BUREAU D’ÉTUDE II • • • • • •
Fatigue (Cour & TD: 6h) Tribologie (Contact Hertzien) (Cour & TD: 4h) Lien flexible (Courroies) (Cour & TD: 4h) Couplage Moteur/Récepteur (Cour & TD: 4h) Engrenage (Cour & TD: 16h) Etanchéité (Cour & TD: 6h)
• Projet (40 h)
FATIGUE • Concentration de contrainte • Limite d’endurance/Courbe de Wöhler • Facteurs d’influences sur sD • Diagrammes de fatigue uniaxiale • Diagrammes de fatigue multiaxiale • Applications
CONCENTRATION DE CONTRAINTES Zone de concentration
σmoy σmoy
σ max kt = σ moy
σmax = ktσmoy
σmoy = !?? σmoy = !??
Concentration = f( de quoi) kt est fonction de: TYPE DE L’ENTAILLE TYPE DE SOLLICITATION Donc il existe: kt (flexion) = ktf kt (torsion) = kto kt (traction) = ktt
Exemple de kt Gorge pour circlips r Mt D
d
D = 25 mm, r = 3 mm, d = 20 mm r/d = 3/20 = 0.15 D/d = 25/20 = 1.25 Abaque kt0 = 1.35 Si la valeur de kt ne se trouve pas sur l’abaque: Interpolation
CONCENTRATION DE CONTRAINTE: ABAQUE
ENDOMMAGEMENT PAR FATIGUE FATIGUE ? 100% Dommage
Rupture
I 0
II Durée de Vie
III 100%
LIMITE D’ENDURANCE • COURBE DE WOHLER
contrainte
I II III
temps
LIMITE D’ENDURANCE DE RÉFÉRENCE σD´ • Éprouvette de référence: φ = 6 à 10 mm état de surface de référence forme sans entaille • Essais de référence: Flexion rotative • Fiabilité de référence: 50% de chance de survie • Température de référence T = 25oC
Courbe de Wohler: différentes probabilités de survie σa 50%
75%
90%
σD’ σD’ σD’ 106
cycle
Acier : σD’ = σrt(0.58 - 1.110-4σrt) MPa σD’ = 0.5σrt
Équation de la courbe de Wohler: Zone de fatigue limitée σa fiabilité de 50% 0.9σr σD' (Ni) σD' 103
Ni
106
k σa N = A
N
Équation de zone linéaire ⎛ σ D′ σ D ( N i ) = 0.9σ r ⎜⎜ ⎝ 0.9σ r
⎞ ⎟⎟ ⎠ 3
log( N i ) −3 3
0.9 σ r ( log σ ′D ) ⎞ ⎛ 0.9σ r 3 ⎟⎟ N i = 10 ⎜⎜ ⎝ σ D ( Ni ) ⎠
Exemple Acier 35CrMo4: σrt = σrc = σr = 920 MPa. σD(106) = 400 MPa fiabilité de 50%. Déterminer σD(105) et Ni pour σD = 600 MPa. ⎛ 400 ⎞ ⎟ 0 . 9 X 920 ⎠ ⎝
σ D (105 ) = 0.9 X 920⎜
⎛ 0.9 X 920 ⎞ log ( N i = 10 ⎜ ⎟ ⎝ 600 ⎠ 3
21323 cycles :
log(105 ) −3 3
3 0.9 X 920
400
)
= 509 MPa
= 21323 cycles
Pour N = 1500 tr/mn 21323 / (1500) = 14 mn ???
FACTEURS AFFECTANT LA LIMITE D’ENDURANCE σD = kskgkpkTσD’ ks: Coef. d’effet de surface kg: Coef. d’effet d’échelle (grosseur) kp: Coef. d’effet de sollicitation (charge P) kT: Coef. d’effet de la température σD : Limite d’endurance, Limite de fatigue, Résistance à la fatigue de la pièce σD’ : Limite d’endurance de référence (celle de l’éprouvette normalisée)
FACTEURS AFFECTANT LA LIMITE D’ENDURANCE, suite • Pour kg kg = 1 si φ ≤ 10 mm kg = 0.85 si 10 < φ ≤ 50 mm kg = 0.75 si φ > 50 mm • Pour kT 344 kT = si T > 71 o C 273 + T = 1 si T ≤ 71 o C
FACTEURS AFFECTANT LA LIMITE D’ENDURANCE, suite • Pour kp kp = 1.00 kp = 1.05 kp = 0.90 kp = 1/√3
flexion rotative flexion plane traction - compression cisaillement
FACTEURS AFFECTANT LA LIMITE D’ENDURANCE, suite zPour
ks
Concentration de contrainte en fatigue kf kf = 1+(kt -1)q kt: Coefficient de concentration de contrainte statique q: Coefficient de sensibilité à l’entaille
Coefficient de sensibilité à l’entaille q:
Torsion Flexion , Traction, Compression
DIAGRAMMES D’ENDURANCES (Fatigue) • SOLLICITATIONS UNIAXIALES
quelconque
répété
contrainte
quelconque
pur
quelconque
répété
temps
ondulé positive
alterné
ondulé négative
SOLLICITATION UNIAXIALE
σ = σ m + σ a sin(ωt ) σa
σ max − σ min =
2 σ max + σ min σm = 2
DIFFÉRENTS DIAGRAMMES D’ENDURANCES σa
droite de Soiderberg parabole expérimentale
σD(Ni)
+
+
+
+
parabole de Gerber +
+ σe
droite de Goodman +
σr
σm
Équations des différents diagrammes Diagramme de Gerber
Diagramme de Goodman
Diagramme de Soiderberg
2⎞ ⎛ ⎛ ⎜ ⎜ σ m ⎞⎟ ⎟ σ a = σ D (N i )⎜1 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ σ r ⎠ ⎟⎟ ⎝ ⎠
⎛ σm σ a = σ D ( N i )⎜⎜1 − ⎝ σr
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ σm ⎞ ⎟⎟ σ a = σ D ( N i )⎜⎜1 − σe ⎠ ⎝
SOLLICITATIONS MULTIAXIALES CONTRAINTE DYNAMIQUE: AMPLITUDE ÉQUIVALENTE
σ a(eq) =
(σ a1 − σ a 2 ) 2 + (σ a1 − σ a3 ) 2 + (σ a 2 − σ a3 ) 2 2
CONTRAINTE STATIQUE: MOYENNE ÉQUIVALENTE CAS I
(σ m1 − σ m2 ) 2 + (σ m1 − σ m3 ) 2 + (σ m2 − σ m3 ) 2 σ m(eq) = 2 CAS II
σm(eq) = σ1 oubien σ2
DIAGRAMME DE HAIG Diagramme de Haig à partir de Goodman modifié σa σD(Ni) III IV 45ο
−σe
II I 45ο
σe
σr
σm
Équations de s dans les 4 zones du diagramme Zone I: Zone II:
σe s= σ a (eq) + σ m (eq) s=
1
σ a (eq) σ m (eq) + σ D (Ni ) σr
σD
Zone III:
s=
Zone IV:
−σe s= σ m (eq) − σ a (eq)
σ a (eq)
Diagramme de Haig à partir de Gerber σa (k=2-σD(Ni)/σr)
σD(Ni) II III
−σe
45ο
II I 45ο
σe
kσr
σm
Équations de s dans les 3 zones du diagramme Zone I:
Zone II:
Zone III:
σe s= σ a (eq) + σ m (eq) s=
1
σ a (eq) σ m (eq) + σ D (Ni ) kσ r
−σe s= σ m (eq) − σ a (eq)
EXEMPLE 1: Détermination de la courbe de fatigue à partir d’un essai de traction simple
Données: • Matériau: Acier σrt = 1050 MPa, σe = 840 MPa • État de surface usinée • Diamètre de l’arbre d < 50 mm P(t)
P(t)
P(t) t
• Hypothèses: La courbe de Wohler expérimentale n’est pas disponible • La zone de fatigue limitée est une droite dans le repère log-log • T < 70 C
• Analyse: σD (103 cycles) = 0.9σrt = 945 MPa σD’ = σrt(0.58 - 1.110-4σrt) = 487.7 MPa (acier) kp = 0.9 (traction) d<50 donc kg = 0.85 ks = 0.7 kT = 1 T<70 σD = kpkskgσD’ = 0.53x487.7=258.5 MPa
Diagramme de fatigue σD (log) 945 MPa
258.5 MPa
103 cycles
106 cycles
N (log)
Exemple 2 Section à vérifier
P F
Mt
P = 5000 N; F = 500 N; Mt = 250 Nm; N = 1500 tr/mn r = 3 mm; d = 30 mm; D = 35 mm; l = 100 mm, T = 150 oC σe = 600 MPa; σr = 890 MPa; A% = 13; Acier: 25CD4 Clavette kto = 3.8, ktf = 3.15, Rclavette=0.016d0.8 (mm)
Calcul statique Flexion: Mfmax = PL/4 = 5000X0.1/4 = 125 Nm σ = 32Mf/πd3 = 32X125000/(π303) = 47 MPa Torsion: Mtmax = 250 Nm τ = 16Mt/πd3 = 16X250000/(π303) = 45 MPa Concentration de contrainte: σmax = ktfσ = 3.15X47 = 148 MPa τmax = kt0τ = 3.8X45 = 171MPa
Facteur de sécurité par Von Mises Contraintes Principales σ1 = 187 MPa σ2 = -39 MPa Von Mises : σeq = (σ12 – σ1σ2 + σ22)0.5 = 209 MPa
s = 600/209 = 2.87
Calcul Dynamique • Limite d’endurance σD’
Acier: σD’ = σrt(0.58-1.110-4σrt) = 429 MPa Coefficients d’influences: kg = 0.85 φ< 50 mm kp = 1 flexion rotative kT = 0.81 T = 150oC ks = 0.7 (Abaque)
kff= 2.61 (q = 0.75 abaque et ktf = 3.15) kft= 3.38 (q = 0.85 abaque et kto = 3.8)
Limite d’endurance réelle σD: σD = kgkpkTksσD’ = 0.85 X1X0.81X 0.7X429 = 206.7 MPa Contrainte statique équivalente: σm(eq) = τmax√3 = 296.2 MPa !? (Pourquoi) Contrainte dynamique équivalente: σa(eq) = 2.61X47 = 122 MPa !? (Pourquoi)
Haig (Goodman Modifié) σa σD(Ni)
(330, 269)
III IV 45ο
−σe
II I 45ο
σe
Zone I: s = 1.001
σr
σm
A faire (zone de compression) Calculer le coefficient de sécurité: • En statique par les 3 critères sans concentration de contrainte • En statique avec concentration de contrainte • En dynamique par Haig construit par Goodman modifié CONCLURE???
Exemple 3 • Déterminer le coefficient de sécurité de l’arbre de la ponceuse suivante: 50
y Ft ω
Fn
D = 18 mm,r = 5 mm, surface usinée
100 z
x d = 16 mm
Acier: σr = 900 MPa; σe = 750 MPa; Couple de frottement Mt = 12 N.m; Coefficient de frottement f = 0.6; T <70oC
• • • • • • •
Mt = 12 N.m Ft = 120 N f = 0.6 Fn = 200 N Les forces Ft et Fn My et Mz My = FtX50 = 120X50 = 6000 N.mm Mz = FnX100 = 200X100 = 20000 N.mm Mf =√ My2 +Mz2 = 20880 N.mm Abaques ktt = 1.28; kto= 1.1; ktf = 1.28
• • • • • • •
Abaque torsion :q = 0.93 Abaque flexion: q =0.91 Abaque compression: q = 0.91 kfo = 1.09; kfc = 1.25; kff = 1.25 Torsion: τ = ktoX16Mt/πd3 = 17.05 MPa Compression: σc = 4Fn/πd2 = -1.27 MPa Flexion: σf = kffX32Mf/πd3 = 65 MPa
• Statique: Torsion et Compression σm = 29.5 MPa • Dynamique: Flexion σa = 65 MPa σD = 0.5X900X(kpXkgXksXkT) = 450X(1X0.85X0.7X1) = 268 MPa
σa σD(Ni)
(738, 12)
III IV 45ο
−σe
II I 45ο
σe
σr
CAS I: Zone II: s = 3.68 Von-Mises CAS II: Zone III: s = 3.8 contr. maxi
σm
Chargements aléatoires • Dommage linéaire (Palmgren-Miner)
ni nk n1 n2 ∑ N = N + N +L+ N = 1 i 1 2 k
Exemple1 Graphe est schématique 80 40 0 -40 -80 20 secondes
• Données: σD = 60 MPa (106 cycles) (tous coefficients inclus) 0.9σr = 142 MPa (103 cycles) Échantillons de 20 s tel que: 5 cycles à 80 MPa 2 cycles à 90 MPa 1 cycle à 100 MPa Calculer la durée de vie ?
σ MPa
Echelle logarithmique
140 100 90 80 60 105 106 103 1.6104 3.8104
N cycles
• Règle de Palmgren-Miner:
n1 n2 n3 5 2 1 + + = 5+ + = 0.0001651 4 4 N1 N 2 N 3 10 3.810 1.610 Durée de vie: 1/0.0001651= 6059 ; 6059X20 = 121180 s Une durée de vie de 34h
Exemple 2 • La section critique d’un élément de machine est soumise à l’état de contrainte suivant: MPa
F(t)
400 350 200 150
-50 -100
a
b
c
-300 Echantillon représentatif 6 s
d
b
Aluminium σe = 410 MPa σr = 480 MPa
Courbe de fatigue La courbe de fatigue est connue (tous coefficients σaMPa inclus) 450
(107,125) ~100 MPa 103
2104 3.5106
107
Cycles
• Cycle a: 2 cycles σmax = 150 MPa, σmin = -50 MPa σa = (σmax - σmin)/2 = 100 MPa σm = (σmax + σmin)/2 = 50 MPa • Cycle b: 4 cycles σmax = 200 MPa, σmin = -50 MPa σa = (σmax - σmin)/2 = 125 MPa σm = (σmax + σmin)/2 = 75 MPa
• Cycle c: 2 cycles σmax = 350 MPa, σmin = -100 MPa σa = (σmax - σmin)/2 = 225 MPa σm = (σmax + σmin)/2 = 125 MPa • Cycle d: 1 cycle σmax = 400 MPa, σmin = -300 MPa σa = (σmax - σmin)/2 = 350 MPa σm = (σmax + σmin)/2 = 50 MPa
Diagrammes de HAIG
~400 MPa
σa 410
σe = 410 MPa; σe = 480 MPa
~300 MPa ~150 MPa ~100 MPa
410
480
Contrainte dynamique à σm = 0 équivalente pour chaque cycle
σm
(σa, σm=0)i
Ni à la rupture pour chaque cycle
MPa 450 400 300 (107,125)
150
103 2.5103
2104 3.5106
107
Cycles
Règle de Palmgren-Miner ni na nb nc nd 2 4 2 1 ∑ N = N + N + N + N = ∞ + 3.5106 + 104 + 2.5103 = 0.0005011 i a b c d
DURÉE DE VIE = 1/0.0005011 = 1996 périodes de 6s SOIT 199.6 mn = 3h20mn
FATIGUE
FIN