Basic Math in Economics - เอกสารประกอบการสอนวิชา คณิตเศรษฐศาสตร์เบื้องต้น

เอกสารประกอบการสอน วิชา คณิตเศรษฐศาสตร์เบื้องต้น ศ.320 (Introductory Mathematical Economics) (ฉบับใช้สอนภาคเรียนที่ 2/50)

โดย อ.วศิน ศิวสฤษดิ์ คณะเศรษฐศาสตร์ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์ มีนาคม 2551 1

สารบัญ บทที่ 1 บทนํา........................................................................................................................................6 บทที่ 2 คณิตศาสตร์กับความสัมพันธ์ทางเศรษฐศาสตร์ .........................................................................7 2.1 แนวคิดเกี่ยวกับเซต (THE CONCEPT OF SETS)..........................................................................8 2.1.1 เซต (SETS)..................................................................................................................................... 8 2.1.2 สมาชิกในเซต (MEMBERSHIP IN A SET)............................................................................................. 9 2.1.3 ความสัมพันธ์ระหว่างเซต (RELATIONSHIPS BETWEEN SETS) ............................................................. 9 2.2 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (RELATION AND FUNCTION)...........................................................9 2.2.1 เซตแบบคู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน (ORDERD PAIRS AND CARTESIAN PRODUCT)...................... 10 2.2.2 ฟังก์ชัน (FUNCTION)...................................................................................................................... 12 2.3 ฟังก์ชันและประเภทของฟังก์ชัน (FUNCTION AND TYPES OF FUNCTION)...........................32 2.3.1 ฟังก์ชัน ค่าคงที่ (CONSTANT FUNCTION)........................................................................................ 32 2.3.2 ฟังก์ชันโพลิโนเมียล (POLYNOMIAL FUNCTION)............................................................................. 32 2.3.3 ฟังก์ชันเลขชี้กําลังและลอการิทึม (EXPONENTIAL และ LOGARITHM FUNCTION).............................. 36 2.3.4 ฟังก์ชันรูปแบบอื่นๆ ..................................................................................................................... 40 2.4. ฟังก์ชันปฎิภาคกลับ (INVERSE FUNCTION)..............................................................................40 บทที่ 3 การวิเคราะห์ดุลยภาพเชิงสถิต (STATIC EQUILIBRIUM ANALYSIS) ...................................42 3.1 แบบจําลองที่เป็นเส้นตรงในเศรษฐศาสตร์.....................................................................................43 3.1.1 แบบจําลองรายได้ประชาชาติอย่างง่าย (A SIMPLE MACRO ECONOMIC MODEL)............................. 43 3.1.2. แบบจําลอง IS-LM ...................................................................................................................... 48 3.1.3. แบบจําลองตลาดแข่งขันสมบูรณ์: ดุลยภาพตลาดสินค้า 1 ชนิด .................................................. 51 บทที่ 4 BASIC MATRIX ALGEBRA และการประยุกต์ใช้ MATRIX ALGEBRA ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ ............................................................................................................................................................66 บทที่ 5 แบบจําลองที่ไม่เป็นเส้นตรง และดิฟเฟอเรนเชียล แคลคูลัสในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ ..............103 5.1 ฟังก์ชัน โพลิโนเมียลกําลัง N (POLYNOMIAL OF DEGREE N) ................................................104 5.1.1 ความหมายของค่าความชัน (SLOPE) ...........................................................................................104 5.2 การหาอนุพันธ์ (DIFFERENTIATION / DERIVATION) / PROCESS OF OBTAINING THE DERIVATIVE.....................................................................................................................................106 5.2.1 ความต่อเนื่อง (CONTINUITY) .......................................................................................................106

2

5.2.1 SMOOTH FUNCTION ....................................................................................................................107 5.3 CONVEXITY AND CONCAVITY , MAXIMA AND MINIMA ..................................................115 5.3.1 GLOBAL V.S. LOCAL EXTREMUM CONCEPT .................................................................................. 115 5.3.2 การทดสอบโดยใช้ อนุพนั ธ์ อันดับที่ 1 (FIRST-DERIVATIVE TEST) .................................................116 5.3.3 การทดสอบโดยใช้ อนุพนั ธ์ อันดับที่ 2 (SECOND-DERIVATIVE TEST).............................................119 5.3.3 รูปทรงของกราฟ (CURVATURE OF A GRAPH)...............................................................................120 บทที่ 6 การหาผลเลิศโดยไม่มีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ (กรณีตัวแปรอิสระตัวเดียว).....123 6.1 การหาผลเลิศโดยไม่มีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ (กรณีตัวแปรอิสระตัวเดียว)............124 6.1.1 ความสําคัญเรื่องการหาผลเลิศ ...................................................................................................124 6.1.2 การประยุกต์กับทฤษฎีพฤติกรรมผู้ผลิต ......................................................................................129 6.2 การวิเคราะห์การหากําไรสูงสุดในแต่ละตลาด..............................................................................131 6.2.1 ตลาดแข่งขันสมบูรณ์ (COMPETITIVE MARKET).............................................................................131 6.2.2 ตลาดผูกขาด (MARKET POWER: MONOPOLY)..............................................................................134 บทที่ 7 การหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มีตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัวในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ .............143 7.1 FUNCTIONS BETWEEN EUCLIDIAN SPACES .......................................................................144 7.1.1 การใช้รูปภาพในการแสดงฟังก์ชัน (GEOMETRIC REPRESENTATION OF FUNCTION).........................145 7.1.2 GEOMETRIC REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES.........................................146 7.1.3 LEVEL CURVES FOR Z = F(X,Y).....................................................................................................147 7.2 PARTIAL DERIVATIVE .............................................................................................................149 7.2.1 การตีความทางเศรษฐศาสตร์ (ECONOMIC INTERPRETATION)........................................................151 7.3 THE CHAIN RULE ....................................................................................................................152 7.4 THE TOTAL DIFFERENTIAL OF A FUNCTION OF SEVERAL VARIABLES........................157 7.4.1 TOTAL DIFFERENTIALS..................................................................................................................158 7.4.2 กฎของการ DIFFERENTIAL ............................................................................................................159 7.4.2 THE TOTAL DERIVATIVES .............................................................................................................160 7.5 IMPLICIT FUNCTIONS.............................................................................................................163

3

บทที่ 8 การหาผลเลิศโดยไม่มีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ (กรณีตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัว) ..........................................................................................................................................................164 8.1 THE DIFFERENTIAL กับการหาค่าเหมาะสม (OPTIMIZATION CONDITION) .......................165 8.1.1 การหาค่าสูงสุด/ต่ําสุด ของฟังก์ชัน สองตัวแปร (EXTREME VALUE OF A FUNCTION OF TWO VARIABLES)...........................................................................................................................................166 8.2 QUADRATIC FORMS...............................................................................................................169 8.3 การประยุกต์เรื่อง การหาผลเลิศโดยไม่มีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ ............................182 8.3.1 PRICE DISCRIMINATION.................................................................................................................182 8.3.2 การเลือกปัจจัยการผลิตในตลาดแข่งขันสมบูรณ์ ให้ได้กาํ ไรสูง (COMPETITIVE FIRM INPUT CHOICES: COBB-DOUGLAS TECHNOLOGY).............................................................................................................186 8.3.3 ปัญหาการเลือกสินค้ามากกว่า 1 ชนิดของบริษัท (PROBLEM OF A MULTIPRODUCT FIRM)...........188 8.3.4 ปัญหาการผลิตของบริษทั ที่มีโรงงาน มากกว่า 1 โรงงาน (MULTIPLANT FIRM PROBLEM) .............191 บทที่ 9 การหาผลเลิศโดยมีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ (กรณีตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัว) ..........................................................................................................................................................195 9.1 การหาผลเลิศโดยมีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์(กรณีตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัว)......196 9.1.1 กรณีตัวแปรอิสระ 2 ตัวและมีเงื่อนไข 1 เงื่อนไข : OPTIMIZATION WITH EQUALITY CONSTRAINTS :TWO VARIABLES AND ONE EQUALITY CONSTRAINT ................................................................................197 9.2 การแสวงหาอรรถประโยชน์สูงสุดภายใต้งบประมาณที่มีอยู่อย่างจํากัด .......................................207 9.3 การใช้งบประมาณให้น้อยที่สุด ภายใต้ระดับอรรถประโยชน์หนึ่งๆ ( MINIMIZE TOTAL EXPENDITURE UNDER THE LEVEL OF UTILITY).......................................................................211 9.4 การหาผลผลิตสูงสุด ภายใต้ข้อจํากัดด้านต้นทุน .........................................................................212 9.5 การผลิตโดยใช้ต้นทุนต่ําทีส่ ุด ภายใต้ข้อจํากัดด้านผลผลิต (LEAST COST COMBINATION OF INPUTS) และ อุปสงค์ปัจจัยการผลิตอย่างมีเงื่อนไข (CONDITIONAL INPUT DEMAND) .............215 9.6 การผลิตให้ได้กําไรมากทีส่ ุด (PROFIT MAXIMIZATION) และ อุปสงค์ของปัจจัยการผลิตแบบไม่มี เงื่อนไข (UNCONDITIONAL INPUT DEMAND) ............................................................................218 บทที่ 10 INTEGRATION และ การประยุกต์ใช้ INTEGRATION ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์...................225 10.1 การหาอินทิเกรชันแบบไม่มีขอบเขตแน่ชัด (INDEFINITE INTEGRALS)...................................226 10.1.1 แอนติดิริวาทิฟ (ANTIDERIVATIVE) หรือ การอินทริเกรต (INTEGRATION) ......................................226 10.1.2 BASIC RULE OF INTEGRATION .....................................................................................................226 10.1.2 INITIAL-VALUE PROBLEMS..........................................................................................................230

4

10.2 การหาอินทิเกรชันแบบมีขอบเขตแน่ชดั (DEFINITE INTEGRALS) ..........................................231 10.2.1 A DEFINITE INTEGRAL AS AN AREA UNDER THE CURVE ...............................................................232 10.2.2 คุณสมบัติบางประการของ เดฟฟินิทอินทิกรัล (SOME PROPERTIES OF DEFINITE INTEGRAL)........234 10.3 อิมปรอเปอร์อินทิกรัล IMPROPER INTEGRAL ........................................................................236 10.4 ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ INTEGRATION ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์..............................................238 10.4.1. หาฟังก์ชันต้นทุนการผลิตโดยรวม จาก ฟังก์ชันต้นทุนส่วนเพิ่ม (RECOVERING TOTAL COST FROM MARGINAL COST)..................................................................................................................................238 10.4.2. การหาฟังก์ชันกําไรรวม (TOTAL PROFIT FUNCTION) จากฟังก์ชันกําไรส่วนเพิ่ม(MARGINAL PROFIT FUNCTION) ...........................................................................................................................................238 10.4.3. การหาระยะเวลาการใช้เครื่องจักรที่เหมาะสม ........................................................................239 10.4.4.การหาฟังก์ชันการออม จาก ฟังก์ชันแนวโน้มการออมหน่วยสุดท้าย ........................................240 10.4.5. การหา ส่วนเกินผู้ผลิต และส่วนเกินผู้บริโภค (CONSUMER AND PRODUCER SURPLUS) ..............240 10.4.6. FIRST DEGREE PRICE DISCRIMINATION หรือ PERFECT PRICE DISCRIMINATION ..............................242 10.4.7. ฟังก์ชันการสะสมทุน ...............................................................................................................243 10.4.8 การประยุกต์ใช้ในทางเศรษฐมิติและสถิติ: ตัวแปรเชิงสุม่ (RANDOM VARIABLES)........................244

5

บทที่ 1 บทนํา

6

บทที่ 2 คณิตศาสตร์กับความสัมพันธ์ทางเศรษฐศาสตร์ เรื่อง คณิตศาสตร์กับความสัมพันธ์ทางเศรษฐศาสตร์ จํานวนบรรยาย: 1ครั้ง เนื้อหาประกอบด้วย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (Relations and Functions) - ความสัมพันธ์ - ฟังก์ชันและประเภทของฟังก์ชัน - ฟังก์ชันที่เป็นเส้นตรง (Linear Function) - ฟังก์ชันที่ไม่เป็นเส้นตรง (Non-linear Function) - ฟังก์ชันโพลิโนเมียล (Polynomial Function) - ฟังก์ชันยกกําลังและลอกการิทึม (Exponential and Logarithm Functions) - ฟังก์ชันแบบอื่น -ฟังก์ชันปฏิภาคกลับ (Inverse Function)

7

2.1 แนวคิดเกี่ยวกับเซต (The Concept of Sets) 2.1.1 เซต (Sets) นิยาม “A set is simply a collection of distinct objects. These objects may be a group of (distinct) numbers, persons, food items, or something else” : Chiang (2005) “เซต คือ กลุ่มของสิ่งของ ตัวเลข ตัวอักษรที่มีความแตกต่างกัน” ในการเขียน เซตนั้น เราสามารถเขียนได้ 2 รูปแบบ คือ 1.การเขียนแบบแจกแจง (Enumeration) 2.การเขียนแบบแสดงเงื่อนไข (Description) ตัวอย่างที่ 1 ถ้าสมาชิกในเซตของ S ประกอบไปด้วย จํานวน 3 จํานวน คือ 2, 3, 4 เราสามารถเขียนเซตของ S ใหม่ได้ โดยวิธี Enumeration คือ

ในกรณีต่อมา ถ้าเราให้ เซตของ I คือ เซตทีม่ ีสมาชิกเป็นจํานวนนับที่เป็นจํานวนเต็มบวก (all positive integers) เราสามารถเขียนเซตของ I ได้โดยวิธี Enumeration คือ

จะเห็นได้ว่ากรณีเซต I นั้น หากเขียนแสดงเซตด้วยวิธี Enumeration จะมีความไม่สะดวกเกิดขึ้น ดังนั้นในทางปฏิบัติ จึงนิยมเขียนเซต I โดยวิธีแสดงเงื่อนไข (Description) ซึ่งเขียนได้ดังนี้

ทดสอบ: ให้ นักศึกษา เขียนเซต J ซึ่ง สมาชิกภายในเซตนี้คือ จํานวนจริงทุกจํานวน (All real numbers) ซึ่งมีค่า มากกว่า 2 แต่น้อยกว่า 5

การที่เซตใดเซตหนึ่ง ประกอบด้วยสมาชิกที่มีจํานวนทราบได้อย่างแน่นอน เช่น เซตของ เรา จะเรียก เซตแบบนี้ ว่าเป็น A finite set ส่วนเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกมากมายจนไม่อาจแจงแจงได้ ครบถ้วน เราจะเรียกว่า An infinite set ดังเช่น เซต

8

ตัวอย่างที่ 2 เซตที่สอดคล้องในทางเศรษฐศาสตร์ เช่น

2.1.2 สมาชิกในเซต (Membership in a set) สมาชิกแต่ละค่าในเซตใดเซตหนึ่งสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ โดยมีความหมายว่า “เป็นสมาชิกของ (is an element of)” ตัวอย่างเช่น

(epsilon)

2.1.3 ความสัมพันธ์ระหว่างเซต (Relationships between Sets) เวลาเรานําเอา 2 เซตใดๆมาเปรียบเทียบกัน เราพบว่าอาจจะเกิดรูปแบบความสัมพันธ์แบบ ต่างๆ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 3 กรณีที่ 1:

กรณีที่ 2:

2.2 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (Relation and Function) จากหัวข้อที่แล้วมาเราเขียนเซตใดๆขึ้นมาโดยไม่ได้มีการคํานึงถึงลําดับก่อนหลังในการเขียน อย่างไรก็ตามในทางคณิตศาสตร์เรามีเซตอีกประเภทหนึ่งซึ่งให้ความสําคัญกับลําดับหรือตําแหน่งของ สมาชิกแต่ละตัวภายในเซต นั้นคือ เซตอันดับ (Ordered Set) หมายเหตุ เซตอันดับ (Ordered Set) หากมีสมาชิก 2 ตัว เราจะเรียกว่า “Ordered Pairs” หากมี สมาชิก 3 ตัว จะเรียกว่า “Ordered Triples” และหากมีสมาชิก 4 จะเรียกว่า “Ordered Quadruple” เป็นต้น ตัวอย่างที่ 4 จงเขียนเซตแบบคู่อันดับ (Ordered Pairs) แสดง อายุ และ ส่วนสูง ของนักศึกษาที่ เรียนวิชา ศ. 320

9

2.2.1 เซตแบบคู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน (Orderd Pairs and Cartesian Product) พิจารณา แผ่นราบ xy (Cartesian coordinate plane) ตามรูปข้างล่าง

จากลักษณะดังกล่าว ของ Cartesian Plane เราสามารถเขียนเซตแบบคู่อันดับได้จากผลคูณ คาร์ทีเซียนของ 2 เซตใดๆ (Cartesian Product หรือ Direct Product) โดย สามารถเขียน สัญลักษณ์ได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 5

โดยทั่วไป เรามักจะใช้ x และ y เป็นตัวแปรแทนเซตของตัวเลขที่เป็นเลขจํานวนจริง ดังนั้น ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตทั้งสอง เป็น

10

ตัวอย่างที่ 6 จงเขียนกราฟต่อไปนี้ {( x, y ) y = 2 x} และ {( x, y ) y ≤ x}

กรณี {( x, y ) y = 2 x} จะพบว่า x

y

จะเห็นว่า กรณีนี้ เป็นความสัมพันธ์ในลักษณะที่ ค่า x หนึ่งค่าให้ค่าของ y หนึ่งค่า หรือที่ เรียกว่า ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (One-to-One Relationship หรือ One-to-One Mapping) กรณี {( x, y ) y ≤ x}

x

y

11

จะเห็นว่า เป็นความสัมพันธ์ในลักษณะที่ค่า x หนึ่งค่า ให้ค่าของ y ได้มากกว่า 1 ค่า หรือ ที่ เรียกว่า ความสัมพันธ์จากหนึ่งค่าของ x ไปสู่หลายค่าของ y (One-to-Many Relationship หรือ One-to-Many Mapping) 2.2.2 ฟังก์ชัน (Function) จากความสัมพันธ์ระหว่าง y และ x ในเซตที่มีลักษณะแบบหนึ่งต่อหนึ่ง เราเรียก ความสัมพันธ์แบบนี้ว่า ฟังก์ชัน (Function) โดยหาก y เป็นฟังก์ชันของ x จะมีความหมายว่า y สัมพันธ์กับ x ในลักษณะหนึ่งต่อหนึ่งเท่านั้น โดยสามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ได้ว่า

โดย อ่านได้ว่า y มีค่าเท่ากับฟังก์ชันของ x ( y equals f of x) x คือ อาร์กิวเมนท์ (Argument) ของฟังก์ชัน หรือ อาจเรียกว่า เป็นตัวแปรกําหนด หรือ ตัว แปรอิสระ (Independent Variable) y คือ ค่าของฟังก์ชัน (Value of Function) หรือ ตัวแปรตาม (Dependent Variable) สําหรับช่วงค่า x ที่เป็นไปได้เรียกว่า โดเมน (Domain) และค่า y ที่เกิดจาก x ใน โดเมนนั้น เรียกว่า อิมเมจ (Images) และ เซตของอิมเมจทั้งหมด เรียกว่า พิสัย หรือ เรนจ์ (Range) ในบางครั้งความสัมพันธ์ประเภท ค่า x หนึ่งค่า ให้ค่าของ y ได้มากกว่า 1 ค่า (One-toMany Relationship หรือ One-to-Many Mapping) อาจจะเปลี่ยนเป็นความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อ หนึ่ง (One-to-One Relationship หรือ One-to-One Mapping) ได้ หากมีการกําหนดขอบเขต ของ เรนจ์ ใหม่ ตัวอย่างเช่น

12

ทดสอบ พิจารณา กราฟต่อไปนี้ ว่ามีลักษณะเป็น function หรือไม่ เพราะเหตุใด

(a)

(b)

ตัวอย่างที่ 7 กําหนดให้ต้นทุนการผลิตทั้งหมด (Total cost:C) ของบริษัทแห่งหนึ่งเป็นฟังก์ชันของ ผลผลิต (Total output:Q) โดยมีรูปแบบของฟังก์ชันดังนี้ C = 150 + 7Q อย่างไรก็ตามบริษัทแห่ง นี้มีกําลังการผลิตสูงสุดเท่ากับ 100 หน่วย คําถาม: จงหาโดเมน (Domain) และ เรนท์ (Range) ของฟังก์ชันต้นทุนการผลิตดังกล่าว

13

Powerpoint เรื่อง Set

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

2.3 ฟังก์ชนั และประเภทของฟังก์ชนั (Function and Types of Function) รูปแบบของฟังก์ชันในทางคณิตศาสตร์ มีอยูม่ ากมายหลายประเภท ในส่วนนี้เราจะ ทําการศึกษารูปแบบของฟังก์ชันที่พบเห็นได้บ่อย ดังต่อไปนี้ 2.3.1 ฟังก์ชัน ค่าคงที่ (Constant Function) เป็น ฟังก์ชันที่มี Range อยู่เพียง 1 ค่า ซึ่งสามารถเขียนในรูปทั่วไปได้ดังนี้

โดย ตัวอย่างที่ 8 ในแบบจําลองการกําหนดรายได้ประชาชาติ (National income Model) หากสมมุติ ให้การลงทุนโดยรวม (Investment) เป็น Autonomous investment ( I 0 ) โดยมีค่าเท่ากับ 100 ล้านบาท เราสามารถเขียนกราฟของฟังก์ชันประเภทนี้ ได้ดังกราฟข้างล่าง

2.3.2 ฟังก์ชันโพลิโนเมียล (Polynomial Function) รูปแบบของฟังก์ชันประเภทนี้ สามารถเขียนในรูปทั่วไปได้ดังนี้

โดย

32

ฟังก์ชันประเภท polynomial มีชื่อเรียกเฉพาะเจาะจงขึ้นอยู่กับ degree สูงสุด ของ Polynomial ดังตัวอย่างในตารางต่อไปนี้ ตารางที่ 1 ประเภทของ Polynomial Function แบบต่างๆ ระดับของ Degree n n=0 n=1 n=2 n=3

รูปแบบของ function

กราฟ กรณี n=1


ชื่อเรียกเฉพาะ



ฟังก์ชันโพลิโนเมียล กรณี n=1 รูปแบบโดยทั่วไปของฟังก์ชันเชิงเส้นตรง คือ

33

ตัวอย่างที่ 9 แบบจําลองฟังก์ชัน ต้นทุนทางเศรษฐศาสตร์ที่สมมุตใิ ห้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเป็น รูปเส้นตรง เช่น สมการต้นทุนรวม (Total Cost: TC) ซึ่งเขียนเป็นสมการได้ดังนี้ TC = a + bQ

ฟังก์ชันโพลิโนเมียล กรณี n มีค่ามากกว่า 1 สําหรับรูปแบบฟังก์ชันโพลิโนเมียล ที่นิยมมากในการศึกษาทางเศรษฐศาสตร์ คือ ฟังก์ชันโพ ลิโนเมียล ดีกรี 2 หรือ ที่รู้จักในชื่อ ฟังก์ชันกําลังสอง (Quadratic Function) โดย สามารถเขียน รูปแบบทั่วไปได้คือ

ในกรณีนี้รูปกราฟจะมีลักษณะเป็นรูปกรวยหงาย หรือคว่ํา ขึ้นอยู่กับ ค่าสัมประสิทธิ์ หน้าตัว แปรกําลังสูงสุด โดย หาก ค่า สัมประสิทธิ์ มีค่ามากกว่า 0 จะได้กราฟเป็นรูปกรวยหงาย และ หาก ค่าสัมประสิทธิ์ มีค่าน้อยกว่า 0 จะได้กราฟเป็นรูปกรวยคว่ํา ดังแสดงได้ในรูปข้างล่างนี้

ในการหาค่า x ที่เป็นรากของฟังก์ชัน1กําลัง สอง สามารถหาได้โดยใช้สูตร Quadratic formula ซึ่ง หามาได้จากกระบวนการแปลงสมการกําลังสอง ให้อยู่ในรูป กําลังสองสมบูรณ์ (Completing the square) ดังนี้

1

รากของฟังก์ชัน (Root of Function) คือ ค่าของ x ที่ทําให้ค่าของฟังก์ชันมีค่าเป็น ศูนย์ หรือ f ( x) = y = 0 จํานวนรากที่เป็นไป ได้มากที่สุด จะมีค่าเท่ากับ ระดับดีกรีสูงสุดของฟังก์ชัน โพลิโนเมียล นัน้ ๆ กล่าวคือ ถ้าฟังก์ชันเป็นแบบ Cubic Fuction ซึ่งมี degree สูงสุด คือ 3 ดังนั้น จํานวนรากที่เป็นไปได้มากสุดก็จะมีค่าเท่ากับ 3 เช่นกัน

34


−b ± b 2 − 4ac 2a 2 f ( x) = x − 8 x + 16 = 0


f ( x) = − x 2 + 8 x − 16 = 0


f ( x) = x 2 + 11x − 18

ดังนั้น Quadratic formula คือ

35


f ( x) = x 2 − 8 x + 20

ในกรณีที่ ระดับดีกรีของฟังก์ชันโพลีโนเมียล สูงกว่า 2 เราสามารถหาค่าของ x ที่เป็นราก ของฟังก์ชันได้โดยวิธีการแยกตัวประกอบ (Factoring the function) ตัวอย่างที่ 14 จงหารากของ ฟังก์ชันต่อไปนี้ x3 − x 2 − 4 x + 4

2.3.3 ฟังก์ชันเลขชี้กําลังและลอการิทึม (Exponential และ Logarithm Function) ฟังก์ชันเลขชี้กําลังและฟังก์ชันลอการึทึมมีการนํามาประยุกต์ใช้ในทางเศรษฐศาสตร์อย่าง มาก โดยเฉพาะเรื่อง การเจริญเติบโต (Growth Problem) เช่น อัตราการเพิ่มของปัจจัยการผลิต ต่างๆ ฟังก์ชันเลขชีก้ ําลัง (Exponential Function) โดยทั่วไปแล้ว รูปแบบของฟังก์ชันเลขชี้กําลัง สามารถแสดงได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 15 จงวาดกราฟของ ฟังก์ชันต่อไปนี้ y = g (t ) = bt y = f (t ) = b 2t

ข้อสรุปที่ได้คือ

36

ตัวอย่างที่ 16 จงวาดกราฟต่อไปนี้ y = g (t ) = bt y = f (t ) = 2bt

ข้อสรุปที่ได้คือ

ฟังก์ชนั เลขชีก้ ําลัง ที่มีฐานเป็น ค่า e (ทศนิยมที่มคี ่าไม่รู้จบ: Irrational number) เราเรียกฟังก์ชันเลขชี้กําลัง ทีม่ ีฐานเป็นค่า e ว่า Natural exponential function โดยเขียน รูปแบบของฟังก์ชันได้ดังนี้ y = et

โดยที่

e = 2.71828...

ตัวอย่างเช่น Natural Exponential Functions and the Problem of Growth เลขฐาน e พิจารณารูปแบบ ฟังก์ชันต่อไปนี้ 1⎞ ⎛ f ( m) = ⎜ 1 + ⎟ ⎝ m⎠

m

เราพบว่า

37

1

⎛ 1⎞ f (1) = ⎜1 + ⎟ = 2 ⎝ 1⎠ 2

⎛ 1⎞ f (2) = ⎜1 + ⎟ = 2.25 ⎝ 2⎠ 3

⎛ 1⎞ f (3) = ⎜1 + ⎟ = 2.37037 ⎝ 3⎠ 4

⎛ 1⎞ f (4) = ⎜1 + ⎟ = 2.44141 ⎝ 4⎠

จะเห็นได้ว่า ยิ่งค่าของ m เพิ่มขึ้นมากเท่าไร ค่าของฟังก์ชันข้างต้นจะมีค่าเข้าใกล้ค่า e มากขึ้นเท่านั้น หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ 1⎞ ⎛ e ≡ lim f (m) = lim ⎜ 1 + ⎟ m →∞ m →∞ ⎝ m⎠

m

คราวนี้ลองพิจารณาปัญหาการฝากเงินในธนาคาร สมมุติ ให้ นาย โดม ท่าพระจันทร์ ทําการฝากเงิน จํานวน A บาท (Initial Principal) โดยเขาคาดว่าจะฝากเป็นระยะเวลา t ปี จงหาว่าเขาจะได้รับเงิน คืนทั้งสิ้นเท่าไร หลังจากฝากครบ t ปี หาก ธนาคารแห่งนี้ คิดอัตราดอกเบี้ยให้แบบทบต้นและ ต่อเนื่อง (Continuous-compounding process) แนวคิด หากธนาคารแห่งนี้ คิดอัตราดอกเบี้ย ให้ทกุ ๆ 1ปี มูลค่าของเงินที่ฝากหลังจาก t ปีจะมีค่าเท่ากับ

หากธนาคารแห่งนี้ คิดอัตราดอกเบี้ยแบบทบต้น ให้ทุกๆ ครึ่งปี มูลค่าของเงินที่ฝากหลังจาก t ปีจะ มีค่าเท่ากับ หากธนาคารแห่งนี้ คิดอัตราดอกเบี้ยแบบทบต้นให้ทุกไตรมาส มูลค่าของเงินที่ฝากหลังจาก t ปีจะมี ค่าเท่ากับ

หากธนาคารแห่งนี้ คิดอัตราดอกเบี้ยแบบทบต้นให้ทุกเดือน มูลค่าของเงินที่ฝากหลังจาก t ปีจะมีค่า เท่ากับ

สุดท้าย เราจะได้สูตรทั่วไปว่า หากธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นให้ m ครั้ง ในรอบปี หลังจากเวลา ผ่านไป t ปี นาย ก. จะได้รับเงินต้นบวกดอกเบี้ยเท่ากับ

38

r⎞ ⎛ V ( m) = A ⎜ 1 + ⎟ ⎝ m⎠

mt

จัดรูปสมการใหม่ เราจะได้ว่า

เมื่อจํานวนครั้งในการคิดดอกเบี้ย มากขึ้นครั้งเรื่อยๆในรอบ 1 ปี หรือ m → ∞ เราจะได้ว่า rt

⎡⎛ 1 ⎞ w ⎤ m V (m) = lim A ⎢⎜1 + ⎟ ⎥ where w = m →∞ r Error! ⎣⎢⎝ w ⎠ ⎦⎥

Objects cannot be created from

= Ae rt

editing field codes. ฟังก์ชัน ลอกการิทึม (Logarithm) ฟังก์ชันลอกการิทึม คือ ฟังก์ชันปฎิภาคกลับของฟังก์ชันเลขชี้กําลัง (Inverse function of exponential) ตัวอย่างเช่น จงวาดกราฟต่อไปนี้ y = et t = log e y

ข้อสังเกตที่พบ

39

2.3.4 ฟังก์ชันรูปแบบอื่นๆ หนึ่งในรูปแบบฟังก์ชันที่นิยมนํามาใช้ในทางเศรษฐศาสตร์นอกเหนือจาก ฟังก์ชันที่ได้เรียนไป แล้วในข้างต้น คือ ฟังก์ชันยกกําลัง (Power Function) โดยมีรูปแบบดังนี้ y = Axb y = Ax1b1 x2b2

2.4. ฟังก์ชนั ปฎิภาคกลับ (Inverse Function) พิจารณารูปแบบความสัมพันธ์ระหว่างระดับราคา (P) และปริมาณสินค้า (X) ที่ผู้บริโภคยินดี ที่จะซื้อ ณ ระดับราคานั้นๆ ปกติเวลาเราจะหา ความยืดหยุ่นของสินค้าใดๆ เรานิยมจัดรูปความสัมพันธ์ข้างต้น ให้ระดับปริมาณ สินค้าเป็นฟังก์ชันของราคา ตัวอย่างเช่น x = 3 − 2 p ……(1) แต่ในบางโอกาสเช่นเราจะหา รายรับส่วนเพิ่มของบริษัท (Marginal Revenue) เราก็นิยมจัดรูป ความสัมพันธ์ข้างต้น ให้ระดับราคาของสินค้าเป็นฟังก์ชันของปริมาณ นั่นคือ

สมการที่ 1 เราเรียกว่า Demand Function ส่วนสมการที่ 2 เราเรียกว่า Inverse Demand Function

40

พิจารณา ฟังก์ชันต่อไปนี้

กรณี

y = f ( x) = 2 x + 3

y = f ( x) = x 2

จากสองตัวอย่างข้างต้น เราจะได้ข้อสรุปว่า

41

บทที่ 3 การวิเคราะห์ดุลยภาพเชิงสถิต (Static Equilibrium Analysis) เรื่อง การวิเคราะห์ดุลยภาพเชิงสถิต (Static Equilibrium Analysis) จํานวนบรรยาย: 3 ครั้ง เนื้อหาประกอบด้วย - แบบจําลองที่เป็นเส้นตรงในเศรษฐศาสตร์ - ระบบสมการ Simultaneous - สมการเส้นตรงจากกราฟ - จุดคุ้มทุน (Break-even Point) - อุปสงค์ของบุคคล - อุปสงค์ของตลาด - อุปทานของบุคคล - อุปทานของตลาด - แบบจาลองดุ ํ ลยภาพตลาดแบบแยกส่วน - ภาษีสรรพสามิตในตลาดแข่งขันสมบูรณ์ - ความยืดหยุ่น (Elasticity) - แบบจําลองเศรษฐกิจมหภาคอย่างง่าย (Simple Macroeconomic Model) - แบบจําลอง IS-LM

42

3.1 แบบจําลองที่เป็นเส้นตรงในเศรษฐศาสตร์ 3.1.1 แบบจําลองรายได้ประชาชาติอย่างง่าย (A Simple Macro economic Model) เราจะทําการศึกษาการนําเอาฟังก์ชันเส้นตรงมาประยุกต์ใช้กับแบบจําลองทางเศรษฐศาสตร์ มหภาค โดยเริ่มพิจารณา จากแบบจําลองทางเศรษฐศาสตร์มหภาคที่เป็นระบบเศรษฐกิจแบบปิด (Closed Economy) กรณีที่ 1 แบบจําลองเศรษฐศาสตร์มหภาคทีเ่ ป็นระบบเศรษฐกิจแบบปิด และไม่มีภาครัฐบาล กําหนดให้แบบจําลองเศรษฐกิจมหภาคเป็นระบบเศรษฐกิจแบบปิด (Closed Economy) ไม่ มีภาครัฐบาล ไม่มีภาวะเงินเฟ้อและมีการใช้ทรัพยากรอย่างเต็มที่ ดังนั้นจากทฤษฎีเศรษฐศาสตร์มห ภาค เราสามารถเขียนองค์ประกอบของรายได้ประชาชาติ(National Income) ซึ่งประกอบไปด้วย ค่าใช้จ่ายทั้งหมด (Total spending) เป็นสมการเอกลักษณ์ (Definitional equation) ได้ดังนี้ (3.1) โดย Y คือ ผลิตภัณฑ์มวลรวมรายได้ประชาชาติ (Gross Domestic Product) C คือ ค่าใช้จ่ายในการบริโภคมวลรวม (Consumption spending) I คือ ค่าใช้จ่ายจากการลงทุน (Investment spending: I) ทั้งนี้ กําหนดให้ ค่าใช้จ่ายในการบริโภคมวลรวม (C ) สัมพันธ์กับรายได้ประชาชาติในเชิง เส้นตรง โดย ค่าใช้จ่ายในการบริโภคมวลรวมเป็นฟังก์ชันของ รายได้ แสดงได้ด้วยสมการต่อไปนี้ C = C0 + bY

โดย

C0

(3.2)

คือ

b คือ

43

สําหรับ ค่าใช้จา่ ยในการลงทุน ( I ) กําหนดให้เป็นฟังก์ชันค่าคงที่หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถูกกําหนดจากภายนอก ซึ่ง เขียนเป็นสมการเชิงเส้นได้ดังนี้ I = I0

โดยที่

I0

(3.3)

คือ

จากข้อสมมติตา่ งๆข้างต้น เราสามารถเขียนสมการที่ (1) ใหม่ได้ว่า (3.4) ซึ่งจากสมการที่ 4 เราสามารถหา ระดับรายได้ประชาชาติที่จุดดุลยภาพ (the equilibrium level of GDP) ได้ดังนี้ (3.5) จากสมการที่ (3.5) เราสามารถหาค่าของ ระดับการบริโภคดุลยภาพได้ดังนี้

(3.6) จากสมการที่ (3.5) และ (3.6) เราจะพบว่า ระดับรายได้ดุลยภาพและระดับการบริโภคดุลย ภาพถูกกําหนดค่ามาจากตัวแปรภายนอกต่างๆ (Exogenous Variables) คือ และค่าพารามิเตอร์ (Parameter variables) ของแบบจําลอง คือ หากค่า ตัวแปรภายนอกหรือค่าพารามิเตอร์มีการเปลี่ยนแปลงไปก็จะส่งผลทําให้ระดับรายได้ดุลย ภาพและระดับการบริโภคดุลยภาพเปลี่ยนแปลงไปสู่ดุลยภาพใหม่ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ สมมติให้การลงทุนแบบอัตโนมัติเปลี่ยนไปจากเดิม คือ ระดับ I = I 0 เป็นระดับ I = I1 ดังนั้น เราสามารถคํานวณระดับรายได้และการบริโภคดุลภาพได้ดังนี้ ก่อนเปลี่ยน

(I = I0 )

หลังเปลี่ยน

I = I1

44

ค่า

1 1− b

ที่ได้ คือ ค่าตัวคูณรายได้ประชาชาติของเคนส์ (Keynesian Investment

Multiplier) ความหมายของค่าตัวคูณ คือ

แนวคิดของการได้มาของตัวคูณ

เราสามารถแสดงกราฟของแบบจําลองการกําหนดรายได้ประชาชาติของกรณีที่ 1 ระบบ เศรษฐกิจแบบปิด และไม่มีภาครัฐบาล ได้ด้วยกราฟข้างล่างนี้

กรณีที่ 2 แบบจําลองเศรษฐศาสตร์มหภาคทเี่ ป็นระบบเศรษฐกิจแบบปิด และมีภาครัฐบาล หากมีการกําหนดภาครัฐบาลเข้ามาไว้ในแบบจําลอง จะพบว่าสมการเอกลักษณ์ ซึ่งแสดงถึง องค์ประกอบของรายได้ประชาชาติ(National Income) ซึ่งประกอบไปด้วยค่าใช้จ่ายทั้งหมด (Total spending) จะเปลี่ยนแปลงไปจากเดิม โดยมีการเพิ่มขึ้นของค่าใช้จ่ายภาครัฐ ดังแสดงในสมการที่ (3.7) (3.7)

45

ทั้งนี้ กําหนดให้ภาครัฐบาล มีรายจ่ายของภาครัฐเป็นแบบคงที่ (G = G0 ) โดยถูกกําหนดมา จากภายนอก (Exogenous variable) และกําหนด ให้รายรับของภาครัฐได้มาจากการจัดเก็บภาษีใน อัตราคงที่จากรายได้ (T = tY ) เราสามารถเขียนข้อสมมติฐานต่างๆในแบบจําลองได้ดังนี้

(3.8) ดังนั้น เราจะสามารถหาระดับรายได้และการบริโภคดุลยภาพ ได้คือ

Ye =

(3.9)

Ce =

(3.10)

เช่นเดียวกันกับกรณีที่ 1 เราสามารถศึกษาดุลยภาพเชิงสถิตเปรียบเทียบ (Comparative Static) ได้โดยทําการเปลี่ยนค่าของตัวแปรภายนอกหรือค่า พารามิเตอร์ ต่างๆในสมการที่ (3.9) และ (3.10) เพื่อดูว่า หากค่าเหล่านี้เปลี่ยนแปลงไปจะส่งผลทําให้ระดับรายได้ดุลยภาพหรือค่าใช้จ่ายการ บริโภคมวลรวมเปลี่ยนไปเท่าใด ยกตัวอย่างเช่น หากกําหนดให้ ระดับการใช้จ่ายภาครัฐบาล เปลี่ยนจาก G0 ไปเป็น G1 เราสามารถคํานวณ หาค่าดุลยภาพใหม่ได้ดังนี้

46

ซึ่งเราจะสามารถหาค่าตัวคูณรายจ่ายภาครัฐ (Multipler: k) ในกรณีนี้ได้มีค่าเท่ากับ

กรณีที่ 3 แบบจําลองเศรษฐศาสตร์มหภาคทีเ่ ป็นระบบเศรษฐกิจแบบเปิด โดยมีภาครัฐบาลและมี การค้าระหว่างประเทศ กําหนดให้ข้อสมติฐานในแบบจําลองนี้เป็นดังต่อไปนี้ Y= Yd = Y − T T = ty C = C0 + bYd I = I0

(3.11)

G = G0 X = X0 M = mY

เราสามารถคํานวณหาค่า ระดับดุลยภาพของ Y, C, และ M ได้ดังนี้

ทั้งนี้หากทําการวิเคราะห์เชิงสถิตเปรียบเทียบ จะพบว่า ค่าตัวคูณของการใช้จ่ายอัตโนมัติ (Autonomous Expenditures) คือ ( C0 , I 0 , G0 , X 0 ) จะพบว่า จะมีค่าเท่ากับ

47

ในแบบจําลองนี้ หากเราสนใจว่าดุลการค้า (B) ซึ่งมีค่าเท่ากับ จะ เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรหากรัฐบาลจะทําการเปลี่ยนแปลงงบประมาณรายจ่าย (G) เราสามารถทํา การวิเคราะห์ได้ดังนี้

3.1.2. แบบจําลอง IS-LM จากทั้ง 3 กรณีที่ผ่านมาเราทําการศึกษาเพียงแค่ดุลยภาพที่เกิดขึ้นในตลาดสินค้าเท่านั้น (A market for good) มาในครัง้ นี้ เราจะทําการเพิ่มตลาดใส่เข้าไปในแบบจําลองอีกหนึ่งตลาด นั้นคือ ตลาดเงิน (a market for money) โดยกําหนดให้ ปริมาณเงิน (Quantity of money supplied : M 0 ) ถูกกําหนดมาจากภายนอก และปริมาณความต้องการถือเงินของคน (Quantity of money demanded : M D = fY − β r ) โดยค่า f , β เป็นค่าคงที่ที่เป็นค่าบวก (Positive constants) จากข้อสมมติฐานข้างต้น ดุลยภาพในตลาดเงินเกิดขึ้นเมื่อ ปริมาณความต้องการถือเงินมีค่า เท่ากับปริมาณเงินที่มีอยู่ หรือเขียนเป็นสมการเงื่อนไข (Conditional Equation) ได้ว่า (3.12) เมื่อรวมข้อสมมติฐานจากตลาดสินค้ากรณี เศรษฐกิจแบบปิด แบบมีภาครัฐบาล เข้ามาไว้รวมกันกับ ข้อสมมติฐานของตลาดเงิน ดุลยภาพของระดับรายได้ประชาชาติและ อัตราดอกเบี้ยดุลยภาพ จะถูก กําหนดจากระบบสมการต่อไปนี้ Y =C + I +G Yd = Y − T T = ty C = C0 + bYd I = I 0 − er

(3.13)

G = G0

......................... fY − β r = M 0

48

ตัวแปรภายใน (Endogenous variables) ของระบบสมการที่ (3.13) คือ ตัวแปรภายนอก (Exogenous variables) ของระบบสมการที่ (3.13) คือ (three levels of Autonomous spending) และ (the constant stock of money) หากเราทําการแก้ระบบสมการชุดแรก ( 6 สมการ) ซึ่งเป็นข้อสมมติในตลาดสินค้า เราจะได้ เซตของคู่ลําดับ (Y,r) ซึ่งทําให้ตลาดสินค้าอยู่ในดุลยภาพ หากเรานําเอาเซตเหล่านี้มาทําการวาดกราฟ โดยให้แกนตั้ง แสดงถึงระดับอัตราดอกเบี้ย และแกนนอนแสดงถึงระดับรายได้ เราจะได้ กราฟที่ เรียกว่าเส้น IS (IS Curve) /(ดุลยภาพในตลาดสินค้า ที่ทําให้การลงทุนเท่ากับการออม/ Equilibrium in the good market requires that planned investment and planned saving be equal) ส่วนสมการท้ายสุดในระบบสมการ (3.13) แสดงให้เห็นถึงเซตของคู่ลําดับ (Y,r) ซึ่งทําให้ ตลาดเงินอยู่ในดุลยภาพหากเรานําเอาเซตเหล่านี้มาทําการวาดกราฟ โดยให้แกนตั้ง แสดงถึงระดับ อัตราดอกเบี้ย และแกนนอนแสดงถึงระดับรายได้ เราจะได้ กราฟที่เรียกว่าเส้น LM (LM Curve)/ (ดุลยภาพในตลาดเงิน ที่ทําให้ความต้องการถือเงินเท่ากับปริมาณเงินที่มีอยู่/ (“L” for liquidity preference, as the demand for money is sometimes known; “M” for the quantity of money supplied).

สมการ IS สามารถหาได้ดังนี้ (3.14)

49

ส่วนสมการ LM สามารถหาได้โดยการจัดรูปสมการท้ายสุดในระบบสมการที่ (3.13) ให้ อัตราดอกเบี้ย(r) เป็นฟังก์ชันของระดับรายได้ (Y) ดังแสดงในสมการข้างล่าง

(3.15) เพียงลําพังเส้น IS หรือ เส้น LM เพียงเส้นใดเส้นหนึ่ง ไม่สามารถจะกําหนดระดับรายได้ดุลย ภาพประชาชาติและระดับอัตราดอกเบี้ยดุลยภาพได้ เพราะมีเพียงสมการเดียวแต่ตัวแปร 2 ตัว ฉะนั้น ทั้ง IS และ LM ร่วมกันจึงสามารถจะหาผลผลิตและดอกเบี้ยดุลยภาพได้ จากสมการที่ (3.14) และ (3.15) จะสามารถหาค่าระดับรายได้ดุลยภาพประชาชาติ ( Y * )

(3.16)

โดยเมื่อแทนค่า ( Y * ) ลงในสมการที่ (3.14) เราสามารถ หาระดับอัตราดอกเบี้ยดุลยภาพได้ ดังนี้

(3.17) ดอกเบี้ยดุลยภาพและรายได้หรือผลผลิตดุลยภาพ สามารถแสดงไว้ได้ดังรูปข้างล่างนี้

50

จากตัวอย่างทั้งหมดข้างต้น แสดงให้เห็นลักษณะแบบจําลองทางเศรษฐศาสตร์มหภาคที่เป็น เส้นตรง มาถึงจุดนี้เราจะลองมาดูลักษณะแบบจําลองทางเศรษฐศาสตร์จุลภาคที่มีลักษณะเป็น เส้นตรงกันบ้าง โดยเริ่มจากแบบจําลองที่ทุกคนคุ้นเคยคือ “แบบจําลองตลาดแข่งขันสมบูรณ์” 3.1.3. แบบจําลองตลาดแข่งขันสมบูรณ์: ดุลยภาพตลาดสินค้า 1 ชนิด สมมติเราสนใจที่จะศึกษา ตลาด “เครื่องดื่มชูกําลัง” เพียงสินค้าเดียว จากทฤษฎี เศรษฐศาสตร์ จุลภาค องค์ประกอบของตลาดนี้จะต้องประกอบด้วย 2 ส่วน คือ อุปสงค์ของตลาด คือ ผลรวมของอุปสงค์ของผู้ต้องการใช้แต่ละคนในตลาด และ อุปทานของตลาด คือ ผลรวมของ อุปทานของผู้ขายแต่ละคน2 เพราะฉะนั้นตัวแปรภายใน (Endogenous Variables) ในกรณีนี้จะมี แค่ 3 ตัว คือ 1. 2. 3. จากทฤษฎีจุลภาค บอกเราไว้ว่า ตลาด “เครื่องดื่มชูกําลัง” จะเกิดดุลยภาพได้ ก็ต่อเมื่อ อุปสงค์ของ “เครื่องดื่มชูกําลัง” มีค่าเท่ากับ อุปทานของ “เครื่องดื่มชูกําลัง” (Clearing Market Condition) ซึ่งเราสามารถแปลงเป็นสมการได้ดังนี้ (3.18)

สมการที่ (3.18) เป็นเพียงสมการเงื่อนไข (Conditional Equation) ของตลาด “เครื่องดื่มชู กําลัง” คําถามที่เกิดขึ้นต่อมา คือ ปริมาณความต้องการซื้อและขาย เครื่องดื่มชูกําลัง เท่าไรกัน ที่จะ ทําให้ตลาดนี้อยู่ในดุลยภาพ? เราสามารถหาคําตอบนี้ได้ โดยทําการสร้างสมการกําหนดพฤติกรรม (Behavioral Equations) ดังนี้ ด้านความต้องการซื้อเครื่องดื่มชูกําลัง เรากําหนดให้ เป็น ฟังก์ชันลดเชิงเส้นตรง ที่ขึ้นอยู่กับระดับราคา (A decreasing linear function of P) ซึ่งแสดงในรูปดังนี้

(3.19)

2

ดู เรื่อง วิธีการหาอุปสงค์ของตลาดและอุปทานของตลาด ท้ายบท 51

ด้านความต้องการขายเครื่องดื่มชูกําลัง เรากําหนดให้เป็น ฟังก์ชันเพิ่มเชิงเส้นตรงที่ขึ้นอยู่กับระดับราคา (An increasing linear function of P)

(3.20)

โดยสรุปแล้ว แบบจําลองอุปสงค์และอุปทานของตลาด “เครื่องดื่มชูกําลัง” จะประกอบไป ด้วยสมการดังนี้ Qd = Qs ⇒ 1 สมการเงื่อนไข (Conditional equation) Qd = a − bP (a, b > 0) Qs = −c + dP

2 สมการพฤติกรรม (Behavioral equations)

(3.21) การวิเคราะห์แบบจําลองตลาดสินค้า “เครื่องดื่มชูกําลัง” เพียงชนิดเดียวเช่นนี้ เราเรียกว่า การวิเคราะห์แบบจําลองดุลยภาพตลาดแบบแยกส่วน (Partial Equilibrium) ส่วนการวิเคราะห์ที่ ครอบคลุมตลาดสินค้าทุกๆชนิด (รวมทั้งตลาดปัจจัยการผลิต) มีชื่อเรียกว่า การวิเคราะห์ตลาดแบบ ดุลยภาพทั่วไป (General Equilibrium) ดุลยภาพราคาและปริมาณของเครื่องดื่มชูกําลังสามารถหาได้จากการแก้ระบบสมการที่ (3.21) ซึ่งประกอบไปด้วย 3 สมการ 3 ตัวแปร หรือในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า “Simultaneous Equation system” 3 สําหรับการแก้ระบบสมการที่ 21 สามารถกระทําได้ง่าย โดยการใช้วิธีที่เรียกว่า การขจัดตัว แปร (Elimination of Variables) ดังนี้

3

ดูเรื่อง System of Linear Equations ท้ายบท 52

ภาษีสรรพสามิต (Excise Tax) ในตลาดแข่งขันสมบูรณ์ เราจะนําแบบจําลองตลาดแข่งขันสมบูรณ์จากกรณีที่แล้ว มาทําการวิเคราะห์ผลกระทบของ มาตรการแทรกแซงตลาดของรัฐ โดยการเก็บภาษีสรรพสามิต นิยาม ภาษีสรรสามิต (Excise Tax) คือ ภาษีที่กรมสรรพสามิตเป็นผู้รับผิดชอบในการจัดเก็บเมื่อมีการผลิตและซื้อขายสินค้า ภาษีสรรพสามิตมี 2 ประเภท คือ 1. Specific Tax (ภาษีต่อหน่วย) คือ ภาษีที่มีอัตราการจัดเก็บคิดจากปริมาณการซื้อ หรือปริมาณ การขาย 2. Ad Valorem Tax (ภาษีเรียกเก็บตามมูลค่า) คือ ภาษีที่มีอัตราการจัดเก็บคิดตามมูลค่า หรือ ตามราคาของที่ซื้อหรือขาย ในการจัดเก็บภาษีสรรพสามิต รัฐอาจเลือกเก็บจากผู้ซื้อ หรือ ผู้ขายก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความ สะดวกและประสิทธิภาพในการจัดเก็บ แต่ไม่ว่าจะเรียกเก็บแบบใด ย่อมจะส่งผลต่อการเปลี่ยนแปลง ดุลยภาพของตลาด เพื่อให้เห็นถึงผลกระทบทางด้านราคาและปริมาณ อันเป็นผลจากการเก็บภาษีสรรพสามิต เราจะลองมาวิเคราะห์กรณี ตลาด “เครื่องดื่มชูกําลัง” โดยสิ่งที่เรากําลังจะศึกษานี้ในทางคณิตศาสตร์ เราเรียกว่า การวิเคราะห์เชิงสถิตเปรียบเทียบ (Comparative Static Analysis) เพราะเป็นการ เปรียบเทียบภาวะดุลยภาพ 2 ภาพ คือ ดุลยภาพด้านราคาและปริมาณของตลาดเครื่องดื่มชูกําลัง ก่อนเก็บภาษี และ ดุลยภาพด้านราคาและปริมาณของตลาดเครื่องดื่มชูกําลังหลังเก็บภาษี

53

กรณีที่ 1 เก็บภาษีสรรพสามิต เครื่องดื่มชูกําลัง t บาทต่อหน่วย (Specific Tax) กรณีที่ 1.1 เก็บจากผู้ขาย ดุลยภาพ ก่อนเก็บภาษี

ดุลยภาพหลังเก็บภาษี

จํานวนภาษีที่จัดเก็บได้ทั้งหมด เท่ากับ คิดเป็นภาระภาษีของผู้ซื้อ เท่ากับ คิดเป็นภาระภาษีของผู้ขาย เท่ากับ กรณีที่ 1.2 เก็บจากผู้ซื้อ ดุลยภาพ ก่อนเก็บภาษี


จํานวนภาษีที่จัดเก็บได้ทั้งหมด เท่ากับ คิดเป็นภาระภาษีของผู้ซื้อ เท่ากับ คิดเป็นภาระภาษีของผู้ขาย เท่ากับ

54

กรณีที่ 2 เก็บภาษีสรรพสามิต เครื่องดื่มชูกําลัง ในอัตราร้อยละ x ของราคาเครื่องดื่ม กรณีที่ 2.1 เก็บจากผู้ขาย ดุลยภาพ ก่อนเก็บภาษี


จํานวนภาษีที่จัดเก็บได้ทั้งหมด เท่ากับ คิดเป็นภาระภาษีของผู้ซื้อ เท่ากับ คิดเป็นภาระภาษีของผู้ขาย เท่ากับ กรณีที่ 2 .2 เก็บจากผู้ซื้อ ดุลยภาพ ก่อนเก็บภาษี


จํานวนภาษีที่จัดเก็บได้ทั้งหมด เท่ากับ คิดเป็นภาระภาษีของผู้ซื้อ เท่ากับ คิดเป็นภาระภาษีของผู้ขาย เท่ากับ 55

จากตัวอย่างข้างต้น จะพบว่าไม่ว่าจะมีการเก็บภาษีจากทางด้านผู้ซื้อหรือผู้ขาย ท้ายที่สุด ภาระภาษีจะตกอยู่ทั้งสองฝ่าย อย่างไรก็ตาม ภาระภาษีดังกล่าวจะตกอยู่กับทางด้านผู้ซื้อและผู้ขาย มากหรือน้อยนั้น ขึ้นอยู่กับความยืดหยุ่นของอุปสงค์และอุปทานเป็นสําคัญ คําถามคือ ค่าความยืดหยุ่นคือ อะไร และหามาได้อย่างไร จากรูปแบบสมการ อุปสงค์ ที่เป็นเส้นตรง ซึ่งแสดงในสมการที่ (3.19) (3.19) เราพบว่าถ้ากําหนดให้ แกนตั้งแสดงถึง ระดับราคา (P) และ แกนนอนแสดงถึงปริมาณ (Q) เราจะพบว่า ค่า a คือ โดยที่ความชัน มีค่าเท่ากับ ในทํานองเดียวกันจากรูปแบบสมการ อุปทานที่เป็นเส้นตรง ซึ่งแสดงในสมการที่ (3.20) (3.20) ถ้ากําหนดให้ แกนตั้งแสดงถึง ระดับราคา (P) และ แกนนอนแสดงถึงปริมาณ (Q) เราจะ พบว่า ค่า -c คือ โดยที่ความชัน มีค่าเท่ากับ ค่า -b แสดงถึง ค่า d แสดงถึง เพื่อให้สามารถเปรียบเทียบขนาดของการตอบสนองต่อราคาในอุปสงค์ต่อสินค้าชนิดต่างๆ (ซึ่งมีหน่วยวัดไม่เหมือนกัน) ได้ จึงมีการคิดดัชนีวัดค่าความยืดหยุ่น (Elasticity) มาใช้สําหรับการ เปรียบเทียบ โดยนิยามค่าความยืดหยุ่นไว้กว้างๆไว้ดังนี้ ค่าความยืดหยุ่นของตัวแปรตามต่อการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรอิสระ คือ อัตราส่วนร้อยละ ของตัวแปรตามที่เปลี่ยนแปลงต่อการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรอิสระไปร้อยละหนึ่ง หรือเขียนเป็นสูตร ทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้

(3.22)

56

ดังนั้น ถ้าจะหาค่าความยืดหยุ่นของปริมาณการซื้อต่อราคา เราสามารถเขียนเป็นสูตรในการ คํานวณได้ดังนี้ (3.23)

เวลานําเอาค่า ความยืดหยุ่นของปริมาณการซื้อต่อราคามาวิเคราะห์ จะคิดค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value) เท่านั้น ดังนั้น ถ้า E p < 1 เรียกว่า E p > 1 เรียกว่า E p = 1 เรียกว่า ค่าความยืดหยุนของอ ่ ุปสงค์ต่อราคา (Price Elasticity of Demand) ค่าความยืดหยุ่นของอุปสงค์ต่อราคาที่จุดต่างๆบนเส้นอุปสงค์ที่เป็นเส้นตรง สามารถหาได้ ดังนี้

สรุป ค่าความยืดหยุ่นของอุปสงค์ต่อราคากรณีที่กราฟอุปสงค์เป็นเส้นตรง จะมีค่าไม่คงที่ตลอดเส้น อุปสงค์ ทั้งนี้เพราะสัดส่วน

⎛P⎞ ⎜ ⎟ ⎝Q⎠

จะเปลี่ยนแปลงไปเมื่อราคาสินค้าเปลี่ยนไป แต่ค่าความ

ชัน ∆Q = −b มีค่าคงที่เสมอ ∆P

57

เราสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างอุปสงค์ของผู้ซื้อและรายรับของผู้ขายได้ดังนี้ จากรายรับของผู้ขาย (Total Revenue: TR มีค่าเท่ากับ ราคาขายต่อหน่วยคูณด้วยปริมาณสินค้าที่ ขายได้) นั่นคือ TR = จากสมการอุปสงค์ เราหาค่า Inverse Demand Function ได้ ว่า P= ดังนั้น เมื่อ แทนค่า P จาก (25) ลงในสมการจํากัดความของ TR (24) จะได้ TR =

(3.24) (3.25) (3.26)

ลักษณะของสมการที่ (3.26) มีดังนี้ 1) เป็นฟังก์ชัน..................................... 2) มีจุดตัดแกน Q ที่ และ 3) มีจุดสูงสุดที่................................... เมื่อนําสมการ TR (3.26) มาเขียนกราฟเทียบกับสมการ Inverse Demand Function (3.25) เราจะ ได้กราฟดังนี้

ข้อสรุปที่ได้คอื

58

อย่างไรก็ตามเป็นไปได้ว่าจุดต่างๆบนเส้นอุปสงค์จะมีค่าความยืดหยุ่นของอุปสงค์ต่อราคาเท่ากัน ตลอดทั้งเส้น กราฟกรณีที่คา่ ความยืดหยุน่ ของอุปสงค์ต่อราคามีค่าเท่ากันตลอดทัง้ เส้น

วกกลับมาที่ประเด็นเรื่อง ภาระภาษี เราพบว่าเมื่อมีการเก็บภาษีสรรพสามิตจากผู้ข าย เป็นไปได้ว่าผู้ผลิตหรือผู้ขายไม่สามารถที่จะผลักภาระภาษีไปให้ผู้บริโภคหรือผู้ซื้อได้ทั้งหมด การที่ ผู้ขายจะผลักภาระภาษีไปให้แก่ผู้ซื้อได้มากหรือน้อยขึ้นเท่าใดขึ้นอยู่กับความยืดหยุ่นของอุปสงค์และ อุปทานเป็นสํา คัญ ดังตัวอย่ างข้างล่าง หากเปรียบเที ย บในสองกรณีที่อุปสงค์มีค่ าความยืดหยุ่ น แตกต่างกัน จะพบว่า ยิ่งอุปสงค์มีค่าความยืดหยุ่นน้อยเท่าใด ภาระภาษีจะตกอยู่กับผู้ซื้อมาก เท่านั้น

59

ภาคผนวก การหาเส้นอุปสงค์และเส้นอุปทานของตลาด (Market Demand and Market Supply) ในการวิเคราะห์หาดุลยภาพของราคาและปริมาณในตลาดเครื่องดื่มชูกําลัง เราต้องใช้สมการ พฤติกรรม (Behavioral Equations) ที่สําคัญ 2 สมการนัน่ คือ สมการอุปสงค์ของตลาดเครื่องดื่มชู กําลัง และสมการอุปทานของตลาดเครื่องดื่มชูกําลัง คําถาม คือ เราจะสามารถหาสมการอุปสงค์และสมการของอุปทานของตลาดมาได้อย่างไร การหาสมการอุปสงค์ของตลาด (Market Demand) สมการอุปสงค์ของตลาด (Market Demand) สามารถหาได้จากการรวมเส้นอุปสงค์ของแต่ละ บุคคล (Individual Demand) ที่มีต่อสินค้านั้นๆ หากกําหนดให้ เส้นอุปสงค์ของ คนที่ 1 ที่มตี ่อเครื่องดื่มชูกําลัง คือ q1d = a1 + b1P เส้นอุปสงค์ของ คนที่ 2 ที่มตี ่อเครื่องดื่มชูกําลัง คือ q2d = a2 + b2 P ………………………………………………………………………. เส้นอุปสงค์ของ คนที่ n ที่มีต่อเครื่องดื่มชูกําลัง คือ qnd = an + bn P ดังนั้น หากเราจะหาว่า ณ ระดับราคา P หนึง่ ๆ จะมีความต้องการซื้อเครื่องดื่มชูกําลัง ทั้งหมดเท่าไร เราก็สามารถ หาได้ โดยการรวมความต้องการซื้อของผู้ซอื้ คนที่ 1 ถึงคนที่ n ณ ระดับ P ต่างๆ (the horizontal sum of the individual demand curves) ซึ่ง สามารถเขียนเป็นสมการ ทางคณิตศาสตร์ได้ว่า

60

เช่นกัน! การหาสมการอุปทานของตลาด (Market Supply) ก็สามารถหาได้ดังนี้ สมการอุปทานของตลาด (Market Supply) สามารถหาได้จากการรวมเส้นอุปทานของผู้ขายแต่ละ ราย (Individual Supply) ทีม่ ีต่อสินค้านั้นๆ หากกําหนดให้ เส้นอุปทานของ คนที่ 1 ที่มตี ่อเครื่องดื่มชูกําลัง คือ q1s = −c1 + d1P เส้นอุปทานของ คนที่ 2 ที่มตี ่อเครื่องดื่มชูกําลัง คือ q2s = −c2 + d 2 P ………………………………………………………………………. เส้นอุปทานของ คนที่ j ที่มีต่อเครื่องดื่มชูกําลัง คือ q sj = −c j + d j P ดังนั้น หากเราจะหาว่า ณ ระดับราคา P หนึง่ ๆ จะมีความต้องการขายเครื่องดื่มชูกําลังทั้งหมดเท่าไร เราก็สามารถ หาได้ โดยการรวมความต้องการขายของผู้ขายคนที่ 1 ถึงคนที่ j ณ ระดับ P ต่างๆ (the horizontal sum of the individual supply curves) ซึ่ง สามารถเขียนเป็นสมการทาง คณิตศาสตร์ได้ว่า

ตัวอย่างที่ 1 สมมติให้ ตลาดสินค้า A มีผตู้ ้องการซื้อสินค้า เพียง 3 คน คือ คุณ โดม และ คุณ พระจันทร์ และคุณรังสิต โดยความต้องการซื้อสินค้าของทั้งสามคน แสดงได้ด้วยตารางข้างล่างนี้ ราคาสินค้า A 1 2 3 4 5

ความต้องการซื้อ คุณโดม 6 4 2 0 0

ความต้องการซื้อ คุณพระจันทร์ 10 8 6 4 2

ความต้องการซื้อ คุณรังสิต 16 13 10 7 4

จงหาสมการความต้องการซื้อของทั้ง 3 คน (Individual Demand function) และทําการหาสมการ ความต้องการซื้อของตลาด (Market Demand function) พร้อมวาดรูปประกอบ

61

วิธีทํา

แผนภาพ การหาเส้นอุปสงค์ของตลาดสินค้า A

อุปสงค์ต่อสินค้า A ของคุณโดม

อุปสงค์ต่อสินค้า A ของคุณพระจันทร์

อุปสงค์ต่อสินค้า A ของคุณรังสิต

อุปสงค์ต่อสินค้า A ของตลาด

62

ตัวอย่างที่ 2 กําหนดให้ตลาดสินค้าชนิดหนึ่งมีผู้บริโภคและผู้ผลิตจํานวน I และ J รายตาลําดับ โดยที่ แบบจําลอง อุปสงค์ส่วนบุคคล และ อุปทานส่วนบุคคล สามารถเขียนแสดงความสัมพันธ์ในรูปเชิง คณิตศาสตร์ได้ดังนี้ Qid = λi + β i P , i = 1, 2,..., I Q sj = a j + b j P , j = 1, 2,..., J

จงพิจารณาปัญหาต่อไปนี้ ก) จงหาเงื่อนไขของค่าสัมประสิทธิ์ พารามิเตอร์ภายในแบบจําลองที่ทําให้ ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ข้างต้นมีความสมเหตุสมผลในทางเศรษฐศาสตร์

ข) จงหาอุปสงค์และอุปทานรวมของตลาดสินค้าชนิดนี้

ค) จงหาปริมาณและราคาดุลยภาพที่เกิดขึ้นในตลาด

ง) สมมติว่า ถ้าผู้ผลิตและผู้บริโภคแต่ละรายมีพฤติกรรมเหมือนกันทุกประการ (Identical Agentหรือ Homogenous Agent) อยากทราบว่า ณ ระดับดุลยภาพ ของตลาด ผู้ผลิตและผู้บริโภคแต่ละรายจะมีการเสนอขายและเสนอซื้อเท่าใด

[63]

ตัวอย่างที่ 3 แบบจําลองดุลยภาพตลาดอย่างง่าย อุปสงค์ตลาดของสินค้าชนิดหนึ่งอธิบายได้ด้วยสมการดังนี้ Q dm = 400 − 2 P

ในขณะที่ อุปทานของผูข้ ายแต่ละรายในตลาด กําหนดโดยสมการอุปทานดังนี้ QiS = −8 + P

จงพิจารณาปัญหาต่อไปนี้ ก) หากในตลาดมีผู้ขายจํานวนทั้งสิ้น 10 ราย จงหาปริมาณและราคาดุลยภาพของตลาดสินค้า ชนิดนี้

ข) หากรัฐบาลต้องการกําหนดให้ระดับราคาดุลยภาพเป็น 56 บาทต่อหน่วย รัฐบาลต้องดําเนิน มาตรการดังต่อไปนี้อย่างไร

ข.1) รัฐบาลต้องเก็บภาษีหรือให้เงินอุดหนุนแก่ผู้ผลิตหน่วยละเท่าใด หากมีผู้ผลิต 10 ราย ตามเดิม

ข.2) รัฐบาลจําเป็นต้องควบคุมให้มีจํานวนผูข้ ายในตลาดกี่ราย หากไม่มีการเก็บภาษีหรือ ให้เงินอุดหนุนแก่ผู้ผลิต

[64]

เรื่อง จุดคุ้มทุน (Break-Even Point) ตัวอย่างที่ 1 กําหนดให้ ผูผ้ ลิตมีต้นทุนคงที่เท่ากับ 300 บาท และต้นทุนแปรผันเฉลี่ยเท่ากับ 10 บาท สมมุติว่าฟังก์ชั่นต้นทุนรวมเป็นเส้นตรง ก. จงเขียนสมการต้นทุนรวม ข. ถ้าผู้ผลิตตั้งราคาขายสูงกว่าต้นทุนแปรผันเฉลีย่ 1 เท่าตัว หน่วยจึงจะคุ้มทุน

ผู้ผลิตจะต้องผลิตออกขายกี่

ค. ถ้าผูผ้ ลิตตั้งราคาขายสูงกว่าต้นทุนแปรผันเฉลี่ย 1 เท่าตัว และต้องการกําไรไม่ต่ํากว่า 30 เปอร์เซ็นต์ของต้นทุนรวม จะต้องผลิตออกขายอย่างน้อยกี่หน่วย

ตัวอย่างที่ 2 จากข้อมูลที่กําหนดให้ ( ระบบเศรษฐกิจแบบปิด ไม่มีภาครัฐบาล) Yd 100 200

S -80 -60

C

MPC

MPS

2.1 จงคํานวณหาสมการ S และ C 2.2 จงหาระดับรายได้ ณ จุด Break-Even income

2.3 ถ้ากําหนดให้ I= 50+0.1Y จงคํานวณหารายได้ดุลยภาพ C และ I ณ ดุลยภาพ

2.4 จงคํานวณหาความยืดหยุ่นของการลงทุนต่อรายได้ ณ ระดับรายได้ดุลยภาพ

[65]

บทที่ 4 Basic Matrix Algebra และการประยุกต์ใช้ Matrix Algebra ในทฤษฎี เศรษฐศาสตร์ เรื่อง Basic Matrix Algebra และการประยุกตใช Matrix Algebra ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร จํานวนบรรยาย: 4 ครั้ง เนื้อหาประกอบด้วย Basic Matrix Algebra - Terminology ของ Matrix Algebra - Special Matrices - การคํานวณเกี่ยวกับ Matrix การบวก, การลบ, การคูณ Matrix, และการคูณ Matrix ด้วยสเกลาร์ (Scalar) - การใช้ Matrix Algebra แสดงระบบสมการ - การหาค่า Inverse - Determinants - การหา Inverse Matrix โดยใช้ Determinants - The Determinants and Non-singularity - กฎของเครเมอร์ (Cramer’s Rule)

[66]

Powerpoint: Basic Matrix Algebra and its applications in economics4

4

Powerpoint ชุดนี้ ผู้สอนได้ทาํ การดัดแปลงมาจาก Powerpoint ประกอบการสอนวิชา คณิตเศรษฐศาสตร์ (ศ.421) ของผ.ศ.ดร.สายพิณ ชิน

ตระกูลชัย

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]

[98]

[99]

[100]

[101]

[102]

บทที่ 5 แบบจําลองที่ไม่เป็นเส้นตรง และดิฟเฟอเรนเชียล แคลคูลัสในทฤษฎี เศรษฐศาสตร์ เรื่อง แบบจําลองที่ไม่เป็นเส้นตรง และดิฟเฟอเรนเชียล แคลคูลสั ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ จํานวนบรรยาย: 4 ครั้ง เนื้อหาประกอบด้วย - ฟังก์ชันควอทแดรติก (Quadratic Function) - ฟังก์ชันที่ไม่เป็นเส้นตรงอื่นๆ (Non Linear Function) - ค่าความลาดชัน (Slope) - อนุพันธ์ (Derivatives) - กฎของดิฟเฟอเรนชิเอชัน (Rule of Differentiation) - ฟังก์ชันที่ไม่สามารถทําดิฟเฟอเรนชิเอชันได้ (Non differentiable Function) - Convexity และ Concavity - จุดสูงสุด - จุดต่ําสุด (Maxima - Minima) - จุดเปลี่ยนเว้า (Inflection Point) ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ - อนุพันธ์ (Derivatives) กับแนวคิดเรื่องหน่วยสุดท้าย (Marginality) - ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันรวม ฟังก์ชันเฉลี่ย และฟังก์ชันหน่วยสุดท้าย - ความยืดหยุ่น (Elasticity) รายรับเฉลี่ย และรายรับหน่วยสุดท้ายในทฤษฎี เศรษฐศาสตร์

[103]

5.1 ฟังก์ชนั โพลิโนเมียลกําลัง n (Polynomial of Degree n) จากรูปแบบทั่วไปของฟังก์ชัน polynomial of degree n y = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n

โดยที่ n คือ กําลังสูงสุดของฟังก์ชัน ถ้า n = 1 เราจะได้ว่า เป็นฟังก์ชันเส้นตรง (linear function) ถ้ากําหนดจุด ( x1 , y1 ) และ ( x2 , y2 ) เราจะหาค่าความชันของกราฟสมการที่ (5.1) ได้ว่า y = a + bx

→

(5.1)

จะเห็นว่าค่าความชันมีค่าคงที่เสมอตลอด ซึ่งแสดงได้โดยกราฟเส้นตรงในรูป y

x 5.1.1 ความหมายของคา่ ความชัน (slope) ความชัน (slope) เป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของ y ต่อการเปลี่ยนแปลงของค่า x 1 หน่วย เช่นถ้า C = F ( q ) เป็นฟังก์ชันเส้นตรงของต้นทุนในการผลิต ความชันของฟังก์ชันนี้จะวัด การเพิ่มขึ้นของต้นทุนรวม เมื่อมีการผลิตสินค้าเพิ่มขึ้น 1 ชิ้น หรือ (Marginal Cost) u = U ( x ) เป็นฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของการบริโภคสินค้า ความชันของฟังก์ชันนี้จะ วัดอรรถประโยชน์ที่เพิ่มขึ้นจากการบริโภคสินค้าเพิ่มขึ้นอีก 1 หน่วย (Marginal Utility) ถ้าฟังก์ชันมีลักษณะที่ไม่ใช่เส้นตรง (Linear function) จะเกิดอะไรขึ้นกับความชัน (slope)

[104]

กําหนดให้กําลังของฟังก์ชันโพลิโนเมียล = 2 เราจะได้รูปสมการดังนี้ f ( x ) = y = a0 + a1 x + a2 x 2

⇒

ควอทแดรติกฟังก์ชัน

y

x ถ้าให้

x

เพิ่มขึ้นเท่ากับ

ถ้าให้

x

เพิ่มขึ้นน้อยลงเป็น

ยิ่งให้

x

เพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อยเป็น

h3

∆x = h2

∆x = h1

เราจะพบว่า slope หรือ (อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y ต่อการเปลี่ยนแปลงของ x ) จะมีค่ามาก ขึ้น/ชันขึ้นเรื่อย ๆ จนในทีส่ ดุ เมื่อ ∆x → 0 เราจะได้เส้นความชัน ∆T ซึ่งสัมผัสฟังก์ชันที่จุด A ซึ่งแสดงให้เห็นถึง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ค่าการเปลี่ยนแปลงที่เกิดจากการที่ x เพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อย เราเรียกค่าของสมการนี้ว่า “ค่าอนุพันธ์ของ f ( x ) เทียบกับ x ” (Derivative of f at x ) df x สัญลักษณ์ที่นยิ มใช้แสดงค่าอนุพันธ์ของ f ( x ) เทียบกับ x ได้แก่ f ' ( x ) , ( ) , dx

Dx f ( x )

,

y'

,

dy dx

ตัวอย่างที่ 1 กําหนดให้ f ( x ) = 2 x 2 + 4 จงหา f ' ( x ) เรารู้สูตร f ' ( x ) = 4 x คราวนี้เราลองมาใช้นิยามในการหาดูบ้างว่าจะมีค่าเท่ากันหรือไม่ จากนิยาม f ' ( x ) ∴

[105]

5.2 การหาอนุพันธ์ (Differentiation / derivation) / process of obtaining the derivative “ฟังก์ชันที่จะหาค่าอนุพันธ์ได้ จะต้อง smooth and continuous” คําถามคือ ฟังก์ชันที่ smooth หมายความว่าอย่างไร และ ฟังก์ชัน continuous คือลักษณะเช่นไร 5.2.1 ความต่อเนื่อง (Continuity) นิยาม ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ 1. หาค่า f ( a ) ได้ 2. หาค่า lim f ( x ) ได้ x→a 3. lim f ( x ) = f ( a ) x→a

a

ถ้ามีคณ ุ สมบติั ครบทัง้ 3 ข้อ ดังต่อไปนี้

g ( x)

ตัวอย่างที่ 2 ฟังก์ชันที่ไม่มีความต่อเนื่องที่จุด x = 0.6 เนื่องจาก 1. f ( 0.6 ) = หาได้คือจุดที่อยู่บนเส้นตรง 2. xlim f ( x) → 0.6 lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) x → 0.6 x → 0.6 ∴ f ( x ) ไม่ต่อเนื่องที่ x = 0.6 −

+

0.6 ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาความต่อเนื่องของ

f ( x) =

x2 x +1

เมื่อ เมื่อ

x<2 x≥2

y

x

[106]

5.2.1 Smooth Function ฟังก์ชันจะต้องเรียบ/ไม่หักงอ (smooth) ซึ่งหมายถึงว่า ฟังก์ชันจะต้องหาค่าอนุพันธ์ได้ทุก ๆ จุด ของ x นิยาม ฟังก์ชัน f มีอนุพันธ์ที่ a ถ้า f ( a + h) − f ( a ) f ' ( a ) = lim h →0 หรือถ้าเราให้ x = a + h เมื่อ h → 0 เราจะได้ว่า

h

f ' ( a ) = lim x→a

ทฤษฎี ถ้าฟังก์ชัน พิสูจน์

f

ซึ่งเราจะเขียน f ( x) − f (a) ,

x→a

มีอนุพันธ์ที่

x−a

a

f ' (a)

ใหม่ได้ว่า

x≠a

แล้ว จะมีความต่อเนื่องที่

a

ด้วย

แม้ว่าการที่ฟังก์ชันสามารถหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จุด x จะหมายความว่า ฟังก์ชันนี้มีความต่อเนื่องที่จุด x ด้วย แต่บทกลับของทฤษฎีนี้ไม่เป็นจริง กล่าวคือ หากฟังก์ชันมีความต่อเนื่องที่จุด x แล้ว ฟังก์ชันนี้ก็อาจไม่สามารถหาค่าอนุพันธ์ที่จุด x ได้ สรุปคือ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน (continuity) เป็นเงื่อนไขที่จําเป็น (Necessary) แต่ไม่เป็นเงื่อนไขที่ พอเพียงที่จะทําให้ฟังก์ชันสามารถหาค่าอนุพันธ์ได้

[107]

ตัวอย่างที่ 3 f ( x) = x − 2 +1

สรุปอีกครั้ง : ถ้าฟังก์ชันสามารถหาค่าอนุพันธ์ได้ทุก ๆ จุดของ x (all differentiable functions are continuous) แสดงว่า ฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย แต่ในทางกลับกัน ถ้าฟังก์ชันนั้นเป็น ฟังก์ชันต่อเนื่อง (But not all continuous functions are differentiable) ก็ไม่ได้ หมายความว่า ฟังก์ชันนั้นจะสามารถหาค่าอนุพันธ์ได้เสมอไป

สัญลักษณ์ที่นยิ มใช้เพื่อแสดงว่าฟังก์ชันมีคามต่อเนื่อง (continuity) และสามารถหาค่าอนุพันธ์ได้ (differentiable) คือ f ∈ c ( 0) or f ∈ c : หมายถึง ฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง (f is continuous) f ∈ c (1) or f ∈ c ' : หมายถึง ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและสามารถหาอนุพันธ์ (f is continuously differentiable) c ( 0) หรือ c แสดงถึง เซตของฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องทุก ๆ เซต 1 c ( ) หรือ c ' แสดงถึง เซตของฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องและสามารถหาค่าอนุพันธ์ได้ กฎของดิฟเฟอเรนชิเอชัน (Rule of Differentiation) 1. ถ้า f(x) = c โดยที่ c คือ ค่าคงที่ แล้ว f ′( x) =

2. ถ้า g(x) =cf(x) โดยที่ c คือ ค่าคงที่ แล้ว 3. ถ้า f(x) =

xn

f ′( x) =

โดยที่ n เป็นจํานวนจริงใดๆแล้ว

f ′( x) =

[108]

4. ถ้า f(x) = U ( x) ± V ( x) โดยที่ U และ V มีอนุพันธ์ที่ x แล้ว f ′( x) =

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า f(x) =

ตัวอย่างที่ 5 ถ้า f(x) =

5. ถ้า f(x) =

2x

−2 3

จงหา

f ′( x)

2 x3 + 3x 2 − 5 x + 1

U ( x) ⋅ V ( x)

จงหา

f ′( x)

โดยที่ U และ V มีอนุพันธ์ที่ x แล้ว

f ′( x) =


6. ถ้า

f (x) = x

f (x) =

U(x) V(x)

−

7 8

1

( 2x )100

โดยที่ U และ V มีอนุพันธ์ที่ x แล้ว

f ′( x) =

[109]

ตัวอย่างที่ 7 ถ้า

f (x) =

6 4 3 + − x x2 x3

จงหา

f ′( x)

การหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ (Composite Function) โดยใช้ Chain Rule 7. ถ้า f(x) =U(V(x)) โดยที่ U’(V(x)) และ V’(x) หาค่าได้แล้ว f ′( x)

จงหา


f (x) = (x − 4x 2 )3


f (x) = (1 − x 2 ) 1 − 2x

f ′( x)

จงหา

f ′( x)

การหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันผกผัน (Derivatives of Inverse Function) ทฤษฎี ถ้า ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและเพิ่มขึ้น (Increasing and Continuous function) บน ช่วง [a,b] และให้ g เป็นฟังก์ชันผกผันของ f ถ้าหาอนุพันธ์ f’(x) ได้ และไม่เท่ากับ 0 ที่จุด x ในช่วง (a,b) แล้วจะหาอนุพันธ์ g’(x) ได้ และไม่เท่ากับ 0 ที่จุด y ซึ่ง y = f(x) ได้ในรูปดังนี้

[110]

ตัวอย่างที่ 10 ถ้า y = f(x) =

x3

จงหา

g '(y) /

dx dy

การหาอนุพนั ธ์แบบอิมพลิซทิ (Implicit Differentiation) ตัวอย่างที่ 11 จงหา

dy if 2xy + y 2 = x + y dx

ตัวอย่างที่ 12 จงหา

dy if 6x 2 + 2y = 5y 2 − 16x 3 dx

[111]

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทิม และฟังก์ชนั เอกซ์โปเนนเรียล (Derivative of Logarithmic Function and exponential Function) ถ้า y = b x แล้ว x = ถ้า x = e y แล้ว y = ลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithm)

ln

เมื่อ คือ จํานวนเต็มบวก ซึ่งนิยมเขียนในรูป เรียกว่า

และ Log มีคุณสมบัติดังนี้

ln xy = ln

x = y

ln x y = ln e =

8. ถ้า f(x) = พิสูจน์

ln x

9. ถ้า

y = ln V(x)

10. ถ้า

y = e V(x )

เราจะได้ว่า

f ′( x)


f ′( x)


f ′( x)

พิสูจน์

[112]

11. ถ้า

y = a x where a > 0 and a ≠ 1


f ′( x)

พิสูจน์

12. ถ้า พิสูจน์

y = log a x


f ′( x)


f '(x) if f (x) = e3x −1


f '(x) if f (x) = ln(1 + 2x + x 2 )


f '(x) if f (x) = (1 + x)(1 + e x )(3 − x) 2 2

1

[113]


f '(x) if f (x) = (x 2 − 1)

2 − 3x 2 1 − 2x 3

อนุพันธ์อนั ดับที่สองและอันดับที่สูงขึ้นไป (Second and Higher Derivatives) อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ทําไปข้างต้น คือ อนุพันธ์อันดับที่ 1 (First derivative) ซึ่งจาก หลักการเดียวกันนี้ เราสามารถหาอนุพันธ์อันดับที่ 2 และอันดับที่สูงขึ้นไปได้เช่นกัน โดย นิยาม กําหนดให้ f’(x) เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ถ้า

f '(x + h) − f '(x) h →0 h

lim

หาค่าได้แล้ว เราจะ

เรียกค่าของลิมิตนี้ว่า “อนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) เทียบกับ x” (Second derivative of f(x) with respect to x) และใช้สัญลักษณ์ คือ ในทํานองเดียวกัน ถ้า f’’(x) มีอนุพันธ์เทียบกับ x เราจะเรียกอนุพันธ์นี้ว่า อนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ f(x) เทียบกับ x ใช้สัญลักษณ์ คือ f’’’(x) เป็นต้น สําหรับอนุพันธ์อันดับที่สูงขึ้นไปก็ใช้ สัญลักษณ์ในทํานองเดียวกัน ตัวอย่างที่ 17 กําหนดให้

4 3

y = x − x + 6x 4

1 3

จงหา

f ''' (x)

[114]

5.3 Convexity and Concavity , Maxima and Minima ในการวิเคราะห์เพื่อการสรุปผลต่างๆที่ใช้ฟงั ก์ชันเป็นหุ่นจําลองทางคณิตศาสตร์เพื่อแสดง ความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งต่างๆซึ่งจําเป็นในการวิเคราะห์ เช่น ฟังก์ชันแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง อุปสงค์กับอุปทาน ความสัมพันธ์ระหว่างต้นทุนกับกําไร เราอาจใช้อนุพันธ์ของฟังก์ชันช่วยใน (1) การวิเคราะห์คุณสมบัติของฟังก์ชัน (2) การหาค่าต่ําสุด/สูงสุด เฉพาะแห่งของฟังก์ชัน (Local max/ Local min) ซึ่งเป็นการ ประยุกต์ของอนุพันธ์อย่างง่ายๆที่ควรทราบ (3) การหาค่าความเร็วและอัตราสัมพัทธ์ 5.3.1 Global V.S. Local Extremum Concept พิจารณา รูป กราฟ a, b , c และ d ข้างล่างนี้

เราพบว่า กรณี กราฟ a เป็นกราฟที่วาดมาจากฟังก์ชันประเภท ค่าคงที่ (Constant Function) ดังนั้น กรณี กราฟ b เป็นกราฟที่วาดมาจากฟังก์ชันประเภท ฟังก์ชันเพิ่ม สม่ําเสมอ (Strictly Increasing Function) ทบทวนความจํา! ฟงกชันเพิ่มสม่าํ เสมอ (Strictly Increasing Function) หมายถึง ฟงกชันที่ f(x) < f(y) สําหรับทุกคา x และ y เมื่อ x < y

[115]

ดังนั้น กราฟ C เป็นกราฟที่วาดมาจากฟังก์ชันประเภท โพลิโนเมียล ดังนั้น

(d) จาก กราฟ d เราพบว่า

5.3.2 การทดสอบโดยใช้ อนุพนั ธ์ อันดับที่ 1 (First-Derivative Test) หากฟังก์ชัน y = f(x) มีค่าสูงสุด หรือ ต่ําสุด เฉพาะที่ (Local Max/ Local Min) ที่จุด x = x 0 อนุพันธ์อันดับที่ 1 จะมีโอกาสเป็นไปได้ 2 กรณี คือ 1. 2.

ขอสรุป ถาฟงกชนั มีลกั ษณะราบเรียบ (Smooth Function) แลว เงื่อนไขทีจ่ ําเปน (Necessary Condition) ในการที่จะหาจุดสูงสุด หรือ ต่ําสุดเฉพาะที่ (Local max/ Local min) คือ

[116]

เราเรียกค่าของ x ที่

f ′(x) = 0

ว่า จุดวิกฤติ (Critical point) หรือ จุดนิ่ง (Stationary Point)

อย่างไรก็ตามนักศึกษา! พึงสังเกตว่า เงื่อนไข f ′(x) = 0 เป็นเพียงเงื่อนไขที่จําเป็น (Necessary Condition) เท่านั้น ไม่ใช่เงื่อนไขที่พอเพียง (Sufficient Condition) ในการที่จะการันตีว่า จุด ดังกล่าวที่มีค่า f ′(x) = 0 จะเป็นจุดที่ให้ค่าต่ําสุด หรือสุดสุดเสมอไป ตัวอย่างที่จะยกขึ้นมาเช่น กราฟ a ในตัวอย่างข้างล่าง

เราพบว่า กราฟ a แม้ว่า ตําแหน่งที่ x = j จะให้ค่า f ′(x = j) = 0 ซึ่งทําให้ f(j) เป็นค่านิ่งของกราฟ (Stationary Value) แต่ก็ไม่ทําให้ จุด x = j เป็นค่าสูงสุด หรือ ต่ําสุด เราเรียกกรณีจุด x = j ว่า เป็น จุดเปลีย่ นเว้า (Inflection Point) หมายเหตุ จุดเปลี่ยนเว้า อาจเกิดขึ้นได้อีกกรณี คือ กราฟ b มาถึงจุดนี้ นักศึกษา อาจเกิดคําถามว่าแล้วเราจะแน่ใจได้อย่างไรว่าจุดวิกฤติของเรา จะเป็น จุดที่ให้ค่าสูงสุด หรือต่ําสุดเฉพาะที่ของกราฟที่กําลังพิจารณา คําตอบ คือ นอกจากเราจะพิจารณาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f(x) หรือ อนุพันธ์ อันดับที่ 1 ณ จุดวิกฤตแล้ว เรายังต้องพิจารณา การเปลี่ยนแปลงของเครื่องหมายของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f(x) ด้วย โดยมีหลักเกณฑ์ดงั นี้ การทดสอบเพือ่ หาค่าสูงสุด หรือ ต่ําสุดโดยใช้อนุพันธ์อนั ดับที่ 1 ทฤษฎี ถ้า อนุพันธ์อันดับที่ 1 ของ f(x) ที่จุด x = x 0 มีค่าเท่ากับ 0 ( f ′(x 0 ) = 0 ) แล้ว f (x 0 ) จะให้ 1. ค่าสูงสุดเฉพาะที่ของฟังก์ชนั หากเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับที่ 1 เปลี่ยนค่า จาก บวก (+) มาเป็น ลบ (-) เมื่อ หาค่าอนุพันธ์จากทางซ้ายของจุด x = x 0 มา ทางขวาของจุด x = x 0 [117]

2. ค่าต่ําสุดเฉพาะที่ของฟังก์ชนั หากเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับที่ 1 เปลี่ยนค่า จาก ลบ (+) มาเป็น บวก (-) เมื่อ หาค่าอนุพันธ์จากทางซ้ายของจุด x = x 0 มา ทางขวาของจุด x = x 0 3. ค่าจุดเปลีย่ นเว้า หากเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับที่ 1 ไม่เปลี่ยนค่าเลย เมื่อ หา ค่าอนุพันธ์จากทางซ้ายของจุด x = x 0 มาทางขวาของจุด x = x 0 ตัวอย่างที่ 18 จงหาค่าสูงสุด/ต่ําสุด ของฟังก์ชันต่อไปนี้ y = f (x) = x 3 − 12x 2 + 36x + 8

ตัวอย่างที่ 19 จงหาค่าต่ําสุดเฉพาะที่ของ ฟังก์ชันต้นทุนเฉลี่ย (Average-Cost Function) AC = f (Q) = Q 2 − 5Q + 8

[118]

5.3.3 การทดสอบโดยใช้ อนุพนั ธ์ อันดับที่ 2 (Second-Derivative Test) การตีความหมายของ อนุพนั ธ์อนั ดับที่ 2 (Interpretation of the Second Derivative) อนุพันธ์อันดับที่ 1 ( f ′(x) ) วัด อนุพันธ์อันดับที่ 2 ( f ′′(x) ) วัด โดยถ้า f ′(x 0 ) > 0 ค่าของฟังก์ชัน f(x) จะมีค่า f ′(x 0 ) < 0 f ′′(x 0 ) f ′′(x 0 )

>0 <0

ค่าของความชันของฟังก์ชัน f(x) จะมีคา่

ดังนั้น ถ้า f ′(x 0 ) > 0 และ

f ′′(x 0 )

>0 แสดงว่า

ถ้า

f ′(x 0 )

> 0 และ

f ′′(x 0 )

<0 แสดงว่า

ถ้า

f ′(x 0 )

< 0 และ

f ′′(x 0 )

>0 แสดงว่า

ถ้า

f ′(x 0 )

< 0 และ

f ′′(x 0 )

< 0 แสดงว่า

พิจารณารูปกราฟต่อไปนี้

[119]

กราฟ a เราพบว่า

กราฟ b เราพบว่า

5.3.3 รูปทรงของกราฟ (Curvature of a Graph) โดยทั่วไป ฟังก์ชัน หนึ่งๆ อาจมีรูปทรงที่เป็นไปได้ 2 ประเภท คือ Strictly Convex/ Convex หรือ Strictly Concave/Concave นิยาม ฟังก์ชัน f(x) จะมีรูปทรงเป็นประเภท Strictly Convex ก็ต่อเมื่อ หากหยิบจุด M และ N ใดๆ บนเส้นกราฟของฟังก์ชัน f(x) ขึ้นมาเชื่อมเส้นตรง MN แล้วพบว่า ค่าต่างๆบนเส้นตรง MN ที่สร้างขึ้น มีค่ามากกว่าค่า f(x) ณ ตําแหน่ง x เดียวกัน

นิยาม ฟังก์ชัน f(x) จะมีรูปทรงเป็นประเภท Strictly Concave ก็ต่อเมื่อ หากหยิบจุด M และ N ใดๆบนเส้นกราฟของฟังก์ชัน f(x) ขึ้นมาเชื่อมเส้นตรง MN แล้วพบว่า ค่าต่างๆบนเส้นตรง MN ที่ สร้างขึ้น มีค่าน้อยกว่าค่า f(x) ณ ตําแหน่ง x เดียวกัน

[120]

เราอาจนําประโยชน์ของ อนุพันธ์อันดับที่ 2 มาใช้ในการพิจารณารูปทรงของฟังก์ชัน โดย ทุกๆค่าของ x เราจะสรุปได้วา่ ฟังก์ชันนีเ้ ป็น Strictly Concave function ถ้า f ′′(x 0 ) และ ทุกๆค่าของ x เราจะสรุปได้ว่า ฟังก์ชันนี้เป็น Strictly Convex function ถ้า f ′′(x 0 ) ระวัง! 1.2 การใช้อนุพนั ธ์อันดับที่ 2 ในการหาค่าสูงสุด หรือ ต่ําสุด เฉพาะที่ ทฤษฎี ถ้า อนุพันธ์อันดับที่ 1 ของ f(x) ที่จุด x = x 0 มีค่าเท่ากับ 0 ( f ′(x 0 ) = 0 ) แล้ว จะให้ 1. ค่าสูงสุดเฉพาะที่ของฟังก์ชนั หาก 2. ค่าต่ําสุดเฉพาะที่ของฟังก์ชนั หาก

f (x 0 )

สรุป เงื่อนไขที่จําเป็น (Necessary Condition) และเงื่อนไขทีพ่ อเพียง (Sufficient Condition) ของการหาค่าจุดต่ําสุดและจุดสูงสุด เงื่อนไข First-order necessary Second-order necessary Second-order sufficient

ค่าสูงสุด (Maximum)

ค่าต่ําสุด (Minimum)

[121]

ตัวอย่างที่ 20 จงหาค่าสูงสุดเฉพาะแห่งหรือค่าต่าํ สุดเฉพาะแห่งของ f (x) =

1 4 x − 8x 2 ) ( 8

ตัวอย่างที่ 21 จงหาค่าสูงสุดเฉพาะแห่งหรือค่าต่าํ สุดเฉพาะแห่งของ x4 3 2 g(x) = − x 4 2

ตัวอย่างที่ 22 จงหาค่าสูงสุดเฉพาะแห่งหรือค่าต่าํ สุดเฉพาะแห่งของ f (x) = x 4

[122]

บทที่ 6 การหาผลเลิศโดยไม่มีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ (กรณีตัวแปรอิสระตัวเดียว) เรื่อง การหาผลเลิศโดยไม่มขี อบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ (กรณีตัวแปรอิสระตัวเดียว) จํานวนบรรยาย: 3 ครั้ง เนื้อหาประกอบด้วย - กําไรสูงสุด (Maximize Profit): ตลาดผลผลิต - กรณีตลาดแข่งขันสมบูรณ์ - กรณีตลาดผู้ขายผูกขาด - ผลกระทบของภาษีต่อการหากําไรสูงสุด - การเก็บภาษีแบบเหมาจ่าย (Lump-sum Tax) - การเก็บภาษีกําไร (Profit Tax) - การเก็บภาษีสรรพสามิต (Excise Tax) - การแสวงหารายรับสูงสุดจากภาษี

[123]

6.1 การหาผลเลิศโดยไม่มีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ (กรณีตัวแปรอิสระตัวเดียว) 6.1.1 ความสําคัญเรื่องการหาผลเลิศ การหาผลเลิศ (Optimization) มีบทบาทสําคัญอย่างมากในทฤษฎีทางเศรษฐศาสตร์ ตั้งแต่ เราเริ่มรู้จักกับวิชาเศรษฐศาสตร์ นักศึกษาคงพอจะจําความหมายของวิชาเศรษฐศาสตร์ ได้ว่า เป็น วิชาที่ว่าด้วยการจัดสรรทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจํากัด ( a limitation of resources) ให้เกิด ประสิทธิภาพมากที่สุด เมื่อเราเรียนเครื่องมือทางคณิตศาสตร์มาถึงตรงนี้ เราก็พร้อมแล้วที่จะนํา เครื่องมือที่มีอยู่ มาใช้ในการค้นหาว่า การจัดสรรทรัพยากรในเรื่องต่างๆ ไม่ว่าจะเป็นเรื่องพฤติกรรม ผู้บริโภค พฤติกรรมผู้ผลิต ควรจะเป็นเช่นไรถึงจะเกิดผลลัพธ์ที่ดีที่สุด (The essence of the optimization problem is to choose the BEST alternative available)

[124]

[125]

ในบทนี้ เราจะเรียนอะไร? 1. ทบทวนเทคนิคการหาค่าสูงสุดและต่ําสุด 2. การประยุกต์กับทฤษฎีพฤติกรรมผู้ผลิต 3. การประยุกต์กับทฤษฎีพฤติกรรมผู้บริโภค 1. ทบทวนเทคนิคการหาค่าสูงสุดและต่ําสุด

เงื่อนไขที่จําเป็น (Necessary Condition) และเงื่อนไขที่พอเพียง (Sufficient Condition) ของการหาค่าจุดต่ําสุดและจุดสูงสุด เงื่อนไข First-order necessary Second-order necessary Second-order sufficient



[126]

[127]

[128]

6.1.2 การประยุกต์กับทฤษฎีพฤติกรรมผูผ้ ลิต หากเรากําหนดให้พฤติกรรมของผู้ผลิต มีวตั ถุประสงค์ คือ ทํากําไรสูงสุด (Firm’s Maximization) กําไรของบริษัท เกิดจากส่วนต่างระหว่างรายได้โดยรวม (Total Revenue) และต้นทุนโดยรวม (Total Cost) หากกําหนดให้ปริมาณการผลิตของบริษัท เท่ากับ q โดยขายที่ราคา p และมีต้นทุนการผลิตเท่ากับ C(q) ดังนั้นกําไรของบริษัทหาได้โดย FONC:

SOSC:

ดังนั้นข้อสรุปที่ได้ คือ ผูผ้ ลิตจะทําการเลือกระดับการผลิตสินค้า Q* ที่จะทําให้ได้กําไรสูงสุด ณ จุด Q ที่ 1. 2.

[129]

แผนภาพ TR TC π MC และ MR

[130]

6.2 การวิเคราะห์การหากําไรสูงสุดในแต่ละตลาด 6.2.1 ตลาดแข่งขันสมบูรณ์ (Competitive Market) ทบทวน Concept ตลาดแข่งขันสมบูรณ์ คือ ตลาดที่มีการแข่งขันอย่างเต็มที่ในระหว่างผู้ซื้อและผูข้ าย อันเป็นผล ผลักดันให้ราคาสินค้าหรือปริมาณซื้อขายสินค้าในตลาดมิได้ตกอยู่ภายใต้อิทธิพลของผู้ซื้อหรือ ผู้ขายฝ่ายใดฝ่ายหนึ่ง แต่จะถูกกําหนดโดยกลไกตลาด ลักษณะของตลาดแข่งขันสมบูรณ์ 1. มีผซู้ ื้อและผูข้ ายจํานวนมาก (Many Buyers, many sellers) 2. สินค้าทีซ่ ื้อขายกันในตลาดมีลักษณะเหมือนกันทุกประการ (Homogeneous product) 3. ผูซ้ ื้อและผู้ขายแต่ละรายต่างรู้ถึงสภาพการณ์ในตลาดเป็นอย่างดี (Perfect information among buyers and Sellers) 4. การเข้าหรือออกจากตลาด ตลอดจนการโยกย้ายปัจจัยการผลิตสามารถกระทําได้โดยเสรี (Free entry and perfect mobility) จากลักษณะของตลาดข้างต้น เราสามารถหา ฟังก์ชัน กําไรของผู้ผลิตในตลาดแข่งขันสมบูรณ์ได้ดังนี้

FONC: SONC: ดังนั้นเงื่อนไขในการทํากําไรสูงสุดของตลาดแข่งขันสมบูรณ์ คือ

[131]

ตัวอย่างที่ 1 สมมติว่า กิ่งและเดียร์ ตัดสินใจร่วมกันว่า จะเปิดร้าน ขายเสื้อ ในตลาดแข่งขันสมบูรณ์ โดยมีต้นทุนการผลิต คือ C = 100 + Q 2 โดย Q คือ ระดับผลผลิต คําถาม ถ้า ราคาเสื้อ ในท้องตลาด คือ 60 บาท กิ่งและเดียร์ ควจจะผลิตเท่าไรถึงจะทํากําไรได้สูงสุด และราคาต่ําสุดเท่าไรที่จะทําให้ กิ่งและเดียร์ออกจากตลาด (Shut down price?) วิธีทํา

ตัวอย่างที่ 2 กําหนดให้ ผูผ้ ลิตในตลาดแข่งขันสมบูรณ์ แต่ละบริษัท เผชิญกับฟังก์ชันการผลิตแบบ Constant-returns Cobb Douglas technology เหมือนกัน ดังนี้ 1 2

1

โดย L คือ ปัจจัยแรงงาน โดยมีค่าจ้าง เท่ากับ w = 4 บาท และ K คือ ปัจจัยทุน โดย มีค่าเช่า เท่ากับ r=1 บาท คําถาม แต่ละบริษัทควรจะจ้างปัจจัยแรงงานเท่าไร ในการผลิตสินค้า ถึงจะทําให้เขาได้กําไรสูงสุด Q = L K2

[132]

คําถาม หาก มีบริษัทในตลาดทั้งหมด 48 บริษัท อุปทานโดยรวมของตลาดจะมีค่าเท่ากับเท่าไร

คําถาม ถ้าให้เส้น อุปสงค์ของตลาด (Market Demand) มีค่าเท่ากับ Qd = 294 / p ราคาดุลยภาพ ในตลาดแข่งขันสมบูรณ์จะมีค่าเท่ากับเท่าไร และแต่ละบริษัทจะได้กําไรในระยะสั้นเท่าไร (Short Run Profit)

คําถาม ในดุลยภาพระยะยาว (Long-run equilibrium) หากกําหนดให้ อุปสงค์ของตลาด มีค่าเท่า เดิม จงหาราคาดุลยภาพ จํานวนบริษัทที่จะอยู่ในตลาด ทบทวน Concept นักศึกษายังจําได้หรือไม่ว่ากําไรในระยะยาวของตลาดแข่งขันสมบูรณ์ เป็นเช่นไร π=

ดังนั้น เงื่อนไขดุลยภาพในระยะยาวของตลาดแข่งขันสมบูรณ์คือ 1. 2. [133]

6.2.2 ตลาดผูกขาด (Market Power: Monopoly) ปัจจัยอะไรที่ทาํ ให้เกิดการผูกขาด? ทบทวน: โครงสร้างตลาดและการกําหนดราคาและปริมาณ ณ ดุลยภาพ เพื่อให้ได้กําไรสูงสุด

เส้น รายรับเฉลี่ย (Average Revenue:AR) คือ เส้น รายรับสว่ นเพิ่ม (Marginal Ravenue:MR) คือ ในตลาดนี้ กําไรสูงสุดจะเกิดขึ้น ณ ตําแหน่ง ที่ [134]

การหาเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ ที่ทําให้ผผู้ ลิตในตลาดผูกขาด ได้กําไรสูงสุด กําหนดให้ รายรับรวม (Total Revenue:TR) คือ ต้นทุนรวม (Total Cost: TC) คือ กําหนดเป้าหมายของผู้ผลิต คือ การทํากําไรสูงสุด π= ดังนั้น หาปริมาณ Q ซึ่งทําให้ได้กําไรสูงสุด FONC:

SOSC: จากเงื่อนไขข้างต้น เราจะได้กฎในการตั้งราคาในตลาดผูกขาด : Rule of Thumb for Pricing นั่นคือ

การวัดอํานาจของการผูกขาด (Measuring Monopoly Power) นักศึกษา คงจําได้ว่าผู้ผลิตในตลาดแข่งขันสมบูรณ์ที่แสวงหากําไรสูงสุด จะทําการผลิตที่ ระดับ P = MC แต่พอมาในตลาดผูกขาด นักศึกษาจะพบว่า ณ ระดับการผลิต Q* ทีท่ ําให้ได้กําไร สูงสุด ผู้ผูกขาดจะตั้งราคา (Searching for the optimal price) ที่ระดับเกิน MC ดังนั้น การที่เรา จะวัดอํานาจของการผูกขาด จึงสามารถทําได้โดยวัดระดับการตั้งราคา P ที่เกินระดับ MC ว่ามาก น้อยแค่ไหน ซึ่งเราสามารถใช้ อัตราส่วนของ ความแตกต่างระหว่างราคาที่ตั้งกับ ต้นทุนส่วนเพิ่ม ส่วนด้วย ราคาที่ตั้ง หรือก็คือ Rule of Thumb ที่เราหาไว้แล้ว นารู! การวัดอํานาจการผูกขาด เริ่มมีการศึกษา ครั้งแรกโดย นักเศรษฐศาสตร ที่ชื่อวา Abba Lerner ใน ป ค.ศ. 1934 และเรียกการวัดนี้วา “ Lerner’s Degree of Monopoly Power”

[135]

L=

( P − MC ) = P

The Lerner Index มีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 สําหรับตลาดแข่งขันสมบูรณ์ ค่า Lerner Index มีค่า เท่ากับ ดังนั้น ค่า L ยิ่งมาก ยิ่งแสดงให้เห็นว่ามีอํานาจผูกขาดทางการตลาดมาก คําถาม 1. เวลา เราคํานวณหาค่า L เราใช้ค่า ความยืดหยุ่น ของ ตลาด (Elasticity of Market Demand Curve) หรือ ของ บริษัท (Firm’s Demand Curve) ตอบ 2. น.ศ. คิดว่าหาก ผู้ผูกขาดรายหนึ่ง (สินค้า ก) มีค่า L มากกว่า ผู้ผูกขาดอีกราย (สินค้า ข) แล้ว ใคร จะเป็นคนทํา กําไร ในตลาดมากกว่ากัน ตอบ

รูป ก. อุปสงค์มีความยืดหยุ่น ดังนั้น บริษัทจะมีอํานาจการผูกขาด

รูป ข. อุปสงค์มีความยืดหยุ่น ดังนั้น บริษัทจะมีอํานาจการผูกขาด

[136]

การเก็บภาษี ในตลาดผูกขาด (Taxation) ถ้ากําหนดให้ อุปสงค์ของตลาด คือ P = a − bQ

จะได้ว่า TR= และหากทําการกําหนด ต้นทุนการผลิตทั้งหมด (Total Cost) คือ TC=cQ+f กรณีที่ 1 เก็บภาษีแบบเหมาจ่าย (Lump sum Tax) กําไรสุทธิหลังหักภาษี (Total Profit after Tax) π=

หาระดับการผลิตที่จะทําให้ได้กําไรสูงสุด FONC:

SOSC:

จากเงื่อนไข FONC เราจะพบว่า ระดับการผลิตที่เหมาะสมที่จะทํากําไรสูงสุด คือ

และราคาทีเ่ หมาะสม คือ กําไรที่จะได้มีคา่ เท่ากับ [137]

ดังนั้น หากมีการเก็บภาษีแบบเหมาจ่าย ผู้ผลิตจะยังคงผลิตที่ระดับ Q* และ P* เหมือนก่อนเก็บ ภาษี เพียงแต่ระดับกําไรสุทธิที่ได้จะลดลง เท่ากับ จํานวนภาษีที่จัดเก็บ (T) ในทางเศรษฐศาสตร์ ภาษีแบบนี้ จัดอยู่ในกลุ่ม Neutral Tax

กรณีที่ 2 เก็บภาษีแบบภาษีกําไร (Profit Tax) สมมติให้ กําหนดให้จัดเก็บภาษีจากกําไรของบริษัท ในอัตราร้อยละ t ดังนั้น กําไรสุทธิหลังหักภาษี (Total Profit after Tax) π=


SOSC:


และราคาทีเ่ หมาะสม คือ กําไรที่จะได้มีค่าเท่ากับ

[138]

ดังนั้น หากมีการเก็บภาษีแบบภาษีกําไร ผู้ผลิตจะยังคงผลิตที่ระดับ Q* และ P* เหมือนก่อนเก็บ ภาษี เพียงแต่ระดับกําไรสุทธิที่ได้จะลดลง เท่ากับ t.π * ในทางเศรษฐศาสตร์ ภาษีแบบนี้ ก็เหมือนกันกับกรณี ภาษีแบบเหมาจ่าย กล่าวคือจัดอยู่ในกลุ่ม Neutral Tax นั่นเอง! กรณีที่ 3 เก็บภาษีแบบภาษีสรรพสามิต (Excise Tax) กําหนดให้มีการจัดเก็บภาษี ในอัตรา t บาทต่อหน่วย (Specific Tax) กําไรสุทธิหลังหักภาษี (Total Profit after Tax) π=


SOSC:


และราคาทีเ่ หมาะสม คือ กําไรที่จะได้มีค่าเท่ากับ

้ ิตจะลดการผลิต Q* และ เพิ่มระดับราคา P* ดังนั้น หากมีการเก็บภาษีแบบภาษีสรรพสามิต ผูผล และได้ระดับกาํ ไรลดลง [139]

ในทางเศรษฐศาสตร์ ภาษีแบบนี้ จัดอยู่ในกลุ่ม Distortion Tax เราสามารถทําการวิเคราะห์เชิงสถิตย์ (Comparative Static) เพื่อดูผลกระทบของการเพิ่ม(ภาษี) ได้ ดังนี้ ∂Q* = ∂t ∂P* = ∂t ∂π * = ∂t

คําถาม ต่อมาคือ ถ้าหากว่ารัฐบาลต้องการที่จะจะเลือกระดับอัตราภาษีที่จัดเก็บแล้วทําให้ได้ภาษี มากที่สุด อัตราภาษีดังกล่าว ควรมีค่าเป็นเท่าไร จากระดับการผลิตที่จุดดุลยภาพ Q* = ดังนั้น หากกําหนดอัตราภาษี เท่ากับ t บาทต่อหน่วย ภาษีที่จะจัดเก็บได้ทั้งสิ้น คือ Total Tax Revenue = t.Q* = FONC: SOSC: ดังนั้น อัตราภาษีที่จะทําให้ได้รายได้จากภาษีมากที่สุด มีค่าเท่ากับ

Tax Revenue

[140]

สมมุติให้รัฐบาลทําการเก็บภาษีต่อหน่วย (Specific Tax) ในอัตรา t บาท ต่อหน่วย ดังนั้น อัตราภาษี ทั้งหมดที่ผู้ผลิตจะต้องจ่าย คือ T=

ดังนั้น

แบบฝึกหัด ข้อที่ 1 กําหนดให้ กลุม่ การค้าของ โซซอลโน มีอํานาจผูกขาดในการขาย เกลือ ให้กบั เมือง หมูยอ โดย คนในเมือง หมูยอ มีอุปสงค์ความต้องการเกลือ ดังนี้ P = 100 − 0.01Q

โดย Q คือ จํานวนเกลือ (ตัน) P คือ ระดับราคาเกลือ (บาท) ถ้า ต้นทุนในการขายเกลือ คือ C = 50Q + 30, 000 คําถาม (1) บริษัทนี้ควรจะทําการผลิตเกลือเท่าไร และตั้งราคาขายอย่างไร ถึงจะได้กําไรมากที่สุด (2) ถ้า เมือง หมูยอ ต้องการเก็บภาษีจากการขายเกลือ ในอัตรา 10 บาทต่อหน่วย จงหาระดับการ ผลิตใหม่ และราคา ที่จะทําให้ได้กําไรสูงสุด (3) หากว่า เมืองหมูยอ ต้องการที่จะจะเลือกระดับอัตราภาษีที่จัดเก็บแล้วทําให้ได้ภาษีมากที่สุด อัตราภาษีดังกล่าว ควรมีค่าเป็นเท่าไร

[141]

ข้อที่ 2: กําหนดให้ หมอโอ๊ก ทําการผลิตสบูล่ ้างหน้าใสสูตรเฉพาะโดยทําการจดสิทธิบัตรผูกขาดการ ขายแต่เพียงผู้เดียว ซึ่งปรากฏว่าขายดีมาก โดยมีฟังก์ชันความต้องการซื้อสบู่ล้างหน้าใส ดังนี้ P = a − bQ

และในการผลิต มีต้นทุนทั้งหมด เท่ากับ TC=cQ+f ต่อมาคุณ ระเบียบเอกชน ออกโรงเสนอรัฐบาล ให้จัดเก็บภาษีกับผู้ผลิตในอุตสาหกรรมเครื่องสําอาง เพื่อจัดตั้งเป็นกองทุน สําหรับผู้บริโภคที่ได้รับผลกระทบจากการใช้เครื่องสําอาง โดยเสนอให้จัดเก็บ ในรูปภาษี การขาย (Sale Tax) โดยหากเก็บในอัตราร้อยละ t จํานวนภาษีที่จะได้ทั้งหมด จะมีค่า เท่ากับ T = tPQ ( ร้อยละ t ของรายรับรวม) ก. จงเขียน ฟังก์ชันกําไรสุทธิหลังภาษีของ หมอโอ๊ก ข. หาเงื่อนไข FONC และ SOSC ที่จะทําให้ หมอโอ๊กได้กําไรสูงสุด จากการจัดเก็บภาษีตาม ข้อเสนอของคุณ ระเบียบเอกชน พร้อมทั้งหา P* Q* และ π * ค. หากรัฐบาลต้องการให้กองทุนนี้มีรายได้มากที่สุด อัตราภาษีที่เหมาะสมควรมีค่าเป็นเท่าไร

[142]

บทที่ 7 การหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มีตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัวในทฤษฎี เศรษฐศาสตร์ เรื่อง การหาค่าอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันที่มีตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัวในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ เนื้อหาประกอบด้วย - ดิฟเฟอเรนชิเอชันบางส่วน (Partial Differentiation) - อนุพันธ์บางส่วนขั้นที่สอง (Second-order Partial Derivative) - ดิฟเฟอเรนเชียล (Differentials) - ดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด (Total Differentials) - อนุพันธ์รวม (Total Derivative) - การหาค่าอนุพันธ์ของ Implicit Functions ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ - แบบจําลองดุลยภาพตลาดแบบแยกส่วน (Partial Market Equilibrium) - ตัวคูณ (Multipliers)ในแบบจําลองเศรษฐกิจมหภาค - ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ - ฟังก์ชันการผลิต - ความยืดหยุ่น

[143]

ในการวิเคราะห์ปัญหาในทางเศรษฐศาสตร์ด้วยเครื่องมือทางคณิตศาสตร์นั้น เป้าหมายอย่าง หนึ่งที่เราสนใจ คือต้องการเข้าใจว่าการที่ตัวแปรในทางเศรษฐศาสตร์เปลี่ยนไปนั้น จะส่งผลเช่นไรต่อ ตัวแปรตัวอื่นๆที่เราสนใจ (Comparative Static) ซึ่งจากบทก่อนหน้านี้เราก็ได้เรียนรู้วิธีการวิเคราะห์ ปัญหาเช่นนี้กับแบบจําลองในทางเศรษฐศาสตร์ที่มีตัวแปรเดียว y = f ( x 1 ) โดยใช้เครื่องมือในการ วิเคราะห์ คือ One-variable calculus อย่ า งไรก็ ต ามเราพบว่ า ในแบบจํ า ลองทางเศรษฐศาสตร์ ไ ม่ ว่ า จะเป็ น ฟั ง ก์ ชั น การผลิ ต (Production function) ฟังก์ชันต้นทุน (Cost function) ฟังก์ชันกําไร (Profit function) ฟังก์ชัน อรรถประโยชน์ (Utility Function) ฟังก์ชันอุปสงค์ (Demand Function) เป็นต้น ฟังก์ชันเหล่านี้ ล้วนแล้วแต่แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรต่างๆในทางเศรษฐศาสตร์มากกว่า 1 ตัว y = f ( x 1 ,..., x n ) ดั ง นั้ น ในการวิ เ คราะห์ ผ ลกระทบของการเปลี่ ย นแปลงของตั ว แปรต่ า งๆใน แบบจําลอง จึงมีความจําเป็นที่จะต้องมีเครื่องมือในการวิเคราะห์ที่เหมาะสม นั่นคือ Multivariable calculus 7.1 Functions between Euclidian Spaces Definition A function from a set A to B is a rule that assigns to each object in A, one and only one object in B. In this case, we write f : A → B ตัวอย่างที1่ f : R 2 → R1 f (x, y ) = x 2 + y 2 Domain: Range: f : R1 → R1 1 g(x) = x Domain: Range: หมายเหตุ ถ้าให้ X คือจุด 1 จุด ใน domain ดังนั้น f(X) ก็เป็นแค่ค่า 1 ค่าของ Range เหมือนกัน ดังนั้น หากเราจะเขียน f(X) แทน ฟังก์ชันคงจะไม่เหมาะสม ดังนั้น การจะเขียนสัญลักษณ์แสดงถึง function จึงใช้ เพียงแค่ สัญลักษณ์ f หรือ ใช้ X → f (X)

[144]

ตัวอย่างที่ 2 รูปแบบฟังก์ชันหลายตัวแปรในทางเศรษฐศาสตร์ Function R n → R The constant elasticity demand function ⇒ q1 = f ( p1 , p 2 , y ) = k1p1α p 2β y γ The firm’s production function q = a1x 1 + a 2 x 2 ⇒ Linear q = kx 1α x 2β ⇒ Cobb − Douglas ⎧x x ⎫ q = min ⎨ 1 , 2 ⎬ ⇒ input − output ⎩ c1 c 2 ⎭ b −a − a 2 2 m

q = k ( c x + c x ) ⇒ Cons tan t Elasticity of Substitution Function R → R The firm’s production function that uses three inputs to produce two outputs q1 = f1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) q 2 = f2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) −a 1 1 k

q = ( q1 , q 2 ) = ( f1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) , f2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ) = F ( x 1 , x 2 , x 3 )

ซึ่งในกรณีนี้ F : R 3 → R 2 7.1.1 การใช้รปู ภาพในการแสดงฟังก์ชนั (Geometric representation of function) “The picture is not just “worth a thousand words”; sometimes, it’s all that counts.” ในตอนที่เราเรียน ฟังก์ชัน R 1 ไปยัง R 1 เราได้รู้ว่ารูปกราฟที่ได้จากการวาดให้ข้อมูลต่างๆที่ ดีในการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งหากไม่มีรูปภาพ การเห็นสมการคณิตศาสตร์ อาจจะ เป็นการยากที่จะวิเคราะห์ได้ว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเพิ่ม (Increasing function) หรือ ฟังก์ชันลด (Decreasing function) ณ ตําแหน่งใด หรือ ค่าสูงสุดของฟังก์ชันมีหรือไม่ เป็นต้น และหากเราสังเกตฟังก์ชันในทางเศรษฐศาสตร์ดีๆ จะพบว่าฟังก์ชันเหล่านี้สามารถสะท้อน ความสัมพันธ์ออกมาได้จากกราฟที่วาด ตัวอย่างเช่น กราฟ Demand มีลักษณะเป็น negative slope แสดงให้เห็น ถึงกฎของ Demand กราฟการผลิตของบริษัท เป็นกราฟประเภทเพิ่มขึ้น แต่เพิ่ม ในอัตราที่ลดลง สะท้อนให้เห็นถึงกฎการลดน้อยถอยลงของผลผลิต (Diminishing marginal product) เป็นต้น ดังนั้น การวาดรูปจึงมีส่วนช่วยในการวิเคราะห์ฟังก์ชันได้ดี

[145]

7.1.2 Geometric Representations of Functions of Several Variables เราสามารถวาดกราฟฟังก์ชัน y = f ( x, y, z ) ลงบนระนาบแบบ 3 มิติได้ โดยกราฟที่ได้จะ ประกอบด้วยค่า (x,y,z) ที่ทําให้ค่าของฟังก์ชันเป็นจริง ตัวอย่างที่ 3 จงวาดกราฟ ก. x=a จงวาดกราฟ ข. px + qy + rz = m

กราฟ ค. z = f ( x , y ) = x 2 + y 2

กราฟ ง. x 2 + y 2 + z 2 = 2

[146]

กราฟในรูป ข มีความหมายในทางเศรษฐศาสตร์ เช่น แสดงถึง Budget Constraint ของผู้บริโภค หรืออย่างเช่นฟังก์ชันการผลิต y = f ( L, K ) โดยที่ y คือ ระดับผลผลิต L คือ แรงงาน K คือ ทุน กราฟ: ฟังก์ชนั การผลิตแบบ Cobb-Douglas โดยมีปัจจัยการผลิต คือแรงงาน (L) และ ทุน (K)

7.1.3 Level Curves for z = f(x,y) จากกราฟ 3 มิติข้างต้น เราสามารถหาความสัมพันธ์ของค่า x และ y ณ ระดับ f(x,y) = c ต่างๆได้ โดยการตัดแกน z=c จากนั้นทําการ plot จุดตัด ณ ตําแหน่ง z= c ลงบนแกน xy เราจะได้ สิ่งที่เรยกว่ ี า Level Curve ณ ระดับ z=c โดยจุดต่างๆ ที่อยู่บน Level Curve นี้ จะสอดคล้องกับ สมการ f ( x, y ) = c

[147]

ตัวอย่างที่ 4 พิจารณา ฟังก์ชัน z = f ( x , y ) = − x 2 − y 2 จงวาด Level Curve

ตัวอย่างที่ 5 จงหา Level Curve ของฟังก์ชันการผลิต จากฟังก์ชันการผลิตข้างต้น เราสามารถหาความสัมพันธ์ของ ปัจจัยการผลิตแต่ละชนิดที่ทํา ให้ได้ผลผลิต ณ ระดับหนึ่งๆ นักศึกษาคงรูว้ ่าเรากําลังจะพูดถึง เส้น Isoquant ซึ่งก็คือ Level curve ในทางคณิตศาสตร์ นั้นเอง ! ใช้วิธีการเช่นเดิม เราหา Level curve ได้ โดยการตัดแกน ผลผลิต ณ จุดการผลิตที่เราต้องการ เช่น y=10, y=20 เป็นต้น ตามแนวนอน เราจะได้เส้น Isoquant 1 เส้น จากนั้นนํามาวาดใหม่ลงบน Cartesian Plane เราจะได้

กราฟ: Level Curves for a Production Function

จากตัวอย่างข้างต้นที่กล่าวมาทั้งหมด เราจะพบว่า การวาดรูปกรณีฟังก์ชัน 2 ตัวแปร ก็มี ประโยชน์ เนื่องจากทําให้เราพอมองเห็นภาพว่า ฟังก์ชันนั้นๆเป็นฟังก์ชันเพิ่ม หรือ ลด และ จะมีทิศ ทางการเปลี่ยนแปลงเช่นไรหากค่าของตัวแปรตัวหนึ่งตัวใดเปลี่ยนค่าไป อย่างไรก็ตาม หาก ฟังก์ชัน ของเราเกี่ยวข้องกับตัวแปรมากว่า 2 ตัว เราจะไม่สามารถวาดกราฟได้อีกต่อไปเนื่องจากเหนือ ความสามารถของมนุษย์ที่จะวาดกราฟ 4 มิติขึ้นไป ดังนั้นหากเราต้องการจะรู้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้จะมีทิศทางการเปลี่ยนแปลงเช่นไร จะมีจุดสูงสุด หรือไม่ คําตอบเหล่านี้สามารถตอบได้ด้วยเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้

[148]

7.2 Partial Derivative กําหนดให้ y = f ( x 1 , x 2 ,..., x n )

โดยที่ กัน

xi

คือ ตัวแปรอิสระของฟังก์ชัน y (i=1,2,...,n) ทั้งนี้ x 1 , x 2 ,..., x n ต่างเป็นอิสระซึ่งกันและ

ถ้าตัวแปรอิสระ x เปลี่ยนแปลงไปเท่ากับ ∆x ในขณะที่ตัวแปร เปลี่ยนแปลง เราจะพบว่า ค่าของ y จะมีการเปลี่ยนแปลงไปเท่ากับ i

1

หากเขียนในรูปอัตราการเปลี่ยนแปลงของ

ถ้า เราให้ การเปลี่ยนแปลงของ

∆x1 → 0

∆y

ต่อการเปลี่ยนแปลงของ

ตัวที่เหลือไม่มกี าร

xi

∆x1

จะเขียนได้ว่า


∆y ∂y ≡ ≡ f1 ∆x1 →0 ∆x ∂ x 1 1 lim

∂y อ่านว่า “ อนุพันธ์บางส่วนของ y เทียบกับ ∂x 1 with respect to x )”

สัญลักษณ์

x1

(The partial derivative of y

1

ตัวอย่างที่ 6 กําหนดให้

y = f ( x1 , x2 ) = 3 x12 + x1 x2 + 4 x22


y = f (u, v) = (u + 4)(3u + 2v)

จงหา

จงหา

∂y ∂x1

∂y ∂u

และ

และ

∂y ∂x2

∂y ∂v

[149]

ตัวอย่างที่ 8 กําหนด

y = (3u − 2v) /(u 2 + 3v)

จงหา

∂y ∂u

และ

∂y ∂v

ตัวอย่างที่ 9 กําหนดให้ ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของผู้บริโภค คือ U ( x1 , x2 ) = x1 log x2

จงหาค่า

MU x

และ

MU y

แบบฝึกฝน 1. Compute all the partial derivatives of the following function a) 4x 2 y − 3 xy 3 + 6 x b) xy d) e 2 x +3 y c) xy 2 x+y f) 3 x 2 y − 7 x y e) x−y 2. Compute the partial derivative of the Cobb-Douglas function q = k1x 1a1 x 2a2 and of the Constant Elasticity of Substitution (CES) production function b −a −a 2 2

q = k (c x + c x −a 1 1

)

assuming that all the parameters are positive

[150]

7.2.1 การตีความทางเศรษฐศาสตร์ (Economic Interpretation) ผลผลิตส่วนเพิ่ม: Marginal Product สําหรับฟังก์ชัน 1 ตัวแปร y = f ( x ) ค่า f ′( x ) หมายถึง

ด้วยหลักการเดียวกัน สําหรับฟังก์ชันหลายตัวแปร เช่น Q = F ( K , L) ซึ่งเป็นฟังก์ชันการผลิตโดยใช้ปัจจัยการผลิต 2 ประเภท คือ แรงงาน (L) และ ทุน (K) หากให้ปัจจุบันบริษัทนี้ ทําการเลือกปัจจัยการผลิต ณ ระดับ L=L* และ K=K* ∂F ( K * , L* ) ดังนั้น ค่า ∂K หมายถึง โดยหากเพิ่ม K เท่ากับ ∆K

และ หากกําหนดให้ ∆K =1 ∂F ( K * , L* ) จะหมายถึงการเปลี่ยนแปลงของผลผลิตต่อการเปลี่ยนแปลงของปัจจัยทุน 1 หน่วย ค่า ∂K หรือ Marginal product of capital ( MPk ) ∂F ( K * , L* ) จะหมายถึงการเปลี่ยนแปลงของผลผลิตต่อการเปลี่ยนแปลงของปัจจัย เช่นเดียวกัน ∂L แรงงาน 1 หน่วย หรือ Marginal product of labor ( MPL ) ตัวอย่างที่ 10 กําหนดให้ฟังก์ชันการผลิตเป็นแบบ Cobb-Douglas production function 3 1 4 4

Q= Q = 4K L โดยที่ปัจจุบันใช้ปัจจัยการผลิตดังนี้ L= 625 หน่วย และ K = 10,000 หน่วย จงคํานวณหา ค่า MPL และค่า MPK พร้อมทั้งประมาณค่าผลผลิต หากมีการเพิ่มปัจจัยทุน อีก 10 หน่วย

[151]

แบบฝึกฝน ∂T 1.1 If T ( x , y ) is the temperature function, interpret ⎛⎜ ⎞⎟ ( x * , y * ) ⎝ ∂x ⎠ 2 3

1 3

1.2 Consider the production function Q = 9L K a) What is the output when L = 100 and K = 216? b) Use the marginal analysis to estimate Q(998,216) and Q(1000, 217.5) c) Use the calculator to compute these two value of Q to three decimal places and compare these value with your estimate in b. 1.3 The demand function Q1 = K 1P1a11 P2a12 I b1 is called a constant elasticity demand function a) Compute the three elasticities ( own price, cross price, and income), and show that they are all constants b) What are reasonable ranges for the four parameters in Q1 7.3 The Chain Rule บางครั้งฟังก์ชันที่เรากําลังพิจารณา อาจจะเป็นฟังก์ชันประเภท Composite function ตัวอย่างเช่นในแบบจําลองทางเศรษฐศาสตร์ เรามักจะเจอแบบจําลองที่เกี่ยวข้องกับ Composite function ตัวอย่างเช่น ระดับผลผลิตของบริษัท อาจจะแสดงได้ว่าเป็นฟังก์ชันของ ปัจจัยทุนและ แรงงาน ซึ่ง ปัจจัยทุนและแรงงาน อาจจะเป็นฟังก์ชันขึ้นอยู่กับเวลาอีกที เป็นต้น คําถาม คือ ผลผลิต จะเปลี่ยนแปลงตาม t อย่างไร? Definition: Let f : A → B and g : C → D be two functions. Suppose that B, the image of f , is the subset of C , the domain of g . Then, the composition of f with g, g f : A → D , is defined as the function ( g f )( x) = ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยรูปข้างล่างนี้

รูป: The composition of f with g [152]

สมมุติให้ z เป็นฟังก์ชัน ของ x และ y โดยที่ z = F ( x, y ) โดยที่ x และ y ต่างก็เป็นฟังก์ชันของ t x = f ( t ), y = g (t ) ดังนั้น จะได้ว่า z = F ( f (t ), g ( t ))


y = log( x1 + x2 )

โดยที่

x1 = t

และ

x2 = t 2

จงหา ค่า

dy dt

โดยวิธีการแทน

ค่า (Direct Substitution) และโดยวิธี Chain rule

ตัวอย่างที่ 12 จงหาค่า

dz at t = 0 if dt

5t 2 + 3 xy z= x = t 2 + 1 y = t 2 + 1 w = et + 1 2 2w y

[153]

Higher-Order Derivative ∂f เนื่องจาก ของฟังก์ชัน y = f ( x 1 , x 2 ,..., x n ) ก็เป็นฟังก์ชันของ x 1 , x 2 ,..., x n ดังนั้น ∂x i ∂f เราก็น่าจะสามารถหา partial derivative ของ ได้ ∂x i Continuously Differentiable Function ตามที่เราเคยพูดไปแล้วว่า ฟังก์ชันอาจจะไม่สามารถหาค่าอนุพันธ์ได้ทุกตําแหน่ง ตัวอย่างที่ เห็น คือ y = x ซึ่งไม่สามารถหาค่า derivative ได้ที่จุด x=0 และหาก ฟังก์ชันใดๆสามารถหาค่า อนุพันธ์ได้ทุกๆค่าของ x ในช่วงโดเมนหนึ่งๆ (J) เราก็จะกล่าวได้ว่า f หาค่าอนุพันธ์ได้ในช่วง J และ หากค่าอนุพันธ์ที่หาได้ f ′ ( x ) มีความต่อเนื่องทุกค่าของ x ในช่วง J เราก็จะกล่าวได้ว่า f is continuously differentiable หรือ C1 on J เราสามารถขยายแนวคิดนี้กับอนุพันธ์อันดับที่สูงขึ้น เช่น ถ้า f ′ ( x ) มีอนุพันธ์ทุกค่าของ x ในช่วง J หรือ ( f ′)′( x ) = f ′′ ( x ) เราก็จะกล่าวได้ว่า f is twice differentiable on J และถ้า f ′′ ( x ) ต่อเนื่องทุกค่า x เราก็จะพูดได้ว่า f is twice continuously differentiable หรือ C 2 on J หลักการเดียวกันนี้สามารถขยายไปยังฟังก์ชันหลายตัวแปรได้ โดย ∂f * (x ) = ∂x i ถ้าหาค่าได้ ทุกค่า i เราก็เรียกว่า f is differentiable at x * และหาก ต่อเนื่องเราก็เรียก f is continuously differentiable หรือ C1 on J at x * ∂f * และหาก ( x ) สามารถ differentiable เช่น ∂x i ∂ ⎛ ∂f ⎞ ⎜ ⎟ ∂x j ⎝ ∂x i ⎠

∂f * ( x ) มีความ ∂x i

∂ 2f เราเรียก x i x j second order partial derivative of f ซึ่ง นิยมเขียนใหม่เป็น ∂x j ∂x i ∂ 2f ∂ 2f ทั้งนี้ นิยมเขียนเป็น 2 ∂x i ∂x i ∂x i 2 ∂f ส่วน เมื่อ i ≠ j เรียกว่า Cross partial derivatives or mixed partial derivatives ∂x j ∂x i [154]

Second-order Derivative and Hessians 3 1 4 4

ตัวอย่างที่ 13 จากฟังก์ชันการผลิต Q = 4K L จงหา all second derivatives

จากตัวอย่างเราจะสังเกตได้ว่า กรณีที่เป็น function 2 ตัวแปร เราจะหาค่า second order partial derivative ได้ทั้งหมด 4 ค่า ดังนั้น ฟังก์ชัน n ตัวแปร จะมี second order partial derivative ทั้งหมด n 2 ค่า ∂ 2f ซึ่งสามารถนํามาเขียนในรูป Matrix ขนาด n × n ได้ ซึ่ง ตําแหน่ง (i,j) แสดงถึงค่า ( x* ) ∂x j ∂x i Matrix ดังกล่าว มีชื่อว่า Hessian Matrix ซึ่งเขียนสัญลักษณ์ได้ดังนี้

D 2 fx =

ตัวอย่างที่ 14 กําหนดฟังก์ชัน

y = f ( x1 , x2 ) = x1e x1 + x2

2

จงหาค่า

f1 , f 2

และ Hessian Matrix

[155]

นักศึกษาสังเกตเห็นอะไรจากการหา Second Partial Derivative จากตัวอย่างข้างต้น ทฤษฎี: (Young’Theorem) กําหนดให้ เราจะได้ว่า

y = f ( x1 ,...., xn )

2

เป็นฟังก์ชัน C บนช่วงโดเมน J ใน R

n

∂ 2f ∂ 2f (x) = (x) ∂x j ∂x i ∂x i ∂x j

ตัวอย่างที่ 15 กําหนดฟังก์ชันการผลิต แบบ Cobb-Douglas function F ( K , L, T ) = AK L T โดยที่ A, a, b, and c are positive จงหา Marginal Products และ the Second-order partials a b

c

Noted: Young’s Theorem บอกเราว่า Hessian Matrix เป็น Symmetric matrix

[156]

7.4 The Total Differential of A Function of Several Variables ในกรณีฟังก์ชันตัวแปรเดียว เราสามารถเขียน differential ได้ดังนี้ dy = f ′( x)dx

โดยที่ the differential แสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงของค่า y ตามเส้นสัมผัสฟังก์ชันตรงจุด x (the tangent to the function at x) โดยจริงๆแล้วการเปลี่ยนแปลงของค่า y เมื่อค่า x เปลี่ยนมีค่า เท่ากับ ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x )

อย่างไรก็ตามเมื่อ ค่า

∆x

มีค่าเล็กมากๆ ( ∆x → 0 ) เราสามารถหาค่า การเปลี่ยนแปลงของ y ได้จาก

∆y = f ′( x )∆x + ε∆x

โดย

ε →0

เมื่อ ( ∆x → 0 )

เราพบว่า ค่า f ′ ( x ) สามารถตีความได้ว่าเป็นสัดส่วนของการเปลี่ยนแปลงของ dy ต่อ dx โดย dy และ dx เราเรียกว่า differential of x และ differential of y ตัวอย่างที่ 16 กําหนดให้

y = 3x 2 + 7 x − 5

จงหา

dy

Remark 1. 2. 3. [157]

กระบวนการที่ได้ค่า dy จาก y=f(x) เรียกว่า “Differentiation” dy อย่างไรก็ตามเราก็ใช้ “ Differentiation” ในตอนที่หาค่า ดังนั้นเพื่อไม่ให้สับสน dx dy เราจะเรียกกระบวนการนี้ว่า “Differentiation with respect to x” หากเราจะหาค่า dx 7.4.1 Total differentials Concept เรื่อง differential สามารถขยายต่อไปสําหรับฟังก์ชันหลายตัวแปรได้ S = S (Y , i )

โดยที่ Y คือ national Income S คือ Saving I คือ Interest rate โดยสมมติให้ S ∈ C1 dS =

การเปลี่ยนแปลงของ S (ds) ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของ y และ i (dy,di) เพราะฉะนั้นเราเรียกว่า และกระบวนการได้มาซึ่ง Total differential เราเรียกว่า หาก เรามี f : R n → R เช่น U = U ( x1 , x2 ,..., xn )

dU =

[158]

7.4.2 กฎของการ differential ถ้ากําหนดฟังก์ชัน y = f ( x 1 , x 2 ) Rule:1 dk = 0 Rule:2 d (cU ) = Rule:3 d (U ± V ) = Rule:4 d (UV ) = n

Rule:5

⎛U d⎜ ⎝V

⎞ ⎟= ⎠

Rule:6 Rule:7

d (U ± V ± W ) = d (UVW ) =


y = 5 x12 + 3 x2


y = 3 x12 + x1 x22


y=

x1 + x2 2 x12

[159]


y = 3x1 (2 x2 − 1)( x3 + 5)

7.4.2 The Total Derivatives พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้ y = f ( x, w)

where x = g ( w)

จากฟังก์ชันข้างต้น ประกอบด้วยตัวแปร y x และ w ซึ่งมีผลกระทบต่อกันดังแสดงในแผนภาพ ข้างล่าง จากแผนภาพจะพบว่า ตัวแปร w สามารถที่จะกระทบ y ได้ใน สองทาง กล่าวคือ (1) ทางอ้อม (Indirect Effect) โดยผ่านทางฟังก์ชัน g และ f (2) ทางตรง (Direct Effect) โดยผ่านทางฟังก์ชัน f การที่เราหาค่า partial derivative จึงเป็นการหาเพียงผลกระทบทางตรงเท่านั้น ดังนั้นเพื่อศึกษา ผลกระทบโดยรวมจึงจําเป็นต้องทําการหา Total Derivative แผนภาพ “Channel Map” แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร y x และ w y

f

g

x

w

f

[160]

ในการหา Total derivative นั้น เราเริ่มจากการทํา total differential ทําการหารทั้งสองข้างของสมการด้วย dw เราจะได้ผลคือ

dy = f x dx + f w dw

จากนั้น

dy dx dw = fx + fw dw dw dw =

เราเรียกกระบวนการหาค่า Total derivative respect to w”

dy ว่า “ The total differentiation of Y with dw

dy dw where x = g ( x ) = 2w 2 + w + 4

ตัวอย่างที่ 21 จงหาค่า Total derivative Y=f(x,w)= 3 x − w 2

ตัวอย่างที่ 22 ถ้ากําหนด U=U(C,S) C คือปริมาณกาแฟที่บริโภค S คือ ปริมาณน้ําตาล S=g(C)

พิจารณาตัวอย่างถัดมา y = f ( x1 , x2 , w )

where x1 = g ( w) x2 = h( w)

dy = dw

[161]

y

f

g x1

f

w

h x2

f

ตัวอย่างที่ 23 กําหนดให้ Q = Q( K , L, t ) K=K(t) L=L(t)

กําหนดให้

y = f ( x1 , x2 , u , v )

โดย

x1 = g ( u , v ) x2 = h ( u , v )

dy = du

dy = dv

ตัวอย่างที่ 24 จงหาค่า Total derivative

dz dy

ของ

z = f ( x, y ) = 2 x + xy − y 2 , where x = g ( y ) = 3 y 2

[162]

ตัวอย่างที่ 25 จงหาค่า Total derivative ของ

z = f ( x, y , t ) where x = a + bt and y = c + dt

ตัวอยางท ่ ี่ 26 จงหา partial total derivative

ξw ξw และ ξu ξv

w = ax 2 + bxy + cu where x = α u + β v y =γu

7.5 Implicit Functions ฟังก์ชันทั่วไปอยู่ในรูปแบบ

y = f ( x)

เช่น y = f ( x) = 3 x 4

ฟังก์ชันประเภทนี้เราเรียกว่า “Explicit Function” เหตุที่เรียกเช่นนี้เพราว่า เราเห็นได้อย่างชัดเจน ว่า ค่าของตัวแปร y ถูกกําหนดมาจากฟังก์ชันของ x หากเราเขียนฟังก์ชันข้างต้นใหม่เป็น y − 3x 4 = 0

จากความไม่แน่นอน ข้างต้น จึงน่าสนใจที่จะตั้งคําถามว่า มีเงื่อนไขอะไรที่จะการันตีเราว่า ฟังก์ชันที่ อยู่ในรูปแบบ F ( y, x1 ,..., xm ) = 0

จะสามารถนิยามให้เป็น implicit function y = f ( x1 ,..., xm )

[163]

บทที่ 8 การหาผลเลิศโดยไม่มีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ (กรณีตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัว) เรื่อง การหาผลเลิศโดยไม่มีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ (กรณีตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัว) จํานวนบรรยาย: 3 ครั้ง เนื้อหาประกอบด้วย การหาผลเลิศโดยไม่มีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ (กรณีตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัว) - เงื่อนไขการหาผลเลิศโดยไม่มีขอบเขตจํากัด (กรณีตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัว) - Third Degree Price Discrimination - Multiple-Plant Firm - Multiple-Product Firm

[164]

8.1 The Differential กับการหาค่าเหมาะสม (Optimization Condition) ในตอนที่เราหาเงื่อนไขการหาค่าเหมาะสมของกรณีฟังก์ชัน 1 ตัวแปร (Optimization conditions for problems with a single choice variables) เราใช้เทคนิคของ derivative มา ในบทนี้ในการหาเงื่อนไขการหาค่าเหมาะสมของกรณีฟังก์ชันหลายตัวแปร เราจะหาเงื่อนไขดังกล่าว โดยใช้เทคนิค Differentials First Order Necessary Condition หากกําหนดฟังก์ชัน z = f ( x ) เราสามารถเขียนเงื่อนไข FONC ได้ว่า

SOSC:

ดัวนั้น หากเราสรุปเงื่อนไขการหาค่าสูงสุดและต่ําสุดของ z = f ( x ) ในรูปของ differential จะได้ว่า เงื่อนไข ค่าสูงสุด (Maximum) ค่าต่ําสุด (Minimum) First-order necessary Second-order necessary Second-order sufficient [165]

8.1.1 การหาค่าสูงสุด/ต่ําสุด ของฟังก์ชนั สองตัวแปร (Extreme Value of a Function of Two Variables) z = f ( x, y )

First-Order Necessary Condition รูปที่ 1

dz = 0

สําหรับทุกๆ ค่า

dx

และ

dy

รูปที่ 2

[166]

อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขอันดับที่ 1 เป็นเพียงเงื่อนไขที่จํา (Necessary Condition) เท่านั้น ยัง ไม่ใช่เงื่อนไขที่เพียงพอ (Sufficient Condition) ในการที่จะการันตีว่า จุดวิกฤติ ที่หามาได้จะให้ ค่าสูงสุดหรือต่ําสุด จริงๆ ดังตัวอย่างในรูปที่ 2 รูปที่ 2 [a]

รูปที่ 2 [b]

ดังนั้นจึงต้องมาหาเงื่อนไขที่เพียงพอโดยใช้ Second-order total differential Second-Order Total differential จาก dz = fx dx + fy dy ดังนั้น d 2 z

ตัวอย่างที่ 1 กําหนดให้ z = x 3 + 5 xy − y 2 จงหา dz และ d 2 z

Second-Order Sufficient Condition เงื่อนไขที่เพียงพอในการหาค่าสูงสุดสําหรับกรณีฟังก์ชัน z = f ( x , y ) คือ

[167]

เงื่อนไขที่เพียงพอในการหาค่าต่ําสุดสําหรับกรณีฟังก์ชัน z = f ( x , y ) คือ ตาราง สรุปเงือ่ นไขในการได้ค่าสูงสุด/ ต่ําสุดของฟังก์ชัน z = f ( x, y ) เงื่อนไข First-order necessary Second-order necessary Second-order sufficient



ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าสูงสุด/ต่ําสุดของฟังก์ชัน z = 8 x 3 + 2 xy − 3 x 2 + y 2 + 1

ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่า สูงสุด/ต่ําสุด ของ ฟังก์ชัน z = x + 2ey − e x − e2 y

[168]

8.2 Quadratic Forms สําหรับกรณีฟงั ก์ชันประเภท polynomial ตัวแปรอิสระ 1 ตัว a0 + a1x + ... + a n x n หากมีตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัว เช่น 3 x + 4 x 2 y 3 − 2 xy

ในกรณีทีฟังก์ชนั polynomial ประกอบด้วยตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัว หากในแต่ละ term ของ ฟังก์ชัน พบว่าค่าของกําลังของแต่ละตัวแปรรวมกันได้ค่าเท่ากันทุก term (The sum of exponents in each term is uniform) ฟังก์ชัน polynomial ดังกล่าว จะเรียกว่า Form เช่น 4 x − 9y − z 4 x 2 − xy + 3 y 2 x 2 + 2 xy − yw + 7w 2 Second-Order Total Differential as a Quadratic Form จาก d 2 z = fxx dx 2 + 2fxy dxdy + fyy dy 2 หากกําหนดให้ u= ν= a= b= h=

เราจะสามารถเขียน d 2 z ใหม่ ได้ว่า

[169]

จัดรูปใหม่

เราพบว่า q จะมีค่าเป็น บวก ถ้า q จะมีค่าเป็น ลบ ถ้า หาก q มีค่าเป็น บวก ( > 0) เราจะเรียกว่า positive definite q มีค่า Nonnegative ( ≥ 0) เราจะเรียกว่า positive semidefinite q มีค่า Non-positive ( ≤ 0) เราจะเรียกว่า negative semidefinite q มีค่า เป็น ลบ ( < 0) เราจะเรียกว่า negative definite จาก q = au 2 + 2huv + bv 2 เราสามารถเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปของ Matrix Form ได้ดังนี้

เมื่อนํา Matrix A มาพิจารณา เราพบว่าสามารถหาเงื่อนไขของ q ได้จากการหาค่า determinant ของ ⎡a h ⎤ จาก A = ⎢ ⎥ ⎣h b ⎦ q จะเป็น positive definite ถ้า q จะเป็น negative definite ถ้า

[170]

โดย determinant a = a คือค่า First leading principle minor of A และ a h คือ ค่า second leading principle minor of B h b

ดังนั้น จาก d 2 z = fxx dx 2 + 2fxy dxdy + fyy dy 2

สรุป d 2 z จะเป็น positive definite ถ้า d 2 z จะเป็น negative definite ถ้า

ตัวอย่างที่ 4 กําหนดให้ q = 5u 2 + 3uv + 2v 2 q เป็น positive หรือ negative definite ?

⎡ −3 4 ⎤ ตัวอย่างที่ 5 จงหา definiteness ของ matrix B = ⎢ ⎥ ⎣ 4 −6 ⎦

[171]

Quadratic Forms สําหรับค่า x n ตัว Definition: A quadratic form on Rn is a real-valued function of the form Q(x1, x2 , ... , xn) = ∑ aij xi x j

……….(1)

i≤ j

in which each term is a monomial of degree two จากกรณี quadratic form ค่า x 2 ตัว ที่เคยได้พูดไว้แล้ว เราพบว่าสามารถเขียนให้อยู่ในรูป Matrix form ได้ ดังนั้น จาก (1) สามารถเขียนใหม่ได้ว่า Q ( Χ ) = Χ T ΑΧ ตัวอย่างที่ 6 กรณี two-dimentional quadratic form a11 x12 + a12 x1 x2 + a22 x22

เขียนในรูป Matrix form ได้ว่า

และกรณี three-dimentional quadratic form a11 x12 + a22 x22 + a33 x32 + a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + a23 x2 x3

สามารถเขียนในรูป Matrix form ได้ว่า

Definiteness of Quardratic Forms พิจารณาตัวอย่าง quadratic form y = ax 2 ถ้า a > 0 ⇒ y ≥ 0 เสมอ โดยเท่ากับ 0 เมื่อ x = 0 form ประเภทนี้เรียกว่า positive definite ถ้า a < 0 ⇒ y ≤ 0 เสมอ และเท่ากับ 0 เมื่อ x = 0 quadratic form ประเภทนี้เรียกว่า Negative definite ในกรณี two-dimentions Q1 ( x1 , x2 ) = x12 + x22 ≥ 0 เสมอ ∴ Q1 เป็น positive definite Q2 ( x1 , x2 ) = − x12 − x22 ≤ 0 ∴ Q2 เป็น negative definite Q3 ( x1 , x2 ) = x12 − x22 มีทั้งค่าที่เป็นบวกและค่าที่เป็นลบ ( Q3 (1, 0) = +1 Q3 (1, 0) = -1 ) ∴ Q3 เป็น indefinite 2 Q4 ( x1 , x2 ) = ( x1 + x2 ) = x12 + 2 x1 x2 + x22 ≥ 0 แต่มีค่าเป็น 0 ได้สําหรับค่า x1 , x2 ที่ไม่เท่ากับ 0 ∴ Q4 เป็น positive semidefinite 2 Q5 ( x1 , x2 ) = − ( x1 + x2 ) ≤ 0 [172]

แต่มีค่าเป็น 0 ได้สําหรับค่า

x1 , x2

ที่ไม่เท่ากับ 0

∴ Q5

เป็น negative semidefinite

Definition : Let A be an n × n symmetric matrix , then A is (a) positive definite if ΧT ΑΧ > 0 for all Χ ≠ 0 in R n (b) positive semidefinite if ΧT ΑΧ ≥ 0 for all Χ ≠ 0 in R n (c) negative definite if ΧT ΑΧ < 0 for all Χ ≠ 0 in R n (d) negative semidefinite if ΧT ΑΧ ≤ 0 for all Χ ≠ 0 in R n (e) indefinite if ΧT ΑΧ > 0 for some Χ in R n and < 0 for some other

Χ

in

Rn

Principal Minors of a Matrix นิยาม กําหนดให้มี matrix Α มีขนาด n × n matrix ย่อยของ Α ขนาด k × k สามารถหาได้โดยการตัด n − k แถว และ n − k หลัก ของmatrix Α ทิ้งไป ซึ่งmatrixใหม่ที่ได้เราเรียกว่า k-order principal submatrix of Α โดยค่า determinant ที่ได้จาก k × k principal submatrix เรียกว่า principal minor of Α ตัวอย่างที่ 7 กําหนด matrix ขนาด 3 × 3 ⎡ a11 a12 a13 ⎤ Α = ⎢⎢ a 21 a 22 a 23⎥⎥ ⎢⎣ a31 a32 a33⎥⎦ Third-order principal minor ของ Α

คือ

Second-order principal minor ของ

Α

First-order principal minor ของ

คือ

Α

คือ

Definition : ให้ Α เป็นmatrixขนาด n × n matrixย่อยขนาด k × k ที่ได้จากการตัดแถว n − k แถวท้ายสุด และ n − k หลักท้ายสุด จาก Α เรียกว่า k th order leading principal submatrix ของ Α และค่า determinant ที่ได้เรียกว่า the k th order leading principal minor ของ Α [173]

เราใช้สัญลักษณ์ k order leading principal submatrix โดย minor โดย Α k ตัวอย่างที่ 8 เช่น Matrix ขนาด a11 ,

a11 a21

a11 a12

3× 3

Αk

และ leading principal

จะมีค่า leading principal minors 3 ค่า คือ

a12 a22 a13

a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33

ทฤษฎี : กําหนดให้ Α เป็น symmetric matrix ขนาด n × n (a) Α เป็น positive definite ก็ต่อเมื่อ ทุก ๆ ค่า n leading principal minor มีค่าเป็นบวก (b) Α เป็น negative definite ก็ต่อเมื่อ n leading principal minor มีค่าบวกลบสลับกัน โดย A1 < 0, A2 > 0, A1 < 0 etc. (c) ถ้าไม่เป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้น Α จะเป็น indefinite ตัวอย่างที่ 9 กําหนดให้ Α เป็น Matrix ขนาด 4 × 4 (a) ถ้า A1 > 0, A2 > 0, A3 > 0, A4 > 0 ดังนั้น A เป็น (b) ถ้า A1 < 0, A2 > 0, A3 < 0, A4 > 0 ดังนั้น A เป็น (c) ถ้า A1 > 0, A2 > 0, A3 = 0, A4 < 0 ดังนั้น A เป็น (d) ถ้า A1 < 0, A2 < 0, A3 < 0, A4 < 0 ดังนั้น A เป็น แบบฝึกหัด 1. จงหาค่า definiteness ของ Symmetric matrics : (a) (b)

⎡ 2 −1⎤ ⎢ −1 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ −3 4 ⎤ ⎢ 4 −5⎥ ⎣ ⎦

(c)

⎡ −3 4 ⎤ ⎢ 4 −6⎥ ⎣ ⎦

(h)

q = 3u 2 − 4uv + 7v 2

(e) (f)

(g)

⎡1 ⎢2 ⎢ ⎢⎣ 0 ⎡ −1 ⎢1 ⎢ ⎢⎣ 0 ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢3 ⎢ ⎣0

2 0⎤ 4 5 ⎥⎥ 5 6 ⎥⎦ 1 0⎤ −1 0 ⎥⎥ 0 −2 ⎥⎦

0 2 0 5

3 0 4 0

0⎤ 5 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 6⎦

[174]

(i) q = u 2 − 7uv + 3v 2 (j) q = 8uv − u 2 − 31v 2 (k) q = 6 xy − 5 y 2 − 2 x 2 (l) q = 3u12 − 2u1u2 + 4u1u3 + 5u22 + 4u32 − 2u2u3 (m) q = −u 2 + 4uv − 6uw − 4v 2 − 7 w2

2. จงหาค่า definiteness ของฟังก์ชันต่อไปนี้ q = u12 + 6u22 + 3u32 − 2u1u2 − 4u2u3

q = 2u 2 + 3v 2 − w2 + 6uv − 8uw − 2vw

[175]

Objective functions with more than two variables Z = f ( x1 , x2 , x3 ) F.O.N.C :

S.O.S.C d 2 Z = d ( dZ ) =

H =

All leading principal minor H1 = H2 =

H3 =

Z is a

⎡ maximum ⎤ ⎢ minimum ⎥ ⎣ ⎦

if

⎧⎪ H1 < 0, H 2 > 0, H 3 < 0 ⎫⎪ ⎨ ⎬ ⎩⎪ H1 > 0, H 2 > 0, H 3 > 0 ⎭⎪

[176]

ตัวอย่างที่ 10 จงหา Extreme Values ของฟังก์ชันต่อไปนี้ Z = 2 x12 + x1 x2 + 4 x22 + x1 x3 + x32 + 2

ตัวอย่างที่ 11 จงหา Extreme Values ของฟังก์ชันต่อไปนี้ Z = −3x13 + 3x1 x3 + 2 x2 − x22 − 3x32

[177]

n-variable case: Z = f ( x1 , x2 ,...xn ) F.O.N.C : dZ = ∂ 2 fi = 0 ∀i i = 1, 2,...n ∴ ∂xi

S.O.S.C: d 2Z ⇒

∴ H =

u quadratic form

f11

f12 …

f 21 …

f 22 f2n … … …

f n1

fn2 …

All principal minors H , ถ้า Z เป็นค่า maximum

H2

f1n

f nn

,…

Hn

ถ้า Z เป็นค่า minimum

แบบฝึกหัด จงหา Extreme values ของฟังก์ชันต่อไปนี้ พร้อม check ว่าค่า Extreme values ที่หาได้เป็น ค่าสูงสุด (maximum) หรือค่าต่ําสุด (minimum) 1. Z = x12 + 3x22 − 3x1 x2 + 4 x2 x3 + 6 x32 2. Z = 29 − ( x12 + x22 + x32 ) 3. Z = x1 x3 + x12 − x2 + x2 x3 + x22 + 3x32 4. Z = e x + e y + e w − 2e w − ( x + y ) 2

[178]

5. Z = e2 x + e− y + e w − ( 2 x + 2e w − y ) 2

6. Z = x 4 + x 2 − 6 xy + 3 y 2 7. Z = x 2 − 6 x + 2 y 2 + 10 x + 2 y − 5 8. Z = xy 2 + x3 y − xy 9. Z = 3x 4 + 3x 2 y − y 3 10. F = x 2 + 6 xy + y 2 − 3 yz + 4 z 2 − 10 x − 5 y − 21z − x + y +z ) 11. F = ( x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ) e ( 2

2

2

Second-order conditions in relation to concavity and convexity: ทบทวน Concept Convex and Concave Function

นิยาม ฟังก์ชัน f จะเป็นฟังก์ชัน concave บนช่วงโดเมน U ใน R n ที่เป็น convex set ก็ต่อเมื่อ สําหรับทุก ค่า x 1 , x 2 ใน U และสําหรับทุกค่าของ t ∈ ( 0,1)

ฟังก์ชัน f จะเป็นฟังก์ชัน convex บนช่วงโดเมน U ใน R n ที่เป็น convex set ก็ต่อเมื่อ สําหรับทุก ค่า x 1 , x 2 ใน U และสําหรับทุกค่าของ t ∈ ( 0,1) [179]

Theorem ที่ 1: (Linear Function) ถ้า ฟังก์ชัน f เป็น linear function ฟังก์ชัน f จะเป็นฟังก์ชัน ทังแบบ ้ Convex และ Concave แต่จะไม่เป็น Strictly Convex หรือ concave Theorem ที่ 2: (Negative of a Function) ถ้าฟังก์ชัน f เป็น concave (convex) function แล้ว –f จะเป็นฟังก์ชันแบบ convex (concave) Theorem ที่ 3: ถ้า ฟังก์ชัน f และ g เป็น concave (convex) function หาก g = f+g แล้ว g ก็ จะเป็น concave (convex) function ด้วยเช่นกัน ทฤษฎี: กําหนดให้ฟังก์ชัน f ∈ C 2 บนช่วงโดเมน U ใน R n ที่เป็น Convex set ฟังก์ชัน f นี้จะเป็น Concave function ก็ต่อเมื่อ Hessian matrix Df 2 ( x ) มีค่าเป็น negative semidefinite สําหรับทุกค่าของ x ใน U และ ฟังก์ชัน f จะเป็น convex function ก็ต่อเมื่อ Hessian matrix Df 2 ( x ) มีค่าเป็น positive definite

ตัวอย่างที่ 12 f ( x1 , y ) = x4 + x2 y 2 + y 4 − 3x − 8 y จงหาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็น ฟังก์ชัน convex หรือ concave

ตัวอย่างที่ 13 f ( x1 , y ) = xy จงหาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็น ฟังก์ชัน convex หรือ concave

[180]

ตัวอย่างที่ 14 f ( x1 , y ) = x

1 4

y

1 4

ตัวอย่างที่ 15 f ( x1 , y ) = xa yb

จงหาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็น ฟังก์ชัน convex หรือ concave

จงหาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็น ฟังก์ชัน convex หรือ concave

แบบฝึกหัด 1. จงพิจารณาว่า ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชัน concave หรือ convex (a) f ( x ) = 3e x + 5 x 4 − ln x (b) f ( x1 , y ) = −3x2 + 2 xy − y 2 + 3x − 4 y + 1 (c) f ( x1 , y, z ) = 3e x + 5 y 4 − ln z (d) f ( x1 , y, z ) = Axa yb z c a, b, c > 0

1. เงื่อนไขการหาผลเลิศโดยไม่มีขอบเขตจํากัด (กรณีตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัว) ตารางที่ 1 สรุปเงื่อนไขในการได้ค่าสูงสุด/ ต่ําสุดของฟังก์ชัน เงื่อนไข First-order necessary


z = f ( x, y )


Second-order sufficient

[181]

ตารางที่ 2 สรุปเงื่อนไขในการได้ค่าสูงสุด/ ต่ําสุดของฟังก์ชัน เงื่อนไข First-order necessary

z = f ( x1 , x2 ,..., xn )



Second-order sufficient 8.3 การประยุกต์เรื่อง การหาผลเลิศโดยไม่มีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ 8.3.1 Price Discrimination ทบทวน Concept รูปแบบของ Price Discrimination สามารถแบ่งออกได้เป็น 3 ระดับ คือ 1. 2. 3.

First Degree Price Discrimination Discrimination

Second Degree Price

[182]

Third- Degree Price Discrimination หลักการของการทํา Third-Degree Price Discrimination คือ การแบ่งกลุ่มลูกค้าออกเป็น 2 หรือ มากกว่า 2 กลุ่ม จากนั้นทําการตั้งราคาและปริมาณขาย ในแต่ละกลุ่มให้ได้กําไรสูงสุด ตัวอย่างที่ 16 กําหนดให้ ฟังก์ชันรายรับรวม (Total Revenue) ของบริษัท เป็นดังนี้ TR = R1 ( Q1 ) + R2 ( Q2 ) + R3 ( Q3 ) โดยที่ Ri คือ ฟังก์ชันรายรับของ ตลาดที่ i และ กําหนดให้ฟังก์ชัน ต้นทุนโดยรวม ( Total Cost ) คือ C = C (Q) Q = Q1 + Q2 + Q3

ขั้นตอนในการหาเงื่อนไข การกําหนดปริมาณการผลิต และราคา ที่จะทําให้บริษัทได้กําไรสูงสุด ขั้นตอนที่ 1 ตั้ง Objective Function คือ ฟังก์ชันกําไร π=

ขั้นตอนที่ 2 หาเงื่อนไข FONC π1 = π2 = π3 =

........(1) ........(2) ........(3)

จากสมการที่ 1, 2 และ 3 เราจะได้เงื่อนไขว่า

หรือ

MC = MR1 = MR2 = MR3

……..(4)

จากเงื่อนไขของการทํากําไรในตลาดผูกขาด เราพบว่า จาก Ri = PQ i i

MRi =

ดังนั้น เราสามารถเขียน สมการที่ 4 ใหม่ได้ว่า

[183]

ข้อสรุปที่ได้ คือ ในตลาดที่มีค่าความยืดหยุ่นต่อราคา ยิ่งมีค่า............ ขั้นตอนที่ 3 หา SOSC เพื่อตรวจสอบว่า ปริมาณ FONC จะทําให้บริษัทได้กําไรสูงสุดจริง

ε di

ยิ่งต่ํา การตั้งราคาขายในตลาดนั้น จะ

Q1* , Q2* , Q3*

และ

P1* , P2* , P3*

ในขั้นตอน

ทําการหา Hessian Matrix ซึ่งจะมีขนาด π 11 = π 21 = π 31 =

π 12 = π 22 = π 32 =

π 13 = π 23 = π 33 =

หรือ ⎡ ⎢ H =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Check all leading principal minors H1 = ⎡ H2 = ⎢ ⎣ ⎡ H 3 = ⎢⎢ ⎢⎣

⎤ ⎥= ⎦ ⎤ ⎥= ⎥ ⎥⎦

[184]

ตัวอย่างที่ 17 กําหนดให้ บริษัทในตลาดผูกขาด ขายสินค้าใน 3 ตลาดดังนี้ ตลาดในประเทศ P1 = 63 − 4Q1 ตลาดเอเชีย P2 = 105 − 5Q2 ตลาดยุโรป P3 = 75 − 6Q3 และกําหนดให้ ต้นทุน โดยรวมของบริษัท คือ C = 20 + 15Q

จงหา ระดับการผลิตโดยรวมของบริษัท และ บริษัทจะกําหนดปริมาณและราคา ในทั้ง 3 ตลาดเช่นไร ถึงจะได้กําไรสูงสุด ขั้นตอนที่ 1 ตั้ง Objective Function

ขั้นตอนที่ 2 หา FONC π1 = π2 = π3 =

........(1) ........(2) ........(3)

จากระบบสมการข้างต้น จะได้ว่า Q1* = Q2* = Q3* =

และ P1* = P2* = P3* =

[185]

ขั้นตอนที่ 3 หา SOSC ทําการหา Hessian Matrix ซึ่งจะมีขนาด π 11 = π 21 = π 31 =

π 12 = π 22 = π 32 =

π 13 = π 23 = π 33 =

หรือ ⎡ ⎢ H =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Check all leading principal minors H1 = ⎡ H2 = ⎢ ⎣ ⎡ H 3 = ⎢⎢ ⎢⎣

⎤ ⎥= ⎦ ⎤ ⎥= ⎥ ⎦⎥

8.3.2 การเลือกปัจจัยการผลิตในตลาดแข่งขันสมบูรณ์ ให้ได้กําไรสูง (Competitive Firm Input Choices: Cobb-Douglas Technology) กําหนดให้ บริษัทในตลาดแข่งขันสมบูรณ์รายหนึ่ง มีฟังก์ชันการผลิตแบบ Cobb-Douglas Production Function ดังนี้ Q = Lα K β

และกําหนดให้ ค่าจ้างแรงงาน = w บาท และค่าเช่าปัจจัยทุน = r บาท

[186]

ขั้นตอนที่ 1 ฟังก์ชันกําไร (Objective Function) ของ บริษัทนี้สามารถเขียนได้ดังนี้ π=

ขั้นตอนที่ 2 ทําการหา FONC ได้ดังนี้ πL = πK =

การตีความทางเศรษฐศาสตร์ (The Economic interpretation)

ขั้นตอนที่ 3 Check SOSC ทําการหา Hessian Matrix ซึ่งจะมีขนาด π 11 = π 21 =

π 12 = π 22 =

หรือ ⎡ ⎢ H =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Check all leading principal minors H1 =

⎡ H2 = ⎢ ⎣

⎤ ⎥= ⎦

[187]

8.3.3 ปัญหาการเลือกสินค้ามากกว่า 1 ชนิดของบริษัท (Problem of a Multiproduct Firm) ตัวอย่างที่ 18 กําหนดให้บริษัททําการขายสินค้า 2 ประเภท ในตลาดแข่งขันสมบูรณ์ และจากการที่ ขายสินค้าในตลาดแข่งขันสมบูรณ์ ราคาจึงถูกกําหนดจากตลาด และเป็นตัวแปรภายนอกที่ไม่สามารถ ควบคุมได้ (Exogenous Variable) ดังนั้นสมการรายรับรวมของบริษัทนี้ คือ TR = และหากกําหนดให้ฟังก์ชันต้นทุนในการผลิตสินค้า เท่ากับ C = 2Q12 + Q1Q2 + 2Q22

ดังนั้น เราสามารเขียน Profit Function ของบริษัทนี้ได้ว่า π = TR − TC =

Choice Variables คือ

[188]

ทําการหา First Order Necessary Condition (FONC) ได้ค่าดังนี้ π1 = π2 =

ได้ค่า

Q1* =

Q2* =

ทําการ Check Second Order Sufficient Condition (SOSC) ⎡ ⎢ H =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

พบว่า

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ H1 = H2 =

ดังนั้น จึงสรุป ได้ว่า ค่า สูงสุดของบริษัท จริง

d 2π

ในกรณีนี้ เป็น.......................definite ซึ่งคําตอบที่ได้ คือ ค่ากําไร

ตัวอย่างที่ 19 คราวนี้เราลองมาดูปัญหาการตัดสินใจเลือกผลิตสินค้า 2 ชนิด ในตลาดผูกขาด ดูบ้าง สมมุติให้ ความต้องการซื้อสินค้าชนิดที่ 1 และ สินค้าชนิดที่ 2 เป็นดังนี้ Q1 = 40 − 2 P1 + P2 Q2 = 15 + P1 − P2

จะพบว่า สินค้าทั้งสองชนิดเป็นสินค้า ประเภท.....................................

[189]

อย่างไรก็ตามเราพบว่า สมการข้างต้นเป็นการอธิบาย Q1 , Q2 ในลักษณะเป็น function ของ P แต่ เนื่องจากเราต้องการ Q1 , Q2 ที่เหมาะสมในการผลิต ดังนั้นเราควรเปลี่ยนรูปสมการข้างต้นให้เป็น การอธิบาย ราคา P1 , P2 ในรูปฟังก์ชัน Q

ใช้ Cramer’s rule ในการหาค่า

P1 , P2

จะได้ค่า P1 = P2 =

จากข้อมูลข้างต้นเราสามารถเขียนฟังก์ชันรายรับรวมของบริษัทได้ ดังนี้ TR = และหากกําหนดให้ฟังก์ชันต้นทุนในการผลิตสินค้า เท่ากับ C = 2Q12 + Q1Q2 + 2Q22

เราสามารถเขียน ฟังก์ชันกําไร (Profit Function) ได้ดังนี้

Choice Variables คือ ทําการหา First Order Necessary Condition (FONC) ได้ค่าดังนี้ π1 = π2 =

ได้ค่า

Q1* =

Q2* =

[190]

ทําการ Check Second Order Sufficient Condition (SOSC) ⎡ ⎢ H =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

พบว่า

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ H1 = H2 =


d 2π


8.3.4 ปัญหาการผลิตของบริษัทที่มีโรงงาน มากกว่า 1 โรงงาน (Multiplant Firm Problem) ในหัวข้อนี้เราจะมาศึกษา การเลือกระดับการผลิตให้เหมาะสมเมื่อ บริษทั มีโรงงานในการ ผลิตสินค้ามากกว่า 1 โรง โดยทั้งนี้โรงงานแต่ละโรงงานมีฟังก์ชันต้นทุนการผลิต ดังนี้ TCi = Ci ( qi ) โดย i = 1,2,…,n คือ ระดับผลผลิตของโรงงานที่ i หากสมมุติต่อไปว่า ให้บริษัทนี้ ทําการขายสินค้าในตลาดเดียว นั้นหมายถึง ฟังก์ชัน รายรับ ของบริษัท สามารถเขียนได้ดังนี้ qi

โดย

TR = Q=

หมายเหตุ สําหรับ ฟังก์ชัน รายรับ TR = P(Q) * Q ถ้าผู้ผลิตรายนี้อยู่ในตลาดแข่งขันสมบูรณ์ P จะคงที่และเป็นตัวแปรภายนอก (Exogenous Variable) แต่ถ้าผู้ผลิตรายนี้อยู่ในตลาดผูกขาด P จะเป็นฟังก์ชันของ Q หรือ P(Q)

หากกําหนดให้ผู้ผลิตรายนี้อยูใ่ นตลาดผูกขาด เราจะสามารถเขียน ฟังก์ชันกําไรได้ดังนี้ π= [191]

เพื่อหาระดับการผลิตที่จะทําให้ได้กําไรสูงสุด เราหา First Order Necessary Condition ดังนี้ สําหรับ i =

πi =

1,2,…,n

ซึ่งเราจะได้เงื่อนไขอันดับที่ 1 ดังนี้

สําหรับเงื่อนไขอันดับที่ 2 เราทําการหา Hessian Matrix ดังนี้ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ H =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

H1 = R′′ − C1′′ < 0 H2 =

การตีความทางเศรษฐศาสตร์:

[192]

ตัวอย่างที่ 20 กําหนดให้บริษทั มีโรงงานอยู่ 2 โรงคือ โรงงานที่ 1: C1 ( Q1 ) = 10Q12 โรงงานที่ 2: C1 ( Q2 ) = 20Q22 บริษัท เผชิญกับเส้นอุปสงค์ คือ โดย Q = Q1 + Q2

P = 700 − 5Q

คําถาม 1) จงวาดกราฟ ต้นทุนส่วนเพิ่มของโรงงาน ที่ 1 และ โรงงานที่ 2 รายรับเฉลี่ย (AR) รายรับ ส่วนเพิ่ม (MR) และต้นทุนส่วนเพิ่มทั้งหมด พร้อมทั้งระบุระดับการผลิตในแต่ละโรงงานที่จะ ทําให้บริษัทได้กําไรสูงสุด และราคาขายที่ดุลยภาพ

2) คํานวณหาระดับ Q1 , Q2 , Qtotal , P ที่ทําให้บริษัทได้กําไรสูงสุด วิธีทํา ขั้นตอนที่ 1 กําหนดฟังก์ชันกําไร (Profit Function) ได้ดังนี้

Choice Variables คือ

[193]

ขั้นตอนที่ 2 ทําการหา First Order Necessary Condition (FONC) ได้ค่าดังนี้ π1 = π2 =

ได้ค่า

Q1* =

Q2* =

ขั้นตอนที่ 3 ทําการ Check Second Order Sufficient Condition (SOSC) ⎡ ⎢ H =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

พบว่า

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

H1 = H2 =


d 2π


[194]

บทที่ 9 การหาผลเลิศโดยมีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ (กรณีตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัว) เรื่อง การหาผลเลิศโดยมีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ (กรณีตัวแปรอิสระมากกว่า ตัว) จํานวนบรรยาย: 3 ครั้ง เนื้อหาประกอบด้วย - Lagrange Multiplier - เงื่อนไขการหาผลเลิศโดยมีขอบเขตจํากัด - การหาผลผลิตสูงสุด ภายใต้ข้อจํากัดด้านต้นทุน - การผลิตโดยใช้ต้นทุนต่ําที่สุด ภายใต้ข้อจํากัดด้านผลผลิต - การแสวงหาอรรถประโยชน์สูงสุด ภายใต้ข้อจํากัดด้านงบประมาณ

1

[195]

9.1 การหาผลเลิศโดยมีขอบเขตจํากัดในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ (กรณีตัวแปรอิสระมากกว่า 1 ตัว) ในบทที่ผ่านมาเราได้ศึกษาถึงวิธีการหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชันหลายตัวแปร โดยลักษณะที่ สําคัญที่นักศึกษาพึ่งสังเกตคือ ในการเลือกตัวแปร Choice Variables แต่ละตัวนั้น เราสามารถเลือก ได้อย่างอิสระ (Independent) ตัวอย่างเช่น ในกรณีของการแสวงหากําไรสูงสุดของบริษัทที่ผลิต สินค้าสองชนิด คือ Q1 และ Q2 บริษัทก็สามารถเลือกทําการผลิตสินค้า 2 อย่างนี้ได้อย่างเสรี (โดย ต้องเป็นระดับที่ทําให้บริษทั ได้กําไรสูงสุดด้วย) คําถาม คือ หากมีเงื่อนไขบางประการ มาทําให้บริษัทดังกล่าวไม่สามารถเลือกระดับการผลิต ตามข้างต้นได้อย่างเสรี บริษัทจะเปลี่ยนพฤติกรรมการผลิตเช่นไร เช่น หากถูกกําหนด โควตาในการ ผลิต ว่า Q1 + Q2 = 950 คําตอบ คือ บริษัทนี้ก็ต้องเลือกการผลิต Q1 และ Q2 ทีท่ ําให้บริษัทได้กําไรสูงสุด ภายใต้ เงื่อนไข Q1 + Q2 = 950 ซึ่งจะได้ค่าที่เหมาะสมแบบมีเงื่อนไข ( Constrained Optimum value) รูป ความแตกต่างระหว่างตําแหน่งสูงสุดของฟังก์ชันแบบไม่มีเงื่อนไข (Free Extremum) และ มี เงื่อนไข ( Constrained Extremum)

[196]

สําหรับปัญหาหลักในทางเศรษฐศาสตร์ คือ การศึกษาถึงการจัดสรรทรัพยากรที่มีอยู่อย่าง จํากัดให้เหมาะสม (The optimal allocation of scarce resources) คําว่า “เหมาะสม (Optimal)” ก็คือ เรื่องปัญหา optimization ส่วน ทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจํากัด ( scarce resource) ก็คือ เรื่องปัญหา optimization แบบมีเงื่อนไข (with constraint) ดังนั้น อาจกล่าวได้อย่างเต็มปากว่า การศึกษา เรื่อง Constrained Optimization problem คือ หัวใจหลักของเครื่องมือที่ใช้ศึกษาทฤษฎีทางเศรษฐศาสตร์ ต้นแบบ (Prototype) ของปัญหานี้สามารถเขียนได้ดังนี้ max imize f ( x1 , x2 ..., xn ) where ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ R n must satisfy g1 ( x1 , x2 ,..., xn ) ≤ b1 g 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) ≤ b2 ............................... g n ( x1 , x2 ,..., xn ) ≤ bn h1 ( x1 , x2 ,..., xn ) = c1 h2 ( x1 , x2 ,..., xn ) = c2 ............................... hn ( x1 , x2 ,..., xn ) = cn

9.1.1 กรณีตัวแปรอิสระ 2 ตัวและมีเงื่อนไข 1 เงื่อนไข : Optimization with Equality Constraints :Two variables and One Equality Constraint ตัวอย่างที่ 1 กําหนดให้ คุณ โดม รวยมาก มีฟังก์ชันอรรถประโยชน์ ดังนี้ U = x1 x2 + 2 x1

คําถาม หากบ้านคุณโดม รวยมาก สามารถซื้อสินค้า x1 , x2 ได้ตามปริมาณที่ต้องการ คุณโดมจะ เลือกซื้อ สินค้าชนิดที่ 1 และ 2 อย่างไรถึงจะทําให้เขาได้อรรถประโยชน์มากที่สุด โดยกําหนดให้ราคา สินค้าชนิดที่ 1 เท่ากับ 4 บาทต่อชิ้น และราคาสินค้าชนิดที่ 2 เท่ากับ 2 บาทต่อชิ้น

[197]

คําถาม คราวนี้หากกําหนดให้ นายท่าพระจันทร์ บ้านไม่รวย มีฟังก์ชันอรรถประโยชน์เหมือน คุณ โดม เพียงแต่ว่า ได้เงินมาใช้ซื้อ สินค้าชนิดที่ 1 และ 2 แค่ 60 บาท นายท่าพระจันทร์จะมีวิธีการ เลือกสินค้าชนิดที่ 1 และ 2 อย่างไร เขาถึงจะได้อรรถประโยชน์มากที่สุด ในการแก้โจทย์ปัญหานี้ น.ศ. มี วิธีในการหาคําตอบ 2 ทางเลือก 1. วิธีการแทนค่า (Substitution Method) 2. วิธี Lagrangian Method วิธีการแทนค่า (Substitution Method) เราลองมาดูวิธีการแรกก่อน : วิธีการแทนค่า (Substitution Method) จากตัวอย่าง เรารู้ว่า เขาจะต้องซื้อสินค้า ได้เท่ากับจํานวนเงินที่มีอยู่ ซึ่งสามารถเขียน เป็นสมการ งบประมาณได้ดังนี้

เราเรียกสมการข้างต้นว่า Budget Constraint หากซื้อ สินค้า ชนิดที่ 1 เท่ากับ x1 ชิ้น เขาจะเหลือเงิน ไว้ซื้อสินค้าชนิดที่ 2 เท่ากับ

ดังนั้น ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของเขาสามารถเขียนให้อยู่ใน รูปสินค้า ชนิดที่ 1 ได้ดังนี้ U=

FONC:

dU dx1

=

ดังนั้น เขาจะต้อง เลือกซื้อสินค้าชนิดที่ 1 เท่ากับ ชิ้น

ชิ้น และสินค้าชนิดที่ 2 เท่ากับ

จะเห็นว่า วิธีการนี้อาจจะดูง่ายในตัวอย่างนี้ แต่หากนักศึกษาเจอรูปแบบของเงื่อนไข Constraint ที่ มีลักษณะซับซ้อน ไม่สามารถจัดรูป ให้ x2 เป็น explicit function ของ x1 ได้ นักศึกษาจะหา คําตอบได้เช่นไร คําตอบคือ เรามีวิธีที่ดีกว่าวิธีการแทนค่าข้างต้น วิธีดังกล่าวคือ LagrangeMultiplier Method

[198]

วิธีการแบบ Lagrange Multiplier กําหนดให้ f และ h คือ ฟังก์ชันประเภท

ประกอบด้วย 2 ตัว max imize f ( x1 , x2 ) St. h ( x1 , x2 ) = c L ( x1 , x2 , µ ) = f ( x1 , x2 ) + µ ⎡⎣c − h ( x1 , x2 ) ⎤⎦ C1

เงื่อนไขที่จําเป็นอันดับที่ 1 (FONC) คือ ∂L = f1 − µ h1 ( x1 , x2 ) = 0 ∂x1 ∂L = f 2 − µ h2 ( x1 , x2 ) = 0 ∂x2 ∂L = c − h ( x1 , x2 ) = 0 ∂µ

จากตัวอย่างกรณี นายท่าพระจันทร์ บ้านไม่รวย เราจะสามารถสร้าง ฟังก์ชัน Lagrangian function ได้ดังนี้ L=

FONC:

[199]

ตัวอย่างที่ 2 Max z = xy St. x + y = 6

ขั้นตอนที่ 1 ตั้ง Lagrangian function

ขั้นตอนที่ 2 หา FONC:

ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชันอรรถประโยชน์ ต่อไปนี้ Max U ( x1 , x2 ) = x1 x2 St.

h( x1 , x2 ) = x1 + 4 x2 = 16



[200]

จากการแก้ระบบสมการข้างต้น จะได้จุดวิกฤติ คือ

ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชัน ต่อไปนี้ Max f ( x1 , x2 ) = x12 x2 St.

h( x1 , x2 ) = 2 x12 + 4 x22 = 3



จุดวิกฤติที่หาได้ มีทั้งหมด 6 จุด ประกอบด้วย

[201]

กรณีตัวแปรอิสระ n ตัวและมีเงื่อนไข 1 เงื่อนไข : Optimization with Equality Constraints : n variables and One Equality Constraint f ( x1 , x2 ,..., xn ) St.

g ( x1 , x2 ,..., xn ) = c

กรณีตัวแปรอิสระ n ตัวและมีเงื่อนไข 2 เงื่อนไข : Optimization with Equality Constraints : n variables and two Equality Constraint f ( x1 , x2 ,..., xn ) St.

g ( x1 , x2 ,..., xn ) = c h( x1 , x2 ,..., xn ) = d

[202]

กรณีตัวแปรอิสระ n ตัวและมีเงื่อนไข k เงื่อนไข : Optimization with Equality Constraints : n variables and k Equality Constraint f ( x1 , x2 ,..., xn ) h1 ( x1 , x2 ,..., xn ) = c1

St.

h2 ( x1 , x2 ,..., xn ) = c2 ............................... hk ( x1 , x2 ,..., xn ) = ck

การหาเงื่อนไขที่เพียงพออันดับที่ 2 (Second-Order Sufficient Condition) กําหนด ฟังก์ชนั

f ( x1 , x2 ,..., xn ) St.

h1 ( x1 , x2 ,..., xn ) = c1 h2 ( x1 , x2 ,..., xn ) = c2 ............................... hk ( x1 , x2 ,..., xn ) = ck

The Lagrangian L( x1 , x2 ,..., xn ) = f ( x1 , x2 ,..., xn ) + µ1 [ c1 − h1 ( x1 , x2 ,..., xn )] + µ2 [ c1 − h1 ( x1 , x2 ,..., xn ) ] + ...

µk [ ck − hk ( x1 , x2 ,..., xn )]

First Order Necessary Condition: FONC ∂L ∂x1 ∂L ∂x2 [203]

….. ∂L ∂xn ∂L ∂µ1 ∂L ∂µ1

….. ∂L ∂µn

Second Order Sufficient Condition: SOSC สร้าง Border Hessian Matrix ⎡ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 H =⎢ 1 * ⎢ h1 ( x ) ⎢ ⎢ ⎢ h1 ( x* ) ⎣ n

0

h11 ( x* )

0

g1k ( x* )

h1k ( x* ) L11 ( x* , µ * ) hnk ( x* ) Ln1 ( x* , µ * )

hn1 ( x* ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ g nk ( x* ) ⎥ ⎥ L1n ( x* , µ * ) ⎥ ⎥ ⎥ Lnn ( x* , µ * ) ⎥⎦

การตรวจสอบเงื่อนไข ขั้นตอนที่ 1 ให้ ตรวจสอบ the last n-k leading principle minors ของเมทริกซ์ โดย n คือ จํานวนตัวแปร Choice Variables และ k คือ จํานวนของเงื่อนไข

H

ตัวอย่างเช่น ถ้า

⎡0 ⎢ H = ⎢ hx1 ⎢ ⎣ hx2

hx1 Lx1x1 Lx2 x1

hx2 ⎤ ⎥ Lx1x2 ⎥ ⎥ Lx2 x2 ⎦

[204]

จํานวนตัวแปร Choice Variables (n) คือ จํานวนของเงือ่ นไข (k) คือ ดังนั้น ต้องตรวจสอบ the last n-k = ⎡0 ⎢ H = ⎢ hx1 ⎢ ⎣ hx2

leading principle minors ของ Matrix นั่น คือ

Lx2 x1

hx2 ⎤ ⎥ Lx1x2 ⎥ ⎥ Lx2 x2 ⎦

hx1

hx2

Lx1x1

Lx1x2

Lx2 x1

Lx2 x2

Lx3 x1

Lx3 x2

hx1 Lx1x1

และหาก ⎡0 ⎢ ⎢ hx1 H =⎢ h ⎢ x2 ⎢ hx ⎣ 3

จํานวนตัวแปร Choice Variables (n) คือ จํานวนของเงือ่ นไข (k) คือ ดังนั้น ต้องตรวจสอบ the last n-k = คือ ⎡0 ⎢ H 2 = ⎢ hx1 ⎢ ⎣ hx2

hx1 Lx1x1 Lx2 x1

hx2 ⎤ ⎥ Lx1x2 ⎥ ⎥ Lx2 x2 ⎦

hx3 ⎤ ⎥ Lx1x3 ⎥ Lx2 x3 ⎥ ⎥ Lx3 x3 ⎥⎦

leading principle minors ของ Matrix นั่น

⎡0 ⎢ ⎢ hx1 H H = = 3 ⎢h และ ⎢ x2 ⎢ hx ⎣ 3

hx1

hx2

Lx1x1

Lx1x2

Lx2 x1

Lx2 x2

Lx3 x1

Lx3 x2

hx3 ⎤ ⎥ Lx1x3 ⎥ Lx2 x3 ⎥ ⎥ Lx3 x3 ⎥⎦

โดย ฟังก์ชันจะให้ค่าสูงสุดโดยเปรียบเทียบ (Local Max) ถ้า the last (n-k) leading principal minor มีเครื่องหมายค่า determinant สลับกัน (Alternate in Sign) และ ค่าของ determinant (k+n)x(k+n) มีเครื่องหมายเหมือนกันกับ (−1)n ฟังก์ชันจะให้ค่าต่ําสุดโดยเปรียบเทียบ (Local Min) ถ้า the last (n-k) leading principal minor มีเครื่องหมายค่า determinant เหมือนกันกับ (−1)k [205]

ตัวอย่างที่ 5 จง ตรวจสอบคําตอบที่ได้ในตัวอย่างที่ 1 ว่าเป็นค่า Local Max หรือ Local Min



[206]

9.2 การแสวงหาอรรถประโยชน์สูงสุดภายใต้งบประมาณที่มีอยู่อย่างจํากัด หลังจากที่เราได้เรียนรู้วิธีการหาค่าที่เหมาะสมภายใต้ข้อจํากัดไปแล้ว มาในหัวข้อนี้เราจะนํา เครื่องมือดังกล่าว มาประยุกต์ใช้กับปัญหาในทางเศรษฐศาสตร์ นั่นคือ การศึกษาถึงการจัดสรร ทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจํากัดให้เหมาะสม (The optimal allocation of scarce resources) ปัญหาแรกที่เราจะศึกษา คือ ปัญหาการตัดสินใจเลือกสินค้าเพื่อบริโภค ของผู้บริโภค ภายใต้ งบประมาณที่มีอยู่อย่างจํากัด กําหนดให้ ฟังค์ชัน อรรถประโยชน์ ของผู้บริโภค คือ U = U ( x, y )

St.

(U x ,U y > 0)

xPx + yPy = B

ขั้นตอนที่ 1 ตั้ง Lagrangian Function

ขั้นตอนที่ 2 หา First-Order Condition (FONC):

การตีความในทางเศรษฐศาสตร์ (Economic Interpretation) แบบที่ 1 จาก เงื่อนไข อันดับที่ 1 เราสามารถจัดรูป สมการที่ 2 และ 3 ใหม่ ซึ่งจะได้ว่า

ความหมายของสมการ คือ

[207]

แบบที่ 2 การตีความด้วย Indifference Curve

ความหมายของ Lagrange multiplier

[208]

ขั้นตอนที่ 3 หา Second-Order Sufficient Condition 9.1 สร้าง Bordered Hessian ขึ้นมาก่อน ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ H =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

9.2 Check ว่า the last n-k leading principle Minor มีค่าเท่าไร กรณนีี ้ n = k= ดังนั้น เราต้อง Check the last leading principle Minor นั่นคือ

H=

เราต้องการให้ค่าวิกฤติ ที่เราหาได้ใน FONC ทําให้ผู้บริโภค เกิดอรรถประโยชน์สูงสุดภายใต้ งบประมาณที่จํากัด ดังนั้น แสดงว่า เราต้องการให้ ค่า d 2U มีค่า กว่า หรือเป็น definite ภายใต้เงื่อนไข dB = 0

[209]

ตัวอย่างที่ 8 กําหนดให้ ฟังก์ชัน อรรถประโยชน์ของ นาย ใกล้สอบ คือ 1

1

U ( x, y ) = 10 x 2 y 2

หาก นาย ใกล้สอบ ได้เงินจาก คุณแม่ ขยันนะ เท่ากับ m บาท โดยสินคา้ ชนิดที่ 1 ขายในราคา Px บาท และ สินค้า ชนิดที่ 2 ขายในราคา Py บาท จงช่วยนาย ใกล้สอบ หา ระดับการบริโภค สินค้า x และ y ที่เหมาะสม ที่จะทําให้เขาได้อรรถประโยชน์ สูงสุด

[210]

9.3 การใช้งบประมาณให้นอ้ ยที่สุด ภายใต้ระดับอรรถประโยชน์หนึ่งๆ ( Minimize Total Expenditure Under the Level of Utility) สมมติให้ ผู้บริโภค ต้องการ ระดับความพอใจเท่ากับ U 0 โดยมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์คือ U = U ( x, y ) ฟังก์ชัน ค่าใช้จ่ายในการบริโภคสินค้า x และ y คือ E= จากข้อมูลข้างต้น เราสามารถ เขียน Lagrangian Function ได้ดังนี้ ขั้นตอนที่ 1 ตั้ง Lagrangian Function



⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

3.2 Check ว่า the last n-k leading principle Minor มีค่าเท่าไร กรณีนี้ n = k= ดังนั้น เราต้อง Check the last leading principle Minor นั่นคือ

[211]

H=

เราต้องการให้ค่าวิกฤติ ที่เราหาได้ใน FONC ทําให้ผู้บริโภค เกิดการใช้จา่ ยน้อยสุดภายใต้งบ ระดับความพอใจที่ต้องการ ดังนั้น แสดงว่า เราต้องการให้ ค่า d 2U มีค่า กว่า หรือเป็น definite ภายใต้เงื่อนไข dB = 0 9.4 การหาผลผลิตสูงสุด ภายใต้ข้อจํากัดด้านต้นทุน กําหนดให้ ฟังก์ชันการผลิต คือ

Q = q ( L, K )

โดยผู้ผลิตมีฟังก์ชันต้นทุนการผลิต ดังต่อไปนี้ TC = wL + rK = c

คําถามคือ ผู้ผลิตจะเลือกใช้ L และ K อย่างไร ภายใต้ งบประมาณที่มี คือ c บาท เพื่อให้ได้ผลผลิต มากที่สุด เราสามารถใช้วิธีการวิธี Lagrangian Multiplier Method ในการหาคําตอบของปัญหานี้ได้ ขั้นตอนที่ 1 ตั้ง Lagrangian Function


[212]

การตีความในทางเศรษฐศาสตร์ (Economic Interpretation)


ขั้นตอนที่ 3 หา Second-Order Sufficient Condition 3.1 สร้าง Bordered Hessian ขึ้นมาก่อน

[213]

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ H =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦


H=

เราต้องการให้ค่าวิกฤติ ที่เราหาได้ใน FONC ทําให้ผผู้ ลิต สามารถผลิตสินค้าได้สูงสุดภายใต้ งบประมาณที่จํากัด ดังนั้น แสดงว่า เราต้องการให้ ค่า d 2U มีค่า กว่า หรือเป็น definite ภายใต้เงื่อนไข dB = 0

[214]

9.5 การผลิตโดยใช้ต้นทุนต่าํ ที่สุด ภายใต้ข้อจํากัดด้านผลผลิต (Least Cost Combination of Inputs) และ อุปสงค์ปัจจัยการผลิตอย่างมีเงื่อนไข (Conditional Input Demand) ปัญหานี้ เป็นการหาว่า หาก ผู้ผลิตต้องการที่จะผลิตสินค้า ณ ระดับการผลิตหนึ่งๆ ผู้ผลิต ควรจะใช้ ปัจจัยการผลิตแต่ละชนิดอย่างไรจึงจะทําให้ต้นทุนในการผลิตสินค้านั้นต่ําที่สุด สมมุติให้ บริษทั นี้ ต้องใช้ปัจจัย 2 ชนิดในการผลิต นั้น คือ แรงงาน (L) และ ทุน (K) โดยมีค่าจ้าง แรงงาน เท่ากับ w และ มีค่าเช่าปัจจัยทุน เท่ากับ r ดังนั้น เราสามารถเขียนฟังก์ชัน ต้นทุนในการ ผลิต ได้ว่า TC =

หากสมมติต่อไปว่า ให้บริษัทนี้ต้องการผลิต สินค้าเท่ากับ

Q0

หน่วย โดยใช้ ฟังก์ชันการผลิต คือ

Q = F ( L, K )

เราสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยวิธี Lagrangian Multiplier Method for the cost minimization problem ขั้นตอนที่ 1 ตั้ง Lagrangian Function


การตีความในทางเศรษฐศาสตร์ (Economic Interpretation)


[215]


⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦


[216]

H=

เราต้องการให้ค่าวิกฤติ ที่เราหาได้ใน FONC ทําให้ผผู้ ลิต ใช้ต้นทุนในการผลิตต่ําสุด ให้ได้จํานวน สินค้าที่ต้องการ ดังนั้น แสดงว่า เราต้องการให้ ค่า d 2U มีค่า กว่า หรือเป็น definite ภายใต้เงื่อนไข dB = 0

The Expansion Path เราสามารถวิเคราะห์แบบเชิงสถิตย์เปรียบเทียบ (Comparative Static Analysis) แบบจําลองข้างต้น โดยการสมมติให้ สัดส่วนของราคาปัจจัยการผลิต คงที่ จากนั้น ทําการเพิ่ม ปริมาณการผลิตสินค้า ( ระดับ Isoquants ที่สูงขึ้น) แล้วพิจารณา สัดส่วนการใช้ปัจจัยแรงงานต่อ ทุน ( Least Cost combination between L* and K*) จากการขยับเส้น Isoquant เราจะพบว่า จะเกิดจุด ดุลยภาพ ที่ slope ของ เส้น Isoquant สัมผัสกับ slope ของเส้น Isocost เชื่อมจุด เหล่านั้นด้วยกัน จะได้เส้นแนวขยายการผลิต (Expansion Path) ดังแสดงตามรูปข้างล่างนี้

ถ้าเรากําหนดให้ เส้น Isoquants มีลักษณะ Strictly Convexity ( หรือเป็นไปตาม เงื่อนไขอันดับที่ 2) เราจะได้ว่า เส้นแนวขยาย (Expansion Path) สามารถหาได้โดยตรงจากเงื่อนไขอันดับที่ 1 ตังอย่างเช่น หากกําหนดให้ฟังก์ชันการผลิต มีลักษณะเป็น Cobb-Douglas Production Function Q = ALα K β เราจะได้เงื่อนไขอันดับที่ 1 คือ

[217]

ซึ่งสะท้อนว่า สัดส่วนที่เหมาะสมของปัจจัยการผลิต L* และ K* จะต้องมีค่าคงที่ เท่ากับ

9.6 การผลิตให้ได้กําไรมากที่สุด (Profit Maximization) และ อุปสงค์ของปัจจัยการ ผลิตแบบไม่มีเงื่อนไข (Unconditional Input Demand) จากหัวข้อที่ 9.5 เราจะพบว่า เราทําการวิเคราะห์ปัญหา การเลือกปัจจัยการผลิตสินค้า ที่จะ ทําให้ บริษทั เสียต้นทุนต่ําที่สุด ณ ระดับการผลิต หนึ่งๆ ซึง่ เราพบว่า ปัญหานี้ ไม่จําเป็นเสมอไปที่จะ เป็นระดับการเลือก L* และ K* ที่ทําให้บริษัทได้กําไรสูงสุด ( Profit Maximization) นักศึกษายังจําได้หรือไม่ว่า ในบทที่แล้ว เราทําการศึกษา คํานวณ หาค่า ปัจจัยการผลิต L และ K ที่จะทําให้บริษัทได้กําไรสูงสุด โดยมี สมการ Objective function ดังนี้ π = P( ALα K β ) − wL − rK

มาในหัวข้อนี้ เรา จะศึกษาปัญหาการทํากําไรสูงสุดของบริษัท เหมือนกับบทที่แล้ว นักศึกษาลองดู ฟังก์ชันกําไรของ บริษัท π = PQ − wL − rK

ในบททีแ่ ล้ว หากเรารู้ ฟังก์ชันการผลิต เช่น Q = ALα K β เราก็จะแทนค่า Q ในสมการ ข้างต้นด้วย ALα K β (จําได้หรือไม่) หากเรา ไม่ต้องการแทนค่า เรา สามารถเขียน สมการกําไรข้างต้นใหม่โดยใช้ Lagrangian Multiplier Method ได้ดังนี้

ขั้นตอนที่ 1 ตั้ง Lagrangian Function

ตอนนี้ Endogenous Variables / Choice variables มีทั้งหมด

ตัว คือ

[218]



⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦


H=

[219]

แบบฝึกหัดเรือ่ ง Optimization 1. บริษทั แห่งหนึ่งมีฟังก์ชันการผลิต Q = 2 xy ผูป้ ระกอบการพบว่า ราคาของปัจจัยการ ผลิต x และ y เท่ากับ 6 และ 4 ตามลําดับ อยากทราบว่าผู้ผลิตจะทําการผลิตอย่างไรเพื่อใช้ต้นทุน ต่ําที่สุด และถ้าต้องการความแน่ใจต้องมีเงื่อนไขอื่นใดเพิ่มหรือไม่ 2. ถ้าฟังก์ชันอรรถประโยชน์ คือ U ( x, y ) = xy ให้พิจารณาว่าผู้บริโภครายนี้มีความพึง พอใจเท่ากันหรือไม่จากสถานการณ์ 1) ราคาสินค้า x และ y เท่ากับ 1 และ 20 บาท ตามลําดับ มีรายได้ 80 บาท 2) ราคาสินค้า x และ y เท่ากับ 4 และ 20 บาท ตามลําดับ มีรายได้ 160 บาท ท่านทราบได้อย่างไร 3. สมการการผลิตของ Firm อยู่ในรูปของปัจจัยการผลิต 2 ชนิด คือ

x1 , x2

สามารถแสดง

ได้ดังนี้ Q = 0.01x1 x2 − 2 x1 + 20

ผู้ผลิตรายนี้สามารถขายสินค้าตัวนี้ได้ในราคา 1000 บาทต่อชิ้น และต้องซื้อวัตถุดิบทั้งสองชนิดใน ราคา 30 และ 40 บาท ตามลําดับ แต่ว่าทุกเดือนสินค้าจะราคาลดลง 1 % ขณะที่ช่วงเวลาที่ ต้องการใช้ในการผลิต (ตั้งแต่เริ่มจนนําออกขาย) คือ 1 เดือนพอดี 1) จะหาปริมาณผลิตที่จะทําให้ได้กําไรสูงสุด 2) จริง ๆ แล้วผู้ผลิต ผลิตสินค้าได้อย่างไรเพื่อได้กาํ ไรสูงสุด และกําไรสูงสุดเป็นเท่าใด 4. บริษทั หนึ่งผลิตสินค้า 2 ชนิดออกขายในตลาด โดยแต่ละตัวมีสมการอุปสงค์ดังนี้ x = 25 −

1 p1 2

,

และมีสมการต้นทุนการผลิตรวมซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้คือ

y = 30 − p2

TC = 2 x 2 + 2 y 2 − 6 x + 2 xy + 9

จงหาว่าบริษัทนี้ควรจะผลิตสินค้า ณ ปริมาณเท่าใด เพือ่ ให้ได้กําไรสูงสุด และกําไรสูงสุด เป็นเท่าใด 5. ชายคนหนึง่ ต้องการขายสินค้าประเภทหนึ่งที่เขาผลิตได้โดยอาศัยวัตถุดิบ 2 ชนิด คือ x,y 1

1

ซึ่งมีสมการการผลิตดังนี้ Q = 2 x 2 + y 2 โดยที่ราคาปัจจัยการผลิตทั้งสองชนิด (x,y) เป็น 4 และ 5 ตามลําดับ และมีค่าเปิดกิจการอีก 100 บาท อยากทราบว่า 1) ผู้ผลิตจะเลือกซื้อปัจจัยการผลิตทั้งสองชนิดอย่างไร เพื่อให้ได้กําไรสูงสุด ถ้าเขาสามารถ ขายสินค้าดังกล่าวในตลาดได้ 20 บาท [220]

2) ในอีกแง่หนึ่งผู้ผลิตต้องการผลิตให้ได้ต้นทุนต่ําสุด เขาควรผลิตโดยใช้กรรมวิธีการผลิต อย่างไร และต้นทุนต่ําสุดเป็นเท่าใด 3) ถ้าผู้ผลิตมีเงินทุน 220 บาท เขาจะผลิตสินค้าได้และใช้ปัจจัยการผลิตเท่าใดเพื่อให้ได้ กําไรสูงสุด 6. กําหนดให้ฟังก์ชันอรรถประโยชน์เป็น U = U ( x, y ) โดยมีงบประมาณ M = wx + py จงวิเคราะห์ผลของการเปลี่ยนแปลงรายได้ หากราคาสินค้าทั้งสองชนิดคงที่ โดยใช้ คณิตศาสตร์อธิบาย สมมติวา่ ฟังก์ชัน U is Differentiable 7. ผู้บริโภครายหนึ่งจะบริโภคสินค้า 3 ชนิด ซึ่งคือ x1 , x2 และ x3 ซึ่งราคาของทั้งสามตัว เป็น 4,1,2 บาทตามลําดับ เขาต้องบริโภคอย่างไรให้ได้ความพอใจสูงสุดภายใต้งบประมาณ 60 บาท กําหนดให้ฟังก์ชันอรรถประโยชน์เป็น U = x1 , x2 , x3 และจงหา

∂U ∂M

8. กําหนดให้ผู้บริโภคมีงบประมาณ B มีฟงั ก์ชันอรรถประโยชน์ดังนี้ U = U ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 x3 โดยที่ราคาสินค้าทั้งสามประเภทเป็น p1 , p2 , p3 ตามลําดับ จง พิจารณา 1) จงหาฟังก์ชันอุปสงค์ของสินค้าทั้ง 3 ชนิด 2) ทดสอบเงื่อนไขที่พอเพียง (Sufficient condition) 3) ฟังก์ชันอุปสงค์ที่หามาได้นั้นเป็น Homogenous function หรือไม่ ถ้าใช่ดกี รีอะไร 9. จงหาค่าสูงสุดรหรือต่ําสุดจากสมการที่กาํ หนดให้ a) f ( x, y ) = ( 2 x 2 + y 2 ) e− x − y b) y = x12 − x22 − x32 − 4 x1 − 2 x2 − 3x3 + 12 c) L ( x, y, z ) = x + y + xz − x 2 − y 2 − z 2 d) w = e xy − 2 xy 2

e) Maximize :

2

1 ⎡ x 2 + y 2 − 2 x −( x 2 + y 2 − 2 x ) ⎤ −e e ⎥⎦ 2 ⎢⎣

โดยที่ ( x, y ) ∈ R

[221]

10. จงพิจารณาปัญหาต่อไปนี้ จาก Utility function

U = x1a x2b − a ( x1 + b − a )

−b

2

subject to ∑ pi xi = M โดยที่ a,b เป็น i =1

ค่าคงที่ 1) จงหาฟังก์ชันอุปสงค์ของสินค้าทั้งสองชนิด 2) จงตรวจสอบความสัมพันธ์ (ทิศทาง) ระหว่างตัวแปรที่เป็นตัวกําหนดปริมาณอุปสงค์ของ สินค้าแต่ละชนิดอย่างละเอียด 3) ฟังก์ชันอุปสงค์เป็นโฮโมจีเนียสฟังก์ชันหรือไม่ ถ้าใช่ดกี รีอะไร 11. จงหาฟังก์ชันต้นทุนต่ําสุดของการผลิตสินค้าชิ้นหนึ่งของบริษัทแห่งหนึ่ง ซึ่งมีฟังก์ชัน การผลิตขึ้นกับปัจจัยการผลิตสองชนิดดังนี้ Y = AX 1α X 2α โดยที่ราคาปัจจัยการผลิตสินค้าของทั้ง สองชนิดเป็น W และ R ตามลําดับ 1

2

12. ถ้า U ( x1 , x2 ,…, xn ) = Ax1α x2α ...xnα ขณะที่ราคาของสินค้าแต่ละตัวตามลําดับเป็น p1 , p2 ,..., pn และมีงบประมาณ M จงหาฟังก์ชันอุปสงค์ของ x1 และอธิบายถึงเงื่อนไขที่พอเพียง 1

2

n

13. สมมติว่าผู้ผูกขาดรายหนึ่งทําการแบ่งแยกราคาของของสินค้าออกเป็น 2 ชนิด คือ Q1 , Q2 ซึ่งในแต่ละตลาดมีอุปสงค์ดังนี้ p1 = 100 − Q1 และ p2 = 80 − Q2 ในขณะที่ต้นทุนการ ผลิตของสินค้าทั้งสองเป็น C = 6 ( Q1 + Q2 ) จากข้อมูลทีใ่ ห้มาจงพิจารณา 1) ผู้ผลิตผูกขาดที่แบ่งแยกราคาขายนี้ควรจะผลิตสินค้าทัง้ สองชนิดเท่าใดและกําหนดราคา ขายเท่าใดเพื่อได้กําไรสูงสุดและกําไรสูงสุดเท่าใด 2) แต่ทว่าผู้ผลิตเกิดไม่ใช้กระบวนการแบ่งแยกราคาขาย อยากทราบว่าเขาควรจะผลิต สินค้า ณ ปริมาณเท่าใด และกําหนดราคาสินค้าเท่าใด กําไรสูงสุดเท่าใด 3) ถ้าท่านเป็นผู้ผลิตท่านจะใช้การแย่งแยกราคาขายหรือไม่เพราะเหตุใด (อธิบายโดยมี ข้อมูลยืนยันในคําตอบ) 14. ถ้าต้นทุนการผลิตของสินค้า C2 ( y ) = 200 + y +

1 2 y 300

,

x, y , z

ทั้งสามตัวนี้เป็นดังนี้

C3 ( z ) = 200 + 10 z

C1 ( x ) = 200 +

1 2 x 100

,

ขณะที่ผผู้ ลิตสินค้าได้รับโควตาให้ผลิตสินค้า

ทั้งสามตัวในจํานวน 2000 หน่วย อยากทราบว่าผู้ผลิตจะผลิตสินค้าแต่ละตัวอย่างไรเพื่อให้ใช้ต้นทุน ต่ําที่สุด พร้อมทั้งยืนยันว่าปริมาณการผลิตดังกล่าวใช้ต้นทุนต่ําที่สุดจริง

[222]

15. ผู้บริโภคมีรายได้ M มีฟังก์ชันอรรถประโยชน์ U ( x, y, z ) = a log x + b log y + c log z เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงที่ มีค่าเป็นบวก และ P1 , P2 , P3 เป็นราคาสินค้าของ X , Y , Z ตามลําดับ 1) จงหาฟังก์ชันอุปสงค์ของสินค้าทั้ง 3 ประเภท ที่ทําให้ผู้บริโภครายนี้มีความพอใจสูงสุด 2) จงวิเคราะห์ Comparative Static Analysis ถึงผลกระทบที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลง ของราคาสินค้าแต่ละชนิดดังกล่าวที่มีต่ออุปสงค์ต่อสินค้าแต่ละชนิดนั้น 3) จงหาความยืดหยุ่นของอุปสงค์ต่อสินค้า X , Y , Z ต่อรายได้ของผู้บริโภค และจง วิเคราะห์ว่าสินค้าทั้ง 3 ประเภทมีความสัมพันธ์กันอย่างไร (เป็นสินค้าทดแทนกัน หรือ ใช้ประกอบ กัน) 16. กําหนดให้ฟังก์ชันการผลิตเป็น Q = AK α Lβ และราคาปัจจัยการผลิตของทั้งสองชนิด ซึ่งคือ K , L เป็น r และ w ตามลําดับ จงวิเคราะห์ 1) ฟังก์ชันต้นทุนระยะสั้น เมื่อกําหนดให้ K มีขนาดคงที่ 2) ฟังก์ชันต้นทุนต่ําสุด ที่เมือ่ ปัจจัยการผลิตทั้งสองสามารถผันแปรได้ 3) จงทํา Comparative static analysis ถึงผลกระทบของ exogenous ที่มีต่อ endogenous 17. สมมติว่าฟังก์ชันการผลิตของโรงงานหนึ่งสามารถเขียนในรูปของ CES Function ดังนี้ −

1

Q = A ⎡⎣α x1− p + (1 − α ) x2− p ⎤⎦ p x1 , x2 เป็นปัจจัยการผลิตที่มรี าคาเป็น p1 , p2

ตามลําดับ จงพิจารณาว่า โดยที่ 1) จงแสดงว่า ถ้าเมื่อ p → 0 แล้ว ฟังก์ชันนี้จะกลายเป็น Cobb-Douglas function 2) จงหา Demand function สําหรับปัจจัยการผลิตทั้งสองชนิด ถ้ากําหนดงบประ ประมาณเป็น M 3) ท่านคิดว่าจําเป็นต้อง Check second order condition หรือไม่ เพราะเหตุใด 18. ในการวิเคราะห์ทฤษฎีการบริโภคแบบ Neo-classic (Two period consumption model) ที่ใช้พื้นฐานของ Microeconomics โดยพิจารณาให้ผู้บริโภคต้องการ maximize utility ที่ ได้จากการบริโภคในช่วง 2 เวลา ดังนั้นผู้บริโภคจะเลือกบริโภคในปัจจุบันและในอนาคตเพื่อให้ ตนเองได้รับความพอใจในการแบ่งสรรดังกล่าวสูงสุดภายใต้เงื่อนไขที่จํากัด คือ รายได้ที่ตนเองหาได้ t

ในปัจจุบัน หากสมมติว่า utility function สามารถเขียนได้เป็น U ( ct , ct +1 ) = ∑ δ t ln ct +1 และ i =0

รายได้ที่ผู้บริโภคคนนี้หาได้ในเวลา t เป็น M t และอัตราดอกเบี้ยของการฝากเงินในธนาคารผ่านหนึ่ง ช่วงเวลาเป็น r จงหาว่าผู้บริโภคจะทําการบริโภคในปัจจุบันและอนาคตอย่างไรเพื่อให้ได้ความพอใจ [223]

สูงสุด และจงวิเคราะห์ Comparative static analysis ต่อผลกระทบของ endogenous ที่สืบ เนื่องจาก exogenous ( Hint : สมการข้อจํากัด คือ

ct +

ct +1 = Mt ) (1 + r )

19. กําหนดให้ Utility function ของคนคนหนึ่งเป็น U = ln c + ln ( 24 − N ) เมื่อ c แทน การบริโภคสินค้าชนิดหนึ่งที่มีราคาเป็น P บาทต่อหน่วย และ N แทนจํานวนชั่วโมงการทํางานของ เขาซึ่งได้รับค่าตอบแทนชั่วโมงละ w บาท หากกําหนดให้เขามีรายได้ที่มิใช่มาจากค่าจ้างเป็น M จง วิเคราะห์ปัญหาต่อไปนี้ 1) จงเขียนสมการ Constraint ของเขา 2) แก้ปญ ั หา Utility maximize subject to constraint in 1) 3) จงหา Demand for c (แทนด้วย c*) และ Supply function ในการทํางาน (แทนด้วย N*) 4) ฟังก์ชันทั้งสองในข้อ 3) เป็น Homogenous หรือไม่ และดีกรีอะไร 5) Let U * = ln c* + ln ( 24 − N * ) . Show that what is the rate of U* due to an increase in

∂U * >0 ∂M

and

∂U * <0 ∂p

. And

M

20. Find the solution for the Optimization and check that it is maximal or minimal point by Second order condition. 1) f ( a, b ) = a 2 + b2 + ab + 10a + 10b 2) f ( x, y ) = 2 x 2 − y 2 − 4 x + 8 y 3) f ( x, y ) = 3x 2 − 8 xy + 8 y 2 4) 5) 6) 7) 8) 9)

1 3

1 3

f ( x, y ) = 6 x − y − x − y

:

x > 0, y > 0

f ( x, y ) = ln ( x − 1) + ln ( y − 2 ) − 2 x − 3 y f ( x, y ) = ln ( x + 3) − 2 y

f ( x, y ) = x (1 − e− x y ) + 8 y

:

x > 0, y > 0

x 2 + y 2 + 3z 2 + 3 yz; sub : x + 2 y + 3z = 1 ln ( xy ) ; sub : ( x + 1)( y + 1) = 4 n

n

i =1

i =1

10) ∑ ln ( xi − βi ); sub : ∑ pi xi = y 11)

4 x + 2 y − 8; sub : ( x − 2 ) + ( y − 1) = 80 2

2

[224]

บทที่ 10 Integration และ การประยุกต์ใช้ Integration ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ เรื่อง Integration และ การประยุกต์ใช้ Integration ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ จํานวนบรรยาย: 2 ครั้ง เนื้อหาประกอบด้วย Integration - Notation and Terminology - กฎของการอินทิเกรชัน (Rules of Integration) - อินทิเกรชันในขอบเขตแน่ชัด (Definite Integrals) ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ Integration ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ - การหาฟังก์ชันรายรับรวม (Total Revenue Function) จากฟังก์ชันรายรับส่วนเพิ่ม (Marginal Revenue Function) - การหาฟังก์ชันต้นทุนรวม (Total Cost Function) จากฟังก์ชันต้นทุนส่วนเพิ่ม(Marginal Cost Function) - การหาฟังก์ชันกําไรรวม (Total Profit Function) จากฟังก์ชันกําไรส่วนเพิ่ม(Marginal Profit Function) - การหาฟังก์ชันการบริโภค จากฟังก์ชันแนวโน้มการบริโภคหน่วยสุดท้าย - การหาฟังก์ชันการออมจากฟังก์ชันแนวโน้มการออมหน่วยสุดท้าย - ความพอใจส่วนเกินผู้บริโภค (Consumer Surplus) - ความพอใจส่วนเกินผู้ผลิต (Producer Surplus) - First Degree Price Discrimination หรือ Perfect Price Discrimination - ฟังก์ชันการสะสมทุน

[225]

10.1 การหาอินทิเกรชันแบบไม่มีขอบเขตแน่ชัด (Indefinite Integrals) นักศึกษาได้เรียนรู้แล้วว่า จากความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งสองสิ่ง เราสามารถหาอัตราการ เปลี่ยนแปลงของสิ่งหนึ่งเทียบกับอีกสิ่งหนึ่งขณะใดๆได้ เราอาจหาอรรถประโยชน์ส่วนเพิ่ม (Marginal Utility) จากการบริโภคสินค้า X ได้จากการหา partial derivative ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ เทียบกับ สินค้า x หรือ เราอาจจะหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุน เทียบกับจํานวนการผลิตขณะทีผ่ ลิต เท่ากับจํานวนหนึ่งได้ และเรียกค่าที่ได้ว่า Marginal Cost ในทางกลับกัน ถ้าเรามีฟังก์ชัน Marginal Utility หรือ Marginal Cost แล้ว เราก็สามารถหา ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ หรือ ฟังก์ชันต้นทุน ได้จากการใช้ขบวนการกลับกับการหาอนุพันธ์ดังต่อไปนี้ 10.1.1 แอนติดิริวาทิฟ (Antiderivative) หรือ การอินทริเกรต (Integration) ถ้าเรามี ฟังก์ชัน F(x) และสามารถหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ได้ค่าเท่ากับ f(x) เราก็สามารถ อินทิเกรต ฟังก์ชัน f(x) กลับ เพื่อให้ได้ ฟังก์ชัน F(x) ได้เช่นกัน โดยฟังก์ชัน F(x) คือ integral หรือ antiderivative ของฟังก์ชัน f(x) เราสามารถเขียนสัญลักษณ์ การอินทิเกรต ฟังก์ชัน f(x) เทียบกับ x ได้ดังนี้

∫ f ( x)dx = F ( x) + C โดย

dF ( x) = f ( x) dx

โดย ∫ คือ integral sign f(x) คือ integrand ( ฟังก์ชัน ที่จะทําการ integrated) ขบวนการที่ได้มาซึ่ง F ( x) + C เรียกว่า แอนติดิริวาทิฟ (Antiderivative) ∫ f ( x)dx เรียกว่า อินเดฟฟินิทอินทิกรัล 10.1.2 Basic Rule of Integration Rule I: (the power rule) 1

∫ x dx = n + 1 x n

n +1

+ c (n ≠ −1)

Rule II: (the exponential rule)

∫ e dx = e x

x

+c

[226]

Rule III: (the logarithmic rule) 1

∫ xdx = ln x + c Rule IIa:

∫ f ′ ( x )e

Rule IIIa:

∫

f ( x)

dx = e

f ( x)

+c

f ′( x) dx = ln f ( x ) + c ⎡⎣ f ( x ) > 0 ⎤⎦ f ( x)

ln f ( x ) + c ⎡⎣ f ( x ) ≠ 0 ⎤⎦

or

Rule of operation Rule IV: (Integral of a sum)

∫ ⎡⎣ f ( x ) + g ( x) ⎤⎦ dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x)dx Rule V: (Integral of a multiple)

∫ kf (k )dx = k ∫ f ( x )dx Rule Involving Substitution Rule VI: (the substitution rule) du

∫ f (u) dx dx = ∫ f (u)du = F (u) + c Rule VII: (Integration by parts)

∫ vdu = uv − ∫ udv

[227]

ตัวอย่างที่ 1 การอินทริเกรตแบบไม่มีขอบเขตแน่ชัด (Indefinite Integral-Antiderivative) 1. ∫ xdx =

2. ∫ 13 dx = x

3. ∫

xdx =

4. ∫ ( 3x 4 + 5 x 2 − 2 )dx =

5. ∫

x x x dx =

6. ∫ (e3 x − e2 x + e x )dx =

[228]

7. ∫ ( y − 2) y

2

dy =

9. ∫ xe x dx =

8. ∫ x(1 + x 2 )15 dx =

10. ∫ 1 ln xdx = x

[229]

11. ∫ e2 x x3dx =

13. ∫ x3

1 + x2

12. ∫ x − x+

=

x dx = x

14. ∫ ln( x + 2)dx = 2x + 4

10.1.2 Initial-Value Problems

∫ f ( x)dx = F ( x) + C

จากรูปแบบการ อินทริเกรต ข้างต้น หาก เรามี Initial condition เราสามารถหา ค่าของ C ได้

[230]

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคําตอบของ Initial-value problem ต่อไปนี้ 1 − 2x 2

a) จงหา F(x) ถ้ากําหนด

F ′( x) =

b) จงหา F(x) ถ้ากําหนด

F ′( x) = x(1 − x 2 )

and F(0)=1/2

and F(1) = 5/12

10.2 การหาอินทิเกรชันแบบมีขอบเขตแน่ชัด (Definite Integrals) จาก

∫ f ( x)dx = F ( x) + C ถ้าเราเลือก ค่า a และ b ใน โดเมนของ x ( a < b) ใส่ เข้าไปในสมการข้างต้น แล้วหาส่วนต่าง เราจะ ได้ว่า [ F (b) + c ] − [ F (a) + c ] = F (b) − F (a) ซึ่งจะได้ค่าตัวเลขออกมา 1 ค่า เรียกค่านี้ว่า definite integral of f(x) from a to b โดยค่าของ a คือ lower limit of integration และ ค่า b คือ upper limit of integration และเราสามารถ เขียนสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ได้ว่า b

b

a

a

∫ f ( x)dx = F ( x)

= F (b) − F (a )

ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่า definite integral ต่อไปนี้ 1

∫αe

βτ

dτ

( β ≠ 0)

0

[231]

t

d 1 dx ∫ dt − t x 4 + 1

2

2

∫ ( 2x

3

− 1) ( 6 x 2 ) dx

1

10.2.1 A Definite Integral as an Area under the Curve y

y=f(x)

a

A=?

b

x

กราฟที่ 1 เมื่อพิจารณากราฟที่ 1ข้างต้น คําถามที่เกิดขึ้น คือ เราจะหาพื้นที่ A ใต้กราฟ f(x) เช่นไรหากเรา สมมติให้ ฟังก์ชัน f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีค่าเป็นบวก

[232]

กราฟที่ 2 หากเราต้องการหาพื้นที่ใต้กราฟ y=f(x) จากช่วง [a,b] (พื้นที่ A) เราอาจทําได้โดยแบ่งช่วง [a,b] ออกเป็น 4 ส่วน คือ ∆x1 , ∆x2 , ∆x3 , ∆x4 พื้นที่ A สามารถคํานวณคร่าวๆได้ว่า A=

จะเห็นได้ว่า พื้นที่ที่คํานวณได้จากสมการข้างต้น ไม่เท่ากับพื้นที่จริง อย่างไรก็ตาม เราพบว่าหากมี การแบ่งช่วง [a,b] ให้เล็กลงมากขึ้น พื้นทีท่ ี่เราคํานวณได้จะยิ่งมีความใกล้เคียงกับพื้นที่จริง ดังแสดง ได้ด้วยกราฟที่ 3

กราฟที่ 3 หรือสามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ได้ว่า

[233]

กราฟที่ 4

10.2.2 คุณสมบัติบางประการของ เดฟฟินิทอินทิกรัล (Some Properties of Definite Integral) Property I: The interchange of the limits of integration changes the sign of the definite integral: b

∫ a

a

f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx b

Property II: A definite integral has a value of zero when the two limits of integration are identical a

∫ f ( x )dx = F (a) − F (a) = 0 a

Property III: A definite integral can be expressed as a sum of a finite number of definite subintegrals as follows d

b

c

d

a

a

b

c

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x ) dx ( a < b < c < d ) [234]

กราฟที่ 5 Property IV: b

b

a

a

∫ − f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx Property V: b

b

a

a

∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx Property VI: b

b

b

a

a

a

∫ ⎡⎣ f ( x ) + g ( x) ⎤⎦dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x )dx Property VII: (Integration by part) x =b

∫ vdu = uv

x=a

x =b x=a

x =b

−

∫ udv

x=a

[235]

ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ

∫

3

−2

x + 1dx

0


2x ∫−4 x 2 − 2dx

10.3 อิมปรอเปอร์อินทิกรัล Improper Integral จากทฤษฎีพื้นฐานของแคลคูลัส เราทราบว่า ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วง

a ≤ x ≤ b และถ้า F ′( x ) คือ f ( x ) แล้ว b

∫ f ( x )dx = F ( b) − F (a) a

[236]

3

1 1 dx f ( x ) ก็ จ ะหาค่ า ในรู ป ข้ า งต้ น ไม่ ไ ด้ เพราะ = นั้นเป็นฟังก์ชันที่ไม่ 2 ∫0 x 2 x ∞ 1 ต่อเนื่องที่จุด x = 0 หรือ ∫ dx ก็ไม่สามารถหาค่าในรูปข้างต้นได้เช่นกัน เพราะช่วงของการ x a

ซึ่งถ้าจะหาค่า

อินทิเกรตไม่ใช่ช่วงปิด (Closed Interval) อย่างไรก็ตามค่าอินทริกริล เหล่านี้ก็สามารถที่จะหาค่าได้โดยใช้ลิมิตช่วยดังต่อไปนี้ นิยาม 1 ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสําหรับทุกค่า x ≥ a แล้ว ∞

b

∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx a

b →∞

a

นิยาม 2 ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสําหรับทุกค่า b

x ≤ a แล้ว

b

∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx

−∞

a →∞

a

นิยาม 3 ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสําหรับทุก

x ∈ R แล้ว

∞

0

∞

−∞

−∞

0

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ∞


2 ∫1 x 2 dx

[237]

∞


1 ∫1 x dx

10.4 ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ Integration ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์

10.4.1. หาฟังก์ชันต้นทุนการผลิตโดยรวม จาก ฟังก์ชันต้นทุนส่วนเพิม่ (Recovering Total Cost from Marginal Cost) หาก กําหนดฟังก์ชันต้นทุนส่วนเพิ่ม คือ MC(Q) เราสามารถหาฟังก์ชัน ต้นทุนการผลิต (the underlying total cost) ได้ ดังนี้ TC(Q) = ตัวอย่างที่ 8 ถ้ากําหนด MC(Q) = 3 + 2Q เราสามารถหา TC(Q) = • หมายเหตุ คําถาม What is the constant in a total cost function? คําตอบ It is fixed costs, so using a marginal cost function we are unable to recover the level of fixed costs that a firm faces. 10.4.2. การหาฟังก์ชนั กําไรรวม (Total Profit Function) จากฟังก์ชันกําไรส่วนเพิ่ม(Marginal Profit Function) ฟังก์ชันกําไรส่วนเพิ่ม (MP) มีค่าเท่ากับ MP=MR-MC ถ้าเรากําหนดระดับการผลิต ที่ q1 เราสามารถหากําไรที่บริษัทจะได้มีคา่ เท่ากับ Profit = [238]

ตัวอย่างที่ 9 เช่น ถ้าเรากําหนด MR= 50-2q และ MC= 10+q หากบริษัททําการผลิต ที่ q=10 บริษัทจะได้กําไรทั้งสิ้นเท่ากับ

10.4.3. การหาระยะเวลาการใช้เครื่องจักรที่เหมาะสม หากกําหนดให้บริษัทซื้อเครื่องจักรใหม่มา 1 เครื่อง เครื่องจักรนี้ ก่อให้เกิดรายได้และต้นทุนแก่บริษัท ตามนี้ MR(t ) = 200 − 2t 2 และ MC (t ) = 25 + 2t + t 2 1. หากบริษัทตั้งใจจะใช้เครื่องจักรนี้ 4 ปี กําไรที่บริษัทจะได้ทั้งสิ้นมีค่าเท่าไร

2. ในฐานะที่ทา่ นเป็นนักเศรษฐศาสตร์ ท่านคิดว่า จริงๆแล้วบริษัท ควรจะใช้เครื่องจักรนี้กี่ปี จึงจะได้ กําไรสูงสุด

[239]

3. หากให้เครื่องจักรนี้มีค่าซากเท่ากับ ฟังก์ชัน S(t) โดย S (t ) = 1000 − 119t

ท่านคิดว่าบริษัทควรจะวางแผนใช้เครื่องจักรเป็นระยะเวลากี่ปี จึงจะได้กําไรสูงสุด

10.4.4.การหาฟังก์ชนั การออม จาก ฟังก์ชันแนวโน้มการออมหน่วยสุดท้าย หากกําหนดฟังก์ชันแนวโน้มการออมหน่วยสุดท้ายของนาย Yahoo คือ −

1 2

โดยหากเขามีรายได้เท่ากับ 81 ดอลลาร์ เขาจะไม่มีเงินออมเหลือเลย คําถาม จงหา ฟังก์ชันการออมของนาย Yahoo S ′(Y ) = 0.3 − 0.1Y

10.4.5. การหา ส่วนเกินผู้ผลิต และส่วนเกินผู้บริโภค (Consumer and Producer Surplus) ในวิชาเศรษฐศาสตร์จุลภาค เรื่องอินทิเกรชัน เป็นเครื่องมือที่สําคัญ ในการคํานวณหา ส่วนเกิน ผู้ผลิตและส่วนเกินผู้บริโภค (consumer and producer surplus) โดยเฉพาะ ในกรณีที่เส้นอุปสงค์ และเส้นอุปทานไม่ใช่เส้นตรง (when the demand curve and supply curve are not linear) นักศึกษาลองพิจารณาถึงการหาส่วนเกินผู้ผลิตและส่วนเกินผู้บริโภค ตามแผนภาพดังต่อไปนี้

[240]

กําหนดให้เส้นอุปสงค์ถูกกําหนดโดย Q = D(P) และ ให้เส้นอุปทานถูกกําหนดโดย Q = S(P). ดุลย ภาพของราคาและปริมาณ คือ P* และ Q* ส่วนเกินของผู้บริโภค (Consumer surplus) คือ พื้นที่ใต้เส้นอุปสงค์แต่เหนือระดับราคาดุลยภาพ พื้นที่นี้คือ CS ในแผนภาพ ส่วนเกินของผู้ผลิต (Producer surplus) คือ พื้นที่เหนือเส้นอุปทานแต่ใต้ระดับราคาดุลยภาพ พื้นที นี้คือ PS ในแผนภาพ เราสามารถหาส่วนเกินผู้ผลิตและส่วนเกินผูบ้ ริโภคได้ดังนี้ ส่วนเกินผู้บริโภค CS = หรือ CS = ส่วนเกินผู้ผลิต PS = หรือ PS =

[241]

ตัวอย่างที่ 10 กําหนด เส้นอุปสงค์ คือ D(P) =

25 1 − P 2 2

และเส้นอุปทาน คือ S(P) =

ส่วนเกินผู้บริโภคและส่วนเกินผู้ผลิต

1 1 − + P 2 2

จงหา

Welfare Effects of Price changes สมมติให้ เส้นอุปสงค์ เปลี่ยนเป็น เส้น ส่วนเกินผู้ผลิต

30 1 − P 2 2

จะเกิดผลอย่างไรต่อ ส่วนเกินผู้บริโภคและ

Welfare Effects of Tax distortion หาก รัฐบาลเก็บภาษีในอัตรา 4 บาทต่อหน่วย จากผู้ผลิต จงคํานวณหาสวัสดิการที่เสียไปจากการ เก็บภาษีครั้งนี้

10.4.6. First Degree Price Discrimination หรือ Perfect Price Discrimination หากกําหนด เส้น อุปสงค์ของผู้ผูกขาดรายหนึ่ง คือ P = 247 − Q 2 และ MC = 4+3Q จงหา CS ณ ปริมาณที่ทําให้ได้กําไรสูงสุด

[242]

หากผู้ผูกขาดรายนี้สามารถทํา Perfect Price Discrimination ได้ จงหาว่า ผู้ผูกขาดรายนี้จะได้ รายรับรวมที่ทาํ ให้ได้กําไรสูงสุดเท่าไร

10.4.7. ฟังก์ชันการสะสมทุน 1 3

หากกําหนดอัตราการลงทุนสุทธิ (Net Investment) มีค่าเท่ากับ 12t และการสะสมทุน (capital stock) ณ เวลา t = 0 มีค่าเท่ากับ 25 จงหาฟังก์ชันของทุน (K) และจํานวนการสะสมทุนระหว่างช่วง [1,3]

[243]

10.4.8 การประยุกต์ใช้ในทางเศรษฐมิติและสถิติ: ตัวแปรเชิงสุ่ม (Random Variables) เราสามารถประยุกต์ใช้เรื่อง การอินทิเกรต กับวิชา เศรษฐมิติ ได้ ในวิชาเศรษฐมิติ เรา ประยุกต์ใช้ตัวแปรเชิงสุ่ม เพื่อสะท้อนถึงผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่เราสนใจ • สําหรับตัวแปรเชิงสุ่มหนึ่งๆ (Random variables) จะมีการแจกแจงความน่าจะเป็น (a probability distribution) ตัวอย่างเช่น ถ้ากําหนดให้ X เป็นตัวแปร เชิงสุ่ม a random variable ซึ่งค่าของ x แสดงถึง ผลลัพธ์ของการโยน ลูกเต๋า 1 ลูก (Fair die) การแจงแจงความน่าจะเป็นของ X เขียนแทนด้วย f(x) คือ f(1)=1/6, f(2)=1/6, f(3)=1/6, f(4)=1/6, f(5)=1/6, f(6)=1/6 and f(i)=0 for any other value i.

สําหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ( any discrete random variable X: DRV) ซึ่งมีค่าการแจงแจง ความน่าจะเป็น f(x) จะมีคุณสมบัติดังนี้ 1. f ( x) ≥ 0 2. ∑ f ( x) = 1 เมื่อรวมสําหรับ x ทั้งหมด ใน domain ของ f(x) x 3.ฟังก์ชั่นการแจกแจงความน่าจะเป็นสะสมของ X สามารถหาได้โดย

F ( x) = P( X ≤ x) = ∑ f (t ) t≤x

สําหรับ −∞< x < ∞

ตัวแปรเชิงสุ่ม สามารถเป็นแบบต่อเนื่องได้เช่นกัน โดยหากให้ Z คือ ตัวแปรเชิงสุ่ม แบบต่อเนื่อง ใด( any continuous random variable ) โอกาสที่ค่า Z จะอยู่ในช่วง [a,b] สามารถ หาได้โดย b

P (a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x)dx

a โดย a, b ∈ ; a ≤ b ฟังก์ชัน f(x) ใดๆ จะสามารถเป็น pdf ได้จะต้องมีคุณสมบัติดังนี้

[244]

1.

f ( x) ≥ 0,

for − ∞ < x < ∞

∞

f ( x)dx = 1 2. −∞∫

3. ถ้า X เป็น cont. r.v. ซึ่งมี pdf. ณ จุด t เป็น f(t), Distribution Fn. หรือ Cumulative Distribution Fn. of X คือ ฟังก์ชั่นที่กําหนดโดย x

F ( x) = P( X ≤ x) =

∫

f (t )dt

−∞

สําหรับ

−∞ < x < ∞

4. ถ้า X เป็น continuous r.v. และ f(x) เป็น ค่าของ probability density ณ x, ค่าคาดหมาย (Expected value) ของ x จะเป็น E(X) = ∫

∞

−∞

x ⋅ f ( x)dx = µ

5. ถ้า X เป็น continuous r.v. และ f(x) เป็น ค่าของ probability density ณ x, ค่าความ แปรปรวน (Variance value) ของ x จะเป็น

หรือ

[245]

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ อินทิเกรชัน กําหนด Uniform distribution f(x) มีค่าดังนี้

1) จงหา CDF ของ Uniform distribution f(x)

2) จงหา ค่า คาดหมาย E(x)

3) จงหา ค่าความแปรปรวน Var(x)

[246]

Basic Math in Economics - เอกสารประกอบการสอนวิชา คณิตเศรษฐศาสตร์เบื้องต้น

Recommend Documents