BAB I PENDAHULUAN A. Lata Latarr B Bel elak akan ang g
Pada pelajaran sebelumnya kita telah mempelajari tentang deret. Pada makalah ini, kita akan mempelajari tentang residu dan teorema residu, dimana dalam mengerjak mengerjakan an residu dan teorema teorema residu, residu, membutuhkan membutuhkan deret deret yaitu deret laurent. Seperti yang kita lihat deret laurent adalah bentuk umum deret ( z − z 0 )
taylor, taylor, yang didalamny didalamnyaa memuat memuat bentuk bentuk
berpangkat bilangan bulat
( z − z 0 )
negati neg atiff ditamb ditambah ah den denga gann ben bentuk tuk
berpangkat bilangan bulat positif
(berhingga atau tak berhingga) f
Peng Pengur urai aian an dere derett Laur Lauren entt bahw bahwaa
pada
z 0
dan anulus anulus terbuk terbukaa
r < z − z 0 < ρ
dinamakan anulus konvergensi deret. Pehatikan bahwa kita dapat juga menuliskan deret itu dalam bentuk ∞
∑a
n
( z − z 0 ) n
n→−∞
engan koefisiennya diberikan oleh rumus C n =
"
f ( z )
!π i ∫ ( z − z )
n +"
C
dz , n = 0,±",±!,...
0
ima imana na c adalah sembarang lintasn tertutup sederhana yang berorientasi positif yang terletak didalam anulus konvergensi konvergensi dan memuat pusat z 0
penguraian
dibagian dalamnya. b"
#ilai residu sendiri adalah pada deret laurent sehingga residu sendiri terbagi menjadi dua yaitu residu pada pada kutb tunggal dan residu pada kutub$n kutub$n %dapun ayat su&i %l$'uran yang berkaitan dengan makalah ini terdapat pada '.S %n$#isa "* "* yang berbunyi berbunyi
1
%rtinya susungguhnya susungguhnya orang$orang yang beriman kemudian kafir, kemudian beriman (pula) kemudian kafir lagi, kemudian bertambah kekafirannya, maka sekali$kali %llah tidak akan memberi ampunan kepada mereka, dan tidak (pula) menunjuki mereka kepada jalan yang lurus. ('.S %n$#isa "*) +ubungannya yaitu dapat kita lihat dalam arti bahwa barang siapa yang murtad kepada %llah dan mati dalam keadaan kafir maka tidak diterima amalnya di dunia dan di akhirat ini sama saja dalam penjelasan tentang integral residu yaitu jika fungsi tersebut analitik maka hasil integral ini sama dengan nol B. Rumu Rumusa san n Mas Masal alah ah
eras erasark arkan an latar latar belak belakang ang diatas diatas maka maka dipero diperoleh leh beber beberapa apa rumusa rumusann masalah ,antara lain ". agaimana agaimana bentuk bentuk -esidu -esidu pada pada utub utub /ungga /unggall !. agaim agaimana ana bent bentuk uk -esid -esiduu pada pada kutub kutub n C. Tujuan juan Penu Penulis lisan an
%dapun %da pun tujuan tujuan pen penuli ulisan san dari dari pembua pembuatan tan makala makalahh ini adalah adalah sebaga sebagaii berikut ". 1ntuk 1ntuk menng menngetahu etahuii bentuk bentuk -esidu -esidu pada utub /ungga /unggall !. 1ntuk 1ntuk menget mengetahui ahui bentuk bentuk -esidu -esidu pada kutub kutub n D. Manfaa Manfaatt Penul Penulisa isan n
%dapun manfaat dalam pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut ". 2anfaa 2anfaatt bag bagii peny penyusu usunn atau penulis penulis dari dari makala makalahh ini adala adalahh agar agar bisa menge mengetah tahui ui lebih lebih jauh jauh menge mengenai nai prose prosess pen penye yeles lesaia aiann mengen mengenai ai deret deret Laurent dan -esidu !. 2anf 2anfaaat bagi bagi oran rang lain lain adal adalaah sebag bagai a&uan uan pem pembela belaja jara rann dan menambah menambah wawasan wawasan dalam menyeles menyelesaikan aikan poko pokokk permasal permasalahan ahan yan yangg berkaitan dengan dengan deret Laurent dan -esidu E. Bata Batasa san n Mas Masal alah ah
%dapun batasan yang telah ditetapkan dari pihak penyusun atau penulis makalah ini, tidak lain adalah pokok pembahasan mengenai eret Laurent dan -esidu 2
%rtinya susungguhnya susungguhnya orang$orang yang beriman kemudian kafir, kemudian beriman (pula) kemudian kafir lagi, kemudian bertambah kekafirannya, maka sekali$kali %llah tidak akan memberi ampunan kepada mereka, dan tidak (pula) menunjuki mereka kepada jalan yang lurus. ('.S %n$#isa "*) +ubungannya yaitu dapat kita lihat dalam arti bahwa barang siapa yang murtad kepada %llah dan mati dalam keadaan kafir maka tidak diterima amalnya di dunia dan di akhirat ini sama saja dalam penjelasan tentang integral residu yaitu jika fungsi tersebut analitik maka hasil integral ini sama dengan nol B. Rumu Rumusa san n Mas Masal alah ah
eras erasark arkan an latar latar belak belakang ang diatas diatas maka maka dipero diperoleh leh beber beberapa apa rumusa rumusann masalah ,antara lain ". agaimana agaimana bentuk bentuk -esidu -esidu pada pada utub utub /ungga /unggall !. agaim agaimana ana bent bentuk uk -esid -esiduu pada pada kutub kutub n C. Tujuan juan Penu Penulis lisan an
%dapun %da pun tujuan tujuan pen penuli ulisan san dari dari pembua pembuatan tan makala makalahh ini adalah adalah sebaga sebagaii berikut ". 1ntuk 1ntuk menng menngetahu etahuii bentuk bentuk -esidu -esidu pada utub /ungga /unggall !. 1ntuk 1ntuk menget mengetahui ahui bentuk bentuk -esidu -esidu pada kutub kutub n D. Manfaa Manfaatt Penul Penulisa isan n
%dapun manfaat dalam pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut ". 2anfaa 2anfaatt bag bagii peny penyusu usunn atau penulis penulis dari dari makala makalahh ini adala adalahh agar agar bisa menge mengetah tahui ui lebih lebih jauh jauh menge mengenai nai prose prosess pen penye yeles lesaia aiann mengen mengenai ai deret deret Laurent dan -esidu !. 2anf 2anfaaat bagi bagi oran rang lain lain adal adalaah sebag bagai a&uan uan pem pembela belaja jara rann dan menambah menambah wawasan wawasan dalam menyeles menyelesaikan aikan poko pokokk permasal permasalahan ahan yan yangg berkaitan dengan dengan deret Laurent dan -esidu E. Bata Batasa san n Mas Masal alah ah
%dapun batasan yang telah ditetapkan dari pihak penyusun atau penulis makalah ini, tidak lain adalah pokok pembahasan mengenai eret Laurent dan -esidu 2
. !iste !istemat matika ika Pem"a Pem"ahas hasan an
1ntuk memperoleh gambaran menyeluruh mengenai eret Laurent dan -esidu.se&ara umum dapat dilihat dari sistematika penulisan dibawah ini 3. P4#%+1L1%# agian ini merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang, rumusan masalah, tujuan peulisan, manfaat penulisan, batasan masalah, dan sistematika penulisan. 33.
/3#5%1%# P1S/%% agian ini merupakan kajian pustaka yang berisi tentang pokok$ pokok pembahasan yang berhubungan dengan deret laurent, -esidu dan teorem teoremaa residu residu.ya .yang ng dijad dijadika ikann sebaga sebagaii landas landasan an untuk untuk penye penyeles lesaia aiann makalah makalah ini, diantarany diantaranyaa adalah adalah definisi definisi eret /aylor, /aylor, eret Laurent, Laurent, Singularita Singularitass dan fugsi %nalitik, %nalitik, -esidu, -esidu, dan Pemanfaatan Pemanfaatan -esidu dalam 3ntegral ompleks.
333.
24/66L673 P4# P4#81S1#%# agian ini merupakan metodologi dalam penyusunan makalah ini berisi waktu dan tempat, metode pengumpulan materi, dan proses penyusunan penyusunan materi.
39.
P42%+%S%# agian ini merupakan pembahasan menyeluruh mengenai tinjauan pustaka yang telah ditetapkan penulis atau penyusun dari makalah ini sesuai dengan tugas yang telah diberikan oleh dosen.
9.
P4#1/1P agian ini merupakan penutup dari penyunan makalah ini yang berisi kesimpulan dan dan saran. %:/%- P1S/%%
3
BAB II TIN#AUAN PU!TA$A
A. Deret Ta%l&r
Sebagaimana pada fungsi real, fungsi kompleks juga dapat dideretkan pada daerah konvergensinya. Semua watak kajian konvergensi pada fungsi real berlaku pula pada fungsi kompleks. Se&ara umum deret fungsi kompleks berupa polinomial " ∞
f(;)<
c z ∑ =
n
n
n 0
2 n < c 0 = c 1 ;= c 2 z =.......= c n z =.....
(") 1ntuk fungsi f(;) yang analitik di daerah >, f(;) dapat dideretkan se&ara konvergen di sekitar titik mana pun di dalam >, misalnya ; < a, menjadi deret /aylor z −a
f(;)<
∞
¿ ¿
(!)
c ¿ ∑ = n
n 0
Persamaan (") identik dengan deret /aylor ke&uali pengaturan penulisannya. oefisien polinomial dalam deret /aylor di atas, &n, dapat di&ari dengan integral ?au&hy cn = f ( n ) (a ) A n@=
"
∫
f ( z )
!π i C ( z − a ) n+"
dz
() -atio test ajian ini adalah salah satu &ara untuk menentukan konvergensi sebuah deret fungsi. Sebuah deret dapat dikatakan konvergen bila dipenuhi lim n →∞
1 Sugata
cn +1 cn
B"
(C)
Pikatan,D9ariabel omplksD,Surabaya,1niversitas Surabaya,!0"C,hal!E
4
koefisien deret yang satu dengan yang berada di depannya harus senantiasa lebih ke&il " di manapun dalam deret itu. 5ika nisbah tersebut lebih besar ", deretnya pasti divergen. ajian ini tidak dapat menyimpulkan konvergensi sebuah deret, jika nisbah (C)di atas bernilai ", deretnya masih mungkin konvergen dan mungkin pula divergen. 1ntuk itu diperlukan kajian konvergensi yang lain, lihat kuliah alkulus 33. 5enis deret yang sering dipakai dalam penderetan fungsi kompleks adalah deret binomium yang berbentuk " " − h( z )
= " + h( z ) + Gh( z )F! + Gh( z )F + ....
(H) 2enurut kajian diatas konvergensi deret ini akan ter&apai jika dipenuhi Ih(;) B "I
(E)
(C.E) Persamaan ini menghasilkan uji konvergensi I ;$a I < ρ , yakni sebuah lingkaran dengan uji ρ . eret hanya konvergen jika I ;$a I berada di dalam lingkaran, dan divergen bila berada di luarnya. B. Deret Laurent
Penguraian suatu fungsi f(;) ke dalam deret /aylor menyatakan fungsi itu didalam lingkaran konvergensinya. /etapi, yang hamir selalu hanya merupakan bagian daerah analitisitasnya f. 2isalnya, deret deret konvergen ke f ( z )=1 /( 1− z )
∑ Z
n
hanya pada &akram I;I B ", meskipun f
analitik di mana$mana ke&uali pada ; < ". Pertanyaan kemudian ialah %dakah suatu penguraian deret yang menyatakan f di dalam daerah yang lebih lengkap, atau mungkin, pada semua titik di mana f analitik 3nilah sasaran utama pasal ini, untuk memberikan beberapa jawaban pada
5
pertanyaan wajar
yang ini
umum
dan
dengan mengembangkan
deret Seperti
Laurent
bagi fungsi analitik.
yang
kita
lihat,
deret
Laurent adalah
bentuk umum deret
taylor, yang di
dalamnya
bentuk (; J &)
berpangkat bilangan
memuat
bulat negative ditambah dengan bentuk (; $ &) berpangkat bilangan bulat positif (berhingga atau tak berhingga). ita akan melihat juga bahwa deret Laurent suatu fungsi f(;) konvergen. Pada umumnya, di dalam annulus melingkar r B I; J &I B p (lihat gambar *."), itulah sebabnya kita sekarang akan berkepentingan dengan annulus konvergensi sebagai pengganti lingkaran konvergensi. /eorema berikut menformalkan apa yang dinyatakan di atas dalam istiah yang lebih tepat.
/eorema *." (/eorema Laurent) %ndaikan bahwa f ( z ) analitik pada setiap titik di annulus tertutup A : r ≤| z − c|≤ p
6
2aka terdapat suatu deret dalam (; J &) berpangkat positif dan negative yang menyatakan f paa setiap titik r <| z − c|< p
.
∞
f ( ζ )=
ζ di dalam annulus (terbuka)
∑ =
∞
n
a n ( ζ −c ) +
n 0
bn
∑ = ( ζ − c ) n 1
n
oefisien deret tersebut diberikan oleh rumus 1 an = 2 πi
❑
∫ ( z −f ( zc )) + dz ,n=0,1,2, … n 1
k
an 1 bn = 2 πi
❑
∫ ( z −f c( z)−) + dz ,n=0,1,2, … n 1
c
K :| z −c|= p dan C :| z −c|= r ,
imana
keduanya
berorientasi
positif, lihat gambar *." Bukti '
Pennguraian deret pada teorema di atas dinamakan deret Laurent f pada & dan annulus terbuka r B I; $ &I B p dinamakan annulus konvergensi deret. Perhatikan bahwa kita dapat juga menuliskan deret itu dalam bentuk ∞
c ∑ =−
n
n
( z −c )n ,
∞
engan koefisiennya diberikan oleh rumus c n=
f ( z ) dz, n = 0, ± 1, ± 2, … ∫ 2 πi ( z − c ) + 1
n 1
r
imana
Γ
adalah sembarang lintasan tertutup sederhana yang
berorientasi positif yang terletak di dalam annulus konvergensi dan memuat pusat penguraian & di bagian dalamnya. Lihat gambar *." ! 2
Paliouras,.5ohan, "K*. Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur, 5akarta 4rlangga.hal !CC$!CH
7
C&nt&h
". /entukan penguraian deret launrent bagi fungsi f(;) < "A; dengan pusat pada & < " dan annulus konvergensi A : 1<| z −1|< ∞ , jelaslah, f analitik di dalam %, maka, dalam notasi teorema *."., r dan p dapat berupa sembarang bilangan nyata yang lebih besar dari ", sekarangm kita akan men&ari sebuah deret dalam (; J "), yang konvergen ke f(;) untuk semua ; sedemikian sehingga I; J "I M " N 7ambar *.(a). ari ketaksamaan terakhir kita peroleh
| − |< 1
z 1
1
arena itu, besaran "A(;$") dapat disubtitusikan untuk ; dalam sembarang deret yang konvergen untuk I;I B ". 2aka kita mempunyai 1
z
¿
=
1
( z −1)+ 1
1
z − 1
1
.
1
1+
z −1
¿
| |
1 <1 , (−1 ) ( ∑ z − 1 = z − 1 ) z − 1 ∞
1
n
1
n 0
( −1 ) n
1
( z − 1 )n+1
n
, 1 <¿ z − 1∨¿
∞
¿∑ ¿ n= 0
5adi deret Laurent bagi f(;) ialah 1
z
=
1
z −1
=
1
( z −1 )
= 2
1
( z −1 )3
=…
8
an annulus konvergensinya ialah
1 <| z −1|< ∞
seperti yang
diminta oleh soalnya. agaimana penderetannya bila f(;) fungsi meromorfik yang gagal analitik di sebuah kutub ; < a di dalam daerah konvergensinya i dalam sebuah anulus berpusatkan di ; < a fungsi f(;) menjadi analitik, karena ;
f ( z ) =
∑ n =0
∞
cn ( z − a ) + n
d n
∑ ( z − a) n ="
n
(*)
3
Paliouras,.5ohan, "K*. Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur, 5akarta 4rlangga.hal !C*
9
Suku pertama di ruas kanan tidak lain adalah deret /aylor, dan suku keduanya yang berupa polinomial berpangkat negatif disebut sebagai bagian utama dari deret Laurent. 5adi se&ara umum deret Laurent (*) terdiri dari dua bagian deret /aylor dan bagian utamanya. oefisien bagian utamanya juga dapat di&ari dengan integral ?au&hy dengan kontur lingkaran bagian dalam anulus. d n =
"
∫
f ( z )
!π i K ( z − a ) − n +"
dz
() %nulus itu kemudian menjadi daerah konvergensi deret Laurent. ila semua dn< 0, titik ; < a di dalam daerah konvergensinya dikatakan bersifat regular. 5ika kutub ; < a berorde k dipakai sebagai pusat anulus g ( z ) f(;)< ( z −a )k Substitusi f(;) ini ke dalam persamaan () dan aplikasi integral ?au&hy menghasilkan persamaan d n =
"
f ( z )
∫
!π i C ( z − a ) − n+ k +"
dz =
g (
− n + k )
(a )
(−n + k )@
(K) •
ari sini jelaslah bahwa untuk n Mk dn < 0 karena faktorial bilangan bulat negatif tak hingga besarnya, menyebabkan hasil bagi nol di ruas kanan. onsekuensinya bagian utama deret Laurent akan berhenti sampai nomork. d " =
•
n<"
" !π i
∫ f ( z )dz ("0)
2isal f ( z ) tidak analitik di z = z 0 tetapi analitik pada anulus, R1 <| z = z 0|< R2
. 2aka fungsi
f ( z )
dapat diperderetkan di
menjadi bentuk deret ((eret Laurent) sebagai berikut ∞
f ( z )=
∞
bn
∑= a ( z − z ) +∑= ( z − z ) … … … ( R <| z = z |< R ) n
n
n 0
0
n 1
1
n
0
10
0
2
z = z 0
an =
enga
bn =
1 2 πi
1 2 πi
∫ z −f z( z ) + dz ,n =0,1,2, … (
C
0
)n
∫ z −f z( z)− + dz , n=0,1,2,3, … C
(
0
)
dan
1
n 1
. Lintasan ? merupakan lintasan
tutup sederhana yang terletak di dalam annulus yang melingkupi z 0 . #otasi lain yang biasa digunakan untuk menyatakan bentuk deret Laurent yaitu ∞
f ( z ) 1 C ( z − z ) … … ( R <| z = z |< R ) ,a = ∑ ∫ + dz, n= 0, ± 1, ± 2, … 2 πi z − z =− n
f ( z )=
n
n
0
1
0
2
∞
n
C
(
0
)n 1
alam memperderetkan fungsi ke dalam deret Laurent kita tidak menggunakan rumusan di atas, karena kita ingin menghindari perhitungan integral lintasan. 1ntuk itu dilakukan dengan menggunakan bantuan deret /aylor maupun deret 2& Laurin yang sudah kita pelajari. %gar lebih jelas diberikan &ontoh berikut.C ?ontoh ". Perderetkan fungsi
f ( z )= e
1 / z
dengan pusat di z =0 dan tentukan
daerah keanalitikannya. 5awab 1 / z ( ) = f z e :ungsi tidak analitik di z =0 . Sehingga fungsi f ( z ) diperderetkan ke dalam deret Laurent dengan daerah keanalitikan 0 <| z|< ∞
f ( z )=e
1 / z
| |<
0<
atau
∞
=∑ n= 0
( 1 / z )n n!
∞
=∑ n= 0
1
( n ! ) z
n
1
z
∞
.
… … . ( 0 <| z|< ∞ )
4 Sugata Pikatan,D9ariabel omplksD,Surabaya,1niversitas Surabaya,!0"C,hal!*$0
11
2aka
f ( z )=
!. Perderetkan
−1 2 z −3 z + 2
di titik yang diketahui dan tentukan
daerah keanalitikannya. a. ;<" b. ;
f ( z )=
−1 1 1 = − 2 z −3 z + 2 z − 1 z −2 tidak analitik di ;<" dan ;
Sehingga deret dengan pusat di kedua titik tersebut merupakan deret Laurent, sedangkan di ; < 0 merupakan deret 2& Laurin. a. ila
f ( z )
diperderetkan dengan pusat ;<" maka daerah
keanalitikan yang mungkin yaitu 0 <| z −1|< 1 (i) 1 <| z −1| (ii) (iii)
aerah
0 <| z −1|< 1 ( 0 <| z −1|dan| z −1|< 1 )
isini
kita
tinggal
1
1
f ( z ) =
−
memperderetkan
z −1 z −2 .
Pada
∞
−1 = =−1 ∑ ( z −1 )n | z −1|< 1 : z −2 1 −( z − 1 ) n= 0 1
0 <| z − 1|< 1
5adi f ( z )=
(iv)
aerah
1
z −1
∞
+ ∑ ( z −1 )n … … ¿
1 <¿ z − 1∨
n= 0
(| − < |) 1
z 1
12
1
suku
kedua
dari daerah
1
z − 2
=
1
<
1
1
− 1 + ( z − 1 ) z − 1 ∞
∑ z − 1 =
n 0
5adi
1
=
(−)
1−
( − ) =∑ ( − ) ∞
n
1
z 1
f ( z )=
z
∞
z − 1
−∑
n= 0
z 1
1
n= 0
1
1
1
n+ 1
∞
1 n+ 1
( z − 1 )
=∑
n= 1
1
( z − 1 )n
… . ( 1 <| z − 1|)
b. ila f(;) diperderetkan dengan pusat ;
0 <| z −2|< 1
(ii)
1 <| z −2|
(iii)
aerah
0 <| z −2|< 1 ( 0 <| z −2|dan| z − 2|< 1 )
isini
kita
f ( z )=
1
tinggal −
1
z − 1 z −2
memperderetkan
suku
pertama
.
1
1
∞
n n − = = − z 2|< 1 : 1 ) ( z −2 ) ( | ∑ Pada daerah z −1 1 + ( z −2 ) n=0
∞
5adi
(iv)
aerah
f ( z )=
∑= (− 1 ) ( z − 2 ) − z−1 2 … … … ( 0<| z− 2|< 1 ) n
n
n 0
(| | )
1 <| z −2|
1
z −2
<1
13
dari
1
z − 1
=
1 1 + ( z −2 )
=
1
∞
1
z −2
1+
(−) 1
( −1 ) n =∑ n +1 n= 0 ( z − 2 )
z 2
∞
∞ (−1)n (−1)n 1 − =∑ … … … ( 1 <| z −2|) n +1 5adi f ( z )=∑ z −1 n=1 ( z −2)n n=0 ( z − 2)
&. ila f(;) diperderetkan dengan pusat ; < 0 maka daerah keanalitikan yang mungkin yaitu (i)
| z|<1
(ii)
1 <| z|< 2
(iii)
2 <| z|
(iv)
aerah | z|<1 ila | z|< 1 maka | z|< 2 atau
| |< z
2
1
∞
− = 1 =−∑ z n … … (| z|< 1 ) dan z − 1 z −1 n= 0 1
1
z − 1
=
−1 2
∞
1 1−
z
=−∑
n= 0
z
n
n+ 1
2
… … (| z|< 2)
2
∞
∞
z
n
z +∑ n+1 … … (| z|< 1) 5adi f ( z )=−∑ n= 0 n= 0 2 n
14
(v)
1 <| z|< 2 ( 1 <| z|dan| z|< 2 )
aerah
(| | ) 1
1 <| z|
Pada daerah
<1
z
:
1
z
=
−1 z
∞
1 1−
1
=−∑
n= 0
z z
| z|<2
∞
(| | ) z
<1
2
∞
1
:
1
z −2
z
=
−1 2
∞
1 1−
z
=−∑ n= 0
2
n
+ … … … ( 1 <| z|< 2 ) n + 1 ∑ n+ 1 5adi f ( z )=− ∑ z 2 n= 0 n= 0 2 <| z|
aerah
(| | )
2 <| z|
ila
1
=
1
z − 1 z
1
=
1
z − 2 z
n +1
z
Pada daerah
(vi)
n
2
z
∞
1 1−
(| | )
<1 maka 1<¿ z ∨
1
=∑ n= 0
1 n +1
2
1
z
<1
… … ( 1 <| z|)
z
∞
1 1−
2
=∑ n=0
n
2
z
n+ 1
… … ( 2 <| z|)
z
∞
1
∞
n
2
−∑ n+1 … … … ( 2<| z|) n+ 1 5adi f ( z )=∑ n= 0 z n= 0 z
C. !ingularitas (an ungsi analitik
15
n
z
n+1
2
z 0 ,
suatu titik
f ( z )
merupakan singularitas fungsi z 0 ,
menjadi analitik pada
bila f gagal z 0
sementara setiap lingkungan
memuat paling
sedikit satu titik dimana f analitik. Pada dasarnya, terdapat dua ma&am singularitas ". Singularitas tak terasing !. Singularitas terasing z 0
Suatu titik
merupakan singularitas tak terasing, bagi fungsi f jika
z 0
dan hanya jika
z 0
singularitas bagi f dan setiap lingkungan
memuat paling
z 0
sedikit satu sngularitas f yang lain dari f ( z ) = log z
. Sebagai misal, fungsi
2empunyai singularitas tak terasing pada setiap titik di sumbu nyata tak positif. Se&ara umum, setiap fungsi yang dikaitkan dengan suatu potongan &abang singularitas tak terasing. arena, menurut definisi, setiap lingkungan terhapus bagi singularitas tak terasing fungsi f memuat paling sedikit satu singularitas f yang lain. 3ni berarti bahwa jika suatu fungsi mempunyai satu singularitas tak terasing, maka ia mempunyai tak berhingga banyak singularitas, meskipun tidak perlu tak terasing. z 0
%ndaikan sekarang bahwa
f ( z )
merupakan singularitas fungsi
,
z 0
maka
akan dinamakan singularitas terasing f, asal ada suatu lingkungan z 0
terhapus
, dimana f analitik. 2isalnya, fungsi
f ( z ) =
Ci z ! + "
16
2empunyai singularitas terasing, satu pda =i dan satu lagi pada Ji. 3ni tidak sulit untuk melihat, karena suatu lingkungan terhapus dengan jari$jarin " (atau kurang) dapat dilukis disekeliling salah satu dari kedua titik itu dimana f analitik didalamnya. Singularitas terasing lebih jauh digolongkan sebagi berikut. %ndaikan z 0
bahwa
f ( z )
merupakan singularitas terasig fungsi
f ( z )
. 2aka
analitik di
N O ( z 0 , ρ )N
seluruh suatu lingkungan terhapus
dengan kata lain , di seluruh
anulus 0 < z − z 0 < ρ
6leh karena itu, f memiliki penguraian deret Laurent. ∞
f ( z ) =
∑ c ( z − z ) . n
n
0
n = −∞
%da tiga kemungkinan ( z − z 0 )
%S1S " tidak ada
yang berpangkat negatif pada persamaan ini.
z 0
Pada kasus ini
dinamakan singularitas yang dapat dihilangkan (removable
singularity). 2isalnya fungsi f ( z ) =
sin z z
z 0 = 0
2empunyai singularitas yang dapat dihilangkan pada
karena
penguraian deretnya sekeliling titik itu ialah sin z z
= "−
z ! @
+
z C H@
− ...,
8ang tidak memuat ; berpgkat negatif, jadi deret itu benar$benar merupakan deret /aylor. Selanjutnya perhatikan bahwa deret paa persamaan
17
diatas terdefinisikan pada
z = 0
dimana ia men&apai nilai . kenyataannya ini
menunjukkan bahwa singularitas supersial pada
z = 0
dpat dihilangkan
dengan mendefinisikan fungsi itu se&ara tepat pada titik tersebut. Proses pendefinsian fungsi pada titik itu berlangsung sangat alami, jadi, dengan mengambil limit pada persamaan diatas, untuk lim =
sin z
z →0
z
z → 0
kita memperoleh
="
8ang pada gilirannya menyarankan agar kita mendefinisikan f (0) = "
5adi singularitas tersebut telah dihilangkan. f ( z )
Se&ara umum, jika
mempunyai singularitas yang dapat
z 0
dihilangkan pada
z 0 f ( z 0 ) = c0
c0
nilai
maka dengan mendefinisikan sungsi itu agar mempunyai
pada
,
maka kita dapat mendalihkan bahwa f analitik
z 0
.H
pada D. Resi(u
-esidu merupakan bilangan b1 yang merupakan koefisien dari ( z − z 0 ) −"
pada deret laurent suatu fungsi f(z. Suatu fungsi dapat dinyatakan dalam deret laurent apabila fungsi tersebut memiliki titik singular terisolasi.
5
Paliouras,.5ohan, "K*. Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur, 5akarta 4rlangga.hal !H"$!H!
18
imana titik singular sendiri merupakan titik yang menyebabkan fungsi f(z gagal analitik.E Te&rema Resi(u
Perhatikan koefisien pertama d " pada persamaan (C."0) di atas. 3ntegrasi sembarang fungsi f(z pada kontur C tertutup dengan demikian adalah
❑
∮ f ( z ) dz=2 πi d
1
c
Persamaan ini memberikan alternatif lain dalam perhitungan integral kontur tertutup terhadap fungsi variabel kompleks. 2enurut persamaan integral ini dapat diketahui hasilnya jika koefisien d " ditemukan. /ampak jelas bahwa peranan koefisien ini sangat penting dalam
perhitungan integral kompleks, sehingga perlu diberi nama khusus. alam kasus anulus di atas, sebutannya adalah residu fungsi f(z di kutub z < a dan biasa dituliskan d 1 Re" [ f ( z ) , a ]
-esidu sebuah fungsi selain dapat diperoleh dari proses penderetan, se&ara umum dapat pula diperoleh dengan memanfaatkan integral ?au&hy. 2isalnya f(z memiliki kutub berorde k di z < a dalam daerah konvergensinya sehingga fungsinya mengambil bentuk persamaan g ( z ) f(z!
( z −a )k
dengan fungsi pembilang g(z analitik dalam z, maka
6
httpAAwww.slideshare.netAdwinopitaAmakalah$komplek$refis
19
-e s ( f , a) =
=
"
∫ f ( z )dz
!π i C "
∫
g ( z )
!π i C ( z − a ) k
dz
−
= =
g ( k ") ( a ) ( k − ")@ "
−
lim
d k " k −"
( k − ")@ z →a dz
( z − a) k f ( z )
Persamaan inilah yang kemudian banyak digunakan untuk menghitung integral kompleks, walaupun masih juga terdapat kelemahan, yaitu orde kutub harus dapat ditentukan terlebih dulu. Padahal tidak semua fungsi se&ara gamblang memperlihatkan orde kutub yang dimilikinya. alam kasus yang seperti ini dianjurkan untuk men&ari residu lewat penderetan. alam banyak kasus, fungsi f(z memiliki lebih dari satu kutub. /eorema residu dapat diperluas pengertiannya untuk menanggulangi hal ini. 5ika kutub$kutubnya berada di z < a ", maka f ( z )dz = !π i
∑ -e sG f ( z ), a F "
"
Semua residu di kutub$kutubnya dijumlahkan dulu. 1ntuk jenis kutub sederhana, ia boleh dilintasi oleh kontur integrasi C , dan residunya menjadi separo dari residu /ujuan dari integral residu adalah untuk men&ari hasil dari integral
∫ f ( z ) dz C
yaitu integral dari fungsi f ( z ) pada kurva tertutup ?. *
*. Resi(u Pa(a $utu" Tunggal
7
2uharini husumawinahyu, Quryanasari r. !0"C. Catatan kuliah #ungsi
Kompleks$ Program %tudi &atematika 'urusan &atematika #akultas &atematika dan Ilmu Pengetahuan lam$
1niversitas rawijaya
20
z 0
5ika bagian utama f dititik singular terasing
memuat paling
sedikit satu suku tak nol dan jumlah suku tak nol tersebut berhingga, bm ≠ 0
maka terdapat bilangan asli m sehingga
sedangakan
bm+" = bm+! = 0
.
deret
∞
f ( z ) =
∑ a ( z − z ) n
n
0
+
n =0
b" ( z − z 0 )
laurent +
b! ( z − z 0 ) !
fingsi
+ ... +
f
menjadi
bm ( z − z 0 ) m
z 0
Selanjutnya,
z 0
disebut lutub (pole) tingkat m. 5ika m<" maka
disebut kutub tunggal (simple pole). z = z 0
jika f memiliki tiang sederhana di -e s( f ( z ), z 0 ) = lim ( z − z 0 ) f ( z )
maka
z → z 0
+. Resi(u ,a(a $utu" n
z = z 0
5ika f memiliki kutu orde ke n pada -e s ( f ( z ), z 0 ) =
" ( n − ")@
d n −
maka
"
lim
z → z 0
n −"
dz
( z − z 0 ) n f ( z ) 8
E. Pemanfaatan Resi(u (alam Integral $&m,leks
/eorema residu sangat ampuh, sehingga hampir tidak ada integral kurva tertutup yang tidak dapat dipe&ahkan. /entunya pole yang berpengaruh terhadap integral tersebut adalah pole yang berada di dalam atau pada kurva ?. imana kurva ? adalah kurva tertutup dengan arah pergerakan berlawanan dengan arah jarum jam. 5adi jika 8 httpAAwww.slideshare.netAdwinopitaAmakalah$komplek$refis
21
ternyata kurva yang diketahui searah dengan jarum jam, maka tinggal diberi tanda negatif saja pada ruas kanan dari rumus tersebut.K
9
2uharini husumawinahyu, Quryanasari r. !0"C. Catatan kuliah #ungsi
Kompleks$ Program %tudi &atematika 'urusan &atematika #akultas &atematika dan Ilmu Pengetahuan lam$ 1niversitas rawijaya
22
BAB III MET-D-L-I PEN/U!UNAN
A. !um"er Materi
%dapun sumber materi yang telah kami dapatkan selaku penyusun makalah ini demi terselesaikannya makalah ini yakni dari buku$buku, internet, dan jurnal serta modul. B. 0aktu (an Tem,at
%dapun waktu yang digunakan dalam penyusunan makalah ini adalah dimulai dari tanggal !!$!H desember atau dimulai dari hari kamis$minggu. Sedangkan tempat yang digunakan untuk penyelesaian makalah ini adalah Laboratorium komputer :S/ 13#%2, ruangan perkuliahan, dan di rumah. C. Pr&se(ur Pengum,ulan Materi
%dapun prosedur yang dilakukan dalam pengumpulan makalah ini adalah
melakukan peminjaman buku yang telah disediakan dari pihak
kampus atau fakultas, pen&arian dari internet, serta dari bantuan teman. D. Pen%usunan Materi
%dapun proses yang dilakukan dalam penyusunan makalah ini adalah dengan memberikan tugas dari masing$masing teman kelompok untuk mengetik atau memberikan &ontoh dari masing$masing pokok permasalahan yang berhubungan dengan residu agar memudahkan pemahaman mengenai materi dari makalah ini. Serta meng&opy dari hasil ketikan setiap tugas yang telah dibagikan baik melalui pengiriman email ataupun se&ara langsung. +ingga selesainya proses penyusunan makalah ini.
23
BAB I1 PEMBAHA!AN
iperlukan pemahaman mengenai deret singularitas, -esidu, dan beberapa deret pada fungsi kompleks khususnya deret taylor dan deret Larent untuk memahami bahasan mengenai residu dan juga teorema residu sehingga akan dipaparkan sekilas mengenai singularitas dan deret$deret pada fungsi kompleks. Sebelumnya, ada baiknya untuk mengetahui pengertian residu agar mengetahui lingkup bahasan dan hubungan$hubungan antara singularitas, dan deret taylor dan laurent dengan residu. ( z − z 0 ) −"
-esidu merupakan bilangan b1 yang merupakan koefisien dari pada deret laurent suatu fungsi f(z. Suatu fungsi dapat dinyatakan dalam deret lauent apabila fungsi tersebut memiliki titik singular terisolasi. imana titik singular sendiri merupakan titik yang menyebabkan fungsi f(z gagal analitik. Sebagaimana pada fungsi real, fungsi kompleks juga dapat dideretkan pada daerah konvergensinya. Semua watak kajian konvergensi pada fungsi real berlaku pula pada fungsi kompleks. Se&ara umum deret fungsi kompleks berupa polinomial ∞
f(;)<
c z ∑ = n
n 0
n
2 n < c 0 = c 1 ;= c 2 z =.......= c n z =.....
1ntuk fungsi f(;) yang analitik di daerah >, f(;) dapat dideretkan se&ara konvergen di sekitar titik mana pun di dalam >, misalnya ; < a, menjadi deret /aylor z −a
f(;)<
∞
¿ ¿
c ¿ ∑ = n
n 0
Persamaan (") identik dengan deret /aylor ke&uali pengaturan penulisannya. oefisien polinomial dalam deret /aylor di atas, &n, dapat di&ari dengan integral ?au&hy
24
cn = f ( n ) (a ) A n@=
"
∫
f ( z )
!π i C ( z − a ) n+"
dz
-atio test ajian ini adalah salah satu &ara untuk menentukan konvergensi sebuah deret fungsi. Sebuah deret dapat dikatakan konvergen bila dipenuhi lim n →∞
cn +1 cn
B"
koefisien deret yang satu dengan yang berada di depannya harus senantiasa lebih ke&il " di manapun dalam deret itu. 5ika nisbah tersebut lebih besar ", deretnya pasti divergen. ajian ini tidak dapat menyimpulkan konvergensi sebuah deret, jika nisbah (C)di atas bernilai ", deretnya masih mungkin konvergen dan mungkin pula divergen. 1ntuk itu diperlukan kajian konvergensi yang lain, lihat kuliah alkulus 33. 5enis deret yang sering dipakai dalam penderetan fungsi kompleks adalah deret binomium yang berbentuk " " − h( z )
= " + h( z ) + Gh( z )F! + Gh( z )F + ....
A. Deret Laurent
Penguraian suatu fungsi f(;) ke dalam deret /aylor menyatakan fungsi itu didalam lingkaran konvergensinya. /etapi, yang hamir selalu hanya merupakan bagian daerah analitisitasnya f. 2isalnya, deret deret konvergen ke f ( z )=1 /( 1− z )
∑ Z
n
hanya pada &akram I;I B ", meskipun f
analitik di mana$mana ke&uali pada ; < ". Pertanyaan kemudian ialah %dakah suatu penguraian deret yang menyatakan f di dalam daerah yang lebih lengkap, atau mungkin, pada semua titik di mana f analitik 3nilah sasaran utama pasal ini, untuk memberikan beberapa jawaban pada pertanyaan yang umum dan wajar ini dengan mengembangkan deret Laurent bagi fungsi analitik. Seperti yang kita lihat, deret Laurent adalah bentuk umum deret taylor, yang di dalamnya memuat bentuk (; J &) berpangkat bilangan bulat negative ditambah dengan bentuk (; $ &) berpangkat bilangan 25
bulat positif (berhingga atau tak berhingga). ita akan melihat juga bahwa deret Laurent suatu fungsi f(;) konvergen. B. !ingularitas (an ungsi analitik
z 0 ,
Suatu titik
f ( z )
merupakan singularitas fungsi z 0 ,
menjadi analitik pada
bila f gagal z 0
sementara setiap lingkungan
memuat paling
sedikit satu titik dimana f analitik. Pada dasarnya, terdapat dua ma&am singularitas ". Singularitas tak terasing !. Singularitas terasing z 0
Suatu titik
merupakan singularitas tak terasing, bagi fungsi f jika
z 0
dan hanya jika
z 0
singularitas bagi f dan setiap lingkungan
memuat paling
z 0
sedikit satu sngularitas f yang lain dari C. Resi(u Pa(a $utu" Tunggal
z 0
5ika bagian utama f dititik singular terasing
memuat paling sedikit
satu suku tak nol dan jumlah suku tak nol tersebut berhingga, maka terdapat bm ≠ 0
bilangan asli m sehingga
bm+" = bm+! = 0
sedangakan
∞
f ( z ) =
∑
an ( z − z 0 ) n +
n =0
b" ( z − z 0 )
. deret laurent
+
b! ( z − z 0 ) !
+ ... +
bm ( z − z 0 ) m
fingsi f menjadi z 0
Selanjutnya,
z 0
disebut lutub (pole) tingkat m. 5ika m<" maka
disebut kutub tunggal (simple pole). z = z 0
jika f memiliki tiang sederhana di
26
maka
-e s ( f ( z ), z 0 ) = lim ( z − z 0 ) f ( z ) z → z 0
Bukti'
z = z 0
arena f memiliki kutub tunggal di
yang konvergen ekspansi Laurent
0 < z − z 0 < )
pada batas f ( z ) =
etika
memiliki bentuk
a−" z − z n
+ a0 + a" ( z − z 0 ) + a! ( z − z 0 ) + ... z − z 0
a −" ≠ 0
dengan mengalikan kedua sisi deret ini oleh z → z 0 emudian mengambil batas sebagai kita peroleh
.
lim ( z − z 0 ) f ( z ) = lim G a−" + a0 ( z − z 0 ) + a" ( z − z 0 ) ! + ....F
z → z 0
z → z 0
= a−" = -e s( f ( z ), z 0 )
D. Resi(u ,a(a $utu" n
z = z 0
5ika f memiliki kutub orde ke n pada -e s ( f ( z ), z 0 ) =
"
lim
d n −" n −"
( n − ")@ z → z 0 dz
maka
( z − z 0 ) n f ( z )
E. Latihan !&al f ( z ) =
". :ungsi
" ( z − ") ! ( z − )
memiliki kutub orde ke$! di
teorema residu pada kutub ke$n untuk menemukan residu Penyelesaian arena
z = "
adalah kutb ke n, kita gunakan
27
z = ".
gunakan
"
-e s ( f ( z ),") =
lim
d n−" n −"
"@ z →" dz
= lim
z →"
d n −" n−"
dz
( z − ") n f ( z ) "
z −
−" z →" ( z − ) !
= lim =−
f ( z ) =
" C "
( z − ") ! ( z − )
!. :ungsi
memiliki kutub di
z =
. 7unakan teorema
residu kutub tunggal untuk menemukan residu @ Penyelesaian arena
z =
adalah kutub sederhana,kita menggunakan
-e s ( f ( z ),) = lim ( z − ) f ( z ) z →
= lim
z →
=
" ( z − ") !
" C
. /entukan penguraian deret untuk fungsi yang diberikan dalam daerah yang dinyatakan
sin
( ) | |> 1
z
z
0
Penyelesaian Perhatikan bahwa, deret yang diminta I;I M 0, sehingga pasti memakai &ara penyelesaian principal part dari deret Laurent yaitu
(− 1)n . z2 n + 1 sin z = ∑ ( 2 n+ 1) ! n= 0 ∞
28
1
z
()
¿2 n+ 1
∞
(−1 )n =∑ ∗¿ z n= 0 ( 2 n + 1 ) ! sin ¿ 1
5adi
∞
(−1)n 2 n+ 1 < ∑ n= 0 ( 2 n + 1 ) ! . z C. /entukan penguraian deret untuk fungsi yang diberikan dalam daerah cos ( z − 1 ) 0 <| z −1|< ∞ yang dinyatakan ( z −1) Penyelesaian :ungsi
cos ( z − 1 )
( z − 1) ∞
n
z − z n ¿ +
diubah menjadi deret bn
∑= z − z n 0
(
0
)n
an . ¿ ∞
∑= ¿ n 0
ari annulus konvergensi tersebut memberi petunjuk bahwa agian cos( z −1) → /aylor part 1
agian ( z −1 )
→
prin&ipal part bn
1
arena bagian ( z −1 ) telah berada dalam bentuk ( z − z 0 )n maka tidak perlu melakukan operasi matematika lagi. Sehingga tinggal bentuk
cos ( z − 1)
yang perlu diubah. entuk
cos ( z −1)
diturunkan menjadi ∞ (−1 )n . ( z −1 )2 n ∑ . Sehingga &ukup mengabungkan keduanya ( 2 n) ! n= 0
29
(− 1 )n . ( z − 1)2 n ∞ (− 1)n . ( z − 1 )2 n− 1 =∑ # ( z − 1 ) ∑ (2 n) ! ( 2n )! n= 0 n= 0 1
∞
30
