UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
ECONOMÍA GENERAL (Secciones M, N y O)
Balotario de Preguntas No. 1
Profesores: Mg. Econ. Miguel Ataurima Arellano Mg. Econ. Daniel Huamán Villavicencio
PROBLEMAS 3.1
Trace la curva de indiferencia típica de las siguientes funciones de utilidad y determine si son curvas de indiferencia convexas (es decir, si la TMS disminuye a medida que x aumenta): a. U (x, y ) = 3x + y b. U (x, y) =
x¥y
c. U (x, y) =
x + y
d. U (x, y) =
x 2 - y2
e. U (x, y ) =
xy x + y
3.2
En la nota 7 a pie de página de este capítulo demostramos que para que la función de utilidad de dos bienes tenga una TMS estrictamente decreciente (es decir, para que sea estrictamente cuasi cóncava), entonces debe cumplir la siguiente condición: f 22 f 11 – 2 f 1 f 2 f 12 + f 12 f 22 < 0.
Utilice esta condición para comprobar la convexidad de las curvas de indiferencia de cada una de las funciones de utilidad del problema 3.1. Describa cualquier atajo que descubra en el proceso. 3.3
Analice las siguientes funciones de utilidad: a. U (x, y ) = xy. b. U (x, y ) = x 2 y 2. c. U (x, y ) = ln x + ln y. Demuestre que cada una de estas funciones tiene una TMS decreciente, pero que tienen, respectivamente, una utilidad marginal creciente constante y una decreciente. ¿A qué conclusiones llega? 3.4
Como vimos en la figura 3.5, una forma de demostrar la convexidad de las curvas de indiferencia es demostrar que, en el caso de dos puntos (x 1, y 1) y (x 2, y 2) cualesquier en una curva de indiferencia que promete U = k, la utilidad asociada al punto
x1 + x 2 2 ,
y1 + y2 es, cuando 2
menos, tan grande como k. Utilice este planteamiento para explicar la convexidad de las curvas de indiferencia de las tres funciones siguientes. No olvide elaborar una gráfica de sus resultados. a. U (x, y ) = Mín (x, y ) b. U (x, y ) = Máx (x, y ) c. U (x, y ) = x + y. 3.5
El aficionado de un equipo de béisbol siempre come sus hot dogs en el estadio de una manera especial; es decir, pide una salchicha extra larga, exactamente, con la mitad de un pan, 1 onza de
mostaza y 2 onzas de pepinillos. Su utilidad está exclusivamente en función de estos cuatro productos y una cantidad extra de alguno de ellos, sin los demás elementos, carece de valor alguno. a. ¿Qué forma tiene la función de utilidad del aficionado en el caso de estos cuatro bienes? b. ¿Cómo podríamos simplificar las cosas si consideramos que la utilidad del aficionado está en función de un solo bien? ¿Cuál sería ese bien? c. Supongamos que una salchicha extra larga cuesta $1.00, los panes $0.50, la mostaza $0.05 por onza y los pepinillos $0.15 por onza. ¿Cuánto cuesta el bien definido en el inciso b? d. Si el precio de las salchichas extra largas aumentara 50% (a $1.50), ¿en qué porcentaje incrementaría el precio del bien? e. ¿Un incremento de 50% en el precio de los panes cuánto afectaría el precio del bien? ¿Qué diferencia hay entre esta respuesta y la del inciso d? f. Si el gobierno quisiera aumentar un dólar los impuestos, gravando los bienes que compra el aficionado, ¿cómo debería repartir este impuesto entre los cuatro bienes para minimizar el costo de utilidad que ello entrañaría para el aficionado? 3.6
Muchas frases publicitarias en apariencia dicen algo respecto a las preferencias de las personas. ¿Cómo captaría usted las siguientes frases, matemáticamente, con una función de utilidad? a. Promete que la margarina es tan buena como la mantequilla. b. La vida es mejor con Coca-Cola. c. No puedes comer sólo una papa frita Pringle’s. d. Las donas glaseadas de Krispy Kreme son mejores que las Dunkin’. e. La cervecería Miller aconseja beber (cerveza) con “moderación”. (¿Qué significaría beber sin moderación?) 3.7
Suponga que una persona, inicialmente, tiene cantidades de dos bienes que le brindan utilidad. Estas cantidades iniciales están dadas por ¯ x y y ¯. a. Dibuje una gráfica de estas cantidades iniciales en el mapa de curvas de indiferencia de esta persona. b. Si la persona puede cambiar x por y (o viceversa) con otras personas, ¿qué tipos de intercambios haría voluntariamente? ¿Qué tipos no haría jamás? ¿Estos intercambios cómo se relacionan a la TMS de esta persona en el punto (¯, x ¯y )? c. Suponga que esta persona está relativamente contenta con las cantidades iniciales que posee y sólo consideraría la posibilidad de intercambios que incrementaran la utilidad, cuando menos, por una cantidad k . ¿Cómo ilustraría usted lo anterior en el mapa de cur vas de indiferencia? 3.8
El ejemplo 3.3 demuestra que la TMS de la función Cobb-Douglas U (x, y ) = x ` y a
está dada por TMS =
a. ¿Este resultado depende de que teoría de la elección?
+
a =
(y x ) .
1? ¿Esta suma tiene alguna relevancia para la
b. En las canastas de bienes donde y = x, ¿la TMS cómo depende de los valores de y ? Ofrezca una explicación intuitiva de por qué, si > , entonces TMS > 1. Ilustre su argumentación con una gráfica. c. Suponga que un individuo tan sólo obtiene utilidad de las cantidades de x y y que exceden a los niveles mínimos de subsistencia, dados por x 0, y 0. En este caso, U (x, y ) = (x – x 0)` ( y – y 0)a.
¿Esta función es homotética? (Para un mayor análisis, véanse las ampliaciones del capítulo 4.) 3.9
Dos bienes tienen utilidades marginales independientes si
ì2U ì2U = = 0. ì y ìx ìx ìy Demuestre que si suponemos que cada bien tiene una utilidad marginal decreciente, entonces toda función de utilidad con utilidades marginales independientes tendrá una TMS decreciente. Ofrezca un ejemplo para demostrar que la afirmación contraria no es cierta. 3.10
a. Demuestre que la función de CES
`
xc
+a
y c
c c es homotética. ¿La TMS cómo depende de la proporción y /x? b. Demuestre que sus resultados para el inciso a coinciden con la explicación de los casos = 1 (sustitutos perfectos) y = 0 (Cobb-Douglas). c. Demuestre que la TMS es estrictamente decreciente para todos los valores de < 1. d. Demuestre que si x = y, entonces la TMS de esta función depende únicamente del valor relativo de y . e. Calcule la TMS de esta función cuando y /x = 0.9 y y /x = 1.1 para los casos en que = 0.5 y = –1. ¿Cuáles serían sus conclusiones respecto a la magnitud del cambio de la TMS cuando se encuentra próxima a x = y ? ¿Cómo interpretaría esto en términos geométricos?
LECTURAS RECOMENDADAS Jehle, G. R. y P. J. Reny. Advanced Microeconomic Theory, 2a. ed., Addison Wesley-Longman, Boston, 2001. El capítulo 2 contiene una estupenda prueba de la existencia de funciones de utilidad cuando se cumplen los axiomas básicos de la racionalidad.
Kreps, David M. A Course in Microeconomic Theory, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1990. El capítulo 1 cubre la teoría de las preferencias con bastante detalle. Una buena explicación de la cuasi concavidad.
Kreps, David M. Notes on the Theory of Choice, Westview Press, Londres, 1988. Una buena explicación de los fundamentos de la teoría de las preferencias. La mayor parte del libro gira en torno a la utilidad en situaciones de incertidumbre.
Marshall, A. Principles of Economics, 8a. ed., libro III caps. I–IV, Macmillan, Londres, 1920. Libro de texto para principiantes. Agradable de leer y tratamiento muy interesante de la teoría de consumo.
Mas-Colell, Andrea, Michael D. Whinston y Jerry R. Green. Microeconomic Theory, Oxford University Press, Nueva York, 1995. Los capítulos 2 y 3 presentan una explicación detallada de las relaciones de las preferencias y de su repre- sentación mediante funciones de utilidad.
Stigler, G. “The Development of Utility Theory”, Journal of Political Economy 59, pts. 1-2, agosto/octubre de 1950, pp. 307-327, 373-396. Un resumen completo y lúcido de la historia de la teoría de la utilidad. Contiende interesante información y apéndices.
PROBLEMAS 4.1
Pablo, que cursa el tercer año de primaria, almuerza en el colegio todos los días. Sólo le gustan los pastelillos Twinki (t ) y las bebidas de sabores ( s ), que le proporcionan una utilidad de utilidad = U (t , s ) =
ts .
a. Si los pastelillos cuestan $0.10 cada uno y la bebida $0.25 por vaso, ¿Pablo cómo debe gastar el dólar que le da su madre para maximizar su utilidad? b. Si el colegio trata de que los niños no consuman Twinkies y aumenta su precio a $0.40, ¿cuánto dinero más tendrá la madre que darle a Pablo para que conserve el mismo nivel de utilidad que tenía en el inciso a? 4.2
a. Un joven, amante de los buenos vinos, tiene $300 que gastará para tener una pequeña bodega. Le gustan dos en particular: un caro Bordeaux francés de 1997 (w F ) que cuesta $20 por botella y un vino californiano, más barato, de 1993 (w C) que cuesta $4. ¿Cuántas botellas de cada tipo debe comprar si su utilidad está dada por la siguiente función? U (w F , w C ) = w F2 3w 1C 3
b. Cuando acude a la vinatería, el joven enólogo descubre que el precio del Bordeaux francés ha disminuido a $10 la botella debido a que el valor del franco francés ha disminuido también. Si el precio del vino californiano permanece estable a $4 por botella, ¿nuestro amigo cuántas botellas de cada vino debe comprar para maximizar su utilidad en estas nuevas condiciones? c. Explique por qué este amante de los vinos está en mejor posición en el inciso b que en el inciso a. ¿Usted cómo asignaría un valor monetario a este incremento de su utilidad? 4.3
a. Una noche, J.P. decide consumir cigarros (c ) y brandy (b ) siguiendo la función U (c, b ) = 20c – c 2 + 18b – 3b 2.
¿Cuántos cigarros y copas de brandy consume esa noche? (Su costo no es obstáculo para J.P.) b. Sin embargo, recientemente, los médicos han aconsejado a J.P. que limite a 5 su consumo de cigarros y brandy. ¿Cuántas copas de brandy y cuántos cigarros consumirá en estas nuevas circunstancias?
4.4
a. El Sr. B disfruta de los bienes x y y de acuerdo con la función de utilidad U (x , y ) =
x 2 + y 2 .
Maximice la utilidad del Sr. B si p x = $3, p y = $4, y tiene $50 para gastar. Pista: En este caso tal vez sea más fácil maximizar U 2 que U. ¿Al hacerlo, por qué no cambiarían los resultados?
b. Dibuje la curva de indiferencia del Sr. B y su punto de tangencia dada la restricción de su presupuesto. ¿Qué dice la gráfica sobre el comportamiento del Sr. B? ¿Ha encontrado usted un auténtico máximo? 4.5
El Sr. A obtiene utilidad de los martinis ( m ) en función de la cantidad que bebe: U (m ) = m.
Sin embargo, el Sr. A es muy quisquilloso con sus martinis: sólo le gustan los preparados con una proporción exacta de dos partes de ginebra ( g ) y una de vermouth (v ). Por tanto, podemos volver a escribir la función de utilidad del Sr. A co mo
g , v . 2
U (m ) = U ( g , v) = mín
a. Dibuje la curva de indiferencia del Sr. A en términos de g y v para diversos niveles de utilidad. Muestre que, independientemente de los precios de los dos ingredientes, el Sr. A nunca alterará la forma en que mezcla los martinis. b. Calcule las funciones de demanda de g y v. c. Partiendo de los resultados del inciso b, ¿cuál es la función de utilidad indirecta del Sr. A? d. Calcule la función gasto del Sr. A y, para cada nivel de utilidad, muestre el gasto como una función de p g y p v. Pista: Dado que este problema implica una función de utilidad de proporciones fijas, usted no podrá utilizar el cálculo para resolver las decisiones que maximizan la utilidad. 4.6
Suponga que un adicto a la comida rápida obtiene utilidad de tres bienes: bebidas (x ), hamburguesas ( y ), y helados (z ) de acuerdo con la función de utilidad Cobb-Douglas U (x, y, z ) = x 0.5 y 0.5 (1 + z )0.5.
Suponga también que los precios de estos bienes están dados por p x = 0.25, p y = 1 y p z = 2 y que los ingresos de este consumidor están dados por I = 2. a. Demuestre que para z = 0, la maximización de la utilidad da por resultado las mismas elecciones óptimas que el ejemplo 4.1. Demuestre también que una elección que dé por resultado z > 0 (incluso una fracción de z ) reduce la utilidad respecto a este óptimo. b. ¿Usted cómo explicaría el hecho de que z = 0 es un óptimo en este caso?
c. ¿Los ingresos de este individuo qué tan altos deben ser para que pueda comprar una cantidad z cualquiera? 4.7
En el ejemplo 4.1 vimos la función de utilidad Cobb-Douglas U (x, y ) = x y 1– donde 0 1. Este problema ilustra unos cuantos atributos más de esa función. a. Calcule la función de utilidad indirecta para este caso Cobb-Douglas. b. Calcule la función gasto para este caso. c. Demuestre, explícitamente, la forma en que la compensación requerida para equilibrar el efecto de un aumento del precio de x está relacionado con el tamaño del exponente . 4.8
El principio de la suma única ilustrado en la figura 4.5 se puede aplicar tanto a la política de transferencias como a la tributación. Este problema analiza la aplicación del principio. a. Utilice una gráfica similar a la figura 4.5 para demostrar que una dotación de ingresos a una persona proporciona más utilidad que un subsidio para el bien x , que le cuesta la misma cantidad de dinero al gobierno. b. Utilice la función gasto Cobb-Douglas que presentamos en la ecuación 4.52 para calcular la cantidad extra de poder adquisitivo que necesita esta persona para incrementar su utilidad de U = 2 a U = 3. c. Utilice la ecuación 4.52 de nueva cuenta para calcular el grado en que el gobierno debe subsidiar el bien x para incrementar la utilidad de esta persona de U = 2 a U = 3. ¿Cuánto le costaría este subsidio al gobierno? ¿Compare este costo con el costo que calculó en el inciso b? d. El problema 4.7 le pide que compare una función gasto para una función de utilidad Cobb-Douglas más general que la utilizada en el ejemplo 4.4. Utilice esa función gasto para contestar, de nueva cuenta, los incisos b y c en el caso donde = 0.3; es decir, una cifra cercana a la fracción de los ingresos que las personas de bajos ingresos gastan en alimentos. e. ¿Cómo habrían cambiado sus cálculos para este problema si, hubiéramos utilizado la función gasto, en cambio, para un caso de proporciones fijas (ecuación 4.54)? 4.9
La función de utilidad con ESC general está dada por U (x , y ) =
xc
+
y c
.
c c a. Demuestre que las condiciones de primer orden para una utilidad máxima con restricción con esta función exige que los individuos elijan los bienes en la proporción 1
x = y
p x c -1 . p y
b. Demuestre que el resultado del inciso a implica que los individuos asignarán sus fondos a partes iguales entre x y y en el caso Cobb-Douglas ( = 0), tal como hemos demostrado antes en varios problemas. c. ¿La proporción p x x / p y y cómo depende del valor de ? Explique sus resultados basándose en la intuición. (Para más detalles sobre esta función, véase la ampliación A4.3.) d. Utilice la técnica lagrangiana para derivar la función gasto para este caso.
4.10
Suponga que los individuos necesitan determinada cantidad de alimentos ( x ) para sobrevivir y que esta cantidad es igual a x 0. Una vez adquirida la cantidad x 0 los individuos obtienen utilidad de los alimentos y de otros bienes ( y ) de acuerdo con la fórmula U (x, y ) = (x – x 0) y
donde +
=
1.
a. Demuestre que si I > p x x 0 el individuo maximizará su utilidad gastando (I – p x x 0) + p x x 0 en el bien x y (I – p x x 0) en el bien y. Interprete este resultado. b. En este problema, ¿las proporciones p x x /I y p y y /I cómo varían a medida que aumenta el ingreso? (Véase también la ampliación.)
LECTURAS RECOMENDADAS Barten, A. P. y Volker Böhm. “Consumer Theory”, en K. J. Arrow y M. D. Intriligator, eds., Handbook of Mathematical Economics, vol. II, North-Holland, Amsterdam, 1982. Las secciones 10 y 11 contienen resúmenes muy compactos de muchos de los conceptos que hemos visto en este capítulo.
Deaton, A. y J. Muelbauer. Economics and Consumer Behavior, Cambridge University Press, Cambridge, 1980. La sección 2.5 presenta un buen tratamiento geométrico de los conceptos de dualidad.
Dixit, A. K. Optimization in Economic Theory, Oxford University Press, Oxford, 1990. El capítulo 2 contiene varios análisis lagrangianos que se concentran en la función de utilidad Cobb- Douglas.
Hicks, J. R. Value and Capital, Clarendon Press, Oxford, 1946. El capítulo II y el apéndice de matemáticas ofrecen algunas sugerencias básicas de la importancia que tiene la función gasto.
Mas-Colell, A., M. D. Whinston y J. R. Green. Microeconomic Theory, Oxford University Press, Oxford, 1995. El capítulo 3 analiza a fondo las funciones de utilidad de gasto.
Samuelson, Paul A. Foundations of Economic Analysis, Harvard University Press, Cambridge, 1947. El capítulo 5 y el apéndice A presentan un análisis sucinto de las condiciones de primer orden para alcan- zar el máximo de utilidad. E l apéndice cubre atinadamente las condiciones de segundo orden.
Silberberg, E. y W. Suen. The Stricture of Economics: A Mathematical Analysis, 3a. ed., Irwin/ McGraw-Hill, Boston, 2001. Un útil, pero un tanto complicado tratado de la dualidad en la teoría del consumidor.
Theil, H. Theory and Measurement of Consumer Demand, North-Holland, Amsterdam, 1975. Magnífico resumen de la teoría básica de la demanda y sus implicaciones para los cálculos empíricos.
PROBLEMAS 5.1
Ed “el sediento” sólo bebe agua mineral, pero la puede comprar en botellas de dos tamaños: una de 0.75 litros u otra de 2 litros. Dado que el agua es inherentemente idéntica, considera que estos dos “bienes” son sustitutos perfectos. a. Suponiendo que la utilidad de Ed sólo depende de la cantidad de agua que consume y que las botellas no producen utilidad alguna, exprese esta función de utilidad en términos de cantidades de botellas de 0.75 litros (x ) y de 2 litros ( y ). b. Exprese la función de demanda de x que tiene Ed en términos de p x , p y e I. c. Trace la curva de demanda de x, manteniendo constantes I y p y . d. ¿Los cambios de I y de p y cómo desplazan la curva de la demanda de x? e. ¿Qué forma tendría la curva de demanda compensada de x en esta situación?
5.2
Cada semana, David N., recibe $3 para gastarlos como quiera. Dado que sólo le gustan los sandwiches de mantequilla de cacahuete y mermelada, se gasta toda esta cantidad en mantequilla de cacahuate (a $0.05 la onza) y mermelada (a $0.10 la onza). Un vecino amable le regala el pan sin cargo alguno. David es muy especial para comer y hace sus sandwiches exactamente con una onza de mermelada y dos onzas de mantequilla de cacahuate. Es de ideas fijas y nunca cambia estas proporciones. a. ¿Cuánta mantequilla y mermelada comprará David por semana con sus $3? b. Suponga que el precio de la mermelada aumenta a $0.15 la onza. ¿Cuánto comprará de cada bien? c. ¿Cuánto tendría que aumentar la paga de David para compensar el incremento del precio de la mermelada que establece el inciso anterior? d. Elabore una gráfica de los resultados que haya obtenido en los incisos anteriores. e. Este problema, ¿en qué sentido implica un solo bien: o sea sandwiches de mantequilla de cacahuate y mermelada? Trace la curva de la demanda de este único bien. f. Analice los resultados de este problema en términos del efecto ingreso y el efecto sustitución que implica la demanda de mermelada. 5.3
Como definimos en el capítulo 3, una función de utilidad es homotética si una línea recta que parta del punto de origen corta todas las curvas de indiferencia en puntos que tienen la misma pendiente; es decir, la TMS depende de la proporción de y /x. a. Demuestre que, en este caso, x /I es constante. b. Demuestre que si un mapa de curvas homotéticas de indiferencia representa los gustos de un individuo, entonces el precio y la cantidad se deben mover en direcciones opuestas; es decir, demuestre que la paradoja de Giffen no puede ocurrir. 5.4
Como en el ejemplo 5.1, suponga que la utilidad está determinada por utilidad = U (x, y ) = x 0.3 y 0.7.
a. Utilice las funciones de demanda sin compensar del ejemplo 5.1 para calcular la función de utilidad indirecta y la función de gasto para este caso. b. Utilice la función de gasto calculada en el inciso anterior y el lema de Shephard (nota 5 a pie de página) para calcular la función de demanda compensada para el bien x. c. Utilice los resultados del inciso anterior y la función de demanda sin compensar del bien x para demostrar que, en este caso, se cumple la ecuación de Slutsky. 5.5
Suponga que la función de utilidad de los bienes x y y está determinada por utilidad = U (x, y ) = xy + y.
a. Calcule las funciones de demanda sin compensar (marshallianas) de x y de y también describa cómo las desplazan los cambios de I o del precio del otro bien. b. Calcule la función de gasto de x y y.
c. Utilice la función de gasto calculada en el apartado anterior para calcular las funciones de demanda compensada de los bienes x y y. Describa cómo los cambios de los ingresos o los del precio del otro bien desplazan las curvas de demanda compensada de x y de y . 5.6
En las ampliaciones del capítulo 4 se demostró que la mayor parte de los trabajos empíricos de la teoría de la demanda se concentran en las porciones de los ingresos. En el caso de un bien, x, definimos la fracción del ingreso como s x
=
p x x . En este problema, se demostró que podeI
mos derivar la mayor parte de las elasticidades de la demanda a partir de las correspondientes elasticidades de las porciones.
a. Demuestre que la elasticidad de la fracción del presupuesto para un bien, con relación al ingreso (e s x ,I
=
s x I ) es igual a e x,I – 1. Interprete esta conclusión con algunos ejemplos I s x
numéricos. b. Demuestre que la elasticidad de la fracción del presupuesto para un bien, con relación a su precio propio (e s x , p x
=
s x p x es igual a e + 1. De nueva cuenta, interprete este resul ) x,p x p x s x
tado con algunos ejemplos numéricos. c. Utilice los resultados del inciso anterior para demostrar que la “elasticidad gasto” del bien x con relación a su precio propio (e x ¥ px , p x
=
(p x x ) p x
¥
1 ) también es igual a e x,p x + 1. x
d. Demuestre que la elasticidad de la fracción del presupuesto para un bien, con relación a un cambio de precio de otro bien (e s x , p y
=
s x p y ) p y s x es igual a e x, p y .
e. En las ampliaciones del capítulo 4 se demostró que con una función de utilidad con CES, 1 la fracción de los ingresos dedicada al bien x está determinada por s x = 1 + p y k p x k donde k = = 1 . 1 Utilice esta ecuación de la fracción para probar la ecuación 5.56: e x c , p x = –(1 – s x ). Pista: Podrá simplificar el problema suponiendo que p x = p y en cuyo caso s x = 0.5. 5.7
Suponga que una persona considera que el queso y el jamón son complementos puros; es decir que siempre utilizará una rebanada de jamón con una de queso para hacer un sandwich de jamón y queso. Suponga también que el jamón y el queso son los únicos bienes que adquiere la persona y que el pan es gratis. Demuestre: a. Que si el precio del jamón es igual al precio del queso, entonces la elasticidad precio propio de la demanda de jamón es –0.5 y la elasticidad precios cruzados de la demanda de jamón con relación al precio del queso también es –0.5. b. Explique por qué los resultados del inciso anterior tan sólo reflejan los efectos ingreso, pero no los efectos sustitución. ¿Cuáles son las elasticidades precio compensado en este problema? c. Utilice los resultados del inciso anterior para demostrar los cambios que registrarían sus respuestas al inciso a si el precio de una rebanada de jamón es el doble que él de una rebanada de queso. d. Explique cómo podría resolver este problema, por intuición, suponiendo que esta persona sólo consume un bien, o sea un sandwich de jamón y queso.
5.8
El inciso e del problema 5.6 tiene varias aplicaciones muy útiles porque demuestra cómo las respuestas del precio dependen, al final de cuentas, de los parámetros fundamentales de la función de utilidad. En concreto, utilice ese resultado y la ecuación de Slutsky en términos de elasticidad para demostrar: a. En el caso Cobb-Douglas ( = 1) la relación siguiente se cumple entre las elasticidades precio propio de x y y : e x,p x + e y,p y = –2. b. Si > 1, e x,p x + e y,p x < –2 y si < 1, e x,p x + e y,p y > –2. Ofrezca una explicación intuitiva de este resultado. c. ¿Cómo generalizaría este resultado a casos que incluyen más de dos bienes? Explique si esta generalización tendría significado especial. 5.9
Las tres relaciones de agregación que se presentan en este capítulo pueden ser generalizadas a una cantidad cualquiera de bienes. Este problema le pide que haga justo eso. Suponemos que hay n bienes y que s i denota la fracción de los ingresos destinada al bien i . Además, definimos las elasticidades siguientes:
e i , j
ìx i
I ìI x i ìx i p j . = ¥ ì p j x i
e i , I =
¥
utilice la notación para demostrar: n
a. Homogeneidad:
e
e i ,I
i, j +
=
0.
j = 1
n
b. Agregación de Engel:
s e
i i , I =
1.
i 1 =
n
c. Agregación de Cournot:
s e
i i, j =
s j .
i 1 =
5.10
En un periodo de tres años, un individuo observa el siguiente comportamiento de consumo:
Año 1 Año 2 Año 3
p x
p y
x
y
3 4 5
3 2 1
7 6 7
4 6 3
¿Este comportamiento es congruente con el gran axioma de la preferencia revelada?
PROBLEMAS 6.1
Heidi obtiene utilidad de dos bienes, la leche de cabra (m ) y el pastel de manzana (s ), de acuerdo con la función de utilidad U (m, s ) = m s.
a. Demuestre que los incrementos en el precio de la leche de cabra no afectarán la cantidad de pastel de manzana que compra Heidi; es decir, demuestre que s / p m = 0. b. Demuestre que m / p s = 0. c. Utilice la ecuación de Slutsky y la simetría de los efectos de sustitución netos para demostrar que los efectos ingreso de los incisos anteriores son idénticos. d. Demuestre el inciso c utilizando explícitamente las funciones de demanda marshallianas para m y s. 6.2
Blas “El Duro” sólo compra whisky barato y rosquillas con jalea para alimentarse. Blas piensa que el whisky barato es un bien inferior que exhibe la paradoja de Giffen, a pesar de que el whisky y las rosquillas son sustitutos hicksianos en el sentido habitual. Desarrolle una explicación intuitiva que sugiera por qué un incremento en el precio del whisky provoca que compre menos rosquillas. Es decir, que los bienes también deben ser complementos brutos.
6.3
Donald, un estudiante universitario, sólo consume café (c ) y tostadas con mantequilla (bt ). Compra ambos artículos en la cafetería de la universidad y siempre utiliza dos paquetes de mantequilla por tostada. Donald gasta exactamente la mitad de su reducido presupuesto en café y la otra en tostadas con mantequilla. a. En este problema, podemos considerar que las tostadas con mantequilla son un bien agregado. ¿Cuál es su precio en función de los precios de la mantequilla ( p b) y tostada ( p t )? b. Explique por qué c / p bt = 0. c. ¿También es cierto, en este caso, que c / p b y c / p t son iguales a cero? 6.4
La Sra. Sarah Traveler no tiene automóvil y sólo se traslada en autobús, tren o avión. Su función de utilidad está determinada por utilidad = b t p,
y cada variable representa los kilómetros que recorre en cada uno de los medios de transporte. Suponga que la proporción del precio de los viajes en tren al de los del autobús ( p t / p b) nunca cambia. a. ¿Cómo podríamos definir un bien agregado para el caso del transporte por tierra? b. Defina el problema de optimización de Sarah como uno que consiste en escoger entre transporte por tierra ( g ) o por aire ( p ). c. ¿Cuáles son las funciones de demanda de Sarah para g y p ? d. Una vez que Sarah ha decidido cuánto gastará en g, ¿cómo asignará ese gasto entre b y t ? 6.5
Suponga que un individuo consume tres bienes, x 1, x 2 y x 3, y que x 2 y x 3 son bienes parecidos (por ejemplo, comidas en restaurantes baratos y caros), siendo p 2 = kp 3 donde k < 1; es decir, los precios de los bienes tienen una relación constante entre sí. a. Demuestre que podemos considerar que x 2 y x 3 son un bien agregado. b. Suponga que x 2 y x 3 están sujetos a un costo de transacción de t por unidad (para ver algunos ejemplos, consulte el problema 6.6). ¿Este costo de transacción cómo afectará el precio de x 2 respecto al de x 3? ¿Cómo variará este efecto con el valor de t ? c. ¿Puede usted predecir cómo un incremento de t con ingresos compensados, afectará los gastos para el bien agregado x 2 y x 3? ¿El teorema del bien agregado se cumple estrictamente en este caso? d. ¿Un incremento de t con ingresos compensados, cómo afectaría la forma de asignar el total de gastos para el bien agregado entre x 2 y x 3? (Encontrará un análisis más exhaustivo de las complejidades de este problema en, T. E. Borcherding y E. Silberberg, “Shipping the Good Apples Out: The Alchian-Allen Theorem Reconsidered”, Journal of Political Economy , febrero de 1978, pp. 131-138.)
6.6
Aplique los resultados del problema 6.5 para explicar las siguientes observaciones: a. Es difícil encontrar a la venta apartamentos de calidad en Washington o buenas naranjas frescas en Florida. b. Es más probable que la gente que gasta mucho en servicios de niñeras vaya a restaurantes caros (y no a baratos) que la gente que no gasta en estos servicios. c. Los individuos que valoran mucho su tiempo tienen más probabilidad de viajar en el Concorde que los que valoran menos su tiempo. d. Es más probable que la gente intente encontrar gangas para comprar artículos caros que artículos baratos. (Nota : Las observaciones b y d establecen las bases para los misterios de asesinatos que podrían ser los únicos dos casos en los que los economistas llegan a resolver el crimen. Véase Marshall Jevons, Murder at the Margin y The Fatal Equilibrium.) 6.7
Por lo general, los efectos cruzados de precios no compensados no son iguales. Es decir,
ìx i ìx j . ñ ì p j ì p i Utilice la ecuación de Slutsky para demostrar que estos efectos son iguales si el individuo gasta una fracción constante de sus ingresos en cada bien, independientemente de los precios relativos. (Se trata de una generalización del problema 6.1.) 6.8
En el capítulo 5 se demostró que podemos medir los costos que los cambios de un solo precio tienen para el bienestar utilizando las funciones del gasto y las curvas de demanda compensada. Este problema le pide que generalice lo anterior a los cambios de precios de dos (o muchos) bienes. a. Suponga que un individuo consume n bienes y que los precios de estos dos bienes (por decir, p 1 y p 2) aumentan. ¿Usted cómo utilizaría la función del gasto para medir la variación compensatoria (VC ) para esta persona debido a este aumento del precio? b. Una forma de demostrar gráficamente estos costos para el bienestar es utilizar las curvas de demanda compensada para los bienes x 1 y x 2 suponiendo que un precio aumentó antes que el otro. Ilustre su planteamiento. c. En su respuesta al inciso anterior, ¿importaría el orden en el cual usted considera las variaciones de precios? Explique. d. En general, ¿pensaría usted que la VC para el aumento de precio de estos dos bienes sería más alta si los bienes fueran sustitutos netos o complementos netos? O ¿la relación entre los bienes no tendría repercusiones para los costos del bienestar? 6.9
Se dice que una función de utilidad es separable si se puede expresar como U (x, y ) = U 1(x ) + U 2( y ),
donde U i > 0, U i < 0 y U 1, U 2 no necesariamente son la misma función. a. ¿La separación qué presupone sobre la derivada parcial cruzada U xy ? Ofrezca un análisis intuitivo de lo que significa este concepto y en qué situaciones se puede producir.
b. Demuestre que si la utilidad es separable, entonces ninguno de los bienes puede ser inferior. c. ¿El supuesto de la separación le permite concluir contundentemente si x y y son sustitutos brutos o complementos brutos? Explique su respuesta. d. Utilice la función de utilidad Cobb-Douglas para demostrar que la separación no es in variable con relación a las transfor maciones monótonas. Nota: En las ampliaciones de este capítulo analizamos las funciones separables con más detenimiento. 6.10
El ejemplo 6.3 muestra las funciones de demanda implícitas en la función de utilidad con CES para tres bienes U (x , y , z ) = -
1 1 1 - x y z
a. Utilice la función de la demanda de x de la ecuación 6.32 para determinar si x y y o si x y z son sustitutos o complementos brutos. b. ¿Cómo determinaría si x y y o si x y z son sustitutos o complementos netos?
LECTURAS RECOMENDADAS Borcherding, T. E. y E. Silberberg, “Shipping the Good Apples Out—The Alchian-Allen Theorem Reconsidered”, Journal of Political Economy , febrero de 1978, pp. 131-138. Magnífica explicación de las relaciones entre tres bienes en la teoría de la demanda. Véanse también los pro- blemas 6.5 y 6.6.
Hicks, J. R. Value and Capital, 2a. ed., Oxford: Oxford University Press, 1946. Véanse caps. I-III y apéndices relacionados. Prueba del teorema del bien agregado. También uno de los primeros tratamientos de los sustitutos y comple- mentos netos.
Mas-Colell, A., M. D. Whinston y J. R. Green. Microeconomic Theory , Oxford University Press, Nueva York, 1995. Explora las consecuencias de la simetría de los efectos cruzados de precios compensados en el caso de diversos aspectos de la teoría de la demanda.
Rosen, S. “Hedonic Prices and Implicit Markets”, Journal of Political Economy , enero/febrero de 1974, pp. 34-55. Buen tratamiento gráfico y matemático del enfoque de los atributos para la teoría del consumidor y del concepto de los “mercados” para los atributos.
Samuelson, P. A. “Complementarity—An Essay on the 40th Anniversary of the Hicks-Allen Revolution in Demand Theory”, Journal of Economic Literature , diciembre de 1977, pp. 1255-1289. Reseña una serie de definiciones de complementariedad y muestra las relaciones que existen entre ellas. Contiene una explicación gráfica intuitiva y un detallado apéndice matemático.
Silberberg, E. y W. Suen. The Structure of Economics: A Mathematical Analysis, 3a. ed., IrwinMcGraw-Hill, Boston, 2001. Buena explicación de las funciones del gasto y el uso de funciones de utilidad indirectas para ilustrar el teo- rema del bien agregado y otros resultados.
