5/28/2012
METODE STODOLA Digunakan untuk sistem MDOF tanpa redaman. Jika sistem bergetar tanpa redaman, maka terjadi keseimbangan antara gaya inersia dan gaya elastis.
d 2 x [ M ] 2 + [K ]{ x} = {0} dt 2 − ω [ M ]( x ) + [K ]( x) = (0) 2 ω
[ M ]( x) = [K ]( x) 1 2 ω
( x ) = [K ]−1[ M ]( x )
[ D ]
−1
→ ( x ) = [K ]
2 ω
[ M ]( x )
Matriks dinamis
Iterasi Iterasi dilakukan dilakukan dengan memisalkan memisalkan proporsi nilai (x) yang merupakan merupakan fungsi ragam dan kemudian dihitung nilai (x) dari persamaan di atas. Proporsi nilai (x) yang diperoleh diperoleh kemudian digunakan untuk menghitung nilai (x) yang baru.
Analisa mode-mode batas:
1
Mode terendah:
2
2 ω
Mode tertinggi:
( x ) = [ D]( x ) ( x ) = [ E ]( x ) → [ E ] = [ M ]−1[K ]
[S ] = [ I ] − [S 0 ]
Mode antara
n
[ D +1 ] = [S ][][ D ] n
[S 0 ]
n
Didapat dari ragam yang setingkat lebih rendah. Misal: matriks S0 untuk mode 2 didapat dari bentuk ragam mode 1
Misal, untuk gedung 4 lantai:
m4 . x4 0 [S 0 ] = 0 0
m3 . x3
m2 . x2
m1. x1
0
0
0
0
0
0
0
0 0
1
5/28/2012
METODE HOLZER Perbedaan pokok metode Stodola dan Holzer: •Cara Holzer memakai perumpamaan pada natural frequency •Cara Holzer dapat menentukan mode ke-n yang dikehendaki tanpa harus mengetahui mode ke-(n-1) terlebih dahulu. Persamaan dasar cara Holzer:
2 ω
[ M ]( x ) = [K ]( x )
Contoh 18 Suatu bangunan dengan 3 buah massa satuan = m dan kekakuan = k seperti pada gambar dianggap bergetar horizontal. Tentukan bentuk ragam struktur tersebut.
2
5/28/2012
Menyusun matriks kekakuan:
k 1 [K ] = k − k 1 0
− k 1 k 1 + k 2
− k 2
1 −1 0 = − 1 3 − 2 − k 2 k 2 + k 3 0 − 2 5 0
Matriks Fleksibilitas:
[F ] = [K ]−1
11 5 1 = 5 5 6 K 2 2
2
2 2
Matriks massa:
m1 [ M ] = m 0 0
0 m2
0
0
1 0 0 6 0 0 1 −1 0 = 0 1,5 0 ⇒ [ M ] = 0 4 0 6m 0 0 3 m3 0 0 2
Matriks dnamis:
[ D ] = [F ][ M ] 11 5 2 1 0 0 11 7,5 4 m m [ D] = 5 5 2 0 1,5 0 = 5 7,5 4 6k 6k 2 2 2 0 0 2 2 3 4
3
5/28/2012
Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode 1:
1 2
( x ) = [ D]( x )
1 { x} = 0,5 0,3
Ambil harga sembarang untuk permulaan x, misalnya: Iterasi-1:
11 7,5 4 1 15,95 1 15 , 95 m m 5 7,5 4 0,5 = 9,95 = 0,6238 6k 6k 6k 2 3 4 0,3 4 , 7 0,2947 m
Iterasi-2:
11 5 6 k 2 m
7 ,5 7 ,5 3
4
1 16 ,8573 m 16 ,8573 m 4 0 , 6238 = 10 ,8573 = 6 k 6 k 5,0502 4 0 , 2947
1 0,6441 0 , 2996
dst .....!
sampai dengan nilai x konvergen.
Pada iterasi ke-7 didapatkan:
11 5 6 k 2 m
7 ,5 7 ,5 3
4
1 17 ,0714 m 17 ,0714 m 4 0,6485 = 11,0714 = 6 k 6 k 5,1531 4 0,3019
1
1 0 ,6485 0 ,3019 Bentuk ragam
2 ω
Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode 3: 2 ω
( x ) = [ E ]( x ) → [ E ] = [ M ]−1[K ]
6 0 0 1 −1 0 6 −6 0 k k [ E ] = 0 4 0 −1 3 − 2 = − 4 12 − 8 6m 6m 0 0 3 0 − 2 5 0 − 6 15
4
5/28/2012
1 { x} = − 1 1
Ambil harga sembarang untuk permulaan x, misalnya: Iterasi-1:
6 − 6 0 1 12 1 2 k k − 4 12 − 8 − 1 = − 24 = −2 6m 6m m 1,75 0 − 6 15 1 21 k
Iterasi-2:
6 − 6 0 1 18 1 k k 3k − 4 12 − 8 − 2 = − 42 = − 2,33 6m 6m m 2,13 0 − 6 15 1,75 38 , 25 dst .....!
sampai dengan nilai x konvergen.
Pada iterasi ke-10 didapatkan:
6 − 6 0 1 21,25 1 k k 21,25k − 4 12 − 8 − 2,54 = − 54 = − 2,54 6m 6m 6m 0 − 6 15 2,44 51 , 82 2,44 Iterasi-1: 2 ω
Bentuk ragam
Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode antara/mode 2 (menggunakan nilai x dari mode 1):
m3 x3 m x 33 [S 0 ] = 0 0
m2 x2 m3 x3
0 0
m1 x1
1 m3 x3 0 = 0 0 0
m2 x2
m1 x1
m3 x3
m3 x3
0 0
1 0,87 0,5 0 = 0 0 0 0 0 0 0
5
5/28/2012
1 0 0 1 0,87 0,5 0 − 0,87 − 0,5 0 [S 1] = [ I ] − [S 0 ] = 0 1 0 − 0 0 0 = 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
11 7,5 m [ D2 ] = [ D ][S 1 ] = 5 7,5 6 k 2 3 0 − 2,07 − 1,5 m 0 3,15 1,5 = 6 k 0 1, 26 3
[ D2 ]( x ) =
Persamaan iterasi:
1 2
4 0
0 4 0 4
− 0,87
− 0,5
1
0
0
1
( x )
Iterasi 1:
0 m 0 6 k 0
− 2,07
3,15 1, 26
− 1,5 1
− 3,57 1 m 4,65 = − 3,57 m − 1,3 1,5 1 = 6 k 6 k 3 1 4, 26 − 1,19
Iterasi 2:
0 − 2,07 − 1,5 1 − 3,57 1 4,48m m 0 3,15 − 1,31 1,5 − 1,3 = 4,65 = − 6k 6k 6k 4,26 0 1,26 3 1 , 19 − − 1,16 m
Dst… Sampai nilai (x) konvergen.
1 2 ω 2
=
4,48m 6k
2
→ ω 2 =
6k 4,48m
= 1,3453
k m
1 x2 = −1,32 −1,15
6
5/28/2012
Note: Mode antara (mode 3) untuk gedung 4 lantai (gunakan nilai (x) dari mode 2)
m4 x4 m x 4 4 [S 1'] = 0 0 0
m3 x3 m4 x4
0 0 0
m2 x2 m1 x1
1 m4 x4 m4 x4 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0
m3 x3
m2 x2 m1 x1
m4 x4
m4 x4 m4 x4
0 0
0 0
0
0
0 0 0
[S 2 ] = [S 1 ]− [S 1'] [ D3 ] = [S 2 ][ D2 ] [ D3 ]{ x} =
1 2
{ x}
METODE HOLZER Mode 1
7
5/28/2012
Mode 2
Mode 3
8
