BAB VI JEMBATAN ARUS BOLAK – BALIK (JEMBATAN AC)
A.
Jembatan AC atau Jembatan Arus Bolak-Balik Sebuah jembatan AC bentuk dasarnya terdiri dari empat lengan, sumber
eksitasi dan menyeimbangkan detektor. Setiap lengan terdiri dari impedansi. Sumber AC adalah pasokan persediaan tegangan AC pada frekuensi yang diperlukan. (Sumber: Electrical and Electronic Measurements and Instrumentation, A. K. Sawhney, Dhanpatrai and Sons, New Delhi ). Jala-jala yang diperlihatkan pada Gambar. 1 yang didapatkan dengan menggantikan tahanan-tahanan yang terdapat pada empat cabang dari suatu jembatan arus searah dengan impedansi-impedansi disebut jembatan bolak-balik. Karena hukum Ohm juga berlaku untuk arus bolak-balik, maka kondisi untuk keseimbangan didapat sebagai berikut: (6.1) Persamaan ini adalah sama dengan dua persamaan di bawah ini: | ||
|
|
||
|
(6.2) (6.3)
Bila kondisi keseimbangan tersebut ditulis dengan suatu persamaan yang memperlihatkan hubungan-hubungan antara bagian-bagian nyata dan bagian-bagian imajinernya, maka didapat hubungan keseimbangan sebagai berikut: (6.4) (6.5)
1
Dari persamaan di atas maka dapat dilihat bahwa kondisi keseimbangan dinyatakan dalam dua persamaan. Hal ini adalah merupakan perbedaan pokok dengan persamaan keseimbangan dalam jembatan arus searah. Jadi dengan demikian, maka berbeda dengan jembatan arus searah, dimana keseimbangan bisa dicapai dengan pengaturan satu cabang, maka untuk jembatan arus bolak-balik, keseimbangan hanya didapat dengan pengaturan dua komponen dari jembatan.
Gambar 6.1. Jembatan arus bolak-balik Jembatan arus bolak-balik beraneka macam ragamnya. Kondisi-kondisi keseimbangan pada arus bolak-balik pada umumnya tergantung dari frekuensi sumber energinya, akan tetapi untuk pengukuran impedansi adalah sangat memudahkan bila kondisi-kondisi keseimbangan dibuat tidak tergantung pada frekuensi. Jembatan arus bolak-balik yang kondisi keseimbangannya tergantung dari frekuensi disebut jembatanjembatan frekuensi dan jembatan ini mendapatkan penggunaannya untuk pengukuran frekuensi sederhana atau dalam osilator dan filter. (Soedjana Sapiie, Osamu Nishino, 1976 : 123 – 124)
1.
Bentuk Umum Jembatan Arus Bolak – Balik. a. Syarat – syarat Kesetimbangan Jembatan. Jembatan arus bolak-balik merupakan perluasan wajar dari jembatan arus
searah dan dalam bentuk dasarnya terdiri dari empat lengan jembatan, sumber eksitasi, dan sebuah detektor nol. Sumber daya menyalurkan suatu tegangan bolak-balik ke jembatan pada frekuensi yang diinginkan. Untuk pengukuran pada frekuensi rendah,
2
antaran sumber daya (power line) dapat berfungsi sebagai sumber eksitasi, pada frekuensi yang lebih tinggi, sebuah osilator umumnya menyalurkan tegangan eksitasi. Detektor nol harus memberi tanggapan terhadap ketidakseimbangan arus-arus bolakbalik dan dalam bentuk yang paling sederhana (tetapi sangat efektif) terdiri dari sepasang telepon kepala (head phones). Dalam pemakaiaan lain, detektor nol dapat terdiri dari sebuah penguat arus bolak-balik bersama sebuah alat pencatat keluaran atau sebuah indikator tabung sinar elektron (tuning eye). Bentuk umum sebuah jembatan arus bolak-balik ditunjukkan pada gambar 6.2. Keempat lengan jembatan
,
,
, dan
ditunjukkan sebagai impedansi yang
nilainya tidak ditetapkan dan detektor dinyatakan oleh telepon kepala. Seperti dalam jembatan Wheatstone untuk pengukuran arus searah, syarat kesetimbangan dalam jembatan bolak-balik ini dicapai bila tanggapan detektor adalah nol atau menunjukkan harga nol. Pengaturan seimbang untuk mendapatkan tanggapan nol dilakukan dengan mengubah salah satu atau lebih dari lengan-lengan jembatan.
Gambar 6.2. Bentuk umum jembatan bolak-balik
Persamaan
umum
untuk
keseimbangan
jembatan
diperoleh
dengan
menggunakan notasi kompleks untuk impedansi rangkaian jembatan (huruf tebal digunakan untuk menunjukkan besaran-besaran dalam notasi kompleks). Besaran ini dapat berupa impedansi atau admintasi seperti tegangan atau arus. Persyaratan keseimbangan jembatan memerlukan bahwa beda potensial dari A ke C dalam gambar 2. adalah nol. Ini akan terjadi bila penurunan tegangan dari B ke A sama dengan
3
penurunan tegangan dari B ke C untuk besaran (magnitude) dan fasa. Dalam notasi kompleks dapat dituliskan: atau
(6.6)
Agar arus detektor nol (kondisi seimbang), arus-arus adalah: dan
(6.7) (6.8)
Subtitusi persamaan (6.7) dan (6.8) ke (6.6) memberikan: (6.9-a) atau jika menggunakan admitansi sebagai pengganti impedansi: (6.9-b) Persamaan (6.9-a) adalah bentuk yang paling menyenangkan dalam kebanyakan hal dan merupakan persamaan umum untuk kesetimbangan bolak-balik. Persamaan (6.9-b) dapat digunakan secara menguntungkan bila terdapat komponenkomponen paralel dalam lengan-lengan jembatan. Persamaan (6.9-a) menyatakan bahwa perkalian impedansi dari pasangan lengan yang saling berhadapan harus sama dengan perkalian impedansi dari pasangan lengan yang berhadapan lainnya, dengan impedansi yang dinyatakan dalam notasi kompleks. Jika impedansi dituliskan dalam bentuk kebesaran dan
, dimana Z menyatakan
adalah sudut fasa impedansi kompleks, persamaan (6.9-a) dapat
dituliskan kembali dalam bentuk: (
)(
)
(
)(
)
(6.10)
Karena dalam perkalian bilangan-bilangan kompleks kebesaran-kebesaran dikalikan dan sudut fasa dijumlahkan, maka persamaan (6.10) dapat juga dituliskan sebagai: (
)
(
)
(6.11)
4
Persamaan (6.11) menunjukkan bahwa untuk membuat sebuah jembatan arus bolak-balik seimbang, dua persayaratan harus dipenuhi secara bersamaan (simultan). Syarat pertama adalah bahwa keseimbangan impedansi memenuhi hubungan: (6.12) Atau dengan arti fisis dinyatakan “perkalian kebesaran-kebesaran dari lenganlengan yang saling berhadapan harus sama” Syarat kedua memerlukan bahwa sudut-sudut fasa impedansi memenuhi hubungan: (6.13) Atau memiliki arti fisis “penjumlahan sudut-sudut fasa dari lengan-lengan yang saling berhadapan harus sama”.
b. Pemakaian Persamaan Seimbang Kedua persyaratan yang dinyatakan oleh persamaan (6.12) dan (6.13) dapat digunakan bila impedansi lengan-lengan jembatan diberikan dalam bentuk polar beserta kebesaran dan sudut fasanya. Namun dalam masalah yang umum, nilai-nilai komponen dari lengan-lengan jembatan diberikan, dan persoalan diselesaikan dengan menuliskan persamaan seimbang dalam bentuk kompleks. Contoh berikut menggambarkan prosedur tersebut. Soal ini akan sedikit lebih sulit ketika nilai-nilai komponen dari lengan-lengan jembatan ditetapkan dan impedansi akan dinyatakan dalam bentuk kompleks. Dalam hal ini, reaktansi induktif atau kapasitif hanya dapat ditentukan bila frekuensi tegangan eksitasi diketahui. 2.
Jembatan-jembatan Pembanding a. Jembatan Pembanding Kapasitansi Dalam bentuk dasarnya jembatan arus bolak-balik dapat digunakan untuk
pengukuran
induktansi
dan
kapasitansi
yang
tidak
diketahui
dengan
membandingkannya terhadap sebuah induktansi atau kapasitansi yang diketahui.
5
Sebuah jembatan pembanding kapasitansi dasar ditunjukkan pada gambar 6.3. Kedua lengan perbandingan adalah resistif dan dinyatakan oleh
dan
terdiri dari kapasitor
adalah kapasitor standar
kualitas tinggi dan diketahui dan
seri dengan tahanan
, dimana
adalah tahanan variabel.
. Lengan standar
menyatakan kapasitansi yang tidak
adalah tahanan kebocoran kapasitor.
Gambar 6.3. Jembatan pembanding kapasitansi Untuk menuliskan persamaan seimbang, mula-mula impedansi dari keempat lengan jembatan dinyatakan dalam bentuk kompleks dan diperoleh: ;
;
;
Dengan mensubstitusikan impedansi-impedansi ini ke dalam persamaan (6.9-a) yaitu persamaan umum untuk keseimbangan jembatan diperoleh: (
)
(
)
(6.14)
Yang dapat diuraikan menjadi: (6.15) Dua bilangan kompleks adalah sama bila bagian-bagian nyata dan bagianbagian khayalnya adalah sama. Dengan menyamakan bagian-bagian nyata dari persamaan (6.15) diperoleh: atau
(6.16)
Samakan bagian-bagian khayal dari persamaan (6.15) diperoleh:
6
atau
(6.17)
Persamaan (6.16) dan (6.17) memberikan dua syarat yang harus dipenuhi secara bersamaan dan mereka juga menunjukkan bahwa
dan
yang tidak diketahui
dinyatakan dalam komponen jembatan yang diketahui. Agar memenuhi kedua syarat seimbang dalam konfigurasinya, jembatan harus mengandung dua elemen variabel. Setiap dua dari empat elemen yang tersedia dapat dipilih walaupun dalam praktek kapasitor
merupakan kapasitor standar presisi tinggi
dengan nilai yang tetap dan tidak dapat diatur. Pemeriksaan terhadap persamaanpersamaan seimbang menunjukkan bahwa
tidak muncul dalam bentuk
. Jadi,
untuk menghilangkan setiap interaksi antara kedua pengontrol kesetimbangan, merupakan pilihan yang tepat sebagai elemen variabel. Kita selanjutnya dapat menerima bahwa
adalah elemen variabel kedua seperti ditunjukkan pada gambar 6.3.
Karena kita mengukur kapasitor yang tidak diketahui yang efek tahanannya bisa kecil sekali, pengaturan pertama sebaiknya dilakukan pada bagian kapasitif yang berarti mengatur
agar menghasilkan suara paling kecil dalam telepon suara. Dalam
kebanyakan hal suara tersebut tidak akan hilang seluruhnya, sebab syarat setimbang kedua belum dipenuhi. Maka
diatur untuk keseimbangan bagian resistif dan suara
dibuat agar semakin mengecil. Ternyata bahwa pengaturan kedua tahanan secara bergantian adalah perlu untuk menghasilkan keluaran nol dalam telepon kepala dan untuk mencapai kondisi setimbang yang sebenarnya. Perlunya pengaturan secara bergantian menjadi jelas bila kita sadari bahwa setiap perubahan dalam
bukan hanya
mempengaruhi persamaan seimbang kapasitif, tetapi juga memengaruhi persamaan seimbang resistif, sebab
muncul dalam kedua bentuk persamaan tersebut.
Proses menggunakan (manipulasi)
dan
secara bergantian merupakan
khas dari prosedur pembuatan setimbang yang umum bagi jembatan-jembatan arus bolak balik dan disebut menyebabkan pemusatan (konvergensi) titik seimbang. Juga perlu diperhatikan bahwa frekuensi sumber tegangan tidak muncul dalam salah satu
7
dari persamaan-persamaan seimbang dan dengan demikian jembatan disebut tidak bergantung pada frekuensi tegangan yang dimasukkan. b. Jembatan Pembanding Induktansi Konfigurasi umum jembatan pembanding induktansi mirip dengan jembatan pembanding kapasitansi. Induktansi yang tidak diketahui ditentukan dengan membandingkan terhadap sebuah induktor standar yang diketahui seperti yang diunjukkan pada diagram gambar 6.4. Penurunan persamaan setimbang pada dasarnya mengikuti langkah-langkah yang sama seperti pada jembatan pembanding kapasitansi dan tidak akan dikemukakan secara lengkap.
Gambar 6.4. Jembatan pembanding induktansi Dapat ditunjukkan bahwa persamaan setimbang induktif memberikan: (6.18) dan persamaan setimbang resistif memberikan: (6.19) Dalam jembatan ini,
dipilih sebagai pengontrol kesetimbangan induktif, dan
adalah pengontrol keseimbangan resistif.
8
Gambar 6.5. Jembatan pembanding induktansi dengan rangkuman pengukuran yang diperbesar. Rangkuman pengukuran jembatan pembanding standar pada gambar 6.4. dapat diperbesar dengan sedikit mengubah rangkaian. Ini ditunjukkan pada gambar 6.5, dimana tahanan variabel r dapat dihubungkan melalui saklar S ke salah satu lengan standar (posisi 1) atau ke lengan yang tidak diketahui (posisi 2). Dengan sakelar pada posisi 1, pemecahan untuk
adalah (
)
Dengan sakelar pada posisi 2, pemecahan untuk
(6.20) adalah: (6.21)
Karena komponen resistif dari sebuah induktor biasanya jauh lebih besar dari komponen resistif sebuah kapasitor, pengaturan resistif menjadi cukup penting dan harus dilakukan pada permulaan sekali. Penambahan tahanan r memberikan kebebasan memperbesar rangkuman pengukuran bagi persamaan keseimbangan resistif. B.
Contoh-Contoh Jembatan AC Adapun beberapa contoh jembatan AC adalah sebagai berikut: 1.
Jembatan Maxwell
9
Jembatan Maxwell dapat digunakan untuk mengukur induktansi dengan perbandingan baik dengan variabel standar dari induktansi atau dengan variabel kapasitansi standar. Kedua pengukuran dapat dilakukan dengan menggunakan jembatan Maxwell dalam dua bentuk yang berbeda, pengukuran listrik dan elektronik.
Gambar 6.6. Jembatan Maxwell dala dua bentuk yang berbeda. (Sumber: Electrical and Electronic Measurements and Instrumentation, A. K. Sawhney, Dhanpatrai and Sons, New Delhi) Pada Gambar. 6.7(a) diperlihatkan suatu jembatan yang disebut jembatan Maxwell. Jembatan tersebut digunakan untuk mengukur induktansi ( dengan mempersamakannya kepada induktansi yang diketahui ( gambar tersebut adalah tahanan seri dari pada
dan
), yang diukur
). P dan R dalam
masing-masingnya. Kondisi
untuk keseimbangan dari jembatan adalah: ( Dimana
)
(
)Q
adalah frekuensi putar, yang besarnya sama dengan
dinyatakan dalam radius/detik.
(6.22) dan
dipakai lebih sering dalam formula-formula dari pada
f, tidak hanya karena membuat notasi lebih mudah akan tetapi
adalah suatu
kebesaran yang berhubungan secara langsung terhadap perubahan dari sudut fasa dengan waktu. Agar persamaan di atas dapat dipenuhi untuk bagian-bagian nyata dan bgian-bagian imajinernya, maka bagian-bagian tahanan dan bagian-bagian induktansi harus masing-masing sama pada kedua sisi persamaan tersebut. Dengan demikian maka kondisi keseimbangan didapat sebagai berikut:
10
Bila kedua kondisi tersebut ditulis bersamaan maka akan didapat: (6.23) Jadi kondisi keseimbangan dari jembatan ini tidak tergantung pada frekuensi. Untuk mencapai keseimbangan,
dan S dibuat sebagai suatu kebesaran yang
dapat diatur, dan pengaturannya diperlihatkan dalam gambar 6. Bila Q/S, diketahui maka
dan R
dan P bias didapat dari: (6.24) R
(6.25)
Pada Gambar 6.7(a), suatu standar induktansi variabel (induktometer) diperlukan untuk pengaturan keseimbangan akan tetapi bila hal ini tidak didapat maka siskuit seperti diperlihatkan pada (b) dari gambar tersebut bila dipakai. Bila jembatan tersebut diseimbangkan dengan mengatur r dan S dengan Kr pada posisi 1 maka, (6.26) Atau sebaliknya bila diseimbangkan pada posisi 2, (6.27)
Gambar 6.7. Jembatan Maxwell
11
(Soedjana Sapiie, Osamu Nishino, 1976 : 124 – 125) Cara mengukur induksi diri dengan menggunakan metoda jembatan Maxwell ini diperlukan sumber arus bolak-balik (AC) dalam pengukurannya. Induktansi yang akan diukur (
) ini disambung pada rangkaian jembatan yang akan dipersamakan.
Gambar 6.8. Rangkaian jembatan Maxwell Ketika sakelar S ditutup dalam jembatan, maka akan dialiri oleh arus bolakbalik. Untuk memperoleh keseimbangannya diaturlah induktansi standar tahanan standar
dengan
. Maka setelah dicapai keseimbangan berlakulah: (
)
(
( )
( (
) (
(6.28) )
) )
(6.29) (6.30)
Pada kondisi seimbang, nilai-nilai tahanan nyata R dan tahanan imaginer (
)
pada tiap-tiap induktansi harus sama, maka didapatlah sebagai berikut:
12
atau dan (
)
(
)
atau
Sehingga dapat ditulis: (6.31) Jadi, kondisi keseimbangan dari jembatan ini tidak bergantung pada frekuensinya. Karena ,
,
, dan
telah diketahui, maka
dan
dapat dicari
seperti berikut ini: dan
(6.32)
Dimana, = Induktansi yang diukur = Tahanan nyata dari = Induktansi standar = Tahanan nyata dari = Tahanan standar = Sakelar = Alat pendengar (head set) = Sumber tegangan AC (Suryatmo, F.Teknik Pengukuran Listrik dan Elektronika.1997.Bumi Aksara:Jakarta : 89-92)
13
Jembatan Maxwell, yang diagram skemanya ditunjukkan pada gambar 6.9. Mengukur sebuah induktansi yang tidak diketahui dinyatakan dalam kapasitansi yang diketahui. Salah satu lengan perbandingan mempunyai sebuah tahanan dan sebuah kapasitansi dalam hubungan paralel, dan untuk hal ini adalah lebih mudah untuk menuliskan persamaan keseimbangan dengan menggunakan admitansi lengan 1 sebagai pengganti impedansi.
Gambar 6.9. Jembatan Maxwell untuk pengukuran induktansi. Dengan menyusun kembali persamaan umum keseimbangan jembatan seperti dinyatakan dalam persamaan (6.9-a), diperoleh: sehingga persamaannya menjadi: (6.33) dimana
adalah admitansi lengan 1. Dengan melihat kembali ke gambar 9.
ditunjukkan bahwa: ;
;
dan
Substitusi harga-harga ini ke dalam persamaan (6.33) memberikan: (
)
(6.34)
14
Pemisahan bagian nyata dan bagian khayal memberikan: dan
(6.35) (6.36)
Dimana tahanan dinyatakan dalam ohm, induktansi dalam Henry, dan kapasitansi dalam farad. Jembatan Maxwell terbatas pada pengukuran kumparan dengan Q menengah (1
. Sudut fasa sebuah komponen dengan Q tinggi
(positif), yang menghendaki bahwa sudut fasa lengan
kapasitif juga harus sangat mendekati tahanan
, jumlah sudut-sudut lengan 1
(negatif). Ini selanjutnya berarti bahwa
harus sungguh-sungguh sangat tinggi, yang bisa sangat tidak praktis.
Dengan demikian kumparan-kumparan Q tinggi umumnya diukur dalam jembatan Hay. Jembatan Maxwell juga tidak sesuai untuk pengukuran kumparan dengan nilai Q yang sangat rendah (Q<1) karena masalah pemusatan keseimbangan. Sebagai contoh nilai Q yang sangat rendah terdapat dalam tahanan induktif atau dalam kumparan frekuensi radio (RF) jika diukur pada frekuensi rendah. Sebagaimana dapat dilihat dari persamaan
dan
, pengaturan keseimbangan induktif oleh
mengganggu keseimbangan resistif sebesar
akan
dan menghasilkan efek yang disebut
seimbang bergeser (sliding balance). Seimbang bergeser menjelaskan interaksi antara pengontrolan-pengontrolan, sehingga bila kita menyeimbangkan dengan kemudian dengan
dan kembali lagi ke
dan
, kita mendapatkan titik seimbang yang
baru. Titik seimbang nampaknya bergerak atau bergeser menuju titik akhirnya melalui banyak pengaturan. Interaksi tidak terjadi dengan menggunakan
dan
sebagai
pengatur keseimbangan, tetapi sebuah kapasitor variabel tidak selalu memenuhi.
15
Prosedur yang biasa untuk menyeimbangkan jembatan Maxwell adalah dengan pertama-tama mengatur
untuk keseimbangan induktif dan kemudian mengatur
untuk keseimbangan resistif. Kembali kepengaturan
ternyata bahwa keseimbanagn
resistif telah terganggu dan berpindah ke suatu nilai baru. Proses ini diulangi dan memberikan pemusatan yang lambat ke keseimbangan akhir. Untuk kumparankumparan Q menengah, efek tahanan tidak dinyatakan, dan keseimbangan tercapai melalui beberapa pengaturan. Kadang-kadang terjadi bahwa sebuah jembatan arus bolak-balik tidak dapat diseimbangkan sama sekali hanya karena salah satu persyaratan seimbang yang telah ditetapkan tidak dapat dipenuhi. 2.
Jembatan Maxwell - Wien Pada Gambar 12 diperlihatkan sirkuit yang disebut jembatan Maxwell-wien.
Jembatan tersebut dipakai untuk mengukur Lx(atau C) bila C (atau Lx) diketahui. Sudah tentu tahanan-tahanan R dan S harus pula diketahui, karena harga-harga dari tahanan dapat ditentukan pada umumnya jauh lebih mudah dari pada L dan C, maka pengukuran tahanan-tahanan murni tidak dimasukkan sebagai suatu objek pengukuran, dengan mempergunakan jembatan-jembatan arus bolak-balik, kecuali hal itu memang diharuskan demikian pengukurannya. Sebaliknya tahanan seri yang menjadi bagian tahanan dari suatu induktor atau tahanan paralelnya dari suatu kondensator, dianggap sebagai objek dari pengukuran.
(
)
Sehingga kedua persamaan tersebut bisa disederhanakan menjadi: (6.37) Bagian yang pertama adalah yang berhubungan dengan tahanan atau bagian nyatanya dan yang terakhir dengan induktansi atau bagian imajinernya. Untuk
16
membuat keseimbangan maka, pengaturan diadakan pada S dan C (Lx). bila Lx dan C ditentukan atau tertentu, S dan Q atau R dapat diatur.
Gambar 6.10. Jembatan Maxwell - Wien 3.
Jembatan Carey-Foster Gambar 6.11. memperlihatkan sirkuit yang disebut jembatan Carey-Foster.
Jembatan tersebut digunakan untuk mempersamakan induktansi persamaan M dan kapasitansi C. L dan R adalah induktansi sendiri dari pada induktansi bersamaan yang terdapat pada sisi jembatan, dan R adalah tahanannya. Untuk jembatan ini, kondisi keseimbangannya adalah: tegangan diantara lilitan dari pada induktansi bersamaan yang terdapat pada sisi jembatan, sama dengan nol. Suatu hal perlu dicatat, bahwa seakan-akan tidak terdapat kondisi keseimbangan, karena salah satu dari cabang-cabang jembatan dihubung-pendekkan. Dengan mempergunakan referensi-referensi arus yang diperlihatkan dalam gambar maka syarat keseimbangan dapat dituliskan sebagai berikut: (
)
(
)
(6.38)
Persamaan di atas ini hanya benar bila rasio dari I1 terdapat I2 adalah tepat, dan didapat dari persyaratan bahwa tegangan antara cabang SC adalah sama dengan tegangan melalui cabang Q. (
)
(6.39)
17
Dari kedua persamaan terebut didapat: (
)
(6.40) Dengan demikian maka kondisi keseimbangan adalah: (
)
(6.41)
Untuk membuat jembatan seimbang, S dan C (atau M) dibuat sebagai sesuatu yang variabel. Bila QR diketahui, maka M (atau C) dapat diketahui. Suatu hal perlu dicatat di sini mengenai polaritas dari induktansi persamaan. Suatu induktansi bersamaan (induktometer) dapat berubah polaritas dari pada lilitan sekunder terhadap lilitan primernya. Hal ini mengakibatkan bahwa tegangan terminal dari sisi sekundernya berubah polaritasnya yaitu berlawanan fasanya dengan semula. Untuk mempunyai pegangan terhadap polaritas ini, maka suatu konvensi diadakan dan diperlihatkan pada Gambar 6.12. Pada (a), tegangan primer dan tegangan sekunder yang diinduksikan adalah dari polaritas yang sama dan M lebih besar dari nol. Jembatan Carey-Foster tidak bisa diseimbangkan kecuali bila tegangan di antara cabang L-R yang disebabkan oleh I1 ada dalam polaritas yang berlawanan terhadap tegangan yang diinduksikan oleh I1+I2. Jadi hubungan harus dibuat untuk M lebih besar dari nol. Bila salah satu ujung lilitan primer dari suatu induktor bersamaan, dihubungkan dengan salah satu ujung dari lilitan sekundernya, maka sirkuit dengan tiga terminal dibentuk. Terminal-terminal tersebut dinyatakan dengan A, B, C, seperti diperlihatkan dalam Gambar 6.13(a). sirkuit ini adalah ekivalen dengan (b) dari gambar yang sama. Ekivalen di sini berarti bahwa bila tegangan ditempatkan atau arus dialirkan, melalui sepasang terminal yang dipilih antara A,B dan C pada kedua sirkuit tersebut, maka tidak ada perbedaan antara kedua sirkit tersebut. Dengan perbedaan dimaksudkan tegangan-tegangan yang diukur antara setiap pasang terminal atau arus yang diukur kepada suatu beban yang dihubungkan kepada terminal-terminal tersebut. Konsep
18
ekivalen ini memudahkan dalam perhitungan sirkuit karena sering jauh lebih memudahkan perhitungan-perhitungan untuk mempergunakan sirkuit ekivalennya dari pada sirkuit praktisnya. Demikian pula hal tersebut didapat dalam jembatan CareyFoster ini, yang bila dipakai sirkuit ekivalennya, maka perhitungan-perhitungan untuk persyaratan-persyaratan keseimbangan yang dinyatakan dalam persamaan tersebut akan dapat dengan mudah diturunkan.
Gambar 6.11. Jembatan Carey – Foster
Gambar 6.12. Polaritas suatu inductor bersama (mutual inductor)
Gambar 6.13. Rangkaian ekivalen suatu rangkaian induktansi bersama (mutual inductance) 4.
Jembatan Schering
19
Pada Gambar 6.14. diperlihatkan sirkuit yang disebut jembatan Schering. Bila sumber energi dihubungkan di dalam cara seperti diperlihatkan di dalam gambar, maka arus yang diambil dari sumber energi adalah kecil. Hal ini disebabkan kapasitansi yang akan menyebabkan impedansi yang tinggi, terutama pada frekuensi-frekuensi yang biasanya dipergunakan untuk jembatan ini, yaitu 50 atau 100 Hz. Cara menghubungkan ini disebut cara penghubungan tegangan tinggi, dan bila hubungan tersebut dirubah dengan pemindahan tempat antar detektor dan sumber, maka hubungan-hubungan tersebut dinyatakan sebagai hubungan tegangan rendah.
Gambar 6.14. Jembatan Schering Jembatan ini dipakai untuk mempersamakan kapasitas dan tahanan dalam diri kondensator, dengan kapasitas dan tahanan dalam dari suatu kondensator standar. Di dalam gambar
dan
adalah kerugian-kerugian dielektrik yang didapat
pada Cx dan Cs masing-masingnya, dan digambarkan dalm bentuk sebagai tahanantahanan seri. Bila masing-masing sudut kerugian dielektrik dinyatakan sebagai
dan
maka akan didapat: tan
tan
(6.42)
Kondisi keseimbangan adalah:
20
Jadi dengan demikian maka, ( (
) )
( (
(6.43)
Pada umumnya rugi dielektrik adalah kecil dalam tingkat kebesaran
atau
lebih rendah. Jadi di dalam penggunaan adalah menjadi suatu kebiasaan untuk membuat jembatan pada syarat
dan
jauh lebih kecil dari 1, sehingga
syarat-syarat keseimbangan menjadi: (6.44) (
)
Sehingga dengan demikian adalah mungkin untuk mempersamakan dan
dengan tan
(6.45) dengan
. Dari persamaan tersebut dilihat bahwa kondisi-kondisi
keseimbangan tergantung dari frekuensi, akan tetapi dalam prakteknya karena frekuensi adalah tetap maka tidak tergantung dari padanya. Pengukuran-pengukuran biasanya bahwa dibuat pada satu frekuensi. Akan tetapi sudut rugi dielekterik akan tergantung dari frekuensi seperti dapat dilihat dalam
persamaan sebelumnya. Jadi hasil
pengukuran harus menyatakan dengan tegas bahwa pengukuran tersebut dibuat pada suatu frekuensi yang tertentu. C. Contoh Soal Perhatikan gambar berikut untuk menjawab soal no. 1 dan 2!
Gambar 6.15. Bentuk umum jembatan bolak-balik
21
1.
Impedansi-impedansi jembatan arus bolak balik dasar pada gambar di atas diberikan sebagai berikut: (impedansi induktif) (tahanan murni) (impedansi induktif) tidak diketahui Tentukan konstanta-konstanta lengan yang tidak diketahui! Penyelesaian: Syarat pertama bagi keseimbangan jembatan menunjukkan bahwa (6.12) Substitusi kebesaran dari komponen-komponen yang diketahui dan selesaikan untuk
menghasilkan
Syarat kedua untuk kesetimbangan jembatan menyatakan bahwa penjumlahan sudut-sudut fasa dari lengan-lengan yang berhadapan adalah sama, atau (6.13) Substitusi dua fasa yang diketahui dan selesaikan untuk
maka impedansi
, memberikan:
yang diketahui dapat dituliskan dalam bentuk polar sebagai
berikut
22
hal ini menunjukkan bahwa kita menemukan suatu elemen kapasitif, mungkin terdiri dari kombinasi seri dari sebuah tahanan dan sebuah kapasitor. 2.
Jembatan arus bolak balik pada gambar di atas adalah setimbang dengan konstanta-konstanta berikut: lengan AB,
; lengan BC,
seri
dengan
; lengan CD tidak diketahui; lengan DA,
seri
dengan
. Frekuensi osilator adalah 1 kHz. Tentukan konstanta-
konstanta lengan CD! Penyelesaian: Persamaan umum untuk kesetimbangan jembatan menyatakan bahwa (6.9-a) Impedansi lengan-lengan jembatan yang dinyatakan dalam bentuk kompleks, adalah (
)
(
)
tidak diketahui Dengan memasukkan harga-harga ini ke dalam persamaan (6.9-a) dan penyelesaian untuk
, diperoleh (
Hasil ini menunjukkan, bahwa kapasitor. Karena
)
(
)
merupakan gabungan dari sebuah tahanan dan , maka
(
)(
)
3. Perhatikan rangkaian gambar berikut!
23
Gambar 6.16. Sebuah jembatan arus bolak balik yang tidak dapat seimbang
dimana
dan
adalah elemen-elemen induktif (sudut fasa positif).
kapasitansi murni (sudut fasa
), dan
adalah
adalah sebuah tahanan variabel
(sudut fasa nol). Tahanan
yang diperlukan guna menghasilkan keseimbangan jembatan
dapat ditentukan dengan menggunakan syarat seimbang pertama (kebesarankebesaran) dan diperoleh bahwa:
Jadi, pengaturan
ke nilai
akan memenuhi syarat pertama.
Tinjauan terhadap syarat seimbang kedua (sudut-sudut fasa) menghasilkan situasi berikut:
Jelas,
, dan persyaratan kedua tidak dipenuhi. Dalam
hal ini keseimbangan jembatan tidak dicapai. 4. Sebuah ilustrasi menarik mengenai masalah menyeimbangkan sebuah jembatan diberikan dalam contoh di bawah ini, dimana pengaturan kecil terhadap satu atau lebih lengan-lengan jembatan menghasilkan suatu situasi dimana keseimbangan dapat diperoleh.
24
Gambar 6.17. Suatu masalah menyeimbangkan jembatan. Dimana dari gambar atas berturut-turut adalah: (a) kondisi seimbang; (b) keseimbangan jembatan diperoleh kembali dengan penambahan sebuah tahanan pada lengan 1(konfigurasi Maxwell); dan (c) metode alternatif untuk memulihkan keseimbangan jembatan, dengan menambahkan sebuah kapasitor pada lengan 3
Perhatikan rangkaian gambar 6.17 (a) dan tentukan apakah jembatan tersebut seimbang sempurna atau tidak. Jika tidak, tunjukkan dua cara agar dia dapat dibuat seimbang dan tetapkan nilai-nilai numerik untuk setiap komponen tambahan. Anggap bahwa lengan jembatan 4 adalah yang tidak diketahu yang tidak dapat diubah. Penyelesaian: Pemeriksaan rangkaian menunjukkan bahwa syarat pertama keseimbangan (kebesaran-kebesaran) dengan mudah dapat dipenuhi dengan sedikit memperbesar tahanan
. Syarat seimbang kedua menginginkan bahwa
,
dimana (kapasitansi murni) (tahanan murni) (impedansi induktif) Jelas keseimbanagn tidak mungkin dicapai dengan konfigurasi gambar 6.86.10 sebab penjumlahan dan
akan persis
dan
akan sedikit negatif sedangkan penjumlahan
. Keseimbangan ini dapat dipulihkan kembali dengan
pengubahan rangkaian sedemikian rupa sehingga persyaratan sudut fasa dipenuhi. Pada dasarnya terdapat dua metode untuk melakukan hal ini, pertama yaitu mengubah
sehingga sudut fasanya berkurang menjadi lebih kecil dari
25
(sama dengan
) dengan menghubungkan sebuah tahanan paralel terhadap
kapasitor. Pengubahan ini menghasilkan konfigurasi jembatan Maxwell seperti ditunjukkan pada gambar 6.17 (b). Tahanan
dapat ditentukan melalui
pendekatan standar dari pembahasan jembatan Maxwell yang sudah dibahas sebelumnya dengan menggunakan admitansi lengan 1, dan dapat dituliskan dimana Masukkan nilai-nilai yang diketahui dan selesaikan untuk
diperoleh
dan Perlu diperhatikan bahwa penambahan pertama (kebesaran
mengganggu syarat seimbang
telah berubah) sehingga tahanan variabel
harus diatur
untuk mengimbangi efek ini. Pilihan kedua adalah mengubah sudut fasa lengan 2 atau lengan 3 dengan menambahkan sebuah kapasitor seri seperti ditunjukkan pada gambar 6.17 (c). Juga dengan menuliskan persamaan seimbang dengan menggunakan impedansi, diperoleh:
Substitusi nilai-nilai komponen dan penyelesaian untuk (
juga dalam hal ini, kebesaran
menghasilkan
atau
telah bertambah sehingga syarat seimbang
pertama telah berubah. Suatu pengaturan kecil terhadap
diperlukan kembali
ntuk memulihkan keseimbangan. 5. Perhatikan rangkaian pada gambar dibawah ini ! Jika rangkaian tersebut seimbang, maka :
Tentukan :
26
a.
Nilai impedansi dari ZX
b.
Berapa nilai induktor Lx dan resistor Rx apabila pada saat seimbang, frekuensi kerjanya adalah 1 khz.
Penyelesaian:
a.
Kita dapat menghitung impedansi ZX dengan menggunakan rumus rangkaian jembatan saat seimbang yaitu ZX/Z2 = Z3/Z1 ZX = (Z2 Z3) ÷ Z1 ZX = (10 kΩ) (100 Ω) ÷ (30 kΩ ∠20o) ZX = (31.3 + j11.4) Ω
b.
Dari hasil di atas, nilai ZX memiliki nilai bilang real (31.3 Ω) dan imajiner (j11.4 Ω). Dari sini diketahui Rx = 31.3 Ω dan untuk menghitung nilai induktor Lx gunakan rumus reaktansi induktif XL = 2 π f Lx Lx = (XL) ÷ (2 π f) = (11.4 Ω) ÷ (2 π 1000) = 1.81 mH
6. Perhatikan rangkaian pada gambar dibawah ini !
Tentukan : a.
Nilai R1 dan R3 sehingga rangkaian jembatan menjadi seimbang
b.
Arus I ketika jembatan seimbang
27
c.
Impedansi total dari rangkaian jembatan tersebut pada saat seimbang
Penyelesaian: a.
Nilai R1 dan R3 sehingga rangkaian jembatan pada gambar 4 menjadi seimbang
b.
Arus I ketika jembatan seimbang. Bila jembatan seimbang, maka kita bisa menggunakan persamaan 1 dan 2 untuk menghitung nilai R3 dan R1 R3 = (Lx) ÷ (R2)(C) = (16 mH)÷(10 kΩ) (0.01 μF)=160 Ω dan nilai R1 R1 = (R2)(R3) ÷ (Rx) = (10 kΩ) (160 Ω) ÷ (50 Ω) = 32 kΩ
c.
Impedansi total dari rangkaian jembatan tersebut pada saat seimbang adalah ZT = (Zc || R1 || R2) + [R3 || (Rx + ZLx)] ZT = (-j15.915 kΩ) || 32 kΩ || 10 kΩ + [160 Ω || (50 Ω + j100.5 Ω)] ZT = 6.87 kΩ ∠-25.6o + 77.2 Ω ∠38.0o ZT = 6.91 kΩ ∠-25.0o Arus I dapat dihitung dengan hukum Ohm I = E/Z I = 10 V ∠0o / 6.91 kΩ ∠-25o = 1.45 mA ∠25.0o
28
D. Latihan 1. Sebuah jembatan arus bolak-balik setimbang mempunyai konstanta-konstanta berikut : lengan AB, R= 200 Ω paralel terhadap C=0,047 μF; BC, R=1000 Ω seri lengan C= 0,47 μF; CD tidak diketahui; DA, C= 0,5 μF. Frekuensi osilator adalah 1000 Hz. Tentukan konstanta-konstanta lengan CD. 2. Sebuah jebatan setimbang pada 1000Hz dan mempunyai konstanta-konstanta berikut : AB, 0,2 μF kapasitansi murni; BC, 500 Ω tahanan murni ; CD, tidak diketahui; DA, R=300 Ω paralel terhadap C= 0,1 μF. Tentukan RR dan C atau konstanta L dari lengan CD, dianggap sebagai suatu rangkaian seri. 3. Sebuah jembatan 1000 Hz mempunyai konstanta-konstanta berikut : lengan AB, R= 1000 Ω paralel terhadap C= 0,5 μF; BC, R= 1000 Ωseri dengan C= 0,5 μF;CD, L=30 mH seri dengan R= 200 Ω. Tentukan konstanta-konstantalengan DA agar membuat jembatan setimbang. Nyatakan hasil tersebut sebagai tahanan murni R seri dengan sebuah C dan L murni, dan juga sebagai sebuah R murni paralel terhadap sebuah C atau L murni. 4. Dalam lengan AB
sebuah jembatan arus bolak-balik
terdapat sebuah
kapasitansi murni 0,2 μF; dalam lengan BC sebuah tahanan murni 500 Ω; dalam lengan CD; suatu kombinasi seri dari R = 50 Ω dan L= 0,1 H, lengan AD terdiri dari sebuah kapasitor C= 0,4 μF seri dengan sebuah tahananvariabel Rs ω= 500 rad/s a) Tentukan nilai Rs guna mendapatkan kesetimbangan jembatan; b) Dapatkah kesetimbangan sempurna tercapai melalaui pengaturan Rs? Jika tidak tetapkan posisi dan nilai sebuah tahanan yang dapat diatur untuk melengkapi kesetimbangan. 5. Sebuah jembatan arus bolak-balik setimbang mempunyai konstanta-konstanta berikut ; AB, R= 500 Ω, BC, R= 1000 Ω, CD, tidak diketahui, DA, C= 0.2 μF. Tegangan sebesar 10 V pada 1000 Hz dimasukkan ke jembatan pada titik-titik A dan C. a) Tentukan konsanta-konstanta yang tidak diketahui b) Tahanan 1000 Ω diubah ke 1002 Ω. Tentukan tegangan pada detektor impedansi tinggi.
29
6. Sebuah jembatan arus bolak-balik yang tidak setimbang mempunyai konstantakonstanta berikut : lengan AB, R 2000 paralel terhadap C 0,2F ; BC,
R 1500 ; CD, L 0,8H seri dengan R 500 ; DA, R 2000 . Osilator mempunyai keluaran 20V dan dihubungkan ke A dan C. Frekuensi adalah 1000Hz . Tentukan berapa seharusnya konstanta-konstanta lengan CD agar jembatan setimbang. 7. Sebuah jembatan setimbang pada 1000Hz dan mempunyai lengan-lengan perbandingan berupa tahanan murni, AB 1500 dan BC 1000 yang tidak diketahui dihubungkan dari C ke D. Lengan DA mempunyai kapasitor standar 0,1F dengan tahanan dalam yang diabaikan; terhadap mana sebuah tahanan yang ditambahkan agar menghasilkan kesetimbangan. Generator mempunyai tegangan 15 V dan dihubungkan dari B ke D. Detektor berupa sebuah voltmeter berkapasitas tinggi. a.
Tentukan konstanta-kontanta lengan CD.
b.
Tentukan tegangan detektor jika pertambahan 10 diberikan dalam lengan…
8. Dalam
jembatan
arus
bolak-balik
Gambar
6.1
R1 521
,
R2 1200, C 0,045F , Rs 12,1. Frekuensi osilator adalah 10kHz . Tentukan
dan
!
9. Sebuah jembatan arus bolak-balik mempunyai konstanta-konstanta berikut: AB, paralel terhadap ;DA,
; BC,
; CD,
seri dengan tahanan yang tidak diketahui.
Tentukan frekuensi pada mana jembatan ini setimbang dan tentukan nilai tahanan didalam lengan menghasilkan kesetimbangna ini! 10. Sebuah jembatan arus bolak-balik mempunyai konstanta-konstanta berikut : dengan AB, R=800Ω paralel terhadap C=0,4µF; BC, R=500Ω seri dengan ; DA, Tahanan R murni dengan nilai yang tidak diketahui. a.
Tentukan frekuensi pada mana jembatan setimbang.
30
b.
Tentukan tahanan yang diperlukan dengan lengan DA guna menghasilkan kesetimbangan.
31
DAFTAR PUSTAKA
A.K. Sawhney. Dhanpatrai and Sons. Electrical and Electronic Measurements and Intrumentation. New Delhi. Cooper, William D. 1999. Instrumentasi Elektronika Dan Teknik Pengukuran. Jakarta: Erlangga (Diterjemahkan oleh: Ir. Sahat Pakpahan) Soedjana, Sapiie. Osamu, Nishino. 1976. Pengukuran dan Alat – Alat Ukur Listrik. Jakarta: PT. Pradya Paramita. Suryatmo. 1997. Fakultas Teknik: Pengukuran Listrik dan Elektronika. Jakarta: Bumi Aksara.
32
