BUDAPESTI MŰSZAKI FŐISKOLA Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar
Dr. Baróti György - Kis Miklós Schmidt Edit - Sréterné dr. Lukács Zsuzsanna
MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
BMFKVK 1190 BUDAPEST, 2005
Budapesti Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar
Dr. Barótí György - Kis Miklós Schmidt Edit - Sréterné dr. Lukács Zsuzsanna
MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Budapest, 2005
Szerkesztette: Srétemé dr. Lukács Zsuzsanna főiskolai docens Lektorálta: dr. György Anna főiskolai docens Szerzők: dr. Baróti György főiskolai docens - 6., 7., 14. fejezet, Kis Miklós főiskolai adjunktus - L, 11., 13. fejezet, Schmidt Edit főiskolai adjunktus - 4., 5., 8. (8.3.1.-8.3.5. kivételével), 9. fejezet, Srétemé dr. Lukács Zsuzsanna főiskolai docens - 2., 3., 8.3.1.-8.3.5., 10., 12., 15. fejezet
Felelős kiadó: Dr. Turmezei Péter, a BMF KVK dékánja. Munkaszám: BMF KVK 1190
KVK-1190
ELŐSZÓ Feladatgyűjteményünket a korábbi Kandó Kálmán Műszaki Főiskola hallgatói számára készítettük, akik ma a Budapesti Műszaki Főiskola három karán tanulnak. Az összeállításkor a nálunk folyó képzés igényeit tartottuk szem előtt, és tekintetbe vettük a különböző oktatási formák (nappali-, esti-, levelező tagozat, távoktatás) sajátosságait is. A kötet két részből áll: az első a feladatokat, a második a megoldásokat tartalmazza. A feladatok, egy-egy témakörön belül, nehézségi sorrendben következnek egymás után. A példák összeválogatásánál, a terjedelmi korlátok szabta kereteken belül, igyekeztünk bőséges és változatos kíná latot adni a zárthelyikre és a vizsgákra való felkészüléshez. A megoldási részben a feladatokhoz vagy végeredményeket (E), vagy vázlatos (V), vagy részletes megoldásokat (M) közlünk. Ezt jelzik a feladatok sorszá ma mögött álló betűk. A gyűjteményünkben a mi követelményeinknek megfelelő feladatok szerepelnek. Reméljük azonban, hogy más felsőokta tási intézmények hallgatói is eredményesen tudják majd használni. Az észrevételeket, a könyvben előforduló esetleges hibák közlését kérjük és köszönettel fogadjuk. Budapest, 2000. szeptember A szerkesztő
KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Mindenekelőtt megkülönböztetett köszönettel tartozunk dr. Bognár Sán dor kari főigazgató, főiskolai tanárnak, akinek kezdeményezésére és tá mogatásával készítettük el ezt a régi hiányt pótló feladatgyűjteményt. Köszönjük a könyv lektorának, dr. György Anna kari főigazgató-helyet tes főiskolai docensnek hasznos megjegyzéseit és javaslatait, amelyekkel segítette munkánkat. Végül köszönettel tartozunk a kötet szerkesztőjének, Srétemé dr. Lukács Zsuzsanna főiskolai docensnek az észrevételeiért, a gondos és körültekin tő szerkesztői munkájáért, amellyel biztosította, hogy formailag és tar talmilag egységes, reményeink szerint jól használható feladatgyűjteményt adhassunk hallgatóink kezébe. Budapest, 2000. szeptember A szerzők
KVK-1190
KVK-1190
1. KOMPLEX SZAMOK 1.1. Komplex számok ábrázolása 1.1.1. írja fel az alábbi komplex számok valós és képzetes részét, vala mint algebrai alakban a konjugáltját, és számítsa ki az abszolút ér téküket! A megadott komplex számokat és a konjugáltakat ábrázol ja a komplex számsíkon egy-egy pontként! a)(M )z, = 3 - j ; b)(V) z , = - 2 + 2j; c)(V) Z3 = 2 + 3j; d)(E) z , = - 3 - 3 j ; e)(E) Z3 = - 5 ;
f) (E) z , = - 4 j ;
g)(E) z, = - l + 3 j;
h)(E) z , = 4 + j.
1.1.2. íija fel az alábbi komplex számok konjugáltját trigonometrikus alakban, nemnegatív, a teljes szögnél kisebb irányszöggel. A meg adott komplex számokat és a konjugáltakat ábrázolja a komplex számsíkon egy-egy pont helyvektoraként! a)(M) Zj = 3 (cos 45°+ j sin 45°); b)(V) Zj =4(cos210° + jsin210°); c)(V) Z3 =V2(cos420° + jsin420°); d)(V) Z4 =3,5(cos(-1140°) + jsin(-1140°)); e)(E) Zj = 4
71 6
. . 71^ 6/
COS — + j s m —
2n
f) (E) z, =5 cos
3 2 0 71
g)(E) z ,= 4 ,5 cosh)(E) z ,= V 3 cos
12
27t
+ jsm ■+ j s m -
20 7T
1371 + jsm 4
13 71 //
KVK-1190 1.1.3. írja fel az alábbi komplex számok konjugáltját exponenciális alak ban, nemnegatív, a teljes szögnél kisebb irány szöggel. A megadott komplex számokat és a konjugáltakat ábrázolja a komplex számsí kon egy-egy pont helyvektoraként! .19 71
a)(M )z, = 3 e '" « ;
b)(V) Z2 = 2 e^";
. 5 71
. 2 1 71
c)(E) Z3 = 5 e ' ^ ;
d)(E) z, = 3 e " '^ ;
■23 71
■25 71
e)(E) Z5 = 2 e'
;
f) (E) z, = 4 e ‘^ ^ ;
—In5+j— g)(M) Z7 =e^ 3. 1 ,
^
. 71
,
=e
1
•
^ .
1.2. Áttérés a komplex szám egyes alakjai között 1.2.1. írja fel algebrai alakban az alábbi, trigonometrikus illetve exponen ciális alakban megadott komplex számokat! a) (M) z = 3 (cos 60° + j sin 60°); b)(V) z = 4 (cos (-45°) + j sin (-45°)); c) (E) z = 2 (cos (-330°) + j sin (-330°)); d)(E) z = V2 (cos765° + jsin 765°); .571
e) (M) z = V2 e
-J-T ^;
_ .l l 7 I
g)(E) z = 6 e ' ® ;
^ __
^
.771
f) (E) z = 2 e'’ ^ ; ■ 2 9 71
h)(E) z = \Í3 o’
.
1.2.2. írja fel trigonometrikus és exponenciális alakban az alábbi, algebrai alakban megadott komplex számokat! a)(M) z = l + V3 j ; b)(M) z = - 5 V 3+5 j ; c )(M )z = - 5 j ; d)(E) z = - 4 - 4 j ; e)(E) z = -5 ; f)(E) z = - e + e j ; g)(E) z = -0,61-8,83 j ;
h)(E) z = - 1 0 “' - 1 , 3 -lO^^ j .
1.2.3. írja fel az alábbi komplex számokat algebrai, trigonometrikus és exponenciális alakban!
KVK-1190 a) (M) z = -2 (cos 135° - j sin 225°); b)(V) z = V2 (-s in 9 0 ° -js in 2 7 0 ° ); c)(V) z = 6(tgl35° + jsin60°); d) (E) z = - VS (ctg (-210°) - j tg (-300°)); e)(V) z = ( ln e ') - ( lg lO ^ ) f ;
f) (E) z = 4 f - 2 f ;
g)(E) z = (2j)'“ ;
h)(E) z = (3 j)-\
1.2.4. Határozza meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét úgy, hogy irányszöge, illetve abszolút értéke a megadott le gyen! A kapott komplex számot írja fel algebrai és trigonometrikus alakban is! a)(M) z = -3 + b j,h a (p = 150°;
b)(E) z = a + V2 j,h a (p = - y ;
c )(E) z = a + b j ,h a cp = -240° és r = 5; d)(E) z = a + b j ,h a (p =
és r = 17 .
1.3. Műveletek különféle alakú komplex számokkal 1.3.1. Végezze el a kijelölt műveletet, és az eredményt adja meg trigono metrikus alakban! a)(M )z = (2 + 9 j)-h (4 -3 j); b)(E) z = ( - 7 - 4 j ) - ( l - 4 j ) ; c)(E) z = ( - l + 3 j) + ( 3 - 5 j) ;
d)(M) z = (-3 V 3 + 3 j)(V3 - j);
e)(V) z = (-2 V 3 -3 j)(-2 + V3j); f )(M )z = (2 V 3 -2j)(-V 3+ V 3j); g)(E) z = (3 + 2 j ) ( - 4 - j ) ;
h)(V) z = (-2 + 2 ^3 j)';
i)(E) z = (-2 V 3 + 2 V 3 j)';
j) (V) z =
k )(E )z = - ^ ^ ; -V 2 + V 2 j’
l)(E )z = n)ÍE)
-2 V ^H -2 j ’
( 2 '2 j ) - ( 7 - 3 j ) . (-3 + 7 j ) - ( - 5 + 9 j ) ’
, - 2 V 3 -2 V 3 j 1+ V3j •
KVK-1190 1.3.2. Végezze el a kijelölt műveletet, és az eredményt adja meg algebrai alakban! a)(M) z = (2(cos37° + jsin37°))(3(cosll3° + js in ll3 ° )); b)(E) z = (VS (cos 108° + j sin 108°))(V2 (cos 72° + j sin 72°)); c)(V) z = (5(cosl69° + jsinl69°))(0,3(cos(-199°) + js in (-199°))); d)(E) z = z ,z 2 ,h a \ \ 25 n 25 Ti COS + jsin Z2 = Vs (cos 240° + j sin 240°); 6(cosl78° + jsin 178°) e) (M) z = ---------------------------- ; 2 (cos 133° + jsin 133°) _ V2(cos336° + js in 336°), V8(cosl26° + jsinl26°) ’ _
3 ^ ( c o s ( - i 7 ”) + i s m ( , - 3 r ) ) ,
„
V6(cos(-127°) + js in (-127°)) ’ 4,28(cos(-257°) + jsin(-257°)) l,07(cos323° + jsin 323°)
1.3.3. Végezze el a kijelölt műveletet, és az eredményt adja meg algebrai alakban! a)(M) z = (3(cosl5° + jsin l5 °))^ b)(E) z = (2 (cos45° + js in 45°))^; c)(E) z = (2(cosl35° + jsinl35°))''; d)(E) z = (cos(-3°) + jsin (-3 °))‘^ e)(M) z = ^ 2 7 (cos 180° + jsin 180°); Í)(E) z = Vl6(cosl20° + jsinl20°); g)(E) z = ^7,83(cos66° + js in 66°); h)(V) z = (cos(-60°) + jsin(-60°))‘l .
KVK-1190 1.3.4. Végezze el a kijelölt műveletet, és az eredményt adja meg algebrai alakban! í . 71 ■IIA Jt -^1 b)(E) z = 1,25 e a)(M) z = "Jt
c)(V) z = 3 e “'3 V /
d)(E) z =
e)(M) z = ^ 2 V 2 e j ’' ;
f)(E) z = V81ej^" .
1.4, Vegyes feladatok 1.4.1. Végezze el a kijelölt műveleteket, és az eredményt adja meg algeb rai és trigonometrikus alakban is! j((6 +
5j ) - ( 6
+
3j))
1+
1- J
-
(l + j )
e)(E) z =
.
0-------(E ) z =
(-l-j)(3 -3 j)^ ’ gXV, z - M 1+ J i) (E) z =
l í l M +J
+J
6- j
;
j
1+ J
4 + 2 - j; V 3 -j
h )(E )z = ^
+J
; -
3j
: + 2 -j.
1.4.2. Végezze el a kijelölt műveletet, és az eredményt adja meg algebrai alakban! 3
3V3 .
a)(M)z = V ^ ;
b)(V) z =
c)(V) z = V-5,47-10-^ ;
81 81 - V 3 . d)(E) z = ^ - y + — j;
e)(E) z = ^ ( 4 - 4 j ) ^
0 (E ) z = ^ - 1 6 ^ 3 + 1 6 j ;
8
-j;
KVK-1190
1.4.3. Adja meg az alábbi komplex számokat algebrai és trigonometrikus alakban is! a) (M) z =
Z3, ha Zl J z, = 2 e ^ , Z2 =2a/3(cos90° +jsin90°) és Z3 = - j ; .5 71
b)(V) z =
Z3, ha Zl . 7t
z, =1 + V3 j , Z2 = 2 V3 (cos270°+ js in 270°) és Z3 l+~ c)(V) z = ---- ^ ( z i - z 2),h a 1
-
—
Z2 z, = 2 V2 (cosl35° + jsinl35°) és Zj = 2 - 2 j ; „)(E) z = í l < í ^ , h a Z2Z3 z, =14e'' ^ , Zj = - 5 + V3 j és Z3 =1 + SV3 j; z, Z2 Z3 e)(E) z = --------- ---------------,h a Zj Z2 + Z3 + Z2 Z3 ■Jl
42 .
- ji
-i\ .
V2
V2 .
Zj +Z2 +Z3 . 71 Zj = 3 e''^, Z2 = - V 3 + j és Z3 = 2 (cos30° + js in 30°);
10
;
KVK-1190 g)(E) z = ^ i^ 2 _ ± ^ ,h a Z,Z2 - Z 3 Zj = 2 (cos300°+ jsin 300°), Zj =1 + V3 j és Z3 = 4 e ^ ; 2
.71
h)(E) -L^—---- ha z, =
. 3 ti
és Z2 = 3e^ 2
Z1 - Z 2
1.4.4. Adja meg az alábbi komplex számokat algebrai és trigonometrikus alakban is! a)(M) z ^ ^Zi (Z2 +Z3) , ha z, =2e^", Z2 = 4 (cos 90° + j sin 90°) és Z3 = 4 + 4 j ; b)(M )z = ^
Zi + Z 2
,h a
j-
\Fl
z, = 2 a/2 ( cos90° + jsin 9 0 °), Zj =46^"^ és Zj = ------ ; 8 c)(E) z = ^
^ ,h a Z2 + Z 3
71
. . 71
2
■’
COS— + i s m —
Z, = - 2 yÍ2 , Z2 =
4 V2 d)(E) z = ^z, Z2 ’ , ha Z[ =
2
es Z3 = — + j 8 8
í ) és Zj = 8V3 e'' ® ;
VZ1Z2 +Z3 ■5 ti
z, =2e^ ^ , Z2 =1 + V3j és Z3 = 4 ( cos 270° + j sin 270°); f)(E) z = 4 y
Z, + ( Z j + Z 3 ) z
3 — - + Z3, ha z, - Z 2 + z
Z[ = l + 2 j, Z2 = 2 - j és Z3 = l - j .
11
KVK-1190 1.4.5. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán, és a gyököket adja meg algebrai alakban! Q ÍÖ a ) ( M ) z ^ - ( l + V3j) = 0; b)(V) 3 / , ; z^(3 + 3j) c)(E) ^ + (2 -2 V 3 j)2 e ^ ’'= 0 ; d)(E) z " - ^ i - ^ = 0 ,h a Z3 z, = - V 3 - j , Z2 = Vl2 (cosl20° + js in l20°) és Zj = 2 j. 1.4.6. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán, és a gyököket adja meg exponenciális alakban! a)(M) z ' - 2 z + 4 = 0; b)(E) 4 z ' - 5 z + 25 = 0; c)(V) z ^ 6 z ' +36 = 0; 1.4.7. Jelentsen R,
d)(E) z '+ 9 z = 0.
és X l mindegyike egy-egy tetszőleges, pozitív
valós számot. Határozza meg az alábbiakban megadott, z^ komp lex számok valós és képzetes részét!
é r R
jx ,
1.4.8.(V) Jelentsen R, X^ és X^ mindegyike egy-egy olyan paramétert, amelyek csak pozitív valós számokat vehetnek fel értékül. Adott X(, és X l esetén, hogyan válasszuk meg R értékét, hogy a 1 Zo =-^ ------ j— + JX l r
“ P ^
komplex szám képzetes része nulla legyen? Milyen feltételt kell teljesíteniük X^, és X^ értékeinek ebben az esetben?
12
KVK-1190
2. LINEÁRIS ALGEBRA 2.1. Mátrixok 2.1.1. Adottak az alábbi mátrixok: a* = 2 - 1 1 5 3], b* = 0 1 0 01 ^
0‘
'2
- 3
A= 1
2
-1
0
1
5
■-3
-1
D=
0 -2
'1
0 0‘
B = 0 -2 ■
0
'0
0
0 0‘
c = 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0‘ 1 - 4 5 , E= 0 1 0 3 7 6 0 0 1 2 4
'1
a)(E) Határozza meg az a*, B és D mátrixok típusát és a D mátrix di2, Ó23 és d32 elemeit! b)(E) Milyen speciális mátrixokat talál a fenti mátrixok között? c) (E) írja fel a b*, B és D mátrixok transzponált]át! 2.1.2. Döntse el, hogy a mátrixokban szereplő a, b, c, d, f valós változók mely értéke esetén lesznek a mátrixok egyenlöek (e az Euler-féle szám)! a b In Ve sin 30° a)(M) A = B= c -1 logsl -1
b)(E) A =
0
a tg^
0
arctgl
B =
log^4
b
0
c
0
d
13
KVK-1190 I n e ^ -ln — cos480° e c)(E) A = sin(-300°)
0
a
b
B= c
d
2 -1
0
f
3
arccosO
2.1.3. Adottak a következő mátrixok (j a képzetes egység, e az Euler-féle szám)! '2 -1 3‘ ■-1 2 0' A= B= 0 5 1 1 -1 1
C=
2e 2
cosO
In 4
sinO
3 (cos 180° + j sin 180°)
Végezze el az alábbi műveleteket! a) (E) A - 3B; b)(V) A - B + 2C. 2.1.4. Számítsa ki az alábbi skaláris szorzatok értékét! a)(E) a * b , h a a* = [l - 3 2 O], b* = [3 1 0 1 b)(E) c * d , ha c* = [2 -1 6 0 2],d* = [ - l 2 1 - 1 3 2.1.5. Adottak a következő mátrixok: ’l
-2
3'
A= 6
4
0
2
-1
1
'1
0 2
1 0 E= 0
0=
1
-f
B= 5
2
0
1
3
-1
4
2
Számítsa ki az alábbi szorzatokat! a)(E) A E ; b)(E) BO ;
14
1 0
0 0
'0
0
c)(M) AB.
0 0’
0 0 0 0 0
0
_0 0
0
KVK-1190 2.1.6. Adottak a következő mátrixok: 0 '2 1 - 1 ;l
r
3
-1
0
2
A=
2
-1
0
1
-1
0
2
1
1 0 0
B=
,
1_
_5
3 0’
'5 - 2
a* = 2 4 6 5 Végezze el a kijelölt szorzásokat! a)(E) a * A ; b)(M) Aa ; d)(M )D B ; e)(E) AC. D=
1
,
'2
-1
0'
1
2
1
3
-1
2
c=
1^
0
-3
1
1_
1 \ .
c)(E) AB;
2.1.7. Számítsa ki az AB és BA szorzatot és vizsgálja meg, hogy egyenlőek-e! ■3 - f '1 2 - í A= B= 0 2 _3 2 4_ ’ 1 -1 ■-1 b)(E) A =
c)(E) A =
0
5 3 B = -2 8 _ 3
f 1 1 f -■2 1 2 1 2_ —
1
3
-4
2
0
5
-1
2
2
3 -4
1
,
2
—
-2 -2
■3 2
-5
0'
B= 1 4 2 2
-1
3
4
-3_
2.1.8.Számítsa ki az AA* szorzatot és állapítsa meg, hogy milyen sza bályosság van az eredmény mátrixban!
15
KVK-1190 ■-2
5
3
-1
a)(E) A =
2
r
4 ;
b)(E) A =
0 7
3
-1
1
0
2
4
1 5
-1
0 i 1
2.1.9. (M) Számítsa ki az AP és PA szorzatokat és állapítsa meg, hogy milyen kapcsolat van az eredmény mátrix és az A mátrix kö zött, ha 1 8 '0 1 0‘ 0' A = -3
5
-1
1 -2
2_
0 0
1
1 0
0_
2.2. Determinánsok 2.2.1. Számítsa ki az alábbi determinánsok értékét (j a képzetes egység, e az Euler-féle szám)! 3 2 j 1+ j b)(M) D = -5 4 2 -j -4 c)(M) D =
12
2
-3 ;
d)(M )D = 0 -■3 0 9 0 0 5
-1
1
5
10
0
-3 0
3
-1
2
e)(M) D = - 1 0
5
3
-4
-1 ; 2
0
1+ j f)(V )D =
j 1- j
0
1
j
0 1- j ; 1 ■j
cos450° + j •sin450° .71
g)(V) D =
16
•28
2
2 (cos 180° + j •sin 180°)
1+ j
•14
KVK-1190
h)(E) D =
4
-3
9
1
-2
7
-2
2
3
9
5
-1
1
3
4
2
;
i)(E )D =
1 2
-1
1
3
2
0
1
-3
1
2
5
2
0
4
6
2.2.2. Határozza meg, hogy mely valós vagy komplex x értékek esetén lesz az alábbi determinánsok értéke nulla (j a képzetes egység)! X 1 1 1 1 2 a)(V) D = 1 2 - x ' 2
c)(V) D =
3 1 1
1- j
b)(E) D = 1 X
2;
1
1
-j
1
1 X
-][
X
-][ .
1
i
2.2.3. (V) Igazolja, hogy az alábbi egyenlőség bármely valós x esetén teljesül! 1 + cosx 1 + sinx 1 1 - sinx
1 + cosx
1
1
1 = 1.
1
2.3. Lineáris egyenletrendszerek 2.3.1. Oldja meg Cramer-szabállyal az alábbi egyenletrendszereket! a)(M) b)(E) X i + 4 x 2 - 7 X 3 = - 7, X , + 2 X 2 + 3x j = 4 , x, + 6X2 - 10X3 = - 8,
X ,- X 2 - X 3 = 3,
3X [+ 2x 2 - X 3 = 9;
3 x ,- X 2 + 2X3 =5;
17
KVK-1190 c)(E) 2x
d)(E) 2 x i - X 3 = 1,
3 x 2 + 4 x 3 = 3,
i+
X , - 6 X 2 + 2 X 3 = - 1,
4x
,+3x2-8X3=
e)(E) 2x , + 3 X 4x
1;
, + 4 X 2 - X 3 = 1,
- X , +8X2+3X3 =
2;
f)(E) j-X 3=
5,
2x 2 + X 3 =
- X ,+
2x
3x
, - X 2 +2X3 = -
6,
X,-X3=
2x , + X
, -3 x 2 -2 X 3 = -8;
g)(V)
4,
1,
2 + 3 X 3 = - 1;
h)(V) 5Xi
-3X i - 2x 2 + X3 = 6, X, -
3x 2 +
2 x 3 = - 1,
x, +X 2 + 3X3 = 5;
+3X2 + 4 X 4 =
7,
5X2 + X3 + 6X4 =
30,
Xj + X 2 + X 4 =
7,
+2X2 +3X4 =
10.
4x ,
A megoldást a természetes számok halmazán keresse! 2.3.2. Számítsa ki Cramer-szabállyal a kijelölt ismeretlen értékét! a)(M) b)(E) X; + X 2 + X 3 + X 4 = 0, Xl + X 2 + 5 X 3 + 2 X 4 2x ,
-
3Xj
- 2 X 3 = 1,
2x,
- 2Xi + 3Xj + 6X3 - 6X4 = 1, - X , -X2 -5X3 -7X4 =
+X2 +3x3 + 2 x 4 = -
1, 3,
2X5+ 3X2 + 11X3 + 5X4 = 2, 0;
X, + X 2 + 3 X 3 + 4 x 4 = -
X4=?
3;
X, = ?
c)(E)
d)(E) X,+X2+X3+X4=
5,
X , + 2 X 2 - X 3 +4X4 = -
2x i 3x , + X
-
3x 2 - X 3
-5X4 = -
2 +2X3+11X4 =
2x ,
+ X 2 - 5 X 3 + X4 =
8,
3x 2 - 6 X 4 =
9,
2,
X,-
2,
2X2 - X 3 + 2 X 4 = -
0;
X,+4X2-7X3+6X4 =
X3=?
18
=
X2=?
5, 0;
KVK-1190 2.3.3. Oldja meg Cramer-szabállyal az alábbi egyenletrendszereket a komplex számok halmazán! a)(M) b)(E) - 2 j x i + (2 - j ) x 2 = 5 - 4 j, X, + 2 x 2 = 1 + j, (1 + j)xi - 5x 2 = - l l + 6j; c)(V) ( - l + j ) x , - X 2 = 0,
3xi + jx j = 2 - 3 j ; d)(E) x , + 2x 2 + 4x j =
Xi + X2 + j X 3 = 1, - j x , + (l + j)x 2 = -3 + j;
8,
Xi + jXj - X 3 = - j , X,
+(1 + j)x 2 + 2jx 3 = - 2 + 2j.
2.3.4. Oldja meg Gauss-módszerrel az alábbi inhomogén egyenletrend szereket! a)(E) b)(E) 5x, + X2 + 4X3 - 2X4 = 3, Xj + 2Xj - X3 = 0, -X , +X 2 +X 3 +X 4 = 6, 2xj - X2 + X3 = 5, - 8xj +2Xj - X 3 - X 4 = -3 , -X , + 3X2 - 4X3 = -5; X2 + 2X3 + 3X4 = 14; c)(M) X.+X2+2X3+3 x 4= 1,
d)(E) 2 x ,+ X 2 -5 X 3 + X 4 = 8,
Xj + 2X2 + 3X3 - X4 =-4,
X , - 3x 2 —6 X 4 =
3x, - X2 - X3 - 2x4 = -4,
2xj - X3 + 2X4 = -5,
2x, + 3x2 - X3 - X4 = -6; e)(V) X j- 8X2 + 9X3 = -3 2 , 2 x , - X j + 3X3 = -1 , X ,+
2 x 2 ~ X 3 = 12;
X, + 4X2 - 7X3 + 6X4 =
9, 0;
f)(E) 2 X ]-X 2 + 7 x 3 = 13, 9 x , + 4X2 - 8X3 = 5X [ + 6 X 2 - 2 2 X 3
= -
2, 14;
19
KVK-1190 g)(M)
h)(E)
X , - 3 x 2 + 2 X 3 - X4 =
1’
2x , - 3 x 2 + X3 + X4 =
6,
X 2 - X 3 + 2 X4 = - 1,
X[+ 2 x 2 - 4 x 3 =
4,
Xj - 2xj + X3 + X4 =
0,
Xj-X2+3x4=
0;
i) (M) 2x , - X 2 + 3 x 3 =
3x , - X 2 - 3 X 3 - X 4 = - 2, 13x , - 2x j - 1 6 x 3 =
j) (E) 1,
X,+X2+4x4=3,
2xj - 8X2 + 22X3 = -8,
X2 - X3 + 3x4 = 1,
3 x , + 2 X2 - 5 X3 =
,
X j - 2 x 2 + 3 X3 - 5 X 4 = 0 ,
7;
3 x j - X j + 4 X3 =5;
6
5xi+ X 2-2x3=
k)(V)
1) (E)
X, - X 2 + X 3 + X 4 = 1,
X j + 2 X2 + X4 + X5 = 7 ,
X2+2x3~X4=2,
X i - X 2 + X 3 - 2 X4 = 5 ,
2 x , +5X3=8,
X 2 + X 3 + X 4 +3 x5 =6,
x,-X 2+X 4=3;
2
m)(E)
X ( - X 3 - 2 X4 - 4 x j
= 2;
n)(E)
- 2 x , + 3 X 2 + 2 X3 - 2 X4 =
1,
X[+X2 +X3 - X 4 =
4,
4 Xi + 6 X 2 - 7 X 3 - 5 X 4 = - 2 ,
X, - X 2 + X 3 + X 4 =
8
2
x , + X 2 - 3 X 3 - X 4 = - 1;
o)(V)
,
3X[ + X 2 + 3 X 3 - X 4 = 1 6 ;
p)(E)
- X j + 2 X 2 + 4 X 3 + 2 X 4 = 7,
2 Xj + X 2 - X 3 + 3 X 4 = 13,
3xj - 2x 2 + 2X3 - 2X4 = 1,
X, - X 2 + 2X3 - X 4 = 1,
X , + 2 x 2 + 1 0 X3 + 2 X4 = 1 5 ,
3x,+X 2 +X4 =
- 2 X [ + 2 X2 + X 3 + 2 x 4 =
3;
írjon fel egy konkrét megöldást is!
20
4;
9,
X2-X3~X4=-5;
írjon fel két konkrét megol dást is!
KVK-1190 2.3.5. (M) Állapítsa meg, hogy a c valós paraméter mely értéke esetén van az alábbi egyenletrendszernek legalább egy megoldása és oldja meg ezen érték esetén! Xj + 2X2 - X 3 +X 4 = 2, 2 X[
+3X2 - 3 X 3 - 2 X 4 =
4,
- 3x, - Sxj + 4X3 + X4 = c. 2.3.6. Oldja meg Gauss-módszerrel az alábbi homogén egyenletrendsze reket! a)(M) b)(V) 2 x , + X2 - X3 = 0, X, - 2 x j - 4X3 + X4 - 3X5 = 0, X; + 2Xj = 0,
- Xj + X2 - 2X3 - 2x 4 - 2X5 = 0,
3xi +X 2 - X 3 = 0;
2x, - 5x 2 - H X 3 +X 4 - ll X j = 0;
c)(E)
d)(E) X,-
4x 2 +
2X3 =
0,
X1+X2+4X4=0,
2x i - 3 x 2 - X 3 - 5X4 = 0, 3X[
-
7x 2 + X 3
-5X4 =
X2 - X 3 + 3X4 = 0,
0,
X, -
X2 - X 3 - X 4 = 0;
2x 2 + 3 X 3
-5X 4 =
0,
3 x i - X 2 + 4X3 = 0;
e)(V) f)(E) 3X[ - X2 + X3 - X4 + 2X5 = 0, Xj + X2 + 2X3 - 3X4 = 0, X ,- 2 X 3 +X4+X5 =
0,
2X [ + 3 X 2 - X 3 + X 4
=
0,
- 2x, + 2X2 + 3X4 -X j = 0,
2x, - 2X2 - X 3 + 4X4 = 0,
3X2 - X 3 + 6X4 +Xj = 0;
Xj -4 x 2 “ 3x3 + 2X4 = 0;
g)(E) X, + X j - X 3 + X 4 - X 5 = 0 ,
2X[ +X 2 - 3X3 - X 4 +X 5 = 0, - 2xi - X2 - X3 + X4 - X5 =0;
h)(E) x, - 2X2 + 2X3 - X 4 + 2X5 = 0, 2x 2 - X 3 +X 4 = 0, Xj + 2X2 + X4 + 2X5 =0, X, + X 3 + 2 X 5 =
0.
21
KVK-1190
3. VEKTORGEOMETRIA 3.1. Alapfogalmak, alapműveletek 3.1.1. Adja meg az alábbi vektorok koordinátáit és számítsa ki abszolút értéküket! a ) ( E ) i ,j ,k ; b)(M) a = 8 i- 4j + k ; c)(E) b = -2 i + 3k. 3.1.2. Adottak az a(2; -1; 0), b(4; 6; -2), c(3; -3; 5) vektorok. Számítsa ki az alábbi vektorok koordinátáit! a)(E) V, = a - b , V2 = b - a ; b)(E) V 3 = 2 a -3 b + c; c)(E) V4 = - -1.b- + -1c . 2 3 3.1.3. Adottak az A (-l; 2; 1), B(0; 1; 5), C(2; 1; 3) pontok, írja fel a kijelölt vektorokat és számítsa ki a hosszukat! a )(M )A C é s C A ;
b)(E) AB;
c )(E )^ .
3.1.4. Döntse el, hogy párhuzamosak-e az alábbi vektorok! a)(M) a(-2;3;l), b(0;0;0); b)(V) c(6;-12;18), d(-4;8;-12); c)(E) / i ; 2 \J
JJ
;
f(-2;-12;3).
3.1.5. Döntse el, hogy egy egyenesen vannak-e az alábbi pontok! a)(E) A (l; 4; 6), B(-3; 2; 2), C(5; 6; 10); b)(E) A(2; 1;-1), B(3; 0; 1), C (2 ;-l;3 ). 3.1.6. írja fel az adott vektorok irányába mutató egységvektort! a)(M) a(-5; VÍT; s); b)(E) b(-3; 4; 0); c)(E) c (-l; -3; 2).
22
KVK-1190 3.1.7.(V) Számítsa ki az A (-l; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1) csúcs pontú háromszög kerületét! Milyen nevezetes háromszög az ABC háromszög? 3.1.8.(V) Adott az A(8; 2; -1), B(-3; 4; 1), C(2; -4; 0) csúcspontú há romszög. Állapítsa meg a szögek kiszámítása nélkül, hogy a háromszög melyik csúcsánál van a legnagyobb belső szöge! 3.1.9. (V) Egy háromszög csúcspontjai: A(3; -8; -2), B(-5; -2; 8), C(-3; -16; 8). Mutassa meg, hogy a háromszög szabályos! 3.1.10. Egy háromszög két csúcspontja A (l; 2; -1), B(-2; 1; 3), súlypont ja S ( l;l;- 1 ) . a)(E) Határozza meg a C csúcspont koordinátáit! b)(E) Számítsa ki az A csúcsból induló súlyvonal hosszát!
3.2. Vektorok szorzása 3.2.1. Számítsa ki az alábbi vektorok skaláris szorzatát és a hajlásszög kiszámítása nélkül döntse el, hogy a vektorpárok hajlásszöge hegyes-, derék- vagy tompaszög! a)(M) a = 3i + 2 j - 4 k , b = -2 i + 5j + 3k; b)(E) c(-l;2;0), d(-3;4;2); í c)(E) e l ; - 2 ; i f ( - 2 ;- 3 ;- 8 ) . 3.2.2. (V) Egy háromszög csúcspontjai: A (-l; -2; 4), B(x; -2; 0), C(3; -2; 1). Határozza meg x értékét úgy, hogy a háromszög A csúcsánál derékszög legyen! 3.2.3. Határozza meg az alábbi vektorok hajlásszögét! a ) ( M ) a ( - l;l;0 ) , b ( 2 ;- l;2 ); b)(E) c (2 ;3 ;-l), d (l;4 ;3 ). 3.2.4. Számítsa ki az alábbi csúcspontú háromszögek belső szögeit és a háromszög területét!
23
KVK-1190 a)(E) A(4; 1; 1), b)(V) A (l;3 ;2 ),
B(-2; -1; 5), C(0; 2; 6); B (l;5 ;0 ), C (-2 ;3 ;5 ).
3.2.5.(V) Mutassa meg, hogy az a(10; -5; 10), b (-l 1; -2; 10), c(-2; -14; -5) vektorok egy kockát feszítenek ki! 3.2.6. Számítsa ki az alábbi vektoriális szorzatokat! a ) ( M ) a x b ,h a a (-3 ;2 ;-^ ), b (3 ;l;5 ); b)(E) d x c ,h a c(3 ;5 ;-4 ), d (2 ;-1 0 ;-l); c)(E) e x f , h a e (2 ;0 ;-l), f ( - 3 ;- l;2 ) . 3.2.7.(E) Számítsa ki a(b xc)-t, ha a (2 ;-3; 2), b (l; 1; 1), c(-2; 0;-2)! 3.2.8. (M) Számítsa ki az A (l; 5; 6), B(-2; -1; 0), C(2; 2; 1) csúcspontú háromszög területét! 3.2.9.Egy háromszög csúcspontjai: A (l; 0; 2), B(2; 1; 2), C(3; 1; 4). a)(V) Mekkora a háromszög legkisebb és legnagyobb szögének öszszege? b)(V) Mekkora a háromszög területe? 3.2.10. Egy háromszög csúcspontjai: A(2; 1; 3), B(3; 1; X, + 3), C (l;2 ; 3). a)(E) Mekkora a X értéke, ha a háromszög A csúcsánál lévő szöge 135°? b)(E) Számítsa ki a háromszög területét, ha X, = 0! 3.2.11. Egy háromszög csúcspontjai: A(3; 1; 1), B(2; 1; -1), C(2; 0; 1). a)(M) Döntse el, hogy a háromszög tompaszögű-e! b)(M) Számítsa ki az A csúcsból induló magasság hosszát! 3.2.12. Egy paralelogramma csúcspontjai: A(3; -8; -2), B (l; 6; -2), C (-5 ;-2 ;8 ),D (-3 ;-1 6 ;8 ). a)(E) Számítsa ki a paralelogramma szögeit! b)(E) Számítsa ki a paralelogramma területét!
24
KVK-1190 3.2.13.(E)Egy háromszög csúcspontjai: A (l; 2; -2), B(2; 3; 2), C(2; 1; -2). Számítsa ki a háromszög területét! Legyen a há romszög BC oldalához tartozó magasságának talppontja T! Számolja ki a BT szakasz hosszát!
3.3. Vektorok geometriai alkalmazása 3.3.1. írja fel a P pontra illeszkedő, v vektorral párhuzamos egyenes pa raméteres egyenletrendszerét! Adjon meg még egy pontot az egye nesen! a)(E) P (-2 ;5 ;l), v (-l;2 ;3 ); b)(E) P(3;5;-2), v(-4; 3; 12). 3.3.2. írja fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerét, a)(E) amely átmegy az A(3; 1; 2) és B (l; -2; 1) pontokon! b)(V) amely illeszkedik a P(6; -3; 4) pontra és merőleges az a(-2; 3; 1) és b(2; 0; 1) vektorokra! 3.3.3. (E) írja fel az origóra illeszkedő és az e egyenessel párhuzamos egyenes paraméteres egyenletrendszerét, ha e : x = 3 + 2t,
y = -t,
Döntse el, hogy az A
z = - + 2 t!
1
1 O és B(2; 6 ’3
1) pontok ezen
az egyenesen vannak-e! 3.3.4.Döntse el, hogy párhuzamos-e az ei és 62 egyenes! a )(M )e i:x - l + 2t, y 2 - 3 t, z -3 + 4 t, e2: x = - t ,
y = l + |- t ,
b)(E) ei: x = ^ + 2t, e2: x = 3 - 3 t ,
z = l - 2t;
y = -4 t,
z = 3t,
y = 6t,
z = -t.
3.3.5. írja fel a P pontra illeszkedő és az n vektorra merőleges sík egyen letét! Döntse el, hogy a sík illeszkedik-e az A pontra! 25
KVK-1190 a)(E) P (-2 ;l;3 ), b)(E) P(2; 0; -5),
n ( l; - l ; 2 ) , n(-3; 2; 1),
A (1;0;1); A(0; -1; -8).
3.3.6. írja fel az A, B, C pontok által meghatározott sík egyenletét! Adjon meg még egy pontot a síkban! a )(M )A ( l;0 ;-l) , B(-2; 1; 1), C (0 ;-l;2 ); b)(E) A(-2; 3; 5), B(3; 2; 7), C(-3; 6; -2). 3.3.7. (E) írja fel a P(-3; 2; 5) pontra illeszkedő és az e egyenesre merő leges sík egyenletét, ha e: X = 3 - 5 t , y = 4, z = 2 + 4t ! 3.3.8.(V) írja fel az A (-l; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-4; 5; 3) pontok által meghatározott síkra merőleges és az AB szakasz felezőpontján átmenő egyenes paraméteres egyenletrendszerét! 3.3.9. Állapítsa meg az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzetét! a)(M )e: x = - l + 2t, y = -5 + 3t, z = -6 + 4t, S: x - y + z - l = 0; b)(V) e: x = l + t, y = t, z = - l + 3t, S: 5x + y - 2 z = 0 ; c) (V) e: X = 2 + 1, y = t, z = 5 + 3t, S: 5x + y - 2z = 0. 3.3.10. (M) írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a P(-2; 3; 1) pontra és párhuzamos az Si és S2 síkokkal, ha S, : 2 x - 4 y + 6 z - 5 = 0, Sj :3x + 2 z - 3 = 0 ! 3.3.11. (E) íija fel a P(0; 2; -5) pontra illeszkedő sík egyenletét, amely párhuzamos az alábbi ei és e2 egyenesekkel! e i:x = - l + 3t, y = l + 2t, z = l - 4 t ; 1 3 e2: x = —+ —t, y = 2 - t , z = 2t. 2 2 ^ 3.3.12. Egy háromszög csúcspontjai: A (l; 1; 2), B(0; 2; 0), C(0; 1; 1). a)(E) írja fel a háromszög A csúcsán átmenő és a háromszög síkjá ra merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét! b)(E) Számítsa ki a háromszög területét!
26
KVK-1190 3.3.13. Egy háromszög csúcspontjai: A(l; 2; -1), B(0; 3; 3), C (2;2;-3). a)(E) Bizonyítsa be, hogy a háromszögnek van tompaszöge! b)(E) írja fel a BC oldalhoz tartozó súlyvonal egyenesének paramé teres egyenletrendszerét! c) (E) írja fel a háromszög síkjának egyenletét! d)(E) Számolja ki a háromszög területét! 3.3.14. (V) Határozza meg az x + y - 2z - 1 = 0 és a 2x + 2y - 4z + 6 = 0 síkoktól egyenlő távolságra fekvő sík egyenletét! 3.3.15. (E) írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P(2; 7; -3) pontra és az e egyenesre, ha e : x = - l + 2t, y = 4 + t, z = 2 - 3 t . 3.3.16. (M) Adott az ABCD paralelogramma három csúcspontja: A(3; -8; -2), B (l; 6; -2), C(-5; -2; 8). írja fel a BD átló paraméteres egyenletrendszerét!
27
KVK-1190
4.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 4.1. Sorozatok 4.1.1.írja fel az alábbi sorozatok első hat elemét! Bizonyítás nélkül álla pítsa meg, hogyan viselkednek a sorozatok monotonitás és konver gencia szempontjából! / 1 a)(E) a „ = 3 + b)(M) a„ = 10 2-] 0, c)(E) a „ = ( - i r '- V i i ‘;
d)(E) a„ =
ha n páros,
1
e)(E) a „ = |7 - 2 n |;
ha n páratlan; n f)(E ) a„ =10000 - 0 0 )";
. f 2nji'^ g)(M) a„ =sm
h)(E) a„ = 2 k=l V
2
120 i) (M) a„ = ---- , a h o ln != l-2 -...-n . n! 4.1.2. írja fel az alábbi sorozatok első négy elemét! Számítsa ki a határértéküket határértékszámítási szabályok alkalmazásával! a) (M) a„ = n ' - lOn^ + 5 ; c)(E) a „ = .
n^+1 5n^ - n
b) (V) a„ = d)(V ) a„ =
ha n > 2;
1-n^ 1
V n + 1 - Vn
4.1.3. Állapítsa meg, hogy az alábbi sorozatok esetében hányadik elemtől kezdve teljesül, hogy az elemeknek a határértéktől való eltérése ki sebb a megadott s értéknél! a)(E)
28
e = 0,01;
b ) ( M ) a „ = ^ í ^ , s = 0,l; 3 n -l
KVK-1190 c)(V) a„ = — ------ , £ = 0,1. "
2"+100
4.2. Egyváltozós valós függvények elemi vizsgálata 4.2.1. Adja meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, ame lyen az alábbi függvények értelmezhetők! 1 x+2 a)(E) f(x) = ^ --------b)(E) f(x) = x^-x X -x -2 c) (V) f(x) =
;
d)(E) f (X) =
;
X
e)(V) f(x )=
^ ; 1 - vx
0 (E ) f(x) = log2x";
g)(V) f(x) = lgcosx;
h)(M) f(x) = ln
^1 + x^ vl-Xy
i)(E ) f(x) = 2 ' -
j)(E ) f(x)=
x -1
4.2.2. Képezze a megadott f(x) és g(x) függvényekből az f(g(x)) és g(f(x)) összetett függvényeket, és állapítsa meg ezek értelmezési tartomá nyát! (E fejezet további részében és a következő fejezetben vala mely f(x) egyváltozós valós függvény értelmezési tartományán, hacsak másképp nincs megadva, a valós számoknak azt a legbő vebb részhalmazát értjük, amelyen a függvény értelmezhető.) a)(E) f(x) = sinx, g(x) = Vx ; b)(E) f(x) = e% g(x) = - x ; c)(V) f(x) = lgx, g(x) = lg x ;
d)(E) f(x) = tgx, g(x) = ^ - x ;
e)(M )f(x ) = ^ i = , g(x) = l ; V l-x'
X
f) (E) f(x) = ^ , g(x) = 3 x - l . x"
29
KVK-1190 4.2.3.Adjon meg az alábbi f(x) összetett függvényekhez egy h(x) külső és egy g(x) belső függvényt, hogy f(x) = h(g(x)) teljesüljön! Ké pezze fordított sorrendben is az összetételt! a)(E) f(x)==cosx^; b)(E) f(x) = ; c)(E) f(x) = l n - ;
d)(E) f(x) = arctglO ^
X
f)(E) f(x) = sh (-x ).
e)(E) f(x) = e^^
4.2.4. Vizsgálja meg az alábbi füg; ^vényeket paritás szempontjából! a)(M) f(x) = 0, D ,= - 1 ; 1
;
b)(E) f(x) = - l ; 3x 4 x ^ -1 ’
c)(E) f(x) = (x ^ + l)^
d)(M) f(x) =
e)(M) f(x) = - ^ x^+1
f)(E) f(x) = e 2 ;
g)(E) f(x) =
e^-e“^
e’' + e “ 1 i)(E ) f(x) = sm X + cos X j) (M) f(x) = - x + l , haO<
h)(M) f(x) = In
Df =
^e+x e -x
n
4’4 X < 2, ésf(x + 2) = f(x ), ha x
e
R;
k)(E) f(x) = -3|x|, h a -7 i< x < 7 r, é sf(x + 27i) = f (x ),h a x e R . 4.2.5. Döntse el, hogy a valós számoknak mely részhalmazára képezi le az alábbi hozzárendelés a valós számoknak megadott A, B illetve C részhalmazait! a)(M) f(x) = x \ A = N, B = ]-l;l[, C = R; b)(E) f(x) = sinx, c) (E) f(x) = 2x -1 , ...
1 X
30
A = {k7i|k€Z}, B =
K n , C = R; 2 2
A = N, B = [0;+oo[, C = R " ; 1 n e N s B = ^1;0;, n
KVK-1190 4.2.6.Ábrázolja a megadott függvényeket, és jellemezze a következő szempontok szerint: értékkészlet, korlátosság, tengelymetszetek, monotonitás, konvexitás! Állapítsa meg a függvények határértékeit a zárójelben megadott helyeken! a) (E) f (x) = -x^ + 6x - 5, 0 < x < 5, (0 - bán jobbról, 5 - ben balról); G ^ \\3i X. ^ 0 b)(E) f(x) = <^ ’ ’ [e"", h a x > 0 , 4,
ha
( - 00-ben, 0-ban, + 00-ben);
0 < X < 71,
c) (M) f (x) = < 4 é sf(x + 27i) = f(x), hax 6 R, ---- x + 8, ha7i:< x< 2 k , ,
n
(0 - bán balról és jobbról, + oo - ben). 4.2.7. Számítsa ki az alábbi határértékeket! a)(M) lim (-2x^ + x), lim (-2x^ + x), V __^ _rr\
I
lim (-2x^ + x );
VX^+OO _
3
b)(E) lim
10
x^+x^
c)(M) lim x^o i - 2 x ’ lim
lim
x^+x^
lim
i-2 x ’
2
2
3 -4 x d)(E) h m --------, 2+x
x^+oo
X +x'
lim In
x^+x^ l-2 x ’
3 -4 x limu -------- , m 2+ x
3 -4 x lim -------- , mn 2+ x
1
lim e ’‘,
lim e ''.
x^+oo
x^O
lim e"";
x^O^
1
f) (V) lim — , x-^-oo ^
-10 0 x ^-1 0 0 0
+x^ l-2x
1 1
10
lim
l-2 x ’
3 -4 x h m -------- , 2+ x
i
e)(M) lim e ’^,
x^-l+
lim
-lOOx'-lOOO
lim — ,
x^+oo ^
lim
e"
x->0^ X
ri+ x ^ r i+ x ^ , lim In x^r [l-Xj ll-x j
31
KVK-1190 1+ x
lim In
1- X
x ^ -c c
1+ x
lim In
1-x
,
lim In
x^+oo
lim In x -> r
Ig^X^, i) (E) lim-^--x^O
,
1+ x 1-x 1+ x 1-x
,
lim In
,
lim In
x^r
1+ x 1 -x 1+ x 1 -x
Ig^x^
h m -2-----
X
X
4.2.8.írja fel az alábbi függvények értelmezési tartományát intervallu mok egyesítéseként, majd számoljon határértéket ezen intervallu mok végpontjaiban a megfelelő oldalról! a)(E) f(x) = a x ^ + b x ^ + c x + d, ahol a ,b ,c ,d € R és a > 0 ; b)(E) f(x) =
2x
1-x^ ^
c)(V) f(x) =
(x + 1)^ x+1
d)(E) f(x) = ln ^x;
e)(E) f(x) =
f) (M) f(x) = a rc tg -;
g)(E) f(x) = e”'’\ ahol p s R
;
X
J_
h)(E) f(x) = e ^ ;
i) (V) f(x) = arccosx •log^ x .
4.2.9.Döntse el, hogy folytonosak-e az alábbi függvények! í 0, ha X < 0, a)(M) f(x) = <|^ _ a h o l?i€ R "; l - e '^ ’‘,ha X > 0, -1 , ha X < 0, b)(E) f(x) = sgn^(x), ahol sgn(x) =
0, ha X = 0, 1, h ax > 0;
c)(E) f(x )=
X,
h a - l < x < l , é sf(x + 2) = f(x).
4.2.10. Ellenőrizze, hogy az alábbi függvények szigorúan monotonok! Adja meg az inverz függvényüket! a)(E) f(x) = 3 x - 4 ; b)(M) f(x) = ;
32
KVK-1190 :2 x
c)(E) f(x) = 4.2.11. Állapítsa meg az alábbi kölcsönösen egyértelmű leképezéssel adott függvények inverzét! s í n, ha n páros, _ a)(E) f(n) = -^ D f= N ; 1- n, ha n páratlan, X-1 , ha X < 0, b)(M) f (X) =
x^, h a O < x < l, u a x > l. —1 , h x
4.2.12. Számítsa ki számológép használata nélkül az alábbi kifejezések pontos értékét! a)(E)
V(-12)^
27 (g4 ;
.
+ (3 4 f + ( - 3 4 f ; d)(E) V Í Ö ^ ;
c)(V)
In 4 — ló g , 2
e)(V)492
h)(E) In tg k)(E)
f)(E) InV ^-lnV ^; 4;
;
i)(E)
rn
V?7 / a \ ’ 4k
g)(E) e ^ ; j) (M) log 2 sin /
1)(V) ctg 7t-ln
Sin
m)(E) tgarctg(-V3); arctgl arccosl arcctgl arcsinl ’
n)(M) arctgtg
3771
1
V?
2jt 3 ’
p)(E) arcsin lg^ ;
q)(V) log„ log„ arccos(-l);
r)(E) arccoschO;
s)(E) sh(-ln3);
t) (M) th^(ln2).
33
KVK-1190
5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉ NYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 5.1. Differenciálhányados és deriváltfüggvény 5.1.1. Határozza meg az alábbi függvényeknek a differenciálhányadosát az általános Xg e pontjában a differenciálhányados definíciója alapján! a)(V) f(x) = x ^
b )(M )f(x) = - ; X
c)(V) f(x) = Vx, aholxo?^0. 5.1.2.AZ összeg-, különbség-, szorzat-, hányados, és a skalárral szorzott függvényekre vonatkozó deriválási szabályok alkalmazásával deri válja az alábbi függvényeket a változójuk szerint! a)(M) f(x) = - ^ + ^ - 1 5 ; Vx
b)(E) f(x) = ^ - x + l - - + ^ ;
2
c) (M) f(x) = X (x + 3)^;
2
d)(E) f(x) = • ^
X
^
e)(E) s(t) = Vot + ^ t^ aholV o,a€R ; f)(E) r((t)) = 10(l + cos(t));
g)(E)
h)(V) f(x) = cos^x; i) (E) f(x) = ex-e'‘; j)(E ) f(x) = (l- lg x ) (tg x + ctgx); k)(M) f(x) = - y i = - l n x ;
1) (E) f(x) = (^/5-^/5x)x^;
V 2x^ 2^-2
m)(E) f ( X) = ------- ; sh X ’
34
n)(M) f(x) = - 2 -------■ 4 —arctgx
2x
KVK-1190 o)(E) f(x) = ^ - ^ ; 5x + 4
p)(E) u(v) = j i ^ 2 ’ 1- V
q)(V) f(x) = 4 ^ ;
r)(V) f(x) = —
X +8
s mx
;
s)(E) h(x) = - ...a h o ln e N ,n > 2 ; log„x + n ’‘ \
Vt-cht ; 3 -t
t)(E) f(x) = - —— ; e -Igx
u)(V)
v)(M) f(x) =
w)(E) f(x) = V x-cthx-
u(t)=
/j •e’‘ -cosx; 100
n
2
v2.
100
x)(V) T(x) = Y — = l + x + — + ... + ^ , ^^ 2! 100!’ ahol n e N esetén n!= 1•2 •... ■n, és 0!= 1; y)(E) z(x) = y-x + —+ —+ x ^'+ y ’"+ ln x + lny, ah o ly € R "‘, y ^ l . y X 5.1.3.Deriválja az alábbi összetett függvényeket a változójuk szerint! a)(E) f(x) = cosV x; b)(E) f(x) = ctge''; c)(M) f(x) = 2 ""^
d)(M) f(x) = a rc tg -; X
e)(E) u(v) = arcsinVv ; g) (M) f (x) = In ax, ahol a e R, a
f) (E) g(t) = lg lg t; 0;
h)(E) g(t) = e ^
i)(E ) f(x) = 10- ^
j) (M) f(x) = tg^ f ; 4
k)(E) f (X) =
1) (V )f(x) = log 3 t h x ;
m)(E) f(x) = Vsh V x^ ;
n)(M) f(x) =
o) (V) f(x) = arccos
;
;
^ cos In X
35
KVK-1190 5.1.4.Deriválja az alábbi függvényeket a változójuk szerint! a)(E) y(t) = A -cosat + B-sinbt + C -e‘'‘, ahol A , B ,C ,a ,b ,c € R \{ o } ; b)(E) f(x) = sin^ x + cosx^+tg^x^; c)(E) I(t) =
R --1
R
1 - e ^ , ah o lU „,R ,L € R ^; V
d)(E) f ( X) = (3x + ly f) (E) P(r) =
4^^^^;
e) (M) f (x)
=
^ (x+ir
;
ahol U,R G
(R+r)
g)(E) f(x) = X+ arctgVl - x ;
1 . r
o
i)(E ) f(x) = — In x + —
h)(E) f(x) = thx® •cthe’' ; j)(V ) f(x) = lg
X
Inx ’
k)(E) y(t) = A •t^ •e ^, ahol A g R ; 71X
1) (M) f(x) = a r c t g - ^ ^ ;
m _)(V, )f(x _ )= V. S -tg^
n)(E) f(x) = x-sin(x-cosx);
o)(M )f(x) = In x -V x ^ -1
1-x
^
p)(V) f(x) = log,(x + sh x -ch x ); q)(E) r((l)) = 71 r)(E) f(x) = cos— sin
2^
2-sin2(t) ^ 2 -sin '2 (|) ’
TIX
5.1.5. Hozza egyszerűbb alakra a megadott függvények képletét, s az új alakban deriválja őket x-szerint! a)(E) f(x) = x
vrx
+ -1 ^
\2
b)(E) f(x) =
vx
c)(V) f(x) = 3
36
27^
d)(E) f(x) =
7 x -V x -2 x ^
KVK-1190 In____^ e)(M) f(x) =
—logo 3x
f)(E ) f(x) = 2^
-X
;
g) (E) f(x) = sin (arcsin (sin (arcsin x))). 5.1.6.Állapítsa meg, hogy az alábbi függvények deriválhatók-e a meg adott helyeken, majd írja fel a deriváltfüggvényüket! 0, ha x < 0, a) (M) f (x) =
(0 - bán és 1- b en );
1, ha X > 1, b)(E) f(x) =
0,
ha X < 0,
l - e “^ \ h a x > 0 ,
aholX eR ^
(0-ban).
5.1.7. Számítsa ki az alábbi függvények n-ik deriváltját az Xq helyen a megadott n és Xg értékek mellett! a)(M) f(x) = I n x , n = 4,
x^^l;
b)(E) f(x) = sinx,
n = 19,
c)(E) f(x) = e - \
n = 999,
d)(E) f(x) = V ^,
n = 3,
e)(E) f(x) = a r c tg -, X
f)(V ) f(x) = e^^-^\
Xg=0; Xo=100;
n = 2, n = 2,
x „ = ln 3 ;
x ^ ^ -l; x„=V 3.
5.2. A differenciálszámítás alkalmazásai 5.2.1.íqa fel az alábbi függvények megadott x^ helyhez tartozó érintőjé nek egyenletét! a)(M) f(x) = V x , Xo=4;
b)(E) f(x) = sin x ,
c)(E) f(x) = ^ ,
d)(V) f(x) = x ^ - e \
x „ = -2 ;
x^^O; x „ = -2 ;
37
KVK-1190 COS X
e)(E) f(x) = ------ , X
X o-7i;
1 f) (V) f(x) = ——-------In (2x - e)
,
Xo=e.
5.2.2.írja fel az alábbi függvények megadott x^ helyen vett x-szerinti differenciálját! a)(E) f(x) = cos7ix,
X q = -^ ; 6
b ) (E ) f ( x ) = — \ j = , X - Vx
Xq=8;
5.2.3. Számítsa ki az alábbi határértéket a L’Hospital-szabály alkalmazá sával! 9 + x^ a)(M) lim b)(V) lim ’ x^-oo X2 X ^+ ' 9 - x ^ ’ x^+oo lOOx^ c) (E) lim x^±co X -100
d)(E) lim
x^ e)(E) lim x^o e"" - e
f)(V ) l i m ^ ^ —
,
sin2x tg3x Q
X -^ + O O
---- 0
g)(M) lim ( l - x ) e"'V
h)(E) lim x^-e”’' ;
i) (V) lim x -e '';
j) (E) lim V x-ln 2x;
k)(E) lim
71
X -----
2
tg x ;
x->+oo
1) (M) lim x^O
^ 1 sinx
P X
5.2.4. Számítsa ki az alábbi függvények x-szerinti első és második deriváltfíiggvényeinek zérushelyeit! ,3 1 a)(E) f(x) = . b)(E) f(x) = e x+2 2x c)(M) f(x) = x - ( l - l n x )'; d)(E) f(x) = V ? + e) (V) f(x) =
38
•sin X.
KVK-1190 5.2.5. Végezzen teljes fuggvényelemzést az alábbi függvényeken! a)(E) f(x) = x ( x - 2 ) ^
b)(M) í ( x ) = { x ^ - l j - ,
c)(E) f(x) = - i ^ ; X +1
d)(V) f(x )=
e)(E) f(x) = g)(M) f(x) =
2x'
(x + 1)^
2x^+3’
f)(E ) f(x) = _ i L (l-x )^
(x-1)^ . 3x 2 ’
h)(E) f(x) = - ^ ; x -1
,.3
i)(E ) f(x) = x -e '- ^
j) (M) f(x) = x-e
k )(M )f(x )=
1)(E) f(x) = e'^ ;
^ e ^ -(2 -x )
m)(E) f(x) = ln ^x; o)(M) f(x) =
;
n)(E) f(x) = ln (x ^ -4 x + 8);
1
p)(V) f(x) =
x-lnx
X
1 -ln x ’
q)(M) f(x) = ( 3 - x ) V ^ ;
r)(E) f(x) =
s)(V) f(x) = ( 1 5 x - 7 ) V ^ ;
t)(E ) f(x) =
X
x+2 , ^|x + l ’
u)(E) f(x) = Vx-InVx . 5.2.6. Adj a meg az alábbi függvények megadott intervallumon felvett legnagyobb illetve legkisebb értékét! a)(E)
=
(1-x)^
[-2;0];
c)(M) f(x )= = x -(l-ln x ), d)(V) f(x ) =
1
b)(E) f(x) = x ^ -e^ \
[-2 ;!];
1 -;e 0;+ oo
Vx^ - 2 x + 5
39
KVK-1190 5.2.7.Állapítsa meg az alábbi függvények értékkészletét! a)(E) f(x) = 4 x ^ + - , b)(E) f(x) = e S
D f= ]0 ;+ a ,[;
D ,= ]0; + ^ [ ;
c)(M) f(x) = ln^ x - ln x ^ , D f= [l; + oo[; d)(E) f(x) = ln(sinx + cosx), e)(V) f(x) = arctgV x-1,
= = [ 1;4].
5.2.8. (M) Az egységsugarú körbe írt téglalapok közül melyiknek maxi mális a területe? 5.2.9. (V) Az ábrán látható kapcsolási rajzon a belső ellenállás R értéke rögzített, a külső ellenállás r értéke változtatható. Az utóbbinak mely értéke esetén legnagyobb a felvett teljesítménye? U,R
5.2.10. Egy termék költségfüggvénye C(x) = x^ - 15x^ + 76x + 2 5 , árbe vételi függvénye R(x) = 55x - 3x^ ezer pénzegységben, ahol x az előállított termék mennyiségét jelöli ezer tonnában. a)(V) íija fel a határprofit függvényt! b)(M) Számítsa ki, mennyi többletköltséget okoz a termelés ezer ton nával való növelése 2000 tonnás, illetve 4000 tonnás termelés esetén! c) (V) Milyen mennyiségű termelés esetén lesz maximális a profit?
40
KVK-1190 5.2.11. (E) Egy termék árbevételi függvénye R(x) = x •
500 - ^ , ahol
X az előállított termék darabszámát jelöli. Milyen termékszám esetén lesz maximális az árbevétel? 5.2.12. Egy termék költségfüggvénye C(x) = 100 + 601n(2x^-2x + l), ahol x az előállított termék darabszámát jelöli ezer egységben. a)(E) Határozza meg a fix költség értékét! b)(E) Milyen termékszám esetén lesz minimális a költség?
41
KVK-1190
6.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZATLAN INTEGRÁLJAI 6.1. Alapintegrálokkal megoldható feladatok 6.1.1. Határozza meg a következő integrálokat! a)(M) (Sx' + 2x + l)d x ; b)(E) dx;
e)(V)
d)(E)
(sx^ - 2 ^ / x - X
3 x -V x + x
''jd x ;
dx;
4 - ^
e)(M)
(le"" -3 sin x ) d x ;
f)(E)
g)(E)
(4 c h x -3 s h x )d x ;
h)(V)
3 + x^
dx;
j)(V )
1 + x'
1+ x '
k)(E)
dx;
1)(E)
1-x^
m)(M)
■dx;
n)(E)
V l-x
r)(V)
2^ - 1 - 5 ^
-dx;
3^^
i)(M )
o)(M)
(3-10’' + 5 co sx )d x ;
<
■tg^x d x ; 2 - s h 'x
dx;
P)(E)
2x^ +3x^ + 2 x + 4 1+ x'
■dx; 1 -x
2 -3 V l-x "
dx ;
x" - 1
3 + sin^x sin^x
dx;
s)(E)
cth^x d x ;
u)(E)
3sh—eh—d x . 2 2
ch^x
t) (V)
42
X
X
sin—cos—d x ; J 2 2
dx;
KVK-1190
6.2.
|f(a x + b)dx (a, b e R, a ^ O) típu SÚ f e la d a t o k
6.2.1. Határozza meg a következő integrálokat! a)(M)
(l-x f’ x' -3x + 4 -KM ) J V ^ d x ; •' l - 2 x
x+3 dx; x+2
c)(V)
V2x + 3 -
e)(E)
dx; 1
g)(V)
l + 4x^ 1
h)(V)
16 + x^
•+
1 9 + 25x"
j) (E)
' 2 + x^
m)(E) j
cos 3x dx;
dx ; V9-X'
2 1 6 -9 x ^
^ 4 _ 49x^
2
1
l-3x^
dx
k)(V)
5
3 4-x^
dx
f)(E )
9x^-1
i)(E )
dx
b)(E)
+ l)^” d x ;
X +4x + 5 dx
yllx - x^
■ V s-2 x '
dx;
dx;
1)(E) n)(E)
dx x" - x + 1 dx
^|3+6x-x^
6.2.2.Határozza meg a következő integrálokat! b)(E) cos'^x d x ; a)(M) sin^xdx; c)(E)
d)(V)
fch^xdx;
e)(V) J
3e’'
dx;
f)(E)
sh'^x d x ; 1
co s^(l-3 x )
dx;
43
KVK-1190 g)(E)
i) (M)
6.3.
1 sin (2x + 5)
dx;
ctg^Sxdx;
1
h)(E)
dx;
eh ' j) (E)
j[f(x)] f'(x )d x ( a e R , a ^ - i )
th 2 4x dx .
típusú feladatok
6.3.1. Határozza meg a következő integrálokat! a)(M) J x (2 -3 x ')* d x ; X
c)(E)
b)(E)
2 x ' • V4 + 2x^ dx ;
d)(E)
:dx;
(l + x ') e) (M) í)(V )
(sin 'x e o sx -2 ch ^ x shx) d x ; sinx chx dx; , . cos X VI + shx
g)(M) Jcos^xdx;
h)(E) Jsh^xdx;
i)(V ) J ^ d x ; •’ Sin X k)(V) í t g ^ d x ;
j)(E )
m)(E)
n)(V)
e’‘ • Vl - 2e’‘ d x ;
•’eh X 1)(E) eth'^x d x ;
X
P)(E)
»)
1 0 "(3 -4 -1 0 ’‘)'" d x ;
3-2^ q)(E) s)(V)
44
In^x X
dx;
dx x ln 'x
r)(E) t)(E )
Inx
dx; dx
•V2 + 31n:
KVK-1190 6.3.2. Határozza meg a következő integrálokat! arctg X arctg2x , a)(E) b)(E) --- ; 2 l + 4x' 1+ X ^arctgx dx c)(E) d)(E) 2 dx; 1+ x (1 + X ) arctg arcsin'^Sx
e)(E)
2
dx;
V l- 9 x dx
g)(E)
0 (E )
■dx;
dx
h)(V)
-yÖ^-x^yarcsinx
Vl - X
arccos^x
i)(E )
arcsinx
X
dx;
j) (E)
(3 + 2 arctgx) ■ 1+ x'
dx.
6 .4 . f—^ d x t í p u s ú f e l a d a t o k f(x) 6.4.1. Határozza meg a következő integrálokat! a)(M)
•dx;
l + x' cosx , ---- — dx; 1 - smx ctgx dx ;
c)(E) e)(V) g)(E) 1)(V)
2 - e ’‘
dx;
d)(E) f)(E) h)(E) j) (E)
•' xlnx
k)(V) J
b)(V) f
dx (l + x ) arctgx dx
m)(E)
Vi^ X
arccosx
1)(E)
x-1
- dx; . +3 ■2x shx dx; 2 + 3chx th2x d x ; X.
2-3
dx; 1 + 3* dx X(3 - 21nx) dx ^ J \ - x ^ (1 + arcsinx)
n)(E)
dx (l + x ) (4 + Sarcctgx)
45
KVK-1190
6.5.
ff(g(x))g'(x)dx
típusú feladatok
6.5.1. Határozza meg a következő integrálokat! a) (M) c)(M)
e)(V)
Xe 2 dx ; X
1+ X
jdx;
3x' a/ i -
dx;
x^ sin(l + 2x^)dx ;
b)(E) d)(M) I
f)(V )
Inlnx
re""
dx;
dx .
x^
6.6. Parciális integrálással megoldható feladatok 6.6.1. Határozza meg a következő integrálokat! b)(E) ( x ^ + l ) e ' ' d x ; a)(M) |x e '“M x ; c) (E)
X cos2x
dx ;
e) (E)
(2x + 1) shx dx ;
d)(V) f (x"+x)s i nxdx; f)(E) j( 2 x '+ 3 x + 2 ) c h |d x
6.6.2. Határozza meg a következő integrálokat! b)(M) jlnxdx; a)(M) x^ Inxdx ; Inx
dx;
d)(V)
(2x + 1) In^x dx ;
e)(E)
Xarctgx d x ;
f) (E)
arctg2x dx ;
g)(M)
3x^ arctgx d x ;
h)(E)
(x - 1) arctgx d x ;
i) (V)
arcsinx d x ;
j) (E)
arccosSxdx.
c)(E)
6.6.3. Határozza meg a következő integrálokat! a)(M) | e ’‘ sin2xdx; b)(E)
46
cosx d x .
KVK-1190
6.7. Racionális törtfüggvények integrálása 6.7.1. Határozza meg a következő integrálokat! a)(M) c)(E)
x+2
2x' - x - 1 + 2x + 3
dx;
b)(V)
dx;
d)(E)
X-X
x'+3x + 7
e)(M)
dx;
f)(E)
(x -3 )(x + 2y g)(E)
x ^ + 2 x +3
h)(V)
x^-x^
i) (M) JX k)(M)
dx;
+X
X -5x + 6 7x + l
dx;
(x-2)(x" + 2 x - 3 )
dx;
2x + 5 dx; (x - 2)(x^ + 2x +1) x '+ 7 x -l
2 dx;
(x^+5x-6)
+2
dx;
x^ + x
3x-2
x ' - 4 x ^ +2 x
dx;
x'^ + x^
j) (E) 1)(E)
2x^ - x - 8
(x + l)( x ' + 4) 2x^ +3x + 4 X + 2 x + 4x
dx; dx.
6.8. Integrálás helyettesítéssel 6.8.1. Határozza meg a következő, a Vax + b ( k e N \ { 0 ; l } é s a, b e R állandók) racionális törtfüggvényeit tartalmazó integrálokat! dx a)(M) x^ •Vx +1 dx ; b)(V) 3x + Vx^ Vx + 4 c)(E) -dx; d)(E) dx; 1+ Vx e)(E)
V x - 1 +1
dx;
Vx -1 -1 g)(E)
1 + V^
dx;
X-V ^
dx;
Vx + X Vx
f)(E) h)(E)
1+ Vx
dx;
Vx^ ( V x -l]
47
KVK-1190 i)(E )
,+ V ^ + ^
dx;
:(1 + V x )
dx
j) (E)
6.8.2. Határozza meg a következő, az e ‘'’‘ (c € R állandó) racionális törtfüggvényeit tartalmazó integrálokat! dx b)(E) ^)(V) (e^+ir X
c)(V)
^ shx
2 - q^ -e"
d)(E) f)(E)
1 + e^
dx; l + e’‘ ch^x dx . shx
6.8.3. Határozza meg a következő, a sinx és a cosx racionális törtfüggvé nyeit tartalmazó integrálokat! dx dx b)(E) a)(M) 1 + sinx + cosx smx 1 - sinx dx -dx; c)(E) d)(E) J cosx 5 + 4cosx dx 2cosx + sinx - 3 e)(E) dx; f)(E) 3 + 4tgx 2cosx - sinx - 3 6.8.4.Határozza meg a következő, V ax^Tbx + c (a,b,c e R a < 0, - 4ac > o) típusú kifejezéseket tartalmazó integrálokat! a)(M) f V 4 - x ' dx; ■’ c) (E)
48
í V l - 2 x - x ^ dx;
b)(V) f . ^ — dx; •’V5 + 4 x - x ^ d)(V)
X
KVK-1190
6.9. Vegyes feladatok 6.9.1. Határozza meg a következő integrálokat! 2^ + 5 ’ a)(E) dx; b)(E) Jctg^xdx; 10^
d)(E) e)(E)
th^xdx; dx
g)(E)
X (1 + Inx) ’
0 (E ) h)(E)
Vö"-^ arccosx dx
^
^
x^ + 8
A d x;
J ( 3 - c o s 'x ) '
•’4x + 4 x + 5 k)(E) |ch^3xdx;
J)(E) f ; , ^ dx; ••x - 6 x + 13 1)(V) jsh ^xdx;
m)(M) jsin^x cos^x d x ;
n)(V) jsh^x ch^x d x ;
o)(V) Jtg^xdx;
p)(E)
r)(M) f _ Í = d x ;
s)(M) *■ x ( l + ln^x) ’
W l-x'^
t)(E)
sinVx
Vx
dx;
«)(M)
cth^xdx;
’cos^x
dx.
J r
6.9.2.Határozza meg a következő integrálokat! dx a)(V) .K V ) í ^ ; (x + l)(9x^+12x + 4) dx d)(E) íx • V l - x d x ; ')(E ) k r ’ ■'2 + Vx f)(E)
e)(E) f
g)(E)
------- dA x ; l + e ’‘
fi+vm dx;
ll)(E) J
X +x
l + e^’^
dx.
49
KVK-1190 6.9.3. Határozza meg a következő integrálokat!
c)(E)
x^sinSxdx; Inx
e)(M) J
50
dx
b)(E)
.)(V ) ^
jl-Vl-x^ x+l . J dx;
\2
dx;
g) (M)
X ^ arccos2x
i)(E )
e
k)(E)
1 dx; 1 - sinx
sinx d x ;
dx;
f)(E)
(2x^ + x) arctgx d x ;
h)(V)
X
arcsin(x - 1) d x ;
j) (V) Je’‘ cos^xdx;
-)(H)
2 + cosx dx. 4cosx
KVK-1190
7.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZOTT INTEGRÁLJAI 7.1. Alapíntegrálokra és az
íf(g(x)) g'(x)dx = [F(g(x)J
képlet speciális eseteire visszavezethető feladatok (F' = f)
7.1.1. Számítsa ki a következő integrálok értékét! 8 S dx b)(E) a)(M) J (x '-V ^ )d x ; 1 + x^ V3
dx
c)(E)
0
d)(E)
j
1 Vl-x^
dx cos X
'2 sh2
e)(M)
dx
f) (V) [sin^—dx;
Vl + x^ g)(V)
i) (E)
dx
0
ln2 h)(V)
dx 4 -x
j)(V )
sh 3x d x ;
1)(V)
[cos^-dx; 0
3
k)(V)
dx V9x^^^
3
m)(E)
1x^+3 dx; x -2
-1
n)(V) -2
dx x^ + 4x + 5
51
KVK-1190 3
o)(E)
-3
dx 2 x '-x -l
-4
x+2 dx; x^ +2x^ + x
r)(V)
dx;
P)(V) (x + 5)
V3
s)(V)
dx
Y1 - x
4 ■
7f
7.1.2. Számítsa ki a következő integrálok értékét! V3
a)(V)
dx;
0 Vl
b)(E)
fx ' - V8-2x^ dx; 0 71
ln3
chx
c)(E)
sh 'x
ln2
2
dx;
sinx
d)(E)
10
e)(E)
j^ d x ; J
x -1
^dx; Vx^ -1
f)(V )
Y
sin^xdx;
g)(E)
dx;
0 -yJ\ + 3 C O S X
ctg\dx;
h)(V) 71
6
V3
ló g , 2
i)(E )
j 3 ’‘( 2 - 3 ’‘)dx;
x+1
j) (E)
dx.
0
7.1.3. Számítsa ki a következő integrálok értékét! tg2xdx;
a)(V)
X
c)(V)
x ^ 2 x '+ l
e)(V) J -1 x
52
+x
X +X
+1
dx;
dx;
b)(E)
1 + 2^^ -ln2 dx; x + 2’‘
d)(V)
f = ^ d x ; ' sinx + cosx
f)(V)
x^ +3x J(x + l)( x ' +1)
dx;
KVK-1190 --ln 2
2
dx;
g)(M)
h)(E)
-2
-2 1 n 2
4 gtgx
2
dx;
i)(E )
|( x + l )cos(x^+2x)dx;
COS X
dx
j) (E) 42 X
7.2. Parciális integrálással megoldható feladatok 7.2.1. Számítsa ki a következő integrálok értékét! 71 4
ln2
a) (M)
Xe""" d x ;
b)(E) J x sin2x dx ; 0
0
2ti
c)(E)
ln4
x^cosxdx;
d)(E)
(2x + l)ch —dx;
0
0
71
1
e) (E)
(ti - x ) cos3x d x ;
f)(E)
2
f ( x - l ) ^ e ^ ’‘ dx.
-71
7.2.2. Számítsa ki a következő integrálok értékét! a)(M) fln(x + l)dx;
b)(E)
xl nxdx;
d)(E)
x^l n2xdx;
0
2
c) (E)
arccosx d x ;
I
^
e) (V)
(x - V3) arctgx dx ;
f) (E)
0
arctg2x dx . 0
7.2.3. Számítsa ki a következő integrálok értékét! a)(M)
e ’‘ cosxdx;
b)(E)
e
sin2x d x ;
Ti ~2
53
KVK-1190 7T+1
c)(E) j e ’^cos^ —dx;
d)(E)
Je^’‘“^ s in (x -l)d x . 1
7.3. Helyettesítéssel megoldható feladatok 7.3.1. Számítsa ki a következő integrálok értékét! 28 Vx-1 - V x - 1 a) (M) X •Vl + X dx ; b)(V) dx; -ln 3
c)(M)
' f e'^ + 2 e ’'
dx;
e'’^+1 dx 2 - sinx ’
e)(M)
d)(V)
2-e
dx;
dx 3 + cosx
f)(V)
e—1
g)(V) f x ^ - V 4 - x M x ; 0 ch2
j
h)(V)
0
------- d x ; vl + 4x
_____________________
i) (V) |V ( x ^ y ( x + l )dx;
ln2
j)(V ) jV e ’' -1 dx.
7.4. Vegyes feladatok 7.4.1. Számítsa ki a következő integrálok értékét! 71
In2
a)(E)
"f 4sh2x dx; ch^2x
6
b)(E) j2 c o s'3 x d x ; 0
n c)(E)
x^- 1 Vx"^ - 4 x
54
dx;
d)(E) I
dx V2 + 3 x - 2 x ' ’
KVK-1190 dx 4x + 4x + 5
e)(E)
f)(E)
2
V2
g)(V) i) (E)
(x + 1)^
(x^+l)(x^+2)
dx;
dx ^ x^ - 2 x - 8 In V I
k)(V)
m)(E) I
h)(V) J
j) (E)
dx x(l + ln x)
Vx-l
•dx;
3
dx
1)(E)
dx
x- VsxTÍ ’
n)(M)
íln(2x-3)dx;
dx 1+ 2sin^x
_2
o) (E) ' X arctg(3x + 2);
P)(V)
2^ +3
dx.
-1
7.5. Határozott integrálok alkalmazásai 7.5.1. Számítsa ki az adott görbe és az x tengely közti területet a meg adott intervallumban! a)(M) y = x ^ - 4 x + 5, 0 < x < 3 ;
b)(E) y = s in ^ ^ , 0 <
c)(E) y = ln(x + l), 0 < x < e - l ;
d)(E) y = sh2x, I n2
x <
2t i ;
e)(M) y = x ' + x - 2 , 0 < x < 2; f) (V) y = x (l-x ^ ), - 2 < x < 3 ; g)(E) y = arctg ^ , - 2 V 3 < x < 2 ; h)(E) y = — , i < x < e . X
2
55
KVK-1190 7.5.2. Számítsa ki az alábbi paraméteres alakban adott görbe és az x ten gely közti területet a megadott intervallumban! a)(M) x = 2cost, y = sint, 0
2
c ) ( M) y = tgx, y = —cosx, x = 0; d)(V) y = x ^ - x , y = x V T ö í, x = — , x = - . 7.5.4. Számítsa ki az adott görbeívnek az x tengely körüli megforgatásával kapott forgástest térfogatát! a)(M )y = 4 - x ^ - 2 < x < 2 ;
b)(E) y =
c)(E) y = Vxe"*, 0 < x < l ;
d)(V) y = ch^x, - I n 2 < x < l n 2 .
Vcosx
0
7.5.5. Számítsa ki az adott görbeív hosszát a megadott intervallumban! a)(M) y = 2x2, 0 < x < l l ;
b)(V) y = V2 x - x ^ - 1, | ^ x < l ;
c)(E) y = chx, 0 < x < l n 2 ;
d)(E) y = - V x + 12, - l l < x < - 3 ; 6 e)(E) y = sh^x, - I n 3
56
KVK-1190 7.5.6. Számítsa ki az alábbi paraméteresen adott görbeív hosszát a meg adott intervallumban! a)(M) X = t^, y = t
i-e 3
71
b)(E) x = 8sin t, y = 3cos2t, 0 < t < —; c)(E) x = ^ch^t, y = sht, 0 < t < l ; d)(E) x = e‘sint, y = e‘cost, 0 < t < l n 2 ;
e)(V)
x
= 2 t'(l-t^ ), y = ^/i5t\ 0 < t < ^ ;
f) (V) x = cos^t, y = sin^t, 0
a)(M) 1 ^ ;
fVl + x '
dx;
1
c)(E) ]
dx.
7.5.8. (V) Számolja ki, hogy az I(t) = sin2t erősségű áram mennyi hőt fejleszt n másodperc alatt!
57
KVK-1190 7.5.9. (V) Mekkora a víz nyomóereje egy parabola által határolt függő leges falra és hol van a nyomatékközéppontja, ha a vízoszlop magassága 10 m és a víztükör a parabolából 6,8 m hosszúságú húrt metsz ki? 7.5.10. (M)Mekkora munkát kell végezni a nehézségi erő ellenében ahhoz, hogy feltöltsünk egy egyenes körkúp alakú homogén homokrakást, ha a kúp alapkörének sugara 1,2 m, magassága g
1 m és a homok faj súlya 2 —^ ? cm
7.6. Improprius integrálok 7.6.1. Számítsa ki a következő improprius integrálok értékét! b)(E)
e-’' d x ;
a)(M)
Je^^Mx; -ln 2
X
c)(M)
l + x'
dx;
shx dx; eh X
e)(E)
d)(E) f)(V)
x^-r x+6 dx; X +3x
j) (E)
dx x ' + 2x + 2 ’
xe M x ;
1)(E)
(2x + 3 )e''’‘ dx ;
e“’‘sinxdx;
n)(V)
V2 +00
^^xln X +00
k)(M)
dx
h)(V)
dx;
g)(E)
0 ( E)
dx sh"2x
X
0 +00
m)(V) +00
o)(V) j 0e
58
dx; (l + xVx)
0
dx +
KVK-1190 7.6.2. Számítsa ki a következő improprius integrálok értékét! dx a)(E) e^^’ dx; b)(E)
i(2x-ir
-0 0
’
- ln 2
c)(E) —00
arctgx d x ;
d)(M)
sh
X
—00
-1
e) (E)
X
e
dx ;
J-
0 ( E)
2e + e 2x
dx.
7.6.3. Számítsa ki a következő improprius integrálok értékét! dx dx a)(M) b)(E) l + 4x' ’ x " + 2 X + 10 +arctgx
c)(V) — 00
14V
dx;
+CO
dx e)(E) -00 ch^ -2 (x + l f i(x ^ + l)(x ^ + 2 )
dx;
Vl + x^
+00
g)(V)
X
d)(M)
x“
í)(V ) dx;
h)(V) (l + 2e’‘) ' '
7.6.4. Számítsa ki a következő improprius integrálok értékét! dx V dx a)(M) I b)(V) Vl-x / ( 3 - x)^/2-x ’ c)(M) e)(V)
dx 1 -x 2 ’ dx dx
smx
dx;
0 ( M) llnxdx;
X+Vx
g)(M)
cosx
d)(M)
0
h)(M)
dx xln X
59
KVK-1190 dx;
i)(E )
dx
j) (M)
-2
k)(M) Jtgxdx;
1) (E)
0
x+l
dx.
J Vx
7.6.5. Számítsa ki a következő improprius integrálok értékét! dx dx b)(M) a)(V) 1+ sinx ’ chx 0 — lO +00
c)(M) J----- rrdx; í0 1 + e +00
e)(V)
dx X -X
60
+CX)
- X
d)(V) 1 +00
f)(V )
dx xV x^ ’
dx f _ l(l + x^) ^arctgx
KVK-1190
8.KÉTVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 8.1. Kétváltozós valós függvények értelmezése 8.1.1.Állapítsa meg a valós számpároknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az alábbi függvények értelmezhetők, majd ábrázolja ezt a tartományt az xy-síkon! a)(E) f(x;y) = x^+ xy + y ^
b)(E) f(x;y)
c)(E) f(x;y) = sin7jÖ^;
d)(V) f(x;y) = e
e)(M) f(x;y) = ^ l - x ^ ;
f) (E) f(x;y) = ^
.
8.1.2. Döntse el, hogy az alábbi kétváltozós valós függvények értelmezve vannak-e a megadott P, Q, illetve R pontokban, s ahol igen, ott számítsa ki a függvényértéket! a)(E) f(x;y) = lg(ax + by + c),ahol a ,b ,c € R ^ , P(0;0), Q(l;l), R b)(E) f(x ;y )=
c 4 -5 c ,4a 4b ,
P(0;4), Q(4;0), R(0;0);
V x -2 y c)(M) f(x;y) = arcco s^ ,
P(l;2), Q(1;0), R
X.
2 ’2
d)(E) f(x;y) = (lnxy) Vln(x’ + y ‘ ), V ^ ’“ V2,
61
KVK-1190
8.2. Kétváltozós valós függvények differenciálszá mítása 8.2.1.Adja meg az alábbi kétváltozós valós fíiggvényeknek a változói szerinti elsőrendű parciális deriváltfuggvényeit! a)(V) f(x;y) = - x '+ 3 x V - x y ^ b)(E) f(x;y) = ^ - | ;
c)(E) g(u;v) = 6“ -v ^
d)(E) V(r;m) = ^
e )(M )f(x ;y )=
;
f)(E) f(x;y) = ^ í i y ; X
^ x -y
g)(E) W(Q;C) = ^ ;
+ y
h)(V) z(x;y) = - + ^ + x + y + l; i) (M) f(x;y)= x ^ y X j)(E ) f(x;y) = 7 y ^ - 6 x ^ + 2 ;
k)(V) h(u;v) = a r c tg -; V
1) (V) f(x;y) = ( 4 y f ;
m)(E) f(x;y)= x-e^>'; _x
n)(M) z(x;y) = 7y-lg (x ^+ y ^);
<>)(E) g(x;y) = 3
•sin(Tixy);
p)(M) f(x;y) = : ^ . l n ( l O y - x ) - x ; lOy q)(E) f(x;y) = V Í + ^ . s h ( x + 2y); r)(E) h(x;y) = -5í xy í^ ;
s) (E) f(x;y) = (shx)^"*'\
8.2.2. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvényeknek az x-, illet ve y-szerinti elsőrendű parciális deriváltjait a megadott Po(xo;y,3) pontban! a)(E) f(x;y) = x ^ +2xy + y ^ Po(0;0);
62
KVK-1190 P, ' l . i " v '2 ’2 .
b)(E) f(x;y) = 3x•e^^ c)(M) f(x;y) =
1 lo g ^ iy '- x )
d)(E) f ( x ; y ) = . ^ - c t g — , Po(-l;4). Vy y 8.2.3.írja fel az alábbi kétváltozós valós függvények teljes differenciálját, majd adja meg a teljes differenciált a megadott Po(xo;yo) pontban! a)(E) f(x;y) = ^
,
P ,(l;-l);
b)(E) f(x;y) = 10-V 4x-3y,
P „ (-4 ;-8 );
X
c )(M )f(x ;y ) = — , P„(6;3). X
8.2.4.Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvényeknek a Pq pont ban vett, a szöghöz tartozó iránymenti deriváltját adott Po(x,3;yo) és a mellett! a) (M) f(x; y) = (2x - 4xy + y)^,
P„
, a = 120°;
^Iny^ b)(E) f(x;y) = s i n ^ , P„(l;l), a = -3 0 “; VX ; xy c)(E) f(x;y) = , Po(2;-2), a = 45°; / d)(V) f(x;y) = (sinx)“ ' \
P„
\ 71^ K , v6’3.
a = 240°.
8.2.5. Adj a meg az alábbi kétváltozós valós függvényeknek a változói szerinti másodrendű parciális deriváltfüggvényeit! a)(E) f(x;y) = 7 x V - ^ ;
b)(M) f(x;y) = e^;
63
KVK-1190 c)(E) f(u;v) =
u +V u -V
8.2.6. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvényeknek a változói szerinti vegyes másodrendű parciális deriváltját a megadott Po(xo;yo) pontban! a)(M) f(x ;y ) = x - tg ^ ,
Po(V2;o);
b)(E) f(x;y) = — y 8.2.7. Adja meg egyszerűsített alakban az alábbi kifejezéseket a megadott kétváltozós valós függvényekre! a)(E) | - y + | - r , ha u(x;y) = lnV x^+y^ ; ax
oy
b)(E) y -f^(x ;y )-x -fy (x ;y ), ha f(x;y) = arctg^ + arcctg ^; 2
c)(V)
f
a 'f ^
[ö x ö y ;
, ha f(x;y) = e ^
8.3. Kétváltozós valós függvények differenciálszá mításának alkalmazásai 8.3.1. Határozza meg az alábbi függvények lokális szélsőértékeit! a)(M) f(x ;y ) = (5 + 2 x - y ) - e ’‘' ; b)(M) f(x; y) = e ’‘"'; X
c)(M) f(x;y) = 5 - x ^ + 4 x - y ^
d)(E) f(x;y) = e2 -(x + y^);
e)(E) f ( x ; y ) = x '+ y '+ x y + y + ^ ; f)(E) f(x;y) = x '+ y '- 3 x y ; g)(V) f(x ;y )= y ^ - x ' -4 y ^ +2xy';
64
KVK-1190 4
,.2
h)(E) f ( x ; y ) = x y - ^ - ^ + 10; i)(E ) f(x;y) = e' j)(E ) f ( x ; y ) = x ^ + y ^ - 6 x ^ - 3 y ^ - 9 y ; k)(E) f(x;y) = xy + — + — ; X y 1) (V) f(x ;y )= x ^ + xy + y^ - 4 1 n x -1 0 1 n y ; m)(V) f (x; y) = (x - y)(l - x y ); n)(E) f(x ;y )= 4 y ‘ + y - 2 x y + 5.
8.3.2. (E) Egy üzemben kétféle terméket állítanak elő. A két termék elő állítási költségét az alábbi kétváltozós függvény adja meg: C(x;y) = 3x^ +2xy + 2y^ - 1 8 x -1 6 y + 48, ahol X az A jelű, y a B jelű termékből egy év alatt termelt mennyiséget jelenti ezer tonnában. Határozza meg, hogy milyen termékösszetétel esetén lesz minimális a költség! 8.3.3. (V) Egy üzem két terméket állít elő. A termékek előállítási költsé gét a C(x;y)= x ^ -2 x y + 2 y ^ + 7 x - 7 y - 5 , az árbevételt az R(x;y) = 3x + 5y kétváltozós függvények adják meg, ahol x az A jelű, y a B jelű termékből egy év alatt termelt mennyiséget jelenti ezer tonnában. Határozza meg, hogy milyen terméköszszetétel esetén lesz maximális a profit! 8.3.4. (E) Határozza meg a z = xy -1 felületnek az origóhoz legközelebb eső pontját! 8.3.5. (V) Egy felül nyitott, téglatest alakú 4 m^ térfogatú tartályt akarunk készíteni. Határozza meg, hogy az élek mely értéke esetén kell a legkevesebb anyag a tartályhoz!
65
KVK-1190 8.3.6. Egy derékszögű háromszög rövidebbik befogójának hosszát a = 5±0,l cm-nek mértük, a másik befogójának hosszát pedig b = 12±0,2 cm-nek. Becsülje meg, hogy mekkora abszolút illetve relatív hibával számítható ki a) (M) az átfogó hossza; b)(E) a háromszög területe; c) (V) tg p , ahol p a b oldallal szemközti csúcsnál fekvő szög! 8.3.7.(V) Az Rj ellenállás 6,4Q , az Rj ellenállás 4,2Q . Az adatok egy tizedesjegyre kerekítettek. Számítsa ki a hibák figyelembe vételével a két ellenállás párhuzamos eredő ellenállását! 8.3.8. (E) Kísérleti úton határozzuk meg egy bizonyos faanyag sűrűségét. Készítettünk belőle egy a = 20 cm oldalú homogén kockát, s lemértük ennek tömegét, melyre m = 419 dkg adódott. A hosszmérés hibája legfeljebb 0,1 cm, a tömegmérésé pedig 0,5 dkg volt. Számítsa ki a hibák figyelembe vételével a sűrűséget! (Emlékeztetőül: p = ^ 8.3.9. A véges növekmények tételének felhasználásával adjon közelítést az alábbi kétváltozós valós függvényeknek a megadott pontban fel vett értékére egy olyan közeli pontból kiindulva, ahol a függvényérték könnyen számolható! a)(M) f(x;y) = ln (x ^ -y ^ ) P(B,02;1,96); b)(E) f(x;y) = (x y )^ -2 (y + 2x)^
P ( - 1,98;3,01).
8.4. Kétváltozós valós függvények integrálszámítása 8.4.1. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrál ját a megadott T tartományon! a)(V) f(x ;y ) = l - | - í b)(E) f(x;y) = x-siny,
66
T = {(x;y)|-1 < x <1, - 2 < y < 2 } ; T = J(x ;y ) l < x < 2 , 0 < y < | [>;
KVK-1190 c)(E) f(x;y) = | ^ , 1+y
T = {(x;y)| 0< x < 1, 0 < y < 2
d )(M )f(x ;y ) = ^ ^ ,
T = { (x ;y )|0 < x < 2 , - l < y < o } ;
e)(E)--f(x;y) = ^-----T = {(x;y)|- 2 < x < 1, 1 < y < 3}; (x -y -lj f)(M ) f(x ;y )= :x ^•e’‘'^
T = | (x;y) - l < x < - ^ , 0 < y < l
8.4.2. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrál ját a csúcsaival adott téglalaptartományon! / \ X \ X \ 71 71 a)(E) f(x;y) = cos(2x-y), A(0;0), B c , D 2 ’2 b)(E) f(x;y) =
In^ X xy
V
c)(M) f(x;y) = - ^ ^ , (x + y)
A(1;0), B(2;0), C(2;2), D(1;2).
8.4.3. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrál ját a megadott T tartományon! a)(M) f(x;y) =
-y, 1+ x^
b)(E) f(x;y) = ^
T = {(x;y) 0 < x < V 3 , 0 < y < arctgx };
,
T = U x ;y ) 0 < x < ^ , c o s x < y < 2 c o s x
c)(V) f(x;y) = 3 x -4 y ,
T = {(x;y) x '+ y " < 4 }; 7t
d)(E) f(x;y) = x-sin2y + y, T = < (x;y) 0 < X < cos y, 0 < y < — e)(E) f(x;y) = ^ ,
T = {(x;y)| y S x <(l + y)^ 1 < y <3}.
67
KVK-1190 8.4.4. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrál ját a csúcsaival adott sokszögtartományon! f \ a)(E) f(x;y) = x-siny, A ^ ;0 , B(ti;0), C(ti;7i ); V^ y b)(V) f(x;y) = x + 8y, A (-2 ;-9 ), B(14;-13), C(14;3); c)(E) f(x;y) = e^-^
A(0;0), B(1;1), C(0;2);
d)(E) f(x;y) = - ^ ,
A(2;2), B(2;3), C(4;4);
2y
e)(M) f(x;y) =
, B
(y’ - x ^ r f)(V) f(x;y) = ^
V
1 3 v2 2 ,
, C(0;2);
+3 y -V 7 ^ ,
A(0;0), B(4;4), C(4;S), D(0;1). 8.4.5. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrál ját a csúcsaival adott sokszögtartományon! a)(E) f(x;y) = e^^-^ A(0;0), B(1;-2), C (2;-2); , A (-l;2), B(1;2), C(0;4);
b)(M) f(x;y) = \J J c )(V )f(x ;y ) =
l + (y -x )
A(l;l), B(2;1),
c (2V3;V3) d (V3;V3);
d)(E) f(x;y) = x '- ln y , A(1;1), B(e;e), C(-e;e), d (-1;1); 4xy e)(E) f(x;y) = , A(0;l), B(0;2), C(2;2), D(1;1). (x' + yO ‘V y '+ 3 8.4.6. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrál ját azon a korlátos tartományon, amelyet a következő egyenletekkel megadott görbék határolnak! a)(E) f(x;y) = ^ ^ ^ ,
68
x = l, x = e, y = 0, y = ln x ;
KVK-1190 -C*/
\
COS X
7Z
b)(E) f(x;y) = — y c)(M) f(x;y) = d)(V) f(x;y)
StT
.
.
x = - , x = — , y = sinx, y = 2sinx; 4 4
x -1
, x = l, x = - l , y = x ^ y = 4 ; (y + iF 4y-shx, x = ln3, y = l, y = e’‘ .
8.4,7. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrál ját azon a korlátos tartományon, amelyet a következő egyenletekkel megadott görbék határolnak! a)(M) f(x;y) = y-e%
x = y, x = ^ y ^
b)(E) f(x;y) = ^ ^ ^ , (1 + x)^ c)(E) f(x;y) = lny, d)(V) f(x ;y ) = l,
x = -y , x = y ^ y = - | ;
x = - , x = y", y = - ; y 2 x = y ^ -4 , x = -^ y ^ + 2 .
8.4.8. Számítsa ki az alábbi kettős integrálokat, majd ábrázolja azt a tar tományt, ahol integrált! a)(M)
2y
- 1 dy dx;
b)(E)
tgx
dx;
2^i-2y c)(E) j (x + y + l)dx dy. ovo 8.4.9.írja fel a következő, csúcsaikkal adott sokszögtartományokat nor máltartományok egyesítéseként! Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvény kettős integrálját ezeken a tartományokon! a)(M) f(x;y) = siny-cosx, a (7i ;0),
B(7t;7i), C(0;2 jt), D(-7 i ; ti), e ( - ti;0); b)(E) f(x;y) = 7 2x(y-4), A (-6;0), B(-2;2), C(0;4). 69
KVK-1190
9. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYEN LETEK 9.1. Alapfogalmak 9.1.1. Döntse el, hogy az alábbi differenciálegyenletek hányadrendűek, illetve azt is, hogy lineárisak-e! y' e’' a)(M) y'" •tg X------r- + y -------= x •arccos x ; 4x sinx b)(E) y" = 5 y '- 4 ; c)(E) y •Iny + siny" = 0. 9.1.2. Döntse el, hogy az alábbi differenciálegyenleteknek megoldásai-e a megadott f(x) illetve g(x) függvények! a)(V) (y ')^ + y 'y '' = 4cos4x, b)(E) y'' = y + x ^
f(x) = 2 x ^
f(x) = cos2x,
g(x) = -s in 2 x ;
g(x) = -x^ - 2 - e " .
9.1.3. Határozza meg integrálással az alábbi differenciálegyenletek álta lános megoldását, majd adja meg a megadott kezdeti feltételt illetve feltételeket kielégítő partikuláris megoldását! a)(M) y'" = l, y(0 )= l, y'(0) = 0, y"(o) = - l ; b)(E) y" = c o s |,
y(0) = 0;
c)(E) y'(l + e’‘)=e%
y (0 )-0 .
9.2, Elsőrendű differenciálegyenletek 9.2.1.Adja meg az alábbi szétválasztható változójú differenciálegyenle tek általános megoldását! Ha adott kezdeti feltétel is, akkor írja fel az ezt kielégítő p.artikuláris megoldását is! a )(M )y ' = 2 x y \
y(l) = - l ;
c)(E) d y - 4 x 7 y d x , e)(M) y'sinx = y l n y ;
70
y (l)= l;
b )(V )y ' = xy; d)(E) xM y = yM x,
y(0) = l;
0 (V) 1+ y ^ + 2 x y -y ' = 0;
KVK-1190 g)(E) (l + y ^ ) x - ( l + x^)y' = 0;
h)(E) y'e^^^=l.
9.2.2. írj a fel az alábbi elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletek általános megoldását! a)(M) xy' - 3y = 0; b)(E) y' + x ^ = 0; d)(V) y' + —r — y = 0.
c)(E) y 's in x -y c o s x = 0;
X -1
9.2.3.Oldja meg az állandó variálásának módszerével az alábbi első rendű lineáris inhomogén differenciálegyenleteket! a ) ( M ) y '- - ^ = x ^ - l; x+1
b)(E) y '- 2 y = 2x;
c)(V) xy' + y = c o s |-;
d)(E) y' + y = 2ch2x;
e)(E)
y' + - y = - ---X
x^ + x - 2 x^
2x í)(E ) y ' - —^ y = (x^+x)arctgx; 1+ x^ g)(M) x^y' + y = x -e ’‘ -In x ;
h)(E) y 'c o s x ---------------= 1; cosx-tgx
l)(V ) y ’- A
j)(E ) 2 x y '+ y =
1-x'
= l; 2
2,
k)(E) y' + ycosx = x -e ’‘' “®'"'';
x+r ”
• 1
1) (E) y' + -Y y = e ’‘"-In —; X
m)(E) xy' + ^ ^ = l ; Inx
X
n)(V) x y '+ x y - y + x^ = 0 .
9.2.4. Határozza meg az állandó variálásának módszerével az alábbi első rendű lineáris differenciálegyenleteknek a megadott kezdeti felté telt kielégítő partikuláris megoldását! a)(E) 2 x y '- y = 2 x ^
2
y(4) = ^ ;
b)(V) y' + y tg x = = - cos^x,
y (o ) = l;
71
KVK-1190 c)(E)
x -2
=
y (e)= 0 ;
x-ln x
d)(E) y ' - ^ = chx, e -x
y(0) = 0 ;
e)(V) y ’+ - ^ y = l - x ^ 1 -x f)(M ) y' + y = sinx,
y(0 )= 0 ;
y(o) = ^ ;
g)(E) y ' - - ^ y = -^=^==, 1+ x Vl + x ' h)(E) y'sinx + 2ycosx = cosx, i) (E) y' + ycosx = cosx,
i)(V) y -
X
, ^ _ , y=i . ”r X
y(0) = - 2 ; / \ y
71
=0;
u , y (o )= -e ;
y(o)=3.
9.2.5. Oldj a meg próbafüggvény-módszerrel az alábbi állandó együttható jú elsőrendű lineáris differenciálegyenleteket! a)(M) y' + y = sinx ; b)(E) y '- 2 y = 4 x ; c)(V) 2y' + y = 10(e'’‘ + e -’‘);
d)(E) y '- 4 y = ^ c o s 3 x + 2.
9.2.6. Az ábrán látható egyenáramú RL-körben R = 0,4Q, L = 0,8H, U = 12V. a)(M) írja fel (zárt kapcsoló esetén) az áramkörben folyó i(t) áramra a Kirchhoff-féle huroktörvényből adódó differenciálegyenletet az idő függvényében! b)(E) Az i(0) = 0 kezdeti feltétel felhasználásával adja meg a bekap csolás pillanatától kialakuló áramot az idő függvényében!
72
KVK-1190
u
y R
9.3. Másodrendű differenciálegyenletek 9.3.1. Adja meg az alábbi állandó együtthatójú másodrendű lineáris ho mogén differenciálegyenletek általános megoldását! a)(E) y " - 2 y '- 3 y = 0; b)(M) y" + 5y' = 0; c)(E) 4y" + y' = 0; d)(E) y " - 6 y ' + 9y = 0; e)(M) y " - 2 y ' + 1 0 y - 0 ; f) (V) y" + 4y = 0. 9.3.2.Oldja meg próbafíiggvény-módszerrel az alábbi állandó együttható jú másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenleteket! a)(E) 9 y " -y = 4; b)(E) y" + y '- 1 2 y = 6x + 2 ; X
c)(V) y" + y = 3 x ';
d)(E) y" + y' = 6e^;
e)(M) 5y" + y ' = 18e'‘ -5 c o s x ;
f) (E) 4y" + y = 85(e"’‘ -e^ ’‘);
g)(E) 2y" -2y' + 5y = -(l00x^+24); h)(E) y" + 10y' + 9y = 2 5 sin |-;
i) (E) y " - 4 y = 10cosx + 8x;
j) (V) y" + 2y' + y = -1 0 c o s 2 x -5 s in 2 x ; k)(V) y" + 4y = -sh 3 x ;
1) (V) y " - 3 y '- 1 0 y = 2e’‘ -s h x ;
m)(M) y" + y = (x + l)e-’‘ ;
n)(E) y " - 5 y ' + 6y = 1 2 x '•e ’‘;
o)(E) y "-1 6 y ^ IS e '^ -sin x ;
p)(E) y " - 2 y '= -1 5 x -c o s x .
9.3.3. Adja meg az alábbi állandó együtthatójú másodrendű lineáris diffe renciálegyenleteknek az adott kezdeti feltételt illetve feltételeket kielégítő partikuláris megoldását! a)(E) y" + ^ y = 0,
y (o )= -l, y(7i)=l;
73
KVK-1190 b)(E) y" + 2y' = 0, y (o )= l; c)(V) y " -3 y ' + 2y = 0, y(o)= l, y'(0) = 0; d)(M) - y" + 4y' - 5y = 25x^ + , y(0) = 0; e)(E) y" + 7y' + 6y = -ősinX -cosX , y(0) = 0, y'(0) = 0. 9.3.4. Adottak az ay" + by' + cy = q(x) (a,b,c e R, a 0) alakú differen ciálegyenletek karakterisztikus egyenletének A,,,^2 gyökei és a q(x) zavarófliggvény. írjon fel a partikuláris megoldás kereséséhez rezonanciamentes próbafíiggvényt! a)(M) ^ ,= 2 , ^ 2 = 3 , q(x) = e ^ ^ - x - l ; b)(E) = 0, ^2 = 4, q(x) = 20e^’‘ -1 6 ; c)(E) X, = 0 ,^ 2 = -3 , q(x) = 10cosx + 12x; d)(M)
2 = -1, q(x) = 2 e '" ;
e) (E) A.; 2 = 4, q(x) = 4sh4x ;
f)(E) A.,2 = + j, q(x) = sinx + cosx; g)(V) A.,2=±3j, q(x):=12sin3x; h)(E) ^12 =1± j, q(x) = e’‘ -sinx . 9.3.5.Oldja meg próbafíiggvény-módszerrel az alábbi állandó együttható jú másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenleteket! a)(M) y ”- 5y' + 6y = Se^’^ - 5e'’‘ + 6; b)(E) y " - 2 y '- 3 y = 6(e'’‘ - x ) ; d)(V) 3 y " -y ' = 2 x - 7 ; f) (E) y " - 2 y ' = 1 0 c o s x -4 x ;
c)(E) 2y" + 3 y '= 1 0 sin - + 6; 2 e)(E) y" + 9y = sin3 x -co s3 x ; g ) ( M ) - y " - 6 y ' + 7y = shx + l;
h)(E) 4 y " -y = 8 e^ - 1 i)(E ) y" + y' = 3 x '+ 6 x + l - 2 e “’‘; j)(E ) y " - 4 y ' + 4 y - e '’‘ + 4 x ;
k)(V) y " -8 y ' + 16y = 4ch4x ;
1)(E) y" + 2y' + y = 25sin2x + 2 e '^ m)(V) y" - 3y' = 2e" + (óx + 5)e'’^.
74
KVK-1190 9.3.6. Adja meg az alábbi állandó együtthatójú másodrendű lineáris diffe renciálegyenleteknek az adott kezdeti feltételt illetve feltételeket kielégítő partikuláris megoldását! a)(E) y" + 2y' = 1 2 x ^-2 ,
y(0)=0, y
b)(M) y " - 6 y ' = 12 + 37sinx, c)(E) y " -3 y ' = 3e^’‘ +9,
y(o)=2, y'(0) = 0;
y (0 )= 0 ;
d)(M) y " -5 y ' + 6y = -3e^’‘ +10sinx, e)(E) y" + y = 2cosx,
= -l-e ;
y(0) = 0;
y (o )= -3 ; /
y (o )= -l, y
f)(E) y" + 4y = sin2x + 2cos2x, g)(V) y" - 3y' + 2y = 24ch x + 12x, h)(V) y " - y = x - e \
\
= 7t ;
y(o) = 0, y '(o) - 1 ;
y(0)=0, y '( o ) = - ^ .
9.3.7.Az alábbi váltakozó áramú RLC-körben R = 40Q , L = 0,5H, C = 25|j.F és U = Ug -sin (B t,
co = 3 1 4 -. s a)(M) írja fel az áramkörben folyó i(t) áramra a Kirchhoff-féle huroktörvényböl adódó differenciálegyenletet az idő függvényé ben! b)(E) Adja meg a differenciálegyenlet általános megoldását! -----------o
R
ahol
u
Uq = 34V
ill e tv e
o-------------
L
- " lír -
75
KVK-1190
10. LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ 10.1. Laplace és inverz Laplace-transzformált 10.1.1. Képezze az alábbi függvények Laplace-transzformáltját! a)(E) f(t)= 2 e ^ ‘ + 3 t’ - 2 ; b)(E) f(t) = 9 e '‘^‘ + 3sin7t - 1 1 ; _t
c)(E) f(t) = 3 -2 c o s 8 t + 3e~2; d)(E) f(t) = ^ sh 6 t-5 c h 3 t; e)(E) f(t) = — e '“‘ + —sincűt (R, L, co, C pozitív állandók); L C f)(M ) f(t) = 2e + e"‘ -chSt; g)(E) f(t) = e^‘ - t ^ 2t -h)(E) f(t) = e^‘ • s h y + 2e 2 -chSt; i) (E) f(t) = e^‘ • cos2t + 4e"' • sin9t; j) (M) f(t) = sin^ t; k)(M) f(t) = t-sin t; 1) (M) f(t) = sint • co st; m)(V) f(t) = 8sht • cos3t + sin^t + cos^t; n)(E) f ( t ) = t '+ e ^ ‘ + 4 s h | - c h | . 10.1.2. Az eltolási tétel alkalmazásával határozza meg a következő fíiggvények Laplace-transzformáltját! j^O, ha t < 5, a)(E) f(t) = ( t - 5 f , ha t > 5 ;
76
KVK-1190 b)(E) f(t) =
/ \
fn0,
Uc ha
^t < ^ -2 3,
sin(t - 3), ha
t > 3;
fO,
ha
t < 2,
[cos(3t - 6), ha
t > 2.
10.1.3. Határozza meg az alábbi függvények inverz Laplace-transzformáltját! a)(E) f ( s ) = ^ + ^ - 5 ; s-8 s +4 s b)(E) f(s) = 4 + ^ - ^ ; s 3s + 21 s - 4 c)(M )f(s) = ^ ^ ; s"+ 5
d)(V) f(s) = — ^ +8 s " - 5 0 63s"+ 28
e )(M )f( s )^ ^ ^ • s^ -5 s + 4
f)(E) f(s) = ................ s"
4
-+ s"+ 2 s-3
g)(E) f(s) = ^ - ^ -----h)(E) f(s) = - _ L - — + . ^ s^ + 4 s + 4 ’ s^ + 6 s + 10 1) (M) f(s)= , ; s " -1 8 s + 82
j){ V ) f( s ) =
(s-3)^ ’
s^+ 8 s"+ 1 5 s
k)(E) f(s) = 4 ^ ; s +2s
D (M )f(s)= -^ ^ ; s"^+9s'
m ) ( E ) f ( s ) = - |^ ; s -9 s
n)(V) f(s)=-
s - 2 s +5s
10.2. Lineáris differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval 10.2.1, Oldja meg Laplace-transzformációval az alábbi elsőrendű differenciálegyenleteket az adott kezdeti feltételek mellett! a )(M )y ' + 3y = - 8 e ^ \ y(o) = 4; b)(E) y' + 2y = 10sh3x, y(o) = 5;
77
KVK-1190 c)(E) d)(V) e) (E) f)(E)
y '- 5 y = 25x, y' + 2y = 10sin4x, y' + 3y = 2cosx, y' 2y= 4x + 12chx,
y(0) = l; y(0) = 0; y(0) = 0; y(0) = 0;
g)(V) y ' - y = 4 x - e - \
y(0) = 0;
h)(V) y' + 2y = 17e'" -cosx,
y(0) = 0;
i)(E ) y '- 3 y = e ^ ^ - 2 ,
y(0) = -2.
10.2.2 Oldja meg Laplace-transzformációval az alábbi másodrendű differenciálegyenleteket az adott kezdeti feltételek mellett! a)(M) y" + 9y = 9, y(0) = 0,y'(0) = l;
78
b)(E) y" + 4y = 13e^\ c)(E) y" + 3y' + 2y = 2x + 5,
y(0 ) = l, y'(0)=5; y(0 ) = 0 , y'(0 ) = 0
d)(E) y" + 3y' + 2 y - 1 2 e " \ e)(E) y " - y ' = 2,
y(0 ) = 0, y'(0 ) = 2 y(0 ) = 0, y'(0 ) = 0
f)(V ) g)(E) h)(E) i) (V)
y(0 ) = 0 , y'(0 ) = 0 y(0 ) = 0 , y'(0 ) = 0
y " - 6 y ' + 9y = 2 5 e ''‘ , y" + 4y' = 68sinx, y" + 5y' + 4y = 4 t, y" + 3y' - 4y = sh3x,
y(0 ) = l , y'(0 ) = 0 ; y(0 ) = 2 , y’(0)=3;
j)(E ) y" + y' = t ^ + 2 t,
y(0)=4, y’(0 ) = - 2 ;
k)(E) y" + 2y = 6 e ^ \
y(o)=o, y'(0 ) = 0
1)(E) y " - y '- 2 y = 18e-^^+12, m)(E) y" + y' - 2y = 15sin2x ,
y(0) = 0, y'(0) = 0 y(o) = 0, y'(o) = 0
n)(V) y" + 4y' + 4y = 2 5 e '\
y(0)=0, y'(0)= 0
o)M) y " - 6 y ' + 9y = 3 x '- e ^ \
y(0)=0, y'(0)= 0
p)(M) y" + 2y' + 5y = 13e^% q)(E) y" + 3y' + 2y = 24ch2x, r)(E) y " - 2 y ' + 2y = 2,
y(0)=0, y'(0)= 0
s)(M) y" + 4y' + 4y = 8e“^ \
y (0 )= l, y’(0) = l;
t)(V ) y " - y - 8 x + 2 4 e \
y(0)=0, y '(0 )= 0 ;
y(0)= 0, y'(0)= 0 y(0)=0, y'(0)= 0
KVK-1190 u)(E) y " - 4 y ' + 5y = 2 e ' \
y(0) = 0, y ' ( 0 ) - 0 .
10.2.3. (M) Határozza meg Laplace-transzformáció alkalmazásával az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását! y" + 3y' = e \ 10.2.4. (E) Egy állandó feszültségre kapcsolt soros RL-áramkörben az áramerősség időben történő változását az alábbi differenciál egyenlet írja le: í ö + 8i(t)= 4 . dt ^’ Határozza meg Laplace-transzformáció segítségével az i(t) időfíiggvényt az áramkör bekapcsolásakor (i(0)=0)! 10.2.5. (V) Egy rezgő tömegpontra az elmozdulással arányos, de azzal ellentétes irányú rugóerő és ellentétes irányú súrlódási erő hat. A tömegpont egyenes mentén való mozgását az alábbi rezgési differenciálegyenlet írja le: dt dt ^^ Határozza meg Laplace-transzformáció alkalmazásával az elmozdulás x(t) időfuggvényét, ha a t = 0 időpillanatban az elmozdulás nulla, a sebesség 2 m/s!
79
KVK-1190
11. VÉGTELEN SOROK 11.1. Számsorok 11.1.1. írja fel a részletösszegek sorozatának első három elemét, majd vizsgálja meg, hogy teljesül-e a konvergencia szükséges feltétele! "XM) c)(M) X 2
; + 3n + 2 A” VI9 - I V5 +I
n= l
1 n=i
b)(E) E 5 n =l 00
V* on-l
^-n+1
n =l
f)(E ) |] ( V ír + 2 - V n + 4).
Vn+T —Vn
n=l
11.1.2. Vizsgálja meg az alábbi számsorok konvergenciáját! Amelyik konvergens, annak számítsa ki az összegét! n
a ) ( M ) |; 3 Í ( n=0
00
Í3^
b)(M) X
9
\f. on ,
U
,
32n
d)(E) t -
2H+2
5
n=0
^
\ 2n
V e+ i n =0
V 5+1
I— -
Viö
f)(E ) 2 ( 1 / 5 - 2 )
V5+1
n=l
11.1.3. Számítsa ki az alábbi számsorok összegét!
a)(M) Z ín =0 í ( n + l)(n + 2) c)(E)
t,
t i n(n + 2)(n + 4)
1
:í^ (n -l)(n -4 )’ n+3 ; t ^ ( n - l ) ( n + 2 )(n -2 )
80
3n + 6 1
t ^ ( n + l)(n + 3) f)(E) É io g : 1 n=2
1 -
\ n
KVK-1190 11.1.4. Vizsgálja meg az alábbi váltakozó előjelű sorok konvergenciáját! a)(M) | ; { - i r - L - ; n=0
b)(M)
"+ ^ 2n + r n! .„3 7 1 sin ^ d)(V) ' Z : ^ ( n + 2)! 2 / 1 1+ f)(E)
n + Z
n+^
c)(E)
-1
cosnTi;
„ 2n - l >n-l
n=2
n=0
11.1.5. A D’Alembert-féle hányados-, illetve a Cauchy-féle gyökkritéri um alkalmazásával vizsgálja meg az alábbi, pozitív tagú számsor ok konvergenciáját!
•»(V) c)(E) X n=o
n=2 ^
n+1 S (n + 3 r ’
(n + 2)(n + 3)
e)(V) | ; ( 2 n - l ) I ;
^ n + 3 ^~ ,2 n + l .
f)(E ) S n= l
n =l
11.2. Hatványsorok 11.2.1. Vizsgálja meg, hogy az alábbi hatványsorok konvergensek-e a megadott helyeken! cc
a)(M) V ------ , ha Xj = 0,5 illetve X2 = 3; n=o n + 2 b)(V) „=o n
c)(E)
+1
ha X, = 1 illetve x^ = 5; ha
n=0
X,
= 2 illetve X 2 = 6;
3"
"3"
x ", ha X, = 0,5 illetve
= 0,25 ;
81
KVK-1190 ®)(V)
ha
X,
= 2 illetve Xj = 2 e;
n =l n
f)(E) y ^ — ' ' ^ á 3 " ( n + 2)!
’
ha
X,
>
=0,1 illetve X , = 10. ’
11.2.2. írja fel az alábbi függvények megadott Taylor-polinomját!
körüli, harmadrendű
a)(M) f(x) = 2 \ ha Xo = 1;
b)(M) f(x) = ^ , ha x„ = e ; X
c)(V) f(x) = - r ^ , h a x 0 = ^ ; sm x 2
d)(E) f(x) = x^ - x% ha x„ = 1;
e)(E) f(x) = x ln x , haxg = e ;
f) (E) f(x) = e’‘\ ha x^ = - 1 .
11.2.3. íqa fel az alábbi függvények Xq = 0 körüli Taylor-sorát! Hatá rozza meg, hogy Taylor-sora melyik tartományban állítja elő a függvényt! a) (M) f(x) = i sin 3x ;
b) (V) f(x) = sin 2x cos x ;
c)(V) f(x) = 4 ;
d)(E) fi;x) = x=e^';
e)(E) f(x) = cosx>; g)(M) f(x) = arctg2x ;
f) (M) f(x) = — ^ ; 4 + x^ h)(M) f(x) = l n ( 2 - x ) ;
i)(V ) f(x) = xMn(x + 2);
j) (E) f(x) = lg ( l - 2 x ) ;
k)(E) f(x) = V5 - x ;
1)(E) f(x) = 2 x a rc c o s(-x ).
11.2.4. Az Xq = 0 körüH, harmadrendű Taylor-polinom alkalmazásával, adja meg két egész szám hányadosaként az alábbi függvények kö zelítő értékét a megadott Xj helyen, és adjon felső becslést a kö zelítő érték hibájára! a)(M) f(x) = e ’‘, ha Xj = -0,1; b)(E) f(x) = Vl + x, ha X[ = 0,1; c)(E) f(x) = cosX, ha X, = 0,2; d)(E) f(x) = arctg2x, ha Xj = 0,1.
82
KVK-1190 11.2.5. Az integrandus Xg - 0 körüli, negyedfokú Taylor-polinomjának alkalmazásával, adja meg két egész szám hányadosaként az alábbi határozott integrálok közelítő értékét, és adjon felső becslést a közelítő érték hibájára! “’fsin2x "’f 2 a)(M) í^ ^ d x ; b)(E) f e - ^ x . 0 X J 11.2.6. Az integrandus Xg = 0 körüli Taylor-polinomjának alkalmazásá val, számítsa ki az alábbi határozott integrálok közelítő értékét úgy, hogy a pontos értéktől való eltérés legfeljebb 10"® legyen! 0,2
0,2
a)(M) fe-’''d x ; 0 0,6
c)(E)
b)(V)
jV l + x^ d x ;
f ---- dx; o:”!
_________
0 ,4
- X
0,5
X .
d)(E) 0
^
11.3. Fourier-sorok 11.3.1. írja fel, és ábrázolja az alábbi periodikus függvények Fouriersorának első három, nullától különböző Fourier-együtthatójú tag ját, a függvény egy periódusában! Ábrázolja ezek összegét és a megadott függvényt is! - 71, ha - 271 < X < 0, a)(M) f(x) = 71, ha 0 < X < 271, és f(x) = f(x + 47t) minden x € R esetén; b)(V) f(x) = x, ha - 7 r< x < 7 i, és f (x) = f (x + 2ti) minden x € R esetén. 11.3.2. Ábrázolja az alábbi periodikus, páratlan vagy páratlanná transz formálható függvények három periódusát, és határozza meg a Fourier-sorukat! A szakadási helyeken számítsa ki a sor összegét!
83
KVK-1190 3,
a)(M) f(x) =
ha
- 7i< X < 0,
- 3, ha 0 < X < 71, és f(x) = f(x + I n) minden x e R esetén;
b)(V) f(x) =
0,
ha
- 7i< X < 0,
6, ha 0 < X < 7T, és f(x) = f(x + I ti) minden x € R esetén; c)(E) f(x) = - x , ha - 7 i< x < 7 t, és f(x) = f(x + 2ti) minden x g R esetén; d)(E) f(x) =
-
X
- 7t, ha
- 7i<
X
< 0,
- X + 71, ha 0 < X < 71, és f(x) = f(x + In) minden x e R esetén;
e)(E) f(x) =
-1 ,
ha
-1 < X < 0,
1, ha 0 < X < 1, és f(x) = f(x + 2) minden x g R esetén;
f) (E) f(x) = 2 X , ha -1 < X < 1, és f(x) = f(x + 2) minden x e R esetén. 11.3.3. Határozza meg az alábbi periodikus, páratlan vagy páratlanná transzformálható függvények Fourier-sorát! x^+ 3 , ha - l < x < 0 . a)(V) f(x) = - x ^ + 3 , ha 0 < x < l , és f(x) = f(x + 2) minden x e R esetén; 0,
ha
-1 < x < -0,5 ,
b)(V) f(x) = <2 sin Tix, ha
- 0,5 < x < 0,5 ,
0,
ha
0,5 < X < 1,
és f(x) = f(x + 2) minden x e R esetén; 2x,
ha
-1 < X < -0 ,5 ,
c) (E) f (x) = <2(x - sin 7ix), ha
- 0,5 < x < 0,5 ,
2x,
ha
0,5 <
X
< 1,
és f(x) = f(x + 2) minden x e R esetén.
84
KVK-1190 11.3.4. Ábrázolja az alábbi periodikus, páros függvényeket és határozza meg a Fourier-sorukat! 2,
ha
— < x < —, 2 2 1 1 ^ ^371 1, ha - < x < — , 2 2 és f(x) = f(x + 2n) minden x g R esetén;
a)(V) f(x) =
b)(E) f(x) =
- X,
ha
- 7T<
X
< 0,
ha 0 < X < 71, és f(x) = f(x + 2 ti) minden x e R esetén; X,
c)(E) f(x) = 2 - |x |,
ha
-2
és f(x) = f(x + 4) minden x
gR
esetén.
11.3.5. Határozza meg az alábbi periodikus, páros függvények Fouriersorát! e”’‘, ha - 2 < x < 0, a)(M) f(x) = e’‘, ha 0 < x < 2 , és f(x) = f(x + 4) minden x e R esetén; 0, b)(E) f(x) = 2 cos 7IX, 0,
ha
- 0,5 < X < -0,25 ,
ha
- 0,25 < x < 0,25,
ha
0,25 < x < 0,5 ,
és f(x) = f(x +1) minden x e R esetén; c)(E) f(x) = x% ha - 2 < x < 2 , és f (x) = f (x + 4) minden x e R esetén. 11.3.6. Ábrázolja az alábbi periodikus függvényeket és határozza meg a 00
Fourier-sorukat! A sort írja fel a,, + ^ c „ sin(n(ox +
) alakban
n=l
is!
85
KVK-1190 0,
ha
- n < x < —, 4
a)(M) f(x) = ha
—< X < 71, 4 és f(x) = f(x + 2n) minden x € R esetén; 2,
b)(E) f(x) =
ha
- X,
- 2<
X
< 0,
[ x - 2 , ha 0 < x < 2 , és f(x) = f(x + 4) minden x e R esetén.
11.3.7. Határozza meg az alábbi periodikxis függvények Fourier-sorát! A 00 sort írja fel a,, + sin(n(ox + (p„) alakban is! n =l
a)(M) f(x) =
1+ x^,
ha
1,
0
1 < X < 2,
és f (x) = f (x + 2) minden x e R esetén; 0,
ha
- 7 i < x < —, 4 b)(E) f(x) = u ^ ^ sm X , ha — < x < n , 4 és f (x) = f (x + 2n) minden x e R esetén; 1 ha 0 < x < - , 0, c)(E) f(x) = SsinTtx, 0,
ha
^
ha
1 < X < 2,
és f(x) = f(x + 2) minden x € R esetén.
86
KVK-1190 11.3.8. Határozza meg az alábbi, szakaszokból álló grafikonnal megadott, periodikus függvények Fourier-sorát! a)(M)
b)(V)
c)(E)
7--'
H----- h K 2k 3n
4n
H----- 15k 6n 1% 8jt
9n
IOtc IIjt x
87
KVK-1190
12. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS 12.1. Lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása 12.1.1. Oldja meg grafikusan a következő kétismeretlenes lineáris egyenlötlenségrendszereket és határozza meg a megoldáshalmazok csúcspontjait! a)(M) b)(E) X i + X 2 ^ 12, X , + X 2 > 0, 2 < X [ < 8, 3 < Xj <
8;
c)(E)
X 2 > - 4, Xj >
0;
d)(E)
X , - 3x 2 > - 6, X,
- 2 x ,+
+ X j ^ 2,
Xj - X 2 <
4,
X, , X2 >
0;
X , + X j > 2,
Xj
- X j
< 4,
- Xj + X j
< 6,
X2 <
0.
12.2. Lineáris programozás alapfeladata 12.2.1. írja fel az alábbi feladatokat az egyenlőtlenségek és a célfüggvény megfelelő átalakításával Ax < b,
X >0, (c * x) m ax. alaknak megfelelő formában!
88
KVK-1190 a)(E) 6,
b)(E) x, - 3 x 2 + ^ 3 - 10 ,
4xj -3 x 2 + 2X3 > 1,
- X i - X 2 + 3 X 3 > 5,
X2 - X 3 > -3 ,
2X[ -3 x 2 + X3 = 2,
Xj, X2, X3 > 0,
X,, X2, X3 > 0 ,
X, + 2 x j - X 3 <
(2x, -3 x 2 +X 3)-> m ax ;
(-3 x , + X2 - 4 X3) —> min .
12.2.2. (M) Egy gyár négyféle terméket állít elő (Ai, A2, A3, A4) három erőforrás (I, II, III) felhasználásával. Az egyes termékek faj lagos erőforrásigényét, az egyes erőforrásokból rendelkezésre álló mennyiségeket, valamint az egyes termékek darabárát az alábbi táblázat mutatja. Erőforrások I II III Ar (ezer Ft-ban)
Termékek Ai 1 0 2 15
A2 2 3 0 20
A3 4 2 0 25
A4 3 1 4 17
Erőforrások kapacitása 100 120 80
írja fel annak a feladatnak a matematikai modelljét, amely eleget tesz a következő feltételeknek: - az erőforrások kapacitása nem léphető túl; - az Ai termékből legalább annyit kell termelni, mint az Ai-ből és A3-ból összesen; - a II. erőforrásból a kapacitást teljesen ki kell használni; - a gyár célja a maximális árbevétel.
89
KVK-1190
12.3. Kétváltozós lineáris programozási feladat grafikus megoldása 12.3.1. Oldja meg grafikusan az alábbi kétváltozós feladatokat! A cél függvényeket a z, zi és Z2 szimbólumokkal jelöltük. a)(M) b)(E) Xj - 2X2 < 2, 3x, + 5X2 <30, 2x, - 2x 2 ^ “ 8, X, + 4X2 > 8,
Xi -
4 X[
x ,, X2 > 0, z = (x, + x 2) ^ m a x , z = (x, +X 2)-> m in ; c)(E) 2x, + 3X2 > 6,
+3X2
< 12,
Xj, X2 > 0, Zj =(2xi - X2) —>max , Z2 =(-3X i + 6x 2) —>•min ; d)(E) X, + X 2 <
6,
- 2x, +X 2 < 2,
2X[ - X2 > -2 ,
-4X [ + 5X2 < 20,
Xj - 2X2 < 2,
X,, X2 > 0, z, =(4x, + 2x 2) ^ m a x , Z2 = (8x, - 10X2) - > min; e)(E) 2Xj -3 x 2 - 6, 2x, + X2 > 4,
Xi, X2 > 0, Zj =(5xj + 3 x 2 ) ^ m a x , Z2 =(5x, - 5x 2) ^ min; f)(E) Xj + 3x 2 > 3, X,
- 3x 2 < 3,
-X i +X 2 < 2,
- X j +3X2
<15,
7x, - 6X2 < 42,
X, + 3 X 2
<21,
X; > 0 , 0
m ax, Z2 = (6x 1 + 3x 2) ^ min;
90
- 2x 2 < 2,
0 < x , <6, X2 > 0 , z, = ( - 2xi - 6x 2) ^ m a x , Z2 =(4Xi - 5X2) —>• m in;
KVK-1190 X, + X2 > 2,
h)(E) x, +X 2 > 4,
8x, - 6X2 < 48,
-X , +X 2 < 5,
- 4 x , + 2X2 < 8,
2x, - 4x 2 < -4 ,
> 0, z, =(5x, + 3X2) ^ m in, Z2 =(7x, + 1 0 x 2 )^ m a x ;
X, >1, X2 > 0,
g)(E)
X , , X2
Zj =(3x, + 3x 2) ^ min , Z2 = ( - 4 x , + 2x 2) ^ m a x .
12.3.2. (E) írjon fel olyan feladatot, amelyben a lehetséges megoldások halmazát az A(0;0), B(4;0), C(6;2), D(4;4), E(0;2) csúcspont ok által meghatározott konvex poliéder pontjai alkotják és a 4X[ + 4X2 célfüggvény maximumát keressük! Oldja meg a feladatot grafikusan! 12.3.3. (V) Egy bányászati társaságnak két bányája van (A és B), mind kettőben háromféle minőségű (első-, másod-, és harmadosztályú) ércet termelnek ki. Az óránkénti kitermelést tonnában az alábbi táblázat mutatja. bánya A B
első osztályú 2 1
másod osztályú 3 2
harmad osztályú 3 6
A társaság az első osztályú ércből legalább 100 tonnát, a má sodosztályúból legalább 180 tonnát, a harmadosztályúból le galább 240 tonnát akar kitermelni. Az A bánya üzemeltetése óránként 250 $-ba, a B bányáé pedig óránként 275 $-ba kerül. Határozza meg a bányák optimális üzemeltetési idejét, amely alatt a szükségelt mennyiséget minimális költséggel termelik ki!
91
KVK-1190
13. VEKTORANALÍZIS Ha azt külön nem jelezzük, akkor ebben a fejezetben, valamennyi függvény értelmezési tartományának a hozzárendelési szabály által megengedett, legbővebb halmazt tekintjük.
13.1. Vektor-skalár függvények 13.1.1. Határozza meg az alábbi vektor-skalár függvények első derivált függvényeit! a) (M) r(t) = (t sin t)i + (t cos t)j + (arccos t ) k ; ' 1 + t '^ b)(E) r(t) = In- í-2 i + (3‘ +t )j + (log2t)k; 1-t^ y X
c)(E) r(t) = ( t '- 3 t ) i + (tgt)j + Vtk; d)(M) r(t) =
th t
((sh 2t)i + (eh 2t)j + (cth t)k );
e) (E) r(t) = (arc tg(l +
))i + t^e‘j + 2^Jt^ + 2 tk ;
f) (E) r(t) = V t' - t ( ( t 'i + 1'j + t"k )-(V ti + Vtj + Vtk)). 13.1.2. írja fel az alábbi vektor-skalár függvények t, és tj független változó értékei által meghatározott PjPj szakasz paraméteres egyenletrendszerét, és számítsa ki a pontok távolságát! a)(M) r (t) =
, ^ i + l z l j + t ^ k , h a t, = 0 és t, =1; e -e+1 1+t b)(E) r(t) = ( t ^+l )i + ( t - 3 ) j + 2 t k , h a t, = 0 és =1; c) (E) r(t) = (sin t)i + (cos t)j + t + — k , ha t, = 0 és t 2 = 2 d)(E) r(t) = (inít"* + 1))[ + (arctgt)j + (t'' - l)k , ha tj = 0 és tj = 1. 13.1.3. írja fel az alábbi vektor-skalár függvények által meghatározott térgörbék esetében, a t^ független változó értékhez tartozó, pontbeli érintő paraméteres egyenletrendszerét! 92
KVK-1190 a)(M) r(t) = (t^ -1 l)i + ( t' - 3t)j + 2 t k , ha t„ = 2; b)(V) r(t) =
+ Vcostj + (21n(t + l))k , ha t,, = 0;
c)(E) r(t) = - ^ i + - ^ j + ^ i ^ ^ k , h a to =1; eh t sh t t d)(E) r(t) = (ln2sint)i + (t lncost)j + t k , ha
71
.
13.1.4. A megadott tj < t < tj esetén, számítsa ki az alábbi vektor-skalár függvények által meghatározott térgörbék ívhosszát! a)(M) r(t) = t^i +
+ tk , ha 1 < t < 2;
b)(M) r(t) = (2 + In t^ )i + (3t^ - 4)j + 6 tk , ha Ve < t < e ; c) (V) r(t) = (3 cos t)i + (3 sin t)j + 3 t k , ha 0 < t < ti ; d)(E) r(t) = ^ i ^ i + ^ ^ j + ^ ^ k , h a e < t < e ' ; 6 3 2 e)(E) r(t) = t f) (V) r(t) = (cth2t)i +
, ha 1 < t < e ;
sh 2t
j+
sh 2t
k , ha ln2 < t < ln4;
g) (V) r(t) = ^ ((sín t)i + (cos t)j + (sh t)k ), ha 0 < t < In V3 ; e +1 t l + 2t^ h)(E) r(t) = ^ Í + (4V21n(l + t))j+ 2 1 n ^ - - ^ ^ k , ha 1 < t < 2; i) (E) r(t) = ^ ^ ^ ^ i + (lnsint)j + ^ k , h a ^ < t < ^ ; j) (E) r(t) = 3(ti + ( t - t g t ) j +V 2(lncost)k), ha 0 < t < —; 6 k)(E) r(t) = i i + í - ! Í - t + ln(l + t ) l j + Í ^ k , ha 1 < t < 2; t 12 J V2
93
KVK-1190 l)(E ) r(t) = ^
4
i +í ^ j +| ^ k , h a - 3 < t < l . 3 4e
13.1.5. (M) Hányszorosa a t, = 0 és a tj = 1 független változó értékek hez tartozó, P, és Pj pontokat összekötő térgörbe ívhossza, a pontok távolságának, ha a térgörbét az 1 . t\ V2 . r(t) = --------r-ri + — i+ , 9(1+ t')^ 3 3(1+ t^) vektor-skalár függvény határozza meg? 13.1.6. Jelölje s, és Sj az alábbi vektor-skalár függvények által meghatá rozott térgörbék, t g < t < t , és t, < t < t j egyenlőtlenségekkel megadott, két részletének ívhosszát. Számítsa ki az ívhosszak arányát! a)(M) r(t) = e‘i + e^‘j + —k , h a - l < t < 0 é s O < t < l ; 4 b)(E) r(t) = V3t^i + 3 t'j + 2 V 3 t'k ,h a 0 < t < l és l < t < 2 ; c)(E) r(t) = 3ti + 4tj + V s k , h a O < t < l és l < t < 3 ; d)(V) r(t) - x(t)i + y(t)j + z (t)k , ahol x(t) -
)_ ^
,, 12t^arcsint + (4t^ + 8 )V l-t^ . /x , y(t) = ------------------^------------------ és z(t) = In arcsm t , , 1 V2 , 4 2 ha —< t < — es — < t < — . 2 2 2 2 13.1.7. (V) Hányszorosa az egyenes körhenger palástjára írt csavarvonal egy teljes körülfordulásának ívhossza a henger alapköre kerületé nek, ha a csavarvonalat az r(t) = (r cos t)i + (r sin t)j + A,tk , ahol r > 0 és X > 0 valós számok, vektor-skalár függvény hatá rozza meg?
94
KVK-1190 13.1.8. (V) 80 mm átmérőjű, kör keresztmetszetű, szigetelőanyagból készült csévetestre, 1,4 mm átmérőjű, ugyancsak kör keresztmet szetű huzalból, 300 menetet tekercselnek. Egy rétegben pontosan 100 menet fér el. A rétegek közötti szigetelés vastagsága 0,2 mm. Milyen hosszú huzalra van szükség a tekercs elkészítéséhez, ha a két kivezetés egyenként 120 mm hosszú?
13.2. Skalár-vektor függvények 13.2.1. íija fel az alábbi kétváltozós, valós függvények teljes differenciál ját! a) (M) f(x; y) = cos x y ; b)(M) f(x; y) = log^ (x - y )^ c)(V) f(x;y) = a r c c t g ^ 2 ^ ; d)(E) X +y e)(E) f(x;y) = 3(^-»^
=
c h ( l- y )
f) (E) f(x;y) = (x^
13.2.2. írja fel az alábbi kétváltozós, valós függvények iránymenti deri váltját! a)(M) f(x;y) = sin(x^ +y^) ;
b)(M) f(x ;y) =
c)(V) f(x;y) = arccos------ ; x+y
d)(E) f(x;y) = e^tgx
e)(E) f(x;y) = arctg ^ ; f) (E) f(x;y) = ( l n x - l n y ) t g ^ . e^ - e ^ X 13.2.3. Számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós fíiggvények gradiensét a megadott Po(Xo;yo) helyen! a)(M) f(x;y) = x ^ + 2 x y + y^ és Po(-l;2); b )(M )f(x ;y ) = ^ ^ ^ é s P „ ycosx c)(E) f(x;y) = a r c t g ^ é s ? o ( l ; l ) ; 1+ x d)(E) f(x;y) = e-M n y é s? o (0 ;l);
95
KVK-1190 e)(E) f(x ;y ) = s h - ^ c h : ^ é s P o ( 0 ; 0 ) ; 1 + y^ 1+ x^ f) (E) f(x ;y ) =
és P„(3;l). lo g 2 (x -y )
13.2.4. Számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós függvény megadott Pi3(Xo;yi3) helyen vett gradiensvektorával párhuzamos egyenes meredekségét! a)(V) f(x;y) = x ^ - y ' és Po(l;l); / \ ' 7T 71 ' b)(E) f(x ;y ) = - & é s P „ siny v 6 ’ 3. c)(V) f(x;y) = ^ ^ | ^ é s P o ( e ; e ) . ylogv X 13.2.5. A megadott a esetén, számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós függvények Po(X(,;yo) pontbeli, iránymenti deriváltját! a)(M) f(x;y) = s i n - ^ ^ , a = 30° és Po(l;V2); X +y
b)(E) f(x ;y ) = ^ x y ' + x V , a = 135° és P„(3;l); c)(E) f(x;y) = sh^ x y -a rc c tg —, a = 60° és Po(-l;2). 13.2.6. A V = ui + vj vektorral meghatározott irány esetén számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós iránymenti deriváltját!
függvények
Po(Xo;yo)
a)(V) f(x ;y ) = ^y/x^"+^, v = i - V 3 j és Po(l;-l); b)(E) f(x;y) =
x-y
, v = i - j és P„
2 ’4
c)(E) f(x;y) = In^xy + x^ + x ^ , v = V3i + j és Po(e;e).
96
pontbeli,
KVK-1190 13.2.7. Számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós függvények P(,(Xo;yo) pontbeli, iránymenti deriváltjának legnagyobb értékét! x+2 4 -x '-y ^ b)(E) f(x; y) = xy -
X+
y és Pg (0;0); \
c) (E) f (x; y) = cos(V3x + y) és Pq
71
71
V3’6
13.2.8. írja fel a megadott kétváltozós, valós függvény által meghatáro zott felület Qo(xo;yo;Zo) pontbeli érintősíkjára merőleges, pontra illeszkedő egyenes paraméteres egyenletrendszerét, ha x ^, yo adott és z„ =f(Xo;yo)! a)(M) f(x;y) = xy^ - x V , h a Xq = 2 és yo = - 1 ; b)(E) f(x; y) = e ’^-^ + x^ - y \ ha x„ = 2 és y« = 3; r/ N c o s (x -y ) , n , n c)(V) f ( x ; y ) = — i-----^ , h a x„ = - es yo = - ; sm(x + y) 3 4 d)(E) f(x;y) = ^ ^ ; í l ^ , h a x „ = l é s y , = - l . chxy 13.2.9. írja fel az alábbi kétváltozós, valós fíiggvények által meghatáro zott felület Qo(Xo;yo;Zo) pontbeli érintősíkjának egyenletét, ha Xq, yo adott és z^ =f(Xo;yo)! a)(M) f(x;y) = x^ - a r c tg y ,h a x^ =1 és yo = 1; b)(V) f(x;y) = (x - y)arcsin(y- x ) , ha Xo = ^ és yo = 1; c)(E) f(x;y) = ^ —í ^ , h a Xo = 2 és yo = 1; 3^ + x d)(V) f(x ;y )=
y ’‘ - x ^
— - ^ ^ , h a Xq =1 és yo = 2 ; x^+y
e)(E) f(x;y) = ^(2 + x)^ , ha Xq = 1 és yo = 2;
97
KVK-1190 f)(V ) f(x;y) = ln — y ^ ha Xq = ^ és cos(x + y) 6
=^. 6
13.2.10. Számítsa ki annak a Pq pontnak az Xg, yg koordinátáit, ame lyikben a megadott kétváltozós, valós függvény minden irány menti deriváltja nulla! írja fel a függvény által meghatározott fe lület Qo(Xo;yo;Z|3) pontbeli érintősíkjának egyenletét, ahol Zo =f(xo; yo)! a)(M) f(x ;y ) = +4y^ - 4 x + 8y + 9; b)(E) f(x; y) = 3
.
c)(E) f(x;y) = x ^ + y ^ + x y + x + 4 y - l ; d)(E) f(x; y) = log3(6x' + 18x + 3 y' + 14y - 2xy + 48). A következő feladatokban r , illetve u(r) az r(x;y;z) vektort, illet ve az u(x;y;z) skalár-vektor függvényt jelenti. 13.2.11. írja fel az alábbi skalár-vektor függvények teljes differenciálját! a)(M) u(x;y;z) = shxyz;
b)(E) u(x;y;z) - l ogj — x+y+z arcctgxyz d)(V) u(x;y;z) = ln(x^ + yz] ’
_ox+y^z. c)(E) u(x;y;z) = 2 e)(E) u(r) = ~ ; r
13.2.12. Számítsa ki a V =
f)(E) u(r) = ln
+
k (V olv.: nabla) V^Zy Hamilton-operátor és az alábbi skalár-vektor függvények szorzatát! ydXy
1
a)(M) u(x;y;z) = (x + z)(l + y);
98
j+
b)(E) u(x;y;z) = xyztg— ; yz
KVK-1190 c)(E) u(x;y;z) = ( x " + 2^)“"'; d)(E) u(x;y;z) = a r c c t g ^ ; f)(E) u(r) =
e)(E) u ( r ) = r In
r arc sin r
13.2.13. írja fel az alábbi skalármezők gradiensét! a)(M )u (r) = 3 ^ r + 2 ) ^
b)(E) u(r) = -1 )’
c)(E) u(r) =
d)(E) u (x ;y ;z)=
+1
'
— j-. X +y +z
13.2.14. Számítsa ki az alábbi skalár-vektor függvények gradiens vekto rának koordinátáit a megadott r,3(Xo;yo;Zo) helyen! a)(M) u(x;y;z) =
eh xyz , és ro(-l;0;l); ^xyz
b)(V) u(x;y;z) = ^ 1 2 - ( x ' + y ' + z ' ) és ro (2 ;-l;-l); c) (E) u(x; y; z) = - + - + - és To(3;2;1); y
z
X
Z
X
d)(E) u(x;y;z) = -------arc cos— és r,3(-l;2;l); x+y yz e) (M) u(r) = logj
1
és r„(l;l;l);
+ jr| + 2)^ 0 ( E ) u(r) =
r arc tg r
és r„(-l;0;0).
13.2.15. Megadott r,3(Xo;yo;Zo) és Ai^(AXo;Ayo;Azo) esetén, becsülje meg az alábbi skalár-vektor függvények értékének abszolút és relatív hibáját! a)(M) u(x;y;z) = x" -y ^ + z " , h a ro(2;2V2;4) és b)(E) u(x;y;z) = x ^ '", ha ro(2;2;-5) és Ar^(0,02;0,01;0,025);
99
KVK-1190 c) (E) u(x; y; z) - 4 = = = = ^ha +y^ +z^ At ,
(e; e; e) és
e e e ^50 20 50, / 11 11 71 ^ és Ar,3 10 5 12
d)(E) u(x;y;z) = x^ycosz, ha Tf,
e)(E) u(x;y;z) = ^ , h a r o ( 1 0 ; 2 ; 5 ) és Ar„(0,02;0,01;0,25). 2z 13.2.16. (V) Egy tekercs villamos jellemzőit mérjük. Önindukciós együtthatójának mért értéke Lg = 7,2 mH , a műszer méréshatá ra M l =1 0mH, a méréshatárra vonatkoztatott, relatív hibája pedig h^ - 2 % . Ellenállásának mért értéke R,, = 5 ,6 Q , az ellenállásmérö méréshatára = 1 0 Q , erre vonatkoztatott rela tív hibája h[^ = 5%. A frekvencia mért értéke f,, = 49,8Hz, egy Mf = 60 Hz méréshatárú műszerrel mérve, amelynek a mérés határra vonatkoztatott, relatív hibája hf = 1% . A tekercs impe danciájának abszolút értékét a Z = VR'+(2-7i-f-Lf összefüggés alapján számítjuk ki. Legfeljebb mennyi lesz az im pedancia kiszámított értékének abszolút és relatív hibája?
13.3. Vektor-vektor függvények A következő feladatokban r , v(r), illetve Vj (r) (i = 1; 2; 3) rendre az r(x;y;z) vektort, a v(x;y;z) vektor-vektor függvényt, illetve a koordinátafüggvényét, a Vj(x;y;z) skalár-vektor függvényt jelenti.
13.3.1. Számítsa ki a V =
1+
dy J +
k
Hamilton-operátor és
az alábbi vektor-vektor függvények skaláris szorzatát!
100
KVK-1190 a)(M) v(x;y;z) =
^ z i + xy^Vz j +Vx yz^ k;
b)(M) v(x; y;z) = (tg xyz)i + (cos(x + y + z))j + (sin(x + y - z ) ) k ; c)(E) v(x;y;z) = ^ ^ i + - ^ ^ j + ^ ^ k ; z X y d)(E) v(x; y; z) = y (in X" )i + z (in y ")j + X(in z ^ ) k ; e)(E) v(r) = |rji + |r|^ j + |r|^ k ; f) (E) v(r) = (ln|r|)i + (arc ctg|r|)j + —k . r 13.3.2. írja fel az alábbi vektor-vektor függvények divergenciáját! a)(M) v ( x ; y ; z ) - : ^ ^ i + ^ ^ ^ j + ^ ^ ^ k ; X
y
z
b)(V) v(x;y;z) = 2’^(lóg, z)i + 2^ (lóg, y)j + 2>'(log, x ) k ; c) (E) v(x;y;z) = (x + y)M + (y + z)" j + (x + z)>'k ; d)(V) v( r ) = e) (E) v(r) = (sh|r|)i + (ch|r|)j + (thjr|)k; f)(E) v(r) = rel'‘l. 13.3.3. Döntse el, hogy forrásmentesek-e az alábbi vektor-vektor függvé nyek által meghatározott vektormezők! a)(M) v(x;y;z) = (x^ +3xy^ - 2 x z )i-(3 x ^ y + y^)j + z^k; b)(E) v(x;y;z) = ^ i + - ^ j + ^ k ; y" z ’^ x^ c)(E) v(x;y;z) = x(x^ + 3 y )(ln z)i-3 x ^y (ln z)j + 3 y z (l-ln z )k ; d)(M) v(r) =
In r
101
KVK-1190 13.3.4. Számítsa ki a V =
1
dx
+
j+
ydz.
k Hamilton-operátor és
az alábbi vektor-vektor függvények vektoriális szorzatát! a)(M) v(x;y;z) = x ^ ^ z i + xy^z^j + x ^ z ^ k ; b)(V) v(x; y; z) = (lóg, y)i + (log^ z) j + (lóg, x) k ; c)(E) v(x;y;z) = ^ i + — j + ^ k ; X+ z x+y y+z d)(V) v ( r ) = r r ; , , , cos x y . sin yz . cos x z , e)(E) v(x;y;z) = ------ ^i + ---- ^ j + --------k; f)(E) v(r) =
+2
13.3.5. írja fel az alábbi vektor-vektor függvények rotációját! a)(M) v(x;y;z) = — i + — j + — k ; yz xz xy b)(M) v(x; y; z) = 2“’'"=' i + j + 4"^" k ; c) (E) v(x; y; z) = (ch(x + z))i + (cth(x - y))j + (sh(y - z))k ; d)(E) v(r) = (sin'
-cos"
+ COS.2 |r |- l) r .
13.3.6. Döntse el, hogy örvénymentesek-e az alábbi vektor-vektor függ vények által meghatározott, egyes vektormezők! a)(M) v(x;y;z) = 2x(siny)(lnz)i + x^(cosy)(lnz)j + — b)(M) v(x;y;z) = - ^ i + —^ j + — í ^ k ; X yz xy z xyz c)(E) v(x;y;z) = ^ d)(E) v (r) ^
102
y"
i + f f i j +i ^ k ;
^i +
z"
Z
^ j + (xy)^(Inxy)k .
z
^k ;
KVK-1190 13.3.7. Döntse el, hogy a megadott skalár-vektor függvény potenciálfüggvénye-e a vektor-vektor függvénynek! 1
a)(M) v(x;y;z) =
(xi + y j + zk) és u(r) =
■sjx^ +y^ +z^
y . X , xy b)(V) v(x;y;z) = - ^ i + ^ j - ^ k
és u(x;y;z) = ^ ;
l j ^ (x + z) , , 1
c)(V) v(x;y;z) =
y u(x;y;z) = sh d)(E) v(r) =
, x+z , eh ------ es
y x + z
és u(r) = log2 In 2
13.3.8. írja fel az alábbi skalár-vektor függvények gradiensét, majd a gradiens divergenciáját és rotációját! 1 b)(M) u(r) = a)(M) u(x;y;z) = d)(E) u(r) = arcsin
c) (E) u(r) = r lóg.
13.3.9. Számítsa ki az alábbi vektor-vektor függvények vonalmenti integ rálját a megadott görbe mentén és határok között! a) (M) v(x; y; z) = (y + z)i + (x + z)j + (x + y )k , ha r(t) = t^ i + V tj + tk és 0 < t < l ; b)(M) v(r) = r r , ha r(t) = t i +
j +k, l< t< 2 ;
c)(V) v(r) = — , ha r(t) = e‘ i + j + -yjle* k és 0 < t < In2; d)(E) v ( x ; y ; z ) - — i + i j + — k , yz
X
xy
ha r(t) = (t^ +2 t ) i + t^ j + t k és l < t < 2 ;
103
KVK-1190 e)(E) v(r) = 2e''
1
,
—T+ ln
2
r,
ha r(t) = 5(cos2t)i + 5(sin2t)j + e'*'"‘ k és 0 < t < 7i; f)(E) v(x;y;z) = 3 Í Í i + i ha r(t) = (cos^ t)i + (sin^ t)j +
k és —< t < —. 6 4
13.3.10. Számítsa ki az alábbi vektor-vektor függvények vonalmenti in tegrálját a P, kezdő- és Pj végpontú szakasz mentén! / N x^+y. y^+z, x + z \ a)(M) v(x;y;z) = ------ + ---------- j + -------- k , z X y ha P,(l;l;l) és P,(2;2;2); b)(V) v(x;y;z) = (ycosx)i + (zsin y )j + x z k , ha P,(0;0;0) és Pj
n K v.6 ^
’ 3 ’ 44^.
c)(E) v(x;y;z) = xe^M + y z j + xz(ln(l + y ) ) k , ha P,(0;0;0) és P2(2;l;3); d)(E) v(x; y; z) = (x y sh z)i + (y - z)(ch x)j + x y z k , h aP ,(l;2 ;l) é sP ,(3 ;2 ;2 ); e)(E) v(r) = -* y ,h a P ,(-2 ;-l;3 ) és P2( - l ; 0;4); r f) (E) v(r) = r ln(l + |r|), ha P, (0; 0; 0) és P^ (2; -1; - 2). 13.3.11. Számítsa ki az alábbi vektor-vektor függvények vonalmenti in tegrálját a Pl, ?2 és P3 pontok által meghatározott törött-vonal mentén! a)(M) v(x;y;z) = — i - ^ j - ^ k , yz y z yz ha P,(2;l;3), P ,(l;2;l) és P3(3;l;3);
104
KVK-1190 b)(E) v(x;y;z) = i Ü ^ i . y Í 2 a ± í ) j . y í k , X X X ha P ,(-2 ;l;0 ), PA-2;2;2) és P3( - 2;l;3). 13.3.12. Számítsa ki az alábbi vektor-vektor függvények vonalmenti in tegrálját a Pl, Pj, P3 és P4 pontok által meghatározott törött vonal mentén! ^ y^cos x. 2ysinx . y^si nx, a)(M) v(x;y;z) = -i^ — 1+ — , .J ~ ^ , k , e e" e ha P,(3;2;5), P2( - l ; 4;3), P3( - 2; - l ; 6) és P4(3;2;5); 1 . arctgx . arctgx b)(E) v(x;y;z) = - ----- ----------- 1- - ------ -------------- ^ k , (l + x^)(y + z) (y + z) (y + z)' ha P ,(l;l;l), P ,(-2;4;3), P3(5;3; - 6) és P^O;!;!).
105
KVK-1190
14.VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 14.1. Eseményalgebra 14.1.1. Egy dobókockával háromszor egymás után dobunk. Jelölje Ai azt az eseményt, hogy az i-edik dobás 6-os (i = 1, 2, 3)! írja fel az Ai, A2 és A3 eseményekkel az alábbi eseményeket: a)(E) legalább az egyik dobás 6-os; b)(E) mindhárom dobás 6-os; c) (E) az első dobás 6-os, a második és harmadik dobás nem 6-os; d)(M) pontosan egy dobás 6-os; e) (E) pontosan két dobás 6-os; f) (V) legalább két dobás 6-os; g)(E) legfeljebb két dobás 6-os! 14.1.2. Milyen kapcsolat van az A és B események között, ha: a)(E) A + B = B; b)(V) (A + B) - B = A; c)(E) A + AB = A; d)(V) A + B = AB ? 14.1.3. Milyen A és B eseményre teljesülnek a következő egyenlőségek? a)(V) A + B = Á ;b)(E ) ÁB = A;c)(E) A + B = AB. 14.1.4. (M) Adott az A és B esemény. írja fel az X eseményt, ha X+A+X+A=B! 14.1.5. Bizonyítsa be a következő egyenlőségeket: a)(V) A + AB = A;
b)(V) AB + AB + AB = AB;
c)(V) A (B -C ) = A B -A C ; d)(V) ( a + b )c = C - C ( A + B); e)(V) A -{ A -[B -(B -C )]} = ABC; f)(V) (a + b )(a + c )(b + c ) = a b + a c + b
106
c
!
KVK-1190 14.1.6. Tekintsük elektromos jelfogók egy hálózatát. Mindegyik jelfogó hoz hozzárendelhető egy esemény, amely akkor és csak akkor kö vetkezik be, ha a jelfogón folyik áram. Két jelfogó soros kapcso lásának a megfelelő események szorzata, párhuzamos kapcsolásá nak a megfelelő események összege felel meg. Ha egy jelfogón sohasem folyik áram, akkor annak a lehetetlen esemény, ha min dig folyik áram, akkor a biztos esemény felel meg. írja fel a kö vetkező hálózatoknak megfelelő eseményalgebrai kifejezéseket, majd egyszerűsítse azokat és ezután rajzolja fel az egyszerűsített kifejezéseknek megfelelő hálózatokat! a)(E)
b)(E)
107
KVK-1190
14.2. Valószínűségek kombinatorikus kiszámítási módja 14.2.1. Bizonyítsa be a következő egyenlőségeket! a)(V) p (a ) = 1 - P ( a ); b)(V) p (a b )= P(a )-P (A B ); c) (V) P(A + B) = P(a ) + P(b ) - P(AB) ; d)(V) P(A + B + C) = P(a ) + P(b ) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC). 14.2.2. Egy szabályos dobókockát feldobva, mennyi annak a valószínű sége, hogy a) (E) 6-ost dobunk; b)(E) legalább 5-öt dobunk; c) (E) nem az 1-est dobjuk; d)(E) törzsszámot dobunk? 14.2.3. Két szabályos dobókockát feldobva, mennyi annak a valószínűsé ge, hogy a)(M) legalább az egyiken 6-os áll; b)(E) a dobott számok minimuma 3; c)(E) a dobott számok maximuma 3; d)(E) a dobott számok összege kisebb, mint 5; e) (E) a dobott számok legnagyobb közös osztója 2? 14.2.4. Egy szabályos pénzdarabot ötször feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a)(E) dobunk fejet és írást is; b)(E) legalább két fejet dobunk; c) (M) több írást dobunk, mint fejet; d)(E) nem dobunk két fejet egymás után; e) (E) dobunk három fejet egymás után? 14.2.5. (E) Egy dobozban 20 cédula van 1-től 20-ig megszámozva. Talá lomra kiveszünk 5 cédulát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy kihúzott számok mindegyike 8-nál nagyobb?
108
KVK-1190 14.2.6. Egy főiskolán 400 oktató tanít. Angolból 120-nak, németből 100-nak és oroszból 85-nek van nyelvvizsgája. Angolból és né metből 45-nek, angolból és oroszból 20-nak, németből és orosz ból 25-nek van nyelvvizsgája. 4 oktatónak mind a három nyelvből van nyelvvizsgája. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy talá lomra kiválasztott oktatónak a három nyelv közül a)(V) egyikből sincs nyelvvizsgája; b)(V) csak oroszból van nyelvvizsgája; c) (V) csak angolból és németből van nyelvvizsgája? 14.2.7.32 lapos magyar kártyából 3 lapot találomra kihúzva, mennyi an nak a valószínűsége, hogy a)(M) a kihúzott lapok különböző színűek; b)(M) a kihúzott lapok között van piros is és ász is? 14.2.8. Egy szabályos dobókockát négyszer feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) (E) különböző számokat dobunk; b)(E) a harmadik dobásnál dobunk először 6-ost; c) (M) nem dobunk két 6-ost egymás után; d)(M) a dobott számok maximuma 4; e) (M) dobunk 6-ost és 1-est is, de a 6-os előbb van, mint az 1-est? 14.2.9. (M) 5 különböző dobozba találomra belehelyezünk 10 különböző golyót. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindegyik do bozban pontosan két golyó lesz? 14.2.10.(E) 5 különböző dobozba találomra belehelyezünk 10 egyforma golyót. Két elhelyezést csak akkor tekintünk különbözőnek, ha az egyiknél található legalább egy olyan doboz, amelyben nem ugyanannyi golyó van, mint a másiknál ebben a doboz ban. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindegyik doboz ban pontosan két golyó lesz? 14.2.11.Tekintsük az első 6 pozitív egész szám egy véletlen permutáció ját! Mennyi annak a valószínűsége, hogy a)(E) az 1 és a 2 nem lesz egymás mellett; b)(E) megtalálható benne a 123 háromjegyű szám? 109
KVK-1190
14.3. Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel 14.3.1. (M) 100 alkatrész közül 5 selejtes. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 10 alkatrészt találomra kiválasztva, azok között 3 selej tes lesz? 14.3.2.32 lapos magyar kártyából 4 lapot találomra kiválasztva mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott lapok között a) (E) pontosan két piros lesz; b)(E) legalább egy ász lesz; c) (E) legfeljebb egy zöld lesz? 14.3.3. (E) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az ötös lottón egy talá lomra kitöltött lottószelvénnyel pontosan k találatot érünk el (k = 0,1, 2, 3, 4, 5)? 14.3.4. Egy urnában 5 piros és 3 fehér golyó van. Az urnából 10-szer húzunk úgy, hogy a kihúzott golyót mindig visszatesszük. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a)(M) pontosan 3 piros golyót húzunk; b)(M) legalább egy fehér golyót húzunk; c) (M) több piros golyót húzunk, mint fehéret? 14.3.5. Bizonyos típusú tranzisztorok 3 %-a selejt. Mennyi annak a való színűsége, hogy 10 db tranzisztort vásárolva azok között a)(M) 3 selejtes lesz; b)(M) több selejtes lesz, mint jó? 14.3.6. Alkatrészek közül egy mintát veszünk. A mintában szereplő selej2 tes alkatrészek várható értéke 2, szórásnégyzete —. a) (M) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a minta legfeljebb 2 selejtes alkatrészt tartalmaz, ha a minta 5 elemű és a mintát viszszatevés nélkül vesszük? b)(M) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a minta legfeljebb 2 selejtes alkatrészt tartalmaz, ha a mintát visszatevéssel vesszük?
110
KVK-1190
14.4. Feltételes valószínűség és függetlenség 14.4.1. (M) Számolja ki a P(A + B) és a P(A I B ) valószínűségeket, ha: P(A) = i
P (A |B ) = ^ é s P ( B | A ) = i !
14.4.2. (M) Két szabályos dobókockát feldobunk. Jelölje A azt az ese ményt, hogy az egyik kockán 6-os áll, Bi azt, hogy a két szám különböző, B2 azt, hogy az összeg páros és B3 azt, hogy a dobott számok minimuma 4. Számolja ki a P(A | Bi) feltéte les valószínűségeket (i = 1, 2, 3)! 14.4.3. Két urna közül az egyikben 6 piros és 4 fehér, a másikban 5 piros és 3 fehér golyó van. Találomra kiválasztjuk az egyik urnát és ab ból találomra kihúzunk egy golyót. a) (V) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez a golyó piros? b)(V) Megnézzük a kihúzott golyót és látjuk, hogy piros. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első urnából húztunk? 14.4.4. (V) Tíz gép mindegyikén ugyanannyi és ugyanolyan típusú alkat részeket gyártanak. Hat gépnél 2 %, három gépnél 1 % és egy gépnél 0,5 % a selejt. A tíz gép által gyártott alkatrészekből találomra kiválasztunk egyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez nem selejtes? 14.4.5. (V) Egy szabályos dobókockát egyszer feldobunk. Ha a dobott szám k, akkor feldobunk k-szor egy szabályos pénzdarabot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem dobunk kétszer egymás után fejet? 14.4.6. (E) 100 csavar közül 10 selejtes. Visszatevés nélkül egyesével kihúzunk 4 darabot és látjuk, hogy ezek mindegyike jó. Ezu tán ugyanígy kihúzunk 4 darabot. Mennyi a valószínűsége, hogy ezek között 2 selejtes lesz?
111
KVK-1190 14.4.7. (V) Egy oktatót keresünk a főiskolán. Tudjuk, hogy p annak a valószínűsége, hogy az oktató a főiskolán tartózkodik és itt ugyanolyan valószínűséggel lehet öt adott terem valamelyik ében. Feltéve, hogy négy termet megnézve nem találjuk az oktatót, mennyi annak a valószínűsége, hogy az ötödik te remben megtaláljuk? 14.4.8. (E) Egy üzletben 50 műszer van. Jelölje Ai azt az eseményt, hogy a műszerek között i darab szépséghibás van (i=0, 1, 2, 3, 4). Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy hibátlan műszert veszünk, ha bármelyik műszert ugyanolyan valószínűséggel vehetjük meg és P (A ,) = i 4
P(A ,) = i 6
P (A ;) = P (A ,) = - i , P (A ,) = - ^ ? Íz
Íz
14.4.9. (V) 32 lapos magyar kártyából találomra kiválasztunk egy lapot. Jelölje A azt az eseményt, hogy a kihúzott lap piros, B azt, hogy ász és C azt, hogy az az alsó, felső, király, ász valame lyike. Igazolja, hogy az A és a B, valamint az A és a C füg getlenek, de a B és a C nem függetlenek! 14.4.10.(M)Bizonyítsa be, hogy ha az A és B események függetlenek, akkor az A és B, valamint az A és B események is függet lenek! 14.4.1 l.(E) Egy üzemben három gép dolgozik egymástól függetlenül. Az első hetenként 0,15, a második 0,2 és a harmadik 0,1, való színűséggel esik ki a termelésből. Mennyi annak a valószínű sége, hogy egy hét folyamán legalább az egyik gép kiesik a termelésből? 14.4.12.(E) Egy 1000 darabból álló szállítmány 4%-a szépséghibás. A szállítmány átvevője találomra megvizsgál 15 darabot, majd ezeket visszatéve megismétli a vizsgálatot. A szállítmányt csak akkor veszi át, ha az egyik vizsgálatnál sem talál szép séghibás darabot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy átve szi a szállítmányt?
112
KVK-1190
14.5. Diszkrét valószínűségi változók és nevezetes eloszlások 14.5.1. (E) Egy szabályos pénzdarabot 4-szer feldobunk. Jelölje ^ azt a valószínűségi változót, hogy hány fejet dobunk. írja fel ^ el oszlását! 14.5.2. Az alábbi számsorozatok közül melyek alkotnak valószínüségeloszlást? a)(V) p', 3 p \ , 3 p q \ q'
b)(V)
k
no^
Í 2^
(q = 1 - p, 0 < p < 1);
10-k
, k
=
0,l,...,
k = 0 , l , 2,...;
c)(V) ^ e - ^ k! 14 ^ d)(V) U J
'20^
k = 0,l,2,3,4;
.4 ; e)(V)
1 k(k + 1)’
k = l, 2,...;
k = 0,l,. v3y 14.5.3. (M) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy tízgyermekes csa ládban pontosan 4 lány van, ha egy fiúgyermek születésének valószínűsége 0,51 és egy lánygyermek születésének a való színűsége pedig 0,49?
113
KVK-1190 14.5.4. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockát 20-szor feldobva a)(E) legalább háromszor dobunk 3-mai osztható számot; b)(E) legalább 3, de legfeljebb 5 dobás lesz 3-mai osztható szám? 14.5.5. Egy dobozban 60 kártya van. Húsz kártyán van A betű, tíz kár tyán B betű és harmincon C betű. Egymás után 5 kártyát visszatevéssel kihúzunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a)(E) pontosan 3-szor húzunk A betűt; b)(E) legalább kétszer húzunk B betűt; c) (E) páros sokszor húzunk C betűt? 14.5.6. Egy céltáblára 15 fiú ad le egy-egy lövést. Mindenki 0,6 valószí nűséggel talál bele a 10-es körbe. Mennyi a valószínűsége, hogy a)(E) pontosan 5 találat lesz a 10-es körbe; b)(E) legfeljebb négy találat lesz a 10-es körbe, c) (E) legalább két találat lesz a 10-es körbe? 14.5.7. (V) Legalább hányszor dobjunk fel egy szabályos dobókockát ahhoz, hogy legalább 0,5 valószínűséggel a hatos dobások száma legalább kettő legyen? 14.5.8.Egy telefonközpontba 1 perc alatt átlagosan 5 hívás érkezik be. Ha adott időtartam alatt beérkező hívások száma Poisson-eloszlású, mennyi annak a valószínűsége, hogy egy perc alatt: a) (M) pontosan 2 hívás érkezik be; b)(M) legfeljebb 3 hívás érkezik be; c) (M) legalább egy hívás érkezik be? 14.5.9. (M) Egy 400 oldalas könyvben 100 sajtóhiba van. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 20 véletlenszerűen kiválasztott oldalon nem lesz sajtóhiba, ha feltesszük, hogy a sajtóhibák száma Poisson-eloszlású valószínűségi változó? 14.5.10.(E) Egy ruhaszövet anyagában 50 méterenként átlag 2 hiba van. Egy 400 méteres szövetet 4 méteres darabokra vágunk szét. Várhatóan hány hibás darab lesz ezek között, ha feltesszük, hogy a hibák száma Poisson-eloszlást követ? 114
KVK-1190 14.5.11. (M)Egy üzemben egymástól függetlenül azonos típusú gépek működnek. Jelölje a § valószínűségi változó azt, hogy hány gép hibásodik meg egy adott időn belül. A tapasztalatok azt mutatják, hogy a gépek közül átlagosan 500 óránként romlik el egy. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 5000 óra alatt legfeljebb 5 gép romlik el? 14.5.12. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókocká val dobva a hatodik dobásnál dobunk a)(M) először hatost; b)(M) másodszor hatost; c) (M) harmadszor hatost? 14.5.13. Egy szabályos dobókockával egymás után dobunk. a)(V) Jelölje a ^ valószínűségi változó azt, hogy hányadik dobás nál dobunk először 6-ost. írja fel ^ eloszlását! b)(V) Mennyi annak a valószínűsége, hogy páros sorszámú dobás nál dobunk először 6-ost? c) (V) Jelölje az r| valószínűségi változó azt, hogy hányadik do básnál dobunk másodszor 6-ost. írja fel r\ eloszlását! 14.5.14. Egy dobozban 21 piros és 7 fehér golyó van. Kihúzunk a doboz ból 10 golyót. Jelölje a ^ valószínűségi változó a kihúzott golyók között a piros golyók számát! Melyik értéket veszi fel ^ a legna gyobb valószínűséggel, ha a)(M) visszatevés nélkül húzzuk ki a 10 golyót; b)(M) visszatevéssel húzunk ki a 10 golyót? 14.5.15. (V) Jelölje a ^ valószínűségi változó az ötös lottón kihúzott számok közül a legnagyobbat és t] a legkisebbet! írja fel ^ és T| eloszlását! 14.5.16. (E) Legyen ^ X paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi változó. Melyik k természetes szám esetén lesz a P(^ = k) valószínűség a legnagyobb?
115
KVK-1190
14.6. Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény 14.6.1. Igazolja, hogy F(x) eloszlásfüggvény. írja fel az F(x) eloszlásfíiggvényű ^ valószínűségi változó sűrűségfüggvényét és számolja ki a felírt valószínűségeket! a)(M) F(x) =
(-oo
1 + e^
0, 1
b)(E) F(x) = 1---- arccosx, n 1, <— , P 2
c)(E)
P (^> 0), P(ln2 < §< ln3);
ha
x<-l,
ha
-l< x< l,
ha
x > 1,
, P(-2<^<0);
0,
ha
X < 0,
1- e
ha
X> 0
F (x ) =
(a > 0 valós állandó),
V
d)(E) F(x ) =
1
-
0, pfe<2xj,
x>x„,
ha
x < x„ (xo > 0 valós állandó).
p(o<5
0, e)(E) F(x) = x - 1 , x+1
116
ha
ha
x
ha
x>l,
P(^>2), P(0<^<3).
KVK-1190 14.6.2. Határozza meg az A és a B állandókat úgy, hogy F(x) eloszlásfüggvény legyen! a) (M)
F (x )
= a + B arctgx
b)(E) F(x) = A + Bthx
( - oo < x < +00);
(-oo
0, ha x < 0 , c)(V) F(x) = < A + Be“’‘, ha x > 0; 0,
ha
x<-l,
d)(M) F(x) = A + Barcsinx, ha 1, 0,
-l< x< l,
ha ha
x>l;
x
e)(E) F(x) = Ax + B, ha 1 < X < 2, 1,
f)(E) F(x) =
x>2;
A + e’^, ha x < 0 , B, A, x' + 2x
g)
ha
B 4’ x'+32 48 1,
ha X > 0; ha
x<0,
ha
0<
ha
1 < X < 2,
ha
2
ha
X > 4.
X<
1,
117
KVK-1190 14.6.3. Igazolja, hogy f(x) sűrűségfüggvény és írja fel a megfelelő elosz lásfüggvényt! a ) ( M) f ( x ) =
b)(M) f(x) =
7l(^l +
V, - Go
A,e % ha 0,
c)(E) f(x) = 0,
d)(M) f(x) =
e)(E) f(x) =
x > 0,
ha
X< 0
ha
X > 1,
ha
x
(X > 0 valós állandó);
x + —, ha 0 < x < l , 2 0, máshol;
4cos2x, 0,
ha
— < x < —, 12 4 máshol.
14.6.4. (V) Igazolja, hogy ha c olyan valós szám, amelyre 2 < c < 3, ak kor az alábbi f(x) függvény sűrűségfüggvény: 0, X-
c 3-c’ f(x) = 1, 4-x 3-c’ 0,
118
ha
X<
ha
c < X < 3,
ha
3 < X < c + 1,
ha
c + 1 < X < 4,
ha
4 < X.
c.
KVK-1190 14.6.5. Egy ^ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x). írja fel a c állandó értékét és a ^ eloszlásfüggvényét!
a)(M) f(x) = 0,
ha
x>2,
ha
x<2;
b)(V) f(x) = x ^ + x - 2 0,
c)(E) f(x) =
ha
x > 0,
0,
ha
x<0;
-oo
c-Vx + 1,
ha
g)(V) f ( x ) -
h)(V) f(x) =
C
cxlnx, 0,
ha
ha
X
< 0,
ha
X
> 0;
l
máshol;
c-arccosx, 0,
i) (M) f(x) = cx^e
0 < X < 3,
máshol;
0, =
> 4,
x<4;
ha
0,
f) (M) f ( X )
X
cx e
d)(V) f(x) = ce
e)(E) f(x) =
, ha
ha
< i
2
máshol;
-oo
119
KVK-1190
14.7. Várható érték és szórás 14.7.1. (V) Egy sorsjátékon 1 darab 100000 Ft-os, 10 darab 10000 Ft-os és 1000 darab 500 Ft-os nyeremény van. Mennyi legyen egy sorsjegy ára, ha 50000 jegyet adnak ki és egy jegy ára az egy jegyre jutó nyeremény várható értékének a másfélszeresével egyenlő? 14.7.2. (V) Egy szabályos dobókockával ötször dobunk egymás után. Jelölje a ^ valószínűségi változó azt, hogy hányszor dobtunk 6-ost; az r| valószínűségi változó pedig jelölje a dobott szá mok összegét! Számítsa ki a ^ és az r| valószínűségi változók várható értékét és szórását! 14.7.3. (M) Egy dobozban 4 piros és 6 fehér golyó van. Találomra hú zunk - visszatevés nélkül - egy-egy golyót, amíg pirosat nem húzunk. Számolja ki a kihúzott golyók számának várható ér tékét és szórását! 14.7.4. (M) Mennyi lesz az előző feladatban (14.7.3. feladat) a kihúzott golyók számának várható értéke, ha a kihúzott golyót mindig visszatesszük? 14.7.5. (E) Két játékos, Pista és Gábor, az 52 lapos francia kártyával játszik. A játék szabálya a következő: a kártyacsomagból fel váltva felütnek egy-egy lapot és ha az első négy felütött lap között van pikk, akkor Pista fizet Gábornak 40 Ft-ot, ha pedig a négy lap között nincs pikk, akkor Gábor fizet Pistának 100 Ft-ot. Melyik játékosnak előnyösebb a játék? Mennyit fi zessen Gábor a Pistának, hogy a játék igazságos legyen? (Egy játékos számára akkor előnyösebb a játék, ha a nyereségének a várható értéke pozitív és a játék akkor igazságos, ha ez a várható érték 0.) 14.7.6. (V) Egy szabályos pénzdarabbal addig dobunk, amíg fejet nem kapunk. Mennyi az ehhez szükséges dobások várható száma?
120
KVK-1190 14.7.7. Egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x). Számolja ki ^ várható értékét és szórását!
a)(M) f(x) = 0,
b)(E)
f(x ) =
c)(E)
f(x ) =
e
x>l,
ha
x
, ha
X > 0,
ha
x<0;
0,
d)(E) f(x) = -
ha
xe
, ha
x > 0,
0,
ha
x<0;
ha
0
x + ^, 0,
e)(M)
máshol;
f(x ) =
0,
ha
x>l,
ha
x
f) (M) f(x) = -T -Í—y r , 7l(l + X )
g)(V)
f(x) =
7l(l
- 00< X < + 00;
, ha
0
+ x^)
0,
h)(V) f ( x ) = | e ' l ’‘l,
máshol;
-o o < x < + o o ;
121
KVK-1190 r, ha
X <1,
ha
X > 1;
i) (V) f(x) = 0,
j)(V ) f(x) =
k)(E) f(x) =
arccosx,
ha
0,
máshol;
4xsin2x, 0, 2 -lnx
l)(E ) f(x) =
TZ
ha
0 < x < —, 4 máshol;
, ha
0,
l< x < e ,
máshol;
1 m)(V) f(x) = V4x + 9 0,
n)(M )f(x) =
0 < x < l,
ha
0
máshol;
0,
ha
X
Í2 - ~ ^ —e 2 , V
ha
X > 0;
1 o)(V )f(x) = - y = x ■ sI I tí
< 0,
-— ^
e
- Q
o < x < + o o .
14.7.8. Számolja ki azr) = 2^ +1 valószínűségi változó várható értékét és szórását, ha ^ a) (E) standard normális eloszlású; b)(V) \ paraméterű exponenciális eloszlású!
122
KVK-1190
14.8. Nevezetes folytonos eloszlások 14.8.1. Legyen ^ normális eloszlású valószínűségi változó, amelynek a várható értéke m és szórása a! a)(M) Számolja ki a P(|^| > 0,2) valószínűséget, ha m = 0 és a = 0,1! Milyen x értékre teljesül a P(^ > x) = 0,0668 egyenlőség? b)(E) Számolja ki a P(|^| <2) valószínűséget, ha m = -1 és P(^> 1) = 0,1587! c) (V) Számolja ki az m és a a értékét, ha m = 4a és P(^< 12) = 0,0228! d)(E) Számolja ki a P(|^| > 1) valószínűséget, ha a = 2 és P(^< 2) = 0,8413! e) (E) Számolja ki a P(|^| < 0,5) valószínűséget, ha P(^ < 1) = 0,8413 és P(^ > 2) = 0,0228!
14.8.2. Valamely súly mérésekor a tényleges és a mérleg által mutatott súly különbsége, azaz a mérési hiba normális eloszlású valószínű ségi változó, amelynek várható értéke 0 gramm, szórása 1 gramm. a)(V) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a mérési hiba legalább 0,5 gramm? b)(V) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a mérési hiba abszolút értéke legfeljebb 0,2 gramm? 14.8.3. (V) Egy automata gép folyékony mosogatószert adagol műanyag flakonokba. A flakonokba töltendő mennyiség 1 liter, ez a gép által adagolt mosószermennyiség várható értéke. A betöl tött mennyiség szórását szabályozni lehet. Mekkorára állítsuk be a szórást, ha azt szeretnénk, hogy 0,9876 legyen annak a valószínűsége, hogy a flakonokba töltött mennyiség 0,98 és 1,02 liter között legyen? (A tapasztalatok azt mutatják, hogy a flakonokba töltött mosószermennyiség normális eloszlású valószínűségi változó.)
123
KVK-1190 14.8.4. (V) Egy repülőgép egy 100 m magasságú légifolyosóban repül. A repülőgép repülési magasságának a légifolyosó közepétől va ló eltérése 20 m várható értékű és 50 m szórású normális el oszlású valószínűségi változó. Mennyi annak a valószínűsé ge, hogy a repülőgép a légifolyosóban halad? 14.8.5. (V) Egy gyártmány mérethibája - azaz a névleges mérettől való eltérése - 0 várható értékű normális eloszlású valószínűségi változó. Annak a valószínűsége, hogy a mérethiba abszolút értéke a 12 mm-t meghaladja 0,1336. Mennyi annak a való színűsége, hogy a mérethiba abszolút értéke 10 mm-nél ki sebb? 14.8.6. (V) Egy munkapadról kikerült termék hossza m cm (m > 0) vár ható értékű és 4 cm szórású normális eloszlású valószínűségi változó. Annak a valószínűsége, hogy egy termék hossza 0,5w és m közé esik 0,2881. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy termék hossza több, mint l m cm? 14.8.7. (V) Egy barkácsboltban bizonyos típusú lécek között válogatunk. A lécek hossza normális eloszlású valószínűségi változó. An nak a valószínűsége, hogy egy léc 143 cm-nél kisebb 0,3085 és annak a valószínűsége, hogy 146 cm-nél nagyobb 0,1587. Számolja ki a lécek hosszának várható értékét és szórását, to vábbá annak a valószínűségét, hogy egy léc hossza 143,5 cm és 144,5 cm közé esik! 14.8.8. (E) Legyen ^ egyenletes eloszlású valószínűségi változó az (1;4) intervallumon. írja fel ^ sűrűségfüggvényét, eloszlásfüggvé nyét, várható értékét és szórását! 14.8.9. (M) A ^ egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értéke és szórásnégyzete egyaránt 4-gyel egyenlő. írja fel ^ sűrűség függvényét, eloszlásfüggvényét és számolja ki annak a való színűségét, hogy a ^ értéke 3 és 5 közé esik!
124
KVK-1190 14.8.10. Legyen ^ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a (0;1) in tervallumon! a) (V) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ^ értékének első tize des jegye a 3-as? b)(V) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ^ értékének az ötödik tizedes jegye a 3-as? 14.8.11. Legyen ^ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a (-1;1) intervallumon! írja fel sűrűségfüggvényét, ha a)(M)Ti = 2 ^ - l ; b )(M )n = |^|; c) ( M ) ti =
^^;
d)(M) r\ = arcsin^. 14.8.12. (V) Egy benzinkútnál a tapasztalatok alapján annak a valószínű sége, hogy a tankolásra 3 percnél több ideig kell várni, 0,1. Ha a várakozási idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó, mennyi annak a valószínűsége, hogy a benzinkút hoz érkezve 1 percen belül elkezdhetünk tankolni? 14.8.13. (M)Egy gép 10 olyan alkatrészt tartalmaz, amelyek bármelyiké nek meghibásodása esetén a gép leáll. Az alkatrészek élet tartama, azaz a gép beindításától számított működési ideje egymástól független mi, m2, ..., mio várható értékű expo nenciális eloszlású valószínűségi változó. Jelölje az r| való színűségi változó a gép beindításától az első leállásáig eltelt időtartamot. írja fel r\ eloszlásfüggvényét, sűrűségfüggvé nyét és számolja ki a várható értékét és a szórását!
125
KVK-1190
15. MATEMATIKAI STATISZTIKA 15.1. A statisztikai minta jellemzői 15.1.1. (M) Az alábbi táblázat 20 iskolás gyerek magasságát tartalmazza centiméterre kerekítve: 130 131 133 134
137 128 131 135
119 142 126 138
135 127 144 130
132 142 125 129
Készítsen gyakorisági eloszlást az osztályközt 5-nek választ va, és adja meg az osztályközepeket! 15.1.2. (E) Az alábbi táblázatban azon időket adtuk meg másodpercre kerekítve, amelyekre 40 egyetemi hallgatónak egy feladat megoldásához szüksége volt. Készítsen gyakorisági hisztogramot, az adatokat 7 osztályba sorolva. 135 144 163 146 162
170 158 129 175 145
151 140 138 143 133
133 138 180 147 142
123 150 165 135 152
125 152 117 152 158
148 147 154 140 145
158 143 153 134 126
15.1.3. a)(E) Határozza meg a {3, 8, 1,6, 5, 2} számhalmaz átlagát és ta pasztalati szórását. b)(E) Mutassa meg, hogy ha a fenti számhalmaz minden eleméhez 3-at hozzáadunk, akkor a két halmaz tapasztalati szórása azo nos, de az átlaguk nem! 15.1.4. Határozza meg az átlagot és a tapasztalati szórást az alábbi minták esetén! a)(V) 17,18,16,16,17,18,19,17,15,17,19,18,16,16,18,17; 126
KVK-1190 b)(V) A gyakorisági eloszlás; Xi 2 3
3 4 1 2
5 3
7 4
10
15.1.5. (E) Egy középiskolában 55 tanulót megkérdeztek, hogy hány perc alatt érnek be reggel az iskolába. Az alábbi táblázat a közlekedési idejük gyakorisági eloszlását tartalmazza. Idő (perc) 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 Gyakoriság 2 4 8 12 16 10 3 Készítse el a gyakorisági hisztogramot, és számítsa ki, hogy átlagosan mennyi idő alatt érnek be a tanulók az iskolába! 15.1.6. (M) Az alábbi táblázat egy főiskolai matematika szigorlaton leg alább elégséges jegyet elért hallgatók pontszámának gyakori sági eloszlását tartalmazza. Pontszám 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 Gyakoriság 15 18 37 20 10 Készítse el a sürűséghisztogramot, és számítsa ki a mintakö zepet! 15.1.7. (M) Adott az alábbi gyakorisági eloszlás. Osztályok 61-63 63-65 65-67 67-69 69-71 5 18 42 27 8 Gyakoriság Számítsa ki a mintaközepet, a tapasztalati szórást és a korri gált tapasztalati szórást! 15.1.8. (V) Egy i:Qúsági szállóban 1426 szállóvendég esetén feljegyezték az életkorukat, és az alábbi gyakorisági eloszlást kapták.
127
KVK-1190 Életkor 15-20 20-25 25-30 30-35 Gyakoriság 562 450 350 58
35^0 6
Számítsa ki a mintaközepet, a korrigált tapasztalati szórást és a variációs tényezőt! Milyen következtetéseket tud levonni a kiszámított értékekből? 15.1.9. (E) Egy gazdaságban megfigyelték 108 tábla hektáronkénti szé natermését. A nyert adatokat 7 osztályba sorolták, amelyet az alábbi táblázat tartalmaz. Széna termés (q/ha) Gyakoriság Széna termés (q/ha) Gyakoriság
0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 1
6
25
100-120
120-140
5
2
43
26
Számítsa ki a hektáronkénti átlagos termést és a tapasztalati szórást!
15.2. Konfídencíaíntervallum várható értékre 15.2.1. (M) Egy normális eloszlású sokaság szórása 5. A sokaságból 25 elemű véletlen mintát vettek és a mintaközépre 14-et kaptak. Adjon 95 % -os megbízhatósági szinten konfidenciainterval lumot a várható értékre! 15.2.2. (M) A szórás ismeretében, 200 elemíi minta alapján 95 % -os megbízhatósági szinten szimmetrikus konfidenciaintervallu mot számoltak egy bizonyos gép által gyártott csapágyak átmérőjére. A csapágyak átmérője normális eloszlásúnak te kinthető. Határozza meg a szórást és a minta átlagát,ha a kon
128
KVK-1190 fidencia-intervallum: (8,182;8,298)! Adja meg a 98% szintnek megfelelő konfidenciaintervallumot!
-os
15.2.3. (E) Orvosi vizsgálat során 250 véletlenszerűen kiválasztott fel nőtt férfi magasságából a következő adatokat számították ki: 250
250
= 43205, i =l
= 746 9 1 0 7 , ahol Xi a centiméterre i =l
kerekített magasságokat jelenti. A magasság normális elosz lásúnak tekinthető. Adjon 99 % -os szintnek megfelelő konfi denciaintervallumot a várható értékre a számított adatok felhasználásával! 15.2.4. (V) Egy normális eloszlású sokaságból vett 120 elemes mintából a mintaközépre 8,4-et, a korrigált tapasztalati szórásra 1,2-t kaptak. Adjon 97 % -os szintnek megfelelő konfidenciainter vallumot a várható értékre! 15.2.5. (E) Egy normális eloszlású valószínűségi változónál 7 elemű minta (Xi) esetén a következő adatokat ismerjük: X X i = 35,9 i =i
186,19. i =i
Adjon 90 % -os szinten konfidenciaintervallumot a változó várható értékére! 15.2.6. (E) Bizonyos televízió-képcsövek élettartamának szórását 100 órára becsülték. Mekkora mintát kell venni ahhoz, hogy 95 % -OS szinten biztosak lehessünk abban, hogy a becsült át lagos élettartam hibája nem haladja meg a 20 órát?
15.3. Statisztikai próbák 15.3.1. Ebben a feladatban adott mo, és adott Oo paraméterű, normális eloszlású sokaságot vizsgáltak. Az n elemű véletlen minta átlaga X . A táblázatbeli adatok alapján ellenőrizze a hipotéziseket az adott szignifikanciaszinten!
129
KVK-1190
a)(M) b) (E) c)(M) d) (E)
n
X
CTo
16 50 81 50
197 5,92 15 1850
3 0,8 2,3 100
Hipotézisek Ho:mo=200; Hi;mo7^200 Ho:mo=6; Hi:mo9^6 Ho:mo=15,4; Hi:mo<15,4 Ho:mo=1800; Hi:mo>1800
SzignifikanciaSzint 1% 5% 5% 1%
15.3.2. (E) Egy gyár által előállított villanykörtékből egy bizonyos napon 100 elemű mintát vettek. Az élettartam normális eloszlású 120 óra szórással. Az átlagos élettartamra 1570 órát kaptak. Döntse el 5 % -os szignifikanciaszinten, hogy ez az eredmény a villanykörték 1600 órás várható élettartamának megválto zását jelenti-e! Magyarázza meg, hogy mit jelent az „5 % -os szignifikanciaszint”! 15.3.3. (V) Egy csomagológép által készített 11 bála mérlegelése után a bálák átlagos tömegére 1506,8 kg kerekített értéket kapták. A báláknak 1506,5 kg tömegűnek kell lenniük. Feltételezve, hogy a bálák tömege normális eloszlású 0,4 kg szórással, döntse el 5 % -os szignifikanciaszinten, hogy a csomagológép által készített bálák túlsúlyosak-e! Adjon 99 % -os szintnek megfelelő konfidenciaintervallumot a bálák tömegére! 15.3.4. Egy bizonyos pékségben készült cipók tömege normális eloszlású 500 g várható értékkel és 20 gramm szórással. a)(E) Számítsa ki, hogy a cipók hány százaléka lesz 475 grammnál kevesebb tömegű és hány százalékuk 530 grammnál nagyobb tömegű! b)(E) 25 cipót lemértek és a tömegük átlagára 490 grammot kaptak. Állíthatjuk-e, hogy a teljes készletnél csökkent a tömeg átla gos értéke? Állapítsa meg, hogy egy- vagy kétoldali próbát kell alkalmazni és döntsön 5 % -os szignifikanciaszinten!
130
KVK-1190 15.3.5. Ebben a feladatban adott nio, és ismeretlen a paraméterű normális eloszlású sokaságokat vizsgáltak. Az n elemű véletlen minta átla ga: X . A táblázatbeli adatok alapján ellenőrizze a hipotéziseket az adott szignifikanciaszinten!
a)(M) b)(M) c)(E)
n
X
Z (x -x r
64
1997
9694,6
10 6
0,00336
1,978 1505,8
50,8
Hipotézisek Ho:mo=2000, Hi:mo<2000 Hoimo=2, Hi:mo^2 Ho:mo=1503, Hi:mo>1503
Szignifikanciaszint 2% 1% 5%
15.3.6. (E) Egy tojásszállítmányból 5 darabos mintát vettek, a tojások súlyára 6,7; 6,5; 7,1; 7,3 és 6,8 grammot kaptak a méréskor. Döntse el 5 % -os szinten, hogy a tojásszállítmány szignifi kánsan eltér-e a 7 grammtól! 15.3.7. (V) Egy konzervgyárban egy bizonyos adagológép előírás szerint 500 grammot tölt egy üvegbe. Ellenőrzés során 10 üveg lemérésekor a minta átlagára 494 grammot, a tapasztalati szó rásra 8,06 grammot kaptak. A tömeg normális eloszlásúnak tekinthető. Döntse el 5 % -os szignifikanciaszinten, hogy a gép jól dolgozik vagy kevesebbet tölt az üvegekbe! 15.3.8. Döntse el a táblázatbeli adatok alapján, hogy van-e szignifikáns eltérés az adott oi és a 2 paraméterű normális eloszlású alapsoka-
n,
X.
<^1
n2
X,
a)(M)
100
5400
900
100
6000
b)(E)
50
68,2
2,5
50
67,5
c)(E)
20
4,75
1,517
25
5,4
a2
Hipotézisek
Szignifikanciaszint
1000 Ho:m,=m2, 5%
2,8
Ho:mi=m2, Hi:rtii>m2 1,581 Ho:mi-iii2, Hi:mi
5%
2%
131
KVK-1190 15.3.9. Döntse el a megadott adatok alapján, hogy van-e szignifikáns eltérés az ismeretlen, de azonos a paraméterű normális eloszlású sokaságok mi és m2 várható értéke között!
n,
IX
Z (x -x f
20
43
1296
»2 l Y 17
36
l(Y -Y f 1388
Hipotézisek
Ho:mi=m2, Hi:mi^ni2
Szignifikanciaszint
2%
b)(V)
72
ZX
IX "
»2 l Y
7920
879912
68 7820
I y 2
Hipotézisek
904808
Ho:mi=rri2, Hi:mi
Szignifikanciaszint
1%
15.3.10. (V) Egy normális eloszlású sokaság szórása 8. A sokaságból 40 elemes véletlen mintát vettek, a minta átlaga 74. Egy másik normális eloszlású sokaság szórása 7. A sokaságból vett 50 elemes minta átlaga 78. Döntse el 5 % -os szignifikanciaszinten, hogy van-e szignifikáns eltérés a két sokaság várha tó értéke között! 15.3.11. (V) Két egyetemen (A és B) az aktív sportolók közül véletlen szerűen kiválasztott fiú hallgatóknak megmérték a magassá gát. Az A egyetemen 6 elemű minta átlagára 179,67 cm-t, a tapasztalati szórásnégyzetre 4,556 cm-t kaptak. A B egye temen a 11 elemű minta átlaga 181 cm, a tapasztalati szó rásnégyzete pedig 4,909 cm. A sportoló hallgatók magassá gáról mindkét egyetemen feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak és azonos szórásúak. 5 % -os szignifikanciaszinten döntse el, hogy feltételezhetjük-e, hogy az A egye tem sportolói alacsonyabbak?
132
KVK-1190 15.3.12. (M) Egy dobókockáról el akarjuk dönteni, hogy szabályos-e. 1200 dobást végezve az alábbi gyakorisági eloszlást kaptuk. Szám Gyakoriság
1 2 195 210
3 4 5 190 204 205
6 196
Döntsön 5 % -os szignifikanciaszinten! 15.3.13. (V) Az alábbi táblázat az 1 és 12 közötti egész számokból véletlenszám-táblázattal kiválasztott 500 szám gyakorisági eloszlását tartalmazza. Szám Gya kori ság
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
41
34
54
39
49
45
41
33
37
41
47
39
Ellenőrizze próbával 5 % -os szignifikanciaszinten, hogy eltér-e szignifikáns mértékben a várható eloszlástól! 15.3.14. (E) Egy pénzérmét 200-szor feldobva 115 alkalommal fej, 85 alkalommal írás az eredmény. Ellenőrizze %^-próbával 5 % os szignifikanciaszinten, hogy az érme szabályos-e! 15.3.15. (V) Négy érmét 160-szor feldobtunk. A fej-dobás gyakorisági eloszlását az alábbi táblázat tartalmazza. Fej dobások száma (k) Gyakoriság (fk)
0 5
1 2 35
67
3
4
41
12
Ellenőrizze x^-próbával 5 % -os szignifikanciaszinten, hogy az érmék szabályosak-e!
133
KVK-1190 15.3.16. (V) Döntse el x^-próbával 5 % -os szignifikanciaszinten az alábbi táblázatban adott adatokról, hogy azok egy Poissoneloszlású sokaságból származnak-e! Szám (Xi) Gyakoriság ifi).......
0
1
2
3
4
5
6
7
14
18
29
18
10
7
3
1
15.3.17. (M) Egy automata gép működését kívánták ellenőrizni. 1500 db legyártott alkatrésznél lemérték egyik lényeges méretének az elméleti mérettől való 5 eltéréseit mikronban. A mérési eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza. Eltérés (-1 6 )-(-1 2 ) ( - 12) - ( - 8) ( - 8) - ( - 4) (-4 )-0 0- 4 4- 8 8-12 1 2 -1 6
Gyakoriság 17 63 254 446 422 208 71 19
A szórás 5 |a. Ellenőrizze 1 % -os szignifikanciaszinten, hogy a hibaeloszlás normális eloszlású-e!
15.4. Lineáris korreláció, regressziós egyenes 15.4.1. Az alábbi táblázatokban szereplő adatokhoz adja meg a legkisebb négyzetek elve alapján számított regressziós egyenes egyenletét! a)(M) 1 9 11 14 X 3 4 6 8 9 1 2 7 8 4 4 5 y y-t X függvényeként adja meg! Rajzolja meg a szórásdiagramot és ábrázolja a kapott regreszsziós egyenest is!
134
KVK-1190 b)(E)
1 10
X
y
4 12
2 14
6 13
7 15
8 12
10 13
y-t X függvényeként adja meg! c)(V) X
y
51 25
67 30
84 43
81 101 109 71 44 57 58 43
97 46
109 51 62 45
105 89 55 45
y-t X függvényeként és x-et y függvényeként is adja meg! 15.4.2. Az alábbi táblázatokban szereplő adatok felhasználásával állapítsa meg az empirikus lineáris korreláció mértékét! Ix a)(E) b)(E) c)(M) d)(E)
680 36 225 1015
Zy 996 54 361 553
20154 268 8875 90667
X xy ly ^ 24844 34670 694 428 12905 22641 48888 26807
n 30 10 6 12
15.4.3. Az alábbi táblázat 10 malac 4, illetve 8 hetes kori súlyát tartal mazza. 4 hetes súly (xkg) 8 hetes súly (y kg)
3,2 14
3,6
4
4,4
4,8
5,2
5,6
6
6,4
12,8 13,2 12,8 13,6 14,5 14,2 16,5 15
6,8 17,5
a)(V) Mutassa meg, hogy szoros lineáris korreláció van a két súly között! b)(V) írja fel a regressziós egyenes egyenletét, y-t x függvényeként adja meg! c) (V) Adjon becslést egy 5 kg-os 4 hetes malac 8 hetes súlyára! 15.4.4. Megmérték 9 búzakalász hosszát és megszámolták a kalászonkénti szemek számát. Az eredményt az alábbi táblázat tartalmazza. 135
KVK-1190 Kalász hossza 10,2 9,5 (x cm) Szemek száma 41 (ydb) 38
8,6
8,3
8,1
8,1
7,7
7,3
7,1
29
33
30
28
22
24
26
a)(E) Mutassa meg, hogy szoros lineáris korreláció van a kalászok hossza és a kalászonkénti szemek száma között! b)(E) írja fel a legkisebb négyzetek elvével illesztett regressziós egyenes egyenletét, y-t x függvényeként adja meg! 15.4.5. Az alábbi táblázat egy főiskola első éves hallgatói közül véletlen szerűen kiválasztott 10 hallgatója fizika és matematika vizsgadol gozatának a pontszámát tartalmazza. Fizika (x) Matematika ( y ) .....
77
84
75
80
93
65
87
71
98
68
74
89
82
78
86
72
91
80
95
72
a)(E) Határozza meg az adatokhoz a legkisebb négyzetek elvével illesztett regressziós egyenes egyenletét, y-t x függvényeként adja meg! b)(E) Egy hallgató csak a fizika dolgozatát írta meg, amely 95 pon tos lett. Várhatóan hány pontos lenne a matematika dolgoza ta? 15.4.6. 15 véletlenszerűen kiválasztott parcellán lemérték a burgonyatermést és a talaj humusztartalmát. Az alábbi táblázat a mérések eredményét tartalmazza, a humusztartalmat mg %-ban (100 g földben levő humusz mg-ban), a burgonyatermést pedig mázsá ban kataszteri holdanként.
Humusz (x mg %) Termés
136
523
594 517 593 696 845 617 780
KVK-1190 (yq/kh) Humusz (x mg %) Termés ..(yq/kh)
|27,3 62,8
634
671
52
49,6 61,5 71,8
51
79,6
732 724 739 732 682
53,9 53,6 63,1 71,9 78,9 72,2
63
a)(E) Állapítsa meg, hogy milyen szoros lineáris korreláció van a talaj humusztartalma és a terméseredmény között! b)(E) Az adatok alapján írja fel a regressziós egyenes egyenletét, y-t X függvényeként adja meg!
137
KVK-1190
138
KVK-1190
MEGOLDÁSOK
139
KVK-1190
140
KVK-1190
1. KOMPLEX SZAMOK 1.1. Komplex számok ábrázolása 1.1.1.
lm í------ ------ i í------ ------------- i í 2 ^1
z
1
J 1 1
Re z
2^2 í------ ------ i í------ ------------- i í Z4
Z7
a) A megadott komplex szám valós illetve képzetes része: ReZj = 3 illetve ImZj = - 1 , konjugáltja; z, = (R e Z i)-(Im Z i)j = 3 + j , ab szolút értéke: z, = ^j{Rez^y +(lm zi)^ = -^3^ + (~ 1)^ = a/iÖ . b)Rez2 = - 2 , Im zj = 2 , Zj = - 2 - 2 j , jzj] = - ^ /( - 2 p T ^ = 2 ^ 2 . c) ReZj = 2 , Im z3 = 3 , Z3 = 2 - 3 j , Z3 =-\ll^ +3^ = VÍ3 .
141
KVK-1190 d ) R e z 4 = - 3 , I m z4 = - 3 , Z4 = - 3 + 3j, \z^\ = 3^[2. e) Rezj = - 5 , Im zj = 0 , Z5 =z^ = - 5 , [zj] = 5 . f) Rezg = 0 , Imzg = - 4 , Zg = 4 j , |zg| = 4. g)ReZy = - 1 , Imzy = 3 , z^ = - l - 3 j , z^ =VlO. h)ReZg = 4 , ImZg =1, z^ = 4 - j , |zg| = VÍ7 .
1.1.2.
a) A megadott komplex szám konjugáltjának irányszöge, az irányszög mínusz egyszerese: z, = 3 (cos (-45°) + j sin (-45°)). A forgásszögek szögfüggvényeinek értelmezése alapján;
142
KVK-1190 cos(-45°) = cos(-45° + 360°) = cos 315° és sin(-45°) = sin(-45° + 360°) = sin 315°. így a konjugált nemnegatív, a teljes szögnél kisebb irányszöggel: z, =3(cos315° + jsin315°). Ebben és a következő feladatban, a komplex számsíkon az irány szög nulla értékét és pozitív irányát a pozitív, valós féltengelyre ál lított nyíl jelöli. b) Z2 = 4 (cos (-210° + 360°) + j sin (-210° + 360°)) = = 4 (cos 150°+ j sin 150°). c) Z3 = V2 (cos (-420° + 720°) + j sin (-420° + 720°)) = = V2(cos300° + jsin300°).
d) Z4 = 3,5 (cos (1140° - 1080°) + j sin (1140° - 1080°)) = = 2 (cos 60° + j sin 60°). 2n . . 2n) f) Zg = 5 cos — + j sm — 3 3 , 5;t . . 5n h)Z3=V 3 COS— + j sm — 4 4
l l j i . . 1 l;i e) Z5 = 4 cos-----+ jsm ----6 6 7t
. .
71
g) Z7 = 4,5 COS— + ism — 3 3
1.1.3. a) A megadott komplex szám konjugáltjának irányszöge, az irányszög ■1971
mínusz egyszerese: Zj = 3 e *> . Az Euler-féle összefüggés és a forgásszögek szögfüggvényeinek értelmezése alapján: 19ti . . 19ti 7n . . 7k . e ^ = c o s-----+ jsm ----- = cos— + jsm — = e , ezert a konju6 6 6 6 ■h gált nemnegatív, a teljes szögnél kisebb irányszöggel: z, = 3e ® . h ) z , = 2 e 'j’' =
= 2ej’' = z ^ .
143
KVK-1190 .371 d )z4 =3e 2 . . Ti f) Zg = 4 e ' ^
■h. c) Z3 = 5e ® . . 7t
e) Z5 - 2 e^'^.
g)A logaritmus definíciója, a hatvány logaritmusa és a hatványozás —I n 5 + j —
azonossága alapján: z-j
^=e .5n
szám konjugáltja: h)zg =5ej<'’'- '\
144
= Vs e ®.
InV s+j—
i—
j—
^ = V 5 e ^ . A komplex
KVK-1190
1.2. Áttérés a komplex szám egyes alakjai között a) Behelyettesítjük a szögfuggvények értékeit, és kiszámítjuk a komp lex szám valós és képzetes részét; z=3
b )z = 4
3 2
2
2
3^Í3 .
•*
= 2 V2 - 2 V2 j.
2
d) z = 1+ j .
c) z = Vs + j .
e) Az exponenciális alakban megadott komplex számot felírjuk trigo nometrikus alakban, és kiszámítjuk az algebrai alakot; 5n
+ jsin = V2 cos V V 4y f) z = - 2 j.
5n
= V2
2
2
= - l + j.
g )z = 3 V 3 + 3 j.
h) z « 1,43 +0,69 j. 1.2.2. a) A komplex szám abszolút értéke; |z| = -y/(Rez)^ +(Imz)^ = 2.
145
KVK-1190 Ábrázolva a Gauss-féle számsíkon a komp lex számnak megfelő pontot, megállapít juk, hogy a komplex szám irányszöge he gyesszög: ^ Imz ^ ^|3 n ... (p = arc tg ----- = arc tg — = —, illetve Réz 1 3 (p = 60°. A komplex szám trigonometrikus és exponenciális alakban tehát _ -
7C
. .
7T.
. 71
,
_ Jt
z = 2 (cosy + js in —) es z = 2 e b)A komplex szám abszolút értéke: |z| =
.
+ 5^ = 10.
Mivel a komplex szám a második síknegyedbe esik, ezért (D= 71+ arc t g— =7 -5 V 3
6
1
6
, illetve (p = 150°. . 5 tü
így z = 10(cosl50° + jsinl50°) és z = 10e c)Mivel Réz = 0 és Imz = -5, ezért cp = 270° és |z| = 5 A komplex szám trigonometrikus alakban z = 5(cos270° + jsin 2 7 0 °), és ex■ 371
ponenciális alakban z = 5e ^ . .571
d )z = 4V2(cos225° + jsin225°) és
z
=
.
e) z = 5(cos 180° + j sin 180°) és z = 5e^". . 3 tü
f) z = V2e(cosl35° + jsin l3 5 °) és z = V2ee'''^ . . 266,05n
g) z « 8,851 (cos 266,05° + j sin 266,05°) és z « 8,851 •e^
h) z « 1,64 •10“^ (cos232,43° + jsin 232,43°) és
146
.
KVK-1190 . 232,43n
z = l,64-10"^e' 1.2.3. a) A szögfíiggvények értékeit behelyettesítve, megkapjuk a komplex V2
szám algebrai alakját: z = -2 szolút értéke:
= V 2 - V 2 j. Ab
+ (V2 ) = 2. Mivel a komplex szám a
negyedik síknegyedbe esik, ezért Imz V2 71 7ti (D= 271 + arc tg ----- = 2 n - arc t g = 27i----- = — , ^ ^R ez 4 4 illetve (p = 315°. így a megadott komplex szám trigonometrikus és 7 7t
exponenciális alakban: z = 2 (cos 315° + j sin 315°) és z = 2 e b )z = V2 ( - l - ( - l ) j ) = -V 2 +V 2 j, |z| = V (-V 2 )'+ (V 2 )' = 2 , (p = 71+ arc tg
V2 3ti _ = — , illetve (0 = 135°. -V 2 4 ’ . 3 ji
z = 2(cosl35° + jsin l3 5 °) és z = 2e
.
c) z = - 6 + 3-v/3 j , z =3>/7 « 7 ,9 4 , (p = 7t + arc tg
—. 180
-6 J 39,ll;t
z « 7,94(cosl39,ll° + jsin l3 9 ,ll°) és z « 7 ,9 4 e
180
. 7t
d )z = 3 + 3 j, z = 3V2(cos45° + jsin45°) és z = 3 ^ e ~ \ e) A hatványozás és a logaritmus azonosságait alkalmazva: . 71
z = 3 + V s j, z = 2 V3 (cos30° +jsin30°) és z - 2 y f 3 e ^ . í) z = 4 - 2 j , z«4,47(cos333,43° + jsin333,43°) és
147
KVK-1190 z«4,46ej■'’'^ g )z = - 2 , z = 2(cosl80° + jsinl80°) és z = 2 e^’'. 1 1 1 '^ h )z = — j , z = — (cos9 0 ° + isin90°) és z = — 27 27 ^ ^ 27 1.2.4. a)Mivel tg 150° = —- , ezért b = s V s , tehát a komplex szám algebrai alakban: z = -3 + 3 V s j.A komplex szám abszolút értéke + (3 Vs) = 6 , trigonometrikus alakja pedig: z = 6(cosl50° + jsinl50°).
b )z = ^
+ V2 j és z = 2 ^ ( c o s 6 0 ° + jsin60°).
d) z « -7 ,0 6 -1 5 ,4 6 j
15 ti . . 15 ti és z = 17 cos-----+ ism -----11 11
1.3. Műveletek különféle alakú komplex számokkal 1.3.1. a) Az összeg valós része a valós részek, képzetes része pedig a képze tes részek összege: z = (2 + 4) + ( 9 - 3 ) j = 6 + 6 j .A komplex szám abszolút értéke és irányszöge: z| =
V 6 ^ T ^ = 6V2 és (p = arctg-^ = -^ illetve (p = 45°. Az ösz-
szeg trigonometrikus alakban: z = 6 V2 (cos 45° + jsin 45°).
148
KVK-1190 b) z = 8 (cos 180° + j sin 180°).
c) z = 2 V2 (cos 315° + j sin 315° ).
d)A szorzatot a kéttagú összegek szorzására vonatkozó azonosság alapján, arra figyelemmel számítjuk ki, hogy f = -1 : z = - 9 + 3V3 j + sV3 j - 3 j ^ = -6 + 6 V3 j . A komplex szám ab szolút értéke és irányszöge: |z| =
= 12 és
2n = — . A szorzat trigonometrikus alakban: -6 3 2% . . 2n z = 12 cos— + jsm — 3 3
(p ==71+ arc tg
6^/3
e) z = 7 Vs (cos 0° + j sin 0°). f) z = (2 V 3 -6 ) + (2V3 + 6) j , |z| = 4V6 és (p = 71+ arc tg
— = 7 i-arctg (2 + V 3). 2 V 3 -6 Megjegyezzük, ^ 7t 71 V3 , , tg —+ tg — ----+ 1 uhogy tg * — = ---- ^6 ^ 4 = 3 = 2 + V3, 12 . n n 73 1 -tg -tg 6 4 3 ezért (p = ^
, illetve (p = 105°. A komplex szám, trigonometrikus
alakban: z = 4V 6(cosl05° + jsin l0 5 °). g) z «14,87 (cos 227,73°+ j sin 227,73°). h) A kéttagú összeg négyzete: z = 4 - 8 V 3 j-1 2 = - 8 - 8 V 3 j . A komplex szám abszolút értéke és irányszöge |z| = 16 és (p = 240°, trigonometrikus alakja: z = 16 (cos 240° + j sin 240°)
149
KVK-1190 i) z = 48V6(cos45° + jsin45°). j) A törtet bővítjük a nevező konjugáltjával: z =
2 -2 j M 1+ j
= -2j.
1- j
A kapott komplex szám trigonometrikus alakja; z = 2 (cos 270° + j sin 270°). k )z = l,5(cos315° + jsin315°).
1) z = 2,5(cos 180° + jsin 180°).
m )z = 3 (cos 150°+ jsin 150°).
n) z = Vó (cos 255°+ j sin 255°),
1.3.2. a) A szorzat abszolút értéke a tényezők abszolút értékeinek szorzata, irányszöge pedig a tényezők irányszögeinek összege: z ==6 (cos 150° + j sin 150°). A szorzat algebrai alakban: z=6
2
2
= -3 V 3 + 3 j.
b) z = - 4 .
c) z = 1,5 (cos(-30°) + jsin(-30°)) = 1,5
i S
4
3. 4^'
d )z = 2V6 j . e) A hányados abszolút értéke a számláló és a nevező abszolút értéké nek hányadosa, irányszöge pedig a számláló és a nevező irányszö gének különbsége: z = I (cos (178° -133°) + j sin (178° -133°)) = = 2 (cos 45° + j sin 45°). A hányados algebrai alakban: z = V2 + V 2 j.
150
KVK-1190
4
4
h) z « -3 ,0 6 +2,57 j. 1.3.3. a) A hatvány abszolút értéke a hatványalap abszolút értékének hatvá nya, irányszöge pedig a hatványalap irányszögének és a hatványki tevőnek a szorzata: z = 3^ (cos(2-15°) +jsin(2-15°)) = 9(cos30° + jsin30°). A hatvány algebrai alakban; z = ^
b )z = -1 6 V 2 -1 6 V 2 j.
+“ j•
c ) z = -1 6 .
d )z = ------------j. 2 2 -' e)A komplex számból való gyökvonás eredménye annyi komplex szám, ahányadik gyököt vonunk. Abszolút értékeik egyenlők egy mással. Ez a gyökjel alatt álló komplex szám abszolút értékének adott kitevőjű gyöke: r^ = r, = = V27 = 3. Az első gyök irány szöge az irányszög és a gyökkitevő hányadosa, minden további irányszög rendre annyival nagyobb az előzőnél, mint a 360° és a gyökkitevő hányadosa, tehát: (p^ = 1^
= 60°, (p, =60° + ^
= 180° és
360° =180° + — = 300°.
151
KVK-1190
Tehát a három gyök, trigonometri kus alakban: Zq =3 (cos 60° + j sin 60°) z, = 3 (cos 180°+ j sin 180°) Z2 = 3 (cos 300° + j sin 300°), és algebrai alakban:
3 Zo = 2
3 V3 .
, ,
3 3 V3 . " 2 — 2^^'
f) Zo =V3 + j , z, = - V 3 + j , Z2 = - V 3 - j és Z4 = V 3 - j . g)Zo «1,47 + 0,34j, z, « 0,13 +1,50j , Zj « -1 ,39 + 0,59 j , Z3 « -0 ,9 9 -1 ,1 4 j és Z4 « 0,78-1,29 j. h)A negatív, törtkitevös hatvány azonossága alapján z=• ^ .A hatványozás és a négyzetgyökV(cos(-60°) + jsin(-60°))' vonás után, kiszámítjuk az algebrai alakot: Zo =
^ =cos330° + jsin330° = — 2 cos30° +jsin30°
2
j, '
J3 1 1 z, --------------------------- -- cosl50° + jsin l5 0 ° = ------ + —jcos210° + js in 210° 2 2
1.3.4. a) A szorzat abszolút értéke a tényezők abszolút értékeinek szorzata, irányszöge pedig a tényezők irányszögeinek összege; .Í2n / X 3n . . 3 n ] z = 2 V 2 e '^ ''^ '^ = 2V 2 cos— + jsm — 4 4 algebrai alakban: z = -2 + 2 j .
152
KVK-1190 KX 5V3 5 . b) z = -----------1. 2 2 *^ A
c)z = 3 e
.471
“ j ---- + j27ü
^
2ti . . 2 n 81 81V3 . =81 cos— + isin— = - y + — J. 3 ^ 3
d) z « -0 ,8 7 -2 ,6 9 j. e) A gyökvonást exponenciális alakban ugyanúgy kell elvégezni, mint trigonometrikus alakban. ^Í2 Vó . , V2 Vó .
f) Zo = 3 j , z, = - 3 , Z2 = - 3 j és Z3 = 3.
1.4. Vegyes feladatok 1.4.1. a) A nevezőben elvégezzük a kivonást és algebrai alakban a szorzást:
z = ^ 2 '^^^ = -3 V3 - 3 j , mivel a nevező képzetes része nulla. A hányados abszolút értéke és irányszöge: z| = - J(-3
+
( - 3)^ = 6 és (p = 7i + arctg
A hányados trigonometrikus alakban: z = 6 (cos 210° + j sin 210°).
b)A nevező konjugáltjával bővítjük a törtet, és a számlálóban
(-2) - 1
kiemelünk, így a tört algebrai alakban: (l + j ) ( l - j )
2
A hányados abszolút értéke és irányszöge: |z| = 2 V2 és cp = 45°. A hányados trigonometrikus alakban: z = 2 V2 (cos 45° + j sin 45°).
153
KVK-1190 c) z = -1 és z = cos 180°+ j sin 180°. d) z = -8 és z = 8 (cos 180° + j sin 180°). e) z = ^ —«3,1-10”^ és z = (cos 0° + j sin 0°). 324 324 f) z - 2 + -\Í3 és z = (2 + V3)(cos0° + jsin 0 °). g) A képzetes egység hatványozásának ciklikussága miatt, z^ j +l-J -^ + J ^ j 1 -j-l+ j+ l
z = cos9 0 ° + isin90°.
h )z = - 3 - 2 j és z*3,61(cos213,69° + jsin213,69°). i) z « 1,59-1,42 j és z « 2,13 (cos 318,26°+ j sin 318,26°). 1.4.2. a)A gyökjel alatti komplex számot felírjuk trigonometrikus alakban: cOk = (cos (60° + k ■120°) + j sin (60° + k •120°)), ahol k = 0;1; 2. A gyökök trigonometrikus alakban: (űq = 3 (cos 60° + j sin 60°), cOj = 3 (cos 180°+ j sin 180°) és (Ű2 = 3 (cos 300° + j sin 300°); algebrai alakban pedig 3 3 V3 . , , 3 3 V3 . (o„ = —+ ------j, 00, = - 3 es co, = ----------- j. ” 2 2 ' ^ ' " 2 2 b) (0, = — (cos (30° + k •120°) + jsin (30° + k •120°)), (k = 0; 1; 2), 3 V3 . 3 V3 . , V3 . cűf, = —+ — 1, co, = ----- 1----- 1 es 0), = -------j. » 4 4 J’ ' 4 4 -’ ' 2 ^ c) %
(cos(90° + k-180°) + jsin(90° + k-180°)), (k = 0;1), (Oq w 2,34 j és co, » -2,34 j .
154
KVK-1190 3 V3 d )® o = —
3.
3
3 V3 .
+ - J , cű,
3 V3 ®2
==—
3. ,
------e s
3 3 V3 . CO3 = - - ■ -Je)(ö|3 = 4 V2 + 4 V2 V3 j, (o, = - 8 ^2 és CO2 = 4 ^ 2 - 4 ^ 2 7 3 ] . f) 00 «l,89 + l,4 5 j, co, « -l,4 5 + l,89j, Wj « -1 ,8 9 -1 ,45j és 03 « 1,45-1,89 j. g) Wq «-2,83 +1,41 j és co, w 2,83-1,41 j. (Megjegyezzük, hogy a gyökök pontos értéke is meghatározható. Mivel a gyök alatt álló komplex szám valós része pozitív, képzetes része pedig negatív, ezért irányszöge (p = 270° + a . Ezért egyik a gyökének irányszöge (Po = 135° + —, a gyökök abszolút értéke pe dig ^/lÖ. Ezen gyök valós része 1 35°+ “ 2 Alkalmazva a megfelelő linearizáló és az összegzési azonosságot, 1+ cos (270° + a) 1+ sin a , továbbá mivel cos 135°+ “ 2 Re(6 - 8j) 6 = — . Behelyettesítve: a hegyesszög, ezért sin a = 6 - 8j Re (ön = VÍÖcos 135° + -
1+ Re (ön - -VlÖ ImcOg =
= -VÍÖ cos
10 = - 2 V 2 ,ées = ^/2 adódik. )
h)cOo «0,59 + 0,81j, co, « -0,59 + 0,81j,
« -0 ,9 5 - 0,31 j ,
(O3 = - j és (Ű4 w 0,95-0,31 j.
155
KVK-1190 1.4.3. a) Az exponenciális és a trigonometrikus megadott komplex számokat átváltjuk algebrai alakra: z, = 2 (cos 300° + j sin 300°) = 1- V3 j , z , = u V 3 j és Zj =2yÍ3 j. Behelyettesítünk és elvégezzük a kije lölt műveleteket: z = ^^—V3 j) + 2 V3 j ^ J ^ 1+ y i j 1+ V3 j kapott komplex szám abszolút értéke 1, irány szöge pedig 270°. Trigonometrikus alakban, tehát z = cos 270°+ j sin 270° . b)Algebrai alakra való áttérés után z = —V 3 jj+ 2 V ^ ^ 1 + V3 j nometrikus alakban: z = cos 90° + j sin 90°. c) Mivel komplex számok reciprokát, összegét és konjugáltját kell képezni, ezért célszerű a Zj komplex számot is algebrai alakban felírni. z = -4 és z = 4(cosl80° + jsin l8 0 °). d )z = 4 és z = 4(cos0° + jsin O °). 3 3 é ) z - — j és z = - ( c o s 270° + js in 270°). 8
8
f) z = —j és z = —(cos90° + jsin 90°). 5 5 g) z = - j és z = cos 270° + j sin 270° . h) z « -1,61 + 0,38 j és z « 1,65 (cos 166,66°+ j sin 166,66°). 1.4.4. a) Az exponenciális és a trigonometrikus alakban megadott komplex számokat átváltjuk algebrai alakra:
156
KVK-1190 z, = 2(cosl80° + jsin l8 0 °) = - 2 ,
= 4 j és Z3 = 4 - 4 j .
Behelyettesítünk, elvégezzük a kijelölt műveleteket és áttérünk tri gonometrikus alakra: z = ^ - 2 (4 j + (4 - 4 j) = = ^8 (cos 180° + j sin 180°). A gyökvonás eredményei trigonometrikus alakban: (0 ^ = 2 (cos (60° + k •120°) + j sin (60° + k •120°)), (k = 0; 1; 2), és algebrai alakban: cOo = 1 + Vs j , co, = -2 és 0O2 = 1- V3 j . b)Algebrai alakban behelyettesítünk, elvégezzük a kijelölt művelete ket és áttérünk trigonometrikus alakra: ^ ^ •^+ ^ ^ ^ - 2 ^ / ^ = V ^ = V16(cos180° + js in l8 0 ° ). 8 A gyökvonás eredményei trigonometrikus alakban: cOk = 2 (cos (45° + k •90°) + j sin (45° + k •90°)), (k = 0; 1; 2; 3), és algebrai alakban: cOq = s í i + ^ f 2 j , cOj = —V 2 -I- ^ [2 j , CO2 = —J 2 — V 2 j é s CO3 = V2 - V2 j . c) (0 ^ = 2 (cos (45° + k •90°) + j sin (45° + k •90°)), (k = 0; 1; 2; 3),
cog = V2 + V2 j , co, = -V 2 + V2 j , (Ű2 =
- V2 j és
CO3 = V2 —V2 j .
d) (Ok = ^
fi
(cos (90° + k •120°) + j sin (90° + k •120°)), (k = 0; 1; 2),
S . 3 V3 . , 3 V3 . cOf, = — j , 0), = ----- \----- 1 es co, = ----------j. 0 2 ‘ 4 4 -’ ' 4 4 •’
157
KVK-1190 e) (Ok = cos (30° + k •120°) + j sin (30° + k • 120°), (k = 0; 1; 2), V3 1 . V3 1 . , co„ = — + —J, «>i = ------+ —J es (0, = - j . ° 2 2 -’ ' 2 2 -^ " ^ f) (Oq w 1,35 (cos 2,86° + j sin 2,86°) « 1,34 + 0,07 j , (0, » 0,66(cos 264,15° + j sin 264,15°) « 0,07 - 0,65 j , (O2 » 2,17 (cos 287,59° + j sin 287,59°) « 0,65 - 2,07 j , (Ű3 « 2,47 (cos 326,96° + j sin 326,96°) « 2,07 -1,34 j . 1.4.5. a) Az ismeretlent kifejezzük az egyenletből és a gyök alatt álló komp lex számot trigonometrikus alakban írjuk fel; z = ^ l + V3j =V2(cos60° + jsin 6 0 ° ). A gyökvonást a komplex szám trigonometrikus alakjában végezzük el, majd áttérünk az algebrai alakra: (ű, = V2 (cos (15° + k •90°) + j sin (15° + k •90°)), (k = 0; 1; 2; 3), (űq « 1,15 + 0,31j, (űi «-0,31 + 1,15 j, 0)2 w -l,1 5 -0 ,3 1 j és (Ű3 w 0 ,3 1 -l,1 5 j. b) Áttérünk a trigonometrikus alakokra: 9 V2 = 9 V2 (cosO° + jsinO °), 3 + 3j = 3V2 (cos45° +jsin45°) és .n e = cos 270° + j sin 270°. A komplex számok trigonometrikus alakját helyettesítjük be, és ki fejezzük az ismeretlent: 9V2(cosO° +jsinO°) z=3 y 3 V2 (cos 45° + jsin 45°) (cos 270° + j sin 270°) = ^3 (cos (-315°) + j sin (-315°))= \j3 (cos 45° + j sin 45°). A gyökvonást a komplex szám trigonometrikus alakjában végezzük el, majd áttérünk az algebrai alakra: cOk = V3 (cos (15° + k •120°) + j sin (15° + k •120°)), (k = 0; 1; 2), (űq » 1,39 +0,37 j , co, « -1 ,0 2 +1,02 j és cOj « -0 ,3 7 -1 ,3 9 j.
158
KVK-1190 c) (ÖQ = 1 + Vs j , co, « -1 ,3 4 + 1,49 j , ©2 *1,83-0,81 j , CO3 w 0,21-1,99 j és CO4 « 1 ,9 6 -0 ,4 2 j. (Megjegyezzük, hogy valamennyi gyököt van mód pontosan felírJ 1O+ 2 V5 V5 - I ni, mivel ismert, hogy sin 72° = ------------- és cos 72° = --------, s 4 4 így a szögfliggvények összegzési tételei segítségével pontosan megadhatók a (p,^ = 60° + k • 72°, (ahol k = 1; 2; 3; 4) alakú szögek szögfíiggvényei.) d)cOo wl,15 + 0,31j, co, « -0 ,3 1 + l,15j, cOj « - l,1 5 - 0 ,3 1 j és CO3 « 0 ,3 1 -l,1 5 j. 1.4.6. a) A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva, a két gyök a ^12 ~
^ —— = 1± V3 j alakú, konjugált komplex számpár.
Abszolút értékük: z, = Zj = 2 , irányszögük pedig 9i
71 , 531 es (P2 = Y ‘ .71
. 5 7t
Exponenciális alakjuk: z, = 2 e ^ és Zj ==2 e ^ . .71
.571
b) z, = 5 e ^ és Zj = 5 e ^ . c) Az u = z^ helyettesítéssel vezessük vissza másodfokú egyenletre. A megoldásként kapott komplex számokból négyzetgyököt vo nunk, és megkapjuk a megadott egyenlet megoldásait: .71
.471
.271
. 5 n
Z[ = Vö e'*^, Z2 = Vó e'' ^ , Z3 = Vö e^ ^ és z^ = Vó e'' ^ . .71
.371
d) Z[ = 0, Z2 = 3 e'' 2 és Z3 = 3 e'' ^ .
159
KVK-1190
147
. . . a) A törtet a nevező konjugáltjával bővítve,
R 7 es tImz„ = , X c t Rezo = —;-----“ R ^+X c' ” R +X c b)A jobboldalt közös nevezőre hozva, és mindkét oldal reciprokát véve, i RX Zg = . A nevező konjugáltjával való bővítés után, R + j^ L R X l' Rez„ = —r— ^
, ^ R 'X es ImZn =
l
RÍXcX, f c) Rezg = --------- . y ---------------- ^ es ( X c X j = + R ^ ( X ,- X c f Irnz, = -
R % X ,(X ,-X j {X,Xj+R^{X^-Xj' ■2
R"+Xl
"
R '+ X l"
R^X R^X 1.4.8. Az ImZo = X , -----;---- ^ = 0, ha X, = —^ E z t átrendezve “ R '+ X c ' R +Xc' X adódik, hogy R = . Mivel R, X^ és X l mindegyike csak
pozitív valós szám lehet, ezért a feladatbeli feltétel csak X^ < X^. esetén teljesülhet.
160
KVK-1190
2. LINEÁRIS ALGEBRA 2.1, Mátrixok 2.1.1. a) a* 1-5 típusú, B 3-3 típusú, D 3-4 típusú, di2 = —1, (Í23 = “ 4, (Í32 = 3 . b)sorvektor; a*, b*; egységvektor: b*; négyzetes mátrixok: A, B, C, E; zérusmátrix: C; diagonál mátrix: B, C, E; egységmátrix: E.
■-3 0 -2 ‘ 0 0‘ "1 -1 1 3 c)(b*)* = b = , B* = 0 - 2 0 , D* = 2 -4 7 0 0 0 0 4 6 5 0 2.1.2. a) A és B típusa megegyezik, ezért A = B, ha megfelelő indexű ~ 1 1 elemeik egyenlők, tehát, ha a = lnVe=lne^ = —, b = sin30° = —, ’o' 1
c = log3l = 0. b )a = - 2 ,
b = 3,
c = -l,
n d=- . 4
161
KVK-1190 2.1.3. a) A - 3 B =
5 -7 -3
3
8
-2
b)A kijelölt műveletek elvégezhetők, mert a mátrixok azonos típusú ak. A C mátrixban szereplő komplex számokat felírjuk algebrai alakban és kiszámítjuk a mátrixban levő kifejezések értékét: 2j 1 2 C= -2 0 -3 Az A - B + 2C mátrix elemeit úgy kapjuk meg, hogy A eleméből kivonjuk B megfelelő indexű elemét és ehhez hozzáadjuk C meg felelő indexű elemének kétszeresét! így _ 3 + 4j -1 7 C= -5 6 -6 2.1.4. a)0.
b)8.
2.1.5. a) AE = A .
b)B 0 = 0.
c) A 3-3 típusú A és a 3-4 típusú B mátrixok szorzata 3-4 típusú lesz.
Például az AB mátrix második sorának harmadik elemét úgy kap tuk meg, hogy az A mátrix második sorát, mint sorvektort, skalári162
KVK-1190 san megszoroztuk a B mátrix harmadik oszlopával, mint oszlop vektorral. A műveletben részt vevő értékeket félkövéren írt szá mokkal emeltük ki. Tehát 6-2+ 4-0+ 0-4= 12.
2.1.6. a) [-5
6 - 1 2 .
b) Ennél a feladatnál nem kell a táblázatos formát használni, hiszen az eredmény egy oszlopvektor lesz. Négy elemét megkapjuk, ha az A mátrix minden sorát, mint sorvektort skalárisán megszorozzuk az a oszlopvektorral. így például az Aa első eleme 0-2 + l-(-3) +(-!)• 1 + 2-1 = - 2 lesz. '0 1 -1 1 1 ■ 13 - f Aa =
2
-1
0
1 -3
1 -1
1 0
0
0
2
1_
1 1_
8 6 _-5_
c) AB =
6
4
-1
4
11
-1_
d)A 2-4 típusú D mátrix és a 4-2 típusú B mátrix DB szorzata 2-2
163
KVK-1190 2.1.7. a) AB =
4"
■2
1 0 0
c) AB =
AB
6
4
8
-2
0
-5 _
1 0
1 0
0 0
4 -7 ‘
, BA =
13 -3 ^
b)A B = 0
0
, BA = 0
1 6
-2 4
16
14
10
-1 5
3
10
11
0
7 -8 BA.
AB = BA = E
1
21'
-7
BA
0
1 0
0 0
■ -2
, AB
" 12
-1
-1 2 '
19
-11
17
, BA =
26
-1
-1 5
2.1.8. ■-2 a) A* =
3 2
5
-1
0
1
4
7
■ 30 ,
-7
3‘
AA* = - 7
26
34
3
34
53_
Elemei a föátlóra szimmetrikusak (szimmetrikus mátrix). 3 b) A* =
1 -\
-1
0
4
0
2
1
"14 5 ,
AA* =
5 6
3‘ 6
3 6 43_ 2 1 5_ Elemei a föátlóra szimmetrikusak (szimmetrikus mátrix).
164
7_
KVK-1190 2.1.9.
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
8
=P
8
0
0
5 A = -3 1 -2
-1
-1
2
2
5 = AP 1 -2
8
0
5
-1
1 -2
2
1
1 -3
0
1 0
P= 0 0 1 1 0 0
-3
5
-1
1 -2
2
1
0
-3
8
=A
= PA
Megfigyelhető, hogy AP-ben A oszlopai szerepelnek, de más sor rendben, míg PA-ban A sorai szerepelnek, más sorrendben. A cserét a P mátrix 1-gyel egyenlő elemeinek (pi2, P23, P3i) indexei alapján állapíthatjuk meg. AP-nél az első index A oszlopát, a második index ezen oszlop APbeli helyét jelöli ki. Tehát P12 = 1, ezért A első oszlopa AP második oszlopa lett, P23 = 1, ezért A második oszlopa AP harmadik oszlopa lett, P31 = 1, ezért A harmadik oszlopa AP első oszlopa lett. PA-nál a második index A sorát, az első index ezen sor PA-beli helyét jelöli ki. Tehát P12 = 1, ezért A második sora PA első sora lett, P23 = 1, ezért A harmadik sora PA második sora lett, P31 = 1, ezért A első sora PA harmadik sora lett.
165
KVK-1190
2.2. Determinánsok 2.2.1.
b)D = j . ( - j ) - 2 ( l + j) = - j ^ - 2 - 2 j = - l - 2 j .
a)D = 22.
c) D = 0, mert a harmadik oszlop az első oszlop (-3)-szorosa. d)Mivel a föátló felett és alatt minden elem nulla, ezért a determináns értéke a főátlóbeli elemek szorzatával egyenlő. D = 2 -(-3 )-5 = -3 0 . e) Megpróbálunk valamelyik sorban vagy oszlopban két elem helyén nullát előállítani, például a 3. oszlopban. Adjuk hozzá a második sor 2-szeresét az első és harmadik sorhoz, így a harmadik oszlopban két nulla elem lesz, majd a kapott deter minánst kifejtjük a 3. oszlop szerint. A kifejtésnél azon aldeterminánsokat, amelyek 0 elemhez tartoznak nem írjuk le, mert 0val való szorzatuk úgyis nulla lesz. A (-l)-hez tartozó aldeterminánst (-l)-gyel kell szoroznunk a „sakktábla-szabály” szerint. -1 7 9 0 -1 7 9 D = -1 0 5 -1 = -1 7 -6 + 17-9 = 3-17 = 51. -1 7 6 -1 7 6 0 f) A determinánst kifejtjük a második oszlopa szerint, a nulla elemhez tartozó aldeterminánst nem írjuk le, mert 0-val való szorzata úgyis nulla lesz. D=-
166
j
1 -j
1 -j
1
+J
1+ j
J
j
1 -j
KVK-1190 g)A komplex számokat felírjuk algebrai alakban és a j hatványokat kiszámítjuk, majd a kapott determinánst kifejtjük például az első oszlop szerint. -1 j -j 2 j j -j - 2j -j D= 1 2 j 1+ j - 1 1+ j - 1 2 j - 2 1+ j -1 = - ( - 2 - j ( H - j ) ) - ( - j + j(l + j) ) - 2 ( j ^ + 2 j) = 4 - 3 j. h)D = 0.
i) D = -4 8 .
2.2.2. a) Vonjuk ki a második sorból az első sort, majd fejtsük ki a kapott determinánst a második sora szerint! 1 1 1 D = 0 1 - x ' 0 = x ' - l = 0. 2
3
1
Tehát X = 1 és X = -1 esetén lesz a determináns értéke 0. b)x = 1, X = -2. c) Adjuk hozzá az első oszlophoz a harmadik oszlopot, és fejtsük ki a kapott determinánst az első oszlopa szerint! 0 - j -1 D= 0 x -1 = 2 + j + x ( l - 2 j ) = 0. l-2j 1 -j Fejezzük ki x-et! x = ^ . l-2j Az osztás elvégzése után x = -j.
167
KVK-1190 2.2.3. Vonjuk ki az első és a második sorból a harmadik sort és fejtsük ki a determinánst a harmadik oszlop szerint. Ezután könnyen belátha tó az állítás.
2.3. Lineáris egyenletrendszerek A determináns soraival, illetve oszlopaival elvégzendő műveleteket az egyenlőségjel felett adjuk meg rövidített formában. Az első tag jelöli ki azt a sort, illetve oszlopot, amelyhez hozzáadjuk a második tagban megjelölt sor, illetve oszlop számszorosát. Például: 1.0+3-3.0 jelentése: az első oszlophoz hozzáadjuk a har madik oszlop 3-szorosát. A sor rövidített jelölésére az s betűt használjuk. 2.3.1. a)Felhasználjuk, hogy
= —- , ha D ^ 0. D kifejtünk a 3.0 szerint
1.0+3-3.0 2.0+2-3.0
1 4
-7
D= 1 6
-1 0
3 2
-1
=
-2 0
-1 0
-7
-2 9
-1 4
-1 0
0
0
-1
-2 0 -2 9
-1 0 -1 4
= -(2 8 0 -2 9 0 ) = 10, kifejtünk a 3.S szerint
1.0+9-3.0 2.0+2-3.0
-7 D .= - 8 9
4
-7
6 -1 0 2
-1
= 980 -9 8 0 = 0,
168
=
Xi
-7 0
-1 0
-7
-9 8
-1 4
-1 0
0
0
-1
_D , = 0. D
-7 0
-10
-9 8
-1 4
KVK-1190 2.5-1.S 3.5-3-1.S
1 -7
-7
1 -8
-10
3
zz:
9 - 1
= -20 + 90 = 70,
kifejtünk az 1. szerint
1 -7
-7
0
-1
-3 =
0
30
20
X,z
_
D,2
3 2
30
20
D
2
-1
-10
30
kifejtünk az . 0 szerint
1
-7 -8
-3
70 _ - = 7. 10
=
2 .S -1 .S 3.S-3-1.S
03 =
-1
_
9
1
4
-7
0
2
-1
0 -1 0
30
—
50 . X, = — = 5.
= 6 0 - 1 0 = 50,
10
b )x , - 4, X2 =3,X3 = - 2 .
1 1 1 C)Xi = - , X 2 = J,X3 = -
d) X[ = 1, Xj = 0, X3 = 1 .
e)x, =1, X2 = 2 , X3 = 3 .
f ) X, = 0 , X 2 = 2 , X 3
-3
-2
1 -3
g )D =
1
=-l . 6 -2
1 2 = 39,
D ,= - 1
-3
5
1 3
1 2 = -7 8 ,
1
3
= - 2 , mivel ez nem természetes szám, az egyenletrend D szernek nincs megoldása a természetes számok halmazán. X. =•
5 h)D =
7
3 0 4
0 5
1 6
1
1 0
1
4
2 0
3
= 0,
30 D,1 =
7 10
3 0 5
4
1 6
1 0
1
2
3
0
=
10 .
169
KVK-1190 Mivel D = 0 és van nullától különböző módosított determináns (Dl 0), ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása. 2.3.2. a) X4 =
D^O.
D
l.O^.O 2.o-^.o 3.o^.o 1
1
1
kifejtünk az 1. s szerint
1
0
0
0
1
2 -3
-2
0
12
-6
2
-7
2
-3
-2
0
-2
3
6
-6
4
9
-1
-1
-5
-7
6
6
kifejtünk a 3. o szerint
2. S+6-1.S 3. s + l . s
2
-3
-2
4
9
12
6
6
2
2 -3 =
-2
— 16
-9
0
8
3
0
=
2-
16 - 9 8
3
= 2(48 +72) = 240, 3. s-2. s
1
kifejtünk a 4. o szerint
1 0
1
1
1
2
-3
-2
1
2
-3
-2
1
-2
3
6
1
-4
6
8
0
-1
-1
-5
0
-1
-1
-5
0
kifejtünk az 1. s szerint
1. 0-3. o 2. 0-3. o
1
1
1
-4
6
8
-1
-1
-5
-48+ 8 = ^ 0 ,
170
1 0
=
0
0
1
-12
-2
8
4
4
-5
D4 ^-40
X4 =■
D
240
6
-12
-2
4
4
KVK-1190 b )x i= -2 .
c) X3 = 3.
d ) X2 = - 4 .
2.3.3.
a)D =
-2 j
2 -j
= 1 0 j - ( 2 - j ) ( l + j) = 1 0 j - ( 2 + l + j( 2 - l) ) = 1+ j - 5 = -3 + 9j, 5-4j 2 - j = -5(5-4j)-(2-j)(-ll4-6j) = D ,= -11 + 6j - 5 = -25 + 20j - ( - 22 + 6 + j(l2 + 1 1)) = -9 - 3j, egyszerűsítünk 3-mai és bővítünk a nevező konjugáltjával
-
D, D
-9-3j - 3 + 9j
-3 -j -l-3j - l + 3j - l - 3 j
3 - 3 + j(9 + l)
lOj
10
10
-2j
5-4j
1+ j
- l l + 6j
= 12 + 22j - (5 + 4 + j(5 - 4)) = 3 + 21j, egyszerűsítünk 3-mai és bővítünk a nevező konjugáltjával
D, X2 =■ D
3 + 21j - 3 + 9j
l + 7j
- l + 3j - l - 3 j
_ - l + 21 + j ( - 3 - 7 ) _ 2 0 - 1 0 j _ ^ 10 10 "
b)x, = l - j ,
-l-3j •
~
X2 = j .
171
KVK-1190
-1
-1 + j c)D= 1
1 1+ j
-j D.=
= - l + 2 j, 0
0
-1
1
1
-3+j
1+j
-1 + j 1 ^2 =
0
= l + 3j,
1 -3 + j
-j
X i X . -- —D -- 11 - J-
=-4-2j,
x , = ^ = 2j.
= l - 2j,
x , = 5 l = -l. D
0
-1
-1 + j 1 Ü3 =
1 1+j
-j d) x, = - 2 + 2j,
-3+j
X2 = - l - 5j,
X3 = 3 + 2j.
2.3.4. b)x, = 0, Xj =1, X3 = 2,X4 = 3.
a ) X, = 2, Xj = - 1 , X 3 = 0 .
c) 1. lépés: átírjuk az egyenletrendszert táblázatos alakba. 2. lépés; xi kiküszöböléséhez az első sor (-l)-szeresét a második sorhoz, (-3)-szorosát a harmadik sorhoz, ( - 2)-szeresét a negye dik sorhoz adjuk. 3. lépés: X2 kiküszöböléséhez a második sor 4-szeresét a harmadik sorhoz, (-l)-szeresét a negyedik sorhoz adjuk. 4. lépés: a harmadik és negyedik sort elosztjuk (-3)-mal. 5. lépés: X3 kiküszöböléséhez a harmadik sor (-2)-szeresét a ne gyedik sorhoz adjuk. 2 1 1 3 11 3 1 2 1
172
1
2
3
3
-1
-1
-2 -4 0 -4
2
3
-1
-1 - 6 0
-1 - 4 0
1
1
-4 -5
-7
-11 - 7
1 -5
-7 -8
KVK-1190 1 1
2
3
0
1
1
-4
0
0
-3
1 1 1 2
3
1 1 1 2
1 1 -4 -5 0
-5 0
-27 -27 0
0
1
1 1
9 9 0 0
3
1
-4 -5
1
9
9
0 0 -6 -3 -3 0 0 2 1 1 0 0 0 -17 -17 . lépés; felírjuk a redukált egyenletrendszert az utolsó táblázat alapján: X, +X 2 + 2X3 + 3X4 = 1,
6
X2 +X 3 - 4X4 = - 5 , X3 + 9x 4 =
9,
- 17x 4 = - 1 7 . 7. lépés: az utolsó egyenletből kifejezzük X4-et majd visszafelé haladva, behelyettesítéssel rendre megkapjuk a többi ismeretlen értékét.
X4 = 1 , X3 + 9 = 9,
tehát
X3 = 0.
X2 ~ 4 = - 5 , tehát
X2 = - l .
Xi-l
d) x, =3,
+ 3 = 1, X2 = - 4 ,
tehát
X,
X3 = - 1,
= -1 . X4 = 1.
e) xi kiküszöbölése után az alábbi táblázatot kapjuk: A második és harmadik sornak 1 -8 9 -3 2 megfelelő egyenletek ellent 0 15 -1 5 63 mondóak, ezért nincs megol 0 10 -10 44 dás.
f) Nincs megoldás. g ) l . lépés: felírjuk az egyenletrendszernek megfelelő táblázatot. . lépés: az első sor (-l)-szeresét, hozzáadjuk a harmadik és ne gyedik sorhoz.
2
173
KVK-1190 1 -3 0
2
1
1 -2
-1
-1 1
2
1 1 -3
-1
1
2 -1 0
1
-1
2 -1
1 00
1
-1
2 -1
0 4 -1 1 -1 3: 0 0 2 -2 3. lépés: észrevehető, hogy a második és harmadik sor megegye zik, a negyedik sornak megfelelő egyenlet ezekkel ellentmondó, hiszen a negyedik sorban az ismeretlenek együtthatói a második, illetve a harmadik sorban levők kétszerese, míg ez nem teljesül a választóvonal mögötti konstansra, ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása. h)Nincs megoldás. i) 1 . lépés: átírjuk az egyenletrendszert táblázatos alakba. 2 . lépés: célszerű először X2-t kiküszöbölni, ehhez az első sor ( - 8)szorosát a második sorhoz, 2-szeresét a harmadik sorhoz, az első sort a negyedik sorhoz adjuk. 3. lépés: a harmadik és negyedik sor megegyezik, a második sor pedig ezek (-2)-szerese, ezért kettő közülük elhagyható, hiszen a nekik megfelelő egyenletek ekvivalensek. Hagyjuk el például a második és harmadik sort! 2 -1 3 1 2 -1 3 12 - 1 3 1 2
-8
3
2
22 - 8 - 1 4
0 - 2 - 16 7
-5
0
6
7
1
0
18
8
5 1 -2 7 7 0 1 8 4. lépés: felíijuk a redukált egyenletrendszert: 2x, - X2 + 3X3 = 1, 7x, + X3 = 8 . 5. lépés: végtelen sok megoldás van, egy ismeretlen paraméternek választható, hiszen három ismeretlen, de csak két egyenlet van. Válasszuk például xi-et paraméternek! 6 . lépés: kifejezzük az X2, X3 ismeretleneket az xi paraméterrel: X 3 = 8 - 7 X i ,
X2 = - l + 2x, + 3X3 = -1 + 2X[ +24-21Xj = 23-19x, .
174
KVK-1190
j)
X;
A megoldás: X2 = 2 3 - 1 9 x i ,
X3 = 8 - 7Xj.
= 3 - X 2 - 4 X4 ,
+3X4
X3
= - l + X2
.
k)Az xi és X2 ismeretlenek kiküszöbölése után az alábbi táblázatot kapjuk, ahol az utolsó sor elhagyható. Redukált egyenletrendszer: 1- 1 1 11 Xi - X 2 +X 3 +X 4 = 1, 0 1 2 - 1 2 0
0 - 1
02
X2 + 2X3 - X 4 = 2,
0
0 - 1
02
- X 3 = 2.
Végtelen sok megoldás van, egy ismeretlen paramétemek választ ható, például X4. A megoldás: xi = 9, X2 = 6 + X4, X3 = - 2 . 1) Xj = 3 + X 4 + X 5 ,
m)x,
11
= y X 2 -
n)x, = 6 - X 3,
4^ X 4
X 2 = 2 - X 4 ~ X 5 ,
X3
X 3 = 4 - 2 X 5 .
^ - 3a X 4 = 4X2
.
X2 = - 2 + X4 -
o)Az xi ismeretlen kiküszöbölése után az alábbi táblázatot kapjuk, amelyből a második és harmadik sor elhagyható. Redukált egyenletrendszer -1 2 4 7 -X , + 2X2 + 4X3 + 2X4 = 7, 22 0 4 14 0
4
14
22
2X2 + 7X3 + 2X4 = 11.
0 - 2 - 7 - 2 -1 1 Végtelen sok megoldás van, két ismeretlen paramétemek választha tó, például X3, X4. 11 7 Megoldás: X, = 4 - 3 X 3 , ^ 2 = ---------- X 3 - X 4 . 2 2 Konkrét megoldás például: X3 = 0, X4 = 0, Xj = 4, Xj =
175
KVK-1190 p)X[ = 9 - 2X4, Xj = - 1 8 + 5X4, Xj = -1 3 + 4X4. Konkrét megoldások például: X4 = 0, Xj = 9, Xj = -1 8 , X3 = -13. X4 =4,Xi = l , X j =2,X3 =3.
1
2.3.5. . lépés: felírjuk az egyenletrendszernek megfelelő táblázatot. 2. lépés; xi kiküszöböléséhez az első sor (-2)-szeresét a második sorhoz, 3-szorosát a harmadik sorhoz adjuk. 3. lépés: X2 kiküszöböléséhez a második sort a harmadik sorhoz adjuk. 1 2 -1 12 1 2 -1 1 2 3
-3
-2 4 0
3 -5
4
1c0
2
4
1
2
-1
0
-1
-1
0
0
0
1 -4
-1 1
-1 1
-4
0
46+c
/
2
0
06+c
. lépés: az egyenletrendszer akkor oldható meg, ha 6 + c = 0, azaz c = - 6. 5. lépés: a második sort végigszorozzuk (-l)-gyel és felírjuk a re dukált egyenletrendszert. x, +2X2 - X3 +X4 =2,
X2 +X 3 + 4X4 = 0. 6. lépés: végtelen sok megoldás van, két ismeretlen paramétemek választható például X2, X4. . lépés: kifejezzük xi, X3-at a paraméterekkel. X3 = -X 2 - 4X4,
7
Xj = 2 - 2Xj +X 3 - X4 = 2 - 2x 2 “ ^2 “ 4x4 “ ^4 = = 2 - 3 X j - 5X4 . Tehát a megoldás: X, = 2 - 3x 2 - 5 X 4 ,
176
X3 = - X 2 - 4 x 4.
KVK-1190 2.3.6. a ) l. lépés; felcseréljük az első és második sor sorrendjét és felírjuk az egyenletrendszernek megfelelő táblázatot. 2. lépés: xi kiküszöböléséhez az első sor ( - 2)-szeresét a második sorhoz, (-3)-szorosát a harmadik sorhoz adjuk. 3. lépés: a második sort végigszorozzuk (-l)-gyel, most Xs-at cél szerű kiküszöbölni, ehhez a második sort hozzáadjuk a harmadik sorhoz. 1 2 00 1 2 0 o| 1 2 00 2
1 -1 0 0 - 3
-1 0 0
3
10
3
1 -1 0 0 - 5
-1 0 0 - 2
00
4. lépés: felírjuk a redukált egyenletrendszert. X, + 2 x 2 3x2 +X 3 = 0, - 2X2 = 0 . 5. lépés: az utolsó egyenletből X2 = 0 , visszafelé haladva kiszá mítjuk X3, xi értékét is. Megoldás: Xj = 0 ,X 2 = 0 ,X3 = 0. Az egyenletrendszernek csak triviális megoldása van. b)xi kiküszöbölése után az alábbi táblázatot kapjuk: 1 -2
-4
0
-1
-6
-1
-5 0
0
-1
-6
-1
-5 0
1 -3 0
A második és harmadik sor nak megfelelő egyenletek azonosak, így például a har madik elhagyható.
A redukált egyenletrendszer; X , - 2 x 2 - 4 X 3 + X 4 - 3 X 5 = 0, X 2 + 6 X3 + X 4 + 5 X 5 = 0 .
Végtelen sok megoldás van, három ismeretlen paraméternek vá lasztható, például X3, X4, X5. A megoldás: x , = - 8X3 - 3X4 Xj = - 6X3 - X 4 - 5x j .
177
KVK-1190 c) X, = 4X2 - 2X3, X4 =X2 ~ X 3. d)Xi = - X 2 - 4X4, X3=X2+3X4e) Az első és második egyenlet sorrendjét felcseréltük, xi és X2 kikü szöbölése után az alábbi táblázatot kapjuk: A harmadik és negyedik sornak 1 0 -2 1 1 megfelelő egyenletek ekviva 4 1 0 1 -7 lensek, így például a negyedik 0 0 10 -3 -1 sor elhagyható. 0 0 20 - 6 - 2 ( A redukált egyenletrendszer: Xj - 2X3 +X 4 +X 5 = 0, X2 - 7X3 + 4X4 +X 5 =0, 10X3 - 3X4 - X 5 = 0. Végtelen sok megoldás van, két ismeretlen paraméternek választ ható, pl. X3, X4. A megoldás: X, = - 8 X 3 + 2 X 4 , X2 = - 3 X 3 - X 4 , Xj = 1 0 X 3 - 3 X 4 . f) Csak triviális megoldás van: x, = 0 , X2 = 0, X3 = 0 , X4 = 0 . g) X, = 2 X 4 - 2 x 5 ,
X2 = - 3 x 4 + 3 X 5 ,
h)Xj = - X j - 2X5,
X4 = - 2x 2 +X3.
178
X3 =
0.
KVK-1190
3. VEKTORGEOMETRIA 3.1. Alapfogalmak, alapműveletek 3.1.1. a )i(l;0 ;0 ),
j(0; 1; O), k( 0; 0; l ) ,
j = k=l . b ) ( 8 ; - í; l) ,
|a| = ^8' + ( - 4 f
c)b (-2;0;3),
b=VÍ3.
3.1.2. a)vi= (-2;-7;2),
=9
V2(2;7;-2).
b )v 3 (-5 ;-2 3 ;ll).
c) V4
3.1.3. a) AC = c - a , ahol a és c az A és C pontok helyvektorai, koordinátá ik megegyeznek A és C koordinátáival. AC(3; -1 ; 2) CA = -A C, így CA (- 3; 1; - 2 ) , AC = CA =V9 + 1 + 4 = V Í 4 .
b )A B (l;-1; 4 ),
c) BC(2; 0 ; - 2),
AB = 3 V I
BC=2^/2
179
KVK-1190 3.1.4. a) A nullvektor iránya megállapodás szerint tetszőleges, ezért párhu zamos a-val. 3 3 b)A megfelelő koordináták hányadosa - —, tehát c = - —d. A két vektor párhuzamos. c) Nem párhuzamosak. 3.1.5. a) Igen.
b)Nem.
3.1.6. 1 =— a a
a) Az a irányába mutató egységvektor; = V25+ 11 + 64 =10, b)Ci
e^=^a,ígye^ = c)e<
5 5
Vh ’
1, VíT, 4 2 ’ 10 ’ 5
V Í 4 ’ VÍ4
3.1.7. A három oldal oldalvektora: A B (-3; 0; - 4 ) , BC(7; 0; l), CA (- 4; 0; 3) (a vektorokat ellenkező irányítással is vehetnénk). K = AB + BC
CA = 10 + 5 V2 egység .
A háromszög egyenlőszárú derékszögű háromszög, mert AB = CA = 5 és AB
CA = B C
3.1.8. A háromszög legnagyobb belső szöge a leghosszabb oldalával szemben van. Mivel AB = Vl29 > BC = V9Ö > CA =
, ezért a háromszög
legnagyobb szöge az AB oldallal szemben, a C csúcsnál van.
180
KVK-1190 3.1.9. A háromszög szabályos, ha oldalai egyenlő hosszúak. A B (-8 ;6 ;1 0 ), AB
BC
B C (2 ;-1 4 ; O),
CA(ó ; 8 ; - l O) ,
CA = I0 V2 , tehát a háromszög szabályos.
3.1.10. a)C(4; 0; - 5 ) .
3 b)A súlyvonal hossza: — egység.
3.2. Vektorok szorzása 3 .2 . 1 .
a ) a b = 3 - ( - 2 ) + 2 - 5 - 4 - 3 = -8 . Mivel ab = -8 < 0, ezért a és b hajlásszöge tompaszög. b)c és d hajlásszöge hegyesszög. c) e és f hajlásszöge derékszög. 3.2.2.Ha az A csúcsnál derékszög van, akkor az AB(x + 1; 0; - 4 ) és AC(4; 0; - 3) vektorok skaláris szorzata nulla. Ez x - ^ teljesül.
esetén
3.2.3. a) Jelöljük a hajlásszöget a-val! A skaláris szorzat definíciója alapján ab -2-1 -3 1 cosa = ----- = —r=— = —7=— = — , tehat a = 135 . ab V2-V9 V2-3 yÍ2 b)Hajlásszög ~ 54,79°. 3.2.4. a)a = 30°, p = 60°, T = 7 • V3 területegység.
y = 90°,
181
KVK-1190 b)cosa =
ABAC AB AC
a =120°.
2
r>A cosp = ^ r - ^ T = r « 0,802955, BC BA
p ~ 36,59°.
y - 1 8 0 ° - ( a + p)«23,41° . T = - AB AC sinl20° = 3V3 területegység. 2 3.2.5. A kocka egy csúcsból induló élei páronként merőlegesek egymásra és hosszuk egyenlő. a| = |b| = |c| = 15 és ab = bc = ca = 0, tehát a három vektor egy kockát feszít ki. 3.2.6. i a) a Xb = - 3 3
•
k J 2 -4 -3 2 -4 =i -j 1 5 3 1 5
-4 5
+k
-3
2
3
1
= i(l0 + 4 ) - j ( - 1 5 + 12) + k ( - 3 - 6 ) = 14i + 3 j - 9 k . b ) d x c = 45i + 5j + 40k . c) e Xf = - i - j - 2k . 3.2 .7 .a(b x c) = 0 . 3.2.8. A háromszög területe: ^ = ~
x AC .
(Bármelyik egy csúcsból kiinduló két oldalvektorát használhat nánk.) AB(-3;-6;-6),
182
AC(1;-3;-5) .
KVK-1190
i
j
A B xA C = - 3
-6
1 -3
k
-6 -6 =1 -3 -5
-6 -5
-3
-J
-6
1 -5
+k
-3
-6
1 -3
= i( 3 0 - 1 8 ) - j( l5 + 6) + k(9 + 6 )= 1 2 i-2 1 j + 15k, ABxAC = V144 + 441 + 225 = V ^ = 9VÍÖ,
^ _ 9-VlÖ
területegység.
3.2.9.
a) AB
AC = 3, BC = V s, a legnagyobb szög tehát a B
csúcsnál levő p szög, a legkisebb szög a C csúcsnál levő y szög. Mivel p + Y= 180° - a , ezért elég a-t kiszámítani. cosa = ^ , a = 45°, így P + y = 135° . V2 b)A B xA C = 2 i - 2 j - k , 1 T = - AB XAC = — területegység . 2 2 3.2.10. a)?^ = 0. 3.2.11. a) A tompaszög a háromszög leghosszabb oldalával szemben lehet. A B (- l;0 ;- 2 ) , AB = V5,
B C (0 ;-1 ;2 ),
BC = V5,
CA(1; 1; O),
C A =V 2,
AB
BC > CA
Két tompaszög nem lehet, ezért a háromszög nem tompaszögű.
183
KVK-1190
b) Az A csúcsból induló magasság: m =
i A B xA C = -1
-1
j
2T
A BxA C
BC
BC
k
0 - 2 = -2 i + 2j + k , -1 0
A B xA C = V4 + 4 + l = 3 ,
3 SVS m = - p = —— egyseg. v5 5
3.2.12. a) A és C csúcsnál levő szögek: 120°, B és D csúcsnál levő szögek: 60°, b) T = 100 • Vs területegység. 3.2.13. T = 3 területegység,
9 9^f5 BT hossza: - p = ------egység. V5 5
3.3. Vektorok geometriai alkalmazása 3.3.1. a )x = - 2 - t , y = 5 + 2t, z = l + 3 t . Még egy pont az egyenesen: A(-3; 7; 4) (t = 1 választással). b )x = 3 - 4 t , y = 5 + 3t, z = -2 + 12t . Még egy pont az egyenesen: B(7; 2; -14) (t = -1 választással). 3.3.2. a)x = 3 + 2t, y = 1 + 3t, z = 2 + 1vagy x = 1+ 2t, y = -2+ 3t, z =1 + 1. b) a Xb merőleges a-ra és b-re is, ezért irányvektomak vehetjük az aX b = v(3; 4; - 6 ) vektort. Az egyenes egyenletrendszere: x = 6 + 3t, y = -3 + 4t, z = 4 - 6 t .
184
KVK-1190 3.3.3. X = 2t, y = -t, z = 2t. Az A pont rajta van, a B pont nincs rajta az egyenesen. 3.3.4. a) A két egyenes párhuzamos, ha irányvektoraik párhuzamosak. ( 3 ei irányvektora: vi(2; -3; 4), ea irányvektora \ ^ = -1 ; —; - 2 V 2 A megfelelő koordináták hányadosa: -1 f -2 1 azaz V 2 = - - V i. 2 2 ■- 3 ~ 4 " 2 ’ Mivel Vi és V2 párhuzamosak, ezért az egyenesek is párhuzamosak. b)Nem párhuzamosak. 3.3.S. a) X - y + 2z - 3 = 0,
a sík illeszkedik az A pontra.
b ) 3 x - 2 y - z - l l = 0 , a sík nem illeszkedik az A pontra. 3.3.6. a) A síkot egy pontja és egy, a síkra merőleges vektor határozza meg. Pontnak válasszuk pl. az A-t (nyilván bármelyiket választhatjuk). Síkra merőleges vektort kapunk, ha vesszük a sík két vektorának, például AB, AC-nek a vektoriális szorzatát. A B (-3 ;1 ;2 ), i — — A B xA C= - 3
A C (-1 ;-1 ;3 ), j k ■' 1 2 =i
- 1 - 1 3
1 2 -3 ^ ^ -j -1
2 3
+k
-3
1
-1
-1
= 5i + 7j + 4k . Tehát normálvektomak n(5; 7; 4)-et felhasználva a sík egyenlete: 5 ( x - l ) + 7 y + 4(z + l) = 0 . Rendezés után: 5x + 7y + 4 z - l = 0 .
185
KVK-1190 A sík egy pontját megkapjuk, ha pl. x-nek és y-nak választunk va lamilyen értéket, amelyeket a sík egyenletébe behelyettesítve meg kapjuk a pont harmadik koordinátáját. Legyen pl. x = 0, y =0,
ekkor z = — .
r A D 0; 0; — a sík egy pontja. 4 b) X + 33y + 14z-167 = 0, a sík még egy pontja: D(l; 1; 9,5) . 3.3.7. 5 x - 4 z + 35 = 0 . 3.3.8. Az AB oldal felezőpontja: F \ Az egyenes v irányvektora merőleges a síkra, tehát annak bármely vektorára, így például AB és AC vektorokra. Az irányvektor tehát párhuzamos az AB x AC vektorral. AB XAC = 6i + 6j - 3 k , vegyük ennek ^ -szorosát, v(2; 2; -1). Az egyenes egyenletrendszere: x = ^ + 2 t, y = 2t, z = 2 - t . 3.3.9. a) Ha van közös pontjuk, akkor a koordináták kielégítik az egyenes és a sík egyenleteit is. A sík egyenletébe behelyettesítjük az egyenes paraméteres egyenletrendszerből x, y, z-t: -1 + 2t + 5 - 3t - 6 + 4t - 1 = 0 . Rendezés után 3t = 3, azaz t = 1. A síknak és az egyenesnek tehát egy közös pontja van, az egyenes t = 1 paraméterértékhez tartozó pontja: x = 1, y = -2, z = -2. A közös pontjuk: D (l; -2; -2).
186
KVK-1190 b)Az a) feladat megoldásához hasonlóan járunk el: 5 + 5t + t + 2 - 6 t = 0 . Rendezés után 7 = 0, ami nem teljesülhet, tehát az egyenes egyetlen pontja sincs a síkban. Az egyenes pár huzamos a síkkal. c) Az a) feladat megoldásához hasonlóan járunk el: 10 + 5t + t - 1 0 - 6 t = 0 . Rendezés után 0 = 0, tehát bármely t esetén teljesül az egyenlő ség. Az egyenes a síkban fekszik. 3.3.10. Ha az egyenes párhuzamos a síkokkal, akkor merőleges a két sík normálvektorára, ni-re és n2-re, vagyis párhuzamos (ni x n2)-vel. A síkok normálvektora:ni(2; -4; 6), n2(3; 0; 2).
i j k -4 6 2 6 2 -4 +k n, xHj = 2 - 4 6 = i -J 3 0 0 2 3 2 3 0 2 - - 8 i + 14j + 12k . Iránjrvektomak vehetjük a v =
^ **2)vektort: v(4; -7; -6).
Az egyenes egyenletrendszere: X = - 2 + 4t, y = 3 - 7 t, z = l- 6 t. 3.3.11.2y + z + 1 = 0 . 3.3.12. a) Az egyenes egyenletrendszere: x = l - t , y = l + t ,
z = 2 + t.
b) T = — területegység . 3.3.13. a) Az A csúcsnál tompaszög van. b)A súlyvonal egyenesének egyenletrendszere: x = l,
y = 2 + ^ t,
z = -l +t.
187
KVK-1190 c) A háromszög síkjának egyenlete:
2 x - 2 y + z + 3 = 0.
3 d) T = — területegység. 3.3.14. A két sík párhuzamos, tehát van ilyen sík. A keresett sík normál vektora párhuzamos a két sík normálvektorával, így az n ( l; 1; -2)-t választhatjuk normálvektomak. írjuk fel az első sík egy tetszőleges pontján, például P(l; 2; 1) ponton átmenő, a síkokra merőleges egyenes paraméteres egyen letrendszerét: x = l + t , y = 2 + t, z = l - 2 t . 4 l' fi pontban döfi. A kereEz az egyenes a másik síkot D 3 ’ 3 ’ 3, '2 5 5 felezőpontjára, így sett sík illeszkedik a PD szakasz F \ 3’ 3’ 3 egyenlete: x + y - 2 z + l = 0. 3.3.15. 4x + y + 3 z - 6 = 0 . 3.3.16. Jelöljük a B pont helyvektorát b-vel, a D pontét d-vel, amely d = b + BD alakban állítható elő és BD = BA + B C . Számítsuk ki a BA, BC vektorokat: BA(2; -1 4 ; O), B C (-6 ; - 8 ; lO), így B D (-4; - 2 2 ; lO), tehát d ( - 3 ; - 1 6 ; 8). A D pont koordinátái megegyeznek d koordinátáival, így a paralelogramma negyedik csúcspontja: D(-3; -16; 8). A BD átló egyenesének irányvektorának vegyük a BD vektor -szeresét: v(2; 11; -5). A B pontot használva, az átló egyenesének egyenletrendszere: x = l + 2 t, y = 6 + l l t , z = - 2 - 5 t .
188
KVK-1190
4.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 4.1. Sorozatok 4.1.1. a ) 3,1; 3,01; 3,001; 3,0001; 3,00001; 3,000001. Szigorúan monoton csökken, konvergens, határértéke 3. 3, 3. 9. 15. 33, 63 2 ’ 4 ’ 8 ’ 16’ 3 2 ’ 64 ' Mivel egy negatív valós szám pozitív egész kitevős hatványai vál takozó előjelűek, ezért a sorozat elemei váltakozva kisebbek illetve
f 1Y abszolút nagyobbak - 1-nél. Így a sorozat nem monoton. A — V 2^
értéke n növekedésével csökken, 0-hoz tart. Tehát a sorozat eleme inek - 1 -töl való eltérése 0-hoz tart. így a sorozat konvergens, ha tárértéke - 1 . c) 1; -V 2 ; V3; - 2 ; Vs, - V 6 . Nem monoton, divergens, nincs ha tárértéke. d)l; 0; —; 0; — ; 0. Nem monoton, konvergens, határértéke 0. 9 23 e)5; 3; 1; 1; 3; 5. A negyedik elemtől kezdve szigorúan monoton nő, divergens, határértéke + oo. f) 9990; 9900; 9000; 0; - 90000; - 99000. csökken, divergens, határértéke - oo.
Szigorúan
monoton
n. A . - A . n 2 ’ 2 ’ ’ 2 ’ 2 ’ ■ Az előjel váltakozása miatt nem monoton. Mivel bármely indextől
189
KVK-1190 kezdve van a sorozat elemei között
és is, nincs olyan 2 2 valós szám, amelytől ezen elemeknek való eltérésének abszolút ér téke kisebb lenne, mint például ^ . Tehát a sorozatnak nincs határ értéke, divergens. 1 3 7 15 31 63 ^ ^ , h )—; —; —; — ; — ; — . Szigorúan monoton no, konvergens, ha^2 4 8 16 32 64 ® tárértéke 1. i) 120; 60; 20; 5; 1;
6 Mivel n növekedésével a nevezőben álló n! értéke is növekszik, ezért a sorozat szigorúan monoton csökken. A sorozat elemei a ha todik elemtől kezdve 1-nél kisebbek, s az n-edik elem nevezője az előző elem nevezőjének n-szerese. A nevezők minden határon túl való növekedésével a törtek 0-hoz tartanak. Tehát a sorozat kon vergens, határértéke 0.
4.1.2.Figyelje meg, hogy egy sorozat első néhány eleméből általános esetben még nem tudjuk megsejteni a határértéket! Ebben a feladatban és a továbbiakban is egy szorzat vagy hányados határértékének megállapítjuk a „típusát”, és ezt az egyenlőségjel alatt zárójelben megadjuk. (Azaz szorzatnál a tényezőknek, hánya dosnál a számlálónak és a nevezőnek külön kiszámítjuk az adott helyen vett határértékét.) a) a, = -4; &2 - -27; aj = -58; = -91; de pl. ajo = 4005. / \ 1 1^ = + 00, felhasználva, hogy lim a„ = lim n ^ 1 10- +5- , n n ^/ (+ 00.1) V 10- —^ 1 0 - 0 = 0, é s 5 - ^ - > 5 - 0 = 0 ,h a n ^ + o o . n n^
190
KVK-1190 7. 9. 11. 13 üj 3.9 — 5 3-0 — , 3.4 — , 3,c — ' 3 ' 8 ^ 15 ' 24 lim a„ = lim
n—>+00
n—>+00 —
1+ ------ ^ ^
1
= Hm
o ^ ----2 2n
n-^+Qo
= 0.
c)0,71; 0,71; 0,82; 0,92. lim a„= +oo. n->oo
d) a, =2,41;
a^ =3,15; aj =3,73; a^ =4,24,
Vn +1 + Vn hm a„ = h m --------------- = +00. n^+®
n^+” (n +1) - n
4.1.3. a) n > 10001. 34 4n + 10 4 1 telie<— 3 n -l 3 3 (3 n -l) 10 34 pozitív, mert n > 1. Ebből sül, ha < — , hiszen 3 (3 n -l) 10^ 3 (3 n -l) átrendezéssel kapjuk, hogy 340 < 9n - 3, azaz n > 39. a „ -A
c) lim a„ = 1, és 1- a„ = 1- a„, mivel 1- a„ > 0. n-^+QO
2” 1 1-------------< — , azaz 900 < 2" teljesül, ha n > 10. 2 " +100 10
4,2. Egyváltozós valós függvények elemi vizsgálata 4.2.1. a )x € R \{ 2 ;-l} .
b )x e R \{ -l;0 ;l} .
191
KVK-1190 2
c) - 2 - 3x > 0, és X 0, így X €
d )x e ] - o o ; - 2 ] U [ 2 ; + oo . e) X > 0 és 1- VX
0, azaz x
1, így x e [ 0; 1 [ u J 1; + oo
f) x e R \ { 0 } . g) cos X > 0,
-— + k-2n; —+ k-27i , ahol k e Z ,
azaz x g
2
2
h)Csak pozitív kifejezéseknek értelmezzük a logaritmusát, így 1+ X ------> 0 . Ez pontosan akkor teljesül, ha l + x > 0 é s l - x > 0 , 1 -x vagy l + x < 0 és l - x < 0 . Összesítve: -1 < x < 1. (Az utóbbi két egyenlőtlenség nem teljesülhet egyszerre.) Tehát x e ] -1; 1 j) X € R \{ 1 ]
i) X € R \{ o }. 4.2.2. a)f(g(x)) = sinVx,
x g
[0 ; + oo[;
g(f(x)) = Vsinx, X G [ k •2 k ; tih-k•2ti ], ahol k g Z . b)f(g(x)) = e"%
x g R;
g(f(x)) = -e%
c)f(g(x )) = g(f(x)) = lg lg x . lg x > 0 , a z a z x > l, így x
g
] 1 ; +
oo
xgR.
.
/ \ 71 d)f(g(x)) = tg ----—- X , X G R \{k-7i } ,a h o lk e Z ; v2 y 71
g(f(x)) = —- tg x ,
192
x g R\<
71
—+ m-7i [>,aholmGZ.
KVK-1190 e)f(g(x)) = 1
-1 -
X x; A tört nevezőjében a gyök alatt csak pozitív szám állhat, ezért - 1 > 0 , azazx^ >1. Ez teljesül, ha x e ] - o o ;-1 [U] 1;+<» 1 g(f(x)) = 1
i
A gyök alatt nem állhat negatív szám, ezért 1- x^ > 0, azaz x^ < 1. Ez teljesül, ha x e [ -1; 1 ]. f)f(g (x )) = — ( 3 x - l)
xe R\ | i | ; [3J
4.2.3. a) h(x) = cos X, g(x) = x ^ b)h(x) = e% g(x) = ctgx, c) h(x) = In X, g(x) = - , X
g(f(x)) = 3 — -1 , x € R \{ o } . X
g(h(x)) = cos^ x . g(h(x)) = c tg e \ g(h(x)) =
Inx
d)h(x) = arctgx, g(x) = 10% g(h(x)) = e)h(x ) = e% g(x) = e% g(h(x)) = e ^ \ f) h(x) = sh X, g(x) = - x , 4.2.4. a)D f
g(h(x)) = -sh x ,
szimmetrikus a 0-ra, és bármely x e
esetén f (-x ) = 0.
Mivel f(-x ) = f(x) = - f(x ) = 0 is teljesül, a függvény páros és pá-
193
KVK-1190 ratlan is. Megjegyzés: Azon függvények, melyek egyszerre párosak és páratlanok, pontosan a következők: f(x) = 0, szimmetrikus a 0-ra. b)Páros.
c) Páros. 1
d)D f =R\<{± —}•, ez szimmetrikus a 0-ra. Bármely x e D,. esetén f(- x ) =
3(-x) _ - 3 x = - f ( x ) , tehát a függvény páratlan. 4 ( - x ) ^ - l “ 4 x ^ -1
e)Mivel D f = R \ { - l } nem szimmetrikus a 0-ra, nincs értelme pari tásról beszélni. g) Páratlan.
f) Páros.
h ) D f = J - e ;e [ , ez szimmetrikus a 0-ra. Bármely x € Df esetén \ e-x ^ e -x ^ = - f ( x ) , tehát a f (-x ) = ln = ln = - ln ve + xy e+x Ve -x függvény páratlan. (Felhasználtuk, hogy ln x “’ = - l n x , hiszen az értelmezési tartományuk megegyezik, a függvényértékek egyenlő sége pedig az ismert logaritmus azonosságból adódik.) i) Nem páros és nem páratlan. j) Df = R \{ k -2 } ,a h o lk egész, ez szimmetrikus a 0-ra. Jelen esetben a függvény ábrájából a legkönnyebb eldönteni, hogy a függvény páratlan, hiszen grafikonja szimmetrikus az origóra. (4.1. ábra) k)Páros.
4.1. ábra 194
KVK-1190 4.2.5.Ebben a feladatban f(A ) = H jelöli, hogy az A halmazt az f(x) függvény a H halmazra képezi le. a) A természetes számokat négyzetre emelve a négyzetszámokat kap juk, kivéve a 0-t, így f (A) = {négyzetszámok}\{o}. Ha pedig -1 < X < 1, akkor 0 < < 1, s bármely [0;l[-beli valós szám előáll -l;l[-b e li valós szám négyzeteként (például a gyökének négyzete ként), így f(B) = [0;l[. Hasonlóan f(C) = [0;+oo . b)f(A )-{0},
f(B) = f(C) = [ -l;i;.
c) f(A ) = {pozitív páratlan egészek}, f(B) = [- l;+oo[, f(C) = }- oo;-l . d )f(A ) = N,
f(B) = ^ o );-l[,
f(C) = R ".
4.2.6.Ebben a feladatban és a továbbiakban is lim f(x) = b"^ azt jelenti, x^a hogy az f(x) függvény az a helyen a b-nél nagyobb számokon ke resztül tart b-hez, lim f(x) = b“ pedig azt, hogy f(x) a b-nél kisebb x^a számokon keresztül tart b-hez. Természetesen a lim f(x) = b megx-^a oldás is helyes. a) f(x) = - ( x - 3 ) ^ +4,
D f = [ 0 ;5 [,
R f= [-5 ;4 ],
korlátos.
x -tm :P ,(l;0 ), y -tm :P 2 (0 ;-5 ). A [O; 3 ]intervallumon szigorúan monoton növekszik, a [ 3; 5 [ in tervallumon szigorúan monoton csökken. Konkáv. lim f(x) = -5"^, lim f(x) = 0^. (4.2.a. ábra.) x^0+ x-^5~ b) Df = R \ {O}, Rf = ] 1; + 00 [, alulról korlátos. Páros. Nem metszi a tengelyeket. A ] - oo; 0 [ intervallumon szigorúan monoton csökken, a ] 0; + oo intervallumon szigorúan monoton növekszik.
195
KVK-1190 A ] - oo; 0 [ intervallumon és a ] 0; + oo [ intervallumon konvex. lim f(x) = lim f(x) = +00, lim f(x) = T .
x-^-oo
x-^+oo
x-^0
a)
(4.2.b. ábra.)
b)
c)
c) Az fjíx ) = — x + 8 függvény képe egyenes, mely az fjÍTi) = 4 és n f2(271) = 0 függvényértékek segítségével felrajzolható. Df = R, Rf = [ 0; 4 ], korlátos, periodikus, y - tm : Pj(0; 0). A függvény további jellemzését a ] 0; 2ti ] periódusban adjuk meg: tm : ?2 (2k; 0). A ] 0; 71 ] intervallumon konstans (monoton nő és csökken), a 7i; 271 ] intervallumon szigorúan monoton csökken. Konkáv, mert az intervallumon belül bármely két pontját összeköt ve, a húr nem megy a függvénygörbe fölé. (A ] 0; 7i ] intervallumon konkáv és konvex.) lim f(x ) = 0^, lim f(x ) = 4 . x^0~ x-^0^ X-
196
KVK-1190 Az f(x) függvénynek a + co -ben nem létezik határértéke. Ha ugya nis az x„ =n-27i sorozaton keresztül tartunk a +oo-be, akkor a függvényértékek sorozata f(x „)= f(n-27i) = 0 a 0-hoz tart, ha az x„=7i + n-27i sorozaton keresztül, akkor f(x„)= f(7i + n-27i)= 4 pedig a 4-hez. (4.2.c. ábra.)
427 . . .
Ji
a) lim (-2x^ + x) = -2
+ - = 0. 2
v2y
x^-
2
lim (-2 x ^ + x ) X -^ -o o
=
- 00.
-o o + (-o o )
lim (-2x^ + x ) X -^ + o o
=
,_ i.i 2 X
lim -2 x "
-0 O + (+ Q o ) x
-^ + 0 0
— 00 .
= (-C 0 -1 )
1 Felhasználtuk, hogy lim x = +oo, és lim —= 0. X -^ + O O
X -^ + 0 0
^
A fentihez hasonlóan általában is belátható, hogy a racionális egész függvényeknek a + oo -ben (illetve - oo -ben) vett határértéke meg egyezik a legmagasabb fokú tagnak a +oo-ben (illetve -oo-ben) vett határértékével. b) lim f(x) = - 00,
lim f(x) = +oo.
x^+x^ 0^+0^ c) h m --------- = h m --------- = 0. x^o i_ 2 x x ^ o i-2 -0 /
x^+x^ h m --------- = hm x^-oo i_ 2 x
x^ - 2x
+00
V = - cxd :
X
1- ‘
2x ;
x^+x^ h m --------- = hm l-2 x
1^ 2 — A
= lim
X^-QO
2
1
V
1 2 ------X 2
X
^ 2xy
(-00-1)
1+ X
1-
=
- 00.
(- 00-1)
2x
197
KVK-1190 A fentiekhez hasonlóan általában is belátható, hogy a racionális törtfüggvényeknek a + 00-ben (illetve - 00-ben) vett határértéke megegyezik a számláló és a nevező legmagasabb fokú tagjainak hányadosának a + 00-ben (illetve - 00-ben) vett határértékével. Ezt a későbbiekben használni fogjuk. x^ + x^ 1 lim ----- — = + 00, felhasználva, hogy x < — esetén 1- 2x > 0. x^-1-l - 2 x 2 x^+x^ 1 lim --------- = - 00, felhasználva, hogy x > — esetén 1- 2x < 0. . 1; l - 2 x (X] ’ 2
d) lim f(x) = -4, lim f(x ) = -4, lim f(x ) = -oo, lim f( x ) = +oo. x^-00 X^+QO x^-2~ x^-2"^ e) Összetett függvények esetén a határértékszámítást belülről kifelé haladva végezzük, akárcsak a fíiggvényértékszámítást. i 1 lim e ’‘ = 1 , hiszen lim —= 0 , és lim e’^ = 1 . x^-00
x^-00 ^
x^O
1 1 lim e"" =1^, hiszen lim —= 0^, és lim e"" =1^.
x^+00
x->+oo ^
x^O"^
1 1 lim e"" =0^, hiszen lim —= - 00, és lim e"" = 0^. x-^0 x^O X x^-QO 1 lim e ’' = +00, hiszen lim —= +00, és lim e"" = +00 . x-^0^ x^O^ X x^+00
pX —0 , í) lim X->-00 X " 1 '
198
lim — — 0% X^+QO X ' 1 ' ^+00^
lim — — X ^+00^ . 0^ y
KVK-1190 r i+ x ^ r i+ x ^ = - 00, hiszen lim =0 \ g) lim In x^-l* U - x J x^-r [ l - x j r i+ x ^ ^1 + x^ = +00 = +CO, hiszen lim lim In x^r { í - x j x^r U -X y
h)
lim In
x^±oo
1+ X
1 -x
= 0, hiszen lim
X^±QO _
^
J
X+ 1
= -1, így lim
X^+QO - X
= +1.
+ 1
1+ X 1+ X = 0^ = - 00, hiszen lim lim In x^-l* 1 - x 1 -x lim In
i)
1+ X
1+
X
= +0O. = +00, hiszen lim x^l* 1 - x 1-X
lim f(x) = - 00, x->0“
lim f(x ) = +oo. x^O’"
4.2.8. a )D f = ]-o o ;
+ Go [,
lim f(x ) = -oo,
lim f(x ) = +oo.
b)D f = ] - o o ;- l[ U -1;1 U]l;+oo[, lim f(x ) = 0"‘, lim f(x) = +co, x -^ -o o
x-^ -1
lim f(x) = -oo, lim f(x ) = +oo, lim f(x ) = -oo, lim f(x ) = 0". x ^
- r
x - ^ r
x ^ l-"
x -» + o o
c) Df = ] - o o ; - l [U ]-l;+ o o . lim = l i m ^ = l. x^±®x^+2x + l x-^±co
lim
= +00 . ^ (x + 1)^ _i_' ‘ 'i
d)D f = ]0 ; +00 [,
lim f(x) = lim f(x) = + 00, Vn+ V_ x^O
e ) D f = l0 ; + o o ,
lim f(x )= lim f(x) = +oo, x-^0^ x^+co
199
KVK-1190 f) Df = ] - oo; 0 [U ] 0; + 00 lim arctg—= 0“, hiszen lim —= 0”, és lim arctgx -- 0“ .
X-^-QO
^
x^-oo ^
1 lim arctg —= — x->o
X
x-^0
1 , hiszen lim —= -oo, és lim arctg x = —
2
X
x^-co
.
2
Mivel a függvény páratlan, ezekből következnek az alábbiak: ^ ^ 1* 1 + hm arctg—= — ,es hm a r c t g - = 0 .
1*
X
g)D f
= ] - o o ;
h ) D f
=]
0 ;
2
+
+00
oo
[,
X
[,
lim f(x ) = + o o , lim f(x ) = + o o , X-^0^
lim f(x ) = 0^. lim f(x ) = r . X-^+QO
i) Df = ] 0; 1 ], felhasználva, hogy a g(x) = arccos x függvény értel mezési tartománya: Dg = [ -1; 1 . lim arccosX-lóg„ X
x ^ 0+
"
í n.
=
- o o .
.)
lim arccos x •log„ x = arccos 1•log^ 1 = 0. X—>1
4.2.9. a ) lim f ( x ) = 0, lim f(x ) = l - e =0, azaz lim f(x) = f(0) = 0 . x^O x^O^ x^O Az f, (x) = 0 és az fj (x) = 1- e”^’‘ elemi függvények, így folytono sak. Az f(x) függvény a 0-ban is folytonos a fentiek alapján, tehát értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Az f(x) függvény folytonos függvény. b)Nem folytonos.
c) Folytonos.
4.2.10. a)f(x) szigorúan monoton nő, f(x) =
200
x+4
KVK-1190 b)Az
X, < X2
egyenlőtlenséggel ekvivalensek az alábbiak:
- X i > - X 2, 1 - x , > 1 -X 2 , ^ 1 - x , > ^ 1 -X 2 . (Felhasználtuk, hogy a g(x) = Vx
függvény szigorúan monoton nő.) Tehát
Xi < X2 esetén f ( x ,) > f ( x 2) , azaz az f(x) függvény szigorúan monoton csökken. Mivel y = V l - x esetén y^ = 1- x , azaz X=
1- y \ az f(x) függvény inverze: f(x) = 1- x \
c)f(x) szigorúan monoton nő, f(x) =
logj 2x
4.2.11. a)D - = { 2 n |n e N } u { - ( 2 n - l) |n € N } és f(x) =
b)Legyen fj(x) = x - l és
X,
ha x > 0,
- X,
ha X < 0.
= A = ]-oo;0]. Ekkor a 4.2.5. és a
4.2.10. feladatok megoldásait és jelöléseit alkalmazva fi(A) = ]-oo;-l] és fi(x) = x + l. Hasonlóan legyen f2(x) = x^, D f^=B = ]0;l], ezekre f2(B) = ]0;l], f2(x) = V x. Végül legyen f3(x) = - —, Df = C = ]l;+oo[, ezekre f3(C) = ]-l;0[, f3(x) = - —. X ' x Ezen adatok segítségével az inverz függvény: X +1, ha X < -1, D - = f ,( A ) U f 3(C )U f2(B),
,
f(x) =
h a -l< x < 0 ,
X
Vx,
h a O < x < l.
4.2.12. b) c) V(17) '( i + 2 ^ + 2 ') = 51,
líri
\ Í TÍ
3
3
2"
16
d )20.
201
KVK-1190 492
g )2 .
e) {rj
h)0.
j) log2 sin
i) 5. 3n
k )-6 .
n) arctg tg ^
- 5 - 2 n = lóg 2 sin
1) ctg
v’ 2,
= 0.
m) - V3 ,
7t
= arctg (- V s)= - —.Megjegyzés:
arctgtg Xq = Xj, ahol x, e
o) 0, mertarccosl = 0.
q )lo g ^l = 0.
'2
v4.
7l _ 71
2 ’2
, és X, = Xg + k • 71,aholk s Z .
» > -!■
r)0 .
S ) - f
2 /gln2 _g-ln2 >2 t) (thln2)' =
Í2 -i^ 2 2 .1 2;
202
rs^ ' _ 9 ~25
KVK-1190
5.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 5.1. Differenciálhányados és deriváltfüggvény 5.1.1. a) f'(Xq) = lim ^^0 Ax^O
^ 1
b )fX x .) = lim Ax^o
1 Ax
•Ax + Ax^) = 3xq
Ax^O
Xo-(Xo+Ax) = lim
Ax
- lim ----- -------------- Í- = lim “^ Ax^o(x„+Ax)-Xo Ax ^=<^HXo+Ax)-Xo
e) fX x .) = lim
Ax
= Um
Xq-Xq
x^
‘
.: Ax-[Jx^+Ax+^x^)
2 a/ ^ ’ 5.1.2. A deriváltfüggvényeket akkor egyszerűsítjük, ha ettől az eredmény valóban egyszerűbbé válik. a )f'(x ) = X~2 7
+ -(3^' -(15)' = -- x " 2 + 1 . 3 ’^- l n 3 - 0 2^ ^ ^ ^ 2 2
ln3 : + ----- 3 \
b )f'(x ) = x - l + - L - ± . X x
203
KVK-1190 c) f'(x ) = (x(x^ +Ó X + 9)) = (x ^ + 6 x ^ + 9 x ) = 3x^+ 12x + 9.
d )f'(x ) = -
21
4Vx
e)s'(t) = V o+at.
g )f'(t) = |( c o s 't - s i n ' t).
f) r'((|)) = -10sin()).
h) f'(x ) = (cos X•cos x)' = - 2 sin x •cos x . i) f'(x ) = e -e ’‘(x + l ) = e ’‘"'(x + l). j) f'(x ) = ----- | ^ - ( t g x + ctgx) + ( l- l g x ) x-lnlO
k )f'(x ) =
V2
2 --- 1 — X ^ Inx + x ^ — 5 X V2
1) f'(x ) =
2Vx
•x ^ + (5 - sV ^jx ’^ " '.
ln 2 -2 ’^ -s h x -(2 ’^ -2 )-c h x sh^ x
204
c os ^ X
l--ln x 5
sin^Xy
KVK-1190 tgx n )f'(x ) = —■— 2 4 ^arctgx
_ 3 (tg x) •arctg x - (arctg x) •tg x _ 8
(arctg x)^
1 1 3 „ „ „ 2 ,r^ rc tg x -tg x -^ _ ^ 1+ x^ cos x arctg X 0)f'(x ) = -
23 (5x + 4) 2 •
p) u'(v) =
4v
, , 8x(x^+8)-4x^-3x^ . x"^-16x q )f'(x ) = — i— - r ^ — r:5-------- = -4 -7 ------(x> + 8/ (x'+8)^ , 0 -sin x -7 i-co sx cosx r) f'(x) = -------- -------------= -71 sin^ X sm X ^ ( l o g . x + n ’ )-R /7 s) h'(x) =
1 H-n'^ x ln n
-In ti
(log„x + n")' - • I g x - l n x - l g x ---e’‘ -lg^x 1 I -----P=-cht + V t-sht ( 3 -t) + V t- c h t ,4 -V F J u)u '(t) = (3-t)^ 3cht + 3t-cht + 1 2 t-sh t-4 t^ -sht 4-\fé{3-tf
205
KVK-1190 v)Két megoldást adunk a példára: f'(x) = (x^ •e’‘) -cosx + x^ •e’‘(cosx) = (2 x-e’‘ +x^ •e '')co sx -x ^ •e'' -sinx = e’‘(2x-cosx + x^ c o s x - x^ -sinx). Másrészt felhasználva a háromtényezös szorzat deriválására vonat kozó
(f (x) •g(x) •h(x)) = f'(x) •g(x) •h(x) + f (x) •g'(x) •h(x) +
+ f(x) •g(x) •h'(x) képletet: f'(x) = (x^) •e’^ -cosx + x^ •(e'') -cosx + x^ •e’‘ -(cosx) = I x - e ’^ -cosx + x^ •e'' -co sx -x ^ •e’‘ -sinx.
W )f'(x) =
v2y
x) Felhasználva, hogy
cthx 5
k!
x
-+ In-
X •cth X
sh X
k-x k - l k - ( k - l) !
.k-1
( k - l) !
, ha k e N ,
TV T (x )\ = l1+ x + ---- + ... + ------= > -----. 99! t i n!
5.1.3. a ) f '( x ) - — ^ - s i n V ^ . 3Vx"
b )f'(x ) = — : sin^ e’‘
c) f(x) = h(g(x)), ahol h(x) = 2% h'(x) = 2"" • In2 és g(x) = sin x , így f'(x) = h'(g(x)) •g'(x) =
206
•In 2 •(sin x) = In 2 •2®'"’‘ •cos x .
KVK-1190 d) f(x) = h(g(x)), ahol h(x) = arctg x, h'(x) = —^
és g(x) = - ,
1+ x
r ( x ) = h'(g(x))-g'(x) =
1
így
X
1
l + (g(x))^
1+
x^+1 e) u'(v) -
í) g'(t) =
1 (InM O)t-lgt
g) f (x) = h(g(x)), ahol h(x) = In x, és g(x) = a x , így bármely a e R \{ o }
esetén
f'(x) = h'(g(x))-g'(x) = — •(ax)' = — •a = —. ax ax
Az integrálszámításban felhasználjuk azt az eredményt, hogy (in (-x )) = (in x) = —, s ebből következően (in x ) = —.
i) f'(x) = ( - l n l 0 ) 1 0 '\
h )g'(t) = e^‘ -e*.
j) Többszörösen összetett függvények esetén a láncszabályt alkalX.
mázzuk. f(x) = h(g(x)), ahol h(x) = x^ és g(x) = tg —.
f'(x) = 2 - tg - .
X
= 2 tg -.
2 X v4.
COS —
k )f'(x ) =
X 2Ocos 2 —
-chx 2 -^ sh x
207
KVK-1190 1
1
6
log 3 thx
th x -ln 3
ch^ X
ln 3
sh 2 x
1) f'(x) = 3(log3 thx)--
(F e lh a sz n á ltu k , h o g y s h 2 x =
^
2
s h x - c h x .)
chV x^
3
m )f (x) = - - - = -------
n )f'(x ) =
=2
• l n 5 '(cos^
In 5 •5“ *
'•
cos
2
2
x) = ln
x • ((- sin
(F e lh a sz n á ltu k , h o g y s i n 2 x =
2 2
5
- 5 “ ®'^’‘ • Í 2 - c o s 2 x - ( c o s 2 x )
V
x ) •( 2 x ) ' )
=-2
In 5
•5 " ° * ' •s i n 4 x
/ .
s in x - c o s x .)
- sin In X I --------------------------- --------------------------------
111
I---------------------------------------
—
V l-cos-M „x
x -c o s M n x jl-
' COS I n x
5.1.4. y (t) = “ A •a •sin at + B •b •cos bt + C •c •e‘"‘ . b )f'(x ) = 2 sin x -co sx -2 x sin x ^ ^ 4xtgx^ COS X
d) f'(x ) = 12(3x + 2 y - (31n4)4'’‘^". e)Az alábbi megoldásban megmutatjuk, hogyan célszerű racionális törtfüggvények vizsgálatakor a deriváltfíiggvényt kiszámítani. A zárójelek felbontása előtt kiemelünk, majd egyszerűsítünk.
208
KVK-1190 r u ) = 2 (2 x -3 )-2 -(x + 1 )^ -(2 x -3 )^ -3 (x + 1)^ ^ (x + 1)*^
_ (2x - 3)(x +1)^ (4(x +1) - 3(2x - 3)) ^ (2x - 3)(-2x +13) (x + 1)^
“ g )f'(x ) = l -
(R + r)^
h )f'(x ) =
2(2 - x )V l-x
ex^-'-cthe’^ e^-thx^ sh 'e " c h 'x '
r i) f Xx ) = - — -\n x + —
j) f'(x ) =
(x + i r
x ^ -1 x^ +x^
’
_ ln x (ln x - l) Inx (lnlO)xlti^ X (lnlO)x vlnx^
V
1) f'(x ) = -
/ T \2 2x 1+ 1 -x '
2
+ 2x^
2x 1 -x ' ^ 2(l + x ^ )^
1+
J ____ 2 (l-x ^ )+ 2 x -2 x 4x^
(l-x^r
2
(l-x ^ )^ + 4 x ^ + 1+ x^ Megjegyezzük, hogy a megadott függvény deriváltfliggvénye a kö zös értelmezési tartományban megegyezik a g(x) = 2arctgx függ vény déri váltfíiggvény ével.
209
KVK-1190 /
m )f'(x ) = 5Í V S -tg
TIX
N
\4
71 1 2 7TX *2 COS — 2 y /
V
5k
V s - tg
\
nx
\4
2cos^ n) f'(x ) = sin(x •cos x) + X•(cos(x •cos x))- (cos x - x •sin x) 1
o) f '(X) =
1-
X - Vx^ - 1
1
Vx^ -1
(ln4)(x + sh x -eh x )
^
,
Vx^ -1
(x + sh x -ch x )' (In 4)(x + sh X•eh x) 2eh^ X
q)r'((t)) =
1+ ch^x + sh^x (In 4)(x + sh x •eh x)
. (Felhasználtuk, hogy 1+ sh x = eh x .)
2-sin^2(j) 2eos2(j)(2 + sin^ 2(()) 2 sin 2(1) 71
(2-sin'2(|))'
-2 x ^ +X
TIX
r) f (x) = ------- p = = ^ - c o s 'y/(2x^ + x f V2x^ + x 5.1.5. a )f(x ) = x '+ l + 2x,
210
2 a/ x ^ - 1
V x '- l -
x -V x ^ -1 p )f'(x ) =
X -V x ^ ^
2x
f'(x ) = 2x + 2.
KVK-1190 1 1 \ b )f(x ) = - x « - - x 2 ,
f'(x) = 1 8 ^
3V Í
’
( l„ 3 ) x - Í ' c) f(x) =
Vvlv? d) f(x) =
’V9x'=
- e“’‘, f'(x) = e ’‘ +
e) f(x) = (in x ^)• e ^
= -3 e ’‘ •In x,
. 1 , f'(x) = -3 e ’ —+ lnx x
(Felhasználtuk, hogy ln x “^ = -3 1 n x , hiszen a két függvény értel mezési tartománya megegyezik, a függvényértékek azonosságát pedig az ismert logaritmus azonosság biztosítja.) 1 f)í(x) = yÍ3x\
/T f'(x) = - ^ .
2vx
g )f(x ) = X,
f'(x) = l.
5.1.6. a) A deriválhatóság szükséges feltétele, a folytonosság teljesül. x < O e se té n f(x )-f[(x ), aholf,(x) = 0, ezért x < 0 esetén a deri vált, illetve az x = 0 helyen a baloldali derivált f/(x) = 0. 0 < X < 1esetén f(x) = f2(x), ahol fjíx ) = x ^ , ezért 0 < x < 1 esetén a derivált, illetve az x = 0 helyen a jobboldali, az x = 1 helyen a baloldali derivált (^) = 2 x . x > le se té n f(x ) = f3(x), aholf3(x) = l, ezért x > l esetén a deri vált, illetve az X = 1 helyen a jobboldali derivált f3(x) = 0. Mivel az X = 0 helyen a bal-, illetve jobboldali derivált is 0, ezért itt a függvény deriválható, de az x = 1 helyen a baloldali derivált 2, a jobboldali derivált pedig 0, tehát itt a függvény nem deriválható.
211
KVK-1190 (A deriváltfuggvény az x = 1 helyen nincs értelmezve.) 0, ha X < 0, f'(x ) = <2x, ha 0 < X < 1, 0, ha X > 1. b)A
függvény az x=0 0, ha X < 0, f'(X ) =
helyen
nem
deriválható.
A-e"^’‘,h a x > 0.
5.1.7. (3)
a )(ln x r =
—
^ =
1^ , 2 X y
~
800000 f) f"(x) = 3e'’‘-’‘'( 3 ( l - x ^ ) '- 2 x )
í U
3
-
J
V /
2
f"(V3)= 6 (ó -V s).
5.2. A differenciálszámítás alkalmazásai 5.2.1. a)A Po(Xo,yo) ponton áthaladó, m meredekségü egyenes általános egyenlete: y - Yo = ni(x - Xq) , ahol m = f'(X q) • (Ld. az ábrát.) Xo=4,
yo=f(X o) = 2,
=
m = f'(Xo) = ^ .
Az érintő egyenes egyenlete: y - 2 = —(x - 4 ), azaz y = —x +1. 4 4
212
KVK-1190
b )y = x . 4 4 d )Y o = — , m = 0, y = — e e
e )y = ^ x — . 71
( 2 x - e ) - ln '( 2 x - e )
71
, y = — x + 3. e
5.2.2. 7t
b) df = — ^ d x , ^ 96
c)Az f(x) függvény
Xg helyen vett x-szerinti differenciálja:
df = f'(X o)dx. A megadott adatokkal: 1
f'(x) =
2^íx^^|l-x
,
f'
1
= 1, df = dx.
v2. V2 ’ V2
5.2.3. Ebben a feladatban és a továbbiakban is egy szorzat, hányados, összeg vagy különbség határértékének „típusát” az egyenlőségjel alatt zárójelben megadjuk, ahogy ezt a sorozatoknál is tettük. (Ez azt jelenti, hogy szorzat esetében a tényezők, összeg és különbség esetében a tagok, hányados esetében pedig a számláló és a nevező adott helyen vett határértékét külön-külön kiszámítjuk.) a ,,i„ Í Í Z ^
,
H „ z X2 z í ) 1 , 2x
= lim 3(2 - x) = +C0 . (A szabályt kétszer alkalmaztuk.)
213
KVK-1190 b) lim X^+OO_ 2x
lim (-1) = -1 . X^+QO
c)0"^.
e) 0.
f) lim — ^
X^+CO e ’‘ _ e
^
= lim —
= lim ---- = 0^.
X^+OO
X^+CO
g) lim ( l - x ) e ’‘ , = .lim X —> - 0 0
l^+oo-O '^ j x - ^ - o o
Q
1-x
_ g
x^-oo _ Q 1-x
(Felhasználtuk, hogy (e’‘ ' ) ' = e' h )0 \ i) lim
^ lim ------- — = lim e"' = +oo. (Megjegyezzük, hogy x^O* - X
X
átalakítás zsákutcába vezet.)
az x -e ’‘ =
k )-l.
j) 0-. 1) lim x^O
1
1
=
x - s in x 1 -c o sx h m ---------- = h m --------------x^o- smx + x-cosx x^o- X •sin X
smx = lim "0^ 2 c o s x -x -s in x . 0,
UJ
5.2.4. a) f '(0) = f '(-3) = 0,
214
f"(0) = 0.
b ) f '( x ) ^ 0 ,
f" " i " = 0. v ’2.
K VK-1190 í 1 c )f'(x ) = ( l - l n x ) '+ x - 2 ( l - l n x ) - - = ( l - l n x ) '- 2 ( l - l n x ) = l x; = In^ X- 1 . f'(x) = 0, ha In^ x = 1,azaz Inx = 1,tehátx = e, 1 vagy In X = -1, tehát x = —. e
í f'(e) = f ' — =0. yej
f"(x) = 21nx-—, f"(x) = 0, h aln x = 0, azaz x = l,
f"(l) = 0.
X
d ) f '( - l) = 0,
f"(x)9tO.
e) f'(x) = e’‘(sinx + cosx), f"(x) = 2e’‘ -cosx,
Ti ^ f ' — + k-7i = 0, ahol k € Z . 4
n —+ m-7i = 0, ahol m € Z . 2 /
f
5.2.5. Az alábbi feladatban, hacsak külön nem jelezzük, a deriváltfügg vények értelmezési tartománya megegyezik, vagy bővebb az erede ti függvény értelmezési tartományánál, a) Rf = R .
b )l. Értelmezési tartomány: D f = R = ] - oo; + 00 .
2. Párosság: f (-x ) = ((-x)^ -
-
1)^ = f ( x ) , tehát az f(x) függvény páros, 215
KVK-1190 elemzését a [ 0 ,+ o o [ intervallumon végezzük, majd tükrözzük a képét az y-tengelyre. 3. Határértékek; lim f(x) = +oo. X^+QO
4. Tengelymetszetek: x-tm; Pj (1; 0 ), mert (x^ - 1)^ = 0, ha x = 1 (x > 0 m ellett), y-tm: P2( 0; - l ) , mert f(0) = - l . 5. Monotonitás: f'(x) = 3(x^ - 1)^ •2x = 6x(x^ - 1)^, f'(x ) = 0, ha X = ±1, vagy x = 0. Az értelmezési tartománj^ olyan intervallumokra bontjuk, melye ken belül a derivált előjele egységes. Most kivételesen megvizsgál juk a ]-l;0 [ intervallumot is, hogy eldönthessük, van-e szélsőérték az x = 0 helyen. (Az előjelvizsgálathoz felhasználjuk, hogy (x^ - l ) ^ > 0 , ha X 9^ + 1 .)
-
0 0
0
i
P2
t
-l< x < 0 f'(x ) f(x)
1
X>1
0
+ t
Lokális minimum: ?2 (0; - 1 ) . 6. Konvexitás: f"(x) = 6(x^ -l)^ +6x-2(x^ - l) - 2 x = ó(x^
“0’
f"(x) = 0, ha X = 1, vagy x =
« 0,45 (x > 0 m ellett). V5 Az értelmezési tartományt olyan intervallumokra bontjuk, melye ken belül a második derivált előjele egységes.
f"(x) f(x)
216
0 < x < -^ V5 -1u
1
1
4~5 0
—p ^ < x < l ^f5 -
1
X>1
0
+
P3
n
Pl
u
KVK-1190 Inflexiós pontok; P3
1 -6 4 V s ’ 125
Rf = [ - l ; + oo
c ) R f = [ - 2 ;2 ] ,
d )D f= R \{ -l} ,
f'(x) = -2
(x+\y
lim f(x ) = 0-
X-^±QO
lim f( x ) = +oo, x-^-P 5 x+— = 0. (x + ir
217
KVK-1190
Rf = e)R f =[0;i;.
í) R f =
218
KVK-1190 g )l. Értelmezési tartomány: Df = R \ { 0 } = ] - o o ; 0 [ U ] 0 ; + o o
2. Párosság: ^ 2^^ , f ( - x ) ^ f ( x ) , f ( - x ) ^ - f ( x ) , tehát 3(-x) 3x a fíigvény nem páros és nem páratlan. 3. Határértékek: (x -1 )' (x-1)^ 00 = lim — 7 = lim —= ±00, lim hm X-^±00 X— >±00 ^ 3x^ 3x 0+ 4. Tengelymetszetek: x-tm: P, (l; 0 ), mert (x -1)^ = 0, ha x = 1, y-tm nincs, mert 0 gÉD f. 5. Monotonitás: f'í.r \ _ ^ -1)^ • x^ - (x -1)^ •2x _ 1 x(x -1 )^ (3x - 2(x -1)) _ ^ 3 ? “ 3 ? “ l ( x - l ) ^ ( x + 2) , f'(x) = 0, h ax = lv ag y x = -2. =
(Felhasználjuk, hogy -^(x -1)^ > 0, ha x
f'(x) f(x)
—
.
1.)
x < -2 +
-2
-2 < x < 0
0 < X< 1
1
X >1
0
-
+
0
+
t
P2
t
t
Lokális maximum: P, 6. Konvexitás: x ^ -3 x + 2
= 2 ^ ^ -^ , x
= - ( l - 3 x ^+ 2 x
==-(óx ^ - 6 x '*) =
f"(x) = 0, ha X = 1.
2 (Felhasználjuk, hogy — > 0, ha x e D f.) X
219
KVK-1190 <0
f"(x)
-
-
1 0
f(x)
n
n
P.
x
Inflexiós pont: P i(l;0 ).
Rf = R .
h)R f = R .
220
0<
x
X>
u
+
1
KVK-1190 i) Rf =]-oo;l .
j) 1. Értelmezési tartomány: Df = R \ { 0 } = ] - o o ; 0 [ U ] 0 ; + oo 2. Párosság: zL i f(-x ) = (-x )-e ^ ’‘ = - x - e ’‘, f ( - x ) 5tf(x ), f ( - x ) - f ( x ) , tehát a fügvény nem páros és nem páratlan. 3. Határértékek: _1 -i -1 lim x-e = - 00, lim x-e = + 00, lim x-e = .0 ^ , X —> - 0 0
1 lim X•e ^
(-Q O -l)
X -^ + Q O
(+ 0 0 -1 )
X —>0"^
e '" ‘ , lim — r- = ü m --------^— = lim - e
x-»0“
= —00. /
4. Tengelymetszetek: x-tm nincs, mert x •e
=0, ha x = 0, de 0 ^
y-tm nincs, mert 0 g D f. 5. Monotonitás: 1 f'(x ) - Q + x -e =e
, V
,
f'(x) = 0, hax = - l .
Xy
(Felhasználjuk, hogy e ’‘ > 0, ha x e D f.)
221
KVK-1190
f'(x) f(x)
x < -l +
-1
-l< x < 0
0
-
x>0 +
t
P.
4
t
Lokális maximum: Pj (-1 ; - e ). 6. Konvexitás: f"(x) =
=e
=e 1
X
1+ - - 1
=e
1 r, 1" i+ - +e 1
X
(Felhasználjuk, hogy e
f"(x) f(x)
Rj, = ] - Q o ; - e ] U ] 0 ; + oo
222
--
> 0, ha x e
.)
x <0 -
X> 0 +
n
u
KVK-1190 k) f(x) = ------ alakban vizsgáljuk a függvényt. 2 -x 1. Értelmezési tartomány: Df = R \ { 2 } = ] - oo;2 [ U ] 2 ;+ oo\ 2. Határértékek: e“’‘ -e -^ h m ------ = + 00, lim = Hm c lim x-^-oo 2 -X 2 - x ^+00^ X->-QO -1 ^+00, 0+ lim
e'^ 2 - x ^e-2 ^
e”" X-^+QO 2 - x lim
Oü,
(X)^
3. Tengelymetszetek: x-tmnincs, mert e”"" ^ 0 , y-tm: Pj 4. Monotonitás: f -( x )= z £ líz í) z p z l),í;íiz » , (2 -x )' (2 -x )'
r ( x ) = 0 , h a x = l.
(Felhasználjuk, h o g y -------- ^ >0, ha x € D f.) (2-x)
f'(x) f(x)
0
l
x>2 +
P2
t
t
X<1
1
-
1
Lokális minimum; P. 5. Konvexitás: (e“" ( x - l) ) = - e " " ( x - l) + e"’‘ = e '" ( 2 - x ) , ((2 -x )^ ) = - 2 ( 2 - x )
felhasználásával f "(x) =
e~^ (2 - x)(2 - x)^ + 2e'^ (x - 1)(2 - x) (2 -x)^
223
KVK-1190 e - (2 - x )( ( 2 -x ) ^ + 2(x (2 -x /
d)
e - ( x ^ - 2 x + 2] (2 -x )’ ’
(Felhasználjuk, hogy e’’‘(x^ - 2x + 2)> 0.)
f"(x) f(x)
x<2 +
x>2
u
n
-
7. Értékkészlet; -o o ;0 [U
"1 -;+ oo _e
1) Rf = ]0;l]. Megjegyezzük, hogy a függvény fontos szerepet játszik a valószínűségszámításban.
224
KVK-1190 m ) R f = [0;+oo
1. Értelmezési tartomány: Df = R n { l } = ] 0 ; l [ U ] l ; + oo 2. Határértékek: / X-* _ lim lim = = lim x->0* Inx ^+00^ x->0* \ V J X ”'
P
= -00,
x -‘ _ = lim x->r Inx ^ 1^
00,
x ”‘
lim — = + 00, lim — = x^iM nxí± l x->” lnxío"' 3. Tengelymetszetek: x-tm nincs, mert x”' 0, y-tm: nincs, mert 0 g D f.
225
KVK-1190 4. Monotonitás: - x '^ - I n x - x ”'-x'* f'(x ) = (Inx)'
- x ’^(lnxH-l) lnx + 1 (x-lnx) 2 ’ I n 'x 1 f'(x ) = 0, h aln x = - l , azaz x = - . e (Felhasználjuk, hogy (x •In x)^ >0, ha x e D f.)
f'(x) f(x)
0
1 e
1 -
+
0
-
t
P.
1
X> 1 -
Lokális maximum: P, - ; - e e 5. Konvexitás; ((x •In x)^) = 2(x •In x)(l •In x + x •—) = 2x •In x •(In x +1) X.
—(x-lnx)^ -2 x -ln x (ln x + l)^ felhasználásával f"(x) = -^^----------------------r--------------= (x-lnx) _
(x •In x)(ln x - 2(ln x +1)^) (x-lnx)"^
ln x -2 (ln ^ x + 21nx + l) (x-lnx)^
21n^x + 31nx + 2 ^ „ - 2 ^ ^ = --------------- r----- , f (x)í^O, mert 2a +3a + 2í^0. (x-lnx) (Felhasználjuk, hogy 21n^ x + 31n x + 2 > 0 .)
-
X>1 +
n
u
X<1 f"(x) f(x)
226
KVK-1190
7. Értékkészlet: R f = ] - ° o ; - e ] U ] 0 ; + oo
p) Df
\ {e },
lim f(x) = 0^ lim f(x) = +00, lim f(x) = -co .
(1 -ln x )
x-^+00
3 - ln x x ( l- ln x )
r(e ^ )= o .
= - o o ; - e \ u ] 0 ;+oo
227
KVK-1190 q )l. Értelmezési tartomány: Df = [ 2 ; + oo .
2. Határértékek: lim f(x) = f(2) = 0,
lim ( 3 - x ) V x ^ ^
X^+QO
= -° o .
(-QO-+QO)
3. Tengelymetszetek; x-tm: P ,(2 ;0 ),P 2 (3 ;0 ), hiszen f(x) = 0, h ax = 2,vagyx = 3, y-tm nincs, mert 0 í D f. 4. Monotonitás: A 1 - 2 (x - 2 ) + (3 -x ) -3 x + 7 \ I---- ^ f'(x) = - V x - 2 + ( 3 - x ) — p = = — i ------ = — P = , 2 V x -2 2 V x -2 2^|x-2 Df, = ]2; + oo[,
f'(x ) = 0, h a x = ^ .
(Felhasználjuk, hogy 2 V x -2 >0, ha x € Df,.)
f'(x) f(x)
Lokális maximum: P,
7 2
7
3 0
7
X> —
3
t 7
2
3’3V 3/
«0,38. 3^Í3
5. Konvexitás: -3 V ^ ^ -(-3 x +7 ) ^ 2 V T ^ _ - 6 ( x - 2 ) - ( - 3x + 7 ) x -2 4 (x -2 )V ^ r^ = -------, D f.= ]2 ; + oo[, 4 (x -2 )v x -2
f"(x )^ 0 , m e rt-g D f.. 5
(Felhasználjuk, hogy 4 (x - 2 )V x -2 > 0, ha x e D ^ .)
228
KVK-1190 x
>2
f"(x)
-
f(x)
n
Rf = —co: ■ r ) R(. = } - o o ; 0 ] U [ 4; + o o
229
KVK-1190 s) Df = [O;+ oo[,
lim f(x) = +co.
105 f'(x) = y x H 3 x - l ) , f"(x) = - ^ x 2 ( 5 x - l ) , Rf
230
:+oo
KVK-1190 u)R f = — ;+oo e
5.2.6. a)Maximum: f(0) = 1, minimum: f ( - l ) = 0. b)Maximum:f(l) = e^, minimum: f(0) = 0 . (Megjegyezzük, hogy a minimum értéke rögtön adódik az gek figyelembevételével.) c)
1 -;e
Df
f'(x) = ( l- l n x ) + x
> 0, e^** > 0 egyenlőtlensé
1
A deriváltfuggvény segítségével monotonitásvizsgálatot végzünk a függvényen a megadott intervallum fölött.
e f'(x) f(x)
+ t
1
1< X < e
0 lók. max.
-
1
A függvény menete alapján a maximum: f(l) = 1, a minimum le1 3 r 1^ hetséges helyei: x = — , vagy x = e . Mivel f(e) = 0 < - y = f — e" e y ezért a minimum: f(e) = 0.
231
KVK-1190 d )f'(x ) =
„ ■ f'(l) = 0, V (x ^ -2 x + 5 )‘
f(0) = - í - , V5
lim f(x ) = 0*.
1
5.2.7. a ) R f = [ 3 ; + oo[.
c)A megadott intervallumon érvényes az Inx^ s 21nx azonosság. l; + o o [ e D f
f'(x ) = 21nx- —- 2 - —= —( in x - l) , X
f'(e) = 0.
X X
A deriváltfuggvény segítségével monotonitásvizsgálatot végzünk a függvényen a megadott intervallum fölött. 1< X < e f'(x ) f(x) f(l) = 0,
f(e) = - l ,
-
1
e 0 lók. min.
X>
e
+ t
lim (lnx-(lnx-2))= (+ oo-+ oo) = +oo. X -> + Q O
A fiiggvény menetét vázölva, s felhasználva, hogy a függvény foly tonos, értékkészlete a fenti adatokból leolvasható: Rf = [-1; + oo .
d)R f = 0;
e )f'(x ) = - ^ = , 2 x V x -l'
232
f'(x )> 0 ,
Rf =
KVK-1190 5.2.8. Válasszuk a téglalap oldalainak felét a illetve b egységnek.
Ekkor nyilván 0 < a < l , 0 < b < l és b = V l-a ^ A téglalap terüle te: T(a) = 2a •2b ==4aVl - a^ . Vizsgáljuk meg a T(a) függvény menetét. T'(a)==4
-2 a
a +a-
=4
j
2V TV A deriváltfüggvény zérushelye 0 < a < 1 esetén a =
T'(a) T(a)
0
Látszik, hogy az a =
t
V2
1 V2 0 lók. max.
= 4-
ví^ a
V 2‘
-^
helyen lokális és egyben abszolút maxi-
muma van a területfíiggvénynek. Ekkor b =
11 A" 1V IV 2 J
1
,te-
V2
hát a négyzet esetében maximális a terület.
233
KVK-1190 P'(R) = 0. •r = U^ (R + r r R+r Az r = R helyen a P(r) függvénynek abszolút maximuma van. 5.2.10. a)A profitfuggvény: P(x) = R (x )-C (x ) = - x ^ + 1 2 x ^ - 2 1 x - 2 5 ,
5.2.9. P(r) = l ' r =
X > 0. A határprofitfíiggvény; MP = P'(x) = -3x^ + 24x - 21. b)Egységnyi termelés növekedés esetén a többletköltséget a MC = C'(x) függvény segítségével határozzuk meg az adott ter melési szinten. MC = (x^-15x^ + 76x + 25) = 3 x ^ - 3 0 x + 76. 2000 tonnás termelésnél a költségnövekedés C'(2) = 28, azaz 28000 pénzegység. 4000 tonnás termelésnél a költségnövekedés C'(4) = 4 , azaz 4000 pénzegység. c) P'(x) = -3 x ^ + 2 4 x -2 1 = 0,
P'(x) P(x)
0
1 0 lók. min.
Xj =7, 1< X< 7 + t
X2 = l . 7 0 lók. max
x>7 4
Tehát 7000 tonnás termelés esetén lesz maximális a profit. 5.2.11. 10000 darab. 5.2.12. a) 100 pénzegység.
234
b)500 darab.
KVK-1190
6.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZATLAN INTEGRÁLJAI 6.1. Alapíntegrálokkal megoldható feladatok 6.1.1. a)Az
x “ dx = ------ + C ( a e R , alapintegrált az a = 2, (X + 1 a = 1 és a = 0 értékekre felírva azt kapjuk, hogy az x^, x és 1 egyx^ x^ egy primitív függvénye: — , — és x. Mivel egy számmal szorzott
függvény egy primitív függvényét úgy kapjuk meg, hogy a függ vény egy primitív függvényét megszorozzuk a számmal, az előbbi eket felhasználva nyilvánvaló, hogy a 3x^, 2x és 1 egy-egy primitív függvénye: x^, x^ és x. Tehát: (Sx^ + 2x + l)dx = x^ + x^ + X + C .
, ^ Sx"* 4x^ x ^ ^ 5x"^ 4xVx 1 ^ b ) --------------+ ----- + C = ----------------- + — r + C. 4 3 3 4 3 3x'
c)
(2 -Vx - Vx j
_ j*4x^ -4X* + X
_
X ^
1 ^
_4
4 x " 3 - 4 x ~6+ -
X
12
:+
24
7
13
15x^ d) 28
5x^» 13
. + In X + C . 1
5x~'° +C= 2
28
13
2>^
+ C,
235
KVK-1190 e) Az
e ’‘dx = e’‘ + C , az
sinx dx = -cosx + C
alapintegrálokat
felhasználva a következő eredményt kapjuk: (2 •6*^ - 3sinx)dx - 2 - e ’‘ + 3cosx + C . 10’‘ f) 3 -------+ 5sinx + C. InlO
h)
r2" - 7- 5^
dx =
g) 4 s h x - 3 c h x + C
dx =
1
-7In-
-7'
v3.
v3.
i n^ 3
i) Ha egy racionális törtfüggvény számlálója nem alacsonyabb fokú, mint a nevezője, akkor a racionális törtfüggvény felírható egy raci onális egészfüggvény, azaz egy polinom és egy olyan racionális törtfüggvény összegeként, amelynek a számlálója már alacsonyabb fokú, mint a nevezője. így: 3 + x^ 2 + 1+ x" ■+ 1. Tehát: 1+ x^ 1+ x ' 1+ x^ f3 + x ' dx = 2-+ 1 dx = 2arctgx + x + C . 1 + x^ 1+ x ' ,, 2 x ^ + 3 x ^ + 2 x + 4 2x(l + x^)+3Íl + x^) +l . . 1 j ) -------------- ^ ^ — = 2x + 3 + ------ r . 1+ x^ 1+ x' 1+ x^ r2x^+3x'+2x + 4 dx = 2x + 3 + ■ dx = 1 + x^ 1+ x^ = x^ + 3x + arctgx + C . k) - x + In
236
1+ x + C. 1 -x
1+ x 1) - - — x + —In + C. 3 2 1 -x
KVK-1190 m)Nyilvánvaló, hogy:
^ - (l ). Vl -x^ Vl-x^ így az alapintegrálok táblázatát felhasználva azt kapjuk hogy: ^
dx = = arcsin x - x H-----+ C . 3 n )-ln
1+ x + Sarcsinx + C . 1 -x
o) Ismert trigonometrikus azonosságok alapján a következőket írhat juk: j 2 sin■2-X 1^ -co s X - 1. tg x = ^ = ------ i— = — cos X cos X cos X így az alapintegrálok táblázatát felhasználva azt kapjuk, hogy: 1 4tg^x dx = 4 - 1 dx = 4(tgx - x ) + C . p) - 3ctgx - cosx + C . 2 -s h ^ x _ 2 - ( c h 2 x - l ) _ B -ch^x _ 3 eh X eh X ch^x eh X 2 -s h ^ x -1 dx =3thx - X + C eh X eh X
így: .
s) x - c th x + C. t) fsin—cos—dx = J
2
2
fsm x , cosx ^ ---- dx = --------- + C . 2 2
237
KVK-1190 u ) —chx + C.
6.2,
ff(ax + b)dx (a, b e R, a
O) típ U S Ú
feladatok
6.2.1. a) Itt az
f(ax + b)dx = + q képlet használható az f = x^^, •' a a = 2 és b = 1 választással. F az f egy primitív függvénye, tehát az x “ dx =
X
a+l
a +1
+ C alapintegrált a =20-ra felírva azt kapjuk, hogy:
,21 F=
21
• így:
'(2x + I f dx = ^ ^ b)
c)
9(1- x y
+C=
42
+C.
■+ C .
+3 dx = x+2
fX
2-21
X+ 2+ Í
x+2
dx =
1+
-
x+2
dx = x + lnx + 2 + C
d)A számláló nem alacsonyabb fokú, mint a nevező. Ezért a számlá lót elosztjuk a nevezővel. Először a számlálót és a nevezőt 2-vel megszorozva és a nevezőből (-l)-et kiemelve, majd célszerű átala kításokat végezve a következőt kapjuk: x ^ - 3 x + 4 _ 1 2 x ^ - 6 x + 8 _ 1 x (2 x -l)-5 x + 8 _ l-2x 2 2x-l 2 2x-l 1 1 5 (2 x -l)-ll 1 1 lO x -1 6 X -= — x + ---- -------- ------ = — x + 2 2x -1 2 4 2x-l 1 11 1 5 11 1 + — 5 -= — x + ----------------- . így: 4 2x-l 2 4 4 2x-l
238
KVK-1190 fx - 3 x + 4 ^ 1 5 11 1 ^ dx = dx = - - X + ----4 4 2x-l l - 2x x 5 11 = ----- + —X------l n 2 x - l + C, ahol az utolsó tag integrálásánál az 4 4 8 f (ax + b)dx =
+ Q képletet alkalmaztuk az f = —, a = 2
a és b = -1 választással.
e
)
+
3(1 -
X
x)f + C
+
3.
+C .
f ) í ^ + C.
g)
l + 4x^
9x^-1
+-J T Á e?
> 1
+ - ln 6
h)
l + l -
.5.
1
dx = arctg2x +
3x + —arcsin4x + C . 3x 4
1
3 -+ • 16 + x^ 4 - x ^ 1
dx =
1
3
dx = ^9-x^ 3
1 X 3 = —arctg—+ —In 4 4 4 2 -x
1
dx =
■2arcsin —+ C. 3
239
KVK-1190 .,1 5x 1 , 4 + 3x 3 . 7x ^ i) — arctg— ---- In — arcsin— + C. 15 ^ 3 12 4 - 3 x 7 2 1+ V3)
1 • 2 ^ + —= arcsin, —x + C . \5 1- V3 X V2
k)
dx x^+4x + 5
dx •’l + (x + 2)
= arctg(x + 2) + C .
,) ^ a r c t g ^ + C.
• x-3 n) arcsin— ;^ + C 2^f3
m) arcsin ( x - l ) + C .
6.2.2. a) Egy lineáris függvény szinuszának, koszinuszának, szinuszhiperbolikuszának, és koszinuszhiperbolikuszának páros kitevős hatvá nyait pl. az ún. linearizáló formulákkal integrálhatjuk. Most sin2x - cos2x + C. sin^xdx = dx = - X -■ 2 2 , ^ 12x + 8sin2x + sin4x ^ b ) -------------------------- + C . 32
d) sh'^x = (sh^x)^ = ch2x irc h 4 x + l
sh^'x dx = I
240
^ 1 sh2x -+ x + C, c) ^2
1^ = l( c h '2 x - 2 c h 2 x + l) =
-2 ch 2 x + l • így: ch4x ~8
sh4x sh2x 3x ^ ch2x 3 ^ dx = ----------------+ — + C . 32 4 8 r~^8
KVK-1190 e)
3e 3e" / ,3 x ^ + C. -Q -^-ie+ -
dx = = ^ ( e - 2 e ’‘ +e^’‘)dx =
g)_£tg(2x + 5 ) ^ ^ -3 /
\
v2
y
h )2 th
+c.
i) Alkalmazzuk a ctg a = — r---- 1 azonosságot a = 3x-re! sin a 1 - 1 dx = - Í Í S ^ - x + C. sin 3x .. •*
th4x 4
j) X ---------- + C .
6.3.
J [f(x )ff'(x )d x ( a e R , a
-i)
típusú feladatok
6.3.1. a) A 2 -3 x ^ deriváltja -6x. Ezt figyelembe véve az integrált a követ kező alakban írjuk fel: x(2 - 3x ^ dx = -
(2 - 3x ^)^ (- 6x ) d x . Itt alkalmazhatjuk az
r a+1
f “ f ' dx = ------ + C (a - l ) képletet, amelyben most •' a +1 f = 2 - 3x^ és a = 8. így az integrál értéke:
l (2-3x^r.._ 8+ 1
( 2 - 3 x - f ■+ C. 54
241
KVK-1190 4
(4 + 2 x ^)3 ^ ^ _ (4 + 2 x ^ )\J 4 + 2x ^
■+ C.
c) -
■+ C.
d )-
Vl-x'
■+c.
9(l + x^y
e) A sinx deriváltja cosx és a chx deriváltja shx. így az ^a+1 [f “ f ' dx = ------ + C képlet az első tagra az f = sinx és a = 2, a J
a +
1
második tagra pedig az f = chx és a = 3 választásokkal alkalmazha tó. Tehát: (sin^xcosx - 2ch^xshx)dx = sin^x
J
ch"x
+ C.
sinx chx ---T“ + cos x Vl + shx
dx =
- (cos x)^'' (- sin x) + (1 + sh x )"2 eh x dx =
—------T— h 2"\/l + shx + C . 3cos X g)A lineáris függvény szinuszának, koszinuszának, szinuszhiperbolikuszának és koszinuszhiperbolikuszának páratlan kitevös hat ványait pl. úgy integrálhatjuk, hogy felírjuk az első hatványának és a maradó páros hatványának a szorzataként, majd a páros hatványt a négyzetes összefüggések segítségével a megfelelő másik függ vényre írjuk át. Ebben a feladatban a cos^x = l-s in ^ x négyzetes összefüggést használhatjuk fel. Tehát: Jcos^ dx = Jcos^x •cosx dx = (l - sin^x)cosx dx =
242
KVK-1190 / -2 ^. • sin X ^ ^cosx - sin xcosx jdx = sinx----- ----- h C , ra+1 ahol az integrálásnál a második tagban az f “ f ' dx = -!^---- + C a +1 (a ^ -1) képletet alkalmaztuk az f = sinx és a - 2 választással. . , ch^x
,
^
h )-------- chx + C .
I) Jf2?;2iax = - J ( c . g > x í - V sin X V sm x .. th^x ^ J) —^ + c .
k) ft g^xdx= f (tg ^ x ) í^ ^ ---- l l d x = |f(tg^x)— ^ - t g ^ x ■' •’ \c o s X J cos X tg^x
fT 1 • - 1 dx = Vcos X
dx =
- tgx + X+ C .
cth^x . ^ 1 ) ------------cthx + x + C.
m ) - |( l - 2 e " ) í +C = - | ( l - 2 e ’‘) V l - 2 e ’‘ +C.
n)
dx = - '(2 + e->)’ ( - e - ) d x = - Í ^ Í ^ + C,
6
+C.
o )-
4 4 -In 10
(3-In 2) 3 - 2 2 V y 243
KVK-1190 In^x r ) ------+ C
In^'x q )—— + C .
dx
s)
xln
V,
\-2
(Inx)
X
1j (inx) ^ 1 •—dx = -^— -— + C = ------ + C X -2 + 1 Inx
t) - V 2 + 3 -ln x + C . 6.3.2.
a)£SÍ8Ji + c . 3 3(arctgx)3 ^ ^ _ 3arctgx ^arctgx 4 d )-
4 ^ arcsin^Sx ^ e ) ------------ + C , 15
1 ■+ C. 3arctg X
^ arcsin x ^ f ) -----------+ C.
h)
dx ^(l - x^jarcsinx
arccos x ^ i ) ------------- + C.
244
g ). (arcsinx)
arcsinx 1
• +c ,
rdx = 2Varcsinx + C .
Vl - X" (3 + 2arctgx)^ , ^ 12
KVK-1190
6.4. f^^dx típusú feladatok f(x)
641
. . . a) Az 1+ x^ deriváltja 2x. Ezért az integrált a következő alakban ír hatjuk fel: f X , 11 f 2 x — ^dx = dx. 2 1 + x^ [+ x ' f Most alkalmazhatjuk az — dx = In f + C képletet, amelyen f he
lyére (l + x^ )-et kell írni. Tehát az integrál értéke: ~ln(l + x^), ahol felhasználtuk, hogy 1 + x' = l + x^, mivel az 1+ x^ mindig pozitív. b) f— ^— dx = — f —- — dx = —ln(x^ - 2x + 3)+ C . 'J x '- 2 x + 3 2 J x '- 2 x + 3 2 ^ ^ c) - ln ( l - s i n x ) + C .
d )^ ln (2 + 3chx)+C .
cosx e) ctgx dx = —;— dx = In sinx + C . smx f) ^Inch2x + C.
ln3
g ) - l n 2 - e ’‘ + C .
i)
dx xlnx
Inx
dx = In Inx + C
j) - |l n |3 - 2 1 n x | + C.
245
KVK-1190 k) 7-----------------= - ^ ± ^ d x = ln arctg x + C . (l + x^) arctgx •’ arctgx 1) ln| 1+ arcsinx| + C .
m) - In(arccosx) + C .
n) - ^ ln( 4 + Sarcctgx) + C .
6.5.
típusú feladatok
Jf(g(x))g'(x)dx
6.5.1. a) Mivel a
deriváltja -x, legyen az
f(g(x))g'(x)dx = F(g(x))+C
(F '= f) képletben az f = e’' és
x^ g - — Y ■Ekkor g’ = -x és F = e^. így: |x e ^ dx = - e ^ ( -x ) d x = - e ^ + C .
co s(n -2 x -)^ C . 6 c) Legyen az f(g(x))g'(x)dx = F(g(x))+C
(F '= f) képletben f = — 1+ X
g = x ^ . Ekkor f(g(x)) = — í— , g'= 2x és F = arctgx. így: 1 +x X
1 f
1
^
,
1
2
^
------ - = — ------ - •2x dx = —arctgx + C . 1+ x ' 2 J 1+ X' 2 d)Legyen az f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C (F' = f) képletben
246
és
KVK-1190 f = Inx és g = Inx. Ekkor f(g(x)) = Inlnx, g'= — és a 6.6.2. b) felaX
dat megoldása alapján F = x(lnx - 1). így: r Inlnx (inlnx)- —dx = (ln x )(ln ln x -l) + C. X
3x^
e)
■3x^ dx = arcsinx + C
dx =
V l-x ^
re^ t f , dx = X
1 í
K
^
^2 1 dx = -6"^ + C.
J
6.6. Parciális integrálással megoldható feladatok 6.6.1. a) Legyen a parciális integrálás
f 'g d x = f g - fg'dx képletében
f ' = e'"'^ és g = X. Ekkor f = -e '" ’^ és g' = 1. így a feladat megoldá sa a következő; Jx e '-’‘ dx = x ( - e '- ’‘) - j ( - e ' - ’‘)-ld x = -x e'-" - e '- ’‘ +C = =
(x + l)+ C .
b ) ( x '- 2 x + 3)e’‘ + C .
^ xsin2x cos2x ^ c ) --------- + -------- + C . 2 4
d) (x ^ + x )sin x d x = (x ^ + x )(-co sx )+ (2x + 1) cosx dx = = -(x^ + x) cosx + (2x + 1) sinx + 2cosx + C = = (2 - x^ - x) cosx + (2x + 1) sinx + C . e) (2x + 1) chx - 2shx + C .
247
KVK-1190 f) (4 x '+ 6 x + 3 6 ) s h |- -( l6 x + 1 2 )ch |- + C.
6. 6. 2. a) Legyen a parciális integrálás
f 'g d x ^ f g -
fg'dx képletében
1 f ' = X és g = Inx. Ekkor f = — és g'= —. így: 3 X x ' Inx 1 fx ' 1 x^ dx = x^ Inx dx = — Inx —dx = 3 x _ xMnx x^ _ x^(31nx-l) + C. b) Gyakran a parciális integrálás képletét úgy alkalmazzuk, hogy az integrandus elé egy 1-es szorzót írunk és ezt választjuk f'-nek. Eb ben a feladatban a parciális integrálás j f 'g d x = f g - fg'dx képle tében f '= 1 és g = Inx, tehát f = x és g'= —. így; X
jlnxdx = x ln x - |x •—dx = x ln x - Jdx = x ln x - x + C = = x ( ln x - l) + C . c) 2-v/x (inx - 2 ) + C . d) J(2x + 1) In^x dx = (x^ + x) In^x - 2 (x + 1) Inx dx = = (x^ + x ) ln ^ x - 2
dx
-+ x In x vv
V
= (x^ + x )ln ^x -(x ^ + 2x)lnx + — + 2x + C.
^ ) (x ^ + l) a r c t g x -x ^ C .
248
f) x arctg 2x -iln (l + 4x>)+C.
KVK-1190 g)Legyen először a parciális integrálás
f 'g dx = fg - Jfg'dx képle
tében f ' = 3x^ és g = arctgx. Ekkor f = x^ és g'= — í—r-. így: 1+ x 3x^ arctgx dx = x^ arctgx -
■dx. 1+ x ' A kapott racionális törtfüggvény számlálója nem alacsonyabb fokú, mint a nevezője, tehát elvégezzük az osztást: x^ x(l + x M -x x rf' , X- ^ , ------ r- = —^------- i ---- = x --------- Ha az — dx = ln f + C kep1+ x ' 1+ x ' 1+ x" Jf 2x letben f helyére (l + x")-et írunk, akkor azt kapjuk, hogy a 1 + x^ egy primitív függvénye ln(l + x "), vagyis az — 1“1“ X függvénye
egy primitív
+ x"). Az elmondottakat felhasználva a következő
eredményhez jutunk: JSx "arctgx dx = x ^arctgx - ^
- x arctgx “ ~ (x - arctgx - ln(l + x ")) + C .
h)
i)
+ -^ln(l + x " )+ C .
f
f
arcsinx dx = 1 •arcsinx dx = x arcsinx -
= X arcsmx
f
,
X
dx =
+ — ( l - x " ) 2 ( - 2x)dx = xarcsinx + V l- x" + C 2
249
KVK-1190 6.6.3. a) Az
•sin(cx + d)dx és az
•cos(cx + d)dx (ahol a, b, c
és d állandók) típusú integrálok egyikét parciálisán integrálva a másik típusú integrált kapjuk. Ezt - az első integrálásnál használt szereposztással - újra parciálisán integrálva az eredeti integrál egy számszorosához jutunk. így a kapott egyenletből meghatározhatjuk az eredeti integrált. Ebben a feladatban a parciális integrálás f 'g dx = fg - fg' dx képletében legyen f ' = e"" és g = sin2x. Ekkor: f = e"" és g’=2cos2x. kye’‘sin2xdx = e’‘sin 2 x -2 e’‘cos2xdx. Most legyen a parciáhs integrálás felírt képletében f '= e ’‘ és g = cos2x. Ekkor: f = e ’^és g'= -2sin2x . így: e’‘cos2x dx = e’‘cos2x -
e’‘(- 2sin2x)dx.
Ezt felhasználva az eredeti integrálra a következő egyenletet kap juk: esin 2 x dx = esin 2 x - 2e cos2x - 4 esin 2 x dx . •
•
Ebből az alábbi egyenlőséghez jutunk: 5 e ’‘sin2xdx = e’‘(sin2x-2cos2x)+ 5C , ahol a jobb oldalra egy állandót írtunk, hiszen a baloldal tartalmaz egy állandót. A célszerűség kedvéért ezt az állandót 5C alakban ír tuk fel. Tehát a végeredmény: e’‘sin2x dx = — (sin2x - 2cos2x)+ C . e2x+3 b) —^— (2 cosx + sinx) + C .
250
KVK-1190
6.7. Racionális törtfüggvények integrálása 6.7.1. 1 a )A 2 x - x - l = 0 másodfokú egyenlet gyökei — és 1. így: 2 x ' - x - l = 2 x + - (x - 1) = (2x + l)(x - 1). Ezért a résztörtekre 2 való felbontást a következő alakban kereshetjük: x+2 A B (2x + l ) ( x - l ) “ 2x + l x - T mivel a felbontásban a (2x + 1) elsőfokú tényezőnek
2x + l
es az
B felel meg, ahol A és B állandók. x -1 Az egyenlőség mindkét oldalát (2x + l)(x - l)-gyel megszorozva a következő egyenlőséghez jutunk: ( *) x + 2 = A (x -1 ) + B(2x + 1). X
- 1 e ls ő fo k ú
té n y e z ő n e k
r n Az első résztört nevezőjének zérus-helye a — . Ezt a (*) egyen lőségbe az X helyére behelyettesítve azt kapjuk, hogy: 1 - i + 2 = A - i - i , mivel a B(2x + 1 ) tényező az ^ 2 2 kénél 0. Ebből A = -1. A második résztört nevezőjének zérushelye 1. Ezt az x helyére be helyettesítve a következő egyenlőséghez jutunk: 1+ 2 = B(2 •1+ 1), mivel az A(x - 1) tényező az x = 1-nél 0. így B = 1. A kapott értékeket felhasználva az alábbi felbontást kapjuk: x+2
1
1
(2x + l ) ( x - l )
2x + l
x -1
x+2
í(2 x + l ) ( x - l )
1
'
• így: 1
+■ 2x + l x - 1
dx =
251
KVK-1190 In 2x +1
+ In X -1 + C .
,^ x ^ -4 x ^ + 2 x x ( x ^ -5 x + ó ) + x ^ - 4 x b) — =^ = X+ x "-5 x + 6 x "-5 x + 6 x ^ -5 x + 6 + x - 6 , x -6 , 4 + -------;-----------------------= X + 1+ —^------------ = X + 1+ x -2 x^ - 5 x + 6 X -5 x + 6 -x^ -4 x ^ + 2x dx = X + 1+x -2 x -3 x ' -5 x + 6
3 x -3
x 2
= — + x + 4 1 n x - 2 - 3 1 n x -3 + C.
c) 31nx - 3 1 n l- x - I n l + x + C. d ) 3 1 n x -2 - 2 1 n x - l - lnx + 3 + C. e) A résztörtekre való felbontást a következő alakban kereshetjük: x '+ 3 x + 7 A B C ■+ ^------ r:r + (x -3 )(x + 2)^ x - 3 (x + 2)^ x + 2 felel meg. x -3 továbbá (x + 2)^ az x + 2 elsőfokú tényező második hatványa, B C aminek a ------- — + ------ összeg felel meg. A felírt egyenlőség (x + 2) x+2
mivel a felbontásban az x - 3 elsőfokú tényezőnek
mindkét oldalát (x - 3)(x + i f -nel megszorozva az alábbi egyenlő séget kapjuk: ( *) x ' + 3 x + 7 = A ( x + 2 f + B ( x - 3 ) + C ( x + 2 ) ( x - 3 ) Az eredeti tört (x - 3)(x + 2)^ nevezőjének zérushelyei: 3 és -2. A (*) egyenlőségben x helyére 3-at behelyettesítve a következő egyenlőséghez jutunk: 3 '+ 3 - 3 + 7 = A(3 + 2 f ,
252
KVK-1190 mivel a jobb oldalon szereplő másik két tag értéke x = 3-nál 0. így 25 = 25A, azaz A = 1. Ezután a (*) egyenlőségben az x helyére a nevező másik zérushelyét a (-2)-t írjuk. Ekkor azt kapjuk, hogy: (-2 f+ 3 (-2 )+ 7 = B (-2 -3 ), mivel a jobb oldalon szereplő másik két tag értéke x = -2-nél. így; 5 = -5B, azaz B = -1. A (*) egyenlőség baloldalán az x^ együttha tója 1. A jobb oldalon az A(x + 2)^-ből Ax^-et, C(x + 2 )(x -3 )ból Cx^-et kapunk, így ezen az oldalon az x^ együtthatója A + C. Tehát 1 = A + C. Az A értéke 1 volt. Ezért C = 0. A kapott értéke ket felhasználva a felbontás a következő: 1 x" +3x + 7 . Tehát a végeredmény: (x -3 )(x + 2)' x - 3 (x + 2)' x +3x + 7 (x -3 )(x + 2y
dx = J
x -3
(x + 2)^
dx = In X - 3 + -+ c x+2
.
f) In X - 2 + — -----In X +1 + C . x+1 g ) ---- 21nx - Inx + 1 + 3 1 n x - l + C. X
h) A résztörtekre való felbontást a következő alakban kereshetjük; x '+ 7 x - l A B C D (x - l ^ x + 6)" " (x -1)" X - 1 (x + 6)" X + 6 ■ A végeredmény; x" + 7 X -1 ^ 1 f 1 1 ■dx = ^ +■ + 6)^ 7 J l^ (x -l)^ x -1
í( x - lf ( x
x -1
+ In X-1
x+6
1
1
(x + 6 f
x+6
dx =
- In X + 6 + C.
i) A nevező az x és a nem felbontható 1 + x^ tényezők szorzata. A résztörtekre való felbontást a következő alakban kereshetjük;
253
KVK-1190 +X + 2 _ A ^ B x + C X
1+ x^
mivel az elsőfokú x tényezőnek — és a nem felbontható 1 + x X
tényezőnek -------^ felel meg. Mindkét oldalt x(l + x^)-tel meg1“I" X szorozva a következő egyenlőséget kapjuk: (*) x^ + x + 2 = a (i + x ")+(B x + C) x . Az eredeti x(l + x^) nevezőnek egy zérushelye van és ez a 0. Ezt az (*) egyenlőségbe helyettesítve az alábbi egyenlőséghez jutunk: 0^ + 0 + 2 - a (i + 0^), vagyis A = 2. így a (*) egyenlőség a következő alakban írható fel: x^ + x + 2 = 2(l + x^)+(Bx + C )x,azaz x^ + x + 2 = (B + 2) x ^ + Cx + 2. A baloldalon az x^ együtthatója 1, a jobb oldalon B + 2, tehát B = -l. A baloldalon az x együtthatója 1, a jobb oldalon C, tehát C = 1. A kapott értékeket felhasználva az alábbi felbontáshoz jutunk: ■>f^+x + 2 2 - x + 1 í .3 X 1+ x^r • így: X + X •x^ + X+ 2 2 ^-x +í dx = x^ + x X 1 + x^ '2 1 2x 1 -+ ■ dx = 21n X “ )+ arctgx + C . 2 1 + x" 1+ x^ j) -ln |x + l| + —ln (x ^ + 4 )-2 arctg —+ C. k)A nevező az x^ és a nem felbontható 1 + x^ tényezők szorzata. A résztörtekre való felbontást a következő alakban kereshetjük: 3x - 2 A B Cx + B
254
KVK-1190 mivel a felbontásban a nevezőben szereplő x elsőfokú tényező máA B sodik hatványának — H— és a nem felbontható +1 tényezőX
X
nek
— felel meg. Mindkét oldalt x^íx^ +l)-tel megszorozva x^+1 a következő egyenlőséget kapjuk: (*) 3x - 2 = a (x ' + 1)+ B x(x' + 1)+ (Cx + D) x ' .
A tört x^(x^ + l) nevezőjének egy zérushelye van a 0. Ezt a (*) egyenlőségbe behelyettesítve az alábbi egyenlőséghez jutunk: 3 - 0 - 2 = a ( 0 '+ i ), mivel a jobb oldalon szereplő másik két tag értéke x = 0 estén 0. Tehát A = -2. így a (*) egyenlőség a következő alakban írható fel: 3 x - 2 = -2(x^ + l)+ B x(x^ + i )+(C x + D) x ^, vagyis 3x - 2 = (B + C) x '+ ( D - 2 ) x ' + B x - 2 . Itt a baloldalon az x együtthatója 3, a jobboldalon B, tehát B = 3. A baloldalon az x^ együtthatója 0, a jobboldalon B + C, tehát B + C =0. Mivel B = 3, ebből C = -3. A baloldalon az x^ együttha tója 0, a jobb oldalon D - 2. tehát D = 2. A kapott értékeket felhasználva a következő felbontást írhatjuk fel: 3 x -2 -2 3 -3 x + 2 ^ ^ , - 2/' 2 " — + - + 2 1..• így ^ vegeredmeny: X (x + lj X X X +1 . 1 3 2x ^ 1 ^ d x = f ( - 2 ) - , + 3 ------------ r---- + 2 --------; dx = X 2 X +1 1+ x' 2 = —+ 31nx — ln(x^ + l)+2arctgx + C. X
^
1) ln|x| + ^ ln ( x '+ 2 x + 4 )+ C .
255
KVK-1190
6.8. Integrálás helyettesítéssel 6.8.1. a) Ha egy integrálban egy lineáris függvény különböző gyökei szere pelnek, és a lineáris függvénynek azt a gyökét vezetjük be új válto zónak, amelynek a gyökkitevöje a szereplő gyökkitevők legkisebb közös többszöröse, akkor általában egy racionális törtfüggvény in tegráljához jutunk. Ebben a feladatban legyen: t = Vx + 1, azaz X = t^ - 1 , tehát dx = 2t d t. Ezeket az integrálba behelyettesítve azt kapjuk, hogy: | x ' V ^ d x = |( t ^ - l ) 't - 2 t d t = J ( t '- 2 t '+ l ) 2 t ^ d t = = 2 Í ( t ^ - 2 t " + t ') d t = 2
=2
(Vx + l)^ ^ 7
7
5
3
^ {jx +\J
5
3
+C—
+ C , ahol az utolsó lépés-
ben visszahelyettesítettük a t helyére a (Vx + l]-et. b)Legyen \[x - t , azaz x = t^ és dx = 3t^. Ekkor: dx 3t' dt = ln3t + l + C = dt = - 3 t' + t ' 3t + l 3x + \ [ x^ = ln 3-V ^ + l + C.
c)2 Vx + 4 - In
2 + V x+4 ____ ,C . 2 -V x + 4 j
e) x + 4 (V x -l + ln V x - l -1 + C .
g ) |ln ( l + V j^ + C.
256
d ) x - 2 ( V ^ - ln ( l + V ^))+C.
f) 3 V x + ln V x - l ) + C .
KVK-1190 h ) 4 1 n ^ - l + ln(Vx + Vx + l)+ 2V 3arctg^
- + C.
+ arc;tgVx + C .
i) 6
6 j) lnx + ^--------^ + -
12
-12-ln(l + '^ ) + C .
6.8.2. a)Legyen t = 6*^. Ekkor: e^^^ = r
dt í , x = Int és dx = — . így;
dx r 1 dt dt f e2x _gX ~ } ^ 2 _ ^ ^ - J t ^ ( t - l ) - J
i i t' t
1 ^ dt = t-lj
= - - l n t + l n t - l + C = e “" - x + ln e ’‘ - 1 + C . t b) X - ln(e’‘ + 1)+ —-— + C . ^ ^ e ’‘ + l c) Legyen t = e’' . Ekkor: sh x = ----- -— = - — - = -— ^ és dx = — 2 2 2t t dx 2t dt 1 -t dt = In +C— shx 1+ t t^ - 1 t" -l t In
l - e ’^ 1+ e"
+ C = ln t h ^ + C. 2 X
d) X - ln(l + e’‘)+ 2arctge^ + C . e) ^ - - ^ I n e ’^- 1 -■^ln(e’‘ + 2 )+ C .
f)chx + ln t h ^ + C.
257
KVK-1190 6.8.3. a) A sinx és cosx racionális törtfüggvényeit gyakran a t = tg — he2t iiZdt lyettesítéssel célszerű integrálni. Ekkor sinx = ^;— -7 , dx = 1+ t^ 1+ t ' Ezeket behelyettesítve azt kapjuk, hogy: x^ f ax dx _ f 1 2dt = ln t + C = ln tg ^ sin\ 1+ t^ t V ^ J ahol az utolsó lépésben visszaírtuk a t helyére a 2 te c) —arctg—^ + C .
X
b )ln l + t g - + C .
d ) 21n l + tg |-
"t-
In 1 + t g ^ - + C
5 tg f+ 1 X 6 e )iln + — arctg— ---- + - + C, 2 2 5 5 tg -f + 2 tg f + l 5
f) — In 25
3 t g 'f - 8 t g f - 3 1+ tg ^ f
H-------X + C
25
6.8.4. a)Ha egy másodfokú kifejezés négyzetgyökét tartalmazó integrál teljes négyzetté való kiegészítés után
■yja^ -
{cx + df
(a, b, c € R és a > 0) típusú kifejezést tartal
maz, akkor gyakran a cx + d = a-sint (vagy a ex + d = a cost) he lyettesítést célszerű alkalmazni. Ebben a feladatban legyen X = 2sint, ekkor dx = 2cost dt. Ezeket az integrálba behelyettesítve azt kapjuk, hogy: ^ | 4 - x ^ d x = -y/4-4sin^t -2costdt -
258
4cos^tdt.
KVK-1190 Most alkalmazva a 1“h cos2t cos^t = ----------- ún. linearizáló formulát a következőhöz jutunk: sin2t 4cos^tdt = 2 (l + cos2t)dt = 2 t + + C. Ebből felhasználva, hogy sin2t = 2 sint cost = 2 sint •Vl - sin ^t és visszaírva az (x = 2 sint)-böl adódó t = arcsin— értéket, az alábbi eredményt kapjuk: X
X
|V 4 - x ^ dx = 2 arcsin—+ — 1 2 2]j
+C=
X x-\l4-x‘ - 2 arcsin—+ ■+ C.
2 2 Megjegyezzük, hogy valójában kétszer is „csaltunk”, mivel V 4 -4 sin ^ t ==2cost és cost = ±Vl -sin ^ t . A végeredmény mé gis helyes, amiről differenciálással könnyű meggyőződni. Tehát ar ról van szó, hogy „a két csalás kiegyenlíti egymást”, amit nem ne héz precízen is bizonyítani. b) 5 + 4x - x^ = 9 - (x - 2)^. Tehát, legyen x - 2 = 3 sin t. Ekkor: X = 2 + 3sint és dx = 3cost d t . így: dx = V 5 -4 x -x '
(•(2 + 3 sint J
(4 + 12sint + 9sin^t)dt = = 4 t-1 2 c o st + — 2
•3costdt =
3 cost
sin2t
4 + 12sint + 9-
1 - cos2t
dt =
+ C = — t - 1 2 V l - s i n 't 2
. x - 2 (x + 6W5 + 4 x - x ^ ^ 9 . ^ r---- ^ 17 — s m tv l-s m t + C = — arcsm----------------- ----------------- + C. 2 2 3 2 Megjegyezzük, hogy néhány átalakítást a 6.8.4. a) feladat megoldá sánál elmondottak szerint végeztünk el.
259
KVK-1190 . x + 1 (x + l W l - 2 x - x ' ^ c) arcsin— ---------------- + C . V2 2
d)Legyen x = sint. Ekkor: ■dx = X
= ln
= cost d t . így:
cos^t 1 -sin ^t dt = dt = sint sint
t + cost + C = In '« 2
= ln
dx
sint
- sint dt =
sin^t + V l-sin ^ t + C = sínt
+ V l-x ^ + C .
1 Felhasználtuk, hogy a 6.8.3. a) feladat megoldása alapján az — sinx egy primitív függvénye In • s f . Felhasználtuk továbbá a követke^ X 1 - cosx 1 - V l-sin ^ x zo egyenloseget is: tg — = ---------- = ------------------ . 2 sinx sinx Megjegyezzíik, hogy néhány átalakítást a 6.8.4. a) feladat megoldá sánál elmondottak szerint végeztünk el.
6.9. Vegyes feladatok 6.9.1.
yx a ) - ^ ----- — + C. In5 ln2
b)-x-ctgx+C.
o
d) In 1+ Inx + C .
^
5
. c
,
e) X - th X + C .
260
f) ^ ln ( x '+ 8 ) + C ,
KVK-1190 g) -2V arccosx + C.
h )-
■+ C. 4(3
i)
- cos ^x)"
j)-^ln(x^ - 6x + 13)+ arctg
x -3 -+C.
, . X sh6x ^ k) - + ------ + C . 2 12
1)
sh^x dx = (ch^x -l)sh x dx = (ch^x shx - shx)dx = ch 'x
- chx + C .
m)A sin2x = 2sinxcosx és a sin^x =
1- cos2x
azonosságok alapján:
• 2 2 sin 2x l-c o s4 x r sin X cos X = ---------= ------------ . így: , 1 sin 2 X cos 2 X dx =— (l-co s4 x )d x = — 8J
• •
X-
sin4x
+C.
n) Jsh^xch^x dx = ((sh^x)(l + sh^x)chx) dx = sh X sh X _ = (sh^xchx + sh'^xchx)dx = ------+ -------+ C.
o) tg^x dx =
p) In sh X
cos x
cth^ X
- 1 tg X dx =
X
— + In cos X + C.
+ C.
r) Legyen az Jf(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C (F' = f ) képletben
261
KVK-1190 f = J - — és g = x ^ Ekkor: f(g(x)) = - 7 = L = , g' = 8x’ , -/iT^ Vl-X'® V ^ -2
és F(g(x)) = arcsinx^. így: 1 V arcsin x dx = — •8x dx = ----------- + C . V l-x'® 8 ^yf [Z .16 s) Legyen az 1 + x^
f(g(x))g'(x)dx = F(g(x))+ C (F' = f ) képletben és g = Inx. Ekkor:
f(g(x)) = :;— g' = - , F = arctgx és F(g(x)) = arctglnx. így: 1 + ln X X dx c l 1 —dx = arctglnx + C . :(l + ln^x) M + ln^x x t) -2 c o s V x + C . u)Legyen az
f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C
(F' = f ) képletben
f = Inx, g = tgx. Ekkor: és a 6.6.2. b) feladat megoldása sze cos X rint: F = x(ln X- 1), s ezért F(g(x)) = (tg xXln tg x - 1). így:
f(g(x)) = Intgx, g' =
cos X
dx = (tgx)(lntgx - 1) + C .
6.9.2.
a)
dx (x + l)(9x^ + 6 X + 4) = In X+1
262
1
3
x + 1 (3x + 2)^
1 —In 3x + 2 + C . 3x + 2
3x + 2
KVK-1190 1 --------1 1 1----------1-----dx = X X X x- 1
dx x ^ -x ^
b)
2x'
x
c) 2(V ^-21n(2 + V ^))+C .
e) 6
3
d)3
(1 -x )^ 7
(1 -x )^ 4
+c
.
+ C.
2
f) 2 In Vx + 1 -1 - ln(x +1) + C .
g) e’‘ - ln(l + e’‘)+ C
h) X+ ------+ C . 1+ e 6.9.3. a)Legyen x = sint. Ekkor: dx = cost dt és Vl - x^ = cost. így: dx dt + C , ahol az utolsó lépésben a = In sint x V l-x ' 6.8.3. a) feladat megoldásában felírt eredményt használtuk fel. . . . , ^ a 1 -co sa 1 - V l-s in ^ a • *u i ' Mivel tg —= ----------= ------------------ , azért a smt helyere vissza2 sina sina írva x-et a következő végeredményhez jutunk: dx
= ln
1 -V T ^
+c.
Megjegyezzük, hogy néhány átalakítást a 6.8.4. a) feladat megoldá sánál elmondottak szerint végeztünk el.
263
KVK-1190 \Í +c.
c) -
X cos3x
2xsin3x -+ ■
2cos3x 27
d)Legyen a parciális integrálás képletében g = x + 1 és f ' = 2 x+1 + dx = ■(x + 1)2-’‘ dx = •dx = ln2 ^ ^ ln2 x+1 1 •+ C. 2Mn2 2M n'2 e) Legyen a parciális képletében f ' = x
. így:
és g = In x . így:
’ . 2,
Inx^
Újra parciálisán integrálunk az f ' = x ^ és a g = Inx szereposztás sal. ’ -2 1 j Inx x Inx dx = ------ +
Tehát a végeredmény: í dx = - —(ln^x + 21nx + 2 )+ C . •’V X j X
g)Legyen a parciális integrálás képletében f ' = x^ és g = arccos2x. .3
Ekkor: f = — és g' = — , ^ •így: 3 V T4? x^ arccos2x dx = — arccos2x + — f , ^ 3
264
dx,
KVK-1190 Alakítsuk át a kapott integrandust! V l-4 x ^ 32
l (l-4 x ^ )x -x _
1
4
4
V l-4 x ^
x^|l-4x^ -
X
V l-4 x ^
(l - 4 x ' )2(- 8 x )- (l - 4x^ )'2 ( - 8x)
Mivel (l - 4x^) = - 8 x , azért alkalmazhatjuk az ^a+1 ff “ f ' dx = ------ + C (a 7^ - l ) képletet az f = 1- 4x^ és az •' a +1 a = —, valamint az a = - — választásokkal. Tehát: 2 2 x^ arccos2x dx = 3 1 / i _i ' = ^ a r c c o s 2 x + — j ( l- 4 x ^ ) ^ ( - 8 x ) - ( l- 4 x ^ ) ^(-8x) dx =
x^ (l-4 x ^ )^ V l-4 x ^ = — arccos2x + -^^---------^-----------------+ C . 3 72 24 h)Parciálisan integrálunk. f . / , x^arcsin(x-l) 1 Xarcsm(x -1 j dx = ----------------- - —
dx
A kapott integrált pl. az x - 1 = sint helyettesítéssel lehet kiszámol ni. így; dx =
cost
rí. . l-c o s 2 t = J 1 + 2smt + ----------- dt =
•cost dt = (l + 2sint + sin^t)dt = —+ 2sint -
2
cos2t
2
dt =
3^ - ^ sin2t ^ 3^ - r. s in tV l-s in 't = - t - 2 c o s t ---------+ C, = - t - 2 V l - s m n ------------------ + c , . 2 4 ' 2 2 így - egyszerű átalakítások után - a feladat végeredménye:
265
KVK-1190 . / (x + 3)V 2x-x" arcsin in(x -1 ) +-5^------------------ ■+c . Megjegyezzük, hogy néhány átalakítást a 6.8.4. a) feladat megoldá sánál elmondottak szerint végeztünk el. i) - - ^ ( s i n x + cosx) + C.
j) cos^x = ^ + cos2x | e ’'cos2x dx =
e’‘sin2x 2
e’‘sin2x 1---1 e’‘cos2x ----------2 2 2
integrálással kapjuk, hogy: 1 e’‘sin2x dx = 2 1 2 J
e’‘cos2x dx
Ebből egyszerű átalakítások után következik, hogy: 5- e’‘cos2xdx = e''(2sin2x + cos2x)+Ci. Ezt felhasználva a feladat végeredménye: 1 e ’‘ —x + — Í2 sin2x + cos2x) + C . 2 10^ ^ k)
266
■+ C. 1 -tg f
1) —x + —arctg-^^ + C. 2 4
KVK-1190
7.EGYVALTOZOS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZOTT INTEGRÁLJAI 7.1. Alapíntegrálokra és az
Jf(g(x)) g'(x)dx = [F(g(x)) a
képlet speciális eseteire visszavezethető feladatok (F' = f)
I
3
a) Az
egy primitív függvénye — , a Vx =
egy primitív függvé-
X. 3 3 ~ ' nye p e d ig ----- = —x ^ . így a Newton-Leibniz formula alapján: 1+1 4 3 1 -----x^
(x^ - Vx)dx =
3
3
4
=
12
=
------
3
11.83 4
-
159,08.
d)i. sh2 e)
dx
In X + Vl + x^ 13^, = ln(sh2 + Vl + sh^2
shl Vl + x^ - ln[sh 1+ Vl + sh^l) = ln(sh2 + ch2) - ln(sh 1+ eh l) = = Ine^ - Ine = 2 -1 = 1, ahol felhasználtuk, hogy 1+ sh^x = ch^x és shx + chx = e’' . Egyszerűbben juthatunk célhoz, ha ismerjük az shx függvény inverzét, mert ekkor:
267
KVK-1190 sh2
dx
arshx]j“ = 2 - 1 = 1
shlVl + X^
31
sin^ —d x = — (l-c o sx )d x = —X- sinx
f)
ln 2 x -l
ln2 h)
k z2xí í
dx =
^
A
ln3
ln2 M - 4 e " + e '’‘ 2x 0
-2x 4 -------- 4 ------ + x -2 -1 A
^Í3
^
1 = - - + ln2. 2
i) l n | .
j) 0
cos"^ —dx = J ^^ ^ l + 2cosx +
dx = —J(l + 2cosx + cos^x)dx = ^0
l + cos2x
dx = 43t + 9V3 32
sin2x x + 2sinx + — x + 2
6 10 1 sh6x k) sh^3x dx = — (ch6x - l)dx = — n
268
2 ^
2
-X
6 _ s h l- 1 . "
12
KVK-1190 chl 3
ln(3x + - l )
dx
X _ ln(chl + shl) _ 1 “ 3 ~3
m ) y + 7 1 n2. -1
dx n) j_2X + 4x + 5
_2 l
dx
arctg(x + 2)_
+ (x + 2 f
-I _ n
-^ “ 4
,
1 10 o) - I n — 3 7 -3
P)
-3
1
dx = -4 ( x + s y
-4 V
dx =
(x + 5)>
(x + 5)* -3
1
-+
2(x + 5)^
r)
x+2
13 12
5 3(x + 5)^
-4
x + 2
dx =
X +2x
+x
1 x(x + l)'
2-ln
+■
- 2 • In X + 1
X
'V 3
dx 1 ^ f i 1 l - x ^ " 2 J vl + X^
( x + l)^
x + 1
1 ^ , 4 = — + 2 • In —. 6 3
x + 1
[
dx =
dx =
M
dx =
“7 3
1 . + —In l l 1+ x —arctgx 2 4 1 -x
K 1, V3 +1 = —+ —ln-7=— . ± 6 2 V 3 -1 ”V3 ^
269
KVK-1190 l.\2.
a)
^
X
,
V3
1 ^
dx = - (l + x^) 2 . 2x dx = Vl + x 2 0 0 Vl + x^
b)0.
c)
1 shln2
1 shlnS
12
e)
< .) f.
V5
f)
x -1 ______ - ( x ^ - l ) ~ 2 .2 x — i V x '- i ^|x^ - I - In x + Vx^ -1
g)
V x ^ -i V s+ 2'
8 - 5V2 12
h) c t g \ = ctg^x •ctg^x = (ctg^x)í —^ -1 Vsin X ^ = (c tg ^ x )-T ^ - ctg^x = (ctg^x)-:^^-------+1. így: sin X sin X sin X ctg'^xdx =
i)
ctg
X + CtgX + X
3 _SV 3 27
K
6■
1 2-ln3
7.1.3. ]_‘'r-2sin2x a) tg2x dx = — 2 cos2x b)ln3.
270
In cos2x
n ,^ ln 2
“
= 1.
2
InlO
KVK-1190 X
+ X
,
Ír,
c) —;-------;----- dx = — ln ( x '+ 2 x '+ 2 ) ] ‘ x "+2x^+2
sinx - cosx dx = - In sinx + cosx 2 = 0 . sinx + cosx
d)
e)
4
1 2X + 1-1 2 x^+x + 1
x^+x + 1
-1 X^
+X
ln3
+1
1, / 2 —Inix 2 ^
1 2x + l 2 x ^ + x + 1 31 + +X
i'i V3 2x + l + 1I------ arctg— 1=— ’ 3 S -1
TtVs
x^+3x 2x rdx = •’ í;( x + l)(x^+ l) 0VX +1
X
1 +1
x+1
1 _ 71 ln(x^ + 1)+ arctgx - ln|x +1 0 “ 4 g)Ha f egy primitív függvénye F, akkor f(g(x))g'(x) egy primitív függvénye F(g(x)). Tehát, legyen f = , = és g = 2 e \ Ekkor V l-x ^ F = arcsinx és g' = 2e’‘ . így; - |. „ 2
’4ln2 in(2e’‘) -2-ln2 ,........... dx = — arcsmi 2 -2-ln2 V l-4 e '"
7T 12
Megjegyezzük, hogy a t = e’^ helyettesítéssel talán könnyebb meg oldani a feladatot. h)0.
i ) e - 1.
j)
71
12
271
KVK-1190
7.2. Parciális integrálással megoldható feladatok 7.2.1. a) Legyen a parciális integrálás képletében g = x és f ' = e g' = 1 és f = - e “’‘. Tehát: ln2
xe
dx = - x e
ln2
ln2
0 ■ f(-e " ’‘)dx = -
ln2
. Ekkor:
_ 1 - ln2 0 ~ Z
ln2
c)4 ti.
d) 2(2 ln4 + l)sh ln2 -
8ch ln2 + 8 = - | + 61n2.
e)0.
e^ -1
í)
7.2.2. a) Legyen a parciális integrálás képletében f ' = 1 és g = ln(x + 1). Ekkor: f = x és g' = —^ . Tehát: x +1 X
ln(x + 1) dx = [x ln(x + 1) = ln 2 -
b) —
4
272
+ln4.
1-
x+1
- dx = ln2 x +1 í
dx = ln2 - x - In X + 1
. 6 + ^| 3n c ) ---------- . 12
= ln4 - 1 .
d) — 7 + 5-• In 2, ^ 9
x+1
dx
KVK-1190 V3
4i e)
(x - -v/3)arctgx dx = V3
1 ' dx = r 1 1+ x ' 0\ 2 / V3
í(x -v jr • 2 0\
f)
arctgx Vs 2x 2 1+ x^
1 ' dx = 1+ x^ y
7i-ln4 8
7.2.3. a) Kétszer egymás után ugyanolyan szereposztással parciálisán integ rálva az eredeti integrál egy számszorosához jutunk, s ebből már az integrál értéke felírható. í 2. e^’‘cosx dx = e^’‘sinx 2 _ 2e^'‘sinx dx = e" + e ” + 2 2 7t
71
n
+ 2 e cosx 271 _ 2x
2.
~2
2e '‘cosxdx = e " + e ” - 4
e^’‘cosxdx. így;
2
azt kapjuk, hogy: 5 e^’‘cosx dx = e" + e " = 2ch7i, s ebből: Je^’‘cosx dx =
b ) | e 1+ e
c)
e"-3
2ch;r
d) — (e^"^‘ + e)
273
KVK-1190
7.3. Helyettesítéssel megoldható feladatok 7.3.1. a) Legyen t = Vl + x , ekkor x = - 1 , s ezért dx = 2t dt. Az új hatá rok: Vl + 0 = 1 és Vl + 1 = V2 . így az integrál: V2 ^ 4(1 + 7 2 ) ( t '- l ) - t - 2 t d t = 2 í(t" - t^ )d t = 2 5 3 15
b) t = V x -1 , t -t
X = t^ +1, dx = 6 t ^ t . így az integrál:
.5 6t" dt = 6
i t '- l 54V3 - 34V2
1 •dt = 6 t " - t ^ + l - 1+ t' Vat" +1 V2
dt =
- 2 ti + 6arctgV2 .
c) Legyen e’^= t. Ekkor: x = Int, s ezért dx = ^ . Az új határok: e° = 1 -in3— inj
és e^
I--
r
= V3 . így az integrál: VJ t^ + 2 t dt S t + 2 dt = t '+ l +1 t ^ 2 t^ + l ^/3 _ ln2 71 -^ln(t^ + l)+ 2arctgt “^ ^ 6
1 + 1 dt 2 -t t
t '+ l
dt =
■
1 3 1 + - dt = I [- 3 • ln|2 - 1| + ln|t|] f = ln(2 V3). 2 / '^ 2 - t t
X* X ^ . 2t . 2dt ^ * M e) tg —= t , sinx = —— , dx = -— — . így az integrál:
274
KVK-1190 ____ dt dt V 1 2dt _ ________ .J2--23' 2 - 1+ *- T 7 7 " J t ^ - t + r 3 J ü ^ '
2 V371
2 t-l arctgV3
i S
X 1-t^ , 2dt ' •* M f) tg—= t, cosx = -----dx = ---------. így az integrál: 2
1 “1“ t
‘
1 V33 + ^
2dt 1 + t^
arctg
g)x = 2
sin t,
t
1 “1“ t
Vdt 1 V dt ^ 2 + t^ 2 ^ 1 +
1' _V2
V2 ^
-\/4-x^
2
= 2
arctg ^
cost
1
V2
1 ^
arctg
A/6 y
, d x = 2 c o s t dt. í g y a z in te g rá l: 71
2 4 s in ^ t-2 c o s t-2 c o s td t = |4 s in ^ 2 td t = 2 ( l- c o s 4 t) d t = J i, 0
0
0
h) X = — , Vl + 4x^ = cht, dx = — d t. így fiÍLl dt = — f(ch2t - 1) dt = — i 8 16^ 16
sh2
-1
az
integrál:
e"* -4e^ -1 64?
i) x = cht, -y/(x-l)^(x + l) = |x-l|V x^ -1 = |cht-l||sht dx = sht d t. így az integrál: (cht-l)sh^tdt -
sh tch t--
ch2t-l^
dt =
275
KVK-1190 sh^t sh2t ---1^ ----------------1 3 4 2
j) t =
sh^2
sh4
-1 , X = ln(l + ) , dx =
1 le dt = [2(t - arctgt) l +V
+ 1.
• így
integrál:
4 -7 1
7.4. Vegyes feladatok 7.4.1. a ) l - ch
d)
g)
/
ln2
7 ^ 12 (x + 1)^ dx = I (x ^ + l)(x ^ + 2 )
f)0.
e) — . 16 2x
2x
1 42
ln(x^ + l)-ln (x ^ + 2)+ — a r c t g ^ 2 -\/2 71
. , 1, 2 1) - I n - . 6 5
j) 7 + ln4.
k) e’^ = t , dx = ^ . így az integrál értéke:
276
2 ^ 693 _ 4
42- k , 3 ------ + ln—. 8 2
dx =
KVK-1190 VI
't + f '
dt t
V3
dt = arctgt +1
1) - l + - ln 3 .
~12
m )— lnl2. 5
n) 1+ 2sin^x = sin^x + cos^x + 2sin^x = cos^x + Ssin^x = = (cos^x)(l + 3tg^x)= (cos^x)íl + (V3tgxf \ Tudjuk, hogy V y f(g(x))g'(x) egy primitív függvénye F(g(x)), ahol F a f egy primi tív függvénye. Legyen f = — és g = Vs tg x . Ekkor: F = arctgx 1+ x V3 és g' = —-Y~ • Ezeket felhasználva az integrál értéke a következő: cos x n _L J L d x = J - arctgl(V stgx) 04 ”— sVs ^3 (, 1 + {^13 tgx)^ X Vs
■
Megjegyezzük, hogy a feladat megoldható a szokásos t = tg— he lyettesítéssel is, de ez hosszadalmas és nehéz számoláshoz vezet. o)
P)
3 ;i-2 -ln l6 36
f2’‘ +3^
1
dx = J
2 vey
+
dx =
1 e
e -2 e ( l-ln 2 )
+
1 In e
e -3 e (l-ln 3 )‘
277
KVK-1190
7.5. Határozott integrálok alkalmazásai 7.5.1. a)Az x ^ - 4 x + 5 = 0 másodfokú egyenlet diszkriminánsa negatív, ezért a megfelelő függvény minden x-re, s így 0 < x < 3 esetén is pozitív. Tehát a görbe és az x tengely közti terület: )
b)7i.
(x^ - 4 x + 5)dx =
■-2x" +5x
c )l.
d)
= 6.
ch(2-ln3)-ch(2-ln2)_175 144
e)Az x ^ + x - 2 = 0 másodfokú egyenlet egyik gyöke -2, a másik 1. Ezért a megfelelő görbe a (-2; 1) intervallumban negatív, azon kí vül pozitív. így a kérdezett terület: 1 z x ^ + x - 2 dx = ( - ( x ^ + x - 2 ) ) d x + (x^ + X -2 )d x = 3.
f) |x ( l - x ^ ) d x = -2
x (l-x ^ ) d x -jx (l-x ^ ) d x + -2
-1
x ( l- x ^ ) d x 0
- 'x ( l - x ^ ) d x = — .
g ,k ± l3 ^ -3 ,„ 2 . 6
h)
l + ln^2
7.5.2. a)Mivel az adott intervallumban y = sin t> 0 és x = -2 sin t< 0 , a kérdezett terület értéke a következő: yx dt = (sint)(2sint) dt = (1 - cos 2t) dt
278
t
sin2t^’'
.j t .
KVK-1190 b)37r.
7.5.3. a)A két görbe közös pontjainak abszcisszáit a 6 x - x ^ - 7 = x - 3 másodfokú egyenlet gyökei adják meg. Ezek l é s 4 . A z l < x < 4 intervallumban 6 x - x ^ - 7 > x - 3 , tehát a kérdezett terület: x^ 5x^ J ó x - x ^ - 7 - ( x - 3 ) dx = --------[__ - 4 x 3 2
9 2
b ) 1 8 e " '- 2 . c)A két görbe közös pontjának abszcisszáit a tgx = —cosx egyenlet gyökei adják meg. Az egyenletből - egyszerű átalakítások után - a 2sin^x + 3sinx - 2 = 0 egyenlethez jutunk, amiből sin x = —. Ennek 2 n n intervallumban az X = 0-hoz legközelebb eső gyöke —. A 0; 6 tgx < —cosx, így a kérdezett terület a következő:
—c o sx -tg x dx = —sinx + Incosx 3
3 4 r
d)
XVl - X - (x^ - x) dx = ( l - t ^ ) t ( - 2 t ) d t A 1 25
5 25
= 0,230805.
279
KVK-1190 7.5.4. a) A kérdezett térfogat a következő: 2 2 8x' x ' 7t dx = 711(4 dx = 7t 16x------- + — 3 5 -2 -2
b ) |l n 3 .
1-
ln2
d)
-2
51271 15
ln2 /
\ 2
ír .
f u4 1 rfc h 2 x + l l 71 I eh X dx = 71 J ---------ln2
-ln2 V
ch4x +1 = ií
ln2
dx = -
2
(eh ^ 2x + 2eh2x + l)dx =
4 -ln2
+ 2ch2x +1 dx =
-ln2
5MlJ5?) + sh(2.1n2)+ 3-ln2
. 8
^
’
2
735 + 3-ln2 128
)
7.5.5.
a) y' = 3x^ , tehát az ívhossz az s = jVl + (yO^
dx = 1+ 3x2 (l + 9x) 27 V y 1
b) s =
X
f)3 + ln2.
= 74.
\2
11 dx 1+ dx = [V 2 x -x ^ J 11 V l - ( x - l ) ' 1 -x
25 3
e)
g)ln3.
h)
d)
280
11
2
s=
képlet alapján:
40
V2
KVK-1190 7.5.6. a) x = 2t, y = -^-3t^. így x^ + y^ = 3 t '+ - . Tehát: 3y 3y s=
i\ 3 t ' + - dt = t ^ + -
3
27
, 1 sh2 c ) - + ---^2 4
b)10.
4
d)V 2.
e ) s = í^ ( 6 t '- 1 0 t " ) '+ ( 4 V Í 5 t ') ' d t= { (ó t'+ 1 0 t")d t = 2 V2 271 f) s = -y/(-Beoszt sin t+ (3 sin ^tco st)^
2)t ~2
sin2t dt -
= 6 sin 2t dt = 6.
g)
+y^ = (l-co st)^ + sin h = 2 (l-c o st) = 4sin^-^. 2tü
.
s= J2sin—dt = 8.
h)l.
281
KVK-1190 57T
\2
í
- sin t +
k )s-
sínt
571 6 + cos^ t dt = 'y/ctg^t dt = (- ctgt)dt =
Stt Insint] ® = ln2. 2 7.5.7. a) Legyen n = 2k, h = ------ és Xj = a +ik (0 < i< n). n Ekkor a Simpson-formula a következő; f ( x ) d x « ^ f ( x J + f ( x J + 2 - £ f ( x 2 j) + 4 - ^ f ( x 2 j_ i) j= i
j= i
így ha f = = ^ , a = l , b = 2 é s n = 4, akkor: X dx ^ x" Ha n = rdx 1 x'
1 J_6 ]6 0,50004. 1+ - + 2 - - + 4 12 ^ 4 9 2 5 ^ 4 9 yy 8, akkor pedig: 64 64 64 + + ---- + 24 100 144 196,
64 64 64 + ---- + ----- + « 0,50003. 81 121 169 225_ Megjegyezzük, hogy az integrál pontos értéke: +4
dx
64
= 0,5.
b)n = 4 esetén: 1,14778; n = 8 esetén: 1,14779. c) n = 4 esetén: 0,74686; n = 8 esetén: 0,74682.
282
KVK-1190 7.5.8. A T idő alatt fejlődött Q hőmennyiség a következő: T
7T
71
Q = 24 f[l(t)f dt =24 f[sin(2t)f dt =12 f(l-co s4 t)d t =12ti.
7.5.9. Ha a folyadéknyomás alatt álló falfelületet alulról az y,(x) és y 2(x) görbe, felülről az x = 0 egyenes (a vízszint) határolja, akkor h
a falfelületre ható nyomóerő:
F = y (yj (x) (x))x dx , 0 ahol h a felület mélypontjának a folyadéktükörtöl való távolsága és Ya folyadék faj súlya. Az adott értékekkel: yi(x) = - y 2(x) = 3,4- l l - - ^ és Y = 1 0 0 0 ^ . így: V 10 m 10 X 1----- dx =1,36-10® f t ' ( t ' - l ) d t « 181300. 10 J 7.5.10.Egyszerű hasonlóságból következik, hogy a kúp alakú homokra kás X magasságú metszetének sugara r = l ,2 ( l- x ) . így ebben a magasságban a homokrakás dx vastagságú elemének dG súlya közelítőleg a következő: dG = fajsúly • térfogat = 2 r^ji dx = 2,887i(l - x)^ d x . Tehát annak a munkának a nagysága, amellyel ezt az elemet a földről x magasságra lehet felemelni: dW = dG • X = 2,88ti x (l - x)^ dx . így a keresett munka - amely ezen elemi munkák „összege” -: W = 2,88ti x (l-x )^ d x = 2,8871
2x^ x^ -----+ —
2,8871
12
283
KVK-1190
7.6. Improprius integrálok 7.6.1. e"’' dx = - e
a)
+00
0
b)2. +00
c) [— dx = — lti(l + x^)o” = ^ (lim ln (l + x ^ )-ln l]. Jl + X^ 2 Mivel limlnll + x^ ) = + q o , az integrál divergens. x-^oo ^ ' d )-i(l-c th (2 -ln 2 ))= -i.
X)
J
dx x^ - 1
g)
In
e )l.
1+ x 1 -x
ln3
36
'x " + 3 x X
2 -2 x + l j ~ + — i— — dx = fyx X +3
In+ — arctg x"+ 3 3
X
71V 3
+ ln4.
i)l.
k)Parciálisanintegrálunkag = x és f ' = e ^ választással. így
284
KVK-1190 X
c
+00
= -2 x e 2 _
= -2 -lim xe
( - 2)e ^ dx = _0
x> 2 -
X-^QO V
-
X
4e" 2
= 0 - 4-lim e ^ + 4 - 4 . X-^QO
Felhasználtuk, hogy a L’Hospital-szabály alapján: lim xe
x->co
1)7. m)Mivel, e '‘sinx < e és az e -nek a 0-tól a +oo-ig vett improprius integrálja konvergens, azért az e ’‘sinx megfelelő integrálja is kon vergens éslim e"’‘sinx = 0. Hasonló állítások igazak (e“’‘cosx)-re x-^oo
^
'
is. Kétszer parciálisán integrálunk, majd rendezzük az egyenlősé get. -t-ou -t-QO
e ’^cosxdx = - e '‘cosx 0
e ’‘sinx dx = - e ’‘sinx
í'
-t-OO
-t-00
- je “’‘sinx dx = 1- Je^’^sinx dx . Tehát:
+00
=
^ +00
^
h ---- ; ^ 2 t d t = - |(l + t ') ''( 3 t') d t = - o(l + t'J ----------------------------------------- 3 1 + t'
2 3
o) Legyen ^/e^ - e ^ - t. Ekkor az integrál; 1 2dt ■= 2 ^t + t^ t
í ± _ l
_ l _ )
t"^ l + t
i+ ti dt = 2 r —1 + ,ln----t t
= 2 (l-ln 2 ).
285
KVK-1190 7.6.2. c) cth(ln2)-l = —.
a)e.
d)Parciálisan integrálunk az f ' = 1 és g =arctgx választással. így: 0 arctgx = [x a r c t g x ] ^ dx = - lim (x arctgx) 1+ x^ ln(l + x^) = lim x^-oo
= lim ■^ln(l + x ^ ) - x arctgx
ln(l + x") 2x
arctgx
Itt a L’Hospital-szabály alapján: l n ( ^ lim = 0 , tehát az 2x
ln(l + x^) 2x
arctgx
71
határértéke a (^ )- b e n —, aminek x-szerese (-^)-hez tart. így az integrál divergens. e) ^ e'" . 4 7.6.3.
a)
1 dx i l + 4x' /K 2
arctg2x 2 -00 w n 71 2
lim arctg2x - lim arctg2x 2'
2'
(Felhasználtuk, hogy az
1 l + 4x^
integrálható és primitív függvénye értelmezve van és korlátos.)
286
bármely [a, b] intervallumban bármely valós számra
KVK-1190
— + arctgx
c)
dx =
1+ x '
d)Az ^J\ + x^
2 I, = —7t^
—+ arctgx
= —(l + x ^ ) 2 2 x 2
egy primitív függvénye ^/l + x "‘
------- dx oVl + x" integrál divergens, s ezért az eredeti integrál is divergens.
Ennek határértéke a (+oo)-ben +00. így, például a
+00
e)4.
g)
X
-e
f) J:
i ( x ’ + l)(x= + 2) ,
X^+1
V2
dx =
2x X +2
2x -QoV X +1 X
In —;-----+ — arctg x"+ 2 2 V2
= 0.
1 dx = X +2
7T
h)Legyen e’^= t. Ekkor az integrál a következő: dt 1 1 dt = i . 8 (l + 2ty t 2 J ^ l + 2t)’ (l + 2ty Megjegyezzük, hogy az l + 2e’‘ = t helyettesítéssel egy kicsit egy szerűbb a számolás. 7.6.4. a)
dx V l-x
- 2 V I-X Ó= lim ( - 2 V l- x ) + 2 = 0 + 2 = 2. x^l
287
KVK-1190 b )H a V 2 -x = t , akkor az integrál:
“ -2[arctgt
0
n
1+ x . Ennek az 1-ben a 1 -x 1 X 2 baloldali határértéke +oo. így az integrál divergens.
c)Az —
egy primitív függvénye —In
d) f - ^ ^ d x = [ 2 V ^ b = 2 - l i m ( 2 - > & r ) - 2 - 0 - 2 Vsinx ^ / c in
V
X —^ 0 ^
2tdt
e) HaVx = t , akkor az integrál:
t^ + t
= 2[ln(l + t)]o = 2 -ln 3 .
f) Parciálisán integrálunk az f ' = 1 és g = Inx választással. így: 1 I 1 Inx dx = 1• In x dx =[x InxJ - x •—dx = - 1 , ahol felhasználtuk, hogy a L’Hospital-szabály alapján: lim(xlnx) = lim
x^.0*
x->0*
1
= lim
x^.0*
\
1
= 0.
X
g)
dx
arcsinx
- V l-x ' 71
2
/
71
= lim arcsinx - lim arcsinx = x^i x^~r
\ = 71..
v ’ 2^
h) Mivel a — = (inx) ^ •— egy primitív függvénye — ^ és enxln X X Inx nek az 1-ben a baloldali határértéke +oo, az integrál divergens.
288
KVK-1190 i) 0 .
j) Az integrandus nevezője (-l)-nél 0, tehát: 0 -1 -1 + (x + l) 3 dx = (x + l) 3 dx + (x + l) 3 = 3 (x + 1) -2 -2 -2 -1 + 3 (x + l):
= 3 + 3 = 6. -1
k)Az integrandus nevezője a
71
0, tehát:
j fSinx , rsinx sinx , tg x d x = ------ dx+ -------dx. cosx ^ cosx
sinx cosx
egy primitív függvénye a
intervallumban
K - Incosx, amelynek a baloldali határértéke a —-nél +00, így az ere
deti integrál divergens.
7.6.5. a) e’^= t. í— - •— = [2arctgt h+t~' t
= 31.
b)Ha tg —= t , akkor l + sinx = l+
1+ t"
1+ t^
és dx =
2dt 1+ t 2 ’
továbbá az új határok; tgO = 0 és lim tg —= +00. így az integrál: x->7t 2 -dt = (t+ iy
t+1
= 2.
289
KVK-1190 dt c) Legyen e ^ = t. Ekkor dx = —^ , az új határok pedig e
= 1 és
lim e‘’‘ = 0. így az integrál értéke a következő; dt
Iníl + t)]® = ln2.
1+ t
Megjegyezzük, hogy a z ----- ^ egy primitív függvénye: 1+ e - ln(l + e“*) és ezt felhasználva is célhoz jutunk.
d)Ha t = Vx - 1 , akkor az integrál:
+00
J
X f dx e) 1 ----- = • 'x
-X
1
dx ■+ x^-x
+00
2tdt - 2[arctgt (1 + t ^ t
dx . ----- . Az X
1 1 — egy primi x-1 X
1 X
-X
= 71 .
-X
1-x tív függvénye a (0 ; 1) intervallumban In------, aminek a 0-ban a X
jobb oldali határértéke +oo, így az eredeti integrál divergens, ^
f
dx gx_____ _ “rf
_l(l + x^)^arctgx (arctgx):
ax dx
^ °ff
_i(l + x^)^arctgx 3 + — (arctgx) 2
ax dx
o (l + x^)Varctgx
= 0.
Megjegyezzük, hogy ha egy páratlan függvény integrálható a számegyenesen, akkor a számegyenesen vett integrálja 0.
290
KVK-1190
8.KÉTVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 8.1. Kétváltozós valós függvények értelmezése 8.1.1. A tartományokat a 8.1. ábrán ábrázoltuk. b)
a)
y y ^ /v /^ /
d)
c)
ív v ^
e)
f^
/ / / /\ w
8.1. ábra a) Df = R ^
b)D f = { ( x ;y )e R ^ |y ^ -x } .
c) Df = { (x ;y )€ R ^ |(x > 0 és y > 0 ) vagy (x < 0 és y^O )}.
291
KVK-1190 d)x^ -y ^ = (x -y X x + y);>iO miatt Dj. = { (x ;y )€ R ^ |y ^ ± x } . e) Négyzetgyök alatt csak nem negatív kifejezés állhat, ezért l - x ' - y ^ >0, azaz x^ + y" <1. = {(x;y^x^+y^ < 1}. Az x^ +y^ < 1 egyenlőtlenség ekvivalens a ^Jx^ +y^ <1 egyenlőt lenséggel, s ez utóbbi baloldalán álló kifejezés egy P(x;y) pontnak az origótól való távolsága. így az x^ +y^ < 1 feltétel az xy-sík ori gó középpontú egységsugarú körének belsejében és határán fekvő pontokra teljesül. f) D f = { ( x ; y ) € R ^ | x 9 í 0 , y > 0 } .
8.1.2. a )f(p ) = lgc, b)
f (q) = 2,
f(Q) = lg(a + b + c),
f (R )= 0 .
P-ben és R-ben nincs értelmezve. y
c) Az arccos t értelmezése miatt -1 < t < 1, ezért a -1 < —< 1 egyenX
lötlenségeknek kell teljesülni. Tehát P-ben nincs értelmezve a függvény, a másik két helyen igen. Behelyettesítéssel: f(Q )= arccos 0 d) f (P) = f ( r ) = 0,
f(R) = arccos(-1) =
ti
.
Q-ban nincs értelmezve.
8.2. Kétváltozós valós függvények differenciálszá mítása 8.2.1. A parciális deriváltak kétféle jelölését vegyesen használjuk. a) Mikor az egyik változó szerint deriválunk, a másikat konstansként kezeljük. Az egyváltozós valós fíiggvények deriválási szabályait
292
KVK-1190 alkalmazva:
f^(x;y)= (-x^) +3y(x^) -y ^ (x ) = - 3 x ^ + 6 x y - y \
Hasonlóan: f'(x ;y ) = 3 x ^ -3 x y ^ . .,Őf/ ^ 3 b ) — (x;y) = - , 5x 4
dí( ^ 1 — (x ;y )= --. öy 8
c) g;,(u;v)=(ln6)6‘‘ •v ^
g ;(u ;v )= 6 “^' •v ^
e) f(x; y) = (x - y) * alakban deriválunk. f x ( x ; y ) = - ( x - y r - ( x - y ) x =-^---- í-r^, mert ( x - y ) x = l , (x -y ) f ;( x ;y ) = - ( x - y ) '^ - ( x - y ) y =
f) f:(x;y)^y | y ' ~ ^ ) ix'+y'j
C
ŐQ
^ (x -y )
mert ( x - y ) y = - l
f;(x,y) = y í ^ - ^ . (x + y j
dC
2C" / \ X
h)Mivel \yJx
V-’’
7x
xy
-2
=—
X
vY/y
Zx(x;y)=---4+i’ < ( x , y ) = - ^ + - + i .
293
KVK-1190 i) Az f(x ;y )= függvény x-re nézve hatványfüggvény, y-ra nézve exponenciális függvény. A parciális deriváltfüggvények ennek megfelelően; f^(x;y)= y-x^“', f'(x ,y )= (inx)x^. Őf^ ^ -6 x j) — (x;y)= ..... őx 7y +2
df^ ^ 3y' ^ (x ;y )= , ........... Sy 2 Vy - 6 x ^ + 2
U
k )h :(u ;v ) = 1+
u
K (u ;v )= 1+
/ u \2
-u 2 u +v 9
*
1) f ;( x ;y ) = ( 4 y f (ln4y).(3x); = 3 (ln 4 y X 4 y f, f ;(x ;y )= 3 x (4 y f-' (4y),' = 1 2 x ( 4 y r '. m )f;(x ;y ) = e-‘>(l + xy)i
f ’(x;y)= x ^ e " '.
n)Vegyük észre, hogy a függvény x-re nézve konstanssal szorzott, yra nézve pedig szorzatfüggvény. z;(x;y)= V ^(lg(xN y’) ): =
=
4(^;y)= (V y)y ig (x '+ y ')+ V y (ig (x '+ y '))y +
294
r
(^^+ y^y ^ l g ( x '+ y ^ ) (inloX x^+ y') 2Vy
3y^Vy (ln lO )(x '+ y ')'
KVK-1190 o ) |^ ( x ; y ) = 3 dx
dy
•sin(7Dcy)+ Tiy •cosÍTixy) , y
(x;y)= 3
• sin(7Txy)+ 7tx • cos(7ixy)
P)fx(x;y) = -^ (x - ln (lO y - x )X - ( x ) , = : ^ ( l- ln ( lO y - x ) + lOy lOy (io y -4 lO y -x
+x
_1 =
1 ln (lO y -x )-1 , lO y -x lOy
.
f; (x;y) = ^ ( y ' • In(l0y - x)V - (*),' = - ^ ( - y -' •ln(lOy - x)+
+y
-1
(io y -4 lO y -x
-0 =
q )fx (x ;y )= :^ + V y 2vx
10
y(lO y-x),
sh (x + 2y) ^ eh (x + 2y)
f;(x ;y )= ' Í Ü ^ . 2 V ^ . c h ( x . 2 y ) V xl
2^y
(in y)y' • -. j - - 2(ln 5)xy •th y ^ r)h ;(x ;y ) = ----------- -----------------------------
h;(x;y)=
cx-y
S) fx (x; y) = y •eh y •eh x(sh x f
,
f ' (x; y) = (in sh xXsh x)^ ^(eh y + y •sh y ).
295
KVK-1190
8. 2.2. a)f^ (P o)=f;(P o) = 0.
C) fx (x, y) -
b)f:(P o)=3e,
2 _ ^j
f;(P o)= -3e.
2Xy' - x)
( ln 2 X y '- x ) lo g ^ y " - x ) ’
^'^^’^ ^ ~ lo g U y '- x ) (ln 2 X y '-x )
( ln 2 X y '- x ) lo g ^ y " - x ) ’
A P() pontban vett parciális deriváltakat a
koordinátáinak behe
lyettesítésével kapjuk. Felhasználva, hogy y ^ -x ^ = 3 ^ - 5 = 4 , és log24 = 2^ =4, kapjuk;
(5;3) = — 161n2
f (5;3)= - 81n2
1-71 d ) f :( P o ) = - 47 ’ f;(Po)=
16
8.2.3. a) df(x;y) = ^ ^ d x + x Y dy,
df(?o) = - | d x + d y .
. 40dx lOdy b )d f(x ;y ) = — , — 3 -V (4 x -3 y )' y { 4 x - 3 y f
W r, ^ df(Po)=— d x - - d y . ^ 2
c) A teljes differenciál: df(x; y) = f^ (x; y)dx + f^ (x; y)dy. A Pq pont ban vett teljes differenciált pedig az x = x,, = 6 és y = yo = 3 be helyettesítéssel kapjuk. ^
X
e’ - - x - l e >
x
296
7
. 2
Xy
, ’
X
\
U
/
^
y
^
36
KVK-1190 f ;( x ;y ) = - ! - e í.x
= - - L e '. _
-
f;(P j= -^ .
-
1
2
Tehát d f(x ;y )= ^ ^ e^dx— re^'dy, Xy y
2
df(P(,)=— d x - — d y . 36 9
8.2.4. a) A Pq pontban vett, a szöghöz tartozó iránymenti derivált: fá(Po) = fx(Po)-cosa + f;(?o )-sin a. f:(x ;y )= 3 (2 x -4 x y + y n 2 - 4 y ) ,
f;
= -450, r
1
f;(x ;y )= 3 (2 x -4 x y + y n - 4 x + l)i
A = 225.
1A .S + 225— = 225 1+ 2
így f:(P « )= M 5 0 )
c )0 .
^>4d)f^(x;y)= cosy(sinx)“ *^ ' -cosx,
fy (x; y) = -(in sin x)sin y(sin x)“ ' \
f^; ( P j = - ^ (l + Vs In 2). O
8.2.5. a) fx"x( x; y ) = 42xy",
f,; ( x; y ) = f;; ( x; y ) = 42x V ,
f ;( x ; y ) = 1 4 x ^ - 6 y ^
b ) f; (x ; y )= i- e > ,
X
f ' ( x ; y ) = . 1
1
—
1
—
fxx(x;y)=(f;(x;y)),
297
KVK-1190
e" = - ^ ( y + x).
f;( x ;y ) -( f;( x ;y ))
c)f:u(u;v) = - ^ ^ , (u -v )
e"' = — ^ ( 2 y + x). y C (u ;v )= f,„ (u;v) = -2
(u -v )
,
Cv(u;v) = - r ^ ^ . (u -v )
8.2.6. a)A vegyes másodrendű parciális deriváltfüggvényt kétféle sorrend ben is meghatározhatjuk. Itt először y-szerint célszerű deriválni. \-2 1 1 y f ;(x ;y )= x ' cos—
-3
^ y^ f ;( x ; y ) = - 2 cos—
. y ysm —
. y -s in —
X
= -2-
x^cos^ — Pq koordinátáinak behelyettesítésével: f"^(Po)=0. b )C (P o ) = 4 (l-ln 2 ).ln 2 .
8.2.7. a )0 .
298
b )-2
KVK-1190 c ) — (x ;y\)= x y 2 e ^ , ox
d f ((x ;y.)= x 2y e
.
oy
|4 ( x ; y ) - y '( i + x V " ) e ' , | 4 ( ^ ; y ) = ^ '0 + ^ V ') e ^ , ox
oy
£ ^ ( x ;y ) = x y (2 + x V > ^ , 2
d^f']
[ax5y^
[ ö y 'J
= x V ’ ( 3 + 2 x V y ’’ .
8.3. Kétváltozós valós függvények differenciálszá mításának alkalmazásai 8.3.1. A feladatok megoldásánál az alábbi lépésekre az előttük álló szá mokkal fogunk hivatkozni. (1) Felírjuk az elsőrendű parciális deriváltakra vonatkozó egyen letrendszert (f^(x;y)=0; fy(x;y)=o). (2) Az egyenletrendszert megoldjuk, és megállapítjuk a stacionári us pontokat (ezekben lehet szélsöértéke a függvénynek). (3) Ha van stacionárius pont, akkor kiszámítjuk a másodrendű parciális deriváltakat. (4) Pontonként ellenőrizzük az elégséges feltétel teljesülését. Megadjuk a lokális szélsőérték(ek)et. a )(l) f;(x;y) = 2e”' +(5 + 2 x - y ) - e '’ ■ 2 x = 0, f ; ( x ; y ) = - e - '= 0 . (2) Az egyenletrendszernek nincs megoldása, hiszen a második egyenlet egyetlen x értékre sem teljesül. A függvénynek nincs szélsőértéke. b )(l) f;(x;y) = e’‘='-y = 0, f;(x;y) = e""'-x = 0. (2) x = 0,
y = 0.
A stacionárius pont: P(0;0).
299
KVK-1190 (3) f,'(x ;y )= y ^ .e’‘’ ,
f;,(x;y)= f ; ( x ; y ) = e « + x . y . e ‘>,
f ;{ x ;y ) = x ^ e « ^ (4) f.:(0;0) = 0,
f;(0 ;0 ) = f ;,( 0 ;0 )= l,
Mivel D(0;0)= ^
f;(0 ;0 ) = 0 .
^ = - l < 0 , ezért f-nek a P(0;0) pontban
nincs lokális szélsöértéke. AP(0;0) pont nyeregpont. c )(l) f^ (x ;y )= -2 x + 4 = 0,
f;(x;y) = -2 y = 0.
(2) x = 2, y = 0. A stacionárius pont: P(2;0). (3) C ( x ;y ) = - 2 , f ;( x ;y ) = f ;( x ;y ) = 0, f ; ( x ; y ) = - 2 . (4) f;(2 ;0 ) = -2, Mivel D(2;0) =
f ;( 2 ;0 ) = f ;( 2 ;0 ) = 0 , -2
0
0
-2
f ;( 2 ;0 ) = - 2 .
= 4 > 0, ezért f-nek a P(2;0) pontban
lokális szélsőértéke van, mégpedig f (2; O) = -2 < 0 miatt lo kális maximuma van. A lokális maximum értéke: f(2;0)= 9. d)A P (- 2;0) pontban lokális minimum van, amely értéke: f(-2 ;0 )= — . e 2 pontban lokális minimum van, amely értéke: 3’ 3
e)A P _
3 ’" 3 ,
= 0.
f) A P(l;l) pontban lokális minimum van, amely értéke: f(l;l) = - l . (A Q(0;0) pont nyeregpont.) g )(l) f;(x;y) = -2 x + 2y = 0,
300
f;(x;y) = 3 y ^ -8 y + 2x = 0.
KVK-1190 (2) X = 0, y = 0, és X = 2, y = 2. A stacionárius pontok; Pi(0;0), P2(2;2). (3) f;;(x;y) = -2 , f;;(x;y) = f" (x;y)= 2, f;;(x;y) = 6 y - 8 . (4) Mivel D (0;0)=12>0 és f;,(0;0) = - 2 < 0 , ezért a P,(0;0) pontban lokális maximum van, amely értéke: f(0;0) = 0 .Mivel D(2;2) = - 1 2 < 0 , ezért f-nek a ?2(2;2) pontban nincs lokális szélsőértéke. A P2(2;2) pont nyeregpont. h)A Pi(l;l) és P2( -l; - 1) pontokban lokális maximum van, amelyek értéke: f(l;l) = f ( - l ; - l ) = — . (A P3(0;0) pont nyeregpont.) 4 i) A P(0;0) pontban lokális maximuma van, amely értéke: f(0;0) = 1. j) A P i(0;-l) pontban lokális maximum van, amely értéke: f ( 0 ;- l) = 5, a P2(4;3) pontban lokális minimum van, amely értéke: f(4;3) = -5 9 . (A P3(0;3) és a P4(4;-l) nyeregpontok.) k) X 0, y ^ 0 , a P(5;2) pontban lokális minimum van, amely érté ke: f(5 ;2 )= 3 0 . 1) (1) Mivel a logaritmusfüggvényeket pozitív valós számokra értel mezzük, ezért X > 0, y > 0. f:(x ;y )= 2 x + y - - = 0, X
f;(x ;y )= x + 2 y - - = 0 . y
(2) A második egyenletből: x = — - 2 y , amelyet behelyettesítve y az első egyenletbe a 3y'^-37y^+100 = 0 egyenletet kapjuk. Figyelembe véve az x > 0, y > 0 feltételeket, az egyenletrend szer megoldásaiból csak az x = 1, y = 2 felel meg. A stacionárius pont: P(l;2).
301
KVK-1190 (3) f:;(x ;y )= 2 + ^ , C (x ;y )= C (x ;y )= 1, f''(x ;y )= 2 + ^ . (4) Mivel D (1;2)=26>0 és f;,(l;2 )= 6 > 0 , ezért a P(l;2) pont ban lokális minimum van, amely értéke: f(l;2) = 7 - 101n2. m )(l) f ( x ; y ) = x - y - x V + xy^
f ^ (x ;y )= l-2 x y + y^ = 0 ,
fy(x;y) = - l - x ^ +2xy = 0. (2) Összeadva a két egyenletet; y^ - x^ = 0, tehát y = x vagy y = -x. Az első egyenletbe való behelyettesítésükkel kapjuk, hogy az egyenletrendszer megoldásai: x = l ,y = 1 ésx = - l , y = - l . A stacionárius pontok: P,(l;l) és P2( - l ; - l ) . (3) C ( x ;y ) = - 2 y , f .;( x ;y ) = f ;( x ;y ) = - 2 x + 2 y , f ;( x ;y ) = 2 x . (4) Mivel d (1;1) = - 4 < 0 , ezért nincs lokális szélsőérték a P,(l;l) pontban. A Pi(l;l) pont nyeregpont. Mivel D ( - 1 ;- 1 ) = - 4 < 0 , ezért nincs lokális szélsöérték a P2( - l ; - l ) pontban. A P2( - l ; - l ) pont nyeregpont. n)A P ,
és a P,
pontokban lokális minimum van, ame{_
O ;>4; ’ 2. V ^y (A P3(0;0) pont nyeregpont.) lyek értéke: f
=f
19
8.3.2.Minimális lesz a költség, ha az A jelű termékből 2000 tonnát, a B jelűből 3000 tonnát állítanak elő. 8.3.3. (1) A profit függvény: P(x;y) = R(x;y) - C(x;y), így P(x;y) = -x^ + 2 x y -2 y ^ - 4 x + 12y + 5. P '(x ;y )= -2 x + 2 y - 4 = 0, P'(x;y) = 2 x - 4 y + 12 = 0 .
302
KVK-1190 (2) Az egyenletrendszer megoldása: x = 2, y = 4. A stacionárius pont: Q(2;4). (3) P ;(x ;y ) = -2 , P ;(x ;y )= P ;(x ;y )= 2, P ;( x ;y ) = - 4 . (4) Mivel D(2;4) = 4 > 0 és P;,(2;4) = -2 < 0, ezért a P(2;4) pontban lokális maximum van. Maximális lesz a profit, ha az A jelű termékből 2000 tonnát, a B jelűből 4000 tonnát állítanak elő. 8.3.4. A felület P (0;0;-l) pontja van legközelebb az origóhoz. 8.3.5.Jelölje x, y az alaplap éleit és z a tartály magasságát méterben. A tartály felülete: F(x;y) = xy + 2xz + 2 y z. A tartály térfogata: 8
8
xyz = 4. Tehát az FÍx;y)= xy + —+ — kétváltozós függvény lokáy X lis minimumát keressük. (1) F ; ( x ; y ) = y - ^ = 0,
F ; ( x ; y ) = x - ^ = 0.
(2) Az egyenletrendszer megoldása: x = 0, y = 0 és x = 2, y = 2. A feladat geometriai tartalmából következik, hogy a stacionárius pont: P(2;2). (3) F;;(x;y) = ^ , X
F,;(x;y)= F;;(x;y)= 1, F;;(x;y) = ^ . y
(4) Mivel D (2 ;2 )= 3 > 0 és F"^(2;2)= 2 > 0 , ezért a P(2;2) pont ban lokális minimum van. Tehát azon négyzetalapú tartályhoz kell a legkevesebb anyag, amelynek az alapélei 2 méter, ma gassága 1 méter hosszúak. 8.3.6. a) Az átfogó c hosszát a következő kétváltozós függvénnyel számít juk: c(a;b) = letet
+b^ . Az abszolút hiba becslésére az alábbi kép
használjuk:
Ac « c'(ao;b(,)|- Aa + cJ,(ao;bo)|- Ab ,
ahol
ÜQ és b() a mért értékek, Aa és Ab pedig a mérési hibák. Az adatok
cm-ben: a,, =5; b,, = 12; Aa = 0,1; Ab - 0,2.
303
KVK-1190 2a
< (a ;b ) = cUa;b) =
2V a^+^ 2b
13
Va^ +b^ b
12
2 V a'+ b ^ így az abszolút hiba: Ac
— •0,1 + — -0,2 « 0,22. Mivel a mért 13 13 adatokkal számolt érték: c(a(,;bo) = 13, a mérés relatív hibája: 5c =
Ac c(ao;bo)
b) AT «1,1;
ŐT « 0,037.
c) (tgpXa;b) = A(tgp)| = 8.3.7. R =
0,22 13
(tgPX (a;b) = (tgp), (a;b) = - , a 12 0,1 0,2 « 0,088; 5(tgp) = 0,037. 25
R, R
—«2,536; AR. = AR, = 0,05 a kerekítés miatt. Rl + ^ 2 A R « 0,026. Tehát R = 2,54 ± 0,03 f2 . A kiinduló adatok egy
tizedesjegyre kerekítve vannak megadva, így a számolt adatot is elég ekkora pontossággal megadni: R = 2,5 Q , vagy R = 2,6 Q . 8.3.8. p = 524+ 9 kg3 m
•
8.3.9. a) A véges növekmények tétele szerint A f(x;y)«f;(X o;yo)-A x + f;(Xo;yo)-Ay, ahol Po(Xo;yo) egy a P(x;y) ponthoz közeli olyan pont, ahol a függvényérték könnyen számítható, s Af(x;y) = f(x ;y )-f(X o ;y o ) illetve Ax = x - X q, Ay = y - y o .
304
Legyen
Po(3;2)
ez
a
kiinduló
pont.
Ekkor
KVK-1190 f (Pi3)= ln ( 3 ^ -2 ^ ) = 0 .A további adatok; Ax = 3 ,0 2 -3 = 0,02; Ay = 1,96 - 2 = -0 ,0 4 .
=
X - y
f;(P.)=7 = 6. 1
-12
= -
12 .
így Af (P)« 6 •0,02 + (-12)- (-0,04) = 0,6, s végül: f (?)« f (Po) + Af (P) = 0 + 0,6 = 0,6. b ) f ( - 1,98; 3,01)« 37,22.
8.4. Kétváltozós valós függvények integrálszámítása 8.4.1. a) Amikor az egyik változó szerint integrálunk, a másikat konstans ként kezeljük. Ha mindkét változó határa konstans, akkor tetszőle ges sorrendben számolhatjuk a kettős integrált. \ 2 1/ \ \ Í2 / 1 X y2 dx = 4 Í f l - - dx = 8 í i - i ^ - y dy dx = y ^ y o j • 3 8 -2 3; 3 4, J -1 V-2 -1
^>1-
c )iln 5 .
d)Itt az integrálást célszerű x-szerint kezdeni. 1+ xy d x ld y = x+y ~ dy= í ^ ( ( 2 + 2 y )1 y • ’ . l y 2 „ U - Yy -r y -iV o -1* 0/ y+1 dy = -2 1+ - (O + 0))dy = j ^ r ^ d y = -2 dy = y -1 1 -y -iv y - 1 -1 = -2[y + 21n|y-l|]_“ = -2((0 + 0 ) - ( - l + 2 1 n 2 ))= 4 1 n 2 -2 e) In 2.
305
KVK-1190 f) Itt az integrálást célszerű y-szerint kezdeni. í ' x ' • e’‘'^ dy dx= fx^ j
-ll^O
f(ay+b)
j
f(g(x>g'(x)
1
x^‘ 2 _
dx = [ie«_2
fr
1
0
1/ 2
xle’^ \ '- l dx =
dx =
9
X
-1
e’'" - x ^ .
r -e +— ^ /e 4
e - i w
842
. . . a )l.
b )l
c)T = { (x ;y ^ l< x < 2 , 0 < y < 2 }
2-
2/2
,2^y dx = (x + y ) X 1V x+2
2^ dx = J - X z.
X
x+y /
+1 dx = V
( _ 1
I
V
1
1
x+2
X
2 9 ^ 1 ^ + 1 dx = 2 x+2 x + 2; J 1
^2[ln|x + 2 |f = 2 (ln 4 -ln 3 )= 2 1 n ^ .
843
. . . a)A T tartomány az x-tengelyre nézve normális. Ezért az integrálást y-szerint kell kezdeni, a megadott határok között. (8.2.a. ábra.)
306
KVK-1190 V3
0 V3 = 27 arctg^x — í-y dx = 27 1+ x
arctg X
=9
71
-0^
71
Jy
^>1c)A T tartomány egy origó középpontú, 2 egység sugarú körtarto mány az xy-síkon. Ez az x-tengelyre (és az y-tengelyre) nézve normáltartomány, melyet határaival így is megadhatunk: T = |(x;y) - 2 < x <2, - ^ J 4 - x ^ < y < V 4-x^ |.
(8.2.b.ábra.)
(3x - 4y)dy dx = |6 x V 4 -x ^ dx - 0 . -2
-2
^2
e ) 8 - 4 V 3 + |.
4
b)
a) . arctgx
\
Zl 'T '
\
y
N -2
8.2. á b r a
8.4.4. ,
1 2
a ) ------+ - .
8
307
KVK-1190 b)Az ABC háromszögtartomány az x-tengelyre nézve normális, ahol y alsó határa az AB egyenes, felső határa pedig az AC egyenes. Ezek egyenleteinek felírásához például az y - y o = m (x -X o ) kép letet használhatjuk, ahol m az egyenes meredeksége, Po(x(,;yo) pedig egy pontja. (8.3.a. ábra.)
AB: m = Xb - X a AC:
--
3
-
y + 9 = - - ( x + 2); y = - l x - — . 4^ ^ 4 2 12 3 . 3/ 3 15 = = y + 9 = ^ (x + 2>, y = ^ x - - ^ . 16 4 ^ 4^ ^ ^ 4 2 16
4
15
- X ---------
14
4
2
(x + 8y)dy -2
2
d )2
2e'
+ 8 1 n -. 4
e)A tartomány egy tengelypárhuzamos derékszögű háromszögtarto mány, ez mindkét tengelyre nézve normáltartomány. Mivel az in tegrálást y-szerint egyszerűbb elkezdeni, válasszuk ezt a sorrendet. A CB egyenes egyenlete az ábráról leolvasható: y = - x + 2, mert a í-2 V —V 0 = - 1 , és az y-tengelyt 2-nél meredeksége m = — — — - — Xb - X c 1 _ o metszi. így T = 1
(x;y) 0 < x < —, —< y < - x + 2 k (8.3.b. ábra.) 2 2 ^ ' ^
í -x+2
2y
-x+2
( y '- x ^ r - 2 y d y dx =
dy dx = J 3
2
308
V 2
( f ( y ) ) “ -f'(y)
KVK-1190 - x+2
dx = - J y^ -x ^
1
( -x + 2 )2" - x^2
v2. 1
-í
- 4 x+ 4
1 dx = — 9_ 2 4 J X
4
3
1
3
9
2
2
l - 'x
H--- *—•— In
4
-X
dx + — x - l
4
J_r, In x - 1
dx =
^ 2^2
9
2 \2
dx =
1 - —X V-^ /
ln --0 2
+ l(ln 2 -0 ) =
3
= - - l n 2 + - ln 2 = — ln2. 4
3
12
b)
c)
8.3. ábra 309
KVK-1190 f) T = { (x ;y )|0 < x < 4 , x < y < x + l}. x+l dy dx =
1+ e’
■+ ( 2 x + 1)2
242 +-
dx = In
8.4.5. 12
6
4
b)Az ABC háromszög az y-tengelyre nézve normáltartomány, ahol x alsó határa az AC egyenes, felső határa pedig a BC egyenes. y —4 Az AC egyenes egyenlete: y = 2x + 4, azaz x = ^ , a BC egyenesé pedig y = -2 x + 4, azaz x = T = |( x ;y )
2
x^
2
2
U-y
1
4 —y ^ . (8.3.c. ábra.)
^
4-y 2
1 1 dx = — y-4 3
\3 X *X3 4 -y A /y _ 4 \
dx dy = dy = -4Y 2 / 4 1 2 'f 1 J - ( 6 4 - 4 8 y + 1 2 y '-y ^ )d y = y ( ( 4 - y ) '+ ( 4 - y ) ^ ) d ly y = 3-8 2 ^ ' 24{y 1 "^64 48 1 ----- + 1 2 - y dy = 12 12
64
48 Íny + 1 2 y --
y
= ^ ( ( - 1 6 - 4 8 1 n 4 + 4 8 - 8 ) - ( - 3 2 - 4 8 1 n 2 + 2 4 -2 )) = y - 4 1 n 2 . Felhasználtuk, hogy In 4 = In 2^ = 21n2 .
310
KVK-1190 V3
S
2
2y
* r 1T r -dx dy = - 2[arctg ( y - x ) J ’'d y = 2 - arctg y dy = r r ‘"(y) V,y l + ( y - x y V3 -ln 2 . 2y •arctg y ] f dy = 2 ti fl + y 3 4
c)
1 d) — I---8 24
e) 2 (V 7 -2 )ln2.
8.4.6. a ) l.
b )0 .
c) A T tartomány az x-tengelyre nézve normáltartomány. T = |(x; y ) - l < x < l , x ^ < y < 4 |. (8.4.a. ábra.) 1/^4
T ^ ^ d y dx= j ( l - x ) (y+i) j Ly+i
-1
1 -1 5 5 InSÍ
dx = d y= í(i-xfi- ‘ ,5 x " + l -1
XX ^ 1, , 2 dx = -----------arctgx + —Inl + x 5 10 2 5 1+ x ' 1+ x ' -1 / \ 2 n In 2 71 In 2 1 1 +5 10 v ' 4 . 10 4"^ 2 yy 5 ~ 2 X
ln 3 /
x _
-xAi
d) J |4 y -sh x d y dx = 4 j --------------(e^’‘ -l) d x = In 3
'(e^- - 2e^ + e-" )dx = j
. (8.4.b. ábra.)
8.4.7. a) A tartomány az y-tengel)Te nézve normáltartomány. A két görbe metszéspontjainak y-koordinátáit az y = ^y^ egyenlet gyökei ad ják:
311
KVK-1190 y = 0 illetve y = 3. T = -j (x;y) ^y^ < x < y , 0 < y < 3 3
y
y
3
^
0
y-e^ - y-e
y -e ’‘ dx dy = y- e ^ 0
■J
dy =
^
/
= y - e ^ 'l o - j e ''d y - |j e 3 — ydy = (Se^- o ) - e'' 3'
3
3■
3 y
i '
e^
=
0
f(g(y)>g'(y )
= 3 e ^ -(e ^ -l)--^ (e ^ -l)= -^ e ^ + -^ . (8.4.c. ábra.)
b)
a) .X2 [7
Á In3
-1
d)
8.4. ábra
312
KVK-1190 ..X 1 , 3 1 ,5 3, ^ b) —+ ln—+ —In—+ —ln2. 2 2 2 4 2
_1_ c ) — - - l n ' 2 - — ln2. 72 2 24
-+2
Idx dy = 16. d )J -2 y'-4
(8.4.d. ábra.) Megjegyezzük, hogy egy tar
tományon az f(x;y) = l függvény kettős integráljának geometriai jelentése (a tartomány feletti térfogat mellett) a tartomány területe. 8.4.8. A tartományokat a 8.5. ábrán rajzoltuk meg.
b)
a) 'Inx
é
sCosx /
-------1
8.5. ábra
313
KVK-1190 - ^Inx / -^2y
Inx dx = --y
^
a)
-1 dy dx =
X
- I n x dx =
V 0
e
e
(inx)^ •—d x - ’l-ln x = • 1
(inx)^ 3
r
*1
r
- LX• In XJ 1f + ]Idx = 1
1
^ -0V (e-0)+[x]^ = ^ - e + ( e - l ) = - |.
Az integrálás határaiból leolvasható az integrálási tartomány; T = {(x;y)| 1 < X < e, 0 < y < In x }, mely az x-tengelyre nézve nor máltartomány. Ábrázoljuk az y = 0, y = In x, x = 1, x = e görbé ket, majd a tartományt. b )0.
0 ^ . 8
8.4.9. a) Érdemes a tartományt az y-tengelyre nézve normáltartományok egyesítéseként felírni, mert akkor az egyik tartomány téglalap lesz. TaBCDE —TabDE U 5ahol Tabde = {(x ;y)|-7i< x< 7i, 0 < y < 7 i} , Tbcd = { (x ;y )|y -2 7 r< x < 2 7 i-y , 7i
CD. D _E - K
314
/ \
\B C
\
B A K
KVK-1190 2 tz ^ 2 n - y
7t í n
sin y •cos x dx dy +
jf(x;y)dT = ABCDE
0
V-í
siny-[sinx]!^dy+
71
''
siny-cosxdx d y l^y-271 J
2ji siny-[sinx]y!2rtdy = sin y (0 -0 )d y + 71
0
2n
2n
+ sin y (sin(27i - y ) - sin(y - 27i))dy = 0 + sin y (- sin y - sin y)dy = 2n 2n-i = - 2 Sin in^ydy = - 2 Í — j 2
2 71
d y ^ í(c o s2 y -l)d y = •’
2 71
sin2y
= (O- 2 ti)- (O- n ) = - n .
Felhasználtuk, hogy az f(y) = siny függvény 2n szerint periodi kus és páratlan. b)912.
315
KVK-1190
9. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYEN LETEK 9.1. Alapfogalmak 9.1.1. a) A differenciálegyenlet harmadrendű, mert benne az ismeretlen függvény legmagasabb deriváltjának rendje három. Lineáris is, mert f„(x)-y^"^ + ... + fi(x )-y ' + fo(x)-y = g(x) alakú. (n = 3.) b)Másodrendü, lineáris.
c) Negyedrendű, nem lineáris.
9.1.2. a)Az f(x) nem megoldás, mert behelyettesítve nem teszi igazzá a differenciálegyenletet. A g(x) megoldás, mert (-2cos2x)^ + (-sin 2x^4 sin 2x) = 4(cos^ 2 x -sin ^ 2x)= 4cos4x b)A zf(x) nem megoldás, a g(x) megoldás. 9.1.3. Az alábbi megoldásokban és a továbbiakban sem vizsgáljuk a megoldásfuggvények értelmezési tartományát. a) Ennek a differenciálegyenletnek az általános megoldását háromszo ri integrálással határozhatjuk meg. Legyen y = y (x ). y"(x) = 1, y"(x) = Jl dx = X+ C, y'(x) = J(x + C)dx = — + Cx + D, y (x )= j V
x^ x^ + Cx + D dx = — 4 € — + DX + E, a h o lC ,D ,E e R . 6 2 /
Az y(x) függvény valóban megoldása a differenciálegyenletnek, erről deriválással meggyőződhetünk. A differenciálegyenlet har madrendű, ezért y(x) általános megoldás, hiszen három független
316
KVK-1190 paramétert tartalmaz. Tehát:
(x) = — + C — + Dx + E. 6 2 A kezdeti feltételeket felhasználva: y(0) = 0 + C 0 + D 0 + E = E = l, így E = l, y'(0) = 0 + C 0 + D = D = 0, így D = 0, y"(0)=0 + C = C = - l , íg y C = - l . Az így kiszámolt konstansok értékét az általános megoldásba he lyettesítve kapjuk a kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megx^ oldást: y„(x) = ----------+ 1. ” 6 2 X
b )y 4(x) = -4 c o s—+ Cx + D,
c) yi(x) = ln(l + e’‘)+C,
X
yp(x) = -4 c o s —+ Cx + 4.
yp(x) = ln(l + e ’‘) - ln 2 = In
1+ e^
9.2. Elsőrendű differenciálegyenletek 9.2.1. a)A megoldás menete: y' helyébe az y-nak x-szerinti deriváltjának dy másik jelét, — -et írunk, majd ezt valódi törtként kezelve külön oldx dalra rendezzük a változókat. így mindkét oldalon egy-egy integrandust kapunk, s integrálunk. — = 2xy^, dx
y
dy = 2x dx,
(y ^ 0),
J
dy = f2x dx, J
ebből
- —+ C, =x^ + C 2, ahol €,,€2 e R . A Cj - C j = C bevezetésével y - —= y.(x) y x^+C , ahol C e R ,’ azaz .T aV / = —
— . (Ez a módszer
valóban megoldást ad, s az egyetlen paraméter miatt ez általános megoldás.) A kezdeti feltétel behelyettesítésével:
317
KVK-1190 y ( 0 = -l T+ C ^=4^
Í + C = 2, C = l.
1 yp(x) = - ^ 2 ^ ^ .
így
Megjegyezzük, hogy a differenciálegyenletnek a levezetés során kizárt y(x) = 0 is megoldása, ez szinguláris megoldás.
b)ln|y| = — + Ci,
(y^^tO),
|y| = e2
+C,
—
' = e ^ -e*^'= C2-e ^ , ahol
x“
€ 2 = 6^' > 0.
Ebből
^
y = CjB ^ vagy y = -CjC ^ , ahol Cj e
.
így y = Ce ^ , ahol C e R \ {O}, hiszen Cj végigfut a pozitív valós számokon, - C j a negatív valós számokon. Behelyettesítéssel kap juk, hogy a C = 0 (y = 0) választás is megoldást ad, tehát: y = Ce 2 , ahol C € R . c) Yá =
d)Yá
+ C)^, yp =
VC x '+ l
illetve yp = (x^ - i f .
, nincs megfelelő partikuláris megoldás.
, dy . e) — smx = ylny, dx
X 1 dx, In In y = In + ln C ,, dy = ylny smx f Vx^ ahol C, > 0. (A baloldali integrál alakú, a jobboldalit a f(x)
t = tg —-es helyettesítéssel integrálhatjuk.) A valós konstanst fel vehetjük InCj alakban, mert az f(x) = lnx függvényértékkészlete a valós számok halmaza. Azért célszerű ezt megtennünk, mert ak kor a logaritmus-azonosságokat felhasználva egyszerűbb alakra hozhatjuk az összefüggést:
318
KVK-1190 Íny - Cl
In Íny = InC,
X
(C, > 0) a logaritmusfíiggvény
szigorú monotonitása miatt. Ebből a b) feladatban részletezettek alapján lny==Ctg—, C e R következik. (A C = 0,y = l választás is megoldás. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy itt a két abszolút érték jel elhagyása miatt további megoldások is léteznek, ezek le írása viszont már nagyon nehézkessé teszi a megoldást.) így C tg -
y=e
2, C e R .
1+ y^ f)A differenciálegyenlet átrendezve: y' = ------ tovább alakítva: 2y-x 2
jj^
—^ d y = — d x . Ennek megoldása: 1+ y^ = —, y = ±^j ---- 1 . X X 1+ y g )y = tglnCVl + x ^, C > 0 .
h )y = l n ( c - e
9.2.2. a) Az elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletek speciális szétválasztható változójú differenciálegyenletek. Megoldásuk tehát a változók szétválasztásával és integrálással történhet. x ^ = 3y, dx
-d y = -d x , y X
ahol Cl > 0. így y = Ci
—dy= f—dx, y Jx
Íny = 3 1 n x + ln C j,
y -C x ^ C g R .
Érdemes megjegyezni a megoldásfüggvény alábbi alakját. Az y' + p(x)-y = 0 alakú elsőrendű lineáris homogén differenciál egyenlet általános megoldása: y . = Ce"’’^''^, ahol P(x) a p(x) függvénynek egy primitív függvénye, és C tetszőleges valós szám. Ennek alkalmazásához a differenciálegyenletet a megfelelő alakra kell hozni:
319
KVK-1190 y ' - - . y = 0 ,íg y p(x) = - - , ebből P(x) = -31n|x|. így X
X
y , (x) =
= C, x a z a z y = C x^ C € R
c) y = Csinx.
b) y = Ce
d)p(x) =
x '- l
P(x) = - - l n
1+ x 1 -x
y = C-,
1+ x 1 -x
9.2.3. a) Lineáris inhomogén differenciálegyenletek általános megoldását az egyenlethez tartozó homogén differenciálegyenlet (a továbbiakban röviden homogén egyenlet) általános megoldásának és az inhomo gén egyenlet egy partikuláris megoldásának összege adja. (yi,á = yh,á+yi,p •) 1. A homogén
egyenlet:
szétválasztásával megoldva: dy _ 1 y» - d y = ^ —dx, y x+1 dx x + 1
y ' ---- í— y = 0. x+1
Ezt
a
változók
f-d y = f-^ d x , ■'v •’x + l •'y
Íny = ln x + l+ ln C i = lnC , x + 1, C j> 0 ,
y = C , x + 1.
így yh,á = c (x + l), C € R .
2. Az állandó variálásának módszere szerint ekkor az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását yj p = k(x) •(x + 1) alakban keressük. Ekkor y'p = k'(x)-(x + l)+ k (x ). Ezeket az inhomogén egyenletbe helyettesítjük. k '(x )•(x + 1)+ k (x )---- — •k (x )•(x + 1) = x^ - 1 . x+1 Ha jól dolgozunk, a k(x) -et tartalmazó tagok összege 0. Ezután k'(x) =
320
x ^ - l ^ ( x - l) ( x + l) = x -l. x+1 x+1
KVK-1190 A k(x) függvény a k'(x) primitív függvénye, pl. k(x) = — + x . / -+ x (x + l) =
így yi,p = k (x )-(x + l) = V
/
\ (x + 1).
2
\
3. y i4 =C(x + l)+ x ^ + 1 (x + l) = (x + l)j^C + ^ + x v2 . b )y = C e'’‘ - x - | . - , 1 1 X c) y + —y = —cos—. X X 2 11-Y V h.á-'-'ie —C
-- C ^ - -'-1 c •— '- i ^i„|x|
2- Yi,p =
k'(x) = c o s^ , 2
X
3* yi,á =
d )y = Ce
í)y
1
VYh,á—— - ^
•
k(x) = 2 s i n ^ . 2
C + 2 s in -
+ -^ -e
e) y =
C + ln
x -1 x+2
„X 1 1 + — arctg X+ —arctg X- —X
1 y = —•e’ 1 -‘ -Inx . gX )y , + — . 1 1. y' + ~Yy = 0. A 10.2.2.a) feladatban leírt képletet használva:
321
KVK-1190 p(x) = i ,
P(x) = - i ,
y ,,,= C e -'’« = C e : . 1\
2. y .p = k (x )-e ^ ,
y 'p = k '(x )-e ^ + k (x )-e ’
Ezeket az inhomogén egyenletbe helyettesítve: i
1
i
1
-
1
-
k '(x )-e'‘ -k (x )- — •e’‘ + — •k (x )-e’‘ = —•e’' -Inx, azaz X^
x^
' 1 ‘ k '(x )-e'‘ = - • 6 ’' -Inx,
X
1 k'(x) = - - l n x .
X
X
Érdemes megjegyezni, hogy ha yjp = k (x )-r(x ) alakú, akkor eb q(x) egyenlethez jutunk, ahol r(x) alakra hozott differenciálegyenlet
ben a lépésben mindig az k'(x) = q(x) az y' + p(x)-y = q(x) jobboldala. 1 k '( x ) = l n x - - ,
. . . In^ X k(x) = 2
X (f(x))“ .f'(x)
1 c+
3. yi,á = e
In^ X
-
yi,p=-
In x
X
h )y = tgx C + ln t g j
2—In
»)1. yh,á=C,e 2. k'(x) =
2
1 -x 1+ x
1+x 1-x
1+ x 1 -x 2 ^ , k(x) = - x + 21nx + l 1 -x+1
=C
3. y ^ , = i ^ ( c - x + 21n|x + l|). 1
322
X.
KVK-1190 C arctgVx j ) y = ^ + i ------Vx vx , C Inx m) y = -----A------Inx 2 n)A differenciálegyenletet a szokásos alakra rendezzük: xy' + y ( x - l ) = - x \ = 0,
1. y' + y
y' + y
= -X
P(x) = x -ln |x |,
.
y^_. = C x - e ’‘ .
2. yi p = k(x) •x •e”’‘, k'(x) = - x •e’‘. Parciális integrálással: k(x) = e ’‘(l-x ),
yjp = e ’‘( l - x ) - x - e '’‘ = x ( l - x ) = x - x ^ .
3. y-j^ = C x -e”’‘ + x ( l - x ) . 9.2.4. a) y = -12Vx + —x^.
b )l. y,^, =C,e'"l“ ^’‘l = C co sx . 2. k'(x) = -2 cos^ X = -(l + cos 2x),
k(x) = -X --
sin2x
( sin2x 3. yj^ = cosx C - x ----------
4. C = l,
y =(cosx)- 1 - x -
c) y = (x -2 )ln Inx
sin2x
1 -c h x . d) y = ---------- hsh X. x -e
323
KVK-1190 e )l. y' + - ^ y = 0, 1 -x 2- Yi,p
y h ,á = C -^ . 1+x k'(x) = ( l - x ^ ) - | ^ = (l + x)%
1+ X
1- X
k(x) = Í L Í 3 Í , y ^ , = f i ± 2 Í ( l z í ) 3 3 ^ V -r
1 -x
1 4. C = - - , Yp 3 ^ f ) l . y' + y = 0,
( i+ x y ( i - x ) 1 1 - x (l + x )^ (l-x ) + 3 1+x 3
p(x) = l,
P(x) = x,
y h ,^= C e"\
2. yi =k(x)-e"%
k'(x) = ^ ^ = e’‘ -sinx. e A k(x) meghatározásához k'(x)-et kétszer parciálisán integráljuk, majd átrendezéssel adódik a határozatlan integrál, e^^ •sin Xdx = e’‘ •sin Xf'(x) g(x)
e’‘ •cos x = e’‘ - s in x - e ’‘ -cos x -
J f'(x) g(x)
>
e'^-sinxdx.
Azaz
2 e’^-sinxdx = e’^ • s in x - e ’^-Cosx + Ci,
e’^-sinxdx = —e’‘(s in x - c o s x ) + c . Például a c = 0 választással 2 ^ megkapjuk k'(x)-nek egy primitív függvényét. (Az integrálási konstanst ebben a lépésben le kell rögzíteni, mert egy elsőrendű differenciálegyenlet partikuláris megoldása nem tartalmazhat sza badon választható konstanst.) Tehát: .
k(x) = -^e’‘(sin x -co sx ),
yjp = k (x )-e ”’‘ = -^ (sin x -c o sx ).
3. yj^ =Ce"'‘ + ^ (s in x -c o s x ). 4. y(o) = —, —= C-1 + —(O -l),
C = l. így a kezdeti feltételt ki-
elégítő partikuláris megoldás: yp = e ”’‘ + ^ (s in x -c o s x ). (Érdemes
324
KVK-1190 összehasonlítani ezt a megoldást a 10.2.5.a) példa megoldásával.)
g )y = Vl + x ^ ( x - a r c t g x - 2 ) .
h )y = ^ ~ / 2 4sm X
i) y = l - ( e + l)e'*‘" \ -3 x ^ + x -2 x -1 yh,á = c x+2
j) 1- P(x) =
1
1
x+2
x -1
2. k'(x) = ^ ^ = l + ^ , x -1 x -1
, - P(x) = In
x -1 x+2
k(x) = x + 3 1 n x - l
3. y-, = ——í-(c + x + 3 1 n x - l) . ■’' x + 2 '' ’ x -1 4. Yp = —---- (x + 3 1 n x -l - ó ) . x+2 9.2.5. a) A megoldás szerkezete megegyezik az előző feladatokban alkalma zott szerkezettel, csak más módszereket alkalmazunk az y^. és Yi p megoldások számítására. 1. A homogén egyenlet; y' + y = 0. Az ennek megfelelő elsőfokú karakterisztikus egyenlet: X,+1 = 0, melynek megoldása; = -1 . Ha az elsőrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciál egyenlet karakterisztikus egyenletének gyöke X.,,, akkor megoldá sa; y = Ce^“’‘. így itt y^^^ = Ce"’‘ . 2. A próbafíiggvény módszer alapján q(x) = sinx miatt az inho mogén egyenletnek yjp = A sinx + Bcosx alakban keressük a megoldását. Ekkor yjp = A c o s x - B s in x . Ezt a két kifejezést az inhomogén egyenletbe helyettesítve;
325
KVK-1190 (Asinx + B c o sx )+ (A co sx -B sin x ) = s in x , rendezve: (A -B )sin x + (A + B)cosx = sinx. Az egyenletben szereplő két függvény együtthatóit összehasonlítva: sinx: A - B = l, cosx: A + B = 0. Az A, B-re kapott egyenletrendszert megoldjuk: Visszahelyettesítve: yjp = ^ s i n x - ^ c o s x . ^ -X 1 • 1 3. y i4 =C e + —s i n x - —c o s x . (Érdemes összehasonlítani ezt a megoldást a 10.2.4.f) példa megol dásával.) b )y = Ce^’‘ - 2 x - l .
c) 1. X.Q -
2
,
y^ —Ce ^ 4
2. y^,p=Ae^’‘ +Be-%
.
y'^ = 2 A e^^-B e“\
5A e'’‘ - B e “’'= 1 0 e '" + 1 0 e '\
A = 2, B = -1 0 .
3. y^,, =C e 2 +2e"’‘ - 1 0 e - \
d )y = Ce'^’‘ -c o s3 x + —sin S x - —. 4 2 9.2.6. a)A huroktörvény szerint U - U
l-U
^ = 0, aholUL = L ~ = L -i'
és U r = R - i. Tehát a differenciálegyenlet U - L i '- R i = 0, azaz Li' + Ri = U . A megadott adatokkal: 0,8 •i' + 0,4 •i = 12 . b ) i( t) - 3 0 ( l- e '® '‘).
326
KVK-1190
9.3. Másodrendű differenciálegyenletek 9.3.1. a )y = C,e^"+C2e’\ b)Az állandó együtthatójú másodrendű lineáris homogén differenci álegyenlet általános megoldását a (másodfokú) karakterisztikus egyenletének gyökeinek segítségével kaphatjuk, mely itt; + 5A- = + 5) = 0. Ennek gyökei: A., = 0, = -5 . Két különböző valós gyök esetén az általános megoldás, mely két szabadon választható független paramétert tartalmaz: y= =C,+ . _x
c )y = C,+C2e"4_
d )y = C ,e'’‘ +C2X-e^\
e) A karakterisztikus egyenlet: + 2X. +10 = 0, ennek diszkriminánsa D = 4 - 4 0 = -36 negatív. Az egyenletnek így nincsenek valós gyökei, a komplex gyökök: -
^^^-*= - i + 3j, hiszen V - ^ = 6 V ^ , és
értéke j vagy - j . Ha a karakterisztikus egyenletnek a ± pj a komplex gyökei, akkor az általános megoldás: y = e“’‘(Cj cosPx + Cj sinP x). Itt a = - l , P = 3,tehát y = e"'‘(CiCOs3x + C2SÍn3x). (Megjegyzés: a p = -3 választás is helyes.) f)A,^+4 = 0,
7^ =- A,
X = 0 ± 2 j,
y = Cl cos2x + C2 s in 2 x .
9.3.2. a )y = Cie3 +C^q ^ - 4 .
-4 x , /-I „3x b )y = C ,e'"’‘ + € 26^’^----^ 2
24
327
KVK-1190 c )l. y" + y = 0,
X.^+1 = 0,
A, = ±j,
= C, cosx + Cj sinx.
2. yi p = Ax^ + Bx + C . (Ügyeljen arra, hogy a próbafüggvény nem hiányos polinom akkor sem, ha a differenciálegyenlet jobboldalán álló zavarófiiggvény az volt!) A = 3, B = 0, C = -6 , y.p = 3 x ^ - 6 . 3. y;^ = C ,co sx + C2SÍnx + 3x^ - 6 .
d )y = C ,+C 2e"’'+ 8 e 2 . e )l. 5y" + y' = 0,
5A,^+X = ^5X + l)= 0 ,
X ,= 0 , X2 = - | .
_x
í§y yh,á “ ^1 + ^ 2® ^ • 2. Ha az egyenlet jobboldalán álló zavarófiiggvény több fiiggvény összege, akkor a próbafuggvényt tagonként állítjuk elő, természete sen különböző paraméterekkel, így itt; yj p = Ae* + Bcosx + C s in x . A deriváltak: y'p = Ae* - B s in x + Ccosx,
y"p = Ae"' - B c o s x - C s i n x .
5y" + y = 5(Ac’‘ - Bcos x - C sin x)+(A e’‘ - B s in x + C cosx)= = 6Ae’‘ + (C -5 B )co sx + (-B -5 C )s in x = 18e’‘ -5 c o s x . A szereplő fíiggvények együtthatóinak összehasonlításával: e’‘ :6A = 18, A = 3, c o s x :C -5 B = -5, s in x ; - B - 5 C = 0. 25 5 A két utóbbi egyenletből: B = — , C = 26 26 X 25 5 . — C O S X --------így y^ p = 36^^+ — COSX — ísin X . 26 26 -25 5 3- Ym =yh,á+yi,p = C i+ C 2e s+ S e ’^H-— COSX-— sinX.
Q y = C ,c o s ^ + C2SÍn^ + 17e
328
-5 e^ ’‘ .
KVK-1190 X —
g )y = e
2
\ 24 C, cos—x + C, sin—X -2 0 x ^ -1 6 x + ' 2 ' 2
h )y = Cie ^'‘ +€26 ' '
13
i) y = Cie^’‘ H-CjC j) 1. Xj 2 = ~lj
sin— cos— 2 13 2
-2 co sx -2 x .
yh,á~^l®
+ C 2X-e
2. Yip = Acos2x + Bsin2x,
A = 2, B = - l .
3. Yi^ = C ,e"’‘ + C 2X-e“'‘ + 2 c o s2 x -sin 2 x . k )l. X, 2 = ±2j,
4 = Cj cos2x + C2 sin 2 x .
2. Mivel - sh3x = -------- -— = - —e^’‘ + —e”^’‘ , ezért 2 2 2 , 3x
, t)„-3x
Y: =A e"’‘ + B e-^ \
*
1
^
1
A = ----- , B = 26 26
3. Yj. =C,C0s2x + C 2 s in 2 x -— e^’‘ + — e“^’‘ . ' 26 26 1)1. X ,=5, ^ 2 = -2 ,
Yh,.=Qe^’‘ +C2e-^’‘-
2. Mivel 2e’‘ •shx = 2e’‘ • Yi„ = Ae"’'+ B ,
2
= e^’‘ - 1 , ezért
A=- —, B=— . 12 10
3. Yi J'-.aá = C.e'" 1 + C2e-"’ ^ '- — 12 e '’^ + — 10 . m )l. Y" + y = 0, y h,á
=
A,^+1 = 0,
X^=-l,
^ i 2 = ± j.
C, cos x + C 2 sin x .
2. Yi,p = (Ax + B)e“’‘ a zavarófíiggvény alakjából.
329
KVK-1190 y'_p = Ae
- (Ax + B)e ,
y"p = - Ae
- Ae ’‘ + (Ax + B)e'
Különválasztva az e”"" és x ■e"'' függvényeket: Yi p = Ax • + Be~% y ■p = A x • e”’^ + (B- 2A )e“’‘ . Ebből y " + y = 2Ax • x-e^":2 A = l,
+ (2B - 2A)e"’‘ = x •e'" + e“" .
A=|,
e '^ 2 B - 2 A = l,
B = l.
így y>,p = 3* Yi,á = yh,á + yi,p = c , cos X + Cj sin x +
n )y = C,e^"
+ (óx' +18x + 2 l)e ".
o )y = Cie'''‘ +€26
10
e"" - s i n x - — e^^ -cosx. 10
/ 6^ f. 42^ p )y = Ci +C2e^’‘ + 3x + — COSX + 6x — sinx 5, V 5;
9.3.3. 3 . 3 a) y = - c o s —x - s i n —X. ^ 2 2 c )l. A., =1, A,2 = 2,
b )y = Ce“^’‘ + l - C
y, = C ,e ^ + C 2e ' \
2. y,(0) = C ,+ C 2 = l.
y ; = C , e ^ + 2C2e^\
y'(o )= C ,+20^ =0.
A két egyenletből: C, = 2, Cj = -1, d ) l . - y " + 4 y '- 5 y = 0, A.,.= '-1,2
330
yp = 2e'' - e^’‘.
- X ^ + 4 X - 5 = 0,
-4 +V ^ - 4 + 2Í =— ■ - ^ -' = 2 ± (-l)j= ^ 2 ± j . -2 -2
KVK-1190 Yh = e^'‘(C, cos X+ C2 sin x ). 2. y,_p = A x '+ B x + C + D e '\ y ' p = 2Ax + B + 2De^^,
= 2A + 406^^^.
A behelyettesítést a jobboldalon szereplő függvények együtthatói nak alábbi táblázatos elrendezésével megkönnyíthetjük: X
x^
-y" 4y' -5 y
-5 A
8A -5 B
1 -2 A 4B -5 C
-4D 8D -5D
A három sort összeadva: - y" + 4y' - 5y = (- 5A ) x ^ + + (8A - 5B)x + (- 2A + 4B - 5C)+ (- D)e'" = 25x" + e"". x ^ A = -5,
x :B = -8 ,
l:C = - — .
így y , p = - 5 x ^ - 8 x - y - e ^ \ 22 3. Yi. = e^’‘(C, C0SX + C2 sinx)-5x^ - 8 x - — - e ^ ’^. 99 4 .y (0 ) = C , - y - l = 0, Y p -e 2x
C,
77
27
cosx + Csinx _ 5 x ^ - 8 x - — - e ^ \ 5 (Megjegyzés; Ha nincs két konstans, akkor felesleges a paraméter indexelése. Legyen Cj = C .) . + —cosx. 1 e )y = —1 e -X —1 smx 2 2 2 9.3.4. a) A gyökökből: y,, ^ = C,e
+ C 2e . A próbafuggvényt a q(x)
alakjából következtetjük k i : yj p = Ae^’^ + Bx + C . Azonban össze-
331
KVK-1190 hasonlítva a tagokat a homogén általános megoldás tagjaival, látjuk, hogy az Ae^’‘ tag rezonál (szerkezetében megegyezik a C,e^’‘ tag gal). Ekkor ennek a rezonáló tagnak az x-szeresével kell próbál kozni: yi p = Ax •e^’‘ + Bx + C . Ez már rezonanciamentes. b )y = A x e " ’‘ + B x . c) y = A cosx + Bsinx + Cx^ +Dx . (Megjegyzés: Polinomnak minden tagját szorozzuk x-szel, noha csak a konstans tagja rezonálhat.) d)yh,á = C ,e ’‘ + C 2X -e\ A q(x) alakjából: yjp = Ae“’‘, amely rezonál, hiszen szerkezeté ben megegyezik a homogén általános megoldás egyik tagjával. A következő próbálkozásunk, yip = A x-e”’‘ pedig a másik taggal re zonál. Ilyenkor az eredeti próbafuggvényt x^-tel kell szorozni. yj = Ax^ •e . Ez már rezonanciamentes. e) y = Ax -e g)yh,á
+B e
.
f) y = Ax-cosx + B x-sinx.
cosSx + CjSinSx.
(yj p = Acos3x + Bsin3x]t
yj p = Ax-cos3x + Bx-sin3x .
h) y = Ax •e’‘ •sin X + Bx •e’‘ •cos x . 9.3.5. a )l. y " -5 y ' + 6y = 0,
X ^ - 5 X + 6 = 0,
X^=2,X^=3.
2. (yjUPp = Ae^'^ + Be^^ + c ). A rezonancia miatt:
yjp = Ax •e^’^ + Bx •e^’‘ + C . y ' p = Ae'" + 2 Ax •e '’' + B e'’^+ 3Bx •
332
.
KVK-1190 y';p =2A e'" +2Ae"’‘ +4A x-e"’' +3Be"’‘ +3Be"’‘ +9Bx-e^’‘
.
A behelyettesítést táblázattal végezzük:
y"
-5 y ' 6y
x-e^’‘ 4A -lO A 6A
x-e^’^ 6B 9B -15B -5 B 6B
4A -5 A
1
6C
y " - 5y' - 6y = - Ae^" + Be^’^ + 6C = Se^’^ - Se^’^ + 6. e"’‘ ; - A = 3,
A = -3,
e^’‘ :B = -5,
1:6C = 6,
C = l.
Yi p = -3 x •e^’‘ - 5x •e^’‘ +1. 3. y ., = C ,e '’‘ + C^e'’^ - 3x •e '’^- 5x •e '’^ +1. 4 3 c )y = C ,+ C 2e ^ - 2 s i n —- 6 c o s —+ 2x. 2 2
d )l. X , = 0 , X j = i , 2*
(yi,p
y „ = C ,+ C ,e " . yj p = Ax^
= Ax + b )
+
Bx,
A = -1, B = 1
X
3. yi_i = C,
-x ^ + x .
e) y = C] cos 3x + Cj sin 3x - - X(sin 3x + cos 3x). 6 f) y = C ,+ C 2C - 2 c o s x - 4 s i n x + x + x . g ) l . - y " - 6 y ' + 7y = 0,
- X ^ - 6 X + 7 = 0,
X, = 1 ,^ 2 = - 7 .
y ,,,= C .e ’‘ +C2e-’\
333
KVK-1190 2. Mivel shx = —e""
e
, ezért a próbafíiggvény:
= Ae^ + Be-^ + c )
= Ax •e^ + Be-’' + C .
y'^p = Ae’' + Ax •e" - B e '" ,
= 2Ae" + Ax •e’' + Be^’^.
Behelyettesítve: - y" - 6y' + 7y = -(2 Ae^ + Ax •e’' + Be“^) - óÍAe’' + Ax •e" - B e '" )+ ?(Ax •e" + Be"’' + c ) = - 8 Ae’^+ + 12Be“’‘ +7C = - e " - - e “" + l. 2 2 1 X 1 -X 1 Yin = ----- x -e ’^------e + - . 16 24 7 1 x_ -ex ’' 3. y ,, = C ,e’‘ + C ,e,-V- x'" - — ' ' 16
A=- —, B=- — , C=16 24 7
1 e"’‘ „ -X — + -1. 24 7
h)yi,á =C[e^ H-CjC 2 +2x-e^ - x ^ . i) y = C, + Cje""" + x^ + X+ 2x •e“\ j) y = C,e'’‘ +C2X-e'’‘ + - x '-e " ^ + x + l. k )l. y" + 8y' + 16y = 0,
= 4,
y , , =C ie"’‘ + C ,x -e " \
2. q(x) = 4ch4x = 2e''’‘ + 2e“'’’‘ miatt: y.,p = Ax^-e^’‘ + B e-^ \
A = l, B = ^ .
3. y i, = C,e'^ 1 + Cjx 2 •e '’^ + x ' •
+— 22 e ' '’^.
1) y = Cie”’‘ + C 2X-e”’‘ +x^ •e’’^ -4 c o s 2 x -3 s in 2 x
334
KVK-1190 m )l. y " -3 y ' = 0,
X ,= 0, ^ 2 = 3 ,
2. yj p = A e"+ (B x '+ C x )e'% 3. y j . = Cl +
y,,, = C ,+ C ,e ^ \ A = -1 , B = 1, C = 1.
+ (x^ + x)e^''.
9.3.6. a )y = l - e “' ’‘ + 2 x ^ - 3 x '+ 2 x . b )l.
y " -6 y ' = 0,
X ^ - 6 X = 0,
X^=0,X^=6,
2. (yjp = A + Bsinx + Ccosx), y'p = A + B c o sx -C sin x ,
=C^+C^e^\
yjp = Ax + Bsinx + C cosx. y"p = - B s in x -C c o s x .
y " - 6 y ' = ( -B s in x - C c o s x )- 6 (A + B c o sx -C sin x ) = = -6 A + (6C -B )sinx + (-6 B -C )c o s x = 12 + 3 7 sin x . 1 :-6 A = 12, A = -2 , s in x :6 C -B = 37, cosx : - 6 B - C = 0, B = - l , C = 6. Behelyettesítve: yjp = - 2 x - s in x + 6 c o s x . 3. yj . =C , + C 2e®’‘ - 2 x - s i n x + 6 c o s x . 4. A kezdeti feltételeket helyettesítjük: y(o) = C i+ C 2+6 = 2. y ', = 6C2e‘'’‘ - 2 - c o s x - 6 sinx,
y'(0) = ó C j- 2 - 1 = 0 .
A két konstansra kapott egyenletrendszert megoldjuk: 6C,=2,
C,+C,=-4,
Végül: yp
C ,= - |.
- 2 x - s i n x + 6cosx .
c) y = C - Ce^’‘ + X•e^’‘ - 3 x . d )l. y " -5 y ' + 6y = 0,
X '-5?i + 6 = 0,
X , =2, 1 ^ = 3 ,
2. {yi p = Ae^’‘ + B sin X+ C cos x ). A rezonancia miatt: yjp = A x-e^’‘ + B sinx + C cos x . Ez már rezonanciamentes. y[p = Ae^’‘ +2A x-e^’‘ + B c o s x -C s in x .
335
KVK-1190 y' =2Ae^’‘ +2Ae^'' +4Ax-e^’‘ - B s in x - C c o s x .
y" -5 y ' 6y
x-e^’‘ 4A -lO A 6A
sinx 4A -5 A
-B 5C 6B
cosx -C -5 B 6C
y " - 5y' + 6y = -A e^’^ + (SC + 5B)sin x + (- 5B + 5C)cos x = = -3e^’‘ + 10sinx. sinx:5C + 5B = 10,
,2x
: - A = -3, A = 3, c o s x : -5 B + 5C = 0, B = C = 1.
Behelyettesítve: y^p = 3 x -e ’‘ + sinx + c o s x . 3. yj^ 'i,á = € 16^"^ + C 2e^’‘ +3x-e^’‘ +sinx + cosx. 4. y(0) = C i+ € 2+1 = 0, C, =C, C2 = - ( l + C). így Yp =Ce^’‘ - ( l + C)e^'‘ +3x-e^’‘ + sinx + c o s x . e) y = -3 co sx + Csinx + x-sin x . f) y = -c o s2 x + — sin2x + —x - s in 2 x - —x -c o s2 x . 8 2 4 g ) l . y , , = C , e ^ ’‘ + C 2 e \
2. (y; p = Ae'^ + Be”’^ + Cx + d ), y; p = Ax •e’^ + Be“’‘ + Cx + D . - Ae’^ + 6Be“" + 2Cx + (2D - 3C) = 12e’‘ + 12e“’‘ + 12x. y; p = -12x •e’‘ + 26""^ + 6x + 9. 3. y . ^
+ C^e’^ - 12x •e’^+ 2e"’‘ + 6x + 9.
4. C ,+ C 2 = -1 1 ,
2 C ,+ C 2 = 8 .
yp = 19 e '’‘ - 30e’‘ - 12x •e" + 2e-’‘ + 6x + 9. h )l. A,|2 = il?
yh,á = CjC + C 2Q
2. (yj p = (Ax + B)e’‘\
336
y; p = (Ax^ + Bx)e’‘ = Ax^ •e^^ + Bx •e’‘ .
KVK-1190
3* yi,á = C ,e ’‘ +C2e"’‘ + ^ ( x ^ - x ) e \ 4. Cl = € 2 = 0 ,
9.3.7. a)A
yp=^(x^-x)e\
huroktörvényböl
U -U
r - U l -U ^
=0,
ahol
Ur = R -í ,
U l = L - — , U c = —-Q és U = Uo-sincot. így a differenciáldt C egyenlet;
sincot = L — + R i + — Q , ahol — = i. Ez utóbbi dt C dt összefüggést figyelembe véve deriváljuk t-szerint az egyenletet, hogy csak az i(t) függvény legyen ismeretlen. így i(t) -re egy ál landó együtthatójú másodrendű lineáris differenciálegyenletet ka punk. d 'i ^ di 1 U qCo •cos cot = L •— —+ R ----~ 1— •i , azaz a megadott adatokkal: dt^ dt C 10676 cos 314t = 0,5 •i" + 40 •i' + 40000 •i . b)Kissé hosszadalmas számolás után, az együtthatókat kerekítve: i = e“''°‘(C, cos280t + C2 sin280t)-0,41cos314t+ 0,55sin314t.
337
KVK-1190
lO.LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ 10.1. Laplace- és inverz Laplace-transzformált 10. 1. 1. 2 3-7! 2 a)f(s) = ------+ —^------- . ^ s-9 s* s
X 9 21 1 b )f(s) = -------- + —--------------7 ^ ^ s + 12 s '+ 4 9 2s'
C )f(s)= ------ J— 77 + :;— 7- d)f(s}=, \ R 1 1 e)f(s) = - --------- + -■ L s + co
(ö C s^+co^
+1 s +1 _2e + f)f(s)\ = ^2 q + _-----s --------= s (s + l) ^ - 2 5 s s^ + 2 s-2 4 vagy felhasználjuk, hogy ch5t kifejezhető exponenciális függ vénnyel: f(t) = 2e + e“‘ •- —
— = 2e + —e"" + —e”®‘ és ekkor 2 2 ^ 2e 1 1 1 1 2e 1 1 f (s) = — + ----------+ -----------= — + -------- + s 2s-4 2 s +6 s 2 s - 8 2s + 12 Ez az eredmény látszólag különbözik a korábbiakban kapottól, de közös nevezőre hozás után a két eredmény formailag is megegye zik. \ cí \
• (s-3 )' ■
2
^ 6s + 2 h )f(s )= — ^ + 9 ( s - 3 ) '- 4 3(s + } ) ' - 7 5 ‘
\ s- 5 36 0 f(s )= 7 — — : +■ ( s - 5 ) '+ 4 (s + l f + 8 1
338
s-5
36
s " - 1 0 s + 29
s^ + 2 s + 82
KVK-1190 j) f(t)-t a linearizáló képlettel átalakítjuk először, hogy olyan függ vényeket kapjunk, amelyek képletét megtaláljuk a táblázatban: fíA ■ 2* l-c o s 2 t 1 1 f(t) = sm t = -----------= --------cos2t , 2 2 2 + 4 -s^ f(s) = — - i ___^ = —T_____ r = -T_____ 2s 2 s ^ + 4 2s(s^ + 4) s(s^ + 4 ) k)A hatványfüggvénnyel szorzott függvény Laplace-transzformációs képletét fogjuk alkalmazni n = 1 esetén. L sint
^
, kiszámítjuk az első deriváltját;
s^ +1
2s (s^ +]
f
1 ^
2s
f(s)-
2s
+ly
m)f(t)-ben az sht függvényt kifejezzük exponenciális függvények kel, sin^t + cos^t helyébe pedig az ismert összefüggés alapján 1-t írunk. A műveletek elvégzése után: f(t) = 4e‘ - c o s 3 t- 4 e “‘ -cosSt + l , 1 5/ N 4s - 4 4s + 4 +f(s) = {s-lf+ 9 [s + l f + 9 s 4s - 4
4s + 4
s ^ - 2 s + 10
s^ + 2 s + 10
s
2 4 20 n) f(s) = — + ------- + ----- -----^ s^ 4 s - 3 25s' - 4
339
KVK-1190
10.1.2. a)f(s)=e-” 4 - s
b )f(s)= e -'-.^ . s +1
c) f(t)-t először átalakítjuk, hogy kiolvashassuk, hogy melyik függ vényre kell az eltolási tételt alkalmazni: 0, ha t < 2 f(t) = c o s3 (t-2 ), ha t > 2 . Látható, hogy a cos3t függvény van 2 egységgel pozitív irányba eltolva, így f(s) =
-2s
S
s +9
10.1.3. a )f(t) = 2e^‘ + s in 2 t- 5 .
b )f(t) = ^ t " + ^ e " ''- 8 c h 2 t .
c) f(s)-t két tört összegére bontjuk: s^ +5
s^ +5 ’
s Az első tagról már látjuk, hogy —;----- - alakú. A második tag s +a /' pedig az —----- - képlethez hasonló alakú, a nevezőből a-ra v5 -t s +a kapunk. A tört számlálójából a 3-at kiemeljük és ezután a törtet -tel és -tel is szorozzuk, ekkor már a visszatranszformáVs láshoz megfelelő alakú lesz.
f(t) = 2cosV5t + -7=sinV5t V5
340
.
K.VK.-1190 1
12
8 s ^ -f 63s^+f A nevezőbeli törteket egyszerűsítjük, majd az a^-nek megfelelő tagból kiolvassuk a-t és ezeket előállítjuk a számlálókban a meg felelő számokkal való szorzással és osztással. f(s)= T 4 s^ -(f)=
7 s = + (ir
f(t) = —sh —1 + —sin —t . ^^4 2 7 3 e) Ha a nevezőben s^ + bs + c (b O) kifejezés áll, akkor a neve zőt teljes négyzetté egészítjük ki, majd az exponenciális függ vénnyel szorzott függvény képlete alkalmazható. 6 f(s) = =4 ,
f(t) = 4e2 - s h ^ t = 4e
It
3
—t -e 2
f) f(t) = - t ^ + e"‘ • c h 2 t í = - ( t ' + e ‘ + e '^ ‘) 2 V 2 g )f(t) = 5t-e-^‘ . h )f(t) = e
-sint + —t^ -e^‘
s-1 0 f(s) = v ( s - 9 ) +1 Az exponenciális függvénnyel szorzott függvény képletét akkor alkalmazhatjuk, ha a számlálóban is az s helyén s - 9 áll, ezért két tört összegére bontjuk:
i) A nevezőt teljes négyzetté egészítjük ki:
341
KVK-1190 f(s) =
^ f ------ ------------- , (s-9 )" + l (s-9 )" + l
f(t) = e’* •cost - e^‘ • sin t.
j) Ha a Laplace-transzformált olyan valódi racionális törtfüggvény, amely nevezője legalább harmadfokú polinom, akkor a törtet rész törtek összegére bontjuk. ^
15S-15
A
B
C
f (s)= ^s(s- + ; v3)(s r - +A5) = -s + —^ s + 3 + ■s + 5 ’ A = -l,
B = 10,
C = -9 .
f(s) = - l + ^ ^ -------f ( t ) = - l + 1 0 e'^ * -9 e"'‘ . s s+ 3 s+ 5 2J 2 k )f(t) = -2 t + ^ •sinV2t . 1) f(s)-t résztörtek összegére bontjuk: X
s^ +18 _ A
B
C
Ds + E
Mindkét oldalt megszorozzuk s^(s^ +9)-cel: s^ +18 = a (s ' + 9 )+ B s (s ' + 9 )+ C s ^(s ' + 9 ) + s'(D s + E) . Válasszuk s-nek a nevező valós gyökét: s = 0: 18 =9A, ahonnan A = 2. Hasonlítsuk össze az s hatványok együtthatóit: s"; 0 = C + D, s^
0 = B + E,
s ^ : 1 = A + 9C, ahonnan C = - ^ , az első egyenlet alapján
D =
s : 0 = 9B, ahonnan B = 0 , a második egyenlet alapján E = 0. f(s) = ^ - - - - + ---r-^ — , ^ s' 9 s 9 s ' + 9
342
f(t)= t^ - - + - c o s 3 t. ^^ 9 9
KVK-1190
^ w
2
9
9
9
,
n) f(s)-t résztörtekre bontjuk: 7;/ \ 15 A Bs + C fis) = - 7-^----------- \ = — . s(s - 2 s + 5) s s - 2s + 5 A = 3, B = - 3 , C = 6 . s
(s - 1)^+4
2 (s-1 )^ + 4 ’
f(t) = 3-3e* •cos2t + -^e‘ •sin2t .
10.2. Lineáris differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval 10.2.1. A feladatok megoldásánál a továbbiakban az alábbi lépésekre az előttük álló számokkal fogunk hivatkozni. (1) A differenciálegyenlet mindkét oldalának képezzíik a Laplace-transzformáltját, és behelyettesítjük a kezdeti feltétel(ek)ben adott érték(ek)et. (2) Kifejezzük az ismeretlen függvény Laplace-transzformáltját. (3) Elvégezzük a visszatranszformáláshoz szükséges átalakításo kat. (4) Inverz Laplace-transzformációval meghatározzuk a keresett partikuláris megoldást.
a) (1) sy - 4 + 3y = -
^ s-5
—í ^ 1 — 4s ~ 28 (2) y(s + 3j = --------+ 4, ahonnan y = s- 5 ’ (s + 3)(s - 5)
(s + 3)(s - 5)
s+3
s-5
Mindkét oldalt megszorozzuk (s + 3)(s - 5)-tel: 4 s - 2 8 = A(s - 5 ) + b (s + 3).
343
KVK-1190 s = -3: ^ 0 = - 8 A, ahonnan A = 5. s = 5: -8 = 8B, ahonnan B = -1. f 5 1 ^ 1 1 így y = --------------- = 5 ----------------- . s+ 3 s - 5 s+ 3 s - 5 (4) y = 5e-'’‘ - e ' \ b )y = e '’‘ + 5 e -'’‘ - e - ' \ c) y = - 5 x - l + 2 e '\ d )(l) sy + 2y = ^
40 +16
40 (s + 2)(s^ +16) 40 A
Bs + C
(s + 2){s' + 1 6 ) " s + 2 ^ s ^ +16 A = 2, B = -2 , C = 4. + 1 6 ^ s ^ +16 (4) y = 2e~^^ - 2cos4x + sin4x. 3 3 1 . e ) y = — e + —cosx + —sin x . ^ 5 5 5 f) y = 2x + l-2 e '= ‘ -66=^ + 7 e '\
344
®
" “ ( s - l) ( s + i r '
(3)
= (s - l)(s + 1)^ S - 1 (s + l)^ A = l , B = -2, C = - l .
"
S+1
KVK-1190 íg y y = ^ -2 s- 1
^ (s + 1)^
s+1
(4) y = e ’'- 2 x - e - ’‘ - e ‘\
(s-2 )^ H -r _ 17S-34 ^ ~ ( s + 2)(s' - 4 s + 5 )‘ 17S-34 A Bs + C (3) / .X/ , .---- T i - ---- r + (s + 2)(s^ - 4s + 5) s + 2 s ^ - 4 s + 5 A =^ , B = 4, C = -7. í _ 4 4s - 7 így y = ------ r + s + 2 s -4 s + 5 ^ 1 ^ s-2 1 = - 4 ------- + 4 • -------------- + ■ s+2 (s-2 )"+ l ( s - 2 ) " + r
4 4
( ) y = - e “^’‘ +4e^’' • cosx + e^’‘ • sin x .
i) y = l + x . e '’' - - e ' \ ^ ^ 3 3 10.2.2. A feladatok megoldásánál a 10.2.1.-ben bevezetett jelöléseket használjuk. a )(l) s ^ - y - l + 9y = —. s (2) y(s=H .9)=Í + l,.e h á t s+9
A
Bs + C
s(s^ + 9)
s
s^ + 9
y=; ^
.
Mindkét oldalt megszorozzuk s(s^ +9)-cel: s + 9 = a(s^ + 9)+ (Bs + C )s. s = 0; 9 = 9A, ahonnan A = 1. s^: 0 = A + B, ahonnan B = -1.
345
KVK-1190 s: 1 = C. í _ 1 -s+ 1 1 s 1 3 így y = - + — — = ------ 7— - + s s^+ 9 s s^+ 9 3 s ^ + 9 (4) y = 1 - cosBx + ^ sinSx . b) y =
+ sin2x.
c) y = X +1 -
+ 2e“^’‘.
d )y = e^’‘ - 2 e - ’‘ + e “" \ e) y = 2e’‘ - 2 x - 2 . 0 (1 ) s ^ y -6 s y + 9y = ^ ^ . s+2 " “ (s + 2 ) Í - 3 ) ^ ' 25 _ A B C (s + 2 ) ( s - 3 ) " ” s + 2 '" { s - 3 ) " ''s - 3 A=l, I _
B = 5, 1
C = -l. 5
1
(4) y = e-^‘ + 5 t - e '‘ - e ' ‘ . g) y = 17 -
- 1 6cosx - 4sinx.
h )y = t - —+ - e 4 3
—e 12
i) (1) s ^ y - 2 s - 3 + 3 ( s y - 2 ) - 4 y =
346
^ s '- 9
KVK-1190 (2) y =
(3)
2s^ +9s^ - l S s - 7 8 (s-3 )(s + 3)(s + 4 ) ( s - l ) '
2 s ^ + 9 s ^ - lS s - 7 8 A B C D =— r +— r +— +(s - 3)(s + 3)(s + 4)(s - l ) s - 3 s + 3 s + 4 s-1 A = — , B = -, C = - - , D = — . 28 8 7 8 í _ 1 1 1 1 2 1 17 1 így y = — — r + - — T - - — 7 + 28 s - 3 8 s+ 3 7 s+ 4 8 s-1
(4) y = J _ e ' ^ + i e “' 28 8
^ 7
+—e\ 8
j) y = -1 t ^3 + 2 + 2e-‘ .
k) y =
- cosV2 x - V2sinV2 x ,
1) y = -6 + e-^’‘ +2e^’‘ + 3 e '\ 5 m )y = 2e’‘ — 4
3 9 — cos2x — sin2x . 4 4
2^. 25 n)(l) s y + 4sy + 4y = s-3 25 (2) y=. (s-3 )(s + 2 ) 25 A B C (3) = — 7 + 7— :^ + (s-3 )(s + 2 f s-3 (s + 2)' s + 2 A=l, i -
B = -5, I
C = -l. 5 1
(4) y = e"'‘ - 5 x - e “' ^ - e “' \
347
KVK-1190 o)(l) s ^ y -6 s y + 9y = (s-sr (2) y (s^ -6 s + 9 )= — ^ , t e h á t y = - r - ^ s (s-3 ) (s-3 ) (3) A számlálóban 4! = 24-et kell előállítani: _ 1 24 " '% '( s - 3 r
<4) y = le > -.x * . ,2^. . - 13 p )(l) s y + 2sy + 5y = s-2 (2) y(s^+ 2s + 5 ) = - ^ ^ , tehát ^ ’ s-2 (s-2 )(s^ +2s + 5)
s-2
y = 7--------------------- \( s - 2 ) ( s '+ 2 s + 5) s^+2s + 5
Szorozzuk meg mindkét oldalt (s - 2)(s^ + 2s + 5)-tel: 13 = a (s ' + 2 s + 5)+(B s + C)(s - 2). s = 2: 13 = 13A, ahonnan A = l . s^: 0 = A + B, ahonnan B = -1. s; 0 = 2A - 2B + C, ahonnan C = - 4. í _ 1 s+ 4 1 s+ 4 így y= s - 2 s^ + 2s + 5 s - 2 (s + 1)^ + 4 A második tagot a visszatranszformálás előtt átalakítjuk: __ 1 (s + l) + 3 _ 1 s+1 ^ “ s - 2 (s + l ) ' + 4 ~ s - 2 (s + l ) ^ + 4 2 (s + l ) ' + 4 ‘
(4) y = e^’‘ - e - c o s 2 x - - ^ e - s i n 2 x . q) y = -12x • e - '’‘ - 9 e-'’‘ + 8e-’‘ + e"’‘ .
348
KVK-1190 r)
y = 1 - e’^ • cosx + e’‘ • sinx.
s )( l) s ^ y - s - l + 4 ( s y - l) + 4y = — s+2 (2) y (s^ + 4 s + 4 )= —^
+ s + 5,tehát
S “h 2
_
s ^ + 7 s + 18 (s + 2y
(3)
•
s ' + 7 s + 18 A B C . = ^ ^ + 7— TT7 + (s + 2)^ {s + i y {s + 2 f s+2 Mindkét oldalt megszorozzuk (s + 2)^ -nal: + 7s + 18 = A + B(s + 2) + C(s + 2 )^ s = -2; 8 = A. s^: 1 = C. s: 7 = B + 4C, ahonnan B = 3. í _ 8 3 1 így y = 7 — iTT+7— IT7+ (s + 2)^ (s + 2)^ s + 2 Az első és második tag számlálójában előállítjuk a megfelelő konstansokat: (s + 2)^
(4) y = 4x^
(s + 2)^
s+2 ■
+3x •e'^’‘ +e"^’‘.
2- _ 8 24 = t ) ( l ) s^^Vy— - yV = — +■ s-1 _ 24s'+8s-8 (2) y = s^ (s-l)^ (s + l) 24s'+8s-8 A B C D E (3) ^ ^ - T T ^ - T = ^ + - + 7— TT + — 7 + s ^ ( s - l f ( s + l) s^ s ( s - l f s-1 s + 1 A = -8 , B = 0, C = 12, D = -2 , E = 2.
349
KVK-1190 így y = -8 •^ +12 • , ^ ,, - 2 • +2• ^ (s -l)^ s -1 s+1 (4) y = - 8x + 12x - e " - 2e " + 2e ' \ u) y =
• cosx -
•sinx.
10.2.3. (1) s^y-sy(o)-y'(o) + 3(sy-y(o))= Legyen y(o) = a,
m
y'(o) = b
^ s -1 (a,b G R )l
y(s^ + 3s)= + as + b + 3as ^ ’ s -1 ^ ,_ l + a s ( s - l) + b ( s - l ) + 3 a ( s - l ) _ s(s + 3 ) (s -l) _ as^ + (2a + b)s +1 - 3a - b s(s + 3 ) (s -l) +(2a + b)s + l - 3 a - b _ Ai Aj ? T\7 “ * r s(s + 3 ) (s -l) s s+3
A s -1
Mindkét oldalt megszorozzuk s(s + 3)(s - l)-gyel: as^ + (2a + b)s +1 - 3a - b = A, (s + 3)(s - 1)+ Ajs(s - 1) + + A 3s(s + 3). s = 0: s = -3: s=
(4)
350
1 - 3a - b = -3A i, ahonnan A, •
^—1 3 l-4 b 9a -6a -3b + l- 3a-b= 12A2, ahonnan A , = ------- . ' 12
1: a + 2a + b + 1 - 3 a - b = 4A3,ahonnan A 3 = ^ .
í _ 3a + b - l 1 l - 4 b 1 1 1 így y = -----;-------- + —T--------- r + T3 s 12 s+3 3a + b - l l-4 b _3, 1 , y = -------------------+ ---------------e ^ ’‘ + - e " . 3 12 4
4s-l
KVK-1190 Bevezetjük az alábbi jelöléseket: 3a + b - l _ ^ l-4b_^ 3 ” 12 Az általános megoldás tehát; y = C, + C 2e"^’‘ + ^ e \
10.2.4. i(t) = 0 ,5 (l- e -'') . 10.2.5. (1) x(0) = 0, x (0 )-2 . s ^ x - 2 + 5sx + x = 0. ^2/
^1 ^ - 5 + ^ ^0,2087; (3)
( s - s ,) ( s - s 2 ) A=
=
« S- Sj
S-Sj
0,4364;
S; = » - 4 , 7 9 1 3 .
B=—
-0,4364.
yÍ2Í
.így _
X= -
2
1 s-Si
2
1 S-S2
(4) x(t)= 0,4364(e
351
KVK-1190
11. VÉGTELEN SOROK 11.1. Számsorok 11.1.1. a) A számsor általános tagja egyszerűsíthető: n+2 n+2 1 n + 3n + 2 (n + l)(n + 2) n +1 A részletösszegek sorozatának első három eleme: 1 s, =ai = - , 1 1 5 S2=a,+a2=s,+a2=- +- =-, 5 1 13 s, =a, + a , + a , = s , +a , = - + —= — . 3
1
2
3
2
3
6
4
12
A konvergencia szükséges feltétele teljesül, mert 1 lim= 0. n-^oo n + 1 14 78 Sj - ■ 5 ^ 25 A konvergencia szükséges feltétele teljesül.
b) S| —2, Sj —
,
c) A részletösszegek sorozatának első három eleme: s =
2
S2 —2
V Í 9 - l f , , V19 - I ,— 1+ V5 + I V5 + I
S3 = 2
^
V Í9 -1 V5 + I
1+
V Í9 -1 VS + 1
1+
VI9 - I •yfS + 1
A konvergencia szükséges nem feltétele nem teljesül, mert
352
KVK-1190 lim
n^QO
7 1 9 -0
• 1 —p=---- > 1.1 = 00, mivel V5+1
Vs+i
8 121 d)s, = 0 , s, = — , s, = — . ' ^ 10 ' 70 A konvergencia szükséges feltétele nem teljesül, mert 1 1- - 2 n - 2 on -l_ ^ -n + l lim --, . = lim ---- = 1. \ n^-oo3t>-l + 3-"+' n—>co 1+ 2n -2 e) Sj —1+ V2 , S2 = 1+ 2V2 + V3 , S3 = 3 + 2^V2 + V3 j. A konvergencia szükséges feltétele nem teljesül. f) s, = ^ Í 3 - ^ f 5 , S2 = 2 + V 3 - V 5 - a /6 , Sj = 2 + V 3 - V ó - V 7 . A konvergencia szükséges feltétele teljesül.
a) A geometriai sor kvóciense pozitív, és q = —<1, ezért konver-
gens. Összege; lim V 3 n=l
'/
^5^N 1v7y = lim 3N->oo 1-
21
geometriai sort, amelynek kvóciense pozi n=0
tív, és q = - < 1, ezért konvergens. Első tagja 1, összege pedig lim t
N-^oo-“ n=0
1 1-1 5
353
KVK-1190 uu
n=0
n=2
sor-
sor . a S
V-'/
n=0
ból, az első két tag elhagyásával jött létre, ezért a ^ n=2
v5.
sor IS
konvergens. Mivel lim V N-»oo^^ n=0
= lim 1 + - + Y N->c» 5 h{5)
3 sor összege: lim V ^ 'n=2v5 V 5-’/ c) írjuk fel 3" +7" 21" írjuk fel
= lim V N-»oo"
8 =-+lim y ^ 5 8 5
5 2
8 5
10
a sor tagjait az alábbi módon: _ 1 _1_ ~ 7" 3" ■ a sor N-edik részletösszegét: N i Ni 1 1 n=l
n=l W
/
n=l
A jobboldalon álló összegek rendre az
és ^ kvóciensű geo
metriai sorok N-edik részletösszegei. Képezve mindkét oldalon a határátmenetet, a sor összegét kapjuk: ,. ^3"+7" , . ^ 1 1 , . ^ 1 1 1 1 2 hm > --------- = hm > ---------r- + hm > ------- r = —+ —= —. 21" N - ..^ 7 7"-' N^“ ^ 3 3"-‘ 6 2 3 e) Divergens.
d)Divergens.
Q Konvergens, lim V (Vs - 2) N->oo'“ ^ n=l
r v iö
'
v ^ + v í ö +10
V5+1
1 1 . 1 .3 .
a) Tekintsük a sor
354
(n + l)(n + 2)
általános tagját.
KVK-1190 Minden, n > 0 egész szám esetén 2 2 (n + l)(n + 2) n + 1 n + 2 ’ ezért a sor N-edik részletösszegét megadhatjuk ilyen alakú általá nos taggal is. Ez részletesen, az áttekinthetőség céljából az egyes tagokat zárójelbe téve: \ / +• s„=(2-l) + 1-^ + ^N + 1 N + 2, 3/ V Mivel az első és az utolsó kivételével, minden szám összeadandóként is és kivonandóként is szerepel, ezért összevonás után
_ ___^
Sn = 2 ----N+2 A sor összege a részletösszegek sorozatának határértéke: N
^
= 2. lim V ---------------- = lim 2 - N+2 ^ (n + l)(n + 2) b)Mivel n > 1, ezért n + 2 0, így a sor általános tagját egyszerű síthetjük. A kapott általános tag két parciális tört összege: ___ 1 _ n(n + 4) n n+4 00
J____1 sort, és az előző feladatban alkalma n+4 n=l n zott módszerrel kiszámítjuk az összegét. n ri fi fi 0 + ...+ í , - r + fi + + + 5; u 8y l5 9J 6j U , 1 1 1 1 1 1 = 1 h---- 1---- 1-------------2 3 4 N+4 ^N N + 4, Az így felírt részletösszegek sorozatának határértéke a sor össze ge: IN í 1 1 1 1 1 = lim 1h— I— I----lim Y N —>00 n+4 2 3 4 N+4 12 n=l Mivel a megvizsgált sor konvergens, ezért tagjait egy adott, valós számmal sorozva is konvergens sor adódik. Ennek határértékét Tekintsük a ^
=
------ ■ --------------
—
'--------------
—
-------------
—
--------------
355
KVK-1190 úgy kapjuk meg, hogy a megvizsgált sor határértékét megszoroz zuk a valós számmal: 3 1 1 n(n + 2)(n + 4) 4 n n+4 4 ' l 2 " 16 c) s = — . 18 e) s =
144
d) s = —. 4 .
f) s = -3 .
11.1.4. a) Leibniz-féle sor, mert a sor tagjainak abszolút értékeiből képzett sorozat monoton csökkenve tart nullához: l i m ^ — = 0. n+2 A Leibniz-féle sorok konvergensek. b)A sor divergens, mert nem elégíti ki a konvergencia szükséges feltételét: lim ^ - ^ ^ - ^ í^ ^ ^ 0. 2n +1 c) Alkalmazzuk a cosn;i = (-1)" összefüggést! A sor konvergens. d) Alkalmazva, hogy s i n ^ = -1 és minden, n > 0 egész szám ese tén n! 1 (n + 2)! (n + l)(n + 2 ) ’ a konvergens á S ( n + 2)! sort kapjuk.
e) Konvergens. 356
2
ti
n(n + l)
f) Konvergens.
KVK-1190
11.1.5. a) A D ’Alembert-féle hányadoskritériumot alkalmazva, 3(n + l) 3. ^n+1 n+1 1 l i m— = l i m ^ i ----- = lim -------= - < 1, tehát konvergens. 3n 5n 5 n n ^ Q o
^
b) nl->iQmo ^^ ^
n -> oo
n -^ o o
= lim ^ ^^> 1, tehát divergens. n->oo 3
c) Divergens.
d)A Cauchy-féle gyökkritériumot alkalmazva, 2 ^2 = limn - lim ------ = 0 < 1, tehát konvergens. n^” y(n + 3)" n-^“ n + 3 e) lim s/a^ = lim V 2 n -l > 1, tehát divergens. n^QO
n—>00
f) Konvergens. 11.2. Hatványsorok 11.2.1. a) x, =0,5 és X2 = 3 behelyettesítésével is pozitív tagú számsort kapunk, amelyekre alkalmazhatjuk a D’Alembert-féle hányados kritériumot: 0 5”^^Tn + 2) lim ^ ------------ - = 0,5 < 1, tehát konvergens az x, = 0,5 helyen. 0,5"(n + 3) lim ------------ - = 3 > 1, tehát divergens az x, = 3 helyen. 3"(n + 3) 6 2
357
KVK-1190 b)X[ =1 behelyettesítésével váltakozó előjelű sort kapunk, amely tagjainak abszolút értékeiből képzett sorozat nem nullához tart, hanem végtelenhez, ezért itt a hatványsor divergens. Xj =5 behe lyettesítésével pozitív tagú sort kapunk, amelyről a D ’Alembertféle hányadoskritériummal megállapítható, hogy divergens, ezért a hatványsor itt is divergens. c) Az X, = 2 helyen konvergens, az Xj = 6 helyen divergens. d)Az
X,
= 0,5 és az
Xj
= 0,25 helyen is konvergens.
e) x, = 2 és %2=2e esetén is alkalmazzuk a D ’Alembert-féle 2 hányadoskritériumot. Az első esetben a határérték —< 1, a másoe dik esetben pedig 2. Ezért a hatványsor az Xj = 2 helyen kon vergens, az - 2 e helyen pedig divergens. f)
Az
X, =
0,1 helyen konvergens, az
Xj = 10
helyen divergens.
11.2.2. a)Mivel f(x) = 2'' legalább háromszor differenciálható az Xg=l 3
helyen, ezért a T3(x) = V ---- ^ ( x - x,,)" felírható. fo n! f(x) = 2=^ f (1) = 2 f'(x ) = 2M n2
f'(l) = 21n2
f"(x) = 2 M n '2
f"(l) = 21n^2
f'"(x) = 2Mn^2
f"'(l) = 21n^2 3 2 In” 2 A fentiek alapján: Tj (x) = V -------- (x -1 )". ti n! b) Mivel a függvény legalább háromszor differenciálható a megadott helyen, ezért itt felírható a harmadrendű Taylor-polinomja.
358
KVK-1190 f(x)=
Inx 2 X
f(e )= ;
X f(e ) = ; f » = 4e^
X
■(X
c) Mivel n = 2k + l esetén
e)" +
3e
= 0 , ahol k = 0;l;2;..., ezért a
harmadrendű Taylor-polinom csak másodfokú: ^ T3(x) = 1+ - X - 2l 2, -j
/
\
d) T3(x) = 5 (x -1 ) + 20(x - 1 ) ' + 35 (x -1)^. e) T3(x) = e + 2 ( x - e ) + ^ ( x - e ) ^ - ^ ( x - e ) ^ 2e 6e lOe f) T3(x) = e - 2 e ( x + l) + 3e(x + l)^ ------- (x + l ) \
11.2.3. a) Alkalmazva az ismert, sinu =
. ha u € R , ^0 (2n + l)! összefüggést, és az u = 3 x helyettesítést, a megadott függvény Xq = 0 körüli Taylor-sora:
359
KVK-1190 -sin S x = - s i n u = - > 1 1 2 ^
— ---------= > — -- -------------- . (2n + l)! h 2(2n + l)! 00
J
Mivel minden u e R esetén sinu = V (-1 )" ---------- u^"^', ezért (2n + l)! a kapott sor minden x € R esetén előállítja a függvényt. b)Alkalmazzuk a sin2xcosx = -^(sin3x + sinx) azonosságot, és az a) feladat megoldásának eredményét! A jobboldalon álló függvé nyek összegének Taylor-sora, a két függvény Taylor-sorának öszszege. Mivel a két függvényt minden x e R esetén előállítja a Taylor-sora, ezért kiemelés után, a keresett Taylor-sor: ,i„ 2 x c o sx = | ; í = i n í ^ , - , h a x . R . S 2( 2n+l ) t c) Alkalmazva az u = - x helyettesítést, és felhasználva, hogy e“ = V —u ” , ha u e R , kapjuk a megadott függvény nulla körüli Taylor-sorát: 4 = É H r 4 ’‘M 'a x £ R . e ’‘ n!
d)
x^e^’‘ = V — x"^^, ha x e R . n!
e) cosx^ =
x**", ha x e R . h
(2n)!
f) A megadott függvényt felírhatjuk f(x) = 1-
360
X
\
KVK-1190 alakban. Legyen u = — — , és alkalmazzuk az ismert 1
5 ]u " , h a |u |< l 1 -u összefüggést. Ekkor ------- =
4 + x^ Mivel u = — — és |u| < 1, ezért a Taylor-sora
|x|
< 2 esetén állítja
elő a függvényt. 2 l + 4x" tS A derivált függvény Taylor-sorát tagonként integrálva kapjuk a megadott függvény Taylor-sorát: arctg2x = j |; ( - l ) " 2 " " " 't'" d t = |] ( - 1 ) " 2 '" " ' jt^M t = 0 n=0
00 /^2n+l = T ( - Í ) - ----- X á 2n + l
n=0
, ha
h )f(x ) = ln (2 -x ) = ln2 + ln
0
1
= In 2 + g(x) átalakítás után.
=- Z | x | ^ J_ _ n=0 ^ 2 Tagonként integrálva a g'(x) Taylor-sorát: 1 A megadott függvény Taylor-sora tehát: 1 ln (2 -x ) = l n 2 - J x""‘ ,h a S 2 " ^ '( n + 1)
<2.
x"^' , ha x < 2 .
X
<2.
361
KVK-1190 / ln2 + ln 1 + ^ = x^(ln2 + g(x)) V 2,, V átalakítás után kapjuk, hogy
i) Az f(x) =
lti(x + 2) =
„=o 2 (n +1) A megadott függvény Taylor-sora: -----x "^ ',h a x < 2 . xMn(x + 2) = xMn2 + Y — é ^ 2 - '( n + l) 2n+l j) lg(l - 2x) = - V — ^
n+1
1
•
! ha
^
n=0
k )V ^ =X
n=0
í-l')" ^ ^ ^ x " , h a | x| <5, n—
5 3 UJ
1) 2xarccos(-x) = 7ix + ^ n=0
(-l)" ^ x '" " ^ h a
n +1
X
<1,
11.2.4. a)A függvény értéke az Xj = -0,1 helyen, az Xq = 0 körüli Taylorformula alapján; f(-0 ,.) = e - » • ■ = l - 0 , u í y l - í y i + í ^ 0 , l ^ 2 6 24 Ebben 1 - 0,1 +
az e““ ' közelítő értéke. Az ún. 6000 f (4)/c\ Lagrange-féle maradéktag, ---- ^0,1"* - ahol - 0,1 < ^ < 0, - pe24 dig a közelítő érték hibája.
362
2
6
KVK-1190 Mivel -0,1 < ^ < 0 esetén, f ' '(^) < 1, ezért a közelítő érték hi bája legfeljebb
‘
•
............ . 16723 , b)A kozelito ertek 16200
24
= 0, ahol k = 0;l;2;..., ezért a
c) Mivel n = 2k + l esetén
negyedrendű Taylor-formula alapján, a közelítő érték
15000
^
d)Alkalmazható a 11.2.3. g) feladat eredménye. A közelítő érték 775
, a hiba legfeljebb — •10”''. 12
11.2.5. 0,2
a) Mivel lim x^0±0 sin2x f(x) =
X
= 2 , ezért lim
, ha
sin2x
0 ,2
dx =
f (x) dx - ahol
5
X
0,
X
ha X = 0. 2, Képezzük a függvény Taylor-sorát, amelyet tagonként integrá lunk: 0, 2 / , 8x^ 32x^ 128x® ^ (-l)" 2 " " ^ 'x " " ^ dx 2 -------+ ------------------ + X ' ' 6 120 5040 (2n + l)! A határozott integrál eredménye a 0,4' 0,4' 0,4’ ^ (-1)" 2'"^'0,2'"^' 0,4 --------- 1----------------------- h / ---------------------3-6 5-120 7-5040 (2n + l)-(2n + l)! váltakozó előjelű, abszolút értékben monoton és nullához tartó sorozatot képező tagokból álló, ezért konvergens számsor. Az el-
363
KVK-1190 sö három tag összegének a sor összegétől való eltérése kisebb, mint a negyedik tag abszolút értéke. Tehát a határozott integrál közelítő értéke: "rsin2x_, 0,4^ 0,4^ 492384 ------d x « 0 ,4 — — + ■ ’ 18 600 2250000 a közelítő érték hibája pedig kisebb, mint ^ • 1 0 - ’ < 2,4-10-’ . 441 b)Az integrandus nulla körüli Taylor-sorának határozott integrálja: A
l - x ^ + ---------- + > 2! 3! h
^ n!
dx =
0,3' 0,3'___^0,3’ ^(-1)"0,3^"^' y ^ 3 5-2! l). •2! 7-3! t i (2n + l)-n! A határozott integrál közelítő értéke az első három tag összege; 291243 1000000 A közelítő érték hibája kisebb, mint a negyedik tag abszolút érté = 0*3-
ke: ^ . 1 0 - ’ . 14
11.2.6. a) Mivel minden x € R esetén e
= ^ ~ —^ x ^ " ,e z é rt f o n!
0,2
e -" 'd x = y ^n=o
n!
Ha n > 3, akkor
0,2 í x^Mx= y J h ( 2 n + l)n\
.
( 1) r>o2n+l <3,05-10 \ így az integrál 0,2^ (2n + l)n!
közelítő értéke y — —-— 0,2^"^' = 0,197365, amelynek a ponS ( 2 n + l)n! tos értéktől való eltérése kisebb, mint 10“*’.
364
KVK-1190 b)Az integrál közelítő értéke
0,1
-dx « y ^ ^ ( 0 , 2 " - 0,1") = -0,092873, t i n-n!
amelynek a pontos értéktől való eltérése kisebb, mint 10 **, mert 0,2' -0 ,1 ' < 5 ,2 -1 0 "\ 5-5! c) Az integrál közelítő értéke 0,223845, amelynek a pontos értéktől való eltérése kisebb, mint 5,04 -10’^ < 10“*’ . d)Az integrál közelítő értéke 0,493108, amelynek a pontos értéktől való eltérése kisebb, mint 2,2 -10“’ < 10“^.
11.3. Fourier-sorok 11.3.1. a)A megadott függvény páratlan, ezért a^ = 0 , és minden pozitív egész szám esetén, a„ = 0.
^0
r/ X• j J (-71) s m — d x +
\-2 k
2
271
. nx j 71s i n — dx
0
2
^
365
KVK-1190 r-
_ J_ 2n
27ICOS n
nx
2
0 -2 7 1 COS +
nx
2tiA
2
n
- - 2 ti -0 J 1 2k 27icosn7i 27icosn7i 2n 2 (l-c o s n 7 i) --------------------------------- + — n n n 2n n Mivel cosnTi = (-1)", ezért aj = 84 = 0. A sor első három, nullá tól különböző Fourier-együtthatójú tagjának összege: . . X 4 . 3x 4 . 5x 4sin—+ —sin— + —sin— . 2 3 2 5 2
b) A megadott függvény páratlan, ezért a,, - 0 , és minden pozitív egész szám esetén, a„ = 0 . xcosnx sinnx 1 "f 1 b = — Xsin nx dx = — ---------- + — n n n n
2(-l)"
A sor egyik tagjának sem nulla a Fourier-együtthatója. Az első három tag összege: 2 2 sin x - sin 2x + —sin 3x . 3 366
KVK-1190 11.3.2. a)
y,
'1 >D
K
-7 1
2n
3k
4k
5n X
( A függvény páratlan, ezért a^ = 0, a„ = 0 és b„ S sin n x d x - Ssinnxdx n V -n 0 cosnx
-6 "
sin nx dx =
71
6 (C 0 S H71 - 1 )
HTT nTt Mivel cosnTi = (-1)", ezért a Fourier-együttható: 6 ((-ir-i) HTl tehát minden páros indexű együttható nulla. A megadott függvény Fourier-sora; b„ =
-sinnx, ha X niTi, ahol m = 0;±l;±2;..., tt nn illetve a páros rendű, harmonikus összetevők nélkül felírva: 12 f(x) = V --------------sin(2k - l ) x , a fenti feltétel mellett.
f(x) = E -
ti
( 2 k - l ) 7i
A függvény szakadási helyei az x^ = tok (m = 0;±1;±2;...) alakú valós számok. Ezeken a helyeken az f(x) bal- és jobboldali ha tárértékének számtani közepe, és a Fourier-sorából, ugyanezeken a helyeken képzett számsor összege egyenlő. A függvénygrafikon alapján, a határértékek számtani közepe; lim f(x )+ lim f(x) | = - ( 3 - 3 ) = 0.
367
KVK-1190 Mivel minden m = 0;±1;±2;... esetén sin(n-m - ti) = 0, ezért a számsor csupa 0 összeadandóból áll, tehát
n=l
nTT
b)Legyen g(x) = - 3 , akkor h(x) = f(x) + g(x) páratlan függvény: í - 3, ha h(x)I = < 3, ha
- 7i< X < 0, 0 < X < jt.
6<
-n
n
2n
3tt S
471
571 X
A h(x) függvény páratlan, ezért a,, = (
h = ^ 'í 3 s i n „ x d x ^0
nn
h(x, = É 5 ^ ^ s i „ m c , ti nTT és mivel f (x) = h(x) - g (x ), ezért f(x) = 3 + V^-^^— ^sin n x ,h a x ^ m n (m = 0;±l;+2;...). ti nTi Megjegyezzük, hogy h(x) az a) feladatbeli függvénynek mínusz egyszerese, ezért f(x) = 3 + V ---- —---- sin(2k - l) x , a fenti feltétel mellett. t? ( 2 k - l) 7 i Az Xj =m7i (m ==0;±1;±2;...) alakban megadott szakadási he lyen, a függvény bal- és jobboldali határértéke számtani közepé nek, és a Fourier-sorából, ugyanezen a helyen alkotott számsor összegének egyenlősége:
368
KVK-1190 lim f (x) + lim f (x)l = i (0 + 6) = 3, J illetve X —
X —>Xs' * '
2^
3 . £ 5 Í L H r j s sin(n i •m •Tc) = 3. H T T n=l c)Az f(x) függvény páratlan, ezért a^, = 0 , a„ = 0 és 2" 2 (-ir b „ = - (-x)sinnxdx = 71 n
5n X
f(x) = V ^^ sin n x ,h a x?í(2 m + l)7i (m = 0;±1;±2;...)^ n A függvény szakadási helyei: x^ = (2m + 1) ti ( m = 0;±1;±2;...), ^ ^ lim f (x) + lim f (x) = x->x,J
n
sin(n •(2m +1) • ti))
Az f(x) függvény páratlan, ezért a^ = 0 , a„ = 0 és b„
=
0.
0.
369
KVK-1190 00 2
f(x) = V —sin n x , ha X I m n (m = 0;±1;±2;...)tfn A függvény szakadási helyei: x^ = Imii (m = 0;±1;±2;...), \
00
Hm f(x )+ Hm f(x) = V —sin(2-n-m -7i) = 0.
e) A függvény páratlan, ezért a^ = 0, a„ = 0 és b„ 9^0.
-1
1 .-1 o -
X
n;i ha X 0;±l;+2;__
A függvény szakadási helyei: x^ = 0;±1;±2;..., ^'"lim f(x )+ lim f(x )l = y ^ ~ L->x,“
x^x,+
/
n=l
^sin(n • ti • x ,) = 0. ^
Az f (x) függvény páratlan, ezért ao = 0 , a„ = 0 és b„ ^ 0 . X
y ' — — -— sinnjtx,ha ti nTT x ;é2 m + l (m = 0;±1;±2;...).
f(x) =
A függvény szakadási helyei: x ^ = 2m +1 ( m = 0;±1;±2;...), 1
370
lim f(x) + lim f(x) = i-^x," x->x3+ J
n ;r
sin(n • n • (2m +1)) = 0.
KVK-1190 11.3.3. a) Legyen g(x) = - 3 , és tekintsük az alábbi páratlan, periodikus függvényt: x\ ha - l < x < 0 , és h(x) = h(x + 2). h(x) = f(x) + g(x) = - x ^ , ha 0 < x < l , Ennek a függvénynek az esetében b .= 2 'f( -x » ) s in „ .x ) d x = ^
njc
= 0, a„ = 0 és +l t e : ) n K
Mivel f (x) = h(x) - g (x ), ezért az adott függvény Fourier-sora
n=l
tlTT
n 71
sinnjtx, ha X ±l;+3;....
b)A megadott függvény páratlan, ezért a o = 0 , a „ = 0 . n > 2 ese tén, alkalmazva a sin a sin p = ^ (cos(a - P) - cos(a + P)) trigo nometrikus azonosságot, 0,5
b„ = |2sin;ixsinnjtxdx = - 0 ,5
0,5
(co s(n -l)7 tx-cos(n + l)3tx)dx. - 0 ,5
Integrálás és azonos átalakítások után, b„ = — — — cos — . (1 - n ) ti 2 n = 1 és - 0,5 < X < 0,5 esetén cos(n - 1)tix = 1, így 0,5
bj =
(l - cos27ix)dx = 1. A függvény Fourier-sora; - 0 ,5
O U 4n nTt f (x) = sin Jrx + ^ ------— cos— sm njix, — ;— ^ ( 1 - n )7t 2 ha X 0,5 + m (m = 0;±1;±2;...).
c) A b) és a 11.3.2. f) feladat megoldása alapján, - ha x ( m = 0 ; ± 1 ; ± 2 ; a függvény Fourier-sora:
0,5 + m
371
KVK-1190 ti cos Sin 7IX+ y —
f(x ) =
IITI: 2
(-1 )” sin nTix,
11.3.4.
a) Mivel a függvény páros, ez ért b„ = 0.
íY
-7 1
71
X
2 2dx + Idx
1 ao = 2n
3 2
2 n
3tt
2, ^ 2 cos nxdx + cos nxdx
a„ = Ti
2(2 + cosn7i) . nn --------------- ^sin — nTi 2
71
2 A megadott függvény Fourier-sora; , 3 -A 2(2 + cosnTi) . nji f(x) = - + > —i------------ ^sin — cosnx, ^ ^ 2 ti nn 2 ha
n
X^ —+
m u (m = 0;±1;±2;...).
b) n A függvény páros, ezért a ^ - — .
7
és b„ = 0 . n^n A függvény Fourier-sora: a„ =
N -7 1
/
?
. 71
cosnx
X 2
372
n=l
^
^
KVK-1190 c) A függvény páros, ezért a,, = 1, a„ =
4 (1- ( - ! ) " ) , . . ' es b = 0 .
A függvény Fourier-sora; n=l
^ ^ n^Ti^
n7ix
cos----2
11.3.5. a) A függvény páros, ezért b„ = 0 . 21
e ^ -1 2 ’ nTix n;tx . nrex \ cos----- + ------sin----2 2 2 ^ \2 nn 1+ v2.
1^ nTix i„ = 2 - - Je’^cos— dx = T
(2 4 ( ( - i r e '- l ) | e c o s n 7i - l j =— — ~ ~ n .— • 4 + n^n^ 4 + n 71 A megadott függvény Fourier-sora: e ^ -1 -A 4 ( (- l)" e ^ - l) nux 2 ^ 4+n n - . n;i n7i 4V2 2n sin------cos— 2 2 b ) f ( x ) = ^ + |; cos 2n7ix, 7 i(4 n '-l) ti ha X
(m = 0;±1;±2;...).
, 4 ^ 1 6 (-1 )" nTTX C )f(x) = - + X - ^ “ S— 3 n=i n 71 2
.
373
KVK-1190 11.3.6.
a) _
A függvény nem páros és nem páratlan, ezért ^0,
y: ^ c .1 Ti
T2
. ím
a„ 0 és b„ ^ 0 . ao értéke a Ti=T2, azaz az 1,25 •71•m = 0,75 • ti • (2 - m)
,
-n
n
X
egyenlet megoldásaként is kiszámítható: a^ = m = 0,75. . nn -----2—sm 5
1 ’'f, a„ = K
nn
2 sin nxdx =
n
2 n;i
/
4
n7i
COS -------4 V
A függvény Fourier-sora: nn nn - s m — cosnx + cos------cos n7i sm nx 4 4 Ztnn 4 7t — + 2m.K és Tz + l m n (m = 0;±1;±2;...). 4 Csak „szinuszos” tagokkal kifejezve: 3 f(x) = - + X c„sin (n x + (p J,
ha X ^
^
n=l
ha X —+ 2m7i és x ^ n + 2m7i: ( m = 0;±1;±2;...), 4 ahol n7i , cosnTicos— es c 4 n7i V n7i sm T (p„ = arc t g - ^ = arc tg nTt b„ cosnTi-cos-
374
KVK-1190 b) A függvény nem páros, nem páratlan. ao ‘0 = 0 , _ 4(cosn7i-l) a„ =
2 --
-2
_ 2(cosn7i-l) b„ = n7i
-2
f(x) = Z n=l
4(cosn7c-l) nTix 2(cosn7i-l) . nnx —^— — — ^cos---- + —----------- ^sm-----
nn
2
nn
2
0;+2;+4;__
ha X
Mivel I 2 TT r,-----T T 4(cos n7i - 1) , c„=Va„ +b„ =Vl + n7t ,— ^ees
n 71
a 2 (p„ = a rc tg -^ = arctg— b„ H7l így a sor csak „szinuszos” tagokkal: ■4(cosn7i-l) . f(x) = ^ V l + n^7i^ „2^2— sin n 71 n=l ha x ^ 0;±2;+4;....
H71X
+ arctgn7i
11.3.7.
a)ao =
Z
1 VO
1
1
1
Idx + Jx^dx
(1 + X ) dx + 1dx y
VO
0
2
a„ = (1 + x )cosn7ixdx + cosnTixdx = X cosn7ixdx és b„ = (l + x^)sinn7Txdx+Jsinn7ixdx = x^ sinnTixdx. Kiszámítva az egyes integrálokat, a Fourier-együtthatók:
375
KVK-1190 a
a = f-ir^ é s b
- (-ir(2 -n V )-2
A függvény Fourier-sora: 1
2 ( - 00l ) "
(-l)" (2 -n ^ 7 i" )-2
.
f(x) = - 4 . S — — cos iiTix + ----------- — --------- Sin nTix n 71 n=> - n 71 ha X ±1;±3;±5;.... A Fourier-sor, csak „szinuszos” tagokkal: y
00
f(x) = —+ 6
sin(n7ix + (p„), ha x
±1;±3;±5;..., ahol
n=l
/...2 — c„= V a„ +b„
V 8 ( l- ( - l) " ) + n V ( n V + 4 ( - l ) " ) , = -------------------- ---------------------------es n 71
» „ = a rC g ^ = a r = ,g ^ ^ ^ - ^ ^ 2 :^ .
b) f(x )= 2 ti
4n
cosx + ^ ^ ^ s i n x + 871
00
+ ^ ( a „ cosnx + b„ sinnx), n=2
ha x ^ — + 2mn (m = 0;±1;±2;...), ahol 4 rr,
.
n7i
n7T
V 2 (-l) + nsin — + cos— a 4 4 V2 7i(n^-1) " A függvény Fourier-sorának másik alakja:
n7i
, 2 + V 2 a / 9 t i ' +1271 + 8 . f , 2 ^ f(x) = ---------+ -------------------- sin x - a r c t g -------- + ^
271
871
+ Z ^nS Ín(nx + (p J , n=2
376
l
.
n7i
n cos------sin — 4 4 V2 7 i(n '-1 )
^371 + 2
KVK-1190 3 + n '+ 2 V 2 ( - l) " n sin — + cos — 4 4
és
V2 7 i(n '-1 ) rr ,
,, n
.
T17t
ÜTI
cos V 2 (-l) + nsin — + cos_________ 4 4 (p„ = arctg. n n7i sm — n cos — 4 4
^ ^ 9 ^/3 sin nx + c) f(x) -------------COSTTX+ 1+ 8ti 4n 4ti oo
+ ^(a„ cosn7ix + b„ sinnTix), n=2
ha
X
-^ + 2m ( m = 0;±1;±2;...), ahol
3 (2(-l)” + n ,+ n V 3 ^ i) ^ 3(^1- n ^ i j 27i(n"-l) ” 27i(n"-l) ' A függvény Fourier-sorának másik alakja: 16V37r-18 , 9 V39 + 64ti'+48V371 . f f(x) = — + -------------------------sin n x -a rc tg Ali 8ti \V 64 ti' - 2 7 00
+ S ‘^nSÍn(n7ix + (p J, n=2
ha x íí ^ + 2m (m = 0;±1;±2;...), ahol 3-^5 + n ^ ( 2 -|^ 4 ) + n ( V 3 - l|i3 +2(-l)"(n2V 3^, - ^ i j 27i(n^-l) 3 ( 2 ( - ir + n V 3 |g ,+ ^ J 9n =arctg1^1- n ^ 2 A Fourier-együtthatókat és az eltolási szöget meghatározó kifeje zésekben használt jelölések:
377
KVK-1190 .ÜTI nir . Imi , 2nn |a, =sin — , 1^2 = c o s— , Hj = s i n - ^ es IÍ4 = c o s ^ —, 11.3.8. a) A grafikonnal megadott függvény esetében elsőként a függvény képletét kell felírni. Mivel a grafikon szakaszokból áll, ezért egyegy egyenes egyenletét határozzuk meg, figyelemmel a folytonos ságra, a szakaszok végpontjában. X + 71, ha - 71< X < 0, , f(x) = es f ( x ) - f ( x + 27i), - 71, ha 0 < X < 71,
ahol 2n a függvény periódusa. A függvény nem páros, nem pá ratlan. A Fourier-együtthatókat a két intervallumon vett integrálok őszszegeként kell kiszámítani: 0
1 71 (x + 7i)dx+ (-7i)dx ao 4 2n ^0 (x + 7i)cosnxdx + (-Ti)cosnxdx = V -7 T
n^Ti
71 V-7T
í 0 ( x + 7i) s i n n x d x +
K V-7T
( - 7i ) s i n n x d x
(-l)" -2
0 y (A két utóbbi Fourier-egjóittható esetében, az első integrál értékét a parciális integrálás módszerével számítottuk ki, és a tömörség céljából, a cosn7i = (-l)" azonosságot alkalmaztuk az együttha tók megadásában.) A kiszámított együtthatókkal, a függvény Fourier-sora; l-(-l)" (-l)" -2 . cosnxH--^^—^------smnx n^7i ha x
378
m7i (m = 0;±1;±2;...).
KVK-1190 b) A függvény: 4
ha
0 < X < 3, és f(x) = f(x + 6).
f(x) = ha
8 -jX ,
3 < X < 6,
A Fourier-együtthatók kiszámítása: 3/1 6/ dx = 2. j^xdx+ j 3 V
nTTX 4 —xcos dx + 3 3
4 ^ 8 —
X
3
nrcx , cos----- dx
(nji)
b„ = 0 , mert a függvény páros. A függvény Fourier-sora: f(x) = 2 + V — n=l
(n7i)
— ^cos
nTTX 3
c) A függvény: 3
ha
f(x) =
ha 2 < X < 4, 0, A megadott függvény Fourier-sora: í-/ \ 3 ■ A f3 ((-1 )"-l) nTix 3(-l)"'"‘ . nnix ------+1--sin----f(x) = --- h / — — --------’cc\
d )A
± 2 ; ± 6 ; ± 1 0 ; ___
függvény:
f(x )-
7 -X , n 7, 21--X , 71 0,
ha ha
és f(x) = f(x + 4 ti)
ha ha
A Fourier-együtthatókat a három intervallumon vett integrálok összegeként számítjuk ki:
379
KVK-1190 2tt Hí 7dx + 21 — X dx 4 ti 71 71 27tV \ \ 271 37U 1 }7 nx , "r^ nx , nx , —xcos— dx + 7cos— dx + 2 1 - ’ x cos— dx 2 k n 71 2 2 71 / 2tt^
1 (\1 —xdx + ao =
7T
1 2n
7T ^
___ 271
Y 7 ' rV . nx , . nx , nx —x sin — dx+ 7sin— dx + 2 1 - - X Sin- dx 71 2 J 2 2.1 ^ . A Fourier-együtthatók; Vn+1 , , 2 8 (-l)'' ■ . nTT a =1 a es b„ = — —- — sin — " 2’ " (nji)' (nTi)' A megadott függvény Fourier-sora tehát: 1 4 ((-l)” - l ) nx 28(-1)""* . nn . nx sin— sin — , -cos— + f(x) = - + Z 2 2 (nTi)' 2 (nu) ' n=l
KVK-1190
12.LINEÁMS PROGRAMOZÁS 12.1. Lineáris egyenlőtlenségeli: grafikus megoldása 12.1.1. A feladatok grafikus megoldását a 12.1. ábrán mutatjuk be. Rész letes magyarázatot az a) feladatnál adunk. a ) l. lépés: Ábrázoljuk az xi + X2 = 12 egyenlet megoldását adó egyenest. Például az origó segítségével kiválasztjuk az első egyenlőtlenség megoldását adó félsíkot: 0 + 0 < 12, ezért ez az origót tartalmazó félsík és az egyenes pontjai. 2. lépés: A második egyenlőtlenség megoldását az x i = 2 és xi = 8 egyenesek között „sáv” adja. 3. lépés: A harmadik egyenlőtlenség megoldását az xi = 3 és X2 = 8 egyenesek közötti „sáv” adja. 4. lépés: A fenti rész-megoldáshalmazok közös része adja az egyenlőtlenségrendszer megoldását, amelyet a határoló szaka szok megvastagításával jelöltünk ki az ábrán. 5. lépés: A csúcspontok leolvashatók az ábráról, illetve a két egyenes egyenlete segítségével határozzuk meg.
12.2. A lineáris programozás alapfeladata 12.2.1. a)
b) Xj -3 x 2 + X3 < 10, X [+2x2-X3<
6,
- 4 x , + 3X2 - 2X3 < - 1, -X 2 +X3 <
3,
Xi, X2, X3 > 0, (2X[ - 3x 2 +X 3) ^ m a x .
X i + X 2 - 3 X3 < - 5 ,
2x , - 3x 2 +X 3 < 2, - 2 X i + 3 x j - X 3 < -2,
Xi, X2, X3 > 0, (3x, - X 2 + 4x 3)-> m ax .
381
KVK-1190 a)
Csúcspontok: A(2;3), B(8;3), C(8;4), D(4;8), E(2;8)
c)
Csúcspontok: A(2;0), B(4;0), C(9;5), D(0;2)
C(4;0)
12.1. ábra 12.2.2. Jelölje Xiaz Aj termékből gyártandó mennyiséget, i=l,2,3,4! Fogalmazzuk megjelöléseinkkel a feltételeket! A feladat matematikai modellje: X] + 2X2 + 4X3 + 3X4 < 100,
3X2 + 2X3 + X4 = 120, 2 x , + 4X 4 < 8 0 , X ,-X 2 -X 3 >
0,
X, , X2, X3>
0,
(l5xj + 20X2 + 25X3 + 17X4) —> m ax.
382
KVK-1190
12.3. Kétváltozós lineáris programozási feladat grafikus megoldása 12.3.1. a )l. lépés; A feltételrendszer L megoldáshalmazát a 12.1.1. a) fela dat megoldásában ismertetett módon kapjvik meg. Az L halmaz azon pontjait keressük, amelyekben a célfüggvény maximális, illetve minimális értéket vesz fel. 2. lépés: Ábrázoljuk az xi + X2 = k egyenest olyan k értékkel, hogy az egyenesnek és az L halmaznak legyen közös pontja! Válaszszűk például a k = 4 értéket! Az egyenest szaggatott vonallal rajzoljuk meg. Az egyenest egyik irányba önmagával párhuza mosan eltolva k érték nő, míg a másik irányba tolva csökken. 3. lépés; z = xi + X2 > 4 esetén kaphatunk maximális értéket. Ezt a félsikot kiválasztjuk és az egyenest eltoljuk az L halmaz ezen félsikbeli legtávolabbi pontjáig. Látható, hogy bármely távol ságnál még messzebb is eltolható az egyenes úgy, hogy van közös pontja az L halmazzal. A célfüggvény nem korlátos az L halmazon. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a feladatnak nincs op timális megoldása. 4. lépés; z = xi + X2 < 4 esetén kaphatunk minimális értéket, ek kor az egyenest a másik irányba kell tolni. Az L halmaz ezen félsíkbeli legtávolabbi pontja a P csúcspont. A feladat egyetlen optimális megoldását tehát a P pont adja, amely koordinátái le olvashatók az ábráról; xi = 0, X2 = 2. Az optimális célfuggvényérték; Zmm= 2. (12.2. a. ábra)
b)A Zi célfüggvény esetén a feladat optimális megoldását a Pi pont 70 24 116 adja; Xj = — , x^ = — , Zi„,, - — .
f
A Z2 célfüggvény esetén végtelen sok optimális megoldás van; a 70 24^ P, — ; t Y pontokat összekötő szakasz pontjai, Z2rain = -6. (12.2. b. ábra)
383
KVK-1190 c) A zi célfüggvény esetén nincs optimális megoldás az L halmazon, (5 16^ Z2 célfüggvény esetén az optimális megoldást a P —; — pontból V^ 3 y induló, L-et határoló félegyenes pontjai adják, Z2^í„=-40. ( 12.2. c. ábra) d)A zi célfüggvény esetén a feladat optimális megoldását a Pi pont 14 4 82 adja: x, = y , ^ 2 = - , z ,.„ a x = y A Z2 célfüggvény esetén az optimális megoldást a ?2 pont adja: Xi = T ’ ^2
Zimin = - ^ -
(12.2. d. ábra)
e) A zi célfüggvény esetén a feladat optimális megoldását a ?i pont adja: xi = 12, X2 = 7, zjmax = 201. A Z2 célfüggvény esetén végtelen sok optimális megoldás van: a (2
8^
P2(2; 0), ?3 —; - pontokat összekötő szakasz pontjai, y3 3J Z2min=12. (12.2. e. ábra)
f) A zi célfüggvény esetén végtelen sok optimális megoldás van: a Pi(0; 1), ? 2(3; 0) pontokat összekötő szakasz pontjai, zimax = - 6. A Z2 célfüggvény esetén az optimális megoldást a P3 pont adja: Xi = 0, X2 = 5, Z2min = -25. (12.2. f. ábra) g)A zi célfüggvény esetén a feladat optimális megoldását a P pont adja: xi = 0, X2 2, zimin = 6. A Z2 célfüggvény esetén nincs optimális megoldás az L halmazon. ( 12.2. g. ábra) h)A zi célfüggvény esetén végtelen sok optimális megoldás van: a P i(l; 3), P2(2; 2) pontokat összekötő szakasz pontjai, zimin = 12. A Z2 célfüggvény esetén az optimális megoldást a P3 pont adja: x i = 1 , X 2 = 6, Z2max = 8. (12.2. h. ábra)
384
KVK-1190 a)
b)
c)
d)
í)
385
KVK-1190 h)
g)
12.2. á b r a
12.3.2. - Xj + 2 X 2 < 4 , X, + X 2 < 8 , X, - X 2 < 4 , X,, X 2 > 0 ,
z = (4X[ + 4 x 2 )-> m ax .
A feladatnak végtelen sok optimális megoldása van, a C(6; 2) és D(4; 4) pontok által meghatározott szakasz pontjai, Zmax = 32.
386
KVK-1190 12.3.3. Jelölje: xi: A bánya üzemeltetési ideje (óra) X2: B bánya üzemeltetési ideje (óra) A feladat matematikai modellje: 2x, + Xj >100, 3x, + 2X2 >180, 3x, + 6X2 >240, Xi , X2>
0,
z = (250xi + 275x 2) ^ m i n .
A költség minimális lesz, ha az A bányát 50 óra, a B bányát 15 óra hosszat üzemeltetik.
387
KVK-1190
13. VEKTORANALÍZIS 13.1. Vektor-skalár függvények 13.1.1. a) Egy vektor-skalár függvény deriváltja, a koordinátafuggvények deriváltjaival, mint koordinátafuggvényekkel meghatározott, vek tor-skalár függvény. A megadott függvény deriváltja:
r(t) = (sin t + 1cos t)i + (cos t - 1sin t)j — , ^
b ) r(t)=
^
k.
'^^,i + (3‘ ln3 + l)j + ^^—k
1 -t '
•' tln2
.2 . .. 1 . 1 c) r(t) = (3t^ - 3)i + — Y - Í + - T - k . cos t 3^t
d) A szorzat deriválási szabályát alkalmazva, az f(t) = -
((sh 2t)l + (eh 2t)j + (cth t)k) + th t eh t 1 +• (2ch2t)i + (2 sh 2 t)j-----^ k th t sh t vektor-skalár függvény adódik. Azonos átalakítás után, ... 4 c h 2 tc h t- 2 c h t. c h 4 t-2 c h 2 t, 4 ch t , r(t) = --------------------- 1 + ---------------- 1 ------------ k, sht c h 2 t-l c h 2 t-l
e) r(t) = — l + (l + t")
f) r(t) =
388
+ (2te‘ + t^e‘)j +
• ^Je+2t
-Ví)jH-(t^
KVK-1190 +
1+ 3 t ' -
2 t4ije,
J + 2 t-
241
13.1.2. a) Az r(0) = j a Pj(0;l;0), az r(l) = i + k pedig a P2(l;0;l) pont helyvektora. A P, és Pj pontokat összekötő szakasz egyenesének irányvektora legyen a PjPj = r(l) - r(0) = i - j + k vektor. Ekkor, - amint azt az ábra mutatja, - a PjPj szakasz bármelyik pontjá nak p(t) helyvektora megadható p(t) = r(0) + 1 • PjPj alakban, ahol 0
y = -3 + 1 ■, ahol 0 < t < 1 és r(l) - r(0) = V ó . z = 2t c) x=t y=l-t , a h o l O < t < l é s r ( t2) - r ( t [ ) n n^ z = — + —t 2 2 .
389
KVK-1190 d) x = (ln2)t , ahol 0 < t < 1 és r(l) - r(0)
V ( ln l6 )'+71^+16
z = -1 + t 13.1.3. a) Az érintő irányvektora az r(t) = 3t^i + ( 2 t- 3 ) j + 2k derivált függvény értéke a = 2 helyen. Ezért az irányvektor: v = r(2) = 12i + j + 2 k . Az érintési pont helyvektora r(2) = -3 i - 2j + 4k . Az érintő pa raméteres egyenletrendszere: X = -3 + 1 2t, y = -2 + 1, z = 4 + 2 t . b)r(2) = e^i + j és r(2) = -e^i + 2 k , így az érintő paraméteres egyenletrendszere: x = e ^ - e ^ t, y = l , z = 2t.
c) x =
2e^ e"+ l In 2
4e' 2e' t, y = e'-l (e"+l)^ 7iMn2
4e' ( e '- l ) '^ ’ ^
1 ln 2 ^ ’
71 ;ilnl6-:rt^ -t, Z = — + t. 4 16
13.1.4. a) A vektor-skalár függvény deriváltja: r(t) = St'^i + VÍOt^j + k . A derivált abszolút értéke: |r(t)| = V25t*'-i-lÖt^^M = St"* +1, mert a négyzetgyökjel alatt teljes négyzet áll. Tehát a térgörbe ívhossza: 2 s = ( 5 t'+ l) d t = t^ + t = ( 2 '+ 2 ) - ( l + l) = 32.
390
KVK-1190
b)A megadott függvény deriváltja: r(t) = “ *+ 6tj + 6k . + 3 6 t^ + 3 6 = 3 2 . 4
A derivált abszolút értéke: r(t)
t mert a négyzetgyökjel alatt teljes négyzet áll. Tehát a térgörbe ívhossza: 2t + -‘ld, = k.31„,k=a(2£z2B±3). t
s=
c) A derivált függvény: r(t) = -3 sin ti + 3 cos tj + 3 k , ennek abszolút értéke pedig r(t) = s V l . A térgörbe ívhossza: s = '3V2dt = 3V27r.
d)s =
V3 In 8
e) s =
2 e-3
In 4
In 4
'"f 2V 2ch2t dt = f) s = s h '2 t In 2
4 i] sh2t
2V2e^‘ ‘ In 2
e^‘ - l
_104-V 2 In 2
255
C 1 g) r(t) kiszámítása előtt célszerű az -r;---- = ------- azonosságot e +1 2 ch t alkalmazni! Az ívhossz: s =
4i% 12
1498 , 16 h)s = ------ + ln — 15 9
i) s =
j) s = V3.
k) s = 1 + In—. 2
391
KVK-1190
1) s = 13.1.5. A megadott függvény deriváltjának abszolút értéke: t^
r(t)
V 2t’
= t^ +
A P, és ?2 pontokat összekötő térgörbe ívhossza:
s=
dt =
31 72
A Pl és Pj pontok helyvektorai a függvény t, = 0 és tj =1 he lyen vett helyettesítési értékei: p,1
\9
3
y
és P,z í 1 , 1 . V 2 ^ 7 2 ’3 ’ 6 / V
A pontok távolsága:
_L_1
PiPa = j
72
\2
V2
9
72
11 Az ívhossz és a távolság aránya pedig
72
31 ____ V9Í3
72 13.1.6. a) A vektor-skalár függvény deriváltjának abszolút értéke: r(t)
8e^‘ +1 (e‘)% (2e^‘r
v4y Ennek a primitív függvénye: 8 e'* + l -dt = e^* + - + C . 4 4
392
KVK-1190 Ha -1 < t < 0 , akkor az ívhossz Sj = J|r(t)| dt = j 4 -1 0 < t < 1 esetén pedig Sj =
^ • e^
r(t) 5
1
Az ívhosszak aránya: — = —— ^ s, 3 ’2 e^, —
4 e '- 3 e '
« 1,4862.
d)Az egyes koordinátafüggvények deriváltját és azok négyzetét cél szerű külön-külön kiszámítani. így az 1 ■+ 4t arcsint, r(t) t arcsin t amely összegként, az integrálás szempontjából könnyen áttekint hető. Kiszámítva a két görbedarab ívhosszát, arányuk
^2
36 In - + 71(372 - 1) - 2(973 - 1 0V2 ) ^ --------------------------------------« 0,5341. 361n- + 3 7 i(2 V 3 -V 2 )-2 (l0 V 2 -ll)
13.1.7. A csavai'vonal egy teljes körülfordulásának ívhossza: ______ 2tt 2n _____________________ Se, = Jl^COl dt = J-y/(-rsint)^ +(rcost)^ -I-A,^ dt = 2^z^|r^ +X^ . 0 0 A henger alapkörének kerülete s,^ = 27rr. A csavarvonal hosszának az alapkör kerületéhez viszonyított ará nya tehát
1 + - .2 •
393
KVK-1190 13.1.8. A huzal középvonala az egyes rétegekben r, = 40,7 mm, Tj = 42,3 mm és Tj = 43,9 mm sugáron helyezkedik el. A menetemelkedés mindhárom rétegben a huzal átmérője, azaz X = 1,4 mm. Mindhárom rétegben 100-100 menet van. Használjuk az elő ző feladat egyik részeredményét, a sugár és a menetemelkedés függvényében, a csavarvonal hosszára kapott összefüggést! Ezzel a szükséges huzal hossza: L = 2007rf
J
V
+ 240 =
-80033,43 mm « 80,03 m .
13.2. Skalár-vektor függvények 13.2.1. a) A kétváltozós, valós függvény teljes differenciálja: df(x;y) = f;(x ;y )d x + f;(x ;y )d y . A parciális deriváltak: f^ (x; y) = - y sin xy és f^ (x; y) = - x sin x y . A megadott függvény teljes differenciálja: df (x; y) = -y (s in xy)dx - x(sin xy)dy.
b)A parciális deriváltak: , 2 (x -y ) 2 ( x - y ) ( - l) f'(x ;y ) = — ^ e s f'(x ;y ) = -^^-----^ (x-y)Mn2 (x-y)Mn2 Egyszerűsítés után, a teljes differenciál: df(x;y) = ------ -------dx + ------ -------d y . (x-y)ln2 (y-x)ln2 ^ jí-/
^
d) df(x;y) =
394
y(x^-y^)
c h ( l- y )
j
x(y^-x^)
eh ( 1 - y )
,
.
KVK-1190 e) df(x;y) = y3^’‘"*^''(ln3)dx + ( x - l ) 3 ‘"“'^''(ln3)dy. f) df(x;y) = (x + 3 )(2 x -l)(x ^ -x)^"^Mx + +(x^-xy^^{\n(x^-x))áy. 13.2.2. a) A kétváltozós, valós függvény iránymenti deriváltja: őf — = f; (x; y) cos a + f ' (x; y) sin a . da A parciális deriváltak: fx(x;y) = 2xcos(x^ +y^) és fy(x;y) = 3y^ cos(x^ +y^)-
A megadott függvény iránymenti deriváltja: df = 2x(cos(x^ + y^ ))cos a + 3y^ (cos(x^ + y^ ))sin a . da b)A parciális deriváltak: f; (x; y) =
2)2x(l - y ' ) és
f;(x ;y ) = 2^^('-^^>(ln2)x^(-2y). A parciális deriváltakból 2 ’‘''*-^'>(ln2)x2 = x(ln2)2'"’‘'^'-^') kiemelhető. így az iránymenti derivált: af da
c) A kiszámított parciális deriváltak egyszerűsítése és kiemelés után, az iránymenti derivált: 8f 1 , (-y cos a + Xsm a ) . — = ---------- . öa (x + y)V2xy + y ' \ 1 dí e cosa + d ) ^ = 7 ^ ( tg y ) tgxda tg X cos^ y
395
KVK-1190 +
e"' '^ ( 4 ^ - s i n 2 y ) ^ . sin a . 4V ytg xcos^ y
e) — = -----------rr---------cosa da [Qy-e-^yj +e^-
i2
cosa-
da
y^
sina,
In ^
tgf)
2x
+ e"’‘
-+ ■ sin a . 2 y xcos — xy
13.2.3. a) A kétváltozós, valós függvény gradiense a PQ(xQ;yo) helyen:
= (fx(xo;yo); fy(x;o ;yo))Az egyes parciális deriváltak és értékük a P,3(-l;2) helyen: fx(x;y) = 2x + 2y és f;(x ;y ) = 2x + 2 y , f '( - l;2 ) = 2 é s f ; ( - l ; 2 ) = 2. A megadott függvény gradiense a P(,(-l;2) helyen: gradf|_,^=(2;2). n 71
helyen: ,6 3, x (y c o sy -sin y) (cosx + x sin x )sin y , fx(x;y) = ^------------- 7- ^ ---- ^ es f;(x ;y ) = ycos‘ x ' y sinx
b) Az egyes parciális deriváltak és értékük a
Tt-SVs 2n / \ 71 71 helyen: A megadott függvény gradiense a Pq 6 ’3 f'
396
IS + TiVs , - Y n 71^ = ----------- es f„ 6 ’3 6n v6 3 ,
71 71
KVK-1190 I 8 + 71V3 71- 3 V3 671 2n
gradf
í
c) gradf Po
e) gradf
Po
1 . 2 ^
d) gradf
5 ’ 5 j
=(1;0).
f) gradf
Po
Po
=(0;1).
23 81n2 161n2
13.2.4.
, fy(xo;yo) ,h a f;(Xo;yo)?íO. a) Az egyenes meredeksege: m = — fx(xo;yo) A parciális deriváltak és értékük a Po(l;l) helyen: fx(x;y) = 2x és f^(x„;yo) = 2, f;(x ;y ) = -2 y és fy(xo;yo) = -2 Az egyenes meredeksége: m = -1 .
b )m = -
V 3
c) A parciális deriváltak kiszámítása előtt alkalmazzuk az logj,b =
, h a a > 0 , b > 0 , c > 0 , a^^l, c?^l, logca azonosságot, így a megadott függvény felírható f(x;y) =
,h a x > 0 , y > 0 , x^^l, y^^l, alakban. y(lnx) Az egyenes meredeksége: m = -1 . 13.2.5. a) A kétváltozós, valós függvény iránymenti deriváltja a Po(Xo;y,3)
helyen, egy a szöggel meghatározott irány esetén:
397
KVK-1190 df da
= fx(Xo;yo)cosa + f' (Xo;yo)sina.
A megadott kétváltozós, valós függvény parciális deriváltjai és értékük a Po(l;V2] helyen: 71
7TX
fx(x;y) =
COS
2xyn nx , n^f2 fv(x;y) = - ,-;--^ ^ x , cos , , , f^(xo;yo) = Az iránymenti derivált a Po(l;V2) helyen, a = 30° szög esetén: dí
^ tz( S - 2 ^ ]
100
da
b)
dí
11V2
da Po
sVs
c)
Öf da
13.2.6. a) Ha u = V cos a , v = v sin a , - ahol v
0, - akkor v = ui + vj
az egyik irányvektora a PQ(x,3;yQ) ponton átmenő, a irányszögű egyenesnek. Ezért egy kétváltozós, valós függvény iránymenti de riváltja a Pq pontban, a v vektor által meghatározott irány esetén: U öf = fx(xo;yo) +fv(xo;yo) da Po Vu^ + v^ A megadott függvény iránymenti derivált értéke: _ ^ 2(2 + 7 3 ) af 4 da
b)
398
2V6 öa
c)
Öa
l + 4e + V3(3 + 4e) 8e
KVK-1190
13.2.7. a) Egy megadott pontban, a kétváltozós, valós függvény iránymenti deriváltjának értéke, a pontbeli gradiensvektor irányában a legna gyobb: df fx(xo;yo) + max = fx(xo;Yo) 0
_______ fy(xo;yo)_______
gradf
+ fy(xo;yo) V(fx(xo;yo))'+(fy(xo;yo)) Az iránymenti derivált legnagyobb értéke: max
öf
0
Po
b) max 0
df
c) max
af
5 2■
=1
0
13.2.8. a)Az n = -f^(Xo;yo)i-fy(X(,;yo)j + k vektor merőleges a felület
re, mégpedig a felületnek abban a Q,3(xQ;yQ;Zo) pontjában, ahol Zo =f(xo;yo)Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = Xo- f; ( Xo; y„)- t , y = Yo- f ; ( Xo; yo ) ' t , z = z „ + t . A megadott függvény parciális deriváltjai és ezek értékei: f; (x;y) = x^ - 2 x y , f;(x ;y ) = 2xy - x^ és f:(2 ;-l) = 5 , f ; ( 2 ; - l ) = -8 . A függvény értéke Zq = f(2 ;-l) = 6. A kiszámított értékeket behelyettesítve, a megadott pontban, a felületre merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszere tehát: x = 2 - 5 t , y = - l + 8t, z = 6 + t. 1-e b ) x = 2 + 9 1 n 3 - 1 2 - - t, y = 3 + 6 + - - 8 1 n 2 t, z = ----- + t e e
399
KVK-1190 függvény és parciális deriváltjai értékének kiszámításához, a szögfüggvényekre vonatkozó azonosságokat alkalmazva, az adó dik, hogy
c)A
f (x; y ) = ^ ^ y ^ e n n e k a l a p j á n z^ = 1, tgx + tgy
/ ^ cos(2x + 2 y ) - l
alapján
n ^n
\
4 V-3 ’ -y
= 0,
c o s 2 x ------- ^ e n n e k a l a p j á n f ' =4-2V^. 3 4 ^ ^ cos(2x + 2y) -1 A megadott pontban, a felületre merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszere:
f ' ( x ; y ) = ------- 2
x = ^ , y = -^ + ( 2 V 3 - 4 ) t , z = l + t.
,
2eÍ2-(e"-l)0 (e^+1)^
d)x = l + —
l-2e-e'
Z = -------r---------- +
e"+l
,
(e^-l)^-4e t, (e^+1)^
y = - l + -^^------ — -—
t.
13.2.9. a)Az n = -f^(Xo;yo)i-fy(Xo;yo)j + k vektor normálvektora a fe
lület Qo(Xo;y(,;Zo) pontbeli érintősíkjának. Az érintősík egyenle te: - f x ( x o ; y o ) ( x - X o ) - f ; ( x o ; y o ) ( y - y o ) + ( z - Z o ) = 0A parciális derivált függvények és értékeik a megadott helyen: fx (x;y) = 2 x , f;(x ;y ) =
és f^(1;1) = 2, f;(1;1) =
A függvény értéke pedig z^ = f(l;l) =
.
4-n
A kiszámított értékeket behelyettesítve, a megadott pontbeli érin tősík egyenlete: 1, f 4 - ti -2 (x -l) + - ( y - l) + z= 0.
400
KVK-1190 Azonos átalakítás után: 8x - 2y - 4z = 2 + 7T.
b)
n + l S f
71 + 2^3
n X ------
(y -l)+ z -
n 12
= 0.
Azonos átalakítás után: {n + 2V3)x - (tt + 2^Í3)y + 6z = Vs . c )4 (5 -7 1 n 2 )x -3 (7 -5 1 n 3 )y + 49z = 54 + 151n3-561n2. d)A parciális deriváltak kiszámítása előtt elvégezve a kivonást, az ^ 2x^y’‘ , alak adódik. Kiszámítva a szükséges adatokat, az érintősík egyenlete: 20(2 - In 2)x -1 Oy - 9z = 17 - 20 In 2. e) -6-\/3x + 9-v/3(ln3)y + 4z = 6-v/3(l + 31n3). f) A logaritmus azonosságának alkalmazásával, a parciális derivá lás előtt, célszerű a függvényt az f (x; y) = ln(7T - y) - In cos(x + y) alakban felírni. Az érintősík egyenlete: /
\ Y A
3
n ^ ___ ----------------6
1
8
,
-
5 n
1 5 ; :
. R3 r
V
7
7 1 ^ \ / ________
6
,
í
^ ry
_L
V
3
/
j
13.2.10.
a) A
df da
= f^(Xo;yo)cosa + f' (Xo;yo)sina iránymenti derivált
minden, tetszőleges szög esetén akkor és csak akkor nulla, ha van olyan Xo, yo,hogy f;(X(,;yo) = 0 és f;(X(,;yo) = 0. Meg kell oldani tehát a
401
KVK-1190 2x-4 = 0 8y+ 8 = 0 egyenletrendszert. A megoldás Xg - 1 ,
= - 1 , tehát
P o ( 2 ;- i).
Mivel f^(xQ;yo) = 0 és fy(X(,;yQ) = 0, ezért az érintősík nor málvektora n = k .. Mivel Zq = 1, ezért az érintősík egyenlete: z - l = 0. b)P o(-l;l) és z - 3 = 0.
c)P o(0;-l) és z - 4 = 0.
d)Po(-2;-3) és z - 2 = 0. 13.2.11. a) A skalár-vektor függvény teljes differenciálja: ^ ^ ^ du(x; y; z) = — u(x; y; z) dx + — u(x; y; z) dy + — u(x; y; z) d z . öx öy öz A megadott függvény parciális deriváltjai:
— u(x;y;z) = yzchxyz, — u(x;y;z) = xzchxyz és öx őy ^ u ( x ;y ; z ) = xychxyz. dz A feladatbeli függvény teljes differenciálja: du(x; y; z) = yz(ch xyz)dx + xz(ch xyz)dy + xy(ch xyz)dz. •-XJ/ N y+z J x+z , x+y . b)du(x;y;z) = ---- ---------- dx + --------------- dy + --------- ----- dz. x(x + y + z) y(x + y + z) z(x + y + z) c) du(x; y; z) =
(in2)(dx + dy + d z ).
d) A parciális deriválás után, az egyes összeadandókból a
402
KVK-1190
k(x;y;z) =
ln(x + yz) ^ arcctg xyz l + (xyz)^
x^+yz
(in(xVz))^ közös szorzótényező kiemelhető. Ennek kiemelése után, a teljes differenciál: du(x; y; z) = k(x; y; z) ((2x + yz)dx + (z + xz)dy + (y + xy)dz). e) A közös szorzótényezöt kiemelve, a teljes differenciál: du(x; y; z) = —
^
(xdx + ydy + zdz).
1+ l nJx^ +y^ +z^ — (xdx + ydy + zdz). Q du(x; y; z) = -----. Vx" +y^ +z" ^
,
,
13.2.12. a) A Hamilton-operátorral való szorzás során, a „vektor szorzása valós számmal” módjára járunk el: a megfelelő koordináták szorzatainak összegét képezzük, ahol az összeadandó szorzatok a vektor-skalár függvény egyes parciális deriváltjai lesznek. Vu(r) =
=
+ z)(l + y)i + ^ ( x + z)(l + y)j + ^ ( x + z)(l + y)k öx dy dz Vu(x; y; z) = (1 + y)i + (x + z) j + (1 + y ) k . 1 . 1 . 1, b) Vu(x; y; z) = (yzi + xzj + xyk) tg — + - 1 — j — k yz v X y Z y
X / X 2xy . l n ( x ^ +z ^ ) . c) Vu(x;y;z) = -7------- ^ -- 1--7--------- ^ j (x=+z=r' (x '+ z=)’
2yz ~7---------
2 X yz
COS —
,
(x’ +z")
403
KVK-1190 yz..i - z j - y k
d) Vu(x;y;z) = ^ ----- ^ X +y z 3 In
e) Vu(r) =
f) Vu(r) =
+1
2r r r arc sin r
1+
(arc sin r
13.2.13. a) A skalár-vektor függvény gradiense, a függvénynek és a Hamilton-operátomak, a „vektor szorzása valós számmal” módjára kiszámítandó szorzata: gradu(r) = Vu(r).
gradu(r) =
6(jr + 2) ------- r .
2----------------------1 b) grad u (r) = ----- -------—r . c) grad u (r) = —r - — rr r .
d) Vu(r) = (yz)“‘ r f
(xz)“‘ r
(x y )-'r
13.2.14. a) A megadott függvény, azonos átalakítás után, u (x ;y ;z ) = i + e-^>"
alakban írható fel. Ennek parciális deriváltjait kiszámítva és a közös tényezőt kiemelve, a függvény gradiense: gradu(r) = -2 e “^’‘''"(xzi + xz j + x y k ) . Behelyettesítve a megadott vektor koordinátáit, a gradiens vek tor az ro(-l;0;l) helyen:
404
KVK-1190 gradu
*^0
=2j .
b)A megadott skalár-vektor függvény gradiense: 1
gradu(r) = --
^ 9. . 3i (2xi + 3y j + 4z k).
3 \/{ l2 -(x■^ + y’ + z ‘ ) f A gradiens vektor az r(,(2 ;-l;-l) helyen: gradu ® ^ ^ c) gradu
d) gradu
3
j--k . 4'* 3
7 . 1 . 5 , = — 1+ —j — k . 18 4 3 37T-4V3. 2% + z S . -i + J 12 12
3n + 4V3 k. 12
e)A parciális deriváltak kiszámítása szempontjából célszerűen, a függvényt azonosan átalakítva, az u(r) = -log3(|r| + l)-log3jr|^ + 4), áttekinthetőbb alakot kapjuk és ebből az alakból számítjuk ki a parciális deriváltakat. A függvény gradiense: gradu(r) = -
1 ln3
1 2 r. :------+ ■ +4
Az Tf) = V3 és Tq(1;1;1) behelyettesítése után, a gradiens vektor: gradu
f) gradu
33- 7V3 ,. . -(i + j + k). 42 In 3 4 ( 2 - tc) , 1. 7C
13.2.15. a) Az abszolút hiba becslése:
405
KVK-1190 Au(ro)
du
Axo +
dx *•0
du dy
du
Ayo +
dz *•0
*•0
Azo
a relatív hibáé pedig: Su(ro)
u(ro) A megadott függvény egyes parciális deriváltjai, illetve értékeik: d ^ S u(x;y;z) = 4x^, — u(x;y;z) = -3y^ és — u(x;y;z) = 2 z , őx őx dy' illetve dn du r du = 32, = 8. = -24 es dx dy dz Az abszolút hiba becslése: |Au(ro) | « —. A függvényérték abszolút értéke: u(rg) =16 V2 . A relatív hiba becslése: 5u(ro)
b) Au(ro)
c) Au(ro)
d) Au(ro)
100
300 21,6 + V3 jt
és
és 6u(rn) "
és 6u(ro)
64
0,1105.
200 3 •e •In 3 100-(l + ln3)
0,0943,
0,0427
21,6 + V3 7t 180
e) Au(r(,) wl,18 és 6u(ro) « 0,059. 13.2.16. Az impedanciának a mérési eredményekből kiszámított értéke:
Zo = yls,6^ + ( 2 - n - 49, 8- 7,2 )' « 6,036f2. Az egyes mérési eredmények abszolút hibái: 406
KVK-1190 hLA = 4 ^ = 2 - 1 0 - ' H, 100 K Z -
=
^ = 0,5Q és 100
=0,6Hz.
+ { 2 -K -f - L f függvény egyes változók szerinti
parciális deriváltjai és azok értékei az (Lo;Ro;fo) helyen: ÖZ ÖL
4-7r'L-f' I-------T ^R ^+ {2 .K -f-L f
ÖR
/ & ^ ( L „ ; R . ; f , ) » 0,928; yjR^ + { 2 - n - f - L f ÖR
dZ _
öf
4-n^-V -í
+(2-7i-f-L)"
, dZ(^ „ ,,^1 es — ( Lo; Ro; fo)«117-; ÖL s
és^(Lo;Ro;fo)*0,0169Qs. öf
Az impedancia abszolút hibája: 'RA +
hzA = + § ( L ,; R „ ; f ,) |.h ,^ = 0 ,4 9 8 fi. Öl Az impedancia relatív hibája pedig: ^ ^ ^ K a: M ^0
= s ,25%.
13.3. Vektor-vektor függvények 13.3.1.
a) A V szimbolikus vektor és egy vektor-vektor függvény skaláris szorzása során, - a vektorok esetében alkalmazott szorzási műve let helyett, - a V vektor megfelelő koordinátája szerint, az egyes koordinátafuggvények parciális deriváltját képezzük. A kapott parciális deriváltakat - ugyanúgy, mint két vektor skaláris szorzá sánál, - összeadjuk.
Vv(x; y; z) = - ^ (x" V y z ) + ( x y ' Vz)+ ^ (V^yz') = = 2{x-Jyz + xyVz + Vxyz).
407
KVK-1190 b) Vv(r) = — (tg xyz) + — (cos(x + y + z ) + — (sin(x + y - z )) : 8x dy dz
vz = ---- ---------sin(x + y + z) - cos(x + y - z ) . cos xyz
c) Vv(x;y;z) = J^vT / X yz xz xy d) Vv(x; y; z) = ^ ^ . x y z e) Vv(x;y;z) =
+ 2y + 3 z - y /x ^ H y ^ f ^ . ^x^ +y^ +z^
_ x -z -^ x ^ T y ^ T ^ f) Vv(r) = x^ +y^ +z^
(l + x^ + y^ +
y x ^ +y^ +z^
13.3.2. a) Egy vektor-vektor függvény divergenciája a V szimbolikus vek tor és a függvény skaláris szorzataként számítható ki, azaz divv(r) = Vv(r). A megadott függvény divergenciáját tehát y+z divv(x;y;z) = +dz dx dy alakban számítjuk ki. A parciális deriválást elvégezve, a diver gencia tehát a .. , . y+z x+z x+y divv(x;y;z) = -x^ y^ skalár-vektor függvény.
408
KVK-1190 b)A harmadik koordinátafüggvény parciális deriválása előtt alkal mazzuk a log^ X =
Inz
azonosságot!
div v(x; y; z) = 2 ’‘ (In 2)(log z) +
------• y l nx z(lnz)
c) divv(x;y;z) = z(x + y)^“‘ + x ( y + z)’‘"‘ +y( x + z)^"‘. d)Parciális deriválás, összevonás és egyszerűsítés után: div v(x; y; z) =
. (x^ +y^ +z^) Mivel a nevezőben a vektor abszolút értékének a négyzete áll, ezért a divergencia tömör alakban felírva: divv(r) = ^ .
, , x c h J x ^ +y^ +z^ + y s h J x ^ +y^ +z^ ^---------------- + e) div v(x; y; z) = ------ ^ +y +z z + Vx^+y^+z^ch^x^+y^+z^ , , (x + y + z)ll + 7x^ +y^ + z f) divv(x;y;) = ^--------- , ^ \ , ------+ y^ + z^ 13.3.3. a) A vektormező forrásmentes, ha az azt meghatározó vektor-vektor függvény divergenciája az azonosan nulla skalár-vektor függvény. Kiszámítjuk tehát a megadott függvény divergenciáját: divv(x;y;z) = ^ ( x ^ +3xy^ - 2 x z ) - ^ ( 3 x ^ + y^) + ^ ( z ^ ) . öx dy dz A divergencia a kiszámított parciális deriváltakkal felírva: div v(x; y; z) = (3x' + 3y' - 2z) - (3x' + 3y' ) + 2 z .
409
KVK-1190 Az összevonások elvégzése után kapjuk, hogy divv(x;y;z) = 0, ezért a vektormező forrásmenetes. b)Nem forrásmentes.
c) Forrásmentes.
d) Részletesen felírva az egyes koordinátafüggvényeket, illetve a parciális deriváltjaikat: 4x^ 21n(x^+y^ + z ' ) (x^+y^+z^) 2x dx ln(x + y + z ) (ln(x^ +y^ +z^))^
2y dy ln(x + y + z )
2z
2 1n ( x ^ +y ^ + z ^ ) ~ ^ _________________(X + y + z ) ég (ln(x^ +y" + z ^ ) f
21n(x^ +y^ + z ^ ) ^ _________________( x ^ + y ^ + z ^ )
dz l n( x ^ + y ^ + z ^ )
(ln(x^+y^+z^))^ Ezek összege a vektor-vektor függvény divergenciája. Az összeg, azonos átalakítások után: , 61n(x^+y^+z^)-4 div v(x; y; z) = —r ^ ------ ^ ^ ---(ln(x ' + y ' + z ' ) ) ' illetve tömör alakban 121nr - 4 div v(r) = (21n|r|)' Mivel ez nem egy azonosan nulla skalár-vektor függvény, ezért a vektormező nem forrásmentes. 13.3.4. a) A Hamilton-operátor és a vektor-vektor függvény vektoriális szorzása során, a determináns elemeinek szorzatát, a koordináta függvény parciális deriváltjaként értelmezzük.
410
KVK-1190
V Xv ( r ) =
i d
j d
dx x^y^z
dy xy^z^
k d dz x^yz
A determináns kifejtése: Vx v ( r ) = i — ( x V z ^ - — (xy'z^) +k ^(x y V )-|(x V ^z)
-J
A kiszámított vektoriális szorzat: Vx v ( r ) = (x^z^ -2xy^z)i - (2xyz^ - x^y^)j + (y^z^ - 2 x ^ y z ) í . b) Alkalmazzuk a különböző alapú logaritmusokra vonatkozó azo nosságot, így a megadott függvény In y . In z . In x , v(x; y;z) = — + -— j + -— k In X In y In z alakú lett. A vektoriális szorzatot kiszámítva, 1 1 1 V Xv(r) = 1-----— J -----— k . z In y XIn z y In x
.
,
c) Vx v(r) = —^— i + — — j + — — k + x+z x+y y+z +
X -!. + ■ y k. -J + (y + z)^ (x + z f (x + y)'
d) A determináns:
V x v(r) =
1
J
k
dx
dy
dz
y y x ^ fy ^ i-^
Zyjx^ +y^ +z^
+y^ +z^
A determinánst kifejtve kapjuk, hogy V Xv(r) = 0.
411
KVK-1190
cosxz ^ ycosyz
e) V Xv(r) = -
1+
z sin xz ^ cos xy J-
f) Vx v ( r ) = 0. 13.3.5. a) A vektor-vektor függvény rotációja a V szimbolikus vektor és a vektor-vektor függvény vektoriális szorzatának eredményeként adódó vektor-vektor függvény. A megadott függvény esetében, ez
rőt v(r) =
ds. 1
dy 1
yz
xz
1
xy
1 xz
1
1-
xz
1 xy
'
k d dz 1 xy
1 ^ x y
1 yz \
1+ ^ 1 ---------1 T 1 J. + X y yz J
J+
1 x^z
1 k= y^z k.
y z
X z
b)A determináns: 1 d
j d
dx 2~x+y
dy g-y+=
k d dz
A determinánst kifejtve, a rotáció: rotv(r) = -8 "''^ "(ln 8 )i-4 ’‘- " ( ln 4 ) j- 2 “’‘^''(ln2)k.
412
KVK-1190 c) rőt v(r) = (ch(y - z))i + (sh(x + z))j — ------ k . sh ( x - y ) d) rőt v(r) = 0. 13.3.6. a) Egy vektor-vektor függvény által meghatározott vektormező ör vénymentes, ha a függvény rotációja egyenlő az azonosan nulla vektor-vektor függvénnyel. Célszerű az egyes koordinátafüggvények parciális deriváltjait külön-külön kiszámítani.
^ V 2(x;y;z) = 2x(cosy)(lnz), ox d , , 2xsiny -V3(x;y;z) = ----------, dx ö — Vi (x; y; z) = 2x(cos y)(ln z ) , dy d , - x^cosy — V3(x;y;z) = ---------- , dy z d , , 2xsiny , — Vi(x;y;z) = ----------es oz z d . , x^cosy — V2(x;y;z) = ---------- . őz z A rotáció vektor első koordinátafüggvénye . , ö , , x^cosy x^cosy -V3(x;y;z)-— V2(x;y;z) = ------------------------= 0, dy dz z z de ugyancsak nulla a második és a harmadik koordinátafüggvény is, ezért rotv(r) = 0, tehát a vektormező örvénymentes, 8
b) A rotáció kiszámításának determinánsa:
413
KVK-1190
1
k
J _d
rotv(r) =
dx
dy 1
dz 1
x^yz
xy^z
xyz^
A determináns kifejtése: rőt v(r) =
1
xy^z^
1 1xy^z^
1 2
X yz
2
1 9 7 j+
X yz
1 1 k = 0, x ^ ^ z ' xV^z
tehát a vektormező örvénymentes, c) Nem örvénymentes.
d)Örvénymentes.
13.3.7.
a) Mivel |r| =
ezért a megadott skalár-vektor függ
vény gradiense: gradu(r) =
y -yjx^ +y^ +z^
rl + -
•^x^ + y^ +z^
-^x^ + y^ +z^
Látható, hogy v(x;y;z)-gradu(r), ezért a skalár-vektor függvény potenciálfüggvénye a vektor-vektor függvénynek. b) gradu(x;y;z) =
d xy
1+
k. j+ dz e^ dy e^ A parciális deriváltakat kiszámítva kapjuk, hogy dx e"
gradu(x;y;z) = ^ i + ^ j - ^ k . Mivel c c v(x;y;z) = gradu(x;y;z).
414
KVK-1190 ezért a skalár-vektor függvény potenciálfüggvénye a vektor-vektor függvénynek. c) A parciális deriváltak kiszámítása után látható, hogy ugyan ^ u ( x ; y ; z ) = Vi(x;y;z) és 8x
^
dz de d
u(x;y;z) = V3(x;y;z),
u(x;y;z) = - V 2 ( x ; y ; z ) ,
dy ezért v(x;y; z)^gradu(x; y; z), tehát a skalár-vektor függvény nem potenciálfüggvénye a vektor vektor függvénynek.
d) Potenciálfüggvénye. 13.3.8. a) A skalár-vektor függvény gradiense: 2x x^ x^ grad u(x; y; z) = ------ ^ i j+ k. y-Vz (y-Vzj 2vz(y-vzj A kapott vektor-vektor függvény divergenciája: x ^ í s Vz - y ) . 2 2x^ div grad u(x; y; z) = ------ j= + . y - V z (y-Vz) 4Vz ( y - V z j Mivel u(x;y;z) potenciálfüggvénye a gradu(x;y;z) = v(x;y;z) vektor-vektor függvénynek, ezért rőt gradu(x; y; z) = rőt v(x; y; z) = 0. b)A megadott skalár-vektor függvény u(x;y; z)=
' yx +y +z alakban is felírható. Gradiensének koordinátafüggvényei:
415
KVK-1190 d dx
dy
dz
u(x;y;z) = — = v,(x;y;z), 3V(x^+y^+z^y u(x;y;z) = -
= V2(x;y;z) és +y^
u(x;y;z) = — = V3(x;y;z). 3V(x^+y^+z^y
Kiemelés után, a gradiens: 1 grad(x;y;z) = — r(xi + yj + zk). 3^(x=+y»+z=)’ Mivel a nevezőben 3
’ áll és r = xi + yj + z k , ezért
gradu(r) = -----3m A gradiens divergenciája: div grad u(x; y; z) = ^ V; (x; y; z) + ^ (x; y; z) + - |- V3(x; y; z ) . dx dy ez A parciális deriváltak összegét egyszerűbb alakra hozva, és al kalmazva, hogy |r| =
+y^ +z^ , a gradiens divergenciája:
div grad u(r) = — ^ 9 rőt grad u(r) = 0 . 3 6 c) gradu(r) = —r , div grad u(r) = — és rőt grad u(r) = 0 . r r
d)gradu(r) =
- r , div grad u(r) =
r
r 1- r 1
rotgradu(r) = 0 .
416
2
es
KVK-1190
13.3.9. a) A vektor-vektor függvényt lokalizáljuk, azaz a vektor-skalár függvény koordinátafüggvényeit behelyettesítjük a vektor-vektor függvény megfelelő független változói helyébe: v(r(t)) = (Vt + 1) + (t^ + t)j + (t^ + V t)í , Eredményül egy vektor-skalár függvény kaptunk. A megadott vektor-skalár függvény deriváltja: r(t) = 2ti + ^ j + k . 2 vt Kiszámítjuk a lokalizált vektor-vektor függvény és a vektor-skalár függvény deriváltjának skaláris szorzatát. Eredményül a v (r(t))r(t) = (Vt + t)2t + (t^ + egyváltozós, valós függvényt kapjuk, amelyet integrálunk a meg adott határok között: S - 1 i 3 t ' + - t 2 + - t ^ dt = 3.
b)A lokalizált vektor-vektor függvény: v(r(t)) = (ti + V ^ j + k). Vegyük észre, hogy a négyzetgyökvonás elvégezhető! A vektor-skalár függvény deriváltja:
A két vektor-skalár függvény skaláris szorzatát kell integrálni a megadott határok között. 2/ " j|((t^ + t)i + V2t(t + l)j + (t + l)k)[^i + ^ j dt = (t^ + 2t + l^dt =
19
417
KVK-1190 In 2
c) Ve' ‘ + l + 2e‘
e*i + j + -y/2e‘k) e‘i + - ^ k v2
dt
Azonos átalakítások után, In 2
e ‘ dt = l.
d)
7 + 171n2-51n3
e) Az integrál értéke nulla, mert a vektor-vektor függvény rotációja nulla, és zárt görbe mentén kell integrálni. \S + 3 ^ f3 ( n - 8 ) + 2n(S -3^Í 2)
48 13.3.10. a) A PjPj szakasz paraméteres egyenletrendszere: X = 1 + 1'
y = l + t - ,h a 0 < t < l . z=l+t Ha a szakasz egyenletrendszerét r(t) = (l + t)i + (l + t)j + (l + t)k alakúra átírjuk, akkor jól látható, hogy ez -képezi azt a görbét, amelyen integrálnunk kell. (Megjegyezzük, hogy ha az egyenes irányvektorának kezdő- és végpontja a szakasz kezdő- végpont ja, akkor minden esetben 0 < t < 1.) A továbbiakban ugyanúgy kell eljárni, mint egyéb esetben; a vektor-vektor függvényt lokalizáljuk, majd kiszámítjuk a skalá ris szorzatot. (A skaláris szorzat kiszámítása során vegyük észre, hogy a vektor-skalár függvény deriváltját az irányvektor koordi nátái alkotják.) A vonalmenti integrál:
418
KVK-1190 '(6 + 3t)dt = ^ . \í
7 ^
9(llV 3-16)+7t(n + 3)
^ t nt t . nt V b)7i" j — cos---- 1---- sin — H----18 6 12 3 24
c)
121n2-5
72
d ) 2e(l + e) + - í - 3 e e
, 1, 17 e) —In— 2 14
19 +■
f) — - l n 2
13.3.11.
a) Mivel az integrál értéke a két szakaszon vett integrál összege ként adható meg, és ennek kiszámítása hosszadalmas, ezért cél szerű megvizsgálni, hogy a vektormező konzervatív-e vagy nem. Ha konzervatív, akkor az integrál értéke csak a kezdő és végponttól függ, azaz rövidebb számolással, a P; pontból a P3 pontba vezető szakaszon integrálva oldható meg a feladat. A vektor-vektor függvény rotációja:
rotv(x;y;z) =
k
i
j
d
d
őx 2x
8y x^
dz
yz
y^z
yz
\
2x 2x 2x 2x k = 0. i.... '2 + j+ y z y z yz y 'z ' y ' z ' y yz' tehát a vektormező konzervatív, ezért a P, pontból a P3 pontba vezető szakaszon integrálva határozzuk meg a megoldást. A vektor-skalár függvény: r(t) = (2 + t)i + j + 3 k , é s 0 < t < l .
419
KVK-1190 A vektor-vektor függvényt lokalizáljuk, és skaláris szorzatát ké pezzük az irányvektorral, mivel az egyben r(t) is. Az integrál értéke tehát; 4 + 2t dt = 3.
b) A vektor-vektor függvény rotációja nem nulla, ezért a két szaka szon külön-külön kell kiszámítani a vonalmenti integrálok érté két. Ezek összege: 1951n2-1071n3-58 16 13.3.12. a) A törött-vonal kezdő- és végpontja egybeesik, ezért - a hossza dalmas és felesleges számítások elkerülése érdekében, - célsze rű megvizsgálni, hogy a vektormező örvénymentes-e vagy nem. A vektor-vektor függvény rotációja: J
rotv(x;y;z) =
k
dx y^ cos X
dy 2ysinx
dz y^ sin X
e^
e^
e^
= 0,
tehát a vektormező örvénymentes. Ezért a vektor-vektor függ vénynek, a megadott zárt görbén vett vonalmenti integrálja nul la. b)Mivel a törött-vonal zárt és a vektormező örvénymentes, ezért ezen, a vektor-vektor függvény vonalmenti integrálja nulla.
420
KVK-1190 r
rr
r
14. VALOSZINUSEGSZAMITAS 14.1. Eseményalgebra 14.1.1. a ) A , + A 2 + A 3.
b ) A , Á 2A 3.
c ) A , A 2A 3.
d ) A , A 2A 3 + A 1A 2A 3 + A 1A 2A 3. e) A, A2Aj + A 1A 2A 3 + A 1A 2A 3. f) A,A2A3 + A, Aj A3 + A 1A 2A 3 +A,A2A3 ( =Ai A2 + A 1A 3 + A 2A 3). g ) A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 +
+ A , A 2A 3 + A , A2A 3 + A, A2A 3 ( =A, A2A 3 = A, + A 2 + Aj). 14.1.2. a) A <= B .
b) AB + AB = A = (a + B) - B = (a + B)B = A B , tehát AB = 0. c) AB = 0. d )A + B = A + B + AB = AB + AB = A , ugyanígy A + B = B . Tehát A = B . 14.1.3.
a ) A B = A + B = A = A, azaz A + B = A , tehát A = 0 és B = I. b) A = B = 0.
c) A tetszőleges és B = I.
421
KVK-1190 14.1.4. Alkalmazzuk az összeg ellentettjére vonatkozó C + D = C D azo nosságot a C = X + A é s D = X + A eseményekre! Használjuk fel, hogy D = D , majd végezzük el tagonként a szorzást! Ekkor: B = X + A + X + Á = (X + A)(x + a ) = XX + X a + AX + AA = = x + x (a + a ) + o = x + x i = x + x -
x.
14.1.5. a) A + AB = (aB + AB)+AB = AB + AB = A. b)AB + ÁB + AB = (Á + B)(A + B)(A + B) = AB. c) A B - A C = ABAC = A b (a + c ) =ABC = A ( B - C ) . d) C - C(A + B) = C C(A + B)= c ( c + A + b) = c ( a + b).
e) A - {a - [b - (B - C)]} = AABBC = a (a + BBC = = a b (b + c ) = a b c .
f) ( a + b ) ( a + c )(b + c ) = ( a + a c + a b + b c ) (b + c ): = AB + AC + ABC + AC + AB + ABC + BC + ABC = = AB + AC + BC. 14.1.6.
a) (a + B + C)(Á + b )(b + c )=(Á + b ) c . A o-
422
KVK-1190 b) AB + C + (a + B c )(A + CD) = A + C .
14.2. Valószínűségek kombinatorikus kiszámítási módja 14.2.1. _ a )A + A = I,
_ _ P(A) + P(A) = 1, P(A) = 1-P (A ).
b) AB + AB = A,
P(AB) + P(AB) = P(A),
P(AB) = P(A) - P(AB). c )A + B = B + AB, P(A + B)=P(B) + P(AB) = = P(B) + P ( A) - P ( AB) . d) P(A + B + C) = P[(A + b )+ C] = P(A + B)+ P(C) - P[(A + B)C = P(A) + P(B) - P(AB) + P(C) - P(AC) - P(BC) + P(ABC). 14.2.2.
b )f
d)i.
14.2.3. a) Az összes esetek száma: 6 • 6 = 36. Ha az egyik kockán 6-os van, akkor a másikon az 1, 2, ...,6 számok bármelyike lehet, így 12 esetet kapnánk, de ekkor azt az esetet, amikor mind a két kockán 6-os áll kétszer vennénk számításba, tehát csak 11 olyan eset van
amikor legalább az egyik kockán 6-os áll, s ezért az eredmény — . 36
423
KVK-1190 Megjegyzések: Könnyebb a megfelelő esemény ellentettjének a valószínűségét kiszámítani, hiszen annak az eseménynek az ellentettje, hogy le galább az egyik kockán 6-os áll az, hogy egyik kockán sem áll 6-os, vagyis mind a két kockán az 1,2, ...,5 számok valamelyike áll. így a keresett valószínűség: 1 -
^ = — . Ez a gondolatme6 • 6 36 net alkalmazható akárhány kocka esetén is. Annak a valószínűsé ge, hogy n kockát egyszerre feldobva legalább az egyiken 6-os 5 áll:l - — . Két kocka esetén felhasználhatjuk a 14.2.1. c) felaJ datban felírt képletet is. Jelölje A azt az eseményt, hogy az egyik, B az, hogy a másik kockán 6-os áll. Ekkor az idézett képlet alap ján: P(A + B) = P(A) + P (B )-P (A B ) = - + - - - ^ = — . 6 6 36 36 b)— 36 14.2.4. .15 a) — . 16
c)— • 36
d)-. 6
e)
36
.,13 b) — . 16
c) Mivel a pénzdarab szabályos, annak a valószínűsége, hogy több írást dobunk, mint fejet ugyanannyi, mint annak a valószínűsége, hogy több fejet dobunk, mint írást. A megfelelő események egy mást kizárják és összegük a biztos esemény, hiszen nem dobha tunk ugyanannyi fejet, mint írást. így a kérdezett valószínűség: ^ . ^. 13 d) — . 32
424
, 8 1 e) — = —. 32 4
KVK-1190 "12"
14.2.5. v í z "20"
33 646
« 0,05.
14.2.6. Jelöljék A, B és C rendre azokat az eseményeket, hogy egy okta tónak van nyelvvizsgája angolból, németből és oroszból. a) p (a B c) = 1- P(a ) - P(b ) - P(c) + P(AB) + P(AC) + P(BC) -P(A B C ) = 1 - ^ . 400 400 b) p (a
b c )=
=
1^1«0, 45. 400
p (a ) - p (b ) + p (a b ) - p (a b c )=
181 11 = 0,11. 400 " 100
____________= _______
+
400 c)
1-
4 400
400
p (a b c )= p (a b ) - p (a b c ) =
45 400
41 400
400
<0,1.
'32'
= 4960-féleképpen lehet kiválasztani. 3 a) A kihúzott három lap színeloszlása négyféle lehet, aszerint, hogy melyik szín nem szerepel közöttük. A színek hasonló szerepe mi att e négy esetnek megfelelő valószínűségek egyenlők. Ha a 32 lap közül úgy húzunk ki három lapot, hogy az egyik piros, a má sik makk és a harmadik tök, akkor mindegyiket nyolc lap közül választhatjuk ki, tehát az ilyen kihúzások száma 8^. így a kérde 4-8^ 64 «0,41. zett valószínűség: 4960 155
14.2.7.32 lapból 3-at
b)Ha a kihúzott három lap között van a piros ász, akkor a másik két lapot a maradó 31 lap közül választhatjuk ki. Az ilyen esetek "3r száma: = 465. Ha a piros ász nincs a kihúzott három lap köv2.
425
KVK-1190 zött, akkor a következő három lehetőség van. A kihúzott három lap között van: (i) egy piros lap, ami nem ász és egy ász, ami nem piros, vala mint egy olyan lap, ami nem piros és nem is ász - az ilyen esetek száma: 7 • 3 • 21 = 441 (ii) egy piros lap, ami nem ász és két ász, ami nem piros - az ilyen esetek száma: 7 - 3 = 2 1 - ; (iii) két piros lap, amelyek egyike sem ász és egy ász, ami nem r n\ piros - az ilyen esetek száma: 3 =63. így a keresett valószínűség: 465 + 441+ 21 +63 _ 99 ^ 0,2 . 4960 ~496* Megjegyzés: Egy másik megoldási módszer a következő. Legyen A az az ese mény, hogy a kihúzott három lap között van piros lap és B az az esemény, hogy van ász. Ekkor: p4^ p (a b ) =
1-
p (a ) - p (b )+ p (a b
14.2.8. Az összes esetek száma: 6^. 6-5-4-3 5 a) 18
)= 1 -
"32^
.3 ; 1 v3. '32^ ^32"
U ,
^3,
b)
5-6
25 216
c)Az az esemény, hogy lesz két 6-os egymás után, felbontható a következő három egymást kizáró esemény összegére. (i) Az első két dobás 6-os; az ilyen esetek száma 36. (ii) Az első dobás nem 6-os és a második és a harmadik dobás 6-os; az ilyen esetek száma: 5 • 6 = 30. (iii) A második dobás nem 6-os és a harmadik és a negyedik do bás 6-os; az ilyen esetek száma: 6 •5 = 30. így annak a valószínűsége, hogy nem lesz két 6-os egymás után:
426
KVK-1190 1-
36 + 30 + 30
25
6" 27 Egy másik megoldási módszer a következő: Jelölje Aj azt az eseményt, hogy az i-edik és az (i+I)-edik dobás 6-os. Ekkor annak a valószínűsége, hogy nem lesz két 6-os egy más után: P(Á, A , Á 3) = 1 - P (A ,) - P(A^) - P(A3) + P(A, A , ) + + P(A ,A 3) + F ( A , A , ) - F ( A , A ,A , ) = -i_ 3
^
+ A + J _ + _ ^ ____ L - ^
’ 6" ^ 6"
6"
6"
6" "" 27 ‘
d)4"^ olyan eset van, amikor mind a négy kockán álló szám legfel jebb 4. Ezekből le kell vonni azt a 3"^ esetet, amikor mind a négy kockán álló szám legfeljebb 3, mert ilyenkor a maximum 4-nél ki4 " - 3 '' 175 sebb lesz. így a kérdezett valószínűség: — —— = ~ 0,135 . e)A megfelelő esemény felbontható a következő három egymást kizáró esemény összegére. (i) Az első dobás 6-os és a következő három dobás közül lega lább az egyik 1-es. Ekkor a három dobásra 6^ lehetőség van, ebből 5^ nem jó, tehát a megfelelő esetek száma 6^ - 5^ = 91. (ii) Az első dobás nem 6-os és nem 1-es, a második dobás 6-os és a maradó két dobás közül legalább az egyik 1-es. Az ilyen esetek száma 4 • 11 = 44. (iii) Az első két dobás nem 6-os és nem 1-es, a harmadik dobás 6os és a negyedik 1-es. Az ilyen esetek száma 4 -4 = 16. 91 + 44 + 1 6 _ 151 így a kérdezett valószínűség: ------ « 0,117 . 6" ~ 1296 Egy másik megoldási módszer a következő: Nyilvánvaló, hogy elég kiszámolni annak a valószínűségét, hogy dobunk 1-est is és 6-ost is, majd ezt a valószínűséget 2-vel kell elosztani. Jelölje A, azt az eseményt, hogy dobunk 1-est és Ag azt az eseményt, hogy dobunk 6-ost. Ekkor annak a valószínűsé ge, hogy dobunk 1-est is és 6-ost is: 427
KVK-1190 P (A ,A ,) ==1 - P (A ,) - P (A ,) + P(A, A J = 6" 6" 648 amit 2-vel elosztva az előző megoldásban kapott eredményhez ju tunk. 14.2.9. AlO golyó bármelyikét beletehetjük az 5 doboz bármelyikébe, ezért az összes esetek száma: 5 • 5 ■ • 5 = 5‘” . Az első dobozba a 10 golyó közül bármelyik kettőt beletehetjük, majd a másodikba a maradó 8 golyó közül tehetünk kettőt, a harmadikba az így mara dó 6 golyó közül tehetünk kettőt, a negyedikbe 4 golyó közül te hetünk kettőt, s végül a maradó két golyót az ötödik dobozba tesz10! . szük bele. Az elmondott esetek száma; = ^ -ig y
a kérdezett valószínűség:
10! 2 ' -5 10
« 0 ,0 1 .
14.2.10. Rakjunk le 10 egyforma golyót és négy egyforma függőleges szakaszt egy sorba. Ezek 14 helyet foglalnak. 10 helyen van go lyó, 4 helyen függőleges szakasz és ezekkel jellemezhetők a 10 golyónak az 5 különböző dobozba való elhelyezései. Például a következő sorozat annak felel meg, hogy az első dobozban nincs golyó, a másodikban három, a harmadikban kettő, a negyedik ben egy és az ötödikben négy golyó van:
o o o
oo
o oooo.
A 14 helyből a 4 függőleges szakaszt
"14" v4.
választani, a többi helyre kerül a 10 golyó. így a kérdezett valószínűség:
1
1
"14^
1 001
v4.
428
-féleképpen lehet ki-
KVK-1190
14.2.11. a) 1 -
2 -5 !_ 2 6! ~ 3
6!
30
14.3. Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel 14.3.1. Itt a visszatevés nélküli mintavétel s Ym - s
11n -
k
k
(k = 0 ,l,2 ,...,n )
képletében m = 100, s = 5, n = 10 és k = 3, tehát a valószínűség: 95 7 ^ 100"
v3.
» 0,006.
vlO .
14.3.2.
24'
^28^
b) 1-
v4.
v4.
24 c)
v4.
"32"
/rí\
a\
24
vl/ v 3 .
=0 , 1 .
"32"
429
KVK-1190 f 85 ^ 14.3.3.
U J l 5 - -k,y '90^
(k = 0 ,1, 2, 3, 4, 5).
.5 ; 14.3.4. a) Itt a visszatevéses mintavétel p ‘‘(l-p )"
(k = 0, l,...,n) képletében p = - , n = 10,ésk = 3. 8
Tehát a valószínűség:
10 v3.
8
8
b)Annak az eseménynek az ellentettje, hogy legalább egy fehér go lyót húzunk az, hogy nem húzunk fehér golyót, vagyis mind a 10 húzásnál piros golyót húzunk, tehát a kérdezett valószínű / 5 \io
ség: 1 -
V8 y
c) Akkor húzunk több piros golyót, mint fehéret, ha legalább hat szor, vagyis 6-szor, 7-szer, 8-szor, 9-szer, vagy 10-szer húzunk piros golyót. így a visszatevéses mintavétel képlete alapján a kér10
déses valószínűség a következő: ^ k=6
"1 0 " Í5^
k
U ;
10-k
Uy
14.3.5. A visszatevés nélküli mintavételhez kevés adatunk van, ezért feltételezve, hogy a tranzisztorok száma nagy - a visszatevéses mintavétel képletével számolunk (Id. a jelöléseket a 14.3.4. fela dat megoldásánál), amelyben most n=10, p=0,03 és k=2, tehát a valószínűség:
430
0,03^0.97' «0,03.
KVK-1190
14.3.6. a) A visszatevés nélküli mintavétel esetén (Id. a jelöléseket a 14.3.1. ns feladat megoldásánál) a várható érték: — , a szórásnégyzet pedig m m -n ns . így a megadott adatok alapján a következő i- A m m ; m -1 egyenletrendszert írhatjuk fel: 2 5s T^ s ^ m - 5 5s - 2, 3 m m m m -1 Ebből: m = 10 és s = 4. A minta akkor tartalmaz legfeljebb 2 selejtes alkatrészt, ha 0, 1, vagy 2 selejtes alkatrészt tartalmaz, tehát a kiszámított adatokkal a visszatevés nélküli mintavétel képlete alapján a kérdezett való színűség a következő: ^4 ^4Y6^ Í4V6'^
ao"
v4.
+
v5y
v5y
+ ■
2 v3.
11
^1 0 ^
42
v5y
b)A visszatevéses mintavétel esetén (Id. a jelöléseket a 14.3.4. fela dat megoldásánál), a várható érték np, a szórásnégyzet pedig np(l-p). Tehát a megadott adatok alapján a következő egyenlet rendszert írhatjuk fel: 2
np = 2,
n p (l-p ) = - . 2
Ebből: n = 3 és p = —. 3 így a minta 3 elemű, tehát annak az eseménynek az ellentettje, hogy a minta legfeljebb 2 selejtes alkatrészt tartalmaz az, hogy a minta 3 selejtes alkatrészt tartalmaz. Ezért a visszatevéses minta vétel képlete alapján a kérdezett valószínűség a következő: 1V -’/
19 27
431
KVK-1190
14.4. Feltételes valószínűség és függetlenség 14.4.1. A f e lté te le s v a ló s z ín ű s é g d e fin íc ió já b ó l é s a z ad ott v a ló s z ín ű s é g e k b ő l felírh a tju k a k ö v e tk e z ő e g y e n lő s é g e k e t:
- = P ( A | B ) = ^ Í ^ = 4 P(AB) és - = P ( B |A ) = ^ ^ ^ . 4 P(A) 2 P(B) így P(AB) = — és P(B) = - . Tehát: 16 8 P(A + B) = P(A) + P(B )-P (A B ) = l + l - : l = ^ . 1 -P (A + B) P(B)
l- P ( B )
11
l- P ( B )
14 ■ 8
14.4.2. Az ABi esemény akkor következik be, ha csak az egyik kockán áll 6-os. Ilyen eset 10 van. 30 olyan eset van, amikor a két kockán különböző szám áll. így:
^ ^ 30 3 Az AB2 eseménynek a (6;6), (6;2), (6;4), (2;6) és (4;6) számpárok felelnek meg. A B2 esemény akkor következik be, ha a dobott számok összege 2,4, 6, 8, 10 vagy 12. Az ennek megfelelő esetek száma: 1 + 3 + 5 + 5+3 + 1=18. így: pV ( a |B 2) 1 } = -j ^ g. Az A B 3 eseménynek a (6;4) és (4;6) számpárok, a B 3 eseménynek a (4;4), (4;5), (4;6), (5;4) és (6;4) számpárok felelnek meg. így: p ( a | B 3) = | .
14.4.3. Legyen A az az esemény, hogy a kihúzott golyó piros, Bi az, hogy az első urnából húzunk és B2 az, hogy a második urnából húzunk.
432
KVK-1190 a) A teljes valószínűség tétele alapján: p (A )= p (a | b , )p (b , ) + p (a | b , )p ( b , ) = ^ ■i + f ■^ 49
= — «0,61. 80
b) p(Bi Ia ) = ’ ^ ’
= — « 0,49 ■ ^ 49 80 Megjegyezzük, hogy itt valójában a Bayes-tétel legegyszerűbb esetét írtuk fel. p (a )
14.4.4. A teljes valószínűség tétele alapján a kérdezett valószínűség:
0,98 •— + 0,99 • — + 0,995 •— = 0,9845. 10 10 10 14.4.5. A teljes valószínűség tétele alapján a kérdezett valószínűség: 1 3 1 5 1 8 1 13 1 21 1 77 !• — I— ■— I— • — h — ■— I------- — I------- — —----- * 0 , 6 .
6
14.4.6.
"4"
4 6
8 6
16 6
32 6
64 6
128
86 •85 •10 •9 í 0,05, 96- 95- 94- 93
14.4.7. Jelölje Bj azt az eseményt, hogy az oktató az i-edik teremben tar tózkodik (i=l, 2, 3, 4, 5). A kérdezett feltételes valószínűség a következő: p (b
5|B ,B 2B 3B.
J
p(B3BiB2B3B4)
P ( B 5)
P (B ,B 2 B 3 B 4 )
P ( B ,+ B j+ B 3 + B J
P(Bs)
1- P ( B i + B j + B3 + B 4 )
p 5 J_ 4
_ .£ 5
P 5 - 4p
433
KVK-1190 . . . 0 , 1 49 1 48 1 47 5 46 1 « 0,96. 14.4.8. 1 - - + ------- + — •— + —----- - + ■ 4 50 6 50 12 50 12 50 12 14. 4.9. ^
= P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = i ■i
i = P(AC) = P(A ) P(C) = i
i
io =P(BC)#P(B)P(C) =io . i2 14.4.10.
p
(a
b
) = P (b ) - P (A B ) = P (b ) - P (a ) p (b ) =
= 0 _ - P { a ))p (b ) = p
(a
=
p
b
)=
p
(a ) -
p
( Á ) p (B _);
p (a b
)=
p
(a ) -
p (a
)p (b ) =
p
(a ) ( i -
p
(b ) ) =
(a ) p ( b ) .
l-0,85-0,80,9 =
14.4.12.
^960^
"960^
v l5 j
I 15J : 0,29. "1000"
'1000' 15 ^
15 ,
14.5. Diszkrét valószínűségi változók és nevezetes eloszlások 14.5.1.
P (^
(k = 0 ,1 ,2,3,4).
= k) = v2 .
14.5.2. a)
434
+ 3p^q + 3pq^ + binomiális eloszlás.)
= (p + q)^ = 1. (p paraméterű 3-adrendü
KVK-1190
b)E v k . k=0
1
2
2
10
--- 1 ---
.2 J ^ 3 ,
v2
^ 1. (Nem eloszlás.)
3,
c ) ^ — e ^ = e^-e ^ = 1 .(2 paraméterű Poisson-eloszlás.) k=o
k !
Visszatevés nélküli mintavétel képlete
14 " 4 -k
20
k=0
= 1
1
e )Y / k=i k(k + 1)
1
k=i k
k+1
= lim 1
1
n +1
=1.
1
oE f k=0
s = 5, n = 4; a jelölések megtalálhatók például a 14.3.1. feladat megoldásánál.
v4.
00
vagy hipergeometrikus eloszlás: m = 20,
^
v3y
14.5.3. Binomiális eloszlásról van szó: n = 10, k =4 és p = 0,49. Tehát a kérdezett valószínűség: ^1 0 "
0,49“ 0,51' «0,21.
v4.
14.5.4. 20
=1v3y
v3y
k=3
k=3
v k . v3.
190
18
A
v3.
«0,96
20
>»E
19
20
»0,28. v3.
435
KVK-1190 14.5.5. «0,16.
a)
/ ,-\5
k / ^ \ 5-k
v 6. 5
c)Z i=0
í
Uü
l
V
^
2
r
A
« 0,2
=1v6/
v6y
n
2 ,
j
14.5.6.
a)
0 , 6 ' -0,4'® « 0 , 0 2 .
v5. 4
b)Z k=0
/
15
'
0 , 6 " • 0 , 4 " - ’^ « 0 , 0 1 . vk.
c ) £ k=2
0 ,6 " • 0 ,4 " - '^
( = 1 - 0 , 4 '^ - 1 5 - 0 ,6 - 0 ,4 '" « 1 .)
vky
14.5.7. Azt a legkisebb n pozitív egész számot kell megkeresni, melyre: 1
+ n- —
6 v6.
14.5.8. A Poisson-eloszlás paramétere a beérkező hívások átlagos száma, tehát 5. így a Poisson-eloszlás képlete alapján a válaszok: a ) ^ e - ^ « 0 , 0 8 . b ) | ; ^ e - ' «0,27 . c ) |; |^ e - = = 1- e '^ *0,99. 2! k! k=i k!
436
KVK-1190 14.5.9. Az egy oldalra eső sajtóhibák átlagos száma:
^ . így 20
oldalra átlagosan 5 sajtóhiba jut, tehát a Poisson-eloszlás paramé tere 5. Ezért a Poisson-eloszlás képlete alapján, annak a valószí nűsége, hogy 20 oldalon nem lesz sajtóhiba: e“^ (» 0,0 l). 14.5.10. 100e'°'' « 8 5 . 14.5.11. A feltételek alapján feltehetjük, hogy ^ Poisson-eloszlású való színűségi változó. Mivel 5000 óra alatt átlagosan 10 gép romlik el, a Poisson-eloszlás paramétere 10. így a Poisson-eloszlás kép lete alapján: P(^ = k ) = l ^ e -
(k = 0, 1, 2,...) ,
tehát a kérdezett valószínűség: P(^ ^ 5) =
10''
-----e k=o k!
» 0,067.
14.5.12.
a) Annak a valószínűsége, hogy egy dobás nem 6-os —. Az első 5 6
dobás egyike sem 6-os, aminek a valószínűsége a - a függetlenseg miatt -
5^^
. így annak a valószínűsége, hogy a hatodik
v6.
dobás lesz először 6-os:
6
^ « 0 ,0 7 . 6
b)Ha a hatodik dobásnál dobunk másodszor 6-ost, akkor az első öt dobásnál pontosan egyszer dobunk 6-ost. Ez a 6-os dobás az el ső öt dobás bármelyike lehet, tehát annak a valószínűsége, hogy a hatodik dobásnál dobunk másodszor 6-ost: » 0,07.
437
KVK-1190 c) Ha a hatodik dobásnál dobunk harmadszor 6-ost, akkor az első öt dobásnál pontosan kétszer dobunk 6-ost. Ez a két 6-os dobás az első öt dobás bármelyike lehet, tehát annak a valószínűsége, hogy a hatodik dobásnál dobunk harmadszor 6-ost: v2 .
v6.
v6y
14.5.13. a) Annak a valószínűsége, hogy az első k-1 dobás nem 6-os:
és annak a valószínűsége, hogy a k-adik dobás 6-os, —, 6
4
6
">2 i=i v 6 6.
(k = l,2 ,3 ,...).
i - i v "25"' v36.
1 25
1
5 36
11 36
c) Annak a valószínűsége, hogy az első k-1 dobás között pontosan — és annak a valószínűsége, hogy
egy 6-os van: (k - 1) v6.
6
1
a k-adik dobás 6-os: —. így: 6
P(ri = k) = ( k - l )
Í5^
k-2
(k = 2 ,3 ,...).
U ,
14.5.14. a) A visszatevés nélküli mintavétel képlete alapján (a jelölések megtalálhatók a 14.3.1. feladatmegoldásánál):
438
KVK-1190 ^2 1 Y
p ,= P ( ^ = k) =
'
vk JllO -k ,
(k = 3, 4,...,10).
^28^
10 Ebből felírhatok a megfelelő valószínűségek és meg lehet nézni, hogy melyik valószínűség a legnagyobb. Egyszerűbb és általá nosítható is a következő megoldás. Vizsgáljuk meg a
'k-l
há-
nyadost! Egyszerű számolással kapjuk, hogy: p , _ ( 2 2 - k ) ( l l - k ) _^ ^ 2 3 2 -3 0 k p>_, ■ k (k -3 ) Ebből látható, hogy;
Pk-i
■
k (k -3 ) ■
>1, ha 4 < k < 7 és - ^ < 1 , 7 < k < 1 0 .
Pk-i
Tehát a P7 a legnagyobb, s ezért ^ a 7-et veszi fel a legnagyobb valószínűséggel. b)Most a visszatevéses mintavétel képlete alapján (a jelölések megtalálhatók a 14.3.1. feladat megoldásánál): p ,= P ( ^ = k) = p,
Pk-i ^ >
Pk-l
^10^ Í3^ krn
U. UJ
3 (ll- k ) ^ ^ 3 3 -4 k
k
k
(k = 0, l , . . . , 10).
. Ebből következik, hogy:
1, ha l < k <8 és - ^ < 1, 8 < k < 10.
Pk-1
Tehát a pg a legnagyobb, s ezért ^ a 8-at veszi fel a legnagyobb valószínűséggel. Megjegyzés. Itt is kiszámolhatók a megfelelő valószínűségek és látható, hogy melyik valószínűség a legnagyobb, de az adott megoldási módszer minden esetben sokkal kevesebb számolás sal adja meg a feladat eredményét.
439
KVK-1190 14.5.15. Ha a kihúzott öt szám közül k a legnagyobb, akkor a maradó négy számot a k-nál kisebb számok közül kell kiválasztani, te hát: ^ k -r
P(^ = k) =
(k = 5 ,6 ,...,9 0 ).
Ha a kihúzott öt szám közül k a legkisebb, akkor a maradó négy számot a k-nál nagyobb számok közül kell kiválasztani, tehát: "90- k ^
P(Tl = k) =
90
(k = l , 6,...,86).
14.5.16. k=[A,], ahol a szögletes zárójel a X egész részét jelöli.
14.6. Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény 14.6.1.
. Az e’^ és így l + e’‘ az 1 + e ’^ is szigorúan monoton növekvő, ezért az 1 + e’^reciproka szigorúan monoton csökkenő és ennek a (-l)-szerese szigorúan monoton növekvő, amihez 1-et hozzáadva ismét szigorúan mono ton növekvő függvényt kapunk. így F(x) szigorúan monoton nö vekvő. F(x) folytonos, lim F ( x ) = 0 és Hm F ( x ) = 1. Tehát F(x)
a )F (x )
felírható a következő alakban:
X -> -0 O
F ( x ) = 1 ----- ^—
X -^ + O O
teljesíti annak a tételnek a feltételeit, amelyből következik, hogy F(x) eloszlásfüggvény. Ha F(x)-nek van sürüségfüggvénye, akkor a sürűségfüggvény:
(Megjegyezzük, hogy van olyan általános tétel, amelyből követ kezik, hogy ennek az F(x) függvénynek van sűrűségfüggvénye). 440
KVK-1190 M iv e l F (x ) fo ly to n o s , P f e > 0 ) = l - F ( 0 ) = i és
P (ln 2 £ 4 < ln 3 ) = F (ln 3 ) - P ( ln 2 ) = | - 1 = 1 .
b)Teljesülnek az eloszlásfüggvény tulajdonságai. A sűrűségfügg vény: 1
ha
f(x) = jtVi 0,
-l< x < l,
máshol. =i
P (-2 < 5 < 0 )= i.
c) Teljesülnek az eloszlásfüggvény tulajdonságai. A sűrűségfügg vény: 0, ha x < 0 , f(x ) =
ha
X> 0 . \
P (^ > a )= e 'S
1
P
-2
d) Telj esülnek az eloszlásfüggvény tulajdonságai. A sűrűségfügg vény: 3x
f(x) = 0,
, ha
x>x„,
ha
x< x..
P f e < 2x J = 2 , o
p (o<4 < x j ) = l — L.
441
KVK-1190 e) Teljesülnek az eloszlásfüggvény tulajdonságai. A sűrűségfügg vény: 0, ha X < 1, f(x ) = J
2
P (5 > 2 )= |,
ha
X > 1.
P (0 < 5 < 3 ).i
14. 6.2.
a)Ha F(x) eloszlásfüggvény, akkor lim F (x )-0 és lim F (x )= l,
71
A -B -- =0 2
A + B - = l. 2
Ebből A = — és B = —. A kapott F(x) = —+ —arctgx függvény 2 71 2 71 szigorúan monoton növekvő és folytonos. így teljesülnek az el oszlásfüggvény tulajdonságai. b )A = B = i ,
c) lim F( x ) = 1, tehát A = 1. F(x) a 0-ban balról folytonos, tehát X-^H-oo
A + B - 0 . ígyB = - l . d)Az eloszlásfüggvény balról folytonos, tehát: 0 = lim F( x ) = F ( - l) = a + B • arcsin(-1) = A + B • x -> -r
A + B ~ = A + B-arcsinl = liinF(x) = F(l) = l . x^r
442
/
71
\
KVK-1190 A kapott egyenletrendszerből: A = -^ és B = —. Ezzel az A és B értékkel felírt F(x) függvény teljesíti az eloszlásfüggvény tulaj donságait. e )A = lé s B = - l.
í)A = O é sB = l.
g)A = 0 é sB = 3 .
14.6.3.
a )f(x )> O é s
1
dx
f(x)dx =
—arctgx
7 t(l + X ^ )
71
= 1. K 2 n 2y így teljesülnek a sürüségfüggvény tulajdonságai. F (x ) =
du
ff(u )d u =
—arctgu 71
,
/
\
1 1 = —+ —arctgx. 2 71 71 v ' 2 .
1 1 = —arctgx---71
71
b) f(x) > 0 és +00
0
f(x )d x = — 00
+00 f(x )d x +
+00
f(x )d x =
-0 0
0
>ie^^’‘ d x =
- e Xx
= 1.
0
Tehát teljesülnek a sűrűségfüggvény tulajdonságai. X
Ha x < 0, akkor
F (x ) =
íf(u )d u X
Ha X > 0, akkor
u
U
f(u )d u =
F (x ) =
= 0 , mert
< 0 esetén
f(u )
= 0.
A
f(u )d u +
f(u)du =
—00 X
du = = - e -A,u mert u < 0 esetén f(u) = 0 és u > 0 esetén f (u) = A,e “ .Tehát:
443
KVK-1190 F(x) =
1- e
ha
X> 0,
0,
ha
X
< 0.
c) Teljesülnek a sűrűségfüggvény tulajdonságai. 0, ha x < l , F(x) =
+00
d)f(x)>0 1í
x +-
dx =
2
U
1
O O
Jf(x)dx= jf(x)dx+ f(x)dx + Jf(x)dx =
és
1
x" —
= 1.
+ -X
2
2
így teljesülnek a sűrűségfüggvény tulajdonságai. Ha X < 0, akkor F(x) = 0, mert u < 0 esetén f(u) = 0. 0
X
H a 0 < x < l , akkor f( x )=
=
í(
f(u )d u =
X
f(u )d u +
f(u)du
x^+x u^ 1 u + - du = ----+ - U 2, _ 2^ 2^ _Joo ' 2 ’ L
mert u < 0 esetén f(u) = 0 és u > 0 esetén f(u) = u + —. Ha X > 1, akkor F(x) = 1. e) Teljesülnek a sűrűségfüggvény tulajdonságai. 0,
F(x)= 2sin2x - l ,
1,
444
71
ha
X <■
ha
— < x < —, 12 4
12
71
71
KVK-1190
14.6.4. f(x)> O és fX - c dx + 3 -c
f(x)dx =
"(x -c )^ ' _ 2 (3 -c)_ 3 -c
c+l 4 -x Idx + dx = 3 c C+l
3
+
Ic+l , X o +
L
C
,
3 -c
'( 4 - x ) ^ ■ _ - 2 (3 - c )_ c+l ,
--------+ C - 2 + ---------= 1.
14.6.5. a) A sűrűségfüggvény integrálja a számegyenesen 1. így: +00
1=
f(x )d x =
f(x )d x +
f(x)dx =
rc
dx =
c
c
2 x^
8
Tehát c = 8. Ezzel a c-vel felírt f(x) függvény nem negatív. Tehát f(x) valóban sűrűségfüggvény. Ha X < 2, akkor f(x) = 0, tehát x < 2 esetén F(x) = 0. Ha X > 2, akkor: 8
F( x ) = jf( u ) d u =
f(u )d u + Jf(u )d u = j — du = 9
0, F( x ) =
b) J
4 X
ha
1
4
1---- ha
^
dx 3 4
u
x < 2,
x > 2.
1
+ X -2
9 U-
x -1
dx = - 1In-----x +2 J 3 x+2
ln2
3
Tehát c = ln2 Ha X < 4, akkor F(x) = 0. Ha x > 4, akkor: 1 1 u -1 In du = FW =r ln2 u+2 4 ln2 u + U -2
1 In------1 = 11 + ----ln2 x+2
445
KVK-1190 c) c = 1 és 0,
F(x)=
ha
x < 0,
l - ( x + l)e“’‘, ha
X> 0 .
+00
0
dx = fe'‘ dx + e
d)
dx =
+ -e
= 2.
1
F( x ) = f - e 'l “'d u =
f - e “ du =
Ha x > 0 , akkor:
— 00 X
e) c = — . 14 0,
F(x) =
(x + l ) l - l
,
1,
ha
x < 0,
ha
0
ha
x>3.
f) Alkalmazzuk a Vx = uhelyettesítést. dx = 2u d u . így;
Ekkor
x = u^, tehát
+ ®- x
dx = 2 íe “'du
íe “'du = V 2 Í t , ahol először azt használ
tuk fel, hogy e “ páros függvény, tehát a számegyenesen vett in tegrálja a 0-tól +oo-ig vett integráljának a kétszerese, továbbá ^ re““' a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye, s ezért a számegyenesen vett integrálja 1. Tehát c =
446
1
KVK-1190 Ha X < 0, akkor az eloszlásfüggvény F(x) = 0. Ha X > 0, akkor alkalmazva a Vu = t helyettesítést, azt kapjuk, hogy: 1
F(x)=
e“‘ dt - 2
re"“ du =
V 2 TIU
0
(Ahol ® a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye.) g) Parciális integrálással kapjuk, hogy: x^lnx
XInx dx -
, 1+ e , , 4 —dx = ----- , tehát c = 1 + e^ 4 12 •X
1
Ha 1 < X < e, akkor: X
V
F(x)= ff(u)du =
1 + e'
u • Inu du =
uMnu
u^
1 + e^
1 + e"
0, F(x)=
ha
x '( 21n x - l ) + l 1 + e'
x < l,
, ha ha
1,
l< x < e , x> e.
h)Parciális integrálással kapjuk, hogy: 1 1 2
1
arccosx dx = Xarccosx
2
,
= dx = ----
VT ^2
2
71 I 2 = - .I g y c = - . 7t 2
Ha X <
, akkor F(x) = 0.
Ha - —< X < —, akkor 2
2
447
KVK-1190 F(x ) =
—arccosu du = — u arcosu - V l - u ^ 31
2
31
xarccosx
3
2
1
i) Legyen a parciális integrálás f 'g
dx =
fg I
-
fg'
dx képletében f ' = xe ^ és g = x.
a
Ekkor f = - e ^ és g' = 1. így: +00
+ Je
J x^ e ^ dx = - x e
Mivel
Xe
lim
——
2 dx.
X
^ = —5- , a L ’Hospital szabály alapján:
= lim —
x -> ± c o
X
X
x ^ ± c o
= 0. X
xe 1
I— e ^ függvény a standard normális eloszlás sűrűségV2ti: függvénye, tehát: Az
+ -00 C0
J
X
M x = l,íg y - Í V 2^
Az elmondottak alapján: c = - ^ V27r
= -x ^I2K
448
_ iv ^
és F( x ) =
1
iv ^
KVK-1190 ahol (p(x) a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye és ®(x) pedig az eloszlásfüggvénye.
14,7. Várható érték és szórás 1 4 .7 .1 .
Jelölje ^ az egy sorsjegyre jutó nyereményt! Ekkor — 10 0 0 0 + •5C Mfe) = — ---- 10 0 0 0 0 + 50000 50000 50000 így egy jegy ára legyen 14-1,5 Ft = 21 Ft.
1 4 .7 .2 .
^ binomiális eloszlású valószínűségi változó: n = 5 és p = —. Te6
hát, M(^) = np = -^ és D(^) = ^ n p ( l- p ) = ^ . 6
o
Jelölje az ríj valószínűségi változó az i-edik dobásnál dobott számot (i = 1, 2, 3, 4, 5). Ekkor t) = r|, + r |2 + ri3 + ri4 + ri5. így: M ( i, ) = M ( i , , ) + M ( r i , ) + M { i , , ) + M ( n . ) + M ( l l , ) = = 5 - M ( i , , ) = 5 - 3 , 5 = 1 7 ,5 .
= 5 ■D ’ (lli ) = 5 ■— = —
. T eh á t D ( t| ) * 8 ,7 1 .
6 6 Megjegyezzük, hogy az r\ eloszlását nehéz felírni és azután abból nehéz a várható értéket és a szórást kiszámolni. 1 4 .7 .3 .
Jelölje ^ a kihúzott golyók számát! A {^ = k} (k = 1,2,...,?) ese mény akkor következik be, ha az első (k - 1) húzásnál fehér és a k-adik húzásnál piros golyót húzunk. A megfelelő valószínűsé gek: p(^ = l ) = A = 2
^
M o
5
10 9 8
p (^ ^ 2) = —
^
M o
6
'
;
9 '
15 10 9 8 7
21
449
KVK-1190 p fe = 5) = A . l l . l l = i ^
M o
9 8 7 6
P(^ = 6 ) = A . 1 1 1 2
21
.1 .
2
10 9 8 7 6 5 105 6 5 4 3 2 1 4 1 P(^ = 7): 10 9 8 7 6 5 4 210’ Ebből egyszerű számolással a következő eredményeket kapjuk. ^
k =l
k=l
^
Dfe) =VMfe^)-(MteF = ^ » U 3 . 14.7.4. Jelölje ^ a kihúzott golyók számát! A {^ = k} (k = 1,2,...) esemény akkor következik be, ha az első (k - 1) húzásnál fehér és a k-adik húzásnál piros golyót húzunk. Ennek a valószínűsége: pfe= k)=
4 _ 2 "3" 10 “ 5 U j
r 6 ^ llO v
k-]
• így
k-i M fe)= |;k
(1)
5
k =l
Szorozzuk meg az (1) egyenlőség mindkét oldalát - -el! Ekkor: (2 ) k =2
(3^ Mivel k^5j
k-1
- ( k - 1)
Í3^
k -1
k-1
.5^
v 5v
, az ( 1) egyenlőségből a
(2)-t kivonva azt kapjuk, hogy —M(^) = ^ — 5
k=i 5
_
A mértani sorozat összegképlete alapján a jobb oldal értéke 1, így M fe )= |.
Megjegyezzük, hogy egy másik megoldási módszer található a 14.7.6. feladat megoldásánál. 450
KVK-1190 1508 F t » 2,53 F t, tehát neki 595 előnyösebb a játék. A játék akkor lesz igazságos ha Gábor a 579920 100 Ft helyett ___ » 91,66 Ft -ot fizet Pistának. 6327
14.7.5. Pista nyereségének a várható értéke
14.7.6.
1
(l-x )^
- E b bő l:
vl-X y
k =l
uu
00
. így a várható érték: M - ^ k
2 kx‘ =
k=l
(l-x y
k= l
- 2.
Megjegyezzük, hogy egy másik megoldási módszer található a 14.7.4. feladat megoldásánál. 14.7.7. a) M(^) =
Xf (x) dx =
X •—
dx =
x"
—00 +00
^3
2x '
^
+00
íx ^ • 4 dx =
3‘ X
~1 = 3.
Dfe)=VM(5')-(MfeF=^.0,87, Megjegyezzük,
hogy,
ha
x < 0 esetén f(x) = 0,
akkor
az
+00
x f(x )d x integrál akkor és csak akkor abszolút konvergens, ha —00
konvergens. b)M (^) = l és D(^) = 1. c) M
(0 - 2 és D(^) = V2.
451
KVK-1190 í ) Mfe) = ^ » 0,58 és Dfe) = ^
e)M (^ )=
x f(x )d x =
Megjegyezzük,
0,28.
dx =
hogy,
ha
=2
x < 0 esetén f(x) = 0,
akkor
az
+00
|x f (x ) d x integrál akkor és csak akkor abszolút konvergens, ha — 00 konvergens.
1 •
Mivel lim Inx = +c», ez az improprius integrál divergens, tehát a x->+oo
szórás nem létezik. -t-OU
f)
-fOD
^
■*
M (^)= íx f(x )d x = Íx -T------— fln(l + x^)
i
i
Ml+íí )
2’'
+ 00 — 00 *
Mivel lim ln(l + x^)=+oo, ez az improprius integrál divergens, x^+oo
^
^
tehát a várható érték nem létezik. Ekkor nem létezik a szórás sem. g) M f e )
=
d x = - [ln(l + J 7 l(l + X
j
71
1
4x'
Mfe^)=ío 7 l(l + X ^ ) ^ ^
71
1 1 -
]ln
452
« 03,441.
)]ó =
71
1 + X^
2 -ln2
-
7t
dx = — X - arctgx n
\2
0,280.
KVK-1190 h)Mivel az J x
dx improprius integrál konvergens és f(x) páros
-0 0
függvény, a várható érték M(^) = 0. +00
2
00
x^e"'’‘'d x =
x^e”’‘ dx = 2. így D(^)= V2 . n
i) Mivel létezik a várható érték és f(x) páros függvény, a várható érték M(^) = 0. sin^t •cost cost
2 ti
1
j) M (^)= Jxarccosxdx =
x^ - a r c c o s x 2
4 í
'
1' J__
x^
0 2 J V l-X ^
dx =
sin t •cost dt = - '(l-co s2 t)d t = - « 0,393. cost 4 8
M fe")= jx'
arccosx dx =
X -arccosx
1
+-
0 ^0 V l - x ^
dx =
~3
sin t •cost dx = - (l-co s^ t)sin td t = —. u X cost
Dfe)= í
Í-Y UJ
: 0,261.
453
KVK-1190 /
k) M(^) =
« 0,571 és D(^) =
\2
TC
v4.
1) M fe )= 2 és Dfe) =
le^ - 7
dx =
)M fe) = V 4x + 9
dx =
Mfe^)=
3 2
n-2
0,157.
« 0,441.
j
j +2-9 11 1---- 1 . 1 dt = — «1,83. 4t 2. 6 M
d
32
. =
10
D (^ )= 4 P * U 6 .
30
n)M (0 =
V71
71
Megjegyezzük, X f (x) dx
hogy,
ha
0,798.
x < 0 esetén f(x) = 0,
akkor
az
integrál akkor és csak akkor abszolút konvergens, ha
konvergens. 1
Vn 1
e ^ dx = 1, ahol felhasználtuk, hogy az
Í2 ■J — e ^ páros függvény és a standard normális eloszlás szóVn rása 1. így
454
d (0
=
=
KVK-1190
o) Mivel ^ várható értéke létezik és f(x) páros függvény M(^) = 0. f hoc x^'e ^ d x - V - - x e 2 dx = - x^e 2 J V
+00
X
+C0
:
=
—00
-0 0
+00
+3
áx
=3-yl2K
1
x^ -0 0
-0 0
/
X
2\
dx = 3-V2\Ti,
.e “
[ylln
J
Tehát D (^)= V 3. 14.7.8. a) M(ti) = 1 és D(ri) = 2.
b) M(ti) = M(2^ + 1)=2M (^)+1 = - + 1. A.
D (ll)= D (2 5 + l ) = 2 D f e ) = | .
14.8. Nevezetes folytonos eloszlások 14.8.1. a)A {|^|>0,2} esemény a fe<-0,2} és a {^ > 0,2} egymást kizáró
események összege. így: P(^ > 0,2)= P(^ < -0,2)+ P(^ > 0,2). Mivel a ^ eloszlásfüggvénye folytonos: P(^ < - 0,2) = F (- 0,2) és P(^ > 0,2) = 1- F(0,2). Az m várható értékű, és a szórású normális eloszlás F(x) eloszlásfüggvénye és a standard normális eloszlás (x) eloszlásfüggvé/
\
nye között az alábbi összefüggés áll fenn: p(x) = O a
Most m = 0 és a = 0,1. Tehát: 0,2 - 0 ' -0,2 - 0 ' = (-2) = 1-
455
KVK-1190 Az elmondottakat összefoglalva azt kapjuk, hogy: P (|^ |> 0 ,2 )= 2 -2 0 (2 ). Számológép vagy táblázat segítségével felírhatjuk, hogy 0(2) = 0,9772. így: p(|^| > 0,2) = 2 - 2 •0,9772 = 0,0456. Ezután a második kérdésre adjuk meg a választ. 0,0668 = P(^ > x ) = 1- f ( x ) . Ebből az előzőekben felhasznált öszszefüggések alapján a következő egyenlőséghez jutunk:
,
^x - 0 ^
0,1
= 0,9332.
Ismét számológép vagy táblázat segítségével felírhatjuk, hogy
b)G = 2
= 0 , 9 3 3 2 . Tehát — = 1 ,5 . így x = 0 ,1 5 . 0,1
és P(|^| < 2 ) =
c) 0,0228 = F(1 2) =(D 4 a -1 2
= 2;
0 (1 ,5 )+ < D (0 ,5 )-1 = 0 ,6247 .
12- 4 a
4 a - 1 2 = 2a;
=
1-0
^4a-12^
a = 6 és m = 4 a = 24.
d)m = 0 és P(|^| > 1)= 2(1 - 0 (0,5)) = 0,6170. e)m = 0,G = 1 és P^^|< 0,5) = 20(0,5)-1 = 0,3830. 14.8.2. Jelölje a ^ valószínűségi változó a mérési hibát! a) P(^ > 0,5) = 1- 0 (0,5) = 0,3085 . b)
P(|^| < 0,2) = P (- 0,2 < ^ < 0,2) = 0 (0,2) - 0 ( - 0,2) = = 2 0 (0,2)-1 = 0,1586.
14.8.3. Jelölje az F(x) eloszlásfüggvénjm ^ valószínűségi változó a flako nokba töltött mosószer mennyiségét és a a szórását!
456
KVK-1190 0,9876 = P(0,98 < ^ < 1,02) = F(1,02) - F(0,98) = O -
0)
rO ,98-l^
/^0,02 (\ (\n\
0 ,0 2 ^
= 20
l
= 0,9938;
ÍJ
102- í
a
-1 .Ebből:
J
0,02
= 2,5; a = 0,008 liter.
14.8.4. Jelölje az F(x) eloszlásfüggvényü ^ valószínűségi változó a repü lőgép repülési magasságának a légifolyosó közepétől való eltéré sét! P (]^ |
-O
< 50) = P
(-
-5 0 -2 0 50
50 < ^ < 50) = F(50) - F(- 50) = O
'50-20^
50
= 0 ( 0 , 6 ) - 0 ( - 1,4) = 0 ( 0 , 6 ) +
14.8.5. Jelölje az F(x) eloszlásfüggvényü és a szórású ^ valószínűségi változó a gyártmány mérethibáját! 0 ,1 3 3 6 =
12^
= (D
>
12) =
+1-0
P fe
ri2 ^
< - 1 2 ) + P (^ > 12) = F ( - 1 2 ) + 1- F ( 1 2 ) =
= 2-20
^1 2 '
. Ebből:
^ J O
^12 V
= 0,9332;
12 — = 1,5;
a = 8. Tehát:
/
p ( ] ^ | < i o ) = 2 a)
10
-1 = 0,7888.
v 8.
14.8.6. Jelölje az F(x) eloszlásfüggvényü ^ valószínűségi változó a ter mék hosszát! 0,2881 = P(0,5m < ^ < m) = F (m )- F(0,5m) = = 0 (0 ) - 0
-0,5m
0,125m = 0,8;
= 0)(0,125m)-0,5;
m = 6,4cm .
457
KVK-1190 12,8-6,4
P(^ > 2 m ) = P (^ > 1 2 ,8 ) = 1 - f (1 2 ,8 ) = 1 - 0 = 1 - 0 ( 1 ,6 )
= 0,0548.
14.8.7. Jelölje az F(x) eloszlásfiiggvényü, m várható értékű és a szórású ^ valószínűségi változó a lécek hosszát! 143-m ^ m -1 4 3 ^ = 1 -0 0,3085 = P(^ < 143) = F(143) = O [ o J ÍJ > O
m = 0 ,5 a+ 143
(1)
0,1587 = P(^> 146) = 1-F(146) = 1 - 0 O
146- m
1 4 6 -m m = 146- a
(2)
(1) és (2)-ből: m = 144 és a = 2. P(l43,5 < ^ < 144,5) = F(1 4 4 ,5 )-F(1 43,5) = O -
143,5-144
= 0(0,25) - 0(-0,25) = 0,1974.
, ha
14.8.8. A sűrűségfüggvény: f(x) =
0,
Az eloszlásfüggvény: F(x) =
1 < X < 4,
máshol. 0, x -1 1,
458
144,5-144
ha -, ha ha
X < 1, 1 < X < 4, X > 4.
KVK-1190 A várható érték: M(^) = 2,5. A szórás: D(^) = 14.8.9. Tudjuk, hogy ha ^ az (a;b) intervallumon egyenletes eloszlású, akkor:
és így a feladat feltételei alapján a következő egyenletrendszert ír hatjuk fel: a + b = 8; (b - a)^ = 48, amelyből a = 4 - 2yÍ3, b = 4 + 2^J3 . Tehát a ^ sűrűségfüggvénye f(x) a következő: f(x) =
-V ,
h a 4 -2 V 3 < x < 4 + 2V3,
aS
0,
máshol.
Az eloszlásfüggvény F(x) pedig: 0,
ha - ( 4 - 2V3 )
F(x) =
, ha
X < 4 - 2V3, 4 - 2V3 < X < 4 + 2V3,
4V3 1,
ha
X > 4 + 2V3.
Végül P(3 < ^ < 5) = F(5) - F(3) - ^ 4v3
_ 3 (4 2 4 Í ) ^ 4v3
2V 3 14.8.10.
a) Annak a valószínűsége, hogy ^ értékének első tizedes jegye a 3-as: P(0,3 < ^ < 0,4) = 0,1. b)Mivel a (0;1) intervallumban ugyanannyi szám van amelynek az első tizedes jegye a 3-as, mint amelynek az ötödik tizedes jegye a 3-as, annak a valószínűsége, hogy ^ értékének az ötödik tize des-jegye a 3-as szintén 0,1. 459
KVK-1190 14.8.11. Minden esetben először felírjuk az r) valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvényét, majd ezt deriválva kapjuk meg az f(x) sűrű ségfüggvényét. Az F(x) felírásához a ^ valószínűségi változó E(u) eloszlásfüggvényét használjuk fel, amely a következő: 0, ha u < -1, u+1 E(u) = ------,
1 ha
- l ,< u < /lI.
ha
u > 1.
1,
a) F(x) = P ( t | < x ) = P ( 2 ^ - l < x ) = P
x+1
Ez a - ^ eloszlásfüggvényét felhasználva - a következő alakban írható fel: i, ^ + 1 ^ -1,1 h a ------<
0,
x+1 x+1
+1
, ha
, x+1 , -1 < ------< 1,
1
x +1 , ------>1.
ha
1,
Tehát egyszerű rendezés után megkapjuk az F(x)-et, majd ezt deriválva f(x)-et; 0, ha X < -3, F(x) =
x+3 1,
ha
- 3 < X < 1,
ha
x>l.
—, ha - 3 < x < l , f(x) = 4 0, máshol. Megjegyezzük, hogy a kapott eredmény azt mutatja, hogy r\ egyenletes eloszlású a (-3;1) intervallumon.
KVK-1190 b) F(x) = P(ti < x ) = P(j^| < x) = P (- X < ^ < x) = E(x) - E ( - x ) ,
ha 0 < x < 1. F(x) = 0, ha X < 0, továbbá F(x) = 1, ha x > 1. -----^ »
Mivel 0 < X < 1 esetén E(x) - E (-x ) = a felírtak alapján: f(x) =
1, ha 0,
0 < X < 1,
máshol.
Megjegyezzük, hogy a kapott eredmény azt mutatja, hogy r\ egyenletes eloszlású a (0;1) intervallumon. c) F(x) = P ( r i < x) = P (^ ^ < x) =
P (-
Vx < ^ < Vx )=
,e(V ^)- e ( - V ^), ha 0 < X < 1. F(x) = 0, ha x < 0, továbbá F(x) = 1, ha x > 1. Mivel 0 < X < 1 esetén E(x) - E (-x) = 1
a felírtak alapján: f(x) =
ha
Vx +1
- V x +1
2
2
0 < X < 1,
2 -V Í’
0,
máshol.
d) F(x) = P(t| < x ) = P(arcsin^ < x) = P(^ < sin x) = E(sin x ) ,
ha - ^ <
X
< ^ . F(x) = 0, ha
X
<
7C
továbbá F(x) = 1, ha x > —. H a - —< X < —, akkor E(x) = ^ ^ , tehát: 2 2 2 cos X , 71 n ------ , ha — < x < —, f(x) = 2 2 2 máshol. 0,
461
KVK-1190 14.8.12. Jelölje a várakozási időt a X paraméterű exponenciális eloszlású ^ valószínűségi változó. Ekkor 0,1 = P(^ > 3) = e“^^, tehát e“" = \IÖ J és így P(^ < l ) - l - e “^ = l - ^ Ö J « 0,536 . 14.8.13. Az {ri > x} esemény azt jelenti, hogy mind a 10 alkatrész élet tartama x-nél nagyobb. Annak a valószínűsége, hogy egy m pa raméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó x-nél nagyobb e“”’‘ . Mivel az alkatrészek élettartamai egymástól füg getlenek, a megfelelő események valószínűségeit össze lehet szorozni, tehát ha F(x) jelöli az r\ eloszlásfüggvényét, akkor: F(x) = 1- P(ri > x) = 1- e“””‘ •
•... •
ha x > 0 és F(x) = 0, ha
X
< 0.
így az T| is exponenciális eloszlású valószínűségi változó, amelynek a paramétere: m = m, + m 2 + . . . + m,^. Tehát az ex ponenciális eloszlás ismert tulajdonságait felhasználva azt kap juk, hogy az r\ sűrűségfüggvénye 0, ha x<0 és m -e”™, ha x>0. Várható értéke és szórása is — . m
462
KVK-1190
15.MATEMATIKAI STATISZTIKA 15.1. A statisztikai minta jellemzői 15.1.1.Vonalak húzásával számoljuk össze egy segédtáblázatban az egyes osztályokba eső adatok számát! Vonalak
Magasság (cm) 1 1 9 < h < 124 1 2 4 < h < 129 1 2 9 < h < 134 1 3 4 < h < 139 1 3 9 < h < 144
1 Ili lllllll Ilin
A gyakorisági eloszlás: Magasság (cm) 1 1 9 -124 1 2 4 -129 1 2 9 -1 3 4 1 3 4 -1 3 9 1 3 9 -1 4 4
Osztályközép 121,5 126,5 131,5 136,5 141,5
Gyakoriság 1 4 7 5 3
15.1.2. gyakoriság 12
- -
9—
5 -
27 126 135 144 153 162 171 180
idő(mp)
463
KVK-1190 15.1.3. a ) X = 4 ,1 6 ;
Sn ~ 2 ,4 0 9 .
b ) X = 7 ,1 6 ;
2 ,4 0 9 .
15.1.4. a) Xi
15
16
17
18
19
fi
1
4
5
4
2
N = X f,= 1 6 ; i=l
X fiX ,= 2 7 4 ; i= l
X f,X f= 4 7 1 2 . i=l
A megfelelő képletekbe való behelyettesítéssel: X = 17,125; 8^=1,234375; S„« 1,111.
b )N = 2 f | = 1 5 ; i=l
=80; i=l
i=l
A megfelelő képletbe való behelyettesítéssel: X = 5,3; S^=6,48; S„^ 2,547. 15.1.5. X «17,8; tehát átlagosan 18 perc körüli idő alatt érnek be az isko lába. gyakoriság 16 +
10-
2 --
I I I I
464
10
14
20
24
idő (perc)
KVK-1190 15.1.6. Pontszám 5 0 - 60 6 0 - 70 7 0 - 80 8 0 - 90 9 0 -1 0 0
Xi 55 65 75 85 95
fiXi 825 1170 2775 1700 950 7420
fi 15 18 37 20 10 1 00
I
— 7420 X= =74,2. Tehát a matematika szigorlaton átlagosan 74,2 pontot értek el a legalább elégségesre vizsgázó hallgatók.
15.1.7. Jelölje N = ^ f ; =100, i= l
Osztályok
Xi
fi
fiXi
fiXf
61-63 63-65 65-67 67-69 69-71
62 64 66 68 70
5 18 42 27 8 100
310 1152 2772 1836 560 6630
19220 73728 182952 124848 39200 439948
I
465
KVK-1190 X = - ^
100
S*"' "
= 6 6 ,3 ;
= —
100
)
*
15.1.8. ^ f i X , =31695; i=l
- 4 3 9 9 4 8 - 6 6 ,3 '= 3 ,7 9 ;
S„~l,95.
•
=734312,5. i=l
X « 22,23; S>4,6; Cv«0,2. A szállóvendégek átlagéletkora 22 év, és közepes változékonyság állapítható meg az életkorukban. 15.1.9. Az átlagos szénatermés hektáronként 70,4 q, a szórás 21,3 q.
15.2. Konfidencíamtervallum várható értékre 15.2.1.p = 0,05;
o ( u p ) = l - ^ = 0,975; Up=l,96.
A konfidenciahatárok: X-u„ ~
=1 4 - 1, 9 6 1 2 , 0 4
X + u„ —
= 14+ 1 , 9 6 1 5 , 9 6
A konfidenciaintervallum: (12,04; 15,96). 15.2.2. (1) X - 1,96 • -7 ^ = = 8,182
(2) X + 1,96 •- - ^ = 8,298 V200 Adjuk össze (1 )-et és (2)-t: 2X = 16,48. Tehát a minta átlaga: X = 8,24. Vonjuk ki (2)-böl (l)-t: 2• 1,96 - 7^ = = 0,116,ahonnan (5-0,42. yflÖO Tehát a szórás közelítően 0,42 . Határozzuk meg a 98 %-os konfidenciaintervallumot!
466
KVK-1190 p = 0,02; u •
» 2, 32 •
Up
= 2,32.
~ 0,0689.
^í^ ^Í2ÖÖ A konfidenciaintervallum: (8,171; 8,309). 15.2.3.(172,31; 173,33). (Nagy minta volt!) 15.2.4. Nagy minta (n > 30) van, ezért normális eloszlással közelíthetünk. 0(tp)
= 0,985;
tp = 2 , 1 7 ;
a = l,2;
tp --^ «0 ,238 .
Vn
A konfídenciaintervallum: (8,162; 8,638). 15.2.5. (4,7; 5,56). (Kis minta volt!) 15.2.6. Legalább 97 elemű mintát kell venni.
15.3. Statisztikai próbák 15.3.1. Ebben a feladatban egymintás u-próbát alkalmazunk. a) Kétoldali próbát alkalmazunk. p = 0,01; o ( up) = 1 *
.1
•
-1
“ 0 , 9 9 5 ; a kritikus érték: Up = 2,58. r-X -m „
^ 197-200
,
A probastatisztika: u = V n ----------= 4 -------------- -- -4 . 3
Mivel |u| = 4 > Up = 2,58; ezért a Ho hipotézist 1 %-os szignifikanciaszinten elvetjük. b)u ~ -0,7; a Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elfogadjuk. c) Egyoldali próbát alkalmazunk. p = 0,05; o( u p ) = 1 - p = 0,95; a kritikus érték: Up = 1,64. A próbastatisztika: u =
* -1,565.
467
KVK-1190 Mivel u ~ -1,565 > -Up = -1,64; ezért 5 %-os szignifikanciaszinten elfogadjuk a Ho hipotézist. d)u ~ 3,536; a Ho hipotézist 1 %-os szignifikanciaszinten elvetjük. 15.3.2. Ho: nio = 1600; H i : nio 1600; u = -2,5; így5 %-os szignifikan ciaszinten Ho-t elvetjük, a villanykörték élettartama megváltozott. Az 5 %)-os szignifikanciaszint azt jelenti, hogy 0,05 annak a való színűsége, hogy helytelenül döntöttünk Ho elvetésekor. 15.3.3. Ho : mo = 1506,5 kg; Hi : mo > 1506,5 kg. Egyoldali próbát alkalmazunk. U p=l,64; u=: 2,488; u ~ 2,488 > Up = 1,64. A Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elvetjük. A minta alapján feltételezhetjük tehát, hogy a gép túlsúlyos bálákat állít elő. p = 0 ,0 1 ;
up = 2 ,5 8 ;
U p ~ « 0 ,3 1 1 .
Vn A konfidenciaintervallum: (1506,49; 1507,11). 15.3.4. a) A cipók 10,6 %>-a lesz 475 grammnál kevesebb tömegű és 6,7 %-a 530 grammnál nagyobb tömegű.
b)Egyoldali u-próbát kellett alkalmaznunk, u = -2,5. 5 %-os szinten szignifikáns az eltérés, ezért feltételezhetjük, hogy a teljes kész letnél csökkent a tömeg átlagos értéke. 15.3.5. Ebben a feladatban egymintás t-próbát alkalmazunk. a)Egyoldaii próbát alkalmazunk, nagy minta miatt a kritikus érték meghatározásánál közelíthetünk normális eloszlással.
S^=^^«151,4S, *12,31. 64 p = 0,02; o ( t p ) = 1 - p = 0,98; a kritikus érték: tp = 2,06. A ^1• •, 1997-2000 r-r A probastatisztika: t = -----------------v64 » -1,95. 12,31
468
KVK-1190 t -1,95 > -tp = -2,06, tehát 2 %-os szinten nincs szignifikáns eltérés, ezért a Ho hipotézist elfogadjuk. b) Kétoldali t-próbát alkalmazunk. 0,000336, S„«0, 0183.
— -^|9 » -3,601. 0,0183 p = 0,01; tp = 3,25 (szabadságfok: 9). t « 3,601 > tp = 3,25, tehát 1 %-os szinten az eltérés szignifikáns, A próbastatisztika; t »
ezért a Ho hipotézist elvetjük.
c) t ~ 2,152; a Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elvetjük. 15.3.6. t ~ -0,84; 5 %-os szinten megállapíthatjuk, hogy a tojásszállít mány nem tér el szignifikánsan a 7 grammtól. 15.3.7. H o: mo = 500; Hi : mo < 5 0 0 ; p = 0,05; szabadságfok: 9; tp= 1,833; t « -2,35. Mivel t ~ -2,35 < -tp = -1,833; ezért a Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elvetjük, tehát a gépről feltételezhetjük, hogy kevesebbet tölt az üvegekbe. 15.3.8. Ebben a feladatban kétmintás u-próbát alkalmazunk, a) Kétoldali próbát alkalmazunk. p = 0 ,0 5 ;
u=
U p = l,9 6 ;
X ,-X 2 _ 2 2 ^1 + — ^2 Hl
5400-6000 900^
100
« -4 ,4 6 .
1000'
-I--
100
u « 4,46 > Up = 1,96, tehát 5 %-os szinten szignifikáns különbség van a két alapsokaság mi és mi várható értéke között, ezért a Ho hipotézist elvetjük. b)Egyoldali próbát alkalmazunk, u ~ 1,32; tehát 5 %-os szinten nincs szignifikáns eltérés mi és ma között, a Ho-t elfogadjuk. c)Egyoldali próbát alkalmazunk, u ~ -1,402; tehát 2%-os szinten nincs szignifikáns eltérés mi és nij között, ezért a Ho hipotézist el fogadjuk. 469
KVK-1190 15.3.9. Ebben a feladatban kétmintás t-próbát alkalmazunk. a) Kétoldali próbát alkalmazunk, t ~ 2,423; a H q hipotézist 2 %-os szignifikanciaszinten elvetjük, az eltérés szignifikáns. b) Egyoldali próbát alkalmazunk, a nagy minta miatt a kritikus érték meghatározásánál normális eloszlással közelíthetünk. i 2 n i . T? 1 1 C. o 2 X = 110; S;=121; Y = 115; S^=81; 72-121 + 68-81 ^2 = ------------------------: ^ 1*^1 "^^2*^2 n, + n 2 - 2 72 + 6 8 - 2
a
a « 1 0 ,1 5 ;
tp = 2 ,3 2 ;
X-Y
t= a*
* 1 0 3 , 0 4 ;
110-115
1 1 + ■ n, n
1 0
, 1 5 - j
—
72
+
^
68
Mivel t ~ -2,913 < -tp = -2,32; ezért a Ho hipotézist 1 %-os szig nifikanciaszinten elvetjük, feltételezhetjük, hogy mi < m2. 15.3.10. Kétmintás u-próbát alkalmazunk. H„:mi=m2;
H , :m i?s:m 2 .
p = 0,05; Up=l,96; X, - X , u= -« -2 ,4 9 . Cf.
]jn, u
+ n.
s 2, 49>u =1,96; tehát 5 %-os szinten szignifikáns az elté
rés, ezért a Hqhipotézist elvetjük. 15.3.11. Kétmintás t-próbát alkalmazunk. H j , : m i = m 2; H, :m, < m j ; p = 0,05; szabadságfok: 15; tp =1,753; a » 2,329; t=-
X. - X , ^ - 1 , 1 3 .
1
470
1 + — n.
KVK-1190 Mivel t ~ - 1 , 1 3 > -tp = - 1 , 7 5 3 , ezért a Ho hipotézist elfogadjuk, feltételezhetjük tehát hogy az A egyetemen a sportoló fiúk nem alacsonyabbak, mint a B egyetemen sportolók. 15.3.12. x^-próbát alkalmazunk.
i=i
nPi
npi = 2 00 ,
ezért
= ^ ^ ( f i - 2 0 0 ) " =1,41; 2 UU
p = 0,05; szabadságfok: 6 - 1 = 5 ; %l=l 1,07. Mivel
=l,41
szignifikanciaszinten elfogadjuk, tehát a kockát szabályosnak tekinthetjük. 15.3.13. H „ : P i = ^ X^==10;
i = l, 2 , ..., 1 2 .
p = 0,05; szabadságfok: 11; Xp= 1 9 ,6 75 .
A Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elfogadjuk, tehát nincs szignifikáns eltérés a várható 12 paraméterű egyenletes eloszlástól. 15.3.14. x^ = 4,5; a Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elvetjük, tehát feltételezhetjük, hogy az érme nem szabályos. 15.3.15. Jelentse ^ a négy érme feldobásánál a fejdobások számát! Ho: A ^ változó n=4, p=0,5 paraméterű binomiális eloszlású. Pk = P fe = k) =
1
1
k = 0, 1, 2,3,4.
X =4,367; p = 0,05; szabadságfok:4; Xp =9,488.
Mivel x^ = 4,367 <%l = 9,488 ; ezért a Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elfogadjuk, tehát feltételezhetjük, hogy az
471
KVK-1190 érmék szabályosak. 15.3.16. X = 2,3; Ho; az eloszlás X = 2,3 paraméterű Poisson-eloszlás.
Pk =P(^ = k) = e - » . ( 2 , 3 y k!
k
0
npk
10
1
2
k = 0,l,2,... 3
5
6
7
5,4
2,1
0,7
4
23,1 26,5 20,3 11,7
8 vagy több 0,2
Az utolsó négy értéket összevonjuk, mert npk > 10 nem teljesül (így 6 osztály lesz csak). *4,275; p = 0,05; szabadságfok;4; Xp=9,49. Mivel
= 4 , 2 7 5 < Xp = 9 , 4 9 ; ezért a Ho hipotézist 5 %-os
szignifikanciaszinten elfogadjuk, tehát a Poisson-eloszlás fel tételezhető. 15.3.17. Ho: a hibaeloszlás m=0, a =5 paraméterű normális eloszlású. A normális eloszlást a megfelelő intervallumokon diszkrét el oszlással helyettesítjük:
Pi = P ( 4 ( i - 5 ) < Ő < 4 ( i - 4 ) ) = 0
4(i-4)
5
-O
4(í-5)
5
i=l,2,...,8
Tehát Pl = 0(-2,4) - 0(-3,2) = (1 - 0,9918) - (1 - 0,9993) = 0,0075; P2 = 0 (-1 ,6 )- 0 (- 2 ,4 ) = 0,0466; p3 = 0,1571; p4 = 0,2881; P5 = 0,2881; p6 = 0,1571; p7 = 0,0466; pg = 0,0075. A próbastatisztika:
472
(f,-1 5 0 0 p i)’
i=l
1500pi
KVK-1190 (fi-1500p,)^
i 1 2 3 4 5 6 7 8 S
fi
1500pi
(fi-1 5 0 0 p j^
1500pi
17 63 254 446 422 208 71 19 1500
11,25 69,90 235,65 432,15 432,15 235,65 69,90 11,25
33,06 47,61 336,72 191,82 103,02 764,52 1,21 60,06
2,94 0,68 1,43 0,44 0,24 3,24 0,02 5,34 ^ ' =14,33 ......
npi = ISOOpi >10 minden i-re, tehát a közelítés biztos jó lesz. p = 0,01; szabadságfok : 8 - l = 7;Xp=18,475. Mivel
= 14,33 < Xp = 18,475 ; ezért a H qhipotézist 1%-os
szignifikanciaszinten elfogadjuk, a hibaeloszlást normális eloszlásúnak tekinthetjük, azaz feltételezhetjük, hogy a gép jól működött.
15.4. Lineáris korreláció és a regressziós egyenes 15.4.1.
a) k 1 2 3 4 5 6 7 8 S
Xk 1 3 4 6 8 9 11 14 56
Yk 1 2 4 4 5 7 8 9 40
Xk 1 9 16 36 64 81 121 196 524
XkYk 1 6 16 24 40 63 88 126 364
Yk 1 4 16 16 25 49 64 81 256
473
KVK-1190 X =^
= 7;
8
Y =^
8
= 5;
- n X ' = 5 2 4 - 8 - 4 9 = 132;
Qx k=l 8
_
_ _
Qxy = E ^ k Y k - n - X - Y = 3 6 4 - 8 - 7 - 5 = 8 4 ; k =l
a=
Qxy
84
« 0 ,6 4 ;
b = Y -a X « 0 ,5 5 .
132 így a regressziós egyenes egyenlete: y = 0,64x +0,55. Qx
y
10
y
1 (\
✓í
X '
-----------------------
10
14
X
b)A regressziós egyenes egyenlete: 0,186x + 11,704. c )X = 84,583; Y = 46,083;
n = 12.
- n X ' «4814,9167;
Qx k =l
Q.y*Sx,y,-n.XY»2113,4167; k=l
a =
^ - 0 ,4 3 8 9 ;
b = Y-a-X«8,9597.
A regressziós egyenes egyenlete (y az x függvényeként): y = 0,44x + 8,96. Q y = É y k - n Y ^ « 1322,9167;
k=l
474
KVK-1190 a = -^ « l,5 9 7 5 ;
b
= X-a-Y«10,9652.
Qy
A regressziós egyenes egyenlete (x az y függvényeként): x = l,6 y +10,97. 15.4.2. a)r
~ 0,823. Szoros pozitív korreláció van.
b)r ~ 0,9899. Nagyon szoros pozitív korreláció van. c )X = ^
= 37,5; Y = — = 60,16; 6 6 Q , = 8 8 7 5 - 6 - 3 7 , 5 ' =437,5; = 12905 - 6 •37,5 • 60,16 = -632,5 ;
Qy = 22641 - 6 • 60,16' = 920,83 ; r=
- « -0,9965 . Nagyon szoros negatív korreláció van.
VQxQy d)r ~ 0,8374. Szoros pozitív korreláció van. 15.4.3. _
_ a ) X = 5; Y = 14,41; n = 10.
Q,
- n X ' =13,2; k=l
= J y ^ - n - Y ' =21,789; k=l
Q . , = É > ‘ i y i - " X Y = 1 3, 7. k=l
r=-
» 0,81. Szoros lineáris korreláció van.
VQ.Qy b)a = ^ » l , 0 4 ;
b= Y -aX »9,22.
Qx
A regressziós egyenes egyenlete: y = l,04x+9,22. 475
KVK-1190
c) 4 hetes súly: x = 5 kg; 8 hetes súly;
y == 1,04-5 + 9,22 ~ 14,42 kg.
15.4.4. a)r
~ 0,919. Szoros lineáris korreláció van.
b)A regressziós egyenes egyenlete: y = 5,76x - 17,83. 15.4.5.
a) A regressziós egyenes egyenlete: y = 0,66x + 29,13. b) A matematika dolgozata várhatóan 92 pontos lenne. 15.4.6.
~ 0,82. Szoros pozitív korreláció van a talaj humusztartalma és a burgonya terméseredménye között.
a)r
b)A regressziós egyenes egyenlete: y = 0,12x - 20,46.
476
KVK-1190
TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ................................................................................ 3 1.....KOMPLEX SZÁMOK.................................................. 5 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
2.
Komplex számok ábrázolása..........................................................5 Áttérés a komplex szám egyes alakjai között.............................. 6 Műveletek különféle alakú komplex számokkal.......................... 7 Vegyes feladatok.............................................................................9
LINEÁRIS ALGEBRA............................................... 13 2.1. Mátrixok........................................................................................ 13 2.2. Determinánsok..............................................................................16 2.3. Lineáris egyenletrendszerek.........................................................17
3. VEKTORGEOMETRIA............................................. 22 3.1. Alapfogalmak, alapműveletek.....................................................22 3.2. Vektorok szorzása.........................................................................23 3.3. Vektorok geometriai alkalmazása............................................... 25
4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK............ 28 4.1. Sorozatok...................................................................................... 28 4.2. Egyváltozós valós függvények elemi vizsgálata........................ 29
5.
EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA................................. 34 5.1. Differenciálhányados és deriváltfüggvény.................................34 5.2. A differenciálszámítás alkalmazásai........................................... 37
6.
EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZATLAN INTEGRÁLJAI......................... 42 6.1. Alapintegrálokkal megoldható feladatok....................................42
477
KVK-1190 6. 2 . 6 .3 .
f (ax + b ) d x f(x )]
(a , b e R , a
f'(x )d x
(aeR ,
O) típ u sú f e la d a t o k ......................... 4 3 a^^-l)
típ u sú fe la d a to k .................... 4 4
6 .4 .
■ f'(x ) ^ d x típ u sú fe la d a to k ......................................................................... 4 5
6 .5 .
f (g(x)) g' (x) dx típusú feladatok............................................. 46
6.6. 6.7. 6.8. 6.9.
Parciális integrálással megoldható feladatok............................. 46 Racionális törtfüggvények integrálása........................................47 Integrálás helyettesítéssel.............................................................47 Vegyes feladatok...........................................................................49
f(x)
7. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZOTT INTEGRÁLJAI
51
b
7.1. Alapintegrálokra és az
f(g(x)) g'(x)dx = F(g(x))^ .............51 a
7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.
Parciális integrálással megoldható feladatok............................. 53 Helyettesítéssel megoldható feladatok........................................54 Vegyes feladatok...........................................................................54 Határozott integrálok alkalmazásai............................................. 55 Improprius integrálok................................................................... 58
8. KÉTVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK............. 61 8.1. Kétváltozós valós függvények értelmezése................................61 8.2. Kétváltozós valós függvények differenciálszámítása................62 8.3. Kétváltozós valós függvények differenciálszámításának alkalmazásai.................................................................................64 8.4. Kétváltozós valós függvények integrálszámítása...................... 66
9. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK.. 70 9.1. Alapfogalmak................................................................................70 9.2. Elsőrendű differenciálegyenletek................................................ 70 9.3. Másodrendű differenciálegyenletek............................................ 73
478
KVK-1190
10. LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ............................ 76 10.1. Laplace és inverz Laplace-transzformált....................................76 10.2. Lineáris differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval...........................................................77
11. VÉGTELEN SOROK...................................................80 11.1. Számsorok..................................................................................... 80 11.2. Hatványsorok................................................................................81 11.3. Fourier-sorok.................................................................................83
12. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS................................... 88 12.1. Lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása......................... 88 12.2. Lineáris programozás alapfeladata............................................. 88 12.3. Kétváltozós lineáris programozási feladat g r a f i k u s m e g o l d á s a ......................................................................................... 9 0
13. VEKTORANALÍZIS................................................... 92 13.1. Vektor-skalár függvények............................................................92 13.2. Skalár-vektor függvények............................................................95 13.3. Vektor-vektor függvények.........................................................100
14. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS................................. 106 14.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8.
Eseményalgebra..........................................................................106 Valószínűségek kombinatorikus kiszámítási módja................108 Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel......................110 Feltételes valószínűség és függetlenség....................................111 Diszkrét valószínűségi változók és nevezetes eloszlások....... 113 Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény.....................................116 Várható érték és szórás.............................................................. 120 Nevezetes folytonos eloszlások................................................ 123
15. MATEMATIKAI STATISZTIKA........................... 126 15.1. A statisztikai minta jellemzői.....................................................126 15.2. Konfidenciaintervallum várható értékre...................................128 15.3. Statisztikai próbák...................................................................... 129 15.4. Lineáris korreláció, regressziós egyenes...................................134 479
KVK-1190
MEGOLDÁSOK................................................................139 1.....KOMPLEX SZÁMOK...............................................141 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
2.
Komplex számok ábrázolása......................................................141 Áttérés a komplex szám egyes alakjai között.......................... 145 Műveletek különféle alakú komplex számokkal...................... 148 Vegyes feladatok.........................................................................153
LINEÁRIS ALGEBRA..............................................161 2.1. Mátrixok...................................................................................... 161 2.2. Determinánsok............................................................................166 2.3. Lineáris egyenletrendszerek.......................................................168
3. VEKTORGEOMETRIA............................................179 3.1. Alapfogalmak, alapműveletek...................................................179 3.2. Vektorok szorzása...................................................................... 181 3.3. Vektorok geometriai alkalmazása............................................. 184
4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK.......... 189 4.1. Sorozatok.................................................................................... 189 4.2. Egyváltozós valós függvények elemi vizsgálata...................... 191
5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA............................... 203 5.1. Differenciálhányados és deriváltfüggvény...............................203 5.2. A differenciálszámítás alkalmazásai......................................... 212
6. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZATLAN INTEGRÁLJAI....................... 235 6.1. Alapintegrálokkal megoldható feladatok..................................235 6.2. f (ax + b)dx (a, b e R, a tí: O) típusú feladatok.................. 238 6.3.
480
f' (x)dx (a € R, a ^ - l ) típusú feladatok..............241
KVK-1190 6.4.
f-(x) f(x)
dx típusú feladatok........................................................245
6.5.
|f(g(x))g'(x)dx típusú feladatok............................................ 246
6.6. 6.7. 6.8. 6.9.
Parciális integrálással megoldható feladatok........................... 247 Racionális törtfüggvények integrálása......................................251 Integrálás helyettesítéssel...........................................................256 Vegyes feladatok........................................................................ 260
7. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZOTT INTEGRÁLJAI
267
b
7.1. Alapintegrálokra és az
12. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.
8.
J
f (g(x)) g'(x)dx = [F(g(x))] I .......... 267
a
Parciális integrálással megoldható feladatok........................... 272 Helyettesítéssel megoldható feladatok......................................274 Vegyes feladatok.........................................................................276 Határozott integrálok alkalmazásai........................................... 278 Improprius integrálok................................................................. 284
KÉTVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK........... 291 8.1. Kétváltozós valós függvények értelmezése............................. 291 8.2. Kétváltozós valós függvények differenciálszámítása..............292 8.3. Kétváltozós valós függvények differenciálszámításának alkalmazásai...............................................................................299 8.4. Kétváltozós valós függvények integrálszámítása.................... 305
9.
KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 316 9.1. Alapfogalmak..............................................................................316 9.2. Elsőrendű differenciálegyenletek.............................................. 317 9.3. Másodrendű differenciálegyenletek.......................................... 327
10. LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ.......................... 338 10.1. Laplace- és inverz Laplace-transzformált.................................338 10.2. Lineáris differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval.........................................................343
481
KVK-1190
11. VÉGTELEN SOROK................................................ 352 11.1. Számsorok................................................................................... 352 11.2. Hatványsorok..............................................................................357 11.3. Fourier-sorok...............................................................................365
12. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS................................. 381 12.1. Lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása....................... 381 12.2. A lineáris programozás alapfeladata......................................... 381 12.3. Kétváltozós lineáris programozási feladat g r a f i k u s m e g o l d á s a .......................................................................................3 8 3
13. VEKTORANALÍZIS.................................................388 13.1. Vektor-skalár függvények..........................................................388 13.2. Skalár-vektor függvények..........................................................394 13.3. Vektor-vektor függvények.........................................................407
14. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS................................. 421 14.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8.
Eseményalgebra..........................................................................421 Valószínűségek kombinatorikus kiszámítási módja................423 Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel...................... 429 Feltételes valószínűség és függetlenség....................................432 Diszkrét valószínűségi változók és nevezetes eloszlások....... 434 Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény.....................................440 Várható érték és szórás.............................................................. 449 Nevezetes folytonos eloszlások................................................ 455
15. MATEMATIKAI STATISZTIKA........................... 463 15.1. 15.2. 15.3. 15.4.
482
A statisztikai minta jellemzői.....................................................463 Konfidenciaintervallum várható értékre...................................466 Statisztikai próbák...................................................................... 467 Lineáris korreláció és a regressziós egyenes........................... 473
