PAB - 2013
MATEMÁTICAS Elaborado por: CARLOS BURGOA MOLINA Coordinador de la materia de Matemáticas U.A.G.R.M. SANTA CRUZ DE LA SIERRA – BOLIVIA
Prohibida la reproducción total o parcial de la presente obra sin el permiso del autor y del Departamento de Admisiones Estudiantiles de la U.A.G.R.M.
PAB - 2013
PAB - 2013
PRESENTACIÓN El presente texto de EJERCICIOS, estudiantes
M A TE T E M Á TI TI C A S
GUÍA PRÁCTICA DE
es un material de apoyo para los docentes y del
PAB VERANO 2012-13 de la Universidad
Autónoma “Gabriel René Moreno”, para consolidar y fortalecer las bases de la secundaria, considerados necesarios para la admisión a nuestra superior casa de estudios. Por la corta duración del PAB el contenido ofrece ejercicios resueltos y propuestos con sus respectivos formularios, desde conjuntos, aritmética, exponentes y radicales, valor numérico, signos de agrupación, operaciones con polinomios, productos notables,
factorización,
fracciones
algebraicas,
ecuaciones,
sistemas de ecuaciones, inecuaciones, logaritmos, trigonometría y
geometría plana. A. CARLOS BURGOA MOLINA COORDINADOR PAB/PSA - U.AG.R.M.
PAB - 2013
ÍNDICE Signos y símbolos ……………………………………………………
352
Formulario Básico ……………………………………………………
353
Conjuntos ……………………………………………………………….
359
Aritmética ……………………………………………………………….
363
Valor Numérico ……………………………………………………….
363
Signos de Agrupación ………………………………………………
363
Ejercicios de Autoevaluación 1 ………………………………..
366
Binomio de Newton ………………………………………………..
368
Teorema del Resto …………………………………………………
368
Operaciones con Polinomios …………………………………..
368
Ejercicios de Autoevaluación 2 ………………………………..
371
Productos Notables …………………………………………………
373
Factorización …………………………………………………………..
373
Ejercicios de Autoevaluación 3 ………………………………..
379
Fracciones Algebraicas …………………………………………….
381
Ejercicios de Autoevaluación 4 ………………………………..
382
Ecuaciones Lineales …………………………………………………
384
Ejercicios de Autoevaluación 5 ………………………………..
386
Ecuaciones no lineales …………………………………………….
389
Ejercicios de Autoevaluación 6 ………………………………..
390
Inecuaciones ……………………………………………………………
393
Ejercicios de Autoevaluación 7 ………………………………..
394
PAB - 2013
Logaritmos ………………………………………………………………
398
Ejercicios de Autoevaluación 8 ………………………………..
404
Trigonometría …………………………………………………………
411
Ejercicios de Autoevaluación 9 ………………………………..
417
Geometría Plana ……………………………………………………..
424
Ejercicios de Autoevaluación 10 ………………………………
425
Olimpiadas del Saber ………………………………………………
435
Bibliografía ………………………………………………………………
445
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=± ≅× !< ≤≈ ∪∅ %∁ ℉∴ ∆∈ ∃ ⟺∧ Nℚ
SIGNOS Y SÍMBOLOS Igual que Más o menos Aproximadamente igual Signo de multiplicación Factorial Menor que Menor o igual que Casi igual (asintótico a) Unión de conjuntos Conjunto vacío Tanto por ciento Complemento Grados Fahrenheit Por lo tanto Incremento Pertenece a
Existe
Alfa
Theta
@
Arroba
Equiy valente Númer o s Nat u r a l e s Números Racionales
≠~ ∞÷ ≡> ≥∀ ∩° ℃ ∇∉ ∄ ⟹∨ ℤℝ
Diferente de
Aproximadamente
Infinito
‰
#
Signo de división Idéntico Mayor que Mayor o igual que Para todo Intersección de conjuntos Grados Tanto por mil
Derivada parcial Grados centígrados Número Decremento
No pertenece a No existe
Beta Pi
ConjEntouncnteos Universal oNúmeros Enteros Números Reales
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⊂⅀ Sumat Está inocrluiaido o es subconjunto ∕⊃ ContTal queiene o es superconjunto FORMULARIO BÁSICO LEYES DE EXPONENTES Y RADICALES
=∙ = ( ∙∙ ) = ∙ = =1 , ≠ 0 () = = ∙ = √ √ =∙ √ √ √ √ = √ √ ∙∙ = √ √ √ √ √ √ ∙√ √ √ √ −−, ú , º , = ↔ = ( ) + −2− 2) ∙ ( −3− 3) ∙ … ………∙( ………∙( −1−(1)−1− 1) ∙ (())()) = ∙(∙ ( −1− 1) ∙ (1∙2∙3∙4∙…………∙ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
10. 11. 12.
=
13. 14.
TÉRMINO GENERAL DE UN BINOMIO:
PAB - 2013 PRODUCTOS NOTABLES 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
(( +−+− )) == +− 22 ++ (( +−+− )) == +− 33 +3+3++ 33 +− (( ++++ )) ∙∙ ((−− −) =+ −) = + (( −−+ )+∙ () += ++ ) + = + −22 +2+ 2 +2+ 2 + + = 0 ±
ECUACIÓN CUADRÁTICA. CUADRÁTICA. Su forma general es:
= == ∙= − = = − =
Fórmula Cuadrática: Suma de Raíces:
Producto de Raíces:
Diferencia de Raíces: Condiciones:
−− 44 >< 00 − =
, existen dos soluciones reales
, existen dos soluciones imaginarias , existe una solución (raíces ( raíces iguales) iguales)
.
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PROPIEDADES DE LOGARITMOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
( ∙ =) =−+ = ∙ ∙ √ √ = = ∙ =
= ( ) = = =
LOGARITMOS ESPECIALES
1 ==110 = 0 100 10 ==1010 = =12 1000 1000 = 10 = 3 . .
10 =
= ⇔ =
DEFINICIÓN DE LOGARITMOS
=
CAMBIO DE BASE
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
= ℎ = ℎ = = = ℎ = ℎ = + == +− = − =++ = 1 = = = = = 2 = 2 ∙ 2 = −− 2 = ((±±±±) =) = ±∙± ∙ ( ±± ) = ∙ ∓ ∙ TEOREMA DE PITÁGORAS: PITÁGORAS:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
∓∙ 1+2 2 = 1+ = = =
=
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ÁNGULOS NOTABLES FUNCIÓN
0°
Seno
0
Coseno
1
Tangente
0
Cotangente
Secante
Cosecante
1лrad=180°
±
30°
12 √ √ 23 √ √ 33 ∞ √ √ 3 2√ √ 33 ∞
1
±
2
45°
60°
√ √ 22 √ √ 22
√ √ 23 12 √ √ 3 √ √ 33
1
1
√ √ 2 √ √ 2
2
2√ √ 33
90° 1
0
∞
±
0
∞
±
1
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GEOMETRÍA PLANA
= = 4 = = ∙√ 22 == √2 ( +++) = ∙= + + л∙ = = л ∙ = л ∙= 2л ∙ () )
Área de un Cuadrado:
Perímetro de un Cuadrado: Diagonal de un Cuadrado: Área de un Rectángulo:
Perímetro de un Rectángulo: Diagonal de un Rectángulo: Área de un Triángulo:
Perímetro de un Triángulo: Área de un Círculo:
Perímetro de un Círculo: Área de un Trapecio:
Área de un Triángulo Equilátero: Equilátero:
= √ √ ℎ ==3
Altura de un Triángulo Equilátero: Equilátero:
Perímetro de un Triángulo Equilátero: Equilátero:
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1. CONJUNTOS Un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos. Los términos: conjunto, pertenencia y elemento; son considerados como primitivos (términos no definidos).
Notación.- Para denotar conjuntos se utiliza generalmente letras mayúsculas y para especificar elementos se usarán letras minúsculas o números, a no ser que dichos elementos sean conjuntos. Los símbolos a utilizar más empleados son:
Símbolo
Significado
Símbolo
≤ ≥
Significado
ε
Pertenece
Ц
Conjunto Universal
Ø
Conjunto Vacío
<
Menor que
/
Tal que
>
Mayor que
∀∃ ∴ ∪ ∩
Ac
Para todo Existe Por lo tanto Unión Intersección Complemento de A
≠ ⟹ ⟺ ∧ ∨ ∉
Menor o igual que Mayor o igual que
Distinto Entonces Equivalente Y O No pertenece
Formas de Expresar un Conjunto.- Los conjuntos se pueden expresar por extensión y por comprensión.
Un conjunto está expresado por extensión si y solo si se enumeran todos los elementos que lo componen.
Un conjunto está expresado por comprensión si y solo si se da la propiedad que caracteriza a sus elementos.
CONJUNTOS NUMÉRICOS. Los más utilizados son: Números Naturales (N).- Son aquellos que sirven para contar. También se llaman enteros positivos.
PAB - 2013 N={1,2,3,4,……}
Números Enteros (Z).- Es el conjunto de los naturales unidos con sus opuestos más el cero. Z =
{ ............,
4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,............. }
−
≠
Números Fraccionarios (F).- Son los de la forma a/b (b 0) donde a es menor que b. Ejemplos: 4/5, 3/7, 10/11, 15/19, 1/8, etc.
Números Racionales (Q).- Es el conjunto que resulta de unir los enteros con los fraccionarios. Ejemplos: -2, 0, 8, 5/9, 7/3, 80/77, etc.
Números Irracionales.Irracionales.- Son los no racionales. Ejemplos:
√ √ 2
, ∏, etc.
Números Reales.- Es el conjunto de unir los racionales con los irracionales. Ejemplos: -7, -1, 0, 5, 48, 3/10, 15/4, 5, 2 , , e, ∏, etc.
Números Imaginarios.Imaginarios.- Son los no reales. Ejemplos:
√ √ −2−2 √ √ −5−5 ,
, etc.
Números Complejos.- Es el conjunto de unir los reales con los imaginarios. Ejemplos: -4, 0, 7, 2/7, 11/8, ∏,
√ √ −2−2 √ √ −5−5 ,
, etc.
Conjuntos Especiales. Extendemos la noción intuitiva de conjunto sus casos especiales.
Conjunto Vacío (Φ).- Es aquel que carece de elementos. Ejemplo. Escribir por extensión el conjunto: A= {xεN/x<1} Como no existen números naturales menores que 1, tenemos: A= Φ= { }
Conjunto Unitario.- Es aquel que está formado por un solo elemento. Ejemplo. Escribir por extensión el conjunto: B= {x ε F/5x2+18x-8=0} Factorizando tenemos: (x+4) (5x-2)=0 Igualando a cero cada factor y despejando “x” tenemos: x 1=-4 y x2=2/5
PAB - 2013 Como solamente 2/5 es fraccionario, tenemos: B= {2/5}
Conjunto Universo (Ц).- El conjunto universal depende de la disciplina de estudio, se fija de antemano, y está formado por todos los elementos que intervienen en el tema de interés.
Operadores de Conjuntos.- Los operadores conjuntistas son:
∪
Unión de Conjuntos ( ).- La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que están en a o en B. Simbólicamente tenemos:
∪ = ∨ ∨ ∩ ∩ = ∧ ∧
Intersección de Conjuntos ( ).- La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos comunes que están en a y en B. Simbólicamente tenemos:
Diferencia de Conjuntos.- La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que están en A y no en B. Simbólicamente tenemos:
− = ∧ ∧ ∉ = ∧ ∉ AA
Complemento de un Conjunto.- El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por los elementos que están en el Universo y no en A. Simbólicamente tenemos:
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EJEMPLOS PARA PRACTICAR 1.
Expresar por comprensión los siguientes conjuntos: a)
2.
b)
c)
( ∪ ) − ( ∩ ) ( − ) ∪ ( ∩ ) ( ∪ ) − ( ∩ ) ( ∩ ) ∪ ( − ) = ∪ ( ∪ ) − ( ∩ ) ( ∩ ) ∪ ( − ) = ∪ ( ∪ ) − ( ∩ ) ( ∩ ) ∪ ( − ) = ∪
b) d)
( ∪ ) − ( ∩ ) ( ∩ ) ∪ ( − ) ( − ) ∩ ( −− ) ( − ) ∩ ( − )
Teniendo: A={x/x A= {x/x es divisor de 15} y B= {x/x es divisor de 20}. Se pide: a) c)
b) d)
Considerar: 4.
B={-2,-1,0,1,2,3,4,5}
Teniendo los conjuntos: A={x A= {xεZ/x3-4x-x2+4=0} y B= {xεN/x2-3x+2=0} y Ц= {xεZ/-3≤x≤3}. Se pide: a)
3.
A= {1,2,3,4,5,6}
Teniendo: A={x/x A= {x/x es divisor de 30} y B= {x/x es divisor de 25}. Se pide: a) c)
b) d)
Considerar:
( − ) ∩ ( −− ) ( − ) ∩ ( − )
5. Teniendo: E={x/x E= {x/x es múltiplo de 3, x<21} y F= {x/x múltiplo de 5, x≤30}. Se pide: a) c)
Considerar: 6.
b) d)
( − ) ∩ ( −− ) ( − ) ∩ ( − )
Se considera un experimento aleatorio consistente en lanzar 3 monedas. Si una moneda cae cara, se anota 1, y si cae sello se anota 0. Formar el conjunto cuyos elementos son los posibles resultados del experimento.
PAB - 2013
2. ARITMÉTICA-VALOR NUMÉRICO-SIGNOS DE AGRUPACIÓN ARITMÉTICA La Aritmética aquella rama dentro de las matemáticas que se ocupa del estudio de los números y las operaciones elementales que pueden realizarse con ellos. Fundamentalmente, la aritmética estudia ciertas operaciones con los números y sus propiedades más importantes, siendo sus operaciones básicas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación.
LEYES DE EXPONENTES Y RADICALES 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 14.
∙ = ( ∙∙ ) = ∙ = 1 , ≠ 0 = = √ √ √ √ = √ √ ú , √ √ −−, º , = ↔ =
2. 4. 6. 8.
10.
12.
= = () = ∙ =
√ √ ∙ √ √ ∙= √ √ ∙∙ √ √ √ √ =
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
La expresión algebraica es una combinación de letras y números ligar por los signos de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división y potenciación VALOR NUMÉRICO El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al reemplazar en ésta por un valor numeral dado y realizar las operaciones indicadas hasta reducir a su mínima expresión. SIGNOS DE AGRUPACIÓN Los signos de agrupación consisten en eliminar los paréntesis, los corchetes y las llaves y realizar las operaciones indicadas hasta reducir a su mínima expresión.
PAB - 2013
Ejemplos Aclaratorios: 1.
4 − 3√ √ 8 + 2√ √ 1818 = 4 4 − 3√ √ 8 + 2√ √ 1818 = 4 4 ∙∙∙ − 3√ √ 2 ∙ 2 + 2√3 ∙ 2 = 4 √ √ − 3∙2√ √ 3∙2 2+2∙3√ √ 2 +2∙3 2 = 2√ √ 2 − 6√ √ 2 + 6√ √ 2 √ √ 2 Simplificar la expresión:
=2
2.
R.
∙∙∙∙ 3 4 6 3 3 6 3 ( ) ( ) 3∙ 3 ∙ 7 ∙ 5∙ 5 ∙ 7 ∙ 2 ∙ 5 2 1 ∙ 3 5 ∙ 8 0 = 15124∙1649∙63029 = (3∙3∙5)4∙(2∙2∙7)9∙(2∙2∙3∙5)2 = 3346∙5∙746∙2∙593∙7∙793∙2∙2212∙32∙5∙532 = 2211∙∙336∙∙556∙∙779 = Reducir la expresión:
2 R.
3.
− = − = − −1 −1 9 1 9 1 = 4 − 1+32 = 4 − 52 = 94 − 25−1 Simplificar la expresión:
= = = =
4.
=
R.
= 3,3, = 4, = 8 = = = = √ √ 3 = 3 = 9 Encontrar el valor numérico de
, para
R.
PAB - 2013 5.
Aplicando signos de agrupación simplificar la siguiente expresión:
=−(−(−++−) − 3−−2−32−2−2+ +−2−2−2−2− 2−(2−1−+1)2−−(−++−11)−−14(1414− 8+8+8+ 9−9− 9) == −−−− −+ 315−2+9−3−3−9−3−−314+3+3− 8=−−+9−3−=3−5−5 −3− 3 + 3 − 14 − 8 + 9 R.
PAB - 2013
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN # 1 ARITMÉTICA-VALOR NUMÉRICO -SIGNOS DE AGRUPACIÓN 1.
Si se simplifica la expresión
√ √ 4√ √ 55 5√ √ √ √ 55
a) 3 b) c)
d) e) NA 2.
Reduciendo la expresión a) b) c) d) e)
3.
2 1/2 1 5 NA
, tenemos como resultado:
, queda como resultado:
∙∙∙∙∙∙∙
Realizando operaciones de C= a) b) c) d) e)
4.
16/7 -16/7 5/7 -5/7 NA
8 0+5 − 3√ √ 5 + √ √ 125125 √ √ 80+5
, obtenemos como resultado:
Aplicando signos de agrupación y simplificando la siguiente expresión:
3 − −55 +(+ (3 −− ) +2−4( +2−4( − − 3 + 4) − ( −− )
, tenemos:
a) b) c) d) e) 5.
a b a+b a-b NA
El valor numérico de la expresión a) b) c) d) e)
2 1/2 1 5 NA
= 2,2, = , = − , para
, es:
PAB - 2013 6.
Simplificando la expresión a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) NA
7.
Reduciendo la expresión a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) NA
8.
9.
8 4 2 1 NA
√ √ √ √
−
, el resultado es:
, tenemos como resultado:
√ √ √ √ √ √ √ √
El valor numérico de la expresión A= a) 2 b) -2 c) 1/2 d) -1/2 e) NA
10.
= 4 − −−
Simplificando la expresión a) b) c) d) e)
÷.×.×. ÷.. .÷.
, el resultado resultado es:
( ) ())
Si se vende los 5/8 de una pieza de tela quedan 27 metros. El número de metros que tenía la pieza es: a) b) c) d) e)
80 45 90 72 NA
PAB - 2013 3. BINOMIO DE NEWTON-TEOREMA DEL RESTO-OPERACIONES CON POLINOMIOS P OLINOMIOS BINOMIO DE NEWTON Cuando hablamos de un binomio, nos referimos a la suma o diferencia de dos elementos. La fórmula que nos permite encontrar directamente cualquier término de un binomio es:
( ) + )………∙ ∙ … ………∙( ………∙( −1−(1)−1− 1) ∙ (())()) = ∙(∙ ( −1− 1) ∙ (1∙−2−22)∙ 3∙ (∙4−3−∙ …3………∙(
TÉRMINO GENERAL DE UN BINOMIO:
TEOREMA DEL RESTO
El Teorema del Resto es un método por el cual podemos obtener el resto o residuo r esiduo de una división algebraica, en la cual cual no es necesario necesario efectuar división alguna. Este teorema se aplica para encontrar el resto y para hallar una variable cuando nos dan el resto. r esto. Para aplicar el Teorema del Resto su utilizan dos pasos: Paso 1: El divisor se iguala a cero y se despeja la variable a reemplazar en el siguiente paso. Paso 2: El valor del paso anterior se reemplaza en el dividendo para obtener el resto. OPERACIONES CON POLINOMIOS Las operaciones algebraicas que se pueden realizar con los polinomios son: la suma, la resta, la multiplicación y la división algebraica. Ejemplos Aclaratorios:
− ( + ) )………∙ ∙ … ………∙( ………∙( −1−(1)−1− 1) ∙ (())()) = ∙(∙ ( −1− 1) ∙ (1∙−2−22)∙ 3∙ (∙4−3−∙ …3………∙( = 91∙2∙3∙4 ∙8∙7∙6 ∙ 12 ∙ − 13 = 126126∙∙ ∙ − = 126126∙∙ ∙ = 1.
Encontrar el quinto término del desarrollo de:
TÉRMINO GENERAL DE UN BINOMIO:
R.
PAB - 2013 2.
Hallar k para que el polinomio igual a -5.
(33 − 5 + 6 − 1)
dividido dividido entre
(2 −4− 4)
, tenga resto
Por el Teorema del Resto Paso 1: 1: El divisor igualar a cero y despejar x
(2 −4− 4) = 0 → = 2 1 +=63(3(2=)−5− −55(2) + 6 −1− 1 = −5 612 −=1−60 +→6−=1 −1= −5 ( ) ( ) ( ) ( ) −2 − 2 +5 + 5 −5 − 5 +2 + 2 ((−− −2−)(2)(++ +2+) 2=) = − −4 ( −5− 5)( +5+ 5) = −(25 − 4) ∙ ( − 25) = − 29 + 100 − 7 + 5, () = − 1, () = 2 + 2 − 10 ( ) = 2 (()) −() (()) 2 + 2 − 5 (()) − () = (22 + 2 − 5) − (222 + 2 − 10) = (()) − () = 2 + 2 − 5 − 2 − 2 +1+ 10 = 5 ( + √ √ )∙ √ √ −3− 3√ √ ∙() )∙() )∙() )∙…………∙() ) (() ) () ) Paso 2: 2: Reemplazar x=2 en el dividendo y se obtiene el resto (R)
R.
3.
Multiplicar y simplificar:
Para aplicar
, agrupamos en ese orden:
Multiplicando Multiplicando
Multiplicando los resultados tenemos
4.
R.
Dados los polinomios:
Encontrar
Dividiendo
:
tenemos
Entonces
R.
5.
Encontrar el 4º término del desarrollo de: TÉRMINO GENERAL DE UN BINOMIO:
= ∙∙ ∙∙∙∙…………∙()) ∙ = ∙∙ ∙ √ √ ∙ √ √ ∙ − 3√ √ = 165 ∙ ∙ (−27) −27) = −55
R.
PAB - 2013 6.
∙ √ √ − ( + )
Encontrar el término medio del desarrollo de: TÉRMINO GENERAL DE UN BINOMIO:
= ∙∙(∙)∙ )∙(2)∙)∙∙()∙∙…)………∙∙…………∙(3)()) ) ∙ (())()) = ∙∙∙∙ 9 ∙ √ √ ∙ − 4√ √ = 707∙0∙ ∙ = 70 ∙ = = R.
PAB - 2013
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN # 2 BINOMIO DE NEWTON-TEOREMA DEL RESTO –OPERACIONES CON POLINOMIOS 1.
El 4º término del desarrollo de a) b) c) d)
−1414 −14 −7 252 −252 252 −
− 2
e) NA 2.
El término central del desarrollo de a) b) c) d)
e) NA 3.
Para que el polinomio es:
, es:
−
, es:
(44 − 4 − 2 + )
sea sea divisible entre
+
, el valor de k
a) 1/2 b) 3/2 c) 2 d) -1/2 e) NA 4.
se obtiene al dividir a) 10 b) -10 c) 5 d) -5 e) NA 5.
((2233 + +− 7+) 17) ( −2−(2)−1− 1)
Al dividir el polinomio
Después de multiplicar y simplificar: a) b) c)
−+ 2255 ++ 114444 − 25 − 144
entre entre
entre entre
, el residuo es igual al doble doble que
. Entonces el valor de k es:
( −3− 3)( +4+ 4)( −4− 4)( +3+ 3)
, se obtiene:
PAB - 2013 d)
+ 25 − 144
e) NA
6.
Encontrar a) 4 b) -4 c) 5 d) -5 e) NA 7.
:
− 2 + 4, () = + 2 + 4, () = + 4 ( ) = ()∙() −()
Dados los polinomios: Encontrar a) -16 b) -24 c) 24 d) 16 e) NA
8.
− 7 + 10, () = + 2, () = 3 − 6 ( ) = 3 (()) −()
Dados los polinomios:
:
Después de desarrollar y simplificar la expresión tiene como resultado:
−72 72−72 −72 ( − 2) (22 − 5 + 3 − 2) a) b) c) d) e) NA
9.
El resto de la división del polinomio es: es:
10.
(22 − 3) − (22 + 3) + 54
( − 3 + 2)( + 4 − 8)
entre el binomio binomio
a) 4 b) 8 c) 16 d) 64 e) NA ¿Qué número se debe restar al coeficiente del término lineal del polinomio para para que al dividir entre
a) 6 d) -6
b) -14 e) NA
( −1− 1)
c) 14
su resto sea 12?
, se
PAB - 2013
4. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables más utilizados son: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
(( +−+− )) == +− 22 ++ (( +−+− )) == +− 33 +3+3++ 33 +− (( ++++ )) ∙∙ ((−− −) =+ −) = + (( −−+ )+∙ () += ++ ) + = + −22 +2+ 2 +2+ 2
5. FACTORIZACIÓN Factorizar es escribir una expresión algebraica en forma de producto. Los casos que se aplican son: •
Factor Común
•
Agrupación de Términos
•
Diferencia de Cuadrados:
•
Diferencia de Cubos:
•
Suma de Cubos:
•
Suma o Diferencia de Potencias Iguales
•
Trinomio Cuadrado Perfecto:
•
Trinomio de la Forma:
•
Trinomio de la Forma:
•
Trinomio Cuadrado Perfecto por Suma o Resta
•
Cubo Perfecto de Binomios:
•
Descomposición por Evaluación
− = ( ++ ) ∙ ( −− ) − = ( −− ) ∙ ( + + ) + = ( ++ ) ∙ ( − + ) ± 2 + = ( ±± ) + +++ ± 3 +3+ 3 + = ( ±± )
Nota. La factorización es la base fundamental para las asignaturas cuantitativas, especialmente el Cálculo Diferencial Diferencial y el Cálculo Integral.
PAB - 2013 EJEMPLOS RESUELTOS DE FACTORIZACIÓN Factor Común Ejemplos: Factorar las siguientes expresiones algebraicas: a) 24x10y20z30 -40x20y30z10 -60y10z20=4y10 z10 (6x10y10z20 -10x20y20 -15z10) b) (x-y) (3a-4b+5c)-(y-x) (3a+4b-5c)= (x-y) (3a-4b+5c)+(x-y) (3a+4b-5c)= (x-y)[(3a-4b+5c)+ (3a+4b-5c)] =(x-y) =(x-y) (3a-4b+5c+ 3a+4b-5c)= 6a(x-y)
Factor Común por Agrupación de Términos Ejemplos: Factorar las siguientes expresiones algebraicas: a) 35by+12ax-21bx-20ay=12ax-20ay-2bx+35by= (12ax-20ay)-(21bx-35by) = 4a (3x-5y)-7b (3x-5y)= (4a-7b) (3x-5y) b) 2c+2c3+2c2+2=2c3+2c2+2c+2=2(c3+c2+c+1) = 2[(c3+c2) + (c+1)] = 2[c2(c+1) + (c+1)] =2(c+1) (c 2+1) Diferencia de Cuadrados: x2-y2=(x+y) (x-y) Ejemplos: Factorar las siguientes expresiones algebraicas: a) 64b4-121c2= (8b2+11c) (8b2 -11c) b) 44m16-396n36= 11(4m16-36n36) = 11(2m8+6n18) (2m8-6n18) Suma o Diferencia de Cubos Perfectos: x3+y3=(x+y) (x2-xy+y2) x3-y3=(x-y) (x2+xy+y 2) Ejemplos: Factorar las siguientes expresiones algebraicas: a) 27x3-8= (3x-2) (9x2+6x+4) b) (2x+3)3+ (4x-5)3= [(2x+3) + (4x-5)] [(2x+3)2-(2x+3) (4x-5)] + (4x-5)2] = (2x+3+4x-5)[(4x2+12x+9)-(8x2-10x+12x-15)+(16x2-40x+25)]= (6x-2)(4x2+12x+9-8x2+10x-12x+15+16x2-40x+25)= 2(3x-1) (12x2 -30x+49)
PAB - 2013
Trinomio Cuadrado Perfecto: x2±2xy+y 2= (x±y)2 Ejemplos: Factorar las siguientes expresiones algebraicas: a) x2+18xy+81y2= (x+9y)2 b) 9m4-54m2n8+81n16= (3m2-9n8)2
Trinomio de la forma: x2+bx+c Ejemplos: Factorar las siguientes expresiones algebraicas: a) a2+21ab+90b2= (a+15b) (a+6b) b) y4 -24y2z3+143z6= (y2 -13z3) ( y2 -11z3) c) p40 +4p20q30-480q60= (p20 +24q30) (p20 -20q30) d) m50 -33m25n35-484n70= (m25-44n35)( m25+11n35) e) –x2-7x+330=-(x2+7x-330)= -(x+22) (x-15)= (15-x) (x+22) Trinomio de la forma: ax2+bx+c Ejemplos: Factorar las siguientes expresiones algebraicas: a) 6x2-11xy-10y2= (3x+2y) (2x-5y) b) -20m2+23mn-6n2= -(20m2-23mn+6n2)=-(4m-3n) (5m-2n)= (3n-4m) (5m-2n) Ruffini Ejemplos: Factorar las siguientes expresiones algebraicas: a) x3+2x2-x-2 = (x-1)(x+1)(x+2) 1
2
-1
1
3
-2 | 2 |1
-------------------------------- ------- |--1
3
2
0 |
2
x
+3x+2=(x+2) (x+1)
PAB - 2013 b) 3x4-2x3-21x2-4x+12 = (x+1)(x+2)(x-3)(3x-2) (x+1)(x+2)(x-3)(3x-2) 3
-2
-21
-4
-3
5
16
12 | -12 | -1
-------------------- ------- |--3
-5 -6
-16 12 |
0 |
22 -12 | -2
-------------------------------- ------- |--3
-11
6
0|
2
3x
-11x+6= (x-3) (3x-2)
PAB - 2013
EJEMPLOS DE FACTORIZACIÓN PARA PRACTICAR 1. 60x15y25z35 -36x25y35z15 -24y15z25
2. 28x10y20z30 -42x20y30z10 -70y10z20
3. (a-b)(5x-6y+7z)-(b-a) (5x+6y-7z)
4. (m-n)(2a-4b+6c)+(n-m) (m-n)(2a-4b+6c)+(n-m) (2a+4b-6c)
5. 5Y+5Y2+5Y3+5
6. 15Y3-45BY2-5y+15b
7. 42bz-18az-35by+15a 42bz-18az-35by+15ay y
8. 9x3+6axy+6ay2-9xy2-6ax2 -9x2y
9. 16m2-n4
10.
11. 72x2n -242y6n
12. 16(x+y)2 -9(x-y)2
13. (b-c)4-(b+c)4
14. (2x-3)4-(2x+3)4
15. 27x3-y9
16.
17. 64m12+y33
18.
19. 2y6 -128
20. (x-y)6 - (x+y)6
21. p2 +16pq2+64q4
22. 2+2x10 - 4x5
23.
− + +
24.
−
+ −
+ +
25. x2-30xy+125y2
26. –x2+9x+22
27. 2c4+16c2d-2016d2
28. x10n+x5ny10n -930y20n
29. 6x2-32x+32
30. 30m4-5m2x4-75x8
31. 42x2-58xy-144y2
32. 21+2x-8x2
33. x3+4x2+x-6
34. 2n4-44n2-150
35. 8x3-56x+48
36. x4+4x3-13x2-40x+48
37. 10x5-230x3-60x2+1120x+960
38. 2y5-8y4+3y-12
39. x4-20x2+64
40. 2x4-4x2+2
Ejemplos Aclaratorios: 1.
− ( −− ) ( ) + + == ((++ +)2 − (+−−)+) (= (− 2++)+ +()−−() +2(+++)) −−((−− −)2 + ) = + 2 + + − 2 + + 2 + − + 2 − Factorizar y reducir la expresión:
:
PAB - 2013
= 22 + 244 = 2( + −)(4)4) = 8(8( + ) == ∙ ( − +=1)∙∙(( − −1)1 )= ∙ ( + 1) ∙ ( + 1) ∙ ( − 1) == ∙(∙(∙∙ (( ++ 11)) ∙∙ (( ++ 11)) ∙∙ (( ++ 11)) ∙∙ ((+1+ −11))∙ ( −1− 1) − − 6 √ √ − 3 √ √ − 2 √ √ −3 − 3 −2 − 2 √ √ == − −3 − 6 = = +2 − 3 + 2 √ √ √ √ − 3 + − 3 == (− −3−33) ++(−−3−3 3=) (= ( −−3−33))(+ (+ 1−3−)3) = ( −3− 3)( +1+ 1)( − + 1) −9 − 15 +5+ 50 == −9−(−(3 −−5− 51)5(33+5+ +5010)10=) −(−=( (995−3) 5−3 + 1)5(33−5− +5010)10) ) = (5−3) 5−3) + (3 +1+ 10) = 15
R.
2.
Al descomponer la expresión:
, en un producto de factores. ¿Cuántos factores
reales se tiene como resultado?
3.
Un factor de la expresión
a)
4.
, es:
c)
Después de factorizar la expresión
a) x2+x+1
5.
b)
b) x2+x-1
R. 6 factores
c) x2-x+1
Después de factorizar la expresión
d)
e) NA
R. inc.) a
, uno de los factores es:
d) x2 +1
e) NA
R. inc.) c
, la suma de sus factores expresado
en valor absoluto es: a) 15x
b) x
c) 15
d) x+15
e) NA
R. inc.) c
PAB - 2013
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN # 3 PRODUCTOS NOTABLES-FACTORIZACIÓN 1.
Al factorizar la expresión algebraica a) b) c) d) e)
2.
Después de desarrollar la expresión a) b) c) d) e)
3.
5x(x+y) x+y 5(x+y) x-y NA
8b3 8a3 8b 8a NA
Después de factorizar la expresión a) b) c) d) e)
x2+3x-3 x2+3x-9 x2+9x-3 x2+3x-10 NA
Un factor de la expresión a) 4a2+5 b) 5-2a2 c) 3+2a2 d) 4a2-5 e) NA
5.
Después de factorizar el polinomio x-2 x+2 x-1 x+3 NA
= ( +1+ 1) − ( −1− 1) − 8
, se obtiene:
, se obtiene:
( −3− 3)( −2− 2)( −1− 1) −3− 3
, uno de los factores es:
(22 + 11) + (4−7 4 −7) −
4.
a) b) c) d) e)
( ++ )( −− ) + 3( ++ ) + ( ++ )
( − 4 + + 6)
es:
, uno de los factores es:
PAB - 2013 6.
Después de factorizar la expresión a) b) c) d) e)
7.
Después de factorizar la expresión a) b) c) d) e)
8.
4x 4 x x+4 NA
4+x 4 x 4x NA
−888((( + +)) −8( −8−8(( ++ ))
, la suma de sus factores es:
( −− ) − ( ++ )
Cuántos factores reales se tienen al factorizar la expresión: a) b) c) d) e)
10.
, la suma de sus factores es:
( − 15 − 10 +2+ 24)
Después de factorizar y simplificar la expresión a) b) c) d) e) NA
9.
(22 − 3 − 5 + 6)
4 2 3 5 NA
Después de factorizar la expresión a) b) c) d) e)
x+y+3 x+y-3 x+y x-y NA
( +6+ 6) −
, se obtiene:
+ + +1
, uno de sus factores es:
PAB - 2013 6. FRACCIONES ALGEBRAICAS Una Fracción Algebraica consiste en reducir a su mínima expresión un conjunto de fracciones. Para su desarrollo es fundamental aplicar las leyes de exponentes y radicales complementadas con los diferentes casos de factorización. Ejemplos Aclaratorios: 1.
∙∙() ) () ) ( ) ∙ ) ∙(− ) − − ( ) ( ) ( ) + + ∙ − − ∙ ∙ − − = = () (− −) )∙(− −) ∙∙(− −)∙(− −) = = (22 − 3) ∙ ∙ ∙∙ ( ) ) ∙ = = ∙∙()) ∙(−−)∙++ ++ ∙ = ∙∙(−−) = ∙∙∙∙((−−−−)) = + + − ( ) ( ) + + ∙ − − − − + + + + = −+ = + = = = = = = √ = Simplificar la expresión:
R.
2
.
Simplificar la expresión:
R.
3.
Reducir la expresión:
R.
4.
∙ ÷ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − ∙ −+ +− −+ − − ∙ − − + ∙ − − = (−−−)∙(−−∙ ) ++(+)∙(÷−−) (−−)∙=+(+++)∙(−−) ∙ ++ ∙ (−−)∙(−++−) = (++)∙(−−) ∙ ++ ∙ (−−)∙(−−) = − Simplificar la expresión:
x 1 R.
PAB - 2013
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN # 4 FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.
Después de simplificar la expresión a) b) c) d) e)
2.
4x 0 1 1/2 NA
Al simplificar la expresión a) 5
, se tiene tiene como resultado:
, se obtiene:
x
b) 5
c) 4 d) 1 e) NA 3.
Al reducir la expresión a) b) c) d) e)
4.
Si a) b) c) d) e)
5.
a -a b -b NA
= 2
()) −1∙ ÷ ( − ))
, entonces la expresión
2x/3 x/6 3x/10 6x/5 NA
Al simplificar la expresión a) t a
b) t
b
c) t
= ∙()
es:
∙
PAB - 2013 a+b
d) t
e) NA
6.
Después de reducir la expresión a) b) c) d) e)
7.
Al simplificar la expresión a) b) c) d) e)
8.
1 -1 2 -2 NA
Simplificar la expresión: a) b) c) d) e)
10.
5/7 -5/7 -2/7 1 NA
Reduciendo la expresión a) b) c) d) e)
9.
2 3 4 6 NA
200 100 140 165 NA
a) b) c) d) e)
1 -1 x -x NA
, se obtiene:
, se tiene tiene como resultado:
∙ ÷
, se obtiene:
−+−+−
+ +
Reduciendo la expresión tiene como resultado:
∙
2 ∙ 3−2√ √ 3−2 22√ √ 22 2+3 2 +3 + ( + 12)√ √ − 6 − 8
, se
PAB - 2013
7. ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES ECUACIONES Una ecuación es una igualdad en la que existe una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se cumple para algunos valores de las incógnitas, las cuales se representan por las últimas letras del abecedario. Las raíces o soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación, es decir, que verificados en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en identidad. Ecuaciones Lineales.- Cualquier ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad de la forma: ax+b=0; donde a, b ε R.
EJEMPLOS RESUELTOS Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones lineales: li neales: 1.
(3x+5)2= (3x-5)2+300
60x=300
9x2+30x+25=9x2 -30x+25+300 30x+30x=300
2.
= − = − () )() ) () )() ) () )() )
x=5
; Cd= (4x+5) (5x-1) (3x+2)
(3x+2)(2x-5) = (4x+5) 2 – (5x-1) (2x+3)
-10-28 = 27x+11x
6x2 -11x-10 = 16x2+40x+25-10x2-13x+3
38x = -38
6x2 -11x-10 = 6x 2 +27x+28
x = -1
EJEMPLOS PARA PRACTICAR 1. 14x-(3x-2)= [5x+2-(x-1)]
2. (x+1) 3 -6x(x-3)=(x-1)3
3. 5(x+1)2(x-1)+5=5(x-2)2(x+5)
4. (2x+3)2= (2x-5)2+16
PAB - 2013 Ejemplos Aclaratorios: 1.
Resolver la siguiente ecuación:
= +
Factorizando el denominador del primen miembro se tiene: Multiplicando por
( −3− 3) 4 =48= −8(24−3−+3) + 1 = se se tiene:
() ) = +
Realizando operaciones se tiene:
Despejando la variable x tenemos: 2.
) = (() − R.
Determinar la solución para x de la ecuación a)
b)
−
c)
d)
e) NA
Multiplicando extremos por extremos y medios por medios en el primer miembro:
3.
((() )) = (() ) ) () ) = 2 =
((() )) = (() ) )
22 +2+ 2 = 3 99=+11+11 = −14 6 −5− 5 = −34−34 R. inc.) c
Después de resolver el sistema de ecuaciones
, el valor de y-x es:
996 +11+−115 == −14−34−34 664545 +−5555 == −70−374 ((21)) 111 == −444 −4 9(−4)−=4)2+ 1111 = −14 = − = = (2) − (−4)−4) = 2 + 4 = 6 a) -4
b) 2
c) 6
d) 0
e) NA
, multiplicando por 5 y por 11 las ecuaciones se tiene:
Reduciendo (1) y (2) se tiene:
Despejando la variable x se tiene: Reemplazando x en (1) se tiene:
Despejando la variable y se tiene:
Teniendo x e y el valor numérico de y-x es:
R.
PAB - 2013
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN # 5 ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES
1.
En la ecuación a) b) c) d) e)
2.
; para que la solución sea 10, el valor de m es:
El conjunto solución de la ecuación a) b) c) d) e)
3.
4 5 6 7 NA
5 = + 15
{2} {4} {0} {} NA
Después de Después de resolver la ecuación 19 es: a) b) c) d) e)
4.
8 7 6 5 NA
Después de Después de resolver la ecuación de 5x/2 es: a) b) c) d) e)
5.
= −
+ = +
Después de Después de resolver el sistema de ecuaciones
a) b) c) d) e)
11 4 2 3 NA
, el valor numérico de 3x-
(5 +1+ 1) − 21 = (18−5) + 36
2 25 52 5 NA
es:
es:
757 −+ 54 == 13201230
, el valor numérico
, el valor numérico de 2x+y
PAB - 2013 6.
Después de Después de resolver el sistema a) b) c) d) e)
7.
La solución del sistema de ecuaciones a) b) c) d) e)
8.
5 7 2 3 NA
(2,3) (2,-3) (-2,3) (3,3-) NA
, el valor numérico de x+y es:
+ = − =
Después de resolver el sistema de ecuaciones numérico de a) b) c) d) e)
9.
− = − + =
-1 1 1/2 -2 NA
−−
es:
, es
42(−+3+(35)−−53)++84(++−−=) =14144
, el valor
Si vendo los 4/7 de una pieza de tela me quedan 36 metros, entonces el número de metros de tela que tenía la pieza es: a) b) c) d) e)
10.
48 80 91 84 NA
Un estudiante de la UAGRM gasta los 5/8 de su mesada y Bs. 20 más en prepararse para un examen; si se queda con la cuarta parte de la mesada y Bs. 16 más, entonces su mesara (en bolivianos) era de: a) 200 b) 300 c) 248 d) 288 e) NA
PAB - 2013 11.
La solución del sistema de ecuaciones a) (-3,2) b) (-2,3) c) (-2,-3) d) (3,-2) e) NA
12.
Resolviendo el Resolviendo el sistema de ecuaciones a) b) c) d) e)
13.
Resolviendo la ecuación a) b) c) d) e)
14.
-1/2 2 -2 1/2 NA
Resolviendo la ecuación a) b) c) d) e)
15.
1/2 2 -10 10 NA
-7 2 -2 7 NA
Resolviendo la ecuación a) b) c) d) e)
-1 2 -2 1 NA
+ = − =
, es:
+ = − = −
− = −
, el valor numérico numérico de x/y x/y es:
, la solución de x es:
− = − − = −
, la solución de x es:
, la solución de x es:
PAB - 2013 8. ECUACIONES NO LINEALES
Ecuaciones Cuadráticas.- Una ecuación de segundo que presenta la forma: ax2+bx+c=0; donde a, b y c ε R. Una ecuación cuadrática se puede resolver mediante 3 formas: Factorización, la fórmula cuadrática o el complemento del cuadrado.
Su forma general es:
.
= == ∙= − = = − =
Fórmula Cuadrática: Suma de Raíces:
+± += 0
Producto de Raíces:
Diferencia de Raíces: Condiciones:
−− 44 >< 00 − =
, existen dos soluciones reales
, existen dos soluciones imaginarias , existe una solución (raíces ( raíces iguales) iguales)
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación cuadrática: 6x2-37x-60=0. Por Factorización:
(2x-15) (3x+4)= 0 (2x-15)= (2x-15) = 0
===> x1= 15/2
(3x+4) = 0
===> x2= -4/3
Por la fórmula Cuadrática:
± =
= −(−37)± (−37)± (−2(37)6) − 4(6)(−60) = 37±7 ± √ √ 1369+1440 1369+1440 12 = 37±7 ±12√ √ 28092809 = 3712± 53 = 3712+ 53 = 9120 = 125 = 3712− 53 = −1216 = − 43
PAB - 2013
Sistema de Ecuaciones.- Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones de la misma forma. Los métodos más aplicados en la resolución de sistema de ecuaciones en el álgebra son: Reducción, Sustitución e Igualación.
Ejemplos Aclaratorios: 1.
+ √ √ + 8 = 2√ √ + √ √ + 8 = 2√ √ + √ √ +8+ 8 = 2√ √ √ √ ++8+√ √ 8 +8=+ 833= 44 √ √ +8+8+8+=899 = (3) 9( −1− −1)∙−(98=+8+08) = 0 == 1− 5 − 7 = 5 − 5 + − 7 −5− 5 = 0 = + = − −=+−7= 2= 3 − 5 + 2 = 0 − 1 3 − 2 = 0 − 1 = 0 3 − 2 = 0 Al resolver la ecuación
a) 1
, la solución para x es:
b) 1 y -8/9
c) 1 y 8/9
d) 8/9
e) NA
Elevando al cuadrado ambos miembros se tiene:
Desarrollando tenemos:
Dejando en solo miembro la raíz cuadrada se tiene:
Elevando al cuadrado ambos miembros se tiene:
Desarrollando tenemos:
Igualando a cero tenemos. Factorizando tenemos:
Despejando la variable x tenemos:
(No sirve)
2.
R. La solución es: x =1, inc.) a
La suma de las raíces en la ecuación a) 5 b) – 5
c) 1
, es 2/5; entonces el valor de k es: d) 0 e) NA
Igualando a cero tenemos:
Aplicando la fórmula de la suma de raíces: , de donde queda:
, Donde el valor de K despejado es: k =5
3.
R. inc.) a
La solución para x de la ecuación a) 1
b) 8/27
c) 1 y 8/27
Factorizando tenemos:
Igualando a cero el factor 1: Igualando a cero el factor 2:
R. inc.) c
, tenemos x1 = 1
, tenemos x2 = 8/27
d) 0
e) NA
PAB - 2013
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN # 6 ECUACIONES NO LINEALES 1.
La ecuación cuadrática que tiene como raíces 3/5 y -2/3 es: a) b) c) d) e)
2.
15x2+x-6=0 15x2-x-6=0 15x2-x+6=0 15x2+x+6=0 NA
Determinar el valor positivo de k en la ecuación x2-kx+120=0, teniendo en cuenta que la diferencia de sus raíces es 7: a) b) c) d) e)
23 20 10 30 NA
2 − + 15 = 0
3.
¿Encontrar el valor de k en la ecuación raíces sea igual al triple de la suma de sus raíces? a) -10 b) 10 c) -5 d) 5 e) NA
4.
La suma de las raíces en la ecuación a) 5 b) – 5 c) 1 d) 0 e) NA
5.
Después de Después de resolver la ecuación a) b) c) d) e)
{-3,2} {-3,-2} {-2,2} {-2,3} NA
5 − 7 = 5 −
, para que el producto de sus
, es 2/5; entonces el valor de k es:
++ √ √ = √ √ ++
, el conjunto solución es:
PAB - 2013 6.
Después de Después de resolver la ecuación 16 es: a) b) c) d) e)
7.
4x+11 es:
8.
9.
5 1 10 20 NA
5 6 7 8 NA
Después de Después de resolver el sistema a) b) c) d) e)
, después hallar la solución el valor numérico de
38 40 9 47 NA
Después de resolver el sistema a) b) c) d) e)
10.
2 + √ √ − 5 = = √ 13− 1 3−
Después de resolver la ecuación a) b) c) d) e)
, el valor numérico de 3x-
5 –5 7 10 NA
En la ecuación
a) b) c) d) e)
+− − − = √ − − √ √ +−√ √
25 16 20 9 NA
√ √ − − = −
, el valor numérico de 25-2x es:
√ √ − −+=−=
, el valor numérico de x+y es:
√ √ √ √ +− ==
, el valor numérico de x-y es:
PAB - 2013 9. INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad en la que aparece la indeterminada x. Es una desigualdad de números reales definida a través de una expresión algebraica. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un punto lleno (círculo con negrita); en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un punto vacío (círculo blanco).
Inecuaciones Lineales.- Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Ejemplo.
Resolver la siguiente inecuación lineal: 14x-9x≤20
x≤4
− ≤
= −∞,−∞,4
5x≤20
Inecuaciones Cuadráticas.- Las inecuaciones cuadráticas o de segundo grado presentan una forma de solucionar similar al utilizado para resolver las ecuaciones cuadráticas. Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones cuadráticas: 1.
+ − 6 ≤ 0
2.
(x+3)(x-2) (x+3) (x-2)≤0
22 +7−15>0
(2x-3) (x+5)>0
(x+3)= (x+3) = 0
x=-3
(2x-3) = 0
x=3/2
(x-2) = 0
x=2
(x+5) = 0
x=-5
S= [-3,2]
S=]-∞,-5[ υ ]1.5,+∞[
PAB - 2013
EJEMPLOS PARA PRACTICAR Resolver las siguientes inecuaciones: 57. 6x-5<3x+19 59.
+ 7 ≤ 8
58. 15x-90>20x-100 60.
− − 20 > 0
PAB - 2013
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN # 7 INECUACIONES T1.
Después de Después de resolver la inecuación a) b) a) b)
− ,+∞+∞ −∞,− ∞, , +∞+∞ −∞,−
e) NA 2.
Después de Después de resolver la inecuación a) b) c)
−−∞,−∞, , +∞+∞ − −,,
d) c)
e) NA 3. 3.
Después de Después de resolver la inecuación a) b) c) d)
−4,−,4,44 − ,44,4 −∞,−−∞,−∞,∞,−−33 ∪∪ 0,03,3,,3+∞ −∞,−−∞,−∞,∞,03∪∪3,35,5,,9+∞ ≤< 22 ≤ −2
e) NA 4.
Después de Después de resolver la inecuación a) b) c) d) e) NA
5.
La solución de la inecuación a) b) c)
− ≤
, la solución es:
− ≤ + <
, la solución es:
2 − 5 ≤ 12
, la solución es:
− 9 < 0
, la solución es:
≥
, es:
PAB - 2013
< −2
d) e) NA
6.
2,2−2,−,32,3 −2,−2,−1,−31, 4 −2,−−2,−2,2,01 ∪∪ 2,23,3,,68 2,2−2,−,62,0
La solución de la inecuación a) b) c) d) c) e) NA
7.
≤ −
El conjunto solución de la inecuación a) b) c) d) e) NA
8.
Después de resolver la inecuación conjunto solución es: a) b) c) d) e)
9.
conjunto solución es:
10.
| − 3 − 6| ≤ |6 + |
|4 −5− 5| < 15
, , es:
, la suma de los números naturales del
15 11 10 9 NA
Después Después de resolver la inecuación
a) b) c) d) e)
, es:
|5 +3+ 3| ≤ 23
, la suma de los números enteros del
15 11 10 9 NA
El conjunto solución conjunto solución de la inecuación
1,1−∞,−,+∞,∞1 −2,−−1,−2,1,++∞∞
a) b) c) d) e) NA
≤ 2
es:
PAB - 2013
11.
La solución de la inecuación a) b) c) d)
, 3 −3, , 3 − , 3
| +2+ 2| ≥ |2 −1− 1|
e) NA 12.
Después Después de resolver la inecuación conjunto solución es:
, es:
|3 − 5| ≤ 7
, la suma de los números naturales del
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) NA
13.
Después Después de resolver la inecuación conjunto solución es:
|2 −3− 3| < 7
, la suma de los números enteros del
a) 14 b) 17 c) 15 d) 10 e) NA 14.
Después de Después de resolver la inecuación a) b) c) d)
−3,−3,3 ∪ 4 + ∞ −3,−3,1 ∪ 4 + ∞ −3,−3,3 ∪ 4,4, + −3,−3,1 ∪ 4,4, +
e) NA
∞
∞
− ≥ 1 +
, solución es:
PAB - 2013
10.LOGARITMOS 10.LOGARITMOS Definición. El logaritmo de un número “x” es el exponente “R” al que se tiene que
= ⇔ =
elevar una cantidad constante llamada base “a”, para obtener el número dado, es decir:
PROPIEDADES DE LOGARITMOS 1. 3. 5. 7. 9.
(( ∙ ) = + = ∙ ∙ =
() = =
2. 4. 6. 8. 10.
= −
√ √ = ∙ = = log =l= =log ⟺ =
LOGARITMOS ESPECIALES
1 ==110 = 0 100 10 ==1010 = =12 1000 1000 = 10 = 3 10 = = . .
CAMBIO DE BASE: BASE:
IMPORTANTE •
El número de un logaritmo para que exista debe ser una cantidad positiva.
•
La base de un logaritmo l ogaritmo para que exista debe ser un número positivo distinto de 1. Los logaritmos solo existen para números positivos con base distinta de 1
PAB - 2013
Ejemplos Aclaratorios: 1.
= log 125−log √ 161 6 +log√ √ = log 125−log √ 161 6 +log√ √ Simplificando la Simplificando la expresión a) 23/6
b) 25/6
, el resultado es:
c) -25/6
d) -23/6
e) NA
Desarrollando por separado cada término tenemos:
t = log 125 = = = ∙∙/ = ∙ = −log √ 1616 = − √ =− = − = − = log√ √ = √ √ = / = ∙∙ = = −4 = − − 4 = = = − Reemplazando tenemos:
R. inc.) d
2.
log√ √ −log√ √ √ √ 0.0 .1 +log√ √ 2 C = log √ √ −log√ √ √ √ 0.0 .1 +log√ √ 2 / ∙ = log √ √ = √ = / = ∙ = − Al reducir la expresión
a) 2
b) 4
, se obtiene:
c) -2
d) 0
e) NA
Desarrollando por separado cada término tenemos:
/ ∙ = −log√ √ √ √ 0.0.1 = − √ = − / = − ∙ = − = =
t = log√ √ 2 = √ √ = ∙ = 2 Reemplazando tenemos:
= − + + 2 = = = 0
R. inc.) d
PAB - 2013
3.
log√ √ C = log√ √ = √ √ = √ √ = ∙( =) ∙∙∙ = ∙∙(∙(∙ ))) ) = ∙∙(∙∙))) = = −4 Simplificando la expresión a) 1
b) -1
, se obtiene:
c) 4
d) -4
e) NA
R. inc.) d
4.
8√ √ = 8log3√ √ √1211 211 = 8 √ = ∙ == 8(22)log23√ √ 1211∙2183 ∙ √ 8 = √ √ ∙∙ = √ √ == 2√ √ 121121. √ 2∙ √= 2121121 ∙ 2 = 242242 = log1+l1+log(1+l1+log ) = 0 lo1+l1g+l1+l1o+lg(o1+l1g+l(1+l1o+lg o)g =)9 = =01 log = ⇔ = l(o1+l1g+l(1+l1o+lg o)g =3) = =01 log = ⇔ = log= 3= =01 log = ⇔ =
Reducir la expresión: a) 121 b) 210
c) 150
d) 242
e) NA
; aplicando
; aplicando:
; aplicando:
; aplicando:
R. inc.) d
5.
Al resolver la ecuación
a) 1
, el valor numérico de x/4 es:
b) 1/4
c) -1
d) 1/2
; aplicando:
, simplificando tenemos:
; aplicando:
, simplificando tenemos:
; aplicando:
R. inc.) a
e) NA
PAB - 2013 6.
La solución para x de la ecuación a) 1
b) 5
2 + 2 + 2 + 2 = 480
c) 3
d) 4
, es:
e) NA
22 ∙ ( 2+ 2+2 ++22 + +1)2 = =480480 22 ∙=(15)1325)= =2480 = ⇔ = log √ √ 5 − 9 + log √ √ − 1 = 3 lloogg√ √ √ √ 55−−99+∙ √ √ log−1− √ √ 1 −1−= 13 = 3 log= +⇔ ==log(∙g(∙) √ √ (55 −−9−99)∙ ∙√ √ (−1−−1−11) == 28 √ √ ∙ = ∙∙ 5√ √ 55 − 1−414−55+ 9=0 = (8) (( −5−5−− 55)) ∙=(550 →+ 11)11) = =50 (55 + 11)11) = 0 → = − log(5 − ) −log(10−2 10−2) = 1 log(5 − ) −log(10−2 1(0−2)) = 1 log = log(5 − ) − () ) = 1 log 4 = 2 ) l2∙oglog(5(5−−))−−log(10−2 = 1 ) 1 0−2 = 2 ∙ ∙ = log (5 − ) − log (10−2 10−2) = 2 − − = , aplicando factor común tenemos:
, sumando el paréntesis tenemos:
, dividiendo entre 15 tenemos:
, aplicando:
x=5
7.
R. inc.) b
Después de resolver la ecuación
, el valor numérico de
2x-3 es: a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) NA
, aplicando:
, aplicando:
, aplicando:
, elevando al cuadrado a/m y multiplicando tenemos: , desarrollando los cuadrados e igualando a cero tenemos:
, factorizando tenemos:
, igualando a cero cada factor y despejando tenemos:
(No sirve)
R. VN=2x-3=2(5)-3=7 VN=2x-3=2(5)-3=7 8.
inc.
c
La solución para solución para x de la ecuación a) 3
b) -3
, es:
c) 3
d) 4
e) NA
, aplicando: , como
y llevando a base 2
tenemos:
, multiplicando por 2 tenemos: , aplicando:
, aplicando:
PAB - 2013
)) = 2 log = ⇔ = ) l(o)g)(() = 2 () 25− 10) + = 4040 − 8( −− ) = − 2 + , aplicando:
, aplicando
( −5−− 52)∙−1−(1+3+5 =3)0 = 0 (( −5+3−+ 53)) == 00 →→ == −35
y realizando realizando operaciones: operaciones:
, igualando a cero tenemos:
, factorizando tenemos:
, igualando a cero cada factor y despejando x tenemos: (No sirve)
9.
R. inc.) b
log 75+5 7 5+5√ √ = log 75+5 7 5+5√ √ =/ log = ⇔ = 75+5 7 5+5√ √ √ √ =10 = √ √ 100100 √ √ 75+5 75+5 = √ √ 100100 5√ √ 3 −5− 5==252 = 5 = ⇔ = 3√ √ 3= 9−5− 5 = (2) 2log(log ) +loglog2√ √ 22 = 1 2log(log ) +loglog2√ √ 2 22 = 1 ∙∙ = log(log ) − log +log = 1 = log log() − log + = 1 − = log = 1 log = ⇔ = La solución de x en la ecuación
a) 1
es:
b) 2
c) 3
d) 4
e) NA
, aplicando:
, elevando al cubo tenemos: tenemos:
, desarrollando y ordenando tenemos: tenemos:
, aplicando:
, elevando al cuadrado tenemos:
, desarrollando y ordenando tenemos:
x=3
10.
R. inc.) c
La solución de la ecuación
a) 1 y 8
, es:
b) 1/2 y 1
c) 3 y 8
d) 1/2 y 8
, aplicando:
tenemos:
, por cambio de variable:
, aplicando:
, aplicando:
e) NA
y cambio cambio de base
PAB - 2013
= 2 22 −= 46+−46 = 0 − 2 − 3 = 0
, realizando operaciones tenemos: , , igualando a cero tenemos: , dividiendo entre dos tenemos:
actorizando tenemos: , f actorizando
(( −3−3−− 33)) ∙=(0+1+→1) = =0 3 ( ) +1 + 1 = 0 → = −1 == 3−1lolgog ==3−1⇔ ⇔ =8 = 8 R.
inc.) d
, igualando a cero y despejando t:
PAB - 2013
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN # 8 LOGARITMOS Y ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES 1.
El valor numérico de numérico de la expresión a) b) c) d) e)
2.
El valor numérico de numérico de la expresión a) b) c) d) e)
3.
4 5 1 e NA
Simplificando la Simplificando la expresión a) b) c) d) e)
4.
4/3 2/3 1 3 NA
1 10 10x x NA
El valor numérico de numérico de la expresión
6.
5 -5 -3 3 NA
La solución de solución de la ecuación a) 5 b) -5 c) 10
− −
, es:
, se obtiene:
El valor numérico de numérico de la expresión
a) b) c) d) e)
, es:
− − −
a) - 4 b) -5 c) -3 d) 3 e) NA 5.
log () +7log√ √ √ √ 125+5 125+5
√ √ √ √
, es:
√ √
, es:
(( − ) −((−−) − −) =
, es:
PAB - 2013 d) -10 e) NA
7.
La solución de solución de la ecuación a) 4 b) 5 c) 1 d) 10 e) NA
8.
La solución de solución de la ecuación a) 6 b) 9 c) 3 d) 1 e) NA
9.
Al resolver la resolver la ecuación a) b) c) d) e)
10.
3 − 3 − 3 = 231
5 10 25 30 NA
La solución de solución de x de la ecuación a) b) c) d) e)
16 10 24 32 NA
=
, es:
, es:
log(g(5 − 15)15) +log(g(26−5 2 6−5) = 1
La solución de solución de x de la ecuación a) b) c) d) e)
11.
8 4 1 2 NA
√ √ ++ ++ √ √ − =
, una de sus soluciones soluciones es:
, es:
log +l+ log +l+ log =
, es:
PAB - 2013 12.
La solución de solución de x de la ecuación a) b) c) d) e)
13.
Después de resolver la ecuación a) b) c) d) e)
14.
5 4 3 1 NA
Después de resolver la ecuación a) b) c) d) e)
17.
10/3 40/3 20/3 50/3 NA
5 4 3 2 NA
5 = 125
5 = 25()
Después de resolver la ecuación a) b) c) d) e)
16.
1 2 3 4 NA
La solución de solución de x de la ecuación a) b) c) d) e)
15.
1 4 2 3 NA
10() = ())
a) b) c)
log log log
, la suma de sus raíces es:
, es:
3 + 9 = 108
, el valor valor numérico de 3x/2 es:
3 = + 25
La expresión cuyo desarrollo logarítmico es
, es:
, el valor numérico de 2x/3 es:
2−log +3+ 3 log −2− 2 log
, es:
PAB - 2013
log
d)
e) NA 18.
Después de Después de resolver la ecuación a) b) c) d) e)
19.
Después de Después de resolver la ecuación a) b) c) d) e)
20.
1 4 3 0 NA
Después de Después de resolver la ecuación a) b) c) d) e)
22.
1/5 1/4 1/3 1/2 NA
Después de Después de resolver la ecuación a) b) c) d) e)
21.
1/5 1/4 1/3 1/2 NA
1/4 4/5 1/3 1/2 NA
La solución de solución de x de la ecuación a) b) c) d) e)
3 -3 10 3 y -3 -3 NA
()) = = 5())
, el valor numérico de x/22 es:
, el valor numérico de x/10 es:
+ =
, el valor numérico de x/3 es:
+ =
, el valor numérico de x/12 es:
log( − 5) −log(10− 1 0−) = 2
, es:
PAB - 2013 23.
La solución de solución de x de la ecuación a) b) c) d) e)
24.
La solución de x de la ecuación a) b) c) d) e)
25.
7 8 9 10 NA
{2,4} {4,4} {0,6} {2,6} NA
La solución La solución de x de la ecuación a) b) c)
d) e) NA 28.
Al resolver el sistema a) b) c) d)
(1,10) (10,1) (5,4) (4,5)
, es:
log +l+ log√ √ +l+ log = 4
√ √ = √ √
El conjunto solución de la ecuación a) b) c) d) e)
27.
7 8 6 9 NA
La solución La solución de x de la ecuación a) b) c) d) e)
26.
7 y -7 7 -7 0 NA
=
= 1
, es:
, es:
, es
log √ +log √ + log +log
3+−−5= 353=51
, el conjunto conjunto solución es:
, es:
PAB - 2013 e) NA 29.
Al resolver el sistema a) b) c) d) e)
30.
Después de resolver el sistema a) b) c) d) e)
31.
32.
(1,10) (10,1) (5,50) (50,5) NA
+ −− =2525= 1
(2,4) (2,2) (4,4) (4,2) NA
La solución de x en la ecuación a) -16 y 1 b) 1 y 16 c) 2 y -2 d) -1 y 16 e) NA
= = ∙ =
El valor numérico de numérico de la expresión a) b) c) d)
−
e) NA 33.
, el conjunto conjunto solución es:
Después de resolver la ecuación a) 1/2 b) 2 c) 4 d) 8 e) NA
, una de sus soluciones es:
, es:
log√ √ ∙ log√ √
2 − 4 = 64
, es:
, el valor numérico numérico de x/8 x/8 es:
PAB - 2013 34.
Después de resolver la ecuación a) 1/2 b) 2 c) 4 d) 8 e) NA
35.
La solución para x de la ecuación a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) NA
36.
La solución para x de la ecuación a) 3/2 b) 2 y 3/2 c) 4 d) 1 e) NA
3 + 9 = 324
, el valor numérico numérico de x/6 es:
5 − 2∙5 = 15
, es:
3 − 4∙3 = −3
, es:
PAB - 2013
11. TRIGONOMETRÍA La trigonometría nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se establecen por medio de triángulos, circunferencia y otros. La trigonometría en la vida real es muy aplicada, ya que podemos medir alturas o distancias, realizar medición de ángulos, entre otras cosas. Sirve para medir la distancia que existe desde cierto punto a otro empleando ciertos elementos como un triángulo rectángulo, escaleno, isósceles y de cualquier tipo. Ayuda también para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana y de otros campos del conocimiento científico.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica bastante a la geometría. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
= ℎ = ℎ = = = ℎ = ℎ = + == +− = − TEOREMA DE PITÁGORAS: PITÁGORAS:
PAB - 2013
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
=++ = 1
= = =
= =
2 = 2 ∙ 2 = −− 2 = (((±±±±) =) = ±∙± ∙ (( ±± ) = ∙ ∓ ∙ ∓∙ 1+2 2 = 1+ = = =
=
ÁNGULOS NOTABLES FUNCIÓN
0°
Seno
0
Coseno
1
Tangente
0
Cotangente
Secante
±
30°
12 √ √ 23 √ √ 33 ∞ √ √ 3 2√ √ 33
1
45°
60°
√ √ 22 √ √ 22
√ √ 23 12 √ √ 3 √ √ 33
1
1
√ √ 2
2
90° 1
0
∞
±
0
∞
±
PAB - 2013
Cosecante
±
∞
2√ √ 33
√ √ 2
2
1
1лrad=180°
Ejemplos Aclaratorios: 1.
Al simplificar la expresión trigonométrica
лл лл
, se obtiene:
5 −2√ √ л6+л3 − 2√ √ 6 5 + 2√ √ 6 3 + 2√ √ 6 = л−л л = 180 a)
b)
c)
, si
d)
e) NA
, tenemos:
√ √ √ √ ° ° = ° = ° √ √ √ √
= 3√ √ √ √ +2√ √ √ √ √ √ 6+26+2 ∙ √ √ √ √ √ √ √ √ = √ √ √ √ √ √ ∙∙√ √ √ √ √ √ = 3−2= 3 =5+2√ √ 6
R. inc.) c
2.
Si
√ √ √ √ = = = √3 − =1 = √ 8 = 2√ √ 2 = √ √ a)
√ √
, entonces el el valor de b)
es:
c)
Como:
Calculando el cateto opuesto por Pitágoras:
Como:
d)
√ √
e) NA
= √ −
, tenemos:
R. inc.) a
3.
( ) ( ) ( 30°+) 3 0°+ +( + 30°−) 3 0°− ( ) == (30°(30°+ 30°+∙) ++30°(30°− 30°−∙)) ) + (30° ± ± = ∙ ± ∙ ) 30° ∙ −30° ∙ ) == 3330°30°0°∙0°∙∙∙ +++ 3330°30°0°∙0°∙∙∙ + 30°30°∙∙ −− 3300° ∙ Después de simplificar
a)
b)
c)
, se obtiene:
d)
, , aplicando:
, simplificando tenemos:
e) NA
PAB - 2013
= 2∙2 ∙ 30° ∙ = 2 ∙ ∙ =
, reemplazando
4.
30° =
tenemos:
R. inc.) d
( ∙) )
Utilizando identidades trigonométricas y simplificando
, se obtiene:
= (+∙)− = + − + ∙ − = − = ++ = 1 = −− =− 1 = ++ = 1 = 2 = ∙ = = a)
b)
c)
d)
e) NA
, aplicando:
, aplicando:
, aplicando:
R. Inc.) b
5.
Utilizando identidades trigonométricas y simplificando la
∙ ∙−+− =
siguiente expresión:
, se obtiene:
a)
b)
c)
d)
e) NA
, aplicando las identidades tenemos:
∙ ∙∙ − + − ∙ − + − ∙ ∙ = ∙ = 1 − ∙ + − ∙ ∙ ∙ = = ∙∙ = =
=
Aplicando la identidad:
= = =
, tenemos:
, realizando operaciones tenemos:
R. inc.) c
PAB - 2013
6.
( ++ )) + ( − − ) == ( +++2+2) ∙∙+(+−−++) −2− 2( ∙∙±±) += ±2 + ++ = 1 → = 1 + 1 = 2 La expresión trigonométrica expresión trigonométrica a) 2senx
b) 2cosx
, es igual igual a:
c) senx
d) 2
e) NA
, aplicando:
Aplicando la identidad:
7.
R. inc.) d
∝∝ ∝ ∝
Simplificar la expresión trigonométrica:
= ++ ∝∝ =1∝∝ − 2 ∙ ++ = 1−1 − 3 ∙ 22∙22 = 1−222∙22 11−3 −2 = ((1−2 1−3∙∙ ) ∙1−3 ∙ = ∙ = ∙∙(∙∙) = a)
b)
c)
,
d)
e) NA
aplicando las siguientes identidades: y
, sumando y factorizando tenemos: tenemos: R. Inc.) b
8.
л л л 1л = 180°1л = 216° = 216°∙ ° = л a)
b)
c)
d)
, tenemos:
Como:
9.
л
Un ángulo de 216 grados sexagesimales en radianes es igual a:
R. Inc.) b
La solución positiva de la ecuación trigonométrica
a) 60°
b) 90°
c) 50°
e) NA
− = 0
d) 45°
e) NA
= = − = 0 − == 0 ∙∙=1 − − − ) = 0 2−−1−(1− 11− = 0∙∙ √ = = = ∙ = → = 45° 400°30´ , aplicando las identidades:
, multiplicando por ; reemplazando
y
tenemos:
, tenemos:
, realizando operaciones tenemos:
, despejando
y tomando x positiva tenemos: R. inc.) d
10.
, es:
El ángulo
en radianes radianes es: es:
PAB - 2013
л л л 400°30´ = 400+ =л400 = == 400° л30´== л∙ = л a) 3.25
b) 2.25
= 2.225 л
c) 2.275
л
d) 2.225
, reduciendo queda:
, dividiendo tenemos: R. inc.) d
e) NA
PAB - 2013
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN # 9
TRIGONOMETRÍA 1.
= √ √ √ √ 32 √ √ 3 √ √ 3
Después de simplificar la expresión a) b) c) d) e) NA
2.
Si a) b) c) d)
, el valor valor de
El valor numérico de la expresión a) b) c) d)
°°°°
e) NA 4.
Si a) b) c) d)
=
, entonces el valor numérico de
e) NA 5.
Después de reducir la expresión a) b)
, se obtiene:
es:
e) NA 3.
−
, es:
=
=
, se obtiene:
es igual igual a:
PAB - 2013
c) d) e) NA
6.
30°
De un triángulo rectángulo uno de los catetos vale 10 cm, el ángulo opuesto es de el otro cateto en cm vale:
010√ √ 10√ √ 32 15√ √ 155√ √ 53 = , = √ √ √ √ 1313 √ √ 1313 √ √ 1313 √ √ 3
,
a) 1 b) c)
d) e) NA 7.
Si a) b) c) d)
, entonces
cos(( + )
e) NA 8.
Simplificando la expresión trigonométrica
a) b) c) d) e) NA 9.
0
10.
Simplificando la expresión trigonométrica como resultado: a) 1 b) c) d) e) NA
Simplificando la expresión trigonométrica
es igual a:
, queda como resultado:
− −∙ = −
, queda
, queda como resultado:
PAB - 2013 a) 1 b) 2 c) d) e) NA
0 22 22 21
11.
Simplificando la expresión trigonométrica a) b) c) d) e) NA
12.
Simplificando la expresión trigonométrica a) b) c) d) e) NA
2( 2(1+ 1+)
13.
Simplificando la expresión trigonométrica como resultado: a) b) c) d) e) NA
14.
Simplificando la expresión trigonométrica a) b) c) d) e) NA
15.
a) b)
, queda como resultado:
cos( ++ ) + + ( ++ )
∙
Simplificando la expresión trigonométrica resultado:
, queda como resultado:
, queda
, queda como resultado:
22 +
, queda como
PAB - 2013 c) d)
e) NA
16.
17.
Simplificando la expresión resultado: a) b) c) d) e) NA
Si a) b) c) d) e)
19.
++ + 22 20 −− = 2 2 −− = √ √ √ √ 32 −− = √ √ √ √ 51515 √ √ 3
Al simplificar aplicando identidades trigonométricas a) b) c) d) e)
18.
( ∝ − ∝)∝) + ( ∝ + ∝)∝)
Si a) b)
senx
2 2 NA
, la
es:
, la
es:
5
5 2 NA
c) d) 3 e) NA 20.
Si a) b) c)
, la
es:
−
, queda como
, se tiene:
PAB - 2013 d)
√ √ 1515
e) NA 21.
= 360° = 230°
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, donde la expresión
√ √ 2/22/2 √ √ 2
a) 5/2
45°
, , es igual a:
b) c) 1/2 d) e) NA 22.
Reduciendo la expresión
2
a) senx b) c) d) 1 e) NA 23.
Reduciendo la expresión
2
a) b) c) d) e) NA
+ − ( +) − +
, queda:
, queda:
1
24.
Resolviendo la ecuación trigonométrica a) 150° b) 210° c) 120° d) 90° e) NA
25.
Resolviendo la ecuación trigonométrica soluciones es: a) 120° b) 240° c) 180° d) 30° e) NA
2 +3 = 0
, una de las soluciones es:
(45°− 45°−) +(45°− 45°−) = 4
, una de las
PAB - 2013 26.
La longitud en metros de la sombra proyectada por un edificio de 60 metros de altura cuando el sol se encuentra elevado 30° sobre el horizonte es:
040√ √ 40√ √ 32 50√ √ 5040√ √ 33
a) 6 b) c)
d) e) NA
27.
Determinar el largo que tiene una sombra que proyecta una antena de 40 metros de alto, cuando el sol está a a) b) c)
40√ √ 4040√ √ 32 50√ √ 5040√ √ 40 35
л
sobre el horizonte.
d) e) NA
28.
La distancia entre dos edificios de techo plano es de 60 metros. Desde la azotea del menor de los edificios, cuya altura es de 30 metros se observa la azotea del otro con un ángulo de elevación de 45°. La altura en metros del edificio es: a) b) c) d) e)
29.
60 90 80 100 NA
Una torre está situada sobre la orilla de un río. Desde la orilla opuesta, el ángulo de elevación de la torre es de 60° y desde un punto 100 metros más distante, el ángulo de elevación es de 30°. La altura de la torre en metros es: a) b) c)
6060√ √ 60√ √ 23 50√ √ 5050√ √ 50 23
d) e) NA
PAB - 2013 30.
Una palmera proyecta una sombra de 18 metros de largo. Si el ángulo que se forma desde la punta de la sombra hasta el punto más alto de la palmera es de 30°, entonces la altura de la palmera en metros es. a) b) c)
63√ √ √ √ 33 5√ √ √ √ 33
d) e) NA
PAB - 2013
GEOMETRÍA PLANA La geometría plana es la rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de superficies y de figuras planas, como el triángulo o el círculo. CÓMO SON LOS ANGULOS Agudos. Agudos. Si su medida está comprendida entre 0° y 90°. Rectos. Rectos. Si su medida es 90°. Obtusos. Obtusos. Si su medida está comprendida entre 90° y 180°. Llanos. Llanos. Si su medida es 180°. CLASES DE ÁNGULOS EN TÉRMINO DE SUS MEDIDAS Ángulos Suplementarios. Suplementarios. Si la suma de sus medidas es 180°. Ángulos Rectos. Rectos. Si los dos ángulos que forman un par lineal, tienen la misma medida, entonces cada uno de estos ángulos es recto. Ángulos Complementarios. Complementarios. Si la suma de sus medidas es 90°. CLASIFICAIÓN DE LOS TRIÁNGULOS POR SUS LADOS Y SUS GRÁFICAS Triángulo Escaleno. Escaleno. Cuando no tienen ningún lado igual. Triángulo Isósceles. Isósceles. Cuando tiene dos lados iguales. Triángulo Equilátero. Equilátero. Cuando tiene los tres lados iguales.
== √ 22 = 4 = ∙ ∙ == √2 ( +++) = + + ∙ = =л∙= л ∙ == 2лл∙∙ () ) √ FÓRMULAS BÁSICAS
Área de un Cuadrado:
Perímetro de un Cuadrado:
Diagonal de un Cuadrado:
Área de un Rectángulo:
Perímetro de un Rectángulo:
Perímetro de un Triángulo:
Diagonal de un Rectángulo:
Área de un Triángulo:
Área de un Círculo:
y
Perímetro de un Círculo: Área de un Trapecio:
Altura de un Triángulo Equilátero: Equilátero:
y
ℎ = √
Área de un Triángulo Equilátero: Equilátero:
= = 3
Perímetro de un Triángulo Equilátero: Equilátero:
PAB - 2013
EJERCICIOS DE DE AUTOEVALUACIÓN AUTOEVALUACIÓN # 10 GEOMETRÍA PLANA 1.
Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Si el 2 área del triángulo es 24 m , entonces la longitud en metros de cada lado es: a) 9,12, 9,12,15 15 b) 6,9, 6,9,12 12 c) 6,8, 6,8,10 10 d) 6,8, 6,8,12 12 e) NA
2.
Las dimensiones en metros de un rectángulo cuya diagonal mide 75 metros, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 metros y 48 metros respectivamente son: a) b) c) d) e)
40,60 45,65 40,72 45,60 NA
3.
Un jardín rectangular jardín rectangular de 50 metros de largo por 34 metros de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. La anchura en metros de de dicho camino sabiendo que su área es 261 m2 es: a) 3 b) 2 c) 1 d) 1.5 e) NA
4.
Una cancha de fútbol deberá ocupar una superficie rectangular de 7 500 m2. Si el largo es 25 metros más que su ancho, entonces las dimensiones en metros de la cancha son: a) b) c) d) e)
60,85 75,100 80,105 100,125 NA
PAB - 2013
5.
El lado en lado en metros de un triángulo equilátero cuyo cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 18 metros de lado es: a) b) c) d) e)
6.
24 20 30 25 NA
El área en m2 del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 metros es: (л=3.14) a) 18 b) 20 c) 15 d) 24 e) NA
7.
El área en cm2 del cuadrado inscrito en la circunferencia de radio 4cm, es: a) 30 b) 40 c) 35 d) 32 e) NA
8.
Si en un rombo, la diagonal menor mide 20 cm y el lado 26 cm; entonces la diagonal mayor en cm mide: a) 36 b) 48 c) 30 d) 50 e) NA
9.
El área de una circunferencia que circunscribe a un cuadrado de lado a) 3л b) 2л c) 4л d) 5л e) NA
2√ √ 2
es:
PAB - 2013
10.
Dos rectángulos son semejantes. Los anchos respectivos son 16 y 24 metros y el primero tiene 30 metros de largo. El largo en metros del segundo es: a) 39 b) 48 c) 45 d) 50 e) NA
11.
Un rectángulo tiene 96 m2 de área y 44 m de perímetro. Sus dimensiones en metros son: a) 16 y 9 b) 18 y 6 c) 16 y 6 d) 20 y 4 e) NA
12.
Si la base de base de un rectángulo es el triple de su altura y su área es 432 m2, entonces la base en metros es: a) b) c) d) e)
13.
36 48 24 12 NA
Si el área área de un rectángulo es de 375 m2 y su base es 10 metros más que su altura, entonces la altura en metros es: a) b) c) d) e)
14.
16 28 25 15 NA
Si la diagonal de un rectángulo mide 10 metros y su altura es 6 metros, entonces su área 2
en m , es: a) b) c) d) e)
46 48 40 56 NA
PAB - 2013
15.
El área en m2 de un cuadrado cuya diagonal vale a) b) c) d) e)
16.
16 18 20 12 NA
4√ √ 2
es:
2
Si se aumentan 2 metros al lado de un cuadrado, su área aumenta en 36 m . Entonces el lado del cuadrado en metros es: a) b) c) d) e)
6 8 10 12 NA
17.
Si el área de área de un círculo es 256л, entonces su radio es: a) 16 b) 15 c) 18 d) 12 e) NA
18.
Si el perímetro de perímetro de un rectángulo es 72 metros y su longitud es 8 metros más que su ancho, 2 entonces su área en m es: a) 300 b) 400 c) 348 d) 308 e) NA
19.
Las dimensiones de un jardín rectangular son 40 m. por 24 m. y alrededor del jardín hay un camino. Si el área del jardín y el camino es de 1232 m 2, entonces el ancho del camino en metros es: a) 2.5 b) 1 c) 2 d) 1.5 e) NA
PAB - 2013 20.
El perímetro de un triángulo triángulo mide 20 cm. cm. Si Si el el lado mayor excede en 6 cm. cm. al al menor menor y el intermedio es doble del menor más 2 cm, entonces el lado mayor en cm mide: a) b) c) d) e)
21.
5 7 9 11 NA
El perímetro de un triángulo mide 34 cm. Si el lado mayor es el doble del del menor y el lado intermedio es los 5/12 de la suma de los otros dos, entonces el lado mayor en cm mide: a) b) c) d) e)
15 16 19 20 NA
22.
El perímetro de un triángulo triángulo mide 35 cm cm y uno de sus lados mide 12 cm. cm. Si Si el producto de los otros dos lados es 130, entonces sus lados en cm miden: a) 15 b) 16 c) 19 d) 20 e) NA
23.
El perímetro de un triángulo ABC mide 11.5 metros. Determinar el lado c, si los lados cumplen las siguientes relaciones:
a) b) c) d) e) 24.
2.15 2.25 3.05 2.75 NA
= 34+ 7 , = , = 34−1− 1
Si P,Q,R son son tres rectas paralelas; la recta AB corta a dichas rectas en los puntos A,E y B y la recta CD corta en los puntos C,F y D respectivamente. Si AE=10 cm, EB=5 cm y FD=3 cm, entonces CF en cm mide? a) 5 b) 6 c) 8 d) 7 e) NA
PAB - 2013 25.
Los lados de un triángulo miden 4cm, 6 cm y 8 cm respectivamente. ¿Cuánto medirán en cm los lados de otro triángulo semejante, si la razón entre los lados correspondientes es de 2/3? a) 8, 10 y 12 b) 6, 9 y 12 c) 8, 12 y 16 d) 10,15 y 21 e) NA
26.
Los lados del triángulo ABC miden: AB=18 cm, BC=15 cm, AC=12 cm. Si por un punto M del lado AB se traza MN paralela a AC. ¿A qué distancia en cm del vértice B debe estar el punto M, para que la razón de semejanza de los lados correspondientes de los triángulos ABC y MBN sea de 3/2? a) 12 b) 14 c) 10 d) 15 e) NA
27.
Un edificio de 15 metros metros de altura proyecta una sombra de 20. La sombra en metros proyectada a la misma hora, por una pared de 3 metros de altura es: a) b) c) d) e)
28.
5 6 3 4 NA
Los lados lados de un pentágono miden 9 cm, 12 cm, cm, 15 cm, 6 cm cm y 18 cm. cm. Si Si en en otro pentágono pentágono semejante el lado correspondiente al de 12 cm, mide 8 cm, entonces el perímetro en cm del otro pentágono mide: a) b) c) d) e)
50 60 30 40 NA
PAB - 2013 29.
Las dimensiones de un rectángulo son 7 cm y 5 cm. cm. Determinar las dimensiones en cm de otro rectángulo semejante cuyo perímetro mide 72 cm. a) b) c) d) e)
30.
15 y 21 21 20 y 28 15 y 20 16 y 24 NA
La altura de una pared es de 7 metros. Si una escalera de 25 metros de longitud se apoya sobre la pared de modo que sus extremos superiores coinciden, entonces la distancia en metros que existe del pie de la escalera a la pared es: a) b) c) d) e)
31.
25 26 28 24
NA
Si el perímetro de un rectángulo mide 82 metros y la diagonal 29. El lado menor en metros mide: a) b) c) d) e)
32.
25 18 22 20 NA
Si los lados de un triángulo miden 11 cm, cm, 18 cm y 20 cm, entonces el número de cm que deben quitarse a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo es: a) b) c ) d) e)
33.
5 4 3 2 NA
El largo de de un un rectángulo rectángulo es 320 metros metros y su ancho ancho 75. Si Si al largo se se le disminuye 20 metros. ¿Cuántos metros habrá que aumentar su ancho para que su área no varíe? a) b) c) d) e)
5 6 8 7 NA
PAB - 2013 34.
El área del cuadrado resulta duplicado si uno de sus lados se agrega 4 metros y al otro 6, entonces el lado del cuadrado en metros mide: a) b) c) d) e)
35.
15 16 10 12 NA
La hipotenusa de un triángulo rectángulo forma con el cateto mayor que mide metros un ángulo de 60°. El área del triángulo en m2 es: a) b) c)
150100100√ √ √ √ 33 200250250√ √ 200√ √ 23
10√ √ 10 3
d) e) NA 36.
Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 12 metros. Si la diferencia de la 2
hipotenusa y el otro cateto es 6, entonces el área en m del triángulo mide: a) b) c) d) e)
37.
50 60 55 54 NA
El lado de un rombo mide 10 metros. Si sus diagonales están en relación de 3 a 4, entonces el área en m2 del rombo es: a) b) c) d) e)
38.
95 96 90 100 NA
Si el perímetro de un rombo es 80 m. Si la suma suma de sus diagonales es 56 m, entonces entonces el área en m2 del rombo es: a) b) c) d) e)
315 400 394 384 NA
PAB - 2013 39.
Si cada una de las dimensiones del rectángulo es aumentada en un 50%, entonces el área es aumentada en: a) b) c) d) e)
40.
155% 160% 115% 125% NA 2
El área de un trapecio es 240 m y su altura mide 6 m. Si las bases están en la relación de 2 a 3, entonces la longitud en metros de las bases es: a) b) c) d) e)
41.
30 y 45 28 y 42 34 y 51 32 y 48 NA
Los lados no paralelos y la la base menor de un trapecio isósceles son iguales entre sí y miden 25 m. Si la base mayor mide 55 m, entonces el área en m2 del trapecio es: a) b) c) d) e)
42.
600 700 800 900 NA
Si la longitud del arco de un sector circular es 20 metros y la del del radio es 8 metros, metros, entonces el área del sector circular es: a) b) c) d) e)
43.
60 70 80 90 NA
Determinar la longitud en metros de una circunferencia, si a un arco de 4 metros le corresponde un ángulo central de 30°. a) b) c) d) e)
60 50 40 48 NA
PAB - 2013 44.
Si el perímetro de un sector circular elevado al cuadrado es igual a 16 veces su área, entonces su ángulo central mide: a) b) c) d) e)
45.
3 rad 2.5rad 2.5 rad 2 rad 1.5rad 1.5 rad NA
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 40 metros. Si θ es uno de los ángulos
agudos y tag θ = , entonces su perímetro es: a) 60 m b) 90 m c) 96 m d) 98 m e) NA 46.
La La suma de dos ángulos es 100°. Si uno de ellos es el doble del complemento de otro, entonces la razón entre el menor y el mayor es: a) b) c) d) e)
1/2 2/3 1/4 1/8 NA
PAB - 2013 PROGRAMA # 1: OLIMPIADAS DEL SABER 2012
1.
() = , = : − + − − (− −) − (+ +) –24 24 ( )
El valor numérico de la expresión a) 1/4
2.
b) 4
3.
b) 1/2
b)
b) 1/3
b) 80
d) 24
e) Ninguna
el el resultado es:
d) 1
e) Ninguna
c) 60
b) 30
d) 120 e) Ninguna
c) 24
b) 10
d) 60
−+== ; = ()) c) -2
El valor de x de la ecuación c) 2
b) 1/5
d) -4
e) Ninguna el valor numérico de 2x es: el e) Ninguna
es:
d) -1
Después de resolver la ecuación a) 5
10.
c) -24
c) 4
a) 4/5 b) 5/4 9.
e) Ninguna , se obtiene:
Del siguiente sistema de ecuaciones a) 5
8.
d) 1
Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 10 y el cateto menor 6. El área del triángulo es: a) 48
7.
c) -1/2
, el valor de k es:
Si vendo los 2/5 de una pieza de tela me quedan 36 metros. Los metros de tela que tenía la pieza eran: a) 96
6.
sea divisible entre
Después de reducir la expresión a) 2/3
5.
e) Ninguna
Después de desarrollar y reducir la expresión a)
4.
c) -1/4 d) - 4
Para que el polinomio a) -1
; para
c) 1
e) Ninguna
= ; el valor numérico de 5x es: d) -1
e) Ninguna
El producto de 3 números consecutivos es siempre divisible entre: a) 5
b) 4
c) 10
d) 6
e) Ninguna
PAB - 2013
11.
12.
, el valor numérico de 2x es:
a) 1
d) 8
b) 2
c) 4
El valor de x de la ecuación a) -4/5 b) 4/5
13.
− = 1 √ √ = √ √
Después de resolver la ecuación
e) Ninguna
es:
c) -3/5 d) 3/5
e) Ninguna
− − − − / − /
Después de factorizar la expresión
, uno de sus factores es:
a) 2x+3 b) 5x-3 c) 2x-3 2x-3 d) 5x+2 5x+2 e) Ninguna 14.
Al reducir la expresión a) 1/4
15.
b) 4
c) -1/2 d) 1/2
e) Ninguna
Si vendo el 60% de mis cerdos me quedan 80. El número de cerdos que tenía es: a) 120 b) 160 c) 200
d) 240 e) Ninguna
PAB - 2013
PROGRAMA # 3: OLIMPIADAS DEL SABER 2012 – MATEMÁTICAS 1.
a) 9 2.
b)
√ √
b)
Si cos θ =
√ √
√ √ − =
d) 1
e) NA
d) 1
e) NA
, el valor numérico de 8x es: es:
c) 1/4
b) 15
d) 1/2
√ √
c) 12
e) NA
d) 10
e) NA
, entonces tag θ es igual a: b)
√ √
b) 3
b) 1
√ √ + + = =
Simplificando Simplificando la expresión a) 8
10.
e) NA
α es igual a:
c) 5
b) 1
Resolviendo la ecuación a) 0
9.
√ √
Resolviendo la ecuación a) 1
8.
d) 3
A un baile asistieron 22 personas. Una dama baila con 3 caballeros, una segunda dama baila con 4; una tercera dama baila con 5; y así sucesivamente hasta que la última baila con todos los caballeros. El número de damas que acudieron al baile era de:
a) 7.
c) 3/2
Después de resolver la ecuación
a) 11
6.
+1
, la solución de x es:
b) 0
a) 2 5.
c)
Si tag α = 0.5, 0.5, entonces cosec a)
4.
, el resultado es:
Resolviendo la ecuación a) 2/3
3.
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 2 − 1 √ √ 2 + =
Simplificando la expresión
b) 1
c)
d) 14
e) NA
, la solución de x es:
c) 2
d) 0
e) NA
d) 3
e) NA
d) 2
e) NA
, la solución de x es: c) 2
√ √
√ √ √ √
, el resultado es: c) 4
En un corral hay loros y conejos. Si se cuentan 17 cabezas y 48 patas, entonces el número de loros es:
PAB - 2013 a) 9
11.
c)
d)
b) 8
b) 8
c) 4
, el resultado es:
e) NA
d) 1
e) NA
, el valor numérico de 2x es: 2x es:
c) 16
; entonces
b) 16
e) NA
, la solución de x es:
Después de resolver la ecuación
a) 12
15.
b) 2
Si se resuelve la ecuación
a) 1
14.
d) 7
(+ +) + (− −) √− √ − = √+ √ + + = = ,, = = a) 2
13.
c) 10
Simplificando la expresión a) 1
12.
b) 12
c) 6
d) 4
e) NA
d) 36
e) NA
es:
Entre Pepito y Caito tienen 56 bolillas. bolillas. Si Pepito le regala a Caito 8, tendrán la misma cantidad; entonces el número de bolillas que tiene Caito es: a) 18
b) 20
c) 26
d) 36
e) NA
PAB - 2013
PROGRAMA # 4: OLIMPIADAS DEL SABER 2012 – MATEMÁTICAS 1.
Simplificando la expresión a) 3
2.
Racionalizando el denominador a)
3.
√ √ 2 5√ √ 2 √ √ √ √
b)
b) 3/5
6.
8.
d)
b) 10
e) NA
se se obtiene: c) 5/4
d) 4/5
d) 1
e) NA
, el valor numérico de 2x es:
c) 5
a) 8
c) 2
b) 4
e) NA
, el resultado es:
, se obtiene:
d) -5
e) NA
d) 16
e) NA
Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 18 cm de lado. b) 30
El resto de dividir el polinomio a) 0
10.
, el resultado es:
Realizando operaciones de
a) 20 9.
e) NA
c) x-1
Resolviendo la ecuación a) -10
7.
d)
Simplificando la expresión a) x+1 b) x
e) NA
, el resultado es:
c) 2
Reduciendo la expresión
d) 2
4√ √ 2 5√ √ 4 √ √ − − 5 √ √ √ √ , − − ÷ (−) −) = ( − )
c)
b)
a) 5/3 5.
√ √
, el resultado es:
c) 1/2
Realizando operaciones de a)
4.
b) 1/3
8 − 16
b) 1
c) 16
d) 24
(88 − 6 + 3 + 4) − , entre entre
c) 5
d) 2
e) NA
es: es: e) NA
Si la suma de 4 números consecutivos es 34, entonces el mayor es: a) 8
b) 10
c) 11
d) 9
e) NA
PAB - 2013 11.
Simplificando la expresión a) 1
12.
Después de resolver la ecuación a) 5
13.
c) x
() = − , − 5 + 4
b) x4
d) x+2 e) NA
el valor numérico de 3x+2 es: el
c) 10
c) 4x
d) 8
e) NA
, la suma de sus factores es: d) x+2 e) NA
El precio de lista de una gorra en el Mercado “Los Pozos” es de Bs. 80. Si se hace un primer primer descuento del 10% sobre el precio de lista y, luego un segundo descuento del 25% sobre el primer descuento, entonces se pagó por la gorra gor ra en bolivianos: a) 72
15.
b) 2
, se obtiene:
Después de factorizar la expresión a) 4
14.
b) 2
÷
b) 70
c) 32
d) 64
e) NA
Los lados lados de un un triángulo triángulo rectángulo rectángulo son pares consecutivos. consecutivos. Sabiendo que su área es 24 2 m , entonces su perímetro en cm es: a) 24
b) 48
c) 18
d) 30
e) NA
PAB - 2013
PROGRAMA # 5: OLIMPIADAS DEL SABER 2012 – MATEMÁTICAS 1.
a) - 8/5 2.
b) 8/5
4.
√ √
b) 5
5.
b) 45
, es:
d)
c) 10
e) NA
d) 1
c) 54
+ = − = ( +5+ 5) = ( −3− 3)
b) 2
b) 2
b) 3
Realizando operaciones de a) -1
10.
e) NA
la solución para x es:
Realizando operaciones de: a) 2
9.
; el valor numérico de
b) 4
Resolviendo la ecuación a) 4
8.
d) 4
Resolviendo sistema de ecuaciones
a) 4 7.
e) NA
e) NA
Los lados de un triángulo rectángulo son múltiplos consecutivos de 3. Si su perímetro es 36 cm, entonces su área en cm2 es: a) 90
6.
c) 2
c) 2
Resolviendo la ecuación: a) 5
d) - 5/8
, el resultado es:
b) -1
Resolviendo la ecuación a)
, el resultado es:
c) 5/8
Reduciendo la expresión a) 1
3.
= √ √ = √ √ = 1−2 5√ √ (( + ) = + + ( − ),
Simplificando la expresión:
b) 1
Realizando operaciones de a) cotg2x
b) tag2x
d) 60
e) NA
, el valor de x es:
c) 8
d) 16
e) NA
, la solución para x es:
c) 1
= ) = (() ) ) =
d) -1
e) NA
d) 4
e) NA
, el resultado es:
c) 6
, el resultado es:
c) sen x
d) cos x
e) NA
d) cos x
e) NA
, el resultado es:
c) sen x
PAB - 2013 11.
Resolviendo la ecuación a) 3
12.
b) 1
b) 40
Realizando operaciones de a) 1
15.
c) 10
c) -1
4 − 4 + = 0
d) 6
e) NA
, tenga raíces iguales: d) -2
e) NA
La suma de las edades de un un padre y su hijo es 60 años. Si Si la edad del del hijo hijo es es ¼ de la edad del padre, entonces la edad del padre es: a) 42
14.
, el valor numérico de 2x+1 es:
Encontrar el valor de k para que la ecuación a) 2
13.
b) 7
∙ =
b) 2
c) 48
= √ √ √ √
d) 44
e) NA
d) 4
e) NA
, se obtiene:
c) -1
Encontrar dos números pares consecutivos y positivos cuyo producto sea 528. a) 20 y 22
b) 18 y 20
c) 24 y 26
d) 22 y 24
e) NA
PAB - 2013
PROGRAMA # 6: OLIMPIADAS DEL SABER 2012 – MATEMÁTICAS 1.
Para que el producto de las raíces de la ecuación es: a) 5
2.
b) -5
El resto de realizar la división a) 20 b) -10
3.
c) 10
Simplificando la expresión a) 1/3 b) 1/4
4.
Resolviendo la ecuación
a) 2 6.
=
e) NA
, el resultado es:
√ √ = √ √
e) NA , la solución para x es: e) NA
+ ∙ = + c) 5
b) 45
, la solución para x es:
d) 1
c) 24
b) 132
b) 3
Realizando operaciones de a)
10.
d) 1
e) NA
d) 60
e) NA
c) 120
d) 140
e) NA
En una encuesta a 140 estudiantes sobre las preferencias de refrescarse con chicha y limonada respondieron: 80 prefieren tomar chicha, 70 prefieren tomar limonada y 20 ambos. El número de estudiantes que dijeron ni chicha ni limonada es: a) 1
9.
, es:
Una tinaja contiene 240 vasos de somó. Si se vende el 45%, entonces el número de vasos que queda es: a) 108
8.
b) 3
e) NA
Los lados de un triángulo rectángulo son múltiplos consecutivos de 2. Si su área es 24 cm2, entonces su perímetro en cm es: a) 90
7.
() )() )() )
c) 5/2 d) 5/3
Resolviendo la ecuación
; sea 3/5, el valor de k
d) 4
c) 1/2 d) 1/8
a) 2/3 b) 5/4 5.
c) 2
5 − 3 = 2 −
b)
=
b) 3
c)
, para
d) 10
e) NA
e) NA
d) 4
e) NA
, el resultado es:
= =
El valor numérico de a) 1
c) 5
d)
es:
c) 2
PAB - 2013
11.
Reducir la expresión: a) 1
12.
b) 3
b) 3 y 4
c) 4 y 5
e) NA
b)
e) NA
c) 3
d)
e) NA
entre
b) 4
b)
La solución de x en la ecuación b) -1
La solución de x en la ecuación
c) 1
b) 5
b) x>9/4
, se obtiene como resto:
d) 0
e) NA
, es:
c)
d)
+ =
e) NA
, es:
c) 1
d) 0
√ √ − 3+ √ √ = √ +9+ 9 + 1 − > 0 c) 1
Después de resolver la inecuación a) x<9/4
d) 0 y 4
sabiendo sabiendo que:
El 4º término del desarrollo de
a) 4 20.
d) 8x
la la solución de x es:
Al dividir
a) -2 19.
c) -8x
22 −√ √ − −4− −4 − √ √ +4+ 4 = 0,0, , −− = 3 2 √ √ √ √ − + +0.0.+ 3 − ) ( −3 − 3 −945 945 −940 −945
Encontrar la
a) 18.
, la suma de sus factores es:
Al resolver la ecuación
a) -4 17.
e) NA
++ +− −− −
a) 1 16.
d)
2x2 7x 15=0 2x2 7x 15=0 2x2 7x 15=0 2x2 7x+15=0 Ninguna de las anteriores
a) 3 y 5 15.
b) 4
√ √ 3 √ √ 2 15 − 8 − 16.6.
Si las raíces de una ecuación cuadrática son 3/2 y - 5. ¿Encontrar la ecuación? a) b) c) d) e)
14.
c)
Después de factorizar la expresión a) -4x
13.
√ √ √ √ √ √ √ √
c) x<-9/4
d) 7
e) NA , es: e) NA
, la solución solución es:
d) x<2
e) NA
PAB - 2013
BIBLIOGRAFÍA 1.
MATEMÁTICAS SOLUCIONARIO PSA-2011. Avendaño Eudal. UAGRM
2.
TRIGONOMETRÍA PLANA Y ESFÉRICA. Ayres Franck. Editorial CHAUM Mc. Graw-Hill
3.
ARITMÉTICA. Baldor Aurelio
4.
ÁLGEBRA. Baldor Aurelio
5.
ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA. Zill D y Dewar J. Segunda Edición acualizada. Colombia Ed. Emmn Ariza H. (Mc. Graw-Hill)
6.
ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA . Goodman A. y Hirsch L. México Ed. Prentice Hall Inc.
7.
TRIGONOMETRÍA TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA. Baldor Aurelio
8.
ÁLGEBRA BÁSICA. Lisky – Alexandrov V. Pasichenko P. Moscú Ed. MIR
9.
ÁLGEBRA. Galarza Goñi. Perú. Kalnia. Editorial Mir, Moscú.
10.
ARITMÉTICA 1, Repetto, Linsquet y Fesquet. Editorial “KAPELUSZ” Buenos Aires – Argentina.
11.
ARITMÉTICA 2, Repetto, Linsquet y Fesquet. Editorial “KAPELUSZ” Buenos Aires – Argentina.
12.
ARITMÉTICA 3, Repetto, Linsquet y Fesquet. Editorial “KAPELUSZ” Buenos Aires – Argentina.
13.
ÁLGEBRA, Repetto, Linsquet y Fesquet. Editorial “KAPELUSZ” Buenos Aires – Argentina.
