Bab 4 Sifat Gelombang dari Partikel
4.1 Deskripsi
Dalam bab ini memberikan gambaran tentang sifat gelombang dari partikel. Setelah ditemukannya partikel dan gelombang tahun 1905 dan menemukan bahan gelombang yang salah satunya gelombang elektromagnetik pada suatu saat dapat bersifat sebagai partikel dan suatu saat dapat bersifat gelombang. Dengan kajian ini kita dapat melihat bahan meskipun gelombang maupun partikel dapat berkelakuan sebagai foton dan materi tetapi kedua fenomena tersebut tidak dapat dijelaskan secara bersamaan tergantung sudut pandang pengamatan kita ataupun mekanisme paling dominan yang terjadi saat itu. Dalam bab ini menjelaskan tentang teori gelombang de Broglie, persamaan umum gelombang dan sifatsifatnya, partikel dalam kotak dan prinsip ketaktentuan. 4.2 Relevansi
Keterkaitan antara bab ini dengan bab sebelumnya adalah sebagai salah satu lanjutan teori sub atomic dalam kajian fisika modern karena bab ini berisikan kajian tentang sifat Gelombang dari partikel, yang memuat tentang dualisme partikel. 4.3 Tujuan Instruksional Khusus (TIK)
Setelah mempelajari Bab ini mahasiswa diharapkan dapat: 1. Memahami teori gelombang de Broglie 2. Memahami bentuk persamaan unum gelombang, kecepatan fasa dan kecepatan grup. 3. Menjelaskan tentang difraksi partikel dan partikel yang terkuantisasi dalam kotak. 4. Menjelaskan prinsip ketaktentuan Heisenberg. 4.4 Uraian Materi
Gelombang zat, atau gelombang pengarah (pemandu) telah menjadi bagian khasanah ilmu Fisika pada tahun 1925 dengan ditandai oleh munculnya hipotesa de-Broglie. Hipotesa tentang gelombang pengarah sangat diilhami oleh studi mengenai gerak elektron dalam atom Bohr. 104
Gelombang zat yang senantiasa menyertai gerak suatu zarah melengkapkan pandangan tentang dualisme zarah gelombang. Dengan demikian perbedaan antara cahaya dan zarah, atau lebih tegasnya antara gelombang dan zarah menjadi hilang. Gelombang cahaya dapat berperilaku sebagai zarah, sebaliknya zarah dapat berperilaku sebagai gelombang. Pandangan semacam itu sangat berbeda dengan persepsi manusia tentang gejal-gajal fisik konkret yang dialami nya sehari-hari. Sejak abad ke-20 teori-teori klasik mulai dipertanyakan kesahihannya untuk dipergunakan di tingkat atom yang sub-atom. Satu tahun setelah postulat de-Broglie disebarluaskan seorang ahli fisika dari Austria, Erwin Schrodinger berhasil merumuskan suatu persamaan diferensial umum untuk gelombang de-Broglie dan dapat ditunjukkan pula kesahihannya untuk berbagai gerak elektron. Persamaan diferensial ini yang selanjutnya dikenal sebagai persamaan gelombang Schrodinger sebagai pembuka jalan ke arah perumusan suatu teori mekanika kuantum yang komprehensip dan lebih formalistik. Pada tahun 1927, satu tahun setelah Schrodinger merumuskan persamaan gelombangnya, Heisenberg merumuskan suatu prinsip yang bersifat sangat fundamental. Prinsip ini dirumuskan pada waktu orang sedang sibuk mempelajari persamaan Schrodinger dan berusaha keras untuk dapat memahami maknanya. Pada tahun 1926, Heisenberg juga muncul dengan suatu cara baru untuk menerangkan garis-garis spektrum yang dipancarkan oleh sistem atom. Pendekatannya sangat lain, karena yang digunakannya adalah matriks. Hasil yang diperoleh dengan cara ini sama dengan apa yang diperoleh melalui persamaan Schrodinger. Mekanika kuantumnya Heisenberg dikenal sebagai mekanika matriks. Secara kronologis prinsip Heisenberg muncul sesudah dirumuskannya persamaan Schrodinger. Tetapi sebagai suatu prinsip teoritik hal itu merupakan suatu hal yang fundamental, dan dapat disejajarkan dengan teori kuantum Einstein, postulat de-Broglie, dan postulat Bohr. Oleh karenanya dalam pembahasannya prinsip Heisenberg ditampilkan lebih dahulu dari persamaan Schrodinger. Teori Planck tentang radiasi thermal, teori einstein tentang foton, teori Bohr tentang atom Hidrogen, dan postulat de-Broglie tentang gelombang zat, serta prinsip Heisenberg dikenal sebagai teori kuantum lama. Dalam teori kuantum lama terkandung hampir semua landasan bagi suatu teori yang dapat menguraikan perilaku sistem-sistem fisika pada tingkat atom dan sub-atom. 105
Melepaskan Diri dari Konsep Klasik Tentang Lintasan
Dalam mengkaji tentang radiasi thermal perlu dihipotesakan bahwa energi (osilator) itu terkuantisasi, dalam telaah tentang efek fotolistrik dan efek Compton timbul hipotesa bahwa cahaya itu terkuantisasi dan berperilaku sebagai zarah. Teori Bohr mempostulatkan bahwa dalam keadaan-keadaan tertentu elektron yang dalam gerakannya mengelilingi inti atom mengalami percepatan sentrifugal tidak memancarkan radiasi elektromagnetik. Dan banyak lagi yang bersifat fundamental dalam daerah Fisika Klasik harus ditinggalkan apabila diinginkan untuk menemukan suatu kerangka konseptual yang dapat menjadi menemukan suatu kerangka konseptual yang dapat menjadi landasan teoritik untuk gejala-gejala tingkat atom dan sub-atom. Salah satu yang perlu ditinjau lagi adalah pandangan klasik tentang lintasan. Pandangan bahwa jalan yang ditempuh suatu benda dalam ruang dapat dilukiskan sebagai garis yang mulus (smooth) datang dari pengamat di dunia makro. Dalam suatu proses abstrak dan idelisasinya benda tersebut kemudian dilukiskan sebagai suatu titik (titik pusat massa) yang menempuh suatu lintasan berupa garis. Pandangan itu didasarkan pengalaman manusia sejak ia melempar tombaknya yang pertama sampai pada saat mempelajari lintasan-lintasan yang ditempuh peluru meriam. Pandangan tersebut telah berkarat dalam otak manusia dan makin diperkuat oleh pengamatanya sehari-harinya tentang perilaku benda-benda yang bergerak. Demikian kuatnya pandangan itu berakar dalam benaknya sehingga dalam menelaah gerak zarah dalam sistem tingkat atom besar kecenderungannya untuk juga berpegang pada konsep lintsan klasik itu. Pertanyaan sekarang adalah : “Apakah konsep klasik tentang lintasan suatu benda (zarah) dalam ruang masih tetap dapat dipegang untuk menelaah sistem-sistem atom dan sub-atom?”. Untuk menjawab pertanyaan tersebut perlu ditelaah lebih dahulu kondisi yang melingkupi suatu perangkat pengamatan lintasan untuk sistem fisika klasik (makro), dan melihat apakah kondisi-kondisi tersebut dipenuhi oleh perangkat pengamatan untuk suatu sistem atomik atau sub-atomik. Andaikan bahwa ingin direkam lintasan yang ditempuh sebuah bola dalam ruang, bola tersebut bergerak di bawah pengaruh gaya gravitasi bumi. Misalkan gerak bola tersebut direkam dengan tiga buah kamera film secara cermat. Dengan 106
menempatkan masing-masing kamera termaksud dalam posisi yang tepat maka lintasan bola dalam ruang dapat ditentukan. Bagaimanakah kedudukan bola tersebut terekam dalam film? Secara fisika bola teramati karena cahaya matahari atau cahaya buatan yang dipantulkan oleh bola tersebut sampai pada film di dalam kamera. Gajala pemantulan bearti bahwa foton-foton yang bertumbukan dengan bola kemudian terhambur dalam sistem kamera. Karena momentum linear foton-foton tersebut sangat kecil dibandingkan dengan momentum linear bola maka pengaruh tumbukannya dapat diabaikan. Lintasan yang ditempuh bola tidak terganggu oleh sistem pengamatannya (arus foton dan kamera). kame ra). Di sini terlihat adanya dua sistem yakni : •
Pertama, sistem fisika yang diamati, yaitu bola yang bergerak dalam ruang dalam pengaruh gaya gravitasi bumi.
•
Kedua, sistem pengamatan yang terdiri dari kamera film dan sumber cahaya. Dalam susunan percobaan di atas kedua sistem tersebut tidak saling mempengaruhi
operasi masing-masing. Sistem pengamatan dan sistem yang diamati tidak saling mempengaruhi. Sekarang kita tinjau sebuah sistem mikro yakni lintasan elektron dalam pengaruh medan gaya luar. Agar elektron tidak dipengaruhi oleh kehadiran geraknya oleh udara, maka percobaan dilakukan dalam vakum. Elektron ditembakkan dari sebelah kiri dengan energi kinetik beberapa puluh elektron volt ke dalam ruang hampa udara. Karena pengaruh medan gaya luar maka gerak elektron mengalami deflasi (penyimpangan). Andaikan terdapat mikroskop yang dapat dipergunakan untuk melihat elektron maka dengan mengubah-ubah kedudukan mikroskop pada saat pengamatan posisi elektron maka dapat diperoleh informasi mengenai jejak elektron tersebut (hipotesis). Dari sini pula kedudukan elektron teramati karna foton dari suatu sumber cahaya yang berada dalam bejana vakum itu dipantulkan oleh elektron dan masuk dalam mikroskop. Keadaannya agark berlainan dengan pengamatan tentang lintasan bola. Foton yang dipergunakan untuk mengamati cukup besar momentum linearnya, sehingga tumbukan dengan elektron akan mengubah lintasannya. Jadi apabila jejak elektron itu diperoleh dari serangkaian 107
foton yang terhambur ke dalam mikroskop maka terjadilah juga serangkaian perubahan gerak elektron. Di sini pengaruh sistem pengamatan cukup besar dan tak dapat diabaikan. Sistem pengamatan dan sistem fisik yang diamati saling mempengaruhi. Lintasan yang diperoleh melalui pengamatan elektron penuh dengan kelak-kelok dan lika-liku sebagai hasil tumbukan antara foton dengan elektron. Andaikan kita mengadakan pengamatan yang kedua kalinya tentang lintasan elektron tersebut maka bentuk lintasannya juga berkelok-kelok, namun berbeda bentuknya dengan lintasan pengamatan pertama. Hal ini disebabkan foton dipancarkan oleh sumber secara acak. Dengan demikian apabila dilakukan sepuluh kali pengamatan maka akan diperoleh sepuluh lintasan yang berbeda-beda. Hal ini sangat berbeda dengan pengertian lintasan dalam fisika klasik, sebagai idealisasinya maka lintasannya adalah pasti dan tidak berubah apabila semua syarat sistem fisinya sama. Yang dapat dimasukkan dalam pengamatan jejak elektron hanyalan pendekatan statistik tentang lintasan, artinya tentang besar kebolehjadian pada saat tertentu/elektron yang diamati berada dalam suatu kedudukan tertentu dalam ruang r. Konsep klasik tentang lintasan suatu benda dalam ruang harus diganti dengan suatu konsep statistik tentang kebolehjadian bahwa suatu elektron berada pada suatu kedudukan dan waktu tertentu apabila kita menelaah suatu sistem tingkat atom dan sub-atom. Hal ini disebabkan oleh suatu kenyataan bahwa dalam sistem atomik dan sub-atomik sistem pengamatn dan sistem yang diamati berinteraksi dengan kuat. Tentunya dapat dikemukakan usul lain untuk tetap menggunakan konsep lintasan dalam kasus sistem atomik dan sub-atomik, yakni foton yang dipergunakan adalah foton dengan momentum linear rendah, artinya energi foton juga rendah, sehingga tidak besar pengaruhnya terhadap gerak elektron yang ditumbuknya. Foton berenergi rendah berarti panjang gelombang foton adalah besar Foton dapat dipresentasikan sebagai paket gelombang dengan panjang gelombang yang dominan λ0. Jika λ0
besar, maka kedudukannya tak pasti, dan menjadi tak pasti pula ramalan tentang kedudukan
elektron yang ditumbuknya. Usulan semacam itu tidak memberikan jalan keluar, karena memang rupanya ketakpastian yang meyangkut lintasan sistem atomik merupakan sesuatu yang fundamental dalam penjabaran pen jabaran sistem-sistem fisika pada tingkat atom.
108
4.4.1
Gelombang de Broglie
Berdasarkan peristiwa efek fotolistrik dari Einstein, yang kemudian didukung dengan percobaan yang dilakukan oleh Compton telah membuktikan tentang dualisme (sifat kembar) cahaya, yaitu cahaya bisa berkelakuan sebagai gelombang, tetapi cahaya juga dapat bersifat partikel. Pada tahun 1924
Louise de Broglie
mengemukakan pendapatnya bahwa : cahaya
dapat berkelakuan seperti partikel, maka partikel pun seperti halnya electron dapat berkelakuan seperti gelombang.
Gambar 4.1 Skema Percobaan Louise de Broglie
Sebuah foton dengan frekuensi f memiliki energi sebesar hf dan memiliki momentum p
= , karena
c = f λ λ,
maka momentum foton dapat dinyatakan p =
gelombang foton dapat dinyatakan λ =
h/p.
hf/c
sehingga panjang
Untuk benda yang bermassa m bergerak dengan
kecepatan memiliki momentum linier sebesar
mv
maka panjang
gelombang de Broglie dari
benda itu dinyatakan dengan persamaan λ
(4.1)
Untuk menguji hipotesis yang dilakukan oleh Louise de Broglie pada tahun 1927, Davisson
dan
Germer
di Amerika Serikat dan
G.P. Thomson
di Inggris secara bebas
meyakinkan hipotesis Louise de Broglie dengan menunjukkan berkas elektron yang terdifraksi bila berkas ini terhambur oleh kisi atom yang teratur dari suatu kristal. Davisson dan Germer melakukan suatu eksperimen dengan menembakkan electron berenergi rendah yang telah diketahui tingkat energinya kemudian ditembakkan pada atom dari nikel yang diletakkan 109
dalam ruang hampa. Berdasarkan hasil pengamatan Davisson dan Germer terhadap elektronelektron yang terhambur ternyata dapat menunjukkan adanya gejala interferensi dan difraksi. Dengan demikian hipotesis de Broglie yang menyatakan partikel dapat berkelakuan sebagai gelombang adalah benar. Berapakah panjang gelombang de Broglie dari sebuah elektron yang bergerak dengan kelajuan 2×105 m/s jika massa elaktron 9,1x10-31 kg dan h=6,6×10-34 Js? Penyelesaian : 5
Diketahui : v = 2×10
m/s ;
-31
m = 9,1×10
kg ;
-34
h = 6,6×10
Js
Ditanyakan : λ = …?
4.4.2
Persamaan Gelombang
Jika suatu gelombang dapat menyatakan suatu partikel maka gelombang tersebut haruslah menempati ruang yang terbatas pula. Gelombang yang demikian keadaannya tentulah bukan merupakan gelombang tunggal melainkan suatu gelombang komposit, yaitu gelombang yang tersusun dari banyak bentuk gelombang dasar sinus, yang akan kita lihat berikut ini. Gelombang Tunggal
Suatu bentuk gelombang sinus tunggal dengan amplitudo
Am,
frekuensi sudut ω, dan
pergeseran sudut θ, kita tuliskan sebagai u = Am cos(ωt − θ) atau dengan menggunakan notasi kompleks u = Am e j(ωt −θ)
(4.2)
Jika θ merupakan fungsi x, θ = kx , dengan k adalah bilangan gelombang, k =2 =2π / λ λ , dimana λ adalah panjang gelombang, maka (4.2) menjadi : 110
(4.3) memberikan persamaan unruk gelombang
maju
karena untuk suatu nilai
amplitudo yang konstan, x harus makin besar dengan bertambahnya gelombang merambat ke arah sumbu
x
t
; dalam hal ini
positif. Persamaan
adalah
persamaan untuk gelombang mundur. Kecepatan rambat gelombang dapat dicari dengan melihat perubahan posisi amplitudo. Untuk gelombang maju, amplitudo akan bernilai konstan jika ωt −
kx
= 0 atau
x = ωt/k.
Kecepatan rambat gelombang adalah : (4.4) dengan f adalah frekuensi siklus. Kecepatan ini disebut
kecepatan fasa.
Bentuk gelombang
tunggal ini merupakan bentuk gelombang non-kausal, yaitu suatu bentuk gelombang yang untuk suatu t tertentu membentang dalam selang −∞< x<+∞. Paket Gelombang
Kita lihat suatu bentuk gelombang komposit yang merupakan jumlah dari n gelombang sinus yang masing-masing mempunyai amplitudo Amn , frekuensi ωn dan bilangan gelombang k n , yaitu :
(4.5) Gelombang komposit ini adalah gelombang maju yang dapat kita tuliskan sebagai
(4.6) dengan k 0 , ω0 , A0 berturut-turut adalah nilai tengah dari bilangan gelombang, frekuensi dan amplitudo. Dalam tinjauan ini kita membatasi variasi variasi nilai bilangan gelombang k pada selang yang sempit, yaitu :
111
Selain itu perbedaan nilai k antara gelombang-gelombang sinus tersebut sangat kecil sehingga perubahan nilai k dapat dianggap kontinyu. Kita menganggap pula bahwa dalam selang variasi bilangan gelombang yang sempit ini, amplitudo dari masing-masing gelombang penyusun tidak terlalu bervariasi sehingga Amn /A0 ≈1. Dengan anggapan ini maka (4.6) menjadi :
(4.7) Apa yang berada dalam tanda kurung pada (4.7), yang kita sebut S( x x,t ), ), merupakan suatu faktor yang akan membuat
amplitudo
gelombang menjadi fungsi dari x dan t . Bagaimana
bentuk amplitudo sebagai fungsi x, dapat kita lihat pada suatu t tertentu, misalnya pada t = 0. 0. Pada t = 0, bentuk amplitudo gelombang menjadi :
(4.8) Karena perubahan k dianggap kontinyu maka :
(4.9) Dengan demikian maka persamaan gelombang komposit (4.7) untuk t = 0 menjadi (4.10) Persamaan (4.10) menunjukkan bahwa amplitudo gelombang komposit ini merupakan fungsi x), dan kita katakan bahwa amplitudo dari x yang dinyatakan dengan adanya faktor S( x
gelombang terselubung oleh fungsi :
Bentuk gelombang (4.8) inilah bentuk gelombang sebagai fungsi x yang bebas dari waktu yang dapat dituliskan sebagai : (4.11) Limit fungsi selubung S( x x) adalah _k jika jika x→0 dan 0 jika x→∞; jika digambarkan 112
akan terlihat seperti pada Gambar.4.2.
Gambar 4.2 Paket gelombang.
Kita katakan bahwa gelombang komposit ini berada dalam selubung atau paket dan kita sebut sebagai paket gelombang. Paket gelombang ini mempunyai amplitude maksimum di suatu titik dan nilainya menurun dengan cepat di luar titik tersebut. Bentuk gelombang seperti inilah yang dapat dipakai untuk menyatakan partikel dengan pengertian bahwa posisi partikel adalah di sekitar nilai maksimum gelombang ini. Lebar daerah di sekitar nilai maksimum ini, yang kita sebut lebar
paket gelombang,
harus kita definisikan. Pendefinisian ini agak bebas
sehingga kita tidak menentukan posisi elektron secara pasti melainkan menentukan rentang x di mana elektron mungkin berada. Jika kita ambil nilai (∆k x/ 2) 2) = π /2 maka pada x = ±π / ∆k amplitudo telah menurun sampai 63% dari nilai maksimumnya. Nilai x merupakan batas lebar paket gelombang sehingga lebar paket gelombang adalah : (4.12) Hubungan antara sebaran bilangan gelombang, ∆k , dan lebar paket gelombang, ∆ x, menjadi : (4.13) Dari persamaan gelombang komposit (4.7) :
(4.14) kita dapat mendefiniksikan dua macam kecepatan. a. Yang pertama adalah
kecepatan fasa v f0
= ω0 / k 0 seperti yang telah kita kenal pada
gelombang tunggal. 113
b. Yang kedua adalah
kecepatan group
yang dapat kita lihat dari amplitudo gelombang
x,t ) A A0. Amplitudo gelombang ini akan mempunyai bentuk yang sama bila S( x x, komposit S( x t ) = konstan . Hal ini akan
∆k n)x untuk setiap n. terjadi jika ( ∆ωn)t=( ∆k
Dari sini kita definisikan kecepatan group sebagai : (4.15) karena ∆k kita anggap cukup kecil. Kecepatan group ini merupakan kecepatan rambat paket gelombang. 4.4.3
Kecepatan Fasa dan Kecepatan Grup
Amplitude gelombang de Broglie yang berkaitan dengan benda bergerak mencerminkan peluang benda itu didapatkan pada suatu tempat pada saat tertentu. Contoh yang terkenal bagaimana group gelombang timbul ialah dalam gejala ayunan gelombang. Bila dua gelombang bunyi yang amplitudonya sama tetapi frekuensinya sedikit berlainan ditimbulkan pada saat yang sama (serentak), bunyi yang kita dengar berfrekuensi sama dengan rata-rata dari kedua frekuensi semula dan amplitudenya naik dan turun secara periodic (berkala). Fluktuasi amplitude yang timbul berulang-kali tiap detik banyaknya sama dengan perbedaan antara kedua frekuensi semula. Jika bunyi semula mempunyai frekuensi 440 dan 442 Hz, kita akan mendengar fluktuasi bunyi dengan dengan frekuensi 441 Hz dengan dua puncak bunyi keras yang disebut ayunan, per detik. Secara matematis untuk menggambarkan group gelombang ialah dengan menyatakannya sebagai superposisi dari gelombang individual yang mempunyai panjang gelombang berbeda-beda yang interferensinya menghasilkan variasi amplitude yang mendefinisikan bentuk group gelombang. Jika kecepatan gelombangnya sama, kecepatan penjalaran group gelombang ialah kecepatan yang sama. Namun, jika kecepatan gelombang berubah terhadap panjang gelombang (seperti yang terjadi pada gelombang de Broglie), gelombang individual yang berbeda tidak menjalar bersama, dan group gelombang memiliki kecepatan yang berbeda dari gelombang pendirinya. Tidaklah sukar untuk menghitung kelajuan u yang merupakan kelajuan penjalaran group gelombang. Marilah kita anggap bahwa group gelombang timbul dari kombinasi dua 114
gelombang yang beramplitude sama A, tetapi frekuensi sudutnya berbeda dω dan bilangan gelombangnya berbeda dk. Kita dapat menyatakan gelombang semula dengan rumus: y1 = A cos ( ωt –kx )
(4.16a)
y2 = A cos [( ω + dω) t – ( k + dk ) x]
(4.16b)
Gambar 4.3 Group gelombang
Gambar 4.4 Gelombang superposisi untuk frekuensi berbeda
Pergeseran resultan y pada saat t dan pada kedudukan x ialah jumlah dan y1 dan y2. Dengan pertolongan identitas : Cos α + cos β = 2 cos ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )
(4.17)
Dan hubungan : Cos (-θ) = cos θ Kita dapatkan : y = y1 + y2 = 2A cos ½ [( 2ω + dω ) t – ( 2k + dk ) x] cos ½ (dωt – dk x) Karna dω dan dk kecil dibandingkan dengan ω dan k berurutan, maka : 2ω + dω = 2ω 2k + dk = 2k
115
(4.18)
Dan :
y = 2A cos (ωt – kx) cos (
Ayunan
(4.19)
Persamaan (4.19) menyatakan gelombang yang berfrekuensi sudut ω dan bilangan gelombang k yang termodulasi dengan frekuensi sudut ½dω dan bilangan gelombang ½ dk. Efek modulasi ini menghasilkan group gelombang yang berbaris seperti pada gambar 4.4 Kecepatan fase w besarnya :
(4.20)
(4.21)
w=
Kecepatan fase
Sedangkan kecepatan u group gelombangnya ialah u=
Kecepatan group
Bergantung pada perilaku kecepatan fase yang berubah terhadap bilangan gelombang dalam medium tertentu, kecepatan groupnya bisa lebih besar atau lebih kecil dari kecepatan fasenya. Jika kecepatan fase w sama untuk setiap panjang gelombang, sebagaimana pada gelombang cahaya dalam ruang hampa (vakum), maka kecepatan group dan kecepatan fasenya sama. Frekuensi sudut dan bilangan gelombang dari gelombang de Broglie yang berpautan dengan sebuah benda yang massa diamnya mo yang bergerak dengan kecepatan v ialah ω = 2πv =
Frekuensi sudut gelombang de Broglie :
/
(4.22)
Bilangan gelombang de Broglie :
/
(4.23)
Baik ω maupun k merupakan fungsi kecepatan v. Kecepatan fase w seperti yang telah kita dapatkan, Kecepatan fase de Broglie :
(4.24)
Yang besarnya melebihi kecepatan benda v dan kelajuan cahaya c, karena v < c. 116
Kecepatan group u dari gelombang de Broglie yang berkaitan dengan benda itu ialah
/ / Sekarang : /
dan
kecepatan group de Broglie
/
sehingga kecepatan groupnya menjadi :
:
u=v
(4.25)
group gelombang de Broglie berkaitan dengan sebuah benda yang bergerak menjalar dengan kecepatan yang sama dengan kecepatan benda itu. Kecepatan fase w dari gelombang de Broglie kelihatannya tidak mempunyai arti fisis yang langsung. 4.4.4
Difraksi Partikel
Eksperimen yang memperlihatkan keberadaan gelombang de Broglie Manifestasi gelombang yang tidak mempunyai analogi dalam perilaku partikel Newtonian ialah gejala difraksi. Dalam tahun 1927 Davisson dan germer di Amerika Serikat dan G.P. Thomson di Inggris secara bebas menyakinkan hipotesis de Broglie dengan menunjukkan berkas electron terdifraksi bila berkas itu dihamburkan oleh kisi atom yang teratur dari suatu Kristal. Eksperimen Davisson Germer
Davisson dan Germer mempelajari electron yang terhambur oleh zat padat dengan memakai peralatan seperti pada gambar 4.5. Energy electron dalam berkas detector dapat diubah-ubah. Fisika klasik meramalkan bahwa electron yang terhambur akan muncul dalam berbagai arah dengan hanya sedikit kebergantungan dari intensitas terhadap sudut hambur dan lebih sedikit lagi dari energy electron primer. Dengan memakai blok nikel sebagai target, Davisson dan Germer membuktikan ramalannya.
117
(a)
(b) Gambar 4.5 Model eksperimen (a). Louise de Broglie ; (b) Davisson-Germer
Ditengah-tengah pekerjaan tersebut terjadi sesuatu peristiwa yang memungkinkan udara masuk kedalam peralatannya dan mengoksidasi permukaan logam. Untuk menguasai oksidasi nikel murni, target itu dipanggang dalam oven bertemperatur tinggi. Setelah perlakuan tersebut, targetnya dikembalikan ke dalam peralatan dan pengukurannya dilakukan lagi. Ternyata sekarang hasilnya sangat berbeda dari sebelum peristiwa itu terjadi: sebagai ganti dari variasi yang kontinu dari intensitas electron yang terhambur terhadap sudut, timbul maksimum dan minimum yang yang jelasteramati yang kedudukannnya bergantung pada energy electron. Graf pada setiap pik polar yang biasa digambarkan untuk intensitas electron setelah peristiwa itu ditunjukkan dalam gambar 4.6 metode plotnya dilakukan sedemikian sehingga intensitas pada setiap sudut berbanding lurus dengan jarak kurva pada sudut itu dari titik hamburannya. Jika intensitasnya sama untuk semua sudut hambur, kurvanya akan berbentuk lingkaran dengan titik hambur sebagai pusat. 118
Dua pertanyaan segera timbul dalam pikiran: apakah yang menjadi penyebab efek baru ini, dan mengapa tidak muncul sebelum target nikel itu dipanggang? Hipotesis de Broglie mendorong tafsiran bahwa gelombang elektron didifraksikan oleh target sama seperti sinar-x didifraksikan oleh bidang-bidang atom dalam Kristal. Tafsiran ini mendapat dukungan setelah disadari bahwa efek pemanasan sebuah blok nikel pada temperature tinggi menyebabkan banyak Kristal individual kecil yang membangun blok tersebut bertanggung menjadi Kristal tinggi yang besar yang atom-atomnya tersusun dalam kisi yang teratur. Marilah kita tinjau apakah kita dapat membuktikan bahwa gelombang de Broglie merupakan penyebab dari hasil Davisson dan Germer. Pada suatu percobaan tertentu berkas electron 54eV diarahkan tegak-lurus pada target nikel, dan maksimum yang tajam dalam distribusi elektron terjadi pada sudut 500 dari berkas semula. Sudut dating dari sudut hambur relative terhadap suatu keluarga bidang Bragg ditunjukkan dalam gambar 4.6 keduanya bersudut 650. Jarak antara bidang dalam keluarga itu yang bisa diukur melalui difraksi sinar-x sinar-x adalah 0,091 nm. Persamaan Bragg untuk maksimum dalam pola difraksi ialah nλ = 2d sin θ
40 V
44 V
(4.26)
48 V
54 V
60 V
64 V
68 V
Gambar 4.6 Hasil Eksperimen Davisson-Germer
Di sini d = 0,091 nm dan θ = 65o; dengan menganggap n = 1, panjang gelombang de Broglie λ dari elektron yang terdifraksi adalah : λ = 2d sin θ = (2) (0,091 nm) (sin 65 o) = 0,165 nm
sekarang kita pakai rumus de Broglie λ =
119
untuk menghitung panjang gelombang elektron yang diharapkan. Energi kinetik 54eV kecil dibandingkan dengan energy diam moC2 yaitu sebesar 5,1 x 105 eV, sehingga kita dapat mengabaikan efek relativistic. Karena : K = ½ mv2 Maka momentum elektron itu mv ialah mv =
2 = 29,1 1054 1.6 10 √ 2
= 4,0 x 10-24 kg m/s Jadi panjang gelombang elektron itu ialah λ =
= , . = 1,66 x 10-10 m = 0,166 nm , ./
yang besarnya sesuai dengan panjang gelombang yang diamati. Jadi eksperimen Davisson dan Germer menunjukkan bukti langsung dari hipotesis de Broglie mengenai sifat gelombang benda bergerak. Analisis eksperimen Davisson-Germer sebenarnya tidak langsung seperti yang ditunjukkan di atas, karena energi elektron bertambah ketika elektron itu masuk ke dalam Kristal dengan besar yang sama dengan besar fungsi kerja (work function) permukaan itu. Jadi kecepatan elektron dalam eksperimen lebih besar di dalam Kristal dan panjang gelombang de Broglie yang bersangkutan menjadi lebih kecil dari harga di luar Kristal. Komplikasi lainnya timbul dari interferensi antara gelombang yang didifraksi oleh keluarga lain dari bidang bragg yang membatasi terjadinya maksimum dan minimum menjadi hanya kombinasi tertentu dan energy elektron dan sudut datang sebagai pengganti dari setiap kombinasi yang memenuhi persamaan Bragg. Elektron bukanlah satu-satunya jenis partikel yang perilaku gelombangnya dapat ditunjukkan. Difraksi neutron dan atom secara keseluruhan jika dihambur oleh Kristal yang cocok telah teramati, dan nyatanya difraksi neutron seperti juga difraksi sinar-x dan elektron telah dipakai untuk menyelidiki struktur Kristal. Mikroskop Elektron
Sifat gelombang elektron yang bergerak merupakan dasar dari mikroskop elektron yang dibuat untuk pertama kali dalam tahun 1932. Daya pisah setiap instrumen optimis dibatasi oleh difraki sehingga besarnya berbanding lurus dengan panjang gelombang yang 120
dipakai untuk menyinari benda yang diselidiki. Untuk mikroskop yang baik yang memiliki cahaya yang tampak, perbesaran maksimum yang bermanfaat ialah sekitar 500 kali ; perbesaran yang lebih tinggi membentuk bayangan yang lebih besar tetapi tidak mengungkapkan rincian. Elektron cepat memiliki panjang gelombang yang jauh lebih pendek dari cahaya tampak dan mudah dikendalikan oleh medan listrik dan magnetik karena elektron bermuatan. Sinar-x juga memiliki panjang gelombang yang pendek, tetapi sampai sekarang orang belum berhasil (?) untuk memfokuskan sinar itu dengan baik. Dalam mikroskop elektron, kumparan yang berarus listrik dipakai untuk menimbulkan medan magnetik yang berlaku sebagai lensa untuk memfokuskan berkas elektron pada benda yang diselidiki dan alat ini menghasilkan baying yang diperbesar pada layar pendar (fluoresen) atau pelat fotografik (gambar 3.8). untuk mencegah berkas itu tersebar sehingga mengaburkan bayangan yang dihasilkan, dipakai sampel yang tipis dan seluruh system itu dihampakan. Teknologi “lensa” magnetic belum menghasilakan daya resolusi teoretis dari gelombang elektron. Misalnya, elektron 100 keV mempunyai panjang gelombang 0,0037 nm, tetapi resolusi yang sebenarnya yang dapat dicapai mikroskop elektron hanya sekitar 0,1 nm. Sumber elektron Lensa kodensor magnetik Objek Lensa objektif magnetik Lintasan elektron
Lensa proyeksi magnetik Bayangan
Gambar 4.7 Skema pengamatan mikroskop electron yang dipercepat daripada cahaya dalam mikroskop optic, maka mikroskop elektron dapat menghasilkan bayangan yang tajam pada perbesaran yang lebih tinggi. 121
Namun ini tetap merupakan kemajuan yang besar dibandingkan dengan daya pisah mikroskop optis yang besarnya sekitar 200 nm, dan perbesaran 1.000.000 x telah dicapai oleh mikroskop elektron. 4.4.5
Partikel dalam Kotak
Sebagai pendahuluan dalam menentukan gambaran statistik sistem partikel maka kita tinjau keadaan yang paling sederhana yaitu suatu sistem dengan 1 partikel dalam kotak 1 dimensi. Tujuan kita adalah mendapatkan gambaran untuk menjelaskan karakteristik partikel dalam kotak 1 dimensi. d imensi. (Dilakukan dalam kotak karena dalam kotak aspek dimensinya justru akan memudahkan perhitungan lebih lanjut walaupun dalam kenyataannnya partikel tidak selalu berada dalam kotak).
Gambar 4.8 Partikel dalam kotak 1 dimensi
Kotak yang ditinjau adalah kotak 1 dimensi kemudian setelah itu dengan melihat prinsip yang ada dalam kotak 1 dimensi, dengan mudah kita dapat menentukan partikel dalam kotak 3 dimensi. Dari sini dapat ditentukan harga fungsi energi f ( E E ) berdasarkan variabel pada sistem yang terdefinisi. Perhatikan gambar 4.8. Syarat batas yang diberikan adalah partikel berada dalam kotak 1 dimensi, berarti partikel hanya ada pada daerah L < x< 0 dan tidak pada batas x=0 dan x=L. Dengan adanya pernyataan dualisme gelombang yang dicetuskan oleh De Broglie bahwa selain memiliki sifat partikel juga memiliki sifat gelombang maka keberadaan partikel dalam kotak dapat dinyatakan dalam persamaan gelombang : (4.27) Jika partikel terdapat dalam kotak yang panjangnya L, maka syarat batas memenuhi : (4.28) 122
dengan syarat di atas berarti A≠0, maka syarat persamaan (4.2) memberikan nilai sin kl = 0; yakni ketika sin kl = sin nπ kl = nπ ; n = 1,2,3,…
dimana k = 2π / λ
(4.29)
Jika k menyatakan bilangan gelombang, maka akan diperoleh : kl = nπ (4.30) Dari persamaan (4.30) dapat dianalisis bahwa panjang kotak agar kita dapat menemukan partikel yang didefinisikan dalam sistem tersebut adalah L=n(½)λ harus merupakan kelipatankelipatan dari ½ panjang gelombang. Bagaimana mendapatkan persamaan energi sistem tersebut? Hal ini dapat dilakukan dengan menentukan fungsi energi. Kita tinjau harga momentum yang dimiliki partikel oleh De Broglie dapat dinyatakan dengan : (4.31)
Gambar 4.9 Ilustrasi panjang kotak 1 D berkaitan dengan L
Pernyataan lain mengenai energi kinetik partikel (jika interaksi antar partikel diabaikan) E = ½ mv2, dalam bentuk momentum energi tersebut dapat dinyatakan dengan : (4.32) maka : (4.33) sehingga :
(4.34) 123
Terlihat pada pers. (4.34) bahwa harga E ini bergantung pada n. Penurunan harga energi ini juga dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan Schroedinger yaitu dengan : (4.35) Jika kita menginginkan suatu fungsi energi f ( E E ), ), maka berdasarkan pers.(4.36) dapat diambil kesimpulan bahwa fungsi energi yang dimaksud adalah: (4.37) Pers. (4.37) menunjukkan bahwa variabel
n
merupakan harga yang ditentukan oleh nilai E ,
jika variabel lainnya kita anggap konstan [L2π /nh(2m)1/2], sehingga pengamatan kita pada sistem seperti ini sangat ditentukan oleh harga rentang energi yang diberikan. Partikel dalam kotak 3 dimensi
Pembahasan yang lebih luas, sistem pada contoh 1 di atas dapat kita kembangkan menjadi sitem partikel tunggal dalam kotak 3D, yaitu yang memiliki panjang, lebar dan tinggi. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar 4.4. Jika diinginkan partikel berada dalam kotak, maka syarat yang harus dipenuhi adalah : 0 < x < Lx ; 0 < y < Ly ;0 < z < Lz Fungsi gelombang yang menggambarkan partikel dalam kotak adalah : (4.38)
Gambar 4.10 Ilustrasi partikel dalam kotak 3 D
124
Dengan demikian syarat batas tersebut memenuhi :
(4.39) maka persamaan (4.8) dapat kita turunkan dengan menggunakan syarat batas tersebut :
(4.40) Dengan menghindari solusi trivial, maka : A(sin k z z)≠0 dan ψ = A(0)(0)(0) = 0 sehingga A≠0. Sehingga persamaan ini harus memenuhi hubungan :
(4.41) Mengingat harga momentum p adalah suatu vektor, (4.42) dimana
k adalah
bilangan gelombang yang juga merupakan vektor dan h/2π adalah suatu
konstanta, sehingga pernyataan harga momentum partikel untuk ruang 3 dimensi dapat dinyatakan dengan :
(4.43)
Jika harga L x = L y = L z = L, maka persamaan di atas menjadi :
(4.44)
125
dan mengingat n adalah indeks yang berjalan (n = 1, 2, 3, …) yang dapat dinyatakan sebagai bilangan kuantum. Untuk menggambarkan tingkatan-tingkatan energi, pernyataan yang lebih mudah jika kita memberlakukan sifat simetris pada sistem ini: (4.45) Untuk lebih jelasnya jika tingkatan energi ini digambarkan dalam koordinat bola sebagai berikut : Harga volume bola pada gambar 4.5 adalah
Jika dipandang 1/8 volume bola, maka untuk menentukan harga perubahan energy merupakan fungsi R atau E adalah :
Gambar 4.11 Illustrasi PengembanganRuang Energi
dimana f ( E E ) adalah fungsi energy dari sistem satu buah partikel yang berada dalam kotak tiga dimensi. Dalam menjelaskan sebuah system kita harus memiliki metode yang tepat untuk mendapatkan informasi tentang perubahan sistem tersebut akibat dari perubahan variabel yang dinyatakan dalam fungsi f ( X X ) dengan X merupakan variable teramati. Hal inilah dinamakan spesifikasi keadaan sistem. Sebagai latihan coba anda turunkan persamaan energi untuk kasus Osilator harmonik dan atom hidrogen.
126
Panjang gelombang de Broglie partikel yang terperangkap
=
n =1,2,3,..
(4.46)
λ
λ = L
λ = 2L
L Gambar 4.12 Fungsi gelombang partikel yang terperangkap dalam kotak yang lebarnya L.
Karena λ = h/mv, pembatasan pada panjang gelombang de Broglie yang datang dari lebar kotak adalah ekivalen (setara) dengan pembatasan pada momentum partikel, atau pembatasan pada energi kinetik. Energi kinetic sebuah partikel bermomentum mv adalah: K = ½ mv2 = Karena
(4.47)
λ = h/mv, mv = h/ λ λ dan
K =
Panjang gelombang yang diizinkan adalah λ n =2L/n, dank arena partikel itu tidak memiliki energi potensial dalam model ini, maka energi e nergi yang bisa dimilikinya adalah: 127
Partikel dalam kotak
n=1,2,3,….
(4.48)
Setiap energi yang diizinkan disebut tingkat energi, dan bilangan bulat n yang member spesifikasi tingkat energi En disebut bilangan kuantum. Sebuah partikel yang terperangkap dalam kotak tidak dapat memiliki energi yang sembarang seperti yang dimiliki partikel bebas, kentyataan terperangkapnya menyebabkan pembatasan pada panjang gelombangnya yang hanya mengizinkan energi yang ditentukan oleh persamaan (4.48). Sebuah partikel dalam kotak berdinding tegar merupakan suatu contoh yang dibuat-buat, tetapi kuantisasi energi yang didapatkan di situ berlaku umum, sebuah partikel yang terperangkap dalam suatu daerah ruang (walaupun daerah itu tidak memiliki batas yang terdefinisikan secara baik, hanya dapat memiliki energi tertentu saja. Secara eksak berapa besar energi ini, bergantung dari massa partikel dan perincian bagaimana partikel itu terperangkap. Dalam bab yang akan datang kita akan melihat bagaimana kuantisasi energi muncul untuk elektron dalam atom, molekul dan zat padat serta untuk proton dan neutron untuk inti atomic. Aspek penting dari persamaan (4.48) ialah pernyataan bahwa partikel yang terperangkap tidak boleh memiliki energi nol. Karena panjang gelombang de Broglie sebuah partikel adalah λ = h/mv, dengan kepesatan rata-rata v = 0 yang merupakan panjang gelombang tak-terhingga. Akan tetapi tidak ada yang mendamaikan suatu panjang gelombang tak terhingga dengan sebuah partikel yang terperangkap, sehingga masing-masing partikel harus memiliki beberapa energi kinetik. Eksklusi (peniadaan) E=0 sebagai harga yang diizinkan untuk energi partikel yang terperangkap, seperti juga pembatasan energi E menjadi sekelompok harga yang diskrit merupakan suatu hasil yang tidak kita dapatkan dalam meknika klasik; di sini setiap energi termasuk nol diizinkan. Mengapa tidak kita sadari adanya kuantisasi energi dalam dunia pengalaman kita? Kita yakin bahwa sebuah kelereng yang menggelinding bolak-balik antara dinding sebuah kotak dengan lantai yang licin dapat memiliki kecepatan berapa saja, sehingga energinya dapat berharga berapa saja sekehendak yang kita berikan, termasuk nol. Supaya kita bisa menyakinkan diri bahwa persamaan (4.48) tidak bertentangan dengan hasil pengamatan kita yang langsung di samping memberikan pandangan yang unik dalam skala mikroskopik, kita
128
akan menghitung tingkat energi yang diizinkan untuk sebuah partikel dalam kotak yang berdimensi atomic dan kemudian sebuah partikel dalam kotak dengan dimensi makroskopik. Contoh soal 1 : Carilah tingkat energi sebuah elektron dalam kotak yang lebarnya 0,1 nm
Jawaban : Di sini m = 9,1 x 10-31 kg dan L = nm = 10-10m, sehingga energi elektron yang diizinkan adalah En =
. . ,
= 6,0 x 10-18 n2 J = 38n2 eV
Energi minimum yang dimiliki elektron adalah 38 eV, yang bersesuaian dengan harga n=1, deretan tingkat energi diteruskan dengan E2 =152 eV, E3 = 342 eV, E4 = 608 eV, dan sebagainya. Tingkat energi ini cukup berjauhan, sehingga kuantisasi energi elektron dalam kotak seperti itu jelas tampak bila kotak semacam itu betul ada. Contoh soal
2 : Hitung tingkat energi kelereng yang bermassa 10 g dalam kotak yang
lebarnya 10 cm. Jawaban: Dengan m =10 g = 10-2 kg dan L = 10 cm = 10-1 m
, . En =
= 5,5 x 10-64 n2 J
Energi minimumyang dapat dimiliki kelereng itu adalah 5,5 x 10-64J, yang bersesuaian dengan n = 1, sebuah kelereng yang memiliki energi kinetic sebesar ini memiliki kecepatan hanya sebesar 3,3x10-31m/s, sehingga secara eksperimental tidak bisa dibedakan dari kelereng yang diam. Kecepatan yang nalar yang dapat dimiliki kelereng itu, dikatakan
m/s yang
bersesuaian dengan tingkat energi yang berbilangan kuantum n = 1030! Tingkat energi yang diizinkan sangat berdekatan, sehingga tidak ada cara untuk menentukan apakah kelereng tersebut dapat memiliki energi tertentu seperti yang diramalkan oleh persamaan (3.18) atau energi lainnya. Jadi dalam daerah pengalaman sehari-hari efek kuantum tidak teramati, hal ini menerangkan suksesnya mekanis newton dalam daerah ini.
129
4.4.6
Prinsip Ketaktentuan Heisenberg
Konsep klasik tentang lintasan kurang bermakna bila dipergunakan dalam menelaah sistem fisika tingkat atom, karena pada sistem ini, sistem pengamatan dan sistem yang diamati saling mempengaruhi. Konsep lintasan yang klasik harus diganti dengan pendekatan statistik, yaitu dengan menyatakannya dalam besarnya kebolehjadian bahwa suatu zarah berada di suatu kedudukan tertentu pada saat tertentu pula. Konsep statistik tentang kedudukan dapat diungkapkan secara matematik oleh Heisenberg dengan menggunakan eksperimen gendanken (percobaan dalam benak) sebagai berikut. Andaikan elektron diamati melalui mikroskop dengan menggunakan foton-foton yang dipancarkan sumber cahaya. Pada gambar di atas θ adalah sudut maksimum sedemikian hingga foton yang datang dari kedudukan masih dapat masuk dalam sistem optik mikroskop. Andaikan suatu foton datang dari sumber cahaya dengan momentum linear sebesar : p o =
h
(4.49)
λ
Foton ini menumbuk elektron, dan kemudian terhambur dengan sudut
θ
terhadap
sumbu optik mikroskop. Momentum linear foton terhambur, dalam arah x adalah : p x =
h
λ
(4.50)
sin θ
dalam arah yang bertolak belakang dengan arah px’. hal ini berarti bahwa elektron dapat terlihat dalam mikroskop apabila momentum linear foton berada dalam daerah antara : p xi = +
h
λ
sin φ dan
p xi = −
h
λ
sin φ
Dengan demikian ketidakpastian momentum foton adalah : i
Λ p x =
h
(4.51)
2 sin φ λ
Hal ini berarti juga bahwa elektron akan terlihat bila ketidakpastian momentum linearnya memiliki nilai : Λ p x =
h
(4.52)
2 sin φ λ
130
Permasalahannya sekarang adalah : Bagaimanakah kedudukan elektron dalam arah-x ? Jika digunakan cahaya dengan panjang gelombang λ, maka daya pisah (resolusi) mikroskop tersebut adalah : Λ x =
2
h
(4.52)
sin φ
Artinya jarak yang lebih kecil dari ini tidak dapat dibedakan lagi. Kedudukan elektron tak dapat ditentukan dengan ketakpastian yang lebih kecil. Oleh karena itu agar elektron masih dapat dilihat dengan mikroskop maka sekaligus harus dipenuhi bahwa : Λ p x =
h
2 sin φ dan λ
Λ x =
2
h
sin φ
Perkalian kedua persamaan tersebut menghasilkan : Λ p x .Λ x = 2h
Suatu telaah yang lebih eksak memberikan hubungan : Λ p x .Λ x ≥
h
(4.53)
2
Persamaan (4.53) merupakan prinsip ketidakpastian Heisenberg, ketidakpastian momentum dan posisi suatu zarah tidak dapat lepas satu dari lainnya. Apabila dituntut ketakpastian yang tak berhingga bagi harga posisi elektron (∆x=0), maka tidak akan diperoleh sama sekali informasi mengenai besarnya momentum linear elektron, dan sebaliknya. Ketidakpastian bukan lagi bergantung dari ketelitian alat, akan tetapi merupakan sesuatu yang fundamental, sesuatu yang hakiki dengan dunia fisika pada tingkat atom. Di tingkat mikroskopis, prinsip ketakpastian Heisenberg menjadi tidak relevan. Hal itu dapat diperkirakan dengan mengambil contoh yang konkrit. Selanjutnya prinsip ketidakpastian Heisenberg dapat dikembangkan dalam tiga dimensi menjadi Λ p x .Λ x ≥
h
Λ p x .Λ y ≥
h
Λ p x .Λ z ≥
2 2 h
2
131
dan dapat dijabarkan pula ketidakpastian energi dan waktu sebagai berikut : Λ E .Λt ≥
h
(4.54)
2
Contoh soal 3 :
Pengukuran menghasilkan kedudukan proton dengan ketelitian
±10-11 m.
Cari ketaktentuan kedudukan proton 1 detik kemudian. Anggaplah v << c. (gunakan h/2π = 1,054x10-34 J.s) Jawaban : Jika kita sebut ketaktentuan dalam kedudukan proton ∆x0 pada aktu t=0. Ketaktentuan momentum pada saat ini ialah :
∆ ∆ ∆∆ ∆ Ketaktentuan kecepatan proton ialah :
∆∆/ ∆ ∆ Jarak yang ditempuh proton dalam waktu t tidak dapat diketahui lebih teliti dari :
∆ ∆ ∆ ∆ Jadi ∆x berbanding terbalik dengan ∆x0 ; lebih banyak kita ketahui kedudukan proton pada t=0, lebih sedikit kita ketahui kedudukan berikutnya pada aktu t=t. Harga ∆x pada t=1s adalah
∆3,1510 ∆ ,, Ini adalah 3,15 km – mendekati 2 mil. Grup gelombang sempit yang semula telah berkembang menjadi jauh lebih lebar, karena kecepatan fase dan gelombang komponen berubah terhadap bilangan gelombang dan kisaran besar dari bilangan gelombang harus ada untuk membentuk grup gelombang semula yang sempit. Penerapan Prinsip Ketaktentuan dalam Orbital Atom Apa itu orbital atom : Orbital dan orbit
Ketika planet bergerak mengitari matahari, kita dapat menggambarkan jalur yang ditempuh oleh planet itu yang disebut dengan orbit. Gambaran sederhana dari atom juga sama dengan fenomena tersebut dan kita dapat menggambar elektron-elektron yang mengorbit mengelilingi nukleus (inti atom). Walaupun sesungguhnya elektron-elektron tidak mengorbit pada jalur yang tetap melainkan mengorbit pada sebuah ruang yang disebut dengan orbital. 132
Orbit dan orbital ter kesan sama, tetapi sebenarnya memiliki makna yang cukup berbeda. Kita perlu memahami perbedaan di antara keduanya. Ketidakmungkinan pengga baran orbital elektron-elektron
Untuk menggambar suatu jalur kita perlu mengetahui secara pasti di mana objek tersebut berada dan ke arah mana objek itu bergerak. Sayangnya, kita tidak bisa melakukan hal tersebut untuk elektron-elektr n. Prinsip ketidakpastian Heisenberg
menunjukkan bahwa kita tidak dapat engetahui secara
pasti di mana elektron itu ber da dan ke arah mana elektron itu bergerak. Hal ini membuat kita tidak mungkin menggambarkan secara tepat jalur atau orbit dari elektron yang mengelilingi nukleus. Tetapi ada suatu c ra lain yang bisa diterima untuk menggamb rkan pergerakan elektron-elektron di sekitar nukleus. Elektron hidrogen - orbital s
Bayangkan ki a memiliki satu atom hidrogen dan menentukan posisi elektronnya pa a suatu waktu tertentu. Segera sesudahn a, kita kembali menentukan po isi elektron ini, dan kita mendapati elektron itu sudah ada di posisi yang ber eda. Kita tidak mengerti bagaimana elektron ini berpindah dari posisi yang pertama ke posisi yang kedua. Kita coba untuk te us mencari titiktitik posisi dari elektron terse ut, dan kita akan perlahan-lahan menemukan uatu gambaran 3 dimensi peta posisi dari elektron tersebut Dalam ka us elektron hidrogen, elektron dapat ditemuk n di manapun di sekeliling nukleus. Diagram menunjukkan kemungkinan dari posisi elektron ang membentuk ruang wilayah yang men elilingi nukleus. Pada 95% dari hasil pengamatan, elektron dapat ditemukan dalam suatu ruang wil yah yang relatif dekat dengan nukleus. Wilayah dari ruang tersebut kita sebut dengan orbital . Kita dapat beranggapan bah a orbital merupakan suatu ruang wilayah di ana elektron itu bergerak di dalamnya. 133
Tiap orbital memiliki nama : Orbital yang dihuni oleh elektron hidrogen disebut dengan orbita 1s. Angka "1" menunjukkan bahwa orbital tersebut memiliki tingkat energi yang terdekat dengan nukleus. Huruf "s" menunjukkan bentuk dari orbital tersebut. Orbital berbentuk bulat simetris yang mengelilingi nukleus. Orbital di sebelah kiri meru akan orbital 2s. Bentuknya sama deng n orbital 1s kecuali ruang wilayahnya yang lebih jauh dari nukleus - di mana letakn ya pada tingkat energi kedua. Jika kita perhatikan secara seksama, kita dapat menemukan bahwa terdapat wilayah di mana rapat elektronnya lebih tinggi (di mana titik-titiknya lebih pekat) dekat dengan nukleus. "Kerapatan elektron" merupakan suatu istilah yang dipakai untuk memberitahukan kemungkinan kita dapat menemukan elektron pada posisi tertentu. Elektron-elektron 2s (dan juga 3s, 4s) berada dalam posisi dekat dengan nukleus daripada yang mungkin kita bayangkan. Efek dari ini adalah pengurangan energi dari elektron dalam orbital s. Semakin dekat elektron dengan nukleus, semakin rendah energinya. orbital p
Tidak semua lektron memiliki sifat seperti orbital s. Pada tingkat energi pertama, orbital hanya terdiri dari orbital 1s, tetapi ketika kita emasuki tingkat energi kedua, s lain daripada orbital 2s, kita akan menemukan orbital 2p. Orbital p berbentuk seperti 2 buah balon yang identik yang diikat di tengahnya. Gambar di sebelah kiri menunjukkan adanya titik yang membagi ruang wilayah. Perlu diingat, orbital menunjukkan 95% kemungkinan elektron itu berada. Tidak seperti orbital s, orbital p memiliki arah tertentu - pertama yang men arah ke atas dan yang mengarah ke bawah. Pada tiap tingkat ene gi ada kemungkinan terdapat 3 orbital p yang arahnya saling tegak lurus satu sama lain. Arah dari tiap orbital p ini diberi simbol p x, py an pz. x, y dan z merupakan 134
koordinat dari orbital-orbital tersebut.
Orbital p pada tingkat energi kedua disebut dengan 2px, 2p y dan 2pz. Begitu juga pada orbital lainnya 3px, 3py dan 3pz, m upun 4px, 4py dan 4pz dan seterusnya. Selur h tingkat energi selain dari tingkat energi pertama memiliki orbital p. Pada energi level ang lebih tinggi bentuk dari balon akan sem kin lonjong, yang berarti kemungkinan elek ron berada akan semakin jauh dari nukleus. orbital d dan f
Selain daripada orbital s dan p, terdapat dua bentuk orbital lainnya di mana elektron berada pada tingkat energi ya g lebih tinggi. Pada tingkat energi ketiga, kita akan menemukan 5 bentuk dari orbital d ( den an bentuk dan penamaan yang lebih rumit ), an tentunya juga orbital 3s dan orbital 3p (3p x, 3py dan 3pz). Pada tingkat energi ketiga kita kan menemukan total 9 orbital. Pada tingkat energi k empat, selain daripada orbital 4s , 4p dan 4d , kita juga akan menemukan tambahan 7 buah orbital f - dengan total 16 orbital. Orbital s, p, d dan f memiliki tingkat energi yang lebih ting i. Menempatkan elektron di o bital
Kita dapat membayan kan sebuah atom seperti sebuah istana - di ma a nukleus berada pada lantai bawah tanah, ke udian tiap lantai terdiri dari kamar-kamar (o bital) yang akan ditempati oleh elektron-elektr n. Lantai pertama hanya terdiri dari satu kama ( yaitu orbital 1s ); lantai kedua terdiri dari 4 amar (orbital 2s, 2px, 2py dan 2pz); lantai ke iga terdiri dari 9 kamar ( satu orbital 3s, tiga orbital 3p dan 5 orbital 3d ) dan seterusnya. Tetapi kamar-kamar tersebut tidaklah besar. 135
Tiap orbital hanya dapat ditempati oleh 2 elektron.
Cara yang lazim digunakan untuk menggambarkan orbital yang dihuni oleh elektron adalah dengan cara "kotak-ko ak elektron". "Kotak-kotak elektron"
Orbital dapat diwakili oleh kotak dan atom digambarkan sebagai anak panah. Anak panah ke atas dan anak panah ke bawah digunakan untuk menggambarkan elektron yang berbeda arah. Orbital 1s ditempati oleh
elektron seperti gambar di sebelah kana dan kita bisa
menuliskannya lebih singkat engan 1s2 . Kata ini dibaca " satu s dua " bukan " satu s kuadrat ". Ingat, angka 1 mewakili tingkat energi, huruf s mewakili tipe dari or bital dan angka 2 mewakili jumlah elektron yang berada pada orbital tersebut.
Urutan mengisikan orbital
Elektron mengisi dari orbital pada tingkat energi rendah (dekat dengan nukleus) sebelum mengisi pada orbital pada tingkat yang lebih tinggi. Ketika dihada kan pada orbital yang berada pada energi yang sama, elektron akan mengisi orbital yang koso g dahulu. Diagram di bawah ini menggambarkan tingkat energi orbital sampai tingkat energi keempat.
136
Perhatikan bahwa orbital s selalu memiliki energi yang rendah darip da orbital p pada seluruh tingkat energi, jadi rbital s akan ditempati terlebih dahulu oleh lektron sebelum menempati orbital p. Kita akan menemui k janggalan pada posisi orbital 3d. Orbital ini berada pada tingkat energi yang lebih tinggi dari ada 4s - adi elektron akan menempati orbita orbital 4s lebih dahulu sebelum menempati orbital 3 dan baru kemudian 4p. Kejanggalan berikutnya akan kita temui pada tingkat energi yang lebi tinggi lagi, sebagai contoh, di mana terjadi p nindihan tingkat energi yang mengakibatkan o bital 4f akan terisi setelah orbital 6s. 4.5 Latihan Soal
1. Dari keadaan diam elektron dipercepat dengan beda potensial sebesar 100 Volt. Berapakah panjang gelo bang de Broglienya? 2. Cari panjang gelombang de Broglie dari sebutir pasir 1 mg yang ditiup angin dengan kecepatan 20 m/s. 3. Berapakah panjang gelo bang yang harus dimiliki radiasi gelombang elektromagnetik ika sebuah foton dalam berkas itu memiliki momentum yang sama dengan momentum elektron yang bergerak d ngan kecepatan 5.106 m/s. 4. Berapakah panjang gelo bang de Broglie dari sebuah elektron yang bergerak dengan kecepatan 3.106 m s-1? 5. Energi terendah yang mungkin dimiliki sebuah partikel yang terperangkap dalam sebuah kotak ialah 1 eV. Berap kah energi dua tingkat berikutnya yang dapat dimiliki partikel itu. 137
6. Carilah bentuk tingkat energi (dalam MeV) sebuah neutron dalam kotak 1 dimensi yang lebarnya 10-14m. Berapakah energi minimum neutron? (Diameter inti atomik berorde besar sama dengan lebar tersebut). 7. Kedudukan dan momentum elektron 1 keV ditentukan secara serentak. Jika kedudukannya dapat ditentukan sekitar 1 A0, berapa peresentasi ketaktentuan momentumnya. 8. Bandingkan ketaktentuan kecepatan sebuah elektron dan sebuah proton yang terperangkap dalam kotak 10 A0. 9. Kedudukan sebuah proton ingin ditentukan tanpa mengubah energi kinetiknya lebih dari 1 keV. Tentukan ketelitian maksimum dari kedudukan partikel itu. 10. Partikel elementer yang tak mantap yang disebut meson eta memiliki massa diam 549 MeV dan umur rata-rata 7x10-19 s. Berapa ketidakpastian massa diamnya. 4.6 Rangkuman
1. Kalau foton dapat berkelakuan seperti partikel, maka Louise de Broglie mengusulkan bahwa partikel pun dapat bersifat sebagai gelombang dengan panjang gelombang yang diusulkan oleh de Broglie yaitu : λ
2. Kebenaran dari dugaan Louise de Broglie dibuktikan oleh Davisson dan Germer dengan mengamati gejala interferensi dan difraksi elektron yang ditembakkan pada atom nikel 3. Teori gelombang Louise de Broglie mengemukakan pendapatnya bahwa : cahaya
dapat
berkelakuan seperti partikel, maka partikel pun seperti halnya electron dapat berkelakuan seperti gelombang.
4. Davisson dan Germer melakukan suatu eksperimen dengan menembakkan electron berenergi rendah yang telah diketahui tingkat energinya kemudian ditembakkan pada atom dari nikel yang diletakkan dalam ruang hampa. Berdasarkan hasil pengamatan Davisson dan Germer terhadap elektron-elektron yang terhambur ternyata dapat menunjukkan adanya gejala interferensi dan difraksi. Dengan demikian hipotesis de Broglie yang menyatakan partikel dapat berkelakuan sebagai gelombang adalah benar. 5. Bentuk superposisi gelombang jika terdapat dua gelombang yang bertemu : y1 = A cos ( ωt –kx ) 138
y2 = A cos [( ω + dω) t – ( k + dk ) x] = 2A cos ½ [( 2ω + dω ) t – ( 2k + dk ) x] cos ½ (d ωt – dk x) 6. Sebuah partikel yang terperangkap terperangkap dalam kotak yang panjangnya L, bertujuan untuk menentukan bvahwa setiap electron mempunyai tingkat energy yang berbeda satu sama lainnya. Hal ini selanjutnya diturunkan dari fungsi gelombang, dengan menentukan fungsi energi f ( E E ) berdasarkan variabel pada sistem yang terdefinisi. 7. Pernyataan lain mengenai energi kinetik partikel (jika interaksi antar partikel diabaikan) E = ½ mv
2
, dalam bentuk momentum energi tersebut dapat dinyatakan dengan :
4.7 Test Formatif
1. Bila dari keadaan diamnya electron dipercepat berturut-turut oleh beda potensial V1 = 100 volt dan V2 = 400 volt, maka perbandingan panjang gelombang de Broglie sebelum dan sesudah dipercepat adalah ... . a. 1 : 4
d. 2 : 1
b. 1 : 2
e. 4 : 1
c. 3 : 3 2. Besarnya panjang gelombang de Broglie dari sebuah elektron yang bergerak dengan kelajuan 0,3 c, dengan c = 3x108 m/s dan massa elektron 9,1x10-31 kg adalah : a. 0,02 A
d. 0,08 A
b. 0,04 A
e. 0,09 A
c. 0,06 A 3. Jika tetapan Planck = 6,60x10-34 Js, panjang gelombang de Broglie suatu elektron yang bergerak dengan kelajuan 9,11x108 ms-1 adalah.... a. 6,6 ´ 10-47 Å
d. 6,6 Å
b. 6,6 ´ 10-2 Å
e. 66 Å
c. 6,6 ´ 10-1 Å 4. Cahaya kuning mempunyai panjang gelombang 6600 Å. Jika tetapan Planck h=6,60x10-34 Js dan kelajuan cahaya dalam ruang hampa adalah 3x108 ms-1, momentum foton cahaya kuning adalah .... 139
a. 10-45 kg ms-1
d. 1027 kg ms-1
b. 10-41 kg ms-1
e. 1019 kg ms-1
c. 10-36 kg ms-1 5. Sebuah elektron dipercepat oleh suatu suatu beda potensial V. Jika e = muatan muatan elektron. m= massa elektron, dan h=konstanta Planck, panjang gelombang l de Broglie elektron ini dapat dinyatakan dengan rumus ....
6. Jika dari keadaan diamnya elektronvpertama dipercepat oleh benda potensial V1 dan elektron lain dengan beda potensial V2 perbandingan panjang gelombang de Broglienya untuk beda potensial berorde kV adalah ....
7. Para ahli berikut yang tidak mengemukakan teori atom modern adalah… a. Louis de Broglie b. Erwim Schrodinger c. W. Heisenberg d. Neils Bohr e. Aufbau 8. Berikut ini percobaan yang mendukung teori atom mekanika kuantum, kecuali… a. Efek fotolistrik b. Eksperimen compton c. Eksperimen difraksi berkas elektron d. Radiasi benda mampat 140
e. Penembakan partikel alfa terhadap lempeng tipis 9. Dualisme gelombang – partikel dikemukakan oleh… a. Louis de Broglie b. Erwin Schrodinger c. W. Heisenberg d. Einstein e. Max Planck 10. Tidak mungkin dapat ditentukan kedudukan dan momentum suatu benda secara seksama pada saat bersamaan. Pernyataan ini dikemukakan oleh… a. Louis de Broglie b. Erwin Schrodinger c. W. Heisenberg d. Einstein e. Max Planck 11. Daerah di sekitar inti dengan kebolehjadian untuk mendapatkan elektron disebut… a. Sub orbit b. Sub kulit c. Kulit d. Orbit e. Orbital 12. Fungsi persamaan Schrodinger untuk menentukan kedudukan… a. Proton dalam tiga demensi b. Neutron dalam tiga dimensi c. Elektron dalam tiga dimensi d. Proton dalam orbital e. Neutron dalam orbital 4.8 Tindak Lanjut
Jika anda telah selesai mengerjakan soal latihan dan tes formatif di atas, maka hitung jawaban anda yang benar kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk menentukan tingkat penguasaan anda terhadap materi modul ini. 141
Rumus:
100%
Tingkat Penguasaan:
90% - 100%
=
Baik Sekali
80% - 89%
=
Baik
70% - 79%
=
Cukup
0% - 69%
=
Kurang
Jika tingkat penguasaan anda di bawah 80%, maka diharapkan mengulangi materi ini, khususnya bagian-bagian yang belum dipahami, serta menambah pengetahuan dari referensi lain yang berhubungan.
142
