1. Балистика на наелектризираните наелектризираните честици
Во ова поглавје ќе биде проучувано движењето на наелектризираните честици во електросататско , односно магнетостатско поле.
Под електростатско поле се подразбира временски непроменливо електрично поле. Аналогно, под магнетостатско поле се подразбира временски непроменливо магнетно поле.
1.1.
Наелектризирана честичка во електростатско поле
1.1.1.
Закон за движење на наелектризирана честичка во електростатско поле
Ако дадена честичка со полнеж дејствува сила F
F
q
се наоѓа во елесктростатско поле
E
, на неа ќе
определена со релацијата:
qE
(1.1)
Доколку е слободна, честичката ќе се движи под дејство на силата
F
. Согласно законот на
Њутн (Isaac Newton), при брзини многу помали од брзината на светлината, ќе важи: 2
m
d r dt
2
F
(1.2)
каде што m е масата на мирување на честичката, а r е векторот на на нејзината положба. Комбинирајќи го (1.1) со (1.2) доаѓаме до Законот на движење на наелектризирана честичка во електростатско поле , т.е.
d 2 r
q
dt 2
m
(1.3)
E
Во правоаголен координатен систем, Сл. 1.1, векторската диференцијална равенка (1.3) се распаѓа на систем од три скаларни диференцијални равенки, т.е.: q
x
y
z
m q
каде што
E x (1.4)
E y m q E z m ,
x
y
и
z
се компонентите на вектор -положбата
компонентите на векторот
E
r
, а E x , E y и E z -
.
Z
t r aekt or i ja v =d r /dt F = qE o
y Y
x X
Геометрија на движењето на наелектризирана честичка во електростатско поле
Слика 1.1
1.1.2.
Движење на наелектризирана честива во хомогено електростатско поле
Во општ случај , векторот на електричното поле е функција од положбата, т.е., E
E(r ) ,
што значи E x
E x ( x, y, z ), E y
E y ( x, y, z ) и E z
E z ( x, y, z ) , па до бараното
решение, кое е од обликот x =x(t), y =y(t) и z =z(t), не е можно да се дојде по аналитички пат. Меѓутоа во случајот на хомогено електростатско поле, т.е., електростатско поле во кое векторот
E
е независен од положбата
r
, решавањето на системот (1.4) е едноставно,
бидејќи тогаш E x , E y и E z се константи. Општото решение ќе гласи:
qE x
x y
t 2
C 1 x t C 2 x
t 2
C 1 y t C 2 y
t 2
C 1 z t C 2 z
2m
qE y 2m
qE z
z
2m
(1.5)
каде што C 1 x , C 2 x , C 1y , C 2y , C 1z и C 2z се интеграционите константи. Парцијалното решение што ги задоволува почетните услови: x(0)
(0) x
;
y (0)
v xo ;
(0) y
x o
;
z (0)
v yo ;
(0) z
y o
z o
(1.6)
v zo
ќе биде дадено со qE x
x
2m
t 2
qE y
y
2
t
2m
qE z
z
2m
2
t
v xo t x o
v yo t y o
v zo t z o
(1.7)
Од (1.5) следува важниот заклучок дека траекторијата на наелектризирана честичка во хомогено електростатско поле е парабола .
Пример на хомогено електростатско поле е полето меѓу две план -паралелни 1
електроди , A и B, поставени на различни потенцијали V A и V B, Сл. 1.2. Освен во близината на периферните делови, векторот на полето ќе биде нормален на електродите и насочен од електродата со повисок потенцијал кон електродата со понизок потенцијал . а неговиот модул ќе изнесува
E
E
V A
V B
d
(1.8)
Во согласност со општиот израз за врската меѓу полето и потенцијалот, т.е., E
gradV ,
(1.9)
Потенцијалот межу електродите A и B ќе биде линеарна функција од положбата x .
1
Се претпоставува дека растојанието меѓу електродите , d , е многу помало од нивните планарни димензии
V B
B
x
Слика 1.2 Реализација на хомогено електростатскои поле со помош на две план-паралелни електроди.
d A
1.1.3.
V A
Закон за одржување на енергијата на наелектризирана честичка во електростатско поле
Во согласност со Законот за одржување на механичката енергијата, кинетичките енергии W kA и W kB на наелектризирана честичка во точките A и B од нејзината
траекторија, Сл. 1.3, нужно ја задоволуваат релацијата: B
W kB
W kA F d r
(1.10)
A
vB
V B
B
vA A
t raekt ori ja V A
rB
Слика 1.3
rA
Наелектризирана честичка во произволно електростатско поле
O
Имајќи предвид дека е:
W kA
m v A2 2
; W kB
m v B2 2
(1.11)
,
каде што vA и v B се модулите на брзината на честичката во точките A и B, и
B
B
B
B
F d r q E d r q gradV d r q dV qV
B
A
A
A
A
V A
(1.12)
каде што V A и V B се електричните потенцијали во точките A и B, во согласност со (1.10), добиваме
m v B2 2
qV B
m v A2 2
qV A
(1.13)
Бидејќи точките A и B се избрани сосема произволно, изразот (1.13) може да се напише
во обликот: 2
mv
2
каде што
C
qV C ,
(1.14)
претставува константа.
Релацијата (1.14) тврди дека сумата од кинетчката енергија W k потенцијаланата енергија W p
2
mv / 2 и
qV на наелектризирана честичка во какво и да било
електростатско поле е константна величина. Таа е позната Закон за одржување на енергијата на наелектризирана честичка во електростатско поле.
1.1.4.
Електрон и дефиниција на енергија од еден електронволт.
Електронот претставува наелектризирана елементарна честичка . Тој се катрактеризира со маса на мирување q
qe
q
19
o
1.6 10
m m
C . Полнежот qo
e
9.110 19
1.6 10
31
C
kg и електричен полнеж
е најмалото можно количество на
електрицитет и е познат како елементарен полнеж . Секој полнеж позитивен или негативен многукратник од
q
претставува
qo
Во балистиката на наелектризирани честици и физиката на цврсто тело, како единица за енергија обично се користи енергијата од еден електронволт (1 eV). По дефиниција, енергијата од еден електронволт е еднаква на промената на кинетичката, односно потенцијалната енергија на електрон што поминал низ потенцијална разлика од 1 V , значи: 1 eV
q q q
19
o 1.610
C
V V 1V 1.6 10
19
Ws
(1.15)
Енергијата од 1 eV се јавува како инзвонредно погодна единица за изразување енергијата на наелектризираните честици. Имено, кога оваа енергија се користи како единечна, промената на потенцијалната , односно кинетичката, енергија станува еднаква на продуктот од потенцијалната разлика низ која честичката поминала (изразена во волти) и бројот на елементарни електрични полнежи во честичката.
Пример 1. Електрон тргнува од електродата A кон електродата В со почетна брзина
еднаква на нула, Сл. П1. (а) Со колкава кинетичка енергија и со колкава брзина електронот ќе удри во електродата B, ако потенцијалите на електродите A и B се V A=0V и V B=100V? (б) Изрази ја кинетичката енергија на електронот кај електродата B
V A V
B
B
A
Сл. П-1
Решение
(а) Во согласност со Законот за одржување на енергијата на наелектризирана честица во електростатско поле, а со оглед на v A=0 и V A=0, важи: 2
0
me v B
2
qeV B
па e:
W k
v B
me v B2 2
q eV B
2q eV B
me
1.6 x10
5.93 x10
6
17
Ws
m / s
(б) Кинетичката енртгија на електронот на електродата B, изразена во електрон -волти, ќе изнесува 100 eV . Имено W kBeV
19
WkBWs / 1.6 10
17
1.6 10
19
/ 1.6 10
100eV
Наелектризирана честичка во магнетостатско поле Ако дадена наелектризирана честичка со електричен полнеж магнетостатско поле со индукција
B
, на неа ќе дејствува сила
F
q
се движи со брзина
v
во
позната како Лоренцова
(Hendrik Lorentz), според релацијата:
F
d r q( v B) q B dt
(1.16)
Според тоа, во согласност со вториот Њутнов закон, вектор -положбата
r
r
(t ) на
честичка што се движи во магнетостатско поле ќе биде решение на векторската диференцијална равенка:
d 2 r
dt 2 каде што
m
q d r B m dt
(1.17)
е масата на мирување на честичката .
Во правоаголен XYZ-координатен систем, векторската диференцијална равенка (1.17) се сведува на систем од три скаларни равенки, т.е. q
x
y
z
B y ) ( y B z z
m q m q
m
B x ( z
x B z )
( x B y
y B x )
каде што B x B y и ,
B z
(1.18)
се компонентите на векторот
B
во правоаголниот координатен
систем. [Вежба: Од изразот (1.17) добиј го системот равенки (1.18)!]
Решавањето на системот равенки (1.18) е релативно едноставно само во случајот на хомгено магнетостатско поле, т.е. во случајот кога векторот
B
е независен од
положбата , или со други зборови кога неговите компоненти B x B y и B z се константни, ,
т.е. независни од
x, y
и
z
. Се покажува дека во таков случај траекторијата на
наелектризираната честичка претставува хеликоида, т. спирала со константен чекор. Во останатите случаи анализата е комплицирана или невозможна без користење на нумерички методи.
За да ги утврдиме параметрите на хеликоидата по која би се движела дадена наелектризирана честица уфрлена во хомогено магнетостатско поле, ќе го поставиме правоаголниот координатен систем така што правецот на Z-оската да се покопува со правецот на векторот B z
q
x
y
z
. Во таков случај ќе важи B x
B , па системот (1.18)
B
B
B y
0
и
B z
B
B или
ќе се редуцира на
y B z
m
q
m
x B z
(1.19)
0
Претпоставувајќи уште дека во моментот
t
0
честичката се наоѓа во координатниот
почеток и дека во тој момент нејзините брзини во насоките на оските X, Y и Z се 0, v
z 0
v y 0
и
, т.е:
x(0)
0, x( 0 )
y(0)
0,
y( 0 )
0,
(0) z
z (0)
0
v y 0
(1.20)
v z 0
наоѓаме
x
v yo
(1 cos t )
(1.21)
sin t
(1.22)
y
v yo
z v z 0 t
(1.23)
каде што е
qB z m
(1.24)
На сликата 1.4а е скицирана траекторијата што би одговарала на случајот v y 0
0
и
v
z 0
0,
а на сликата 1.4б нејзината проекција во XY рамнината
q
0 , B z
0,
Z
Y
Слика 1.4 а X
Y
r
X
Слика 1.4 б Комбинирајќи ги (1.21) и (1.22), добиваме: 2
y
2
2
v v x y 0
y 0
[Вежба: Изведи го изразот (1,25) од (1.21) и (1.22)!]
(1.25)
што претставува кружница со радиус
r
v y 0
, центрирана при
x
v y 0
и
y
0
(Сл. 1.4 б).
Значи за радиусот на хеликоидата добиваме:
v y 0
r
m
v y 0 qB z
(1-26)
Времетраењето на една ротација ќе изнесува 2
T
2 m
qB z
(1.27)
па чекорот на хеликоидата го пресметуваме од
h
v z 0 T
2 m
v z 0 qB z
(1.28)
Не е тешко да се заклучи дека горните изрази можат да се поопштат, како што следува:
r
m vn
q B
2 m
T
h каде што
q B 2 m v p
q B
v
n
и
v p
се нормалната односно паралелната компонента на брзината во однос
на векторот на магнетната индукција. Интересно е да се забележи дека периодата независна од
vn . Забележи дека
r
,
T
и h се правопропорционални со
пропорционални со q B . Од друга страна, брзината
v
r
m
T
е
, а обратно-
е правопопорционален со компонентата на
нормална на магнетостатското поле, а h е правопропорционален со
компонентата на брзината
v
паралелна со магнетостатското поле. Од погоре изложеното
е јасно дека доколку брзината на честичката е нормална векторот на магнетната индукција, хеликоидата се сведува на кружница, а ако е паралелна (или антипаралелна ) на права линија.
Кинетичката енергија на наелектризирана честичка што се движи во магнетостатско поле е константна, т.е., таа е временски и просторно непроменлива. Тоа е во согласност со изразот (1.16), според кој силата брзината
v
F
е секогаш нормална на векторот на
, т.е., силата не може да има влијание врз модулот на брзината на честичката.