Bab 4 Integral Tentu
Tujuan Instruksional Khusus. Mahasiswa mampu: 1. mencari antiturunan fungsi dan menggunakan antiturunan untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu peubah terpisah, 2. menggunakan definisi untuk menghitung integral tentu sebagai limit penjumlahan, 3. menghitung jumlah Riemann dengan menggunakan titik evaluasi kiri, kanan, dan tengah dengan bantuan Teknologi Informasi dan Komputer (TIK) dan menggunakannya untuk menjelaskan pengertian intuitif dari integral tentu, 4. menghitung integral dengan menggunakan sifat integral tentu, aturan pangkat, dan substitusi umum, 5. membangun dan mengevaluasi integral untuk menghitung luas bidang datar, volume benda putar, luas permukaan benda putar, kerja yang dilakukan oleh perubahan gaya, momen dan pusat massa lamina datar dan sentroit dari daerah bidang datar. Waktu pembelajaran : 2 minggu. Pada Bab 2 kita telah mempelajari konsep diferensiasi (differentiation), yaitu pencarian turunan (derivative) dari fungsi. Pada bab ini kita akan mempelajari kebalikan dari konsep diferensiasi, yaitu pencarian antiturunan (antiderivative) dari fungsi. Konsep ini dikenal sebagai antidiferensiasi (antidifferentation) atau integrasi (integration). Selain itu, kita juga akan mempelajari beberapa aplikasi konsep ini.
4.1 Antiturunan (integral taktentu)
Proses pencarian antiturunan fungsi merupakan proses kebalikan dari proses pencarian turunan fungsi. Namun demikian ada perbedaan hasil dari kedua proses tersebut. Dalam proses diferensiasi, turunan suatu fungsi merupakan suatu fungsi pula, sedangkan dalam proses antidiferensiasi, antiturunan suatu fungsi merupakan suatu keluarga fungsi satu‐parameter (1parameter function family), bukan suatu fungsi. Definisi 4.1 Fungsi disebut suatu antiturunan fungsi pada interval jika pada , yaitu: untuk setiap di . , Contoh 4.1 Fungsi merupakan beberapa antiturunan fungsi disebabkan F
3
2 , dan 1 pada
3
1
,
3
1
, dan
F
2
2 ∞, ∞ . Hal ini
2
F untuk setiap di ∞, ∞ . Secara umum, antiturunan umum dari
3
3
1
,
, dengan adalah sembarang bilangan riil, merupakan 1. ‹
Maple dapat digunakan untuk mencari suatu antiturunan umum fungsi. Perintah yang digunakan adalah int(fungsi,peubah). Untuk Contoh 4.1, masukannya adalah int(3*x 2+1,x);, sedangkan keluarannya adalah x 3+x. Perhatian. Hasil yang diberikan Mapple tidak memuat konstanta
.
Gambar 4.1: Grafik fungsi 2 (kurva putus‐putus) dan
(kurva sambung), 2 (kurva titik‐titik).
Adakah perbedaan antar anggota keluarga fungsi satu‐parameter? Gambar 4.1 memuat grafik beberapa anggota tersebut untuk Contoh 4.1. Grafik anggota keluarga fungsi dapat diperoleh dengan cara menggeser secara vertikal suatu grafik anggota fungsi. Perhatian. Untuk selanjutnya, yang dimaksud dengan antiturunan adalah antiturunan umum. Notasi untuk menyatakan antiturunan fungsi
adalah
.
Notasi ini dicetuskan pertama kali oleh matematikawan Jerman G.W. Leibniz (1646‐1716). Simbol disebut tanda integral1 (integral sign). Simbol ini merupakan "pemanjangan" huruf S dari kata Latin summa yang berarti jumlah. Suku dalam notasi tersebut disebut integran (integrand), sedangkan menyatakan bahwa integralnya terhadap variabel . Leibniz menyebut antiturunan sebagai integral taktentu (indefinite integral). Sepertinya ia menggunakan kata "tak‐tentu" karena adanya konstanta sembarang pada antiturunan fungsi. 1Kata
integral dalam Kalkulus diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Swiss Jakob Bernoulli (1654-1705).
Perhatikan bahwa
, 4.1
Contoh 4.2 Carilah
. 4.2
jika
√
Penyelesaian.
1.
Pers. 4.2 2
1
√
1
.
Teorema berikut memberikan antiturunan fungsi pangkat. Teorema 4.1 (Aturan pangkat) Jika adalah bilangan rasional dan 1 . 1
1, maka
Bukti. Misalkan adalah bilangan rasional dan 1. Perhatikan 1 1 terdefinisi karena 1 1 1 . Jadi untuk bilangan rasional dan 1. â Untuk
0, Aturan pangkat memberikan
Contoh 4.3 Carilah
√
dan
√
1
.
.
Penyelesaian. Dengan menggunakan Aturan pangkat kita dapatkan 2 / 2 √ / √ , 3 3 1 / 2 / 2 √ . √
Antiturunan untuk fungsi trigonometri dasar diberikan oleh teorema berikut. Cobalah untuk membuktikannya! Teorema 4.2
sin
cos
cos
sin
.
Perhatian. Untuk membuktikan pernyataan ditunjukkan adalah .
, yang perlu
Dalam Bab 2, kita tahu bahwa turunan merupakan operator linear. Teorema berikut menyatakan hal yang sama untuk integral tak‐tentu. Teorema 4.3 (Kelinearan integral taktentu) Misalkan fungsi dan mempunyai antiturunan (integral taktentu) dan adalah konstanta, maka i
,
ii
Bukti. Kita akan membuktikan butir (i).
.
Contoh 4.4 Carilah
| |
.
.
Penyelesaian. Kita tahu
0 . 0 1. Selanjutnya,
| | Kita tuliskan | |
, dengan
| |
Kelinearan integral tak
2
| | 2
.
tentu
Contoh 4.5 Carilah
2
.
Penyelesaian. 2sin
2sin Kelinearan integral tak
2 sin Kelinearan integral tak
2 cos
2cos
tentu tentu
.
Teorema 4.4 (Aturan pangkat yang diperumum) Misalkan adalah fungsi yang terdiferensialkan dan adalah bilangan rasional dan 1. Maka
. 4.3
1
Kunci utama untuk memakai Aturan pangkat yang digeneralisasi adalah kita harus dapat menentukan fungsi yang menjadi . Contoh 4.6 Carilah
.
Penyelesaian. Kita akan menggunakan Aturan pangkat yang digeneralisasi. Misalkan sin , sehingga cos , maka sin cos
4 sin 4
.
Aturan pangkat yang digeneralisasi merupakan generalisasi Aturan pangkat. Untuk lebih memudahkan melihat kebenaran pernyatan tersebut, kita misalkan , sehingga . Selanjutnya, persamaan (4.3) dapat ditulis menjadi
, 1 yang merupakan Aturan pangkat dengan sebagai peubah. Contoh 4.7 Carilah
1
.
Penyelesaian. Misalkan
1
sin , maka cos 1
cos
sin
. Selanjutnya,
1 5
sin 5
.
Persamaan diferensial adalah persamaan yang tidak‐diketahuinya (the unknown) adalah fungsi dan melibatkan turunan dari fungsi yang tidak‐diketahui tersebut. Suatu fungsi disebut solusi dari persamaan diferensial jika fungsi ini disubstitusi ke dalam persamaan diferensialnya, maka persamaan tersebut menjadi benar. Ada banyak jenis persamaan diferensial. Di sini, kita akan meninjau persamaan diferensial orde‐satu yang dapat dipisah, maksudnya persamaan ini melibatkan hanya turunan pertama dari fungsi yang tidak‐diketahui dan peubahnya dapat dipisahkan. Secara umum persamaan diferensial ini mempunyai bentuk . 4.4 Persamaan diferensial dengan bentuk seperti persamaan (4.4) dapat ditulis sebagai . 4.5 Fungsi yang memenuhinya dapat dicari dengan cara mengintegralkan kedua ruas persamaan (4.5). Contoh 4.8 Buktikanlah bahwa persamaan diferensial
1 , dan
1 adalah solusi
1.
Penyelesaian. Untuk cos
,
sin sin
sehingga
, kita tahu bahwa
1 . Sedangkan untuk
cos . Selanjutnya, 1 , kita dapatkan
0 ,
1. ‹
Contoh 4.9 Tentukanlah persamaan kurva di bidang yang melalui titik 1,1 dan kemiringannya di tiap titik adalah sepertiga akar ordinatnya! Penyelesaian. Misalkan √
dan
adalah persamaan kurva yang dicari. Diketahui
. Selanjutnya,
2
3
3
1
1
Karena
1 1, maka kita dapatkan . ‹
6 36 5. Jadi persamaan kurva yang dicari adalah
Contoh 4.10 Dari ketinggian berapa dari permukaan bumi suatu bola harus dilepas agar mencapai permukaan bumi dengan kecepatan 50 m/s? Percepatan gravitasi bumi dimisalkan 10 m/s2. Penyelesaian. Misalkan adalah ketinggian bola dari permukaan bumi pada saat , dengan 0 adalah waktu ketika bola dilepas. Percepatan jatuhnya bola mengikuti percepatan gravitasi bumi, sehingga 10, dan kecepatan bola pada saat ditentukan oleh 10 10 . Karena bola dilepas (bukan dilempar), maka kecepatan awal bola adalah 0 m/s ( 0 0). Akibatnya, 0. Dari 10 , kita tahu bola tersebut menyentuh tanah pada saat 5. Selanjutnya, 10 5 . Karena 5 0, maka 125. Jadi ketinggian awal bola adalah 125 m. ‹ Contoh 4.11 Populasi badak di suatu cagar alam bertumbuh dengan laju sebanding akar kubik besar populasinya. Jika pada tahun 1980 terdapat 100 badak di cagar alam tersebut dan menjadi 120 badak pada tahun 1990, pada tahun berapa populasi badak di cagar alam tersebut mencapai 140 ekor? Diasumsikan tidak ada kematian badak sejak tahun 1980. Penyelesaian. Pertama‐tama kita buat acuan waktu 0 tahun berkorespondensi dengan tahun 1980 dan kita misalkan adalah besar populasi badak pada saat tahun. Dari √ , 0 100, dan 10 120. Parameter menyatakan laju soal, kita tahu pertumbuhan populasi badak per kapita. Selanjutnya, 1 √ 3 2 2 √2 / . 3 √3 Dari 0 100, kita dapatkan 15 √10 . Lalu dari 10 120, kita dapatkan √
‹
√
. Selanjutnya kita cari yang memenuhi 140. Ini dipenuhi untuk 19,457. Jadi pada tahun 2000, populasi badak di cagar alam tersebut menjadi 140 ekor.
Latihan 4.1 Buku Latihan subbab 4.1. Bahan pendalaman. 1. Subbab 5.1 dan 5.2 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 3.8 dan 3.9 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007.
4.2. Luas dan jumlah Riemann Dalam bagian ini kita akan mempelajari jumlah Riemann. Jumlah Riemann ini berkaitan dengan luas aproksimasi dari daerah antara kurva dan sumbu dan menjadi konsep dasar untuk integral tentu pada subbab 4.3. Untuk memudahkan penulisan jumlah Riemann, akan diperkenalkan notasi sigma dapat ditulis secara ringkas sebagai (∑ ) . Jumlah suku riil ∑ . Jumlah dapat ditulis secara ringkas menjadi ∑ . Perhatian. Indeks dalam jumlah merupakan indeks boneka (dummy index), sehingga ∑ ∑ ∑ . Teorema 4.5 (Kelinearan jumlah) Jika adalah konstanta, maka
i
ii
.
Rumus 4.1 Beberapa rumus jumlah yang penting:
1
2
3
4
9
1 2
iii
ii
i
1
1 2 6
1
iv
1
8
27
1
.
2
Contoh 4.12 Tentukanlah ∑
1, jika ∑
40 dan ∑
50.
Penyelesaian.
1
40
10.11 2
50
Contoh 4.13 Hitunglah ∑
2
10.1
2
55. Rumus 4.1
.
Penyelesaian.
2
1 Teorema 4.5.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1023.
Maple dapat dipakai untuk menyederhanakan jumlah. Untuk mendefinisikan suatu jumlah dalam Maple, kita menggunakan perintah sum(pola,iterasi). Contoh 4.14 Kita tinjau jumlah ∑ berikut t1 := sum(i 2, i=1..n); simplify(t1); factor(t1); 1 4 9 kita dapatkan ∑
1
4
9
. Dengan masukan sebagai
.
Misalkan kita ingin mencari luas daerah yang dibatasi kurva 2, sumbu‐ , sumbu‐ , dan garis 1 (lihat Gambar 4.2 (A)). Luas daerah tersebut dapat diaproksimasi dengan bantuan persegi panjang.
2, sumbu‐ , sumbu‐ , Gambar 4.2: A : Daerah yang dibatasi kurva dan garis 1. B, C, dan D : Daerah diaproksimasi berturut‐turut dengan persegi panjang kanan, kiri dan tengah. Mula‐mula kita bentuk partisi dari interval 0,1 menjadi subinterval (lebar tiap subinterval tidak harus sama, namun untuk memudahkan perhitungan lebar, tiap subinterval dipilih sama). Lalu kita konstruksi persegi panjang tegak. Makin banyak persegi panjang yang digunakan ( makin besar), tentulah hasil yang didapat akan makin mendekati luas yang sebenarnya. Berdasarkan jenis perpotongan persegi panjang tersebut dengan kurva yang diberikan, ada 3 pendekatan persegi panjang, yaitu: 1. persegi panjang kiri, yaitu titik sudut kiri atas masing‐masing persegi panjang menyinggung kurva, lihat Gambar 4.2 (C) 2. persegi panjang kanan, yaitu titik sudut kanan atas masing‐masing persegi panjang menyinggung kurva, lihat Gambar 4.2 (B) 3. persegi panjang tengah, yaitu titik tengah sisi atas masing‐masing persegi panjang memotong kurva, lihat Gambar 4.2 (D). Untuk suatu daerah yang sama, umumnya ketiga pendekatan tersebut menghasilkan tinggi persegi panjang yang berbeda walaupun subintervalnya sama. 2, sumbu , Contoh 4.15 Aproksimasikanlah luas daerah yang dibatasi kurva sumbu , dan garis 1 dengan menggunakan 5 persegi panjang kiri. Kemudian dengan menggunakan persegi panjang kiri, hitunglah luas daerah sesungguhnya. Penyelesaian. Mula‐mula bagilah interval 0,1 menjadi 5 subinterval sama panjang, yaitu 0,2. Perhatikan Gambar 4.3 berikut ini.
Gambar 4.3: Daerah
diaproksimasi dengan 5 persegi panjang kiri. 0 1 2 3 4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 2 2,04 2,16 2,36 2,64 0,4 0,408 0,432 0,472 0,528 Tabel 4.1 : Tabel luas 5 persegi panjang kiri
Dengan menggunakan program spreadsheet Excell kita dapat memperoleh Tabel 4.1. Besaran menyatakan luas persegi panjang yang merupakan hasil kali panjang ) dan lebar ( ). Dari tabel tersebut kita dapatkan luas aproksimasi daerah ( ∑ dengan menggunakan 5 persegi panjang adalah 2,24. (Cobalah untuk 10,15, apa yang dapat disimpulkan?) Gambar dan hasil di atas dapat diperoleh dengan menggunakan Mapple. Perintahnya adalah sebagai berikut. with(student); f := x 2+2; leftbox(f, x=0..1, 5); kiri := leftsum(f, x=0..1, 5); value(kiri); Jika kita menggunakan persegi panjang kiri dalam mengaproksimasi daerah , . Panjang masing‐masing persegi panjang kiri dapat dilihat pada Tabel maka 4.2. 0 1 2 1 1 / 0 1/n 2/n 2 2 1/ 2 2/ 2 1 / Tabel 4.2 : Tabel luas persegi panjang kiri
Luas daerah sebagai berikut.
yang diaproksimasi dengan
2
2
1
2
persegi panjang kiri adalah
2
1 1
1
1 2 6
2
Teorema
1 2 6
1
1
Rumus
14
3 6
1
.
Luas daerah yang sesungguhnya didapat jika banyaknya persegi panjang yang digunakan tak hingga ( ∞), yaitu lim
lim
14
3 6
1
1 2 . 3
Hasil ini dapat diperiksa dengan menggunakan perintah Maple sebagai berikut. kiri := leftsum(f, x=0..1, n); value(kiri); limit(value(kiri), n=infinity); Jadi luas daerah
sesungguhnya adalah 2 satuan luas. ‹
Contoh 4.16 Aproksimasilah luas daerah yang dibatasi kurva 2, sumbu , sumbu , dan garis 1 dengan menggunakan 5 persegi panjang kanan. Kemudian dengan menggunakan persegi panjang kanan, hitunglah luas daerah sesungguhnya. Penyelesaian. Dengan membagi interval 0,1 menjadi 5 subinterval yang sama panjang, kita dapatkan 0,2. Perhatikan Gambar 4.4 berikut ini.
Gambar 4.4 : Daerah diaproksimasi dengan 5 persegi panjang kanan. 1 2 3 4 5 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2,04 2,16 2,36 2,64 3 0,408 0,432 0,472 0,528 0,6 Tabel 4.3: Tabel luas 5 persegi panjang kanan Tabel 4.3 berisi luas 5 persegi panjang yang digunakan. Dari tabel ini kita dapatkan luas aproksimasi daerah dengan menggunakan 5 persegi panjang kanan adalah ∑ 2,44. Gambar dan hasil di atas dapat diperoleh dengan menggunakan perintah Mapple sebagai berikut. with(student); f := x 2+2; rightbox(f, x=0..1, 5); kanan := rightsum(f, x=0..1, 5); value(kanan); Jika kita menggunakan persegi panjang kanan dalam mengaproksimasi luas . Panjang masing‐masing persegi panjang dapat dilihat pada Tabel daerah , maka 4.4. 1 2 1 1 / 1/n 2/n 1 2 2 3 1/ 2 1 / 2/ Tabel 4.4: Tabel panjang persegi panjang kanan Luas daerah dapat diaproksimasi dengan persegi panjang sebagai berikut.
2
2
2
1
1
1
Selanjutnya, luas daerah
Teorema 4.5 1 2 6
2
1 2 6
1
1
Rumus 4.1
14
3 6
1
.
sesungguhnya adalah lim
1
2
1 2 . 3 6 Hasil di atas dapat diperiksa dengan menggunakan perintah Mapple sebagai berikut. kanan := rightsum(f, x=0..1, n); value(kanan); limit(value(kanan), n=infinity). Jadi luas daerah sesungguhnya adalah 2 satuan luas. ‹ lim
14
3
1
Perhatian. Perhatikan perbedaan mulainya indeks dalam notasi sigma yang dipakai pada dua contoh di atas. Misalkan adalah fungsi yang terdefinisi pada interval tutup , . Fungsi tersebut tidak harus kontinu pada , dan dapat bernilai positif, nol ataupun negatif. Konstruksilah partisi pada interval , menjadi subinterval (tidak perlu sama panjang, namun untuk memudahkan perhitungan biasanya dipilih sama panjang), yaitu . Misalkan panjang subintervalnya adalah . Ambil sembarang titik sampel dari tiap subinterval dengan (lihat Gambar 4.5).
Jumlah
Gambar 4.5 : Partisi
pada interval tutup
,
.
disebut jumlah Riemann 2 (Riemann sum) untuk bersesuaian dengan partisi . Jumlah ini mempunyai interpretasi geometri seperti pada Gambar 4.6, yaitu jumlah luas bertanda persegi panjang di antara kurva dengan sumbu . Persegi panjang yang 0), sedangkan yang berada di berada di atas sumbu bertanda positif (karena 0). Jika dikaitkan dengan notasi dalam bawah sumbu bertanda negatif (karena materi tentang luas, kita dapatkan
/
.
Gambar 4.6 : Jumlah Riemann untuk sesuai partisi pada interval tutup , . Berdasarkan letak titik sampel , ada 3 jenis jumlah Riemann, yaitu: 1. Jumlah Riemann kiri jika yang digunakan adalah batas kiri subintervalnya. Di sini kita dapatkan luas aproksimasi bertanda dengan pendekatan persegi panjang kiri. 2Georg
Riemann (1826-1866) adalah matematikawan Jerman yang meletakkan pengembangan dasar konsep keintegralan fungsi.
2. Jumlah Riemann kanan jika yang digunakan adalah batas kanan subintervalnya. Di sini digunakan pendekatan persegi panjang kanan. 3. Jumlah Riemann tengah jika yang digunakan adalah titik tengah subintervalnya. Contoh 4.17 Carilah jumlah Riemann tengah untuk dengan menggunakan titiktitik partisi yang berjarak sama
2 pada interval 2,3 1 0 1 2 3.
2
Penyelesaian. Karena titik‐titik partisi yang digunakan berjarak sama, maka 1 2 3 4 ‐1,5 ‐0,5 0,5 1,5 ‐3 ‐1 1 3 ‐3 ‐1 1 3 Tabel 4.5: Tabel Riemann tengah Dari tabel berikut kita dapatkan
3
1
1
3
5
1. 5 2,5 5 5
5. ‹
Latihan 4.2 Buku Latihan subbab 4.2. Bahan pendalaman. 1. Subbab 5.3 dan 5.4 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 4.1 dan 4.2 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007.
4.3. Integral tentu dan teorema dasar Kalkulus
Definisi 4.2 Misalkan adalah fungsi yang didefinisikan pada interval tutup lim
| |
,
. Jika
ada, maka dikatakan terintegralkan (integrable) pada , . Lebih lanjut, disebut integral tentu (definite integral) atau integral Riemann (Riemann integral) dari ke dan diberikan oleh
lim
| |
.
Notasi | | pada definisi di atas disebut norm dan mempunyai makna panjang maksimum dari subinterval‐subinterval dalam partisi .
Definisi 4.3
0,
,
.
Integral tentu fungsi dari hingga ditulis sebagai . Yang perlu diingat dalam penulisan tersebut, peubah merupakan peubah boneka (dummy variable), sehingga dapat diganti dengan huruf lain dan tetap mempunyai makna yang sama, maksudnya Perlu diingat, daerah di antara kurva
.
dapat diinterpretasikan sebagai luas daerah bertanda dari dan sumbu‐ dalam interval , .
Contoh 4.18 Hitunglah integral
2
.
Penyelesaian. Kita akan menggunakan Riemann kanan dengan panjang tiap subintervalnya sama, yaitu 1/ . Akibatnya contoh ini mempunyai data seperti dalam Contoh 4.16. Dari contoh tersebut kita dapatkan tabel berikut. 1 2 1 1 / 1/n 2/n 1 2 3 2/ 1/ 2 2 1 / 2 yang bersesuaian untuk partisi ini Jumlah Riemann kanan untuk adalah 14 3 1 . 6 Karena
lim
| |
lim
14
maka terintegralkan pada 0,1 . Selanjutnya,
3
1
6
2
1 2 , 3 2 . ‹
Contoh 4.19 Tinjau fungsi pada interval tutup 0,1 . Untuk yang merupakan bilangan rasional berlaku 1 , sedangkan 0 jika merupakan bilangan 3 irasional . Perhatikan, fungsi ini tidak mempunyai limit dan tidak kontinu di mana pun pada interval tutup 0,1 . 3Fungsi
ini dikenal sebagai fungsi karakteristik dari bilangan rasional, biasa ditulis sebagai
.
Jika kita pilih adalah bilangan rasional dan sangat kecil, maka jumlah Riemann ∑ 1. Namun, jika kita pilih adalah bilangan irasional, maka jumlah Riemann ∑ 0. Akibatnya, lim| | ∑ tidak ada. Jadi, fungsi tidak terintegralkan. ‹ Teorema berikut memberikan syarat fungsi agar mempunyai integral tentu. Teorema 4.6 (Teorema keterintegralan) Jika terbatas pada , dan kontinu pada , (kecuali pada sejumlah hingga titik), maka terintegralkan pada , . Secara khusus, jika kontinu pada seluruh interval , , maka terintegralkan pada , . Contoh 4.20 Periksalah apakah fungsi bilangan bulat terbesar interval 2 , 2 . Penyelesaian. Fungsi
terbatas pada
terintegralkan pada
2 , 2 , karena pada interval tersebut
2, 1,0,1,2. 3 2. Lebih lanjut kontinu pada 2 , 2 , kecuali pada Berdasarkan Teorema keterintegralan, fungsi bilangan bulat terbesar terintegralkan pada interval 2 , 2 . ‹ Teorema berikut ini memberikan hubungan antara konsep turunan dan integral tentu. Teorema 4.7 (Teorema dasar Kalkulus I) Misalkan kontinu pada interval tutup , dan adalah peubah pada interval buka , , maka
.
Yang perlu diperhatikan dalam memakai Teorema dasar Kalkulus I adalah batas bawah integralnya konstan, sedangkan batas atas integral dan turunannya terhadap peubah yang sama, yaitu . Contoh 4.21 Carilah
jika
Penyelesaian. Perhatikan Selanjutnya,
2
.
cos 2 merupakan fungsi kontinu pada
cos 2 tan
Contoh 4.22 Carilah
cos 2 tan
. Teo. dasar Kalkulus I
jika
.
∞, ∞ .
Penyelesaian. Kita tahu 2 . Selanjutnya,
cos kontinu pada
∞, ∞ . Misalkan
, maka
cos
cos
cos
Aturan Rantai
2 Teo. dasar Kalkulus I .
2 cos
Konsep integral tak‐tentu berbeda dengan konsep integral tentu. Teorema berikut memberikan hubungan antara integral tentu dengan integral tak‐tentu. Teorema 4.8 (Teorema dasar Kalkulus II) Misalkan kontinu pada interval dan suatu antiturunan dari , maka
|
,
.
Teorema dasar Kalkulus II sangat membantu dalam mencari suatu integral tentu. Jika kita tahu fungsi yang dicari integral tentunya mempunyai antiturunan, maka integral tentu tersebut dapat dicari melalui antiturunannya, sehingga tidak perlu dicari melalui limit jumlah Riemann. Perhatian. Mengapa kita tidak mendefinisikan sebagai , tetapi melalui jumlah Riemann (lihat Definisi 4.2)? Pertama, kita belum tentu tahu antiturunan . sebagai , kita tidak mempunyai Ke dua, kalau kita mendefinisikan makna geometri dari Contoh 4.23 Hitunglah
. .
Penyelesaian. Perhatikan, kontinu pada 1,2 dan Berdasarkan Teorema dasar Kalkulus II kita dapatkan 1 3 | 4 3 . 4 4 4 Contoh 4.24 Carilah Penyelesaian.
jika
.
.
Kita tahu fungsi kontinu pada Teorema dasar Kalkulus I kita peroleh Jadi,
. ∞, ∞ , sehingga dengan menggunakan . Lebih lanjut, kita tahu
, sehingga dari Teorema dasar Kalkulus II kita dapatkan 1 3 1 . 2 2 2
.
Teorema 4.9 (Teorema nilai ratarata untuk integral) Jika kontinu pada maka terdapat bilangan di antara dan , sedemikian sehingga
Besaran
,
.
disebut nilai ratarata (average value) dari pada
Contoh 4.25 Hitunglah nilai ratarata dari
,
2
,
| | pada interval
. 2,2 .
Penyelesaian. Grafik fungsi dapat dilihat pada Gambar 4.7.
Gambar 4.7: Grafik Nilai rata‐rata dari Kita tahu
2 2
| | pada dan
| |.
2,2 diberikan oleh | |
| |
| |
.
(lihat Contoh 4.4). | |
Berdasarkan Kelinearan integral tak‐tentu kita dapatkan 2 | | . Lebih lanjut, karena fungsi 2 | | kontinu pada 2,2 , maka berdasarkan Teorema dasar Kalkulus II, kita dapatkan | | 2 | | | 6 2 4. 2 2 Jadi nilai rata‐rata dari 2 | | pada 2,2 adalah 1.
Cara lain kita gunakan grafik fungsi . Nilai dari 2 | | dapat dicari sebagai negatif dari luas segitiga kiri ditambah luas segitiga kanan, yaitu ‐ 2 + 6 = 4. Jadi nilai rata‐rata dari 2 | | pada 2,2 adalah 1. ‹ Latihan 4.3 Buku Latihan subbab 4.3. Bahan pendalaman. 1. Subbab 5.5, 5.6, 5.7 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 4.2, 4.3 dan 4.4 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007.
4.4. Luas di bawah kurva
,
Gambar 4.8: Daerah di antara kurva dan sumbu‐ pada Misalkan 0 pada , . Luas daerah di bawah kurva (lihat Gambar 4.8) diberikan oleh
4.9. Kita tahu fungsi
pada 1,2 . pada 1,2 dapat dilihat pada Gambar
kontinu pada 1,2 dan
pada
.
Contoh 4.26 Carilah luas daerah di bawah kurva Penyelesaian. Grafik daerah di bawah kurva
.
.
Gambar 4.9: Daerah di bawah kurva Luas daerah yang dicari adalah 1
pada 1,2 .
1
| Teo. dasar Kalkulus II
1 . 2
Contoh 4.27 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva sumbu .
√ , garis
6
dan
Penyelesaian. Daerah yang dimaksud dapat dilihat pada Gambar 4.10.
Gambar 4.10: Daerah yang dibentuk dari kurva garis 6 dan sumbu .
Selanjutnya,
√
√ ,
6
2 √ 12 1 | | 7 . 3 2 3 Jadi luas daerah yang diarsir adalah 7 satuan luas. ‹ Perluasan. Jika ada grafik yang sebagian berada di bawah sumbu dan sebagian lagi di atas sumbu , maka kita perlu membagi daerahnya dalam menghitung luasnya. Contoh berikut membahas persoalan ini. Contoh 4.28 Hitunglah luas daerah yang diapit 2,2 . Penyelesaian. Daerah yang diapit dilihat pada Gambar 4.7. Selanjutnya,
2
2
| | dan sumbu pada
| | dan sumbu
pada
2,2 dapat
2
2
| |
| |
| | 2
2
| |
|
2 2
|
0 2 6 0 8. Jadi luas daerah yang diapit 2 | | dan sumbu pada 2,2 adalah 8 satuan luas. Cara lain, luas segitiga yang dicari didapat dari luas segitiga kiri ditambah luas segitiga kanan, yaitu 2 + 6 = 8. Jadi luas daerah yang diapit 2 | | dan sumbu pada 2,2 adalah 8 satuan luas. ‹ Latihan 4.4 Buku Latihan subbab 4.4 Bahan pendalaman. 1. Subbab 5.5 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 4.2 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007.
4.5. Sifat-sifat integral tentu Teorema 4.10 (Sifat gabungan interval) Jika terintegralkan pada interval yang memuat titik , dan , maka
.
Gambar 4.11 memberikan ilustrasi geometris dari Teorema Sifat gabungan interval.
Gambar 4.11: Illustrasi Sifat Gabungan Interval pada integral tentu.
Contoh 4.29 Hitunglah
, dengan √ , 0 6 , 4
Penyelesaian.
6
.
4
√
6
2 √ | 3
6
1 7 . 3
|
2
Teorema 4.11 (Sifat perbandingan) Jika dan untuk setiap di , , maka Contoh 4.30 Buktikanlah
√
terintegralkan pada
,
dan
.
2 tanpa menghitung integralnya.
Penyelesaian. Misalkan sin√ dan 1 dengan 0 2. Karena dan kontinu pada [0,2], maka berdasarkan Teorema Keterintegralan dan terintegralkan pada [0,2]. Selain itu, untuk setiap di [0,2]. Berdasarkan Sifat Perbandingan (integal tentu), kita miliki sin√
1
2.
Teorema 4.12 (Sifat keterbatasan) Jika terintegralkan pada untuk setiap di , , maka
Contoh 4.31 Carilah batas bawah dan batas atas dari Penyelesaian. Misalkan
1
,
dan
. 1
.
. Fungsi terbatas pada 10,20 , karena pada
interval tersebut 1,05 1, 1 . Karena kontinu pada 10,20 , maka juga kontinu pada interval tersebut. Berdasarkan Teorema keterintegralan, fungsi terintegralkan pada 10,20 . Berdasarkan Teorema Sifat keterbatasan, kita dapatkan
1,05 20
10
1
1
1
Jadi batas bawah dan batas atas dari 16,1051. ‹
1, 1 20
10 .
berturut‐turut adalah 12,7628 dan
Teorema 4.13 (Kelinearan integral tentu) Misalkan dan terintegralkan pada , dan adalah konstanta, maka dan terintegralkan dan i
ii
Contoh 4.32 Diketahui .
2 dan
.
1 . Hitunglah
2
Penyelesaian. Berdasarkan Teorema kelinearan integral tentu, kita dapatkan 2
2
2.2 1 3. Ingat, peubah dalam integral adalah peubah boneka. ‹ Latihan 4.5 Buku Latihan subbab 4.5 Bahan pendalaman. 1. Subbab 5.5, 5.6 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 4.3 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007.
4.6. Substitusi dalam integral tentu Teorema 4.14 Misalkan mempunyai turunan yang kontinu pada pada daerah hasil dari , maka
dengan
.
Contoh 4.33 Hitunglah
√ √
.
,
,
dan kontinu
Penyelesaian. Misalkan 2
1
√ , sehingga 2
3.
1
√ √
2
√
2 | 3
. Karena 1
4, maka
2 12 . 3
Perhitungan integral tentu dari fungsi genap dan fungsi ganjil dapat dipermudah dengan menggunakan teorema berikut. Teorema 4.15 (Teorema Simetri) Jika adalah fungsi genap, maka
2
Jika adalah fungsi ganjil, maka
|
2 |
.
Contoh 4.34 Hitunglah
0.
.
Penyelesaian. Fungsi sin 2 merupakan fungsi ganjil, sedangkan fungsi |sin 2 | adalah fungsi genap. Akibatnya, |sin 2 |
2
|sin 2 |
Teorema simetri
2
sin 2
cos 2 |
2.
Contoh 4.35 Misalkan fungsi genap dan
3. Tentukanlah
.
Penyelesaian. Kita tahu adalah fungsi ganjil dan adalah fungsi genap, maka perkalian kedua fungsi itu, yaitu , menghasilkan fungsi ganjil. Selanjutnya, berdasarkan Teorema simetri kita dapatkan 0. ‹ (Beri keterangan bahwa periode ini sdh dibahas di bab 1) Fungsi disebut periodik jika ada bilangan , sedemikian sehingga untuk setiap di daerah asal dari . Bilangan positif terkecil dari tersebut disebut periode dari . Contoh fungsi periodik adalah fungsi trigonometri. Keperiodikan suatu fungsi dapat dipakai dalam menghitung integral tentu fungsi tersebut seperti yang tertulis dalam teorema berikut. Teorema 4.16 Jika adalah fungsi periodik dengan periode , maka
Contoh 4.36 Hitunglah
sin
.
.
Penyelesaian. Ingat, fungsi sin merupakan fungsi ganjil dan fungsi periodik dengan periode 2 . Selanjutnya, dengan Teorema 4.16 dan Teorema simetri, kita dapatkan sin
sin
sin
sin
sin
0.
Latihan 4.6 Buku Latihan subbab 4.6. Bahan pendalaman. 1. Subbab 5.8 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 4.5 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007.
4.7. Penerapan dari integral tentu 4.7.1 Luas daerah bidang datar
Gambar 4.12: Daerah di antara kurva dan sumbu‐ pada . Konsep pencarian luas daerah di bawah kurva pada subbab 4.4 dapat dimodifikasi sebagai berikut. Misalkan 0 pada , . Luas daerah di antara kurva dan sumbu‐ pada (lihat Gambar 4.12) diberikan oleh
.
Contoh 4.37 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva Penyelesaian. Daerah yang dibatasi oleh kurva pada Gambar 4.13 berikut ini.
2
2
dan sumbu .
dan sumbu dapat dilihat
Gambar 4.13: Daerah yang dibatasi oleh kurva
2
dan sumbu .
2
Jadi luas daerah yang dibatasi oleh
2
3
1 1 . 3 3 dan sumbu adalah 1 satuan luas. ‹ |
Selanjutnya, kita akan mempelajari cara mencari , yaitu luas daerah bidang datar yang terletak di antara dua kurva dan seperti yang terdapat pada Gambar 4.14. Di sini, batas bawah daerah yang sebelummnya dibatasi oleh sumbu‐ diganti dengan kurva .
Gambar 4.14: Daerah di antara kurva , dan . Ide untuk mendapatkan luas daerah tersebut adalah berikut ini. 1. Irislah daerah dalam pita vertikal (lihat Gambar 4.15) dengan lebar
masing‐masing pita
.
Gambar 4.15: Daerah Luas =
2. Approksimasi luas daerah pita persegi panjang, sehingga
dibagi dalam pita‐pita vertikal. .
, yaitu
, dengan menganggap pita
3. Luas daerah yaitu
sebagai
.
dapat diaproksimasi dengan jumlah luas aproksimasi semua pita,
.
4. Ambil limit lebar semua pita mendekati 0, sehingga didapat integral tentu yang memberikan luas daerah yang dimaksud, yaitu lim
.
Untuk memudahkan kita dalam pencarian luas daerah bidang datar, kita ringkas idenya sebagai berikut. 1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan vertikal dan ambil satu potongan. 2. Aproksimasi luas potongan tersebut. 3. Integralkan luas daerah yang dicari.
Gambar 4.16: Daerah Luas =
dibagi dalam pita‐pita horizontal. .
Dengan cara penurunan yang mirip, kita dapatkan prosedur untuk mendapatkan luas daerah seperti dalam Gambar 4.16, yaitu: 1. Iris daerah menjadi potongan horizontal dan ambil satu potongan horizontal. 2. Aproksimasi luas potongan tersebut. 3. Integralkan luas daerah yang dicari.
Contoh 4.38 Carilah luas daerah yang dibatasi oleh menggunakan partisi vertikal.
dan
4 dengan
dan garis 4 berpotongan di 2. Sketsa daerah Penyelesaian. Kurva yang dimaksud dapat dilihat pada Gambar 4.17. Kita ambil satu potongan vertikal dan kita aproksimasi luas potongan tersebut, yaitu: 4 .
Gambar 4.17: Daerah yang dibatasi oleh
Selanjutnya,
2
4.
4
dan
4
4
adalah fungsi genap
2 4
Jadi luas daerah yang dibatasi oleh
3 dan
|
2 10 . 3 4 adalah 10 satuan luas. ‹
Contoh 4.39 Carilah luas daerah yang dibatasi oleh menggunakan partisi horizontal.
dan
4 dengan
Penyelesaian. Tulis sebagai dan , dengan 0 4. Sketsa daerah yang dimaksud dapat dilihat pada Gambar 4.18. Kita ambil satu potongan horizontal dan kita aproksimasi luas potongan tersebut, yaitu: 2
Gambar 4.18: Daerah yang dibatasi oleh Selanjutnya,
4.
2
dan
2
Jadi luas daerah yang dibatasi oleh
2 | 3 dan
2 10 . 3 4 adalah 10 satuan luas. ‹
Latihan 4.7 Buku Latihan subbab 4.7.1. Bahan pendalaman. 1. Subbab 6.1 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 5.1 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007. 4.7.2 Volume benda putar Benda putar adalah benda yang terbentuk akibat suatu kurva atau daerah diputar mengelilingi suatu garis. Benda putar hasil pemutaran suatu daerah merupakan benda pejal (solid). Untuk menghitung volume benda putar (pejal), kita akan meninjau tiga metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit tabung. Untuk jelasnya, ketiga metode tersebut akan dibahas langsung melalui contoh soal. 4.7.2.1 Metode cakram Ide metode cakram (method of disks) adalah volume benda putar dapat diaproksimasi dari penjumlahan sejumlah cakram, dan cakram tersebut adalah hasil rotasi suatu persegi panjang mengelilingi garis sumbu (lihat Gambar 4.19).
Gambar 4.19: Kiri: Persegi panjang diputar mengelilingi suatu sumbu putar. Kanan: Benda putar hasil rotasi persegi panjang tersebut.
Contoh 4.40 Misalkan adalah daerah di kuadran I yang dibatasi kurva garis 2 . Hitunglah volume benda putar yang terbentuk jika daerah mengelilingi sumbu .
1 dan diputar
Penyelesaian.
Gambar 4.20: Kiri: Daerah pada kwadran I yang dibatasi oleh 1 dan garis 2. Kanan: Benda putar dari daerah mengelilingi sumbu . Sketsa daerah dapat dilihat pada Gambar 4.20. Prosedur untuk mencari volume mirip dengan prosedur mencari luas dengan pita vertikal yang telah kita pelajari, yaitu: 1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan vertikal, ambil satu potongan vertikal, dan putar potongan tersebut mengelilingi sumbu . 2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut sebagai tabung atau cakram (jari‐jari dan tinggi ), sehingga . 3. Integralkan volume benda putar yang dicari,
.
Dengan memakai prosedur tersebut, kita dapatkan 1
1
2
1
2 11 | 13 . 5 3 15 Jadi volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang diputar mengelilingi sumbu adalah 13 satuan volume. ‹ Contoh 4.41 Misalkan adalah daerah di kuadran I yang dibatasi kurva garis 5 . Hitunglah volume benda putar yang terbentuk jika daerah mengelilingi sumbu .
1 dan diputar
Penyelesaian. Sketsa daerah dapat dilihat pada Gambar 4.21. Tulis 1 sebagai 1. Prosedurnya mirip dengan prosedur mencari luas dengan pita horizontal, yaitu: 1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan horizontal, ambil satu potongan horizontal, dan putar potongan tersebut mengelilingi sumbu . 2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut sebagai tabung atau cakram (jari‐jari dan tinggi ), yaitu . 3. Integralkan volume benda putar yang dicari
.
Gambar 4.21: Kiri: Daerah pada kwadran I yang dibatasi oleh 1 dan garis 5. Kanan: Benda putar dari daerah mengelilingi sumbu . Dengan memakai prosedur tersebut, kita dapatkan 1 2 1 | 7,5 . 2 Jadi volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang diputar mengelilingi sumbu adalah 7,5 satuan volume. ‹ Latihan 4.8 Buku Latihan subbab 4.7.2. Bahan pendalaman. 1. Subbab 6.2 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 5.2 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007. 4.7.2.2 Metode cincin
Metode cincin (method of washers) adalah perluasan metode cakram. Di sini daerah yang diputar tidak berpotongan dengan sumbunya, sehingga ketika hasil putarnya menghasilkan lubang di tengah (cakram berubah menjadi seperti cincin).
Gambar 4.22: Kiri: Persegi panjang diputar mengelilingi suatu sumbu putar. Kanan: Benda putar hasil rotasi persegi panjang tersebut.
Contoh 4.42 Misalkan daerah dibatasi oleh dan 4. Hitunglah volume benda putar yang terbentuk jika daerah diputar mengelilingi sumbu . Penyelesaian. Sketsa daerah yang dimaksud dapat dilihat pada Gambar 4.23. Untuk mencari volume benda putarnya, kita menggunakan prosedur berikut: 1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan vertikal, ambil satu potongan vertikal dan putar potongan tersebut mengelilingi sumbu . 2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut sebagai cincin (jari‐jari lingkaran luar dan dalamnya berturut‐turut adalah , dan tebal ), yaitu . 3. Integralkan volume benda putar yang dicari,
.
Gambar 4.23: Kiri: Daerah yang dibatasi oleh dan 4. Kanan: Benda putar hasil daerah yang diputar pada sumbu (bagian tengah yang tidak diarsir).
Pada contoh ini, dapatkan
. Dengan menerapkan prosedur di atas, kita 4
4 dan
16
2
16
daerah A simetris terhadap sumbu
y
1 51 . 5 5 Jadi volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang diputar mengelilingi sumbu adalah 51,2 satuan volume. ‹ 2
16
|
. Contoh 4.43 Misalkan daerah terletak di kuadran I dan dibatasi kurva 9 Hitunglah volume benda putar yang terbentuk jika daerah diputar mengelilingi garis 3. Penyelesaian. Kita tuliskan 9 sebagai 9 . Sketsa daerah yang dimaksud dapat dilihat pada Gambar 4.24. Untuk mencari volume benda putarnya, kita menggunakan prosedur berikut:
. Gambar 4.24: Kiri: Daerah di kwadaran I yang dibatasi oleh 9 Kanan: Benda putar hasil daerah yang diputar pada garis 3 (antara silinder dengan "kerucut" lengkung terbalik). 1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan horizontal dan ambil satu potongan horizontal. 2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut.
, dengan adalah jari‐jari luar dan adalah jari‐jari dalam. 3. Integralkan volume benda putar yang dicari.
Dalam contoh ini, 3 menentukan jari‐jari luar dan 3 9 menentukan jari‐jari dalam. Ingat, jari‐jarinya dihitung terhadap sumbu putar bukan sumbu‐ . Dengan menerapkan prosedur di atas, kita dapatkan 3 3 9 9 6 9
9
6 9
3,
/ 9 4 9 | 2 Jadi volume benda putar yang terbentuk dari daerah 3 adalah 67,5 satuan volume. ‹
67,5 . yang diputar mengelilingi garis
Latihan 4.9 Buku Latihan subbab 4.7.2. Bahan pendalaman. 1. Subbab 6.2 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 5.2 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007. 4.7.2.3 Metode kulit tabung Kalau dalam metode cakram dan metode cincin, irisan yang dibuat tegak lurus dengan sumbu putarnya, maka dalam metode kulit tabung (method of shells), irisan yang dibuat sejajar dengan sumbu putarnya.
Gambar 4.25: Kiri: Persegi panjang diputar mengelilingi suatu sumbu putar. Tengah: Benda putar hasil rotasi persegi panjang tersebut. Kanan: Paparan benda putar tersebut.
Contoh 4.44 Misalkan adalah daerah di kuadran I yang berada di bawah kurva 1 pada interval 0,2 . Hitunglah volume benda putar yang terbentuk jika daerah diputar mengelilingi sumbu . Penyelesaian. Sketsa daerah dapat dilihat pada Gambar 4.26. Langkah untuk mencari volume benda putar dengan metode kulit tabung (tegak) adalah sebagai berikut: 1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan vertikal dan ambil satu potongan dan putar mengelilingi sumbu‐ . 2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut sebagai balok (panjang 2 , lebar , tinggi ), sehingga 2 , dengan menentukan tutup tabung dan menentukan alas tabung. 3. Integralkan volume benda putar yang dicari. 2
Gambar 4.26: Daerah A pada kuadran I yang dibatasi oleh 0 2. Aproksimasi volume pita vertikal rotasi adalah 2 1 . Selanjutnya, volume benda putarnya adalah 2
2
4
2
|
1 dengan
12 .
Contoh 4.45 Suatu daerah yang dibatasi kurva , garis 2 dan sumbu diputar mengelilingi garis 2. Hitunglah volume benda pejal yang terbentuk.
Penyelesaian. Sketsa daerah dapat dilihat pada Gambar 4.27. Langkah untuk mencari volume benda putar dengan metode kulit tabung (mendatar) adalah sebagai berikut:
Gambar 4.27: Daerah
1. 2.
3.
di kuadran I yang dibatasi oleh kurva 2 dan sumbu‐ .
garis
Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan horizontal dan ambil satu potongan horizontal. Aproksimasi volume potongan putar tersebut (panjang 2 , lebar , tinggi ), sehingga 2 , dengan adalah tutup kanan tabung dan adalah tutup kiri tabung. Integralkan volume benda putar yang dicari. 2
Volume aproksimasi dari pita horizontal yang diputar mengelilingi garis 2 adalah 2 2 0 . Dalam contoh ini, jari‐jari tabungnya adalah 2 , bukan karena jari‐jarinya dihitung terhadap sumbu putar 2. Selanjutnya, 2 8 2 2 | 2 . 3 4 3 Latihan 4.10 Buku Latihan subbab 4.7.2. Bahan pendalaman. 1. Subbab 6.3 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 5.3 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007.
4.7.3 Luas permukaan benda putar Misalkan fungsi dapat diturunkan secara kontinu pada , . Panjang kurva dari titik , hingga titik , , dengan , , diberikan oleh
1
.
Denggan menggunakan Teorema dasar Kalkulus I, kita dapatkan 1 Akibatnya, diferensial panjang kurva
1
.
dapat ditulis sebagai
1
.
Frustum kerucut adalah bagian permukaan kerucut yang terletak di antara 2 bidang yang tegak lurus sumbu kerucut (permukaan yang diarsir pada Gambar 4.28). Jika suatu frustum kerucut mempunyai jari‐jari dan dan tinggi miring , maka luasnya diberikan oleh 2
2
.
Gambar 4.28: Suatu frustum kerucut.
Gambar 4.29: Permukaan benda putar dan suatu irisannya. Misalkan , , menentukan suatu kurva mulus yang terletak di atas sumbu‐ . Jika kurva tersebut diputar mengelilingi sumbu‐ , maka akan terbentuk suatu benda putar yang tidak pejal. Dengan menggunakan metode iris, aproksimasi luas
permukaan irisan benda putar sebagai frustum kerucut (2 ) dan integral (lihat Gambar 4.29), maka luas permukaan benda putar yang terbentuk dapat dicari dengan 2
2
1
.
Contoh 4.46 Carilah luas permukaan benda putar yang terbentuk akibat kurva untuk 1
√7, diputar mengelilingi sumbu .
Penyelesaian. Diketahui
, maka
3
1
√
6
. Luas permukaan yang dicari adalah √
2
,
1
1
1
|√
9
248 √2 . 9
Latihan 4.11 Buku Latihan subbab 4.7.3. Bahan pendalaman. 1. Subbab 6.4 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 5.4 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007. 4.7.4 Kerja Pada bagian ini kita akan membahas konsep kerja (work) suatu gaya pada sebuah garis lurus. Kerja yang dilakukan sebuah gaya konstan sepanjang pada sebuah garis lurus diberikan oleh . Contoh 4.47 Kerja yang diperlukan untuk mengangkat seember air dengan berat 5 N setinggi 2 m adalah 10 Nm atau 10 J. ‹ Kerja yang dilakukan gaya (di sini gaya tidak konstan, bergantung pada posisi) dalam memindahkan partikel dari ke pada sumbu‐ (atau garis
lurus) diberikan oleh
Contoh 4.48 Sebuah bak mandi berbentuk kubus dengan panjang sisinya adalah 1 m. Tiga per empat bagian bak tersebut berisi air. Setelah Andi mandi, ketinggian air di bak tersebut berkurang 30 cm. Hitunglah kerja yang dilakukan Andi dalam mengambil air hingga ke permukaan bak mandi! Misalkan berat jenis air adalah 10 N/m3. Penyelesaian. Sketsa bak mandi tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.30. Pada bidang depan bak mandi tersebut kita buat sistem koordinat.
Gambar 4.30: Sketsa bak mandi.
Kita akan menentukan usaha yang dilakukan untuk mengangkat air dalam partisi balok dengan ketebalan . Volume air dalam partisi balok tersebut adalah m , sehingga air dalam partisi tersebut mempunyai berat sebesar 10 N. Partisi balok air tersebut akan diangkat ke permukaan bak mandi, sehingga berpindah sejauh 1 m (selalu positif). Selanjutnya, usaha memindahkan partisi balok air tersebut ke permukaan air adalah 10 1 J. Ketinggian air (dalam m) yang digunakan Andi mandi adalah 0,45 0,75. Akibatnya, usaha yang dilakukan Andi adalah ,
10 1 ,
Jadi usaha yang dilakukan Andi adalah 1,2 J. ‹ Latihan 4.12 Buku Latihan subbab 4.7.4. Bahan pendalaman.
5 1
|
, ,
1,2.
1. Subbab 6.5 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 5.5 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007. 4.7.5 Momen dan pusat massa Besaran momen (moment) adalah hasil kali suatu partikel bermasa dengan "jarak berarah" (directed distance) partikel tersebut terhadap suatu titik acuan. Besaran ini mengukur kecenderungan partikel untuk menghasilkan rotasi terhadap titik acuan tersebut. Pada Gambar 4.31, momen partikel terhadap segitiga tumpuannya adalah .
Gambar 4.31: Illustrasi konsep momen.
Gambar 4.32: Jungkat jungkit dengan 2 partikel. dan yang terletak pada suatu jungkat Misalkan ada dua partikel bermassa jungkit (lihat Gambar 4.32). Jarak kedua partikel tersebut terhadap segitiga tumpuan (sebagai acuan koordinat) adalah dan , sedangkan "jarak berarah" atau (karena di sebelah kiri ) dan . Jungkat jungkit koordinatnya adalah akan dalam keadaan setimbang (mendatar) jika momen total kedua partikel tersebut 0). Jungkat jungkit (terhadap titik ) adalah nol ( akan miring ke arah partikel 2 jika momen totalnya positif ( 0) dan akan miring ke arah partikel 1 jika momen totalnya negatif ( 0).
Gambar 4.33: Jungkat jungkit dengan partikel. Misalkan ada jungkat jungkit dengan partikel yang bermassa
,
,…,
dan mempunyai koordinat , , … , terhadap titik yang berfungsi sebagai acuan. Momen total partikel tersebut terhadap segi tiga tumpuan adalah . Misalkan keadaan awal jungkat jungkit tersebut tidak setimbang ( 0, lihat Gambar 4.33 Atas) dan kita ingin menjadikannya setimbang. Agar jungkat jungkit tersebut menjadi setimbang, maka kita perlu menggeser segi tiga tumpuannya ke suatu posisi baru (misalkan ) yang menghasilkan 0 (lihat Gambar 4.33 Bawah). Akibatnya, 0. 4.6 Dari persamaan (4.6), kita dapatkan ∑ . ∑ Titik merupakan titik setimbang (balance point) dan disebut pusat massa (center of mass) . Singkatnya, titik ini didapat dari hasil bagi momen dengan massa.
Gambar 4.34: Kawat tipis dengan densitas nonhomogen.
Sekarang kita akan meninjau pusat massa dari suatu kawat lurus tipis yang mempunyai densitas (massa per panjang) yang nonhomogen. Pertama‐tama kita buat koordinat garis untuk kawat tersebut (lihat Gambar 4.34). Misalkan densitas kawatnya pada posisi adalah . Untuk mendapatkan massa dan momen kawat tersebut, kita akan menerapkan langkah iris, aproksimasi dan integralkan. Massa irisannya dapat diaproksimasi dengan , sehingga massa kawat tersebut adalah . Lebih lanjut, momen irisannya terhadap titik dapat diaproksimasi dengan , sehingga momen kawat tersebut terhadap titik adalah . Jadi pusat massa kawat tipis nonhomogen tersebut adalah
.
Lalu bagaimana dengan pusat massa dari partikel jika partikel‐partikel tersebut terdistribusi dalam suatu bidang seperti pada Gambar 4.35?
Gambar 4.35: Distribusi partikel di bidang.
Untuk kasus ini, pusat massanya diberikan oleh ∑ , ∑ ∑ , ∑ dan berturut‐turut adalah momen total terhadap sumbu‐ dan dengan sumbu‐ .
Gambar 4.36: Lamina yang dibatasi kurva , dan . Lamina adalah suatu lempengan tipis. Kita akan meninjau lamina homogen, yang berarti densitas massanya ( ) sama di setiap titik. Sebuah lamina berbentuk persegi panjang mempunyai pusat massa di perpotongan kedua diagonalnya. Sekarang kita akan meninjau pusat massa dari lamina yang tidak berbentuk persegi panjang. Misalkan kita mempunyai lamina yang dibatasi oleh , dan (lihat Gambar 4.36).
Gambar 4.37: Lamina diiris menjadi pita‐pita vertikal. Dengan menggunakan prosedur iris, aproksimasi dan integralkan, kita dapatkan massa lamina tersebut adalah
.
Lebih lanjut, momen lamina tersebut terhadap sumbu‐ dan sumbu‐ berturut‐turut diberikan oleh
,
2 Momen total terhadap sumbu‐ (
.
) didapat dari aproksimasi momen suatu irisan
terhadap sumbu‐ , yaitu pusat massa , lamina homogen tersebut diberikan oleh ,
. Jadi
. 2 Pada rumus pusat tersebut ternyata densitas lamina tidak mempunyai pengaruh, sehingga masalah pusat massa lamina homogen menjadi masalah geometri semata, bukan masalah fisika. Oleh karena itu, biasanya kita menyebut titik pusat atau sentroit (centroid) daerah datar daripada pusat massa lamina homogen. Contoh 4.49 Carilah sentroit daerah yang dibatasi oleh sumbu , sumbu dan kurva 9 .
Penyelesaian. Massa, momen terhadap sumbu‐ dan sumbu‐ lamina tersebut adalah
9
9
3
|
18
1 2
9
1 2 5
6
81
|
48,6
9
1 4
Jadi pusat massa lamina tersebut adalah
,
18 | 1 ,5
20,25.
. ‹
Latihan 4.13 Buku Latihan subbab 4.7.5. Bahan pendalaman. 1. Subbab 6.6 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 5.6 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007.
