FENÓMENOS DE TRANSPORTE TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO BALANCES MACROSCÓPICOS 1. INTRODUCCIÓN on frecuencia en Ingeniería Química, el diseño y análisis de procesos es factible a través de la descripción macroscópica del sistema, resignando todo el detalle interno de los modelos basados en los balances microscópicos. En estos casos, el diseño necesita del conocimiento conocimiento de valores integrados de variables dependientes dependientes tales como fuerzas, diferencias de presión, caudales, potencias, etc. Puede definirse, entonces, como balances macroscópicos a la vía de diseño que vincula las condiciones de entrada y salida con la evolución del sistema sin contemplar el conocimiento puntual del mismo. Esta pérdida de detalle simplifica enormemente la descripción matemática. Los balances microscópicos se plantean a través de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales, en la mayor parte de los casos. En cambio en los balances macroscópicos al ignorarse los gradientes internos, que de hecho se producen en el sistema, resulta un planteamiento matemático donde no intervienen los gradientes espaciales. Es así, que en los balances macroscópicos, la única variable independiente que participa en la descripción de un proceso es el tiempo. Estos balances generan ecuaciones algebraicas en sistemas que evolucionan en estado estacionario o ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, en estado transitorio. Otra diferencia con la vía de diseño por balances microscópicos, es que análogamente a lo que sucede en el diseño en condiciones de similitud, el diseño por balances macroscópicos, requiere en alguna etapa del cálculo la obtención o utilización de resultados experimentales procedentes procedentes de un equipo geométricamente similar.
C
Volumen de control Se denomina así al volumen sobre el cual se aplica el balance macroscópico, siendo la superficie de control la que encierra a dicho volumen. La correcta selección del volumen de control determina la utilidad de la información a obtener por aplicación de un balance macroscópico. Esta elección depende del sistema en particular y de la experiencia de quien lo aplica. En la Fig.1 se representa un sistema general sobre el que aplicaremos los balances macroscópicos. El mismo presenta flujo de fluidos de entrada y salida, transferencia de calor e incorporación de trabajo mecánico. Pueden tomarse indistintamente volúmenes de control fijo o móvil, pudiendo adoptarse en este último caso movimientos arbitrarios o movimientos que coinciden con los de una porción fija de fluido.
2. BALANCE MACROSCÓPICO DE MATERIA Las vías de obtención de los balances macroscópicos son dos: una de ellas es plantear el principio de conservación correspondiente sobre el volumen de control, la otra es integrando los balances microscópicos correspondientes sobre este volumen. En nuestro desarrollo seguiremos a esta última.
Balances macroscópicos
FIG.1 EL VOLUMEN DE CONTROL: UN SISTEMA GENERAL CON SUS LÍMITES LÍMITES
1
PARA UNA DESCRIPCIÓN DESCRIPCIÓN MACROSCÓPICA MACROSCÓPICA .
Consideremos el caso más general de un volumen de control V c que se mueve en el espacio con una velocidad w , como se indica en la Fig.2. Designaremos a las áreas de entrada entrada y salida S1 y S2 como Aes, y al resto de las áreas que no son de entrada y salida (áreas sólidas) como As. En la figura se indica con w a la velocidad con que se mueve cualquier punto de la superficie de control y con n al versor normal a la misma. Así, partiendo de la ecuación de continuidad:
+ .( v ) = 0 t
(1)
Integrando sobre el volumen de control:
V c
ρ + .( ρ v )dVc 0 t
(
1
Para una más completa descripción de volúmenes de control véase Himmelblau, Himmelblau, D. M. y Bischoff, K. B., Análisis y simulación de procesos, Editorial Reverté, (1976)
2
(2)
Balances macroscópicos
Salida
Incorporación Incorporación o extracción de trabajo mecánico, (W)
n
S2 ρ2
< v2>
Entrada
S1 ρ1
< v1>
h2 W
h1 Incorporación Incorporación o extracción de calor, (Q)
Nivel de referencia referencia
FIG.2 VOLUMEN DE CONTROL ARBITRARIO. 2
Para poder resolver esta expresión usaremos dos teoremas integrales: el teorema general del transporte y el teorema de la divergencia. El primer teorema establece que si V es una región cerrada del espacio rodeada por una superficie S y w es la velocidad con que se mueve cualquier elemento de dicha superficie, se puede demostrar que:
d
dt
ρdV =
V
ρ dV + V t
ρ(
w.n )dS )dS
El teorema de la divergencia establece que si V es una región cerrada del espacio rodeada por una superficie tiene que:
(3)
S
S,
x dV = x n dS
V
S
donde x representa a una magnitud escalar, vectorial o tensorial.
Escribiendo a la ec.(2) de la siguiente forma:
2
Ver Bird, R.B., Stewart , W. E.y Lightfoot,E. N., Fenómenos de transporte , Apéndice §A-5 Teoremas integrales integrales para vectores y tensores tensores (Fórmula de Leibnitz para la diferenciación en una integral triple).
3
se
(4)
Balances macroscópicos
ρ dV = t Vc
ρv ) dV .(
(5)
Vc
Aplicando al primer miembro el teorema general del transporte (ec.(3)):
ρ d dV = ρdV t dt Vc Vc
ρ( w.n )dS
Sc
y aplicando al segundo miembro el teorema de la divergencia (ec.(4)):
ρv )dV .( )dV =
Vc
ρv. n dS
Sc
Reemplazando en la ec.(5) por estas expresiones y ordenando:
d dt
ρdV = -
Vc
ρv.n dS
Sc
d
ρ( w.n )dS
Sc
dt
ρdV = -
Vc
ρ( v - w ).n dS
Sc
Obsérvese que:
ρ dV = mTot Tot
Vc
y que la integral del segundo miembro será nula sobre las superficies sólidas, ya que sobre estas superficies La expresión más general del balance macroscópico de materia es entonces: d dt
mTot = -
ρ ( v - w ).n
Sc
4
dS
v = w .
(6)
Balances macroscópicos
Podemos encontrar expresiones más simples de esta ecuación que son de mayor utilidad para la resolución de gran parte de los problemas ingenieriles, aplicando las la s siguientes restricciones: 1) Volumen de control fijo, ( w =0). =0). 2) Densidad uniforme en las superficies de entrada y salida. En este caso la ec.(6) se puede expresar como:
d dt
mTot = - ρ
v.n dS
Sc
El producto escalar v.n será nulo al extender la integral a todas las superficies sólidas ( As). Si además se cumple que el vector v es normal a las superficies de entrada y salida:
d dt
mTot = - ρ
v.n dS
Sc
recordando la definición de velocidad media:
v dS
< v >=
S
dS
S
de forma que:
< v > S =
v dS
S
se obtiene:
d
mTot = 1 < v1 > S 1 dt
2 < v2 > S 2
(7)
Que es la ecuación del balance balance macroscópico de materia materia con las restricciones antes mencionadas. Esta ecuación ecuación expresa que la rapidez de cambio de la masa total contenida en el volumen de control está dada por la diferencia entre los caudales másicos de entrada y salida. Obsérvese que en la entrada (1) v y n tendrán sentidos opuestos y por lo tanto la integral resultará negativa, sucediendo lo opuesto en la salida (2):
5
Balances macroscópicos
Frecuentemente se designa con w al caudal másico, es decir la cantidad de materia que atraviesa la sección de flujo por unidad de tiempo,
w = < v > S La ec.(7) se puede expresar como:
d
mTot = - w dt
(8)
donde representa la propiedad cuyo cambio se evalúa en la salida (2) menos la misma en la entrada (1):
Δ = (2) - (1)
En estado estacionario el balance se reduce a:
w = 0
3. BALANCE MACROSCÓPICO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Partiendo del balance microscópico de cantidad de movimiento:
v = - vv - p - + g t
(9)
Integrando a esta ecuación en el volumen de control:
Vc
ρv t
dV = -
. ρ ρ vvdV -
Vc
pdV pdV -
Vc
Vc
Aplicando al primer miembro el teorema general del transporte:
d
ρvdV =
dt
ρv t
6
dV +
τdV + ρ g dV
ρ ( v.w )ndS
Vc
(10)
Balances macroscópicos
y aplicando a los tres primeros términos del segundo miembro el teorema de la divergencia:
)dV = ( vv ).ndS .( vv )dV
p dV = pndS . dV = .ndS y teniendo en cuenta que:
g dV = m
Tot Tot g
reemplazando y ordenando estas expresiones en la ec.(10):
d
dt
vdV = -
v( v - w ).ndS -
pndS - .ndS + m g
T
(11)
En primer lugar se analizarán los términos que contienen a las fuerzas de presión y viscosas. La superficie de control está compuesta por las superficies sólidas y por las áreas de entrada y salida:
7
Balances macroscópicos
Por lo tanto, se puede escribir:
pndS = pndS + pndS Sc
As
Aes Aes
El primer término de esta ecuación es la fuerza de arrastre de forma que ejerce el fluido sobre la superficie de control. En cuanto al segundo término se debe tener en cuenta que la presión es uniforme en las áreas de entrada y salida. La integral de las fuerzas viscosas se puede desdoblar, también, sobre las superficies mencionadas:
.ndS = .ndS + .ndS
Sc
As
Aes Aes
El primer término del segundo miembro es la fuerza de arrastre debida a la fricción de piel que ejerce el fluido sobre las superficies sólidas del volumen de control, el segundo, representa el aporte difusivo (molecular) de cantidad de movimiento en las superficies de entrada y salida del volumen de control que puede despreciarse despreciarse frente al aporte convectivo (global) de cantidad de movimiento en estas superficies. Se puede definir entonces a la fuerza total que ejerce el fluido sobre el volumen de control , F , como:
F = pndS +
.ndS
As
As
Si además se tiene en cuenta que:
d
dt
vdV =
d P T dt
donde P T es cantidad de movimiento total contenida en el volumen de control. Para un volumen de control fijo ( w =0) =0) la ec. (11) se puede escribir como:
d P T dt
2
= 1 < v1 > S 1 -
2 < v2
2
2
donde se ha empleado la siguiente definición de :
8
> S 2 + p1 S 1 - p2 S 2 - F + mT g
(12)
Balances macroscópicos
v dS < v >= dS 2
2
es decir que:
< v 2 > S = v 2 dS
Para poder obtener la ec.(12) se ha supuesto que la densidad es uniforme en las superficies de entrada y salida. La ec.(12) expresa el balance macroscópico de cantidad de movimiento, físicamente significa que la rapidez de variación de la cantidad de movimiento total dentro del volumen de control está dada por el flujo neto de cantidad de movimiento proveniente del aporte convectivo más la sumatoria de todas las fuerzas que actúan sobre el volumen de control.-
4. EJEMPLO A modo de ejemplo, se aplicarán los balances balances macroscópicos de materia y de cantidad de movimiento movimiento al cálculo de lafuerza ejercida por el impacto del chorro de un flluido sobre una pared dispuesta verticalmente. Para ello supongamos un esquema como el que se presenta en la Fig. 3:
FIG.3 FUERZA EJERCIDA POR EL IMPACTO DEL CHORRO DE UN FLUIDO SOBRE UNA PARED VERTICAL.
9
Balances macroscópicos
En estado estacionario, aplicando las ecs. (11) y (12), se obtiene:
=0
d
mTot Tot = ρ1 < v1 > S 1 - ρ2 < v2 > S 2 dt
ρ1 < v1 > S 1 ρ2 < v2 > S 2 =0
d P T dt
2
= 1 < v1 > S 1 -
2 < v2
2
> S 2 + p1 S 1 - p2 S 2 - F + mT g
Dado que interesa conocer la componente según z (horizontal) de la fuerza ejercida por el fluido, la ecuación anterior será:
ρ1 < v1 > S 1 + p1 S 1 F 2
obsérvese que no existe superficie de salida en la dirección z y que tampoco contribuye la aceleración gravitacional en esta dirección. La ecuación anterior podrá escribirse:
F z ρ1 < v z > S z + p1 S z 2
recordando que la fuerza ejercida por el fluido sobre las superficies sólidas del volumen de control se compone según la siguiente ecuación:
F = As pn dS + As τ .n dS
para el caso que nos ocupa, será:
pndS p1 S z
As
por lo tanto:
10
(e.1)
Balances macroscópicos
F z ρ1 < v z > S z + p1 S z 2
τ . n dS p1 S z
(e.2)
As
Es decir que la fuerza de dirección z ejercida por el impacto del corro de fluido sobre la pared vertical es de origen viscoso y es igual al llamado término inercial correspondiente al ingreso de cantidad de movimiento global o convectivo al volumen de control.
F z(visc.) z(visc.) ρ1 < v z > S z 2
Esta conclusión es de gran importancia en el cálculo de las fuerzas ejercidas sobre superficies sólidas de un volumen de control cuando predominan las fuerzas inerciales (arrastre de forma), tanto para el flujo en conductos como alrededor de objetos sumergidos.
11
Balances macroscópicos
Bibliografía: 1. Bird R. B., Stewart W. E. E . y Lightfoot E.N., Fenómenos de transporte, Editorial Reverté, (1976). 2. Welty J. R., Wicks C. y Wilson R. E, Fundamentos de transferencia de momento, calor y masa , Editorial Limusa, (1997). 3.Himmelblau, D. M. y Bischoff, K. B., Análisis y simulación de procesos, Editorial Reverté, (1976) 4. Geankoplis, Ch. Transport Processes and Unit Operations , Prentice Hall Englewood Cliffs New Jersey (3 edition), (1993).
rd
5. Costa Novella E. y col., Ingeniería Química, Vol. 2 Fenómenos de Transporte, Vol. 3 Flujo de fluidos , Editorial Alhambra Universidad, (1985). 6. Calvelo A., Fluidodinámica, Publicación del Instituto Argentino de Siderurgia IAS, (1979)
Ing. Mario A. Barrera La Plata, julio julio de 2010
12
