 2 — y 2( y 2 —2)
[1
00
(a
“ y c j |(3 - y f r + y c j +
+
rv ill [(3y
— z)
(9y 2 + 3yz + z2) — (3y
+ z)
+ y & - y c j - (2 a (9y 2 —
+ b) ( a -
c)
[cb - ac]
3y z + z 2) ] 2 — ( y 3 — z 3) (y 3 + z 3)
m i
( — ^-x2) ( 2 x — 3y ) 2 — ( x — y ) 3 + (^x + -j-y ^ j —x6 —y y 2(x 4 + y ; / —x)
m i
(
2a —
b \ ( 4 a 2 + a b + - ^ - b 2) — ( a — 3 b ) 2 ( 3 b
+
a)2— —
[5z6 3x 5y + y
+ (a2 +
2a + — b
2b
— c ) 2 — (a +
b ) 2 + 4 b (c — a — b)
+
(a
i m
(2 x +
MrHI
( x + 2 y — 2 4- z ) ( x + z + 2 — 2y ) — ( x — 2y ) 2 + ( — z + x — 2y ) 2 + 4 ( y +
y) (2x — y)
(4x2 +
y 2)
— (4x2 +
y —
2a (b
l) 2+
6 a 2b
\(y
(a
+
IflUi
(x — 3y ) 2 +
EH
( x - y + y ) - (“ 7 + y ) + ( ~ 7 ) 2 -
b
+ 2) ( a
+ b — 2)
— (2 a +
+ 1) { y — 1) ]2 + 8x 2 ( y
(x +
6x(2y — x) —
b ) 2 + 4 a ( a + b) — ( b
3y)2+
r.Yl'l (0,2x —0 ,3 /) (0,2x + 0,3;/) —( y x —
ab2
—
1)
[ - 3 / + 2 y]
1 ) ( y — 1) — 8(7 — 1)
+ 2) ( b — 2) — ( b +
(— x )2 : (— 2 ) 2 —
a) (a
2z 2 + 4yz]
— b)
x — y V —* + y ) + y -
[2afc]
—
* - x 2+
j
ab~
ì c) { j a b + ì
c]~
—(2x —7 + y ) —4,12xy + 2^2x2 + y x —
1 \2 / 1 \2 y ab 4- 2c j — ( y afe — 2c
m i
(—x2 — 0 ,i) 2 ( y — 1) —x 2 y
[ ^
00
(fl + 2) (ti2 — 2(3 + 4) -
+ 2 ) 3 + 6 (33 + l ) 2 +
EOO
(a
2
[x+ 1]
! ) ( * “ > '+ 1)
59 2 507 00
x 2y
[c2 - b2]
[ x2 +
r.Y/.l
—
+ c)
IM I
y 6]
9 b 2) :
36a 2b2 + +
- x 2 + 2x\
+ x 2j + ^x2 + y —2 y ^ x 2 +
- ' M
2 y + ~^
2a — 1 \ / 2a + 1
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1 9
-4abc]
+( K 81
y -
a2 +
4/
POLINOMI
M iti
3 )3 — ( a
a [(a +
MiKI (x
— i‘ y ) 3( x +
— 2y ) ( x 2 + 2 x y + 4y 2) — x ( x
+
3)] — [ ( a 2 — 4 b 2) (4 b 2 +
(2a—
M EI
[(a+
p i
- \ x y [ x
fflfrl
(a+
1) (x
y +
a 2) +
b) (b —a) +
(4a +
2 b)
(4-1a+
+ y
1) — x y ( x + 2)
(27v3 +
— y)
+
y ì
io 3Hi—87 —18
+ / y j
[-12 a 2fr - 8a3]
2 , 5 a b ] 2 — b 2( 5 a
—2fr) 2
[40afr3]
+ y ) “ (x - y y ) - (x + y y ) ( x - y ^ ) + X)> ( 3 - 7 ) + ( y y + x)
l ) 4 —4 a ( a + l ) 2 + 2 a 2 — (1 +
a 2) ( a 2 —
(0]
x + y) — (x3 — x — y ) ( x ì + x + y)]
b 2j
^ - b ^ 4 a 2 + ab
2 _ 1fr) +
—y —
(— 4 b 2) 2] — y ^ 2 5 a 2 — y ì — ^3a
3y)3 — 3 [(— 9x k 2) 2 —(3x2y ) 2] + f(27y 3, — x
y b j - ^ 2a + y f r j — ( 2 a —
r
+
i
r.liKI 2 (x3 — 8jk3) — (x
ESER CIZI IN P IÌ
[x3]
1)
[2]
f.VJll (3x 2 —>,2) ( x 2 + y jK 2) — 3 (x 2 + y 2) 2 + - y y 2( l l x 2 + 7y2) + 8“5 : 8-7
[64]
r.Vil
(y —
3)2—x 2(x —- y )
1X71
[(2 a
-
m i
(ya +
r.VZi
(a—3c)3— ( a —3c)2(a + 3c) — (a —3c)(a + 3c)2+ (a + 3c)3
rV H
(2x + 3jk) j[(x;/ — l ) 2 — ( x y
E J
{ y - [ ( z - l ) ( z + l ) - 2 ( z + l ) ] + ( z + l ) 2H [ ( / + l ) 0 ' 2 - l ) + l ] : ( - y ) 3 + (z + 2 ) 2- ( - z ) 2} - 1 6 ( z - l ) 2 [64z - y 2]
m i
(x
r.ViH
(a+
x )4 — (a3—x 3) (a + x) +
m i
( x 2y
+ x )3 +
+
+ 116 + y (x —2 y ) ( x + 2y )
1) (4a2+ 1) (1 +
yY
f e j—( — ì j - a
—8xy(x
+ b^J
+
—9 a ( y a + fr)
+
l ) 2] : x y + 4 | y x —y
y) — (x
yM:(- 2 b ) 3 +
[75x - 6y] l ) 2] 2 + 32a2( l - 2 a 2)
[4]
a)f(2a2fr)2: ya3£>]
+ (2b +
y
[0] [72ac2]
+ 1 ) j + 5 (x 2 +
[9x2 - 4y 2]
y 2)
— y ) 4 — 16xy3
(a2—x 2) (a2+
x2) —
[0] (a — x ) {a +
+ 1 ) ( 1 —x y ) + x 3(2 —4xy) +
x )3 —2x2 (3a2+ x 2)
[+ 7flX3 + fl3X
3( x y — 1 ) 2(—x )3
EDU 8xH -2[
m i
(5 —x )3
2 a ) + ( 8 a 2 + 3b) (3b + 2) — ( 4 a 2 + 3b +
— y ) (x
x 4y ( x y
—
~^x)(x2 +
( 3 a 2 — b + ab) ( 3 a 2 + b — ab) — 9 ^ a 2 —
O
[6x4x (x-2 )>
-yj|a2+ y ì +
17
(*2 + 6 )2 ] +
(ab — b ) 2 + [b —
3 b3~
u
Sem plifica le seguenti espressioni con esponenti letterali (gli esponenti appartengono a N ). 0 3
(ya2"+ 1)2 : 3a3"- (y a n + l - 3a2)(y a - ya”) +
M EI (x"_1 —y 2n) [x2”-2 + 0 3
( a in
©
+
b n) ( a 3n -
b") -
( — y 2n) 2 +
( a " ) 7b n
y
a2(9a"-
2à)
[ 4 “2" 1
x"- 1 ^ 2”] — (x"_1) 3
:[ y
(a4)"] +
2 ( b n) 2 +
[ -/" ] ( a 3n - b n + l ) ( b n -
Copyright 2 0 U Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di m atem atica di Massim o Bergam ini e G raziella Barozzi
a3")
[bn - a ìn
E87
8
POLINOMI
H iH
( x n - y m~ y -
(2 x n -
MlM [ { x a — y b) (x a +
m-* )2 +
y
(xn+
3y m~
3 x (.x 2n - 1 ) (x" -
3 x n( x n - y m~ l)
+
9y
2m — 2
[x2n — x"ym ~ 1]
z)
[-4 x 4“y 2b]
(2za + z )]3- [(za - z) (za + z)]3}
[-5 z4a + 2] l - x 2>’j
l + x n + l ) - 3 x n( x " - l ) ( x n + l ) - ( - x " ) 2 - 3 x n ( x 2 n + 2 - x 2)
y n) ( x n + y n) -
(x" -
y n) 2 + ( x n -
g n
2 [ ( 2 " - ,) ”+ 1 :( 2 ”“ 1)"] + 1 6 - 2 ”-4
m
[fl2(n+1)] ”+ 1 : ( a n + 2 ) 2n +
) l kÌ /\
{ a n+ 5 :
MM
x 2n : x n~ 2 — x 4+n : ( 2 x ) 2 +
(flfl") +
3y m~ !) +
y b)]3 — [ x a (y 2b + x 2a)]2 + [ y b (y 2b — x 2a)]2
Hj0 - (za+2)2+ 7(- z2a)3 + ( - y f{[(2za -
FJin (.x" -
( x n-
y
")3 -
( x n + y n) [ x 2n -
[ - 2 y 3n - 2y 2n]
x ny n + y 2n) + 3 x ny n
[
[ ( a " ) 4a 2} : ( a 2n) 2
a 7n( a 3n + 8 : a ' 1+2)
2"
+ 1 ]
[2a2]
[-12 a 8]
: [(fl2")4£j"+2]}2 — (— 2 a 2) 4
{[(x3”+2) 2 •x 5n] : (—x " ) 4} : [ ( x 2n) 3x 2] —y x " x 2
[x'1+ 2]
R iso lvi i seguenti problemi. QQ
Dim ostra che la somma di tre numeri naturali consecutivi è uguale al triplo del numero intermedio.
UH
Dim ostra che la differenza fra i quadrati del successivo di un numero naturale e del numero stesso è sempre un numero dispari.
Q0
Due num eri positivi
QQ
Dim ostra che la differenza dei quadrati di due numeri consecutivi è un numero dispari.
Qn
Dati due num eri
QQ
Dim ostra che il triangolo i cui lati misurano 3 4 5 5 x + ~2 . + 2, y x + ~2 » con x > 0, è rettan
a
x
e y sono tali che
e b, se a
+ b = 9
x2+ y 2 =
e a2 +
b2
7 e
x 4 + y 4 = 3 1.
= 41, calcola so
(.S u g g e r i m e n t o . Verifica che vale il teorema di Pitagora.)
x
[20; 1]
a b e { a - b ) 2.
assumono quando S
FETI Un triangolo ha i lati che misurano x 2 — y 2, x 2 + y 2 , 2 x y , con x , y > 0 e x > y . Dim ostra che è rettangolo. Sostituendo a x e y valori num erici trova tre terne pitagoriche prim itive.
In un cilindro il raggio di base m isura
[3]
U n parallelepipedo rettangolo ha le dim ensioni che misurano x + 1, 2x + 1, x + 3, con x > 0. Trova la superficie totale e il volume in funzione di x ed esprim ili come polinom i ridotti. Che valori
golo.
p
Trova il loro prodotto.
(x) — 1 Ox2 +
x = 1
V
x
= y cm?
28x + 14 ; V(x) = 2x3+ 9x2+ 1 Ox + 3 ; S(l) = 52 cm2, V (l) = 24 cm3;
s (t
+ 1 e l’altezza è y
cm e quando
)= ~ì t cm2’ ^ ( t )=_x cm3
del raggio. Determina ed esprim i come polinom i
ridotti la superficie totale S ( x ) e il volume V ( x ) . Calcola la misura del volume per x = 1 e per x = 3. S(x) = 9nx2 + 18ttx + 971;
E88
V (x )
= y 7 ix 3+ - y - 7rx2 + y - f tx + y n;
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V(ì)
= 28 tu, V(3) = 224 tt
POLINOMI
mi
U n triangolo ha i lati che m isurano x, — —
+ ^
>con
x
ESERCIZI IN PIÙ
> 1.
a. Dim ostra che il triangolo è rettangolo. b. Trova il perimetro. c. Calcola l’area.
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L\ x 3- x b) x +. x 2; c)\ — |—
E89
8
POLINOMI
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ►Com petenza 1 (abilità 2, 3) Q
Il polinom io
VERO 0 FALSO?
a. è il cubo di
P(x; y)
= x 6 — 6 x 4y 2 + 12 x 2y 4 — 8y 6 :
x 2 — 2y 2.
H E
d. è ordinato rispetto a y .
b. è omogeneo.
H IT ]
e. è tale che
c. è completo rispetto a i
H E
f. ha grado 6 .
Se
=
A
Dati
x 2— — ,
P(x) ——
Calcola
calcola e semplifica l’espressione y +
Y 2
2~ +
2 P (x) + R
x
e
(x) +
Considera il polinom io
R ( x ) — x 3 — 2 x + 3, R
(■—x )
— 2R
verifica se
2) <
EE HE
— 1) = 8 .
P{2\
A 2 —2A 3 —2 A 2(1
P (—
H E
—A).
[ - X 4 + X 2]
R (l).
(0).
[vero; - x 2 + 2x]
P ( x ) = 2 — x + x 2.
Calcola
P(a)
+
P ( 2)
—P ( a
—
1).
[2u + 2]
Calcola le espressioni applicando le regole dei prodotti notevoli. ( y x 2—
~x y )
;
{2a — y
fr2 — 3
y4—y
^ - j b 2 — 3 + 2 a^;
a 3) ; ( y
~
~2“* 3) 5 ( ~
a
—
Sem plifica le seguenti espressioni. (— 2 b ) 2 +
{2a
8 a 2b { 2 b +
— 3b
+
y j —f y
1) — (1 + 4a b
1 \2 ,
1
+ a)2+
(3 a
— 2b)2—
4b ( b
5a )
—
(— x ) 7 — 8)/3 + (x + 2y ) 3 — x (x
a2(a2+ 2+yX2) —(yx — y )(y 7
+ 1)
a + 3 b^j — [— ( a — 2 b) ( a + 2 b ) ] + 3 b { 5 a
—
(3 a
—
1) (3 a
+ 3y ) 2 + 3 x ( y +
+yx) —(fl —yx)
~
~
+
— ^
1)
+ 2a —
a3) + (2a2 — l ) 2 + (1 —a 2) 3 — 3 a 2 ( a — 1) ( a
+
(«X—y) + fl3x(x2—yj
+ b) ( b
[ 7 a 2b
+ (a — b ) 3 +
ia ~
[(x —y
294
—2 a ) — (a +
2
+
+
b^j —
(1 +
2a)
1 \21 /
~
+ y) —
5) 2 4 y) j -: v( - -v
_/ a [-
(1 —2 à )
+
+ 3a2( l +
(3a) 6(3 4fl2) (3 4a ) 2
1 \2 , 2 -1 6 : 2 -9 a ) + 2 ~6 •2 -2 5 “7
(x + l ) 2] 3 — 10x2( l —y 3)
l-x ]
7 3
ax
26 27
1) + (—a) (2 —a 2)
b { 2 a + b ) ( b — 2 a ) ] 2 — 3 a 2b 2 { 2 a 2 + 3 b 2)
) + 32 + 2 1( “ a 1) (x + 1
3b)2+ 8b(y^a
[ - a 2 - 2 a]
[-9x2 + x6
—x 2(—2 x )3 + [1 + (x2 + l ) 3 — (x3 + l ) 2 —x 3(3x — 1)]2 — (3x2 + l ) 2 + 2x3(l —x) (1 + x) (2 a
a 2+ 2a
1) (1 — y )
- (5x- 1 )(5x+ 1 ) + (1 + x)2- (x- 2x2+ 1 )2- (2- x2)3- 2x3(2 - 5x)
^y
—7 4
+ (5x2 — y 3+
a 2)
E [ - «6- 1]
[10a6]
[2] l ) 2 —1
[25x4 - 2 / ]
MENU DELLE COMPETENZE @
Nella seconda pagina della copertina
(x —2 ) 3 —x (x + 2 ) 2 + x 2(x —2) — (x + 2) (x —2) (x + 1)
[ - 13x2 + 12x - 4]
| (1 —x3)(x 3+ 1) + - ^ - x 3 (x —- y j —x 2( x — 1) ■*"“2’ ( x + ~2') (a
+ 2y )3 — [ 1 +
(y
[3x2]
— (1 —x )3( l + x )3
— 3 ) 2(y + 3 )2 — (y 2 + 9 ) 2 + (—67) 2] (a + y )3 — 3 a y
(a
+ 3y )
[7 /]
Semplifica le seguenti espressioni con esponenti letterali (gli esponenti appartengono a N ). J31 {[ (—x ) 4] 4a : [(—x ) 7] 2a + [(-
a 2" ) 2 ( a " - 2) " - 2]
y
a} [( y a ~ *)2 : y a ~ 2 —x 2a]
: (a', + 1)" ~ ‘ +
2jv2” + (x" —y n) ( x 2n +
y ln ) (x"
(2x" — l ) 3- x " ( x ' ' + l ) 2 ( x n~ 2)
4
x6( x T ~ 6
a 2 [ 2 ( a n) "
[y2a -
( x n — l) ( x n+
[3a5]
: (a'1) ”-3 ] : (a"- 1 ) 3
+ y w) — (x2” —y 2n) 2 +
{ x 2n — y 2n +
1 ) 2 — (x2" + 1 ) 2
1 ) + 5x”(3x" — 1)
[ -/" ] [ 7x3n]
(x',- 1)”+ 1 (x,,) 2'i _ x"x4 (x3,,) ,! : (x)3 4 ,n—2
[ 2x2 -
4x6]
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
CHECKER
(35 + 1 ) (35 — 1) - (35 — l ) 2 + 2 (315 : 35) 2 : (35) 2 + 1 - (35 + l ) 2
1
x4fl]
[- 1]
(26 — 27 + 2)2 — [(210 — 28) ( 2 10+ 28) + ( - 2 4) 5] : 27 — 28(1 + 24)
[4]
►Com petenza 3 (abilità 1, 2)
WXM
Dim ostra che la differenza dei quadrati di due num eri dispari consecutivi è sempre un m ultiplo di 8, mentre quella dei quadrati di due num eri pari consecutivi è sempre un m ultiplo di 4. INTORNO A NOI U n imprenditore acquista una quantità q di merce al costo unitario x e, dopo averla lavo rata, la rivende al prezzo unitario y . Sapendo che durante la lavorazione perde il 2 % della merce e che sostie ne ulteriori costi per un ammontare complessivo pari a k, esprimi, con un polinom io, il guadagno dell’im prenditore. [0,98qy - qx - k]
Una casa nel verde In un’area di 2500 m 2 l’architetto Enrico vuole costruire un edifìcio lasciando spazio per un parcheggio e un giardino. Nella pianta della figura le dimensioni sono espresse in metri. INTORNO A NOI
a. Scrivi la superficie P { à ) occupata dal parcheggio (area quadrettata) esprimendola, in funzione di a, con un polinom io ridotto. b. Se a = 6, il giardino occupa più spazio del parcheggio? Q uali sono le percentuali rispetto all’area complessiva? c.
Se a -
d. Se a
-
8, quanto spazio è dedicato al giardino? 10, il progetto si può realizzare? [a) P ( a )
=
12 a 2 + 31 a
+
20; b) sì, ~ 5 1% , ~ 26%; c) 486 m2; d) no, perché...]
295
8
POLINOMI
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE TUTOR
PROVAA (10 esercizi)
0
PROVA B (10 esercizi)
IN MEZZ’ORA
0
PROVA C ►Com petenze 1, 3
IN UN’ORA
Semplifica le espressioni: a.
(x — 4a) (a + x) + x(3a — x) — (—2 a )3;
Dati i polinom i
b. b — b(?>b2—~ ^ y 2\ — (b + 2)(ì — 3b2) — 2b(3b —y 2).
+ l e Q ( x ) = 3 x 3 —4 x ,
P(x) = x 4 —
calcola:
b. Q ( - 2 ) ■p { ~ j ).
a. P ( 2 ) - - j - Q ( * ) - Q ( 2 ) ;
Calcola le espressioni applicando le regole dei prodotti notevoli, a. (2x —
b. (a —2x) (2x + a);
;
c. (b + y — 2)2;
d. (x — 3y)3.
Sem plifica le espressioni applicando, se possibile, le regole dei prodotti notevoli. (2 a x — 3 )2 + — by' j
4ax(3
—x ) H-
— 2~)(^
+ ( b y — ' s' ' ) ~ b y [ ( b y —
”2") —x 2 ^
2) ( b y
*)2
a ~
+ 2 ) + 3] + 3 ^ - — b y j ^ b y
Verifica che, se sottrai 3 al triplo di un numero naturale ottieni il triplo del precedente del quadrato di n.
n
+
e m oltiplichi il risultato per il successivo di
0
PROVAD ►Com petenze 1, 3
n,
IN UN’ORA
COMPLETA
a.
J )2;
( a + 4 x — b) ( a — 4 x + b ) = a 2 — (
c. (I_____l + l _____I)2 =
x 8 + 4 y 4x 4 + 4 x 6y 2;
b.
(L
i y = j r ~
27/ ~
J)2= | +
d. (I_____I —2 x
+
+ a 2—2x —a +
Sem plifica le seguenti espressioni. ( 2 + x ) 2 — ( x 2 + 4 ) ( 2 — x ) ( 2 + x ) — ( 2 + x + x 2) 2 — 2 ( 2 — x ) 3 + 1 6 ( x 2 + 2 )
—2 b ) 3 [ ( a
— 2 ) 2( a +
a 4 ( a n+2) n~ 2 + a " —
2 ) 2 + 4a2 — (2 —a 2) 2] —a b ( - ^ y b
a"(a”- 1 ) ” +
( a 2,ì) n :
(a'')2”- 1 , con «
e
—a
j —( -y
a — b ^ ( b 2 + a 2)
N ,n >2.
Il quadrato della somma di due num eri naturali è 225, mentre la somma dei quadrati è 137. Quanto vale il prodotto dei due num eri? a. Verifica se l ’area S della zona colorata è data da a 2 — 12 a +
32.
b. Calcola S per
a = 2.
c. Indica per quali valori di
296
a
si hanno il massimo e il m inim o di
S.
MENU DELLE COMPETENZE
O
Nella seconda pagina della copertina
©
PROVA E ►Com petenze 1, 3, U
IN UN’ORA
L’operatore più conveniente Devi scegliere il piano tariffario per il tuo cellulare. Cercando in Internet, trovi le seguenti offerte fornite da un noto operatore del mercato. • La tariffa T E L E S E M P L IC E propone un costo di 23 centesimi/ m in, senza scatto alla risposta e con tariffazione al secondo, 10 centesimi per ogni SMS e possibilità di utilizzare Internet senza lim iti a € 3 alla settimana. • La tariffa T E L E 12 propone un costo di 12 centesim i/m in, con scatto alla risposta di 16 centesimi e tariffazione ogni 30 secon di, 12 centesimi per ogni SMS e possibilità di utilizzare Internet senza lim iti a € 12 al mese. a. Considerando la tariffa T E L E S E M P L IC E , scrivi un’espressione letterale che ti permetta di calcolare la tua spesa mensile, indicando con a il numero delle telefonate che effettui mediamente ogni giorno, con b la durata media in secondi della telefonata, con c il numero di SMS che in v ii mediamente in un giorno. b. Calcola quanto spenderesti mensilmente con la tariffa T E L E S E M P L IC E , considerando che effettui in media 2 telefonate al giorno, ciascuna di 3 m inuti e 10 secondi, e in v ii 7 SMS. c. Valuta se ti conviene di più la tariffa T E L E S E M P L IC E o la T E L E 12 . d. Mostra come imposteresti un foglio elettronico per rispondere ai quesiti precedenti.
PROVA F ►Com petenze 1, 2, 3
© IN UN’ORA
Il tricolore e lo stem m a Sul pavimento dell’atrio di un m unicipio vi è un mosaico del tricolore italiano e dello stemma comunale (figura a ) . Le tessere del mosaico formano tre quadrati da cui manca un angolo, anch’esso quadrato. La disposizione degli arredi però copre lo stemma del Comune. Un architetto afferma che disponendo le tessere come in figura b , lo stemma del Com une risulterebbe visibile. a. Considerate le dim ensioni a e b indicate in figura a, quali sono le dim ensioni ottenere utilizzando tutte e sole le tessere del mosaico a disposizione?
le k
del tricolore che si possono
b. Q uali sono gli ingom bri del vecchio mosaico e del nuovo mosaico (larghezza massima e altezza massima) espresse in term ini di a e ù? c. Dimostra che il secondo mosaico è sempre più stretto del primo. Verifica inoltre che, se a = 3 b, il secondo mosai co è più basso del primo. d. Se a fosse pari a 3 m e b a 0,75 m, con la nuova disposizione si riuscirebbe ad avere un mosaico con l ’ingombro più piccolo? In caso affermativo, di quanto sarebbe più stretto e corto il mosaico?
la )
297
EQUAZIONI LINEARI 1. CHE COS'È UN’EQUAZIONE Esercizi a pagina 306 Identità Per semplificare le espressioni letterali ci serviamo di uguaglianze che sono vere per qualsiasi valore numerico sostituito alle lettere. ►
(a +
1) (a
—
1) =
a 2 —1
è un’uguaglianza vera per qualsiasi valore attribuito ad a. Quando a f f e r m i a m o la validità di un’uguaglianza di questo tipo, scriviamo una identità.
Un’identità è un’uguaglianza fra due espressioni letterali vera per qualsiasi valore attribuito alle lettere.
(a + b ) 2 = a 2 + 2ab
+
Chiam iam o prim o m embro l’espressione a sinistra del segno = , secondo membro quella a destra. D i solito sottintendiamo che l’insieme numerico in cui consideriamo vera un’identità è R , privato eventualmente dei valori per cui le espressioni letterali non hanno signi ficato. In questo caso, dobbiamo scivere le condizioni di esistenza (C.E.). ► — + - 7 = — è un’identità con C.E.: a
a
a
a ± '
a2-
quando l’uguaglianza
1= 8
è vera, stiamo proponendoci di risolvere
u r i e q u a z i on e .
Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni letterali per la quale ci chiediamo se esistono valori che, sostituiti a una o più lettere, la rendono vera.
Per quali valori di ^
(a + l ) 2 = 16
a,
?
/ è un'equazione
Dal punto di vista della logica, un’equazione è quindi un e n u n c i a t o cerchiamo l’insieme di verità, cioè i valori che lo rendono vero. Chiam iam o:
aperto
per il quale
• soluzioni o radici i valori, da attribuire alle lettere, che rendono uguali il primo e il secondo membro dell’equazione; • incognite le lettere per le quali cerchiamo le soluzioni. 298
b
p rim o m e m b ro a ( b + c)
V a,
b, c
=
secondo / m em b ro
a b + ac
E R
An equation is an equality between tw o expressions (called te rm s) containing le tte rs, w hich can be tru e fo r certain n u m b e rs su b stitute d to thè le tte rs.
O
Usiamo le uguaglianze fra espressioni letterali anche in un modo diverso. chiediamo
V a,
0.
Equazioni
► Se ci
b2
/ è u n 'id e n tità
1. CHE COS’È UN’EQUAZIONE
In questo capitolo studieremo le equazioni con una sola incognita. Risolvere un’equazione vuol dire trovarne tutte le soluzioni, cioè trovare tutti gli ele menti che appartengono all’insiem e delle soluzioni dell’equazione. Se non daremo indicazioni diverse, cercheremo le soluzioni nell’insieme R dei numeri reali. Per verificare se un numero è soluzione, basta sostituirlo e calcolare separatamente i valori del primo e secondo membro, per controllare se sono uguali. 4%
—1 =
► L ’equazione nell’incognita x
3
+ 1
incognita
2x = 3
ha soluzione x = guaglianza vera
3x
| TEORIA
3
in R . Infatti, sostituendo
2 è soluzione? nell’equazione, si ottiene l’u
Verifica: 4 - 2 —1 = 3 - 2 + 1
3 2 7 =3-
VERO!
8 - 1 = 64-1 L ’equazione non ha invece soluzioni in Z . 2
ì è soluzione
Diversi tipi di equazioni U n ’equazione è intera se le incognite non compaiono nei denominatori, altrimenti è fratta (o frazionaria). ►
5x + 3 =
-k-x 4
è
intera;
— x
+l
~
2x
è
fratta.
U n ’equazione è num erica se non contiene altre lettere oltre alle incognite, altrimenti è letterale. Le lettere che non sono incognite sono dette parametri e possono assumere qualsiasi valore nell’insieme numerico considerato. 4
► - j x —\
, = 7x e
9x + 2a — 4a è
numerica; letterale nell’incognita x , s e
a è
un parametro.
Equazioni d eterm in ate, indeterm inate, im possibili U n ’equazione è: • determinata se ha un numero finito di soluzioni; Chiam iam o S l’insieme delle soluzioni dell’equa zione:
• indeterm inata se le soluzioni sono infinite; • im possibile se non ha soluzioni. ►
3x
= 15 è determinata, con una sola soluzione:
2x + 3x — 5x è
x + 2 = x è
3 * = 15 -
indeterminata: l’uguaglianza è vera V x
è indeterminata: l’uguaglianza è vera Vx
x2 = x
\
5;
x =
e
e
R;
R tale che
S =
2x + 3x = 5x x
> 0;
impossibile; non ha soluzioni.
{5};
—S = R;
V x 2 = x — S = Ro ; x + 2
= x — S = 0.
ESERCIZI PER COMINCIARE D
W M
o
m
[ Al
X=
a — 3
Stabilisci quale dei valori indicati è soluzione dell’equazione —x ( x [_B]
X=
~
, 1;
1 0 x -8;
3 )2 = —5 ( x + 8).
2
Per ognuna delle seguenti equazioni nell’incognita x + 2 a
+
12
, 0
x + 2 ~ a + 3’
x,
indica se è numerica o letterale, intera o fratta.
x 4x + 3 ~
4299
9
EQUAZIONI LINEARI
2. PRINCIPI DI EQUIVALENZA EQUIVALENZA
I
Equivalent equations are equations th a t have thè sam e unknow ns and thè sam e Solutions.
O
© Esercizi a pagina 309
Due equazioni nelle stesse incognite sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
sono equazioni equ iva le nti
►
LU
x + 1 — 2
3x — 3
Entrambe hanno come unica soluzione
O
x
= 1.
Due equazioni non sono equivalenti se una o più soluzioni non sono in comune. ► x + 4 = 5e2x = 6 x = 3.
non
sono equivalenti: la prim a ha soluzione
1, la seconda
x =
1 = 0 e x — 1 = 0 n o n sono equivalenti: hanno come soluzione comune = 1 ma non x = —1, che è soluzione soltanto della prim a equazione.
x2— x
Per passare da un’equazione a una equivalente valgono due princìpi di equivalenza. Prim o principio di equivalenza Nelle
uguaglianze f r a n u m e r i
vale la prima legge di m onotonia:
se a entrambi i membri di un’uguaglianza fra espressioni numeriche aggiungiamo o togliamo uno stesso numero, otteniamo ancora un’uguaglianza. ► 7 + 6 = 8+ 5
-
7 + 64-2 = 8 + 5 + 2
Su questa legge si basa il primo principio di equi valenza per le equazioni.
Prim o principio di equivalenza Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero, o espressione letterale, otteniamo un’equazione equivalente.
o a. o z cc CL
You can obtain an equation equivalent to a given one by adding or subtracting thè sam e n u m b e r o r expression w ith le tte rs fro m both te rm s.
□
3x
+ 3= f
2x
O CL Z LU
—1
equ iva le nti
► 3x + 3 — x = 2 x —
x
Dobbiamo precisare che, se aggiungiamo o togliamo un’espressione che perde signi ficato per particolari valori della variabile, non è detto che otteniamo un’equazione equivalente. ► x + 3 = 3 non è equivalente a x + 3 + — = 3 + —, con C.E.:
x ^ 0.
La prim a equazione ha soluzione 0, che non è invece soluzione della seconda. Dal primo principio derivano due regole, per le quali valgono le stesse considerazioni appena fatte sulle espressioni che perdono significato. Regola del trasporto Data un’equazione, ne otteniamo una equivalente se trasportiamo un termine da un membro all’altro cambiandogli segno.
300
2. PRINCIPI DI EQUIVALENZA
►
2x + 3 = x
TEORIA
— 2 x + 3 —3 = x —3 — 2x = x — 3
a g g iu ng ia m o - 3 a e n tra m b i i m e m b ri
+3 tra s p o rta to a l secondo m e m b ro diventa -3
In generale, applicando il prim o principio di equivalenza:
A
(x): +
a — B (x)
—
A (x) — B
(x); — a\
Regola del trasporto
a g g iu ng ia m o - a a e n tra m b i i m e m b ri >A(x) + a - a = B(x) - a
l| k
Regola di cancellazione Data un’equazione, ne otteniamo una equivalente se in entrambi i membri cancelliamo termini uguali. 3 x + l = 2 + x + l — 3x + 1 — l = 2 + x + l — 1 — a g g iu ng ia m o - 1 a e n tra m b i i m e m b ri
3x= 2 + x
o tte n ia m o la ca n ce lla zio ne di + 1
In generale, applicando il prim o principio di equivalenza: A
(x); +
a
=
B
(x)
+
a; — A (x) =
B
(x)
Regola di cancellazione
a g g iu ng ia m o - a a e n tra m b i i m e m b ri 4(x) + ,3 - è = B[x) + fa - p
Secondo principio di equivalenza Nelle uguaglianze fra numeri vale la seconda legge di m onotonia: se m oltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri di un’uguaglianza numerica per un numero di v er so d a zer o, otteniamo ancora un’uguaglianza. ► 4 -5 = 2 -3
( 4 - 5 ) - 2 = (2 — 3) - 2
D a questa legge deriva il secondo principio di equivalenza per le equazioni.
Secondo principio di equivalenza Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero o espressione letterale diversi da zero, otteniamo un’equazione equivalente.
You can obtain an equation equivalent to a given one by multiplying or dividing both te rm s by thè same n u m b e r o r expression w ith le tte rs (d iffe re n t fro m zero).
□
4x + 8 = 16 equ iva le nti
x+ 2 = 4 Entrambe hanno come unica soluzione
x — 2.
Precisiamo che, se moltiplichiamo o dividiamo per un’espressione che perde signi ficato per particolari valori della variabile, non è detto che otteniamo un’equazione equivalente. ► 5 = x + 5 non è equivalente a 5 •— = (x + 5) •— , con C.E.: x ^ O . La seconda equazione non ha soluzione 0, che invece è soluzione della prima. D al secondo principio deriva la seguente regola.
(
Regola del cam biam ento di segno Da un’equazione otteniamo un’equazione equivalente se cambiamo segno a tutti i suoi termini.
301
9
EQUAZIONI LINEARI ► —x + 2 = —3 -
( - x + 2 ) ( - 1) = (— 3) - (— 1) -
m o ltip lic h ia m o e n tra m b i i m e m b ri p e r - 1
+ x —2
= +3
tu tti i te rm in i cam biano d is e g n o
In generale, se applichiamo il secondo principio di equivalenza, moltiplicando entrambi i membri per —1: A
(x) =
B
(x)
— —A
(x)
= —B
(x)
Regola del cambiamento d i segno
Il secondo principio è utile anche quando: • tutti i term ini di un’equazione hanno un fattore comune; ► 8x + 16 = 24 — x + 2 = 3 divid ia m o p e r 8 tu tti i te rm in i
• ci sono term ini con coefficienti frazionari e vogliamo ottenere coefficienti interi. ►
jc
. JL
9x + 6 2 x + 36 n , , . -, jg — jg —i► 9x + 6 — 2x + 36
JL
2 + 3 —9 + 2 —
stesso d e n o m in a to re : m cm (2; 3; 9)
m o ltip lic h ia m o p er 18 e n tra m b i i m e m b ri
FORMA NORMALE E GRADO DI UN'EQUAZIONE 6
Esercizi a pagina 311
Se i membri di un’equazione nell’incognita x sono polinomi, utilizzando il primo principio di equivalenza, possiamo riscrivere l’equazione come un solo polinomio P(x) ridotto a forma normale e uguagliato a zero: P(x) =
0.
In questo modo si ottiene la f o r m a n o r m a le dell’equazione. Chiam iam o g r a d o dell’equazione il grado di P ( x ) . f grado d e ll'e qu a zio n e
► 5x2 — 3 x
+ x 3 = 2 + x 3+ 4x
— 5x2 —I x —2 = 0
----- 7-------fo rm a n o rm a le
In questo capitolo e nel capitolo 14 studiamo le equazioni di primo grado, dette anche e q u a z io n i lin e a r i.
ESERCIZI PER COMINCIARE Risolvi le seguenti equazioni precisando per ogni passaggio quale principio di equivalenza, o regola da esso derivata, applichi. M M
8x—
5 = 5 + 3x;
WM
7x+
14 = —21 (—x — 2);
K É
4
x
+ -jj = 2 + -
[2; 0]
3x.
1 = - 4 x - 2 ( x - 1).
f-2; \ ]
7 2 VF — 8x = - y x — 8x
Scrivi in forma normale, indicando il grado, le seguenti equazioni nell’incognita x: x2 + l = x ( l + x ) ;
302
Ì
R is o lu z io n e d i e q u a z io n i n u m e r ic h e in t e r e e p r i n c ì p i d i e q u iv a le n z a
~E x
W M
a
x 2 = ( x — l ) 3;
(x2 — 1) (x2 + 1) =
a 6.
3. EQUAZIONI NUMERICHE INTERE
TEORIA
3. EQUAZIONI NUMERICHE INTERE ^
Esercizi a pagina 312
Per risolvere un’equazione numerica intera di primo grado, svolgiamo i calcoli, utiliz zando i princìpi di equivalenza fino a giungere alla forma
ax =
b,
e distinguiamo poi tre casi. Equazione d eterm inata
ax = b
Se a # 0, allora dividiamo ambedue i membri per a:
se a / 0
u ax = b
-* x = — . a
/
equazione d e te rm in a ta
L ’equazione è d e t e r m in a t a , con soluzione x = ^ . ► 5x — 3 = 7x + 2 -*• 5x — 7x = + 2 + 3 ->• —2x = 5 -*■ p o rtia m o i te rm in i in x a l p rim o m em b ro, q u e lli senza x a l secondo
svolgiam o i ca lco li
x =
—y
d ivid ia m o e n tra m b i i m e m b ri p e r - 2
Equazione in d eterm inata
Ox = 0
Se a
equazione in d e te rm in a ta
= 0 e b = 0,
/
l’equazione è nella forma:
Ox = 0. L ’equazione è in d e t e r m in a t a e ha per soluzioni tutti i numeri reali: qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0. ► 2x + 1 + 5x = 3 + 7x —2 — 2x + 5x — 7x = 3 —2 — 1 — Ox = 0. L ’insieme delle soluzioni è R : l’equazione è indeterminata. Equazione im possibile Se
a
Ox =
= 0 e b ^ 0 , b,
con
b ±
0x
— b
se b ± 0
l’equazione è nella forma:
/
0.
equazione im p o ssib ile
L ’equazione è im p o s s ib ile perché non ha soluzioni: nessun numero moltiplicato per 0 può dare un numero diverso da 0. ► 12x —4(2 + 3x) = 0 — 12x —8 — 12x = 0 — Ox = 8. Nessun numero moltiplicato per 0 dà 8: l’equazione è impossibile.
ESERCIZI PER COMINCIARE Risolvi le seguenti equazioni.
B U I DE
a. 6 x — 1 + 2(4 —x) = —3 (1 —2x) —2x
b. —2 (x — 1) = 8 + 2(2x —3) —6x ANIMAZIONE
x —3 4
2 ( x — j 1+ 2
1 —x
1
12 303
9
EQUAZIONI LINEARI
4. PROBLEMI ED EQUAZIONI Esercizi a pagina 318 Esaminiamo com’è possibile risolvere problemi mediante le equazioni, affrontandone alcuni. Un problem a con i num eri Due numeri naturali sono tali che il secondo supera il prim o di 2 e la somma fra il quadruplo del prim o e il secondo è 27. Troviam o i due numeri. Se chiamiamo x il primo numero e traduciamo le inform azioni in simboli ed equazioni, si ha che x €E N, il secondo numero è rappresentato da x + 2 e la seconda relazione fornita dal problema diventa: ^ secondo n u m ero 4x + (x +
2) = 27.
\ q u a d ru p lo d el p rim o n u m ero
Risolviamo l’equazione: 4x + (x +
2) = 27 —
5 x 4 - 2 — 27
—
5x — 25
x
5 - c5.
- 2 1
Quindi: il prim o numero è
x = 5;
il secondo numero
è x + 2 = 5 + 2 = 7.
I
numeri cercati sono 5 e 7.
Non sempre un problema ammette soluzioni. A volte l’equazione che otteniamo è impossibile. Altre volte le soluzioni dell’equazione non sono soluzioni del problema, perché non soddisfano particolari richieste espresse nel testo. Cerchiamo due numeri naturali tali che la loro somma sia 20 e uno superi il doppio dell’altro di 26. Il procedimento è analogo a quello dell’esempio precedente. Se chiamiamo abbiamo: a
G
N, b
E
aeb
i due numeri, in simboli
N;
prim a relazione: a seconda relazione:
= 20; = 2a + 26.
+ b b
Se pensiamo a come incognita, utilizzando la prim a relazione come equazione e sostituendo a b l’espressione data dalla seconda relazione, otteniamo: u
+
(2d
+ 26) = 20. b
Risolviamo l’equazione: a
+ (2 a
Se
26) = 20 —
a —— 2,
Poiché
304
+
a
allora
b —
3a +
26 = 20 — 3a = 20 —26 — 3 a = —6 —
a
= —2.
2 •(—2) + 26 = 22.
non è un numero naturale, come richiesto dal problema, il problema è i mpossi bi l e.
A. PROBLEMI ED EQUAZIONI
TEORIA
Un problem a geom etrico In un triangolo rettangolo, la somma fra l’ipotenusa e un cateto è 24 cm e l’altro cateto è 12 cm. Cerchiamo le lunghezze dell’ipotenusa e del cateto. B Disegniamo la figura e scriviamo le inform azioni date dal problema:
BC + AC
=
24;
AB
12.
=
Se poniamo
AC = x , dalla prim a relazione otteniamo:
BC
=
2 4 - AC
=
2 4 - x.
Per ottenere l’equazione, utilizziamo la relazione fornita dal teorema di Pitagora:
A B 2 + A C 2 — B C 2. Scriviamo l’equazione e la risolviamo: 12 2 + x 2 = (24
- x ) 2
-
144
+
/
=
576 - 48*
+
/
-
48* = 576 - 144 -
48* = 432
*
432 48
„ 9-
Otteniamo: AC = 9 e BC = 24 —9 = 15. La lunghezza dell’ipotenusa è 15 cm, quella del cateto è 9 cm.
Un problem a d alla realtà I problemi risolvibili con le equazioni possono trarre spunto da situazioni della realtà. Quello che risolviamo ora è stato formulato da Alcuino di York (735-804) nella sua opera Propositiones Arithmeticae ad acuendos iuvenes. U n cane insegue una lepre. A ll’inizio, la loro distanza è 150 piedi. A ogni salto, il cane fa 9 piedi, la lepre 7. In quanti salti il cane raggiunge la lepre? Se chiamiamo x il numero di salti cercato, deve essere:
9x
-
150
+
/
7x — 2x
=
150 — x
=
75.
V
distanza percorsa d a l cane
distanza percorsa da lla lepre
Il cane raggiunge la lepre dopo 75 salti.
ESERCIZI PER COMINCIARE ANIMAZIONE In un numero di due cifre, la cifra delle decine supera di 2 quella delle unità. Scambiando le cifre si ottiene un numero il cui doppio differisce dal numero iniziale di 28. Q ual è il numero? ANIMAZIONE
In un triangolo ABC l’angolo a è il doppio dell’angolo (3 e |3 supera 7 di 20°. Determina i
tre angoli.
KB
Un problema con le equazioni lineari Per Natale, i nonni prelevano in banca € 1800 per i regali ai nipoti. Dopo pochi giorni, con il 2 7 % di ciò che è rimasto nel conto, acquistano una nuova automobile. Nel conto restano € 13 286. Quanto c’era prim a dei due prelievi? Qual è stata la spesa per l’auto? 305
EQUAZIONI LINEARI
ESERCIZI 1. CHE COS'È UN'EQUAZIONE o Identità Verifichiam o se l’uguaglianza (2 x — l ) 2 — ( x — 1) ( x
+
1) — 2 =
3x(x —
2) +
2x
è un’identità.
O Q-
Semplifichiamo il prim o membro:
Semplifichiamo il secondo membro:
(2x — l )2 — (x — 1 ) (x + 1 ) —2 =
3x(x — 2) + 2x —
4x2 — 4x + 1 — (x2 — 1) —2 =
3x2 — 6x + 2x =
4x2 —4 x + l —x 2 + l —2 =
3x2—4x.
3x2 — 4x. -
uguali
Poiché le espressioni sem plificate del prim o e del secondo mem bro sono uguali, l ’uguaglianza è u n ’identità.
Verifica se le seguenti uguaglianze sono identità. —x ( — x ) 2 + 6x = x(6 — x 2)
( y - j J + j ) ' 2 = ( y + 1 ) 2( y - ^
3 2x
—3 + x + l + (—2x) ì ——3x — 8x3 + 2 (2x —1)
x —\
(2 —x) (x2 + 1 ) + (x — l )3—2 = —(x — 1 )'
U n
i D
—(fl + l ) ( 2 — a ) 4YOU & MATHS
a. 6x + 2 =
COMPLETA
306
1) + 1 =
(b2 + b -
35 + 1 — 2 ( a 4- 2 ) 2 — 8^fl + li 32
4-
M aking an identity Make thè following equalities into identities. , 5 _ 1 b. ^ + 2x = x + + 3 2x
) - ( 1 —3jc) ( 1 + 3 x ) = 6x -
+~2
1—
= - ( x - 1 ) [1 + 2 ~1(x + 1 )]
l ) 2+ 5
l’espressione in modo che l’uguaglianza risulti u n’identità.
9^x —3
2x( x
\ ) 2 + b4 + 6 ( b 2 +
=~(f + 2 | + y
8/ x+ 6 (x + 2 ) ( 1 —x) T x + i + 1 r ' = ---------------
x(3 — x) + (3x —2 )2 = 4(2x2 + 1) —9x
- 2 b 2( 3 - b ) - ( b +
c x+ 1 5 3
=
(x - 2 ) 2 - 4
+ T ( i ' ~ :yì
+ x 2
1. CHE COS’È UN'EQUAZIONE
ESERCIZI
Soluzioni di un'equazione - 2 è u d a z ù n t e d i xd
perché ( - Z f =
Stabiliamo se x —x (x
—
16
sono soluzioni dell’equazione
= - 3 e x = 6
3) — (2 —x) (2 +
=
16
= 8 + x.
x)
• Sostituiamo il valore - 3 ax : - (-
3)
[(-
3)
- 3] - [2 - ( - 3)]
?
[2
+ (— 3)] = 8 + (— 3) — 3 •(—6 ) — 5 •(— 1) = 5 —
FALSO!
—18 + 5 = 5 ——13 = 5 — l’uguaglianza
non
è verificata — x = —3
non
è soluzione.
• Sostituiamo il valore 6 a x : ?
?
?
- 6 ( 6 - 3) - (2 - 6) (2 + 6) = 8 + 6 - - 6 •3 - ( - 4) •8 = 14 - - 1 8 - ( - 32) = 14 VERO!
14 = 14 — l’uguaglianza è verificata — x = 6 è soluzione.
Stabilisci quali dei valori indicati a fianco sono soluzioni dell’equazione 2x — 7 x 2— 4x
= —3x + 3; = —3;
x —x — 2;
x = 0,
x = —2,
x = 1.
x = 1,
x — 2,
= 0;
-J + -
x = 2.
P
D
x = —1.
B
H
2 — 3x . 1 + Y
t x
—
= 2 —x ;
x = 6,
TEST
B s
a
i
x = 0 è soluzione di
INVALSI 2008 a
u n a sol a
x = y .
H x
4>
= ~
1
4>
x =
x = ~
. 1,
. x = 1.
4 ( 4 - x —l ì + (1 —x ) (1 + x) = 3; x = 4 - , x = 2.
delle seguenti equazioni. Quale?
b]
= o
x = -l,
x — 2.
•] x(—x + 1) + (2 —x)2=—2; x = 2, x = 0. m u
JC= 0 ,
= 0
Ic
4x = 0
d]
x = 4+ x
Qual è il valore di x che soddisfa l’equazione 3 (2x — l ) + 2x = 2 1?
cu -4
-3
E
11
D 3
Verifica che x = —2, x = 0, x = 1, x = 2 sono soluzioni dell’equazionex2(x2 —x — 3) —x2 + 4x = 0, m en tre x = —1 non lo è.
mu
Wl 1
a. —3 x — j = ^ + ^ 3 + j j
1. x = 0
EUREKA! Sapendo la soluzione... Quale tra le seguenti equazioni nell’incognita reale x ammet te x = —1 tra le sue soluzioni?
b. x —( 1 —x ) 3 = 3
2 . x = —1
IX
c.
ASSOCIA
1
a ogni equazione la sua soluzione.
/ 1 ,\ x —I t x — 1 1 = 1
d. (2 —x ) 2 —4 = —2 —x
3. x = 2 4. x = 1
Q
x2 —x —2 x2—1 I b ‘ (x + 1 ) (x —2) = x(x + 1) I c E
x3—1 = 0 Ì
ì
[= o
307
9
EQUAZIONI LINEARI
Diversi tipi di equazioni p
D
VERO 0 FALSO?
2 —X X a. — ^— = ~2
j
èu n’equazione numerica fratta.
LvJ LfJ
b. U n ’equazione letterale intera non può avere il parametro al denominatore. c. L ’equazione a +
\
^
~
I v . TfH
nell’incognita x è letterale fratta.
DD E□
d. U n ’equazione intera non può avere denominatori.
LvJ _eJ
e. Se un ’equazione è letterale, oltre all’incognita contiene altre lettere, alle quali si possono assegnare in fin iti valori a piacere.
[v] 3
Indica se le seguenti equazioni neH’incognita x sono intere o fratte, num eriche o letterali, e indica le loro con dizioni di esistenza. 1
« _
«
r-j
X
x+2 = 6; x 2x — 1
. d _ ,
- j x - 2 = x; x y - 2 y = 7; — + — = 3.
2x
2 + ^
x = 9; 7tx + 13 = x;
x = ( x — a)2; 2k —x = 3x.
2x a -\- 1
= 5;
5
4 —x
+ ax = 16.
Scrivi u n’equazione:
Indica se le seguenti equazioni nelLincognita riportata a fianco sono intere o fratte e determina le condizioni di esistenza.
a. n u m e rica , intera, a co efficien ti fra z io n a ri nell’incognita y;
E 9
2 a y + -^ = 0 ,
y
b. letterale, fratta, nell’incognita x;
EO
7k — \ = - £ ,
tc ;
;
x +z
=
^
•
x
.
FAI UN ESEMPIO
c. letterale, intera, nell’incognita t;
+ 2= ^
P i
3,
^
- | + y - z = 8, ;
y
= kx + y ,
x
d. numerica, fratta, nell’incognita
b.
.
Equazioni d e term in ate, indeterm inate, impossibili
mU
VERO 0 FALSO?
a. Se a — 0, l’equazione a x ——9 è indeterminata.
0 0
b. Se b = 0, l ’equazione 8x = b è impossibile.
[v] |T ]
c. 5x = —5x è un’equazione determinata, AL VOLO
K l!l E
a :
[v] Ff ]
e.
x | = —3 è un’equazione impossibile,
[v] EEJ
f.
x | = x è u n’equazione indeterminata, [ v j LEI
g. L ’equazione 2x — 3 = 0 è impossibile in Z, ma determinata in Q.
Indica le equazioni im possibili tra le seguenti.
13x = 0;
x 2 + 1 = 0;
x = —x;
7x = 8x;
TEST
8 F = 0; 3x —x = 2x;
x = 0; Ox = 6;
x = 4 + x. 3x = —6 + 3 x .
Fra le seguenti equazioni numeriche intere, quali sono im possibili?
1. 3 x - 2 = - 2 [~À1 L a i , la 3, la 4. 308
vi IT I
d. 8x = 4x è un’equazione impossibile.
2. 3x —2 = 5x + 1 [J] Solo l a i .
3. 2 x - 6 = 2 ( x - 3) [T] Solo la 3.
4. 4 x - 3 = 2 ( 2 x - 1) Q)] Solo la 4.
0 0
2. PRINCIPI DI EQUIVALENZA I ESERCIZI
ALVOLO
C I
8x = —8 ; K 1
R, ma im possibili
Spiega perché le seguenti equazioni sono determinate nell’insieme — 5 x = — 2;
4 x — 2 — 0;
x2 =
5;
4 x — x — 5;
Q uali delle seguenti equazioni sono determinate nell’insieme —jc = 3;
6x =
54;
15x = —45;
4x—
28 = 0;
7x—
9 x = — 3;
2 x = ~ ^;
nell’insieme
N.
3 x + x — 9.
Z, ma im possibili nell’insieme N?
3x = 16;
12x —7x = —5.
INTORNO A NOI Flavio vuole distribuire 24 matite in due portapenne in modo che nel prim o siano il doppio di quelle contenute nel secondo. C i riesce? G iustifica la tua risposta mediante u n’equazione.
AL VOLO
Indica le equazioni indeterm inate tra le seguenti. —7x
= —7;
x (2 + x ) = x 2 + 2x.
1 2 x = —x ;
2 5 x 2 = 0.
Da un cartoncino qua drato di lato 4 cm vie ne ritagliato in un angolo un quadrato in 4 modo che la figura che si ottiene abbia perimetro 16 cm. Che m isura deve avere il lato del quadrato elim inato? Giustifica la rispo sta scrivendo u n’equazione.
EUREKA! N on s e m p r e R Spiega perché le seguenti equazioni sono indeterminate e per ognuna indica l’insieme delle soluzioni. a.
~*X + 2 x = 5 + 2 x x
b. 4 x
=
4x
c. X — — X
,
3x(x ~
2)
x
3x —6
2. PRINCIPI DI EQUIVALENZA EQUIVALENZA
E lQ
Teoria a pagina 300
VERO 0 FALSO?
a. 2 x + 4 = 6 e y + 2 = 3
sono equazioni
equivalenti. b. Due equazioni indeterminate sono sempre equivalenti.
c.
-j-x =
0 e —5 x
IjT [T j
equivalenti.
_v_ |_fJ
d. L ’equazione i — x = —3 .
=
0 sono equazioni ~
x —
IT I!
1 = 3 è equivalente a m m
309
9
EQUAZIONI LINEARI
P rim o principio di equivalenza P
I LJ
VERO O FALSO?
4 a. - ^ x + 6 = - x è equivalente a 4x
—
18 = 3x per il prim o principio di equivalenza.
LvJ j D
b. Per elim inare i denominatori num erici di un’equazione è utile la regola di cancellazione.
[V] [ f ]
c. Se si trasporta un termine da un membro all’altro di un’equazione, occorre cambiare segno a tutti i termini della stessa.
0 0
Se si cambia segno a tutti i termini di un’equazione, si ottiene un’equazione che ha soluzione opposta rispetto a quella data.
d.
e iQ
TEST Solo una delle seguenti equazioni può essere ottenuta da 5 (x — 2) principio di equivalenza. Quale?
[
a
]
5 (x -2 ) + 2 x = - l
[_b J
2x +
mu
5
[ 2 5 ( x — 2) — 2 =
(x — 2)
=
DO
1
4x +
5
(x — 2)
—1 = —2x applicando il prim o
1 — 2x =
2x —
1
Solo una delle seguenti equazioni n o n può essere ottenuta da 3 (x + 2) —2 (1 —x) applicando la regola di cancellazione. Quale? TEST
[ a] b
3* —2 + 2* = 6* —2
l~c~l 3* + 6 + 2* = 6 ( 1 + *1
3x + 2x
|_d_ 3x — 2 +
6x
=
2x
—
pv~ T ]
=
6 (1 + x)
—2
6—2
Risolvi le seguenti equazioni applicando le regole di trasporto e cancellazione. A ogni passaggio, scrivi quale regola stai applicando. _3 7
3 - 1 2 t ì - x ) = 5x-6
6x + (4 + x) (x —4) = x ( x + 2) — 8 (2 —x)
(a + 2) ( a — 1 ) +
[0]
6a — (a
+ 3) ‘
2 x ( l — x ) — { 4 x + x 2) = ( x
+ 2 ) ( 1 —2 x )
111 — x 2 [2]
Secondo principio di equivalenza
m Q
Solo una delle seguenti equazioni non può essere ottenuta da 12 (x — 1) — 4x ——24(2x + 1) appli cando il secondo principio di equivalenza. Quale? TEST
La
3( jc - 1 ) -
[
- 6 ( x - 1 ) + 2 jc = 1 2 ( 2 jc+ 1)
b]
x
= - 6 ( 2 jc+ 1)
|c [ d]
—3 ( x — 1) + x — 6 ( 2 x + 1)
-
ì2
( \ - x ) + 4x = 24(2 x + \ )
R isolvi le seguenti equazioni e, per ogn i passaggio, scrivi quale principio di equivalenza, o regola da esso derivata, stai applicando. 1 5 * - 9 = 30 (x — 1)
71 5J
53(10 x + 1) = 54x
1 5
6x(4 ~x) = —2x(3x — 1) + 14x
[0]
— 1 5 [2(x + 1) — 3] = [ 3 - 4 ( 2 * - 1)] • 15
[1]
2 ( x + 7 ) + 4 = 4 + 3 ( l —x) ESEMPIO DIGITALE
a
(x + 2 ) =
340
11 5
1 5(3* + ^ - ! = —10(1 - 3 * )
(2 x +
1
)
3]
7 (* + 4) —2 (* + 4) = 4 + x
-4]
a + 3 _ 2a — 5 —5“ 15 a 5 x (v ^ _ (* + 5) (2x — 1) t ( * - 5 ) ------------------ 5 -
1 4 5 W
Y0U & MATHS Becom e aware o f your process Solve thè following equation and write down each move you make during thè process. Explain why your moves are correct.
3x + 7 = * — 1
310
2. PRINCIPI DI EQUIVALENZA | ESERCIZI
E 9 Q
ASSOCIA
le equazioni equivalenti.
1. - ( x + 5 ) = 3 ( x - 5 )
2. - 5 x + 4 = 3
3. 2 ( l - 5 x ) = 4
4. 3 - 4x
a.
b. —5 x
c.
d.
=
4x
0
—
1
2x
=
5
5x
= 3
= 1
Per ognuna delle seguenti equazioni scrivi un’equazione equivalente che soddisfi la condizione assegnata 3
3) (a — 1) =
(a +
8 —5* R ii
(b
7x
+ l) 2=
b(b
il secondo membro sia nullo. tutti i coefficienti siano interi. tutti i termini in
+ ~ 2 j;
5 _!
2 ) 2 + 1;
;
x
(x -4 )(x + -j)
2
(a +
x + “T = ' 3
10 ' ; tutti i coefficienti siano interi.
, 3 + x , 8 —x " 2^ ^ 3~
1
non ci siano denominatori.
Sottolinea in ogni riga il passaggio sbagliato.
a. 5x + 3 = 2 — 5x = 2 + 3 —■
7 + ~6 = 1
b. 2x +
5
—
5x = 5
3(x + 7 ) + x = l
1 _ 3x “ 10
4 2x + 1 _
-
x
= 1.
3x
2x + 1 = 3x
4 x = -20 x
x = —5.
= 1.
x = —5.
e. x + 2 (x — 1) = 6 —(3 +
x + J.* —2 =
2x)
—3 —
x = 5.
FORMA NORMALE E GRADO DI UN'EQUAZIONE © Riconosci le equazioni nell’incognita
x
x —9 = 2x + 6;
x ( x — 1) —2x2 = 0;
bx — x = 6 + x ;
a 3x — a 2x 2
=
Teoria a pagina 302
scritte in forma norm ale e indicane il grado.
3x 3 —x + 2x 3 = 0;
x —2 = 0;
3
-►
3x + 2 1 + x = l
—s r * °
%
1 d. — c x = 0
siano al prim o membro e tutti quelli num erici al secondo.
2 x 2+ l
lx +
CACCIA ALL'ERRORE
b
2 a 3;
k4 — x =
.-gra d o
1 _ 2 3* 3
4 a 2x 2 — x = 0 ;
0;
3x2 + X - S = 0 è Ut -fo rm a n o rm a le :
u2 + 2 a x + l = 0 .
ex2 + 8c4 + c3 = 0;
x 2t3 + t x 4 —
P (x) = 0
1=0
Scrivi in forma norm ale le seguenti equazioni e indicane il grado WàM
x (x —3) —2x = x 2 — 1
p C f e s m
a m
a
(1
+ a2— a)2-
x 2(l
a 2(a
— 3 ) ( a + 3) = 8a 2 x)(x —2 ) +
—y)2
=
y 2( 2 +
3 ( x + 1) (k
+
2 ) —x =
xy,
incognita y.
x + (1 —2x ) 2 —6x ( l —x ) ( l + x ) = 0 3
(x + 2 ) 2 - 8x =
x), incognita
k.
-j a ( a + x) — (a —
UHI
(1 —x)3—3x(x + 2) = 1
UHI
3k x
—
k(x2+
1 ) 2 = x , incognitax.
3 = (/c + x )2 + x(/c— l ) 3, incognita k ; incognita x.
311
9
EQUAZIONI LINEARI
3. EQUAZIONI NUMERICHE INTERE i ì B L J TEST
© T e o ria a pag.na 303
Quale fra le seguenti equazioni
S ^ = 4
Ib
nonè
3x - 5 = ^
S 7 x + ^
num erica intera?
= f
=
Risolviamo le seguenti equazioni. a. 3 (x + 2) + 5 ( 1 —x) ——2 (3x + 2) + x + 6
ìx + .6 + 5 —iix = —6x —4 + x + 6
^ svolgiamo i calcoli J ^ regole di cancellazione e tra sp o rto
3x —5x + 6x —x = —4 —5 3x = —9
^ secondo principio di equivalenza
9
x= -3
AX = b
x = —3.
w d ì 0, X -
b
ESEMPIO
L ’equazione è d e t e r m in a t a : la soluzione è x = - 3 . b. 7 (2 + 3x) — lOx = 3 (2x — 1) + 5 (x + 1) + 12
14 + 21x - lOx = 6x - 3 + 5x + 5 + 12
^ svolgiamo i calcoli
^ regola del trasporto
2 ì x — lOx —6 x — 5x = —3 + 5 + 12 — 14 Ox
Ox = 0.
=
0
L ’equazione è in d e t e r m in a t a : ogni numero reale moltiplicato per 0 dà 0.
c. 4x — 12 (1 —x) + 2 — 5 —2 (3 —8x)
^ svolgiamo i calcoli
4x — 12 + 12x + 2 = 5 —6 + 16x
^ regola del trasporto OX - b b ± 0, ÌMisp
4x + 12x — 16x = 5 —6 + 1 2 —2 Ox = 9.
L ’equazione è im possibile: non esiste un numero che, moltiplicato per 0, dia come risultato 9.
TEST
eh
A
In d iv id u a la soluzione d ell’equazione 3 (x + 4) = 3x — 3.
Indeterminata.
CHECKER
— | x = 0;
—20x + 4 = 0. 9x + 7 = 0.
MH
3 —x = 8x ;
EZ9
102x - I O 4 = - 2
g l
—4x = 4_1;
- P
( .i_ * .i) -=0i
p i
312
Qc] Impossibile.
[~b~l x = —15.
R isolvi le seguenti equazioni.
6 x — 54 = 0; P I
J L x = 0.
— 8a = ( —
2 ) 3;
2x —21 = —9.
IO3;
—
p
103x —4 IO4 = 0;
p i
—2 5x + 46 = 0;
m
^ ^x=
[27 + (— 3)3]x = 9. ( 4 - p r ) * = o. - 5 3x = - ( - 5 ) 3.
0.
0,06x = 600 IO-2 ;
x 9 1 - - L " 41 3 0,7x = 0,07. —lOx 3 -
h
i
128' W »_! 3 •
[
s -
d
o o
r a
80 ; 0 ]
—A -; impossibile [0; indeterminata] [1;-1]
3. EQUAZIONI NUMERICHE INTERE
Risolvi le seguenti equazioni.
CHECKER
4(1 —x )
1]
— 3 ( x + 2) = 4 — x
f l l 5(* + 3) + 12x =
4 -7 (2 -* )
B ffl
—8(3 + *) +
BD
—2(3y —1) + 4y = 3(1 — 5y)
BT3 3 (1
—*) —5 = — 6 x — 10 (* + 2)
3(3
13
+ 2 x ) = — 5 [ — x + 2 ( — x — 3)]
4 [ x - 3 ( l- x ) ]
ITTI
4(x - - L J - 3 x +
P
—[11 (* + 2) — IO2] = [10(* — 5) +
m
(x —
&
[0]
_L
BB
m
s
| ESERCIZI
= 5 x + 3 [2 x + 5 (2 -3 x )]
4) 2 — 3 ( x
—
m
n
m
BB
3 * ( * - 2 ) = * - 2 + 3*2
IJ0
( * - 2 ) 2 - ( * - 3 ) ( x + 3) = 2* + 4
Bfl
(x —l)3— 4(x +
Ip
(2t —1) (2f + 1) — (4f — 3) = 4t(t — 2)
BEI
3— (jc—5)2= ( 2 - x ) ( 2 + x) +
E 3
(3* - 2) (9*2 + 6* + 4) = 9*(3x2 - 2 ) - 8
3x]
11
(—2) + *
7 [ -
22 ]
(a —2 ) 3 + (a — 5) (a + 5) —a ( l + a2) = —5 a2 + 4a —2
a
(x—
l ) 3— { x — 2 ) ( x + 1) (* —4) =
l i TI
(x —
3 )3 + 2(3* + l ) 2 = (* + 3)3— (4 + * ) 2 + (* + 3)(* —4)
P
(2x
S fl
(a — a2— l ) 2 — 3 (a + 2 ) 2 = a3(a — 1) + a [(a + 2) (1 — a) + a]
ITTI
(* + 2 ) 3 + 18* = ( * - 2 ) 3 + 3(2* + l ) 2 + 2 [ 3 - ( * - 1)] + 5
(2x —
+ 1) -
3)2 =
(x+
1)2+
2
llk l
2x 2 +
x
2xi — x 2
+
1
[impossibile]
7x = (2x2 - l ) ( x - 5 ) + (3x -
+ 4 z - 2
+ ( U - 9
(* — 1) + 8] + (—x 2 — x
z
2) =
5
2)
8_ 7
_ 11 16 [0 ]
(3 —2z) (2z + 3) + 3z(5 —z) — 15z + 2
*[(1 +
P
( 2 * - 3 ) 3+ ( 6 * - 1 ) 2 = ( 2 * - 3 ) ( 4 * 2 + 6* + 9) + 6 ( 7 * - 5 ) + 31
—
[indeterminata]
(5* + 3) + 4
P
x)
,
2)(* + 1) = —2 x { x + 1) —4 x
1) +
(4z —4) (z — 1)
1
[impossibile]
2x(x — 3 ) ( x +
x
[-1]
1 = (2* + 3 )2 - 1 9 * + 2
I jM
+ 3) ( x 2 +
l)2= x 2(x —7)
l ) 2 = * ( 1 + * ) 3 + * (*
+
[indeterminata]
2) — (* — 3 ) 2
[impossibile] [indeterminata]
Trova per quale valore di a le seguenti equazioni risultano indeterm inate.
5 (a + 2)x = 4a + 8 IW1
a3(a2 + l ) x
=
a5+ a
2ax —a = 3x + 3a —6
[ - 2]
[0]
IM I
(a —2)(* —a) = —a(x + 5) +
6
[1]
Trova per quali valori di a le seguenti equazioni am m ettono la soluzione indicata a fianco.
IKfri 4(* + a) = a{3 —x) —2(2%—a) + 6; * = 0.
IWH 5(3*—ax2) + ax2= a(l —2*)(2*+l);
[ - 6]
x
15 • [ - 1]
Trova per quale valore del parametro m le equazioni seguenti sono equivalenti.
hfrl'l 4(* —2) + 2(3 —x) = -j* + 1; ■Mll f ^2 X ì
=
(x —4)2+ 3x-,
mx —2 + 3m = ( ~ j x +
-m.
6m(3 —x) — 5 = {x— m)(* + 2) — x(x — 2m). 313
9
EQUAZIONI LINEARI
Risolviamo la seguente equazione. _
2 (x + 1) + 1 ——
3(x-2l 2 + 10
2 (3x + 2) + x
x+ 1 . , 3x —6 . 3 x + 2 . 2 2 + 1 = 10 + 5 + 5*
5 ( x + 1) + 10-1 10
—(3x —6) + 2 (3x + 2) + 2 • 2x 10
_
^ svolgiiam o i calcoli
^ m cm (2; 10; 5) = 10; * rid uciam o a llo stesso denom inatore > secondo principio: * m o ltip lic h ia m o i due m e m b ri p e r 10
5 ( x + 1) + 10 •1 = —(3x —6) + 2 (3x + 2) + 2 •2x
^ svolgiam o i calcoli
5x + 5 + 10 = —3x + 6 + 6x + 4 + 4x
^ regola del tra sp o rto
5x + 3x —6 x
—
4x = 6 + 4 — 5 — 10
—2x = —5 x
^ secondo p rincipio
__ 5 2 •
L ’equazione è determ inata e la soluzione è x = - y .
R iso lv i le seguenti equazioni.
CHECKER
eh
-|(5 x -1 0 )-4 x + -j(x + l) = 3
E0
(x — 3)2+ 2x — 1 = x 2—4x + - y X
ps
f - j —x ì + 3x = - y + x (x + 2)
pD
,/2 1 \2 2x(2x — 1) 4 3Ì T * - t ) = ------- 3---------- T *
e b
EH EH BEI
ED p ]
+
_8
2x + 1 __ 3x — 1 _ 2x + 1 4 2 12 “
14
5
x —1 2 + 3x . 7 “ 5----------- 2“ + T 0 = _ *
J, , 3
75 16
2x - 3 _ 1 4 2
x+ 1 4
6
[impossibile] [indeterminata]
■y (tz — 3) 4 -y - (rz + 1) = -y (a + 2) — y
3x + 2
[ 12]
[indeterminata]
x + 5 _ 3x —4 _ x 23 2 3 “ 2 + 6
x —5 3
[impossibile]
\ x - 1 2l 1 + l * ) ------ 4
5 2
1
11 _5 3
+ X [
2
1]
[H I 2x—1[2(3x—1) —x] = 2 ^~1
[
IT O
- y x H—j (x + 1) —y —X ~ ~ Z ------- 2—
[-5]
P
6xPy^ì--j [3- (7x+ 1)] = 2x(x - 3) + 4
P
2(2 + ^ ) - 2*-(-1 )(*- n) = § (X^l) 5-
314
2
t
~
3 = (f+ l)2- 3f\+ 1
10]
2
3 [ - 11]
[ 2]
3. EQUAZIONI NUMERICHE INTERE
,2 2 5x+ 1 3 J\ x + 3 | = x2- —3— 9 1 _ 2x—1 _ 3x—1 IB3 2x4—1 _ Z+ 3 ~ 2 6 2 )/
( \X
1 15 [impossibile]
3x—2
5 36
IB I
2 + 9 2x - ^ - ) ( 2x + ^ - ) - ( 2x - | ' 2
i t f 1]
^ [x —(x + 5) (x —5)] = —2^ ^ x 2 + 4x —1
JP
{ \ y ~ ì ) { l y + ì ) ~ { \ y ~ l ) = 2y 2 - [ 3 y ( y - i ) - ( y ~ i ) 2] x+ 4
P im
2
3 100
|P
(i-
- 2 +2
x —3
1 + * -
22
13
—
=—3x
20
[indeterminata] [0 ]
x2- 4x = 3(x—4) + 3x2+ 4x—6
Itftl ^x—-j ì _ ( 2
27
[0]
3r —2 3 = 0
2 ) - ( * - i ) ( * + 2 ) + 1-
+ ì ) ' T + (t - t ) : 2- '
(* ~- 3) (*■+!)
6
6 = 3( 2 —x) + x — \ x
2x , jc
3
ESERCIZI
20 3
10
3)(2 —x) —4xfyx + lj = x2(x—3) —-y-x + -y-
[indeterminata]
lEfl (y —y) 1+ (x- 2)2- ( - |- y ) 2 -y- = 2,5x- y + x2
25 13
IUVi ( 2 x —~3) — 8 •x(*2—2x)
15
1
: 6~l = 3(X18 ^ + 0>5
IB I 2 ,6 -3 ,2 x + 1,3 = ( x - - j Ì2- x (x + 4 ) - “H
-3 ]
p a S fflE B B fflB (y —-yj + 3x(x —2) = 3^x —y j —^x—y^x+ -y + 3x2 IBI 2,5-3,3x-i 2x—2 ) ~ 4(x—l)(x+3) IBI p
3x 2
13x
2)( 3 x + 2 )
j ( x + i y + i (6x - d
33 25
: 4 -1 _
9 x2( 3 x
1 ' 2
2* 0
= x2+ ( ^ ) ( ^ )
[impossibile]
IBI (x+l)2+x(x—1)+xfy —2^= 2x(x—1) + x^3 P
[ - 1]
(JL P ) 3- (* + 1):‘2+ x2 = x2( 4 + 4
irvi 4x(x —2 ) —(2x+ l)2+ ^
[0 ]
^ = 3(x—2) —2 + 4 (x2—3) 2
P
P
(2- - I M
( - + 1 )2= - ( 7V
27
)
(x3- 1) +( 5*4 *)(* - 3) +
3x2 = -y)(x + 3)
JP
( * + j )(’‘ + Ì ) + { x - j J + x 2 = (’‘ +- j )2 + } ( ì X, - j + x ]
p
i - ^ ^ ) \ x { x + ì r = s
^
y
+ ^
{x2+l)
[1]
3 16 21
315
9
EQUAZIONI LINEARI
2 (x + ^ \+ 6 .X +
F T Jil
i eh
ESI
^ ]—
+~y
20
x —2 3 —^x + X ~3 ^ ) = 2 [(x + 2)(x —3) —(x + l ) 2]
10 3
— ——— — -L/_L 2 12 2 ^ 4 l( 2 * + 2)
[1]
2x —1 3 + ^ ( x + J ^ JC) = ( ! - 2x ) ( - 2x - 1 ) - 2x+(14
[2]
lj[Z1 x(x —1) + 12 = {x ~ 2 )(-x + 2 ) + 2 * — 3 b + 1 x2 5
m
11
l ' + ^ j * 3]
5 x( 4 + ^ x
2x + 1
9
b2 , 3 25 + 5
x— 4 = (X +
2 5
[4]
1 lj = 5 (2x + 5) (2x —5)
M
3x + 4 . 1. 7 + 4 X~ 7 c2 -
1 - b x2 5
+ 1 \/ 1 —b 5
—*)(2x + 1) + x(2x —1) —3]
[impossibile]
1 [-7]
~ r ) — -4 - X 2
0, 1 _ 0, 5x + 0,3 0,6 X ~ 0 ,3 + 1 21
no 4 (2- 3* + 4- 2) - 4 [2* - ( - 2) - 3] = - |= r P
2x 0,4
ES
0,5 + 2 - 0 ,8 "
1
4
x + 4 _ 1,2 2 1,8
16 27
“
,
x - 1 _13
6 x
eh
IESI 0,3x = l l x - }-. 1+1
[0]
0,6
p EH p E3
2 +x
10 3
8 0,2 —x = 1 - 0 ,4
1 +3 2x x— 4 3 5 + 5
55x —19 , 1 —3x x+ 2 30 + 10 + 15
[indeterminata]
p a a U B E B B B S l
E0
-4 -3
ma
1 + 5
2x + 1
x —1
1+ x
3
1— X
+
2
— ( 1 — X + -y X
19 17
x+ 1 _ 2 '=t
- j - 2 ) ( x + 3) + (1 - x ) ( 2 - y
+\ x
[4]
|(2x + 5)3+ (2x —5)3+ - y [(10x —5)2 —(10x + 5)2]| : (—2x)2 = -y [(—4x)2+16 —(8x)2] + 2x(3x —2) + 6 [1]
im
9_1—3-3
IHll (-5 +
316
+ 3"
x — 2
18_1
—
Q -l
3x
3+
3_1 + 3-2 \/ x + 1
x ~ “j ) + 2 (2x —3)2 = -|- ( 1 —3x) 2+
J4 9
x —1
3. EQUAZIONI NUMERICHE INTERE
X—
ini
2 1 2x
0/' 2 \2 31 x 3( , 3j = 0
1+
EUREKA!
+Ì[
Ì
Qualcosa in comune La soluzione dell’equazione
x +1 . 2 x + 2 . 3 x + 3. 1
+
ESERCIZI
2
+
3
UÀ] 0.
+ -
.
lOOx + 100
+
100
~ n n
.
= 200 e:
LbJ 2.
m
CE 1.
-1.
Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme indicato a fianco. N
[2]
- 2 (1 - x )2 P
+ 4 ( x - 2 x ) = 2* - 3(6* ~ 2) Q +|
y ; impossibile N
Z
c —5)
1impossibile; —9
Z
a) —(a2 + 3) + y )2
Z\
N
Q N
Q+
[1; il [impossibile; impossibile
Z
1impossibile; —2
Equazioni e proporzioni Hill Trova il valore di x nelle seguenti proporzioni.
ITU
8 :2 x = y :(x -3 )
16 5
m
( 2 - y x ) : ( - 6x) = 5:9
' 3
EH
x : 7 = (2x —1) : 3
11
2 7
Y7_
2( i + 1)|:(t +*) = 3:5
2
5_
(2 —x )2 : (x + 1) = (x —1) : 1
4
E H y :(2 - x ) = ( y - 2x ) :( l - 2x):
1 14
Equazioni e funzioni WH Calcola per quale valore di x per la funzione f ( x ) = —4x + y si ha /(x) ——5.
A
WlM Trova il valore di x tale che per la funzione /(x) = x ---- ~------ *2 risulti /(x) = /(4 ) —/ ( 2).
[21
pflyj Trova il valore di * tale che f(x) = g(x), con f(x) = (2x — 2) (x + 3) e g(x) = X ^
[2]
MUfl Data /(x) = y x + 2, trova il valore di x tale che /(x — 1) = / ( —x). miti
Data /(x) = 2x —y , trova il valore di * tale che / ( 2x) + / ( 2_1) = f ( —x — 5).
WHl Data /(x) = x 2 + 1, trova il valore di X tale che / ( —x) —/(x + 2) + 4 = 0.
3
^
+ 1.
2 9_ 5
[0]
R ii Trova il valore di b per il quale i polinomi x4 —5bx + 1 e x3+ (b + l)x 2 —3b danno lo stesso resto se divisi per x + 2.
317
9
EQUAZIONI LINEARI
m
Trova il valore di x per il quale i polinomi A (x) = 2x — 3 (x —4) —[—(2x + 3)],
H E Trova il valore di b per il quale il polinomio P(x) = (5 b — l)x 3+ 2bx + 3 (b + 1):
B(x) = —[—(—2x + 2-1)] - 2 x + 10 risultano: a. uguali; b. opposti.
a. è tale che P(2) = —52; b. si annulla per x = —y:
c. è divisibile per x + 1.
a) — 7 ; b) 17
a) —1; b) -
25
;c) 1
'■/'l Risolvi le seguenti equazioni di grado superiore al primo utilizzando la legge di annullamento del prodotto.
00
x+ 2 = 0
00
[- 8; 0]
EH
( - 2x + 2) ( y x + l) = 0
[-5; 1]
FUI
EH
y (6x - 4) = 0
0; "3
HH
(7 —x)2^—y — 3x j = 0 6+x 6
ED 2
X -
-x + 2 l \ [
P
1 6 ;7
= 0
3
2l ^ +, ^4 \) _ n0
- 2 x ( x - 3 ) ( 2 x + 1) = 0 1
-y ;0 ;3
X + 1 —X (x - 4) = 0
[2; 4]
- y x ( x - 4 ) 2(x + 9) = 0
[ - 9 ; 0; 4]
ESI (4x —2 )(lOx —20) = 0
—. 2
[ - 6; 2]
EH
7x2(x + y ì = 0
-J-l 2 ’1
EH
(2x - 6) ( 3 x - y Ì 2 - 2 = 0
3 ;0 ;3
4. PROBLEMI ED EQUAZIONI e Teoria a pagina 304 Espressioni ed equazioni Traduci in simboli matematici le seguenti affermazioni.
m
Il successivo di un numero dispari.
p iQ
p 1 Tre numeri consecutivi.
Due numeri pari consecutivi.
Tre numeri dispari consecutivi.
Il precedente di un numero.
Il quadrato di un numero pari.
Il quadrato del triplo di un numero.
Il doppio del successivo di un numero.
TEST Indica quale delle seguenti equazioni è la traduzione in simboli di: «La semisomma tra un numero e la metà del suo successivo è uguale alla differenza tra il doppio del numero e 6». x + -y (x + I) — 2 x — 6
I~À1 x + 2 (x + 1) “ 2x —6 T \ 42 x (x +■ ^1) = ~ 2x - 6 - +. 42 v-
pT " -2i x + 4-x 2 + 1 = 2x —6
E B 3 G TEST Solo una delle seguenti equazioni traduce in simboli: «Se si aumenta la metà di un numero del 40%, si ottiene il doppio della differenza tra il numero e 13». Quale? r—, X . 40 X _ „ .7 r-—1 X . 40 n A - y +-T100 7T7T = 2x — 13 IJL 9 ino 13 100 ' 9 — r—, x . 40 x _ 7 / , 7\ • B 2 + 100 ' 2 2 ^x 13^
m
40 -* + 100 = 2 ( x - 13)
B E Q INVALSI 2006 Quale tra le seguenti espressioni algebriche corrisponde all’espressione verbale: «Aggiun gendo 3 a un numero n e moltiplicando il risultato per 4 si ottiene 20»? [~À1 4 • n + 3 = 20 318
□D 4 • (n + 3) = 20
fcl 4 -I- n ■3 = 20
□□ (4 + n) ■3 = 20
U. PROBLEMI ED EQUAZIONI
e b q
ESERCIZI
YOU &MATHS Comparing procedures It can be useful to solve thè same problem in different ways. Solve thè following problem in 3 different ways. Celia has some rocks, and Richard has two more rocks than Celia. Anna has four times as many rocks as Celia, and all together Celia, Richard, and Anna have 14 rocks. Find how many rocks each person has. (Let A be thè number of rocks Celia has, B thè number of rocks Richard has, and C thè number of rocks Anna has. First assign x to A, then to B and then to C. Make sure you always find thè same results for A, B, and C.)
Problemi sui numeri Il prodotto tra un numero naturale e il suo successivo è uguale al quadrato del numero maggiore dimi nuito di 15. Troviamo i due numeri. Chiamiamo x il numero minore e x + 1 il suo successivo. Traduciamo la frase nell’equazione risolvente: ...è uguale... — |
x{ x + 1) Il prodotto tra un numero naturale e il suo successivo...
=
...diminuito..
r (x+ l ) 2 - 15
... al quadrato del numero maggiore...
...di 15.
con la condizione j c g N (se jc è un numero naturale, anche x + 1 lo è). Risolviamo l’equazione: x ( x + 1) = (x + 1): —\ 5 - > } t + x = f ? + 2 x + \ — 15
x = 14.
svolgiamo i calcoli
La soluzione è accettabile perché 14 è un numero naturale. Il successivo di 14 è 15, quindi i numeri cercati sono 14 e 15.
fp L
INVALSI 2003
La somma fra i
^ di un numero e 5 è uguale al numero aumentato di
y . Di quale nume
ro si tratta? [A ]
EBQ
21
|_b ] 27
[c j 30
[ d]
33
LU 39
In un numero di due cifre, la cifra delle decine è la consecutiva della cifra delle unità, e la metà del numero supera di 3 il quintuplo della cifra delle decine. Qual è il numero? a
TEST
54
\Y\ 86
\ T 90
d]
76
Se ai ^ di un numero naturale si aggiungono i 2 suoi ^ , si ottiene 34. Determina il numero. [24]
f f f l La metà di un numero aumentata della sua terza parte è uguale a un quarto del numero aumenta to di 21. Qual è il numero? [36]
fM
Di un numero naturale di due cifre si sa che la somma della cifra delle decine con quella delle unità è 12 e che la cifra delle decine è uguale a quella delle unità aumentata di 2. Trova il numero. [75]
FETI Determina due numeri pari consecutivi, sapen do che la metà del secondo diminuita dell’ottava parte del primo è uguale alla somma dei due numeri diminuita di 53. [32; 34]
isa
Il prodotto di due numeri dispari consecutivi è uguale al quadrato del primo numero aumentato di 42. Determina i due numeri. [21; 23]
Determina la frazione in cui il numeratore è ugua le al denominatore aumentato di 7 e la somma tra 12 numeratore e denominatore vale 17. c
319
9
EQUAZIONI LINEARI
p i
Trova quel numero di due cifre che ha la cifra delle decine che è il doppio di quella delle unità ed è tale che la somma tra la cifra delle decine e quella delle unità vale 12. [84]
ma
m
Il quadruplo del prodotto tra un numero e il suo successivo supera di 31 il quadrato della somma di quel numero con il suo precedente. Qual è il numero? [4]
EHI La differenza dei quadrati di due numeri dispari consecutivi è uguale a 96. Trova i due numeri. [23; 25]
E0
In un numero di tre cifre, la cifra delle centinaia supera di 1 il doppio della cifra delle decine, la cifra delle unità supera di 1 la cifra delle centina ia e la cifra delle decine è la sesta parte della som ma delle tre cifre. Determina il numero. [738]
533 Suddividi il numero 512 in quattro parti tali che, dalla seconda in poi, ciascuna di esse superi di 4 la metà della precedente. [264; 136; 72; 40]
x
Barbara x x - 21
La differenza tra due numeri vale 29. Se si divide il maggiore per il minore, si ottiene come quo ziente 2 e come resto 13. Trova i due numeri. [16; 45] Determina il numero naturale x che diviso per 4 dà come quoziente la differenza tra y del nume ro stesso e 8 e come resto 3. [87]
Diminuendo un numero naturale del 20% si ot tiene il 60% del suo successivo. Trova il numero. [3] 533 In un numero razionale il denominatore supera di 3 la metà del numeratore. Determina quel numero, sapendo che il prodotto della somma tra il numeratore e il denominatore per la loro differenza è uguale alla differenza tra il triplo del quadrato del denominatore e 276. In un numero di due cifre la cifra delle decine supera di 2 quella delle unità. Scambiando tra loro le due cifre, si ottiene un numero che sommato a quello iniziale dà 66. Trova il numero iniziale. VEil Un numero ha due cifre la cui somma è 12. Scambiando tra loro le cifre si ottiene un nume ro il cui triplo supera il numero iniziale di 24. Trova il numero. [93] m
E2
Determina un numero, sapendo che la differen za tra il prodotto di quel numero con il suo pre cedente e il prodotto di quel numero con il suo successivo è uguale a —16. [8]
vm
Determina due numeri, sapendo che la loro dif ferenza è 29 e che sottraendo al triplo del minore i -y del maggiore ottieni 48. [34; 63]
320
La media aritmetica tra un numero, il suo dop pio, la sua metà e il suo quadruplo è uguale a 90. Trova il numero. [48]
«Dividendo un numero per 3, si ottiene lo stesso risultato che si ha sottraendo 21 alla metà del numero. Qual è il numero?» Stefano e Barbara hanno tradotto in equazione il problema in modi diversi. Cosa ne pensi?
La somma di due numeri vale 39. Se si divide il maggiore per il minore, si ottiene come quoziente 2 e come resto 3. Deter mina i due numeri.
E0
a
CHI HA RAGIONE?
Stefano x
EE
Sono dati i monomi x 3ny 2r,2z e x(”+1)V '2+1, con n e N . Determina il valore di n per il quale i due monomi hanno lo stesso grado. [1]
m
e
W t\
La somma tra il quadrato di un numero x e il quadrato del suo successivo è uguale al doppio prodotto dei due numeri. Determina x. [impossibile]
u
EUREKA! Una strana incognita Considera due numeri decimali periodici 3,7X e 2, X aventi lo stesso periodo di una sola cifra che indichiamo con X. Determina, se possibile, il valore di X nel caso valga una delle condizioni seguenti:
a. 3,7X —2,X = 1,3; b. 3 , 7 X - 2 , X = 1,8. [4; im possibile]
U. PROBLEMI ED EQUAZIONI
E0
ESERCIZI
La media aritmetica tra un numero naturale, il 40% della sua metà e il 30% del suo quadrato è uguale alla somma tra 90 e il prodotto tra il 20% del numero e la metà del suo precedente. Trova il numero. [180] In un numero di due cifre la cifra delle unità supera di 5 quello delle decine. Se si divide il numero per la somma delle sue cifre, si ottiene per quoziente 3 e resto 5. Qual è il numero? [38] La differenza dei cubi di due numeri pari consecutivi è uguale alla somma tra 152 e il sestuplo del quadrato del numero minore. Quali sono i due numeri? [12; 14]
Problemi geometrici A n g o li
Calcoliamo l’ampiezza degli angoli di un triangolo ABC, sapendo che A è i ^ di B e che C è il triplo di B aumentato di 5. Poniamo come incognita la misura in gradi dell’angolo in B: B = x, con 0 < * < 180. Utilizzando le relazioni fornite dal problema, otteniamo: A = ^ x; C = 3x + 5. Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto, scriviamo l’equazione risolvente: A + B + C — 180 A =
4? X;
— * ~t x + x + 2>x + 5 = 180. 6
= X; C = 3x + 5
Risolviamo l’equazione: - t x + x + 3x + 5 = 180
— 9x + 4x + Ì2x + 20 = 720 — 25* = 700 — x = 28.
Poiché 0 < 28 < 180, la soluzione è accettabile. Ricaviamo le ampiezze di A e C : A = -\x
-
A=
•2$ 7 = 63 ;
C = 3x+ 5
-
C = 3-28 + 5 = 89.
Le ampiezze di A, B e C sono rispettivamente 63°, 28°, 89°.
§P
Se a un angolo si aggiunge la metà del suo complementare, si ottengono i -y di un angolo piatto. Trova l’ampiezza dell’angolo. [54°]
EH
Determina l’ampiezza di un angolo, sapendo che la sua sesta parte è uguale alla terza parte del suo supple mentare. [120°]
EH
In un triangolo isoscele l’ampiezza dell’angolo alla base è il 25% di quella dell’angolo al vertice. Determina le ampiezze degli angoli del triangolo. [30°; 30°; 120°]
§S3
La differenza tra gli angoli acuti di un triangolo rettangolo è uguale a ampiezze degli angoli del triangolo.
p
^ dell’angolo minore.
Trova le
[40°; 50°; 90°]
Un quadrilatero convesso ha gli angoli che soddisfano le seguenti relazioni: D = B; B = ~ j C ; B = 80°.
Determina le misure dei quattro angoli.
[40°; 80°; 160°; 80°] 321
9
EQUAZIONI LINEARI
P I
Un trapezio isoscele ha l’angolo minore che misura 4- di quello maggiore. Calcola le misure dei suoi angoli. [135°; 45°]
P I
In un triangolo l’angolo A supera di 1° il quadruplo di B e l’angolo C supera di 3° la terza parte dell’angolo B . Determina le ampiezze degli angoli del triangolo. [133°; 33°; 14°]
m
Un angolo piatto è diviso in quattro angoli A, B, C , D in modo che A e C siano complementari, B superi di 10° l’ampiezza di A e D sia la metà di B . Determina l’ampiezza di A , B , C , D. [50°; 60°; 40°; 30°]
Calcola l’ampiezza di ciascun angolo. m
[110°; 70°]
La somma di cinque angoli A , B , C , D, E è 540°. Sapendo che gli angoli B ed E sono complementari, l’angolo A supera C di 20° e la terza parte di D supera di 40° la metà di A , determina l’ampiezza degli angoli A , C e D. [100°; 80°; 270°]
V M La differenza dei quadrati delle misure (in gradi) delle ampiezze dei due angoli acuti di un triangolo rettan golo è 1080. Trova le ampiezze dei due angoli. [39°; 51°] S e gm e nti, p e r im e tri, aree
, 2 Determiniamo la lunghezza di due segmenti, sapendo che uno è y dell’altro e che la loro differenza è 6 cm. Rappresentiamo i segmenti.
*---------------- 1
Scriviamo le relazioni: AB = y CD ; CD —AB = 6 .
>-------- 1-------- *--------.
Poniamo CD = x, con la condizione x > 0. L’equazione risolvente è: CD —AB = 6
— x —y x —6.
C D = x; A B = ^ CD
Risolviamo l’equazione: x — ^ x = 6 Ricaviamo la misura di AB: AB = y CD
T x=6
x — 18.
AB = - Ì - x =
i*
6 = 12 .
Le lunghezze di AB e CD sono rispettivamente 12 cm e 18 cm.
Un rettangolo ha perimetro di lunghezza 64 cm. Se dal lato maggiore si togliesse un segmento pari a 4 cm e lo si aggiungesse al lato minore, si otterrebbe un quadrato. Quali sono le misure in centimetri dei lati del rettangolo? TEST
14 e 18.
_b_ 12 e 20.
(T) 10 e 22.
QT) 11 e 21.
Un lato di un quadrato e un lato di un triangolo equilatero, di uguale perimetro, hanno lun ghezze la cui somma è 14 m. Quanto misurano rispettivamente il lato del quadrato e quello del triangolo?
E Q U I INVALSI 2005
ca EH
322
5 m e 9 m.
E
6 m e 8 m.
El
7 m e 7 m.
JL 8 m e 6 m.
Due segmenti sono uno i y dell’altro e la loro somma è pari a 56 cm. Determina la lunghezza di ognuno dei segmenti. [20 cm; 36 cm]
U. PROBLEMI ED EQUAZIONI
P I
Dividi un segmento lungo 56 cm in due parti delle quali una è i dell’altra. Quali sono le lunghezze dei segmenti che si ottengono?
ESERCIZI
La base di un rettangolo è y dell’altezza e il semiperimetro è 34 cm. Determina l’area del ret tangolo. [240 cm2]
[24 cm; 32 cm]
gH
La somma di due segmenti è 29 cm e la loro dif ferenza è 4 cm. Determina le lunghezze dei seg [12,5 cm; 16,5 cm] menti.
g li
Due segmenti sono tali che la somma tra il pri mo e il doppio del secondo è 90 cm e la loro dif ferenza è 24 cm. Quanto vale la lunghezza di ogni segmento? [14 cm, 38 cm; 46 cm, 22 cm]
P ]
Da un rettangolo vie n i ne ritagliato un qua drato come in figura. a +3 Trova il valore di a per il quale il semiperimetro del rettangolo supera di 5 il perimetro del quadrato. [2]
P I
Il segmento AB = 47 cm è diviso in tre parti AC, CD, DB tali che AC è uguale ai y di CD ulteriormente diminuiti di 1 cm e DB è uguale al doppio di CD aumentato di 4 cm. Determina la lunghezza delle tre parti in cui è diviso il seg mento. [7 cm; 12 cm; 28 cm]
P I
Dividi il segmento AB = 80 cm in quattro parti in modo che la prima sia il doppio della seconda e le restanti due parti siano ciascuna uguale ai y della somma delle prime due.
Trova il valore del raggio del cerchio bianco della figura sapendo che il pe rimetro della zo na colorata risulta 4071. [5]
FETI
dato un triangolo isoscele di perimetro 160 cm. Sapendo che la lunghezza del lato obliquo supera di 20 cm quella della metà della base, determina l’area del triangolo. [1200 cm2]
MI
L’area del rettangolo della figura è il doppio di quella del quadrato. Trova i perimetri del rettan golo e del quadrato. [34; 24]
m
ABCD è un trapezio rettangolo. La somma delle sue basi ha lunghezza 130 m, la base maggiore supera la minore di 30 m, l’altezza è la metà della base maggiore. Calcola l’area del trapezio.
[16 cm; 8 cm; 28 cm; 28 cm]
La somma delle lunghezze di due segmenti adia centi AB e BC (con AB < BC) è il quadruplo della loro differenza e il segmento AC è 16 cm. Determina la posizione di due punti E e F, rispet tivamente sui segmenti AB e BC, in modo che EF = AB e FC = 3EB. [AE = BF = 4 cm ] Trova per quale valore di x il trian golo equilatero e il pentagono regolare hanno lo stesso peri metro. [6cm]
è
[2600 m2]
p
FOT
l a s m i ABCD è un trapezio ret tangolo nei vertici A e D. La base CD è y della base AB e l’area è 480 m2. Sapendo che l’altezza è lunga 16 m, calcola il perimetro del trapezio. Determina le lunghezze dei segmenti, sapendo che le misure sono in decimetri e che la lu n ghezza totale della spezzata è 134 dm.
16 cm
Un triangolo isoscele ha perimetro 76 cm e la base è uguale al lato obliquo diminuito di 2 cm. Determina le lunghezze dei lati del triangolo. [24 cm; 26 cm; 26 cm]
[45 dm; 30 dm; 37 dm; 22 dm] 323
9
EQUAZIONI LINEARI
EB
Determina il perimetro e l’area del rettangolo ABCD, sapendo che AB è uguale alla semidiffe renza dei due lati aumentata di 4 cm e che AD è 3 uguale a di AB. [16 cm; 15 cm2]
BEI In un rombo la somma delle diagonali è 42 cm e la diagonale maggiore diminuita di 3 è uguale a 'y ~Z della diagonale minore. Calcola perimetro e area del rombo. [60 cm; 216 cm2]
EH
EHI
In un triangolo le misure dei lati sono numeri consecutivi. È noto poi che la metà del lato 2 minore aumentata dei -y del lato maggiore è uguale a 10 cm. Trova la misura del perimetro del triangolo. [39 cm]
EH
Determina le basi di un trapezio, sapendo che la loro differenza è 4 cm, l’altezza 6 cm e l’area 60 cm2. [8 cm; 12 cm]
B ig In un triangolo isoscele l’altezza è 4" del lato 2 obliquo ed è anche ^ della base. Se il perimetro
Determina la misura del perimetro del ret tangolo in cui fra i lati ci sono le relazio ni della figura.
è 32 cm, qual è l’area?
[48 cm2]
B D Determina l’area di un rombo, sapendo che la somma fra le diagonali e il lato è 87 cm, una dia7 gonale è i dell’altra, la semidiagonale mag-
[280 cm]
giore è y j - del perimetro.
BEI
EH
Un triangolo ha il perimetro di 23 cm. Determi na la lunghezza di ogni lato, sapendo che il rap porto tra la lunghezza del lato maggiore e quella 3 del lato minore è - y e che il terzo lato supera di 2 il lato minore. [6 cm; 9 cm; 8 cm] Determina il perimetro di un trapezio isoscele di area 60 cm2 e di altezza pari a 8 cm, sapendo che 2 il lato obliquo è della somma delle basi. [27 cm]
EB
In un triangolo rettangolo il rapporto dei cateti è -r- e il rapporto tra l’ipotenusa e il cateto mag giore è - r . Determina l’area e la lunghezza dei tre lati del triangolo, sapendo che il perimetro è 54 cm. [121,5 cm2; 18 cm; 13,5 cm; 22,5 cm]
BD
[336 cm2]
Nel parallelogramma ABCD la diagonale BD è perpendicolare al lato AD e il perimetro è 98 cm. Si sa inoltre che la differenza fra y di BD e y di AD è 2 cm e il lato AB supera la diagonale BD di 8 cm. Determina l’area. [420 cm2]
MATEMATICA AL COMPUTER
Un problema di geometria In un triangolo di perimetro p, i lati hanno misure a,bec tali che b supera h volte a di s metri e c è k volte a. Con un foglio elettronico raccogliamo i dati h, k, s e p, che devono essere positivi, calcoliamo a,b,ce verifichia mo se possono essere i lati di un triangolo. ►Problema e risoluzione. ►5 esercizi in più.
□
ETiEI
EUREKA! Quadrato su rettangolo II perimetro di un rettangolo ABCD supera di 8 cm quello del quadra to costruito sul suo lato minore BC. Sapendo che 2AB — 3BC — 1 cm, determina l’area del rettangolo. [77 cm2]
EH
Nella figura il percorso che va da P a Q è lungo 120 cm. Trova l’area
D___________________________ C
del rettangolo ABCD, sapendo che y della base superano di 21 cm la metà dell’altezza. [3456 cm2]
Con il teorema di Pitagora
“ T”
A
B
In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 20 cm e l’ipotenusa supera di 10 cm l’altro cateto. Determina le lunghezze dell’ipotenusa e del cateto mancante. [15 cm; 25 cm] 324
U. PROBLEMI ED EQUAZIONI
ETiH In un triangolo rettangolo un cateto è ^ dell’al
In un trapezio rettangolo la base maggiore supe ra di 1 cm il lato obliquo e di 3 cm la base mino re, che è congruente all’altezza. Trova il perime tro del trapezio. [10 cm]
tro e il perimetro è 300 cm. Trova le lunghezze dei lati del triangolo. [50 cm; 120 cm; 130 cm] p a
In un triangolo isoscele la base è y dell’altezza. Sapendo che il perimetro del triangolo è 48 cm, trova i lati del triangolo. [15 cm; 15 cm; 18 cm]
ETH
ETH
to costruito sulla diagonale è ( l 0 —-j j c Ì cm2. [7 cm]
Sapendo che il semiperimetro del rombo è (20 —IO*) cm, calcola l’area. [24 cm2]
ETTI
Un rettangolo ha il perimetro di 136 cm e un lato 12 è ^ dell’altro. Determina un punto P sul lato maggiore AD tale che PB 2 = PD2—B C 2+ 784. [AP = 4 cm]
m
La proiezione di un lato obliquo di un trape zio isoscele sulla sua base maggiore è y
della
base maggiore stessa. Sapendo che la somma tra le misure dell’altezza e del lato obliquo è uguale alla misura della base minore e che la base mag giore è lunga 15 cm, determina il perimetro e l’a rea del trapezio. [34 cm; 48 cm2]
In un trapezio isoscele la differenza tra la base maggiore e quella minore è y dell’altezza. Calcola l’area del trapezio, sapendo che la base minore è metà dell’altezza e che il semiperimetro del trapezio è 85 cm. [1445 cm2]
giore, che ha lunghezza x. Trova il semiperime tro del rettangolo, sapendo che l’area del quadra
In un rombo il rapporto tra la diagonale maggio4 re, di lunghezza 8x, e quella minore è y .
di HB. Sapendo che il perimetro di
ABC è uguale a quello di un rettangolo la cui base supera CH di 1 cm e con altezza congruente a HB, trova l’area del triangolo ABC. [30 cm2]
nusa e un cateto è 3 cm. Sapendo che l’altro cateto è 12 cm, trova l’area del triangolo. [135 cm2]
H0
In un triangolo isoscele ABC di base AB l’altezza CH è y
ETÌTS1 In un triangolo rettangolo la differenza tra l’ipote-
ETTO In un rettangolo il lato minore è il 75% del mag
ESERCIZI
ETH
Il triangolo isoscele ABC è tale che AB = 10 cm e il lato obliquo supera di 1 cm l’altezza CH. Determina il peri metro di ABC. Inscrivi in ABC un rettan g o lo L MNO come in figura, con il lato LM doppio del
C
OL.
a. Esprimi il rapporto tra l’area del triangolo CON e quella del triangolo ABC in funzione della misura del segmento KH, posta uguale a x. b. Determina il valore di x tale che il rapporto sia 204 jr *(12 n 60 36 cm; a) —y y *) •b )TT 289 60 X
Geometria solida
ETTI
Trova il volume di un cilindro che ha altezza 10 cm e superfìcie laterale 100tt cm2.
ETTI
Un parallelepipedo ha altezza 10 cm e spigoli di base di 4 cm e 6 cm. Aumentando gli spigoli di base di una stessa quantità *, l’area laterale risulta 400 cm2. Trova il valore di x. [5 cm]
ETH
Un parallelepipedo ha gli spigoli di base che si ottengono rispettivamente aumentando e diminuendo di 2 cm il lato di un cubo e altezza uguale al lato del cubo stesso. Calcola la lunghezza del lato del cubo il cui volume supera di 60 cm3 quello del parallelepipedo. [15 cm]
ETH
Un cilindro di raggio di base 8 cm ha all’interno una cavità cilindrica di raggio di base 5 cm e altezza di 1 cm inferiore rispetto ai y di quella del cilindro esterno. Trova l’area totale della cavità interna, sapendo che il volume del solido è 76071.
[250k cm3]
[1307U] 325
9
EQUAZIONI LINEARI
Problemi p
INVALSI 2007 Durante la mattinata un com merciante vende metà delle uova che aveva in bottega; nel pomeriggio ne vende prima altre due dozzine e poi la metà del rimanente. Sapendo che un uovo si è rotto e che alla fine della giornata in bottega c’erano solo dodici uova, quante uova erano in bot tega a inizio gior nata?
Q
[
p
a]
200
H ] 148
[c] 100
QTI 99
La stampante laser L in un minu to stampa il triplo delle pagine della stampante deskjet D. Quando L e D lavorano contempora neamente, stampano in tutto 24 pagine al minu to. Se D viene sostituita con una stampante laser identica a L, quante pagine potranno essere stam pate complessivamente in un minuto?
O
alicorno
E S O
~c 48
Fd" 24
TEST L’età media di Aldo, Bruno, Carlo e Da vide è 16 anni. Se non si tiene conto di Davide, l’età media dei tre rimanenti sale a 18. Qual è l’età di Davide?
1_a_ 12 m i
le ] 36
BI
14
c 10
td 9
Maria ha 5 anni più di Marco e fra 3 anni l’età di Marco sarà pari ai ^ di quella di Maria. Quali sono le età di Maria e Marco?
m
CHI HA RAGIONE?
[12; 7]
m
spende, € 2 5
FT71 All’inizio dell’ora di educazione fisica l’inse gnante fa un sondaggio per decidere cosa fare. Risulta che ^ degli studenti vorrebbe giocare a pallavolo, ^ a pallamano, la metà vuole fare la corsa a ostacoli e un solo alunno vorrebbe fare il lancio del peso. Quanti sono gli alunni della classe che vogliono giocare a pallamano? [4] m
Paolo ha 40 anni e ha una figlia di 6 anni. Tra quanti anni l’età di Paolo sarà il triplo di quella del la figlia? [11] YOU &MATHS
From words to symbols Trans late thè following text into an equation and solve it. Also visualize thè situation with a graphic representation. A man is on a diet and goes into a shop to buy some turkey slices. He is given 3 slices which together weigh ì of a pound, but his diet allows 1 3 him toeat ^ ofa pound. Howmuch of thè 3 slices can he eat while staying true to his diet?
Lucia chiede al padre di adottare un cagnolino. Il padre
le dice, ridendo: «Lucia, se avrai buoni voti a scuola, quando avrai un sesto dei miei anni ti accontenterò». Lucia si può fidare delle promesse del padre burlone se ora le loro età sono quelle che indichiamo? Perché? HKIH
aljionto
€ 40
INVALSI 2013
[T] 30
e
Carlo possiede € 480 e Francesca ne possiede 150 in meno. Dopo quanti giorni i due ragazzi saran no in possesso della stessa cifra? [10]
in t o r n o a n o i
31 M uti
6 M uti
y
Quanto crescono in fretta! Anna ha tre figli: Bianca, Carlo e Dario. L’altezza di Bianca supera quella di Dario di 6 cm, mentre l’altezza di Carlo supera di 2 cm quella di Bianca. Ricava le altezze dei figli di Anna, sapendo che la loro somma è 35 [Bianca: 118 cm; Carlo: 120 cm; Dario: 112 cm] pari ai ^ dell’altezza di Carlo. EUREKA!
j E m r n Giovanni alla nascita di suo figlio Marco aveva 36 anni. 8 anni fa l’età di Giovanni era tripla di quella di Marco. Quanti anni hanno ora Giovanni e Marco? 326
U. PROBLEMI ED EQUAZIONI
LABORATORIO
ESERCIZI
MATEMATICA E STORIA
Problemi attem po di Carlo Magno Alcuino di York era un monaco, chiamato da Carlo Magno alla sua corte poco dopo il 780. Scrisse la raccolta di problemi e rompicapo Propositiones Arithmeticae ad acuendos juvenes, il cui titolo ci ricorda che essa era stata concepita come strumento per educare i giovani e rendere più acuta la loro mente. Abbiamo già esaminato un suo problema a pagina 305. Eccone un altro: il problema numero 7 della raccolta, in versione originale e tradotto. Propositio de disco pensante libras XXX Est discus qui pensat libras XXX [...] habens in se aurum, argentum, auricalcum et stagnum. Quantum habet auri, ter tantum argenti; quantum argenti, ter tantum auricalci, quantum auricalci, ter tantum stagni. Dicat, qui potest, quantum unaquaeque species penset. Un piatto che pesa 30 libbre Un piatto pesante 30 libbre è fatto di oro, argento, bronzo e stagno. L’argento è in quantità tripla rispetto all’oro, il bronzo in quantità tripla rispetto all’argento e lo stagno in quantità tripla rispetto al bronzo. Dica, chi può, quanto ce n’è di ciascuno. a. Imposta e risolvi un’equazione per trovare la quantità d’oro di cui è fatto il piatto. b. Ricava poi le quantità d’argento, di bronzo e di stagno.
□
* Risoluzione.
►5 esercizi in più.
►Attività di ricerca: Chi altri come Alcuino, nella storia?
Milù e Joy La mia gatta Milù all’età di 7 anni ha avuto un gattino che ho chiamato Joy. Fra 5 anni l’età di Milù sarà doppia di quella di Joy. Quanti anni ha ora Joy? [2]
3 Un padre e un figlio hanno insieme 52 anni e l’età del figlio è i 10 di quella del padre. Fra quanti anni l’età 11 del figlio sarà uguale agli di quella del padre? [ 10] m
Ferma la gondola Un palo per ormeggiare le gondole risulta infisso nella sabbia della laguna per metà della sua lunghezza,
di esso è immerso in acqua ma fuori dalla sabbia e 2 m del palo sporgono fuori
dall’acqua. Calcola la lunghezza del palo. La scatola Carlotta, con un foglio di cartone che ha le misure indicate a lato, costruisce una scatola senza coperchio dove riporrà i fogli della stampante. EUREKA!
[8 m] x
a. Quanto misura il taglio (indicato con x) da effettuare in ogni angolo affinché dentro la scatola ci stia il massimo numero di fogli in formato A4? Sapendo che lo spessore di ogni foglio è di circa 0,011 cm, quanti fogli ci staranno nella scatola? b. Quanto misura il taglio da effettuare in ogni angolo affinché dentro la scatola ci stia invece il massimo numero di fogli in formato A3? Quanti fogli ci staranno nella scatola? [a) 19,5 cm; 1772; b) 14 cm; 1272]
70 cm
327
9
EQUAZIONI LINEARI
EEB
La quotazione delLoro a gennaio è stata di 40 euro al grammo. A febbraio è salita del 2% rispet to al mese precedente e a marzo è scesa dell’1% rispetto al mese precedente. a. Calcola la quotazione dell’oro a marzo. b.
US
Che quantitativo di oro ha acquistato a gen naio un investitore che a marzo possiede un lingotto del valore di € 60588? [a) 40,392 €/g; b) 1500 g]
Un gruppo di quattro persone si reca a una mostra in tram, spendendo € 45. Quanti sono i bambini del gruppo? [2]
Refi I pezzi di un puzzle sono posizionati per metà da Giulio, per un quinto da Marco e Fabrizio in parti uguali, mentre Michele sistema solo i 90 pezzi della cornice. Quanti pezzi posiziona Marco? [30] BEH Per andare da Pistoia a Lucca, due amici decido no di percorrere, ognuno per proprio conto, la stessa strada utilizzando entrambi tutti e tre i seguenti mezzi di trasporto: pullman di linea, automobile, bicicletta. Il primo percorre la metà del percorso con l’au tomobile, una parte con il pullman di linea e gli ultimi 5 km con la bicicletta. Il secondo, invece, g
costo mostra
m
u
utilizza l’automobile per percorrere gli
costo tremo
aAultìs
€ 11,$o
€ 1,50
bambini
€<$,50
gratis
del
tratto percorso in pullman dall’amico e del tratto restante percorre solo 1 km in bicicletta. Sapendo che i km percorsi in pullman sono gli stessi per entrambi, calcola quanto distano le due città. [40 km]
EUREKA! Tra ragazzi Luigi ha 4 anni più di Silvio, che, a sua volta, ha 3 anni più di Carlo. Se comples sivamente hanno 34 anni, quanti anni ha il più grande? [
a]
12
[T| 15
\T\ 17
[
d]
18
DO 20 [Giochi di Archimede, 2004]
EHI La differenza di età fra due fratelli è di 4 anni. L’età della loro madre è cinque volte quella del figlio minore e tripla di quella del maggiore. Quanti anni hanno la mamma e i figli? [30; 6; 10]
ESI Due treni viaggiano sulla stessa linea in verso opposto alle velocità medie indicate in figura. Se sono par titi nello stesso momento, a quale distanza dalla stazione A si incontreranno? Dopo quanti minuti?
[82,5 km; 45 minuti] EHI Un gruppo di famiglie composto da 83 persone ha trascorso una vacanza in montagna di 7 giorni in una pensione ai seguenti prezzi giornalieri: bambini (da 2 a 6 anni) € 20,00; ragazzi (da 6 a 12 anni) € 40,00; adulti (da 12 anni in su) € 55,00; bambini piccoli (fino a due anni) gratis. Il numero dei ragazzi è il triplo di quello dei bambini; il numero dei bambini piccoli è -5- di quello dei ragazzi. Alla fine dei 7 giorni il gestore della pensione ha incassato € 25 760. Quanti sono gli adulti?
[44]
EUREKA! Tagliare in tre Sam ha una fune lunga 72 piedi e deve tagliarla in tre pezzi, in modo tale che il secondo pezzo sia due volte più lungo del primo. Il pezzo più lungo deve avere una lunghezza pari alla som ma degli altri due. Quale sarà la lunghezza del pezzo più lungo?
[USA Southern Illinois University Carbondale, Final Exam, 2002]
[36 piedi] 328
U. PROBLEMI ED EQUAZIONI
LABORATORIO
ESERCIZI
MATEMATICA E FISICA
Il punto di rendez-vous
voto N ew YortoLondra, = 7 ore voto Londra -N ew York, = 8 ore,
Un aereo dopo un’ora di volo percorre y della distanza D tra New York e Londra, dopo due ore i Un secondo aereo dopo un’ora percorre
2
e così via. della di-
2
stanza tra Londra e New York, dopo due ore i g ecc. a. Qual è la distanza percorsa dal primo aereo dopo x ore dal decollo? E quella percorsa dal secondo aereo? Quanto varrà la somma delle due distanze nel momento in cui i due aerei si incontreranno? b. Se gli aerei partono nello stesso momento, stabilisci dopo quanto tempo (in ore e minuti) si troveranno nello stesso punto.
□ EH
►Risoluzione.
►3 esercizi in più.
Profezia matematica Un’indovina predice a Luca il suo futuro: «Tra -j- degli anni che hai adesso ti spose rai e dopo due anni ti nasceranno due gemelli; quando loro avranno il doppio dell’età che hai adesso, tu avrai 72 anni». Quanti anni ha adesso Luca? [21]
p
In una scuola media i -y degli studenti praticano sport e, tra questi, i
sono maschi. Sapendo che il
numero degli studenti che non pratica sport è uguale al numero delle ragazze che praticano sport diminuito di 23, determina il numero degli studenti della scuola. [345]
EZ9
Alla fine di una giornata di shopping a Lucia restano soltanto € 3. Sapendo che nel primo negozio ha speso 3 3 i del denaro che aveva, nel secondo negozio € 4 in più dei del denaro avanzato e nel terzo ha speso € 13, determina quanto denaro aveva con sé Lucia a inizio giornata.
Problema di memoria Fabio non ricorda mai la combinazione di tre cifre del lucchetto della sua bicicletta, quindi porta sempre con sé un indovi nello per risolvere il problema. Aiuta Fabio a risalire alla combinazione. [963]
La,p rim a, cifra, 'e i l trip io delta, terza,, che, a, sira, voita, e ta, m età, delta, seconda,. Se s i 1 sottrae, alta,p rim a, i l doppio delta, seconda,, s i ottiene ta, I T o T i d ifferenza,fra, ta, terza, e 6.
[€ 125]
Q
YOU & MATHS x + 10... W hat could it mean? Think of a situation that can be described with thè equation x + 10 = 17 and write a problem that can be solved by thè equation.
KEfil
Matematica in famiglia In una famiglia il pa dre ha 3 anni più della madre, che ha il doppio dell’età della figlia; il figlio maggiore è nato 4 anni prima della sorella. Trova le età dei compo nenti della famiglia, sapendo che due anni fa la somma delle loro età era 149. [53; 50; 29; 25]
m
Matteo possiede € 18 in monete da € 2, € 1, € 0,50. Sapendo che il numero di monete da € 1 supera di 3 il doppio di quello delle monete da € 2 e che le monete da € 0,50 sono il doppio di quelle da € 2, calcola quante monete possiede Matteo. [18]
p
329
9
EQUAZIONI LINEARI Trova la quantità di succo di frutta che può riempire 7 contenitori uguali, oppure 5 conteni tori uguali di capacità superiore di 30 cL rispetto a quelli precedenti. [525 cL] Si vogliono diluire 50 mL di soluzione di acqua zuc cherata nella quale lo zucchero è il 2,5% del volume totale. Quanta acqua occorre aggiungere affinché lo zucchero risulti l’l% del volume totale? [75 mL]
p i
Luca investe € 8000 in due quote diverse. Sulla prima parte del capitale guadagna il 3%, sulla parte restante il 2%. Sapendo che il guadagno complessivo è stato di € 194, come ha ripartito la somma? [€ 3400; € 4600]
B 3 ì Un negoziante compra un televisore e lo rivende a un prezzo scontato in tempo di saldi. Quanto guadagna? [€ 14]
Rosse e nere Una scatola contiene un certo numero di palline, in parte nere e in parte rosse. Se aggiungessimo 2 palline rosse, le rosse costituirebbero il 40% del numero totale di palline presenti nella scatola; se invece le toglies EUREKA!
r scontro € 414 [sa ld i- 10 % pYÉ/ZZA d i
simo, le rosse sarebbero ^ del totale delle palli
t . 1
ne rimaste. Quante sono le palline rosse e quante le nere presenti nella scatola? [rosse: 14; nere: 24] La popolazione di una città dal 2010 al 2012 è aumentata come indicato nello schema. + 3 6 4 0 u m tà s
2010
___
1
2011
+ 2%
ba
In tempo di saldi un articolo che costa € 500 viene scontato del 12%. In seguito viene scon tato ulteriormente e lo sconto complessivo risulta di € 82. Qual è il secondo sconto appli cato? [5%]
ES3
Una copisteria acquista 50 risme di carta di qualità differente. Una risma di carta econo mica costa € l ,25, mentre una di qualità supe riore costa € l ,60. Sapendo che la copisteria ottiene uno sconto dell’8% sulla carta econo mica e del 6% su quella di qualità superiore, e che il risparmio complessivo è stato di € 4,94, calcola quante risme di carta economica sono state acquistate.
2012. + 2 ,5 %
Quanti abitanti c’erano nel 2012?
[83 640]
EEB Tutto inutile... Mario ha investito qualche tem po fa un capitale ripartendolo in due somme. Oggi, sulla prima parte perde il 2%, mentre sulla seconda, di € 2000, guadagna l’l,5%. Se, facendo i conti, si accorge che il suo capitale è rimasto inalterato, quale cifra ha investito? [€ 3500]
MATEMATICA ED ECONOMIA
Obiettivo Ibiza Marco sta risparmiando sulla «paghetta» che gli danno i genitori in vista di un viaggio a Ibiza da fare con gli amici dopo l’esame di maturità... ] ►Problema e risoluzione.
[35]
ETTI
EUREKA! Al botteghino Per una manifestazio ne sportiva sono stati venduti 416 biglietti. I biglietti per posti riservati erano venduti a $ 14 ciascuno, mentre i biglietti normali a $ 8 ciascu no. L’incasso totale è stato di $ 4840. Ricava il numero di biglietti normali venduti.
[USA Southern Illinois University Carbondale, Final Exam, 2004]
[164]
ESERCIZI IN PIU EE0 _ED [J s u TUTTO il c a p it o l o 330
EQUAZIONI LINEARI
ESERCIZI IN PIU EQUAZIONI E PRINCIPI DI EQUIVALENZA e Teoria a pagina 298 Stabilisci quali dei valori indicati a fianco sono soluzioni dell’equazione. x 2 — 2 x = — 1;
E rti
x = —3,
x
= l.
Kffil 3x3— 6 x 2 = 0;
0 3 3 D TEST Solo una delle seguenti equazioni è equivalente a principio di equivalenza. Quale?
x
1 - 3x _ 10
— 0,
3(x + 1)
|~a~| 1 —3 x = —6 ( x + l ) + 2
QD 1 —3x = —6 (x + 1) + 20
f i l 1 —3x = —15 (x + 1) + 20
QD 1 —3x = —6x — 1 + 20
§pQ
VERO O FALSO?
x=2,
x — —2.
+ 2 in base al secondo
Sono equazioni equivalenti:
a. 4x + x 2 = 2x e 2 x = —x2.
0 B
b. 3 (x2 —1) = 30(x2—l )2 e 3 = 1 0 ( x 2—1).
[HIZI
c. 2x(x2 + 5) = —(x2 + 5)(x —2) e 2x — 2 —x.
n \n n
l + 2x ( x + l ) + x = x + l e 2x + 1 = 1 .
0 0
d.
e. x{x + 4) = 2x{x — 5) e x + 4 = 2 x —10. EUREKA!
H E]
Gli equivalenti Sia x E R. Considera le seguenti equazioni:
a. xL— 9 = 0;
b.
x 2 —2x —3 x —3
= 0;
c.
x(x +
1)
=
x 2+
3;
d. x + ì
3 -2 * x+ 1 ‘
Quali tra esse sono equivalenti all’equazione 4 x — 1 = 3 x + 2? E 0 U
[c;d]
YOU &MATHS
A tricky brick Solve thè following problem, using too a graphical representation. «A brick weighs one kilo plus thè weight of half thè brick. How much does thè brick weigh?»
Scrivi in forma normale le seguenti equazioni e indicane il grado. ETTI x{—x + 4)(4 + x) = (2 —x)3—6x2 Kf»VJ 2 ( x + 5 ) + x 4 = (x + x2+ l ) 2
Eyfl b(x + b2) + (2^)3 = 2 b( 2 b2 + 1)(1 —2b2) + b^x2, incognitax; incognita b.
EQUAZIONI NUMERICHE INTERE @1 ^
^ 3 0 3
Risolvi le seguenti equazioni.
m
1 4 = 72
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x
[2]
X
tY U
l i ]
P I
1
lOx + 2x = 6
14 3
II l"v
3 x - 4 = 10
1
[4]
EQUAZIONI LINEARI
p i
- 3 +8= 5
[9]
00
CO 1 II CN 1
[-4 ]
_
f ~7 = 2
[81]
§P
—2 —x = —12
[10]
BZJ 3* —5 = 7 —3*
[2]
m
— 2 = 0 3— 3
03
2 + * = —2 —*
[-2 ]
00
—12* —7 = —3* + 2
[-1]
00
3(1 —*) = 2(1 —*) + x + 3
[-1]
P1
00
[0]
2 x ^ 3 , x + ~2 2 + 1 1- 5 1+ 2
d i
17
: 3-
+
ESERCIZI IN PIÙ
00
3 (x + 2) —4 (x —2) = 2(2 —x)
[-10]
00
4* + 6 —2 (2* + 3) = 3 (2* —3)
00
8 + 2(3 —4jc + 5) = 6(x + 6 ) - 3 ( x - 7 )
[-3]
00
3-2[x-6(x-l)]+5x = 8x-(3-x)
[1]
00
x + 7 - 7 x [ 2 x - 2 ( l +*)] = 5x + 3
P I
JL^ - ~ \ t t - 2 x ) = ^ + \
[8]
P I
J (1 2 —5 x ) - 1 2 X = \ ( x - 2 ) - 1
03
2 4 6 —lì = 2x(x2 + 369)
00
2 ,3 * - 1,2 = ( 0 ,3 * - l ) 2 - ~ ^ ( x 2 - 2 x)
22* —6 —4x 2
[31
[impossibile]
2-
- (2 1 \~'n -c , (2 —*)(* + 2) + 1 - [(0,6* —l ) 2+ x] = - ( y — g-) *0,5 +
1
4d g 0
2* ~ t
( - 1 1
- in i r - -
43 * , + 2*
3 - i
1 + i*
gg
3 \-‘ _ 111
[(2* + 1) (4x2—2x + 1) —(4x2 + 2x + 1) (2* —l) ] 3^x — g j — (2* + l ) 2+ ( —2)2(x —1) + (1 —2x) (2x + 1) [impossibile]
gg
(x 2 —1) (x 2 +1 + x) (x2 +1 —x) + x(3x + !)(* + _2") + ~^2~x2 ~ x (x + 2)3 = (x 2 +1) (*2 —l ) 2 —2x3—(* —3) 58 39
-y + 2* ) ( * + y
d ) ( — 1)
00 3
2
3
— T + 5 ( 3 - 2 x ) ^ I gi + - f - ( x + l)
1 ( 1 —3*)2+ (4* —1) 2 —(5* —1) 2 . 2 " 1 " -2 1
* + 3 , 1 -*
+
1
1_ 1 3 2
1 2* + 3 +
( Ì - * ) (- 3) 3 -2 )2
(4— i l
3 * + 1 _ ( 3 x + \ ) { 2 x - 1) = * - - ^---------- P - + ( l - y ) 2 - 1
3“ 1 03
—* +
-3]
75 44
3 —3
(k _ 2 ) + 2k + 4ì+ I z l * 8 _!
BH - ( - 1 1 ( 1 - 1 +
= T * ^ + 1) _ (* - 3 )j± 5 - **
4
1
27 32
4
^2x —-y )( 2 x + y = ( * - 3 ) 0 ,6 1 +
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E91
9
EQUAZIONI LINEARI 2(0,2x — 1) ( 0 ,6 - 1 )"1 Z
, = 32(x + 3) X 54
03
2 l*? 2 x + 10~3(3 • IO3* —IO4) - 5~2x
00
3 ( 3 - + J q ) 1x - { \ 5 x - \ ) 3~ì =
03
Nei razionali Per ciascuna delle seguenti, indica se è un’equazione determinata, indeterminata o impossibile, supponendo che x g Q.
2
2~2 + 2"1 _ / 2-1+ 6 - 1 \~2 = ( . 2)-,
[°]
(3 + 3 -1) -1
\
4 - 3 -2
/
{
5 ’
EUREKA!
a. ^
*
b. JCl±x_
~
X
3 ^ = -g- + 2x —-y
c. x (x —l) + 3 = x(x + 2) —3 (x — 1)
S x ^ X = 3s2- 1 7x
d . ( x + i ) 2- ^ - i)2 = (x + 2 ) 2 - ( x - 2)2 [a) determinata; b) impossibile; c) indeterminata; d) determinata]
a
CHECKER
Trova il valore di x nelle seguenti proporzioni.
03 -jx:5 = [10-1(x+ll)]:-Tr
P
5(*4+3):(l + 5*) = (l-f):(2 -* )
m
Data f(x) = -TX2 + x, risolvi: / ( —3 —x) —f ( x + 1) = 0.
m
Trova il valore di t per il quale il resto delle divisioni seguenti è lo stesso. [x4 + 3tx2+ (t + 2)x + 1] : (x — t)
PROBLEMI ED EQUAZIONI In un numero di due cifre, la somma delle cifre è 12 e la cifra delle unità supera di 6 quella delle decine. Qual è il numero? [39]
03
Determina quel numero che sommato alla sua metà è uguale al suo triplo diminuito di 39. [26]
00
Se al quadrato di un numero naturale non nullo sottraiamo il triplo del numero, otteniamo il suo quadruplo. Qual è il numero? [7]
[g [ - 2]
[— tx2,+ (1 — t)x — 3f2] : (x + t + 1)
© Teoria a pagina 304
03
Un quadrato di lato a è diviso in settori come in figura. Il quadrato rosso ha lato 5 + 1Trova area e perimetro del quadrato verde, sapendo che il suo perimetro misura 16 cm in più del perimetro del quadrato rosso. a
Determina quel numero naturale che sommato al suo successivo dà come risultato 25. [12]
03
E92
In un rettangolo la base supera l’altezza di 18 cm. Trova l’area del rettangolo sapendo che l’altezza è del perimetro. [648 cm2]
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[49 cm2; 28 cm]
EQUAZIONI LINEARI
I ESERCIZI IN PIÙ
Un segmento viene diviso in tre parti, di cui due hanno la stessa lunghezza. La somma delle due parti uguali 3 è i 2 della parte rimanente. Se il segmento misura 80 cm, determina la lunghezza delle tre parti. [24 cm; 24 cm; 32 cm]
p
Q
Patterns In thè picture a pat tern is shown for cases 1, 2, and 3. Describe how you see thè pattern changing and then try to say how many squares it will contain for case 100, and finally for case n. YOU&MATHS
EUREKA! Solo uno perde Marco, Stefano e Lucia inventano un nuovo gioco con i gettoni. A ogni mano c’è un solo perdente, che deve cedere ai vincitori parte dei suoi gettoni in modo da raddoppiare il numero di gettoni di ciascuno degli altri due. A inizio partita Stefano ha 3 gettoni e Marco 20. Dopo tre mani gioca te, Stefano ha sempre vinto e Marco ha perso solo la prima. Se Lucia è rimasta con un solo gettone, quanti gettoni aveva a inizio partita? [14]
RIEPILOGO PG Qual è la soluzione dell’equa INVALSI 2006
zione 2x = 5? m
*=y
E
x
m i Indica quali tra le seguenti equazioni sono equi valenti.
a-
b. 4x (x + 1) —2 = (2x + 1) 2
= \
c. (2x —1)2 —(3x + 2)2 = —5x(x + 3) —3
l~cl x = 3
d. 5x + 1 = (x + l )2 + 3x —x2
| D~~| X = 7 CHECKER
P I
\
+
2x —3 , 1 3x —1 2 + 4 = 2
e. 7x(x —3) —3x2 = (2x + 3)2 —4x —9
Risolvi le seguenti equazioni.
2x —1
/..
1
U/l\ -y(x - -y j + -y = 1 ~ x p i
3x - 1 1 — 4------ ~2 X =
P i
1 ^ (2x
P I
2-
1)
1 , 4"+ x —3
i_ 5 1 c
5 + 2x , 7 10
[4]
2 —x -x 12 A
[impossibile]
x\
5(x2+ 4) = (x —2) [x + 4(x —4)] m Em
(x -l)(x + l) 3 _ (x —4) 2 — ---------- + y - — 2— + 6
—^ì —5x(x+ 1) = xf ^ - 4xj +
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2 19
E93
9
EQUAZIONI LINEARI
p
( 2 - s ) ( s + 4) 2
BB
2( 2 “ 3 *) = ( 2 _ 3 *) “ 3 (x ~ ^ + 3 ^ ~ x )
p ]
5 ~ x ){ 5 + x ) + 5 = 2x( x — 5 ) _ 3( * _ 5 )
B3
(x + 5 )(5 -2 x ) 4
_9_ 5 9 2
9 ex ^ (3 x + 3 l _ 3
20
1} = J3X + 32Ì _ 3(JC_ 1}
[-4]
BB
^ + 2) 2 1 / , ,\2 2— “ T ^ + 1 )
B0
5(2f + 1) —14^1 + 2 j + 7(1 —f) = 0
B3
( x - 3 ) ( x + 4) - ( - 3 ) 2( x —j ) ( x + 2 ) = - 2 [ 2 ( x + 1)]:
p i
,/ 3 \/ , 3 x+ V " T
pi
(2- IO3* - IO)2 _ 1010(1 +40000x2) (0, 1)*
p i
8jc + 3 = 4 • 105jc —3 • IO6 (2 • IO-2) 3 ■IO3 5 IO7 —46 IO6
iy)
[impossibile]
2
[0] il
(x 2 —7)( x2+ 7) = (2x —l )2—x(x3+ 2)
p i
-r 4
gg
(2 x - l) ( 2 - 3 x ) 2- ± 1 4
gg
? (i
2
^
2 [0]
[-24]
[( * - l ) 2+ ( * + l ) 2] _ _ ± ( l _ 4 x ) + ± 4 2 { ’ 8
(1 - 2 x )2 i+1 1+ 6
[2]
x+l
1 '-1 7 2
1 17
0,5x2- 0 , 2 ( x - 1)( jc- 2) = l,02x2+ 0,4[(x + l ) 2—( x - l ) 2] —^1,3 :-|-J[x 2 + (1,3)-1]
120
( x + ~ l ) { x + T ) ( * ~ t ) + t ( * _ t )( x2 + t )^_ 2 x _ 1 ^ = ( x _ t ) + -j (2 x ~ 1 )2 + (x - y ) ( x - \ [impossibile]
K4j1 ^—j x 2 —
+^—2x—| ) ( - 4 x2+ 3x —| - j —=y-x2= - j (5x + 2) (%—l)+ ^ 2 x —j ) + ( —
—2)(2 — 14 15
x—t 3 1 —— 1 4
1 ì x +, ~4
8x
l ) 2=
+
2
1+ -Ì 4 J
f
3 + r— H
gB
l ì 2
1
EH
1 , ~r + x 3— i — 4 1
1
4x 1 - 1 + 14 l 4
Il triplo di un numero naturale aumentato della sua terza parte è uguale a 50. Qual è il numero?
1 '4
[15]
R II Se a "g- di un numero naturale sommiamo la sua metà otteniamo il suo doppio diminuito di 44. Qual è il numero? [32] EHI Il doppio prodotto di un numero naturale per il suo successivo è uguale al doppio della somma tra il qua drato del numero e 9. Determina il numero. [9] E94
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EQUAZIONI LINEARI
[0 3 Determina l’ampiezza di un angolo, sapendo che esso è la metà del suo complementare. [30°] Un triangolo isoscele ha gli angoli alla base di ampiezza quadrupla rispetto all’angolo al verti ce. Determina le ampiezze degli angoli del trian [20°; 80°; 80°] golo.
I ESERCIZI IN PIÙ
Un segmento è i di un altro e la loro diffe renza è 36 cm. Determina le lunghezze dei due segmenti. [54 cm; 90 cm] Un segmento viene diviso in due parti di cui una misura 44 cm e l’altra è i ^ della lunghezza tota le del segmento. Quanto è lungo il segmento? [176 cm]
m
Un segmento viene diviso in due parti di cui una misura 12 cm ed è un terzo dell’altra. Quanto vale la lunghezza del segmento? [48 cm]
La somma di due segmenti è i della lunghez za del primo segmento. Se il secondo segmento misura 49 cm, determina la lunghezza del primo. [63 cm]
La somma di due segmenti è 160 cm e la loro dif ferenza è i ^ della lunghezza del più lungo tra i due. Determina la lunghezza dei due segmenti. [100 cm; 60 cm]
In un triangolo isoscele il perimetro misura 64 cm. Il lato obliquo è i della base. Quanto misura l’altezza a essa relativa? [16 cm]
[0 3 Trova il valore di x per il quale il percorso rosso in figura risulta 59 cm. Le parti colorate rappresentano poligoni rego lari. [6 cm]
E
lG
TEST
8- x
Un quadrato ha l’area di 144 dm2. Un rombo ha la diagonale maggiore congruente al doppio del
lato del quadrato e la diagonale minore è i -g- del lato del quadrato. Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale? |~À~| Il rombo e il quadrato hanno uguale perimetro. EH L’area del rombo è maggiore del lato del quadrato. ITI La differenza tra le diagonali del rombo è minore del lato del quadrato. I~d~| Aumentando di 2 dm la diagonale minore del rombo si ottiene un rombo equivalente al quadrato.
m
La tensione V, la corrente i e la resistenza R di un filo conduttore di elettricità sono legate dalla prima legge di Ohm V = iR. Determina: a. la resistenza, in ohm (Q), del filamento di una lampada, sapendo che, sottoposto a una tensione di 220 V (volt), è percorso da una corrente di 0,5 A (ampere); b. la corrente, in ampere (A), che attraversa un filo con resistenza di 4 Q e sottoposto a una tensione di 12 V. [a) 440 O; b) 3 A ]
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
E95
MENU DELLE COMPETENZE ©
Nella seconda pagina della copertina
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ► Competenza 1 (abilità 2, 3) Per ognuna delle seguenti equazioni, scrivi un’equazione equivalente che soddisfi la condizione assegnata. MM 2 x —3 = 5 x —12;
il coefficiente d ix sia 1.
x +~2 — 7x + 1;
tutti i coefficienti di x siano pari.
3 + 2x(x + 1) = 2x2;
tutti i termini in x siano al primo membro e tutti quelli numerici al secondo.
Q
TEST
È data l’equazione j
^ x = 3 • Quale, tra le seguenti affermazioni, è falsa?
aJ
L’equazione è determinata.
I c ! L’equazione ha soluzione in Z.
b
L’equazione ha soluzione in
r a L’equazione non ha soluzione in N.
K B «j
Quale delle seguenti è la soluzione dell’equazione 2x = 0?
INVALSI 2007 A
l~B~| X = 0
X =
l~c~ X =■
D
x = —2
Inserisci un numero in modo che l’equazione 2x+ ... = 4 abbia soluzione b. in N —{0};
a. nulla;
[J
M
Q
c. in Q, ma non in Z.
VERO 0 FALSO?
a. 3,14 = 2x è un’equazione numerica intera.
0 0
b. La soluzione di un’equazione numerica intera non può essere una frazione.
[VJLf J
c. L’equazione 2x = —1 ammette come soluzione x = —3.
ELEI
d. L’equazione 4x = 0 non ammette soluzioni reali.
S IT I
Nel risolvere l’equazione scritta alla riga 1, è stato commesso un errore. 6 —lOx —2 + 4x —4 = 0 (1) X —
(4)
—lOx + 4x = 2 + 4
(2)
(5)
6x = 6
(3)
INVALSI 2009
X =
1
In quale passaggio è stato commesso l’errore? A Nel passaggio dalla riga 1 alla riga 2. b
Nel passaggio dalla riga 2 alla riga 3.
Ù0 Nel passaggio dalla riga 3 alla riga 4. |d
Nel passaggio dalla riga 4 alla riga 5.
(71 CHECKER Risolvi le seguenti equazioni.
0 ,5 (x - 3 ) —0,3x = - £ 4 ( x —1) 0,6 1
27x + 42(x + 7) —24(x —5) = 82(2x —1)
[-9] [impossibile]
(5_1x + 1)(1 - 5 ' 1x ) + ( 5 - 3 )2 = 0
17 3
5 (x +
10
3) = ( 1 -
x
— 3 )2 —
(6 + * H 1 + * }
13
331
9
EQUAZIONI LINEARI
IO-1 (x + 3)(5 —x) = —
_£
+
3
(3 —z) (z + 3) + ^ 2 + £ j = 2 (1 —2z) + 1
5. 4
x(2x + 1) —3(x — 3)2 = x{5 —x) + 1
[2]
3 ( x + l) ( 2 - % ) + 3( f ~ x ) = ( x - 2 ~ 2)-8
28 27
4- 10“5x = 6 IO + Sx U 2 - IO5- 3 - IO7
J_ 2
J_1
2- 103x —5 • IO4 = IO5* - IO3 8 5
i o 6*
=
a—
5 - ( " 2) ; 3
2p - 1
i o 7*
2J
+ 10 47 „tg 10 5 ( - IO2)2
-30]
io -
7.1 5J
1
+ 1-
27
hi )x2 +. 2x n—5 = -n1 +, 2x —2x —~r76 +,' 4 +33x
[1]
\3
[ - 5]
(“4 x + ~i ) ( 2x+ ^("3 __4 x ) + ( 1 + ~2X) = ("l6 x + “f ) * 1 , 2 x —1 l/c 4 x —7 9 —x ~9 x + — o (5 —2x) — o — q 6s 2x —1 x3 1 2 i +" ^ (1 +
4(2x —1) 3
( x - 9 ) ( x + 9) _ 1 / 1 27 3l3 x ( 2 - 3 y )2 n * -------54 =
\2 V
3
3 (2 —x) 4
x + 3-' 2
il
3
[15]
1
. (y + 0 ,5 )(0 ,3 -y ) 0, 6y +6
]2 ^ ^ )(3 _ x ) (2x + i )2 5 + 10 + U0 13
_1
6x2) = x ( x 2+ “^-
7 l O x - 15 12x + 3 *
E3
[impossibile]
11 45
, 5 / \ 10 + 5 /
63
u
( x — l ) 3+-|-(2;c + 3)2 + (—1 —x )3 — 18x
20
[impossibile]
(x + 5)2(x — 5) + 7 (x 2 + 22 + 4x) = (x + 4)3 (x 2 — 1 + x )2 —6 (x —l )3 = 17x(x —2) + (x 2 —2x — 2)2 m
—
+ i^2 b2 —
—3bJ — (2 b2 + b + \) (2 b2 — b — 1) = 26b2- \ (2 b+ l )3
(x 2 — 3x+ l )2 = 3 (3jc —1) + (x2 — 5x)(x 2 —x) + 6 ( x — l )2 g l
M 332
3 x - \ ND - l2 ì 7 , 3 ‘' , 1 •9 2+t » -T V ^ )
1 x- 2 _ 1 z 2
3( 2 ~ 2 ) + I = x —2
4 * - 4 + ( * - 4 ) 2 = 1 - ( t - 2* )( t + 2* ) - ( 3* - Ì ) ( * + t )
[0 ]
2
3 27 52
[2]
MENU DELLE COMPETENZE ©
Nella seconda pagina della copertina
(6x + 1)(—1 + 6 x )-6 [2 x 2+ (2 x + 5)2- 5 ( 4 x + 5)] = 4 + ( x - 3)(x + 3) - j r x + (2 - x ) ( x + 2) E !
(5 - 3x) (3x + 5)x - -3 (1 - 3x) (9x 2 + 3x + 1) + (2x - 3) (9 + 6x) - y = (4x - l )2 - 14 - x(4x - 11)
E9
( 3 x - ^ - ) 2- 11 + 2 — \ ( x + \ )(4x 2 —2 x + l ) x — x^x —
iv i
CHECKER
Il
g
j + 5 —(x —2)2(a: + 2)2 + ^
[0]
[indeterminata]
R is o lv i le seguenti e q u a zio n i n e irin s ie m e in d ic a to a fia n c o .
o (x —1) —
2 —x _ 1 2- r v = 6* x + 2
[5]
2 x(2x ~ l ) (2x —1) (2x + 1) 1 1 r/ n2 21 3*+ 6 / = ì--------1| -------- L + 2 [ ( - X - l ) 2- x 2]
► Com petenza
impossibile; —y
3 (abilità 2, 3, A)
Data /(x) = 5x2+ 2, risolvi: f {x — 1) = /(2x) — 3/(—x) + 1.
[1]
Trova il valore di b per il quale i polinomi x 4 — 5bx + 1 e x3+ (b + \ ) x 2 —3b danno lo stesso resto se divisi per x + 2. T ro va p e r q u a li v a lo ri d i a le seguenti e q u a zio n i a m m e tto n o la so lu zion e in d ic a ta a fia n c o .
a ( x — 1 )-------2 X = (x ~ 4) (4 + x) + 3(1 + a);
soluzione: x = — \ -
^3x + - j j ( l —x) + 5x(l + ax) = —14x^—j x j —4a;
soluzione: x = —1.
Trova il valore di x per il quale i polinomi A (x) = (x + 2) (2x —1) + 2x(x + 3), B (x) = (2x —3)2 —2 [(x + 4) + x] risultano: a. uguali; b. tali che A{x) —2x(x+ 1) = 2 [B(x) —5]. Data l’equazione 2b[x + y ì = 4b + x —
a) -^=-;b) 0
stabilisci per quale valore di b essa è indeterminata.
Data l’equazione 1 —a (a — l)x —a = 0, stabilisci per quale valore di a essa è: a. indeterminata; b. determinata con soluzione x = 1; c. impossibile.
a) 1; b) - 1 ; c) 0
Problemi sui numeri B IG
TEST Traduci in equazione: «La somma tra un numero x e il quadrato del suo successivo è uguale al quadrato del numero aumentato di 10».
A X + (x + l ) 2 = X2 + 10 X + X2+ 1 = X 2+ 1 0
| c [ x + ( x + l ) 2= (x+IO)2 |~~D~| X + X2+ 1 = ( x + IO)2 333
9
EQUAZIONI LINEARI
PO
INVALSI 2007
Qual è il numero che, sommato alla sua terza parte, dà 108? □E] 37
[A1 36 B1
E
72
□D 81
La somma del doppio di un numero con il doppio del suo successivo, diminuita del numero stesso, vale 5. Qual è il numero? [1]
BEI Dividi 189 in due parti in modo che la differenza tra la metà della prima parte e i ~g della seconda sia uguale all’opposto di 67. [36; 153] BEI La somma tra 8 e il 25% del quadrato della differenza tra un numero naturale e 8 è uguale al quadrato della metà del numero stesso. Trova il numero. [6] B*T1 La somma tra 14 e i quadrati di due numeri pari consecutivi è il doppio del quadrato del minore dei due aumentato del triplo della somma dei due numeri. Trova i due numeri. [6; 8] ffl
Due numeri naturali che differiscono di 21 sono tali che il prodotto tra la somma dei due numeri per la loro differenza, aumentato di 62, è uguale alla differenza tra il quadrato del successivo del numero più grande e il quadrato del precedente del secondo numero. Determina i due numeri. [26; 5]
131 In un numero di due cifre, la cifra delle decine supera di 4 quella delle unità. Trova il numero sapendo che, se si scambiano tra loro le due cifre, si ottengono i ^ del numero iniziale.
[84]
Problemi geometrici ■fri Un triangolo ha l’angolo A che è doppio di B e l’angolo C che è la semisomma di A e B. Calcola le ampiezze degli angoli del triangolo. [80°; 40°; 60°] Un rettangolo ha perimetro triplo di quello di un quadrato di area 441 cm2. Trova l’area del rettan golo, sapendo che la base supera di 6 gli
dell’altezza.
[3888 cm2]
i«Vl II lato di un pentagono supera di 1 il doppio del lato di un esagono, che a sua volta è il 25% del lato di un quadrato. Determina la misura x del lato del quadrato per il quale: a. il perimetro del quadrato è uguale alla differenza dei perimetri di pentagono ed esagono; b. il prodotto dei lati di esagono e quadrato è uguale all’area del quadrato costruito sul lato del pentagono diminuita di 2. a )f;b )l
Problemi
p Q
in t o r n o a n o i
INVALSI 2003
Luigi ha un sacchetto contenente alcune palline. Ne dà ^ a Maria e g delle rimanenti a
Filippo. In questo modo gli restano 21 palline nel sacchetto. Quante ce n’erano all’inizio? [
111
28
j3_
32
[cj 48
[
d]
56
DO 64
^ INVALSI 2005 Carla e Anna sono due sorelle nate rispettivamente nel 1989 e nel 1997. In che anno Carla avrà il doppio dell’età di Anna? [
334
a]
a]
Nel 2021.
[j]
Nel 2013.
[c] Nel 2005.
[ d]
Mai.
MENU DELLE COMPETENZE ©
Nella seconda pagina della copertina
■ r i Nonno Piero va a comprare dei quaderni da suddividere in numero uguale fra i tre nipoti. Giunto in carto leria, vede che un quaderno costa € 1,50 e pensa: «Se il prezzo dei quaderni non fosse aumentato di € 0,30 rispetto a quello deiranno scorso, con la stessa cifra ne avrei potuto comprare uno in più per ogni ragazzo!». Quanti quaderni porta a ogni nipote? [4] L’equazione per le equazioni Giorgio e Sara devono risolvere delle equazioni come compito delle vacanze
“
1 2 estive. Giorgio ne svolge ~r in giugno, ~r delle rimanenti in luglio e le restanti 18 in agosto, mentre Sara ne risolve 5 in giugno e ^ delle rimanenti in luglio. Se a Sara restano ancora da svolgere 7 esercizi, quante erano le equazioni in totale?
B IG
INVALSI 2006
[40]
Data l’equazione 2x + 3 = 3x + b, quale valore si deve dare a b perché la soluzione sia
x=-8? "Ài b = 5
[ b] b = —5
E
£>=11
[ d] £>=—11
INVALSI 2012 È data l’equazione (3k — 6)x — 5k + 2 — 0, in cui x è l’incognita e A ; è un numero reale. La soluzione dell’equazione è 0 per k =
fcftt Questione di concentrazione Per una reazione chimica bisogna preparare 40 mi di soluzione di acido clo
ridrico e acqua nella quale l’acido cloridrico sia il 30% del totale. In laboratorio sono presenti due soluzioni di acido cloridrico in acqua: la prima contiene il 36% di acido cloridrico, la seconda il 22%. Quanti mi di ogni soluzione bisogna mescolare per ottenere la soluzione richiesta? [22,9 mi della prima; 17,1 mi della seconda]
Wf/M Un antiquario decide di bandire un’asta per svuotare il proprio negozio. Per ogni pezzo la base d’asta è i -p del prezzo originario e ogni partecipante può rilanciare di 100 euro. a. Sapendo che un tavolo è stato venduto, dopo 8 rilanci, a € 5300, determina il prezzo originario. b. Un affezionato cliente è disposto ad acquistare una credenza d’epoca per € 7000. Se il prezzo originario
della credenza è di € 10500, quanti rilanci al massimo può tollerare prima di cercare di chiudere la ven dita? [a) € 7500; b) 7] | Troppa pubblicità! Una rivista guadagna 500 euro per ogni pagina dedicata a spazio pubblicitario,
indipendentemente dal numero di copie stampate, e spende 5 centesimi per ogni pagina stampata. Se la rivista è formata da 296 pagine, quante di queste devono essere dedicate alla pubblicità per coprire esattamente il costo di una distribuzione di 5000 copie omaggio? Supponendo, invece, di vendere ogni copia a 2,50 euro, quante pagine della rivista è necessario dedicare alla pubblicità per avere, sulle 5000 copie vendute, un ricavo complessivo di 3000 euro? [148; 129] r»Vl M enssana... Il programma di allenamento progressivo di Giaco
mo prevede di fare ogni mattina il doppio degli esercizi del giorno precedente aumentato di 1. Quante flessioni farà il quarto giorno? [47]
F ili In un negozio, in tempo di saldi, le maglie vengono scontate del 30% e i pantaloni del 20%. Successivamente ogni capo viene ulteriormente scontato del 15%. Laura spende € 95,20 per due maglie uguali e un paio di pantaloni, che sarebbero costati complessivamente € 150 non scontati. Quali erano i prezzi originari delle maglie e dei pantaloni acquistati da Laura? [€ 40; € 70] 335
9
EQUAZIONI LINEARI
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE tutor PROVA c C [T []
PROVAA (10 esercizi)
Com petenze
PROVA B (10 esercizi)
1, 3
IN MEZZ’ORA
0 IN UN’ORA
VERO 0 FALSO?
a. 3 (x + 2) —l = 0 e x + 2 = ^ sono equazioni equivalenti.
z iro
b. (x — 1) ( 1 + x) + 5 = 4x + (x — 2)2 è un’identità.
ZE
c. L’equazione 2 [(1 + 3x) + 8] = —3x è determinata in Z e impossibile in N.
Z ÌE
d. L’equazione 3 {3x —2) = 6x + 2 (x — 3) è impossibile.
ZE EE
e. L’equazione 7x — 4(x —2) + 3 (4 + x) è indeterminata. Risolvi le seguenti equazioni.
B
(x —3)2 —[2 (x —1) —3] = x(x —1) —7
n
~ . x —2 1 —2x 7 3+ 2 4 = 4 “ *
B
14 —7f + 3(f —2) (t + 2) = 2(1 — t )2 + t(t — 3)
Giovanni e Marika ogni mattina fanno colazione al bar. Entrambi prendono una pasta, Marika con una spremuta e Giovanni con un caffè. Sapendo che il caffè costa € 1, una spremuta costa € 1,50 e una pasta € 1,10, dopo quanti giorni Marika avrà speso esattamente € 4 in più di Giovanni? O
In un rettangolo l’altezza è i - j della base e la somma tra il 25% dell’altezza e i y della base è 88 cm. Trova perimetro e area del rettangolo.
PROVA D ► Com petenze
0
1, 3
IN UN’ORA
Indica quali tra le seguenti equazioni sono impossibili, negli insiemi indicati. d. 7x — ^ (x + 1) = 4(1 —2 x), in Z.
a. ^ %+ (-^ —- y x j = 0, in R. b. 1 —(—3x) = 4 + 3x, in R.
e. 1 — x 2 ^ = \ { x — 1) + 3, in N.
c. 4 —5 x — (4 + x) = 2x, in Q. Risolvi le seguenti equazioni. (3x —2)2+ (x —l )3 ——x (6 —2x —x2) + (2x —1) (1 + 2x) 3(a+ 1) _ ~ j ( a - 3) H------ ^ 2f + 3 2
5(1 —la)
—
1
a+
4 —t x2 3
. 4 Determina l’area di un rombo, sapendo che la diagonale minore supera di 2 cm i ^ della metà della mag giore e che la somma delle diagonali è 16 cm. Dividi il numero 79 in tre parti tali che la seconda sia il doppio della prima e la terza sia i -y della seconda aumentati di 1. 336
MENU DELLE COMPETENZE ©
PROVA E
Nella seconda pagina della copertina
,
Competenze 1 3, U
© IN UN’ORA
Fino a mezzanotte In un casello autostradale, mediamente, il numero dei camion che attraversa il casello è
il doppio del numero delle automobili e quest’ultimo supera di 20 il numero delle motociclette. In un’ora, 140 veicoli hanno complessivamente attraversato il casello autostradale. Quanti di questi sono motociclette? Supponendo che la stima oraria dell’afflusso medio dei veicoli al casello sia stata effettuata alle 7 del mat tino e che rimanga invariata durante l’intera giornata, quante automobili hanno attraversato il casello allo scoccare della mezzanotte? MM
Tante focacce Un forno industriale produce focacce uguali.
Il costo complessivo della produzione settimanale, in euro, è espresso dalla relazione C = 500 + k - q, dove q indica il numero dei pezzi prodotti, k il costo del singolo pezzo e 500 le spese fìsse, in euro, indipendenti dal numero dei pezzi. Producendo 1000 pezzi il ricavo è di € 3000 e il costo unitario è di € 1,20. Portando la produzione a 1500 pezzi, il ricavo sale a € 3900 e il guada gno aumenta del 30%. Di quanto varia il costo unitario? HEÉ II giorno più bello In un ristorante, in occasione di un matrimonio, sono state disposte 10 sedie in più del
numero di invitati previsti dalla lista. Durante gli ultimi preparativi, però, il 5% degli invitati ha comunicato la propria assenza, così gli sposi, per evitare che ci fossero posti vuoti nei tavoli del ristorante, hanno invita to altre 20 persone al ricevimento. Sapendo che, al momento del pranzo, tutte le sedie del ristorante erano occupate, quanti erano gli invitati previsti inizialmente dalla lista?
PROVA F £
,
Competenze 1 3, U
$ IN UN’ORA
Il fabbisogno energetico
Il fabbisogno energetico quotidiano (in kcal) di un adulto può essere calcolato, in modo molto approssimato, moltiplicando il suo peso (in kg) per 31 se ha uno stile di vita sedentario, per 38 se lo stile di vita è moderatamente attivo, per 44 se è attivo. Nella tabella sono indicati i valori energetici forniti da 100 g di alcuni alimenti. a. Calcola il fabbisogno energetico giornaliero di Matteo, che pesa 61 kg e con
Alimento
kcal
arancia
34
banana
65
biscotti
460
cioccolato
545
latte
64
patate
148
pollo
160
pomodoro
18
prosciutto
215
pasta (cruda)
353
duce una vita moderatamente attiva. b. Supponi che Matteo abbia fatto colazione con 200 g di latte e 150 g di biscot
ti, che a pranzo mangi 180 g di pollo, 250 g di patate e un’arancia (circa 140 g), e alla sera voglia mangiare un piatto di pasta con 50 g di pomodoro, seguito da 120 g di zucchine e 100 g di prosciutto. Quanti grammi di pasta può mangiare per non superare il suo fabbisogno giornaliero?
zucchine c. Visto che nel caso precedente risulta un quantitativo di pasta notevole, deci de che 90 g di pasta sono sufficienti e vuole aggiungere una banana (circa 100 g) e un pezzetto di cioccolato a metà pomeriggio. Quanta cioccolata può mangiare?
27
d. Costruisci un foglio di calcolo in cui elenchi un certo numero di alimenti che assumi abitualmente e, ipotizzan
do di volta in volta diverse quantità di ogni elemento, calcola l’apporto calorico totale. 337
DISEQUAZIONI LINEARI 1. DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI
(7^ You can express s tric t inequalities
■ J between numbers with thè symbols < and >.
DISUGUAGLIANZE NUMERICHE G
Esercizi a pagina 346
—5 > —7
Le disuguaglianze fra numeri possono essere espresse mediante uno di questi simboli: < /
minore
<
>
>
/
/
\
minore o uguale
maggiore
maggiore o uguale
Come nelle uguaglianze, chiamiamo primo membro l’espressione a sinistra del simbo lo di relazione, secondo membro quella a destra. Proprietà delle disuguaglianze
8> 6
\
/ stesso verso verso contrario /
\
3< 4
- 1 > —9
primo membro /
5+ 3 < 7+ 8 ~T~
secondo membro
1. Se ai due membri di una disuguaglianza som m ia m o o s o ttra ia m o uno stesso numero, otteniamo una disuguaglianza con lo stesso verso: u+ c < b+c se a < ^ a —c < b —c
-5 + 2 < 1+2 ► - 5 < 1^ ^
- 5 - 3 < 1-3
2 . Se m o ltip lic h ia m o o d iv id ia m o i due mem-
bri di una disuguaglianza per un numero:
UJ
/
oc OC
Ql
c
V
O.
O
+2 > ~ 7\ X +2 ^ - 7 + 5 " +5
c
r►
• negativo, otteniamo una disuguaglianza con verso contrario: a -c > b ■c se a < b e c < CX ^ _a_ ^ b_ c c 3. Data una disuguaglianza fra due numeri diversi da zero e concordi, la disuguaglianza fra i loro re c ip ro c i ha verso contrario: a < b —— > ~ r, a b se a e b concordi e a, b / 0.
338
,(+4)-(-2)<(+l)-(-2) +4 > + l \ +4 ^ +1 -6 " -6
3 < 4 —4- > 4► - 5< -4 — T > " T
ESEMPIO
-< i—
, ( + 2 ) - ( + 3 ) > (—7) • (+ 3)
• positivo, otteniamo una disuguaglianza con lo stesso verso: a -c < b ■c se a < b e c > 0.
1. DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI
-< hLLJ a: CL o a: o_
4. Se e le viam o a n, con n G N e n / 0, i due membri non negativi di una disuguaglianza, otteniamo una disuguaglianza con lo stesso verso:
TEORIA
+ 2 < + 3 - (+ 2)4 < (+ 3)4 ► + 4 > +2 — (+ 4 )3 > (+ 2)3
a < b — a" < bn, con a, b > 0, n G N e n f 0.
DISEQUAZIONI
I
[^1 In an inequality letters can appear on » both sides, and you can Look for numbers that, substituted to thè letters, make thè inequality true.
© Esercizi a pagina 348
Il concetto di disequazione è analogo a quello di equazione. LLi
Z o M Z
LL a
Una dise qu azio ne è una disuguaglianza fra due espressioni letterali per la quale cerchiamo quali valori, sostituiti a una o più lettere, rendono vera la disuguaglianza stessa.
Per quali valori di a: V
a - 3 > 15? / è una disequazione incognita
Chiamiamo:
/ 5x — 3 > 7
i valori che rendono vera la disuguaglianza; • in c o g n ite le lettere per le quali cerchiamo le soluzioni. • s o lu z io n i
4 è soluzione perché:
In questo capitolo studiamo le disequazioni di primo grado, o lineari, con una sola incognita. Come nelle equazioni, riso lve re una disequazione significa trovare tutte le sue solu zioni. Cerchiamo le soluzioni in un insieme che, se non diamo altre indicazioni, è R.
5 - 4 - 3 > 7. 1 non è soluzione perché: 5- 1 - 3 < 7.
Rappresentazione delle soluzioni Per scrivere o rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione sono spes so necessari in te r v a lli di numeri reali. Un intervallo può essere di due tipi:
x < —5 /
intervallo illimitato inferiormente
se è costituito da tutti i numeri che precedono un certo numero (interval lo illimitato in fe rio rm e n te ) o che lo seguono (intervallo illimitato s u p e rio rm e n te ); • lim ita to se è formato da tutti i valori compresi fra due numeri. • illim it a t o
x> 1 /
Il numero o i numeri con i quali inizia o termina l’intervallo sono detti e strem i. Rispetto a un estremo un intervallo può essere a pe rto , se non comprende l’estremo, o chiuso, se lo comprende. Esaminiamo alcuni esempi, fornendo tre tipi di rappresentazione. Con a: indichiamo la variabile relativa ai valori dell’intervallo. I simboli +00 e —oo si leggono più infinito e meno infinito e si usano per indicare che un intervallo è illimitato a destra o a sinistra, rispettivamente. Intervallo limitato, aperto a sinistra, chiuso a destra.
aperto
1 2
Intervallo illimitato, chiuso a sinistra. Intervallo illimitato, aperto a destra.
intervallo illimitato superiormente
8 < x < 10 /
intervallo limitato
chiuso
chiuso 2 <
______________ \ 5
-7
... .................................o 3
chiuso
/
x< 5
/ aperto
]2; 5]
/ aperto
x>-7
[ - 7; + oo[
x< 3
] - oo; 3[
339
10
DISEQUAZIONI LINEARI
Diversi tipi di disequazioni
numerica fratta ___
Una disequazione è: • in te ra
se l’incognita non compare nei denominatori, altrimenti è fra tta ;
\
se non contiene altre lettere oltre all’incognita, altrimenti è le tte ra le e, in questo caso, le altre lettere sono i parametri della disequazione.
• n u m e ric a
►3x — 1 < 5 è una disequazione numerica intera; 5a + -^- >
incognita / /p a ra m e tro
3x — b \
letterale intera
' nell’incognita x, è una disequazione letterale intera con para
metro a; 7 X
1
+ \
<
X
y
è
una disequazione numerica fratta;
> b, nell’incognita x, è una disequazione letterale fratta, con parametro b.
PRINCIPI DI EQUIVALENZA ©
Esercizi a pagina 349 sono equivalenti / \
Due disequazioni sono e q u iv a le n ti se hanno le stesse soluzioni.
x —3 > 0 e 2x > 6 entrambe hanno per soluzioni x > 3
Per ottenere da una disequazione una disequazione equivalente, utilizziamo due prin cìpi di equivalenza, analoghi a quelli delle equazioni. Si ottengono tenendo conto delle proprietà delle disuguaglianze numeriche.
□
Two inequalities are equivalent if they have thè same Solutions.
P rim o p r in c ip io d i e quivalenza
Aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione uno stesso numero, otteniamo una disequazione equivalente. Secondo p r in c ip io d i e quivalenza
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero diverso da 0, otteniamo una disequazione equivalente: • mantenendo lo stesso verso, se il numero per cui moltiplichiamo è positivo; • cambiando verso, se il numero è negativo.
secondo principio: dividiamo per 5
5x —3 > —2
-
5x —3 + 3 > —2 + 3
->
5x > 1
-
l ~ ^ e positivo: . manteniamo lo stesso verso
x > y
primo principio: aggiungiamo 3
secondo principio: dividiamo per -U
2 —4x > 10
- 2 + 2 - 4x> 10-2
primo principio: sottraiamo 2
340
-
—4x > 8
-
r
-k è negativo: cambiamo verso
x < —2
1. DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI
TEORIA
Se, invece di un numero, in uno dei due princìpi utilizziamo un’espressione letterale, nelle disequazioni valgono considerazioni analoghe a quelle che abbiamo esaminato per le equazioni. Dal primo principio si deduce che: • un termine può essere trasportato da un membro all’altro cambiandogli il segno;
x > 3 \ equivalenti
• un termine può essere cancellato se presente in entrambi i membri. ►
+ \ —x
— 0 > 1 —x
cancellazione
/
—• x > \
x + ~&
trasporto
3+— d
con a ± 0
Dal secondo principio si deduce che: se si cambia il segno di tutti i termini, si deve cambiare il verso della disequazione. ►—x + 2 < 5
— x —2 > —5
moltiplichiamo per -1
Se si moltiplica o si divide per un’espressione letterale, oltre alle C.E., occorre aggiun gere la condizione che l’espressione non si annulli e distinguere se assume segno posi tivo o negativo. > 2 a —x > 2 a
se a > 0: ► —a > 2
C.E.: a ì 0 < 2a ^ x < 2a
se a < 0:
ESERCIZI PER COMINCIARE Scrivi la disuguaglianza che si ottiene da quella data, operando sui due membri come indi cato. a.
—5 < + 8, aggiungi 2;
d. —3 < —2, considera i reciproci;
b. —4 > —8, dividi per 4;
e.
c. +9 > —6, moltiplica per
—
+ -y > +-g-, considera i reciproci; f. +-j-
> + - j , eleva al cubo.
WM Verifica se i seguenti valori sono soluzioni della disequazione 6x + 2 < 8. -3 ; M
-j;
0;
1;
0,3.
Indica le caratteristiche dei seguenti intervalli e rappresentali graficamente. a. v > —3;
WM
2;
b. 2 < x < 6;
c. x < 4-;
d. —9 < x < 1;
e. * > 0,5;
f. —8 < x < —4.
CACCIA ALL’ERRORE Indica il principio di equivalenza applicato quando le disequazioni sono equivalenti. Se non lo sono, spiega l’errore commesso.
9 - 6 v < 3 - 9 - 3 < 6v;
-y < -|-v < -5 ;
5x>7-y% >y.
341
10
DISEQUAZIONI LINEARI
2. DISEQUAZIONI NUMERICHE @ Esercizi a pagina 350
Per risolvere una disequazione di primo grado numerica intera, utilizziamo i princìpi di equivalenza fino a giungere a una delle forme seguenti: ax < b,
ax
ax > b,
ax>b.
Per Finsieme delle soluzioni distinguiamo tre casi: la disequazione può essere determi nata, impossibile o sempre verificata. Esaminiamoli con degli esempi. Risolviamo le disequazioni: a. x —6 > 3x;
b. 2(x + 3) —3x < 1 —x;
c. (x + l )2 —2x > x2 —6.
il verso cambia perché -2 è negativo
portiamo i termini in x al primo membro, quelli senza x al secondo
dividiamo entrambi i membri p e r-2
L’insieme delle soluzioni è un intervallo illimitato: *<~3
...
b. 2 (x + 3) —3x < 1 —x 2x + 6 — 3x < 1 —x 2x — 3x + x < 1 —6 Ox < - 5 Un qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0, che non è minore di —5. L’insieme delle soluzioni è vuoto e la disequazione è impossibile. c. (x + 1)2—2 x > x2 —6 + 2 x + \ —2x > —6 Ox > - 6 - 1 Ox > —7 Un numero qualsiasi moltiplicato per 0 dà 0, che è maggiore di —7. L’insieme delle soluzioni è R e la disequazione è sempre verificata.
ESERCIZI PER COMINCIARE
n g ia a
Risolvi le seguenti disequazioni:
a. —3 (x + 1) + 5 < 7 —x;
H Q D S 19
b. 6x - 3(x + 1) > 5 + 3x;
c. 2 ( - 4 - x) + x2 < ( x - l ) 2- 6.
Risolvi la seguente disequazione, indicando i princìpi di equivalenza applicati.
—^ ^ x + x 2 < (x+ l)(x —1)
3. SISTEMI DI DISEQUAZIONI I TEORIA
3. SISTEMI DI DISEQUAZIONI 0
Esercizi a pagina 358
Date più disequazioni, possiamo chiederci se hanno in comune delle soluzioni. ►Date le disequazioni 2x>6,
x - 5 > 0,
—x > —8,
6 è soluzione di tutte le disequazioni? E 4? Per rispondere, possiamo sostituire 6 e 4 nelle tre disequazioni e vedere che 6 è soluzione di tutte le disequazioni, mentre 4 non lo è (non è soluzione della seconda). Tuttavia un modo più rapido di procedere è quello di risolvere le disequazioni e rappresentare gli intervalli delle soluzioni in uno schema come quello della figura a lato. 1 valori soluzioni di tutte le disequazioni sono quelli delfintervallo con estremi 5 e 8; quindi 4 non è soluzione del sistema, mentre 6 lo è.
.... 2x > 6
3 o
4
i
5
6
8
-------------------------------
x-5*0
'>
-x*-8
... ..................................«
Un sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni, nella stessa incognita, per le quali cerchiamo tutte le soluzioni comuni.
’x - 1 < 3 Vogliamo risolvere il sistema di disequazioni • 3x + 15 > 0. 4 x< 28 • Risolviamo ognuna delle disequazioni: x-l< 3^x< 4;
3x + 15 > 0 - x > - 5 ;
4x<28-x< 7.
• Costruiamo uno schema grafico con gli intervalli S1; S2 e S3 che rappresentano gli insiemi delle soluzioni. • Determiniamo Tintersezione dei tre insiemi di soluzioni, segnando in colore la zona del grafico in cui abbiamo soluzioni LUlilUlll allL LICLllòvUUdZilUlll* Le soluzioni del sistema sono —5 < x < 4.
3
ì
!
>
^1
-5 S x < U
ESERCIZI PER COMINCIARE Risolvi i seguenti sistemi.
'x < 2x + 3
MM Q E 0 3 1 Sistemi di disequazioni • 4x - 2 < 6 3x+l>0 Jx2 + 3 < (x + 2)2 I
ANIMAZIONE
I
ANIMAZIONE
| 8x —3(x —2) < 2 x | ^ 3 x < x —-y (—3 + x) [(—2 + x) (—2 —x) + 4 > x (8 —x) 343
10
DISEQUAZIONI LINEARI
4. EQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI e Esercizi a pagina 362 Le disequazioni sono utili anche nella risoluzione di equazioni che contengono espres sioni in valore assoluto. Ricordando la definizione di valore assoluto, se/(x) è l’espressione analitica di una funzione, abbiamo che:
-xse x > 0 x =—x se x < 0
,/(x) se /(x ) > 0 /(*)!=< x —/(x ) se /(x ) < 0 Chiamiamo argomento la funzione/(x) di cui calcoliamo il valore assoluto.
2x + 3se2x+3>0 —x> —y Se /(x) = 2x + 3,
| /(x) | = | 2x + 3 1=< •(2x +
3) se 2x + 3 < 0 — x < — y
Sono utili queste proprietà del valore assoluto: a. | /(x ) | = 0 - f(x) = 0;
c. | /(x ) | = | - /( * ) |; +k
b. I/(x ) I> 0 V x €E R ;
d. I/(x ) | —k, con k > 0 -*/(x) = : -k
Vediamo con un esempio come possiamo risolvere un’equazione che contiene una espressione in valore assoluto. -3
2x —9 = | x + 31. • Studiamo il segno dell’argomento x + 3.
Risolviamo l’equazione
x+3
x+3>0 —x> —3 • Le soluzioni dell’equazione sono l’unione delle soluzioni dei due sistemi: x < —3 2*
x>-3
—9 ~~ (x +
x < —3 3x = 6
V 3)
se x < -3, x + 3 < 0, quindi |x + 3| = —(x + 3)
Jx < —3 jx = 2
se x^ -3. x + 3> 0, quindi Ix + 3| = x + 3
x > —3 x = 12
soluzione non accettabile: 2 non è minore di —3; L’equazione ha soluzione
2x—9 = x + 3
soluzione accettabile: 12 > —3.
x = 12.
ESERCIZI PER COMINCIARE Risolvi le seguenti equazioni.
□ E E E H S l|* - 2 | = 5*+8 344
□
ANIMAZIONE
2x = 4 —x —3
5. DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI
TEORIA
5. DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI e Esercizi a pagina 364 Per risolvere disequazioni con valori assoluti, procediamo in modo analogo a quello visto per le equazioni con valori assoluti. Risolviamo la disequazione 6x — 3 1> x + 4. • Studiamo il segno dell’argomento 6x —3. 6x - 3
6x — 3 > 0 — x > y
• Le soluzioni della disequazione sono l’unione delle soluzioni dei due sistemi: \ x > \
\x < ~2
I—(6x —3) > x + 4
6x —3 > x + 4
se x < ~2 , 6x - 3 < 0, quindi
|6x —31 = 6x —3
|6 x -3 | = -(6 x -3 )
1 x < 2 \-7x > 1
se x ì y , 6x - 3 > 0, quindi
x < ~2
\x - ~2 Ì5x > 7
x < —l
X<1
X>
x>i
2
2
X>Z 5
X<“ 7
xc-?
«>?
• Uniamo i due intervalli delle soluzioni. La disequazione iniziale ha per soluzioni: X < - y V jC > -y. Sono utili le seguenti proprietà del valore assoluto: se k > 0: a. \ x \ <
c. | jc| > /c ^
k ~ — k < x < k-,
b. I f ( x ) I <
k
——k <
f(x)
< A:;
d. I f ( x ) \
> k
jc <
—/cV jc > A;
-/(* )
< - k V f ( x
) > A:.
x | < 3 ——3 < x < 3 x > 1 — x < —1V x >1
ESERCIZI PER COMINCIARE Risolvi le seguenti disequazioni.
DG WM
| 5 - 2x | < x + 2 Disequazioni con valore assoluto | 2x —4 1< x + 1
H □ B3EE0311x+81- 3> 12 - x| 345
DISEQUAZIONI LINEARI
ESERCIZI 1. DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI DISUGUAGLIANZE NUMERICHE ©
n u
Teoria a pagina 338
0E
A 00
b. - 7 > - 1 5
0B
d.
o > - 11
a.
COMPLETA
0 0
2< 2
n
VERO 0 FALSO?
nn m
1 e- 2
1^1 3“ 6 1(T4 < 1(T6
0 0
f.
00
in se re n d o g li o p p o r tu n i s im b o li d i d is u g u a g lia n z a .
(- 2)41_182;
B
ÌLU->;
I l
(—IO)31— I —(5)4;
-y L J-y .
7l_l-12;
y U y ;
- l,3 U -§ -;
0 l _ J ( - 2) - 3.
Proprietà delle disuguaglianze vero o falso ?
a.
- 6 < —8 -
b. 14 > c.
3 -
-3 < 5 -
—6 +
7 < 8+ 7
14 —4 < 3 —4 (-
3) • ( - 2) > 5(—2)
s ta 0
d.-4<2 ^
00
- 4 ( - | ) < 2( - T
B
00
e. - 3 > —5 -* - = f > —j
B 0
Per ogni disuguaglianza esegui l’operazione indicata e scrivi la disuguaglianza che si ottiene. KM —5 < y , somma y ;
—1 > —3, sottrai—5;
KM y > - y , dividi per 5_1; COMPLETA
10 < 25, dividi per —10;
—y < —y moltiplica per
5 > 3, eleva al quadrato;
6 > 2, eleva alla
-
6
-
1 .
.
in se re n d o i s im b o li < , > .
D
4 < 7 - 4 2U 7 2;
D
4 < 8 4 U { ;
—6 < —2 ^ ( —6)2
1 _I (—2)2;
3
<5 -
33 L J 53;
-5
<- 3
-
(-5)3 l_ l (” 3)3.
—7 < —2 ---- y U - { ;
KM Se — y I__10, allora y I__I0. Se 7Ì__I 3, allora (—1) 7 1__I (—1) 3. IlH Se a < 0 ,allora —al_lo. Se a < b < 0, allora —a
346
—2 < 0, somma —3;
-
Se —3 1__I 5, allora —3 + y I__I 5 + y . Se y I__Iy , allora y I__16. Se a > b > 0, allora ——I__I —f-. a b
—b.
Se a < b, allora y I__Iy .
2.
1. DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI
► LABORATORIO
ESERCIZI
MATEMATICA E STORIA
Numeri p e rfe tti, abundanti, d im in u iti Come scriveva nel Cinquecento il matematico Francesco Galigai, alcuni numeri sono p e rf e tti, altri a b u n d a n t i , altri L’idea era tutt’altro che nuova: come ricordava pochi decenni prima Luca Pacioli (ca. 1445-ca. 1517), essa risale a Euclide (il quale, a sua volta, riprendeva conoscenze ancora precedenti). d i m in u i ti .
(Pnfé ancora vnaftra cfléntiàle oudione oc numeri corno neUr-ef!ò iS id id e a f e g n a ecoli in &a arifìm eticz ;iLraM'ndiice:ctoe dpi oe numeri alcuno c o s n i'n u f o a lc u n o eftperiIno onero fraòtm&nte fecondo
Vediamo quali numeri naturali sono p e rf e tti, quali a b u n d a n t i , quali d i m i n u i t i : • prendi un numero naturale n, elenca i suoi divisori (n escluso) e trova la loro somma s; • il numero naturale n si dice allora a b u n d a n t e se n < s , d i m i n u i t o se n > s , p e r f e t t o se n = s. Considera i numeri naturali da 2 a 20 e stabilisci quali sono p e rf e tti, quali a b u n d a n t i e quali d i m in u i ti . Giustifica le tue risposte. ► Risoluzione.
□
►4 esercizi in più.
►Attività di ricerca: Numeri perfetti, abbondanti e difettivi.
1P1 Traduci ogni frase usando simboli matematici.
| Q Q VERO 0 FALSO? Essendo 5 < 8, allora: a. 5 - a < 8 - a
VaeR.
a. Il numero n dei passeggeri di un autobus non deve superare 55.
["vi [TI
b. 5a
< Sa Va E R, con a / 0 .
[TI [TI
c. —
< — V a e R , con a > 0.
ITI [TI
d. 5a > 8 a Va E R, con a < 0.
b. In un impianto di risalita il costo del biglietto è ridotto per bambini di età x non superiore alO anni e per adulti di età x non inferiore a 65 anni.
E H
BK1 La disuguaglianza a + b > a — b è vera per ogni a e per ogni b reali? Spiega aiutandoti con esempi. BEI Individua le scritture equivalenti tra le seguenti relazioni fra x e y. non, e
di
è minore, d i
al maxime è
non, supera,
non, è inferiore, a,
non, è meno d i
è a l piw
e almeno
Una tra le seguenti propo sizioni, in cui x e y rappresentano numeri reali qualsiasi, è falsa. Quale?
c. Il tempo t di cottura di un cibo deve essere non meno di 8 minuti e non più di 12. Traduci in simboli matematici le frasi seguenti, usando per le variabili le lettere che preferisci. BM a. Per partecipare a una gara occorre avere come minimo un’età di 6 anni e al massimo di 10. b. L’apertura alare dell’aquila reale non supera i 2.5 metri. BEJ a. Gianni: «Quel grattacielo non è più alto di 80 m». Luca: «No, come minimo è 80 m». b. n è un numero non negativo e m è un numero non superiore a 4.
[ a] * è maggiore del suo opposto se e solo se x è positivo. ITTI Poiché 5 > 3, allora 5x > 3x. fc] Se x > y, allora -j- > - y . m
Se x > y, allora —x < —y.
il i
a. Un consiglio del medico: «È bene bere almeno 1.5 litri di acqua al giorno». b. Lo spessore di una lastra di vetro antisfonda mento non è inferiore a 12 mm. 347
10
DISEQUAZIONI LINEARI
B l'l LJ you &MATHS From words to symbols Translate thè following sentences into mathematical sentences. a. Roger’s father must be at least 40 years old. b. Silvia scored 64500 points and John beat her by less than 200 points. EUREKA! Solo Se p e q sono interi positivi, x e y sono interi negativi, e p > q e x > y, quale delle seguenti espressioni deve risultare minore di 0?
Q
i) q ~ p y
ii )
in)
qy;
p
+ x.
l~À~l solo i).
fcl solo i) e ii).
ITI solo iii).
ITI solo i) e iii).
dH i), ii) e iii). [USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 1999]
Di sicuro Supponiamo che siano entrambe vere le seguenti disuguaglianze, con
EUREKA! a >
b,
c
>
a,b,c,dB
R:
d.
Quali tra le seguenti disuguaglianze sono sicuramente vere e quali no? a.
a
+ c > b + d.
b.
a
—c >
c.
b — d.
a
■c >
b
■d .
d.
a
+d >
b
+ c.
[a) vera; b) falsa; c) falsa; d) falsa]
DISEQUAZIONI G
Teoria a pagina 339
Soluzioni di una disequazione Q
m
TEST
Solo una delle seguenti disequazioni non ha —y come soluzione. Quale?
— jpx >
o
I~cl 4x > 1 + 16x
[H - ^ ± 5 _ > !
ITI
- \ x -
1
<
1
Indica quali sono le soluzioni delle disequazioni seguenti tra i valori proposti a fianco. x + 4>2x
1; - 1 ; 5; 10; 0.
7(b —2) + 2 < b
|p ]
2; 0; —j ; 3; y
1 1 5 ? 2’ 5’ 3’
3a + 5fl1~ 3 > y y - ^ 4( yv/ +■ w 2) —
T~ 3 2
0; 12; -0 ,3 ; 5.
Intervalli IN FORMA GRAFICA
Rappresenta i seguenti intervalli con le parentesi quadre e sulla retta orientata.
WfÈ U S M t T t H W T
*< -y;
x > 2’
x < 7;
x < —3;
- 1 < x < 9;
KUl x < —y V x > y ;
-3< x< 2;
x< lV x > y
< x < 4.
2
x < —2 V x > y ;
x>
5’
1< x < 2’
x > 7. x < —1.
Per ciascuno dei seguenti intervalli scrivi le due rappresentazioni mancanti. EU
°? J—oo; 3[ U ]5; + oo[;
348
^ 6 x > —y ■ ----------o • -2 -1
-
m
—A \ / ,
o— -7
m
1 7' 2’ 2 >
1 3
1 15 •
1. DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI
ESERCIZI
R ap pre sen ta in t u t t i i m o d i p o s s ib ili i se g u e n ti in t e r v a lli.
Si S i S i S i
I numeri reali: minori d i —2; maggiori o uguali a -y ; positivi. L’intervallo aperto dei numeri reali compresi tra 4 e 5; i numeri reali negativi maggiori di —0,3. 9
L’intervallo dei numeri reali che non superano y e che sono maggiori di 2. I numeri reali compresi tra —2 e —1, escluso —1 e incluso —2; i numeri reali non negativi minori di 4.
Diversi tipi di disequazioni 8 3 Q
VERO 0 FALSO?
a. Una disequazione è intera se non compaiono frazioni. b.
[v][T]
Una disequazione è numerica se l’incognita è l’unica lettera che vi compare.
[v]|T]
5
c. x + 3 > y —4x è una disequazione numerica, lineare, intera. d.
[v][T]
-^ y — —3 < a non è una disequazione numerica intera.
[v][T]
e. ax + 5 > 7 è una disequazione lineare, letterale, intera. E4H L J [ a]
TEST
Solo una delle seguenti disequazioni è lineare, numerica e intera. Quale?
—7 x 2 + 5 > 2x
[c] 87 + ^
|T ]y -+ ^ y ^ - > 0
G Teoria a pagina 340
Indica il principio di equivalenza applicato in ciascuno dei seguenti casi.
M G
TEST Solo una delle seguenti disequazioni non è equivalente a —8x —1 > 0. Quale?
a. 4 —x < 8 — x —4 > —8
[ a] - 8x > 1
[c] 8x + 1 < 0
b. —2 x > y
— x <
ITI 2x < —y
[ d] 1 2 x > —y
c. —y x < 0
— x> 0
—|-
g l Q YOU & MATHS Make up an inequality Write at least 3 inequalities that have thè following interval as their solution: x > 5. Stabilisci se le seguenti coppie di disequazioni sono equivalenti e, in caso affermativo, indica in base a quale principio. P I
<0
[]j] (2a)2 + 1 < 3
PRINCIPI DI EQUIVALENZA h i
[v]ITI
yx<7;
- x >-21.
K 1 x + 3 < 2 x + 2; E3
x > 3;
K f'l
y x < 0;
P I
2x-7>3;
g ii
—4x > 0;
x + l < 2x.
x —3 < 0. x > 0. -2x + 7 < - 3 .
m Q
TEST
a.
Considera le disequazioni:
y (x + 7)>0;
c.
2x>0;
b. y x < 0;
d. —5 x > 0 .
Sono equivalenti: [T] b, d.
Cc] b, c, d.
[ a] a, b.
[T] c, d.
H I Q EUREKA! Quale? a, b e c sono numeri reali tali che comunque se ne scelgano due la loro somma è maggiore o uguale a zero. Quale delle seguenti affermazioni è certamente vera? Ha] a - b - c > 0. ITI Almeno uno dei tre numeri è zero. fcl Almeno uno dei tre numeri è strettamente minore di zero. I~d~1 a,b e c sono tutti maggiori o uguali a zero. ITI a + b + c> 0.
x > 0.
[Giochi di Archimede, 2010]
349
10
DISEQUAZIONI LINEARI
Applica alle seguenti disequazioni il principio indicato e scrivi la disequazione equivalente che si ottiene. ~^x + 3 < 8 x ;
1° principio: s o m m a—2.
IjfrB -y x > 5 —y x ;
M I 8x —-y > 0;
1° principio: somma y x .
2° principio: moltiplica p e r —3.
M i 2(x —7) + 4 < 8 x ;
2° principio: dividi per 2.
Applicando i princìpi di equivalenza, scrivi una disequazione equivalente a quella data che soddisfi la condizione indicata. FAI UN ESEMPIO
tutti i coefficienti siano interi. 2x + 5 > I x — 6;
il secondo membro sia nullo.
MH 8 —3x < 8*;
il primo membro contenga tutti e soli i termini in x.
BA'B x + 7 > —3x;
tutti i coefficienti dei termini siano multipli di 5.
2. DISEQUAZIONI NUMERICHE INTERE Lo zero e le disequazioni
COMPLETA
Soluzione
Disequazione Ox < - 2
Ox > 0
0x > 8
0x > 0
Ox < 0
Ox < 0
Ox > - 7
Ox < 12
—7x > 0
12x < 0
Soluzione
CACCIA ALL'ERRORE
a. 8x > 0
d. —2 x > x
-* x > —8
b. —x —4 > 2 -
x < 4 —2
e. 3x < 6x —3 — x < 1
c. 7 —3x > 0 — x < y _Z_ v
— impossibile
f. x < x — impossibile
Risolvi le seguenti disequazioni.
p
■\x> 6
[x> 18]
p
—x —2(5x + 3) > 4x
_p
Al
p
11—x > 2x —(1 —x)
i x<0
[x < 0]
p
x + 1 > 3 [4 —7(x + 1)]
[x > 0]
p
4(3f —1) > - 3 ( f + 2 ) - l
m
13 < 2 (x + 3) —5(2 —3x)
p
v7ì1 4x < 1 —3x
350
M tI
X
^<
to
5x + 4 > 14
[*>-U IV
p
X IA 0
[*<-11
1
—5x > 5
p
VI
7 x < 14
1 VI X 1
v7!| x —2 < 3x
p
X
K 1
Disequazione
2 5
[* —3] X
> -*1
M
I
[*> Il
2. DISEQUAZIONI NUMERICHE INTERE
ESERCIZI
g l
5 (x -2 )-[3 (-3 x + l)-2 ] >9x-2(2x-5)
g l
(2b + 3 ) ( 3 - 2 b ) < - { - 2 b ) 2+ 1
g l
( 2 x - 3 )2 < 4 ( x - 1)(1 + x)
g l
(x —2) 2 + x (4 —x) > —3( 1 —x) + 4
[x < 1]
g l
- 3 [ - x - ( l - 2 x ) \ - ( 3 - x ) ( 3 + x ) > ( x - 4 )2 + 3
[x > 5]
g l
5x —3x(x + 1) + 4 < (x — l )2 —(2x — l )2
g l
( x - 5 ) ( x + 5) - 2 ( 1 - 6x) > (1 - x )2 + 7 ( 2 x - 5 )
[Vx e R]
g l
(x —x 2 + l )2 —4 + x(2x — 5) > (x2 —x)2
[x<-ì]
g l
(jc +
g jl
(x + l )3+ (x + 2) (x + 3) (4 —x) — 2 [1 + (x —2)2] < 0
g jl
[(—x ) 2}2 — (x2 —2x + l )2 —2x 2 (2x — 3 ) > x
x>T
(x — l )3—[(x + 2) (x —2 )2 —x 2] > —1 + 3x
[x > 2]
5) (jc — 4)
— (2 + 3jc) ( jc —
► LABORATORIO
1) > - 2 ( x - 3 )2
[impossibile]
[impossibile]
[x < 0]
^ t3J *--
MATEMATICA INTORNO A NOI
U n p r o b le m a di c o s ti Un artigiano, per produrre vasi in ceramica, deve acquistare una nuova attrezzatura e ha due possibilità: A) spendere subito € 256 ed avere poi un costo di produzione stimato in € 3,50 al pezzo, oppure B) spendere subito € 110 e poi € 3,75 per ogni pezzo prodotto. Egli riflette: «Se il numero delle formelle sarà basso, il costo minore ce l’avrò con l’opzione B, ma producendone un buon numero diventerebbe minore il costo A...». a. Riporta in una tabella i costi sostenuti nei due casi al variare del numero x di pezzi prodotti (per esempio per x = 0,100, 200,..., 800). b. Illustra con un diagramma in quale intervallo il «costo A» è sicuramente superiore al «costo B» e in quale intervallo è vero il contrario. c. Traduci in disuguaglianze la situazione illustrata dal diagramma.
& ► Risoluzione.
► 3 esercizi in più.
351
10 m
DISEQUAZIONI LINEARI
u
ASSOCIA
a ogni disequazione l’insieme delle
m Q
soluzioni. a.
H
2. x < —x + 5
b. R
[TI —|-x > 0
3. —| x > 0
c. x -^ 25 d. x ^< y5
[ d] 15x + 1 < 3(2 + 5x)
Which values? What values of a would make thè following inequality true? YOU & MATHS
m O B m m n s M Tra le seguenti coppie di disequazioni, una sola è formata da disequazioni non equivalenti tra loro: quale?
Represent thè Solutions on thè reai num ber line.
3x-6< -x+ 8■
b. sia verificata per ogni x
G
x +3 _ X 4 2
x + 7 -> _ ( 0 10 ^ r
kK~ > - A2
x+4 2
+ 2) —~ ^ x ( 2 x —3) > x 2 + x + 1
a + 1ì +
m
3x < 4.
[~c1 3(x —1) > —x;
4x>3.
I~d1 2 x — 3 < x — 2;
2 x + 5 < 3 x + 4.
4
3 -(-x 2+ ^ ì> -W -| + x)(2x-3)
Q
[ b] 1 —x > 2x —3;
(ci —2)2 ^ 3 + n2
m
ITTI
[x > —22]
1 k +Ì ) [ 3 k - ^ ) > - 2 .l \ + 3
2x{x
5 —3x ^ 1 —2x — < 2
Risolvi le seguenti disequazioni.
~8x + 4 ~ 4 5
1— 1 3x —5 v. 2x — 1 H — 2^ ^ 3 ^ ’
COMPLETA la dise quazione a lato in modo che: a. sia impossibile;
CHECKER
2 -7 x < 7 (x + l)
|T | 5b < —2 ( 3 - - | b)
9fl —5 > 3a + 5
p
Quale delle seguenti disequazioni è im
1. 5x + 3 > 1
4. 5x < 2 ( x + 1) + 3x m U
TEST
possibile?
3
7x 1 ^ ----------4 x < x -1 4 +5
<
ITTI
2x + 7 3(3x —2) / 8x 5------------ Io----- < ~ l 5
*<6
E3
x + 5 , 7 —x +3
^ 11 y - T
ima
.
X >
2
[Vx
m
^ 2 a ~ 17
TTiTÌ
3x + 2 ^ 5x + 1
28
r . rnl U <-601
< (x + 1) (x —1) [x< —23]
x —5 + x) —4-(3x + l )2 > —3 2
[x < 1]
.2 —-y 2 —0,4(x + 2) < x(x - 0,3) — 1 [ x > - 7 ] IHM x2
"7T
> 7 X. ----- ~A--14
+ X2
—
( { x - l ) 2- { ( x - l ) ( x + l ) < 5 - x x__ ]_\2 / 4x —1 3 2
^
5 2
- -T X
[Vx e R] X <■
x —6
itili! 1 —x^x + y j + x f y + x ] < —\ x + 2 x + 3( x —y
[x < 0]
3 x2 illfl y ( 3 x + 1) + y ( x —2) (3 —2x) < —^x + 2
x < -L x ^ 18
ITTI
- |( x + 7 ) ( l - 2x ) - y ( x - 1)2> —2 ( x + 3 )
[x>-7]
ITTI
2( x + yVx + y ) —(x + 0 2 —2x 5 X - ({ 2x 2- - ^ L ) + -é^
P
352
1 x-
3)-°
(2x+t )(2x- t ) < 0
[x > 0]
x>-
2. DISEQUAZIONI NUMERICHE INTERE
UH m
-1 -X-l
2~
1
A2 x
M
1 _ _1 ^ 3 2
a: <
x 2 —2 ^ 12 <
+ -r ( —a:
2 91
[impossibile]
nn (6 - 3)(1 + 6) +(4-6 + l)(26 + 1) - 2(6 + l)2< 0
P
- ^ ^ 4 > - (2 x ~ 3)2
DQ - 2( c + - r ) > -
nn
> —0~ 7
+ - f - ( s + 3)
x>- 10
t M
_5_ c< 8
2_1
( a: + 2 ) 2 — [ x + - ^ ì
J_
X<
(0,6 + a:) ( - 0,6 + a:) > (0,5x + 0,3) (0 ,5 x - 0,3) + ^ j ~ ( x + l ) 2- 1
18
^ —y3 x<
U H l,3(x + 2)2( x - 2 ) - 4 , 5 ( 0 , 6 x - l )3 > 0,3(26x2- 0,5 - x) IM jl
ESERCIZI
— (1 — x ) 3 + x 2( 3 — x ) > - ^ 5 x — -
X >
7
1 —x
IFfl
x + 1 +, 2x —1 \2 , ..2/.. 2 ^ ,/ 5 + x2(x —6) —— | — < (x —2)3+ x+2
_9_ 40
X >
Traduci in una disequazione le frasi seguenti. P
P
l i trip lo d i u n numero non supera, 39.
B23
i l doppio d i u n numero dim inuito d i S non deve, essere nuxppiore d i 7.
Ildoppio d el culo d i u n numero diviso per
i l quadralo d i u n numero aum entalo d i 8 none inferiore a, 28.
iltrip lo d el quadralo none più, d l ~ .
Problemi sui numeri IFQ Stabilisci quali numeri naturali sono maggiori o uguali al loro triplo diminuito di 8. [0; 1; 2; 3; 4] EE3 Sottraendo alla somma di due multipli di 3 con secutivi la metà del numero minore, si ottiene un numero minore o uguale a 30. Trova i più grandi multipli di 3 che soddisfano la condizione. [18; 21] E3
Determina il massimo valore che possono assu mere tre numeri naturali pari consecutivi affin ché la loro somma sia minore di 60. [16; 18; 20]
m
Determina il massimo valore che possono assu mere tre numeri pari consecutivi affinché la loro media aritmetica sia minore di 10. [6; 8; 10]
USTI Determina quali numeri naturali godono della proprietà seguente: diminuendo il numero del 25%, si ottiene un numero minore di 33. [n < 44]
EEQ
Determina i valori di n G N per i quali la frazione
risulta propria.
[n < 5]
E U Determina i valori di x G R tali che la somma tra x, la sua metà e la metà della sua metà superi il triplo di x di almeno 10. [x < - 8 ] IFE1 Determina i numeri reali per i quali la somma tra 2,5 e la metà della media aritmetica tra il numero e il suo doppio sia minore della somma tra il numero e la terza parte del suo quadruplo. [ x > 19
EEQ
Considera il polinomio P(x) = 2 ax 2 — (a — l)x + 4. Calcola per quali valori del parametro a: a.
P ( - 1) < 0;
b. p ( y ) > / > ( - 2 ) . a ) a < —1; b) a < -£-
353
10
DISEQUAZIONI LINEARI
Problemi geometrici
E03
Determina quali valori può assumere x affinché il semiperimetro del rettangolo in figura risulti maggiore o uguale a 20 cm. [x > 11]
EE3
™
In un triangolo ABC l’angolo A ha ampiezza 4 , — pari ai y dell’angolo B . Determina quali valo ri può assumere l’ampiezza di A affinché C sia maggiore di 90°. [0° < A < 40°]
o
altezza = ^ della base
(x + 1) cm
B0
Un rettangolo ha un lato che è i y dell’altro. Quali valori può assumere la misura x del lato maggiore affinché il perimetro del rettangolo risulti maggiore di quello di un quadrato di lato 6 cm?
[x>7]
Problemi p G
B H Il lato di un quadrato misura x cm. Un rettango lo ha un lato di x cm e il perimetro che supera di 8 cm quello del quadrato. Determina: a. la misura del lato maggiore del rettangolo in funzione di x; b. quali valori può assumere x affinché l’area del rettangolo superi di almeno 10 cm2 quella del quadrato. [a) + 4; b) x > 2,5]
x
intorno a noi
Rodolfo, nelle quattro verifiche di matematica già sostenute, ha ottenuto i seguenti punteggi: 7, 8, 8, 7Vi. Qual è il voto più basso che può prendere nella prossima verifica perché la media resti superiore al 7? 0 4 H 5 0 6 OD 7 TEST
E U Sosta a pagamento La sosta in un parcheggio a pagamento costa € 1,80 l’ora. Quanto tempo pos so lasciare parcheggiata la macchina se non posso spendere più di € 4,50? [al massimo 2 ore e mezza] j f t l Bilancio Un’azienda ha ricavato € 23 500 in gennaio e aprile, € 22000 in febbraio, € 25000 in marzo e maggio. Quanto dovrebbe essere il rica vo del mese di giugno affinché il ricavo medio del semestre risulti superiore a € 24 000? [più di € 25000] Piccole spese Luigi entra in cartoleria con € 42, acquista 6 penne e poi decide di comprare dei quaderni in numero doppio rispetto a dei blocchetti di post-it. Se i prezzi sono quelli indi cati, quanti quaderni in totale può comprare al massimo?
IB I Devo parcheggiare la mia auto e sono liberi due parcheggi: quello blu, che costa € 1,50 per la pri ma ora e € 1 per le ore successive, e quello rosso, che costa € 1,30 per la prima ora e € 1,20 per le ore successive. Per quanto tempo mi conviene lasciare l’auto parcheggiata nel parcheggio rosso? [fino a 2 ore]
EEB
Disequazione rock Una rock band vuole far produrre delle magliette da vendere durante i concerti al prezzo di € 8 ciascuna. Se la band spende € 500 iniziali e € 5 per ogni maglietta, quante magliette deve vendere per raggiungere il guadagno minimo di € 400? [almeno 300]
E0
Scegliere piastrelle La signora Mara vuole pavi mentare il suo appartamento di 80 m2 e dispone di € 5000. La spesa prevede che al costo delle pia strelle venga aggiunto quello per la manodopera: € 15 al m2 più il 25% del costo delle piastrelle stesse. Quanto possono costare al massimo le piastrelle al m2? [al massimo € 38]
IB I Non sempre conviene... Per avere la carta fedel tà di un negozio occorre pagare una quota di € 6, ma il possesso della tessera offre l’opportunità di avere uno sconto immediato del 30% su un arti colo. Quanto deve costare l’articolo perché risul ti conveniente acquistare la carta fedeltà? [più di € 20] 354
2. DISEQUAZIONI NUMERICHE INTERE
E9
Un pasticciere che ogni settimana vende 900 cornetti sostiene una spesa fìssa per la gestione del suo laboratorio e in più ha un costo di produ zione variabile che dipende dai kilogrammi di cornetti prodotti. A quanto deve vendere ogni cornetto per non andare in perdita? [almeno € 0,86]
sfm a,jTM O s = € 4 5 0
im
Benedetta, iscritta al primo anno di università, per mantenere l’alloggio e il vitto nel collegio universitario deve avere almeno la media del 27 alla fine di ogni anno. Sapendo che gli esami del primo anno sono 5 e che la media dei primi 4 esami è stata 27,5, per non perdere l’alloggio quali sono i voti che potrà accettare nell’ultimo esame? [x > 25]
IEB1
Cesare ha partecipato a una gara individuale di giochi matematici proposta dalla sua scuola. I quesiti della prova erano 18, ogni risposta corret ta valeva 4,5 punti, ogni risposta sbagliata valeva 0 punti e ogni domanda lasciata senza risposta valeva 0,5. Sapendo che Cesare ha omesso 3 risposte, quante domande al massimo può aver sbagliato se ha ottenuto un punteggio maggiore di 54? [3 domande]
jocso cornétto = 4 0 j cotto fwodwzioHé = 9 ewo/kxj
EEJ Noleggiare un furgone II noleggio di un furgo ne per un trasloco ha un costo fìsso di € 70. Supe rata la soglia dei 100 km, alla tariffa vengono aggiunti € 0,80 al km. Avendo a disposizione € 90, quanti kilometri si possono percorrere al massimo? [al massimo 125 km] na
m
Meglio valutare... Un lavoratore pendolare deve decidere se sia più conveniente spostarsi in treno con l’abbonamento mensile oppure utilizzando i biglietti di corsa semplice. Considerando che il prezzo per l’abbonamento mensile è di € 200 mentre il biglietto di corsa semplice costa € 5,50, qual è il numero minimo di viaggi che deve com piere il lavoratore perché risulti più conveniente l’abbonamento? Se il pendolare lavora cinque giorni a settimana, conviene l’abbonamento? [37; sì] Nonno Pasquale deve recintare il suo orto, che ha forma rettangolare. Sapendo che le dimensio ni sono una i y dell’altra e il suo perimetro non supera i 21 m, come può variare la maggiore del le due dimensioni? [0 m < x < 6 m]
ini Stile in vasca
Gli allenatori della società di pal lanuoto per cui gioca Pietro vorrebbero dare a ogni atleta un accappatoio con il logo della squa dra stampato. Il presidente della società è d’ac cordo purché non si spendano più di € 800. Sapendo che, qualunque sia il numero di capi, l’azienda di abbigliamento sportivo richiede una spesa fìssa di € 650 e che la stampa del logo per ogni capo costa € 7, quale numero di accappatoi può essere acquistato? [x < 21 ]
ESERCIZI
IEB Fare shopping Letizia e Caterina decidono di fare shopping nel periodo dei saldi. Entrambe vogliono comperare un paio di pantaloni che costa € 53 e una maglia da € 64. Sapendo che Letizia e Caterina hanno rispettivamente € 52 e € 68, qual è lo sconto minimo che ciascuna delle due ragazze dovrà chiedere al negoziante per poter acquistare i due capi? [56%; 42%] m a Per la promozione al 2° anno delle superiori, i genitori di Andrea hanno deciso di regalargli uno scooter. Andrea può scegliere tra vari model li esposti in un negozio autorizzato. Sapendo che i genitori non possono spendere più di € 1400, che ognuno dei prezzi esposti sugli scooter verrà scontato del 30% e che la cifra ottenuta verrà aumentata dell’IVA pari al 22%, fra quali prezzi Andrea può orientarsi nella scelta dello scooter? [x < € 1639,34]
FETI
4 » T VA *
Sergio, nelle veri fiche di chimica del quadrimestre, w rtv (fttW M t'u & ha ottenuto i voti 6 ,5 7 7 ,5 7 ,5 e indicati a lato. La settimana scorsa ha sostenuto le ultime due verifiche dell’anno e l’insegnante gli anticipa che il voto del test di teoria è di mezzo voto inferiore a quello della prova di laboratorio. Quali punteg gi spera di ottenere per avere una media di alme no 7? [almeno 7 e 6,5] 355
10
DISEQUAZIONI LINEARI
m U
Text messaging At thè end of last month Marge had sent 27 more text messages than her older sister, 52 fewer than her friend Julia, and 135 more than her mother. How many messages could Mar ge have sent if all together her family did not go over thè monthly limit of 250 messages?
IEE1
Lezioni di chitarra Due scuole di musica applicano le tariffe seguenti:
YOU & m aths
a. € 10 per la quota d’iscrizione e € 10 per ogni lezione di chitarra; b.
€ 5 per la quota d’iscrizione e € 12,50 per ogni lezione di chitarra.
Dopo quante lezioni inizia a convenire la prima scuola?
[3]
EHI Il compagno parsimonioso Mattia, per risparmiare, propone ai compagni di classe di acquistare online con un unico ordine i tre libri da leggere per le vacanze, che hanno i prezzi di copertina di € 9,50, € 6,00, € 6,50. Se il sito A non prevede spese di spedizione, mentre il sito B prevede € 7,50 per la spedizione e uno sconto del 10% sul libro più economico, quanti ragazzi dovrebbero fare l’ordine perché convenga il sito B? [almeno 13]
ITTI
In un laboratorio si devono riempire completamente 7 contenitori da un litro travasando il liquido contenuto in flaconi da 33 cL ciascuno. Il liquido rimanente viene gettato via. INVALSI 2010
a. Qual è il numero minimo di flaconi che occorrono per riempire tutti i sette contenitori? b.
irc i
Quanto liquido viene gettato via?
INVALSI 2012 Un turista italiano in viaggio in Svizzera, prima di cambiare i suoi euro in franchi, esamina le seguenti proposte fatte da due banche: Banca A: 1 euro viene scambiato con 1,412 franchi senza spese. Banca B: 1 euro viene scambiato con 1,416 franchi con una commissione fìssa di 2 franchi.
a. Se il turista cambia 300 euro, quanti franchi ottiene presso la banca A? Carlo afferma che, qualunque sia la somma che si vuole cambiare, è sempre più conveniente la banca A. b.
Carlo ha ragione? Scegli una delle due risposte e completa la frase. I I Carlo ha ragione perché ...
► LABORATORIO
□
Carlo non ha ragione perché ...
MATEMATICA INTORNO A NOI
Mobilità sostenibile Tutte le mattine Jacopo, per andare da casa all’ufficio, può scegliere fra auto, bicicletta o pullman. Velocità medie e tempi «morti» sono indicati a lato. Con quale mezzo Jacopo arriva prima al lavoro, in funzione della distanza tra casa e ufficio?
Auto: velocità; media; 45 km /h , 10 mùvjoer trovarejaarckerjjio. Bicicletta;: velocità; media; 15 km /h. Pu U m aro: attera; 5 m in a lh o jé rm a ta ^ ve lo cità ;
media; 3 0 k m /h
356
2. DISEQUAZIONI NUMERICHE INTERE
ESERCIZI
Studio del segno di un prodotto Studia il segno dei seguenti prodotti al variare di x in R. I p l 5(** - i ) ( * + 2 )
E 0 Q S E 0 E E 0 S H H 3x(i - x ) ( 2 x + 1)
IEE1 y x ( 3 x + 5)
[0 3 ( 2 x - 3 ) ( l + 2 x ) ( l - 7 x )
Studia il segno dei seguenti prodotti e indica quale segno assumono per i valori indicati, senza fare calcoli. E3
—|- ( x - 2 ) ( - j x + l);
jp i - 2 t { t - 3 ) ( 2 t + - j \
*=-3,0,1.
b(b + )4(i>—g-);
PI
f = - 1, 0,
bifiVl = - 6(x, j+, 4-Y2x 2 . —4-)(3 —x);
%
2, 5 >4.
Prodotti e disequazioni Risolviamo la disequazione: —x{x + 5) (2x —3) > 0. • Poniamo ciascun fattore del prodotto > 0. —x > 0 — x < 0; x + 5 > 0 ^ x > —5; 2x-3> 0-x> y. -5
• Compiliamo lo schema dei segni. • Dallo schema deduciamo che il prodotto P è > 0 per x < - 5 V 0 < x < y .
+
x+5
-
CO 1 X CSI
1
Rappresentiamo graficamente l’insieme soluzione della disequazione.
-X
p
+
+ ()
()
-
—
+
+
+
-
-
()
+
+
)
-
-
D
()
0< x< 3
x< 5
Risolvi le seguenti disequazioni.
IPJ1
(x - 3) (x + 7)
<0
IM I —x (2 —x) < 0 P
(3x - 6) (x + 4) > 0
P
( 7 - x ) ( 2 x + 10) > 0
\m
—(4 —x) (—x —1) > 0
P
(2x + y V 2x - y ) > 0
P
{b + Ì ) { j ~ b){b ~ T ) - °
E0
—(x + 5) (—2 —x) (2 —x) < 0
[ - 7 < x < 3]
P
( y x + 3 )(6 x -
[0 < x < 2]
P
yx(4x-5)>0
EJ3
x
< —6 V x > x<0Vx>j
jP71 2x(x + 1) (3 —x) < 0
[-l3]
[ - 5 < x < 7]
P
[o -|
[- 1 < x < 4]
jETÌl —4a(fl —8) (8 + a) > 0
[x < —4 Vx > 2]
x < - ± v x > ±
EH
-7x(x-y)(2-3x) > 0
[ a< —8 V 0 < a < 8 ]
- x ( x + y V x - - | - ì < 0 [—| < x < OVx >
[-}< b < iv b > i - 5 < x < —2 Vx > 2]
IliM —3^x + -^-ì(l —x ) f y —xj > 0 AL VOLO
1) > 0
X <
—
V1
<
X <
y
j
Risolvi le disequazioni senza usare lo schema dei segni.
2( x - 3)2> 0
[VxeR]
E0
x2(8 - x ) < 0
[x = 0 Vx > 8]
357
10
DISEQUAZIONI LINEARI
E3
(x2 + 4 ) ( x - 9 )
>
0
[x >
I MI x8( x + l ) < 0
im
[x< —l Vx =
E3
- 2 x 2( - x 2- 1) > 0
[Vx # 0]
0]
jll'Ill
(x —2)4(—x —6) < 0
[ x > —6 A x / 2 ]
Individua tra le seguenti disequazioni quelle che ammettono come soluzione un solo valore numerico. x 2(x2+ l ) < 0 ;
ITTX
9]
—(x —7)4 > 0 ;
(5 + x 2) ( - x - l ) 2 < 0;
(2x-l)2<0;
- x 2( x - 2 ) > 0 .
quadrato che inganna È sempre vero che il quadrato di un numero è maggiore del numero stesso? Fai qualche esempio e poi dimostra in generale la tua deduzione. EUREKA!
Il
3. SISTEMI DI DISEQUAZIONI ©1 ^ B a u
^ 3 4 3
VERO 0 FALSO?
TI sistema • 0 ' • a. Il |\ ~ X< — q e impossibile.
0 B
b. Se la soluzione di un sistema è l’insieme R , allora tutte le disequazioni che lo compongono hanno come soluzione Finsieme R. J—2x < 6 c. L’intervallo o----------------------• è la soluzione del sistema {—7 x > 0' -3 0
0 0
_ , ,
[8x > 0
^
00
,
d. II sistema \ ^ . se a < 0, e sempre verificato. 1ax < 0 > r
00 Ix —8 > —1 [x —8 < 9 ‘
e. La scrittura —l < x —8 < 9 è equivalente al sistema
ira Risolvi con un sistema di disequazioni: —5 < AL VOLO
Ip ]
< 19.
Risolvi le disequazioni senza trasformarle in un sistema.
—4 < v —2 < 7;
B Q U
1—
00
TEST
- 2 < x+ 3 < 4 -.
E3
5<2x-1 < 7 ;
- 3 < 4 - x <2.
Quanti numeri interi sono tali che 7x + 2 < 23 e 3x —5 > 1?
[ a] 0.
[c] 2.
[ b] 1.
ELI Più di 3.
Ed] 3.
[USA North Carolina State High School Matematics Contest, 1999]
Risoluzione di sistemi di disequazioni [—5 x > 3 ( x —5) + 7x ^.5 | 2 - ^ < t
Risolviamo il sistema: -L
• Risolviamo la p r im a d ise qu azio ne . —5 x > 3 ( x - 5 ) + 7x
-
- 5 x > 3 x - 1 5 + 7x
-
-5x-10x>-15
-
-15x>-15
• Risolviamo la seconda d ise qu azio ne . 5 2 —x < - ^
5 < ~ 2
—2
-*■
—x
1 < ~ 2
l
1 — x > —2
• Costruiamo lo schem a riassuntivo delle soluzioni.
c
Poiché le due disequazioni devono essere verificate contempora neamente, l’insieme S delle soluzioni è S = Sì D S2:
S2
.... <>--------^ VI
lesi 1
X V
2 < * — '•
358
-*• — x
— x < 1
3. SISTEMI DI DISEQUAZIONI I ESERCIZI
R is o lv i i se gu en ti siste m i.
p
[x + 4 > 0 ][x —3 > 0
p
[-x + 8 > 9 1 [2x+5 > 3
m
\-x > 5 | [3x > 12 + x
[x > 3]
EH
[2 (x —1) < 6 + x | [4x<-8
m
[*=-l]
03
[impossibile]
03
7
[0 < k < 5]
\ 2t +5 > 5 t - 2 | [3(f + 4 ) - f < 0
[ t < - 6]
[(3x + 5 ) 2 - 5 x > - 9 x | [4(7 —x) —(3 —5x) > 8
[x>-l]
J(x —2) 2 + 3 < (x —3) (x + 3) \x-5 > 0
[*>5]
p i
2fr-y(fc + 3 ) - y b < 0 Jx(4x + 5 ) - ( 2 x - 2 ) 2> 1 j(x —1) (x + 1) > (x + 2) 2
P
(7 + 2) 0 ' - 3 ) ( ~ 2y )2 6 24 3(y 2 + l ) < - y ( l - 3 y )
P
[(x + 2)3 > —(1 —x)3 + 9x 2 }(2x + l )2 > 4x2 x+-
[16(x + 0,5) —7x > 2,5(x —0,6) ] 14x + 5 < 6x
4
2b2 — 2(b + 2)2 + 8 (b —4) < - l
f2fc —2 < 3 - { k - 10) | [-5 k < 0
P
(x —2) (3x + l) —3x 2 < l [ x + - ^ \ —1 + 4x(x + ! ) < ( —2x)2
p i
p i
P
03 [* > !]
[impossibile]
ly
<-6]
4x > l + ( x - l )3
x —yj(4x + 1) < (2 x + 3)2—3
~ 2 - x-°
^x + y j(2x + 5) —2x2 < y (1 —x) [x < —4] y (x + 1) + 2 < y x - M ^ y x - l ) ( y x + l ) - y ( l - 7 x 2) > 0
[Vx e R]
00 2* ( x - i ) < 5( 1 + - | x 2) - ^
00 (x + y Yx —y j
< [ x — (2 x +
l)]2
—5- < x < 2
2 [(x + 2) (x — 1) —x2] < 0
00 _( i - 3* ) ( i + ìx)+(t “ t
~x -
ì
< 4*( i -
+ tV
_1_
16
< X <
2
3
+ t ~ 4x
[ 4 - x (x2 + 2 ) ] + j x > . 4 0 —x < — ^ x —2 r jr i
[o ,6 (c + 6) — c (0 ,16 — c )
—
j —(c + 1) (—1 —c) < c2
—
2 (1 —x3) 3
(— c)2 > 0
12 (x + x2) + 7 —4 (x —2) > 3(2x—l )2 ' y (2x2 + 3) > y - + 2 ^ y x + l j
5+ x 2
[impossibile]
[-8 < c < —j
. A
X~
2
359
10
DISEQUAZIONI LINEARI 2 ^ + i V i - 2 b ) - 2 <- [ ( 2b - 3)2+ ( - 2)3]
EHI
b>
rj|T| J(x + l ) ( x - l )2 < (x + 2)3- 7 x ( x + 1) — | 8x(x + 2)(x —1) > (2x + l )3—4x2
6
25
22
4(x —l)2< —x(7 —4x)
E0 —x + 2 < y-(x —2)(x + 2) —2fy~x + 1
[impossibile]
Risolvi i seguenti sistemi di tre disequazioni. |3 1
' 1 - 2* < 3 • 5x - 1 < 1 —x + 6 > 6
EH
5x + 1 < —2 (x —11) 4 - 4x > 11 x —3 > —( 1 —x)
EH
—2(x + 3) < 1 - 9 x 5x> 1 2 , 2x-4 v x T - * +— r ~
mi
[- 1 < x < 0]
E7Ì
-5 x + i ) - x —1 > 6x l x —2 < 2(3 —x) + 1 14
[impossibile]
5
^ _L
< 3
y X —y
10 -
5
j > —(1 + 3x)
E3
8 ( x + 1) > 0 x+ 1 x+ 2 5 2 > -2 2x(x + 5) (2x—l )2 < 0 3 6
EHI
-, ^ a —5 a - 3 < — 5— (—3a)2+ 2 > (3a+ l ) ( 3 a - 1) a(a + 1) —(a —2)2 > —24
1 < x < 24
[ - 4 < a < 2]
di sistema di disequazioni che abbia come soluzione x < —4 e in cui una delle disequazio ni sia: 20 —x2 > —(2 —x)2. FAI UN ESEMPIO
EH
EUREKA!
Aggiungi una disequazione Dato il seguente sistema di disequazioni lineari, con x e R :
[
1 v. ~ 2x * —5 > 2 - — | x + 12 > 5(x —1) è possibile aggiungere una disequazione lineare in modo che il nuovo sistema risulti impossibile? Se sì, fai un esempio.
Problemi sui numeri E D Determina i valori di x G N tali che il monomio 4a 5x~lb6xc2x+l risulti divisibile per al+ixb 2xc.
EH
Determina quali possibili coppie di numeri dispari consecutivi verificano contemporanea mente le seguenti proprietà: a. la loro somma non è minore di 30; b. la differenza fra il triplo del maggiore e il dop pio del minore, diminuita di 11, non supera 14. [15 e 17; 17 e 19; 19 e 21]
EH
Due numeri dispari consecutivi sono tali che: a. la loro somma diminuita di 8 non supera 12; b. la differenza tra il quadruplo del primo e la 33 metà del secondo è maggiore di -y -.
[ x > 1]
E H
Se esistono Quanti e quali sono, se esistono, i numeri interi relativi, non minori di —4 e non maggiori di 1, il cui quadrato sia mag giore o uguale a 4? [tre: - 4, - 3, - 2] EUREKA!
IM I È data la funzione /(x ) = —y x + 6. Trova per quali valori di x: a. /(x ) è non negativa; b. —2 < /(x ) < 4. [a) 4 < x < 16; b) x < 12] 360
Trova le coppie di numeri che soddisfano tali condizioni. [7 e 9; 9 e 11]
3. SISTEMI DI DISEQUAZIONI
ESERCIZI
Problemi geometrici
E3J
Un trapezio isoscele ha la base maggiore che è il triplo di quella minore e l’altezza che è 4- della base mino2 re. Quali valori può assumere la misura b della base minore affinché la differenza tra l’area del trapezio e i y dell’area del quadrato di lato b —1 sia non negativa? [b > l]
s a
Il lato di un quadrato è (x + 3) cm. Stabilisci quali valori può assumere x affinché il perimetro del quadrato che si ottiene aumentando il lato del 10% sia minore di 22 cm. [- 3 < x < 2]
BEI a. Spiega perché tre segmenti che misurano 6 cm, 12 cm e 20 cm non possono essere i lati di un triangolo, b. Se aggiungi a ciascuno di essi lo stesso segmento, come deve essere la sua misura x affinché i segmenti ottenuti possano formare un triangolo? [b) x > 2] m
Un esagono regolare ha lato (3b + 2) cm. Determina quali valori può assumere b affinché il perimetro 11 dell’esagono risulti maggiore degli - y del perimetro di un quadrato di lato (6b —1) cm. 1 ^ ^ 7 ~6 < b < -6
E0
La disuguaglianza triangolare dice che in un triangolo la lunghezza di un lato è sempre minore della somma degli altri due. Trova quali valori può assumere x affinché il triangolo della figura possa esistere.
E l Q E S H E B B E S a Per quali valori di x le quantità x, 3x — 1, 2 —x possono rappresentare le misure dei lati di un triangolo? Per quali valori, tra quelli consentiti, il perimetro del triangolo risulta di almeno 3,5 cm?
E9
Il lato di un quadrato misura 3x — 1. Sapendo che il lato obliquo del trapezio isoscele isoperimetrico al qua drato misura 10 dm e che l’altezza è uguale al lato obliquo diminuito di 2, determina x in modo che l’area del trapezio non superi 144 dm2. < x< 5
gg
La base di un triangolo isoscele misura x - 3 e l’altezza è pari alla somma tra 1 e i y della base. Determina x in modo che l’area del triangolo sia maggiore della differenza tra l’area del quadrato costruito sulla base del triangolo e i y dell’area del quadrato costruito sull’altezza.
Problemi
intorno a noi
EUREKA! Meno guadagno Una ditta produce mensilmente 2000 unità di un dato prodotto, la cui vendi ta consente un ricavo di € 30 per ogni unità. La produzione di 2000 unità comporta una spesa fissa di € 40 000. Per far fronte a un ordinativo imprevisto, nel prossimo mese si vuole aumentare la produzione di un certo numero di unità, pur sapendo che ogni unità prodotta oltre le 2000 comporta una spesa di € 38. Se si vuole contenere la perdita di guadagno al di sotto del 60% del guadagno usuale, quale condizione deve [x < 1500] essere soddisfatta dal numero di unità prodotte in eccesso?
EH
m
[x > 3]
u
YOU &MATHS Harvesting corn For thè past few years Old Happy Farm had harvested about 1000 more corncobs than Billy’s Farm. However this year, both farms’ harvests were cut down by one fourth. To compensate for thè loss, thè rivai farms bought equal amounts of corn from neighboring States. Which farm ended up having more corn? Or did they have equal amounts?
361
10
DISEQUAZIONI LINEARI
U. EQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI ©^na apagina3a Proprietà del valore assoluto m
u
VERO 0 FALSO?
d. | —6* —9 1> —1, V xE R.
4 + x\ = \ —4 —x\.
H E E E
—| 3x < 0, Vx G R.
rara
f. 8 + | x | > 0 solo se x > 0 .
| - x - 6 > 0 , Vx g R.
EH
e. 2\x | = | —2x |, Vx G R.
H E E E E E
Marianna e Piero stanno svolgendo un esercizio che chiede di stabilire se è vero che \ a + b\ = \ a\ + \ b\, V a, f e e R . CHI HA RAGIONE?
Piero:«Attenta Non, fu ti analizzato tu tti i crisipossibili... Ma, se, invece, d el più, clfosse, il per... »
M arlamia,:«Certo che, e, vero!»
A cosa sta pensando Piero? ETTI
COMPLETA
mu
VERO 0 FALSO?
a. L’equazione x —2 1= 0 è impossibile.
s ta
b. 0 è soluzione di | x —3 1= x + 3.
E E
c. L’equazione — 3 —x | = 1 è impossibile. AL VOLO
d. L’equazione | 8 + x = 0 ha una soluzione.
0 E
e. Le soluzioni di x —11= 5 sono x = —4 o x = 6.
0 0
E E
Risolvi le seguenti equazioni senza fare calcoli.
FETI | —1 —x | = 0
FETI 2| jc | = 2
FEB
| 8x | —| 7x | = 0
FETI -I -6 —5*1 = ì
F E fl
FEE1
5|x| + |4x| = 0
mu
Solo una delle seguenti equazioni non è impossibile. Quale? Rispondi senza risolvere le equazioni.
[ a] 1 —| x | = 2
fcl | 3x | = | 2x |
[ b] 3 4-1 —4 1= 0
ITTI | x —6 | = —| 5x |
■BQ
362
TEST
I 4x —3 1+ 3 = 0
TEST
Solo una delle seguenti equazioni è impossibile. Quale? Rispondi senza risolvere le equazioni.
I~À~1 | x | + | —x| = 6
de] | jc-t- 2 | —4 = 1 6
ITTI I —2x I+1 —x —11+ 8 = 0
Ijj] | x + l | = | 3 x |
U. EQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI I ESERCIZI
Equazioni con un valore assoluto Risolviamo l’equazione 3 + 5| x + 11= 10. Isoliamo il valore assoluto:
x+1| 5 * Applichiamo la proprietà | /( x ) | = k—/(x) = ±k,con k> 0: 3 + 5 x + 1 = 10
x+ 1 =
5 x+ 1 = 7
x+l=±T .
Risolviamo:
x-
x+ ! - 5
25-
e
12 x = —-
_ 15_ x +1 —
In alternativa si può studiare il segno dell’argomento e poi risolvere i due sistemi che si ottengono. Risolvi le seguenti equazioni.
FETI | x | —1 = 6 ED
3 —| —x | = 4
[+7]
M I
[impossibile]
MA
ETTI | io —x | = o
[10]
0 JI —8 + 16x | = o
MI | x —11= 4 m 4 + 1x + 2| = 5 x— 2=1 3 2— x =6 MA
[ - 3; 5] [—3; — 1]
MA
[ - 1 ; 5]
-8
MA
3
x —1
[ - 40; - 4]
1_ i l
A 3
3’ 3
|; 3 [7]
ED | x —31—12 = —4x S0
4
4x —5 2 3 —x + 1 = 0
P MA
^ 3] X- T
3 + 13 —2x | = 2x
FCTI I
5a- 11- 2a= 6 X — 1
-5 = 3 ( x + 1)
2]
= X — 3^1 — - y x )
§ 0 ! —| 5 ( x - 1)| = -|-(x — ^-) MA
[3]
5 -^ x
[impossibile]
= —ó(x + y )
Equazioni con più valori assoluti Risolvi le seguenti equazioni. —2 1 —x | = —7
M I
X —2 —4 x + 2 | = x —1
1 3
MA
x + 5 = 2x | + 1
eh
4 + x —3 x = 2 + | 2 —x|
p
4x + 5 —2 = | 2 x —11
MA
6 —x | + x + | x —3 1= —1
[impossibile
MA
—x — l | + | 4 + x = 3 x + l
[4]
EH —x - 2 \ 3 - > c | = 1 + 6 + 4x
1 3
EH
2- x| = 3
[1]
E3
- \ y + l \
MA
3 x + l = 3| x + 1
g li 2^ 21 X ~ ^^
~
x=
x+ 3 2
-4 ;
11
5
2 ’
6
[0] [impossibile]
[±5] =
y
li] 363
10 m U
DISEQUAZIONI LINEARI EUREKA! Due costanti Siano u j G l due costanti, e sia x e R . Quale tra le seguenti affermazioni è corretta, se riferita all’equazione | a : —a | = bì
ITI L’equazione è determinata, con unica soluzione x = a + b.
ITI L’equazione è determinata, con soluzioni x = a + b A x = a — b. ITI L’equazione può essere impossibile. m
L’equazione può essere indeterminata.
5. DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Teoria a pagina 345 e h
X H
S
TEST
Solo una delle seguenti disequazioni è impossibile. Quale? Rispondi senza risolvere le disequazioni.
|x -2 |+ l > 0
\J] \ x + 3 \ > \ 2 - 3 x \
\T] 2 + 3 | x | < 4
[ d]
4+ |x+5|<3
TEST Solo una delle seguenti disequazioni non è verificata V x e R . Quale? Rispondi senza risolvere le disequazioni.
E E lU
[ a] | x - 6 | + | - 2 | > 0
T I | 7a: | + 15a: | + 1+ 3 | < 0
ITI I 2 x I > —I x + 5 1
[ d] —I3a: + 2 I < 0
p lp
VERO 0 FALSO?
a. 8a: > \ 4 x | ,
Va: G R.
b. 2 —x \ > —\ x , c.
AL VOLO
3x
V a: G
d. - | R.
è impossibile.
1 < 0,
a:
+ 8 - 2 < 0,
V a: G
R.
B E
e. a: | > 4 s e A : < —4 V a: > 4 .
B E
B 0
f. - \ 2 x - \ < 7 ,
B E
V a: G
R.
Risolvi le seguenti disequazioni senza fare calcoli.
§P
3 + \ x - l| < 0
P I
2x - 8 > 0
P I
P I
6- -jx- 1 > 8
p i
5a: | > 3| x |
EH
|l0 x -5 <0
3x$ 6
+ 1jc —2 1>
Risolviamo le seguenti disequazioni: a. | x —11< 3; b. | 2x —4 > 6. a. I jc— 11< 3
-
-3 < x-l< 3
| f[x) \ < k , k > 0 ~ - k < f(x) < k
-
—3 + 1 <
a:
— 1 + 1 < 3 + 1 ——2 < a: < 4 .
aggiungiamo 1
Le soluzioni della disequazione sono: —2 < x < 4. b. | 2jc —4 1> 6
— 2x —4 < —6V2x —4 > 6
| dx) | > k, k > 0 — f(x) < - k v f[x) > k
— 2x < —2 V 2x > 10 — x < —1 Vx > 5. risolviamo
Le soluzioni della disequazione sono: x < - l V x > 5.
364
B E
o
5. DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI
ESERCIZI
Risolvi le seguenti disequazioni. |x-7\+ 1 < 0
p
10 - x - 1 > 0
[ - 9 < x < 11]
E0
|3 * -5 | + 3 > 0
p
| 2 —x | + 3 > 5
[x < 0 Vx > 4]
EH
| 4b + 1 > 2
EH
—110_1x —1 1+ 5_1 > 0
grill 5 + 12 —3x | > 4
ED 5> |x -ó |+ l
[2
Al -a > CO|^f 1 VI -a
E ]
[8 < x < 12]
E&QG EUREKA!
Distanze Un punto P sulla retta orientata ha distanze dai punti di ascissa 4 e 2 che differiscono per più di 1 unità. Quale condizione deve essere soddisfatta dall’ascissa di P?
I~À1 x > y .
I~C~| X < - y V X > - y
nn x < o v x > y .
r~p~l
E 3 Q
V x>
4.
Risolvi la disequazione: | 7 —3x | > 2. Ottieni:
TEST
-oo;
s
x < y
U]3; + oo],
hi]
—• 3 3’
oo;
E
I~d1 ]—3; + oo].
[ e]
]3; + oo].
[USA Catawba College NCCTM Mathematics Contest, 2007]
Risolvi le seguenti disequazioni.
P □ EUHEEBIffla 11 -s*|<-7x + 1 o g in
p
1 + 2 ( x — 1) > 2
3* 1 ,1 2
+
8
*
5
- 3 > - 3 ( ^ x + 2)
2-3
P
2x + 13 —2x | < 0
P
ó ( x - - j ) + 1 < —11 —4x
x ~ 10
P
3(x + | x|) + 5 > 1
5*
x>
, _3 3 +x 5
ETCÌ
2
*
6
> —
+ x > -jx + 2
x < —11 g- Vx > 1
- | - ( 5 + 2 x ) | > —| ( x + y ) + 2x 11 ^ ^ 9 3 —x — 5
ETTI I x —3 1+ 15 —x > 2 P
y c - 3 —| 5 —2c | < 4
[Vx e R]
gg
i ox —-4-
[impossibile]
ESI
1+ T *
X X <- — 7
[x < 1 ]
( x + 6) + x
2
[impossibile]
_2 H0 |-i-(i-2x) -^ J_ 2x 3
5 (x+ 2 )
P
ETTI
' x —1 < 4x
P
m
—11 + 3x | < —2 —3x > 0
|x -2 |+ |2 x + | x - l | | > 5
[x < 3 Vx > 5] [Ve e R] [impossibile] 31 x <. -y [ x < - 2 V x > 2]
P
T - f ^
eth
Considera la seguente disequazione per x x —11< 2x —a . È vero o falso che, se a = 3, la disequazione è risolta dagli x € tali che x > 2? Qual è invece l’insieme soluzione se a = 0? •;x>4 EUREKA!
P er q u a lch e v a lo re d i a
ESERCIZI IN PIU ETTI - 0 0 Q SU TUTTO IL CAPITOLO
365
DISEQUAZIONI LINEARI
ESERCIZI IN PIÙ DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI EECT[]
VERO
0FALSO?
Sono dati a, bt c G N, con
EQQ
a < b < c.
0f a l s o ? < c.
vero
a < b
a. b — a < c
m ia
a. b — a < c
b. a < c — b
mca
b. c- a < c b
c- T - T
m ia
c. —c > b > — a
d. —c > — b > — a
tata
d.
a ^ b
KMH x < - 2 V x > —y ; x < - 2 V2
„
,
Sono dati a, b, c
e Z,
con
tata sta tata
— <— (con c ^ 0) c c v ’
tata
Rappresenta i seguenti intervalli con le parentesi quadre e sulla retta orientata.
IN FORMA GRAFICA
EBJ
c t
x
< y;
< x < 5 Vx>
6;
x x
< —2 V x > - 1 ;
< —j- V x > —y
;
x>6. x
< —3 V x > 0.
Per ciascuno dei seguenti intervalli, scrivi le due rappresentazioni mancanti. 2 j+ . o°| i P 1 |-T;
x < 3 V x > 7. 8
EBQ
x> 9'
-2
em
Indica il principio di equivalenza applicato in ciascuno dei seguenti casi. a. 3x —6 > 15 — —x + 2 < —5
p
D
INVALSI 2002
b. 7x —2 < x + 1 — 6x < 3
c. 1 < —2x — 2x < —1
y > 8 è equivalente a:
|~a~| x < 5
|~b~]
x < 24
ITI X > y
|~d 1 x > 5
ITI x > 24
Stabilisci se le seguenti coppie di disequazioni sono equivalenti e, in caso affermativo, indica in base a quale principio. E0
i x - 2 > 0;
E U Q
E96
VERO 0 FALSO?
5x —6 > 0.
105x < IO2;
- x > IO3.
Sono equivalenti:
a. y x —- y < 0 e 8x —1 < 0.
ta ta
b. —2x + 3 < y e —2x + y < 0.
ta ta
c. y x > 0 e x > 8.
ta ta
d.
y X
+ 7 > 1, 5x+ 18 > 0
e y x -9 < -3 . e. 8x + 15 < 0 e —8x —15 < 0.
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nn m pv~| |T |
DISEQUAZIONI LINEARI I ESERCIZI IN PIÙ
DISEQUAZIONI E SISTEMI
® Teoria a pagina 342
Risolvi le seguenti disequazioni. - y
[*
EH
< 2x
[x > 0]
WUi
-----y X > 3 + X
- y a
[fl>0]
EH
2( x+ 1) < 2x + 3
Eflil 12x < 6x
[x < 0]
EH
y (1 —3x) < x + y
[x < - 4 ]
Wk
2 * + 2 > % +1
m
x~4
EEB —18x > KTÌ —lOx
sa
PI
- y X > y
WX x+
1< x - 3
[impossibile]
[x> 2
3-x < x - 1
X <. y2] [vx e
X> y
[— 4] [x < 10]
1 2X > i
HK'l x (2x —3) —(x — 1) < 2x2 + 3x —6
[x > 1]
KMll 4 —(4 - —x + x2) > l + x 2 —x (2x —4-
EEfl
2
x+
[x>-5]
2 ^-x —1 < 1 + T X
x>
[Vx
— 2x(x— l) 2
^
KEfl 2 + (a + l ) 3 — (fl — 1)3 > 6(a + 2)2 TEST [a] x +
5
Quale tra le seguenti disequazioni ha per soluzione rinsieme S = { x e R | x < —1}? 3 < 4 + 2x
[T]
x+
3 > 4 —2x
E H U TEST Data, per x e R, la disequazione suo insieme soluzione? [ a ] S = {x > -2 0 } .
P I
5
xx< ^ J_ io
EEE1 8x(x2 + 3x —1) —(2x + l )3 > —3{[2x —(1 + x)]2 —5x2} ( x 2 — X + l ) 2 — 2 [ ( — x ) 2] 2 > — ^ x 2 + y j
r;
|~c~| (x + l )2 < (x —l )2 + 4 ?—— +
|T ] S = |x < - ^- J .
X 2+ ^ -^ 6
+ ^
[c ] S = [ x > 0}.
[ d]
0
—3x, qual è, tra i seguenti, il |~d~|
S = {x < 0}.
Studia il segno di —3a(5a + 2){^a—y ì al variare di a in R.
Risolvi le seguenti disequazioni. p i
(x-7)(2x + - |- V y - 2 x ì < 0
Eli -|-(<,“5)(,+ 1)('_t )20
~ T < X < Ì TV x > 7 [f < - l V0 < t < y V f > 5]
Risolvi i seguenti sistemi. __
f2x —2 —(x + 1) + x2 > x(x —3) + 1
^
| 8x + y ( 4 - 15x) < 16
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[x> 1]
E97
10
DISEQUAZIONI LINEARI y X
EHI
12
5
EHI EHI EHI
—
+ -4 +
X
11
) —2x2 >
X
- 2x + 2 [impossibile]
x > x+ 2
1 11 x+ 1 3-x + 1 4 3 > 2x 4 (x + 2) (x —3) < (x + 1) (x + 5) —11
[x > 0]
(x + 10) (1 - 5 x ) + x > - 5 ( y - x ) 2+ 10
1
—I r < x < 250
- 6x . x —3x ( 4 — 4xì < ófx + ^ ^ 3 + 2
Determina quei numeri naturali il cui quadruplo è minore del loro doppio aumentato di 7.
[0; 1; 2; 3]
REI Trova il più piccolo numero dispari tale che la somma tra il suo doppio e il suo consecutivo sia maggiore ” di 25. [9]
EHJ
Quali valori può assumere la misura x del lato di un triangolo equilatero affinché il suo perimetro sia mino re dei y di quello di un quadrato di lato 3 cm?
P I
[x < 10]
I lati di un parallelogramma sono uno i -f- dell’altro. Stabilisci per quali valori della misura x del lato minore il semiperimetro del parallelogramma risulta maggiore di quello di un triangolo equilatero di lato 9 cm. [x > 12]
E Z Q G EUREKA!
Temperatura sotterranea La temperatura a x kilometri al di sotto della superficie terrestre è
espressa da T (x) = 30 + 25(x —3),
3
dove T è la temperatura in gradi Celsius. A quale profondità la temperatura sarà compresa tra 200 °C e 300 °C? fÀl 3 km < x < 15 km. [~b~]
[]f] 0 km < x < 3 km.
9,8 km < x < 13,8 km.
[T] Nessuna delle precedenti.
|T] 5,1 km < x < 9,4 km. [USA Catawba College NCCTM Mathematics Contest, 2007]
BEVI
EUREKA! La vasca Una vasca della capacità di 100 L è piena per metà. A un certo istante un rubinetto incomincia a versare acqua nella vasca, al ritmo di 10 L/min, e nello stesso istante viene aperto lo scarico, da cui fuoriescono 8 L/min. Dopo 7 minuti, viene aperto un secondo rubinetto, che versa 4 L/min nella vasca. Qual è Lintervallo di tempo, in minuti dall’istante iniziale, in cui la vasca è in grado di contenere l’acqua senza traboccare? [0 < t < 13]
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI ©Teoria a pagina 344 Risolvi le seguenti equazioni.
ETTI
|x + 2 |= 1 —x + 2 (l +3x)
[P i y (x + 3 ) = 1+
E98
1 2
x —| —2x+ l| = 3 [x = 0 Vx = 2]
P
3x + 11 + 2x | + 1 = x
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[impossibile]
DISEQUAZIONI LINEARI I ESERCIZI IN PIÙ
Risolvi le seguenti disequazioni. [ - 3 < x < 5]
EE3 |2 + x | - 3 x < 4
[x>-l]
03
2 x-|3x + 5 |> -1 0
ffE l
4+ x<|x|
[ x < - 2]
P
y + |2- x | > y x
KM1
EUREKA! Una gara di corsa Tra Pippo e Franco si sta svolgendo una gara di corsa lungo un percorso rettilineo. Sapendo che nel momento in cui Franco ha percorso 36 m dal via la distanza che separa Pippo da
Franco è pari a y della distanza dal via percorsa da Pippo fino a quel momento, che cosa si può dire di quest’ultima? Rappresenta il problema con un’opportuna equazione. x = distanza dal via di Pippo: | x —36 | = 4-x; x = 30mVx = 45m
RIEPILOGO EKlU VERO 0 FALSO? a. Una disequazione è lineare se l’incognita non compare al denominatore.
00
b. Se a < b, allora il triplo dell’opposto di a è minore del triplo dell’opposto di b. 5 _ 7x 3 c. — 2— —"4"* e 10 —7x < 3x sono disequazioni equivalenti.
00
d. x = —1 è soluzione di 8x + 5 < 3^x —y ì.
in iz i
m te
TEST Di quale tra le seguenti disequazioni l’insieme S = {x E R | x > 2} rappresenta l’insieme di tutte e sole le soluzioni?
E H Q
PÀI x + 5 > 2x + 3
|~b~|
x —3 < 2x —5
rei
x{x
—2) > 0
fb] x + 2 < 2x + 3
\ A CHECKER Risolvi le seguenti disequazioni.
P I
X <
T - T (x+D
Kllftl
4 + y X — 3^2 + y x ì <
P
T
+
X2 — x ( — 2 + x) + 1
X >
x <. 53
-(-!-)
EHM (2x —l)fx + y j + (x —1) (—x) < (x —2)^X + y j + 10
19 x< 5
P J
X <
1 - ( l , 2x - 2) + 0 , I ( x - 3 ) > (—0,2) (x —1)
EHM (y X + y ) ( x —y ) —
11
--- — + ^—X + y ) j X 3+ x ( 2 + y x j | 2 - y x j < y - - ( 2 x - 3 ) 2 X >
Studia il segno dei seguenti prodotti. EH
y ( x + 4)(x + 3)
EH
—(1 —2x) (5 —x)
EEIÌ ( l - y ì x ( x + l )
EH
-3x(y-3x)
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E99
10
DISEQUAZIONI LINEARI
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni. ^ 1 1 \ , „/ 2 , 1 / Y + y1( ,x +, 1) < 2x 41 y * —y ) + 31 -j-x + 2
REFI
5x
1 7 (1 +x) + 5 > 2( 5
[impossibile]
1 10 *
3a + 1 . 7 —n ^ 15 2 + “ 2 y [(a+ 2) ( a - 6) + 3] > 8a ( y a - 1 ) —24
REFI
[a < 0]
1(0,5 + x)3—1,16x2 < x 2(x + 0,3) x<
Ì l i ! ! (5x —0,5) (0,5 + 5x) + y > 25 (x + 1) ; 115x+6 _ j x _ L 9 _ < ^ _ ( x + 1 ) U _ 1 ) + _^_( 5 x + 1 ) ( 2 _ x)
REZI
(1—x) ( x 2 + 1+ x)
— 3 (x — 2)
[x>~1]
< —(1+ x) ( x 2 — x + 1) —6(x — 2) + 3 f y + 3x
(2 x — l ) 3 —(x+ l ) ( x - l)(8x + 2) < (6 —3 x ) ^ y x j —(3x —2)2
REE!
(2x - 3) (4 - 3x) + (1 - 2x)2 < - x(2x + 7) + 20x
*> 8
(x 2 —2) (—2 —x 2) —2x(3x —x 3) < (3 —x 2) 2 + 3x e h j
D
INVALSI 2008
Ha ]
Se x è un numero compreso tra 6 e 9, allora il numero (x + 5) fra quali numeri è compreso?
le 4
[b]
10el3
[c] 11 e 14
[ d]
30e45
Risolvi le seguenti disequazioni.
REFI
- I l + 2 x 1 - 3 < —8
REJil 3 > x
REE!
2
| 3a —4 | > 13
n rn 2 + 11 - 2x \ < 6
gli 6- 12+3x|>1 M I Determina quali numeri naturali, diminuiti di 1, sono minori della loro metà.
[x < —3 Vx > 2] [-5 < x < 6] a < —3 Va > y _ A < X< A 2
2
- y - x- i [0 ;
1]
M i Stabilisci quali numeri naturali sono tali che il loro triplo è minore o uguale al loro doppio aumentato di 2. ” [0; 1; 2] E H La somma di due numeri dispari consecutivi maggiori di 1 è maggiore del triplo del numero pari che pre cede il primo numero. Quali sono i due numeri? [3; 5] 03
L’ipotenusa i di un triangolo rettangolo è uguale ai y di uno dei cateti e supera di 2 cm l’altro. Per quali valori di i il perimetro del triangolo risulta maggiore di 24 cm?
E100
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[i >
10]
DISEQUAZIONI LINEARI I ESERCIZI IN PIÙ
03
In una circonferenza di centro O una corda AB è -y del raggio. Sapendo che la somma dei -y della corda con la metà del raggio non supera 121 cm, determina quale perimetro può avere il triangolo AOB. [0 cm < 2p < 180 cm]
00
INVALSI 2011 La relazione seguente esprime la spesa annuale per l’automobile, composta da una parte fissa e da una parte proporzionale al numero di km percorsi:
S = F + c ■k, dove F sono le spese fisse, c è il costo al km e A: il numero di km percorsi. Nella tabella sono riportate le spese fisse e il costo al km per alcuni tipi di automobile. Auto A
Auto B
Auto C
Auto D
Spese fisse F
900 euro
580 euro
650 euro
1200 euro
Costo al km c
0,25 euro/km
0,33 euro/km
0,27 euro/km
0,31 euro/km
a. Q Se percorro 10 000 km all’anno, quale auto è più conveniente? [~À~1 L’auto A.
[¥] L’auto B.
[c] L’auto C.
[6] L’auto D.
b. Il proprietario di un’auto di tipo A ha speso 3000 euro in un anno. Quanti km ha percorso? c. Q Se confrontiamo un’auto di tipo B con una di tipo D, possiamo dire che |~À~| è sempre più economico utilizzare l’auto di tipo B. |~b~] è sempre più economico utilizzare l’auto di tipo D. fcl l’auto di tipo B conviene fino a un certo numero di km annuali, oltre questo numero conviene l’auto di tipo D. |~d ]
l’auto di tipo D conviene fino a un certo numero di km annuali, oltre questo numero conviene l’auto di tipo B.
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E101
10 DISEQUAZIONI LINEARI
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ►Competenza 1 (abilità 3, A) i l Q VERO 0 FALSO? La disequazione 8x — (x + 2) < 3 —7 (1 —x): a. è equivalente a x + 2 —8x > — 3 + 7 (1 —x).
E E
b. è equivalente a 2) < 3 - 7 ( 1 - x ) - 8 x .
E E
-(x +
c. ha x = 0 tra le so lu zio n i.
E E
d. è v e rifica ta V x
E
e
K.
e. è im p ossibile.
E
E IB
Q TEST Solo una delle seguenti affermazioni riferite alla disequazione 7 (x — 1) < 8x è falsa. Quale? [ a] x — 0 è soluzione.
E
x = —7 non è soluzione.
fìTl È equivalente a 7x < 8x + 7.
Qj] È equivalente a 7x — 7 + 8x < 0.
Q TEST Solo uno dei seguenti sistemi non è impossibile. Quale?
x< 0 E
-x + 5 < 0
CHECKER
x —3x > 2
5x + 6 > 3x + 2 CU
E
x + 1 < —3
x + 8 > 10
x - 1> 0
Risolvi le seguenti disequazioni.
( x — 2 ) ( x + 2) — - y ( x + l ) 2 <
2 ^ yx — 3 ^ — 5
X <
5 * - l +. l - 5 * > i * + 2 ì i _ ( ± Jt_ 3 ^ ± JC_ 2j 3 ' 2 X — 1 1+x —x — < 0 2 4
X <
x ^ — x ~ 5
[impossibile]
(z - 5) (2z - l ) 2 - 4z(z2 - 5z) > - 4 z 2 + 21 z x —3 (x —5) + 4 (x —1) < 3(1 —2x) —6(—1 —x)
[x < - 1]
(2 —x)3 + 5(x —3) —x > —(x —l ) 3+ (3x —2) (x + 3)
x<~i
(x -3 )2 3
(2x —l ) 2 12
x —4 4
[x < 1]
- ( y + 2)(3 + y) > (2 - y ) 3+ (y + 1)(4 - y ) 2
[ y < - 30]
[V t e R]
(8 — t)2 — (t + 5 —t2)2 + (t2 + \ ) 2 - 2t(t2 + 6t - 13) > 21 (—^-x + 3j > —7x(—|- x + l)(x —"2") —(* ~ 3)2(x —1) + “4g'*2 + 2(x + 3)'
[x< 0]
(x2 + x —1) (x2 —x + 1) > x2(x —2) (2 + x) + 3x2
x ~~2
—15x(x —1) + 7(x —5) > - 3 ( 5 x - l ) ( x - 3 ) _ -v* 2x + i-± i-J 1 3 1 2
[ x < - l]
\2
< (x —1) (x + 1) + 4(x + 1)
[impossibile]
(3x —l ) 2 + 4(x —2) (x + 2) —2(3 —5x) (1 + x ) > 5 ( - 1 - 2x) (1 - 2x) + 3(x - 4)2 - 42 _3_( 77_ 4V 3
\,(2 _ x ) +\3
J_ \2 ( x _ , l _ \ ( l _ 2 X) \ 3 2 )( 2
x \ ^ 29 2 / . 3 ì ~ 36 x l4
(2H * ) 3_( T * +1)(1_T * 2) M ( T * +1)(2_Jf * 2)+ T J 366
4 —x > 3x E
2_ \2X 53
3 x ì + 18
[x> 1] >_4 \x < —4']
MENU DELLE COMPETENZE
1
- x ( x - 5 ) ( 2 x + 1) < 0
[-y < x < 0 V x > 5 ]
8 x (2 -x )(4 + 3x) > 0
x < - y VO < x < 2
Q
Nella seconda pagina della copertina
a(4a + 1 )(2 —-y ) < 0
[ - y < a < 0 V a > 8]
—5(x + 2) (1 —x)x2 < 0
[—2 < x < l , x / 0 ]
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni. 2(x —1) + 5x > 4
x2(x —6)
3(x —2) > 2x —5
K x < f
+
( '- i ) 3>
[1 < x < 4]
2 < x(4x —1) —(3 —2x):
4 x —1 + 2 ( x - 3 ) < 0 1/ 4x + 5 / 7 —2x 7 (* _ 3 ) ------ 3 < 6 llx —20 , 1 —x ^ 3 ----- 8-----+ 2 ~ x ~~4
[impossibile]
(a + 1) (a —2) < (2a + l ) 2 3 12
a
Ua + 1) (a —2) < a2 + 1 }7a + 5 ( a - 3 ) < 12a f (x+lK x
[a>-3]
1) > _ - i . ( 2 x + 1 )(2 -
x)
[x > 0]
[a > 12]
y [x(x —2) + 4x2] < x2
(3a + l ) y a > 2 ^ y a 2+ l) (1 —2x)2 —(1 —3x)(3 —x) + 5 < x(x —4) —8(x + 3)
[impossibile]
5 (x —2) —(x2 + 1) (—2) > (2x + 3 ) ( x + l) 2 - 9x
. 2 , (5x + 2)2 < 0 - x z+ 25 (3x + 2)(2 —3x) ^ 3_^2 U 1 > - y x 2 —( 2x — q
> 14 25
(1 - 10x)2> (7x+ l ) 2 + 2(5x —l ) 2+ x (x + 1) 1 '2 2x(l —x) < —2^x + y
x + y j
R I
4 -
x
+ | y
+ ^x )
>
x <- 15
( 5 x — 1 )(3 + x)
> y + 3x
(2 — x) + 3
•3 - X < “ 4
2x + y > y x - 4 (x —1)2 | (x + 1)2 3 1 2
6^
3) >
(x —1) (5x + 2) , 2 6 + 3 (*
3)
[x < 1]
y ( x —1) —(x2 + 1) (x2—1) > y (1 —x) —x4 —3(l —y xj (2x + 3) (1 —2x) + 2x (2 —x) + 6 (x —3)2 + 15 > 0
fi1
\ < < 2 25 - x - 3
J y L^ - - y x - 4 ( 2 - 3 x ) < y ( l - 4x) y (3 - 2x)2 + (2 + x) ( - 2 - x) <
Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni con valori assoluti. •1 |5x + 0,5| + | —4| —5 x—
1
- 2x + 1 - 1 = 0
_1_ 3 ] 10 ’ 10 | [impossibile]
EH
x < J S .y x Z J Z
I x - 4 | > 2-2 I 3x —1 —
y
| 2x + 11+ 1
11 17 ;
13 17 367
10 DISEQUAZIONI LINEARI m
2 3*
□
5a —2 — 6fl + 1 + 5 < 0
Q
TEST
l 1 —4x\ + 2 + x | —3 1
oU’ 13 [a < - 8 Va > 2)
+ ^5-12 —x I > -è- (4 —x)
H
m - 12y + 11+ -jr > | 5y | + 1
[ x ± 0]
[impossibile]
Solo una fra le seguenti disequazioni non è impossibile. Quale?
[ a]
— 2Ì x — 5 1 >
[ b]
Ijc+ 3| < —1 —11
3
[c]
-Il+|x|| <
1
un | * |+ 216+* |—i < —2
►C om petenza 3 (abilità U)
EHI Determina il numero naturale che risulta minore di 60 se aumentato del 20%, maggiore di 60 se aumentato del 25%. [49] | Determina i numeri naturali per i quali la differenza tra i quadrati del numero e del suo successivo è: a. maggiore del numero stesso; c. minore o uguale alla somma tra —1 e la metà b. maggiore o uguale a - 1 ; dell’opposto del numero stesso. [a) impossibile; b )n = 0 ; c ) V n G N ] EVJ
In una località turistica invernale sono state registrate le seguenti temperature massime giornaliere dal lunedì al sabato: + 2 °C, +1 °C, - 1 °C, - 3 °C, - 3 °C,0°C. Quale dovrebbe essere la temperatura minima rilevata alla domenica per poter dire che la media delle temperature della settimana non è stata inferiore a 0 °C? [almeno 4 °C]
T e m p e ra tu ra m e d ia
Tommaso ha deciso di noleggiare un camper da 4 posti per fare un viaggio con la sua famiglia. Si informa sui prezzi e scopre che la prima società di autonoleggio chiede una quota fissa di € 230,00 più € 90,00 per ogni giorno di noleggio, mentre la seconda società chiede solo € 115,00 al giorno. A partire da quale giorno è più conveniente noleggiare il camper della prima società? [dal 10° giorno]
BAH N o le g g ia re u n ca m p e r
EVI
INVALSI 2011 L’insegnante di inglese dà ai suoi studenti un test formato da 25 domande e spiega che il punteggio totale p è calcolato assegnando 4 punti per ogni risposta esatta e togliendo 2 punti per ogni rispo sta sbagliata o mancante.
a. Il punteggio massimo possibile è b.
Scrivi la formula che fornisce il punteggio p complessivo, indicando con n il numero di risposte esatte.
c. Se la sufficienza si ottiene con più di 60 punti, qual è il numero minimo di domande a cui occorre rispon dere correttamente per avere la sufficienza? H ll
368
Un autocarro con una massa di 12 tonnellate (vuoto) deve trasportare una partita di piastrelle e durante il tragitto deve transitare su un ponte con il limite di peso indicato in figura. Sapendo che le piastrelle vengono imballate su pallet da 500 pezzi ciascuno e che la massa della singola piastrella è di 1,28 kg, determina il numero massimo di pallet che è possibile caricare. (Trascura la massa di pallet e imballaggi.) [12] I I tra s p o rto d i p ia s tre lle
MENU DELLE COMPETENZE @
P I
Nella seconda pagina della copertina
Le tariffe applicate dall’azienda di trasporti pubblici di una città sono riportate in tabella. Tipologia biglietto corsa semplice carnet di 8 corse semplici abbonamento mensile abbonamento annuale
Durata 75 minuti 75 minuti Luna 30 giorni 365 giorni
Tariffa (euro) 1,30 9,50 35,00
a. Quanti viaggi bisogna compiere ogni mese perché la scelta dell’abbonamento mensile sia più convenien te di quella della corsa semplice? b. Quanti viaggi bisogna compiere ogni mese perché la scelta dell’abbonamento mensile sia più convenien te di quella del carnet di 8 corse semplici? c. Completa la tabella con la tariffa mancante in modo che, per uno studente che utilizza i mezzi di traspor to per i 204 giorni dell’anno scolastico, l’abbonamento annuale sia più conveniente rispetto ai carnet di 8 corse. [a) almeno 27; b) almeno 30; c) meno di 484,50 euro] m
Si vuole realizzare una piscina avente la forma riportata in figura. Quanto deve misurare la lunghezza massima AB della piscina se il suo perimetro non deve superare i 30 m? [circa 12,6 m] 4x
PI
Da un rettangolo con i lati che misurano 5 cm e 7 cm viene ritagliato un triangolo, come in figura. Determina quali valori può assumere x affinché l’area del trapezio AECD sia 4 minore dei y dell’area del rettangolo ABCD. [2,8 < x < 7]
| Nel triangolo isoscele ABC, con base BC di 68 cm, l’altezza BH divide il lato AC in due parti, AH e HC, in modo tale che CH supera AH di 22 cm. Quale lunghezza deve avere CH affinché il perimetro del triangolo ABC non sia superiore a 160 cm? [28 < C H < 34]
PI
Considera un esagono regolare di lato (2a) cm, un pentagono regolare di lato (3a —2) cm e un quadrato di lato (5a + 1 ) cm. Determina i valori che può assumere a affinché: a. il quadruplo del perimetro dell’esagono sia maggiore della somma tra il perimetro del quadrato e il dop pio del perimetro del pentagono; b. la differenza tra il perimetro del pentagono e il semiperimetro del quadrato sia compresa tra 8 cm e 18 cm. a)y
3
Un rettangolo ha i lati di lunghezza (5x —2) cm e (2x + 3) cm. Trova i valori di x affinché: a. il perimetro del rettangolo sia maggiore di 9 cm; b. il semiperimetro del rettangolo sia compreso tra 8 cm e 10 cm; c. l’area del rettangolo sia maggiore o uguale ai
y
dell’area del quadrato di lato (2x +
1)
cm.
a) x > y ; b) 1 < x < y ; c) x > y -
369
10 DISEQUAZIONI LINEARI
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE
TUTgR
PROVAA
(10 esercizi)
PROVA B
(10 esercizi)
© IN MEZZ’ORA
►Competenze 1, 3
PROVA C
© IN UN'ORA
Solo una delle seguenti disequazioni non è impossibile. Quale?
4/ ,^ x+4 ^ x , ^ - j ( - x + 2 ) ------g
I~a1 2x < —( 1 —2x)
(x —3) (3 + x) —4x > (x — 2)2+ 2
TEST
m
> y +2
Risolvi il seguente sistema di disequazioni.
-i- ( ^ + 6) - 1 < 1 ± ^ L
f(x + 1)(2 —x) > —(1 + x2) I~c1 7x + 6 < 4 ( 1 + 2x) —x [~d~I — 3 x + l < —
|2[2x - ^ ( x - 2)] > 1
2(2x—l ) + x Un rettangolo ha un lato che è il 60% dell’altro. Quali valori può assumere la misura del lato maggiore del rettangolo affinché il suo perime tro risulti maggiore di quello di un esagono regolare di lato 8 cm?
Risolvi le seguenti disequazioni. B
2 ( x - 1) + 5(1 - x ) < - ( x + 2)
PROVA D
►Competenze 1, 3
© IN UN’ORA
VERO 0 FALSO?
(x - 1 < 3 c. Il sistema j è impossibile. [2x —8 ^ 0
a. ~2 è soluzione della disequazione 4a — 5 < —3.
S E d. L’equazione | 3x —4 1+ 2 = 0 è impossibile.
b. La disequazione 2x —4 — 3 (x + 2) < —x è verificata V
x g
R.
S E
Risolvi le seguenti disequazioni.
n
6x —1 ~~4
B
- j ( x - - j ) ( l ~3x)
D
7x - 12x + 11< 1
B l
Risolvi il seguente sistema di disequazioni,
( 1 \2 / (2x+ 1)(1 - 2x) V +T/ 8 > 0
x [(x —0,5) (0,5 + x) + 3x] > (x + 1)3 —3x |(x -6 )> -8 (x -|)-(l-f) Trova l’intervallo dei numeri reali che verificano entrambe le condizioni: a. la differenza fra il triplo e la metà di un numero è minore del numero aumentato di 2; b. la somma tra 2 e la terza parte del numero è maggiore della differenza tra il numero e 4. 370
E E
E E
MENU DELLE COMPETENZE ©
PROVA E ►Com petenze
Nella seconda pagina della copertina
1, 3
0 IN UN’ORA
I c o m p iti d e lle vacanze
Una professoressa assegna i compiti delle vacanze a ciascuno studente in base alla media dei suoi voti, secon do i criteri indicati a lato. Fino ad ora Guido ha ottenuto le • media/ > 9: noivfarà, ò compiti; seguenti valutazioni: 4; 7,5; 8,5; 10; e gli manca ancora una • 8< media/ < 9:farà/ Li 30% dei verifica da fare. totale/ d ei compitò prevòsti; a. Calcola che voto dovrebbe prendere Guido per fare, al • 75 media/ < 8: 50% d ei compitò; più, il 50% dei compiti. • 6 < media/ < 7: 70%> d ei compitò; b. Calcola se ha qualche possibilità di fare solo il 30% dei • media/ < 6:farà/ tu tti ò compitò. compiti. c. Considerando che il voto minimo che la professoressa assegna è 1, calcola se potrebbe trovarsi a svolgere il 100% dei compiti.
PROVA F ►Com petenze
1, 3
0 IN UN’ORA
M a g lio n i a rtig ia n a li
Luisa progetta di vendere maglioni fatti a mano. I suoi conti si basano sui dati riportati a lato. a.
Quanti maglioni deve confezionare e vendere in un mese per guadagnare almeno € 800?
b.
Luisa vuole lavorare al massimo per 6 ore al giorno per 5 giorni alla settimana; in quanto tempo dovrà produrre ogni maglione per raggiungere questo obiettivo? (Considera il mese formato da 4 settimane.)
prezzo dò vendita/per maglione: €130 affitto mensile negozio-Laboratorio: € 1000 tasse tjUAHtficabili: 22 %>dei ricavo mensile costo lana/. €215 per confezionare 9 capi
c. Dato che in realtà impiega circa 4 ore per completare un golf, riuscirà a guadagnare almeno € 600 al mese? d. A quanto dovrebbe vendere ogni maglione per guadagnare almeno € 600 al mese?
PROVA G ►Com petenze
1, 3, U
0 IN UN’ORA
Bed & B re a kfa st
Luca e Giovanni vorrebbero adibire a B8cB l’appartamento in centro a Roma che condividono. Fissano il prezzo di pernottamento e cola zione sulla base di una prima valutazione dei costi. a.
b.
Considerato che possono ospitare al più cinque clienti per volta, stima il numero minimo di persone che devono ospitare media mente al giorno nei mesi estivi (150 giorni) per poter coprire alme no i costi di gestione della casa (pari a € 12000 annui). Calcola l’utile che possono ottenere, nelle condizioni del punto precedente, al netto delle spese di gestione della casa.
c. Volendo aggiungere il servizio Wi-Fi nelle stanze, dovrebbero sostenere una spesa aggiuntiva di € 50 mensili (per tutto l’anno) e, appoggiandosi a una ditta di pulizie esterna, un’ulteriore spesa di € 300 al mese. Valuta se il loro progetto è ancora attuabile. d.
prezzo per diente: € 30 0/ notte + colascione spese sostenute: € 9 0/persona//piorno per pulizia/ biancheria/ € 5 0/personoz/piorno per colascione 20%> d i tasse suipnadapno totale
Compila un foglio di calcolo che ti permetta di risolvere i punti precedenti, con la possibilità di variare il prezzo di pernottamento e i costi vari.
371
FUNZIONI NUMERICHE 1. SE LE VARIABILI SONO REALI DEFINIZIONI ©
0
A rea i function of a rea i variable
is a fu n ction w hose dom ain and codom ain are subsets of thè reai line.
Esercizi a pagina 382
Riprendiamo alcuni concetti già esaminati nel capitolo 6. Una funzione è reale di variabile reale se il suo dominio e il suo codominio sono sottoinsiemi di R. Il grafico di una funzione è l’insieme di tutti i punti del piano cartesiano le cui coor dinate (x;y) soddisfano l’uguaglianza y = f ( x ), espressione analitica della funzione. Di solito, consideriamo la funzione definita nel suo dominio naturale, ossia nel più ampio dominio possibile che, per brevità, chiameremo anche dominio della funzione.
RICERCA DEL DOMINIO NATURALE ©
Esercizi a pagina 383
Se conosciamo l’espressione analitica della funzione, determiniamo il dominio natu rale ponendo le condizioni di esistenza dell’espressione.
espressione a n a litic a
/ y=x-
2
X
y
-1
-3
0
-2
2
0
3
1
ta b e lla
Teniamo conto che per l’esistenza di: • una frazione, il suo denominatore deve essere diverso da zero; • una radice con indice pari, e in particolare una radice quadrata, il radicando deve essere positivo o nullo. ►a. y - x _ 5 , x - 5 ^ 0
*x^5; 7
b. y —Vx + 3, x + 3 > 0 - * x > —3. 7
d o m in io
RICERCA DEGLI ZERI ©
d o m in io
Esercizi a pagina 384
Gli zeri di una funzione sono i valori della variabile indipendente x in corrispondenza dei quali la variabile y dipendente si annulla. ►Cerchiamo gli zeri di y = (x + 3) (x —4), cioè i valori di x per cui y = 0:
Negli esercizi affrontia mo anche lo studio del segno di una funzione, cercando i valori di x in corrispondenza dei quali y è positiva o negativa.
* x + 3 = 0 — x = —3 (x + 3) (x —4) = 0
—3 e 4 sono gli zeri della funzione. ^ x —4 = 0 — x = 4
legge di a n n u lla m e n to d e l p ro d o tto
ESERCIZI PER COMINCIARE Determina il dominio naturale delle seguenti funzioni: 3x+ 1 , 2 b. y = 3x(x + 2) ’ y= Determina gli zeri delle seguenti funzioni 1 b. y = —2x(x + 5)(3x —1); a- y = —4 x - 2 ; n u 372
Studia il segno di y = —x(x — 4)(—x —1).
= V2x - 5 +
C.
y = \ J X+ —
2. FUNZIONE COMPOSTA E FUNZIONE INVERSA
2. FUNZIONE COMPOSTA E FUNZIONE INVERSA
TEORIA
r~j The composition of two " functions f and g, such that g[x] lies in thè domain of f for every x in thè domain of g, is thè function
y = f[g M).
FUNZIONE COMPOSTA
© Esercizi a pagina 386
Date le funzioni f e g, a ogni x del dominio di g associamo il corrispondente valore g(x) e a ogni valore così ottenuto, se appartiene al dominio di /, associamo il valore che gli corrisponde m ediante/ La funzione così ottenuta si chiama fu n z io n e co m p o sta f ° g ( s i legge:/composto g). La indichiamo anche con y =f(g(x)). In modo analogo, definiamo la funzione composta g ° f, cioè y —g(f(x)). In generale, f ° g e g ° f non sono la stessa funzione: f ° g ^ g ° f -
prima a operare
f°g t
seconda a operare
Date le funzioni f ( x ) — 4x e g(x) — x 2 + 2, determiniamo l’espressione analitica di f ° g e g ° f.
g(f(x)) = (4jc) 2 + 2 = 16x2+ 2
f(g(x)) = 4(x2 + 2) = 4x2+ 8
FUNZIONE INVERSA G
Esercizi a pagina 386
Una funzione è invertibile, cioè la sua relazione inversa è ancora una funzione, solo se la funzione è biiettiva. Per capire se una funzione è invertibile, possiamo utilizzare il suo grafico. ►y = 2x è invertibile perché è biiettiva: a ogni x corrisponde un solo y e viceversa (figura a). ►y = x 2 non è invertibile perché non è iniettiva e quindi non è biiettiva: a un valore àiy corrispondono due valori di x (figura b). Se conosciamo l’espressione analitica y = f(x) di una funzione invertibile, ottenia mo quella della sua funzione inversa f ~ l ricavando x in funzione di y e scambiando le variabili, perché la variabile indipendente diventa quella dipendente e viceversa. ►Per ottenere la funzione inversa di y =f(x) = —2x: ricaviamo x
y ——2x — 2x ——y — x —— ^
scambiamo le variabili
da cui:
y —f ~ l(x) ——
ESERCIZI PER COMINCIARE il
b. funzione non invertibile
Date le seguenti funzioni/e g, determina f ° g e g ° f 4 a. f(x) = x + 6, g(x) = — ; b . f(x) = x - 1, g(x) = x \
WtM Q P T m C o m p o s iz io n e d i fu n z io n i Date le funzioni f(x) = x 2 e g(x) = x + 3, illustra con diagrammi a frecce come quelli dell’esempio come operano g ° f e f ° g . Determina le espressioni analitiche delle due funzioni composte. 373
11 FUNZIONI NUMERICHE
3. PROPORZIONALITÀ DIRETTA E INVERSA PROPORZIONALITÀ DIRETTA ©
Esercizi a pagina 387
Una funzione è di p ro p o rz io n a lità d ire tta se la sua espressione analitica è del tipo: y = mx,
f y l A fu n ction re p re se n ts direct pro p o rtio n a lity if it can be represented by an equation in thè fo rm y - mx, w h e re m is not 0 .
con m e R e i t i ^ O .
Sono funzioni di proporzionalità diretta: ►
y = 8x, y = - x , y = - y x .
In una funzione di proporzionalità diretta y — mx, le variabili x e y sono d ire tta m e n te p ro p o rz io n a li. Il rapporto fray e x, quando x ^ 0, è costante: y = mx — yy = m, se x ± 0.
y =5 x 3
È anche vero che y _ 2y _ 3y _ 4y _ x 2x 3x 4x
’
quindi, se il valore attribuito a x raddoppia, triplica,..., anche il valore corrispondente di y raddoppia, triplica,... Il grafico di una funzione di proporzionalità diretta è una retta passante per l’origine.
Disegniamo per punti il grafico di y = \ x . Osserviamo che, ogni volta che x aumenta di 1, y aumenta di y .
Il rapporto — — m indica la pendenza della retta rispetto all’asse x, cioè di quanto co e fficie n te a nqolare
aumenta y se x aumenta di 1. Diciamo anche che una retta passante per l’origine ha equazione y — mx e m e il coef fic ie n te a ng olare della retta.
PROPORZIONALITÀ INVERSA ©
Esercizi a pagina 389
Una funzione è di p ro p o rz io n a lità in ve rsa se la sua espressione analitica è del tipo: y —~ ,
374
con k e R e k ± 0.
\
y —mx
Sono funzioni di proporzionalità inversa:
y = ^r>y =
y=-
o o_ zLU
3. PROPORZIONALITÀ DIRETTA E INVERSA
TEORIA
Data una funzione di proporzionalità inversa y —— : • il suo dominio è x 7^ 0; • le variabili x e y sono inversamente proporzionali; il loro prodotto è costante,
xy = 360
k ^ xy = k. L y =— È anche vero che
x y = (2x) ( ^ y ] = (3^ ) ( y ^ ) = ... = k; quindi, se il valore attribuito a x raddoppia, triplica, ..., il valore corrispondente d iy diventa la metà, un terzo,... Il grafico di una funzione di proporzionalità inversa è un’iperbole equilatera.
In figura è rappresentato il grafico di y Rettangoli come quelli segnati, con uno dei vertici x; — ) che appartiene al grafico e il vertice opposto nelforigine, hanno tutti area costante uguale a 8, perché le misure dei loro lati corrispondono ai valori assoluti delle coordinate di punti del grafico.
ESERCIZI PER COMINCIARE n
Q
m
Nella figura è rappresentato il grafico di una funzione. Deter3 mina l’espressione analitica della funzione, le immagini di —3 e di - y , le controim-
magini di -y e di — . Rappresenta i punti corrispondenti ai valori determinati.
Proporzionalità diretta Un’automobile consuma 46 litri di benzina per percorrere 667 km. Quanti kilometri percorre con 34 litri di benzina? E quanti litri consuma per percorrere 1073 km? Determi na l’espressione analitica della funzione che lega le variabili in gioco. K É Q W ffT l Proporzionalità inversa Per percorrere la distanza fra due città, un treno viaggia a 112 km/h e impiega 3 ore. Quanto tempo impiegherebbe viaggiando a 192 km/h? E a quale velocità percorrerebbe la stessa distanza in un’ora e 20 minuti? Determina l’espressione analitica della funzione che lega le variabili in gioco.
375
11 FUNZIONI NUMERICHE
Una funzione è lineare se la sua espressione analitica è del tipo:
.
y = 3x + 7 y = 5x
q=
o
11 e
con m, q G R.
II
y — mx + q,
Sono funzioni lineari: Os
L U Z o ISI z L i.l LL Q
© Esercizi a pagina 392
ESEMPIO
4. FUNZIONI LINEARI
0 : la fu n zio ne è di p ro p o rzio n a lità d ire tta
Per rappresentare nel piano cartesia □ E no la funzione lineare y = mx + q, consideriamo y — mx, equazione di una retta passante per l’origine. Aggiungendo all’ordinata di ognuno dei suoi punti la costante q, otteniamo il grafico cercato, che è una retta parallela a quella di equazione y — mx. L’equazione y = mx + q è rappresentata da una retta di c o e fficie n te ang olare m. q è l’ordinata del punto in cui la retta interseca l’asse y, che ha ascissa 0; è detta o rd in a ta a ll’o rig in e .
co e fficie n te a nqolare \
y = mx + q / ord in a ta a ll o rig in e
Due rette con lo stesso coefficiente angolare m sono parallele. ►Disegniamo i grafici di y = —2x + 3 e y = —2 x — 1. Sapendo che sono rette, per rappresentarle, basta determinare per ognuna due punti. Per esempio, nella figura a fianco abbiamo segnato i punti (0; 3) e (3; —3) per il grafico della prima funzione e (0; —1) e (—3; 5) per quello della seconda, poi abbiamo tracciato le rette. Se m = 0, la funzione diventa y = q: a ogni valore di x associa q. Il grafico corrispon dente è una retta parallela all’asse x. In particolare, l’equazione dell’asse x è y — 0. ►y = 4 ha per grafico una retta, costituita da tutti i punti con ordinata 4. yA
U_____ y = U
0
y=
0
x
ESERCIZI PER COMINCIARE X
-1
y
-5
0
1
2
1
U
DQEBB9
Verifica che i valori delle variabili della tabella sono in dipen denza lineare. Determina l’espressione analitica della funzione.
-2
Dopo aver rappresentato nel piano cartesiano le rette passanti per le coppie di punti ( - 2; 0), (0; 3),
( - 3; 0), (0; 3),
(2; 0), (0; 4),
scrivi le loro equazioni. Rappresenta poi la retta di coefficiente angolare 2 e passante per (1; 0) e scrivi la sua equazione. 376
5. FUNZIONI DEFINITE A TRATTI I TEORIA
5. FUNZIONI DEFINITE A TRATTI O Esercizi a pagina 394
Le fu n z io n i d e fin ite a t r a t t i sono funzioni definite con espressioni analitiche diverse in sottoinsiemi diversi del loro dominio. Rappresentiamo il grafico della funzione: — Y + 1 se x < 0 se 0 < x < 3 y =\1 x —2 se x > 3
Esaminiamo un esempio di funzione definita a tratti contenente un valore assoluto. ►Rappresentiamo il grafico della funzione: 3 se x < ~2 y = /(x) = ■ —2x + 4 1se x > -y Per 4 - < x < 2 la funzione ha grafico coincidente con quello di y = —2x + 4, mentre per x > 2 il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse x di quello di y = —2x + 4.
ESERCIZI PER COMINCIARE I l
Scrivi le espressioni analitiche delle funzioni rappresentate dai seguenti grafici.
ANIMAZIONE
Rappresenta le seguenti funzioni definite a tratti.
- j x se x < 0 —x se x > 0
1
[3x—1 se 0x + 3 se se 2
X X X
< 1 = 1 > 1
2 —x se x < 0 2 se 0 < x < 1 y=—X se x > 1
377
11 FUNZIONI NUMERICHE 6.
PROPORZIONALITÀ QUADRATICA E CUBICA
A fu n ction re p re se n ts a q u a d ra tic re la tio n if it can be w ritte n in thè fo rm y = ax2.
Esercizi a pagina 396
Una funzione è di p ro p o rz io n a lità q u a d ra tic a se la sua espressione analitica è del tipo: y = ax2,
con a
l, a f 0.
Sono funzioni di proporzionalità quadratica: rJ 2 y — = 5x ,y
—.
xv-2 3 •
ESEMPIO
PROPORZIONALITÀ QUADRATICA ©
In una funzione di proporzionalità quadratica y = ax , il rapporto fra y e x 2, quando x / 0, è costante: y
y
y = ax2 ■— = a.
X2
_ * se x x 0
X
^2
È anche vero che
y
4y _ 9y (2x)2 (3x)'
1 2 y 28
— ... — a;
18
quindi, se il valore attribuito a x raddoppia, triplica,..., il valore corrispondente di y diventa 4, 9, ... volte più grande. Il grafico di una funzione di proporzionalità quadratica è una parabola con il vertice nell’origine degli assi.
Esercizi a pagina 398
Una funzione è di p ro p o rz io n a lità cu bica se la sua espressione analitica è del tipo: y = ax2,
con a
l, a f 0.
Sono funzioni di proporzionalità cubica: X3
^
3
y = ~T>y=- 2x3.
ESEMPIO
PROPORZIONALITÀ CUBICA ©
ESERCIZI PER COMINCIARE Rappresenta per punti y = ~^x2, y = x2, y = 2x2, e y = —^-x2, y —~ x 2, y = —2x2. Come varia il grafico al variare del coefficiente di x2? WfA
378
Verifica che i valori delle variabili della seguente tabella sono in proporzionalità quadratica. Traccia il grafico della funzione e determina la sua espressione analitica. 2
3
A
2
3
8
6
7. FUNZIONI CIRCOLARI
7. FUNZIONI CIRCOLARI ANGOLI ORIENTATI G
TEORIA
[7^1 The functions sine of alpha, cosine of alpha and tangent of alpha are also called circu la r functions.
Esercizi a pagina 400
Nel piano cartesiano xOy disegniamo una circonferenza con raggio che misura 1 e centro nell’origine. La chiamiamo circo n fe re n za g o n io m e tric a . Consideriamo sull’asse * la semiretta OA, di origine O. Gli angoli a e 3 della figura b sono a n g o li o rie n ta ti: • la semiretta OA viene presa come primo lato o lato origine dell’angolo; • si pensa di ottenere il secondo lato dal primo con una rotazione. Se la rotazione è in senso antiorario, l’angolo è di ampiezza positiva; se è in senso ora rio, l’ampiezza è negativa. ►Nella figura b: a = + 30°, $ = —60°. Legare il concetto di angolo alla rotazione del primo lato fino a ottenere il secondo permette anche di considerare angoli maggiori di 360°. ►L’angolo 7 della figura sotto è di 510°. È ottenuto facendo ruotare in senso antiorario la semiretta OA di un giro comple to e poi di ulteriori 150°: 510° = 360°+ 150°.
FUNZIONI CIRCOLARI G
Esercizi a pagina 400
Disegniamo l’angolo a e segniamo sulla circonferenza goniometrica il punto P, intersezione con il secondo lato di a. Definiamo tre funzioni di a, dette fu n z io n i c irc o la ri.
Chiamiamo: • seno
di a la funzione che ad 01 associa^; la indichiamo con s in a ;
di a la funzione che ad a associa xP; la indichiamo con cos a ; yp • ta ng en te di a la funzione che ad a associa , se x P ± 0; la indichiamo con ta n a . • coseno
s in a
= yP
cos a
= xP
ta n a =
yp XP
379
11 FUNZIONI NUMERICHE Seno, coseno, tangente di angoli particolari Osservando la circonferenza goniometrica (figura a fianco), otteniamo la tabella rela tiva ad angoli particolari.
0
o o o
O o
a sin a
180°
1
0
270° -1
cosa
1
0
-1
0
tana
0
A
0
A
Relazioni fra seno, coseno e tangente Dalle definizioni date ricaviamo che: sin a ,n ta n a = CQsa , se cosa f 0. Inoltre, considerato il triangolo rettangolo OPA della figura, per il teorema di Pitagora: s in 2a e cos2a sig n ifica n o ( s in a ) 2 e (c o s a ) 2
sin2a + cos2a = 1.
Caratteristiche delle funzioni seno e coseno I grafici delle funzioni seno e coseno sono detti sinusoide e cosinusoide.
Le funzioni seno e coseno hanno dominio R e codominio —1 < y < 1. Sono funzioni periodiche di periodo 360°, perché: sin* = sin(x + 360°),
cosa:
= cos(x + 360°).
Pertanto le parti dei loro grafici corrispondenti a intervalli di 360°, come quelle segna te in giallo nella figura, si ripetono con le stesse caratteristiche. Caratteristiche della funzione tangente Il grafico della funzione tangente è detto tangentoide. La funzione tangente non esiste per x = 90°, 270°, 450°,... e gli ana loghi angoli negativi. Tutti questi angoli possono essere indicati con la scrittura sintetica 90° + /cl80°,
con k B Z.
Quindi il dominio della funzione tangente è: a; f
90° + k 180°,
con k
G
Z.
Il codominio della funzione tangente è R. La tangente è una. funzione periodica di periodo 180°, perché: tan x = tan (x -I- 180°). Puoi verificarlo nel grafico, osservando che la parte segnata in giallo si ripete con le stesse caratteristiche. 380
7. FUNZIONI CIRCOLARI
TEORIA
F u n z io n i g o n io m e tric h e e c a lco la trice
Puoi ottenere i valori delle funzioni goniometriche utilizzando i tasti sin, cos, tan della calcolatrice. I valori forniti sono spesso valori approssimati. Noi li utilizzeremo con un’ulteriore approssimazione alla seconda cifra decimale. ►cos 30° ~ 0,87;
sin45° ~ 0,71;
ta n 60° ~ 1,73.
Nella calcolatrice ci sono anche i tasti sin~', cos~‘, tan~] per le funzioni inverse. ►Con la calcolatrice ottieni: sin-1 0,5 = 30°. Come puoi vedere nella figura, sulla circonferenza goniometrica ci sono due angoli, compresi fra 0° e 360°, il cui seno è 0,5. Sono 30° e 120°. La calcolatrice fornisce solo il valore 30° perché utilizza come codominio di sin-1 l’intervallo fra —90° e +90°.
FUNZIONI GONIOMETRICHE E TRIANGOLI RETTANGOLI @ Esercizi a pagina 401
In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale: • alla misura dell’ipotcnusa per il seno dell’angolo opposto al cateto;
c, = i • sin p
• alla misura dell’ipotcnusa per il coseno dell’angolo adiacente al cateto;
c,
= i • cos a
• alla misura dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto.
c,
= c • tan p
c, □___________ Ci
2
Calcoliamo le misure dei cateti del triangolo della figura utilizzando la calcolatrice.
c
AB = CB sin ACB = 12 sin 25° ~ 12 0,42 = 5,04;
25A Vi 2
AC = CB • cos ACB = 12 • cos25° ~ 12 0,91 = 10,92. A
ESERCIZI PER COMINCIARE B 1 Rappresenta sulla circonferenza goniometrica i seguenti angoli orientati. 90°; WM
-270°;
540°;
-135°;
405°;
810°.
Dopo aver disegnato il grafico della funzione seno, riassumi le sue caratteristiche. Scrivi la relazione che lega sin a a: a.
sin(180° —a);
I ANIMAZIONE
b.
sin(180° + a);
c.
sin(360° —a).
Ripeti l’esercizio precedente, ma per la funzione coseno. 381
FUNZIONI NUMERICHE
ESERCIZI 1. SE LE VARIABILI SONO REALI DEFINIZIONI
® Teoria a pagina 372
Indica quali dei seguenti grafici rappresentano delle funzioni e, in caso affermativo, specifica il dominio e il codominio.
BB Q
VERO 0 FALSO?
Analizzando il grafico della funzione/(x) puoi dedurre che:
a. l’immagine di 0 è 1.
s m
b. il dominio è D = { x E l R | x < 6}.
E E
c. il codominio è C — {y G R | j > 0}.
E E
d. /(2 ) = 0, /(4) = 3, /(6) = 3.
S IZ I
e. f ( x ) non è iniettiva.
S S
K B Rappresenta il grafico delle seguenti funzioni utilizzando almeno cinque punti. a. y — A —x
c. y = 6x
b• y
d- y
= ~2 x
/ « > ) ,/ ( - 3) . / ( y ) . / ( ! ) . COMPLETA
considerando la funzione
C(—5; 0) appartengono al grafico della funzio-
BiB Q EUREKA! Corrispondenze Quale tra le se guenti funzioni può rappresentare la legge di corrispondenza della tabella? X
f(x) = 7x — 5.
y = 0. / ( —2) = I___J.
1
2
3
31
1
11
2
6
25 6
13
6
[3 ]
[ j]
7
1 +y
2
[c ]
+
382
0
l—l 7 1 1A 1 y = —j x - ^ 2
Nella funzione /(x) - 2x3+ kx2+ \ J — 3 è /(!-) = - y . Trova k.
-2
I li
b- / ( T ) = l— J>A - J ) = i ,fh___D = - i . D
— 2")*
= -4x2
__ x3 B B Data la funzione /(x) —— y — 4x2+ x, calcola
p
B B Verifica se i punti A (2; —3),
1 2
7 J_ \j l \ X = “ T * + 6
1. SE LE VARIABILI SONO REALI
YOU &MATHS
Q
ESERCIZI
Same inputs, same outputs Consider thè following functions:
f ( x ) — 2x —4, g(x) — 2x + 4, h (x) — 9x + 3. Are there inputs that give thè same outputs for functions/and g? And for functions/and h? And for g and hi
RICERCA DEL DOMINIO NATURALE
&Teoria a pagina 372
Determiniamo il dominio naturale di: a. y = ■ j 2 ^ 3 T ^ - h- y = V ^ a' ^
8 -V to .
______ X (2x — 32) x
Non semplifichiamo la x a numeratore con quella a denominatore: il dominio naturale va ricercato pri ma di fare qualsiasi calcolo nella funzione. Per l’esistenza di una frazione il denominatore deve essere diverso da 0: (2x— 3 2 ) x / 0
— 2 x —3 2 / 0 A x / 0 ^ x / 1 6 A x / 0 .
legge di a n n u lla m e n to d e l prod o tto
Il dominio naturale è: D = jx e R | x ^ 0 A x / ló j. b. y = \Ix — 8 —V 4x Per l’esistenza di una radice quadrata occorre porre il radicando maggiore o uguale a 0 e le due radici devono esistere contemporaneamente: x-8 > 0 4x> 0
x> 8 x> 0
x > 8.
Il dominio naturale è:D = j x e R | x > 8 j .
Determina il dominio naturale delle seguenti funzioni. 1
y = T x+1’ y = x = 2 . n~ 16 8 y = V4x; 7 = ^ ; y= x(x_ 5).
P U
y
1__ 7x+9;
y
=
y
1 x2 *
2 yx + 2 ; y
3
_ ^
x
y
=
^
i
; y=
1 ■ x(x-3) 4X
ESEMPIO DIGITALE
y = 2x x;
y
y
1 8x 3
»
y
( x - l)2 '
2x x(x —l)(x —3 ) ’
y
9x — 6 ’
y
y = Vx + 3 ;
2x2
y = ^ ~ 2^ -
y = x f f ; y = x(x-4)2■
y = V I + V ^ 6;
9 x ( x +6 ) '
x— J_
V 8 -4 x y = v r ^~x + ^ k ;
2 y 3x —6 }y
y = T+ tey= ~ i ^ W -
[o < x < 1; -j- < x < 2; Vx e Ri [x > —3; x < 0, x 7^—9; x 7^ 0, x 7^ 4] |x > 6; x ^ 0, x ì —2"; x 7^ 3j
383
11 FUNZIONI NUMERICHE F ili
LJ TEST Quale delle seguenti funzioni numeriche ha dominio naturale diverso da R? H
y = 3x + y
[ b] y = ~^x2- x + 1
F ili Per quale valore di a la funzione y =
,
[c] y =
DlI y = x i + 2
, A ha dominio R —{—2}?
Se a = —5, qual è il dominio?
RICERCA DEGLI ZERI G
[l;x^l]
Teoria a pagina 372
F ftl Indica gli zeri delle funzioni rappresentate dai seguenti grafici.
TEST Solo uno dei seguenti numeri è uno zero della funzione y = 3x2 —x — 10. Quale?
Q
[
a
] —2
INVALSI 2007 Sono date le due funzioni f(x) = x + 1 e g(x) = —2x + 3. Quali sono gli zeri della funzione f(x) ■g(x)ì
K 1 Q
[c ] 0
□D —j
[ d] -10
[ a] - 1 e y
E
m
ITI - 1 e y
1e — J
le - y
Rappresenta per punti nel piano cartesiano le seguenti funzioni, indica il dominio e gli zeri. IftÉ y — 4x —6; F /F
y = 2 x 3;
y = —3x.
ESEMPIO DIGITALE
y=
y = —4x2.
FfrJ y ——x — 2;
2x(x —3)
F 4 j y = —\x\;
y = 2x4-5.
4x(x —1) >= ~ 2x^2"-
y = \x\ — 3.
Determina il dominio e gli zeri delle seguenti funzioni. m
, = 2 * ( 2 x + 3 ) ( * - l) ;
r = ^ |± Z I .
p
P r=-^r; r=i^T□
COMPLETA
P y=v^3;
osservando il grafico della funzione y
a. Il dominio è D = I_________ I. b. Il codominio è C = I_________ I. c. Gli zeri di f{x) sono: I_________ I.
a. /<- 4 ) = i—
j, m
= i—
j. /( 5) =
i—
e. L’equazione _f{x) = 0 hai____ Isoluzioni. f. /(I------- 1)
384
r =
/(I------- 1) = 2.
j.
/(*).
7=^
.
i
1. SE LE VARIABILI SONO REALI
ESERCIZI
STUDIO DEL SEGNO E H In ognuno dei grafici delle funzioni/(x) indica per quali valori di x si ha f ( x ) > 0.
R appresenta p e r p u n ti le se gu en ti fu n z io n i e in d ic a p e r q u a li v a lo ri d i
E l i y = ~ 2x + y
E9
^
+
E !
x esse sono p o s itiv e e p e r q u a li negative.
y = 3x2
E l i 7 = IN
osservando il grafico della funzione y = /(x).
COMPLETA a.
f(x) > 0 per x
b.
f(x) < 0 perxl________________ I.
c. /(x) = 0 perxl________________ I. d.
Se —y < x < 3, allora f(x)
I___ J.
e. Se x < —2, allora /(x ) I_____ L
Determiniamo i valori di x per cui la funzione y = —^ x (4 —x) è positiva. Una funzione è positiva quando y > — ^ - x f 4 — x)
>
0,
quindi risolviamo la disequazione:
1 - 2X
+
4- x
+
-|x(4-x)
+
Studiamo il segno dei fattori del prodotto: —-yx > 0 ^ 4 —x > 0
ì
)
0.
x < 0;
-*> x < 4 .
-
[ + (
-
c
+
Dallo schema grafico deduciamo che i valori per cui y > 0 sono x < 0 V x > 4. T ro v a p e r q u a li v a lo ri d i x le se gu en ti fu n z io n i sono p o s itiv e .
Kfll y = —x + 9 W41 y = —x 2 PtB y = x 2 + 4 K 1 y — x(2x — 8) y — (—x —4) (x —6) tefd y = x (l —5x) (2x — 5)
y — 2\ x [x < 0 V v > 4] [ - 4 < x < 6] x<0v4-
| y = —3| x | —6 m
u n s i!
y = 3
3 y = 2\ x — 3 1—4 [ - 3 < x < 3]
385
11 FUNZIONI NUMERICHE
2. FUNZIONE COMPOSTA E FUNZIONE INVERSA FUNZIONE COMPOSTA G
Teoria a pagina 373
COMPLETA
scrivendo l’espressione analitica della funzione ottenuta.
p i
X —►
appUmpu - l ____ U -4
BB
x —i►
elevtxal ->l____ U quadrato
eleaaxai quadrato - l ____ U sottrai 8
Moltipllca ' - + l____ J, per 3 dividi per 5
- l ____ U
Per le seguenti funzioni realizza uno schema analogo a quello degli esercizi precedenti. (7x + 5)2 I f t i y = 8 x + \ 2 ; y = —^3 ( x —l ) 2. -2 y ^ = ----- 3----t= COMPLETA
v + 2 x2
a=
b4 — 5
P I
y = -[f-T + 7;
5• 4):
considerando le funzioni /(x ) = 4x, g(x) = x + 2, h (x) = —x2.
P I
/(# (* )) = l---------- 1; g(fc(*)) = l---------- 1; h(f(xj) = [---------- J.
E l
g ( f ( ~ i)) = l-------J;
FAI
Sessantaquattro volte Data la funzione /(x ) = — , determina / ° f (una composizione d i/co n se stessa) e f ° f ° f (due composizioni). Considera poi la funzione g(x) che ottieni com ponendo/con se stessa sessantaquattro volte. Quanto vale g(16)?
h{ g { j ) ) = ^------ f { h{ - } ) ) = [----------- J;
g{h(o)) = l------ !•
EUREKA!
Date le funzioni/e g, determina f ° g e g °ff ( x ) ——x + 2;
g ( x ) ——x + 3.
f(x) = x2 + 3;
g(x) = — Y + 6-
FUNZIONE INVERSA
—
=T ;
= 8x - 4.
/(x) = (x + l ) 2;
£(x)=y.
g l
@ Teoria a pagina 373
Indica quali funzioni rappresentate dai seguenti grafici sono invertibili.
Traccia per punti il grafico delle seguenti funzioni e stabilisci se sono invertibili. m i y ——2x —4 y = —3x _ _ _ T = T X+ 1
-2
Scrivi l’espressione analitica della funzione inversa delle seguenti funzioni. y = 386
&X-6
pQiMiiinannar=-|^+4
2
y ——j x + 4
3. PROPORZIONALITÀ DIRETTA E INVERSA
ESERCIZI
B1IMLJ TEST Una sola delle seguenti funzioni non è invertibile. Quale? I~À1 7 = — Bfll
| T| y = - x 2+ 4
[c] jy = 8x3
[ d] y = x 3 4
EUREKA! Che valore? Supponi che sia /(x) = 2x5+ 7x3+ x —5 e sia g(x) la funzione inversa di /(x). Ricava un valore di X per il quale si abbia g(x) = 1. [USA Bay Area Math Meet, Bowl Sampler, 1995]
3. PROPORZIONALITÀ DIRETTA E INVERSA y = mìx,
PROPORZIONALITÀ DIRETTA @ Teoria a pagina 374 x e y indicano due grandezze. Quale delle seguenti relazioni non rappresenta una proporzionalità diretta fra x e y 7.
fr/J Q
[~b ~1
m
y — 5x
0
Indica quali delle seguenti funzioni rappresenta no una proporzionalità diretta.
INVALSI 2005
I~À1 -y y = 3x
con/ » e l &
a. y + 4x = 0
i = 2
b. 3y = 2x
CU y = 2x
c. xy — 12
Analizziamo la tabella per stabilire se le variabili x e y sono direttamente proporzionali. In caso affermativo, scriviamo Tespressione analitica del la funzione e la rappresentiamo nel piano cartesiano.
d. y + 1 = 6x x 1 e.
y
X
-u
y -5
-2
U
_5 2
5
8
12
10
15
y Per ognuna delle coppie (x;y) calcoliamo il rapporto y . ESEMPIO
Per esempio: -5 -4
_5_ 4’
A 4 ’ 12
y è costante e uguale a y , x e y sono direttamente Poiché — proporzionali e Tespressione analitica della funzione è y —y x.
F iil
Individua in quali tabelle le variabili sono diret tamente proporzionali. In caso affermativo, scri vi la legge di proporzionalità e rappresentala nel piano cartesiano. X
y
a
1 2
5 U
2
5
3
15 2 20
1 8 1 6 2 3 6
8
b 12
t -2
V -1,5
9
0,2
0,15
1
1
0,75
1 4
U
3
le tabelle in modo che rappresentino fun zioni di proporzionalità diretta e scrivi la legge. COMPLETA
X -1 0
s
t
U
u
-1,5
U
U
y
E li]
0
u
1
0,5 U
3
2
3
u
u
5
8
6
387
11 FUNZIONI NUMERICHE Traccia il grafico delle seguenti funzioni utilizzando almeno cinque punti. ■n
KU
1
y = - ~ 2 X> y
.
1
= 4x;
y =
y *;
y
5
fri
= —^ x .
Ufi
y
2x
= -5-; y = - x ;
x
y = ~^;
y
= —j
3 x-
Rappresenta nel piano cartesiano solo le funzioni di proporzionalità diretta, assegnando alla variabile indipendente almeno quattro valori. a. 4y — 3x = 0
b. y ——x + 1
c. s = 5t2
d. / = 2rcr
e.
Nella tabella è rappresentata una proporzionalità diretta tra x e y. Quali sono i valori di m e n?
ÉÙEl Q
INVALSI 2004
Ha ] m =
13
e
n =
m
16
e
n — 20.
m =
16.
16
e
n = 25.
m — 25
e
n =
[~c~| m = Cd ]
16.
= -iX
y
5
8
10
m
n
40
BiU Scrivi Tespressione analitica delle funzioni rappresentate nei seguenti grafici.
a
b
c
d
IiM Determina: a. l’espressione analitica della funzione rappresentata nel grafico; g
b. le immagini di —2 e di -y ; c. le controimmagini di —1 e di
Problemi
-
intorno a noi
ÉiVj Mmmh, buona! Sapendo che esiste una proporzionalità diretta tra la quantità di marmellata m e quella di frutta/utilizzata per produrla: a. scrivi la legge che esprime m in funzione di/; b. rappresenta la funzione nel piano cartesiano; c. calcola quanta frutta occorre per produrre 2 kg di marmellata. [a)m = y / ; c) 2,8 kg] HH1 Tempo di saldi In un megastore in tempo di saldi si decide di scontare il prezzo di tutti gli articoli in vendita del 35%. a. Se x è il prezzo iniziale, scrivi il nuovo prezzo y in funzione di x. b. Rappresenta il grafico della funzione y. c. Se un articolo viene venduto a € 117, qual era il suo prezzo iniziale? a) v = *; c) € 180
388
E lQ
Effìciencies of cars You can measure a car’s efficiency in miles (mi) per gallon (gal). Car A gets 200 miles with 4 gallons; car B gets 300 miles with 10 gallons; and car C gets 100 miles with 5 gallons. Draw graphs (distance against gas used) for each type of car and deter mine which type is thè most efficient. Explain your reasoning. YOU&MATHS
3. PROPORZIONALITÀ DIRETTA E INVERSA I ESERCIZI
PROPORZIONALITÀ INVERSA @ Teoria a pagina 374
y =—t
cok!c < e
R e,
H H Q TEST Quale tra le seguenti relazioni non rappresenta una corrispondenza di proporzionalità inversa? H
*=y
\J] x y = 3
[ c] y = |
B y
= 3
MB Q INVALSI 2007 La relazione: x -y — k tra due variabili positive x e y può essere anche scritta in uno dei seguenti modi. Quale? H
y
I~b ]
.___ x y
y = kx
E
~ i^ =o
OD y = k
Trm Indica quali delle seguenti funzioni sono di proporzionalità inversa. xy — 1
C.
5
Xy = — + l
X
-6
*=
CN 1l
y
1
Analizziamo la tabella per stabilire se le variabili x e y sono inversamente proporzionali. In caso affermativo, scriviamo l’espressione analitica della funzione e la rappresentiamo nel piano cartesiano.
8
e.
3
6
15
-12
8
u
8 5
Per ognuna delle coppie (x; y) calcoliamo il prodotto x y.
ESEMPIO
Per esempio: 6 -4 = 24, (—2) - (—12) = 24, ...
Poiché x y è costante e uguale a 24, x e y sono inversamente proporzionali e l’espressione analitica della funzione è xy — 24.
X
y
s
t
a
-7
1 cn
Individua in quali tabelle le variabili sono inver samente proporzionali. In caso affermativo, scri vi la legge di proporzionalità e rappresentala nel piano cartesiano. 1IOO
m i
-15
-10
COICNl 1
-1
-8
-1
-3
-2
15 2
1 3 5 3 2
24
1 2
-3 2
-1
-15
24 5 4
2
6
\ 3
45
6
18
5
3
COMPLETA le ta be lle in m o d o che x e y siano in v e rs a m en te p ro p o rz io n a li e s c riv i la legge che le lega.
b
X
y
u 1 3 1 2 2 3 2
x
y
4
1 5
4
2
u u
2
m i
U
u u
1 6
8 5
u u
T ra ccia i l g ra fic o delle se gu en ti fu n z io n i u tiliz z a n d o a lm e n o c in q u e p u n ti.
m i
oc xy = 25;
n x y = - 12;
10 y=~ ;
y=
5
§xi UÈ
=
5
7 xy = - j ;
5 y =~^\
y =
1 3^• 389
11 FUNZIONI NUMERICHE F ili Stabilisci quali tra le seguenti sono funzioni di proporzionalità inversa. Rappresenta le funzioni individuate nel piano cartesiano assegnando alla variabile indipendente almeno quattro valori. a. xy + 1 = 5
b.
5a + 6b = 1
c. 4ab = 6
d.
s y = 25
5 e. xy — y
Scrivi l’espressione analitica delle funzioni di proporzionalità inversa rappresentate nei seguenti grafici.
IT jT l Determina:
m
l’espressione anali tica della funzione di proporzionalità inversa del grafico; b. le immagini di J_ , 2 e 3,
Una legge di proporzionalità inversa associa x = —j a y = 6.
a.
a. Determina la costante che compare nella leg ge di proporzionalità inversa. b.
c. Trovai valori di x per i quali y = —2 e y = ~c .
c. le controimmagini di - 7 e { .
Problemi
Scrivi la legge e rappresentala nel piano car tesiano assegnando a x almeno quattro valori.
intorno a noi
IT O
Per un pranzo si devono preparare dei salatini ed esiste una proporzionalità inversa tra numero dei cuochi a disposizione in cucina e tempo impiegato per completare il lavoro. Sapendo che 10 cuochi impiegherebbero 2 ore per completare il lavoro, scrivi la legge che esprime il tempo y impiegato in funzione del numero x di cuochi e rappresentala nel piano cartesiano. Quanti cuochi dovrebbero essere presenti per terminare il lavoro in 5 ore? [y = y r ; 4 cuochij
US
Per pavimentare una stanza si può sce gliere una delle tre soluzioni indicate a lato.
C u o c h i a v o lo n tà
C o n la ca zzu o la
a.
b.
Scrivi la legge che esprime il numero di piastrelle n in funzione dell’area A di una piastrella.
125 puMtre^ ^ iz M SO
dvsoM '
Stabilisci quale tipo di proporzionalità lega n e A.
c. Quante piastrelle di area 20 dm2 occorrerebbero per pavimentare la stanza? a) n 1500 ; c) 75
ma
tempo richiesto per andare in auto da Duluth a Fargo varia in modo inversa mente proporzionale alla velocità dell’auto. Se per il viaggio, alla velocità di 40 mph (miglia orarie) occor rono 6,25 ore, quale velocità è richiesta per fare il viaggio in 4 ore? EUREKA!
f~À~l 6,4 mph
P iù in fr e tta II
[¥] 0,625 mph
[c] 25,6 mph
Qj] 8,44 mph
[T] 62,5 mph
[USA Catawba College NCCTM, Mathematics Contest, 2007]
390
3. PROPORZIONALITÀ DIRETTA E INVERSA
ESERCIZI
N e lle seguenti ta b e lle ric o n o s c i le v a r ia b ili che sono d ire tta m e n te o in ve rsa m e n te p ro p o rz io n a li e, p e r que lle che lo sono, s c riv i la legge d i p ro p o rz io n a lità che le lega. s
X
y
a
b
-3
-22
-90
-50
-7
-1 3
-1
-66
-6
10 3
-5
-9
2
33
-3
11
6
1
12
11 2
18
_5 3 5 9 10
t
rm
a -8
3
b
X
24
y
t
V
-2
-18
-8
3 20
0
0
-0,4
-3
-1
0,5
2
1 12
4
0.4
3.6
3
7
0,3
1
0,5
4.5
10
21
2
1 6
3
-6 0,1
27
2
12 8 5
Problemi geometrici con proporzionalità diretta o inversa Fornisci un esempio di due grandezze geometriche direttamente proporzionali e di due inversamente proporzionali. FAI UN ESEMPIO
ma
Considera l’insieme dei rettangoli con lati a e b, che soddisfano la condizione -y = 2. Quale delle seguenti grandezze non è direttamente proporzionale ad a? TEST
[~a~| Il lato b. 1~b 1
m
II perimetro del rettangolo.
I~c~l L’area del rettangolo. I~d1 Una diagonale del rettangolo.
La figura a fianco è stata costruita con quadrati di lato / e semicirconferenze di diametro /: a. Scrivi la legge che esprime il perimetro p della figura in funzione di l. b.
Stabilisci quale proporzionalità esiste tra p e / e indica la costante di propor zionalità. [a) p = (2k + 4) /; b) 2k + 4]
In un trapezio isoscele la base maggiore è il triplo di quella minore e il lato obliquo è i -j- della base minore. a. Indica con p e x rispettivamente le misure del perimetro e della base minore, scrivi p in funzione di x e stabilisci quale tipo di proporzionalità esiste tra p ex. b.
Quali valori deve assumere x affinché p(x) = 65 e p (x) = - y ?
a) p
= - y x ; b) 10, y
D Q Un pentagono ha il lato di misura x. Se ogni lato viene diminuito del 15%, si ottiene un nuovo pentagono. Scrivi la legge che esprime il perimetro p del nuovo pentagono in funzione di x e rappresentala nel piano cartesiano. Che tipo di proporzionalità esiste tra p e x? i _ 17_ 1 [P-
Problemi im
4 x\
intorno a noi
a. Scrivi la legge che esprime il costo c dell’insalata, espresso in euro, in funzione della quantità acquistata p, espressa in kilogrammi. b. Rappresenta la funzione nel piano cartesiano. c. Calcola quanti kilogrammi di insalata si possono acquistare con € 4,50. [ a ) c = 1,5p; c) 3 kg]
391
11 FUNZIONI NUMERICHE ma U o m in i Problema al cioccolato Luisa prepara del budino al cioccolato e lo suddivide in por zioni da 100 g ciascuna. a. Scrivi la legge che esprime il numero di porzioni n in funzione del peso totale p del budino preparato. b. Stabilisci che tipo di proporzionalità esiste tra n ep. c. Calcola quante porzioni si ottengono da 1 kg di budino e che quantità di budino occorre preparare per ottenere 5 porzioni. m
Trasferimento dati Un computer riceve dati da un altro a velocità costante ed esiste una proporzionalità diretta tra la dimensione d del file da trasferire e il tempo t impiegato per la trasmissione. Sapendo che un file di 10 MB impiega 18 secondi per essere trasferito, scrivi la legge che esprime t in funzione di d. Quanto impiega un file di 50 MB per essere trasferito? [t = l,8d; 1 minuto e mezzo]
D B Caro il mio gelato... Il prezzo del gelato artigianale è costituito per il 60% dal costo della manodopera e per il 40% dal costo degli ingredienti. I costi di produzione subiscono poi degli aumenti: 32% per la manodopera, 52% per gli ingredienti. a. Scrivi la legge che esprime il prezzo a del gelato dopo gli aumenti in funzione del prezzo b del gelato prima degli aumenti e stabilisci che tipo di proporzionalità esiste tra a e b. b. Rappresenta la funzione nel piano cartesiano. c. Qual è l’aumento percentuale totale del prezzo del gelato?
[a) a - - ^ b \ c ) 40%j
U. FUNZIONI LINEARI ©Teoria a pagina 376 DBG
y
Solo una delle seguenti non è una funzione lineare. Quale? v —4 I~a1 — ^— = 2x [B y~-f o E f ì =
=
MVX
+
Cj,
COKsWO, (j
TEST
[~b~l y —2 = —y x - 2
«
La tabella esprime una relazione tra due grandezze x e y . Quale delle seguenti equazioni esprime formalmente la relazione tra xe y?
D B G
INVALSI 2007
[ a] y = 2x + 3
\JT\ y =
2x
—3
[T] 7 = 3x + 1
ITTI v —4x
Stabilisci se la tabella rappresenta due variabili in dipendenza lineare e, in caso affermativo, scrivi l’espressione analitica della funzione che le lega. nn
11
15
X
-2
-1
0
1
2
3
y
5
3
1
-1
-3
-5
Stabilisci se le seguenti tabelle rappresentano funzioni lineari e, in caso affermativo, scrivi la legge. X
-5
0
y
-8
-3
1
2
- 2 - 1
3
4
0 1
a
-4
t
0
-2 1 2
1 2
0
9
1
8
1
2
1,25
1,5
Traccia il grafico delle seguenti funzioni utilizzando almeno quattro punti. ÌMlj y = —y x + 4;
y = 2 x — 2;
y = x —~Jp.
IMI x —y — 3 = 0;
2y —4 = 3x;
y —- = 1.
Determina i valori di m e q nell’espressione /(x ) = mx + q, noti i seguenti valori. p i
392
/CO) = —2;
/ ( - 3) = 4.
[f(x) = —2 x — 2]
DB
/(0 ) = y ;
/ ( 1) = 5.
s 13 , 2 /(*) = ~ T X + ~J
U. FUNZIONI LINEARI
ESERCIZI
IFH Scrivi l’espressione analitica delle funzioni rappresentate nei seguenti grafici.
m U
YOU &MATHS
You got thè slope - fìnd a point Point P has coordinates (1,3) and thè origin O has coordinates (0, 0). Find a point A such that each of thè following is trae: a. thè slope between P and A is 3; b. thè slope between O and A is 3; c. thè line through P and A has equation y = —5x + 8; d. thè line through O and A has equation y = 7x.
Problemi m Q
intorno a noi
Una scatola di cartone di 120 g viene riempita con N biglie di 20 g ciascuna. Come si può esprime re la massa complessiva M, in grammi, della scatola piena di biglie? TEST
[ a]
M = 120 + 20ÌV
\J] M = (120 + 20)Ar
[c ]
M = 20N
E H Il noleggio di un furgone prevede una quota fissa e una quota variabile dipendente dai kilometri percorsi. Scrivi la legge che esprime il costo y del noleggio in funzione del numero x di kilometri effettuati. Qual è il costo del noleggio se si percorrono 57 km? [y = 140 + 0,9x; € 191,30]
► LABORATORIO
Qj] M =
noUyjLo € H Ojusi + € 0,90 a i km
MATEMATICA E FISICA
Rette da un esperimento Da un cilindro graduato contenente acqua colorata, Peter ha prelevato più volte con un contagocce la stessa quantità di liquido e ogni volta ha misurato l’acqua rimasta nel cilindro. In tabella ha riportato i seguenti dati.
Numero prelievi Quantità acqua (mL)
0 10
1 9,6
2 9,2
3 8,8
4 8,4
5 8,0
6 7,6
7 7,2
a. Dopo aver prelevato acqua per 15 volte, quanta acqua sarebbe contenuta nel cilindro? b. Ricava la funzione che esprime la quantità d’acqua contenuta nel cilindro in funzione del numero di
prelievi. c. Realizza un grafico cartesiano della funzione trovata. d. Dopo quanti prelievi si svuoterebbe il cilindro?
□
► Risoluzione.
► 6 esercizi in più.
393
11 FUNZIONI NUMERICHE IFJì Il tuo smartphone Non ricordi la tariffa telefonica del tuo cellulare, però sei sicuro che prevede il paga mento di una quota fissa per lo scatto alla risposta e un costo proporzionale al tempo di conversazione (che cresce a ogni secondo). Inoltre osservi che una telefonata di 30 secondi ti costa 21 centesimi, mentre una di un minuto ti costa 27 centesimi. a. Qual è la funzione che lega la durata x in secondi di una chiamata al suo costo y in centesimi? b. Quanto prevedi di pagare per una conversazione di 5 minuti? IH lU
[a) y = 15 + 0,2x; b) 75 centesimi]
EUREKA! Celsius e Fahrenheit Esiste una relazione lineare tra i gradi Fahrenheit e i gradi Celsius. Sapendo che il punto di congelamento dell’acqua corrisponde a 0 gradi Celsius e a 32 gradi Fahrenheit, e che l’acqua bolle a 100 gradi Celsius e a 212 gradi Fahrenheit, ricava la temperatura Fahrenheit che corri sponde a 22 gradi Celsius (arrotondata all’intero più vicino).
I~a1 69 gradi Fahrenheit.
[c] 71 gradi Fahrenheit.
70 gradi Fahrenheit.
QT] 72 gradi Fahrenheit.
[~b 1
[j] Nessuna delle precedenti.
[USA Furman University Wylie Mathematics Tournament, Junior Examination, 1998]
Problemi geometrici
IET1
Un quadrato ha lato 4. Se si aumenta un lato di a e si diminuisce l’altro di 2x, si ottiene un rettangolo. Scri vi la legge che esprime il perimetro p del rettangolo in funzione di a e rappresenta la funzione nel piano cartesiano. Quali valori può assumere x 7. [p - 16 - 2x; 0 < x < 2]
OD
Il lato di un triangolo equilatero di perimetro 30 cm viene aumentato di una percentuale a%. Esprimi il perimetro p del nuovo triangolo in funzione di a e rappresenta la funzione nel piano cartesiano. Trova il valore di a nel caso il perimetro finale risulti 39 cm. [p = 30 + 30j
5. FUNZIONI DEFINITE A TRATTI ©1 ^
^ 3 7 7
Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti funzioni e indica il dominio e il codominio. I
ESEMPIO DIGITALE
x+4
IBI
y=\ -yx+3
AL VOLO
394
y=
se
x< 0
se
0
se
x>3
se
x<0
se
x > 0
p
EE3
!* — 1 H [3x H
se x < ì se
x > 1
fx —1
se
x < —2
\2x-6
se
0
Scrivi l’espressione analitica delle funzioni rappresentate nei grafici seguenti.
5. FUNZIONI DEFINITE A TRATTI
Problemi
ESERCIZI
intorno a noi
II grafico a lato rappresenta le distanze rispetto al punto di partenza raggiunte da un’automobile nel corso di 13 ore di viaggio. Indica, in base al grafico, per quante ore in tutto l’automobile è rimasta ferma.
EH
0
p G
INVALSI 2002
[X| 1 h
de] 5 h
U ] 8,5 h
[ d] 1,5 h
[T] Mai.
VERO 0 FALSO? Una lepre sfida una tartaruga a una gara di corsa su un percorso di 600 passi. Il grafico qui sotto rappresenta l’andamento della gara. Basandoci unicamente sul grafico, quali delle affermazioni risultano vere e quali no?
E a G
INVALSI 2007 II seguente grafico rappresenta i prezzi praticati da due tipografìe A e B in funzio ne del numero di manifesti stampati.
Volendo spendere la minor cifra, quale delle seguenti affermazioni è vera? I~À~1 La tipografia A è da privilegiare se si voglio no stampare più di 300 manifesti. [~b~1 La tipografia B è da privilegiare se si voglio no stampare meno di 100 manifesti. del La scelta è indifferente se si vogliono stam pare tra i 100 e i 150 manifesti. dbl La scelta è indifferente se si vogliono stam pare 300 manifesti.
a. La lepre e la tartaruga, dopo 12 minuti, arrivano insieme al traguardo. [v] [T] b. La lepre non si ferma mai.
[v] dEI
c. La tartaruga avanza di 200 passi ogni minuto. dv] Hf ] d. La tartaruga supera la lepre a metà corsa.
0 0
Trova gli zeri e studia il segno delle seguenti funzioni. Conferma i risultati con la rappresentazione grafica delle funzioni. [4 * + 8 se
x <0
[x + 68
x> 0
se
IBI
X* y = 2x-ì2
E0
y -
EH
—x +1 y = <
se x < —\ se x > —l
Funzione valore assoluto Rappresenta i grafici delle seguenti funzioni. I t t i y = \x\ — 2;
G
n
a n
IK1 y —\x — 5 1;
y = 3 x +3.
y —\ ■2x - 4 .
1 JL $
y ——5- + x ;
~A x 1 x ’
y z se
1x X
VI
p
y =~|*|-
+ X.
-3
se - 3 < x < 1 se x > 1 395
11 FUNZIONI NUMERICHE LABORATORIO
MATEMATICA ED ECONOMIA ■MH ebCEECBEZBEKTEKP2032 mHHm am ■ Reddito (per scaglioni) fino a € 15000 oltre € 15000 e fino a € 28 000 oltre € 28 000 e fino a € 55 000 oltre € 55 000 e fino a € 75 000 oltre € 75000
Calcolo dell’IRPEF
f \ /N & Aliquota (per scaglioni) 23 27 38 41 43
La tabella riporta le aliquote IRPEF (in percentuale) per scaglioni di reddito (dati al 2013). Ciascuna aliquo ta non va calcolata sul totale del reddito, ma solo sulla parte eccedente la soglia dello scaglione precedente, a. Compila una terza colonna, chiarendo a quanto ammonta l’imposta dovuta sui redditi intermedi di ciascuno scaglione e qual è l’imposta massima di ogni fascia di reddito. Giorgio, che ha un reddito imponibile di € 26000, ritiene che la sua imposta lorda ammonti a € 7020, pari al 27% del reddito. Ha ragione? Calcola la percentuale complessiva dell’imposta sul reddito di Giorgio. Determina la funzione che restituisce l’imposta IRPEF dato il reddito imponibile e rappresenta il suo grafico. ► Risoluzione.
m U
►2 esercizi in più.
Compiti insoliti La professoressa assegna a Giulia e Marco il seguente compito: comunicherà a ciascuno di loro, separatamente, un numero. Giulia dovrà poi sottrarre 2, considerare il valore assoluto del numero ottenuto e consegnare il risultato alla professoressa; Marco dovrà invece limitarsi ad aggiungere 7 al numero ricevuto, dividere per 2 il numero ottenuto e quindi consegnare il risultato. La professoressa riceve da entrambi lo stesso numero, 9. Quale delle seguenti conclusioni è vera? EUREKA!
I~À1 II numero comunicato a Giulia e a Marco era lo stesso.
[~b1 Non è possibile che il numero comunicato a Giulia e a Marco fosse lo stesso. [~c1 II numero comunicato a Marco era 11. fb1 II numero comunicato a Giulia era 11.
6. PROPORZIONALITÀ QUADRATICA E CUBICA PROPORZIONALITÀ QUADRATICA G Teoria a pagina 378
y
=a#?,
coro si G i l &
EZD Indica quali delle seguenti sono funzioni di proporzionalità quadratica. a. y + x 2 = 0 7
b. a + 7b2 = 8
c.
xz
2
d. t — — y 2vz
e. x = —3y2 7
Analizza la tabella per stabilire se tra le variabili x e y esiste proporzionalità quadratica. Scrivi l’espressione analitica della funzione e rappresentala nel piano cartesiano.
X
-4
y
24
-2
6
0
1
2
0
3 2
6
Traccia il grafico delle seguenti funzioni utilizzando almeno quattro punti. IfUl y ~ 7x2;
396
y = ~ j x 2;
y ——|-x 2;
y —
I f ll y = x 2;
y=—
y = ~ 8 x 2;
y = —^ x 2.
6. PROPORZIONALITÀ QUADRATICA E CUBICA
IEE1
IEB1
Stabilisci quale tabella rappresenta una funzione di proporzionalità quadratica. In caso affermativo, scrivi l’espressione analitica della funzione e rappresentala nel piano cartesiano. X
-2
y
4 5
1
-1
2
1
1
5
20
U
IE SI
5
25
5
125
s
-3
t
3
-1
3
0
0,5
5
0
0,75
75
Stabilisci quali tra le seguenti funzioni sono di proporzionalità quadratica. Traccia il grafico delle leggi individuate assegnando alla variabile indipendente almeno quattro valori. a. y —x 2 — 0
P
ESERCIZI
b. y 2 —x 2 — 0
c. y = —y
d. ab2 = -§-
e. v = — \ t2
Considera la tabella sotto. Quale dei seguenti valori deve essere assegnato a b affinché tutti i numeri della 2 3 tabella verifichino una relazione del tipo y = ax2, con un valore opportuno di a? 9 -2 f~cl -1 2 E 1 E E -
INVALSI 2006
X
0
1
y
0
b
Scrivi l’espressione analitica delle funzioni di proporzionalità quadratica rappresentate nei seguenti grafici.
► LABORATORIO
MATEMATICA E STORIA
Datemi un pun to d’appoggio e vi solleverò il mondo È forse la più celebre fra le: frasi che vengono attribuite ad Archimede di Siracusa (287 a.C.-212 a.C.). Quale sarebbe stato il formidabile strum ento per realizzare l’impresa? Una leva! La leva rappresentata in fiigura è in equilibrio e le monete sono tutte uguali (due nella pila di destra, tre in quella a sinistra). Spiega perché, secondo te, questo avviene. Quale uguaglianza puoi scrivere utilizzando tutti e quattro i valori 2, 3, 4, 6?
Ai 4/ cm
► R iso lu zio n e .
►3 e se rcizi
in più.
►A ttiv ità
r
Ir
6, cm
di ric e rc a : Che cosa s a p p ia m o di A rc h im e d e ?
397
11
F U N Z IO N I N U M E R IC H E
PROPORZIONALITÀ CUBICA G
y = cox3,
Teoria a pagina 378
coho/ElM. &
EEQ Indica quali delle seguenti sono funzioni di proporzionalità cubica.
a.
y
b. a = — lyb3
= -y x 2
c.
y + x3
Analizza le seguenti tabelle e stabilisci quali rap presentano funzioni di proporzionalità cubica. In caso affermativo, scrivi la legge e rappresenta la nel piano cartesiano.
=
ir a
COMPLETA le tabelle in modo che rappresenti no funzioni di proporzionalità cubica e scrivi la legge.
X X
y
a
b
s
-2
16
-1
9 5
-1
-1
2
0
0
1
2 5
0
0
1 2
1
t
0
1
-3
4
5
10
3
36
1 -2
10
40
6 288
V
-2
-40
-9
u
1 2 U
u
0 1,3
t
y
-1
3
e. a3T y b3 = 0
d. v —2f3 = 0
\
1
u
3
u
9
-5 5 27 5 8
u 1
u
a
b 0,1
u
1
u
2,5
u
5
-100
-800
U
Traccia il grafico delle seguenti funzioni utilizzando almeno quattro punti. Ikt'J
y = 4 x 3;
Problemi
y = - j - x 3;
y =
—^ - x 3.
ifffll
y = — 3 x 3;
y
x
= —y -
in t o r n o a n o i
ITU Una ditta produce telai per finestrini quadrati di lato esterno variabile x e di lato interno che è i - jy di quello esterno. Scrivi la legge che esprime l’area A del telaio in legno in funzione di x e stabilisci che tipo di propor zionalità esiste tra A e x . Quanto risulta l’area del telaio se il lato esterno è 70 cm? A
= y y * 2; 931 cm 2
i r a Settimana bianca! Lo spazio percorso da uno sciatore al passare del tempo è espresso dalla formula in figura. a. Se lo sciatore arriva in fondo alla pista dopo 16 secondi, quanto è lunga la pista?
b. Costruisci una tabella con cinque valori e rappresenta il grafico della funzione s. c. Quanti secondi sono trascorsi quando lo sciatore ha percorso 180 m? [a) 460,8 m; c) 10 secondi]
i r a Mattoncini Un bambino gioca con m attoncini di forma cubica e crea una torre sovrapponendo tre mattoncini aventi ciascuno il lato che è la metà di quello del m attoncino sottostante. Scrivi la legge che esprime il volume totale V della torre in funzione della misura x del lato del m attoncino di base. Qual è il volume totale della torre se la lunghezza del lato è 8 cm? \v = 584 cm3J
398
6. PROPORZIONALITÀ QUADRATICA E CUBICA
D H Di pentola in pentola In una batteria di p en tole d ’acciaio, tutte le pentole hanno la stessa altezza h = 30 (in centim etri) e il diam etro à variabile. a. Esprimi il volume V" delle pentole al variare del diametro. b. Rappresenta la funzione ottenuta nel piano cartesiano. c. Che diametro ha una pentola da 5 litri? [a)
V = - ^ - K d 2; c)
m
ESERCIZI
La legge delTombrello Scrivi la legge che esprime l’area y della figura a lato in funzione di x (gli archi di curva sono semicirconferenze). Che tipo di propor zionalità esiste tra x e y 7 Qual è la costante di proporzionalità?
1 4 ,6 c m j
x 10
Scrivi la legge che esprime il volume y della scatola in funzione della misura x del lato di base più corto. Rappresenta la funzione nel piano cartesiano.
’ c d te x c z o s ■~
d e i la to
b en e, c o r to
C
U -
lato buse,
l a t o bax& c o r to
lu n g o
d e l l o t o b a se , l u n g o 5
► LABORATORIO
MATEMATICA AL COMPUTER
D is e g n ia m o fu n z io n i I grafici delle funzioni numeriche possono essere disegnati mediante un foglio elet tronico, osservando anche quali variazioni si hanno al variare di eventuali parame tri presenti. Costruisci un foglio elettronico che, immessi i tre valori reali a , b e c , tracci i grafici delle funzioni /(x) = a x 2 + b x + c e g ( x ) = | /(x) | nel medesimo riferimento cartesiano, in un dato intervallo [xL; x2]. Prova il foglio assegnando ai coefficienti a , b e c rispettivamente i valori 1, —1 e —6 , e impostando come intervallo [xc, x 2] = [—5; 5].
►Risoluzione.
►2 esercizi in più.
399
11
F U N Z IO N I N U M E R IC H E
7. FUNZIONI CIRCOLARI ANGOLI ORIENTATI
G Teoria a pagina 379
Individua, utilizzando la circonferenza goniom etrica, i seguenti angoli.
IBI
30°,
-6 0 ° ,
180°,
240°,
FUNZIONI CIRCOLARI
EU
360°.
1140°,
855°,
-4 0 5 °,
2 1 0 °,
270°.
@ Teoria a pagina 379
Disegna sulla circonferenza goniom etrica gli angoli individuati dai seguenti valori. IB I
b. co sa = —
a. sin a
||H Ì sin a
= —
IM
y
IM I cosa = -y
fB i
3•
i
cosa - —|-
llfUI cosa = y
COMPLETA
c o sa =1 __I, sin a = I__ I, a ~ I___I.
ALVOLO
11^1 Trova s in a e co sa di: a = 90°, a = 270°, a = 360°, a = 450°, a = 540°. E J
Trova ta n a di: a = 45°, a = 240°, a = 225°, a = 720°, a = 150°.
IN FORMA GRAFICA Rappresenta la sinusoide o la cosinusoide fra —360° e 360° e indica i valori di x che verifi cano le seguenti relazioni.
m
i
400
sin;c = y ;
s i n x = —1.
IMI c o s x = l ;
c o s x — —4-.
7. FUNZIONI CIRCOLARI
FUNZIONI GONIOMETRICHE E TRIANGOLI RETTANGOLI
®
ESERCIZI
Teoria a pagina 381
Determina gli angoli e i lati incogniti nei seguenti triangoli rettangoli. Il ESEMPIO DIGITALE
Problem i
UH
u n
in t o r n o a n o i
La pendenza di una strada è il rapporto tra la quota h e lo spostamento in oriz zontale /. Se una strada ha la pendenza del 18%, quanto misura l’angolo di inclinazione?
B,
distante da A 30 m, si vede la cima [12,1 m]
Un aquilone legato a un filo lungo 25 m vola nel cielo e in un certo istante forma un angolo di 32° con il suolo. Calcola a quale altezza vola l’aquilone in quell’istante. [13,2 m]
ESERCIZI IN PIU m
[10,2 °]
All’inizio di una strada in salita viene posto il cartello a lato che indica la pendenza e la lunghezza della salita. A che altezza si arriva dopo aver percorso la salita? [59,3 m]
Quanto è alto l’albero della figura se dal punto con un angolo di 2 2 °?
u n
I
- H 0 Q SU TUTTO IL CAPITOLO
ESERCIZI IN PIÙ SE LE VARIABILI SONO REALI c......... C3
Indica quali dei seguenti grafici rappresentano delle funzioni e, in caso affermativo, specifica il dominio e il codominio.
IM I Data la funzione f ( x ) = 2 x —\ ’ calcc4a /(0)> /(!)> / ( —2).
irai
f ( x)
=
TEST Qual è l’espressione analitica della funzione che, preso un num ero reale x, gli associa la differenza tra il quadruplo del suo quadrato e il cubo del triplo del suo reciproco?
--- j X + 1 .
a. f i ___J) = 0 .
fi
)
) — 2 , /(
= _ y>
1
’
y = ( 4 x ) 2- ¥ r
1
8x
II
1
2 x -
y
E
>= T -
CO
Data la funzione
II
n
>=-§-•
fi
) = -> •/
II © h— * OM
b ./ (
itìn
D lQ
CO M PLETA considerando la funzione
(3*)5
E
y = 4^ 2 *- ^ -
E
y = 4* 2
3x3
stabilisci quali fra i seguenti punti appartengono al suo grafico: C(
2 ; jg ),
Determina il dominio naturale delle seguenti funzioni. P
y = f ~
ETTI
B0
^
T
-
y = ^ ér
5 (2 x —l ) 2x2 ’
7 = \/x >
E3 y=(2x)3;
= (4x —3) 2 ^
7 = V x -2 ;
y
=
2 x 27+ 8 ;
rrn
r = * 2- 4.
L -‘
’
2
^
m
y
=
l ~x* + y ;
4 y = ^ s '>
x
7 = ^x 23—
9 '
2 x 4( x + 2 )
y =
y =
Vx(2x-5)
+
i
Copyright © 2014Zanichelli editoreS.p.A., Bologna E102 Questo fileèuna estensione Onlinedei corsi di matematica di Massimo Bergamini eGraziella Barozzi
[x ^ 0 ; Vx e
R;
x> yj
FUNZIONI NUMERICHE I ESERCIZI IN PIÙ
B3
Per quale valore di
b
la funzione y —
+ -g _
Determina il dominio della funzione se
ITTI
b
ha dominio
R
—{0 }?
= 0.
[5; x t 5]
Rappresenta per punti nel piano cartesiano le seguenti funzioni, indica il dominio e gli zeri.
y ——2x + 3;
y —x —l.
D eterm ina il dom inio e gli zeri delle seguenti funzioni.
IHJ y ——3x + 6;
rca
y = —2x.
z=
x —2 y = x 2(S-x)-,y= 4 + x .
P
SEI y = * (2* ~ 3 ) ;
*2ì x2+
y = (x-5)
Trova per quali valori di x le seguenti funzioni sono positive.
M
y =6x-4
7
00
1 * 15
03
y —x“ [x<-6 V 2 < x < 3 ]
MiM y —i y \ x ~ 1)(3 —a:)(x + 6)
Rappresenta per punti le seguenti funzioni e indica per quali valori di x esse sono positive e per quali negative.
m
y = 4x~l
03
00
y=-\x
0 3 y = _ x3
1
03 y
00
2
y = —X
F^fll y =
1
3x
Una funzione/, definita neirinsiem e R , soddisfa le seguenti proprietà:
/ ( 12) = 7,
/ ( 3x) —f(x) - 5,
/ ( 2x) = /(x ) + 1.
Quanto v a le /(l)?
FUNZIONE COMPOSTA E FUNZIONE INVERSA ® Teoria a pagina 373
COMPLETA scrivendo l’espressione analitica della funzione ottenuta.
00
x -
03
t-
MH
a
—
|
m o ltip lic a ;
J
p e r -g
so ttr a i 1
sottrai 12
-
elemcal cubo
- I
m o ltip lic a ;
V
per 4
moltiplica; per 2
-»
divid i per 8
-
I
-
ayjiouujt 9
-
moltiplica; 8
Copyright ©2014Zanichelli editoreS.p.A., Bologna Questofileèuna estensione Onlinedei corsi di matematicadi Massimo Bergamini eGraziella Barozzi
P"
T
E103
11
F U N Z IO N I N U M E R IC H E
Niki
COMPLETA considerando le funzioni f ( x ) = 4x, g(x) —x + 2, h(x) = —x2.
f ° g ° h = !____ I; h ° g = 03
Data la funzione /(x )
;
= — x2+
a . / 0/ ;
h°f°g =
2, determina: c. / ( / ( —2)).
b. f o f o f ;
[a) 7 = —x4+ 4x2—2; b) y = —x s +
8 x 6—20x4 +
16x2—2; c) —2]
Date le funzioni/e g, determina f ° g e g °f. P
f ( x ) = - j - x 2;
P
g (x) = ^ - .
f(x) = x , + - j ;
£ ( x ) = .r - l.
EUREKA! È sufficiente Date le funzioni / : A — B e g: C — D, quale tra le seguenti è la sola condizione sufficiente affinché la funzione composta g ° f esista e abbia lo stesso dominio d i/?
0 O Q
|~À~| C h e /sia biiettiva.
[c] Che sia
|~b~| Che sia
[ d] C h e /s ia iniettiva.
C Q B.
Ammesso che esista
EBlQ YOU&MATHS
g °f,
esiste necessariamente anche
f ° g
B Q C.
? Motiva la risposta anche sulla base di esempi.
A mysterious function John knows a mysterious fu n c tio n /th a t behaves as follows and
has thè naturai numbers as its domain, /(0 ) = l , / ( 7 ) = 7 / ( 6 ) , / ( 2 ) = 2 / ( l ) , and, in generai, thè output is given by thè input times thè previous output. a. Make an input and output table for thè values, 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 , 7.
b. Can you write a generai rule for fi c. Can you in te rp re t/a s thè composition of functions? Explain?
EMI Data la funzione di R in K
y
=
^
^ :
a. dimostra che è invertibile;
b. scrivi l’espressione analitica della funzione inversa; c. calcola / _1( - 1 ), Considera le funzioni a. Verifica che
f(x) = x 2+ 2x e g(x) = x —
3 ; c) - 1, 0, y ]
1.
f ° g f g ° f -
b. Rappresenta per punti il grafico di
f ° g
c. Se
/i(0).
h = g °f,
[b) / '(x) =
/ _ 1( y ) -
calcola
h(—
1 ),
nel piano cartesiano |c)
h
(x) = x 2 + 2x —1, —2 , y , —lj
Efrfrl Considera la funzione / : R -*■ R:y = 4 -x — 1 . a. Dimostra che è invertibile.
b. Scrivi l’espressione analitica della funzione inversa. c. Calcola
/ - 1(0)
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[b) f ~
l (x)
= 2x + 2 ; c) 3, 2 ]
FUNZIONI NUMERICHE I ESERCIZI IN PIÙ
m u
EUREKA!
/ «
Quale inversa? Indica quale, fra le seguenti funzioni, è la funzione inversa della funzione
= --§ -•
0 / =-^-
E
□ J y=Y
y=-2x
D EI y
= -\
EUREKA! Analizzando funzioni Dopo aver determinato il dominio naturale di ciascuna delle seguenti funzioni reali, stabilisci quali tra queste realizzano una corrispondenza biunivoca tra il proprio dominio e l’insieme R .
a. y = ^ ^
b. y —-y x + 1
c. y — \ fx2+ 1
Quali tra le precedenti funzioni dal proprio dominio a R sono invertibili? Qual è, per ciascuna, l’espressio ne della funzione inversa? [a) R —{—3}; no; non invertibile; b) R; sì; invertibile; f ~ \ R —R, y — 3x —3; c) R; no; non invertibile]
PROPORZIONALITÀ DIRETTA E INVERSA e Teoriaap a^ FETI
Individua in quali tabelle le variabili sono diret tamente proporzionali. In caso affermativo, scri vi la legge di proporzionalità e rappresentala nel piano cartesiano. a
b
s
COICO
- 1
t
X
2
- 1
4 _16 3 3 12
m u
- 8
1
4
3
3
2
-3 2
y
a
b
-4
1
0
2
COMPLETA la tabella in modo che rappresen ti funzioni di proporzionalità diretta e scrivi la legge.
-4
- 1 0
-3
-7
0
2
1
2
1 0
FEE1
3
-2 2
1
7
2
2
2
8
6
-3
- 8
- 1 2
Quale tra le seguenti relazioni che esprimono una proporzio nalità diretta è rappresentata nel grafico in figura? INVALSI 2006
[~À~l y = 3x E
r
y*
E
y = - y*
[~d ]
y = —3x
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E105
11
F U N Z IO N I N U M E R IC H E
TEST Osserva le seguenti tabelle. a. Quale tabella descrive una funzione di proporzionalità diretta?
y
C Ux
y
X
y
X
0
in quella tabella.
X
y
-3
-2
-3
-1,5
-u
2
1
5
-2
-1
-2
-1
-1
8
2
U
-1
0
0
0
1
-8
3
3
0
1
U
2
2
-U
U
2
1
2
6
3
U
-2
5
1
l~A~l
FETI
ey
0
b. Scrivi la funzione che lega x
In una funzione di proporzionalità diretta, al valore
x = —3
corrisponde
y —
4 -,
a. Determina la costante di proporzionalità.
b. Scrivi la legge e rappresentala nel piano cartesiano assegnando a x almeno quattro valori. c. Per quali valori di x si ha
y
= 12 e
y
= -jy ?
FETI
Considera l’insieme dei rettangoli aventi l’area che misura 24 cm2. Stabilisci che tipo di proporzionalità lega la base x e l’altezza y e traccia il grafico della funzione sul piano cartesiano.
FETI
Individua in quali tabelle le variabili sono inver samente proporzionali. In caso affermativo, scri vi la legge di proporzionalità e rappresentala nel piano cartesiano.
FEE1
COMPLETA la tabella in m odo che x e y siano inversamente proporzionali e scrivi la legge che le lega. X
a
b
x
y
t
V
-7
-U
-30
-0.1
-3
7 3
5
-5
-5
3 5
1 5
35
2 3
? 3
-0,25
0,5
'
1
1
2
3.5
5
10
6
-1 27
10
0,7
1
"3
0 5
y 16
u 3 2 2
U
U
2
5 0,1
Problem i
Efrtl
INTORNO ANOI In una fabbrica, per confezionare una certa quantità di bottoni, 2 macchinari impiegano 5 ore. Sapendo che 5 macchinari impiegherebbero 2 ore e che 20 macchinari impiegherebbero mezz’ora: a. scrivi la legge che esprime il num ero di ore impiegate t in funzione del num ero sizione;
b. stabilisci che tipo di proporzionalità c’è tra
t e m e
m
di macchinari a dispo
rappresenta la funzione nel piano cartesiano;
c. determ ina quanti macchinari occorrerebbero per completare il lavoro in 10 ore. a) t = 4m^-; c) 1 macchinario Copyright © 2014Zanichelli editoreS.p.A., Bologna E106 Questo fileèuna estensione Onlinedei corsi di matematica di Massimo Bergamini eGraziella Barozzi
FUNZIONI NUMERICHE
INTORNOA NOI Un pullman deve effettuare un percorso di 50 km. Scrivi la legge che esprime il tempo t (in ore) in funzione della velocità v (in km /h) e rappresentala nel piano cartesiano. Quale tipo di proporzionalità lega t e v? Quanto tempo impiegherebbe il pullm an per completare il tragitto se si muovesse con velocità costante 50 pari a 75 km/h? t = 40 minuti v
gg
FETI
Un esagono regolare ha il perim etro uguale a 2p . Qual è la misura di un suo lato l in funzione di p? Rappresenta la funzione ottenuta nel piano car tesiano. Determina il lato nel caso di p = 75 cm, e p = 1,35 cm. Z= -y p; 25 cm, 0,45 cm YOU&MATHS Downloading from thè Inter net It can take different am ounts of time to download files from thè Internet. The time it takes depends on your connection. Each con nection has a typical rate of transfer, which is given in kilobits per second (kbps). If you need to download a video that is 23 megabytes (MB), how long will it take to download thè video...
B a u
FETI
Plot thè download times as a function of thè download speeds. W hat kind of graph might this be?
► LABORATORIO
ESERCIZI IN PIÙ
Considera un cerchio. Stabilisci quale tipo di proporzionalità esiste tra le misure di: a. raggio r e diametro d; b. lunghezza della circonferenza c e diametro
d.
In entrambi i casi, scrivi la funzione che lega le variabili e indica la costante di proporzionalità. [a) r = y d , y ; b) c = 7rd,7rj
FETI
Per costruire rettangoli aventi area 16, occorre esprimere la legge che lega le misure dei due lati x e y . Scrivi tale legge, stabilisci che tipo di pro porzionalità esiste tra x e y e rappresentala nel piano cartesiano. Indica sul grafico il punto per il quale il rettangolo risulta un quadrato.
FETI
Per ciascuna delle seguenti coppie di classi di grandezze, stabilisci se si corrispondono secon do una relazione di proporzionalità diretta, di proporzionalità inversa o né l’una né l’altra. a. {volume cubo}.
V
di un cubo}; {spigolo dello stesso
b. {area di un triangolo A B C di base A B fissata}; {altezza relativa al lato A B dello stesso trian golo}. c. {base A B di un rettangolo A B C D di area fissa ta}; {altezza B C dello stesso rettangolo}.
a. ...w ith an old DSL line at 420 kbps? (There are 8192 kb in 1 MB.)
b. ...w ith an Ethernet connection at 10 megabits per second (Mbps)? (There are 1024 kb in 1 Mb.) c. .. .with a cable modem at 1440 kbps?
I
FB I In un rettangolo l’altezza è 2 x e la base è y dell’altezza. Se y è il perimetro, che tipo di proporzionalità c’è t r ay e x ì Traccia il grafico della funzione che ottieni. [y = 9 x ]
MATEMATICA E FISICA
U n r o v e r s u M a r te , s u G io v e , s u ... Nel 1997 la NASA portò il lander P a t h f i n d e r e il rover S o j o u r n e r sulla superfìcie mar ziana. Il lander aveva una massa di 360 kg, mentre il rover di circa 11,5 kg. a. Cerca i dati necessari, quindi determina quanto peserebbe su ciascun pianeta del sistema solare un corpo che sulla Terra pesa 10 N. b. Esprimi il peso del rover su Marte in funzione del suo peso terrestre. In generale, qual è la relazione di proporzionalità diretta che fornisce il peso di un qualsiasi oggetto su Marte in funzione del suo peso sulla Terra? c. Trova il peso (relativo a ogni pianeta) che avrebbe il P a th f i n d e r se, invece di essere stato spedito su Marte, fosse stato lanciato su uno degli altri pianeti del sistema solare. ►Risoluzione.
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E107
11
F U N Z IO N I N U M E R IC H E
FUNZIONI LINEARI E DEFINITE A TRATTI
© T e o ria a pagina376
FUNZIONI LINEARI E9
Traccia il grafico delle seguenti funzioni, utilizzando almeno quattro punti.
y = —4 x +l ; m U
x + 2y= —4.
ASSOCIA a ogni grafico la sua espressione analitica.
i 1.
m
3y + 6x —2 = 0;
y
4
, .
= -y x + 4
2. y —
yx
3.
+ 6
y = — y x + 4
4. y = — y x +
EUREKA! Che funzione? Quale delle seguenti equazioni corrisponde al grafico?
u
IX 1 y
= —x +
[ b]
y =
rei
y
1
y x - 1
[~p~|
y = x +
LU
y
3
yÀ
1
= y * +1
= —x — 1
[USA Southern Illinois University Carbondale, Final Exam, 2002]
W4iI Verifica se i punti A^2; — y j ,
—y 2 j ,
c ( —y —y ) ,
—2j appartengono alla retta di
equazione y = —3x + y . FB I Data la funzione / ( a) E a
— kx —
4, trova
k
in modo che / ( —3) = —1 e traccia il grafico d i/.
La retta di equazione y = m x + q interseca l’asse y nel punto di ordinata —5 e passa per il punto A (4; 5). Trova m e q , disegna la retta e calcola l’ascissa del punto di intersezione con l’asse x.
FB I Disegna nello stesso piano cartesiano le rette r e s di equazioni: una retta parallela a
re s
che passa per il punto
y = 2x — 4, y = 2x.
—y ; 6 V
Scrivi l’equazione di \j -
2 x + -y j
B a u INVALSI 2007 Una ditta di trasporti per effettuare un trasloco tra Roma e Milano chiede € 1500 più € 25 per ogni kilometro percorso all’interno di Milano. Indicando con x i kilometri percorsi all’interno di Mila no, quale delle seguenti relazioni esprime il costo complessivo y del trasporto? |X| jy= 1500x + 25
[T] y = 1500(x + 25)
|~b~|
[ d] 7 = 25x + 1500
t lUo
y =
2 5 ( x + 1500)
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FUNZIONI NUMERICHE
m
u
I
ESERCIZI IN PIÙ
INVALSI 2006 Si vuole acquistare del caffè che ha un costo di 1 euro l’etto. Poiché l’acquisto avviene per corrispondenza, la spesa sostenuta S dipende dal peso P del caffè ordinato e dal costo della spedizione, che è di 4 euro. Quale dei seguenti grafici rappresenta la funzione S = /(P )? E
sf L’
INTORNOA NOI
FETI Sfumature
Per ottenere diverse tonalità di colore, a 50 mi di tinta base occorre aggiungere bianco in per centuale variabile x % rispetto alla quantità iniziale di colore. Scrivi la legge che esprime la quantità finale di colore ottenuto c in funzione di * e rappresentala nel piano cartesiano. C 50 + -4-x
FETI Chiama il tecnico
II prezzo per la riparazione di una lavatrice prevede che al costo del pezzo da sostituire vengano aggiunti € 35 per ogni ora di m anodopera del tecnico e € 30 fissi per la chiamata. Nel caso si debba sostituire un pezzo che costa € 62, scrivi la legge che esprime il prezzo P della riparazione in funzione delle ore t di m anodopera e rappresentala nel piano cartesiano. A quanto am m onta il costo della riparazione se il tecnico ha lavorato per un’ora e mezza? Quante ore di m anodopera ha fatto il tecnico se il prezzo della riparazione risulta € 179,50? [p — 351 + 92; € 144,50; 2 ore e mezza]
FEE1
Da un quadrato di lato 6 cm vengono ritagliati due triangoli come in figura. Esprimi l’area y della regione colorata in funzione di x e rappresentala nel piano cartesiano. Quali valori può assumere x? Per quale valore di x l’area risulta 26 cm2? [y = 36 —2x ; 0 < x < 6 ; 5 cm]
X 2
FUNZIONI DEFINITE A TRATTI
FEU
INTORNO ANOI II grafico in figura rappresenta i kilometri per corsi da un fattorino nel corso di un’ora. a. Quanti kilometri ha percorso dopo mezz’ora? b. Quanti kilometri ha percorso in totale il fattorino? c. Per quanti m inuti è rimasto fermo? [a) 10 km; b) 22 km; c) 25 minuti]
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E109
11 FEE1
F U N Z IO N I N U M E R IC H E
INTORNO A NOI Treni in transito II grafico in figura rappre senta lo spazio percorso da due treni che viaggiano sulla stessa tratta in funzione del tempo.
a. Quante fermate fanno i due treni?
b. Quanto impiegano i due treni per completare il tragitto? c. Quanti kilometri ha percorso il treno A dopo trenta minuti di viaggio?
d. Per quanti m inuti il treno A resta fermo? [a) 2,0; b) 60 e 40 minuti; c) 50 km; d) 10 minuti]
FETI
Trova gli zeri e studia il segno della seguente funzione. Conferma i risultati con la rappresentazione grafi ca della funzione. A3
se
*< 0
8
se
0 < x< 2
se
x >
—1 + m U
EUREKA!
13 x
2x
2
A tratti Supponi che la funzione/sia definita in modo tale che: se
{(jc— l ) 2 se
x < 1 x >
l
Se a è un numero negativo, quanto vale / ( I —a)? Fa]
(2a)2
[T]
a2
|j[]
3—3a
QT] 3a
[T]
(a
— l)2
[USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 1999]
pG
TEST
Quale delle seguenti funzioni ha il grafico rappresentato in figura?
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E110 Questo fileèuna estensione Onlinedei corsi di matematica di Massimo Bergamini eGraziella Barozzi
FUNZIONI NUMERICHE
I ESERCIZI IN PIÙ
Rappresenta in un grafico le seguenti funzioni. 1
EOI
FETI
y
FETI
y = 4 - |l- x | + i
x +
y
-x +
1
WW y = 4 —I—x
PROPORZIONALITÀ QUADRATICA E CUBICA © Teoria a pagina 378
FETI
Stabilisci quali tabelle rappresentano una funzione di proporzionalità quadratica. In caso affermativo, scri vi l’espressione analitica della funzione e rappresentala nel piano cartesiano. a
b
d
m
•3
-9
-5
-5 0
y
t
V
-2 4
-5
-10
- 2
-10
X
1
1
1
1
9
3
2
2
2
6
0
0
-4
-6
- 2
3
9
4
1
- 2
3
12
a
-1 8 b
1
3
-1 ,5
-3
2
U 6
-2 4
-1
-5 4
0
c
- 2
0 a) no; b) sì:
d
m
= —2 d 2; c) sì:
y
—Y
x2;
d) no
mu
YOU&MATHS Which points belong to thè graph? Consider thè function s(x) = 3 x 2 + 1. If you want, you can draw a graph of thè function. Then determine which of thè following points belong to thè graph and which do not. Explain your reasoning.
a. (0,1)
b. (1,3)
mu INVALSI 2003
c. ( - 1 ,4 )
d. (1,4)
e. ( - 2 , 12)
La tabella a fianco mostra una relazione di proporzionalità quadratica fra le
grandezze x e y . Quali sono i valori da sostituire al posto di
[ a]
a
= 16 e
b
= 8.
[¥]
a
= 32 e
b =
12.
a
X 2
8
4
a
b
72
e bì
[c]
a
=
|~d~|
a
= 32 e
16 e b
= 6.
b =
|~e~|
a
= 16 e
= 12.
b
6.
y
COMPLETA le tabelle in modo che le grandezze x e y siano in proporzionalità quadratica e scrivi la legge. X
y
1
3
2
2
3
u
27 4
b
u
- 2
16
2
6
a
3
.
.
5 1
1
2
12
1
4 -3
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E111
11 n
F U N Z IO N I N U M E R IC H E
u
In figura è rappresentato il grafico della funzione
TEST
0
nessun valore di
0
a
I0c |
a.
= 1.
ci
0
o
y — ax2
per:
.
4 ’
Determina: a. l’espressione analitica della funzione di proporzionalità quadratica rappresentata nel grafico; b. le immagini di —4 e 1; c. le controimm agini di a) g i i Il volume a. Scrivi
V
V
9
e 16.
y = \ x 2-,b)
/ ( —4) = 4; /( 1) = - ^ ; c ) x = ± 3 ; x = ± 8
e il raggio r di una sfera sono tali che il rapporto tra
V
e il cubo di r è costante e uguale a ^ - 7i.
in funzione di r e rappresenta la legge nel piano cartesiano.
b. Calcola il volume di una sfera di raggio 3. c. Quanto deve valere il raggio della sfera affinché il volume sia -g-7t?
a) V
-
4 - 7C/*3; b) 36tt; c) 4-
B 0 Il rettangolo A B C D ha il lato A B che è -§- del lato B C . Sia M il punto medio di A B e N il punto di B C tale ----1 5 che B N = ~ r B C . Scrivi la legge che esprime l’area y di M B N D in funzione della misura x di B C e rappresen tala nel piano cartesiano. [ 2 _ 2I
FUNZIONI CIRCOLARI ®Teoria a pagina 379 Individua, utilizzando la circonferenza goniometrica, i seguenti angoli. B3
45°,
420°,
0 3
-2 7 0 °,
-1 8 0 °,
-4 5 °,
600°,
135°, 960°,
390°. -7 8 0 °.
Rappresenta, utilizzando la circonferenza goniometrica, gli angoli a definiti dai seguenti valori. M iI s i n a = l
W kU
EMI
sin a —— 1
VERO 0 FALSO?
a. La funzione coseno ha come dominio l’intervallo [—1; 1].
0 B
b. La funzione seno è una funzione periodica di periodo 90°.
0 0
c. La funzione tangente è una funzione periodica di periodo 180°.
0
d. Le funzioni seno e coseno per un angolo qualsiasi a sono legate dalla relazione se n a + cos a = 1.
0 0
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E112 Questo fileèuna estensione Onlinedei corsi di matematica di Massimo Bergamini eGraziella Barozzi
0
FUNZIONI NUMERICHE I ESERCIZI IN PIÙ
EH] Determina gli angoli e i lati incogniti nei seguenti triangoli rettangoli.
a s a u
b (Co)seno di angoli Sia dato il triangolo rettangolo A B C , retto in B , con cateti A B = 3 cm e 8 cm, e sia A M la mediana relativa al cateto B C . Una sola delle seguenti affermazioni è vera: quale?
EUREKA! BC —
|~a] Il coseno dell’angolo |~b~] Il seno dell’angolo
— M A B
3
èy .
è uguale al seno dell’angolo
M A B
|~c] Il coseno dell’angolo
M A B
è -7=-.
|~p~| Il coseno dell’angolo
CAB
3 è yy.
M AC .
RIEPILOGO Per ognuna delle seguenti funzioni determina il dominio naturale. gjjjj
y=
/(* +
5 )(l-2 x ) 3x
x < — 5 V0
Kiil
< x
y = \x \ — 2(5x)~2
[x A
0]
Studia il segno delle seguenti funzioni. (Nei risultati è riportato l’intervallo in cui esse sono positive.) E£3 7 =
x 2+
1
FJiltl
[0 ]
[0 ]
y = - 2 —lx-h
WlM Considera le funzioni f(x) = x 2—l, g(x) —x —-y-, h(x) ——2x. a. Determina b. Calcola
f ° g , g ° f , f 0g ° h .
f(g(
1)) e
h ( f ( 2-1)).
c. Rappresenta il grafico di d. Determ ina x tale che
h
0 h nel piano cartesiano.
g ( h (x))
= 0. [a) y
W!UI Considera le funzioni
f(x)
= yx e
= x 2-
g(x) = — 2 x —
x - -q-; y = x2 - y , y =
b) -
4x2+ 2x -
y ; d) - y ]
1.
a. Rappresentale nel piano cartesiano e stabilisci per quali valori di x
è f(x)
< g(x).
b. Verifica che f(x) eg(x) sono invertibili e scrivi le espressioni analitiche delle funzioni inverse. c. Scrivi l’espressione analitica di d. Verifica che
f ° g è
\
/
E
y=~
e di
g °f.
invertibile e scrivi l’espressione analitica della funzione inversa. ^ 1\
à )x < - j ^ ; b ) f
INVALSI 2005
f° g
r—1/ \ 5 i (x) = - ^ x , g
_i / \
i (x) =
—
x
1 \ 8 4 8 ij\ 4 5 — ; c ) y = ~ T x ~ T > y = ~ T x ~ 1 ; d ) y = — §—
Se x = y -y , allora. ®
y = T
rei
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y
=
5x +
3.
|~d~|
5x + 3y =
0.
E113
11
F U N Z IO N I N U M E R IC H E
I EUREKA!
■e g ì
Se
f(x)
= 3^
3x + 4
a
E
2x 3x
a
2x + 4
a
2 — 3x
4 e f ( g ( x ) ) = x , allora g ( x ) = ...? 2.X + 4
4
ITI Nessuna delle precedenti.
4x
[USA Furman University Wylie Mathematics Tournament, Junior Examination, 2006]
Milli
EUREKA! Proposta per una composta Considera la funzione funzione g ° f in ciascuno dei seguenti casi:
a.
b.
g(x) = 3 x ~ Y '>
g(x)
f(x
) = —3 x
+
-^- e ricava, se possibile, la
= - y * + -g-.
Tra le due funzioni g proposte, una delle due è la funzione inversa d i/? Giustifica la risposta. [a)
gof. y
EllG
INVALSI 2004 Si consideri la relazione tra x e y espressa da: 2 x — 3 y = — 5. Quante sono le cop pie (x; y ) di num eri reali che la soddisfano?
s a u
= —9 x + 1; b)
e d
|T] Due.
a
|T] Infinite.
a
INVALSI 2005 Osserva attentam ente il grafico. Quale fra le seguen ti è la relazione che descrive l’andamento del grafico?
a
r~A~|
y ■x —
ITI
y ■x
= —3
®
y=
iv
[TI
y = —3x
il caso b) è funzione inversa dif ]
G EUREKA! Aumenti lineari La funzione line are f ( x ) = m x + k è tale che / ( 1 ) = —2 e / ( —2) = 11. Qual è la variazione del valore di / ( x ) quando x aumenta di 2 ?
[ a~| Nessuna. Una.
g ° f : y = x;
il 3
a
26
a
3
a
- i3 39 2
-1 2 [USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 1999]
3
EUREKA! La controimmagine di —3? Se
E aG
f(x)
E
= 5+
-4
[T] —1 E
2x,
ricava / -1 (—3).
[ dJ - 5 + y [T] Nessuna di queste.
"6 + y [USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 2002]
Mftl
EUREKA!
Calcolando k Dato k ^ 0, la funzione lineare
f(x) = - ^ x + k — 2
e la funzione di proporzionalità inversa *<*> = T sono tali che /(2 ) = g ( 2). Quanto vale /c? Posto che ni in uno stesso riferimento cartesiano.
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k
sia uguale al valore trovato, rappresenta le due funzio [k = 3]
E1U Questofileèuna estensione Onlinedei corsi di matematica di Massimo Bergamini eGraziella Barozzi
FUNZIONI NUMERICHE
M U
I ESERCIZI IN PIÙ
Quasi tutte vere Una sola delle seguenti affermazioni, riferita a num eri reali
EUREKA!
x e y, è
falsa:
quale? Ha] Se x
si corrispondono secondo una proporzionalità diretta, esiste una costante
e y
ogni coppia di x
e y
corrispondenti e non nulli,
y
=
k
E R tale che, per
k.
|~b~| Se x e y si corrispondono secondo una proporzionalità inversa, esiste una costante zero tale che, per ogni coppia di a: e y corrispondenti, x - y = k .
k
e R diversa da
fcl Se x e y si corrispondono secondo una funzione lineare, esiste una costante positiva k G R tale che, per ogni coppia di * e y corrispondenti, se a: aumenta di 1 , in corrispondenza y aumenta o diminuisce di k . r~D~l
Se a: e y si corrispondono secondo una proporzionalità inversa, per ogni coppia di a : e y corrispondenti, se a : aum enta di 1, in corrispondenza y diminuisce di 1 .
FEH Date le funzioni
/(x) = — ^-x+
a. determina il valore di
a
a e g ( x ) = b x + 5:
per il quale / ( —2 ) = 4-;
b. attribuisci a b il valore per il quale /(x ) e
g(x)
hanno per grafici due rette parallele;
c. rappresenta nel piano cartesiano le due funzioni per i valori di
d. trova il valore di a; per il quale
6f(x)
a
e b trovati; a)x a
—y g ( x ) = 0 .
1 LU
— —2*;
b) b
1
— —j-;
i\ d) x ——10
Trova per quali valori di x le funzioni /(x ) e g(x) assumono lo stesso valore e rappresenta le funzioni nel piano cartesiano. S3
/(x) = 2x —5,
B3
/(x ) =
\ x
-
1,
g(x)
= 3.
[4]
£(x) = X + y .
[-2]
Effll /(x) = —8x + -j- > £ ( * ) = - y - 4 x .
EPTI
Con l’aiuto di un grafico Siano date le due funzioni reali
EUREKA! f : y
yx + 2 e
=
[è]
g: y = — \ x
+
8.
Per quale valore dell’ascissa x e R l’ordinata d i / è maggiore o uguale all’ordinata dig? Rappresenta graficamente il problema.
[x >
Rappresenta le seguenti funzioni. y = \x\ + x
EMI
y
___ EH
=
2x —
FTTR1 y = | 1x 1
ro 1 DO
KIWI
|x |
2x
5| x I y =
—
i r
0H
y = ■
+ 2
TEST
I num eri reali x
e y
soddisfano la relazione 2x *2 —3 y
Quale tra le seguenti proposizioni |~a] Se
y
= 0, allora x = 0.
|~b~] Se x = —1 , allora
y = —
=
x< 2
se
x > 2
se
x < —1
x |+ 1
se
- 1
1 5x
se
x> 5
7
E U []
se
0.
è fa ls a ?
[c] La coppia (3; 6 ) soddisfa la relazione. 1.
[ d] Per ogni x reale vale
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2
y =
^ -x 2.
E115
3]
11
F U N Z IO N I N U M E R IC H E
ETiTÌ
EUREKA!
Disegna e rispondi Dopo aver tracciato il grafico cartesiano della funzione
x + 2
y = f(x),
x > — \
rispondi alle seguenti domande. a. Quanto vale/(0)?
b. Qual è il codominio di/(x)? c. La funzione è iniettiva? È suriettiva su R ?
d. Posto che sia
g(x)
—V
x
, è possibile definire la funzione
Motiva le risposte.
g ° f 7.
[a) / ( 0) = 2 ; b ) { x e R | x > 0};c) iniettiva, non suriettiva su M; d) sì]
ETiTl Rappresenta nel piano cartesiano le funzioni individua te dalle tabelle a fianco, riconoscendo il tipo di propor zionalità. Determina la costante di proporzionalità. [a) 2; b)
c) - 3 ]
X
y
-5 -1 1
2 6
p Q
TEST
h
x
y
-2
-2
-10
-10
-1
20
2
1
<
r
x
y
-1
3
-1,25
]
3
10
0,5
80
2
1
-0,75 -12
II moto di caduta libera di un corpo è descritto dalla legge h = —y g f 2, dove h è l’altezza espressa
in metri, t il tempo in secondi e g è l’accelerazione di gravità, pari a 9,8 m /s2. Quale tipo di proporzionalità lega il tempo t e l’altezza h ? [~a1 Diretta. E
Inversa.
fcl Quadratica. [~d~| Cubica. TEST Secondo la legge di Coulomb, due cariche elettriche puntiform i Q! e Q2 nel vuoto esercitano una sull’altra una forza il cui modulo F è inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r e direttamente proporzionale al prodotto delle due cariche. Quale delle seguenti relazioni descrive in m odo corretto la legge di Coulomb?
E naG
„2
H
F = kc
H
F = k0
\T \
F =
kc
I~p~1 F= kc
dove
kc
è una costante,
Q 1Q 2 , dove 2r
kc
è una costante,
, dove
kc
è una costante,
, dove
kc
è una costante.
Q 1Q 2
Qi Q 2 r
2
2r
Q 1Q 2
,
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E116 Questofileèuna estensione Onlinedei corsi di matematica di Massimo Bergamini eGraziella Barozzi
FUNZIONI NUMERICHE I ESERCIZI IN PIÙ
EIE] □
INVALSI 2012 Durante il periodo estivo Anna deve leggere un libro di 305 pagine come compito per le vacanze. Nel mese di giugno si riposa e a partire dal prim o giorno di luglio legge 5 pagine al giorno per tutto il mese. In agosto va in vacanza con i genitori e dimentica il libro a casa; al suo ritorno, negli ultimi 10 giorni di vacanza, per term inare il libro legge 15 pagine al giorno. Quale, fra i seguenti grafici, può rappresentare l’andam ento del num ero di pagine lette da Anna nel periodo estivo?
m
INVALSI 2012 Con «spazio di frenata» intendiam o lo spazio che u n ’auto percorre dall’inizio della frenata fino a quando si ferma. Una regola pratica per stimare lo spazio di frenata (in metri), nel caso in cui l’auto viaggi su una strada asfaltata in buone condizioni e non bagnata, è la seguente:
eleva al quadrato il valore della velocità (in km /h) delVauto all’inizio della frenata e dividi il risultato ottenuto per 200. a. Completa la tabella seguente, che fornisce lo spazio di frenata s (approssimato per eccesso al metro) per alcuni valori della velocità v quando la strada si trova nelle condizioni descritte sopra. v (km/h)
s (approssimato per eccesso al metro)
40
8
50
13
60 70
1
1
25
80 90 100
50
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E117
11
F U N Z IO N I N U M E R IC H E
b.
0 0 Q
Q Quale fra i seguenti grafici può rappresentare lo spazio di frenata s al variare della velocità v?
INVALSI 2005
II grafico rappresenta la velocità di un’automobile in funzione
del tempo. L’automobile parte da ferma alle ore 10 esatte, a un certo m om ento si blocca per evitare un incidente, poi riprende a viaggiare fino a quando raggiunge la meta. A che ora si blocca l’auto? |~a~| 10:50
[ b ] 11:00
[c] 11:40
QT] 12:50
;.
t ^ sp a zio (m i
Il grafico a lato rappresenta la posizione di M anuela in funzione del tempo. Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o è falsa. a. Il grafico mostra che M anuela nel tratto 3 ha camminato più velocemente che nel tratto 1 . b.
Il grafico m ostra che M anuela nel tratto 5 è tornata indietro.
c. Il grafico m ostra che M anuela nel tratto 1 e nel tratto 5 ha camminato alla stessa velocità. d.
In 70 m inuti, comprese le soste, M anuela ha percorso 1400 metri.
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E118 Questo fileèuna estensione Onlinedei corsi di matematica di Massimo Bergamini eGraziella Barozzi
4 3
0
0
2]
V
' l / j
[V] [T] 200-
f i
[V] [T] [V] |~F|
10
i
__1 1__ 1 1-----1 ^ te m p o (m in )
FUNZIONI NUMERICHE
I
ESERCIZI IN PIÙ
INTORNO A NOI
B Q Il grafico in figura rappresenta la quantità di benzina presente nel serbatoio di u n ’automobile che viaggia in autostrada in funzione dei kilometri percorsi. a. Quanti litri di benzina ci sono nel serbatoio all’inizio del viaggio?
b. Dopo quanti kilometri si ferma per il rifornimento? c. Quanti litri di benzina vengono introdotti nel serbatoio durante il riforni mento?
d. Quanti litri di benzina consuma in totale per l’intero tragitto? [a) 38 L; b) 320 km; c) 38 L; d) 36 L]
Il grafico in figura rappresenta i centimetri di neve presenti su una pista da sci in funzione del tempo.
0 0
a. Quanti cm di neve sono presenti sulla pista dopo le prime 3 ore? b. Quanti cm di neve sono caduti sulla pista nelle prim e 5 ore? c. A che cosa corrisponde nella realtà il tratto in cui la funzione è costante?
d. Per quante ore si è depositata neve sulla pista?
[a) 60 cm; b) 35 cm; c) non nevica; d) 7 ore]
KÌTI Considera le funzioni
f(x
)=
\J-y
x + 1 —V
i —3 x
e
g ( x ) = — \ x {^
a. Determina il dominio naturale di/(x).
b. Determina gli zeri e studia il segno di g ( x ) . a) —-y < x < y ; b) x = 0Vx = y ;
► LABORATORIO
g(x)
> 0 per
x
< 0 V x > -y-
MATEMATICA ED ECONOMIA
P e r p u ro in te r e s s e Nel regime di capitalizzazione a interesse semplice, l’interesse I ( t ) maturato dall’inizio dell’operazione è direttamente proporzionale al capitale iniziale C e al tempo trascorso t (misurato in anni), secondo il fattore di proporzionalità i (espresso in percentuale) chiamato «tasso annuale di interesse». a. Scrivi la funzione che permette di calcolare l’interesse I { t ) , maturato dopo t anni, dati il capitale iniziale C di € 5000 e il tasso annuale di interesse i pari all’1,5% (in regime di capitalizzazione semplice, l’interesse I ( t ) viene calcolato sempre sul capitale iniziale). b. Quanto devi restituire a fine anno? c. Scrivi la funzione che permette di calcolare il totale da restituire dopo t anni, assumendo che il capitale e il tasso annuale di interesse siano sempre gli stessi. d. Rappresenta le due funzioni trovate nei punti a e c su uno stesso piano cartesiano. Aiutandoti con il grafico, descrivi come si modificano le due funzioni quando si considerano un capitale iniziale e un tasso di interesse annuo diversi.
□
►Risoluzione.
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E119
11
F U N Z IO N I N U M E R IC H E
LABORATORIO
MATEMATICA INTORNO A NOI
U n a q u e s tio n e di d iffe r e n z e I dati della seguente tabella sono tratti dal rapporto Rifiuti Urbani Italiani (ISPRA, edizione 2013).
Nord
Centro
Sud
Anno
Rifiuti prodotti (t)
Percentuale differenziata
Rifiuti prodotti (t)
Percentuale differenziata
Rifiuti prodotti (t)
Percentuale differenziata
2007
14 616 674
42,4
7 350195
20,8
10 574 879
11,6
2008
14 824 889
45,5
7 302 249
22,9
10 340 063
14,7
2009
14 621204
48
7 185 564
24,9
10 303 142
19,1
2010
14 808 248
49,1
7 323 097
27,1
10 347 766
21,2
2011
14 345 531
51,1
7017984
30,2
10 022 705
23,9
2012
13680717
52,6
6 743 533
32,9
9 537 847
26,7
a. Utilizzando un foglio di calcolo mostra, attraverso un grafico a dispersione, come varia negli anni la percentuale dei rifiuti differenziati nelle tre aree geografiche e commenta il grafico ottenuto. b. 1. Considera solo l’area del Nord. Sapendo che, in questo caso, l’incremento della percentuale di rifiuti differenziati raccolti ogni anno, rispetto alla percentuale differenziata nel 2007, è esprimibile mediante la funzione y = 2 , 2 x , fai una previsione sulla percentuale di rifiuti differenziati che saranno raccolti nel 2013. 2. Rappresenta in un grafico cartesiano tale funzione per i primi 6 anni. c. Mostra in un grafico a barre la produzione prò capite di rifiuti nel 2012 nelle tre aree geografiche e la raccolta differenziata (in valori assoluti, non percentuali) relativa a tale anno (dati popolazione al 2012: Nord = 27 194 765, Centro = 11 591 705, Sud = 20 607 737).
□
► Risoluzione.
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11
F U N Z IO N I N U M E R IC H E
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ►Competenza U (abilità 2, 3, A) Per ognuna delle seguenti funzioni determ ina il dom inio naturale.
y y
3x
5x
[* ^ 0 A i / —4 ]
x( y x + 1 = Vi +
+ -|-
x2 — \ J x
y ~
1 —4x ’
y =
i
^ “ v ^ x 5 7
2 x —6
x >■
2^
6 x — 12
8x —1
6
;
y = —
s ~
^ ;
y =
x -
Studia il segno delle seguenti funzioni. (Nei risultati è riportato l’intervallo in cui esse sono positive.) y
BB
= —y1 x +, o3
y = - y x ( 1 —2x)(—1 —x) [ o < x < y V x < —1j
K lQ
1
[x < 21 ]
y = —~ y x —
BB
y
o3
= —y ( x —2)(4x —3)
vero o falso?
3 _|_ ^
a. Le funzioni
y — ^ , 2
b. La funzione
y =
d. La funzione
y
1
e y — ^ 2
=— 3
y —
7
E B
BB
r—-,----- è R . V x2 + 7
è negativa per ogni x.
111! Considera le funzioni
B B
Ili
/(x ) = y x — 1 e g(x) = 4 —2x. a. Determina tesiano.
g ° f
0B
hanno lo stesso dominio.
—y x 3 è positiva per x > 0.
c. Il dominio della funzione
Osserva il grafico della funzione /(x ) e deduci: a. dominio, codominio, segno;
e rappresentala nel piano car
V
b. Calcola / ( — 16) e
c. Determina i valori di x per i quali g ( x ) è positiva. d. Determina x tale che [a) y
—
g(x) = f(x ).
6 —x; b) —9; -y; c) x < 2; d) 2j
Date le f u n z io n i/e g, determ ina f ° g e g ° f . m i
/(x ) = —y x + 1 ;
g(x)
= 2x.
m i
/(x ) = —3x2;
g ( x ) = x 2 —x —1.
Quale relazione esiste tra x e y , se si afferma che x è il 30% di y ? Proporzionalità...
Q
4-02
[■4 < x < 2 ]
INVALSI 2006
I~a1 diretta.
[T] quadratica.
I~b] inversa.
r~p~1 cubica.
MENU DELLE COMPETENZE O
h n i Rappresenta nel piano cartesiano le funzioni individua te dalle tabelle a fianco, riconoscendo il tipo di propor zionalità. Determ ina la costante di proporzionalità.
Nella seconda pagina della copertina
X
y
x
y
3
3
0,4
6
12
9 12
a ) y ; b ) 8; c ) y
x
y
20
-5
-1
1
8
-2
- 0,4
27
1,6
5
6
1,2
48
6,4
1,25
10
2
h
r
Determina il tipo di proporzionalità nelle seguenti relazioni e calcola la costante di proporzionalità. 11»!
y — 7x\
x y — 4;
- y = 2;
s — 8t;
a = -y .
I fr J s —- y t 2;
7 + - y = 0;
v + 4t = 0;
V = a 3.
Riconosci di che tipo sono le seguenti funzioni; trova gli zeri e gli intervalli in cui sono positive, e infine rappresentale graficamente. IT I
20 y = x 2
K |
E1
3y — 5x — 0
7x3+ y =
0
E
t
2y + 4x = 1
COMPLETA le seguenti tabelle in modo che le variabili verifichino la condizione richiesta. Scrivi l’espressione analitica della funzione e rappresentala graficamente. y
X
1 2
U
0,3 u 1 3 u u
1 3 25 3 -12
p ro p o rz io n a lità q u a d ra tic a
IS 1
b
c
-21
-6
a
u -2 4 3
-7 u
4
u
u
p ro p o rz io n a lità d ire tta
R I
d
m -6
u
u
3 2
-2
1 2
-3
-1
1 4
u
u
1 4
u
-16
u
21 2
U
V
0,3
p ro p o rz io n a lità in v e rs a
2 u
p ro p o rz io n a lità cubica
F/»l LJ ASSOCIA a ogni grafico la relativa equazione.
1. y ——~cx + 2
3.
xy
= 8
4.
y —
5.
y — 2x
3
403
11
F U N Z IO N I N U M E R IC H E
Osservando il grafico in figura, determ ina le espressioni analitiche di f(x ) e g(x). Utilizzando il grafico, risolvi:
WMM
a. /(*) =g(x); b.
f( x ) > g(x); \g(x)
> 3
C‘ {/(* ) > 2
[/(x) = —y x + 2; g(x) = —5x —7; a) x = —2; b) x > —2; c) x < —2
Rappresenta le seguenti funzioni nel piano cartesiano e determina zeri e segno. 5x + 6
y = —2 x +
se 6
se
x< 0 x > 0
7
2x2
se
x < 0
—x + 3
se
x> 0
►Competenza 3 (abilità 4) Un rettangolo ha i lati che sono uno i -jr- dell’altro. Se entrambi i lati vengono aumentati del 25%, si ottiene un nuovo rettangolo. Esprimi il perim etro p del nuovo rettangolo in funzione della misura x del lato più lungo del rettangolo originario e rappresenta la funzione ottenuta nel piano cartesiano. Ili
LJ
|NVALS| 2010 II prezzo p (in euro) di una padella dipende dal suo diametro
d
(in cm) secondo la seguen
te formula: P ^ T 5 d2-
Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni èvera o è falsa? a. Il prezzo della padella è direttam ente proporzionale al suo diametro.
Ev]EEI
b. Il prezzo della padella aumenta all’aumentare del suo diametro.
Ev]Et]
c. Il rapporto fra il diametro della padella e il suo prezzo è 15.
EviEf ]
KM Per il noleggio di un apparecchio medicale è previsto il pagamento di una quota fissa di € 50, alla quale vengono aggiunti € 3 per ogni giorno di utilizzo del macchinario.
a. Scrivi la legge che esprime il costo y in funzione del num ero dei giorni t di utilizzo dell’apparecchio. b. Rappresenta la funzione y ( t ) nel piano cartesiano e indica quale dipendenza c’è tra y c. Qual è la spesa totale se si utilizza l’apparecchio per una settimana? m
u
TEST Sfogliando una rivista, ti cade l’occhio sul grafico a fianco, che m ostra l’andam ento della grandezza y in funzione della grandezza x. Quale tra le seguenti situazioni potrebbe descrivere? EÀ1 II livello y dell’acqua in funzione dei litri x contenuti in una bottiglia. I~b1 II costo y di un articolo in saldo in funzione del tem po x trascorso dall’i nizio della svendita. fcl II costo y prò capite, in funzione del num ero x di inquilini presenti, dell’affitto fissato per un appartam ento. Eoi II credito y nella scheda di un cellulare in funzione del tempo x di utilizzo.
e t.
[a) y
= 3t+
50; c) € 71]
MENU DELLE COMPETENZE ©
Nella seconda pagina della copertina
INTORNOA NOI Arriva l’estate! L’abbonamento a una piscina prevede una quota fissa mensile e una quota aggiuntiva per ogni ingresso. I costi per il mese di giugno e gli aumenti di luglio sono riportati a lato.
a. Scrivi le leggi che esprimono il costo in funzione dei giorni di ingresso per il mese di giugno e per il mese di luglio e rappre sentale nel piano cartesiano.
a vb o u jm tw to mmAiU-pùcÌMAy g iu g n o
b. Quanto spende una persona che si reca in piscina ogni giorno dal 21 giugno al 18 luglio inclusi? [b) € 143]
E3
luglio
—- + 20% € 4 co ingresso —*- + € 0,50 € 10fu so
Da un foglio rettangolare con le dimensioni di 4,6 dm e 3,2 dm viene ritagliato un angolo come in figura. x
a. Determina al variare di x l’area A della parte di foglio che rimane. b. Entro quali valori può variare x? c.
Rappresenta la funzione A(x) tenendo conto dei limiti di x e indica che tipo di relazione c’è tra A e x.
d. Per quale valore di x l’area diventa
-j-
di quella iniziale?
[a) A = 14,72 —l , 6x; b) 0 dm < x < 4,6 dm; d) x = 6,9 dm non accettabile]
| Geometria per un puzzle Per realizzare un pezzo di un puzzle, da un quadrato di lato 2 cm vengono ritagliati quattro semicerchi: tre di diametro 2 x e uno di diametro x. Scrivi la legge che esprime il perim etro p del pezzo di puzzle in funzione di x. p —
tefrJ Date le funzioni /(x ) = 2x + a e a. determ ina il valore di
a
g(x)
—7 jx + 8
= y x + fr:
per il quale / ( —4) = —8 e il valore di
b
b. rappresenta nel piano cartesiano le due funzioni per i valori di
per il quale a
g(—
6) = —
3
e b trovati;
c. aiutandoti con il grafico trova il punto di intersezione t r a / e g e indica i valori di x per i quali /(x ) < g(x). [a) a
—
0 ; b — -y, c) ( 1; 2 ), x < lj
405
11
F U N Z IO N I N U M E R IC H E
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE TUT0R
PROVAA (10 esercizi)
PROVA B (10 esercizi)
© IN MEZZ’ORA
PROVA C ►Competenze 3, U D
$ IN UN’ORA
In figura è rappresentata una funzione/(.x).
K lI
COMPLETA la tabella in modo che rappresenti una funzione di proporzionalità inversa. Scrivi l’espressione analitica della funzione e rappre sentala nel piano cartesiano.
J
X
y Deduci dal grafico: a. dominio, codominio e segno di /(x); b.
E f l Determina
/ ( 2 ) e / ( 0 );
-1
-3 -9
f ° g e g ° f
/(x)= -jx-2
-2
e
3 U
18 U
se: £ ( x ) = - |- x 2.
c. x tale che /(x ) = —3;
d. gli zeri di /(x). W M
E I
Considera la funzione /(x ) = -y x + a. Determ ina il valore di
a
a.
tale che / ( —8 ) = 1.
b. Rappresenta la funzione nel piano cartesiano per il valore di
a
trovato.
c. Trova gli zeri di/(x).
II compenso di un venditore è costituito dalla somma di due contributi: una quota fissa mensi le di € 900 e il 15% delle entrate del mese. Scrivi la legge che esprime il compenso s in funzione delle entrate x del mese e rappresentala nel piano carte siano. A quanto am m onta il compenso del venditore se le entrate del mese sono € 5000?
PROVA D ►Competenze 3, U n
® IN UN’ORA
VERO 0 FALSO?
W M
a. Due variabili inversamente propor zionali hanno rapporto costante.
[v ][?]
b. I grafici di funzioni di proporzionalità diretta e quadratica passano sempre per l’origine del piano cartesiano.
406
=y
Stabilisci se le seguenti tabelle rappresentano variabili direttamente o inversamente propor zionali e, in caso affermativo, scrivi l’espressione analitica della funzione.
X [V] [T]
c. La funzione lità inversa.
y
è di proporziona
d. Il grafico di
y
—— f~x3 è una parabola. ITI ITI
e. La funzione
y
= 5f y x + 3 j è lineare, [v ]ITI
[v] [T]
-3
y 1
6 5 2 5 5
5 1 2 3 2 3 25
6
J_
1f1
b.
x
y
-1 8 1 2 12 3 1 8 5 5 1 -4 2 2 -16
MENU DELLE COMPETENZE ©
COMPLETA la tabella in modo che rappresenti una funzione di proporzionalità quadratica. Scrivi l’espressione analitica della funzione e rappresentala nel piano cartesiano.
-2
y U
-1
u
X
3 10
20
Considera la funzione i
,,
- j x + 3
se
x< 0
3
se
0< x < 5
8 —x
se
5 < x< 8
a. Rappresentala nel piano cartesiano. b. Indica il dominio e il segno della funzione. KB
u
5
u
D
Nella seconda pagina della copertina
Un rettangolo A B C D ha il lato B C che è i del lato A B . Il lato A B viene quindi diviso in tre par ti uguali, individuando su di esso i punti P e Q. Scrivi la legge che esprime l’area y del trapezio P Q C D in funzione della misura x del lato A B e traccia nel piano cartesiano la funzione trovata.
PROVA E ►Competenze 1, 2, 3
G> IN UN'ORA
L’allenamento Marco si sta allenando per una gara ciclistica. Ogni giorno esce di casa in bici, raggiunge il luogo della partenza e da qui percorre tutto il tracciato della gara, lungo il quale m antiene una velocità costante di 18 km/h.
a rriv o
a. Quanto dista la casa di Marco dal luogo della partenza della gara, considerati i tempi e gli spazi indicati in figura? b. Esprimi in funzione del tempo t (misurato dalla partenza del percorso di gara) la distanza d percorsa da Marco durante l’allenamento, considerando anche il tratto tra casa e luogo della partenza.
casa
c. Calcola quanto tempo impiega Marco a percorrere il tragitto di gara, suppo nendo questa volta che pedali per i primi 90 m inuti (del percorso) alla velocità costante di 18 km /h e per i rim anenti alla velocità di 22 km/h.
d. Esprimi in funzione del tempo t la distanza d che Marco percorre ogni giorno, nell’ipotesi ora che la velocità lungo il percorso sia di 18 km/h per i primi 60 minuti e poi diventi di 23 km/h. Rappresenta la funzione ottenuta.
PROVA F ►Competenze 1, U
p a rte nza
© IN UN’ORA
L’altalena Aldo, bimbo di quattro anni, gioca all’altalena con i suoi amici: lui si siede sempre sul seggiolino a u n ’estremità, ma i suoi compagni, se hanno peso diverso, devono sedersi in posizioni diverse per raggiungere l’equilibrio. a. Esprimi la legge di equilibrio della leva utilizzando le lettere e i dati riportati in figura. b. Ricava dalla legge precedente la formula che fornisce la distanza d B a cui si deve sedere un bambino più pesante di Aldo; che tipo di relazione c’è tra d B e PB? c. Aldo gioca con alcuni ragazzi che pesano rispettivamente: 21; 23; 24,5; 19,5; 26 kg-peso. Trova a quale distanza dal fulcro si deve sedere ciascuno di loro e rappresenta nel piano cartesiano il grafico della distanza in funzione del peso. Che tipo di curva ottieni?
d. Che cosa succede se il compagno di giochi di Aldo pesa 15 kg-peso? E se pesa 80 kg-peso? 407
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI 1. DIVISIONE TRA POLINOMI
A polyn o m ia l A is d iv is ib le by a p o lyn o m ia l B, that is different from zero, if th e re exists a polyn o m ia l Q such th a t A equals B tim e s Q.
□
DIVISIBILITÀ © Esercizi apagina420 Un polinomio A è divisibile per un polinomio B , non nullo, se esiste un polinomio Q che, moltiplicato per B , dà A .
y 2— 9x2
è divisibile per
(y + 3x) (y
—3x)
y + 3x,
perché:
— y 2 — 9 x 2,
quindi: A : B = Q
se e solo se
Q=
B
A
( y 2 — 9 x 2) : ( y + 3 x ) — y — 3 x .
SE IL DIVISORE È UN MONOMIO © Esercizi apagina 420 Per dividere, quando è possibile, un polinomio per un monomio, applichiamo la pro prietà distributiva della divisione rispetto all’addizione: dividiamo ogni termine del polinomio per il monomio divisore.
p ro p rie tà d is trib u tiv a
/ (A + B ):C = A : C + B : C
(.A + B ) : C = A : C + B : C
►(a 4 b s —6 a 2 b 2) : (2 a 2 b 2) = (a 4 b 5) : (2 a 2 b 2) —(6 a 3 b 2) : (2 a 2 b 2)
=
- j a 2fr3 —3a
Nell’esempio, la divisione è possibile perché ognuno dei due termini del dividendo, cioè a 4 b 5 — 6 a 2 b 2 , è divisibile per il divisore 2 a 2b 2. In generale vale la seguente regola.
SE IL DIVISORE E UN POLINOMIO G Esercizi apagina422
[7 7 | If you divide a potynom ial A(x) by a non-zero w p o lynom ial B(x) w hose degree is less than o r equal to th a t ofA(x), you w ill get a qu o tien t polyn o m ia l Q(x) and a re m a in d e r R(xì. The degree of /?(x) m ust be less than thè degree of B[x).
Nell’insieme dei polinomi nella variabile x , possiamo eseguire la divisione in base al seguente teorema.
Dati i polinomi A ( x ) e B ( x ) , con polinomi Q(x) e R ( x ) tali che:
B
non nullo e con grado di
B <
grado di A , esistono
sem pre
A ( x ) = B ( x ) ■Q ( x ) + R ( x ) ,
con
grado di R ( x ) < grado di B ( x )
In particolare, il teorema vale s e Quindi, se R = 0, B eQ . _____ 408
A è
R =
divisibile per
e grado di Q(x) = grado di A ( x ) —grado di B ( x ) .
0 e in questo caso: B
e diciamo anche che
A (x) A
=
B ( x ) ■Q ( x ) .
è s c o m p o s to
n e i fa tto r i
e s o l t a n t o due
1. DIVISIONE TRA POLINOMI
TEORIA
Esaminiamo il procedimento per ottenere Q e R , con un esempio in cui A è un poli nomio completo e A e B sono ordinati secondo le potenze decrescenti di x . Cerchiamo quoziente e resto di (S x 3 + 1. D ivid ia m o (8 x3) : (2 x2) 8
6x2— 5x
—3) : (2 x 2 +
2. M o ltip lic h ia m o 4x • (2 x 2 + x - 1 )
x 3 + 6 x 2 - 5x - 3
x2 + x -
2
4x
1
8
x3 +
6
5
ca m b ia m o segno
x 2 - 5x - 3
2
- 8 x 3 - 4 x 2 + 4x
\
x — \).
x2 + x -
3. S o m m ia m o (8 x 3 + 6 x 2 - 5x 8
1
x 3 + 6 x 2 - 5x - 3
- 8 x 3 - 4x 2 + 4x
4x
p rim o te rm in e d e l q u o zie n te
U. D ivid ia m o | 2 x2) : (2 x 2)
8
5. M o ltip lic h ia m o (+ 1 ) • (2 x 2 + x -
x3 + 6 x 2 - 5x - 3
- 8 x 3 - 4x 2 + 4x + 2x 2 -
+ 2x 2 -
2
x2 + x -
4x +
x- 3
1
8
x3 +
6
6 1
) e ca m b ia m o segno
x 2 - 5x - 3
- 8 x 3 - 4 x 2 + 4x
1
secondo te rm in e d e l q u o zie n te
2
x2 + x -
4x +
x- 3
x 3 + 6 x 2 - 5x - 3
x- 3
+ 2x 2 -
x- 3
-
x +
-
x
x2 -
1
2
x2 -
Il quoziente è Q =
4x +
1;
il resto è
R —
—2 x
~ re s to p a rz ia le
2
x2 + x -
1
1
2
^ re sto
— 1, quindi abbiamo terminato.
2x2+ x —
1
+ 1
-2x -
Il grado di —2jc —2 è minore del grado del divisore
x2 + x -
4x +
+ 2x 2 2
2
4x
- 8 x 3 - 4x 2 + 4x
1
) + (—8 x 3 - 4x 2 + 4x)
. S o m m ia m o (2x 2 - x - 3) + (—2x 2 - x + 1)
8
1
1
2.
ESERCIZI PER COMINCIARE M M
Verifica che il quoziente di (x 5 —x 4 +
W M
Spiega perché il polinomio x 3 + 1 n o n può essere divisibile per x 5 + 2.
5x
—1) : ( x — 1) è
x4
+ 5.
Quando è possibile, esegui la divisione. a. (8 y 7 —2 y 6 + 10y4) : ( 2 y 3); W M
b. (6 a 2 +
9a
c.
( 4 b c A — b 2 c 2)
: ( 3 b c 2).
Determina il quoziente e il resto, ordinando i polinomi secondo le potenze decrescenti della variabile (quan do non sono già ordinati). Esegui poi la verifica. a. (a 4 + 2 a 3, —a 2 +
5a —
2) : (a 2 —4a + 1);
b. (3x2 —4 x a) Q =
W M
+ 3) : (3a);
a 2 + 6a
+ 22, R
+ 2 —
— 87a —
x3) : ( 3 x 2 — 1).
24; b) Q = —ì-x + 1, R
Determina il quoziente e il resto di ( a 2 + 2 a ) : (2 + a ) tenendo conto che il dividendo non è un polinomio completo: nello schema devi scri verlo con spazi vuoti per le potenze mancanti, come indichiamo a fianco. Esegui poi la verifica.
g3
= —
^
x +
+ 2a
409
3
12
D IV IS IO N E T R A P O L IN O M I E S C O M P O S I Z I O N E IN F A T T O R I
2. REGOLA DI RUFFINI
© Esercizi a pagina 425
Se nella divisione A(x) : B ( x ) il divisore B ( x ) è del tipo x — a , possiamo calcolare più velocemente quoziente e resto con la regola di Ruffini. Vediamo un esempio. Per eseguire (1 —5 x 2 — 6 x + 3x3) : (x —2), ordiniamo il dividendo: 3x 3 —5x 2 —6 x Applichiamo poi il seguente procedimento.
+
1.
I coefficienti del quoziente sono 3,1, —4. II dividendo ha grado 3 e il divisore ha grado 1, quindi il quoziente ha grado 3 — 1 = 2 . Il quoziente
il resto è
è Q = 3 x 2 + x — 4;
R = —
7.
A pagina 427 trovi anche un esempio in cui il divisore è del tipo
(a x — b).
ESERCIZI PER COMINCIARE Esegui con la regola di Ruffini le seguenti divisioni. H
(y 3 —4y 4 + 1 —2y 2 + 5y ) [Q =
—4yì
:(y +
+
2)
9y2 — 20y +
45, R = —89]
H M 3 Z H n a ( i ^ - ^ - 2 x 2- 6 ) : ( x - 3 ) 410
M
L’economia della regola di Ruffini La regola di Ruffini sintetizza il procedimento visto nel paragrafo precedente. Eseguila divisione (3x 4 —9x 3 + 2x 2 — 10) : (x —3) con i due metodi che conosci. Confrontali e, in particolare, individua nei due schemi gli stessi coefficienti.
3. SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E RACCOGLIMENTO
TEORIA
3. SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E RACCOGLIMENTO SCOMPOSIZIONE IN FATTORI © Esercizi a pagina 430
► x3 — 7 x + 6 =
(x —
in fa tto r i
1) •( x 2+
x —
se lo scriviamo come pro
6)
x 3 - 7x +
6
è scom posto in due fa tto ri
Un polinomio è: se possiamo scomporlo in fattori, ciascuno di grado inferiore al suo;
• r id u c ib ile
• ir r id u c ib ile
y
3+
2y
2— 9 y — 18
=
(y
/ +
è irrid u c ib ile 2) (y
2—9 )
i
►
/
è rid u c ib ile
in caso contrario.
ESEMPIO
Un polinomio è s c o m p o s to dotto di altri polinomi.
n lf a p o lynom ial can be w ritte n as thè “ product of p o lyn o m ia ls of lo w e r degree (facfors), then it can be factorised.
è rid u c ib ile : y 2 - 9 = (y + 3)(y - 3)
C i porremo soprattutto il problema di scomporre un polinomio in fattori irriducibili. Si può dimostrare che la scomposizione di un polinomio in fattori irrid u cib ili è unica. N on è semplice capire quando un polinom io è irriducibile. Per il momento, osserviamo che sono irrid u cib ili tutti i binom i di prim o grado.
x + 3 irrid u c ib ile
RACCOGLIMENTO TOTALE © Esercizi a pagina 430 Il raccoglimento totale è un metodo di scomposizione che si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione: A ■B + A ■C = A ■( B + C ) . Applicando questa proprietà, procediamo in senso inverso rispetto a quando m olti plichiamo un monomio per un polinomio o a quando moltiplichiamo due polinomi: se tutti i term ini di un polinomio hanno un fattore comune, lo possiamo raccogliere. Scomponiamo in fattori:
2 2+
a. 1 2 a 3 — 6 a b b. 4x
3+
9 ab-,
2 x 2\
c. 5 a ( 2 x + y ) — 3 ( 2 x + y ) .
a.
12 a 3— 6a 2b 2+ 9a b
=
3 a ■4 a 2— 3a ■2 a b 2+ 3a ■3 b
m e ttia m o in evidenza 3a = MCD(12a3; 6 a 2 b2; 9ab)
b.
4x3 +
2x
2=
2x
2■2 x +
2x
2=
2
2 x {2 x
+
I l ------------ 1
=
3a ■( 4 a2 — 2 a b 2+
3 b)
fa tto re com une
= 2x2 : 2x2
fa tto re com une
c. 5 a (2x + y ) — 3 (2x + y ) — (2x + y ) (5 a — 3 ) fa tto re com une
411
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
RACCOGLIMENTO PARZIALE 6 Scomponiamo in fattori 3 a x + 3 b x
Esercizi a pagina 432
+ a y + by.
racco g lia m o p a rzia lm e n te 3x e /
2CL zLU
3a x
+
3bx
+ a y + b y — 3 x ( a + b) + y ( a + b) — ( a + b)
7
i
(3x
+ y)
w
fa tto re
fa tto re
ra cco g lia m o (a + b)
com une: 3x
c o m u n e :/
Possiamo anche considerare due coppie di termini diverse: 3a x + 3 b x
+ a y + by = a ( 3 x + y )
+
b(3x + y)
= (3 x
+
+ y ) (a
b) .
N ell’esempio è stato applicato il procedimento inverso rispetto a quello della m oltipli cazione tra polinomi. Chiam iam o raccoglimento parziale il metodo di scomposizio ne seguito. Esaminiamo altri esempi. Scomponiamo in fattori: a.
ax — a —
2b x +
2 b;
b. 2 a y
+ 3 by + 2 a + 3b.
racco g lia m o a
a.
ax
a —
2b x + 2b
---------' x
= a(x —
1) — 2b ( x
racco g lia m o - 2 b
—
1) = (x
—
ra cco g lia m o (x -
1) ( a
—
2b)
]
1
r a c c o g lia m o /
b. 2 a y + 3 b y
+ 2a + 3b = y ( 2 a —
+ 3 b)
ra cco g lia m o
+
1 (2 a + 3 b)
= v_>
(2 a + 3 b)
(y
+ 1)
ra cco g lia m o (2 a + 36)
1
ESERCIZI PER COMINCIARE M M
a. x 3( l + x 2); d. (x3 + WM
a 3b 3 5 “ 17
T ra i seguenti polinom i, indica quelli scomposti in fattori. 2)(y
b.
2+
a
3);
a + b
e.
b;
c.
3 - j x 2 — 12x 3— 15 x y ;
x - ( a + b ) ■y ;
3 a ( a + l ) — 3b.
Spiega perché x —5 è irriducibile. ( S u g g e r i m e n t o . Ragiona per assurdo: se fosse scomponibile, i fattori dovrebbero essere di gra do..., cioè dei...)
2 a,21 2b; 5
(3x —2y )
—
(3x —2y ) 3.
Scom poni in fattori tramite raccoglimento parziale. a. b. (x —y ) (x +
4x
y) + 4x
—4 y
+
2— 8 b x + 3 x
(x —y ) 2.
Scom poni in fattori mediante raccoglimento totale. i l [ H
! P
W
l a
.
A N IM A ZIO N E a. 8a3 —24 a
\ a > b + la b h
b. b.
Q WM
U
—8ax2 + ^ ; ^
412
(2 a
+
2b )3— 3 a — 3 b.
4 a ( x + y ) — 2 ( x + y ) 3.
2 2— |
x y
x y 3;
a + l + 3 ( a + l ) 2.
3x(x + y ) —
6( x + y ) 2.
a 2x xy
+
8a 2+
+ 3x +
3(a —
x
bx
2 bj
+ 8; +
y
2+
3y
+
+ 3 a — ^ b.
by;
—
2a 4+
6a2;
—
6b;
4. TRINOMIO SPECIALE
£ . T R IN O M IO S P E C I A L E Scomponiamo in fattori X2
+
5x
+ 6=
X2
+ (2
+
x
2+
3 )x
5x +
+
e
= X2 + —
x (x
2x +
+
3x
2) +
3
= (x + 2)(x +
In generale:
X 2 + sx + p — ( x
/
S = Xì + X 2
perché:
a:2 +
\
P=
Esercizi a pagina 434
6, osservando che 5 =
2 -3
+ X^ (x +
TEORIA
+
2 + 3 e 6 = 2 - 3.
2 -3
=
^ raccogliamo parzialm ente x e 3
(x + 2) =
^
raccogliamo x
+2
3)
2
x )
X, • x 2
+ x 2)x + X j •x 2 — x 2 + x t a: + x 2 •x +
x x^ x
2—
= x ( x + Xi ) + x 2 ( x + x l) =
=
(x
^
raccogliamo p a rzia lm en te x e *2
^ raccogliamo (x + x,)
+ Xi) (x + x 2)
Per la ricerca di x x e x2, lim itiam oci ai numeri interi. Per trovarli, quando esistono, procediamo come nell’esempio seguente. Scomponiamo in fattori
y
2—8y
+ 15.
Iniziam o dal termine noto: cerchiam oci Le coppie possibili sono: + 1 , + 15;
ty
2tali che il loro prodotto sia y x
—1 , - 1 5 ;
+ 3 , + 5;
y 2 — 15.
-3 ,-5 .
Consideriamo le somme dei numeri di ogni coppia e scegliamo la coppia che ha somma —8: + 1 + 15 = + 1 6 ;
—1 — 15 = —16;
+ 3 + 5 = + 8;
- 3 - 5 = -8 .
Riscriviam o il polinomio: y
2—8y
+ 15 =
y
2—3y — 5 y +
15 =
y(y —
3) — 5 ( y
raccogliamo parzialm ente y e - 5
—
3) =
( y — 3) ( y — 5). v_> -------------------------
raccogliamo (y -
3)
Il metodo «somma e prodotto» può essere applicato anche se i coefficienti sono let terali oppure se il trinom io è del tipo a x 2+ b x + c, con a ± 1. Puoi esaminare degli esempi negli esercizi seguenti con animazione.
ESERCIZI PER COMINCIARE Scom poni in fattori. M M
D O E Z Z E E U l a . * > -4 » -2 1 ;
b. 2x2 + 19x + 9;
Sco m po sizio ne in fa tto ri del t r in o m io speciale a. x2 + x — 12; b. 2x2 —x — 10.
H C ^ x m
m
i a - v + 5 x -i4 ;
b. 3x2 + 5x —2; c.
x
2— 2b x — 8b 2.
c. Q
y
2— 6 x y — 1 6 x 2.
x2— 9b x + 14b 2;
2— 11 x y — 3 0 y 2; a 2— l a b — 3b 2. x
K B 5a2—17a + 6; 3x2 + 8 x —3; \Ab
2— b — 4; 4c2—9 c+ 5 . 413
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
5. SCOMPOSIZIONI CON PRODOTTI NOTEVOLI Esercizi a pagina 436 Possiamo scomporre un polinomio in fattori se riusciamo a ricondurlo a uno dei pro dotti notevoli che conosciamo. Otteniamo quindi le seguenti regole: A 2+ A
2— B 2 =
A 3 + 3A A
2=
2A B + B
2B
(A + B
)2
differenza di quadrati;
( A 4 - B ) (A — B )
+ 3 A B 2+
2+ B 2+ C 2 +
B 3= (A4- B )
A2
2
cubo di un binomio; (A +
2 A B 4- 2 A C 4- 2 B C =
Scomponiamo in fattori:
a.
quadrato di un binomio;
B2
x6 —6x3 + 9 ;
a.
A2
B 4-
2AB
C )2
b.
quadrato di un trinomio.
4a2 —-g j- .
B2
[A + Si2
x 6 — 6x3 + 9 = (x3) 2 + 2 •x 2 ■ (— 3) + (—3 ) 2 = (x 3 — 3 )2 riconosciam o i due quadrati e ve rifichiam o il doppio prodotto
scrivia m o il
quadrato del binomio
Abbiamo considerato B negativo. Se invece prendiamo A negativo, otteniamo la scomposizione equivalente: x 6 ~ 6x3 4- 9 = (—x 3 4- 3 )2 = (3 —x 2) 2. A2 b.
B2
4a2—
^
A2
B2
[A + S) (A - S)
= (2a )2 - ( 9 ) =
riconosciam o la
differenza di quadrati
(2a 4-
* ^2a -
*J
scrivia m o i due fa tto ri con
somma e differenza
ESERCIZI PER COMINCIARE Scom poni in fattori. M M
x
2+
□ E E E E H ! a.
3 6 — 12 x ; 4 — b 2;
a 2 + 9 + 6a + b 2 + 2 a b + 6b;
b.
Sa
9+
36a6 + 54a3 + 27;
x3—6x2+ 12x —8.
x3 + 8 + 6x2 + 12x.
H □BZBB2B ». v - x - 2/ + 2; WfM
a3 — 3a2 — 1 + 3a; a8 —4; b.
( x - 6)2 — 4;
c.
a 4 — 2 a 2b 4- b 2 — 4 a 2;
d.
x4-
x 2 + 4 y 2 + lOx —20y + 25 —4x y ; 9 a 2 4- b 4 4- 6 a b 2.
B D C E S m b.
i a . | V - 6 * r + 4 /; I 6 a 4 + 4 a 2b 2 + ^
c. —4x2 + 20x —25; d.
4U
18 x 2 + 8 1 .
( x 4-y ) 2 4 - 4 a 2 4 - 4 a ( x 4-y ) .
D
□ b.
E
E
S
S
3
a.
a 9 - a 6 + ^ a >- ^ - ,
x9 + 3x/ + x3 + 3x5;
c. a 6 —
3 a 4y 4 4- 3 a 2y 8 — y 12.
6. TEOREMA DEL RESTO, TEOREMA DI RUFFINI
TEORIA
6. TEOREMA DEL RESTO, TEOREMA DI RUFFINI TEOREMA DEL RESTO € Esercizi a pagina 442 Nella divisione P (x ) : (x —a ) con quoziente Q(x) e resto R, se R = 0, allora P(x) è d ivi sibile per x — a e possiamo scrivere: P(x) — (x —a) •Q (x), che è una scomposizione in fattori di P(x). Scoprire se il resto è 0 può quindi essere utile per scomporre in fattori un polinomio. Iniziam o questo studio esaminando il teorema del resto. < zLU
Teorema del resto
o
Il resto R della divisione P(x)
Nella divisione (2 x 2 — 5 x + 3) : (x — 1) il resto è 0, quindi 2x2— 5x + 3 è divisibile per x — 1 e la sua scomposizione in fattori è (x — l)(2 x — 3).
e t LU
: ( x — a)
si ottiene sostituendo
a
nella variabile
x
del polinomio:
R — P{a).
DIMOSTRAZIONE Se la divisione P(x) : (x —a ) ha quoziente Q(x) e resto P(x) = (x —a ) ■ Q(x)
P ( a ) — ( a — a ) ■Q ( a ) + R
b.
(3y
6x
—
allora
+ R.
N e ll’uguaglianza sostituiamo a x il valore
a. (5x2 +
R,
—
a,
sia nel prim o, sia nel secondo membro:
P (a ) — R.
perché (a - a)
■ Q(a) = 0 ■ Q(a) = 0
8) : ( x —2); se a x sostituiamo 2, otteniamo il resto: P ( 2 )
5—2 y + 4) : ( y + 1); se a y
a è l'opposto d e l te rm in e noto d e l divisore
=
5 (2 )2 + 6 •2 — 8 = 24.
sostituiamo —1, otteniamo il resto: P ( — 1) = 3 (— l ) 5—2 ( — l) + 4 = 3.
TEOREMA DI RUFFINI O Esercizi a pagina 443 Utilizziamo il teorema del resto per studiare la divisibilità di P ( x ) per x —a : • se P(x) è divisibile per x — a , allora il resto della divisione è 0 e, essendo R = P ( a ) , abbiamo che P ( a ) — 0; • viceversa, se P ( a ) = 0, allora il resto è 0 e P ( x ) è divisibile per x —a .
R u ffin i’s th e o re m : if a is a n u m b e r such th a t Pia] equals 0, then P[x] can be factorized into thè p o lynom ial G(x) tim e s (x - a).
Queste due considerazioni sono sintetizzate nel teorema di Ruffini. < LzU K O LU
Teorema di Ruffini U n polinom io
P(x)
è divisibile per x —a
se e sol o se P ( a ) =
0.
Il teorema serve per sapere se c’è la divisibilità senza dover eseguire la divisione.
O £L zU LC O
P(x) = x
4— 2x3 è divisibile per x —2? Per stabilirlo calcoliamo:
P (2) = 2 4- 2 - 2 3 = 0. Poiché P ( 2) = 0, per il teorema di Ruffini P(x) è divisibile per x —2.
415
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
R IC E R C A D E G L I Z E R I DI U N P O L IN O M IO
@ Esercizi a pagina 44 4
Il teorema di Ruffini riconduce la ricerca dei binom i del tipo x — a , divisori del poli nomio P ( x ) , a quella dei valori per cui il polinomio si annulla, ossia alla ricerca degli zeri di P ( x ) . Se ci lim itiam o a cercare gli zeri fra i numeri interi, possiamo utilizzare la proprietà seguente. < — OI CD LCU tL
Dato un polinom io con coefficienti interi, se un numero intero è zero del polinom io, allora quel nume ro è divisore del termine noto.
o CL z
Consideriamo il polinomio P ( x ) = 3 x 3—4 x 2 — 5 x + 2 . I suoi zeri interi sono da cercare fra i divisori del termine noto 2: ± 1, ± 2. Calcoliam o: P(
1 ) = —4;
P (—
P ( —2) = —28 — gli zeri interi di
1) = 0; P ( 2) = 0;
P(x)
sono —1 e 2.
È anche possibile cercare gli zeri fra i numeri razionali sfruttando la proprietà seguente. Dato un polinom io con coefficienti interi, un numero razionale che sia zero del polinom io è fra i num eri razionali che si ottengono considerando le frazioni che hanno:
E
• un divisore del termine noto a numeratore; • un divisore del coefficiente del termine di grado massimo a denominatore.
Cerchiam o gli zeri razionali del polinom io
P ( x ) — 3 x 3 —4 x
2— 5 x +
co e fficie n te d e l te rm in e di grado m assim o . . .
r
, 1
,
G li zen si trovano fra: + j , ± O l t r e a i q u a t t r o v a l o r i i nteri ,
2
, 1
l
,
d iviso ri di
2
: ±1,
dell’esempio precedente.
te rm in e noto
± 2
divisori di 3; ±1> ±3
già considerati nell’esempio precedente, dobbiamo calcolare:
h iH L ’unico zero razionale di
2
, ± 3 , ± 3 .
2
P ( x ) , oltre a —
4 )= --f* h - l) = i 1
e 2
(già trovati in precedenza), è 3 .
Si può dimostrare che gli zeri razionali di un polinomio possono essere al massimo tanti quanti il grado del polinomio.
ESERCIZI PER COMINCIARE M M
Calco la il resto senza eseguire le d ivisio n i:
Cerca tutti gli zeri interi dei seguenti polinom i.
6 3 ( x 2—4 x +
a 4 + a3 — 5a2 +
(b + 3b - 6 ) : ( b - l ) ;
WM
Rispondi senza eseguire la divisione.
a. b. 416
6b 2— 2 +
9) : (x + 3).
2x 2— 17 x
a
—
2 1 è divisibile per x — 1 ?
3 —27 è divisibile per
a— 3?
W M
a
—6;
3
2y +
10 +
5 y + 4 y 2;
b.
Cerca tutti gli zeri razionali dei polinom i.
5+ 2 x — x 4— 1 ; 18 a 2+ 9a 3— a — 2 .
2x
3y 3— 2y 2— 3 y +
2;
7. SCOMPORRE CON IL METODO DI RUFFINI
|
TEORIA
7. S C O M P O R R E C O N IL M E T O D O DI R U F F IN I SCOMPOSIZIONE CON IL METODO DI RUFFINI 0 Esercizi a pagina 445 Siamo ora in grado di tentare di scomporre in fattori un polinomio metodo d i R uffìni: • cerchiamo uno zero razionale
a
Scomponiamo in fattori
x —a
con la regola di Ruffìni, ottenendo il quo
—a )
P (x) = (x
■Q ( x ) .
P (x) = x 3 + 4 x 2
— 3 con il metodo di Ruffìni.
D ivisori del termine noto:
± 1; +3.
Calcoliamo:
P (+
Deduciamo che:
x
3) : ( x + 1)
1) =
spesso è sufficiente limitare la ricerca agli zeri interi 2;
1 -1 1
Abbiamo la scomposizione:
1) = 0 ; . . .
P (—
+ 1 è divisore di
Eseguiamo la divisione: (x3 + 4 x 2 —
seguendo il
del polinomio;
• se lo troviamo, dividiamo P ( x ) per ziente Q(x) e come resto zero; • scriviamo la scomposizione:
P(x)
x3 +
quando troviamo uno zero ci fermiamo
P(x).
0
+ 4
-3
-1
-3
+ 3
+ 3
-3
0
4 x 2—3 = (x +
1) (x 2 +
-
Q (x) = x 2+ 3x
— 3;
R = 0.
3 x — 3).
Il metodo di Ruffìni può essere applicato anche quando il polinomio è in due variabili, come nell’esempio seguente.* • Scomponiamo in fattori 3a2 —2a b
— b
2 con il metodo di Ruffìni.
Consideriamo il polinomio come funzione di Calcoliamo:
a:
P(a)
= 3a2 — 2 b
P ( b ) — 3b
- 2 b e - b 2 sono coefficienti letterali
- a — b 2.
2— 2b ■b — b 2 — 0 . ”
Deduciamo che:
a — b
è un divisore di
Eseguiamo la divisione: 3
(3 a 2— 2b
■a — b 2) : ( a — b)
-2 b 3b
b
3
Abbiamo la scomposizione:
3a2 —2 a b
b
— b
2=
- b
b è uno dei divisori del termine noto - b 2
P(a).
2 b
2
0
•
( a — b) ( 3 a
Q ( a ) = 3a
+
+
b; R
= 0.
b) .
417
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
SOMMA 0 DIFFERENZA DI CUBI ©
Esercizi a pagina 446
Scomponiamo la differenza di due cubi, utilizzando il metodo di Ruffìni.
ESERCIZI PER COMINCIARE Scomponi in fattori con il metodo di Ruffini.
WM
Scomponi in fattori le somme o differenze di cubi. \ 2 5 b 3 — 27;
3*3- 4 * 2 - 5 * + 2
y
3+
x 6;
a l2+
1;
-g- x 3y 3— 8; 1 — b 15.
KB
KB
Scomposizione mediante il teorema di Ruffini x 3 —6x2 + 3x + 10 a
3— 3 a 2+
2a —
6;
2 3 a 2— 3 a b — 1 0 b 2; b + b + 2 b — 1;
418
5x3 + 4x2 + 4a
2+
9x
—2 ;
3 a b ~ b 2;
6x2+ 5 xy —
6y 2.
K B |_| [TOTB Scomposizione in fattori di un poli nomio A conclusione dell’esame dei metodi di scomposizione, ti proponiamo un video che può aiutarti a capire come procedere nella scomposi zione con più metodi. Prim a di guardarlo, scom poni: 36 a 2y 4—48a y 3+ 1 6y 2.
8. MCDEmcmDI POLINOMI
TEORIA
8 . M C D E m c m D I P O L IN O M I O
Esercizi a pagina 453
The greatest common factor (GCF) of tw o o r m ore p o lyn o m ia ls is a polyn o m ia l that has thè highest possible degree am ong a tl thè po lyn o m ia ls th a t divide thè o rig in a i polynom ials. The least common multiple (lem) of tw o o r m ore p o lyn o m ia ls is a polyn o m ia l th a t has thè lowest possible degree am ong thè p olynom ials th a t are divisible by a ll of thè o rig in a i polynom ials.
Chiam iam o:
Dati i polinomi
• massimo comune divisore (MCD) di due o
xy(x +
più polinom i un polinomio che divide tutti i polinom i e ha il grado massimo possibile;
7 )4,
x 3(x + 7 )6(y —9)2:
M C D = x (x + 7 )4; mcm — x 3y ( x
• minimo comune multiplo (mcm) di due o più
+ 7 ) 6(y
— 9)2.
polinomi un polinomio che è divisibile per tutti i polinomi e ha il grado m inim o possibile. Per il calcolo di M C D e mcm di polinomi, usiamo un procedimento analogo a quello seguito con i numeri e con i monomi. Calcoliam o M C D e mcm di:
10x2 + 2 0 x + 1 0 ,
20x2 —20,
2x3 + 6x2 + 6x + 2.
Scomponiamo i polinom i in fattori irrid u cib ili e mettiamo in colonna i fattori:
2 2 •5 ■
><
|
2x3 +
1) =
2-
(J C + 1 )3
M CD =
2-
(x +
mcm —
2 2 ■ 5 ■ (x + l ) 3 •(x — 1)
2
= 2 (x3 +
3x
2+
3x +
1)
1
20x2 - 2 0 = 20(x2 - 1) =
6x 2+ 6x +
+ l) 2 »— H
1
(x
i— H
2 -5 -
+
10x2 + 20x + 10 = 10 (x 2 + 2x + 1) =
i fa tto ri co m u n i con l'e sp on e n te m in ore tu tti i fa tto ri (com uni e non com uni con l'e sp on e n te m aggiore
È importante ottenere fattori irriducibili, altrimenti, con il procedimento precedente, potremmo ottenere un divisore comune, ma non il massimo, e un multiplo comune, ma non il m inim o. ► Se nell’esempio precedente in 2 0 ( x 2— 1) non riconosciamo la differenza di qua drati ma scriviamo solo 2 2 •5 •( x 2— 1), otteniamo: 2
divisore comune, ma non M C D ;
2 2 -5 •( x
+
l ) 3 •( x
—
1) ( x 2— 1) multiplo comune, ma non mcm.
ESERCIZI PER COMINCIARE Determina MCD e mcm dei seguenti polinomi. n
WM
o
n n s n n ! 2x2 + 5 x - 3 ;
4x5 + 24x4 + 36x3; x 3 +
3x
2— 4x — 12.
MCD e mcm di polinomi 4x5 —4x3; 6x3+ 1 2 x 2 + 6x; 8x3 + 8x2.
419
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
ESERCIZI 1. DIVISIONE TRA POLINOMI DIVISIBILITÀ Q U n
Teoria a pagina 408
VERO0FA LSO ?
4+ x 2 non è divisibile per x 8+ x . x 4— 1 è divisibile per x 2— 1. Il quoziente di (2 a s + 3 a 3—2a) : (a2 + 2) è 2 a 3—a.
a. Il polinom io b. c.
m ia
x
I~v~l ~f~I [V] [ fJ
d. Dividendo due polinom i si può ottenere come risultato 1.
fv~l
e. Il quoziente di una divisione di polinom i può essereil polinom io nullo.
[v] 3
f
1
FAI UN ESEMPIO WM
Scrivi un polinom io divisibile sia per per a + 3.
a
2— 1
SE IL DIVISORE È UN MONOMIO
che
KB
Teoria a pagina 408
II p olino m io 2 a 2x 4— a x 3+ a 4x 2 n o n è d ivisib ile per uno solo dei seguenti m onom i. Q uale?
B~B Q TEST Quale delle seguenti divisioni possibile?
TEST
m
x
m
2x2
|_cj
- a
[ d]
a x
Scrivi un polinom io di quarto grado divisibile per 2x 2+ 1.
|T )
2+ 2x ) : (3x) ( 6a 4— 12a 3+ 1) : (6a3)
|c
(2x3 —x 2) : ( — J ~ x 2)
1a
22
non
(x
2
d] ( a — a ) :
3
G iu lio : «Aiutam i a eseguire questa divisione di un polinom io per un monomio: ( x 3y 4+ x 2y 3+ 2x y 2) : (—2x2^ 2)». Teresa: «Guarda che non è possibile». Cosa ne pensi? CHI HA RAGIONE?
Eseguiamo, se possibile, la divisione ^4x 5y 2—
3 2+
^ x y
2
2 x y^j
2 * 2y )-
:
O gni termine del polinom io dividendo contiene le variabili x e y del divisore con esponente maggiore o uguale rispetto al divisore stesso, quindi la divisione è possibile. (
4 x 5y 2 —
X3y 2 + 2 x 2y^j :
(4x 5y 2) : ( - 2 —8x3^ + 3x y
420
2
x y) ~
—4
(
X2y'j =
3
\ x y 2)
:( -
\ x
\ d ivid ia m o ogni te rm in e d e l dividendo * p e r il divisore
2y )
+ (2 x 2y ) : ( -
2
\ x y j]
=
^ a m:. aan =_ a01m-n
è
1. DIVISIONE TRA POLINOMI
ESERCIZI
Esegui, se possibile, le seguenti divisioni (n
3 3 2 a 2b +
M
iy4a b +
ffl
(6x 3y 2— ( x 8 —4 x
11
2x 2y 3+
5+
3x
643
4+
2j : ( 2 a b ) 2 xy )
12 x y ) x 3)
K 1
: (—
(2x 5y z 2 —6x4y 2z2 + x 3y z 2) : (x y z )
ITI (2a5—4a4 + 2 a 3 + 3) : ( 3 a 2)
2 x 3)
2 2— 3 x 3) : ( 3 x 2y )
P
( W - l y + W H - l y )
P I
(0,5 a 6b 6+
g l
(x2"+1 + 2x"+4- x " +2) :(2 x " +1)
IH
( a 4n +
BCT
(5 m 6+
( x y + l2x y
ra u
g l
I
2ab
ESEM PIOD IG ITA LE
52
43
2
[ a b + a b + - ^ b &y . ( b 2)
2, 5 a 4b 2-
2a3,, + 1 +
0,2 a 3b 2)
a 2n+2)
3b )
: ( j a
: ( a 2n)
CO M PLETA
gl (
) : (2x) = — x 5+ 2 x 4+ 2x 8
g l
(Sa — 2 a
g l
( 1 6 x 6y 4 +
6+
4a5) : (
) = —2 a 4 +
):(
)= 3
E frl ( _
171
4 3~~ 4 x 2y 2
x y
a
) :( b
) = m4 + 2m 2 — ^
) : (— 2 a nb) =
+
(6a”x +
) :(
S a nb
2+
2ab
) = 2a" — 3fr + 4c
H ECK ER Semplifica le seguenti espressioni in cui compaiono anche divisioni tra polinomi e monomi. iv i C
2
[(x + x
)3— x 3 — (3x6) : x 2] : x 3
[(x + x 2 + [(2 a - 3
b
x 3) ■( x — x
)3+
2— x 3) +
2 7 b 3] : (2 a )
{ [ ( 3 y - \ ) ( 3 y + l)(9y
2+
[x 3 + 3 x 2]
(2 a
-
J _ _ J_
2
x 6] : ( x 2)
-
3b
2
)2
1) + 1] : y 3-
[2a
+ -j
m b^j
+
(a —- j b j
:
a ^ j--j-(
6a
— y ) 2 — (y +
[(x —x 2 + y )
(x +
[(x
W ÌÈ
[y
2— y 2)
+ 2x) 2y
■(x
— 4 x y 2]
+ x 2 —y )
—
4— x 2y 2+
2+ x 4( 1 —x 2) +
3
—
)2
[— 9 a b ]
4x2) 2 + 4x(4x3 +
y ) ■( x — y ) ]
)2+
y 4) + ( x + y 3) 2]
x (x + 2y )
+ 3b
: (x2)} — (x6 —2x 4y ) : x 2
+ z ) ■ ( 3 x — 2y + z ) — ( 3 x + z
■( x
]
[(2x — y ) 2 (2x + y ) 2—y 2[ ^ x —y) —x 2(4x +3y)2j:(2xy)+-^y(l7x —y)
{[3(x —^ 2) 2 — 3x2] : y } : [(2x
Hf*l
3
x \
[2 x 10 — 6 x 2]
’)
K it !
[(3x + 2y
_
[0]
3
{ [ ( x 2— y )3+
B f ll
: (3y)
S\y}
K ftl
(y
2
x
[— 6ab + 18 b 2]
j[(x 4 — l ) 2(x4 + l ) 2 —jc8— 1 ] : ( - j
p [ j m
2
(x +
: [(3x
(2y
[3 y 2 + 4 y - x 2y ]
y) —
4x2( l —2y ) ]
— y ) ■( 3 x + y ) + ( x — y
2
— 3y 2) 2] : [ 4 x — ( 2 x — 3y )
[impossibile] 1 x"2 +, -j=1y —— 10
)2+ 2x y ) •(2x 4- 3y ) ]
t
: [x(x + 1) + (x + 1) (x — 1) + 1 —x]
2 2
y ) 2] : [ x ( x — y ) — ( x — y ) ( x
2— x y + y 2) + y 2( 2x
[x 4 — x 2y 2 + x y 3 + y 4]
— y)]
[x — x 3]
421
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
t e li
[(x4y 3 —x 3y 4) (x 2y 5 —x 5y 2)]
K tl
{[(xy
g l
[(a" +
+ 2y 2)
b
2 : (2y 2)]
: [{y
+ x4) ( y 5— x 2) — (x 3 +
[(xy — 2x2) 2 : (—2x2)] + (x2 +
")2— ( a n — b n) ( 2 a n —b") ] : a n, con
y 2) 2)
3) (y3 —x 3) + x 2y] — (x2y —xy2) (x2 + : (—x y )
y 2)
[x3y 2 - x5]
[ - ^ xy + 3x2 - 3y2]
N.
nE
SE IL DIVISORE È UN POLINOMIO ©
y
[5bn -
a")
Teoria a pagina 408
Polinomi con coefficienti numerici E lQ
VERO 0 FALSO?
a. Se in una divisione tra polinom i il divisore, il dividendo, il quoziente e il resto sono rispettivamente D(x), N(x), Q(x), P(x), allora è D (x ) =
N ( x ) ■ Q(x)
b. Se un polinom io A ( x ) viene diviso per un binom io di prim o grado è un numero reale.
+ P(x). B(x),
I~v~l 0 0 |~v"
d. Se si divide il polinom io x6 + 2 per x" + 1, allora deve essere
fv l
Il polinom io
P(x)
5, con n e N ,
è divisibile per 2x 2 —x + 1 e il quoziente è —x 3 + 4x. Determina
P(x).
Trova il polinomio dividendo di una divisione in cui il divisore è 2x + 5, il quoziente —x 2+ Qual è il polinom io che diviso per K f ll ^
EUREKA!
dà come quoziente —a 3 +
a
e come resto
x —
a
1 e il resto —3.
—2?
Divisore e quoziente uguali, resti diversi Sono dati due polinom i di terzo grado Pi(x) e P 2( x )
che, se divisi per lo stesso polinom io di prim o grado B ( x ) , danno lo stesso quoziente ma resti si. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.
P O
a. Pi + P 2 è divisibile per B se e solo se R \ — — R 2. b. i?, e i?2 sono numeri. YOU&MATHS
such that
p(x) =
R^
e R 2 diver
d illi
c. La differenza dei polinom i è uguale alla differenza dei resti.
0 0
[V]|
d.
|v
Dividing polynomials Use
f
q(x) =
non può mai essere divisibile per
2 x + 3 and
p(x) =
s(x) •q ( x ) + r(x).
O rdiniam o il polinom io dividendo: 6x4 + 3x3 + 4x2 + x. Costruiam o lo schema della divisione e risolviamo: • dividiam o 6x4 per 3x2 e otteniamo 2x2, prim o termine del quoziente; • m oltiplichiam o 2x2 per 3x2 + 2, cambiamo di segno e scriviamo il risultato, —6x4 —4x2, in colonna con il dividendo; • sommiamo ottenendo il resto parziale 3x3 + x ; • ripetiamo il procedimento, ottenendo + x come secondo termine del quoziente, che è anche Tultimo perché il resto —x ha grado più piccolo di quello del divisore. Il quoziente è 2x2 + x; il resto è —x.
f~]
2x2 + 3x —5. Find s(x) and r(x)
Eseguiamo la divisione (3x3 + 4x2 + 6x4 + x) : (3x2 + 2).
422
I
allora il resto
c. Se in una divisione tra due polinom i il divisore è nullo, allora il quoziente è zero. n <
F
6x4 + 3x3 + 4x2 + x -6x*
3x2 + 2 2x2 + x
- 4x2 3x3
+ x
- 3x3
- 2x
- X
1. DIVISIONE TRA POLINOMI
Esegui, quando è possibile, le seguenti d iv isio n i
(n
e N ).
E9 (5/ - 10/ + 3/ - 13/ + I87) : ( y - 2 ) BEI (x3+ 2x — 1) :{x2—4) BEIr I M JllM1MLCT1 ( - 4 1»+ J - r- a) =( ‘ »»+ *) P F li
(—|-*‘-* 5+-|fc*+7):(—§-**-1) (x4 —4 x 2+ 4) : ( x 2+ 4)
§ P
(2x
H tl
( 3 x 3 — 5 x 2+
6+
3 6) : ( x 3+
(3x4—2x3 + 3
5— 6x
(2x — 5x
É jf i
ESI
(4y3+ 3 y + 3 y 5— 1) : ( y + y 2+ (3x4— 1) : (x2— x 3— 3 ) ( t 4+ 4f3— 5) :(1 —t 3)
E 1
(2 a 3-
g ii
(x5 - l ) : ( x - 1)
m i
a
E9
( y - 5 y 3 + 2 ) : ( y 2 + y)
p
3a
2-
4: (a 2— 3 a
j
n
[Q =
-
[impossibile]
x 5)
[Q = 5x3 + 10x2 + 18x + 36;
[Q =
1)
[Q =
x 3) : ( x 2+
(3ts+ 2t
E 3
(10x3- 2 x 2 - 4 x + 2 ) :( 2 x 2 - 1)
l'V l
^5x3— j
F ili
(2a5 + 4<33 + 3a —2) : f~2 fl2 —a — 1 j
F IB
x
2 n+1 +
b n+ ] -
2b) : (fcH-
R
= 0]
R
1 5 a - 14]
= - 4 7 + 2]
10;
4x+
41]
R = 23x-9]
[Q = a + 4; R =
8a -
2]
4
[ Q = t + 1; R = 3] [Q = 5 x - Ì ; R = x + l ]
Q = 5 x -y ; [Q =
a 4 + 2a3 — ^ a 2 + 1 la — 2 j : (a2 — 5a + 2)
( b
12]
= 3 x 2 + 3 x + 9; R =
[Q =
3^ : (x2 + 1)
E3 (0,2a6 + l,2 a 4 —0,4a —0,8a3) : (a2 + a) K i [/c2(/c+ 3) —2 (fc—1)(A:+ 1) —8]:(2 + /c2+ R I
[Q
3 t + 5 ) : ( 3 t + 2)
2+
1]
2)
(6x3— 9 x 2+ 3 x — 4) : (2x— 5) (4x3—2 x 2— 3 x + 1) :(x2— 3 x + 1) mi (a3+ 3a2+ 5a+ 2) :(a2—a + 1)
E 9
+ 1;
R =
[Q = —5jk+ 5;
2+
10]
9x -
R = 2 a -
x 4+ x 3+ x 2+ x
[Q = a 2 + 3a + 7;
{2 + x + 3 x
0]
R =
- 4; R = t -
1;
[Q = - 2 a -
1;
3x2 -
R =
[Q = —t
a 2)
= -7 8 x + 1]
R
3 f - 3y2+ 4y -
[Q = - 3x - 3;
m i
4+
36]
[Q = 3x2 + 4x + 16; jR = 50]
+ 2)
n
6x — 1]
x; R =
[ Q = x 2 — 8; R =
+ 1) : ( 2 x —x 2)
12) : ( 2 a
8]
[ Q = b 2 + 3 b - 7 - , R = b 2 + 3b]
+
m i
g l
2
[ Q = 2 x 3 + Ì ; R = 5]
2) : ( x —3) 5x— 1) : ( 3 x 3— 2 x — 5 +
4x
5
[ Q = 5 y + 3y - 7 y + 4; R =
1)
3x +
ESERCIZI
4a
5+ 8a2 + 32a + 80; ^
R = -5
3k)
2)
RI (4/" - 13/" + 3/" + 3/ - 9) :(/" - 3), con n > 0. RI (3a2"- 20a”- 7) :(3a"+ l),con n > 0.
+
y
115^ + 78]
R =
2
a + 3a —
[Q = 0,2a4- 0 , 2 a :1+ l,4a 2 —2,2a + 2,2;
x
R
1;
R
=0
= —2,6a]
[ Q = k — 2; R = 4 k — 2}
[ Q = 2 b 2 + b-, R = 4 b 2]
[Q = 4yìn- f
[Q
-
+ 3 ; R = 0]
a"- 7 ; R -
423
0]
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
KCT
2
( b — b n + l + 2 b Zn +
1) : ( b n —
con
b),
> 1.
n
[Q =
+
2b"
b; R — 2 b
2+
1]
Polinomi con coefficienti letterali Eseguiamo la divisione
3
2+
(x — 3ax
2
5 a 2x — a 3) : ( x — 2 a x + a 2) ,
considerando come variabile la lettera x.
Osserviamo che il polinom io è già ordinato rispetto a x . Mettiamo in colonna e risolviamo. 1. (-a x 2) : x 2
x 3 - 3ax 2 + 5a2x - a 3 - x 3 + 2 ax 2 -
. -a • (x2 -
2
x2 -
a2x
2
ax + a 2
2
ax + a2) e cam biam o segno
x 3 - 3ax 2 + 5a2x - a 3 - x 3 + 2 ax 2 -
x- a
-
ax 2 + 4a2x - a 3 secondo te rm in e d e l q u o zie n te
a2x
x2 -
2
x 3 - 3ax 2 + 5a2x - a 3
ax + a 2
- x 3 + 2 ax 2 -
x- a
-
ax 2 + 4a2x - a 3
2
ax + a 2
x- a
ax 2 + 4a2x - a 3
+ ax 2 -
+ a x2 - 2a2x + a3
x2 -
a2x
2
a2x + a 3
2a2x
Il quoziente
è x — a;
il resto è
2
2a x.
Esegui le seguenti d iv isio n i considerando come variab ile quella indicata a fianco.
3+
01
(2a3 +
£1
(3x4 —2 x 3y
9b
33
5 a 2 b — \ S a b 2) : ( 3 b — 2 a ) ,
2 2+
+ x y
24
(a b + 2 a b — b +
■ ÌB
(xy
—y
5 2
(t — t z + tz
3—3 y 4) : (—x 2+
6 1) : ( a
jìH I
—y 2x
2x y
2+
x 2y
+ b),
+ 5 ):(y
xy +
3y 2) ,
[Q = — 3x2—
x.
4+
(—j
a
(Ì5x
2+
3—
3
i a ]3
n
(x
m
2b 2— a b 3+
2— 8x y + a
3+
i
2 l a 2b 6— 18 a b ' )
4y
6a b +
3 b 2)
2 3— 9 x 2y
ab
),
2+
: (— a
+
3b),
a
2+
5
4
Q=
a b — b 2^,
25 6
a b2 — 3 a } b + 5 a b — a b 6; R
x 2y +
[Q = 3fl2- 8ab
a.
= 5]
* x y 2- 8/ ;
13 x y 2 — 6y 3) 2ab),
2
:( x
— 3y ) ,
0
15 a b 3]
+ 7 b 2; R = -
3 x + 2y; R
= 0] 0]
x e y.
[Q = —3 b 2+
5ab
+ a2;
[Q = x —4y ;
x.
R =
[ Q — a — 2a + b; R —
b.
b.
= 0]
2
a.
x.
— -jr-x),
1]
a.
x.
— 2 a 2) ,
2) : ^3a2 —-y f r 2),
4+ - ^ x 3y^j : ( y
= 16x/ + 30/]
32
[Q =
: (3 b +
= 0]
b a + b4a — b*; R =
x.
( x
— 4y
— 2y ) ,
7fr4j : ( — j
2 a 3b — 3 b 4) : ( b
16y 2) : ( x
3+ - j b 3—
3xy
U2U
a
a 2b —
R
5
1 6 y 4) : ( 3 x
a b ~
3b2;
[ Q = z + t; R = t + t 3]
z.
4 x y — 4 y 2) : ( 5 x — 2 y ) ,
g
(lla
22
7a b — ^
(—2 a 4 + 4 a 3+ p
2 2+
x y
R
+
[Q = - y x - y ; R
[Q = xy
1l y 2;
—
x.
(—a 6b 2+ 3 a 5b 3+ 3 a 4b 4— 14 a 3b 5 +
( 3x 3y —
xy
[Q =
a.
— x),
2+ z 3) : ( z 2— t 2) ,
[Q = —a 2— 4 a b
a.
Q = — 3 &+ 3 [Q = -
2 x 2y
-
a; R =
2
l Ox y -
R —
R
0]
= 0]
8a 2b + ^ a 3
3 5 /;
R
= 3 9 /]
2. REGOLA DI RUFFINI
ESERCIZI
Esegui le seguenti divisioni scegliendo come variabile prima una lettera e poi l’altra. ( a 3b
+
3
2
b a + 2 a b 2)
3
: (a +
3
E 9
( 2 k - k 2x + x ) : ( 2 k ~ x )
EH
(3x 6y 3+
(4x3 +
x
xa
9+ 2y 3x i +
2+
ax
2+
(4x3 — 3x y 2— 8x 2y K ftl
[Q(a) =
b)
(—2xy3 — 3x3^ +
[ Q (x) = - x
5y 6) : (x3 —y 3) [Q(x) = x 6+ 4 y 3x 3+
3 a 3)
: ( x — a)
+ 9y 3) :
2y
3+ 4y 6, R ( x )
[Q(x) = 4x2 + 5a x
(—2x + 3y )
jk4 + x 2jk2 +
LABORATORIO
b a 2 + b 2a , R ( a )
[Q (x )
+
2-
2kx - 3k
6
2, R (x )
Q (b)
=
a b 2 + a 2b , R ( b )
8k 3; Q (k)
=
= 7y + 4y 9; Q ( y )
= —5y 3— l x 3—3 x 6,
6a 2,
Q(a)
R(x)
= 9a 3;
= — 2 x 2 + x y + 3y 2, R ( x )
3x4) : (y3 — 3x3 —x^2)
= 0;
[Q(x)
= —3 a 2— 4 a x
= 0 ; Q (y) =
= k
R(y)
0; Q(jv)
=
7x
+ 3y 2,
= x3]
6+ 4x9]
— 5 x 2, R ( a )
— 2 x 2 + xy
= y - x , R(x) =
2, R (k)
= 0]
= 9x3]
R{y)
= 0]
= y - x , R(y) =
0]
MATEMATICA INTORNO A NOI
Il piastrellista Marco deve pavimentare una stanza quadrata con pia strelle quadrate di lato lungo l centimetri. a. Sapendo che da parete a parete sono necessarie n piastrelle, scrivi il polinomio che esprime l’area della stanza. Quante mattonelle avrà acquistato Marco se non ha tenuto conto di eventuali rotture durante la lavorazione? b. Quando Marco apre le scatole delle piastrelle, si accorge che qualcosa non va: non sono quadrate! Una dimensione è più corta di 1 cm e l’altra è più lunga di 1 cm rispetto alla misura /. Scrivi il polinomio che rappresenta l’area della singola piastrella. c. 1. Scrivi l’espressione che rappresenta il numero di piastrelle rettangolari necessarie per pavimentare la stanza. 2 . Esegui la divisione presente nell’espressione trovata. 3. Illustra il significato, rispetto al problema posto, del quoziente e del resto ottenuti.
□
► Risoluzione.
2. REGOLA DI RUFFINI Divisore del tipo (x P Q
-
Teoria a pagina 410
a)
V ER O0FA LSO ?
a. Nella divisione ( ^ x4 ~
+ l) : (* —5) non è applicabile la regola di Ruffini.
[v- i f I
b. Se si divide un polinom io di grado 5 per un binom io di prim o grado, il resto è sempre un numero reale. c. Si può eseguire la divisione (2a4 + a 2 + 2 a ) : ( a n~2 + 1) con la regola di Ruffini solo se d. La divisione (x3y 3 + 6x y - 3) : ( x y + 1) si può eseguire anche con la regola di Ruffini. B a u
TEST In quale delle seguenti divisioni
~À~j x 3 :(x —2)
non
' ÉTi (x4 — 1) : ( 2 -f x)
n >
3.
m cE I v II F | i v ! FI
si può applicare la regola di Ruffini? [ T j (x3 + x) : (—x — 1)
|~d~1 (x 5 —x 3) : (x2 + 1)
425
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Per quali valori di n G N si può eseguire la divisione la regola di Ruffini? Eseguiamo la divisione (3y 3+
O Q_ LU
7y
2— 8) : ( y +
(y
5+
2) : ( y n 2 + 1)? Per quale valore si può applicare
2) con la regola di Ruffini.
Il dividendo è un polinom io ordinato, ma non è completo perché manca il termine in schema, dobbiamo inserire 0 come coefficiente del termine mancante. Proseguiamo poi seguendo i passi già esaminati neH’esempio fornito nella teoria. 3
7
-2 3
0
y.
Nel costruire lo
-8
-6
-2
+4
+ 1
-2
-4
Il quoziente
è Q =
3y 2 +
y —
2; il resto è
R = —4.
Esegui le seguenti d iv isio n i utilizzand o la regola d i R u ffin i. IllM
(a 4— 3 a 3+
itlKl
(y — y
m
(6x3 + 2 ) : ( x - 3 )
EH
(8b - 3 b 2 +
EH
(x3+ l l x - 5 * 2 - 15) : (jc— 3)
E 3
(-
5
a
2+ 6y
2+
a +
2)
—
2 2y + 8; R
[Q = y 4 - y ì + y -
[Q =
3
l4x
2+ 5 x
5x
+ x
2— x
4+
(x3+
\ 7 x - 7 x 2-
(y
P
(a5 —2a3 + 1) : (a + 1)
H rt
(x y
UH
( —a3x 3— 2 a2x 2 + ój : ^ax +
HM
i^ b c —
DQ
[k(2k — l ) 2 — (k2 + \ ) ( k 2—
2 4 4 6b 2c 2—
5; R
—
0]
[Q = x3 - 2x2 + 5; R
=
0]
x2— 2x +
= —4]
3 a — ì-, R
[Q = —x3 —x 2 + 4x + 3; R = 4] 2
3
y
2)
3 2y
9 D
235^ 72
4 ’R ~
[Q = y 2 - ^ y + 2 ; R
l) :( y + ~
4 4— 2 x 3y 3— x y +
[Q =
1) : ( x y
—
12]
18x + 54; R = 164]
[Q = 2a2 +
~ 2 Q- 37
D0
= -
18) : (jc —4)
+ 1) : (— 1 + x)
( 0 , 6 / - 2 / + 0 ,l) : ( y —4 )
0]
=
Bb2-b ~ X .,R = -Jf-
[Q =
3 5 + 5 x 3) : ( x + 7 )
DD
3+ ~ 4 y +
6x2+
Q =
(2a3 — 3 a 2— 10a — 1) : (a — 3)
fcfc[l] (—x 4+
A26
[Q = a 3 —a 1 — a —1; R
- 4) : ( y + 1)
m \jE S B S E B S B S M
M I
2) : ( a
3)
—2)
1)] : (/c+ 1)
[Q =
a 4 — a3 —a 2 + a —
= o\
1; R
3 3+ x 2y 2+ 3x y + 8 ; R
x y
— 2]
= 25]
[Q = —o 2x 2; R = 6 ] [q = 2b 3c3 +
4 b 2c 2 + 2 b c
+ 4; R
=
4"]
[ Q = - k ì + 5k2- 9 k + 1 0 ;R = - 9 ]
2. REGOLA DI RUFFINI
ESERCIZI
Divisore del tipo (ax - b ) Eseguiamo la divisione (3x3 —2x2 + 2) : (3 x
+
1) applicando la regola di Ruffini.
D ividiam o tutti i coefficienti del dividendo e del divisore per il coefficiente 3 con cui la divisore 3 x + 1: 2 2 , 2 3* + 3
1
MX +
1
_
A pplichiam o la regola di Ruffini. 1 3
Q x=
Sappiamo che
A
x2■ =
x
+
;
Q+
B
R;
5 9 • rA\ B dividendo i due mem bri per 3, otteniamo: y = y
2 3
o
3 1 3
1 Otteniamo:
compare nel
x
-1
1 3
1 9
1 3
5 9
Ri —
Q+ f
Concludiam o che, se dividiam o dividendo e divisore per 3, il quoziente rimane lo stesso, mentre il resto diventa y
del resto iniziale.
La divisione iniziale ha quindi Q = Ch e Q = x2 —x + y ;
R =
y
R
=
Ri
3:
•3 = y .
Esegui le seguenti d iv isio n i applicando la regola d i R u ffin i. I l IH (3a 3 + IT U
a —
2a 2— 1 ) : (3a +
1)
Q = a2- a + y ; R = - | - ] [Q — y 2— 2y + 1; R = 0]
(8y3 — 17 y 2 + 10y — 1) : { 8y — 1)
p i
(6i)3 - 34
+ 52b - 18) : (3
R II
(12x 4+ 15 x 3 + 20 x 2 + 13 x - 5 ) : ( 4
[ P
(5x6 - 2x5 - 5x2 + 7x - 2) : (5x - 2)
ip i
(a 5 + 4a4— j f l 3 - 2 ) : ( - | - a + l )
E B
(3 /
~3y
2+ 2 y — j j : ( 2
x
-
5)
+5)
[Q = 3x3 + 5 x -3 ;R = 10] [Q = x5 —x + 1; R = 0] [Q = 4rt4 - a 2 + 4a - 16; R = 14] + 2y
y - 3)
4y
17 24
8 *R
Divisione fra polinomi con coefficienti letterali Eseguiamo la divisione (—8a2x 2 + 3a3x —3 a 2+ x 4) : (3 a
+ x)
considerando come variabile la lettera x.
Ordiniamo i polinomi rispetto allax: (x4 —8a2x 2 + 3a3x —3a2) : (x + 3 a ) . Applichiamo la regola di Ruffini.
1 -3
a
1 Otteniamo: Q = x3 — 3ax2 +
2
a x;
R
0
2 +9 a 2 a2 -S a
-3
a
-3
a
+3 a3 -3 a 3 0
-3
a
2
a
2
0 -3
= —3 a 2
U21
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
Esegui le seguenti divisioni considerando come variabile la lettera indicata a fianco (n E N). (4%3 +
—9 x y 2— \ 2 y 3) : (x —7 ),
5 x 2y
7— I 2 a 2b +
IF71
(a
jF H
(9%3jy + (2x
2
Ì O a b — 3 b 3) : ( a — b ) ,
2 2— 5 x y 3+
4x y
4— a 2x 4— 3 a 4+
y 4)
l) : (x
iW fl
[(a + l ) x 3 —a x 2] : ( x
ÉKIll
^6ax4 —^
IM I
[fot4 — (A:2 + l ) x 3 +
—
2+
1),
7 2+ (k
2+
l) x + — 3y
— 23xy2 +
2k) : ( x — k ) ,
IK ljl
( 5 a b — 4 a b — 3 b 4)
IKM
( x 3n — a x " — a x 2”) : ( x n — a ) ,
IKM
(y3 + 3 b ”y 2— 2b 7n) : ( y
2 2 6a b 2) : ( 3 a
3a b +
: ( a 2— 3 b ) ,
2
+ b ”) ,
[Q =
x.
64y}; R = —I9\y4]
2+
l)x
x + l;R =
1]
2
k x } — x — kx + l; R =
3k]
[q = - x - 2 y i R = - 2 y2\
x
2b y 2) : (4b + 2y ) ,
23
b2; R = - 4 b 3]
-
3x2a2 — 4x4a + 4xè; R —— 4x>i+ 2x4+ l] [Q = (a +
),
(— 3a
2
[ Q — — 3a3+
a.
a2 - llab
[Q = 6a x 2+ 2 a 2x 2; R = as]
IK rt
42
[Q = 9x2y
x.
( b
4+ 8a 3b +
[Q =
x
3y),
a),
Hcjtl
—y l +
a.
^
a x
IKftj (—4 x 2— 3x y + 3y 2) : (4 x
8 3— b 2y
: (x +
[Q = 4x2+ 9xy; R = - 1 2 j3]
x
y.
Q
+ b),
= — 2 y 24-
[Q = —a3 + 3a 2b +
a.
2 b3\ R
—
26fc»3j
= —2 b4]
22
[ Q = 5 a b + ì l b i ; R = 3 0 b 4]
a.
con
2 ^2; R
2 by —
n
> 0,
[ Q = 2 x 2n + ax' K, R = 0}
x.
[Q =y
y.
2+
2 b ny - 2 b 2n]
Riepilogo: divisione tra polinomi FA IU NESEM PIO
m
Scrivi un polinom io in
OS
Scrivi un polinom io in x di quarto grado divisibile contemporaneamente per x + 1 e per - j - x 2+
E0
Scrivi il dividendo della divisione per il binom io
a
di quinto grado divisibile per
2x —
a
+1.
1 il cui quoziente è
2
5x — 2
2.
e il cui resto è ^ l-3 _ Cv-2 10x3 —5 x 2— 4 x +
Esegui le seguenti divisioni applicando, quando è possibile, la regola di Ruffini (n E
2— 2 x y — 15 y z) : { x +
|£ jj
(x
IEW
(6x4 +
IB I
(t - 3 t 2+ t -
|£ £ J
(x6 + 4 x 4 + x 3 + 6x) : (—x 3 + 2 x — 1)
428
4
2:K3y
3y )
rispetto alla variabile
—9 x 2y 2— 5x y 3—4^4) : ( 2 x 2+ l) :( f + 2 )
N). [Q =
x.
2 x y + y 2)
rispetto alla variabile x
[Q = 3x2 - 2x y [Q =
3
x - 5y; R -
— 4y 2; R =
2
0]
5x y 2}
t — 2 t + t — 1; R =
1]
[Q = —x 3 — 6x; R = 12x2]
2. REGOLA DI RUFFINI
^ ^ a
p pi pi pi pi pi pi pi pi
(2k
4-\-
^
a
2+
2
4— 5/c3 — k 2+
(x 4t — 2 x i t
2+
— 1 j •(*22 — 1)
4— x 2) : ( t
— 2x)
(a4 + 5a3fr — 3a2fr2 — 13afr3 + (x
5— 5x4 +
( 8
* 2y ~
3x —2) : ^x3 —
12 ^
(m 3 — m 2t 2 +
3
[(a —
1)
k + 4 ) : {2k +
5xt
~
3
‘
[Q rispetto alla variabile
4 b 4)
(4
4 a 2]
: (a + 5i?) rispetto alla variabile
[Q =
a.
-
3
a 3- 3 a b
2
+
x
2 y)
risPetto a^a variabile x.
Q= y
2
rispetto alla variabile m.
2+
4]
2
ì^x
xy -
2+
a2+
2 * —2 = 0
\ y 2\ R
3 2
[q =
= —6b4]
2 bh R
[ Q = m - ( t + t ) m + t + t + t-, R = - 5 t
(x4” + 2x3" —2x2” + 3) : (xn + 2), con n > 0. n >
2
k - 3 k + k\ R -
Q = x — 5x; R =
: (1 — 3a2)
(1a 2n — 5a” + 6) : (a" —2), con
2
a + ^ a + \', R — ^ a
[Q = 5xt3 + 10x2t2 + 18x3t + 37x4; # = 74x5 - x2]
t.
ì
m t — 4 14) : ( m + t)
2 ) 2 — (a2 + l ) 3 +
Q —^
ESERCIZI
^ a;R
4- t 3-
= - ^
t2]
3]
a +
[Q = x3" -2 x " + 4; jR = - 5 ]
0.
[Q = a" - 3;
R
= 0]
Semplifica le seguenti espressioni.
[* 1_
pi
[(a
p i
[(2f2 - 3 - 5f) : (2f + 1) + 2 (f + 9)] : (f + 5)
[3]
pi
[2 + (4x4 + x3 + 16x2 —4x —2) : (4x + 1) — 7x] : (x2 —3)
[x]
pi
[— 1 + (x + 1 ) 2(1 —x )2 —x3 + 2x] : (x2 —2) : f - j x j
pi
[(2 k 2+ 1 \ k + 15) : ( k
m
{(x + l ) 2 + [(x3 + 3ax2 —x — 3 a ) : (x — 1)] : (3 a
m
|4
m
{[6x3 + 3x2 —2fr3(2x + 1)] : (2x + 1) — b 3} : ( b 3 —x 2)
p i
[ ( / + 1) : ( y + 1) -
E H
Dati
+ 3x)2 — 5 a 2+ (x3 —8a 3) : (x —2 a ) ) : (—2x)
(a
+
3) + 3 -
k 2]
: (4 -
[—5x —4a]
2
k) +
x)} : (x + 1)
+ l ) 2 — ^ : (2 a + 1) + (—a ) 4 + 2 a 3 + l j : ( a + 2)
3
(y -
1) : ( y
-
1) - 4] : ( y
-
i
polinom i A (x) = (x9 — 1) (x + 1) e (x2 — 1) (x2 + x + 1) e trovato il polino m io P(x) tale che P (x) B ( x ) = A (x), calcola P ( 1 ).
[3] A
2]
[x +
2]
[y 3 + n a
2 2y + 2]
y +
In un triangolo A B C l’area e l’altezza B H relativa al lato A C misurano rispettivamente a3 + 4a2 +
4a
+ 3e
a +
3, con
a
> 0. [2a2 +
2a +
2]
(x) = x 3 —2x2 e calco i r c i L ’area di un rettangolo
la A (— a ) — j A (2 a ) + 6A (a) :(2 a 2).
2a a —5 m
[k +
[ -3 ]
Trova la m isura di A C . ir
2]
[a3+ 2]
2)
B(x) =
[ x -
Dato il polinom io P ( x ) — + x 2— 3x, trova quo ziente e resto della divisione [2P ( k ) + P ( l + k ) + P ( k 2)] : ( k - 2). [Q = k 3+ 2 k 2+ 4 k + 1; R = 0]
3+
8a 2 b + 3 a b
+ 12b
R è
2
e la base m isura 2 a 2 + 3 b , con a , b > 0. Trova l’area di un secondo rettangolo che ha altezza doppia rispetto a quella di R e base uguale a quella di R aumentata di 3 b. [4a3 + 12 ab + 16a2b + 48b2] 429
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI L ’area
del rettangolo A E F G è 4x2 — 19x + 2 1. Determina il perimetro di A B C D E F G , sapendo che il triangolo B C D è equilatero. [13x-20] D
T ro v a l ’altezza del trapezio A B C D , sapendo che la sua area m isura 2 a 2+
6u 2+
2
ci
4a + 1
MATEMATICA AL COMPUTER
Applichiamo Ruffini Con Wiris, costruiamo un blocco che, letto il polinomio P(x) = 2x4 + k x 3+ 5x2—I x + 3, contenente il parame tro k fra i suoi coefficienti, e assegnato il valore a = 2 »
C
usa la regola di Ruffini per visualizzare i coefficienti del polinomio quoziente P(x) :{x — a) e l’eventuale resto.
+ ~2 ,
P ro b le m a e ris o lu z io n e .
□
con a > 1.
3 e s e rc iz i in più.
3. SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E RACCOGLIMENTO SCOMPOSIZIONE IN FATTORI ©
Teoria a pagina 411
mu VERO0FALSO? a. Il polinom io b. (a + c.
b
2a (a
+ 1) + 2 è scomposto in fattori.
)2 è una scomposizione in fattori di 2
xy (5x —
yA
0 0
LvJLd
a 2 + b 2.
è una scomposizione del polinom io 12 x 2y 2— ~ ^ x y 2.
0 0
d. Tutti i binom i sono irrid u cib ili.
E _ fJ
RACCOGLIMENTO TOTALE © n
„
Teoria a pagina 411
TEST In quale polinom io si può fare un raccoglimento totale di 2 a x con coefficienti interi? I a ! 3 a x 2—6x
E 3 „
2 2+
[¥ ]
a x
3a x
l_cj 2a 3 —A a x
TEST Per scomporre in fattori mediante raccoglimento 2 b 2y
1~a I 2 b y
[ j]
2
\ ] c\ 2 b
— 3) —4(2a — 3 )2; c.
3 ( x -
Ab
+ Ab3+
[j l 4 a x
22
+ 2a x
6b 2+ 2 b y , si deve raccogliere: QT 2 b 2
Scomponiamo in fattori: a.
-^ x
4+ ~ ^ x 2 — ~3 * 3;
b.
y(2a
8) —y
(8 -
x);
d.
ris u lta ti delle divisioni di ogni te rm in e a . - j x 4 + - ^ x 2 - - j x 2 = -j
b.
2
(
raccogliam o - j x
2
y (2 a -3 )-A (2 a -3 )
x
2
x
2
+ -j - x j
2= ^ ( 2 a - 3 ) [ y - A ( 2 a - 3 ) ]
raccogliam o (2a - 3)
430
3 x2
del p o linom io per — x
= (2a -
3) ( y
-
8a +
12)
x 2n + l — x 2n,
con
n
E N.
3. SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E RACCOGLIMENTO
c.
I
3(x —
8) —7(8 —x ) 8
= 3(x —
y{x —
—x = —(x —8 )
2
d. % 3" + 1 —x 2n =
8) +
8)
~ (x —
raccogliam o (x -
8
ESERCIZI
8) (3 + jy) )
1)
x n( x n + l —
raccogliam o x2n, poiché 3n + 1 > 2n
CO M PLETA
E0
-
- 9 x + 3 y = - 3 (
EH 6x 2-
);
15 a 3- 2 5 Raccogli a 9 = 5 a a (fattore - comune ); v ì CHECKER ( n e N ).
EH 1773 1771 ITTI
- 4y 8b;3=a 2 — a( . J + 8 2x:— —6a+ 8; x4-*6. 4jc—2; 2 b + 4 b 2 . 16+ 8% ; y 3 — y 2.
ll'Ill
x
Ili!
2 b y 2—
IT T I
xyz — xz;
IM I
x y
It it i
a 2x y + a b y + 3 a y ;
2— 2x ;
a
3— a 2— a . 2
b 2;
3 x — 6x + 9 x 4.
2
2 6b.
3
mn3
\ x ~ \ y ;
EH
(x + y ) ( a - 3
4
^ a b + ^ a 2.
)2+
9(x + y ) ( a - 3 ) ;
2(c — d) mu
(a + 1 ) ( b
a
Ilfl'l
3%(a — c)
EH
(a + b
EH
b ( b - l ) -
—
+1
2
0— 3 a 3+
5a
2— a ;
z^ax
— 2 ( a — c);
)2+
2 { a + b) ;
); ,5
7 ,2
- ).y r .
2—
^
2+
1) — b ( x 2+ 1).
5(x
5(x -
2b + 2 ;
);
2 4+
a x
~ ^ a x 3.
7) - 25 (% - 7).
2 (a — 3) — (3 —a ) 2.
g ^ + 7 ( 1 —%);
y ( b — c) + 7 x ( c — b) .
ll'M
(2a — 2 ) 2 + (a — l ) 2;
lit i
2a "
EH
an-
jH J
x n+xa
(3% + 6 y ) 2 —(% + 2y).
2 )3 — (a + 1 ) ( b
MllÙ (% + 2)(6 —a) — (6 —a )2;
—
(a
+
16 (f
6c ( d
2 )2; +
— a 3n;
b n + xy — b y .
—2n;
— 5 a b + a b — 3 a b 2.
E 0
- 1
IH1H
2 23
+
2— 10%y — I 5 y 2.
pOBHJEBBtZBl m 2 n + 2
(
27 22 y3 + ì,3 = 7( 2 1 9 3 7 y5 — x y - ~ Ì Q x y + - ^ -x 3;
X
3ab —
5x
-
Ip l
2
2
+ 12 = 6(
JTTC1
2 7bcd — 9 b d.
2 3— x y 2;
x
-y a /-1 0 a = y
).
- b
3
-
2— 2x 2na ;
- b n + \ b 3+n.
( -
x ) 2n + x 2 n + ] .
l ) 4 - 4(f - l ) 3.
— c) — ( c — d ) 2;
( y + 7 ) 2( x
b ) 5( a —
a n+x + a n + 2 -,
x(x
— 3 )2 — ( y
1) — (a +
2+
1) —% 2(%2 + 1).
+ 7 ) 2( x —
b ) 4(a —
3).
l ) 2.
Nei seguenti polinomi, raccogli il numero indicato a lato.
EH 2a2
a + 4
2
E0
- j x 2y 2 - 5 x
431
12 ETlEl
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI CACCIA ALL’ERRORE
a.
y(x
b.
at
+ 1) — (x + 1)(a + 2) = (x +
2+ t 2+
t
=
t(at
—a + 2)
\){y
+ f)
c. (x —3 )2 —4(x —3) (x — 1) = (x — 3) [(x — 3) —4x —4] d.
4
b - b
3+ b 2 = b 2( b 2- b )
e. (2x —2 y)2 = 2 (x —y ) 2 p
D
INVALSI 2012
L ’espressione a3/ + a 38 è ugua
p
D
Indica quale fra le seguenti uguaglianze
TEST
le a:
ef a l s a .
tÀl 2a75
[ a ! 3xy + 3x2y = 3 x y (l + x)
75
I~b~I x 2 +
2 = x 2( a +
EH
a
lc
a 3/(a + 1)
le ] ( 2 x — l) x —x = 2 x ( x — 1)
E
a 37 38
l~p~I
ax
2(a
1)
— b)x + x = x (
2a
— b + 1)
Usando i dati indicati nelle figure, determina l’area della zona colorata e scrivi il risultato come prodotto d i fattori.
x+
x
1
[15x(x+ 1)] m
Calcola il valore m inim o di n E N per cui è pos sibile raccogliere a 4 nel polinom io a
2n+6 +
5a
6— a i n ~ 2.
Sostituisci il valore trovato e scomponi in fattori. YOU&MATHS Prove it! Use algebra to prove that (x2 + x ) ( x — 1) d iv id e d b y x 2 —x gives x + 1, as long as x f 1, x f 0.
B U G
[/2(4 —tt)1
RACCOGLIMENTO PARZIALE O Scomponiamo in fattori: a. 4 a b a. 4 a b
—
3b x +
6a x -
8a2 = 4 a
—
(b
Teoria a pagina 412
3b x +
—2 a )
6a x
—
v_> raccogliam o p a rzia lm e n te 4a e -3 x
—
3x ( b
8a 2; b. (x + 2 )3 —3x — 6. ~ 2 a ) = (b — 2 a) v_>
(4a
—
3x)
raccogliam o (ò - 2a)
b. (x + 2 )3 — 3x —6 = (x + 2 )3 — 3 (x + 2) = (x + 2) [(x + 2 ) 2 — 3] = (x + 2) (x2 + 4x + 1) ^ raccogliam o p a rz ia lm e n te -3
432
raccogliam o (x + 2)
ca lco lia m o (x + 2)2- 3
3. SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E RACCOGLIMENTO
ESERCIZI
A CHECKER Scom poni in fattori raccogliendo parzialm ente. ay — 6a — y + 6
P
x3 + 2x +
P3
x 2y + 2 y
EH
bt2 + b + t2 +
EH
3x5 + 2x 2 + 9x 3 + 6
1
WM x 3 —x y + x 2 —y EH
hy —7hy2 + 14x2;/ —2 x 2 ahx 2 —
n2x + a —3hx
P
3a 6 —
P
\ 0 x 2y — 2 x y 2 — 5 y
gH
y
P
(2a
5
—y
[(3a —b ) ( a 5 + fr5)]
a 5b + 3 a b 5 — b 6
+ 25x
6— 32' x , +3 ~ 2 x y
(/- 2
+ 5 ) 2 —4a — 10
p i
m
x Y l ~yì
[(2« + 5)(2« + 3)]
2m n — m 2— 6n + 3m
7a (x + 3y2) —8 x y —24y 3
WI1
[(5x —y)(2xy + 5)]
^
2 a 4 b 2 + 4 a 2b 3 —
£ X
g m
m
n m
2+ y 3+
( x +
ay
W il
2a 2 — 2a x + 3 ( a
M lll
{x —
W ll
3 —x y a
b y + a 2y + a
4 )2 —a x +
n+2 +
6x
)2-
x n+ y n — x " y
3x ) 2
[{y
5, con
n+2 — 7 a x 3 +
—a —
3x)]
2
[ ( y + a ì ) ( y + a + b)]
[(a —x)(5 a —3x —1)]
12
[ ( * -4 )
3x y 2
n
—3x) ( y
5)2+ 1 0 - 2 ;/
a + x
+ 4a — 3x +
an+
(y —
a 3, b
— 9 y — 2 x 2y +
5n2 +
3
—x
4+
—a y +
b2
7 ) ( y - 5 ) + (y -
2
Wff11
^
a 2b —
3ax
[(x + 3jy2) (7a —8y)]
[(3 —xy) (1
+
2x — 3y)]
[(fl" + 5)(a2+ 1)]
e N.
7 a y 2,
(x -a -7 ) ]
con
u g
N.
[(x3 —y 2) ( x ny"
— 7 a)]
A CHECKER Scom poni in fattori mediante raccoglim ento totale o parziale. I 'KL\
5x 2y — 10xy2 + 3x2 —6x y
WtA
EU
óa’ fr3 — 12 a 4b 4+ 10 a b 2— 5 a 2b
W f j 3 x 2y (x +
W fl
4ax
EH
x7 + 2x5 - 3x4 - 6x2
MAI
(4x —4y ) 2 + 2x —2y
2+
I2x
2—
ax
09
— ^ -x
2tx{x—
3 t ) 3, —
2
5t x (3 t — x
2y ) 4 —6 ry3(x
W fil
ay +
ìfLM
9x y (c —2b) — 3 x 2y (2 b
MW
9y
2+
xt —
9a y
2y ) 3+
9xy4(x + 2y ) 2
Determina l’area della figura ed esprim i il risu l tato come prodotto di fattori.
4x
Mfl'J 8^fr—- j c ) + - j c —8fr
+
)2+ t 2x 2( 3 t — x )2
3y
2y
[2(fl+jy)(2x + 37)]
ty + ac —
tc
— c) +
— 5 y ( a + y ) — 4y ( a
—3 a x 3x y 2c —6x y 2b +
y
)2
W T1
EU REK A ! A (x), B ( x ) e A(x) — B ( x ) Dimostra che, se due polinomi A(x) e B ( x ) , entrambi di gra do maggiore o uguale a 1, danno lo stesso resto R se divisi per il binomio x — 1, allora il polinomio A ( x ) — B (x) è divisibile per x — 1. 433
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
4. TRINOMIO SPECIALE e Teoria a pagina 413 Trova due n u m eri
e x 2, noti la loro somm a s e il loro prodotto p .
vd 1 li
II
t— H
Eli
EH I
s = — 7;
p = — 30.
p = 1 2 a 2.
«
p = — 12.
1 II
5= -4 ;
p = 18.
s = — 11;
ii
IB I
x}
p = 2 0 b2.
s = 96;
Il trinomio x2+ sx + p 1
ASSOCIA
E H * *
&
X , + X2 = S e, Xj ■X2 = j>:
a c ia s c u n t r i n o m i o la re la tiv a s c o m p o s iz io n e .
SX + p = ( x + X j ) ■( x + x 2)
X2 + 1. x 2 — v — 12
a.
(x — 1) (3 x — 4 )
2 . x 2 + x — 12
b.
(x — 4 ) (x — 3)
3. x 2 — 7x +
c. ( x — 4 ) ( x + 3 )
4.
12
3X2 — 7 x + 4
d.
Scomponiamo i trinomi: a.
a
(x + 4 ) (x — 3)
2— IOa —24;
b.
x
2— I x y
+ 10y 2.
o
2— IOa —24 = ( a — 12) ( a + 2).
a.
\ p = -2 4 = -1 2 • 2 ^ s=-10 =-12 +2
a
x
2— I x y
+
10y 2 =
(x -5 y ) ( x -
\ c o n sid e ria m o la v a ria b ile x ^ p=
2y ) .
1 0
y 2 = (—5y) ■( - 2 y)
s = - 7 y = l-5 y) + (-2y)
Scom poni i seguenti trin o m i. x2 + 5 x - 2 4 ;
F E fi
a
EEfl
x2 - 3 x + 2 ;
2— 9 a
+
14.
pi
k
2+
k —
90;
b2 + 156 + 36.
pi
b
2+
I2b
+ 27;
/-l+ y -1 8 0 .
p
t2 -
p
X2
62 + 426 + 41.
m
a 2-
f - y - 5 6 .
p
a
b
8;
2+
5b —
p C js s B E E s m a x 2 + ax —6a 2.
m 2 + 1 2 m + 27;
2+
EEfl
k
7 k -
8;
FUTI
t —4t—
32;
2
pQ
Quale dei seguenti trinom i non è scom ponibile in (x + a) (x + 6), con a, b numeri interi? TEST
I~À1
x
2— 9 x
-
m
x
2— lOx —24
j_c]
x
2— 14x +
x
2+
a
2— 8a +
434
jy2+ 14jy+ 24.
2 2k y — 8y 2 .
k —
6b 2
x
2+
2x y
— 35y 2
x
—20 = (x 15
—
— (a
= ( y - 5)
) (x + )
)
(a
)
(
)
40 b2 +
x2+
a 2 — 3a —40.
6y 2;
2— 7 a b +
y2- y -
[H
x2— 5x — 24.
- 18x + 80; a y -
2— 8m —20.
COMPLETA
36
b
m
1 OO
EEfl
i
’■
b.
18x — 32
—12 = (6 —2) (6 +
)
4. TRINOMIO SPECIALE
Il trinomio a x 2 + b x
= b;
+ c
ESERCIZI
p =
o
Scomponiamo il trinomio 4 x 2 + 23x —6. Consideriam o il prodotto 4 (n 6 ) = —24. Cerchiam o due num eri che m oltiplicati diano —24 e sommati diano + 2 3 . I due num eri sono + 2 4 e —1. 4 x 2 + 23 jc —6 = 4x2 + 24x — x — 6 = 4 x { x + 6) — 1 {x + 6) = ( x + 6) ( 4 x — 1). raccogliam o p a rzia lm e n te 4x e -1
raccogliam o (x + 6 )
' E E E 3 3 3 Scomponi i seguenti trinomi. ETTO
3 x 2 — 1 0 x + 8;
3b2 + b - 2 .
pQ BSBEEm a 8c2 + 1 0 c
—
3;
m
4 x 2 — 1 lx — 3;
m
2 a 2 + 7a —4;
P J U
5 k + \.
5x2 - 3 8 * + 2 1.
5.
2x 2 + 7x + 3 \
f f il
2x
2+
m
2y
2— b y — 6b 2;
m t
4x
2— 2 5 x y + 6y 2;
2a
E771
5y
2— 1 I k y
9t + 3 5 t - 4 .
2 x 2 — 9 x — 5.
6k 2 -
2+
V p
5x—
3a
12;
+
7b
\4a —
2+
8.
57b +
2
3 x — 5 t x + 2 t 2.
2k 2;
2— 9 a b
— 5 b 2.
2
YOU & MATHS Divisors in thè cloud Find thè divisors of thè
x -2
polynom ial 3 x 2 — x — 2 among thè polynomials in thè cloud.
x -1
3x + 1
3x + 2 2x + 3
__ -
Altri trinomi Scomponiamo i trinomi: a. a 4 — 7a2 — 30; b.
a. a4 — 7a2 — 30 = (a
■
2— 10) (a 2+
6 2+
a x
np = -3 0 = - 1 0 - 3 ^ s = - 7 = -1 0 + 3
3).
3
3a x — 28.
b.
6 2+ 3a 3x
a x
(r? 3 x +
—2 8 =
7 ) { a 3x —
"s co n sid e ria m o com e va ria b ile a3x ^ p = -2 8 = 7 •(-4)
4).
s
= 3 = 7 + (-4)
Scomponi i seguenti trinomi (n G N).
0 0
y 8 — 3 y 4 — 10;
g li
2 t 6 — f3 — 15;
FM l
x 2y 2 + 5 x y — 14;
x4-6 x 2+
5.
2 b 4 — \ 5 b 2 + 7.
—jc4 + 12 x 2 —20.
g P
(a + b )2+ 3 ( a + b ) - 4 0 - ,
W ih j
y 4 + 2 a y 2 — 2 4 a 2-,
00
x 2n +
2x” —8;
x 8 + 9 x 4 + 14.
x 6 + a x 3 — 6 a 2. x2,,- 4 x', - 2 1 .
435
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
5. SCOMPOSIZIONI CON PRODOTTI NOTEVOLI e Teoria a pagina 414 Quadrato di un binomio
/t2 +
ZAB
+
2=
B
(A + B f
Scomponiamo i trinom i: a.
81 + - £ b 2— 9 b ;
b.
28ax — 4x
92e
a. Riconosciamo due quadrati 81 = oppure
2— 4 9 a 2; b
2=
c. (c +
( \
e il doppio prodotto
b^j
=[
oppure 81 +
9 - j b )
2
b — 9b
= ^
b. Dopo aver raccolto il segno —, riconosciamo due quadrati prodotto —28 a x — 2 - 2x { — l à ) oppure —28 a x — 2 •(— 2x )
28ax—4x2—49a2= —( 4 x 2— 2 8 a x +
4 9 a 2) =
-------c. Riconosciamo due quadrati
)2+ 6a ( c
+ y)
+
9a
a2 — 6a + 9;
00
x 4- 1 2 x 2 + 36;
00
4b
0B
2— Ì 6b +
+
y
(c + y
(n G
x 2 - 1 4 x + 49; o
s
K ' l|
/
— I O / + 25;
—25a2 +
4x2— (2 x ) 2 e 49u2—(7a)2 e il doppio ■7 a :
- i l a -
2x ) 6a ( c +
y) = 2
•(c +
y ) ■3 a :
N ). K'ZI
9x2 + 1 2 x y + 4 / ;
-^ ? -a 2fr2 —- j a 3fr3 + a4fr4.
00
^ f l 2 - y ^ + ^ 2;
-f 6 '^ 4+ 6 ^ 2T + 9 / -
2
6+
2— ^
F i'/I
4 9 t — 2 8 t u + 4 u 2;
0 0
(x + 3 )2 + 2 (x + 3) (y — 7) + (y — 7 )2
a
-^-b
3
a b.
a 10- 1 0 a 5 + 25.
a6 + 8a3+ 1 6 .
9 / — 12y + 4.
xy + 16;
12 1 x 4 —66x2/ + 9 / .
^ b2;
MAI
a b + 9 +
6a b ;
FU I
0 , 4 / - 0,67 + 0,25;
0 ,16 «4 + 4cz2 + 25.
^ x 2 —a x + ^ u 2.
25x2 + 70xy + 4 9 / ;
436
- 9 b = 2 - 9 - ^ — ^b'j
■—(2x—l à )2
/ + 1 -2 /.
00
22
9 a 2.
i
b8+ 1 6 b 4 + 64; Fi'lH
+
—9j .
^ x 2/ — p
+ y)
+ 3a )2.
-1 6 /-1 6 /-4 .
16;
--7T
b
)2 e 9a 2 — (3 a )2 e il doppio prodotto
x2+ 2 2 x + 1 2 1 .
16x8 + 72x4 + 81;
00
(c
2=
CH ECK ER Scom poni in fattori 00
)2+ 6a ( c
2 •(—9 )f^ - b j. Q uindi:
— 9b =
81 + ^ b 2- 9 b
(c + y
y
a
HHIH — ^ c6 + 4c3d — ^ d2;
2 _2x 2 + 2 4a 2 + 2 2ax.
FTiìl 4a4" +
2 b n c2n +
—x 4 —2x2 — 1. - jy
2— 6a b
6+
b 2n -
a 2n + j ^ ;
c4”.
1- /.
+ 9 b 2.
0 0
x 2” + 4 + 4x";
\
6b 2+
4 b n+ 1 +
bT
5. SCOMPOSIZIONI CON PRODOTTI NOTEVOLI
e ttc iQ TEST Quale tra i seguenti polinom i è lo svi luppo del quadrato di un binom io?
p
G
4 + 4k
le ] 1 + 4 b 4+ p
4y
2+
2
—k
Ab
4
IZ
E 2 8fl4 — 16a2 + 4 b
TEST Quale tra i seguenti polinom i sviluppo del quadrato di un binom io?
2
1 —8^
9
81 — 2x y
Ic
-y x y + 1 4
|D
non
è lo
2
3+ y 6+ x 2
Ib
1—
2 x*y +1 f
ESERCIZI
25x2 + "Y^y
2
1
2
X2 ~ 9 f -
1 3
2
xy
CO M PLETA |P
a
2— 8a +
~^x
2+
16 = (
-L _ !) 2
= (._ ! +
x +
2— b y +
= (
)2
—
8
b + b +
g P
8 1+
Mllj
gliyj
y
)2
m
Trova a in modo che il trinom io tiva scomposizione.
64 y2 —I2 a y
4
|P
= (_ l + _ ) 2 +x
c2—
= (x3 +
)2
+-^-a2b4 = { ^ c —
j
+ 9 rappresenti il quadrato di un binom io e scrivi poi la rela [a = - 4 , (8y + 3 ) 2; a = 4 , (8y - 3 ) 2 ]
Determina per quale valore di n il trinom io (2 x n)2+ poi scrivi la relativa scomposizione.
a
2—a x 3 rappresenta il
Differenza di due quadrati
quadrato di un binom io e
A2 - B2 = (A + B)(A - B)
Scomponiamo in fattori: a. 16x4 — 8 1;
b.
a 6n — b 2n,
con n e N .
a. 16 x 4 - 8 1 = (4x2 + 9) (4x2 - 9) = (4x2 + 9) ( 2x + 3) (2x - 3) 16X4 = (4x2)2, 81 = 9 2
b.
a 6" —
b2n
(a3” +
=
(4x 2 + 9) non è sco m p o n ib ile , m e n tre [Ax2 - 9) lo è ancora
bn)
b")
(a3" —
a6n = (a3n)2, b2n = [bn]2
Scom poni in fattori (n E N ).
2- 9 b 2;
2
H0
a
MM
49x 2 —4y2;
p
[
m
b -
be — c12;
EQ
a 4 - 8 1 b 6;
HQ EQ
36n2
g
UHI
a
4 a 2fr2 — 1;
i ]
8— 1. ~
x 4— j ^ 7 2; x6- - ^ - / ;
36.
x
EH3
0,
E S I
6 4 x 4 — 1;
9 - a 4x 2.
a6/ 2 - 4
2 5 k 2 — a 8.
4 - 9x6. E S I
2y 2+ l 4 4 . 0 , 2 5 a 2 — 4 b 2.
16 ,12 625
l a 2b4 — 9 ;
;
8 1 X 2/ 1.?6 —
E2J EBj] 9x2”2 - 1;
6 4 m 4 — 25.
a2;
1 6 f4x 4 — 4 .
0,25x2" —4fr6”+2.
25 x l °n ~
36 /
,12n
1.
437
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
COMPLETA BB
16 — 8l x 2y 6— (
W ì
8 1a 4 —
p i
/ -
=(
1 = ( —
p i
■
)2 — (
xy
+ b 3) (
-
)2 - (
)2
3+
)(
(a
3)2 b3)
2 8-
P I
9x y
p i
-
P I
4y 6 -
P I
~ b 8)
+ 1)(
= (
25 x 2y 2 — (
+L
-
)
)(1-
)
+ 5 )(
= (2y
+ *) (
-
) -
)
Scomponiamo in fattori: a. ( a — l ) 2 — 9 y 2; b. 16x2 — y 2— 8x + 1.
a. (a —l ) 2 —9y 2 — [(a — 1) —3y] [(a — 1) + 3y] — (a —1 —3 y ) (a — 1 + 3y ) v_>
(a -
1 )2
è it p rim o q uadrato, 9y 2 = (3y ) 2
e lim in ia m o le p a rentesi in te rn e
b. 16x 2 — y 2— 8x + 1 = (16 x 2 — 8x + 1) —y 2 = (4x — l ) 2 —y 2 = (4 x — 1 ra g g ru p p ia m o tre te rm in i che fo rm a n o il qu a dra to di un b inom io
— y)
(4x — 1
+ y)
diffe re n za di q u a dra ti
CH ECK ER Scomponi in fattori (n E N). BH
25(a +
l ) 2 — 36;
x
4— (y + 3)2
KEK1 (x + 4 )2 — (5 + 3x)2; p
u
m
6
2+ ( 3 a
—1 +
(4a
2y )2— \ 6y 2.
(x +
— k ) 2;
9(a + b)2—
— 3 )2;
-
2bj
16 (a
+ z ) 2.
00
m y
00
x2—
00
x 2 —4 y 2+ 9 —6x
00
x
- ^ - a 2.
lOx
- 4y
4— X 6+
M
B0
—{ 2x
00
64a2fc4- - j ( 1 4 a f r 2 + 2 ) 2
—y
)2+
(—
6y
r a ijB S 1
—
5x)2
16 —k 2— 4 k y
— 4y
2
KEM 4x2 —4a2 —4x + 1
ESI
1
2 2— a 2— m 2+ 2a m
i
B0
2) 2;
a
1
—k
— ( x — y ) 2.
n
b — 9(c —
KKM
1
2— b z — 2 f c -
00
2+
25
16y2 — 8x 2y
3+
4
2y 2 -
l
4y
m
4y6 - y 4 --
EU
a
g jj
x 2" - 4x" + 4
00
( 3 + / ”) 2■— 9y 6n
4+ b 2+ 2a z b —x 2 —y 2— 2x y 2 2
— y n+
++
EU REK A ! Come scomporre? Scomponi in fattori il polinom io x 4 x 2 1nel prodotto di due polinom i non costanti a coefficienti interi. [USA Texas A&M University Math Contest - BC Exam, 2012] [(x2 —x + l)(x 2+ x + l)]
A LV O LO Scomponi i seguenti trinomi aggiungendo e togliendo un’opportuna espressione. £0 3
a4 + 3a2 + 4
ES
C H IH ARA G IO N E? Andrea: «Io riesco a scomporre anche x 4+ 4 y 4 \». Cristina: «Non m i sembra possibile...». Andrea: «Aggiungi e togli 4x 2y 2». Cosa pensi del metodo di Andrea?
438
EU
x 4 + 6x2 + 25
E B l a 4 + 64fr4
5. SCOMPOSIZIONI CON PRODOTTI NOTEVOLI
Quadrato di un trinomio
A1 + B1 + C? + 2AB + ZAC + ZBC = (A + B + C f
Scomponiamo in fattori O CL zLU LU
^
a
4+ b 4+ a 2b 2+
■^a
3a 2x 2+
4+ b 4+ a 2b 2+
9x
4+ 6b 2x 2 =
3 a 2x 2+
9x
4+ 6b 2x 2.
^ rico n o scia m o tre q u a d ra ti e i doppi p ro d o tti: -J -a 4 = ( y a 2)2. ^ = (ò2)2, 9x 4 = (3x2)2, a2b 2 = 2 •
\A
a2\ ■ b2, 3a 2 x 2 = 2 ^ a 2j • (3x2),
6
ò 2x 2 = 2 • (b2) • (3x2)
CH ECK ER Scom poni in fattori (« e N).
EEE1 25a2 +
Ab
4x
KMU
4 + -^ y
r
i s x
2+ c 2+
20ab
2 + y 2+ z 2 — 4 x y +
ÉflVJ
p
ESERCIZI
4+
4xz
ÌOac
4x — xy
m
9 a + b 2+
4 x 2y —
+ c + d
2x 2z 3— 4 y z 3+ bc — b d
4bc
kf&l OTiTl
2
a
4+
+
—2y z
2+ x 2 — 2 y +
2
Kf'KI
+
4y
^
—6 a b + 3 a —b
2+ z 6
2— 2c d 2
a
2+
4b
y
2+
4+
a
2+
4+
x
4b
4 - —a
4— 4 y + 2+
4+
z ^ a 2—-^ a b
E TTI
X 4'1+ y 2n +
9+
EHI
a 2n + 4 a 4 +
1
2 2+
x y
Cubo di un binomio
— 4x
2
2b — - j a
2c — 4 b c
2— b 5
2
6x 2n - 6y n
n+2 +
2an+ 4a
2 x ny n -
+
4ab
b H+ - ^ a b + - ^ b
+ 4a
x
+
2 x 2y
c2 + - ^ a
Kf'Ti
Quale termine occorre aggiungere al polinom io ^ x 2 + x 2/ 1 + di un trinom io?
— 2b
xy
2
2 in modo che sia il quadrato
A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B f
Scomponiamo in fattori 1 + 12 x 6 —8x9 —6x3. Riconosciamo due cubi, 1 = l 3 e —8x9 = (—2x3) 3, e i tripli prodotti, 12x 6 = 3 (—2x3) 2 ■ 1 e —6x3 = 3 •(— 2x3) ■ 1: 1 + 12 x 6— 8x9 - 6x3 = (1 —2x3) 3.
ZACHECKER Kfrll
Scom poni in fattori ( n e N ).
8x3 + 36x 2jv + 54xy2 +
21y
3
K771 8x6 — 12 x 4 + 6x2 — 1
3 6a 2b + Ì 2a b 2— S b 3
fctfi
a —
H0
—y
¥ ÌL \
m
j x
3— ^ x y 4+
9— 12 m 6n 2+
^ x
2y 2+
^ - y
6
HWH
48 m 3n 4 —64n6
p Q B S B E IB B a a
36
-jy x
—^
RTSTTi
2 4+
a b + -^ a b
3/ 2—4x2y 8 +
ja
x 6/ -
4^ a b
2+
1
18xy4 —27
3— a 2b — 9 a b 2— 21 b 3 4 4+
9x y
27x2/ - 27
439
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
m
(a — b
)3— 6( a
— b
)2+ 12 ( a
— b)
( 1 + x ) 3 + 9 ( 1 + x ) 2 + 27 ( 1 + x) + 27
B S
,6n—
BEI
—8
Ì
2a 4nb +
a 3 —- j
B»^
6a 2nb 2— b 3
2
a b 2n + a b 4n — b 6n
COMPLETA —27 + a 9 —9 a 6+ 27a3 = (
E 0 B^H
+ ^
2 2+
—( 2
+
a b
)3 a
Aggiungi un termine al polinom io + 2
B ig
E 0
_ x3+ ì +
Bill
287 x6 - 1 -
—
—(
+
—
= (
)3
-
)3
— 4 fl2*2 — fl6 in modo da ottenere il cubo di un binomio.
Riepilogo: la scomposizione in fattori con raccoglimenti e prodotti notevoli CACCIA ALL’ERRORE
2— 3) ( a 2+
BTfl
a 9 —9 =
ED
x 4 —S x 2+ 64 = (x 2 — 8)2
(a
jtl'W a 6 —9 a 4 b
p
a
H l'H l a 2x 4 + 2 ax 3 —a 2x 2 + ax =
3)
22
2
— 21a b — 27b3 = {a — 3b
WM
)3
a
2n+2 — - ^ a 2b +
15 a 3 =
m
3E
b. x 2 —2xy —2x + y 2—2y + 1 scomposto è (x + y — 1 ) 2.
0 0 [v JE
d. a 6 — (a2 — 1 ) 2 si scompone in (a3 —a 2 — 1) (a3 + a 2+ 1).
0E
i
TEST
P
x y
EH
a b — a b2
|~b~| 8x — 1 — 16x2 = —(1 —4x ) 2 D T 9a 9 — b 4= (3a 3 + d
EU
x 2y —
4 b 4y
2 2— A y x 2+ 4x2
p
3a 3+ 3a 2 —6a
26
p
y 3+ ay 2 —2a 2jy
5x y + 6;/
p
—2 k a 2+
EH
6x 3+ 18x2 + 18x + 6
p
c4x 2+ c4—81x2—81
BE
a 3b 2— a
p
18y3—6y 2 —4y
EH
2a x 6+ 8a 3x 2 —8a 2x 4
p
2x6+ 32x2—16x4
440
b 2)
(3a 3 — b 2)
3m 2 + n + ara — 3m = (3m +
p
4
IOa),
Quale delle seguenti uguaglianze è vera?
Scom poni i seguenti polino m i.
— Ab
2( a n + l — b +
I~a 1 a 3 — 3 a 2— 1 — 3a = (a — l )3
c. Il polinom io x4 + 4x2 + 1 6 è irriducibile.
a 2b
^ a
con « e N ,
a. x 6 —4ax3 + ló ti2 è il quadrato di un binom io.
P
2x 2 —ax)
EM I - j x 2 + 2xy + - | - x 3 = - | - x ( x — 5 y + 4x2)
VERO 0 FALSO?
v
a x (a x 3 +
25
~ j è b y
Sak2 —
8A:3
n)
(m — 1)
5. SCOMPOSIZIONI CON PRODOTTI NOTEVOLI | ESERCIZI
x 2( y — l )2— x2
RH
a3— a(a + b)2
EH
EH a 2b + 2a —
afe2 —
EH
25x4—1 00x2 + 1 0x3—40x
x8/ - 4
EH
25x2 — 3 6 y 2 + ( lOx + 1 2y ) 2
EH
a4 —a2 — 56
EH
2x6 —x 5 + 2x4 —x 3
EH
x2y + 3x2 — 16y —48
EH
x 4 + x 2/ + 2x3jv —4x2
BH x3—x 2+“3 *—
K f ll
a b + 3a b + 3ab
EH
EH
8x2 — 3 2 /
EH
x
a4b6
a2b3
KU -j a—7b — Kfll
a—b^j
x6 —x3— 6
2y 3
V fl\
- j x
KB
x 8 —4x 6 —9x 4 + 36x2
KM
2x 6 —^*5y + 9 x4y 2 + 4x 4 — ^x3y
EH
9a 3 — 81a3—I l a 2+ 3a4
KM
2/
KM
X
4+ b 2
4- 8x 2y 2+ \ 6y 4
EH
8 1/-
K^i
2 a b + ab — 3
y
22
[x2(x —2)(x + 2)(x2—3)(x2+ 3)]
+ 2x 2
2x2(x2—y j r x y + 1j [ 3 a 2( a + 3 ) ( a - 3 ) ( 3 a +
[/(2 y -y )(/+
— ^ / + - j / —2 /
2 b3+ b2 + 2b2c + 4c2 + 2bc2 + 4bc
KM 2 (a + x) (a + 1) —4 (a + 3) (x + a) KM
(x2 — y 2) (x — y) + 2 (y —x) (x
Itti
2x2(x —2y )3—4x3(2y —x )2
EH
9b6 — 4b4 —225b2+100
EH
x8 + 7x4 —8
IR M A
(3 x — y ) 2 — (2 y + 3 x ) 2 — 7 2 x 2 — 2 / — 2 4 x y
KM
(x — 7 ) 2 — x 2 — 4 x — 4
Kf i
8a x + 2 a 3x+2 —8a 2x+1, con x E N .
KM
2a" —4 + 2 a ”+1 —4n + a 3” —2 a 2", con « e N .
KM
a 2"- 1
—
26
K ìl — g a3b2+ ^ a2b — 16a
Eli 8a3—6a2b +-^-ab2—g b 3 4y - - £
38
+y ) 2
l ) ( y - 1)
l)(y+
( - j b + l)(b +
[— 2
1)]
2c)2
(a + x) (a + 5)]
[(x + y ) ( y - x )
(x + 3y ) ]
[—2x2(x —2y ) 2 (x + 2y ) \ [ ( 3b + 2 ) ( 3 b - 2 ) ( b
2- 5 ) ( b 2+
5)]
[(x—l)(x + l)(x2+ l)(x4 + 8)]
+ a'1—a2, con n E
[—(6x
+ y)
(5y + 12x)]
[—9(2x —5)]
N.
[2ax(ax+1—2)2] [(a" —2) (2 +
2a +
a2")]
[(a” *—a)(a + fl")]
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
6. TEOREMA DEL RESTO, TEOREMA DI RUFFINI TEOREMA DEL RESTO © Teoria a pagina 415 m
VERO 0 FALSO?
u
Dato il polinom io P (x ) = 2x3 - 3x2 + 8, allora:
a. P ( 2) = 12.
b.
[ Z IE
2) è il resto della divisione di P(x) per ( x — 2). P (—
[ Z IE
Troviam o il resto della divisione f—2x3 —- y x 2 + Consideriam o R = P ( -
x
+ 2 =
x
c. il resto della divisione di P(x) per (x + 1) è 3.
E
d. 8 è il resto della divisione di P(x) per x.
E H
3x —
S
l ì : ( x + 2).
— (—2 ). Se chiam iamo P(x) il dividendo, il resto
è:
R
2) = - 2 ( z 2 )3- ^ - ( z : 2 )2 + 3 ( z 2 ) - 1 = + 1 6 - 2 - 6 - 1 = 7.
Calcola il resto delle seguenti divisioni senza eseguirle. Htfil
(2a3 + 3a2 —a —3) : (a + 3)
EH
(3k - 5 k
G0
(2x4 + 3 x + l ) : ( x + 1)
3
2+
[-27]
Kfl
( - 8 1 a 4- 5 4 a 3 + 7a2 + 3 ) : ( a - 0 , 3 )
[5]
EWI
(y
E 0
/ - | ^ - z 4- - |
H ?1
(x 3 —x) : (2x — 1 )
EU
(2 3a 3 + 33) : ( 2 a
k - l ) : ( k - 2 )
[0]
(~2 / —/ + 27 —4) : (T + 2 ) P
(96f5- 4 f 3+ - | f 2 - l ) : ( f — 2 )
E 0
(x3 — x y 2+ 2x2y —y 3) : (2x + y ) , rispetto alla variabile y .
K 1I
[frx2 — ( b
+
l ) x —b 2(b
[x3 —2 k x 2— m
U
(2k —
—
3)] : (x — b
+
4+
z 3+
—
5) : ( y
- | z2- 3
+
+
2)
o) : ( z
[-3] +3)
[21]
H
i
3)
[0]
[x3]
1), rispetto alla variabile x.
[b+
l) x — 5] : (x — 2 k — 1), rispetto alla variabile x.
YOU & MATHS Invent a quadratic Find possible values for a, that thè remainder of ( a x 2+ b x + c) : (x — 1) is 0.
O B J
3y 3— y 2— 7 y
4 9
b,
1]
[4/c —3] and c in thè polynom ial
YOU & MATHS Find a quadratic that fits Find a quadratic polynom ial p ( x ) such that
p
ax
2+
such
bx + c
(2) = 0.
K M Q YOU & MATHS Which are divisors? Consider thè polynom ial P(x) = 4x2 + 5x — 6. W hich of thè following polynomials are divisors of P(x)?
a. x + 1
b. 4x - 3
c. x + 2
d. x - 2
Determina il valore di a in modo che il polinomio abbia il resto indicato a fianco. (x2 —a x — 1) : (x —2),
R =
1.
KYi
(x3 + ax2 + 4 x —l ) : ( x — 1),
R =
0.
[«=-4]
KM
(2x3 + x 2 — 8x +
R =
2.
[a
UU2
a +
1) : (x + 3),
[a
= 1]
= 22]
6. TEOREMA DEL RESTO, TEOREMA DI RUFFINI
ESERCIZI
Per quale valore di k il resto della divisione [(3 + /c)a3 + (2k —l ) a 2+ 1] : (2a + 1) è 0? EH
Trova per quale valore di k i polinomi A (x) = —2x3 —5x2+ x + 12 e B(x) = x3+ kx2 —x —2k hanno lo stesso resto nella divisione per x + 2.
EH
Combinare polinomi I polinomi A(x) e B{x) danno lo stesso resto se divisi per x —2. Il polinomio C(x) — A (x) —B(x) + x 2 —4 risulta divisibile per x —2? Giustifica la risposta. EUREKA!
TEOREMA DI RUFFINI p
Q
© Teoria a pagina 415
II polinomio 3y 3+ 5y 2 —1l y + 3 è divi sibile solo per uno dei seguenti binomi. Quale? TEST
I
a
y+l
b]
3y + 2
p Q
II polinomio b4—5b3+ 5b2+ 5b —6 non è divisibile per uno dei seguenti binomi. Quale? TEST
| a b —3
c I 3v - 1 C&]
[sì]
3y+l
b
b- 1
l~c~l b + 3 m
b-2
Verifica, senza eseguire la divisione, se i seguenti polinomi sono divisibili per i binomi scritti a fianco. x3—9x2+ 19x—6;
x —2,
x —6,
x + 1,
x —1.
EH
x3—12x2—28x;
X,
x + 14,
x —2,
x + 1.
EH
x4 —6x3+ 6x2 —3x —10;
x —5,
x —1,
x + 1,
x —2.
P
—4n4 —a3+-^- a2 —5;
a + 2,
a — 1,
, 1 a + T>
a + 1.
EH
y 5— bs;
y-b,
y+b,
-a (N
y+3b
EH
2a2— 3ab2—4- a2b + b3;
a — b,
a + 2 b,
2a — b,
a + b.
i
EH
Verifica se il polinomio è divisibile per il binomio scritto a fianco e, in caso affermativo, calcolane il quoziente. EMI a3—2a2 + 3a —6
fa- 2
m & m w B B B M
a4—5fl2+ 8a —208
Kiftl x3—6a2x + 9a3
x + 3a,
H1E1 2x4 —7x3+ 3x2 + 4x —2
2x - 1
0/- 4
ALVOLO
EH
Senza eseguire la divisione, verifica che il polinomio 2x3+ 3x2—5x —6 è divisibile per (x + 2) (x + 1), ma non per (x + 2) (x + 3).
E0
Senza eseguire la divisione, verifica se il polinomio x3—4x2 + x + 6 è divisibile per x2 —x —2.
Trova il valore di k affinché i polinomi indicati siano divisibili per il binomio a fianco. EH
fl4 —2n3+ ku —1
HiM 3kx2 + 5kx —24
(v —2 x +3
HJjJ 8 a2+ 4fl2 —12n + k x4 + ka2x 2 — 5a3x + a4
2tv —3 x - tv
443
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
p i
x3+ ( k — ì ) x 2 + 6x + k + 13
EH
x3—2kx2 + 3kx —6
EH
kx4 — (2 —k)x3+ 4kx — 16
EH
(1 + k)x5 + 3kx + 2(2 k —1)
EH
EUREKA! Quali coppie? Per quali, tra le seguenti coppie di valori di a e b, il binomio P(x) = ax2+ b risulta divisibile per il binomio x —2?
a. a = 1,
x -5
1
[* --* ]
x + 0,5
h = - f 69 ] x +2
[per ogni k]
x +1
b — 4.
m
b. a = —2,
b — 8.
c. a — 4 -,
Quale relazione deve esserci tra a e b affinché si realizzi la divisibilità richiesta? EH
b. 2x3—9x2 + lOx —3;
c. 2x3—x 2 + 2x — 1.
Stabilisci quali fra i seguenti binomi sono divisori del polinomio 3y 4 + 2by3+ (6 —b2)y2 + 4by —2b2, secon do la variabile y. y —b;
EH
[b) e c);b = -4a]
Dati i binomi (x + 4), (2x — 1), (x —1), stabilisci quale fra essi divide ognuno dei seguenti polinomi: a. 2x3 + x2 —25x + 12;
EH
b ——2.
y + 1;
3y — b;
2 y — l;
y + b.
[il terzo e il quinto]
EUREKA! Lo puoi dividere? Dimostra che il polinomio P(x) = x 3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x + abc è divisibile per ciascuno dei binomi x + a, x + b, x + c.
tevJjl a. Indica se il polinomio P(x) = 6 + (2x — l ) 2 + x(\ — 3x) (3x + 1) —[(x — 2)3—(x —1) (x2+ 2)] è divisibi le per (x — 1). b. Scomponi in fattori P(x). c. Scrivi il risultato della divisione di P(x) per (x —1).
[a) sì; b) (9x2+ 13) (1 - x); c) - 9x2- 13]
Dimostra le seguenti proprietà e generalizza. EH
a3+ b3 è divisibile per a + b. Generalizza per an + bn, con n dispari.
EfiTil a3— b3 è divisibile per a —b. Generalizza per an — bn, con n dispari. EU
a4 + b4 non è divisibile per a + b. Generalizza per a" + b", con n pari.
EH
a4 — b4 è divisibile sia per a + b sia per a — b. Generalizza per an — bn, con n pari.
E H ta- VERO O FALSO? a. x6 —64 è divisibile per x + 2.
SCEl
c. x n + bn è sempre divisibile per x + b.
b. a7 + b7 non è divisibile per a — b.
fv] ]~f~|
d. x n —an è divisibile per x + a se n è pari. m i n
RIC ER C A DEGLI ZERI DI UN PO LINO M IO EH
Indica quale dei seguenti numeri è uno zero del polinomio —4x3—x 2 + 6x+ 3. -2 ,
tM
& Teoria a pagina 416
1,
-1 ,
I~v~l ITI
7. SCOMPORRE CON IL METODO DI RUFFINI
ESERCIZI
irtllfl Q vero o falso? a. Gli zeri razionali del polinomio x 3—4x2 + x — 4 si trovano nell’insieme | ± 1, ± 2, ± 4 |. b.
—2 è uno zero del polinomio 2x3—4x2 —x —2.
E H EH I
c. Gli zeri razionali del polinomio 2x3+ x — 3 si trovano nell’insieme \ ± 1, + 3, ± -r , ±
d. Se P(x) = —x 3— x — 2, allora P(— 1) = 0. e. —a è uno zero del polinomio, nella variabile x, x 3—ax2 —2a2x.
EH EH EH
Trova gli zeri razionali dei seguenti polinomi.
EEH 3x2+ 2x — l
- '• i
00
jc3+
4x2 + 4x + 3
[1,-3,2]
P I
5y 2 + 4y —1
[-4,-1,1]
rh
4t3+ t —1
1-3]
00
a3—7a + 6
m
k3+ 4k2- k - 4
R0
EUREKA! Parallelepipedi (im)possibili II volume di un parallelepipedo rettangolo è espresso dal polino mio 3a3+ 7a2—18a + 8, con a G N e a > 2. Sapendo che le misure degli spigoli del parallelepipedo sono numeri interi, è possibile che tali misure siano 10, 7 e 2? E che siano invece 7, 7 e 2? [no, sì]
BEI
EUREKA!
Trova e moltiplica Qual è il prodotto degli zeri del polinomio x 3+ 5x2—4x —20? [Furman University - Ciphering Competition, 2008]
[20]
7. SCOMPORRE CON IL METODO DI RUFFINI SC O M P O SIZ IO N E CON IL M ETODO DI R U FFIN I
6 Teoria a pagina 417
Scomponiamo in fattori con il metodo di Ruffini: P(a) = a3—5a2 + 3a + 9. Cerchiamo gli zeri di P(a) tra i divisori del termine noto:
±1; ±3; ±9.
Calcoliamo:
P (l) = 1 —5 + 3 + 9 ^ 0; P(— 1) = —1 —5 —3 + 9 = 0 -* a + l è divisore di P(a).
Eseguiamo la divisione:
1
-5
3
-1
6
-9
-6
9
0
9
(a3—5a2 + 3a + 9) : {a + 1) -1 1 Otteniamo la scomposizione:
w
5a2 ~h 3a + 9
—
Q(a) = a2 — 6a + 9; R = 0.
(a2 6u + 9) (a + 1)
— (a — 3) 2(fl + 1).
—
\
quadrato di ' un binomio
445
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Scomponi in fattori.
P
a3—3a2 + 4
[ ( a + l) ( a - 2 ) 2]
00
x3—x2 + 2
[(x+ l)(x2—2x+ 2)]
00
y 3+ 2y 2+ 4y — 7
[(jy- l ) ( / + 3y+7)]
00
y4 + y2 —2
[ ( y - ì) ( y + ì) ( y 2+ 2)}
00
a3+ a2 + 6a — 8
[(a —l)(a2+ 2a + 8)]
P
A:3+ 4Ac + 5
[(k+ì)(k2- k + 5 ) )
00
a3 —a2 —8a + 12
■y 3+ y 2 — 3y + 2
a3—3a + 2
po
63+ 2fr2- 5 f r - 6
p
x3—27
IP
2x3 —9x2 + 7x + 6
S ii
x6 —4x2—24x
[(f —2) (f2+ 3t + 8)]
[(a + 3 )(a -2 )2]
0P3 a4 + 3a3—9a2 —23 a —12 [(a + 4)(a —3)(a + l)2]
i
P m
0S1 t3+ ? + 2 t - 16
[ ( a - l ) 2(a + 2)}
00
x5 —32
[(b + 3)(b+ì)(b-2)}
00
6£r3+ 7fr2- f r - 2
[(x —3) (x2+ 3x + 9)]
00
a3 — 7a + 6
[(x —3)(2x+ 1) (x —2)]
su
a4 + 4a2 - 32
[(x-- 2) (x4+ 2x3+ 4x2+ 8x + 16)] [(b+ì)(2b-ì)(3b + 2)\ [ ( f l- l) ( a - 2 ) ( a + 3)] [(a —2) (a + 2) (a2+ 8)] [x(x -- 2) (x4+ 2x3+ 4x2+ 8x + 12)]
EBE) —x3—2ax2 + 9a2x —2a3
[(x —2a) (—x2—4ax + a2)]
EH
fr3+ 2£ry2 —2b2y —y 3
[(i>-/)(i.2- i- 7 + /) ]
00
x3—8x2 + 9
[(x + l)(x2—9x + 9)]
KM y3+ 4y2 + y — 6
[(y + 2)(y- 1) (y + 3)]
Determina a in modo che il polinomio ax3+ 5x2—x —(a + 4) sia divisibile per x + 2, e poi scomponilo in fattori. [a = 2, (x + 2) (x —1) (2x + 3)]
P
CETI
EUREKA!
Trova a Se x + 2 e x - 3 sono fattori del polinomio p (x) = x3+ 5x2+ ax+ b, trova a. [USA Texas A&M University Math Contest - AB Exam, 2012]
1-12] SO M M A 0 D IFF E R E N Z A DI CUBI
© Teoria a pagina 418
A3 ± B3 = (A ± B)(A2 + AB + t?)
Scomponiamo: a. a13 —8; b. (2x —l ) 3+ ( l + x ) 3. a. a15—8 = (a5) 3 - (2)3 =
^a2-
(a5 —2 ) [( fl5) 2 + a5 ■ 2 + 22] =
^ calcoliamo le potenze
b
2 = [A -
b
) (a 2 +a b
+b 2)
{a5 —2) (a10+ 2a5+ 4) b. (2x— 1)3+ (1 + x) 3 =
) A3 + B3 = (A + B) (A2- A B + B2Ì
2x— 1)(1 + x) + (1 + x)2] =
[(2 x — 1) + (1 + x)] [(2x —l ) 2—(
Jx( 4 x 2 —4 x + ì - p . - lx 2 + l + x + 3x(3x2 —3x + 3) = 9x(x2—x + 1)
446
1
^ svolgiamo i calcoli nelle parentesi
+ li- + x2) = ^ raccogliamo 3
7. SCOMPORRE CON IL METODO DI RUFFINI
CHECKER
Scomponi in fattori ( n e N ) .
la3-b3\ 125 x +8y ■ 64 a3 y6; a3b3c6+ 1. E H x9— EHI c3b6z9~ a6—b6. ; x3+8. E 0 a3- 2 7 ; “ ■ x6y6+ 8; 1 - 2 7b6. E B —---- ?7 138x9 —b3. 27 ’ E E 125 + A:3; a3b6—1. 2
IP
64y6 —c3.
ijtf'l 8
b6-,
P
—64 +
EE
li 1 - x 3y3- 8 ;
e b
ESERCIZI
f12 — 1000.
a15+ b3.
1 a3 b7,6~ 125 ’
EH
27 8
ETil
125 f - m ;
p
3~3+k6;
P
1 0 0 0 /+ 1;
EE
( - «6) 2- ( - 27) 2/c3;
- 8 1c3+ 64. 64 9 27 * 8
, L
~2a3—8b3. 125h9
x6-x6n.
a 12" + 27; EE
27” + 1;
EE
l +(x-l)3;
E53 (x + l ) 3- (1
9
7 -2 7 .
1 -8 ". (h —2)3 + 8.
+2x)3;
(5
a-
YOU&MATHS U s in g tric k s Use tricks to divide each given polynomial by thè one proposed without actually setting up thè division between polynomials.
G
a. Divide x6 — 1 by x3—1. b. Divide (s + t)2 — (s —t)2 by 4s. c. Divide x3+ 27 by x2 —3x + 9. Riepilogo: la scomposizione in fattori G u id a a lla sco m p o s iz io n e d i u n p o lin o m io
La «tabella di marcia» seguente può esserti utile per scomporre un polinomio. Se un metodo non ti serve, procedi passando al successivo. 1. Raccoglimento a fattore comune. 2. Raccoglimento parziale. 3. Scomposizione con prodotti notevoli. Se il polinomio ha: -► una differenza di quadrati a2—b2 = (a + b) (a —b) • 2 termini, può essere
-*■ una differenza di cubi a3—b3= {a —b) (a2 + ab + b2) -*■ una somma di cubi a3 + b3 — (a + b) (a2 —ab + b1)
• 3 termini, può essere
un quadrato di binomio a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 un trinomio speciale x 2+ {a + b) x + ab —(x + a) (x + b)
• 4 termini, può essere un cubo di binomio a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3 • 6 termini, può essere un quadrato di trinomio a2+ b2 + c2+ 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 4. Scomposizione con il metodo di Ruffini.
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
/ l CHECKER Scomponi in fattori ( n e N). 0E1 x9—x5 + 6x4 — 6
^1
a(a —2)3—8a
00
x3+ 6x2y + Ylxy1 + 8;/3
00
a12—x8
R fl
3a2 —a2b — 12 + 4b
00
x6y 6 + x3y 3—6
00
x3—13x —12
03
^ a2 - b2 - -J- + b
00
3a2 + I la —4 + (3a —l ) 2
00
4a3—7a —3
HTiVJ 4axy — ^
^ xy —2a
liWll (a7 + b —l)3xy + 3xy(a/ + 1 —b) g ii
30x2y 2 — 2xy3—4y 4
HfH\ (a — g ii
b + c) —
a + - j b + c)
x5—x4 + 3x2 —2x —1
HfLi 9x14 + x10 + 9x6 + x2
(:2a + y )(2 x j - l) [6a7xy] [2y2(3x + y) (5x —2y)] [2c{2a —b)] [(x—l)(x4+ 3x+ 1)] [x2(9x4+ 1) (x8+ 1)] l j ( 5 a - 3 b + 12)(a + b)j
EH
9a + 9b + 3a2- 3 b 2+ ^ ( a + b)2
H/1
2(a + b)x2 —xy(a + b) — 3ay2 — 3by2
EH
9 + l4 a2b2- 3 6 b 4- 3 a b
m
(1 - 2 x ) 2 + 8x3- 1
[4x(2x —1) (x + 1)]
HVl'J x2—8x + 16 —3xy + 12y
[(x —4) (x —4 —3y)\
Hill] 3a3+ a2b —IOafr2
[a(a + 2b)(3a —5b)]
4xy3—x3y + 16xy —16xy2 HiW - j x3y + 3xy3+ 3xy —6xy2 02
ax4 + a3—a + 2a2x2
HlM x3y — 5xy — 3y (x4 —5x2) H'KI 2x2y + x2 + 2xy —24^ —12 + x 00
8x3(x3- l ) - 2 7 / ( x 3- 1)
00
a3- ^ y - a2y + - ^ ~ + 1
HM a2c2 - 9c2b2 + a2 - 9b2 — 18cb2 + 2a2c 02
448
x2(x + 2y)3 — 8x2y 3
[(a + b) (x + y)(2x —3y)] —122—6) (ab + 12b2—6)J
[xy (2y —4 + x) (2y —4 —x)] 3xy(y-\x + y - l j ( j x + y - l) [a(x2+ a + 1) (x2+ a —1)] [xjy(x2—5)(1 —3x)] [(2y+ l)(x + 4)(x —3)] [(x —1) (2x —3y) (x2+ x + 1) (4x2+ 6xy + 9y2)] ( a - 3 + l) ( a 2+ y9 - ^ a y - a + y3 + lj [(a + 3b)(a-3b)(c+ì)2] [x3(x2+ 6xy + 12y2)]
7. SCOMPORRE CON IL METODO DI RUFFINI
Eflfl 2y 2 —x 2—xy
ESERCIZI
[{y-x) {x + 2y)] MATEMATICA AL C O M PU TER
EH
a2y 2 + aby2 —2y 2b2
[y2(a —b) {a + 2b)]
m
(3v —2)2 —(x + 4)2
[4(2x + 1) (x —3)]
m
(2x2— l ) 2 — (x2 + 3)2
m
Divisibilità e scomposizione di polinomi
[(x —2) (x + 2) (3x2+ 2)]
Y4 4 —2x2 + 4
Con Wiris, costruiamo un blocco che: • legge due polinomi DeV, con V che dipende dai para metri beh, • mostra, se esistono, le coppie di numeri interi, appar tenenti a due intervalli, che sostituiti a h e k rendono D divisibile per V.
[ 4 (x —2)2(x + 2)2J
gg
22" —16"
gg
8n — 1
m
JjAn+1—^b2n+1-(- Ab
eh
a" + an+l + an+2 + a"+3
[22”(1 —2") (1 + 2")] [(2” —l)(22" + 2n+ 1)]
Ti proponiamo inoltre alcuni esercizi di applicazione alle scomposizioni.
[b(b2n- 2)2] [an( 1 + a)(l + a2)]
□
►
P ro b le m a e ris o lu z io n e .
►
5 e s e rc iz i in più.
Indica con un polinomio scomposto in fattori l’area della zona colorata (a > 0, b > 0).
[(b+ 1) (26 + 23)]
AL VOLO
Semplifica le seguenti espressioni.
EH
4302 —4202;
EH
912—902;
12492 —12512. 2- 122 —2 • 112. 36 — 54
EH
1012—1;
EH
Dimostra che il numero 312—1 è divisibile per 7.
EH
EUREKA!
48—1 16 4 + 45 ‘ 162 —1 (58 —312) • 52 512 —1
18(53+ 1) 54—5 (57 —5) ' 3 1 —58 + 36 54+ 1
[-2] [-1]
(33+ 52) 2 •
Divisibili Individua quali, tra i polinomi
A (x) = x4 + (4 —b) x 2 + 4 — 2b, B (x) = 4 bxz —x3+ 4 b —x, C (x) = 4ab2x 2 —4ax2+ 2a2+ 8ab2 —Ì2a —2a (x2 + a), sono divisibili per il binomio D(x) = x 2 + 2. In caso affermativo, determina il quoziente Q(x) della divisio ne per D(x). hU*) sì: Q(x) —x2+ 2 —b; B(x) no; C(x) sì: Q(x) = 4ab2,—6a] Rilil Se * e y sono due numeri tali che x —y = 2, dimostra che x 2 —y 2 è un multiplo di 4.
EH
EUREKA! Qualsiasi binomio? Verifica che il polinomio P(x) = 3x4 + 5x3 —4x2—2x —2 è divisibile per il binomio x — 1. Si può affermare che allora il polinomio è divisibile per qualsiasi binomio del tipo ax —a, con a numero reale diverso da 0? Giustifica la risposta. [sì]
449
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
EQUAZIONI, DISEQUAZIONI, SCO M PO SIZIO N I Equazioni e scomposizioni Risolviamo le seguenti equazioni, scomponendo in fattori il primo membro. a.
2x2 — 16x = 0 — 2x(x — 8) — 0 — 2x = 0V x —8 = 0 —• x = 0 V x = 8. raccogliamo il fattore comune 2 x
legge di annullamento del prodotto
Le soluzioni sono x = 0 e x = 8. b. x2 —6x + 9 = 0 — (x —3)2 = 0 — x —3 = 0 quadrato di un binomio
x = 3.
un quadrato è nullo quando lo è la sua base
La soluzione è x = 3. c. x2 —5x —6 = 0 — (x —6) (x + 1) = 0 -<• x —6 = 0 V x + l = 0 trinomio speciale
— x = 6 V x = —1.
legge di annullamento del prodotto
Le soluzioni sono x = 6 e x = - l '•
Risolvi le seguenti equazioni.
|P
x2—7x = 0
P
3 (x —5) (x + 4) = 0
P
x2- ^
= 0
P
25x2—10x+ 1 = 0
P
x —4 = x2 —16
P
(x —3)2(4x2 —20x) = 0
P
x3+ 4x2 —x —4 = 0
QQ
4x2 —2x —2 = 0
P
3x3—18x2+ 21x — 0
P
x8- 16x6 = 0
EH
Data /(x) = 2x2, risolvi: / ( 2x) —/( x + 1) —/(2x + 1) + 2/(—1) = 0.
p i
(x + 1)2 = 9
[5;--4]
p i
3x3+ 6x2—12x —24 == 0
31 h ' 2J
p j
(25x2 - 9) (x + 2) = 0
1 5
p i
2x2 + 5x —3 = 0
[4; -3]
P
(x —4)3(x —2)2 = 0
[o; :3; 5]
m
x3—2x2 —5x + 6 = 0
[1; —2; 3]
vtn
x4- 2 9 x 2+ 100 = 0
[± 2; ±5]
[± 1; - 4] [-D ] [0; 3] [0;:±4]
ESJ x4 —2x3—8x2 + 18x - -9 = 0
[±2]
H i] [2; 4]
[i;±3]
3x(2x —1) = 4x(2x —D 2
[-Lo2 ’u>—] 8
x4 —x2 = (x2 — 1) (5x -- 6 )
[± 1; 3; 2]
p
fftll Data /(x) = x (l —x), risolvi: / ( I —x) +/(3x) = —(x —2)‘
450
[2;-4]
[0; 7]
[0; - 6]
7. SCOMPORRE CON IL METODO DI RUFFINI
B l j Data f(m) Bg
=
m 2—4m, risolvi: /(4ra + 1) + /(2m ) —l l / ( —m) = —6(14 + ni).
[3]
Data / ( a:) = x2 + 1, risolvi: a.
6 = /(4 x ) +/(3x);
b. x[/(x + 1) —4] - 3 / ( - x ) = —3.
B0
ESERCIZI
a ) ± y ; b ) 0 ,- 1,2
+r ) 2 = 0 e
Trova il valore di k per cui le equazioni 2x{k
35x —5x2 = 0 risultano equivalenti.
Dimostra che le seguenti equazioni sono equivalenti: x 2 = 16;
x3—4x2— 16x + 64 = 0;
x3+ 4x2- 1 6 x - 6 4 = 0;
x4 - 32x2+ 256 = 0.
Domini delle funzioni e scomposizioni D e te rm in a i l d o m in io d e lle se gu en ti fu n z io n i d o p o aver sco m p osto i l d e n o m in a to re in fa tto ri.
^
^
x 2 — 2x + 1 ’
y
x 2 — 6x ’
1 B0 y = x22—3x —4 frolli _ y
m
EH
y
X3 —
^
2x2 —x
+
4 —25x2 '
2
8
_ y’
y
iv2:2 - 1lx + 5 ’ 2
y = -x3—16x ’
4x x3+ 4x2 + x —6 ’
2x2 y^~=^2 2x2+ 5x —3 ’
7
^
’
5x 3x3—3x
7 = 2x3+ 8x —8x2
8
y
x3—6x2 + 9x
x 4 + 4x3+ x2 —6x ’
12 y ~ xv3j.iv2 + 2x —13x + 10
Disequazioni e scomposizioni Risolviamo le seguenti disequazioni, scomponendo il primo membro in fattori. a. x2 —4x + 3 < 0 -
(x —3) (x —1) < 0.
trinomio speciale
Studiamo il segno del prodotto. x —3 > 0 —- x > 3 ; x —1 > 0 — x > 1.
x- 3 x-
1
(x - 3)(x - 1)
-
0
+
0
0
+ +
0
+
+
_____ |_____
Poiché il prodotto deve essere negativo o nullo, le soluzioni sono: 1 < x < 3.
451
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI b. 3 —3x4 < 0 -
3 ( l - x 4) < 0
raccogliamo a fattore comune 3
-
3(1 - x 2)(l + x2) < 0 -
differenza di quadrati
3(1 - x) ( 1 + x) (1 + x2) < 0.
differenza di quadrati
-1 Studiamo il segno del prodotto. 1 +X
1 + x > 0 —x > —1;
+x2
1
1 + x2 > 0 — Vx G R.
+
+ CI
-
- ( + ___
+ +
+ +
-
t
- x
1
1 —x > 0 — x < 1;
3(1 —x)( 1 + x) (1 + x2)
C
c
-
Poiché il prodotto deve essere negativo, le soluzioni sono: x < - l V x > 1. c. 2x3—5x2 + x + 2 > 0.
2
Scomponiamo il polinomio P (x) = 2x3 — 5x2+ x + 2 con il metodo di Ruffini.
-5
- 1
2x3- 5 x 2 + x + 2 > 0 - (2x2- 3 x - 2 ) ( x - 1) > 0 -
2 2
P(1) = 2 - 5 + 1 + 2 = 0
1
-3
2
-3
-2
-2
0
( x - l ) ( x - 2)(2x+ 1) > 0.
trinomio speciale
Studiamo il segno del prodotto. x — 1 > 0 — x > 1; x —2 > 0 — x > 2; 2x+ 1 > 0 — 2x > —1 — x > — i .
2
(x -
Poiché il prodotto deve essere positivo o nullo, le soluzioni sono:
1
x-
1
-
-
x-
2
-
x+
1
-
) ( x - 2 )(2 x+
1
)
-
+
+
-
-
C +
+ _____ ) +
+
+
-
c +
1
0
< x < lV x > 2 .
Risolvi le seguenti disequazioni. [— ! . < * < -L i 18 —^ — 18
^ - ^ < 0 W\
o V
+
1 (N
E5
—3x6 < 0
P
9x2 + 12x + 4 < 0
K0
5x4- 1 6 > 0
E0
(x + 6) ( 1 —x2) > 0
[p ]
2 (x3 + 2x2 + 2x) > —2
ffcfl [t2- \ )(1 - 9 t 2) < 0
452
lVii —(x2 + 1) (x3 —4x2 + 4x) > 0
[x + 0
P3
—(3x2 + 2)(x2 —2 x + 1) > 0
[impossibile
P I
(2x3 —4x2) (x3+ x) < 0
[—
4]
fEfil x(x2- 7 x + 12) > 0
2 Vx > T .
P I
- | x 2+ 2 + - y x > 0
[x < —6 V—1 < x < 1
p i
- £ x ( x + x3) < 0
[x <
[x < 0 Vx = 2] [*= H [0 < x < 2] [0 < x < 3 Vx> 4] [Vx e R] [* = o] [x > -2 ]
t < - y V - y < t < -j v t > y
8. MCDEmcmDI POLINOMI
x2(x + 5) + 7 < 13x
[x = 1 V x < -7 ]
RSffl 12x2- 3 - 4 x 3 < - x
[—2 <-x < 2 V x > 3 ]
ryyj x3+ 5x2 > x 2 + 6 —x
[-3 < x < - 2 V x > 1]
m
—6(fl + l)
a(fl2+ 6fl + 5) [a < —3 V—2 < a < —1]
9x2- 4 > y x ( 9 x 2- 4 ) m i
ESERCIZI
\ x < - \ \ / \ < x< l\
- 3 ( x 3- x 2- 3 ) < - 1 5 x
[ x = - l V x> 3]
8 . MCD E mcm DI POLINOMI ©Teoria a pagina 419 m i Dati i polinomi 4x2 —16 e x 2—2x2—4x + 8, stabilisci se uno dei due è divisore dell’altro. fftYj Considera i polinomi 4x3 —8x2—x + 2 e
- r x + 3 e indica se uno dei due è multiplo dell’altro.
Calcolo di MCD e mcm Calcoliamo il MCD e il mcm dei polinomi:
3x3+ 5x2 —2x, 9x4 —6x3+ x2, 2x3+ 4x2.
Scomponiamo i polinomi in fattori irriducibili e mettiamo in colonna i fattori: 3x3+ 5x2 — 2x = x(3x2+ 5x —2) = x(3x2 + 6x —x —2) = — x[3x(x + 2) —1 (x + 2)] — 9x4 —6x3+ x 2 = x 2(9x2 —6x + 1) = 2x3 + 4x2 = 2x2(x + 2) = i fattori comuni con t'esponente minore
MCD =
tutti i fattori (comuni e non comuni) con L'esponente maggiore
mcm =
2
x
(3x —1)
x2
(3x —l ) 2
x2
2
(x + 2)
(x + 2)
(3x —l ) 2
(x + 2)
Calcola il MCD e il mcm dei seguenti polinomi (n E N). rt'ftl
3y 2— 12y6;
—6y4 + 3y 2;
—4x —4 + y x + y;
y 2 + 2y 2.
y 2 — 16;
[MCD = 3y2; mcm = 3y2(\ —2y2)(l + 2y2)\
xy —4x.
[MCD =y —4; mcm = x{x+ l)(y —4){y + 4)]
f'f'VI a3b3+ a2b4 —ab — b2; a2+ 2ab + b2; a2b + a + ab2 + b2. [MCD = a + b; mcm = b(ab —l)(ab + l)(a + b)2] f-T'TI 6x2— 6x;
2x2 —2;
p d 3 H 2 H H Z ! l l 3x 2y + 6xy ; f»YM 5x2 + 5x — 10;
y —x 2y;
f'T'VJ 3a3—12a2 + 9a; f'Yll! x 2y + xy2; f-Yll a2— b2;
[MCD = 1; mcm = 6x 2(x + l)(x —1)]
x3+ x2. 3x 2y —12y;
6x2y 2+ 24xy2+ 24y2.
xy —y — 5x + 5.
a3— a2— 9a + 9;
2a4 —4a3+ 2a2.
[MCD = x —1; mcm = 5y(x —l)(x + l)(x + 2)(y —5)] [MCD = a — 1; mcm = 6a2(a —\)2(a —3)(a + 3)]
x2^ 3+ xy4;
2x + 2y.
[MCD —x+ y, mcm = 2xy3(x + y)}
3a2b + 3ab2;
b4 + ab3.
[MCD = a + b\ mcm = 3ab}(a2—b2)]
VlkA x 2—4x + 4;
3xy2 —6y2;
3x2— 12.
[MCD = x —2; mcm = 3y2(x+ 2)(x —2)2]
453
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
F%1 (a + b) (9az — b2); a2b + 2ab2;
H a 2+ Sab —4b2;
6a2b2 + \2ab3;
^
\6 x 3—8x 2 + x ;
^
^ a 2x 2 —~^;
axy + a2x —y —a;
ffflìl 0,3x6— F I1
x2 + 4y2 —4xy —4;
FTfl 1 —a3"; G IU
[MCD = 1; mcm = 2x(4x—l)2(x—l)3]
2a2x 2— a4x 4 — 1.
[MCD = (ax— 1); mcm = (ax — \)2{ax+ l)2(y + a)]
4b2 + a2 + 4ab.
[MCD = ì; mcm = (a + 2b)2(a + b)2]
x 4 + x 3+ x 2.
2x2—4xy —4x;
a2n — 3an + 2;
[MCD —ab (a+ 2b); mcm —6a2b2(a+ 2b)]
8x3—10x2 + 2x.
a2+ 2b2 + 3ab;
0, 6x4 —“è x 2;
[MCD = x2; mcm = xi(x — l)(x+ \){x2+ x+ 1)]
x 2 + 4y2— 4xy —4x + 8y + 4. [MCD = (x —2y —2); mcm —2x(x —2y + 2)(x —2y —2)2]
4a2”+4- 4 a 4.
[MCD = (a"- 1); mcm = 4a4(a ''- l)(an+ l)(aM- 2 ) ( l +a2n+ a")]
VERO 0 FALSO?
P
a. Il mcm di polinomi non può essere 1. b. x - 2 è un divisore di x 2 —2x —6.
U
II M C D tra due p o lin o m i è x (x — 1) e il
TEST
lo ro m cm è x 2(x — l ) 2(x + 1 ). I due p o lin o m i
v If
sono:
DDE
[~À1 x 2 — x, x 2 — 2x + 1 .
1 2 c. I due polinomi y (x + 1) e y (a + b)
x 2 + x, x 4 — 2x3 + x 2.
b]
non hanno un divisore comune.
Z IE
|c
x 4 — x 2, x 3— 2x2 + x.
d. Il mcm di 3a + 9 e 3a + 6 è 3a + 9.
3 B
I D~l
X4
P O
TEST
p Q
II MCD dei polinomi
+ X 2,
a
4
X2
+ 2x + 1.
II m c m dei p o lin o m i 8x6 — 8x 4 e
TEST 1 2
a4 + a2 e a4 —a2 è:
ri'Ki
[MCD = a + b; mcm = 12 (a + b)(9a2—b2)}
—3a3b2—6a2b3.
2x 3 —6x2 + 6x —2;
a 2 + ~2 b2+ ab;
9a2+ Ì2ab + 3b2.
1
2
2 , v.
E
a4.
[c] 1.
a
8x 6 — 8x 4.
f c ] 4x4(x — l ) ( x + \ ) .
E
a2.
E
b
x 4{ x — l ) ( . x + 1 ).
1~d~1 8x6.
EUREKA!
a2(a2+ 1)(a2 — 1).
Senza scomporre È possibile che il MCD dei polinomi
A (x) = x2 —4x + 4,
B(x) = x 4— 16,
C(x) = x 5—4x3 —x 2 + 2
sia x —2? Motiva la risposta senza scomporre i polinomi in fattori.
[no]
f i ! fi
GCF of polynomials in a Find three polynomials A(a), B(a), and C(a) such that thè following are satisfied: thè greatest common factor of A(a) and B(a) is a2; thè greatest common factor of B(à) and C(a) is 5; A(a) and C(a) have no common factors.
fUM
Segui gli indizi! Del polinomio B(x) si sa che: il mcm tra B(x) e il polinomio x2 —x —2 è x3—2x2 —x + 2; il MCD tra B(x) e il polinomio x2 —x —2 è x + 1; il coefficiente del monomio di grado maggiore di B(x) è 1. Determina B(x). [x2- 1]
YOU & MATHS
EUREKA!
ESERCIZI IN PIÙ F irn “ E H Q SU TUTTO IL CAPITOLO
454
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
E S E R C IZ I IN P IÙ
DIVISIONE TRA POLINOMI E REGOLA DI RUFFINI © Teoria a pagina 408
Esegui, se possibile, le seguenti divisioni. (4x6 —6x4 + 8x3+ 2x2) : (2x2) ffflfcl (b3a3+ 3a2b3+ 3ab3) : (ab3)
r.VIH
(x2y + x 2y 2 —xy + xy2) : (xy)
r.VH
(a4b —a4bz —azb + a2b2) : (a2b)
E0
(0,6 jc8+ l,3 x 6 + y x 4):(0,3x4)
E3
(x3ny 2n+1 - 2x 2ny 3n + 4x" +1y n) : ( - x ny n) CHECKER
Semplifica) le seguenti espressioni in cui compaiono anche divisioni tra polinomi e monomi.
r.VZI [a3—{a2+ a)2— (a + a2)a] : a2
[- a2- 2 a —2]
f'VM \{2x2+ x) (x + x 2) : x + 7x + x 2] : (2x)
[x2+ 2x+l]
f'VZ'1 [(a2b* + a 3b 2) : a 2b 2][(a2b 2 — a 2b3) : a 2b2]
[a2- b 2]
m i
[(3a —b)3— (3a —b)(9a2 + 3ab + b2)]:(—3ab)
[9a-3b]
EH
Un gioco di magia? Mario riceve da Giulia il seguente messaggio: «Pensa un numero intero diverso da 0 qualsiasi, elevalo alla terza, poi dividi il risultato per il numero stesso, raddoppia quanto otte nuto e aggiungi 4, quindi dividi per 2 il risultato, sottrai 2 e infine dividi per il valore assoluto del numero pensato: avrai ottenuto di nuovo il tuo numero...». Giulia ha ragione? EUREKA!
Esegui, quando è possibile, le seguenti divisioni. MI'! (4x3 —3x2 —3x + 4) : (x + 1)
gffil
(4a3 + 2a2 + 4a + 3) : (4a + 2)
P I
(b4 + 2b3+ 4b2 + 4b + l)-.(b2+ l )
[Q = 4x2- 7 x + 4; R = 0] [Q = a2+ 1; R = 1] [Q = b2+ ab + 3-, R = 2b - 2]
MiVA (8x4 + 6x3 + 1) : (x2+ x) P I
[Q —8x2—2x + 2; R ——2x+ 1]
( / - 64) : ( y - 4)
[Q = y2+ 4y+ 16; R = 0]
Esegui le seguenti divisioni considerando come variabile quella indicata a fianco. Miti (a2b3+ ab2 — a^b + a4) :[b2— a3), Mll
E122
b.
a.
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[Q = a2b + a-, R - 2a4] [Q = a2+ ab —b2; R = 0]
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI I ESERCIZI IN PIU
IjlT'l (x3y + 3x 2y —xy2+ 4y) : (x 2—y), x. MiM (a3—a2b —ab + b2) :(a —fr), MHH (2a2 + a —2ab — b) : (a — b),
[Q = xy + 3y ; R = 3y2+ 4y] [Q = a2- b ; R = 0]
a.
[Q = 2 a + l;R = 0]
a.
MI'] (10a3fr —a2b2+ ab3) : (5a + 2b),
a.
IÉIH ( 2 a^4 — 2 a6b +"2‘« i^3) : (—^ b + 2 a3),
Q = 2a2b —ab2+ ^ b3; R = —^ b4 —y a3b + -j- ab2~ - ^ b 2; R = - ^ ab4—
a.
b3
Esegui le seguenti divisioni scegliendo come variabile prima una lettera e poi l’altra. M tl (x3y + y 2x2 -+j x 2y 3) : (x + y)
[Q(x) = x2y + xy3—y4, R(x) = y5; Q(y) = x3y —x3, R(y) = x5]
MEI (a3^3—a 2fr2j- b4) :(a2 + b2)
IQ(a) = «è3—fr2, R(a) = —ab5;Q(b) = —b2+ a3b, R(b) = —ba5]
MM (8x3—6x2y -l| 3xy2 —4y3) : (2x —y) [Q(x) = 4x2—xy + y2, i?(x) = —3y3; Q(y) = 4y2+ 5xy + 16x2, R(y) = -24x3] Mfl (l,5yx5 + 0,3jxy3—0,6x4y) : (x2— -y)
Q(x) = 2 x3) '- 3 x2y + xy2- * y2, R(x) = xy3- 2§7 y3 Q (y) = — 2 xy2 — ^ x3y + x4 — ^ x5, .R(y) = —x6 + ^ x7
EH
( ^ / - ° > 4 ^ 3+ 0 , 2 a y ) : ( a 2- | y ) Q(a) = g a^y2- ^ y3. R(«) = ^
y4; Q(y) =~ $ y3~ a2y2- 6a4y - 30a6, R(y) = 30a*
Esegui le seguenti divisioni utilizzando la regola di Ruffini. MM (3af + 6a2+ a — 3) : P
i ì —i2cr2 +i -22 D = — yyy 11 Q = 3a 5- a — 35 5- ; R
-f-jì
( - | 5+ y t 2- f - y ) : ( f + 2)
Q = - t 4+ 2t3- 4 t 2+ 17 f-18;JR= ^
MI! (x5j- 8x4 + 15x3+ x —3) : (x —3)
[Q = x4-5 x 3+ 1;R = 0]
1 MU f 41 !|x3— 2^ x2 + 6 / • \ 2 x —3
[Q =
y X 2+
2x+12;R = 42
1 15 3 Mi il Detjermina il valore di a tale che il polinomio ^ ax4 + ax3—2ax + sia divisibile per x - - ^ - . g
[-2]
Esegui le seguenti divisioni considerando come variabile la lettera indicata a fianco. MJI
x3+
4kx2— ^-fc3j : ^ x —
x-
Mftlj (—2k2y 4 + Sk4 + y 4 —y3) : (A: —y),
/c.
| q = —x2+ 2 kx +-^- k2; R — ^ /c3J [Q = 8/c3+ 8yk2+ (—2y4 + 8y2)k —2y5+ 8y3; R = —2y6 + 9y4—y3]
BEI [4y4 + (7b — l ) y 3— (2b + 2b2 — b3)y2 + 2b4y]:(y + 2b), MMl (3ab2— 4a2b + b3) : (3b —2a),
y.
b.
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[Q = 4y3—(b + l)y 2 + b3y; R = 0] Q —-^-b2+ 4 f ab —
a2; R ——27 a3
E123
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI RACCOGLIM ENTO
[Zi CHECKER
50
Raccogli a fattore comune (n £ N).
—\5a2t — 5t3; 6a8- 4 a 12.
W'1 —8(y + b) —x(b + y);
x(a2 + x 3) —2x5(a2 + x3).
m i
~2 $ x 4y 2 — 0,32x3y 2; 4a3+ 8a2—2.
MI
x2y 8 —x 4y6 + x3y 5; 3~lb8 —3~2b6.
Ifìi'l 4y2 — - j x y + 2y3;
ab2 —-j-a2 + - ^ b3.
-^rx4(x+ 2)3 —y ^ x 2(x + 2)2; 0,3 a2(a — 1) —0,6 a(a — 1). IflII x”+3(x + 1)" —xn+2(x + 1)" + 1; gg
an — (—a")2.
{ y - 2 ) 2n+l- ( 2 - y ) 2n; (a - 4)n - (a - 4)1+”.
tfjj| (a +y)(a —2)2 —2(a + y ) 2(a —2); (x+ 1)(2 —x) — (—x —l)(x —5);
(—3)4x + 35xy. (—- j ) x1 +-^-x2.
COMPLETA
- ^ - a 4 ~ ~ ^ a 2 — I__la2 (I__la2 —I__I); 0,5xy2 —12,5x2 = I__\x (I__I —I__I); ~^a4b2— |__| = ~ j b 2 (|__| —2b4). a4y — 2ay2 + 4ay — I__|(|__J —l_1+4); —x8y 4 - x 2y + x 4y 2 ——J —lyl—I(|__| + 1__| —|__|); - j b2z - - ^ b z 2 + |__| = -j bz{|__| —|__| +8). 50
\2x(x + 2) + 5(2 + x) = I____ 1(1
l+ 1 2 l
h;
a2b(b + y) - ab2(b + y ) 2 — I__I(a —I__I —I__|); 6 (x —4) —a (4 —x) = (x —4) • (I_I + I__I). CHECKER
Scomponi in fattori raccogliendo parzialmente.
IMI 6x + 6y + x2 + xy 53
ab — a + b — b2
Klll xy4 — 3y 2 —xy2 + 3 E124
IZ4I 3y — 3x2 + yx2 —y 2
x3 —2x2+ 2y 2 —y 2x ìl#\ 2ab2 - 2ab + 5a2b —5a2
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DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI | ESERCIZI IN PIÙ
IZVi xy — bx + ay —ab + y — b
[(y —b)(x + a + 1)]
F Z fl l5a + { b - 5 ) ( b + 5 ) - 3 a b
[(b - 5)(b - 3a + 5)]
FZM (1 —3x)3—x (l —3x) + 5x(l —3x)2 — 5x2
a
CHECKER
[(1 + 2x)(9x2—7 x + 1)]
Scomponi in fattori mediante raccoglimento totale o parziale.
EZV1 ab — b 4 ab2 — b2
)!lA \ 2x3y —2xy + 4x3—4x MV1 4a2b2—\4b3— 9a4 + 9a2b Iftlll 3a2b + 6ab + Ì2b + 2a2b2 + 4ab2 + Sb2
TRINOM IO S P E C IA L E VA CHECKER
Scomponi i seguenti trinomi.
p i
a2 — 10a + 21;
x2 + x —6.
p j
y 2+ 8y+ 15;
b2 — 3b + 6.
p i
x6 + 3x3—10;
EH3 a8 —a4 — 30;
x8y 4 — 5x 4y 2+ 6.
a2b2— 11ab + 30;
a4- a 2- 1 2 .
k4y 2 - 9k2y + 8;
x2/ —xy2 —6 n2x2 —2ax — 35
PRO DO TTI NOTEVOLI
HI
CHECKER
Scomponi in fattori ( « £ N).
\fcik (x + y ) 2 + 1 —2(x + y);
E|J
(3x —2)|2 + 6(3x —2 )(x +
{2a — b)2 + 4a —2b + 1.
1) + 9 (x + l)2.
FEfl 0,04b4 + 6,25 + b2; 34a2b2+ 3~2 + 6ab. m
(x'')4 + (4x")2+ 64;
E ia
9a6n- 3 a 3n+1+ ^ a 2.
TEST Solo uno dei seguenti binomi non è la differenza di due quadrati. Quale?
[ a]
9 -
|
x6 —y u
b~~|
x
9
QD
- 1
16 n 4
Qj] bsc6 —0,1
IZJ CHECKER
Scomponi in fattori (n £ N).
MI
x 2 —4;
4y2 — 9.
E3
b2— 64;
25a2- b 2.
+
MA 81x2—4; 9b2—4a2. F7T1 1 - 4 9 / ;
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4x2 —9y2.
E125
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
MT'1 (x —l ) 2—1;
(x + 9)2—(x + 3)2.
4
—2ab —a2—b2
ìlflk bz —(2a + b)2; (2 —a)2— (a —l ) 2.
EH
EEJ (a - 7 ) 2- b 2; (2x + 5)2 - (x + l ) 2.
¥ÌL1 x 2— lOxy + 25y2 — a2—2ab — b2
E3
~49x6n —o>i;
gg
X6" + 4x3" + 4 - 4x2"
gg
81x4" - 2 5 / " ;
^
a6" —4a4" + 12a2” —9
gg
(1 - x " ) 2- 6 4 x 2"
FH1 4a2" -M " ;
| f - x 4n- 2- i . 245 x2/ " +2- 1 .
jc2"+2- - ^
/" .
a8 —Ab2—4a4 + 4
K 0 U TEST La scomposizione in fattori del polinomio 1 —4x2+ 4xyn —y 2n, con n E N, è: 1~a~1 (1 —y " ) (4x + 1 + y n).
[T] (1 —y n) ( l + y n) —4x(x —y n).
H ] ( l + 2 x - y n) ( l - 2 x + y n).
[5 ] ( 1 - 2 x - y n) 2.
Riepilogo: la scomposizione in fattori con raccoglimenti e prodotti notevoli
13 CHECKER
mi
S co m p o n i i seguenti p o lin o m i.
a2+ \6b2 + c2— 8ab + 2ac —8bc
MEI yx2 + 9yx + 20y
M!H1 x 2+ 4y 2+ 4z2 + 4xy + 4xz + 8yz
P
b3- I2b2 + 48b - 64
Miil a2b + 6ab + 9b
03
125x3 —75x2+ 15x —1
Mijj (x + 2y ) 4 + 2x (x + 2y )3—8xy (x + 2y ) 2
[(x + 2y)2(3x2+ 4y2)]
MjM 25x5+ xy2 — 10x3y — 125x4y —5y 3+ 50x 2y 2 gg
[(5x2- y ) 2(x-5y)]
(b —0,3a3)2 + b2 — 0,09a6
2b(b —
(a + 2)2(q —1) + 4(u + 3 )(1 —u) —g3+ a2
a3)
[—8(a —1)]
MiU b2x+4 —3b3x+l —3b4 + 9bx+l, con x e N .
[b(b2x- 3 ) ( b 3- 3 b x))
M'Hl a6 + 2a3bn —5a3+ b2n — 5bn, con n E N.
[(a3+ b")(a3+ bn- 5)]
IL TEOREMA DI RUFFINI E IL METODO DI RUFFINI
© Teoria a pagina 415
C alco la i l resto delle seguenti d iv is io n i senza eseguirle.
M'il (x3 —4x2 + 3x + 3) : (x —2)
[1]
Ka
[0]
b lZ o
(b3— 6x2 + 6x + 8) : (b —4)
(x4 + x3 + 2x2 —x —2) : (x —1)
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[1]
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI I ESERCIZI IN PIU
E
0
( l6 x 3 - 2 x 2 -
2 * +
[2]
1 , 5 ) : ( jc + 0 , 2 5 )
( 2 j aA—2a2b + 7ab2 — 3bA : (a —3b), rispetto alla variabile a.
EH
[3 b3}
Per quale valore del parametro m la divisione (y5 + y 3+ my2 — 3y) : (y — 1) ha resto 2?
Verifica, senza eseguire la divisione, se i seguenti polinomi sono divisibili per i binomi scritti a fianco. p
x3—7x + 6 ;
x —1,
x + 3,
x + 1,
x —2.
eh
x3—x 2— lOx—8;
x —4,
x — ì,
x + 2,
x + 1.
E li
2m4 — m\ —8m2+ 11;
m — 1,
2m + 1,
2m ~ 3,
1 m -y
Trova il valore di k affinché i polinomi indicati siano divisibili per il binomio a fianco. m \
8ka3—-4-|(l —3k)a2 + -f-a —3,
HHÌI 2ky4 —k ^ — 5y —30A:,
[/i
2 a -l.
1 .
y + 2.
—
l]
[A: = —1]
UHM Dati i binomi (a —2), (3a + 1), (a + 1), stabilisci quale dei seguenti polinomi è divisibile per ognuno di essi: a. 3a3—a2 — 3a + 1;
b. 3a3—2a2—7a —2;
c. 3a3+ 4a2—5a — 2.
UHM Trova a in modo che il polinomio A {x) = x4 — 2x3+ 4ax2— 6ax + 2 sia divisibile per x + l. [P
Determina il valore di k per cui il polinomio P(x) — Ax4 —x 2 + k — 8 è divisibile per 2x + 1.
rIa = — 1 2 [k —8]
Trova gli zeri razionali dei seguenti polinomi. m
x3+ 6x 2 -j-1Ix + 6
EH
a3+ 2a2 --a —2
m
2x 3 —2x 2\+ 4
p
x 3— 7x2 -- x + 7
[—1; —2; —3]
00
x 3y 3—y 3;
[1; —1; - 2]
00
x 2y 2 + 9y 2 + 6xy2
[- 1 ] [1; - 1 ; 7]
EHQ x3- x 2+ i|x — 1
Ul
™ m
a3—27a -f 54
[3 ;-6 ]
nn
a:3 —4x —2x2+ 8
[- 2 ; 2]
m
27 3+ 2y 1+ 4y + 4
p i
/ - 125;
0H
a3— a3b3b3;
x3y 3— 1.
1 —an .
[- 1 ]
y 3+ x6.
0 01 a4 —a3— a + 1 ETCÌ 9a3+ ab2 + 9a —6a2fr + 18a2 —6ab 00
4xy2— 8y2 —9x + 18
H
x4- 15x 2+ 10x + 24
P01| x3y —y 4 — 3x2y 2+ 3xy3 m
x3n —x 3;
a6” + 8.
P I
8a3—(1 + a)3;
(x —y ) 3n — 1.
Scomponi i seguenti polinomi. a5— \6ab4 + a4b — I6bs m
—(3a — l ) 2 + (a2+ 3)2
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[(a + b) {a + 2b) (a —2b) (a2+ 4 b2)] [(a + 2) (a + 1) (a2—3ci + 4)]
E127
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
MCD E mcm DI POLINOMI
0 Teoria a pagina 419
Calcola il MCD e il mcm dei seguenti polinomi (n G N). IMI (b + a)2;
(b — a)(b + 2);
liVMM 27y —x3y;
2(b + 2).
x 2y 2 + 3xy2 + 9y2 —x 2 — 3x — 9;
(5x2 + 15x + 45) (y + l ) 3.
[MCD = x2+ 3x + 9; mcm = 5y (3 —x) (x2+ 3x + 9) (y — 1) (y + l)3] [W1
0,ly2—4;
fjfrl'l
x 2\~x2n+2;
—
+ - j y 2 - 4y + 8;
x 2n + 2xn + 1;
~^y3+ 4y ~ - j y 2-
x 2n + xn(y + 1) + y.
MCD = ( \ y - l \ - , mcm = y ( \ y ~ ^ \
(l7 +2
[MCD = (x"+ 1); mcm = x2(xn+ 1)2(1 —xn)(xn+ y)]
Per quale valore del parametro reale k il minimo comune multiplo tra x3 —kx2 —2x2 + 2kx + x —k e x3—2kx2 —2x2 + k2x + 4kx —2k2 è uguale a (x —l ) 3(x —2)? [1] m Q
TEST
Dati due polinomi P(x) e Q(x), si sa che
P(x) + Q(x) = (x + l)(x —2)(2x + 5) e P(x) — Q(x) = (x+ 1) (2 —x). Quale delle seguenti uguaglianze è vera7. [~À~1 P(x) = x 3—x 2 —4x + 4 [TI Q(x) = x 3—6x2+ 3x + 10 [~cl MCD(P; Q) = x 2 —x — 2 [~d~1 mcm(P; Q) = (x + l)(x —2)(2x + 5)
mQ VERO 0 FALSO?
Sono dati tre polinomi P(y), Q(y) e R(y). Di essi è noto che:
MCD(P; Q) = (y + l)(2 y + 3); MCD(P; R) = ( y + i y ( y - 4 ) ; mcm(Q; R) = (y + l ) 2(y - 4) (2y + 3); mcm(P;Q;P) = y(y + l ) 2(y —4) (2y + 3). a. P(y) è divisibile per y.
[V] LÈJ
b. mcm(P; R) = (y+ 1)2(^ —4 )(2y + 3).
|~v~l|~f~1
c. MCD(P; Q; R) - y + 1.
|~v~H~F~|
d. R(y) = y ( y + l ) 2( y - 4 ) .
E H
ESI Due polinomi monici II prodotto tra due polinomi monici (cioè con il coefficiente del termine di grado massimo uguale a l) , non costanti e primi fra loro è: P(x) ■Q(x) — x 4 + 4x3— 3x2 — 14x —8. In quanti modi diversi è possibile scegliere P(x) e Q(x)?
E128
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[6]
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
I
ESERCIZI IN PIÙ
RIEPILOGO p Q
TEST
II resto della divisione (^—9x2—x 2 + ~g~x —3^ : [x + -y j è:
ITI —6. p u Q
m
II resto della divisione (^4x5— lettera x, è: TEST
0
0.
I~d1 0.
- q. b2x 2+ ^ b2x 2+ 4xb4 —
□□ —j .
g
fr5j:|.x + ^ bj, effettuata rispetto alla u n -2& 5.
Ec] —2~b5•
Esegui le seguenti divisioni applicando, quando è possibile, la regola di Ruffini. REM
(x 2
+ 2x2 + 3x -j- 4) : (x — 1)
[Q = x2+ 3x + 6; R = 10]
rp
( - 2 b 3+ 4b2- h + 2 ) : ( b - 2 )
[Q = —2b2—1; jR= 0]
BEH (b4- 166+ 64): ( 6 - 2 )
[Q = x3+ 2x2+ 4x - 8; R = 48]
P I
(3x4- 18x2- 2 | l x - 18) : (jc—3)
[Q = 3x3+ 9x2+ 9x + 6; R = 0]
00
(9x3+ 8x2 —x -J- 2) : (9x — 1)
[Q = x2+ x; R = —2] Q = 2a2—2a+ ^ ; R = —2
jlttl (4a3—2a2 + a -j- 1) : (2a + 1) 00
(4x2 —5x2 —7x\ —4) : (4x —1)
P I
( / - 2 f + y - jj) : (2y - 1)
[Q = x2—x —2; R = —6] Q = y / + \ / “ -f / —^ 7 + -3J : * = —f j
liffj ^x3—2ax3—~2 \^2x + u3j
—- j a j, rispetto alla variabile jc. Q = (1 —2a)x2+ f-ja —a2^jx —-^a2—- j a 3; R =
P I
(x4n + xn~ l|) : (jc” —1)
[Q = x2" + x2n+ x" + 2-, R= 1]
Trova per quali valori di a e b il polinomio 2x4 —x 2+ ax — b è divisibile per 2x2 + 1. \>Vlk
COMPLETA
a3— a4
a~
J_ ,___ L
2 ’° ~ 2
eseguendo, se necessario, una divisione: x4 + x2 = |____ | • (x2 —x) + |____ [
Esegui le seguenti divisioni considerando come variabile la lettera indicata a fianco. IMI (x3—xy2 + 2y) : (x + y),
x.
[Q = x2- yx; R = 2y]\
fì!H (b2+ a2b + a2) : (b + a),
b.
[Q — b2—ab + 2a2; R ——a2]\
Rifili {a4 —a2b2— a2b2+ b6) : (a —b), Impili (x2 + x 2y 2 —xy2—y 2) : (x —y),
a.
[Q = a2+ (b - b2)a2- b4a - b 2; R = 0]j
x.
TEST Solo uno dei seguenti polinomi è irri ducibile. Quale?
[Q = x2+ (y + y2)x + y2-, R = 0]| n?n [ j associa a ogni polinomio la sua scomposi zione. 1. a2b —4a
a. (a + 4b) (a — b)
2. ab2 + 4ab
b. (4b + a) (a — 4b)
3. ab2 —4b
c. ab(b + 4)
4. a2+ 3ab —4b2
d. b(ab —4)
5. a2 —16b2
e. a (ab —4)
ITI aè — 8 I~b~1
an + 1
I~c1 x9 —9 | D~~| X12—81
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E129
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
t u a Sottolinea i polinom i irriducibili. 4x2y 4 + x4 + 4y8;
x4 + 4x2+16;
a2+ a — 6;
x 2 + 4x + y 2 + 4y.
Scomponi in fattori i seguenti polinomi (n £ N). 12x5—4x4 + 6x3—2x2; b4 + 3b3+ 3b2+ b. x4y + 2x3y2 + x5; - j a 2b —- ^ a 2+-r^a2b2.
M
MVJ 4a(x —2) —7(x —2);
—y{2t2 + 1) —5(2f2 + 1);
+ 3u2x3 + -|-a x 2) + a3x4
(2 +axl
M I a4+ 4
[(a2—2a + 2) (a2+ 2a + 2)]
M I 16x2(x —3)2—~^~y2{x — 3)2 etto
y 2(l —y) —8(1 —y).
(x + 4 j(2x + l)(8x + 1)
16(*+ i ) 3+(x+ i ) 2+*2- 16
rTTi
6(b — 3) —x(b — 3).
(4x— 3^)(4x+ l y ) { x - 3) [(3x —4)(3x —5)]
(3x —2)2 —5 (3x —2) + 6
25 ry g x2—5xy + ~4 ~y2~ x 2y 2—4xyz —4z2
^x — 2 y —xy —2z)^x— 2 y + xy + 2zJ [9 (x + 1) (7x2—1lx + 7)]
(4x —1)3—(jc —4) [jT'TI ( 3 x + l ) 2- 7 ( 3 x + l ) + 10 EH
27
*3(*2- 4 ) - y 3(x2- 4 )
[(3x —4) (3x —1)] (x ~ i ì ( x + i
25x2— 4 y 2—25x 2z — 5xyz — 4 y 2z rrg
2 7 ( x - 2 ) 3- 2 7 ( x - 2 ) 2(x + l) + 9 ( x - 2 ) ( x + l ) 2- ( x + l ) 3
K0
( 3 x - l ) 2 —2 ( 3 x - l)(4x + 5) + (4x + 5)2 9a2 —4 — 3a2b —ab + 2b 4x4 + 1
)(4 *
~y)(i
5x + -^ y^5 x —- j y —5xz —-jy zj [(2x —7)3]
[(x + 6)2] [(3n —2) (3a —ab —b + 2)] [(2x2 + 2x + 1) (2x2—2x + 1)]
Mi
a4 — I9a2 + 9
[(a2—5a + 3) (a2+ 5a + 3)]
rrg
4”+ i - 4 - 3 2m
[4 (2" —3") (2” + 3")]
im
4x2n+2 - x 2 —4x 2ny 2 + y 2
ry g a 468- 1 6 a 4"+4 E jg 22,, + 1—2"+3 + 8
fìflì b UU
x 2n —64y4n
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[(x —y)(x + y) (2xn—l)(2x” + 1)]
[a4(b2—2a") (b2+ 2a") (b4 + 4a2”)] [2(2” —2)2] [ ( x " - 8 / ”)(x” + 8 / ”)l
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI I ESERCIZI IN PIÙ
00
x 3n —x 2n — 6xn
m
2a6n + \6b9n
iS
4xAn + x 2n + xn — 4
rm
25”- 54”
[xn(x”—3) (x" + 2)] [2 {a2n+ 2b2n) (a4n - 2a2nbìn + 4b6”)] [(x2n+l)(4x2n+ x”-4)] [52"( 1 + 5") (1 —5'')]
Calcola il MCD e il mcm dei seguenti polinomi (n e N). m \
x”+1 + 4x”;\
x 2+”+ x ”+ì - ì 2 x n;
BEH x 2n- 10*" ^ 2 5 ;
x 2n- 2 x n- 15;
x 2n+1- 3 x 2n. x ln- 2 5 .
[MCD —xn; mcm —x2n{x —3) (x + 4) ] [MCD = (x" —5); mcm = (x”—5)2(x”+ 3)(x" + 5)]
Trova per quali valori di a e b il polinomio 2x4 —x2+ ax — b è divisibile per 2x2 + 1. J EUREKA! Scrivendo polinomi Giulio scrive un polinomio P\(x) e un altro polinomio P2(x), prodotto di fattori di primo grado, avente grado strettamente maggiore del precedente. Eseguendo la divisione di P2(x) per Pi{x), si ottiene resto 0. Indicando con Q(x) il quoziente di tale divisione, quale delle seguenti afferma zioni è sempre vera? |~a1 Q( x ) può essere una costante. [~b~|
Se P2{a) = 0, allora Q{a) = 0.
[ □ Esiste un numero reale a tale che P2(a) = Q(a) = 0. I~d1 Q(x) ha certamente grado minore di Pi(x). m
Se Pi(tt) —0, allora Q(n) = 0.
[Olimpiadi di matematica, 2011]
(Suggerimento. Procedi per esclusione.)
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E131
MENU DELLE COMPETENZE ©
Nella seconda pagina della copertina
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ► Com petenza 1 (abilità 3)
Divisione di polinomi I l
(x3—5x2 + 4x —1) : (x — 2)
[Q = x2—3x —2; R= —5]
WfM (3x3+ 8x2 + 3x —2) : (3x —1)
[Q = x2+ 3x + 2; R = 0]
I l
(—8x2 + x —3x3—6 + x 4) : (6 + 3x)
n
(t3— 2£2— f + 6) : (f —4)
■1
[2a3+ 4(a2 —l ) 2 — (a —2)3] : (a2 + 2)
D
( 2 / - - \ y 2+ Js y -
Q = 2 x3— ^ x2+ \ x ~ 1; jR = 0 [Q= t2+ 2t+7; R = 34] [Q = 4a2+ a - 10; R = - I 4 a + 32] Q =2y 2- 12 - , R = ~ 4 y 2+ j y - 3 Q = y m 2+ 3m; R = —1
WfM [m4 + óra3 + j m2+ 4ra —1j : ^2ra2 + 3 ) O
[4k + 2 ( k + l ) 3- k ( k + 3)2] : ( k + l )
[Q = fc2-À: + 2; JR= 0] [Q ——x2b2+ 3x4fr —3x6; R = —1]
(2b2x 4 — b3x 2 —3x8 — 1) : (x2 + b), rispetto alla variabile b. Ili
[2(ra2 —3) (ra2 + 3) —3 ( r a + l ) 2 + 22] : (3ra2 —2)
H I
(ax5—2ax3+ 4x2 —8x — 16a) : (x —2)
■ E
9
6 a 2n +
( 3 a 3" -
COMPLETA
a"
+ 1 ) : ( 3 an -
2), co n
nE
Q = y ra2—y ; i? = —6m —-y [Q = rac4+ 2ax3+ 2ax2+ 4(a + l)x + 8a; R = 0]
N .
eseguendo, se necessario, una divisione.
O
x4 —81 = (x + 3) •
IH
x5+ x3+ x2+ 7 =
(x3+ l ) +
g l
2x3- x + 2 =
• (x —1) +
H I
x3—x2—4x + 4 = (x —2) •
Scomposizione di polinomi CHECKER
Scomponi in fattori i seguenti polinomi (n E N).
x2 + 2a2x —8a4;
y 2 + 8ty+12t2.
a12 + 1;
■J 9x2 —6xy3+ y6; -jt x 2y 6 + t xy3+ y -4f* + 81; ilil
x 2y 4 — 2xy2z3+ z6;
- y 2- 3 0 y -1 4 4 .
.
3
27x6 - 21x 4 - 1 + 9x2 x4 + 4x 2y — 2x2z3—4yz3+ 4y 2+ z6
a2 + b6z8— ab3z4.
8 9 12 6 i 6 3 125 * + 1 + 25 x + 5 x
16x4- y 4.
5a2- 5 a - 6 0 ;
8
x2—x
i
20;
.
a2— 8a —9.
—4xy + 4y2+ x2; a6 —-i- a3b2+ -yt b4. fi1
64b6 —1;
a3b3+
455
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI x ’ + l + 4y 2 + 6x3y — 3x3—4y
PI
1 + 8ab — Ì6a2— b2
PI
a4 —3a3+ 3a2 —a
PI
9a2b2c2 —6abc2 + c2
B1
3x3y 2—27xy
PI
9b4- 8 2 b 2 + 9
PI
x3—9x2 —x + 9
PI
a2y 2—4a2+ 3(y2+ 4y + 4)
P I
4a2 + Ì6b2 + 36c2 — Ì6ab + 24ac —48bc
PI
x4 —17x2 + 16
E1
25 a6- b n
P I
3x2 —lOx + 3 + 2 (x3—27)
B1
36a2y 4t —4t
W41
fl7 ~ “243
PI
1 —8xy —y 2 — 16x2
PI
3f5+ 6f4 —15f3—18f2
E l
(x —2)3—4x2 + 16x —16
p i
(a — b2) —4 (3 a —3b2) 2
W.ÌM x 2—4xy + 4y 2—(2x —y ) 2 P t!l 0,1 a 'b2
a2b2
EVI x3—27 + 2x2+ 6x + 18 p ii
x8- 7 x 5- 8 x 2
P I
9a4+ 11«2 + 2
itti
x4y4 —8x2;/2 + 16 —4xy2 + 8y
P I
2x3 —5x2 —12x
P I
x4- 8 x 3+ 21x2- 1 8 x
P i
25a2—4x2 —4£2—8xf
B*T'l (x —6)2 —4x2+ 12x —9 P I
c4 + 9c2+ 1 - z2
P I
a3—7a + 6 + 2 (a —2)2
HV'l 2x 2y —4xy —x3+ 2x2+ 2y 2 —xy2 FUI a2 — a — 30 —8ay —40y
456
MENU DELLE COMPETENZE ©
E9
Nella seconda pagina della copertina
ib —7) (a2+ 4) —(7 —fr) (4 —a2) 2(x4 + 2x3- 5 x 2- 6 x )
R I
7x2- 3 5 x + 42
p i
y 4 — 2y 3+ y —2
g l
x6 —64
p i
x4 + 2x3—13x2—14* + 24
P I
4a6b + 6a5b + 8a3b3+ I2a2b3
[(y+\)(y-2)(y2- y + l ) } [(x —2) (x2+ 2x + 4) (x + 2) (x2—2x + 4)]
[(a + 2)(a —3)2]
a3—4a2 —3a + 18
[x3(x —2)2(x2+ x + 1)]
R i i x7 — 3x6 + x 5+ 4x3 WÈM 6x5 — 5x4 — 2x3+ x 2 p i p i
[2a2b{ai + 2b2){2a + 3)] [z5(xy6—z) (x2yn + xy6z + z2)]
B ili x3y l8z5—z8 p i
[(x —1) (x —3) (x + 2) (x + 4)]
3x4 — 13x3 —8x2+ 52x —16
[x2(x—l)(2x+ l)(3x—1)] [(x —2) (x + 2) (x —4) (3x —1)] (~$ab —1j(2ac + 1)
a2bc — \ + - ^ a b —2ac
[b(2a + 1 —c)2]
WL% 4a2b + b + c2b + 4ab —4b[ac + -j-c) 1^1 x8 —x2 FAI
[x2(x+ 1) (x2—x + 1) (x —l)(x2+ x+ 1)]
x (x2 + 4x) —4y (xy + 4y)
(x + 4 ) |y x - 2y } [ \ x + 2y^j
9/ÈfM 4x7y —12x4y + 9yx E3
x ( 5 y - l ) 2- - ^ - x
l l 'l
a(yj b — a) — b2
[xy(2x3—3)2] *(5> - t
Hill x4y + x 2y + x4 + x2 —2 —2y 1:11 E9
[(x —1) (x + 1) (y + 1) (x2+ 2)]
x10 —4x‘y 2 + \8x4y 4 —27xy6 2a3—7a2 + 7a —2
a3— 39a + 70
BEI
- j j a b 4- 7 a 4b
1Ì71
I6b2- 8 b + ì - 8 b c
x>~ }y2)[
[(a- l)(a —2)(2a —1)]
liUI x3y2 —8y 5 p i
x( t
[y2(x —2y) (x2+ 2xy + 4y2] [(a —5) (a —2) (a + 7)] 7ab\| ^ b —a
+2c
g b2+ ^ ab + a2j
[ {4 b - \) { 4 b - \- 2 c ) )
457
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI a (a - 2y )2 —2a2y + 4ay2
[a (a —2y) (a ~ 4y)
p i
3x3-- 12x + 6x2y — 24y
[3 (x —2) (x + 2) (x + 2y)
m
4 (at + ex)2+ (2 et —2ax) 2
M .
12a5+ 12u4x —12a4y + 3a3x 2 + 3a3y 2 — 6a3xy
ED
2xy f 2y —x 2+ 10x+ 11
[4 (a2+ c2)(x2+ t2) [3<33(2« + x —y)2 [(x + 1)(2y —x+ 11) y ( x - l)2
0,3* 2 —0,6x + ^ + A
00
[( b - l) ( b + \) ( b 2+l)(b2- 2 b + 2)(b2+ 2b + 2)]
3b4 —4
O
(3x + l ) 2 + 9(3x+ 1) + 14
n
8(x - y ) 3+ (x + 2y ) 3
[3 (x + l)(3x + 8)] [9x(x2 - 2x^ + ^72'
■T9a (3x -- 3y) (x + 1) + (y2—x2) + (2x —2y) 2
[(x —y) (6x —5y + 3)'
a4 ~ a3+ 3ab —9 b2
[(a2—3b) (a2—a + 3b)]
4y4-- 5 / + 1
[(y- 1)(y+ 1) (2y - 1) (27+1)]
M
(2x -- 5)2+ 2 (2x —5)(2x + l) + (2x + l ) 2
H i
(5x -- 2)2 —4x2 —20x —25
n i
x5—8x3+ 6x2 + 7x —6
m
b2+ bx —4 + 3b + 4x
[(b + 4) (b + x —1)[
in g
16" -_22«+ i + i
[(2"+ 1)2(2"- l)2]
m
16 S)n- 16"+1
[16(3" -4") (3" + 4")]
[16(x —l)2] i(3x- 7) (7x + 3)] [(x+ l)(x —2)(x + 3)(x—l)2
Calcola il MCD e il mcm dei seguenti polinomi. U lti
x4 —x 3— 6x2;
H lfl
a3—2 fl+ l;
IHM b2 —7b + 6;
x4 + 8x; a4 — 2a2+ l;
x3+ 4x2 + 4x.
[MCD = x(x + 2); mcm = x2(x —3)(x + 2)2(x2—2x + 4)]
a4 + a3—a2.
ab —2b + 4a — 8;
b3+ 2b2 —7b + 4.
[MCD = 1; mcm = a2(a — l)2(a + l)2(a2+ a — 1)] [MCD = 1; mcm = (b —6)(b — ì)2(b + 4)(a —2)]
►Competenza 3 (abilità 2) Divisione di polinomi ITiTil Scrivi il polinomio P(x) che diviso per x 2—x + 2 dà come quoziente x 2 —2x + 2 e come resto —6x + 4. Dimostra poi che P(x) è divisibile per x2 + 4. [P(x) = x4- 3x3+ 6x2- 12x + 8] 4-58
MENU DELLE COMPETENZE ©
Nella seconda pagina della copertina
Trova per quale valore di k i polinomi P(x) = x 3+ kx2 — (k + 3)x e Q(x) = x 4 —x + 1 divisi per x + 1 danno lo stesso resto e poi trova i quozienti delle due divisioni. ] 2 ; x2- 2 x —3, x3—x2+ x —2 nn
Considera i polinomi A {x) — 3x4 —4x3+
x 2+ x — ^
e B(x) = —x3+ (a —2 ) x — 3 + a.
Trova per quale valore di a, se divisi per (x + 2), hanno lo stesso resto. Esegui poi le due divisioni per veri ficare che i resti coincidano.
IT T I L’area di un triangolo ABC è 3a3+ 7 a2 +3a +2, con a >0, e il lato AB misura a +2. Trova l’altezza CH relativa ad AB. m
[6a2+ la + 2]
Un rettangolo ha l’area che misura 2a3+ 5a2—4a — 3 e base 2a + 1, con a > 0. Trova il perimetro di un triangolo in cui due lati hanno le stesse misure dei lati del rettangolo e il terzo lato è 8. [a2+ 4a + 6] La figura a fianco, di area 2x2 + Ì3x + 20, è formata da un quadrato di lato x + 4 e da un triangolo. Trova l’altezza CH del triangolo. [2x + 2}
D B Q
VERO 0 FALSO?
a. Se un polinomio è divisibile per 48v4^ —3y, allora è divisibile per 4x2 + 1 . b.
[Y] [ fJ
Se il polinomio x 2 — 5x + 6 è divisibile per x — 3, allora —x 2 + 5x —6 è divisibile per x — 3.
[V ] [T ]
c. Se un polinomio A(x) è divisibile per B (x) = x 2 —4, allora è divisibile anche per —B(x) eperB(-x).
~v~ | ~ |
d. Se due polinomi sono divisibili per lo stesso polinomio, allora sono identici.
[v] [TI
Trova i valori di b per cui il polinomio (x2 —3x) (x 2 b + 2) (x2—4b2) è divisibile per x 2—2x — 3. [b=± i-V fc = 3] Scomposizione di polinomi
P
a. Trova il perimetro P di un quadrato che ha area A = 4x4 +
a4 + a2x 2.
b. Se x = 2 e a = 2, calcola A e P. [a) 8x2+ a2-, b) 81, 36]
IT T I Indica con un poli nomio scomposto in fattori l’area del la zona colorata.
3
X+ 1
[(x + 4) (x + 3)]
x+2
IT T I L’area di un triangolo è 2a2 + ^ ab +~2 ^2>
con a , b > 0,
e la base e l’altezza sono rappresentate da due binomi a coefficienti interi. Trova: a. la base e l’altezza del triangolo; b. l’area di un quadrato che ha perimetro uguale al doppio della somma di base e altezza del triangolo. a) a + 3b, 4a + b; b)
+ 4b2+ 10ab 459
12
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE TUT^R PROVA C
PROVAA
(10 esercizi)
PROVA B
(10 esercizi)
IN MEZZ’ORA
Competenze 1, 3
0 IN UN’ORA
Esegui, se possibile, la divisione di 4b2x5 —3b4x 2—
b2x 2+ b2x4 per ciascuno dei monomi 2b2x 4,
—j b2x 2, ~j b. È data la divisione (14x3—2x2 + kx —1) : (2x2 + 1 ). Trova il valore di k per cui risulta esatta. Scrivi il quo ziente. KÉ
Esegui la divisione
n ________3x2 + 1
C
(~~2 x3 + x4 ~~2 *2 *) : (^4 x 2 + 3j e poi verificaia.
2
A
K fl Esegui le divisioni con la regola di Ruffini: a. (4x4 —3x2+ 2x —1) : (x —3); b. ^9a5 — U
x 2
x
B
L’area della zona colorata misura
: (3a + 2).
3x3 + 8x2+ x + 4. Utilizza i dati della figura per determinare la misura di CB.
Calcola (ax2+ 2a2x + x + 3a) : (x + 2a), rispetto alla variabile x.
J rm V ii» ! ►C om petenze 1, 3 ■ I
© IN UN’ORA
VERO 0 FALSO?
a. b. c. d.
x' —x si può scomporre in cinque fattori. x 4 + 16x2 -h 64 è il quadrato di un binomio. 4" —1 non è scomponibile in fattori, con n G N. Il MCD tra a3—4a2 + 4a e a2— a2 — 2a è a{a — 2).
8 e. Il resto della divisione di 9x3— 3x2 + x + 1 per 3x —1 è -y . WM Stabilisci se x4 —2x3+ 2x2—7x + 6 è divisibile per x — 2, 2 x — 1, (x—l)(x + l). K fl a. Determina il valore di k per cui —8x4 —2x3+ %+ 2k —6 dà resto - j nella divisione per x + 1. b. Trova il valore di k per cui 16x3—6x2 —x + k è divisibile per x —0,25. MM Scomponi in fattori:
Q
U
a. a6 + 4a2y + 4y2;
a. \ j a 2y - 0 , 0 4 y 5;
b. a5b — 3a4b2 + 3a2b3—a2b4;
b. f2 —34—18;
c. 3ak4 —12a;
c. /c3—2k2 —5k + 6;
d. y 3+ 5y 2 —9y —45.
d. ax2 —4a + 3 (x2+ 4x + 4).
Calcola MCD e mcm di: x4 —4x2, x4 —8x2+ 16, x5—8x2. 460
Scomponi in fattori:
0 fri JfJ JL) 0 (7 1 071 ___.__ 0JL l
MENU DELLE COMPETENZE ©
PROVA E E Com petenze 1, 2, 3
Nella seconda pagina della copertina
© IN UN’ORA
Passione patchwork Luisa ha a disposizione molti scampoli di stoffa quadrati e rettangolari, di misure diverse, e con questi vuole confezionare delle tovagliette multico lori rettangolari. Aiuta Luisa a trovare la giusta combinazione degli scampoli da assemblare. a. Esprimi in funzione di x l’area totale di ogni tovaglietta che si ottiene componendo: un quadrato di lato x, un rettangolo con un lato ugua le a quello del quadrato e l’altro di 40 cm, un rettangolo di misure 10 x 30 cm. b. Scomponi in fattori il polinomio che rappresenta l’area totale. c. Che cosa rappresenta geometricamente ogni fattore? d. Per formare una tovaglietta rettangolare con i tre pezzi di stoffa e con le dimensioni indicate dalla scompo sizione, uno degli scampoli deve essere tagliato: quale? Disegna come comporre i vari pezzi per ottenere la tovaglietta. e. Se vuoi allargare la tovaglietta di 10 cm su ogni lato, puoi completarla con un bordo formato da altri scampoli di 10 X 30 cm2. Come deve essere il lato del quadrato di base per inserire il bordo senza dover tagliare nessuno degli scampoli aggiunti, e quanti rettangoli servono? PROVA F
Com petenze 1, 3
© IN UN’ORA
La festa Mario, titolare di una discoteca, con l’aiuto dei suoi collaboratori Luca, Fabio e Paola organizza una festa di Capodanno con il metodo del «passaparola». Mario contatta n persone; ognuno di queste chiama n amici, i quali a loro volta invitano n amici ciascuno. Anche Luca, Fabio e Paola contattano ciascuno n persone, ognuna delle quali invita altri n amici. Mario offre poi due biglietti omaggio ai suoi collaboratori e a ciascuna delle per sone contattate da lui direttamente, i quali li distribuiranno come meglio credono (ovviamente Mario, Luca, Fabio e Paola, in quanto organizzatori, non devono acquistare il biglietto). a. Scrivi l’espressione che rappresenta il numero dei biglietti d’ingresso che venderà Mario. b. Oltre ai biglietti così venduti, all’ultimo momen to acquistano il biglietto altre 14 persone: scrivi l’espressione che rappresenta il nuovo numero di biglietti venduti. c. Come rimborso spese forfettario, un quarto del ricavo dei biglietti venduti verrà diviso in par ti uguali tra Mario, le n persone da lui chiamate direttamente, Luca, Fabio e Paola. Calcola a quanto ammonta il rimborso spese per ciascuna persona (i biglietti vengono venduti a € 40 l’uno). d. Calcola il numero dei biglietti venduti nell’ipotesi n — 7 e la corrispondente quota rimborso indivi duale.
461
F R A Z IO N I A L G E B R IC H E
1. CHE COS E UNA FRAZIONE ALGEBRICA O Esercizi a pagina 466
UH An algebraic fraction is thè quotient
a+ b a2— b2 è una frazione algebrica, con a2 — b2 ± 0.
Una frazione algebrica è un’espressione -g-, con A e B polinomi e B diverso dal polinomio nullo.
A Se B = 1, la frazione algebrica -g- diventa il polinomio A, quindi ogni polinomio può essere considerato una frazione algebrica. Condizioni di esistenza Le condizioni di esistenza (C.E.) di una frazione algebrica indicano l’insieme dei valori che attribuiti alle lettere non fanno perdere significato alla frazione: sono i valori per i quali il denominatore è diverso da 0. Per determinare le C.E. di una frazione algebrica, occorre determinare i valori che annullano il denominatore e poi scartarli. ►Determiniamo le condizioni di esistenza delle seguenti frazioni algebriche. a. — x — 3~ -* x —3 7^ 0 -» C.E.: x ^ 3. b.
a —b a+b
c. —j— Y
a + b / 0 — C.E.: a / —b. ~ 1 ì 0 —• (fl —1) (a + 1) 7^ 0 -» C.E.: a ^ \ A a scomponiamo in fattori
1.
determiniamo i valori che annullano i fattori
Se in una frazione algebrica compare una sola variabile, allora la frazione è una fun zione che ha per dominio il sottoinsieme di R indicato dalle condizioni di esistenza.
ESER C IZI P E R CO M IN CIA RE
nn!ii!>M.iiaDetermina le condizioni di esistenza delle seguenti frazioni algebriche. a+ b ab
a —3 6a- 1
y 2— 1 y 2+ y — 12
d.
x 2 + 6x + 9
1_ x 1 a. Date le funzioni f(x) = ■L, \, X e g(x) = —j— X 4T> determina i loro domini. b. Calcola, quando è possibile: g(3);
462
f(0)+g(2);
f(2) ■g(0);
g( 4) /(l)
b3 1+b4
ESEMPIO
of two polynomials with a non-zero denominato!".
2. PROPRIETÀ INVARIANTI VA E SEMPLIFICAZIONE
TEORIA
2. PROPRIETÀ IN VARIANTI VA ESEMPLIFICAZIONE FRAZIONI EQUIVALENTI
® Esercizi a pagina 469
Come per le frazioni numeriche, passiamo da una frazione algebrica a una equivalente applicando la p ro p rie tà in v a ria n tiv a , cioè moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso polinomio diverso dal polinomio nullo. • (a + 1 )
►
a —1 _ a
(a —1) (a + 1) _ g2 —1 con C.E.: a ^ 0 A a ^ — 1. a(a + 1) a2 + a ’
•(a + 1 )
S E M P L IF IC A Z IO N E
Due frazioni algebriche sono e q u iv a le n ti se assu mono valori numerici uguali per qualsiasi valo re attribuito alle lettere che soddisfi le condizioni di esistenza di entrambe le frazioni.
© Esercizi a pagina 470
Applicando la proprietà invariantiva, possiamo semplificare una frazione algebrica per r id u r la a i m in im i te rm in i. È necessario scomporre in fattori numeratore e denominatore e poi dividere numera tore e denominatore per i fattori comuni, dopo averli posti diversi da 0. raccogliamo a
ab —a _ a{Ì2^t) b2 —6b + 5 O ^T)(b-5) v_>
a , con C.E.: b ± 1 A b ^ 5. b- 5
-----------------------
scomponiamo il trinomio speciale
“ 7 --------------------------
da determinare prim a di semplificare
semplifichiamo
RIDUZIONE ALLO S T E S S O D EN OM IN ATO RE
© Esercizi a pagina 473
La proprietà invariantiva serve anche per ridurre più frazioni algebriche allo stesso denominatore. È necessario determinare il mcm dei denominatori. x+3 2 ►Riduciamo a denominatore com une--- ?— e -----. xL xy Calcoliamo il m cm (f; xy) = x2y, con C.E.: •y
x
v_> •y
x
x 7^ 0
Ay
± 0:
mcm dei denominatori
/ \ x + 3 _ ( x + 3 )y 2 _ 2x x2 x 2y ’ xy x 2y '
ESERCIZI P E R CO M IN CIA RE S e m p lifica le seguenti fr a z io n i algebriche.
n
D U
x -i _
5 ^ 3
_|_ 5
^ 2
Riduci allo stesso denominatore:
WM Q
2 +—
^ - - J -
b a2 + 3 a +
3
2
x 4 —x 3+
a
3
x2 —x
1.
463
13
464
FRAZIONI ALGEBRICHE
3. OPERAZIONI
DIVISIONE
©
Esercizi a pagina 481
TEORIA
r~| The quotient of two algebraic fractions is thè product of ■J thè first algebraic fraction times thè reciprocai of thè second one.
ESERCIZI PER COMINCIARE Addizione e sottrazione di frazioni algebriche Confronta il modo di semplificare
9 + x2 ,
_4_ , _ J 0 15 ^ 5 21
e xL 2 - 9ò ~*~ 2 X + fi---- x — 3 ’ Per cercare analogie fra i due procedimenti.
Semplifica le seguenti espressioni.
D U iliiur 1111"" 4a2— 5fc2“4 fl2+ 4b2
a
a+ b
+■
8b — 8a
6a2 2a2+ a — 1 4a2— 1 2a2+ a 4a2— 4 4a2— 4a + 1 3x2+ xy + 3x + y I2x2+4xy O Q EE H E E H xl + 3jc2 + 3x + 1 ‘ x2y2+ 2xy2+ y2 x+ 1 2x ,3 / 4x2+ 12x + 9 B H a ( 2x2+ x — 3 4x2+ 6x
B Q
B S B a
465
FRAZIONI ALGEBRICHE
E S E R C IZ I
1 . C H E C O S E U N A F R A Z IO N E A L G E B R IC A OTeoria a pagina 462 HQ
vero o falso?
non è una frazione algebrica.
a.
d. La frazione d — 1 . si annulla
0B
per a = — 2 .
b. Una frazione algebrica può avere
denominatore uguale a 1.
HE
c. a ~3 è una frazione algebrica.
Età
e. Il polinomio 5x2 —2x è una frazione algebrica.
HE HE
Condizioni di esistenza INVALSI 2004 Per quale valore di * l’espressione
WM Q
INVALSI 2007 Per quali valori di a la frazione a+ 1
Q
oc—2 X + l perde significato?
+ 5 « + 6 Perde significato?
3
I~a~| a = l e a = 5 QT] 0
I~b1 a = — 3 e a = —2
m
f
fcl a = 2 e a = 3
[ d] 2
[~d1 a — 5 e a — 6
Determiniamo le condizioni di esistenza delle seguenti frazioni algebriche. Per ogni frazione dobbiamo porre il denominatore diverso da 0. a.
3+ a 4x2y
4x2y ^ 0 ^ r 2/ 0 e ) / / 0 ^ C.E.: x ^ 0 Ay ^ 0. tegge di annullamento del prodotto
b.
x2 —4x
—x2— 4 x ^ 0 —x(x — 4 ) ^ 0 —x ^ 0 e x — 4 ^ 0 — C.E. : x ^ 0 Ax ^ 4. scomponiamo in fattori
c.
x4+ l
legge di annullamento del prodotto
*4 + \ ± 0 _ C.E.: V* x3 + 1 è sempre positivo
l f + 7 - 2x + y + 0 - C.E.: x + — \
Indica le condizioni di esistenza delle seguenti frazioni algebriche.
P
T ;
wm “ 466
2 6 -a ’
9 x— 3' 1
P
x —1 4x ’
1 3t — 9 •
P
a+ 2 9a2 ’
2 y ( y - 2)
1. CHE COS’È UNA FRAZIONE ALGEBRICA
6
llx +y
1
4x2 +
( x — l) ( x + 3) ’ 3 3x — 1 ’
x —5 x+ 5'
x —2 x 2- 1 ’
2 x 3y 2z '
2x —3 2x + 1 ’
3x —2 x2 + 6x + 9 '
4x + 3 4x2 —9 ’
2 xy
1 - 6/
4 5x3y + 5x3 '
X2 3x — 5 ’
x+ 1 x 2+ 1 '
X x 2 + 2x + 1 ’
a2+ E>2 a2— b2 ' 3a_____ 9b2 b2 +9' ~^a2— a + 1 4a
5+/ 6/ —4y ’
5y + 3 5y — 3 '
x 2- 1 3xy3 ’
b2
2x2 —2y + 4xy —x '
4 8 x4— / ’ x3 + 2 x2 ' 3afr2 12 fl2 (5fr + l ) 2 ’ 12a2(2a + b)3 ' 5 ____ 3a — b a3b ’ (a + b) (a2— 9b2) ' _____a —4_____ x 2 + 5x a2— 2a + ab — 2b’ x3— 8 3x + 4_____ _______ 1_______ x3 + 2 x 2 —5x — 6 ’ (2x2—4x) (x + 1) '
3y 3 / - 27
2a — 3 b a2—4ab ’
10
- / '
1 —a4 ’
x —5 x 2 —4x '
1 3x —2 ’
9x —5 x( 8 x —l ) 2 '
(y -l)(y -3 )’
a 6x 2y '
y+ 4’
*
ESERCIZI
2b 7b 4~ 12
2
a 4 - 10a2 + 9 ;
y4
/ - 8/ + 16 ‘
Indica quali delle seguenti espressioni hanno come C.E.: Vx G R. Motiva la risposta. x +2 x +2
FAI UN ESEMPIO Scrivi cinque frazioni algebri
che per le quali non sia necessario porre condi zioni di esistenza.
TEST Solo una delle seguenti frazioni algebri che ha come C.E. x T 1. Quale?
Q
xz —x P Q
x2— 6x x 3 —4x ' a. si annulla per x = 0 e per x = 6 . Cv]|T] VERO0 FALSO? La frazione ^573
7
b. assume valore -y per x = — 1 .
p U
H [T]
d. ha come C.E.: x # ± 2 e x # 0 .
H ITI
VERO 0 FALSO?
9
2
xz
è definita V x G R.
, , e hanno le stesse C.E. x3 + x x a4 —2a3 aj
r2
ra ta 0
0
annulla Per due valori di a. H IT !
(a —3) _1 si annulla per a = 3.
m
IH ITI
c. sex = 2 o x = —2 perde significato.
4 . x4 +
H
S E
®
2x 2 —2 6x 2 x 4 —2x 2 —1
1 x3- x 2 + x — \
EUREKA! Quasi le stesse Quale delle seguen ti frazioni algebriche ha come C.E. x T 2 A x 7^— 1? x 2 —1 (x + 1) (x + 2 ) x 2 —1 H (x2 + 1) (2x2 —2x —4) x Le] x 3 —x2 —2 x x 2 + x —2 O D (x2 —4) (x + 1)
Q
467
13
FRAZIONI ALGEBRICHE
Frazioni algebriche come funzioni
1 00
K>
X
1
Indica i valori per cui le seguenti funzioni perdono significato e quelli per cui si annullano. 4 —2x f(x) = x (x —l)( 2 x + 1)
2 x —1
5x x —5 X2
i
0— t H 1
B l f(x)
Vili
9 —x 2 /(*) = X2 —X
p i
4x2 —1 /(*) = x 3 —x 2 —2 x
Data la funzione /(x ) = 2 — + x^ , trova il suo dominio e calcola /(0), / ( —1), /(2) Determina il dominio di /( x ) = *2 + ^ e calcola / ( l ) , / ( —2), / ^ - j . Determina il dominio di /(x) =
3x 2 — x
p
H
n
e calcola [ 3 /( - 1) + /(!)] : / ( 0 ). e g(x)
0
x ^ 0 A x 7^ 2; 0,
e c a lc o la / ( ° > 3 ) ’ / ( “ ° > 3 )> / ( ° ) -
Considera le funzioni /(x) =
3
[x / O A x ^ - l; 0,
x
2 - 2 x
Determina il dominio di /(x) =
2
x / —5;-j,
[x / ± 2 ; 6 ]
x 2+ x
a. Determina il loro dominio. b. Trova / ( - 2), /(0), g(2), c. Calcola 3 / ( 2 ) 2 ) . Data la funzione /(x) = x2 _ * trova per quale valore del parametro k: / ( —2 ) + 2k •/(—1) = Data la funzione /(x)
. 5 —x, trova per quale valore del parametro m: x3 + 2
17 m / ( ° ) — 4t/(°>5) = m f { \ ) - 2 .
[6 ]
Data la funzione /(x) = \x — 3 ’ calc°la: a. / ( 0 ) - / ( l ) ; a) 3 ; b)
b ' / ( — 1)
Considera il polinomio P(x) = 2x2 —x —4. H Calcola
Determina
4-68
e indica le sue condizioni di esistenza.
— ;g e in^ica per quali valori di a perde significato.
2 k 2 — 9k + 6
, , n . , ,1
2k2 _ k
—2a2+ o + 6 „ 1 2a —4a2 ’ 2
2. PROPRIETÀ INVARIANTIVA E SEMPLIFICAZIONE
ESERCIZI
2 . P R O P R IE T À IN V A R IA N T IV A E S E M P L IF IC A Z IO N E FRAZIONI EQUIVALENTI m
u
G
Teoria a pagina 463
VERO 0 FALSO? -- %
X
a. 2x + 1 e 2 2——I T sono equivalenti se x
\
0
0
i cz 3 2 & . i .. b . ----j— e ~ 2 non sono equivalenti.
0
0
c. Due frazioni algebriche equivalenti hanno sempre le stesse condizioni di esistenza.
ra s
d. Se due frazioni algebriche hanno le stesse condizioni di esistenza, allora sono equivalenti.
0
e x ^ 1.
0
Indica se le seguenti coppie di frazioni sono equivalenti nel dominio comune. 2 4 — xy2 aLxy* 2a —x 4a2x —x 3 ESI a ’ a3y2 xy ’ 2 ax2^ + x3y ‘ y 2 xy —2y (a + 3)2 a2- 9 KM p ax + 2x + a + 2 ’ 2ax2+ 4x2— 2a a2— 9 (a —3) 2 ’ a+ b x ’
E3
b2— a2 ax— bx‘
P I
2a2+ 2 a3 + a ’
2b2+ 4 a 2fr2 + 2 a 2 '
ASSOCIA a ogni frazione della prima riga la frazione della seconda a essa equivalente, considerando il dominio comune. 1 ? 2x + 4 x+ 2 4. —x 3. 1. 2 x x 2 + 3x + 2 x 2 —4 —x 2 —2 x 2 x+ 3 b. x + 1 c. x+ 2 2x2 + 6x
Q
COMPLETA applicando la proprietà invariantiva.
3a 5b + 1
x —3 _ x 2 —3x 2x + 4 — I
5b2+ b
3xy _ |____ | x - 2 y ~ 4x2 —16y2 '
x+ 1 x —3
p
3x x —8
ESI
x +6 x —3
6xy
1
I’
1
2x —
x +5
x2 + 5x —6
(x + 5) 2 ‘
x —2 3x
1 _____1
x 3 —8
Segni e proprietà invariantiva m Q
VERO 0 FALSO? 1 —X
_
y+7 _
X — 1
a- 5 —2x — 2x —5 , —6 a _ D* x - 1 ~
6a 1 —x
7 +y
0
0
c- 2x — 1 _ _ —(1 —2x)
0
0
j u>
bx
( - b) ( x) y+ 4
4+y
0
0
0
0
COMPLETA le seguenti uguaglianze.
_l Sb
— bx
t— 9 _ I I - t 2 —2 + f2 ’
2
I) 3
(1
CN
1
c\T
1____ T
1
-(-X -1 )2 1____ 1 ' T
T -i
( 1 + x) 3 CN
2a b + 3'
(x+ 1)2 4y2
1
- ( c 2+ l ) ‘
1
I 3+ b ~
—( 1+ a )2 ’
1
(a+ 1)2
TT l (N
bx _ b+ x
-8
|____ | ;
-81 c2 + 1
OJ
8
4 - x2
—3x —2 -8b ’
T
1 —x
7
1
x —1
OJ
—a
469
13
FRAZIONI ALGEBRICHE
SEMPLIFICAZIONE
® Teoria a pagina 463
Dopo aver determinato le condizioni di esistenza, semplifichiamo le frazioni algebriche indicate. Per cia scuna frazione applichiamo la proprietà invariantiva, dopo aver scomposto in fattori numeratore e deno minatore, se necessario. Le C.E. devono essere determinate ponendo il denominatore diverso da 0 prima di semplificare. a.
2>5xy4z
C.E.: 35xy4z
7xsy 2z _ 35xy4z ~
/ x^ /■ / ^
_
yf
v^ 5
0 -*• C.E.: x ^ O A y ^ O A z ^ O x4 5y2
dividiamo numeratore e denominatore per il loro MCD: 7xy2z b
x 2—8x + 16 3x2—48
—(x —4)— 3 (jc2 — 16) V— ^ scomponiamo in fattori numeratore e denominatore
------(x —4)------3 (jc—4) (jc+ 4)
C E • 3 (x —4)(x + 4 ) = £ 0 - * C E - x = £ + 4 W + u -> * * ~4
Semplifichiamo: x 2— 8x + 1 6 ____ (x —4)1 _ x —4 3x2 —48 ” 3 ( j ^ f ) ( x + 4) ~ 3(x + 4) ‘
v E B 3 3 3 Ì1 Semplifica, se possibile, le seguenti frazioni algebriche dopo averne determinato le condizioni
esistenza, che non indichiamo nei risultati.
DI IT I
x2 + 2x
2 a2b4c
16b2c4 ’ 3y3 + 6y 9y 2
■ iL m
6x 18x3—2x ’
PI
a5b3 —o3b5 a4b4 —a3b5 ’
_
a2 —3 a — 10 a 4 - 16
X2 8 a 6x 5y 4
’
18ax5y 2 ' 10 _1x 2y2z 10 xy2
P I
6a2 + 2a 2a ’
P
—43£>3y 8
x 2 — 16x
(—2 ) 5 b2y 5 ’
8x 2 xy —x 2y 2z
P PI
a + 2b —2b —a ’
a2- 1
3x2 —x 3x —1 ’
y 2—4 2 -y •
■ mi ■iTiV
xy + y xy
■Tii ■iVfl
a 2 —4 a3 - 8 ’
2b3—4 b C mArii 'W 6b ’
3x4 - 3x2 6x2 + 6x
x2—10x+25
5t2- t *
x3y + xy3 x3 + y 3
a2 —2a + 1
xy + x — 5y - - 5 ’
P
-t
2 a 5 —a 6 a 5 —4a 3 '
x 2y 2z
•
£1 + 1
■ìTI -
3 —x x 2 —6x + 9 ’
■lu i ■iVA
6 x —xy + 2y x —2 £1 + 2
a2 — a — 6 ’
a 2 —1
•
9a2 - b2 a2 — b2
-1 2
x3 —27 x 2 + 3x + 9 ' 2x2 + 9x —5 2 x 2 —x
x4- 16 4 + x2
p i
x3 —4x x+ 2 ’
by + 5b 5x + xy '
y■m j l ji
2 —a a4- 16 *
FT m n*ih u
2 x —x 2 x2 + 3x
9a 2 — 1 9ci + 3
p i
9 —a2 —a4 + 8 1 ’
x 2 + 5x + 6 x2 + 4x + 4 '
_
2x3 —4x2 x2 —4
p i
x 2y —xy2 y 2 —x 2
a 2 —1 —x 2 x 2a2 x2 1
470
x 2y —X2 1 -y
■
x 5 —4x x 2 —4
’
+
+
2. PROPRIETÀ INVARIANTIVA E SEMPLIFICAZIONE
4a2 — b2 8 a3- b 3 5
2x2—6x (3 —x)(2x + 6) ‘ x2 —4x + 4 x 2 + 6x — 16 ‘
a6 — 3a4 + 3a2 — 1 a4 — 2a2 + 1 y> — 9yì
x 2y + xy2 x 2+ y 2 ’
a6- a 2 a + a3 2 _ i ____V
9a2—6a + 1 3a2 + 2a — 1 ’
25 + x 2 — lOx 25 —5x + 5y —xy *
x 5—4x x4 + 4 + 4x2 ’
2a2 — a — 3____ 8a3- 3 6 a 2+ 5 4 a -2 7 '
Ujpi —
x 6 —4x2 x4 + 4x2+ 4 ’
|r r i —
a3+ 4a2^ + 16a2^2 3a2^ + 12a^2 + 48a^3 ’
y3
3a — 1 5 — x a + 1 ’ 5 + y x 3— 2x
2x3—3x2+ 1 3x2+ 3 —6x
a + 1 2x + 1 a ( a — 1) ’ 3 x 2( x 2 — 2 ) x 2+ 2
( x 2 + 4 ) ( x + 1) ;
x + 2
2a2 —2 2ax + a + 2 x + l ‘
y 2+ A —Ay y 2— 8
E3
2x5— 162x x 3+ 5x2+ 6x ’
m
ax4 + a3 + 2a2x 2 ax —2x2 + x 3—2a ’
3b ’
a + x
— ^
nn
2x2+ x — 3 3x3— 3 ’
D9
a2 + ab —6b2 —a2 + 4afr —4b2 ’
ng
x 4 — 5x2 + 4 x 2 —4 ’
—
i
jy2+ 4 + 2jy ’
2 ( x — 3) ( x 2 + 9 ) x + 2
(2 y — l ) 2 ’ A y ( y + 1)
2x3 —8x — 12 + 3x2 2x2 + 7x + 6 6x5- 4x4 - 24x3+ 16x2 3x3+ 4x2 —4x
2x2 + 4x + 6 x3+ 3x2 + 5x + 3 ’
x2
a - x y x — a2
8 / - 1 - 1 2 / + 6y 8y 3+ Ay2 —Ay
m
2x + 1
x 2+ 3x + 9 2 ( x + 2) x + 3 ’ x + 3
(a + l ) 2 —4a2 3a2 —2a — 1
D iQ D E S B E B B m
2 ( a — 1)
_a_
x 4 + ax2 x 3+ ax —a2x 2— a3 ‘
iTjg
a + 1
x 2 + 2 ; (2 a — 3 ) 2
4x4 — 16x2 2x4 + 2x3— 12x2 ‘
a2 —2ax + x 2 ’
y —A
y —2 ’ x + 7
x 4 + 3x2—4 x 2+ x —2
27- x 3 x 2 —9 ’
/___
; 2 ( b 2 + 3 b + 9)
ay + by —Aa —Ab ax + ay + bx + by ’
ax + x + 2a + 2 a2x —ax + 2a2 —2a ’
m
x 3- x 2- x + 1 3x2 + 9x + 6
fc>2 — 10 fc>+ 21 2b3- 54 •
(y + 3) ( / - 5y + 6) ’ —
6x2+ 3xy 4x2 —y 2 '
ESERCIZI
x 3—2x — 1 x 2 —x — 2
a2 —x 2 —9 + 6x a2 —x 2 — 3a + 3x '
2 a —x + 3 x + 1’ a —x
x 2 —/ —2>/— 1 x 2+ y 2+ 2xy + x + jy '
2x + 3
x - y -
3 ( x 2 + x + 1) ’
2a3— 5a2 —4a + 3 a2 —2a — 3
a + 3b 2b — a
9x2 — 12x + 4 9x3—21x2+ 16x —4 '
1
x + y
; 2a — 1
(x+ l ) ( x - 1); - ^ - p
Semplifica le seguenti frazioni algebriche (n e N). an+ìy 4 any %
2x 2ny3n x >yn
ng
a2" - a n- 2 a3n — 8 ;
ng
x 2” —4x” + 4 x 2” - 4 ;
bn - 2b2n + b3n b2n — b3n abn+l a2bn
2n
8bn 6b2n ’
^2>n+2 2n y x n+l y 2 *
4 3b" ;
v2n+l.,2 A / n—2
a" + 1 1- b n a2n+ 2a" + 4 ’ bn xn—2 b_ x" + 2 ’ a
471
13
FRAZIONI ALGEBRICHE x2» _ y4n
no
x2n— 2xny2n+ y4n ’ a2n+ì- a b 2n
no
,«+1
ab"
3xn+,y2n 6xn 1y" 4 — x2n 4 + x2n+ 4x"
1
xn+ y2n
"17 ; “2 * 7
a" + b";
2 -x n 2 + xn
EEO[]
EUREKA! Interno fratto esterno Ricava il rapporto tra l’area del quadrato interno e l’area del rettangolo esterno.
S
X+ 5 4 (2 x + 3 )
E
(x + 5 )2 2(2x + 3)
E
2x+3 2(x + 5)
E
2x + 3 4(x + 5)
ER U
[TI Nessuna delle precedenti.
feti
with 4 to prove that when reduced to lowest
nam
2x + 3
[USA Catawba College NCCTM Mathematics Contest, 2007]
YOU & MATHS Phil’s thinking Phil replaced a
terms a a+ 8
x+5
3\ . Was he correct?
INVALSI 2005 Quale affermazione fra le se-
graficamente le seguenti coppie di funzioni, notando le analo gie e le differenze. 3x_ a. 7 = 3, 7 = c ; b. 7
.. , , . . 13 13xy guenti e vera per le espressioni -jyxy e , con xey due numeri diversi da 0 ? I~À1 La prima vale xy e la seconda vale 0. I~b 1 Entrambe valgono 1. ITI Entrambe valgono xy. ITI La prima vale xy e la seconda vale 1.
IN FORMA GRAFICA Rappresenta
1 x ’y
C. y = X \2 y =
X2
X * —
5
FETI Per quale valore di k le frazioni x2— 4x — 5 x2- l x2— kx + 3x — 3k sono equivalenti? [5] x2+ 2x — 3 Per ognuna delle seguenti funzioni:
COMPLETA
a. determina il dominio; P
x—2
2x;
2a + 2
8 -1 ____ I „ = —2; b2— 4
m
p m
2^a
I______ I 3a4 —3y4
x2— 4x + 3
c. determina gli zeri della funzione e gli intervalli in cui è positiva;
3 a2— y2
a1- 1
7
b. semplifica l’espressione analitica;
1)'
d. rappresenta il grafico e verifica ciò che hai ottenu to nei punti precedenti.
1
x—3’
2x2+ 3x — 2
x+ 2 l — 2x’
2a — 3 x+ l
9 - 4 a2
00 □
m m
ESEMPIO DIGITALE
8 x 2 —3y 2
= —x
2xsy2 b. x4y
2x2y2
d. 8 x - 3 y = x ~ y e.
a4+ 1
m
/(x ) =
4x2— 5x + 1 x— l
KB
/(* ) =
x3—16x2+ 64* x2—8 x
—u + 1
x3+ x2— 9x — 9 x2—2x — 3
x3 —4x / m = 2x2+ 4x
CACCIAALL'ERRORE
4a — x a. — 4t za—
/(*) =
B 9 È vero che la funzione /(x) = («-3)> = _ ( 3 - x )2
2(y—1)—4y
2-4)/
(y -D ‘
7 -1
CHI HA RAGIONE? Giorgio dice che 7 = 4
I
j
X I l*
si
CHI HA RAGIONE? Mario non ha dubbi: «La
^
e y = 4x— 12 sono due espressioni analitiche della stessa funzione. Marta non è d’accordo. Chi ha ragione? 472
2 1 0 . 9
annulla per x = +1? Motiva la risposta. FETI
EU
2x2— 2
X
funzione / W = - ? 3 16x non ha zeri!». Lucia non è convinta: «Attento che il numeratore si annulla per x = 0 e x = 4». Chi ha ragione?
2. PROPRIETÀ INVARIANTIVA E SEMPLIFICAZIONE
IKH Data la funzione /(x ) = — ?
ESERCIZI
~ , con k G R, calcola:
a. il dominio di /(x); b. i valori di k per cui la frazione è irriducibile; c. gli zeri di /(x ), quando k = —1.
[a) x # 3 Ax
1; b) k / - 3 A k / 1; c) 0,1]
COMPLETA trasformando ogni frazione in una frazione equivalente con denominatore assegnato.
BEI - ^ ± 1 BH
rm
2 2
x— 1 2a
’
,2
3 x -2 =
x6/ ’
IB I
4a2x
ini
3x2
fl + l
3x = a + x '
2 a(a 2 — 1) ’
8y
I
x —2
a+ 1 a— 3
I
x2jy —4y ’
a2— 5a + 6
Trasforma ogni frazione in una frazione equivalente ma con denominatore opposto: 4a —1 , 2x y+2 3— a a— b ( x - 1) 2 >
RIDUZIONE ALLO STESSO DENOMINATORE
@ Teoria a pagina 463
Riduciamo allo stesso denominatore le seguenti frazioni algebriche. 3x — 2 x —2 a. 4x 2y ’
2x3 ’
Scriviamo le C.E. delle frazioni: 4x 2y / 0 e 2x3 ^ 0 — C.E.: x ^ 0 f \ y / 0. Utilizziamo come denominatore comune il mcm dei denominatori che è 4x3y. Le frazioni ridotte allo stesso denominatore sono: 4x3y : (4x2y) CO
1
x —1 x+ 4 ’
b.
x- 2 2x3
x(3x —2)
3x —2 4x2y
2x x2— 16’
Z
4x3y : 1 Z
4x3y : (2x3) Z
2y{x —2 ) 4x3y ’
x —1 x+ 4 ’
5x
1
4x3y(5x) 4x3y
2x (x - 4) (x + 4) '
20x4y 4x3y
C.E.: x ^ ± 4
scomponiamo in fattori i denominatori
Il denominatore comune dei denominatori è (x —4) (x + 4). Le frazioni ridotte allo stesso denominatore sono: [(x-4)(x + 4)] : (x + 4)
x - 1 _ (x —4)(x —1) _ x 2 ~~ 5x+ 4 x+ 4 (x —4) (x + 4) x2—16
I(x - 4)(x + 4)1 : [(x - 4)(x + 4)1 Z 2x (x —4) (x + 4)
1 •2 x (x —4) (x + 4)
Riduci allo stesso denominatore le seguenti frazioni algebriche (n e
P
x —2 3x ’ x+ 4 ab2 ’
x —2 X
’
Sa.
x+4 X 9x2 ’ 4 • 3 a —b b3 '
a
3
x —1
x3 ’
2x
'
P
x —3 x2- l ’
2 x+ 1’
P I
/ y+ 2’
2 ■ Sv 3y + 6 ’
x2 —3 1 +
IEV1
2a- 1 a ’
x *1»
P
5 a2 ’
ii li
P I
2x x2—16
N).
4^
z
x 2 — 3x
x+ 5 2x —2 ‘
o 2.
4x 3x2 + 3 ’ 5 x+ 1 2 x —6 ’ x2
8* ’
473
13
FRAZIONI ALGEBRICHE
p i
3a2 a2— 4 ’
IhTI
x+ 4 x2— 5x ’
a+ 1 a —2 ’
4 3a + 6 '
1
P ]
4
3x" ’ x,,+1' x 4 SETI B rìi! x" - 1 ’ 3x2”- 3
x 2- 2 5 ; 5-
3 . O P E R A Z IO N I ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
Q
Teoria a pagina 464
a/
c
Denominatori uguali o opposti /
a.
4— a
b.
2x a: + 8 x— 4 + 4— x
2x x+ 8 x— 4 v x— 4 Y
0/ + b
o
il segno - riguarda tutto il numeratore
a - (7 - 2a) 4 - a - 7 + 2a —a- 3 o--- = --- a-—- 3 5
7 —l a a —3
a —3
b
+ o ~
2x — x — 8 x— 4
,
= 1, con C.E.: a ^ ± 3.
^ 3
x— 8 x — 4 ’ con C.E.: x ^ 4.
cambiamo segno alla frazione per avere denominatore opposto
P i CHECKER Esegui le seguenti addizioni algebriche (qui e in seguito, per brevità, nei risultati non indichiamo
le condizioni di esistenza). pu
2 3x
p i
1 —a , + 6 T a —2 a -- 2
p i
1 3x
7 3x
Q
pi
3x x2— 1
7 —4:
8 b —y
26
26
y 2 — b2
1 -- 6 2+ 6
J j= ± - J g L
test
J
x —1
' - w'
S 1— 1
E
1
2.x *-1
_J_ x+ 6
6+ I l b+ 2 \
X—
P
=
Q
test
[C]
[~a~I a — b
E
I~b 1
2(7 + 2 ) 27- 1
2x + 1 1— x2
2 a — 3y
18 x+ 1
2 6+ 2 P
3y 4 —y 2 y - l ~ 1 - 2y
37
2 (x —8 ) x+ 1
p ii
p i
5x + 1 x2—1
5b —4y b2—y 2
3 y —b
a -y + 2
y~a a —3y
37 — a x- 1 —x— 6
[ * l x+6 b b —a
^
[c ]
b —a
a+ b a —b
Dl | 1
Monomi a denominatore 2 ~9x
1
2y-2- 3-1
"6 x 7 C "
4y — 3 ~~ 18x7 ’
^„ con C.E.: x 7^ 0 A y 7^ 0.
riduciamo le frazioni allo stesso denominatore e sommiamo E t CHECKER Esegui le seguenti addizioni algebriche. 4y2—1
P
27
474
x —6 3x
2 x
1 6
3. OPERAZIONI
l
4 + + r2
P I
, 4 — 4x
jr
1 + 4x
X
4x2+ 3 x - l
ma -T— xz X3
—
X
2_ - 3- + - 2 . x 2x 5x
ip i
TEST
M
9 lOx
a— 1
1
6y2
mi
2 a fl
1
2aa+ 1
m
- i
7
- y 1 ~4y À
12^ 27 —4x + X7 2x27 2
2 ! 1 xy2 ' 2 x7
1 x27
P
5 x 37
EJU m
m
P
ESERCIZI
f 15+ —4x2 + 6x372 3x37 2
+2
3xy
x+ 1 1 ------x è la somma di — x con:
TEST
S
1.
m
m
i .
E
f
l
m i Dato un numero naturale n, diverso da zero, dimostra che la differenza fra il reciproco di n e il reciproco del suo successivo è uguale al reciproco del prodotto dei due numeri. m i Dato un numero naturale n, diverso da zero, dimostra che la somma dei reciproci di n e del suo doppio è uguale al rapporto fra 3 e il doppio di n.
Polinomi a denominatore
y2~ 9
(y+3)(y-3)
27 - 6
2 (7
scomponiamo in fattori i denominatori
con C.E.:
2(y + 3) '
- 3)
2{y + 3 ) (y -3 )
~ {y^) 2(y + 3 ) & ^ )
2 (7 + 3)(7 - 3)
riduciamo allo stesso denominatore e sommiamo
^±3.
CHECKER Esegui le seguenti addizioni algebriche.
mi p i
2 b2 +
p i
la 3a — 3
pi
1
pi pi p i
pi
x+ 2
x2+ 2x
ITTI
4bx + 4 b 2a + 1 a —1 + }
3(fl —1)
+ x1_
4a2+ 2ax — x2 2ax(2a — x)
7+1
2
3 7 -6 y
,2
x2+ l - x x—2 _8t _
pi
37
EEH
x+ 5 x—5
xy + 27 x2+ 2x
*7 x2y
y +
2 — 37
y ( y - 2)
y
xy — x
—372 + 27
+
37
1 3 7 -3
20 5— x 2x— 10 + x + 5
P i P I
mi
5 3+ x
3
X2 — 1
+
1
5
2x
2x 2+ 6x
4x + 3 2(x + 3) x2- 8x - 33 8(x2—1)
1
l- X
a — 1 + 2a + 2 a2— 1 a2+ 2 u + 1 2 3 x —7 + x + 7
5 2a —b
3 <3+1 x —57 + 5
5 y2—x 2
(x + 7 ) (Jc- 7 )
( - 5b) 4a2— 4ab + b2
lOa (2 a —fr) 2
PUBSB x —2
x2+ 4 + 2x 1+ x
+ ' x2y2 x2y
[R I ? | x + 4 - U x 2+ 3x
X +
(x — 2) (x+ 1) +2 7
2 -3 7
y+i 3 7 (7 -1 )
10
X+ 5
3x
1
1 —X
3(x 2 + 1) x2—1
p i
x 2 —2 x 2 —5x + 6
x —3 +x—2 x- 3
P I
a I 1 —a ! a + 1 a 2 —1 ' 2 a + 2 ' 2a — 2
mi
x 2 —3x + 2
1
x 2 —2x
+
lOx —19 (x —2) (x —3) 4a — 1
a2— 1
a —1 <7+1
1
J_
x —1
X
475
13
FRAZIONI ALGEBRICHE
P I
i 2a+ 1
P I 0 9
1 2a + 1
09
2x — 1 4x 2 + 2x
—a 1 1 + + a2 —9 3fl + 9 2(3 —6
-1 6 (a + 3)
p i
Aab ______ 2a 1 + (3 + b a2 — b2 a —b
x + IO 4 —x 2
r 4 -2 x l x+2
09
x+ 3 x+ 4
5a2—9a —46 _ 5 (3 — 1 (32 —4(3 + 3 3 —a
3 (a + 5) (3—1
nn
x+ 2 _ 2x 2 + 2x
—2x 1 + + 3x2 + 4x + 1 9x 2 - 1 x+ 1
3x 9x2 —1
gn
a 1 —a 1 + + a 2 + 2a + 1 a2 —a —2 3a —6
p
a2 —Ab2 1 +• a3 — b3 ' a — b
p
2a 1 +■ a2—4 2 —a
"I
—7a
P I
(3 — 1
1
p i
x 2 —x
1 -4 a , 1 /-V o < I 2a2 —a — 1 (3 — 1
3x . x+ 1 x+ 2 x —2
3a 3a —9
0 H
09
x —5 2 + (3 2 —a
0 0
2 —x ( x - l) :
1
+
x 2 —2 x + 1
x
a2+ 3a + a2 — 3a a2 — 9 (a — 3)'
+■
7 —2x - llx + 3 0
2 —(3 2 + (3
a a —3 x —5
6 —x
(3(8 ~ (t) 4 — (32
so
2x + 4
a2 A -a 2
1 4x - 2 2x + 4x 2 — 1
1 3
2x —1 x( 2x + 1) 1 -2 a
a+ b
4x —5 x 2 + x — 12
x 3x
+
x x+4
4x 2 + x + 1
3
XJ — X
2 (x —1)
(3 + 2b a2+ ab + b2
a+ b a2+ab+b2
4a a2 + 4a + 4
x 2 + 4x + 4
a —2 3(a+ l ) 2
a2+7a + 2 (a + 2)2
2x 2 —8 x 2 —4x + 4
x+2 x —2
9
P
b2 + 10^ + 25 y 2x —yx2 y 2 —x2
0 0
y 3+ y 2x x 2 + 2 xy + y 2
y 2 —2xy y —x
0 0
. _ a 2 —2 , ______ 4 —a______ a2— 16 a3 —4a2— 16a + 64
gn
^ + _____ 2 _____+ x 2 —y 2 x 2 —2 xy + y 2
gn
8 y2- 6 x y
x 3y — 16xy3
(6 + 5)2{b + 2)2
b2 + 7b + 10 + b2+ 4b + 4
2 x 2 —4xy
x —y
xy(3x —y) y2- x 2 -1 5 (a + 4) (a —4) 2x 2 U *2 - y 2) ( x - y )
x —4y xy (x + 4y)
1
4y2 + xy
4 , 2x —2x 2 ____ 1 —2x 3x + 3 + x 3 + 1 3x2 + 3 — 3x
►LABORATORIO
1
x 2 —X + 1
MATEMATICA INTORNO A NOI
Bimbi in festa! Un gruppo di genitori decide di organizzare una festa per i bambini in un locale con animatore. Il gruppo è formato tutto da coppie con un figlio, tranne cinque coppie che ne hanno due. a. Sapendo che il costo della sala è suddiviso per il numero di famiglie men tre il costo delfanimazione per il numero di bambini, scrivi le frazioni che, in funzione del numero di famiglie, rappresentano quanto dovrà pagare ogni famiglia con un figlio e quanto ogni famiglia con due figli. b. Se le famiglie che organizzano la festa sono 20, quanto pagherà ciascuna?
□ 476
►Risoluzione.
a ffitto lo c a le = € 1000 costo ommMJzlonXy
-
€ 200
3. OPERAZIONI
1__________ 2
F ffl
x 2—x — 6
x
ESERCIZI
3x - 5
2 + 5x + 6
2x 2 —9 x
3+
x
2 —
x2 —9
18
—1 ._____ a________2a ._____ 3a + 1 4n —12 a 2 —4a + 3 a —1 4(1 —a) (a —3)
P
3x + 2 + 1
P I
gg
1
x 2—
x 2( x — 4 y ) ~ y 3 _ x 3 + y-
gg
x + 2y+ l
gg
y
1+ x
— 9y
3 x -2 x2 + 2 x + 1
IO
x 2— 2x
(x—l)(x + 1)
^
x 2+ xy + y 2
'
x 2—xy + y 2
+
12
—
_____6_____
x —y
4y2+
—24 + 20y
20
(x2 — 1 ) '
—x — y
2(1 - x 2)
+
1+
2x
1 —y L
[ 1]
1-x
2
x - 2 y + l
x + 2y+ 1
+■
y 2 — 7y
_____ x + 6_______.____ x + 1____ x —2 x3 + 6x 2 + 12x + 8 —4 —4x —x 2 x 2 + 2x
p i
3x + 2 x4- 7 x 2+ 12
_______ 2_______ x3 —2x2 —3 x + 6
2y 2«
y n- ì
2x" + 4 x
FETI
X
2n _i_ „ « + 1 + X1
(/-!)(/+ !)
1
1
x 2n — X 2
xn
X —X"
E
a2-
BaG
E
4 ab
+ 2b
-b 2
E o
b2
TEST
2a
x 2 —25
è la somma di x — 5 con:
ra - v - 2 5 x U
E
5x x 2 —25
E
x+ 5
3 ’ 3
b)
BB
11 100
EUREKA! Rapporti geometrici Su un segmen to AB di misura x > 0 sono costruiti un quadrato ABCD e un rettangolo ABC'D’ la cui altezza C'B' supera di 2 unità la base AB. Detto R(x) il rappor to tra l’area del rettangolo e l’area del quadrato, e detto P(x) il rapporto tra i loro perimetri, esprimi la somma R (x) + P (x) come frazione algebrica ridotta ai minimi termini. [ x \
MATEMATICA AL COMPUTER
Operiamo con le frazioni algebriche
i __L _L__L J _ _ J _ 2 ’ 2
b. Calcola il valore del decimo termine.
—x
MA Osserva la sequenza: i
J-+J-
3 ^ 9 ’ 4 ^ 16
a. Scrivi altri due elementi e il termine generale sotto forma di unica frazione.
2 —xn
2x
2b a2— b2
1 + 1, 2 + 4
2
vale a -----,--------—r ■ a — b a + b E
x(x + 2) (3 —x2) f M Considera la sequenza:
TEST Qual è la frazione algebrica che equi, a + b a — b ,
B aG
'______ 2
y + 1 f - 1
X x 2" - 4 + 4 - 2x"
1
gg
n+ 1
y
-8
x(x + 2)3
1 3x —x 3
Esegui le seguenti addizioni algebriche (n G N). 3 /'
7y + 4 ( y - l ) ( y 2- y - 2 )
+ 6
gg
gg
2a 1 —a
4 ’
a. Scrivi altri tre elementi e il termine generale sotto forma di unica frazione. b. Calcola il valore del diciannovesimo termine. b) *380
Con Wiris possiamo eseguire calcoli con le frazioni algebriche. Per esempio, se dobbiamo calcolare la som ma di tre frazioni algebriche, dopo aver scritto i pas saggi sul quaderno, li possiamo verificare al computer, uno dopo l’altro. ►Problema e risoluzione. ►7 esercizi in più.
□
UH
13
FRAZIONI ALGEBRICHE
Date le funzioni/(x) e g(x), esprimi mediante una sola frazione /(x) + g(x) e /(x ) ~g(x). Calcola, quando è possibile, i valori delle funzioni ottenute per i valori di x indicati.
!P
/ (x)- x +
1
;
x —1 *
EHI f(x) - x/2 +, 3x o +1 20 ’ d#(*) “ x“2 +, 5x C +, (16 • — ^ P I
Calcola il peri metro della figu ra a lato. (a > 0 )
3
a
2a2
2a + 2
-2
-1
0
3
-2
0
1
2
Calcola il perime tro della cornice qua drata colorata, sapen do che ha spessore costante che misura
1 n a2 ' r
7a3 + 5a + 5 a2(a + 1)
3a a+ 1
y +2 y+ 1
y y, j cm, con y > 0 . 4y + 16 y + 1 cm
MOLTIPLICAZIONE
® Teoria a pagina 464
Monomi a numeratore e denominatore 3x 5y 3
O-
ZL
10xy 2
3x
'W
/
poniamo le C.E. e semplifichiamo
LO LU
• = “2 “ , con C.E.: x ^ 0 A)/ 7^ 0. moltiplichiamo i numeratori tra toro e i denominatori tra loro
CHECKER Esegui le seguenti moltiplicazioni. P I P I P I WS E0
15x4^2 4 / 8x 5xy
3x2y4 2
2a4b5 15a2 IOab6 2b 2y2 3x X 4/ ' 18x2 15x4y3 36xy2 2 45y 4ab2 5a3
10 a 16ab
3as 2b2 1
3x5yi [6x5y4] _2_
1
b3
a2b2
Polinomi a numeratore e denominatore x 2 —9 x 2 —3x
x —2 x 2 —4x + 4
(x —3) (x + 3) x(x —3)
3x 2x + 6
x —2 3x (x —2) 2 2(x + 3)
^ scomponiamo in fattori
^ scriviamo le C.E. e semplifichiamo
C.E.: x ^ 0 A x :54±3A x :^ 2 x^
2 (x —2)t'
478
3/ 2 ^ x 'S ^
3 2 (x —2 )
tX/
O
4% / *O
b
d
b •d
3. OPERAZIONI
ESERCIZI
CHECKER Esegui le seguenti moltiplicazioni.
FETI
4y — 12 y
y2 3y — 9
FETI
6a a —2
P I
2b —8 b
FEH
y (y~ l )2 3 —a
p i
x2 —2x + 1 3
r4 1 1 37]
E rri ^
[6 ]
P I
a2 —l a
-
2a
y 2 —y
12 y (x -l)
1 a
b2— 10^ + 25 fc- 1
a —1 3 + 3a
P I
x 3 —2 xy xy2 —2xy + x
[2 (y —1)]
P I
x —3 x 1
P I
a 2 —4a + 3 a —2
4 (x
1)1
y
y 3 —y 2 3x2 —6y
3x 2 4x 2 — 12x
xyab x —y
P I
x 2y + 12xy + 35y y2+ 8y+16
p i
a 3 + a2fr a3b2 + ab4 a2b + b3 a2 — b2
a3b a —b
P I
2a + 6 —a 2 + 2a + 15
FETI
x2 + 3x + 2
FETI
x 3 —x 2 —x —2 2x 2 —4x
p i
y 2 —3y 2 7 —2y — 8
p i
5 — 5x 2x 3 — 3x 2 + 2x — 3
P I
b3- 8 9 —b2
p i
2x2 —2y 2 x 3 + 3x2y + 3xy2 + y 3
p i
4a2+ 4ab + b2 4a2 —b2
p i
H
x3 — 1
X2 + X + 1
x —2
y 2 + 4y + 4 3y x4 —1 6 —4x
2b2+ 5b — 3 b2+ 2b + 4
a2 — 5ab + 6 b2 2 fl — 2
BSj
y 2 - 12y + 36 y 2 —y —6
gg
x 4- 16 5x3 —25x2 + 30x
pi
x z 5x + 6 x 2 —4x + 4
pi
x4 —1 2x —x 2
p i
16a4 — {4a + l ) 2 9a 3 — 9a
FETI
y 3 —7y + 6 1 —y 2
a+ 3 a2 - 1
1
y 2 —4y
a —2 a+ 1
y 2- 16 x+ 5
x+ 7 y+4
a2—25 2a 2 + 20a + 50
-1
a+ 5
3x3
x 2 + 6 x —7
c3— 1
3x2 + 21x
2
y —x x
x+y
i2 + 2 fl£> + b2 6b
a+ b 2b 5b a2—b
1
1
a2 —3ab + 3b —a
a —2b
x 2 —2 bx + b2 x 2 — fr2
—3x 4 —x 2
4b2 4x 2 —4x + 1
y3+ 8 2y2— 18y+36
15x4 —45x3 x 4 + 4x 2
x 2 + 3x — 10 x2 — 1
4x
2
a2+ b a4 + a3b + a2b2
x 2 — 5x + 4 x 2 — 2x — 3
x 2 — 3x + 2 *-2
(2^ —1)(3 —£>)
x 2 + xy x 2 —2xy + y 2
y 2 —6y + 9 y 2 —2y + 4
1
2x2
5(x + 1)
b2- 6 b + 9 2b —4
8 — 12x + 6x 2 —x 3 9x 2 —6 x + 1
2 x 2 + 2 frx —x — b 3frx — 3fr2
3 — 3y 2x 2y 2
7+1
4x 2 — 12x + 9 x 2 —2x + 1
2a2—4a + 2 a 2 —4afr + 4fr2
iQ U a B B
3
y 2 — 3y —4 y 2 —y —6
6 a - 3b 2a2+ 3ab + b2
5b a2 —ab
a3b3 a4 — b2
b -5 _ a _
a 2 —4a + 4 a2- 9
x 2y —xy2 (ab)4 a3b3 (x —y )2
x 2- 1
b2+ 2 b — 3 b2—25
a 3 + 2 a4 + a3 a2 — 1
[-IH
—b3 3b — \2 6
b+ 5 62 + 3b
3x2 + 5x —2 x 2—4x + 4
4b 3(2x—1) y-*>
[ 3 (x + 2) ]
x 2 + 4x + 3 x 2 —x — 12
x —1 x —2
x x 2 + lOx + 25
x2 + 1 x+5
3a —3 3a 3 —3a 4a 2 —4a — 1 2a + 1
2y3 + 2y2 y 3 + 2y 2 —8y
y+ 4 8y
[( 2a + 1) (a —1)] y+3 4 479
13
FRAZIONI ALGEBRICHE
Esegui le seguenti moltiplicazioni (n G N). x 2n —y 2n
y2n + 1
n+1
xn + y n
y
p U
E0
r jr r E t ti
2xn xan —an an+ 2 ■ x 2n
1
1
a2xn
2x ~ 2
Simplifying a product Which of thè following is a simplifìcation of thè product ,
YOU & MATHS
H
[yn(xn- y n)]
2 fc2 k+ 3
fc2 2 (k-3 )
E
k2 3(k — 3)
E
E
^ •-g- ?
12
k —3
CACCIA ALL'ERRORE 5pr —xy * - — f — = 5 -x y
b. j dx±+hb L = x + b
73n
c. —
x + 4y2 fr2
= a 3 (n G N )
x+ 1 4/
Espressioni con addizioni e moltiplicazioni CHECKER Semplifica le seguenti espressioni. E0
4x —4 i^ X x— 1 + 2x '
p i
! 2 \ a+fr
p ]
16x2 — 12x 3 16x4 - 9
P ]
(3 ~ x )2 x 2 —4
FETI
1— x — 1
5x ~ x 2 2 —2 x
2 2 1\ /A +4a
b
p
(l Q
a b2 i a
/ 3a — 1
g li
6
gFl
3b2 a2—2ab+b2
a(b—a)
3 4x
4 —3x 4
x+
4x
2 -T é j) [2 + T é J ) 1-
x+ 1 X2 + X + 1
1 - 25x2 / 1 60x + 4 \ 1 - 5x p i
2x{\ + x)}
i B
x+2 —2x x3- 1
x
- 1
2
y2
+1
a+ 1
1 7 2 —7 —2
+1 4 ^3+4/ - /I..2
p i
a —2 a + (3+1 a
a2 + a 4a 2 —2a —4
EH
3h + X 2x + 6b 6b
2 frx + 6 fr2 x 3 —27fr3
1 -4 /
a2- 4 / 1 ax + a —2 x —2 \ x
p i
/ x —3 . 1 \ \ x 2 —2x x 2 —4 /
P I
x 3 —8 / x —1 x 2 + 4 \ x 2 + 2x + 4
[ 7 ( 1 + 2/ ]
1
3 (x —3 / 1
4(1 + 5x) a2 + b2 y 2 + 27 + 1
7 3 + 272 + 7 2 +72
5 ( a - l) 3a —1
5a 2 9a2 — 1
ETiTil
—3(2x —3)
4x2- 16
7
a2+ b 2
/ 1 , 7 2+ 7
n
6 x 3 —9x 2
p i
5x 25x2+ lOx + 1
b4 a4—b4
1+
3(x — 6)
2(b —a)
4a 2 + 4É?2 | 1 a+ b 2 a2
2x + 1 /
(a + 2 ) x( 2x + 1)
x 2 + 7x + 10 4x 2 —24
x+ 5 4x(x —2)
1
\
_______ 5______ x 3 + 3x2 + 6x + 4
x —2 x+ 1
( x - i ) { x + i ) ^ + 2y - x - 2
3 (x2 + 1) x(x + 2 )
E3
/ x + 4 _____ 1 \ x 2 + x —6 \ x —2 x 2 —4x + 4 / x 3 + 2x 2 — 7x
x+ 3 x(x —2 )
pi
I 1 \ x 2 + xy
2 (x —7 ) x+7
03
( 2a2— 12a + 3 \ a 2 —7a + 12
P I
480
2
x —7
1 \ x 3 —2 x 27 + xy2 x 2 —xy J x 2 + xy —y
2a \ a —4 /
a 2 —6 a + 9 3a —6 a 2
a —3 a (a —4)
3. OPERAZIONI
a2+ b2 \ a4+ ab3 ab+b2— 3a — 3b ab ) a2— b2 2a2— 2ab + 2b2 1 b2— 2b
1 \ b2- 2 b b2+ 3b — IO ) 10
gira fi + a —
(3 —b) (a1—b2) 2b
b2+ 2b -\ 5 b+ 2
b- 3 2(b + 2) [(a —2 ) (a2 + a + 1)]
a4 + 2a3+ 3a2
1 —2a + x(x —3) 2x2 + 3ax —2a2
H I
2y2— 2y + 1
x + x 3 + 2a + 2 ax2 x4- 1
1
a — 2x
ESERCIZI
x —1 (2x —a) (x + 1)
\ / y+ 3 y+3 \ y3+ y2— 6y / + 6y + 9 + 7 + 3 J \ y — 2 + 2y2— 4y ) %y3+ 12y2+ 6y + 1
HD
2y
, ____ 4a —1____ \ a3— 6a2+ 12 a —8 a3— 2a2— 4a + 8 / 3a2 — 6a + 3
1
0 0
2— a
0 0
x 9x + 3y
a2— 4a + 4
/ _3y±9— ---- 1----- ---- 2— \ \ 3x2 - 27 x- 3 + x+ 3)
3 Xy + 3x2
a(a2 — 1)
0 0
a3— 3a2— a + 3
2 —a 3(a + 2)
2a2— 18 2a2+ 7*3 + 3
- 1
1
3x 12a (2a+ l ) 2
6
4a 2 + 1 + 4a
Semplifica le seguenti espressioni (n G N). / 9 \an- 3
a" a"+ 3
x 2”+1 —x I 1 X3” - 1 ' \ x"
18 \ 3an- 9 9 - a2n ) ' a" + 3 2
[3] —3x2” —4x" + 1 xn~l (x2n + xn+ 1)
con « > 1.
x"+ 1
Problemi Cl^—4 —Ci Considera le frazioni algebriche —5—----- — e -------. 0 az + a — 2 a— 2 a. Trova le C.E. e indica per quali valori di a si annullano. b. Determina il loro prodotto e i suoi zeri e, quando è possibile, calcola il prodotto per a = -y, 2, 4.
DIVISIONE
G
Teoria a pagina 465
0/
O
0/
(A/
0/ ' d/
b ' d
b
o
b- o
Monomi a numeratore e denominatore am : an = am n
a. 6x3y : (3x5/ ) = 2x~2y~3=
x y
nell’insieme delle frazioni algebriche la divisione fra monomi è sempre possibile
C.E.: x 7^ 0 A7 ± 0 ,
2a
la 3 = 2^ 5b ' 2 5 c2 *f>b
jA c 2 ^ 10 c2 7 af 7ba2
moltiplichiamo per il reciproco del divisore divisore * 0 /
C.E.: M O A c ^ O A a ^ O C.E. delle frazioni iniziali
481
13
FRAZIONI ALGEBRICHE CHECKER Esegui le seguenti divisioni.
E TTI
j r4j r2 3x 2y 4 5 • 10
pi
3x 5 2x
IH
5a3b : ( - 2 a 2b4)
p]
3 2x
ETTI 20a4b3 : (— 3ab)
pi
M I
pi
10x 4y 5 12xy 8
pi
10x“ ys ! 3x 12xy8 ' \ 10x 2y
15x3: | — ^~xy\ — | - x 3y : (—2x5y 2)
'
5xy 3y2 2y
• 4x 2
- y x 5y 4 : (2 x 3y) : (6 xy2) 3x
2x 3
' 10x 2y
/ 2x 3
■/
Polinomi a numeratore e denominatore e
b
G
VERO 0 FALSO?
1 Jt sono: x ± 0. x2+ 1 2 \ —x , è 1.
a. Le condizioni di esistenza di —?— , : . x 2 —2x + 1 2 x —2
b. Il risultato di c. 27
1
1
9 ( a - l)
3(a — 1)
0
ra s S E
. x 2— 1
d. Le condizioni di esistenza di x + 2 x 3 —4x x2— 4x + 4
0
x 2 — 3x — 10 x - 5
x (x —2)(x + 2) ' (x — 5 )(x + 2) (x - 2 ) 2 ' *-5 divisore * 0 ______ 2_____ C.E.: x ^ 2 A x ^ 5 A x ± —2 ------- ^ --------C.E. delle frazioni x (x —2 ) (x + 2) ____________ x —5 (x —2) 2 { x — 5) (x + 2)
3x — 3 sono: x ^ - 2 A x ^ 0 . 2x
0
0
^ scomponiamo in fattori \ scriviamo le C.E. e moltiplichiamo * per il reciproco del divisore
x^3 (x-2 )*>
x -2
CHECKER Esegui le seguenti divisioni.
pi
5
u+ 2 a —3
2a
p U g a a m sB a a
pi
2 a —4fr
p i
2x+ 2 3
x 2 + 2x + 1 9
EB
x2 —1 x
2x + 2
p i
x 2+ 5x 5x x 2— 25 ■ 2x — 10
sa sa
482
+ 3
x —2 X
x+ 3 2
a —2b 2a + 6
3x
x+ l x —2 2x ' x + 1 x+ 5 • 3
2x •
6
p
i
P
I
P
I
a —3
2x — 3 6x —9 x + 4 ' 2x + 8
3 —a
1 + 2 fr • 1 - 2 fc 2x + 1 / x 2 — 1
2x
*\
2x + 1
2x
‘
4x
x+ 1 \ ‘ 6x + 3 /
2
3(x - 1) 6(2x + l ) 2 (x - l) ( x + l ) 2
x2—1 x+ 1 4x ’ 6x + 3
x 2 + x y - ; < —y ' xy + y 2
EHI
xy + x 2y / x3- x x 2 —y 2 ' \ x + y
P
I
x 2 —4y2 x 2 + 2xy 3x —6y x 3 —x 2y ' x —y ' I 2 x 2y
4y x
P
i
15x3y2 3x 2y + 3xy
2x y3
'
5x 2 - 20 x 2 —x —2
'
xy4 2x + 4
1
X- y
3. OPERAZIONI
► LABORATORIO
ESERCIZI
MATEMATICA INTORNO A NOI
Il cartamodello
yìroviùvu-= 72
Per realizzare una gonna «a quattro teli» per la tua amica Chia ra, devi tracciare un cartamodello con la forma della figura. Le misure in centimetri sono annotate a fianco, inoltre sai che AB è un quarto della misura del girovita; GH è pari alla lunghezza della gonna; Gl è 2 cm in più di un decimo dell’altezza; CI e ID sono un ottavo della circonferenza di bacino.
cìrcóM^éreKZAsboxino b = 90
alt&cuhO/ = 165 LuKjk&ZZO;(jOKKOsb= 65
1. Scrivi con dei monomi le misure di AB, AG, GH, CI e con un polinomio quella di GL 2. Sapendo che vale la proporzione EK : CM —AK : AM, esprimi la misura di EK e quella dell’area del trapezio ABFE in funzione di l, b, v, a.
►Risoluzione.
□
_□_ a .
►Un esercizio in più.
3—2x . x + 1 2x ‘ 2x2+ 3x
p
4*2“ 9 x4 + x 2+ 2x3 '\
BH
x2—4a2 / x + 2a a ax + a ' \ x 2 + 1 + 2 x ' * - 2 a
x2(x+ 1) [x+ 1]
EH3 0 0
3y 2 24x2y, ,3 2 x2 x3 —y3 x2+ xy + y2 ' x + y y2+ 12y +36 y + 6 6y y2— 6y ' 3y2 y2— 36
a 3 — 1 / 3a3 + 3a2 + 3a
0 0
2a4
a2— a — 2
x + 2y — z
rw i
------- X 2 -
2 (a + 1) 3a3
4a2
a2— 3a + 2
x 2 —z2 + 4y + 4xy z2y — yx2
z2
7
x + 2y + z
HhHl Q TEST Considera le frazioni algebriche A (x) = x A(x) C(x) = Quale tra le seguenti affermazioni èfalsai l~À1 Le C.E. di C(x) sono x f 2 A x f 3 A x f 1.
^ , B(x) =
x— 1 x 2 —5x + 6
e l’espressione
[c] C(x) = x 2 —4x + 3, se x f 1, 2, 3.
J
I~b~| C (x) =
2
(y + 6Y x(x+ 1) 2x —1
7x4 7 + 7x _____________________ 4x4 + 2x3 4x2 —1 ' 8 x 2 + 8 x + 2 ' x 2 + 1 + 2x
03
4y(x -\- y) x —y
_ ^ , con x # 3.
|~d~| C(x) è una frazione algebrica.
Problemi m Q
YOU&MATHS Reducing to lowest terms When reduced to lowest terms, a fraction whose numerator is x 2 —3x + 2 equals —1. What is thè denominator of thè fraction?
Espressioni con addizioni, moltiplicazioni e divisioni Q
P
CHECKER Semplifica le seguenti espressioni.
(1+i
ERI 5
P
x— 1
1
x— 1
ERI (ì
x 2 —4x + 4 x —2
5/z
y
z
1 7i — 1x +
1
xy
xz + y 7x2y xy + y — x
E R ì [ ] ESEMPIO DIGITALE
9x2 —4 x 2 + 3x —10 483
13
roti
FRAZIONI ALGEBRICHE /a + b \ a —b
ROTI (\ x +1 y
ROTI ROTI
V x —y
x —y x2—xy + y 2
x3+ y 3 ) ' x + y
3x3 — 3y3 3x —y
x 2 + y 2+ xy 9x 2 — 9y2 9x2 + y 2 —6xy ' 2x2 + 2xy
{ b 2 + 2b
b + b+ 2 ) :(
2x
y2
(x + y )(x -y )
i
a:
2a —x a+ x
x 2 + 4x . / x . x x 2- 4 : \ x - 2 + x + 2 1
1 I
2a
2x(3x —y) 3 b2 b+ 2
. 3
\ (, _
1 + 1- x 2 ) :\
x 2 — 5x + 6 x 4 —2x 3
ROTI
/ y va :
m
/ a2 + 3a + 2 \ a2 + a — 2
E3J
( a —2b . 2a + b \ b + a
_5_ 6x
x
24y + l y 2 \ y -4 I
ROTI
9
i —
2 x 3 —2x 2y
xy
M
x
3 2a2 —ax 2 a+ x
1 2a + x
1 6 / - 100 / — 16
[~4y2] x(x + 4) 2 (x2 —4)
24 \ 3x2 — 12 /
1 . 2 \ x 2 + 5x + 6 x - l + 2x + 2 / x3
(x + 3) (x2 —4) x 3(x2 —3)
/ x 2 —4x + 4 x 2 —4 \ „ x4 * x+ 2 )+ ^
x2- 6 x —2
\ x 4 —x 2y 2 + x 3y —xy 3 x 3+ y 3 / ' x 5 + x 2y 3 —x 4y —xy 4 * x 2 + 2 xy + y 2
x+y x
a 2 — 3a + 2 a2 —a —2
4 \ 4a 3 —8 fl 2 1 —a2 / ' 3a2 — 3a
3x - 5 2 x 2 —4 x —2 _5_ i _5_ i i 2x + x + 1
gg gg
/ 0,5a ~1— b~l _ 2a~l — ba~2 \ _/ b2 —4a 2 \ a ~ l + 0,5b~l 0,5a _1 + ba~2 ) ' \ a2 —4b2 . 1
1 b+1
3 a (a —2) 4 (a —b) a+ b
?\ a — b a + b Z/ : ab : 4
x 3 —2x —4 9x2 + 18x + 18
gg
a2— a _/ # + 2 ' l — a~ + 2 —a )
b2 + b3 )
a —x \ _/ ax 2a + x ) ' { 4a3—ax2
9y 2 - 16y y+ 4
ROTI
ROT3
a2+ a —2 2 a3
x + 1 . 1 \ x 2 —2x —24 x2 2x ) : 5x2 + 20x
\ 3x
ROTI
2a b —a
xy
ROTI I 2 ROTI
a ~ b \ ( a —b a + b )■[ a + b
15 + 2x 1 —25x2
____ —2x____ 9(5x+ 1) (x + 2) 2a —4b \ 3b + 6 a )
2 fo + 1 4 b -4 2 b -3 b -l 2b2- 2
2fc-_5 10
EUREKA! Un’espressione particolare Semplifica la seguente espressione dopo averne determinato le condizioni di esistenza:
1 +1 +■
484
1 -■
C.E.: x^0Ax^--|-Ax^± 1;
+
1
3. OPERAZIONI
POTENZA
- a3x x3
a.
( f j =
© Teoria a pagina 465
3b2 ) ~
a3x x3 \ 3b2 ) ~
(n 3x ) 3 (3b2) 3
a9x 3 27bè ’
con C.E.:
ESERCIZI
> ctHsC&Z
/ 0.
esponente dispari (A_Y / 4 \n _ A" 4^ \ B ) ~ Bn
b.
y - 1 y+ 3
y + 3 \2
(y + 3):
7 - 1
( y - 1)2 >
con C.E.: y ± — 3 t \ y ± 1.
e \n r =
( i)
CHECKER Calcola le seguenti potenze. ED
2 x3y : 6 z:2 / >
P
3a2b Ì5abc2
H7ì
2ax \2 y -3 / ;
a + 5 \2 a2b4
EH
p ]
(*~ D 2 2/
(^ r
EH
4a3 ' 2 b2c4 12x3/
_ 8/ z 2
6x - 3 ^
EU
EUREKA!
3a2 —6 a + 3 \4 9 - 9 a2 ) ’
E0
x+y 3x2 — 3y2 / > (1 +
y x —y
4a3 —4E>3 \2 a2- b 2
2
2a —2b \3 6 fr2 — 6 a 2
x 3 + 6xr + 9x \2 2x 4 + 6x 3 / - 4 f r 2 -3 2b —a
3x3y 3-2 6 xz
2 —a
Alla meno uno Data l ’espressione
/ x 4 —y 4 \3 \ 2 xy2 + 2 x 3 /
3a — 9 a2 — 5a + 6
2 a 2 —8 a + 8 \5
4x2 — 1
EH
v3
ED
x +1
ricava la frazione algebrica equivalente,
-1
( x ) l X - 1J
x 1 ; C.E.: x (x + 1)
dopo aver determinato le condizioni di esistenza
0 Ax / + 1
CHECKER Semplifica le seguenti espressioni. 1
3x3y f z
27x6 y6z3
2 a \2 a+ b ) e h
2 n 2 — 10 n _ ^v5 a2 — 10a + 25
e h
3x3y —6x2y 2 4x2/ —x 4
ED
a + b _ j'T 2 a —b
2ab -1 -b 2
ERI / x 2 - 6 x + 9 r 1 / 6 - 2x \3 FY/4 1
xy3
(1a —b) 2 (a + b)2
EH
(a + 5)(a —5) 5
EH
27/ (x + 2y ) 3
EH
a(a —b) 2b(a + b)
EH
EH
/ x 2y —5xy + 4y \ 5 \ 4 / —xy 3 /
* / 1 f Vx — 1 /
a3+ a2b + ab2 \2 - b3
7
r (a —b)2
:2 —4x + 4 \2 / x - 3 \4
3- x
8 (x —3)
) \ x 2- 4
(2 x + y) {y2 + 2xy + x 2) 14 y 4 + 2xy3
(x -3 )2 (x + 2)4 (x + / 8 X
COMPLETA inserendo l’opportuna frazione algebrica. EH EH
2x + x+ 3
8 —x
x+ 3 x+ 2 3 x 2- ! + x + 1
2x — 3 x+ 3 x2—1
EH EH
( L J . ) 2- A 2b + b2+ 1 \ | ___ | / “ 1 —x 2 x 2 — 3x —4
I___ I
a
5x — 5 x 2 —4x
485
13
FRAZIONI ALGEBRICHE
Espressioni di riepilogo CHECKER Semplifica le seguenti espressioni ( n e N).
m m
a+ 2 a+ 3 2
a2+ a —6
, +
2 —4a + 4
0 0
0 0
3n2 ‘3 _ (a 2 —4a + 4)'
4 a3 — 6 a 2 + 12a — 8
8
i by — 1
Hdj'u m f f l
[1 +x]
fc +
1
(a 2 —9) 3 (a2 + 14a + 49)'
1
x 3y —x 2y 2
x+ 1 xz
/ a — 5 , 1 \13 / a 2 + 10a + 21 \2 4 i - V a + 7 + 2 jj V 3a — 3 /
(S a — 5 [ { (3 — 3
A
+
x —y x 2y 2(x + y)
x 3y —xy 3
0 0
4x+ 8 / x 1 +■ x3+ 2x2 — 16x — 32 ' \ x 2 + x — 12 x 2—7 x + \ 2
gq
EH EH
EH
1
x 2+ 2 X3 + l
1
X
a + 2b
2b —a + 6 a2 + 4b + 4b2
a + 2b 2 (a —2b)
x 2 + 1\x + 30 \-2 x x —1 x+ 5
x2+ 6x x —1 (a + 5) 2 2 (a2+ lla + 13)
4x 2 + 4
1 '
x
+ 1 ) \ 3 + 3x 2 - 3
2a n+ 2
2ab . 2a \ b2 + 2ab b )
[/ \ b + 2a
+ A I 7) \
x
+jA A x —y
a3 —3a2x + 3ax2 —x 3 a2 + ax —2x2 x 2 - 2x - 3 3x —9 x 2n- y 2n (x —y ) " +1
2
(
x
)
:(
2x )
i l
[3]
0
16a + 64
)R 2ci2+ 1la + 5
16 (,a2- l ) 2
b2—ab — 6a2 3 b2+ 6 ab + 9a2 b2 + 3ab b2— 6ab + 9a2
b + 3a b — 3a
2a + 1
x 2 + 6 xy \ 4x 2 —4y 2 x3- 8/ / ’ x 3 - 8y 3
1
x2 x+y
486
a2 —4 b2
3 + n+ 1 a+ 5
EH
0 0
a — 2b
[* -3 ]
x2 — 16
-2 2 a2 + 22 a + 26 a + 4_____ 3 + 5+ a ) (10 —2a) 2 a — 5 25 - a 2
x -2 y ~
0 0
b+ 4 2b + 2
x 2 — 7x + 6 x 2 — 36 x3+ 25 —x2 — 25x ' x 2 —6x + 5 / '
EH
EH
b2 + 4b 4b2
1
+
3 (a —1) 2a+ 1 a —2
1
x 2y 2 + xy 3
8 (a + 3)
1 fl2" a —6fl+9 a —6
3b2— 3b b2 — 1 b2 + 7b -\-12 ' b2 + 6b + 9
2a + 4b
: ( l - f c 2)
ì-b y
- ( ' - i ) 2i * + i - > ) - 2x+1 Xz + X
1+ X
0 0
gli gq
(1 —>>)(! — fc>) 1 .
1
i b y —b
J 0 [ ( ^ - 0 ( i R +1)+3a^ r 0 0
( a - 2)5
1 + 2x +x ( i +*>2
0 0
p n
a —3 3 (a + 3)
1
2 —a
l
x y
x+y x —y
y x 2 — 2xy — 3y2
a2+ 2x2 a —x + a2+ 3ax + 2x 2 a + 2x
4x2 (x -y )2
x 2 —4xy + 4y 2 x 2 —6xy + 9y2 a ' _1 a+ x
x —3y x+y
3 3 a —x^ a~ — ax
n+ 1 3 x+ 1
' xn + y n (x -y )”
-2
x+ 1 / x" [\ *
3. OPERAZIONI
ESERCIZI
Problemi p
Q
n
s
n
Considera le seguenti frazioni algebriche: A =
Dopo aver stabilito per quali valori di x semplificata D = A2 B C.
* ^, B
_ ( x - l )2 ^ ,C x+ 1
( x + 1)
esistono tutte e tre le frazioni, calcola ed esprimi in forma
Siano c e d due numeri reali. Determina le condizioni di esistenza e semplifica l’espressione che si ottiene traducendo in simboli le frasi seguenti. Calcola poi il valore che esse assumono per c — l e d — — 2 .
E0
Dividi la differenza tra il reciproco di c e il reci proco della somma di c e d per il rapporto tra il quadrato di d e il doppio di c. C.E.: c ^ O A d ^ O A c ^ - d ; d^ + ^ \ 1
E H Considera il polinomio P(x) = x2 —2x + 3. CalP (a )-P (D
Cola P(a+ 1 )-P (0 )
e trova le condizioni di
esistenza.
EH
~a+T’ C.E.: a / ± 1
Sapendo il prodotto Dati due nu meri x e y G R, sapendo che xy = 4, calcola: EUREKA!
— y +— x j)2 —44- (\ “ y + —x
E3U
EH
Eleva alla —2 il rapporto tra l’opposto di c e la differenza tra cede dividi il risultato per il reci proco dell’opposto del prodotto tra ce d. C.E.: c ^ OAd^OAc ^r f ; —d{c ^ d) _jg
E H Considera i polinomi P(x) — x2— 4x e Q(x) — x — 5. Calcola
P(a) + Q(9) P(b —2 )
Q (b-l) e determina [Q(a + 3) ] 2
le condizioni di esistenza. 1 b - 2 ; C.E.: b ^ 2 A b ^ 6 A a ^ 2
12]
INVALSI 2005 Fra due numeri razionali positivi a e b può essere definita una particolare operazione, che
si indica con ò, che funziona così: a» ab a<)b =— a +~Tb
Dati due generici numeri razionali positivi aeb, quale delle seguenti relazioni èfalsai PT1 flO l = 1
[ b]
— a ]r y
Verifica che il rapporto tra l’area della superficie totale e quella della superfìcie laterale di un parallelepipedo a base quadrata è uguale alla somma tra 1 e il rapporto tra il lato di base e il doppio dell’altezza. a+ 1 E H Un rettangolo ha un lato che misura cm e 2 a2+ 2a area 3a + 6 cm2. Trova il lato mancante. 2a (a > 0 ) a+ 2
E S E R C IZ I IN
I~c1 a(>b = bOa
[h ] a ò a = - | 2b + 4
eh Calcola l’area della figura a lato. (b > 2) Ab2- 1 b2
2b b+ 2
1 1 b
b
x+ 1 E H Un cubo ha lato 3o +. x e una cavità cubica di Calcola il volume del solido. la t0 ^ + 6 (x > 0 )
7x3 + 24x2+ 24x + 8 8 (x + 3 );
P IU
E0 - E0 Q SU TUTTO IL CAPITOLO 487
FRAZIONI ALGEBRICHE
E S E R C IZ I IN P IÙ
F R A Z IO N I A L G E B R IC H E E S E M P L IF IC A Z IO N E Q Teoria a pagina 462 CHECKER Semplifica, se possibile, le seguenti frazioni algebriche dopo averne determinato le condizioni di esistenza, che non indichiamo nei risultati.
X —1 1 —x 2 ’
sa
3
su
—ab + b
+ 2y + 10a ’
xy
5a x
ab
’
a x 2y 2 — 4 a b 2
a 2b x — 4 a b 2 ’
3b2+ 2ab2
b y + 2y
g ii
2bx
+
x 2 —a 2 +
sa
2a -
2 x + 2a — 2
3b2—
■1 ’
y 4—
2^ + 4 16
VERO 0 FALSO? La frazione algebrica * w+2*
fD Q
a. b. c. d.
3(b + 4)
y2- 2y —2
a+ 1
2
x 4 + x3 + x 2 —x —2 x4 + x 2 —2x
3x2 + 2x x 2 + x —2
1
bx 5
48 • y 3 — 4y 2 +
x4—
E
' y
4 — b
’
b 2x
X2 b+1
3a(2a —3b) X ax —4b’ b2
12r?3 —27a b 2
abx
sa
5 + 6x a + 6b
- b 2+ 1 '
afe 2a + 1
y (4 -y) 4
a xy -- 2 b ’
x 2b — x 2
ax
>
b
•
16y — y 3 16 + 4y •
’
5x + 6x 2 + 6bx ’
sa
3 (a + 1) _
+ 2 a 2b
- 1 - 4 a2
a 2x y + 2 a 2 b
sa
_ j ___ y_ x + 1 ’ 5a
’ (y2+ 4)(y + 2) , , \ X+ 1 x ( x - 1); —
„ , con « e N :
non esiste per x = 1. si annulla per x = 0 . si annulla per x = 1. non esiste per x = — l.
m ca S E
SE S E
Semplifica le seguenti frazioni algebriche (n € N ).
gg
x2n— y2n x2n+ 2xnyn+ y2n ’
gg
x3yn— y',+2 x2yn~2+ xyn~l + yn
m
u
xn- y n
xln + xn- \ 2 x3n- 27
[y 2(x —y)]
Con tre lettere Data la frazione algebrica F = posizioni è falsa? EUREKA!
[~a 1 F perde significato se x=l A y = l Az = —2. |~b~|
E132
F = x+y —z
Vx, y, z: (x +y + z) # 0.
X" + 4
x'' + / ' ; x2" + 3x" + 9
x 2 + 2xy + y2— z2 x + y + z —, quale tra le seguenti pro-
[c] F = x + y + z
Vx, y, z: (x + y —z) ± 0.
|T] F = ì —z
Vx, y, z: x + y = 1 A z ^ - 1 .
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
FRAZIONI ALGEBRICHE
EQ 3Q
| ESERCIZI IN PIÙ
Due false, una vera Considera le seguenti uguaglianze:
EUREKA!
, 2x _ 1 A‘ 2x + 2 ~ 2 ;
7
2x _ 1 2x + 2 ~ 3 ;
-
2x _ x 2x + 2 ~ x + 1 ‘
Associa a ciascuna di esse una tra le seguenti affermazioni: a. falsa Vx E R —{1};
b. vera Vx E R —{—1};
c. falsa Vx e R - j-y j.
trasformando ogni frazione in una frazione equivalente con denominatore assegnato.
COMPLETA
n n 55“
b+1 _ 1 I 2x _______ y+2b y 2 + 4by + 4b2 ’ x 2 —x + 1 x3+ 1 '
irc i 5r“
3b __________ a + 1 _____________ 1+2a 8 a4 — 2a2 ’ x2 + 2x 3x2 + 2x + x 3 '
Riduci allo stesso denominatore le seguenti frazioni algebriche (n E N).
EU x2'14+ xn’ 1 gg
X 2"
2 3 E3 x2" ’ x3" '
21 - x" •
X
2x x2n+ 2x"+ 1’
x4n- 1•
x 2n _ y4n >
O P E R A Z IO N I
X
xn+ 1
© Teoria a pagina 464
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE ES
[ 7 Ì CHECKER Esegui la seguente addizione algebrica.
25 t+ 5
EfflU
[5 —t]
5 +t
YOU &MATHS Simplifying a sum Which of thè following is a simplifìcation of thè sum
2x —1
E
TEST H
5x- 1
E
5x + 5
E
2 1 3
5 ( * — 1)
_1___ 1 2$
ci
i
E S ilQ TEST [3
E
x —3 +, x+ 2
ITI — a
E
E
E
-
2a
E
0 i
XZ
CHECKER Esegui le seguenti addizioni algebriche.
2
3
P
a+ 2 a2 +a
P
2+ x _l_ 3 _ 5x—8 xy - xLy xy xy-y
E3
x —3 __1_____ x2+ 1 x+ 5 + x-2 x2+ 3x—10
a2—2a
a
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
1 -2 a (a + 1) (a —2 )
5 xy 2 (x + 1) (x —2)(x + 5)
E133
13
FRAZIONI ALGEBRICHE x —3
P
x+ 1 + x 2 + 4x + 4 (x + 2) (x2 - 4)
x2 —4
g ru [01
1
1
x2 — 2x + 1
x 2— 1
,
x
2x
x 2— 1
x 2 + 2x —3
+
,
+
x 2 + 11 (x —l ) 2(x + 1) (x + 5)
1
x 2 + 6x + 5
x + x 2 —x —2 x3 + 2x2 —5x —6
\6a —8 — a2(a + 4) ^ 3a 2a3 —12a2 + 24a —16 a 2 - 4 a + 4
gg
a- 1
1
a 3 —6a 2 +12a — 8
a 2 —4
1 2
Ea
H0LJ
(x + y ) 2 + 9 (x + y) + 6 9 —x2 —2xy —y 2 EUREKA!
[0 ]
+
5 (x + 3) (x —2)
3+ a
1
4 -2 a
2(a — 2) a2+ Sa — 10 {a — 2 )3(a + 2 )
1
a2—4a + 4
i 6 —2x —2y
+
1
x+y + 3
3+ x + y
2(3 —x —y)
a+ ^ Sommare l ’inverso Sia A = a ^ , , con a ^ ± b . a —b
Quale fra le seguenti uguaglianze è vera? [ a]
2A + A ~ ' =
[c] 2A + A-1 = 4a2 + 4b2 + 2ab
3 a 2 + 3 ìf~ + 2 a b t
a2— b2
ITI 2A + A 1 = 3a2 + 3b2 —2ab
|d |
a2 — b2
2A + A -ì — 3a2 + 3b2 + 2ab a2 —b2
MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE CHECKER gn
a2 + 4a + 4 2 —a
gg
24 xy + x —y — 1 x 2 + 5x + 6 4x2+ 12x
2a2— 8a + a2—4
8
x 2- 1 6x + 6
J2 4 (x —2)
X3
\8 x2y 2- 2 4y —4
gn
x 3 + x 2y + xy2 14x 2y
2xy —2y 2 x 3 —y 3
g ii
x2 + 1 x 2 — 3xy ~ 4y 2
2x ~ 8y x —1
p
a 4 + ab3 x 4 —x 3 —X 2 3ax —6a a 2x 3 — b2x 3
M
4
y+1
x 2 —4
gn
E3
[ - 2 (a + 2 )]
3y(3xy + 1)
3y2 - 3y 3x 2y + 3xy — :
Sax2 —ax
(ab)3
a 3^2( a —x)
1 —25x2
2 (x + 1) 1
7x 2 (x2 + 1)
(x+y) (x — 1) (a2 ab + b2) (x + 1) 3x(a — b) a^b^x (a —x )(l + 5x)
CHECKER Esegui le seguenti divisioni.
E3
a3 — 1 a2 — 1
EH
/ x 2—X \ x 2+ l
E13A
a2 + a + 1 a2 + a x 4 —X2 x 4 + 2 x 2+ 1
4a2b a2b —ab2 \ x4- 1 / ' x 2+ 4x + 3
a —b 4 x+3 x(x 2 —1)
EH
y 3— 1 y 2— 1 12 xy2 y 2 + y + 1 ' 4y2 + 4y ' xy2 —x 2y
P
x 2 —4a2 . ax+a ‘
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x + 2a x 2+ 1 + 2 x
a ' x —2 a
' y —x ì 3
(x—2a)2(x + i) a2
FRAZIONI ALGEBRICHE
I ESERCIZI IN PIÙ
x 2 + 9y2 + 6 xy x 4 + 3x3y x 4 + 9x 2y 2 —6 x3y ‘ \ x4 + 81y 4 — 18x 2y 2 ' x 2+ 9y 2 + 6 xy
EJQ
x + 3y
CHECKER Semplifica le seguenti espressioni. x2+ y 2 -1 x 2 —y 2
(x —y )‘ (x + y ) 2
gn
4x -2 x+y
g li!
a3b2 + 4a2b + 2a —a3b + a2b fc+ 1 ab2 + ab3 £73 — £>3
b+ 1 b —1
g li
2
1
pi
a+ 1
pi
u+ 1 -2 a
EH
a2 —5a + 6 a2 + l a + 6
E3
1+ +
gn
4fr + 3 -2 b —1
2 (3 fl- 1) a+ 1
C,2 l d a+ 1
#+ 1 1 —a
_J_
x+y x —y
2x + y x 2 —y 2
gg
_____b_____ Sb2 + 9 b - 2
gn
1-
gg
b a
gg
x —2 y 3 + x+ 1 x + 2y
EH
3x x2 —1
EHI
-& b 1
s
+
2
2b 5b2 + 4b — \
ab a2 —ab + b2
9a2 (a + 1)‘ 5b2+ 206 + 4 (6 - 1)2
* r / x 2 —6 x + 9 \-2 \ 2x 2 —6 x + 4 /
5 6 -1
3-
x 2 — 4 y 2 + 3x + 1 x 2 + 2 xy + x + 2y
1
+
2x —2 [ ( x - 3 )2
-4
, 2 , +
2
3a3 a 3 — b3
4fr
1
b2— ab . 2a2b + 2b2 . ab + b2 O I O I a —b + a a2 — b2
x 3 + 3x 2 —x — 3 , +
2b 6+1
4a2—4ab + 4 b2 ab2— b2
a —2b 4a2b2
3b
a —2 (a + 6 ) (a + 3)
- u " )
8
6+ 3
(x + 2y) (x + 1) 7
0
b2 + 6 -1 2b + 5
4x —8 x 2 —4x + 3
TEST
x + 2 xy i 2y2 —xy ' y
-x +
2a + 3 9a 3 + 1 a (a + l) ;
pi
u
x+y
2a + 10 tz + 1
+ 4 '" ’
t
b+ 1
(3a + l ) 2 1 4a 2 I ' 24a3+ 8 a 2
3x —4y ^ x — 3y x
E9
m
(fr + l ) 2 ab + a
a + a a —1
3x + 6y x 2 —2 xy + y 2
EH
a(a6 + 1)(6 —1)
4b2- 4 16a b + 16
a2 +
a2b3 2b —a
(a + 6) (a2 + a6 + b2) la x + 2y x+ 1
2 x2 + 4xy + 4y 2 x 3 + 4x 2 —x —4 3x3 + 1Ox2 + 3x + 10
1
x 2 + 2x —3
x 2 + 4x (x + 3) (x2 + 1)
26 6b + 6 6 3 2 6 + 1 / ' 263+ 962+ 106 + 3
Effettua l’addizione: ITI 2x 2 —xy
-3 afe»+ b2
b+ 1 b 1
4xy + 4y2 x + 4y + 2x 2 — 3xy + y 2 2 x - y ' 0
r
/
m
2x2 + xy (2 x —y) ( x - y )
in
2 x —y
[USA Marywood University Mathematics Contest, 2001] Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
E135
13
FRAZIONI ALGEBRICHE
pG
Si fa al volo
EUREKA! E
E
2
a4+ b4 a2b2
+
b2
a“ , b2 E b2 +
E
a4+ b4 a4b4
E
a~2b2+ a2b~2
[USA Indiana State Mathematics Contest, 1999]
pG
A due piani Semplifica:
EUREKA! 1
1
x —2
x+ 2
x+ 2 + x
2
Ex .
s
4x x+ 2
E
4x
E
E
Nessuno dei precedenti.
[USA Catawba College NCCTM Mathematics Contest, 2007]
G
b q
Frazioni atletiche In un club di atletica il numero mensile (in centinaia) di nuovi iscritti,
EUREKA!
t mesi dopo l’apertura, è ~r+T, e il numero mensile (in centinaia) di disdette è ~r+Y' Scrivi una frazione algebrica semplificata che esprima la differenza mensile tra nuove iscrizioni e disdette. t
ì
E
( t + 1)(t + 2 )
E (t + 1) (t + 2 )
E
2 t2+ t (t + 1) (t + 2 )
E (t + 1) (t + 2 )
E
2t (t + 1) (t + 2 )
31
[USA Catawba College NCCTM Mathematics Contest, 2007]
PTiTil Due diviso zero? Determina il rapporto tra l’area del numero due e quella del numero zero, (x > v > 0 ) H
9y+ÌOx
7
10y + I6x
1-1 5------ 1-1 y — 2x+y y
R IE P IL O G O CHECKER
ETCÌ
Semplifica le seguenti frazioni algebriche dopo aver determinato le C.E. (n G N).
z2— 3z — 10
z4- 16
z --5 ( z - 2) (z2+ 4)
0 0
9x2— y 2 6x2+ xy —y 2
3x + y 2x + y
[p i
2x2 —5x — 3 a 3— 3x2 + x — 3
2x + 1 x2+ 1
0 0
a4 + 4a2 + 3 a 4 + 6a2 + 9
a2+ 1 a2+ 3
p i
x 3—x 2 — 5x + 6 2x3 + 2x2 — 6x
f x -2 [ 2x
p
2y3- y 2- 4 y + 3 2x 2y 2 + x 2y — 3x2
\y
0 0
Sa3 — 36a2 + 54a — 27 4a2 — 9
03
125-8a3 25 - 4a2
E136
(2a — 3)2 2a + 3
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-1 X2
25 + 10fl+ 4ci2 5 + 2a
FRAZIONI ALGEBRICHE
ay + 2 y + a2 —4
sa
y + a —2 a‘ - 2z?+ 4
a3+ 8
PETil
x2—9 x2—6x + 9
g ii
2b2 + 8b 4ab2 +32 a b + 64a
sa
b2a2—4b2 a2b —5ab —14b
r x + 31 [x -3 b 2a(b + 4)
sa
PEPI
2ab + 4a — b —2 12a2b —12ab + 3b
SQ
y 2—6y + 9 + 2xy —6x y 2—4y + 3
y + 2x —3
sa
4fr2—4^7 + 1 + 2ab —a 4 b2—4b + 1
2fr + a —1 26—1
6b2 + 2by —3 b —y Ì8b2y —2y3
fo+ 2 2>b{2a —1)
7 -1
a —an+l
b(a —2) a —7
PESI a2 —a + 2ax —2x a2+ 3ax —a —3x
I ESERCIZI IN PIÙ
1 a"-1
a2n —a"
a + 2x a + 3x
PETI
2b- 1 2y(3b —y)
PESI
^2n +2_ ^2
X2(x” + 1)
x 2n - 2xn + 1
xn- 1 ' x" - 2 x" + 5
x 2n- 4 x 2n + 7x" +10
VERO 0 FALSO? 6 a + = 0 b —a a —b
b. x + 1 ( - a 2)+ 6
1
a (x + 1)
d. - a +X b \ - 2. i
S E
EE
Determina le condizioni di esistenza delle seguenti espressioni. / x + 3 \~3 / 1 __ M 2, V a —1 / ' \ x a )’
x+ b x2 ( 1 \~2. l + x 2 ' 4 + 4x 2 v * / ’
a
H E
—a + b
ax + bx
•l
sa
= - 1
1_ x + y b —a
/ a2 — b2 l y 2 —x 2
- r
ee
/0 . 1 \° + 2 -x
1-4 x 2
x+ 1\ 2 y-
CHECKER Semplifica le seguenti espressioni dopo aver determinato le C.E. (n G N ).
PESI sa
2 + 2b a2— b2
y+2
4x2 + 1
,
1
ab —a2b
PESI 1 1 VX
4 —b a2+ ab
x+y 1 + xy —x y —1
x
pesi 4x —
pesi
b —4 a2—ab
2(2x —3) 2x- 1
a+ 1 ab
26 —a b(a —1)
x 2- 1
2
2
X2
' x2- 4 2x2
2
a —1
PESI (q + l ) 2 / 6 a + 10 a2—9
x (y -l)
4x2 + 4x + 1 2x2 x
\ 3 x + 1/
2(a + ab + 4b — b2) a{a — b)(a + b)
| i
\ a2— 1
\ / b2+ b y \ / \ x 2 — fr2j /2 J
\ /
|
a2— a —2 a2 —4a + 3
1 —7 x + by
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(a + 1) (2a + 1) (a —1) (a —3) y 2+ b y(x + by)
E137
13
FRAZIONI ALGEBRICHE
SE1
+ 1 -=- + X x"
SD
sa
x3 x 2- 1
1
11 —x
8
+ x -5 J '
- 1 U +
X + 1
2 \ x + 4)
2
x+ 4 : 1
S3
3(b —2)
sa
— + 2 Ì:( 3 - — a \ a
sa sa
a+
2a <3 + 2
2* - l
+
1- b
-1 b+ 1
2 —3b b2— b — 2
8
(b+ l) 2(b-2) (1 + 2a) (1 + 3a)
1
+ 1
a+ 4
(a + 2) (a + 4) 9
(x + 1) 2
gn
x 3 —4x + 5x2 —20 3x — 1
+
y
4x3+ 4x2 —4x 20x3+ 20x2
x 2+ 7x x 2 + 7x + 10 2
1+ 2
'2 a
/ x —2 \ x 2 + 4x + 3
2x 2 —5x + 6
'2
2C— 3 /
1
x+ 5 * + 3
1 x+ l
x 2 —4 x 2 —6x
3x2 x+ 7 2
a + 4 + 2a a2+ 4 + 4a
2a 2 —b \
+
1
(3x) -1
6x —2 4x2 —8x
1-
3 —a
Cl
¥
4(3+y) y 3( i - y ) 2
- 1
a2— 1 + 1 a2 —a —6 a+ 2 «
2(1 - x )
x+l xy 2 \2
(3x —2 )2 — (2x —3)2 x 3—2x + 1
3x x 2 —9
9x + 5 2x —1
*
sa
p
2 (x + 1) (x + 2)2
5 2x2 — 3x + 1
6 # 2 + 12 # + 8
X+l
Q,
8x x2—1
9a2 — 1
U z z . \ xy + x
gn
4 + 4x2 x 2- 1
3(1 + b )
sa
gn
2x —1 x —1
2
5 1 \ 1 + x- 1 1 - 2x / • x +
1
(x + 2 )2
sa
20
1 + x3 X2 -
la 2 ( a - 3) 2 8a(b + 2 )
2a b3— 2b2 —4b + 8
b2
2 —4 \ 2 x 2—6x + 9 c2 —4x + 4 x 2 —3x
3x + 3 x 2 —x —6
x 3+ 8 x3— 5x2 + lOx — 12
x]
ax + 3ay — 2bx — 6by ( x3+ 21y3 \-1 a2 - a b - 6b2 4 b2 a2 + 4ab + 4b2 ) ' 3x2— 9xy + 21y 2
a —3b
b+ 1 1 2 b J_\_1 / J_ ___________________________ 4 f r - 10 b2 — b —6 b2 — 3b b2 + 2b b) \b b2 + 2b
gg gg EHI
b loO
[b —3]
2a3+ a2 — Sa + 2 \ 2 2a2 + 3a —2 2a + 2 (‘ + i Z - f a2- 1 y -3 3b + b2 —9 b2+ by + 3b + 3y
4x2 — 1
-1 2x2 + 7x + 3
y+ 3 - f) b2 — 3y — 3b + by
x2 + x —6
1 4a —2 b2 —4b + 4
3x2 + 27 — 18x 2x2 —7x + 3
-1
i(b + 3)6]
12 + 2x *- 5x + 6
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[—6 (2x + 1)]
FRAZIONI ALGEBRICHE
m -i ===
8x 3 — 36x2 + 54x —27 / x + 3 2 x 2 —x — 3 \ x2+ x
ehi
3x y + 12x ~ 7 - 4 / - 16
gg
x6 —1 3x2 - 3
pesi
(i+*Xi-X-
x —2 . 3 \ 1 3x2 + 8x —9 1 2x j 2x2 — 3x -1
2+ 4x + 4
x 2+ 2 5 — lOx 2x4 + 2 x 2 + 2
\ y 2-
x+5
a — 1 ax + 1
a
[4x2 —lOx + 6 ]
x 2—
3x2 + 5 x - 2 4y
y ~ 4
— 1)2
J V + 2 7 —I c2 + 7x + IO
Z -7 (x + 5) (7 + 1) 2x2 —17x + 35 3 (x + 5)
25 —x 2
+ 1 = r)
I ESERCIZI IN PIÙ
1
[( 6 ax 3 + 6 a) : (x 2 —x + 1)]
9a2x2
x +7 X
pna I
7 3 —272x + 7 X2 7 3+ x3
+
x2+ 7 2
-2
y__________y
\ b y + b — 2y — 2
rm ==
a2 — 2ab
+
pesi
peti
(
1 bn
( xn-
3 _
\ x" + 3
1, x 2 + 3x + 2 * ' x 2 + 4x + 4
an
1 +
'
—3
a nb n
+
1 / ’\
b3 —2 fr2 — 2 b y
a 2+ 2ab + b2
3(4x2 — 12x — 1) x 2 —x —2
b 2n )
a 2n -
b 2n
an- 2 b "
9x" \ . x 2” x 2” - 9 / * x 2" + 3x"
53x \~h / 25x3 \ 4 —x / ’ \ 16 —x 2 /
[ 1]
y2
b \ l b f - b - 2f + 2 Y' y 2—
2an - 2 b n \ bn
xn+ 3 x”
+
________ 2_ + ___ 4___ r 2 V 3x" - 2 3x” + 2 4 - 9x2” ) I
sa
,
— b —2 y + 2
a 2 — 3ab + 2 b 2
_
\ an-
x 2 — 2x y
( a 2 + b 2) 2 — a 2 b 2_____ a 2 + a b
b2
a 6 —b 6
(2x — l ) 3 x 2 —4 EEE1
by
xy
1+
(4 + x )2” x 4”
b
)
1
a (a —2b) 2
x+ 1 2an
bn _3__ x" —3 [(3x” + 2)2] (4 + x) ” 5”x2”
(r " + ^ + 2 ) 2: ( / ) - ; - y 4 , _ 2 ^ + i
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E139
13
FRAZIONI ALGEBRICHE
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ►Com petenza 1 (abilità 3, A)
□
VERO 0 FALSO?
CACCIA ALL’ERRORE
± + J - = -L a 2a 3a
x2 _j_ j
p e r d e s ig n if ic a t o se
x = — 1.
? x _ 2x a 2n
m ir i
a.
H E
b. /
/ 1 + fc \2 4 [
8 a —16 ,
2^2
g
,
• i
4
e e q u iv a le n t e a
+
^
,
s° l °
se
a ì ± 2.
E E
/ —3a3 \3 \ a- 1/
9a9 (a - l ) 3
H E
d.
/(x + 1 ) -
= x + 1 —b
/
e. AX . XA _ AX □
j&a + b <3 II
c.
/
E E
TEST Dati a, b, c numeri razionali positivi, l’uguaglianza
i + Ac
ac b+ c
l~À~l è sempre verificata. I~b1 è soddisfatta solo per a = 1. I~c1 non è mai verificata. I~d~I è soddisfatta solo se a = 1, b = 2, c = 3.
Determina le condizioni di esistenza delle seguenti espressioni. x —a 3x2
x 2 —a2 2ax
y
x 1+ y 1 x —4
x
2a~2 + 3x' -3.
1
a a —1 ' x —2
v-2
1-
CHECKER Semplifica le seguenti espressioni dopo aver determinato le condizioni di esistenza.
1-y 2y + 1
+ 1
~3y
—2 —2x2 + x—1
X5 + X4
x —3 9- x 2
4y 2 y + 2y+\
2y+l x X
— 1
x 2 + 7x + 12 x 2+ 4 x - x y - 4 y
3a + 15 a ~ a* - 4a + 4
a
+
6y 3y2- 12
x2+ 3x + 1 x(x+ 1);
1
x(x + 1) x 2 —2xy + y 2 2 x - 2y
3a — 10 2a - 8
a 3 —6 a2+ l l f l —6
-25
x+ 1 x+ 2 12 + x 2+ 8x 2x2 + 3 + 5x + 1 \ 3x —1 ' 1 —4x + 3x2 6 + x / ’ 2x2 + x —3 488
1
(y-2)2
3 (a —3) 2 (a —4) x+ 4 x+ 6
MENU DELLE COMPETENZE
/
X
_
X +
X
1 \ . /
Nella seconda pagina della copertina
1 10x2 —13x —3
(*i - 3 * - 1 0 ) ( ^ L - + - ^ ) : 2 x + 1 5x + 1 VX — 1
Q
1 2x + 1
x
X
xz + r M
/ ' \ X2 — 1
x2 —8x + 16 —xy + 4y 3x2 + 6x + 12
x (x + 1)
* - x * r )
x3—8 6 (x —4)2—y2 x2—6x + 8
x + y —4
5 2x2—2x —12
1 , x3—3x2+ 3x —2 , + -------- -— ;-------- + x x —1 2x2 + 2x —4 / ' x —3
9 8x2 + 8 x —16
3 , 1 x3—4x + 8x2 —8x 4x2 —8x / x2 —2 x + l
X—1
y x
2x \ I y . x +■ x y x —y
x —y
4 x 2y - x y 2
x x +2
y x +y xy
x
y
+
\
j 3x2-2 x y + y2 x —xy
+■ xy —y 2 ' x2 —xy
1 + 1 y x-y
3a 2 3a2 - 1 - 1 3a 2 + 2 x 2 3a2 —2x2 x —y (2 —x) 3 \(2 1 • \ x x —y ) x z9 —y 2z (1 + 1-
x —5 _j_ x + 1 x2 —3x x2 —9
[x2 —X + 1]
1
9a 4 - 1 4x4
[0]
(x + y)2- ( x - y ) 2 x)2 —( 1 —y)2 —x2 + y2
2
4 (x+y)y2
2x3 —18x 4x x2 + 3x / 2x2 + x —3 ' x2 —2x + 1
27x3—1 —27x2 + 9x 27x3 - 1
18x2 + 6x + 2 9x2 —6x + 1
x2—4x + 3 2x
x3—2 x + l x2 + 2x —3
2 (x2 +
x
- 1)
x+ 3
►Com petenza 3 (abilità 2, 4)
W/M Data la funzione /(x) =
>calcola:
i f r i È data l’espressione
a. I /( - 1) + /(2)] 13-1; b. L f ( 3 - ) ] - 2 - 4 ^ - .
a)
9
a. Determina quale frazione occorre sostituire 3 ad A per ottenere —5— r xz —1 b.
Trova il valore di a per il quale le frazioni x3+ ax + 2 x 2 + 2 a 2x 2 + 5x + 2
X' -
X
x + 2x2 sono ecluivalenti.
Per quale valore di x G R la frazione A perde significato?
c. Trova il valore di x 6 R in corrispondenza del quale A vale 0.
[-1] Wl1 Data la funzione /(x)
2x3+ 10x+ 12x2 x2 + 6x + 5
a. determina il dominio di/(x); b.
semplifica l’espressione analitica di/(x);
c. determina per quali valori di x si ha /(x) > —2; d.
trova gli zeri di /(x);
e. traccia il grafico della funzione. [a) x 7^ —1 Ax ^ —5 ; b) 2x; c) x > —1; d) 0]
+ x —1 '
,a > i r f ; b ) - 1 ; c > - 2
Considera le frazioni algebriche x2 —3x + 2 / 2x + 4 x2 —4 e l 2x —1 ì • a. Sono equivalenti? b.
Per quale valore di x si annulla la prima fra zione?
c. Quanto vale il loro quoziente? , \ 1 N 2 (x - 1) a) no; b) 1; c) 2x_ l
489
13 FRAZIONI ALGEBRICHE V E R IF IC A D E L L E C O M P E T E N Z E
TUTOR
PROVAA (10 esercizi)
PROVA C ►Com petenze
PROVE
PROVA B (10 esercizi)
0 IN MEZZ’ORA
1, 3
0 IN UN’ORA
Esegui le seguenti operazioni:
VERO 0 FALSO?
2x + 1 1 . 1 L 2x + y ~ y
S E
y
-1
4a 2 b3 a2—b2 a+b 2 ab2.
7-2’
b. Le frazioni —\ —\ e (2 —x)2 ^anno entrambe valore 1. [71171
Determina le condizioni di esistenza delle frazio ni algebriche:
c. Una frazione algebrica perde significato per i valori che annullano il denominatore. [71171
a.
1 4x
1 3x
1
b- 1 4b - 6 ’
i b.
1 x 4 —4x2 >
C.
8x 3ax 2 '
Semplifica le frazioni algebriche:
S E
a.
9a 2 — a 9a2 ’
b.
x 2 —6x + 8 x 2 —4x + 4
Semplifica le seguenti espressioni. ■ s
x 2 + x —6 x 2 + 6x + 9
x 2 + ax + 2x + 2a 3a + 3
x 2 —4 a 2 + 2a + 1
25 y . ( J L Z J L ) 2,2 5 ^ -5 0 --------- /_ L _ ± ) J _ ^ \ x2 —y2 / x2—2x + xy —27 \ * 7 / 72 —x2
D
PROVA D ►Com petenze
I l
1, 3
0 IN UN’ORA
Dopo aver determinato le condizioni di esistenza, semplifica le seguenti frazioni algebriche: y 3 ~ 4y2 + 4y a* y 3 + 3y2 —1 0 y ’
x3- 3 x 2 + 3 x - 1 ' 4x2 —8x + 4 ’
a2- 9 C’ 3a2b — 9ab'
Semplifica le seguenti espressioni.
H
( 7 7
a+ 1 1 —q
qx + q —2x —2 x2 —1
3 + 2a 2 \ a2—4 q2 —3q + 2 / 2q + 5
x2 —4x + 4 / x2—3x + 2 \2 3x2 + 3x —6 ' \ 3x + 6 /
q2 + 4a —12 2 0,4x2 0,6x7 qx + 6x —q —6
E f l Data la funzione /(x) = X J 3xz —x
:
a. determina il dominio;
c. trova per quali valori di x si ha /(x) < —1;
b. semplifica l’espressione analitica di/(x);
d. traccia il grafico della funzione.
Trova per quale valore del parametro b le frazioni
490
x3—3x + 2 x2 —4
x —x2 —b + bx
x2—1 e —-----j- sono equivalenti. x —x z ^
MENU DELLE COMPETENZE
PROVA E ►Com petenze VERO 0 FALSO?
Q
Nella seconda pagina della copertina
1, 3
0 IN UN’ORA
Motiva le risposte.
a. Se una frazione algebrica non perde significato per alcun valore delle sue variabili, allora si può comunque ridurre a un polinomio. b.
0 0
Esistono infinite coppie (x; y) di numeri reali per le quali la frazione algebrica x2+ y 2 x _ y perde significato.
0 0
x2- 1 c. L’uguaglianza x + 1 = ■ _ ^ è verificata per ogni x e
d.
0 0
La frazione algebrica y - 1 perde significato per y — 1. y2+ 1
0 0
WM Alla corda blu e alla corda rossa in figura vengono tagliati due tratti; poi le corde vengono congiunte tra loro, insieme a una corda verde. Osservando la figura e sapendo che alla corda rossa è stato tagliato un trat to lungo la metà di quello tagliato alla blu, calcola la misura della corda tricolore. Determina poi la sua lunghezza, sapendo che, in metri, x — 8. 2x - 1 x
x+ 1 3x
_3_ 4x
Data la funzione /(x) =
x3—x 2 —2 x 2 x + 2x2
a. determina il dominio; b.
semplifica l’espressione analitica di/(x);
d.
trova i valori di x per i quali la funzione è posi tiva;
e. traccia il grafico di/(x).
c. trova gli zeri;
PROVA F ►Com petenze
1, 3
© IN UN’ORA
1 su 1000 ? Un indicatore del livello di assistenza sanitaria delle diverse regioni italiane è il numero di posti letto per abitante. M a rc h e ,
a. Calcola il numero di posti letto disponibili ogni mille abi tanti nelle due regioni indicate a lato. b.
Se x è il numero di posti letto disponibili e y il numero di abitanti, indica con quale operazione si calcola il numero di posti letto per mille abitanti.
re x ld e n tb
1565335
p o s tò L e tto
5635
L a z io 5 7 2 8 688 2 2 3 5 -2
( d a ti Is ta t2 0 0 9 )
o > T
y
c. Se calcoli il rapporto — , quale informazione ottieni? d.
Il numero di posti letto per mille abitanti resta lo stesso se il numero di abitanti aumenta di 1000 unità e il numero di letti aumenta di 1?
e. Come varia il rapporto se il numero di abitanti aumenta di 1000, mentre resta costante il numero di posti letto? E se, a parità di abitanti, diminuisce di 1 il numero di posti letto?
491
EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
U
1. EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE © Esercizi a pagina 496
r n A ratio na l equation is an equation in ■ ■ which thè unknown appears in thè denominato!" of at least one of thè terms.
5
Un’equazione numerica è fratta se l’incognita compare in almeno un denominatore dei suoi termini. Per la risoluzione di un’equazione numerica fratta dobbiamo: • determinare le condizioni di esistenza (C.E.) delle frazioni algebriche presenti nell’e quazione che hanno l’incognita a denominatore;
_
x —1 \
6
x+2 /
incognita al denominatore
C.E.: x ^ 1, x 7^—2
• applicare i princìpi di equivalenza fino a trovare le soluzioni; • controllare che le soluzioni siano accettabili, cioè soddisfino le C.E.; soltanto le solu zioni accettabili sono effettivamente soluzioni dell’equazione. Anche le equazioni fratte, come quelle intere, possono essere determinate, indetermi nate o impossibili. Esaminiamo un esempio in cui un’equazione fratta risulta determinata. Risolviamo l’equazione: 9 x 2 + 3x 9 x(x+3)
1 x
2 x+3
1 x
^ scomponiamo in fattori il primo y denominatore e determ iniam o le C.E.
2 x+3
C.E.: x 7^ 0, x ^ —3 9 — ( x + 3) x(x + 3)
A riduciam o allo stesso denominatore, mcm dei tre denominatori
2x x(x+3)
A applichiamo il secondo principio, m oltiplicando y entram bi i m em bri per x (x +3 )* 0 per le C.E.
/ \ 9 (x "b 3) 2x , \ x( x + 3) x(x + 3) = x(x + 3 ) x( x + ì)
\ semplificando, otteniamo y un'equazione intera
9 —(x + 3) = 2x
^
i
i
risolviamo l'equazione intera
6 = 3x —■ x = -^ = 2
Controllo: x — 2 soddisfa le C.E., quindi è accettabile. L’equazione è determinata, con soluzione x = 2. Esaminiamo ora un’equazione numerica fratta che è indeterminata e ha quindi infi nite soluzioni. Anche in questo caso dobbiamo tener conto delle C.E. ed escludere dalle soluzioni i valori che non le soddisfano. 492
soluzione accettabile
1. EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE
TEORIA
Risolviamo l’equazione: x + 2 _}_ 6x + 12
x+3 4x
12 x
)
C.E.: x ^ 0 2x + 4 + x Ì 2x
determ iniam o le C.E.
\ riduciam o allo stesso denominatore, mcm dei denominatori
3x + 9 —5 \ 2x
~) applichiamo il secondo principio, m oltiplicando entram bi i m em bri per 12 x*0 per la C.E.
3x —3x = —4 + 9 —5
^
risolviamo l'equazione intera
0 ■x = 0 — equazione indeterminata Controllo: per la C.E., la soluzione x — 0 non è accettabile. L’equazione è indeterminata ed è risolta Vx e R A x ^ 0. Esaminiamo anche un esempio di equazione fratta impossibile. Risolviamo l’equazione: 4 x
x _ x2 l + x ~ x (l +x)
scriviamo le C.E.
C.E.: x ^ 0, x ^ —1 4 + 4x + ^ a :(1 + x)
\ riduciam o allo stesso denominatore, mcm dei denominatori \ elim iniam o i denominatori, m oltiplicando entram bi i m embri perx(1 + x )^0 per le C.E., e risolviamo l'equazione intera
x (l + x)
4x = —4 -► x = —1 Controllo: x = —l non soddisfa le C.E., quindi non è accettabile. L’equazione è impossibile perché non ci sono soluzioni accettabili.
ESERCIZI PER COMINCIARE Risolvi le seguenti equazioni. 1 2 (x+ 1)
_______ 2_______ ________
a:
(1 + * ) ( ! - x ) ~ 2(1 —x ) 2
x —2 x + 16 a: +2= + x+2 x —5 x 2 —3x — 10 E l C ^ E S a Equazioni fratte f z
j -
x 2 _ '3 x + 2
=
x (x -2 )
O O B S E E ffll In un trapezio rettangolo, le basi AB e CD e l’altezza AD sono lunghe rispettivamente 20 cm, 6 cm e 12 cm. Preso P su AB, determina PA in modo che il rapporto tra l’area del trapezio APCD e quella del 3 triangolo PBC sia -y.
493
14 EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
2. EQUAZIONI LETTERALI EQUAZIONI LETTERALI INTERE @ Esercizi a pagina 502 Un’equazione letterale contiene, oltre all’incognita, altre lettere, dette parametri. Per particolari valori numerici attribuiti ai parametri, un’equazione letterale diventa numerica e, in genere, le soluzioni dell’equazione dipendono dai valori attribuiti ai parametri. Per risolvere u n ’equazione le tte ra le in te ra dobbiamo arrivare, mediante i princìpi di equivalenza, alla forma Ax = B e determinare poi per quali valori dei parametri l’equazione è determinata, indeterminata o impossibile.
incognita solo nei num eratori
/ \ -j— 3a\ = 2 x +/' a parametro
Risolviamo la seguente equazione nell’incognita x e con un solo parametro a. a2x + 6x = Sax —2 + a
~) portiamo i term ini con x al primo membro, quelli senza al secondo
a2x —Sax + 6x — a —2
~) raccogliamo x al primo membro per giungere alla form a Ax=B
(a2 —Sa + 6)x = a — 2
^ scomponiamo il coefficiente di x
( a —2) (a — 3)x — a — 2
\ osserviamo che il coefficiente di x si ^ annulla p e ra = 2 e a = 3
D iscussione
Se a = 2 — 0 x = 0 — equazione indeterminata. sostituiam o 2 ad a
Se a = 3 — 0 x = 1 — equazione impossibile. sostituiam o 3 ad a
Se
2 A
3
w
x—
a^i. 3)
i a —3
equazione determinata.
dividiamo entram bi i m em bri per (a - 2) (a - 3) * 0
In sintesi: 1 a = 2: equazione indeterminata; a = 3: equazione impossibile; a ^ 2 A a ^ 3: x — a _?) Come si vede nell’esempio, risolvere un’equazione letterale significa arrivare, tramite la discussione, a uno schema che permette di determinare la soluzione dell’equazione per ogni valore attribuito ai parametri presenti. ►Quanto vale la soluzione dell’equazione a2x + 6x = 5ax —2 + a, se a vale 8? E se a vale 1? Oppure se vale 2? Per rispondere, non è necessario risolvere le tre equazioni numeriche che si otten gono dopo aver sostituito ad a i tre valori 8, 1 e 2. Consultiamo invece lo schema ottenuto con la risoluzione precedente. Otteniamo: „ 1 1 se a = 8, x = g _ g = -y;
, 1 se a = 1, x = \ — 3
se a = 2, l’equazione è indeterminata. Risolvere un’equazione letterale è come risolvere infinite equazioni numeriche!
2. EQUAZIONI LETTERALI
TEORIA
EQUAZIONI LETTERALI FRATTE © Esercizi a pagina 508 Un’equazione letterale fratta ha l’incognita che compare in almeno uno dei denomi natori dei suoi termini. Oltre alle eventuali C.E. per parametri presenti nei denomi natori, dobbiamo quindi tener conto delle C.E. dovute alla presenza dell’incognita al denominatore.
5 _ 4 x+ì a I
\
parametro incognita al denominatore
Risolviamo la seguente equazione. 3x a —1
a _ 3x 2 —ax — 5a x - 2 ~ ( x - 2) ( a - l)
) determiniamo le C-E-
C.E. parametro: a ± 1; C.E. incognita: x ^ 2 — 6x —a 2 + a (a — l)(x —2 )
^ é —a x —5a (a — l)(x —2 )
riduciam o allo stesso denominatore, m.c.m. dei denominatori
ax — 6x — a 2 — 6a
raccogliamo x e scomponiamo il secondo membro
(a —6) x = a (a —6) Discussione Se a = 1 — l’equazione non ha significato. per la C.E. del parametro
Se a = 6 — 0 •x = 0 — l’equazione è indeterminata, con x ± 2 . / sostituiam o 6 ad a
Se a # 1 A a ^ 6
per la C.E. dell'incognita
a ( g ^ 6) a^^é
x=
x = a ; per la C.E. dell’incognita deve essere x ± 2, quindi a ± 2.
In sintesi: a — 1: l’equazione perde significato; a = 6: l’equazione è indeterminata ed è risolta Vx 1 A a / 6 A a / 2: x
—
e
R A x ^ 2;
a.
ESERCIZI PER COMINCIARE Risolvi e discuti le seguenti equazioni nelfincognita x, al variare del parametro in D
Q E E E E E B a 2( x - 2 ) = 3 (ax - 6 ) -,
1 2
X
X
+2
b —2
2 x —2 Equazioni letterali intere —— + —z— — ^ a —2 az — 2 a O D
1 x+ 1
4x
ODE
a+3 3x
4a a —3
ax + 4 a —2
8x(x + 1)
1- a
495
EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
ESERCIZI 1. EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE o Condizioni di esistenza Q
TEST
3 x-2
Le condizioni di esistenza dell’equazione 2x_____ 5_ . x + 1 9 —x 2 ~ 4x + x 2 + 4 S° n0:
Scrivi le condizioni di esistenza delle seguenti equa zioni. 1 3x
PÀI x ^ 2, x ^ 3, x ^ 4. [~b ]
X
7^+ 2,
3,
X ì
X
7^ 0.
[~c~ì x 7^ 2 , x 7^+ 3, x 7^ 0.
nn x^+2,x^+3,x^o. TEST Solo una delle seguenti equazioni è definita in tutto R . Quale?
Q
s
2x » x+8 _ J
E
2x x4 + 8
»
E
2x (x + 8)2 ” J
E
2x x3+ 8
,,
Q
VERO 0 FALSO?
—
3 \ —x 2x — 8 4x —x 2 x 1 jc —4 4x __ 1 x +■ = 0 x2 —9 ' x2 —6x + 9 1 2x 3x2 + x —2 3x2 + x
Le seguenti equazioni sono tutte impossibili. Spiega perché.
AL VOLO
x -I- 5
esistenza: 1 2•
, 2x + 1 _ 2x ____ 5x D‘ x - 3 ~ x + 3 e 9 —x
= 6.
e
IO4 - 1 = 0; x2 —1
e
7x - 5 x —2
s s
11 x 1 i 3x ^ c- x 2 + x _ 6 = x e - J T 2 +X = 3 = ° -
i 11 i E [B
d - 3 ^ - l ? T T = 0 e l ? T ^ = 5-
ra ra
6x = 0. x2—6x
= 0;
x —3 = 0; 9 —x2
Hanno le stesse condizioni di
1 = 3e x- 1 x 2— 2x + 1
8 9x2
ÉM Q
ASSOCIA
a ogni equazione le condizioni di
esistenza. i A»
8x4
2x + 1 a x4 + 3 si
2.
4x —1 1 - 2x
3.
12 —2x 0,25- x 2
4
496
1 /i
INVALSI 2007
Ix
5x x + 2x2
------- — -------= S
_(2x±l)2
4
I~a1 0
Quante sono le soluzioni dell’e
fcl 2
fbl Più di 2.
Risoluzione di equazioni Risolvi le seguenti equazioni.
1= 0
12 12 —x = 0 7x —3 x+ 1 = 0
c. x / 0 x
x- 4 ‘
} —2?
b. x t^±“2~
d.
x2—4x
I~b1 1
CHECKER
, i a. x 7^—y
n U
x+ 1 = 0. 2x2—x —3
5x - 1 x —2 ’
quazione
Q
4 = - 7— + 4. 4x
~2
5+t = ° x —5 - 0 x + 10
1 _ 5 2x 9x
1. EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE
P -f+T =5
i-ii]
m
[6]
2 - ^ = 0
^
ESERCIZI
x —1 I t i Q YOU&MATHS Find it Does there exist a num ber x such that ^ + ^ = 4? If so, find it; otherwise explain why not. a
Risolvi le seguenti equazioni.
CHECKER
2
J3_ 23
3x x
12 —8
6x
=0
8 —x
3
5 + x
—3 x+4
5+ x x —3
5x x —2
x+ 4 2
EH
[0] 11 15
x 2x —4
P P U
25 2x
B 3
x+4 2x
6x —5 9x —27
[impossibile]
2 2 —x
[Il
2x + 5 _ 2x —4
rv
^ 1 7
(x -3 ):
x —2 X - I
3x
6 x - 12
x+ 3 = 0 x 2 —4
7 x —5
x 2 —2x + 1 3x
[impossibile]
7
, 15 _ x 2 —x — 1 3 — x —2 2x X2-
1
19 8 —x + 2
3x + 2 x
4x 5x2 —2 + 3x - 1 3x2 —x
_3_ 4
[ind., x # 2]
= 1 + x —1
[0]
[impossibile] [-35]
4
9x + 3 3x + 1
2 x 2 + x —2
[impossibile] _
1
5 4x2 + 4x
4 —3x 3x r —3x
16 6x + 7 —x 2
x+ 3 4x2 — 1
1
1+ x 3x —6x2
c2 — 9
12x
3 ( 7 - 19x) 2x2 + 8x
11- 3 x 3x + 12
+■
[impossibile]
3 —x
9x —4 = ( 3 x^
^ ( 3
)
1 -x 2 4x —3 , 9 2x3 — 16 " x 2 + 2x + 4 + '4 —2x x 2 + x —2 _ x 3+ 1 4x —4 4 + 4x3
r 5 ] l ii J c3 - 5x2 + 1 9x 16 31
+ 1
- ^
[2]
12 7 _5 "8
[impossibile]
1 x2 —2x + 1
7 (1 +2x) 3x2 - 7x + 2
2x —3x2
IT I
[ind., x / 1]
[0]
± _ 3_
1
2 x —7
1
4 x + 15 9x —3
x 2 + 2x
1 3x + 3 2x2
2x —5 1-3 x
3 (1 -2 x ) 3x - 1
..7
il 7
x(x —3) + 2 _ x —2 x —1
-5 3x —6
3x + 1
1 x
x+ 2 _
[-2]
4 —x 2x —x2
2
1 3x - x2
3(x + 5)
9x —2 , x + 2 = 0 3x —3 + l - x
x —5 x+ 3
4 x + 15 10x2
[impossibile]
1 3x
XA
m
3 x2 —2x
i
ESEMPIO DIGITALE
x+2 2x
m
p
m
3x + 4 x2
i
2x+ 1 3x
[-1
x2 —2x + 1 = 0 3x —3 9 x
P
[-3 ]
1 —x
1
3 5x
[4]
xz 10000 5x + 100 = 100 - 5x
[ind., x ^ 2 ]
2
2x + 4 x —1
[-2]
4x
x
x + 5 _ ^ _ 11 —2x x —2 x —2
_
1 —4x x- 2
1 3x2 + x —2
[impossibile] 6 23 497
14 EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI 1 —3x . x —1 . 2x —3 x 2 + x —6 x 2- 4 x 2 + 5x + 6 wrj x —2 _ x + 2 —— x2 + 2 x 2 x —x 2 vn ——
2x —4 x
7 x 2 —4
2 + 2x
l i _ / i ____l y 3 2x + 3 x V3 2x A 2x — 3
[impossibile]
3 \ 2x + 3 /
IH x2 + 25 + lOx / x______ x x + 1\ —— x 2 + 2x — 15 \ x + 5 x+2 ' x+2/
x2 + x —2 2x 2 + 3x —2
^
ind., x / —2 A x ^ 0 A x ^ y A x ^
x+ 1
T
2
2 + 3x 3x ^ mrm 1 -----2x - 1
_
1
9 \ x+ 1/
.
—x2
3x2 2 1 ,1 X —y X + y
x3+ 27 +
X — 1
2x2—12 —2x
/ 2 —x x —1 + V x
,
3x
—- — —2) z) T - ( x+1
—4x 2 + x —4 4 —x 2
3-
x+1 3x2 —12x
2 X +
11 7
13 X_1
16 x —3
[13]
-0
M 2
1 +3= 0 3
x —1 x2 + 5x —6
—1 —5x2 _ x —1 . 3 2x + 1 x —x2 —2x3 X + X 2 x
3 5
1 x+1
2 \ —3x —7 x + 3 / x2 + 8x+ 15
( 1 \ x+5
[impossibile]
- 2 x 2- 5 x + 9 4x3+ 8x2 - x - 2
7 —3x x2—2x —3
x + 2 / 12 3 l x+ 2
x2 —9
,
, 2 ^ 3x + 2 x+y
3 3x + 6
1 —2x -----x2 —6x + 9
1 6 + 2x
6x x —4x3
ind., x / O A x ^ —1 Ax / ± ~ 2
2 —6 3 + x 1 - x 1 3x2—3 x \ 5 x —2 ) — 3
CHI HA RAGIONE?
[impossibile]
5x2 x + 2 ^ 3x>) 1
3x3—21x2—11 X + 1 )“ = - 2 + ( ^ y ) _, + 3x x —3x —4 +( 5x —2
iilll
1
llJlU H I W J ( I ^ T - 2) : ( | ^ f + X
wrm
[0]
4 x + 2 _ ~ (2 x ~ 3 )2 1_____ L 2x2 + x x+ 2 x
1+
a
n
A x
■ n 4x2- 1 2 x + 9 —— x ( 2 x + l)
H
[-6]
Loredana: «Ho risolto le due equazioni X ^ 3 = y (x —3) e ^*2^
[impossibile]
= ——3^—3jc +
e ho visto che sono equivalenti». Simone: «Dopo aver risolto la prima, posso già dirti che ti sbagli!». Spiega perché Simone ha ragione. 498
1. EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE
ESERCIZI
EUREKA! Equivalenze Una sola tra le seguenti equazioni è equivalente all’equazione (x2—1) = (x + 3 ) 2+ 2, essendo x g R: quale?
Q
I— | 3x 2 + x + 2 _ 3x3 ^ x +2 ~ x 2 + 2x 3 4 x+ 1 x __ l!fJ Date le funzioni f(x) =
1 _ 2 2x 2x —4 jc + 1 _ 1 x 2 + 2x x i
2 9 e g(x) = —-----
a. determina il loro dominio; b. calcola il valore di jcper cui /(x) = g(x).
[a) Df: x ^ 2 , Dg: x ^ ± 2 ; b) - 4 ]
Date le funzioni f(x) = —4-=- e g(x) ——-, , \ -----—+ — : a. determina il loro dominio; b. trova gli zeri di /(x) —g{x).
a) Dj: x ^ - 7 , Dg: x i^ — 7 Ax l 1 A x ^ 0; b)
( that is, can x —2 ■=-4- ? For what value of x? Give another example of a value it can take on and an example of a value it cannot take on.
liti f i
YOU &MATHS
Possible values Could thè fraction-----
take on thè value
P artico lari equazioni di grado superiore al prim o a
CHECKER
Risolvi le seguenti equazioni.
x2 —2x _
2x3+ x2 —2x —1 x2 + 4x —5
0
(x —4) (6 —8x) - 0 4x —1
(x —2)2(x2 + 2x) (x5—16x)
0
3x2+ 5x —2 x2 + 2x
(2x—3)(x2 —25) 2x —10
0
m m
E3E
► LABORATORIO
2x2—9x + 18
- 0
x —4 + •
= 0
APPROFONDIMENTO
Risoluzioni alternative a. Quale frazione? Trova la frazione di partenza, sapendo che vale la seguente catena di relazioni.
aggiungisia,al numeratore, che, al denominatore,di una,fraziona 7volte,il suodenominatore,
sottrai la,frazione, cosi ottenuta, dalla, frazione, iniziale,
la, differenza, tra, le, due,frazioni e uguale, a, 8
b. Al volo. Risolvi a mente le seguenti equazioni fratte: 1. 2 =
□
►Risoluzione.
2 .T = 0;
3.
x —3 = 3;
4.
x —3
= 0.
►2 esercizi in più.
499
14 EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI Equazioni fra tte con valori assoluti
Risolviamo l’equazione
1 x —4
4 —x
C.E.: x ^ 0, x ± 4 Studiamo il segno dell’argomento del valore assoluto. Poiché x —4 > 0 se x > 4, distinguiamo due casi. • Se x < 4, abbiamo | x —4 1= —x + 4, quindi: 1 _ 3 —x + 4 x
2 _ x _ 3 (4 -x )-2 x ^ x = 12 —3x —2x —x = 2. 4 —x x(4 —x) x(4 —x)
x = 2 è accettabile perché 2 < 4 e sono verificate le C.E • Se x > 4, abbiamo | x —4 1= x —4, quindi: 1 x —4
3 . 2 x x —4
x _ 3 ( x - 4 ) + 2x x(x —4) x (x —4)
x — 3x —12 + 2x — x = 3.
x = 3 non è accettabile perché 3 < 4. L’equazione ha quindi una sola soluzione: x — 2. Risolvi le seguenti equazioni. 2x x + 31 x+ 1 X — 1|
— 2
[1]
= 2
—. 3 3’
X
21 3 - 2x I + 1
_5__ x —3 1 x 1 —X I
[impossibile]
2x+ 1 x —3 + 1
[-1]
1 + X
In un numero di due cifre, la cifra delle unità supera di 2 quella delle decine. Se si calcola il rapporto tra il numero che si ottiene scambian do le cifre tra loro e il numero iniziale, si ottiene 25 una frazione equivalente a -Jq-. Trova il numero iniziale. [57]
ITiTO Trova due numeri tali che la loro differenza sia 3 e il prodotto dei loro reciproci sia uguale alla somma dei loro reciproci. [2; -1] E H Trova quale numero naturale si deve aggiungere sia al numeratore sia al denominatore delle frazioni lenti. 500
i |x |
p
1 —| 2x | x|
p j
| 5x | —1 | 3x —4 1
p i m
4x —4
Problem i sui num eri
rm
rrn
4
1 —x 6=— ,4 + x |
e -gj- per ottenere due frazioni equiva [2]
x —2
—5 =
i |x + 21 l —6x 5x 1 —x +2 8 —6x
3x —1 . | x | + 4 14 + 2x " |x + 7| 126x x+ 4 _ l 3x— 1 " 3 —9x
_ A .i 2 ’1 13 [-2] _J_1
2
p i Q l S S E fTIHTWH In una frazione a termini positivi il triplo del denominatore supera di 19 il doppio del numeratore. Trova la frazione, sapendo che diminuendo di 3 il numeratore e aumentan5 do di 3 il denominatore si ottiene la frazione -5-. m i La differenza fra due numeri naturali è 49 e il rap porto fra la loro semisomma e il minore dei due è uguale a -y^ ■Quali sono i due numeri? [16; 65]
liTl
In un numero naturale di tre cifre, la cifra delle centinaia è 2 e quella delle unità è 4. Il rapporto fra il numero e quello che si ottiene scrivendo le cifre in ordine inverso e incrementandolo di 6 è ~2 . Trova il numero. [204]
1. EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE
ITTI
La somma fra il denominatore e il doppio del numeratore di una frazione è 40. Se si aumenta di 2 il numeratore e si diminuisce di 5 il denomi natore si ottiene una frazione equivalente a y . Trova la frazione.
ESERCIZI
ira
Sono dati due numeri naturali di cui si sa che: a. la loro somma è 28; b. la somma fra il maggiore e il doppio del mino re sta alla differenza fra il doppio del maggio re e il minore come 39 sta a 23. Determina i due numeri. [17; 11]
ira
Nel quadrilatero ABCD la differenza del lato AB con la metà di CB è uguale a 7 cm, il lato DC
Problem i geom etrici
Marcello deve trovare l’area della «casetta» formata da un quadrato e da un triangolo isoscele e sa che la somma di ED con DC è uguale a 22 cm, e che il rapporto tra il perime tro della figura e DC è ugua
è y di AB, il lato AD è inferiore di 2 cm a DC e il rapporto tra la somma di AB con il doppio di CD e la differenza tra CB e AD è uguale a - y . Calcola il perimetro di ABCD.
[47 cm]
le a - y . Come fa? [192 cm2] In una circonferenza di centro O e diametro AB la corda AD supera il raggio di 2 cm. Il raggio OC è parallelo ad AD e la corda DC misura 1 cm meno del raggio. Sapendo che AO + AD _ _5_ OC + DC 4’ determina il perimetro del quadrilatero AOCD. [27 cm] ira
Nel trapezio isoscele ABCD la differenza fra la base maggiore AB e la minore DC misura 6 cm. Sapendo che 3AB + 2CD __ 34 AB + CD 13’ determina le misure delle basi del trapezio. [16 cm, 10 cm] In un trapezio isoscele ABCD il lato obliquo 2 supera di 4 cm i - r della base minore DC e la 5 5 base maggiore AB è i y del lato obliquo. Calcola il perimetro e l’area del trapezio, sapendo che: AD + DC 8 [74 cm; 272,7 cm2] A B -A D - 6 3’
Problem i
ira —
Determina il perimetro del pentagono AEDBC, sapendo che: 2A C +8 = 6B D - A B ; perimetro (ABC) _ 5 perimetro (AEDB) 7'
ITTI
[104]
La somma fra la base maggiore e l’altezza di un trapezio rettangolo è 60 cm; la base minore è uguale alla base maggiore diminuita della metà dell’altezza; il rapporto fra la somma della base minore con l’altezza e la base maggiore diminui ta dell’altezza è uguale a y . Calcola l’area del trapezio. [700 cm2]
intorno a noi
Un automobilista ha suddiviso un viaggio in due tratti, come indicato in figura. 28 Se il rapporto fra i tempi di percorrenza dei due tratti è - j y , quali sono state le corrispondenti velocità medie? tratto 1: 150 h n tratto 2: ireiocità, media, inferiore- d i 20 km/h- co(jnella, tenuta, nei tratto 1 <------------------------------------------------Hh*------------------------------------------------------------------------------- ►
<---------------------------------------------
260 km , --------------------------------------------- ►
[120 km/h; 90 km/h] 501
14 EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI M a rtc o fu v __
ita
Lucìa;
3 a m i in
dò Lucìa;
Quanti anni hanno le due sorelle? E3
[18; 15]
Due corpi hanno i va ucj = 1,8ky lori delle masse, la diffe \Z1 = V2 - 0,05 d n d renza dei volumi e il rap A = 0,9375 porto delle densità come 8, indicato nel foglietto. Quanto misurano i due volumi? [1,2 dm3; 1,25 dm3]
I B I Un’impresa decide di ripartire fra i dipendenti una quota dell’utile netto adottando i seguenti criteri: a. al profitto netto sono sottratti 400 euro per ciascun dipendente; b. la quota rimanente è suddivisa in modo uni forme fra tutti i dipendenti. Se con un profitto netto di 220000 euro a cia scun dipendente vengono assegnati 700 euro, qual è il numero di dipendenti? [200]
Meno operai e più lavoro! Un’impresa spe cializzata nel montaggio di impalcature per l’e dilizia, utilizzando 20 operai, impiega 5 giorni per allestire ponteggi per una lunghezza com plessiva di 1000 metri. Quanti giorni impiega nel montaggio di 1500 metri, utilizzando 15 operai? (Supponi che rimanga invariato il ritmo di lavoro.) [10]
MATEMATICA ED ELETTROTECNICA
Il trenino elettrico
La velocità del trenino di Roberto dipende dalle carat teristiche del circuito elettrico che lo comanda...
□
►Problema e risoluzione.
2. EQUAZIONI LETTERALI EQUAZIONI LETTERALI INTERE @ Teoria a pagina 494 Equazioni con un param etro
Risolviamo la seguente equazione nell’incognita x. 0 3X
— 3a
=
25ax —15
(<23 —25a)x = — 15 +
3fl a {a — 5) (a + 5 ) x = 3 (a — 5)
^ portiam o l'equazione nella forma Ax = B ^ scomponiamo in fattori il coefficiente di x e il term ine noto
Discussione Sea = 0 — 0- x = 3- (—5) — equazione impossibile. Sea = 5 ^ 0 x = 0 — equazione indeterminata. Se a = —5 — 0 •x = 3 • (—10)-* equazione impossibile. 3 (0 ^ 5 ) 3 S e a ^ 0 A a ^ ± 5 —x = —;---- --------- — —x = 7— —re —• equazione determinata. ^ a ( ^ S ) ( a + 5) a(a + 5) M dividiamo entrambi i m em bri per a[a - 5)(a + 5] * 0
In sintesi: a = 0 V a = —5: impossibile; a — 5: indeterminata; a ^ 0 A a ^ ± 5 : .x =
502
a (a + 5)
2. EQUAZIONI LETTERALI
ESERCIZI
R is o lv i le seguenti e q u a zio n i le tte ra li n e ll’in c o g n ita x.
103
gH
bx —5 = 0
b = 0 : imp.; b ±
ax — 4a 2
[a
= 0: ind.; a
±
0
:x = y
0: x = 4 a ]
( a - l ) ( 2 a + \) x = a - 1
b = 0 : ind.; b ± 0 : x = ^
iEftl 2 bx = 2b — b2 Éfriil (2a — 6)x
a
=
2a
= 1: ind.; a = —y : imp.; a
3: x =
1 Aa 7 ^—y: x = 2 fl + ^
±
^^^
2: x =
(b2 — 2 b — 3)x = b2 — 3b —4
IM I
[a = 4: ind.; o / 4: x = 2o —1]
IKftl (a —4)x = 2a2 —9a + 4 P
(a2- 4 ) x = 3a —6
P
3ax + 2a = 0
a — 2
: ind.; a
— — 2:
a — 0:
IKfrl 2 x(a 2 — 1) = —a(a2x —x —1) —1 IHH 2 x —a 2 = 2 a (2 + x)
[0 = 3: ind.; 0 ^ 3: x = —6 ] b = 1: ind.; / 1: x = ^ ^
—— Ì + X
k = —1: ind.; k / —1: x = y
IMA x{k + 2) —k ——k{x — k)
. 1 . , , , 1 c = y1: imp.; c = —y : ind.; c # ± y :
IM I 2c(2cx —1) —1 = x [x (f-3 )-5 ]f = 0
t
x
N
10
2
-
ox + 8
5
IK 'l x + a + (a —l ) 2 = a [4a —(a —2x)] ILH1 /c[3x + (x —l)fc —2] = —2x u
m
m
a
= 7:
x
=
1
2c — 1
0 A t ^ 3 : x =
ind.; c = £ 0 / \ c ^ 7 : x
. 1 o = y121 : imp.; o +, -y :x = 2 ,A
6 ~ = T (2 + fl)
fl + x + ax + 3(x —2) _
P
= 0: ind.; t = 3: imp.; t ^ c = 0 : imp.; c
I f f l 14 + c(cx —2) = 7cx a + 1 . 5x —a
imp.; o 7 ^ 0 : x = y —
a = 1: ind.; o = —1 Vo = —2: imp.; a / ± l A a / - 2: x = — 1 a2+ 3fl + 2 _ a(4 + a) a = 1 : imp.; 0 7 ^ 1 : x = 2 ( l- o )
É ^Ì 2a(x + 3) —x(a + 3) —18 = 0
~ i r +—
: ind.; o 7 ^ 2: x = —7]
. /, 2(3+1 a = 1, : imp.; a ± 1: x = _^
IMI 3ax —4 — ax + 1
P
ind.; o 7^ 0 : x ——y
[a — 2
ilcyj ax — 2 a = x + 1
2bx — b2 — X
+2
a = - j 1: m. p . - , a ^, 1- T :x = j ^3o TT
IKM 2(x —a) = 5a + ax — 14
« M
imp.; a t^+ 2 : x =
a — 0:
ÌK1<1 5ax + x —3a — 0
nn iP
±
/c = 0 : imp.; k — 2 \ ind.; k ^ O A k ^
IKHI (k 2 —2k)x = k 2 - 4
p
3: imp.; a
a —
y 2
= —
o -l 2
(1 - 2 o)
[o = —14: ind.; o 7 ^—14: x = 1] o = y : ind.; o # y : x = —o —1
k = —1: imp.; k= —2 : ind.; k ^ —\ A k ^ —2 :x= , + ^
2{[f + (£ —l ) 2]x + 1} = 6x+ t
x+b . b bx . 3b + 1 , x -----2“ + l 5 = T + _ 6-------*
b
= y : ind.; b / y : x = y
503
14 EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI / 1, V \T b~ x ì
b 9
b = 0: ind.; b = 6 : imp.; f r / 0 A b / 6 : x = - ~ _ ~
(a2 + 2)x + 3a2 —9a + 6 = a(3x + a) — 1 IKM aAx —a3+ 2a 2 — 9a2x + Ì5a = 0
a
= 1: ind.;
a
= 2: imp.; a ^ 1 A a ^ 2: x = ^
a = 0 V a = —3: ind.; a = 3: imp.; a / 0 A a / ± 3 : x
IPfl (6k + 2x)x 2 + k2(k — 1 + 2x) = 2 (/c + x)3—4x
a —5 a (a — 3)
k2 4(1- k ) 8k -y : imp.; k + y : x — (2 k —l)2
k = —1: ind.; k = 1: imp.; k / + 1: x =
ll-fti k{kx — 2 ) —x[k —~ ^
k=
I f l j (£ + x)3+ 6 t(t + x)(t —x) + (2 t + x )2 = x 2 — (t —x)3
[/ = 0 : ind.; t 7^ 0 : x = —t( 2 t + 1)]
IkVJ (a — 2 )(a + 2 ) —( - j x —a^J = (a —- jx ^ j( - j x+ a ^j —5 —^j-a2x q
a — 0:
imi ir c i
(b — 1 + x ) 2 —\ (1 —4x) —(x —l ) 2 = \ b + b2x
= —1: ind.; a 7^ 0 A a
/
-ì \
1: x = — 2^—^
[fc = 0 V b = 4: ind.; &/ 0 A b / 4 : x = 1]
indicando a fianco di ogni caso un opportuno coefficiente di x in modo che l’equazione x = 2a(a + 1) nell’incognita x sia:
b.
I__I
c. indeterminata se a ——l e impossibile per a — 5;
impossibile se a — 2;
COMPLETA
TEST
d.
indeterminata se a — O e a ——1.
L’equazione (a2—9)x = 2a —6 nell’incognita x è:
a. impossibile se a = I__I; M
a
COMPLETA
a. indeterminata se a — 0;
ITO
imp.;
b.
I_________ Ise a = 3;
c. determinata se al____ I, con x = I____ I.
Considera la seguente equazione letterale dipendente dal parametro k: (k — 2)x + 2kx + 1 = 0 .
Quale delle seguenti affermazioni è vera7. 2 i> l~À~l Per /c = y l’equazione è indeterminata.
ITI Per k = 1 l’equazione ha soluzione x = 3.
I~b1 Ammette sempre almeno una soluzione.
ITI Per nessun k la soluzione è x = 0.
E H Dopo aver risolto l’equazione a(x — a — 1 )= —2 ( l+ x ) , determina per quali valori di a la soluzione è: a. positiva; b. strettamente compresa tra —1 e 1. [ a = - 2 : ind.; a # —2: x = a - 1; a) a > 1; b) 0 < a <
2]
m a Dopo aver risolto l’equazione a 2 (x —6a) —3a 3a —2( 1 + y = 0, determina per quali valori di a la soluzione è: a. non negativa; a = 0 V a = —2: ind.; a / 0 A a A —2:x = 3 (2a —l ) ; a ) a > y ; b ) 0 < a < 1 b. in valore assoluto minore di 3.
ITTI
Data l’equazione ax —3a + x = (2a + l)x + a —2 nell’incognita x, esiste qualche valore del parametro a per il quale l’equazione ha soluzione x = 2? 1 [ 3
Equazioni con due p a ra m e tri
Risolviamo la seguente equazione nell’incognita x.
504
a(b —2)x
— 6a — a 2
a(b —2)x
=
a(6 —a).
A portiam o l'equazione nella forma * Ax = B, con A e B scomposti in fattori
2. EQUAZIONI LETTERALI
ESERCIZI
Discussione a = 0 ^ 0 x = 0-» equazione indeterminata a — 6 — Ox — 0 -* equazione indeterminata Se , b=2 a 6 — Ox = a (6 —a) — equazione impossibile T a ^ 0A *0 M 6 ~a) 6- a b ± 2 — a: = — yy = 1 , ^ 2 ecluazi°ne determinata 6 —a In sintesi: a — 0: ind.; a — 6 A b — 2: ind.; a / 0 A f r = 2 A a / 6 : imp.; a ^ 0 A b ^ 2 : x — ^ ^ Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x.
a = 3 Ab = 2: ind.; a
1 X I OJ 1
Epl (a —3 ) x = 2 b - 4 3a p i 2 b(l p i (a ~ 3)x = 2a + b -4 IFJ1 2 ab2x = 2 a + b jjn
ax —2b = 4x +3
p
3abx — 3ax + a = ab2
p IPZl
ab(x —
imp.; a / 3: x =
o h —
a — 3 A b — — 2: a = 0 A b = 0:
ind.; a
= 0 A b ^ 0:
ind.; a
imp.; a
3 a - A A b — — ^-.
— 3 A b ^ — 2:
imp.; a / 3: x =
imp.; a
^ 0 A b = 0:
ind.; a = 4 A ^
3
3
a = 0 Vb = 1: ind.; a
1)—4bx —a
= 0: ind.; a
a — 0 A b — 0:
^ 0 A b = — 2:
b ±
2a + b 2ab2
a ^ 4 : A— 2ab _+ ^3
0 Ab ^
imp.; a
ind.; a — — b A
^ ^
^ 0 A b ^ 0 : x =
: imp.;
4
_^
a = 1: ind.; a ± 1 Ab = 0: imp.; a 7 ^ 1 AM 0: x =
1) +2 ax = 0
5a —4a(x—
= 3 A b ^ 2:
1: x =
0 A b 7 ^—2: x
0: imp.; a 7 ^—b: x
b+ —r
1
h
= ^+ ^ — ^
^
Equazioni letterali intere con lettere al denominatore p Q
VERO0 FALSO?
L’equazione
*
+
=0 nell’incognita x:
a. perde significato solo per a = —1.
I~vH~f~1
c. ha soluzione x = 0 se a = 1.
0 0
b. è impossibile se a = 0.
[~v~l I~f~I
d. ha soluzione x = : a ì 0 A a 7^+1.
0 0
£2
se
Risolviamo la seguente equazione nell’incognita x. 3x —2 3 _ x 2a a ~ 2 C.E.: a ^ 0 3x —2 2a
2-3 _ a •x 2a
2a
3x —2 + 2- 3 = a- x
\ mcm(2a; a; 2) = 2a; * riduciam o allo stesso denominatore A 2° principio di equivalenza: * m oltiplichiam o entram bi i m em bri per 2a * 0 ^ portiam o l'equazione nella forma Ax = B
(3 —à)x = —4 Discussione Setf = 3 ^ 0 x = —4 — equazione impossibile. 4 Se a 7^ 3 A a 7^ 0 — x ——^ _ — equazione determinata. per la C.E.
dividiamo entram bi i m em bri per 3 - a
In sintesi: a = 0: perde significato; a = 3: impossibile; a ± 3 A a # 0:x
3 —a 505
14 EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x.
ITTI
x~ 4 - 1
P
2(x - 3) 5
P
3x __5_ _ x + 3 a — 1 2 — 1 —a
P
2x + 3 a 2 — 1 1 —<3
IFifil
3 x - 18 b2 — 3b
Ifll
a + 2x tz + 2
3
=0 u
a
x a
a2 —4a
a = 1 : perde significato; a
2x £t + 1
[è = 0 Vb = 3: perde significato;
a
a = ±2:
perde significato; a
x _ 1 4a - 2
b — 6
x = 2a —5 1
:x =
: ind.; £>^0Af r ^3 Ab ^6 : x =l ]
perde significato; a = 0 : ind.; <3 ^
a = ± 2:
x + 2a 2<3 + 1
—
1: perde significato; a = 2 : imp.; a / + l A a / 2 : x = 3a +2 a3
a = ±
4+x
x = 4a
0
A a # ± 2 :x = --
-- - -
= ± y : perde significato; a = 0: ind.; a # 0 Aa # ± y : x = 1
=
4 (<3 ^—4) 0 : ind.; a = 4 : imp.; fl^ + 2 A a ^ 0 A a ^ 4 : x = —a--4—
[a = 0 Va = 2: perde significato; a = —2: ind.; f l / 0Af l ^±2: x=-2fl ]
b2 — b2 —4b + 4 b2 + b —2 ----------y----------x — b —2 la2+ a —1
m
0: x =
a ^
a = 0: perde significato; a = -y : imp.; a ^ 0 A a ^
2x 2 —a
n n x + 2a Sif15 2£?-£?2 c a
? z
5 b —3
ma 2x+ x2f?——2 a1 IEE1
a = 0 : perde significato;
b — 2:
perde significato; &= 1 V b = —2: ind.; fr# 1A£>#±2: x =
2 (b — 2 ) :
x= a+ 1
a = 0: perde significato; <3 = —1: ind.; a = y : imp.; a ^ 0 Aa 7 ^—1 Aa 7^ y : x =
£J + 3 |TT1
ma
IMI im
a2+ a —6
1~2frx _ 2(4x— 1) fc -3 _ 3/7 —b2 b
EEQ
2 —a
= 0 Vb = 3 : perde significato; b
x + b , x —1 -1 “ 0
bx + 2 b — b2
imp.; f r ^ 0 A
=
3: perde significato; k
=
fr/3 A b /
1
^ O A b ^ - ^ A b ^
+2: x =
2~(2~+"fr)~
h2— h + 1
1: x = —^ _ 2 ^—
2: ind.; k ^ 1 A ^ 3 Ak ^ 2: x = —6 ]
= 2:
imp.; b
= — 2:
ind.; b 7 ^ 0 Ab 7 ^ \
A b ^ 4 A b ^ ±2: x =
b + ^ _
42
6x —2b _ x —2 8b3+ 1 4b2- 2 b + 1 + 2b + 1
- x —b 2b2 - b - 3
b —x b+ 1 b = —
506
= — 2:
b+ 8 b2 — 5b + 4
b
irc i
ind.; b
= 0 V&= 1: perde significato; b = y : imp.; b
x + 2A: ~ fc2 —4 fe+ 3 ---- [fc = 1Vk 4x b2 —4b
= 2:
1
b
b = 0 Vb = 1 Vb = 4 : perde significato; b IPPI
1
=—
y
: perde
significato; b
= —
1: ind.; b = 1: imp.; è 7^— Ab 7 ^± 1: x =
207-1)
bx 2b — 3
1 Vb = y : perde significato; b
— — 4:
imp.; b = 1: ind.; b / ± 1 Ab 7 ^—4 Ab / y : x = v y ~T
2. EQUAZIONI LETTERALI
rc a
2a a 2 —4
B3
(a —3)x
x______ (a + 2 )x a —2 a 2 —4a + 4
—
0: ind.; a
^ ± 2 A a ^ 0:
x
=■
a —2
a+ 2
0 Va
—
3: perde significato; a
—
5: ind.; a
—
1: imp.; f l / 0 A fl^ 3 A(3 ^ 5 A a^ 1: x = ——fy-
2^ + 2 _ (x + D -ÌF+ Ì = (x ò -l b {x l ) b - 1 b
BQ
perde significato; a
5a + 4x __ a =0 a 2 — 3a 3— a a —
BQ
a —±2:
ESERCIZI
(a + 3)x a2 — a — 2
—0 Vb = 1: perde significato;
(2 - g)x a 2 + 3g + 2
b
——1: ind.; £>= y : imp.;
b ^ 0 Ab
=£±l
9a + 2 _ _ 4 — g2 2 = + 2 V g = —1: perde significato; a = —52-: ind.; a # —a"Aa ^ ± 2
1 4a2—2g + 1
y : x = 2 h —{
Ab
BQ
3x - 1 2g + 1
12g2x + 1 8g3 + 1
BQ
g+ 1 . g (x 2) x ~F 2 a 2 + a — 6 + a2 —2a + a + 3
A a
1: x = a + 1
a = —y : perde significato; a = y : ind.; g 7 ^+ y : x =
®
g = 0 V g = - 3 V g = 2: perde significato; g = —y : imp.; g ^ - 3 A g 7 ^—y A g ^ 0 A g ^ 2 : x = y y y
ETiTil
4x —1 , ---------+ gx + 4x 0 __ a___________ ___ g+ 2 = 0 1 2 —g
g = 0Vg=±2: perde significato; g ^ 0 A g ^ + 2:x =
4 —g2
P roblem i
B Q In un rettangolo il semiperimetro è 5fr. Se si diminuisce uno dei lati di b e l’altro di 3b, l’area diminuisce di 4b2. Trova le misure dei lati. [b e 4b, con b > 0] B Q Sul segmento AB = 1 0 cm determina un punto P in modo che la differenza A P 2 —PB 2 sia uguale a k, essendo k un numero reale. Quali sono i valori che può assumere /c? Se k = 20, dove si trova il punto P? [- 1 0 0 < k < 1 0 0 ; AP = 6 cm]
BQ
EUREKA! Geometria con un param etro Dato il quadrato ABCD di lato 1, prolunga AB dalla parte di B di un segmento BE — a. Determina la lunghezza x del prolungamento BF del lato BC affinché si abbia:
area (ABCD) + area(BFF) = area (ABF) + area (CBE). 3 Il problema ammette soluzione? Se sì, quale, per a = 4? E per a = y ?
F
sì: x
2 — aa — — 1
x = y ; non accettabile
Il guadagno rim ane Un negoziante compra un articolo a un prezzo x, quindi lo rivende dopo averlo aumentato e poi a fine stagione lo mette in saldo come indicato nello schema. Determina x. b +b% ~ 2 70 prezzo insaldi: prezzo db prezzo dìaxpuisto: vendetti x +b X b A
0 Ab
A
20000 100: x = 100 -b 507
14 EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI EQUAZIONI LETTERALI FRATTE & Teoria a pagina 495 Equazioni con un parametro Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali fratte nell’incognita x. . p .;a *, 1T :x = T5 t- r 3^ 2a a = T1 :im
P
- § ^ 2 ~ a=°
P
~ h +M r L = 1
p
b~ 2 x — 2 = 6b
P I
2k —4x x —2 = 0
Mi
3 5 —x
^
2 —3b x+3
m
9a ~ 1 x —4 + 2a = x —4
MI
(a2 —4)x —a + 2 = 0 (x+ 1)
5 .
2=
^
b = 0 \ / b = 2:
ax x —5
a — 2:
fl = 0Vfl = y : imp.; a
H0
X + 1 _ fl__ n x-a -l 2 ~ U
H0
3ax x 2 —a 2
ÉP
+ o 1^ = 0 x ' 2 —x ' x2 —2x
^2
0
*
.2
±
0 Aa
±
y : x = 2a
b = —1: ind. (x ^O ); b / —1: x = —b + 1 , „ imp.; . / ,2: ^ x=— cr — + _a ^— +2 a =±2: a ^± 4 / 4 4 \\ . , 44 ci = y : ind. ( x ^ ± y 1 ; a = 0: imp.; a ^ y A a ^ 0 : x
2_______2 x —a ~ x + a
b = 0 V b = ± y : imp.; b # 0 A b ^ ± y : x =
2b
3
X2 + X
X2 — X
p i
a —2 x+ 2
a + 1 _ 3a —4 a —l ~ x + 2
FHI
a+2 x
1 a —2
2 —a 1 + x a+2
1 x2 + 2x 1 —x
+ 1
= 1: perde significato; a = —1: imp.; a
[a =±2: perde significato; a b — 0:
*
1 — X2
a
1 2+ b W k -xT — Tbx- = Tbxr - T bT—Tbx—
508
+7 2
ind. ( x ^ —1); a = —2 Va = —3: imp.; a / ±2 A a # —3: x =
X+ 6 + 1
b + 2 , 1 —b 2x —1 + ■
4: x = ~ j k
(a2—9 )x + 3a —a 2 _ 0 (a2 —a)x
X X+ b + 1
a +■ x2 —2x x2 —4
imp.;
^
fl = 0Vfl = 4 : imp.; f l / 0 A a ^ 4 - : x =
P
P I
imp.; b ^ 0 A b ^ 2 : x =
, 3 . , , 3 7 b - 12 b = y : imp.; b + y : x = ---- ^----
m i
ESEMPIO DIGITALE
12a + 5 = ---- 3----
3 : imp.; a ^ —2 A a / —y3 : x = a = —2 V a = —-y
x2+ 3x —8a = 1 x‘ —x
BDQ
5 x
k — 4:
b +1 2x+ 6
0 0 U
/
a = ~ ~ [ 2 : imP-> a
= 0:
ind. (x / 0); a
+
0 A a ^ ± 2 : x = a2—4]
perde significato; b = —1: ind. ( x / 0 A x / - l ) ; b / 0 A b
a — —2 V a
2^2 d)Ci
1: x = —- + -j—
= —1 V a = —y : imp.; d ^ - 2 A a / - l A c i ^ —y x = —
U
1: x = y ^
b = ± 2 V b = 0: imp.; b ^ ± 2 A b ^ 0 : x = , ^ 2
2. EQUAZIONI LETTERALI
B9
x+ 2
2a 2 + a + 4 3x 2 + 4x - 4
1 —a 2-3x 1 / 2\ = —y : ind. I x # —2 A x ^ ~ ^ J ;
gg
b — 2 x + 1 —x
gg
1 , ax + x , 2x + 2 a x —1 5 —x +1 a. +, 3o = •* A a+3
2h + x
E ! (
gg
x+
ESERCIZI
3 —x
4a
x + 2b
x + a \ / 4a a ■)!( *
2 — 3b
b -ì
x
2x
-2
—1 , a —2
eh 4x2 + 1lx - 3 ” 4x - 1 + x + 3
4 = —y : imp.;
= —y V b = —y V b = 0: imp.; a = — 3:
x i ) =2“ - 3
_ 3 ( 5b — 3)
_______________ 3a + x 2a
b
a = —4 V a
b
4 A a 7^—4 A a # —y : x = a + 2
# —y A fr / —y
A b ^ 0: x =
2
perde significato; a = —1: imp.; a 7^—1 A a 7^—3: x = ^3^ + 3^ a = 0 : perde significato; a = + 1: imp.; a # 0 A a ^ ± l : x =
&= 1: perde significato;
3 = y : ind. (x / 0);
b
3 1— / 1 A b / y : x = —y
3 ., 1 .. 29 . , 3 . , 1 . , 29 2 { a + 1) a = — V a = 714 7 Va = — 16 : imp.; a ^ y A a 7^ y A a 7=y : x = ' 3(3 _ 2fl)
E S l G EUREKA! Una sola Tra le seguenti equazioni nell’incognita 1— | x + 1 _ 1 —2a2 ^ x —a ~ a
1
a
a —x a+ 1
[c]
x
e
R,
a —1 a
quale risulta indeterminata per a — l ì x —1 x+a
[T] 1 + 4x = a2ax +*
Equazioni con due p a ra m e tri
Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali fratte nell’incognita x. b
+ a+x b+ x
bx b2 + bx
REFI
3x — 2a + b x2 —4a2
gg
b —a x — 1 —2 a = 0
s s
—2ax = 2 x(a — 1)
[b — 0:
perde significato;
3 1 + x —2a 1 x + 2a
a — 0:
imp.; b / 0 A a / 0 : x
[fr = 0 V b = —4a: imp.;
—— b ( a
b ^ 0 A b ^ —4a: x = 2 a + b]
a = 0 A b = 0: ind. (x 7^ 1); a = 0 A b ± 0: imp.; a ± 0 A b = a: imp.; a ^ 0 A b ^ a : x a —
1: perde significato; a
a —y
Ab
— 0:
1
+ 1)]
ind. (x / 0);
a —y
=
a + b 2a
A b / 0: imp.;
l
b
# y A b = 0 : imp.; a # l A f l ^ y A f ) ^ 0 : x = 2(2fl —1)
Se cam biam o l’incognita
f f lS U TEST In un moto uniformemente accelerato la velocità v, la velocità iniziale v0, l’accelerazione a e il tempo t sono legati dalla seguente formula: v — v0 + at. Quale delle seguenti formule dà a in funzione delle altre variabili? PÀI a = v0t p jQ
n~l a = y + v0
□D tf = y - v 0
Y0U &MATHS Is it a line? Solve for y in thè equation ^ thè function/ x~y 5 . x EUREKA! Da un rapporto a un altro Se y y y = y , ricava y
^
fui a = v - vo f and let jy = /(x ). Draw a graph of
_x____7
7
3
[USA Texas A&M University Math Contest, 2003]
509
14 EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI MATEMATICA ED ECONOMIA
► LABORATORIO
ioMsfiloOMUMO
Consumo e risparmio
0 = 80%
Gianluigi, ricordando alcune nozioni di economia, intende gestire il reddito mensile della sua famiglia ispirandosi al modello del «moltiplicatore di Keynes». Il suo piano funziona così: • ogni mese mette da parte una certa somma S come
risparmio-,
• un’altra quota C la destina a c o n s u m o per vitto, bollette, vestiario ecc.; • la somma r i sp a r m i o + c o n s u m o costituisce il r e d d i t o necessario al sostentamen to della sua famiglia. In particolare, ogni mese la quota c o n s u m o C è determinata calcolando una per centuale c del r e d d i t o necessario del mese precedente.
S
= €300
a. Determina il
r e d d i t o n e c ess ari o di Gianluigi per i primi cinque mesi, sapendo che il reddito mensile iniziale R Q è di € 1800 (frutto del suo stipendio e di quello della moglie). Analizza anche l’andamento del r i s p a r m i o S e del c o n s u m o C.
b. Qual è la percentuale c che mantiene il r e d d i t o necessario sempre uguale a R0Ì Cosa succede se c è minore o maggiore di questo valore? c. Determina la formula per il calcolo del
►Risoluzione.
r e d d i t o necessario
in un generico mese
n.
Che tipo di equazione ottieni?
►2 esercizi in più.
Risolvi le seguenti equazioni considerando come incognita la lettera indicata a fianco. p
i
p
i
p i
xy + 2y
—x
x — y = 6x
x -
+ l
=
3 i
— 5a b x + a = 0
/
0
v
P I P I
*
■
P I
(a + b ) - h A ~
J - + A = J_ a
h m
2
b
x
A — d 'D A 2
■ d
X
V
Problem i
E0
Trova il numero tale che la somma tra il triplo del reciproco del numero aumentato di 1 e a diminuita di 3 —a 2 sia uguale ad a. a A- 6: x = a + 6 Sul lato AB = 2a di un quadrato determina un punto P tale che, congiungendolo con il punto medio del 3 lato opposto, il quadrato resti diviso in due trapezi le cui aree hanno rapporto y . AP = y a V AP = y a, con a > 0
E9
EUREKA! Un param etro in tasca Marco dice ad Anna: «Ora io ho in tasca k euro e tu ne hai 10 in più di me. Se entrambi ricevessimo x euro, il rapporto tra la tua somma e la mia diminuirebbe di 2 rispetto a pri ma». Quanto vale x? Perché il problema non ha soluzione se k > 5? Quanto vale x se k — 4? \ k2 , x — Per 0 < /c < 5 ;/c > 5 = > x < 0 ,/c > 5 = * 0 x ; x — 16
ESERCIZI IN PIU EZD ~ E H Q SU TUTTO IL CAPITOLO
510
EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
ESERCIZI IN PIÙ EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE
© Teoria a pagina 492
Evyi ) 2 x —1 5x —2 W1H |_J TEST Le condizioni di esistenza dell’equazione 3 2----- TT— ZZZ = 0 sono: X
I X
1~a~| x / l , x / —2. [ b]
x
^ ± 1 ,
^ - 2 ,
x
I X
X
A,
[c] x / 1, x / 0. x
E
^ 0 .
x
^ ± \ ,
x
±
0.
2,
Determina le C.E. delle seguenti equazioni. x —1 _ x 2 + 5x = 0 x2+ 3 x3
. x~5 , x2 • 1- x *2 + 2x
—1 t2— t
J_ x + 1 \ x —2 X : X2 + 1 / x —3
M
t+ 6 +2 t2 + 5t — 6
Solo una delle seguenti equazioni non ha come condizioni di esistenza x ^ 0 A x ^ - 4 . Quale?
TEST
1 —X = 5x x2 + 4x
H
CHECKER
1 + 4 x ___ 3 4x —4 2x
p i
4 —x2 3 —x = 1 + x
x+ 1 x —1
1 —2x) FEfl xx+2 +3 (4x +4 2 +
3x = —3 x+ 2
8 —3x _____________ 15x —1 x —1 4x2 + 6x —10
P I
2 (4 + 7x + 2x2) _ 8x + 7 + +2= 0 2x+ 1 (x —2) ( 1 + 2x)
x+ 4 x 2 + 2 x —3
E140
1
EU
3x 4x
Wk
c2 + 4x + 4
pi
4x 3x —9 1 + x - 3 = 3x + 3
x2 —3x + 4 3x3 + 3x2 3x+ 1
~ y x “
x2 —4x + 8 = 0 3 + 3x3
2 _ x2—2x + 1 TT ~ ~-iZ2 21 3x2 —3x
18 17 [- I I l 12
25 + llx + 2x2 (x —l)(x + 3)2
3 _ A + J _ = (x — 1)(3x + 1) x x
03
+ xf - ‘XTTF-0 2+ x ( 2Ì T =
[5]
4x + 1 _ x + 1 2x 2x —1
9x2 + 4 6x2 —3x 1 x —1
p i
P
1 —x _ —x + 3(x + 2) X x
13" 2x + 6* 5
P
[2]
[-1 5 ]
P I
gTl
1 —x
tu x5+ 4x3 —5x
Risolvi le seguenti equazioni.
p i
Wiì
1 —x tu x3(x2 + 4x) —5x
1 —X CU x3+ 4x2 = 5x
[2] [-1]
em
ffTil
x —3
3x3+ 2x2 X2 + X
B0
-2 ( 1 -3 x ) 3x
gg
x - 10 x2 + 5
fezi
x2- 1
[impossibile]
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
[2]
2x
[6]
x x+ 2
_51
2 [ind., x 7^ —1]
= 0
[3; 4]
1
1
X+ 1
3
ESI ( t = t + 1 )( i ^ M
4_ 7
x —3
2x 6x —3
c2 + 4x + 4
=
4x2 + x —1 U -l)3
1 5
5* + 1 + ÌJf ~ 1 = 0 X+ 1 X2+ X
[5]
4x + 35 x —1 + =0 x2 + 5x (x + 5) (x2 + 5)
4
+A =
4 X+ 1
1 (x + 1) (x —X2) [impossibile]
EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
s a u
YOU&MATHS Check it! Does there exist a number x such that explain why not. EUREKA!
EMI Q [ a]
w
incognita Data l’equazione
-2
2
[U
[c ]
-y - + y
= y —- ,
2 * 9—7 7 = 0? If so, fìnd it; otherwise
risolvila rispetto a w. IT] Nessuna delle precedenti.
[5 ] 6
— 4
I ESERCIZI IN PIÙ
[USA Indiana State Mathematics Contest, 1999]
Date le funzioni /( x )
l ^ xy — 5 a. determina il loro dominio;
g f l
=
x e
+ - 7-
£ (* ) =
y2
_ 5
:
b. trova gli zeri di/(x); c. calcola il valore di x per il quale /(x) = g(x). P ]
a) D f x
^
5 Ax
ì
0, Dg: x 7^—I Ax / 5; b) y - ; c) —-y-
Determina il numero che bisogna aggiungere al numeratore e al denominatore di y per ottenere una fra zione equivalente a y .
[3]
feti
Trova, se esistono, i numeri naturali pari il cui reciproco è uguale al doppio del reciproco del numero pari successivo. [2]
E03
Il rapporto tra il doppio di un numero intero e la somma del numero e il suo successivo è y Trova il numero.
m
[1]
Trova due numeri naturali tali che la somma fra il doppio del primo e il quadruplo del secondo sia 30 e il rapporto fra il secondo diminuito di 3 e il successivo del primo sia y .
00
[5; 5]
In un triangolo rettangolo il cateto a supera il cateto b di 10 cm. Determina la misura dei due cateti in modo 1, , 1 y b + y fl 2 [40 cm; 30 cm] che valga a + fe - -7 •
FEE1 Il doppio del lato di un triangolo equilatero ABC è più corto di 2 cm del semiperimetro di un quadrato PQRS diminuito di y del suo lato. Determina il perimetro del triangolo e l’area del quadrato, sapendo che: 5AB-3PQ _ 4 4AB - 2PQ
[42 cm; 324 cm2]
EQUAZIONI LETTERALI
© T e o ria a pagina 494
EQUAZIONI LETTERALI INTERE b h q
m
u
TEST L’equazione b (bx + 2) —4 ( x + l ) = 0 nell’incognita x è:
|~a] determinata se b = 2.
[TT] determinata se b = —2 .
|~b~| indeterminata se b = —2.
QT] impossibile se b = —2.
VERO0 FALSO? L’equazione a (a + b)x = a2b nell’incognita x è: a. indeterminata se a = 0.
H EEI
b. impossibile se a = —b, a ± 0.
H E
c* indeterminata se b = 0. pv~l r~F~| aò d. ha soluzione x = —— r- se b ± —a A a ± 0. H E
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
E141
EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
1 4
Risolvi le seguenti equazioni letterali nell’incognita x. EMI (a + 3)x —1 = a + x
~
= —2: imp.; a
a
EH
2ax —x + y = 1 + 3 (a —1)
JH
- a 2 ( x - ì ) - 4 a x + 8 ( a + 1) = 24
[a = 2: ind.; a
k
Ei'JI 7 (kx + x — l) = k(3x — l) — 5 —x
k = — 2:
1 0 fl-8 = Ì5a2x - Uax
a = 0: imp.; a
]
—16 a (a + 4)
=
= 0: imp.: k imp.; k
±
4 + A: 0: x — -,
±
—2: x
2-k 4(2 + Jfc)
4 4 2 y : ind.; a # 0 A a # y : x = -f— . ■ , „ 3(a —1) imp.; a # —2: x = — 2
Ei'Jtl ax — a + 3 = 2 (a —x)
a — — 2:
k = 3kx — 8x — (2k + x)
/c = 3: imp.; k # 3: x = ^
Ei'lìl k 2 — kx = k 2 (2x —4)
k
fx(f + 2)2 _ f2(f + 3) , 2 J/ 1 \ ^ ^ ~*~~3a _4~:*:~*~V
t = 0 V t = —1: ind.;
t = — 3:
imp.;
t ±
0 At
1At
^ — 3:
^
22(f (t + 2) x = —y y
a = —1: ind.; f l ^ - l : x = a + }1
Ei'iH —2a + a (3 —ax) = (a — 2 ) (x — 1)
a = — 2:
Eii'l (a + l)(a —l)x —(1 + a )(l —a)x — a
imp.; a = 1: ind.; a
^ — 2 A a =£
1: x = ti + 2
<3 = 1 V a = —1: imp.; a / l A a ^ —1: x = . p.; <3 / 0 A a # y :. a = 0: ind.; a = y3: im
Elllll 2[—a (l —ax) + a2] — 3ax = 0 + (fr —3x) ( b + 3x) = x2(4 b
— 9)
+ (2x — b ) (4x 2 + 2 bx + b 2)
EHM abx —(fr + l ) 2x = —x —2 b ( x — 1)
^
= 0: ind.; k = —^ : imp.; k / 0 A k ^ —y : x =
Ei'Ei (a2+ a + l)x + x(x + a) = a2 + (x + 1)(x —1)
EH» ^2x + y
^ 2: x — y
[è = 0: ind.; b # 0: impossibile]
Ei'Jll 4kx —3 = 1 + k x + k
sa
a +1
a 2 + 8a
a = 0 V a = 4: imp.; a ^ 0 A a # 4 : x =
EM'l b [(b + x) —2] = b2 + bx
P
~
^ — 2: x = a + 2
b
= 0: ind.;
= 0: ind.;
b ^ 0: x = —
2(1 - a ) 2a —3
+ 27 18
28b
b:
imp.;
b ^ 0 A a ^ b: x
b ^ 0 A b = —2a:
ind.;
b ^ 0 A b ^ — 2a: x
b ^
0 Aa =
b
^
a —b
EHE1 (b + a)2x — a2(x + 1) + (a + l ) 2 = 1 —b b
p Q
= 0 A a / 0: imp.;
b
= 0 A a = 0: ind.;
0 3 □ VERO0 FALSO? È data l’equazione
VERO0 FALSO? Considera l’equazione
a ( y - 1) = b(y+ 1).
< ^ > x = b2 + 2 b+ 1. b a. Se b = 0, l’equazione è impossibile. b. Se b = 1, l’equazione è impossibile.
|~v~||~F~1 |~v1|T1
c. Se b / + 1, l’equazione è determinata. |~v~| |~f ~| d. Se b = —1, l’equazione è indeterminata.
E1A2
= —y
[ v ] f~F~]
a. Se a = b = 0, l’equazione è indeterminata.
01B
b. Se a - b = —1, l’equazione ha soluzione y = —2.
s ta
c. Se a / b, l’equazione è impossibile.
EKE
d. Se a — b / 0, l’equazione perde significato.
H E]
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EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
I ESERCIZI IN PIÙ
Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x.
ETTCI
X—1 - A = 0 2 u 4a
Mi
x+ 3 2b
[fl = 0: perde significato; a
5 36 "
b — 0:
2x a+ 1
V X
~ )y
a —1
^
a =±
rrr|
x+ 2 . 2x + x2 _ (x + 2) (x + 1) a + 3 a 2 + 6a + 9 a 2 + 6a + 9
ETTI
x ~ b
ÉttU
1: perde significato; a
[ a = — 3: perde
perde significato; b
= 3:
significato; a
^ 0: x =
-
^ 0: x —
a2 imp.; a ^ 3 Aa #± 1: x = 1a — _ $
= — 2:
ind.; a / —3 Aa / —2: x = —2]
+ _*__ *+*> + JL = 0
fc+1 + 26
b + b2 + 2
U
fc»= 0Vè»= —1: perde significato; 6 = -y : imp.; 6 ^ —l A 6 ^ 0 A 6 ^ - y : x = ^ ||
1+6a]
62x + x —2 b3 ~ b
x —1 6+1
2b 2 6 —1
2b3 + 3 b2 — b
^
[6 = 0V6= + 1: perde significato; 6 / 0 A 6 / + l : x = 5 —6]
03
Diminuendo un numero di una percentuale a% (a > 0), si ottiene la metà del numero aumentata di a. Tro va il numero. a = 50 : imp.; a * 50: x =
03
Determina il numero tale che se lo si moltiplica per a e lo si diminuisce di 1 risulta uguale al numero che si ottiene moltiplicandolo per b e aumentandolo di 3a, con a, b G R.
a = 6 = —-y : ind.; fl = & A f l / - y : imp.; a
± b: x
=
B Q D EUREKA! Per non fare differenze La nonna ha un sacchetto di caramelle che vuol dare alle sue nipoti: Ada, Bice, Clelia e Delia. Ada prende sette caramelle e lo stesso fanno Bice e Clelia; a questo punto nel sac chetto restano alcune caramelle, che vengono prese da Delia, ma sono meno di sette. Allora Ada, Bice e Clelia danno alcune delle loro caramelle a Delia (ciascuna lo stesso numero) in modo che tutte e quattro abbiano lo stesso numero di caramelle. Quante caramelle riceve Delia da ciascuna delle altre tre? H I
H
2
0 3
0 4
0 5
[Olimpiadi di matematica italiane, Giochi di Archimede, 2009]
EQUAZIONI LETTERALI FRATTE Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali fratte neH’incognita x. 00
3ax —2a 4 —2 ax
00
x+2 x —2
03
62 + 6 b —x x — b2
ETCÌ
x + 2 + x —b —4 _ x + b _j_ j x+2 x+ 2 x —b
03
1 1 a —x + ax —1 = 0
EU
2a *+3
3 ax —2
a
x+ a+ 1 x + a —1
[a
b
b+x
4x — 1 a+ 1 + x2 —2x —15 x-5
[ b = — 2:
—
ind.
• n +6 =a 0: imp.; a A 0: x = —^ —
= —1: imp.;
a
^ —1: x = —2a ]
0: ind. (x ^ 0); b (x ^ —2); è ^
±
— 2: x
0: x = -y = 26 + 2]
[a = 1: ind. (x ^ 1); a = —1: imp.; a / ± 1: x = —1] a
13..Va = —27 . . a ^, yg13 A . a +, —27 +2 = 5cw Va = ygg-: imp.; a ^, 5c A g-; * — 13a a —5
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E143
1 4
EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
E31
(a2 — 5a)x _ 2 a x —3 xz- 9
x+3 a
i l
K ^ ) -
t
= 0: ind. ( x / ± 3 ) ; a = 5Va = 3Va = 7: im p.; a ^ 0 A a / 3 A a / 5 A f l ^ 7 : x = —_ ^
= - K 1+ t ) b
b =
+^
sa
b
i
= -y V è = 1: imp.;
1
b
0 A b ^ -ìj- A b ^
3: perde significato;
x+ a
b = — l:
ind. (x 7^ 3);
= 13: imp.;
b ^ —ì A b ^ 3 A b ^
b —4 13: x = —^
2x + 4a a - ax
-1
[a = 0: perde significato;
a
= —2: ind. ( x / O A x 7^ —2); a / —2 A a # 0: x = —2a]
a(x —1) —3ax 2ax _ x + a x 2 —a —ax + x ' a 2 —x 2 x+ 1
rasi
—1 — ?b 2 4- 3 h
1: x = ----- ------------
x2+ 3bx + 4 bx — 3b + 9 — 3x
fr + X x —3 b —3
ESI
^
= 0 : perde significato;
a = 0 : perde significato;
a ^ 0:
imp.]
TEST L’equazione ab(x —3a) —a(3a —x) —0 nell’incognita x è indeterminata se: [ T ] a = 0 A f r = l.
[ T ] a = 0 V fr= —1.
[c] a = 0 A b = - l .
[~d~| a = 0 V fr = 1.
cnm jc —1 2jc “I- 2 WXk Determina i valori di a e li per i quali l’equazione ln 2a = — ^— , nell’incognita x: a. perde significato;
b. è indeterminata;
c. è impossibile. [a)
= 0 V b = 0; b) impossibile; c)
a
b
= 4a / 0]
EEOQ INVALSI 2004
Una legge è espressa dalla relazione s = v 1, con t, v diversi da zero. Quale delle seguenti relazioni esprime la stessa legge? a
m
a
|~c~| v = s • t
*= L
E
V= T
TEST Una legge fìsica si scrive nella forma F = m - a, con m e a diversi da zero. Quale tra le seguenti rela zioni esprime la stessa legge?
[a ]
a — m ■F
|T]
m
= -p-
[c] a = m ^
3x —5 EUREKA! U n ’e qu a zio n e in d e te rm in a ta Se — p- = ^ X l A 1 tabile, trova il valore numerico di A + B.
KKH1Q
E
i
E
-3
E
3
E
m — a- F
^ 1 è vera per ogni valore di x accetA I” JL
E
2
e
5
[USA Catawba College NCCTM Mathematics Contest, 2007]
EEQ In una frazione il numeratore è uguale al denominatore aumentato di 4a. Se a entrambi si aggiunge a, la frazione risulta g
^ . Trova la frazione iniziale.
0 A a / 14 A a
^ 2:
^4 _ ^
E H In una frazione la somma tra numeratore e denominatore è a. Se si somma 5 a entrambi, la frazione risulta a 2 + 5a — 25 -F-. Trova la frazione iniziale. a 7^—10 A a / —5: 25
1 144
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EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
ESERCIZI IN PIÙ
RIEPILOGO P Q
KKK1Q TEST L’equazione 2x —4 = x —2 ne^*n " cognita x ha come soluzione è vero solo se: E
=
x
a — 4.
Questo
|~a 1 determinata per
4.
|~b~|
a ^ 2.
fcl
a
7^ 6 .
|~d~|
a
7
TEST L 'equazione nell’incognita x è:
1~b~1
indeterminata per
fcl impossibile per fb] determinata per
^2 A
a
a a
^
+ 2)
= 0. a = —
1.
— 1. =
2.
a ^ 6.
TÉ CHECKER Risolvi le seguenti equazioni. erra E**1
x 2 + 3x + 5 x2 + 2x + 4
peri
lOx —3 . 2 x 5 x -2 + x+l
sa
2x + 3 _ x — 1 2 -
x
~
8
x - 2
x+2
5x 2 + 3x - 2
8x2 + 5x — 1 _ x — 1 _ 9 , x — \ 5x —2 x + 2 ~ Z + 1 - 3*
ind., x + —2Ax + 4-
3x2+
9 2 T x + 8 —x 3
x + 2
sa
6x — 1 x
2 - 7x +
4x — 1 x2 + 2x + 4
2 x -4
3x _ x —4 25 - x2 “ x2 + 3x - 10
10
1 2x — 1
s a
2x + 1
x —2 x
w \ / 2 l 3
1 \ x —5
gg
(—3)3 / 2 1 \/ x —3 5 { 5 + 2 j[ x 2 - 1
2}
2x + 3 x —1
x
/ x -1 \ x2—2x
5______ L
2x - 2
6 7 45 58
2
*+ 5 x_ 4
- \ x - 2
8
1
9
2x —
2x —3 x —1
2
+1
gg
2 2
x-
x 3+ 3 (2x — l ) 2
4 —3 x \ / 3x2 —6x —x —2 : x + x + 4 / \ x 2 —4
gg
2 ind., x ^ - 1 A x^-^-
14x —7
x + 1
_ x —2 - x2- x - 12
x + 3
3
[4]
\_ Z 2 x -4 r1 1 \ 5 ) + 6
2 1- x
\/3 x -l 2x + 2 /
5 2 -7 5 x 25 - 25x
\ + ^ *L = 2+ ^ — I
2 + 2x /
1 —x
x+3 [
(x2 —9) (x - 3) 5x + 9 : 5x + 9 } :
gg
x2 + x + 1 x3 — 1 / i \ 2 — x + 4 . 2x2 + 3 + 5x x3 + 1 ‘ x2 —x + 1 * x + 6 ' 2x2 + x —3
gg
10x2 —7 x + 1 . / 1 + 2x2 - 3x__________1_________ 1__ \ = (2x —3) (5x + 1) 2x2 —x — 1 ' \ x3 + 3x — 1 —3x2 1 + x 2 —2x x —1 / 2x+l
gg s a
x2 + 1
x —1 : x +
[impossibile]
2 —x J
+
2x
x —1 c3 - 4x
[impossibile]
3)
[-4 ]
[impossibile]
x3 —2x2 + 2x — 1 x —1
1 + x4 —2x2 _ 2x3 + 3x2 —3x —2 _ . _/ x —x2_______ x4 — 1 X4— 1 X3 —X2 + X — 1 *\ x2 — 1 X5 —X4 —x + 1
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4 5
E145
1 4
EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
R is o lv i e d is c u ti le seguenti e q u a zio n i n e ll’in c o g n ita
EETil
I +x 2a
x.
1 —a 4a
4a2- 1 a = 0: perde significato; a ^ 0: x = ----y
1 _ x(a —2) 3(3 + 3 (3+1
ESI x - 1 +
1 6+1
1 -3 significato; 6 = 0: imp.; 6 / —1 A b ^ 0: x = — ^6
P ]
46 + 4 + 4
p i
X 2
X (3+1 = 3
p i
X a
X+ 1 a —2 = 0
pi
3x 10(3 + 5 a — 1 + 2x = 2 a — 2
[(3 = 1 : perde significato; a ——y ind.;
pi
ax a+3
[a = 0 V a = —3: perde significato; a ^ 0 A a ^
gp
a: ^ f l —3x _ 1 —a: fl—1 1 a 2 — 1 (3+1
pi
x + a , x —a + a+3 2 —a - 1 = fl2 + (3 — 6
1 2a
3 3A+1
pi
6=
[a = 0 V a = 2: perde significato; a ^ 0 A a ^ 2 : x = —y
X + (Ì2X a(a + 3)
A /e —2
3A2—5A —2
k —2 x x + 2 = 3k
pi
2 + 2x x + 5 + 2(3 — 0
pi
4 + 3(3
a+x
1
2x + 4
x+ 2
2
pi
9x + (3 + 30 = 0 x+ 3
pi
ax _|_ j x —4
wsx
a x —1
1146
|(3 = —8: imp.; a ^ —8: x — a ^ ^
[a = —1 : ind.; a ^ —1: x = y j
a = 0: perde significato; a = 2: imp.; a / 0 A a / 2 : x
=- A
2a a —2
A = —1 : imp.; A ^ —1 : x = ^ + ^
a = —1: perde significato; a = —y imp.; a # —1 Aa # —y x = 3 (2 a~+^i )
3x
5 a —1
^
a = - 1 V a = 1: imp.; a / —1 A a ^ 1: x = —■ + ^
2
— ---- h 1 = (3 + 1
A = —-4- V A = 2: perde significato; A # —4- A A ^ 2: x = A—3
. (3+q— 30 a = —3: imp.; a -^L—i3: x = -----
J_ + J_ = J_
pi
a
, imp.; . 5 a ^+ l a = —1: a ^/ —,1: x = ----+
U
x —4 x+ 1
—- y
a = —3 V a = 2: perde significato; a / —3 A a / 2 : x = y
—^
pi
—3:x=
3 3 1 a = ± 1: perde signficato; a = y : imp.; a ^ 1 A a ^ —1; (3 ^ y : x = ^ _ 2fl
2 x —8
x + x+1
x
1 Ad / - y x = y
A = —y V A = —4: imp.; A # —y A A # —4:x = —
— + —----—= 0
a
— 1: perde
a = —1: perde significato; (3 = 1 : imp.; a # + 1: x =
pi
pi
3(3 + 2
a = —1: perde significato; a ^ —1: x
(1 —x )(l —a)
[a = 1: perde significato; a = 0: imp.; a / l A a ^ 0 : x =
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5 + 33
EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
ETTI
a —x _j_
g li
3* + 1 + . - - 2 = 0 q(x —3) 2a
P
1 _ (q + l)(x + 2) 2x 1+ 4 +' 3q 1+ 3
a —2 M 1 q+ 1
a q+ 1
2a2 2a + 2 = 0
x+ 2 2x
a
I ESERCIZI IN PIÙ
= —1: perde significato; a = 0: imp.; a / —l A a ^ 0 : x =
a = 0: perde significato; a = y : imp.; g # 0 A g # y : x = [g — — 1: perde significato; a
—
j
1: imp.; g / —l A g / l : x = —
*]
4x + 5q ax + x a = —1: perde significato; a = —3 V g = y : imp.; a # —1 A g 7^—3 A g 7^ y : x = ^ ^
FTZ1
362 62x + xb b —0
EHI
2 - \ x ,6 - o bx + x
Vb
6x —1 x+3
= — 1: perde
x 2 —b x2 + x - 6
| v ‘ =—2 : imp.; 6 / 0
significato; 6 =■
A 6 / —1 A 6 /
A 6 / —2 :
x= 3(6 + 2) 36 + 2
5 — bx 2 —x + 1 v/ 6r = - li V \ b; = -29 . j l 3 a 7 z. , , / j. 29 y3 V j - j - : imp.; 6 # y A 6 / - 1 A 6 # y p x = 3b _— 23
(k —x + 2) (k —x ) 2 — (k —x) (k 2 + kx + x 2) + (3k + 2)x2 k
EQ]
2x q —1 + q + 2
a —2 fl + 2
X+ V x2 + 2x + 4
k
. 1 r a a / / = - y4 : imp.; /c / 0 A /c / ~ y4:
g= 0 Va= 1Va a — 2:
1 —x x 2
= 0 : ind.;
X3 6 (x3—8)
= —2:
x =
3fc2/c +4
perde significato; a = —y imp.;
ind.; g / 0 A g / 1 A g / + 2 A a / —y : x =
+1
1 -6 6
6 = 0: perde significato; 6 = y V 6 = y : imp.; 6 / 0 A 6 / y A 6 / y : x = 6 -4 6 4 6 -1 EHI
a —1 x + 2q
a _ a- 2 2x + q 2x + q
q ( 1 —3ax) 2x3+ 5qx2 + 2q2x a = 0 : ind. (x / 0) ; g = -
V g = —y imp.; g / 0 A g / —g- A g / —y x =
ETITI La somma fra 3 e a sta al doppio di a come un numero x aumentato di 1 sta al prodotto tra a e il numero x 2 stesso. Trova il numero x. g / 0 A a / —1: x 1
ETITI Determina i valori di k tali che l’equazione a. x = 3;
b.
x = 0;
x —2/c x2- k 2
1 x-k ~
+
g
1 abbia come soluzione: x+ k
c. x = k —1. [a)-f;b) impossibile; c) 3j
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E147
EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
1 4
a. Risolvi e discuti, al variare di a in R, l’equazione: /i _ a \ V
x____ ax ~ 2ci . 4 —4x + x 2 _ —3a 2 x ‘ x 2 + 2x ~ x- 2•
x)x-2
Determina per quale valore di a l’equazione ha soluzione: b. x = —21;
c. coincidente con la soluzione dell’equazione 3(2* —a) = a + 2 (2 x —1). a)
a
= 1: ind.;
a
2
= 0 V a = ±- 3-: imp.;
2
A a ^ O A a ^ ± -y :
x =
h) —7; c) —1
i valore ì i- a ile equazioni. —s 8 +- — a .I- — 4a 3x —— —8a e ---l —— 2x+ 3a = -y5 sono equivalenti. . , rlipi Trova per quale di —= — —---etti t
^ j LA’
► LABORATORIO
A
M A
ti
A
MATEMATICA INTORNO A NOI
Quale container? Ernesto deve effettuare due spedizioni. Nella prima i colli della merce occupano un volume totale di 102 m3, nell’altra un volume di 115,5 m3. Ha a disposizione due tipi di container, entrambi larghi 2,5 m e della stessa altezza, ma uno più lungo di 1,8 m. a. Ernesto vorrebbe sistemare ciascun carico in un container diverso. Quale dovrebbe essere la lunghezza minima necessaria per ciascuno di essi? b. A causa di problemi al proprio parco macchine, Ernesto affida la spedizione alla ditta di un amico che ha a disposi zione i seguenti mezzi e container: • motrice 1: dimensione container (LxLxH) = 6,20x2,12x2,45 m; • motrice 2: dimensione container (LxLxH) = 8,00x2,44x2,60 m; • bilico: dimensione container (LxLxH) = 13,60x2,50x2,60 m; • mega: dimensione container (LxLxH) = 13,60x2,50x3,0 m. Il camion che trasporta il carico di 102 m3 deve attraversare un sottovia alto 4,10 m e il codice della strada impone almeno 20 cm di differenza tra l’altezza del sottovia e quella del veicolo. Il piano del camion su cui poggia il container è alto 1,20 m. Valuta se è ancora possibile effettuare il trasporto con un solo mezzo e se sì indica quale.
□ E148
► Risoluzione.
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MENU DELLE COMPETENZE ©
Nella seconda pagina della copertina
V E R IF IC A D E L L E C O M P E T E N Z E A L L E N A M E N T O ►C om petenza 1 (abilità A) COMPLETA 1B
L’equazione (a2 — l) x = a — \ nell’incognita x è impossibile per a = |___ |.
WM Se b — 4, l’equazione 2bx — b —4 nell’incognita x ha soluzione I__ |. L’equazione 3 (a 4- 1) = ax nell’incognita x ha soluzione * = 0 per a = WM Se t = —3, l’equazione d____ |)jc = t (I____I) nell’incognita x è indeterminata.
CHECKER
Risolvi le seguenti equazioni.
(2x + l ) 2 _ x —3 _ 3x 4- 2 x 2 — 25 x 4- 5 — x —5
24 5
x3 —5x2 —x —2 2 — = x(x + 1 ) 1—1 x+ 1 x2—7x 4- 10 3x + 1 _ 9x+ 1 _ 2x + 1 2x 4- 4 3x —1 — x + 2 3x —1 25 - 10x + x2
x
2_ 9
—3x —6 6x —2
2x _ x 25 “ x - 5
_ .
[-30]
2-
2x —5 . 2 _ 5 x2—3x 3 —x x2 —9
.
x3+ 12 x3—9x
[impossibile]
5x —2 , , ^ 4x24-3 x —7 , 5 ---------2x —5F- 4- 4x —2 —---------x = -f2x —5f- 4---x
10 19
5x2 + 7 51x2 + 4x —13 x —9 —5x 4- 6 = x2- 7 x - 18
27
x 4- 6
5x —2
11x4-3 12 —5x2 —28x
4-
13x2 4- 2x 4- 2 2x2 — 13x4- 15 3x x2 —4
17
4x2 —9 2x2—lOx
6x 4- 9 x —5
1 3
x 4- 1 , x —3 __ x 4- 5 _ 5x3—8x24- 4 3x 2 —x — 3x4-6 3x3—12x 1 x 4- 3x ) - ( x - I r )2 =
2x34- 4x2 —6 3x —3x2 4- x3—1
1 -
7x - 1 _ 3 x2 4- 1 —2x x —1
3x —5 7 —x 4- 1 1_______ x 4- 3 x2 —x 2x24- 7x 4- 3
i r
3
?
[impossibile]
26 - 3x 10 x2 4- 3x + x 4- 3
[impossibile]
2x_________ 2______ x4 —1 ' x3—x2 4- x —1
x —1 \ x 4- 1 / x
[impossibile]
Risolvi e discuti le seguenti equazioni nell’incognita x. 4a3x —4a2x = (a —1) (x 4- 2a 4- 1)
a —
1V a =—
ind.;
a — -y
: imp.; a / 1 A
/ ±
x = 2fl _ ^
511
14 EQUAZIONI FRATTE ELETTERALI 1
(a5- 1)( jc—3) = (a 3 — 1) (x —9) + 6 (a 5 — 1) 2x — 3b
+
—2 b 2
frx 2b —
= 4—
1
a = ±
ax+1 a + 5
a + 2
__x 2 —a
a 3 —9a a —
1
= — 3:
imp.; b
1: perde significato;
7
^ y ^ ^ 7^ 1 A b
a — — 2:
^ — 3: x =
^
ind.; a / ± 1 A a / —2: x =
^ ^
= — 5:
perde significato; a
= 8:
imp.; a / —2 A a / —5 A a /
8
a : x = (a —58 )— (a + 5)
,,,, 9 ,, = —y3 :. imp.; a ?/ 4. A , fl^/ y9A. fl^, —y3 : x = 13a 6 a = 4Va=yyVa ^ _— a
x2 + a 2x — a x
2: perde significato; a = 0: ind. (x # 0) ; a = —3: imp.; a 7 ^± 2 A a 7^ 0 A a 7^—3:
+ a x+2
3— a x —4
ax
x —4
Va
1—a 3 —x
a = ± ax — 2a
A
1: ind.; a # 0 A a # ± 1: x = 9]
a —2 — 15x
a 2x + 6
a(x + 1) x (a 2 - 4 )
^ 0
—±
a2+ 7a+10 a ——2
x —2 a x 2 —9
0 Va
x+ 1 £»
è = 0 A &= -y : perde significato; b = 1: ind.; b
5x+l
[a —
x = —3 — a
a=- | - Va = 0Va = 1: imp.; a ^ - | a
x = a 2 + 4a + 3
a = 1: perde significato; a 9 It + x 2 a —a 2
—
0 Va
—
3: imp.; a
— — 3:
ind.; a / 1 A a / 0 A « ^ + 3: x = aa(a2 -—13)
3 —2ax 2 a - 4 a
= 0 V a = 2: perde significato; a = 3: imp.; a = —3: ind.; a / 0 A a # 2 A a 7 ^±3: x = 2 (a —3)
6 —2 a
1 —a
3x —2
x+ 3
+
12
3x 2 + 7x —6 . 1 .. 15 . . 1 . a = —3. . V a = —yy Va = -yy : imp.; a 7,^—.3 A a +, —yy Aa
n
fc = —1: ind. (x / 1); b
— 2
V = 0 Vb
—
— 1) -yy: x = —8 (a a + 2> —
, 15
±
1: imp.; b / ± l A b / 2 A f r / 0 : x = ^ ^
Risolvi le seguenti equazioni considerando come incognita la lettera indicata a fianco. 2p = c—
2 k (R
£
+ r)
_V_
i*l
a
S
ab
=
& k
( R + r)
0/
= 2 (ab + frc + ac)
►C om petenza 3 (abilità 2 P4]
2x + 3 x = 0 nell’incognita x, trova il valore di 5a a + 1 soluzione sia l’opposto di quella dell’equazione (2x —3) (3 + x) = 2x 2 —3. Dopo aver risolto e discusso l’equazione
a
512
= —1 V a = 0: perde significato; a
yy : imp.; a ^ —1 A a 7 ^ 0 A 7 ^ 19 : x
9
a
tale che la
15a a —1 ’ a — 3 3
MENU DELLE COMPETENZE
Trova il valore di t per il quale le equazioni valenti. Determina per quali valori di
b
> l’equazione
t 1 t
5
y _ x
Z
= f + 9 e (x —3) 2 — 13 = (x —2 ) (2 + x) sono equiI ' ^ [ - 1] 6 x ~h 4
= »2 _
2 + ^
b. impossibile;
a. indeterminata;
O Nella seconda pagina della copertina
ò
^ è:
c. determ inata con soluzione
0.
x =
[a) 1; b) 2; c) 4]
Considera le funzioni
f(x
)=
e g(x) =
a. Determ ina il loro dominio.
+
2.
c. Calcola per quale valore di x si ha
b. Trova gli zeri di f ( x ) .
f(x)
—g ( x )
a) Df. x A 4, Dg: x A 0; b) —
— 0.
c) —j j
Trova due num eri tali che la loro somma sia 5 e il rapporto tra il prim o aumentato di a e il secondo dim i nuito di 2 sia 2,5 ■a .
a± | a. Risolvi e discuti le equazioni a (4a x — 1) = 4 a x — 1 e re di a sono entrambe impossibili.
a —
1
3 A
2 13a
5
: 5a + 2 e
2 (6a + 5) 5a + 2
= 8 a nella variabile x e indica per quale valo-
b. Determina poi per quale valore di a hanno soluzioni coincidenti, oppure opposte, oppure tali che la loro , 3 somma e -ga) I eq.: a = 1: ind.; a = 0: imp.; a # l A a ^ 0 : x
II eq.: a = 0 V a = 1: imp.; a ^ 0 A a / 1: x =
4a ’
; b) 3; —1; -y
INTORNO A NOI Prima una, poi l’altra Un fattorino deve consegnare, in un unico viaggio, due piante: la prim a a 3,2 km di distanza dal vivaio e la seconda a 4 km di distanza dalla prima. Se effettua i due tragitti alla stessa velocità media e per la prim a consegna impiega 1,5 m inuti in meno rispetto alla seconda, dopo quanto tempo consegnerà la seconda pianta? [13,5 minuti] WFfM
Q TEST Cerca i l rapporto La base di un triangolo ha una lunghezza doppia di quella del lato di un quadra to e le loro aree sono uguali. Pertanto il rapporto tra l’altezza del triangolo e il lato del quadrato è: [ a] 4.
[¥] 2 .
de] 1.
[ 6]
-j-
CHI - j .
[USA Indiana State Mathematics Contest, 2006] teflB In un rettangolo
ABCD
di base A B l’altezza A D è 3 a e la base è
\
dell’altezza. Da un punto P, sul lato
DA,
traccia una retta parallela alla base che divida il rettangolo in due rettangoli in modo che i loro perimetri abbiano rapporto - y . Determina INTORNO A NOI
P.
[AP = - j a V AP = -|-a, con a > oj
In biblioteca Lungo la strada rettilinea lunga 1000 m che congiunge le abitazioni di Camil
la e Marta c’è una biblioteca, che dista / metri dalla casa di Camilla. Se le ragazze escono di casa nello stesso m omento per incontrarsi in biblioteca, camminano alla stessa velocità e Camilla aspetta M arta per 2 minuti, quanti m inuti impiega Marta per raggiungere la destinazione? (La biblioteca è più vicina a casa di Camilla che a casa di Marta.) r.t = 1e-00 0- / . .. „ / , / ...1 qq _ ^ minuti, con 0 < / < 500
513
14 EQUAZIONI FRATTE ELETTERALI V E R IF IC A D E L L E C O M P E T E N Z E P R O V E TUT<3R
PROVAA (10 esercizi)
PROVA C ►C o m p e te n z e
Q IN UN’ORA
a 2x + a x
[TI indeterm inata se
a =
a
G> IN MEZZ’ORA
1, 3
TEST L’equazione nell’incognita x è: 1~b~1 impossibile se
PROVA B (10 esercizi)
=
a 2 + 2a +
1 x
— x
= 0
( x 2 —4x ) ( x
0.
x 2—
= —1 .
+ 2) = 0 8 x + 16
K f l Risolvi la seguente equazione nell’incognita x al variare di k \
ITI determ inata se a / 0 A a / —1 . |~d] in d e te rm in a ta se a = 1 .
—k ( 9 x
3 ( k 2x + 2 )
Risolvi le seguenti equazioni. x+ 4 3x2+ x
6x 9x2
D
1
— 1 + 1 —3x
PROVA D ►C o m p e te n z e
x - 2
b
x —
7b —
1
H
30
B
a. perde significato per
b —
0.
m ts S E 0
0
e. ha soluzione x = 5 per b ^
Considera le funzioni: /(* )-
b2+ 2
3b
9 —x 2
3x — x 2
_
9
+
a 2x —
(
0
x 3 —9 x
In un trapezio l’altezza misura a e la differenza tra le basi misura 2 a . Trova le basi del trapezio, sapendo che l’area è 6 a (a + 1).
514
'gW x-ì
c. Trova il valore di x per il quale /(X) ~ £ (x ) = 1.
Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x , al variare del parametro. 1
x
a. Determina il loro dominio.
S E
5.
3x {3x — a) — (a — -\-)(a +
x
x 2 —4x + 4 '
b. Trova gli zeri delle due funzioni.
d. è indeterm inata per un solo valore di b. 0 A
1 x+ 2
E tà
= 5.
c. non è mai impossibile.
b ^
Risolvi l’equazione: 4 4 —x 2
nell’incognita x:
b
Trova due numeri, sapendo che il maggiore supera il m inore di 4 e il triplo del reciproco del loro prodotto è uguale alla somma dei loro reci proci.
© IN UN’ORA
b x — b
b. è impossibile per
2) = 0.
1, 3
VERO 0 FALSO? L’equazione 5
+
O Nella seconda pagina della copertina
MENU DELLE COMPETENZE
PROVA E ►C o m p e te n z e
i l
Q IN UN’ORA
1, 3
Quante fotocopie! Una fotocopiatrice produce copie a un costo unita rio p , in euro, che varia in funzione del num ero di copie formula:
k
secondo 1;
A:+ 30000 P =
20k
'
a. Quante devono essere le copie prodotte perché il costo di una copia sia di 8 centesimi?
b. È possibile che il costo unitario risulti uguale a 5 centesimi? c. Se vengono prodotte 60 000 fotocopie, qual è la spesa comples siva?
WM Rapporti Determina tre numeri pari consecuti
D
In un trapezio rettangolo 2
vi, sapendo che il rapporto tra la loro somma diminuita di 5 e il doppio della somma dei loro
BC
Funzioni a confronto Considera le funzioni (x2+ x ) ( 2 x - l )
della base maggiore
AB
base m inore e il lato obliquo è y , determina il
x2+ \
* + l e £ (x)
il lato obliquo
e la differenza delle basi è 5 cm. Sapendo che il rapporto fra la differenza tra la base maggiore e il lato obliquo e il doppio della differenza tra la
successivi diminuito di 3 è uguale a y .
/(* ) = 2 x
supera di 3 cm i y
ABCD
perim etro e l’area del trapezio.
’
a. Determina il loro dominio. b. Individua gli eventuali zeri di f ( x ) e dig(x). c. Calcola per quale valore di x si ha
PROVA F ►C o m p e te n z e
f( x ) = g(x).
0 IN UN’ORA
1, 3
Il torneo di calciobalilla
b iU a rd ie w
=€
410
t re , c o p p a = € 6 5 c o p p ia ,fa c c e tte ,
=
€ 2 ,5 0
Alessandro, per il decimo anniversario del proprio bar, organizza un torneo di calciobalilla a coppie. Mette in palio un biliardino semiprofessionale per la squadra vincitrice, tre coppe per le prime tre classificate e due fascette tergisudore per ogni partecipante.
a. Imposta l’equazione letterale che, in funzione della quota di iscrizione a persona al torneo, determina quanti partecipanti sono necessari per raccogliere la somma voluta.
b. Se si fissa la quota di iscrizione in € 10 a persona, quanti iscritti al torneo sono necessari? c. Se si vuole un num ero di iscritti al torneo pari a 50, quanto deve essere chiesto a ogni giocatore per raccogliere la somma voluta. 515
D IS E Q U A Z IO N I F R A T T E E LETTERALI 1. DISEQUAZIONI NUMERICHE FRATTE Q Esercizi a pagina 520 Una disequazione è fratta se contiene l’incognita in almeno un denominatore. Per risolverla, dobbiamo trasformarla, con i princìpi di equivalenza, in una delle seguenti forme, d e t t e f o r m e n o r m a l i : N (x)
y
q
D (x)
con
N (x) e
J ffx f
>
D(x)
~
N (x
’
) ^
N (x)
D (x)
^
n
q
|f thè unknown is in thè denominator, thè inequality is called a ratio na l inequality.
~
D (x)
D(x) funzioni dell’incognita x .
Ci occuperemo solo del caso in cui N ( x ) fratta).
e
D(x) sono polinomi (disequazione razionale
Vediamo un esempio con una disequazione numerica fratta in forma normale.
Risolviamo la disequazione
5x + 7 ?> — 2 x
^ N
Per la regola dei segni, il segno di una frazione -rj- dipende dai segni del numeratore e del denominatore. • Dobbiamo studiare separatamente il segno di N e quello di D. • Poniamo sempre N >
0
D > 0
N
> 0e
D
> 0, indipendentemente dal simbolo > , > , < , < della disequazione.
5x+ 7 > 0
x >
3-
x <
2x >
0
7 5’
in ordine crescente come sulla retta orientata
2 • N
Compiliamo il quadro dei segni, aggiungendo la riga -jjottenuta con la regola dei segni. Quando
N
-p - si annulla; quando si annulla
non esiste e lo
D, - j y
si annulla, anche
N D
) +
+
+
+
indichiamo con 3 .
N
La disequazione è verificata quando - tj - < 0, quindi scegliamo come intervalli delle soluzioni quelli del quadro in cui il segno è —:
x ^<
7 ..
— f" V
x \> -23".
-o
7 '5
516
o-
3 2
1. DISEQUAZIONI NUMERICHE FRATTE
TEORIA
Esaminiamo ora un esempio in cui servono più passaggi per giungere alla forma normale.
Risolviamo la disequazione
x2 + 1 X
2
x
2X
_ 9 _
X
Z
Inizialmente, eseguiamo i calcoli come se fosse un’equazione fratta. X1 + 1 x 2 — 2x
X
X2 + 1
>
x (x —2 )
x —2
X x —2
scomponiamo in fattori i denominatori
>A
/
+ 1- / x (x —2 )
>
4x - s
x(x —2 )
riduciam o al mcm dei denominatori
9 — 4x > q / non possiamo elim inare il denominatore come nelle equazioni: x ( x — 2) ~ U / il segno della frazione dipende anche dal denominatore
• Studiamo il segno della frazione, nella quale a denominatore chiamiamo Dj e D 2 i fattori: 9 —4x x (x —2) D]
D2
• Studiamo separatamente il segno di N e il segno dei due fattori al denominatore: N> 0
-
D i> 0
-
9 —4x > 0 x > 0;
D2> 0
-
x —2 > 0 -
Compiliamo il quadro dei segni.
x >2.
0 N
0
-
0
-
Dì D2 N Di • D?
t
I
-
0
-
t
+
I
I
N
La disequazione è verificata quando -jj- > 0, quindi abbiamo come soluzioni: x < 0 V 2
9 4 •
-o
o-
0
2
ESERCIZI PER COMINCIARE Risolvi le seguenti disequazioni. n Q E E H E E B a . 4x x+ 47 > o ; 1-3 x
DUE
6 —2 x
X2 + X
> 0.
+ -x4—_3 >- A2
Sistema di disequazioni vs disequazione fratta Spiega le differenze nella risoluzione del sistema di disequazioni e della disequazione fratta seguenti, x —5 > 0
x —5
x + 2 > 0’
x+2
> 0.
517
15 DISEQUAZIONI FRATTE ELETTERALI
2. DISEQUAZIONI LETTERALI ® Esercizi a pagina 526
Una disequazione è letterale se oltre all’incognita contiene altre lettere. Iniziamo il loro studio considerando le disequazioni letterali intere di primo grado. Per risolverle, dobbiamo trasformarle in una dell e f o r m e n o r m a l i : A x > B ;
A x > B ;
A x
<
B\
A x < B .
Con A e B indichiamo delle espressioni che non contengono l’incognita, ma possono contenere altre lettere. Giunti a una di queste forme, studiamo il segno del coefficiente A di x, considerando separatamente i casi: A > 0;
A < 0;
A = 0.
Questo studio va fatto perché, se in una disequazione si dividono ambo i membri per un numero negativo, è necessario cambiare il verso della disequazione. Risolviamo la disequazione
a (x
+ 1) >
3x
+
2
nell’incognita x.
• Svolgiamo i calcoli e giungiamo alla forma normale: a (x + l)> 3 x + 2 •
—
ax + a > 3 x + 2
—
ax — 3 x > 2 — a
—
— A
Distinguiamo tre casi. A > 0 Se
a
^
A <
—3 > 0, cioè
> 3:
a
Se
2 — a
0 .
x >
> 2 —a . —v -
(a — 3 ) x
X
a — 3
0
A= 0 < 0, cioè
a — 3
!
/ 2 < a
B
Se
< 3:
a
ci
a
—3 = 0, cioè
0 •x > 2 —3
o .
— 3
-
a =
3:
0 •x > —1.
La disequazione è sempre verificata.
cambiamo verso perché dividiamo per il numero negativo a - 3
Esaminiamo un altro esempio ancora di disequazione letterale intera, ma in cui c’è un parametro al denominatore.*• x
Risolviamo la disequazione
—2 , + ^ < 1 nell’incognita x .
• Otteniamo la forma normale: x — 2 a
+ 3
1
<
x — 2 a
^
+ 3
a + 3 a + 3
a
+ 3
<
2+
a
+ 3
a + 3
Distinguiamo tre casi.
a
1
+ 3
x < a +
A < 0 > 0, cioè
a
> —3:
5
m oltiplichiam o i due m em bri per a + 3>0, quindi il verso non cambia
518
+ 3 /
<
x
a a
A
A > 0 Se
1 a
Se x >
< 0, cioè
+ 3 a +
B
= 0
A
1 a
a
< —3:
5
m oltiplichiam o i due m em bri per a + 3<0, quindi cambiamo il verso
+ 5 + 3 \
1
, g non può essere
nullo, mentre per a = —3 la disequazione è priva di significato perché il denominatore si annulla.
2. DISEQUAZIONI LETTERALI
Vediamo ora con un esempio come risolvere una disequazione letterale fratta.
Risolviamo la disequazione 1 + — > • Otteniamo la forma normale
f ^ | A ratio na l inequality may also contain letters other than thè unknown in its denominator. To solve rational inequalities you need to consider separately thè cases for when thè denominator is positive or negative.
a.
> 0: 1 +
>
x + 2
a
x
Studiamo il segno di N : N >
0
—•
TEORIA
^
ax
x + 2 — ax
x
x
> 0.
m oltiplichiam o per -1 e cambiamo verso
x + 2 — ax > 0
(1 —a ) x > — 2
x — ax > —2
—
(a — \) x < 2 .
Distinguiamo tre casi. Se x
a —
1 > 0 , cioè
a
> 1:
Se
2
<
a —
x
1
a —
1 < 0 , cioè
a
< 1:
2
>
a —
1
cambiamo verso perché dividiamo per a -1 , negativo
Se
a —
0
x
1 = 0, cioè
a —
1:
< 2.
La disequazione è sempre verificata.
• Studiamo il segno d i D : D > 0 — x > 0 . • Il segno di N varia al variare di
a,
nei tre casi esaminati, quindi compiliamo tre quadri dei segni distinti,
osservando che, nel rappresentare i valori in ordine crescente, dobbiamo tenere conto che maggiore di 0 se a > 1 , è minore di 0 se a < 1 . Se a > 1 :
N
Se a < 1 :
+
D
2
a-1
a-1
l)
] + _______ _______
TT D
"
Se
a
t I
+
N
]
+
D
+ _______ _______
D
-
S D
]
N D
> 1:
0 < x <
Se a —
a
+
-
i I
+
< 1, le soluzioni sono: 2
x <
1
+
N
-
+
a
, è
Se a = 1 :
2
+
2
— 1 V x > 0.
Se a —
+
1:
x > 0.
ESERCIZI PER COMINCIARE Risolvi le seguenti disequazioni nell’incognita x. n D E E E s a
BUM i i n
m
(a — 1 ) ( x
2 ) < 2 x ( a —1)
3
^ 2_ ^ x
x
.
a — 2
w
—
a — 5
^
2 a +
5
ax —
8
a 2 — 25
519
DISEQUAZIONI FRATTEELETTERALI
E S E R C IZ I
1. DISEQUAZIONI NUMERICHE FRATTE e Teoria a pagina 516 Quale fra le seguenti disequazioni nell’incognita x è num erica fratta?
Q
m
16« t
-
m in
>1
t
3x — 1 2 + a
TEST
I seguenti numeri, tranne uno, sono \ — x +^
soluzioni della disequazione
1- Quale?
—
x+ 1
i
fi!
K B
Q
TEST
m
X > 2
m
- f
DEI - 3
- f
tu 4
inserendo il segno della frazione:
COMPLETA
(~ 3) ( - 6 ) | 2 (—4) ’
: ’
-5 2 •( - 8)
(~ 2)3(—4) : | -5
>1— I;
(~ 3)5(—2)4 ' ( - 6) ( -3 ) ’
•
Che cosa si può dire sul segno dei numeri reali a e b se sono vere le seguenti disuguaglianze? , 4
b . - 4 - < 0;
a* a < 0 >
ai
f >
d.
0;
b2 ^ n
Risolvi le disequazioni senza eseguire calcoli. 3 2 -4
>
0;
e.
—5a 4 / „ ----- r < 0. 3 (-a )
e. — T- < 0.
d. -y - > 0;
c. — <
a .f >0;
—2 a ( - a ) 2
AL VOLO
— < 0; * ’
—^ - r < 0 ; x —1
x9x2 + 1 > 0 ; —~ x2 + 1 X >0-
Q
EUREKA!
7 —x > 0 .
-3 > 0. x+ 3
> 0;
(-4 )-
4 X3
< 0;
X
1x | + ! > 0; |X
< 0; xI < 0;
X+ 1
x2 + 4
> 0.
~ l 2 = t e >—x 0 ’
Una sola è vera Se 0 < y < 1, quale tra le seguenti deve essere vera?
[ T |x < 7 < 0 .
[b] x < 1 e y > 1 .
I~c~l 0 < xv < v.
[~d~I 0 <
x
<
v.
H] 1 <
7
[USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 2002]
Disequazioni in forma normale Risolvi le seguenti disequazioni. p
u
m
2 x^ 1
520
m > 0
:
1 —2 x
5 —x < 0 3x
<0
x < 0 Vx >
8 x —36
9 —3x > 0
[0 < x < 5] 3< x<
1. DISEQUAZIONI NUMERICHE FRATTE
4x — 12 15 —5 x
[x ± 3]
0
<
3 — 2x
—4 —4 x < 0 10x+ 5
x < —~y Vx > -y
< 0
-1 0 x + 2 6 — (x — 4) 7 — 7x
1
1< x ~ 2
[x < 1 Vx > 10]
-> 0
ESERCIZI
MATEMATICA E FISICA
Il pontile Osservando un pontile, Elisa e Maria si accorgono che i galleggianti sui quali appoggia la struttura sono bloc chi parallelepipedi in calcestruzzo! Le due amiche sono veramente stupite...
x + 3
x —
-6
< 0
1
Le disequazioni (2x —7) (1 —x) > 0
e
2 *_7x7 > 0
d e n s ità , cu g o u v d i a u c re = cù cce 1 0 3 0 k g /a d accusa, s in g o lo b lo c c o
sono equivalenti?
=
960 kg
E le disequazioni (x + l)(x -4 )> 0
e
^ j> 0 ?
□
►Problema e risoluzione. ►2 esercizi in più.
Disequazioni fratte e scomposizione in fattori Risolvi le seguenti disequazioni. —x 2+
25 +
8x
x 2—
lOx
x2— 4 3x2
m u
—18x
[ - 2 < X < 0 V 2 < X < 6]
< 0
ESEMPIO DIGITALE x2— x — 6 x 2— 3x
[ 0
> 0
+ 2
9 —x 2 > 0 2x2 + 4x
> 0
(x + 2 ) 3 < 0 —3x 5x2 + 3x < ~ x 3 + 2x 2 + 9x + 18 — 4x 2 + 12x + 9 ^ n x 3 —5x 2 + 6 x x 2 ~ x —2 (3 - x ) (4x —5) 2 < 0 x 5(x 2 + 3) (x ~ 3) (x 2 —6 x + 8 ) > 0 3x 2 —x x 3 + x 2 —17x + 15 < 0 x 3 —6 x 2 + 12 x —8
[x < - 2 V 1 < x < 2 Vx > 3]
[ x < - 2 Vx > 01
x < —2 V— < x < 0 [x < 0 V2 < X< 3 AX -f-—|"J [- 1 < X < 0 V 2 < X < 3] [x < 0 Vx = -yj 04 [ - 5 < X < 1 V 2 < X < 3]
521
15 DISEQUAZIONI FRATTE ELETTERALI x 2 + 4x + 4 ( 2 5 - x 2) ( x 2 — 6 x —
16)
> 0
[ - 5 < x < - 2 V 5 < x < 8]
Dati i seguenti polinomi, per quali valori di x si ha B(x) = X2 - 2 x
A (x ) = 2x - 31
j/\.
(x ')
D (x)
C (x ) = X 2 - 4
~
D (x ) = X | x < —2 V x > ^ - A x ^
r a u
Disequazione impossibile Una sola tra le seguenti disequazioni è impossibile: quale?
EUREKA!
3 __
S
2|
4
—
- 1r V 4>0 +X —
AH’n-esima potenza! Risolvi la disequazione
EUREKA!
X —1 > 0 X2 - X3
[c]
( x — 5 )« f
m
> 0 al variare di
n
- i 1,- / 3 > o
nell’insieme N.
Disequazioni e funzioni
Determina il dominio delle seguenti funzioni. .. .
EH
3x
[x < 0 V x > 4]
i
y :
x 2 —2 x x —4
y =
8 — 16x
[04]
x
[x < —1 Vx > 1]
xz - l
y =
x<
Trova il dominio e studia il segno delle seguenti funzioni. 2x —1
7
Dl: x ^ 0 ; _ y > 0 : x < 0 V x > '2
9x 2 —4 4 —2x
y
1 8 --x"
y = x
7=
3(2 5
[D: x ± 8; y > 0: x > 8]
—5x)
( x~3) :
[D: x # 2; y > 0: x < —j V - | < x < 2 ]
[D: x ± 3; y > 0: 0 < x < 5 A x # 3]
Disequazioni non ridotte a form a norm ale CACCIA ALL'ERRORE
x —4 > 1 x 1
b. — < 1 x
x ^ 3_ 2x — 1 5
x - 4 > 1 A x> 1
d .- ^ - |> 0
X< 1
x > 3 A 2 x —1 > 5
-
x < -3 V x > 2
Risolvi le seguenti disequazioni. 4 + 5
1!1
X+
3
x — 11 < —2
1 >
9x + 4 x+ 1
2 + 3x < x 2 — 1
522
6
x —3
<
5 —6 x < 2 6 —x
5x — 15 1
_5^ ^ 2 x + 1 6 ^ 2x - 1
< x< 1
x <. - ^11- .. v x ^> T1
3x —5 ^ x 2x —4 x —2
—1 < x < —
’ 2 —x < 0
15 ^ . , — g- < x < 6
1 2 x - 12
P I
1
3x —9
+
3x — 1 x < x —3 2 x —6
2T ^<
^ - 17 y -
X <
■y < x < 3
1. DISEQUAZIONI NUMERICHE FRATTE
4x
^ 3 x 3 -1 3 x — 15
x — 5
EJ
7
4x
10
8x —
- T
T
[ - ! < * < - {
3 —x
< 0
x — 1
1
> ~
>
4 + x
4 — x
"f\
[- 8 < x < 4
16
4x —
p i
P
:~ ~ L 2V x >
6 — 4x
7x — 1
p i
7x
<
<
x —1 2
2 , 4 / 1 -2 * < 1 —-3^ - x + -1— —5=— x
5 x —3
2 3 x — 1 + 6^ —2 x < 0 —1 x -3
llx 3 (2 - 3x)
x
3 + 3x 6x
'
x
+ 1
[-7 < x < - l Vx > 1]
> 3
1
2 < 2x —1
P
2x2-
—3 < x < - |
[x < - 4 V4 < x < 5]
32
x < —1 V x > -y x < —y V 1 < x < 3
2x
- 1> 0
x -4
[36]
i . < x < _2
2x + 1 > 3 + 2 9x —6 4 - 6x
2
-2 , 3 < +■ - 1 x 2 - 2x + 1 1- * x- 1 4x -
"3 8 ^(3 + ~6 )
1
x
x(x + 2 ) (x H + l)2 6 x - 3 + _5 ^ 1 0 x 5 > 4 —2 x
X
2 x - 11 < 0 21 - 3 x
x — 7
2 ( 11 —x)(x x ) 0* + 1)
J4 <- xx <^ - 2L
30jc —15
[ x < - y V x > 2 A x ^ —3|
6
x 3 —( 1 - x ) 2 • x x(x + 4) 2x + 2 ' l-v -!
x < —y V —1 < x < 0
0
Dati i seguenti polinomi, per quali valori di = 2 0
+ S/c + 3
< 0 V x > -y 2 < x < 7]
9 - x2 x2+ x —
3
[x > -y Ax / l|
1 < 1 4 6
(x + 2 ) 2 + ( 3 - x ) ( 3 + x )
/V(&;
< —1 V x > —
[x < —2 Vx > 2 A x ^ 3 ]
5x —
+
1-7 x 6x + 6
4 (x — 3) —9x 2 > 1 2x 3 —6 x 2 + 8 x — 2 4
x2 - 7 x + 1 2
[—6 < x < 3]
> —1
+ x
5 —x
3 x 3+
2
x < y V ^>y
I4x — 2
x + 4 x+ 2 < 6 —2 x x — 3
m a
[- 1 < x < 2
— 5
2
P
p
l — x
3 — 2x
m
[x < 1 V x > 2
0 < ^ —- + 3 6x - 1 2x —3
< 5
[-¥ < * < f
+ 1 ^ °
2x — 5 —x + 1
4x
< 0
5 —4 x
T
1
15
ESERCIZI
V(!c) = 0
+ 2 h+
k
il loro rapporto è m inore o uguale a 2? 1
[*<-n Sistem i di disequazioni
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.
m
a
__ 3 5 —2x < 0 2x —3 > 0 x+ 1
3 T
>
9
X ~ ~ T
x —2
[2 < x < 4]
> 1
523
15 DISEQUAZIONI FRATTE ELETTERALI 3* — 1
<
X+ 1
-
3 [x
x ( x — 2) <
> -l]
(x ~ 1)2+ X
Il
12x + 4
[0 < x < 3]
x
< 0
3 — x
2x > 0
—
UBI
3x — 1
4
2 < , ,
[impossibile]
1+ x
(x — 1) ( x
x2—
< 0
2x
xJ -5
2)
(x + 4) — (x + 2 ) 2 > — 5
X2- 1
4x2— 4x + 1 < x2 ~4x
4x —
[3 < x < 4]
<4
x
9 < x
-jx—
y ( x -
[x < 0 V x > 1]
1
1>
■2 < X < - 1 V y
8
4
2
x2+
x —
1
2 1 — x
[1 < x < 2]
2x —
6
[x > 3] 2 -x ) >
3x2 + 1
[0 < x < 2]
3x2 — 7x x 2— 4x + 4
< 0
1
3 x — 21
X3 + X2 + 1 + X
< 0
4 — x
1 < x <-
< 3
xl —1 “
4 x < — ( x + 3)
>0
[x < - 3 V x > 7]
3x — 2
_|_ ^ < 0 si può anche risolvere utilizzando i sistemi di disequazioni». Barbara: «Direi che di sistemi ne servono due...». Spiega a cosa stanno pensando Andrea e Barbara. CHI HA RAGIONE?
Andrea: «La disequazione
> 0
5 —x <0 l l x + 22 3x > —x 2
x< 0V24
1 2 - 2x x + 2
Considera gli insiemi: A — Trova A U B e A fi B.
ITTI
+j£ n i>2
x — 3
-y (
x
E —i l
(1 — x ) ( x — 3)
< 0
2 < —
2 — x
[impossibile]
8 < 0 x+ 3
6x + 9
*
+— ^ -r > 1 X —1
1
< 1
1
- y ( x + 1) — x ^ x — - y j <
1 —X
< x <
> 0
16 x2 + 25 __________
1) > —
< 2
> 0
x2 x —6 x +
X
[x < —2 V x > 1]
)3
5
14
2
< 0Vy <
<0
2x — 1
0
X
<0
3x 2( x — l
x < —2 V x
<
> 0
3x2 + 3x
5 x < 2,5
_±_
—j
2 x 2 + 3x
+ 3 ) > — 3 — x ( 5 — x)
x— 3 2+ x > - l x{x +
> -l
15x <
EUREKA!
B = |x G A U B
X+ 1 2 x - 15
15 —2 < x < 2 J’ A fi B = {x
- 1 < x < 6}
Misteriose intersezioni L’insieme A = [x G R I - 1 < x < 0 } è contenuto nell’insieme S delle
soluzioni della disequazione
( x ~ 1) : x + \ —
Qual è invece l’insieme intersezione
S
1 + 2x ? 2
fi B , essendo B l’insieme delle soluzioni della disequazione 7x — 1 > 0? sì; S fi B == U l l
524
1. DISEQUAZIONI NUMERICHE FRATTE
ESERCIZI
Disequazioni fra tte e valori assoluti
ALVOLO R is o lv i le d is e q u a z io n i senza fa re c a lc o li. _ _ e h
1
EH
EH
x+ 2 1 . 1>— 3 x + 3
EH
^ ± 3 }ì> o
—5 —x \ > 0 2 X2
EH
| x — 11+ | —5 + x | + 2 < 0 1 6 -8 *
IX
11
—
P icco le d iffe re n z e Che cosa cambia nel risultato delle disequazioni? i
x —2 J < o,
1x —2 J < 0 ;
x —2
| x —2 | 1 —2 x > 0 .
b. \ ----- ^ 7 > 0 ,
R is o lv i le se gu en ti d is e q u a z io n i. _
-x -7
110 — 5x1
EH J——~ ■—o 2x — EH
ETTI
[x < 0 Vx = 2]
| x |+ 1 < 0 x2 —5x
_ _ [ ° < x < 5]
m
_ _
x3 —x2
> 0
[x > i]
P QBlfflEEEIffla-fx M ->o —8 X
p n n
EH
> 2
2x —3 2x
5 x
p D B 5n E B B iffla|< —X- 1 - 4
DQ
4x
E lU
2 —x “t f ~
HM ___ 101
x < - y3V.. x > y3
> -3
x+ 2 < x —1 2-
x < —c" Vx > 7
4x > x+ 2 x —3
| x —1 | 3 —2x
[x < —1 Vx = 0 ]
< 1
X
< -y
v
6 —| x I l 'i ' > —3
[x < -5 V x > 3 ]
> 0
[x > —1 A x ^ 1]
I 2 * 1 -1 5
n o i ,. ----- x + 4
n n
[x < y Ax / o|
x + 5x i ^ r +5
-
t
DQ
y < x < 2 Ax ^ y
3 < 0
7—x t
[x < —3 Vx > 3 Ax ^ 14]
< 0
3—x
*— l i >
X
> 2
[x / 0 ] x
^
[x > 0 A x / 1]
X —1
ASSOCIA ogni disequazione nella prim a riga con una delle soluzioni rappresentate nella seconda. 1.
,2f < 0 x+ 1
1
2. —
x —1
> 0
3.
-1
2x - 1
c.
b.
a.
? + \
> 0
4.
-
d.
-2
l + ?*
6x + 3 o-1
< 0
-o 1
5.
— x —1
< 0
e.
P roblem i
P
Data la frazione -y , si vuole ottenere una frazione m inore di y
somm ando sia al num eratore
che al denom inatore della frazione iniziale uno stesso num ero k . Quali valori può assumere /c?
-6 <
k
P
In un rettangolo la base supera di 4 cm il triplo dell’altezza. Sapendo che il loro rapporto non supera i 10 cm, quanto può misurare la base? almeno -y c m
< --!
525
15 DISEQUAZIONI FRATTE ELETTERALI m
u
IM I Data l’equazione (1 —/c)x + 1 —3/c = 0 nell’in cognita x, determina per quali valori di k la solu zione risulta:
YOU&MATHS T h e v o lu m e o f a b o x A box with a square base and no top is to be constructed so that it has a volume of 1000 cubie centimeters. Let x denote thè width of thè box, in centimeters as shown below.
a. maggiore di 0 ; b. in valore assoluto m inore di 2 ;
c. minore di —3; d. in valore assoluto maggiore di 0 .
a) - j < height
1
k<
1
; b) -
1
<
k< y ; c) k> ; d) k ^ k±1 1
width x a. Express thè height h in centimeters as a func-
MATEMATICA E NORMATIVE
tion of thè width x.
La scala
b. Solve h ( x ) > x and interpret.
E J
Trova F (x) =
k
in
m odo
che
per
la
Livio deve progettare una scala per salire in solaio. Per rispettare la normativa, si serve di una disequa zione fratta.
funzione
y _|_3 s ia F (l) = —3. Determ ina poi per
quali valori di x si ha: —1 < F(x) < 2 . [-y-;x < - 1 9 Vx > 5]
EU
Determina per quali valori di a la soluzione x di ( x — l ) ( x + 1 ) + a(x —2 ) = —2 —x ( l —x) è: a.
—1 < x < 3;
b. | x | < 1.
[a) a < —4 V a > 0 ; b ) 0 < a < 2 ]
□
2. DISEQUAZIONI LETTERALI
►Problema e risoluzione. ►2 esercizi in più.
© l e e n a a pagina518
Disequazioni le tte ra li intere
IE9U
VERO 0 FALSO?
a. Se
a
^ 0 , la disequazione
ax
> 2 a nell’incognita x ha come soluzione x >
b. Se
a
= 0 , la disequazione
ax
> —4
c. Le disequazioni
a 2x
<
a
nell’incognita x ha come soluzione solo
2.
[~v~lITI
x =0 .
I~v1ITI
2 nell’incognita x e x < 1 sono equivalenti.
d. La disequazione { a 2 + l) x > 0 nell’incognita x ha come soluzione x > 0 Va e R .
EH
CHI HARAGIONE? Paola: «La disequazione 8 x <
a
ha per soluzione x < g
Tony: «La disequazione ax < 8 ha per soluzione x < -?-». Chi ha ragione?
526
|T | [T] ITIITI
2. DISEQUAZIONI LETTERALI
ESERCIZI
R is o lv i le d is e q u a z io n i n e ll’in c o g n ita x al v a ria re del p a ra m e tro in R .
IKil 4a —a x < IKftl p
u
b 2x
[a < 0: x < 2; a > 0: x > 2; a = 0: Vx
ax
b ^ 0: x < ^
—b 2 + b < 0
e u
m
m
i a(4x
7) < —4 (x + 2) (a + 2) —a
+
(3x —6 ) a > 3 (2a —x) E3
a > —1: x > - ^ p y ;
[b > 4: x < b + 4; b < 4: x > b + 4; b = 4: imp.
IKM 4x + b2 > bx + 16 2x < a ( x - l ) + 8
B0
b{2x
E3
a(
a > 2: x > -I— 2 —— a a < 2: x <
—3) + 2x —4 < (2 —2 b ) (1 + x) —b
\ ^ ^a+ 1 ^ ^ ^ a+ 1 ^ . a > 2: x > I l _ Z~i ; a < 2: x < l i _ Z~ ; a = 2: xmp.
6x(3a —4) + 12 < 3 [4 +
P
x (a + 3) —2x(a —6 ) + 2a > 0 (5a + 2)x —2 (a 2 —4 +
2x)
(a -2 )(3 x - l)-(4 x + 3 )
lEM (x +
a)2—
[a > -y: x < 0; a < y : x > 0; a = y : Vx G R]
u > 15: x < — a —*15c-; a < 15: x > — a —*15c-; a = 15: Vx G R
[a > 2: x > 2 (a + 2); a < 2: x < 2 (a + 2); a = 2: imp.
> 4ax
>
— a)
1 ^__ 1 __ (X__ _ 1 a > 2 : x < 2 a —l ; a < 2 : > 2 a - 1 ; a ” 2 : V
—a
x (5 a -4 )-3
'
1 ) (x + 1 )
|a > 0: x > y ; a < 0: x < y ; a = 0: Vx G R |
IW
—(x —2 )(x + 3) — 12 > x2(b — 1) —3 b x —b(x — l ) 2
irfj
(b —2 ) (x + 2 ) 2 + 2 (x + l ) 2 < b(x 2 —x )
IEVI
x(b
—2) ( b + 2) —3(1 —2 b )
a (a — 6 ) x — a 2 < 3a
y /
[a > —1: x > 2 —a; a < —1: x < 2 —a;a = —1: imp.]
a(x —
il<1ll
N.
a > " 3:)C< 2 0 + V ‘! < ~ 3:5C> 2 0 +a«)
Itfl
< a(x —
V
x)
(a + 2 ) > x (a — 1 +
l ) 2 —a x
+ 2)]
x(2a
ititi 4 a (l —x ) > (2 a — l) x —4x (l EH
“ a = 2: Vx g R
2 —a
b > 0: x < -f^r; b < 0: x > xnr; b = 0: Vx G 2b 2b
3 x -3 )-3 > 6 x
EH
jltl
< —1: x < ~u r+r 1; a = —1: Vx
^ u+ 4 \ a+4 -vw a > 3: x < "xt -— ~ a < 3: x > xtt-----xr; a = 3: Vx 2 (a —3) 2 (a —3)
a ( 2 x - l ) - 6 (x + 1 ) < - 2
B3
^ ; b = 0: imp.
+ 3x
<
b > 1: x > ^ _ y b < 1: x < f _ y b = 1: imp. b > y : x < —2; b < y : x > —2; b = y : imp.
+ 2— 6b
x(b2
—1) + x(2b — 1 )
[b > y : x > 3; b < y : x < 3; b = y : imp.J
a < 0 V a > 6 : x < a+ —o^ ; 0 < u < 6: x > aa —^6 ; a = 0 V a = 6: Vx
EHI Dato il trapezio scaleno rappresentato in figura, determina il valore della base minore x affinché l’area del trapezio sia maggiore o uguale a 4i? cm2. Quanto vale il suo perimetro se l’area è esattamente di 4n cm2? x>
Sa —3
3(a + 1) ’
Sa1+ 17fl + 6 a+ 1
x
2x+3
EUREKA! Q uanti libri! In uno scaffale ci sono n libri, ciascuno con lo stesso num ero x di pagine. Se strap passimo da ogni libro una pagina, il num ero totale delle pagine nell’insieme dei libri sarebbe comunque maggiore o uguale al quadrato del num ero dei libri. Sapendo che ogni libro non ha più di 100 pagine, quan ti libri al massimo sono presenti sullo scaffale? [n < 99]
527
15 DISEQUAZIONI FRATTE ELETTERALI IEB1 a.
Utilizzando i dati indicati, determ ina per qua li valori di x il perim etro è m inore di 48.
MATEMATICAAL COMPUTER
b. Se
b = - y , come varia x in modo che il peri m etro sia m inore di 52?
Disequazione letterale fratta
________ 2x+3b________
x-b
3 4 5
x
> 0: kx
3b
a.) x
e
II
Con un foglio elettronico possiamo risolvere una disequazione letterale fratta e ottenere poi le solu zioni che si hanno per particolari valori attribuiti ai parametri.
x b>0
II
7
Os
6 dopo aver letto i valori dei coefficienti b e k : 2 b -x
x<2b
□
< 8^1 —y \ con b < 3; b) x < 2
►Problema e risoluzione. ►k esercizi in più.
Il p a ram etro è a denom inatore
Risolvi le seguenti disequazioni nell’incognita x al variare del parametro in R. m
a 2x — 2
Ep]
k
m
2a
> 0
k
< 0
x
+ 1
[a
[k — —
Sax
—4 > 0
3a
P I
[a
[a
- j z r j ( x - i
P
p
a
—a
P
(
a
^
(3a — 1)
p iq
ax + 1 , 1 —a
a
<3
ETCÌ
528
3x + 3 2a — 3
(x + 4)
perde significato;
= 0: perde significato;
a
a
> 9: x < —3; a < 9 : x > —3]
4 < 0: x < ---- j ;
a
> 0; x > ----4-
\ > J X
= —1: perde significato; a < —l V a > 2 : x <
— a —2
a = 0: perde significato; a < 0 V a > - y : x <
’ —1 < 0 < 2: x >
— a —2
;a
= ^ :
imP-
; 0 < a < -y: c > y ^ f. p;a = -y: Vx e R a = 0: perde significato;
4(3
ira
imp.]
+ a2< Q
a
ITE!
~ 3
k < 0: x > 0; k — 0:
= 2: perde significato; a < 0 V a > 2: x > 1; 0 < a < 2: x < l;a = 0: Vx E R]
a"* + 4 a < 0 (5 + i f
> 2: x > 0; a < 2: x < 0]
= 2: perde significato; a < 0 V a > 2 : x > 0 ; 0 < a < 2 : x < 0 ; a = 0: imp.]
a = 9:
( ~ p j j j ; ij i j .i H i « i i
a
1: perde significato; /c < —1 V > 0: x < 0; - 1 <
<0
E ]
= 2: perde significato;
a
± 0: x >
2a — 3 a
3 3 2 3 2 a = -y: perde significato; a > y : x > —y a ; u < y : x < —y a
> -l
b
= 0: perde significato;
b
>
0: x
Ah2
4 /i2
fc2+ 1
fc2+ l
> — L2 , , ; b < 0: x <
2. DISEQUAZIONI LETTERALI
ITTI
b —\ — 1 + X
^
ESERCIZI
[b = 0 V b — 1: perde significato; b < 0 V b > 1: x > (b—l ) 2; 0 < b < 1: x < (b —l ) 2]
----- X _ | < 1
[a = 0Vfl = 1: perde significato; 0 < a <
x < 2a —a2-, a < 0 V a > 1: x > 2a —a2]
Disequazioni le tte ra li fra tte
Risolvi le seguenti disequazioni nell’incognita x al variare del parametro in R.
p E3 P P P
a — 6
0
[a > 6: x > —a; a < 6: x < —a; a = 6: imp.]
0
[a = 0: perde significato; 0 < a < 5 : x > 0 ; a < 0 V a > 5 : x < 0 ; a = 5 : Vx E R , x / 0]
2^(fc> + 3) x —1
[ —3 < f r < 0 : x > 1; è < —3 V > 0: x < l ; b = 0 Vf r = —3: imp.]
x
+
a
5 — a ax
>
>
q ( 2 x — 1) x — a
x —4 a
a = 0: perde significato; a > 0: x >
^
[a > 0: a < x < 4a; a < 0: 4a < x < a; a = 0: imp.]
0
<
1T3
u + 2 x —7 < 0
P
5a x + 1 < 2a
P
4-a 2 > 0 (a - 2) (4x + 5)
P
m
3x + 6 a a — x
1
x+
3b
<
[a > —2: x < 7; a < —2: x > 7; a = —2: Vx e R, x ^ 7 ] [a > 0: x < —1 V x > y ; fl < 0: - 1 < x < y ; fl = 0: Vx G M, x ^ —lj
3
-2 >
1
m
—x > 0 2a(x + 3a) +— -— x— a > 0
m
3a _ J_ ^ q — 1 + x x —1 3 3x —3
rrg
3q + 1 —x > 0 x —a — 3
R, x
■3b < x <
3x + 9b
3a < 0 (2 x + 1) (a —2 )
2a
a = 2: perde significato; a < —2: x > —| -; a > —2 A a / 2: x < —|- ; a = —2: imp.
> 0: x < — V x > a ; a < 0 : x < a V x > -y; a = 0: Vx E
p
p
a < 0: x <
a = 2: perde significato; a < 0 V a > 2 : x > —
0 < a < 2: x < —
^ oj
1-3&
a = 0: imp.
[a = 0: perde significato; a > 0: —3a < x < 0; a < 0 : x < 0 V x > —3a] [ a = 0: perde significato; n > 0: x < —5a V x > a; a < 0: a < x < —5a] [a > 0: 1 < x < 4a + 1; a < 0: 4a + 1 < x < 1; a = 0: imp.]
[a > l:n + 3 < x < 3 a + l ; n < 1: 3a + 1 < x < a + 3; a = 1: imp.]
ESERCIZI IN PIU (EH - 0 0 Q SU TUTTO IL CAPITOLO 529
DISEQUAZIONI FRATTE ELETTERALI
E S E R C IZ I IN P IU
DISEQUAZIONI NUMERICHE FRATTE e Teoria a pagina 516 Risolvi le seguenti disequazioni. x 2 —1
EH
2 x 3 —4 x 2
ma
^ =
ca
< 0
4 - >
rm ““
IV I
< x <
_ < j_ 3x - 9
j
E3
2]
3x —5
EQ
2 x —6
[—4 < x < 4 A x # 2 ]
2 x —8
E3 -5 < x < —j V - 1 < x < 2
EH [ITI EU
12x2 +17x + 6 ^ - n r 3 ^
^ 2 w^ „ <0[-T
FUI
(x —3) + 4 (—x + 2) > 0 x —6
X2 _ 9x+14
>
" f
[x < 3 Vx > 5]
x —3
x —5 < 1
E3
—3x 2 —2 x + 1 6 ^ n (2x + 2 )U + 5)“ - °
[x < 0 Vx> 12]
6 x —5 > —2 + 2 —x x —2
EH
-l
0
* 2~ 4< 4 x L— 16
=?*
[x<
[x < 4]
2
4 —x 2 1 —2 x > x x + 5 3 < ——4x——à-1 --------x+ 1 2x + 2
[0 < x < 8] [x < —1]
> -| 3 ^ 2x - 2 + x
EH
—
—
—
—
X < 1 VX > y
------------
11
jjg
(2 x + l ) 2 —2 ( x + l)(x —1 ) —2 x 2 ^ Q 5 —5x
EH
(x —3) (x —7) —2(x + 1) —x(2 + x)
< 0
x < ~6y x > U
2zx x — 3—
caQ
YOU&MATHS Running a race Joseph and Mike start a 3 mile race at thè same time. If Mike runs thè race at 6 miles per hour and finishes thè race more than 10 minutes before Joseph, how fast does Joseph run? TEST Le soluzioni della disequazione ^
p Q
[ a ] x < —1 0 D Q
>
0 sono:
[¥ ] - 1 < x < 1
[ c ] x > —l A x ^ l
fp~l x > —l A x ^ l
EUREKA! L’intervallo giusto L’insieme delle soluzioni della disequazione ——
[XI
-1
i~b~i
0
<
x <
< x < 1.
1.
E
-1 < x < 0.
^ 3 —
< 0 è:
[Y] nessuno dei precedenti.
[ d] 0 < x < V lO . [USA Furman University Wylie Mathematics Tournament, Junior Examination, 1998]
e e g
YOU&MATHS A cost function A cost function C(x) returns thè total cost of producing x items, while
thè average cost function C(x) = —- — gives thè cost per item when x items are produced. Suppose that thè cost C, in dollars, to produce x umbrellas for a locai retailer is C(x) = 80x + 150, and some umbrellas are produced, so x > 1 . a. Find an expression for thè average cost function C(x).
b. Solve C(x) < 1 0 0 and interpret.
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DISEQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
s a u
I ESERCIZI IN PIÙ
TEST Uno solo, tra i seguenti valori di x, non è soluzione della disequazione (3x + l ) 2 + 3 5x2 + 4 (2 x -l)llx 4x+l 0,25 + x 2 + 8x ~ Quale? H
-1
H
\ E 24
E
—
EUREKA! L’insieme delle soluzioni Qual è l’insieme delle soluzioni della seguente disequazione?
E3 □
x4
<
X2+ X
_
[ a]
x
1 x + 1
< - 1V x> 1
[¥] —1 < x < 1
[c] ~ 1
< X <
1 ,X # 0
[D] - 1 < X < 1 ,X # 0
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni. —+ 3> 0
^ 2 x+ 3 ^ 3 3x — 1 _ 3_ 2x — 1 2
' 2 — x
x
FJTE1
- x
3+ 6 x 2 + 9x > 0
0 < x <
m
9 —4 x 2 — t — —----- > 0
^
— < v< 0
5x 2 — 4x
2 x2 + 2 + 5x
(x 2 — lOx + 25) (2x 2
x
3) < 0
2 x
+ —x
x 2— 2x
+ 1 < n
x
|o < x < y V x = l J
+
x 2x + 4
> - _
3x — 2
- 3
3
—1
4x —
<
0 2 < x< 1
4
4x2— 2x
2 — 3x
1+
x
m
x+2
^2 x + ■x 2—
---+ 4x-\- 4
>
4 —x
1
3x
1 + 3
|1 < x < 3]
0
<
2x2— 7x + 3
FUI
3x
x —
2x
^
j
~
2 —5x > 0 3
8* j
n
U < x < 3]
x 2 —4x + 3 ^ U x 3 —x 2 —4x + 4 > 0
_^ p
u
VERO 0 FALSO? La disequazione
. ^ - < 0:
a. ha come soluzione x < —4 solo se x < 0.
s ta
b. è equivalente a 2 (x + 4) > 0.
a
c. ha le stesse soluzioni di x + 4 < 0.
m a
d. ha come soluzione x > —4.
a a
e. è verificata V x e R .
s ta
s
E ffilQ TEST L’insieme { x e R | 0 < x < 4 } è soluzione di quale disequazione? E
^
<
0
_ _ |—| I x + 2 —3x HKI | | TEST Data la disequazione J—r^— - —,— > 0, l’insieme delle sue soluzioni è:
[~À1
x<
1V
x > -Ì-.
E
—2 <
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< 1.
E
^ 1■
fbl x < 1. E151
15 DISEQUAZIONI FRATTEELETTERALI m
u
x — m
Una finta letterale Risolvi la disequazione, nell’incognita x,
EUREKA! s =
3,2 e
E
x < 48,6.
n =
<
se
n
m —
45,4,
1. E
x
> 42,4.
[c] 43 < x < 45.
Qd] 42,2 < x < 48,6.
[T] Nessuna delle precedenti.
[USA Catawba College NCCTM Mathematics Contest, 2007] m
u
Modulo a denominatore L’insieme delle soluzioni della disequazione -r—^
EUREKA!
- 7[ U
H
] - oo;
H
M f;-7
] -
7;
+ oo[.
E
- i 2l .’ _ 77 U
-7 ;-
13
E
15
U
>2 è: 13 j. “ “2“ ; + 0°
15 _ \ 3_ 2 ’ 2 [USA Indiana University of Pennsylvania Annual High School Mathematics Competition, 2001]
E
Considera gli insiemi:
00
x x —4
A=
—x
9 —x
Trova A U B e A fi B .
[A U B
=
A; A n B
= B]
EUREKA! Sempre più freddo Sia x la tem peratura di un oggetto A in gradi centigradi. Posto che un secondo oggetto B debba essere m antenuto a una tem peratura inferiore di 2 °C rispetto a quella di A, quali sono le tem perature ammesse per A affinché il rapporto tra le tem perature di A e di B non sia superiore a 3 in valore assoluto? —2 °C è una tem peratura ammessa per A? [x < 1,5 °C Vx > 3 °C; sì]
0 0
m
—oo;
■
U
YOU&MATHS A kayak trip Cari decides to explore thè Lively River. From his base, he rows downstream 5 kilometers to find an old native American campsite. Finding nothing, he immediately turns around, retracing his route, and returns to his base m ore than 3 hours after he left. If Cari kayaks at a rate of 6 kilometers per hour in stili water, how fast (at least) is thè Lively River flowing on that day? (Let thè rate of thè flow be R .)
DISEQUAZIONI LETTERALI
© T e o ria apagina518
DISEQUAZIONI LETTERALI INTERE Risolvi le disequazioni nell’incognita x al variare del parametro in R .
0H 2- a x > 0
a < 0: x > — a ; a > 0: x < — a ; a —0: Vx G R
p ] (a
- -4
feu
ax
-- 2a
p
3x + a
p
—à ‘’x
p
2a2
FECI
1
FETI
ax —3a > 4ax
x
9 9 a > 4: x > — a— —4t ; a < 4: < a—— —4t ; a = 4: imp. r
)x > 9
> 4x
— ax
> -y
+a 1 — 2a
—a x
> bx
a > 4: x > — a —4 a < 4: x < — a —4 a = 4: imp. r
+b2
a ± 0: x < 11 a ^ ; a = 0: V x G R
>0
+ 3a < 0
+x
a > 3: x < 3 (a—- L-; a < 3: x > 3(a-3) — L-; a = 3: V x G R 3)
[a > 0: x >
+ 3; a < 0: x < 2a + 3; a = 0: imp.]
[i? > —1: x < 1 —b;b < —l : x> 1 —b;b = —1: V x £ R]
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[a > 0 : x < —1; a < 0 : x > —1; a = 0 : imp.]
DISEQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
Kfrfrl (a
— x
) (3 a
+ x) — 2
(2x +
<
a)2
(a
+
(a —3x)
3x)
+ a (a
I ESERCIZI IN PIU
+ 1)
a > 0: x > —Tn— a < 0: x < —^ q ^ ; a = 0: imp. 10 Efrftl (x + 3 ) ( a 2 + x) —4 (a 2 — 1) < (x —2 ) 2 + M h ll
(x —3) (x + 3)
+ x ( a 2 —4)
x<
3a
< —5 (a + 1) + x ( —4 +
a # 0: x < ——
x)
fl2+ 3a a 2+ 7
a = 0: Vx
KKM 2 (a —x ) 3 — 16 + (x + 2 ) 2 • 2x > 2x 2 (3a + 4) —a x ( 6 a —4) \ o 4 + 2n + f l 2 t \ 4 + 2r? + ci2 ™ . a> 2: x /< -------~-------; a -------~-------; a = 2: imp.
K i l ax(a —2 ) + 2 x(a —2 ) < a 2 +
2a
[a < —2 V a > 2 : x < a —2 ’ ~ 2 < « < 2 : x > ^ 4 2 ; fl = —2: imp.; a = 2: Vx E
B3
b x ( b — 5) — 2 ( b — 3) + 4
J
> 2(2 —3x) f c < 2 V f c > 3 : x > U - o ’ 2 < b < 3: x < , ^
b —2
B3
r
= 2: Vx G R; è = 3: imp.
b-2
(b + x + 3 ) ( - 6 - x + 3) + (x + 2 f r - 1)2 > (26 + l)(3 + 26) + 4 - 106
b > 1: x > -^4-^-; 6 < 1: x < ^ 4 ^ ; & = 1: Vx B3
(x —26)3 + 56 (2 —x ) 2 + x 2 (6 —x) < - 8 6 ( 6 2- 1) - [(36 + 5) (6 + 2) - 346] 6 < 0 V 6 > y : x < ^^
B3
a < 2\J a > 3: x >
a 2x + 10 > a(2 + 5x) —6 (x — 1)
B U G TEST La disequazione (2 —a ) x |~a~| ha infinite soluzioni solo se
sa G
< a2—
a
_ y 2 < a < 3: x <
_ y a —2 \/ a —3: imp.
4:
2.
a ±
| b ~| ha soluzione x < —(a + 2 ) se
; 0 < è < y : x > - y y - ; b = 0 V 6 = y : imp.
fcl ha soluzione x < —(a + 2 ) se « < 2 .
> 2.
[~d1 ha soluzione
x >
0 se a = —
2.
EUREKA! N essuna soluzione Se a è un num ero reale qualsiasi, per quale valore o valori di I x + a I = b non ha alcuna soluzione reale x? Ha ]
Per ogni
b
|~b ~]
Solo per
b = — 1.
fcl Solo per
< 0.
b
l’equazione
[~D~1 Per ogni 6 ^ 0 . ITI Per ogni
b
> 0.
b = 0.
[USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 1999] p G
TEST x > ^
è soluzione di:
|~À~1 (l - 2a)x + 3a > 0, con [~b ~|
FETI
a
< y .
[c] (l —2 a)x
(2a —l)x + 3a > 0, con a > 4-.
[~d ~]
— 3 a > 0 ,
(2a — l)x —3 a
>
con a > y .
0, con
a <
y
.
EUREKA! T rad u rre in disequazione Sia a un numero reale. Determina tutti e soli i num eri reali x tali che il loro prodotto con a sia maggiore della loro somma con a stesso aumentata di u n ’unità. In particolare, per quali x vale la disuguaglianza nel caso
a =
y ? \ a> 1: x >
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i
^
,
_-
; a < 1: x <
£34“ ,1 ; a — 1: ... 1 / O imp.; a = y x < —3
E153
15 DISEQUAZIONI FRATTEELETTERALI \ L \II
EUREKA! Rettangolo su misura Un rettangolo ha dimensioni l’una il doppio dell’altra, un quadrato ha lato di misura pari a quella del lato minore del rettangolo aumentata di 1 unità.
a. Qual è la condizione sulla misura
a
del lato m inore del rettangolo affinché il perim etro del rettangolo sia
maggiore di quello del quadrato?
b. Supponendo soddisfatta tale condizione, si prolunghino di uno stesso segmento sia il lato m inore del rettangolo sia il lato del quadrato. Quale condizione deve soddisfare la misura x di tale segmento affinché resti vero che il perim etro del rettangolo è maggiore di quello del quadrato? [a) a > 2; b) x < a - 2]
Risolvi le seguenti disequazioni neirincognita x al variare del parametro in R. ( 2 fl2 +2, 5a f l~ 3 U > ( , + 3
m
a = 0: perde significato; - 3 < f l < 0 V a > y : x > 2a—1 ’ fl<' _ 3 V 0 < a < y : x < 2a —1 ’ f l = - 3 : V x e E ; f l = y : imp.
s a
5x
+ 7 ^
1 —x
x + 2
3a
a
a = 0: perde significato; q < —2 V q > 0: x < ^ + ^ '■ >~ 2 < q < 0: x > q + 2 >a = —2: Vx (3 a —2 ) 2 > > 3 a x —x __ ^ 2 a —1 2 a —1
a = -y: Vx FB I
3b — 9 — x >
l] a < -y V a > y-: x < 3a —1; -y < a < y-: x > 3q —1; a = y-: perde significatoj
2x — 3bx
26+1
b = —y-: perde significato; 6 < —y V 6 > 3: x > —3(26 + 1); —y- < & < 3:x < —3(2 6 + 1); 6 = 3: Vx FB3
5 —2 q (l+ 2 q x )
a 2x — 5 x
5a
+ 1> 0 q=—
imp.; q < —y - V 0 < q < - y x > — ^
^ ; q = 0: perde significato;
—y - < q < 0 V q > y - : x < — ^ — $ a ; « = y
Ht +2)~ q 2 —4
_l_ q + 3 _ 2x + a —3 q+ 2 q —2
>
Vx
a — 2x
q+ 2 [q < —2:x < q —2; q > —2: x> a —2; q = ± 2 : perde significato]
v m
2 — bx
6 -3
+ b > 0 3 -6
x
b — 3: perde significato; 1 < 6 < 3: x > ^ ^ y 6 < 1 V 6 > 3: x < ^ ^ y b = l: imp.
2x + 3 —qx < 0 2q + 3
P
3 3 q = —- y perde significato; —y - < q < 2 : x <
FBI
6
+x + 2
b
6 -2
+
2x 2 -6
a
3
2
> < - y3 Vq > 2 : x > - _3 y a —2: imp.
q
6 = ± 2: perde significato; 6 < —6 V—2 < 6 < 2 : x > —y y - y —6 < 6 < —2 V 6 > 2 : x < —-ry—p 6 = —6: Vx e R
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DISEQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
I ESERCIZI IN PIÙ
DISEQUAZIONI LETTERALI FRATTE Risolvi le seguenti disequazioni nell’incognita * al variare del parametro in R. HO FETI
, ~ fe,+ 2*
a — 2
+ 1 _j_
x
x + 2
> 13a
REA 4 + R31
y
a —4
x < y -lV x>T
< 0
b — 2x — 2
x + a
a + 2x + 3 (a —4) (x + 2)
[a —4: perde significato; a < 4: x > —2; a > 4 : x < —2]
+ I2x
[a > 0: x < —a V x > y ; a < 0 : x < y V x > - a; a = 0: Vx e R, x / oj
3x+ 3a
2 ( x — b)
<
3 — b + x
[1? —3 < x < fr]
0
5 —4a ^ 6 x + 5
gg
4
gg
4 < 3 ax — 1 ax + 1
gg
x x+
a — 3x
| a > 0 : x < - y V x > -ya; a < 0: x < -y a V x > y ; a = 0: Vx £ R, x ^ oj
3x — a
a > 0: x < —— V—— —— ; a = 0 : Vx a a a a a a
4 a (l —x) —2x > x 2 —4 a 2 — x - 2a
5x —2(2 + x) +
la
2x + 4a — 4
+
x —4 x + 2a — 2
g
R
[a > 0: x > —2a A x / 2a; a < 0: x > —2a\
- 2
>
0
a < —y x < a + 4 V x > 2 —2 a ; a > —y: x < 2 —2 a V x > a + 4; a = —y: Vx e R, x ^ y H ia
x ( 6 a — 2 ) _ 3 < 2 x - 12 2 ax —6 3 —a x
a
a
a
a < 0: x < — Vx > 3;a > 1: — < x < 3 ; 0 < a < 1; 3 < x < —; a = 0: x > 3; a = 1: imp. r ■ FEC■T
—7x + x(2a + 3) — 1 < —2 2x + 2 a < 0 : x < —l V x > —— < x < —1; a > 2: —1 < x < —1; a = 0: x < —1; a = 2: imp.r a ; 0 < a < 2: ----a
W « !il
Data la disequazione
x ^2a — 3) — ®
nell’incognita x, determina per quali valori di
a
si ha come soluzione:
a. x < 0 ;
b. x > 0. E /fll
EUREKA!
a) a < 0 V a > y ; b) 0 < a < y
Ne rimarrà soltanto uno Sia data per x la disequazione
(1 —x)(x —a ) ax2
reale.
>
0 , con a param etro
a. È possibile assegnare ad a un valore tale che l’insieme delle soluzioni della disequazione si riduca a un solo num ero reale? Se sì, indica qual è in questo caso l’insieme delle soluzioni.
b. Qual è l’insieme delle soluzioni nel caso che sia
a = —
1?
[a) a - 1, S = {!}; b) S = {x e R Ix < —1 Vx > 1}]
RIEPILOGO Risolvi le seguenti disequazioni numeriche fratte. F7n
2+X 1 , 2x + 4 ^ A + 2x-l + 3 - 6 x - ° 4x —2
P ]
13x + 5 -8 < 0 2x + 1 3x 2x + 8
>
10- 4 x x+ 4
r i / / „ < x —4
x —1 °-3 x + 4
[2
x < —1 V x >
1
[x < —4 V x > 2]
3x —2 6x + 8
g n
- 2 + , „ 3, r > —
E S I
— \—
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4x + 5 3
>
2x + 1
2x
10 x 12x + 15
[ - f
3 .
< x < 0
.
2 < x <
5
4
- y
E155
15 DISEQUAZIONI FRATTEELETTERALI « ( « —3 ) — fffl
g jj
(x-|)2
x + ^( 16_ > - l
4 x + 12
[x < —3 V x > —2]
x+ 3
( x - l ) ( x - 2) + 2 ( x - l) 2- 2 ( x - 2 ) ( x - 3 ) - x 2 < Q 5 x — 15
8 ^ -T< x s< i 3
x ( 3 x - 1) 2 —9 (jc — l ) 3 + 5 ( 4 x - 1) < 3 (1 - x ) (1 + x ) + 2 7 — 14x 2x - 1
x-
2
2
Risolvi e discuti, se necessario, i seguenti sistemi di disequazioni. x 4 (x —4) (x 2 + 4x + 4) < 0 x 2 —x —6 x 2 —6 x —4x 4 + 24x3 > 0 x-2 < 3
< 0 QQ
-y < x< 0
T x+ l 1 3 x -2 6 > 0 3x |(ax — 1) ( a x + 1) + 4x —a <
s a
I x (x —a ) + 1 + 3x >
(x
(a x
UBI
[3 < x < 4]
—2 ) 2 —4
+ 1) ( x + 3) —2
a = —1: imp.; a > —1: x < 0; a < —1: x >
Risolvi le seguenti disequazioni letterali intere nell’incognita x al variare del parametro in a > 0: x < ^ ^ a ; a < 0: x > ^
B a
a ( x - ì )
< 2
B0
x- 1<
b ( x + 2)
ETTI
2x —3 _ x —2 ^ 3x —5 > 2a -, _ + + 4^ , a+ 2 2
EBBI
P
ax 2 a —1
, ^ / 2x + 4 a + 2 < 4fl —2
; a = 0: Vx
s i s 2b + 1 , ^ i \ 2£> + 1 , , w bi < 1: x < —----—; b > 1: x > -=----j—; b = 1: Vx l-o 1 -&
c o n a > —1 .
x<
o = y : perde significato; a < y V a > 1: x < —2; y < a < 1: x > —2 ; a = 1: imp.
b —7: perde significato; b < 0 V b > 7: x > y ; 0 < b < 7: x < y ;
- S ^ j r >0
EMI (2x + 5)2(a + 1) —4ax > x (a + 35) + 4x2(a + 1)
2 x { 2 b — \ ) + 2 (b 2 — 5b + 6) + \2 b >
(3b
s \ 5(a+l) / / 5(a+l) , a > 1: x > —; a < 1: x < -^-r.------ t-; a = 1: Vx 3(1 - a ) 3(1 - a )
+ 2)x + 3 +
4(b +
2) 2 - 2 ( b 2 +
7b
b > 4: x > 09
= 0: Vx E R [x < a2—l]
Efrl'1 x + (a — l ) 2x —a (a —x ) 3 < 2 —3 (ax + l ) 2 + ax(3a 2 + 4 + x2) + x
FJiìl
2ci + 3 o+ l
+ 2)
b < 4: x < - y y p b = 4: imp.
(a 3 - 2a + 1) (x - 1) + (a + l ) 3 > a(7 + 5a) - 2x(a - 1) + 2 a > 1: x >
2
p a < 1: x <
2
_ p a = 1: imp.
EMi 2a2(x — 1) + a(x —3) > x —2
a<
—
1 V a > y x > ^ ^ ^ ; —1 < a < y : x < a ^ ^ ; a = y : imp; a = —1: Vx
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DISEQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
WlM (2 a
—
x )2 —
(2x + 3)
a
8a 2
< — (a — x ) (a + x ) — 2 x —
. 1
, a(13a —3)
a < T :x KAKI (a
—
3 )(a —4 ) x
EMI 6 ( 6 +
2)x —
l ) 2 < 2(6x +
— 9a + 2{a +
2a
I ESERCIZI IN PIÙ
6a —2
.
1
. a(\ 3a-3)
a ± 0: x < ^
+ 1) —7 a x
1 .
6a —2 ;a = T :imP‘
’a > T : x -
2a ; a = 0: Vx
6 ( 6 + 6 ) < 3 (x + 3)
6 < —3 V 6 > 1: x < - j y y ; —3 < 6 < 1: x > - j y y ; b = —3: imp; b = 1: Vx
1262 s a ^ + w ) ( - i ) + 3 F > h ^26 2+ I+2fc+fa
6 = 0: perde significato; 6 > 0: x > 4
FJSIS1
; 6 < 0: x < ^ + ^ 36
2x —3 , 2 —x ^ 3x —5 3a + 5 2^ + 6fln ^ 10 lU tO 5
,
.
-r.
.
5 /
4
3 (3 + 2a) +^ v ;
a = —y perde significato; —y < a < —y x > ^
™ f“
36
. 5 w . 4 . 3(3 + 2a) _ _ 4 < —y V a > —y : x < ' 3a + 4‘V ’ = —y : ^
( * - 2 ) 2 ^ ( t + 2) + *
3
a = 2: perde significato; —1 < a < 2: x < — + ^ ; a < —1 Va > 2:x > — + y a = —1: imp.
FUI Risolvi e discuti al variare di
a
E R il seguente sistema di disequazioni nell’incognita x.
2 > x ± a
a 1 —2 < x 2— 2ax + 3x +
[a = 1: perde significato; a > 1: x < a —2; a < 1: x > a —1] a 2 —3 a
Risolvi le seguenti disequazioni letterali fratte nell’incognita x al variare del param etro in R . m i
2X
B 0 P
^ a,X* <
P ]
1 + flx > a
[a = —4: perde significato; —4 < a < 0 : x > 0 ; a < —4 —4 V a a )> fa
0
q
= 0: perde significato; a ^ 0:
~
> 0
s a
~ 2 a ~ l ax — 1
PTTjl 2 *1
3a —44 > 3fl~ 5x + 15
5 3
< 2: x > —y ; a > 2: x < —y a
Q
—^2 < a < 0: x > —; a < —^2 V a > 0: x < a a = —4-: (ì a 2 a=
q
> 3+
p
[a > y : x > —3; a < - y x < —3; a = y : Vx < a —
x
3
con a > 3.
= 0: perde significato; a < 0: —-
x < 0'
^ < x < 0 ; 0 < a < 1: x < 0 V a > 1: — a 1, < x < (
s a
— y —S t -° -5 a x - y
a = 0: perde significato; a < 0 V a > y : x < y ; 0 < a < y : x > y ; a = -y 'v
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E157
15 DISEQUAZIONI FRATTEELETTERALI 5x
s a
(;c —2 a )
(a +
a
M j\
= —1: perde significato;
3—
x — 2
<
a
a — x
a + 2x
x + 2 a
a < —l: x < 2 a V x > 0 ;
2ax
< 6: ^ <
< 0:
^ x
Ab — x
0 0
< 0
■3 — x
-2 >
00
1)
x
—1 <
a
<
0: 2 a
<
< x < 3 —a ; a
x
<
0;
a>
> 6:3 —
< -yfr V x > 0; b > 0: 0 <
x
0: 0
<
a< x<
x
^
<
2a; a
=
0:
;a
—
6 : imp.
^ a
< -y fr V x > 4b;
= 0: x > ol
, 2x2(a - 1) - 3 a x + 2ax 2 + A a x
= 0: perde significato; fl< —4 V a > 0: - 2 < x < —-
V x > 0; —4 < a < —2: —— ^ 20 < x < —2 V x > 0; a+
—2 < a < 0 : x < —2 V0 < x < -----a a + =2 —2: x < —2 V x > 0; a = —4: x > 0
E SC
TEST Considera la disequazione
Ha] Se
k
> 0, allora
k =
fol Se
k
*2
_
< -jr- +
^
. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
x < —k \ / x > 0 / \ x ^ k .
[ b] Se /c < 0, allora 0 fcl Se
imp.
< x < — k.
1, la disequazione perde significato.
< —1, allora 0
< x < — k.
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15 DISEQUAZIONI FRATTE ELETTERALI V E R IF IC A D E L L E C O M P E T E N Z E A L L E N A M E N T O ►C o m p e te n z a 1 (abilità 2, 3, A) | | Q
VEROOFALSO?
a. La disequazione — < 8 se b.
La disequazione
x + 1
a —
0 ha per soluzione ogni x e R ,
S E
E H
< 0 è impossibile.
. x2 + 5 c. Le disequazioni 2 x 4 - 4 > 0 e 'x + 2 > 0 sono equivalenti.
E H
d. La disequazione (a — 1) * —3 > 0 nelLincognita x ha soluzione TEST L’intervallo —1 < tranne una. Quale?
Q
x
TEST
è equivalente a ^
H
ha per soluzione 0 <
WM Q
b. c. H L J
k
a
E H
> 1.
a, —
<
J- r ^ < o
H
3: l~c~l è letterale fratta.
-y
I~d1 ha per soluzione
a
< 0 Va
4
>
-y
< 0 , allora:
; . » < 0 se x > 3.
B
d.
H E
e.
E
k + 2
5) ^ „ , / / „ , , > 0 s e —l < x < 0 . x + 1
x ( k -
„ X
< 0 se x < 0.
H
(k +
1 > 0 se x > 8) ( x — 2)
_____ he_____ (k +
4) ( x
+
3)
2.
< 0 s e —3 < x < 0 .
E H E H
E
VERO 0 FALSO?
a. La disequazione
(5 +
2x)
2x +
1
(x 2 — 4)
< 0 è equivalente a 5 +
2x
< 0.
E H
^ ^ verificata per * > — ìj-.
E H
I 5 x + 11+ 3 x 2 4 . j x _|_ io c. Le disequazioni — ^ + g— < 0 e ----- + ^----- < 0 amm ettono le stesse soluzioni.
E H
d. La disequazione —-, . „ > —, . „ è verificata Vx xz + 2 xz + 3
E H
. j. e. Le soluzioni di
E H
b. La disequazione
530
E
^ < 0 a <
quando
VERO 0 FALSO?
Sapendo che —2 < a.
> 1
La disequazione, nell’incognita
E
_ ^
< 0 è contenuto negli insiemi delle soluzioni di tutte le seguenti disequazioni
xz Q
3
x >
1 — x _ 2x
a
. 1 0 -5 * > 0. ^ ® sono un sottoinsieme di quelle di x
MENU DELLE COMPETENZE O
Nella seconda pagina della copertina
Risolvi le seguenti disequazioni num eriche fratte. 3 —x < 0
[x < 3]
-L + ^ > o X X2 3 *
[x > —1 A x / 0] 2x
-15
5
17 . , 1_ 5
< 0
—x
x —2 x —3 + ■—2x + 6 > 0
2 x —1
[x < 0 V x > 3]
4 ^> 3 2 —3x 4 —x
•24
x+ 2 x —3 + + 1> 2x —5 6 x - 15 10- 4 x
x4
x+2 1 + > -l 2x —1 1 —2 x
x < 0 Vx >
~2
2 x-----+ 1 + — < —— —
[ - 6 < x < 0]
x —3 + — - — — 1 + x ^ > 0 1 + 1 —2x ^ u
6
2x
x
4x
2 x —1 + 6 x - 3 1
x+ 1
x + 5 ^ _9_ x 2- l 4
x + 2 + 2x 2 —3 ^ 2 x —2 x — 1
6
x —1
x < —1 V—y < x < l V x > 3
5x + 3 2x + 2
X<-lVy
4x —3 1 - 2x + + 2 > 0 2x —6 3 —x
x < y y Vx > 3
3x + 2 ^ x 7 + 6x2+ 1 9 3 1 + 2x 6x + 3 x —3 6 —3x
x+ 2 2x
<
3 —2x 2x —4 x —1 5 —2x
- 1-
5x + 4
+
-1 < x < —
3x —5 x —2
< x< 2
x > 0 4x — 10
< x < 14
2 —x 5 —x > 4 —x 1 —x
14
6 (x + 1 ) > 3 —x 9 —x 2 + x + 3
[x < 3 Ax / —3]
x X 8 x —3 +■ > x+ 3 x —2 x 2 + x —6 5 x - 18 < — x‘ —3x — 18 ' 6 —x x x —1
2
x < —3 V - j < x < 2 V x > 3 2x 2x + 6
[ - 3 < x < 1 V6 < x < 12]
2 (1 - x ) < 0 x 2 —4x + 3
________3 2 - 18x2_______ < 0 (x 2 + 6 x + 9) (x 2 —5x — 14)
[ - 1 < X < 1 V 2 < X <
[x < —2 V—y
3]
V x > 7 A x 7^—3 J
531
15 DISEQUAZIONI FRATTE ELETTERALI <
1
x — 1 X2 - l
1-x (x+l):
x + l
_|_ X — 1
X
x+l
2x + 2
3 I+ 1
[x < 1 Ax / —1 ]
[0 < x < 1 ]
< i
12x —I 3x
2x + 1
i n o>42
x >
> — 3
4x + 2
[—9 < x < 11 A x ^ 1 ]
X —1
1 —| 2 x |
| x —1 1
2
< 0
x ——~2 V x > 4 " ^ x ^ l|
31 | | —6 x + 7 > 0 — ~2 \ x
|*~l| 3| x I+ 3
x > -g- V x = 0
3 > 0 |x|+ l
[ x < - 8 V x > 10]
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni. l i ^
~ 2 ^ x
[2 < x < 4]
14x —8 > 0
1
x —1
[ - 3 < x < 2]
-3 *-9 < 0 + ^ < 0 2 —X
2(x —3) < 5 (x — 1) + 2 m
> 0
[ - 1 < x < 1]
< 0
^
>
2x
[x < —3 V x > 4]
0
J _ _ _____
a x
> 0
9 —x -9 (8 -x) > 0
[x > 9]
x+l < 0
[x < —3 V—2 < x < —1]
3 ----- - — > 0 . 2+ x
11
7- < 3 2x
(x —5 ) 24 x 3 > (4 —x ) 3 — f r < 0 x 2 —1 1 + 3x v, q | x |+ 1 —
[0 < x < 4 V x = 5]
— < x < lVx>2
Risolvi le seguenti disequazioni letterali intere nell’incognita x al variare del parametro in R . ^ ^—2a I 2 v ^ x 2 ci H 2 -x . y a < 3: x < —-----3 —a ; a > 3: x > —53-----—a ; a = 3: Vx
6 x —a < 2 a x + 3 a + 4
(2 a + 5)x + 5
> a —
(3a
—
15)x
b ( x - 7 )
3x(b
- 4) > 2 ( b —2) (x + 1) +
2a a — 3
3b
5(a- 2)
b > 8: x >
0
a < 2 : x < -77 — a = 2: V x 5(« —2) ^ ; b < 0: x > ^ ^ ; b < 8: x <
b
^ ; b = 0: Vx
g ; b —8: imp.
x > a —1 « = 3: perde significato; a < 0 V a > 3 : x >
532
tt—
b > 0: x < ^
1
2
a > 2: x >
(a - 1) (a - 3) ^ ^ (a - 1) (a - 3) ------- ; 0 < £? < 3: x < -------- ^ ------- ; « - 0 : V x
MENU DELLE COMPETENZE @
a2— 9
x < a a
Nella seconda pagina della copertina
—3 —0: perde significato;
—
33:x<
^
g
; a < —3 V 0 < a < 3 : x >
^
; a = 3: Vx E R; a = — 3:
a a2- l ~
1
x > a
imp.
l - a
= ± 1: perde significato; —1 < a < 0 V a > 1: x > —
(a 2 — 16) 2x < a —4 4 —a
—; a < —1 V 0 < a < 1: x < —
a = 4: perde significato; a > 4: x > — 2
; a < 4 Aa
| Dati i seguenti polinomi, risolvi la disequazione letterale A (x) <
A(x) = 3x2 - 6ax + a, + 12a?
B
A~4\
—; a = 0: imp.
x < ~ 2~ 1<; ; a = —4: imp. a —16
(x) nell’incognita x.
B(x) = 3(x - 2aJ)2 - 3x + 3 a
v 1 ^ __3 ci > - y : x < 2,(2 a + \
y a
> 1 \ __3 & < _ T : X- 3 (2 a + l ) ;fl
1
\_i
Vx G
Risolvi le seguenti disequazioni letterali fratte nell’incognita x al variare del parametro in R . bx , , ^ x —1 — t ^t x +r r2 + b > — x+ 2 4a
b < y : —2 < x <
—6 + 3ax < 3x + 2
a + x +1 x+ 1
fa > 3:
a —1 ^ x —1 | x 2—1
x+1
2
x — b
►C o m p e t e n z a
3
< 0
^b
(abilità
x
< — y
a < 3:
V x '> - 2 ; b = y : x > - 2 x>
— y ; a = 3:
Vx E
R,
x / —y
1
x —1 [ a < — 1:
x + fc + 1
^> y x<
< —y: x
—1 < x
<
1 V x > 2; a > — l : x < — I V I
< 3b + I V x > b \b >
—y : x <
bV x >
< x < 2;a = - 1 : x < - 1 V x >
3b+ ì;b
1]
= —y: Vx E R, x ± —yj
1, 2 , U)
H*"1 Se al quadrato di un num ero k si aggiunge il doppio del quadrato della somma di k con 3 e si divide l’espres sione ottenuta per il prodotto della somma per la differenza del num ero k con 2 , per quali valori di k il quoziente ottenuto risulta maggiore o uguale a 3? [__5^ < k < - 2 V k > 2 I Sapendo che la diagonale maggiore
A C
di un rombo misura
6a — 4x
e che la diagonale m inore
BD
misura
2 a (con a > 0 ), trova per quali valori x:
a. l’area è m inore di 4 cm 2; b. il rapporto fra
DB
Considera la disequazione a. Per quali valori di
k
2 ic ( x —2 ) — k + 1 "
k
k
k
> —1?
la disequazione è impossibile?
d. Quali sono le soluzioni per e. Per quali valori di
0 nell’incognita x.
la disequazione ha come soluzione x < 2?
b. Quali sono le soluzioni per c. Per quali valori di
a) ^U2 a ^ < x < -ya; b) x < 0
e A C è minore di y .
k
= —y ?
la disequazione perde significato?
[a) — 1 <
k
< 0;
b)
— 1 <
k
< 0:
x
< 2;
k
> 0:
x
> 2;
k=
0:
imp.; c) k =
0;
d) x
< 2; e)
k=
— 1]
533
15 DISEQUAZIONI FRATTE ELETTERALI V E R IF IC A D E L L E C O M P E T E N Z E P R O V E
TUT0R
PROVAA (10 esercizi)
PROVA C ►C o m p e t e n z e
PROVA B (10 esercizi)
© IN MEZZ’ORA
© IN UN’ORA
1, 3
VERO 0 FALSO? a. La disequazione — > 1 è equivalente a - y < 1.
0
b. La disequazione — ^
E H
c. La disequazione d. Se
k
< 0 è verificata V x e R . > 3 è equivalente a
x — 2
K
< 0, la disequazione
>
. . X -, x — 2
E H
< —3 V x„ — X -, > 3. 2
0 ha come soluzione
0
E H
x < 0.
Risolvi le seguenti disequazioni. 1-3 x x — 2
x 2
- 1> 0
+
5x
x — 2
Risolvi il sistema:
+6 4
x 2
. ^ +i ^
2x —
1
x-2
> 1
2 —\ x
< x+1
Risolvi la disequazione nell’incognita x al variare di
a
in
a ( x — 2) < 3 ( x — 2)
PROVA D ►C o m p e t e n z e
© IN UN’ORA
1, 3
Risolvi le seguenti disequazioni. 4(x —2 ) 2 + 3 (l —2 x ) 3 —3x
— (2x
—3 ) 2
> 2 -
x 2 x — 1
5 — x x
4x
+4 < 0 16)
< —2
+ 1
4 — x
Risolvi il sistema di disequazioni:
+
(x + 3 )(x 2 —
2 — x
< 0.
2 < — — x
Risolvi la disequazione nell’incognita x al variare di
b
in R .
b x ( 4 — b) < 8 — 2b
Data l’equazione
3 x (5 — a) — 2a
a. non negativa;
nell’incognita x, stabilisci per quali valori di b. m inore di — j
a
la soluzione risulta:
.
Risolvi le disequazioni: a.
1x 1—2
<5;
b. x —
534
1
< 1;
c.
8-4x 2 + \x\ + \4 — x\
<
0.
MENU DELLE COMPETENZE
O
Nella seconda pagina della copertina
0
PROVA E ►Com petenze 1, 3
1B
Data la disequazione x <
^ nell’incognita x, determina:
a. per quali valori del param etro
b
la soluzione è x < 3;
b. qual è la soluzione della disequazione se c. per quali valori del param etro
Sul lato
DC
a. Posto
b
b —
0;
una soluzione è x = 4.
del rettangolo A B C D in figura considera un punto
DP —
IN UN’ORA
x, quali valori può assumere
DP
?
b. Quali valori può assumere x affinché l’area del trapezio dell’area del rettangolo ABCD? c. Quali valori può assumere x affinché
Data l’equazione 3 (2 a —x) + 9x + 3 =
DP PC
2a
<
P.
ABPD
non superi i
2?
(3 —x) nell’incognita x, per quali valori di
a
la soluzione risulta:
a. m inore o uguale a 0 ; b. maggiore di — c. in valore assoluto m inore o uguale a 0 ;
d. maggiore del suo opposto aumentato di 1 .
PROVA F ►^Competenze 1, 3
Aprite le finestre, è primavera! La normativa sui «requisiti igienico-sanitari dei locali d’abitazione» definisce la superficie m inima per le finestre apribili delle stanze. Nella villetta di Mattia, la m ansarda di 20 m di lunghezza per 6 m di larghezza è dotata di un lucernario apribile (lungo 6 m e largo 3 m), posto esattamente al centro del soffitto. Mattia vorrebbe alzare un m uro separatore per suddividere la m an sarda in una sala più grande e uno studio più piccolo, rispettando il vincolo di illuminazione per m antenere l’abitabilità del locale.
0 IN UN’ORA
r a p fw r to tr a / s u ^ e r jv c le / d e lia /fin e s tr a /
e/SUj>erficied£lpaariM£Kt()'^ ~
a. Scrivi, in funzione di a , le espressioni che rappresentano le superfici dello studio, della sala e delle finestre corrispondenti. b. 1. Calcola il rapporto tra la superficie della finestra e la superficie del pavimento dello studio. 2. Per quali valori di a tale rapporto rispetta la normativa? c. 1. Calcola il rapporto tra la superficie della finestra e la superficie del pavimento della sala. 2. Per quali valori di a tale rapporto rispetta la normativa?
d. Per quali valori di
a
M attia ottiene due stanze che rispettano entrambe la normativa?
535
STATISTICA 1. RILEVAZIONE DEI DATI STATISTICI © Esercizi a pagina 552 Unità statistiche e popolazione
□
A sampte is a set of observations taken fro m a subset of a population.
Scopo della statistica è studiare i fenomeni collettivi che sono atipici, in quanto si presentano con modalità diverse. Chiamiamo popolazione, o universo, l’insieme delle unità statistiche che forniscono con la rilevazione le informazioni necessarie per lo studio del fenomeno. Se non è possibile esaminare tutte le unità statistiche (rilevazione totale), si è costretti a considerare solo una parte della popolazione, cioè un campione che deve essere rappresentativo di tutta la popolazione (rilevazione campionaria).
Si effettua un’indagine presso un supermer cato per valutare il consumo di cibi pronti. P o p o l a z i o n e : tutti i clienti che in un determi nato giorno effettuano questo tipo di acquisto. U n i t à s t a t i s t i c h e : i clienti. I n f o r m a z i o n i che si vogliono ottenere: motivazione della scelta, numero di acquisti in una settimana, costo sostenuto. La r i l e v a z i o n e è c a m p i o n a r i a perché è impossibile intervistare tutti i clienti.
Frequenza
The frequency of a specific quality is thè num ber of sta tistica l units w ith in thè considered population that present that quality.
rn
Ogni informazione che si ottiene dalle unità statistiche rappresenta un carat tere della popolazione, che viene descritto mediante modalità qualitative (aggettivi, nomi) o modalità quantitative (numeri interi o reali).
La frequenza è il numero delle unità statistiche che presentano una determinata modalità qualitativa o quantitativa.*•
Considerando l’acquisto di cibi pronti dell’esempio precedente, sono modalità: •
q u a lita tiv e :
mancanza di tempo, comodità, altri motivi (curiosità, cibo diverso);
•
q u a n tita tiv e :
numero settimanale di acquisti, costo sostenuto.
Se, su 300 clienti, 210 lo hanno fatto per mancanza di tempo, 60 per comodità e 30 per curiosità o per provare un cibo non usuale nella loro cucina, le frequenze sono 210, 60 e 30. • Se consideriamo la modalità quantitativa «numero settimanale degli acquisti», 1, 2 ,..., 6 , le frequenze sono il numero delle unità statistiche corrispondenti; rileviamo: 215,48,18,12, 5, 2. • Per la modalità quantitativa «costo sostenuto» utilizziamo gli intervalli 0-5, 5-10, 10-15, oltre 15 e associamo a ogni intervallo la frequenza corrispondente: 65, 205, 20, 10. Per ogni intervallo consideriamo il primo estremo escluso e il secondo compreso. Per esempio, in 10-15, escludiamo 10 e includiamo 15.
536
1. RILEVAZIONE DEI DATI STATISTICI
I
TEORIA
Dato statistico e frequenza relativa Chiamiamo dato statistico l’associazione di una modalità con la sua frequenza. I dati statistici sono presentati con tabelle. Le più semplici sono formate da due colon ne: nella prima compare la modalità, qualitativa o quantitativa, e nella seconda la fre quenza. I dati possono essere anche organizzati in righe, anziché in colonne. Spesso c’è una terza colonna nella quale è riportata la f r e q u e n z a r e l a t i v a , che può esse re espressa in forma decimale o percentuale. La frequenza relativa/è il rapporto tra la frequenza
F
di una modalità e il totale delle unità esaminate
n.
Le tabelle relative all’indagine dell’esempio precedente sono le seguenti.
ESERCIZI PER COMINCIARE Per ognuno dei fenomeni collettivi presentati negli esercizi 1, 2, 3 e 4, individua la popolazione, le unità statistiche e il tipo di rilevazione. I l
Si effettua u n ’indagine per conoscere come sono distribuiti gli agriturismi nelle regioni italiane e la loro capacità ricettiva.
W M
Si vuole rilevare in un Comune il num ero delle abitazioni sfitte e le motivazioni di questa condi zione.
Per ognuno degli esercizi precedenti indica le possibili modalità qualitative e quantitative. |
W M
BtB Per promuovere il nuoto in una scuola superio re, viene svolta u n ’indagine per conoscere i vari livelli di capacità in questa branca sportiva. W M
Una compagnia di assicurazioni vuole analizza re gli incidenti automobilistici dei suoi assicurati nel corso di un anno.
Chiamiamo x lt x 2, x 3 e x 4 i valori che descrivono la modalità di una rilevazione. Sappiamo che F x = 25, f 2 = 6 %, / 4 = 12% e che il totale delle frequenze è 500. Determina le altre frequenze assolute e relative e compila la tabella con tutte le frequenze. U n’impresa dolciaria ha una macchina che riem pie sacchetti di caramelle che dovrebbero avere il peso di 200 g. Vuole controllarne il funziona mento e pertanto rileva il peso di 80 sacchetti. Qual è il tipo di rilevazione effettuata? Compila una tabella di frequenza del peso rilevato, con valori a piacere, dove il peso m inore rilevato è 190 g e quello maggiore 210 g. 537
16 STATISTICA
2. SERIE STATISTICHE
A statistical series is a set of data categories w ith th e ir frequencies. The series can be rep resented g ra p h ica lly th ro u g h d iffe re n t types of diagram s.
rn
O Esercizi a pagina 554
Serie statistica Una serie statistica (o mutabile statistica) è una tabella che presenta una successione di modalità q u a l i t a t i v e , ognuna accompagnata dalla sua frequenza.
Una serie statistica determina una distribuzione di frequenze secondo una modalità qualitativa. Alle modalità qualitative del fenomeno esaminato possono corrispondere talvolta delle misure (intensità) che comunque sono considerate come frequenze. Una serie statistica è detta rettilinea se le modalità hanno un ordine logico di succes sione da una posizione iniziale a una finale (per esempio i gradi di una gerarchia) ed è detta sconnessa quando la successione è arbitraria (per esempio un elenco di attività sportive). Le serie cicliche presentano modalità vincolate da un ordine, ma non è possibile, a meno di una convenzione, stabilire una posizione iniziale (per esempio la direzione dei venti). Una serie è detta dicotomica quando le frequenze sono raggruppate in due classi, una antagonista dell’altra (per esempio occupati e disoccupati). Una serie statistica è rappresentata graficamente con rettangoli di base uguale sull’asse orizzontale e altezze proporzionali alle frequenze assolute o relative sull’asse verticale. Questa rappresentazione si chiama diagramma a barre o ortogramma. Talvolta i rettangoli sono posti con la base sull’asse verticale. In questo caso si parla di
diagrammi a blocchi. Distribuzione di 40 dipendenti di un’impresa secondo la mansione.
Dipendenti dirigenti funzionari impiegati operai Totale
Frequenza
25
2
20
5
15
12 21 40
10
operai impiegati funzionari
5
dirigenti
0 dirigenti funzionari impiegati
operai
Ortogramma
Serie storica Un caso frequente di serie statistica è la serie storica, dove la modalità qualitativa è rappresentata da una successione temporale (anni, m esi,...). Queste serie sono importanti perché permettono di studiare l’andamento di un feno meno nel tempo (trend), individuare componenti cicliche più o meno regolari e isola re elementi anomali o anormali. L’individuazione del trend permette di formulare previsioni per il futuro. Sono rappresentate con grafici a barre ma soprattutto con i diagrammi cartesiani. Sull’asse delle ascisse mettiamo la modalità del tempo e su quello delle ordinate la frequenza. 538
0
10
20
Diagramma a blocchi
30
2. SERIE STATISTICHE
I
TEORIA
Andamento della produzione di mais in un’azienda agricola.
ESEM PIO
Anni 2008 2009 201 0 2011 201 2
Produzione di mais (t) 540 320 610 680 590
anni
anni
ESERCIZI PER COMINCIARE B i
U n’agenzia utilizza 25 guide tu ristiche, ognuna specializzata in una sola lingua straniera: 9 in inglese, 6 in francese, 4 in tedesco e 6 in spagnolo. Rappresenta la serie statistica con una tabella, un ortogramm a e un diagramma a blocchi.
BiB Le seguenti coppie sono relative all’andam ento annuale del num ero dei residenti in un Comune: (2007; 8450), (2008; 8490), (2009; 8460), (2010; 8485), (2011; 8496), (2012; 8502). Rappresenta la serie storica mediante una tabella e un diagramma cartesiano.
W M
La tabella presenta la distribuzione di 156 perso ne secondo il tipo di patente conseguita presso una scuola guida. Effettua la rappresentazione grafica.
B
Categoria Frequenze
Al 48
A 25
B 83
Totale 156
K B Sono stati interpellati 40 utenti di mezzi di tra sporto pubblici sulla qualità del servizio. I livelli di valutazione considerati erano: I (insufficien te), S (sufficiente), B (buono), O (ottimo). Le risposte sono state: S, S, I, I, I, B, B, S, S, S, S, I, I, I, I, O, O, I, I, S, S, B, B, B, I, I, B, S, S, S, S, O, I, B, B, I, I, S, S, S. Costruisci la serie statistica ed effettua la rappre sentazione grafica. W M
Rappresenta graficamente la seguente serie stati stica riguardante le frequenze relative delle varie attività sportive degli alunni di una scuola.
Sport calcio pallavolo pallacanestro atletica nuoto altro
Frequenze 22% 26% 13% 14% 15% 10 %
Bimestre Consumo (m3)
I 35
II 42
III 38
IV 48
V 40
VI 36
BfB Rappresenta graficamente con un diagramma a barre e con un diagramma cartesiano la seguen te distribuzione delle giornate con precipitazioni nevose secondo i mesi nel periodo 2 0 0 1 -2 0 1 0 in un Comune m ontano a 400 metri di altezza s.l.m.
Mesi gen feb m ar apr m ag giu lug ago set ott nov die
Numero giorni 56 35 18 8 -
-
-
-
5 12
32 45
539
16 STATISTICA
3. SERIAZIONI STATISTICHE O Esercizi a pagina 555
Q
A variate is a quantity w hich m ay take
any of thè values of a specified set w ith a specified relative freq u e n cy o r probability.
Seriazione statistica Una seriazione statistica (o variabile statistica) è una tabella che presenta una successione di modalità ognuna accompagnata dalla sua frequenza.
q u a n tita tiv e ,
Una seriazione statistica determina una distribuzione di frequenze secondo una modalità quantitativa. Quando la modalità quantitativa assume valori d i s c r e t i (numeri interi), la rappresen tazione grafica utilizza un diagramma cartesiano. I valori discreti sono posti sull’asse delle ascisse e le frequenze sull’asse delle ordinate. Si ottiene un insieme di punti ( n u v o l a d i p u n t i ) che possono essere collegati da una spezzata per visualizzare l’andamento del fenomeno.
Distribuzione di 50 persone in base al numero di caffè consumati in un giorno.
N. caffè
30"
1
N. persone Fi 28
2
12
20"
3 4
6
Xi
5
Totale
3 1 50
A numero persone
25-
15-
10" 5"
O-l---- 1---- 1---- 1---- t----?---0
1 2
3
4
5
numero caffè
Istogramma Quando la modalità quantitativa è c o n t i n u a (numeri reali), si uti lizzano classi di intervallo. Elementi che caratterizzano le classi di intervallo sono l’ampiezza, che può essere costante o variabile, e il valore centrale, dato dalla semisomma dei due estremi della classe.
[7^ A histogram is a type of statistical graph in ■ J w hich recta n g le s p ro p o rtio n a l in area to thè class freq u e n cie s are erected on sections of thè h o rizo n ta l axis. The w id th of each section rep re se n ts thè co rre sp o n ding class in te rva l of thè variate.
La rappresentazione grafica utilizza il piano cartesiano e sull’asse delle ascisse si pon gono gli estremi delle classi di intervallo. Si ottengono dei segmenti che rappresentano l’ampiezza di ciascuna classe e costitui scono le basi di rettangoli la cui area è proporzionale alle frequenze. La rappresentazione ottenuta è un diagramma areale che chiamiamo istogramma. Spesso l’ampiezza delle diverse classi è costante. In questo caso, è sufficiente prendere l’altezza proporzionale alle frequenze.
540
In genere, le classi di in tervallo hanno tutte la stessa ampiezza e asse gniamo i valori a una clas se considerando compre so l’estremo inferiore ed escluso quello superiore.
3. SERIAZIONI STATISTICHE
TEORIA
Distribuzione di 50 imprese artigiane in base al fatturato.
Fatturato (€)
N. imprese artigiane Fi
10 000-20 000
4 10 28 5 3 50
20 000-30 000 30 000-40 000 40 000-50 000 50 000-60 000 Totale
fatturato (€)
La spezzata che ha come vertici i punti con ascissa uguale al valore centrale di ogni classe e come ordinata l’altezza del relativo rettangolo costituisce il poligono
delle frequenze. È necessario considerare come vertici anche i punti con ascissa uguale al valore centrale di due classi poste agli estremi dei rettangoli aventi ordinata nulla. La somma delle aree dei rettangoli è uguale all’area sot tesa al poligono delle frequenze. Nella figura è riportato il poligono delle frequenze rela tivo all’esempio precedente.
fatturato (€)
ESERCIZI PER COMINCIARE M M
Rappresenta graficamente la seguente seriazione statistica relativa al num ero dei dipendenti di 40 consorzi caseari.
N. dipendenti N. consorzi
3 7
4 6
5 15
6 8
7 4
Abbiamo misurato l’altezza di piante di mais, a partire da 140 cm e fino a 180 cm. Con intervalli di ampiezza 10 cm, otteniamo le frequenze 20, 90, 150,40. Rappresenta la seria zione con una tabella e con un istogramma. Traccia il poligono delle frequenze.
Q P T fT l Un problema di rappresentazione dei dati statistici Rappresenta i seguenti dati, relativi a consegne di pacchi per giorno lavorati vo, con un istogramma che li raggruppi in modo efficace. 21, 26, 12, 18, 13, 13, 18, 26, 26, 21, 21, 13, 26, 21, 18, 16, 18, 21, 18, 16, 21, 18, 23, 16, 16, 16, 20, 25, 17, 20, 25, 13, 16, 18.
Una macchina che produce bulloni è tarata per la misura di 14,9 mm di diametro. Da una popo lazione formata da 300 bulloni si sono rilevati i seguenti valori.
Diametro 14,6-14,8 14,8-15,0 15,0-15,2 15,2-15,4 15,4-15,6
Numero pezzi 45 180 40 30 5
Effettua la rappresentazione grafica mediante istogramma, tracciando anche il poligono delle frequenze, prim a con le frequenze assolute e poi con quelle relative. Rappresenta graficamente i seguenti dati.
N. figli N. famiglie
0
1
2
5
12
7
3 4
4 2
Confronta la tua soluzione con quella proposta nel video. 541
16 STATISTICA
6. AREOGRAMMI, IDEOGRAMMI, CARTOGRAMMI O Esercizi a pagina 556
A pie chart is a d ia g ra m in w h ic h a c irc le is broken down into its c o n s titu e n t p a rts. A n u m b e r of degrees out of th è to ta l of 360° is a llo ca te d p ro p o rtio na lly to thè to ta l re p re se n te d by each part.
□
Areogramma L’areogramma, o diagramma circolare o diagramma a torta, è un diagramma areale che si presenta come un cerchio diviso in settori circolari. Ognuno di questi settori corrisponde a una modalità qualitativa o quantitativa e ha un’ampiezza (e quindi una superficie) proporzionale alle frequenze. Prezzo al kg delle ciliegie rilevato in 40 negozi di ortofrutta.
Prezzo (€/kg) 5,0-5,5 5,5-6,0 6 ,0-6,5 6 ,5-7,0
Numero negozi 8 12 14 6
Frequenze relative 20 % 30% 35% 15%
Gli angoli dei settori circolari si ottengono moltiplicando 360° per la frequenza relativa. Per la prima classe abbiamo:
360° •
Per la seconda:
360° •
Per la terza:
360° •
Per la quarta:
360° •
20 = 72°. 100
30 100
35 100
15 100
= 108° = 126° = 54°.
Ideogramma Gli ideogrammi utilizzano figure che rappresentano la modalità di cui si vuole illu strare l’andamento. Le loro superfìci devono essere proporzionali alle frequenze della serie che si vuole rappresentare.
542
5.0 5 .5 6.0 6 .5 -
5,5 6,0 6,5 7,0
U. AREOGRAMMI, IDEOGRAMMI, CARTOGRAMMI
TEORIA
Cartogramma I cartogrammi rappresentano, con colori diversi, sulla carta geografica di un territo rio, le frequenze di un fenomeno. Invece dei colori si possono usare segni diversi, come puntini più o meno fìtti, trat teggi ecc. Una legenda accompagna la rappresentazione per consentire la lettura del fenomeno considerato.
ESERCIZI PER COMINCIARE n
Rappresentiamo con un areogramma la seriazione statistica descritta nella tabella.
Q
tm
m
m
Durata vacanza (n. giorni) 0-7 7-14 14-21 21-28 Totale W M
N. persone 24 36 12 8
80
Rappresenta con un diagramma circolare la seguente distribuzione di frequenze relativa alfim porto pagato dai contribuenti di un piccolo Comune per il servizio di smaltimento rifiuti.
Importo (€) 0-50 50-100 100-200
Numero contribuenti 230 645 280
200-300 oltre 300
120
40
K B Rappresenta i dati con un diagramma a torta.
Età N. alunni
10-12
12-14
55
60
14-15 75
W M
Si vuole rappresentare con un ideogramma la seguente serie storica, relativa alla produzione di uva da tavola (in quintali), da parte di un’azienda agricola.
Anni 2007 2008 2009 2 0 1 0 2011 Produzione (q) 1200 1500 1400 1800 2 100 Se per l’anno 2007 il grappolo d’uva dell’ideo gramma può essere racchiuso in un rettangolo con dimensioni di 1,5 e 1 cm, quali saranno le dimensioni degli altri rettangoli? ( S u g g e r i m e n t o . Ricorda che il rapporto fra le aree di due rettangoli simili è il quadrato del rapporto fra due lati corrispondenti.) [1,677 e 1,118 cm; 1,620 e 1,080 cm; 1,837 e 1,225 cm; 1,984 e 1,323 cm]
BtB Disegna i confini di un territorio, inventando lo come credi. Suddividilo in 4 parti a piacere e, supponendo che la densità della popolazione (numero di abitanti per kilometro quadrato) sia rispettivamente 20, 35, 53, 83 per ogni regione, completa il cartogram ma con colori o simboli diversi e con la legenda.
oltre 15 15
543
16 STATISTICA
5. MEDIA, MEDIANA, MODA © Esercizi a pagina 558
Media aritmetica
[7^1 The arithmetic mean. o r mean, is defined as thè sum of thè te rm s divided by thè n u m b e r of te rm s.
Serie e seriazioni sono sintetizzate con indici. Consideriamo, come indici di posizione centrale, la media, la mediana e la moda.
La media aritmetica M, o semplicemente media, di una successione di termini x u fra la somma dei termini e il loro numero. M =
x 2, . . . , x n
è il quoziente
Xj + x2 + ... + xn
U n’impresa ha 18 operai e i salari annui lordi (in migliaia di euro) sono i seguenti.
Nome Salari Nome Salari
Monti
Bianchi 26 Neri
22
20
Abate 23
Cioni
Dini
20
19 Pini 24
Orsi 25
Elios 23
Fanti 23
Rossi
19
Santi
Giunti 25 Terni
Incisi 28 Unni
20
20
20
La media del salario annuo di un operaio dell’impresa è: M
=
23 + 26 + 20 + 19 + 23 + 23 + 25 + ... + 20 + 20 + 28 18
405 = 22,5. 18
Media aritmetica ponderata Quando nel calcolo della media vi sono dei valori che compaiono più volte, possiamo effettuare il calcolo moltiplicando ogni termine per il numero di volte con cui com pare. Questo numero di volte è la frequenza F h F 2, ..., F„ del valore e rappresenta il peso del termine. La formula cambia aspetto e la media viene indicata come media
aritmetica ponderata: m -
544
x l - F ì + x 2 - F 2 + . .. + x n - F n Fx+ F2+ . . . + F „
Lolli 20
Vela 28
5. MEDIA, MEDIANA, MODA
TEORIA
ESERCIZI PER COMINCIARE M M
Sette amici si ritrovano in pizzeria. I costi delle singole consumazioni sono esposti nella seguente serie statistica.
1
7,5
Numero componenti del nucleo familiare
8
Frequenze
4 14 19 3
Nomi Gianni Matteo Luca
Costo (€)
Luigi Andrea Carlo Nicola
8
8
8,5 9 7
W M
Un negozio di scarpe, durante il periodo dei saldi estivi, ha rilevato il num ero dei giorni in cui vi è stato un certo flusso di clienti.
N. clienti N. giorni
Totale 3 4 numero famiglie
2
40
Calcola la media (ponderata) del num ero dei componenti del nucleo familiare. [2,525]
I ragazzi decidono di dividere in parti uguali il conto. Calcola la quota di ciascun ragazzo. [8 ] W fM
Da una popolazione formata da 40 famiglie, si è ottenuta la seguente distribuzione relativa al num ero dei componenti del nucleo familiare.
4
5
6
7
8
9
10
12
11
14
8
7
12
11
Calcola il num ero medio giornaliero dei clienti che hanno effettuato acquisti nel periodo consi derato. [6,9]
I prezzi al m inuto delle banane (in euro al kilogrammo), rilevati in un certo giorno al mercato di una città, erano i seguenti: 1,98; 1,90; 1,85; 1,95; 2,10; 1,80; 2,20. Calcola il valore della mediana e [1,95; 1,97] della media.
D U E 3 E E B 3 9 La seriazione statistica rappre sentata nella tabella è relativa al num ero di guasti meccanici riportati da 26 automezzi di un’im pre sa di spedizioni nei prim i 30 000 km. Calcola la media aritmetica, la mediana e la moda.
Numero guasti Numero automezzi
0
1
2
5
8
7
3 4
4 2
545
16 STATISTICA
6. INDICI DI VARIABILITÀ
O Esercizi a pagina 562
Campo di variazione Per analizzare un fenomeno, oltre alla media, alla mediana e alla moda, è necessario sapere come i valori si distribuiscono intorno a questi indici. Per indicare questa dispersione si usano gli indici di variabilità.
Il campo di variazione è la differenza fra il valore maggiore e il valore minore assunti dalla modalità quantitativa considerata.
Nel mese di giugno 2012 è stata rilevata ogni giorno la temperatura alle ore 6 . La seriazione ottenuta è la seguente.
Temperatura (°C) Numero giorni
18
19
20
21
22
8
13
5
3
1
Fi
Il campo di variazione è K = 2 2 —18 = 4. Per questo indice non prendiamo in considerazione le frequenze.
Scarti dalla media aritmetica Data una successione di n valori x h x 2, ...» x n, si chiamano scarti le differenze fra ogni valore e la media aritmetica di tutti i valori dati. Data la media
M
=
Xl
+
’" +
X"
, gli scarti sono
(x i — M ), {x 2
—M ),..., (x„ —M
).
Essi sono alla base di alcuni indici di variabilità, ma non possono essere utilizzati con il loro segno. Infatti si può dimostrare che la loro somma è uguale a 0 (p r i m a p r o p r i e t à d e lla m e d i a a r i t m e ti c a ) .
Consideriamo l’esempio precedente relativo al campo di variazione. La media aritmetica è 19,2. Gli scarti sono: (18 — 19,2) = —1,2; ( 1 9 -1 9 ,2 ) = - 0 ,2 ;
(20 - 19,2) = + 0,8; (21 - 19,2) = + 1 ,8 ; (22 - 19,2) = + 2,8.
Possiamo costruire la seguente seriazione statistica.
Scarti ( x ,- M ) Frequenze Fi
- 1,2
- 0 ,2
+ 0 ,8
+ 1,8
+ 2 ,8
8
13
5
3
1
Verifichiamo che la media aritmetica degli scarti è nulla: M M
_ - 1 , 2 - 8 - 0 , 2 - 13 + 0 ,8 -5 + 1,8-3 + 2,8 • 1 _ - 9 ,6 - 2,6 + 4 + 5,4 + 2,8 _ 30 30 Ul
Per calcolare la media aritmetica degli scarti abbiamo usato la formula della media aritmetica ponderata in quanto per ogni scarto dobbiamo tenere presente il peso dato dalla frequenza corrispondente.
546
6. INDICI DI VARIABILITÀ
TEORIA
Scarto semplice medio Per questo indice utilizziamo i valori assoluti degli scarti dalla media.
Lo scarto (o scostamento) semplice medio di una successione di valori x,, x 2, ..., x n, indicato con il sim bolo S , è la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti dei numeri stessi dalla loro media aritmetica M . S
| —
—M | + 1x 2 —M | + ... + 1x n —M | 77
Riprendiamo la distribuzione precedente delle temperature nel mese di giugno 2012. Utilizziamo il valore assoluto degli scarti che abbiamo calcolato e costruiamo la seguente distribuzione.
Valore assoluto degli scarti | Xi — M | Frequenze
| —0 , 2 1
+ 0 ,8
13
5
8
|+i,8 3
| + 2 ,8 1
Fi
Calcoliamo la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti utilizzando la formula ponderata: o 1,2 8 + 0,2- 13 + 0 ,8 - 5 + 1,8 3 + 2 , 8 - 1 24,4 = ò3Q “ 30 “ u>813-
Deviazione standard Questo indice si basa sulla s e c o n d a p r o p r i e t à d e l l a m e d i a a r i t m e t i c a : la somma dei qua drati degli scarti dalla media aritmetica è sempre minore della somma dei quadrati degli scarti da un valore diverso dalla media aritmetica: se si tiene come valore di riferi mento la media aritmetica, la somma dei quadrati degli scarti assume il valore minimo. Verifichiamo questa proprietà con un esempio. ►I valori 12,18, 21, 29 hanno come media aritmetica Gli scarti sono rispettivamente —8 , —2, + 1, + 9 . La somma dei loro quadrati, 64, 4, 1, 81, è 150.
M
=
20.
Prendiamo un valore diverso M ' = 2 1 . Gli scarti da M ’ sono —9, —3, 0, + 8 . La somma dei loro quadrati, 81, 9, 0, 64, è 154. Abbiamo ottenuto: 150 < 154.
La deviazione standard (o scarto quadratico medio) di una successione di valori x u x 2, ..., x „ , indicata con il simbolo 6 , è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati degli scarti dei numeri stessi dalla loro media aritmetica M . g - \ ! (*i ~ W )2 + ( x 2 —M ) 2 + ... + (*„ ~ M ) 2~ V n
Il valore che si ottiene sotto la radice quadrata, media aritmetica dei quadrati degli scarti, è chiamato varianza e viene indicato con il simbolo a 2.
547
16 STATISTICA Utilizzando sempre la seriazione relativa alle temperature, consideriamo gli scarti dei valori dalla loro media aritmetica elevati al quadrato: (18 —19,2)2 = 1,44; (19 - 1 9 , 2)2 = 0,04; (20 - 19,2)2 = 0,64; (21 - 1 9 , 2)2 = 3,24; (22 - 19,2)2 = 7,84.
ESEM PIO
Abbiamo la seguente tabella relativa alla distribuzione degli scarti al quadrato.
Scarti al quadrato (.X i - M ) 2
1,44
0,04
0,64
3,24
7,84
Frequenze Fi
8
13
5
3
1
Tenendo conto della ponderazione delle frequenze, abbiamo: c _ ^ l
1,44- 8 + 0,04- 13 + 0,64 5 + 3,24- 3 + 7,84- 1 30
Il valore della varianza
a 2
=\ j ^
~
=Vi,093
~ 1,05.
è 1,093.
ESERCIZI PER COMINCIARE M M
I periodi di passaggio della cometa di Halley han no intervalli diseguali a causa dell’effetto gravita zionale dei pianeti Giove e Saturno. I periodi, in anni, degli ultimi dodici passaggi sono stati:
Calcola la deviazione standard della seguente seriazione statistica relativa a un test attitudinale di un gruppo di studenti in una prova di velocità di lettura.
75,8; 74,4; 76,9; 76,3; 74,9; 76,1; 75,2; 77,6; 77,0; 79,1; 77,4; 79,1. Calcola la media aritmetica e il campo di varia zione. [76,65; 4,7] W M
Sono stati misurati i seguenti tempi in un espe rim ento nel quale una sfera è rotolata lungo un piano inclinato alto 5 cm e lungo 100 cm.
Tempo (s) Frequenze
2,04 4
2,05 6
2,06 18
2,07 10
È stato rilevato per dieci giorni consecutivi il prezzo (in €/kg) della zucca «piacentina» in un mercato generale all’ingrosso di frutta e verdura: 1,25; 1,10; 1,10; 1,15; 1,10; 1,05; 1,00; 0,95; 0,90; 1,05. Calcola lo scarto semplice medio.
W M
In una classe di 28 alunni si sono rilevati i seguen ti voti in una prova di inglese.
Voto Numero alunni
5 4
6 8
Calcola lo scarto semplice medio. 548
[0,075]
7 9
8 5
9 2 [0,93]
10
12
3
13
16 9
18 5
te B U n’azienda agricola in provincia di Bologna ha prodotto in sei anni le seguenti quantità di patate (espresse in quintali).
Anni 2007 2008 2009 2 010 2011 2 0 1 2 Produzione (q) 1500 1400 1600 1300 1200 1400
2,08 2
Verifica che la somma degli scarti dalla media aritmetica è nulla. M
Pagine lette in 30 minuti Numero studenti
Calcola la deviazione standard della produzione negli anni considerati. [129,1] W M
Un mensile di divulgazione scientifica ha avuto la seguente distribuzione di vendite nelle 45 edi cole di una città.
Copie vendute N. edicole
12
13
14
15
16
17
18
8
5
7
10
9
4
2
Calcola la deviazione standard.
7. DISTRIBUZIONE GAUSSIANA E CAMPIONAMENTO
TEORIA
7. DISTRIBUZIONE GAUSSIANA E CAMPIONAMENTO O Esercizi a pagina 563 Distribuzione gaussiana o norm ale
La distribuzione gaussiana o normale è una distribuzione simmetrica che si presenta graficamente come una curva a forma di campana. Come in tutte le distribuzioni simmetriche di questo tipo, si ha la coincidenza fra media, mediana e moda, ma in essa assume un ruolo importante la deviazione standard. Il valore della deviazione standard dipende da come si distribuiscono le frequenze intorno alla media. Una curva stretta indica un valore piccolo della deviazione standard e viceversa. Aggiungendo e sottraendo alla media la deviazione standard moltiplicata per un numero opportuno, si ottengono intervalli contenenti una determinata percentuale delle frequenze. Intervalli fondamentali sono:
fj A
] M - (7; M + a [
68,27%
]M
—
]M
—
95,45% 99,74%
2(7; M + 2(7 [ 3tf; M + 3(7 [
Altri intervalli utilizzati sono: ] M - 1,96(7; M + 1,96(7[
95%
] M - 2,58(7; M + 2,58(7[
99%
) M - 3,29(7; M
99,99%
+
3,29(7[
Sono state eseguite 80 misure dell’altezza di una torre. Le misure differiscono fra loro per cause accidentali e si distribuiscono secondo la curva gaussiana. La media aritmetica è M = 34,8 m e la deviazione standard è (7 = 0,3 m. Quante misure sono comprese tra 34,5 m e 35,1 m e quante sono minori di 34,2 m? Entro quale intervallo si trova il 95% delle misure? • Essendo 34,5 = 34,8 —0,3 e 35,1 = 34,8 + 0,3, ci troviamo nel caso ] M —(7; M
+
(7 [. La percentuale
68 27 delle frequenze è il 68,27% delle misure effettuate, che corrisponde a 80 • ^qq = 55 misure.
O QX LU LO
LU
• Essendo 34,2 = 34,8 —2 0,3 = M —2(7, la percentuale dei valori esterni alFintervallo ]M —2(7; M + 2(7 [ è 100% —95,45% = 4,55%. Data la natura simmetrica della distribuzione, la percentuale delle frequenze delle misure minori di 34,2 m è la metà, cioè 2,275%. 2 775 Quindi 80 = 2 misure. • Costruiamo l’intervallo ] M — 1,96(7; Otteniamo:
M
+ 1,96(7 [.
] 3 4 ,8 - 1,96 0,3; 34,8 + 1,96 ■0,3 [ = ] 34,2;35,4[.
Molti fenomeni caratterizzati da una distribuzione non simmetrica vengono com un que considerati come aventi una distribuzione gaussiana. Infatti si può dimostrare che, aumentando il numero delle rilevazioni, anche le distribuzioni non simmetriche tendono ad avvicinarsi a distribuzioni normali. 549
16 STATISTICA E rro re standard e in te rva llo di confidenza della media
Se da una popolazione estraiamo tutti i possibili campioni e ne calcoliamo le medie, si dimostra che tali medie dei campioni hanno una distribuzione gaussiana. La media di questa distribuzione, cioè la media di tutte le medie campionarie, è la media della popolazione. La media di un campione x è pertanto una s t i m a c o r r e t t a della media M della popo lazione. Trattandosi di una stima, esiste un’incertezza che è valutata dall’errore standard:
S l=v« - 1' dove s è la deviazione standard del campione e n la sua numerosità. È più opportuno esprimere il valore della media mediante un intervallo, detto inter vallo di confidenza, la cui ampiezza dipende dalla probabilità che tale intervallo ha di contenere la media M della popolazione. Indicando con x la media del campione e con s* l’errore standard, l’intervallo di con fidenza si indica con ] x — k ■s* ; x + k ■s* [. I valori di k da utilizzare dipendono dalle probabilità di attendibilità dell’intervallo. I più usati sono i seguenti.
Probabilità k
90% 1,645
95% 1,96
95,45% 2
99% 2,58
99,74% 3
99,99% 3,29
Vogliamo determinare il consumo medio settimanale di acqua minerale e da un campione di 50 consumatori si rileva una media x = 4,5 litri e una deviazione standard s = 0,9 litri. Determiniamo l’intervallo di confidenza al 99%. L’errore standard è: s* =
= 0,13.
L’intervallo di confidenza è: ] 4,5 —2,58 • 0,13; 4,5 + 2,58 ■0,13 [ = ] 4,16; 4,84 [.
In te rva llo di confidenza della percentuale
La frequenza rela tiv a /c o n cui una caratteristica viene rilevata in un campione (di numerosità n ) è una s t i m a c o r r e t t a della percentuale p con cui tale caratteristica compare nella popolazione da cui il campione è estratto. La sua incertezza è valutata
dall’errore standard:
Anche per questa stima è più opportuno costruire intervalli di confidenza in modo analogo a quanto indicato per la media: ] / —k ■s F; / + k ■s F [. Un sondaggio vuole verificare la popolarità di un uomo politico. In un campione di 400 persone intervistate, si è rilevato che 340 hanno espresso un giudizio positivo. Costruiamo un intervallo di confidenza al 95,45%. La stima della percentuale p è / =
^ qq = 0,85 e l’errore standard è sF =
L’intervallo di confidenza risulta: ] 0,85 - 2 • 0,0179; 0,85 + 2 • 0,0179 [ = ] 0,8142; 0,8858 [.
550
0,85/ = 0,0179.
7. DISTRIBUZIONE GAUSSIANA E CAMPIONAMENTO
TEORIA
Verifica di ipotesi
L’intervallo di confidenza può essere utilizzato per stabilire se un determinato valore ipotizzato per la media o per la percentuale di una caratteristica della popolazione può essere accettato (o meglio «non rifiutato»). Avendo fissato un livello di confidenza e determinato il relativo intervallo, sarà suffi ciente verificare se il valore ipotizzato è contenuto o meno in esso. In una lavorazione il tempo impiegato per l’assemblaggio di due pezzi è stato fissato in 11 minuti. Mediante un campionamento di 40 osservazioni si è rilevato un tempo medio x = 12 minuti, con una deviazione standard cT = 1,5 minuti. Determiniamo se il tempo ipotizzato può essere accettato a un livello di confidenza del 95%. L’intervallo di confidenza è ] 1 1,53; 12,47[ e quindi l’ipotesi formulata non è accettata.
ESERCIZI PER COMINCIARE I l
Abbiamo rilevato i costi sostenuti per le vacanze estive da 2 00 famiglie, costituite da due genitori e un figlio di cinque anni, e la media è risultata di € 2100, con una deviazione standard di € 400. Assumendo che la distribuzione dei costi sia nor male, determ ina il num ero di famiglie che hanno speso meno di € 1700. Quante famiglie hanno speso più di € 1300? [32; 195]
M M
W M
Per l’assunzione di nuovi dipendenti u n ’im pre sa effettua una preselezione mediante test con dom ande a risposta multipla. Per esperienza si sa che i punteggi sono distribuiti in modo gaussia no con una media di 80 e una deviazione stan dard di 12. Per avere la possibilità di accedere al colloquio, occorre ottenere almeno 104 punti. Se a una selezione i candidati sono 300, qual è il num ero di coloro che hanno superato il test e possono così accedere al colloquio? [7]
B B In un campione di 280 persone a cui è stato somministrato un vaccino antiinfluenzale, 86 hanno avuto effetti collaterali. Determina un intervallo di confidenza al 99% per la frazione della popolazione che potrebbe essere soggetta a questi effetti. []0,236; 0,378[]
K B Q P ffT E Distribuzione gaussiana II video che ti proponiam o aiuta a prendere confidenza con la distribuzione gaussiana attraverso un esempio. Dopo averlo esaminato, riassumi i concetti trat tati. W M
Sono stati estratti a caso 40 sacchetti di funghi porcini del peso nominale, riportato in etichet ta, di 200 g. Il loro peso medio è di 195 g, con una deviazione standard di 10 g. Determina l’in tervallo di confidenza al 95% per il peso. Il peso nominale riportato sull’etichetta è corretto? []191,9; 198,1[; no]
W M
Vogliamo determinare la percentuale di alunni di una scuola superiore che utilizza la bicicletta per andare a scuola. Il num ero dei ragazzi che hanno risposto affermativamente è 28. Sapendo che sono stati interpellati 70 studenti, determina la stima della percentuale della popolazione, l’er rore standard e l’intervallo di confidenza al 95%. [40%; 0,059; ]0,284; 0,516[]
Si vuole verificare se il tempo di 7 m inuti asse gnato per l’esecuzione di una procedura è ade guato. I valori rilevati tramite un campione di 40 osser vazioni hanno indicato una media di 8 minuti, con una deviazione standard di 2 minuti. Costruisci l’intervallo di confidenza con proba bilità del 99,99%. Determina se il tempo assegnato è compreso in esso e se quindi può essere accettato. []6,95; 9,05[; sì]
551
STATISTICA
ESERCIZI 1. RILEVAZIONE DEI DATI STATISTICI Nel corso di una giornata sono state misurate le durate delle corse, da un capolinea all’altro, dei filobus di una certa linea. I valori rilevati, espressi in minuti, sono i seguenti: 48, 47, 49, 50, 49, 48, 47, 46, 48, 50, 51, 46, 48, 48, 49, 47, 47, 48, 50, 51, 52, 45, 46, 42, 45,43, 41, 52, 51, 50, 51, 45, 42, 45, 46, 49, 44, 45, 54, 53. Determiniamo le frequenze delle durate delle corse, le frequenze cumulate, il num ero delle corse con una durata minore di 53 minuti, il num ero delle corse con una durata compresa tra 45 e 53 minuti.
ESEM PIO
Costruiamo una tabella a classi di intervallo dei tempi rilevati. In genere le classi hanno tutte la stessa ampiezza e assegniamo i valori a una classe considerando compreso l’estremo inferiore ed escluso quel lo superiore. Per ogni modalità quantitativa calcoliamo la somma della sua frequenza con quelle precedenti e otte niamo le frequenze cumulate e le frequenze relative cumulate.
Classi *i
Frequenze F,
f
41-45 45-49 49-53 53-57
5 19 14
5 24
Totali
40
2
Frequenze cumulate ;
38 40
Frequenze relative fi
Frequenze relative cumulate f
12,5% 47,5% 35,0% 5,0%
12,5% 60,0% 95,0% 100 ,0 %
100,0%
Per sapere quante sono le corse che durano meno di 53 m inuti, leggiamo la frequenza cumulata della classe 49-53. Le corse sono 38, cioè il 95%. Calcoliamo il num ero delle corse con una durata compresa fra 45 e 53 m inuti facendo la differenza tra le frequenze cum ulate delle classi 49-53 e 41-45: otteniam o 38 — 5 = 33, che corrisponde a 95,0% - 12,5% = 82,5%. BB
Esegui u n ’indagine campionaria fra i tuoi compagni di scuola per stabilire il mezzo di trasporto che utiliz zano prevalentemente per venire a scuola e determina le frequenze relative.
W M
Un gommista ha preso nota della durata degli pneumatici di una certa marca. Ha rilevato i seguenti valori in migliaia di kilometri: 31, 32, 43, 40, 37, 38, 33, 36, 38, 43, 41, 37, 37, 33, 35, 39, 38, 38, 39, 40, 41, 40, 39, 32, 34, 37, 34, 36, 36, 39. Raggruppa i dati in 4 classi e determina: a. le frequenze;
b. le frequenze relative; c. le frequenze cumulate;
d. la percentuale degli pneumatici che hanno una durata inferiore ai 38 000 km; e. la percentuale degli pneumatici che hanno una durata superiore o pari a 34 000 km. 552
[d) 50%; e)83,3%]
1. RILEVAZIONE DEI DATI STATISTICI
KB
ESERCIZI
In una località m arina è stata rilevata giornalmente la forza del vento, classificata secondo tre livelli: livello I (forza 1-3), livello II (forza 4-6) e livello III (forza 7-9). I livelli rilevati nel corso del mese di ottobre 2012 sono stati: III, III, II, II, II, I, II, II, II, I, I, I, I, I, II, II, III, II, II, II, III, III, II, II, II, I, I, II, III, II, III. Determina le frequenze relative. [25,8%; 51,6%; 22,6%]
W MLJ INVALSI2005 A un Esame di Stato i candidati hanno conseguito il diploma con i seguenti punteggi (in centesimi):
Punteggi Numero di candidati
60
64
1
2
70 4
72
78
1
2
80 5
84
88
94
100
3
2
3
2
Per poter partecipare a un concorso occorre aver conseguito il diploma con un punteggio di almeno 80/100. Qual è la percentuale dei candidati che può partecipare al concorso? H
20%
\J ]
50%
[c] 60%
DlI 80%
Dall’esame delle risposte fornite da 80 signore si è rilevato che il 30% usa il detersivo Bianco Ultrà, il 35% lo Splendente, il 15% il Massimo e la parte restante altre marche. Trova le frequenze. [24; 28; 12; 16] D
Q n m I cani pastori scozzesi (Collie) presentano fra le caratteristiche proprie della loro razza u n ’altezza media di 60 cm. In un allevamento sono state misurate le altezze e si sono ottenuti i seguenti valori espressi in cm. 58,1 55,5 58,8
60,8 58,9 56,3
61,7 59,2 64,9
60,5 53,0 59
61,4 59,7 56,2
60,1 58,9 54,9
60,2 59,1 54,8
55,5 56,2 61,2
63,5 57,7 62,7
59,3 58,3 59,4
56,2 59,6 63,6
59,3 61 59,5
58 61,7 60,2
60,2 57,7 61,7
55,3 62,1 62,9
a. Effettua lo spoglio delle unità statistiche con classi di ampiezza 2 cm.
b. Individua la classe che ha la frequenza maggiore. c. Calcola quanti cani hanno un’altezza inferiore a 59 cm o superiore a 61 cm. d. I valori esaminati confermano la caratteristica tipica dell’altezza? Motiva la tua risposta. EU REK A ! È l’ora del caffè Una macchina riempie scatole di cialde di caffè. Si effettua un controllo della quantità di caffè contenuta in 20 cialde confezionate singolarmente per verificare se è possibile indicare 240 g come il contenuto complessivo delle confezioni da 30 cialde. I valori rilevati in g sono: 8,1; 7,8; 8 ,8 ; 7,9; 7,9; 8,1; 8,0; 8,0; 7,7; 7,4; 8,1; 8 ,6 ; 8,3; 8,0; 7,9; 8,3; 8,3; 8,1; 7,9; 7,7. a. Effettua lo spoglio dei dati utilizzando 4 classi di intervallo.
b. Determina le frequenze e le frequenze relative. c. Ritieni che sia corretto indicare 240 g come contenuto della confezione? BU
La tabella a doppia entrata presenta le frequenze relative delle abitazioni in un Comune, classificate in base al num ero dei vani e suddivise tra abitazioni di proprietà (5668) e abitazioni in affitto (6652).
N. vani A b ita zio n i^ ^ '-'-^ ^ di proprietà in affitto
1
2
3
4
5
6 e oltre
0,05
0,09 0,17
0,15 0,18
0,08 0,06
0,06
0,03
0,02
0,01
0,10
a. Determina le frequenze assolute.
b. Determina la tabella del num ero delle abitazioni secondo il num ero dei vani, con le frequenze relative. c. Calcola la percentuale delle abitazioni che hanno un num ero di vani superiore a 3. [a) 616; 1109; 1848; ...; 1232; 2094; ...; c) 26%] 553
16 STATISTICA
2. SERIE STATISTICHE
© Teoria a pagina 538
INFO RM AG RA FICA Data la seguente serie statistica relativa al num ero di clienti che nel corso di una settimana hanno effettuato acquisti nel reparto abbigliamento sportivo di un centro commerciale, effettua la rappresentazione grafica delle frequenze relative. G iorno N um ero clienti
lunedì 45
martedì 80
mercoledì 128
giovedì 56
venerdì
sabato 209
122
JjilJI.I.IMWJ U n’azienda avicola ripartisce la produzione di uova in quattro categorie. È stata cambia ta la marca del mangime e viene confrontata la produzione prima del cambiamento con quella successiva, esaminando la produzione di 80 uova con entrambi i mangimi. Confronta graficamente le due produzioni. C ategoria M angim e A M angim e B H i
I
II 25 30
12 8
III 30 36
IV 13 6
La serie storica studia l’andam ento del num ero dei correntisti presso u n ’agenzia bancaria in un Comune dove quell’agenzia nei prim i tre anni ha operato in condizioni di monopolio. A nni N um ero correntisti
2005 63
2006 89
2007 115
2008 72
2009 95
2010
2011
118
125
Effettua la rappresentazione grafica dell’andamento con un diagramma cartesiano. BEI LJ TEST I due ortogramm i riportati sotto rappresentano i valori medi annuali (ipotetici) della concentra zione di polveri sottili (PM10), in m icrogram m i/m 3, nell’aria di quattro città italiane, in due anni successivi. In quale città si è verificato in un anno il maggior aumento percentuale della concentrazione di PM10? PM 10(ng/m3)
PM10(ng/m3)
[~À1 Milano
[ b] Roma
[c] Torino
[ d] Napoli
BEI Un albergo situato in una stazione termale confronta il num ero dei clienti di due anni consecutivi per veri ficare se vi è stato un cambiamento nelle abitudini. Effettua la rappresentazione grafica mediante un dia gramma cartesiano che pone a confronto l’andam ento dei due anni. Mesi 2011 2012
gen 128 114
feb 110
108
mar 158 140
apr 170 130
mag 180 152
giu 185 180
lug 180 176
ago 160 152
sett 185 190
ott 180 185
a. In quali mesi vi è stata una coincidenza evidente dell’andam ento dei clienti presenti? b. In quali mesi si è rilevata una differenza dell’andamento? 554
nov
die
110
120
125
105
3. SERIAZIONI STATISTICHE
ESERCIZI
| Una macchina produce ogni giorno dispositivi meccanici di precisione molto delicati e una percentuale variabile ogni giorno non è accettata in quanto difettosa. Sapendo che nel corso di una settimana lavorativa, dal lunedì al venerdì, i pezzi prodotti sono stati 150, 160, 2 0 0 , 180 e 120 , e che le percentuali di pezzi scarta ti sono state 20%, 15%, 25%, 15% e 10%, determ ina le serie delle frequenze assolute dei dispositivi conformi alle specifiche e di quelli non accettati ed effettua la rappresentazione grafica.
3. SERIAZIONI STATISTICHE
© T e o r ia a p a g in a ^
La seguente seriazione statistica presenta la distribuzione di 30 imprese artigiane secondo il num ero dei dipendenti.
Numero dipendenti Numero imprese artigiane
1
2
12
8
3 5
4 3
Totale 30
5 2
ESEM PIO
Effettuiamo la rappresentazione grafica con un diagramma a bastoni e con un istogramma. Nel grafico a bastoni m ettiamo in evidenza le frequenze con segmenti, m entre con l’istogramma consi deriamo i valori discreti come punti centrali di classi di intervallo. Queste rappresentazioni si affiancano alla rappresentazione con la nuvola di punti.
1P1 U n’indagine ha coinvolto 120 persone per determinare il num ero degli spazzolini da denti che vengono acquistati in un anno. La distribuzione ottenuta è stata la seguente.
Numero spazzolini Numero persone
6 20
7 12
8 16
9 25
10 18
11 10
12 19
a. Rappresenta graficamente la seriazione.
b. Calcola le frequenze cumulate. c. Rappresenta graficamente la seriazione delle frequenze cumulate. | Il latte fresco prodotto e imbottigliato da u n ’impresa casearia ha un prezzo di vendita consigliato per i con sumatori di € 1,56 al litro. Da una verifica risulta che questa indicazione non è seguita da alcuni rivenditori e si sono rilevate presso 50 punti vendita variazioni di prezzo rispetto al valore consigliato.
Variazioni prezzo Rivenditori
-5 %
- 2%
+ 5%
+ 10 %
+ 15%
6
12
20
8
4
Effettua la rappresentazione grafica che ritieni più opportuna e determina: a. il num ero dei rivenditori che hanno contenuto il prezzo entro il +5%;
b. il num ero dei rivenditori che hanno aumentato il prezzo oltre quello consigliato; c. la percentuale dei rivenditori che hanno aumentato il prezzo di oltre il 5%. [3 8 ; 32; 2 4 % ]
555
16 STATISTICA INFORMAGRAFICA m
Rappresenta con un istogramma la seriazione statistica in tabella relativa al prezzo al kg delle albicocche rilevato presso 60 imprese ortofrutticole. Prezzo (€/kg) N. im prese
1,80-2,20 4
2,20-2,60 22
2,60-3,00 18
3,00-3,40
3,40-3,80 5
11
L’età dei 1500 pazienti di un medico di base ha la seguente distribuzione.
Età Numero pazienti
16-31 258
31-46 350
46-61 522
61-76 110
76-91 125
91 e oltre 35
Effettua la rappresentazione grafica della seriazione statistica.
U. AREOGRAMMI, IDEOGRAMMI, CARTOGRAMMI Teoria a pagina 542
i l 'l
IN FORMAGRAFICA Un gruppo di 80 persone ha fornito le seguenti valutazioni su un romanzo che è risultato vincitore a un premio letterario. Rappresenta graficamente il risultato dell’indagine con un areogramma. V alutazione N um ero lettori
Ottimo 15
Discreto 35
Interessante 16
Banale
Negativo
8
6
i f l l Le tem perature rilevate alle ore 14 nel mese di maggio in una località balneare sono le seguenti.
Temperatura (°C) Numero giornate
18-23 7
23-28 14
28-33
33-38
8
2
a. Rappresenta con un areogramma la rilevazione effettuata.
b. Qual è l’intervallo di tem peratura che si è manifestato per il maggior num ero di giorni? c. Qual è la percentuale delle giornate in cui la tem peratura è stata di almeno 23 °C? [b) 23 °C-28 °C; c) 77,4%] Ì4 IQ
INVALSI 2004 La tabella m ostra la superficie delle varie province della Campania.
Provincia Avellino Benevento Caserta Napoli Salerno
Superficie (km2) 2792 2071 2639 1171 4922
Legenda 1 1 KW W N
r
i
i
i
Quale dei seguenti diagrammi descrive graficamente i dati della tabella? 1
2
3
4
ra 1 H
2
[c] 3 DlI 4 556
U. AREOGRAMMI, IDEOGRAMMI, CARTOGRAMMI
► LABORATORIO
ESERCIZI
MATEMATICA AL COMPUTER
La valutazione di una verifica Per valutare una verifica svolta da 20 studenti, imposta un foglio elettronico che a. permetta di registrare i voti ottenuti; b. dia in uscita le frequenze dei voti raggruppati in classi; c. rappresenti la situazione con un areogramma.
► Risoluzione.
►A esercizi in più.
Il giorno 3 settembre 2012 è stato rilevato il prezzo medio dei carburanti in euro in alcuni Stati e un quoti diano ha pubblicato il seguente ideogramma. a. Determ ina la serie statistica che ne deriva. b. Possiamo ritenere corretta la rappresentazione grafica? c. È possibile considerare questo ideogramma come un ortogramma? [b) sì; c) sì]
EUREKA! Chi produce più grano? I seguenti cartogrammi sono relativi alla resa per ettaro del grano duro e alla superficie coltivata a grano duro in Italia nel 2008. (Fonte: elaborazione BMTI su dati ISTAT.)
a. Quali regioni hanno una resa più alta di produzione per ettaro? b. Compila una seriazione statistica del num ero delle regioni secondo la produzione per ettaro. c. Quali regioni hanno una superficie maggiore destinata alla coltivazione di grano duro? d. Compila una seriazione statistica del num ero delle regioni secondo la superfìcie destinata al grano duro. e. Quale situazione apparentem ente contraddittoria viene messa in evidenza?
557
16 STATISTICA
5. MEDIA, MEDIANA, MODA © Teoria a pagina 544 W 1 Le misure di una stessa grandezza sono soggette a errori che dipendono dal caso. Un tavolo è stato fatto misurare da 28 alunni e si sono ottenuti i seguenti risultati.
Lunghezza (cm) Frequenze
120,4 6
120,6 12
121,6 6
121,2 2
Calcola la media aritmetica.
121,7 1
122,0 1
[120,903... arrotondata a 120,9]
i f l l In u n ’impresa cinque macchine che confezionano pacchetti di caramelle sono sottoposte a revisione. Il num ero di pacchetti confezionati all’ora da ciascuna macchina, prim a e dopo la revisione, è riportato nella seguente tabella.
Macchine
I
II
III
IV
V
Numero prima della revisione
430
390
400
360
390
Numero dopo la revisione
460
395
440
390
435
a. Effettua una rappresentazione grafica della produzione nelle due situazioni.
b. Determina il num ero medio di pacchetti confezionati all’ora prim a della revisione e dopo. c. Possiamo affermare che la revisione è stata efficiente? W7M
[b) 394; 424; c) sì]
EUREKA! Togliendo 10 a. Q La media aritmetica di 11 num eri è 4850. Se ciascuno degli 11 num eri viene dim inuito di 10 , la loro media diventa: [~À1 4740.
d ] 4840.
[c] 4830.
QT] 4850.
[J] i dati del problema non sono sufficienti a determinarla.
b. Generalizza la soluzione.
[Giochi di Archimede, 2012]
L’altezza di 28 bambini che frequentano l’ultima classe di una scuola m aterna ha la seguente distribu zione.
Altezza (cm) Numero bambini
90-100
100-105
105-110
11 0 -1 2 0
120 e oltre
2
8
12
4
2
ESEM PIO
Calcoliamo la media aritmetica. Per calcolare la media aritmetica utilizziamo il v a l o r e c e n t r a l e di ogni classe. L’ultima classe è aperta e la chiudiamo ponendo come limite superiore 130. Per effettuare il calcolo organizziamo i valori in una tabella. Nella terza colonna otteniamo i prodotti dei valori moltiplicati per i rispettivi pesi. La somma di questi prodotti è il num eratore della formula della media aritmetica ponderata. Xi
558
Fi
95 102,5 107,5 115 125
12
Totale
28
2
8
4 2
*, • F i 190 820 1290 460 250 3010
La media aritmetica è M =
107,5.
5. MEDIA, MEDIANA, MODA
ESERCIZI
F J J Per un anno vengono rilevati giornalmente i consumi di acqua potabile in un Comune di piccole dimensio ni. Si è ottenuta la seguente distribuzione.
Consumo (m3) Numero giorni
0-200 40
200-300 88
300-500 156
500-800 47
800-1000 34
Calcola la media del consumo giornaliero. s i
[409,726]
A un concorso 200 candidati hanno dovuto rispondere a 50 quesiti. Le risposte esatte hanno avuto la seguente distribuzione.
q b s h e b b b h i
Risposte esatte Numero candidati
0 -1 0
10-20
8
25
20-30 34
30-40 95
40-50 38
Effettua la rappresentazione grafica e determina la media delle risposte esatte. Il cambio fra euro e dollaro nel corso di nove giorni è stato 1,2874; 1,2796; 1,2805; 1,2834; 1,2812; 1,2798; 1,2932; 1,2897; 1,2936. Determina la mediana. [1,2834] INVALSI 2011 La seguente tabella riporta il peso alla nascita, suddiviso in 4 classi, di 30 neonati.
e h q
Classi di peso da 1 kg e fino a 2 kg più di 2 kg e fino a 3 kg più di 3 kg e fino a 4 kg più di 4 kg e fino a 5 kg
Numero neonati 7 8 12
3
Quale delle seguenti espressioni devi usare per trovare il peso medio dei 30 neonati? ra
1,5 + 2,5 + 3,5 + 4,5 30
E
1,5 7 + 2,5 8 + 3,5- 12 + 4 ,5 -3 30
E
7 + 8+12 + 3 4
E
1,5 7 + 2,5 8 + 3,5- 12 + 4, 5- 3 4
► LABORATORIO
APPROFONDIMENTO
La velocità media Un’auto di Formula 1 è impegnata, per un test, a percorrere 30 giri di un circuito: percorre i primi 15 a una velocità media di 150 km/h e gli altri 15 a una velocità media di 210 km/h. a.
Qual è la velocità media della vettura sui 30 giri? Il risultato cambierebbe se i giri percorsi fossero 22 a 150 km/h e 22 a 210 km/h?
□
► Risoluzione.
► 3 esercizi in più.
►Approfondimento: Non esiste solo la media aritmetica.
559
16 STATISTICA INVALSI 2012 In una stazione meteorologica sulle Alpi sono state registrate le tem perature alle ore 8:00 per una settimana e riportate nella tabella qui a lato. Calcola la media aritmetica delle tem perature riporta te in tabella.
Giorno lunedì martedì mercoledì giovedì venerdì sabato domenica
Temperatura alle 8:00 - 7 °C - 3 °C + 1 °C - 5 °C 0°C +3 °C - 3 °C
■tHTOH È data la seguente distribuzione del num ero dei dipendenti di un’impresa industriale assenti per malattia nel corso del mese di maggio 2012. Determina la mediana.
Numero giorni assenza Numero dipendenti
3 4
2
5
4
5 7
8
6
7
4
2
mQ
YOU &MATHS Non-smoking mothers Below is a table with thè num bers ofnon-sm oking mothers in one year at delivery in a small town called Pureville. Calculate thè average age of thè non-sm oking mothers in Pureville. W hat is their median age?
Age Number
21
22
7
8
23 9
24
25
10
12
26 3
27
28 5
2
29 4
30 5
32 4
31 2
33
34
35
2
0
1
| Un venditore di auto usate ha classificato il num ero delle autovetture del suo salone secondo l’anno di costruzione.
Anno Numero vetture
2004
2005
2006
7
10
6
2007 3
2008 4
2009
201 0
2
2
Costruisci la seriazione relativa all’età delle auto usate al 2011 e determinane la media aritmetica e la m edia na. Quante sono le vetture che hanno un usato maggiore di 4 anni? [4,97; 5,5; 23]
Bflil Presso un hotel a tre stelle è stata rilevata, nel corso del mese di febbraio 2013, la durata del soggiorno di 91 clienti.
Durata (giorni) Numero clienti
1
2
21
19
3 23
4 14
5
6
8
6
a. Determ ina la media aritmetica, la mediana e la moda. b. Qual è la percentuale dei clienti che hanno soggiornato un num ero di giorni maggiore della media? E della moda? [a) 2,9; 3; 3; b) 56,1%; 30,8%]
KM Nel corso di un mese, presso una libreria della città, la richiesta relativa a cinque nuovi romanzi è stata la seguente.
Titolo La compagnia degli altri La moneta contraffatta I fratelli indisciplinati La corsa di cani e gatti Strada in discesa Determina la moda. 560
N. copie vendute 65 102
87 115 94
m
Agli abitanti di un piccolo Comune è stato chie sto un giudizio sul servizio di pulizia delle strade in base alla scala da 0 (pessimo) a 5 (ottimo). L’indagine ha fornito la seguente distribuzione.
Giudizio Frequenze
0
1
2
115
165
198
3 156
4 125
5 24
Determina la media aritmetica, la mediana e la moda. [2 , 1; 2 ; 2 ]
5. MEDIA, MEDIANA, MODA
ESERCIZI
Hfll È data la seguente distribuzione della somma dei punti delle facce di due dadi lanciati per 200 volte. Som m a dei p u nti Frequenze
2 1
3 5
4 13
5 18
6
37
7 56
8
33
9 18
10
11
12
Totale
11
5
3
200
a. Traccia il diagramma cartesiano. b. Calcola la media aritmetica, la mediana e la moda. c. Confronta fra loro i valori trovati: collocandoli sul grafico, quale considerazione puoi fare? [b)
7; 7; 7; c) distribuzione tendenzialmente simmetrica]
Sono state intervistate 40 persone alle quali è stato chiesto il num ero delle volte che sono state al cinema nel mese precedente. Le risposte sono state le seguenti: 1; 3; 5; 0; 0; 4; 2; 2; 3; 5; 8 ; 4; 1; 0; 0; 3; 6 ; 5; 4; 3; 1; 0; 4; 3; 2; 2; 2; 2; 4; 3; 1; 2; 2; 6 ; 2; 1; 1; 3; 6 ; 8 . a. Costruisci la seriazione a valori discreti della distribuzione delle frequenze. b. Traccia il grafico del poligono delle frequenze. c. Calcola la media aritmetica, la mediana e la moda. d. Confronta fra loro i valori trovati: collocandoli sul grafico, quale considerazione puoi fare? [c) 2,85; 2,5; 2; d) la distribuzione si presenta asimmetrica con una coda a destra]
► LABORATORIO
MATEMATICA E STORIA
Quanti bambini nascevano a Londra nel 1700? La tabella riporta il numero di battezzati a Londra all’inizio del ’700. In prima approssimazione, possiamo interpretare questi dati come il numero di nati nella stessa città in quegli anni.
a. Quale tipo di rappresentazione useresti per visualizzare, e allo stesso tempo confrontare, il numero dei battezza ti maschi e quello delle femmine, negli anni dal 1701 al 1710? Discuti la tua scelta con un compagno e assieme cercate almeno un altro tipo di grafico che soddisfi la richiesta. b. Qual è il totale dei battezzati per ciascun anno? Che tipo di grafico utilizzeresti per rappresentare questi nuovi valori? c. In media, quanti maschi sono stati battezzati ogni anno? E quante femmine? Qual è il numero annuale medio del totale dei battezzati? d. Piero afferma: «Per trovare il numero annuale medio del totale dei battezzati, calcolo prima il numero medio dei maschi, poi il numero medio delle femmine; infine, faccio la somma dei due numeri che ho trovato». Secondo te, è corretto questo procedimento? Perché?
□
► Risoluzione.
► Un esercizio in più.
wlr Femmine battezzate
Anno
Maschi battezzati
1701
8102
7514
1702
8031
7656
1703
7765
7683
1704
6113
5738
1705
8366
7779
1706
7952
7417
1707
8379
7687
1708
8239
7623
1709
7840
7380
1710
7640
7288
►Attività di ricerca: Eventi storici e popolazione.
561
16 6
STATISTICA
. INDICI DI VARIABILITÀ
)Teoria a pagina 546
fcllÉ La durata in giorni del periodo di incubazione di una forma influenzale per 50 soggetti ha avuto la seguen te distribuzione.
Giorni di incubazione Numero ammalati
1
2
2
5
3 18
4 13
5
6
10
2
Calcola il campo di variazione e lo scarto semplice medio. WS 1
Q
[5; 0,96]
A un estremo di una molla lunga 20 cm viene applicato un peso di 100 g per 8 volte successive. Le misure degli allungamenti in cm sono: 3,4; 3,5; 3,3; 3,6; 3,5; 3,4; 3,5; 3,4. Calcola il campo di variazione, lo scarto semplice medio e la deviazione standard. [0,3; 0,075; 0,0866]
a m n z a a I tempi, in secondi, ottenuti in una gara di corsa dei 100 m tra 10 studenti sono stati i seguenti: 14,4; 13,5; 16,2; 15,8; 14,0; 15,2; 16,9; 15,6; 16,5; 15,0.
MATEMATICA ED ECONOMIA
La quotazione dell’oro
a. Verifica che la somma degli scarti dalla media è nulla e verifica con un esempio che la som ma dei loro quadrati è minima.
b. Calcola la deviazione standard.
Il mercato dell’oro è sempre influenzato dalla situazione economica, ma il prezzo di acquisto di questo metallo...
□
► Problema e risoluzione.
B&l Gli iscritti a una bocciofila sono stati classificati secondo l’età e si è ottenuta la seguente distribuzione.
Età Numero iscritti
Fino a 30 5
30-40 8
40-50 13
50-60 20
60-70 35
oltre 70 14
Calcola lo scarto semplice medio e la deviazione standard. [ponendo il limite inferiore della prima classe a 20 e il limite superiore dell’ultima a 80, S = 11,2 e a = 13,66] WSM
INVALSI 2012 Martina ha ragione? La professoressa Rossi vuole verificare il livello delle conoscenze in scienze nelle classi 1A e 1 B. Decide di somm inistrare lo stesso test nelle due classi. Elaborando i punteggi del test, ottiene i seguenti risultati.
Media aritmetica Scarto quadratico medio (o deviazione standard)
Classe 1A 6,5 1,1
Classe 1B 6,5 2,3
La professoressa chiede a M artina, una sua alunna di 1B, di comm entare i risultati ottenuti dagli alunni delle due classi. M artina afferma che i risultati indicano che gli alunni delle due classi hanno lo stesso livello medio di conoscenze, ma gli studenti della classe 1A hanno ottenuto complessivamente punteggi più vicini alla media. M artina ha ragione? Scegli una delle due risposte e completa la frase. I I Sì, p e rc h é ....... 562
□
No, p e rc h é .......
7. DISTRIBUZIONE GAUSSIANA E CAMPIONAMENTO
ESERCIZI
7. DISTRIBUZIONE GAUSSIANA E CAMPIONAMENTO Teoria a pagina 549 tv d
Una prova di resistenza alla trazione, effettuata per 300 volte applicando pesi diversi a fili di acciaio om o genei, ha avuto come risultato un carico di rottura distribuito con andam ento norm ale con una media di 60,2 kg/m m 2 e una deviazione standard di 0,8 kg/m m 2. Determina: a. Tintervallo che contiene il 99,74% delle prove; b. il num ero di volte in cui è avvenuta una rottura fra 58,6 e 61,8 kg/m m 2;
c. il num ero di volte in cui il filo si è spezzato per una trazione inferiore a 59,4 kg/m m 2; d. la probabilità che il filo si spezzi tra 59,4 e 61 kg/m m 2.
[a) ]57,8; 62,6[; b) 286; c) 48; d) 68,27%]
M I Si vuole determinare la durata media del prestito dei libri di una biblioteca comunale. Dall’esame di un campione formato da 120 casi si è rilevato che il tempo medio è 25 giorni, con una deviazione standard di 10 giorni. Determina l’intervallo di confidenza al 95% del tempo medio. []23,2; 26,8[] E'VJ In un tratto autostradale si è rilevato che la velocità media di 170 autovetture è stata di 110 km/h, con una devia zione standard di 20 km/h. Determina l’intervallo di confidenza al 99% per la velocità media. [] 106,04; 113,96[] M I Un campione di 50 degli pneumatici prodotti da un’impresa presenta una carenza del 20% rispetto agli standard stabiliti. Costruisci un intervallo di confidenza al 99% della percentuale dell’intera popolazione degli pneumatici che soddisfano gli standard prefìssati. L’intervallo di confidenza conferma una carenza ipotizzata del 12%? []0,654; 0,946[; sì] EUREKA! I l te m p o p iù con ven ien te In un campione formato da 50 lavoratori si è rilevato che il tempo impiegato per effettuare un certo lavoro è stato in media di 20 minuti, con una deviazione standard di 5 minuti. Dopo un mese, in seguito a una modifica del processo produttivo, è stata effettuata la stessa rileva zione su un campione con uguale numerosità e si è rilevato che il tempo medio è stato di 19 minuti, con una deviazione standard di 3 minuti. Determina i due intervalli di confidenza a livello del 95% e prova a form u lare un’ipotesi sull’effìcacia della modifica introdotta. [] 18,6; 21,4 [; ] 18,2; 19,8 [; la modifica potrebbe ritenersi positiva, non tanto per il minor valore medio, ma soprattutto per una maggiore efficienza indicata dalla diminuzione della deviazione standard]
► LABORATORIO
MATEMATICA E BIOLOGIA
Il cuculo imbroglione Il cuculo non costruisce il proprio nido, ma utilizza quello degli altri uccelli. Trovato un nido adatto, la femmina di cuculo (che è specializzata nel «copiare» l’uovo delle altre specie di uccelli) rimuove una delle uova presenti e deposita il suo, che si schiude dopo soli 12 giorni. Il pulcino di cuculo è grande e aggressi vo, e butta fuori dal nido le altre uova o altri piccoli già nati. In questo modo viene continuamente nutrito dai genitori «adottivi e imbrogliati», anche quan do li supera in dimensione. Una spedizione sul campo ha misurato la lunghez za (in mm) delle uova di cuculo deposte in nidi di pettirossi e di scriccioli...
□
► Risoluzione.
► Un esercizio in più.
ESERCIZI IN PIU EH-EfflU SU TUTTO IL CAPITOLO 563
STATISTICA
ESERCIZI IN PIÙ RILEVAZIONE DEI DATI STATISTICI m Q
spagina»*
INVALSI 2006 In una classe di 25 alunni, i punteggi (abbreviati in tabella con p ) ottenuti in un test di m ate matica risultano distribuiti come indicato nella seguente tabella.
Punteggio Numero alunni
0 < p < 20 1
20 <
p
< 40
40 <
p <
60
60 <
7
6
p <
80
80
< p <
100
3
8
Qual è la percentuale di alunni che ha ottenuto un punteggio inferiore a 60? [ a] 28%
[¥] 34%
[c] 56%
DO 72%
H I Q INVALSI 2011 Sara chiede agli studenti della sezione musicale della sua scuola qual è la loro materia pre ferita. Nella tabella ha riportato i risultati della sua inchiesta:
Materia musica matematica italiano inglese
Numero di preferenze 26 18 13 8
Sara conclude che la musica è la materia preferita dagli studenti della sua scuola. Quale tra le seguenti motivazioni spiega meglio perché la sua conclusione potrebbe
non
essere valida?
|~À~| Sara non ha distinto le preferenze dei maschi da quelle delle femmine. |~B~|
Sara avrebbe dovuto intervistare solo gli studenti di terza media della scuola.
rei Gli studenti intervistati non sono rappresentativi di tutti gli studenti della scuola. fb] Gli studenti sono stati intervistati solo una volta. Ufrl Considera la popolazione formata dai tuoi compagni di classe e determ ina le frequenze del num ero dei loro fratelli o sorelle, della loro altezza, del peso e dello sport praticato. E
t
Un Comune vuole conoscere quante partite catastali sono da considerarsi prime o seconde case e classifi carle a seconda della loro rendita catastale. Determina la popolazione, il tipo di rilevazione e le modalità di classificazione.
E160
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
STATISTICA
E lQ
I
ESERCIZI IN PIÙ
TEST Un incaricato del Comune ha effettuato u n ’osservazione sui flussi di traffico a un incrocio cittadi no. I veicoli transitati in u n ’ora risultano distribuiti come segue.
Direzione nord-sud Direzione est-ovest Totale
Automobili 560 280 840
Motocicli 360 200
560
Totale 920 480 1400
Quale fra le seguenti affermazioni è vera? [~À~1 II 14% dei motocicli osservati in u n ’ora è transitato in direzione est-ovest. |~b~]
I
-y
delle automobili osservate in u n ’ora sono transitati in direzione nord-sud.
|~c~l I veicoli transitati in un’ora in direzione est-ovest rappresentano il 56% del totale. |~d~|
Le automobili rappresentano l’84% dei veicoli transitati in u n ’ora.
mU YOU&MATHS What does thè US population look like? Here is thè summ ary of data on thè population of thè United States in 200 0 (see www.census.gov).
Five-year age groups under 5 years 5 to 9 years 10 to 14 years 15 to 19 years 20 to 24 years 25 to 29 years 30 to 34 years 35 to 39 years 40 to 44 years 45 to 49 years 50 to 54 years 55 to 59 years 60 to 64 years 65 to 69 years 70 to 74 years 75 to 79 years 80 to 84 years 85 to 89 years 90 to 94 years 95 to 99 years Total
Number of people (in thousands) 19919 20 853 20 693 20062 19172 19610 20 887 22976 22 846 20516 17661 13 684 10911 9548 8911 7467 5024 2699 1077 303 284819
For each age group calculate thè percentage of thè total population it represents and thè cum ulative percentage.
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E161
16
STATISTICA
Tabelle a doppia en trata
Abbiamo rilevato l’età anagrafica e il num ero di autovetture (compresa quella attuale) che nel corso degli anni un gruppo di 16 colleghi di lavoro ha posseduto.
Numero identificativo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Età
50
51
50
51
49
51
51
50
49
50
51
51
50
50
50
49
Numero autovetture
3
1
4
1
3
1
3
4
3
3
3
2
3
4
3
3
ESEM PIO
Determiniamo le frequenze che appartengono contem poraneamente alle varie coppie dei valori delle modalità quantitative considerate. Utilizziamo la seguente tabella, leggibile sia per riga sia per colonna, che perm ette lo spoglio dei valori e il conteggio delle frequenze.
Da questa tabella, detta a doppia entrata, possiamo ricavare anche le tabelle semplici delle distribuzioni delle frequenze secondo l’età o secondo il num ero di autovetture, utilizzando rispettivamente la prim a e l’ultima colonna e la prim a e l’ultima riga. La tabella a doppia entrata è detta tabella di correlazione se le modalità sono entrambe quantitative, tabella di contingenza negli altri casi. I f l l U n’edicola in un giorno ha venduto, oltre a quotidiani, settimanali e altri giornali, anche 25 libri. Le seguen ti coppie ordinate indicano il genere di libro e il relativo prezzo in euro: (giallo; 4,50), (narrativa; 12), (saggio; 11), (narrativa; 12), (guida turistica; 6 ), (saggio; 10,50), (giallo; 5), (giallo; 6 ), (narrativa; 13), (narrativa; 10), (giallo; 5,50), (narrativa; 8,50), (guida turistica; 6 ), (narrativa; 11), (saggio; 10), (guida turistica; 7), (narrativa; 12), (giallo; 7), (saggio; 9), (narrativa; 11), (giallo; 6 ), (narrativa; 12), (giallo; 6 ); (guida turistica; 4,50), (narrativa; 13). a. Determina la frequenza delle unità statistiche, prim a secondo il genere di libro e poi secondo il prezzo.
b. Effettua lo spoglio congiunto per ottenere la tabella di contingenza. Le seguenti coppie ordinate riportano come prim o valore la tem peratura (in °C) e come secondo valore l’um idità relativa (in %) rilevate in una località turistica alle ore 12 di ogni giorno nel corso del mese di giugno 2 0 1 2 : (18; 70), (18; 73), (19; 70), (20; 73), (21; 76), (21; 75), (21; 74), (21;73),(22; 76), (20;81), (19; 82),(19;81), (18; 80), (19; 78), (19; 77), (20; 76), (21; 78), (22; 78), (22; 79), (21;80),(21; 81), (21;82), (21; 80),(22;81), (2 2 ; 82), (2 1 ; 82), (2 2 ; 81), (2 1 ; 80), (2 1 ; 80), (2 2 ; 82). Effettua lo spoglio per determinare la tabella a doppia entrata di correlazione.
E162
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STATISTICA I ESERCIZI IN PIÙ
SERIE E SERIAZIONI STATISTICHE e Teoria.p * .» La tabella pone a confronto il prezzo, in due anni successivi, di tre modelli di frigoriferi che si possono ritenere confrontabili in quanto hanno caratteristiche tecniche equivalenti.
Modello Gelox Frox Polo
2010 320 420 390
2011 380 450 320
ESEMPIO
Rappresentiamo graficamente i prezzi, ponendo a confronto i valori dei due anni considerati. Utilizziamo un diagramma a barre, dove poniamo accostati i rettangoli per evidenziare la variazione intervenuta. Effettuiamo anche una rappresentazione con il diagramma a blocchi. prezzo
modello
500 !-----------------------------------------------------m
-------------------------------------------------------
3 0 0 ------------------------------------------------------2 0 0
-------------------------------------------------------
1 0 0
-------------------------------------------------------
0
-------------------- 1------------------- 1------------Gelox Frox Polo
modello
INVALSI 2010 II direttore di un negozio vuole sapere quanti computer con hard disk da 250 GB (gigabyte) sono stati venduti nell’ultimo trimestre. In riferimento a tale periodo, Laddetto commercia le fornisce i dati rappresentati nel grafico e nella tabella seguenti.
E l[ ]
Vendite
Tipologia di computer
Computer venduti in percentuale
con hard disk da 60 GB con hard disk da 80 GB con hard disk da 120 GB con hard disk da 160 GB con hard disk da 250 GB con hard disk da 320 GB Totale
14% 20% 6% 10% 40% 10% 100%
n. articoli venduti
Quanti computer con hard disk da 250 GB sono stati venduti? [ a ]
35
[¥] 40
[c] 100
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[5] 140
E163
16 m
u
STATISTICA test I due ortogrammi riportati sotto rappresentano il risultato di due indagini relative al mezzo di trasporto usato per raggiungere la scuola; la prima indagine riguarda una scuola frequentata da 500 studen ti, la seconda una scuola frequentata da 800 studenti.
frequenza
frequenza
Qual è la frequenza relativa percentuale associata all’uso dello scooter nelle due scuole? [~À~1 Scuola 1: 17%; scuola 2: 25%.
[c] Scuola 1: 41%; scuola 2: 59%.
Scuola 1: 40%; scuola 2: 44%.
[][] Scuola 1: 44%; scuola 2: 40%.
|~b ~]
Un forno che rifornisce panetterie, cuoce tre tipi diversi di pane: comune, all’olio e al latte. La quantità dei tre tipi varia giornalmente a seconda delle esigenze dei rivenditori. Abbiamo la seguente serie statistica che riporta i quantitativi prodotti (kg) nel corso di una settimana. Giorno lunedì martedì mercoledì giovedì venerdì sabato
comune 130 110 140 160 120 110
alPolio 60 40 80 50 65 50
al latte 10 15 5 15 20 30
ESEM PIO
Rappresentiamo graficamente la produzione dei tre tipi diversi di pane prodotto. Utilizziamo un diagramma a blocchi, dove ogni rettangolo rappresenta la produzione totale dei tre tipi prodotti, ma evidenziamo le diverse quantità ripartendo i rettangoli in tre parti, colorate in modo diverso. Possiamo così confrontare i diversi quantitativi che contribuiscono alla produzione giornaliera. quantità (kg) 250
a l la tte a ll'o lio com une
2 0 0
150
1 0 0
50 0
lun
m ar m er
gio
ven
sab
Il diagramma può essere proposto anche con barre orizzontali.
E164
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STATISTICA
I ESERCIZI IN PIÙ
filli II Ministero dei trasporti ha fornito i seguenti dati statistici relativi alle immatricolazioni di autovetture in Italia e alle variazioni percentuali rispetto allo stesso mese dell’anno precedente. Rappresenta graficamente le due serie storiche.
Q
Mese
Auto immatricolate (migliaia)
Variazione percentuale
ago set ott nov die
2011 70,8 146,3 132,7 132,5 111,2 2012
+ 1,50 -5,70 -5,50 -9,25 -15,30
gen feb mar apr mag giu lug ago
137,1 130,7 138,1 129,7 147,1 128,4 108,8 56,4
-16,90 -18,90 -26,70 -18,00 -13,90 -24,40 -21,40 -20,20
INVALSI 2012
Osserva i seguenti grafici relativi alle operazioni effettuate con carte di credito dal 2004 al
2008. Numero di operazioni (in milioni) effettuate con carta di credito
2004
2005
2006
2007
Variazione percentuale annua del numero di operazioni effettuate con carta di credito
2008
2004
2005
2006
2007
2008
(Fonte: O sservatorio sulle carte d i credito. Assofìn - C r if Decision Solutions - G fk Eurisko)
Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). a. Il numero di operazioni effettuate con carte di credito è diminuito dal 2004 al 2006, poi è aumentato e, successivamente, è di nuovo diminuito fino al 2008.
|~v~| |~f ~|
b. I due grafici sono in contraddizione perché il primo mostra una continua crescita nel tempo, mentre il secondo no.
[V] [T]
c. L’aumento del numero di operazioni effettuate con carte di credito che si è avuto dal 2006 a l 2007 è s t a t o s u p e r i o r e a l l ’a u m e n t o c h e s i è a v u t o d a l 2007 a l 2008.
|~v~| |~f ~|
d. Nel 2006 il numero di operazioni effettuate con carte di credito si è quasi azzerato.
EL EI
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E165
16
STATISTICA
È data la seguente distribuzione di 80 crisantemi secondo il numero dei petali. Numero petali
Numero crisantemi Fi
fino a 6
2
7-11
15
12-16
41
17-21
18
22 e oltre
4
ESEM PIO
Effettuiamo la rappresentazione grafica con un istogramma. Notiamo che questa seriazione statistica ha una modalità quantitativa discreta. Viene proposta per classi di intervallo per evitare il rischio che, considerando tutti i singoli valori, venga perso il significato del fenomeno. Possiamo rappresentare il fenomeno con rettangoli staccati, ma anche considerare le classi come continue, essendo compreso il limite inferiore ed escluso quello superiore. Poniamo come limite inferiore della prima classe 2 e chiudiamo l’ultima classe a 27. i ^ n u m e r o c r is a n t e m i
7
12 17
22 27
n u m e r o p e t a li
E iQ
TEST
In una classe di 20 alunni, la distribuzione dei voti è rappresentata dal diagramma che segue. Quale tra le seguenti affermazioni è fa lsai [~a] Il 25% degli studenti ha ottenuto come voto 7. [~b ~|
Più del 50% della classe è risultata insufficiente.
rei II 25% degli studenti ha ottenuto come voto 4 oppure 5. |~d ]
0
4
5
7
6
8
- jr p
degli studenti ha ottenuto come voto 4.
9
voti INVALSI 2012 Un gruppo di boyseout è formato da ragazzi di età compresa tra i 10 e i 14 anni. La distri buzione delle frequenze percentuali delle età è riportata nel diagramma seguente.
f 'f r l Q
Sulla base dei dati riportati nel diagramma, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). a. Più dell’80% dei ragazzi ha meno di 13 anni.
H E
Ragazzi per età (in percentuale) 50%40%-
b . Meno del 70% dei ragazzi ha più di 11 anni.
c. La percentuale di ragazzi che hanno 12 o 14 anni è uguale alla percentuale di ragazzi che hanno 10 o 11 o 13 anni.
[V] [T]
EE
30%2 0
%-
1 0
%-
0
%-
anni
E166
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STATISTICA I ESERCIZI IN PIÙ
f - t 'l
INVALSI 2011 II padre di Silvia riceve due proposte di lavoro, una dall’azienda A e una dall’Azienda B. La tabella rappresenta come cresce nel tempo lo stipendio offerto dall’azienda A e il grafico rappresenta come cresce nel tempo quello offerto dall’Azienda B.
Azienda A
Azienda B migliaia di euro
Stipendio . annuo in euro
Anno
50
45 40
1° 2° 3° 4°
34000 34 500 35 500 37000
Dal quinto anno
35 30 25 20
15 10
5 0
Continua a crescere di 1500 euro all’anno
5°
io° i r
6°
anno
a. In quale anno il padre di Silvia percepirà uno stipendio annuale di 40000 euro? Azienda A: I______________I Azienda B: b. Se il padre di Silvia intende lavorare, nell’azienda, per dieci anni, quale proposta è più conveniente? c. Giustifica la tua risposta (alla domanda b). Consideriamo la distribuzione delle 60 imprese ortofrutticole dell’esercizio 17 rispetto al prezzo delle albicocche, considerato questa volta in classi di intervallo con ampiezza diversa. Prezzo (€/kg) Xi
N. imprese Fi
1,80-2,20
2,20-2,50
2,50-2,70
2,70-2,90
2,90-3,20
3,20-3,50
3,50-3,80
4
8
25
10
6
4
3
Rappresentiamo la seriazione statistica con un istogramma. Le classi di intervallo non hanno ampiezza costante e pertanto i rettangoli non hanno le basi uguali sull’asse delle ascisse. Essendo l’area del rettangolo proporzionale alla frequenza della classe, dobbiamo calcolare le altezze mediante il rapporto ------ frequenza ------- che rappresenta la densità di frequenza, cioè il rr ampiezza della classe rr n ESEM PIO
numero dei casi per unità della classe. Prezzo (€/kg)
Numero imprese
A
Fi
Densità di frequenza
1,80-2,20
4
10,0
2,20-2,50
8
20,7
2,50-2,70
25
125,0
2,70-2,90
10
50,0
2,90-3,20
6
20,0
3,20-3,50
4
13,3
3,50-3,80
3
10,0
prezzo (€/kg)
Sul medesimo grafico tracciamo anche il poligono delle frequenze. Il primo e l’ultimo punto sono il valore centrale di due classi con frequenza nulla poste agli estremi dei rettangoli. Queste classi hanno ampiezze 0,4 e 0,30, uguali all’ampiezza della prima e dell’ultima classe della seriazione.
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E167
16
STATISTICA
f'Vi Una compagnia di assicurazioni ha classificato le autovetture dei clienti, con i quali ha stipulato una poliz za RC, secondo la potenza. La distribuzione è la seguente. Potenza (kW) 15-40 40-55 55-75 75-85 85-100 100-120 120-140 140-185 Totale
Numero autovetture 3300 13 650 11860 6050 8265 1040 1360 135 45 660
Effettua la rappresentazione grafica della seriazione statistica. YOU &m aths Comparing population groups Consider thè five-year population groups in 2000 of Ken ya, Japan, and thè USA listed below. Complete thè tables and associate thè correct country to each of thè histogram graphs.
FiT^l Q
Kenya Five-year age groups under 5 years 5 to 9 years 10 to 14 years 15 to 19 years 20 to 24 years 25 to 29 years 30 to 34 years 35 to 39 years 40 to 44 years 45 to 49 years 50 to 54 years 55 to 59 years 60 to 64 years 65 to 69 years 70 to 74 years 75 to 79 years 80 to 84 years 85 to 89 years 90 to 94 years 95 to 99 years Totals
E168
Number of people ^ (in thousands)
^
Percentage of thè total population
5082 4362 4271 3757 3088 2466 1932 1560 1248 993 714 490 423 357 248 150 77 28 7 1 31254
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Cumulative percentage
STATISTICA I ESERCIZI IN PIÙ
Japan Five-year age groups under 5 years 5 to 9 years 10 to 14 years 15 to 19 years 20 to 24 years 25 to 29 years 30 to 34 years 35 to 39 years 40 to 44 years 45 to 49 years 50 to 54 years 55 to 59 years 60 to 64 years 65 to 69 years 70 to 74 years 75 to 79 years 80 to 84 years 85 to 89 years 90 to 94 years 95 to 99 years Totals
Number of people (in thousands)
^
Percentage of thè total population
Cumulative percentage
Percentage of thè total population
Cumulative percentage
6055 5998 6544 7503 8597 9924 8803 8123 7797 8939 10472 8726 7690 7086 5870 4095 2594 1518 564 123 127021
USA Five-year age groups
Number of people (in thousands)
under 5 years 5 to 9 years 10 to 14 years 15 to 19 years 20 to 24 years 25 to 29 years 30 to 34 years 35 to 39 years 40 to 44 years 45 to 49 years 50 to 54 years 55 to 59 years 60 to 64 years 65 to 69 years 70 to 74 years 75 to 79 years 80 to 84 years 85 to 89 years 90 to 94 years 95 to 99 years Totals
19919 20 853 20 693 20 062 19172 19610 20 887 22 976 22 846 20516 17661 13 684 10911 9548 8911 7467 5024 2699 1077 303 284819
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E169
16
STATISTICA 9% ------------------------------------------------------------------------------------------Q L. OO/O 7% k®L . R0/„ .
18% 1 LO/ I o /o 1
/0L
1
OOA
1
no/ « 0/
4% WL o /o .
■
LO/ / 4/ 0/u on/ L /0
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n 0k .
no/L /) co co IS) c/) ci— o LO LO LO co L O L— O C O C O L O C O C OL O l/)
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o
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CD CD HD CD CT3 CD CD CO CD CO CT3 CD CD CO CD CD CO CO CT3 CD ( D < D C D ( D < D < D < D < D < D < D < D ( D < D < D C D ( D < D < D < D < D > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > LO
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CMCSJC0 C0 ^ ^ i r ) l D '
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o L n o L o o m o L n o L n o L n o L n o L n o L o «— *— Cv J Cv J COn ^ d - ' J L n L Dv OOC^ - C^ . COOOO' O'
Wf/M La seguente distribuzione di frequenze è relativa
all’importo della spesa mensile in un supermer cato dei titolari della carta fedeltà. Spesa (€) 0-100 100-200 200-300 300-400 400-500 oltre 500
Numero clienti 270 430 570 320 120 90
Effettua la rappresentazione grafica mediante l’istogramma. L’ultima classe è aperta e pertanto è opportuno chiuderla a 600.
r.lil Una misura della qualità di un servizio è il tempo che viene impiegato per rispondere ai reclami dei clienti. Sono stati esaminati 120 casi e i tempi impiegati per il loro espletamento hanno avuto la seguente distribuzione. Numero giorni 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30
Frequenza casi 6 48 42 12 9 3
Effettua la rappresentazione grafica della distri buzione delle frequenze relative. Determina qual è la percentuale dei casi che hanno avuto un tem po di risposta: • minore di 15 giorni; • maggiore di 10 giorni.
E170
CD
<— <— C N C N I C O C O ^ ' - t f L O L O ' O O C ' ^ C ' ^ O O O O O O
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STATISTICA I ESERCIZI IN PIÙ
f'V J
EUREKA! Il rendimento dell’ulivo Si è rilevata la superficie in ettari coltivata a ulivo di 40 aziende situa te in una stessa zona e la loro produzione di olio in quintali.
Superficie (ettari) Numero aziende
15-25 4
25-35 15
35-45 10
45-55 8
oltre 55 3
Produzione (quintali) Numero aziende
30-50 8
50-70 12
70-90 10
90-110 6
110-130 4
a. Effettua le rappresentazioni grafiche delle due distribuzioni. b. Quante sono le aziende con una superficie di almeno 35 ettari? c. Quante sono le aziende che hanno prodotto meno di 70 quintali? d. Ipotizzando che il rendimento sia legato alla superficie, vi sono aziende che a parità di superficie hanno un rendimento minore o un rendimento maggiore? [b)
2 1; c) 20]
Male and female Olympic winners Below are thè gap-times between men and women victors for thè Olympic 200-meter dash. Draw a scatter plot of thè time differences between men’s and women’s Olympic 200-meter winning times.
m i Q
YOU & MATHS
Year
Difference in times (in seconds)
1948 1952
3.30 3.08 2.80
1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
3.51 2.69 2.75 2.40 2.14 1.84 2.01 1.59 1.80 2.80 1.75 2.26
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E171
16
STATISTICA
AREOGRAMMI, IDEOGRAMMI, CARTOGRAMMI ® Teoria a pagina 542 test Negli areogrammi sottostanti è rappresentata l’attuale percentuale di immigrati sul totale della popolazione, per due città di una nazione. Senopoli è situata al Sud, nella regione della Stralandia, e Brugnano è situata al Nord, nella regione della Bralandia.
E D O
im m ig ra ti
S enopoli (S trala n d ia )
B ru g n an o (B ralan d ia )
Quale conclusione si può trarre dalla sola lettura degli areogrammi? |~À~1 A Senopoli ci sono più immigrati che a Brugnano. |~b ~|
A Senopoli circa un abitante su tre è un immigrato.
rei In Bralandia ci sono più immigrati che in Stralandia, in rapporto alla popolazione complessiva. pT|
E9Q
Gli immigrati si stanno spostando dalle città del Nord a quelle del Sud. test
In una classe di 20 alunni, la distribuzione dei voti è rappresentata dal diagramma che segue.
voti
Se volessimo utilizzare un areogramma, quale dei seguenti andrebbe bene?
E172
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STATISTICA I ESERCIZI IN PIÙ
INVALSI 2006 Nella tabella seguente sono riportati il numero degli abitanti residenti nei 4 capoluoghi dell’Abruzzo e quello dei residenti negli altri Comuni di ciascuna delle 4 province (escludendo cioè quelli che abitano nei capoluoghi).
B f ll Q
Osserva ora le immagini. I cerchi contenuti in ogni figura hanno area proporzionale alla popolazione di tutta la provincia (capoluogo più altri comuni), mentre la suddivisione interna rispecchia i dati di ogni riga riportati in tabella.
In quale figura i cerchi (diagrammi) rappresentano correttamente i dati della tabella? 0
1.
0
2.
[c] 3.
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H ] 4.
E173
16
STATISTICA
MEDIA, MEDIANA, MODA E INDICI DI VARIABILITÀ © T e o ria a pagina 544 WIM Q INVALSI 2005 Quattro amici sostengono l’Esa me di Stato conseguendo punteggi la cui media aritmetica è 77,5/100. Se tre di essi hanno conse guito un punteggio, in centesimi, rispettivamen te di 70, 76, 80, quale punteggio ha conseguito il quarto studente? 88/100
[c] 78/100
\T \ 8 4 / 1 0 0
[D ] 72 / 1 0 0
[ a ]
Bfll Q INVALSI 2007 Mario non è uno studente bril lante; ha già sostenuto 3 verifiche di storia, otte nendo un voto medio di 5. Considerato che sarà interrogato solo un’altra volta, quale dovrebbe essere il voto nella prossima verifica per avere, in media, la sufficienza?
WifM Q INVALSI 2007 La seguente tabella descrive la composizione di un nucleo familiare e le relative età. C om ponente padre madre 1° figlio 2° figlio 3° figlio
Età 40 38 12 8 2
Quale sarà l’età media di tale nucleo familiare tra 5 anni? |~À~1 20 anni.
[0] 23 anni.
[¥] 21 anni.
QT] 25 anni.
INVALSI 2004 In una classe composta da 25 stu denti è stata condotta un’indagine per sapere quan ti libri sono stati letti da ogni studente nel mese di dicembre. La tabella riassume i dati raccolti, divisi per numero di libri letti e numero di lettori.
BAI Q 0
9
0
7
0
8
[5 ]
6
BfIM Q
INVALSI 2007 La mamma di Giovanni ha fir mato sul libretto scolastico i seguenti voti di matematica:
8
F l'J
6
7
N um ero libri letti 1 2
5
3 4
N um ero lettori 5 16 3 1
Giovanni rientra col quinto voto dell’ultimo compito in classe e dice alla mamma: «Ho riotte nuto la media aritmetica del 7». Quale voto ha preso Giovanni?
Qual è il numero medio di libri letti da ogni stu dente nel mese di dicembre?
07
09
01
0 2,5
[fri 8
[p] io
0 2
[ d] 5
All’università un esame di inglese prevede uno scritto e un orale e il voto massimo per cia scuna prova è 30. Il voto dello scritto vale il doppio rispetto al voto dell’orale. Piero prende 24 allo scritto e 30 all’orale. INVALSI 2012
a. Q Quale sarà il voto finale di Piero nell’esame di inglese? |~a] 25
[IT] 26
[0] 27
[0] 28
b. Marco prende 30 allo scritto e 24 all’orale. Come sarà il voto finale di Marco rispetto a quello di Piero? Scegli una delle tre risposte e completa la frase. | | Sarà più alto perché.......
E174
□
Sarà più basso perché.......
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□
Sarà uguale perché.......
STATISTICA I ESERCIZI IN PIÙ
INVALSI 2006 Un impiegato ha percepito per i primi 3 mesi dell’anno uno stipendio mensile di 850 euro. Nei 9 mesi successivi ha percepito lo stipendio mensile precedente aumentato di 200 euro. Quant’è lo sti pendio medio nell’anno di quell’impiegato?
filli Q
|~À~| 900 euro.
[T] 950 euro.
[c] 1000 euro.
[ d] 1050 euro.
Mario, Luigi e Giacomo pesano complessivamente 219 kg. Sapendo che Mario e Luigi pesa no rispettivamente 5 kg in meno e 3 kg in più della media aritmetica fra i pesi di tutti e tre, quanto pesa Giacomo?
fili Q
INVALSI 2006
[ a]
75 kg
\J] 74 kg
[c] 73 kg
[ d ]
71 kg
YOU & MATHS Young women a t a p a r ty Below are thè ages of some women interviewed randomly at a party: 19, 18,21, 16, 15, 17, 20, 18. Calculate thè average age of thè women in thè sample. What is thè median age of thè sample?
fitti Q
Data la seguente distribuzione di industrie tessili a Prato secondo il fatturato in migliaia di euro, determiniamo la mediana. Fatturato (migliaia di €) Numero industrie
150-250 10
250-400 22
400-750 28
750-1000 25
Totale 85
ESEM PIO
In questo caso la modalità quantitativa è continua e la seriazione si presenta per classi di intervallo. ti 85 La posizione della mediana è data da -y e quindi abbiamo - y = 42,5.
150-250 250-400 400-750 750-1000 Totale
Fi
Fi
10 22 28 25 85
10 32 60 85
Esaminando le frequenze cumulate, determiniamo che la mediana è nella classe 400-750 e quindi M e = 400 + x.
Il valore di x si ottiene risolvendo la proporzione 28 : 350 = (42,5 - 32) : x, dove: • 28 è la frequenza della classe; • 350 è l’ampiezza della classe; • (42,5 - 32) è la differenza tra la posizione di M e e la frequenza cumulata del limite inferiore. Risolvendo la proporzione, si ottiene: x = 131,25 e quindi M e = 531,25.
f i t t i Un’indagine sulle preferenze per festeggiare il Capodanno in alcune capitali europee ha fornito il seguente
risultato. Capitale Amsterdam Bruxelles Lisbona Praga Vienna
Frequenze 32 19 26 45 39
Determina la moda. Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
[Praga] E175
16
STATISTICA
U f i Un laboratorio di analisi ha ottenuto i seguenti dati (in mg per 100 mi di sangue). Colesterolo totale 120-160 160-180 180-200 200-240 240-300
Uomini 25 10 15 10 30
Donne 15 12 10 15 18
Calcola le medie aritmetiche e le mediane relative alle distribuzioni per uomini e donne. [uomini: 203,9 e 193,3; donne: 202,9 e 196]
HK1 La rilevazione delle altezze di un gruppo di ragazzi di età compresa fra gli 11 e i 14 anni ha la seguente distri buzione. Altezza (cm) Numero ragazzi
140-145 5
145-150 15
150-155 60
155-160 86
160-165 50
165-170 20
170-175 4
Determina la media aritmetica, la mediana e la moda. [157,4; 157,3; classe modale 155-160] li f i
II peso in kg di 61 ragazzi iscritti a un’associazione sportiva ha la seguente distribuzione. Peso (kg) Numero ragazzi
53-55 10
55-57 12
57-59 16
59-61 17
61-63 4
63-65 2
a. Rappresenta graficamente la seriazione statistica. b. Traccia il poligono delle frequenze.
c. Determina la media aritmetica, la mediana e la moda. d. Confronta fra loro i valori trovati: collocandoli sul grafico, quale considerazione puoi fare? [c) 57,97; 58,06; classe 59-61; d) distribuzione asimmetrica con coda a sinistra] m
INVALSI 2012 Tempo fa si è disputata la partita di pallacanestro B. Pozzo di Gotto-Brescia, finita con il punteggio di 92-94. La seguente tabella riassume le statistiche di tale partita per la squadra di Brescia.
Tiri a canestro Numero del giocatore
Giocatore
7 18 10 13 14 9 11 5 15
Bushati Franko Busma Deividas Farioli Massimo Gergati Lorenzo Ghersetti Mario Jose Goldwire Leemire Scanzi Andrea Stojkov Stevan Thompson Ryan
Minuti giocati
Tiri da 2
Tiri da 3
Tiri liberi
Punti
25 23 20 36 37 30 9 15 30 Totali
0 4 2 2 3 9 0 0 6 26
0 0 0 1 1 1
2 1 0 7 1 8 2 0 6 27
2 9 4 14 10 29 5 3 18 94
1 1 0 5
a. Quanti sono i giocatori che hanno realizzato un numero di punti superiore alla media? b. Q Quale tra i seguenti giocatori ha realizzato un numero di punti pari alla mediana?
E176
[~a~| Il numero 7, Bushati Franko.
[c] Il numero 14, Ghersetti Mario Jose.
ITTI II numero 13, Gergati Lorenzo.
[ d] Il numero 18, Busma Deividas.
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STATISTICA I ESERCIZI IN PIÙ
test Per quale tra le seguenti coppie di insiemi di numeri si verifica che la media è la stessa ma non la mediana? E {1,1, 2, 5, 6}, {2, 2, 2, 2, 7}. [c] {1, 1, 1,3, 4}, {1,2, 2, 2, 3}.
□
H
{3, 1,3, 1,7}, {3, 1,6, 1,4}.
[5] {3, 1,6, 1,4}, {1,3, 4, 3, 4}.
In due zone di un parco naturale, dove alcuni anni fa fu effettuato un rimboschimento, è stata misurata l’altezza degli abeti. Si sono ottenute le seguenti distribuzioni. Altezza x t Numero abeti F,
1,5-2 10
2-2,5 24
2,5-3 32
3-3,5 28
3,5-4 18
Altezza x, Numero abeti F,
1,5-2
2-3 15
3-5 22
5-7 18
7-10 6
6
ESEMPIO
Determiniamo la moda delle due seriazioni. Rileviamo che entrambe le seriazioni presentano classi di intervallo. La moda viene indicata non con un valore, ma con una classe detta classe modale. Nella prima seriazione le classi di intervallo hanno ampiezza costante. In questo caso la classe modale è quella con la massima frequenza, cioè 2,5-3. Nella seconda seriazione le classi di intervallo hanno ampiezza variabile. Dobbiamo confrontare le densità di frequenza, cioè i rapporti fra ciascuna frequenza e l’ampiezza della classe. 1,5-2
Altezza x-t Numero abeti F, Densità di frequenza
6 12
2-3 15 15
3-5 22 11
5-7 18 9
7-10 6 2
Individuiamo la classe modale in quella avente densità di frequenza maggiore, cioè 2-3. U H Presso un’agenzia bancaria si è rilevato il numero dei clienti che si presentano per operazioni di cassa nel corso di una giornata. Si è ottenuta la seguente distribuzione. Orario Numero clienti
8:30-9:30 22
9:30-11 8
Determina la moda.
11-12:30 21
12:30-13 11
14:30-15:30 10
15:30-17 8
[esempio di distribuzione bimodale: 8:30-9:30 e 12:30-13:00]
H H La seguente serie statistica pone in evidenza l’andamento del prezzo di una marca di caffè pregiato in una torrefazione nel corso di un anno. m, Mese
Prezzo (€/kg)
,, Mese
Prezzo (€/kg)
gen feb mar apr
9 9,7 9 9,8 10 10,5
lug ago set ott nov die
10 9,5 9,5 11 11 10,5
mag giu
Calcola il prezzo medio.
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[9,96]
E177
16
STATISTICA
IH
Un’azienda farmaceutica che ha prodotto un nuovo tipo di dentifricio, efficace per lo smalto dei denti, ha rilevato, dopo due mesi, il numero dei tubetti venduti in dieci farmacie: 24; 84; 12; 78; 92; 65; 11; 29; 45; 54. Calcola il campo di variazione e lo scarto semplice medio. [81; 25,2] □
Quale tra le seguenti coppie di insiemi di numeri è caratterizzata dall’avere lo stesso valore medio ma diverso scarto semplice medio? test
E
{2, 3, 1, 5, 4}, {2, 2, 1, 2, 3}
[c] {1, 2, 3, 4, 5}, {3, 4, 3, 3, 2}
H
{3, 1,3, 1,7}, {3, 1,6, 1,4}
[ d] {3, 1,6, 1,4}, {1,3, 4, 6, 6}
A un gruppo di ragazzi di dodici anni è stato chiesto a quanto ammonta la somma settimanale che viene loro messa a disposizione dai genitori. La distribuzione ottenuta è la seguente. Somma settimanale (€) Xi
0-10
10-15
15-20
20-25
6
14
8
2
Numero ragazzi Fi
ESEM PIO
a. Verifichiamo che la som m a degli scarti dalla media è nulla e che la som m a dei loro quadrati è minore della somma dei quadrati degli scarti rispetto a un altro valore diverso dalla media. b. Calcoliamo la deviazione standard. a. Utilizziamo i valori centrali di ogni classe e costruiamo la seguente tabella, nella quale mettiamo in evidenza gli scarti dalla media M e gli scarti da un valore M ' diverso dalla media. Xi
Fi
Xi Fi
(Xj — M ) F j
5 12,5 17,5 22,5 Totali
6 14 8 2
30 175 140 45 390
-48 -7 36 19 0
30
(Xi - M ) 2 -F,
384 3,5 162 180,5 730
(Xj — M ' ) • Fj ( x , - M V
-45 0 40 20 15
F,
337,5 0 200 200 737,5
390 / Considerando la media M = - ^ q- = 13 e scegliendo il valore M = 12,5, otteniamo quanto richiesto. 730
V-5 q
Iftl
~ 4,93.
Somma di scarti Dati quattro termini x u x 2, x 3, x 4, dimostra che la somma dei loro scarti dalla media è nulla. EUREKA!
EUREKA!
Varianza in formula Dati quattro termini x h x 2, %3, x 4, dimostra che la loro varianza
2 _ (x1- M ) 2+ (x 2- M ) 2+ (x 3 - M ) 2+ ( x 4 - M ) 2 6 ~
4
può essere calcolata applicando la seguente relazione, che può essere estesa a un numero qualsiasi di ter mini: ^2 _ x \ + x 2 + xj + x 42 _ m2
E178
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STATISTICA I ESERCIZI IN PIÙ
Un esperimento consiste nel misurare il tempo che 60 ratti impiegano a uscire da un labirinto. L’esperimento è stato ripetuto in due momenti successivi e si sono ottenute le seguenti distribuzioni (i tempi sono espressi in secondi). Tempo (s) Frequenza I Fi
Frequenza II Gì
42
43
44
45
46
47
48
3
4
7
10
14
18
4
6
16
13
10
8
4
3
a. Determiniamo per ogni esperimento la media, la mediana, la moda e la deviazione standard dei tempi. b. Tracciamo su uno stesso piano cartesiano i due poligoni delle frequenze. c. Analizziamo le due distribuzioni. d. Confrontiamo i valori delle due deviazioni standard.
ESEM PIO
a. I valori degli indici di posizione centrale e della deviazione standard che abbiamo determinato sono: • per il primo esperimento, • per il secondo esperimento,
M = 45,63, M = 44,36,
M e = 46,
M 0 = 47,
6 = 1,57;
M e = 44,
M 0 = 43,
0 = 1 ,6 2 .
b. Tracciamo il grafico delle due distribuzioni di frequenza.
c. Esaminando il grafico, rileviamo che entrambe le distribuzioni non sono simmetriche. Nella prima distribuzione, M < M e < M0: questa relazione è tipica di una distribuzione che graficamente presenta una coda a sinistra. Nella seconda distribuzione, M 0 < M e < M: in questo caso il grafico della distribuzione presenta una coda a destra. d. La seconda distribuzione ha una deviazione standard maggiore della prima e pertanto le frequenze sono meno concentrate e più distribuite fra i valori assunti dalla modalità quantitativa.
Iflil La seguente seriazione statistica è relativa alle altezze di un gruppo di ragazzi che giocano a calcio in una federazione giovanile. Altezza (cm) Numero ragazzi
160-165 6
165-170 9
170-175 10
175-180 13
180-185 2
a. Calcola la media, la mediana, la moda e la deviazione standard. b. Rappresenta il poligono delle frequenze. c. Analizza la distribuzione delle frequenze. [a) M = 172; Me = 172,5; classe modale 175-180; 0 = 5,79; c) asimmetrica con coda a sinistra] Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
E179
16
STATISTICA
DISTRIBUZIONE GAUSSIANA E CAMPIONAMENTO © T e o ria a pagina 549 La massa dei sacchetti di cioccolatini confezionati da una macchina è distribuita secondo la curva gaussiana con una media di 250 grammi e una deviazione standard di 5 grammi. Sapendo che in un giorno sono stati confezionati 400 sacchetti, determiniamo quanti sacchetti hanno una massa: a. compresa tra 240 e 260 grammi; b. maggiore di 255 grammi; c. compresa tra 240 e 255 grammi. Qual è la probabilità di prendere a caso un sacchetto con una massa compresa tra questi valori? a. I valori 240 e 260 grammi corrispondono al valore della media a cui è stato sottratto e addizionato due volte il valore della deviazione standard: 240 = 250 —2 • 5 e 260 = 250 + 2- 5.
ESEM PIO
95 45 In questo intervallo abbiamo il 95,45% delle frequenze e pertanto 400 • - = 382 sacchetti. b. Il valore 255 grammi è il valore della media a cui è stato addizionato una volta il valore della deviazione standard: 255 = 250 + 1-5. Nell’intervallo ] M —0; M + (7 [ abbiamo il 68,27% delle frequenze e quindi fuori da questo: 100% - 68,27% = 31,73%. In ciascuna delle code simmetriche troviamo la metà di questa percentuale, cioè il 15,865% e pertanto 400 ^ ’qq
= 63 sacchetti.
c. I valori 240 e 255 grammi non sono simmetrici rispetto alla media 250 grammi. Infatti 240 = 250 —2 5 e 255 = 250 + 1-5. Dato che la distribuzione è simmetrica rispetto alla media, l’intervallo ] M —2(7; M [ contiene la metà degli elementi rispetto all’intervallo ] M —2(7; M + 2(7 [, e analogamente l’intervallo ] M ; M + a [ rispetto all’intervallo ] M — (7; M + 6 [. Possiamo quindi impiegare la metà delle due percentuali, 95,45% e 68,27%, utilizzate nei due punti precedenti: _9 5.4 5% + _68.27% =8 1[g 6% .
Quindi 400 •
= 327 confezioni.
La probabilità di estrarre un sacchetto con la massa compresa tra 240 e 255 g è dell’81,86%.
I f t l Su 80 lampadine alogene dello stesso tipo sottoposte ad accensione continua, 76 hanno avuto una durata in ore compresa nell’intervallo ]4383; 4617[. Supponendo che la durata abbia distribuzione normale, determina: a. la durata media e la deviazione standard; b.
quante lampadine hanno avuto una durata inferiore a 4440 ore;
c. quante lampadine hanno avuto una durata compresa tra 4440 e 4620 ore; d.
la probabilità che una lampadina abbia una durata compresa tra 4440 e 4560 ore. [a) 4 5 0 0 ; 59,7; b ) 13; c) 65; d ) 6 8 , 2 7 % ]
E180
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STATISTICA I ESERCIZI IN PIÙ
ESEM PIO
Un bar ha in media un incasso giornaliero di € 2700. Per incrementare l’attività il proprietario effettua una campagna pubblicitaria e rileva che nel corso del mese successivo (26 giorni lavorativi) l’incasso giornaliero medio è stato di € 2800 con una deviazione standard di € 200. a. Determiniamo l’errore standard e l’intervallo di confidenza al 95%. b. Valutiamo se la pubblicità ha dato l’effetto sperato. a. L’errore standard è:
sy
= —
=- = 40 e l’intervallo risulta:
V26- 1
] 2800 — 1,96 • 40; 2800 -h 1,96 40 [ = ] 2721,6; 2878,40 [. b. L’incasso precedente è fuori dall’intervallo (anche se di poco) e quindi possiamo supporre che la pubblicità sia stata efficace. Questo a un livello di confidenza del 95%, ma se prendiamo un livello di confidenza più alto, per esempio il 99%, l’intervallo risulta ] 2800 - 2,576 •40; 2800 + 2,576 •40 [ = ] 2696,96; 2903,04 [, e questo risultato porta a conclusioni opposte.
È stato coltivato il seme del fiore Achillea filipendulina fino alla fioritura. Un campione di 40 esemplari ha dato un’altezza media di 45 cm, con una deviazione standard di 10 cm. Determina l’errore standard e l’in [1,6; ]42,4; 47,6[] tervallo di confidenza al 90% (k = 1,645) per l’altezza del fiore. HH
Chi è d’accordo? Un’indagine relativa a un provvedimento comunale ha rilevato che, su 1200 persone intervistate, 780 hanno dato un parere favorevole. La giunta comunale aveva dichiarato che il prov vedimento avrebbe incontrato il favore del 90% della popolazione. A un livello di confidenza del 95% pos siamo dichiarare che la giunta ha sbagliato la sua previsione? (]0,62; 0,68[; sì] EUREKA!
RIEPILOGO l i ' l È data la seguente distribuzione dei clienti di un’azienda enologica relativa alle quantità di vino ordinate nel corso di un anno. Quantità (hL)
0-100
100-200
200-300
300-400
400-500
16
48
36
14
6
Numero clienti
a. Effettua la rappresentazione grafica. b. Calcola gli indici di posizione centrale. c. Calcola gli indici di variabilità. [b)
M = 205; M e = 191,67; classe modale 100 - 200; c) K = 500; S = 85,33; O = 102,35]
iTiTil Indica per i seguenti casi le caratteristiche della distribuzione di cui sono dati gli indici di posizione cen trale. a. M = 6,
M e = 6,5,
M0 = 7;
b. M = 9,
M e= 6
M 0 = 5;
c. M = 10,
M e = 10,
M 0 = 10.
Traccia approssimativamente come si presentano sul grafico cartesiano i poligoni delle frequenze delle tre distribuzioni. [a) asimmetrica con coda a destra; b) asimmetrica con coda a sinistra; c) simmetrica] Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
E181
16
STATISTICA INVALSI 2011 Osserva il seguente grafico, che rappresenta l’andamento delle temperature (scala a sini stra) e delle precipitazioni piovose (scala a destra) in Italia negli ultimi anni.
Q jD U
M e d ia a n n u a d e lla t e m p e r a t u r a m e d ia , m a s s im a e m in im a g i o r n a lie r a e p r e c ip it a z io n i t o t a l i a n n u e in I t a lia ( a n n i 2 0 0 0 -2 0 0 9 ) □ □ precipitazioni
imm)
tem perature medie
media delle tem perature m inim e
• media delle tem perature massim e
Indica per ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa o se non si può ricavare dal grafico (metti una crocetta per ciascuna riga). a. Nel decennio 2000-2009 la temperatura media annua è risultata più alta di 0,8 gradi rispetto al periodo 1971-2000.
Non s i può ric a v a re
b. L’anno 2003 è quello in cui si è registrato il più alto valore per la media
delle temperature massime.
T | | F 11 Non s i può ric a v a re
c. L’anno 2005 è quello in cui si è registrato il più alto valore per la media delle temperature minime.
T ] | F 11 N on s i può ric a v a re
d. L’anno in cui la media delle temperature massime è stata più alta è anche
quello in cui le precipitazioni sono state minori.
DQ
T | | F 11 N on s i può ric a v a re
e. L’anno 2005 è quello in cui c’è stato il giorno più freddo.
T] |
f. Il 2004 è Stato l’anno più piovoso.
[V] [T] |
F 11 N on s i può ric a v a re N on s i può ric a v a re
INVALSI 2011 Nel diagramma di figura 1 sono riportati i consumi elettrici (in TWh - terawattora) in Italia dal 2000 al 2005 in funzione dalla provenienza dell’energia dall’Autoproduzione, dal Mercato libero o dal Mercato vincolato. I grafici A , B e C iri figura 2 sono stati costruiti con gli stessi dati rappresentati nel diagramma di figura 1. TWh
350 300 250
21,3 Autoproduzione 23,8
2Z3
45,1
76,0
209,4
i 872
200
22-2
21, 1
21, 1
98,2
113,1
127,1
135,5 Mercato libero
165,6
156 3
153 0 Mercato
150 100
50
vincolato
0
2000
2001
2002
2003
2004
2005
1
Confronta le figure 1 e 2 e completa le seguenti frasi indicando la provenienza dell’energia (Autoproduzio ne, Mercato libero, Mercato vincolato). a. Il grafico A corrisponde all’andamento dei consumi di energia proveniente da b. Il grafico B corrisponde all’andamento dei consumi di energia proveniente da
c. Il grafico C corrisponde all’andamento dei consumi di energia proveniente da
E182
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STATISTICA I ESERCIZI IN PIÙ
d h
INVALSI 2007 I 25 alunni della III C, dopo aver raccolto i voti conseguiti nella verifica scritta di matema tica, hanno costruito il seguente grafico.
U
Voti di matematica della classe III C voto
8
voto 9 voto 3 4 % 4 %
Quanti ragazzi hanno conseguito un voto maggiore o uguale a 7? [ a ]
24
[ b ]
12
[c] 6
|~bl 3
ma
TEST Nella tabella a fianco sono riportati i risultati delle elezioni studentesche che si sono tenute presso il liceo Ariosto. Ciascuna delle cinque quinte ha presen tato una propria lista. Quale dei seguenti grafici non riporta correttamente i risultati delle elezioni?
Voti Lista 5A Lista 5B Lista 5C Lista 5D Lista 5E Astenuti
223 112 198 150 123 34
Percentuale
26,55% 13,33% 23,57% 17,86% 14,64% 4,05%
[U
O D
Lista 5A Lista 5B Lista 5C __ Lista 5D Lista 5E A ste n u ti
5A
5B
5C
5D
5E
Ast.
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E183
16
STATISTICA
mu
INVALSI 2003 La media dei voti di un alunno in quattro compiti in classe è 6 e mezzo. Se in ciascuno dei compiti avesse preso mezzo punto in più, quanto avrebbe di media?
mi
INVALSI 2012 La seguente tabella riporta il numero di occupati, in migliaia, in Italia in cia scuno degli anni dal 1995 al 2005. Anni 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
m Resta la stessa.
E 7. E
8
E
8 e mezzo.
.
IT] Dipende dai voti dei compiti.
mQ TEST
Uno stesso prodotto viene venduto in quattro negozi a quattro prezzi differenti, la cui media è 10 euro. In uno dei quattro negozi il prezzo del prodotto viene diminuito del 10%. Qual è ora la media dei quattro prezzi?
|~a ] 9 euro. |~b~] 9,50 euro. fc l 9,75 euro.
|~d~1 Non è possibile rispondere perché i dati so no insufficienti. rm
In una certa zona sono stati effettuati dei son daggi geologici e si è determinato che il numero di strati differenti identificabili è distribuito nor malmente con una media di 14. Vengono effettuati altri 8 sondaggi e viene rile vato che il numero medio degli strati è 12, con una deviazione standard di 3. Calcola Lintervallo di confidenza al 95% della media del campione e determina se il campione verifica il valore medio della popolazione.
Occupati (in migliaia) 20 240 20326 20384 20 591 20847 21210 21604 21913 22 241 22404 22 563
a. Q Quale tra le seguenti espressioni dà come risultato l’aumento percentuale del numero di occupati nel 2001 rispetto al numero di occu pati nel 2000? H
E
21604 394
ddq
Nel grafico seguente si riporta l’età dei ragazzi che frequentano una palestra. frequenza '
o o /.
51 = {1,3, 3, 3, 5, 6, 6, 8, 10} e
0
52 = {2, 3, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 9},
4/ -
quale tra le seguenti proposizioni risulta falsa7.
9.
|~À~1 I valori medi di S! e S2 sono uguali. 0
9
10
11
12
"
età
|~b ~| I valori delle mediane di Si e S2 sono uguali.
Qual è la media aritmetica dell’età dei ragazzi se la distribuzione di frequenza è quella indicata nel grafico? H
9,5
E 10,5 E184
394 E 21604 X 100
X 100
INVALSI 2006
Date le sequenze
IT] I valori degli scarti semplici medi di S] e S2 sono uguali.
X 100
21604
b. Di quanto sono aumentati gli occupati dal 1995 al 2005? c. Qual è stato l’aumento medio annuo del numero di occupati nei dieci anni dal 1995 al 2005?
1U
fcl I valori delle mode di S! e S2 sono uguali.
E
2 1 2 1 0
[]9,8; 14,2[; sì]
iH U TEST
2 1 2 1 0
X 100
2 1 2 1 0
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E
11
E 11,5
STATISTICA I ESERCIZI IN PIÙ
QQ L’esame delle caratteristiche di tre automobili diverse ha fornito le seguenti valutazioni (da 1 a 10). Auto A Auto B Auto C
Funzionalità 5 5 6
Volumetria 8 6 6
Prestazioni 6 8 7
Sicurezza 7 7 8
Economia 5 4 5
Quale automobile ritieni sia la migliore confrontando le medie delle caratteristiche? dq
”
È data una sequenza di valori numerici: 1; 1; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 10. a. Qual è lo scarto semplice medio? b. Se i valori «2» e «10» venissero sostituiti dai valori «1» e «11», lo scarto semplice medio cambierebbe? Se si, aumenterebbe o diminuirebbe?
0 9
Un centro per il controllo dell’udito ha aperto un nuovo punto vendita in un Comune di 18 600 abitanti e ha spedito 2000 inviti per un controllo gratuito. Si sono presentate 950 persone e per 627 sono stati rileva ti problemi uditivi di varia natura. Al termine dell’attività promozionale viene dichiarato che il 66% delle persone del Comune ha problemi di udito. a. Quale calcolo è stato effettuato per trovare questa percentuale? b. Perché il campionamento può ritenersi non corretto? c. Quale calcolo si sarebbe dovuto effettuare per ottenere una proporzione più attendibile? d. Quale sarebbe l’intervallo di confidenza al 90%? [a) rapporto fra il numero delle persone con difetti uditivi e il numero delle persone che hanno aderito; b) le persone che si sono presentate evidentemente sapevano di avere problemi di udito e quindi non rappresentavano tutta la popolazione; c) considerando le persone invitate come un campione rappresentativo, il rapporto sarebbe stato 31,35%; d) ]0,2964; 0,3306[ ]
ir a
EUREKA! Dalla rappresentazione grafica Una seriazione statistica con modalità quantitativa discreta ha il seguente poligono delle frequenze.
Esaminando la rappresentazione grafica determina: a. la tabella della distribuzione delle frequenze; b. i valori degli indici di posizione centrale; c. il valore della deviazione standard. d. Lasciando invariata la numerosità della popolazione, se la deviazione standard fosse minore, come cam bierebbe la distribuzione delle frequenze e la rappresentazione grafica? [b) M = 8,325; M c = 8,5; M0 = 9; c) a = 1,75; d) aumentano le frequenze dei valori prossimi alla media e la curva diventa più stretta] Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
E185
16
STATISTICA
ng
EUREKA!
C o n fro n tia m o le ! Due distribuzioni aventi uguale numerosità presentano i seguenti indici:
a. M — 8,
M e — 8,
M 0 — 8;
6 — 1,4;
b. M = 8,
M e = 8,
M 0 = 8;
0 = 3,8.
Come si presentano graficamente i due poligoni delle frequenze? [distribuzioni simmetriche, dove la prima presenta un numero maggiore di frequenze intorno alla media] ir c i
EUREKA!
I l b a llo tta g g io
a. Alle elezioni comunali per la carica di sindaco un candidato nel primo turno di voto, dopo lo spoglio di 300 seggi, risulta avere raggiunto la percentuale del 46%. Determina l’intervallo di confidenza al 99,74% della sua percentuale. Ha qualche speranza di essere eletto direttamente senza ricorrere al ballottaggio? b. Se dopo lo spoglio di 800 seggi la percentuale non è cambiata, come si modifica la situazione prevista?
[a) ]0,37; 0,55[; sì; b) ]0,41; 0,52[; rischio di ballottaggio]
LABORATORIO
MATEMATICA INTORNO A NOI
L’indice di m a ssa corporea L’indice di massa corporea (IMC) è un indicatore biometrico dello stato del peso forma di una persona, dato dal rapporto -p- fra il peso (in kilogrammi) e l’altezza (in metri) al quadrato. Esso, comun que, deve essere utilizzato con prudenza, in quanto peso e altezza non sono sufficienti per determinare il peso ideale: occorre considerare anche l’età, il sesso e altri parametri di una persona. Approssimativamente, per una donna adulta, valgono le classi IMC descritte in tabella. Rita, cinquantenne, con diplomazia e pazienza ha calcolato i valori dell’IMC delle sue amiche coetanee e ha riportato i risultati nel prospetto.
IMC
sottopeso <18,5
normopeso 18,5-25
sovrappeso 25-30
obeso classe I 30-35
Numero persone
1
5
8
5
obeso classe II 35-40
* obeso classe III >40
3
2
a. Quanto dovrebbe pesare Rita, che è alta 168 cm, per essere normopeso? In effetti, Rita pesa 74 kg. Calcola il suo IMC e aggiungi il valore in tabella. b. Rappresenta le classi di frequenze con un istogramma.
c. Calcola la media aritmetica, la mediana e la deviazione standard. d. Se il campione esaminato da Rita fosse rappresentativo dell’IMC degli adulti di sesso femminile, che si suppone con
distribuzione normale, qual è l’intervallo di confidenza al 95% dell’indice della popolazione di sesso femminile? Il valore dell’IMC di Rita come si colloca rispetto agli indici di posizione centrale calcolati e all’intervallo di confidenza trovato?
□ E186
► Risoluzione.
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16
STATISTICA
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ► C o m p e te n z a U ( a b ilit à 1, 6)
INVALSI 2005 II seguente grafico visualizza l’andamento delle temperature rilevate a mezzogiorno per una settimana (nel grafico L = lunedì, M = martedì, Mer = mercoledì ecc.) in due città italiane: Firenze (linea tratteggiata) e Napoli (linea continua).
Q
Quale tra le seguenti affermazioni è vera? I~a1 Per cinque volte, a mezzogiorno, a Napoli faceva più caldo che a Firenze. I~b1 Da lunedì a venerdì, a mezzogiorno, a Napoli faceva più caldo che a Firenze. [~cl In tre giorni, a mezzogiorno, la temperatura nelle due città era la stessa. I~d1 Nelle due città non si è mai registrata la stessa temperatura.
WfM L J TEST Nel diagramma è rappresentata la distribuzione percentuale dello stipendio mensile dei dipen denti impiegati in una data azienda. Qual è la miglior stima del reddito mensile medio dei dipendenti dell’a zienda? H
€ 1650
H
€ 1580
[c] € 1860 [ d] € 1450
K B LJ INVALSI2002 I 4 grafici seguenti rappresentano l’andamento delle vendite effettuate da altrettanti vendi tori, nel corso di sette settimane.
Qual è stato il miglior venditore? I~a1 1 564
nn 2
rei 3
1~d1 4
ITI Non si può rispondere in base ai grafici.
MENU DELLE COMPETENZE ©
Nella seconda pagina della copertina
KM Una ditta farmaceutica produce un integratore alimentare che dovrebbe favorire una dieta dimagrante. Il numero di confezioni vendute in una regione negli ultimi 6 anni ha avuto il seguente andamento. Anni Numero confezioni
2007 3820
2008 4210
2009 4340
2010 3620
2011 2903
2012 2840
Rappresenta graficamente i dati. Calcola la media aritmetica e lo scarto semplice medio.
KM Un elettrauto ha registrato i tempi di durata, in anni compiuti, degli accumulatori sostituiti in autovetture. La rilevazione ha permesso di determinare la seguente distribuzione. Durata anni Numero accumulatori
2 4
3 28
4 36
5 45
6 10
Rappresenta graficamente i dati. Calcola gli indici di posizione centrale e di variabilità. Quanti accumulatori hanno avuto una durata maggiore della media? Quanti una durata inferiore alla mediana? [M = 4,2; M e = 4; M 0 = 5; K = 4; S = 0,84; a = 0,997; 55; 32]
KM L’età dei 425 dipendenti di un’impresa è di-stribuita con andamento gaussiano e la media è 42 anni, con una deviazione standard di 8 anni. Determina quanti dipendenti hanno un’età: a. compresa tra 26 e 58 anni; b. compresa tra 26 e 50 anni; c. compresa tra 26 e 34 anni; d. maggiore di 58 anni. [a) 406; b) 348; c) 58; d) 10]
W/M Fra le caratteristiche di un’automobile è indicato
il consumo medio di 14,8 km per litro alla velo cità costante di 90 km/h. Vengono effettuate 8 prove in autostrada a quella velocità e i km per corsi per litro sono risultati: 14,7; 16,0; 14,8; 14,7; 14,8; 15,5; 16,1; 15,8. Ipotizzando che la distribuzione dei km percorsi per litro sia gaussiana, determina l’intervallo di confidenza al 99,99% della media del campione e verifica se il consumo pubblicizzato è corretto. [] 14,6; 16,0[; sì]
► C o m p e te n z a 3
( a b il it à 1 , 5)
K B Un medico di base raccomanda sempre ai propri pazienti un limitato consumo di carni rosse. Ha procedu to a una rilevazione in occasione dell’attività ambulatoriale e, su 60 persone, 45 hanno dichiarato di consu mare carne rossa più di tre volte la settimana. Sapendo che il numero dei pazienti a lui assegnato dall’USL è 800, determina a un livello di confidenza del 99% quante sono le persone che non si attengono alla sua raccomandazione. []485;715[] K'M Si vuole determinare la percentuale di consumatori che per i beni di prima necessità effettua acquisti presso i supermercati. Viene estratto a sorte un campione di 100 persone e dopo averle intervistate si ottengono i seguenti risultati: 10 persone di sesso maschile e 60 di sesso femminile preferiscono recarsi al supermercato, mentre 18 maschi e 12 femmine preferiscono recarsi presso i negozi tradizionali. Determina gli intervalli a un livello di confidenza del 95% della frazione delle persone: a. che preferiscono il supermercato; b. che preferiscono i negozi tradizionali; c. di sesso femminile che preferiscono i negozi tradizionali.
[a) ]0,61; 0,79[; b) ]0,21 ; 0,39[; c) ]0,056; 0,184[]
565
16
STATISTICA
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE T U T fR PROVA C
I l
PROVAA (10
PROVA B (10
e s e r c iz i)
© IN MEZZ’ORA
e s e r c iz i)
© IN UN’ORA
► C o m p e te n z e 3 , A
Data la seguente tabella, effettua la rappresentazione grafica e calcola le frequenze relative. Giorni di assenza per malattia (mese di febbraio 2014)
0
1
2
3
4
5
Numero dipendenti
9
4
7
5
4
3
M M Data la seriazione statistica dell’esercizio 1, calcola la media aritmetica e la deviazione standard.
Nel corso di un mese si è rilevata la temperatura alle ore 12. Sono stati ottenuti i seguenti dati statistici: per 4 giorni 18 °C, per 5 giorni 21 °C, per 6 giorni 22 °C, per 7 giorni 23 °C e per 8 giorni 25 °C. Determina il valore della mediana e il campo di variazione. E f l In un Comune, su 80 persone intervistate a caso, 60 hanno dichiarato di essere favorevoli a una maggiore liberalizzazione degli orari di apertura dei negozi. Determina l’intervallo di confidenza al 99,74% della per centuale degli abitanti del Comune favorevoli a questa proposta. Se le persone intervistate fossero state 800 e i favorevoli 600, l’intervallo di confidenza sarebbe mutato?
PROVA D
| |
© IN UN’ORA
► C o m p e te n z e 3 , A
La tabella è relativa alla spesa sostenuta in una settimana da 85 famiglie. a. Effettua la rappresentazione grafica e traccia il poligono delle frequenze. b. Individua il valore della moda. c. Calcola quante sono le famiglie che hanno sostenuto un costo di almeno € 60. Spesa per famiglia (€)
20-40
40-60
60-80
80-100
100-120
Numero famiglie
10
25
30
15
5
W M È stato rilevato per 6 giorni il consumo di gas metano. Le quantità registrate in m3 sono state le seguenti:
3,2; 3,8; 2,7; 2,8; 3,3; 3,4. Calcola la mediana, lo scarto semplice medio e la deviazione standard.
S I
II peso di neonati di sesso femminile ha distribuzione gaussiana e il peso medio è di 2,8 kg, con una varian za di 0,25 kg2. Trova l’intervallo entro cui si trova il 95,45% dei neonati. Considera 400 neonate; quante hanno un peso compreso fra 2,3 kg e 3,8 kg?
W M Nel 2012 sono stati effettuati 40 prelievi di acqua in punti diversi di un laghetto e il numero medio di batte
ri per volume unitario è stato di 184 UFC/ml (UFC = unità formanti colonia), con una deviazione standard di 12. Determina l’intervallo di confidenza a un livello del 99,74%. Nel 2013, i prelievi effettuati hanno dato un numero medio di 173 UFC/ml, con deviazione standard 13. È possibile affermare che il contenuto dei batteri è diminuito? 566
MENU DELLE COMPETENZE ©
PROVA E
Nella seconda pagina della copertina
© IN UN’ORA
► C o m p e te n z e 1, 3
I tentacoli delle meduse La forma del corpo di una medusa è quella di un ombrello con un’apertura nella parte inferiore dalla quale l’acqua e le sostanze nutritive entrano in una cavità digerente. Da qui partono i canali radiali che trasportano il nutri mento in tutto l’organismo. Un campione formato da 50 meduse ha determinato la seguente distribuzione del numero dei canali radiali. Numero canali radiali Numero esemplari
2 2
3 4
4 8
5 18
6 12
7 4
8 2
s
'
*
'
*THI/4E <
a. Effettua la rappresentazione grafica della distribuzione delle frequenze. b. Determina la media aritmetica, la mediana e la moda. c. Calcola lo scarto semplice medio e la deviazione standard. d. Supponendo che i canali radiali delle meduse abbiano una distribuzione normale, determina in base a questo campione l’intervallo di confidenza al 95% . e. Indica per ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa o se non si può ricavare dai dati conosciuti. F
V 1. 2.
Non si può ricavare
38 meduse del campione hanno un numero di canali radiali che va da 4 a 6. Gli indici di variabilità indicano una rilevante variabilità del fenomeno.
3.
Nel campione le meduse con non più di 5 canali radiali sono 14.
4.
Un campione da 100 meduse ha la stessa media aritmetica.
5.
La distribuzione del numero dei canali radiali del campione è perfettamente simmetrica.
PROVA F
IN UN’ORA
► C o m p e te n z e 1, 3 , U
Vita media di una pila Un’associazione di consumatori ha effettuato prove per determinare la durata di alcune pile da 1,5 volt. Ha confrontato pile costose con altre più economiche. Sono state effettuate varie prove per mezzo di pile scaricate mediante torce elet triche. Le durate in ore (arrotondate) sono state le seguenti. Durata (h) Numero pile costose Numero pile economiche
46 1 8
47 3 24
48 6 10
49 21 6
50 14 2
51 4 0
52 1 0
a. Calcola per entrambe le categorie di pile gli indici di posizione centrale ed esamina i valori ottenuti. b. Calcola lo scarto semplice medio e la deviazione standard delle due categorie di pile e confronta i valori. c. Supponendo una distribuzione normale della durata delle pile, determina gli intervalli di confidenza a un livello del 99,99%. Perché puoi affermare che le pile più costose e quelle più economiche appartengono a due popolazioni diverse? d. Se la popolazione delle pile più economiche con distribuzione normale avesse media M — 48 ore e deviazione standard ( 7 =1 ora, qual è la percentuale di quelle con una durata di almeno 50 ore? 567
ELEMENTI DI INFORMATICA L’informatica ha una duplice natura di scienza e tecnologia. Come scienza è figlia della matematica e i suoi padri, Alan Turing e John von Neumann, sono illustri matematici del secolo scorso. Come tecnologia influenza ogni giorno di più la nostra vita e forni sce alla matematica nuovi strumenti di lavoro.
1. NUMERI E INFORMAZIONE DIGITALE La rivoluzione digitale, che ha trasformato libri, fotografie, musica e filmati in contenuti fruibili con un computer, uno smartphone o un tablet, è basata sulla possibilità di rappresentare il testo, le immagini e l’audio mediante numeri.
Iti .J b iJ M . u U u
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► P a ra g ra fo c o m p le to . ► E sercizi.
2. PROBLEMI E ALGORITMI Un a lg o ritm o è un insieme di istruzioni la cui esecuzione permette di risolvere un problema. Un algoritmo esprime un procedimento risolutivo in termini di azioni chiare e realizzabili da un esecutore che può essere anche una macchina, per esempio un computer.
□
► P a ra g ra fo c o m p le to . ► Esercizi.
3. PROGRAMMARE CON PYTHON Per fare in modo che un algoritmo sia eseguito da un computer è necessario tradurlo in una sequenza di comandi adatti, cioè un p ro g ra m m a . A questo scopo esistono numerosi linguaggi di programmazione che risultano più semplici da utilizzare rispet to al linguaggio nativo di un computer basato su codici numerici.
► P a ra g ra fo c o m p le to . ► E sercizi.
569
17
ELEMENTI DI INFORMATICA
1. NUMERI E INFORMAZIONE DIGITALE Il motto della scuola fondata da Pitagora a Crotone, nella quale l’insegnamento della matematica era ripartito tra aritmetica, geometria, musica e astronomia, era: tutto è numero. Dopo più di duemilacinquecento anni, questa affermazione è di nuovo attua le, almeno nel mondo digitale di testi, immagini, suoni e video, che sono indistinta mente rappresentati in forma di c o d ic i n u m e ric i: gli unici memorizzabili, riproduci bili e manipolabili da parte di un computer, di un tablet o di uno smartphone.
Oggi un solo dispositivo permette la fruizione di contenuti di forma diversa, ma fino a pochi anni fa erano necessari supporti materiali specifici come libri, stampe, dischi, pellicole, nastri magnetici... Che cosa ha permesso questa rivoluzione digitale? La risposta è che, nonostante la varietà di forma, tutti i contenuti digitali sono costitu iti da numeri. Digitale deriva infatti dal termine digit, che significa cifra.
Ogni singolo pixel di una fotografìa digitale è codificato mediante uno o più valori numerici che ne rappre sentano il colore o, nel caso di immagini in bianco e nero, la gradazione di grigio. La parte di immagine evidenziata nell’ingrandimento del dettaglio è rappresentata numericamente dalla griglia numerica sottostante.
570
2. PROBLEMI E ALGORITMI
TEORIA
2. PROBLEMI E ALGORITMI Ti abbiamo già proposto alcuni problemi di Alcuino di York. Eccone ora uno dal quale deriva il modo di dire «Salvare capra e cavoli».
Un contadino deve trasportare da una riva all’altra di un fiume una capra, un lupo e un cavolo, ma ha un’unica barca con due soli posti. Non può lasciare la capra da sola con il lupo, perché esso la divorereb be, e allo stesso modo non può lasciare il cavolo con la capra, perché questa se lo mangerebbe. Una possibile soluzione del problema è data dal seguente p ro c e d im e n to . 1. Carica la capra sulla barca e portala sull’altra sponda.
u ff
2. Torna indietro.
3. Carica il cavolo sulla barca e portalo sull’altra sponda.
4. Torna indietro portando via la capra, per non lasciarla da sola col cavolo. 5. Scarica la capra e carica il lupo, per portarlo sulla spon da in cui si trova il cavolo.
Rh Sr^lé. é. è .+
6. Torna indietro.
7. Carica la capra e portala sull’altra sponda del fiume.
A partire dalla situazione iniziale, in cui il contadino, il lupo, la capra e il cavolo sono su una sponda, si arriva alla situazione finale, in cui il contadino, il lupo, la capra e il cavolo si trovano sulla sponda opposta. Quello appena visto è un esempio di a lg o ritm o , ossia un insieme di istruzioni la cui esecuzione risolve un problema. Un algoritmo esprime un procedimento risolutivo in termini di azioni chiare, realiz zabili da un esecutore, che può essere un uomo, ma anche una macchina, per esempio un computer.
Il termine «algoritmo» de riva dal nome del matema tico al-Khuwarizmi, che abbiamo già incontrato in una scheda di laboratorio. 571
17
ELEMENTI DI INFORMATICA
Vediamo ora come possiamo descrivere mediante un algoritmo il procedimento ideato da Euclide per la ricerca del MCD fra due numeri a e b, quando usiamo il metodo delle divisioni successive. Consideriamo a e b, con a > b: 1. determiniamo il resto della divi sione tra a e b ; 2. se il resto è uguale a 0, allora b è il MCD tra a e b e ci fermiamo; 3. altrimenti, poniamo a uguale al valore di b; 4. poniamo b uguale al valore del resto e ripetiamo il procedimento dal passo 1.
Calcoliamo il MCD tra 42 e 24. Istruzione Inizio 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. 1. 2.
a
b
42 42 42 24 24 24 24 18 18 18 18
24 24 24 24 18 18 18 18 6 6 6
Resto divisione 18 18 18 18 6 6 6 6 0 0
Istruzione successiva 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. 1. 2. Fine
MCD
6
Il procedimento risolutivo fa concludere che il MCD tra 42 e 24 è 6.
È possibile sperimentare il funzionamento dell’algoritmo di Euclide tenendo traccia delle variazioni dei valori variabili di a e b nel corso dell’esecuzione delle istruzioni che lo compongono. L’algoritmo di Euclide può essere rappresentato in forma grafica mediante un dia gramma di flusso.
I dati in izia li sono i valori a e b
Il risu lta to finale è l'u ltim o valore b Calcolo del resto della divisione tra a e b (la divisione produce un risu lta to intero, per esempio 1 2 : 5 = 2)
Verifica di term inazione d e ll’algo ritm o : se il resto è zero, allora si inte rrom p e la ripetizione delle istruzioni
Variazione dei valori « va ria b ili» a e b
Ripetizione delle istruzioni d e ll'a lg o ritm o
572
Calcolo del resto della divisione tra a e b
3. PROGRAMMARE CON PYTHON
TEORIA
3. PROGRAMMARE CON PYTHON Per fare in modo che un algoritmo sia eseguito da un computer è necessario tradurlo in una sequenza di comandi comprensibili da un calcolatore elettronico, cioè in un p ro g ra m m a .
A questo scopo esistono numerosi linguaggi di programmazione che risultano più semplici da utilizzare rispetto al linguaggio macchina di un computer, basato su codici numerici. I programmi scritti in questi linguaggi devono essere poi convertiti nel linguaggio macchina dal computer stesso, prima di essere eseguiti. Python è uno di questi linguaggi. Le sue istruzioni sono abbastanza simili a un lin guaggio naturale. La finestra di shell di Python consente di inserire comandi che sono immediatamente eseguiti. Assegnazione di valori a variabili Calcolo di espressioni Visualizzazione del valore di una variabile La shell di Python in attesa di nuovi comandi
Per scrivere un vero e proprio programma che implementi un algoritmo si deve aprire una finestra di editing con il comando New File del menu File. Qui è possibile inserire le istruzioni che costituiscono l’algoritmo, come per esempio quelle per calcolare con Falgoritmo di Euclide il massimo comune divisore tra due numeri a e b forniti come dati. Il simbolo / / in Python calcola la divisione intera. Per esempio, se scriviamo 42 / / 24, Python fornisce il valore 1, cioè la parte intera di 1,75. Richiesta dei valori iniziali aeb Calcolo del resto della divisione e verifica della terminazione dell'algoritm o Istruzioni ripetute fino a che il resto della divisione tra a e b non è zero Visualizzazione del risultato
L’esecuzione del programma si avvia con il comando Run module del menu Run; i dati iniziali e il risultato finale sono gestiti tramite la finestra di shell.
Dati iniziali, digitati dall'utente
Risultato finale visualizzato dall'istruzione print
573
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI 1. GEOMETRIA EUCLIDEA DEFINIZIONI E TEOREMI ©
Esercizi a pagina G20
D e fin iz io n i ed e n ti p r im itiv i
«Un triangolo è un poligono con tre lati.» Questo è un esempio di d e fin iz io n e , cioè un modo per spiegare che cos’è un ente geometrico e associargli un nome. Nel definire un ente facciamo riferimento ad altri enti, che devono essere già noti. Per esempio, nella definizione di triangolo, abbiamo utilizzato la parola poligono. Ma qualcuno potrebbe non sapere che cos’è un poligono. Anche questo ente va allora definito, utilizzando, a sua volta, altri enti geometrici, anch’essi da definire... Per interrompere questo procedimento, che potrebbe continuare all’infinito, suppo niamo che esistano enti p r im it iv i, ossia enti di cui non diamo la definizione. Il p u n to , la re tta e il p ia n o sono enti primitivi. Indichiamo i punti con lettere maiuscole, le rette con lettere minuscole, i piani con lette re minuscole dell’alfabeto greco. ►Nella figura sono rappresentati un pia no a , una retta r e tre punti A, B e C. Quelle che tracciamo su un foglio sono soltanto rappresentazioni, perché gli enti geo metrici sono ideali, cioè sono ottenuti con astrazioni dal mondo fìsico che ci circonda. Per esempio, il punto della geometria non ha dimensioni e può essere considerato come astrazione del segno che lasciamo con una matita per rappresentarlo. I punti sono gli enti che costituiscono tutte le figure geometriche. LU Z o M z L i. LU O
Una fig u ra g e o m e trica è un insieme di punti.
Se tutti i punti di una figura appartengono a uno stesso piano, la figura è pia na , altri menti la figura è solida. figura solida
figura piana
Lo spazio è fin sieme di tutti i punti. G2
1. GEOMETRIA EUCLIDEA
Le proprietà delle figure geometriche sono descritte mediante teoremi. Un te o re m a è una proprietà di cui si fa vedere la verità mediante una d im o s tra z io n e , cioè una sequenza di deduzioni che parte da quello che si suppone vero, l ’ip o te si, e arriva a quello che si vuole dimostrare, la tesi.
j7y| Within a given theory, a postulate or axiom is a statement assumed to be true, while a theorem is a statement that can be proved.
teorema
/ In un rombo le diagonali sono perpendicolari. \ 7 ipotesi
tesi ESEM PIO
T e o re m i e p o s tu la ti
TEORIA
Ipotesi: ABCD rombo Tesi:
BD 1 AC
Nella dimostrazione, le deduzioni possono basarsi, oltre che su altri teoremi già dimo strati, anche su alcune proprietà che si chiede di accettare come vere senza darne dimostrazione. Queste proprietà sono dette p o s tu la ti o assiom i. Spesso, per chiarire meglio qual è l’ipotesi e qual è la tesi, si preferisce scrivere l’enun ciato di un teorema nella forma: se ipotesi, a llo ra tesi.
►Il teorema dell’esempio precedente si può scrivere così: se un quadrilatero è un rombo, a llo ra le sue diagonali sono perpendicolari. Un teorema è in ve rso di un altro se le loro ipotesi e tesi sono scambiate. In generale, non è detto che scambiando ipotesi e tesi di un teorema si ottenga una proposizione vera, ossia un altro teorema. ►Se scambiamo l’ipotesi e la tesi del teorema precedente otteniamo la proposizione: «se un quadrilatero ha le diagonali perpendicolari, a llo ra è un rombo»,
che non è un teorema, perché riusciamo a trovare esempi, come quello della figu ra a lato, in cui è vero che le diagonali sono perpendicolari, ma il quadrilatero non è un rombo. G e o m e tria e u c lid e a
La geometria che studieremo si sviluppò per merito di matematici greci. In partico lare, il metodo di ricavare tutte le proprietà dai postulati mediante deduzioni, detto m e to d o ip o te tic o -d e d u ttiv o o m e to d o a ssiom atico, venne utilizzato da Euclide negli Elementi, nel terzo secolo a.C.
POSTULATI DI APPARTENENZA E D'ORDINE © Esercizi a pagina G21
fpn In Euclidean geometry there are postulates describing relations between points, lines and planes.
Abbiamo detto che punto, retta e piano sono enti primitivi. Ma se non li definiamo, come possiamo conoscerne le caratteristiche? Ciò è possibile mediante dei postulati e, in particolare, mediante i postulati di appar tenenza e d’ordine. G3
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
P o s tu la ti di a p p a rte n e n z a
Poiché la retta è un insieme di punti, possiamo utilizzare il concetto di appartenenza. Dire che un punto P appartiene a una retta r è equivalente a dire che P sta s u r o anche che r passa per P. Il concetto di appartenenza è utile anche per rette e piani. Se tutti i punti di una retta r appartengono a un piano a , a *'*' diciamo che r appartiene ad a, o anche che r sta su a, o che a passa per r. Diciamo poi che tre o più punti sono a llin e a ti se appar P tengono a una stessa retta. P, Q, R, allin e a ti P, Q, S, non allin e a ti
Valgono i seguenti postulati. P o s tu la ti d i app arte ne nza
A
B
r
1. A una retta appartengono almeno due punti distinti e a un piano almeno tre punti distinti non allineati. 2. Due punti distinti appartengono a una retta e a una sola. 3. Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano e a uno solo. 4. Considerata una retta su un piano, c’è almeno un punto del piano che non appartiene alla retta. 5. Se una retta passa per due punti di un piano, allora appartiene al piano.
Il secondo postulato dice che, se disegniamo due punti distinti A e B, c’è sicuramente una retta che passa per A e B (appartengono a una retta) e tale retta è unica (apparten gono a una sola retta). Diciamo allora che A e B individuano una retta, che chiamiamo retta AB. Una conseguenza del secondo postulato è che due rette distinte possono avere al più un punto in comune. In questo caso chiamiamo le rette in c id e n ti.
b
rette incidenti
P o s tu la ti d ’o rd in e
Ogni retta può essere o rie n ta ta stabilendo su di essa un verso di percorrenza. Nell’esempio della figura a lato, diciamo che A precede B, oppure che B segue A, perché, percorrendo la retta nel verso fissato, incontriamo prima A e poi B.
A
B
retta orientata
1. GEOMETRIA EUCLIDEA
I TEORIA
Valgono i seguenti postulati. P o s tu la ti d ’o rd in e
1. Se A e B sono due punti distinti di una retta, o A precede B, o B precede A. 2. Se A precede B e B precede C, allora A precede C. 3. Preso un punto A su una retta, c’è almeno un punto che precede A e uno che segue A.
A precede B . B precede C kA precede C
4. Presi due punti B e C su una retta, con B che precede C, c’è almeno un punto A della retta che segue B e precede C. A precede C
Per il postulato 1, non ci sono punti di una retta che non possono essere confrontati e vale la proprietà antisimmetrica; per il postulato 2 , vale la proprietà transitiva, quindi la relazione considerata è una relazione d ’ordine totale. Il postulato 3 dice che una retta è illim ita ta : su una retta non esistono né un primo punto, né un ultimo. Il postulato 4 afferma invece che la retta è un in sie m e denso: fra due punti distinti esiste sempre un altro punto. Dai postulati d’ordine, considerati insieme a quelli di appartenenza, si può dedurre che: • per un punto di un piano passano infinite rette: • ogni piano contiene infiniti punti e infinite rette. L’insieme delle infinite rette di un piano che passano per un punto P del piano stesso si chiama fascio proprio di rette e P è il centro del fascio.
ESERCIZI PER COMINCIARE hJ
Dopo aver individuato l’ipotesi e la tesi dei seguenti teoremi, scrivili nella forma: se..., allora... a. La somma di due numeri naturali dispari è un numero pari. b. In un quadrato le diagonali sono congruenti.
c. Due numeri interi opposti hanno per somma 0. d. Due rettangoli con la stessa base e la stessa altezza hanno area uguale.
Utilizzando i postulati di appartenenza, dimostra che per una retta r e un punto P che non le appartiene passa un piano e uno solo. BtB Spiega perché, se diciamo che fra due punti su una retta ce n’è almeno uno, possiamo anche dire che fra i due punti ce ne sono infiniti. W M Due rette orientate r e s si intersecano nel punto P. I punti A, C, D appartengono alla retta r e i punti B e F
appartengono alla retta s. Rappresenta graficamente le due rette, sapendo che B segue P ma non segue F, C precede P e segue D, A segue C ma non precede P.
G5
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
2. FIGURE E PROPRIETÀ e Esercizi a pagina G22 3
A ray is thè set of points on a line that either a ll precede or all follow a given point.
S e m ire tte
Su una retta orientata consideriamo un punto P: chiamiamo se m ire tte di o rig in e P l’insieme del punto P e di tutti i punti che lo precedono, e l’insieme del punto P e di tutti quelli che lo seguono.
sem iretta
.Z __________ L origine sem iretta
£ ___ ^
Le due semirette originate da un punto su una retta si dicono opposte. Il punto che è origine di entrambe le semirette è il loro unico punto di intersezione. segmeru is me set oi poinis or a Line coniainea between two points, thè endpoints of thè segment.
a
□ S e g m e n ti
Su una retta orientata consideriamo i punti A e B, con A che precede B. Il segm ento di e stre m i A e B è l’insieme dei punti A e B e dei punti della retta che seguono A e precedono B.
estrem i
A
^
B segmento
Un segmento è n u llo se i suoi estremi coincidono, cioè è formato da un punto solo. Due segmenti sono: • co n se cu tivi se hanno in comune solo un estremo; • a d ia c e n ti se sono consecutivi e sulla stessa retta.
S e m ip ia n i
La definizione di semiretta è possibile perché un punto divide una retta in modo che, «muovendosi» sulla retta, per passare da una semiretta all’altra, bisogna «attraversare» il punto. Il seguente postulato serve per introdurre un concetto analogo per il piano. P a rtiz io n e d el p ia n o m e d ia n te u n a re tta
Una retta di un piano divide i punti del piano che non le appartengono in due insiemi distinti, in modo che, se due punti appartengono allo stesso insieme, allora il segmento di cui sono estremi non interseca la retta; se appartengono a insiemi diversi, allora il segmento interseca la retta. Il p o s tu la to d ic e c h e , se c o n s id e r ia m o , c o m e n e lla f ig u r a , u n a re tta r, essa d iv id e i p u n t i d e l p ia n o i n d u e in s ie m i d a ll’in s ie m e
a e (3 in m o d o c h e , p e r passare
a a ll’in s ie m e 3 , d o b b i a m o « a t t r a v e r s a r e » r, m e n t r e q u e s to
n o n s u c c e d e se « r e s t i a m o » , p e r e s e m p io , i n 3 .
G6
PQ interseca r
TEORIA
ESEMPIO
ESEMPIO
ESEMPIO
2. FIGURE E PROPRIETÀ
Nella figura della definizione puoi osservare che, fìssati un vertice e due lati, si forma no due angoli, di cui uno è una figura convessa, che chiamiamo a n g o lo convesso, e l’altro è una figura concava, che chiamiamo a ng olo concavo. Possiamo indicare un angolo in diversi modi. ►L’angolo della figura a fianco può essere indicato con: a;
AVB;
aVb;
ab.
Se i lati di un angolo coincidono in una sola semiretta, chiamiamo: • a ng olo n u llo l’angolo di cui fanno parte soltanto i punti della semiretta; • a ng olo g iro l’angolo che ha per lati la semiretta ed è costituito da tutti i punti del
angolo giro
piano. Un a n g o lo p ia tto è un angolo i cui lati sono semirette opposte. Un angolo piatto è quindi un semipiano. Di solito indicheremo un angolo piatto con 7t.
angolo piatto
/T V V
G7
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
Due angoli sono:
a e p consecutivi
■y e 8 adiacenti
ESERCIZI PER COMINCIARE
HD B 3B EB
In un piano traccia due rette a e b che si intersecano in O. Considera le possibili intersezio ni fra un semipiano di origine a e uno di origine b. Quali figure ottieni?
W M Verifica con un disegno che l’unione dei punti di due angoli opposti al vertice è una figura concava.
M
G8
Verifica con un disegno che, se un angolo contiene i prolungamenti dei suoi lati, cioè le semirette opposte, è una figura concava, mentre in caso contrario è una figura convessa.
3. LINEE, POLIGONALI, POLIGONI
Consideriamo un punto C e tutti i punti C P = C Q = C R ...
P , Q , R , ...
tali che
TEORIA
m Acircle can be defined as thè set of points with thè same distance from a point.
“
G9
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
P o lig o n i
Nello studio della geometria euclidea hanno particolare importanza le figure che si generano tracciando poligonali chiuse e non intrecciate. Un p o lig o n o è l’insieme dei punti di una poligonale chiusa e non intrecciata e di tutti i suoi punti interni.
poligono
In generale, un poligono può essere convesso o concavo. Per brevità, se non faremo altre precisazioni, useremo il termine poligono per indicare un poligono convesso. In un poligono: • i segmenti che formano la poligonale sono i la ti; i loro estremi sono i v e rtic i; vertice
• gli angoli convessi formati dalle semirette di lati con secutivi sono gli a n g o li del poligono, o a n g o li in te r n i;
angolo interno
• gli angoli adiacenti agli angoli interni sono gli a n g o li e sterni; a ciascun angolo interno corrispondono due angoli esterni;
angolo esterno
• i segmenti che hanno per estremi due vertici del poli gono che non appartengono allo stesso lato sono le d ia g o n a li.
Un poligono con tutti i lati congruenti è e q u ila te ro , con tutti gli angoli congruenti è e qu ia ng o lo . Un poligono è reg ola re se è equilatero ed equiangolo. Classifichiamo i poligoni in base al numero dei lati.
diagonali
Un triangolo ha 3 lati, un quadrilatero 4, un pentagono 5, un esagono 6 , un ettagono 7, un ottagono 8 , un ennagono 9, un decagono 10. Si può dimostrare che in un poligono di n lati il numero d delle diagonali è: d = “ A - 31.
esagono regolare
ESERCIZI PER COMINCIARE Una circonferenza, un arco di circonferenza, un cerchio sono figure concave o convesse? Accompagna le risposte con esempi. Disegna sei punti A , B, C, D, E, F in modo che ABC D sia un quadrilatero convesso, con A, B, C, D disposti in senso orario, E un punto interno ad ABC D e F un punto esterno, con EF che interseca soltanto BC. Indica se sono figure concave o convesse i poligoni DABE, DEBC , ABFCD, ABECD. E i O
B x m
Abbiamo affermato che in un poligono di n lati il numero delle diagonali d è dato dalla
vi ( h —3) formula d = ----- ^ ----- • Verificalo per n — 3, 4, 5, 6 . Dimostra la validità della legge per n qualsiasi.
G10
4. OPERIAMO CON SEGMENTI E ANGOLI
TEORIA
4. OPERIAMO CON SEGMENTI E ANGOLI ©Esercizi a pagina G27 It is always possible to construct a segment congruent to a given one on a ray.
□
C o n fro n to di s e g m e n ti
Per confrontare segmenti è necessario poterli spostare con movimenti rigidi in una qualsiasi posizione del piano. Ciò è garantito dal seguente postulato. Trasporto di un segmento Considerati un segmento PQ e una semiretta di origine A, sulla semiretta c’è, ed è unico, il punto B tale che AB s PQ.
Q
Per ottenere il punto B del postulato, possiamo prendere il compasso con apertura PQ, puntarlo in A e tracciare un arco, in modo che incontri la semiretta: il punto di inter sezione B è tale che AB = PQ. Dati i segmenti AB e PQ, sovrapponiamo AB a PQ con un movimento rigido, in modo che A coincida con P.
• A B = PQ se B coincide con Q.
• A B < PQ se B è interno a PQ, cioè appar tiene a PQ, ma non coincide con Q.
A
• AB > PQ se B è esterno a PQ, cioè non appartiene a PQ.
AB > PQ P= A
A d d iz io n e e s o ttra z io n e di s e g m e n ti
Se due segmenti AB e BC sono adiacenti, la loro somma è il segmento AC; scriviamo A B + BC = A C . Se due segmenti non sono adiacenti, otteniamo la loro somma spostandoli con un movimento rigido, in modo che lo diventino.
Se AB + BC = A C , possiamo anche dire che BC è la differenza fra A C e AB; scriviamo A C — A B = BC.
AC A
= AB
+ BC
B
i - t -
\
C
“ 0/
“
V
— -A - - — P PQ =AB + CD A
B
Q C
BC: = AC - AB
G11
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
Valgono i seguenti postulati. o
I< -I
=> I—
(/> o CL
1. Somme di segmenti congruenti sono congruenti fra loro. 2. Differenze di segmenti congruenti sono congruenti fra loro.
Per l’addizione e la sottrazione di segmenti valgono proprietà analoghe a quelle delle operazioni negli insiemi numerici: • proprietà commutativa e associativa per l’addizione, • proprietà invariantiva per la sottrazione.
Il segmento nullo è Yelemento neutro dell’addizione. C o n fro n to di a n g o li
Trasporto di un angolo Consideriamo un angolo a e un semipiano k . Sulla retta che origina il semipiano prendiamo una semiretta a di origine V. Nel piano c’è, ed è unico, l’angolo (3 = a con vertice V, un lato coincidente con a e l’altro appartenente al semipiano k .
ir
<3- «
^
tra s p o rt o ^ V a 'x
Dati gli angoli ab e rs, sovrapponiamo il primo al secondo con un movimento rigido, in modo che abbiano il vertice in comune e a coincida con r.
• ab < rs se b è interna a rs . Addizione di angoli consecutivi A
A
A
ac = ab + bc
• ab > rs seb è esterna a rs. a
r = a
A d d iz io n e e s o ttra z io n e di a n g o li
La somma di due angoli consecutivi ab e bc è l’angolo ac; scriviamo ab + bc = a c. Se due angoli non sono consecutivi, otteniamo la loro somma se spostandoli con un movimento rigido, possiamo considerare due angoli consecutivi e congruenti a quelli dati, come nell’esempio della figura a lato: ])q = ab + cd. Tuttavia, non sempre ciò è possibile, come puoi osservare nell’animazione dell’eserci zio 1 . Quindi, con la definizione di angolo che abbiamo dato, non è sempre possibile sommare due angoli. Nel paragrafo 5 vedremo una definizione diversa che permette di ottenere sempre la somma. G12
a Addizione di angoli non consecutivi
4. OPERIAMO CON SEGMENTI E ANGOLI
TEORIA
Se ab + bc = ac, diciamo anche che bc è la d iffe re n z a fra ac e ab, e scriviamo ac — ab = bc.
Se gli angoli non sono uno interno all’altro e non hanno un lato in comune, procedia mo in modo analogo a quello visto per la somma di angoli non consecutivi. La differenza a —3 non esiste se a < 3. Valgono i seguenti postulati. 1 . Somme di angoli congruenti sono congruenti fra loro.
2. Differenze di angoli congruenti sono congruenti fra loro. Per l’addizione fra angoli: • valgono le proprietà com m utativa e associativa, • l’angolo nullo è l’elemento neutro. Per la sottrazione vale la proprietà invariantiva.
ESERCIZI PER COMINCIARE D
□ E E D S S E E 9 L’addizione di due angoli non è sempre possibile. Spiega per ché aiutandoti, per esempio, con gli angoli della figura. Anche la sottrazione non è sempre possibile. Fai un esempio.
Con diversi esempi, verifica le proprietà commutativa e associativa dell’addizione, sia per i segmenti, sia per gli angoli. KB
COMPLETA
inserendo uno dei simboli < ,
> . Esegui il confronto tra i segmenti con il compasso.
a. A B L J E F b. F G U D C
c.
f q
d. PF\
L J
fg
IA B
•----------------« A B
e. A B L J E G
Con un esempio, verifica che, dati i segmenti AB, CD, EF: a. (AB + CD) + (AB - CD) = A B + A B , con A B > CD; b. se A B > CD, allora A B + EF > CD + EF (legge di monotonia).
Descrivi il procedimento, che puoi osservare nella figura, per la costruzione con riga e com passo di un angolo congruente a un angolo dato e utilizzalo con un angolo scelto da te. (Nell’animazione c’è anche la giustificazione della costruzione: la esamineremo nel prossimo capitolo.)
G13
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
5. MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI O Esercizi a pagina G30
Dati un numero naturale n e un segmento AB, il segmento CD multiplo di AB secondo n è: • il segmento nullo, se n — 0 ; • AB, se n — 1;
CD = 3AB
• la somma di n segmenti congruenti ad AB, se n > 1.
AB = | CD
In simboli: CD = nAB, che si legge «CD è n volte AB». Se n ± 0, CD è diviso in n parti congruenti ad AB e diciamo anche che AB è sottomul tiplo di CD secondo n. A
In simboli: AB = -j- CD, che si legge «AB è un «-esimo di CD». Con PQ = ~ A B indichiamo PQ = m ì— A B j, ossia che PQ è multiplo secondo m
/
■
AM = ^ AB A
.
+
\M
.
~h
B
AM = MB AB =2AM
►Considerati gli angoli ab e cd della figura, l’angolo 'pq = ab + cd esiste ed è maggiore di un angolo giro.
Questo modo di considerare gli angoli permette anche di definire un multiplo 3 di un angolo a secondo un numero « qualsiasi. 3 multiplo di a secondo « è: • l’angolo nullo, se n — 0; • a, se n = 1 ;
• la somma di « volte a , se « > 1 .
Gtt
■
+
Q
3 secondo n: 3 è diviso in « parti congruenti ad a.
(3 =
ESEM PIO
punto medio
Per gli angoli valgono considerazioni analoghe a quelle appena viste per i segmenti, ma, per poter ottenere sempre i multipli, è necessario estendere il concetto di angolo in modo da poter ottenere angoli maggiori di un angolo giro. Consideriamo un angolo a V b e un verso di rotazione, per esempio quello antiorario, come nella prima figura a lato. L’angolo può essere pensato come l’insieme delle semi rette che si ottengono facendo ruotare, nel verso scelto, la semiretta a fino a farla coin cidere con b. Consideriamo ora tutte le semirette che si ottengono da una rotazione della semiretta a, come quella della seconda figura a lato: l’angolo a V b ottenuto dal movimento di a fino a sovrapporsi a b dopo aver effettuato un giro completo è un angolo maggiore di un angolo giro. La diversa e più ampia definizione di angolo che abbiamo esaminato permette di otte nere sempre la somma di due angoli. Vediamo un esempio.
In simboli: 3 = na. Se « 7^ 0, a è sottomultiplo di
/
P Q = |A B
del sottomultiplo secondo « di AB. Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti.
P
5. MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI
TEORIA
G15
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
Due angoli sono: • c o m p le m e n ta ri se la loro somma è un angolo retto; • s u p p le m e n ta ri se la loro somma è un angolo piatto; • e sp le m e n ta ri se la loro somma è un angolo giro.
Consideriamo due teoremi sugli angoli e dimostriamoli. Ipotesi: a e 3 supplem entari 7 e 8 supplem entari a ss 7
Angoli supplementari di angoli congruenti sono congruenti. < zLU ce otu
Tesi:
\ —\
3
(3 ss 8
V Y'-'AN
....... ....
DIMOSTRAZIONE
a + |3 = 7r — $ = 7r - o t; \ a e B sono supplem entari r
7
+
6
= 7r —
6
=
7 1- 7
.
/
5. . 7 e o sono supplem entari
Gli angoli 3 e 6 sono differenze di angoli congruenti, quindi sono congruenti.
In modo analogo si dimostra che: a n g o li c o m p le m e n ta ri d i a n g o li c o n g ru e n ti sono c o n g ru e n ti.
Se due angoli sono congruenti quando sono supplementari di angoli congruen ti, lo sono, in particolare, se sono supplementari dello stesso angolo. Possiamo allora dimostrare il seguente teorema. Angoli opposti al vertice sono congruenti.
Ipotesi:
a e 3 opposti al vertice
Tesi:
a ss 3
<
zLU ce oLU
0
You can prove that opposite angles are congruent.
P
G16
5. MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI
TEORIA
DIMOSTRAZIONE
QEEEEHS
Poiché gli angoli sono opposti al vertice:
• a + 7 = 7t perché le semirette A V e VC sono su una stessa retta e A V C è un angolo piatto; • 3 + 7 = 7t perché le semirette D V e VB sono su una stessa retta e DVB è un angolo piatto. a e 3 sono supplementari dello stesso angolo, quindi, per il teorema pre cedente, sono congruenti: a ^ 3.
ESERCIZI PER COMINCIARE i l
COMPLETA
Disegna gli angoli a, 3, 7 tali che a = 4 3 e 7 = y a .
a = l ____ I 7 ;
3 = 1 ____ la;
3 =1 ____ I 7 ;
Dati i segmenti M N ,
K B
-jP Q + ^ R S - M N
B ti
P Q , RS,
7 = 1 ____ I 3tali che
PQ = y
JRS
e
M N = y
PQ
, dimostra che:
= PQ.
Verifica geometricamente la relazione dell’esercizio precedente.
W M Dimostra che tutti gli angoli retti sono congruenti.
K B Disegna tre angoli consecutivi, a, 3 e 7 , in modo che 3 sia complementare sia di a sia di 7 . Dimostra che a = 7. D e s c riv i i l p ro c e d im e n to p e r ottenere con rig a e compasso le seguenti c o s tru z io n i e u tiliz z a le con a n g o li o segm enti scelti da te. (N e i vid e o fo rn ia m o anche le g iu s tific a z io n i delle c o s tru z io n i: le e sam inerem o nei p ro s s im i c a p ito li.) K B [ J P f f T l In d iv id u a z io n e d el p u n to m e d io d i u n segm ento
G17
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
6. LUNGHEZZE, AMPIEZZE, MISURE @ Esercizi a pagina G33 L u n g he zze e a m p ie zze
La relazione di congruenza fra segmenti è una relazione di equivalenza. Possiamo allora dividere l’insieme dei segmenti in classi di equivalenza, ognuna con tenente tutti i segmenti fra loro congruenti. Ogni classe di equivalenza indica una proprietà comune ai segmenti che le appartengono: la lunghezza. La lun gh ezza di un segmento è la classe di equivalenza, della relazione di congruenza fra segmenti, a cui appartiene il segmento.
AB = CD ESEMPIO
B
stessa lunghezza
Due segmenti congruenti hanno lunghezza uguale. Indichiamo una lunghezza con una lettera minuscola (a, b, c, ...) o precisando gli estremi di un segmento che abbia quella lunghezza (AB, PQ, EF, ...). Le lunghezze si possono confrontare, sommare e sottrarre riferendosi ai segmenti relativi.
La d ista n za fra due p u n ti è la lunghezza del segmento che congiunge i due punti.
distanza fra P e Q
ESEMPIO
In particolare, in un poligono chiamiamo p e rim e tro la lunghezza della somma dei suoi lati.
Quanto detto per segmenti e lunghezze può essere ripetuto per angoli e ampiezze.
equivalenza, della relazione di congruenza fra angoli, a cui appartiene l’angolo.
stessa ampiezza
Due angoli congruenti hanno ampiezza uguale. Indichiamo le ampiezze come gli angoli (ABC, a b , a , ...). M is u re
Per misurare la lunghezza di un segmento PQ, fissiamo la lunghezza di un altro segTYl
Ì71
mento AB, non nullo, come u n ità d i m isu ra : se PQ = — AB, con — numero razion n tn naie positivo o nullo, diciamo che — è la m is u ra della lunghezza di PQ rispetto ad AB e che le lunghezze PQ e AB sono c o m m e n s u ra b ili. G18
ESEMPIO
L ’am piezza di un angolo è la classe di
6. LUNGHEZZE, AMPIEZZE, MISURE
TEORIA
Possiamo scrivere l’uguaglianza come rapporto PQ _ m_ AB n
YYl
e dire che il rapporto fra le lunghezze PQ e A B è — . Indichiamo le misure con simboli come PQ, ED, A C , ... Le misure sono dei numeri, quindi questi simboli non vanno confusi con PQ, ED, AC, ..., che indicano segmenti o lunghezze. ►Se consideriamo i segmenti della figura e prendiamo come unità di misura la lun ghezza di AB, indicandola con u: A«----- 1----- 1----- 1----- • B u Di solito utilizziamo come unità di misura per le lunghezze il metro (m) e i suoi multi pli o sottomultipli. Per esempio, il centimetro (cm) è il sottomultiplo del metro rispet to a 1 0 0 . Il concetto di misura può essere esteso anche al caso di lunghezze incommensurabili, tali cioè che la misura di una rispetto all’altra non è un numero razionale. In questo caso la misura è un numero reale di cui, nei problemi, si può utilizzare un valore approssimato. ►Calcoliamo la misura di BC, sapendo che ABC è un triangolo rettangolo e che AB = 3 e A C = 4. Applichiamo il teorema di Pitagora: BC = V A C 2- A B 2 = V 4 2 - 3 2 = V f ~ 2,6.
A
3
B
C
Per le misure delle ampiezze degli angoli valgono considerazioni analoghe a quelle viste per le lunghezze e le loro misure. Se a e (3 sono le ampiezze di due angoli e a = vo o nullo, diciamo che
(3, con
numero razionale positi
è la misura di a rispetto a 3 .
Indichiamo la misura dell’ampiezza a di un angolo ancora con a. Utilizziamo come unità di misura delle ampiezze degli angoli il grado sessagesimale, sottomultiplo rispetto a 360 dell’angolo giro. Un angolo piatto ha ampiezza 180°, un angolo retto 90°.
180° 90°
t=L
ESERCIZI PER COMINCIARE MM
In un triangolo rettangolo il cateto AB è
del cateto A C e la loro somma è 35 cm. Qual è
la lunghezza in centimetri dell’ipotcnusa? Quanto misura rispetto ad A B ? WfM Determina le ampiezze di due angoli sapendo che la loro differenza è 30° e la loro somma è 66 °.
Qual è la misura dell’ampiezza del minore rispetto a quella del maggiore? G19
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
ESERCIZI 1. GEOMETRIA EUCLIDEA DEFINIZIONI E TEOREMI G WM n
Teoria a pagina G2
WM Q
VERO 0 FALSO?
a. Un ente primitivo è un ente che non viene definito.
0 E H E
b. Un punto è una figura geometrica. c. La retta è un ente geometrico primitivo. d. Lo spazio è un ente geometrico primitivo.
VERO 0 FALSO?
a. Un teorema è una proposizione da dimostrare. b. Un postulato è una proprietà vera che non si dimostra.
S E
e e
c. Assioma è sinonimo di postulato.
S E E E
S E
d. Un teorema si può sempre scrivere nella forma «se..., allora...».
E E
Trasforma le seguenti frasi nella forma «se.. allora...». K B a. Il prodotto di due numeri discordi è negativo. b. Per viaggiare sicuri occorre allacciare le cin ture di sicurezza. c. Chi è vegetariano non mangia carne. d. Tutti i triangoli equilateri sono isosceli.
W M a. In un quadrato le diagonali sono perpendico
lari. b. Un numero multiplo di 4 è pari. c. La somma di due numeri dispari è un nume ro pari. d. Paolo andrà al mare a patto che ci sia bel tempo.
COMPLETA
la seguente tabella.
Enunciato del teorema
Ipotesi
Tesi
Il quadrilatero è un rettangolo.
Le diagonali del quadrilatero sono congruenti.
« è un naturale pari; m è un naturale dispari.
n + m è un naturale dispari.
Due triangoli con tutti e tre i lati con gruenti hanno lo stesso perimetro.
Se la somma di due numeri naturali è un numero dispari, allora gli addendi sono uno pari e l’altro dispari.
Un rombo con le diagonali congruen ti è un quadrato.
G20
1. GEOMETRIA EUCLIDEA
Q
TEST
ESERCIZI
Quale tra i seguenti è il teorema inverso del seguente: «Il prodotto di due num eri naturali è pari se
almeno uno dei due fa tto ri è pari»7.
[~a] Il prodotto di due numeri naturali pari è un numero pari. [TI Se il prodotto di due numeri naturali è pari, allora almeno uno dei due fattori è dispari. m
Se il prodotto di due numeri naturali è pari, allora almeno uno dei due fattori è pari.
l~D~l II prodotto di due numeri naturali è dispari se i due fattori sono entrambi dispari.
POSTULATI DI APPARTENENZA E D'ORDINE ©
Teoria a pagina G3
P o s tu la ti di a p p a rte n e n z a m
Q
vero o falso ?
a. Tre punti distinti definiscono sempre un piano.
[V] [T]
b. Esiste un solo piano che passa per due punti.
[v] [jj]
c. Per due punti distinti passano una sola retta e un solo piano.
[~vim
d. Esiste sempre un solo piano che passa per una retta e per un punto che non appartiene alla retta. [V ][ f] Utilizza gli assiomi di appartenenza per giustificare le seguenti affermazioni. h lB Tre punti non allineati individuano tre rette distinte. KM Una retta è un sottoinsieme proprio del piano. BUI Due rette distinte che si intersecano in un punto appartengono allo stesso piano. EUREKA!
Uno strano piano Sia P = {a, b, c, d, e} un insieme qualsiasi dicinqueelementi distinti. Sia
R = {{x, y}\ x, y G P, x / y j l’insieme di tutti i sottoinsiemi di P formati dadue elementidistinti di P. Detto «piano» l’insieme P, detti «punti» i suoi elementi e detti «rette» gli elementi di R, possono pensarsi validi
senza contraddizioni i primi tre postulati di appartenenza della geometria del piano euclideo? Quante sono le «rette» in questo modello di «piano»? [sì; 10] P o s tu la ti d ’o rd in e BEI Q
VERO 0 FALSO?
Osserva le rette orientate della figura.
ra ta s ta ra ta ta ta ta ta ta ta ta ta ta ta
a. A precede G. b. C segue E. c. B precede F. d. G precede F. e. D segue A e precede G. f. E non precede F. g. F segue D e precede C. h. F precede sia G sia C. BEI
COMPLETA
le seguenti affermazioni relative alla figura, inserendo le parole «precede» e «segue».
a. A
B.
d. D
b. B
D.
e. £ l _
J B.
.
f. c L
J
c. A
J
d
le .
a.
G21
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
1W Indica su quali delle seguenti figure è possibile definire una relazione d’ordine e, quando non è possibile, mostra un esempio che giustifichi la tua risposta.
BHÉ Rappresenta su una retta orientata i punti A , B, C, D, E , F in modo che: A preceda F ma non B; C segua B e preceda A; E segua A ma non preceda né F né D. U tiliz z a i p o s tu la ti d i appartenenza e d ’o rd in e p e r g iu s tific a re le seguenti a ffe rm a z io n i.
in
Date due rette incidenti, si può sempre trovare un punto che non appartiene a nessuna delle due rette.
IH
Data una retta su un piano, si può sempre trova re un’altra retta del piano, distinta dalla prece dente, che la interseca.
p Q B f f l H B H a Per un punto di un piano passano infinite rette. BAI II piano contiene infiniti punti. II piano contiene infinite rette.
il h i Una retta è costituita da infiniti punti ed è illimi tata.
2. FIGURE E PROPRIETÀ ©Teoria a pagina G6 S e g m e n ti
Alessandro: «In un segmento ci sono infiniti punti». Carlo: «Allora è illimitato!». Spiega perché Alessandro ha ragione e Carlo no. CHI HA RAGIONE?
U l|[]
VERO 0 FALSO?
a. Se due segmenti sono adiacenti, allora sono anche consecutivi.
r v im
b. Due segmenti consecutivi non possono essere adiacenti.
[~vim
c. Due segmenti che giacciono sulla stessa retta sono adiacenti.
[V] |T]
d. Tre segmenti adiacenti appartengono alla stessa retta.
[v] [T]
Q
TEST
A che ora la lancetta delle ore e quella dei minuti possono essere descritte come due segmenti
adiacenti ? [a]
Alle 17.
U ] Alle 18.
[c]
Alle 19.
[ d]
Alle 20.
Bftl Osserva le tre figure e individua, tra i segmenti disegnati, quelli consecutivi e quelli adiacenti.
G22
2. FIGURE E PROPRIETÀ
Individua, tra i segmenti della figura, quelli con secutivi e quelli adiacenti.
ESERCIZI
WMM Disegna un segmento AB e:
a. un segmento A C adiacente ad AB;
b. due segmenti BD e BE, consecutivi ad AB; c. un segmento BF adiacente ad AB. i f l l Disegna cinque segmenti, consecutivi a due a due, in modo che ci siano due coppie di segmen ti adiacenti.
WilM In ognuna delle seguenti figure completa il disegno seguendo le indicazioni date. s...BS N \
^
a. Disegna un segmento con secutivo ma non adiacente al segmento AB avente un estremo sulla retta r.
b. Disegna tre segmenti consecutivi, non adiacenti, in modo che gli estremi appartengano alle rette r e s e che il punto P appar tenga a uno dei segmenti.
c. Disegna due segmenti adiacenti in modo che entrambi intersechino la semiretta b.
d. Disegna tre segmenti con secutivi, di cui due adia centi, in modo che almeno un estremo di ciascun segmento appartenga a una delle tre rette.
[j] Dato il seguente enunciato, stabilisci quale, tra le figure proposte, lo rappresenta correttamente e senza che si verifichino casi particolari non richiesti. Dati due segmenti adiacenti A B e BC , considera la retta r che passa per un punto P di AB.
fclÉ Su una retta r considera le semirette a e b rispettivamente di origini A e B. Disegna i casi in cui l’intersezio ne tra a e b è: a. l’insieme vuoto;
b. un punto;
c. un segmento;
d. una semiretta.
ASSOCIA la frase alla corretta scrittura simbolica e per ogni affermazione fai una possibile rappresentazione grafica.
Q
1. Il punto A non appartiene alla retta r.
a. C G DE
2. La retta a interseca la retta b nel punto P.
b. t n a = {P}
3. Il punto C appartiene al segmento DE.
c. a n b
4. La retta t interseca il piano a nel punto P.
d. A ^ r
5. Le rette a e b non si intersecano.
e. aC \b = {P}
= 0
G23
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
S e m ip ia n i COMPLETA le scritture in riferimento alla figura, utilizzando anche i simboli G, semipiani di origine r).
f i ( a e 3 sono i due
a. A G b. D L
a
c. BD
r ^ 0
d. Cl____ la
Disegna due rette in modo che l’intersezione di due dei quattro semipiani originati dalle rette sia ancora un semipiano. Cosa puoi dire degli altri due semipiani? F ig u re convesse, fig u r e concave
B ÌÉ Dimostra che una retta, una semiretta e un segmento sono figure convesse. ] Q
EUREKA!
I.
Convesso è bello Quali di questi sottoinsiemi del piano sono figure convesse?
Un esagono qualunque.
III. L’intersezione di due figure convesse.
IL L’unione di due figure convesse. [XI I e IL
[ b] I e III.
He] II e III.
[IT] I, II e III.
[j] Nessuna delle risposte precedenti.
[USA Northern State University: 48th Annual Mathematics Contest, 2001] FAI UN ESEMPIO
Con esempi, aiutandoti con un disegno, fai vedere che:
a. l’unione di due figure convesse può essere concava; b. l’intersezione di due figure concave può essere convessa; c. l’unione di due figure concave può essere convessa. G24
2. FIGURE E PROPRIETÀ
ESERCIZI
A n g o li
EHI Nella figura indica: a. l’angolo concavo aOc;
Osserva la figura. Quali angoli sono consecutivi?
b. l’angolo convesso bOc;
E
aV e
ed eV d.
c. l’angolo concavo bOa.
E
aV e
e aV d.
B lD
test
fcl eV d e cVb.
fp~l M
TEST Con riferimento alla figura dell’esercizio 41, l’angolo a V d è:
E
nullo.
He]
consecutivo
E
adiacente a bV e.
E concavo.
dVb
e cVb.
EVI L J TEST Con riferimento alla figura dell’eserci zio 41, quali angoli sono adiacenti?
di dV e. E
aV e e d e V d .
E
eaV d.
E
aV e
e cVb.
E
eV d e c V b .
FAI UN ESEMPIO
WRM Disegna due angoli con il vertice in comune che non siano né consecutivi né opposti al vertice.
EVI Disegna due angoli consecutivi in modo che uno sia concavo e l’altro convesso. Possono essere adiacenti? EVI Disegna tre angoli, di cui il secondo adiacente al primo e il terzo consecutivo al secondo. EVI Disegna tre angoli, di cui il secondo adiacente al primo e il terzo adiacente al secondo. EVI Considera la coppia aOb e bOc di angoli consecutivi non adiacenti, con aOc angolo convesso. Scegli un punto A sul lato a, un punto B sul lato b e un punto C sul lato c. Traccia i segmenti OA, AB, BC e CO. Come devono essere scelti i punti A , B, C in modo che la figura ottenuta tracciando i segmenti sia convessa? E perché sia concava? F ig u re c o n g ru e n ti E |Q
VERO 0 FALSO?
a. Tutti i punti sono congruenti. b. Tutte le semirette sono congruenti. c. Se due figure sono uguali, allora sono congruenti. d. Se due figure sono congruenti, allora sono uguali. e. Una retta e un segmento non possono essere congruenti. f. Un angolo e un semipiano non possono essere congruenti.
E E E E E E
E E E E E E
Che figure! Siano Fly F2 e F3 figure qualsiasi del piano euclideo. Quale affermazione tra le seguenti è falsai
H l l (_) EUREKA!
E
Se Fj è congruente a F2 e F2 è congruente a F3, allora
è congruente a F3.
E
Date F{ e F2 congruenti tra loro, è possibile che Fx D F2 = 0 .
E
Se Fi e F2 non sono congruenti tra loro, non esiste alcuna figura F3 che sia congruentesia a Fj sia a F2.
E
Data Fi, esiste almeno una figura F2 del piano, congruente a Fi e tale che Fi fi F2 = 0 .
CHI HA RAGIONE? Jacopo: «Se due figure sono congruenti, le sposto nel piano con un le posso sovrapporre». Liliana: «Non è detto che tu ci riesca!». A cosa sta pensando Liliana?
movimentorigido e
G25
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
3. LINEE, POLIGONALI, POLIGONI ©Teo B E lQ
VERO O FALSO?
a. L’insieme dei segmenti che costituiscono il bordo di un poligono è una poligonale.
r a s
b. In un poligono il numero dei lati è uguale al numero dei vertici.
0
c. In un poligono il numero degli angoli esterni è maggiore di quello degli angoli interni.
S E S E S E
d. Un poligono è equilatero se e solo se è equiangolo. e. I poligoni regolari sono convessi. m
u
TEST II numero delle diagonali di un poligo no con n lati:
ijM Q
YOU &MATHS
B
Giving directions Write direc-
[~a~I è sempre superiore a n. fìTl può essere uguale a n.
I~c~l è n —2 . [~bl è sempre un numero pari. VERO0 FALSO?
a. Se un poligono è concavo, ha almeno una diagonale esterna al poligono.
rVUTI
b. Un quadrilatero non può essere concavo.
[v] [ f]
c. Un poligono convesso non può avere un angolo concavo.
S E S E
d. Un esagono ha 6 diagonali. e. Se un poligono ha gli angoli congruenti, è regolare.
LABORATORIO
[v] ITI
M A T E M A T IC A E S T O R IA
Cos e un angolo? Leggi le seguenti definizioni, numerate da 8 a 12, tratte dagli Elementi di Euclide e riguardanti il concetto di angolo. «8 . Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le quali si incontrino e non giacciano in linea retta.» «9. Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è detto rettilineo.» «10. Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto e la retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata.» «11. Dicesi angolo ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.» «12. Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.»
Euclide ritratto nella «Scuola d'Atene» di Raffaello, con le sembianze di Donato Bramante (Vaticano, Stanza della Segnatura, 1508-1511 ).
a. Realizza opportune figure che illustrino nel modo secondo te più corretto e completo ciascuna delle definizioni precedenti. Osserva, nella definizione 8, il termine «linea»: potrai interpretarlo in modo molto ampio, non solo nel senso di «linea retta». b. Rivedi le definizioni che coinvolgono il concetto di angolo riportate nelle pagine della teoria di questo capitolo. Confrontale con quelle tratte direttamente dagli Elementi di Euclide (riportate qui sopra), soffermandoti in parti colare sui termini che in esse vengono usati: nelle definizioni degli Elementi trovi alcuni termini vaghi e di difficile interpretazione?
□ G26
►Risoluzione.
►Un esercizio in più.
►Attività di ricerca: Angoli, astronomia, orologi.
U. OPERIAMO CON SEGMENTI E ANGOLI
ESERCIZI
fr i! In quale poligono le diagonali sono tante quanti i lati? HVl Determina il numero delle diagonali di un poligono di:
a. 10 lati;
b. 11 lati;
c. 12 lati;
d. 13 lati.
H i! Riesci, deducendolo dai risultati ottenuti nell’esercizio precedente, a determinare il numero delle diagonali di un poligono di 14 lati senza applicare la formula? YOU &MATHS Equidistant Given two different points A and B, describe how to construct 10 different points that are equidistant from A and B.
m i Q
4
. OPERIAMO CON SEGMENTI E ANGOLI ■ ’ Teoria a pagina G11
C o n fro n to di s e g m e n ti
Dato il segmento AB, disegna su r con il compasso un segmento CD = A B .
A d d iz io n e e s o ttra z io n e di s e g m e n ti IfllQ
VERO 0 FALSO?
a. Due segmenti sono sempre sommabili.
[V] [T]
b. La differenza fra segmenti gode della proprietà associativa.
[V] [T]
c. Somme di segmenti non congruenti non sono congruenti.
IT T
d. La differenza di due segmenti può essere il segmento nullo.
[V] |T]
Gli esercizi 62, 63, 64 e 65 si riferiscono tutti alla figura riportata a lato. I segmenti contrassegnati con lo stesso simbolo sono tra loro congruenti. m i Q I
II segmento somma A B + BC è congruente a:
TEST a
|
AB
+
CD.
Ib l AB + CG. I c I BC + C D . I~d~I FG. m i Q [ a]
TEST
II segmento EC — CD è minore di: T
C G -B C .
ITI AB. O
Q
BC.
QT| AD.
J TEST II risultato dell’espressione EC - {CG + CD) + A B
è congruente al segmento: [~a! nullo.
Quale tra i seguenti segmenti non è congruente al segmento FG?
T I BC.
[ a] B C + C F
[ c] A C + C F
T
FC.
EC+CF
T
AB.
TEST
[ b]
EC+CD
[
d]
G27
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI EUREKA! Quattro punti Siano A , B ,C e D quattro punti qualsiasi del piano. Indica quali tra le seguenti proposizioni sono vere e quali sono false.
FA I Q
a. Se D appartiene sia alla retta A B che alla retta BC, allora D coincide con B.
[~v H~f 1
b. Se A, B, C appartengono alla stessa retta r, e B ,C ,D appartengono alla stessa retta s, allora r e s coincidono.
[v] [1 ]
c. Se A , B, C sono distinti e i segmenti AB, BC e A C sono tali che AB = BC = AC , allora A, B, C non possono appartenere alla stessa retta.
[v][T]
d. Se B è punto medio del segmento AC e C è punto medio del segmento AD , allora A B = CD.
[v][T]
C o s tru z io n i con i s e g m e n ti *•
Quello che segue è un esempio di costruzione con riga e compasso. In queste costruzioni, caratteristiche della geometria euclidea, il compasso serve per tracciare circonferenze o archi di circonferenza, la riga per congiun gere punti e tracciare segmenti, mentre non può essere usata per misurare, come siamo abituati a fare.
A
B
(X ,
Dato un segmento AB, con riga e compasso otteniamo un punto C in modo che A B C sia un triangolo equilatero. • Puntiamo il compasso in A e con raggio AB tracciamo un arco di
A
B
circonferenza • Puntiamo il compasso in B e sempre con raggio A B tracciamo un arco di
^% 2
circonferenza % 2• I due archi si incontrano in C.
\ '''%
• Congiungiamo con la riga C con A e con B. Abbiamo che: AC = A B perché entrambi raggi di c€ 1.
ih -
—
AB = BC perché entrambi raggi di c€ 2-
Per la proprietà transitiva della congruenza AC = AB = BC, quindi ABC è equilatero. Esegui, se possibile, le operazioni richieste (usa riga e compasso per effettuare il trasporto dei segmenti).
A
0
C a. AB + BC
AB-BC BC-AB
G28
b. AO + OC
AB + OC OC-iAO + OB)
c. AP-PB
PB-DP [AB + BC) - DP
d. AB +AO
DO-OC OC+ [AB - OB)
B
U. OPERIAMO CON SEGMENTI E ANGOLI
ESERCIZI
BEI Disegna tre segmenti adiacenti in modo che la somma dei primi due sia congruente al terzo. m i Su una semiretta orientata disegna tre segmenti AB, BC, CD consecutivi, tali che A B < BC < CD e in modo che la differenza tra il maggiore e il minore sia congruente all’altro segmento. M i Disegna tre segmenti AB, BD, A C in modo che sia verificata la relazione A C + A B < BD — A B . C o n fro n to e a d d izio n e e s o ttra z io n e di a n g o li
m i
E lQ
COMPLETA
inserendo uno dei simboli < , = , > .
a. a I__ I 5
d. 8 1 I 3
b. 3 1___I 7
e.
c. a I__ I 7
f. 7 1 1 8
3 + TI_I 8
VERO 0 FALSO?
a. La somma di due angoli adiacenti è un semipiano.
[v][T]
b. Un angolo concavo è minore di un angolo convesso.
[V] [T]
c. Un angolo piatto è maggiore di un angolo convesso.
[~vH~f1
d. Un angolo concavo è minore di un angolo giro.
[v][T]
C o s tru z io n i con g li a n g o li
In ognuna delle seguenti situazioni esegui, se possibile, le operazioni richieste (utilizza riga e compasso per effettuare il trasporto degli angoli).
G29
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
WltÉ Disegna due angoli in modo che la loro somma sia un angolo piatto e che la loro differenza sia congruente
a uno dei due. Wl/M Disegna tre angoli con il vertice in comune in modo che la loro somma sia un angolo giro e che la differen
za tra il primo e il terzo angolo sia congruente al secondo angolo. FU
Disegna tre angoli a, 3> 7 in modo che sia verificata la relazione
a
+ ((3 —7 ) < 3-
5. MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI ©Teoriaapaginaeu S e g m e n ti COMPLETA
osservando la figura
a. A B = I____ IDB b. A C = i____IAB c. I____ I = 2 CD
l - w - l - w - t —w - f - w H - w - t - w H
A
C
D B
I iw I iw I in I
d. EF =
E
e. EF =
osservando la figura. rA IDE a. A B — 1 ;c 1— X— 1— X— 1 b. A C - 1 AB D E F £ c. = CB COMPLETA
d. E F -
F
e. D E - 1
AB
f. DB =
f. DF = 4 1 5
1
AC 1
jc -C 3c
g- CD -- B
C o s tru z io n i
I ti! Disegna due segmenti adiacenti e di ognuno determina il punto medio utilizzando riga e compasso. Hftl Dato un segmento AB scelto a piacere, disegna i — 1 2 segmenti congruenti a 2AB, ~ ^A B e - y A B . 1 * 1 Disegna quattro segmenti consecutivi ma non adiacenti tali che la somma dei primi due sia congruente alla differenza tra il doppio del terzo e la metà del quarto. l i t i Disegna sulla stessa retta tre segmenti AB, CD e BF tali che C sia il punto medio del segmento AB, D sia il punto medio del segmento BF e valga BF =
2
YOU &MATHS Hunting for good points advanced Draw two non-coincident points A and B. Then find at least 3 good positions in which to place a point C such that A C B is an angle of 60°. You may find it easier to work with dynamic geo metry software than with paper and pencil.
ÉftVj Q
MATEMATICA E GIOCHI
A B . Esprimi CD come multiplo del
Calcio a 5
segmento AB. 1 * 1 Sapendo che la differenza di due segmenti A B e 2
CD è congruente alla somma tra i -5 - di A B e 1 J -g- di CD, determina secondo quale numero n
A B è multiplo di CD. Disegna poi i due segmenti A B e CD trovati e verifica graficamente la rela
zione del testo. G30
YOU &MATHS H untingforgoodpoints Draw two non-coincident points A and B. Then find at least 3 good positions in which to place a point C such that A C B is a right angle. You may find it easier to work with dynamic geometry software than with paper and pencil.
lir a Q
Nicola e i suoi amici si allenano in un vecchio campo da calcio e decido no di rifare tutte le linee. Serve un compasso... ] ►Problema e risoluzione.
5. MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI
m
D im o s tra z io n i
IflH Dati i segmenti A B e PQ, con A B > PQ, costrui sci il segmento somma A B + PQ e il segmento differenza A B — PQ e dimostra che la differenza tra il segmento somma e il segmento differenza è il doppio di PQ. llV l Considera due segmenti adiacenti e congruenti A B e BC. Detto P un punto qualunque interno al
ESERCIZI
Considera su una retta orientata il segmento PQ e sia T un punto della retta esterno a PQ. Dimo stra che il segmento che ha per estremi il punto T e il punto medio del segmento PQ è congruente alla metà della somma dei segmenti P T e QT.
I f l l Su una semiretta orientata considera, nell’ordi ne, i punti A , B, C, D. Detto M il punto medio del segmento A B e N il punto medio del segmento CD, dimostra che 2M N = A C + BD.
segmento AB, dimostra che PB = - ^ (PC —AP). M ll AB e BC sono due segmenti adiacenti. Detto P il punto medio del segmento AB, dimostra che PB è congruente alla metà della differenza tra A C e BC.
I f t l Detti P e Q i punti medi, rispettivamente, dei segmenti adiacenti A B e BC, e detto O il punto medio del segmento AC , dimostra che PO = QC.
punto medio B in due segmenti A B e BC. Siano M e N i punti medi di questi segmenti. Dimostra che M N = A M + NC.
WìfM Considera su una retta orientata il segmento AB e sia P un punto interno ad AB, più vicino a B che ad A. Dimostra che il segmento che ha per estremi il punto P e il punto medio di A B è con gruente alla metà della differenza A P —PB.
MlìM Fissa due punti C e D interni al segmento AB, con C più vicino ad A e D più vicino a B e tali che A C = DB.
I f t i Considera due segmenti adiacenti e congruenti A B e BC, e fissa un punto P qualunque interno al segmento AB. Detto M il punto medio del seg
p
[ | 3
S
B
B
I Il segmento A C è diviso dal
Dimostra che il punto medio del segmento CD è anche il punto medio del segmento AB. Kftl Su una semiretta orientata considera, nell’ordi ne, i punti A , B, C, D in modo che il punto medio del segmento A D coincida con il punto medio del segmento BC. Dimostra che A B = CD.
mento AP, dimostra che M B = - ^ ( A C — AP). ÉÉ'IflÉ Sulla retta r disegna nell’ordine tre punti A, B e C tali che BC = 2A B . Siano M e N i punti medi rispettivamente dei segmenti A B e BC, e sia P il punto medio del segmento M N. Dimostra che A C = 4MP.
A n g o li
ITTI
COMPLETA
osservando la figura.
a. a V c = I____ I a V b b. a V c = I____ I a V e
C. f V g s d. d V c = I____ I b V c
e. a V f — e V f = 6 f. f V g = \
pG
I------- 1
VERO 0 FALSO?
Dalla figura deduciamo che:
b. c è bisettrice di bO d.
[ZHZI E H
c. c è bisettrice di aOe.
0
d. aOb — 2 bO d è l’angolo nullo.
E H
e. bO d = -^ a O e .
E E
a. aOb = dOc.
E
G31
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
D B G
d h
VERO 0 FALSO?
a. Due angoli supplementari sono entrambi convessi. b. Due angoli consecutivi sono complementari.
0
c. Due angoli supplementari sono consecutivi.
0
d. Due angoli supplementari sono sempre uno acuto e uno ottuso.
E E
Q
VERO 0 FALSO?
0
S E 0
Rispondi osservando la figura.
a. a è complementare di 7.
IT I IT I
b. 7 = £.
i t i it i
c . 3 è s u p p le m e n t a r e d i 5 .
d. cp gt 5.
IT I I~f 1 [TI[TI
e. 8 è complementare di a.
IT I IT I
C o s tru z io n i
iTTH Disegna un angolo convesso e un angolo concavo, poi disegna la bisettrice di ciascuno dei due. nnsi Dati gli angoli a acuto e 3 ottuso, disegna gli angoli congruenti a 2 a , - ^ 3 > a + -2 " 3 e 2 ( 3 —° 0 D im o s tra z io n i
YOU &MATHS Deducing angle measures Knowing that A O C and BO D are right angles, as shown in thè figure below, f ili in thè table and provide thè missing reasons in order to prove that
itir.1 Sapendo che a = 23, 3 = “r"8 e 7 —8 = a, dimostra che a + 3 + 7 = 38. Verifica poi le relazioni date rappresentando graficamente la situazione descritta. EH
ITTI
ITTI
Disegna due angoli consecutivi a e 3 e traccia le rispettive bisettrici. Dimostra che l’ampiezza dell’angolo formato dalle bisettrici è congruente alla semisomma di a e 3Considera in senso orario le semirette a, b, c, d di origine comune O e tali che aOb e cO d siano retti. Dimostra che gli angoli bOc e aO d sono supplementari. Considera due angoli consecutivi A O B e BOC e sulla bisettrice b dell’angolo BOC considera un punto P. Dimostra che 2A O P = A O C + BOC.
IT O Disegna tre angoli a, 3, 7 consecutivi congruenti in modo che la loro somma sia congruente all’an golo giro. Dimostra che il prolungamento di un lato di 3 è la bisettrice di uno degli altri due angoli. G32
Statement
Considera una coppia di angoli a e a', opposti al vertice, e i rispettivi angoli complementari 3 e 3’ Dimostra che 3 = 3’-
ITiTl Considera, in senso antiorario, le semirette r, s, t, p di origine comune V. Dimostra che la bisettrice b dell’angolo rVp è anche bisettrice dell’angolo s V t se e solo se gli angoli rVs e tV p sono fra loro congruenti.
m
A O B = COD.
J = A O C -B O C A O B =L COD =L P Q
Reasons given
P S E K S I Dimostra che se due angoli m V n e p V t sono tali che hanno il vertice in comune e che gli angoli m V p e n V t sono entrambi retti, allora o mVn=pVt oppure la loro somma è un angolo piatto.
ITO Considera tre angoli consecutivi A O B , BO C , C O D tali che A O B = C OD e BOC acuto. Dimostra che l’angolo formato dalle bisettrici di A O B e di CO D è congruente a B O D .
ITO Le semirette Oa, Ob, Oc e Od, di origine comune O, considerate nell’ordine, individuano quattro angoli tali che aO d è acuto e aOc = cOd. Dim o1
,77
bO d — aOb
stra che bOc = ------- ^------- . ITO Dimostra che la bisettrice dell’angolo convesso aOb è anche bisettrice dell’angolo concavo cOd, dove c è il prolungamento della semiretta b e d e il prolungamento della semiretta a.
6. LUNGHEZZE, AMPIEZZE, MISURE
6. LUNGHEZZE, AMPIEZZE, MISURE
ESERCIZI
© T e o r ia a paginaG18
Segm enti In ognuno dei seguenti esercizi calcola, se possibile, la m isura dei segm enti indicati, usando le inform azion i date.
h A
I X I X I B C D
IF 3 Determina le lunghezze di due segmenti, sapen do che la loro somma è 34,5 cm e la loro diffe [7,6 cm; 26,9 cm] renza è 19,3 cm. P I
Sapendo che il segmento che ha per estremi i punti medi dei due segmenti è lungo 12,4 cm, determina i due segmenti. [9,3 cm; 15,5 cm]
AB = 9 cm, B C s y A B . AD = ? I X I X t— # — I— # — I A M B N C
EE9
AC = 64 cm, MB = y B N . CN — ? A M — ? P I
Trova le lunghezze di due segmenti, sapendo che il primo è il triplo del secondo e che la loro diffe renza è 18 cm. [27 cm; 9 cm]
P J []
Se D è il punto medio di AC e C è il pun to medio di AB, sapendo che BD = 12 cm, qual è la lunghezza di AB?
£ AC —BC =
Due segmenti adiacenti sono uno i -y dell’altro.
-BC, AB - 6 cm.
AC = ?
TEST
I~À~1 4 cm.
Cd] 32 cm.
ITTI 12 cm.
Cf] Nessuna delle precedenti.
rCl 16 cm. [USA Catawba College NCCTM Mathematics Contest, 2005]
P I
AC = y A B ,
EED La somma dei segmenti adiacenti AB, BC e CD è
AC + AB = 33 cm.
49 cm. Trova le loro lunghezze, sapendo che AC
AB = ?
è i y di CD e che la differenza fra il triplo di CD e DB è 46 cm.
p i
A B = -y C H ,
E3
CH —AB = 3 cm. BC = ?
[11 cm; 10 cm; 28 cm]
Siano AB, BC e CD tre segmenti adiacenti e M ,N e O i rispettivi punti medi. Sapendo che MO = 60 cm, M N = CD e AB = 24 cm, determina le lunghezze dei segmenti BC e CD. [33,6 cm; 28,8 cm]
nn ESI Su una semiretta orientata di origine O, conside ra, nell’ordine, i punti A, B, C, D. Sapendo che OA = CD, AB = 2BC, BC + CD — 20 cm e che OD = 46 cm, determina le lunghezze dei seg menti AC e OA. [AC = 18 cm; OA = 14 cm] p i
I punti P eQ dividono il seg mento AB in tre parti in modo che AP = 4 -PB e AQ = PB. Sapendo che QB = 5,5cm,trovalalunghezza di AB e di PQ.
Trova le misure di tre segmenti sapendo che il 1 7 primo è y del secondo, il secondo è i y del terzo e la somma del primo e del terzo è 16,2 cm. [4,2 cm; 21 cm; 12 cm]
00
Disegna una poligonale chiusa composta da cin que segmenti, in modo che tre segmenti conse cutivi siano tra loro congruenti e i restanti due siano uno il doppio e uno il triplo degli altri. Determina le lunghezze dei cinque segmenti, sapendo che la somma delle lunghezze è 40 cm. [5 cm; 5 cm; 5 cm; 10 cm; 15 cm] G33
G1 e b q
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI YOU & MATHS Turtle G eom etry Turtle Geometry is a computer language that moves a cursor (thè turtle) forward or backward. The programmer tells thè cursor how many steps to move and in what direction. The command FD 2 means «move forward 2 steps». RT 90 means «make a 90 degrees clockwise turn, that is turn to thè right». Giacomo entered thè following commands into his Turtle Geometry program. FD 20, RT 60 FD 30, RT 60 FD 20, RT 120 FD 50, RT 120. Which figure did thè program draw for him?
a. An irregular polygon.
c. An open figure.
b. A triangle.
d. An isosceles trapezoid.
INTORNO A NOI I cm d el m e tro Un metro da falegname, se disteso completamente, è lungo 1,4 metri. Sapendo che i sette segmenti dei quali è composto sono tutti tra loro congruenti, determina la lunghezza in centimetri di ciascun segmento. (Suggerimento. Trascura la dimensione degli snodi.)
BB
[20 cm]
Angoli
m
u
TEST
S
II tuo orologio da polso segna le 11:40. Qual è l’angolo tra la lancetta delle ore e quella dei minuti?
90°
\J] 100°
[c] 110°
[ d] 120°
EUREKA! Complem entare e supplementare Ricava la misura di un angolo tale che la differenza tra il suo supplementare e il doppio del suo complementare sia 48°. [48°]
RB
[CAN John Abbott College, Final Exam, 2003] EESU
EUREKA!
Un ventaglio di angoli Se BD è la bisettrice dell’angolo ABC e BE è la bisettrice dell’angolo
ABD, sapendo che la misura dell’angolo DBC è 24°, qual è la misura dell’angolo EBCÌ I~a1 36°
[¥] 48°
[T] 12°
QT] 24°
[T] Nessuna delle precedenti.
[USA Catawba College NCCTM Mathematics Contest, 2005]
m Q
INVALSI 2006
La lancetta delle ore di un orologio è passata dalle 3 alle 12. Qual è l’ampiezza dell’angolo
descritto? [ a ] 270° B 3 U
YOU & MATHS
a.
EU
[ b]
[c] 120°
b. JK = AQ.
inserendo la misura.
a. Il complementare di a — 27° èl____ I.
c. Il supplementare di (3 = 115° èl____ I.
b. La quarta parte di un angolo piatto èl____ I.
d. La metà della terza parte di un angolo piatto èl____ I.
In ognuno dei seguenti esercizi calcola, se possibile, la misura degli angoli indicati
IBI
COD = 40°, AOC = 4AOB, AOC e COD sono supplementari. AOB = ?
G34
Qj] 90°
Maths in English Translate thè following statements from symbols to words:
ABC = 45.9°;
COMPLETA
180°
KM Trova le misure degli angoli adiacenti agli angoli: a = 38°; 3 = 150°; 7 = 45°; 8 = 137°. m
u
YOU &MATHS O pposite angles Look at thè figure and complete thè statements by filling in thè missing parts.
a. If BDC = 65°, then BDA = I____ 1, since BDC and BDA are I_____________ . b. If thè measure of CDQ is a , then BDA = I____ I, since CDQ and BDA are COMPLETA
u s i Se a e 3 sono complementari, 3 e 7 sono complementari, 7 e 5 sono supplementari, allora <2 + ò =
IBI
Osserva la figura. Se a = 23 + 66°, allora 3 = L
IED
Se la differenza tra due angoli complementari a e 3 è 18°, allora a = I____ Ie 3 —I____ I.
IBI
Quanto misura l’angolo formato dalle bisettrici di due angoli consecutivi complementari?
IBI
Due angoli adiacenti a e 3 sono tali che il primo supera il secondo di 20°. Quanto misurano a e 3?
IBI
Determina le ampiezze di due angoli supplementari che differiscono di 46°.
IB I Due angoli complementari sono tali che uno è i y della metà dell’altro. Trova le loro ampiezze.
[75°; 15°]
Calcola le ampiezze di tre angoli consecutivi a, 3 e 7 , sapendo che la loro somma è un angolo concavo che misura 290° e che a e 7 sono entrambi supplementari di 3EUREKA!
Com puter vs cervello Roberto ha scritto un programma A che, dato un angolo, ne restituisce il
supplementare e un programma B che, dato un angolo, ne calcola il complementare. Per divertirsi, applica 1021 volte consecutivamente il programma A partendo da un angolo di 30° e successivamente applicando il programma al risultato ottenuto dall’applicazione precedente. Infine, al risultato ottenuto applica una volta il programma B. Che output avrà? Osservando le figure, determina le misure degli angoli incogniti.
G35
G1
m
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
L’ampiezza della somma di due angoli consecu tivi è 112°. Sapendo che un angolo è congruente 3 ai dell’altro, determina le ampiezze dei due
IM I
angoli e dei loro supplementari. [64°; 48°; 116°; 132°]
INTORNO A NOI Non tutte rettangolari... Nella bandiera in figura è 45a = 588 e 3 è il comple mentare di 58°. Sapendo che 7 e 8 sono esplementari e che la somma di a con 3 è congruente a un terzo della differenza tra 7 e 8, determina le ampiezze degli angoli a, 3, 7 e 8.
IECT Le semirette a, b, c, d hanno origine comune nel vertice O e sono disposte in modo tale che b sia la bisettrice dell’angolo aOc e c sia la bisettrice dell’angolo aOd. Determina l’ampiezza dell’an golo formato dalle due bisettrici, sapendo che aOb è il complementare di cOd. [30°] E0
L’ampiezza della differenza di due angoli esplementari è 158°. Determina le loro ampiezze. [101°; 259°]
LABORATORIO
[a = 58°; 3 = 32°; 7 = 315°; 6 = 45°]
MATEMATICA E TOPOGRAFIA
La m appa del teso ro Camilla e Lorenzo trovano in soffitta una mappa del tesoro, eredità del bisnonno, appassionato esploratore. Nella mappa è illustrato come raggiungere un forzie re colmo d’oro e pietre preziose appartenuto a qual che pirata. Incuriositi, chiedono ai nonni di aiutarli a capire le origini della mappa e soprattutto se il luogo descritto è reale e raggiungibile! I nonni però sono lontani ed è possibile sentirli solo tramite telefono. a. Guarda la mappa in figura e disegna un profilo schematico dell’isola, approssimandolo con seg menti e archi di circonferenza.
b. Quali istruzioni dovranno dare, telefonicamente, Camilla e Lorenzo affinché i nonni possano ricostruire un model lo schematico della mappa ed eventualmente riconoscere l’isola? ►Risoluzione.
►2 esercizi in più.
ESERCIZI IN PIU I T O - Ì Q ] Q SU TUTTO IL CAPITOLO
G36
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
ESERCIZI IN PIÙ GEOMETRIA EUCLIDEA E FIGURE o U fi
......
EUREKA! Tutti in cerchio Considera un qualsiasi cerchio C del piano, privato dei punti della circonfe renza che lo delimita, e immagina il seguente modello di geometria:
1. C è il «piano» e i suoi punti sono i «punti del piano C»; 2. le corde di C (prive degli estremi) sono le «rette del piano C»; 3. «semirette» e «segmenti» sono definiti in C come nell’usuale piano euclideo. Possono ritenersi applicabili a tale modello i seguenti postulati? Motiva le risposte. PI: P2: P3: P4:
«per due punti distinti di C passa una e una sola retta». «su una retta di C ci sono almeno due punti». «per ogni retta r del piano esiste almeno un punto di C che non le appartiene». «la retta è un insieme ordinato di punti, non esiste né primo né ultimo elemento, fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro punto. P5: «una qualsiasi retta r di un piano divide l’insieme dei punti del piano che non le appartengono in due regioni (semipiani) tali che: a. se due punti A e B appartengono alla stessa regione (semipiano), sono gli estremi di un segmento AB che non interseca r; b. s e A e B appartengono a regioni diverse, il segmento AB interseca la retta. [sì]
m
u
VERO 0 FALSO?
a. Un punto è un particolare segmento.
H E
b. Due segmenti consecutivi si intersecano in un solo punto.
H E
c. Se due segmenti si intersecano in un solo punto, allora sono consecutivi.
H E
d. Due segmenti consecutivi appartengono sempre allo stesso piano.
H E
Dati i seguenti enunciati, stabilisci quali, tra le figure proposte, li rappresentano correttamente e senza che si verifichino casi particolari non richiesti. E H Date le rette r e s, considera i tre segmenti consecutivi a due a due AB, BC e BD, con AB e BC che giacciono su s e D che appartiene a r.
E188
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ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
I ESERCIZI IN PIÙ
Data la semiretta Br, considera i punti A e C su di essa e il punto D fuori di essa.
feti
COMPLETA le scritture in riferimento alla figura, utilizzando i simboli che ritieni più opportuni (a e (3 sono i due semipiani di origine r).
a. b
__ I (3
b. A
3
g. E\
c. D
a
h. D
d. CI
3
i. C
e. a
b=0
naQ TEST B
f. I
L’angolo aVb è un angolo:
giro.
[~b~~1 piatto. fc] nullo. E
m
D
concavo.
TEST
E
Con riferimento alla figura dell’esercizio 167, l’angolo cVd è consecutivo di:
a V e-
E
aVc.
E
eVb-
E
eVd.
Osserva la figura a lato e scrivi: a. le coppie di angoli al vertice; b. le coppie di angoli adiacenti; c. le coppie di angoli consecutivi; d. gli angoli concavi; e. gli angoli convessi.
IF71 Stabilisci se le seguenti figure sono concave, convesse, né concave né convesse. a. Un segmento.
c. Due segmenti che si intersecano in un punto.
b. Un semipiano.
d. Due semipiani che si intersecano.
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E189
Gl
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
jFjj
EUREKA!
U n a ng olo a fe tte
__ ^ ^ Sia aOb un angolo congruente a - y P , essendo P un angolo piatto. Sia s una
semiretta di origine O interna ad aOb, tale che sOb = y P , e sia t la bisettrice di aOb. Dimostra che: a. sOt = 4 - P ;
b.
tOb =
2aOs.
LINEE, POLIGONALI, POLIGONI ©Teo« c a Q
^
9
VERO 0 FALSO?
a. Un segmento, una retta, una semiretta sono linee aperte non intrecciate.
0 0
b. Una linea chiusa intrecciata divide l’insieme dei punti del piano in due sottoinsiemi. c. Una linea aperta e illimitata è necessariamente una retta. d. Il centro di una circonferenza appartiene al cerchio ma non alla circonferenza. e. L’arco è una linea, non intrecciata, che unisce due punti qualsiasi di una circonferenza.
0 0 [V] |T] [T] [T] HEEH
rosi Disegna una poligonale aperta non intrecciata composta da sette segmenti in modo che: • due segmenti non congruenti siano tra loro adiacenti; • tre segmenti non consecutivi siano tra loro congruenti.
IFZ1 Stabilisci quali, fra le seguenti figure, sono poligoni e quali non lo sono, motivando la risposta. Fra i poligo ni individua poi quelli concavi e quelli convessi.
ib i
COMPLETA P o lig o n o
la seguente tabella. N u m e ro la ti
N u m e ro v e rtic i
N u m e ro d ia g o n a li
0 pentagono
2 6 8 decagono E190
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ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
SEGMENTI, ANGOLI E MISURE M U
I ESERCIZI IN PIÙ
© le e n a a pagina G11
VERO 0 FALSO?
a. Dati due segmenti non nulli AB e CD, con AB > CD, è sempre possibile trovare un numero naturale n tale che AB = nCD.
H E
b. Sapendo che AB = nCD, con CD segmento non nullo e n G Q+, allora anche AB è necessariamente un segmento non nullo.
[V] H
c. Sapendo che AB = nCD e che EF = mCD, allora AB + EF = (m + n)CD.
H E
d. Ogni segmento è sempre divisibile in un numero qualunque di parti congruenti.
H E
e. Se AB = 3CD, allora non esiste il punto medio del segmento AB.
H E
a. Angolo retto. b. Angoli supplementari. c. Angoli esplementari. d. Angolo acuto. e. Angolo ottuso. f. Angoli complementari. g. Angolo piatto. h. Angolo giro.
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E191
Gl
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
IFJil Per ognuna delle seguenti figure, costruisci la bisettrice dell’angolo colorato.
FFCT tt e 3 sono una coppia di angoli adiacenti. Stabilisci la relazione esistente tra i due angoli che le bisettrici degli angoli dati formano con i due lati non comuni di a e 3iTSTil
COMPLETA Per ognuno dei seguenti angoli a stabilisci se 3 è il suo complementare, il supplementare, l’esplementare o nessuno dei precedenti. a 22°
3 158°
145°
55°
37°
53°
258°
102°
135°
45°
45°
45°
n i n G TEST Due angoli complementari la cui differenza è di 15° misurano: [a]
52,5° e 37,5°.
[c] 52,5° e 67,5°.
E
97,5° e 82,5°.
[TT] non si può stabilire.
II#! Due angoli adiacenti sono uno i y y dell’altro. Calcola le loro ampiezze.
[63°; 117°]
RIEPILOGO E Q U I VERO0 FALSO? a. Ogni semiretta divide il piano che la contiene in due semipiani. b. Due punti distinti su una retta individuano due semirette e un segmento. c. Una figura è concava se i segmenti che hanno estremi all’esterno della figura non la intersecano.
E192
Un angolo è sempre una figura convessa. e. Una semiretta individua sempre un angolo giro e un angolo nullo. f. Una figura concava può essere congruente a una convessa. d.
fv] [T]
[TUT]
[v] [~f~|
Copyright © 20U Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
E
E
ra m E
0
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
EH]
COMPLETA osservando la figura e usando i sim boli più opportuni, (a e 3 sono originati da t.)
ITITI
I ESERCIZI IN PIÙ
INTORNOANOI Individua nella figura almeno due coppie di angoli e due di segmenti: a. adiacenti; b.
consecutivi ma non adiacenti.
Trova poi almeno due coppie di angoli: c. supplementari; d. complementari.
Al
la ;
H I a;
sC \t= PZ\
ZQ n a = I
;
AZ; ;
P L AZ; P Z fìa = l
;
A Zna =
In riferimento alla figura dell’esercizio prece dente, determina le coppie di segmenti: a. consecutivi ma non adiacenti; b.
adiacenti.
i E S Q TEST Se due figure del piano sono convesse, allora è sempre convessa: |~a~| la loro unione. |~b~|
la loro intersezione.
|~c~| la loro differenza insiemistica. |~d] l’intersezione dei loro insiemi complementari nel piano. ITiTil Lara telefona a Mario perché non riesce a risolvere due esercizi. Aiutala a descrivere in maniera univoca e sintetica le seguenti figure, in modo che Mario possa darle un’indicazione.
r a n Considera due rette orientate s e t. a. Rappresenta graficamente la situazione per la quale: {A, P,Q, R} C s; {A, F} C t; P segue Q; F precede A; R non segue A; AQ < QP; A E RQ. b.
m
Elenca le coppie di segmenti consecutivi e quelle di segmenti adiacenti. Cosa succede se si inverte l’orien tamento di f?
Disegna tre segmenti consecutivi PQ, QR, RS tali che, se M è il punto medio di QR, si ha P Q -M Q > RS + MR.
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
E193
Gl
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
B O Disegna tre angoli a , (3 e 7 tali che 2(3 - (a + 7 ) < (3. P
Stabilisci se: a. l’insieme degli angoli acuti e quello degli angoli ottusi costituiscono una partizione dell’insieme degli
angoli minori di un angolo piatto; b. l’insieme degli angoli concavi e quello degli angoli convessi costituiscono una partizione dell’insieme degli angoli del piano.
IEE1 Vogliamo costruire delle figure piane disponendo lungo i lati quattro quadrati identici in modo che non si sovrappongano e che ciascun quadrato abbia almeno un lato in comune con un altro. Consideriamo equivalenti tutte quelle figure che possono essere sovrapposte con un movimento qualsiasi. Quanti poligoni diversi possiamo ottenere? Quanti sono convessi?
►LABORATORIO
MATEMATICA INTORNO A NOI
C ostruire un aquilone Camilla vorrebbe costruire l’aquilone della figura. Dopo un’accurata ricerca in Inter net trova le istruzioni; i materiali da utilizzare sono: 4 stecche lunghe 240 mm; 9 qua drati in carta velina, di qualsiasi colore, di lato 80 mm; 2 rettangoli in carta velina di lati 80 mm X 160 mm. a. Costruisci lo schema di assemblaggio delle figure geometriche, affinché l’aquilone in volo sia come quello riportato in figura.
b. Quanto misurano i lati dei due triangoli che formano le ali esterne dell’aquilone? (Ricorda che cosa afferma il teorema di Pitagora.)
□ E194
►Risoluzione.
Copyright © 20U Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
MENU DELLE COMPETENZE @
Nella seconda pagina della copertina
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ►Com petenza 2 (abilità 1, 2)
INTORNOANOI L u n a tic o ! Stabilisci in quali delle seguenti fasi la luna ci appare come una figura concava e in quali convessa.
luna crescente
primo quarto
Con sidera i puntini a lato. Costruisci, toccandoli tutti una sola volta, una poligo nale che non contenga seg menti adiacenti e che sia:
fÀ1 Un segmento. [~b1 Un quadrilatero concavo. I~c1 Un esagono regolare.
a.
aperta e non intrecciata;
b.
chiusa e intrecciata (puoi toccare due volte un solo punto).
n
Q TEST L’intersezione di due triangoli, se non è vuota e se non si riduce a un punto o a un seg mento, è un poligono. Qual è il numero minimo e massimo di lati che può avere un tale poligono? [c] 4 e 5.
□G 3 e 5.
Qfl 3 e 6.
gibbosa calante
Q TEST Quale di queste figure non può essere l’intersezione di due triangoli?
U n e n d o i p u n t in i. . .
[ a] 3 e 4.
luna piena
Un punto.
È possibile disegnare un quadrilatero con due angoli ottusi? E un triangolo? Disegna due pentagoni, uno concavo e l’altro convesso, con almeno un angolo retto e uno ottuso. Come sono gli altri tre angoli?
Q VERO0 FALSO? a. Un angolo concavo contiene il prolungamento dei suoi lati. b.
Un angolo piatto è convesso.
b
e
0 0
c. Due angoli opposti al vertice sono sempre convessi.
0 0
d. Un angolo nullo ha i lati sovrapposti.
0 0
e. Due angoli consecutivi possono essere entrambi concavi.
0 0
Q VERO0 FALSO? a. Il poligono azzurro è un ettagono convesso.
0 E
L’esplementare dell’angolo a è convesso.
0 0
b.
\
/\ V
^/ \
7/ P
c. 3 e t sono complementari.
0 0
d. ò ed 8 sono angoli congruenti.
0 0
e. 3 è un angolo ottuso.
0 0 G37
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
K 'J Q INVALSI 2002
Scegli tra le seguenti figure AC 3 quella in cui risulta vera l’uguaglianza
b. 3a + 3 + T c. 2 (a + (3) [¥] •— i— i— i— i— i—
A
C
d. y T
H-------1-------h
E
C
+
3
B
I M Q TEST Non è possibile determinare: 1~a1 il complementare del supplementare di un angolo ottuso.
H----1----h
[D]
|~b~1 l’esplementare di un angolo piatto. fcl la differenza tra un angolo ottuso e il suo supplementare. I~d1 il complementare dell’esplementare di un angolo convesso.
l T Ì l [ ] VEROOFALSO? a. Due angoli complementari sono acuti, [v] [T] b. Due angoli adiacenti sono sempre supplementari.
QUEI
c. Due angoli supplementari sono sempre adiacenti.
[v][Tj
Gli angoli convessi sono acuti.
f~v~l l~F~l
e. Se due angoli sono supplementari, allora sono convessi.
[v][T]
f. Due angoli retti sono supplementari,
[v ][~f1
d.
K jl [ ] VERO0 FALSO? Osserva la figura.
H i Disegna una poligonale: a. intrecciata chiusa costituita da 5 segmenti; b. intrecciata aperta costituita da 4 segmenti. Utilizzando riga e compasso per effettuare eventuali costruzioni e trasporti, esegui le seguenti operazioni.
a. 7 è complementare di a.
[~vH~f 1
b. t + 3 > à.
nnm
3 + 8 —a
[YHT1
c.
d. a =
= a.
3.
H E E
e. 5 + 7 = a + 3-
rv im
C a. - j( C D - A B )
■M Considera un angolo a acuto. Rappresenta e confronta tra loro il suo complementare 3> il suo supplementare 7 e il suo esplementare 5.
b. -jC D + AB c. -j(C D + AB) d. -jC D + ^ A B
G38
m
ALVOLO II supplementare del supplementare di un angolo ottuso è ottuso?
MENU DELLE COMPETENZE
O
Nella seconda pagina della copertina
► Competenza 2 (abilità U) N e l rappresentare le seguenti s itu a z io n i è stata in s e rita u n a p ro p rie tà n o n rich ie sta . In d iv id u a la .
■IH Considera i segmenti consecutivi AB e BQ e prendi un punto M interno al segmento AB tale che BQ = MB.
i l ' l Sui lati di due angoli acuti e non consecu tivi a e (3 di vertice comune V, conside ra quattro punti P, Q, R, S equidistanti da V.
K H Considera su una semiretta orientata quattro punti, nell’ordine, P, Q, R, S tali che PQ = RS. Dimostra che:
m i Dimostra che, se le bisettrici di due angoli acuti non consecutivi mOn e pOt formano un angolo retto, allora gli angoli mOp e nOt sono supple mentari.
Q
a. PR = QS; b. il punto medio del segmento PS è anche il punto medio del segmento QR. M i Disegna i segmenti adiacenti AB, BC, CD con AB = CD. Dimostra che AC = BD. m i Disegna gli angoli consecutivi aOb, bOc, cOd, con aOb = cOd. Dimostra che aOc = bOd. m i Considera un segmento AB e prendi un pun to interno P in modo che AP > PB. Trac cia il punto medio M di AB e dimostra che
m i Siano a e 3 due angoli opposti al vertice e P e Q due punti sulle rispettive bisettrici. Dimostra che, se O è il vertice comune ad a e 3> i punti O, P e Q sono allineati. m i Considera due angoli consecutivi e convessi aVb e bVc. Dimostra che, se le bisettrici dei due ango li formano un angolo retto, comunque presi un punto A sulla semiretta Va e un punto B sulla semiretta Ve, i punti A, B e V sono allineati.
MP = y ( A P - P P ) . m i Considera gli angoli consecutivi a, 3> 7, 5 tali che la loro somma sia congruente a un angolo piatto e che gli angoli a + 3> 3 + 7 e 7 + 5 sia no tutti congruenti ad angoli retti. Dimostra che a = 7 e (3 = 8.
m :l Sul segmento AB considera il punto C. Consi dera quindi i punti P e Q sui semipiani opposti originati dalla retta che contiene AB e tali che PCA = QCB. Dimostra che i punti C, P e Q risultano allineati.
► Competenza 2 (abilità 3) [► Competenza 3 (abilità 3) m i Disegna una poligonale aperta e non intrecciata di cinque segmenti tale che il primo e il quarto segmento siano congruenti alla metà del terzo, che a sua volta è congruente al doppio del secondo ed è sottomultiplo secondo il numero 4 del quinto segmento. Determina quindi la misura del primo segmento tale per cui la somma dei lati è 78. [6] Hill Disegna un poligono regolare con 6 lati. Sapendo che la somma degli angoli interni del poligono è uguale al doppio dell’ampiezza di un angolo giro, calcola l’ampiezza di ogni angolo interno e di ogni angolo esterno. [120°; 60°] i<ÌB Scrivi come multipli dell’angolo piatto i seguenti angoli e indica le loro ampiezze. a. tt congruente alla quarta parte dell’angolo retto; b. 3 congruente al doppio della terza parte dell’angolo giro; c. 7 congruente alla quarta parte dell’angolo giro. G39
G1
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
WYÉ Considera, sulla stessa retta, nell’ordine indicato, i punti A, C, P, Q e i punti medi M, N dei segmenti AC e PQ. Sapendo che M N = 3AC e che PN = y A M , esprimi CP come multiplo di NQ. Se la misura di NQ è 0,5 cm, qual è la misura di CP? [CP s 14NQ; 7 cm] Considera due angoli convessi e consecutivi aOb e bOc e traccia le rispettive bisettrici Op e Oq. Sapendo che aOq =~^aO b, esprimi l’angolo pOq come multiplo di pOb. Se l’ampiezza di pOq è 45°, qual è l’ampiezza di aOp? E di qOc?
p O q ^-jp O b ; 25°; 20°
Nella poligonale intrecciata della figura DE = y B C , DC = EF, EP = 4FP e FP = y A P . Sapendo che AP — 2 cm, determina le lunghezze dei segmenti.
[AB = 4 cm; BC = 2 cm; CD = EF = 5 cm; DE = 3 cm] INTORNOANOI Angoli nel buio II faro rappresentato in figura emette nello stesso istante tre segnali luminosi diretti in tre distinte direzioni. Sapendo che due dei tre angoli individuati dai raggi luminosi sono tra loro complementari e che la differenza tra il maggiore e il minore dei tre misura 228°, calcola le ampiez ze dei tre angoli. [42°; 48°; 270°]
BtfrJ Determina le ampiezze di tre angoli consecu tivi, sapendo che due di essi sono adiacenti e che la loro somma, congruente al triplo del doppio di uno dei due angoli adiacenti, è 210°. [35°; 145°; 30°] H i! Tre angoli sono tali che a < 3 < 7. Determina le loro ampiezze, sapendo che 2a + 3 = 250°, a e 7 sono complementari e 3 è multiplo di 7 secondo 4. [a = 55°; 3 = 140°; 7 = 35°]
K H Due segmenti AB e CD giacciono sulla stessa ret ta e sono tali che AB = -jC D e M N = ~^CD, con M punto medio di AB e N punto medio di CD. Determina le lunghezze di AB e CD, sapen do che la distanza tra A e D è 18 cm. [AB —2 cm ; CD —6 cm ]
MENU DELLE COMPETENZE
Q
Nella seconda pagina della copertina
V E R IF IC A D E L L E C O M P E T E N Z E P R O V E ru T © R
PROVAA
(10
esercizi)
PROVA B
(10
esercizi)
PROVA C ► Competenze 2, 3 D
© IN UN’ORA
Considera il teorema «Il supplementare di un angolo acuto è ottuso». a.
Scrivilo nella forma «Se... allora...» e indica ipotesi e tesi.
b.
Stabilisci se vale il teorema inverso.
Dati due segmenti adiacenti AB e BC, indica con M e N i rispettivi punti medi e dimostra che il segmento M N è congruente alla metà di AC. E9
c. Cosa puoi concludere in base al teorema sul supplementare di un angolo non acuto?
Due segmenti sono tali che la loro somma è 12 cm e uno è multiplo secondo 3 dell’altro. Deter mina le lunghezze dei due segmenti. Due angoli a e 3 sono tali che a = 53- Determi na le loro ampiezze nel caso siano:
WM Individua tutte le coppie di segmenti: a.
adiacenti;
a.
complementari;
b.
consecutivi ma non adiacenti.
b.
supplementari;
La poligonale in figi intrecciata?
c. esplementari. è aperta o chiusa? È
PROVAD ► Competenze 2, 3
0 IN UN'ORA
VERO0 FALSO? a.
Il supplementare del complementare di un angolo acuto è ottuso. [V] |T]
b.
Il complementare del supplementare di un angolo acuto è acuto. [v] [T)
c. Gli angoli complementari di due angoli opposti al vertice sono congruenti. [V] [T| d.
Due angoli complementari non possono essere congruenti.
[v ]ITI
WM Nel piano considera una retta t e due segmenti consecutivi ma non adiacenti PQ e QT che inter secano entrambi in un loro punto interno la ret ta t. Spiega perché si può affermare che l’interse zione tra il segmento PT e la retta t è vuota.
Disegna una poligonale aperta non intrecciata di cinque lati, sapendo che, di essi, il primo, il terzo e il quinto sono tra loro congruenti, mentre il secondo è multiplo del primo secondo 4 e il quarto è sottomultiplo del secondo lato secondo 2. Determina quale deve essere la lunghezza del primo lato affinché la somma dei lati sia 18 cm. Gli angoli AOB e COD hanno il vertice in comune e le loro bisettrici sono tali che Luna è il prolungamento dell’altra. Dimostra che BOC = DOA.
K B Tre segmenti AB, CD ed EF sono tali che AB = ~2~CD ed EF = ~^ CD. Esprimi AB come multiplo di EF e determina le lunghezze di CD ed EF se la lunghezza di AB è 14 cm. G41
TRIANGOLI 1. LATI, ANGOLI, SEGMENTI PARTICOLARI O Esercizi a pagina G52
13
A tria n g le is a polygon with three sides and three vertices.
Lati e angoli
Un tria n g o lo è un poligono con tre lati e tre angoli. Valgono quindi tutte le definizioni relative a lati e angoli che abbiamo dato per i poligoni. In particolare, un a n g o lo interno è: • adiacente a u n la to
B e C sono adiacenti a BC
se il suo vertice è un estremo del lato, altrimenti è o p p o s to al
la to ; • com preso fra due la t i
se essi appartengono ai lati delfangolo. B
Classificazioni
Classifichiamo i triangoli rispetto ai lati e rispetto agli angoli. Rispetto ai lati, un triangolo è: se ha i tre lati congruenti; e q u ila te ro
se ha due lati congruenti; isoscele
^ C A è compreso fra AB e AC
se non ha lati congruenti. scaleno
B B B
L’insieme dei triangoli equilateri è un sottoinsieme di quello dei triangoli isosceli, per ché un triangolo equilatero è tre volte isoscele: si possono considerare tre coppie di lati congruenti. Rispetto agli angoli, un triangolo è: a c u ta n g o lo
se ha i tre
angoli acuti; B
se ha un angolo retto; re tta n g o lo
se ha un angolo ottuso. o ttu s a n g o lo B
In un triangolo rettangolo i due lati adiacenti all’angolo retto sono i cateti, quello opposto all’angolo retto è l ’ipotenusa.
1. LATI, ANGOLI, SEGMENTI PARTICOLARI
TEORIA
B isettrici, m ediane, altezze
In un triangolo: • la b is e ttric e di un angolo è il segmento formato dai punti della bisettrice dell’angolo che appartengono al triangolo; • la m e d ia n a relativa a un lato è il segmento che ha per estremi il vertice opposto al lato e il punto medio del lato stesso; relativa a un lato è il segmento che ha un estremo nel vertice opposto al lato e l’altro estremo sul lato stesso, o sul suo prolungamento, preso in modo da formare due angoli retti.
• l ’altezza
ESERCIZI PER COMINCIARE D
COMPLETA Nella figura: • rispetto ai lati, il triangolo è
Ricopia più volte ognuno dei triangoli seguenti e traccia le bisettrici, le mediane e le altezze.
• rispetto agli angoli, il triangolo è
C
F
• ABC èl_______lai lato AC; • BCA èl_______lai lato BC; • CAB è compreso fra i latiI____ Ie D
E V
H U
■flTB Un triangolo è l’intersezione di tre angoli convessi che hanno per vertici tre punti non alli neati. Fai un esempio.
MM Q VERO0 FALSO? a.
Un triangolo ottusangolo non è mai isoscele.
0 0
b. Un triangolo isoscele può essere equilatero.
0 0
c. Un triangolo scaleno non è isoscele.
0 0
d.
Se un triangolo non è isoscele, non può essere equilatero.
e. Un triangolo non scaleno è isoscele.
0 0 0 0
G43
G2
TRIANGOLI
2. PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA
fp l Two triangles are congruent if two of their sides and thè angles between them are respectively congruent. This is sometimes called thè side-angle-side (SAS) criterion.
© Esercizi a pagina G54
Se sappiamo che due triangoli ABC e A'B'C' hanno congruenti i lati AB e A'B',
i lati AC e A' C'
e gli angoli A e A' compresi fra essi,
possiamo pensare di sovrapporre i triangoli, punto per punto: spostiamo A'B'C' con un movimento rigido in modo che A' coincida con A e si sovrappongano i lati A'C' e AC e gli angoli A' e A .
Osserviamo che: • AC = A'C', quindi il punto C' coincide con C; • A = A ', quindi il lato A'B' coincide con il lato AB; • AB = A'B', quindi il punto B' coincide con B. Essendo sovrapposti i tre vertici dei triangoli, lo sono anche tutti i lati e tutti gli angoli: i triangoli sono congruenti.
ESEMPIO
Le considerazioni precedenti portano ad accettare come postulato il seguente criterio.
ESERCIZI PER COMINCIARE — □ E T Nel triangolo PQR, considera M, punto medio di QR. Prolunga PM di un segmento MS, in modo che PM = MS, e traccia il segmento RS. Dimostra che PQ e RS sono congruenti. B
U m s m Dati due triangoli, se hanno ordinatamente congruenti due lati e un angolo che non sia quello compreso fra i lati, non è detto che i triangoli siano congruenti. Fai un esempio.
KÉ
AVB e BVC sono due angoli consecutivi con gruenti di vertice V. Sui lati non comuni A V e VC, considera i segmenti congruenti VA' e VC' e, fissato un punto P sul lato comune VB, dimostra che gli angoli A'PV e C'PV sono congruenti. Due triangoli ABC e A'B'C' sono tali che AB = A'B', AC = A'C' e hanno gli angoli ester ni di vertici A e A' congruenti. Dimostra che i triangoli sono congruenti.
3. SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA
3. SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA
TEORIA
r n Two triangles are congruent if a side and its two adjacent angles are respectively congruent. This is sometimes called thè angle-side-angle (ASA) criterion.
O Esercizi a pagina G57
Utilizzando il metodo di dimostrazione per assurdo, dimostriamo il secondo criterio di congruenza. In una d im o s tra z io n e p e r assurdo consideriamo vera la negazione della tesi e arrivia mo, con una sequenza di deduzioni, a una contraddizione. Questo permette di affer mare che la negazione della tesi èfalsa e, di conseguenza, la tesi è vera. Secondo c r ite r io d i co ng ru en za
< zLU cou
B
B'
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e gli angoli adiacenti al lato. Ipotesi: AC s A'C'
LU
A
A
A = A’ Tesi:
ABC = A'B'C'
DIMOSTRAZIONE
Ragioniamo per assurdo negando la tesi, supponendo cioè che i triangoli non siano congruen ti. Deduciamo subito che non può essere AB = A 'B ', altrimenti i triangoli sarebbero congruenti per il primo criterio. Supponiamo poi che AB < A 'B '. Dovrebbe esistere un punto P, interno ad A'B', con A'P = AB.
A
C
A'
I triangoli A'PC' e ABC sarebbero congruenti per il primo criterio, avendo A'P = AB, A'C' = A C ,A f= A. In particolare, sarebbe PC'A' = BCA. Ma per ipotesi BCA = B’C'A', quindi per la proprietà transitiva: PC’A ' = B'C’A'. Poiché l’angolo B'C'A' non può essere congruente a una sua parte, siamo giunti a una contraddizione. Allora la negazione della tesi è falsa e i triangoli ABC e A'B'C' sono congruenti. Si procede in modo analogo se si suppone AB > A'B'.
C'
ESERCIZI PER COMINCIARE n
r ì B
D U E
i w
a Dimostra che, se in un triangolo una bisettrice è anche altezza, allora il triangolo è isoscele. Dimostra che in due triangoli congruenti le bisettrici di angoli congruenti sono congruenti.
D im o s tra z io n e p e r a ssurdo Per comprendere meglio come si procede in una dimostrazione per assurdo, prova ad applicarla in questo esempio. Su un’isola vivono soltanto persone che dicono sempre la verità e persone sempre bugiarde. Sull’isola si trova un cartello con scritto: «Io sono un bugiardo!». Dimostra che non può averlo scritto un abitante dell’isola. GA5
G2
TRIANGOLI
4. PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO ISOSCELE
has two congruent Q Ansides and twotriangle congruent angles. isosceles
O Esercizi a pagina G59 angolo al vertice
In un triangolo isoscele, chiamiamo:
lati obliqui
• lati obliqui i lati congruenti; • base l’altro lato; • angoli alla base gli angoli adiacenti alla base;
angoli alla base
TEOREMA
• angolo al vertice l’altro angolo. B
Triangolo isoscele -*■ due angoli congruenti
A X
Un triangolo isoscele ha gli angoli alla base congruenti.
Ipotesi: AB = BC A
v
Tesi:
A
A ^C
c
A
DIMOSTRAZIONE
Tracciamo la bisettrice BP dell’angolo al vertice B. I triangoli ABP e BPC hanno: B
• AB = BC perché ABC è isoscele; • BP in comune; • ABP = PBC perché BP è bisettrice dell’angolo B.
C
Quindi sono congruenti per il primo criterio. In particolare: A = C.
Il teorema precedente esprime una condizione necessaria affinché un triangolo sia iso scele: perché un triangolo sia isoscele è necessario che abbia due angoli congruenti.
TEOREMA
Vale anche il teorema inverso, che è una condizione sufficiente affinché un triangolo sia isoscele. B
D ue angoli congruenti —• triangolo isoscele
A
Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele.
A
v
Tesi: C
A
DIMOSTRAZIONE
0 T racciam o le bisettrici AS e CI'. 1 triangoli ATC e ASC hanno: • AC in comune; • TAC = SCA per ipotesi; • ACT = SAC perché metà di angoli congruenti. Quindi sono congruenti per il secondo criterio. In particolare: AS = C T ; A TC = ASC.
A
Ipotesi: A = C
B
AB = BC
U. PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO ISOSCELE
TEORIA
Consideriamo ora i triangoli ABS e CTB; hanno: • AS = CT per la dimostrazione precedente; • BAS = BCT perché metà di angoli congruenti; • ASB = B T C perché supplementari di ASC = A T C , congruenti per la dimostrazione precedente. Quindi sono congruenti per il secondo criterio. In particolare: AB = BC. Pertanto il triangolo ABC è isoscele.
1 TEOREMA
Il teorema precedente esprime una condizione sufficiente affinché un triangolo sia iso scele: perché un triangolo sia isoscele è sufficiente che abbia due angoli congruenti. I due teoremi finora dimostrati in questo paragrafo si possono allora riassumere nel seguente. C ondizione necessaria e sufficiente per il triangolo isoscele
Affinché un triangolo sia isoscele è necessario e sufficiente che abbia due angoli ccmgruenti. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- iI
In modo equivalente, si può dire che un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti. Nel dimostrare che un triangolo isoscele ha due angoli congruenti, abbiamo tracciato la bisettrice BP dell’angolo al vertice B e dimostrato che i triangoli ABP e BPC sono congruenti. Da questo deduciamo che: • AP = PC, quindi BP è anche mediana di AC; • APB = BPC; gli angoli sono adiacenti, quindi la loro somma è un angolo piatto; essendo congruenti, ognuno degli angoli è allora un angolo retto e BP è anche altez za di AC. Riassumiamo queste proprietà con un teorema. < z
tu
oc
o tu
Bisettrice dell’angolo al vertice — mediana e altezza relativa alla base
In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana e altezza relativa alla base.
P roprietà del triangolo equilatero
Utilizzando le proprietà del triangolo isoscele, si può dimostrare che: • un triangolo è equilatero se e solo se ha tre angoli congruenti; • in un triangolo equilatero, ogni bisettrice è anche mediana e altezza.
ESERCIZI PER COMINCIARE
□ EEEfflS Nel triangolo isoscele ABC prolunga la base AB di due segmenti congruenti AD e BE. Dimostra che DCE è isoscele. |Q W r m
C ondizione necessaria e con d izione sufficiente Fai un tuo esempio di condizione necessaria
ma non sufficiente, uno di condizione sufficiente ma non necessaria e uno di condizione necessaria e suffi ciente, dopo aver compreso quelli che proponiamo nel video. G47
G2
TRIANGOLI
5. TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA
lf two triangles have all three sides respectively 0 congruent, they are congruent. This is sometimes called thè side-side-side (SSS) criterion.
© Esercizi a pagina G62
TEOREMA
Terzo criterio di congruenza
B
Ipotesi: AB s A'B'
B'
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti tre lati.
AC sA'C' BC = B'C' A
C A'
C’ Tesi: ABC = A'B'C'
DIMOSTRAZIONE
Q Dato il triangolo ABC, con vertice A e lato AC, costruiamo dalla parte opposta rispetto a B un angolo congruente a BA'C'. Prendiamo sulla semiretta ottenuta il punto D in modo che AD = A ’B'.
ADB = ÀBD e_ CDB = CBD, quindi ABC = ADC perché som me di angoli congruenti. Per le considerazioni precedenti, i triangoli ABC e ADC hanno: AB = AD, BC = CD, ABC = ADC. Quindi sono congruenti per il primo criterio. Abbiamo dimostrato la congruenza delle coppie di triangoli
D
I triangoli ADC e A ’B'C' sono congruenti per il primo criterio. Quindi: AB = A'B' = AD e BC = B 'C = DC. Tracciamo BD e osserviamo i triangoli isosceli ABD e CBD che si formano.
ABC = ADC e ADC = A'B'C, quindi, per la proprietà transitiva: ABC = A'B'C ’. La dimostrazione è analoga se i triangoli ABC e A'B'C ’ non sono acutangoli come quelli che abbiamo disegnato ma ottusangoli, oppure rettangoli.
ESERCIZI PER COMINCIARE Giustifica con il terzo criterio di congruenza le seguenti costruzioni, che abbiamo esam inato nel capitolo G l. MB
Costruzione della bisettrice di un angolo
n
u
m m i C ostruzione di un angolo con gruente a un angolo dato
Criteri di congruenza dei triangoli I criteri di congruenza sono le condizioni per poter disegna re un triangolo congruente a un triangolo dato. Riassumi i concetti contenuti nel video e costruisci con riga e compasso le figure proposte.
te É
Utilizza i tre criteri di congruenza dei triangoli per le dim ostrazioni seguenti.
MM Q FjffffW TflW Nel triangolo ABC consideriamo la mediana BM e la semiretta di origine A che incontra il prolungamento di BM in D e tale che DAC = ACB. Dimostra che AD = BC. n
n
G48
a i B i I triangoli ABC e DEF hanno congruenti: AB e DE; BC ed EF; le mediane AP e DQ dei lati BC ed EF. Dimostra che ABC = DEF.
6. DISUGUAGLIANZE NEI TRIANGOLI
6
TEORIA
. DISUGUAGLIANZE NEI TRIANGOLI @ Esercizi a pagina G66
Angoli estern i e angoli interni A ngolo esterno di un triangolo
Ipotesi: 8 angolo esterno a e 7 angoli interni non adiacenti
In un triangolo, un angolo esterno è maggiore di ognuno degli angoli interni che non gli sono adiacenti.
Tesi:
8 >7; 8 >a
DIMOSTRAZIONE
Dimostriamo che 5 > 7. Consideriamo il punto medio D di CB. Prolunghiamo AD di un segmento DE in modo che AD = DE e con giungiamo E con B.
Dimostriamo che 0 > a . Ripetiamo il procedimento, ma consideriamo l’angolo esterno 0!, con 8] = 8 perché opposti a vertice.
I triangoli DBE e DCA hanno:
Prendiamo F, punto medio di AB, e prolunghiamo CF in modo che EG = CF. Dalla congruenza dei triangoli BFG e CAF deduciamo che GBF = CAF. Essendo GBF interno all’angolo 8t, allora 8i > GBF e quindi anche 81 > CAF. Concludiamo che 8 > a.
• DB = CD perché D è punto medio di CB; • DE = AD per costruzione; • EDB = ADC perché opposti al vertice. Quindi sono congruenti per il primo criterio. In particolare: DBE = DCA. Essendo DBE interno all’angolo 5, allora 5 > DBE e di conseguenza anche 5 > DCA, cioè 8 > 7.
Dal teorema precedente si deducono queste proprietà: • in un triangolo, la somma di due angoli interni è sempre minore di un angolo piatto; • almeno due angoli di un triangolo devono essere acuti; • in un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono sempre acuti. Te ne proponiamo la dimostrazione negli esercizi 2, 3 e 4 a pagina G51. Lato m aggiore e angolo m aggiore
< z tu oc oLU
B
Lato maggiore -<• angolo opposto m aggiore
Ipotesi: ABC triangolo AB > BC
In un triangolo, a lato maggiore è opposto angolo maggiore.
A
A1^ -----
Tesi:
A
C >A
'c
G49
G2
TRIANGOLI
DIMOSTRAZIONE
□ E
3 Per ipotesi AB > BC, quindi possia mo considerare un punto D del segmento AB in modo che BD = BC.
BCA > BCD perché BCD è interno a BCA. BCD = CDB perché il triangolo DBC è isoscele. CDB > DAC perché CDB è angolo esterno del trian golo ADC e DAC è un angolo interno non adiacente. Abbiamo dimostrato che: BCA > BCD = CDB > DAC, quindi BCA > DAC, cioè C > A nel triangolo ABC.
Vale anche il teorema inverso. A n g o lo m a g g io re — la to o p p o sto m a g g io re
In un triangolo, ad angolo maggiore è opposto lato maggiore. Disuguaglianze fra i lati B y' \
D isu g u a g lia n ze tria n g o la r i < z
LU
C d O LU
In un triangolo, un lato è: 1. minore della somma degli altri due; 2. maggiore della loro differenza.
/ A
Ipotesi: ABC triangolo \
--------------
Tesi:
AB < AC + BC AB > AC - BC (con AC > BC)
DIMOSTRAZIONE
Dimostriamo che AB < AC + BC. Prolunghiamo AC di un segmento CD tale che CD = BC.
Consideriamo D, punto interno di AC, tale che CD = BC.
61 = 82 perché angoli alla base del triangolo isoscele BDC.
= 3i perché angoli alla base del triangolo isoscele DBC. 82 > 3i perché, nel triangolo DBC, 82 è angolo ester no e 3i è angolo interno non adiacente, quindi è anche 82 81. 81 > 32 perché, nel triangolo ABD, 81 è angolo esterno e 32 è angolo interno non adiacente; quindi S2 > 32AB > AD perché, nel triangolo ABD, AB è opposto ad angolo maggiore, 82, e AD è opposto ad angolo mino re, 32Essendo AD = A C - C D e C D = BC, allora
3 > 82 perché BC è interno a 3> quindi è anche 3 > 8^ AB < AD perché, nel triangolo ABD, 81 < 3> quindi AB è opposto ad angolo minore e AD ad angolo maggiore. Essendo AD = A C + C D eC D = BC, allora AD = AC + BC. AB < AD e AD = AC + BC, quindi AB < A C + B C . Dimostriamo che AB > AC —BC. Se AC = BC, allora la relazione della tesi diventa AB > 0, che è vera. Dimostriamo poi la tesi se AC e BC non sono congruenti, con AC > BC.
G50
AD = A C - B C . AB > AD e AD = A C - B C , quindi AB > AC —BC.
6. DISUGUAGLIANZE NEI TRIANGOLI
TEORIA
La via più breve La prima disuguaglianza triangolare descrive una proprietà geometrica che applichia mo spesso nella realtà: se i collegamenti in linea retta fra tre luoghi A, B,C sono dello stesso tipo, per andare più rapidamente da A a B scegliamo il collegamento diretto e non andiamo da A a C e poi da C a B. Lunghezze e lati Se di tre segmenti conosciamo la lunghezza, le disuguaglianze triangolari permettono di stabilire se con essi possiamo disegnare un triangolo. ►Tre segmenti di lunghezze 3 cm, 5 cm e 7 cm possono essere i lati di un triangolo, perché: 3
< 5 + 7; 5 < 3 + 7;
7 < 3 + 5;
3 > 7 —5;
5 > 7 —3;
7>5-3.
►Tre segmenti di lunghezza 8 cm, 15 cm, 3 cm non possono essere i lati di un trian golo, perché: 8 < 15 —3. è falsa la seconda disuguaglianza triangolare
ESERCIZI PER COMINCIARE m
i
Nel triangolo isoscele ABC di base AB, considera il punto P interno al lato BC.
Dimostra che CPA > PAC . Dimostra le seguenti proprietà.
flQ E
kB
La somma di due angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto.
KM In un triangolo ci sono sempre due angoli acuti. KM Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti. KM In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa è maggiore di ognuno dei cateti. KM In un triangolo ottusangolo, il lato opposto all’angolo ottuso è maggiore di ognuno degli altri due. MM Disegna un triangolo ABC rettangolo in A e considera un punto D su AB. Dimostra che il triangolo CDB è ottusangolo. Q
Q
v e r o o f a ls o ?
a. Se un lato di un triangolo è 42 cm, il perimetro può essere 84 cm.
E CE]
b. Se un triangolo ha due lati lunghi 22 cm e 13 cm, il perimetro non può essere 43 cm.
E CE]
c. Se un triangolo isoscele ha il perimetro che misura 27 cm, la base può misurare 7 cm.
E E
d. Se un triangolo isoscele ha la base che misura 15,4 cm, il lato deve essere almeno 7,7 cm.
E E
M'M Un triangolo isoscele di perimetro 47 dm può avere il lato obliquo lungo 12 dm? Perché? BUI La somma delle misure in centimetri di tre segmenti è 41 e i segmenti sono tali che il secondo è i -y del primo, mentre il terzo supera il secondo di 9. Calcola le misure in centimetri dei segmenti e stabilisci se con essi è possibile costruire un triangolo. [8; 12; 21; no] G51
TRIANGOLI
ESERCIZI 1. LATI, ANGOLI, SEGMENTI PARTICOLARI I
Teoria a pagina G42
Lati e angoli
Nel triangolo della figura indica:
MATEMATICA E GIOCHI
Gli esaflexagoni
a. l’angolo opposto al lato AC; b.
l’angolo compreso tra i lati AC e CB;
c. gli angoli adiacenti al lato AC; d.
il lato opposto all’angolo ACB;
e. i due angoli esterni di vertice C. In ogni triangolo a ogni angolo interno corri spondono due angoli esterni. Perché sono con gruenti?
Gli esaflexagoni, strani og getti geometrici costruiti con triangoli equilateri, sono stati inventati attor no agli anni ’40 del secolo scorso da uno studente di Princeton, Arthur Stone, e da alcuni suoi colleghi fisici e matematici, tra cui il premio Nobel Richard Feynman. Prova a capire le loro pro prietà con le attività che proponiamo.
□
►Attività guidata. ►Un esercizio in più.
Classificazioni
Costruisci un triangolo equilatero su ogni seg mento disegnato.
Costruisci un triangolo isoscele su ciascun seg mento dell’esercizio precedente.
Nel triangolo della figura traccia:
a. la mediana relativa al lato CB;
Disegna un triangolo scaleno ABC e traccia tutti gli angoli esterni. Quanti sono?
b.
FAI UNESEMPIO Disegna, se possibile, un trian golo:
d.
a. ottusangolo isoscele; b.
acutangolo scaleno;
c. rettangolo isoscele;
G52
B isettrici, m ediane, altezze
d.
scaleno isoscele;
e. rettangolo scaleno.
la bisettrice di ACB;
c. l’altezza relativa al lato AB; l’altezza relativa al lato AC;
e. la bisettrice di ciascun angolo esterno di ver tice B. Disegna un triangolo rettangolo e traccia le altezze relative ai tre lati. Dove si incontrano?
1. LATI, ANGOLI, SEGMENTI PARTICOLARI
ESERCIZI
Disegna tre triangoli: a. acutangolo; b. rettangolo; c. ottusangolo. In ciascuno, traccia i seguenti elementi. KM Le mediane.
BÙI Le altezze.
WkÉ Le bisettrici.
Costruzioni
Esegui le costruzioni con riga e compasso. BK1 Disegna un triangolo qualsiasi e costruisci le sue mediane. BEI Disegna un triangolo a piacere e traccia le biset trici degli angoli interni. 1 M Q YOU&MATHS The three heights of a triangle a. Use dynamic geometry software to construct a triangle. b. Then construct its heights. c. Drag thè triangle’s vertices.
Disegna una figura che rappresenti l’enunciato dei seguenti teoremi e scrivi ipotesi e tesi in simboli, senza eseguire la dimostrazione. BUI Due triangoli aventi ordinatamente congruenti due lati e la mediana relativa a uno di essi sono congruenti. Bl'B Due triangoli isosceli aventi la base e un lato congruenti sono congruenti. B4H In un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, trac cia le mediane BM e CN. Indicato con D il loro punto di intersezione, dimostra che AD è la bisettrice di A .
d. What do you notice? Disegna le figure richieste nelle seguenti descrizioni.
Scrivi l’enunciato del teorema rappresentato dalla figura e dalle ipotesi e tesi indicate.
BUI Dato un segmento AB, conduci da parti oppo ste rispetto alla retta AB due semirette r e s con origine rispettivamente in A e in B e che for mano angoli congruenti con AB. Considera su di esse due punti, rispettivamente C e D, e indi ca con P il punto di intersezione tra i segmenti CD e AB. BT»B Sui prolungamenti dei lati AB e AC del triangolo isoscele ABC, con base BC, considera rispettiva mente i punti D ed E tali che BD = CE. Indica con Q il punto di intersezione tra BE e CD.
Ipotesi: AC H = HCE DC = CE Tesi:
DH = EH
Ipotesi: AM = MC CMB = AMB Tesi:
ABM = CBM
Ipotesi: OA = OC W/È Indica con M il punto medio dell’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A. Considera sulla bisettrice dell’angolo MAC il \ punto P tale che AP = -^ A M e traccia i seg menti CP e PM.
AB = CD Tesi:
AD = CB
Con le m isure
Wl1
COMPLETA a. Se un triangolo ha un angolo di 95°, allora gli angoli esterni adiacenti a esso misurano I____ I. b. Se un angolo esterno di un triangolo misura 128°, l’angolo interno misura c. Se la bisettrice di un angolo interno divide l’angolo in due angoli di 20°, l’angolo esterno misura G53
G2
TRIANGOLI
2. PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA In ciascuna delle seguenti figure, utilizzando le inform azioni segnate in colore, indica le coppie di triangoli che sono congruenti in base al primo criterio.
a
c
b
primo criterio
d
b
WMM
ALVOLO Due triangoli rettangoli hanno i cateti congruenti. Sono congruenti?
Dim ostrazioni
Sui lati a e b di un angolo di vertice O considera rispettivamente i punti A e B, con OA = OB, e sui seg menti OA e OB i punti D ed E rispettivamente, con OD = OE. Dimostriamo che: a. ODB = OEA; b. i triangoli DAB ed EBA sono congruenti. Ipotesi:
OA = OB
Tesi:
OD = OE
a. ODB = OEA b. DAB = EBA
DIMOSTRAZIONE
a. Poiché i triangoli ODB e OEA hanno • OA = OB per ipotesi, • OE = OD per ipotesi, • AOB in comune, essi sono congruenti per il primo criterio. In particolare: ODB = OEA.
b. I triangoli DAB ed EBA hanno:
• DA = EB perché differenze di segmenti con gruenti per ipotesi; • BEA = ADB perché angoli supplementari di angoli congruenti; • DB = EA perché ODB = OEA per la dimo strazione precedente. Quindi DAB = EBA per il primo criterio.
G54
2. PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA
Kftl Traccia due segmenti AB e CD che si intersecano nel punto M, che è il punto medio di entrambi. Dimostra che i triangoli AMC e BMD sono con gruenti.
ESERCIZI
YOU & MATHS
The airport problem
K i'l Nel triangolo ABC traccia la mediana CM e pro lungala di un segmento MD = CM. Congiungi D con B e con A e dimostra che AC = BD e che CB = AD.
City B «■
H lj Due segmenti AB e CD si intersecano nel loro punto medio M. Congiungi i punti C eD con A e con B e dimostra che i triangoli ABC e ABD sono congruenti. lil
Sui lati AC e A'C' dei triangoli congruenti ABC e A 'B 'C ', considera i segmenti AQ e A'Q' con gruenti. Dimostra che: a. BQ = B'Q'; b. gli angoli CBQ e C B 'Q ' sono congruenti.
Ì
Il triangolo ABC della figura è isoscele sulla base AC e inoltre è DB = EB. Dimostra che i triango li DAC ed ECA sono congruenti.
The administrations of three neighbouring cities, named A, B, and C, decided to build an airport dividing thè costs of implementation... ►Problem and resolution. ►5 more exercises.
□
E I □ E E B E E S H H ! Nel triangolo isoscele ABC di base BC prolunga i lati AB e AC dei segmenti congruenti AD e AE. Dimostra che BEC = BDC ed ECB = DBC. Kl:l Dimostra che le mediane relative ai lati con gruenti di un triangolo isoscele sono tra loro congruenti. m i Prolunga la mediana AM del triangolo ABC di un segmento MD congruente ad AM. Dimostra che CAB = CDB.
KM Sulla bisettrice dell’angolo B del triangolo ABC considera i punti P e Q tali che BP = BC e BQ = AB. Dimostra che AP = QC. in
Su una retta r considera ordinatamente tre punti 0 ,A e B . Su una semiretta s di origine O, distinta da r, fissa i punti P e Q, in modo che OQ = OB e PQ = AB. Dimostra che i triangoli OAQ e OPB sono congruenti.
tefM Dimostra che in due triangoli congruenti le mediane relative a lati congruenti sono tra loro congruenti.
1H1 Considera PQR e P'Q'R' triangoli congruenti e fissa due punti S e S', rispettivamente su PR e P'R\ e due punti T e T \ rispettivamente su QR e Q'R\ tali che SP = S’P’ e TQ = T 'Q '. Dimostra che ST e S'T' sono congruenti. W.SM Siano ABC e A'B'C' due triangoli congruenti. Prolunga il lato BC di un segmento PB da una par te e di un segmento CQ dall’altra. Allo stesso modo, prolunga il lato B'C' dei due segmenti P'B' e C'Q' tali che PB = P'B' e CQ = C'Q'. Dimostra che PAB = P'A'B' e che ABQ = A'B'Q'. G55
G2
TRIANGOLI
Q YOU& MATHS A g u id e d p r o o f Knowing that AB = DB and that ABC = DBC, as shown in thè figu re, provide thè missing reasons in thè proof to show that AC = DC.
S tate m en ts
Reasons
AB = DB
given
A B C = DBC BC = BC A B C = DBC AC = DC
EYJ Q YOU&MATHS A b u tt e r fly Given AB = BC and BD = BE, and knowing that A, B, and E are on a line, and that D, B, and C are also on a same line, prove that ABD = CBE. Efll Nel triangolo ABC prolunga il lato AB di un seg mento BE = AB e il lato BC di un segmento BD = BC. Traccia la mediana BM e prolungala fino a incontrare in P il segmento DE. Dimostra che PB è mediana del triangolo DBE. E i'l In un triangolo ABC prolunga il lato AB di un segmento BD = CB, traccia la bisettrice r dell’angolo CBD e la retta s passante per il punto medio M di AC, che forma con AC quattro ango li congruenti. Indica con P il punto di intersezio ne di s con r o con il suo prolungamento e dimo stra che: a. i triangoli AMP e CMP sono congruenti;
Nella figura è: Dimostra che:
OA = OB,^OC = OD, AOB = COD.
b.
CA = DB.
c. il triangolo APD è isoscele.
WJVà Considera sui lati di un angolo convesso di verti ce A i punti P e Q tali che AP = AQ. Presi sulla bisettrice dell’angolo i punti B e C, con AC > AB, dimostra che: a. QBC = PBC; b. AC è bisettrice di QCP. B&l Sulla retta r, che divide l’angolo AVB in due parti uguali, fìssa un punto R in modo che VR = VB. Sulle rette s e t , bisettrici rispettivamente degli angoli AVR e RVB, fissa due punti S e T in modo che VS = VT. Dimostra che gli angoli VBT, VRT e VRS sono tra loro congruenti. I f l l Dati due triangoli congruenti ABC e A'B'C', prolunga i lati CA e CB di due segmenti AP e BQ e i lati C'A' e C'B' rispettivamente di due seg menti A 'P ’ e B'Q' e in modo che AP = A'P' e BQ = B'Q '. Dimostra che sono congruenti: a. BP e B'P\ b. A Q e A 'Q \ c. CPQeC'P'Q'. G56
i triangoli CPB e BPD sono congruenti;
E H Dal punto medio M del segmento AB, traccia una retta r, distinta da AB, e considera su r, da parti opposte rispetto a M, due punti C eD equi distanti da M. Detti N e L i punti medi dei seg menti AC e BD, dimostra che i punti M, N e L sono allineati, ossia che l’angolo NM L è un angolo piatto. EUREKA! S u p p e rg iù Dimostra che l’altezza massima raggiunta da due bambini che giocano sulla giostra raffigurata è la stessa. (Il perno è posizionato nel punto medio dell’asse e il terreno è perfettamente orizzontale.)
ESERCIZI
3. SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA
3. SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA ©r^aa
stconAo criterio
La dim ostrazione per assurdo ABC sA'B'C’
Dim ostra per assurdo le seguenti proprietà.
Due rette distinte o hanno un punto in comune o non ne hanno nessuno. E1
E3
| Se la somma di due numeri naturali x e y è dispa ri, allora x e y non sono entrambi pari o entram bi dispari.
Se un numero naturale è dispari, allora non è multiplo di 14.
l ì t i Se il quadrato di un numero naturale diverso da 0 è pari, allora il precedente del numero è dispari.
Se il prodotto di due numeri naturali è dispari, allora i due numeri sono entrambi dispari.
Itti
Dato n E Z, l’opposto di n è unico.
H i!
EUREKA! Razionale? Assurdo!
V z^Q
In ciascuna delle seguenti figure, utilizzando le inform azioni segnate in colore, indica le coppie di triangoli che sono congruenti in base al secondo criterio.
Dim ostrazioni
Detto P un punto della bisettrice dell’angolo AOB, tracciamo da P i seg menti PC e PD in modo che CPO = OPD. Dimostriamo che: a. O C = OD; b. per ogni punto Q della bisettrice, con OQ > OP, i triangoli CPQ e
PQD sono congruenti. Ipotesi: BOP = POA
C P O = OPD
Tesi:
OC = OD CPQ= PQD
►
G57
G2
TRIANGOLI
DIMOSTRAZIONE a.
I triangoli C P O e O P D hanno:
• P Q in comune;
• C O P = P O D per ipotesi;
• C P Q = D P Q perché angoli supplementari di angoli congruenti;
Q uindi sono congruenti in base al secondo criterio. In particolare: OC = OD.
fy i
I triangoli CPQ e P Q D hanno:
• O P in comune;
• C P O = O P D per ipotesi.
H I
b.
Le rette incidenti a e b formano in H quattro angoli retti. Da un punto A qualunque della retta a, conduci, da parti opposte rispetto alla retta stessa, due semirette, r e s, che formano con a angoli congruenti. Detti R e S i punti di interse zione delle semirette r e s o dei loro prolungamenti con la retta b, dimostra che i triangoli A H R e A H S sono congruenti. Due triangoli A B C e A 'B 'C ' hanno B C = B 'C ' e gli angoli esterni dei vertici corrispondenti, B, B' e C, C', ordinatamente congruenti. Dimostra che i triangoli sono congruenti. Nella figura è O E = E B = O D = D A . Dimostra che i triangoli A D C e B E C sono congruenti.
• C P = P D perché C P O = O P D per la dim o strazione precedente. Q uindi sono congruenti per il prim o criterio.
F'Vl Nella figura, sappiamo che a = a e 3 = ff. Dimostra che: a. C A = EA; b. C B = ED .
| Da un punto P della bisettrice r dell’angolo A O B traccia una retta che forma quattro angoli con gruenti con r e interseca i lati dell’angolo A OC, o i loro prolungamenti, in C e D. Dimostra che: a. OC = OD; b. preso un punto Q qualunque di O P, si ha QC = QD. WtiÉ a. Dimostra che i triangoli A B C e ACD della
figura sono congruenti. b. Tracciate le bisettrici B P e DQ rispettivamen te degli angoli A B C e A D C , dimostra che BP = D Q . B
1>M Disegna un segmento A B e due semirette a e b, di origine A e B da parti opposte rispetto ad A B , che formano con A B angoli congruenti. Per il punto medio P di A B traccia una retta r che interseca a in C e b in D. Dimostra che: a. A C P = P D B ; b. P C B = A D P .
G58
FfrB I triangoli A B C e A 'B 'C ' hanno congruenti i lati A B e A 'B ', gli angoli A e A ' e le bisettrici A K e A ' K ’ uscenti da A e A '. Dimostra che A B C = A 'B 'C '.
U. PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO ISOSCELE
ESERCIZI
6. PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO ISOSCELE © Teoria a pagina G46
H l U VEROOFALSO? a. Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno congruenti un lato obliquo e l’angolo al vertice, [v ] [T] b. Un triangolo isoscele non può avere il lato obliquo congruente alla metà della base.
[V] [T|
c. Un triangolo rettangolo non può essere isoscele.
m iT l
d. La bisettrice dell’angolo al vertice di un triangolo isoscele divide il triangolo in due triangoli congruenti.
[V] [T]
Se un triangolo è isoscele, gli angoli alla base sono congruenti D im ostrazioni Dato il triangolo isoscele A B C , prolunghiamo i lati obliqui A C e B C di due segmenti congruenti C E e C D . Dimostriamo che i triangoli A B D e A B E sono congruenti. D
Ipotesi: A C = C B
Tesi:
E
ABD = ABE
CE = CD
O CL
Z
DIMOSTRAZIONE
LU
(J ) LU
I triangoli A B D e A B E hanno: • A B in comune; • D B = A E perché somme di segmenti congruenti per ipotesi; • E A B = D B A perché A B C è un triangolo isoscele per ipotesi. Q uindi sono congruenti per il prim o criterio.
F i l i Dimostra che, se due triangoli isosceli hanno congruenti la base e un angolo a essa adiacente, allora sono congruenti. F i!
Considera M , N e L punti medi dei lati del triangolo isoscele A B C . Dimostra che il triangolo M N L è isoscele.
F#1 Sui lati obliqui A B e A C del triangolo isoscele A B C considera rispettivamente i punti E e F tali che B E = CE. Dimostra che: a. i triangoli B E C e B F C sono congruenti;
b. i triangoli B A E e C E A sono congruenti.
F U I Dimostra che in un triangolo isoscele le mediane relative ai lati obliqui sono congruenti. FZF Dimostra che in un triangolo isoscele le bisettrici degli angoli adiacenti alla base sono congruenti.
Ifll Q YOU& MATHS
A robust isosceles triangle
a. Use dynamic geometry software to construct an isosceles triangle (make sure it remains an isosceles triangle whenever you drag a vertex!). b. Describe how you made thè construction. c. Do two o f its angles remain congruent as you drag it? Explain why or why not. G59
G2 p
TRIANGOLI m m ì T O H Sui lati obliqui AC e B C del triangolo isoscele A B C considera i punti D ed E in modo che C D = C E . Prolunga la base A B di due segmenti congruenti P A e B Q . Dimostra che: a. D P = E Q ;
WL'M Nel triangolo A B C isoscele sulla base A B traccia
le mediane A N e B M e prolungale dei segmenti congruenti N P e M Q . Dimostra che: a. QA = PB;
b. QC = CP.
b. E P = D Q .
Wi/M Sulla base A B del triangolo isoscele A B C consi
dera due punti D ed E tali che A D = E B . Prolun ga poi la base di due segmenti congruenti A R e BS. Dimostra che i triangoli C R D e C E S sono congruenti. F i l i È dato il triangolo isoscele A B C di base A B . Pro lunga i lati AC e B C dei segmenti congruenti A P e B Q . Dimostra che:
f i l l i Dato il triangolo isoscele A B C di base A B traccia le bisettrici r e s degli angoli form ati da A B e dai prolungamenti dei lati AC e C B. Detti S e R i punti di intersezione rispettivamente di s e r con le rette CA e C B, dimostra che: a. il triangolo C SR è isoscele; b. A R = B S . f iil
a. A Q = P B ; b. A O = O B , essendo O il punto di intersezione di A Q con PB; c. A C O = O C B .
Prolunga la base B C di un triangolo isoscele A B C dei segmenti congruenti B D e C E e prolunga i lati A B e AC dei segmenti congruenti B F e CG. Dimostra che i triangoli D F G ed E F G sono con gruenti.
Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele D im ostrazioni A B C è un triangolo isoscele di vertice A. Sui lati obliqui fissiamo due punti P e Q in modo che B P = C Q .
Detto G il punto di intersezione dei segmenti B Q e CP, dimostriamo che il triangolo G B C è isoscele. Ipotesi: B A = AC
Tesi: G B C isoscele
A
BP=CQ
DIMOSTRAZIONE O QZ LU in LU
I triangoli B C P e B C Q hanno: • B C in comune; • P B C = B C Q perché A B C è un triangolo isoscele; • B P = C Q per ipotesi.
Q uindi sono congruenti per il prim o criterio. In particolare: Q B C = P C B . Consideriamo il triangolo G B C : poiché G B C = G C B per quanto appena dimostrato, esso è isoscele.
I segmenti A B e C D si intersecano nel punto H , distinto dal loro punto medio, in modo che A H = H D e C H = H B . Detto K il punto di intersezione delle rette AC e B D , dimostra che il triangolo C K B è isoscele.
G60
U. PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO ISOSCELE
m
Le bisettrici degli angoli alla base di un triangolo isoscele A B C di base B C si intersecano nel punto P.
modo che A D = A E . Traccia le bisettrici degli angoli B D E e D E C e sia P il loro punto di inter sezione. Dimostra che:
a. Dimostra che il triangolo P B C è isoscele.
a. il triangolo D P E è isoscele;
b. Detti F e G i punti di intersezione tra le bisettrici degli angoli alla base e i lati obliqui, dimostra che P F = PG . HM
ESERCIZI
b. A P è bisettrice dell’angolo DPE; c. il prolungamento di A P interseca B C nel suo punto medio.
II triangolo A B C è isoscele sulla base A B , D A = B E e F D A = FEB. Dimostra che i tria n goli D C E e A F B sono isosceli.
Nel triangolo P Q R considera la mediana R M e l’altezza R H e prolungale di due segmenti M T e H S in modo che M e FI siano i punti medi rispet tivamente di R T e RS. Traccia i segmenti P S e Q T e chiama V il punto di intersezione delle rette che li contengono. Dimostra che: a. P H R = P H S ; b. P M R = M T Q ; c. P Q V è un triangolo isoscele.
H
ESEMPIODIGITALE Sia A B C un triangolo iso scele di base A B , e siano r e s le rette perpendico lari ad A B passanti rispettivamente per i vertici A e B. Chiama D ed E i punti in cui le bisettrici degli angoli alla base B e A incontrano le rette r e s, e F il punto di incontro di tali bisettrici. Dimostra che:
Q i n s m Dimostra che, se in un trian golo la bisettrice di un angolo è anche la mediana del lato opposto, allora il triangolo è isoscele. (S u g g e r im e n to . Prolunga la bisettrice, oltre il lato opposto, di un segmento congruente al segmen to di bisettrice e congiungi l’estremo ottenuto con uno dei vertici della base.)
a. i triangoli F A D e F E B sono congruenti; b. i triangoli C E A e D C B sono congruenti;
| Sui lati A B e A C del triangolo isoscele A B C di base B C , considera rispettivamente D ed E in
c. il triangolo D E C è isoscele.
Bisettrice, mediana e altezza nel triangolo isoscele IH
A P Q e B P Q sono due triangoli isosceli costruiti sulla stessa base P Q da parti opposte rispetto a essa. Dimostra
che il segmento A B interseca la base P Q nel suo punto medio. l'J ll Fissa un punto Q sulla bisettrice dell’angolo al vertice del triangolo isoscele A B C di base BC . Detti R e S i punti di intersezione tra le semirette B Q , C Q e i lati obliqui del triangolo, dimostra che: a. gli angoli A R Q e A S Q sono congruenti;
c. A R = A S .
b. B R = CS;
Triangolo equilatero 1 ÌÉ
Dimostra che il tria n golo A 'B 'C ' è equila tero sapendo che an che A B C lo è.
W ìl
Chiama O il punto di intersezione delle bisettrici di due angoli di un triangolo equilatero P Q R . Congiungi O con il terzo vertice e dimostra che O PQ = OPR = O Q R .
Iftl
Dimostra che le mediane di un triangolo equila tero sono tutte congruenti fra loro. Puoi dire lo stesso delle altezze? Perché? E per le bisettrici? G61
G2 FU
TRIANGOLI EUREKA! Un tria n g o lo ... tossico! Il tricloruro di boro BC13 ha una struttura planare tale per cui gli angoli di legame CI—B—CI sono di 120° e le distanze di legame B—CI sono uguali. Dimostra che gli atomi di cloro sono i vertici di un triangolo equilatero.
Cl
Cl K ftl Considera un triangolo equilatero A B C . Prolunga il lato B A di un segmento A P , A C di un segmento CQ e C B di un segmento B R tali che A P = C Q = B R . Dimostra che P Q R è un triangolo equilatero. H i l Considera un esagono regolare e congiungi tre vertici a due a due non consecutivi, ottenendo due triangoli. Dimostra che i due triangoli sono equilateri.
Con le misure Nella figura, O E è la bisettrice dell’angolo A O B , e i triangoli O A E e O B C sono isosceli. a. Dimostra che il triangolo D C E è isoscele. b. Sapendo che A O B = 70°, calcola la misura di O C D . c. Il perimetro del triangolo O B C è 22 cm e la base supera di 4 cm il lato obliquo. Sapendo che B C = A D e O A = 8 cm, calcola la lunghezza di CD. [b) 145°; c) 2 cm]
5. TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA ©Teoria a pagina G48 In ciascuna delle seguenti figure, utilizzando le inform azioni segnate in colore, indica le coppie d i triangoli che sono congruenti in base al terzo criterio.
ABC = A'B'C'
Dimostrazioni
ALVOLO
Dim ostra le seguenti affermazioni.
m
Due triangoli equilateri che hanno il lato congruente sono congruenti.
m
Due triangoli isosceli che hanno la base e un lato obliquo ordinatamente congruenti sono congruenti.
G62
5. TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA
fT ifl Nella figura è A V = D V e A B = D C . Dimostra che la retta V G è la bisettrice dell’an golo D V A .
bhq
ETifl A ll’interno di un triangolo isoscele A B C di base B C considera un punto D tale che D B = D C .
ma
YOU&MATHS
ESERCIZI
Two triangles In this figure
P L = R Q and P Q = R L .
Prove that Q P L = L R Q .
Dimostra che B A D = D A C .
Sul segmento A B costruisci da parti opposte rispetto ad A B due triangoli isosceli A B C e A B C ' di base AB. Dimostra che C C ' è bisettrice di A C B e di A C 'B .
RIEPILOGO: CRITERI DI CONGRUENZA IHM Q
TEST
S o n o s ic u r a m e n t e c o n g r u e n t i d u e t r i a n -
m i Q
TEST
D u e t r ia n g o li
A B C e A 'B 'C ' c h e h a n n o
g o li a v e n ti c o n g r u e n t i:
A B = B 'C 'e A = & :
I~a ~| tre e le m e n t i q u a ls ia s i.
[~a ] n o n p o s s o n o essere c o n g r u e n t i .
[~b 1 tre a n g o li. I~c1 d u e la ti e u n a n g o lo a d ia c e n te al t e r z o la to .
m
H Q
d u e la ti e l ’a n g o lo o p p o s t o al t e r z o la to .
YOU&MATHS
[~b 1 s o n o c o n g r u e n t i se
A C = A 'C '.
f c l s o n o c o n g r u e n t i se
C' = A
d i base
e
A B C è iso sce le
AB.
[~d1 s o n o c o n g r u e n t i se s o n o is o s c e li.
W hich criterion? Teli whether thè given inform ation is enough to show that thè triangles
are congruent.
TEST Nei triangoli A B C e A 'B 'C ' si ha A B = A 'B ', B C = B 'C ' e C A B = C ’A 'B '. Quale delle seguenti proposizioni è vera 7.
m i Q
|~a~1 I triangoli A B C e A 'B 'C ' sono necessariamente congruenti. [~b 1
Necessariamente A C = A 'C '.
fc l Necessariamente A C B = A 'C 'B '. I~d1 A C e A 'C ' non sono necessariamente congruenti.
DEI
Stabilisci se le seguenti condizioni sono solo necessarie, solo sufficienti o necessarie e sufficienti per la con gruenza di due triangoli. Avere ordinatamente congruenti: a. tre angoli;
b. tre lati.
G63
G2
TRIANGOLI
i m o VERO0FALSO?
m
Sono congruenti due triangoli:
a. rettangoli e isosceli aventi un cateto congruente.
[v ][T ]
b. equilateri aventi un angolo congruente.
[T | |T]
c . isosceli aventi l’angolo al vertice e la base congruenti.
[~v~l 1~F1
d. isosceli aventi il perimetro e la base congruenti.
[v ][T ]
Utilizzando le inform azioni segnate in colore, indica per quale criterio le seguenti sono coppie di triangoli congruenti.
i r c i Quale criterio di congruenza dei triangoli viene applicato nella costruzione con riga e compasso della biset trice di un angolo? Stabilisci se le ipotesi indicate in colore nelle figure sono sufficienti per dimostrare la tesi.
DB
Tesi:
PSR = SR Q
D0
Tesi:
A B C = BDE
DB
Tesi:
DBE = EBC
Considera la figura. Stabilisci in quali dei seguenti casi le ipotesi sono sufficienti per provare che A C E = B E D e motiva le risposte. a. Ipotesi:
A E = EB
c. Ipotesi:
A O E = EOB
b. Ipotesi: O A = O B A O E = EOB
A E = EB CB = A D
d. Ipotesi:
A E = EB C A E = DBE
Dim ostrazioni i r c i Dimostra che, se in un triangolo la bisettrice di un angolo coincide con l’altezza relativa al lato opposto, allora il triangolo è isoscele. i r c i Dimostra che, se in un triangolo l ’altezza relativa a un lato è anche mediana, allora il triangolo è isoscele. Dimostra che, se due triangoli isosceli hanno l’angolo al vertice e la mediana relativa alla base congruenti, allora sono congruenti.
5. TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA
EHI
I triangoli A B C e B D E in figura sono isosceli di basi AC ed E D , rispettivamente. Sapendo che A B C = E B D , dimostra che A B E e C B D sono triangoli congruenti.
ESERCIZI
EHI Sulla bisettrice b dell’angolo A O B considera un punto P e conduci da P due rette, r e s , che inter secano i lati dell’angolo nei punti R e S in modo che R P O = S P O . a. Dimostra che i triangoli O P R e O P S sono con gruenti.
B
b. Prolunga P R e P S di due segmenti congruenti R H e S K e dimostra che O H = O K .
U S
Sia A B C un triangolo isoscele di base A B . D im o stra che il triangolo che si forma congiungendo un qualsiasi punto P dell’altezza C K con A e con B è anch’esso isoscele. Detti M il punto di intersezione della retta per P e B con il lato A C e N il punto di intersezione della retta per A e P con il lato C B, dimostra che P M = PN.
EH I A B C è un triangolo isoscele sulla base B C . Le bisettrici degli angoli esterni degli angoli A B C e A C B incontrano i prolungamenti dei lati oppo sti rispettivamente nei punti P e Q. Dimostra che i triangoli B P C e B Q C sono congruenti. EH I Dei due triangoli in f i gura sappiamo che: BAC = EDF, ABC = DEF, AB = DE.
Puoi affermare che sono congruenti? E che sono isosceli?
EHI Fissa un punto P sulla bisettrice dell’angolo al vertice A del triangolo isoscele A B C . Detti D ed E i punti di intersezione delle rette B P e C P con i lati obliqui A C e A B , dimostra che i triangoli B C D e B C E sono tra loro congruenti. EHI Sui tre lati di un triangolo isoscele A B C costrui sci, esternamente al triangolo, tre triangoli equi lateri A B P , B C Q , C A R . Dimostra che il triangolo P Q R è isoscele. p
u
m i H fT tH T O H A B C è un triangolo isoscele sulla base B C . Prolunga i lati obliqui del triangolo dei segmenti B P e CQ, e indica con O il punto di intersezione dei segmenti B Q e CP. Dimostra che B P = CQ se A O è la bisettrice dell’angolo B A C .
EH I Nella figura, i tre triangoli congruen ti, sono ruotati uno rispetto all’altro di 120°. Dimostra che il triangolo in d ivi duato da A , B e C è equilatero. EHI Su P R e R Q , lati obliqui di un triangolo isoscele P Q R , disegna i triangoli equilateri P R S e R Q T . Dimostra che: a. P T = S Q ;
EH I Considera i triangoli A B C e A B D costruiti sulla stessa base A B , con i vertici C e D da parti oppo ste rispetto ad A B e tali che B A C = A B D e A C = B D . Fissa sul lato A C un punto E e sul lato B D un punto F in modo che C B E = D A F . Dimostra che i triangoli A D F e C E B sono con gruenti. EH I Prolunga la base N M di un triangolo isoscele O M N di due segmenti N P e M Q congruenti ed esterni al triangolo. Dimostra che P M O = N Q O .
b. P R Z = Z R Q , dove Z è il punto di intersezio ne tra P T e SQ . EHI A B C e D B C sono due distinti triangoli, tra loro congruenti, costruiti sulla stessa base B C , con i vertici A e D dalla stessa parte rispetto alla base. Indicati con P e Q rispettivamente i punti di intersezione tra i lati A C e B D e i prolungamenti dei lati A B e D C , dimostra che: a. P B = P C ; b. PQ è bisettrice dell’angolo B Q C . G65
G2
TRIANGOLI
EE3 Considera le semirette r, s, t e u, uscenti dallo stesso punto origine O e tali che gli angoli tra r e s e tra t e u siano entrambi retti e gli angoli tra r e t e tra u e s siano entrambi acuti. Siano R un pun to di r, S un punto di s, T un punto di t e U un punto di u tali che O R = O S e O T = O U . D im o stra che T R = U S. 0 3
Sui lati obliqui del triangolo isoscele A B C di verti ce A , considera i punti D ed E tali che A D = A E . Prolunga la base B C da entrambe le parti di due segmenti B P = C Q e indica con O il punto di intersezione dei segmenti D Q e PE. Dimostra che:
EE3 Considera un triangolo P Q R tale che P Q > P R . Prolunga il lato P R di un segmento P K = P Q e il lato P Q di un segmento P H = P R . Detto S il punto di intersezione delle rette K H e R Q , dim o stra che: a. il triangolo S K Q è isoscele; b. S P è bisettrice di K S Q . B3
Nella figura a lato, gli ele menti contrassegnati dallo stesso simbolo sono con gruenti.
a. i triangoli D B Q ed E C P sono congruenti; a. I triangoli O B H e O A H sono congruenti? Motiva la risposta.
b. P O = OQ; c. i triangoli A O D e A E O sono congruenti. EE3 Utilizzando gli elementi colorati della figura, scrivi le ipotesi e dimostra che B F = C E e
b. O H = HC? Perché? c. A C = A O Ì Perché?
A F = DE.
lEfl
Utilizzando gli elementi colorati della figura, scrivi le ipotesi e dimostra che E C A = F D B .
E
F
A
6
B
a. I triangoli A V B e D E V sono congruenti per il prim o criterio. [ 7 ] |7 ] b. I triangoli B V F ed È V A non sono congruenti.
[7 ] [7]
c. G li angoli V E F e A B V sono congruenti.
[V] |7 ]
d. I triangoli V E D e B V F non sono congruenti.
[7 ] [7 |
. DISUGUAGLIANZE NEI TRIANGOLI ©Teona-p*»™
Angoli estern i e angoli interni
p G VERO0FALSO?
a. più di un angolo esterno acuto.
r~v~l f~F~l
c. meno di due angoli interni acuti.
b. più di due angoli esterni ottusi.
171171
d. un angolo retto e un angolo esterno acuto. [7 ] [7]
a. un angolo esterno retto e uno interno ottuso.[v ] [7 ]
c. due angoli esterni acuti e il terzo ottuso. [7 ] [7]
b. due angoli esterni ottusi e il terzo acuto. [7] [7 ]
d. meno di due angoli esterni ottusi.
p Q VERO0FALSO?
G66
Un triangolo può avere: [7 ] [7 |
Un triangolo può avere: [7 ] [7]
6. DISUGUAGLIANZE NEI TRIANGOLI
ESERCIZI
Dimostra che se in un triangolo un angolo esterno è congruente all’angolo interno adiacente, allora gli altri angoli interni sono acuti.
ALVOLO
Dimostra che in un triangolo A B C ciascuno dei due angoli che la bisettrice AS forma con il lato
B C è maggiore della metà dell’angolo A .
iE H Sui lati a e b di un angolo acuto di vertice O, considera i punti A e C su a e B su b, tali che OC > OA e OA = OB. Dimostra che O C B < O B A . IB I
Dato un punto P interno al triangolo A B C dimostra che C B A < C P A . (S u g g e r im e n to . Considera la retta B P e il suo punto di intersezione con il lato AC.)
m
Dimostra che, in ciascuna bandiera, a < 3.
Lato m aggiore e angolo m aggiore m
U
INVALSI 2004
In un triangolo, le misure dei lati sono a, b, c, con a = b < c. Detti a, 3, 7 gli angoli interni del triangolo, rispettivamente opposti ai lati a, b, c, quale delle seguenti affermazioni è vera? [ a] a = 7
[ b]
3
= 7
[c] 7 > a
I~d1 a > B
IBI
Sia A B C un triangolo isoscele di vertice A. Dimostra che, se P è un punto del lato A B , allora C P > B P .
FETI
Nel triangolo A B C la bisettrice A S dell’angolo al vertice A divide il lato B C nei due segmenti B S e SC. D im o stra che B S < A B e C S < AC.
in i
I triangoli A B C e A B D sono costruiti sulla base comune A B con i vertici C e D da parti opposte rispetto alla base. Sapendo che A D B < D B A e che A C B > C B A , dimostra che A D > AC.
Disuguaglianze fra i lati
IEE1
IEE1
Sui lati del triangolo A B C scegli i punti A ' su A B , B ' su B C e C su AC. Dimostra che la somma dei lati del triangolo A 'B 'C ’ è minore della somma dei lati del triangolo A B C . Dimostra che la semisomma dei lati di un tria n golo qualsiasi è sempre maggiore: a.
MATEMATICA AL COMPUTER
Geometria dinamica con i triangoli
di ciascuno dei lati;
b. di ciascuna delle altezze.
IEH Sul lato AC del triangolo A B C fissa un punto P e sul prolungamento del lato A B , oltre B , fissa un punto Q. Dimostra che P Q + B C > P C + B Q .
IETH Considera un triangolo qualsiasi P Q R . Dimostra che, se S è un punto esterno a P Q R , allora la som ma tra PS, Q S e R S è maggiore della semisomma dei lati del triangolo. Sia A B C un triangolo qual siasi e siano H e K due punti di A B . Dimostra che il semiperimetro del triangolo C H K è minore di AC+CB.
Costruisci la figura, con A, B e C punti liberi. Osserva le proprietà dei segmenti e dei triangoli e dimostrale. ► Problema e risoluzione. ►5 esercizi in più.
□
G67
G2
TRIANGOLI
EE3 Dimostra che, in un triangolo qualsiasi, il doppio della mediana relativa a un lato è minore della somma degli altri due lati. ( S u g g e r im e n to . Prolunga la mediana di un segmento congruente alla mediana stessa...)
IEE1
Utilizzando la proprietà dimostrata nell’esercizio precedente, dimostra che la somma dei lati di un qualsia si triangolo è maggiore della somma delle mediane.
Ieh
Considera un triangolo acutangolo A B C e le altezze A H , C K , BE. Dimostra che A B + B C + C A < 2 • ( A H + C K + B F ) < 2 • (A B + B C + C A ).
~
Con le m isure EU
In un triangolo isoscele il lato obliquo è lungo 12 cm e la misura della base, in centimetri, è un numero intero. Quanto misura al massimo il perimetro?
naU VERO0FALSO?
m Q
a. 15, 25, 10.
[v ]|T |
c. 2 2 , 11 , 13.
0 0
e. 7, 10, 12.
H E
b. 8 , 8 , 14.
0 0
d. 12 , 13, 21 .
0 0
f. 17, 6 , 12.
H E
INVALSI 2004 Matteo ha a disposizione alcune cannucce di diversa lunghezza e vuole utilizzarle per costruire dei triangoli. Con quale, tra le seguenti terne di misure, n o n riuscirà a costruire un triangolo? E
m
Un triangolo può avere lati che misurano in centimetri:
6 cm; 6 cm; 6 cm.
TEST
u
E
E
7 cm; 7 cm; 4 cm.
E
3 cm; 4 cm; 5 cm.
E
2 cm; 7 cm; 12 cm.
Quale delle seguenti terne di numeri n o n può rappresentare le misure dei tre lati di un triangolo?
7, 5,
10.
E
4, 5, 7.
E
4, 5,
10.
E
4, 7,
10.
Se un triangolo ha i lati che misurano in centimetri 19 e 2 2 , quali valori può assumere la misura in centime tri del terzo lato /? [3 < / < 41]
ITE! IBM
Un triangolo ha due lati che misurano 6 cm e 10 cm. Il terzo lato è un numero intero. Quanti centimetri al massimo misura il perimetro del triangolo? [31]
EUREKA! Il navigatore
Le misure in figura sono le distanze in kilometri fra i paesi A , B , C, D . Sapendo che anche la misura in kilom etri della distanza fra A e B è un numero intero, quanto distano i paesi A e 5 ?
CHI HARAGIONE?
Enrico: «Vorrei che tu disegnassi la figura che vedi con ghezze in centimetri che ho segnato». Valentina: «Con queste misure la figura non può esistere!». Perché Valentina non può disegnare la figura che le chiede Enrico?
EUREKA!
Q uattro lunghezze Date le lunghezze a = 3 cm, b — 4 cm, c — 6 cm, d = 8 cm, quanti triango li distinti non congruenti si possono formare utilizzando come lati tre segmenti non congruenti che hanno tre di tali lunghezze? E quanti se prendiamo anche lati di lunghezze uguali? [3; 16]
ESERCIZI IN PIU ITE! - Q 9 Q
G68
SUTUTTOILCAPITOLO
TRIANGOLI
E S E R C IZ I IN P IÙ
TRIANGOLI E CRITERI DI CONGRUENZA m
VERO0FALSO?
u
Considera l’insieme di tu tti i triangoli del piano.
a. L’intersezione tra l’insieme dei triangoli scaleni e quello dei triangoli equilateri è il sottoinsieme dei triangoli isosceli.
ra m
b. L’insieme dei triangoli equilateri è un sottoinsieme dei triangoli isosceli.
S E
c. L’intersezione tra l’insieme dei triangoli rettangoli e quello dei triangoli isosceli è vuota.
s t a
d. L’insieme di tu tti i triangoli è l ’unione tra il sottoinsieme dei triangoli scaleni e quello dei triangoli isosceli.
0
E
ip U VERO0FALSO?
QD
a. Due triangoli che hanno gli angoli ordinatamente congruenti sono congruenti.
|~v~| |~f ~|
b. Se due triangoli isosceli hanno gli angoli congruenti, allora sono congruenti.
H E
c. Due triangoli rettangoli che hanno congruenti un cateto e l’angolo acuto a esso adiacente sono congruenti.
H E
d. Se i due triangoli acutangoli A B C e B C D , aventi B C in comune, sono congruenti, allora i triangoli A B D e A C D sono congruenti.
H E
I triangoli A B C e A C D hanno A B = A D e B A C = C A D . Preso un punto qualsiasi E su AC e un punto F sul suo prolungamento, dimostra che B E F e D E F sono congruenti. A
E aQ
YOU&MATHS
If A C B =
DFE
Isosceles triangles Triangles A B C and and C B =
FD,
DEF
are isosceles. AC = B C and
can you determine whether thè two triangles are congruent? Explain.
C
E196
D F = EF.
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
TRIANGOLI
BElQ YOU&MATHS
I ESERCIZI IN PIÙ
Conjectures In triangle A B C , C D is thè bisector o f A C B . W hich o f thè following conjec-
tures is true?
C
|~a ] A C D = B C D is true by thè ASA criterion. In each triangle thè side between thè two angles is C D . H
A C D = B C D is true by thè SAS criterion. Angle A C D and B C D are thè congruent angles that are between thè two pairs o f congruent sides.
fc ] A C D = B C D is true by thè SSS criterion. r~D~| There is not sufficient evidence to prove that A C D = B C D .
DISUGUAGLIANZE NEI TRIANGOLI ©1^ m
u
TEST
Un triangolo isoscele n o n può avere:
|~a ] l’angolo al vertice retto. |~b~]
m
U
^
[p ] l ’angolo al vertice ottuso.
un angolo alla base acuto.
[5] un angolo alla base ottuso.
INVALSI 2006
In un triangolo A B C si ha: A C = 6 , A B = 7, B C = 5. Se confrontiamo tra loro i tre angoli del triangolo, quale tra le seguenti affermazioni è vera? |~a ] C A B è l’angolo di misura maggiore e A B C l’angolo di misura minore. H
B C A è l’angolo di misura maggiore e A B C l’angolo di misura minore.
fc ]
B C A è l’angolo di misura maggiore e C A B l ’angolo di misura minore.
EH A B C
m U
è l ’angolo di misura maggiore
e
CAB
l’angolo di misura minore.
INVALSI 2011
Un triangolo ha un lato di 6 cm e uno di 10 cm. Quale tra le seguenti n o n può essere la misura della lunghezza del terzo lato? |~À~| 6,5 cm
[¥ ] 10 cm
[c ] 15,5 cm
[ d] 17 cm
E Q U I EUREKA! E il terzo? Un triangolo ha lati di lunghezza 10 ft e 16 ft. Qual è l ’intervallo in cui può cadere la misura del terzo lato? [ a]
Da 5 a 45.
QT] Da 2 a 25.
[c ] Da 6 a 26.
[p ] Da 4 a 36.
[¥ ]
Qualsiasi misura.
[USA Catawba College NCCTM Mathematics Contest, 2005]
iFJil
EUREKA! Cambiare due la ti Quanti sono i triangoli, non congruenti tra loro, tali che la misura di ciascun lato è espressa da un numero naturale e il lato più lungo misura 11 ? [USA Louisiana State University High School Math Contest, 2009]
eq q
VERO0FALSO?
a. In un triangolo rettangolo, ciascuna bisettrice è minore dei lati a essa consecutivi.
|~v~l [~F~|
b. In un triangolo equilatero, ciascuna bisettrice è minore di ognuno dei lati.
|~v~l [~F~|
c. Se in un triangolo un lato è congruente alla somma degli altri due, allora il triangolo è rettangolo.
|~v~l [~F~|
d. In un triangolo ottusangolo isoscele, l’altezza relativa a un lato obliquo è minore del lato stesso.
|~v~l |~f~|
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
E197
G2
TRIANGOLI EUREKA! Prolunga l ’obliquo Dato il triangolo isoscele A B C , di base dalla parte di B di un segmento B D congruente ad A B . Dimostra che:
ir m i
a.
AC
+ B D < B C + A D -,
b. se
AC
AB,
prolunga il lato obliquo
BC
+ A B = A D + B D , allora A C B = A D C .
Esegui le seguenti costruzioni con riga e compasso. irS il Disegna un triangolo
in cui
ABC
AB
= 8 cm, A C = 3 cm, B C = 10 cm e disegna la bisettrice di C A B .
m
Disegna un triangolo A B C equilatero di lato 6 cm. Prolunga il lato stesso e dividi l’angolo A C K i n quattro parti congruenti.
EH
Dimostra che un lato di un triangolo è sempre minore del semiperimetro.
BC
di un segmento
CK
congruente al lato
RIEPILOGO TEST
m Q
Se in un triangolo:
Fa I un angolo esterno è acuto, allora il triangolo è acutangolo. |~b~| un’altezza lo divide in due triangoli congruenti, allora il triangolo è equilatero. re i ogni mediana lo divide in due triangoli congruenti, allora il triangolo è isoscele. [~d~1 un angolo interno è minore dell’angolo esterno adiacente, allora il triangolo non può essere equilatero. m
INVALSI 2012
Q
Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).
a. Se tre punti A , B , C non sono allineati, nel triangolo degli altri due lati.
m
Q
ABC
ciascun lato è minore della somma [V] [T]
b. Dato un triangolo di area A , i lati e le altezze ad essi relative sono grandezze inversamente proporzionali.
|~v~| |~f~1
c. In un triangolo la differenza tra due lati può essere maggiore del terzo lato.
|~v~| |~f ~1
TEST
Nel triangolo A B C , sia CD la mediana relativa al lato seguenti affermazioni è sicuramente vera7. |~a~1 I triangoli
Quale tra le
ABC
è isoscele.
C
e D B C hanno lo stesso perimetro.
ADC
[HI Se i perimetri dei triangoli |~c] G li angoli
AB.
AC D
e
DCB
ADC
e D B C sono uguali, allora
sono congruenti.
fb l CD è minore o uguale a C B . E H
è un triangolo isoscele di vertice A . Dal vertice B conduci una semiretta b che interseca il lato e dal vertice C conduci una semiretta c che interseca il lato A B in Q e tale che Q C B = P B C .
ABC
a. Dimostra che i triangoli
PBC
in
P
e Q B C sono congruenti.
b. Fissa sulla semiretta b , oltre P , un punto R e sulla semiretta c, oltre Q, un punto S in modo che Detto V il punto di intersezione delle rette S B e R C , dimostra che il triangolo B C V è isoscele.
FIÌEl
AC
QS = PR.
Prolunga la base A B del triangolo isoscele A B C di due segmenti congruenti A P e B Q . Costruisci un triango lo isoscele P Q R sulla base P Q in modo che P R intersechi A C in M e Q R intersechi B C in N . Dimostra che: a. i triangoli
APM
b. il triangolo c. i triangoli d. E198
R
e B Q N sono congruenti;
CM N
CRM
è isoscele;
e C R N sono congruenti;
appartiene all’altezza
CH
del triangolo
ABC.
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
TRIANGOLI
m
I ESERCIZI IN PIÙ
Disegna il triangolo A B C con il lato A C minore del lato B C e fissa su B C un punto P tale che C P = A C . Dimostra che A P B è maggiore di A P C e di P B A .
r e i A B C è un triangolo isoscele sulla base A B . Detto P un punto di A B , dimostra che P C è minore di A C . Q Q Detto Q un qualunque punto interno al quadrilatero A B C D , dimostra che A C + DB < QA + QB + Q C + QD. m ~
Prolunga i lati obliqui A C e A B del triangolo isoscele A B C , oltre il vertice A , di due segmenti congruenti A P eAQ. a. Dimostra che i triangoli ACQ e A B P sono congruenti. b.
Dimostra che se A P è minore (o maggiore) del lato obliquo, detto O il punto di intersezione delle rette PB e QC, allora il triangolo O B C è isoscele sulla base BC.
REI A B C è un triangolo isoscele di vertice C. Sui lati obliqui AC e B C fìssa rispettivamente i punti D , E in modo che A D = B E . Prolunga la base A B da entrambe le parti e fìssa altri due punti F e G {F sul prolungamento della base dalla parte del vertice A e G dall’altra parte) in modo che A F = BG. Dimostra che: a. F D B = A E G ; m
b.
C D F = GEC.
Dal vertice B del triangolo A B C prolunga, esternamente al triangolo, i lati B C e A B rispettivamente dei seg menti B H = B C e B K = A B . Traccia per B una retta r, distinta dai lati del triangolo, che interseca il prolun gamento del lato AC, oltre C, in D e la retta H K in E. Dimostra che: a. CD ^ E H ;
b.
CE ^ D H .
REI Due triangoli A B C e D E F sono isoperimetrici. Sapendo che A B = D E e C A B = F D E , dimostra che i trian goli sono congruenti. ( S u g g e r im e n to . Nel triangolo A B C prolunga il lato AC di un segmento C P = C B e nel triangolo D E F pro lunga D F di un segmento F Q = FE e considera i triangoli A B P e D E Q .) REI Prolunga le altezze A H e B K relative ai lati obliqui del triangolo acutangolo isoscele A B C , di base A B , ester namente al triangolo, di due segmenti H P = A H e K Q = B K . a. Dimostra che i triangoli ACQ e C B P sono congruenti. b.
Detto T il punto di intersezione delle rette PB e A Q , dimostra che il triangolo T P Q è isoscele.
c. Dimostra che C T è bisettrice di A C B . REI Considera nell’ordine le quattro semirette a, b, c e d di origine O tali che a O b = d O c . Fissa sulle semirette a e d i punti A e D tali che AO = D O e sulle semirette b e c i punti B e C tali che B O = C O . Detto P il punto di intersezione dei segmenti AC e B D , dimostra che: a. i triangoli A B C e D C B sono congruenti; b.
i triangoli A P B e P D C sono congruenti;
c. la retta O P è bisettrice dell’angolo B O C .
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E199
MENU DELLE COM PETENZE @
Nella seconda pagina della copertina
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ►Com petenza 2 (abilità 1, 2 , A)
D Q
veroofalso? a. Un triangolo rettangolo può essere equilatero.
l~y1l~Fl
b. Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno congruenti la base e un angolo esterno a essa.
[v]CE]
c. Se in un triangolo un angolo esterno è ottuso, allora il triangolo
è acutangolo.
[v]CE]
WM Q
d. G li angoli esterni di un triangolo isoscele possono non
essere tutti ottusi.
TEST
Nel triangolo A B C , A C =
Qua
le delle seguenti affermazioni è corretta?
[v]CE]
Ca ] B C A < C A B
[e ] A C B = A B C
Osservando le figure scrivi le ipotesi e l’enunciato del teorema e poi dimostralo.
Q[] B C A > C B A
Od] C A B > C B A
Dim ostrazioni KM
Disegna due triangoli A B C e A 'B 'C ' che hanno A C = A ' C ' e A C B = A 'C 'B ', e traccia le bisettri ci C E e C 'E ' degli angoli A C B e A 'C 'B '. Se C E = C 'E ', dimostra che i triangoli A B C e A 'B ’C ' sono congruenti.
KM
Sui lati dell’angolo A O B considera due punti P e Q tali che P O = O Q . Sulla bisettrice di A O B traccia un punto R in modo che O R < O P. a. Dimostra che O P R = O Q R . b. I prolungamenti di P R e R Q incontrano i lati O B e O A rispettivamente in C e D. Dimostra che D R = R C .
Indica se le ipotesi indicate in verde nelle figure sono sufficienti per dimostrare la tesi. Tesi:
■ IH
r e s sono due rette incidenti nel punto P. Fissa su
ognuna delle due rette e da parti opposte rispetto a P due punti A , B su r e C, D su s, tali che A P = P D , C P = P B e A P non congruente a PB. Indica con O il punto d’intersezione delle rette A C e DB. Dimostra che OC = OB e che OP è la bisettrice dell’angolo A O D .
CP = D P
it i
Nel quadrilatero A B C D , A D = A B e C D = C B . Dimostra che la diagonale A C è bisettrice degli angoli D A B e B C D .
IH
Dimostra che in un triangolo isoscele le tre biset trici si incontrano nello stesso punto. G69
G2
TRIANGOLI
i l KM Prolunga i lati obliqui A C e C B del triangolo iso scele A B C , oltre la base A B , di due segmenti con gruenti A P e B Q .
TlM Sui lati obliqui A C e B C del triangolo isoscele A B C fissa rispettivamente i punti P, Q in modo che A P = B Q .
a. Detto M il punto medio della base A B , dim o stra che i triangoli C M P e CMQ sono con gruenti.
a. Detto M il punto medio della base A B , dim o stra che il triangolo M P Q è isoscele. b. Detto O il punto di intersezione dei segmen ti A Q e BP, dimostra che il triangolo P O Q è isoscele.
b. Dimostra che il prolungamento di CM inter seca P Q nel suo punto medio. IM
Nel triangolo isoscele A B C di base B C , indica con M il punto medio di BC .
H i
a. Se P è un punto interno al triangolo tale che P B = P C , dimostra che A , P e M sono a lli neati. b. Preso poi un punto esterno O tale che B O = O C , dimostra che A , M e O sono a lli neati.
a. M S = N T ;
BKJ Sulla base A B del triangolo isoscele A B C consi dera un punto D e sul prolungamento di A B un punto E. Dimostra che C D < C B < C E .
ALVOLO BUI Dimostra che, se due triangoli isosceli sono con gruenti, allora lo sono anche le altezze relative alle basi.
b. A B S = A B T .
WìfM Dimostra che, se in un triangolo le altezze relati
ve a due lati sono tra loro congruenti, allora il triangolo è isoscele e ha per base il terzo lato. ( S u g g e r im e n to . Prolunga ognuna delle altezze, dalla parte in cui interseca il lato, di un segmen to congruente.)
i l P i Nella figura, il triangolo A B C è isoscele. Inoltre, C B D = C A F e C D E = C F G . Dimostra che il triangolo IH L è isoscele.
T - i Dimostra che in un pentagono convesso ogni diagonale è minore del semiperimetro.
Nel triangolo isoscele A B C di base A B , prolunga le mediane A M e B N relative ai lati obliqui di due segmenti in modo che M S = A M e N T = B N . Dimostra che:
iy i
r è la bisettrice dell’angolo A O B , con A O = OB. Fissa su r un punto P e dimostra che i triangoli A O P e B O P sono congruenti. Scelto su r un altro punto Q, con OQ > OP, dimostra che anche i triangoli A P Q e B P Q sono congruenti.
IZ 1
Nel quadrilatero A B C D le diagonali A C e B D sono congruenti e si intersecano nel loro punto medio M . Come sono tra loro i triangoli A B M e CDM? E i triangoli B M C e A D M ?. Dimostra che in un triangolo isoscele il punto di intersezione delle mediane relative ai lati obliqui appartiene alla bisettrice dell’angolo al vertice.
COMPLETA le ipotesi zando la figura.
dimostra la tesi, u tiliz-
A Ipotesi: 1. A B = A C
2. BM
G70
Prolunga la mediana A M relativa alla base B C di un triangolo isoscele A B C , oltre la base stessa. Fissato un punto K sul prolungamento di A M , dimostra che i triangoli A K B e A K C sono con gruenti.
3. Tesi:
E D F triangolo
isoscele.
MENU DELLE COM PETENZE
WMM Nel triangolo A B C traccia la bisettrice B S dell’an
golo A B C e fìssa rispettivamente sui lati A B e B C due punti D , E tali che B D = B E . Dimostra che il triangolo D S E è isoscele. m i
Dimostra che, se sulla bisettrice O K dell’angolo A O B esiste un punto Q tale che A Q O = B Q O , allora il triangolo A O B è isoscele.
m i
Le punte della decorazione a stella sono otte nute dal prolun gamento dei lati di un pentagono regolare. D im o stra che sono tu t te triangoli iso sceli congruenti.
H i
KM Q INVALSI 2005
m j
P
Sul lato B C del triangolo A B C fìssa due punti P, Q. Dimostra che A P B > A Q B > Q A C .
m i
Considera un punto P esterno al triangolo A B C . Sulle rette P A , P B e PC fìssa rispettivamente, da parti opposte rispetto a P, i punti A ', B' e C ' in modo che P A = P A ', P B = P B ' e P C = PC'. Dimostra che i triangoli A B C e A 'B 'C ' sono fra loro congruenti.
Dimostra che il triangolo A B E è isoscele.
E3
b. E Q D = D P E .
Nel triangolo isoscele A B C , la base A B è la metà del lato obliquo. Detto O il punto d’intersezione delle mediane B M e A N relative ai lati obliqui, individua tutte le coppie di triangoli congruenti. [ANC e CMB, AOM e BON; ABM e ABN]
►Com petenza 2 (abilità 3)
Nella seconda pagina della copertina
In figura è: AC = A D , B C = D E .
H l l Nel triangolo isoscele A B C di vertice A , prolunga i lati obliqui A C e A B dei segmenti congruenti C P e B Q e prolunga la base B C dei segmenti con gruenti C D e BE. Dimostra che: a. E B Q = C D P ;
Q
Dal vertice B di un triangolo acutangolo A B C e nello stesso semipiano rispetto alla retta B C a cui appartiene il triangolo disegna le semirette r e s che formano rispettivamente con B C e con A B due angoli retti, e su r e s fìssa i punti R e S i n modo che B R = B C e B R S = B C A . Dimostra che: a. A C = SR-,
b. S A B = B S A .
| ►C om petenza 3 (abilità 3)
Con tre bastoncini lunghi 12 cm, 4 cm, 3 cm, che cosa è possibile ottenere?
[~a~1 Un triangolo isoscele.
Qc] Un triangolo rettangolo.
m
[ d] Nessun tipo di triangolo.
Un triangolo scaleno.
Osserva la figura e indica quali coppie di triangoli sono congruenti, precisando in base a quale criterio.
D
/
C
\
u 'ò y ' t\ KM
/
30°
3 0 ° \\
-----------------------
Le lunghezze dei lati di un triangolo sono A B — 15 cm, B C = 13 cm, AC = 22 cm. Indica se il triangolo esiste e qual è l ’angolo minore. | Le lunghezze di tre segmenti sono tali che il secondo supera il prim o di 5 cm e il terzo è il doppio del primo. Possono essere lati di un triangolo?
G71
G2
TRIANGOLI
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE TUT0R
PROVAA (10 esercizi)
PROVA B (10 esercizi)
Q IN MEZZ’ORA
PROVA C ►Com petenze 2, 3
IN UN’ORA
VERO0FALSO?
Nel triangolo isoscele A B C di base B C prolunga i lati A B e A C di due segmenti congruenti A D e A E . Dimostra che i triangoli E B C e B D C sono congruenti.
a. Ogni triangolo non isoscele è scaleno. I~v~l [~f~1 b. Ogni triangolo non scaleno è isoscele. [V] [T] c.
c
c
I triangoli della figura sono congruenti per il terzo criterio. [v ][T ] d. Un triangolo non può avere due angoli retti. [v ] ITI WfM
I triangoli^ A B C e
Osservando la figura scrivi le ipotesi e dimostra la tesi.
hanno B C = B 'C ', Traccia i punti e i punti medi E ed E'
A 'B 'C '^
A B C = A 'B 'C ', A C B = A 'C 'B '.
medi D e D ' di A B e A ' B ' di A C e A ' C ' . Dimostra che DE = D'E'.
Stabilisci se le seguenti terne possono rappresen tare le misure in decimetri dei lati di un triangolo: a. 13; 15; 28;
b. 12,2; 18; 26,3.
PROVA D ►Com petenze 2, 3
TEST
G) IN UN’ORA
Osserva la figu-
Sulla base A B del triangolo isoscele A B C conside ra i punti F e G tali che A F = B G e sui lati obliqui A C e B C fìssa rispettivamente i punti D ed E tali che C D = C E e A F > A D . Detto P il punto di intersezione delle rette D F ed EG , dimostra che:
Ci \)122°
ne corretta. [À] A B < A C □E] C B < A B
WM
E
CB > A C
[ d]
AC
a. il triangolo F G P è isoscele; 11C
_ c -|
Sui lati O X e O Y dell’angolo acuto X O Y consi dera rispettivamente un punto A e un punto B , con O A < O B . Sulla bisettrice r dell’angolo X O Y fìssa i punti P e Q in modo che O P = O A e O Q s OB. a. Dimostra che
b. il punto P appartiene alla bisettrice dell’ango lo A C B .
52\
K fl
AH < AD < AE.
A
BP = A Q .
b. Su O X fìssa B ' tale che che P B Q = A Q B f.
OB' = OB.
Dimostra E9
Q
Sui lati obliqui A B e A C del triangolo isoscele A B C , considera rispettivamente due punti P e Q tali che B P = C Q . Dimostra che B P Q = P Q C .
G72
Utilizzando i dati in figura, dimostra che
Un triangolo ha due lati che misurano in centimetri 18 e 26. Sapendo che la misura del terzo lato è un numero naturale, determina il valore m in i mo che può assumere il perimetro del triangolo.
MENU DELLE COM PETENZE ©
Nella seconda pagina della copertina
PROVA E ►Com petenze 2, 3 D
© IN UN’ORA B
Nella figura, A B = A C , B F = FC, E B F = D C F . Dimostra che: a. E A = A D ; b. E F A s D F A .
A B C è un triangolo qualsiasi e N è il punto di intersezione tra B C e la bisettrice dell’angolo di vertice A .
Prolunga A N fino al punto D tale che N D = A N , e prendi sulla semiretta N B il punto E tale che N E = C N . F è il punto in cui la retta D E incontra la retta A B .
Dimostra che F A = D F. B f l A B C è un triangolo qualsiasi, con A B > A C , e D è il punto di A B tale che A D = A C . a. Chiama H il punto in cui la bisettrice dell’angolo C A D incontra il lato B C e dimostra che il triangolo C H D è isoscele. b. F è il punto di intersezione delle rette A C e H D . Dimostra che i triangoli C H F e D H B sono congruenti. E9
TEST Nel triangolo D E F , D E = 8 unità ed E F = 12 unità. Quale tra le seguenti non può essere la lunghez za di DF? I~À1 5 unità.
Q[] 8 unità.
I~b~1 6 unità.
Qj] 20 unità.
[T] Nessuna delle risposte precedenti. [USA Northern State University: 50,h Annual Mathematics Contest, 2003]
PROVA F ►Com petenze 2, 3 Beole per un vialetto Karim vuole realizzare, sul prato davanti a casa, un vialetto di forma rettangolare, lungo 9 m, con delle beole disposte come in figura. Le lastre, a forma di triangolo isoscele, sono tutte uguali.
$ IN UN’ORA 6 dm
a. Considerando anche eventuali beole da tagliare a metà, stabilisci quante lastre sono necessarie per coprire l’intera lunghezza del vialetto. b. Sapendo che la misura dell’altezza di ogni triangolo isoscele è espressa, in decimetri, da un numero intero pari, quanto risulta largo il vialetto? Karim si rende conto che così facendo il vialetto risulta troppo stretto, decide perciò di disporre le beole nel modo indicato a fianco. c. Quanto risulta largo ora il vialetto? d. Quante beole sono necessarie per coprire l’intera lunghezza del via letto? e. Individua almeno tre triangoli congruenti al triangolo A B C e dim o stra la loro congruenza.
G73
R E T T E P E R P E N D IC O L A R I E PARALLELE
DIMOSTRAZIONE 1.
II p u n to n o n a p p a rtie n e alla retta
Preso P esterno alla retta a, per dimostrare che la perpendicolare esiste : • con centro P tracciamo una circonferenza che intersechi a in B e in C: B P = P C perché raggi; • di B C consideriamo il punto medio A , che esiste ed è unico per il postulato di unicità del punto medio; • congiungiamo P con A . Il triangolo B P C è isoscele, quindi la mediana P A è anche altezza. Concludiamo che P A 1 a. Per dimostrare che P A è Y u n ica perpendicolare, osserviamo che è bisettrice dell’an golo piatto B A C , quindi, per il postulato dell’unicità della bisettrice, essa è unica. 2. a
II p u n to a p p a rtien e alla retta
Preso A sulla retta a, tracciamo con centro A due archi di una circonferenza di rag gio r qualsiasi che incontrino a in B e in C. A B = A C perché raggi della stessa circonferenza. Con centri B e C tracciamo due archi di circonferenza con lo stesso raggio, maggio re di r, che si incontrino in P. B P = P C perché raggi uguali delle due circonferenze. Congiungiamo P con A e ripetiamo i ragionamenti del caso precedente.
G74
1. RETTE PERPENDICOLARI
Asse di un segm ento
□
TEORIA
The perpendicular bisector of a segment is thè straight line perpendicular to thè segment and passing through thè m idpoint of thè segment.
ESERCIZI PER COMINCIARE MM
Per affermare che due rette sono perpendicolari è su ffic ie n te dimostrare che incontrandosi fo r mano u n angolo retto. Spiega perché utilizzando la proprietà degli angoli opposti al vertice.
B Q
Dimostra che le bisettrici di angoli adiacenti sono tra loro perpendicolari.
H Q
P
KB KB
Disegna un segmento A B e la sua proiezione su una retta r considerando diversi casi e in partico lare i seguenti: A B interseca r; A B ha un estremo su r; A B è su una retta perpendicolare a r.
K f f i W l Dimostra che la distanza di un punto P da una retta r è la lunghezza m inim a fra quelle dei segmenti che hanno per estremi il pun to P e un punto della retta r.
Considera un punto P esterno a una retta r e due punti A e B su r. Come sono A P e B P se le loro proiezioni su r sono congruenti? Dimostralo.
G75
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
2. RETTE PARALLELE fpn Lines on a piane that have no points of intersection, or
DEFINIZIONI
©
Esercizi a pagina G88
LJ that coincide, are called parallel lines.
Rette tag liate da una tra s v e rs a le
a b
c,
Se due rette e sono tagliate da una terza retta che viene detta trasversale, si for mano otto angoli che chiamiamo esterni se sono esterni alla regione del piano delim i tata da e altrimenti interni. Nella figura a fianco gli angoli 1,4, 6 , 7 sono esterni, 2, 3, 5, 8 sono interni.
a b,
Consideriamo una coppia di angoli, uno formato da i due angoli:
aec, l’altro da be c. Chiamiamo
• alterni se sono da parti opposte rispetto a c, ma entrambi interni o esterni; per esempio 3 e 5 sono alterni interni, 1 e 7 sono alterni esterni; • coniugati se sono da una stessa parte rispetto a c, entrambi interni o esterni; per esempio, 2 e 5 sono coniugati interni, 4 e 7 sono coniugati esterni;
ae ce rispetto a bec;per b, e a sinistra di c.
• corrispondenti se hanno posizione analoga rispetto ad esempio, 2 e 6 sono al di sopra rispettivamente di e di
a
Rette p a ra lle le Due rette sono parallele se non hanno punti in comune oppure se coincidono. Per indicare che
a// b.
ae bsono parallele scriviamo
...••• .....
► b
CRITERIO DI PARALLELISMO
©
Esercizi a pagina G88
C ondizioni sufficienti per il parallelismo Se due rette tagliate da una trasversale formano < zLU
• angoli alterni (interni o esterni) congruenti
o
• angoli corrispondenti congruenti
cn
LU
oppure
oppure
• angoli coniugati (interni o esterni) supplementari, allora le rette sono parallele.
DIMOSTRAZIONE Consideriamo il caso in cui siano
gruenti dueangoli alterni interni.
G76
con
a//b a//a b//b
2. RETTE PARALLELE
Ragioniamo per assurdo. Supponiamo che a non sia parallela a b (negazio ne della tesi). Allora a e b si incontrano in un pun to C.
TEORIA
Poiché per ipotesi tt = 3> nel triangolo A B C l’angolo esterno 3 è congruente all’angolo interno a . Ma ciò contraddice il teorema per cui ogni angolo esterno di un triangolo è m aggiore di ogni angolo interno non adiacente. È assurdo allora supporre che le rette si incontrino, quindi sono parallele.
ESISTENZA DELLA PARALLELA PER UN PUNTO O Esercizi a pagina G90 < 2: ui oc oai
Esistenza della parallela Dati una retta r e un punto P che non le appartiene, esiste sempre una retta passante per P e parallela a r.
DIMOSTRAZIONE • Tracciamo per P la ret ta s perpendicolare a r, che esiste per il teo rema dimostrato nel paragrafo 1.
• Per P tracciamo la ret ta t perpendicolare a s, che esiste per lo stesso teorema. Gli angoli segnati in figura sono alterni in terni congruenti per ché retti, quindi t / / r per il criterio di paral lelismo.
ESERCIZI PER COMINCIARE n
n — i a Dimostra il criterio d i p a r a lle lism o nei casi della figura, riconducendoti a quello degli ango li interni congruenti.
J U Da parti opposte rispetto al segmento P Q , traccia A P = Q B , in modo che A P Q = P Q B . □■X Dimostra che A P / / Q B e A Q / / PB. Costruzione d i una retta parallela passante per un punto Dimostra il te o re m a d i esiste n za d e l la p a ra lle la mediante questa costruzione: considera per P una qualsiasi trasversale che intersechi r e utilizza
la costruzione di un angolo congruente a un angolo dato. Sfrutta il criterio di parallelismo. G77
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
3. SE LE RETTE SONO PARALLELE @ Esercizi a pagina G90 Unicità d ella p a ra lle la per un punto
POSTULATO
Abbiamo dimostrato Y esistenza di una parallela per un punto esterno a una retta. La sua u n icità , invece, non è dimostrabile, e la assumiamo come postulato. Postulato delle parallele (quinto postulato d i Euclide) Dati una retta r e un punto P che non le appartiene, è unica la retta passante per P e parallela a r.
Inverso del c riterio di p a ralle lis m o
TEOREMA
C ondizioni necessarie per il parallelismo Se d u e rette sono parallele, allora tagliate da una trasversale formano:
• angoli alterni congruenti e • angoli corrispondenti congruenti e
• angoli coniugati supplementari.
DIMOSTRAZIONE Dimostriamo che gli angoli alterni interni sono congruenti.
Ipotesi: a//b Tesi:
a = p
Ragioniamo per assurdo. Supponiamo che a non sia congruente a 3 (negazione della tesi). Per B conduciamo la retta b' tale che 3’ = «•
Per il criterio di parallelismo b' è parallela ad a , e quindi per B passano due parallele ad a. Ciò è assurdo, perché contraddice il postulato delle parallele. Non è vero che a e 3 non sono congruenti, quindi a = 3La dimostrazione degli altri casi della tesi è proposta nell’esercizio 1 a pagina G80. G78
3. SE LE RETTE SONO PARALLELE
TEORIA
Dimostriamo che due angoli con i lati paralleli e concordi sono con gruenti. Consideriamo il caso di angoli che hanno entrambi punti che non sono in comune e chiamiamo (3 l’angolo intersezione tra a e et'. a = (3 perché angoli corrispondenti delle parallele s e s'tagliate da r;
3 = cd perché angoli corrispondenti delle parallele r e r ' tagliate da s'; a = a per la proprietà transitiva.
Consideriamo ora il caso in cui un angolo è contenuto nell’altro. Prolunghiamo s' fino a incontrare r in B e chiamiamo 3 l’angolo di vertice B e lati r e s'. Ripetiamo poi le considerazioni del caso precedente. La dim ostrazione degli altri casi è proposta negli esercizi 6 e 7 a pagina G80. G79
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
P ara llelism o ed equivalenza Nel definire le rette parallele abbiamo anche detto che due rette che coincidono sono parallele. In questo modo nell’insieme delle rette del piano per la relazione di parallelismo è vero che: proprietà riflessiva.
a // a
Inoltre: se a / / b , allora b / / a
proprietà simmetrica.
Si può anche dimostrare che: se a / / b e b / / c, allora a / / c
proprietà transitiva.
Poiché gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, la rela zio n e d i p a ra lle li sm o è u n a relazione d i eq u iva le n za .
Ogni classe di equivalenza è l’insieme di tutte le rette parallele fra loro, chiamato fascio im p ro p rio di rette. La proprietà caratteristica delle rette del fascio è la direzione.
Diciamo che le rette a, b, c e d hanno la stessa direzione.
ESERCIZI PER COMINCIARE B1
Dimostra V inverso d el criterio d i
W M Traccia due rette parallele r e s, tagliate da una
p a ra lle lism o negli altri casi di tesi. T i puoi ricon
trasversale t. Detti R e S i punti in cui t interseca le parallele, considera, da parti opposte rispetto al segmento R S , altri due punti P E r e Q E s in modo che P R = Q S . Detto M il punto di inter sezione dei segmenti P Q e RS, dimostra che M è il punto medio di entrambi i segmenti.
durre al caso degli angoli alterni interni con gruenti mediante le proprietà che hai già utilizza to nell’esercizio 1 di pagina G77. n
u
m m i Dato il triangolo isoscele A B C di base B C , dimostra che la retta passante per A e parallela a B C è bisettrice dell’angolo esterno di vertice A .
H Q DESI Rette
parallele e trasversali Nella figura, A H / / B F e A D / / LF.
M tU Dagli estremi di un segmento P Q traccia nei due
semipiani opposti di origine P Q le semirette parallele a e b. Considera su a i punti A e B e, detto M il punto medio di PQ, disegna le rette A M e B M fino a incontrare la retta b in C e D . Dimostra che A B = C D . Dimostra che due angoli con i la ti p a ra lle li e d isco rd i sono congruenti. Dimostra che due angoli con i la ti p a r a lle li , d u e c o n c o rd i e d u e d isc o rd i, sono
Qual è l’ampiezza degli angoli G F E , B D C , D B E e DE F i Confronta la tua risoluzione con quella che pro poniamo nel video.
G80
supplementari. Dimostra la p r o p r ie tà tra n sitiv a d el p a ra lle lism o , ragionando per assurdo.
□ OSE
4. PROPRIETÀ DEGLI ANGOLI DI UN POLIGONO
TEORIA
4. PROPRIETÀ DEGLI ANGOLI DI UN POLIGONO TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO DI UN TRIANGOLO
< zLU OH
G
Esercizi a pagina G95
Angolo esterno d i un triangolo In un triangolo ogni angolo esterno è congruente alla s o m m a degli angoli in tern i n on adiacenti. *•
A
O LU
DIMOSTRAZIONE Per B tracciamo la retta r parallela ad A C . • òi = a perché angoli corrispondenti delle parallele A C e r tagliate da A B ; • ò 2 = T perché angoli alterni interni delle parallele A C e r tagliate da BC; • ò = 5] + ò 2, quindi: 5 = a + 7 .
__
,
SOMMA DEGLI ANGOLI
In i The suiti of thè internai angles of LJ triangleis a sfra/ghfang/e, that is
Secondo c riterio di congruenza dei triangoli (form a generale) Nel seguito, con secondo criterio di c o n g ru e n za intenderemo una forma più generale di quella che conosci. Per applicare il criterio in questa forma non è necessario che gli angoli congruenti siano quelli adiacenti al lato. G81
TEOREMA
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
Secondo criterio d i congruenza: form a generale Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e due angoli o r d in a ta m e n te congruenti.
TEOREMA
SOMMA DEGLI ANGOLI DI UN POLIGONO e
Esercizi a pagina G99
Somma degli angoli in te rn i d i un poligono La somma degli angoli interni a, 3, 7 ,... di un poligono convesso che ha n lati è congruente a « - 2 angoli p ia tti. a + 3 + 7 + ... = (n — 2 )n
DIMOSTRAZIONE
TEOREMA
Consideriamo un poligono convesso qualsiasi di n lati, un suo punto interno O e congiungiamo O con tu tti i vertici. Si formano n triangoli, quindi la somma di tu tti i loro angoli interni è n angoli piatti. La somma degli angoli di vertice O è un angolo giro, cioè 2 angoli piatti. Per differenza, abbiamo che la somma dei soli angoli che hanno per vertici quelli del poligono è n - 2 angoli piatti.
Somma degli angoli esterni La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è congruente a due angoli piatti.
ESERCIZI PER COMINCIARE B1
Dimostra che la somma degli angoli acuti di un triangolo rettangolo è un angolo retto.
WfM
Applicando il teorema della somma degli angoli interni, dimostra che, se due triangoli hanno congruenti due angoli, allora hanno congruente anche il terzo. Dimostra poi il sec o n d o criterio d i co n g ru e n za nella fo r m a generale.
Dimostra il te o re m a della s o m m a degli a n g o li e stern i d i u n p o lig o n o partendo dalla con siderazione che in un poligono di n lati la somma
G82
degli angoli esterni e degli angoli interni è con gruente a n angoli piatti.
5. CONGRUENZA DI TRIANGOLI RETTANGOLI
TEORIA
G83
G3
< z L U O d O L 1U -
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
Rette parallele e distanza d i p u n ti da rette Se due rette r e s sono parallele, la distanza di un punto di r da s e la distanza di un punto di s da r sono congruenti.
r.
A /
Ipotesi: r//s AB distanza di A da s CD distanza di C da r Tesi: AB = CD
Osserviamo che, per esempio, la distanza di A da s coincide con la distanza di B da r, perché A B è perpendicolare sia a r sia a s, quindi possiamo esprimere la proprietà appena dimostrata dicendo che tu tti i punti di r hanno da s la stessa distanza che tutti i punti di s hanno da r. Diamo allora la seguente definizione: la distanza tra due rette parallele è la distanza di un qualsiasi punto di una delle rette dall’altra. Luoghi geom etrici e triangoli rettangoli Il luogo geometrico della proprietà SP è l’insieme di tu tti e soli i punti del piano che godono di (3 >. *3* è la proprietà caratteristica del luogo.
L’asse di un segmento e la bisettrice di un angolo sono esempi di particolari luoghi geometrici. Asse come luogo L’asse di un segmento è il luogo dei p u n ti
Bisettrice come luogo La bisettrice di un angolo è il luogo dei p u n ti
e q u id ista n ti dagli estrem i.
e q u id ista n ti d a i lati.
asse
ESERCIZI PER COMINCIARE i l
G84
Applicando i criteri di congruenza dei triangoli, dimostra i p r im i tre criteri d i c o n g ru e n za d ei tria n g o li re t ta n g o li aiutandoti con le figure, in cui sono segnate le ipotesi.
5. CONGRUENZA DI TRIANGOLI RETTANGOLI
TEORIA
Utilizzando il secondo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli, dimostra che in un triangolo isoscele l ’altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice dell’angolo al vertice. B tB
Per dimostrare il q u a r to criterio d i c o n g ru e n za d ei tria n g o li re tta n g o li, considera i triangoli rettangoli A B C e P Q R , con A C = P R e B C = Q R . Prolunga A B di un segmento A D = P Q . Dimostra che P Q R = A C D e A C D = A B C , quindi...
B
Per dimostrare il teo rem a della m e d ia n a rela tiva a ll’ip o ten u sa , prolunga A M di un segmento M D = A M . Dimostra che: • i triangoli A M C e B D M sono congruenti; • l’angolo A B D è retto; • i triangoli A B C e B D A sono congruenti; • poiché A D = 2A M per costruzione, allora C B = ..., quindi...
Scrivi il teo rem a in verso d i q u ello della m e d ia n a relativa a ll’ip o ten u sa . D im o stralo aiutandoti con la figura e utilizzando il teorema della somma degli ango li interni di un triangolo.
Dimostra il te o r e m a delle re tte p a r a lle le e d is ta n z a d i p u n t i d a re tte che abbiamo enunciato a pagina G84. U tM Q B T H i l Un luogo geometrico: l ’asse d i un segmento Per dimostrare che
l’asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi, dimostra che: a. tu tti i punti dell’asse hanno distanza uguale dagli estremi; b. solo i punti dell’asse hanno distanza uguale dagli estremi.
Ipotesi: A M = M B ; M C _L A B Tesi:
A C = BC
Ipotesi: A C = BC; M C 1 A B Tesi:
AM = MB
Confronta la tua dimostrazione con quella che proponiamo nel video. BiM Per dimostrare che la b isettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai lati, dimostra che: a. tu tti i punti della bisettrice hanno distanza uguale dai lati;
Ipotesi: Q V P = P V R ; P Q 1 VQ ; P R 1 Tesi:
b. solo i punti della bisettrice hanno distanza uguale dai lati.
P Q = PR
Ipotesi: P Q 1 VQ; P R 1 VR; P Q = P R Tesi:
QVP = PVR
G85
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
ESERCIZI 1. RETTE PERPENDICOLARI OTeoria a pagina G74 D
Q
v e r o o f a ls o ?
Se due rette incidenti formano un angolo retto, allora sono perpendicolari.
[ v ] \T]
b. La proiezione di un segmento su una retta può anche essere un solo punto.
[v][T]
c. La proiezione ortogonale di un punto su una retta può coincidere con il punto.
[v]|T]
d. La proiezione di un segmento su una retta è sempre minore del segmento.
[v]ITI
a.
C ostruzioni WM Disegna le perpendicolari a r,s e t che passano per P.
Trova le proiezioni ortogonali del segmento AB sulle rette disegnate. B
A
G86
1. RETTE PERPENDICOLARI
ESERCIZI
BK1 Considera le rette a, b, c, d della figura, che si incon trano nel punto O. Se a è perpendicolare a c e b è perpendicolare a d, dimostra che a = 3 e che le loro bisettrici sono perpendicolari.
KM Nella figura disegna e indica: a. la proiezione di PQ su b; b. la proiezione di RS su a; c. il piede della perpendicolare condotta da S a b; d. la proiezione di Q su a; e. la distanza di R da b; f. la distanza di P da a.
BEI In un quadrilatero convesso ABCD dimostra che se BA = BC e DC = DA, allora la diagonale DB è asse della diagonale AC. BEB Dimostra che, se in un triangolo la bisettrice di un angolo interno è perpendicolare al lato oppo sto, allora il triangolo è isoscele. BP1 Dimostra che, se in un quadrilatero convesso una diagonale è bisettrice dei due angoli del qua drilatero che hanno come vertici i suoi estremi, allora la diagonale interseca perpendicolarmente l’altra diagonale nel suo punto medio.
P D
Dimostra che, se il quadri latero ABCD è tale che il vertice A coincide con il punto di intersezione degli assi dei lati BC e CD, allora ABD = ADB.
IH
Disegna due triangoli isosceli, ABC e ABD, con la base AB in comune e i vertici C e D dalla stessa parte rispetto ad AB. Dimostra che la retta CD è l’asse di AB.
D im ostrazioni WfM Due segmenti, PQ e RS, sono perpendicolari tra loro e si dividono a metà. Dimostra che PR = RQ = QS = SP. BM Sui lati a e b di un angolo di vertice O considera rispettivamente un punto A e un punto B. Trac cia gli assi dei segmenti OA e OB che si incontra no nel punto P. Dimostra che AP = BP. KM Da un punto P appartenente alla bisettrice dell’an golo A OB conduci una retta a essa perpendicola re, che incontra i lati dell’angolo nei punti Ce D. Dimostra che P è il punto medio di CD.
ESEMPIO DIGITALE
Con le m isu re ÉFil Trova le ampiezze di tutti gli angoli della figura, in cui a 1 c e b 1 d.
BUI Considera l’angolo POQ, con PO = OQ. a. Dimostra che la bisettrice s di POQ è asse di PQ. b. Preso R su s tale che OQ = QR, dimostra che
il quadrilatero OPRQ ha tutti i lati congruenti.
B ir rniJiiJi.i.imaa Sull’asse
del segmento PQ, dalla stessa parte rispetto a PQ, considera i punti A e B. Dimostra che PAB = BAQ. G87
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
2. RETTE PARALLELE DEFINIZIONI IH
@ Teoria a pagina G76
Indica tutte le coppie di angoli rispetto alla tra sversale t: a. alterni interni; c. coniugati esterni. b. corrispondenti;
a. Una retta è sempre parallela a se stessa. b. Due rette incidenti possono essere
parallele.
c. Due rette parallele non possono
essere incidenti.
m m
essere parallele.
@ Teoria a pagina G76
e motiva la risposta, indicando la trasversale considerata:
a. se BCD = GFH, allora!____ Ì/A____ I; trasversale:!____ I; b. se BDF = AFH, allora!____ \//\ ____ I; trasversale:!____ I; c. se ABD supplementare di BAF, allora!____ \//\____ I; trasversale:
d. se DEF = AFG, allora!____ \//\____ I; trasversale:!____ I; e. se NBA supplementare di FEI, allora!____ \//\____ I; trasversale: LABORATORIO
MATEMATICA INTORNO A NOI
Origami Prendi un foglio dal tuo album da disegno. ►Sai tracciarvi due rette perpendicolari, non parallele ai bordi del foglio, senza usare righe, squadre e compasso? Puoi farlo piegando semplicemente in modo opportuno la carta. Così, stai praticamente realizzan do un origami: l’antica arte giapponese del piegare la carta. Cerca di realizzare il più classico degli origami, la gru, partendo preferibilmente da un foglio quadrato di carta da origami, più sottile e adatto allo scopo. Sebbene gli origami siano soprattutto un prodotto artistico, la loro bellezza nasconde molta matematica.
□ G88
► Risoluzione.
► Un esercizio in più.
S m
d. Due rette perpendicolari possono
S DE]
CRITERIO DI PARALLELISMO COMPLETA
i f l l Indica tutte le coppie di angoli rispetto alla tra sversale t: a. alterni esterni; c. corrispondenti. b. coniugati interni;
S DE]
2. RETTE PARALLELE
Bftl Riferendoti alla figura, indica quali coppie di ret te sono parallele e la trasversale considerata se: a. A C B = CBD;
ESERCIZI
I Z 1 Q YOU &MATHS A carpenter’s work Frances is building a bench for her back yard. She has cut one end of thè legs at » . f : an angle of 40°. At what angle should she cut thè other end to be sure that thè top of thè bench is parallel to thè ground?
D im ostrazioni Dato un segmento AB, traccia l’asse del segmento e due semirette di origine A che formano con AB angoli congruenti. Detti C e D i punti di intersezione delle semirette con l’asse, dimostriamo che CB è parallela a AD. DIMOSTRAZIONE
ESEMPIO
C
A< ^ — t ----- ---M
Consideriamo i triangoli CMB e AMC. Hanno: MB = A M
perché CD è asse di AB;
CM
in comune;
BM C = A M C
perché angoli retti.
I triangoli sono congruenti per il primo criterio. D
In particolare: CBM = CAM. C A M = M A D per ipotesi. CBM = M A D per la proprietà transitiva.
Ipotesi: CD asse di AB C A B = DAB Tesi:
CB / / AD
Gli angoli CBM e MAD, alterni interni formati dalle rette CB e DA, tagliate dalla trasversale AB, sono congruenti, quindi, per il criterio di parallelismo: CB / / AD.
Bftl Dal punto medio M di un segmento PQ traccia una retta r, distinta da PQ. Fissa su r, da parti opposte rispet to a M, due punti S e T tali che MS = MT. Dimostra che la retta PT è parallela alla retta QS. WIM Nel triangolo ABC, isoscele sulla base AB, traccia le bisettrici AE e BD degli angoli alla base e indica con P il loro punto di intersezione. Dimostra che il triangolo DEP è isoscele e DE / / AB. WXÉ Nel triangolo isoscele ABC traccia la mediana A M relativa alla base BC e considera il punto Q di intersezio ne tra il lato AB e l’asse del segmento BM. Dimostra che QM è parallela ad AC. K H Sulla bisettrice dell’angolo X O Y considera un punto A e su OY un punto B tale che OB = BA. a. Dimostra che BA // OX. b. Tracciata da B la perpendicolare a OA che incontra OX in C, dimostra che OB // AC.
E
i Q H m Dimostra che la bisettrice dell’angolo esterno al vertice di un triangolo isoscele è paral lela alla base del triangolo. (Suggerimento. Considera l’altezza relativa alla base del triangolo.) G89
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
K I l l LJ YOU & MATHS
U
Find transversals Here is a drawing of thè
runways around a control tower of an airport. Identify thè pairs of parallel lines to which a. line m is a transversai;
d. line p is a transversai;
b. line n is a transversai;
e. line q is a transversai;
c. line / is a transversai;
f. line r is a transversal.
ESISTENZA DELLA PARALLELA PER UN PUNTO @ Teoria a pagina G77 C ostruzioni te il Considera tre rette con direzioni diverse e un punto P esterno a ognuna di esse. Disegna con riga e compas so le rette passanti per P e parallele alle rette che hai tracciato. KK1 In ogni figura traccia le parallele ad AC e ad AB passanti per P.
3. SE LE RETTE SONO PARALLELE ©t*,*apagi»™ Inverso d el c rite rio di p a ra lle lis m o R I Nelle figure che rappresentano due rette parallele tagliate da una trasversale indica gli angoli richiesti.
>
<
5
• Corrispondente di a.
• Coniugato interno di a.
• Alterno esterno di a.
• Alterno esterno di a.
• Corrispondente di a.
• Corrispondente di a.
• Coniugato esterno di a.
• Alterno interno di a.
• Coniugato esterno di a.
YOU &MATHS W hich angles are congruent? Lines r and s are parallel. Name all angles congruent to angle 1.
Q
a.
G90
2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
f. 7
g. 8
3. SE LE RETTE SONO PARALLELE
E H La figura rappresenta due rette parallele tagliate da una trasversale. Indica tutti gli angoli con gruenti all’angolo evidenziato e motiva la risposta.
ESERCIZI
ET! Nella figura le rette a e b sono parallele. Contras segna con lo stesso simbolo tutti gli angoli con gruenti ad a e tutti quelli congruenti a (3-
D im ostrazioni Dato un triangolo ABC, sulla retta r parallela a BC passante per A considera, nel semipiano definito dalla retta AB che contiene il triangolo, il punto D tale che AD = CB. Preso un punto T su r, da parte opposta a D rispetto ad A, dimostriamo che CD A = BAT. Ipotesi: DA // BC AD = CB Tesi:
CD A = BAT
DIMOSTRAZIONE
I triangoli ADC e ABC hanno: AD = CB
per ipotesi;
AC
in comune;
CAD = ACB
perché alterni interni delle rette parallele DA e BC tagliate dalla trasversale AC.
Quindi sono congruenti per il primo criterio. In particolare DCA = CAB. DCA e CAB sono angoli alterni interni congruenti formati dalle rette DC e AB tagliate dalla trasversale AC, quindi DC // AB. CD A = BAT perché angoli corrispondenti delle rette parallele DC e AB tagliate dalla trasversale DT.
EB Q E332EEE! Nel triangolo ABC traccia la bisettrice dell’angolo A e fissa su di essa un punto P. Per P conduci la parallela al lato AC che interseca AB o il suo prolungamento in Q. Dimo stra che il triangolo APQ è isoscele. H i! Da un punto D del lato AC del triangolo ABC traccia le parallele ai lati CB e AB che li interseca no rispettivamente nei punti E e F. Dimostra che DEB = DFB. B
Le rette r e s della figura sono parallele e inoltre AB = BC = ED. Dimostra che: a. la retta AE è parallela a BD; b. la retta CD è parallela a BE.
B l U E n S E H E J H Sulla coppia di rette paral lele a e b, considera i segmenti congruenti AA' e BB', con AA' appartenente alla retta a e BB' alla retta b. Dimostra che i triangoli ABB' e AA'B' sono congruenti. WFf1 Dimostra che, se da ogni vertice di un triangolo qualsiasi si traccia la parallela al lato opposto, si ottengono quattro triangoli congruenti. G91
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
B&B Considera una coppia di angoli alterni interni formati da due rette parallele tagliate da una tra sversale. Dimostra che le bisettrici di tali angoli sono parallele. W4M Ripeti l’esercizio precedente considerando una coppia di angoli alterni esterni.
Hfrl Le rette parallele a e b sono tagliate dalla trasver sale t nei punti A e B. Dimostra che il punto medio P di AB è anche il punto medio del seg mento che ogni altra trasversale passante per P forma con a e b e che P è equidistante da a e b . P I
B&B Dimostra che due rette parallele che intersecano altre due rette parallele formano segmenti con gruenti. WR!% Siano aOb e cVd due angoli tali che a è parallela a c e b parallela a d. Dimostra che anche le loro bisettrici sono parallele. W.ÌM Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Traccia una retta r parallela alla bisettrice di CAB, in modo che intersechi il lato obliquo AC e il prolungamento della base, rispettivamente nei punti R e S. Dimostra che il triangolo ARS è isoscele. BAI Nel triangolo ABC traccia la bisettrice r dell’an golo esterno di vertice C. Dimostra che, se r è parallela ad AB, il triangolo è isoscele. Nel triangolo isoscele ABC di base AB la bisettri ce dell’angolo CAB interseca CB in D. Da D con duci la parallela ad AC fino a incontrare AB in E. Dimostra che i triangoli AED e DEB sono isosce li. Ripeti la dimostrazione per un triangolo iso scele di base BC.
Considera le bisettrici degli angoli esterni di ver tici A e C del triangolo ABC e chiama P il loro punto di intersezione. Conduci da P la retta parallela al lato AC che interseca i prolungamen ti dei lati BC e AB, rispettivamente, nei punti Q e R. Dimostra che QR = QC + RA.
ESEMPIO DIGITALE Traccia una retta r paralle HQla alla base BC del triangolo isoscele ABC che
interseca i lati obliqui AB e AC rispettivamente nei punti F e G. Dimostra che i triangoli FCB e GBC sono congruenti. P I
Nel triangolo acutangolo ABC le bisettrici degli angoli di vertici A e B si intersecano in P. Da P conduci la parallela ad AB che interseca in Q il lato A C e in P il lato CB. Dimostra che QR = AQ + RB. EUREKA! Angoli congruenti Nella figura PA // QB. Se C è un punto della regione di pia no delimitata dalle due parallele e da AB, dimo stra che ACB = PAC + QBC.
E H Dato il triangolo isoscele ABC, di base BC, nel semipiano di origine BC che non contiene il triangolo, traccia una retta parallela a 5C. Tale retta interseca i prolungamenti dei lati AB e AC rispettivamente nei punti D ed E. Indicato con M il punto medio di DE, dimostra che: a. il triangolo ADE è isoscele; b. il triangolo BCM è isoscele. H B Dato il triangolo ABC traccia la bisettrice dell’an golo ACB che interseca in D il lato AB. Da D traccia la parallela r al lato AC e indica con E il punto in cui r incontra il lato CB. Traccia infine da E la retta s parallela a CD. Dimostra che: a. il triangolo CDE è isoscele; b. la retta s è bisettrice dell’angolo DEB.
G92
H i Dal punto medio M del segmento AB traccia un segmento MP = AM e dal punto P traccia un segmento PQ parallelo ad AB. Dimostra che: a. la retta PB è bisettrice dell’angolo MPQ; b. la retta AP è bisettrice dell’angolo esterno di vertice P; c. l’angolo APB è retto.
3. SE LE RETTE SONO PARALLELE
m
u
ESERCIZI
YOU & MATHS W hat can you know? List all thè information you can know about thè following sets of lines. Parallel lines are marked with doublé arrows, right angles are marked with a ] and congruent segments are marked with a doublé tick.
U J
LU
c
co
D
YOU & MATHS Prove it ! Write a proof for thè following statement. If PQ and YZ are on parallel and non-coincident lines, and PQ = ZY, then PY = QZ.
HV1Q
P______________Q
Y
Z
Con le m isu re In ogni figura ci sono due rette parallele tagliate da una trasversale. Trova le am piezze di tutti gli angoli u ti lizzando le inform azioni.
G93
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
In ogni figura tre matite sono parallele. Determ ina le am piezze di tutti gli angoli utilizzando le inform azioni.
Trova l’angolo x con le informazioni indicate.
Le rette gialle in figura sono parallele. Determina x.
F
m i
a e 3 sono una coppia di angoli coniugati interni formati da due rette parallele tagliate da una tra sversale. 3 Sapendo che l’ampiezza di a supera di 40° i dell’ampiezza di 3, determina le ampiezze di tut ti gli altri angoli formati dalle intersezioni delle rette parallele con la trasversale. [80°; 100°]
llÉ
Determina le misure degli angoli indicati con il punto interrogativo, sapendo che il triangolo ABC è isoscele e che la retta a è parallela al lato AB.
Mf/É Trova le ampiezze di tutti gli angoli della figura.
B1
G94
Determina x e y utilizzando le informazioni della figura.
4. PROPRIETÀ DEGLI ANGOLI DI UN POLIGONO
ESERCIZI
4. PROPRIETÀ DEGLI ANGOLI DI UN POLIGONO TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO DI UN TRIANGOLO ®
Teoria a pagina G81
D im ostrazioni Consideriamo un triangolo isoscele in cui l’angolo al vertice è la metà di un angolo alla base. Dimostriamo che la bisettrice di un angolo alla base divide il triangolo in due triangoli isosceli. Ipotesi: ABC triangolo isoscele ACB = ^ C A B AD bisettrice di CAB Tesi: o Z LU (/> LU
CDA e DAB triangoli isosceli
Q.
DIMOSTRAZIONE
Chiamiamo a l’ampiezza dell’angolo al vertice. Il triangolo ABC è isoscele, quindi gli angoli alla base sono congruenti e, essendo uno dei due il doppio dell’angolo al vertice, entrambi hanno ampiezza 2a. DAC è la metà di BAC, perché AD è bisettrice di BAC, quindi l’ampiezza di DAC è a. Il triangolo CAD ha due angoli con la stessa ampiezza a, ACD e CAD, quindi è isoscele. ADB è angolo esterno del triangolo CAD, quindi è congruente alla somma degli angoli interni non adia centi, ACD e CAD. Allora la sua ampiezza è 2a. Il triangolo DAB ha due angoli con la stessa ampiezza 2ct, ABD e BDA, quindi è isoscele.
WÌM Nel triangolo isoscele ABC di base AB, prolunga AC di un segmento CD = AC. Dimostra che: a. il triangolo BCD è isoscele con gli angoli alla base che sono la metà di ACB; b. l’angolo ABD è retto.
Sul prolungamento della base BC del triangolo isoscele ABC, dalla parte di C, considera un punto F tale che CF = AC. Dimostra che: a. l’angolo AFC è la metà di ACB; b. l’angolo esterno di vertice A del triangolo ABF è il triplo dell’angolo AFB.
m Q m s m m m In un triangolo ABC un angolo esterno è congruente alla somma dell’angolo interno a esso adiacente con uno degli altri due angoli. Dimostra che il triangolo è isoscele. Dimostra che in ogni triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo esterno adiacente all’angolo al vertice è parallela alla base. Con le m isu re Determ ina l’am piezza di a e 3.
G95
G3 p
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE o
s
a
m
i
g l
g l
1:11 In un triangolo ABC l’angolo esterno di vertice B è 136°. Trova l’ampiezza degli angoli A e C interni, sapendo che C supera A di 20°. [58°; 78°1
l:frl
In un triangolo ABC l’angolo esterno di vertice C è 135°. Trova l’ampiezza degli angoli interni A e B, sapendo che B - A = 21°. [57°; 78°]
SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO G
Teoria a pagina G81
D im ostrazioni Dimostriamo che in un triangolo acutangolo la somma dei complementari degli angoli interni è un angolo retto. DIMOSTRAZIONE
Indichiamo con a, 3 e 7 le ampiezze degli angoli interni ed esprimia mo la somma dei loro complementari: (90° - a) + (90° - (3) + (90° - 7) = 90° + 90° + 90° —a —$ —7 = 270° - (a + 3 + 7) = 2 7 0 °- 180° = 90°
la somma degli angoli interni è un angolo piatto: a + 3 + y = 180 °
Quindi la somma dei complementari è un angolo retto.
1:K1 Dimostra che due triangoli isosceli con le basi congruenti e l’angolo al vertice congruente sono congruenti.
I T I Dimostra che in un triangolo isoscele la somma degli angoli esterni agli angoli alla base è uguale alla somma dell’angolo al vertice con un angolo piatto.
l i t i Dimostra che in un triangolo acutangolo un angolo è uguale alla somma dei complementari degli altri due.
l!f.l Nel triangolo ABC traccia la bisettrice dell’ango lo esterno di vertice B fino a incontrare Tasse del lato AB in D. Dimostra che ADB = ABC.
G96
4. PROPRIETÀ DEGLI ANGOLI DI UN POLIGONO
litri
EUREKA! Costruire e dimostrare Sia ABC un triangolo isoscele acutangolo di base AB. Traccia dal vertice B la perpendicolare al lato obliquo BC che incontra il prolungamento di AC in D. Fissa su AC un punto F tale che DF = DB. Dimostra che l’ampiezza dell’angolo FBA è 45°.
Dimostra che, se in un triangolo la somma di due angoli interni è congruente al terzo angolo, allora il triangolo è rettangolo. -jjilJI.I.IMLJJU Nel triangolo isoscele ABC, di base BC, disegna l’altezza BH relativa al lato obliquo AC. Dimostra che BAC — 2HBC.
I VI Dimostra che in un triangolo rettangolo ABC l’al tezza relativa all’ipotcnusa divide ABC in due trian goli, entrambi con angoli congruenti ad ABC.
ESERCIZI
FU
Date due rette parallele, a e b, tagliate da una tra sversale, dimostra che le bisettrici di due angoli coniugati interni sono perpendicolari.
MH Nel triangolo rettangolo ABC, traccia l’altezza CH relativa all’ipotcnusa AB. Traccia poi la bisettrice dell’angolo HCA che interseca l’ipotenusa nel punto D. Dimostra che BC = BD.
I f t l Sia ABC un triangolo isoscele con base AC. Dimostra che ogni retta perpendicolare alla base, che non contiene il vertice B, forma con un lato obliquo e il prolungamento dell’altro un triango lo isoscele.
M i Dimostra che in un triangolo l’angolo formato dalle bisettrici di due angoli esterni al triangolo è congruente alla metà della somma degli angoli interni corrispondenti.
Nel triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, gli angoli acuti sono tali che ABC = 2ACB. Dimostra che CB = 2AB.
Sia ABC un triangolo isoscele di vertice A. Prolun ga il lato AB di un segmento AP = AB. Dimostra che la retta PC è perpendicolare alla base del trian golo.
H'VJ Dato il triangolo isoscele ABC di base AB, pro lunga i lati CB e AC dei segmenti BH e CK rispet tivamente in modo che CK = CH. Dimostra che HK è perpendicolare alla retta AB.
LABORATORIO
MATEMATICA E STORIA
La g eom etria di Euclide p e r le applicazioni pratiche Il documento a lato è tratto dal Libro del misurar con la vista di Silvio Belli, matematico, ingegnere e architetto del Cinquecento. Nel libro si descrivono gli strumenti e i metodi usati dagli ingegneri dell’epoca: per capirne il funzionamento è necessario conoscere la matematica. Nel documento c’è parte del procedimento per determi nare una distanza, dove è anzitutto necessario confronta re due triangoli e spiegare perché hanno gli angoli ordi natamente congruenti. a. Ridisegna la figura del testo di Belli, indicando i verti ci dei due angoli retti con due lettere diverse, e riscrivi il testo in italiano corrente. b. Scrivi l’enunciato del teorema in base al quale puoi concludere che «il restante angolo dell’uno è uguale al restante angolo dell’altro». Chiarisci perché consente di arrivare a questa conclusione.
□
► Risoluzione.
► Un esercizio in più.
U
r a g io n e è ( ju e fla , t a n g o lo
b d e l tr ia n g o lo
l a n g e lo
P d e l tr ia n g o lo c E R .p e r i h e
l a n g o lo
Kè
A F. B, e e g u a l e a h
l u t t o ,e t a l t r o d e f i e r e tto ,
c o m m u n e a d d m c n d n e i d i t t i t r i a n g o li : O n d e p e r L i lri=
g c fi m a fe c o n d a d e l p r ir r o U r o d e g li e le m e n ti d
Fu c l i d e , i l r e l i a n t e
a n g o lo d e l l u n o è e g u a le a l r e f i a n t e a n g o lo d e l l a ltr o .
►Attività di ricerca: Misurare, costruire, combattere...
G97
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
Con le m isu re
p iQ
Trova x e y .
YOU&MATHS Find thè m easures Find thè measures x and y , in degrees, knowing that ED //A B . A
ITiEI
In un triangolo un angolo è doppio di uno degli altri due, mentre il terzo angolo supera di 28° il primo. Trova i tre angoli. [30,4°; 60,8°; 88,8°]
IllEI In un triangolo ABC, A = 2B. Se C = 75°, qual è l’ampiezza di A e di 5 ? [70°, 35°] m
Un triangolo isoscele ottusangolo può avere un angolo alla base di ampiezza di 40°? E di 65°? Perché? [sì; no]
FTiTI In un triangolo la differenza tra l’ampiezza di due angoli è uguale al terzo. Dimostra che il triangolo è rettangolo.
ITifl
APPROFONDIMENTO
TTiTI In un triangolo un angolo è i -y di un altro e il terzo è il doppio della somma dei primi due diminuito di 12°. Trova le ampiezze dei tre angoli. [24°; 40°; 116°]
L’esp lo ra to re e l'orso Un esploratore esce dalla propria tenda e, bussola alla mano, cammina per un’ora verso sud, poi gira a sinistra di 90° e cammina per un’altra ora sempre in linea retta, poi...
I matematici delle nuove geometrie. ►Approfondimento: Le geometrie non euclidee.
G98
Nel triangolo isoscele ABC di base AB, la biset trice dell’angolo al vertice forma con il lato AC un angolo di 13°. Determina le ampiezze degli angoli del triangolo. Il triangolo ABC è ottusan golo, rettangolo o acutangolo? Perché? [26°; 77°; 77°]
rng
Nel triangolo ABC, C è la metà di B. Prolunga il lato BC, dalla parte di C, di un segmento CP = AC. Esprimi in funzione di C le ampiezze degli angoli dei triangoli ABC e CAP. Calcola l’ampiezza dell’angolo BAP se C = 40°.
ITTI
EUREKA! Una bisettrice perpendicolare Nel triangolo ABC l’angolo CAB è doppio di ABC, il minore degli angoli di ABC. Considera su AB un punto D tale che BCD = DBC. La parallela ad AC passante per D incontra BC in F, mentre la bisettrice dell’angolo CDF incontra CB in E. Dimostra che DE è perpendicolare ad AB.
U. PROPRIETÀ DEGLI ANGOLI DI UN POLIGONO
ESERCIZI
S econdo c rite rio di co n g ru e n z a dei trian g o li (form a g e n e ra le ) Dimostra che, se due triangoli hanno congruenti un angolo, la mediana relativa a uno dei lati adiacenti a esso e l’angolo tra la mediana e il lato, allora sono congruenti.
1 Q H S B ]
Dimostra che, se due triangoli isosceli hanno congruenti un angolo alla base e la biset trice di questo angolo, allora sono congruenti.
irc i Prolunga il lato AB del triangolo ABC di un segmento BD congruente ad AB e sul prolungamento di CB dalla parte di B considera il punto P in modo che BPD = ACB. Dimostra che i triangoli ABC e BPD sono congruenti e che la retta AC è parallela a PD.
SOMMA DEGLI ANGOLI DI UN POLIGONO G B A U VERO0 FALSO?
La somma degli angoli interni di un esagono convesso è 720°.
c. Non esistono quadrilateri con tutti gli angoli acuti. d.
Trova il numero dei lati di un poligono regolare in cui ogni angolo interno misura 135°.
B U G
a. In ogni quadrilatero convesso la somma degli angoli interni è uguale alla somma degli angoli esterni. [v][T] b.
Teoria a pagina G82 ESEMPIO DIGITALE
irc i Ripeti l’esercizio precedente nel caso in cui ogni angolo interno misuri 108°, 120°, 150°. [5; 6; 12]
[v][T] [v] [T]
Il poligono i cui angoli interni hanno per somma 1080° è un decagono. [v][T]
e. In un poligono convesso di 20 lati la somma degli angoli interni è il doppio di quella di un poligono convesso di
io lati.
mm
irc i In un quadrilatero LMNP, le bisettrici dei due angoli adiacenti LM N e M N P si intersecano nel punto Q. Dimostra che l’ampiezza di M Q N è uguale alla semisomma delle ampiezze degli angoli L e P . irc i
EUREKA! La m in im a am piezza In un quadrila tero convesso ABCD l’ampiezza dell’angolo inter no di vertice C supera di 30° l’ampiezza dell’angolo opposto al vertice A, mentre l’angolo in D ha ampiezza doppia di quella dell’angolo di vertice B. Sapendo che uno e uno solo degli angoli del qua drilatero è retto, qual è il valore minimo che può assumere uno degli angoli interni del quadrilatero?
irc i La figura rappresenta un pentagono regolare. Trova le ampiezze di a, 3, 7-
irc i Nell’esagono regolare della figura determina le ampiezze di a, 3, 7, 8, co.
irc i Quanto misura la somma degli angoli interni di un poligono convesso con 7 lati? E quella degli angoli esterni? [900°; 360°] irc i La somma degli angoli interni di un poligono convesso è 2700°. Determina il numero dei lati del poligono. [17] G99
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
IKM Trova*.
E H Trova x, y e z. (Suggerimento. Quanto misurano gli angoli delle due squadre?)
T ro v a le am piezze d e g li a n g o li in t e r n i
E3
2a = 3;
(3 + 7 = 230°;
P
3 = a + 20°;
7 = a;
ot, 3, 7 , 5 d i u n q u a d rila te ro , u tiliz z a n d o i d a ti fo r n iti.
5 = y (3 .
[70°; 140°; 90°; 60°]
5 = 27 -70°.
[82°; 102°; 82°; 94°]
CONGRUENZA DI TRIANGOLI RETTANGOLI )Teoria a pagina G83 r c n Le coppie di triangoli rettangoli rappresentati nelle seguenti figure hanno congruenti gli elementi segnati. Per quali coppie si può dimostrare che i due triangoli sono congruenti? Motiva il ragionamento e indica il criterio di congruenza utilizzato.
D im ostrazioni U tiliz z a le in fo r m a z io n i e v id e n zia te in verde in ciascu na fig u r a p e r d im o s tra re c iò che è ric h ie s to .
G100
5. CONGRUENZA DI TRIANGOLI RETTANGOLI
P
B3
Indica tutti gli angoli congruenti all’angolo eviden ziato in rosso e motiva la rispo sta, scrivendo le ipotesi e le pro prietà che utilizzi.
un
Siano P un punto del piano, r una retta che non passa per P e P' la proiezione di P su r. Considera su r i punti A e B, da parti opposte rispetto a P\ e dimostra che PA = P'B se e solo se PA = PB.
EH
EUREKA! ...e se è minore? Nella situazione dell’esercizio precedente, dimostra che, se PA è minore di P'B, allora PA è minore di PB. EUREKA! Cinque triangoli Nel triangolo ret tangolo ABC di ipotenusa AC, l’angolo di vertice C ha ampiezza 30°. Dette E e D ìe intersezioni della retta perpendicolare all’ipotenusa AC nel suo pun to medio M rispettivamente con BC e con la paral lela a BC passante per A, traccia AE e DC, quindi dimostra che il quadrilatero ABCD è così suddivi so in cinque triangoli rettangoli congruenti.
Dimostra che, se due triangoli rettangoli hanno un cateto e la mediana relativa a esso ordinatamente congruenti, allora sono congruenti.
p iQ
Dimostra che, se due trian goli rettangoli hanno un cateto e la mediana relativa all’altro cateto ordinatamente congruen ti, allora sono congruenti. ESEMPIO DIGITALE
EEH Dimostra che, se due triangoli rettangoli hanno l’altezza relativa all’ipotenusa e la bisettrice dell’angolo retto ordinatamente congruenti, allora sono congruenti. IEE1 Dimostra che, se due triangoli rettangoli hanno un cateto e la bisettrice dell’angolo acuto adia cente a esso ordinatamente congruenti, allora sono congruenti. irc i Dimostra che, se in un triangolo una mediana è anche altezza, allora il triangolo è isoscele. EE9 Dimostra che, se due triangoli rettangoli hanno ordinatamente congruenti un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa, allora sono congruenti.
ESERCIZI
un
Un triangolo in cui le altezze sono tutte tra loro congruenti è equilatero. Dimostralo.
E H Nel triangolo ABC traccia le altezze AH e CK relative ai lati BC e AB. Detto M il punto medio di AC, dimostra che il triangolo HMK è isoscele. [m G n a n a Dal vertice A del triangolo rettangolo ABC traccia la mediana AM e l’altezza AH relative all’ipotenusa BC. Dimostra che la bisettrice dell’angolo M AH è anche bisettrice dell’angolo retto.
MATEMATICA AL COMPUTER
B Q D E U B E B B I f f l l Considera le rette a e b incidenti nel punto O. Fissa su a, da parti oppo ste rispetto a O, due punti, A e B,e indica rispet tivamente con Ce D le loro proiezioni sulla retta b. Dimostra che, se AO = OB, allora i triangoli AGO e BDO sono congruenti.
p G iw m m m
Sulla base AB del triangolo isoscele ABC fissa due punti P e Q equidistanti dal punto medio M di AB. Dimostra che i due punti sono equidistanti dai lati obliqui.
E D Dimostra che in un triangolo ogni vertice si tro va alla stessa distanza rispetto alla retta che con giunge i punti medi di due lati.
ESERCIZI IN PIU EE9 - E B Q SU TUTTO ILCAPITOLO GIOÌ
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
ESERCIZI IN PIÙ RETTE PERPENDICOLARI E RETTE PARALLELE © T e o ria a pagina G7U E9
Disegna le perpendicolari a r da P e da Q.
fM
Dati il triangolo rettangolo ABC e la retta r, disegna:
E H Disegna le proiezioni di P e Q sulle rette a, b, c.
C
a. la proiezione di CB su AB-, b.
la proiezione del cateto AB sull’ipotenusa;
c. le proiezioni dei vertici A, B, C sulla retta r.
Trova il punto di r equidistante da A e B, indicando la costruzione eseguita.
m U
VERO0 FALSO? Di cinque rette del piano, a, b, c, d, e, si sa che: a // b; c _L d; b, c, e sono incidenti a 2 a 2. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. Non si può stabilire se
a ed
e sono parallele.
ra m
Non si può stabilire se
a ed
e sono perpendicolari.
m ca
c. Non si può stabilire se
d ed
e sono perpendicolari.
m cE
Non si può stabilire se
aed
sono parallele.
S E
b.
d.
E200
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RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
m
u
I ESERCIZI IN PIÙ
YOU &maths Dynamic parallel lines Open your dynamic geometry software and draw a line r through two points, A and B. Now try to construct a parallel line s with respect to thè first line you drew.
a. What input do you need to give to thè software? (Describe your sequence of actions precisely.) b. Drag point A. What happens to thè parallel line s? c. Drag point B. What happens to thè parallel line s?
m
Disegna un segmento ST e le perpendicolari al segmento, s e t, che passano rispettivamente per S e per T. Dimostra che s // t. Da parti opposte rispetto a ST, considera P su s e Q su t, in modo che PS = QT. Dimostra che SQ // PT.
A pi Nella figura: AE = ED = BC-, AB = EC; EB = CD.
FETI In un triangolo ABC traccia l’altezza AH e la mediana AM relative al lato BC. Prolunga, dalla parte opposta rispetto a BC, l’altezza di un seg mento HK = AH e la mediana di un segmento M N = AM. Tracciato il segmento MK, dimostra che: a. i triangoli BMK e MCN sono congruenti; b. la retta KN è parallela alla retta BC.
A
E
D
Dimostra che: AB // EC; BE // CD ; AD // BC.
FEEi Nel triangolo isoscele ABC di base BC, prolunga le altezze BH e CK di due segmenti, HD e KE, tali che HD = BH e KE = CK. Dimostra che: a. i triangoli BCD e BCE sono congruenti e iso sceli; b. ED è parallelo a BC.
Inverso d el c rite rio di p a ra lle lis m o Le rette segnate in verde sono a due a due paral lele. Indica gli angoli congruenti all’angolo evi denziato in rosso e motiva la risposta.
Indica gli angoli congruenti all’angolo eviden ziato e motiva la risposta.
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E201
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
r c n Dagli estremi di un segmento AB traccia una coppia di rette parallele a e b. Considera un punto C interno al segmento AB e, dalla stessa parte rispetto alla retta AB, fìssa due punti A' e B', rispettivamente su a e b, in modo che AC = AA' e BC = BB'. Dimostra che l’angolo A'CB' è retto. ira
Trova ciò che è richiesto, sfruttando le informazioni fornite. Motiva le risposte.
In o g n i fig u r a ci sono due re tte p ara lle le . E s p rim i in fu n z io n e d i
x le am piezze d e g li a n g o li in d ic a ti con i l p u n to
in te rro g a tiv o .
m Q
YOU&MATHS S u p p le m e n ta ry angles? Lines WX and Z Y are parallel. Explain why you can conclude that angles 2 and 6 are supplementary. Are angles 4 and 6 necessarily supplementary? Explain why or why not.
Z
2
PROPRIETÀ DEGLI ANGOLI DI UN POLIGONO E TRIANGOLI RETTANGOLI © T e o ria a pagina G81 D e te rm in a l ’am piezza d i a .
l UX 5
►
►
3
Y
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
I ESERCIZI IN PIÙ
Trova x.
ETCÌ Nella figura il pentagono ABEFG è regolare e BCDE è un quadrato. Determina le ampiezze di BAC, ACE e AEC. F
Individua fra le seguenti costruzioni quelle impossibili e spiega il perché.
EFE1 Le coppie di triangoli rettangoli rappresentati nelle seguenti figure hanno congruenti gli elementi segnati. Per quali coppie si può dimostrare che i due triangoli sono congruenti? Motiva il ragionamento e indica il criterio di congruenza utilizzato.
EFE1 Non è sempre vero che, se due triangoli rettangoli hanno un cateto e un angolo acuto congruenti, sono congruenti. Spiega perché.
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E203
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
U tiliz z a le in fo rm a z io n i evidenziate in verde nella
IFE1
fig u r a p er d im o s tra re ciò che è rich ie sto .
Tesi: BC = DC
Dai vertici alla base di un triangolo isoscele trac cia le rette perpendicolari ai lati obliqui. Dimo stra che le due rette si intersecano in un punto che appartiene alla bisettrice dell’angolo al verti ce del triangolo.
Q Q Dimostra che due triangoli acutangoli che han no congruenti un lato e le altezze relative agli altri due sono congruenti. FETil Sui lati a e b di un angolo di vertice O considera due punti P e Q tali che PO = OQ. Traccia le perpendicolari in P e in Q alle semirette a e b e dimostra che il loro punto di incontro R appar tiene alla bisettrice dell’angolo.
IF71
Dimostra che, se due triangoli rettangoli hanno rispettivamente congruenti la mediana relativa all’ipotenusa e un cateto, oppure la mediana relativa all’ipotenusa e un angolo acuto, allora sono congruenti.
Q Q Sia PQR un triangolo rettangolo di ipotenusa PQ e sia M il punto medio di PQ. Fissa sulla retta r, parallela a PQ condotta da R, due punti, P' e Q', da parti opposte rispetto a R, in modo che P' sia nello stesso semipiano di P rispetto alla retta RM. Dimostra che i cateti del triangolo sono le bisettrici degli angoli MRP' e MRQ'.
ETCÌ Dall’estremo A del segmento AB traccia due semirette a e b, da parti opposte rispetto ad AB, che formano con il segmento angoli congruenti. Traccia l’asse del segmento AB e indica con C il punto di intersezione tra l’asse e la semiretta b. Dimostra che CB è parallelo alla semiretta a. Dimostra che in un triangolo isoscele le altezze relative ai lati obliqui si incontrano in un punto che appartiene all’asse della base. m
Dimostra che due angoli che hanno rispettiva mente i lati perpendicolari sono congruenti se sono acuti oppure ottusi, sono supplementari se uno è acuto e l’altro ottuso.
Nel triangolo PQR rettangolo in R, traccia la bisettrice dell’angolo P, che interseca QR in T. Da T traccia la perpendicolare TS a PQ e dimostra che la retta RS è perpendicolare alla bisettrice PT. EE3 Siano ABC e A ’B'C' due triangoli tali che AB = A 'B '. Dimostra che, se la mediana e l’altezza relative ai lati AB e A'B' sono tra loro congruenti, allora anche i triangoli lo sono.
RIEPILOGO B H Q TEST In un triangolo isoscele l’angolo esterno adiacente all’angolo al vertice: |~a~1 è sempre un angolo ottuso. |~b~1 è sempre un angolo acuto. [~c~1 può essere un angolo retto. fol è minore della somma degli angoli interni non adiacenti a esso.
E204
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RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
I ESERCIZI IN PIÙ
pQ
INVALSI 2009 Qual è la somma degli angoli a, b, c, d, e,/nella figura disegnata a lato?
|~a] Un angolo piatto, ossia 180°. |~b~| Tre angoli retti, ossia 270°. [~c~l Due angoli piatti, ossia 360°. fp] Cinque angoli retti, ossia 450°. m
Sono date in un piano tre rette distinte r, s, t. Quale delle seguenti proposizioni è vera, qualun que siano le rette assegnate?
u
INVALSI 2006
[ a] Se r è perpendicolare a s e s è perpendicolare a t, allora r è perpendicolare a t. [¥] Se r interseca sia s che t, allora le tre rette si incontrano in un unico punto. [c] Se r interseca s e s interseca t, allora r interseca t. [ d] Se r è parallela a s e s interseca t, allora anche r interseca t. TEST I triangoli scaleni ABC e ABC' in figura sono congruenti e i piedi H e H' delle altezze CH e C'H' sono distinti. Allora necessariamente:
c a „
[~a] l’angolo CAC' è retto. |~b~] il lato AC è parallelo al lato BC'. |~c] il lato AC è congruente al lato AC'. |~d~1 il lato AB è maggiore del lato CB.
C'
TEST II triangolo ABC in figura è isoscele. Sapendo che D è un punto del lato AB e che DE è parallelo ad AC e DE è parallelo a BC, quale affermazione è vera per ogni posizione di D?
B U G
B
|~a] I triangoli ADE e BDE sono congruenti. |~b~| L’area di ADE è maggiore di quella di BDE. fcl La somma delle aree di ADE e BDE è la metà di quella di ABC. fp] I triangoli ADF e BDE sono isosceli. TEST Gli angoli di un triangolo ABC hanno ampiezze: A = 30°, B = 45°, C = 105°. Siano M e N i punti medi dei lati A C e CB, e P il punto di intersezione degli assi degli stessi lati. Qual è l’ampiezza dell’angolo M PNÌ
E n Q
Ha] I dati non sono sufficienti per determinare MPN. H
MPN = 90°.
[c] MPN = 75°. [ d] MPN = 60°.
m i n
B C E]
c. In un triangolo ogni lato è maggiore della somma degli altri due e minore della loro differenza.
ra m
m u]
d. Se due triangoli hanno un’altezza e il lato corrispondente ordinatamente congruenti, sono congruenti.
0 E
VERO 0 FALSO?
a. Un triangolo scaleno è sempre acutangolo. b. La somma degli angoli esterni di un esagono regolare è sempre maggiore di un angolo piatto.
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E205
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
FEE1 Neirinsieme {a, b, c, d, e} delle rette di un piano, con a 1 b, a 1 c, c//e , a //d , considera la rela zione di parallelismo. Scrivi le coppie della rela zione, rappresentala mediante un diagramma car tesiano e analizza le sue proprietà. r c a Ripeti l’esercizio precedente considerando la relazione di perpendicolarità al posto di quella di parallelismo.
Dividi ognuno dei lati di un triangolo equilatero in tre segmenti congruenti. Dimostra che, collegando tra loro gli estremi (distinti dai vertici del triangolo) del primo seg mento di ogni lato, ottieni un triangolo equilate ro con i lati perpendicolari ai lati del triangolo iniziale. Errai
IEE1 Nell’insieme
di tutte le rette di un piano I = {a, b, c, ...} considera la relazione 271: aShb <=> a ha almeno un punto in comune con b. Verifica se valgono la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. La relazione è di equivalenza?
FETI
Ripeti l’esercizio precedente considerando la relazione 271: «2717? <=>a ha solo un punto in comu ne con b.
E Q Da un vertice di un triangolo qualsiasi traccia la mediana relativa al lato opposto. Dimostra che gli altri due vertici sono equidi stanti da tale retta. r c n In un triangolo ABC traccia l’altezza AH e la mediana AM relative al lato BC. Prolunga, dalla parte opposta rispetto a BC, l’altezza di un seg mento HK = AH e la mediana di un segmento M N = AM. Tracciato il segmento MK, dimostra che: a. i triangoli BMK e MCN sono congruenti; b. la retta KN è parallela alla retta BC. E Q Nel triangolo isoscele ABC di base BC, prolunga le altezze BH e CK di due segmenti, HD e KE, tali che HD = BH e KE = CK. Dimostra che:
ViIM EUREKA! Se e solo se Nel triangolo ABC l’an golo CAB è doppio di ABC. Sia E il punto di incontro tra la parallela al lato AB passante per C e la bisettrice di CAB. Detto D il punto di inter sezione tra AE e BC, dimostra che AD = CE se e solo se l’ampiezza a di ABC è 36°. Errai Siano a e b due rette parallele e sia r una retta perpendicolare a esse che le interseca, rispettiva mente, nei punti A e B. Considera due punti C e D interni al segmento AB e tali che AC = DB. Per i punti C e D traccia rispettivamente le rette c e d in modo che, detto E il loro punto di inter sezione, ECD = EDC. Detti P il punto di intersezione tra a e c e Q il punto di intersezione tra b e d, dimostra che: a. il triangolo PEQ è isoscele; b. la retta PQ è parallela a r.
ETiTl
Disegna un triangolo rettangolo ABC di ipote nusa AB, prolunga AC di un segmento CD = AC e traccia la perpendicolare AE al segmento BD. Detto M il punto medio di AB, dimostra che: a. il triangolo CEM è isoscele; b. i triangoli AMC e CEM sono isosceli e con gruenti; c. il triangolo DCE è isoscele.
Errai
Considera il segmento AB e una retta esterna r. Dette A' e B' le proiezioni dei punti A e B sulla retta r, dimostra che il triangolo A'MB' è isoscele, dove M è il punto medio del segmen to AB. (Suggerimento. Traccia per M la paral lela a r.)
a. i triangoli BCD e BCE sono congruenti e iso sceli; b. ED è parallelo a BC. m
Sia ABC un triangolo rettangolo in A, con ACB > ABC. Sull’ipotenusa CB fissa un punto P tale che APC = ACB. Per P traccia la perpen dicolare al segmento AP che interseca il cateto AB nel punto T. Dimostra che il triangolo BPT è isoscele.
Firn
Dimostra per assurdo che un triangolo non può avere due angoli ottusi.
E206
EUREKA! Angoli e triangoli Nel triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC, il punto Q appartenente a BC è tale che AC = CQ. Chiama M l’intersezione tra AC e la bisettrice dell’ango lo ABC. Esternamente al triangolo, considera CBE di ampiezza 45° e indica con N l’interse zione di BE con la retta AQ. Dimostra che CMB = ANE.
Copyright © 2014 Zanichelli editore S.p.A., Bologna Questo file è una estensione Online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
I ESERCIZI IN PIÙ
EU
Traccia le bisettrici dell’angolo esterno e interno di vertice P di un triangolo rettangolo PQR di ipotenusa PR e indica rispettivamente con A e B le intersezioni delle bisettrici con la retta QR. Detto M il punto medio di AB, dimostra che: a. le due bisettrici AP e PB sono perpendicolari; b. la retta MP è perpendicolare a PR.
EU
Dimostra per assurdo che, nel piano, se r e s sono due rette parallele, ogni retta che interseca r deve interse care anche s e viceversa.
In d iv id u a fr a le seguenti c o s tru z io n i quelle im p o s s ib ili e spiega i l perché.
P
Trova le ampiezze degli angoli interni a, 3, 7, 6 di un quadrilatero, sapendo che a = 33, 7 = -y , 8= ya.
[144°, 48°, 72°, 96°]
00
Sia ABC un triangolo in cui AB = 20 cm. Dal vertice A traccia la parallela alla bisettrice dell’angolo ABC che interseca il prolungamento di BC in E. Sapendo che AE = 24 cm, determina il perimetro e l’area del triangolo ABE. [64 cm; 192 cm2]
00
Usando le informazioni indicate, determina le ampiezze di tutti gli angoli presenti in figura. BQ //A C
0 Q ABC è un triangolo rettangolo di ipotenusa AC. Considera una retta p parallela all’ipotenusa, che interseca i cateti AB e BC nei punti P e Q. Traccia su p le proiezioni dei vertici A e C del triangolo e trova le misure di tutti gli angoli della figura che si forma, sapendo che BAC = 58°. [32°, 148°;...]
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E207
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
gg
Utilizzando le informazioni della figura: a. esprimi in funzione di a e 3 tutti gli angoli rappresentati dimo strando che i triangoli CHA e CKB hanno gli angoli congruenti; b. sapendo che 3 = 50°, calcola l’ampiezza di a in modo che HCA = 12°.
C
[b) a = 52°]
so
Determina le ampiezze di tutti gli angoli non conosciuti presenti in figura, esponendo il ragio namento seguito.
FETI L’esagono in figura è regolare. Sapendo che G H //A B //E D , H I//C D //A F e G I//B C //F E , dimostra che il triangolo GHI è equilatero. A
G
FES1 Nella figura, ABC è un triangolo qualsiasi e i seg menti AD, AF, BG e BM appartengono alle biset trici degli angoli interni ed esterni di vertici A e B, e inoltre le rette DM e AB sono parallele. c
F
E O Sulla base AB di un triangolo isoscele ABC, fissa un punto P e traccia, da P, le rette r e s parallele ai lati obliqui AC e BC che li intersecano rispetti vamente nei punti R e S. Sapendo che AB = 12 cm, P R - 3 cm, PS - 8 cm, calcola il perimetro del triangolo ABC. [34 cm]
E208
EUREKA! Quali ampiezze? Dato il triangolo isoscele ABC di base AB, con AC > AB, consi dera su AC il punto M e su CB il punto D in modo che anche il triangolo CMD sia isoscele, sulla base CD. Traccia da B la parallela a MD, che incontri AC in N. Ricava le ampiezze degli ango li di ABC, sapendo cheANB = 4ABN.
a. Dimostra che i triangoli DAF e GBM sono ret tangoli. b. Se EA = 8 cm, HB = 12 cm, FG = 22 cm, deter mina la lunghezza di DM. [b) 62 cm]
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G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
VERIFICA DELLE COMPETENZE ALLENAMENTO ►Com petenza 2 (abilità 1, A)
l i LJ TEST Una delle seguenti proposizioni è falsa. Quale? I~À~I In un triangolo ottusangolo la somma dei due angoli acuti è minore di un angolo retto. ITI In un triangolo rettangolo la bisettrice dell’angolo retto è congruente alla metà dell’ipotcnusa. I~c1 In un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari. I~d1 Due rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli coniugati interni supplementari. K B Le seguenti affermazioni sono tutt e false. Spiega perché e indica l’eventuale correzione per renderle vere. a. Due triangoli rettangoli isosceli sono congruenti. b. La somma degli angoli esterni di un pentagono è congruente a 6 angoli retti. c. Due triangoli rettangoli aventi l’ipotenusa in comune sono congruenti. d. Due triangoli isosceli che hanno la base in comune sono congruenti. D im ostrazioni K B Dal vertice A di un triangolo ABC traccia la parallela al lato opposto e fissa, da parti opposte rispetto al vertice A, due punti, P e Q, tali che AP = AQ = BC, con C e Q dalla stessa parte rispetto al lato AB. Dimostra che i triangoli ABP e CQA sono congruenti. K B Dato il triangolo isoscele ABC di base AB, pro lunga i lati AC e CB dei segmenti AP e BQ tra loro congruenti. Dimostra che PQ è parallelo ad AB. K B Da un punto P di una retta r traccia una semiret ta s e, preso su s un punto A, conduci da esso la perpendicolare AH alla retta r e la bisettrice t dell’angolo PAH. Determina poi su t un punto B in modo che il triangolo BPA sia isoscele con base AB e dimostra che PB è perpendicolare a r. K B Dimostra che, se per ogni vertice di un triangolo qualsiasi ABC si traccia la parallela al lato oppo sto, con tali parallele si ottiene un triangolo con gli angoli congruenti a quelli di ABC e con i lati doppi di quelli di ABC. UM Sia ABC un triangolo rettangolo in A e siano AM la mediana relativa all’ipotenusa BC e MH e MK le altezze dei triangoli ABM e ACM. Dimostra che: a. MH e MK sono perpendicolari; b. i triangoli CMK e BMH sono congruenti. G102
B B Dal piede H della perpendicolare condotta dal vertice del triangolo isoscele ABC sulla base AB, conduci le rette parallele ai lati obliqui del triangolo. Individua le coppie di triangoli con gruenti. B'B Traccia le bisettrici r e s di due angoli adiacenti AOB e BOC e da un punto P di OB conduci la perpendicolare PR a r e la perpendicolare PS a s e prolungale fino a incontrare OA in H e OC in K. Dimostra che: a. i triangoli HOP e KOP sono isosceli; b. l’angolo ROS è retto; c. l’angolo HPK è retto. 1HB Siano AB e BC due segmenti adiacenti. Dagli estremi A e C traccia le rette non parallele, a e c, che si intersecano nel punto F, e chiama rispetti vamente D e G i punti di intersezione tra a e l’as se del segmento AB t e t l’asse del segmento BC. Dimostra che AFG = DBG. | Nel triangolo ABC traccia la bisettrice a dell’an golo BAC che interseca BC in H e traccia per C la parallela b al lato AB. a. Indicato con T il punto di intersezione di a e b, dimostra che il triangolo ACT è isoscele. b. Disegna per H la perpendicolare ad AH che interseca le rette AB, AC e b rispettivamen te in P, Q, R. Dimostra che i triangoli PAQ e QRC sono isosceli.
MENU DELLE COMPETENZE ©
BKI Siano A e B due punti appartenenti ai lati obliqui del triangolo isoscele PQR di vertice P, tali che PA = PB. Traccia per A e per B le rette parallele all’altezza, relativa alla base QR, del triangolo isoscele, che intersecano la base stessa rispettiva mente nei punti S e T. Dimostra che: a. AS = B T ; b. la retta AB è parallela alla retta QR. | Dal vertice A di un triangolo isoscele ABC conduci la parallela r alla base BC. Prolunga le bisettrici degli angoli alla base fino a incontra re r nei punti P e Q in modo che il segmento BP non intersechi nessun lato del triangolo. Dimostra che i triangoli BPQ e QCP sono con gruenti.
►Com petenza
2
(abilità
3)
| ►Com petenza
3
Nella seconda pagina della copertina
| Dimostra per assurdo che la somma di due ango li interni di un triangolo non supera un angolo piatto. BP1 Siano r e s una coppia di rette perpendicolari che si intersecano nel punto O. Fissa, da parti oppo ste rispetto a O, su r i punti A e B e su s i punti C e D in modo che AO = CO e BO = DO. a. Traccia per O la retta perpendicolare al seg mento AD e dimostra che passa per il punto medio del segmento BC. b. Dimostra che BD è parallelo ad AC. | Dimostra che, se il quadrilatero ABCD è tale che il vertice A coincide con il punto di inter sezione degli assi dei lati BC e CD, allora ABD = ADB.
(abilità
3) A
Con le m isu re
D
IfrJ Q INVALSI 2008 Nella figura, la retta / è parallela alla retta m. La misura dell’angolo DAC è 55°. Quanto misura la somma degli angoli: x + y ? [ a]
55°
\J] 110°
[c] 125°
Qf| 135°
BUI Nella figura, la retta ED è parallela alla retta AB e il lato BC è la bisettrice dell’angolo PCD. Con le informazioni indicate, determina le ampiezze di ciascun angolo presente in figura. [63°; 52°;...] Bl'B Nel triangolo ABC, B è la metà di A . Fissa sul lato AB un punto T e traccia per T una retta che interseca il prolungamento del lato AC in un punto S tale che A T = AS, e il lato CB in un punto P. Indica con x l’am piezza dell’angolo B e scrivi in funzione di x gli angoli dei triangoli ABC, ATS e PTB. Determina x in modo che l’angolo CPT = 80°. [40°] Bill Nel quadrilatero convesso ABCD la diagonale AC è bisettrice degli angoli in A e C e A = 2C. I trian goli ABC e ACD hanno gli angoli congruenti? Sapendo che B = 120°, determina le ampiezze degli altri angoli. Bill Nella figura, ABCDE è un pentagono regolare ed EDO è un triangolo equilatero. Determina le misure delle ampiezze degli angoli x ,y e z .
E
D
[66°; 84°; 42°] G103
G3
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
VERIFICA DELLE COMPETENZE PROVE TU T0R PROVA C
MM
PROVAA
(10 esercizi)
PROVA B
(10 esercizi)
► Competenze 2, 3
© IN MEZZ’ORA
© IN UN’ORA
VERO0 FALSO? a. Se in un triangolo le ampiezze di due angoli sono 50° e 65°, il triangolo è isoscele.
[v]|T]
b. Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.
[v]|T]
c. Due rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli corrispondenti congruenti e angoli coniugati supplementari.
Nel triangolo rettangolo ABC, la mediana AM relativa all’ipotcnusa forma l’angolo AMB di ampiezza 84°. Determina le ampiezze degli angoli acuti di ABC.
[v][T]
d. Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti un cateto e un angolo acuto.
Determina x e y sapendo che AB ed ED sono parallele e che ABC e DEC sono triangoli isosceli sulle basi AC e CE.
[v ]ITI
Disegna un angolo acuto di vertice O e lati aeb. Su a considera i punti A e C e su b i punti B e D in modo che OA = OB e OC = OD. Dimostra che: a. AB è parallelo a CD; b. AD = BC.
Considera l’angolo retto RPS, dove PR = PS. Sia r una retta passante per P che non interseca l’angolo, e neppure i suoi lati. Dette R' e S' le proiezioni dei punti R e S sulla retta r, dimostra che R'S' = RR' + SS'. PROVA D
| |
► Competenze 2, 3
VERO0 FALSO? a. Se nel triangolo ABC l’angolo esterno di vertice A è il doppio dell’angolo interno di vertice B, allora il triangolo è isoscele. [v]|T] b. Due triangoli rettangoli che hanno ordinatamente congruenti un cateto e l’altezza relativa all’ipotenusa sono congruenti. I~v~1I~f 1 c. Se la somma degli angoli interni di un poligono è 1620°, allora il poligono ha 9 lati. H EEI d. In un poligono regolare l’angolo esterno è 15°, quindi il poligono ha 30 lati. [v ]ITI
B ’M Nel triangolo acutangolo ABC l’altezza CH rela tiva al lato AB divide l’angolo C in due parti tali che BCH = 2ACH. Dimostra che, detto P il punto di intersezione della bisettrice dell’angolo BCH con AB, il triangolo ACP è isoscele. G104
B lI
Dal punto medio M della base BC di un triangolo isoscele ABC traccia le perpendicolari M H e MK ai lati obliqui AB e AC. Dimostra che il triangolo AHK è isoscele.
E f l Disegna nello stesso semipiano rispetto all’ipotenusa AB i triangoli rettangoli ABC e ABD. a. Detto M il punto medio di AB, dimostra che il triangolo CMD è isoscele. b. Dimostra che, se AC = DB, allora D C // AB e ADM = MCB. K 9 Nella figura è rappresentato un pentagono rego lare. Trova l’ampiezza x dell’angolo indicato.
MENU DELLE COMPETENZE
PROVA E
O
► Competenze 2, 3
Nella seconda pagina della copertina
© IN UN’ORA
Il parcheggio a spina di pesce
I condomini di un palazzo, dopo l’ennesima lite per il parcheggio nel cortile, decidono di disegnare le strisce per i posti auto. La presenza di un muretto e lo spazio ridotto obbligano a realizzare un parcheggio a spina di pesce. Tu, che sei addetto al compito, hai a disposizione solo della vernice, un lungo bastone, un foglio di giornale e un pennarello. a. Illustra il procedimento che seguiresti per tracciare la prima linea del parcheggio 1, in modo che sia parallela al muretto. b. Supponendo che due linee distino 2,5 m e conoscendo le dimensioni a e b indicate in figura, stabilisci se è
corretto dire che il numero dei posti auto realizzabili è n — (a —b) : 2,5. c. Traccia dal punto D il segmento la cui lunghezza rappresenta la distanza tra il muretto e la linea e chiama H il punto di intersezione con il muretto. Supponendo che l’angolo tra il muretto e la linea BD sia di 60°, calcola l’ampiezza degli altri due angoli del triangolo BDH. Di che triangolo si tratta?
PROVA F
► Competenze 2, 3
© IN UN’ORA
Il biliardo
La «regola del rimbalzo» nel biliardo stabilisce che una palla, colpita centralmente e senza effetti, rimbalza sulla sponda con un angolo di incidenza (per esempio EFP) uguale all’angolo di riflessione (PFL). In figura è rappresentata la traiettoria di una bilia. La palla, che si trovava nel punto E, si ferma nel punto H. Con riferimento alla figura: a. individua la relazione fra gli angoli NM L ed EFP; b. dimostra che il segmento M N è parallelo a EF.
NL è perpendicolare alla sponda per costruzione. c. Dimostra che NH è parallela a MF. d. Cosa puoi dire del triangolo NLM7.
e. Dimostra che il triangolo NBH è congruente al triangolo PFL. G105
PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI 1. PARALLELOGRAMMI DEFINIZIONE E PROPRIETÀ DEL PARALLELOGRAMMA
©
Esercizi apagina G121
n^| A parallelogram can be defined as a ■ J quadrilateral with two pairs of parailel opposite sides.
Iniziamo dai parallelogrammi lo studio dei quadrilateri che hanno particolari pro prietà. Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli.
B
C !
►
J
A B //C D BC //AD
J .u altezza
Chiamiamo centro di un parallelogramma il punto di incontro delle sue diagonali. Il segmento che da un vertice del parallelogramma cade perpendicolare sul lato oppo sto, o sul suo prolungamento, si chiama altezza.
Se consideriamo le due rette parallele su cui giacciono due lati e prendiamo come tra sversale la retta su cui giace uno degli altri due lati, deduciamo che gli angoli adiacenti a un lato di un parallelogramma sono supplementari, in quanto coniugati interni. ►In figura a e [3 sono supplementari. Esaminiamo ora proprietà meno immediate da dimostrare. Proprietà di un parallelogramma
< zLU OC O I li
In 1. 2. 3.
un parallelogramma: i lati opposti sono congruenti; gli angoli opposti sono congruenti; le diagonali si tagliano a metà.
DIMOSTRAZIONE
i. Q t w m 3
In un parallelogramma i lati opposti sono congruenti. C Ipotesi: ABCD parallelogram m a
A B //D C
Tesi:
D BC //AD
G106
AB=DC A D s BC
1. PARALLELOGRAMMI
TEORIA
Tracciamo la diagonale AC. I triangoli ABC e ADC hanno: • AC in comune; A
D
• BAC = ACD perché alterni interni formati dalle rette parallele AB e CD tagliate da AC; • BCA = CAD perché alterni interni formati dalle rette parallele BC e AD tagliate da AC. Pertanto i triangoli ABC e ADC sono congruenti per il secondo criterio. In particolare: AB = D C e A D = BC. ANIMAZIONE In un parallelogramma gli angoli opposti sono congruenti. Ipotesi: ABCD parallelogram m a Tesi:
BAD s BCD ABC = ADC
Per quanto visto nella dimostrazione precedente, BAC = ACD e BCA = CAD. Quindi, in quanto somme di angoli congruenti, abbiamo: BAD = BCD. Nella dimostrazione precedente abbiamo anche dedotto la congruenza dei trian goli ABC e ADC, da cui, in particolare, deriva che: ABC = ADC. 3.
In un parallelogramma le diagonali si tagliano a metà. Ipotesi: ABCD parallelogram m a Tesi:
-
[ X
I
A
AM = MC BM s MD
D BC //A D
I triangoli AMB e DMC hanno: • AB = CD perché lati opposti del parallelogramma; • ABM = CD M perché alterni interni formati dalle rette parallele AB e DC tagliate da BD; • BA M = DCM perché alterni interni formati dalle rette parallele AB e DC tagliate da AC. I triangoli sono congruenti per il secondo criterio. In particolare: AM = M C e B M = MD. Le proprietà che abbiamo dimostrato sono condizioni necessarie affinché un quadri latero sia un parallelogramma. G107
G4
PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI
CONDIZIONI SUFFICIENTI ©
Esercizi a pagina G123
Vediamo ora che cosa è sufficiente verificare per poter dire che un quadrilatero è un parallelogramma. C ondizioni sufficienti
Un quadrilatero è un parallelogramma se ha: 1. i lati opposti congruenti, oppure
< z LLI ood Ul
2. gli angoli opposti congruenti, oppure 3. le diagonali che si tagliano a metà, oppure 4. due lati paralleli e congruenti.*•
DIMOSTRAZIONE
1.
Se un quadrilatero ha i lati opposti congruenti, è un parallelogramma. Ipotesi: AB = DC AD = BC Tesi:
ABCD parallelogram m a
Tracciamo la diagonale BD. I triangoli ABD e BDC hanno: • BD in comune; • AB = CD per ipotesi; • AD = BC per ipotesi. I triangoli sono congruenti per il terzo criterio. In particolare: • ABD = BDC, da cui A B //D C , perché rette che, tagliate dalla trasversale BD, formano angoli alterni interni congruenti; • BDA = DBC, da cui A D // BC, perché rette che, tagliate dalla trasversale BD, formano angoli alterni interni congruenti. ABCD ha i lati opposti paralleli, quindi è un parallelogramma. r Q l! ll! > M ,l!H Se un quadrilatero ha gli angoli opposti congruenti, è un parallelogramma. B
C Ipotesi: a= y
(3=8 Tesi: A
ABCD parallelogram m a
D
La somma degli angoli interni di un quadrilatero è congruente a due angoli piatti, quindi: ct + (3 +
7
+ 5 = 27t.
Inoltre: • a + (3 = 7 + o perché somme di angoli congruenti, quindi a + 3 = k , da cui BC // AD perché rette che, tagliate da AB, formano angoli coniugati interni supplementari; • (3 + 7 = a + 5 perché somme di angoli congruenti, quindi |3 + 7 = tu, da cui AB // CD perché rette che, tagliate da BC, formano angoli coniugati interni supplementari. B C // AD e A B / / CD, quindi ABCD è un parallelogramma. G108
1. PARALLELOGRAMMI
I ANIMAZIONE
TEORIA
Se un quadrilatero ha le diagonali che si tagliano a metà, è un parallelogramma. Ipotesi: AM s MC BM = MD Tesi:
ABCD parallelogramma B
I triangoli A M
D
•
A M = M C
perché, per ipotesi, M è punto medio di A C ;
•
D M = MB
perché, per ipotesi, M è punto medio di
•
A M D = B M C
C
e B M C hanno:
BD;
perché angoli opposti al vertice.
I triangoli sono congruenti per il primo criterio. In particolare, M D che, tagliate dalla trasversale B D , formano angoli interni congruenti.
A
=
M B C
Se ragioniamo in modo analogo per i triangoli A M B e C M D , dimostriamo che
, da cui
A D //B C ,
B A M = M C D ,
perché rette
quindi
A B // CD.
Avendo i lati opposti paralleli, A B C D è un parallelogramma. 4. O
H
I
Se un quadrilatero ha due lati paralleli e congruenti, è un parallelogramma. Ipotesi: AB //DC AB = DC
AB//DC
Tesi:
Tracciamo la diagonale
ABCD parallelogramma
AC.
I triangoli A B C e A C D hanno: •
AB = CD
•
BAC = ACD
per ipotesi;
A
D
perché angoli alterni interni formati dalle rette parallele A B e C D tagliate da A C ;
• A C in comune. I triangoli sono congruenti per il primo criterio. In particolare, B C A che, tagliate dalla trasversale A C , formano angoli interni congruenti. A B C D , avendo i lati opposti paralleli, è un parallelogramma.
= C A D ,
da cui
B C //A D ,
perché rette
ESERCIZI PER COMINCIARE D
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Q e a n Dati due segmenti consecutivi e non adiacenti, costruisci con riga e compasso un parallelo gramma che ha per lati i due segmenti. Nel parallelogramma A B C D , il centro è M . Prolunga i lati paralleli B C e A D di due segmenti congruenti Dim ostra che F E passa per M.
CE
e AF.
Scegli un punto P sulla retta r e un punto Q sulla retta s, con r / / s. Per il punto medio M di P Q conduci una retta che interseca r e s, rispettivamente, in Dim ostra che P R Q S è un parallelogramma.
ReS.
G109
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI
2. RETTANGOLI, ROMBI, QUADRATI RETTANGOLI
© E se rcizi a pagina G125
0
A rectangle is a paralletogram with to u r rig h t angles.
DIMOSTRAZIONE D
s
n
I triangoli
•
AB = D C
•
AD
•
DA B = ADC
DAB
e A D C hanno:
perché lati opposti di un parallelogramma;
in comune; perché retti.
Q uindi sono congruenti per il prim o criterio. In particolare:
DB = AC.
Condizioni sufficienti Un parallelogramma ha gli angoli opposti congruenti e quelli adiacenti supplemen tari; quindi, per dimostrare che un parallelogramma è un rettangolo, è sufficiente far vedere che ha un angolo retto.
<
z LU
Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti, allora è un rettangolo.
fiv
B Ipotesi: ABCD parallelogramma AC =DB
o LU
Tesi: D
DIMOSTRAZIONE Q
I triangoli
• A D in comune; •
DB = AC
G110
per ipotesi;
DAB
e A D C hanno:
(-
ABCD rettangolo
2. RETTANGOLI, ROMBI, QUADRATI
•
AB = D C
TEORIA
perché lati opposti del parallelogramma.
Q uindi sono congruenti per il terzo criterio. In particolare: D A B = A D C . In un parallelogramma gli angoli adiacenti a un lato sono supplementari. D A B + A D C = 7t; quindi, essendo D A B e A D C congruenti, ognuno di essi è un angolo retto, così come i loro angoli opposti. Il parallelogramma ha gli angoli retti, quindi è un rettangolo.
ROMBI
© Esercizi a pagina G127
□
A rh o m b u s is a parallelogram with to u r congruent sides.
Definizione B
Un rom bo è un parallelogramma in cui tutti i lati sono congruenti.
w
C
/ --------*-------7
►
/ L
A
/ +
J
D
Proprietà delle diagonali < z tu oc o LU
In un rombo le diagonali sono perpendicolari tra loro e bisettrici degli angoli.
Ipotesi: ABCD rombo Tesi:
AC 1 BD AC e BD bisettrici degli angoli
DIMOSTRAZIONE A B C D è un parallelogramma, quindi le sue diagonali si tagliano a metà. La diagonale B D divide il rombo in due triangoli isosceli perché i lati di A B C D sono congruenti. A M e M C , essendo mediane, sono anche altezze e bisettrici, quindi A C 1 B D e A C è bisettrice di B A D e B C D . Procediamo analogamente con la diagonale A C , considerando i triangoli isosceli A B C e A D C , ottenendo ancora che A C _L B D e inoltre che B D è bisettrice di A B C e A D C .
Condizioni sufficienti Un parallelogramma ha i lati opposti congruenti; quindi, per dimostrare che un parallelogramma è un rombo, è sufficiente far vedere che ha due lati consecutivi congruenti. < 2
tu oc o
Ul
Un parallelogramma è un rombo se ha: 1. le diagonali perpendicolari, o p p u re 2. una diagonale bisettrice di un angolo.
G111
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI DIMOSTRAZIONE 1. Q
Se un parallelogramma ha le diagonali perpendicolari, è un rombo. B
C
Ipotesi: ABCD p a ra lle lo g ra m m a AC 1 BD
Tesi:
ABCD
è un parallelogramma, quindi le diagonali si tagliano a metà.
I triangoli •A
M
ABCD rom bo
eA M
ABM
D
hanno:
in comune;
•
BM = M D
•
A M B
=
perché M è punto medio; perché angoli retti per ipotesi.
A M D
Q uindi sono congruenti per il primo criterio. In particolare:
AB = A D .
2.
Il parallelogramma ha due lati consecutivi congruenti, quindi è un rombo.
Se un parallelogramma ha una diagonale bisettrice di un angolo, è un rombo. B
C
Ipotesi: ABCD p a ra lle lo g ra m m a BD b is e ttric e di ABC
Tesi:
CDB = ABD
ABCD rom bo
perché angoli alterni interni formati dalle rette parallele
ABD = DBC
perché
CDB = DBC
per la proprietà transitiva.
BD è
bisettrice di
ABC
AB
e C D tagliate da B D ;
per ipotesi;
Il triangolo C B D è allora isoscele con B C = C D . Il parallelogramma A B C D ha due lati consecutivi congruenti, quindi è un rombo.
LU Z o M Z LLU i.
€>
Esercizi a pagina G128
rn
A square is a p a ra lle lo g ra m w ith tour
U
r i9h ta n 9[es
C
E
U n quadrato è un parallelogramma in cui tutti gli angoli sono retti e tutti i lati sono congruenti.
J
►
X
L
f /<
> /:
o
n A
_ r D
La definizione dice che un quadrato è s ia u n re tta n g o lo s ia u n ro m b o , quindi valgono per questa figura tutte le proprietà del rettangolo e del rombo relative alle diagonali: in un quadrato le diagonali sono congruenti, perpendicolari tra loro e bisettrici degli angoli. D ’altra parte, per dimostrare che un parallelogramma è un quadrato dobbiamo far vedere che è un rettangolo e un rombo. G112
a"d fo u rco n g ru e n tsid e s.
ESEM PIO
QUADRATI
2. RETTANGOLI, ROMBI, QUADRATI
TEORIA
ESERCIZI PER COMINCIARE | O B E S I In d iv id u a z io n e d e l p u n to m e d io d i u n s egm ento Costruisci con riga e compasso il punto medio
di un segmento. Dim ostra la validità della costruzione osservando che la figura che ottieni è un rombo e sfruttando una delle proprietà dei parallelogrammi. 1
PARALLELOGRAMMI
S in te si d e lle p r o p r ie tà d e i p a ra lle lo g ra m m i Riassum i le proprie
■ROMBI
tà dei parallelogrammi. Puoi aiutarti utilizzando anche diagram m i di Venn, come quello della figura, che riprendia mo nel video che proponiamo.
RETTANGOLI
QUADRATI
Nel video trovi anche un metodo per costruire parallelogrammi, rettangoli, rom bi e quadrati utilizzando riga e compasso. U tilizzalo per disegnare un esempio di ognuno dei tipi di parallelogramma.
BQE
H I Dim ostra che, se un parallelogramma ha le altezze, relative a due lati consecutivi, congruen ti, allora è un rombo.
n u
Dim ostra che i punti di intersezione delle bisettrici degli angoli di un parallelogramma sono i vertici di un rettangolo.
Nel quadrato A B C D della figura abbiamo prolungato i lati di B U E quattro segmenti congruenti A P , B Q , C R e D S . Dim ostra che P Q R S è un quadrato.
TEST La somma degli angoli interni di un quadrato è 360°. Supponi di toglie re dal quadrato A B C D un triangolo C D E , dove £ è il centro del quadrato. Come cambia la somma degli angoli interni di A B C E D rispetto a quella del qua drato?
Q
[~À1 D im inuisce a 270c [~b 1
I~cl Aumenta a 450°
Rimane di 360°.
[~d ]
Aumenta a 540c
È dato un quadrilatero con le diagonali perpendicolari che si dimezzano scambievolmente. Alberto afferma: «D i sicuro si tratta di un quadrato». Barbara afferma: «Non è detto che sia un quadrato, ma di sicuro è un rombo». Carla afferma: «Non è detto che sia un quadrato, ma di sicuro è un rettangolo». Daniele afferma: «Si tratta certamente di un quadrilatero a forma di aquilone». C h i ha ragione?
Q
INVALSI 2007
I~a~1 Alberto.
[ b] Barbara.
[c] Carla.
QT| Daniele. G113
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI
3. TRAPEZI
©
Esercizi a pagina G131 r
Atrapezium is a q u a d rila te ra l w ith
R »
3
one p a ir o fp a ra ile lsid e s.
Definizioni B
U n tra p e z io è un quadrilatero che ha solo due lati paralleli.
C
►
I due lati paralleli sono la base m a g g io re e la base m in o
base m in o re
re; i due non paralleli sono i la t i o b liq u i.
G li angoli adiacenti a un lato obliquo sono supplementari perché sono angoli coniugati interni fra le rette delle due basi, parallele, e la trasversale su cui giace il lato obliquo.
U n tra p e z io congruenti.
è
isoscele se ha i lati obliqui
U n tra p e z io è re tta n g o lo se uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi.
B
C
-I
x
X
A B I AD \
“ -“
A
N .
D
AB1BC
\
1
A
D
Proprietà del trapezio isoscele B
In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ognuna delle basi sono congruenti.
< ztu oc o tu
Ipotesi: ABCD tra p e zio
f r *
Àa
A
DIMOSTRAZIONE □
Dim ostriam o che
a
= ò.
Tracciam o le altezze B E e C F . I triangoli rettangoli A B E e F C D hanno: •
AB
=
CD
•
BE
=
CF
per ipotesi; perché lati opposti del rettangolo
EBC F.
Q uindi sono congruenti perché hanno congruenti l’ipotenusa e un cateto. In particolare: a = 0.
G1U
C V 8
AB s CD \
Tesi:
J lA D
a =5 p =7
3. TRAPEZI
Dimostriamo che [3 = 7 . a e (3 sono supplementari perché coniugati interni formati dalle rette parallele A D e B C tagliate da A B . 7 e ò sono supplementari perché coniugati interni formati dalle rette parallele A D e B C tagliate da C D . 3 e 7 sono supplementari di a e 5, congruenti per la dimostrazione precedente, quin di 3 = 7 .
< Z
A
In un trapezio isoscele le diagonali sono congruenti.
_____
0 a
C
7 8
B
Ipotesi: ABCD tra p e zio isoscele
I li
\
OC
OJ U
B
TEORIA
Tesi:
BD = AC
/> D
C
DIMOSTRAZIONE I triangoli A B D e C A B hanno: • A B in comune; •
A D = BC
perché lati congruenti del trapezio isoscele;
•
BAD = ABC
perché angoli adiacenti alla stessa base del trapezio isoscele. D
Q uindi sono congruenti per il primo criterio. In particolare:
C
BD = AC .
Condizioni sufficienti I teoremi inversi dei precedenti sono condizioni sufficienti affinché un trapezio sia isoscele.
< z tu oc o Ui
B
Se in un trapezio gli angoli adiacenti a una base sono congruenti, il trapezio è isoscele.
/
C \
8
A “
Ipotesi: ABCD trap e zio
\
a =
A
A
Tesi:
8
AB=CD
D
DIMOSTRAZIONE D D E B 9 9 Tracciam o le altezze
BE
e CF.
I triangoli rettangoli A B E e F C D hanno: • a = d
•
per ipotesi;
BE = CF
perché lati opposti del rettangolo E B C F .
Q uindi sono congruenti perché hanno un angolo acuto e un cateto congruenti. In particolare:
AB
= CD.
G115
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI A
Se le diagonali di un trapezio sono congruenti, il trapezio è isoscele.
< X LeU x o Lh-U
/>
B S \ <^
1 /
Ip o te s i: ABCD tra p e zio
\ \
\
T esi:
D
AC
= BD
AD
= BC
C
DIMOSTRAZIONE
[JEEESIEIS Tracciamo le altezze A E
e BF.
I triangoli rettangoli A E C e B F D hanno: •
AE = BF
•
AC
=
BD
perché lati opposti del rettangolo A E F B ; per ipotesi.
Q uindi sono congruenti perché hanno congruenti un cateto e l’ipotenusa. In particolare: AC D = BDC.
I triangoli A D C e B C D hanno: •
=
AC
BD
per ipotesi;
• D C in comune; •
A C D = BDC
per la dimostrazione precedente.
Q uindi sono congruenti per il prim o criterio. In particolare: A D = BC.
ESERCIZI PER COMINCIARE B 1
Dim ostra per assurdo che le due basi di un trapezio non possono essere congruenti. Z U Nel triangolo isoscele A B V di base A B , le bisettrici di UlM vamente in C e D . Dim ostra che A B C D è un trapezio isoscele.
B U E
Q
TEST
A
e
B
incontrano
In un trapezio rettangolo:
I~a1 i due angoli non congruenti sono com plem entari. ITTI le due basi possono essere congruenti. I~c1 l’altezza può essere congruente a una delle basi. I~d1 può esserci una coppia di angoli congruenti non adiacenti allo stesso lato.
D U S
INVALSI 2007
1
IH 2 H] 3 □U 4 G116
Qual è il numero massimo di angoli acuti che può avere un trapezio?
BV
eA
V
rispetti
U. TEOREMA DI TALETE DEI SEGMENTI CONGRUENTI
I
TEORIA
4. TEOREMA DI TALETE DEI SEGMENTI CONGRUENTI O Esercizi a pagina G134 segmenti
Fascio di rette parallele Consideriamo l’insieme di tutte le rette parallele fra loro, che chiamiamo fascio im p rop rio di rette. Una retta trasversale che interseca una retta di un fascio interseca anche tutte le altre. Se consideriamo due trasversali, come in figura, chiamiamo corrispondenti: • i punti in cui ogni retta del fascio le interseca (A e A'
B
• i segmenti che hanno per estremi punti corrispondenti a ' c ; . ..) . Chiam iam o
c o rris p o n d e n z a d i T a le te
e
B',
(A B
C e C ' , ...); e
A 'B ', B C
e
B ' C ’, A C
e
la corrispondenza biunivoca così ottenuta.
Teorema di Talete dei segmenti congruenti
< LXU cc o LU
trasversali
In un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra.* •
ipotesi: a // b / / c // d AB a CD Tesi:
A'B' = C'D'
DIMOSTRAZIONE
Se r / / s , paralleli. •
=
CD
e
C C 'D 'D
sono parallelogramm i perché hanno i lati opposti
perché lati opposti del parallelogramma
A 'B ' = A B
• AB
•
A A 'B 'B
per ipotesi;
CD = C D'
perché lati opposti del parallelogramma
Per la proprietà transitiva:
•
AB
=
•
B = D
ABB"
CD
e
CDD"
C C 'D 'D .
A 'B ' = C ' D ' .
Se r non è parallela a s, conduciamo due rette tra b in B", l’altra che da C incontra d in D". I triangoli
A A 'B 'B ;
s
e s” parallele a s, una che da A incon
hanno:
per ipotesi;
perché corrispondenti formati dalle rette parallele
• A = C perché corrispondenti formati dalle rette parallele
b
e d tagliate da r;
AB"
e
CD"
tagliate da r.
Q uindi sono congruenti per il secondo criterio.
G117
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI In particolare: A B " = C D " . A A 'B 'B " e C C D ' D " sono parallelogrammi perché hanno i lati opposti paralleli. A 'B ' = A B " e C D " = C ' D ’ perché lati opposti dei parallelogrammi e A B " = C D " per la dimostrazione precedente, quindi A ' B ’ = C ' D ' per la proprietà transitiva.
Parallel side-splitter theorem: if a segm ent w ith endpoints on two
Segmento con estremi nei punti medi dei lati di un triangolo
sides of a tria n g le sp lits thè sides in half, then it is p a ra lle l to thè th ird side of thè tria n g le and it is h alf as long as th a t side.
Il segmento con estremi nei punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.
B
Ipotesi: AD s DC BE = EC
A ve / X . Z— ^------ 1 f X A
D
Tesi:
D E//AB d e ^ I ab
C
DIMOSTRAZIONE B
Dal punto D tracciamo la retta p parallela ad A B . Per il teorema di Talete, poiché A D = D C , p divide B C in due segmenti congruenti, ciò è p interseca B C nel suo punto medio. Poiché il punto medio di un segmento è unico, p interseca B C in E , quindi la retta D E coincide conp, e pertanto D E / / A B . D a E tracciamo la parallela ad A C , che incontra A B in F . Poiché B E = E C , per il teorema di Talete B F = A F . A D E F è un parallelogramma perché ha i lati opposti paralleli. H a allora i lati opposti congruenti: E D = A F . Q uindi:
ED
=
AF
=
~t A B .
Segmento con estremi nei punti medi dei lati obliqui di un trapezio
< zLU
cc o
Il segmento con estremi nei punti medi dei lati obliqui di un trapezio è parallelo alle basi e congruente a metà della loro somma.
B
Ipotesi: ABCD tra p e zio
C ~ À / ----------V
AE = EB DFSFC
f
LU
f L____ A
\
Tesi: D
E F //A D //B C E F s l( A D + BC)
DIMOSTRAZIONE A H Da E , punto medio di A B , tracciamo la retta p parallela alle basi. Per il teorema di Talete, poiché A E = E B , p divide C D in due segmenti congruenti, cioè p interseca C D nel suo punto medio.
□
B
A
G118
C
D
U. TEOREMA DI TALETE DEI SEGMENTI CONGRUENTI
Poiché il punto medio di un segmento è unico, p interseca C D in
F,
quindi la retta
EF
coincide con
p,
TEORIA
e pertanto
E F //A D //B C .
Prolunghiamo
AD
e B F in modo che si incontrino nel punto G e consideriamo i triangoli B C F e D F G .
•
BFC = D FG
perché opposti al vertice;
•
BCF = FDG
perché alterni interni formati dalle rette parallele
BC
e A G tagliate
da C D ; • CF = FD
per ipotesi.
Q uindi B C F e D F G sono congruenti per il secondo criterio. In particolare: B F = F G , B C = D G . Nel triangolo A B G , il segmento E F ha per estremi i punti medi dei lati A B e B G , quindi: EF = ^ A G = ^ ( A D
+ D G )= ^ (A D
+ B C ).
ESERCIZI PER COMINCIARE i l
L J VER0 0 FALS0? Rispondi osservando la figura, nella quale le rette c, d e à e sono parallele. a.
AD
b. Se
e 1 G sono segmenti corrispondenti. B C = IH ,
allora
D E = G F.
c. Se
IH = G F,
allora
BC = DE.
d. Se
BC = DE,
allora
a , b,
rV U T I [ v ] [7] [v ]\T \
B C = D E = IH = G F.
[v ]\T \
Dividere un segm ento in parti congruenti Dopo aver compreso il metodo proposto nel video, utilizzalo per dividere con riga e compasso un segmento in cinque parti congruenti.
WM Q P T m
Esegui le seguenti costruzioni con riga e compasso.
_
Disegna un segmento
AB
a piacere, poi costruisci un segmento
CD
tale che C D = y
Disegna un segmento
EF
a piacere, poi costruisci un segmento
GH
tale che
_
M M
AB.
g
BUE
GH =
y
EF.
Dim ostra che i punti medi dei lati di un quadrilatero sono i vertici di un parallelogramma.
KB
Nel triangolo A B C considera la mediana A M e il segmento P Q che congiunge i punti medi dei lati A B e A C . Dim ostra che A M e P Q , intersecandosi, si dividono reciprocamente a metà.
U M
ABCD
BU
Nella figura:
è un parallelogramma le cui diagonali si intersecano nel punto P . Detti L , M , N e O i punti medi dei segmenti di diagonale P A , P B , P C , P D , dimostra che il quadrilatero L M N O è un parallelogramma.
a. il parallelogramma A B C D ha perimetro 55 cm; b.
A D = D F -,
c.
FB
= 13 cm;
FD
+
FE =
14 cm.
Calcola il perimetro del triangolo
ABF.
[48 cm]
G119
PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI
ESERCIZI 1. PARALLELOGRAMMI QUADRILATERI FAI UN ESEMPIO Q
Disegna un quadrilatero convesso e uno concavo e indica gli angoli interni ed esterni.
VERO 0 FALSO?
a. In ogni quadrilatero convesso la somma degli angoli interni è congruente alla somma degli angoli esterni.
[v] [ f]
b. U n quadrilatero non può avere tre angoli retti e uno ottuso.
[v ]|T ]
c. N on esiste un quadrilatero con quattro angoli acuti.
rV U T I
d. I lati di un quadrilatero non possono essere lunghi 10 cm, 20 cm, 30 cm, 70 cm.
[~v1[T1
Dimostrazioni KB
In un quadrilatero, ciascuna diagonale è m inore della semisomma dei lati. Dimostralo.
BB
In un quadrilatero la somma di due angoli interni è congruente alla somma degli angoli esterni non adia centi. Dimostralo.
KB
Dim ostra che in ogni quadrilatero un lato è m inore della somma di tutti gli altri.
BB
Dim ostra che, se due quadrilateri hanno tre lati consecutivi e i due angoli tra essi compresi congruenti, allora sono congruenti.
BB
Dimostra che, se due quadrilateri hanno un angolo e i lati ordinatamente congruenti, allora sono congruenti.
B B Q YOU & MATHS A kite A kite is a quadrilateral in which two adjacent sides are congruent, and thè other two adjacent sides are congruent as well. Prove that one of thè diagonals of a kite divides it into two congruent triangles. T h is diagonal is sometimes called thè s y m m e tr y d ia g o n a l.
KB
Mostra, con un esempio, che n o n sono congruenti due quadrilateri che hanno ordinatamente congruenti solo: FAI UN ESEMPIO
a. i lati;
BIB Trova 3 e 7 .
b. gli angoli.
Con le misure Determ ina le ampiezze degli angoli indicati. BUI Trova x.
G120
BEB Trova a , 3 e 7 .
1. PARALLELOGRAMMI
1K B Trova le ampiezze degli angoli del qua drilatero.
ESERCIZI
BlTB Q EUREKA! Quanti ottusi! Quanti angoli mag giori di 90° può avere un quadrilatero (non intrec ciato)? I~À~| Ne ha sempre almeno uno. IT I Ne ha al più uno. fc l Ne ha al più due. T I Ne ha al più tre.
1E B
U n quadrilatero A B C D è tale che B è il doppio di A , C supera di 10° il doppio di B e D supera di 50° il triplo di A . Determina le ampiezze degli angoli del quadrilatero. [A = 30°; B = 60°; C = 130°; D = 140°]
É f f l Considera il quadrilatero P Q R S e la diagonale P R , che lo divide in due triangoli isosceli. Sapen do che P S R = 98°, R Q P = 1 2 2 ° , Q P = 3 3 cm e P S — 41 cm, determina il perimetro del quadri latero e le ampiezze degli angoli S P Q e Q R S . [148 cm; SPQ = QRS = 70° ]
f i l Può averne quattro. [Giochi di Archimede, 1996] ÉKÉ Q EUREKA! Q uestione di ampiezza Le ampiez ze in gradi degli angoli interni di un quadrilatero sono a , a + 10, a -I- 20, x + 30. L ’angolo maggio re misura: H
75°.
T
T
85°.
Ed ] 105°.
T
115 °.
[USA Louisiana State University High School Math Contest, 2005]
DEFINIZIONE E PROPRIETÀ DEL PARALLELOGRAMMA ® ■lilQ
95°.
Teoria a pagina G106
VERO 0 FALSO?
a. U n parallelogramma non può avere due lati consecutivi congruenti.
T IT I
b. In un parallelogramma il punto di intersezione delle diagonali è punto medio di ciascuna di esse. T
T
c. U n quadrilatero che ha una coppia di lati paralleli è un parallelogramma.
IT I IT I
d. In un parallelogramma la somma degli angoli adiacenti a un lato è costante.
T I ITI
Considera il parallelogramma SPQR in figura.
TEST
Bl'B Q Quale, fra le seguenti, è una congruenza f a l s a i H
SP + P Q ^ S R + R Q
[ b]
SP = R Q
T
P Q -R Q
[TI
SQ
=
= R S -P S
PR
P
Q
K H Q Quale, fra le seguenti, è una congruenza vera? 0 7
+ 3 = 9 + ^
T
IT I (p = 5
ti
= 7
UH (p + q = 5 + B
Costruzioni H i
C .
Nel parallelogramma in figura, disegna: a. le altezze
CH
e C K relative ai lati
b. la bisettrice del l ’angolo esterno a ll’angolo C .
AB
m i eAD;
fS l
Con riga e compasso costruisci il parallelogramma di cui sono dati tre vertici A , B , C .
• • B
^
Con i punti della figura dell’esercizio precedente costruisci il parallelogramma che ha A B come lato e C come punto di intersezione delle diagonali. G121
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI Dimostrazioni D ai vertici C e D del parallelogramma A B C D tracciamo una coppia di rette parallele, distinte dai lati del parallelogramma, che intersecano il lato A B , o un suo prolungamento, nei punti F e G. Dimostriamo che i triangoli A F D e B G C sono congruenti.
ESEM PIO
I
Ipotesi:
ABCD
parallelogramma
D F // CG
Tesi:
A FD = BGC
D IM O S T R A Z IO N E
I triangoli
AFD
e B C G hanno:
• A D = B C perché lati opposti del parallelogramma A B C D ; •
A F D = B G C perché angoli corrispondenti formati dalle rette parallele (per ipotesi) dalla trasversale A G ;
Le diagonali del parallelogramma A B C D si inter sale A G . secano nel punto P . Fissa sulla diagonale A C due Q u in d i Rsono secondo criterio. punti, e S, congruenti tali che A Rper = ilC S . Dim ostra che i triangoli D R P e B S P sono congruenti.
m i
Dim ostra che in un parallelogramma le bisettrici dei due angoli adiacenti a un lato sono tra loro perpendicolari.
WMM
Nel parallelogramma A B C D conduci dal vertice B una retta b che interseca il lato opposto C D in E . Dim ostra che il triangolo B C E è isoscele su B E se e solo se il segmento B E è bisettrice dell’ango lo del parallelogramma di vertice B . ABCD
vertici
CG
tagliate
H i!
Dim ostra che in ogni triangolo isoscele, se da un punto della base si conducono le parallele ai lati, si ottiene un parallelogramma in cui la somma di due lati consecutivi è congruente al lato del triangolo.
HB
Nel parallelogramma A B C D prolunga il lato A B di un segmento B P = B C . Indica con Q il punto di intersezione tra la retta A D e la retta P C e dimostra che il triangolo A P Q è isoscele.
mB
O gni retta che passa per il centro di un paralle logram m a in d ivid u a due punti su una coppia di lati opposti del parallelogramm a stesso. D im o stra che il centro del parallelogram m a è punto medio del segmento avente per estremi tali punti.
m i
ABCD
HB ~
ABCD
è un parallelogramma con gli angoli di acuti. Dim ostra che A C < B D .
B e D
B A I Prolunga i lati opposti SR e P Q del parallelo gramma P Q R S di due segmenti R R ’ e P P ' tali che R R ' = P P '. Detto V il centro del parallelo gramma, dimostra che i triangoli V R R ' e V P P ' sono congruenti. W ìiM
e
• D A F = C B G perché angoli corrispondenti formati dalle rette parallele A D e B C tagliate dalla trasver
It i
F /B
DF
Sui lati opposti A B e C D del parallelogramma costruisci, esternamente ad A B C D , due triangoli equilateri A B P e C D Q . Dim ostra che:
e A ' B ' C ' D ' sono due parallelogrammi e O e O ' sono i punti di intersezione delle loro dia gonali. Dim ostra che, se A C = A ' C ' , B D = B ' D ' e A O B = A ' O ' B ’ , allora i due parallelogrammi sono congruenti.
ABCD,
a. i punti ABCD
e il centro del parallelogramma sono allineati; P, Q
b . i segmenti A Q e P C sono paralleli.
G122
e L M N O sono due parallelogrammi. Sapendo che A B = L M , B C = M N e A B C = L M N , dimostra che i due parallelogrammi sono con gruenti.
1. PARALLELOGRAMMI
ESERCIZI
Con le misure Trova le ampiezze degli angoli dei parallelogram m i.
AL VOLO
111
Se in un parallelogramma le diagonali sono lu n ghe 10 cm e 16 cm, un lato può essere lungo 14 cm? In un parallelogramma i lati sono lunghi 14 cm e 6 cm. Una diagonale può essere lunga 18 cm?
fefrÉ Se il parallelogramma A B C D ha i lati A D e A B congruenti alla diagonale B D , allora ha due angoli di 120°. Dim ostralo.
CONDIZIONI SUFFICIENTI M 1 Q
G Teoria a pagina G108
Un quadrilatero è un parallelogramma se ha:
VERO 0 FALSO?
a. due angoli opposti congruenti.
E
CE]
b. le diagonali congruenti.
[v ][ T |
c. i lati a due a due congruenti.
r a s
d. gli angoli adiacenti a un lato supplementari.
ra m
Dimostrazioni*• Prolunghiamo nello stesso verso i lati del parallelogramma A 'B 'C 'D '
Ipotesi:
ABCD
in
è un parallelogramma. ABCD
parallelogramma
Tesi:
A 'B 'C 'D '
parallelogramma
AA' = C C BB' = D D '
DIMOSTRAZIONE Consideriam o i triangoli • DD' =
BB'
A 'D D '
e
B C 'B ' .
Essi hanno:
per ipotesi;
•
A 'D = B C ' perché somme di segmenti congruenti opposti del parallelogramma A B C D ) ;
•
A ' D D ' = C 'B B ' perché angoli esterni di angoli congruenti parallelogramma A B C D ) .
(A A '
= C C ' per ipotesi e {C D A
=
CBA
AD
=
BC
perché lati
perché angoli opposti del
D i conseguenza, A ' D D ' = B C 'B ' per il prim o criterio e, in particolare: D 'A ' = C 'B '. Analogamente, con siderando i triangoli D 'C 'C e A 'A B ', si dimostra che D 'C' = A 'B '. Poiché D 'A ' = C 'B ' e D'C' = A 'B ', il quadrilatero A ' B ' C ' D ' ha i lati opposti congruenti, quindi è un parallelogramma. G123
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI Nel triangolo A B C prolunga la mediana A B C D è un parallelogramma.
A M
di un segmento
Dim ostra che il quadrilatero
M D = AM .
m i
ABCD
e A B C 'D ' sono due parallelogrammi con il lato A B in comune. Dim ostra che il quadrilatero è ancora un parallelogramma.
m i
Su una coppia di rette parallele, a e b, considera i segmenti congruenti A A ' sulla retta a e B B ' sulla retta b. Dim ostra che il quadrilatero, non intrecciato, A A 'B 'B è un parallelogramma. Indica con M e M \ rispetti vamente, i punti medi di A B e A 'B ' . Dim ostra che A ' M B M ' è anch’esso un parallelogramma.
m i
ABC
m i
Per i punti
è un triangolo isoscele sulla base B C . Sulla bisettrice dell’angolo esterno di vertice in modo che B C = A D . Dim ostra che B C D A è un parallelogramma. A
e B della retta
r
conduci due rette
a
e b, distinte da r, con
a. Dim ostra che ogni retta passante per il punto medio b, forma un segmento di cui M è il punto medio.
M
a
del segmento
parallela a AB,
A
C D D 'C
fissa un punto
D
b.
intersecandosi con le rette
a
e
b. Scelte due rette distinte qualunque p e q, passanti per M , dimostra che il quadrilatero formato dai punti di intersezione di p e q con le rette a e b è un parallelogramma. H lÉ
Sui lati del parallelogram m a A B C D considera i punti, uno su ogni lato, A A ' = B B ' = C C ' = D D '. Dim ostra che A ' B ' C ' D ' è un parallelogramma.
A ', B', C ', D ',
in modo che
è un triangolo isoscele di base B C . Fissa un punto P sul lato A B , prolunga il lato A C dalla parte di C di un segmento CQ = B P . Traccia per Q una retta r parallela a B A che interseca il pro lungamento del lato B C nel punto S. Dim ostra che S P B Q è un parallelogramma. ABC
► L A B O R A T O R IO
MATEMATICA E TECNOLOGIA
Il q u ad rilatero articolato Gli elevatori a braccio pieghevole, costruiti in svariati modelli e dimen sioni, sono accomunati dal sistema di aste incernierate che ne deter mina la funzionalità. Si tratta di un’applicazione del cosiddetto qua drilatero articolato, costituito da quattro aste incernierate agli estremi, di lunghezza variabile a seconda del comportamento richiesto. Considera uno di questi quadrilateri, in cui la somma tra le lunghez ze dell’asta più corta e dell’asta più lunga AB sia minore o uguale alla somma delle lunghezze delle altre due. a. Fissato il lato AB, il movimento di una delle restanti aste deter mina completamente il movimento delle altre due. Come puoi realizzare un modello del quadrilatero articolato e verificare così questa proprietà? b. Se l’asta più corta è AD, cosa succede a BC mentre AD ruota? c. Cosa succede invece se è CD l’asta più corta? d. E se fosse AB l’asta più corta?
► Risoluzione.
G124
► 3 esercizi in più.
(0 / A
CO/ B
2. RETTANGOLI, ROMBI, QUADRATI
lif t l Nel triangolo A B C prolunga la mediana C M di un segmento M G congruente a CM . Fissa sul lato A B due punti, P e Q, tali che A P = B Q . Dim ostra che C Q G P è un parallelogramma. I f t l Nel parallelogramma A B C D proietta i vertici opposti A e C sulla diagonale B D e i vertici B e D sulla diagonale A C . Dim ostra che il quadrilatero che si ottiene unendo le proiezioni dei vertici è un parallelogramma. Conduci dal vertice D del parallelogramma una retta t esterna al parallelogramma, che interseca il prolungamento del lato A B in E . D al vertice B conduci la parallela a t che interse ca il prolungamento del lato C D in F . Dim ostra che B F D E è un parallelogramma.
Disegna un parallelogramm a A B C D con A B > B C . Su A B considera il punto E tale che A E = A D e, tracciata la bisettrice dell’angolo A B C che incontra il lato D C nel punto F , d im o stra che E B F D è un parallelogramma. H i!
Dato il parallelogramma A B C D , considera sui lati A D e C B rispettivamente i punti P e R tali che AP = CR. Traccia per P e R le parallele alla diagonale A C che incontrano in Q e S i lati D C e A B . Dim ostra che P Q R S è un parallelogramma.
HV1
è un parallelogramma. Detti P e Q i p un ti di intersezione delle bisettrici degli angoli B e D con le rette A D e B C , dim ostra che B P D Q e A Q C P sono parallelogram m i.
ABCD
Nel parallelogramma A B C D conduci la perpen dicolare al lato A B dal suo punto medio M e indica con N il punto di intersezione con il lato A D o con il suo prolungamento. Conduci poi la perpendicolare al lato C D dal suo punto medio P e indica con Q il punto di intersezione con il lato B C o con il suo prolungamento. Dim ostra che M N P Q è un parallelogramma. Nel parallelogramma A B C D indica con P il pun to d’incontro delle diagonali e traccia le bisettrici degli angoli D A P e B C P che intersecano la dia gonale D B rispettivamente nei punti Q e R . Dim ostra che A R C Q è un parallelogramma.
ESERCIZI
ABCD
EUREKA! Intersezione d i parallelo gram m i Dato il parallelogramma A B C D , siano H e K rispettivamente le proiezioni di D su A B e di B su CD . Prolunga D H di un segmento H D ' = D H dalla parte opposta a D e B K di un segmento K B ’ = B K dalla parte opposta a B .
a. Dim ostra che il quadrilatero parallelogramma.
D 'B B 'D è
un
b. Dim ostra che A , D e B ' sono allineati se e solo se H e K sono i punti medi dei lati A B e C D .
2. RETTANGOLI, ROMBI, QUADRATI RETTANGOLI B lQ
G Teoria a pagina G110
a. In un rettangolo le diagonali sono congruenti e perpendicolari.
Quale fra le seguenti condizioni è sufficiente affinché un quadrilatero sia un ret tangolo?
WftM Q
VERO 0 FALSO?
[v ]|T ]
INVALSI 2005
b. Se un quadrilatero è diviso da una diagonale in due triangoli rettangoli, allora è un rettangolo. [v ]|T ]
[~À~1 I lati opposti siano uguali e un angolo sia retto.
c. U n quadrilatero con tre angoli congruenti è un rettangolo.
I~cl I lati opposti siano paralleli.
[V] [T]
d. Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti, è un rettangolo. I~v1 I~f 1
[T| Le diagonali si dividano a metà.
[~d1 Le diagonali siano uguali e un angolo sia ret
to.
G125
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI Paolo: «Se ho un quadrilatero P Q R S tale che PQ è congruente a cosa posso aggiungere per essere sicuro che sia un rettangolo?». Pietro: « S P è congruente a R Q \» . Marta: « P Q è parallelo a PS!». C h i ha ragione? Motiva la risposta. CHI HA RAGIONE?
RS e SQ è
congruente a
RP,
Dimostrazioni K 'I
è un triangolo rettangolo di ipotenusa A B . Conduci per un punto E del cateto A C la retta parallela all’altro cateto che interseca l ’ipotenusa in F . Detta G la proiezione di F sul cateto B C , dimostra che E F G C è un rettangolo.
ABC
F»V1 Se i punti di intersezione delle bisettrici degli angoli interni di un quadrilatero sono i vertici di un rettango lo, il quadrilatero è un parallelogramma? Dimostralo. Dim ostra che gli estremi di due segmenti congruenti che si intersecano nel loro punto medio sono i vertici di un rettangolo. Da un punto P qualsiasi del lato B C del rettangolo A B C D conduci le parallele alle dia gonali A C e B D . Dim ostra che tali rette, intersecando le diagonali, formano un parallelogramma in cui la somma dei lati è congruente a una delle diagonali del rettangolo. D al centro del rettangolo A B C D traccia la bisettrice di due angoli opposti al vertice formati dalle diagonali. Dim ostra che tale retta divide il rettangolo in due rettangoli tra loro congruenti. Nel rettangolo A B C D , con A B < B C , fìssa sul lato A D un punto P in modo che C P = C B , e sul lato A B un punto Q in modo che Q P = Q B . Dim ostra che il triangolo C P Q è rettangolo e che C P D = 2 P C Q . Detto P il punto d’incontro delle diagonali del rettangolo passa per i punti medi dei lati opposti A B e C D .
ABCD,
dimostra che la retta per P parallela a B C
P ro iezioni Sui lati A B e C D di un rettangolo A B C D considera due punti, E e P, tali che E B = D F . Traccia i segmenti A F ed E C e considera le proiezioni H e K di D e B rispettivamente su A F ed E C . Dimostra che il quadrilatero A K C H è un parallelogramma. EUREKA!
WlfM
Le diagonali del rettangolo P Q R S , con PQ > Q R , si incontrano nel punto T . L ’asse della diagonale S Q incon tra il lato S R nel punto H , mentre l ’asse della diagonale P R incontra il lato S R nel punto K . Dim ostra che sono congruenti: a. gli angoli
KPR
e
b. i triangoli
KPT
eHTQ;
c. i segmenti
KP
KRP;
eHQ.
Con le misure N ei seguenti rettangoli determina quanto richiesto. B A I Trova
a
e 3.
La diagonale A C del rettangolo A B C D divide l’angolo in C in due parti, delle quali una è i -yy dell’altra. Determina le ampiezze dei quattro angoli formati dalle diagonali del rettangolo. G126
2. RETTANGOLI, ROMBI, QUADRATI
ROMBI
G
ESERCIZI
Teoria a pagina G111
Dimostrazioni La bisettrice dell’angolo A di un triangolo A B C interseca il lato opposto B C nel punto P le rette parallele ai lati del triangolo che intersecano A B in Q e A C in R. Dim ostriam o che A Q P R è un rombo. Ipotesi:
P.
Conduciam o per
C CAP = PAB
ESEM PIO
PR //A B PQ //A C
T esi:
AQPR
rombo
DIM O STRAZION E è un parallelogramma perché P R / / A B e P Q / / A C per ipotesi. Consideriam o la diagonale A P . Poiché A P è bisettrice di R A Q , per ipotesi, è verificata una condizione sufficiente affinché un parallelogramma sia un rombo, quindi A Q P R è un rombo.
AQPR
k fd
Dim ostra che in ogni rettangolo congiungendo i punti medi dei lati si ottiene un rombo.
WMM
Dim ostra che i punti medi dei lati di un rombo sono i vertici di un rettangolo.
F iil
D al punto medio D della base B C del triangolo isoscele A B C conduci le parallele D E e D F ai lati A B e A C . Dim ostra che A E D F è un rombo.
H '1
Dim ostra che, se in un rombo due angoli interni consecutivi sono uno la metà dell’altro, allora la diagonale m inore è congruente al lato.
H il l Dim ostra che il punto di intersezione delle dia gonali di un rombo è equidistante dai lati.
H ìl Disegna un rettangolo
D agli estremi di ogni diagonale traccia le rette perpendicolari alla diagonale stessa e dimostra che tali rette interse candosi formano un rombo.
H U i Dim ostra che in un rombo le distanze di un ver tice qualsiasi dalle rette dei lati opposti sono congruenti. m
Sapendo che A B C D è un rombo e che A A ' = C C ', B B ' = D D ', dimostra che A ' B ' C ' D ' è un rombo. D
IH
Dato il rombo A B C D , prolunga il lato C D di un segmento D M = CD . Dim ostra che:
ABCD.
H E 1 Indicato con V il punto d’incontro delle diago nali del rombo A B C D , conduci per V ia parallela al lato B C che incontra A B in P . Dim ostra che PB = P V . i m i D al punto d’incontro V delle diagonali del paral lelogramma A B C D , conduci la perpendicolare a B D che interseca il lato B C (o un suo prolunga mento) in £ e il lato D A (o un suo prolungam en to) in F . Dim ostra che D F B E è un rombo. | Dim ostra che, se nel quadrilatero A B C D le dia gonali A C e B D sono anche bisettrici degli ango li interni, allora A B C D è un rombo.
a.
M ABD
è un parallelogramma;
b. CA è perpendicolare a M A .
Con le misure EH
Trova tutti gli angoli del rombo della figura.
i'I'J Considera il triangolo equilatero A B C di perime tro 24 cm e la bisettrice B D dell’angolo in B. Conduci da D le parallele ai lati C B e A B che incontrano i lati stessi in E e F . Determina il peri metro del rombo D E B F . [16 cm] G127
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI ► L A B O R A T O R IO
MATEMATICA INTORNO A NOI
Corde e canne di bambù In alcune zone rurali dell’Africa, per tracciare la base di un semplice edifìcio rettangolare si utilizzano materiali poveri e le proprietà geometriche dei quadrilateri. Si realizza anzitutto un parallelogramma utilizzando quattro canne di bambù, poi entra in gioco una corda... a. Come ritieni che possa venire utilizzata la corda, in modo da ottenere un rettangolo? Quale proprietà vale per il parallelogramma affinché sia un rettangolo (e sia collegata al possibile uso della corda...)? Esprimila come condizione sufficiente. b. Rifletti su questa condizione sufficiente: essa è anche necessaria? Risoluzione.
□
QUADRATI l'I ll Q
G
►3 esercizi in più.
Teoria a pagina Gl 12
VERO 0 FALSO?
a. U n rombo che ha le diagonali congruenti è un quadrato.
[y][T ]
b. U n quadrilatero che ha le diagonali congruenti e perpendicolari è un quadrato.
IT I IT I
c. O gni diagonale divide un quadrato in due triangoli rettangoli isosceli congruenti.
[v] Qj]
d. L ’insieme dei quadrati è l ’unione delTinsieme dei rettangoli e di quello dei rombi.
[ v ] IT I
Dimostrazioni M I
U n parallelogramma con le diagonali perpendi colari e congruenti è un quadrato. Dim ostralo.
W ÌM
I lati di un rettangolo A B C D sono le ipotenuse di quattro triangoli rettangoli isosceli costruiti esternamente al rettangolo stesso. Dim ostra che i vertici degli angoli retti di tali triangoli costitu iscono i vertici di un quadrato.
C I
Dato il triangolo rettangolo isoscele A B C , prolunga la mediana relativa all’ipotenusa B M di un segmento M D = B M . D im o stra che A , B , C e D sono i vertici di un quadrato.
M I
Dim ostra che anche i punti medi dei lati di un quadrato costituiscono i vertici di un quadrato. Quale condizione dovrebbero soddisfare altri quattro punti scelti a caso sui quattro lati del quadrato per formare ancora un quadrato?
t'jtÉ D a i vertici B e D del quadrato A B C D traccia una coppia di rette r e s tra loro parallele e senza altri punti in comune con il quadrato. D a i vertici A e C conduci le perpendicolari a r e a s e dimostra che i punti di intersezione tra le quattro rette sono i vertici di un altro quadrato. G128
M I
Sui cateti del triangolo rettangolo A B C di ip o tenusa B C costruisci, esternamente al triango lo, i quadrati A C L M e A Q P B . D im ostra che la somma delle distanze dei vertici L e P dalla ret ta che contiene l ’ipotenusa B C è congruente a ll’ipotenusa stessa. È possibile che i vertici L e P siano equidistanti dalla retta B C ? Se sì in quali condizioni?
M J
Conduci, dal centro di un quadrato, due rette tra loro perpendicolari e dimostra che i punti di intersezione con i lati del quadrato sono vertici di un quadrato.
kftÉ Sui lati A B , B C , C D e D A del quadrato A B C D , costruisci quattro triangoli rettangoli isosceli con un lato coincidente con quello del quadrato e con l’angolo retto rispettivamente in A , B , C e D . Dim ostra che i quattro vertici dei triangoli esterni al quadrato sono i vertici di un secondo quadrato.
2. RETTANGOLI, ROMBI, QUADRATI
ESERCIZI
Con le misure
Dimostrazioni
H '1
E 0
Dim ostra che le bisettrici degli angoli formati dalle diagonali di un rombo intersecano i lati del rombo nei vertici di un quadrato.
m
Dimostra che, se i parallelogrammi A B C D e A ' B ' C ' D ' hanno A C = A ' C \ A C D = A ' C ' D ' e A C B = A ' C 'B ', allora sono congruenti.
m
Dim ostra che, se dal punto d’incontro delle dia gonali di un rombo conduci le due rette perpen dicolari ai lati, queste intersecano i lati del rom bo in quattro punti che sono i vertici di un ret tangolo.
Costruisci, internamente al quadrato A B C D , il triangolo equilatero B C P e determina gli angoli dei quattro triangoli che si ottengono dal qua drato congiungendo P con i quattro vertici del quadrato.
ITiTil In figura, A B C D è un quadrato e D E F un trian golo equilatero.
iTTEl Dim ostra che, se la bisettrice di un angolo ester no di un parallelogramma è parallela a una delle due diagonali, allora il parallelogramma è un rombo. a. Calcola l’ampiezza di
AED.
Esercizi di riepilogo su parallelogrammi, rettangoli, rombi e quadrati
IT ifl D al centro V del quadrato A B C D conduci una retta r che interseca i lati B C e A D del quadrato nei punti P e Q. D a i vertici A e C del quadrato conduci due rette parallele a e c che intersecano la retta r, rispettivamente, nei punti R e S . D im o stra che A S C R è un parallelogramma.
mu
[pi QESSEEBSHH
b. Dim ostra che i segmenti loro perpendicolari.
ni
INVALSI 2007
DB
ed
EF
sono tra [a) 75°]
Quale delle seguenti affermazio
è fa ls a ?
traccia le altezze D E
Nel parallelogramma A B C D e CE.
I~a ] O gni rettangolo è anche un rombo.
a. Dim ostra che
I~b~1 O gni rettangolo è anche un parallelogram ma.
b. Considera su A D un punto P e su C B un pun to Q in modo che A P = B Q . Dim ostra che E F Q P è un parallelogramma.
Pel Ogni quadrato è anche un rombo.
EECD
è un rettangolo.
I~d] O gni rettangolo ha le diagonali uguali.
MATEMATICA INTORNO A NOI
L’aquilone
B iTÌ Nel parallelogramma A B C D , esternamente a esso, traccia dai vertici A , C e B , D , rispettiva mente, due coppie di rette parallele a , c e b, d. Indica rispettivamente con L , M , N e O i punti di intersezione di a con b, b con c, c con d e d con a. Dim ostra che: a.
LM NO
è un parallelogramma;
b. OA = C M ; c.
Giulio e i suoi amici costruiscono un aquilone...
□
► Problema e risoluzione.
BL = D N .
[TÌT1 Fissa sulla base B C di un triangolo isoscele A B C due punti qualsiasi H e K . Conduci per H le rette parallele ai lati del triangolo che intersecano A C in L e A B in M . Ripeti la stessa costruzione par tendo da K , ottenendo i punti N e P . Dim ostra che H L + E l M = K N + K P . G129
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI I fiam miferi in figura formano un quadrato e quattro triangoli equilateri. Dim ostra che i vertici dei trian goli non appar tenenti ai lati del quadrato iniziale sono i vertici di un secondo qua drato.
DQ
IT T I Sui lati del quadrato A B C D fissa i punti A' su A B , B ' su B C , C ' su C D e D ' su A D in modo che B A ’ = B B ’ = D C ' = D D '.
a. Dim ostra che il quadrilatero rettangolo.
(S u g g e r im e n to . Scegli altri 4 punti A ", B \ C " e D " che soddisfano le stesse richieste e dimostra che i due rettangoli hanno lo stesso perimetro.) Un rettangolo... ma a quale prez zo? Congiungendo i punti medi dei lati di un quadrilatero A B C D , si ottiene un rettangolo M N P Q . Quale tra le seguenti affermazioni è necessariamente vera?
D Q lH
sono una coppia di rette parallele tagliate dal la trasversale t, rispettivamente, nei punti A e B. a. Indica con C e D le intersezioni tra le bisettri ci di una coppia di angoli alterni interni e le rette r e s, e dimostra che A C B D è un paral lelogramma.
SPQR Dato il quadrato A B C D , sia un punto di A B e R un punto di C D tali che A P = C R . Congiungi P con C e con D , e R con A e con B . Detti Q il punto di intersezione tra A R e D P , S il punto di intersezione tra B R e P C , dim o stra che S P Q R è un parallelogramma. EUREKA!
no
P
i r c i Nel parallelogramma di un segmento A P = mento C Q = D C .
ABCD AD e
prolunga il lato A B il lato B C di un seg
a. Dim ostra che i punti P , D e Q appartengono tutti alla stessa retta e che il triangolo P B Q è isoscele. b. Dim ostra che le bisettrici degli angoli Q C D , C B A e D A P sono tutte fra loro parallele.
DQ
Sulla base A B di un triangolo isoscele A B C , fissa un punto P e conduci le perpendicolari P H e P K rispettivamente ai lati B C e A C . Detta A T l’al tezza relativa al lato B C , dim ostra che A T = P H + PK.
i r c i Dim ostra che, in un rettangolo A B C D , scelti due punti P e Q appartenenti allo stesso lato, la som ma delle distanze di P dalle diagonali del rettan golo è congruente alla somma delle distanze di Q dalle stesse diagonali. G130
è un
b. Verifica che il perimetro del rettangolo non dipende dalla scelta dei punti.
re s
b. Traccia le bisettrici all’altra coppia di ango li alterni interni e indica con E e F i punti di intersezione delle quattro bisettrici. Dim ostra che A E B F è un rettangolo e che la diagonale E F è parallela alle rette r e s.
A 'B 'C 'D '
EUREKA!
[~À~1
ABCD
è un parallelogramma.
f il
ABCD
ha due coppie di lati congruenti.
I~c~l
ABCD
ha le diagonali perpendicolari.
P ii A B C D
è un trapezio rettangolo.
i r c i Da un punto P del lato A B di un rettangolo A B C D manda le perpendicolari P Q e P R alle dia gonali D B e A C . Detta K la proiezione del vertice A sulla diagonale D B , dimostra che PR + P Q = A K . (S u g g e r im e n to . Conduci per P la parallela alla diagonale B D fino a incontrare A K in S.)
DQ
EUREKA! Triangoli rettangoli nascosti Dato il rettangolo A B C D , sia r la perpendicolare alla dia gonale A C condotta dal punto M in cui si interse cano le due diagonali e sia E il punto di intersezio ne tra r e il prolungamento del lato A D .
a. Dim ostra che il triangolo
ACE è
isoscele.
b. Se r interseca il lato D C in un punto F tale che D F = F M , quanto m isura l’ampiezza dell’an golo A C D ì [b) 30°]
MATEMATICA INTORNO A NOI
Il pantografo Come usare i paral lelogrammi per ot tenere immagini in grandite? ►Problema e risoluzione. ►Un esercizio in più.
3. TRAPEZI
3. TRAPEZI EH3[]
ESERCIZI
Teoria a pagina Gl 14
VERO 0 FALSO?
a. Il trapezio appartiene all’insieme dei quadrilateri ma non a quello dei parallelogrammi.
0 0
b. U n trapezio con tre lati congruenti è isoscele.
0 0
c. U n trapezio che ha soltanto due angoli congruenti è rettangolo.
0 0
d. Un trapezio può essere rettangolo e isoscele.
0 0
YOU & MATHS Always, sometimes or never? Complete thè following sentences with always, sometimes, or never to make thè sentences true.
(B IG
a. The diagonals of a trapezium are
congruent.
b. The sum of thè measures of thè angles of a trapezium is
360°.
c. One diagonal of a trapezium I__________ I bisects one of thè angles of thè trapezium. d. Three sides of a trapezium arei__________I congruent. e. Two pairs of opposite sides of a trapezium are
m
u
congruent.
INVALSI 2006 Una figura ha: due lati uguali, una coppia di lati paralleli e due angoli ottusi. Quale può essere tra le seguenti figure?
I~a~1 Triangolo ottusangolo.
He] Trapezio rettangolo.
ITTI Trapezio isoscele.
QT| Parallelogramma.
Dimostrazioni In un triangolo isoscele R S T di base S T consideriamo le mediane Dim ostriam o che S T M N è un trapezio isoscele. Ipotesi:
SM
e TN.
SR = R T TM = MR SN = NR
Tesi:
STM N
trapezio isoscele
DIM O STRAZION E S R = R T , T M = M R e S N = N R per ipotesi, quindi T M = M R = S N = N R perché metà di segmenti congruenti. Poiché N R = M R , il triangolo R N M è isoscele e quindi R M N = R N M . Il triangolo R S T è anch’esso isoscele, quindi R S T = R T S . Poiché i triangoli isosceli R N M e R S T hanno l ’angolo al vertice S R T in comune e la somma degli angoli interni di un triangolo è congruente a un angolo piatto, si ha: R M N = R N M = RST = R T S . R M N = R T S , quindi le rette N M e S T formano con la trasversale R T angoli corrispondenti congruenti, ovvero sono parallele. N M / / S T , dunque S T M N è un trapezio. Poiché S N = M T , S T M N è un trapezio isoscele.
G131
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI IBI
Dagli estremi C e D della base minore del trapezio isoscele A B C D conduci le perpendicolari C K e D H alla base maggiore e dimostra che A H = B K .
IF B
D a i vertici della base B C del triangolo isoscele A B C conduci le perpendicolari B L e C N ai lati obliqui. Dim ostra che B C L N è un trapezio iso scele.
IF B
e A 'B ' C sono due triangoli isosceli di verti ce comune C e tali che le basi giacciono su rette parallele. Dim ostra che il quadrilatero A B B A ' è un trapezio isoscele.
ABC
in i
IB I
In un trapezio A B C D le diagonali si intersecano nel punto O. Dim ostra che, se i triangoli A B O e C D O sono isosceli, allora il trapezio è isoscele.
IBI
Il trapezio A B C D , con base maggiore A B , è tale che B C = C D = D A . Dim ostra che le diagonali A C e B D sono rispettivamente le bisettrici degli angoli D A B e C B A .
IBI
Dim ostra che, se in un trapezio rettangolo la base maggiore A B è doppia della base minore C D e il lato obliquo B C è congruente ad A B , allora anche la diagonale A C è congruente alla base maggiore.
IBI
p
U
Dim ostra che le diagonali di un trapezio isoscele lo dividono in quattro triangoli, di cui due sono isosceli con gli angoli congruenti e due sono congruenti.
PQ
Considera il trapezio A B C D di base maggiore e dimostra che valgono le seguenti disugua glianze:
AB
a.
AB — CD <
A D + BC -,
b.
AB + CD <
AC + BD.
INVALSI 2006 In un triangolo isoscele A B C di base A B , si ind ichi con D l’intersezione della bisettrice di C A B con B C e con E l’intersezione della bisettrice di C B A con A C . Si consideri il trapezio isoscele A B D E . Quanto vale il rapporto tra la base m inore e il lato obliquo?
ESEM PIOD IG ITA LE Dim ostra che, se due trape [ b] 1 E 2
zi hanno i lati corrispondenti tra loro congruen ti, allora sono congruenti.
UT! Il rapporto dipende dall’ampiezza di IB I
IB I
IB I
IB I
Dim ostra che, se due trapezi hanno le basi, l’al tezza e una diagonale congruenti, allora sono congruenti.
IB I
Dim ostra che, se in un trapezio le bisettrici degli angoli adiacenti alla base maggiore si incontrano in un punto che appartiene alla base minore, allora la somma dei lati obliqui è congruente alla base minore.
G132
Scrivi la dimostrazione della proprietà relativa all’esercizio precedente. EUREKA! D ia g o n a li a X In un trapezio iso scele A B C D , di basi A B e C D , si ha
Se due trapezi hanno le basi corrispondenti con gruenti, un lato obliquo e l ’angolo compreso tra il lato e la base maggiore congruenti, allora sono congruenti. Dimostralo. Dimostra che in un trapezio iso scele A B C D i pro lungamenti dei lati obliqui e la retta passante per i punti medi F e G delle due basi si incontrano in uno stesso punto E.
ACB.
BC = D C = A D =
-y A B .
Dimostra che le diagonali sono bisettrici degli an goli alla base e sono perpendicolari ai lati obliqui.
Con le misure IB I
Trova le misure de gli angoli del trape zio della figura. [72°; 108°]
m
ABCD
è un trapezio rettangolo con gli angoli retti in A e D e tale che A C B = 90°. a. Esprim i in funzione di x = C A B le ampiezze degli angoli dei due triangoli in cui la diago nale A C divide il trapezio. b. Sapendo che A D = D C , determina l ’ampiez za di v e il rapporto tra A C e B C .
[b) 45°; 1]
3. TRAPEZI
D e te rm in a le a m p ie zze d e g li a n g o li d e i se g u e n ti
ESERCIZI
E 3
Un trapezio rettangolo ha le ampiezze degli angoli non retti che differiscono di 34°. Determ i na le loro ampiezze. [73°; 107°]
EQ
In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a un 7 lato obliquo sono uno i y dell’altro. Q uali sono
tra p e z i.
le ampiezze degli angoli del trapezio? [54°; 126°]
EE9 Nella figura, A B C D
è un trapezio isoscele, C P è parallelo a D A , D P è parallelo a C B . Trova le misure degli angoli interni del trapezio. D
C
[74°; 106°]
pU
INVALSI 2003 D a un triangolo equilatero M N O di lato 6 cm viene tagliato via un triangolo equila tero di vertice in O e lato 2 cm. Il perimetro del quadrilatero rimanente è:
I~a~| 12 cm.
[ d ] 18 cm.
IT I 14 cm.
[T] 20 cm.
Pel 16 cm.
► LA BO R A T O R IO
MATEMATICA AL COMPUTER
G eom etria dinam ica con i quadrilateri
i = 2.1
Con un software di geometria dinamica realizza la figura a lato, tenen do conto che: ABCD è un parallelogramma; le circonferenze di centro B e D hanno lo stesso raggio, al più uguale alla metà della misura di BD. Muovi i punti A, B, C e varia il raggio delle circonferenze: osserva le proprietà geometriche che non variano. Verifica che anche i quadrilateri AECF e AE'CF' sono parallelogram mi; per fare questo: a. inserisci uno slider, variabile tra 0 e la metà della misura della dia gonale BD e con passo 0,1, che utilizzerai per impostare il raggio delle circonferenze; b. con l’aiuto della finestra algebrica, osserva le lunghezze dei lati
opposti di AECF e AE'CF'e trai le tue conclusioni, motivandole. Dimostra il teorema relativo a questa costruzione.
□
► Risoluzione.
► 6 esercizi in più.
G133
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI
4. TEOREMA DI TALETE DEI SEGMENTI CONGRUENTI ©Teoria a pagina Gl 17 m
u
INVALSI 2007 Dato un triangolo A B C , costruiamo un triangolo di A B C . Il rapporto fra il perimetro di A 'B 'C ' e quello di A B C è:
S
A 'B 'C '
congiungendo i punti medi dei lati
i.
E
4 •
Costruzioni Esegui le seguenti costruzioni con riga e compasso. {P
Disegna un segmento
PQ
a piacere e poi costruisci un segmento
RS
tale che
RS =
-^ -P Q .
Disegna un segmento
H K
a piacere e poi costruisci un segmento
RS
tale che
H K = -^ R S .
Dimostrazioni In un triangolo A B C tracciamo l’altezza A H relativa al lato C B . Dimostriamo che i punti medi dei lati del triangolo costituiscono, insieme al punto H , i vertici di un trapezio isoscele. Ipotesi:
1
A H
CB
BM = M C
Tesi:
H M M ’M "
A
A M ' = M 'C A M "=M "B
trapezio isoscele
C
DIMOSTRAZIONE Poiché congiungendo i punti medi di due lati di un triangolo si ottiene un segmento parallelo al terzo lato, si ha M " M ’ / / B C ; in particolare, M " M ' / / H M , ovvero H M M ' M " è un trapezio. M 'M
ha per estremi i punti medi dei lati
Nel triangolo rettangolo Poiché
M 'M
=
M ' M = H M ”,
~2 A B dunque
ABH, HM "
e ~^AB
e B C , quindi
M
su
AB,
dimostra che
P [ ) lB n 3 le Dim ostra che
= ~^AB . AB,
perciò
H M ” = ~^AB .
per la proprietà transitiva della congruenza si conclude che
è un trapezio isoscele.
E E 9 Detto M il punto medio del lato B C del triangolo isoscele A B C di base A B , e detta M ' la proie zione di
M 'M
è la mediana relativa all’ipotcnusa
= H M ”,
H M M 'M ”
AC
BM ' =
-y A M '.
IEE1
è un triangolo isoscele rettangolo in C. Det to P il punto medio dell’ipotcnusa A B , dimostra che il quadrilatero che ha per vertici C, P e le proiezioni di P sui due cateti è un quadrato.
ABC
P sono i punti medi delle diagonali
AC
e B D del trapezio
ABCD.
L P = À - ( A B — C D ).
IE S I Sui lati dell’angolo convesso a O b considera i punti A sulla semiretta O a e B sulla semiretta O b . Detti M e N , rispettivamente, i punti medi dei segmenti O A e O B , dimostra che il quadrilatero M N B A è un trapezio e che il segmento M N è la metà del segmento A B . G134
4. TEOREMA DI TALETE DEI SEGMENTI CONGRUENTI
D0
ir a i Nel triangolo A B C indica con O il punto medio della mediana A M relativa al lato B C , traccia la retta B O e dimostra che tale retta divide il lato opposto A C in due segmenti di cui uno è il dop pio dell’altro. (S u g g e r im e n to . Traccia la parallela alla retta B O passante per M.)
e N sono i punti medi dei lati obliqui del trapezio. Dimostra che il segmento M N incontra le dia gonali del trapezio nei loro punti medi. M
IEE1 D al vertice A
del triangolo equilatero A B C trac cia dalla parte di B il segmento A P parallelo a B C e congruente alla sua metà. a. Dim ostra che il quadrilatero pezio rettangolo.
BCAP
ir a i Nel parallelogramma pio del lato A B .
è un tra
DD
Nel triangolo A B C isoscele di vertice A , traccia l’altezza A P e il segmento P M che congiunge P con il punto medio M del lato A C . Detto L il punto medio del lato A B , dimostra che i seg menti P M e C L , incontrandosi, si bisecano.
TOH Nel triangolo A B C congiungi i punti medi E rispettivamente dei lati A C e C B .
D
D N = NE.
b. Dim ostra che il quadrilatero parallelogramma.
DCEM
BA
in Q. Se A B — 36 cm e A Q = lunghezza di P V Ì
AB
m
AB,
qual è la [26 cm]
I bastoncini della figura, tutti uguali, in d iv i duano il trapezio rettangolo A B C D .
ed
Troppe d im o strazio ni! Dato il tri angolo A B C , sia C M la mediana relativa al lato A B . Sia D il punto medio del lato A C e r la retta parallela al lato A B passante per D ; r incontra in E il lato B C e in A lla mediana C M . e
=
BP
ir a i D al centro V del parallelogramma A B C D condu ci la retta a parallela ad A B . Dal vertice D traccia, esternamente al parallelogramma, una retta b che incontra a in P e il prolungamento del lato
a. Dim ostra che il segmento OP è parallelo alle basi e calcola il rapporto b. Calcola il perimetro del triangolo sapendo che il perimetro del triangolo
EUREKA!
C E = EB
dimostra che
Con le misure
b. Proietta M e F rispettivamente nei punti P e Q di C B e dimostra che P è il punto medio di CQ.
a. Dim ostra che
BC,
è il dop
BC
c. Congiungi il punto P con un qualunque pun to Q di A D e dimostra che il segmento Q P è diviso a metà da B C .
a. Congiungi il vertice C con un punto F di A B . Dim ostra che D E interseca C F nel suo punto medio M .
ir a i
il lato
b. Prolunga il lato A B di un segmento e dimostra che A M P è retto.
Q P = PB.
Dal punto medio N del lato B C del triangolo A B C , conduci la retta r, parallela al lato A C , che interse ca A B in P . Fissa un punto Q su r, esternamente al triangolo, in modo che P Q = P N , e dimostra che il quadrilatero Q N C A è un parallelogramma.
ABCD,
a. Detto M il punto medio di D M A è retto.
b. Indica con Q il punto di intersezione dei pro lungamenti dei lati P B e A C e dimostra che
jftì
ESERCIZI
è un
IT T I
DOP, DHB
AL VOLO Dal punto medio M della base A B di un triangolo isoscele traccia il segmento M H perpendicolare al lato C B . Se M H = 1 2 cm, qual è la lunghezza dell’altezza A K relativa a CE>?
ESERCIZI IN PIU i r a i - | Q ] Q SU TUTTO IL CAPITOLO
G135
PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI
ESERCIZI IN PIÙ PARALLELOGRAMMI n a u
YOU & MATHS
© T e o ria a pagina G106
Nam e thè elem ents For each of thè quadrilaterals below write thè names of thè highlighted
elements.
m D
YOU & MATHS
W here did Bob m ake a mistake? Bob was given thè following problem. Given that A C and B H bisect each other and that A B and C H are congruent, show that A B C = A H C . W hat type of quadrilateral is A B C H Ì Bob marked thè figure as shown. a. W hat m arking error did Bob make? b. W hat incorrect conclusion in a proof might result from his m arking error?
r a r i Trova le ampiezze degli angoli del parallelo gramma.
E 3
QQ
B
N ei parallelogrammi A B C D e B D E F della figura, determina gli angoli a i, a 2> C£3, QUD
C
[cq = 50°; a 2 = 25°; a 3 = 75°; a 4 = 60°]
E210
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PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI
K 3
I ESERCIZI IN PIÙ
EUREKA! Q u a d rila te ri a confronto Siano ABCD e A 'B 'C 'D ' due quadrilateri convessi tali che AB = BC = C D = DA e A'B' = B'C' = C'D' = D 'A '. Posto che due poligoni sono congruenti se e solo se
hanno ordinatamente congruenti i lati corrispondenti e gli angoli tra essi compresi, quale tra le due seguen ti affermazioni è vera? Motiva la risposta. a. Se
AB
s
b. Se
A B = A 'B 'e B D = B 'D ',
A 'B ',
i due quadrilateri sono congruenti. i due quadrilateri sono congruenti.
RETTANGOLI, ROMBI, QUADRATI
© T e o ria a pagina Gl 10
ESIZI
EUREKA! Questo non basta! Quale delle seguenti condizioni non è sufficiente per provare che un paral lelogramma sia un rettangolo?
|~a ] Le diagonali sono congruenti. |~b~| Due angoli adiacenti sono congruenti. |~c~1 Tutti gli angoli sono congruenti. |~d~|
Le diagonali sono perpendicolari.
|~E~~] Uno degli angoli è retto.
P
ABCD
[USA Northern State University: 50thAnnual Mathematics Contest, 2005]
è un rettangolo. Calcola l’ampiezza dell’angolo concavo di vertice
D
P,
sapendo che
AE
= -^ D T .
C
VERO 0 FALSO?
a. Un quadrilatero con le diagonali congruenti è un rombo.
0 0
b. U n parallelogramma è un rombo, ma un rombo non è un parallelogramma.
[V] [T]
c. Le diagonali di un rombo lo dividono in quattro triangoli rettangoli congruenti.
|~v~]I~f~1
d. L ’unione di due triangoli A B C e A B D isosceli sulla base comune
[V] [T]
AB
è un rombo.
e. U n quadrilatero con le diagonali perpendicolari può non essere un rombo.
E IQ
INVALSI 2005
Quale tra le seguenti affermazioni relative a un rombo
[V] [T]
è fa ls a i
|~a ] N on ha i lati opposti paralleli. |~b~| H a tutti i lati uguali. |~c] H a gli angoli opposti uguali. ITTI H a le diagonali perpendicolari.
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E211
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI YOU & MATHS G etting quadrilaterals straight Complete thè table below m arking thè cells for which thè property in thè row belongs to thè type of quadrilateral in thè column.
b q q
Square
Rectangle
Rhom bus
A ll thè sides are congruent A ll thè angles are congruent The diagonals are congruent The diagonals are perpendicular The opposite angles are congruent The diagonals intersect at their midpoints The diagonals are bisectors of thè angles The opposite sides are parallel The opposite sides are congruent It has only one axis of symmetry It has only two axes of symmetry re s i Dato il rettangolo A B C D , siano E , F , G e H i punti medi dei suoi lati, in modo che E F G H sia un quadrilatero. Dim ostra che E F G H è un rombo e che esso è un quadrato se e solo se A B C D è un quadrato. BQ
ITiTil
Dato il rettangolo A B C D , prolunga il lato A B di un segmento A E , il lato di un segmento C G e il lato A D di un segmento D H , in modo che A E E F G H è un rettangolo se e solo se A B C D è un quadrato.
BC
di un segmento
= BF = CG = D H .
Quadrato in triangolo Nel triangolo isoscele A B C , la congiungente i punti medi obliqui A C e B C è congruente alla metà dell’altezza relativa alla base A B . Siano P e Q le proiezioni di M e N su A B . EUREKA!
a. Dim ostra che M b. Sia E H Q
H
M
and
M
e N dei lati
è un quadrato.
il punto medio di
YOU & MATHS
Points
NQP
il lato C D Dim ostra che BE,
M N
: i segmenti P H e M B sono tra loro perpendicolari?
A square and two m idpoints In thè figure A B C D is a square. are thè midpoints of A B and B C , respectively. Prove that
A
M
B
N
A N = DM .
m
D isegnam i grande! Detto E un punto del lato C D del quadrato perpendicolare al segmento A E , che inerseca il lato B C in F . Dimostra che: EUREKA!
a. i triangoli
DFC
conduci dal vertice D la
e A E D sono congruenti;
b. detto O il centro del quadrato, i triangoli c. il triangolo
ABCD,
EOF
EOC
e F O B sono congruenti;
è rettangolo.
W hat’s enough to make it a square? List a set of properties that are sufficient for a quadrilateral to be a square. In other words, list a set of properties, nam ing as few as possible, such that a quadrilateral that has them has to be a square. See whether your list was correct by constructing in a dynam ic geometry software a quadrilateral with thè properties in your list and check that it is a square even when you drag any draggable part of thè construction.
B IS U
E212
YOU & MATHS
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PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI
I ESERCIZI IN PIÙ
® Teoria a pagina G114 n
Nel trapezio A B C D j il segmento H K unisce i punti medi dei lati obliqui A B — 5 x + 1 e H K = 2 x + 5, determina il valore di x.
AD
e BC. Detti
CD
— x T 3,
[3]
mu
YOU&MATHS Kites and trapezium s W hich of thè following statements are always true? (A kite is a quadrilateral in which two adjacent sides are congruent, and thè other two adjacent sides are congruent as well.)
a. A kite has at least one pair of congruent opposite sides. b. The diagonals of an isosceles trapezium are congruent. c. A kite has at least one pair of congruent adjacent sides. rcn
Dopo aver dimostrato che prolungando i lati obliqui di un trapezio rettangolo si ottiene un triangolo rettangolo, fai un esempio in cui non vale l’inverso; in altre parole, se prolungando i lati obliqui di un trapezio si ottiene un triangolo rettangolo, non è detto che il trapezio sia rettangolo.
D ÌO
EUREKA! Rom bo p iù triangolo uguale...? In un trapezio base maggiore A B , si ha D A B — 60° e B C D — 150°.
a. Sapendo che
AD = DC,
dimostra che
ABCD,
con
A C = CB.
b. Detto E il punto di intersezione tra la bisettrice di E C B è un triangolo rettangolo.
e il lato
ADC
AB,
dimostra che A D C E è un rombo ed
RIEPILOGO m
Q
INVALSI 2006 Quale fra le seguenti affermazioni è vera? Il quadrilatero avente i vertici nei punti medi dei lati d i...
[~a~1 un rettangolo qualsiasi è sempre un quadrato. |~b~1 un trapezio isoscele qualsiasi è un rettangolo. |~cl un quadrilatero qualsiasi è un parallelogramma. [~b~] un quadrato è un rombo, ma non un quadrato. m
in
INVALSI 2005
U n quadrilatero ha le seguenti caratteristiche:
• due coppie di lati paralleli; • le diagonali di diversa lunghezza e che si tagliano a metà; • i quattro lati uguali. Q ual è il suo nome? |~a ] Trapezio.
[¥] Rettangolo.
iT Jil Determina le ampiezze degli angoli interni di
[c] Rombo. BEFC
e dell’angolo convesso
[p] Quadrato. DCF.
F
A
B
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E213
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI no
I punti E , F , G e H appartengono alle diagonali del rombo A B C D e sono equidi stanti dal loro punto di intersezione 0. Che quadrilatero è E F G H ?
A
E2U
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GA PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI V E R IF IC A D E L L E C O M P E T E N Z E A L L E N A M E N T O ►Competenza 2 (abilità 1, 2, A) D
Q
VERO 0 FALSO?
a. Le diagonali di un trapezio isoscele sono congruenti. b. L’unico quadrilatero con le diagonali perpendicolari è ilquadrato. c. Un parallelogramma ha i lati opposti congruenti e gli angoliconsecutivi congruenti. d. Un quadrilatero con i lati congruenti è un rombo. Un parallelogramma è un quadrato se ha: l~À1 le diagonali perpendicolari. UT! le diagonali congruenti.
KB Q
[V] |T] [v][T] I~v~l I~f~I [v ]I~f 1
TEST
[c] gli angoli retti. Qj] le diagonali perpendicolari e congruenti.
Dimostrazioni K B Sui lati AD e BC del parallelogramma ABCD fis sa rispettivamente i punti P e Q in modo che PD = BQ. Dimostra che: a. i triangoli APB e CDQ sono congruenti; b. il quadrilatero PBQD è un parallelogramma. B B Conduci per il vertice D del parallelogramma ABCD una retta t esterna al quadrilatero e pro ietta su t i vertici A, B e C, ottenendo rispettiva mente i punti A', B' e C'. Dimostra che BB' = A A' + CC\ (■Suggerimento. Conduci per il vertice A la per pendicolare al segmento BB'.) K B Considera il rombo ABCD e prolunga il lato CB di un segmento BP tale che B sia il punto medio di CP. Dimostra che: a. il triangolo CPA è rettangolo in A; b. AP // DB. B B Da un punto P della base AB del triangolo isosce le ABC, tale che AP < PB, conduci la perpendi colare alla base che interseca AC in D e il prolun gamento di BC in E. Detta H la proiezione del vertice C su AB, dimostra che PD + PE = 2CH. B M Dimostra che, congiungendo i punti medi dei lati di un trapezio isoscele, si ottiene un rombo. Se il trapezio isoscele ha le diagonali tra loro per pendicolari, che quadrilatero si ottiene? BiB ABCD è un trapezio isoscele sulla base maggiore BC. Dal vertice A traccia l’altezza AK relativa a BC e fissa il punto P su BC tale che BK = KP. Dimostra che APCD è un parallelogramma. G136
B'B Prolunga i lati AB e AD del rombo ABCD, rispet tivamente, dei due segmenti congruenti AP e AQ. Dimostra che il quadrilatero DPQB è un tra pezio isoscele. lU l Nel parallelogramma ABCD traccia il segmento EF che congiunge i punti medi dei lati opposti BC e AD. Congiungi il punto medio G di DC con A e B e indica con Q e P, rispettivamente, i punti di intersezione di AG e GB con FE. Dimostra che PQ = PE+ QF. ■ il Considera un triangolo PQR e la mediana RM. Dimostra che, se da M si tracciano le parallele ai lati RP e RQ, all’interno di PQR si formano due coppie di triangoli congruenti. IH
Nel triangolo ABC prolunga, dalla parte di A, la mediana AM di un segmento AK = AM. Per K conduci le rette parallele ai lati AC e AB che intersecano i prolungamenti del lato BC nei pun ti F e G. Dimostra che FM = GM e che il peri metro di KFG è il doppio del perimetro di ABC.
BEI Dimostra che, se nel parallelogramma ABCD le altezze sono anche mediane, allora ABCD è un rombo. 1EB Dal centro del parallelogramma ABCD conduci due rette distinte r e s in modo che r intersechi i lati BC e AD, e s i lati AB e CD. Dimostra che i punti di intersezione delle rette con i lati del parallelogramma sono i vertici di un parallelo gramma.
MENU DELLE COMPETENZE
BlPÉ Traccia le bisettrici ^^ ~~~~ degli angoli del rettan- v golo in figura e dimo- » stra che, intersecandosi, ^ ^ formano un quadrato. » - " " **
* * \ ^
T . l Nel triangolo ABC considera i punti medi P e Q, rispettivamente dei lati AC e AB, e l’altezza AH relativa al lato BC. Dimostra che i triangoli APQ e HPQ sono congruenti.
© Nellasecondapaginadellacopertina
É l'l Disegna il quadrilatero ABCD in modo che il segmento PQ che congiunge i punti medi delle diagonali AC e BD intersechi il segmento MN che congiunge i punti medi di due lati opposti. Dimostra che PQ e MN si tagliano scambievol mente a metà.
WìÈ Nel trapezio ABCD la base maggiore BC è doppia di quella minore AD. Dimostra che le diagonali AC e BD dividono la retta congiungente i punti medi dei lati obliqui in tre segmenti congruenti.
K ll Nel trapezio ABCD, di base maggiore AB, traccia il segmento che congiunge i punti medi M e N dei lati obliqui e indica rispettivamente con PeQ le intersezioni di MN con le diagonali AC e BD del trapezio. Dimostra che, se AB = 3CD, allora il quadrila tero DPQC è un parallelogramma.
ÉH1 Dal piede H dell’altezza AH relativa all’ipotcnusa BC del triangolo rettangolo ABC, conduci HL perpendicolare ad AB e HM perpendicolare ad AC. Prolunga HL di un segmento LP = HL e HM di un segmento MQ = HM. Dimostra che: a. il quadrilatero PBCQ è un trapezio; b. il punto A appartiene al lato PQ del trapezio.
| Dal vertice C del triangolo isoscele ABC conduci la retta r parallela alla base. Dal punto medio M della base AB conduci le due rette passanti per i punti medi dei lati obliqui BC e AC, che interse cano r rispettivamente nei punti PeQ. Dimostra che il quadrilatero ABPQ è un rettangolo. {Suggerimento. Considera i triangoli ABC e MPQ.)
►Competenza 2 [abilità 3 ) |►Competenza 3 (abilità 3 ) ______________________________________________________________ WMM Un rettangolo ABCD è tale che AB = ~^CB e il perimetro è 80 cm. Un quadrato PQRS è tale che PQ = AB. Determina il perimetro del rettangolo che si ottiene giustapponendo ABCD e PQRS in modo che RS coin cida con DC. [1 0 0 c m ] R i i La diagonale AC di un quadrilatero lo divide in due triangoli: ADC, rettangolo in D, e ABC, isoscele sulla base BC. Se l’angolo B ha ampiezza 55° e l’angolo A è diviso da AC in due parti delle quali una è 20°, che quadrilatero è?
It i “
CACCIA ALL’ERRORE
Qualcosa non va... Nelle seguenti figure un dato è in contraddizione con gli altri.
Trovalo.
G137
G4 PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI V E R IF IC A D E L L E C O M P E T E N Z E P R O V E TUTgR PROVAC
PROVAA
(10 esercizi)
PROVA B
(10 esercizi)
►Competenze 2, 3
Indica se le seguenti propo sizioni sono vere o false, motivando le ri sposte. a. Un quadrilatero con tre angoli retti è un rettangolo. [v]|T] b. Un trapezio rettangolo può non avere alcun angolo acuto. [v][ f] c. Un parallelogramma con le diagonali perpendicolari è un quadrato. QEEI d. Un rombo che ha un angolo retto è un quadrato. [v]ITI VERO O FALSO?
© IN UN’ORA
E l Dai vertici della base BC del triangolo ABC trac cia le bisettrici BP e CQ. Dimostra che, se BCPQ è un trapezio, allora ABC è isoscele sulla base BC. E f l Del parallelogramma ABCD determina: a. le ampiezze degli angoli interni; b. il perimetro, sapendo che quello di DCGH è 60 cm e che EF ha lunghezza 7 cm. F
E
WM Prolunga nello stesso verso i lati del rettangolo ABCD dei segmenti AM, BN, CP, DQ in modo che AM = CP e BN = DQ. Dimostra che MP e NQ si incontrano in un punto O tale che QO = ON e MO = OP.
PROVA D
VCQH quadrato BEFC rettaruqoio A
►Competenze 2, 3
TEST Quale delle seguenti affermazioni è vera? Motiva la risposta.
I~a1 Le diagonali di un trapezio si tagliano a metà. [~ b~ 1 Un parallelogramma con due lati consecutivi congruenti è un rombo. I~c1 Quadrato, rettangolo e trapezio rettangolo hanno le diagonali congruenti. I~d1 Gli angoli adiacenti a un lato obliquo di un trapezio sono supplementari perché angoli corrispondenti. MM ABC è un triangolo isoscele di base AB e altezza CK. Conduci da K la parallela al lato CB che interseca la bisettrice dell’angolo esterno di ver tice C (o un suo prolungamento) nel punto H. Dimostra che AKCH è un rettangolo. Nel parallelogramma ABCD, P e Q sono i punti medi dei lati opposti AB e CD. Dimostra che le rette CP e AQ dividono la diagonale DB in tre segmenti congruenti. G138
© IN MEZZ’ORA
© IN UN’ORA E f l Dal punto medio P del lato BC del triangolo ABC, conduci la parallela alla mediana BQ che incontra le rette dei lati AB e AC rispettivamente 2
nei punti Le M. Dimostra che BQ = ~^LM. K fl Del rombo ADEF determina: a. le ampiezze degli angoli interni; b. il lato, sapendo che il perimetro di ABCD è 2
i -y di quello di ADEF e che la somma dei lati consecutivi del parallelogramma ABCD è 14 cm. D
C
MENU DELLE COMPETENZE ©
PROVA E
Nella seconda pagina della copertina
►Competenze 2, 3
0 IN UN’ORA
Il tovagliolo blu e quello giallo sono quadrati; quello rosso forma un rettangolo. Dimostra che: a. i punti G, D e F sono allineati; b. il quadrilatero ACHE ha due lati paralleli.
Determina l’area di EFGA e le ampiezze dei suoi angoli interni. F
E
D
C
AB CD qouidrato EFQ A trapezio Isoscele A H 1L parallelojroM m uv M N = 20 m e
GB = 16 m e
K B Nel parallelogramma ABCD considera le perpendicolari alla diagonale AC passanti per i vertici opposti B e D, e indica rispettivamente con P e Q i punti di intersezione di tali perpendicolari con AC. Dimostra che: a. AQ = PC; b. la diagonale BD interseca il segmento PQ nel suo punto medio.
PROVA F
►Competenze 2, 3
Le lastre di marmo Un’azienda produce lastre di marmo a forma di trapezio isoscele, con le misure indicate in figura. a. Accosta due lastre in modo da formare un parallelogramma e dimostra geometricamente il risultato.
<£> IN UN’ORA
60 cm
cm
b. Cosa puoi dire degli angoli del trapezio? c. Se accosti tre lastre a «ferro di cavallo» in modo che a due a due abbiano un lato obliquo combaciante, i lati maggiori delle lastre opposte sono tra loro paralleli? Perché? d. Che caratteristica dovrebbero avere le lastre (sempre con la base minore e i lati obliqui lunghi 60 cm) per poterne accostare 4 facendo combaciare i lati obliqui in modo tale che le basi maggiori formino un quadrato? In tal caso quanto sarebbe lunga la base maggiore del trapezio?
120 cm
G139
