7
7
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Persamaan Schrӧdinger dirumuskan pada tahun 1926 yang menjadi dasar dari hampir semua perilaku elektron dalam atom. Untuk sistem atom paling sederhana yaitu atom hidrogen, persamaan ditulis :
-h28π2m 2ψ+Vψ=Eψ
Persamaan ini semata-mata adalah lambang untuk menyatakan bahwa energi total atom hidrogen, E adalah jumlah energi potensial (suku yang mengandung V) dan energi kinetiknya (tersembunyi dalam suku pertama). Beberapa lambang yang telah kita jumpai : h ialah tetapan Plank dan m ialah massa elektron.
Karena persamaan ini diturunkan oleh Schrӧdinger dari persamaan klasik yang menyangkut perilaku gelombang, maka persamaan ini dikenal sebagai persamaan gelombang Schrӧdinger, atau 'Mekanika Gelombang'.
Nilai ψ yang bergantung pada koordinat elektron dan dengan demikian juga bergantung pada fungsi (fungsi gelombang), dapat mengungkapkan hampir semua hal yang ingin kita ketahui tentang perilaku elektron dalam atom hidrogen. Kata 'hampir' menyatakan bahwa ada sesuatu yang dinamakan penyimpangan di alam, maka ψ, sekali pun sarat dengan informasi, tidak dapat menjelaskan kedudukan elektron secara tepat dalam ruang pada saat tertentu. Tetapi ψ dapat mengungkapkan probabilitas ditemukannya elektron dalam ruang kecil δv di dekat inti, yaitu berkaitan dengan ψ2δv. Semakin besar ψ2 dalam suatu ruang, semakin tinggi kemungkinan ditemukannya elektron. Penafsiran probabilitas ini taat asas dengan gagasan bahwa elektron merupakan partikel, walaupun diperikan dengan fungsi gelombang.
(Companion, 1991)
Dalam studi besar-besaran mengenai atom, yang penting adalah energi elektron dalam atom dan kedudukan relatif dari elektron terhadap inti atau terhadap sesama elektronnya. Persamaan Schrӧdinger akan langsung memberikan energi elektron, namun kedudukan elektron digambarkan sebagai kebolehjadian. Selanjutnya, persamaan gelombang yang menggambarkan gerak elektron sekeliling inti itu adalah persamaan yang umum digunakan untuk sistem dengan gelombang tegak, yaitu vibrasi antara dua titik mati.
(Noer Mansdjoeriah, 1994)
Penyelesaian persamaan Schrӧdinger untuk suatu sistem berarti memperoleh fungsi gelombang ψ yang tidak hanya memenuhi persamaan dan syarat batas, tetapi juga turunannya harus berhingga, kontinu dan berharga tunggal. Harga En yang memungkinkan persamaan Schrӧdinger dapat diselesaikan, disebut harga Eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian ψn disebut fungsi Eigen.
(Nuraini, 1994)
Berdasarkan uraian di atas, melalui persamaan Schrӧdinger kita dapat mengetahui bagaimana kebolehjadian menemukan sebuah elektron dalam orbitalnya di suatu atom serta menentukan fungsi gelombang ψn untuk setiap tingkat energi dari suatu sistem. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk membahas mengenai penyelesaian persamaan gelombang Schrӧdinger sertafungsi Eigen dan rapat kebolehjadian untuk atom seperti Hidrogen. Selain itu, makalah ini dibuat sebagai tugas kelompok untuk mata kuliah Ikatan Kimia.
Rumusan Masalah
Bagaimana penyelesaian persamaan Schrӧdinger untuk partikel dalam kotak satu dimensi?
Bagaimana penyelesaian persamaan Schrӧdinger untuk partikel dalam kotak tiga dimensi?
Bagaimana persamaan Schrӧdinger untuk atom seperti Hidrogen?
Bagaiman fungsi Eigen dan rapat kebolehjadian untuk atom seperti Hidrogen?
Tujuan Penulisan
Untuk mengetahui penyelesaian persamaan Schrӧdinger untuk partikel dalam kotak satu dimensi.
Untuk mengetahui penyelesaian persamaan Schrӧdinger untuk partikel dalam kotak tiga dimensi.
Untuk mengetahui persamaan Schrӧdinger untuk atom seperti Hidrogen.
Untuk mengetahui fungsi Eigen dan rapat kebolehjadian untuk atom seperti Hidrogen.
BAB II
PEMBAHASAN
Penyelesaian Persamaan Schrӧdinger
Partikel dalam Kotak Satu Dimensi
Untuk partikel dalam kotak satu dimensi. Tinjauan partikel yg bergerak sepanjang sumbu x dalam kotak satu dimensi bersisi a.
Syarat batas:
Energi potensial (v) dalam kotal = 0
Energi potensial (v) di luar kotak = ~
Persamaan Schrodinger untuk partikel tersebut Ĥ ψ(x) = E(x) ψ(x)
H = operator Hamilton = operasi energi total
ψ(x) = fungsi gelombang sepanjang sumbu x
H=T+v
Etotal = Ek +Ep
= T +v
T= ½ mv2
P = mv
v2 = P2m2
T=12mP2m2
=P22m
T=P22m
P=-ihddx
T=12m-i ddx2
=12m- 2d2dx2
v = v(x) = 0
v = v(x) = 0
H=T=-12m- 2d2dx2
H ψ(x) = E(x) ψ(x) = -12m- 2d2dx2
d ψ(x) = d A sin αx = A d sin αx
= A cos αx d αx
= A α cos αx d αx
d ψxdx=A αcosαx
d2dx2ψx=ddxddxψx
=ddxA αcosαx
=d A αcosαxdx
=-A αsinαx dαxdx
=-Aα2sinαx dxdx
=-Aα2sin αx
A= Amplitudo
Syarat batas :
x = 0 ψx = 0 ψx = A sin αx
= A sin α0 = 0
x = a ψa = 0 ψx = A sin αa = 0
α = 0
A 0
α a=n π
α=nπa α2=n2r2a2
E(x) ψ(x) = -12m 2d2dx2ψ(x)
= - 22md2dx2 ψ(x)
= - 22m-Aα2sinαx
E(x) Asinαx = - 22m-Aα2sinαx
=h2π
E(x) = h22mα2
E(x) = h2αm4π2n2π2a2
E(x) = h2n28ma2
Untuk mencari Amplitudo (A) digunakan syarat penormalan
ψ2xdx=1
ψx=Asinαx
=Asinnπxa
A2sin2nπαadx=1
anπA2sin2nπxa=1
Misal nπxa = y
aA2nπsin2y dy=1
sin2α+cos2α=1
sin2y+cos2y=1
sin2y=1-cos2y
sin2y=1-cos2y2
sin2y dy=1-cos2y2dy
=12dy-cos2y2dy
=12dy-12cos2ydy
=12dy-14cos2ydy
=12y-14sin2y
A2anπ 12nπxa- 14sin2nπxa=1
A2anπ12nπa-0a-0=1
A2anπ12nπaa=1
A2a2=1
A2a=2
A= 2a
A= 2a12
ψx=Asinαx
= 2a12sinnπxa
Partikel dalam Kotak Tiga Dimensi
Persamaan Schrodinger dapat langsung diselesaikan bagi satu kota tiga-dimensi dengan potensial tak hingga dimanapun di luarnya. Persamaan Schrodinger dalam bentuk persamaan
2m1X x d2X xdx2+ 1Yy d2Y ydy2+1Zz d2Z zdz2+V x,y,z ψx,y,z=Εx,y,z 4.1
dapat diselesaikan dengan menuliskan fungsi-fungsi gelombag seabgai perkalian tiga fungsi, masing-masing bergantung hanya pada satu koordinat.
ψx, y, z=X x Yy Zz (4.2)
Dengan mensubstitusikan ini bagi ψ di persamaan (4.1) dan kemudian membaginya dengan X(x) Y(y) Z(z).
-h8π2m 2ψ+Vψ=Eψ
- π228π2md2ψx,y,zdx2+d2ψx,y,zdy2+d2ψx,y,zdz2=Eψx,y,z
- 2π48π2md2ψx,y,zdx2+d2ψx,y,zdy2+d2ψx,y,zdz2=Eψx,y,z
- 2π48π2md2dx2+d2dy2+d2dz2ψx,y,z=Eψx,y,z
menentukan E dan ψ
d2dx2=d2XxYyZ(z)dx2=d2Xxdx2.YyZ(z)
d2dy2=d2XxYyZ(z)dy2=d2Y(y)dy2.XxZ(z)
d2dz2=d2XxYyZ(z)dz2=d2Z(z)dz2.XxYy
Dibagi dengan XxYyZ(z)
d2xdx2YyZ(z). 1XxYyZ(z)=d2X(x)dx2.1X(x)
d2ydy2XxZ(z). 1XxYyZ(z)=d2Y(y)dy2.1Y(y)
d2zdz2XxYy. 1XxYyZ(z)=d2Z(z)dz2.1Z(z)
Karena E=Eψx,y,z, maka diperoleh
- 22m1Xxd2Xxdx2+1Yyd2Yydy2+1Zzd2Zzdz2=E (4.3)
Karena V di semua tempat nol di dalam kotak. Bila energy ditulis sebgai jumlah dari tiga sumbangan sehubungan dengan ketiga koordinat,
E=Ex+Ey+Ez (4.5)
Dan persamaan (4.3) dapat dipisahkan ke dalam tiga persamaan karena fungsi-fungsi Xx,Yy dan Z(z) masing-masing adalah fungsi dari variabel-variabel yang dapat berubah secara bebas satu dari yang lain. Karena E tetap, suku pertama haru tetap. Harga tetap disebut EX dan didapat persamaan (4.6a). Dengan alasan yang sama dihasilkan persamaan (4.6b) dan (4.6c). hasil matematik yang penting di sini adalah bahwa satu persamaan diferensial parsial telah diubah menjadi tiga persaamaan diferensial biasa yang dapat diselesaikan dengan mudah.
- 22m1Xxd2Xxdx2=E 4.6a
- 22m1Yyd2Yydy2=E (4.6b)
- 22m1Zzd2Zzdz2=E (4.6c)
Persamaan-persaman ini seperti persamaan 22md2ψdx2Eψ=0 dan dapat diselesaikan dengan cara yang sama untuk mendapatkan persamaan
Xx=Axsinn1πxa=Axsin2mEx 212x (4.7a)
Yy=Aysinn1πya=Aysin2mEy 212y (4.7b)
Zz=Azsinn1πza=Azsin2mz 212z (4.7a)
Dimana a, b dan c adalah masing-masing panjang dari sisi-sisi pada arah x, y dan z, dan n1, n2 dan n3 adalah bilangan-bilangan kuantum. Jadi ada satu bilangan kuantum untuk tiap koordinat. Tingkat-tingkat energy yang diperbolehkan adalah
Ε= 28 m n12a2+n22a2+n32a2
Persamaan ini diperoleh dari penyelesaian persamaan (4.3)
- 22m1Xxd2Xxdx2+1Yyd2Yydy2+1Zzd2Zzdz2=E
- 22m1Xxd2Xxdx2- 22m1Yyd2Yydy2- 22m1Zzd2Zzdz2=E
- 22m1Xxd2Xxdx2=E 22m1Yyd2Yydy2+ 22m1Zzd2Zzdz2
Karena - 22m1Xxd2Xxdx2=Fxkonstanta, maka
- 22m1Xxd2Xxdx21Xx=kx => - 22m1Xxd2Xxdx2=kx Xx
- 22m1Yyd2Yydy21Yy=ky => - 22m1Yyd2Yydy2=ky Yy
- 22m1Zzd2Zzdz21Zz=kz => - 22m1Zzd2Zzdz2=kx Zz
kx=nx2h28max2
ky=ny2h28may2
kz=nz2h28maz2
X(x) Y(z) Z(z) merupakan ψ , maka ψ=A sinπna=2a1/2sinnπa
X(x)=2ax1/2sinnxπax
Y(y)=2ay1/2sinnyπay
Z(z)=2az1/2sinnzπaz
Karena kx+ky+kz=E, maka diperoleh
Ε= nx2h28max2+ny2h28may2+nz2h28maz2
Ε= 28 m n12a2+n22a2+n32a2 (4.8)
Dimana n1, n2 dan n3 masing-masing memiliki nilai bulat. Nanti dalam mekanika statistik persamaan ini akan digunakan sebagai energy translasi dari satu molekul dalam suatu wadah.
Bila kotak tiga-dimensi memiliki simetri geometri, timbul hal-hal baru. Ini paling mudah digambarkan bagi suatu kotak kubus dimana persamaan (4.8) menjadi
Ε= 28 ma2 n12+n22+n32 (4.9)
Persamaan Schrӧdinger untuk Atom Seperti Hidrogen
Penyelesaian Persamaan
Atom seperti hidrogen adalah atom dengan nomor Z dan hanya satu elektron, seperti H, He+, Li2+, Be3+ . . . . . dalam atom demikian, elektron berantaraksi dengan potensial coulomb inti,
Vr=-Ze24πε0r
(1-17)
ε0=permitivitas vakum, r=jarak antara inti dan elektron.
Gerak relatif dari dua partikel digambarkan oleh massa tereduksi, μ=memn(me+mn) dalam persamaan Schrodinger satu partikel. Karena mn, mn me , maka μ me dalam atom H. Operator Hamilton dapat ditulis sebagai.
H=-ħ2π 2-Ze24πε0r
(1-18)
Penyelesaian persamaan ini menggunakan koordinat polar sferik. Dalam koordinat polar sferik operator Laplace menjadi,
2=1R2 R-(R2 R)+1R2sin θ 2 ϕ2+1R2sin θ e(sin θ e)
(1-19)
Suhu yang bergantung pada sudut dapat dinyatakan sebagai (-1/ħ2r2)L2 , dimana L adalah operator momentum sudut. Jadi,
2=1r2 r(r2 r)-1r2L2ħ2
(1-20)
yang apabila disubstitusikan ke dalam persamaan Schrodinger dan dikalikan dengan 2πr2 memberikan,
-ħ2 r (r2 ψ r)+L2ψ-2πr2(Z e24πε0r+E) ψ=0
(1-21)
Jadi operator yang bergantung pada sudut mengandung L2. Dalam penyelesaian persamaan (1-21), maka variabel harus dipisah dengan menulis ψ(r, θ, ϕ)=Rne(r) Yem (θ,ϕ).Rne(r) adalah fungsi gelombang radial seperti hidrogen dan memenuhi persaman diferensial,
-(ħ22π)ddr (r2ddrRne)+ħ21(1+1)2πr2-Z e44πε0r-ERn1=0
(1-22)
Penyelesaian perhitungan menghasilkan nilai
En=-μ e4Z22(4πε0)2 ħ2n2
(1-23)
dengan bilangan kuantum utama n = 1, 2, 3 . . . .~.En tk bergantung pada l; tetapi n > 1, sehingga untuk n = 1, l hamya bernilai 0, sedangjan untuk n = 2, l dpt benilai 0 dan 1. Tingkat energi yang rendah letaknya tertera pada gambar:
Sumber :http://aplusphysics.com/
Dari persamaan (1-24) terlihat bahwa semakin besar Z, semakin kuat elekton terikat (semakin negatif energinya untuk n tertentu). Tingkat energi terendah adalah untuk n = 1, yang lain adalah semua tingkat tereksitasi.
Bila atom seperti hidrogen membuat transisi dari keadaan n = n2 ke keadaan n = n1, maka cahaya diemisi ( n2> n1 ) atau diabsorpsi ( n1 > n2 ). Frekuensi cahaya menjadi
v=En2-En1ħ=R Z2 c (1n22-1n12)
(1-24)
R = tetapan Rydberg = 1,096775856 ×10-7m-1 untuk hidrogen dan 1,093731534 ×10-7m-1 untuk massa inti tak terhingga. Energi yang diperlukan untuk mengionisasi atom hidrogen adalah 13,6 eV, karena elektron harus membuat transisi dari n = 1 ke n = ~ (tak terikat). Energi ionisasi He+ adalah 4 x 13,6 eV, karena Z = 2.
Fungsi gelombang sistem seperti hidrogen mempunyai bentuk Rne(r) Yem (θ,ϕ) yang menyatakan bahwa untuk n > 1 ada sejumlah fungsi gelombang dengan energi sama. Misalnya untuk n = 2, ada l = 0, (dan m = 0) atau l = 1 (dan m = 1, 0, -1). Jadi nilai nilai m untuk nilai l tertentu adalah
m=-1, -1+1,. . . .. . ., 1-1, 1
(1-25)
Nilai l menentukan momentum sudut orbital, sedangkan m menentukan komposisi Z dari momentum sudut. Lambang yang sesuai dengan nilai l adalah:
l = 0 1 2 3
Lambang = s p d f (1-26)
Untuk setiap fungsi eigen dari atom seperti hidrogen ada 3 bilangan kuantum:
n = 1, 2, 3, . . . . . . (1-27a)
l = 0, 1, 2, . . . . . . n – 1 (1-27b)
m = 0, ±1, ±2, . . . . . , ±1 (1-27c)
Oleh karena itu, untuk setiap nilai n ada keadaan eigen terdegenerasi n2.
Untuk memudahkan pernyataan energi dan jarak dalam persoalan atom, maka jarak dapat dinyatakan dalam satuan atomik, jari-jari Bohr ao ; ao = ħ2 (4πε0)/(mee2). Satuan atomik untuk energi adalah energi potensial 2 elektron yang dipisahkan oleh jari-jari Bohr, yaitu hartree.
Eh=e24πε0a0
(1-28)
(Noer Mansdjoeriah, 1994)
Fungsi Eigen dan Rapat Kebolehjadian untuk Atom Seperti Hidrogen
Fungsi gelombang untuk sistem satu elektron disebut orbital. Untuk sistem atom H disebut orbital atom. Fungsi gelombang untuk atom seperti Hidrogen sampai n=3tertera pada tabel berikut.
Sumber : http://teacher.pas.rochester.edu/
Visualisasi fungsi-fungsi ini sangat menolong bila fungsi radial dan rapat kebolehjadian dipisah.
Fungsi radial Rne(r) untuk atom seperti hidrogen bergantung pada bilangan kuantum utama, n, bilangan kuantum azimutal l, dan nomor atom Z.
Fungsi radial selalu mengandung faktor e-zrnao, dimana n adalah bilangan kuantum utama. Bila Z bertambah, amplitudo fungsi gelombang turun lebih cepat dengan bertambahnya r, menyatakan bahwa elektron tertarik lebih dekat ke inti yang bermuatan positif.
Untuk mengetahui kebolehjadian menemukan elektron orbital sejarak tertentu dari inti, maka Rne(r)2 harus dikalikan dengan volume kulit sferik 4πr2 dr, sehingga rapat kebolehjadian radial Pne(r) dinyatakan sebagai :
Pner=4πr2Rne2(r) (1 – 29)
Fungsi radial dan rapat kebolehjadian radial tertera pada gambar.
Gambar Fungsi radial Rne(r) dan rapat kebolehjadian radial Pn1(r) untuk atom Hidrogen
Rapat kebolehjadian untuk elektron dalam atom seperti hidrogen dinyatakan sebagai :
ψ*ψ= Rr ϕϕ2 (1 – 30)
Dimana Yem( , ϕ) ditulis sebagai ( )ϕϕ. Kontur permukaan dari rapat kebolehjadian untuk atom satu-elektron tertera pada gambar.
(Noer Mansdjoeriah, 1994)
Persamaan Schrödinger satu – dimensi bagi satu partikel dapat ditulis dalam bentuk
h22md2dx2+V xψ (x) = E ψ (x)
(1 – 31)
Bentuk dalam kurung disebut sebagai operator, yang bila diterapkan pada fungsi gelombang ψ(x), menghasilkan E ψ (x), dimana E adalah energi.
Bila efek dari pengoperasian pada suatu operator ʄ(x), oleh operator Ậ ialah diperolehnya fungsi yang sama dihasilkan dengan satu tetapan k, maka ʄ(x) disebut sebagai fungsi eigen dari Ậ dengan nilai eigen k.
A ʄ(x) = k ʄ(x)
(1 – 32)
Dengan demikian ψ (x) dalam persamaan (1 – 31) adalah suatu fungsi eigen, dan E suatu nilai eigen. Contoh sederhana dari suatu soal nilai eigen diberikan dalam contoh berikut.
Contoh 1. Apakah fungsi eigen dan nilai eigen dari operator ddx ?
ddx ʄ(x) = k ʄ(x)
dʄ(x) dx = k ʄ(x)
Ln ʄ(x) = kx + c
ʄ(x) = ecekx =c'ekx
dengan c dan c' adalah tetapan. Bagi tiap harga k yang berbeda ada satu nilai c'ekx. Atau, dengan kata lain, fungsi eigen ecekx memiliki nilai eigen k.
Ada banyak kemungkinan operator. Operator bagi perkalian oleh suatu tetapan c dinyatakan sebagai c. Operator bagi perkalian dengan x dinyatakan dengan x. Operator bagi diferensial terhadap x dinyatakan dengan Dx .
contoh 2. Tunjukan sendiri bahwa,
c (x2 + y2) =cx2 + cy2
x (x2 + y2) = x3 + xy2
Dx (x2 + y2) = 2x
Operator yang terdapat dalam mekanika kuantum semuanya adalah operator linier. Operator – linier adalah sedemikian sehingga
Aʄx+ g(x) = Aʄx +Ag(x)
Acʄx = cAʄx
(1 – 33.a)
Pengambilan akar kuadrat adalah contoh dari suatu operator yang tak linier.
Jumlah dari dua operator yang beroperasi pada suatu fungsi dari x didefinisikan sebagai
A+B ʄx=Aʄx+Bʄx
(1 – 33.b)
Hasil kali dua operator didefinisikan sebagai
AB ʄx=AB ʄx
(1 – 33.c)
Operator Bditerapkan pada ʄxdan kemudian operator A diterapkan pada fungsi yang dihasilkan. Secara umum, AB tidak memberikan hasil yang sama dengan BA, sangat berbeda dari aljabar biasa. Kumulator A ,B dari operator – operator A danB didefinisikan sebagai
A ,B = AB BA
(1 – 34)
Bila AB = BA, operator – operator disebut sebagai terkomutasi.
Contoh 3. Tunjukkan bahwa bila fungsi eigen dari dua operatorA dan B adalah fungsi – fungsi yang sama, A dan B terkonutasi satu dnegan yang lain. Nilai eigen dari A dan B dinyatakan dengan dan dan fungsi eigennya adalah ψi , sehingga
Aψi =aiψi dan Bψi = biψi
(1 – 35)
Fungsi eigen dari operator AB diperoleh secara berikut
ABψi = A (Bψi ) = Abiψi = biAψi = biaiψi
Operator B Amemiliki nilai eigen aibi, sebagai dapat dilihat dari
B Aψi = B (Aψ ) = Baiψ = aiBψ = aibiψ
Karena aibi = biai , A dan B terkomutasi satu dengan yang lain.
Bila operator – operator A dan B terkomutasi, maka sifat – sifat teramati yang dinyatakan secara prima dapat diukur serentak dan secara teliti. Bila tidak, pengukuran serentak tak dapat dilakukan melebihi batas ketelitian tertentu. Ketidakdapatan xdan px berkomutasi sebagai misal, menghasilkan azas ketidaktentuan Heisenberg Δx Δpx h2 .
Secara umum hubungan – hubungan ketidaktentuan antara operator – operator yang tidak terkomutasi adalah lebih rumit.
Operator – operator adalah penting dalam mekanika kuantum karena bagi tiap sifat teramati terkait satu operator linier. Untuk memperoleh satu operator mekanika kuantum, maka dimulai dengan ungkapan klasik dari besaran fisik yang diinginkan dan dibentuk operator dengan mengikuti beberapa aturan yang sederhana. Pembahasan akan dimulai dengan operator energi.
Yang akan dibicarakan ialah mekanika kuantum dari sistem – sistem "konservatif" (yaitu yang energy potensialnya hanya bergantung pada koordinat). Bagi sistem – sistem semacam itu energi total H merupakan jumlah dari energi kinetik T dan energi potensial V. Simbol H digunakan bagi energi untuk menunjukkan bahwa variabel – variabel bebas dari fungsi adalah posisi atau momentum (bukan posisi dan kecepetan, umpamanya). Penggunaan momentum sebagai ganti kecepatan timbul secara wajar dalam suatu bentuk alternatif dan mekanika klasik yang dikembangkan oleh Hamilton, yang ekivalen sepenuhnya dengan mekanika Newton tetapi memiliki keuntungan dalam adaptasi pada sistem – sistem berkoordinat lengkung atau penggambaran – penggambaran lain yang lebih rumit dari koordinat Cartes. Fungsi
H = T + V
(1 – 36)
disebut sebagai fungsi Hamiltonian. Fungsi Hamiltonian dibagi satu partikel bermassa m yang bergerak dalam arah x adalah
H=Px22m + v(x)
(1 – 37)
Dengan Px adakah momentum arah xħ
Aturan bagi pengubahan suatu fungsi mekanika klasik menjadi operator mekanika kuantumnya yang sesuai adalah sebagai berikut
Tiap koordinat Cartes qdiganti dengan operator perkalian dengan koordinat terdekat.
q = q
(1 – 38)
Tiap komponen Cartes dari momentum lurus Pqdiganti oleh operator
pa = ħi q=-iħ q
(1 – 39)
Penerapan aturan – aturan ini pada fungsi Hamiltonian dari persamaan 7 menghasilkan
H= -ħ22md2dx2+V (x)
(1 – 40)
Bila operator Hamiltonian ini diterapkan pada salah satu dari fungsi eigennya ψ dari suatu sistem, nilai eigen yang diperoleh adalah energi E, sebagai yang ditunjukkan oleh persamaan
ħ22md2ψ(x)dx2= E-V xψx=0
Dengan demikian persamaan Schrödinger yang tak bergantung waktu dapat ditulis dalam bentuk
Hψ=E ψ
(1 – 41)
Bila partikel dapat bergerak dalam tiga dimensi, Hamiltonian klasiknya ialah
H =12mpx2+ py2+ pz2+V x,y,z
(1 – 42)
Dengan demikian operator Hamiltonian diberikan oleh
H= -ħ22m 2 x2+ 2 y2+ 2 z2+Vx,y,z= -ħ22m 2+ V x,y,z
(1 – 43)
Dengan ungkapan klasik bagi sifat – sifat teramati tang lain dapat diubah menjadi operator – operator mekanika kuantum dengan menggunakan aturan 1 dan 2, dan operator – operator mekanika kuantum dapat digunakan untuk menghitung nilai eigen yang mungkin.
(Alberty, 1987)
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Sebagai pendahuluan dalam menentukan gambaran statistik sistem partikel maka kita tinjau keadaan yang paling sederhana yaitu suatu sistem dengan 1 partikel dalam kotak 1 dimensi.
Dilakukan dalam kotak karena dalam kotak aspek dimensinya justru akan memudahkan perhitungan lebih lanjut walaupun dalam kenyataannnya partikel tidak selalu berada dalam kotak.
Penyelesaian problema elektron dalam atom mencakup perhitungan fungsi gelombang untuk elektron yang bergerak antara x=0 dan x=a, dimana v=0. Persamaan dapat ditulis sebagai berikut: h22m+d2ψdx2+Eψ=0
Fungsi gelombang dari partikel dalam kotak 1 dimensi diperluas menjadi 3 fungsi:
ψx, y, z=X x Yy Zz
Sehingga diperoleh persamaan rumus sebagai berikut:
Ε= h28 m a2n12+n22+n32
Keterangan:
a, b, c = panjang sisi kotak menurut arah x, y, z.,
n1, n2, n3= bilangan kuantum
a = b = c
Satuan atomik untuk energi adalah energi potensial 2 elektron yang dipisahkan oleh jari-jari Bohr, yaitu hartree.
Eh=e24πε0a0
Fungsi radial Rne(r) untuk atom seperti hidrogen bergantung pada bilangan kuantum utama, n, bilangan kuantum azimutal l, dan nomor atom Z.
Bila Z bertambah, amplitudo fungsi gelombang turun lebih cepat dengan bertambahnya r, menyatakan bahwa elektron tertarik lebih dekat ke inti yang bermuatan positif.
Bila efek dari pengoperasian pada suatu operator ʄ(x), oleh operator Ậ ialah diperolehnya fungsi yang sama dihasilkan dengan satu tetapan k, maka ʄ(x) disebut sebagai fungsi eigen dari Ậ dengan nilai eigen k.
Operator yang terdapat dalam mekanika kuantum semuanya adalah operator linier.
energi total H merupakan jumlah dari energi kinetik T dan energi potensial Vatau disebut sebagai fungsi Hamiltonian.
Saran
Pembahasan mengenai Persamaan Schrӧdinger sangatlah penting karena merupakan bagian dari materi mekanika kuantum sehingga butuh pemahaman yang dalam untuk menguasainya. Oleh karena itu, sebaiknya pembaca menambah wawasan dan pengetahuan mengenai materi ini melalui referensi lain.
DAFTAR PUSTAKA
Alberty, Robert A., 1987, Kimia Fisik Jilid I Edisi Kelima, Erlangga, Jakarta.
Anonim, 2012, Physics 237, Midterm Exam #2, http://teacher.pas.rochester.edu/Phy237/Exams/Exam2/Exam2.htm, diakses pada tanggal 17 November 2015
Anonim, 2015, Regents Physics – Model of the Atom, http://aplusphysics.com/courses/regents/modern/regents_modern_atomic_models.html, diakses pada tanggal 17 November 2015
Companion, Audrey L., 1991, Ikatan Kimia, Penerbit ITB, Bandung.
Fanni Anjelina, 2014, Makalah Mekanika,https://www.academia.edu/8741894/Makalah_mekanika, diakses pada tanggal 17 November 2015.
Noer Mansdjoeriah Surdia, 1994, Ikatan dan Struktur Molekul, Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Bandung.
Nuraini Syarifuddin, 1994, Ikatan Kimia, Gadjah Mada University Press, Yogyakarta.
